, w , *■ «s?é
DE PÖTENT1MÜNCT1E VAN GELEIDENDE VLAKKE PLATEN
ONDER INFLUENTIE
VAN EENE ELECTR1SCHE MASSA.
I
I |
1
/
TUR VUKKlilJUlNd VAN DUN 0KAA1) VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATÜÜ1IKUNDE,
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE GRONINGEN,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS
Jhk. DK. E. H. C. K. VAN DEK W1JCK,
HOOGLEERAA U IN DE EACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBECKERTK.
TEGEN DE BEDENKINGEN DER FACULTEIT IN HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN,
OP MAANDAG. DEN 7 JULI 1870, TE TWEE UUR.
GE HOREN TE EEXT.
TK GRONINGEN BIJ J. IJ. WOLTEKÖ. IBi'J,
AAN DE MGEMCHTENIS VAN MIJN VADER
KN
AAN MIJNE MOEDER,
In de «Reprint ui' Papers ou Electrostatics and Magnetismquot; heeft Thomson eene door hem nog niet vroeger uitgegeven verhandeling^opgenomen over de dichtheid van electriciteit op een geïsoleerd geladen segment eener geleidende bolvormige schil, ook voor 't geval, dat dit segment geïnfluenceerd wordt door een electrisch punt ergens in de nabijheid geplaatst. Door den straal van den bol oneindig groot te nemen, gaat dit segment over in eene cirkelvormige schijf. Aan 't slot van deze beschouwingen zegt hij: ))It would be interesting to continue the analytical investigation far enough to determine the electric potential at any point in the neighbourhood of a disc electrified under influence, and so to illustrate further than is done bij the numbers and formulae already obtained, the theory of electric screens and of Faraday's celebrated «induction in curved lines.quot;
Daar voor zooverre mij bekend is, dit geval niet langs wiskundigen weg is onderzocht, heb ik, op aanraden van Prof. Mees beproefd eene oplossing van dit vraagstuk te geven. De verkregen uitkomsten zijn vervolgens aan de waarneming getoetst. Den gang en de resultaten van dit onderzoek vindt men in dit proefschrift opgegeven.
Bij do oplossing van dit vraagstuk ben ik uitgegaan van do door Thomson in bovenvermelde verhandeling verkregen formule voor do dichtheid der electriciteit op 't segment van een geladen bolvormige schil, zonder dat hierop door electrische massa's van buiten influentie wordt uitgeoefend. Het geheele onderzoek berust dus op de wet, dat twee
luassa's elkamlei' aantrokken of afstooten, uiet eeim kracht evenredig aan die massa's en omgekeerd evenredig met de tweede macht van den afstand. Daar de leer der kogelfunctiën daarbij is toegepast, heb ik gemeend dat gedeelte van die theorie, dat hier zijne toepassing vindt, om zijne belangrijkheid zoo in 't algemeen als hier in 't bijzonder, in een afzonderlijk Hoofdstuk te moeten behandelen. De oorspronkelijke verhandelingen van Legendre en Laplace zijn hierbij gevolgd. Ter bepaling van de potentiaalfunctie van een geïsoleerd geladen segment van eene bolvormige schil in een willekeurig punt, kan men die functie eerst bepalen in een punt der as. Ontwikkelt men dan de verkregen uitdrukking in eene convergeerende reeks gerangschikt volgens de opklimmende of de afdalende machten van den voerstraal, dan heeft men als coëfficiënten aan de termen dier reeks kogelfunctiën toe te voegen om eene reeks te verkrijgen, die do potenti-aalfunctie voorstelt in het bedoelde punt buiten do as, 't Argument dier kogelfunctiën is dan do hoek, dien do voerstraal naar dit punt met do as maakt.
Wat de tabellen betreft, die aan hot vijfde en hot zesde Hoofdstuk zijn toegevoegd, ze worden in zeker opzicht overbodig, daar ik later do ni-veaulijnen besloot te construoeren. Daar ik echter de in die tabellen voorkomende cijfers reeds had berekend, besloot ik zo maar te moeten behouden, te meer om sommige van die cijfers to kunnen vergelijken met do uitkomsten langs experimonteelon weg verkregen.
Mot het zesde Hoofdstuk is, zoo ik meen, do analytische beschouwing, zooals ik mij die heb voorgesteld, voltooid. Op aansporing van Prof, Mees heb ik echter beproefd ook langs experimenteelen weg uitkomsten te verkrijgen. In don loop van dit onderzoek heb ik echter ondervonden aan hoeveel storende invloeden dit onderhevig was, In zooverre tijd en plaats dit toelieten , bob ik dio storende invloeden in aanmerking genomen of geëlimineerd. Daarenboven dient men in aanmerking te nemen, dat het onderzoek alleen is ondernomen , om aan te toonen , dat de potentiaalfunctie in eene reeks van punten op dio wijze toe- of afneemt, als door berekening is gevonden, en zoo als ook Faraday dit door zijne bekende onderzoekingen heeft geconstateerd. De resultaten , die ik verkregen heb, stemmen hiermede overeen.
In het zevende Hoofdstuk vindt men de. wijze van proefneming, benevens de resultaten opgegeven. Tevens heb ik daarbij in 't bijzonder op de onnauwkeurigheden gewezen, die niet te vermijden waivn. Hiermee
meen ik genoegzaam te hebben aangewezen, uit wolk oogpunt men (liigt; onderzoekingen heeft te beschouwen.
In het bovenaangehaalde vraagstuk wenscht Thomson verder, dat de i
bepaling van die potentiaalfunctie moge dienen »to illustrate the theory of electric sereens and of Faraday's induction in curved lines.quot; Het blijkt uit de door mij gegeven oplossing, dat de werking oener massa electriciteit zeer wordt verzwakt door die van de door influentie op de afgeleide platen gebonden tegengestelde, en wel voornamelijk naar die zijde van de platen die van 't inlluonceerend punt is afgekeerd. (Zie bl. 32). Daardoor werken die platen als schennen. Zoodra de plaat echter niet is afgeleid houdt die werking weer op, zooals blijkt uit het geval, waarin de potentiaalfunctie is bepaald van oen influencoerend punt en eene niet afgeleide geinfluenceerde geleidende schijf. Het wegnemen van de bij influentie ontstane vrije, en dus met de influenceerende ge-lijknamige electriciteit is dus de oorzaak van die zwakkere werking.
Uit den stand der niveauvlakken volgt tevens die der orthogonale tra jectorien, die de richting van de Faraday'sche krnchllijnen aangeven. (Iaat men dus uit van werking op afstand, dan vindt men, dat de richting iler kracht dezelfde is als die, waarin Faraday zich voorstelde, dat zijne krachtlijnen werkten in oen medium, waarin de electrische werking van deeltje tot deeltje plaats heeft. Maxwell drukt dit in do voorrede van zijn work : »A treatise on electricity and magnetismquot; aldus uit; »Faraday, in his mind's eye, saw lines of force traversing all space where the mathematicians saw centres of force attracting at a distance; 1' araday saw a medium where they saw nothing but distance: Faraday sought the seat of the phenomena in real actions going on in the medium, they were satisfied that they had found it in a power of action at a distance impressed on the electric fluids.quot;
Ten slotte betuig ik hier openlijk mijn hartelijken dank aan hen, die mij bij mijne studie behulpzaam zijn geweest.
Inzonderheid hebben Prof. Enschedé en Prof. Salverda aanspraak op mijne erkentelijkheid voor do welwillendheid en de belangstelling mij in alle opzichten betoond, en de hulp, die ik dikwijls van hen mocht ontvangen.
Prof. Mees ontvange mijn hartelijken dank voor de leiding, die ik in 't algemeen bij mijne studie en in 't bijzonder ook hij do samenstelling van dit proefschrift van hem mocht ontvangen.
Prof. Hink, mijn hooggeachten Promotor, dank ik voor (ie nuttige wenken, die ook hij mij met de meeste welwillendheid heeft gegeven.
De voorkomendheid en vriendelijke hulp mij door Prof. Modderman betoond, gedurende den korten tijd dat ik onder zijne leiding werkte, zullen bij mij in dankbaar aandenken blijven.
De welwillendheid mij dezer dagen door allen, ook door die Hoogleeraren betoond, met wie ik wegens de richting mijner studie minder in aanraking kwam, waardeer ik ten hoogste.
De Heer Deutgen heeft mij bij mijne practische onderzoekingen op het Physisch Laboratorium alhier in vele opzichten met de meeste bereidwilligheid zijne hulp verleend. Ook hem betuig ik hier daarvoor mijn hartelijken dank.
ONTWIKKELING VAN DE POTENTIAALFUNCTIE VAN EEN OMWENTELINGSLICHAAM IN EEN PUNT DAAR BUITEN GELEGEN ,
VOLGENS EENE REEKS.
Do oplossing van hot bovongomold vraagstuk berust, volgons don gang, dio hior zal gevolgd worden, op do bepaling der potentiaalfunctie van een agens symmetrisch gelogen om oen as, in eon willo-keurig punt.
Met behulp van eenigo eigenschappen der kogelfunctien kan men die potentiaalfunctie gemakkelijk bepalen, wanneer men haar hoeft bepaald in een punt dor as. Die eigenschappen zijn bewezen en toegepast door Laplace en Legondre bij do bepaling van de attractie van sphaeroïdon. Legondre behandelde dit geval in eene verhandeling „Eecherches sur 1'attraction des sphéroïdes homogonesquot; geplaatst in do „Memoires do Mathématiquo et de Physique, Tome X, 1785.quot; Later gaf hij in twee verhandelingen „Recherches sur la figure des planètesquot; en „Suite des recherches, etc.quot; voorkomende in de „Histoiro do 1'académie, 1784 en 1789quot; eene meer volledig uitgewerkte theorie van de kogelfunctien, ook wel function van Laplace genoemd. Voor ons dool zullen wij gebruik maken van dat gedeelte der tweede verhandeling 1789, waar hij behandelt do „formules do 1'attraction pour les solides hétérogonosquot; p. 375 v.v. Laplace had intusschen do theorie van die function ook toegepast in eene vorhandoling „Theorie do 1'attraction dos sphéroïdes et de la figure des planètesquot; gedrukt in do „Histoiro de 1'académie, 1782quot;, hoewol minder volledig dan dit door Legendre was gedaan. Deze heeft echter in navolging van Laplace bij zjjne onderzoekingen van de potentiaalfunctie gebruik gemaakt.
2
Mot voorbijgang van hot mooi' omslachtigo bowijs voor do hior bo-dooldo oigonschap dor kogolfunction in do „ Savants étrangors, Tomo Xquot;, bovonvormold, door Logendro gogovon, volgt hior do wijzo waarop dozo on Laplaco dio in do bovenvorraeldo vorhandolingon bobben af-goloid. Wo beginnen naar tijdsorde met dio van Laplaco.
Zij OX do as, waarom eono aantrokkondo of afstootendo massa symmetrisch is gelogen, A het punt waarin een massaoloment is geconcentreerd, on P hot punt buiten die massa, waarin de potentiaalfunctie zal worden bepaald. Stellen we OA = r, OP — t, XOP = lt;/gt;, / XOA — lt;Ji' en lt;p en co' do hoeken, dio de meridiaanvlakken door P en A gaande met een vast vlak maken. Is AP = R gesteld, dan is
II = )/(r2 — 2ri cos '/.).....(1)
waarin cos / = cos 0 cos \ sin v'' sin cos (o' — y) .... (2)
Daar r'1 dr dlt;p' dlt;/'' sin lt;/'' een volumen-element voorstelt, terwijl wo do dichtheid door A voorstellen, zoo heeft men, ter bepaling der gezochte potontiaalfunctie V
jA r2 dr dlt;p' d^'1 sin lt;/''
2rlt; cos.....^
waarbij ten opzichte van r geïntegreerd wordt van r = 0 tot aan 't oppervlak dor sphaoroïde, ten opzichte van f van 0 tot 2~ en ton opzichte van lt;!gt;' van 0 tot
De dichtheid A is oen constante on kan dus voor hot integraalteo-kon worden geplaatst, daar do massa homogeen is verondersteld. Stolt men cos lt;,'• — x, dan vindt men door substitutie, dat V voldoet aau do difTerontiaalvorgolijking
o \ rfV 1
Deze differentiaalvergelijking kan dionen om de coëfficiënten te helpen bepalen, die optreden in do reeks voor V, gerangschikt volgons de afdalende machten van t. Stelt men namelijk
(0) (1) (n)
v = • • enz- • • • ^
en substitueert men dezen vorm van V in do vergelijking (4), dan vindt men, daar elko term eeno uitdrukking oplevert, die nul is,
[(n) -j(n) -j
(1 —ar) ^—1 ,,,!gt;) .
V 'dx * 1 ^-U . N TT ' « /PN
dx - r^2-^ M(M 1)u -0 • • (G) —1
Uit do ontwikkeling van R in eene reeks gerangschikt volgens de afdalende machten van t blijkt, dat do daarbij optredende coëfficiënten , en dus ouk de coëfficiënten U gohcole rationeele function zijn
._ namp;r2cl
-J V
'l(1
3
van cos 4't sin 4' sin f on sin 4' cos v, of van .r, [z7 (1—as2) sin f on
|/^(1—X-) (!0S f.
—1
Vorder vindt mon dat K aan dezelfde differentiaalvergelijking voldoet als V en zoo men stolt
—.1 p P r P v P t
T=R — 1 -4-5-^-1-^—1--1- . . -1— ——- -—1- ... (7)
^n l V '
(n) ^n) (n)
P aan de vergelijking (6).. Even als U is ook P eono goheeie ra-
tionoole functie van bovenvermelde function van 4' en lt;f.
—1
Vervangt men nu in (3) R door de rooks (7), dan vindt mon, door de komende uitdrukking aan do reeks (5) gelijk te stollou, daalde coëfficiënten van dezelfde machten van t aan elkander gelijk moeten zijn,
(n) SI n 3 (n)
= j r dr P d'p d4gt;' sin 4'
U
1 u -f 3 (n) ,
wanneer men den constanten factor A voor do dichtheid weglaat. Daar.r eono functie is van 4' en lt;f' moet die grootheid onder 'tinto-graalteekon blijven.
fn) . (n)
Is dus P bepaald, dan is volgens (8) U bepaald. Ter bopa-
(n)
ling van do functie P wordt deze ontwikkeld in eono reeks voort-loopendo volgons de cosinussen van do veelvouden van f' — f. Men stelt nu (n)
P = /3 -f- /? cos (50'—(f) -j- ... -j- /5 cos m {(p'—lt;f)
3 cos» (v'—lt;p)..............(9)
waarin de coëfficiënten (9 function moeten zijn van cos 4' en co» 4'' of x on x'. Substitueert men deze uitdrukking in de vergelijking (0),
waaraan, zooals gezegd is, ook p':quot; moot voldoen, dan vindt men, dat 'Sj moet voldoen aan de vergelijking
. rn 2\ dpa.v.\\
Daar deze vergeljjking lineair is en van de tweede orde moeten er twee particuliere integralen bestaan, die , ieder met een constante vermenigvuldigd, do vollodige integraal opleveren. Daar vorder do vergelijking 4J' niet bevat en (9nm toch eene functie van 4'' is, zal dezo
grootheid moeten optreden in die constanten. Verder blijkt, dat slocbts
1*
4
cenc der particuliere integralen eene geheele rationoele functie is van cos 0 of x, al of niet vermenigvuldigd met \/ (1 —x'1) naarmate m oneven of even is. Eone dergelijke functie hier ook slechts in aanmerking komen. ') Substitueert men namelijk oen dergelijke functie voor
') ïen einde de algemeene integraal van vergelijking (10) te bepalen, begint men met die van de vergelijking
(i - I7. - 2,. 'V -f nin -I- !)ƒ = ö .... (a)
te vinden, door substitutie van de reeks
a a — 3 a — 4 ƒ= x -h ö.2.r -f- o4.r ......(i)
Men vindt dan, ter bepaling van den exponent a, de vergelijking
o.(a -j- 1) — n{n -f- .......(c)
waaruit volgt, dat « =» en « — — n — 1 kan zijn.
Na vorder de coëfficiënten (z2, ai) enz. te hebben bepaald, vindt men,
dat, zoolang mod. .«gt;1 is,
f=aV -]-7;Q ........{d)
do algemeene integraal is van vergelijking (a), waarin de constanten a
en b nader moeten bepaald worden. Men heeft
(n) 1.3.5. . . (2« — 1) | n n(n — 1) n-2 S
P =------ —-----i----'• | as — — ' x . . I . (e)
1.2.....n l 2(2«— 1) .5 W
^(i) 1.2.....n E —ii —1 (» 4- d ) (n 2) —n —3 |
~ 1.3....(2«-fl) [ X ^ 2(2« -f • 3) X J ^ Differentieert men nu (a) m maal ten opzichte van x, en stelt men de mdo afgeleide van ƒ voor door y, dan vindt men de vergelijking
V~x-)^i~ll(m x)xd£c-\~(n-\-mJrl)(,n-m)9 = Q ■ ■ (f)
Stelt men verder m
iï = (aj2_l) g,
zoo vindt men de vergelijking (10)
Als particuliere integralen van deze vergelijkingen zullen nu beschouwd
fn) (n)
kunnen worden de m'lquot; afgeleiden van de function P en Q verme-
m 2
nigvuldigd met don factor (x2 — 1) . Dus is m
, „ ,2 n —m T, r n — m n—ni — 1 2« — 1 1
j3 = o(a3-—1) x I- I- ~ ,- -2 2
5
fi in do vorgolijking, dan vindt men, na de coëfticienton dor opvolgende machten van x gelijk nul gesteld to hebben, dat alle coëfficiënten van do functie 3 zoodanig van elkander afhangen, dat zo bo-
1 n.m 0
paald zijn, zoodra do coëfficiënt der hoogste macht bepaald is. Stolt men dus de constante voor door II, dan kan men stellen
als -! oono functie is van x. Daar echter in P'quot;quot;1 on dus ook in /9
x en x' op dezelfde wijze voorkomen moot II een factor bevatten, die op dezelfde wijze van x' afhangt als van x. Men kan dus stellen
waarin y eeno functie van de indices m en n voorstelt en onafhankelijk is van x on x'.
Daar we met een omwentelingslichaam te doen hebben, zullen de
fn)
termen van P waarin m een andere waarde heeft dan nul, gesubstitueerd in de integraal (8), na integratie nul geven. Men heeft dus te onderzoeken don term
(quot;)
P =/3
D.0
(n)
Om het gedeelte van P te vindon, onafhankelijk van lt;p — v , liet eenigo wat wij behoeven, stellen wij in li lt;.'/ = 0. Dan geeft do ontwikkeling van R in eone reeks als (7) voor don coëfficiënt van
n u -f- 1
r : t
(*) 1.3.5.... ('2« — 1) i 11 n (n — 1) n-2 »
p =-------------------------1 x ———---7— ® ••! (1^)
Deze uitdrukking zal dan gelijk zijn aan do waarde van /3 in (11)
voor m~0 en lt;/'' = 0. Nomen wij dus deze uitdrukking voor /, dan
als volgens do schrijfwijze van Clauss F do hypergeometrische reeks voorstelt, waarvan cle 4 daarachter geplaatste uitdrukkingen de elementen zijn, In 't gegeven geval zal voor x ~ \ p niet oa mogen worden. Daar dit voor die waarden van x wel 't geval is met de tweede functie in het tweede lid van de vergelijking (Ji), zoo moet de constante i ™ 0 zijn. De eerste particuliere integraal komt dus alleen in aanmerking. Daar te lt; 1 is, moeten we, als particuliere integraal, die aan de vergelijking (•10) moet voldoen, daar die niet imaginair mag zijn, den vorm m
2 n — m S n — m n — m — i 2b — 1 '11 a{\~x*) x F|- 2 '---2--- 2 ' ^ 1
aannemen, die met de aangenomene overeenkomt.
(Zie, Heine, Handbuch der Kugelfunktionen. 2te Auflage)
6
is voor (J) — 0 on in — 0 = 1. Stolt men nu vordor in R togclijk ip -.=■ 0 on ^' = 0, zoo goot't do ontwikkoling van 11
(n)
P = 1
Dus hooft mon voor ^ = 0 ^ — 1, on op dozolfdo wjjzo voor ~ 0 ;.'=1. Hieruit volgt wegons 1 voor lt;/'' = 0, dat ^=1 is.
Dus is
P = /9 =r .......(13)
r.o
waarin A wordt voorgesteld door (12) en X' door dezelfde uitdrukking, wanneer x vervangen wordt door oc'.
Deze waarde voor P substituoerende in do vergelijking (8) zoo vindt men, na integratie ten opzichte van
TT(ii) 2TTI Sin 3 (
ü —--— Ir Idx
waarin ten opzichte van x' moet goïntegreerd worden van -| -1 tot — 1. Stelt men nu
(n) 2?: ƒ« n 3 v 7
A =------— ■ I r /. dx'
» 3?/
zoo vindt men, na substitutie in do reeks (5)
„.A'V , A1quot;;.quot; , Aquot;/2' ,
In 't vervolg leidt Laplace den vorm van don algomeenen coëfficiënt /5 af. Voor ons doel is echter (13) voldoende.
n.m v '
De formule (13) wordt door Logendro in zijne verhandeling „Suite dos recherches, etc.quot; Histoiro de l'académio 1789, pag. 42G v.v, afgeleid uit de uitdrukking voor den alffemeenen coëfficiënt 8 , door
0 1 n.m '
hiorln = 0 te stellen. Die algomeeno coëfficiënt wordt op do volgende wijze afgeleid.
(n) n n 4-1
Uit de reeks (7) blijkt dat P de coëfficiënt is van r : i , en
zoo men nu R oflt; | 1 — ^ 2,-C°S — - ^ 2 ontwikkelt vol
gens de opklimmende machten van do tusschen haakjes geplaatste uitdrukking, vindt men voor dien coëfficiënt den vorm 1.3.5.... (2n — 1)1 nn (n — 1) n—2 i
1.2;... n~ * * 2-^=1) ^
Substitueert men hierin de waarde voor cos / uit (2), zoo vindt men voor ecnigo dor eerste coëfficiënten P (1)
P = cos (A cos (// -|- sin lt;/' sin lt;// cos {?' — y)
(2)
P = (I cos2 .//—.}) (^cos21}gt;' — i-)-|-3 cos tjt cos ,// sin sin i// cos (y' — y) -1- J sin2 V sin2 y/ cos 2 (^' —
(S)
P = (I COB' 1/. — COS !/•) (I COS3 '!' — f COS 1//) ^
4- ff (5 cos2 V' — 1) (5 cos2 '/•' — 1) sin ,/. sin cos (yi' — lt;f ) -\--j- cos '/' cos j// sin2 y sin2,// cos 2 (^' — y)
-|- I sin31/. sin31/'' cos 3 (y' — y).
Men ziet dat in dio termen, die do cosinnssen van do oveno veelvouden van lt;p' — y bevatten, gelieelo positieve machten van cos w optreden. Do overige bevatten daarenboven den factor sin 1/;. Stelt
men, als boven in P , den coëfficiënt van cos m {lt;fi ■—lt;f) voor door
/3 dan mag men stellen
n / n — m 11 — ui — 2
\ -1quot; 1gt;X ...../• • ■ • (16)
daar deze uitdrukking ten opzichte van x van den n'ien graad moet zijn, terwijl uit do substitutie in do vergelijking (10) volgt, dat de opvolgende exponenten mot 2 vdhnindercn. Door die substitutie vindt men dan tevens op welke wijze do cocfïlcionten a, h, c, enz. van elkander afhangen. Het blijkt dan, dat .'illo bepaald zijn, indien de eerste coëfficiënt a bepaald is. Stelt men verder do gelijke function
van x en x', die 3 bevat, voor door F (x) en F ' (x) , zoo hooft n.m ' \ '
men
(m) (ni)
i'i =« F (x) F («'), en dus n.m m N ^'
P = ^ ö F (cos ,/')F (cos 1/.') cos»»(y' — v) . ■ • (17)
m = 0 m •
Uit hot verband dor coëfficienton a) h, c, enz. zal vorder blijken, dat
m
2(2w_1)
is. Stelt men nu
F (x) — (1—X') 2 ö- (.-»).....(18)
dan is do tweede factor van het tweede lid dezer vergelijking oen functie van dien aard, dat
(m)
G (x) —---r is.....(IJ)
n—7n dx
Voor m ~ 0 is G( ) (x) = Flt; \x) = ^ ^n — \) ' ^20'*
als X dezelfde functie van x voorstelt, als P van cos ■/.
(m), , _ n—m (u — m)(n — m—1) ^
8
(0)
(0)
\V o vindon dus F m = ----------—
n dx
on zoo mon op dio wijzo allo volgondo function F uitdrukt in F , vindt mon
m
.0 m (0)
. , (\—x-)2 cl F
/ 'Yl \ N ' ___
tl
dx
v1 (m) 'm)
F (x) F gt;')
F quot;»(» — 1).... (n — »t 1) -TS- ' ' ' ' lt;«gt;
Tor bepaling van don coiifficiont a stolt mon in (15) x =- cos i/ = 0 sin 1/ on «' = cos = gt;rvgt;, waardoor sin V'1 don vorm j/quot; (— xquot;1) verkrijgt. De uitdrukking (15) wordt dan
1,3.5... (2n — 1) , n
-lT2 ....n--X ^ quot; C0S ^ ~
of, als men den laatsten factor in eono reeks ontwikkelt
n
lquot;-' (2« n_^ ^2-) 2 quot; cos^_1)^'_?,)_|_ij(-22) 1 .2.. M 2 B 1
In deze reeks is dus do coëfficiënt van cos m (p' — lt;p)
. nA~m , ^
'lt;— )••-r _ i..... f
2
Langs eon andoren weg kunnen wo nog eono andero uitdrukking voor (9^ ^ verkrijgen, voor 't geval, dat men daarin bovenvermelde
substitution uitvoert. Stelt men in
(tn) fm)
r ' quot;
m
cos V of x — 0, zoo bopalon we ons tot dio termen, waarvoor n-\-m
(ra)
oven is. Voor deze termon is dus ook n — m even. F (x) bevat dan dén term, waarin x niet voorkomt. Men heeft na deze substitutie
n — m
p(nl)(0)_ l-2...(« - w) (—1) 2
2 . 4 . .. (m — m) (2n — 1) (2w — 3) ...(■» w V)
Stolt men in don anderen factor x1 ~ lt;xgt;, zoo vindt men
m
(ni) 2 n
F (x') — (— 1) x'
n
3 n
1 o 1 . 2 .... (w — tn) (— 1) x'
quot; *quot; ^ n.= ^ 2.4.... (» -m) (L-1X2.-8).. (» ^ ï) lt;*'
9
Uit (23) on (24) volgt dus, voor mn oven,
1 ■ 3 .. . ■ (2n — 1) {2n — 1) {2n — 3) ■ ■. (n m -|-1)
ftm 2.4.....{n -|- m) 1.2........(n — m)
Voor m = 0 heeft men do holft van dezon coëfficiënt te nemen. Men verkrijgt dan
.....
Daar door de bovenvermelde substitution do termen, waarin n -|- m oneven is, verdwijnen, en ook do algomeone coëfficiënt van deze ter-
(n)
men moet worden bepaald, differentieert men P ten opzichte van en stelt daarna cos ^=0. Dan zullen alleen die termen blijven bestaan, die bij do vorige substitutie zijn verdwenen, en op dezelfdo wijze als boven vindt men dan voor den algemeenen term, voor m -f- n oneven,
1.3 . 5 . ... (2w — 1) {2n— 1) (2w — 3).. (w-f w4- 2)
ö|n 2, 4:,.,, (n m — 1) 1.2..............(» — w)
De boide formules (25) en (27) verkrijgen door herleiding denzelfden vorm, zoo dat men in allo gevallen hoeft
= 2 • 3 • 5 • • • • (2n — 1) y w(w —l(....(w—OT-f-1) (28\ m V 1.2_______ . n / (n -f-1) (n 2)...(« w)
Na invoering der functie X (20), vindt men, als eene dergelijke
(D)
functie X' op x' betrekking heeft,
__m m
Tgt;{n)/ \ sin quot;sin
P (COS 7 ) =22 --——----, ---.—t-----r
111= 0 {n—m 1) (M — m 2) • ■ (» m)
m fn) m Cn)
d X d X'' . , , ,9q.
Men vindt hieruit 2-
S* 'n) (n) (n)
/ P (cos x) d? = 2quot; X X' .....(30)
*0
Dus is hier hetzelfde resultaat verkregen als in (13)..
(n)
Substitueert men dus de reeks voor P (29) in de reeks (7) en deze in de integraal (3), zoo vindt men
/» t \ r» t \ r (l) (l) r2 (2) (2) 1
A r1 dr d,,.' sinI - X X' ^ X X' . J (31)
daar hjj de integratie ten opzichte van lt;p alle termen wegvallen, met uitzondering van den term, die van lt;f onafhankelijk is.
10
Substitueert men verder
/gt; m -|- 3 (m)
Ar dr=p
r» (m) (m) (in)
en I p X' dx = q
zoo verkrijgt men
eene uitdrukking overeenkomende met die van Laplaco (14).
toepassino di:k algemeene reeks voor 't oeval,, dat het punt is gelegen op de omwenteling sas.
Gaat men nu na welken vorm do uitdrukking voor V (32) verkrijgt,
wanneer het punt, waarin de potentiaalfunctie inoet worden bepaald,
in de as van symmetrie is gelegen, dan heeft men y. == O of a; = 1
(n) (n)
te stellen. Daar X eeno dergelijke functie is van a; als P van cos/,
—1
zal men, zoo men in R cos / door 1 vervangt on de komende uitdrukking volgens de afdalende machten van t ontwikkelt, als coöffi-
n n-f-l
cient van den nlgemeenen term r : t verkrijgen 1.
Men verkrijgt dus voor dit geval
v=- • • • w
Het verband tusschen de reeksen (32) en (33) valt dadelijk in 't oog. Beide reeksen zijn te gelijk convergent, daar do coëfficiënten X kleiner dan 1 zijn, uitgezonderd wanneer x=i is, daar in dit ge-
fa)
val, zooals opgemerkt is, X =1 is. ')
(n)
') Daar men dc functie P (cos d) kan voorstellen door eene reeks van den vorm
a cos nd -i- b cos (n — 1) d -\- c cos (n — h) d . . . .
die eindig is, daar n een positief geheel getal voorstelt, terwijl de coëfficiënten a, ft, enz. positieve getallen zijn, zoo blijkt, dat voor d — 0 de gt;j functie de grootste waarde heeft.
11
Hoeft mon dus do potontiaalfunctio van oon syramotrisch om oon as gelogen agens in een punt dor as bepaald, en voorgesteld door eone convcrgeorendo reeks, gerangschikt volgens de afdalende machten van den voorstraal t van dat punt, dan kan men door tpevoeging van
n
de function X als factoren aan die termen, en wel zoodanig, dat X
—(nf 1)
een factor wordt van den term, die t bevat, eene reeks ver
krijgen, die de potontiaalfunctio in een punt voorstelt, dat bepaald is door den voorstraal t en don hoek iquot;, als cos i/lt; 't argument is van X.
Is het punt zoodanig golegm, dat mon, om de potentiaalfunctie in dat punt door eeno convergeeronde reeks voor te stellen, die reeks moot rangschikken volgens de opklimmende machten van t, dan zal
(n) n
X een factor worden van den term, die t bevat.
Daar nu voor rf = 0 uit de ontwikkeling van (1 — 2a cos d-)-a2) ^
volgens de opklimmende machten van a blijkt, dat P (1) —1 is, zoo
(quot;)
zal ■! de grootste waarde zijn van P (cos d) en wel voor d = 0.
Voor d = ~ heeft men verder, als n een even getal 2k voorstelt,
(3k) (2k)
blijkens de bovenstaande ontwikkeling P (—l) = P (1) =-f-1, en,
(2k -f 1) (2k l)
zoo n = 1 kan worden gesteld, P (—1)= — P (1)= —
Het blijkt dus, dat voor waarden van d van 0 tot n de absolute waarde
(quot;)
van de functie P altijd kleiner is dan 1.
/
BEPALING VAN DK POTENTIAALFUNCTIE VAN EEN GEÏSOLEERD GELADEN SEGMENT EENER GELEIDENDE BOLVORMIGE SCHUIN EEN PUNT VAN DE AS VAN 'T SEGMENT.
Zij amh (fig. 1) do doorsnedo van 't segmont mot con vlak gaando door do as om, jj oen punt van 't segment, y liet punt der as, waarin do potentiaalfunctie moot worden bepaald, en / aom — / hom = y. We nomen q in dat gedeelte dor as, dat van o afgerekend van 't segment is afgekeerd. Zij oq—-cl. Als coördinaten van 'tpunt p nomen wo aan op = r den straal van den bol, lt;p den hoek, dien een vlak, gaando door do as en door 'tpunt p, met een vast vlak door do as maakt, en / mop — w. Dan is
2}q — \/(r2 -f- d2 2)'cZ cos («).
Nu heeft Thomson gevonden voor do som dor dichthodcn van de electriciteit aan weerszijden van 't segment in een punt p, wanneer dat segment geïsoleerd en geladen is tot een potentiaal C,
C l .r/ cosr-f 1 \ , , /cosco — cos/\ 1
a — ___ | )/ f-----------------\ -\- hg tg ]/8 , 1 I !
2--r ) \.coslt;« — cos;-/ \ cos ^ 1 / (
Daar vorder een vlakte-element van 't segment in 't punt p voorgesteld wordt door
r-sin ui (1lt;'J d'p,
en als men stelt
_Cr ]/(cos y t-1) Z9, ^ f* sin cu dut
1 2~'quot; *) »/ \7(r' 4- d2 4- 2rd cos lt;u) 1/ (cos «j—cos;-)
0 0
13
O-r v , . . COS Ü)-COS/
Cr f » n )CjUj{ cos y \ . j
on U2 == — I dlt;p 1 --;--r sin w dtu.
2-2 *J tJ l/(r- -4- di 2rd cosm)
0 0
zoo vindt men voor do gezochte potentiaalfunctie U in 't punt q
11=11, Uo.
Wo integreoren in lieido gevallen eerst ten opzichte van p, en na cos ai = a; en cos y — g io hebben gesteld, vinden we
TT _ 01.r (l -H) A______dx_____
1 - M . r*~ d*-2lt;,rd g^ d'x
1 17 V 2/'d ^ 2rd! 7
__ C KI £) . r -f d K(M (1 — g)) — 7:~v ' 2d '• -r-t- rf- l/(2rc? (1 - lt;7))
Door partieel te integreeron vinden we voor de tweede integraal
TT Ofr-M, ,/ 1 — r/ , ,.^ g) , r tf-T/(2^(i-g))
Ü2 — T 1 !/ 9 1 1 cj ^' U ■ • r-H y {2rd{\-g))
r — d , , r — d , '1 — ,9 i
- m.....h*quot;' -r ,i ^TT-yJ
Dus is
C b gt;• 1- d Y r — d . 1 t — d y
Voor cZcr is, als --- — [gt; wordt gesteld,
V
Voor is, als 1=P wordt gesteld,
ct
Voor d — r vindt mon uit (l) en (2) beido
Do gevonden integralen zijn geldig voor positieve waarden van d. Stelt men in de te intogreereu differentiaaluitdrukking d — 01 zoo verkrijgt men
oene waarde, die we later uit de alge'meene uitdrukking, voor U verkregen , afleiden.
Is y — ~ t zoodat het segment in 't goheole bolvormige oppervlak overgaat, zoo vindt men
U = C als d lt; r is,
on U = C/' als d gt; r is.
14
Wanneer wo nu uit (1) on (2) waarden voor U afleiden mut betrekking tot een willekeurig punt buiten dat gedeelte dor as, voor welks punten do potentiaalfunctio is bepaald, dan kunnen wo die functie ook bepalen in een punt van dat gedeelte der as, dat naar 't segment is gekeerd, en in 't verlengde er van.
IIEPALIHG DEK POTENTIAALFUNCTIE IN EEN WILLEKEURIG PUNT.
Do dichtheid der lading op 't segment is symmetrisch ten opzichte van do as md, We zullen nu do potontiaalfunctie dier lading bepalen in een punt q (fig. 2), dat bepaald is door den afstand oq — d on doq = v. Daartoe zullen wo die functie met betrekking tot etjn punt dor as, op don afstand d van 't middelpunt gelegen en voorgesteld door (1) en (2), ontwikkolen in convorgeorondo reeksen, gerangschikt volgens de opklimmende machten van p. Deze zijn van don vorm
U = -5- Ci/quot; C2P' quot;fquot; c3f'3 • 'Jvoor d lt;r en p
en U = ^c0p -f- clp'i -I-C3/)3 -|- . .J voor d gt; r en ^ = p.
Om nu de reeksen te verkrijgen, die do potontiaalfunctie in q voorstellen , voegt men aan do termen der voor U aangenomen reeksen de coëfficionten P0, P, ... . toe, waarin
n
— sin y
1 -|- ïp cos y -|- pl
15
Ontwikkelt men nu 't eerste lid dezer vergelijking in oeno reeks,
gerangschikt volgons do opklimmondo machten van /gt;, dan vindt men
— sin y • 1 i * O ■gt; • o i
— , 2 = — sin r P sm — p1- sm 3/- ----
i -|- 'ifi cos y H-1quot;
n n — 1 li -I- 1 n J (
(— quot;1) p sin ny r \ 8in(a-|-l)r—p sin(w-|-2)/' ' • \
Deze reeks is identisch mot do voorgaande, als
sin 2^ sin 3/ /,,■gt;quot; sin n?
- 8in ï i a2 = 2 — 3 ,.. • 1) ^
en = (—\) ^ p [sin (« -f-1) ^—/gt; sin {n -|- 2) Y ..] is.
De termen.der tusschon haakjes geplaatste reeks zijn kleiner dan die
1
van do reeks, welko ontstaat uit de ontwikkeling van - namolijk
\ 'ZTp = '0'! iquot;3 • * • •
Men kan dus stellen
dii •.n quot;I- ^ /gt;n£ , „ , . .
- = (— 1) —--als 0 lt; s lt; 4- 1 is.
Daar nu li --- f {/,) en =/'l(/)) continuo functiën zijn van
Ctp
p voor /' lt; 1, zoo heeft men, volgons de reeks van Maclaurin,
ƒ (/gt;) = ƒ (0) -f- /gt; f ('V) als 0 lt; ^ lt; -1- 1 is.
' Daar nu ƒ (0) = 0 is, zoo is
n n H- 1
n 4- 1 /; s
on lim. 11 = 0 voor lim. «= oa en /? lt; 1,
Wo vinden dus
Y sin ^ . sin 2/ .. sin 3y „
— - n - _ /gt;---------L n*
en na substitutie dezer waarde in (1) vindt men
De uitdrukking (2) verkrijgt den vorm
.„Cl sin r , sin 2gt;-\ |
U = _ j ( r sin r) ^ l—h - 2 J/'2 ••••]
Na toevoeging der functie P verkrijgt mm, als V do gezochte
n
potentiaalfunctio in q voorstelt,
■v Cï i • t sin r i sin 2r \ / sin 2r sin 3^^ ,Q,
V=--jH-sin;-—----1- - g— )!gt;-[ P^ 2 2 ) ( )
d 7 voor p= — en dlt;.r,
r ,
voor /O = — on r lt; a.
d
Stolt mon in (3) ^ = 0 zoo heeft men, even als vroeger is gevonden V = 0 (gt; sin y)
TT
Stelt men in (4) — 0, d. i. d — ™, dan vindt men
V= 0.
Ten einde do bepaling van nnmorische waardon der potentiaalfunctie V volgens (3) en (4), gemakkelijker to makon, zullen we die reeksen sommeoron, en wel vooreerst do rooks (3), daar uit deze do reeks (4) op een eenvoudige wijze wordt afgeleid.
Daar dozo reeks convergent blijft, ook voor 't geval dat allo tonnen positief zijn, zoo mogen we die reeks door andore vervangen, die verkregen zijn, door de termen in eono andere orde te nemen. Wo vorkrijgen dan (8) uitgedrukt in twee reeksen, die door begrensde integralen zijn te vervangen
De reeks (3) wordt nu voorgesteld door
v = — j H- S (- p)n P (cos '/) -1-
tt | i Tl n
~ sin (» -\- \ )y . Nn n / \
E—èVi—-(-/') P (C0S!/')
u n 4quot;1 n
Stolt mon do hierin voorkomende sommen voor door S on S, , zoo is
s = _ ^ pt .8ino2,V'2 p2 - -8inQ - p3 p3 ...
Na differentiatie ten opzichte van /gt; cn substitutie viin
iny — iny
als e de basis van 't nep. logarithmonstelscl voorstelt en -|- — ] —i is gestold, heeft men
— — sin y. P, -j- sin 2y . /gt; P., — sin 3;'. r'2 P3 • • • •
dp
p C- f - = — sin r . ^ Pi sin 2/ . p2 P., — sin 3^. P3 -j- .. ..
dp
17
1 l i — v „ I — 2'r at, 1 --2 1 — ' 2 —• • • |
1 ^ /v n 1 ^ _ iy n
2» . a iy / i 2»y -I 2i . „ —iy , . —2iy 4
(1-1-2/'« cos^-|-e (1 ! 2/'e cos^-j-e /gt;-)-
Na deeling door fgt; heeft men
dlgt; 2ip I iy liy i. „ -«V , , -2ir „,4- I
• (l-f^^e cos^'-fe (l-t-2/'e cos^-|-e /o2)^ ■
De algemeone integraal is
1 11 1 -|-^Veos 0 -f- [/'(1 -|~ 21»/'/ cos 0-1-~ 2i l quot; ~
_ I l.^ cos'''' 1/ C1 H- .....cos lt;,'■ • e 1 I congti
(O -*
1 1 -f-^e '' cos 0-11/ (1 -1-2/)« cos 0)
of . —L-L--------l-LJ:—i—1—C-----------I---- —-|- const.
1 cos 0 -1- \/ (1 -1- 2cos 0 -1- fgt;-e 11)
Daar nu do rocks, die do waarde van S voorstelt, voor ^ = O ook do waarde nul verkrijgt, zoo is, na substitutie van p — Ü in de al-gemcenc integraal, de bijgevoegde constante nul, en we vinden dus
g __ 4 / M-iquot;6 y cos 0 4- \/ (1 -f- Ipe '' cos 0 -1- e p'1)
' — . i iy i i i /quot; r\ i o iy i i 2iV 2\
1 -l-/'f cos 0 -1- 1/ (1 ! - 2pe cos0-l-e /' )
') Het is, bij de bepaling van de waarde der begrensde integraal tusschen O en p noodig de som der algemeene integralen te nemen, omdat de beide differentiaal-uitdrukkingen onder 't integraalteeken afzonderlijk oneindig groot worden voor p — 0. Dat echter de som der differentiaal-uitdrukkingen eene eindige waarde heeft blijkt uit de reeks voor
—~ gevonden. Die som is — sin /*. 1', voor [gt; = O. Men hoeft dus ook dp
S = O voor /lt; — 0. De discontinuïteit der differentiaal-uitdrukkingen,
rfS
die geïntegreerd moeten worden, is echter ingevoerd door met p te
dp
vermenigvuldigen en daarna de beide daarvoor gevonden reeksen weer door p te deelen. Door de som der beide uitdrukkingen, die de waarde
IS
Vorder is
sin 2/ , sin 3;- „
S, = sm r — 2 - 1', -I !}' /gt;- r, - • • •
. sin 2/' sin ,,
S,, =/gt;8, = sm •/■/gt;----k— r P| -f- f Pa — . • •
en dus 1 = sin y — sin 2/ . igt; P. 4- sin Wy. //- P„ — . . . dllt;
1
1 f «V 2iV . 3«V „
o; [ « — c /'P, 1« Pa - • • •
--e /'P.—e Pquot; Po H
w 1 ^ 1
(1 2/'e^cos^-|-e^^/i2)^ ' (-1 2/quot;« ^cos^-fe /'
on dus 8.= --.- ƒ ,
lhptJ / — 2IY , — ?/ , , .,.X 0 ( (e 2/56 cosv''--!- /'quot;)
2iy iy ^
(e i 2/'e cos 0
_ 1 cos v'' -j- /«e ^ jX(1 -|- 2/'e''' cos ^ -|- p'1 ^)
vos lt;1'-\- pe 1- [/(l-j-Q/'e '' cos i''/gt;2 c We vinden dus
v oil \-\-pe '''cos ^4 l/d ! -2pe ^ cos 4' -\- e P2)
' ~ ~ j H- o • ^ i~ v — q r
* ^ '1 -|-/?/ cos ^ -|- [/ (1 -|- 2^/^ cos (/' e l^P2)
'1 j coslt;{'-\-pe ^ -f 1/ (i -|- 2pe ''cos (p |
cosi/'-|-/'e ^ 1/^(1 2,quot;« ^ cos i/1 -|- e /)-) '
Do reeks (4) wordt dan ook voorgesteld door (5) nadat deze mot /gt; is vermenigvuldigd.
rfS
van —— voorstelt, to nemen , verdwijnt weer die discontinuïtoit. Daarom
sti'okt zich du integratie uit over tic som dor beide gebroken vormen en
moet men als algemeene integraal beschouwen de som der algemecne
integralen, die men na integratie der beide dllVerentiaal-uitdrnkkingen verkrijgt,
lit
Daar teller on noomor van clko dozer breuken geconjugeerde com-plexo uitdrukkingen zijn, kan men deze uitdrukkingen voor V nog een anderen vorm geven.
Door de substitutie
•1 -f- 2/gt;e ''cos (/gt; 1 e ' quot; /'2 = r (cos a ± i sin quot;•) ')
1 -|- ['e '''cos 4' = « ± ih en cos (!' \ - pc quot; ^ = c éz id
h 4- r' sin 4« d -|- sin | «
—^----2— = M ou -—— — N,
a cos Ja c -f- r' cos Ja
verkrijgt men uit (5)
- j ^ 1 2/1 -f/M ^ lip ' 1 — «N (
of' V = —- i y—hg tg M -|— bg tg N I . . . . (G) 77 | ' P ■ \
Do reeks (4) wordt dan voorgesteld door
V = | ÏP — ptytgW-A;- hg tg N | . . . . (7) Hier zijn M en N dus bekende function van /), y en i'', terwijl in (6) p — ^ is en d lt; en in (7) p ■= en v c d is.
Is r — d, en dus /' = 1, dan gaan (6) en (7) beide over in
V = ^ | r — hg tg M -r hg lt;,(/ N j .... (8)
') De teekons en — in het tweede lid van deze vergelijking correspondeeren niet met diezelfde teekens in 't eerste lid. Hier is bedoeld, dat i sin a het tceken -|- verkrijgt als bet imaginaire gedeelte in 't eerste lid het teeken -)- heeft, en het teeken — als het imaginaire gedeelte van 't eerste lid bet teeken — heeft. Daardoor kan men a altijd
tussehen o en t, en dus J a tusschen o en - nemen.
In 't eerste lid dezer vergelijkingen is
i; (2,« sin y cos i/j --f- p'1 sin 2y)
of ± 2/» sin y (cos w, -j- p cos -y)
de coëfficiënt van i. Dus kan cos « oen positief of negatief getal voorstellen; sin a echter altijd een positief getal. Van daar dat men « altijd tusschen o en ~ kan nemen.
o*
20
Men lean uit deze formule omgekeerd weer vinden, dat do potentiaalfunctie in een punt van 't segment do constante waarde C heoft. Dit wordt voor verschillende waardon van y, terwijl i' 1 wordt gesteld, op do volgende wijze aangetoond.
Zij y lt; 0 (fig. 3), dan is voor oenig punt van 't segment V' gt;
tt —Dus is cos negatief on cos y positief.
Stel cos '!' — —m en cos y—n, dan zijn m en n positief en m p- n.
iy 2iy
Dan is 1 2e cos'/'-j-e = 1 2 cos f cos y -| - cos 2y -|-(2 cos V sin y -j- sin 2y)i
— — 2mn ~|- 2m2 -f- 2 (n — m) i\/ {\ — n-) = 2» (m — w) — 2 (w — m) ]/ (1 — m'2) i = r (cos « — i sin «). Dus is r cos « = — 2» (m — «) on sin a = 2 {m — w) [/ (1 — n2) en r = 2 (w» — n), cos « = — n, sin « — [/ (l — »3) ,
■ i ; i i /C1 — cos «) , , / (1 «)
I/ i l/C1 H' «OS ,1/(1 —M)
cos V, « = I/ v-—2-- = 1/ 2
r2 cos4«=4-l/ ((l-»)(w—»)) r^sin^«=: -|- ((l n)(ra—n))
a = 1 -|- cos iii cos y = 1 — nm c = cos ^ cos)' — — m n
b = cos i/; sin y — — m \/ (1 —ri') d = sin y = (1—h2)
Na substitutie dezer waarden in (8) vindt men v=
Dit is dus de waarde van V voor punten van 't segment.
Voor het, tusschen de cirkels ah en ef gelegen gedeelte van't bolvormig oppervlak, waartoe 't geladen segment behoort, is cos ,/. wel negatief, maar m is dan kleiner dan n. Voor punten behoorendo tot
den hal ven bol fde is cos ^ positief; dan ligt f tusschen 0 en .
Voor punten behoorendo tot het segment a d h is dus n positief, m positief of negatief on m -}- n positief, als men stelt cos ^ = m on cos y = n. Dan is
1 -|- 2e cos'/-j e =2»(ot-|-«) ] 2i{in-\-n)'\/(\—«2)=),(cosfr,-|-«sin «)
Dus is r cos a — Ü» {m - | n) cu r sin a — 2 (»u -|- ») 1/(1 — «■) en »■ = 2 (m m), cos a — n, sin « = ]/(l — w2),
sin '/a a = -1- 1/-—2~- cos '/^ « —
I/ I/
r cos '/2 '/.=J/(()n-|~ »)(14-»)) r si11 '/a quot; = l/(('w fw) (''—quot;))
« = 1 -f- mu, h — m |/('1 — »2), c = m w, = V(1 — »2) on na substitutie vindt men
v__civ if n' V(X~n:1) [/((quot;^^(l—»)) I , 1/ (1 -- quot;■) j
quot; TT I 'J 'J 1 -j- W» -j- !/(('quot; w) (l '0) l/(ni j - w) I • Voor v'' = 0 is »« = I
on V = C;'.
Zij ^ gt; — (fig. 4), dan zal voor eonig punt van 't segment lt;!• veranderen van tt — y tot w. Dan is cos V' negatief van ({gt; — tot lt;/gt; = n
U
on positief van lt;p—T, — y tot V' = „ •
En 't eerste geval stollen we cos — — »1, terwijl in van ü tot 1 verandert, en cos y — — n.
In 1 2e1 cos c^' is 2 sin y (cos ,/, -j- cos;-) do coefficient van L Daar deze negatief is, stellen we
1 -|- '2c r cos '/- e2'' = r (cos a — i sin a)
We vinden dan, na bepaling van de waarden van a, h, c, d, 1/ 1/
r 2 cos '/2« en r sin l/.ia, on na substitutie in M en N,
f j 1 n'n quot;i l/((m I M) l'1 n)) Vj
CI' , , ]/(l — n-)) CI, In,
— — /- by l(J —-—— = _ y-\-K — y = c , daar
— cos y — cos (r — y) is.
Deze waarde van V geldt voor alle punten van den halven bol fee. Voor dat gedeelte, dat door de cirkels ah en ef is begrensd, is cos positief. Stellen we nu cos = m en cos = — n, dan is hier m lt; «.
De coëfficiënt '2 sin y (cos -|- cos y) is dan gelijk 2 (m — n) 1/(1 — n1) en dus negatief. We hebben dus weer
Ie * cos '/■ -j- lt;?''' — r(cos a — i sin «), en vinden dan weer
22
V^0 \y-batamV(i~W8)~V((W~m)(1quot;n)) \ hg | «0.
ie j 1 — raw -|- V(in — ni){i -f- n)) y(«- to) |
Voor eon punt van 't segment hda is, als men weer cos y,——m
en cos Y — —n stelt, m gt; n.
Dan is 2 sin y (cos cos r) — 2 (m — ») ]/ (1 — n2) en dus positief.
Als boven vindt men dan, als men
•1 2e^ cos V -j~ = r (cos « -f- i sin «) stelt, r = '2 (m — n), cos a — —n , sin « = |/ (1 — n2),
r cos '/2 a — V ((«»- m)(1 —m)) , r sin '/a « = I/ ((m — w) (1 -f »)) _ to 1/(1 — rï1) -f V ((m — n) (1 -f n)) _ V (1 -\-n) 1 — tuil y ((m — «) (1 — »))' ]/ (m —n)
en voor V' = 0 vindt men dan
M = N en dus V =
Zij y — quot; (fig. 5). Voor een punt op 't segment ach is cos f nc-gatief. Stol cos y = —w , dan is
V = —- 1 -j- hg tg Y rn by tg y ! = C. - I 2 1 * J v 1 J J Ym\
Voor een punt op 't segment adh is cos i/- positief.
Stel cos V' = w, dan is
v ■= -7 I 2 — % I/'W % tg ym j = v 171 — 2 UJ V m I. c
Voor lt;t'' — 0 is V= , overeenkomende mot do algemeene waarde
van V in het punt fZ, nl. _ , als men hierin f stelt.
Voor V'— , d. i. m — 0 vindt men uit do beide laatste waar-2t
den voor do potentiaalfunctie
V = C,
d. i. do waarde dier functie in een punt van den rand van 't segment.
Uit het bovenstaande blijkt, dat do algemeene waarde voor V gevonden, als p—\ is, eono continuo functie is van ,/, voor hot gedeelte van 't bolvormig oppervlak, dat niet tot hot segment behoort, en die voor een punt van 't segment V de constante waarde C heeft, waarvan men is uitgegaan.
Wo /-ullcu uu do tbrmulos (6) on (7) horleidon voor 't goval, dat hot sogmont hot hfilvo opporvlak van don bol bovat, zoodat y — ^ is.
Voor waai'don van ^ van 0 tot stellen we cos --m, waarin
u
in dus oen positief getal.
Is dan 1 — f)* -|- 2flmi = r (cos a -f- i sin «)
dan is r ~ |/ ((1 — ^2)2 i/rm-)
-1 — ^______. _ 2nm______
008 a y - ^.,y, _j_ — /j2)' -f- Atrni')
zoodat in hot eerste quadrant kan genomen worden.
We vinden dan r 2cos l/2a = l/l/2j l/((l—/gt;*)*-{-i/j-m1)-]-'! —/gt;l\ =Igt;
en r sin '/-iquot; = V 'A I Kft1 —/)3)2 4lo,im2) — 1 -\-pl j = q I/
cn |/(1 —/'2-|- 2/'?» ï) 2 (cos '/2« -f i sin '/2«) — ^ -|- iq.
Vorder is a = 1, b = /»»?, c =^in, d ~ /),
/)»! i '/ /gt; -)- lt;J
en dus M == . , en N = ■ ,
1 p m p
en dus V = ^ f ~ _ i,, ,/'quot;L±'' 1 l.,u, '4« 1.
Deze uitdrukking is nog vooi' vereenvoudiging vatbaar.
Daar pq — «iu is, zoo is
'/ iquot;/'/ _
•1 -|- p i -P p pq ,
n 4 (/ ' '' «f/ -f 'quot;7 '/
en -- = —,quot; = / , \— )
in H- ]gt; vi -\-p m{m p) in
en dus is V = ^ r 2 — hij Uj q ^ hg tg ^ j----(9)
Voor waarden van V van quot; tot n stollen we cos ,/, = — n), zoodat
u
ui weder een positief getal voorstelt.
Wc stellen dus 1—/gt;2 — 2pmi — i'(cos a — i sin «),
zoodat we bij het trekken van den vierkantswortel als boven vindon
r 12 cos '/.j o. — p r 2 sin '/2 « = q
cn |/ (1 — //' — 2/jmt) —p — iq-Vorder is a — 1, b = — , 0 — —• gt;», d ~ f,,
«quot;quot;u.H =
0„ lt;ius V = ® 1quot; 2 !gt;»lt;SIH- ' lt;gt;0'a
24
Even als boven vindt men wcci' C
V =
Uat voor positieve en negatieve waarden van cos «' de derde term van het tweede lid in do vergelijkingen (9) en (10) onveranderd blijft, volgt ook uit de coëfficiënten Pn in de reeks
v, sin(w-f l)/'/ n S n I 1 {- /') Pn (cos v'O
daar n hier voor y = T slechts evone waarden kan hebben, en
M
P (x) — P (— x) is.
2m v ' 2m v
Evenzoo is de tweede term van het tweede lid in beide vergelijkingen van verschillend teeken voor positieve en negatieve waarden van cos V', omdat de reeks, door dien term voorgesteld, slechts de termen met Pn, als n oneven is, bevat, en
P (x) — P (— a:) is. 2m-|- 1 1
De formule (6) verkrijgt dus den vorm (9) of (10) naar gelang V lt; of gt; is.
u
Uit deze beide formules vindt men dergelijke uitdrukkingen voor (7)
V
als men ze met /gt; vermenigvuldigt en dan p = — is. (»• lt; d),
(t
Voor /gt; = 1 gaan dus beide stelsels waarden in elkander over. Ook gaan voor V' — de uitdrukkingen (9) en (10) in denzelfdcn vorm over,
'2
namelijk
v = v [i 7 ho 'gt;, .1 | = v [f '
door — te vervangen door —— en dan m — o te stellen.
Voor f = —vinden we dus uit (3) en (4)
V = C
P quot;quot; ml \ n ^ ^
2
lt; y lt; w
on \ = fC^-l-hgtgq
en
en V = fC [2 - hg tg q hg tg
• (9)
(9a) (10)
(10a)
25
Do beido ecvsto formules gaan wcor over in do algomoono waarden voor do potentiaalfunctie van 't geladen segment in een punt dor as van het middelpunt des bols gerekend naar die zijde, die van 't segment is afgekeerd, nl. de formules (1) on (2), waarvan we zijn
uitgegaan, als men in deze ï ~ stelt. Stelt men namelijk in de for-
77 .
mulos, die voor waardon van V' gelden, zoodanig, dat 0 lt; V lt; ^ 18, ^ = 0, dus w — 1, dan vindt men
en V = /)C J 2 b0 t^lgt; |-Stelt men in (1) f , zoo vindt men
en (2) wordt nu
ISVhKSlU VAN T VI,AK VAN EEN CIRKEL TEN OPZICHTE VAN EEN PUNT DUITEN DEN CIRKEL AT.S INVERSIE-MIDDELPUNT.
Zij AB (fig. 6) do doorsnede van don cirkel mot 't «y-vlak, loodrecht op do as-as, terwijl hot middelpunt M in dat vlak ligt. Do cirkel ligt dus symmetrisch ton opzichte van 't .ry-vlak. Do «-as wordt in ]', 't inversie-middelpunt, loodrecht op do beide andore assen gedacht.
Stel \'(i = a, AM —BM~ r, do straal van don cirkel. Zijn x, y, z do rechthoekige coördinaten en p, fgt; en ogt; de polaire coördinaten , ft do voerstraal, lt;p do hoek, dien deze mot do agt;as maakt, en lt;« de hoek, dien het vlak, gaande door den voerstraal on do re-as mot 'tvlak xij maakt, dan wordt hot verband dozer coördinaten voor-gestold door
x — /gt; cos c y — /gt; sin f cos ogt; z = ,« sin sin w oï r—-V{x1-\-y'^rz-), cos lt;p — . gt;7 -t—, .,N, tg «' = quot; • • (1)
Do vergelijking van 't vlak van den cirkel AB is
Is li do inversie straal, dan hoeft men, na inversie,
= a sec v of ft — cos lt;p.....(J)
Doze vergelijking stolt oen bol voor, waarvan de straal r' afhangt van li en a, volgens do vergelijking
.Noemt men 'p — , zoo is = O, waaruit blijkt, dat hot bol-
u
vormig oppervlak door den oorsprong gaat.
27
TC , - v
Voor if — - - volj^t editor uit. [2)
d. i. do cirkel gaat dan over in een vlak, dat zicli naar allo zijdon oneindig vor uitstrekt. Wordt dit laatste echter niot bedoeld, dan blijkt hieruit, dat dat gcdeolto van don bol (3), dat door inversie van don cirkel is verkregen, niot door den oorsprong kan gaan.
Door do substitutie van (1) in (3) verkrijgt men voor do vergelijking van don bol O'P in rechthoekige coördinaten
xl -|- y2 -j- ;2 — 2rx = 0......(5)
Terwijl de omtrek van don cirkcl AB kan beschouwd worden als do doorsnede van 't vlak (2) met oon bol zoodanig gologon, dat do oorsprong van coördinaten in 't oppervlak van dien bol is gelegen, zoo kan men den cirkel, die 'tbolvormig segment begrenst, beschouwen als de doorsnede van 't bolvormig oppervlak (3) en een plat vlak. Dat platte vlak moet dan door inversie vorkrogon worden uit 't bolvormig oppervlak, dat door P en den omtrok des cirkels AB gaat. We hebben dus oerst de vergelijking van dit bolvormig oppervlak te vindon. Dat vlak gaat door den oorsprong P en dan is, voor
a; = 0 ook y — 0 en s = 0......(6)
Hot gaat tevens door den cirkelomtrek AB, dio bepaald is door do vergelijkingen
x~a, {ij — hf -1- z- = r-.....(7)
als de coördinaten van 't middelpunt M zijn:
X = Cl, y — l) , 2:=r-0.
Is dus
x2 y- -f- z1 -j- ax /?// yz o — 0 .... (8) do gezochte vergelijking, dan geeft (6) do voorwaarde
Do substitutie x — a moet volgens (7) do komende vergelijking identisch maken mot de tweede vergelijking (7).
Dit geeft /9= — '26, / = 0, o. = ^ quot; — ' .
Het bolvormig oppervlak (8) wordt dus voorgesteld door
7 2 lt;2 | '_gt;
x2 -f- y- -j- z2 -f- —-------quot;-------x — 2 by = 0 . . . (ü)
(C
of in polaire coördinaten
p2 -|- --^——— cos lt;p — 2b sin lt;r cos w ^ = 0 . . (10)
of fgt; — ———--------^ cos ^sin 55 cos lt;«, als wo don wortel /)=()
ctgt;
verwaarloozon, die aanwijst dat hot bolvormig oppervlak door P gaat.
28
Wc vci-vangon nu p door on vindon dan
P
/ h'1 — a2 — r2 \
I-----^---cos lt;p — 2b sin lt;f cos quot;gt; \ p Ji- — 0
- R2= 0.....(11)
of in rochthockigo coördinaten
a- -J- r2 — hl
--L-------x
a
als de vergelijking van oen plat vlak, dat loodrecht staat op 't .cy-vlak en van 't bolvormig oppervlak O'P een segment afsnijdt, dat door inversie van den cirkol AH wordt verkregen.
De stand van do as van 't segment, die in 't a:y-vlak ligt, wordt bepaald door den hoek, dien deze as, gericht van 'tmiddelpunt des bols naar 't middelpunt van 't segment, mot het positieve gedeelte dor a-as maakt. Noemen we don hoek, dien deze boido richtingen met elkander maken, ft, dan volgt uit (11) ^
Is l) — 0 en a2 r'1 — Ir positief, dan is /5 = 0.
n h positief en a1 r1 — h1 positief, dan ligt ft tusschen 0 en ^
n b positief en a- r'1 — h'1 = 0, dan is ft = ^
u
„ h positief en «--j r'1—h2 negatief, dan ligt ft tusschen en ')
') Men kan ook op do volgende wijze aantoonen, dat deze waarden van «2 -|- r2 — b1 en ft bij elkander behooren. Daar de cirkel en 't segment ten opzichte van 't xy-vlak symmetrisch liggen, zoo is de stand van beiden bepaald door dien van de rechte lijn AIS en van den cirkelboog A'B', (fig. 7).
Daar Ali = 2r, zoo is r = ^ (AD — BD) en J = £ (AD BD). Dus is u1 r1 — b2 — a- — AD . BD.
Zij ^E'PD = 450, ,/ APE = , lt;/EPB = s) de beide laatste hoeken aan weerszijden van PE gelegen, dan is
AD =z a tg (45 -j- S) en BD = a tg (45 — s)
en dus «2r2 — b1 = d1 |1 —tg (45 -)-(?) tg (45—c)| = a'-! 1 '—
tg (45 -f ^1 tg (45 ~\- e)J'
Naar gelang nu a2-|- r2 — 62lt;, = of gt;0 is, is lt;?gt;, = of lt; en dientengevolge ft gt;, = of lt; -quot; , daar ft den hoek voorstelt, dien de
A
loodlijn uit 't middelpunt O' des cirkels op A'U' neergelaten, met PD maakt.
29
In al doze gevallen is het segment ontstaan door inversie van oen cirkel. Deze kan echter overgaan in een vlak, dat aan do eene zijde begrensd is door oen rechte lijn, loodrecht op 't .«/-vlak, en dat zich overigens naar alle zijden tot in 't oneindige uitstrekt. Dan zal de oorsprong van coördinaten juist op don rand van 't daarbij behoorende segment zijn gelegen. Do gevallen voor negatieve waarden van h behoeven niet te worden nagegaan, daar men deze woor, door de richting der y-as om te keeren, kan brengen tot de bovenvermelde. Stelt men / A'O N' = B'O'N' = y dan is
ON'
co^= 0,A,
Daar de lengte der loodlijn uit eon punt (x', y') op de lijn A.r -f-By C — 0 neergelaten, voorgesteld wordt door
Ace' Bw' C
R2
cn, voor het punt O', a?' =r. — (zio 4), v/' = 0,
en voor de lijn A'B' A — -----—, B = 2amp;, O = — R2
is, volgens (11),
. R2 (r2 — a'1 — h2)
ZOO IS ÜM' = li- . , „ . ,a.
'2a [/ ((cr -f r' ~ 1 4a- b-)
r1 — a1 — h1
cn dus cos r = ± T7~rr.7i-----2- -
y ((«- r- — h')1 -\- ka- h-)
Om te beslissen, welk teeken hier moet genomen worden, hebben we te letten op den hoek APB. We hebben / A l'Ii = / A'O'N' =y.
Daar PM = |/ (a2 h'1) en AM = BM — )• is,
zoo is, als y lt; 90 is, PM gt; AM of a--\-„ r=90 B a2 -f h'1 = r-,
„ /- gt; 00 „ a14- h2 lt; r2.
Deze waarden van y vereischen resp. cos y positief, nul, en negatief, en dit wordt volgens bovenstaande formule voor cos /'verkregen, als men het negatieve toeken neemt, want in dat geval wordt de teller dier breuk resp. positief, nul en negatief
Daar y tusschen 0 en ~ ligt, hooft Ujy hetzelfde teeken als cos y, en we vinden dan y eenvoudiger bepaald door do vergelijking
Is een punt Q door zijne rechthoekige coördinaten x, y, z gegeven, dan vindt men voor de coördinaten ?/', z' van het door inversie verkregen punt (J'
30
Vorder is 0'Q' = ri' = ]/ ((ic —r')'1 -|- y1'1 -j- z'-)
terwjjl 0'Q' mot do drie assen hookon maakt, wier cosinusson voorgesteld worden door
x' — r' y' z'
(V d' d'
Stellen we / Q'O'g — '/■, /00 wordt deze hoek bepaald door do richting, die O'Q' en O'D' van O' uit getrokken met elkander maken. De hoeken, die O'D' met de assen maakt, zijn 180 -j- /5, 90 -\- ,5 en 1)0°, en dus vinden we
cos'/'— — ^—^cos/3— - sin/? , . . . (15) d d
x—r y
-—,7—-cosV d d
Daar we in 't vervolg voornamelijk de waarde van
O Q'_ _ d' OP ~ r'
(fig. 6), of' het omgekeorde hiervan, en die van cos / Q'O'D' — cos 1/. in do coördinaten van (i moeten uitdrukken, zoo heeft men, als Q' binnen den bol en dus hot punt Q aan de andere zijde van de schijf AB ligt, als hot punt P,
(J _ _OQ __ t'
r ' PQ t.......^ ^
wanneer PO = 00 is, daar uit do vergelijking PQ X PQ' — PO X PO' volgt A PQO A PQ'O'. Ligt Q' buiten den bol, dan hebbon we eveneens
r' = PQ- = '.......(17)
Tovons is, voor punten in het vlak, dat door PO en 't middelpunt M van den cirkel gaat,
Z PQO = Z PO'Q' = quot; — ,5
of V' = ;? -|- Z PQO.........(18)
Zijn de stand en de afmetingen van don cirkel AB en van do punten P en Q gegeven door de grootheden a, h, r, x, y, «, of t, t' on Z PQO (als deze hoek op bovenvermelde wijze is bepaald , voor 't geval dat het vlak, dat P on Q bovat, door M gaat) dan zijn het door inversie hieruit verkregen bolvormig segment A'B' en 't punt Q' bepaald door do formules (4), (12), (13j, (14) en (15) of (10), (17) on (18). Wol komt in eenige van dozen nog de inversiestraal 11 voor, maar deze valt, zooals later zal blijken, weg, wanneer de potentiaal functie van den afgeleiden gcïnfluenceerdon cirkel in een punt Q bepaald wordt uit die van 't geïsoleerd geladen bolvormig segment A'B' in 't punt Q'.
ISEPAUNO VAN DK P O T F, N TIA AI, F U N C TIK EKNElt XAAU DEAARDE AFOEEEIDE CIUKELVOBJIIOE SCHIJF, GEÏNFLUENCEERD DOOR BENE IN EEN PUNT BUITEN HE SCHIJF GECONOENTRBERDE ELECTBISCIIE MASSA, IN EEN WILLEKEURIG PUNT.
Zooals boven is vermeld, kont men do dichtheid eener elcetrische lading op oen geïsoleerd geladen segment A'B' oener bolvormige schil. Wordt dat segment geïnverteerd ten opzichte van oen punt P op 't oppervlak van don bol, waartoe dat segment behoort, dan verkrijgt men een cirkel A15. Denkt men zich do schijf zóódanig met electri-citeit geladen, dat de dichtheid c in oen punt S staat tot do dichtheid e' in 't overonkomstigo punt S' van 't segment, als PS tot li (de inver-siestraal) of als li tot PS' (daar li2 = PS x PS' is), dan zullen do potentiaalfunctien w en v van die massa's resp. in Q en Q', die elkanders beeldpunten zijn, voorgesteld worden door
«s quot;
en deze function staan, zooals zal blijken, in oen zeer eenvoudig verband met elkander.
Daar PS X PS'— PQ X PQ is, is A PQS A PQ'S'.
Dus heeft men QS : Q'S'=PS : PQ =PS . PQ : PQ'. PQ=PS . PQ: li2.
Vorder is aangenomen e : e' = PS : li.
Uit de beide laatste evenredigheden en do waarden voor v en w volgt w.v=li: PQ.
Deze verhouding hangt dus alleen af van den inversiestraal Ji en den afstand J'Q. Voor de electrischo massa in twee andore overeenkomstige punten van schijf en segment zou men dus dezelfde verhouding verkrijgen, als men aannoomt dat do dichtheden overal op do bovenvormeldo wijzo van elkander afhangen. Wo vinden dus, als we dit laatste aannemen on W en V de potentiaalfunctien van de schjjf en van 't segment, resp. in Q en Q', noemen,
W_VXli quot; PQ
Lag hot punt Q op do schijf zelve, dan zou Q' ook op quot;t segment liggen, en voor do potentiaal functie dor op bovenstaande wijze geladen schijf in oen harer punten vindt men, als men C do constante waarde dor potentiaalfunctie van 't segment in eon harer punten noemt,
PQ
Donkt mon zich nu in P oeno massa eloctriciteit geconcentreerd, voorgesteld door — CR, dan zal de potentiaalfunctie van die massa , gevoegd bij die van de lading der schjjf in een punt der schijf zelve, nul zijn. Dezelfde waarde dier functie verkrijgt men als de schijf naar dc aarde was afgeleid, terwijl in P eene massa electriciteit — CR or influenceerend op werkte. De aangenomen dichtheid der electriciteit op do schijf is dus dezellde als die, welke op do aldus geïnfluenceerde en naar ile aarde afgeleide schijf zou ontstaan.
Ligt dus 'tpunt Q buiten do schijf, dan is de potentiaalfunctie van de door intluentie op de schijf verkregen lading
VxR PQ
on die dor massa — CR in P geconcentreerd
— CXR PQ •
Noemen wc X de totale potentiaalfunctie, dan is, als wc — CR — M M .
stollen en dus R = — ^ is,
......
Daar do totale potentiaalfunctie gelijk is aan do som van de poteu-tiaalfunction van 't eleotrisch punt en van die der afgeleide schijf, zoo
MV , ,
is dus de laatste gelijk aan die eener massa — - geconccntreerü
in 'tpunt, waarin tevens do massa M is geplaatst.
Substitueert men hierin voor V do vroeger verkregen waarden (zie Hoofdst. II, 9, 9a, 10, 10a), zoo vindt men do gezochte potentiaal-functie, die nu alleen afhangt van de grootheden, die den stand dei-schijf AB ten opzichte van 't influenceerend punt P aangeven en die do massa electriciteit bepalen in P geconcentreerd.
Mon vindt dan, als men PQ = t stelt,
X=y [1 * ^tgq-^hgtc,^
x = 7 [i - j Y - V ^ a- i h(J ^ 11 ]
Voor m = 0 gaan (20) «n (21) over in
. . . (20)
0 lt; '!' lt; y
. . . (20a)
• • • (21)
* ,
Tlt;^lt;7r
. . . (21 a)
voor do punten van den boog AO,
en ('20a) en (21a) in
voor do punten van den boog AP.
Voor m — l gaan de vier uitdrukkingen voor X in die orde over in do volgende
M
t
voor de punten in de as der schijf, en wel voor die, resp. gelegen in OX, XP, OC en PC.
Uit do eerste en de derde formule volgt voor /) = 0 en t = 2, de waarde van X in 't punt O; uit de tweede en do vierde voor f = 0 en i = 0 die in 't punt P n.1. X = 05.
Neemt men p = ■i , zoo geven de formules (20) en (20a)
X —• bgtg 1/m......(22)
terwijl do boide overige waarden van X geljjk nul worden, onafhankelijk van de waarde van m. Hieruit blijkt dus, dat de waarde der potentiaalfunetie op de afgeleide schijf, waarop de waarde 'P lt;n en gt;
betrekking heeft, nul is. In 't vlak der schijf zal op oneindigen
afstand de waarde der potentiaalfunetie eveneens nul zijn, omdat volgens (22) X = 0 is voor lt; = cv. Van do schijf tot op oneindigen afstand verandert do potentiaalfunctie van 0 tot 0, zoodat er oen maxi mum waarde moet bestaan, daar die functie niet negatief kan worden.
Wo zullen voortaan aannemen, dat het influenceerend eloctrisch punt gelogen is in de as der schijf, op oen afstand van 't middelpunt gelijk aan den straal der schijf. Voor dit geval wordt in fig. 6 PG = AM en MG = 0. Dit geval is voorgesteld in fig. 9. Wo stellen verder PC = AC — 1 en nemen aan, dat in P de eenheid van positieve electriciteit is geconcentreerd.
Bepaalt men dan de punten in 't vlak der schijf door den afstand tot hot middelpunt en stelt men dien afstand voor door r, dan vindt men op de volgende wijze de waarde van r, waarvoor X een maximum waarde verkrijgt.
34
Hier is do hoek, dien do voorstraal t naar eon jsoodanig punt met 't vlak der sehjjf maakt, {/2 4' en dus
PC
t = ———,
sm '/2 V
waarin PC = 1 011 sin '/2 V' = j/ (1 — cos'/') = |/quot; -—2~ moc^ worden gesteld.
2
Daar dus lt; = I/ ^------ is, hooft men
y 1 — m
X = I/' (1 — m) hg tg \/ m
7C
Stolt men ]/%» = «, zoo is
X — l/quot;( 1 — »-) hg tg n
TC
(ZX_|/a2 |V (1—w2) nhgtgn quot;I
Gn Hn V 1/ (1 - M2) I
Daar j» tusschen 0 en 1 ligt, hooft men ook
V (quot;1 —«2) n ba tan n Stelt men nu , ,—■— — ,. — 0, zoo vmdt men
1 K (1 — M2)
0,065 lt;u lt; 0,666
„ , 1-1- m 1 -|- n2 .
en daar r^—t' — 1 == ---— -5- is, zoo is
1 —m 1 — n1
Voor r = l,61 vindt men tot in 4 decimalen X = 0,1072. ') Onderzoekt men de waarde dor potentiaalfunctie in de as der schijf, dan vindt men, dat zij in C (fig. 9) nul, in P oneindig groot, en in een punt aan weerszijden van C op oneindigon afstand nul is, zooals boven is opgemerkt. Daar vorder de waarde dier functie positief is, zal or een maximumwaarde moeten bestaan aan die zijde van de schijf, die van P is afgekeerd. Van C tot P groeit de functie aan van nul tot oneindig groot. Van P in dezelfde richting langs de as noemt ze weor af van oneindig groot tot nul.
Om nu het punt dor as te bepalen, waarin do potentiaalfunctio de bovenvermelde maximumwaarde bezit, dienen we te onderzooken voor welke waarden van /gt; do uitdrukkingen voor X volgens (20) en (21) maxima worden.
') Bij de constructie van niveaulijnen blijkt, dat die, waarop de waarde van X bij benadering 0,2 bedraagt, de lijn, die 't verlengde uitmaakt van de middellijn der schijf bijna aanraakt op een afstand van 't middelpunt der schijf, die vrij wel met de voor r gevondene overeenkomt, (Zie fig. 10)
35
Nu geldt (20) voor dat gedeelte der as, dat in 't verlengde van CO is gelegen, tot op oneindigen afstand. Stelt men in deze uitdrukking
t'
in=\ en p— . ,
t
'2
terwijl t' = t — 2, en dus t — -- is, zoo vindt men
Xquot;L2- [Y-1^ 'iquot;quot;quot;]
Voor een punt op oneindigen afstand van O gelegen, is lim.
waaruit volgt
lim. X = 0.
Voor /' = 0 vindt men bij benadering X = 0,091, welke waarde voor 't punt O geldt. Differentieert men X ten opzichte van p, zoo vindt men
dx_ i r* (i —/gt;)2 , P2 — \ . . i dï--^ Iy /,(! /,2) fi2 hgtgp\
Terwijl p gt;0 en lt; i is, vindt men, na substitutie van daartus-schen gelegen waarden voor p in de bovenstaande afgeleide functie, dat deze positief wordt voor /gt; = 0/2, en negatief voor /gt; = 0,3. Bij nader onderzoek blijkt, dat de afgeleide functie nul wordt als
0.24 lt;/gt;lt;0,25 en dus 2,63 lt; ^ lt; 2,67 is.
Voor eene waarde van t tusschen deze grenzen verkrijgt dus X eene grootste waarde.
De uitdrukking voor X, volgens (21) geldt voor het gedeelte OC van de as. Gaat men, als boven t vervangen door eene functie van /gt;, en zoekt men dan de eerste afgeleide functie, dan vindt men, dat deze voor waarden van /gt;, van 0 tot 1, altijd negatief is. Er bestaat dus voor die waarden van p geen maximum van X, voor dit gedeelte der as.
3*
BEPALING VAN DE POTENTIAALFUNCTIE EENEE GEÏSOLEERD GELADEN CIRKELVORMIGE SCHIJF IN EEN PUNT VAN DE AS DER SCHIJF.
Zij AB (fig. 8) de doorsnede van de schijf met een vlak gaando door de as XY, C het middelpunt, P een punt der schijf en Q' een punt van de as, waarin de gezochte potentiaalfunctie moet worden bepaald.
Is AC = a de straal der schijf, PC = r en CQ' = lt;Z, zoo vindt men, als a de dichtheid dor eloctriciteit in P op de beide oppervlakken der schijf samen voorstelt, voor de gezochte potentiaalfunctie U
als ds oen vlakte-element dor schijf voorstelt en men de integratie uitstrekt over 't eeno oppervlak der schijf.
Ten einde quot;■ te bepalen, gaat men uit van de dichtheid der lading op een geïsoleerde geleidende ellipsoïde, laat dan de oene as afnemen tot nul, waardoor men de dichtheid der lading vindt op eene geïsoleerde elliptische plaat en stelt dan do boido overige assen aan elkander gelijk, waardoor men do dichtheid op de cirkelvormige schijf vindt. Op die wijze vindt men
voor het punt P, als Q de totale lading op de schijf voorstelt. Substitueert men nu de waarde voor lt;t uit (2) in (1), zoo vindt men, als lt;f den hoek voorstelt, dien do voerstraal CP met een vaste as door C in 't vlak der schijf gelogen, maakt,
:{7
U - ImS^Sv ((«quot; - lt;■quot;) (gt;•' 'PÏ!
Daar de schijf aan weerszijden dezelfde lading bezit, moet op 't verlengde der as op gelijken afstand van 't middelpunt als waarop het punt Q' ligt, de potentiaalfunctie diezelfde waarde hebben.
Is d lt; a en stelt men — = o, zoo is
a
(4)
Is d gt; a on stolt men = /gt;. zoo is
U = hg tg fj.........(5)
Voor d — a, dus /gt;=1 verkrijgt men uit beide waarden
U = ...............(6)
4a
Voor rf = 0 volgt uit (4)
U = —- —, do potentiaalfunctie in C . . . . (7)
uCt
Voor (l— oa volgt uit (5), daar dan /gt; = 0 wordt,
Ontwikkelt men hg tg p in oene reeks voortloopendo volgens de opklimmende machten van p, zoo verkrijgt men voor d ca
u = 4[¥-' Ï^-5',' 7'''--quot;] K'S '-W
en voor ^ gt; a
V=a {' - 3 7 0lt;''lt; i ■ • (10)
II.
BEPALING DER POTENTIAALFUNCTIE V IN EEN WILLEKEURIG PUNT.
Zij Z XCQ = fi en CQ = ^ (fig. 8)
Wanneer we nu aan de termen der reeksen (9) en (10) op de vroeger vermelde wijze de kogolfunctien P als coëfficiënten toevoegen,
38
dan vinden wc voor dc potentiaalfunctio V in oen punt Q, waarvoor dlt;.a is,
en, zoo dgt;a is,
V = ^ - T P. quot;• T - T p«'quot; • •] = T-s' • • (I2)
waarin S en S' de tusschen haakjes geplaatste reeksen voorstellen.
Deze reeksen zijn bijzondere gevallen van de vroeger (bl. 16) behandelde meer algemeene
. ^sin ny , Nn „ , ^sin(«-l-1)/-/ \ii „ ,
ï — {—P) (cos /?) en S—w_|_ 1' (-p) P„ (cos /9)
door in beide / = to nemen en de laatste met /gt; te vermenigvuldigen.
u
TT
Men heeft dus, voor y ^
v = ^- [r S ^ (-/gt;)quot; Pn (C0B /5)] . . . (13)
611 V ^ T | r Pquot; (c0g;?) • • (14)
Op dezelfde wijze vinden we dus uit de vroeger (Hoofdst. II, 5) voor de som dezer reeksen verkregen uitdrukkingen, als men ook
daarin y = ^ stelt,
a l 2 2i 1 /' cos/3.« l/(l 2/'C0siS.i—z,2) j ' 1 '
2ai cosP — /»« 1/(1—2/0 cos fit — p-)l '
Daar, zooals boven gezegd is, de gezochte functie in punten symmetrisch ten opzichte van de schijf gelegen dezelfde waarde heeft i hebben we de uitdrukkingen (-15) en (10) slechts te herleiden voor
waarden van jS van 0 tot —. Dus is cos fi altijd positief te nemen.
Zoo vindt men uit (15), als, evenals vroeger, (bl. 23)
1/ -~ | 1/ (O — P1)'1 -h W) 1 — P2
iS 2 | V7 ('1 — P2)2 4/o2m2) — 1 -f | = q en de absolute waarde van cos p gelijk m is gesteld, voor d lt;a,
3!)
cn uit; (16), voor (/gt;«,
V = hg tg '' ' V hg tg - q . . . (18)
a jn-f-jö et J m
Voor d = a, dus /' = 1, gaan beide over in
V = Q hg tg . .......(19)
a |/ w
Voor /5 = 0 vindt men hieruit
V = -Q-.
4a
Deze uitdrukking komt met die, welke vroeger uit de formule voor de potentiaalfunctie in do as is gevonden, overeen.
Stelt men /5 = 0, dus m = \ en q — p, dan vindt men volgens (17)
cn volgens (18)
v = hg ig /gt;.
Beide vergelijkingen komen overeen met de vroeger gevonden waarden voor die function volgens (4) en (5).
Stolt men in (17) fi = , dus m = 0, dan verkrijgt men
Dit is dus de donstante waarde der potentiaalfunctic op de schijf, daar (17) geldt voor d lt; a.
Volgons (18) vindt men na dezelfde substitutie
V ~ —— hg sin /gt;, Deze waarde gaat weer in de vorige over voor
fi—l, terwijl zij voor /■/=(), d. i. cl ~ ro de waarde nul verkrijgt.
III.
BEPALING VAN DE POTENTIAALFUNCTIE DHR VRIJE ELECTRICITEIT OP EENE SCHIJF, WAAROP DE EENHEID VAN POSITIEVE ELECTRICITEIT, GEPLAATST IN EEN WILLEKEURIG PUNT, INFLUENCEEUEND WERKT.
Wanneer een geëlectriseerdo niet-geleidor of eene of meer massa's eloctricitoit, in een of meer punten geconcentreerd, influontie uitoefenen op een geleider, dan wordt de neutrale electriciteit op dozen daardoor ontbonden in eene lading, die het tegengestelde toeken hooft als do
40
influencoorende, on eene lading, dio van 't zolfdo teekcn is. Brengt men dan don goleidor in geloidond verband met do aardo, dan bo-hondt hij slechts do eerste lading on do potentiaalfunctie in een punt des geleiders is nul en dus constant. Daar echter ook, zoo de geleider niet naar do aardo afgeleid is, de potontiaalfunctie in een punt er van constant meet zijn, zal de tweede lading zoodanig er over verspreid zijn, dat ook de potontiaalfunctie van die massa in oen punt des geleiders constant is. Dio lading zal zich dus over den geleider verspreiden alsof deze geïsoleerd on goladen was met eene even groote massa electriciteit. Noemen we die massa Q, dan is volgens de formules (17) en (18) de potontiaalfunctie dier lading in een willekeurig punt bepaald. We hebben deze uitdrukkingen, zooals blijken zal, noedig om te bepalen de waarde van Q, als in een willekeurig punt P oen massa q influenceerend op den geleider werkt.
Kent men do potontiaalfunctie V van eone willekeurige lading eens geleiders in oen uitwendig punt, zoo heeft men, als in dat punt de eenheid van positieve eleetriciteit influenceerend op den afgeleiden geleider werkt, de dichtheid dor daardoor op dezen gebonden lading in een willekeurig punt o' cn ds een oppervlakte-element is, terwijl de waarde van V voor een punt des geleiders door V wordt voorgesteld
Stelt men zich nu voor, dat do lading op den geleider uit zich zelve in evenwicht en dus V constant is, dan heeft men
V = — V I'ds.
Hier stelt / a'ds de hoeveelheid electriciteit voor, die door de
eenheid van positieve electriciteit op den geleider is geinfluonceerd. Die hoeveelheid wordt dus voorgesteld door
V
V
') Zie Grinwis , Wiskundige theorie der wrijvingseleclrioiteit, p. 09 v.v.
en is dus kleiner dan de hoeveelheid influenceerende electriciteit, uitgezonderd wanneer 't influenceerend punt ligt op den geleider.
Daar we nu de massa vrije electriciteit op een geïsoleerden geleider , geïnfluenceerd door de eenheid van positieve electriciteit in een punt P geplaatst, door Q hebben voorgesteld, cn de vrije electriciteit gelijke absolute waarde heeft als de gebondene, en met de influenceerende in teekcn overeenkomt, zoo hebben we
41
Nu is V gcgoven door (7) on Vu door (17) en (18). Do verhouding der beide waarden geeft dus
voor agt;d quot;wquot; ^ ~ Q.......
2 a
voor aca! —hgtg~=Q,........ . . (21)
Ligt het influcneeerend puot in de as dor schijf, op een afstand van 't middelpunt gelijk aan den straal, dan verkrijgt men, daar nu a — d en /? = 0 is,
Overigens is Q direct evenredig met do massa der in P geplaatste influenceerende electriciteit.
Substitueert men de waarde voor Q volgens (22) in (17) en (18), dan verkrijgt men voor de daarbij bohoorendo waarden van V
(24)
BENADERDE WAARDEN VOOR DE POTENTIAALFUNCTIE IN GEVAL DE SCHIJF
ZOOWEI, GEÏSOLEERD BLIJFT, ALS DAT ZIJ NAAR DE AARDE IS AFGELEID. DOORSNEDE VAN BENIGE NIVEAUVLAKKEN MET EEN PLAT VLAK, GAANDE DOOR DE AS DER SCHIJF.
Denkt men zich in de as der schijf op een afstand van 't middelpunt geljjk aan den straal dor schijf een electrisch punt, waarin de eenheid van positieve electriciteit is geplaatst en dit punt inftuencee-rend werkende op de naar do aarde afgeleide schijf, dan geven de formules (20), (20a), (21) en (21a) Hoofdst. Ill, zoo men hier M = 1 stelt de potentiaalfunctie van dit stelsel in een punt dat bepaald is door de coördinaten p en (p.
Daar (zio fig. 9) /3 = 0 is, heeft men (zie (16), (17), (18), Hoofdst. III).
O' Q' OQ V '' ~ O'P QP t en ^-^pQ0-
Stelt men verder PC = 1, dan heeft men ter bepaling van q
2tt'm = t2 -j- t'2 — 4 4
4 t'-(ï
Uit 2pin en p kan men verder m bepalen, en dus ook
Wanneer we nu in 't vervolg weer, als vroeger, de absolute waarde van cos lt;llt; door m voorstellen, dan vinden we voor punten
of 2pm =1 p2 — -y, voor t gt;
on 2/gt;m = 1 -f- p' — -v, voor t lt; t'.
43
in 't kwadrant AGO
x ^ T [ I - V (6^^ 7 ^ i)].......(1)
in 't overige gedeelte van 't vlak door CD en CX begrensd, als dozo zich onbepaald ver uitstrekken
X = 1 [_*_ 1. (bgtgq- j- hg tg -| )].....(2)
in 't kwadrant ACP
x= {[l-fj- '(%lt;»(! J-6»'» |,)j] • • • ■ w
in 't overige gedeelte van den rechten hoek DCX'
xHlw • • •(4)
|
Voor (1) en (2) is (gt; — Voor (3) en (4) is /» = |
en 2 pm = 1 p1 — 4 en ïprn = 1 /gt;- — |
Volgens deze formules zijn voor eenigo punten in oen vlak gaande door de as der schijf de benaderde waarden van X berekend. In de volgende tabel vindt men die waarden boven de punten, waarbij ze be-hooren, opgegeven. AB en P hebben hier dezelfde beteekenis als in fig. 9.
A
2,474 0,793 0,043 0,074 0,091 0,098 0,100 0,098 0,088
1,610 0,661 0,046 0,077 0,093 0,099 0,100 0,099 0,096
0.873 0,450 0,060 0,089 0,100 0,103 0,103 0,100 0,096
0,543 0,330 0,098 0,108 0,110 0,108 0,105 0,101 0,097 B.......
0,387 0,283 0,186 0,143 0,128 0,120 0,113 0,107 0,102 0,097 0,303 0,249 0,197 0,161 0,139 0,126 0,116 0,109 0,102 0,097
Hierbij voegen we eene bepaling van benaderde waarden voor de potentiaalfunctie in diezelfde punten van die lading der geïnfluenceerde schijf, die, als deze naar do aarde wordt afgeleid, verloren gaat. Die waarden zijn berekend volgens de formules (23) en (24) van Hoofdst. IV.
De constante waardo dier functie in een punt der schjjf is - of 0,785.
44
0,625 0,49] 0,303 0,322 0,270 0,233 0,161
0,617 0,482 0,38fi 0,317 0,267 0,230 0,201
0,580 0,453 0,365 0,303 0,258 0,223 0,196
0,505 0,402 0,338 0,282 0,244 0,214 0,189
0,424 0,393 0,341 0,205 0,267 0,22 7 0,201 0,181
0,322 0,311 0,286 0,258 0,232 0,208 0,188 0,171
Vocgt men die verschillende -waarden in de overeenkomstige punten samen, dan vindt men de waarde dor potentiaalfunctie van 't influon-eeerend punt on de gcïnfluoncecrdc cn geïsoleerde schijf, volgens de volgende tabel.
1,326 1,036 11 • h l-f 0,945 0,835
2,965 1,418 0.668 0,565 0,484 0,420 0,370 0,330 0.249
2,092 1,278^ 0,663 0,559 0,479 0,416 0,367 0,329 0,207 0,646 0,542 0,465 0,4ÜC 0,361 0,323 0,292 0,603 0,510 0,443 0,390 0,349 0,315 0,286 0,728 0,676 0,610 0,536 0,469 0,415 0,370 0,334 0,303 0,278 0,589 0,560 0,519 0,472 0,425 0,384 0,348 0,317 0,290 0,268
Daar het punt Q (fig. 9) bepaald is door p, do verhouding van do voerstralen PQ en OQ, on door den hoek PQO, door 4' voorgesteld, zoo kan men gemakkelijker do gezochte potontiaalfunctie bepalen als I* en cos eenvoudige waarden hebben, dan wanneer men, zooals boven is geschied, eerst de punten aanneemt volgens oen rechthoekig coördinatenstelsel on dan uit do daarbij behooronde waarden van p en cos'A X berekent. Door constructie vindt men tevens, als die grootheden p on cos ygt; gegeven zijn, do punten, waarbij zo behooren. De
I; ^
45 •
mootkuniligo plaats dor punton, waarvoor p dozolfdo waarde heeft, is een cirkel, waarvan 't. middelpunt ligt op de as der schijf. Geeft men aan 4' oen standvastige waardo, dan vindt men, dat do daarbij behoorondo punten liggen op cirkels, die door do punten O en P gaan. In fig. 10 zijn die punten door de snijding van cirkels bepaald, waarvoor f) de waarden 0,2, 0,4-, 0,G, 0,8 en 1, en cos ^ de waarden 0, 0,2, 0,4, 0,6 0,8 0,9 en 1 heeft. Construeert men op OP als basis oen driehoek, waarvan de verhouding der opstaande zijden OQ : PQ (fig. 9) de voor fgt; gegeven waardo heeft, dan vindt men door den tophoek van dien driehoek en zijn supplement middendoor te deelen in de snijpunten van die doellijnen met de as XX' do uiteinden van de middellijn van den cirkel, waarbij die voor /' aangenomen waardo behoort. Neemt men op PC een stuk Pa , zoodanig dat Pa : PC do voor cos 4' aangenomen waarde heeft en trekt men ah loodrecht op PC, tot deze don cirkel uit P als middelpunt en met PC als straal beschreven snijdt in 6, dan vindt men in 't snijpunt van de lijn Pc, die loodrecht op Vh is getrokken, mot AB of haar verlengde 't middelpunt van den cirkel, waarop die punten zijn gelogen, waarvoor cos 4' do aangenomen waarde heeft. Deze punten liggen echter alleen op dat segment van dien cirkel, dat aan dezelfde zijde van PO ligt als 't middelpunt c. Neemt men c' zoodanig, dat Cc'= Cc is, dan is e' 't middelpunt van den cirkel, die, met denzelfden straal als de eerstgenoemde beschreven, voor zoo verre hij aan dezelfde zijde van PO ligt als c, die punten bevat, waarvoor cos lt;!• dezelfde absolute waarde bezit als de eerstgenoemde, maar die op punten betrekking heeft, waarvoor lt;!' stomp is.
Men kan ook de middelpunten en de stralen dezer coördinaten-cirkels bepalen uit hunne vergelijkingen. Noemt men P aan als oorsprong van rechthoekige coördinaten, PX als de agt;as, dan is, zoo x en y de coördinaten van Q voorstellen, terwijl PC = CO = 1 is aangenomen,
De coördinaten van 't middelpunt van dozen cirkel zijn
Ter bepaling van een cirkel, waarvoor 4' constant is, stellen we / QPO — «.
PQ2 = a:2 y2, OQ2 = (2 - «O2 y*
46
Uit do vergelijkingen voor de rechte lijnon PQ en OQ, n.1. y = xtga, y = (x — 2) tg {a lt;/')
elimineert men a, waardoor men den cirkel
(x —1 )2 quot;1- ()/ — cot i/')'1 — cosoc. V verkrijgt. Het middelpunt van dozen cirkel is bepaald door x~ 1, y = cotlt;/',
do straal door cosoc. V.
Met behulp van de coördinaten p en V' is de potentiaalfunctie in een genoegzaam aantal punten van oen vlak, gaande door de as der schijf, bepaald, om bij benadering do lijnen te bepalen waarvoor die functie de constante waarden 1, 0,5, 0,3, 0,2, 0,15, 0,12, 0,1 en 0,05 hoeft. Bij die lijnen behooren dus waarden van de potentiaalfunctie , die zeer weinig van deze constante waarden verschillen. Door omwenteling dezer lijnen om de as der schijf worden niveauvlakkon beschreven (fig. 10).
Het blijkt, dat die vlakken, waarvoor de waarde der potentiaalfunctie grooter is dan 0,1 alleen het influenceerend punt P en niet de schijf omgeven. Verder bestaan er twee stelsels van vlakken, waarvoor die functie eene waarde heeft, die gelogen is tusschen O en 0,1. Het eene stolsel omvat uitsluitend de afgeleide schijf, 't andere de schijf en 't influenceerend punt samen. Beide stelsels zijn gescheiden door 't niveauvlak, waarvoor X de in bovengemeldon zin genomen waarde 0,1 heeft en dat uit twee gesloten gedeelten bestaat, die een punt gemeen hebben, dat gelegen is op de as der schijf. Het is dit punt, waarvoor vroeger (blz. 35) eene maximum-waarde voor X in do as der schijf is bepaald. Een electrisch deeltje in dit punt geplaatst is onder de gelijktijdige werking van 't punt P en de afgeleide schijf in evenwicht.
TOEPASSING DER VOORGAANDE BESCHOUWING OP EEN SCHERM AAN DE EENE ZIJDE BEGRENSD DOOR EENE RECHTE LIJN EN ZICH OVERIGENS ONBEPAALD VER UITSTREKKENDE.
De methode, die aangewend is tot het oplossen van het gestelde vraagstuk, geeft de oplossing van meer dergelijke. Door inversie van een spheriseh segment ten opzichte van een punt gelegen op dit segment , verkrijgt men een vlak, dat zich in zekere richtingen onbepaald ver uitstrekt. Ligt het inversie-middelpunt op den rand der schijf, dan verkrijgt men een vlak, dat aan eene zijde door een rechte lijn is begrensd, die zich aan weerszijden onbepaald ver uitstrekt, terwijl het vlak overigens onbegrensd is. Uit do potentiaalfunctie van 't geïsoleerd geladen segment in een willekeurig punt, zooals die bepaald is (9, 9a, 10, 10«, Hoofdst. II) kan men dan die van een vlak vinden, als op bovenvermelde wijze door inversie ontstaat, wanneer dat vlak naar do aarde is afgeleid, onder infiuentie van een electrisch punt, geplaatst in 't inversie middelpunt. We zullen dit geval hier behandelen.
Ligt het influenceerend punt in de loodlijn die in een punt der begrenzende lijn op dit vlak is opgericht, dan moet het spheriseh segment het halve oppervlak van den bol bevatten en 't inversie middelpunt op den rand van 't segment zijn gelegen (fig. 11). Behalve uit de figuur, volgt dit ook uit de formules voor ^ en r volgens (12) en (13) Hoofdst. III. Daar in dit geval r=b=^ is, heeft men n.l, ty P — esgt; en tg y— rv
en dus [i — y——.
48
We bepalen ons tot het. vlak gaande door F en loodrecht op de rechte lijn, die het aan de andere zijden onbegrensde vlak, gedeeltelijk begrenst.
Wanneer men nu in de formule
X= --(zie (19) Hoofdst. III)
V vervangt door de daarvoor gevonden waarden (Hoofdstuk II) en
(Ui*
daarbij let op de waarden, die , — en ^ hebben, afhankelijk van
V et
de plaats van het punt, waarin de potentiaalfunctie bepaald wordt, dan vindt men voor de punten binnen den hoek ABX
X= / (2 1 • • • W
binnen den hoek ABX' \ — lt; ^ lt; r
- i-i{hgtgq jhgt9£l\\ • • • (2)
binnen den hoek XBD
binnen den hoek X'BD' \ 0 lt; ^ lt; — -f quot; ....... ' 1
1 2
T1- m)] ) • • • W
Voor (1) en (3) is f = — en cl lt; r. Voor (2) en (4) is /gt; =
-V- en r lt; d,
d
Stel M= 1.
Voor 4' = 0 en ^ = tt heeft men m = 1 en do formules (quot;1), (3), (2) en (4) gaan dan over in
x==y [^-l-irhg tg 4
X=7 t(J \
1
x=l[1-/gt; x=! h-r
Ze gelden voor do punten op de bogen van den cirkel PB binnen de bovenvermelde hoeken.
TT
Voor lt;P = worden (1) en (3) aan elkander goljjk en eveneens £
en (4); (I) en (3) gaan dan over in
49
welke waarde behoort bij punten in de Ijjn BX,
en (2) en (4) in
X quot; T M 2quot; ^ ^Sin^il
met betrekking tot de punten in de lijn X'B.
Voor p — l vindt mon voor (1) en (2) X = O en voor (3) en (4)
2
-—IgtgY m.......(5)
De eerste is de waarde van X voor punten op de plaat AB, de tweede voor die in do lijn BD.
Ter bepaling van p en m heeft men do volgende gegevens.
Voor d lt;r is p — = en r t
, . r t
voor dgt; r is n = —= ——,
d t
als men de voerstralen van P en O naar Q door t en V voorstelt.
Uit do algomeeno formule (18) (bl. 30)
Z PQO = v, - /9 volgt in 't gegeven geval, daar [i = 90° is,
Z PQO = y, - 90».
Deze formule is geldig voor alle punten in 't beschouwde vlak, in geval men 0, evenals dit is gedaan in 't algemeene geval (fig. 6), in die richting telt, die de straal O'C' ') bij zijne beweging door den stand O'P hoen neemt, om met O'Q' samen te vallen.
Voor 't punt S' ligt dan 4' in 't eerste, voor Q' in het tweede, voor R' in het derde en voor T' in het vierde kwadrant. Voor S' is dan y — 90° negatief, maar moet ter bepaling van het punt S positief in rekening worden gebracht, voor Q' scherp, voor 11' stomp en voor T' grooter dan 180°, zoodat men in dit laatste geval — 90° moet vervangen doör 360° — (^ — 90°). Wil men de waarden van v in het derde en het vierde kwadrant uitsluiten, dan heeft men voor die gevallen y door 300° — ^ te vervangen en dus voor 't punt R' lt;fgt; — 90 door 270 — lt;p, en voor 't punt T, daar dan w negatief wordt geteld en de absolute waarde van lt;/i — 90 dan slechts in aanmerking komt, door (p -f- 90.
Neemt men dus ^ tusschen 0° en 180°, dan vindt men als uitdrukkingen voor (p — 90 in de punten S', Q', R', en T' 90 — (jgt;, 4- —90, 270 — v, en w 90.
') In fig. 11 is abusievelijk C' aan 't einde van den straal, tusschen OS' w OT' gelegen, weggelaten.
4
50
Do absolute waarde van m of cos V' kan nu gevonden worden uit de formule
U' sin PQO — 'lli tils h do loodlijn is, uit Q op do «-as noergolaten. Nu is sin PQO = sin PRO = — cos ygt;
on sin PSO = sin PTO = cos V.
Zonder dus op het toeken to letten heeft men
m — cos V' = —-'f
4/lt;
on 2pm — voor de hoeken onder (1) en (1^)
en ïi,m— v „ (2) en (4) vermeld.
Daardoor zijn de grootheden, tor bepaling van de nnmerische waarden van X bonoodigd, gemakkelijk te berekenen.
In de volgende tabel zijn eenige waarden van X opgegeven in do veronderstelling dat in P de eenheid van positieve electriciteit is geconcentreerd.
52
Eenvoudiger kan men die waarden van X bepalen, als men do punten zoodanig kiest, dat do daarbij bohoorende waarden van /' en cos V eenvoudigo getallen zijn. Daar de absolute waarde van cos V gelijk is aan die van deu sinus van hoek PQO, zoo heeft men, als men achtervolgens voor cos V' bepaalde waarden noemt, cirkelbogen te construeeren die door de punten O en P gaan, en voor ieder van welke de sinus van don hoek in do segmenten, door dio bogen begrensd , die waarden heeft. De cirkels waarop die punten liggen, waarvoor (gt; bepaalde waarden heeft, worden als in 't vorige geval geconstrueerd (zie Hoof'dst. V). Uit dio waarden voor cos V of m on (gt; vindt men do waarden van X in dio punton. Door middel van die waarden zijn do niveaulijnon geconstrueerd, die in fig. 12 zijn aangegoven. Zo stellen de doorsneden voor van de niveauvlakken van 't gehoelo stolsel mot een vlak, gaande door P on loodrecht op do onbegrensde rechte lijn, die 't afgeleide platte vlak aan de eene zijde begrenst.
TOEPASSING OJ' EEN SCHERM MET CIRKELVORMIGE OPENING.
Wordt het inversie-middelpunt geplaatst in 't midden van 't segment , dan verkrijgt men door inversie een naar alle zijden onbegrensd plat vlak met eene cirkelvormige opening, zoodanig dat hot inversie-middelpunt in do as dier opening is gelegen op een afstand van het vlak gelijk aan don straal der opening (fig. 13).
In dit geval is /J = ^ en ^ = ~o *
De hoek, dien de voerstralen PQ en QO met elkander maken, is volgens do algemeeno uitdrukking daarvoor gevonden (bl. 30) V—p.
Voor het tegenwoordige geval is ft = 180 en dus Z PQO = lt;!' — 180.
Neemt men in het tegenwoordige geval (fig. 13) don hoek y- in dezelfde richting als bij liet vaststellen van de algemeeno uitdrukking VJ —/?, dan verkrijgt men, daar de punten boven de middellijn PC' tot het derde en hot vierde kwadrant bohooron, de juiste uitdrukking voor don hoek PQO. Noemt men echter y, tusschen Oo en 180°, dan heeft men
Z PQO = 360° — („, - 180°) = 180 — 4,.
Bjj hot aannemen van bepaalde waardon voor ^ zullen we van dozen vorm uitgaan.
Dus is 'f scherp te uoraen voor punten, die binnen den cirkel zijn gelegen op OP als middellijn beschreven. Voor allo punten buiten
dien cirkel is lt;/' stomp. Voor punten op den omtrek is lt;p = • .
Verder is voor allo punten aan die zijde van quot;t vlak DE gelegeri, die van 't infiucnceerend punt P is afgewend, t' lt;. t, dus d lt; r.. terwijl voor die aan de andere zijde gelegen t' gt; t en dus d gt; r is.
In 't eerste geval is ^ ^ gesteld, in het tweede geval
r t d t'
Wanneer men dus de waarden voor V gevonden (Hoofdst. II) in de formule voor X ((19) Hoofdst. Ill) substitueert, dan vindt men voor punten in 't onbegrensde vlak DAOX gelegen
X = t | 2 V \hlt;-'trj 1 7 hquot; t(J m)\ V' 8tomP- ^ • v (G)
in hot kwadrant ACO
X = | 2 1 l J h9 t(J i))'quot; schorP- f' = J • • • (7)
in 't onbegrensde vlak DAPX'
x = y | 1 2 ~ 'r 'i ) | ^ P— l • (8) in het kwadrant AGP
X==: T f1quot; 2 C h9 tg }9] V scherp. ^ ^ . (9)
Voor p = 1 gaan (0) en (8) over in X = 0. Deze waarde hcsft betrekking op de punten van 't vlak Al).
Voor /o=l en M = 1 gaan (7) en (9) over in
welke uitdrukking geldt voor de punten der lijn AB.
Voor in = O gaan (6) en (7) over in
voor do punten .van den boog AG,
') Hoewel de vorm voor X volgens (10) overeenkomt met die in (5) hebben echter V en dus ook m in beide, voor punten, die dezelfde coördinaten bezitten, verschillende waardon, met uitzondering van 't geval, dat V' = 45° is. Voor die punten zal men in beide gevallen dezelfde waarde der potentiaalfunctie verkrijgen.
54
on (8) en (9) in
voor do punten van don boog AP.
Voor rn — 1 hooft men do volgende uitdrukkingen voor X , iil'geleid uit die, welke in (6), (7), (8j en (9) voorkomen:
1 r 1 \ /gt; !
A- = t ^2---quot;'J ty P [ voor punten in do lijn OX
~ T 1/2 'n/T hrj Uj '' j » » quot; quot; quot; » 00
x = 1 [i j 1 _|_ 1 hy ^ ^ j j „ „ „ „ „ „ X p x = -V j i | ^ 1 ^ ^ 11 „ „ „ „ „ „ pc
Do bepaling van numerischo waardon voor X in dit geval wordt op dezelfde wijze uit /gt; en m afgeleid als in do vroogore gevallen. Evonals daar kan mon ook Mor /gt; on m berekenen uit do coördinaten t en t' van 't punt, waarin do waarde dor potentiaalfunctio moet bepaald worden.
In het vlak, gaande door 't influenceerend punt on loodrecht staande op 't naar de aarde afgeleide vlak, zijn eonigc waardon der potontiaal-lunctie berekend voor 't geval dat in P de eenheid van positieve eloc-triciteit is geconcentreerd.
00
50
Door eon stelsel coördinaten // en V als in fig. 10 kau men ook hier op een dergelijke wijze als vroeger eonige punten bepalen en voor deze punten evenals daar de waarden van X berekenen. Oemakkcljjk construeert men ook hier de doorsnede van de niveauvlakken mot oen vlak gaande door 't infiuenceerend punt en loodrecht op 't onbegrensde vlak (fig. 14). Die vlakken zijn even als in 't eerste geval omwentelingsoppervlakken verkregen door de omwenteling van lig. 14 om de as PO,
phoefondervindeIjIjk onderzoek.
Het proefondervindelijk onderzoek naar do waarde dor potentiaal-functie van een stolsel van geëlcetrisoorde geleiders en niet-geleiders in een willekeurig punt in de nabijheid berust op de eigenschap, dat, zoo men een geleidend bolletje mot zijn middelpunt in 't bedoelde punt plaatst en het dan naar de aarde afleidt, do gezochte potontiaalfunctio wordt voorgesteld door de lading, die op 't bolletje is achtergoblevon met tegengesteld toeken genomen, gedeeld door den straal van dat bolletje. Dit volgt daaruit, dat, zoo hot bolletje naar de aarde is afgeleid, do potontiaalfunctio van 't olectrisch stolsel, daaronder dat afgeleide bolletje begrepen, in oen punt van dit laatste, dus ook in 't middelpunt, nul is. Dus moot de potentiaalfunctie van de lading op hot bolletje gelijk en in toeken togengestold zijn aan die van de overige omgevende geëlectriseerde lichamen. ') Nu is de potentiaal-functie van eene willekeurige lading op 't oppervlak van een bol in 't middelpunt van dezen gelijk aan do goheele lading gedeeld dooiden straal dos bols. Zijn er echter onder do goëlectriseorde lichamen in de nabijheid geleiders, dan zal door do aanwezigheid van 't proef-bolletje de olectrische verdoeling op die lichamen eenigszins gewijzigd worden en dus oen kleine fout in do waarneming ontstaan, die echter te kleiner wordt naarmate men het bolletje kleiner maakt, Men kan het bolletje klein genoeg nemon, opdat do daarop gebonden olectrici-teit geen merkbaren influenceerenden invloed op de omringende lichamen uitoefent.
') Zie ook Grinwis t. a. p. pag. 103.
58
Bij do hierna te vevmoidon proeven is oen bolletje gebezigd met eou middellijn van 9.34 m.M. Het was door oen staafje schellak, lang 4.8 e.M. verbonden aan oen glazen staafje lang 18.5 c.M., dat ook weer voor ongovoer de helft mot eon laagje schellak bedekt was. Deze voorzorgen dienden om hot bolletje zoo goed mogelijk te isoleoren. Hot moest namelijk door middel van dit staatje met de hand van do eene plaats naar de andere worden overgebracht. Ton einde vorder hot bolletje zoo nauwkeurig mogelijk op de juiste plaats te brongen, werd hot glazen staafje tor lengte van ongeveer 5.5 c.M. in eene uitgeholde staaf van eboniet gestoken. Deze laatste was in horizontalen stand verbonden aan oen toestel, die langs een vertikaal geplaatsten on met oen schaal voorzienen standaard kon worden op- en neerge-schoven. Tevens was het noodig, dat het proefbolletje in eene horizontale lijn kon worden verplaatst en daartoe kon do ebonietstaaf in horizontale richting vooruitgeschoven en teruggetrokken worden. Was op die wijze het bolletje met zijn middelpunt geplaatst in het punt, waarin de potontiaalfunctie moest worden bepaald, dan werd liet door oen in do hand gehouden geleidenden draad aangeraakt on dus naar do aarde afgeleid. Nadat het daarna weer geïsoleerd was. word het uit de ebonietstaaf genomen en mot 't eene paar kwadranten van een Thomson'schen kwadranteleotrometer in aanraking gebracht.
Zooals uit de vorige hoofdstukken is gebleken, moest do potentiaalfunctie worden bepaald van een stelsel bestaande uit een influenceerend olectriseh punt en een al of niet naar de aarde afgeleide geleidende plaat. Er is verondersteld, dat in dat punt de eenheid van electriciteit was geconcentreord en do plaat geene dikte bezat. Bjj de proeven is aan deze voorwaarden bij benadering voldaan door als olectriseh punt te nemen do knop van 't binnenbokleodsel oener leidscho flesch en platen van koper en zink, die naar de aardo worden afgeleid. Die knop had een middellijn van ongeveer 2.6 c.M. Daar het onmogelijk was door middel van eene oloctriseormachino do Hesch eene lading te geven, die zij gedurende eene serie van waarnemingen, die soms 45 min. duurde, vrij constant behield, werd zij geladen door een inductiestroom. Deze inductiestroom werd verkregen in eene klos van Ehumkorft' door eene batterij van vier chroomzure kali-elementen. De eene draad van de klos word verbonden met het buitenbekloedsel der leidscho flesch, die vrij op eene tafel was geplaatst. De andere draad was verbondon mot de eene stang van een algemee-nen ontlader. De tweede stang van dezen was door een geleidenden draad, die vrij in de lucht, hing, en onder het deksel der leidscho flesch doorliep, mot het binnenbekloedsel van deze in aanraking gebracht. Ton einde eonigszins zeker te zijn . dat de lading der flesch vrij constant was, word de knop van deze verbonden mot de stang
vim oon olocti'omotor van Peltior. De/o gat', als do vonkon, dio bij don algomoonon ontlader ovorsprongon, niet al to groot waron, oono nagenoeg constanto afwijking. Maakto do bewegeljjko naald to storko schonimolingon, dan word do slagwijdto van don algoraeonon ontlader verminderd tot do afwjjking nagenoeg constant was.
/ooals boven vermeld is, word hot proefbolletjo, na geïsoleerd te zijn , met do oene electrode van eon kwadrant-electrometer van Thomson in aanraking gebracht. Do uitslagen van den spiogol werden afgelezen op oene schaal, dio op een afstand van ongeveer 1.3 M. zoodanig was geplaatst, dat do lijn, van den spiegel naar 't midden dor schaal getrokken, loodrecht op deze stond en samenviel met do normaal van den spiegel, wanneer deze niet afgeweken was. Vóór olko serie van waarnommgon werd nagegaan of aan deze eischon was voldaan. Meostal bleek deze voorzorg onnoodig, daar die stand van schaal en spiegel onveranderd was gebleven. De schaal was in millimeters verdoold. Van 't midden tot do uiteinden werd geteld van 0 tot 221! m.M» Wanneer daarna do olectrometor oeno vrij sterke lading ontving, en 't beeld dor vlam weer niet juist mot 't nulpunt dor schaal samenviel, dan werd dit verkregen door oono der kwadranten een weinig te verplaatsen , terwijl alle kwadranten door middol der gasleiding mot de aarde waren verbonden. Gedurig word onderzocht of dc uitslagen van den spiegel naar weerszijden even groot waren. Dit bleek uit de schommelingen wanneer alle kwadranten naar de aarde waren afgeleid. Ook werden daartoe Daniels of kleine Grove's elementen gebezigd , wier eene pool even als 't eeno paar kwadranten naar do aarde was afgeleid, terwijl de andore pool met 't andere paar kwadranten was verbonden. Wanneer dan het beeld oeno afwijking had verkregen, werd de orde, waarin kwadranten en polen waren verbonden, omgekeerd en kon men oene nagenoeg gelijke afwijking waarnemen in tegengestelden zin.
De electrometer was op een afstand van ongeveer 1.7 M. geplaatst van de leidsche flosch. Om zeker te zijn, dat de lading van deze geen directen invloed uitoefende op den electrometer, werd do eene electrode van dezen met de aarde in verband gebracht, terwijl de andere in de lucht geïsoleerd was. Werd nu de batterij in werking gesteld en dus de flesch geladen, dan zag men geone do minste afwijking van 't beeld. Bij den minsten invloed van de geladen flesch op 't niet afgeleide paar kwadranten zou do spiegel eene merkbare afwijking verkregen hebben.
Do platen, waarop de knop der leidsche fiesch influenceerend moest werken, waren van koper of zink, ter dikte van ongeveer 0.8(1 m.M. De rand was eenigszins afgerond. Voor 't geval, dat in Hoofdstuk V is behandeld, word eene koperen plaat genomen, waarvan de middellijn ongeveer 14 c.M. bedroog, /ij rustte in horizontalen stand
00
op drie isoleerende staafjes van glas, die met een laagje schellak waren bedekt en van boven voorzien van knopjes van schellak. Onder de plaat was do leidsche Hesch geplaatst, met het middelpunt der knop in do as der plaat op oen afstand van 7 c.M. van deze. De plaat, waarvan in het eerste geval van Hoofdstuk VI is gesproken, werd voorgesteld door een plaat van zink lang 1.09 M. en breed 0.045 M. Het middelpunt van de knop der leidsche Hesch was loodrecht onder 't midden van den oenen rand geplaatst op een aistand van 'i.A c.M. van dezen. Nadat de proeven mot deze plaat waren afgeloopen, werd in 't midden van deze oene cirkelvormige opening gemaakt van dezelfde afmeting als de bovenvermelde koperen plaat en 't middelpunt van de knop dor leidsche flesch in de as dezer opening op een afstand van ongeveer 7 c.M. daaronder geplaatst. In de beide laatste gevallen rustte de plaat op glazen stounsels. Hoewel theoretisch een oneindig groote plaat, om haar vrije electriciteit te 'verliezen, niet naar de aarde behoeft te worden afgeleid, was dit hier toch neodig, daar aan de veronderstelling bij de theorie gemaakt, in de werkelijkheid niet kon worden voldaan. Door een dunnen koperen draad werden de platen gedurende do proefneming met de gasleiding verbonden.
Alvorens de resultaten der gedane waarnomingen mee te deelen, dient hier gewezen te worden op storende invloeden, die niet altjjd konden worden geëlimineerd en dus fouten in de uitkomsten moesten veroorzaken. Men kan niet aannemen, dat de electriciteit, die infiu-enceerend op de afgeleide platen werkte, juist in de knop der leidsche flesch was geconcentreerd. Ook het binnenvlak van deze was geladen , en deze lading moest insgelijks een intluonceerenden invloed uitoefenen. Dit moest tevens 't geval zijn met den draad, die van den algemeenen ontlader naar de desch werd geleid. Daarom zijn geone waarnemingen gedaan in punten even hoog of lager gelegen dan de knop dor Hesch. Ook werkte de aanwezigheid van den draad, waarmee het proefbol-letje werd aangeraakt, nadeelig. Van invloed bleek ook vooral te zijn de wijze, waarop deze aanraking geschiedde. Zooveel mogelijk word dit telkens op dezelfde wijze gedaan. Tevens was gezorgd, dat de duur dier aanraking voor elke afzonderlijke waarneming zooveel mo-gelijk gelijk was. Enkele koeren werden bij te korten of te langen duur der intluentie of door verandering in de wijze van aanraking uitslagen vorkregen, die van de normale nog al sterk afweken. Ook moest het bolletje, gedurende 't overbrengen naar den electrometer, die zooals boven vermeld is, op een afstand van ongeveer 1.7 M. van de flesch was geplaatst, iets van do verkregen lading verliezen Deze evenals alle bovengenoemde storende invloeden werkten echter bij alle waarnemingen. Kon men nu aannemen, dat voor 't overbrengen van
61
't liollotje naar den electrometer telkens dezelfde tijd werd besteed, en dat gedurende eene serie van waarnemingen de hygrometrischt toestand , de temperatuur en do drukking der lucht niet veranderden, dan zou men voor kleine ladingen, en zoodanige verkreeg men telkens op het bolletje, kunnen aannemen, dat het electriciteitsverlies evenredig is met die ladingen. ') Is nu, zooals boven vermeld is, de gezochte potentiaalfunctie evenredig met dn op 't bolletje achtergebleven lading onmiddellijk na de aanraking met den geleidenden draad, dan zou zij dit ook zijn met do overgebleven lading, op 't oogenblik, dat het bolletje met eene dor electroden van den electrometer in aanraking werd gebracht. Nu werd gezorgd, dat het overbrengen zoo snel mogelijk geschiedde, daar 't electriciteitsverlies dan kleiner is dan bij langzame beweging. Dit alles voorop gezet, zou men kunnen aannemen, dat do lading, die het eene paar kwadranten van den electrometer bij elke aanraking van het geladen bolletje van dit laatste ontving, evenredig was mot do op dit bolletje geïnfluenceerde lading, toen het in een punt in do nabijheid van 't electrisch stelsel werd gebracht. Nu berust de aanwijzing van den electrometer op de formule
M = a (A — B) 1 C — £ (A. -| B) [
als A en B do potentiaalfunctien op de beide paren kwadranten voorstellen, C die op 't binnenvlak van den electrometer en a een constante is. M is het torsiemoment van den spiegel. Terwijl nu bjj de gedane waarnemingen 't eene paar kwadranten naar de aarde was afgeleid, kon b.v. B -- ü worden gesteld en gold dus do formule M = a A (C — i A).
Voor sterke ladingen van don electrometer en zwakke ladingen op 't eene paar kwadranten zou men dus do afwijking van den spiegel bij benadering evenredig kunnen stellen aan die lading der kwadranten , en dus ook, zooals boven is vermeld, aan de potentiaalfunctie, die gezocht werd. Correction voor 't verlies van electriciteit op rt eene paar kwadranten zijn niet aangebracht, omdat onmiddellijk na de lading drie uitslagen van den spiegel werden afgelezen, twee naar de eene, en een naar de andere zijde. Van deze drie werd dan hot go-middelde genomen. Ook de electrometer verloor iets van zijne lading. Daarom werd deze geruimen tijd, vóór dat do waarnemingen zouden gedaan worden, vrij sterk geladen. Op 't oogenblik der waarneming was dan die lading wel eenigszins verminderd, maar bleef zij gewoonlijk gedurende eenige waarnemingen vrij constant.
Na elke waarneming werd hot eene paar kwadranten, dat geladen was, ontladen door het met denzolfden draad, waarmee het andere paar naar de aarde was afgeleid, zoolang te verbinden. dat de spiegel
') Mascatit, Traité dquot;1 électricité statique, Tom ]. pag. ^0.
()2
niet meer schommel de, en 't beeld weer op 't. nulpunt kwam. 't Spreekt van zelf, dat do duur eener serie van waarnemingen daardoor zeer verlengd werd en sommige dor bovongonoemde storende invloeden, als de verandering in de lading van den electrometer, do hygromo-trische toestand en de temporatuur der lucht enz., te sterker werkten. Ton einde echter deze en andere nadeolige omstandigheden zooveel mogelijk te elimineeron, worden do waarnomingen herhaald en wol in togongestoldo orde. Voor elk punt word soms tweo ii drio keeren de uitslag afgelezen. Had men dit nu gedaan voor oenigo, hoogstens zes a zeven punten, dan werd dit voor die zelfde punten gedaan, te beginnen met het laatste om met hot eerste te eindigen. Meestal verkreeg men bij dio tweede waaruemingon kleinere afwijkingen, 't geen vooral aan de vermindering van do lading des electrometers moest worden toegeschreven. Daarna werd van do verkregen uitkom-sttM do gemiddelde waarde als do gezochte aangeteekond.
Daar het alleen om do verhouding van do waarden der potentiaal-functie in verschillende punten te doen was, werden daardoor reeds bovendien die fouten geëlimineerd, die evenredig waren aan dio gezochte waarden.
Correction van den uitslag op de schaal, teneinde daaruit de hoek-boweging van den spiegel af te leidon, blokon onnoodig to zijn. Hoogstens worden in onkele gevallen uitslagen van 60 m.M. waargenomen , die wegens den betrekkelijk grooton afstand van de schaal tot don spiegel, nl. 1.3 M. bij een hoek van 2quot; 38' 30quot; behoorden. Voor een uitslag van 60 m.M. moest nu genomen worden een boog van 59.72 m.M., die dus ongeveor een vierde m.M. van de waarge-nomeno verschilt. Neemt men nu in aanmerking, dat wegens do snelheid van den uitslag, deze niet nauwkeuriger dan tot op 1 m.M. kon worden bepaald, dan behoefde voor benaderde waarden, waarom 't hier te doen was, geono correctie van 0.25 te worden aangebracht. To minder was dit noodig, omdat de meeste uitslagen nog veel kleiner waren.
Hier volgen nu do resultaten dor waarnemingen. Ter vergelijking zijn de vroeger berekende waarden er naast geplaatst. De punten, waarin do potentiaalfunctio is bepaald, zijn door de daarbij gevoegde letters aangewezen. Ze zijn gelegen in de vlakken, die in fig. 10, 12 en 14 zijn aangewezen. Het punt P stolt 't middelpunt van de knop dor leidscho tlesoh voor.
63
1. Proef met de cirkelvormige plaat. A. in do as dor plaat, die naar do aarde is afgeleid.
in do punton. lewaarn. 2o svaarn. berekend.
f. h 0,064 0,092 0,074
e. c 0,084 0,093 0,091
c. e 0,106 0,085 0,100
h , ik l m f 0,104 0,075 0,098
B. evenwijdig aan de afgeleide plaat.
|
punton. |
waargenomen. |
berekend. |
|
a |
0,079 |
0,043 |
|
i |
0,081 |
0,046 |
|
k |
0,090 |
0,060 |
|
l |
0,115 |
0,098 |
|
m |
0,163 |
0,143 |
|
n |
0,106 |
0,186 |
|
0 |
0,235 |
0,283 |
|
V |
0,258 |
0,330 |
C. in de as der niet afgeleide plaat, in do punten, waargenomen, berekend.
f 0,328 0,330
h 0,276 0,2-19
64
II, Pkoef met dk plaat aan de eene zijde dook een rechte lijn
beorknsd en afgeleid naar de aarde.
A. in de lijn uit P loodrecht op den rand der plaat neergelaten.
0,108
in do punten, waargenomen, berekend. a 0,092
0,089 0,062
0,077
0,058
e f g h
B. evenwjjdig aan do plaat.
in de punten, waargenomen, berekend.
a 0,102
f 0,216
III. Proef met de plaat, met een cirkelvormige opening,
en afgeleid naar de aarde.
A. in de as der opening.
0,041 0,108 0,180 0,187 0,180 0,166
I.
waargen. 0,271 0,136 0,106 0,50
d.
c .
1). e, a. .
f 9 h
in de punten.
a h c d
berekend. 0,264 0,149 0,091 0,059
()5
|
B. in do ovorigo aangcgoven punten. | |||||||||||||||||||||||||||
|
Ter beoordeeling van de wijze, waarop do cijfers dezer tabellen verkregen zijn, volgt, hier ceno opgave voor die van tabel C' proef J, Kolom I bovat de letters, die de punten aanwijzen waarmee hot middelpunt van 't proefbollotje moest samenvallen. Kolom II bovat do uiterste standen van het beeld aan dezelfde zijde van 't nulpunt op de schaal in m.M. In kolom III is hot gemiddelde van dio standen opgegeven en in kolom IV het gemiddelde van de voor elk punt bij herhaalde waarneming verkregen cijfers. Kolom V is uit do vorige verkregen door deze cjjfers met een constant getal te vermenigvuldigen, zoodanig dat de som der verkregen producten golijk was aan die der dooi' berekening vroeger verkregen cijfers.
|
12,25 10,87 9,62 ■12 •14,87 |
IV.
17,1!)
1 5,8 1 •12,50
11,:J7 10,68
8,93
V.
0,032 0,581 0,459
0,418 0,392
0,.!Ï28
0,270
5
(i6
Uit de vergelijking van de uitkomsten dor waarneming niet die van de berekening blijkt, dat waar de laatste een toe- on afnemen van de waarde der potentiaalfunotie constateert, dit door do waarneming wordt bevestigd. Daarentegen wijken de mimorischo waarden door de laatste verkregen, soms zoo zoor van diu door berekening verkregen af, dat ze volstrekt niot mogen golden als do betrekkelijke waarde dor potentiaalfunctie in die verschillende punten voor te stollen. Trouwens eone volkoinone overeenstemming zal uit den aard dor zaak nimmer kunnen verkregen worden, aangezien do gegevens, waarop do berekening steunt, zooals boven reeds is aangemerkt, nooit volko-mon verwezenlijkt kunnen worden. Tovens dient men in 't oog te houden, tot welke onnauwkeurigheden oen onderzoek als liet boven-vermelde aanleiding goef't. In weerwil van dit alles blijkt echter ge-noegzaam , dat ook zonder behulp van de voorstelling door krachtlij-non, de uitkomsten van Faraday kunnen verkregen worden, wanneer men alleon uitgaat van werking op afstand.
.......
...
.....
.........
■ ■
im
.
■ • e# ,
■
■ ■ ■ ■ ■
■■ ■ I
iamp;J. - ■'••■■■ •
■ -.........-.....•-■-
-
■ ■
-
Do redoneoring-, waardoor Carnot ('Hefioxions sur la raótapliysiquo du Calcul iuftuitésinal) zoekt tc constatoeron, dat dc volkomen juistheid der uitkomsten, door toepassing dor differentiaal- en integraalrekening verkregen, berust op 't beginsel van coraponsatie van gemaakte fouten, mist de noodige strengheid.
De definitie van differentiaal eener functie als dc oneindig kleine aangrociing dier functie is af te keuren.
Ten onrechte stolt Lagrange de methode, die hij volgt in zijne „Théorie des fonctions analytiquesquot; boven die, welke gevolgd wordt in de ditferentiaal- en integraalrekening.
«8
Terecht zegt Durège („Elemente der Théorie der Functionen einer complexen veriinderlichen Grosse):
„Die iiussere Consequenz und die harmonische Uebereinstimmung in allen ihren Theilen verdankt die Mathematik der Befolgung dos Grund-satzes, class man jedesmal wonn man einen neu eingeführten Begrift' den früher bekannt gewordonen Oporationen unterwirft, die von diesen Operationen geltonden Hauptsatze auch dann nog als fortbestehend annimmt, wenn man jono auf die neuen Begriffo übertragt. Diese an und für sich willkührlicho Annahme is so langn zu machen erlaubt, als daraus nicht Widersprüche entstehen.quot;
V.
De proet' door middel dor torsiebalans van Coulomb als bewijs voor de wet van eloctrische aantrekking en afstooting is niet de eenvoudigste en de zekerste.
VI.
De uitkomsten dooi; Faraday verkregen bij zijne onderzoekingen over do werking eencr eloctrische massa aan do togengestolde zijde eener afgeleide plaat, bewijzen nog niet, dat er oen medium noodig is om die werking tot op oon afstand voort te planten.
VII.
Eene in allo opzichten voldoende verklaring van de werking van den radiometer ontbreekt nog.
VIII.
Ten onrechte wordt in sommige leerboeken beweerd, dat licht en warmte onmiddellijk scheikundige verbindingen tot stand brengen,
H9
IX.
De methode van Wanklijn on Chapman tor bepaling van 't gehalte aan stikstofhoudendo stoften in drinkwater, geeft geene zekere uitkomsten.
X.
Do verklaring door Iteye gogeven van 't ontstaan van cyclonen is de meest waarschjjnlijke.
XI.
Bathybius bestaat niet.
XIT.
Asparagine komt waarschijnlijk in 't algemeen in de plant voor als ontledingsproduct door oxidatie van eiwitstoften.
XT1T.
Hot gezicht is voldoende om ons hot denkbeeld van eene ruimte in drie afmetingen te verschaftbii.
XIV.
Bij 't eerste onderwijs in de wiskunde is 't af te keuren allo daarbij behandelde eigenschappen te bewijzen.
I. ONTWIKKELING VAN DE POTENT!AALFITNCTIE VAN EEN OMWENTELINGSLICHAAM IN EEN PUNT DAAR BUITEN GELEGEN VOLGENS
II. TOEPASSING DEK ALGEMEENE REEKS VOOR 'T GEVAL , DAT HET
PUNT IS GELEGEN OP DB OM WENTEL IN OS AS......1(1.
TWEEDE HOOFDSTUK.
1. BEPALING VAN DE POTENTIAAI.FUNCTIH VAN EEN GEÏSOLEERD GELADEN SEGMENT EENEIl GELEIDENDE BOLVORMIGE SCHII, IX
EEN PUNT VAN DE AS VAN 'T SEGMENT.......12.
II. BEPALING DER POTENT!AAI.FUNCTIE IN KEN WILLEKEURIG PUNT 14.
1. INVERSIE VAN 'T VLAK VAN EEN CIRKEL TEN OPZICHTE VAN
EEN PUNT DUITEN DEN CIRKEL ALS INVERSIE-MIDDELPUNT . 2(), II. BEPALING VAN DE POTENTIAALFUNCTIE EENER NAAR DE AARDE AFGELEIDE CIRKELVORMIGE SCHIJF, GEÏNFLUENCEERD DOOK EENE IN' EEN PUNT BUITEN DE SCHIJF GECONCENTREERDE
Hlalt;lz.
I. BEPAIilNQ VAN DE 1'OTENTIA ALFUNCÏIE EEN ER OEÏSOLEEUU GELADEN CIUKEIjYORMIÖE SCHIJF IN EEN PUNT VAN DE AS
DEH SCHIJF................3().
I 1. IIEI'A 1.1X0 DER l'OTF.NTIAAl,FUNCTIE V IN EEN WILLEKEUKIO 1'UNT .'57. 111. BEPALING VAN DE POTENTIAAl.FUNCTIE DER VRIJE ELECTRICI-TEIÏ OP EENE SCHIJF, WAAROP DE EENHEID VAN POSITIEVE EI.UCTBICITEIT, GEPLAATST IX EEN WILLEKEURIG PUNT, IX-Fl.UENCHERENI) WERKT............39.
HEXADERDK WAARDES VOOR DU POTEXTIAALl'UNCTIE IN GEVAL Dl-: SCHIJF ZOOWKL GEÏSOLEERD BLIJFT, ALS DAT ZIJ NAAR DU AARDE IS AFGELEID. DOORSNEDE VAN EEXIOF. NIVEAUVLAKKEN MF.T KEN PLAT VLAK GAANDE DOOR DE AS DER SCHIJF.................42.
I. TOEPASSING DEK VOORGAANDE BESCHOUWING OP EEN SCHERM AAN DE EENE ZIJDE BEGRENSD DOOR EEXE RECHTE LIJN. EN ZICH OVERIGENS ONBEPAALD VER UITSTREKKENDE . 47.
II. TOEPASSING OP KEN SCHERM MET CIRKELVORMIGE OPENING . 52.
PROEFONDERVINDELIJK ONDERZOEK.........57.
(gt;7.
' ■ i !; -.i:
^ •• •' 'r V'' _______ 1- ' ' Vquot;
;;v- r-:'
'
--• ;- , ■ . ■ '■ - .,-' •■ ^ . ■ ■ . v '
■ ; quot; • --;' .
: ;;l'i
'^ ' ■■V ' . '■ ,
.. ;V.; ' ; j;quot;:i
11 'V
V---
•.•••;v:'•■■:- V- ■ ■ .
quot; . J: \
r^- i
ra#