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SUR LA DÉRIVÉE ANGULAIRE
DES FONCTIONS UNIVALENTES

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UTRECHT.

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SUR LA DÉRIVÉE ANGULAIRE DES
FONCTIONS UNIVALENTES

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SUR LA DÉRIVÉE ANGULAIR
DES FONCTIONS UNIVALENTES

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van den graad van
doctor in de wis- en natuurkunde
aan de rijksuniversiteit te utrecht, op
gezag van den rector magnificus
dr. c. w. vollgraff hoogleeraar in de
faculteit der letteren en wijsbe-
geerte, volgens besluit van den senaat
der universiteit tegen de bedenkingen
van de faculteit der wis- en natuur-
kunde te verdedigen op maandag
23 september 1935. des namiddags te 4 uur

door

CORNELIS VISSER

GEBOREN TE SLIEDRECHT

amsterdam - 1935
n.v. noord-hollandsche uitgeversmaatschappij

BIBLIOTHEEK DER

rijksuniversiteit
utrecht.

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AAN MIJN OUDERS.

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^ ^ J.quot;

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IV,

Het zij mij vergund hier mijn dank te betuigen aan hen,
die tot mijn academische opleiding hebben bijgedragen.

In het bizonder dank ik U, Hooggeleerde Wolff, Hoog-
geachte Promotor, zowel voor Uw onvergetelijke lessen, als
voor de steun en belangstelling, die ik steeds in zo ruime
mate van U mocht ondervinden.

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.........

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INTRODUCTION.

En 1926 M. J. Wolff a donné une contribution importante à la
théorie des fonctions holomorphes bornées en démontrant le théorème
suivant :

Soit la fonction w{z) = u (2) i u {z) holomorphe dans le demi-plan
D{xgt;0) de la variable complexe z = x-\\-yi et soit pour tout z de
D u (2) gt; 0. Alors il existe un nombre X, qui est positif ou nul, tel que

{2) et tendent vers À lorsque z-»- 00 dans un angle quelconque

|y| = p.v(pgt;0). Cette limite X est la borne inférieure du rapport —

lorsque z décrit le demi-plan D.

On a appelé A la dérivée angulaire de la fonction w(z) à l\'infini.

Remarquons que des démonstrations indépendantes de ce théorème ont
été données par MM. Landau et Valiron (Journal of the London math.
Soc., vol. 4, 1929) et M. CarathÉODORY (Sitzungsber. der Preuss. Ak.
der W.. 1929).

Le théorème de M. WOLFF s\'est montré d\'un grand intérêt pour di-
verses questions concernant la théorie des fonctions bornées. Nous
n\'aborderons ici que le problème des propriétés d\'une représentation con-
forme au voisinage de la frontière.

Soit donné dans le plan de la variable complexe un domaine simple-
ment connexe G dont la frontière ne se réduit pas à un point unique.
On peut faire alors la représentation conforme de G sur le cercle-unité,
c.à.d. on peut trouver une fonction 2 = 2(1^), holomorphe dans D, telle
que à chaque point de G corresponde un point intérieur au cercle-unité
|2| lt; 1, et réciproquement; autrement dit: on peut trouver une fonction
z{w) holomorphe et univalente dans G et ayant une fonction inverse
w{z) holomorphe et univalente dans le domaine |2|lt;1. On sait qu\'il
existe une infinité de telles fonctions; il suffit de connaître une seule
d\'entres elles, toute autre étant obtenue au moyen d\'une transformation
linéaire laissant invariant le cercle-unité.

Ce théorème, qui est fondamental dans la théorie de la représentation
conforme, ne nous donne du reste aucune information sur l\'allure de la
représentation au voisinage de la frontière de G. La recherche des pro-
priétés de la fonction z{w) au voisinage de la frontière de G constitue
donc un problème nouveau.

En introduisant la notion de „Primendequot;. M. CARATHÉODORY a dé-

montré, comme on sait, que la correspondance z = z{w) entraîne une
correspondance biunivoque et continue entre les points de \\z\\ = \\ et les
..Primendenquot; de la frontière de G. Si la frontière de G est une courbe
de Jordan, cela signifie que la fonction 2 {w) peut être définie sur la
frontière de G de telle façon qu\'on obtienne une correspondance biuni-
voque et continue entre le domaine fermé G et le domaine fermé | z | ^ 1.

Ce sont des résultats relatifs à des questions de continuité; on peut
se demander maintenant en quelle mesure sera conservée la conformité
de la représentation au voisinage de la frontière.

Soit a un point de la circonférence |2|=1. Supposons que la dérivée
w\'{z) tend vers une limite 1^0 etnbsp;lorsque 2 tend vers a sur tout

triang^ ayant un sommet en a et ayant tous ses autres points intérieurs
à |2| = 1. Alors la représentation sera appelée con forme en a. Le nombre
/ est la dérivée angulaire de la fonction w {z) au point a.

M. CARATHÉODORY a obtenu le résultat suivant: Soit /? un point fron-
tière de G. Supposons qu\'il existe deux circonférences tangentes en fi,
telles que tout point intérieur à l\'une soit extérieur à G et que tout point
intérieur à l\'autre soit intérieur à G. Alors il existe» un point a sur j 21 — I
tel quenbsp;et w\'{z)-^l{^0 et ^^ ex) lorsque 2^ a en restant dans

un triangle quelconque de sommet a, dont les côtés sont intérieurs au
cercle-unité, le sommet a excepté.

En utilisant une transformation linéaire on peut donner à ce théorème
la forme suivante:

Soit D le demi-plan xgt;0 de la variable complexe z^x^yi. Soit
G un domaine simplement connexe intérieur à D et comprenant un demi-
plan jcgt;a. Si alors w = iv{z) est une des fonctions qui donnent la re-
présentation conforme de D sur G de telle sorte que 2-gt; 00 lorsque
w-^ 00 suivant l\'axe réel, il existe un nombre gt; 0, tel que

w{z)

et

V ^ y

lorsque 2-?. 00 dans un angle quelconque d\'ouverture plus petite que tt
intérieur à D.

Les conditions du théorème de M. WOLFF étant réalisées par la fonction
représentatrice w(z), l\'existence d\'une limite A^O est évidente. L\'impor-
tance du théorème de M. CarathÉODORY se trouve donc dans l\'assertion
A gt; 0. Elle résulte de l\'hypothèse que G contienne un demi-plan. Cepen-
dant cette hypothèse n\'est pas nécessaire, comme le montre la fonction

log (2 e)

où log (2 e) désigne cette branche de log (z -f e) qui est égale à un
pour 2 = 0. u^(z) donne la représentation conforme de D sur un domaine

intérieur, qui ne contient pas un demi-plan, tandis que w\' {z) 1 lorsque

oo.

Pour qu\'il existe une fonction {z) donnant la représentation conforme
de D sur un domaine intérieur G et ayant une dérivée angulaire A gt; 0.
il est évidemment nécessaire que G contienne des angles d\'ouverture ar-
bitrairement voisine de n. Mais cette condition n\'est pas suffisante, comme
le montre la fonction

t \\nbsp; e

Nous sommes conduits ainsi à poser le problème suivant:

Soit G un domaine simplement connexe intérieur au demi^plan D.
Supposons que G contienne des angles d\'ouverture aussi voisine de n
que Ion veut. Soit w{z) une fonction donnant la représentation conforme
de D sur G telle que z-^oo lorsque iv-^(x suivant l\'axe réel. On
demande une condition nécessaire et suffisante pour que la dérivée
angulaire de la fonction w (z) soit positive.

Nous déduirons une telle condition dans la première partie de ce
travail. Dans cette condition figurera la notion de rayon conforme. Soit A
un domaine simplement connexe ayant deux points frontières au moins
Le ^int a étant intérieur à A. on peut faire la représentation conforme
de C^sur un cercle |ir|lt;/? au moyen d\'une fonction iv {z) telle que
u.(a)-0. |a;\'(a)|= 1. Le rayon R de ce cercle ne dépend que de G
et a et est appelé le rayon conforme du domaine G en a. Nous le
désignerons par k (A, a).

Nous montrerons:

Pour que la dérivée angulaire k de la fonction w {z) soit positive, il
faut et il suffît qu\'il existe un chemin F, allant d\'un point c à l\'infini
et restant dans un angle d\'ouverture plus petite que intérieur à G,
tel que l\'intégrale, prise suivant F,

00

1nbsp;1 du\\ ,

d s

k{G.iv) 2uds

soit convergente. w = u-{-vi désigne le point qui décrit V, s est la
longueur de l\'arc cw.

Dans le cas spécial d\'un domaine symétrique par rapport à l\'axe réel
le résultat est plus simple. Une condition nécessaire et suffisante pour
que A soit positif, est alors la convergence de l\'intégrale

ce

ce

du.

k G, w) 2 u

prise suivant l\'axe réel.

La notion de rayon conforme n\'est pas d\'une nature géométrique
élémentaire. Cependant notre condition se montre un utile instrument
d investigation, grâce à une certaine propriété de monotonie du rayon
conforme. Cette propriété exprime que pour tout domaine simplement
connexe A\' intérieur à A et contenant a l\'inégalité k {A\', a)^k a)
a lieu. Cela permet dans bien des cas d\'évaluer des valeurs approximées
pour le nombre k{G.w), qui figure dans notre condition. C\'est ainsi
que nous avons établi dans la deuxième partie de ce travail quelques
conditions qui sont suffisantes pour que A soit positif et dans lesquelles
ne figurent que des propriétés géométriques élémentaires du domaine G.

Une autre propriété du rayon conforme est exprimée par l\'inégalité

k (A. a) ^

où (A) désigne l\'aire de A. De là nous déduirons que pour un domaine
G défini par

^gt;0 . \\y\\lt;h{x).
où h (x) est une fonction continue et positive, la condition

oo

dx

f

est nécessaire pour que /I soit positif. Si la fonction h (x) n\'est pas
décroissante, cette condition se montrera aussi suffisante.

En utilisant des notions de géometrie non-euclidienne on peut donner
à notre condition une forme très simple. Si la fonction z (w) donne la
représentation conforme d\'un domaine A sur le cercle-unité | z | lt; 1.
l\'expression

quot; 1-1 / M2 \\dw\\

1—kHr

est. comme on sait, l\'élément linéaire d\'une métrique hyperbolique dans A.

Cette métrique est indépendante de la fonction représentatrice spéciale

et les angles ont la même mesure comme dans la géométrie euclidienne
On

a évidemment

k (A. w) \'

où ds désigne l\'élément linéaire euclidien.

Adoptons une telle métrique dans les domaines G et D. En désignant
par da^ et c/a^ les éléments linéaires, on a

j ___ J _

où u est la partie réelle de u.. Puisque k {G. w)lt; k (D.w), sauf dans le
cas où G = D,

est l\'élément linéaire d\'une métrique riemannienne dans laquelle les longu-
eurs sont positives.

Plaçons-nous dans le cas d\'un domaine G symétrique par rapport à
laxe réel et contenant l\'intervalle c^alt; a,. Notre condition devient
alors :

Pour que la dérivée angulaire X soit positive, il faut et il suffît que
la partie c, oc de l\'axe réel ait une longueur finie dans la métrique don-
née par l élément linéaire do = do^ — da^.

PREMIÈRE PARTIE,

L\'objet du présent article est l\'étude .d\'une question qui se rattache à
un théorème de M. J. WOLFF. Soit la fonction w (z) holomorphe et de
partie réelle positive dans le demi-plan D{xgt;0) de la variable com-
plexe z = x yi. Le théorème de M. WOLFF dit que dans ces conditions
la dérivée tr\' (z) tend vers une constante qui est nulle ou positive,
lorsque z^oo dans tout angle \\y\\^px, p étant une constante positive
arbitraire \').

Le nombre 2. s\'appelle la dérivée angulaire de w {z) à l\'infini.

Dans le cas d\'une fonction {z) univalente, représentant D sur un
domaine intérieur, l\'inégalité A gt; 0 exprime la conformité de la repré-
sentation à l\'infini. Inversement on peut demander de chercher des con-
ditions auxquelles doit satisfaire un domaine intérieur G de D, pour qu\'il
existe une fonction w (z) représentant D conformément sur G et ayant
une dérivée angulaire positive à l\'infini.

Quelques conditions qui sont suffisantes sont connues Je me propose
de déduire ici une condition qui est nécessaire et suffisante et qui permet
de ramener le problème à celui des propriétés d\'une représentation con-
forme en un point intérieur.

^ Pour éviter de renvoyer le lecteur à d\'autres Mémoires, je démontrerai
d\'abord les propriétés dont je ferai usage.

§ I.

Le Théorème de WoLFF.
Théorème. Soit la fonction

w{z) = w {x yi) = u (z) iv (z)

\') J. WOLFF, Comptes rendus. 183, 1926, p. 500. Voir aussi:

c. carathèODORy. Sitzungsberichte der Preuss. Ak. der Wiss.. 1929 p 39-

E. Landau et G. Valiron. Journal of the London Math. Soc.\'. Vol. IV 1929 o 15
2) c. carathêodory, i. c. \').nbsp;\'

G. Valiron. Bulletin des Sc. math.. 2c série, 53. 1929. p. 70;
L. AhlfoRS, Acta Soc. Scient. Fennicae. Nova Series A. I, IX. 1930-
Î. Wolff, Comptes rendus, 191. 1930. p. 921 ;
C. Visser. Comptes rendus. 193. 1931. p. 1388;

J. G. van der corput. Proc. Kon. Ak. van Wet.. Amsterdam. 33. 1932, p. 330.

{x. y,u et V réels) holomorphe dans le demi-plan D (x gt; 0) et soit en
tout point z de D

« {z) gt; 0.

Alors il existe un nombre X. qui est positif ou nul. tel que pour tout
P gt; 0

w\' [z)

lorsque z ^ oo dans l\'angle | //1 ^ p a:.

Démonstration. Soit Zo = Xo i/o i un point de D. w {zo) = = Uo .^o L
Désignons par z*, et w^ les points symétriques de Zo et «^o par rapport
à l\'axe imaginaire.
La substitution

—IZLfo

transforme le demi-plan D biunivoquement le cercle unité K|lt;L
En posant

w{z {c))-w;

on obtient une fonction rp {C) qui est holomorphe dans le cercle unité

^^^ P\'quot;^nbsp;tandis que

7^(0) = 0. On peut appliquer alors le lemme de SCHWARZ, qui donne

et par conséquent

iv (z) — wî

en tout point z de D. Si ^ l\'inégalité (1)-peut exprimer sous la forme

et en faisant z-^Zq on obtient

quot;o

Comme

il résulte de (1) que

«0 ^

U ÜO ~

donc ■

^nbsp;ATn

Supposons que z soit situé dans l\'anale I » I
tempsnbsp;Alors --nbsp;^ lî^l^P^. et soi

on a

ou bien

...........

Cela posé. dés,3„„„. , ,,nbsp;^^ ^^nbsp;^

le de.,-plan Z.. , e. p„.,, „„, ^ e„ „„nbsp;. de D

Soit e „„ „o,„b.e po.«f arbitraire. Choisissons .. de façon ,„e

•^0

Il en résulte

lorsque z ^ oo dans 1\' angle \\y\\^px.

Appliquons enfin l\'inégalité (2) à la fonction w{z)-kz. On obtient

X

et par là

w\' (z) A.

lorsquez^ûo dans l\'angle \\y\\^px. Ainsi le théorème est démontré.
Remarquons que l\'on a encore comme conséquence

z

lorsque z oo dans tout angle | i/1 = p at.

Le nombre A s\'appelle la dérivée angulaire de tv {z) à l\'infini.

§ 2.

Le Critère de CarathÉODORY.
La dérivée angulaire est positive ou nulle; tous les deux cas peuvent

se présenter. On doit à M. CarathÉODORY une condition qui est suffisante

pour que l soit supérieur ou égal à un nombre X^. Nous l\'utiliserons
sous la forme suivante\'):

Théorème. Pour que la dérivée angulaire l soit supérieure ou égale
à il suffît qu\'il existe une suite de nombres z„ tels que

00 , w{z„)-^oo lorsque nex.....(5)

tandis que

(n=l,2,...).....(6)

Lgt;émonstration. Appliquons (1) aux points z et z„. En posant iv„=ip (z„)
et en désignant par iv^ le point symétrique de par rapport à l\'axe
imaginaire, on a

L.c. •).

Il s\'ensuit que

\\W-W*n\\ — \\lV-Wn

\\w — wl\\ \\w — wn\\ I Z — Z* I I Z — z„ I

ou

_Auun_^nbsp;Axx„

{\\w-w:\\ \\w-w^\\f = {\\z-zl\\ \\z-zAY-

Donc

JL gt; ^ —nbsp;—

X = Un {\\Z-Zl \\ \\Z- Zjy

En faisant croître n indéfiniment, on obtient en vertu de (5) et (6)

La dérivée angulaire étant la borne inférieure de il en résulte

§ 3.

Considérons un domaine simplement connexe A, dont la frontière ne
se réduit pas à un point unique. On sait, d\'après la théorie générale de la
représentation conforme, que pour tout point a de A il existe une fonc-
tion unique (p {z), qui fait la représentation conforme de A sur un disque
circulaire, ayant son centre à l\'origine, de façon que

lt;p{a) = 0 ,

Le rayon du disque circulaire, qui est une fonction de a, sera appelé
rayon conforme du domaine A au point a. Nous le désignons par

fc(A,a).

Si la fonction w{z) représente le domaine A conformément sur un
domaine A\', on voit sans peine que

........

Cela posé, considérons un domaine simplement connexe G intérieur
au demi-plan D[xgt; 0). Supposons que G contienne des angles d\'ouverture
aussi proche de n que l\'on veuille. D\'après la théorie des ..Primendenquot;
de M. Carathêodory on peut faire la représentation conforme de D
sur G par une fonction w (z) de manière que z ^ lorsque ly ^ oo
dans un angle arbitraire d\'ouverture plus petite que n et situé dans G.

Traçons dans un pareil angle, à partir d\'un point c un chemin F. qui
s\' éloigne indéfiniment. Les points de F seront représentés par

où s est la longueur de l\'arc cw. On a donc iv(s)-»oo lorsque s-»00

et de plus le rapport ^^ reste borné.

u(s)

Remarquons que l\'on a aussi

z(u;(s))^oo.........(8)

lorsque s—» 00.

D\'après (7) on a en tout point tf de G

donc sur F

dz{w) _
ds k(G.wy

k{D. z) = 2x\'.

dzjw) _ 2x__
ds ~k (G, w) \'

Remarquons que

cfs ^ ( z (ly)

Il en résulte

2x d\\z

ds

Donc

2 d\\z

ds X ds k{G,w)\'
En ajoutant aux deux membres de cette inégalité l\'expression

2 d

I u; I ds

on obtient

AT k (G, w) IIVI (is u ds

Par là

____ . J_ ^^

k{G. w) \\w\\ ds u ds
Il en résulte que la fonction

_ ff 2__2nbsp;1 du\\

2 tlnbsp;j \\k {G. w) I u. ( d, ^ u dsj

2 d\\w

— e c

X

n\'est jamais croissante. Elle tend donc vers une limite, qui est positive
ou nulle, lorsque w oo sur F.

Supposons maintenant que l\'intégrale

ds .... (9)

k{G,w) \\iv\\ ds u ds^
reste bornée lorsque w s\'éloigne indéfiniment sur F. Alors l\'expression

reste bornée lorsque w décrit le chemin F et en vertu de (8) il résulte
du critère de M. CARATHÊODORY que la fonction w (z) a une dérivée
angulaire positive à l\'infini.
Puisque

k(G.iv) Itvl ds u ds)

, , - /M du , ^ r d w\\ ,

\\ k (G. w) 2u ds
f 1

__, ,

et que

k{G. w) — k{D.w) ~2u\'

la condition que (9) soit borné, revient au même que la condition que
l\'intégrale, prise suivant I,

.......

soit convergente.

Nous avons obtenu ainsi le résultat suivant: Soit G un domaine sim-
plement connexe intérieur au demi-plan D. Pour qu\'il existe une fonction
représentant D conformément sur G et ayant une dérivée angulaire po-
sitive à l\'infini, il suffit que d\'abord G contienne des angles d\'ouverture
aussi proche de ji que l\'on veuille et qu\'en outre il existe un chemin F,
ayant les propriétés signalées plus haut, sur lequell\'intégrale (10) converge.

§ 4.

Je vais montrer que la condition qui vient d\'être donnée est nécessaire.
Considérons un domaine G intérieur à D et supposons qu\'il existe une
fonction

w{z) = u {z) i V (z),
donnant la représentation conforme de D sur G de façon que

lorsque z oo dans un angle arbitraire \\y\\—px.

D\'abord il est clair que dans ces hypothèses G contient des angles
d\'ouverture arbitrairement voisine de n.

Considérons maintenant l\'image du segment 1=a:lt; oo de l\'axe réel.
C\'est évidemment une courbe F telle que nous l\'avons considérée pré-
cédemment. Je montrerai que l\'intégrale, prise suivant F,

1nbsp;\\ du\\ .

ds........(11)

k (G, w) 2u ds

/

où c=u;{l), est convergente.
Or en tout point iv de F

I / / \\ I dx

donc

dx_k{D,x)_ 2x
ds k (G, w) k (G, w) \'

Par suite

d , X ^ r inbsp;1

-r log —= 2
ds u

donc

log ^ = const 2 j (jj^ quot; ^ ^^

Puisque

u X

lorsque w-*-oo sur F, il en résulte que l\'intégrale (11) converge.

On a obtenu ainsi la proposition suivante:

Théorème. Soit G un domaine simplement connexe intérieur au demi-
plan D (jc gt; 0) de la variable complexe z = x-\\- y i. Une condition
nécessaire et suffisante pour qu\'il existe une fonction [représentant D
conformément sur G et ayant une dérivée angulaire positive à l\'infini
est que :

1°. G contienne des angles d\'ouverture arbitrairement voisine de n.

2°. Il existe dans G un chemin F ayant pour origine un point c de
G et aboutissant à l\'infini tel que le rapport v : u reste borné sur F
et que l\'intégrale, prise suivant F,

soit convergente.

§ 5.

Considérons les domaines G qui sont symétriques par rapport à
1\' axe réel. Alors on peut simplifier les conditions de notre théorème.

D\'après le principe de la symétrie de schwarz, on peut faire la
représentation conforme de D sur un domaine simplement connexe G
intérieur à D et symétrique par rapport à 1\' axe réel au moyen d\'une

fonction w {z) qui est positive lorsque z est positif et qui est telle que
if (z)-^ oo lorsque zoo sur 1\' axe réel. En posant z=x=yi, w=u-^m,
on a en tout point u = c

^_I _k (D, .y)_ 2x

Wl——

donc

du

Si u croît indéfiniment, le rapport — tend vers la dérivée angulaire de

la fonction w (z). On obtient donc le théorème suivant :

Théorème. Soit G un domaine simplement connexe intérieur à D et
symétrique par rapport à 1\' axe réel. Une condition nécessaire et suffi-
sante pour qu\'il existe une fonction représentant D conformément sur
G et ayant une dérivée angulaire positive à l\'infini est que l\'intégrale

1

k{G.u) lu

prise sur un segment c^u lt;i oo de l\'axe réel intérieur à G, soit con-
vergente.

DEUXIÈME PARTIE.

Le problème qui nous occupe est le suivant:

Etant donné un domaine simplement connexe G intérieur au demi-
plan D(xgt;0) de la variable complexe z = x y i, on demande de
conclure à la possibilité ou à l\'impossibilité de représenter D conformément
sur G au moyen d\'une fonction w (z) ayant une dérivée angulaire posi-
tive à l\'infini.

Dans la première partie de ce travail, \') que nous désignerons dans le
suivant par I, nous avons démontré un théorème qui donne une condition
nécessaire et suffisante pour qu\'une telle représentation soit possible

(L§4).

Dans cette deuxième partie ce théorème a été pris comme point de
départ. Nous allons déduire d\'abord comme conséquence immédiate une
proposition importante de M. G. ValirON^). Ensuite nous donnerons
quelques conditions qui sont suffisantes pour que les conditions du théo-
rème soient réalisées. On arrive ainsi d\'une façon simple à des résultats
déjà connus. Pour une certaine classe de domaines G nous établirons
également une condition qui est nécessaire pour qu\'une représentation
avec une dérivée angulaire positive soit possible. Enfin nous arriverons
pour une classe spéciale de domaines G à une condition nécessaire et
suffisante.

§ 1.

Démontrons d\'abord un lemme qui nous sera utile. Soient G et H
deux domaines simplement connexes dont les frontières contiennent plus
d\'un point et dont G est intérieur à H. Alors en tout point a de G

k{G, a)^k{H.a).

Pour démontrer celà, désignons par (p {w) et rp {w) deux fonctions qui
représentent respectivement G et H conformément sur le cercle unité
I z I lt; 1 de telle manière que lt;p {a) = (a) = 0. On a alors

, k{H.a) =

1)nbsp;C. Visser, Proc. Kon. Ak. van Wet. Amsterdam. 38, 1935, p. 402.

2)nbsp;G. ValirON, Bulletin des Se. math., 2e série. 53, 1929, p. 70.

En désignant par ƒ (z) la fonction inverse de (p {tv), la fonction

F{z) = y^\\f{z)\\

est holomorphe pour | z | lt;C 1, elle s\'annule à l\'origine, tandis que son
module reste plus petit que un. Alors |F\'(0)|= 1. donc

c\'est-à-dire

k(G. a)^k{H. a).

Considérons maintenant un domaine G intérieur au demi-plan D(a:gt;0)
pour lequel les conditions du théorème de I. § 4 soient réalisées. Soit H
un domaine simplement connexe intérieur à D et comprenant G. G con-
tient des angles d\'ouverture arbitrairement voisine de Jt; H jouit donc
de la même propriété. De plus il existe un chemin F, allant d\'un point
c à l\'infini et restant intérieur à un angle d\'ouverture plus petite que tt
intérieur à G, tel que l\'intégrale, prise suivant ce chemin,

__±±)ds

k (G, w) 2u ds

converge. ip= u vi désigne le point qui décrit P. Or, en tout point
u; de G

k{H.w)^k{G, w).
Par suite, l\'intégrale, prise suivant F,

1 du\\

k{H,w) 2udsy

est convergente aussi.

Nous avons démontré ainsi un théorème de M. G. Valiron\'):
Si G est un domaine intérieur au demi-plan D pour lequel existe une
fonction faisant la représentation conforme de D sur G et ayant une
dérivée angulaire positive à l\'infîni, une telle fonction existe pour tout
domaine simplement connexe intérieur à D et comprenant G.

3) l.c. (2).

§ 2.

Soit G un domaine simplement connexe intérieur à D. Supposons que
G contienne des angles d\'ouverture arbitrairement voisine de ti. Alors il
existe un nombre c gt; 0 tel que le segment c = u lt; oo de l\'axe réel soit
intérieur à G. Les conditions du théorème de L § 4 sont verifiées si
l\'intégrale, prise suivant l\'axe réel.

da........(1)

est convergente.

En utilisant le lemme démontré au début du paragraphe précédent, il
est aisé d\'obtenir des critères qui sont suffisants pour que cette intégrale
soit convergente.

Considérons pour tout u gt; c^ le domaine ƒƒ„, défini par

xgt;y\'li , lui lt; m ^u). (x— l^u).

où m {t) signifie la borne supérieure des nombres M pour lesquels le
domaine

xgt;t , \\y\\lt;M(x—t)

reste intérieur à G.

On peut supposer c gt; 1. Un calcul facile montre que

ji
T

en supposant u\'^ t^c.
Donc

k{G.u)^k{H.,u) = 2{u-\\/u)

71

y

Il en résulte que la condition

Donnons une application. Considérons une fonction continue h (t),
définie pour t = 0 et ayant les propriétés suivantes:

;i(0) = 0 . h(t)gt;0 lorsque tgt;0,

h{t) , .

n est jamais décroissant.

Soit G le domaine défini par

^gt;0 . \\y\\lt;h{x).

Alors on peut faire la représentation conforme de D sur G au moyen
d\'une fonction ayant une dérivée angulaire positive à l\'infini si l\'intégrale

est convergente.

Car on a d\'abord, comme résulte de la monotonie de ^^,

t

h(t)

—--gt; 00 lorsque oo,

d\'où résulte que G contient des angles d\'ouverture aussi voisine de ji
que l\'on veut.
De plus

rgt;t r —fnbsp;rnbsp;t

Donc

f dt ^ r dt ^

lt; oc.

h{t)

Les conditions du théorème de I. § 4 étant remplies, notre assertion
est justifiée.

§ 3.

Dans ce qui précède nous avons comparé le domaine G avec les do-
maines angulaires intérieurs à G. On peut obtenir un résultat plus précis
en considérant une autre classe de domaines intérieurs à G.

Désignons pour u gt; c par (u) la borne supérieure des nombres r
pour lesquels la circonférence

z — u

est intérieure à G. Le domaine Ha, défini par

z—unbsp;. .

7T-n

est alors intérieur à G. Donc

En représentant H„ sur le cercle unité on obtient aisément

\' k{Ha,u) = fi{u).2u.
Il en résulte que la condition

1

1 1 — lt; 00,

fl{u) J u

est suffisante pour que l\'intégrale (1) converge.^)

M. J-G. VAN DER CORPUT a donné à cette condition une forme
plus habile. Nous nous bornerons à traiter un cas spécial. Considérons
une fonction continue h[t), définie pour t=Q et ayant les propriétés
suivantes :

h{0) = 0 , h{t)gt;0 lorsque t gt; 0.
h (t) n\'est jamais décroissant.
Alors la condition (4) est vérifiée si l\'intégrale

00
l

est convergente. On a ainsi une généralisation du résultat à la fin du
paragraphe précédent.

Pour la démonstration, remarquons d\'abord que la convergence de (5)
entraîne celle de

1

«I —2 {Max x) du.

C. Visser, Comptes rcndus. 193, 1931, p. 1388.
5) j. G. van der corput, Proc. Kon. Ak. van Wet. Arasterdam, 33, 1932, p. 330.

»,nbsp;n l

{Maxx)dalt; I Maxnbsp;=

J quot; h(x)^unbsp;n=l h(x)^n-\\-l J quot;

^ ^ njrnbsp;^ / 1

Max x= lim 2quot;

, - ivia^ ^ — iim ^---Ivlax

n=l V quot; quot; i- Vnbsp;N-»« n=l V quot; quot; V A W^n l

/nbsp;w 1nbsp;I

= lim Maxnbsp;- (Majc at— Max x) — ^rv- Majc

Max x

00 jl^nbsp;-«» J A

lt;Maxx l— (Max at-Max x)lt; Max x 1-(n l) f—lt;

Max X
h{x)^n

Max X

lt;Maxx 2i f ^=Maxx 2 r^lt;oo.

Max x
/»W^n

On a de plus

■ 0 lorsque x—gt; oo.

Puisque

on obtient

= Max

4x

o^xlt; «nbsp; h (xy (i^{x uy h (x)2 h (3^)

lt;nbsp;Max Max

h{x)^u h {x) ^ u

lt;nbsp;Max 4 Max

h(x)^u h(x)^u h{x).x

= Max 74-T.
h{x)^u h M

Il résulte de (6) que pour u suffisamment grand la relation h (x) u
a comme conséquence x lt;C Donc pour u suffisamment grand

1

— lt; Max--r

8nbsp;4

= [Max x) -f

Il s\'ensuit que l\'intégrale (4) est convergente si l\'est l\'intégrale (5),

§ 4.

Nous allons déduire maintenant pour une certaine classe de domaines
un critère qui est nécessaire pour que les conditions du théorème de
I. § 4 soient réalisées.

Nous ferons usage de l\'inégalité suivante. Soit A un domaine simple-
ment connexe dont la frontière comprend deux points au moins. Désignons
par (A) l\'aire de A. Alors en tout point a de A

71

Pour le prouver, considérons une fonction

f{z) = a ai z a2 4-----

représentant le cercle unité | z |lt; 1 biunivoquement sur A. On a, comme
on sait.

n=l

Donc

A: (A, a) = I ai I ^

Cela posé, soit G le domaine défini par

JCgt;0 , \\y\\lt;h{x),

où h{x) est supposé continu et tel que /z (0)=:0, /i(a:)gt;0 lorsque a: gt;0.
Supposons qu\'il existe une fonction donnant la représentation conforme

de D{xgt;0) sur G et ayant une dérivée angulaire positive à l\'infini
Parce que G est symétrique par rapport à l\'axe réel, la condition du
théorème de I. § 5 est réalisée, c-à-d. l\'intégrale

1 1

k (G, u) lu

est convergente. On a donc aussi en vertu de k{G.u)^lu

oe

J

1

Soit u gt; 0. La fonction

z— u

z u

représente G sur un domaine A intérieur à |f|lt; 1. On

lu

= f T f/ ày = 4 r f -^ dx dy_

Donc

k (G. n) = luk{A,0)^lu]/i^ = 2u]/l -

lnbsp;2n

d\'où résulte

n

Il s\'ensuit que

du lt; oo.

0 —h 0 0

h _h_\\

0

Or

, h__, ^ 1

x u

Donc

dx

d\'où résulte

^ —A ^ ^ rnbsp;. r dx

0

Parce que G contient des angles arbitrairement voisine de Jt, on a
pour X suffisamment grand h^ x\\ on voit donc que l\'intégrale

00 • 00

0nbsp;1

doit être convergente.

Comme

[3h uy

- ff fnbsp;f du \\ , _

J U (sTTwJ^^-
10 0

Oonbsp;Oonbsp;^

dx

6h{xy

1

il résulte que l\'intégrale

est convergente.

Nous avons démontré ainsi le théorème suivant:
Théorème, Soit G le domaine défini par

xgt;Q , Ij/K/iW.

où h{x) est une fonction continue telle que h{0) = 0, h{x)gt;0 lorsque
xgt;0. Une condition nécessaire pour qu\'il existe une fonction donnant
la représentation confirme de D{xgt;0) sur G et ayant une dérivée
angulaire positive à l\'infini est que l\'intégrale

soit convergente.

En vertu de ce théorème et du résultat de § 3. on obtient enfin la pro-
position suivante:

Théorème. Soit G le domaine défini par

xgt;0 . \\y\\lt;h{x).

où h {x) est une fonction continue pas décroissante telle que h (0) = 0,
h{x)yO lorsque jfgt;0. Une condition nécessaire et suffisante pour qu\'il
existe une fonction donnant la représentation conforme de D(a:gt;0) sur
G et ayant une dérivée angulaire positive à l\'infini est que l\'intégrale

uv

\' dx

h{x)

soit convergente.

■ ■ ■. I\'- . \'T

, V . . T . ,

Äv;

f i. ■.^O\' v -\'K. ■

V\' ,

siWi.

«f

r, ■\'f \' \'nbsp;■■^\'^t-jli\', .

■• . 1 ;
■■■■\'iv ■••■.y, O\'-\',

h

STELLINGEN

I

Zij in het gebied G van het complexe vlak gedefinieerd een reële
functie n{z) met de eigenschap, dat i.i{z) nergens een maximum bereikt.
Is dan f{z) een in zeker gebied H holomorfe functie en ligt f{z) steeds
in G, dan bereikt de functie iu{f{z)) in geen enkel punt van H een
maximum.

II

Is f{t) een op het interval a^t^b sommeerbare, complexe functie
en is e(^) op dat interval monotoon niet-toenemend met e(a 0)=l,
= dan ligt

e

dt

op het convexe omhulsel van de verzameling der getallen

dtnbsp;{a^xmb).

Voor reële f(t) volgt hieruit dadelijk de tweede stelling van het
gemiddelde van de Integraalrekening.

111

Is fit) op het interval O ^ f lt; oo positief en sommeerbaar en is ft (u)
de maat van de verzameling der punten t met

it

dan convergeert de integraal

/•M

■m

r\' \' - ■

, . ■■ \'v rj^

i. ■ ■ ; .nbsp;f^t\' yV\' quot; V\'\'\'*\'-

quot;--r -i

V,

jf-

.t\' «

Onbsp;■ ,nbsp;MS , ■

1-

Vnbsp;, !. \'

\' : \\

STELLINGEN

I

Zij in het gebied G van het complexe vlak gedefinieerd een reële
functie ^{z) met de eigenschap, dat (z) nergens een maximum bereikt.
Is dan f{z) een in zeker gebied H holomorfe functie en ligt f{z) steeds
in G, dan bereikt de functie /i(f(z)) in geen enkel punt van H een
maximum.

II

Is f{t) een op het interval a^t^b sommeerbare, complexe functie
en is E(t) op dat interval monotoon niet-toenemend met £(a4-0)=l.
= dan ligt

dt

op het convexe omhulsel van de verzameling der getallen

Jm

Voor reële f{t) volgt hieruit dadelijk de tweede stelling van het
gemiddelde van de Integraalrekening.

III

Is f{t) op het interval 0^flt;oo positief en sommeerbaar en is (ri)
de maat van de verzameling der punten t met

fitm-.

II

dan convergeert de integraal

2 du

Met een bizonder geval van deze eigenschap hebben we in II § 3
van dit proefschrift te maken.

IV

In zijn artikel „Monotone Funktionen, STiELTjESsche Integrale und
harmonische Analysequot; (Math. Annalen 108, 1933, p. 378) neemt S.
BocHNER de theorie van de Inhaltsfunktionen van H. HahN te hulp
voor zijn uitbreiding van de „Auswahlsatzquot; van Helly. Dit kan op
eenvoudige wijze worden vermeden.

V

Tegen de door B. von KéRÉKJARTó gegeven definities van topologische
en continue deformaties kunnen bezwaren worden aangevoerd.

(Vorlesungen über Topologie, Einleitung, p. 7).

VI

De door S. LefsCHETZ gegeven bepaling:

„Een afbeelding van een topologische ruimte op een andere is continu,
als het beeld van iedere open verzameling in de eerste een open ver-
zameling in de tweede ruimte isquot;
is niet juist.

(Topology, Introduction, p. 3).

VII

Bij het systeem, dat tegenwoordig in ons land bij de loting voor de
militaire dienstplicht gevolgd wordt, zijn de kansen der deelnemers niet
gelijk.

VIII

Door de beschouwingen van J. H. TummerS wordt het wetenschappe-
lijke karakter der Speciale Relativiteitstheorie niet aangetast.

(„Physicaquot;, 1930, 10e Jaargang, p. 259).

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