OVER HET GEDRAG VAN EEN
CONFORME AFBEELDING BIJ
EEN RANDPUNT

Dies*
Utrecht

19 52

^ y f

f I'

» 'lt;

\ lt; ' *
^ i '

\ ■

yy/.'^T'-'^-'

'vV.-

■ sgs; '

s,: Vquot;

~nbsp;■■ •• f I i'- ! : !'■ -

■ .':. ■ ■■ quot;t- ' V, ■'■f:

■ *

^ ' ■ V ';

quot;y

'■^r.-y-'.-yi:^,''-

t

' L /

- -Vi.

OVER HET GEDRAG VAN EEN CONFORME
AFBEELDING BIJ EEN RANDPUNT

m

K-as«!!

1-iiÄiiäi,-

'SÄ''quot;quot;'

; V ■ .
iKi

^àPquot;

?

■

IWk---

OVER HET GEDRAG VAN EEN CONFORME
AFBEELDING BIJ EEN RANDPUNT

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN
DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG
VANDEN RECTOR-MAGNIFICUS Dr C.G.N.DE VOOYS,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER LETTEREN
EN WIJSBEGEERTE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN
SENAAT DER UNIVERSITEIT TE VERDEDIGEN
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT
DER WIS- EN NATUURKUNDE OP MAANDAG
12 DECEMBER 1932, DES NAMIDDAGS TE 3 UUR

DOOR

BASTIAAN GROOTENBOER

GEBOREN TE UTRECHT

1932

DRUKKERIJ Fa. SCHOTANUS amp; JENS, UTRECHT

bibliotheek der

_IJTR ECHT.

m'

'rrä

'Sfj ■

■A'

m

vi'fr
.......................

^V.-ï- - • '

f - '-î .
^ „

s»;, ' • -quot;'H-.tV;

fc,--; ■lis'. ■

AAN MIJN OUDERS.

Het voltooien van dit proefschrift geeft mij een welkome ge-
legenheid U, Oud-Hoogleeraren en Hoogleeraren in de Faculteit
der Wis- en Natuurkunde dank te zeggen voor hetgeen ik van
U heb mogen leeren.

In het bijzonder dank ik U, Hooggeleerde Wolff, Hooggeachte
Promotor. Naast Uw bezielend onderwijs zal de steun en belang-
stelling, die ik bij de bewerking van mijn proefschrift van U mocht
ontvangen, mij steeds in dankbare herinnering blijven.

Hooggeleerde Emeritus De Vries, ik blijf U erkentelijk voor Uw
boeiende colleges, die van veel belang zijn geweest voor mijn
wiskundige vorming.

Hooggeleerde Ornstein en Kramers, ik beschouw het als een
voorrecht onder Uw leiding de natuurkunde te hebben bestudeerd,
terwijl ik met genoegen terugdenk aan den tijd gedurende welke
ik in het Physisch Laboratorium mocht werken.

Hooggeleerde Nijland, ik blijf U dankbaar voor hetgeen gij tot
mijn wetenschappelijke vorming hebt bijgedragen.

if

vf-.-i'.

■.iï'Ayaquot;-

INHOUD.

BIfldi.

Inleiding en literatuuroverzicht..............11

Hoofdstuk I. Over de functies, die holomorf zijn in het rechter-

halfvlak en een positief reëel deel hebben.....13

§ 1. Hulpstelling...................13

§ 2. Een bovenste grens voor de modulus van de n^ afgeleide 14

§ 3. De angulaire afgeleide in het punt oneindig ....nbsp;16

Hoofdstuk II. Conformiteit op oneindig..........20

§ 4. Definitie....................20

§ 5. Een deelgebied van het rechterhalfvlak, dat een deugdelijk

deelgebied heeft, deugt..............20

§ 6. Een gebied, dat deelgebied is van een deugdelijk gebied

en een deugdelijk deelgebied heeft, deugt......23

Hoofdstuk III. Eenige voorwaarden voor conformiteit op on-
eindig bij afbeelding van het rechterhalfvlak van het

z-vlak op een deelgebied van dat van het w-vlak . .nbsp;25

§ 7. Ongelijkheid I en 11..............25

§ 8. Hulpstelling..................32

§ 9. Een noodige en voldoende voorwaarde voor confor-
miteit op oneindig, bij eenige bijzondere onderstellingennbsp;33
§ 10. Eenige voldoende voorwaarden voor conformiteit op

oneindig....................36

§ 11. Het criterium van C. Visser...........40

§ 12. Het criterium van J. G. van der Corput......41

§ 13. De criteria van Visser en Van der Corput zijn aequi-

valent.....................44

Bladl.

§ 14. De criteria van Van der Corput en L. Ahlfors zijn

aequivalent voor deelgebieden van het rechterhalfvlak 45
§ 15. De voorwaarde van Caratheodory-Valiron (§ 6) en het
criterium B (§ 10) zijn minder ruim dan de laatste drie
aequivalente voorwaarden............47

Hoofdstuk IV. Eenige voorwaarden voor conformiteit op on-
eindig bij afbeelding van het rechterhalfvlak van het
z-vlak, zonder beperking van het beeldgebied binnen
dat van het w-vlak...............49

§ 16. Een voldoende voorwaarde........... 49

§ 17. Over mogelijke veranderingen van de criteria, die in de

§§ 10 en 12 bewezen werden..........52

INLEIDING EN LITERATUUROVERZICHT.

In het eerste hoofdstuk van dit proefschrift worden voor de
klasse der functies, die holomorf zijn in het rechterhalfvlak en een
positief reëel deel hebben, twee belangrijke stellingen afgeleid.
Ten eerste: als w{z) =w{xiy) = u-{-iv holomorf is voor

jf gt; O met u gt; O, dan is

Ten tweede: voor deze functies naderen — en ^^ uniform

X z dz

tot een limiet ^ O en lt; oo, als z tot oneindig nadert binnen
een hoek: | arg 2 | = ^ — e, waarin ^ gt; e gt; 0.

A heet de angulaire afgeleide van w{z) in het punt oneindig.
Vergelijk o.a.:

ƒ. Wolff. Comptes Rendus, t. 182, p. 918 (1926)......[1]

ƒ. Wolff, C. R., t. 183, p. 500 (1926)...........[2]

C. Caratheodory, Sitzungsberichte der Preuss. Akademie der

Wissensch., 1929, p. 43...............[3]

E, Landau en G. Valiron, Journal of the London Math. Society,

Vol. IV, p. 15 (1929)...............' [4]

G. Valiron, Bulletin des Sciences Mathem. 2e serie, t. 33

P- 70 (1929).................... [5]

C. Visser, Math. Annalen, Bd. 107, p. 28 (1932).....[6]

In de volgende hoofdstukken worden eenige vragen over de
conformiteit in een randpunt van een conforme afbeelding be-
handeld en wel in het bijzonder de conformiteit op oneindig in
het geval dat we het rechterhalfvlak op een gebied afbeelden waarbij
de punten oneindig correspondeeren.

Stilzwijgend wordt daarbij onder „gebiedquot; steeds een enkelvoudig
samenhangend gebied en onder „afbeeldenquot; conform afbeelden
verstaan.

Een gebied, waarvan de conforme afbeelding op het rechter-
halfvlak, waarbij de punten oneindig correspondeeren, conform is
op oneindig, noemen wc een deugdelijk gebied.

In hoofdstuk II wordt bewezen dat een gebied, waarvan de
grens ligt tusschen die van twee deugdelijke gebieden, deugt. Hetgeen
een uitbreiding is van het criterium van CBratheodory en Valiron
voor conformiteit op oneindig (zie de boven onder [3] en [5] ge-
noemde publicaties).

In hoofdstuk III worden bij beperking van het beeldgebied tot
een deelgebied van het rechterhalfvlak eenige voorwaarden voor
conformiteit op oneindig, die alleen van de grens van het beeld-
gebied afhangen, besproken.

Aangetoond wordt dat de criteria van C. Visser, J. G. van der
Corput en L. Ahlfors aequivalent zijn en ruimer dan het criterium
van Caratheodory en Valiron en dan een voldoende voorwaarde,
die uit het criterium van L. Ahlfors volgt.

In het laatste hoofdstuk wordt het criterium van L. Ahlfors voor
een algemeen gebied bewezen en aangetoond dat dit ruimer is
dan alle voor de hand liggende uitbreidingen van bovengenoemde
voorwaarden.

Literatuur:

/. Wolff. C.R., t. 191, p. 921 (1930)..........[7]

B.nbsp;F. Wever, Begrensde holomorfe functies (proefschrift 1931) [8]
L. Ahlfors, Acta Soc. Scient. Fennicae, Nova Series A, t. 1,

no. 9 (1930)....................[9]

C.nbsp;Visser. C.R., t. 193, p. 1388 (1931).........[10]

/. G. van der Corput, Kon. Ak. van Wetensch.. Vol. 33.

p. 330 (1932)....................[11]

ƒ. H. Wansink, Eenige randproblemen der conforme af-
beelding (proefschrift 1930)..............[12]

Opmerking: In het volgende hoofdstuk verwijst een getal
tusschen vierkante haken naar de bovengenoemde publicatie met
hetzelfde getal.

HOOFDSTUK I.

OVER DE FUNCTIES. DIE HOLOMORF ZIJN IN HET
RECHTERHALFVLAK EN EEN POSITIEF REËEL DEEL

HEBBEN.

§ 1. HulpstclUng.

Onderstelling: w (z)=:w(x iy) = u i y is holomorf voor \z\ ^ R.
Bewering: Voor \z\ lt; R geldt: 2n

w (z) = constante ^ u(t) ^^^ d 6,
Znj t—z

r, iO O
waarin t —Re '

Bewijs:nbsp;Als we z = re^'^ stellen, is voor \z\ ^ R:

00

w (z) = ao 6o I (a„ i) rquot; (cos n 99 i sin n lt;p).

Hieruit volgt: u (t) = ao 2Rquot; (a„ cos n 0 — b„ sin n 0).

0

Door de beide leden van de laatste vergelijking opvolgend te

vermenigvuldigen met: 1, cos 0, sin 0......cos n 0, sin n 0.....

en te integreeren tusschen O en 2 7r, leidt men af:

2JI

0

2n

a„ =- / u {t) cos n amp; dQ,

^Rquot; J

0

27t

= f u (t) Sin ned0.

0

Dus:

271nbsp;2n

w(z) = b,i ~ju[t)dQ 2 ^ƒu{t){cosnamp;-isinne)de=

O

271

2n

=6,

omdat de reeks onder het integraalteeken uniform
voor Izl --

Wegens:

oo

271

ƒu(^)cf0 lnbsp;=

271

w.t.b.w.

§ 2. Een bovenste grens voor de modulus van de n' afgeleide.

Onderstelling: tv (z) = w (x iy) = u i v is holomorf in het
rechterhalfvlak (x gt; o;, terwijl u gt; O,

Bewering:

Bewijs:nbsp;Binnen iedere cirkel in het rechterhalfvlak is w (z)

holomorf. Volgens § 1 geldt dus binnen (R), een cirkel met middel-

punt M op l{z) = y rechts van z, en zoo groote straal R, dat z
erbinnen ligt, zie flg. 1,:

271

w {z) = constante i u{t) \---— d 0.

^^ J ^ — ^ — ^

x-vlak

ng.t

Hieruit volgt:

271

1 f

dz

271

d'tv 2
dz'

en algemeen:

2n

w n 1 /• ,, t — Mnbsp;, ^

Daar \ t — M \ —R,\ t — z — M\ —r ca^ R — q. volgt:

2 :i

ni R fti(t)dkgt;_

dzquot;

ni Rnbsp;1

^ {R - q)quot;-^ R' -Q'

271

omdat volgens Poisson:nbsp;-d Q = 2 n u (z).

O

Deze schatting geldt voor iedere M en R, die aan de boven-
gestelde eischen voldoen. We laten M nu over I {z) = y tot on-
eindig naderen en R tot het reëele deel van M, dan nadert

R 1

R—p tot X en Tsquot;!— tot —, zoodat:

R e 2

_ _ n I u{z)

waarmee bewezen is:

d zquot;

Opmerking: Voor de functie tv (z) = —, die aan onze onder-

stellingen voldoet, is voor z = xi

§ 3. De angulaire afgeleide in het punt oneindig.

Onderstelling: tv (z) = w (x i y) = u i v is holomorf voor
xgt;0,metagt; 0.

Betvering: Voor z oo, angulair. d.tv.z.: binnen een hoek

Inbsp;\ ^nbsp;^nbsp;r,nbsp;tnbsp;U dtv

arg z\ = — — -=-gt;£gt;0, naderennbsp;en

2 2nbsp;X dz

gelijkmatig tot een limiet A ^ O en lt; oo,

A heet de angulaire afgeleide van w (z) in het punt
oneindig.

1. Uit § 2 volgt dat ^ ^ — en hieruit dat op
dx Xnbsp;^

iedere rechte y z= c, — monotoon daalt en dus tot een limiet A (c),
= O en lt; 00, nadert.

2. Zij A (0) = O, dus —O voor z-gt; 00. y =: 0.

X

— is ^ O voor z oo, u — Q dus
X dxnbsp;x! '

ook--0.

z

Hieruit volgt: = ^ -gt; O voor 2 -gt;• oo, y = 0.

Omdat nooit negatief is nadert ~ gelijkmatig tot nul als 2 -»■ oo,

angulair (zie opmerking 2).
d w

Daar

dz

jnbsp;,11 d w

/ n \ , naderen ook — en —r—
W-^)nbsp;X dz

tot nul als z-*- oo, angulair.

3. Zij nu A (0) = A gt; O, dus--X voor z-gt; oo, y = O en overal

X

op de reëele as — ^ A.

X

^ —, is er bij iedere e gt; O een X, zoodat voor
lt; A e, als y = 0.

Nu is w{x) — w (xq) ƒquot;^^ d X.

Xo

Kiesnbsp;X, dan is:

X

d w

tr(jro)

X—Xq

X

j:nbsp;x

waaruit blijkt dat cr bij iedere £ O een Xi is, zoodat voor x ^ JCi:

w{x)

lt;X 2e.

X

^ — ^ A voor iedere x, o = 0.

xnbsp;^

A voor z 00, y — Q.

Daar ook —l voor z -gt;■ 00, y = O, moet — O en dus

Xnbsp;X

tv w .

—=--/ voor 2 00, O =z 0.

z Xnbsp;^

Omdat ^ nooit negatief is, volgt: ^A gelijkmatig voorz-gt; 00,

angulair (zie opmerking 2).

Beschouw nu q) (z) = w (2) — A z.

Uit het bovenstaande volgt datnbsp;O, gelijkmatig

voorz-gt; 00,

angulair, dus ook^i^^ 0.

Hieruit volgt: — = X^^^^^^ A voor z -gt;■ 00, angulair en

znbsp;X

wegens het monotoon dalen van ^ op lijnen evenwijdig aan dc
reëclc as, is — ^ A in het geheele rechterhalfvlak.

X

qgt; (z) is dus een functie van de klasse, terwijl voor z -gt;■ 00,
Volgens 2 naderen dus —, ^^ en —gelijkmatig tot nul voor

Z Cl znbsp;z

Z-* 00, angulair, d.w.z. j, ^^ en ^ gelijkmatig tot A voor z-gt;^ 00,
angulair.

Opmerkingen:

1. ƒ. Wolff (Kon. Ak. van Wetensch., Vol. 33, p. 1185, 1930)

en C. Visser (Nieuw Archief. 2e reeks, dl. 17, p. 147, 1932) hebben
aangetoond dat de eisch: | arg ^ I y — ^ noodig is, door een

voorbeeld te construeeren waarbij ^ niet tot A nadert, als z over

een puntenrij, die buiten iedere hoek komt, tot oneindig nadert.

2. We hebben in het bovenstaande bewijs tweemaal de volgende
hulpstelling gebruikt:

Onderstelling:nbsp;nooit negatief in het rechterhalfvlak.

z

^^ ^ X(X^O) voor z -gt; oo,y = 0.
Bewering:nbsp;^g^W^fnatig voorz -gt; oo, | argz \ lt; y — e.

Bewijs:nbsp;We zullen hierbij gebruik maken van de volgende

stelling van Vitali, een uitbreiding van de stelling van Weierstrass:
Als in een gebied G een rij gelijkmatig begrensde holomorfe
functies gegeven is. die in een zich in het inwendige van G ver^
dichtende puntverzameling tot een limiet nadert, dan zal de functierij
in ieder punt van G tot een limiet naderen

en de grensfunctie is weer

holomorf in G.

In ieder gesloten deelgebied van G is de convergentie gelijkmatig.
We kunnen hierin „gelijkmatig begrensdquot; vervangen door: „er
is een continuum van waarden, die de functies niet aannemen (dus
b.v. dc negatieve reëele as), daar een transformatie tot het boven-
staande geval terugvoert.

Om nu onze hulpstelling te bewijzen beschouwen we in het ge-
bied Gq, begrensd door de cirkels: |z| = 1 en |z| = 2 en de rechten

arg z = ± — eV de functierij (z) = —welke in ieder

2quot;z

punt van de reëele as -»■ voor n oo.

Vn neemt nergens negatieve waarden aan.
Volgens de bovengenoemde stelling van Vitali geldt dus binnen
Gq : (z) i. voor n oo en is deze convergentie in Gg gelijk-
matig, waarmee onze bewering bewezen is.

HOOFDSTUK II.

CONFORMITEIT IN EEN RANDPUNT.
§ 4. Definitie.

Als w{z) een gebied G uit het z-vlak conform afbeeldt op een
gebied H van het tr-vlak, dan heet deze afbeelding conform in het

randpunt a van G als lim ^^^ ~ = = O en = = oo waarbii
z-^a ^ —«nbsp;'

angulair

z tot a mag naderen binnen iedere hoek met top a waarvan de
beenen het gebied G binnendringen.

Uit de conformiteit in a volgt de hoektrouw in a, d.w.z. de
beelden van twee krommen, die elkaar in a onder een hoek 0
snijden, snijden elkaar in w(a) onder dezelfde hoek 0.
Het omgekeerde geldt niet.

§ 5. Een deelgebied van het rcchtcrhalfvlak, dat een deugdelijk
deelgebied heeft, deugt.

We zeggen dat een gebied G, met het punt oneindig als be-
reikbaar randpunt, deugt, als de conforme afbeelding van het
rechterhalfvlak op G, waarbij de punten oneindig correspondeeren,
conform is op oneindig (in het randpunt oneindig).

Hulpstelling.

Onderstelling: w (z) = w (x iy) = ui v is holomorf voor
jr gt; O met ugt;0.

Er is een puntenrij z„-* O, n = 1.2..... waar-
voor Wfi = w (zj -gt;■ O, terwijl

Bewering: lim ^ ^^^

O z

angulair

Bewijs:nbsp;Zij z een punt van het rechterhalfvlak (x gt; 0),

z„ een punt van de gegeven rij en w^ = w (z„).

Zij verder: C„ de cirkelomtrek bepaald door:
t—z„

t-Z*

waarin z* en tv* de spiegelbeelden van z„ en w^ t.o.v. de im-
aginaire as zijn.

Volgens het contractietheorema van Schwarz ligt w binnen of
op voor iedere n.

Wegens —lt;M, n = l,2.....is de straal van D„lt;MXdie

van C„.
Voor

n 00 heeft C„ tot limietstand de cirkelomtrek C door z
die in O aan Or/ raakt.

Uit één en ander volgt dat w ligt binnen of op de cirkel-
omtrek D, die door vermenigvuldiging met M met centrum O
uit C ontstaat.

Unbsp;X

yS

of voor y = 0: ———dMx

dus a fortiori: ult;Mx of - lt;M.

X

In verband met §2, volgt hieruit:

— als functie van — te beschouwen uit § 3 kunnen besluiten
11/ 2f

dw

dat ^^ en tot dezelfde limiet naderen als z O binnen een

hoek: |argz|=^ — e, volgt uit het bovenstaande dat deze limiet
niet oneindig kan zijn — hetgeen we bewijzen wilden.

Stelling.

Onderstelling: G is deelgebied van H, dat deelgebied is van
het rechterhalfvlak van het w-vlak. Het punt O
is bereikbaar randpunt van G en H. Voor w (z),
die de eenheidscirkel |z|lt;i conform afbeeldt
op G. terwijl w(l) = 0, geldt:
w

Urn ,
z-gt; 1 1 — Z

angulair

Bewering: Voor ip (z), die de eenheidscirkel |z| lt; 7 con-
form afbeeldt op H, met %p(l) — 0. geldt:

O en =-.

lim ^

z-*- 1 1 — z

angulair

Bewijs:nbsp;Zij w (0) = rp (0) = a.

Zij een Greenschc functie van H en ^q een Greensche
functie van G, (a) = {a) — — oo.

^ff is nul op de omtrek van H en negatief binnen H, 0q even-
zoo op en binnen G. Op de omtrek van G is ^ O en dus
^G — ^H^ 0.

Daar 0q — harmonisch is binnen G, geldt hier: ^q'^ ^ff
Hieruit volgt dat als Zj (w) de inverse funtie van w is en z^ {tp) die
van V. dat | z^ (P) | ^ | Zj (P) |.

Zij P een punt van de reëele as van het w (en yj) vlak.
Bij iedere £gt;0 is er een A zoodat als OPlt;A:
arg j 1 - z^ (P)} lt;

alsnbsp;is:l-x,(P)gt;l |l-Xi(P)! en

^nbsp;^nbsp;1 — Xjinbsp;1 —Xj

dus begrensd, omdat de afbeelding van G conform is in het
randpunt 0.

Volgens de in deze paragraaf bewezen hulpstelling, volgt hieruit:

V(z)

lim ,

z-gt;- 1 1 —z

angulair

Daar uit afbeelding van de eenheidscirkel op het rechterhalfvlak,
wegens § 3, volgt dat deze limiet niet nul kan zijn, is onze be-
wering hiermee bewezen.

Opmerking: Als w (z) het rechterhalfvlak van het z-vlak conform

afbeeldt op een deelgebied van het rechterhalfvlak van het iv-vlak
en tv(oo) = 00, beeldt W= ^ als functie van Z=- ^ ^ | het in-
wendige van den eenheidscirkel \Z\lt;C.\ af op een gebied in het
WMak, terwijl M/(l):=iO.

A,

Als hm

z^.l-Z

angulairnbsp;angulair

waaruit: als een deelgebied G van het rechterhalfvlak een deelgebied
ƒƒ heeft met het punt oo als bereikbaar randpunt, terwijl de afbeelding
van H op het rechterhalfvlak conform is op oneindig, is dit ook
voor G het geval, m.a.w.: een deelgebied van het rechterhalfvlak
met een deugdelijk deelgebied, deugt.

§ 6. Een gebied, dat deelgebied is van een deugdelijk gebied
en een deugdelijk deelgebied heeft, deugt.

Hulpstelling.

Als een deugdelijk gebied G conform afgebeeld wordt op G*,
zoodat de punten oneindig correspondeeren en de afbeelding in
deze punten conform is, deugt G*.

Bewijs: Zij w (z) de functie, die het rechterhalfvlak van het z-vlak

conform op G afbeeldt, dan is lim — =

!-gt;■ 00 Z

angulair

angulair correspondeert met w angulair (omdat een afbeelding, die
in een randpunt conform is, daar ook hoektrouw is).

Zij V (u^) de functie, die G conform afbeeldt op G* met y){oo)z= oo

en volgens onderstelling: lim

= O en =

w

angulair

y^fwiz)} beeldt dan het rechterhalfvlak van het z-vlak conform
af op G*, terwijl: limnbsp;limnbsp;lim ^ =

z-gt;00 Znbsp;u.-gt;.ooU' z -f- CK z

angulairnbsp;angulairnbsp;angulair

dus de afbeelding conform op oneindig is.

Stelling.

Onderstelling: Het gebied G heeft een deugdelijk deelgebied G^
en is deelgebied van een deugdelijk gebied G3.

Bewering: G deugt.

Bewijs:nbsp;Beeld G^ conform af op het rechterhalfvlak, dan

wordt Gi afgebeeld op een deelgebied G* van het rechterhalf-
vlak, dat volgens bovenstaande hulpstelling deugt.

G wordt hierbij afgebeeld op het gebied G*, dat deelgebied is
van het rechterhalfvlak en het deugdelijke gebied G^* tot deelge-
bied heeft.

Volgens § 5 deugt G*. volgens de hulpstelling van deze para-
graaf ook G.

Opmerkingen:

1.nbsp;Uit bovenstaande stelling volgt dat een gebied, dat het rechter-
halfvlak bevat, deugt als het deelgebied is van een deugdelijk gebied.

2.nbsp;Omdat een halfvlak een deugdelijk gebied is, volgt uit onze
stelling de voldoende voorwaarde voor conformiteit op oneindig
van Caratheodory en Valiron. [3] en [5],:

Een gebied deugt als het deelgebied is van een halfvlak en een
halfvlak tot deelgebied heeft.

3.nbsp;5. Warschawski bewijst (Math.ZeitschriftBd.l07,p.321,1932):
een gebied deugt in O (d.w.z.: de afbeelding op het halfvlak, waarbij
de punten O correspondeeren, is conform in 0) als de grens ligt
tusschen die van twee andere gebieden, waarbij voor 't buitenste in

O tweedimensionaallim~ = = O en == 00 en voor het binnenste er

een rij punten 2„ -gt; O is waarop ^nbsp;^ begrensd is, als w(z)

en yj (z) de afbeeldingsfuncties van het rechterhalfvlak van het
z-vlak op de genoemde gebieden zijn.

Door het buitenste gebied op het rechterhalfvlak af te beelden
blijkt dat het binnenste gebied deugt en dat dit resultaat dus minder
ruim is dan het onze.

HOOFDSTUK III.

EENIGE VOORWAARDEN VOOR CONFORMITEIT OP
ONEINDIG VAN DE AFBEELDING VAN HET RECHTER-
HALFVLAK VAN HET Z-VLAK OP EEN DEELGEBIED
VAN DAT VAN HET W-VLAK.

§ 7. Ongelijkheid I cn II.

In deze paragraaf worden twee ongelijkheden afgeleid, waarvan
de eerste, op eenige beperkende voorwaarden na, identiek is aan
de eerste hoofdongelijkheid van L. Ahlfors [9], wiens bewijs hier
overgenomen wordt, terwijl de tweede met zijn tweede hoofd-
ongelijkheid correspondeert, maar door onze meerdere onderstel-
lingen eenvoudiger bewezen wordt.

Stelling.

Gegeven: In het w = /t i r-vlak een gebied H met grens A,
gelegen binnen dc strook |»' | ^ ^ , terwijl H voor /i ^ de reëele
as bevat.

Voor /X gt; flg definieeren we als 0 [ft) dat segment van de lijn
r{w) — fi dat tot h behoort en de reëele as snijdt, zie fig. 2.

We onderstellen dat A zoo gevormd is, dat 0 (/lt;) slechts ge-
isoleerde discontinuiteitspunten heeft. Dit beteekent dat A geïso-
leerde punten met discontinue raaklijn of raaklijn evenwijdig aan
dc imaginaire as moet hebben, wel mogen deelen van A zijn: lijn-
stukken loodrecht op de reëele as, mits de verzameling /i's waarbij
dit voorkomt geïsoleerd is. — Vergl. Ahlfors [9] blz. 6, 7.

O) (C) beelde de strook || ^ ^ v®quot; ^ — ^ nbsp;conform

af op het gebied h. waarbij co ( oo) = oo; ^ (co) tij hiervan
de inverse functie.

i^-vlak

Fig.i

Zij het beeld van het lijnstuk 0(f): = |/(C)| g
Y^ evenzoo van Q{n).nbsp;^

Hl (f) en H^ (f) zij minimale, resp. maximale H op y^, evenzoo (fi)
en fj {jx) de kleinste en grootste f op y

h (/quot;) — fi itA — s(fi) = schommeling van | op y .
^ (i) — Hl (f) = s{^) = schommeling van fx op ,
h en zij de lengte van y^, resp. y^.

Bewering: a) f, {/i,) — h ifh) ^ bj4 6,

iquot;2

gt; ^ /«O. als J-^^ gt; 2; ongelijkheid I CL. Ahlfors)

voor . _. _ _ . _

/«I

b) ais H voorde strook |v|^/i2./ilt;l,bevat:

voor fii (fi) ^ A«o* en fj — fj gt; 2 fc; ongelijkheid 11.

Bewijs: a) Z^^ ^ fe® s^ (/u), daar l^ ^ diagonaal van de recht-
hoek met zijden b en sifi).
dus: !ƒnbsp;

waaruit volgens de ongelijkheid van Schwarz:

0(m)

Deze ongelijkheid deelen we door 0 (/i) en integreeren van /-t^
tot /ij, waarbij zoo groot moet zijn dat 0 gt; O voor ^ /ij,

/^s

terwijl we verder onderstellen:nbsp;^ 2, waaraan b.v. voldaan

Ml

is als fi3 — gt; 2a.
We vinden:

fh

welke laatste schatting volgt uit het feit dat de dubbele
integraal een deel van het oppervlak tusschen ^ = {/n^),

f = (^i) en V = ±-2 voorstelt.

Hieruit volât:

Daar we onderstelden: ƒ ^ gt; 2, geldt voor de waarden en /i'^
waarvoor f = f1 •nbsp;^ //'

J J 0{fi) ^ •nbsp;.....(2)

/quot;i

Ih

Uit (1) volgt : [f,,) - (^J ^bj^^ h k . (3)

JU

waarin : . (.) = !ƒ ^ . , - s (.) en M.) = {ƒcf,-

We beweren nu dat h (ju) en fc (/i) niet in de geheele intervallen
(jJ-i, fi'i) resp. (a'g, fi^) kleiner dan — b zijn. Want uit h [fi) lt; — b

Stel nu anbsp;1 ƒ :iM ja^ ^^igt ongelijkheid:

dfi

of.nbsp;bdajfi)nbsp;i b i

Geldt dit

in het geheele interval (fi^, ju'j), dan is:

tegen het onder-
stelde in (2).

Dus is er in het interval (fi^, fi']) minstens één punt M^ met
h (Ml) ^ — b, evenzoo in het interval (^'o, fi^) minstens één punt
M^ met k (M,) ^ — b.

Daar M^ lt; fi\ lt; lt; M^ kunnen we in (3) en fi^ door
Ml en Ma vervangen en krijgen we omdat h (Mj) en k (Mg) ^ —

Mj
■df.

2 6.

Ml

Wegens /^i ^ Mi en ^ Mg is ook: fg (/^i) ^ (Mi) en
fl C«2) ^ fl (Mg) en dus stelhg:

Ml

Mlnbsp;/zi

-4 b, wegens (2), waarmee ongelijkheid I bewezen is.

t-vlaü

Opmerking: Daar amp;{fj.)lt;a kunnen
we schrijven:

fl (,quot;2) — f2 (/^i) ^ 7 — ^1) — 4 6

a

als //g — gt; 2 a.
Onderstel II (A's) = fs (/«,) = f.
dan geeft dit:

als ^2(f)-yui(f)gt;2a.

Hieruit: ^g (f) — fj.^ (f) ^ 4 a. hetwelk

dus altijd geldt, d.w.z. s (f) ^ 4 a.

Ra.

b) C H beeldt de strook | r |lt; af op een gebied K gelegen

in de strook |»7| lt; ^ en voldoende aan de onderstellingen omtrent

H, behalve misschien dat niet voor groot genoege ^ de reëele as
geheel binnen K ligt — zie fig. 2. blz. 26.

De rol, die de reëele as bij het definieeren van 0* zou moeten
spelen kunnen we echter overdragen aan het beeld van de reëele as
van het co-vlak en als 0* definieeren het segment van = S
dat geheel tot K behoort, de punten C (/^o*) en oo scheidt en
van links komende over de beeldkromme van de reëele as het
eerst bereikt wordt — vergl. L. Ahlfors [9] blz. 6, 7.

We mogen nu de eerste ongelijkheid toepassen, waarin f en //
van plaats verwisselen, b: ha en a: b wordt, dus:

/h* ih) - (fi) ^ y fe -ii) - 4 ha. als - gt; 2b en gt; (fi,*).
waarin (f) en /i/ de kleinste en grootste h op y^, tusschen
y = ±h^, zijn.

Echter: (f) ^(f) 5 (f)

/quot;2* (f) ^/quot;2 — 5 (I), waaruit, wegens h lt; 1, volgt:
f^i (f») - Hi (fi) ^ y fe - fi) - 4a - s (fi) - 5 (f,) ^

^ — fi) — 4 a — 8 a, volgens de opmerking
van bldz. 29, waarmee ongelijkheid II bewezen is.

Opmerkingen: 1. In de laatste ongelijkheid kunnen we ha ook
beschouwen als de minimumbreedte van het deel van H, dat de
reëele as bevat, tusschen y^ en y^ .

2. Volgens de opmerking van bldz. 29 is:

h (^2) — fs if^i) ^ 7 (-«s — /quot;i) — 4 fe als fis—/iigt;2a.

a

'-vlak

Volgens ongelijkheid 11 is:

fe) - (fi) gt; 2 a als /i (f, - f,) gt; H 6.

Uit bovenstaande figuur volgt dat als we in ongelijkheid I (^g)
vervangen door fg en fg door fj. we moeten vervangen
door (f 1) en door (fj), zoodat we krijgen:

lt;X

of:

Hè

f2 — gt; en voldoende groot is.

§ 8. Hulpstelling,

Onderstelling: w (z) = w (x iy) z^u i v beeldt het rechter-
halfvlak van het z-vlak conform af op een deelgebied G van het
rechterhalfvlak van het w-vlak, terwijl tf(oo)=: oo.

G heeft een zoodanige grens F
dat de functie © (r) = boog van
de cirkel met straal r. die tot G
behoort en bovendien de reëele as
— welke we voor u gt; Ug. geheel
in G onderstellen — snijdt, ge-
ïsoleerde discontinuiteitspunten
heeft.

G bevat voor | w | gt; cfe hoek
h n, /i lt;1. symmetrisch t.o.v. de
reëele as.

Bewering:nbsp;y) I n^f.

ig y

groot genoege y tusschen twee
positieve constanten.

Bewijs: Stel co = Ig u; en C = Ig z
dan beeldt co (C) de strook || ^ ^
conform af op een gebied gelegen
in de strook | v ( ^ ^, welke
vanaf /ig* = \g R de strook
h^ bevat.

Dan gelden volgens de ge-
wijzigde ongelijkheid I (opmerking
2, bladz. 31) en ongelijkheid II,

daar a = b = n, de volgende ongelijkheden:

{2)...nbsp;-nbsp;- - \2n als

en voldoende groot is.

Uit (1) volgt: ^ ^ 1 _

Is

Uit (2):

Stel fg = Ig y, dan zijn de eindpunten van y^^ — vergl. fig. 2,
bldz. 26 — de punten Ig ugt; ( yi) en Ig w (— yi) en volgt uit boven-
staande ongelijkheden dat ^^ ^ quot;Ig^ ^nbsp;voldoend groote y

tusschen twee positieve constanten ligt.

Daar we onderstelden dat ons gebied een hoek hn bevat, be-

teekent dit dat voor voldoend groote y. Alt;. ^^ ^nbsp;~ ^

waarin A en B positief zijn.

§ 9. Een noodige en voldoende voorwaarde voor conformiteit
op oneindig, bij eenige bijzondere onderstellingen.

Als w(z) het rechterhalfvlak

van het z — x iy vlak conform
afbeeldt op het gebied G van het w-vIak, is noodig en voldoende
voor conformiteit op oneindig de eindigheid van Ig A, d.w.z. het

tot een eindige limiet naderen van Ig — als 2 -gt; oo over de reëele as.

is arg ^ een geconjugeerde.

zoodat voor de boven aan Ig ^ gestelde eisch noodig en voldoende

00

• jnbsp;. f { ^iy) ^ {— y)) dy

IS de convergentie van / { arg —^ — arg _y gt; ^ •

Zie: P.Fatou, Acta Mathematica Bd. 30, 1906.

Daar arg y = ^ en arg (— y) = — ~ kan de laatste integraal ver-

oo

vangen worden door: j j tt — arg iw (y) arg w{—y)\

Voor een gebied dat symmetrisch is t.o.v. de reëele as, waarbij
dus arg w(y) = — arg w (— y), volgt hieruit als noodige en voldoende
voorwaarde voor conformiteit op oneindig: de convergentie van

ƒ ! I — arg (y)! Y'

Bij eenige bijzondere onderstellingen zullen we hieruit een noodige
en voldoende voorwaarde afleiden, die alleen afhangt van de grens
van het beeldgebied.

Onderstelling: w [z) — w {x iy)z=: u iv beeldt het rechterhalf-
vlak van het z-vlak af op een deelgebied G van
dat van het tv-vlak, iv(oo)= oo.
De grens F van G zij symmetrisch t.o.v. de reëele
as en op het deel van F boven deze as draaie de

raaklijn, voor e = arg w-* 0. continu linksom
tot verticaal.

Bewering: Noodig en voldoende voor de conformiteit op on-

Oo

eindig is de convergentie ^^^^ J^ dv, als hierin

(u, v) punten van F zijn.
Bewijs:nbsp;Uit het gegeven volgt:

Ie. G bevat vanaf | u; | = de hoek | arg w | ^ /r h lt;, 1,
zoodat er volgens §8 een Y^ is, zoodat voor {/gt; geldt:
^ ^nbsp;A en B positief zijn.

2e. Er is een Y^, zoodat voor ygt; Zj geldtnbsp;lt;0

dy

Er is dus een Fj gt; Yi en Y„ zoodat voor ygt;Yo aan deze
beide voorwaarden voldaan is.
Nu kunnen we de noodige en voldoende voorwaarde voor con-

OO

formiteit op oneindig: ƒnbsp;convergent, zoo veranderen dat

hierin alleen u en v voorkomen, waarbij dan {u. v) punten van
F zijn.

Voor YyYo is:

r

Ic: ƒ ^dy = e{Y)lgY-e{Yo)lgY,-l

F

lt;-^e{Y)lgv(Y)—^e(Y,)ïgv{Yo)-^l lgvdG(y)-\-

v(Y)

ï^0(Fo)lgt;(F„)-0(Fo)lgr„! = ^ ƒ 0Wconstante.

Ynbsp;Y

2eƒ^dygt;l0(F)lgt,(r)-i0(F„)lg.(^o)-iƒlg.rf0(y)

nnbsp;Yo

1^0(Fo)lg.(Fo)-0(F„) Ig Foi=:

= -pr I amp; M -— -h constante.
BJ ^ ' V

Hieruit volgt dat de convergentie van / 0 {v) —noodig en vol-
doende is voor de conformiteit op oneindig

van de beschouwde

afbeelding.

Daar 0 (t^) = bg tg ^ oo ^ kunnen we deze voorwaarde nog
00

vervangen door: J^ d v, waarmee we onze bewering bewezen
hebben.

Opmerking: Het bovenstaande bewijs is gedeeltelijk gelijk aan
dat van ƒ. Wolff [7] en B. F. Wever [8].

§ 10. Eenige voldoende voorwaarden voor conformiteit op
oneindig.

Criterium A.

Voor een deelgebied van het rechterhalfvlak van het w~vlak,
waarvan het punt 00 bereikbaar randpunt is, is voldoende voor
de conformiteit op oneindig van de conforme afbeelding op het
rechterhalfvlak van het z-vlak, waarbij de punten oo correspon-
deeren, dat er op de positieve imaginaire as een rij punten v^
met I Ul I lt; 1I lt; . . ; lt; 1|lt; ... te vinden is, zoodat

^ max e (w) en Z max 6 (w) Ig

knl^kl^kn llnbsp;knl^kl^kn ll

convergeeren, waarin: ©(w) = ^ — argw, als arg tv gt; O

= ^ arg w, als arg w lt;i O
en de punten w op de grens van het gebied liggen.

Door \v„\ = kquot; te stellen, volgt hieruit de voldoende voorwaarde
van L. Ahlfors [9]. blz. 36, bij beperking tot deelgebieden van

het rechterhalfvlak, daar Ig--constant is, {k gt; 1).

kquot;

Bewijs: We zullen weer gebruik maken van de stelling van § 5,
dat een gebied met een deugdelijk deelgebied, deugt, en zullen
daartoe bewijzen dat een t.o.v. de reëele as symmetrisch gebied
in het rechterhalfvlak van het iv-vlak, waarbij op de grens 0 {w),
van I I tot I w„J, gelijk is aan 0„ en | J = | „ J, zie flg. 6,

■ «'(n l).

terwijl i: en i: 0„ Ig

OO

Dit hulpgebied deugt als:Je(y)^ convergeert — zie bldz. 33.
Zij y (w„) — enz.

«nbsp;yquot;»nbsp;f(quot; l)i

J 0(y)f J e{y)^ 2nje(y)^, want alle 0 (y) zijn

Un,nbsp;J/„.nbsp;positief.

z-vlak

y

t-vlak

li_^n, ^fZj ^(n^

W

Fu

Volgens opmerking 1 van bldz. 30 en ongelijkheid II is:
(fnj -nbsp;^ K (fn, - fn,) - ^ n. als - gt; 2n,

waarin h^n — breedte van het beeldgebied tusschen «„^ en co„
en = Rnbsp;= Ig i y^^, enz.

Dus Ig I J - Ig I | ^ h^ (Ig _ Ig )-\2n. mits Ig ^gt; 2^

yn\

(omdat het hulpgebied symmetrisch is t.o.v. de reëele as mogen
we enz. positief onderstellen).
Uit de laatste ongelijkheid volgt:

12 TT

hetgeen altijd geldt, want als

quot;n

Ig lt;; 2 Jt. dan zeker lt; 2e lid van deze ongelijkheid {h^C 1).

ril

Evenzoo geldt altijd: ,.__ /

i/nj kleinste van hnen /z„ j

lt; 24 JT als n gt; N, daar we mogen onderstellen dat voor n gt; N:
h„gt; quot;2 , wegens de convergentie van 0„ is er immers een N,

zoodat voor n gt; N: 0„lt;|, dus =

0.

W.

quot;1

-f 24 TT 0„, voor n gt; N.

y(n \).

^ » T

r/„nbsp;voor ny N.

Hieruit ziet men dat uit de convergentie van 2quot; en 2quot; 0„ Ig

00

ƒ,

0 {y) volgt en dus het deugen van het hulpgebied.

(quot; lh

Opmerkingen: 1. Het criterium vanL. Ahlfors: max 0 {w) con-

vergent, kunnen we wegens 0 = bg tg ^ co ^ en | iv | üo y, als we nog
de grootste van u (v) en u (— v) : (p (v) noemen, veranderen in:

max convergent.

2.nbsp;We kunnen nu de volgende voorwaarde bewijzen, die naast
§ 9 voor de hand ligt,:

Criterium B.

Voldoende voor conformiteit op oneindig is de convergentie van

Oo

ƒ{ max i — ^ waarin qgt; (q) de onder 1 genoemde beteekenis
^ quot;nbsp;heeft.

Bewijs:

r. cp (q) , dv ^ f. (p (q) .dv ^ „nbsp;V {v), , ^

/ max } — = \ max \nbsp;max ^^ Ig A: gt;

kquot;

^ Ig ^nbsp;max

zoodat als aan onze onderstelling voldaan is. ook aan het criterium
van L. Ahlfors voldaan is, en het betreffende gebied dus deugt.

In § 15 zullen we laten zien, dat het criterium B minder ruim
is dan dat van L. Ahlfors.

3.nbsp;Het resultaat van G. Valiron in Buil. des Sc. Mathem. 56,
p. 208, 1932, is een onmiddellijk gevolg van criterium B, want
het door hem ingevoerde hulpgebied, met grens u = | v |/j (| ^

waarin h (f) positief is, niet groeit en tot nul nadert als t tot on-

00

eindig nadert, terwijl f ^^ dt convergeert, voldoet aan onze voor-

waarde.

§ 11. Het criterium van C. Visser [10].

Onderstelling: w (z) = w [x iy) = u i v beeldt het rechter-
halfvlak van het z-vlak af op een deelgebied G
van het rechterhalfvlak van het w-vlak, dat alle
punten van de reëele as waarvoor ugt; Ug bevat,
terwijl w{oo)= oo.

/J- (u) zij het maximum van

van het gebied doorloopt.
Voldoende voor conformiteit op oneindig is de

oo

convergentie van

als w de grens

u

Bewijs: Zij ZQ = Xa iyg een punt binnen D(xgt;0) en

Ugt;g = Ug-\-iVg = W (Zo).

We stellen Z =nbsp;cn W—nbsp;—

Zo en ^0 de spiegelbeelden van Zo en Wg tegen de imaginaire as zijn.

op een inwendig gebied H, terwijl

W (0) = 0. —is dus holomorf binnen | Z| = 1 en wordt nooit nul,

dus kan geen minimale waarde aannemen in een inwendig punt van
W (Z) ^

é Q. waarin q de kortste afstand van O tot

\Z\z=l, of

Z

de grens van H is.

is van

z-gt;Zo laat uit de laatste ongelijkheid volgen:

k'(zo)l^eK).

XQ

We beschouwen nu de inverse functie z = z{w) = z(u) op de
reëele as.

du - Q(uynbsp;bovenstaande ongelijkheid, daar

Zfl een willekeurig punt was.

Dus voor O lt; Ufl lt; quot;i gddt:

z{u,)

zM

zM

z(Ul)nbsp;2 (ill)

Jl /l?

= ez{a,) ^ezK) 'g

quot;1

^ eti»

Ui

ƒ l/^w-M^

e u„

oo

Als J {(u) — 1 ! convergent is, is het quotiënt begrensd

en de afbeelding dus conform in het randpunt oneindig, daar we
in § 3 bewezen, dat voor de functies w (z), die holomorf zijn in het

rechterhalfvlak en een positief reëel deel hebben, tot een limiet
A ^ O en lt; 00 nadert, terwijl nu ook de limiet O uitgeschakeld is.

§ 12. Het criterium van J. G. van der Corput [11].

Onderstelling: w (z) = w (x i y) = ui v beeldt het rechter-
halfvlak van het z-vlak af op een gebied G in
het rechterhalfvlak van het w-vlak. dat vanaf
Uq de reëele as bevat, terwijl w(oo)= oo.

(p (v) zij de grootste van u (v) en u (—
waarbij { u (v), v\ en { u (— p), — i; j randpunten
van G zijn.

Bewering: Voldoende voor conformiteit op oneindig is de

{ max(p (q) i waarin met
J q^vnbsp;quot;

max lt;p(q) de bovenste grens van (p (q) in het

q-^v

segment O ^q ^ v bedoeld wordt.
Bewijs: We zullen de voldoendheid van deze voorwaarde be-

convergentie van

wijzen door aan te toonen dat als hieraan voldaan is. ook voldaan
is aan het criterium van Visser (§11).

Voor iedere W= U iV en iedere niet met U^ samenvallende
positieve u geldt:

1

^\_i{u—uf Vquot;
4 U

-M{u—Uf VKnbsp;1/2...........(!)•

Stel Q {v) = max lt;p {q), dan is Ü (t;) eennbsp;monotoon niet-dalende

q^v

00

functie, terwijl volgens onderstelling Jnbsp;convergeert.

Voor t;gt;Ois dus:

waaruit volgt dat voor v gt; Vg-. Q (v) ^ ^v.......(2).

Voor ieder randpunt UiV van G is : U ^ lt;p {V). bij voldoend

groote u is volgens (2) : U ^ q, (V) ^ Ü (u) ^ ^ u voor V ^ u.

Uit (1) volgt nu dat voor alle randpunten LI i V^van G:
' u W

— 1

u—W

/

en bovendien voor voldoend groote u:

__4y(V) _ 8 i? (u)

max

-- —--

V^u Uti — iix)quot;- Yu'

zoodat dus voor de in de vorige paragraaf gedefinieerde fx (u),
bij voldoend groote u, geldt:

u—W

IjMu)-11^8^ 4 max ^

Voor , ë , g ,nbsp;S ^ = 2 („ ƒ ^ gnbsp;S

t

00

d«s:nbsp;max ^nbsp;du,

q^t ~ J

t

00 00

waaruit volgt: ƒ { nmx \dt^2j dtnbsp;du =

1 1 t

Unbsp;00

=nbsp;2/^ ......H).

1 1 1

00

Uit de convergentie van J du, volgt, wegens (3) en (4),

00

de convergentie van J {(u) — 1 } waarmee we onze bewering
bewezen hebben.

Opmerking: Naar aanleiding van het bovenstaande en van § 9
ligt de vraag voor dc hand of voor een t.o.v. de reëele as symmetrisch

00

gebied de convergentie van dv niet altijd noodig en voldoende

voor conformiteit op oneindig zou zijn (waarbij u -{- iv de rand-
punten van het gebied zijn).

Uit een eenvoudig voorbeeld blijkt dit vermoeden echter onjuist
te zijn. Neem n.1. als beeldgebied het rechterhalfvlak van het tv-vlak
verminderd met loodlijnen op de imaginaire as in de punten i n^

00

met lengte n®, dan isj' -pdv = 0 maar het gebied kan niet deugen
want het bevat slechts hoeken

Door dc naalden te vervangen door gelijkbeenige driehoeken
met basis eén, {i (n' - Vg), i {n' V2)!. en hoogte n' krijgen we een
voorbeeld waarbij u een eenwaardige functie van v is en
fu (v) ,

J ay 00 2, — convergeert, terwijl het gebied niet deugt.

§ 13. Dc criteria van Visser (§ 11) en van Van der Corput
(§ 12) zijn aequivalent.

In de vorige paragraaf is bewezen: Als aan de voorwaarde van
Van der Corput voldaan is, is ook aan die van Visser voldaan.
We zullen nu het omgekeerde bewijzen.

Onderstelling: Omtrent afbeelding, enz. als in beide vorige
paragrafen.

00

[fJ-iu) — n ~ convergeert.

00

{ max(p(q) } ^ convergeert.

Op G ligt minstens eén der punten \lt;p(V),V\

u-\-W

en {lt;p(V'), —V!,zoodat-|^{u)—1 |z=max-f

unbsp;u

1_
u

Uit de vergl. (1) van bldz. 42 volgt:

Voor V^uenu voldoend groot volgt hieruit, wegens vergl. (2)
van blz. 42: - j(u) - 1 } ^ ^ ^max (V). waarmede onze bc-
wering bewezen is.nbsp;~

§ 14. Dc criteria van L. Ahlfors (§ 10) cn Van der Corput (§11)
zijn aequivalent voor deelgebieden van het rechterhalfvlak.

Onderstelling: w(z) — w(x-\-iy) — u-\-iv beeldt het rechterhalf-
vlak van het z-vlak af op een gebied G in het
rechterhalfvlak van het w-vlak, terwijl w(cio) = oo.

(p (v) zij de grootste van u (v) en u (— v),
waarin \u(v).v\ en \u(—v), — v\ randpunten
van G zijn.

oo

Bewering; Het criterium van Van der Corput: / | maxtp (q)} ~

J q^v ^^

convergent, is aequivalent met dat van L. Ahlfors:

Vnbsp;V (v)

max - convergent.

max (p {v)

Bewijs:nbsp;^ . . . (i)

max (p (v)

^ax ^ . . . (2).

Hieruit volgt:

00

,/1

le.f\max(p(q)\^=2:„j\inax(p{q)\^'^i:„\maxlt;p(q)\
J O.vnbsp;J O.v quot; o.kquot;

kquot;

max 95 (q)

quot;^Kr^^nnbsp;volgens opmerking (1).

K p-l.fcquot; ^

2e. f \max(p{q)A=2n f j max (q) j ^^ ^ | max (q) j
J O,V ^ J O.v quot; O.P 1

kquot;

Nu is:

max^ (q) ^ max lt;p (q) max (q) . . . max lt;p (q) max lt;p (q).
Dus:

max lt;p iq) max lt;p (q) max lt;p (q)nbsp;max (q) max m (q)

max^ max^nbsp;max ^^^

- • . nbsp; max

volgens opmerking (2) van bldz. 45.

oo

Hieruit volgt: / { max99(q)} ^ ^

J O.v ^

■nbsp;fcn-1 • • • max

Lo.A: 1nbsp;Q kquot;'nbsp;^

maxnbsp;. . .1

knj^n l lt;7 A™

daar alle (p (q) positief zijn.

Uit Ie volgt: als aan 't criterium van Van der Corpufvoldaan
is, is aan dat van L. Ahlfors voldaan; uit 2e het omgekeerde,
dus de aequivalentie van beide criteria.

§ 15. Dc voorwaarde van Caratheodory-Valiron (§ 6) cn het
criterium B (§ 10) zijn minder ruim dan de laatste drie acqui-
valentc voorwaarden.

Onderstelling-, w (zj — w (x i y)-=ui v beeldt het rechter-
halfvlak van het z-vlak conform af op een ge-
bied in het rechterhalfvlak van het w-vlak„ terwijl

W (lt;X))= co.

Bewering-. Ie. Als het beeldgebied G een halfvlak bevat

00

convergeert f {maxqff(q)\ ^

J O.v

oo

2e. Er is een gebied, waarvoor / \max(p(q)\ —

J 0,v

convergeert en dat geen halfvlak bevat.

00

3e. Er is een gebied waarvoor f \max(p(q)] ~

J O.v ^^

oo

convergeert en f { max ^^ { — divergeert.
J V, 00 9 quot;

Door Ie en 2e zal bewezen worden, dat het criterium van Van
der Corput ruimer is dan dat van Caratheodory-Valiron, door
3e dat de voorwaarde van L. Ahlfors (=die van Van der Corput)
ruimer is dan het criterium B, dat er uit volgt (vergl. blz. 39).

Bewijs-.nbsp;Ie. Stel G bevat het halfvlak u ^ a, dan is voor

alle randpunten van G 99 (y) lt; a, dus:

I { max lt;p(q)! ^ lt; a welke convergeert.
' O,Vnbsp;J ^

2e. Als voor de randpunten van G-. lt;p{v) = , waarin O lt; £ lt; 1,

00nbsp;00

convergeert ƒ j max. lt;p(q){-^= fnbsp;en het gebied G bevat

J O,Vnbsp;J

geen halfvlak.

3e. Beschouw een gebied, symmetrisch t.o.v. de reëele as, bestaande
uit het rechterhalfvlak verminderd met de strepen
{iv„, u„-\-ivn), (—iv„. u„ — :t;„). n = 1, 2, . . .

Stelnbsp;en =

Dan is, omdat u„ groeit:

1

f \maxqgt;{q)} ^
J 0,vnbsp;quot;

n!

1 —

n(lgnfnbsp;(n l)!jnbsp;n(lgn)^ quot;

1

n(lgn)

En omdat iln daalt, is:
v„

oo

J V,co Hnbsp;V

HOOFDSTUK IV.

EENIGE VOORWAARDEN VOOR CONFORMITEIT OP
ONEINDIG BIJ AFBEELDING VAN HET RECHTERHALF-
VLAK VAN HET Z-VLAK. ZONDER BEPERKING VAN
HET BEELDGEBIED BINNEN DAT VAN HET M^-VLAK.

§ 16. Een voldoende voorwaarde.

Een gebied G deugt als er een rij punten met
I f 11lt;ka |lt;• • • lt;Ifn K• • • vinden is, zoodat

max amp;*(w) en

knl^lu'l^k l I

dr

en bovendien j \b(r) — n\ — convergeert.
Hierin is w een grenspunt van G en:

0* iw) =Q{w)= ^ — arg w, als arg w positief is. , ^ , ,
2nbsp;I als 0 [w)

= arg u;. als arg u; negatief is.

= 0. als 0 (w) negatief is.
Uit de convergentie van de eerstgenoemde reeks volgt dat er
een R is. zoodat G de positieve reëele as voor u gt; bevat.

b (r) = de boog van | ti; | == r gt; die geheel tot G behoort en
de positieve reëele as snijdt — vergl. met 0 (r) in flg. 5 (bldz. 32).
zie ook fig. 7 (bldz. 53).

Als we \v^\=kquot; kiezen is dit het volledige criterium van
L. Ahlfors, [9]. van wie we het onderstaande bewijs overnemen.
We bewijzen eerst de hulpstelling-.

Als G een gebied van het w-vlak is, dat een deugdelijk gebied

H bevat, emp(w) G conform afbeeldt op het rechterhalfvlak van
het tp-vlak, terwijl ygt;(oo)—Qo, dan is: Hmnbsp;lt; oo.

w

angalair

Bewijs: w^{z) bedde het rechterhalfvlak van het z-vlak conform
af op H. dan is lim ^^ == O en =

= Oo.

angulair

W {(z)} is een holomorfe functie van z, voor x'^ O, met een
positief reëel deel, zoodat hm ^ ^^^ ^ = ju lt;00 (volgens § 3).

z

angulaic

z^if Jnbsp;^ ~ Ï; lt;nbsp;conformiteit

angulair

op oneindig van de afbeelding van het rechterhalfvlak van het
z-vlak op H de hoektrouw volgt, is : lim ^^ lt; 00.

w

angulair

Nu kunnen we onze stelhng als volgt bewijzen:
Uit § 6 volgt, dat een verandering van de grens van een gebied
in het eindige geen invloed heeft op de conformiteit op oneindig.

00

.dr

Uit de convergentie van j { fe (r) — ^ | ^ volgt dat er een
b (ro) lt;2 nis.

We beschouwen nu naast G het gebied G*. waarvan de grens
uit die van G ontstaat door hiervan het deel, dat tusschen de eind-
punten A en B van b{rg) ligt, door de segmenten AO en OB te
vervangen.

Als G deugt, deugt G* en omgekeerd, terwijl de grens van G*
voldoet aan de voorwaarden, die we in het begin van deze paragraaf
voor die van G stelden.

w (z) beelde het rechterhalfvlak van het z-vlak af op G*. terwijl

w{cc)= 00.

A\sv,eco = lgw.C=lg2.w = ju-\-iv,C=i ii] stellen, beeldt
« iO de strook h I ^ y af op een gebied, dat ligt in de strook
I v I ^ 2 en de reëele as bevat.

Volgens ongelijkheid I (§ 7, bldz. 27) is dus:

/quot;2

— Aji, als Hi gt; Hl eni

_ e{H) -------- -- - -j e{H)

waarin de verschillende letters dezelfde beteekenis hebben als in § 7.

Hlnbsp;Mlnbsp;Ml

/«2

^H2 —Ml ——dn.
Ml

Mi

Dusnbsp;{0(M)-^\dH-Hi-1n (h^).

Ml

00

Wegens het convergent onderstellen van J{ 6 (r) — tt | — ,

waarin b(r) — © (Ig r), volgt hieruit dat Ij (/i„) — Hquot;, voor h« vol-

z(tv)

doend groot, boven een eindige grens ligt, d.w.z.

de cirkelbogen b (r) grooter dan een positief getal.
Uit de convergentie van

blijft op

^n l

max 0* (w) ennbsp;^ax 0* {w) Ig

I yn I ^ I If I ^ kn 1 I I fn I ^ I I ^ I r

volgt dat G* een gebied bevat, dat deelgebied is van het rechter-
halfvlak en volgens § 10 deugt. Wegens de boven bewezen hulp-

, , z (w) .
stelling is dus: hm — lt; oo .

angulair

Hiermee is bewezen: lim

O' Ugt;
angulair

forme afbeelding van het rechterhalfvlak op G*. waarbij de punten
oneindig correspondeeren, is conform op oneindig.

§ 17. Over mogelijke veranderingen van dc criteria, die in
dc §§ 10 cn 12 bewezen werden.

1. Als het beeldgebied G een halfvlak bevat, liggen de volgende
veranderingen voor de hand:

a. Het criterium A (§ 10. bldz. 36) in
G deugt als er een puntenrij v„ met I t^i |lt; | t^g |lt; ... lt; | t; |lt; ...
te vinden is, zoodat

^n max e (w) en lin max 0 (iv) Ig

waarin w een randpunt van G is en

= y —argugt;. als arg ly gt; O

TT

— y arg w, als arg iw lt; 0.

fc. Het criterium B (§10. bldz. 39) in:

00

G deugt a/5 ƒ J ma^x }nbsp;^ ^^

is van u (q) en u (- q), als { u (q). q f en ( u (-q), - q j randpunten
van G zijn.

c. Het criterium van Van der Corput (§12. bldz. 41) in:

00

G deugt als / j maxnbsp;convergeert, waarin y) (q) de boven-

J 0,vnbsp;^

genoemde beteekenis heeft.

Uit de §§ 14 en 15 volgt dat als eraan de voorwaarden 6 en c
voldaan is. er een puntenrij (nl. 1| = A:quot;) is. waarvoor de onder
a genoemde reeksen convergeeren.

oo

We zullen laten zien dat dan ookj \b {r) — n convergeert.

waaruit wegens de vorige paragraaf het deugen van G volgt en
waarmee dan de drie bovenstaande criteria bewezen zijn.

oonbsp;I t'n 1 I

convergeeren.

^ — ^n 2 max 0 {w) Ig

2. Dat de voorwaarde uit § 16 ruimer is dan de drie boven-
staande volgt uit het volgende voorbeeld (vergl. Caratheodory, [3]
bldz. 16 en J.H. Wansink, [12] bldz. 82).

w. vlak

Zij G het gebied bestaande uit het rechterhalfvlak van het
W'v\ak vermeerderd met een verzameling oneindig lange horizontale
strooken uit het linkerhalfvlak, die aan het rechterhalfvlak aansluiten
in de intervallenverzameling (a„, b„) en (— a„, — b„), terwijl

°° b

I gt; I a„ I 00 voor n -»• oo en Ig convergeert, zie fig. 7.

Als we \ = a„ b„\ kiezen is max 0* (w) = O, en

w

I ^n '

ö(r) — Jr — 2 \ —=.nl\n
^ ij'quot; 1

aan geen van de bovengenoemde criteria voldaan is.

3. De grens van een willekeurig gebied G kunnen we insluiten
tusschen die van twee hulpgebieden met grenspunten ([/j, V^)
resp. (U^, Vg), waarbij Vj = Vo = f, = u als u gt; O en = O als
u O en LI2 — U als u lt; O en = O als tz gt; O, waarin (u, v) de grens-
punten van G zijn.

Op deze hulpgebieden, die dus óf deelgebied van het rechter-
halfvlak zijn of dit tot deelgebied hebben, zijn dan de criteria van
de §§ 10 en 12 of de bovenstaande toe te passen.

Uit 2 volgt dat deze voorwaarden nooit scherper zijn dan die
uit § 16.

Opmerking:

Bessonof en Laurentieff bewijzen (Buil. de la Soc. Math. de
France, t. 58, p. 175, 1931) dat een gebied G, waarbij voor de
grenspunten (u, y) met | y | gt; V geldtnbsp;1^egt;0, deugt.

Voor het gebied G, met grensnbsp;is:

wiq) s dv f u , ,,
max —— = dv, welke convergeert

voor het gebied Gg met grens —u = |igt;|' ® is

00nbsp;00

f{ maxnbsp;j ^ = /quot;ii Jj,^ welke eveneens convergeert.

J V. 00 Hnbsp;- ^ -

Volgens criterium B deugt Gj, volgens de voorwaarde die we
onder \b noemden eveneens Gj; zoodat, wegens § 6, G deugt,
waarmee het bovenstaande resultaat bewezen is.

STELLINGEN.

I.

Als w (z) het rechterhalfvlak van het z-vlak conform afbeeldt
op een gebied G, dat deelgebied is van dat van het w-vlak. terwijl
de grens F van G één snijpunt heeft met iedere rechte evenwijdig

aan de reëele as en op den duur buiten de hoek |argu;|=^

komt. dan is arg ^ begrensd in G. ook als lim ^ = 0.

aznbsp;z-gt;- 0= z

angulair

Als deze limiet grooter is dan nul is de bovenstaande bewering
bewezen doot J. Wolff. K.A.v.W.. Vol. 33. bldz. 1024. 1930.

II.

Met behulp van bovenstaande uitbreiding is een tweede bewijs
te geven van dc noodige en voldoende voorwaarde voor con-
formiteit op oneindig in §9 (bldz. 33) van het voorgaande proefschrift.

III.

Uit de §§10 en 14 van dit proefschrift volgt:

oonbsp;00

f

Een direct bewijs hiervan is opgesloten in stelling V van
ƒ G van der Corput, ..Einige Ungleichungen bei bestimmten In-
tegralenquot;. K. A. V. W.. Vol. 35. bldz. 335. 1932.

IV.

Ten onrechte meent Osgood in ..Lehrbuch der Funktionen-
theoriequot; I. bldz. 660. uit de waarden van een harmonische functie
op een cirkel de coëfficiënten van dc reeksontwikkeling dezer functie
binnen een cirkclring te kunnen afleiden.

Analytisch is eenvoudig te bewijzen:

De determinant, die ontstaat door in een orthogonale determinant
met de waarde — 1 de termen van de hoofddiagonaal met 1 te
vermeerderen, heeft de waarde O en een rang, die een oneven
getal met de graad verschilt.

Vergl.: G.Schaake, K. A. v. W., Vol. 35. bldz. 501, 1932.

VI.

Het bewijs van L. Scheeffer voor zijn Theorema V in ..Allge-
meine Untersuchungen über Rectification der Curvenquot;, Acta Ma-
thematica Bd. 5, bldz. 66. 1884, is onvolledig.

VII.

Bij de viervlakken met twee paar overstaande ribben gelijk aan
a, terwijl van het laatste paar de ééne ribbe gelijk is aan ka, de

ander aan xa, is er bij iedere k één x —=k, zoodat de zwaarte-
punten van ..draadfiguurquot; en „kartonfiguurquot; van dit viervlak
samenvallen.

Vergl: F. Schuh, Christiaan Huygens. jrgng. 9, bldz. 6 en 102,
1930-'31.

VIII.

Door de experimenten van Becker, Kipphan, Nacken en Weidner
is niet bewezen dat de Bunsen-Roscoesche reciprociteitswet voor
de zwarting van de fotografische plaat door kathodestralen geldt.

A. Becker en E. Kipphan, Annalen der Physik, [5], bd. 10,
bldz. 15, 1931; M. J. Nacken, Physik. Zeitschrift, bd. 31, bldz. 296,
1930: V. Weidner, Annalen der Physik, [5], bd. 12, bldz. 239, 1932.

IX.

De definitie van „waarschijnlijkheidquot; door E. Kamke is on-
bruikbaar.

E.Kamke, „Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheoriequot;, bldz. 2.

■'.-i^- ■ -I ■

'li

1.11^

vi:-.
-

'ynbsp;, ij

It.-.'j'-Vjy,-.-^