i I Kl UI

Ml II Tir^çr^i] r i-PDxrKiryc

I i i i o ILj S-^n I\\ ij e -1LJ-L

c I 1 M /

ß I \' \\ \'

______ , ,

msmm^ÈBmmmtMmf

i»iiilili«ß?«p

eilliiiL,,.........

■. -I f\':-?nbsp;snbsp;■ —.\'i-.\'-:-:.

■■\'■Vi\'\'

■ U

CONTINUE, MULTIOSCILLEERENDE FUNCTIES

■ A

■■■-Ïï-

CONTINUE, MULTIOSCILLEERENDE

FUNCTIES

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN
DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS^ EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVER-
SITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN
RECTOR MAGNIFICUS Dr. A. NOORDTZIJ,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER
GODGELEERDHEID, VOLGENS BESLUIT
VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FA-
CULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP
MAANDAG 24 JANUARI 1927,
DES NAMIDDAGS 4 UUR, DOOR

FREDERIK WILLEM NIJHOFF,

GEBOREN TE MEPPEL.

DIBLIOTiiEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

AMSTERDAM, H. A. VAN BOTTENBURG -
N.V. DAGBLAD EN DRUKKERIJ DE STANDAARD

■ siw

m

Aan mijn Ouders

V-nbsp;■nbsp;: • \\

Bij het voltooien van mijn academische studie is het mij
een aangename taak, U, Hoogleeraren en Lectoren in de
Faculteit der Wis- en Natuurkunde, dank te zeggen voor
hetgeen Gij tot mijn vorming hebt bijgedragen.

In \'t bijzonder dank ik U, Hooggeleerde WOLFF, hoog-
geachte Promotor, voor de bemoedigende belangstelling en
den voortdurenden steun, die ik van U bij de samenstelling
van dit proefschrift mocht ondervinden.

INHOUD

...............Blz. 1

Hoofdstuk I, Voorbeelden van Continue, multi-

oscilleerende functies............c

......»t j

Hoofdstuk II, Algemeene eigenschappen......23

Hoofdstuk III, Overal differentieerbare, multiosciU

leerende functies..............^^

.......tt jj

INLEIDING.

Alvorens over te gaan tot de behandeling van ons eigenlijke onder-
werp, zullen wij eenige daarbij herhaaldelijk optredende begrippen uit-
eenzetten. Ook zullen in deze inleiding enkele hulpstellingen bewezen worden.

We beschouwen steeds eendimensionale puntverzamelingen en daarop
reëele functies. Het reëele getal x zal in verband daarmee dikwijls ook
het punt X genoemd worden.

De verzameling der punten x, die voldoen aan a^x^b noemen
we het segment ab oi korter a b.

En het interval a b oi kortweg a b, is de verzameling der punten x,
waarvoor geldt alt;ixlt;^b.

De lengte van a 6 of a 6 is het getal b—a; a en b heeten eindpunten.

Al naar gelang x, gt; X2 of x^ lt; X2 zeggen we, dat Xj rechts of links
van X2 ligt.

Een omgeving van Xq of een interval om Xq is een interval, dat Xq bevat.

Is 00 en lt;5^0, dan heet het interval Xq, Xq -f- e een rechterquot; en
het interval Xq—Xq een linkeromgeving van Xq. Met £ en ö zullen in
\'t vervolg niet anders dan positieve getallen worden aangeduid.

Zij f{x) een functie, gedefinieerd in een zeker interval a b.

Het punt xo in ab zal een eigenlijk maximum of kortweg maximum
van f{x) heeten, indien er een getal (5 bestaat, zoodat ƒ (a:)lt;/^(xq), voor
k—lt; uitgezonderd x — Xq. Kan hieraan niet voldaan worden, maar
is er wel een getal ö, zoodat fW lt;/quot;(xq) voor |x—xo|lt; ö, terwijl/quot;(x) =
fixo) noch in een geheele rechter-, noch in een geheele linkeromgeving
van Xo geldt, dan heet Xq een oneigenlijk maximum van f{x).

Hierna is zonder meer duidelijk, wat verstaan moet worden onder een
eigenlijk of oneigenlijk minimum van f{x).

Xq heet een verdichtingspunt van een puntverzameling E, als in iedere
omgeving van Xq een van Xq verschillend punt van E ligt.

Een linkerlimietpunt van E is een punt met de eigenschap, dat in
iedere linkeromgeving ervan een punt van E ligt. Analoge definitie voor
een rechterlimietpunt van E.

E heet gesloten, als ieder verdichtingspunt van E tot E behoort.

Een perfecte puntverzameling E is een gesloten puntverzameling met
de eigenschap, dat ieder punt van E verdichtingspunt van E is.

De verzameling E\' der punten, die niet tot een gegeven verzameling
E behooren, noemen we het complement van E.

De vereeniging -}-£3 .... van eindig of aftelbaar veel

puntverzamelingen ^i, E^, E,,.....is de verzameling der punten, die tot

minstens één der verzamelingen E„ behooren.

De verzameling der punten, die tot alle verzamelingen E^, E2, E^.....

behooren, heet de doorsnee E,E2E,.... van die verzamelingen. Deze
kan leeg zijn.

De verder in de inleiding nog volgende definities en stellingen gelden,
indien er sprake is van een interval a b, evenzeer voor het segment a b.

Het complement van een puntverzameling E in het interval ah is de
verzameling der punten van a b. die niet tot E behooren.

E heet overal dicht in a b, als ieder deelinterval a ^ van ah een punt
van E bevat.

Bevat daarentegen ieder van die deelintervallen een interval, dat geheel
tot E\' behoort, dan heet E nergens dicht in a b.

Een vereeniging van aftelbaar veel verzamelingen, die nergens dicht
zijn in a b, noemen we een ensemble gerbé in a b.

Een ensemble gerbé is hetzelfde, als wat R. Baire (gt;) verstaat onder een
verzameling van de eerste categorie.

Onder een residuel{^) van a b verstaan we een verzameling, wier com-
plement een ensemble gerbé is in a b.

Omtrent deze verzamelingen zullen we de volgende stellingen noodig
hebben:

I. Een residuel R van a b is in a b overal dicht en bevat zelfs in
ieder deelinterval van a b een perfect deel.

Bewijs: Zij a^ een willekeurig gekozen deelinterval van ab enhet
complement van R in ab. R\' is de vereeniging van aftelbaar veel ver-
zamelingen E2, E3,----, die nergens dicht zijn in a b.

Omdat El nergens dicht is in a b. zijn et in a fi twee buiten elkaar
liggende segmenten s, en Sj te vinden, die geheel tot E[ behooren. Op
5, neemt men nu twee segmenten 5„ en 5,2. die geheel tot behooren;
evenzoo op Sj twee segmenten S21 en S22, die ook tot E2 behooren. Dit
procédé tot in het oneindige voorzettend, vindt men een rij van punt-
verzamelingen

Pu F2, F,...,

waar

Fx bestaat uit de segmenten si en Sj,
F2nbsp;^ „ „ „ Sn, 5i2, S21 en S22, enz.

(1)nbsp;Leçons sur les fonctions discontinues, bl, 78.

(2)nbsp;Vgl. A, Denjoy, Bulletin de la Société Mathématique de France, Deel, -13, 1915
bl, 163, noot,nbsp;\'

Wij kunnen er tevens voor zorgen, dat het grootste segment van F„ een

lengte heeft, die kleiner is dan —.

n

De verzamelingen Fj, Fj, F3,.... vormen een rij van samentrekkende,
gesloten en begrensde puntverzamelingen, die geen van alle leeg zijn.
Volgens een bekende stelling uit de theorie der puntverzamelingen is dan
ook de doorsnee

niet leeg en gesloten.

Om in te zien, dat D perfect is, moeten we nog aantoonen, dat. ^ een
willekeurig punt van D zijnde, ^ verdichtingspunt is van D.

Voor iedere n behoort | tot F„ en ligt dus in één der segmenten,
waaruit F„ bestaat. In dit segment liggen twee andere, die totnbsp;be-

hooren. In het eene ligt in \'t andere trekken segmenten van F„ 2, enz.
zich samen. In dat tweede segment ligt dus volgens de zooeven gebruikte
stelling een punt van D. f en i; zijn twee verschillende punten van D;

de lengte van fis kleiner dan-i, omdat f en i] in één segment van

F„ liggen. Aangezien men zoon punt bij iedere waarde van n kan
vinden, volgt hieruit, dat ^ een verdichtingspunt is van D. R bevat dus
in a/5 een perfect deel n.1. D.

II. Is G een ensemble gerbé in ab, dan is iedere deelverzameling van
G ook

een ensemble gerbé in a b.
Bewijs: Zij F een deelverzameling van G. De punten van G, die niet
tot F behooren, vormen een verzameling H. Dan is F=iGH\'. G is een
ensemble gerbé in a b, dus

G = E, E2 .....

waar Fj, Fj.....nergens dicht in ab zijn.

Voor F geldt

Uit het feit dat F„ nergens dicht is in a b, volgt, dat dit ook geldt
voor de verzameling £„ H\', die een deel is van F„. Dus F is de ver-
eeniging van \'aftelbaar veel verzamelingen, die in ab nergens dicht zijn.
d.w.z. F is een ensemble gerbé in a b.

IIL Is R een residuel van ab, dan is iedere verzameling Ri, die R
bevat, ook een residuel van a b.

Bewijs: R[ is een deel van R\' en R\' is een ensemble gerbé in ab,
dus volgens stelling 11 is R[ ook een ensemble gerbé in afc; moet
dus een residuel van a b zijn.

IV. De vereeniging van eindig of aftelbaar veel ensembles gerbés
in a b is zelf een ensemble gerbé in a b.

Bewijs: Stel G„ Gj.....zijn aftelbaar veel ensembles gerbés in a b.

Dus

........* gt;

waar de verzamelingen in a 6 nergens dicht zijn. De verzameling

is dus de vereeniging van aftelbaar veel verzamelingen, ieder bestaande
mt aftelbaar veel in a 6 nergens dichte verzamelingen. Volgens een be-
kende stelhng is G dan ook de vereeniging van aftelbaar veel in a b
nergens dichte verzamelingen. Dus G is een ensemble gerbé in a b.

V. De doorsnee van eindig of aftelbaar veel residuels van a b is zelf
een résiduel van a b.

Bewijs : Zij R =nbsp;----de doorsnee van aftelbaar veel residuels

Hn van ab. Dan geldt voor de complementaire verzameling

R\' = {Rr R2R3 ^ ^ -Y = R[ R2 . ...

Rn is een ensemble gerbé in a b, volgens stelling IV dus ook R\'. En R
is dus een residuel van a b.

Aan de in Hoofdstuk III gebruikte begrippen meetbaarheid van punt-
verzamelingen en van functies en maat van meetbare puntverzamelingen
wordt de door H. Lebesgue in zijn „Leçons sur l\'intégration et la recherche
des fonctions primitivesquot; gegeven beteekenis gehecht.

Besluiten wij de inleiding met de volgende definitie, waarvan wij bij
onze onderzoekingen steeds zullen uitgaan:

Is de functie f {x) gedefinieerd in a 6 en voldoet ze aan de volgende
voorwaarden

1)nbsp;f{x) is continu in a b,

2)nbsp;in ieder deelinterval a^ van ab zijn twee punten Xj lt;^2 en twee
punten x3lt;x, te vinden, zoodat f{xOlt;f{x,) en f{x,)gt;f(x,), dan
heet f (x) een continue, multioscilleerende functie in a b.

HOOFDSTUK I.

VOORBEELDEN VAN
CONTINUE, MULTIOSCILLEERENDE FUNCTIES.

Eerste Voorbeeld.

§ I. Op een segment AB (zie fig. 1) construeeren wij een gebroken
lijn, door te trekken

1\' door A een lijn met richtingscoëfficient

2\' door B een lijn met richtingscoëfficient -j- ^,

3« door het midden van A B een lijn met richtingscoëfficient — 1 -f- i

Fig. 1.

Met elke waarde van n correspondeert dan een gebroken lijn. De
continue functie, die daardoor wordt voorgesteld, noemen we {AB)n.

Deze functie (AB)„ zal als hulpfunctie dienst doen bij de constructie
van een oneindige rij van functies, die een continue, multioscilleerende
functie tot limiet hebben.

Wij gaan daartoe uit van de functie y = x, voor O lt; x lt; 1. Deze
functie noemen we Gq (x).

(I \\

— — 1. De betee-
kenis van {AB)„ in \'t oog houdend construeeren we de functie

De functie g^ (x) bij Gq (x) optellend, stellen we

G] {x) is weer een continue functie en wordt door een gebroken lijn
voorgesteld. Voor de afgeleide in x = y geldt

g; (= G; f^) g\\

V v2y

en wij zien verder, dat G,\' (x) overal waar ze bestaat hetzelfde teeken
heeft als g[{x), Tusschennbsp;en x = l bevindt zich dus een maximum

van Gl (x) en tusschen x = ~ en x=\\ een minimum.

Om van G, {x) over te gaan op een volgende functie Gj {x) deelen
we alle segmenten, waarop G, (x) lineair is, middendoor. Laten we die
drie segmenten noemen

a? a{ , al ai , af al
^ berekenen dan eerst Ginbsp;A? en construeeren daarna

__I op

a?a} de functie .4? (a?a})2. Doet men hetzelfde voor de beide andere seg-
menten, dan ontstaat een op het geheele segment 01 gedefinieerde functie.
Deze moge pj W heeten, dan stellen we

G^ (x) = G, (x) 4- ff 2 (X) = Go(x) gi(x) g2 (x).
G2(x) wordt weer door een gebroken lijn voorgesteld en heeft in elk
interval, waar G, (x) lineair is, een maximum en een minimum.

Wij geven nu nog algemeen aan den overgang van G„ (x) op G„ i (x)
voor ieder positief, geheel getal n:

De eindpunten der segmenten, waar G„ (x) lineair is, noemen we van
links naar rechts

» , al,... ...

p p inbsp;„p I p i

^i] a„ a„ een segment, waarop G„ (x) lineair is. Stel quot; quot;

ennbsp;= Wij construeeren op het beschouwde segment de

functie

A^ {annbsp;.

Deze consjructie wordt voor ieder der segmenten aj: a^\' uitgevoerd.
De zoo op 01 gedefinieerde functie noemen we g^^^ (x) en stellen

Is A^n b.v. positief, dan is
g: ,, k)=g: (m?) k) == ^^ - (i 1 j =_ ^ lt; o.

Is Al lt; O, dan is G„ i( m^) positief. Uit de constructievoorschriftcn
volgt, dat Al nooit nul is. Overal waar G1 i (x) bestaat, heeft ze het
teeken van (x). G„ i (x) heeft dus in het interval al waar
Gn (x) lineair is, een maximum en een minimum.

Overigens is het duidelijk, dat ieder maximum (minimum) van G„ (x)
ook een maximum (resp. minimum) van G„ i (x), G„ 2 (a:), ... is.

Zij b.v. al een minimum van Gn{x) (zoo\'n minimum is zeker een
punt al), dan leiden wij uit de constructie af, dat in een zekere rechter-
omgeving van x=al geldt

Êr„ ,(A:)gt;0. Want AS gt;0.

En in een zekere linkeromgeving van x=al is

(x) gt; O, omdat Ar\' lt; 0.

Terwijl £r„ , (al) = 0.

x=al is dus zeker een minimum van G„ i (x) = G„ (at)-f (x) en
evenzoo van iedere functie met hooger rangnummer.

§ 2. Wij toonen nu aan:

a.nbsp;Gn (x) nadert op 01 tot een eindige, continue limietfunctie G {x).

b.nbsp;G {x) is multioscillant.

Bewijs:

a. Uit de constructie volgt, dat ieder segment al a^quot;*quot;\' een lengte heeft,
die kleiner is dan zoodra n gt; 1.

Want men gaat uit van het segment 01 en ieder segment al
bevat drie segmenten a^ ia^t}, die ieder kleiner zijn dan de helft van
al al\'^^. Hieruit volgt door volledige inductie het zooeven beweerde. (\')

In ieder interval al al^^ is G\'„{x) het product van een eindig aantal
factoren van den vorm

Daaruit leiden we af

G: w lt;P=fi i)ri ^Vi ^

V

voor elk punt a: op 01, dat geen punt al is.

Voor ieder der getallen Al = Gn (ml) geldt dus | AS | lt; P. Waaruit
volgt, dat de grafische voorstelling van (x) in aS aSquot;^\' tusschen de

lijnen ligt, die door de eindpunten gaan en\' richtingscoëfflciënten ± ^
hebben. Wij weten reeds, dat de lengte van al aSquot;^\' kleiner is dan

7quot;

(1) De letter p wordt hier gebruikt voor twee verschillende getallenrijen, maar dat kan
Irr dit geval geen verwarring stichten.

Op 01 geldt dus

Aangezien deze ongelijkheid voor elk rangnummer n^O geldt con-
vergeert de reeks

_nbsp;Go (x) {x) ....

op 01 gelijkmatig. Alle functies van de reeks zijn continu, dus ook de
hmietfunctie G(x).

b. Stel gegeven een willekeurig deelinterval ap van ÖT, met lengte r.
Kies n zoo groot, dat —lt;^.Dan moet zeker één der intervallen a^ a^\',

die alle een lengte kleiner dan ^ hebben, binnen a liggen. Wij weten,

dat in dat interval a^ a^\' een maximum x, en een minimum van
Ct„ i (at) liggen.

Stel b.v. ^^gt;0, dan is x, lt;jc2.

Dezelfde ongelijkheden gelden echter voor G{x), daar volgens con-
structienbsp;quot;

G„ , (aS) = G„ 2 (aS) = .... = G (aS).
G„ , (.X,) = G„ 2 (x,) = = G (X,).
G„ (^2) =G„ 2{X2) = .... = G (X2).
Ingeval lt; O handelt men analoog.

G {x) voldoet dus aan de op bl. 4 gegeven definitie en is multi-
oscillant.

§ 3. Wij zullen in \'t vervolg de punten al, uitgezonderd O en 1
hoekpnrxten van G„ (x) noemen. De functie G{x) heeft dan nog dé
volgende eigenschap:

Ieder hoekpunt van eeh o( andere functie G^x) is een eigenlijk
maximum of een eigenlijk\' minimum van G (x).
Bewijs:

Zij zoon punt. Stel treedt voor \'t eerst als hoekpunt op voor
de functie G, (x) en laten we aannemen, dat x« een maximum is van
Voor een minimum verloopt het bewijs analoog.
We weten reeds, dat x« dan ook een maximum is van
..... Om nu aan te toonen, dat er een interval Xq—ó x.-he

bestaat, waarin (behalvein^Xo) geldt G(x)lt;GM, hebben wij de volgende

opmerking noodig:

De waarden van G„^,{x) in ieder interval a^ a^waar G„ (x) lineair
is, zijn begrepen tusschen de waarden van G„ , (x) in de eindpunten.

Over Maxima en Minimanbsp;g

Want laten wij eens het geval beschouwen, dat Gn (x) in i —a^a^^\'
positief is. (G^ (x) lt; O gaat analoog en Gn (x) = O komt niet voor).

Als we stellen

G\'„(x) = pgt;0

in i, dan neemt G„ (x) in i lineair toe met een bedrag pl, waar l de
lengte van i voorstelt. gn i{x) is nul in a^ en a^ positief op de eerste
helft van i, negatief op de tweede. De grootste positieve waarde van
dn I (x) is kleiner dan

P ^nbsp;lt; P X -j voor n gt; 0.

Op de tweede helft van i geldt

g„ i{x):gt;-pX~.

Dus G^r (x)=G„(x)-f ligt binnen i inderdaad opgesloten
tusschen ^de waardennbsp;en G„„(ar\'), dus ook tusschen G„ (aS)

en vjn (a„ ),

Nu bevat het interval a^a^\' drie intervallen ai; , a^t}, op elk
waarvan de vorige redeneering van toepassing is, d. w. z. voor elk dezer
intervallen ligt G„ 2(x) tusschen G„ , (a^,) en G„ ,(aS:}).

Aangezien volgens het voorgaande deze laatste beide waarden begrepen
zijn tusschen G„(aS) en G„(ar\') of daaraan gelijk zijn, geldt voor
Gn 2 (x) op het heele interval a^ a^ \':

de waarden van G„ 2(x) zijn begrepen tusschen G„ (a^) en G„(a^^\').

Door volledige inductie kan men deze eigenschap op de aangegeven
manier aantoonen voor Gn m{x), waar m gt; 0.

Men heeft dus, als b.v. G„ (a^) lt; G„ (a^ \'):

Gn (a^„)lt;G„ .(x)lt;G„ (af\')
voornbsp;aSlt;xlt;ar\'.

Omdat Xo een maximum is van Gt (x), zijn er twee intervallen a? a? ^

die in Xq aan elkaar grenzen. Samen vormen ze een interval Xq_lt;5 Xq -j- s

waarop geldt G(x)lt; G(xq). (Het punt Xq zelf wordt stilzwijgend buiten
beschouwing gelaten).

Want neem een willekeurig punt x van dit interval. Of x valt in
Xq—ó, Xq, dan wel in Xq. Xq e, is voor de verdere behandeling gelijk-
waardig. Stel X in Xq—ó, Xq. Omdat Xo—lt;5, Xq een interval \' is,
geldt volgens het boven behandelde

G, (xo - ó) lt; (x) lt; Gk (xo)
of, aangezien G* (xq) = G (xq),

Gk „ (x) lt; G (xo).

Wij moeten dezelfde ongelijkheid aantoonen voor lim G^ m (x). Hiertoe

m =00

onderscheiden wij twee gevallen:

1).nbsp;X is een punt a^. Dan is Gk m{x) constant vanaf zeker rang-
nummer A: m en geldt dus ook voor de limiet G (x)

G(x)lt;G(xo).

2).nbsp;X is geen punt a^. dus een gemeenschappelijk punt van een oneindige
rij van intervallen die tot nul naderen. Kies n, zoo hoog, dat
het interval a^, a^ \' van deze rij binnen Xq—Xq valt. Volgens het
onder 1) gezegde weten we dan, dat zoowel G„, (a^j als Gn, kleiner
is dan G (xq), terwijl G„, ,„(x) voor elke waarde van m tusschen die
vaste getallen ligt (boven bewezen). Overgaande tot de limiet, is dus

óf lim G„. .(x)lt;G„. (a„^,),

m=:co

óf Urn G„, .(x)lt;G„.(aC\').

m—to

Dus in elk gevalnbsp;lim G„, „, (x) lt; G (xq)

mszea

anders geschrevennbsp;G (x)lt; G (xq).

Xo is dus eén eigenlijk maximum van G (x). Waarmee de bedoelde
eigenschap bewezen is.

Uit de constructievoorschriften volgt, dat de verzameling der hoek-
punten op 01 overal dicht is. Dat beteekent voor de functie G (x) dus:
De verzameling der eigenlijke maxima en minima is overal dicht op ÖL

Tweede Voorbeeld.

§ 4. Wij willen nu trachten, door eenige wijzigingen te brengen in
de bovenstaande constructie, tot een continue, multioscilleerende functie
te geraken, die de eigenschap heeft, dat ze in ieder deelinterval van Öï
symmetriepunten bezit (\').

Onder een symmetriepunt van een continue functie f{x) verstaan we
hier een punt Xq met de eigenschap :

er is een segment Xq—ó , Xq lt;5 (het symmetriegebied van Xq), waarop
de betrekking f{xQ—a)=\'f{xo-\\-a) geldt voor 0lt;alt;(5.

Indien bewezen wordt, dat de functie multioscillant is, is vanzelf de
mogelijkheid uitgesloten, dat f{x) constant zou zijn in eenig interval.

Ter verduidelijking van de constructie dienen de figuren op bl. 11.

Fq{x) is de functie, gelijk aan x voornbsp;en gelijk aan 1—x

voor y lt;xlt; 1.

Een hulpfunctie (A B)„ definieeren wij nu als volgt (fig. 2a):

(\') Een ingewikkeld voorbeeld geeft A. KöPCKE, Mitteilungen der Mathematischen Gesell-
schaft in Hamburg, deel 3, 1891—1900, bl. 258.

Trek door A en B weer lijnen met richtingscoëfBcient ^, door het

2

midden van AB echter een lijn met richtingscoëffident -fz l^

^ 2 ^

Overgang van Fq (x) op F, (x) (fig. 2):

Op de segmenten O ^ en ^ 1 construeert men de functies FÓ X

V /

^^ ontstane functie heet fi(x);

we stellen op ÖT:

F,(x) = Fo(x) /;(x).
1

Fo(x) heeft één symmetriepunt Ij, doch F, (x) heeft er vijf. Wij

kunnen n.1. uit de constructie afleiden, dat ieder hoekpunt van F, (x) een
symmetriepunt is.

Immers

^ 1 ^

F,
Evenzoo

. i-(-i).

In ieder van de zes intervallen, waar F, (x) lineair is, heeft F,\' (x) de
waarde quot;(^l ^j ofnbsp;Hieruit volgt, dat ieder hoekpunt

een symmetriepunt is.

Voor wij nu echter de constructie voortzetten, voeren wij behalve de
hoekpunten en de punten O en 1 nog enkele andere punten x als deel-

punten af in. Dit zullen zijn de punten waar F, (x) = Fq (^jJ. Dan ont-
staan er twaalf segmenten afaf \'. Op elk van deze construeeren we
de functie

-F;(mr)X(afar^)„

waar mf dezelfde beteekenis heeft als vroeger. Op Öï is zoo gedefinieerd
een functie f^ (x) en om Fj (x) te krijgen stellen we

F2(x) = F,(X) ^2W.

Door de invoering der nieuwe deelpunten is bereikt, dat alle sym-
metriepunten van F, (x) ook symmetriepunten van Fj (x) zijn.

Algemeen voorschrift voor de overgang van F„ (x) op F„ 1 (x), als n gt; 1:
. Beschouw als deelpunten a^ drie soorten van punten nl.

1)nbsp;De hoekpunten van Fn (x),

2)nbsp;De deelpuntennbsp;die geen hoekpunten zijn van F„ (x),

3)nbsp;Alle punten, waar F„ (x) een der waarden F„_i (m^_i) aanneemt

f;

Verzameling der Symmetriepuntennbsp;13

Construeeren we nu op elk der segmenten aS aS \' de functie

_ F:K)X(aS af
dan ontstaat op 01 een functie /w i(a:).

Wij stellen: (x) = F„ (x) (x).

§ 5. Van de rij van functies

Fo{x) , F,(x) , F2(x),....
gaan we nu aantoonen:

a)nbsp;F„ (x) nadert op 01 tot een continue limiet functie F(x),

b)nbsp;F(x) is multioscillant,

c)nbsp;De symmetriepunten van F(x) vormen een op ÖT overal dichte
verzameling.

Bewijs:

a) Evenals in voorbeeld I bewijst men, dat ieder interval alal^^ een
lengte heeft kleiner dan F\'„{x) bestaat in aS aS^\' uit een product van
een eindig aantal factoren

/ IAnbsp;/ 1 \\

of -fl \' ^

2quot;

\\ \' ^ /nbsp;V quot; y

Dus

/nbsp;1 \\ /nbsp;I \\

F„(x)

7

voor elk punt x op 01, dat geen punt al is. Verder gaat het bewijs als
op bl. 7 en 8.

Het bewijs van b) is geheel analoog aan het correspondeerende in
voorbeeld I.

c) Een symmetriepunt van F„ (x) is, aangezien F„ (x) door een polygoon\'
wordt voorgesteld, noodzakelijk een hoekpunt van F„ (x). Omgekeerd:
in een hoekpunt verschillen rechter- en linkerafgeleide van F„ (x) en zij
kunnen volgens het onder a) gezegde slechts in teeken verschillen. Dus
ieder hoekpunt is tevens een symmetriepunt.

De hoekpunten liggen volgens constructie overal dicht; immers de
intervallen aS aS ^\' dringen overal door en in ieder ontstaan bij overgang
op F„ 1 (x) twee nieuwe hoekpunten.

Zij nu Xo een hoekpunt, dus symmetriepunt, van Fn (x). Wij zullen
aantoonen, dat Xq ook een symmetriepunt is van F(x) en daarmee het
gevraagde bewijs hebben geleverd.

Stel Ffc(x) is de functie met het laagste rangnummer, waarvoor Xq
symmetriepunt is. Xq is dus van Fjt_i (x) geen hoekpunt (\'). Wij kunnen
zelfs beweren, dat Xq geen der punten a^-i kan zijn. Hiertoe gaan wij

(1) Indien fc = o, dus xg = j, ziet men direct in, dat men te doen heeft met een symmetrie-
punt van FfxJ, met symmetriegebied öT.

na, of Xo tot één der drie op blz. 12 genoemde groepen van punten
Bk-i kan behooren:

Daar Xq geen hoekpunt is van Fh-i{x), behoort Xo niet tot groep 1.
Veronderstelt men Xq te behooren tot groep 2 of 3, dan zou men daaruit
kunnen afleiden, dat Xq geen hoekpunt is van Fk (x). Dus ook dat is
onmogelijk.

Zij nunbsp;het interval van de t verdeeling van het segment

O 1, waartoe Xq behoort. In dat interval is Fk-i (x) lineair. Stel b.v.
Fk-i (x) daalt er. Xo is dan een der punten s, en sj uit fig. 2b, Want
Xo is hoekpunt van Fk{x).
Stel Xo = Si.

De met Sj.Sj, a, b, en c aangeduide punten zijn zeker punten at Xq
is dus voor iedere functie Fk m{x), m^O symmetriepunt met een
symmetriegebied, minstens gelijk aan het segment a b.

Want, afgezien van het feit, dat de richtingscoëfficienten voor de
correspondeerende deelen van a s, en 5, b steeds van teeken verschillen,
zijn deze intervallen voor \'t verdere verloop van de constructie als
gelijkwaardig te beschouwen.
Wij weten dus

Fk m (si —a) = Fk m {si a), als O lt; a Sj — a

en m gt; O,
Hetzelfde geldt dus ook voor de functie

F{x)=limFk n,{x).

m=oo

_Indien omgekeerd van een continue functie gegeven is, dat ze een op

01 overal dichte verzameling van symmetriepunten bezit en tevens, dat
ze in geen enkel_deelinterval constant is, zou men daaruit af kunnen
leiden, dat ze op O 1 multioscillant is.

Tenslotte zij nog opgemerkt, dat men hier, evenals onder voorbeeld I,
kan aantoonen, dat alle hoekpunten der functies F„ (x) eigenlijke maxima
of minima van F{x) zijn.

Derde Voorbeeld.

§ 6. Door H. von Koch is in Arkiv för Matematik, Astronomi och
Fysik, deel 1, 1903—\'04, bl. 681, een voorbeeld gegeven van een continue
kromme, die in geen enkel punt een raaklijn bezit. Op blz. 697 geeft
hij door een soortgelijke constructie een continue functie, die in geen
enkel punt van het beschouwde segment een eindige afgeleide heeft.

Na het voorafgaande kunnen wij gemakkelijk bewijzen, dat deze functie
multioscillant is.

Het constructievoorschrift luidt als volgt:

Fo (x) is de functie y = O op ÖT. (x) wordt grafisch voorgesteld door

Derde Voorbeeld

een polygoon; voor n gt; O gaat men over van F„ (x) op F„ 1 (x) door
van de polygoon, die (x) voorstelt, iedere zijde AB (zie fig. 3) te
vervangen door een gebroken lijn AC D EB.

Deze is volkomen bepaald door de volgende gegevens:

AC = CE = EB,
CM = ME,
DMHOY,

(zwaartelijn van een gelijkzijdige driehoek, op C E beschreven).

Fig. 3.

§ 7. De zoo ontstane van monotoon stijgende functies F„ (x)
convergeert gelijkmatig op O 1. Want uit de constructie volgt, dat C D
en ED beide kleiner zijn dan

CM MD = \\-AB^~ AB

Onbsp;O

Dus AC, CD, D E en EB zijn zeker alle kleiner dan ^ A B. Door
volledige inductie vindt men dan: de zijden van de polygoon, die F„ (x)
voorstelt, zijn alle kleiner dan

Alle lijnen DM, noodig voor den overgang van F„ (x) op F„ i(x),
zijn dus kleiner dan

En hieruit volgt weer

F„ .(x)-F„(x)lt;^l/T,

dus de rij convergeert gelijkmatig. Aangezien verder alle functies F„ (x)
continu zijn, is dit ook een eigenschap van de limietfunctie F(x).

De lengte van ieder interval, waarin F„ (x) lineair is, bedraagt hoogstens
Zij nu a weer een willekeurig deelinterval van O 1, met lengte r.

Kies n zoo groot, dat ^ lt; Dan valt er minstens één interval a b,

waar F„ {x) lineair is, binnen a Stel b.v. F„ (x) stijgt in dat interval.
Wij weten dan (fig. 3)

Fr,{c)lt;F„{d), waar clt;d.
F„(c/)gt;F„(e), .waar dlt;e.
Omdat F„ k{c) = F„ (c) voor /c gt; O, is ook F (c) = lim F„ 1 (c) = F„ (c)
en hetzelfde geldt voor de punten d en e. Dus

F(c)lt;F(ci)
F{cf)gt;F(e).

F {x) is dus multioscillant op O 1.

Vierde Voorbeeld.

§ 8. De functie van WeiersTRASZ is voor alle waarden van x gede-
finieerd door

«

f{x) = aquot; cos bquot; nx, waar O lt; a lt; 1,

O

zoodat deze reeks in ieder interval gelijkmatig convergeert en f{x) dus
in ieder punt x continu is. Verder is

37r

b geheel en oneven, ab^ 1 •

Onder deze voorwaarden bewijst Weierstrasz, dat f{x) de volgende
eigenschap bezit (\'):

Voor elke waarde van x zijn twee rijen van punten xl\' gt; x en xl lt; x
te vinden, die x tot limiet hebben en zoo zijn, dat
óf

n^quot; Xn—X

en hm --------- 7—- = — 00

quot;=« x—x„

(1) K. Weierstrasz, Abhandlungen aus der Functionenlehre, bl. 97.

Of: Crelle\'s Journal für die reine und angewandte Mathematik, deel 79, 1875, bl. 29.

óf

n^oo X„ — X

en bm-^^^-W—- = oo ,

X — Xn

Hieruit volgt, dat f{x) op een willekeurig segment a b multioscillant is.
Is n.1. a^ een of ander deelinterval van ab, dan kiezen wij een punt
X erbinnen. Volgens de bovenstaande eigenschap van f{x) zijn er dan
in a^, als we b.v. kannemen, dat x een punt is van het eerste type,
zeker twee punten xquot; gt; x en x\' lt; x te vinden, zoodat ƒ (xquot;) gt; f{x) en
f{x\') gt; f{x). Dus f{x) is multioscillant op a b.

§ 9. Wij kunnen dit echter ook afleiden uit een eigenschap, die we
ontleenen aan Ch. J. de la VallÉE PousSInC) en die gemakkelijker
te bewijzen is dan de in § 8 gebruikte. Daarbij zijn de volgende onder--
stellingen omtrent de vaste getallen a en è noodig: 0lt;alt; 1, b geheel
en oneven, a6gt; 1, dus 6gt;3.

Beschouwen wij b.v. het segment O 1. Zijn p en q twee geheele,
positieve getallen, dan is het duidelijk, dat de verzameling der punten

X = ^ overal dicht is op 01.

Ieder van deze punten is nu een eigenlijk maximum (als p even is) of
een eigenlijk minimum (p oneven) van

00

= ^ aquot; cos bquot; 71X.

1

Bewijs: Voor een bepaald punt ^o = ^ zijn p en q twee gegeven
getallen, en stellen we

oo

^^^ aquot; cos 6quot; jix= cp (x),
q

dan is

O»nbsp;0«

(p (xo) = aquot; cos bquot; Ji= aquot; cos n p.
1 lt;j

b is oneven, dus

•O

Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, deel 27, 1902-\'03, le ged., bl. 92.

2

Voor een punt Xq geldt

00

cp {Xo h) = {- 1)quot; ^ aquot; C05 bquot; nh.

Dus

00

(xo /i) - (xo) = (- l)quot;-quot;\' ^ aquot; (1 - cos bquot;7th).

q

Hieruit volgt

(p{xQ-\\-h) — (p {XQ)
(- 1)

voor iedere waarde van n^q, of

y (xq /i) — y (xo) „ 2 b\'^nh

jZlpnbsp;2 •

Stellen we nu b.v. h^O. h kan dan in een voldoend klein interval

O

om Xq altijd geschreven worden in den vorm h = ^ waar 1 lt; yS lt; 6

bquot;

en n^q een geheel, positief getal is. Als h tot O nadert, nadert n tot co
en omgekeerd.

O

Vullen we voor h in de waardenbsp;dan is

9? (xq /i) — y (xq) ^ ^nbsp;ß n

firrpnbsp;b\'r

O

Hierin is lt; 1, dus geldt

. ß ^

2 . . ß n^ß
-gt;-, of

ß n. Tl\'nbsp;b\' 2 b

b\'2

ß

Voor h = —tt weten we dus

9\'(xo ;i)-9\'(xo)^., _„ fß

(- 1)

y (Xq 4-/i) — y (XQ) ^nbsp;§

(-ir\'/,nbsp;y

Hierin is a 6 gt; 1; is p oneven, dan volgt uit de laatste ongelijkheid dus

/i=0
(n==o)

Is p even, dan

h=onbsp;h

(n=«o)

Voor /i lt; O vindt men voor deze limieten resp. — oo en -f- oo.

De functienbsp;^ aquot; co5 bquot; ^ x heeft in Xq een eindige afgeleide,

1

dus ook voor het differentiequotient /quot;(^o -^^^ ^^

fix) = s„ {x) (p{x) gelden de voor (p (x) gevonden regels.

Ieder puntnbsp;is dus een eigenlijk maximum of minimum van ƒ(x).

Uit het feit, dat deze op ÖT overal dicht liggen, volgt, dat f{x) daar
multioscillant is.

Zij n.1. weer a ^ een willekeurig deelinterval van Öï; kies een punt
= ~ in ap. Stel b.v. Xq is een minimum van f{x). In een zeker in-
terval Xo-(5 . Xo 6 geldt de ongelijkheid f{x)gt;f{xo), voox x^x^.
Hieruit volgt, dat er in a ^ ongetwijfeld een punt x, lt; x« en een punt
X2gt;Xo te vinden is, zoodat f{x,)gt;f{xo) en ƒ (x^) gt;/-(xo). Waaruit dan
blijkt, dat deze functie f{x) aan de definitie van een multioscilleerende
functie voldoet.

Vijfde Voorbeeld.

§ 10, Van een z,g,n. continue kromme, die een geheel vierkant vult,
is het eerst door G, PeaNO een voorbeeld gegeven (\'), Hij definieert op
het segment 01 twee continue functies x=cp{t) en y = ip{t) door het
volgende rekenvoorschrift:

Beschouw een willekeurige waarde van f op Öï en schrijf deze in het
drietallig stelsel

t = 0, ai ajaa,,,,

dus a„=0, 1 of 2, Iedere f op 01 laat één of twee van deze ontwik-
kelingen toe. Wij spreken verder af, onder k (a) te verstaan het getal 2—a.

Dusnbsp;^(2) = 0 , k(l)=l , k(0) = 2.

Met kquot; (a) zullen we bedoelen het getal, dat men verkrijgt, door de
operatie k op a n achtereenvolgende malen toe te passen, kquot; (a) = a, als
n even is en kquot; (a) = 2—a, als n oneven is.

De bij de ontwikkeling t = O, aj a2 a3----behoorende waarden van

lt;p (f) en 1/j (t) worden geleverd door

x = 0, bj bibs----(3-tallig)

y = 0, CJC2C3----(3 ,. ),

(\') Mathemathische Annalen 36, 1890, bl. 157.

waarin

fcj = ainbsp;c, = kquot; (aj)

Al naarmate 32 34 -f .. .. a2„_2 even of oneven is, is = a2n-i
of b„ = 2—a2n-i. Voor Cn analoog.

§ 11. Wij moeten nu eerst aantoonen, dat bij iedere waarde van t
één en niet meer dan één waarde lt;p (t) behoort en evenzoo voor tp {t).
Hiertoe verdeelen we de getallen t in twee klassen.

1)nbsp;De getallen t, die slechts één ontwikkeling t=0, aia^a-^.... toe-
laten. Hiertoe behooren o.a. de punten O cn 1.

2)nbsp;De getallen t, die men door twee ontwikkelingen

^ = O, ai aj a3 ... Sn 2 2 2 ... = O, ai a2 33 . .. a„ -f- 1 00....
kan aangeven.

Bij een getal van de eerste soort vindt men volgens constructie één
waarde voor 9? {t) en één voor xp (t).

In het tweede geval zou men aanvankelijk kunnen denken, twee waar-
den voor (p {t) te vinden. Stel echter, men verkrijgt, uitgaande van de
voorstelling

f = O, ai 32 33... a„ 2 2 ...:nbsp;99 (f) =r O, 62 • • •

en uitgaande van

^ = O, a, 32 33... a„ 1 00 ...: lt;p{t) = 0, 62 63...
Wij toonen dan aan, dat de waarden O, bibjb^ . . . en O, fci b2 b,...
even groot zijn. Is n even, n = 2m, dan volgt uit de constructie

• bi = b\\ , b2 = b2,..., bm = bm.

en

= k\'quot;quot;\'\'\'^ • (2), b\'„ 2 = k\'\'^quot;\'-quot; • ■ ■ (0)

Dus ook :

i\'m l = tm l , bm 2=bm 2, CnZ.
Is n daarentegen oneven, n = 2m—1, dan is

bi=blnbsp;, £gt;2 =nbsp;, • • • ) bm—i = bm—i

en

b^ = nbsp;^ =nbsp; a2„,_2nbsp;^ j)

b^^r = kquot;\'^\'^^ ■ ■ ■nbsp;(2) ,nbsp;fcl i = k^\'\'^quot;^^ ■ ■ ■nbsp;(0)

Als n = 2m geldt dus bp = b\'p voor p=\\, 2, 3,...; is n — 2 m — 1,
dan geldt deze gelijkheid alleen voor p = 1 , 2 , 3 ,..m—1, terwijl dan,
als 32 a4 a2m-2 even is, geldt

bm = bm — 1 , bp = 2 , bp = 0 voor p^ m
en als a2 a^ .., a2m-2 oneven is

bm = br„r\\- l , — O , bp = 2 voor p^ m.

Hieruit blijkt, dat ook bij ieder punt t van de tweede soort slechts
één waarde voor cp{t) gevonden wordt, al verschillen soms ^gevonden
ontwikkelingen. Door het gegeven voorschrift is dus op O 1 werkelijk
een functie q) (t) gedefinieerd.

Hetzelfde bewijst men voor y = tp (t).

Peano toont aan, dat omgekeerd elk waarden-tweetal at, y, dat voldoet
aan O lt; 1, O lt; r/ lt; 1, geleverd wordt door één, twee of vier waarden
van r op 01, Voor ons doel is dit overbo^. Wij willen n.1. bewijzen,
dat ieder van de functies cp {t) en yj (t) op O 1 continu en multioscillant is.\'

a) ^ (p (t) is continu in ieder punt tg op ÖT: kies n zoo hoog, dat

^ lt; e, waar e van te voren gegeven is. Leg daarna om tg een interval,

zoodat voor elke waarde van f(0lt;rlt;l) in dat interval 2n cijfers
van één der ontwikkelingen van t en tg samenvallen. Dan vallen in de
bijbehoorende ontwikkelingen van cp [t) en lt;p {to) n cijfers samen en is dus

b) (p (f) is multioscillant op O 1 : a ^ weer een willekeurig deelinterval
zijnde, kiezen we een even rangnummer n zoo hoog, dat alle punten t,
wier ontwikkelingen de eerste n cijfers aj a2... . a„ gemeen hebben, in
a^ liggen.

Wij kunnen ons beperken tot het geval, dat aj H- a^ ____ a„ oneven

is. (Anders beschouwen we de punten t, wier ontwikkelingen als eerste
n 2 = n\' cijfers bevatten: a, a2. .. . an O 1).

Beschouw nu de punten

= O, ai 32... a„ O O O O ...
f2 = 0, a, aj... a„ 2 2 2 2...
f3 = 0, aia2...a„0 10 0...
= O, a, a2... a„ O 1 2 2 ...

Dan is

xi=(p (f,) = b,...bn 222...

2

= (fz) = O, è, ... O O O ...

2

= — fc, ... 6^200...
2

x^=z(p{t^) = 0, b,...bn 222...

7

En wij hebben dus in a gevonden twee punten ti lt;C f2, zoodat

(^i) gt; fe) en twee punten ^3 lt;C ^4, zoodat fe) lt;C 9? (^4). Het bedoelde
bewijs voor cp {t) is hiermee geleverd. Voor xp (f) gaat het analoog.

Er zijn meerdere voorbeelden gegeven van continue krommen, die een
geheel vierkant vullen, o.a. door D. Hilbert(^) en E. H. moore^).
Dikwijls kan men aantoonen, dat zoo\'n kromme ons continue, multioscil-
leerende functies oplevert. Dit is echter niet algemeen geldig: door
H. Lebesgue is zelfs een voorbeeld gegeven van een zoodanige
kromme, waarbij de \'functies x=(p{t), y = tp{t) lineair zijn in ieder
interval van een op O 1 overal dichte intervalverzameling,

§ 12. Na te gaan, in hoever de door ons in de vijf gegeven voor-
beelden behandelde functies al of niet differentieerbaar zijn, zou ons
hier te ver voeren. Van de laatste drie is bekend, dat ze nergens een
eindige afgeleide bezitten. En wat het eerste en tweede voorbeeld betreft,
het is niet moeilijk aan te toonen, dat in geen der hoekpunten een eindig
differentiaal-quotient bestaat.

Met het probleem, of er multioscilleerende functies bestaan, die in
elk punt van een zeker interval een eindige afgeleide bezitten, hebben
vele schrijvers zich bezig gehouden In Hoofdstuk III zullen we twee
verschillende methoden behandelen, die tot dergelijke functies voeren.

(1)nbsp;Math. Ann. 38, 1891, bl. 459.

(2)nbsp;Transactions of the American Mathematical Society 1, 1900, bl. 72.
(\') Leçons sur 1\' intégration, enz, bl, 144.

P. DU BOIS-ReyMOND, Journal für die reine und ang. Math. 79, 1875, bl. 32.

H.nbsp;Hankel, Math. Ann. 20, 1882, bl. 83.

U. DiNI, Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, 1878, § 200, bl. 283,
In \'t Duitsch door J. LUroth en A. Schepp, § 200, bl. 381.
A. KöpCKE, Math. Ann. 29, 1887, bl, 123.

„ 34, 1889, 161.
„ 35, 1890, .. 104.
Festschrift der Math. Ges. in Hamburg, deel 2, 1890, bl. 128.

I.nbsp;Pereno, Giornale di Matematiche di Battaglini 35, 1897, bl. 132.

T. BroDEN, Öfversigt af Kongl. Vetenskaps Akademiens Förhandlingar 57. 1900,
bl. 423 en 743,
A. SCHOENFLIES. Math, Ann. 54, 1901, bl. 553.

A. Denjoy, Bulletin de la Société Mathématique de France, deel 43. 1915. bl. 210.

HOOFDSTUK II.
ALGEMEENE EIGENSCHAPPEN.

Zij f{x) een continue, multioscilleerende functie op het segment a b.

§ 13. Eigenschap I. f{x) bezit in ieder deelinterval van ^ eigen-
lijke of oneigenlijke maxima en minima.

Bewijs: Zij a ^ een willekeurig deelinterval van aT. Stel b.v. f{a) lt;
De verzameling der punten x op anbsp;f{x) = f{a), is gesloten, om-

dat f (x) continu is. Er is dus op a een grootste waarde a^ van x,
waarvoor f{x) de waarde f{a) aanneemt.

Is nu

a, lt; X lt; dan is f(x) gt; ƒ (a,).
Anders zou f{x) tusschen x = ai en x = /8 de waarde f{a{) aannemen,
in strijd met de bovengenoemde eigenschap van x=a,. Wij bepalen
ook de kleinste waarde van x op a,/9, waar f{x) = f{^).

Als dan

a,lt;xlt;/?„ is fixXfi^).

In interval a, is dus f{ai)lt;f{x}lt;fiPi). Daar ƒ (x) multioscillant
is op a b, zijn er in a, twee punten x, en X2, zoodat /quot;(x,) gt; f{x2) en tevens

Xi lt;X2. Zij M de grootste waarde van f{x) op a, X2. f{x) neemt deze
waarde tusschen a^ en X2 aan, omdat f{xi) gt; /quot;(a,) en ƒ (x,) gt; /quot;(X2). Stel
in een punt p, dan is «1 lt;plt; x = p is dan een eigenlijk of oneigen-
lijk maximum van f{x), want in het geheele interval a, X2 geldt: f{x) ^f{p).

Op analoge manier bewijst men, dat er in Xj minstens één eigenlijk
of oneigenlijk minimum ligt.

Is omgekeerd van een continue functie gegeven, dat ze Big. I heeft,
dan volgt daaruit, dat ze multioscillant is.

§ H. Eigenschap II. De verzameling der eigenlijke maxima en
minima van f{x) is eindig of aftelbaar oneindig

Bewijs: Zij x = a een maximum van f{x). Er is een interval a—d,
a-\\- è, waarin f{x) lt; f{a), mits X a. Kies lt;5 zoo groot mogelijk. Dit
kan, omdat de bovenste grens van alle getallen 6 zelf weer zoo\'n getal is.

Als x = a\' een tweede maximum is met bijbehoorend interval a\'—b\'.

(\') Eigenschap, reeds door A. SCHOENFLIES bewezen in Sitzungsberichte der Physi-
kalisch-Ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg 41, 1900, bl. 11.

a\' è\\ dan moet óf a buiten a\'—b\', a\' b\', óf a\' buiten a—b,
a-j-b, daar men anders zou hebben: f{a)lt;if{a\') en f{a\')lt;Cf{a).

Hieruit volgt, dat de verzameling der maxima, waarvoornbsp;^ lt; ^ gt;

eindig is. Immers de afstand van twee dier maxima moet grooter dan

zijn. Op het eindige segment ab kunnen er dus slechts een eindig

aantal liggen. Zoo vinden we:

Verzameling der maxima waarvoornbsp;b gt; eindig,

2 ^ 22

De verzameling van alle maxima is dus een aftelbare verzameling van
eindige verzamelingen en dus ook aftelbaar.

Daar hetzelfde geldt voor de minima, vormen de maxima en minima
samen weer een aftelbare verzameling,

§ 15. Eigenschap III. De verzameling der waarden, die f{x) aanneemt
in alle eigenlijke of oneigenlijke maxima en minima, is aftelbaar oneindig

Bewijs: Beschouw de verzameling der waarden t], waarbij minstens
één waarde f behoort zoodat

f{S) = V,

terwijl

f{x) lt; t] voor f —nbsp;

Hierin stellen we aan ó de eisch:

2quot;

Vatten wij nu een bepaalde waarde in \'t oog, dan behoort daarbij
volgens het bovenstaande een verzameling van punten

De onderste grens g van deze verzameling behoort tot de verzameling.
Wij behoeven hiertoe slechts aan te toonen, dat, indien g een verdichtings-
punt is van de punten f,. g zelf ook een punt f is. Is g geen verdichtings-
punt van die punten, dan volgt uit het begrip onderste grens reeds, dat
g tot de verzameling behoort.

Wij gaan dus uit. van de genoemde onderstelling. Dan kunnen we
een rij van puntennbsp;• • • ^it, • • • • construeeren, zoodat

lim ik = g.

k=lt;o

Dus, wegens de continuïteit van f{x):

lim f {ik) = fig).

k=co

En voor elke waarde k is ƒ(fi) = 1/, dus f{g) = rj. Terwijl op een

(1) SCHOENFLIES geeft in het genoemde stuk een onvolledig bewijs.

segmentnbsp; (5 geldt:nbsp;waarnbsp;onafhankelijk van k.

Daar ^k zoo dicht bij g gekozen kan worden als men wil, heeft men ook

1

f{x) lt; j; op g — ö, g-^d.

2quot;. •

g is dus een punt f. Wij noemen die onderste grens verder en
voegen op deze wijze aan elke waarde één waarde ^o van x toe.

Zijn lt; Vi twee verschillende waarden i], dan behooren daarbij ook
twee verschillende waarden van x x ^ en ^o.
Nu moet

daar anders gelijktijdig zou gelden:nbsp;en ni^ni, in strijd met de

onderstelling J?2lt;\'h- Hetzelfde geldt, als V2gt;Vi\'

Hieruit volgt, dat het aantal punten fo eindig is, dus ook de door
ons beschouwde verzameling van waarden

Wij verondersteldennbsp;De verzameling van ??-waarden, die we

krijgen, door te eischen

1 . 1

21-1 -- 2quot; \'

is een deel van de vorige en dus zeker eindig. Door een redeneering,
die geheel overeenkomt met die, gehouden in het bewijs van Eig. II,
leidt men hieruit af, dat de verzameling van de waarden, door f{x) aangeno-
men in alle eigenlijke of oneigenlijke maxima en minima, aftelbaar is.

Rest ons nog in te zien, dat deze verzameling niet eindig kan zijn.
Stel m en M zijn de kleinste, resp. grootste, waarde van f{x) op a b. Dan
is de verzameling der waarden, die f{x) op ab aanneemt, het segment
m M. We kunnen nu niet alleen aantoonen, dat de verzameling der
waarden t] oneindig is, doch zelfs, dat ze overal dicht is op dat segment.

Want zij p een willekeurig punt van mM. f{x) neemt de waarde p
op ab aan, stel in Xq. Wegens de continuïteit bestaat er een interval
om Xo, zoodat voor de waarden van ƒ (x) in dat interval geldt | ƒ (x)—pl lt; e.
Uit Eig. I volgt verder, dat in bedoeld interval een eigenlijk of oneigenlijk
maximum of minimum van f{x) ligt. Dus in p—e, p -j- e hgt een waarde
Daar hierin e willekeurig gekozen kan worden en p een willekeurig
punt van m M is, volgt eruit, dat de verzameling der waarden ■gt;] in ieder
deelinterval van m M doordringt en dus op m M overal dicht is.

§ 16. Eigenschap IV. In ieder deelinterval van ab liggen oneindig
veel punten x, waar ƒ (x) eenzelfde waarde aanneemt. (\')

{\') Andere bewijzen van deze eigenschap, met meer elementaire hulpmiddelen, vindt men bij

A. KöPCKE, Mitteilungen der Math. Ges. In Hamburg, deel 3, 1891 — 1900, bl. 376.

J. König, Monatshefte für Mathematik und Physik, deel 1, 1890, bl. 8.

Bewijs: Bij het bewijs van Eig. I is aangetoond, dat de intervallen
pq met de eigenschap

fipXfixXfiq)
voornbsp;p lt;C X lt;C q

op a b overal door dringen, d.w.z. ieder deelinterval van a b bevat zoo\'n
interval.

Een interval van deze soort noemen we voortaan een stijginterval.

Onder een daalinterval wordt dan natuurlijk verstaan een interval rs
met de eigenschap

f{r)gt;f{x)gt;f{s), voor rgt;xgt;5.
Ook deze dringen overal door.

Wij denken ons nu als volgt een oneindige rij van puntverzamelingen
geconstrueerd op ab\\

is een overal dichte verzameling van stijgintervallen.

D, .. tf ttnbsp;ttnbsp;tt daal „ binnen S,

S2nbsp;„ „nbsp;stijg „nbsp;„ D,

D2 » t\' quot; quot;nbsp;quot;nbsp;quot; daal „nbsp;„ S2

Dit is mogelijk, omdat zoowel de stijg- als de daalintervallen overal
door dringen. Om dezelfde reden kan men ervoor zorgen, dat de bovenste
grens van de lengten der intervallen van 5„ en D„ tot nul nadert, als n
onbepaald toeneemt.

Van deze aftelbaar veel verzamelingen beschouwen we de doorsnee

V=Si D1S2D2....

De intervalverzamelingen S„ en D„ zijn op a b overal dicht; hieruit
volgt, dat hun complementen S„ en D„ nergens dicht zijn op a b.
Het complement van V:

is dus een ensemble gerbé, V zelf een residuel van a b.

Zij nu f een willekeurig punt van V, dan volgt uit het voorgaande,
omdat f tot alle verzamelingen Sn en D„ behoort, dat ^ zoowel in een
oneindig groot aantal stijgintervallen p^ q^^ als in oneindig veel daalinter-
vallen r^ s^, ligt. Waarbij dus

terwijl we bovendien weten, dat de lengte van p^ q^ en r^ s^ tot nul
nadert, als k onbepaald groeit.

f is das zoowel linker- als rechterlimietpunt van punten x\' waarvoor
f{x\') gt; als van punten xquot; waarvoor f{xquot;) lt; /quot;(f). Uit de continuïteit
van f{x) volgt dan, dat de vergelijking f{x) = ƒ (f) oneindig veel oplos-
singen heeft met ^ als verdichtingspunt.

Volgens een in de inleiding bewezen eigenschap der residuels liggen
echter deze punten | van V op a b overal dicht, waarmee Eig. IV is
aangetoond.

_Zij m M weer het segment, gevormd door alle waarden van f{x) op

ab (blz. 25). Uit Eig. IV en de continuïteit van f{x) volgt, dat de
verzameling der waarden die door f(x) oneindig vaak worden aange-
genomen, op mM overal dicht is.

§ 17. Een punt x met de eigenschap, dat er een getal d bestaat,
zoodat f{x\')^f{x) voor x lt; x\'lt; x zullen we een punt met
rechterboven-monotonie noemen, ö zullen we bij vaste x steeds zoo groot
mogelijk kiezen.

De definitie voor een punt met rechterbeneden-, linkerboven-, en
linkerbeneden-monotonie luidt analoog.

Punten y, waar geen der vier monotoniën bestaat, hebben de eigenschap,
dat f(x\')—f{x) zoowel in ieder interval x, x £. als in elk interval x—e, x
oneindig vaak van teeken wisselt.

§ 18. Eigenschap V. De punten, waar f {x) één der vier monotonieën
vertoont, vormen vier ensembles gerbés en de punten y vormen een
residuel T van a b.

__Bewijs: Wij hebben vroeger reeds aangetoond, dat er een résiduel V van

a b bestaat, zoodat ieder punt $ van V zoowel linker- als rechterlimietpunt
is van punten x\', waarvoor ƒ (x\') gt; ƒ(?), als van punten xquot;, waarvoor
f{xquot;)lt;if{^). In zoo\'n punt | bestaat dus geen der vier monotonieën,
m. a.j^. de verzameling T der punten y omvat V. En V is een residuel
van a b, dus ook de verzameling punten y. (Zie Inleiding).

In ieder punt van het complement T\' van T op ab vertoont f{x)
minstens één der vier monotonieën. T\' is een ensemble gerbé. De ver-
zameling der punten, waar f{x) b.v. de rechterboven-monotonie vertoont,
is een deel van T\' en dus eveneens een ensemble gerbé. Wij krijgen
zoo vier van die verzamelingen en het bewijs van Eig. V is voltooid.

§ 19. We kunnen echter ook een bewijs leveren, zonder gebruik te
maken van het op blz. 26 geconstrueerde residuel V.

Laten we hiertoe weer beschouwen de verzameling der punten xquot;
met rechterboven-monotonie.

De verzameling E„ van die punten xquot;, waarvoor het interval x, x -j- ^
voldoet aan

1

IF\'

is nergens dicht op ab. Want stel eens, dat dit niet het geval is; dan
is er een deelinterval a van a b, dat geen enkel interval bevat, dat

geheel tot E„ hoort. Dus ieder punt van a /? is verdichtingspunt van En.

a /3 kan zoo klein gekozen worden, dat de lengte ervan kleiner is dan

Omdat f{x) multioscillant is, zijn er in a twee punten plt;Cq, zoodat

fip) gt; fifj)- P is verdichtingspunt van En, dus er is een punt x~
van En te vinden in af}, zoo dicht bij p, dat ƒ (jc^) gt; ƒ (q). En het daarbij
behoorende interval x~, x~ è strekt zich uit tot voorbij /5, dus bevat q.
Dit levert ons een tegenstrijdigheid, want /\'(q) lt; f{x~), terwijl ook
f{x\') gt; f{x-) voor X- lt; x\' lt;

Onze onderstelling was dus onjuist en E„ is nergens dicht op a b.

De verzameling van alle punten x~ is de vereeniging van de verzamelingen

■El , E2, £3 ,----

Deze punten vormen dus een ensemble gerbé. In \'t geheel vindt men
er vier. De vereeniging ervan is opnieuw een ensemble gerbé. Het com-
plement van deze vereeniging, de verzameling der punten y, waar f(x)
geen der vier monotonieën bezit, is dus een résiduel T van a b. Eig. V
is hiermee opnieuw bewezen.

§ 20. Zij fia) = A , f{b) = B , A^B.

Eigenschap VI. Er bestaat op a b een discontinue perfecte ver-
zameling P, zoodat f{x) op P elke tusschen A en B gelegen waarde
minstens één en hoogstens twee maal aanneemt, terwijl f{x) op P mono-
toon verandert.

Deze eigenschap is door A. Denjoy bewezen in Annales de l\'école
normale supérieure, 1916/17, bl. 143, Hij gaat daarbij uit van een door
hem bewezen algemeen theorema over continue functies. Hier zal een
op zichzelf staand bewijs worden geleverd. Stel A dB (Ingeval A^ B
gaat het bewijs analoog).

Bij elke waarde i], die voldoet aan A^ij^B, beschouwen we de
verzameling der waarden x, waarvoor f{x) = \')]. Zij Xq de kleinste van
deze waarden jr, bij vaste waarde Wij zullen dan het punt Xq in \'t
vervolg aanduiden als het eerste snijpunt van y — rj met y — f{x).

Aan de verzameling dezer punt^ Xq voegen we toe de er nog niet
bij behoorende verdichtingspunten Xq. En we bewijzen

1)nbsp;De zoo ontstane verzameling is perfect,

2)nbsp;f{x) neemt op P hoogstens twee maal dezelfde waarde aan,

3)nbsp;f{x) neemt op P monotoon toe,

4)nbsp;P is discontinue,

5)nbsp;Het aantal waarden, dat door f{x) op P twee maal wordt aan-
genomen, is aftelbaar oneindig.

(1) d.w.2. ieder interval bevat punten, die niet tot P behooren.

Bewijs:

1)nbsp;P is gesloten volgens constructie. Om te bewijzen, dat P perfect
is, blijft dus nog aan te toonen, dat ieder punt f van P verdichtingspunt
van P is. Zij = y.

f is öf een punt Xq, óf een punt Xq. In het eerste geval is | het eerste
snijpunt van y — f{x) met y = y. Aangezien f{x) continue is, ligt het
eerste snijpunt xo voor y = dlt;Cy tusschen a en Xq. Laat d naderen tot y,
dan moet Xo naderen tot Xq. Anders zou y = y, gezien de continuïteit
van f{x), met y — f{x) een snijpunt vertoonen links van Xq. f is in dit
geval dus verdichtingspunt van P.

Is i daarentegen een punt Xq, dan is het een verdichtingspunt van
punten Xq en blijkt dus onmiddellijk, dat het een verdichtingspunt van P is.

2)nbsp;Stel f(x) neemt op P drie maal eenzelfde waarde a aan. De kleinste
waarde p van x, waarvoor dit gebeurt, is een punt Xq. De beide andere
moeten dus punten Xq zijn. Wij toonen nu aan, dat dit onmogelijk is,
d. w. z. er kunnen geen twee verdichtingspunten q lt;C r van eerste snij-
punten X(, bestaan, zoodat f{q)z=f{r) = a.

Hiertoe merken wij op, dat de eerste snijpunten voor lijnen y^-i-j
tusschen a en p liggen. Deze kunnen zich dus noch bij q, noch bij r
verdichten. Bij q moeten zich dus de eerste snijpunten voor y = i]^a
verdichten. Er is dus een getal zoodat y = a-\\-d een eerste snijpunt
5 levert links van r. Dan liggen echter alle snijpunten voor lijnen
lt; a f5 links van s. Er is dus een interval om r te vinden, zoodat daarin
geen enkel punt Xq ligt, n.1. het interval, waarin geldt

\\fix)-f{r)\\lt;S.

Hiermee is een contradictie bereikt, want r moet een verdichtingspunt
van punten Xq zijn. f{x) neemt dus op P hoogstens tweemaal eenzelfde
waarde aan.

3)nbsp;Heeft men twee punten x, lt; Xj van P, dan is f{xi)^f{x2). Stel
n.1. f{xi)gt;f{x2). Iedere lijn y = i] zal, indien

Alt;vlt;f{x,),

een punt Xq lieren tusschen a en Xj. X2 zou dus noch een punt Xq,
noch een punt Xq zijn. En dus niet tot P behooren.

4)nbsp;Geen enkel deelinterval van a b kan geheel tot P behooren. Want
in zoo\'n interval zou f{x) monotoon toenemen, in strijd met het gegeven,
dat f{x) multioscillant is.

5)nbsp;Heeft men twee punten van P: Xilt;X2, terwijl f(x,)=f(x2), dan
is volgens het voorgaande x, het eerste snijpunt van y — f{x^) met
y = ƒ (x). X2 is een verdichtingspunt van punten Xq. In x, verdichten zich
de punten Xq, behoorende bij lijnen y = V lt; f (xi) ] in Xj die, welke

behooren bij hjnennbsp;De eerste hggen hnks van x^ en het

is gemakkelijk in te zien, dat de laatste rechts van Xj liggen. Immers,
uit f (p) gt; ƒ (-^2) voor plt;X2 zou volgens een meer gebruikte redeneering
volgen, dat alle eerste snijpunten, voor lijnen y = c^ f{p) links van p
lagen, dus Xj zou dan geen verdichtingspunt ervan zijn.

In Xl X2 ligt dus geen enkel punt Xg, maar dan ook geen punt Xq en
dus geen enkel punt van P.

Xl X2 is dus een der aftelbaar vele intervallen, die men uit a b moet
nemen, om P over te houden (\').

Omgekeerd, in de eindpunten van ieder contigu van P zal f{x) de-
zelfde waarde aannemen. En omdat het aantal contigus hier aftelbaar
oneindig is, is dat met het aantal waarden, die f{x) op P twee maal
aanneemt, eveneens het geval.

§ 21. Eigenschap VII. Ieder van de in Eig. V bedoelde ensembles
gerbés bezit in elk deelinterval van ab een perfect deel.

Bewijs: Beperken we ons eerst tot de verzameling der punten met
linkerbenedenmonotonie. \\s a [} een willekeurig deelinterval van a b, kies
dan in a jö twee punten aj lt;C 61, zoodat

f{a,) = Ailt;f{b,) = B,.
Dit is mogelijk, omdat f{x) multioscillant is. Wij denken ons nu de in
Eig. VI bedoelde perfecte verzameling geconstrueerd voor het segment
a, èi. En we zullen aantoonen, dat ieder punt van deze verzameling P,
een punt is met linkerbenedenmonotonie.

Hiertoe beschouwen we eerst een eerste snijpunt Xq. Dan is/quot;(aiX/quot;(xq);
op het interval ai Xq kan f{x) dus geen enkele waarde, grooter dan ^(xo)
aannemen, omdat anders Xq geen eerste snijpunt was. In Xq vertoont f{x)
dus de linkerbenedenmonotonie.

Hoe staat het met een punt van het type Xq ? Xq is een verdichtings-
punt van eerste snijpunten Xq. Noemen we het bij i/=behoorende
eerste snijpunt xo, dan zal op het interval xoXq geen punt te vinden zijn,
waar f(x)gt;/quot;(xo). Dit is reeds in het bewijs van Eig. VI aangetoond.
Alle punten van de verzameling Pi bezitten dus inderdaad de genoemde
monotonie.

Een perfecte verzameling van punten met rechterboven monotie vinden
we op ai bl als volgt: voor elke waarde die voldoet aan Ainbsp;5i,

beschouwen we, in plaats van de kleinste, de grootste waarde van x,
waarvoor f{x) = 7]. We voegen aan de verzameling van deze punten
weer de er nog niet bij behoorende verdichtingspunten toe.

Volgens de boven ontwikkelde methoden kan men dan bewijzen, dat
er een perfecte verzameling ontstaat, waarvan ieder punt de rechterboven-

_(\') Bekend is, dat het complement van een niet leege discontinue perfecte verzameling op

a 6 de vereeniging is van aftelbaar oneindig veel buiten elkaar liggende intervallen (contigus).

monotonie bezit. En perfecte verzamelingen van punten van de beide
andere soorten vinden we in a jö door alles nog eens te herhalen voor
een segment c, d^ in a zoodanig dat

§ Eigenschap VIII. Is f {x) een continue, multioscilleerende functie
op a b en (p (y) een continue functie op het segment cd, gevormd door
de waarden van f{x) op ab, terwijl (p (y) in geen enkel deelinterval van
cd constant is, dan is ook

y^{x) = cp[fix)]__
een continue, multioscilleerende functie op a b.

Bewijs: ip(x) is continu volgens een bekende stelling.
Zij a een willekeurig deelsegment van a b. Op a ^ zijn volgens
Eig. IV oneindig veel punten, waar f{x) eenzelfde waarde aanneemt.
Stel Xi lt; X2 zijn twee van die punten, dus

f(Xy) - f (X2) = 7}. tp ixy) = ip {X2) = lt;piv)=
f{x) is niet constant op x^ X2, dus de waarden van f{x) op x^ X2
vormen een deelsegment y ó van c d. Op y ö is (p (y) niet constant en
(p iy) neemt er dus behalve de waarde ^ = (p {1]) nog_andere waarden
aan. Stel b. v. cp (y) neemt een waardenbsp;aan op y ö. (Voor lt; /?

gaat de verdere bewijsvoering analoog). Dat beteekent voor rp (x): \\p {x)
neemt in een punt X3 van het interval a /9 de waarde aan.

Zoo hebben we op het willekeurige deelsegment a /5 van a b gevonden
xi lt; X3 met ip (x,) = ^lt;iyj{xi) =

X3 lt; X2 met %p (X3) =f}\'gt;y} (X2) = /S.
xp (x) is dus continu en multioscillant op a b.

§ 23. Eigenschap IX. Als f{x) een continue functie is op aT^ die
in geen enkel deelinterval van a b constant is, terwijl cp [y) een continue,
multioscilleerende functie is op het segment c d, gevormd door de waarden
van f{x) op a b, dan is ook

Hgt;{x) = (p[f{x)]^
een continue, multioscilleerende functie op a b.

Bewijs: y^ {x) is continu.

Zij a weer een willekeurig deelsegment van a b. Daar f{x) in geen enkel
interval binnen a b constant is, is er een deelsegment a, f^i binnenquot;a^, zoo-
dat f{n,) fifii). Zij b.v.nbsp;fifii),nbsp;^

De waarden van f{x) op a, vormen een deelsegment j^i (5i van cd Op
dezelfde wijze, als dat in Eig. VI geschiedde, construeeren wij op a,
een perfecte verzameling P. Dit is mogelijk, omdat de constructie van die
verzameling alleen berustte op de continuïteit van de gegeven functie.
Op geheel dezelfde manier kan men ook nu weer aantoonen, dat f{x)

op P monotoon verandert en elke waarde tusschen f(aj) en op P
minstens één, hoogstens twee maal aanneemt.
We kiezen nu vier waarden van y, zoodat

ƒ(«,)lt;ï/3lt;ï/4lt;ƒ, lt;p{y3)lt;^{y,)-
Dit is mogelijk, omdat cp {y) multioscillant is op cd. Wij weten dan, dat
f{x) de waarden y^, 1/2, 1/3, y^ aanneemt in punten van P, resp. Xj, ^2,
X3, X4, die voldoen aan

X] X2 , Xj lt;C X4.

Op het willekeurige deelsegment a^ van ab zijn zoo gevonden
Xi lt; X2, met cp (j/i) = xp (xj) gt; 97 (1/2) = xp (X2)

en

X3 lt; X4, met cp (1/3) = xp (X3) lt; (p (1/4) = xp (X4).
Hieruit volgt, dat de continue functie ■ip (x) op ab ook multioscillant is.

HOOFDSTUK III.

OVERAL DIFFERENTIEERBARE, MULTIOSCILLEERENDE

FUNCTIES.

§ 24. De vraag of er multioscilleerende functies zijn, die in elk punt
van een zeker interval a b een eindige afgeleide bezitten, is door A. KöPCKE
bevestigend beantwoord. Hij definieert zoo\'n functie in Mathematische
Annalen 29, bl. 123. De fouten, die hij daarbij begaat, worden gedeeltelijk
hersteld in Math. Ann. 34, bl. 161 en Math. Ann. 35, bl. 104.

I. PeRENO heeft in Giornale di Matematiche di Battaglini 35, bl. 132,
getracht, dit voorbeeld streng te behandelen. Waarbij, hij echter op zijn
beurt ernstige fouten maakt. Hier zal de methode nogmaals samengevat
en de bewijsvoering verbeterd worden.

Constructie van de functie op het segment 01.

De gezochte functie zal de limiet zijn van een oneindige rij van functies
§25. Definitie

van een hulpfunctie (zie fig. 4): Neem een segment .Aß
en daarop AA\'= B\'B = ^ AB. Trek door A\' een lijn met richtings-

coëfficiënt ^ en door M, het midden van AB, 2quot; 1 rechten

met richtingscoëfiicienten, resp. gelijk aan

_2quot; 1

2quot; \' 2quot;

Door het snijpunt van Tq en r2 trekken we r\\ // r, ,
door dat van r\', en r^ „ „ r\'2 // rj,

......^ en ..nbsp;r\'3 II r3 , enz.

De gebroken lijn Tq r\', r\'2.. .nbsp;stelt dan een functie voor op A\'M.

Deze lijn spiegelen we ten opzichte van M en krijgen zoo een functie,
gedefinieerd op AB, wanneer we aan de grafische voorstelling nog AA\'
en B\'B toevoegen.

Om er een functie uit af te leiden, die overal een (continue) afgeleide
heeft, denkt men zich vanuit ieder hoekpunt P van de gebroken lijn
stukken PP, en PP2 afgezet op de aangrenzende rechte gedeelten PQ,

en PQ2 en men kiest voor de lengte van PP, en PP2 het ~ deel van

de lengte van de kleinste der lijnen PQ, en PQ2. Hierna wordt de cirkel-
boog beschreven, die in P, en P2 raakt aan PQ, resp. PQ2. De zoo
op AB ontstane functie heeft een continue afgeleide. Bij elke waarde
van n behoort zoo\'n functie; we noemen ze (Aö)„.
De afgeleide ervan is nul in A en B en in M:

2quot; l__ j_
2quot; 2quot;\'
§ 26. Door middel van {AB)„ definieeren we nu als volgt de rij

Foix) , F,(x),...,F„(x).....

Voor Fo {x) nemen we de functie, grafisch voorgesteld door de kwart-
cirkel, die men op Ö1 als koorde kan beschrijven. x = i is een maximum.
Stel Fo(^j) = Ao.
Lettend op de beteekenis van {AB)„ construeeren wij de functie

/ nnbsp;I

AqX O- op het segment O-,

V \'^/inbsp;2

AoX

De zoo op O 1 gedefinieerde functie noemen we {x) en stellen
F,(x) = Fo(x) /l (x).

Van deze functie F, (x) weten we:

F;(0) = FÓ(0) /-;(0) = 1 0=:-f 1,

\\

V

\\ \' /1\\ -/1\\

v2y

n

3^

2,

F;(1).= Fo(l)-f/-;(l)rrr-l 0=:-l.

Hieruit leidt men gemakkelijk af, dat F,\'(x) behalve in x = l, „og nul

is in minstens vier punten tusschen x = O en x =: 1.

De punten, waar F, (x) = ^gebruikt men bij de constructie van een
functie ƒ2 W: Men verdeelt O 1 door die punten en zoo noodig een eindig

aantal andere in segmenten, waarop Fi (x) minder schommelt dan ^ .

Dit is mogelijk, omdat F\'x (x) op O 1 gelijkmatig continu is.

De zoo ontstane deelpunten noemen we, de punten O en 1 meetellend,

12nbsp;3nbsp;Jnbsp;s \\

ai , ai , ai,..., ai , ai ,...
Op ieder segment al aiquot;^\' construeeren we de functie
A] X {ai afwaar Al = F[ (mj),

i Inbsp;ï 1

, ai -fai
als mi=--.

De zoo op 01 gedefinieerde functie is f2 {x) en

F2 (x) = F. (x) f2 (x) = Fo (x) f (x) f2 (x).
F2 (x) heeft in ieder interval a\\ a^\' minstens twee nulpunten en is boven-
dien nul in die punten a\\, waar Fi (x) nul is. We zetten dit procédé
voort tot in het oneindige; daartoe geven wij algemeen aan den overgang
van F„ {x) op F„ i (x), voor ngt; 1.

Zoek de nulpunten van F„ (x) benevens alle vorige deelpunten. Ver-
deel daarna elk der verkregen segmenten (waarop Fn (x) monotoon is), nog in
een eindig aantal deelen, zóó, dat Fn(x) op ieder deel minder schommelt

dan

. Stel al deze deelpunten voor door

12nbsp;3nbsp;1nbsp;i 1

ön »nbsp;, an» • • • gt; ^n , ^n gt; • • • j

dan definieeren we f„ i (x) op a^ a^quot;^\' door te stellen
f„ i(x) = A;(a;ar\')„ i O,
a -j- a^ ^\'

waar A^ = F„ (m\'„), als rn„ = ^ —.

En F„ 1 (x) = F„ (x) fn 1 {x) = Fo {x) f, (x) ... f„ (x) f„ (x).

§ 27. fn i\'(x) is nul in de punten an , m\'„ en an^\\ In deze punten is
dus F„ i (x) = Fn (x). Verder is

F: . (m\'n) = F:\'(m\'n) /■(m\'n)

Fn \\ {m\'n) = — ^An .
Uit deze opmerkingen is af te leiden, dat FUi in a\'„ a^quot;^\' minstens

twee nulpunten vertoont. Een beschouwing van die gedeelten van
a\'n waar W hetzelfde teeken heeft als F^ (x) (d. i. dus het teeken
vannbsp;leert verder, dat deze nulpunten a^ a^quot;¹quot;\' in deelen verdeelen, die

ieder kleiner zijn dan de helft van a^ a^quot;^\' (\'). Dit geldt voor ieder rang-
nummer n gt; 1. Door volledige inductie zou men hieruit kunnen afleiden,

dat ieder segment a^ a^quot;*quot;\' een lengte heeft, kleiner dan Hiervan zullen
wij straks gebruik maken.

Van de rij Fg (x), Fy (x),..., F„ (x),... gaan we aantoonen:
I. Er is een eindige, continue limietfunctie F{x),
II. F{x) is multioscillant op O 1,
III. F{x) is differentieerbaar voor 0lt;xlt;l.

§ 28. Bewijs van I:

n

We stellen S„{x) = F\'„ (x) = FÓ (x)-i-^ f^ (x) en zullen door volle-
dige inductie aantoonen:nbsp;•

\\

|5„(X)|lt;P„:=

Voor n = O is | Fo (x) | lt; 1 en voor n = 1 volgt uit de constructie
gemakkelijk

(F.\'WKH-j.

De bedoelde ongelijkheid geldt dus reeds voor n = O en n = 1.
Rest ons, uitgaande van | Sn (x) |lt; P„ , af te leiden | Sn i (x) | lt; P„ ,,

voor 1. Bij willekeurige x op O 1 is een rangnummer te vinden,
zoodat

S^ _ _ Sj^ 1

a„ lt; X a„
Volgens de constructievoorschriften is dan:

S„ 1 (x) = Sn {x) -f- ~ . a„ ,

waarnbsp;1 gt; a„ gt; - (2quot; ^-fl).

|lt; Pn , omdat gegeven is | S„ (x) |lt; P„.nbsp;is nooit nul; het

teeken van A^ is hetzelfde als dat van 5„ (x) (2), omdat op a^ a®\'quot;^\' F„ (x)
monotoon toeneemt of afneemt. S„ (x) en S„ i (x) kunnen verschillend
teeken hebben.

1nbsp;(\') Wij lieten hier het geval, waarin F\'^(x) nul is op het geheele segment a^buiten

beschouwing. In dat geval zou n.1. F^(x) constant zijn op a^aquot;^^^ en dan is denbsp;juistheid
van de door ons gevonden regel nog gemakkelijker aan tc toonen.

(2) Is S„ (x) nul op het geheele segment dan is A^^ = en |nbsp;(x)

Is a„ gt; O, dan moet | S„ i (x) | lt; P„ ^^^ = Pn \\, aangezien a„ lt; 1.
Is a„ lt; O, dan moet volgens het voorgaande
ófnbsp;I (x) |lt; I 5„ (x) |lt; P„ lt; Pn l,

Ófnbsp;I (x) I lt; .

omdat a„ gt; — (2quot; ^ 1).

In ieder geval is dus | (x) | lt; P„ i, waarmee de ongelijkheid

|5„{x)|lt;P„
algemeen bewezen is. Dus ook

n lj

En lt;p.

Beschouwen we nu de grafische voorstelling van f„ i (x) in een inter-
val an Deze is begrepen tusschen de twee lijnen met richtings-
coëfficiënt An door de eindpunten getrokken. Wij weten reeds, dat

de lengte van het interval kleiner is dan . Hieruit volgt: op het
segment O 1 is

IA\' P

i/n .WK

De rij van continue functies F„ (x) convergeert dus op O 1 gelijkmatig;
er is dus een continue limietfunctie F(x).

§ 29. Bewijs van II: Zij a^ een willekeurig deelinterval van 01 met

2quot; ^ 2

ment ah a^^\' geheel binnen a

Laten we eerst eens beschouwen het geval: Ah^O. Fn (x) neemt dan
op a^ a^quot;*quot;^ monotoon toe. In de punten al, , mh en a^quot;^\' is Fn i [x) = F„ (x).
Dus

FnMa\'nXFn l « lt; , (a\'n^\').
Houdt men daarbij de betrekking

= lt;0

in \'t oog, dan blijkt, dat er in ah ajlquot;\'^\' twee punten fj mh en fj ^ quot;in
te vinden zijn, zoodat

Fn i (f,) =: ($2) = 0 en tevens Fn i (an) lt;

Voor alle volgende functies F„ m {x) zijn a^ , en deelpunten, dus
Fn l (a„0 = Fn 2 (an) = ...=Fn n, (an) = . . . = F (a^) ,

We hebben zoo in a /? twee punten a\'„ lt;C fi gevonden met F {al) lt;C
F{$i) en ook twee punten lt; zoodat F (f,)gt;F(f2)\' De gevallen,

waarin F„ (jc) op a^ a^ daalt of constant is, gaan analoog. F (jc) is dus
multioscillant op O 1.

§ 30. Wij zullen thans overgaan tot het bewijs van III. Hiertoe gaan
we aantoonen, dat de reeks

FÓ{x) fi{x) f2{x)-\\-...
convergeert voor O lt; a: lt; 1 en dat er bij gegeven x en gegeven s een
positief getal h te vinden is, zoodat
F(x Ax)-F{x)

-[Fo{x) f{x) f2{x) ...]

voor I A XI lt; /i, mits jc en x A x op 0 1 liggen.

Dan zal daarmee bewezen zijn, dat F(x) in elk punt van O 1 tot af-
geleide heeft

Voeren we de volgende notatie in:

{x) = f,n \\ (x) f,n 2 W . . .

m

2- /■ {x) = Fo (x) /I (x) ^2 W ... /«

2\'/;(x) = Fo(x)-f/•,(x) /2(x) .... enz.

Dan is

F(x Ax)-F(x)^ j/-„(x Ax)-^.(x) jf„(x Ax)-f„(x)
A Xnbsp;Onbsp;A Xnbsp;A X

00 ,

Veronderstellen we eens even, dat de convergentie van 2 /^m(x) bewezen

O

is, dan kunnen we schrijven

F(x Ax)-F(x)

Axnbsp;^rnW-

r„(x Ax)-/-„(x) _ - ■

Ax

O

En we kunnen dus volstaan met te bewijzen:

oo ,nbsp;-

A)nbsp;2 fn{x) convergeert. Bij ieder punt xopOl is dan een getal m, te

O

vinden, zoodat

I /m i (x) -f f\'m 2 (x) 4- . .. I lt; voor m gt; m,.

B)nbsp;Er is een getal h gt; O en een index m^mi, zoodat voor het onder
A) reeds in \'t oog gevatte punt x

/?„.(x Ax)

als I Ax|lt;/i.

Ax

Differentieerbaarheid van F (x)
C) Voor I A X |lt; /i is ook

/n(x Ax)-/-„(x) ...
Ax

Het in de condities B) en C) optredende rangnummer m mag afhankelijk
zijn van A x, maar steeds moet m gt; m,.

Deze voorwaarden A), B) en C) zijn opgesteld door U. Dfni

§ 31. Bespreken we eerst conditie A).

In een deelpunt al is fU\\ {x) = fi^2 {x) = ... . = 0. Hier convergeert
Sf„{x) dus al zeker. Is x geen der oneindig vele deelpunten, dan ge-
bruiken we de betrekking

5„ i (x) Sn (x) a„ A^ ,
waarinnbsp;1 gt; a„ gt; — (2quot; !-f 1),

Sn{x) = FUx)=ZfL{x).

O

Wat het teeken van Sn (x) betreft, zijn er drie mogelijkheden:

1) Sn (x) gt; O vanaf zeker rangnummer n~m. Dus ook Al\'\' gt; O voor
n^m. Men heeft dan:

_nbsp;A\'\'

S„ i (x) lt; S„ (x)

2^ 1

s.

enz.

Hieruit volgt

5.,,(x) == S.W ^ 0 ...
Aangezien steeds | A^ | lt; P is dus

p

Sm p{x)lt;CSm{x)-]-~, voor 1.
Zij A de limes inferior van 5„ (x), dan is limSn{x) = A. Is n.1. a een

n=oo

willekeurig gekozen positief getal, dan is er een rangnummer Hj gt; m, zoodat

5n, p(x)gt;A — O voorpgt;l.
Verder kiezen we «2 gt; m zoo hoog, dat

SnAx)lt;A l en

Dan i

O P

A - —lt;A 4-a voorpui.

(\') In zijn reeds eerder aangehaalde „Fondamentl, enz.quot;, § 103.

Voor elke waarde van n, grooter dan n, en nj, geldt dan

A - a lt; (x)lt; A ö.
Waaruit blijkt, dat S^ {x) tot A convergeert, waar A gt; 0.

2)nbsp;Sn (x) lt; O vanaf zeker rangnummer. Het bewijs gaat op geheel
dezelfde manier.

3)nbsp;Sn (x) heeft vanaf geen enkel rangnummer een vast teeken.

Wij merken vooreerst op, dat Sn (x) niet voor twee opeenvolgende
waarden van n nul kan zijn. Want x is volgens afspraak geen deel-
punt, dus is (x) = O, dan is x een punt van een interval, waarin
F„(x) = 0. Fn i (x) is dan zeker niet nul, immers dan zou x een maximum
of minimum van F„ i (x) zijn en dus een punt a^ i.
Evenmin is (x) nul.

De oneindige rij van indices, waarvoor Sn (x) en 5„ i (x) niet hetzelfde
teeken hebben, stellen we voor door

n, , Hj , quot;3. • • •

Voor ieder van deze indices, b.v. ni,nbsp;moeten we de volgende gevallen
nagaan

a)nbsp;(x)r=0 , dusnbsp;S„. ,(x)gt;0.

X is een punt van een interval, waar (x) constant is.

— 2quot;. »

c / ^ — 1 Inbsp;^

(x)lt;0 , dus 5n. ,(x)gt;0.
, (x) = (x) . a„. waar 1 gt; gt; - (2\'«. \' 1).

•Sn, (x) en An\' zijn beide negatief, dus a«, lt; 0.
Daaruit volgt

a:-

Daar in an\'an\'^\' de schommeling van Fn, (x) minder bedraagt dan
is dus

1 P P
Sn, 1 {x) lt; -^H-

C)nbsp;Sn, (X)gt;0 , dus Sn, ,(X)lt;0.

Volgens de onder b) gevolgde methode bewijst men nu

p

Sn. l(x)gt; —

Wij zien dus, dat, onverschillig of S„, (x) lt; O,

p

Dezelfde ongelijkheid geldt voor n2, ns.....Zij nu in werkelijkheid b.v.

(x)lt;0, dan is S„j p (x) gt; O, voor p=:l , 2 , 3 ,..., n2—n,. Voor
de getallen 5„, i (x), S„j 2(x),. .., (x), die alle positief zijn, geldt de
vroeger afgeleide betrekking

(x) ^. (blz. 40).

Dus

P P P

S„, p{x) lt;5„. i(x) voor p = 1, 2,. . . n2 —n,.

p

Voor den index n2 geldt: 5\'„,;(x) gt; O, | (x) | lt; ^ en vinden we op
analoge wijze

P P P

\\Sn, p |lt; I Sr,, i {x) I lt; ^ 2^\' P = 1, 2,..., Ha — n2.

Zoo voortgaande blijkt (aangezien nh onbepaald toeneemt, als k dat
doet), dat 5„ (x) in geval c) convergeert tot nul.

00

De reeks Fo ^ fn{x) convergeert dus voor alle x op 01.

Wij gaan nu bewijzen, dat aan de condities B) en C) van DiNl kan
worden voldaan.

§ 32, Evenals in § 31 beschouwen we weer eerst het geval, dat we
te doen hebben met een deelpunt a\'„. Dus

fUi = /n 2 (x) = ... = 0.

F\'„ (x) = F\'„ i(x) = ... = FUp (j^)-

Hierin is p gt; 1. Uit | ] lt; P en de constructie van f„ p (x) volgt, dat

de grafische voorstelling van deze functie tusschen de lijnen ligt, die men

uit het punt x = a\'n, y = fn p (a^) = O kan trekken met richtingscoëfficiënten

Pnbsp;P

^p en - Hieruit volgt

l/; p(a;; Ax)|lt;^.|A.x|. (A^T^O).

fn p( a\'n Ax)

Ax

R„ p, (ah Ax)
Ax

pi i

Terwijl

= 0.

Ax

Voor \'t getal mj kan men hier n kiezen, omdat

P e

Kies m^ n = mi zoo groot, dat ^nbsp;Dan blijkt, dat in dit geval

m zelfs onafhankelijk van A x gekozen kan worden, om aan conditie B)
van Dini te voldoen.

Overgaande tot C) merken we op, dat (x) in x = a^ een eindige af-
geleide bezit. Er is dus een getal gt; O, zoodat

FM Ax)-FJan)

voor I A x|lt; /i.

Aan C) kan dus ook voldaan worden.

§ 33. Beschouwen we tenslotte de voorwaarden B) en C) voor \'t
geval, waarin x geen der deelpunten is. e en m, hebben wij als van
te voren gegeven op te vatten. In verband met de redeneering, die wij
gaan houden, kiezen we, bij de beschouwde waarde van x, een rang-

P enbsp;e

nummer n^niy zoodanig, datnbsp;12 ^ ^^^ —nbsp;^ 12 \'

waar n\' en nquot; twee willekeurige rangnummers, grooter dan n, voor-
stellen. Dit is mogelijk, omdat de rij Sn (x) convergeert.

S I

Laten we eerst stellen: A x gt; 0. Zij r = an\'\' — x, dan nemen we
voor het in B) en C) optredende getal h dit bedrag r. Dus A x lt; r.

Wij zullen dan aantoonen, dat aan B) en C) voldaan wordt door voor
het getal m het op de volgende wijze van A x lt; r afhankelijke getal
Hl -f 1 te kiezen:

Hl is het rangnummer, waarvoor

xlt;a„, i lt;x-hAx-=a„, lt; a„

De afhankelijkheid van m — ni-\\-\\ van Ax was geoorloofd, mits
m\'gt; mx. Nu is n, gt; n gt; m,, dus is zeker m gt; m,.

^nbsp;X

a„quot; a„, inbsp;an, i

x Axnbsp;a^quot;quot;\'

hi-^^h

Stellen wij a\'\' !—x=hi , x-f A x —a^\' i\' = /i2.Danis/i,gt;0,;i2gt;0.
Gebruik makend van het op bl. 42 behandelde, hebben we

P II

/n. l p (an, i a) lt;nbsp;• I ° I\'

voor p gt; 1. Dus

P

, 1 pnbsp;lt; 2ni l p

Gesommeerd

Nu is /ii lt; A X, dus is zeker

jx)

Ax

Analoog valt af te leiden

P e
^nbsp;4\'

Blijft te beschouwen

nj l

Q

=nbsp;waar O lt; lt;1.

F„, (x) schommelt in a^f a^f^\' minder dan dus

Moeilijker is het, iets van den tweeden vorm

A/\'n. i (x) gt;
--

te zeggen. We behoeven (x) alleen te beschouwen op het segment
a„, an, en daar is

f„, (x) = AX (a\'^ a\'f )„, ,. • _

Stellen we b.v. a!,\' gt; O, dus (x) is stijgend of constant op al\' a^\'^\' .
fni \\ (x) is alleen positief in een zeker interval met linkereindpunt a^f
en een interval met rechtereindpunt a^f^\'.

Dus

een begrenzing naar boven gevonden. Wij

zoeken nu een begrenzing naar beneden.

De grafische voorstelhng van A^^ X (a^fnbsp;kan geconstrueerd

worden met behulp van een gebroken lijn, waarvan we de opeenvol-
gende deelen aldus aanduiden:

r\'^//en = s\\ Afgezien van het feit, dat alle richtingscoëfficiënten met
vermenigvuldigd zijn, is het dezelfde gebroken lijn, die ons tot de functie

5 5 1

(a„* a„1 )„, ! voerde. De nu verkregen functie noemen we p^^^j(x); ze
onderscheidt zich van /n, i (x) alleen hierdoor, dat in de figuur de af-
rondingen der hoekpunten achterwege zijn gelaten. Wij zullen aan-

S S 1

toonen, dat, hoe ook x in a„f a„f moge liggen, altijd geldt

—.......(1)

mits wij afspreken, in de punten Xj, X2,. . . (zie fig. 4a, bl. 46), waar

(x) niet differentieerbaar is, onder (x) de waarde van de rech-

terafgeleide te verstaan.

Hiertoe verlengen we r\'^ (zie fig.) met een stuk, dat even groot is als

Tj. Verbinden we het eindpunt met het snijpunt van s\'^ en s^, dan loopt

de verbindingslijn evenwijdig aan r^ en heeft tot richtingscoëfficiënt

A^\'nbsp;\'nbsp;—

— 3nbsp;Het snijpunt P, van deze verbindingslijn met r\\ moge een

abscis Pi hebben, dan is

A g„.i (x) An\'nbsp;— ^

^^nbsp;voor a„. lt;xlt;p,.

AéT^ 1 (x)

Immers, indien x Axlt;p,, is -— minstens even groot als de

richtingscoëfflciënt van r\\ en als x Axgt;pi, is dat quotiënt minstens
gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de zooeven besproken verbindingslijn.

En g\'^^^^nbsp;dus voornbsp;is

Dezelfde constructie herhalen we voor r^ en bepalen op r\'^ het met Pj
overeenkomende punt P2. Dan is

voor p, lt; X lt; P2 (men heeft nu in te vullen de richtingscoëfficiënten
van 7\\ resp. 7j). Voor p, lt; x lt; p2 geldt dus zeker

Axnbsp;^ \' 2quot;\' \'

Dit procédé voortzettend, zal nu telkens de kleinst mogelijke waarde

vannbsp;^ voor pn^xlt;C pn i dalen met — ^^ en de grootst

mogelijke van (x) evenzoo, dus dezelfde ongelijkheid (1) blijft gelden
voor alle x, die voldoen aan

a„, lt; X P2ni 1_2 •
De laatste waarde is de abscis van een punt op r^^ Wij hebben

a!- a!^^\'

dus nu nog te beschouwen het geval p^n, i_2x lt;C ——- = m.

De vorige constructie kan niet meer worden voortgezet. Echter is voor
deze waarden van x

1 . -
^^ --(ncht. coeff. f^n. i i).

211 1_2 snbsp;—

on. inbsp;(richt, coëff. r2n, i_2).

Dus weer geldt de ongelijkheid (1).

Tenslotte bewijzen we deze nog voor m lt; a: a^* . Voor deze waar-
den van X volgt uit de grafische voorstelling direct, dat

^E^ilL^^a\' (x)

Dus geldt zeker

Geldt nu de analoge ongelijkheid ook voor f„, i (x), d. w. z. nadat de
hoekpunten weggewerkt zijn? Uit de figuur volgt, dat voor de segmenten ,
X2 X3, X3 Xi,.., geldt

m—X2 = 2 (m—Xs) = 4 (m—X4) =----

Met behulp hiervan kan aangetoond worden, dat X3—pi = — (xj—^2),

x^—P2 = Y (X1—X3),... Daaruit volgt, dat de punten P,, Pj, enz. ook

in de grafische voorstelling van (x) tot rechte gedeelten behooren.
Hiervan gebruik makend, is in elk der door ons beschouwde gevallen

Aff„ (x)

na te gaan, dat de onderste grens van —— niet kleiner, noch de

bovenste grens van (x) grooter wordt door het invoeren der afron-
dingen. Dus ook voor f„, i (x) geldt

2n, l

en kan de redeneering verder op soortgelijke wijze verloopen
We hadden reeds afgeleid:

Optellend bij de vorige ongelijkheid

p\'nbsp;^nbsp;(x) gt; Al:

Fn, 1 (x) . ^ — 4 2— y lt; ^ lt; wnbsp;^ 2quot;

of

Hieruit volgt

ni l

A /n(x) _ , V ,

waar 0lt;6yilt;l.

Daar n, gt; n, is volgens de vroeger omtrent n gemaakte afspraken

1 A \'
^ • 2quot;.

Dus

n, l

A/n(x)
Ax

Waarmee ook aan voorwaarde C blijkt te zijn voldaan. F(x) heeft

00

dus tot rechterafgeleide Z f\' (x). Voor A x lt; O houdt men analoge be-

0 quot;

schouwingen en dan blijkt, dat de linkerafgeleide even groot is. Er
bestaan dus multioscilleerende functies, die differentieerbaar zijn in elk
punt van een zeker interval.

Pereno\'s bewijs (Giorn. di Mat. 35, bl. 143, noot) voor het bestaan
van de afgeleide in- de deelpunten berust op de onjuiste stelling:

Indien Fo (x) ƒ, (x) .... /quot;„ (x) .... een in een zekere om-

geving van Xq gelijkmatig convergente reeks is van functies, die diffe-
rentieerbaar zijn in die omgeving, terwijl f\'^ [xq) = O vanaf een zeker
rangnummer n, dan is de limietfunctie differentieerbaar in Xq.

Dezelfde fout komt voor in E. W. Hobson\'s Theory of functions of
a real variable, deel II, bl. 417, waar de methode van PerenO be-
handeld wordt.

De voornaamste fout, die verder door beide schrijvers gemaakt wordt,
schuilt in het bewijs, dat F{x) maxima en minima vertoont in ieder
deelinterval van ÖT. (Pereno, bl. 148, 149; hobson, bl. 420, 421).

§ 34. Gebruik makend van de maattheorie en integraalrekening van
H. Lebesgue heeft A. Denjoy op geheel andere wijze het bestaan van
overal differentieerbare, multioscilleerende functies aangetoond (\'). Hij
beschouwt niet de functie zelf, maar haar afgeleide.

Wij zullen de door hem aangegeven methode toepassen op de door
de voorschriften van KöPCKE (Pereno) gegeven functie
6quot; (x) = lim S„ (x) — lim Fn (x).

Daarbij zijn enkele door DenjoY ingevoerde begrippen noodig, die wij
hier eerst zullen samenvatten.

a)nbsp;Zij gegeven een meetbare puntverzameling E. Is / een willekeurig
interval, dan verstaan wij in \'t vervolg onder de maat van de verza-
meling E in het interval I de maat van de doorsnee EI van E en I.

Onder de dikte van E in het interval I verstaan we de maat van de
verzameling E I, gedeeld door die van 1.

Voor een segment worden analoge afspraken ondersteld. Uit de definitie
volgt, dat d^ dikte van E in I, vermeerderd met die van de comple-
mentaire verzameling E\' in I, de eenheid oplevert.

b)nbsp;Is Xq een willekeurig punt, dan zeggen we, dat een verzameling E
in Xq de dikte één heeft, als bij elk getal e een positief getal te vinden
is, zoodat de dikte van E in elk interval, kleiner dan j/ om Xq, grooter
is dan 1—e.

c)nbsp;Is f{x) een meetbare functie, gedefinieerd in een zeker interval a b,
en Xq een punt in dat interval met de volgende eigenschap: voor ieder
getal e heeft de verzameling E {f, aTq, s) der punten .v, die voldoen aan

I/quot;(x) — ƒ (xo)| lt; e de dikte één in Xq, dan noemen we f{x) approximatief
continu in Xq.

Deze definitie is gelijkwaardig met de volgende: f(x) is approximatief
continu in Xq, als men bij elk getal e een positief getal jy kan vinden,
zoodat in ieder interval, kleiner dan i] om Xq, de dikte van de ver-
zameling E(fXo,e) der punten x, waar 1/quot;\'(x) — f(xo)|lt; e, grooter is

dan 1 —e.nbsp;,

Bewijs: Is f{x) een functie, die aan de eerste definitie voldoet, dan is

(\') In zijn beschouwing: Sur les fonctions dérivées sommables, Bulletin de la Soc. Math.
de Fr., Deel 43, 1915, bl. 161.

de dikte van E {f, Xq, e) in Xq één voor alle Hieruit volgt, dat er bij
gegeven £ een positief getal ^ te vinden is, zoodat in elk interval, kleiner
dan n om Xq, de dikte van E{[,Xo,e) grooter is dan 1—f{x) voldoet
dus ook aan de tweede definitie.

Voldoet omgekeerd een functie g{x) aan de tweede definitie, dan
moeten wij daaruit kunnen afleiden, dat ze ook aan de eerste gehoor-
zaamt. Hiertoe moet dus worden aangetoond, dat, voor willekeurige £,
de dikte van de verzameling E [g, Xq, e) één is in Xq.

Zij nu ê\'gt;0, doch e\'lt; e. E(g,Xo,£) heeft in ieder interval 7 minstens
een dikte, gelijk aan die van de verzamelingnbsp;Xq,«\') der punten,

waar \\g (x) — g (xq) | lt; e\'. Want E {g, Xq, e\') is een deel van E {g, Xq, e).
Daar nu g (x) aan de tweede definitie voldoet, is er een getal gt; O te
vinden, zoodat in elk interval, kleiner dan i] om Xq, de dikte van
E ig, Xo, e\') grooter is dan 1 - e\'. In zoo\'n interval is de dikte van
E {g,Xo,e) dus ook grooter dan \\ — s\\ Omdat e\' willekeurig klein geko-
zen kan worden, volgt hieruit, dat E (g, Xq, s) in Xq de dikte één heeft.
Waarmee de gelijkwaardigheid der definities is aangetoond. Wij kunnen
dus beide definities door elkaar gebruiken.

§ 35. We hebben omtrent deze approximatief continue functies de

volgende stelling noodig:

Een meetbare, begrensde functie (p (x) is in ieder punt Xq, waar ze
approximatief continu is, de afgeleide van haar onbepaalde LebesGUE-
integraal.

X

Bewijs: Zijnbsp;f = ƒ lt;P [x) dx.

a

cp (x) is begrensd; stel \\cp (x)| lt;M. cp (x) is approximatief continu in het
beschouwde punt Xo, dus bij willekeurig gekozen e is de dikte van de
verzameling E, waar \\cp (x) — cp (xo)| lt; één in Xq.

Kies J? gt; O zoo klein, dat in elk interval, kleiner dan t] om Xq, de

dikte van E grooter is dan 1 — Het rechtereindpunt van zoo\'n in-
terval vasthoudend, kan men het linker willekeurig dicht tot Xq laten
naderen. Hieruit volgt, dat de dikte van E in elk interval Xq, Xq -f a,

kleiner dan r}, minstens 1 — is.

De maat van E in zoo\'n interval Xq, Xq « is minstens — ^J X a.
En de maat van de complementaire verzameling, waar |97(x) — 95(xo)|gt;£,

£

is in Xo,;Co a dus hoogstens ^X«. Wij schrijven

f{xo a) — f{xo) = fnbsp;= « X (^o) ƒ W W — «P {xo)] dx.

De laatste integraal splitsen we in de integraal van (p {x) — (p (xq) op E
(waarbij de integrand nul gesteld wordt op E\') en de integraal van
(p{x) — (p (xo) op E\' (integrand nul op E). Op E is \\(p (x) — (p (xo)| lt; e,
terwijl de maat van E in Xq, Xq a hoogstens gelijk a kan zijn. De
integraal op E heeft dus een waarde e a. [ó*,! lt; 1. Voor de tweede
integraal is zeker \\cp (x) — (p (xo)| lt; 2M, want \\(p (x)| lt; M. En de maat

van E in Xq, Xq a is kleiner dan • ol, dus deze integraal heeft een

waarde 82 e a, IÖ2I 1.
Dus

/•(xo a) - /quot;(x) = a X 95 (xo) £ a , | lt;9 |lt; 1. \'
Waaruit, aangezien deze gelijkheid geldt voor alle waarden van a lt;volgt

De functie f{x) heeft in Xp dus 99 (xq) tot rechterafgeleide. En voor
de linkerafgeleide gaat het bewijs analoog, met «lt;0. Het bewijs is
hiermee geleverd.

§ 36. Na deze voorbereidingen gaan wij aantoonen:

I).nbsp;De vroeger op 01 gedefinieerde functie Sn (x) nadert tot een meet-
bare, begrensde limietfunctie S(x), die approximatief continu is in elk
punt van 01.

II)nbsp;5(x) neemt tn ieder deelinterval van 01 beide teekens aan.

Wij zullen dan opnieuw het bestaan van overal differentieerbare mul-
tioscilleerende functies aangetoond hebben. Want zij ygt; (x) de onbepaalde
LEBESGUE-integraal van 5 (x), dan zal

y.\'(x) = 5(x)

in elk punt van 01 volgens de in § 35 bewezen stelling, terwijl rp\'{x)
in ieder deelinterval beide teekens aanneemt. Daaruit volgt dan, dat
^p (x) aan onze definitie voldoet en multioscillant is. Dank zij het voor-
gaande, weten wij. dat van F(x) slechts een constante kan verschillen.

§ 37. Bewijs van I: De convergentie van de rij Sn (x) hebben wij
voor 0lt;xlt;l reeds vroeger aangetoond. De functies (x) zijn continu,
waaruit volgt, dat hun limietlunctie S (x) meetbaar is. Verder hebben we

/ 1 \\ / 1 \\
vroeger afgeleid, dat |5„ (x)| lt; ^^ = ^ 21 ) 2^.....\'

rangnummers n; hieruit volgt 15 (x)| lt; P, 5 (x) is dus begrensd.

Wij gaan dus nu over tot het bewijs van de approximatieve continuïteit
van S(x) in een willekeurig punt van 01.

Op een segment a\'n aiJ^\' hadden we

fn l {x) = An . (a\'n 1 , ,

fn i {x) = An .

a„ is afhankelijk van de waarde van x op a^ Hierbij geldt 1 gt; a„
^ — (2quot; \' 1). Teneinde vergissingen te voorkomen, schrijven we voortaan
a^ in plaats van a„. In de grafische voorstelling van f„ i (x) beschouwen
we het gedeelte van a^ a^quot;*quot;\', waar geldt — n. Denken wij ons in
fig. 4a, bl, 46, de afrondingen der hoekpunten aangebracht, dan levert
zij ons de gedaante van de bedoelde grafische voorstelling. Voor welk
rangnummer n men deze figuur ook construeert, steeds bestaat er tusschen
de abscissen der hoekpunten een betrekking van den reeds op bl. 47
genoemden vorm

m — X2 = 2{m — Xj} — 4{m — x^) = ....
Daaruit volgt door een eenvoudige berekening, dat de ongelijkheid

a* lt; — n op minder dan ^ deel van a^ an^\' geldt. Ook voor ieder seg-
ment al an, welks eindpunten deelpunten zijn bij de constructie van
fn i (x), geldt:

op minder dan ^ deel van al a^ is a* lt; — n.

Beschouwen we nu nog een interval f ■gt;], waar minstens één deelpunt
a\'n in ligt.

lt;- f V -^

--I-1-1-1-1-1-—-

s,-l £nbsp;s.nbsp;Sïnbsp;«2 1

annbsp;? annbsp;an V dn

Zijn an en a^\' de uiterste deelpunten van de n^ verdeeling in f rj (even-
tueelnbsp;dan geldt voor a» at\' het boven voor al al gezegde.
Daarbij het verloop van fn \\ (x) op a®\'quot;\' a®\' en a^\' a^\'quot;*quot;\' in acht nemend,
vinden we, dat de verzameling der punten op f a^\' en a« waar a„ lt;
2 1

— n, minder dan — —nbsp;deel van deze intervallen omvat. Samen-

vattend kunnen we dus zeggen:

In ieder interval i dat een of meer punten al bevat, heeft de ver-
zameling der punten x, waar a* lt; — n, een dikte kleiner dan -i^izy

Overgaande tot f„ -2 {x) zeggen we: irj bevat zeker een punt a® i ,
dus voor het nu optredende getal geldt:

In elk interval ii], dat een of meer punten a\'„ bevat, heeft de ver-
zameling der punten x, waar an i lt; — (n 1), een dikte kleiner dan

Dit tot in het oneindige voortzettend, vinden we:

In elk interval f r], dat minstens \'één punt a\'n bevat, is de dikte van de
verzameling der punten x, waar voor één of andere k^n geldt a^ — k,
minder dan

2«—1 \'2quot; 2quot; \' \'\'

Voor ieder ander punt x in is dus at^ — k, zoodra k^n.
Dus in f 1] geldt op een dikte, die grooter dan I —

s öquot;*

5„ i (x) = S„ (x) A„\'nbsp;waar 1 gt; a\' gt; — n,

5„ 2 (x) = Sn i (x) aSinbsp;„ 1 gt; gt; _ („ 1),

Door optellen vindt men

w=s. (X) |±i ...

dus

terwijl I ^ 1 lt; 1.

Dit geldt voor m ^ 1, dus, tot de limiet overgaand,

Om de approximatieve continuïteit van 5 (x) in een punt Xq aan te
toonen, kunnen we, volgens de tweede definitie (bl. 49), volstaan met
aan te toonen:

Bij elk getal s is een getal gt; O te vinden, zoodat in elk interval,
kleiner dan j; om Xq, de dikte van de verzameling der punten x, waarvoor

IS(x)-S(xo)llt;e,

grooter is dan 1 — e.

Wij hebben dus £ verder als van te voren gegeven op te vatten.

Zij eerst Xq een deelpunt, dat we ah„ noemen. In de bewijsvoering zou
het noodig blijken een rangnummer n gt; Hq te kiezen zoo hoog, dat vol-
daan is aan de volgende voorwaarden:

. |5„(Xo)-5(Xo)|lt;y ,nbsp; ^

Dit is mogelijk, aangezien zoowel de rij S„ (xq), als de reeks

n . n 1.

2n l Inbsp;I •••

convergeert. Denken we ons zoo\'n waarde n van te voren gekozen.

Xq is dan ook een deelpunt at stel Xo = al\\ Dan voldoet voor tj het
kleinste van de getallen al\'^^ — a^\' en al\' — al\'

-1-1-1-1-

an

Want zij i een willekeurig interval, kleiner dan rj om Xq. i ligt binnen
In i ligt een deelpunt al, n.1. al\'=Xo. Dus is volgens het op
bl. 52 en 53 behandelde, voor een puntverzameling, die in i een dikte,
grooter dan

heeft

(De hier en in \'t vervolg gebruikte getallen 6 voldoen alle aan de
voorwaarde | | lt; 1).

Volgens constructie schommelt S„ (x) op elk interval a^ a^quot;^ minder dan

dus geldt op het geheele interval i

5n (x) = 5„ (Xo) = Sn (Xo) y.
■ Verder is n zoo gekozen, dat

5„(Xo) = S(Xo) lt;93y.

In i geldt dus op dikte, grooter dan 1 — e

5 (x) is dus approximatief continu in alle deelpunten.

Zij nu Xq geen deelpunt, dus een gemeenschappelijk punt van een
oneindige rij van intervallen

a„ annbsp;, an l Sn l gt; • • • ,

die tot nul naderen, wat hun lengte betreft.

Met het oog op \'t geen volgt, kiezen we nu ngt;4 zoo hoog, dat
voldaan is aan

1nbsp;Vi-

-^pi\'^\'g \'nbsp;3 \' 2quot; \' 18

en verder | p (xq) — (xo) |lt;-j^, voor alle waarden van het rang-
nummer m gt; n en alle p gt; 1.nbsp;sinbsp;s
Voor 1] kiezen we het kleinste van de getallen an\'^\' — Xq en Xq — a„\'quot;,

^-i--gt;gt;

-1-1-1-1-1-

5nbsp;snbsp;5nbsp;^j

a/»nbsp;an^\' Xqnbsp;an. inbsp;fln,nbsp;a„

Zij i een willekeurig interval, kleiner dan t] om Xq, dan ligt i binnen

Wij bepalen de hoogste index rzj, waarvoor geen der deelpunten a«,
binnen i valt. Van de punten a^^ i liggen er dus één of meer in i.
Daarom is dan in /

\'n, l , n,-f2 , ^

S (x) = (x) 6\'?nbsp; ^

/

op een puntverzameling, die in i een dikte heeft grooter dan

2quot;

2(\'\'i l)-2
Eveneens geldt

£

(xo) = S (xo) (92 y.

Moeilijker is het nu, iets te zeggen omtrent het verschil 5n, i (x) — (xq)
in i. Wij zullen aantoonen, dat in i de verzameling der punten, waar
geldt

(Xo) lt;93y.......(3)

een dikte heeft, grooter dan 1 —

Hiertoe merken we op, dat algemeen geldt

(x) = 5„ (x) h ^ , 1 gt; gt; - 1).

In aquot;\'« a\'quot;»\'^^ is A\'quot;\' constant en gelijk aan Al\\

rti rijnbsp;1

We krijgen dus

Daar nj ^ n, is | {xq) — 5n, (xq) | lt;

of

On.

Beschouw op aquot;\'» a^*»^\' de verzameling der punten x, waar a* —n,.

Deze bestaat uit twee segmentennbsp;en q a\'^K

P

-H

-i-

eft, onderscheiden we twee gevallen:

a\'\':^-quot;! ; ligt op ^quot;/P

^^nbsp;Approximatieve Continuïteit van S {x)

Op deze segmenten geldt

«

Uit de grafische voorstelling van (x) volgt, dat op ^ de ongelijkheid

lt; gt; — 2 n,

geldt op een dikte, grooter dan

2quot;,-2 ^ \' 4 ■

En omdat i óf geheel buiten pq valt, óf p of , bevat, volgt hieruit, dal
dezelfde betrekking a„gt;-2n, in i geldt op een dikte, grooter dan

\'-f

Uitnbsp;volgt, indien a^, gt; —2ni,

lt;

9 •

Deze ongelijkheid geldt in i dus op een dikte, grooter dan 1 - -

2\'

^^nbsp;önquot; lt; — ni ; Xo ligt in p q.

Kies in de grafische voorstag het punt dat symmetrisch ligt ten
opzichte van Xq. Dan is op x« Xo op een dikte, grooter dan

2quot;.

O 2 a:»

lt; j, indien 2 a^^

Daar / het punt Xg bevat, geldt voor i de ongelijkheid

O 2a::.

op een dikte, grooter dan 1 — y.

Wij weten dus, dat, zoowel in geval a) als b), in i op een dikte,
grooter dannbsp;de ongelijkheid

lt;i

geldt. Of

Sn, (x) schommelt in a;^quot; a®*»quot;^\' minder dannbsp;dus in het geheele

interval i geldt

En

uit de aan n opgelegde voorwaarden volgt nog

(Xg)—nbsp;{Xo)|lt;-^.

Uit de laatste drie ongelijkheden volgt: op een dikte, grooter dan

1 «...
1 — 2- IS in I

De drie vergelijkingen (1), (2) en (3) van bl. 55 gelden in / dus op
een dikte, grooter dan 1nbsp;gelijktijdig. Waaruit volgt:

Op dikte, grooter dan \\ — e, is in i

S{x) = S{xo) dE.
S (x) dus approximaitief continu voor alle x in 0 1.

§ 38. Bewijs van II. We moeten aantoonen, dat in ieder deelinterval
a^ van 0 1 een punt Xj ligt, zoodat S(x,) gt; O en een punt Xj met
5 (X2) lt; 0. Hiertoe kunnen we volstaan met te bewijzen: In a liggen
twee deelpunten en a^^, zoodat

(a;)gt;0 en (a^X 0.

Want dan is ook

= (a\'J gt;0 en lim S„ (ahJ = S„, (a\'J lt; 0.

n—00

5(a;)gt;0 , S(a\'Jlt;0.

Nu zorgen we eerst, dat n zoo groot is, dat er een interval ah a^^\'
geheel binnen ligt. Het verloop vannbsp;(x) in a^ af\' nagaand,

vmden we, dat er in elk geval twee intervallen ahX\\ binnen a^ a^^\'
liggen, zoodat op het eene geldt 5„ , (x) gt; O en op het andere (x)lt;0(»).
Beschouwen wij het eerste. F„ , (x) neemt er monotoon toe, stel

__ F„ i (a^ti) —nbsp;hgt;0......(1)

(\') Door een kleine wijziging in het constructie-voorschrift voor de punten a\' zou het
volgende bewijs overbodig worden. Men kan n.1., zonder overigens iets quot;te moeten
wijzigen, voorschrijven, dat er tusschen twee punten a^ ennbsp;waar F\' (a\') = o

^nj a« )-o, minstens één punt a„ geïnterpoleerd moet worden. Echter blijkt uit hetgeen
volgt, dat ook de voorschriften, die we vroeger gaven, voldoende zijn.

Onder alle deelpunten a^ fpgt; n 1) op het segment a^^J moeten
er noodzakelijk zijn, waar Sp (a^) gt; 0.

Want was in elk dier punten Sp {a\'p)^0, dan zou men daaruit kun-
nen afleiden, dat op a^ i aZ\\ gold Sp (x) lt; omdat Sp (x) in ieder

interval a^ minder schommelt dan Dan zou dus Fp (anti) — Fp (a^ i)

lt; ^ X als T de lengte van a^ i a^^} voorstelt.
Echter is

Fp {aZ\\) = (a:Vi) en Fp {aUi) = (a^ O,

dus zou

Fn i (a^ti) — Pn \\ (a^ i) lt; r X ^

voor elke pgt;n 1, in strijd met (1). Er is dus onder de punten a\'p een
punt a^„ waar ,S„, (x) gt; 0.

Analoog bewijst men het bestaan van een punt al^ in a y?, waar Sn., (x) lt; 0.

§ 39. Denjoy past zijn methoden niet toe op de functie van KöPCKE
zelf, maar wijzigt eerst de constructievoorschriften (bl. 231 van het meer-
genoemde Bulletin).

In de plaats van onze functie S (x) stelt hij een oneindig product van
functies cpn {x), waarbij cpn (x) op een deelsegment a ^ van het oorspron-
kelijke segment a b gedefinieerd is door

y—anbsp;y—a

Hienn is yc^—^ en A --:r.

2nbsp;Log 2

n

Het product P„ (x) = n(pk {x) gaat door vermenigvuldiging met (x)

over in P„ i (x) en deze overgang stemt in veel opzichten overeen met
die van {x) in 5n i (x). (pn {x) is continu, terwijl

1

10quot; •

Voor elke x op a b heeft 7iqgt;k{x) een limiet; de nulpunten van de

limietfunctie P{x) vormen een verzameling van de maat nul. P{x) is
continu in ieder nulpunt. Verder toont Denjoy aan, dat in ieder punt,
waar P {x) niet nul is, P {x) approximatief continu is. Het bewijs, dat
P (x) in ieder deehnterval van a b beide teekens aanneemt, laat hij
achterwege. Indien men geschikte voorschriften kiest omtrent de segmenten
a p, waarin a b verdeeld wordt bij overgang van P„ (x) op P„ i (x). is
dit vrij gemakkelijk te geven.

Op bl. 211—228 vindt men tal van voorbeelden van een ander type,
die alle berusten op dezelfde grondgedachte. Wij zullen daarom hier
daarvan slechts één voorbeeld weergeven.

Hieronder volgen een drietal daarbij benoodigde hulpstellingen.

§ 40. Wij beschouwen een reeks van continue functies u„ {x), die

00

alle positief zijn in een interval a b. In een punt x in ab, waar ^ {x)
convergeert, stellen we

n

lim u„ (x) = s (x).
1

Divergeert de reeks in het beschouwde punt, dan stellen we ter
bekorting van onze redeneering

n

lim yr u„ (x) = s (x) = oo .

n—tx

1

We spreken daarbij af, dat het symbool oo geacht zal worden ieder
getal

in grootte te overtreffen. Dan geldt de volgende stelling:
I. In een punt Xj, waar de reeks convergeert, is s(x) halfcontinu
neerwaarts, d. w. z. bij elk getal e. is een getal vgt;0 te vinden, zoodat
in X, —tj. xi tj geldt

s (x) gt; s (xi) — e.

Bewijs: Wij behoeven alleen punten x te beschouwen, waarin de
reeks convergeert. In andere punten geldt n.1, volgens afspraak zekerde
ongelijkheid s (x) gt; s (xj) — e. Wij kiezen een rangnummer n zoo hoog. dat

r„ (x,) Un x (x,) -f U„ 2 (x,) . . . lt;
Daar alle termen positief zijn, is steeds

r„ (x) = Un l (x) u„ 2 (x) , . . gt; O,

dus

Tn (x) — r„ (x,) gt; — y.

Verder is de functie

S„(x) = U,(x) U2(x) ... U„(x)
continu in x,. Er is dus een interval x, —f^, x, -j-waarin

s„ (x) — s„ (x,) gt; — y.

Daar s (x) = s^ (x) r„ (x), vindt men door optelling der betrokken
ongelijkheden

s (x) — s (Xi) gt; — e
in Xi—t], Xj -)- en de stelling is bewezen.

Men kan haar als volgt uitbreiden:

00

Ia. Is Xo een punt, waar u„ (x) divergeert, dan is er bij ieder van

1

te voren gekozen getal P een interval om Xq te vinden, waarin s (x) gt; P.

Immers, er is vanwege de divergentie in Xq een rangnummer n, zoo-
dat 5„ (xq) gt; 2 P. Nu is Sn (x) continu in Xq, dus is er bij gegeven waarde
P een interval Xq — yi, Xq te vinden, waarin

5„ (x) — Sn (Xo) gt; — P.

In datzelfde interval geldt dan s„ (x) gt; P en, daar steeds s (x) gt; 5„ (x),
is dus in Xq — Xq ?? ook

5 (x) gt; P.

Ib. Tenslotte beschouwen wij nog het geval, dat in een punt x=a
een of meer der functies u„ (x) z.g.n. oneindig worden, d. w. z. er is een
interval om x=a te vinden, waarin (x) gt; P, uitgezonderd x = a.
(P willekeurig gekozen zijnde). Wij stellen dan

u„ (a) = oo en 5 (a) = -f oo ,
In het bedoelde interval gold (x) gt; P,

00

Indien ^ u„ (x) convergeert, is s„ (x) gt; u„ (x). Bij divergentie is

1

5 (x) = -f 00. Eveneens als een of meer der termen 00 zijn in het punt x
Dus in hetzelfde interval geldt overal

5(x)gt;P.

Wij zullen straks een reeks van functies onderzoeken, waarbij al deze
mogelijkheden zich voordoen, (bl. 61).

§ 41. Hulpstelling II: Is f(x) approximatief continu in x^, terwijl cp (y)
een functie is, gedefinieerd in een interval om yo=if(xo) en continu in
yo, dan is ook

^p(x) = rplf(x)]

approximatief continu in Xq,.

Bewijs: Omdat lt;p (y) een continue functie is van y in yo, is bij elk
getal e een ó te vinden, zoodat

\\\'Piy) — \'P (yo) |lt; e, voor \\y — yo\\lt;S.
f{x) is approximatief continu in Xo, dus de verzameling der punten x,
waar \\y — yo\\lt;ö, heeft in Xq de dikte één. In ieder punt van deze
verzameling geldt echter

\\\'P{y) — \'P (yo) 1 lt; £. of I v (x) — v; (xo) I lt; e.
De verzameling der punten x, waar dc laatste ongelijkheid geldt, heeft
in Xo dus ook de dikte één. Aangezien e willekeurig gekozen was, volgt
hieruit de approximatieve continuïteit van rp (x) in Xq.

§ 42. Hulpstelling III: Indien de dikte van een puntverzameling E in
de intervallen Xq~ö, Xo (5 tot één nadert, als ö tot nul nadert, dan
volgt daaruit, dat E in Xq de dikte één heeft.

Bewijs : Volgens onderstelling kunnen we, e willekeurig gekozen zijnde,
een getal gt; O kiezen, zoo klein, dat in ieder interval Xo — lt;5, jcq ö de

dikte van E grooter is dan 1 — y, mits ö lt;

-I-1-

Xo — a Xq Xo a\' Xq anbsp;Xq

^-ƒ_--

Zij nu i = Xo — a, Xq a\' een interval, kleiner dan rj om Xq, overigens
willekeurig.

Is a = a\', dan is de dikte van E in i grooter dan 1 — daar a lt;

Is agt;a\', dan is de dikte van F in ƒ-Xq - a, Xq-f a grooter dan

£

1 — y» want ook nu is a lt; tj.
Hoe staat het nu met de dikte van E in il

Hiertoe beschouwen we even de complementaire verzameling E\'. Omdat
de dikte van E in I grooter is dan 1 — y, is de maat van E\' in/min-

der dan y • 2a m. i is een deel van I, dus in / bedraagt de maat van

E\' ook minder dan ea. En de maat van i is grooter dan a. Dus E\' heeft
in I een dikte kleiner dan e; E een dikte grooter dan 1 — e.

\'t Geval a lt; a\' is voor de behandeling gelijkwaardig met a gt; a\'. Wij
zien dus, dat in ieder interval, kleiner dan j/ om Xq, de dikte van E
grooter is dan 1 — e.

Dus E heeft in Xq de dikte één.

§ 43. Zij nu gegeven een interval a b en daarin een aftelbare, overal
dichte verzameling van punten a,, aj, . .., an,. ..

Is verder Uj uj -f ,. . Un . .. een convergente reeks van positieve
termen, dan beschouwen we in a 6 de functie

00 00

g{x)=^ g„ (x) =: ^

an

00

die 00 gesteld wordt in een punt x, waar de reeks ^ —
divergeert of een term ervan oneindig wordt.

Oo

We zullen eerst aantoonen, dat \\n (x) convergeert op een volle

dikte van a b, d. w. z. de punten x in a b, waar convergentie plaats heeft,
vormen een verzameling, waarvan de dikte in a b één is.

Hiertoe beschouwen we de verzameling der punten x, waar de onge-
lijkheid

9jx)gt;2un

geldt. Deze punten moeten voldoen aan

gt;2u„ ,

of

Bedoelde verzameling is dus een interval i„ om a„ met lengtenbsp;Dit

geldt voor iedere waarde van n. Daaruit volgt:

De verzameling Ep der punten x, waar de betrekking g„ (at) gt; 2 u„ geldt
voor één of meer waarden van n, grooter dan het willekeurig gekozen

rangnummer p, bestaat uit de intervallen fp i, ip 2____; de maat van deze

verzameling Ep in ab bedraagt dus hoogstens

2p ^ 2P 1 ^----2P-\'\'

In ieder

punt van het complement Ep\' geldt

g^ [x) lt; 2 u„ , voor n gt; p.

00

gn. (x) convergeert dan, mits de eerste p termen eindig zijn, d. w. z.

1

X geen der punten aj, 32,.. . is. Deze laatste vormen een verzameling

00

van de maat nul. We hebben dus aangetoond, dat ^^ W a 6

1

convergeert, behalve misschien op een verzameling, die hoogstens de dikte

heeft. Omdat hierin p willekeurig kan worden gekozen, volgt eruit,

00

dat quot;^n g„ {x) convergeert op een volle dikte van a b.
1

De verzameling van alle punten, waar convergentie plaats heeft, noemen
we in \'t vervolg E.^ De punten, waar ^^ g„ {x) divergeert, vormen een

I

verzameling van de maat nul, die niet leeg, zelfs een résiduel van ab is.
Het laatste zal

in § 51, bl. 76 bewezen worden. Wij voegen er aan
toe de punten aj, aj,.. . , waar één der termen g„ (jc) oneindig wordt.

Op de zoo ontstane verzameling E\', het complement van E in ab,
is =

§ 44. Qk {x) = ^ - is een meetbare functie, want de verzameling

|/| x-au I

der punten, waarin g{x)gt;a (een willekeurig getal), is een interval en
dus meetbaar.

n

Uit de meetbaarheid van gk (x) volgt die van 9k {x) en daaruit

1

weer de meetbaarheid van

rt

g{x)=lim^gAx).

nzroo ^lam^

1

00

g (x) is approximatief continu in elk punt i, waar de reeks ^gn (x)

1

convergeert.
Bewijs;

Aangezien we hier te doen hebben met een reeks van positieve con
tinue functies, die ieder in één punt oneindig worden, weten we volgens
hulpstelling I. dat g (x) halfcontinu neerwaarts is in alle punten, waar
g {x) eindig is. Dus bij een bepaald punt f behoort een zekere omgeving,
waarin, e willekeurig gekozen zijnde, p (x) gt; g — e.

Toonen we dus aan, dat de verzameling der punten x, die voldoen aan

9(x)lt;g(^) s,

in i de dikte één heeft, dan zal daaruit volgen, dat hetzelfde geldt voor
de verzameling, waar | g (x) - g (f) |lt; e. m. a. w. g (x) is approximatief
continu in f.

Hiertoe trachten we g„ (x) te vergelijken met g„ (f), term van de con-

00

vergente reeksnbsp;(f).

De verzameling der punten, waar

quot;nnbsp;2 U„

n ____

X —a„|

dus

is een interval a„ , met midden a„ en lengte * ^ * • «n zal met een
mterval j =z f -{- lt;5 om dan en alleen dan punten gemeen hebben, als

Hieruit volgtnbsp;en de lengte van een interval , dat met;

punten gemeen heeft, is dus kleiner dan X

■ J\'

-I-

De verzameling der punten, waar Qn [x) gt; 2 g^ heeft in y dus een

dikte, kleiner dan \' ^

En de dikte in ; van de verzameling der punten x, waar voor één
of meer waarden van n, grooter dan zeker rangnummer p, de onge-
lijkheid g„ (x) gt;2g„ geldt, is kleiner dan

----2P-1*

Op een dikte, grooter dan 1 -nbsp;geldt in j dus {x)^2g„ voor

iedere n^p.

Kiezen wij nu een getal e\' gt; O, overigens willekeurig. Er is een rang-
nummer N zoo hoog, dat

^ is geen der punten aj, az,... , dus is

SN (X) = (X) (x) . . . -f ÊT/V W
continu in f Waaruit volgt, dat er een getal gt; O bestaat, zoodat

sn (x) — Sn lt; y, voor X in I — ^ j;.

Het door ons in \'t voorgaande gebruikte getal f5 was willekeurig; laten
we nu zorgen, dat ^ lt; t]. Dan geldt op het geheele intervaly = ^ — f _)_ a

Sn (X) —

En innbsp;^ -}- (5 geldt op een dikte, grooter dan 1 — ^^^ gt; 1 —

gjx)^2gji), voor ngt;N,

dus

rN(x)lt;2rN{^)lt;~,

Uit deze ongelijkheden volgt

SN (x) rN (x) — Sn (i) lt; e

of, omdat sn (f) lt; g

Dit geldt in ieder interval ^ — lt;5, | ó op een dikte, grooter dan 1 — e\'.

Overgang op een functie met teekenwisseling in ieder interval 65

mits ö lt; Daar e\' willekeurig is gekozen, volgt hieruit, dat de dikte
van de verzameling der punten, waar g {xX g e, in de intervallen
I — lt;5, I ó tot één nadert, als ö tot hul nadert. Volgens hulpstelling
III is de dikte van die verzameling in t dan één.

g (x) is dus approximatief continu in alle punten van de verzameling E,
waar g (x) eindig is.

In een punt van de complementaire verzameling E\' voldoet g {x) aan
één der hulpstellingen Ia of \\b.

E heeft in a 6 de dikte één; E en E\' zijn in ab overal dicht.

§ 45. Uit g (x) leiden we een begrensde, meetbare functie af, die approxi-
matief continu is in elk punt van a b. Hiertoe stellen we

G(x) = e-9M,

waarbij we aan G {x) op E\' de waarde nul toekennen. G (x) is begrensd
in a b, omdat g (x) er geen negatieve waarden aanneemt.

In elk punt van E is g (x) approximatief continu, equot;» is een continue
functie van r/. Dus volgens hulpstelling II is G (x) ook approximatief
continu in elk punt van E.

In een punt van E\' is G (x) = O ; is P een willekeurig gekozen getal,
dan bestaat er een omgeving van het beschouwde punt, waarin

g{x)gt;P, dus G(x)lt;e-^.
Want in zoo\'n punt geldt voor g (x) hulpstelling Ia of 1^. G (x) is in elk
punt van E\' dus niet alleen approximatief continu, doch zelfs continu.

De in a 6 begrensde en meetbare functie G (x) is dus in elk punt van
a b approximatief continu. Volgens § 35 is G (x) dan overal in a fc de
afgeleide functie van haar onbepaalde LEBESGUE-integraal.

Dit alles geldt evenzeer voor de functie

H (x) = e-9 W cos g (x).
Doch de toevoeging van cos g (x) heeft het voordeel, dat H(x} in ieder
deelinterval a ^ van a b van teeken wisselt. Immers, omdat E en E\'
overal dicht zijn in a b, neemt G (x) in a zoowel de waarde nul aan,
als ook zekere positieve waarden. Stel b.v. G (x) neemt de waarde a gt; O
aan in a Volgens een bekende eigenschap van een afgeleide functie,
neemt G (x) dan in a ^ elke tusschen O en a gelegen waarde aan.

g (x), de reëele logarithme van G (x), neemt in a ^ dus iedere waarde
aan, die kleiner is dan log a. Hieruit volgt, dat cos g{x) en dus ook ƒƒ (x)
in a p van teeken wisselt.

Evenals G (x) is H(x) begrensd, meetbaar in a t en approximatief continu
in elk punt van dit interval. De Lebesgue-integraal van H{x) levert ons
dus een in a b overal differentieerbare, multioscilleerende functie.

§ 46. Een eenvoudige en meer aanschouwelijke constructie van een
functie, die alle hierboven genoemde eigenschappen met G (x) gemeen
heeft, laten wij hier volgen.

FAx) IS de functie y = x op 01. Wij construeeren een oneindige rij
van functiesnbsp;die alle grafisch door polygonen voorgesteld worden

door als volgt over te gaan van (x) op (x), voor n ^ 1 : wê
verdeelen 01 door de hoekpunten van (x) in segmenten, waarop (x)
uneair is. In hg. 5 moge ab één van deze segmenten voorstellen- laten
we aannemen, dat F^x) op dit segment voorgesteld wordt door éen lijn
A B met richtingscoëfficiënt m.

Fig. 5.

Om de grafische voorstelling van (x) op a~T te verkrijgen, trekken
we door^A, B en M (midden van AB) drie lijnen met richtingscoëffi-

ciënt m

en maken QM = MR, =nbsp;= tB. Aan

deze lijnen geven we verder een zoodanige lengte, dat
^a) de segmenten ap, qr en tb samen een lengte hebben, kleiner dan

^ maal de lengte van het kleinste der segmenten, waarop F„ (x)
lineair is.

b) de richtingscoëfflciënt van PQ en RT gelijk m (\\nbsp;is, waar

Voor ngt;2_volgt trouwens b) uit a). De gebroken lijn AP QR TB
stelt Fn^, op ab voor. Wij duiden nu verder de hoekpunten van F (x)
en de punten O en 1 aan door ai, a^ .. en voeren de aangegeven con

voor ült;x lt; 1 De optredende richtingscoëfficiënten zijn alle positief. Uit
deconstructie volgt nog. dat alle punten a: ook deelpunten a^,, zijn, voor

rr\'nbsp;bestaataHeen

een rechter- en hnker afgeleide. Voor elke waarde x, die geen punt a^

aangeeft, bestaat F\'„ (x) wel. En K (x) is dan een product van n fac-
toren, de eerste is één en daarop volgeîî^ n — 1 factoren van den vorm

Dus lim FI (x) bestaat en is positief of nul.

n=oo

Stelnbsp;lim (x) = yj (x).

n=oo

In een deelpunt aquot;„ definieeren we ip{x) = 0.

§ 47. Van de functie v^(x), die zoo voor alle waarden van x in 01
gedefinieerd is, zullen we aantoonen :
I). (x) is begrensd en meetbaar.

II).

tf (x) heeft in elk deelinterval a fi van O 1 nulpunten en neemt in
ieder van die intervallen positieve waarden aan.

III).nbsp;ip (x) is continu in ieder van haar nulpunten en approximatief
continu in elk ander punt in 01.

I). Volgens constructie is F\'n (x) in alle punten, waar ze bestaat, kleiner
dan

1 \\ / 1 \\
Daaruit volgt, dat voor O lt; x lt; 1

wix) is dus begrensd. Verder is F„{x) continu; beschouw nu in ieder
punt de rechterafgeleide

R„ (x) = lim

A=oonbsp;1

T

Deze rechter afgeleide R„ (x) is de limiet van een rij van continue functies
en zelf dus een meetbare functie. Uit de gegeven voorschriften volat
dat steeds in O 1

tp (x) = lim R„ (x).

n = xi

Dus yj{x) is ook meetbaar.

II). Uit de constructie leiden we af, dat de deelpunten a^ overal in O 1
dicht liggen, dus hetzelfde geldt voor de nulpunten van tp (x). In de

andere punten is (x) het product van factoren 1 -I- of 1 — ^
en steeds positief.

In ah ah^^ is de dikte van de verzameling der punten, waar de factor
^nbsp;optreedt in F„ i {x), kleiner dan —. Eveneens in 0 1. En de

verzamehng der punten, waar voor een of andere k^n de factor
1 ~j optreedt, heeft in O 1 dus een dikte, kleiner dan

2quot; \' 2quot; ^ ----2quot;-^\'

Daaraan voegen we toe de aftelbare verzameling der deelpunten, die in
ieder interval de dikte nul heeft. In ieder punt, dat niet tot de zoo ont-
stane verzameling behoort, weten we zeker, dat lim p\'n {x) = i/; (x) gt; 0.

De verzameling dezer punten heeft in O 1 dus een dikte, grooter dan

Daarin is n willekeurig gekozen. Alle punten x, waar (x) gt; O,

vormen in O 1 dus een verzameling van de dikte één. Deze punten liggen
dus zeker overal dicht in O 1.

III. Is v;(xo) = 0, dan is Xq óf een punt ah, óf een punt, waar
lim Fi{x) = 0.

n= 00

In beide gevallen is er een rangnummer hq te vinden, zoodat in een
zeker interval Xq-Ói, xq—(Sj geldt Fi,{x)lt;e, voor ngt;no. (afgezien van
de punten, waar Fn{x) niet bestaat en yj{x) = 0 is).

Want is Xq een deelpunt ah„ dan bevatten de richtingscoëfRciënten van
de in Xq aaneensluitende deelen van de polygoon, die F„, p (x) voorstelt,

vanaf de {n, l)® factor uitsluitend factoren van den vorm 1— ~— (p gt; 1)

fc \'\'

Neemt p onbepaald toe, dan naderen dus deze beide richtingscoëfflciënten
tot nul. Daaruit volgt, dat het mogelijk is Hq zoo te kiezen, dat F„^(x)

in Xo een rechter- en een linkerafgeleide heeft, beide kleiner dan waar

Voor de twee in Xo aan elkaar grenzende intervallen ah, aht^ geldt dan,
voor n gt; Ho,

Voor de limietfunctie geldt in die intervallen

V (x) lt; £.

Daar e willekeurig was gekozen, is dus y)(x) continu in ieder deelpunt.
Is Xo geen deelpunt, terwijl toch t/;(xo) = lim (atq) = O, dan kiezen

n= «

we Ho zóó, dat

K ixoX-p\'

Omdat Fn, (x) in een zeker interval om Xq lineair is, geldt in dat interval
ƒ ^

om Xo ook (x) lt; p. In datzelfde interval is dan

F„ (x) lt; £, voor alle n gt; ng.
En ip (x) lt; Ook nu is (x) dus continu in Xo.

Om de approximatieve continuïteit aan te toonen in een punt, waar
V (x) gt; O, hebben we de volgende, reeds vroeger gemaakte, opmerking
noodig :

De verzameling der punten, waar in F^ i (x) de factor 1 — ^^^ optreedt,

heeft in a\'„ een dikte, kleiner dan Hoe is de regel voor een interval i,

dat één of meer intervallen a\'„ a^\' bevat ? Uit de constructievoorschriften
volgt, dat de maat van de verzameling der punten, waar de factor

1nbsp;optreedt, in ieder interval a^ a^quot;\'quot;\' kleiner is dan ^ maal de maat

van het kleinste der intervallen a^ a^^\'. Daar i minstens één interval a^ a^^\'
bevat, gebeurt hetzelfde in i op een verzameling, wier dikte in i kleiner
3

iS dan Echter bevat i zeker intervallen a\'„ p a^p, als pgt;l. Dus ook

voor hoogere waarden van n geldt dezelfde regel. Hieruit volgt:

De verzameling der punten, waar, voor een of andere Ä: gt; n, de factor

1 — ^q^Y optreedt, heeft in i een dikte, kleiner dan

2quot; 2quot; \' ~ • • • —

Zij nu Xq het beschouwde punt, dus tp (xq) gt; 0. Wij kiezen een rang-
nummer n zoo hoog, dat

3nbsp;P £ /nbsp;P E

Tlt;TÖ is ook ^lt;Y2

2.-1 „ ^ 12
/

3P

Fm (xq) — yj (xq) lt; y voor m^n.

\\

Hierin is e weer een of ander van te voren gegeven getal. Voor het
in de tweede definitie der approximatieve continuïteit voorkomende getal
t] kiezen we nu het kleinste van de getallen

a«nbsp;Xq

Zij i een interval, kleiner dan rj om Xq. i ligt binnen alquot;quot; a

Sx

a„

Stel n, is het eerste rangnummer, waarvoor één of meer, volgens con-
structie hoogstens vier, punten a^, .binnen i vallen. Voor het verdere
verloop van \'t bewijs onderscheiden we twee gevallen.

A). Er vallen twee of meer punten a^, in i.

Het interval al% a\'^^ bevat i. Dus (x) is constant in /. Hieruit
volgt, dat de waarden (\') van F\'„^{x) in i voorgesteld worden door
producten van rii factoren, waarvan alleen de laatste verschillende waarden
kan aannemen n.1.

1-— en 1 ^.

De waarden van (x) in i verschillen dus minder dan het bedrag ^ — •
Hl gt; n, dus volgt uit de aan n opgelegde voorwaarden
I f; (x) - f; (Xo) |lt; nbsp;in f.

Z \' Hl J

Verder is, omdat i een interval a^^ a^^^ bevat, in i op een dikte
grooter dan

de betrekking

\\tp{x)- f; {x)\\=tp (x) - F:. (x)=F; (X) X

...-f;(x)

geldig. Dus, weer omdat n, gt; n,

iv(X)-F; (x)ilt;F;(x)x(^n-^-ijlt;y.

En tenslotte

I FJ^ (Xo) — ^ (Xo) K y.

(1) Enkele deelpunten, waar F\'^^ (x) niet bestaat, laten we buiten beschouwing. Dit is bij
het bewijzen van de approximatieve continuïteit van ^ (x) geoorloofd; immers de ver-
zameling der deelpunten heeft in elk interval de dikte nul.

Overgang op een functie met teekenwisseling in elk interval 71

Uit deze ongelijkheden volgt door combinatie \\ y^ (x) — rp (xq) |lt; e in i
op een dikte grooter dan 1 — e.

B). Er valt slechts één punt a®, in i. Evenals in geval A) wordt
in i voorgesteld door een product, waarvan alleen de n® factor ver-
schillende waarden

1_1 en 1-f^

Hlnbsp;^ 2quot;gt;

kan aannemen. Zij n2 gt; n, het eerste rangnummer, waarvoor minstens
twee punten a^, binnen i vallen. Uit de constructievoorschriften volgt,

dat p in i constant is: de factoren met rangnummer -f 1, rij -f- 2,

r m (x)

quot;1 3,......— 1 zijn alle van den vorm 1 —

/c 1

F„2 (x) is in i dus een product van «2 factoren, waarvan er «2 — 2
gelijk zijn, terwijl de n\\ factor

of 1--, of 1 1^\'

Hl\'nbsp;\' 2quot;\'

en de n^ factor

of 1--, of 1 ^ is.

n2\'nbsp;2quot;\'^

Waaruit, aangezien n2 gt; n, gt; n, volgt

i bevat een interval a\'n,nbsp;dus geldt in i op dikte, grooter dan

Deze ongelijkheden samenvattend met

I rp (xo) — F^ (xo) llt; y,

vindt men

lip(x) — ip (xo) |lt; £ in i op dikte, grooter dan 1 — e. ip (x) is dus appro-
ximatief continu voor elke waarde x in 0 1.

§ 48. De functie

lt;p(x} = yj (x) sin ^^, voor yj (x) gt; O

97 (x) = Onbsp;, voor y^ (x) = 0.

is begrensd en meetbaar in O 1, approximatief continu in elk punt van
O 1 en wisselt in elk deelinterval van O 1 van teeken (vgl. § 45). Zij is

dus de afgeleide functie van een in O 1 overal differentieerbare, multi-
oscilleerende functie.

§ 49. De vraag rijst, of het niet mogelijk is, een polygoonconstructie
te vinden, waardoor men direct tot een functie geraakt, die de drie op
bl. 67 genoemde eigenschappen bezit en bovendien in elk deelinterval
van O 1 van teeken wisselt.

Het antwoord moet bevestigend luiden. Om dit in te zien, kunnen we
een constructie gebruiken, die veel gemeen heeft met die, welke Köpcke
gebruikte in zijn eerste beschouwing over overal differentieerbare, multi-
oscilleerende functies en die hem niet tot zijn doel voerde (\').

Als eerste yan een oneindige rij van functies, die grafisch alle door
polygonen voorgesteld worden, kiezen we weer de functie y = x voor
O^x^L Deze functie noemen we F^ (x). De rij is verder gedefinieerd
door het volgende voorschrift voor den overgang van F„ (x) op F„ i (x)
voor n gt; 1:

Op elk segment A\'B (vgl. fig. 4, bl. 34), waar F„ (x) lineair is, kiezen
we twee punten A\' en B\\ zóó dat AA\' = B\'B, terwijl AA\'-\\-B\'B