llllllii g inillllllllllllllllllll

A. J. J. DUBBELD

G E H E E L E
F U N C T I E S

biblioth£e:lt; der

rijksuniver3ite1t
ut r ecu t.

feX;VV^--J: -, w

ftó;;::;:

! ■'•

.'-r-fv-.;

-, 'K Ir.' . '■ ■

■ t.i'-. . •

•Vi,.

quot; ■■Wf.i

■••«•■ • , - j.. • .....

! ■

: ■■ - \

m

Mm

m

GEHEELE FUNCTIES

-tr' V-».'

S

■ ■ V '■gt; -

GEHEELE FUNCTIES

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE
UTRECHT OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAG-
NIFICUS Dr L. S. ORNSTEIN, HOOGLEERAAR IN
DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT TE VERDEDIGEN TEGEN DE
BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS-
EN NATUURKUNDE OP MAANDAG U MAART
1932, DES NAMIDDAGS TE 3 UUR

DOOR

ADRIANUS JOHANNES JOSEPH DUBBELD
GEBOREN TE 'S-HERTOGENBOSCH

H. J. PARIS
AMSTERDAM MCMXXXII

ßlEUOTHu'u.'^ Dcn
RIJKSUI^IVERGITEiT
UT R EC(;T.

GvalJ.

AAN MIJN OUDERS
AAN MIJNE VROUW

■

... ■

Bij het voltooien van dit proefschrift is het mij een aangename
taak U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde
mijn oprechten dank te betuigen voor hetgeen Gij tot mijn weten-
schappelijke vorming hebt bijgedragen.

Deze dank geldt in de eerste plaats U, Hooggeleerde Wolff,
Hooggeachte Promotor, zoowel voor Uw heldere colleges als voor
de steun en leiding, die ik bij de samenstelling van dit proefschrift
van U zoo ruimschoots mocht ondervinden. Uw daadwerkelijke
belangstelling zal mij steeds in dankbare herinnering blijven.

Ook U, Hooggeleerde Emeritus De Vries, zal ik steeds dank-
baar blijven voor Uw interessante colleges.

Hooggeleerde Kramers, wil ook Gij mijn dank aanvaarden
voor het heldere inzicht, dat Gij mij hebt gegeven in de problemen
der moderne theoretische natuurkunde.

Hooggeleerde Ornstein, U ben ik dank verschuldigd voor Uw
belangwekkende colleges en in het bijzonder voor Uw leiding en
hulpvaardigheid bij mijn practisch werk op Uw laboratorium.

Ten slotte ben ik ook U, Hooggeleerde Nijland, zeer erkentelijk
voor het vele, dat ik van U heb geleerd.

:ii;;nbsp;ninbsp;• ' . / ■■■ ■:}

f^'vinbsp;, ' ;nbsp;v ' , iiquot;^;';. '-iJ-^ô

•;.;.■/:,':;•nbsp;aîjjJï nn y.,--} '.]•■•nbsp;■ •■♦i.ri^- o: quot;

; _nbsp;_ • ,, , gt; A'.'■ -

INHOUD

HOOFDSTUK I

§ 1 — Inleidende eigenschappen................................I

§ 2 - Algemeene stelling over holomorfe functies..................3

§ 3 — Toepassing op geheele functies. Formule van Jensen ....nbsp;4

§ 4 - Gevolgen van de formule van Jensen......................7

§ 5 - Theorema van Hadamard over het reëele deel van een geheele

functie..................................................7

§ 6 - Constructie van een geheele functie, die sneller groeit dan een

gegeven monotoon stijgende functie........................9

HOOFDSTUK II

§ 7 - Orde en Schijnorde van een geheele functie......

S 8 - Verband tusschen orde en schijnorde.........

§ 9 - Voorbeelden van geheele functies van eindige schijnorde en orde 14
§ 10 - Schijnorde van de som, respectievelijk het product van 2 geheele

functies.......................

§ 11 - De „maximale termquot; in de reeksontwikkeling van f {z) .
§12- Ongelijkheden, waaraan de coëfficiënten van de reeksontwikke

ling van f {z) voldoen................

§ 13 - Een noodige en voldoende voorwaarde voor eindige schijn
orde p' ......................

HOOFDSTUK III

§ 14 - Algemeene gedaante van een geheele functie zonder nulpuntennbsp;22

§ 15 — Geheele functies met een eindig aantal nulpunten.....23

§ 16 - Geheele functies met een oneindig aantal nulpunten. Stelling

van Weierstrasz....................24

§ 17 - Definitie van het geslacht. Hulpstelling..........2ö

§ 18 - Stelling van Poincaré..................27

§ 19 - Geheele functies van het geslacht nul...........29

§ 20 - Vervolg.........................32

§ 21 - Over het tot nul naderen van ^ voor geheele functies

van het geslacht nul..................35

HOOFDSTUK IV

§ 22 - Stelling van Landaü..............................gg

co T

§ 23 - Twee stellingen over de convergentie van de reeks 2 JL,nbsp;43

»=1 li

§ 24 - Vervolg..........................45

§ 25 - Stelling van Hadamard...................

§ 26 - Verband tusschen orde, schijnorde en geslacht van geheele

functies....................50

§ 27 — Andere definitie van de schijnorde als in § 7.......51

HOOFDSTUK V

§ 28 - De karakteristieke functie t (r) van r. Nevanlinna.....53

§ 29 - Eigenschap der karakteristieke functie. Verband met log M (r).nbsp;64

§ 30 - De functie T (r) voor functies samenhangend met f {2) . . .nbsp;ö7

§ 31 - Belang van het voorafgaande. Toepassingen........6g

§ 32 - Hulpstelling over de logarithmische afgeleide van f (z) .nbsp;61

§ 33 - Toepassingen van de hulpstelling.............65

§ 34 - Onderste grens van een geheele functie..........67

§ 35 - Stelling van Borel..............................68

§ 36 - Hulpstelling...................| ' 'nbsp;71

§ 37 - De stelling van Borel voor de enkel- en tweevoudige nul-
punten ..............................................rj2

HOOFDSTUK I

§ 1 — Inleidende eigenschappen.

Een geheele functie van de complexe variabele z is een functie,
die holomorf is in het heele eindige vlak. Zoo'n functie is dus ge-
karakteriseerd door het feit, dat de convergentie-straal van haar
Taylorsche ontwikkeling oneindig groot is.

Daar in het vervolg de nulpunten van zoo'n functie ter sprake
zullen komen, maken we daarover even een opmerking vooraf.
Zij / (z) een geheele functie, die niet overal nul IS, en lt;Xj, «2» 03»....
haar nulpunten, In ieder afgesloten gebied kunnen deze nu slechts
in eindig aantal aanwezig zijn, daar hun verzameling anders een
verdichtingspunt zou hebben en dus / (z) = O zou zijn. Dien-
tengevolge kunnen we ze gerangschikt denken naar de klimmende
moduli, wat we dan ook steeds zullen doen, zoodat we onderstellen:

1 ai 1 ^ 1 a^ 1 ö 1 ag I ^ . . . .,
waarbij, ingeval aj^ een v-voudig nulpunt is:

«A-l «A = «A i =----= «A r-l ^

Beschouwen we nu weer de geheele functie:

/ {Z) = .....

dan hebben we direct de volgende:

Stelling 1:
Iedere begrensde geheele functie is een constante.

Bewijs:

Zij overal \ f (z) \ lt; M, dan volgt uit de schatting van Cauchy
voor de coëfficiënten a^:

I 1 lt; — voor iedere R.
1 nl

Hieruit volgt echter, dat «n =0 voor « = 1, 2, 3, . . . ., waar-
uit de stelling blijkt.

Deze stelling kunnen we uitbreiden tot de volgende:

Stelling 2:

Bestaat er een getal q, zoo dat voor \z\gt; 0:

f{z)

lt; M,

Z1

00

waarin M een vast getal is en f (z) de geheele functie Z a^ voor-

0

stelt, dan is f (2) een ■polynoom van den graad q hoogstens.
Bewijs:

00

0

Deelen we beide leden hiervan doornbsp;en integreeren we

langs een cirkel C om O, dan krijgen we: (w gt; 0)

ff{z)dz O .

/-i-AJ-- —271% ttn q.

c

Daar nu ] / (i;) | lt; MR^ volgens het onderstelde, als R de straal
voorstelt van cirkel C, volgt hieruit:

2jtR 2nM

M

zoodat dus: | an q I lt; gt; wat R ook is, m. a. w. =0 voor

R

iedere waarde van « gt; O, waarmee de stelling bewezen is.
Stelling 3:

Iedere geheele functie f (z), waarvan het reèele deel u {z) overal
grooter is dan nul, is een constante.

Bewijs:
Stellen we:

dan is g {z) ook geheel, maar met | g (2) | lt; 1, omdat:

We vinden dus, dat g (z) een begrensde geheele functie is, dus
een constante, waaruit volgt, dat / {z) ook constant moet zijn.

§ 2 - Algemeene stelling over holomorfe functies.

Onderstelling: f (z) holomorf voor \ z\^ R:

f {z) =u (z) iv {z): V (o) = /Jq-
Bewering: Voor | | lt; 2? geldt:

O

Bewijs:

Stellen we: Un —on -{- Ptd , z = ge'quot;,
dan is voor | z | i?.-
_oonbsp;00

= ^ («« M (cos«9? isin«9gt;) =u{z) iv{z).

Onbsp;O

Hieruit volgt:

00

U (Re^*)nbsp;~

O

Door de beide leden van de laatste vergelijking te vermenig-
vuldigen respectievelijk met:

1, cosö, sinö, . . . cosnö, sinwfl, ....

en te integreeren tusschen O en 2n, leidt men hieruit af:

O

Onbsp;\n=\.2.....

2T

Substitueeren we deze waarden voor a» en ßn, dan vinden we:

Stt

1

f{z)nbsp; ^

omdat de reeks onder het integraalteeken uniform convergeert
voor Q lt; R.
De som dier reeks is:

■^■ev-O]

Rnbsp;z

1__ö) Re'* — z

R

zoodat:

2»

/W

2»

1

Re^i — z

w. t. b. w.

Gevolg:

Passen we de gevonden formule toe op de constante functie:
/ (2) = 1, dan vinden we:

2w

1 rRe^* z

2nJ ReOi —

§ 3 - Toepassing op geheele functies. Formule van Jensen.

Onderstelling: f (z) geheel.

De nulpunten van f (z) binnen den cirkel | 2 | = jR
mogen zijn: a^, Og, ... Ov. Hun beeldpunten t. 0. v.
\z\=R: a/. a^'. ..... a'y.

V

*nbsp;Z — dn

Bewering: log f (z) = Ai 7 log --r

»=1

Sitnbsp;V

Re^i — an

Re^' — a'n

nnbsp;w^l

0

Bewijs:
Stellen we:

dan is g{z) holomorf en nergens nul voor \ z\-^R. Dus is volgens
de vorige stelling:

•j

log g (.) = ^ ƒ f^' I g ^

O

waarin B een op 2jr en z'n veelvouden na bepaalde reëele con-
stante is.
Hieruit volgt:

2Tnbsp;V

O

^log(2-a„)........(1)

Passen we de formule uit de vorige paragraaf toe op de functie:

V

^log {z — a'r,).

n=l

dan is:

2«-

£ log - aj = a nbsp;Z log Inbsp;1!

Optelling van (1) en (2) levert het beweerde.

Nemen we aan weerszijden van het gelijkteeken in de gevonden
formule het reëele deel. dan vinden we:

2T

{z-an)R
{z -aj an

Dit is de algemeene formule van Jensen [5] ^ voor geheele functies.

De bijzondere vinden we door ^ = 0 te stellen en / (0) zjz O, nl.:
(wegensnbsp;1 =

2x

log I / (0) I = ^ log ^|log I / {Re^i) I

Ia„|lt;l?nbsp;O

Deze laatste kunnen we ook als volgt bewijzen:

Daartoe beschouwen we de gelijkheid van Cauchy, gevende
het aantal v (R) der nulpunten van / (z) binnen den cirkel 1] = i?;

' /-fM,, ' LiÄ,,.

2mJ f (z) In J f iRe^i)

[/(O)

Deelt men hiervan beide leden door R en integreert men tus-
schen O en R, dan vinden we:

r

J R 27iJ J f

J J t [Re^')

|ajlt;i?

= ^ ƒ I - log / (0) log / {Re^i) I i ö =
0

2»

^ De getallen tusschen de vierkante haken verwijzen naar de literatuur-
lijst achterin.

Door het reëele deel te nemen blijkt de bewering.

§ 4 - Gevolgen van de formule van Jensen.

Onderstelt men / (0) = 1, dan gaat de gevonden formule over in:

Rquot;

-flog 1 / (Re') I dó log ^ = log

ajO, . ... Oy

|a„|lt;2?

Zij nu M(R) het maximum van | / (2) | op den cirkel \ z\ = R,
dan volgt er uit:

lt;M{R), voor la.| lt;R^ ja^^J.

Dit geldt echter voor iedere R, want als R b.v. ligt in het in-
terval:

1 av k 1 = ^=1 «F ft i I .

k geheel, positief, dan heeft men vooreerst:

J^V k

lt;M{R)

a^Og .... Ov k

ofwel:

lt; M{R).

Het eerste lid hiervan is echter minstens gelijk aan dat van (1),
dus blijft (1) gelden voor R gt; \ a^ i

Analoog bewijst men, dat (1) geldt voor jR lt; | a^ |, zoodat we
hebben:

Als gegeven is een geheele functie, met / (O) —1 en nulpunten
aj, Qg, .... {gerangschikt volgens klimmende moduli) dan is:

§ 5 - Theorema van Hadamard over het reëele deel van een ge-
heele functie [6].

Onderstelling: f {z) is een geheele functie met reëel deel u [z).

Zij u (z) lt; Ar^ op oneindig veel cirkels om O met on-
bepaald groeiende stralen, en A een positieve constante,
l een geheel, positief getal of 0.

Bewering: a) f (z) is een polynoom van den graad X hoogstens.

b) f (z) is een polynoom van een graad lager dan X,
als de onderstelling vervuld is, hoe klein A ook is.

Bewijs:

Nemen we de notatie van § 2, dan hebben we gevonden, wegens
% — % ^i®» cos nd — i sin nO =

27r

nf^a^ =ju{re

waaruit volgt:

7trquot;j a^\^j\u{re \ dd.

Verder was:

=Ju (re^) dd,

zoodat:

«rquot; I I ^ ƒ{] u (re^*) | w (re^*)}dd.

O

Omdat nu | w | -f- w = 2« of O, naargelang u positief of negatief
is, komt er dus voor n = Z k, {k geheel), in verband met het
onderstelde:

I «A Ä I 2«ao lt;

ofwel:

lt; 1 , 2 I a« I 4^4
op iedere cirkel genoemd in de onderstelling.

Als ife gt; O nadert het tweede hd tot O als r^co, zoodat

aA i, ax 2----nul zijn. Q. E. D.

Het tweede deel van de bewering bewijst men op dezelfde ma-
nier, door ^ = O te nemen.

Natuurlijk geldt de stelling ook voor het imaginaire deel v (z)
van / (2).

§ 6 - Constructie van een geheele functie, die sneller groeit dao
een gegeven monotoon-stijgende functie.

Uit de steUing van de vorige paragraaf volgt, dat, als de functie
/ (z) geen polynoom is, niet alleen haar modulus ieder nog zoo
groot getal overtreft, maar bovendien, dat haar reëel deel (en
natuurlijk ook haar imaginair deel) waarden aanneemt, die voor
12 I voldoend groot in absolute waarde grooter zijn, dan ieder
vooraf gegeven getal, en zelfs grooter dan Mr^, wat de vaste ge-
tallen M en q ook mogen zijn.

We kunnen zelfs beweren, dat er geheele functies te construeeren
zijn, die sneller groeien dan iedere voorafgegeven monotoon stij-
gende functie:

Onderstelling: lt;p {r) is voor Ö lt;gt;' lt; 00 monotomv stijgend.
Bewering: Er is een geheele functie f {z) met M (r) gt; lt;p {r).

Bewijs:
We kiezen de getallen:

O lt; % lt; «2 lt; «3 lt;----

alle geheel en zóó, dat:

en stellen:

»a

. . .

dan is / (z) geheel en

M{r) =

Zij nu:nbsp;klt;r^k \, k geheel, positief,

dan is:

/ t \ni_i

M{r)gt;M ik) gt; i^j^jnbsp;(,).

Voor rgt;l is dus ilf (r) gt; tp {r).

De geheele functie / {z) C. waarin C een constante is, voldoet
dan overal voor | C | groot genoeg aan M {r) gt; tp (y).

HOOFDSTUK II

§ 7 - Orde en schijnorde van een geheele functie [2].

Zij / [z) een geheele functie met nulpunten an.

O lt; 1 Oj I lt; I «2 I ^ I O3 I ^-----

en Q een zoodanig getal, dat de reeks:

« 1

Oh

convergeert of divergeert naargelang c positief of negatief is.

Dit getal q noemt men de orde van de geheele functie, zoodat
we de volgende definitie hebben:

Een geheele junctie heet van de orde q, als de reeks:

00

convergeert voornbsp;Q,

en divergeert voor X lt; q.

Opmerkingen:

Men noemt q ook wel de convergentie-exponent van de rij der
getallen: | a^ | , | Cg |, | Ö3 |, . . . .

Voor A = ^ kan de reeks convergeeren, zooals bij a» =^nlog^n,
maar ook divergeeren, zooals bij a» =n.

In het eerste geval noemen we q de convergentie-orde, in het
tweede geval de divergentie-ovde van / (z).

Hadamard heeft nog een ander kenmerkend getal ingevoerd.
Zij M (r) = Max. \ f {z) \ en stel, dat er 'n getal a bestaat, zoo
Ul=f

dat voor iedere voldoend groote r geldt:

Mnbsp;(I)

Hierin moet o een positief getal zijn; immers, was a negatief
of nul, dan zou / (z) in het heele vlak begrensd zijn, dus constant.
Zij nu de onderste grens van de waarden van a, waarvoor (1)

geldt, dan noemt Hadamard e' de schijnorde {„ordre affarenf')
van f{z).nbsp;'

Zij is dus daardoor gekarakteriseerd, dat bij willekeurig gegeven
positieve t vanaf zekere r geldt:

M (r) lt;

terwijl bovendien voor oneindig veel waarden van r oo:

M (r) gt; .
Men heeft klaarblijkelijk:

=lim. sup.nbsp;(')

r-gt;conbsp;log r

In het vervolg beschouwen we alleen geheele functies, waar-
voor deze schijnorde eindig is, dus q' lt; co.

§ 8 - Verband tusschen orde en schijnorde.

Hulpstelling:

Voor iedere geheele functie f {z) met f (0) = 1, geldt:

log M {r)^n (^r) log 2,

waarin n {r) het aantal nulpunten van f binnen den cirkel U | = r
voorstelt.

Bewijs:

Uit de formule van Jensen volgt;

log 2.

Onbsp;ir

w. t. b. w.

De functie n (r) groeit dus voor r oo niet sneller dan de
functie logM (r).

We kunnen nu bewijzen, dat de schijnorde van een geheele
functie altijd minstens gelijk is aan de orde der functie.

Stelling van Hadamard [3]:

Heeft f (2) een eindige schijnorde q', dan is f {z) van eindige orde,
terxvijl Q — q'.

Bewijs:

Uit de voorafgaande hulpstelling volgt:

= - log2 •
Nu is als « gt; O, wegens het onderstelde, op den duur:

waaruit volgt:

zoodat wegens (1):

log2 '

en dit is op den duur weer kleiner dan r' Daar voor iedere
k gt; 0:

n^n{rn k)lt; {r» Ä)''-^quot;'
waarinnbsp;r„ = | a» ],

geldt op den duur:

rngt;n

ofwel:

,'4-3. ,' 2.

rn gt;n

waaruit volgt, dat de reeks

00

w yj'

W 3.
« = 1 quot;

convergeert voor iedere e gt; O,
waarmee de stelling bewezen is.

§ 9 - Voorbeelden van geheele functies van eindige schijnorde en
orde.

S t e 11 i n g :

Is g (z) een polynoom van den graad q, dan heeft de geheele functie:

de schijnorde q.
Bewijs:

Men heeft:nbsp;| / | = [•

Stelt men:

g {z) = ao a^z .... agz\

waarin:nbsp;= a, i^, _ O, 1.. . . . j)

ennbsp;^ = y

dan is: {z)\ = èo b,r -f b^r^ ....
waarin:

bn = an cos ntp — pn sin ntp, (» = O, 1_____q)

zoodat:

is het maximum van b. voor O ^ ® ^
dus is voor voldoend groote r en « gt; 0:

Verder is voor oneindig veel waarden van r oo en e gt; 0:
Max. |/(z)

zoodat / (z) van de schijnorde q is.

Bijgevolg is fi' een geheele functie van de schijnorde 1.
Evenzoo: sin en cos z.

-nbsp;*nbsp;equot;_p—ix

Immers:nbsp;sin z =

2i

M (r) lt;nbsp;=

terwijl voor 2 = ir bij iedere « gt; O en iedere voldoend groote r
geldt:

e' —e „(l-e)f

De geheele functie:

fc=0

is van de schijnorde i/^, daar vooreerst:

!/(,)!lt; = lt; . gt; 0).
terwijl bovendien voor iedere voldoend groote z = rgt; Q geldt:

Geheele functies van bepaalde orde:
a) Stellen we | a» | = -y/w, zoodat
1

2 ï

= w quot; en

dan is een geheele functie, die deze tot nulpunten heeft, van
de orde 2, terwijl q — 2,divergentie-orde is.

I On I = V» . log n.
1

I

waaruit volgt, dat e = f divergentie-orde is.

§ 10 - Schijnorde van de som, respectievelijk het product van 2
geheele functies.

Stelling 1:

Zijn /i {z) en /g {z) twee geheele functies, respectievelijk van de
schijnorden ei en q^, terwijl pi gt; qi^, dan heeft:

i (2) = /i (z) f, (z)

de schijnorde ej.
Bewijs:

Vooreerst hebben we voor iedere voldoend groote r en wille-
keurige « gt; 0:

Max. U I ^ Max. | {z) \ Max. | {z) ] lt;

Ul=fnbsp;|lt;l=r

Verder is voor oneindig veel waarden van r -gt; co en e gt; 0:
Max. I g- (z) I ^ Max. | /j (z) | — Max. | /g I gt;

, ,pi—è«nbsp;—*

gt; ie gt; e'^ , als ei—è'gt; ga k
wat we mogen aannemen.

S t e 11 i n g 2:

Zijn /i (z) en /, (z) twee geheele functies, respectievelijk van de schijn^
orden pi en q^, terwijl gi ^ qi^, dan is

hoogstens van de schijnorde pi.
Bewijs:

Voor voldoend groote | ^ | = y en iedere e gt; O hebben we:
zoodat wegens pi ^ pi:

\g{z)\lt;e^' lt;e
waaruit de stelling volgt.

§ 11 - De maximale term in de reeksontwikkeling van f(z).

Onderstelling: f {z)nbsp;geheel met eindige schijnorde q'.

O

fi (r) is de grootste der moduli van de termen der macht-
reeks voor \z\ = r.
Bewering: Voor iedere egt; O geldt oneindig vaak {d. w. z. voor
oo veel tot co groeiende r):

Bewijs:

Ontkenning beteekent, dat er een £ gt; O is, zóó dat voor r vol-
doend groot:

ofwel:nbsp;I «M I ^ e'quot;

ennbsp;1 an\ ^ —^ •

Voor iedere ygt;0 is dan met zekere positieve constante A,
die niet van n afhangt:

Het minimum van het rechterlid wordt bereikt voor:

gquot;'quot; i foy^quot;
zoodat:nbsp;\an\lt; A -—^ = (j .

/ w \ '1quot;
a

Bepaal nu k uit: k =
dan hebben we:

M=1nbsp;n=k l

lt;Ak.rK e'''quot; . a^'quot; 2A (i)'' B

lt; Ak.r^ . e^lquot; . a^lquot; 2^ 5.
zoodat op den duur:

M (r) lt;é = e'^

wat onmogelijk is.
Opmerking:

Natuurlijk is voor oneindig veel waarden van y oo en e gt; O

ook:nbsp;n (r) lt; ^

De schijnorde van / (z) wordt dus bepaald door die van de
„maximale termquot; fx {r).

§ 12 - Ongelijkheden, waaraan de coëfficiënten van de reeks-
ontwikkeling van f(z) voldoen.

Stelling:

Heeft de geheele functie f {z) = 2 an^ de eindige schijnorde q',

O

dan is bij willekeurig kleine e gt; 0:

1)nbsp;voor n groot genoeg:

2)nbsp;oneindig vaak:
Bewijs:

1) Volgens de schatting van Cauchy is voor iedere \ z\ = rgt; Q
en iedere n:

I «„ I ^ — •

Er is dus een positief getal A, zoo dat voor alle \ z \ = r gt; O

geldt:

j an A '

Nu wordt het minimum van het rechterlid bereikt voor:

p' e

Vult men deze waarde voor r in, dan blijkt de juistheid der
bewering.

2) Ontkenning beteekent, dat er een c gt; O is, zoo dat op den duur:

ofwel:nbsp;lanl^n- =nbsp;= .

Er is weer een positief getal A te bepalen, zóó dat steeds:

zoodat:

n = l

Waarin B een constante voorstelt.

Bepaal nu k uit:nbsp;k =

dan vinden we:

k

lt;nbsp;Akr^ 2Anbsp; B

lt;nbsp;A .nbsp; 2A B,

dus op den duur:
M

wat een contradictie oplevert.

Opmerking:

Met deze ongelijkheden bewijst men gemakkelijk de volgende
stelling:

00

De schijnorde van 2 anZquot;' is dezelfde als de schijnorde van

oo

K» j 2:«.

n=0

§ 13 - Een noodige en voldoende voorwaarde voor eindige schijn-
orde q' [11].

Uit de ongelijkheden der vorige paragraaf volgt de volgende:
Stelling:

Een noodige en voldoende voorwaarde, waaronder een geheele functie
f (z) de eindige schijnorde q' heeft, is, dat

lim. Zli^J^I = L

nlogn q'

Bewijs:

De voorwaarde is noodig, immers heeft / (z) de schijnorde q',
dan is volgens de vorige paragraaf voor voldoend groote « en e gt; 0:

1

waaruit volgt:nbsp;ZZM^I gt;

nlogn e «

Bijgevolg isnbsp;lim.nbsp;' ^ JL.

n log n Q

n = oo

Verder is oneindig vaak:

dus:

— logl^nl^ 1
♦nbsp;nlogn q' — e

ni.a.w.nbsp;lim.nbsp;^ 4 ;

«log« 0

zoodat we vinden:

hm. --' = —T-

- n log n Q

n=oDnbsp;O

Dat de voorwaarde ook voldoende is, blijkt als volgt:

Isnbsp;lin,.nbsp;^ J^

- n log n Q

« = 00 °

dan volgen hieruit de ongelijkheden der vorige stelling. Uit de
eerste ongelijkheid volgt dan, dat voor voldoend groote « en c gt; 0:

1 ön I lt;

zoodat „de maximale termquot; y» (r) kleiner is dan het maximum
van het tweede lid van de ongelijkheid, dat bereikt wordt voor

1 p' e

n = — r ^ .

e

Bijgevolg vinden we, als we deze waarde voor n invullen:

itt (y) lt; e'quot;'' ^^ vanaf zekere r.

Evenzoo bewijst men, dat voor oneindig veel waarden van
00 en c gt; 0:

De schijnorde van fi (r) is dus q', waaruit in verband met een
vorige stelling de bewering volgt.

HOOFDSTUK III

§ 14 - Algemeene gedaante van een geheele functie zonder nul-
punten.

Stelling:

De algemeene vorm van een geheele functie zonder nulpunten is:

eH{z),

waarin H {z) een willekeurige geheele functie voorstelt.
Bewijs:

Zij G {z) een geheele functie zonder nulpunten, dan is ^JA

G (z)

ook een geheele functie, omdat G (z) nergens nul is.
Hieruit volgt, dat

z

H (.z) = ƒ dz = log G {z) - log G (0)
O

ook een geheele functie is, omdat Jover iederen geslo-

r

ten weg F nul is.
We vinden dus:

waarin C een constante is.

Daar omgekeerd de functie een geheele functie is zonder
nulpunten, wanneer H een willekeurige geheele functie voor-
stelt, levert e^ de algemeene gedaante voor geheele functies
zonder nulpunten.
Gevolg:

Zijn / {z) en g (z) twee geheele functies met dezelfde nulpunten,
dan is hun quotiënt weer een geheele functie, echter zonder nul-
punten, dus van den vormnbsp;zoodat

Zij / (z) een geheele functie zonder nulpunten, zoodat:

waarin ff (z) een geheele functie is.

Is nu bovendien / van eindige schijnorde, dan moet ff (z)
een polynoom zijn. Immers heeft / de schijnorde q', dan is,
wegens Sü ff {z) = log | / 1, voor voldoend groote \ z\=r en
0:

ad i/ (2) lt;

dus volgens § 5 is (2) een polynoom met graad qi^Q' t,
dus q^Q', waaruit volgt

Daar echter volgens § 9 de schijnorde vannbsp;waarin ff {z)

een polynoom voorstelt, gelijk moet zijn aan den graad van ff {z),
besluiten we hieruit, dat de geheele functie equot;^''^ zónder nulpunten
alleen van geheele, eindige schijnorde kan zijn, ofwel:

Alle geheele functies van eindige, niet geheele schijnorde moeten
noodzakelijk nulpunten hebben.

Uit stelling 1 van § 10 volgt in het bijzonder, dat de schijnorde
van / {z) dezelfde is als van / (2) C, indien C een of andere con-
stante voorstelt. In verband met het voorafgaande kunnen we
dus zeggen:

Geheele functies van eindige, niet geheele schijnorde nemen iedere
waarde aan.

§ 15 - Geheele functies met een eindig aantal nulpunten.

Beschouwen we nu een geheele functie / {z) van eindige schijn-
orde met een eindig aantal nulpunten. Zijn deze a^ a^,... . a»,
dan is:

^ - {z-a,)....{z-an)

een geheele functie zonder nulpunten en van dezelfde eindige schijn-
orde als / (2), want voor iedere voldoend groote y en e gt; O hebben
we:

Max. I F (2) |lt;nbsp;- =nbsp;,

terwijl voor oneindig veel waarden van r co:

Max. \F{z)\gt;nbsp;.

Dan is echter F (z) van den vorm ofwel:
f{z) = {z-a,) {z-^,) ....

waarin H {z) een polynoom van den graad moet zijn, bijgevolg
moet q' geheel zijn.
We vinden dus het volgende resultaat:

Geheele functies van eindige schijnorde met een eindig aantal nul-
punten moeten van geheele schijnorde zijn.

Opmerking:

Het omgekeerde is niet het geval, bijvoorbeeld:
cos (2:') — sin is van de schijnorde q, dus van geheele schijn-
orde, als q geheel is; heeft echter oneindig veel nulpunten, nl,:

nbsp;(v = 0, 1, 2.....).

Verder vinden we nog in verband met de vorige paragraaf:
Geheele functies van eindige, niet geheele schijnorde nemen iedere
waarde oneindig vaak aan.

§ 16 - Geheele functies met een oneindig aantal nulpunten. Stel-
ling van Weierstrasz.

Stelling:

Heeft de geheele functie f {z) de eindige orde q, dan heeft men,
als Oj, a^, a^, .... de nulpunten van f {z) voorstellen:

f ^ ij Cl _ i-\ ^ ■ • •. 1//) {zMp
«=i

waarin p ^ q ^ p 1, en H (z) een geheele functie voorstelt.
Bewijs:
Stellen we:

dan behoeven we slechts te bewijzen, dat het oneindige product

Htpn {z) uniform convergeert binnen ieder begrensd gebied G,

dus een geheele functie voorstelt, klaarblijkelijk met dezelfde
nulpunten als / (z), waaruit dan in verband met een vorige stelling
de bewering volgt.
In ieder begrensd gebied G is | 2 i lt; M.

Zij nu zóó, dat \an\gt;2M voor « gt; Aangezien voor
n gt;

1nbsp;I (z)

logrpn {z) =nbsp;-r 2\a.j

geldt overal in G voor n gt; «o-

a«

00

convergeert dus uniform in G, dus ook Ilfpniz).

Opmerking:

We hebben stilzwijgend / (0) ^ O ondersteld. Is / (0) = O,
dan moet de uitdrukking voor / {z) nog vermenigvuldigd worden
met zquot;, als O een r-voudig nulpunt is van / {z).

§ 17 - Definitie van het geslacht. Hulpstelling.

Wanneer in het bijzonder de functie H {z) van de vorige stelling
een polynoom is van den graad q, dan noemt men het grootste
der getallen p erx q het geslacht der functie / (2). (Laguerre).

Gevolg:

Is dus het geslacht van een functie p, dan convergeert de reeks

rt=i

Is de functie van het geslacht nul, dan is

co

L

1

convergent, zoodat / (2) dan te schrijven is in de gedaante:

waarin C een constante voorstelt.

We behandelen nu eerst de volgende
Hulpstelling [1]:

Zij p geheel, niet negatief en p lt;a ^p ^ 1, dan is er een getal
K = K [a), zoo dat voor iedere complexe u geldt:

m®nbsp;«jgt;

{l-u)e 'nbsp;^

Bewijs:

Zij pgt; O-, voor \ u\ lt;\ hebben we:

{\~u)e 'nbsp;^

waaruit volgt:

{} - u) e
voor I « I ^ 14.

Daar echter agt; p, groeit voor | w | -gt; 00 het laatste lid van
de vorige ongelijkheid sneller dan de maximale modulus van
het eerste lid, zoodat de ongelijkheid ook nog zal gelden voor
iedere waarde van u, waarvan de modulus een bepaalde eindige
limiet X overschrijdt, m. a. w. het bovenstaande geldt voor
I « I = ^ en voor
Tenslotte kunnen we klaarblijkelijk een positief getal a vinden,
zoo dat:

( (Inbsp; .... «P/^l

voor y2lt;\%i\lt;X.

Kiezen we nu voor K het grootste der getallen 2 en a, dan zal
dus de ongelijkheid gelden voor iedere u, waarmee de stelling
bewezen is.

Voor p ==Q geldt de stelling ook, welke dan als volgt luidt:
Zij O lt;a dan bestaat er een getal K = K {a), zoo dat voor
iedere complexe u geldt:

lt; ^nbsp;~ e Ce

1 T

en stel K = dan is voor | « 1 =

Aangezien E: gt; 1 is, is hiermede de stelling bewezen.

§ 18 - Stelling van Poincaré.

Stellen we ter afkorting:

dan gaan we nu een bovenste grens bepalen van de modulus der
functie:

op den cirkel \ z\ — r.
Onderstellen we eerst, dat de reeks:

convergeert,

an

»=1

dan is ^ = e — 1. Zij « gt; 0. dan kunnen we een geheel getal m
zóó bepalen, dat:

co

r'

2K '

waarin K het getal is, dat in de hulpstelling van de vorige para-
graaf voorkomt, zoodat:

voor \ z\^r.

Daar echter in dit geval q gt; p is, geldt voor het uit een eindig

m

aantal factoren bestaande product IJ voor \ z\ lt;r:

HE
1

mits r groot genoeg is, zoodat we voor \ z\ = r zullen hebben,
voor r voldoend groot:

Onderstellen we in de tweede plaats, dat de reeks:

£

»=1

dan heeft men g lt; ^ 4. 1.

Fixeeren we nu « gt; O zoo, dat

e = 1.

en gebruiken we de vorige hulpstelling met:

e

O = p -}-

dan vinden we:

p ^U

lt; e

Omdat echter

L

n=l

besluiten we eruit, dat:

P fl

lt; e

en bijgevolg: *
vanaf zekere r.

In het bijzonder volgt uit het voorafgaande, dat voor iedere
geheele functie van het geslacht -p geldt:

vanaf zekere r, voor iedere willekeurig kleine « gt; 0.
Dit is de stelling van Poincaré [9].

Opmerking:

Uit de definitie van de schijnorde volgt in verband met het
vorige:

Het geslacht van een geheele functie is hoogstens gelijk aan de schijn-
orde der functie.

Onder een kanonisch product verstaan we een product van den

. /.V i/.V

Uit het vorige blijkt nog, dat voor een kanonisch product q' ^ q.
Aangezien steeds geldt e ^ e'. hebben we dus de volgende
SteUing:

Voor een kanonisch product zijn de orde en de schijnorde gelijk.
Hieruit volgt nu, dat bij iedere geheele functie van emdige,
niet geheele schijnorde, orde en schijnorde gelijk zijn.
Immers, is:

' ^ ' «-1 }

waarin

H (z) een polynoom in 2 voorstelt, dan zou, als voor / (z)
Qlt;e' was, de schijnorde van P {z) ook kleiner dan q' zijn en
moest de factor em^) de schijnorde e' hebben, want was deze
lt;q', dan zou de schijnorde van / {z) ook lt; q' zijn. equot;^*'^ kan
echter alleen de schijnorde e' hebben, indien q' geheel is.

Is de schijnorde geheel, dan kan de orde kleiner zijn dan de
schijnorde.

§ 19 _ Geheele functies van 't geslacht nul.

Beschouwen we nu een geheele functie / (z) van 't geslacht nul
en zij weer M (r) = Max. \ f {z) \.

Ul^r

Stelling 1:

Is van een geheele functie van 't geslacht nul de orde q kleiner dan 1,
dan is de orde gelijk aan de schijnorde

Bewijs:

Zij £ gt; O en g « ^ 1.
Uit de convergentie van de reeks

1

an

n = l

volgt, dat er een natuurlijk getal m bestaat zóó, dat:

P e

am n

ti=i

Volgens de hulpstelling van § 17 is er een getal K zoo, dat:

K 2

n-i V|am »l/

lt;e

Dan is:

p e m /
ifernbsp;jj

» = 1

hetgeen voor voldoend groote r kleiner is dan:
waaruit volgt:

,nbsp;loglogM(r)

« = 'T:. f P- log. =

Aangezien steeds: e = e', volgt er uit, dat q = q'.

Stelling 2:

Voor iedere geheele functie van het geslacht nul is:

log M {r) = 0 {r).

________ ^

» Deze stelling volgt ook uit § 18. want is f [z) van geslacht nul, dan is f {z)
een kanonisch product, dus q' = q.

Bewijs:

Omdat / [z) van 't geslacht nul is, hebben we:

f{z)=^cn

c = constante, terwijl de reeks:
00 1

L

«=i

Hieruit volgt:

Zij nu e gt; O, dan is er een natuurlijk getal m zóó, dat:

1

an

derhalve:

r2

,nbsp;. \nbsp;annbsp;tr m fnbsp;y \

waaruit voor voldoend groote r volgt:

M (r) lt; e^'', d. w. z. log M {r) = o (r).

Opmerking:nbsp;.

Dat de voorwaarde: log M {r) ^ o (r) niet voldoende is voor het

nul zijn van het geslacht van een geheele functie blijkt uit het
volgende voorbeeld van Poincaré [9].

Stel:

Het geslacht p — \ .

Echter is toch log M {r) o {r), immers:

M{r)=n(\

00nbsp;y2

dusnbsp;logM(r)= ^log

«=2

Zij c gt; O, dan bepalen we k uit:

er lt; k log k ^ er 1,

dan is:nbsp;log k lt;ngt; log r.

Nu is:

k

logM W = ^log (l nbsp; £ log(.

»=2

zoodat:

logM (r) lt; Mog(l nbsp; ƒ x^l^)

dus:

(y2 \ r dx

• 'V ■
k

Het eerste stuk in het tweede lid dezer ongelijkheid is

tr

o^ ,- . 2 log y = 2 er.

logr

Het tweede stuk is kleiner dan:

dx r^ I r^ log r r

log2 kj x^ quot; log2 k ■ k log2 r ' er ~ e log r '
k

waaruit volgt, dat

log M (y) -

—^^^^-— O voor y 00 .

r

§ 20 - Vervolg.

Stelling:

De convergentie van de reeks:

y logMjr)

is voldoende voor p — 0.
Bewijs:

co

Is 2 Mn'een reeks van afnemende positieve termen, diecon-

n-l

vergeert, dan geldt: nun O voor n ~gt; oo.

Passen we dit toe op de gegeven reeks, dan vinden we:

voor r-oo

Y

dus ook:

^ O voor y -gt; 00

V

wegens de hulpstelling van § 8.
Stellen we \an\= U, dan is:

L r ^ =

1

=nbsp;^^3) ... nbsp;'fcï =

r=2

Nu is:

dus begrensd voor k-^^ wegens de gegeven convergentie.
Verder is:

■ O voor Ä -gt; 00 ,

yfe— 1

waaruit tenslotte de convergentie van de reeks

co ^

volgt, m. a. w. ^ O volgens § 22.

m = 1

Noodzakelijk is de voorwaarde echter niet, hetgeen moge blijken
uit het volgende voorbeeld:

00 / ^ \
Stel:nbsp;f{z)=n 1--T—Y-1

n=2\ nlog^nj
dan is / (0) een geheele functie met p = 0.

Verder is, als we de nulpunten n log^ n nog voorloopig y« stellen,
00 00
logM(r) = log(l = ƒ log (l nbsp;=

2

~ J

{x-\-r)

Nu is in ons voorbeeld

X

log^:^'

zoodat:

Fixeeren we k en schrijven we:

rdx _ . f ^dx

•X j

volgens de middelwaarde-stelling de eerste integraal gelijk aan:

krnbsp;kr

/dxnbsp;fi^ f

krnbsp;kr

logä/fey^'*! logV

waarin:

Verder is de tweede integraal gelijk aan:
^ fnbsp;^^nbsp;dxnbsp;r

y__r

kr

Bijgevolg:

log M{f)x7ij^

ofwelnbsp;logMjr)^ 1

r^nbsp;r log r

00

log M (r)

m. a. w. de reeks ^ — a divergeert.

r=2

Uit het voorafgaande volgt, dat voor het nul zijn van het ge-
slacht geen noodige en voldoende voorwaarde bestaat, waarin
alleen de groei van M (r) voorkomt.

§ 21 - Over het tot nul naderen van ^ voor geheele functies

van het geslacht nul.

We hebben gezien, dat bij een geheele functie van 't geslacht nul

l^SÜW^O voor.^oo.
r

Men kan bewijzen, dat dit naderen tot O „zoo traag kan gaan als
men wilquot;, waaruit dan volgt, dat er ook geen noodige en voldoende
voorwaarde voor ^ = O op te stellen is, waarin alleen de „décrois-
sancequot; van

lo^)

Onderstelling: tp [r) monotoon dalend voor O lt;. r lt; cxi en lt;p {r) O
voor r oo.

Bewering: Er is een geheele functie van 't geslacht nul met:
I2i^gt;^ir)voor0lt;rlt;oo.

Bewijs:

Bepaal bij n= \, 2, 3,... . het kleinste natuurlijke getal k»
Waarvoor:

■

We verwijzen verder naar de correspondentie Landau—Hadamard:
Rendiconti della R. Ace. dei Lincei. Vol VI, serie 6, 2e sem. 1927, pag. S;
en Lindelöf, Mathematische Annalen, bd. 58, 1904.

Op het interval ilt;xlt; 2 kiezen we k, punten.
__quot; ^^ »

enz.

Van links naar rechts noemen we al deze punten:

02gt;----, a„,----

We stellen nu:

f{z) = n

k = X

Nu is de reeks

OO

convergent,
omdat:

2'

(kn~\nbsp;1 \

n = l \ ^

i{z) is dus een geheele functie van 't geslacht 0.
Verder is:

M (r)

omdat voor O lt; x lt; y^ geldt: 1 nbsp;wegens:

Bijgevolg is:

log Af (y) gt; ^ V -L .

4-nbsp;fïl.

akgt;ir

Zij nu:nbsp;^ lt; 2'

dus:nbsp;^ 4rlt;

dan vinden we:

Q. E. D.

HOOFDSTUK IV
§ 22 - Stelling van Landau.

Onderstelling: f (z) is geheel met nulpunten a„ Og, ....

[«liniaalnbsp;«31 s.....

/(ö) = 2 ; logM {r) = o{r).

Bewering: f {z) = n (2 — — V
»=1 \

Voorafgaande opmerking:

De onderstelling / (0) = 1 doet niets aan de algemeenheid te
kort Inderdaad, isnbsp;dan kan men schrijven:

/ == cz'^f^ {z).

waarin c^ de eerste term is in de ontwikkeling van / {z) volgens
cle opklimmende machten van zoodat dan f. (0) = 1 en het
theorema voor f^ (2) geldt —.

Bewijs:

Zij R zoodanig, dat binnen den cirkel \ z\==R,n nulpunten

«i. «2.----a» van f (z) liggen. Stellen we:

= -

dan is hn (z) geheel, r^t O voor j z llt; R, en h„{0) = 1
Zij voor I 2 I lt; jR:

2

0

dan is g„ (2) holomorf voor \ z\lt; R.

Nu is voor | z | lt; i?:

IK {z) I ^ Max. van \hn{z)\ voor \z\==2Rnbsp;= M(2R),

zoodat:nbsp;^g^{z)lt;logM {2R).

Volgens § 2 is voor \z\lt; rlt; R:
2»

Ji

O

25r

Ook is: O = ^y log | hn (i^e'^Vö, waaruit door optelling volgt:

O

O

zoodat:nbsp;I gn {z) \ ^nbsp;log M (22?).

m. a. w.:nbsp;| log hn (z) | ^nbsp;log M (2R).

Uit log M (2R) = O (R) volgt dan voor \z\lt;r:

I log hn I O voor R co, d. i. voor w oo,
zoodat:nbsp;hn (2) 1 voor n 00,

ofwel:nbsp;f {z) = n^nbsp;ö- E. D.

Opmerking:

De convergentie blijkt tevens uniform te zijn voor \ z\ lt;. r.
Echter mogen we niet besluiten tot

00

1

lt; cxd,

m. a. w. dat het geslacht nul is. Landau formuleerde dan ook
de stelling (voor willekeurig geslacht) op de volgende manier [4]:
Een noodige en voldoende voorwaarde, waaronder een geheele functie

/ (z) is van het geslacht ^ k, is, dat zij voldoet aan de volgende 2

condities:

a) De reeks:

convergeert.

i)

ar __quot;V

Bewijs:

We onderstellen weer / (0) = 1.

I. Zij / {z) van het geslacht ^ k, zoodat aan de eerste conditie
voldaan is, terwijl

f{z)=equot;^''^nE(- -.k

a» \ O»» ,

waarin H {z) een polynoom is van den graad ^k en

» «A

2 T

A) = (1 —nbsp;.

Voor een willekeurige waarde van u heeft men:

waarin c (k) een constante is, alleen afhangend van k. Immers,
voor I « I ^ % is:

\E{u-,k)\ =

terwijl voor | w | s ^ geldt:

\E{u-k)\^{\ \u\) • • ^
Gebruiken we deze schatting, dan is voor iedere t gt;0'

t l

UE -

_log Max.

limnbsp;^ »■

r= 00 -

k i

en als men i onbepaald laat toenemen volgt er uit, dat:

log Max. 1 / I ^ Max. \H{z)\ log Max. 1 IT £ ; ^)

en is dus zeker aan de tweede conditie voldaan.

II. Zij omgekeerd voldaan aan de 2 condities. Daar in deze
onderstelling / {z) zeker van den vorm

an

is, waarin H (z) een geheele func is, moeten we dus laten zien, dat:
H^^^ (0) = O voornbsp;l.

k

Nu is:

en derhalve:

= lim

R^ao

= lim h^^^ {Z]R),

R= 00

waarin h {z; R) een holomorfe functie is voor \ z \ R, gede-
finieerd door:

/w

e ''(^ï«) ; h{0;R)= 0.

Op den omtrek \ z\ = 2R heeft men:

waaruit voor \ z\^R volgt:

^ ^ dus m(z ■ R) ^ log M (2i?).
Zij de Taylorsche ontwikkeling van h {z; R):

dan is: |A(')(0 ; i?) | = Z! | | ^ ^ . /! log M (2jg)

i?

waaruit wegens de 2de conditie volgt:
lm I (O; i?) j = O voor

R'= 00

zoodat

= lim h^^^ (O ; 7?) = O ^ ^ 1,
00

waarmee de stelling bewezen is.

Minetti[7] heeft dit resultaat nog eenigszins verruimd door
voor E {u; k) de schatting van § 17 te gebruiken en vindt dan
dat f {z) de orde q en het geslacht ^ q heeft, dan en dan alleen ah
voldaan is aan:

^ KT^ 'quot;^-quot;''ëeert, ^nbsp;divergeert.

waarin e^, en e^ willekeurig en positief zijn.
Toepassing van de stelling van Landau:
Zij:nbsp;f {z) = quot;

dan is / (z) geheel en nul voor 2=12, 2^, 32,... .

logM(r)

Hierbij is:nbsp;— O voor r co

zoodat:nbsp;sin.y.- ^ j^A

n ■yjznbsp;1 \nbsp;/

dus:nbsp;sin 7t 2 = TT 2 /III — ^ 1 •

§ 23 - ïwee stellingen over de convergentie van de reeks:

00

T -

De eerste conditie in de stelling van Landau, nl. dat de reeks:

00
i:

n=l

kunnen we vervangen door een andere, die de a« niet bevat. Daar-
voor behandelen we eerst de volgende stelling, waarbij we | a„ |
gemakshalve vervangen door r».

Stelling 1 [10]:

Een noodige en voldoende voorwaarde, opdat de reeks:

I^TFnbsp;O

rt = l

convergeert, is dat de integraal:

fnlr) ,

J 7V1nbsp;(2)

0

convergeert, waarin n (r) weer het aantal nulpunten van f (2) voor-
stelt binnen den cirkel \ z \ = r.

Bewijs:

Men ziet terstond in, dat men heeft:

nnbsp;gt;•«

== ^ J ^^ ly

1nbsp;n

Als nu de reeks (1) convergeert, is het 2de lid van (3) begrensd
wat n ook is, dus a fortiori de integraal.

Omgekeerd, als de integraal (2) convergeert, dan nadert de
mtegraal:

y f n (r)

fij -^t dr tot O, als « c»,

rn

waaruit voor n voldoend groot en e gt; O volgt:

2r«nbsp;2r

rnnbsp;r..nbsp;'nbsp;'

zoodat

n

-—t O als n oo.

K

Het 2de lid van (3) is dus begrensd, m. a. w. de reeks (1) con-
vergeert.nbsp;^ '

Stellen we nu:

27r

Hr) = ~J log \f{re'')\dd,

O

dan volgt uit de voorgaande stelling de volgende-
Stelling 2:

Wanneer voor een gegeven waarde van k de integraal:

00

n w ,

O

convergeert, dan convergeert ook de reeks:

1

m=1

Bewijs:

Onderstellen we weer / (0) = 1, dan gaat de formule van Jensen
over in:

O

Omdat nu:

ƒ Ö quot;quot;quot;j ^
Onbsp;i;-

kunnen we schrijven:

f ^ W ^ f dr fn ie)nbsp;fn {^r)

Onbsp;0nbsp;0nbsp;O

zoodat uit de convergentie van de gegeven integraal die van

n {r)

!

volgt, waarmee in verband met de vorige stelling het bewijs ge-
leverd is.

Onderstellen we dus in de stelling van Landau op blz. 38 boven-
dien, dat de integraal

j dr convergeert,

O

dan kunnen we besluiten, dat de functie het geslacht O moet
hebben.

§ 24 - Vervolg.

Stelling 1:

Zijn Oj, a^, .... de nulpunten der geheele functie f {z), met moduli
r^, r^, .... en stellen we:

N{r)=^l -^dt.

O

dan zijn voor een gegeven k gt;0 de integralen:

SS

J^dr . J j^dr

en de reeks:

«=1 ^ '
gelijktijdig convergent of divergent.

Bewijs:

Door partiëele integratie vindt men, dat voor O lt; lt; y5:

N0) l fn(r)

Jnbsp; tJ ,-èr dr (1)

A

waaruit men ziet, dat de integraal

f ,nbsp;, , r\{r)

J J^iT dr convergeert, als ƒ ^ dr convergeert.

Is omgekeerd de eerste integraal convergent, dan is voor een
willekeurige e gt; O vanaf een zekere waarde van /5:
00

dr

r^w. r
gt;Jnbsp;j ^^^

De 2de term in het 2de lid van (I) ligt dus beneden een eindige,
van fi onafhankelijke grens, waaruit de convergentie van de integraal

■«(r) ,
^ dr volgt.

In verband met stelling 1 der vorige paragraaf is dus de geheele
bewering bewezen.

Opmerking:

We kunnen zelfs bewijzen, dat bij convergentie, de reeks:

OW

n=l

00

en de integraal:nbsp;l

J

op de constante factor k^ na gelijk zijn.

Immers uit formule (1) volgt met 0lt; alt; r:

fN{r) , \ iN{a) N{r) fn^

anbsp;a

Kiezen we nu a lt; r^, dan is N (a) = O, terwijl:

rnbsp;r

fn{r) ^ 1 ( n{r) f dnjr)

anbsp;O.

Merken we op, dat:

J ^ »»=1

(de reeks convergent ondersteld) en dat de termen:

^en^-Oals^-.«.
y«nbsp;rk

dan vinden we bij de limiet voor r-gt;- oo:

fm

Onbsp;»»^i

n=lnbsp;O

Stelling 2:

- Wanneer voor een gegeven k gt;0 de integraal

\ogM{r)

dr

yft l

convergeert, dan is ook de reeks:

ra.

n=l

convergent.

Bewijs:

Uit de formule van Jensen:

Ijlog I / {reOi) \dd = \og\f (0) I pM dt

Onbsp;O

volgt, dat:

r

log M{r)nbsp;= N{r),

O

zoodat uit het onderstelde volgt, dat voor voldoend groote r en
willekeurige £ gt; 0:

rnbsp;rnbsp;rnbsp;r

bijgevolg convergeert ook de integraal

cr.
f

rk i

Hieruit volgt, in verband met stelling 1, dat dan ook de reeks
y^^— convergeert.

M = 1

Opmerking:

In dit geval is M{r) = o {r^), want met 1 lt; 7? is:

1nbsp;Rnbsp;R

waaruit de bewering volgt.

§ 25 - Stelling van Hadamard.

Hulpstelling:

Voor q geheel en positief heeft x^ — 1 = 0

q wortels a^, a.^, .... aq met modulus 1,
waarvoor geldt: {k = O, 1, 2, . . . .)

_q als k een q-voud is.
quot; O als k geen q-voud is.

Bewijs:
Uit de identiteit:

—1 z — «1 2 — Canbsp;z — a?

ofwel:

z'i—l z — Oi z — a^nbsp;z — aq

volgt door machtreeksontwikkeling:

M , . ,nbsp;00 ^ Oj,

waaruit de bewering onmiddellijk volgt.
Stelling van Hadamard.

Onderstelling: f {z) is geheel, met eindige schijnorde q' en nulpunten an:

ö lt; 1 ai I I oa I ^ I 03 I ^ . . . .
Verder is f (0) = 1.
Bewering: In de formule van Weierstrasz:

met y ;-lt; co : P^q' : H {0) = O,

i on i

«=l

is H (z) een polynoom met graad k ê q'.

Bewijs:
Zij q geheel en gt; g'.

Zijn de wortels van x'^ — 1 = O : tup cua,----tu, dan is wegens

ao

de vorige hulpstelling, als H {z) — ^ c« zquot;* :

n=l

/ (O,..) / . . . / (M = . «M (l - .. . (, -
= hil

Stellen we nu z« = f en:

F (f) =nbsp;. • • • n _ Aj ,

Zij nu e gt; O en M^ {R) het maximum van
\ F voor I f I ^

dan is op den duur:

Ml {R) lt; e'^' (met r = i^i?) lt;nbsp;=

Dus is op den duur:

los MAR) ^nbsp;_

i? =

Kies nu «lt; ^ — p'), dan blijkt dat-

log M^iR)
^ ' -»• O voor R oo .
K

Passen we nu de stelling van Landau toe, dan krijgen we:

= n {i-fi

dus:

waaruit volgt: Cg = 0.

Daar q een willekeurig geheel getal gt; q' was, is hiermee de
stelling bewezen.

§ 26 - Verband tusschen orde, schijnorde en geslacht van geheele
functies.

We stellen ons nu de volgende vraag:

Gegeven zijnde een geheele functie / {z) van eindige schijnorde
q', wat is er dan te zeggen van de orde q en het geslacht p van

We onderscheiden hierbij 2 gevallen:

Ie Geval: q' is niet geheel, dus de graad k van H {z) is kleiner dan q'.

Nu is de orde q — q', want uit qlt; q' zou wegens § 18 volgen,
dat van af zekere r.

M{f) lt;

waarin o een zoodanig positief getal is, dat
q' — a gt;Q en q' — a gt; k,

hetgeen echter in strijd is met het onderstelde, dat

M (r) gt; e''

voor oneindig veel waarden van r co. Daar steeds e = was,
besluiten we dus tot g = en bijgevolg is het geslacht p gelijk
aan het grootste geheele getal, dat in q' begrepen is.

2e Geval: q' is geheel.
Nu moet een der getallen k en q gelijk zijn aan q', anders zijn

jP'—ï

we weer in strijd met het onderstelde, dat M (r) gt;c voor
oo veel r co.

lsk = q', dan heeft q een willekeurige waarde ^ q'. In dit ge-
val is ^ = q'.

Is ^ lt; q', dan moet noodzakelijk q — q' zijn. Voor het geslacht
is in dit geval onzekerheid. Men heeft p = q' —\ ofwel p q'
naargelang de reeks

eo

convergeert of divergeert.

rt=i

Samenvattend hebben we dus het volgende resultaat:
Bij iedere geheele functie van niet geheele schijnorde q' is de orde
q — q' en het geslacht p — [e']-

Is de functie van geheele schijnorde, dan kan de orde gelijk zijn aan
of kleiner zijn dan de schijnorde. In het eerste geval is P=q' ofq' — 1,
in het tweede geval is p — q'.

§ 27 - Andere definitie van de schijnorde als in § 7.

Zij de integraal

a»

logMjr) ,

——dr convergent.

Ro

Omdat voor een niet constante geheele functie M{r) monotoon
toeneemt, volgt uit deze convergentie, dat voor iedere e gt; O en
iedere voldoend groote r:

M {r) lt;

Immers, ontkenning beteekent, dat er willekeurig groote waar-
den van r zijn, waarvoor:

log M (r) gt;

Zij nu:

lt; lt; lt; lt;----

met Tn gt; 2rn—i een rij getallen, waarvoor

log M{rk) gt;ert-

Dan is:

j'^'-'-mr-k)-

2oodat de integraal:

00

log M (r)

ep

lofy M lv\

dr

I

r.

niet kan convergeeren.

Hieruit volgt deze definitie van de schijnorde:

Een geheele functie f (2) heeft de schijnorde q', als de integraal:

ƒ

convergeert voor X gt; q' en divergeert voor X lt; q'. (Voor X — q'
kan de integraal convergeeren of divergeeren).

HOOFDSTUK V

§ 28 - De karakteristieke functie T (r) van R. Nevanlinna [8].

Zij / (2) een meromorfe functie van d. w. z. een in het geheele
eindige vlak holomorfe functie van z met uitzondering alleen van
eventueele polen.

Zij z = 0 noch nulpunt, noch pool van / (2). De nulpunten
van / {z) binnen den cirkel 1 z | = stellen we voor door a^, a^,... an
en de polen door ß^, ß^, .... ßp\ hun aantal respectievelijk door
n {R) en p {R). We voeren nu de volgende notaties in:

I ^ Dnbsp;'

|a„|lt;i2

K

, O \ ^ D

\ßp\lt;R

los\f{Ren\dv,

nbsp;( log w als M gt; 1

waarin log « beteekent | ^ als O ^ 1.

We stellen verder:

T{R)=m {R) P (R).
Is in 't bijzonder / (z) geheel, dus P (i?) = O, dan is:

De formule van Jensen voor geheele functies:

2ir

log|/(0)|= ^nbsp; nbsp;(I)

|«gt;,|lt;/?nbsp;O

kunnen we nu anders schrijven.
Vooreerst is:

2* 8«-
Ll^^slf {Re'') \de = ~llog\f {Re'^) Ide-lf itg

Onbsp;Onbsp;O

= w/ {R)—mitf{R).
Maar voor / (z) geheel is

mf {R) = Ttif (R),

terwijl:

miif {R) = Tin {R) - Pilf (R) = Tiif {R) - Nf {R),
omdat de polen van de nulpunten zijn van / {z), zoodat:

r

Pilf{R)=J^ di = N,{R).

^log

|a.|lt;i2

zoodat tenslotte (1) overgaat in:

log\f{0)\ = T,{R)~Txif{R)
ofwehnbsp;Txif{R)=^Tf{R)-i-0{l)nbsp;(2)

waarin O (I) voor R oo begrensd is.

§ 29 - Eigenschap der karakteristieke functie. Verband met
log M (r). «

Stelling:

T (r) is een positieve, niet dalende functie van r.

Nf{R);

Opmerking:

Deze stelling, die ook geldt voor meromorfe functies, zullen we
alleen bewijzen voor het geval / {z) geheel is.

Bewijs:

Volgens de algemeene formule van Jensen is voor | 2: | lt; R:
{z—an) R

I a„llt;Ä

Nu is echter voor ] z ] lt; i? , 1 a« | lt; Ä:

{z — amp;n) R
{z — a'^) an

Hiervan gebruikmakend vinden we wegens

Re^i±z;
2«-

log 1 / {Re^') I dB

dus wegens | / {2) ] ^ O:

4-

log I f {Re^') I de.

Nemen we nu aan beide zijden der gevonden ongelijkheid het
gemiddelde over een cirkel met straal r lt; R, dan vinden we:

2«- 2ir

Nu is:

■^re'P' dz

zoodat we vinden:

T{r)^T{R),
waarmee de stelling bewezen is.

Is Z =

dan volgt nog uit de ongelijkheid (I) wegens:

91

R2 4. —2Rr cos (Ö—lt;p) '
voor 0lt; rlt; R:

waaruit voor M (r) gt;1 volgt:

Verder volgt uit de definitie van T (r) nog, dat voor M (r) ^ 1
geldt:

T (r) ^ log M (r)

zoodat we hebben:

Is f {z) een geheele functie met M {r) gt; 1, dan geldt voor iedere
Qlt;rlt; R:

T {r) ^\ogM {r) ^^^ T {R).

Nemen we in het bijzonder R = 2r, dan is:

T {r) ^ log M (r) ^ 3T (2r).

Deze ongelijkheden bewijzen, dat de rol van T [r) in de theorie
der geheele functies wordt overgenomen door log M {r).
\

Uit het voorgaande volgt nog, dat we de schijnorde q' van
een geheele functie ook kunnen definieeren als:

,nbsp;logr(^)

q' = hm. sup. —2—^ ;
en dat de integralen:

f log M jr)nbsp;1 T{r) ^

J —p^ T- j 71^ 1

gelijktijdig convergeeren of divergeeren, zoodat we in verband
met § 27 kunnen zeggen:

De geheele functie f {z) heeft de schijnorde q', als de integraal:

00

jm.

convergeert voor A gt;q' en divergeert voor Alt; g'.

§ 30 - De functie T (r) voor functies samenhangend met f(z).

Hulpstelling:

Zijn a^, «2. • • • • «n positieve getallen, dan is:

log {ay^a^----an) ^ log ai-{-log a^---- log «„.

% («1 4- «2 ---- an) ^ log «1 . . log an log n.

Bewijs:

Het eerste volgt onmiddellijk uit de definitie van log, terwijl
We voor het bewijs van het tweede gebruik maken van:

«1 «2 •••• «» ^nbsp;ajijf-n .... an,

indien de eerste k getallen a kleiner zijn dan 1, de overige min-
stens 1. —

Gebruik makend van deze hulpstelling vinden we de volgende
stellingen voor de functie T:

Stelling 1:
Is A een constante, dan is:

TnA{R) = Tf{R) 0{l).

Bewijs:

2»

Ti^a {R)nbsp;jli 1 / A I- iJg I / {Re^i) \ | dqgt;

O

2nnbsp;2»

;ƒ jlo^g 1 ^ I log 2| - ^ ƒ O (1) dlt;p = 0 (1)

TAf =nbsp;

in

Tai (R) ~T,{R)^-^J^log\A\ log\f {Re*'} | -log | / {Re'^)

0

Stelling 3:
a b
c d

^ Onbsp;[a, b, c, d constanter^

, {R)=-Tf{R) 0{I).

cf d

Bewijs:

Deze stelling volgt door combinatie der twee vorige stellingen
en van (2) van § 28, indien we schrijven:

af b _a ad — bcnbsp;1

cf dquot; cnbsp;c / cf d'

Opmerking:nbsp;*

De vorige stellingen zijn bewezen voor het geval / {z) geheel is;
ze gelden eveneens indien / (z) meromorf is.

§ 31 - Belang van het voorafgaande. — Toepassingen.

Bepaalt men m (r) en P (r) voor de functie

1

f{z)-a '

waarin a een van z onafhankelijk eindig complex getal voor-
stelt, en stelt men kortheidshalve:

1

f{re'')-a

. ^ f

waarin n{t\a) het aantal binnen den cirkel \nbsp;gelegen nul-

punten van de functie f{z) — a voorstelt, terwijl als a = oo we
de vroeger gedefinieerde m (r) en P (r) nemen, dan volgt dus uit
de vorige stellingen, dat voor iedere a geldt:

»n(r;a) P(r;a) = r/(r) 0(l).nbsp;(1)

We kunnen zeggen, dat de som w (r ; a) P (r ; a) de „attractiequot;
meet van de complexe waarde a op de functie / (z) voor r c».
Deze som bestaat uit 2 „componentenquot; m en P, waarvan de eerste
des te grooter is, naarmate de som van de bogen van cirkel C (r).
waar / {z) dicht bij a ligt, grooter is, aangezien het gemiddelde
m (r ; a) alleen van de bogen van C {r) belangrijke bijdragen krijgt,
waarop de functiewaarde dicht bij a ligt; terwijl de tweede com-
ponent bepaalt, hoe dicht de punten liggen, waar de functie deze

waarde a werkelijk aanneemt.

(1) zegt nu, dat deze attractie voor alle waarden van a even
sterk is, op een voor iedere r begrensde term na —-.

Liggen dus bij een gegeven geheele functie f {z) voor een zekere
waarde van a de punten, waar / (2) = a, niet zeer dicht,dan moet
dit gecompenseerd worden door een sterkere „gemiddelde conver-
gentiequot; van / (z) naar die waarde a; omgekeerd wordt een zwakke
„gemiddelde convergentiequot; naar een of andere waarde a door een
grootere dichtheid der punten, waar / {z) = a, gecompenseerd,
zóó dat de totale som w 4- P toch de door de fundamentaal-
grootheid T (r) der beschouwde functie bepaalde grootte bereikt.

Opmerking:

Is / (0) = a, dan wordt P (f: «) oneindig; we definieeren daar-
om in dit geval:

O

als 2 = 0 een v-voudig nulpunt is van / (2) — a.

In het bijzonder kunnen we de stelling:
Tl// (r) = Ti (r) -}- O (1)
als volgt interpreteeren:

Tf en Ti/f blijken dus even snel te groeien.

Als nu / (z) „weinig nullenquot; heeft, d. w. z. | a^ | sterk groeit
met w, dan heeft \lf{z) weinig polen, dus groeit Pi// niet snel. Bij-
gevolg moet mx,f snel groeien om te zorgen, dat Ti//, Tf kanbijhou-
den. Dus moet het minimum van | / | snel dalen. Heeft daaren-
tegen / (2) veel nullen, dan blijkt door een analoge redeneering,
dat het maximum van | / | snel moet groeien.

We kunnen zeggen:

Tf meet de attractie van de waarde 00 o-p de functie f (z) voor r 00,
terwijl Tijf de attractie meet van de waarde O op f (z) voor r 00.

Toepassingen:

In het voorafgaande hebben we steeds stilzwijgend ondersteld,
dat / (z) niet constant is. Immers is f{z)= a {a constant), dan
worden m {r ] a) en P {r; a) oneindig en zijn dus niet meer te
gebruiken. Voor iedere a ^ a is in dit geval

1

P {r ; a) = O en m {r ■, a) = log

en de som mP dus constant en eindig.
Omgekeerd geldt de stelling:

Als voor de geheele functie f {z) de som m (r; a) P {r\a) voor
één waarde van a begrensd is, dan is f {z) constant.

Bewijs:

Zij / (0) = a, dan moeten we dus bewijzen, dat / (2) = a. Is
dit niet het geval, dan zou volgens (1) de som mP voor iedere a
begrensd zijn, dus speciaal voor a = a, wat echter niet zoo is,
daar P {r, a) co voor r 00. (Voor P de uitdrukking te
nemen gegeven in de opmerking!)
Is / (z) een rationale geheele functie, dus een polynoom, dan is

T{r) = 0{\ogr).

Immers is:

/ (2) = «0 ^xZ a^zquot;^ ---- aqzi

dan is: *m {r) == q\ogr ^ O {\), terwijl P (r) = 0.

Omgekeerd is iedere geheele functie, waarvoor T {r) ^ O (log r)
een polynoom.

Bewijs:

Uit T {r)=-O (log r) volgt, dat de integraal:

convergeert.

bijgevolg is de schijnorde van f {z) lt; 1 wegens de definitie vanp'
gegeven in § 29, zoodat volgens de stelling van Hadamard

/ {z) = Pi [z) ,

waarin C een constante voorstelt en Pj {z) het uit de nulpunten
gevormde kanonische product. We moeten dus nog alleen be-
wijzen, dat het aantal nulpunten van / {z) eindig is. Nu is:

iV/ = Pi// [r) ^ Tl// [r) 4- O (1) = Tf {r) O (1) = O (logr),

zoodat uit de definitie van Nf (r) mede volgt, dat n {r) voor iedere r
begrensd is,, waaruit de bewering blijkt.

§ 32 - Hulpstelling over de logarithmische afgeleide van f (z).

Hulpstelling:
Is f {z) een geheele functie, dan is voor O lt; r lt; R:

nif. {r) lt;2logR 3 log -^zZy ^ ^^^ ^^ ^^^ ^

T

Bewijs:

We onderstellen, dat op \ z\=r en \ z\ = R geen nulpunten
van f {z) en f' {z) liggen.

f{z)

Stellen we:nbsp;g (2) = jj (2 — a„)

waarin a^, a^,____a„ de nulpunten van f {z) binnen cirkel | 2 | = i?

voorstellen, dan is g {z) holomorf en O voor \ z\^ R, zoodat
volgens de stelling van § 2 voor \z\lt;R:

27t

log g {z) = Ci -I- ^ƒ log 1 g {t) I ^^ dd met t = Re ^

waaruit volgt:

log/ (z) log I / (O I log \t-an\l ^^^dd

Onbsp;|a,|lt;i?

|a»| lt; R

2n

^A Bi ~Jïog\/(t) I ^iö log;

la« /lt; i?

Dus:

f| = r/'og I/ W I

Onbsp;la,|lt;;ï

Bijgevolg is voor \ z\ = rlt; R:
2«

^ f

— n{R — tfJ

wegens:

I — a„z I S — I a„ I r gt; (i? — r),
zoodat we vinden

2ir

i — r)' \2nJ

Nu is, als X gt; O, steeds

1
I log I = log;»; log —

lt;

Tf{R)^miif{R) J^

ian|lt;Ä

R^ — anZ

2R l ^

^ {R-rY I ^

wegens:

frnif {R) = Tl/, {R) - Nf {R) ^ Txi, {R) = T, {R) O (1).
Hieruit volgt:

lt; log Ä 2 log -^zr;

llt;i,| lt;R

n {R) iJg Tf {R) O (1).
bijgevolg:

m

|a„| lt; R RC—aJ

log n{R) log Tf {R) O (1).

Nu bewijst men gemakkelijk, dat de formule van Jensen voor
een meromorfe functie / (2) luidt:

Stt

log|/(0)| = ^ log t| r 'O® H 2V

|/3„llt;rnbsp;O

|a,|lt;r

ofwel:

log 1 / (0) I = — AT/ {r) Niif {r) m/ {r) — wi// {r).
Passen we nu deze formule toe op de functie:

met I 2 I = y lt; i?, dan is voor 1 2 | ^ i^:

1

I F (2) 1^1, dus log

Verder heeft F {z) in 12 | lt; i? geen nulpunten, zoodat ook
Np (r) = O, waaruit tenslotte volgt dat:

/N 1nbsp;^

nip {r) = log T— , voor rlt; \ a„\lt; R, en

I «rt Inbsp;'I

nip {r) = log _log|^ = log - voor | a« | lt; y.
Bijgevolg:

1
mf.jf (r) lt; log R-\-2 lognbsp; log n {R) log Tf {R)

rlt;|a„llt;J?

Nu is echter:

, . R ^ Rnbsp;R

n (r) log — nbsp;log j-^ = n (r) log —

flt;|a„ilt;i?

(1)

/n (x) — n (r)nbsp;fn (x)

dus:

(r) lt; log 2 lognbsp; l^g« (i?) l^g Tf {R) 0 (1).

We kiezen nu een getal R' in het interval Rlt; R' ^2R en
passen (1) toe met

R
r

onderstellende, dat ook op cirkel | z | = i?' geen nulpunten van
/(z) liggen.

We vinden dan:

«(i?)log^lt; N(R'). dus:
lt;

«WSnbsp;SCÏbI

log^

wegens:

R'—R

gt;

, i?' '
zoodat:

iJgM (R) lt; R' log Ri^ log TfiR') O (1),
waaruit volgt:

Mfif (r) lt; log R 2nbsp;-f log Tf {R) 4-

log R' lognbsp; log Tf {R') 0(1).

Dit geldt nu ook zonder de aanname, dat
/(2)5t0isop \z\^R',

omdat Tf (R), dus ook log Tf (R) een monotoon niet dalende
functie van is.
Kiest men nu R' zoo, dat:

R' — R=R — r. dus R= —2— R'— R = —^— ,
dan gaat de bovenstaande ongelijkheid over in:

mfifir) lt;logR-h lig R' li R^r ^^ ^^^ ^^^

ltgTf{R') 0{l),

mfif {r) lt; 2 iJg i?' 3 l^gnbsp;4- 2 iJg Tf {R') 4- O (1)

waarmee de stelling bewezen is.

§ 33 - Toepassingen van de hulpstelling.

Uit de vorige hulpstelling volgen de onderstaande stellingen.

Stelling 1:

Is f {z) geheel en van eindige schijnorde, dan is:

mfif (r) = O {log r).

Bewijs:

Is / {z) van eindige schijnorde, dan is:

logTfir) = O {logr).
Neemt men R = 2r, dan is log = log y log 2, verder is dan:

log -R^r = ^
ennbsp;log Tf {R) = O (log r) ,

zoodat in verband met de hulpstelling de bewering juist blijkt.
Stelling 2:

Is de geheele functie f {z) van eindige schijnorde, dan heeft f' {z)
dezelfde schijnorde.

Ie Bewijs:

/'

Schrijft men:nbsp;/' = -j- X f,

dan volgt hieruit:nbsp;w/' ^ mfjf »«/i

wegens de hulpstelling van § 30; omdat

mf = Tf' en mf = Tf is,

vinden we dus: Tf ^ O (log r) Tf.

Hieruit volgt de stelling in verband met de definitie van de
schijnorde gegeven in § 29.

2e Bewijs:

Is q' de schijnorde van

/ (2) = ^ a«/'

n=0

en de schijnorde van

co

/' (2) = ^ w
tt=l

Zij verder Mj (r) het maximum van | /' (2) | op \z\^r.
Volgens Cauchy is voor \ z\ lt; r lt; R:

(R)

zoodat voor R — 2r:

1 A7irM{2r) 2M {2r)

\r iz)-=

_ 2Mi2r)
ofwelnbsp;Ml (r) ^-

waaruit volgt: = e'.
Verder is:

z

f{z)=f (0) ƒ /' {Z) dz,
O

bijgevolg:

\fiz)\^\f{0)\ \z\M,{\z\),
dus:nbsp;M (y) ^ I / (0) I yM, {r),

waaruit volgt:nbsp;e' = ei-

Dus moet q'^ = q' zijn.

§ 34 - Onderste grens van een geheele functie.

Stelling van Hadamard.

Legt men om de nulpunten an van een geheele functie f {z) van de
schijnorde q' cirkels met stralen

|a„|-^ {h gt;q'),

dan geldt huiten deze cirkels bij willekeurig gegeven tgt;0 en voor
voldoend groote \z\ = r:

1/(^)1

Bewijs:

Zonder aan de algemeenheid te kort te doen onderstellen we

/(0) = 1.
De formule van Jensen geeft voor

2 = \an\lt; R en 0lt; rlt; R:

2n

iog 1/ (,), = log 1I i ƒ R^^r^^R^sie-^) I / I

|a„| lt;Rnbsp;°nbsp;O

zoodat:

2n

P2 _nbsp;4- I

dê

llt;««llt; R

y

gt;^log i I lognbsp;- ^^ (i?).

1«« llt;nbsp;I a„ |lt; i?

Leggen we nu om de nulpunten a» cirkels met stralen | a« ] ^
waarin h gt;q', dan bedekken deze cirkels niet het geheele vlak,

05nbsp;_ .

omdat de reeks | a« | quot; convergeert. Nemen we R = 2r en

O

onderstellen we, dat op \ z\ = R — 2r geen nulpunten van / (z)
liggen, dan is, als we de genoemde cirkels uitsluiten, voor vol-
doend groote I 1 lt; R\

^log \z — art\ gt; — n (2r) . /i. log 2r,
k lt;r

zoodat we wegens Tin ~ Tf O {l) vinden:
log I / (2) I gt; — n {2r) h log 2r — n {2r) log r — 3T {2r) — O (1).
Nu is echter volgens de hulpstelling van § 8:
«(2r)log2 ^logAf (4r)

terwijl verder:

T {2r) ^ log M {2r).

bijgevolg wordt:

log 1 / 1 gt; - ï^ log M (4r) log 2r - ^^^ log r -

— 3 log M(2r) —0(1),
zoodat voor willekeurige c gt; O en voldoend groote r geldt:

logl/(2)|

§ 35 - De stelling van Borel [2].

In § 18 hebben we gezien, dat bij iedere geheele functie van
eindige, niet geheele schijnorde, orde en schijnorde gelijk zijn,
terwijl als de schijnorde geheel is, de orde kleiner kan zijn dan de

schijnorde. Dit laatste resultaat kunnen we nu verscherpen door
de volgende stelling van Borel:

Is de schijnorde van de geheele junctie f{z) geheel, dan is de orde
van de functies f {z) — X, waarin X een willekeurig complex getal
voorstelt, gelijk aan de schijnorde, hóógstens voor één waarde van X
uitgezonderd.

Bewijs:

Onderstel er zijn 2 uitzonderingswaarden a en amp; voor X. Dan is:
/(;,)__ a = Pi (z),

waarin H^ en H^ polynomen zijn van den graad q' en Pj en P^
kanonische producten van de orde lt; q'.
Aftrekking levert:

(1)

waaruit volgt:

_nbsp;(è _ e-quot;^-nbsp;(2)

Omdat 7^2 een polynoom is van den graad q' geldt:

gt; e-quot;-''

waarin K een constante is.

Het linkerlid van (2) moet dus van de schijnorde e' zijn en
daar P, van een orde lt; q' is, volgt er uit, dat H^ — H^ een po-
Ijmoom is van den graad q'.

Differentiëeren we (1), dan vinden we:

{P,h: (PX P'.) = 0.nbsp;(3)

Daar de schijnorde van Pj volgens § 33 gelijk is aan die van P^,
is dus de schijnorde van P[ ook lt; q', zoodat de coëfficiënt van
equot;^ in (3) een schijnorde lt; e' heeft, terwijl voor de coëfficiënt
van hetzelfde geldt. Verder zijn die coëfficiënten niet identiek
nul, daar anders P^equot;quot;^ en P^equot;' constanten zouden zijn, dus ook f{z).
Na uitrekening kunnen we (3) schrijven als:

waarin H^ en H^ pol5momen zijn van den graad ^ g' — 1 en
en P4 kanonische producten van een orde lt; q',

P

ofwel:nbsp;^Hi—H^ Ht—H, _

3

Nu is, als Q^ en g^ de orden zijn respectievelijk van P3 en P^,
voor voldoend groote r:

ip.i

terwijl oneindig vaak:

I Al

zoodat oneindig vaak:

P4

ofwel:

P3

waarin a lt; g', immers en zijn beide lt; q\ dus ook 53 «
en e, als s klein is.

Maar op iederen voldoend grooten cirkel ligt een punt, waar;

,nbsp;I ^ ^KfP'nbsp;_ constante),

want Hl — H2 H^ — H^ is een polynoom van den graad q', dus:

Hi-H^ H^-H,^ . . . = 1« Inbsp;(1 (r)).

Dus het reëele deel van Hi — H^ — H^ is gelijk aan
\a\ (1 « (y))nbsp;, als op iederen cirkel (r) het argument

cp van z zóó genomen wordt, dat a q'lt;p = O (mod. In).

We vinden dus, dat (4) een contradictie oplevert, waarmee de

bewering bewezen is.
lt;-

Opmerking:

Een waarde van X, waarvoor de orde van f {z) — X kleiner is
dan de schijnorde van / (2), zullen we een

B — uitzonderingswaarde voor / {z)

noemen.

§ 36 - Hulpstelling.

Als f[z) een geheele functie is van de schijnorde q', dan geldt in

het gebied buiten de cirkels met stralen rn~^\ {h gt; el, o^t-de nul-
punten an beschreven {rn

(K constant)

Bewijs:

Gaan we uit van den vorm volgens Weierstrasz:
f [^z) ^ equot;^'^ P {z),
waarin H {z) een polynoom is van den graad ^ en P (z) een kano-
nisch product, dan is:

P{z)-

1 H' (z) 1 lt; K^r

z — an an a„

We fixeeren een vast getal k en stellen iV = n (^r). dan is:

iV

lt;') i:

M = 1

voor voldoend groote r, omdat:

N=:n{kr)lt; log M{2kr)lt;{2kr)'gt;' ^

Verder is, daar de reeks

1

P i

«=1

convergeert, de rest:

« 1nbsp;ö ^ J__. t

«=iv-f.l
k-\ 1

omdat:

—nbsp;k ■ rn

Uit (1) en (2) volgt direct de bewering.

§ 37 - De stelling van Borel voor de enkel- en tweevoudige nul-
punten.

We beschouwen nu alleen de enkelvoudige nulpunten en bewijzen
de volgende:

Stelling:

Ah f {z) een geheele junctie is van de eindige schijnorde q', dan
zijn er niet meer dan twee waarden van X, waarvoor de convergentie-
ex-ponent van de enkelvoudige nulpunten van j {z) — X kleiner is
dan p'.

Bewijs:

Om dit te bewijzen, onderstellen we, dat er 3 zulke waarden
van X zijn, b.v. a, h en c.

Een nulpunt van j {z) — a, dat Woudig is gt; 1), is een
(2^ — 2)-voudig nulpunt van [/' {z)]K Is P {z, a) het kanonisch
product gevormd met de enkelvoudige nulpunten van / {z) — a,
en P {z, b), P {z, c) de analoge producten voor j {z) — ben f {z) — c,
dan is, omdat 2k — 2^k, het product:

P {z, a) P {z. b) P {z, c) [/'

deelbaar door het product

[j{z)~a){j{z)-b){j[z)-c),

m. a. w.

P{z.a)P{z,b)P{z, c) [f'W

waarbij lt;p {z) een geheele functie is.

Volgens de onderstelling is P {z, a) P {z, b) P {z, c) van de orde
lt; q' en uit de hulpstelling volgt, dat:

lt;

op oneindig veel cirkels.

Hieruit leiden we af, dat de functie (/ (2) — c) lt;p (z) is van de
schijnorde lt; q', dus ook van de orde lt; p'.dus a fortiori f {z) — c
van de orde lt; q'. Hetzelfde geldt natuurlijk voor de functies
f^z) — a en / (2) — b. We zijn dus in strijd met de stelling van
Borel, waaruit onze bewering volgt.

Stelling:

Als de geheele functie f (2) de eindige schijnorde q' heeft, dan is
er niet meer dan één waarde van X. waarvoor de convergentie-exponent
van de reeks der enkel- en tweevoudige nulpunten van f (z) — 1 kleiner
is dati q'.

Bewijs:

Onderstel, dat voor A = a de genoemde convergentie-exponent
kleiner is dan q'. Het kanonisch product P {z, a) gevormd met
de enkel- en tweevoudige nulpunten is dan van de orde lt; q'.
Het product:

[/' {zW • [P

is deelbaar door (/ (2) — a)^, omdat een ^-voudig nulpunt {k gt; 2)
van f{z)—a een {3k — 3)-voudig nulpunt is van [/' {z)Y, terwijl

3k — 3^2k.

Als de convergentie-exponent van de reeks der enkelvoudige
nulpunten van f (z) — b ook lt; q' en P (z, b) het correspondee-
rende kanonische product voorstelt, dan is het quotiënt:

\f'(zW\P (z.nbsp;jz.

[f{z)-a]^[f{z)-b\^

weer een geheele functie. Herhalen we nu de redeneering als in
de vorige stelling, dan leidt dit tot de onmogelijkheid, dat beide
waarden aenb B — uitzonderingswaarden (dus voor de reeks van
alle nulpunten) zijn.

Resumeerend:

Het theorema van Borel, volgens welk de orde van f (z) — l hoog-
stens voor één waarde van X kleiner kan zijn dan de schijnorde, gaat
ook door, indien we alleen letten op de enkel- en tweevoudige nulpunten
mn f (2) — A.

siquot;?

iiu-

LITERATUUR

[1]nbsp;L. Bieberbach - Lehrbuch der Funktionentheorie, 1927, bd. II.

pag. 239.

[2]nbsp;E. Bokel — Leçons sur les fonctions entières. Paris. Gauthier-ViUars.

2e éd. 1921.

[3]nbsp;J Hadamard - Sur les propriétés des fonctions entières et en par-

ticulier une fonction étudiée par Riemann. Journal de Math. t. IX.
1893.

[4]nbsp;J Hadamard — E. Landau — Sulle Funzioni intere di genera finito.

Rendiconti délia R. Accademia nazionale dei Lincei. Vol. VI, serie 6,

2e sem., jase. 1—2, 1927. pag. 3.

[5]nbsp;J. L. Jensen — Sur un nouvel et important théorème de la théorie

des fonctions. Acta Mathematica, t. 22.

[6]nbsp;E. Lindelöf — Mémoire sur la théorie des fonctions entières de genre

fini. Acta Societatis Scientiarum Fennicae, t. 31, § 10.

[7]nbsp;S. Minetti — Rendiconti ddla R. Acc. dei Lincei, Vol. VI. serie 6.

20 sem. 1927, pag. 267.

[8]nbsp;R. Nevanlinna - Zur Theorie der meromorphen Funktionen. Acta

Mathematica, bd. 46, 1925.

[9]nbsp;H. Poincaré — Sur les fonctions entières. Bulletin de la Société Math.

de France. T. 11, 1883.
[10] G. Valiron — Sur les fonctions entières d'ordre fini. Bulletin des

Sciences Mathématiques. T. 45. 1921.
j-jj^__Lectures on the general theory of integral functions. {Toulouse.

1923).

G. Vivanti: Elementi della Teoria deUe Funzioni Analitiche e delle
Funzioni transcendenti intere (1928).

-r:' ? ■.'T.-'quot;,;

■ r .

Stellingen

Stellingen

Het bewijs van Silvio Minetti (Comptes Rendus, 1928, t. 187,
pag. 372), dat de

1nbsp;, .nbsp;?Mrdr

reeksnbsp;en de integraal / ^^jr T l

op de constante factor {q s)^ na gelijk zijn, is onjuist.

00

II

Het bewijs, dat R. Nevanlinna geeft inHoofdstuk II, § 1 van
zijn artikel: Zur Theorie der meromorphen Funktionen (Acta
Mathematica, bd. 46, 1925) is te vereenvoudigen voor het geval

9 = 0.

III

Voor de constante C, die Prof. Dr. J. Wolff vindt bij zijn be-
schouwingen over „Séries de fractions rationnellesquot; (Comptes
Rendus, 1928, t. 186, pag. 565), zijn twee grenzen aan te geven.

IV

De stelling van d'Alembert is gemakkelijk af te leiden uit de
formule van Jensen voor geheele functies.

De verwijzing van Wansink in § 11 van zijn dissertatie: „Eenige
randproblemen der conforme afbeeldingquot;, naar aanleiding van
niet-euclidische beschouwingen, naar Hoofdstuk VI van de Analy-
tische Meetkunde van Prof. Barrau, verwekt misverstand, daar
in 't proefschrift uit niets blijkt, dat de maatbepalingen uit de
dissertatie en genoemd leerboek geheel dezelfde zijn.

VI

Het zou nuttig zijn in leerboeken over Anal. Meetkunde er op te
wijzen, wat het ontbreken van een der coördinaten in vergelijkingen
leerde aangaande den aard van de kromme of het oppervlak, door
die vergelijkingen voorgesteld.

VII

De stellingen van § 137 en § 141 in de „Inleiding tot de Nieuwere
Meetkunde van het platte vlakquot; van J. Versluys zijn onvolledig.

VIII

Het is wenschelijk de begrippen „totale dispersiequot; en „disper-
geerend vermogenquot; scherp te onderscheiden en beter te omschrijven
dan in de meeste natuurkundeboeken voor het M.0. geschiedt.

IX

De Kosmografie komt als „Wiskundige Aardrijkskundequot; op het
leerplan van het Gymnasium te zeer in het gedrang.

m

a

'S

Î
i

\ (fr

lt;

'■AS

tamp;ï

- ■ ■ ■ -

r