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ZUR QUANTENMECHANIK
DER MULTIPOLSTRAHLUNG

H. C BRINKMAN

8IBLI0THSEK DER
RiJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

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ZUR QUANTENMECHANIK
DER MULTIPOLSTRAHLUNG

RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT

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ZUR QUANTENMECHANIK
DER MULTIPOLSTRAHLUNG

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR
IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-
UNIVERSITEIT TE UTRECHT. OP GEZAG VAN DEN
RECTOR-MAGNIFICUS Dr. L. S. ORNSTEIN, HOOG-
LEERAAR IN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE. VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN
DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE TE
VERDEDIGEN OP MAANDAG 18 APRIL 1932, DES
NAMIDDAGS TE 4 UUR

door

HENRI COENRAAD BRINKMAN

geboren te amsterdam

P. NOORDHOFF N.V. -- 1932 - GRONINGEN-BATAVIA

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

AAN MIJN OUDERS

Het beeindigen van dit proefschrift geeft mij een welkome ge-
legenheid U, Hoogleraren in de Fakulteiten der Wis- en Natuur-
kunde aan de Universiteiten te Utrecht en Leiden, voor Uw
lessen te bedanken.

Hooggeleerde Kramers, door Uw voorbeeld leert Gij Uw leer-
lingen niet alleen theoretiese Natuurkunde, maar ook volharding
en liefde tot Uw vak. Mijn Utrechtse jaren zijn de mooiste van
mijn studietijd geweest.

Hooggeleerde Wolff, door Uw boeiende uiteenzettingen van de
denkmethoden der wiskunde hebt Gij mij doen inzien, dat de
wiskunde niet uitsluitend een moeilik, maar bovenal een mooi
vak is.

De Nederlands- Amerikaanse Fundatie dank ik ten zeerste, dat
zij mij in staat stelde in de zomermaanden van 1931 de kolleges in de
theoretiese Natuurkunde te volgen aan de University of Michigan
te Ann Arbor, waar ik met de studie van het in dit proefschrift
behandelde onderwerp een aanvang maakte.

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KAPITEL I.

DIE TRANSFORMATIONSEIGENSCHAFTEN DER
WELLENFUNKTIONEN.

§ 1. Einfährung der Spinvektoren,

Die Transformationseigenschaften der Lösungen der Wellen-
gleichung mit Hinsicht auf Drehungen des Koordinatensystems
spielen bei vielen physikalischen Anwendungen eine wichtige Rolle.
In diesem Kapitel wollen wir diese Transformationen untersuchen.

Wir definieren im euklidischen dreidimensionalen Raum ein
Koordinatensystem mit x, y. und z-Achsen. In diesem Koordinaten-
^stem sei ein Vektor A der Länge Null gegeben mit den
Komponenten a, b und c. Es besteht also die Relation:

a2 62-|-c2 = 0.......(1)

Diese Forderung besagt, dass mindestens eine der Zahlen a, b. c
nicht reell ist. Die Relation (1) zerfällt in zwei Teile: reeller Teil
von a2 c2 gleich Null (la) und imaginärer Teil von
a -t-62-{-c2 gleich Null (16). Dieser Vektor a definiert ein
orthogonales Achsenkreuz d. h. drei gleichlange zueinander senk-
^chte Vektoren x, y und z von denen die zwei reellen Vektoren
x und y durch:

^x = 9t(a)nbsp;F;, = 9i(/a) = -

= = = - 3(6) ... (2)
^^ = 9i(c)nbsp;Y, = dl[ic) = - 3(c)

gegeben sind.

Hier bedeutet »^a) reeller Teil von a. 3(a) imaginärer Teil von a.

Die Bedingungen (la) und (16) lassen sich jetzt schreiben als:

X'; = 4- y^ -f yj = r2 (la')
X.Y, XyYy X,Y, = 0......(160

Die Vektoren x und y sind also tatsächlich zueinander senk-
^cht und haben die gleiche Länge r. Wir definieren den Vektor
z senkrecht zu x und y und mit der gleichen Länge r.

Ein neuer Vektor a' der Länge Null entsteht aus a, indem

1

man die Komponenten mit einem Phasenfaktor e'quot; multipliziert:
A' = e'quot; A. Aus der Bemerkung dass B = 91 Ae^'quot;quot;®^ einer gleich-
mässigen Kreisbewegung mit der Frequenz co des Punktes B in der
X, i/-Ebene entspricht, erkennt man unmittelbar, dass Multipli-
kation der Komponenten von A mit einem Phasenfaktor e'quot; einer
Drehung des Achsenkreuzes um den Winkel a um die 2:-Achse
herum entspricht.

Wir können die Komponenten der Vektoren X und Y in den
Eulerschen Winkeln cp, %p zwischen Achsenkreuz und Koordinaten-
system ausdrücken:

Xx = r {cos cp sin t/; — sin (p sin rp cos
Xy = r {cos (p sin y) sin (p cos cos
Xz= r (sin q} sinnbsp;_ ^^

Yx = r {- sin qgt; cos ip cos (p sin y^ cos '
Yy = r {cos lt;p sin cos 93 cos ip cos 1?}
Yz = r (cos (p sin 1?}.
Für a und b findet man sodann:

a ib = x.- iY. i{Xy - iYy) = r(cos 1 V')
- a = - /y. - = Kcos ^ - l)e'(^-V')

Wir ordnen dem Vektor A im y, z-Raum einen Vektor
(f, rj) mit zwei komplexen Komponenten f und jj in einer f, rj -Ebene
zu in folgender Weise:

— rj-

2

. . (5a)nbsp;. . . (5t)

r, = V-a ib

c = — ^r]

Wir nennen einen Vektor dieser Art einen Spinvektor. Durch
die Formeln (5a) ist der Spinvektor (f. vierdeutig definiert. Die
letzte Relation {5b) legt aber, nach der Wahl von f aus zwei
möglichen Werten, den Wert von 1] fest. Der Vektor (f. »;) ist
hierdurch nur noch zweideutig. Seine Komponenten sind bis auf
einen Faktor ± I definiert. Es ist also dem im vorigen Paragrafen
besprochenen Achsenkreuz ein Vektornbsp;zugeordnet. Eine

Drehung des Achsenkreuzes um einen Winkel^ a entspricht offenbar
einer Multiplikation der Komponenten mit e
Es wird nach (4):

f = Vir . cos _ . e^

, .....(6)

r] = K 2r.i. sm^ . e^

Wenn das Achsenkreuz mit dem Koordina^nsystem zusammen-
fällt. also wenn ^ = = = 0, wird f = Vir und = 0.

§ 2. Die unifären Transformationen.

Wir fragen nun wie f und t] sich transformieren bei einem
Ubergang vom jc, y, z-KoordinatensyStem zu einem gedrehten
orthogonalen Koordinatensystem y', z'. Die Komponenten a. b, c
des Vektors a gehen bei dieser Transformation über in a'. b', c
und es gilt:

a = a^a a^^b «isC

= agia 0226 0230 I I = 1. . . . (7)

c = agia 0326 agsc

^ Da die aik reell sind, werden auch 9i(a), dl{b) und 9i(c) sowie
3(a). ^{b) und sich wie die Komponenten eines Vektors trans-
formieren. Damit ist die Definition des Achsenkreuzes in § I ge-
rechtfertigt. Weiter folgt hieraus, dass auch a*. b*. c* i) die
Komponenten eines Nulivektors sind und dass nicht nur c^
sondern auch | a [2 | 6 ,2 | c ,2 eine Invariante dieser Trans-
formation ist.

Es ist leicht zu sehen, dass der betrachteten Raumdrehung eine
lineare Transformation der Komponenten des Vektors »;) ent-
spricht. Indem man in (7) für a = ~ u.s.w. und a' =

2 2

u.s.w. einsetzt, sieht man, dass j;2 ^nd fj/ sich linear trans-
formieren :

= nbsp;.....(8a)

= . . . . (8) (86)
rv' = ßsi^' ß32V^ nbsp;.....(8c)

Da das Produkt der linken Glieder von {8a) und (86) gleich dem
Quadrat des linken Gliedes von (8c) ist, so muss dies auch für die
rechten Glieder der Formeln (8) gelten. Hieraus folgt aber, da
und j/2 nicht gleich sind, dass die rechten Glieder von i8a)

und (amp;b) beide Quadrate sind, und es gilt:

= ........^^^

Bezeichnen_ wir ^e zum Vektor — a*. — b*, — c* gehörigen
f und 1] mit f und r] so gilt:

|2 = _ a* _nbsp;= (_ a ib)* =

rf^ = a*-ib* = {a ib)* = ^*^- .... (10)

^ 7] = C* = -

Mit * bezeichnen wir immer den komplex-konjugicrten Wert einer Grösse.

Es gilt also:

J=q:rj* ^ = ± f*......(11)

Es transformieren sich also — V* und genau so wie $ und rj.
Das Transformationsschema der letztern ist also identisch mit dem
Schema:

. (12)

f*'= a*f* /5V ' '

Hieraus folgt: a = d*, ß = — y* und das Transformationsschema
vereinfacht sich zum Transformationsschema der unitären Trans-
formationen:

= (13)
rj'= - ß*^a*r]......

Aus {5b) findet man leicht:

|aj2 |^,|2 |cj2 = i/2(ff* ^,?*)2=2r2 . . (14)

Es ist also (1^* ??»/*) eine Invariante bei den Transforma-
tionen des Vektors (f. t]). ihrer Bedeutung nach ist sie gleich 2r.
Aus der Invarianz von (ff* rjV*) folgt' ^ass im Transformations-
schema (13)nbsp;1 ist.

Um die a und ß auszudrücken in den Eulerschen Winkeln (p, tp
welche das gedrehte Koordinatensystem in Bezug auf das alte
definieren, wählen wir die Drehung so, dass das durch f, rj defi-
nierte Achsenkreuz mit dem neuen Koordinatensystem zusammen-
fällt; sodann gilt nach (6): f = K2r n = 0-
Es folgt also:

= ,15)
0 = .......

oder:

= f .......

ß*V2r = t]

und mit Hilfe von (6):

^ -{(«p v)

a = cos — . e ^

2nbsp;, .....(17)

^ = — I sm ^ . e

Diese Formeln zeigen, dass nach einer Drehung In um die z-
Achse f und r] nicht, wie a, b, c, zu ihrem Ausgangswert zurück
kehren, sondern dass: f' = — f und rj' = — rj.

§ 3. Invarianten.

Betrachten wir zwei willkürliche Spinvektoren (fi, und {^2.
so ist (— jjg^i J/il^j) eine Invariante bei unitären Transforma-
tionen. Wir bilden ein homogenes Polynom vom Grad g in den
Komponenten von n Spinvektoren (^i, rj{) ... . rjn) und nehmen
an es sei invariant.

Die unitäre Transformation:

= ........

lässt im besondren dieses Polynom invariant. Dies ist aber nur
möglich wenn jeder Term in sich selbst über geht. Da | mit e^f
und rj mit equot;''' multipliziert erscheint, muss der gesamte Grad
eines Terms in den f gleich dem gesamten Grad in den j; sein.
Der Grad g des Polynoms ist also gerade. Wir schreiben g = 2v
und beweisen, dass dieses invariante Polynomnbsp;Vk) immer als

ein Polynom in den Grundinvarianten (— rjk'^ic -f rjkh') geschrieben
werden kann. Dazu schreiben wir:

{k) = — bh-i-a7]k

= .......^^^^

wo a und b die Komponenten eines Spinvektors sind und be-
trachten das Polynom P{{kf. {k)). wo an Stelle von h. bezw. t]^
die Invarianten (kf. bzw. {k) geschrieben sind. Nach einer Trans-
formation, so dass b' = b'* = 0 wird, findet man:

Pm*gt; (k)) = {a'a'*r PiSl yf,) .... (20)

Die beiden in dieser Gleichung auftretenden Polynome P sind
invariant.

Nach einer Transformation von a. b', rj'^ zurück nach a, b.
findet man:

Pm*.{k)) = (aa*-\-bb*rP{h.Vk) . . . (21)

Da a* und b* algebraisch unabhängig sind von a und b, darf
man a, b, a*, b* bei allen analytischen Prozessen als unabhängige
Variabein betrachten. Wir führen sodann den Operator

/ 02nbsp;52 ^

[dada*^ dbdb*)......^^^^

ein, der auf a, b, a*, b* wirkt. Die Anwendung dieses Operators
auf {k)*,{k') liefert:

Q{kY.{k) = Q.......(23)

Aus dem Polynom P{{k)*, (k)) wird also nach y-maliger Anwen-
dung des Operators ein Polynom in (— Vk'h). wo k und

A:' = 1. 2.....n.

Da, wie man leicht nachrechnet:

wird aus (21), durch y-malige Anwendung des Operators Q:

{v 4- 1)! y! r]k) = Pol ((- »M'ffc VkSk'))

k. k' = \,2 . . . .n. . . (25)

Hiermit ist der Beweis geliefert.

Ein inhomogenes invariantes Polynom zerlegen wir in seine
homogenen Teile. Da die Transformation linear ist, so muss jeder
dieser Teile invariant bleiben.

Wenn man neben den Spinvektoren (l^, j;i) .... {^n, Vn) auch ihre
komplex-konjugierten (fk*. 7]k*) betrachtet, so treten die folgenden
Grundinvarianten auf:

(— Vk'h Vkh')nbsp;(hh* Vk^kquot;''}nbsp;(2ß)

{-Vk'* Vk*hn ihh'quot;' VkVk'l ' ' ^ '

denn es transformieren sich ja i* und wie y] und — f.

Der Beweis, dass ein invariantes Polynom in den (hgt; Vk) und
{h*, V»*) ein Polynom in den Grundinvarianten ist, ist vom oben-
gegebenen Beweise nicht wesentlich verschieden.

§ 4. Darstellungen einer Gruppe.

Bekanntlich bilden die Raumdrehungen eine Gruppe. Man spricht
von einer eindeutigen Darstellung vom Grad g einer Gruppe,
wenn jedem Element R eine lineare Transformation von g Vari-
abein Vi ... .Vg zugeordnet werden kann:

........(27)

derart dass:

.......(28)

m

1) Ein Beweis dieses Satzes für mehr-dimensionale komplexe Vektoren ist von
Turnbull gegeben (Vgl. Proc. Akad. Amst. XXXIV, 413.).

gilt, wenn das Produktnbsp;Gruppenelemente jRi und I^o

das Element R^ liefert. Dieses besagt, dass das Resultat der auf-
einander folgenden Transformationen:

.......^^^^

^ k ^ ^ l

eben;

=nbsp;.......(30)

heisst.

Das System der a^i bildet die zu R gehörige Transformations-
matrix. Das linke Glied in (28) gibt die Elemente der Matrix,
die durch Multiplikation der Matrizen a'?! und entsteht; in
der Schreibweise der Matrixtheorie heisst es also einfach:

a'?' . =nbsp;.......(31)

Die einfachste eindeutige Darstellung der Raumdrehungsgruppe
ist eben das Transformationsgesetz (7). Jeder Transformation (7)
und also auch jeder Raumdrehung lassen sich zwei unitäre Trans-
formationen der (f, j/) zuordnen. Diese Transformationen bilden
also eine zweideutige Darstellung der Raumdrehungsgruppe.

Wenn man statt der Variabein V/ mittels einer festen Matrix 5
(mit nicht verschwindender Determinante) irgendwelche lineare
Kombinationen:

=nbsp;.......(32)

k

als neue Variabein einführt, so entspricht jeder Transformation
der V eine Transformation der N; die N geben also auch Anlass
zu einer Darstellung der Gruppe, oder wie man sagt, sie indu-
zieren eine Darstellung. Die den Gruppenelementen zugeordneten
linearen Transformationen sind in diesem Falle gegeben durch
Transformationsmatrizen a'^quot;, die die Form haben:

-fr =nbsp;s, (5-'. 5=1) . . . (33)

Die zwei Darstellungen durch die a'^quot; und die a^quot; bezeichnet
man als aequivalent.

Es kann vorkommen, dass die Darstellung (V) so beschaffen
ist, dass die g Variabein V in Gruppen von gi, g2lt; - • • - gs Vari-
abein zerfallen in solcher Weise, dass die Variabein der einzelnen
Gruppen sich jeweils (d.h. für jedes Element der Gruppe) nur
untereinander transformieren:

=nbsp;{k,l,= \.2.....p,) . . (34)

Unsere Darstellung reduziert sich in diesem Fall auf s Darstel-
lungen niedrigeren Grades, und die Elementen der Transforma-
tionsmatrixen a^^ sind immer Null, ausser wenn sie sich innerhalb
gewisser Quadrate befinden, deren Hauptdiagonalen mit der Haupt-
diagonale des ganzen Matrix zusammenfallen. Wenn die Dar-
stellung a^i zwar nicht diese Form hat, wenn es aber eine ihr
aequivalente Darstellung (N) gibt, bei der die Transformation als
reduziert erscheint, so nennt man die ursprüngliche Darstellung
reduzibel.

Es ist leicht einzusehen, dass die Darstellungen (7, 13) der
Raumdrehungsgruppe irreduzibel sind.

Eine irreduzibele Darstellung vom Grad 2j 1 wird induziert
von den 2j 1 Monomen:

Mm =nbsp;(m = y, 7 — 1.....—7 1. —j) . (35)

wo j ganz- oder halbzahlig ist. Im ersten Fall nennt man die
Darstellung ungerade, im zweiten Fall gerade.
Diese Darstellungen und die ihr aequivalenten sind die einzigen
irreduzibeln Darstellungen der Raumdrehungsgruppe Der Fall
j = 1/2 ergibt die oben besprochenen Transformationen der f und
rj. Die Darstellung durch die Transformationen (7) ist aequivalent
mit der Darstellung induziert durch die Monome t]^ und ^rj.
(Vgl. (8)). Es ist hier j = 1 und die Darstellung ist vom Grad 3.
Offenbar sind die ungeraden Darstellungen eindeutig, die geraden
dagegen zweideutig.

§ 5, Die Wellenfanktionen eines Atoms mit einem Elektron.

Eine erste Anwendung ist das Problem des sich in einem
zentralsymmetrischen Felde befindenden Elektrons ohne Spin.
Die Schrödingergleichung für diesen Fall lautet:

^V^ iE-V)rf = 0.....(36)

Hierin ist E die Energie und V die Potentialfunktion. Nur
für bestimmte Werte von E hat die Gleichung eine überall end-
liche Lösung. Die Lösungen lassen sich als das Produkt zweier
gegen Raumdrehungen invarianten Faktoren anschreiben:

W = F{r){ax bycz)'.....(37)

wo:

__r2 = Ar2 y2 4- ^2

1) Vgl. H. Wey], Gruppentheorie und Quantenmechanik, Kap. III, § 30.

und a, b, c die Komponenten eines Vektors a der Länge Null sind.
Es ist:

V iax by czY......(38)

eine Lösung der Gleichung Acp = 0 und also ein harmonisches
Polynom. Die Funktion F(r) muss. wie man leicht nachrechnet,
eine (überall endlichbleibende) Lösung der Gleichung:

d^F ,21 dF , 87r2m ,,, ^

nbsp;• • • (39)

sein.

Wir zerlegen nun das invariante Polynom T' in nicht invariante
Teile. Dazu führen wir nach den Formeln (5) anstatt a, b, c die
f und rj ein:

^nbsp;.... (40)

Dieser Ausdruck

ist ein in $ und tj homogenes Polynom vom
Grade 21. Die 2/ 1 Koeffizienten dieses Polynoms sind Polynome
vom Grad / in x, y, z und genügen offenbar je für sich der
Gleichung A(p = 0.

Einführung von Polarkoordinaten für a:, y, z nach:
X /y = r sin

X —iy = r sinnbsp;......(41)

2 = r cos

ergibt:

i(p

sin — 2\fe ^ . tje ^ kos —

( -^--if i'
— Ue Sintis

Nach Substitution von:
^ = 2
Y = rie 2

findet man:
worin:

T = cos — y sin

Die Taylorentwicklung nach y ergibt:

T = COS1?

d V-'

(--) -ii—, I'-'quot; „'-'«e'«'^ (sinnbsp;J (1 — cos2 êy

A2/l(/—m)!nbsp;\dcosifJ

Fnbsp;X

Hätten wir T' nach Potenzen von anstatt y entwickelt, so
hätten wir bekommen:

(46)

Es gilt also:

(_ 1 / d

-P) = (l-^,, e'-quot;nbsp;(1 - =

(47)

)l m

(1 - C0S2

Diese Funktionen von d' und rp, die wir laut dem ersten Gliede
in (47) mit QT bezeichnet haben, sind eben bis auf einen Zahlen-
faktor die tesseralen Laplaceschen Kugelfunktionen,

Gemäss (37) entspricht jeder Zahl l eine Reihe von 21 1
Wellenfunktionen:

rpT = F{E, l) cp)
(2/)!

^l-m m ^t-l-m m

invariant ist, wie auch T', so transformieren sich (vgl. 45. 47)
bei einer Änderung des Systems von Polarkoordinaten die Qi
genau so wie die Grössen:

__(^0-____t*l-m m

{l m)\ {l—my.nbsp;'

oder (vgl. 11) wie die Grössen:

§ 6. Die Wellenfunktionen im allgemeinen Falle eines freien
Atoms.

Auch im Falle eines freien Atoms mit vielen Elektronen, deren

Spins mitberücksichtigt werden, kann man eine Aussage darüber
machen, wie die Lösungen der zeitfreien Schrödingergleichung:

Hxp = Eyj........(50)

die zu einem bestimmten Eigenwert E gehören, sich bei Raum-
drehungen transformieren. H ist der Hamiltonsche Operator, worin
auch die Wechselwirkung zwischen den Elektronen und die Spin-
störung aufgenommen sind. Der Eigenwert E ist die Energie, ip ist
eine Funktion der Raumkoordinaten der Elektronen und der
Spinkoordinaten.

Zu einem Eigenwert gehören im allgemeinen mehrere Eigen-
funktionen der Schrödingergleichung. Es mögen die tp'^ik = 1,2...)
ein System von linear unabhängigen Funktionen bezeichnen, aus
denen jede Eigenfunktion aufgebaut werden kann. Der Hamil-
tonsche Operator H ist, seiner Form nach, invariant gegen Dre-
hungen des Koordinatensystems. Hieraus ergibt sich, dass die
Funktion xp', die aus einer Lösung rp der Schrödingergleichung
durch eine Drehung des Koordinatensystems hervorgeht, auch eine
Lösung ist. Diese Funktion yj' muss sodann aber notwendig eine
lineare Kombination der vorhergesuchten Lösungen yj'' sein. Die
zum Eigenwert E gehörigen Lösungen y)'' der Schrödingergleichung
transformieren sich also linear bei Drehungen des Koordinaten-
systems. Ihre Transformationen bilden eine Darstellung der Raum-
drehungsgruppe. Diese Darstellung lässt sich nach dem in § 4
besprochenen in irreduzibele Darstellungen zerlegen, wenn sie
nicht schon irreduzibel ist. Wir betrachten einen solchen Bestand-
teil, der vom Grade 2j 1 sei. Das bedeutet aber, dass dieser
irreduzibele Teil der Darstelling von 2j 1 Wellenfunktionen
induziert wird, die so gewählt werden können, dass sie sich
transformieren wie die 2j 1 Monome ^i^^^rji-^K

Wenn wir jetzt in den Hamiltonschen Operator ein Störungs-
glied aufnehmen, dass invariant ist gegenüber Raumdrehungen, so
ist es möglich dass Wellenfunktionen, die vor der Einführung der
Störung zum selben Eigenwert E gehörten, übergehen in Wellen-
funktionen, die zu mehreren verschiedenen Eigenwerten Ei, E2,

.....E/, gehören. Man sagt, dass der Eigenwert sich gespaltet

hat. Wenn wir nachher die Störung wieder rückgängig machen,
d.h. sie nach Null konvergieren lassen, so müssen die neuen
Wellenfunktionen schliesslich übergehen in Linear-Kombinationen
der ungestörten. Für jeden Eigenwert Ea- transformieren sich diese
zugehörigen Linear-Kombinationen untereinander bei einer Raum-
drehung: die Möglichkeit der Aufspaltung bedeutet also, dass die

durch die ungestörten Wellenfunktionen induzierte Darstellung
reduzibel war. Die Energieniveaus bei denen die zugehörige Dar-
stellung irreduzibel ist, können sich also bei einer Störung des
besprochenen Typus nicht mehr aufspalten (im entgegengesetzten
Fall spricht man von zufälliger. Entartung). In der Spektroskopie
nennt man / die innere Quantenzahl des entsprechenden stationären
Zustandes, wenn 2j 1 sein Entartungsgrad ist. Ihrer Bedeutung
nach ist j die Quantenzahl des totalen Impulsmoments des Atoms
im betreffende stationären Zustand, Mittels der quantenmechani-
schen Definition der Operatoren, die den Komponenten des totalen
Impulsmoments entsprechen und die eng mit dem Resultat infini-
tesimaler Drehungen zusammenhängt, lässt sich diese Behauptung
beweisen An dieser Stelle gehen wir darauf jedoch nicht näher
ein. Die Einführung eines homogenen Magnetfeldes hebt die in
Rede stehende Invarianz des Hamiltonschen Operators auf, und
die 2j 1—fache Entartung wird aufgehoben, d.h. man hat jetzt
2j 1 Wellenfunktionen, die sich durch den Wert einer „mag-
netischen Quantenzahlquot; unterscheiden und die zu verschiedenen
Energieniveaus gehören.

Da M der Komponente des totalen Impulsmoments der Z-Achse
endang entspricht, was sich mittels infinitesimaler Drehungen be-
weisen lässt, so bilden die ungestörten Eigenfunktionen tpj^ eine
nullte Näherung der gestörten Eigenfunktionen im Fall eines
homogenen, längs der Z-Achse gerichteten, schwachen Magnetfeldes.

Da j sowohl ganz-, wie halbzahlig sein kann, treten auch zwei-
deutige Darstellungen (n.l. die von geradem Grad) auf. Für die
physikalischen Anwendungen bildet dies aber keine Schwierigkeit.

§ 7. Die Spin-Bahnkoppelung.

In diesem Paragrafen wollen wir die Transformationseigen-
schaften der Wellenfunktionen etwas näher untersuchen und auch
ein Beispiel der im vorige Paragrafen besprochenen Reduktion
geben. Die Terme in der Schrödingergleichung (50). die sich auf
die Wechselwirkung zwischen Spin und Bahn beziehen, können
oft als eine kleine Störung aufgefasst werden. Wir vernachlässigen
sie und lösen sodann die Schrödingergleichung, die nur noch die
Raumkoordinaten aber nicht mehr die Spinkoordinaten enthält.
Da auch nach oben genannter Vernachlässigung der Hamiltonsche
Operator der Form nach invariant ist gegenüber Raumdrehungen,
so induzieren die zu einem bestimmten nicht zufällig entarteten
Eigenwert gehörigen nur von den Raumkoordinaten abhängigen

') Vgl. H. Wey), loc. cit. Kap. IV. § 35.

Lösungen yj^quot; eine irreduzibele Darstellung der Raumdrehungs-
gruppe. Die 2/ 1 zu dieser Darstellung gehörigen Wellenfunkti-
onen lassen sich so wählen, dass sie sich transformieren wie die
21 1 Monome (Vgl. § 6):

^Um^l-mnbsp;{m = l,l—\......— /)

Die rp'^ sind eindeutige Funktionen und transformieren sich auch
eindeutig. Der Grad der Darstellung ist also ungerade und die
Quantenzahl l des totalen Impulsmoments ist immer ganzzahlig.
In § 5 haben wir beim Ein-Elektronenproblem ein Beispiel einer
solchen eindeutigen Darstellung gefunden. Die xp'p waren in diesem
Fall bis auf einen vom Radius unabhängigen Faktor einfach
identisch mit den (eindeutigen) tesseralen Kugelfunktionen.

Wir könnnen die Lösungen mit jeder willkürlichen Funktion
der Spinkoordinaten multiplizieren, das Produkt wird noch immer
eine Lösung der Schrödingergleichung unter Vernachlässigung der
Spinterme sein.

Als Spinkoordinate führt man am besten die Komponente des
Spinimpulsmoments s^ eines Elektrons längs einer festen Achse
(wir wählen die Z-Achse des Koordinatensystems) ein. Die Wellen-
funktion ist sodann eine Funktion der raumlichen Koordinaten der
n Elektronen und der Spinkoordinaten sj,').....s^quot;). Die Spin-
koordinate eines Elektrons kann nur zwei Werte annehmen und zwar:

_J_ 1nbsp;Jnbsp;1 ^nbsp;/CIN

Die zwei Zustände des Elektrons, wo die Komponente des
Spins den ersten bzw. den zweiten dieser zwei Werte hat, kenn-
zeichnen wir durch zwei Symbole 5 und 5-. Sie können aufge-
fasst werden als „Funktionenquot; der Spinkoordinaten: S (sz) und
'S-(5z) und zwar so, dass:

'nbsp;(52)

2 2nJ

Andre Werte von Sz gibt es ja nicht. Im allgemeinen wird der
Zustand des Elektrons, aus einer Superposition dieser zwei durch
•5 und 5- angegeben Zustände bestehen; d.h. es wird eine
Messung der Spinkomponente mit einer gewissen Wahrscheinlich-
keit den Wert ^ hzw. — ^ liefern. Die entsprechende

Spinfunktion schreiben wir in der Form qS- wo | p p und
i q |2 die zwei erwähnten Wahrscheinlichkeiten vorstellen.

Die Wellenfunktion eines Elektrons yj{x. y. z, Sz, t), die von
den Raumkoordinaten, den Spinkoordinaten und der Zeit abhängt,
lässt sich schreiben als eine Summe:

xp{x, y, z, Sz, t) = rPaix.y, z. t) SAsz) ipß{x. y. z. t) S-(sz) (53)

Es lassen sich und 5_ formal als Eigen funktionen der
Z-Komponente des Spins auffassen, die den zwei möglichen Eigen-
werten - — und — ^ angehören. Die Formel (53) ist sodann
2 2JZnbsp;2/71

formal eine Entwicklung der Wellenfunktionnbsp;y, z, s^, t) nach

diesen Eigenfunktionen mit den Entwicklungskoeffizienten xp^ und
yjß. 1st die Wellenfunktion normiert, d.h. ist:

.....(54)

so sindnbsp;\xpß ^'dV die Wahrscheinlichkeiten dafür,

dass das Elektron sich im Raumelement dV befindet und das

Impulsmoment bzw. — ^^ Z-Achse entlang hat.

Nach einer Drehung des Koordinatensystems hat man zwei
Funktionen und 51, die die Zustände des Elektrons angeben, wo

l hnbsp;III

die Spinkomponente längs der neuen Z-Achse Y2n ~~ 22n

ist. Da diese zwei Zustände als eine Superposition der durch 5
und S- gekennzeichneten Zustände aufgefasst werden können, so
müssen S\ und S'- sich linear ausdrücken in und 5_

5' = a5 ßS- /ccx
51 = yS. lt;55- ......^ ^

Dies ist eine Darstellung vom Grade zwei der Raumdrehungsgruppe.
Es lassen sich also zwei lineare Kombinationen von 5 und 5_
wählen, die sich transformieren wie ^ und rj. Nach dem auf 5. 14 ge-
sagten (Definition der Impulsmoment-Operatoren mit Hilfe von infini-
tesimalen Drehungen), müssen diese Kombinationen eben Zustände

mit Impulsmomentnbsp;quot;lènbsp;=nbsp;^^^^^^

daher festsetzen dass 5. und 5- selber sich wie f und rj trans-
formieren. Die in § I eingeführte Bezeichnung Spinvektor wird
hierdurch erklärt, i) Die hier betrachtete Darstellung ist zweideutig,

1) Vgl. W. Pauli. Zs. f. Phys. 43, 601, 1227.

Die allgemeinste Funktion der Spinkoordinatennbsp; ipßS-

ist invariant gegenüber Drehungen des Koordinatensystems, worauf
sich 5 und beziehen. Es transformieren sich also ip^ und tpß
wie und t]*. In jedem Raumzeitpunkt lassen sich drei Koordi-
natenrichtungen so wählen, dass tp^ und ipß in Bezug auf dieses
X, Y, Z-System reell, bzw. Null werden. Aus § 1 entnimmt man,
das diese Richtungen mit dem Achsenkreuz zusammenfallen, das
gemäss den Formeln (6) mit Hilfe von f = ip^*, = tpß* kon-
struiert werden kann. Die Z-richtung dieses Achsenkreuzes gibt
die Richtung des Spins im betrachteten Raum-Zeitpunkt.

Bei n Elektronen können die Zustände, was ihre Spins anbe-
langt durch Produkte von den Spinfunktionen der einzelnen Elek-
tronen gekennzeichnet werden:

.....

wo sf^ sich auf das k^' Elektron bezieht. Es gibt 2quot; solcher Pro-
dukte: sie transformieren sich bei einer Raumdrehung gemäss einer
Darstellung der Raumdrehungsgruppe vom Grade 2quot;. Denken wir
uns diese Darstellung ausreduziert, so erhält man jeweils eine
Anzahl von linearen Kombinationen von Produkten der Form (56)
die sich untereinander irreduzibel transformieren. Diese linearen
Kombinationen rp'^ kann man so wählen, dass sie sich transfor-
mieren, wie:

........(57)

Analog an § 6 deuten wir s als die Quantenzahl des resultie-
renden Spins der Elektronen, n als die Quantenzahl der Kompo-
nente längs der Z-Achse.

Wir wählen nun als Lösungen der Schrödingergleichung mit
Vernachlässigung der Spinbahnkoppelung die Funktionen y)'/' rp'^. Sie

gehören zu einem Bahnimpulsmoment /. _ und einem Spinmoment

Zn

h _

^ • Es transformieren sich die y)quot; y'J gemäss einer im allge-
meinen reduzibelen Darstellung, wie:

......

Die Einführung der Spinbahnkoppelung hat Aufspaltung der
Energieniveaus zur Folge, und die Lösungen der Schrödinger-
gleichung sind nicht allein durch das Bahn- und Spinimpulsmoment

charakterisiert, sondern auch noch durch das totale Impulsmoment

j . ^ des Atoms. Die 2j 1 zu einem bestimmten Eigenwerte

gehörigen Lösungen tp'J^ der Schrödingergleichung in diesem Fall
haben wir im vorigen Paragrafen besprochen. Ihre Transforma-
tionen werden dargestellt durch die Transformationen der 2j 1
Monomenbsp;wenn (a, b) ein Spinvektor ist. Wir nennen

diesen Vektor (a, b) um Verwechslung mit den in diesem Para-
grafen eingeführten Spinvektoren (f, i]) und (f', tj'), zu verhindern.
Wenn man die Spin-Bahnkoppelung nach Null gehen lässt, so
werden die 2j 1 Funktionen gleich lineare Kombinationen
xp'^ der Funktionen i/^^V'quot; deren Transformationen eine irre-
duzibele Darstellung vom Grad 2j 1 der Raumdrehungsgruppe
bilden sollen, da die Invarianz des Hamiltonschen Operators nicht
vernichtet ist. Diese linearen Kombinationen yj'f suchen wir, sie
sind eine nullte Näherung für die Lösungen tpf der vollständigen
Schrödingergleichung. Dazu bilden wir lineare Kombinationen der
Monomenbsp;die sich transformieren wie

Dies bedeutet eine Reduktion der Darstellung durch die Trans-
formationen der ^l-mrjl-m^'s.n^'s-n^
Wir führen die Invariante ein:

wo: / s ^y ^ ! / — 5| sein muss, damit ein Polynom ist.
Dieses Polynom lässt sich zerlegen in Terme, welche die Form
haben: a^'^^b^*^ mal eine lineare Kombination von Produkten
der Form ^l^nt^l-m^'s^n^j's-n^

Analog dem am Schluss von § 5 gesagten werden diese lineare
Kombinationen sich transformieren wie:

(;-M)!(; M)!^ ^ .....^^^^

und also eine irreduzibele Darstellung vom Grad 2j 1 indu-
zieren 2).

1)nbsp;Von der Entartung, die den Permutationen der verschiedenen Elektronen
entspricht, sehen wir vorläufig ab.

2)nbsp;Das hier benutzte Verfahren lässt sich ganz allgemein gebrauchen zur
Ausreduktion von „Produktenquot; zweier irreduzibeln Darstellungen der Raum-
drehungsgruppe. Es ist ein Beweis des Satzes:

= ......

(Vgl. H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik. Kap. III. § 30.)

Damit ist unser Zweck erreicht; wenn wir in den eben genannten
linearen Kombinationen dienbsp;ersetzen durch die

sich gleich transformierenden xpf . xpl. so sind diese linearen Kom-
binationen gleich den Funktionen ip'j^, die sich ergeben, wenn die
Spin-Bahnkoppelung nach Null geht.

Bis jetzt haben wir von jener Entartung der Energieeigenwerte
abgesehen, welche auf der Aequivalenz der Elektronen beruht.
Wenn man in einer Wellenfunktion die Koordinaten eines
Elektrons vertauscht mit den Koordinaten eines andren, so ist die
neue Funktion rjjj^ noch immer eine Lösung der Schrödinger-
gleichung, da ja der Hamiltonsche Operator symmetrisch in allen
Elektronen ist. Diese Funktion gehört also zum selben Eigenwert.
Der durch diese neue Funktion yjj^ gekennzeichnete Zustand des
Atoms wird von dem durch yj^^ definierten Zustand aber physi-
kalisch nicht verschieden sein, da wir eine stattgefundene Vertau-
schung von zwei Elektronen nicht beobachten können. Die allge-
meinste Lösung der Wellengleichung für einen bestimmten Zustand
wird also aus irgendeiner linearen Kombination der Funktion ly-'y'
und der aus ihr durch Vertauschung der Elektronen hervorge-
gangenen Funktionen bestehen. Die quantenmechanische Fassung
des Pauli'schen Ausschliessungsprinzips besagt, dass nur solche
stationäre Zustände in der Natur vorkommen, deren zugehörigen
Wellenfunktionen antisymmetrisch sind in den Koordinaten der
Elektronen; d.h. der Wert der Wellenfunktion wird mit — 1
multipliziert, wenn man die Werte der Raum- und Spinkoordinaten
zweier Elektronen mit einander vertauscht. Die Wellenfunktionen
werden also dargestellt durch solche Linearkombinationen E ± ^Hf

der erwähnten Art, welche antisymmetrisch in allen Elektronen
sind 1). Ihre Transformationseigenschaften bei Raumdrehungen sind
aber offenbar dieselben wie die der Funktion tpf, von der wir
ausgingen.

§ 8. Berechnung von Matrixelementen.

In der Quantenmechanik treten vielfach Integrale auf der Form:
ü^i = f y„*ßy,,dt.......(61)

«

- ± bedeutet Summation über alle Permutationen, und zwar so, dass bei
p

geraden Permutationen das Zeichen, bei ungeraden das — Zeichen gewählt
wird. Bei gegebener Wahl der Zahl s in (57) müssen die vquot;' den Symmetric-
charakter ['/jN^ s] [^/^N — s] aufweisen, damit die in Rede stehende Summe
nicht identisch verschwindet.

Es sind ipk und ipi Lösungen der zeitfreien Schrödingergleichung,
die im allgemeinen verschiedenen Eigenwerten entsprechen; ü ist
irgendein Operator, der auf ipi wirkt, ƒ dt bedeutet Integration
über alle Raumkoordinaten samt Summation über die Werte
aller Spinkoordinaten. Es wird Qki das Matrixelement des Opera-
tors ü in Bezug auf die Eigenfunktionen ipk und ipi genannt.

Man interessiert sich oft nur für die Verhältnisse von zu ver-
schiedenen Paaren von Eigenfunktionen gehörigen Matrixelementen
üki und ük'i'. Wir wollen hier speziell den Fall betrachten eines
freien Atoms und fragen nach allen Matrixelementen eines Operators
in Bezug auf diejenige Eigenfunktionen, die sich auf dasselbe
Anfangs- bzw. Endniveau beziehen, und die sich nur durch die
Werte der Quantenzahl M unterscheiden. In diesem Fall sind die
obengenannten Verhältnisse oft vollkommen durch die Transfor-
mationseigenschaften der Wellenfunktionen und des Operators bei
Raumdrehungen bestimmt, und es ist von Kramers i) gezeigt worden
wie diese Verhältnisse mittels der in den vorigen Paragrafen be-
handelten Darstellungsweise dieser Transformationseigenschaften
leicht berechnet werden können. Wir werden in diesem Paragrafen
einige Beispiele für die Berechnung von solchen Matrixelementen
und im dritten Kapittel einige physikalische Anwendungen geben.

Als erstes Beispiel behandeln wir das Integral (61) für den Fall
eines bei Raumdrehungen invarianten Operators ß. In § 6 haben
wir nachgewiesen, dass die 2j 1 Wellenfunktionen, die zu einem
stationären Zustand mit der Quantenzahl j gehören, sich so wählen
lassen, dass sie sich transformieren wienbsp;Wir bilden mit

Hilfe eines behebigen konstanten Spinvektors (a, b) die Invariante:

QV = (- b^ af])y......(62)

und bemerken, dass diese Invariante die 2j -}- 1 Monome M'j^ =
= T]^-'^ zusammenfasst. Nach Ausschreiben des rechten Gliedes
in (62) erscheint das Monom M^ multipliziert mit dem Faktor

Wenn wir uns die Monome Mf durch
die Wellenfunktionen ersetzt denken, so sind diese also in
einer Invariante zusammengefasst.

Das Integral:

ƒ Q'^VQ QVdz = ƒ (- b*^* aY-W^i- b^ arifidr . (63)

bedeutet sodann ein Polynom in a, b, a*, b*, dessen Koeffizienten
Integrale der Form (61) sind, wo an Stelle der Wellenfunktionen

1) H. A. Kramers, Proc. Kon. Akad. Amst. XXXIII 953, XXXIV 965.

rpf abernbsp;geschrieben ist. Dies gibt an. dass die explizite

Form der Wellenfunktionen uns nicht interessiert, sondern nur
ihre durchnbsp;gekennzeichneten Transformationseigenschaften.

Jedes Integral (61) erscheint multipliziert mit einem Faktor der
Form (-nbsp;{.l^Jai-^^ y^^^nbsp;Da

wir die Wellenfunktionen und den Operator nicht kennen, können
wir die Integration nicht ausführen. Die Form (62), in der wir alle
diese Integrale zusammen gefasst haben, ermöglicht uns aber un-
mittelbar etwas über das Resultat der Integration aus zu sagen.
Der Integrand in (63) ist eine Invariante gegenüber Raumdrehungen
und wird über einen invarianten Bereich integriert. Das Resultat
der Integration muss also offenbar eine Invariante sein, und zwar
ein Polynom in a, b, a* und b*.

Nach dem Resultat von § 4 muss also a im selben Grad wie
a*, b im selben Grad wie b* vorkommen, wenn die Invariante
nicht identisch Null ist. Für / = j, wird das Resultat der Inte-
gration nach § 4 die einzig mögliche Invariante:

ƒ Q*yQ Qydx = Cj {aa* bb*fJ.....(64)

während für den Fall ƒ 4=; das Integrationsresultat von (63)
gleich Null ist. Schreiben wir das rechte GHed von (64) aus als
eine Summe von Termen, welche die Form C/y^y^,) (aa*y~^
(bb*)''^' haben, so dürfen wir, da (a, b) ein konstanter Spinvektor
ist, diese Terme je für sich denjenigen Termen des Integrals (63)
gleich setzen, welche dieselben Potenzen von a, b, a*, und b*
enthalten.

Dies führt uns zum Resultat:

^^ ^ ^ 1 für y = /nbsp;_ ^ 1 für M' = M

^ 0 für ƒ 4= jnbsp;~ 0 für M' 4= M

Eine wirkliche Integration mit bekannten Wellenfunktionen und
bekanntem Operator würde notwendig dasselbe Resultat liefern.
Der Wert

der Konstante Q ist von der besonderen Form der
Wellenfunktio nen und des Operators abhängig, nicht aber von M.

Wir geben jetzt noch ein Beispiel der Berechnung der Matrix-
elemente von Operatoren die sich transformieren wie X''*^
wo {X, Y) ein Spinvektor ist. Diese 2r 1 Operatoren:

(s = -fr. r— 1......- r) . . . . (66)

sind in den physikalischen Anwendungen eindeutig definiert: es
muss in diesem Fall also offenbar r ganzzahlig sein.

Indem wir uns wieder für ihre Transformationseigenschaften
interessieren, schreiben wir, wie wir vorher an Stelle der
Wellenfunktionen dienbsp;schrieben, für die 2r 1

Operatoren die Monome X''^^ Y''^^ und fassen sie zusammen in
der Invariante:

ü = {-BX^AYr.......(67)

wo (A, B) ein Spinvektor ist, der bei späteren Integrationen als
eine Konstante aufgefasst wird, wie vorher der Spinvektor (a, b).

Das Integral:

üf=fQ*2J'ÜQydT = ƒ(- b*t a*r]*)y' (- BX A b^ anfidt (68)

ist wieder ein Polynom in den Variabein a, b, a*. 6*. A und B,
dessen Koeffizienten Integrale der Form (61) sind, wo an Stelle
der Wellenfunktionen und Operatoren die betreffenden Monome
geschrieben sind, die ihre Transformationseigenschaften kennzeichnen.

Auch hier wird das Resultat ein invariantes Polynom in a, b,
a*. b*. A, B sein, das wir sofort hinschreiben können. Das Polynom
muss ganz rational aufgebaut sein aus den Grundinvarianten
{aa* bbquot;-), (— bA aß) und (a'-A b*B) (Vgl. § 4). Eine
zweite Forderung ist, dass a, a*. b, b*. A und B im selben Grad
vorkommen müssen, wie im Integrand, da sie ja bei der Integration
als konstante Faktoren auftreten. Diese Forderungen beschränken
die möglichen Wertpaare für j und /, Die zwei letzteren Grund-
invarianten ermöglichen es, dass bei einer von Null verschiedener
Invariante die Summe 2/ der Exponenten von a* und b* sich
höchstens um 2r von der Summe 2j der Exponenten von a und b
unterscheidet, denn es kommen A und B im Integrand homogen
vom Grad 2r vor. Dies bedeutet, dass f =j r,j r — 1, . . . | j — r |
sein kann und dass das Resultat der Integration wird:

'(aa* bbyj {a*A

= bbyj-' ia*A (- 6A aB)
......................(69)

= cy-'^ (aa* bbyj-^' (- bA

Für 1 ƒ'— y I gt; r oder j jquot;lt; r ist das Resultat der Inte-
gration gleich Null. Der Wert der Konstanten Cf in einem vor-
gegebenen Fall ist von der besonderen Form der Wellenfunktionen
und der Operatoren abhängig, und auch im besondren von j, nicht
aber von M. Wir zerlegen nun das Resultat in Terme, die je für sich
mitnbsp;B'quot;^'^ multipliziert erscheinen; diese Terme beziehen sich

je für sich auf einen bestimmten der 2r 1 Operatoren. Sodann
können wir alle diese Terme wieder, wie im vorigen Beispiel,
zerlegen nach Potenzen des Spinvektors (a, b). Die Koeffizienten,
womitnbsp;a'-^ yy^M'nbsp;multipliziert erscheinen liefern

uns sodann die gesuchten Integrale der Form (61). Wir werden
dies im dritten Kapittel für einen Sonderfall ausführen.

Die Resultate (69) waren ganz unabhängig von der besondren
Wahl der Operatoren ü; bei späteren Anwendungen ist es oft
nützlich eine spezielle Form für sie zu wählen. Bei einer solchen
Wahl soll man darauf achten, dass das Resultat der Integration
nicht identisch gleich Null wird.

Im besondren ersetzen wir X''^^nbsp;durch einen Operator,

der ein Polynom in f, j], ^ und S— ist. Da (f^nbsp;eine In-

öf----dt]nbsp;V öf 'dl])

Variante ist, so transformieren sich ^^ und P wie f* und und

öfnbsp;ÖJ?nbsp;' '

wir können mittels dem konstanten Spinvektor (A, B) die Grund-
invarianten {—B^ Arj)nbsp;aufbauen. Der in-
variante Operator (67) ersetzen wir sodann durch einen Operator

in f. t], ~ und ^^ von der Form:
öf dl]

(- BX AVr = (- ßf Ai]Y - nbsp;(70)

Das rechte Glied ist wieder ein Polynom in A und B, das
homogen ist vom Grade 2r, die Koeffizienten von A'quot;quot; '^ ^ sind
also die gesuchten Operatoren. Vorläufig ist der Wert von q
noch willkürlich; er wird aber durch die Forderung, dass das
Resultat der Integration nicht Null sein darf, bestimmt.

Wir bemerken noch, dass die Reihenfolge der Faktoren in (70)
willkürlich ist, da ja gilt:

(- ßf A,). {a B^^) = . (- Bf A,) (7.)

Setzen wir jetzt den Operator (70) in (68) ein, so wird der
Integrand ein Polynom, das homogen vom Grad 2r in A und B.
homogen vom Grad 2j 2q in f und i], und homogen von Grad
V in f* und gt;/* ist. Aus (65) folgt, dass die Integration nur dann
nicht identisch Null liefert, wenn der Integrand homogen vom
selben Grade in f und wie in f* und tj* ist. Hieraus folgt, dass
gelten muss:

q........(72)

Hierdurch ist der Operator (70) bestimmt.
Es ist:

q = r für ƒ = y r
q = r — 1 „ / = y r — 1

........... .... (72)

q = — r für f — !y — r |

Die Form des Operators ist in diesem Fall also für jedes be-
sondre Integral verschieden.

Eine andre Methode die Monome in X und Y durch spezielle
Operatoren zu ersetzen, besteht darin, dass man setzt:

x =nbsp;Y=v i*.....(73)

i-BXi-A Yf' = ([- ßf An] [AS* nbsp;. (74)

Das Integral (68) wird dadurch sofort zurückgeführt auf Integrale
der Form (65) und man bekommt immer ein von Null verschiedenes
Resultat wenn die Zahlen f, j, r die Seiten eines Dreiecks bilden
können (j f ^ r, | y — y' | ^ r).

Bei den Anwendungen der symbolischen Methode, die wir im
dritten Kapitel auf die Berechnung der Multipolintensitäten machen,
haben wir nicht den Ansatz (73) sondren (70) benutzt, weil die
notwendigen Rechnungen sich dabei einfacher gestalten.

KAPITEL IL
DIE MULTIPOLSTRAHLUNG.

§ 1. Der Hevtzsche Vektor.

In diesem Kapitel wollen wir, ausgehend von den Gleichungen
der Elektronentheorie, das Strahlungsfeld eines Atoms oder Mole-
küls zerlegen in verschiedene Arten von Strahlung, die man mit
Dipol-, Quadrupol-, Octopol-, und zusammen mit dem Namen
Multipolstrahlung bezeichnet. Es wird sich zeigen, dass diese
Zerlegung sich mit den im ersten Kapitel gegebenen gruppen-
theoretischen Überlegungen einfach machen lässt. Die Behandlung
der Ausstrahlung von im Räume bewegten Punktladungen gestaltet
sich am einfachsten durch Einführung des Hertzschen Vektors.
Wir gehen aus von den bekannten Gleichungen der Elektronen-
theorie:

(Tj 93 = — 47r()nbsp;„ 1 ÖA ,

^^nbsp;E=---^ — grad qgt;

f—I *nbsp;^^ TTnbsp;c dt

^nbsp;H = rot Anbsp;' '

i^7 divA = 0
c öf

Hierin ist: (p das skalare Potential.

A das Vektorpotential.

Q die Ladungsdichte.

V die Geschwindigkeit der Ladung.

E der elektrische Vektor.

H der magnetische Vektor.

c die Lichtgeschwindigkeit.

dX^^ dY'^'^ ÖZ2 c2 072*

Wir führen nun einen Vektor a und einen Vektor Z (den
Hertzschen Vektor) ein in folgender Weise:

^ = ^Vnbsp;div lt;y = — Q

□ Z = -47I(T........(3)

„ 1 ÖZ

H = — rot

c dtnbsp;......(4)

E = rot rot Z —

Im ladungsfreien Raum ausserhalb des strahlenden Systems ver-
einfacht sich die letzte Formel zu:

E = rot rot Z.
Eine Lösung der Gleichung (3) ist:

=nbsp;....... (5)

Es ist jR der Abstand vom Integrationselement dV zum Auf-
punkt P, wo Z bestimmt werden soll. Die Integration ist über
den ganzen Raum zu erstrecken. Die Bedeutung der Klammer {}
ist die folgende: Wenn man den Wert von Z zur Zeit T in P
bestimmen will, so hat man bei der Integration in jedem Raum-

D

dement dV den Wert von c zur Zeit t — T — zu nehmen.

c

Es ist T — t = — gleich der Zeit, welche das Licht braucht um
c

von dV nach P zu kommen.

Wir betrachten nun speziell den Fall der Ausstrahlung eines
Atoms oder Moleküls und suchen die Werte von E und H

in grossem Abstand. Nur Terme in E und H, die wie nach

R

Null gehen, liefern einen Beitrag zur Ausstrahlung, denn nur diese
liefern bei der Berechnung des Energiestroms durch eine Kugel-
fläche mit grossem Radius einen von diesem Radius unabhängigen
Betrag.

Wir können sodann für Z schreiben:

(7)

Es ist R2=OPnbsp;V^ Z-'. wo r, Zdie Koordina-

ten vom Aufpunkt P sind und O der Nullpunkt des Koordina-
tensystems ist.

Da wir es immer mit positiven und negativen Punktladungen
zu tun haben, so vereinfacht sich das Integral zu einer Summe:

=nbsp;....... (7)

k

wo die Summation über alle Teilchen zu erstrecken ist. Es ist
Tk ein Vektor, dessen Komponenten Xk, yk, Zk die Koordinaten
des Teilchens sind; Ck ist die Ladung des k^'quot; Teilchens.

Man hat r^ immer zur Zeit t'k = T— ^ zu nehmen, wo:

c

R, = V{{X - Xkf iY-ykf (Z - z,)2}

Zur Berechnung von E und H ist es von Wichtigkeit eine
Formel für Zp zu geben, wo Tk in allen Termen sich auf die
selbe Zeit bezieht.

Dazu betrachten wir das komplexe Integral:

drkjr)

^ ^ .....^^^

c

Dies ist ein Integral längs einer geschlossenen Kurve C in einer

n

komplexen t— Ebene, wo t = T--ist und tk{r) als eine Funk-

c

tion der Integrationsvariabele r aufgefasst wird. Der Nenner
— t — • ^ ^Q 5 jjgp Einheidsvektor in der Richtung

OP ist, hat eine Nullstelle für t = t' und es soll die Inte-
grationskurve so gewählt werden, dass t' innerhalb dieser
Kurve liegt. Die Vektor-Schreibweise (8) bedeutet offenbar drei

Integrale, wo für zu schreiben istnbsp;bzw.nbsp;bzw.

dxnbsp;dtnbsp;dl

Es ist I gleich dem Residuum des Integranden und dieses
ist gleich:

quot;c/r,(T)nbsp;1

so ist:

[drj^^f'' dt dt
Hierin bedeutet Vk{t') offenbar Tk zur

Zeit t' = t ^AÜi^

Q

Wir beachten nun dass:

.......(11)

In der Tat gilt:

cnbsp;Cnbsp;c • '

Hierin ist ^^ die Zeit, welche das Licht braucht um von O nach

P. und. wenn K die Stelle des /c^^« Elektrons und Q die Projektion

von K auf OP bedeutet.nbsp;die Zeit um von O nach Q zu

kommen und also t'- T die Zeit welche das Licht für den Weg
QP braucht, oder auch näherungsweise für den Weg KP =
da ja QP und KP wenig verschieden sind. Diese Approximation
bedeutet offenbar Vernachlässigung von Termen in z. die

schneller als ^ nach Null gehen.
Das Integral I in (8) lässt sich entwickeln. Es gilt:

I = f dr .__

2mJ(r-t) ^ (r,(T)

c{r-t)

cquot; • 2ni / rrirTiTTTT

Dies ergibt für

dt

dTk(t')nbsp;I [dY.

/7=«0

dn{t)

^^ ^^ ~ ~drnbsp;rechten Glied überall r^ zur Zeit t zu

nehmen ist. Durch Integration nach t findet man:

=nbsp;. (15)

n=l

Dieses Resultat ist vollkommen analog zum Lagrangeschen

Entwicklungssatz (Vgl. z.B.: Watson and Whittaker, Modern

Analysis, S. 133; an Stelle der dort vorkommenden f(z) und (p{z)

treten bei uns jeweils drei Funktionen auf). Wir haben nun (r/t)

n

und also auch Z, als eine Funktion von t = T--— gefunden.

Wir gehen sodann zur Berechnung von E und H über. Bei
einer Differentiation von Z nach den Koordinaten X, Y, Z (die

ja in den Formeln (4) für E und H vorkommt), braucht nicht

differenziert zu werden, da dies zu Termen Anlass geben würde,
die nicht zum Energiestrom beitragen. Es hängt {r^} nicht explizit
von X, Y, Z ab. wohl aber gilt:

dt 'dX~ ^quot;^'^'cR

dX

und also:

ÖZ

dX ~ ^cR

Hieraus folgt:

rot Z = ^ [Z . 8]

Es'folgt jetzt für E und H:

TT 1 öZ 1

11= — rot = —
c dl c-

und da = 1:

rö-z .

c-

und:

E = rotrotZ = 4gt; [[Z.«5] . lt;5]
c-

Aus diesen Formeln ergibt sich, dass E und H gleich gross sind
und sowohl senkrecht auf einander wie auf 6 stehen.

§ 2. Die Dipol- und die Quadrupolstrahlung.

Wir haben im vorigen Paragrafen für Z die Entwicklung gefunden:

■inbsp;rnbsp;! rnbsp;°°

1 „ ,nbsp;. ■«r^ 1nbsp;1 - 'nbsp;Nfi UT

.....

wo {{r^}} die Bedeutung: Tu zur Zeit t=T — ^ hat.

c

Wir werden im folgenden die doppelten Klammer fortlassen
was nicht zu Missverständnissen führen kann.
Schreiben wir:

Z = ZC) Z(2) Z(3) .........(21)

wo zw den Term in (20) bezeichnet in dem die Komponenten
von ö in der {k - Potenz vorkommen, so finden wir:

= = .....(22)

Dieser Term ergibt die wohlbekannte elektrische Dipolstrahlung.
Aus diesem Term ergibt sich für E und H:

H= 1

[A .

,nbsp;.......(23)

Der zweite Term in der Summe (21) wird:

^ Rc^nbsp;......(24)

Die Komponenten von Z(2) werden nach dieser Formel, wenn
für Xk. yk, Zk geschrieben wird rk\. tut, tkz'.

=nbsp;(;=1. 2, 3) .... (25)

wo:

^ij = ^ eki-kiTk]nbsp;{k=\,2.....)

k '

Wir zerlegen nun den Tensor in einen antisymmetrischen
leü, emen symmetrischen Teil, wo die Summe der Hauptdiagonale

Null ist, und ein Multiplum des Einheitstensors eJ = ^ 0' ^j)].

= 1 (i=j)/'

aij = asij bij ........(26)

a = ^ciijSij = an a22 a33

igt;ij = bji {ZbijEij = fcn 622 ^33 = 0)

Cy = Cy,'

Sodann ist:

a = .....»^Staf-i)

k k

bij = 2 y (^■^'•'■Ay ^kj . r*:/) — Vs aey = 2 y ^ (rfc'-ry — Vs^^ ^/v)
— Ckjrki)............(27)

k

Der erste Term dieser Zerlegung:

'ZP = ^

gibt sofort (vgl. (18) und (19)) Null für E und H und gibt also
keine Strahlung; wir bezeichnen diesen Term aus Gründen, die im
nächsten Paragrafen besprochen werden, als den Term der elek-
trischen Unipolstrahlung.

Der zweite Term gibt die elektrische Quadrupolstrahlung, diese
Strahlung wird wesentlich von 5 Funktionen bestimmt: es gibt ja
6 Funktionen und eine Relation zwischen diesen Grössen.

Der dritte Teil dieser Zerlegung, d.h. der antisymmetrische
Teil des Herztschen Vektors ist:

'Zf = Xcijdj.......(28)

oder:

= - 8,02 B2S3

-ß,(53 .....(29)

3Z(2) = - B2Ö1 8162

wo: = C32. 80 = C13, 83 = C21 ist.
Es

transformieren sich 8^, 80, wie die Komponenten eines
Vektors und man kann die Formeln (29) in Vektorschreibweise
schreiben:

3Z(2) = [B.Ö].......(30)

Es sind xpk und rpi Lösungen der zeitfreien Schrödingergleichung,
die im allgemeinen verschiedenen Eigenwerten entsprechen; ü ist
irgendein Operator, der auf yn wirkt, ƒ dr bedeutet Integration
über alle Raumkoordinaten samt Summation über die Werte
aller Spinkoordinaten. Es wird Qki das Matrixelement des Opera-
tors Q in Bezug auf die Eigenfunktionen xpk und tpi genannt.

Man interessiert sich oft nur für die Verhältnisse von zu ver-
schiedenen Paaren von Eigenfunktionen gehörigen Matrixelementen
Qki und ük'i'. Wir wollen hier speziell den Fall betrachten eines
freien Atoms und fragen nach allen Matrixelementen eines Operators
in Bezug auf diejenige Eigenfunktionen, die sich auf dasselbe
Anfangs- bzw. Endniveau beziehen, und die sich nur durch die
Werte der Quantenzahl M unterscheiden. In diesem Fall sind die
obengenannten Verhältnisse oft vollkommen durch die Transfor-
mationseigenschaften der Wellenfunktionen und des Operators bei
Raumdrehungen bestimmt, und es ist von Kramers gezeigt worden
wie diese Verhältnisse mittels der in den vorigen Paragrafen be-
handelten Darstellungsweise dieser Transformationseigenschaften
leicht berechnet werden können. Wir werden in diesem Paragrafen
einige Beispiele für die Berechnung von solchen Matrixelementen
und im dritten Kapittel einige physikalische Anwendungen geben.

Als erstes Beispiel behandeln wir das Integral (61) für den Fall
eines bei Raumdrehungen invarianten Operators ß. In § 6 haben
wir nachgewiesen, dass die 2j 1 Wellenfunktionen, die zu einem
stationären Zustand mit der Quantenzahl j gehören, sich so wählen
lassen, dass sie sich transformieren wienbsp;Wir bilden mit

Hilfe eines beliebigen konstanten Spinvektors (a, b) die Invariante:

Qy = {-b^ atjfi......(62)

und bemerken, dass diese Invariante die 2j -f 1 Monome Mj^ =
= ^j M ^j-M 2usammenfasst. Nach Ausschreiben des rechten Gliedes
in (62) erscheint das Monom Mj^ multipliziert mit dem Faktor

Wenn wir uns die Monome Mf durch
die Wellenfunktionen rp^ ersetzt denken, so sind diese also in
einer Invariante zusammengefasst.

Das Integral:

ƒ Q*y'Q Q^dx = Ii- bH* nbsp;b^ arifJdt . (63)

bedeutet sodann ein Polynom in a, b, a*, b*. dessen Koeffizienten
Integrale der Form (61) sind, wo an Stelle der Wellenfunktionen

1) H. A. Kramers, Proc. Kon. Akad. Amst. XXXIII 953, XXXIV 965.

V^f abernbsp;geschrieben ist. Dies gibt an, dass die explizite

Form der Wellenfunktionen uns nicht interessiert, sondern nur
ihre durch j;/-^ gekennzeichneten Transformationseigenschaften.
Jedes Integral (61) erscheint multipliziert mit einem Faktor der
Form (—nbsp;(^^yj^j-M y.M

wir die Wellenfunktionen und den Operator nicht kennen, können
wir die Integration nicht ausführen. Die Form (62), in der wir alle
diese Integrale zusammen gefasst haben, ermöglicht uns aber un-
mittelbar etwas über das Resultat der Integration aus zu sagen.
Der Integrand in (63) ist eine Invariante gegenüber Raumdrehungen
und wird über einen invarianten Bereich integriert. Das Resultat
der Integration muss also offenbar eine Invariante sein, und zwar
ein Polynom in a, b, a* und b*.

Nach dem Resultat von § 4 muss also a im selben Grad wie
a*, b im selben Grad wie b* vorkommen, wenn die Invariante
nicht identisch Null ist. Für ƒ = j, wird das Resultat der Inte-
gration nach § 4 die einzig mögliche Invariante:

ƒ Q*yQ Q^dx = Cj (aa* bb*)^.....(64)

während für den Fall ƒ 4= j das Integrationsresultat von (63)
gleich Null ist. Schreiben wir das rechte Glied von (64) aus als
eine Summe von Termen. welche die Formnbsp;(aa*)^quot;^

haben, so dürfen wir, da (a, b) ein konstanter Spinvektor
ist, diese Terme je für sich denjenigen Termen des Integrals (63)
gleich setzen, welche dieselben Potenzen von a, b, a*. und b*
enthalten.

Dies führt uns zum Resultat:

ƒnbsp;^j.mnbsp;= cj (, V^,)-' Öjj.ÖmM, • (65)

^ ^ 1 für ƒ = /nbsp;_ ^ l für M' = M

^ 0 für f =}= jnbsp;0 für M' =j= M

Eine wirkliche Integration mit bekannten Wellenfunktionen und
bekanntem Operator würde notwendig dasselbe Resultat liefern.
Der Wert der Konstante Cj ist von der besonderen Form der
Wellenfunktionen und des Operators abhängig, nicht aber von M.

Wir geben jetzt noch ein Beispiel der Berechnung der Matrix-
elemente von Operatoren die sich transformieren wie X'*^ Y'-',
wo {X, Y) ein Spinvektor ist. Diese 2r 1 Operatoren:

^5(s = r, r— 1......- r) . . . . (66)

sind in den physikalischen Anwendungen eindeutig definiert: es
muss in diesem Fall also offenbar r ganzzahlig sein.

Wir suchen nun die irreduzibelen Darstellungen welche enthalten
sind in der Darstellung der Raumdrehungsgruppe durch die Trans-
formationen der a™,

k

Wir kennzeichnen die Transformationseigenschaften der a^ durch
vorläufig unbekannte nicht homogene Polynome Tquot;^ in den Kom-
ponenten eines Spinvektors rj'). Die bekannten Transformations-
eigenschaften vonnbsp;d.h. von A^, B^ und — AB. müssen

auch gegeben werden durch lineare Kombinationen von Produkten
von ^k^m^k-m jj^jj.

V).....(35)

m

Die Formel (35) erhält man, indem man in (34) P^' durch
^k.m^k-m und a- durch {^'.rj') ersetzt. Diese lineare'Kombi-
nationen findet man nach der Methode von Kap. I, § 6 (Vgl.
Fussnote S. 16). Man bilde eine Invariante in (f, rj), (f', rj')
und (A, B); welche homogen vom zweiten Grade in A und B
und homogen vom Ikquot;quot; Grade in ^ und r] ist. Es ergeben sich
drei Möglichkeiten und im allgemeinen eine lineare Kombination
der drei Fälle:

{-n'^ ^'vYH-B^' Ar^'fnbsp;(a)

nbsp; nbsp; {b) . (36)

{-n^^-^'nf-'nbsp;{~B^ ArjY (c)

Die Koeffizienten von B^, AB, Aquot;^ transformieren sich wie A^,
— 2Aß und und geben die verlangten linearen Kombinationen
(35). Diese Koeffizienten sind im Fall (a) eine lineare Kombination
von Termen der Formnbsp; nbsp;^ qj^ Monome

^'k^i^m'^'k^i-m' induzieren eine irreduzibele Darstellung der Raum-
drehungsgruppe vom Grade 2k 3. Im Fall (b) und (c) enthalten
die Faktoren von B^. AB und A^ die Monome ^'k m'^'k-m'

Diggg induzieren Darstellungen vom Grade 2k-V 1,
resp. 2A: — 1. Die Darstellung der Raumdrehungsgruppe durch
die Transformationen der a™ zerfällt also im allgemeinen in drei
irreduzibele Darstellungen, die wir nach dieser Methode gefunden
haben, und wir können die a^ in drei sich irreduzibel transfor-
mierende Teile zerlegen. Sodann gilt:

nbsp;. . . (37)

m,m'

wo die sich irreduzibel vom Grad 2k — 1 transformieren, die

irreduzibel vom Grad 2/c 1, und die irreduzibel vom
Grad 2/c 3.

Zur Berechnung von H muss das vektorielle Product [Z . lt;5]

gebildet werden. Nach den oben gegebenen Überlegungen würde
man erwarten, dass durch die Produktbildung von P'j^ mit den
Komponenten des Vektors 8 eine lineare Kombination von

entstehen würde. Es ist aber P^ entweder eine

gerade oder eine ungerade Funktion bezüglich Spiegelungen am
Nullpunkt des Koordinatensystems. Durch Multiplikation mit den
Komponenten eines Vektors (eine ungerade Funktion) entsteht
also im ersten Fall eine ungerade im zweiten eine gerade Funktion.
Da nunnbsp;und P^quot;, ungerade sind wenn P^quot; gerade ist und

umgekehrt, so fällt im Produkt P™quot; fort und es bleibt eine lineare
Kombination von Pj^quot;quot;, und Pj^quot;, übrig. Dazu muss beachtet wer-
den, dass H ein Vektor ist. Dies beschränkt die Zahl der Mög-quot;
lichkeiten noch weiter, denn es kann sich ^ bf' Pf,quot; nur wie

m'.mquot; * *

die Komponente eines Vektors transformieren, wenn | A;' — A: | ^ 1.
Die Differentiation nach der Zeit wirkt nur auf b und ändert die
Transformationseigenschaften von b nicht.

Zur Berechnung von E muss das vektorielle Produkt [H . ö] ge-
bildet werden und es gelten ähnliche Überlegungen.

Es folgt aus diesen Überlegungen das nachstehende Schema
für Z, H und E, das die Transformationseigenschaften vom nur
von den Tk und Tk abhängigen Teil b und vom nur von der
Richtung des Aufpunktes abhängigen Teil P kennzeichnet. Wir
haben die Summenzeichen und die Buchstaben m und m' fort-
gelassen.

Wir haben hier die drei Fälle a, b und c. die wir schon in
Formel (36) unterschieden. In den Fällen a und c treten in den
Komponenten von E jeweils zwei Kugelfunktionen verschiedener
Ordnung auf, in den Komponenten von H tritt jedoch nur eine
Kugelfunktion auf. Im Fall b ist es gerade umgekehrt. Wir nennen
den Fall a eine elektrische -Polstrahlung, den Fall b eine
magnetische 2*-Polstrahlung und den Fall c eine elektrische 2^ '-
Polstrahlung. Man bedenke, dass diese Bezeichnungen nur einen
Sinn haben, wenn die Exponenten positiv sind, da ja Kugelfunk-
tionen negativer Ordnung keinen Sinn haben und die betreffenden
Terme nicht vorkommen. Im besondren erhält man für ä: = 0 eine
elektrische Dipolstrahlung, und eine magnetische Einpolstrahlung.
Für den Fall k = 1 erhält man eine elektrische Quadrupolstrahlung,
eine magnetische Dipolstrahlung und eine elektrische Einpolstrah-
lung. Die Einpolstrahlungen haben offenbar die Intensität Null.
Diese Resultate stimmen genau mit den speziellen Resultaten des
vorigen Paragrafen.

Wenn im ausgestrahlten Lichte zeitlich harmonische Komponenten
vorkommen die einer Wellenlänge entsprechen, die von derselben
Ordnung oder kleiner wie die Dimensionen des strahlenden Sys-
tems ist, so konvergiert für diese Komponenten die Reihenentwick-
lung langsam und es hat die Zerlegung in Multipolstrahlungen
wenig Sinn.

§ 4. Der Hertzsche Vektor unter Berücksichtigung des Elek-
tronenspins.

Es besteht die Möglichkeit im /adungsfrefen Raum dem in § I
definierten Hertzschen Vektor Z einen Vektor Z zur Seite zu
stellen, woraus — E durch eine Formel der Form (18) und H
durch eine Formel der Form (19) bestimmt wird.

Wir definieren;

— Z = rot Z.......(38)

Aus dieser Definition des Vektors Z ergeben sich für E und H
die Formeln

E = rot rot Z = — ^ rot Z.....(39a)

H = I rot Z = — ^ Z = rot rot Z —grad div Z □ Z. (39b}

Die beiden letzten Terme in (39b) sind zeitunabhängig und
liefern keinen Beitrag zur Ausstrahlung. Die Formeln (39)

Hefern dasselbe Strahlungsfeld wie die Formeln (18) und (19):

H = rot Z
c

E = rot rot Z.

In der Näherung, die wir immer betrachtet haben, ergibt sich
aus (38):

Z = -[Z.5] . . . ... (40a)
Z = [Z.Ô] (Zâ)â......(406)

E = -^,[Z.Ô].......(41a)

H=nbsp;......(416)

Man sieht aus diesen letzten Formeln, dass der letzte Term in
(406) keinen Beitrag zur Ausstrahlung liefert. Wir hätten bei den
Überlegungen dieses Kapitels also auch ausgehen können von einem
Vektor Z der Form:

Z =nbsp;.......(42)

Der Umstand, dass ein Elektron nicht nur ein elektrisches

Moment eu . r* sondern auch ein magnetisches Moment-. S^t

m HC

liat, worin Sä das Elektronenimpulsmoment bedeutet (Vgl. § 2),
führt uns dazu den durch (42) definierten Vektor Z noch mit
einem Term der Form:

.......(43)

k k tîlkc

zu ergänzen. Der totale Vektor Z ergibt sich sodann nach Formel
(406) zu:

Hieraus können E und H mittels den Formeln (18) und (19) bestimmt

werden. Es ist fraglich ob der Term --[{S^j . öl nach Entwick-

rtikC

lung von {S^} (Vgl. § 1) auch in höherer als erster Näherung
noch richtig ist. Eine Rechtfertigung der Formel (44) würde sich
vielleicht auf Grund der Diracschen Theorie des Elektronenspins geben
lassen. Wir wollen das aber in dieser Arbeit nicht versuchen.

KAPITEL IIL

DIE QUANTENMECHANISCHEN
INTENSITÄTSFORMELN.

§ L Die quantenmechanische Umdeutung der klassischen
Formeln.

Wir gehen in diesem Kapitel über zur quantenmechanischen
Umdeutung der im zweiten Kapitel behandelten klassischen Formeln
für Z, E und H.

Man kann eine Grösse f (z.ß. eine Komponente von Z). die
durch irgendeine Formel der klassischen Theorie bestimmt ist,
entwickeln nach in der Zeit harmonischen Komponenten:

ƒ = E (a,e2-'V nbsp;.....(j)

oder:

k

Die Quantenmechanik besagt nun, i) dass die Grössen a* ersetzt
werden müssen durch Grössen a«, welche bestimmt sind durch
die Formel:

aki =! (pk*f(pidt....... , {2)

worin (pk bzw. (pi die normierten Wellenfunktionen des k^^quot; bzw.

stationären Zustandes sind, und ƒ die als Operator umgedeutete
klassische Grösse bedeutet. Die zu a/t gehörige Frequenz Vk wird
ersetzt durch die Frequenz Vki, welche gegeben wird durch die
Bohrsche Formel:

vki = ^{Ek- E^).......(3)

worin Ek bzw. Ei, die Energie des A:'^quot; bzw. stationären Zu-
standes bedeuten.Im Falle der Ausstrahlung eines Atoms, darf
man sagen, dass die quantenmechanisch umgedeuteten Terme

1) Vgl. O. Klein, Zs. für Phys. 41, 407, 1927.

einer harmonischen Entwicklung von Z, E und H, welche sich
auf die stationären Zustände k und l beziehen, die Ausstrahlung
eines Atoms beschreiben, das sich im Zustand k befindet und von
da nach einem Zustand / übergeht, vorausgesetzt, dass Ek gt; Ei gilt.

§ 2. Zeemaneffekt der Dipolstrahlung.

Mit Hilfe der Resultate von Kap. I § 8, werden wir in diesem
Paragrafen die Intensitäts- und Auswahlregeln vom Zeemaneffekt
der Dipolstrahlung herleiten i).

Nach der Formel (22, II), wird Z gegeben durch die Formel;

^ = ........w

Wir berechnen nun nach der Kramers'schen Methode (Vgl. Kap.
I § 8) die Matrixelemente von den Komponenten Ax, Ay, Az von
A. Dazu benutzen wir Formel (69. I), worin wir r = 1 setzen.
Der symbolische Operator (67, I) wird sodann gleich:

Ü={—BX AY)^......(5)

und es transformieren sich X'^, Y^ und — XY wie Ax iAy,
— Ax iAy und Az.

Das Resultat (69, I) vereinfacht sich sodann zu:

= {aa* bbyj{a*A b*B)''.....(6a)

üi = q {aa* bb*yj-' {a*A b*B) (- bA aB) . {6b)
ßj-i = q-' (aa* bbyj-^nbsp;(- bA aB)^ . (6c)

Wir betrachten den Fall j 1 —gt;■ j. Durch eine Zerlegung von
Formel (6a) in der in Kap. I, § 8 beschriebenen Weise werden
wir zu den folgenden Formeln für die einzelnen Matrixelemente
geführt:

ƒ v'fA • (A. «A,) lt; = q^-

= . . . (?)
(r^d üi m) I (- ^^ lt; = o; ^ Qi j

oder mit leicht verständlichernbsp;Bezeichnung der Matrixelemente:
nbsp;= (ƒ{-,)-gt; . . . .■ (7a)
nbsp;=q^. . . . {7b)
_ = ........(7c)

1) S. Goudsmit und R. de L. Kronig, Naturwiss. 13, 90, 1924. H. Hönl,. Zs.
f. Phys. 31, 340, 1925.

Wir haben A'x, A'y, A'z geschrieben, weil diese Matrixelemente
noch nicht normiert sind. Wir müssen also noch die relativen
Werte der Normierungsintegrale ƒ yj*f rpfdr untersuchen. Dieses
Integral wird gegeben durch Formel (65, I). Dort wurden die
Matrixelemente eines Invarianten Operators gefunden, und das ist
es. was wir hier gerade brauchen. Aus (64, I) und (65, I) finden
wir für die Normierungsintegrale:

J Q*y QV dr = Cj (aa* bb*)y.....(8)

und:

^iM-fy^Jnbsp;.... (9)

Um die normierten Matrixelemente {Ax iAy), (— Ax iAy)
und Az) von A zu finden, haben wir die rechten Glieder von (7)
noch durch einen Faktor;KN/,iwNy i.m/ zu dividieren wo M' = M 1,
oder M oder M — 1 ist.

Diese Matrixelemente, eingesetzt in Formel (1) an Stelle der
Grössen a/t, liefern die allgemeinen quantenmechanischen Formeln
für die harmonischen Komponenten von {Ax iAy), (— Ax iAy),
Az von A.

Die in der Zeit harmonische Z-Komponente von A wird im
besondren gegeben durch l^HAzme^quot;''quot;^; sie entspricht einer linearen
Schwingung längs der Z-Achse und einem Übergang M-gt;-M. Es
geben 2^R{Ax lAyje^-'''^ undnbsp; nbsp;eine rechts-,

bzw. linkszirkulare Schwingung in der X, F-Ebene. Sie treten
auf bei den Ubergängen M \ M, bezw. M — 1 M.

Der Vektor H ist nach (18, II):

H=^[Z.ö].......(10)

Im Fall des Übergangs M-gt; M ist H parallel der A!quot;-Achse
gerichtet, wenn ö in der Y, Z-Ebene liegt.

Der Absolutwert von H ist:

H =nbsp;=nbsp;. (11)

wo a der Winkel zwischen ö (d.h. der Beobachtungsrichtung) und
der Z-Achse ist.

Der Energiestrom in der ö-Richtung ist gleich dem absoluten
Betrag des Poyntingschen Vektors:

5 = ........(12)

Hieraus folgt der über die Zeit gemittelte Energiestrom zu:

5 = ^ —. sm2 a . A^j

Inc^R^nbsp;ZInbsp;^

{2nv)^ . 2 (/ M l)(y- M j) JCrUl ■
= • quot; • (2/TW 2) • Q .C;.,

Für den Fall der rechtszirkularen Schwingung von A:
R{A. nbsp;. e^^^'quot;'. die dem Übergang M 1 M ent-

spricht, zerlegen wir die zirkuläre Schwingung in zwei lineare
Schwingungen gleicher Amplitude A parallel der X und der

y-Achse, die einen Phasenunterschied von ^ haben. Für jede dieser

Schwingungen können wir sodann die eben gegebenen Uber-
legungen anwenden und es folgt für den mittleren Energiestrom
in der ö-Richtung:

5 =nbsp; nbsp;.... (H)

wo ß bzw. y die Winkel von lt;5 mit der AT- bzw. der F-Achse
bezeichnen, und wo gilt:

A2 = V4!Ax tAyl2......(15)

Daher finden wir für 5:

5 =nbsp;(1 cos2 a) (1A. -f t-A, I//j» ^=

Für den Fall eines Übergangs M — 1 M. d.h. einer links-
zirkularen Schwingung findet man in ähnlicher Weise für die
ausgestrahlte Energie:

enbsp;,,,nbsp;{j-M-r2)ij^M l) jCrlL (17)

Im Falle eines ZeemanefFekts wird die 2; 1 ^ fache Entartung
der Energieniveaus, die einer inneren Quantenzahl j entspricht,
aufgehoben. Man kann aber die den verschiedenen Werten von
M entsprechenden Wellenfunktionen, die alle zum ungespalteten
Niveau gehören, als nullte Näherung für die gestörten Wellen-
funktionen nehmen, wenn das störende homogene Magnetfeld
längs der Z-Achse gerichtet und schwach ist (Vgl. Kap. I, § 6).
Sodann geben die Formeln (13, 16, 17) die Intensitäten der Zee-
mankomponenten

für den Fall ; 1

Für den Fall jj und j - \ j findet man mit Hilfe der
Formeln {ßb) und (6c) in ganz analoger Weise für die Quadrate
der Matrixelemente

{(A. = iI±M±mj=iM Mi

(2y)2 ' c/

(27)2nbsp;• C;2

, , y.M.2 M2 |Cj|2

(18)

= (IzzMzzMLr^ icr'p

2y(2y - 1) • ^„TTQ
2y(2y - 1) • C,_T7Q

^nbsp;2y(2;-l) -QTrQ-

Hieraus folgen sofort die relativen Intensitäten der Zeeman-
komponenten in beliebiger Richting durch Multiplikation mit sin2a

(MM) odernbsp;(M± 1M).

Die totale Intensität der nicht durch einen ZeemanefFekt gespal-
teten Linie erhält man, indem man die totale Ausstrahlung für eine
Zeemankomponente berechnet durch eine Integration von 8 über
alle Raumrichtungen und sodann die gefundenen Intensitäten aller
Zeemankomponenten addiert. Die Summation der durch (13), (16)
und (17) gegebenen Intensitäten ergibt die totale Intensität
aller Zeemankomponenten der Linie y 1 /, die zum Endniveai'y!
M gehören. Wie es die Summenregeln fordern ist diese Intensität von
M unabhängig und wir definieren die totale Intensität der
ungespalteten Linie als die Summe aller Zeemankomponenten, d.h.
gleich dem 2/4- 1-fachen von /j,^

Is,ij ~ K^J Ishj.M -nbsp;(2y 3). q—q-- (19a)

Wegen der späteren Anwendung haben wir uns in Formel (19a)
im besondren einen Übergang 5',/', y 1s,/, y gedacht, die
sich auf eine Multiplettlinie bei Russell- Saunderscher Koppelung be-
zieht. Die in (19a) auftretenden Konstanten C hängen nicht nur
von y, sondern auch noch von s', 5 und / ab.
Ahnliche Formeln gelten für die Übergänge j — 1 -gt;yundy-gt;y:

[2j 1) [j 1)
2 c3 •nbsp;2jnbsp;• C/ • • ^^^^^

(19)

§ 3. Eine Formel für die Summe aller Zeemankomponenten
einer Multiplettlinie im Fall der Multipolstrahlang.

In § 2 haben wir die Summe der Intensitäten aller Zeeman-
komponenten einer Multiplettlinie im Fall der Dipolstrahlung
berechnet. In diesem Paragrafen wollen wir eine Formel für
diese Summe im Fall der Multipolstrahlung geben, wovon die
Formeln (19a, b, c) einen Sonderfall bilden.

In Kapitel II, § 3 haben wir bewiesen, dass die Transforma-
tionseigenschaften des Vektors H im Falle einer elektrischen
2Ä-Polstrahlung dargestellt werden können durch:

S b'J^'Pl'.......(20)

rn', m

wo die 6™' sich bis auf konstanten Faktoren transformieren wie:
Xi'^m'Yk-m' ^gnn {X, Y) ein Spinvektor ist und P™ eine Kugel-
funktion von der Beobachtungsrichtung 6 ist, deren Transforma-
tionseigenschaften dargestellt werden können durch die Transfor-
mationen von nbsp;wenn (f, rj) ein Spinvektor ist. Wir
fassen nun die drei Komponenten des Vektors H mittels des
konstanten Spinvektors (a, b) in bekannter Weise zusammen in
der Invariante:

{-bH^ aH^)^ = {-r]X iYfgt;'-'{-Ya^Xb)(-7]a m • (21)

Die drei „Komponentenquot; von H (nl. Hx iHy, — iHy und
Hz) transformieren sich wie die Koeffizienten von bquot;^, a^ und — ab.

Zur Berechnung der totalen Ausstrahlung brauchen wir den
Poyntingschen Vektor. Dieser ist proportional mit | H p. Die
Weise worauf ] H p aufgebaut ist wird symbolisch dargestellt durch;

4 IHP =nbsp;= {-Xr,^- {-X*if YTfquot;-'.

. . YS) . {X*rj* YT) {Yr]) . {Y*r]*)] =

{X'gt;'S Y*n){Xt Yt)].....(22)

Wir mittein

jetzt j H p über alle Raumrichtungen. Da die in
Formel (20) nicht von der Richtung der Ausstrahlung abhängen
(Vgl. Kap. II, § 3), so wird in Formel (22) nur über (f, rj), nicht
aber über (A'quot;, F) „integriertquot;.

Das Resultat der Integration über alle Raumrichtungen ergibt
für die totale pro Zeiteinheit ausgestrahlte Energie, welche pro-
portional zu 1 H |2 ist, die einzigmögliche Invariante:

S = K {XX* nbsp;=

=nbsp;. . . (23)

wo K eine Konstante ist.

Wenn wir jetzt zur Quantenmechanik übergehen, so haben wir
bei der Beschreibung der Ausstrahlung, die einem bestimmten
Ubergang entspricht, in (21) und (23) die durch die Symbole
Xk^myk m bezeichneten Ausdrücke durch ihre Matrixelemente zu
ersetzen. Diese Matrixelemente sind bestimmt durch:

. (24)

wo die lt;pj.M die normierten Wellenfunktionen sind, die in sym-
bolischer Schreibweise:

=nbsp;.... (25)

heissen (Vgl. (9)). Da wir die Summe aller Zeemankomponenten
berechnen wollen, müssen wir über M und M' summieren. Die
„totalequot; Intensität ergibt sich sodann zu:

. (26)

wo K nicht von j abhängt. Dies ist eine Summe von Produkten
von zwei Integralen; das Integral ƒ dx Hefert die Matrixelemente

^X'^.myi^-'nyiM^ das Integral ƒ dr'ihre komplex-konjugierten. Wir

haben die Grössen, auf welche sich diese letzte Integration bezieht,
durch Striche angedeutet. Wir finden nach (26) für

^TrM'fp'j'.M' und 2 «P Mf ^'y.Af

Kc^v KQ;
^(fT p^ ..........(27)

^nMVj.M--cv—

und es folgt dasquot; Integral;

= c^fT // tnVnxx* YY'y^.

^jWnbsp;. . (28)

. v'*vWxdx'.

Die Integration ƒ dr' lässt sich einfach ausführen. Sie ist der
Integration (69, I) vollkommen analog, indem wir in (69, \)—B,A,
- b, a, V. X. Y durch X F. ngt;nbsp;Y'* ersetzen.

Es folgt sodann das Integral:

C; . Cy/ J

dessen Berechnung wir im Anhang geben. Das Resultat der Inte-
gration wird nach Formel (24) des Anhangs: ^

r (k j j' \)\ {j' j-k)\(/c4-/-;)!(/c ;-/)!
'nbsp;(2/c)! {2j)\ (2jy.nbsp;• • ^ ^

wo: L = K ' ^

Cj.Cf

Für den Fall der Dipolstrahlung {k = \) finden wir aus (30)
die Formeln (19a, b. c):

/r'=L.(2; 3)

..........(31)

=L.(2y i).

Für die Quadrupolstrahlung {k = 2) ergibt sich:

=L.(2y 5)

_ ^ (; 2)12; 3)

jJ^LM^P^^^......(32)

Jnbsp;6;.(2;— 1)

ry-i_r (y l)(27 l)
4(y-i)

= L . (2y 1).

§ 4. Die Kronig-Hönlschen Formeln.

Die Formeln (13, 16, 17, 18) ermöglichen es uns die relativen
Werte der Zeemankomponenten einer bestimmten Multiplettlinie
zu berechnen, d.h. für einen bestimmten Ubergang f -gt; j.

Wir fragen jetzt nach den relativen Intensitäten der verschie-
denen Linien eines Multipletts für den Fall von Russell-Saunders-
Koppelung, d.h. für den von uns immer betrachteten Fall schwa-
cher Spin-Bahnkoppelung. Wir suchen also die relativen Inten-
sitäten von Linien, bei denen das Anfangs- bzw. das Endniveau
zwar zu den selben 1' und s bzw. / und s-Werten, aber zu ver-
schiedenen y-Werten gehören. Es kommt also darauf an, die rela-

tiven Werte der Konstanten Cy\ Or\ Cj und Cy zu finden.
Dies wird möglich, wenn wir Ausdrücke für die Wellenfunktionen
benutzen, die zwar dieselben Transformationseigenschaften auf-
weisen, wie die in der Invariante Q^ zusammengefassten Funkti-
onen, die aber dazu noch die Angabe enthalten, wie die Wellen-
funktionen aus den Funktionen der Bahn- und Spinkoordinaten
aufgebaut sind. Das bedeutet: wir brauchen die in Kap. I. § 7
eingeführte Invariantenbsp;(Formel (59, I)):

..y = W^ - Vtr (- bt arj)^ (- bi' ariJ =nbsp;(33)

wo:

a = l s-j, ß=j l-s, y=j s-L

Dieses Verfahren gilt nur bei kleiner Spin-Bahnkoppelung.
Wenn wir jetzt mit dem Operator (5) das Integral:

=nbsp;. . . (34)

berechnen, so stossen wir wieder auf die Formeln (6) und wir
können über die Konstantennbsp;Qquot;' und O. noch nichts aus-

sagen, weil wir den Operator ganz allgemein gelassen haben. Die
Natur des Problems bringt aber mit sich, dass für diesen Operater
eine spezielle Wahl getroffen werden darf. Erstens bemerken wir
dass der Operator A, den wir im vorigen Paragrafen für die
Dipolstrahlung benutzten, sich nur auf die Raumkoordinaten der
Elektronen bezieht, d.h. die Dipolstrahlung ist nur durch die
zeitliche Varation der Raumkoordinaten des Elektrons bedingt.

Dies können wir in unserer Schreibweise so zum Ausdruck
bringen, dass wir die spezielle Form (70. I) für unsern Operator;

ü =nbsp;. . . . (35)

wählen mit r = 1. In diesem Operator kommen sodann nur Spin-
Vektorennbsp;vor, die sich auf die Bahnfunktionen beziehen, und

nicht Spinvektoren (I', rj'), die sich auf die Spinkoordinaten be-
ziehen. Wir denken uns im Integral ƒnbsp;Ü dt zuerst
nur über die Spinkoordinaten integriert. Dabei erscheint das Inte-
gral additiv zerlegt in mit konstanten Faktoren multiplizierten
Integralen der Form:

wo ƒ dt Summation über die Spinkoordinaten bedeutet. Diese In-
tegrale sind nur dann von Null verschieden wenn s' = s und n' = n

ist. Bei einem Übergang muss also der durch s gegebene totale
Spin konstant bleiden. Die Bedingung n = n hat für freie Atome
keine physikalische Bedeutung da in einer zu den Quantenzahlen
j, l und s gehörigen Wellenfunktion mehrere Werte von n auf-
treten dürfen.

Die Berechnung der Intensitäten erleichtert sich, wenn für A
und B im Operator (35) geschrieben wird:

A = a-b* gt;
ß = 6 ........^ '

Damit wird erreicht, dass sozusagen die Besonderkeiten betref-
fend der einzelnen Zeemankomponenten der Multiplettlinien, die
uns ja nicht interessieren, aus der Rechnung verschwinden, während
zugleich die in Rede stehenden Integrale nicht identisch Null
werden.

Die Integrale (6) vereinfachen sich sodann zu:

Q'l't'Jj^d nbsp;.... (38)

Im Kap, I. § 7 fanden wir, dass für verschiedene Matrixelemente
passende Werte von q im Operator (21) gewählt werden müssen,
damit das Resultat der Integration nicht identisch Null wird. So
gilt für:

/ 1 ^ /nbsp;q = 1

/ -gt; /nbsp;q = 0 .....(39)

/_!-gt;/nbsp;q = — 1

Im besondren wird der Operator für den Fall / !-»• / gleich:
nbsp;—Q)2. . (40)

wo: Ö = {a*S 4- t*»?).

Sodann wird unser Integral (23) gleich:

Ql;=nbsp;-0)2 paQßj^y^, . (41)

Dieses Integral lässt sich schreiben als eine Summe von drei
Integralen:

Qj; = ƒ P^'^«' Q^ß'R*y'

j p*a'Qfß'J^^Y pa Qß Q2 j^y _nbsp;_ ^

— 2/P*«' Ct^'R^y'P'' Q^ 1 w = I II III.

Die Berechnung dieser Integrale, welche im Anhang gegeben
ist, ergibt nun, dass für einen bestimmten Ubergang ƒ-gt;-y jedesmal
nur eines dieser Integrale von Null verschieden ist. Für den Fall
/ = 7 1 gilt nämlich; a = a, ß' = ß 2. y' = y und es ist nur
das Integral 1 von Null verschieden, für den Fall ƒ = j gilt:
a.' = a ß' = ß '/ = y — 1 und es ist nur das Integral III
nicht Null, während schliesslich für den Fall j=j— 1 gilt:
a' = a 2, ß' = ß, y — y — 2 und nur II ungleich Null ist.

Aus den Formeln (11, 16) des Anhangs folgt sodann, dass für
die verschiedenen Ubergänge 7quot; = y 1, / =ƒ = j— 1 die
Matrixelementenbsp;durch nachstehende

Formeln bestimmt sind:

(ß y 3)\{a^y)l{a-\-ß r2)l^nbsp;'

= .........

(^r j' 2)!(a gt;')! (a ^ 2)!

= Cj-(aa* nbsp;..........(436)

^ ^ux {a^ß y \)\{a-^2)\ß\y\ , ^ ,

{ß-i-y-\-\)\ {a y)\{a ß±2)\nbsp;'

= Cf'(aa* nbsp;..........(43)

wo C/^' nur von l und s abhängt, nicht aber von j. Wir
haben jetzt noch die Konstanten Cj in (19) zu bestimmen, die mit
der Normierung unserer Wellenfunktionen zusammenhängen.
Diese sind gegeben durch das Integral (vgl. (11) des Anhangs):

iß^ yi-l)l(a-t ß}\(aty}l .(44)
. Ci. {aa* bb*iß y = Cjiaa* bb*)ß y

wo Ci nur von / und s und nicht von j abhängt.

Die in dieser Weise bestimmten Konstanten, eingesetzt in die
Formeln (19a, b, c) liefern uns die relativen „totalenquot; Intensitäten
der Multiplettlinien für den Fall Z 1 Z:

(27IV)4

' {ß-\-y 3)[ß y 2){a ß 2){a ß-{-l)' Cui.C] . (45)

8/ {2nvY (2j \]{j 1)
(a ß y 2){a l)(ß l)y

■{ß y 2f {a ß 2) {a ß -r D' Cu^.Ci

(a 2) (a \)y{y - 1)nbsp;|G

iß y \){ß y) {a ß ± 2) {a -T ß ^ \y Cux .Ci
oder unter Benutzung der Bedeutung von a, ß und y (vgl. (33)):

^ ^y_t_l) („ ^ j, 2) (a 1) (yg 1)^ . , (46t)
' jij 1)

. . . (46c)

wo:nbsp;= I -—TT,——eiJi^ Konstante ist, welche nicht

' 12/ 2) (2/ 1JU/ 1 .C/

von j abhängt, und die (Vgl. (19a)) gleich der totalen Intensität
des Übergangsnbsp;l (bei Vernachlässigung des Spins)

ist, multipliziert mit:

__1__

2(2/ 1)(2/ 2) (2/ 3)'

Nach der Summenregel, auf dessen allgemeinen Beweis wir hier
nicht eingehen, soll die Summe von (46a, b, c) gleich dem Pro-

duki vonnbsp;'nbsp;der Tat ergibt die Summierung

von (46a, b, c):

2(2; 1) [21 2) {21 = P^K

Wir gehen jetzt über zur Berechnung der Intensitätsformeln für
den Fall /' = /. Dazu brauchen wir den Wert der Konstanten
Oj, Oj^^ und in diesem Fall. Zur Berechnung brauchen wir
nach (39) den Operator:

ß = (6 a*) ^ (a - b*)n\nbsp;a*) ^^ (a - b*)

Die Anwendung dieses Operators auf die Ausdrücke P, Q und
R liefert, wenn wir die Bezeichnung R = b*r}') einführen:

ÜP-^{Q-Q){R-R)',üQ = {Q-Q){aa* bb*)-, QR = Q (48)
Sodann berechnen wir das Integral:

Vi = ƒ P*quot;' O*^' OP^QßRy =
= ƒp*a'Q^ß'.pa-1 Qß-KRy.(Q-'Q).(a[R-R] Q ßP{aa*-f bb*)), (49)

Auch hier können wir das Integral wieder in drei Teile zerlegen,
welche je für sich nur in einem der drei Fälle ƒ = j, ƒ =y 1, ƒ =
— j — 1 von Null verschieden sind. Man findet in dieser Weise:

ülY'= !nbsp;Q^-1 ^Hcy i i^y^^aQ^R) (50a)

Q*ßQß-HRR'')y-{-a[QR RQ]Q ßPQ{aa'^ bb*)). (506)

^g-inbsp;pa-lnbsp;j^^y-l Ry .{ aQW-ßPQ(aa'-hbb*)) ' (50c)

Die Berechnung dieser Integrale mittels der im Anhang gegebenen
Formeln liefert für die „totalenquot; Intensitäten unter Benutzung der
Normierungsintegrale (44):

Islij '' = ^Y) • ^ 2)a (^ -f 1) (y 1). (51a)

nbsp; nbsp;. . (516)

=j-{lt;^ ß Y nbsp;. . (51c)

wo Kl eine Konstante ist, welche gegeben ist durch: 2/(2/ 1).
,(2l 2)Kl = Ii wenn Ii die „totalequot; Intensität des Übergangs /-»■ /,
bei Vernachlässigung des Spins ist.

Die Intensitäten für den Fall / — I / ergeben sich aus den
Formeln (46a, b, c) durch Vertauschung von Anfangs- und End-
zustand. Wenn man in den Formeln (46, 51) die a, ß, y mittels
(33) durch die s, /, j ersetzt, bekommt man genau die Kronig-
Hönlschen Formeln i).

1) R. de L. Kronig, Zs. f. Phys. 31, 885, 33, 261, 1925; A. Sommerfeld und
H. Hönl, Preuss. Akad. IX, 141, 1925.

§ 5. Die Quadrupolstrahlung.

Rubinowicz hat die Quantenmechanik der Quadrupolstrahlung
ausführlich behandelt und die Intensitäten sowohl der Zeeman-
komponenten, wie der Multiplettlinien im Fall von Russell-Saunders-
koppelung bestimmt i).

Die Berechnung der Matrixelemente, welche die Ausstrahlung im
Fall der Quadrupolstrahlung bestimmen, erfordert gar keine neu-
artigen Überlegungen, sie ist von der bei der Dipolstrahlung be-
nutzten Methode nicht wesentlich verschieden.

Nach § 2 des zweiten Kapitels ist die Quadrupolstrahlung be-
stimmt durch einen symmetrischen Tensor zweiten Ranges mit
Diagonalsumme Null, Ihre Komponenten waren durch die bij in
(27, II) gegeben. Es lassen sich Linearkombinationen dieser Kompo-
nenten so wählen, dass sie sich transformieren wie die aus dem
Spinvektor (X. Y) gebildeten 5 Monome X^^'nbsp;{t = 2, 1,

0, — 1,-2). Wir fassen die 5 Monome zusammen in der Inva-
riante:

Ü = {—BX ÄY}^.......(52)

Mittels (69, I), wo r = 2 gesetzt ist, sieht man, dass die
Matrixelemente dieser Monome je für einen bestimmten Wert von
M — M' von Null verschieden sind, und zwar kommen [M — M'] =
= 0, ±1, ±2 vor. Sie entsprechen deshalb eben den verschiedenen
Komponenten des Zeemaneffekts, wenn ein magnetisches Feld
parallel der Z-Achse angelegt ist. Weiter ergibt sich sofort, dass
nur Ubergänge vorkommen, wo \ j — jquot; \ = 2, während zudem
noch die Übergänge j j, wenn j ^ V2 quot;nd y 1 ^ j, wenn
j — 0. verboten sind. Anders gesagt: Es sind nur Übergänge ge-
gestattet, wobei die Zahlen ƒ, j und 2 die Seitenlängen eines
Dreiecks bilden können.

Unter Benutzung der Formeln (69, I) und unter Berücksichtigung
der Normierungsfaktoren (44), ergeben'sich die Quadrate der nor-
mierten Matrixelemente für den Fall 7 2j zu:

.2.A».2 ^ (y M 4) (;• M 3) ry M 2) (7 M 1) iCj-^p
^nbsp;(2y 4)(2y 3)(2y 2,(2y-M) '

.1 _ (y-M 1) (y M^ 3) (y M 2) (y M i) jq^V
^nbsp;(2y 4)(2y 3)(2yT2)(2j i)nbsp;•

_ (y M 2) (y-M 2) (y^ M-f 1) (y-M 1) iq

j ,M —nbsp;^TTquot;: - . .-—-—^rr-^——- . —=-—

2y 4) (2y 3) (2y 2) (2y i)nbsp;• Cy.2. Q

1) A. Rubinowicz, Zs. f. Phys. 53, 267; 61, 338; 65, 662.

~nbsp;1\nbsp;r

cy'

MM-2 _ ij-M- 4) (y-M f 3) (j -M 2) 0-M 1)
' quot;nbsp;(2; 4)(2;-r3)(2yi-2)(2;i-l)nbsp;' Cj.2 . Cj

Die Konstanten C in diesen Formeln sind von j, nicht von M
abhängig. Für die andren erlaubten Ubergänge f j ergeben sich
ähnliche Formeln. Für die Berechnung der räumlichen Verteilung
der Ausstrahlung im Falle des ZeemanefFekts verweisen wir nach
der zweiten Arbeit von Rubinowicz, die auf S 49 zitiert wurde.
Diese Berechnung ist von der von uns bei der Dipolstrahlung
angewandten Methode nicht wesentlich verschieden und nur etwas
komplizierter. Was die Berechnung der Strahlung betrifft, so hat
Rubinowicz sich sofort auf die Ausstrahlung einer in der Zeit
harmonischen Strom- und Ladungsdichte spezialisiert und diese
unter der Annahme einer Superposition von Anfangs- und End-
zustand quantenmechanisch berechnet, während wir zuerst unsere
klassische Rechnung ganz allgemein gehalten haben und sodann
unsere Formeln quantenmechanisch umgedeutet haben.

Rubinowicz zeigt, dass die Intensitäten der Quadrupollinien sich
berechnen lassen, indem man „Zwischenniveausquot; aufsucht, welche,
mit dem End-, sowie mit dem Anfangsniveau kombiniert, von
Null verschiedene Matrixelemente der Dipolstrahlung liefern. Das
Produkt dieser Matrixelemente, summiert über alle „Zwischen-
niveausquot;, ergibt die Matrixelemente der Quadrupolstrahlung. Zu
dieser Berechnung braucht Rubinowicz gewisse Summenregeln
bezüglich der in den Matrixelementen der Dipolstrahlung auftre-
tenden, von M unabhängigen Konstanten. Diese Summenregeln
ergeben sich aus dem Umstand, dass bei verschiedener Wahl der
Reihenfolge der Faktoren bei der Matrixmultiplikation sich die-
selben Matrixelemente der Quadrupolstrahlung ergeben müssen.
Wir berechnen dagegen alle Matrixelemente nach einer direk-
ten Methode, ohne die Matrixelemente der Dipolstrahlung zu
benutzen, und erhalten sofort die Endresultate von Rubinowicz
in einer Form, die sich kaum mehr vereinfachen lässt.

Jetzt betrachten wir die Intensitäten der Komponenten eines
Multipletts (bei Russell-Saunderskoppelung), das einer reinen
Quadrupolstrahlung entspricht. Wir definieren die totale Intensität
einer Multiplettlinie als die Summe ihrer Zeemankomponenten.
Die Formeln (32) geben an wie diese Intensitäten mit den Grössen
Cj, Cj zusammenhängen. Es handelt sich also nur noch darum,
diese Grössen als Funktionen von /, s. j zu berechnen.

Wir ersetzen den Operator (52) nach Formel (70, I) durch
einen Operator in | und i]. Für die 5 erlaubten Übergänge

2-gt;- l, / !-gt;■/......./ — 2 / hat dieser Operator nach

Formel (72, I) jedesmal eine verschiedene Form. Nachdem wir
die Substitution (37) für A und B gemacht haben, wird unser
Operator für den Fall / 2 / gleich:

ß = (Q — Q)^.......(54)

und wir berechnen das Integral:

f P^^^'Q'^'R'^y'{Q—Q)^ P^Q^R^ dr . . . (55)

Dieses Integral lässt sich in 5 Integrale zerlegen, von welchen

bei jedem der 5 erlaubten Übergänge j 2 -gt;■ j,.....y — 2 -gt;• ;

nur eines von Null verschieden ist.

Im besondren erhalten wir für den Fall f = j 2: a = a,
ß' = ß 4, y' = y und es wird und es wird das Integral gleich:

fnbsp;dt .... (56)

Unter Benutzung des Normierungsintegrals (44) finden wir für

q.2^2

die in den Formeln (32) auftretenden Konstante

2

Q 2 . Cj

Ja ß y 5){a ß y 4){a ß y 3){a ß y 2)(/? 4){ß 3){ß 2)(ß \) j^u7
-nbsp;127 5) (2; 4)(2; 3)(2y 2)nbsp;' ' ^ '

Die Berechnung der Quadrupolintensitäten lauft also parallel
der bei der Dipolstrahlung gefolgten Methode.

Für den Fall / -H 1 / werden die Formeln verwickelter (analog
an / / verglichen mit / !-»■/ bei der Dipolstrahlung), Dies
gilt in noch höherem Masse für den Fall /- ■/. Da haben wir
das Integral:

'p^'Q^Rydt^

= f piQ*ß' Fi*Y' .{Q-Qf-plt;^-2Qß-2j^Y ^[(a-]-ß){R-R) PQS
^{a{R-R)Q ßPS) .{{a-\)(R-R)Q iß-\)PS)l . (58)

wo 5 = (aa* bb*) ist, zu berechnen. Alle vorkommende Inte-
grale können mit Hilfe der Formel (16) im Anhang berechnet
werden. Unsere Methode ergibt sofort Ausdrücke, welche sich

kaum unterscheiden von den Rubinowiczschen Endformeln, die
unter Aufwand mühsamer Rechnungsarbeit erhalten sind.

Hätten wir bei den Berechnungen in diesem und im vorigen
Paragrafen den Ansatz (73, I) benutzt, der scheinbar einfacher ist
als (70, I), so wären die Ausdrücke der Matrixelemente zurück-
geführt auf Integrale der Form:

/ = ƒnbsp;. pa-sQßQs i^Y s^^

Der Wert dieses Integrals lässt sich aber nicht wie die Integrale
(11, 16) vom Anhang als ein Quotient von Produkten von Fakul-
täten schreiben.

§ 6. Die magnetische Dipolstrahlung.

Im zweiten Kapitel haben wir gezeigt, dass die magnetische
Dipolstrahlung bestimmt ist durch das magnetische Moment des
Atoms:

2mc mcnbsp;2mc ^ ^ ^^ mc 2mc ^^^

wo L das Bahn-, S das Spin-, und P das totale Impulsmoment
bedeutet. Die zu den zwei Wellenfunktionen (pigt;,s',j' und (pi,s,j ge-
hörigen Matrixelemente sind offenbar nur dann von Null ver-
schieden, wenn = / und s' = s ist. da ja | L | und | S | in Russell-
Saunderskoppelung zeitlich konstant sind. Es kommen also bei der
magnetischen Dipolstrahlung

eines freien Atoms nur Übergänge
vor, bei denen allein j seinen Wert ändert. Ausserdem ist der
Faliy =y noch auszuschliessen, da dieser Fall keinem Übergang
entspricht, sondern das magnetische Moment des Atoms im statio-
nären Zustand /, s, j liefert. Da wir es mit einer Dipolstrahlung
zu tun haben, können wir sofort feststellen, dass |y'—y| = l gilt,
während die Matrixelemente des Zeemaneffekts dieselben wie bei
der elektrischen Dipolstrahlung sind. Bei der Beschreibung des
Strahlungsfeldes sind aber die E und H bei der elektrischen Dipol-
strahlung durch H und — E zu ersetzen.

Zur Berechnung der S. 40 definierten totalen Intensität der
nicht durch einen Zeemaneffekt gespalteten Linie, beachten wir,
dass die Matrixelemente Pjquot; und Null sind. Die Matrix-
elemente von L sind durch (51a) und (51c) gegeben. Die Matrix-
elemente von S gehen aus diesen Formeln hervor durch Ver-
tauschung von l und s. Sowohl die Matrixelemente von L, wie
die Matrixelemente von S liefern nach (59) die Intensitäten der

magnetischen Dipolstrahlung. Dieser scheinbare Widerspruch wird
aufgehoben, indem wir bemerken, dass die Formeln (51a) und
(51c) durch eine Vertauschung von l und s nicht geändert werden i).
Da wir es hier mit einem magnetischen Moment zu tun haben,
so können wir in diesem Fall die absoluten Intensitäten berechnen.
Sie ergeben sich zu:

Man rechnet leicht nach, dass im Grenzfall grosser Quanten-
zahlen diese Formeln genau übereinstimmen mit was sich aus dem
klassischen Vektorschema ergeben würde.

1) Die Anwendung von (5Ii») führt leicht zur Ermittelung des Landeschen
p-Faktors.

ANHANG.

DIE BERECHNUNG EINIGER INTEGRALFORMELN.
Wir wollen hier die Berechnung des Integrals:

ƒ {pp*f. . {RR*)y dt = ƒ - . (Sri' - s'^r.

. (— a*r)*fnbsp; anf . (— b^'* a*rj'*y .

.{— bS' arj'y dx.......(1)

geben. Dazu betrachten wir das Integral:

. (_ b's' a'n'y^'' dx = ƒ (QQy «.nbsp;dx. . (2)

worin T = {— b'S' a'rj') und {a, b') ein von (a, b) unabhän-
giger Spinvektor ist. Dieses Integral lässt sich berechen, indem
man bemerkt, dass es sich als ein Produkt zweier Integrale schreiben
lässt:

ƒnbsp;. {T*T)y ^ dx = ƒnbsp;dx'. ƒnbsp;dxquot; o)

Hierin bedeutet ƒ cfr' Integration über die Bahnkoordinaten und
j dxquot; Summierung über die Spinkoordinaten, Es ist das Integral
nach (64, I) gleich:

ƒnbsp;. (rrT « dx =nbsp;. {aa-^- nbsp;.

.......(4)

Wir wenden sodann den Operator:

^ _ _ 02 /_^ Ö2

~ W'öa bb^'}nbsp;' '

an. Ausübung dieses Operators auf die linke Seite der Gleichung
(4) ergibt;

jnbsp;- rr^r. - rnf. (QQ^ . (rr)''c/r. (6)

Zur Ausübung des Operators (5) auf die rechte Seite von (4)
wenden wir zuerst Q'*quot;- an. Das Resultat ergibt sich sofort zu:

. (aa* nbsp;. [a'a'* b'b'y^'^ = .

= Ca^ß -Ca^y ( h'a - baT. (aa* bb^^. {aW* b'by .

-—ß]---(-a ß-^a y^nbsp;' ß\ y\ ' y'gt;

Die Ausübung von ü' auf (7) liefert:

. . . . [aa* nbsp;. (a'a- nbsp;=

^ ^ (^ a)!(7 a)! rja-\ oß-l C'y-1

nbsp; nbsp;—a(a—l)a^6.Z7-^5.5'^-

-h yaa'. a'*. 5 . . 5' - ßyaquot;b*U) =

... (8)

fiieraus ergibt sich das Resultat der Anwendung des Operators
(5) auf die rechte Seite von (4) zu:

^a ß'^a y ß^nbsp;{ß ^ y t l)\ ^^ ^

. (a'a'* b'b'*y Terme. welche {a*b'* — a*b*) enthalten. . (9)

Die Gleichsetzung der beiden Resultate (6) und (9) ergibt die
Gleichung

f(PßmnmßiTT*vdx-

j{PP){QQY{ll y'^'-lß y l)\{a ß)]{a y)\'

. . C^^ß . . (aa^ bb^f . (a'a'* b'b'^

Terme in {a*b'* - a'*b*).....(10)

Indem wir die unabhängigen Spinvektoren (a'. b') und (a, b)
gleich setzen erhalten wir das erwünschte Resultat:

ƒ {PPT • (QQ^^f' dz =

(a /3 y 1)1 a\ß\ y\ c,. C^ (aa* bb*]ß y II)

Die beiden Konstanten Ca ß und C^ y hängen von der beson-
dren Form der Wellenfunktionen und im besondren von a ß{ = 21)
und a y (= 2s) ab; nicht aber von ß y {= 2j), da ja im Integral
(4) diese Zahl nicht auftritt, Die hier benutzte Methode der
Anwendung von Operatoren führt leichter zum Resultat (11) als
das von Kramers angewandte Verfahren (Vgl. H. A. Kramers.
loc. cit.) Er hatte zur Berechnung von (11) eine Reihe von Pro-

dukten von Binomialfaktoren zu summieren, was wir hier ver-
mieden haben.

Zur Berechnung des Integrals:

wo: Q = (a*^ und R = (a*|' ist,
wenden wir den Operator:

Ö . /nbsp;ö Y
db' ^ ^ ö^j •
___d^Y ( Ö2

Ö6W*/ -lö/^'öa Ö6ÖT7 . (13)

an auf beide Seiten der Gleichung (4). Hieraus ergibt sich für
die linke Seite von (4):

(^ a)!(7 a)! {ß a)\ (;gt; «)!

yl ' {ß s}]{y t)\ '

wo: f=(a'T 6'*r) ist.

Man sieht sehr leicht durch Vergleich mit (8) dass die Anwen-
dung des Operators (13) auf die rechte Seite von (4) ein Resul-
tat ergibt, dass sich nur darin von (9) unterscheidet, dassnbsp;1)1
durch 7 5 f 1)! ersetzt werden muss, während zudem
noch die Faktoren (a'a* b'by und (— aa'* — bb'*y auftreten.
Hieraus ergibt sich die Gleichung;

iß a)l{y-{-a)l {ß a)\{ya)\ ,

Ty sTf^r-r r (a ^)! (g y)! a!(a i5 y l)!
. {aa* bb*)ß. (aW* f b'b'*y. {a'a* b'b*)^ . (- a'*a - b'*b/

Terme. welchenbsp;und (6a'-6'a) enthalten . (15)

oder nach Gleichsetzung von (a'.b') und (a, b):

lP*-Q*ßl^*ypa-s~t Qß t^Qsj^y^s'^t^^^ ^^^^ _ ^^^^ ^ _ _
lt;

Bei der Dipolstrahlung brauchen wir dieses Integral mit s, t
gleich 0,1; 1,0; 2,0; 1,1; 0.2. Bei der Quadrupolstrahlung haben
s, t die Werte 4,0; u.s.w.

Schliesslich geben wir noch die Berechnung des in Kap. III,
§ 3 gebrauchten Integrals:

nbsp; nbsp;. . (17)

Wir gehen aus vom Integral (69. I), wo für 2/, bzw. 2j,
bzw. 2r. hier a ß. bzw. a y. bzw. ß y geschrieben ist:

= ClX^^. (aa^= f bb^T .{-ßa Abf. {a'A If'Bf ' ^
und wenden den Operator:

löiöi^nbsp;•WöA^ö6*öß/ -l dSda^dAdty

= QI . üß .nbsp;. (19)

an. Aus der linken Seite von (18) ergibt sich nach der Anwen-
dung dieses Operators:

{a^ß)\{a y)\(ß y)\!{-Y^ Xvy .{X^'^ Yr^^f .{^^Wn^'dx. (20)
Der Operator angewandt auf die rechte Seite von (18) liefert;

a^ß «!ja±£ j. l)!nbsp;ß ^nbsp;ß^^y ^ (21)

(ß y±\)\ ^nbsp;^ J \

Sodann ergibt Anwendung des Operators

Qß auf (21):

a\ia ß-\-y D! ß\ iß 7 1)1

(^ 7 1)! • (7 1)! (22)

Schliesslich folgt nach Anwendung des Operators ü^ auf (22):

a!(a y3 7 l)! ßHß y 1)1nbsp; ui C'^^ßnbsp;(23)

Nach der Gleichsetzung von (23) und (20) erhalten wir das
Endresultat:

ƒ (- Ff . (AT Yri'')ß . m V*riy dx =

_ ^a ß ia-\-ß y l)la\ß\ylnbsp;....

(a-t ß)\ {a y\ ■ • ' ' ^ f

Man sieht, dass die Berechnung aller dieser Integrale einfache
Formeln ergibt, worin Fakultäten auftreten. Diese Integrale hän-
gen unmittelbar mit den physikalischen Anwendungen zusammen.
Der Vorzug der Kramers'schen Methode besteht darin, dass um-
ständliche Rechnungen vermieden werden.

ZUSAMMENFASSUNG.

Viele physikalischen Eigenschaften eines freien Atoms werden
durch die Matrixelemente gewisser quantenmechanischer Opera-
toren festgelegt. Die relativen Werte dieser Matrixelemente sind
oft schon vollkommen bestimmt durch die Transformationseigen-
schaften. welche die Wellenfunktionen und die Operatoren bei
Drehungen des Koordinatensystems aufweisen.

Im ersten Kapitel werden die Transformationseigenschaften der
Wellenfunktionen bei Drehungen des räumlichen Koordinaten-
systems behandelt. Zuerst wird der Zusammenhang der unitären
zweidimensionalen und der reellen orthogonalen dreidimensionalen
Transformationen nachgewiesen. Sodann wird besprochen, wie die
Wellenfunktionen eines freien Atoms eine Darstellung der Raum-
drehungsgruppe induzieren. Es wird im Falle von RusselUSaunders-
koppelung gezeigt, wie man mittels eines von Kramers gegebenen
Verfahrens die Wellenfunktionen in nullter Näherung als lineare
Kombinationen von Produkten von jeweils einer Funktion der
Bahn- und einer Funktion der Spinkoordinaten bestimmen kann.

Sodann wird die. auf Weyl fussende, Kramers'sche Methode zur
Berechnung der relativen Werte von Matrixelementen behandelt.
Es werden die Wellenfunktionen des Atoms und die betreffenden
Operatoren in symbolische Invarianten zusammengefasst. Aus der
Bemerkung, dass eine Integration solcher Invarianten wieder eine
Invariante liefern muss, folgen sodann in vielen Fällen unmittelbar
die relativen Werte der Matrixelemente.

Im zweiten Kapitel wird die Ausstrahlung eines freien Atoms
nach der klassischen Elektronentheorie behandelt. Ausgegangen
wird vom Hertzschen Vektor, der sich zur Bestimmung des
Strahlungsfeldes eines Atoms oder Moleküls sehr eignet. Es wird
eine Entwicklung des Hertzschen Vektors nach negativen Potenzen
der Lichtgeschindigkeit gegeben. Es zeigt sich, dass eine Analyse
der Transformationseigenschaften der Terme dieser Entwicklung
eine Einteilung des Strahlungsfeldes ergibt in verschiedene Arten
von Multipolstrahlung. Im allgemeinen liefert der {k — Term
dieser Entwicklung des Hertzschen Vektors Dipol- bis 2'f-Pol-

Strahlung. Diese Strahlungen lassen sich einteilen in elektrische
und magnetische Strahlungen. Man erhält eine magnetische
2'^-Polstrahlung indem man in den Formeln einer elektrischen
2'^-Polstrahlung den magnetischen Vektor H durch den elektrischen
Vektor E, und H durch — E ersetzt.

Im dritten Kapitel werden die im zweiten Kapitel abgeleiteten
Transformationseigenschaften der Bestimmungsstücke des Strah-
lungsfeldes zur Berechnung von Matrixelementen benutzt. Die
klassischen Formeln werden quantenmechanisch umgedeutet. Sodann
werden nach der Kramers'schen Methode die Matrixelemente be-
rechnet, welche den Zeemaneffekt und die Intensitäten der Multi-
plettlinien bei Russell-Saunderskoppelung im Falle elektrischer Dipol-
und Quadrupol- und magnetischer Dipolstrahlung beschreiben. Es
zeigt sich, dass diese Behandlungsweise keine mühsamen Zwischen-
rechnungcn fordert und fast sofort zu den Endresultaten in ihrer
einfachsten Form führt.

INHALTSVERZEICHNIS.

Seite

KAPITEL I. Die Transformationseigenschaften der Wellen-
funktionen.

§ 1. Die Einführung der Spinvektoren..............1

§ 2. Die unitären Transformationen.......3

§ 3. Invarianten...............5

§ 4. Darstellungen einer Gruppe.........6

§ 5. Die Wellenfunktionen eines Atoms mit einem Elektronnbsp;8
§ 6. Die Wellenfunktionen im allgemeinen Falle eines

freien Atoms..............10

§ 7. Die Spin-Bahnkoppelung..........12

§ 8. Berechnung von Matrixelementen.......17

KAPITEL II. Die Multipolstrahlung.

§ 1. Der Hertzsche Vektor...........23

§ 2. Die Dipol- und die Quadrupolstrahlung ....nbsp;28

§ 3. Die Multipolstrahlung...........31

§ 4. Der Hertzsche Vektor unter Berücksichtigung des

Elektronenspins.............34

KAPITEL III. Die quantenmechanischen Intensitätsformeln.
§ 1. Die quantenmechanische Umdeutung der klassischen

Formeln................36

§ 2. ZeemanelFekt der Dipolstrahlung.......37

§ 3. Eine Formel für die Summe aller Zeemankomponenten

einer Multiplettline im Falle der Multipolstrahlungnbsp;41

§ 4. Die Kronig-Hönlschen Formeln.......43

§ 5. Die Quadrupolstrahlung..........49

§ 6. Die magnetische Dipolstrahlung.......52

ANHANG. Die Berechnung einiger Integralformeln ...nbsp;54

ZUSAMMENFASSUNG.............58

Formeln und Paragrafen aus demselben Kapitel werden immer
nur mit ihrer Ziffer, Formeln und Paragrafen aus andren Kapiteln
mit Beifügung der Ziffer des Kapitels zitiert.

■P11

STELLINGEN.

I.

Er zijn in de spektra van vrije atomen overgangen te verwachten,
waarbij alleen j springt met ± 1 en de andere quantumgetallen
niet veranderen. Deze overgangen zijn misschien in het Röntgen-
gebied experimenteel te vinden.

II.

De regel, dat bij dipoolstraling slechts overgangen toegestaan
zijn. waarvoor \j' —j\= 1 is, terwijl bovendien nog jquot; = j ver-
boden is als j = O, is een biezonder geval van de regel, dat bij
Z^poolstraling de overgangen, waarvoor | ƒ — ; | gt; r of (ƒ j)lt;r
is, verboden zijn. Bij een toegestane overgang moeten dus de
getallen ƒ, j en r een driehoek kunnen vormen.

III.

Het verdient aanbeveling bij de ontwikkeling van een golffunktie
naar eigenfunkties gebruik te maken van de theorie der Stieltjes-
integralen.

IV.

In de kinetiese theorie van de vloeistofreakties gaat men vaak
uit van de theorie van de Brownse beweging. Hoewel dit tot
goede resultaten leiden kan, is het maken van een „Stossansatzquot;
in deze theorie onjuist. Zo zijn de theoretiese resultaten van
Ölander, die een formule voor de reaktiesnelheid bij vloeistof-
reakties afleidt, niet juist (vgl. A. Olander Zs. f. phys. Chem. A
144, 118, 1929).

V.

5. De door Oppenheimer gegeven quantummechaniese theorie
van de invanging van elektronen door a-deeltjes geeft voor grote
snelheden van het a-deeltje (vergeleken met het elektron in^ zijn
baan) een goede benadering. Zijn berekening van de werkzame
doorsnede van atomaire waterstof is echter onjuist. (Vgl. I. R.
Oppenheimer. Phys. Rev. 31. 66. 349. 1928; H. C. Brinkman en
H. A. Kramers. Proc. Kon. Akad. Amst. XXXllI 973. 1930).

Het bewijs in dit proefschrift, dat een bij unitaire transformaties

invariant polynoom in ^i, i]i.....een polynoom is in de

grondinvarianten (— rjk ^k' Vk' ^k) (vgl. pag. 5 en 6 van dit
proefschrift), kan iets verkort worden. Het verliest dan echter aan
overzichtelikheid.

VII.

De ontwikkeling van een holomorfe funktie volgens Lagrange:

waar: C = a t(p{C), (vgl. Whittaker and Watson, Modern Ana-
lysis, pag. 133) kan worden uitgebreid tot een ontwikkeling van
een rij van holomorfe funkties. Deze uitbreiding vindt een toe-
passing in de theorie van de geretardeerde potentialen (vgl. pag.
27, (15) van dit proefschrift).

Vin.

In tegenstelling met het resultaat van Heisenberg, is de
formule van Kramers voor de cos^-koppeling gelijk aan de qua-
drupoolintensiteitsformule 1/,1'j van Rubinowicz, nadat in deze
laatste formule j en s verwisseld zijn. Dit pleit voor de juistheid
van de formule van Kramers, (vgl. H. A, Kramers, Proc. Kon.
Akad. Amst. XXXIV 965, 1931; W. Heisenberg, Zs. f. Phys. 39,
499, 1926).

XI.

Bij de toepassingen van de kansrekening bewijst het verschil,
dat Talma maakt tussen kans en waarschijnlikheid, goede diensten,
(vgl. P. Talma, diss. Utrecht 1921).

X.

De intensiteitswisseling van het geluid, die men waarneemt,
als men een trillende stemvork ronddraait, berust op het feit, dat
een stemvork quadrupoolstraling uitzendt. De verklaring, die in
veel leerboeken der natuurkunde voor deze intensiteitswisseling
gegeven wordt, is onjuist, (vgl. Gerrits, Leerboek der Natuur-
kunde; Reindersma en van Lohuizen, Nieuw Leerboek der
Natuurkunde),

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