DE INTEGRAAL VAN STIELTJES

EN ZIJN
FUNCTIETHEORETISCHE
TOEPASSING

' -h'

,......... .. .

i'

■. -.1.

m:

BîJSSîl,.-.

1

'M

k

.. ... ■ ■ ■ -----

^ ..... ' : ' .yWß^

. • ;nbsp;te snbsp;.

^-mmâm^--

'Iura

' h'V.

De Integraal van Stieltjes

N

en zijn

Functietheoretische Toepassing

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE
UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAG-
NIFICUS Dr C. G. N. DE VOOYS. HOOGLEERAAR
IN DE FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJS-
BEGEERTE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN SE-
NAAT DER UNIVERSITEIT TE VERDEDIGEN
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT
DER WIS- EN NATUURKUNDE OP MAANDAG
28 NOVEMBER 1932, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

DOOR

FRANS DE KOK

gedoren te utrecht

BIBLIOTHEEK DER
f^lJKSUNIVERSITEIT
U T n E C .H T.

I i.ifV. , 1

kk f¹.

k \
iLquot;-'

V -iV:

1nbsp; . , ri

I; .-'.: .

• V. Ù

' gt;

■nbsp;M

•■■•rvN'

» , «v.
. ■ i

■nbsp;'a

«ti-ï -' '''IfK-T-•'■«. '.■s' .nbsp;. i-.j' -v.-..-' ' . quot;r'nbsp;'nbsp;'-i.V■! ' . ■ -.v

■7' ■ r

a*/?'.. V •

■ » i'

m ^

„nbsp;■ /J

w

Aan het eind van mijn academische studie gekomen zij het mij
vergund, mijn welgemeende dank te brengen aan U, Hoogleeraren
in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde, die tot mijn academische
vorming hebben bijgedragen.

Deze dank geldt in het bijzonder U, Hooggeleerde Wolff,
Hooggeachte Promotor, zoowel voor Uw belangwekkende colleges
als voor de eminente steun die ik bij de samenstelling van dit
proefschrift van U mocht ondervinden.

Ook U, Hooggeleerde Emeritus De Vries en Hooggeleerde
Barrau, zal ik steeds zeer erkentelijk blijven voor de leiding
bij mijn studie van de Geometrie.

Tenslotte ben ik ook U, Hooggeleerde Kramers, Ornstein en
Nijland dank verschuldigd voor het vele dat ik van U heb mogen
leeren.

MV'.'' quot;. Ä ■ .■ . ' 1, -i'y-i'i ■ ' ■nbsp;^

vi'.. ■ : i:, - gt;*;

INHOUD

Bladz.

Hoofdstuk I - De Integraal van Stieltjes................1

Hoofdstuk II - Functietheoretische Toepassingen ....nbsp;15

A - Toepassing op een klasse van holomorfe functies.nbsp;15

B - Toepassing op reeksen van rationale functies ...nbsp;22

C - Randvoorstelling van een functie holomorf in het

rechterhalfvlak en waarvan het reëele deel positief is.nbsp;34

D - Toepassing op Fourier-Reeksen.........42

i .

M

; '- ' V - -

„ ■ - viquot;, ■■''iii- ■

• / V

:

/.V'. ■■ v'-' ' ..

'V

; .-i

'...

' i.-t
..I

/ - ■■ :

... -Mr

■ ■ . ■ .Vquot;,-

.. .

/

m

iff ■■ *

IV

ii . r

HOOFDSTUK I

DE INTEGRAAL VAN STIELTJES

Definitie: Gegeven twee functies f {x) en (p{x), begrensd
voor a^x^b, a lt;b. Beschouw een willekeurige verdeeling van
het vak (a, b):

a = Xolt;Xilt;----lt; Xk-i lt;Xklt;----lt;nbsp;lt;Xn = b (1)

en zijnbsp;Xk—i = h = Xk, k=\,2,----- n.nbsp;(2)

Stel

n

Is er nu een getal S zoodanig dat hij iedere tgt; O eenbgt; O bestaat
zoodai bij iedere verdeeling {!) van {a, b), waarvoor het maximum
subinterval lt; d is en onafhankelijk van de ligging der

h[k=-l,2......n).

in de subintervallen geldt:

I S„ — S I lt; e.

dan is S bij definitie de Stieltjes-inUgraal van f {x) naar q){x).

Önbsp;O

Notatie: S=^jf{x} d(p{x) of ƒ fd(p.

a

b

Stelling I: Gegeven: ƒ fd(p bestaat.

a

b h b
Bewering: ƒ qdf bestaat en j fdip-{-j lt;pdf = f (6) lt;p {b)—f{a) lt;p (a).

Bewijs:

Beschouw een verdeeling van het vak [a, h) waarbij (1) en (2)
gelden. Nu is:

n

k=l

» 1

= - / (^^-i) {lt;P m — 9 ih-i) \ f{b)lt;p{b)-f {a) lt;p (a),

A!=1

als = a en = b genomen wordt.

Zij £ gt; 0. Er is een 3 gt; O zoodanig dat als het maximum sub-
interval der fft's kleiner dan ó is, geldt:

« 1 b

i

Neem nu het maximumsubinterval der Xk's kleiner dan öjl,
dan dat der h's kleiner dan è, dus

nnbsp;b

\f{xk)-t{xk-x)\ =-ffd(p-hf(b)lt;pib)-f{a)lt;p{a) de,
met I ö I lt; 1 en hieruit volgt de bewering.

rnbsp;'

Definitie: Bestaat / id(p voor iedere 6 gt; a en is lim f fd(p

Jnbsp;b-t-o) J

a

00

aanwezig, dan is bij definitie deze limiet gelijk aan ƒ fdtp.

a

anbsp; 00

Analoog definieeren we: Jfd(p en Jfdcp.

-00 -00

stelling II:

00

Gegeven: ƒ fdcp bestaat, fcp^aals x-^ cxi, fq, -gt; p als x-^ — oo.

00 4-00
Bewering: J(pdf = — Jfdqgt; o —

Bewijs:nbsp;\

rnbsp;'

j(pdf = — ƒ fd(p ■\-f{q)lt;p {q) —f{p)(p ip), volgens steUing I.
Pnbsp;P

Laat nu — oo en 9 -gt;• oo.

Stelling Illa:

h b

Gegeven: ƒfdlt;pi en Jfdq)^ bestaan. Zij lt;p = (pi —

a

b

Bewering: j fd(p bestaat en Jfdq) = Jfdtp^ —Jfd(p^.

anbsp;anbsp;anbsp;a

Bewijs:

Beschouw een verdeeling van {a, b) waarbij (1) en (2) gelden.

n
A-l

»»nbsp;n

= (fft) I 9'! {Xk) — ipi (Xk-l) I — (fjt) I lt;P2 {Xk) — n (Xk-l) j
fe-1 fc-l

Laat nu het maximum subinterval -»-0.

Stelling III6:

b b

Gegeven: ƒ/^d(p en ƒf^lt;p bestaan. Zij f = /i — A.

a

b

Bewering: j fd(p beslaat en jf dtp = ƒ f^d(p —ƒf^d(p.

Bewijs:

Beschouw een verdeeling van {a, b) waarbij (1) en (2) gelden.

^ / ih) {lt;p {xk) — (p {xk-i) I =

»nbsp;n

= ^ /i ih) 1 qgt; {xk) — (p (Xk-i)nbsp;ih) I lt;P {Xk) — (p {Xk-i)}

Laat nu het maximum subinterval-gt; 0.

S t e 11 i n g IV :

b

Gegeven: Jfd(p bestaat.

Bewering: f en rp hebben geen diskontinuïteitspunt gemeen.
Bewijs:

Nemen we aan dat / en 95 een diskontinuïteitspunt d gemeen
hebben. We onderscheiden drie gevallen:

r a lt; lt; 6 en de diskontinuïteit van q) voor = is niet op-
hefbaar.

Er zijn puntrijen: fi,^, U op («, b). n = \,2,....;
zoodat

l,lt;dlt; fXn — -gt; O als n 00, ^ ^ fin, h ^ ^n =

I — ih) \gt;P, 1 / (f„) —/ (f,0 \gt;q. p en qgt;0 en
onafhankelijk van n.

2° a lt; d lt; b en de diskontinuïteit van 99 voor x = dis ophefbaar
Nu is / minstens links of rechts diskontinu voor x ~ d. Stel b.v.
/ rechts diskontinu voor x = d.

Er zijn puntrijen: fin, f,; op {a, b), n= l, 2,____; zoodat

d lt; fin, fin -gt;d als M -gt; 00,nbsp;= ftn, ^ ^ fi„,

I f (/*«) — lt;p{d)\gt;p,\f iin) — / (f;,) I en 9 gt; O en on-
afhankelijk van n.

3° i = fl of i = è. Stel b.v. d = a.

Er zijn suiten punten: /i,„ f,;, die aan de zelfde voorwaarden
voldoen als onder ten 2°.

Hieruit volgt dat in elk van de gevallen: 1°, 2° of 3° er een rij van
verdeelingen van {a, h), met maximum subinterval -gt;-0, aan te
geven is en bij ieder van die verdeelingen twee puntrijen
f en welke slechts in één subinterval verschillen, zoodanig dat
voor de korrespondeerende sommen

5 = / ih) {9 {xk) - lt;p {xk-i) I, S' = (f^) I ^ {xk) - lt;p {Xk-i) j

bij elk van de verdeelingen geldt: | S — S' | gt; ^^ gt; O en dit is

b

in strijd met het bestaan van de Stieltjes-integraal: Jfd(p.

a

Stelling V:

Gegeven: lt;p (x) monotoon niet afnemend voor a^x^b, f {x) be-
grensd voor a^x^b, a lt;b.

Zij Bk en bk respectievelijk de bovenste en benedenste grens
van f {x) voor Xk—i ^x^xk en stel

(Ok — Bk — bk, Atpk = (p {xk) — lt;p {Xk—i).

b

Bewering: Noodig en voldoende voor het bestaan van jfdcp is dat

a

er bij iedere egt; O een dgt; O bestaat zoodanig dat voor iedere
verdeeling van {a, b) met maximum subinterval lt; S,

n

geldt: ^ u)k /ilt;pklt; c.

Bewijs:

Noodig: Zij « gt; 0. Er is een ó gt; O zoodat voor iedere verdeeling
van (a, b) met maximum subinterval lt; ó en waarbij aan (1) en (2)
voldaan is, geldt:

nnbsp;b

^ / (ffe) A(pk — lfd(p = ee.\d\lt;\,
i

Dus geldt ook:

«nbsp;^nbsp;nnbsp;b

^BkAcpk— fd(p = de, y^bk A — f/dqgt; = ds met ld \ ^ 1

i tz -i

Dus:

n

y^. (Ok A (fk^ 2e als het maximum subinterval lt; 6 is.

k=i

Voldoende: Beschouw een verdeeling van {a, h) waarbij (1) en (2)
gelden.

quot;nbsp;nnbsp;„

k=lnbsp;k^lnbsp;ITi

Zijn B en i respectievelijk de bovenste en benedenste grens
van / op {a, b) dan geldt:

b\(p {b) ~ (p {a) \ ^Ok^Ok^ B\(p {b) — q, {a)\.

Benedenste grens van Ok bij aUe mogelijke verdeelingen van
{a, b) zij O.

Bovenste grens van Ok bij alle mogelijke verdeelingen van {a b)
zij o.

Zij « gt; 0. Er is een lt;5 gt; O zoodat bij alle verdeelingen van {a, b)
met maximum subinterval lt; è geldt:

n

^ (Ok A (pk lt; t oi Ok — Oklt; £.
Conclusie: O = o en als het maximum subinterval lt; (5 is geldt dus:

n

^f {h) A ipk - O

b

Dus: 0 = 0= jfd(p.

opmerkingen:

De voorwaarde: (a) „Bij iedere £gt; O is een verdeeling van {a, h)

H

met \ o)kA(pk lt; squot; is zonder meer niet voldoende voor het
bestaan van / fdq). Neem b.v. / en 9? monotoon stijgend en kqntinu

a

uitgezonderd één punt x^ {alt;Xolt;b), waar links diskontinu
en rechts kontinu is en / links kontinu en rechts diskontinu is.
Hier is aan voorwaarde (a) voldaan. (Neem Xg als deelpunt op).

b

De Stieltjes-integraal / fdrp is echter volgens stelling IV niet aan-
wezig.nbsp;{

De voorwaarden: (a) en „f en lt;p hebben geen diskontinuïleitspunt
gemeenquot; zijn aequivalent met de voorwaarde in de gegeveti stelling.
Men zie:

«1

Zij c gt; 0. Er is een verdeeling V^ van {a, b) met ^ lt;Ok A q)k lt; e/2.

Er is een 6' gt; O zoodat ieder subsegment van een verdeeling
V van {a, b), met maximum subinterval lt; 6', hoogstens één van
de deelpunten van Vi bevat. Er is een ó gt; O, 5 lt; ó', zoodat
O) A lt;p lt; tjAny over ieder subsegment met lengte lt; ó, dat één
van de deelpunten van V^ bevat. Dit is mogelijk omdat in ieder
deelpunt van F, minstens een van de functies / of 9? kontinu is.
Beschouwen we nu een willekeurige verdeeling van {a, b) met
maximum subinterval lt; ó. Over de subsegmenten die geen deel-
punt van Fj bevatten is

^ (Ok A (pklt;-^

en voor de overige, hun aantal bedraagt hoogstens is
»

Dusnbsp;(Ok A (fk lt;. t

voor iedere verdeeling waarvan het maximum subinterval lt; 6 is.

Stelling VI :
Gegeven: f [x) kontinu voor a-^x-^b, a lt;b.

(p (x) van begrensde variatie voor a^x^b.
b

Bewering: Jfdcp bestaat.

a

Bewijs:

In verband met stelling lila mogen we cp monotoon niet afne-
mend veronderstellen. Wegens de uniforme kontinuïteit van
, / op {a, b) is er bij iedere e gt; O een 5 gt; O zoodat als het maximum

subinterval lt; lt;5 is geldt: (Ok lt; e voor k=\, 2,____«.Dus

11

^ oik ^ (fk lt; £\qgt; {b) — (p{a)\
k=l

en stelling V toepassende volgt de bewering.
Stelling VII:

Gegeven: f [x) Riemann-integreerbaar voor a^x'^b.

(p {x) absoluut kontinu voor a ^ x ^ b, a lt; b.

rnbsp;''

Bewering: J fd(p bestaat en is gelijk aan ƒ fep' opgevat als Lebesgue-

»nbsp;a

integraal.

Bewijs:

Zij 6 gt; O en oik de schommeling van / {x) voor Xk_i ~ x ^ Xk.

Er is een gt; O zoodat J \ (p' \ lt; e als fxE lt; t] is. Er is een d gt; O

e

zoodat voor iedere verdeeling van (a, b) met maximum subinterval
lt; lt;5 geldt:

n

^ wk {xk — xk—\) lt; erf.
A = 1

Beschouw nu een verdeeling van {a, b) waarbij (1) en (2) gelden
en het maximum subinterval lt; ó is.

k=l

„nbsp;** ^nbsp;n «

A=inbsp;inbsp;/

De laatste som splitsen

wei 1° over de vakken met cok ^ s,
2° over de vakken met m gt;e, de som van de lengten dezer vak-
ken is lt; rj. Dus

Xtnbsp;b

^mj\(p' \nbsp;\ 2Me, als I / |lt; M voor a ^ x ^ b.

Uitbreiding:

Gelden de gegevens in ieder vak {—a, a), a gt; O en bestaat
00

Jf als Lebesgue-integraal dan

—00

00nbsp;«

ƒ /rfy = ƒ h'.

-00nbsp;—00

hetgeen volgt uit het voorafgaande door de limietovergang: a -gt; co.

Stelling VIII:
b

Gegeven: Jfdq) bestaat en f kontinu voor x = a.

a

Zij tp = lt;p voor a lt; X ^ b en yj {a) = q) {a) -{- h.
b h b
Bewering: Jfd%p bestaat en Jfdqgt; =Jfdip -f hf{a).

anbsp;anbsp;a

Bewijs:

Beschouw een verdeeling van {a, b) waarbij (1) en (2) gelden.nbsp;;

^ f{h) \(p{Xk)-qgt;{x^i)\ =

n

^ / ih) {xk) — V {xk-i) I hf (f,).

k=i

Laat nu het maximum subinterval O, dan volgt de bewering.
Stelling IX:

bnbsp;I

Gegeven: Jfdg? bestaat. Totale variatie van (p zij T en \ f \

voor a X ^ b.

b

Bewering:

Bewijs:

n

^f{h)W{Xk)-cp{Xk-l)\

voor iedere verdeeling van [a, b) waarbij (1) en (2) gelden.

Stelling X:

b

Gegeven: I = jfdtp bestaat.

a

Zij a lt; c lt; b.

cnbsp;b

Bewering: -^i = ƒfd(p ennbsp;fdcp bestaan en I = I^.

anbsp;c

Bewijs:

Zij c gt; 0. Er is een «5 gt; O zoodat

\Sn — I\lt;t

voor alle verdeelingen van {a, b) met de fijnheid d (d. w. z. waar-
van het maximum subinterval lt;6 is), onafhankelijk van de
keuze der tusschenpunten Verdeel nu {a, c) met de fijnheid è
en kies daarbij bepaalde tusschenpunten de korrespondeerende

som zij Beschouw nu twee verdeelingen van (c, b) met de

fijnheid d, de korrespondeerende sommen noteeren we:

i:, -1:.

Nu geldt:

lt; £ en dus

lt;2e,

onafhankelijk van de keuze der tusschenpunten

Beschouwt men nu een bepaalde rij van verdeelingen F„ van
(c, h) met bepaalde tusschenpunten zoodanig dat de fijnheid
van de verdeeling tot nul nadert als n-gt;cx). De bijbehoorende
sommen duiden we aan met Sn- Is voor « gt; n de fijnheid van
Vn lt; d dan geldt

Sn p — Sn \ lt; 2e, n gt; Ho, p = \, 2,----

Hieruit volgt dat S„ een limiet heeft als n -gt; oo, zij die limiet /g.
Uit (a) volgt: | S„ — h\= 2e voor n gt; n^.

Is Si een som behoorende bij een willekeurige verdeeling van
(c, b) met de fijnheid d dan geldt: | S,, — Sj 1 lt; 2« voor n gt; n^
en onafhankelijk van de keuze der tusschenpunten f bij St.
Dus:

\Si — I.\lt;Ae.

b

fd(p. Evenzoo te bewijzen dat I

Beschouwt men nu nog een rij van verdeelingen van {a, h) met
c als deelpunt en waarvan de fijnheid -gt;0, dan büjkt:

I = h h.

Definitie: Gegeven twee functies / {x, y) en cp {x, y), be-
grensd voor

dl ^ X ^ bi, a^^ y ^ b^; Ui lt; b^. a^ lt; b^ (Rechthoek R).

Beschouw een willekeurige verdeeling van de rechthoek R:

ai = Hlt;Xxlt;----lt; Xk-x lt;Xklt;----lt;Xfn=bA

! (1)

«2 = yo lt; yi lt;----lt; yi-i lt;yilt;----lt; y„ = bsj

Zij verder

^k-i ^ (fc ^ x/i, ^ = 1, 2,----- m

yi-i =1/1 = yi, J= 1, 2, —, n.

stel

yi)-lt;p(xA-i, yi)-(p{xk, yi-i) (p{xk-i, y/_i)=nbsp;y).

en

Is ernu een getal S zoodanig dat bij iedere egt; O een ógt; O bestaat
zoodat voor iedere verdeeling (!) van de rechthoek R waarvoor de
diameter van alle verdeelingsrechthoeken lt; 5 is en onafhankelijk van
de ligging der Sk en rj, in de subintervallen geldt

I Sm^n— 5 I lt; £,

dan is S bij definitie de Stieltjes-integraal van f {x, y) naar cp {x, y).

Notatie:

5 = ƒƒ/ {X, y) dlt;p{x, y)nbsp;of S =^Jfdlt;p.
Stelling XI:

6, 6,

Bewering: ƒ (pdf = jfdtp ƒ / («i. y)nbsp;(«i, y) - ƒ / (ii, y) y)

Rnbsp;Rnbsp;atnbsp;O,

J fix, «2) dlt;p {x, a^) -J f {x, 62) (x. a';;'; /. 9-.

«1

a/s ö//^ integralen die hierin optreden bestaan.

Bewijs:
We stellen 9) {xk, yi) =
We hebben nu de identiteit:

in n

~~ ~nbsp;quot;quot;

tn ft

= ^ ft-1,1-1 In.i—— n.i-1 n-i, i-i]

nnbsp;tl

^ io,l-\nbsp;/m./-l [9'w.J —^P«./-!]

mnbsp;*n

/-è-l.o — n-l.o\ — /-t-l.» — ^Pi-l,«]

Aal

-f /»»,» 9'»!,» —fo,n (po,n —fm,o (pm,o fo,o (po,onbsp;, i^i

' .i's

Laten we nu de fijnheid van de verdeeling tot nul naderen dan
volgt de stelling.

Stelling XII:

Gegeven: cp sommeerhaar over de rechthoek R {a^, a^ ; h^, h^.

X y

f Riemann-integreerhaar over R. Zij 0 {x, y) = JJfp^

«i «j

Bewering: f fd^ = / f(p waarin links een Stieltjes-integraal staat

Rnbsp;R

en rechts een Lehesgue-integraal.

Bewijs:

Analoog te geven als de korrespondeerende stelling in één af-
meting (Stelling VII, een absoluut kontinue functie is een integraal
van Lebesgue en omgekeerd).

HOOFDSTUK II

FUNCTIETHEORETISCHE TOEPASSINGEN

A. - Toepassing op een klasse van Holomorfe Functies

We beschouwen met R. Nevanlinna de volgende klasse van
functies:

1° / {x) holomorf voor t gt; O {x = s ü) en I\f {x)\^ 0.
2° Voor ieder natuurlijk getal n^2 geldt:

waarin c^, c^,----- Cn—i reëel zijn en x»'—^ {x) O als co in

het halfvlak tgt; egt; O, voor iedere egt; 0.

Stel I\f{x)\= — V{s, t). Dus V {s. t)^0 voor t gt; 0.

Volgens de formule van Poisson is voor t gt; v, wegens de begrens-
heid van / {x) voor t gt; v gt; 0:

00

■^1/ WI = — ^ (''*gt;nbsp;V = arg {x — f), f = M iv.

—«

Wegens de begrensdheid van xf {x) voor ^ ^ tgt; is voor tgt;vgt;0

00

M = -00

op een reëele constante na, die hier nul is (Neem b.v. x = it en
laat t-^oo).

Voor iedere functie van de klasse geldt:
(2) = ^

uniform voor v gt; egt; O, als a; = s -f iv.
Dus

(3) V (s. v) = ^^^ Onbsp;uniform voor t;

We definieeren nu voor v gt; 0:

u

V («, v) = ƒ V {s, v) ds.

Deze definitie is geoorloofd wegens (3).
Verder is:

/ {S iv)

/ {s ÏV)

Nu is

u
ƒ

holomorf voor ü gt; O, in verband met (2).

Dus v» («, v) is harmonisch voor w gt; 0. Bij vaste u is y» {u, v)
een monotoon toenemende functie van u en

y) {u, ü) Cj als w 00

ds = O, wegens (2).

Aangezien ip (u, v) harmonisch is voor u gt; O en O ^ f) = Cj
voor t; gt; O, is er volgens een stelling van Fatou een volle maat waar

V {u, v) -*xp {tl)

V («) is monotoon op die volle maat. We completeeren \p (w)
door daaraan in ieder punt dat niet tot die volle maat behoort,
de rechtsche limiet van («), op de volle maat, als waarde toe te
kennen. De zoo gecompleteerde functie yp (u) is monotoon niet af-
nemend en O ^ v' (quot;) =

Uit (4) volgt

^^ V (quot;. = ^ ^^

Partieele integratie van (1) geeft:

^ gt; u gt; 0.

We laten nu in (5) v tot nul naderen.
Op een volle maat

{x — f {x — uY

Bovendien is

Acnbsp;t

lt; voornbsp;(;t; = s-f it).

Zij £ gt; 0. Er is een T gt; O zoodanig dat

lt; e, voor O cv lt; — en

Evenzbo de correspondeerende integralen van — oo tot — T.
Volgens een bekende stelling van Lebesgue geldt

Dus

/W

Toepassing van de stellingen VII en II van de Stieltjes-integralen
geeft dan

00

/d\p{u)

Iedere functie van onze klasse is dus te schrijven als een Stieltjes-
integraal van de vorm (6).

We zullen thans nog bewijzen dat

1 dxp{u), k = l,2,....

Allereerst:

Men heeft:

00

^yi^) == ^ ( oo) — ¥ (—oo) ^ Cl want O ^ ^ (u) ^ c^.

-—00
Verder is:

xf{x) = Cl £ (x), e{x) als x-*oo en / gt; gt; 0.
/7xnbsp;fdipiu) f M'^) , . ,

-00nbsp;-CDnbsp;^

Zij = ü en neem van beide leden in (7) het reëele deel:

00

(8) /nbsp;= Cl i? {c I. Nu ^ -gt; oo, dan rechterlid-^c,.

Zij c gt; 0. Er is een T gt; O zoodat

_'P

rl (f) r

t -gt; CO. Dus:

. , ƒ • ^ '

— t 1

00 00
J • -gt; Jdy){u) als ^ -gt; 00 en uit (8) volgt nu: J
-00 -00

Stel nu dat:

co

=ƒ dip{u) juist is voor k= 1,2,____

-00

dan zal bewezen worden dat:

00

Cn 1 = j u»dy}{u).

We hebben de identiteit:
1

1 ^ iit l

X — u ^ x^nbsp;(X —

h=i

Dus:

/ _ , ,nbsp;, Cn . 1 /quot;/ „ , M« l \

I dtp{u).

Verder is:

-00

waarin:nbsp;(x) als x-gt;oo, t gt; togt; 0.

Zij = U en nemen we in beide leden respectievelijk het reëele
en imaginaire deel, dan volgt:

00

(a)nbsp;J — j dtp{u) C„ 1 als t

lt; K (to) voor ^ gt; gt; 0.

Is n even dan volgt uit (a):

u

dxp{u) lt; M,

WV

— t

waarin M een constante is onafhankelijk van t. Dus stellig
t

/li?-

M» d\p{u) lt; 2M, wantnbsp;lt; V2 voor \ u\lt;t.

— t

00

Dus: Ju»dyf{u) bestaat.

— eo

Is n oneven dan volgt uit (/S):
t

ju'^ idtp{u) lt;2K{to), tgt;to.
— t

00nbsp;co

Dus ƒ«t i bestaat en dus ook Ju»dxp{u) (zelfs absoluut).

Uit (a) volgt nu:

eonbsp;00

u»dy;{u) — Jnbsp;c,i i als ^ co

—»nbsp;—00

en aangezien de integraal tot nul nadert als t-^co [wegens

het bestaan van f u |» dxp{u)'] volgt dus:
—»

00

Cn 1= ƒ tl'*dxp{u).

Deze functieklasse treedt op in de oplossing van het momenten-
probleem van Stieltjes. Men zie:

R. Nevanlinna: Asymptotische Entwicklungen Beschränkter
Funktionen und das Stieltjessche Momentenproblem.

Annales Academiae Scientiarum Fennicae Serie A. Tom XVIII
N° 5.

B - Toepassing op Reeksen van Rationale Functies
1. We beschouwen de reeks

oo ^nbsp;00

/ = ^z — an ^nbsp;^

n=lnbsp;M=i

/ {z) = u iv, z = X iy. f (z) holomorf voor y gt; 0 en voor ylt; 0.

Aan ieder punt a„ kennen we de massa An toe. Zij dan (p (u)
de massa op het interval:

00

— oolt;x^u;ip(u)is niet dalend, lt;p(—oo)=0,(p (-f co) An-

M=1

Zij e gt; O en y gt; 0. Er is een k zoodat

00

^ Anlt;e.

n=k l

Het grootste van de getaUen | a^ j, | ag |......| plus 1, zij a.

Dan is dus

lt; « voor de A„ behoorende bij | a» | ^ a.

Beschouw een willekeurige verdeeling van het vak (_a, -f a):

— a = Xolt;Xilt;----lt; x„,-.i lt; x„, = a

en zij

1 — Xk voor k = 2, . . . m.

Nu is

^'JL,
a»

Is nu 5 het maximum van de getallen

Xk — Xk—h k=\, 2,.....m;

dan is

d ,

^ —, als Xk—l lt; dn ~ Xk.

H = 1

Dit geldt voor iedere verdeeling van (— a, a) waarbij het
maximum subinterval ^ 3 is en onafhankelijk van de ligging
der Sk in de subintervallen. Dus

lt; 1.

Is de bovenste grens der | aft | : oo dan a-gt;oo als e -gt;- 0.
Dus voor y gt; 0:

00

2.nbsp;^ = ^ ygt;0.

— 00

. Volgens de stellingen II en VII van de Stieltjes-integralen is nu:

Jnbsp;J i^ — uf'

Hieruit volgt dat voor ygt;0 geldt:

(ui^u)

— 00

3. Bewering: Op een volle maat is (p' (u) = 0.
Bewijs:
Stel

Zij e gt; O en £ (e) de verzameling der punten van een wille-
keurig interval {p, q) met D^cp {x) gt; c. Stel dat de maat van
E{e) positief was.

Er is een k zoodat

00

^ An lt; Iflt.

k X

zij de verzameling die ontstaat door aan E de punten •

«1. a2gt;----, «ft op {p, q) gelegen te onttrekken.

De maat van E^ is Ieder punt a; van E^ is beginpunt van een
nj intervallen {x, x^), met x^-^x. waarbinnen geen

a„,n = 1,2,----k, ligt en waarvoor cp [x^ — q, {x) gt; e [x^^ x).

Volgens de overdekkingsstelling van VitaU kan men door mid-
del van een eindig aantal binnen q) en twee aan twee buiten
elkaar gelegen intervaUen, van de genoemde intervalverzameling.

een deel van E^ overdekken, waarvan de maat gt; ^fx is. Hieruit
volgt:

00

^ An

Conclusie:

fi — Q. Dus op een volle maat van {p, q) : D 9? {x) ^ e. Hieruit
volgt dat er een volle maat van {p, q) is waarop de rechterboven-
afgeleide van 95 nul is, en dus ook de rechterafgeleide (wegens
(p niet dalend).

Evenzoo is te bewijzen dat er een volle maat is waar de lin-
kerafgeleide nul is en dan volgt dus de bewering.

Opmerking:

Men ziet nu dat de in § 1 gevonden Stieltjes-integraal

Tmx)
J

—00

niet vervangen mag worden door de Lebesgue-integraal

00

/VM

Jz — x

00'

want deze is identiek nul.

(De Lebesgue-integraal negeert een puntverzameling van de

maat nul, in casu de verzameling: aj, Og...... waar de linker-

afgeleide van (p gelijk aan 00 is).

4. We nemen een punt x, met 9?' {x) = O en zullen nu aantoonen
dat 7; -gt; O als y -gt;■ O en constant gelijk aan de gekozen x.

Zij e gt; 0. Er is een hgt; O zoodanig dat

I (p («) — (p{x)\lt;e\u — x\ als \u — x\lt;h.

Nu is:

00

-00

(y gt; 0).

Deze laatste integraal splitsen we:

quot; '' X x h 00

fjff-

— » X—h X x h

f (pi^)—lt;p {x)

als y 0.

x hnbsp;x hnbsp;x h

du

uY y2

x h

u — x

= 2ebgtg

Evenzoo:

x—hnbsp;X

2yƒ -gt; O, even snel als y en | 2yy | lt; tze.

x—h

Dus: ü -gt; O als y -gt; 0.

5. Volgens Fatou is er een volle maat op de ^r-as waar f {z) -^k (x),
I ^ I lt; 00, als y -gt; O en a; constant, aangezien w lt; O voor y gt; 0.

Er is ook een volle maat waar (p' {x) = 0. Dus is er ook een volle
maat waar beide gelden en daar is dus X {x) reëel. We beschouwen
nu een punt Xq van die volle maat.
Zij e gt; 0. Er is een A gt; O zoodat

\(p{u)—q){Xo)\lt;e\u — Xo\a\s\u — Xo\lt;h.

We nemen nu z = Xqiy en O lt; y lt; h.

oonbsp;Xo—y Xa y 00

—00nbsp;—00 x^—y Xo y

^o y
d(p{u)

z — u

Xo—y

xo—ynbsp;x^—ynbsp;y

J z — u J Xo-^ . J {Xo — '^) i^ — '^)

— oonbsp;—ao

xo—y

J \ z — u

00

^y.VT.f r^^Mi = V2 . h (2) 1 -Oalsy-gt;0.
J \ z — u \ ^

Evenzoo:

r d(p{u) _ r dcpju)

j z — u J Xo —

Xo y

Dus:

xt—y

Xa y

Definieeren we nu:

d(p{u)
^J^n -u

gelijk aan de eventueele limiet van

x^—y

fM±l als y-.ó
j xo — u^j xo — u) ^

«o y

dan krijgen we als y-».0:

J Xq

De Fatousche limiet X {x) is op een volle maat gelijk aan de hoofd-
waarde van de Stieltjes-integraal

00

f M^)

j x — u

6. We laten de onderstelling An gt; O vallen en beschouwen het
geval dat de A„ algemeen complex zijn en

00

J^\An\lt; co.
1

De reeks

rA»

Z — an

1

laat zich splitsen in vier reeksen, waarop de beschouwingen van de
voorafgaande paragrafen van toepassing zijn.

Aangezien de doorsnede van vier volle maten weer een volle
maat is, geldt het resultaat van § 5 dus algemeen. Dus op een volle
maat

00

X(x)=f^
^ ' Jz—u
— 00

waarin lt;p (u) de „massaquot; is op het interval —oolt;x^u.

7. Zij

V=1nbsp;V=1

alle a^ binnen een rechthoek R («i, «g gt; ^i» ^2) gelegen (geen a^ op
de rand).

Aan ieder punt a^ kennen we de „massaquot; A^ toe.
Zij 93 {u. v) de som der A^ behoorende bij de Oy = a^ -f tal
waarvoor al lt; u, aquot; lt; v. Dan is:

y2gt;yi)

^ly Jl

de „massaquot; in de gesloten rechthoek {x^^, y^ ; x^, y^ verminderd
met de gesloten bovenrand en gesloten rechterrand.

{Xi ^oy lt; X2, yi ^ a'i, lt; y^.

Beschouw een verdeeling van de rechthoek R\

= Xqlt; x^lt; . . . . lt; Xk—\ lt; Xk lt;....lt; Xm — h^.

«2 = yo lt; yi lt; — lt; y^-i lt;yilt; — lt;yn = b^.

anbsp;quot;nbsp;a

Av _ y^ y^

^ ^ ^ z- ttv

waarin de S^Je sommatie uitgestrekt is over de a/s waarvoor:
Xk-I ^a' lt;Xk, yi-i = al lt; yi.

Nu is

met I ö I lt; 1 als eft, / binnen de rechthoek {xk—i, yi—i ; Xk, yi)
ligt, de diameter van alle verdeelingsrechthoeken lt; ^ is en 2
een positieve afstand q buiten R blijft. Voor z buiten R kunnen
we dus schrijven:

h b

% «2nbsp;R

8. stel
Nu is:

U V

g {u. v)=Jnbsp; g V) g {u, a,) - g a,).

«1 «2

Volgens stelling XI is nu:

/ = (w, ï') v) = Jcp [u, v) dg{u, v)

Rnbsp;R

bi

J(p{u, a^ dg{u, «2) — ƒ[u, b^) dg{u, b^)

fnbsp;r

J 9 («1. v) dg{a^, v) — lt;p (èi, dg{bi, v) . g.

«2

Volgens stelling XII en VII kunnen we hier nu voor schrijven:

R

. - ƒ(öx.nbsp; {K hè g {b„ b,).

(De beide andere integralen zijn nul, omdat de a's alle binnen R
liggen).

9. Gegeven: ^ | ^v | lt; oo, a; gt; a'^ gt; a^voor v = 1,2,....

^ A.nbsp;ff lt;P {u, V) ^^ ^^

Bewering: / (2) =nbsp;^ quot;^J j \z — {u iv)\^

(ov — a'y i a'v)

als z buiten het integratiegebied van de dubbele
integraal ligt. {(p{u,v) gedefinieerd als onder 7).

Bewijs:
Uit § 8 en

OP

^ mv|lt;00

V = 1

volgt dat voor 2 buiten het kwadrant {a^, a^ ; c», 00) geldt:

a, a^nbsp;«1

b

- ƒ9 [b. V)nbsp;f ib. b) g {b, b) (-gt; 0)

als 6 -gt; 00. Voor b voldoend groot geldt:

i

b

00nbsp;!% ^^

(öT^-^O alsnbsp;{z = x iy).

alsè^oo.

Nu volgt:

b b

f

b-*-o

wegens de absolute konvergentie van de laatste integraal.

10. Onderstel Oj, og, . . . . gelegen in een open puntverzameling O.
O - . . . . -i- 4 .. . .

waarin Rn een afgesloten rechthoek is (zijden respectievelijk even-
wijdig aan de reëele en de imaginaire as), de doorsnede van twee
verschillende Rn bestaat eventueel alleen uit grenspunten en we

kunnen er voor zorgen dat geen a^ (r = 1, 2,____) op de grens

van een (w = 1, 2,----) ligt.

Beschouw nu

1 1
Definieer tp {u, v) evenzoo als in § 7. Nu is:

quot; Avnbsp;^ A^

r^v ^ y^

1nbsp;n=l

in de punten z waar de reeks in het linkerlid absoluut konvergeert.
Volgens § 7 is:

LAu ^ r dlt;p{u, v)
z — av j z — {u iv)'

Dus

voor z buiten de afgesloten puntverzameling O: O,

Dit geldt voor iedere verzameling van 2?»'s die voldoen aan

O = 4- . . . . . . . .

en aan de bovengenoemde restricties. We definieeren nu:

d(p{u, v)

f d(p{u, v)nbsp;f_^

z — (u-\-w)nbsp;^ z—{u iv)
O

Dus voor z buiten O geldt:

r dcp{u, v)
=jz—{u-ï- iv)'

z buiten O.

11. Onderstel aj, a^,____gelegen op een kontinue gesloten kromme

C zonder dubbelpunten. Zij de kromme C gegeven door u = u{i),
kontinu voor

{tl) ^ u (t^ voor a lt; t^ lt; t^ lt; h, u {a) u {h).

Zij verder: ay = u {ty) en (p {u) de som der Ay behoorende bij
de ay waarvoor tv lt; t. Gegeven een e gt; O, dan een ó gt; O zoodat
I u {t^ — u (ii) I lt; c voor ieder tweetal punten t-^ en t^ van het
segment {a, h) waarvoor | — 1 lt;

Beschouw een verdeeling van {a, b) waarvan het maximum
subinterval lt; d is:

a = lt; /j----lt; tk-i lt;tk----lt;tn = b,

en zij tk—i ^t'k^tk, k = 2, .... n.

Dan is

^ = y^ y^ ^ (pj'iik) — lt;p (uk-i)

ImtZ — Cv L^ LmfZ — ay J^ z — fft

met I ö I lt; 1 en waarin ^k = u (4) en q de positieve afstand van
z tot C is.

Dus voor z niet op C kunnen we schrijven:

rAy _ fdq){u)

z-qy jz—u

v=lnbsp;c

waarbij we opmerken dat het niet noodig is dat C een integratie-
weg is.

C - Randvoorstelling van een functie holomorf in het

rechterhalfvlak en waarvan het reëele deel positief is

1. We beschouwen dus een functie / (C) = u iv, C = ^ -f irj,
holomorf voor | gt; O en met u gt; 0.
Neem een punt f = f ^ gt; 0.

Zi] h gt; O, O lt; X lt; i, a = ^ itj met ^ gt; h X en C de cirkel
met middelpunt a en straal R = ^ — x.
De formule van Poisson geeft:

27r

1 r 7?2_„2

waarin t = a Q=\a — :\, r=\t — C\. Hieruit volgt:

abc

waarin A, B en C de punten op de linkerhelft van cirkel C zijn
met de ordinaten: rj h, t}, t] — h.

We houden nu a; en C vast en laten i? -gt;oo. Dan

Tj h

2n

abc

want

—nbsp; Q {^ — x) -gt;2 (f —als R-^oo en op boog ABC

Rnbsp;R

In verband met (1) volgt nu:

■n h
T)—h

Dus

— 00

Volgens een bekende formule is:

27r

/ (£)=» (lt;.) jinbsp;« w »

O

Hieruit volgt:

_ 1nbsp;_dœ =

^ ^^^ - {- (C - a) 12nbsp;ï^r j — C)2

Onbsp;O

O

.. _ 1 fu {t) dt 2 fuit) dt
abcnbsp;cda

[D diametraal tegenover B).

Nu is:

2*

, ^ ^ ĥ u{t) Rd(p _ 2R 2jz u{t) _ 4u(C}_

O

/quot;(f) = 1 fii^^ 1 g MO

abc

We houden nu en f vast en laten R^oo. We krijgen dan

n h

IJ—A

^ CX3 geeft nu:

00

(3)nbsp;/quot; (t) = — 1 f ^ y)

-00

2. Zij

z

F {Z)=jf (0 dl:,nbsp; iy.

1

is holomorf voor gt; O en

I\F {z)\ = lt;p{x,y) =j'\vdx udy}
1,0

is harmonisch voor a; gt; 0.

Op een volle maat bezit / (f) een eindige limiet als | O, con-
stant, omdat w gt; O is. Dus F {z) ook op een volle maat een eindige
limiet als x-*0, y constant. Dus op volle maat

q) {x, y)-*(p (y) als XO, y constant.

Nu is (p monotoon toenemend met y bij iedere constante x gt; O,
want

^y

Alzoo is lt;p (y) monotoon niet afnemend op de volle maat waar
hij gedefinieerd is.

Zij Ä gt; 0. Er is een h' gt; h zoodat (p {x, y) een eindige limiet
heeft als x-gt;0, y = h'. Dus zijn

(p ^x, — h') en qgt; {x, h') begrensd voor O lt;x lt;h.

Voor —hlt;ylt;h is lt;p {x, — h') lt; q) {x, y) lt; q) {x, h') en dus

(a)nbsp;qgt; (x, y) begrensd voor O lt;x lt;h, — hlt;y lt;h.

In een punt waar q) {y) nog niet gedefinieerd is kennen we daar-
aan de waarde

Nu geldt: q) [x, y)-^qgt; (y) als x-^0, y constant, voor iedere y,
wegens het harmonisch zijn van q) {x, y) en (a). Verder is 9? (y)
monotoon niet afnemend.

3. Zij a gt; 0.

anbsp;a

T, . T f dq?(x,y)nbsp;f dq){y)nbsp;.

Bewenng: h = _ _als

—anbsp;—a

Bewijs:
Volgens Stelling I is

a

T - Lirnbsp;^iV—y)nbsp;. lt;P jx. y)

O geeft volgens de stelling van Lebesgue (wegens het gelijk-
matig begrensd zijn van de integrand voor O lt;x lt; f/2):

—a

a

= f__ .ed

—a

Nu is volgens (2) en stelling VII:

«(«= f y) ^y =

—a

a

—a

Uit hetgeen zoojuist bewezen is volgt nu:

—a

Dus:

-00

4. Bewering:

], = [nbsp;- LML als 0.

— 00 -00

Bewijs:

Zij cgt; O, a gt; 1 jj I, O lt; rt lt; |/2. Wegens (2) en (4) is:

^ f dlt;p{x, y)nbsp;I f d(p{x, y)

anbsp;—

1nbsp;2nu{l:)

f dfpjy) ^f dqgt;{y) ^ ï f dlt;p{y) ^

J {iy — cv ^J liy—Cl'-^ — lvlJ hy —Cl^

1

lt; £ voor a ^ Ug.

^ — 1^1 ^

Evenzoo voor de korrespondeerende integralen van —c» tot — a.

f dlt;p{x.y)nbsp;dlt;p{y)

J {x iy-O'

hetgeen men op de zelfde wijze bewijst als onder 3
Uit formule (3) en Stelling VII volgt:
__^f d(p{x, y)

a;gt;0

(x zy-C)'
en uit hetgeen zoojuist bewezen is volgt nu:

-00

Integratie geeft nu:

_ _ 1 fJÉy)

n J {iy —

00
-00

Deze formules zijn juist wegens de convergentie van de integraal

1 r My) _ f f dlt;p{y) _ .

— ®nbsp;, —OD

X en /I zijn integratieconstanten.

We zullen nog bewijzen dat
«) /' (C) ^ -l als C angulair oo.

/nbsp;^ als C angulair -gt; oo.

c) A^O.

Bewijs:

a) Zij e gt; 0. Er is een ^ gt; O zoodat

00 —ft

[My)
y

,2

Voor I arg ^ I lt; a lt; 7t/2 is

f My) lt; fMy) 1

Jnbsp;-cos^a^cosaa

ft ft

Evenzoo

—ft

f

J hy —

h

f My) ^lt;pik)-lt;p{-k)

y I jy _ ^ |2=-12-als C angulair -gt;oo.

—ft

b) Het is voldoende aan te toonen dat
00

f_^ïM-- als c angulair

J \ \ iy\\iy — C\
-00

t

Bepaal k als onder a).

f My) lt; fMy) A
J \ l iy\\ty-C\-J

—k

Evenzoo

dlt;p{y)

.nbsp;alsUngulair

11 ^y I hy — Clnbsp;^

Opmerking:
Het volgt ook eenvoudig uit het feit dat
/' (C) A als C angulair oo.

00

Was X niet ^ O dan zou men altijd een halfstraal h

= gt; O, — oo lt; c lt; oo)

kunnen vinden zoodanig dat voor C op Jt XC op een halfstraal in
het linkerhalfvlak ligt. Maar dan zou

JL -Ê}1M±A
|C1~ KInbsp;KI

een negatieve limiet hebben als C-gt;oo langs h
en dit is in tegenspraak met m gt; 0.

Tenslotte merken we nog op dat de Stieltjes-integraal voorko-
mende in de formule voor / (C) niet vervangen mag worden door
de Lebesgue-integraal

00

nj (zy — C ty nbsp;^

— os

hetgeen we zien aan het volgende voorbeeld.
Neem

/ (f) = f « ^

Dan

F (z) = jj = log z, lt;p = arg z.
1

Dus

9{y)nbsp;y gt; O en 9? (y) = — — voor y lt;

De integraal (L) is hier nul en dus zou f {Ç) — fi zijn, hetgeen niet
het geval is.

Het eindresultaat is dus dat een functie holomorf in het rechter-
halfvlak en waarvan het reëele deel positief is, voorgesteld kan worden
door de formule

00

— 00

waarhij de integraal te nemen is in de zin van Stieltjes. Verder wordt
lt;p (y) bepaald door de randwaarden van het imaginaire deel van de
integraalfunctie van f {Cj X en n zijn constanten, waarvan X^O is
en / (C)/C -gt; A als C angulair oo.

D - Toepassing op Fourier-Reeksen

Algemeene onderstelling:

(O) / (x) Riemann-integreerbaar voor O ^ x ^ Bn, f {x) — f {x-\-27tm)
voor iedere x en m = 1,2, ....

Stelling I:
Gegeven: (O).

Bewering: =nbsp;sin ktdf{t), = cos Mdf [t) voor

anbsp;quot;

k = 1.2, ....

Bewijs:

a 2^nbsp;a 2»

Uk = ^Jf {t) cos kt dt = -^Jf {t) d sin kt = — sin ktdf{t).

anbsp;anbsp;a

a 2^nbsp;a 2^nbsp;a 2,

bk = ^ff (t) sin kt dt = —~Jf {t) d cos kt = cos ktdf{ty

anbsp;anbsp;a

volgens de stellingen VII en I van de Stieltjes-integralen.
Stelling II:

Gegeven: (O) en / {x) van begrensde variatie voor 0^x-^2n en
zijn totale variatie zij T.

T T
Bewering: \kah\^-, \ kbk | ^ -- voor k = 1,2,----

Bewijs:

Uit Stelling I en Stelling IX (S. I) volgt de bewering.
Stelling III:

^ sin kx
Gegeven: V» {x) = ^

Bewering: Er is een constante K zoodanig dat | F,, (a;) | lt; K voor
iedere x en n—'l, 2, .... {K onafhankelijk van x en n)

Bewijs:

Uit Vn (a;) = — Vn (— x) en F„ {x -f In) = F„ (x) volgt dat we
mogen nemen: O ^ = ji.

quot;= L

fc=lnbsp;„ k=lnbsp;O

r .

= -1 V.nbsp;= - £ /•É-LP^ML' ^_

^ j sin /2 fnbsp;^ J

O

xl2

=nbsp;f siquot; ,

2 sin x/2 J ^-

f

b

a

è en jU.

Stelling IV :
Gegeven: (O).

/ W W = jnbsp; q

O

Bewijs:

n

Sn{x) =nbsp;^ {uk cos kx 4- èfesin

Mnbsp;nnbsp;x 2it

x±2^ «

If y^sink{t — x)nbsp;\ f^sinkt ,,,

X k^inbsp;i

Onbsp;Onbsp;quot;

nnbsp;ft —1

Nu is:

2*

o

Dus:

df{x ij.

Stelling V:

Gegeven: Als in Stelling II en f kontinu voor x = Xq.
Bewering: Sn (x^) f (Xq) als n-*oo.

Bewijs:

Zij £ gt; 0. Er is een 5 gt; O (ó lt; n) zoodanig dat de totale variatie
van / {Xq t) op (O, b) en — lt;5, 27i) kleiner is dan c.
Verder een N zoodat voor ngt; N:

sin kt n — t

lt; C,nbsp;d^t^2n — è

snbsp;2«—S 27r

onbsp;s 2^8

j)nbsp;Stelling III. Evenzoo:

I Zg I lt; - e als « gt; iV, volgens Stelling IX (S . 7).

Dus:

f {X,) -Sn{Xo) = e ^{T 2K n)
met 0 1 lt; 1 als w gt; iV.

Opmerking:

I Sn W 1 ^ I / I nbsp;T - M ^^ l) r

als I i{x)\^M voornbsp;Dus | 5« [x) \lt;C,C onafhan-

kelijk van X en n.

Stelling VI:

Gegeven: Als in Stelling II en f (x) kontinu voor
Bewering: Sn (x) uniform f {x) als n-gt; oo voor

Bewijs:

In het bewijs van Stelling V is een d aan te geven die goed is
voor alle die voldoen aan: a^x^^.

Stelling VII:
Gegeven: Als in Stelling II.

Bewering: S„ (.) J^ R lj^ ,,, „ ^ ^
Bewijs:

Stel:

sin kt 7t — t

Z'-sm nt 71 — t
f~k---^ =

Dan:

f{x)—Snix) = ^j'y,{t,n)df(x t).

O

Op O'^t^Ti definieeren we de functie:

g{x t)=f{x t), voor 0lt;t^n eng (x) = f {x 0).
Volgens SteUing VIII (5 .1) is nu:

n) df {x t) = ^Jv {t, n) dg{x-\-t) ^ y, {O,n)\f {x^Q)-f{x) (

nnbsp;~

n oo.

O

Evenzoo te bewijzen:

1 /■ .nbsp;fix)—fix —0) ,

^ yj {t,n) d f (x t) -Y---a^s w oo.

Dus:

= / _nbsp;df ix-Vt)nbsp;als

O

Stelling VIII:

Gegeven: {O). Verder is er een agt; O zoodanig dat f {x) van be-
grensde variatie is voor

XQ — a^x-^XQ — e/

ito e = ^ = «S

voor iedere q die voldoet aan O lt; Q = a.

t

tp{t) = f iXo t) f{Xo-i)-ViXo)gt;nbsp;7 ƒ' ^ I = ^

O

De totale vanatie van 2d)--T ^^ ^ ' ^^^ ^ \d)'

Bewering: Sn K) / (^o) ^^^ n-^co.
Bewijs:

T

fnbsp;_ tl) j Sin {n Vé tdt-.0 als

j (2 sm It t )

O

stel:

wnbsp;2p {2k 3)ti

-nbsp;Onbsp;= 0 (ip 3)ix a

= h ^ h

{4P 3)f.i^alt;{4p 5) fi.

f

V2) ƒ I V (O O als w 00 wegens (a)

o

i/.is/l-'W

I /g I O als w -gt; 00.

3/i

3/inbsp;3/t

ft

sin {« §)lt; rf/ = - ƒnbsp;sin {» è) (=

3/i

De eerste 2 termen van

3/x

y*^®® (w I) ^

STELLINGEN

I

In de Stelling van Fatou zooals deze voorkomt bij E. Landau,
Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funk-
tionentheorie (Zweite Auflage, 1929, pag. 40), kan de onderstelling
1 1

,,Es existiere ƒ Max \f{x)\ dR oder auch nur / / dR

J\x\:^Rnbsp;J

o —nbsp;o

gleichmässig in tpquot; gemist worden.

II

De universeele positieve constante C voorkomende in: J. Wolff,
Séries de fractions rationelles (Comptes Rendus, Februari 1928),
is kleiner dan

III

Zijn Zi, . • • • de nulpunten van een functie / {z), holomorf en
begrensd voor | lt; 1, gelegen in het angulaire gebied G be-
paald door

z = \ — re'lt;P, cos q) gt; d gt; 0, 0 lt; r lt; d

00

dan konvergeert de reeks ^ | 1 —

n — l

IV

ledere functie holomorf binnen de eenheidscirkel en waarvan
de integraalfunctie Riemann-integreerbare randwaarden bezit is
een integraal van Cauchy—Stieltjes, over de eenheidscirkel be-
rekend.

' ï n . ' v:^ ■■

.f !■

Anbsp;'

.M--., .. .................. ■„

il

- ' . \ v . : . «

J y

I''

. \

V

Is u {(p) Riemann-integreerbaar voor O ^ 93 ^ 2?! dan stelt de
Stieltjes-integraal

/ (e, Ö) = ^ J^-^du{lt;p)nbsp;2e cos {cp - d))

0

een functie voor die harmonisch is voor O ^ g lt; 1 en in ieder
punt waar u'{(p) bestaat en eindig is bezit u {g, 6) de angulaire
limiet ^'(9?).

VI

De cilinder is het eenige ontwikkelbare oppervlak waarop de
kromtelijnen tevens geodetische krommen zijn.

VII

De energiestelling voor een wrijvingslooze vloeistof laat zich in
de gedaante brengen,

k

bij een vast gedacht volumen in de vloeistofruimte. (Hierin stelt
E de interne energie per massa-eenheid voor en £2 de potentiaal
van de volumekrachten).

VIII

Reeksen van het type
Ak

leenen zich tot het construeeren van zoogenaamde „multiformequot;
functies.

fciiÄis

anbsp;fïifci-«?,.«

'.ïK/'

- - 1

S . .

- -- ; ^

. .nbsp;La

A V' ■

' , 'V ' y3

-W

VV-

S-ïS^ A:'

V H

t '

ï^iiîii