^x: x »'

gt; ... r , ^ ' -j—, v ,**1

v t v—₁ .- ■ . XvV ' NI

4 ^ ' i I ' '' 4. '

^ ^ ^ ^ , ■ gt;-J

* \ T -r-* , ^ r

i ■. . c ^ y*

- lw.., l c. -v :/ .v . ., ,

' ' ^ ■ '■ gt;w- gt; ' gt; 'f ⁱ -N ' f. i

^Za--—^ ^ . ' ,

7rlt;rgt;l -rC' :c.^

\ ^ ^ ^ _n.- ^ 'KL ^ lt;

^gt;r. o . -J. gt;a

v^* »

*■ 'V ^ gt; '-V lt; ¹

- p ' V / /gt;• ■

-.'V' , V \ ■' gt;* l. '

gt; • V-S gt;. ^v' .'■ V .

% ' .'quot; _r^'''■ -- «lt;-

-• *■ f_k v

^•i-' quot;•*• *gt;•-' * Kv ^

• 4 ^.gt; _v 7

^, ■, ■ quot;■ r gt; .

• 'Ié. J »v ,*i ' /

ll.ll.ll.IM **■!' »1, 1 . * / t

igfli quot; i t 4' - ' 'lt;° quot;

- -1 ^ / Kgt; •

-=:» ■ ♦. '■ . /'«■ ,^A.

'

RfMtfiliBH

■ - I

E'

§S* .v li „ SIS Ü

- :

■

STUDIE N

OVER

KAARTPEOJECÏIEN

DOOK

CH, IVI. SCHOLS.

-------

LEIDEN, TER liOEKDUUKKEKIJ VAN J, C. DRABBE. 1SS2.

{ STEKREWACHT ZONIIENBÜEG ^ UTRECHT. J

RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT

1971 8000

1 lb

.

t

■

STUDIËN OVER KAARTPROJEGTIËN,

noou

CII. SI. SCHOL,S.

Antwoord op prijsvraag n°. 3 voor hel jaar 1880.

In do hiervolgende verlmndeling worden, bclialve de in de prijsvraag bedoelde projectie met parabolische meridianen en parallellen, nog vier andere conforme kaartprojectiën behandeld; namelijk de cirkelprojectie van Lagrange, eene projectie, waarbij de meridianen en parallellen door homofocale ellipsen en hyperbolen worden voorgesteld, eene kaartprojectie met eenvoudige formules voor de berekening van de coördinaten en eene niet symetrisehe kaartprojectie met minimumafwijking van de vergrooting, om die projectiën met dc eerste te kunnen vergelijken. Al deze projectiën worden toegepast op de kaart van Nederland.

Vooraf gaan eenige algemeene beschouwingen omtrent conforme kaartprojectiën, hoofdzakelijk met het doel om na te gaan in hoeverre het, bij een terrein van geringe uitgestrektheid, mogelijk is, de verandering, die de vergrooting daarbij ondergaat, binnen zoo nauw mogelijke grenzen in te sluiten.

1

2

HOOFDSTUK I.

AXOEMEKN OVEUZICUT.

§ 1. De ter beantwoording gestelde vraag luidt als volgt:

„Als verschillende parabels allen een zelfde brandpunt hebben, en „ook hare assen allen langs eene zelfde rechte lijn vallen, zullen al de „parabels, die hare opening naar dezelfde zijde keeren, rechthoekig „gesneden worden door al de parabels, welker openingen naar den „tegengestelden kant gekeerd zijn. Men vraagt deze eigenschap, zoo „mogelijk, dienstbaar te maken aan eenc geschikte samenstelling van „landkaarten, waarin de meridianen en parallelcirkels door bogen „vau genoemde parabels worden afgebeeld; of anders aan te toonen, „dat deze eigenschap tot het bedoelde einde onbruikbaar is.quot;

In korte woorden kan het antwoord daarop als volgt worden samengevat: de bovenbedoelde eigenschap kan dienen als grondslag van eene kaartprojectie; er zijn echter andere kaartprojeetiën, die in het algemeen beter zijn, zoodat bedoelde projectie slechts in zeer enkele gevallen met vrucht kan worden toegepast.

Dat het in het algemeen mogelijk is eene kaartprojectie te ontwikkelen, waarbij de meridianen en de parallellen door bovenbedoelde parabolen worden voorgesteld, is gemakkelijk in te zien. Men heeft slechts van beide stelsels een zeker aantal te teekenen, waarbij de parameters volgens eene willekeurige wet veranderen, en in het net, door deze parabolen gevormd, het terrein verder in teekening te brengen.

Of eene dergelijke projectie geschikt is, om van het terrein eene behoorlijke voorstelling te geven, en op welke wijze men de parameters van beide stelsels van parabolen moet laten veranderen, om voor een bepaald terrein eene zoo gunstig mogelijke voorstelling te verkrijgen, vordert eene uitvoerige beschouwing. Men zal daartoe in de eerste plaats dienen na te gaan, aan welke eischen de projectie moet voldoen; en in de tweede plaats zal men die projectie met andere projectiën dienen te vergelijken.

§ 2. De voorwaarden, die wij hier aan eene kaartprojectie zullen stellen en waaraan wij de bovenbedoelde projectie dus zullen toetsen, zijn de volgende:

1°. De hoeken in de kaart moeten volkomen overeenkomen met de hoeken van het terrein, of wat op hetzelfde neerkomt, er moet gelijkvormigheid bestaan tusschen de kaart en het terrein, voor zooverre betreft de kleinste deelen daarvan. Eene kaartprojectie, die aan

deze voorwaarde voldoet, draagt den naam van conforme of ortho-morphe projectie.

2°. Is aan bovenstaande voorwaarde voldaan, dan zal de vergrooting voor de verschillende pimten der kaart niet overal dezelfde zijn; men moet er dan echter voor zorgen, dat de afwijking van de vergrooting zoo gering mogelijk is.

8°. De formules voor de berekening van de rechthoekige coördinaten vnn punten, gegeven door lengte en breedte, moeten zoo eenvoudig mogelijk zijn en eene scherpe berekening toelaten, hetzij met of zonder vooraf berekende tafels.

§ 3. De eerste van de bovengenoemde voorwaarden wordt niet altijd aan de kaartprojectiën gesteld. Bij eene groep van projeeticn, bekend onder den naam van equivalente projeetiën, (zie onder andere A. Gekmain, Traite des projections des cartes géogra/phiques. Paris, Bertrand, Première partie, Chapitre III, Dr. H. OiuiTaciiEL, Lehrhuch der Karten-Frojection, Weimar 1873, Viertes Kapitel, en E. Collignon, Recherches sur la representation plane de la surface du globe terrestre, Journal de TÉcole Polytechnique, 41'' Cahier, p. 73—161), en waartoe onder andere de projectie van Bonne of de zoogenaamde gewijzigde projectie van Plamsteeb , die aan onze topo-graphische kaart ten grondslag ligt, behoort, —wordt als voorwaarde gesteld, dat de inhouden onveranderd moeten blijven. Bij deze projectie ondergaan niet alleen de hoeken eene verandering, tnaar ook de vergrooting is in de verschillende, richtingen rond oen zelfde punt verschillend; zoodat de equivalentie alleen betrekking heeft op de in» houden, niet op de afstanden.

Bij alle overige projeetiën, die noch tot de equivalente noch tot de conforme behooren, worden de hoeken gewijzigd, en ondergaat de vergrooting, zoowel in de verschillende richtingen om ccn zelfde punt, als van punt tot punt, eene verandering.

Niet alleen echter, omdat de conforme projectie de meest gunstige is, wordt die voorwaarde hier gesteld; maar in dc vraag zelf ligt deze voorwaarde stilzwijgend opgesloten; de conforme projectie toch is de eenige, waarbij dc meridianen en parallellen in de kaart elkaar rechthoekig moeten snijden ').

') Werd dc voorwaarde van dc equivalentie gesteld, dan zou liet antwoord ontkennend moeten luiden. In dc noot bij paragraaf 38 wordt aangetoond, dat eene projectie met genoemde parabolen als meridianen en parallellen alleen eene equivalente projectie kan zijn in liet bijzondere geval, dat de parabolen in rechte lijnen overgaan (zie ook de notrn bij { 2(1 rn § 43).

1*

4

In de eerste paragraaf van het tweede hoofdstuk wordt deze voorwaarde in vergelijking gebracht; en in hoofdstuk TV, waarin de projectie met de bedoelde parabolen als meridianen en parallellen nader behandeld wordt, wordt aangetoond, dat het mogelijk is de parameters zoodanig te bepalen, dat de projectie conform wordt. Aan de eerste voorwaarde wordt dus geheel voldaan.

§ 4. De voorwaarde, dat de vergrooting bij cene conforme projectie voor de verschillende punten van de kaart zoo min mogelijk moet veranderen, is moeielijk in het algemeen in formule brengen. Vooral voor cene kaart van cene zeer groote uitgestrektheid is dit aan groote moeilijkheden onderhevig. Voor een dergelijk geval moet men do vergrooting voor de verschillende punten van de kaart uitrekenen en ze daarnaar beoordeclcn, vooral door vergelijking met andere kaartprojectiën. Voor een klein terrein is het wel mogelijk, die voorwaarde in het algemeen in formule te brengen, omdat daarbij de vergrooting, ten minste bij benadering, eene zeer eenvoudige wet volgt.

In deze verhandeling stellen wij ons hoofdzakelijk op het standpunt van de ontwikkeling van eene kaartprojectie voor een betrekkelijk klein terrein, en nemen daarbij voortdurend de kaart van Nederland als voorbeeld. Wij doen dit eensdeels, omdat men in de cirkelprojectie van Lagrange eene zeer geschikte projectie bezit voor zeer groote terreinen, terwijl de projectie, die wij hier hoofdzakelijk te onderzoeken hebben, voor dergelijke terreinen ten cenenmale ongeschikt is, zooals uit verschillende omstandigheden blijkt (zie onder andere § 43); anderdeels ook omdat de projection voor betrekkelijk kleine terreinen, hoewel zij van het grootste belang zijn, meestal onvoldoende behandeld zijn, zoodat men slechts uiterst zelden aanwijzingen aantreft, om eene projectie op de beste wijze aan een bepaald terrein aan te passen.

§ 5. Om bij een terrein van betrekkelijk geringe uitgestrektheid de verandering van de vergrooting zoo gering mogelijk te maken, moet men er in de eerste plaats voor zorgen, dat de afgeleide functiën van dc vergrooting, in een bepaald punt van het terrein, zoowel ten opzichte van de lengte als van de breedte, nul zijn. Aan deze voorwaarde, in § 16 in vergelijking gebracht, blijkt de hier te onderzoeken projectie te kunnen voldoen (zie § 39).

De hier genoemde voorwaarde is echter niet voldoende. Uit het verder onderzoek, in hoofdstuk II ingesteld, blijkt namelijk, dat dc punten, waarvoor de vergrooting dezelfde is, gelegen zijn op ellipsen

5

of op hyperbolen, die bovengenoemd punt, dat men den naam van hot eentrale puat geeft, tot middelpunt hebben; en dat dio projectie, wat de verandering van do vergrooting betreft, de gunstigste is, waarbij do lijnen van gelijke vergrooting ellipsen zijn en waarbij de middellijn, die don hoek van de hoofdassen midden doordeelt, bij de kleinste van die ellipsen, die nog om het terrein beschreven is, een minimum is.

Om nu eene kaartprojectie zoodanig in tc richten, dat de lijnen van gelijke vergrooting dien gunstigsten vorm verkrijgen, is het noodig, dat, nadat reeds aan nl de bovengenoemde voorwaarden voldaan is, de formules voor do coördinaten X en F van eon willekeurig punt nog twee parameters bezitten, waarover men naar willekeur kan beschikken; in dien zin, dat men aan de derde afgeleide functiën van X en F ten opzichte van de lengte A in het centrale punt bepaalde waarden kan toekennen.

De projectie met parabolische meridianen en parallellen bezit deze parameters niet en kan dus ook niet naar behooren aan het terrein worden aangepast. Zelfs zijn de lijnen van gelijke vergrooting, zoolang het centrale punt op eene grootere breedte dan 45° ligt, hyperbolen, en daardoor verandert de vergrooting op eene zeer ondoelmatige manier. In fig. Ill zijn cenige van die hyperbolen van gelijke vergrooting voorgesteld, en daaruit blijkt, zooals in § 40 nader wordt uiteengezet, dat men met deze projectie de vergrooting alleen tussehen do grenzen

1± 0,00023 = l±„V(r.

kan laten blijven; terwijl het mogelijk is voor de kaart van Nederland eene projectie te ontworpen, waarbij do vergrooting besloten blijft tussehen de grenzen

1 ±0,0000571 = l±_1TJ_ïïff.

Eene projectie waarbij dit werkelijk het geval is, wordt later in hoofdstuk VII ontwikkeld.

De cirkelprojeetie van Lagrange bevat slechts één dergclijkcn parameter; zoodat deze projectie slechts gedeeltelijk aan hot terrein kan worden aangepast; men kan het bij deze projectie echter nog zoo ver brongen, dat de vergrooting begrepen blijft tussehen do grenzen

1 0,0000887 — 1 dt t TTn''

zoodat deze projectie boven de projectie mot parabolische meridianen en parallellen verre te verkiezen is.

Alle projection, dio syractrie vertoonon ton opzichte van den meri-

ö

diaan vau het centrale punt, missen noodzakelijk den tweeden parameter en kunnen dus, wat de vergrooting betreft, geen betere verhouding opleveren dan de hier bedoelde cirkelprojeotie van Lagkange, Tot deze projeetiën behoort ook de in hoofdstuk V ontwikkelde projectie, waarbij de meridianen en parallellen door homofocalo ellipsen on hyperbolen worden voorgesteld. Deze projectie bezit ook slechts één parameter en geeft dus, wat de vergrooting betreft, niets meer dan de projectie van Lagrange ; zij is echter veel beter dan de projectie met parabolische meridianen en parallellen ').

§ 6, Als derde voorwaarde hebben wij gesteld, dat de coördinaten van de punten, die door lengte en breedte gegeven zijn, gemakkelijk en nauwkeurig berekend moeten kunnen worden. Op deze voorwaarde wordt bij de kanrtprojectiën zeer dikwijls weinig gelet. Zoo vindt men voor de eirkelprojectie van Lagkange voor de coördinaten meestal een stel formules opgegeven, die voor de berekening totaal ongeschikt zijn; hoewel die formules, door het invoeren van eene gemakkelijk te berekenen hulpgrootheid, een zeer eenvoudigen vorm aannemen, waardoor zij onmiddellijk voor logarithmische berekening geschikt zijn.

Daar de projectie van Lagkange de eenige bekende is, waarmede wij de te onderzoeken projectie naar bchooren kunnen vergelijken, hebben wij die projectie in een afzonderlijk hoofdstuk behandeld. Daarin zijn de formules voor de berekening van de coördinaten tot eenvoudige en praktische vormen teruggebracht, en is de projectie tevens aan den vorm van het terrein aangepast.

Bij de berekening van de coördinaten, zoo van deze, als vau alle andere hier behandelde projeetiën, kunnen vooraf berekende tafels de uitvoering van de berekening zeer vergemakkelijken, mits die tafels

') Asn do Topographische en Militaire kaart van hel koninyryk der Nederlanden, aau do Groole kaart van de hoofdrivieren in Nederland en aan alle andere kaarten van Nederland, ilie daarvan zijn afgeleid, ligt de projectie van Bonne of de zoogenaaraile gewijzigde pvojeetic van Flamsteed ten grondslag. Deze projectie behoort tot de equivalente projeetiën, en is als zoodanig niet rechtstreeks met de hierboven behandelde conforme projeetiën te vergelijken.

Do inhouden blijven bij deze projectie onveranderd; daarentegen ondergaan de hoeken en de afstanden zekere veranderingen. De veranderingen, die de hoeken ondergaan, klimmen op tot meer dan 2'30'. en de afwijkingen in do lengten der lijnen tot meer dan Deze groote afwijkingen vinden wel is waar voor een

deel hun oorsprong in de ongunstige ligging van het centrale punt. Bij eeno, hetero keuze daarvoor worden die afwijkingen wel kleiner, maar blijven toch nog opklimmen tot I'IOquot;, resp. 5^ „.

7

slochts een enkelen ingang bezitten en cene gomakkolijkc interpolatie toelaten. Die tafels kan men üolfs niet geheel missen, omdat de geographischo breedte in de formules voor de conforme projectiën altijd op zeer samengestelde wijze voorkomt, vooral ook tengevolge van de afgeplatte gedaante der aarde, die men nergens buiten rekening kan laten. Wij hebben daarom getracht, de formules zoodanig te vervormen, dat daarin enkele weinige function voorkomen, die uitsluitend van de breedte afhangen, en die dus vooraf berekend kunnen worden. De berekening daarvan is niet zeer omslagtig, omdat men daarbij voor de breedte steeds een rond aantal minuten neemt, tenvijl men, zoo men die functiën bij de berekening van de coördinaten zelve wilde uitrekenen, steeds te doen zou hebben met seeunden en onderdeelen van secunden, waardoor de berekening niet weinig bemoeielijkt wordt.

Voor al de projectiën, die wij hier behandelen en die voor eenc kaart van Nederland bruikbaar zijn, hebben wij dergelijke tafels berekend on hier achter gevoegd. Bij al die tafels hebben wij de breedte met honderd secunden laten opklimmen. In die tafels is overal een decimaal meer opgegeven dan voor de berekening noodig is, om daardoor bij de interpolatie het vorige cijfer nauwkeurig te vinden. De interpolatie kan overal met evenredige deelen plaats hebben, omdat het verwaarloozen van de tweede verschillen alleen invloed heeft op bovengenoemde laatste decimaal.

§ 7. Toetsen wij de projectie met parabolische meridianen en parallellen aan deze voorwaarde, dan blijkt zij daaraan bijzonder goed te voldoen. Uit § 39 blijkt namelijk, dat de formules voor de berekening van de coördinaten tot de volgende eenvoudige vormen kunnen worden teruggebracht X—pX,

Y=S qX\

waarin p en S functiën van de breedte zijn, waarvoor tafels kunnen opgemaakt worden, en q eene standvastige voorstelt.

Geen andere conforme projectie, waarbij de afwijking van do vergrooting voor een willekeurig') punt van het aardoppervlak maar eonigszins gering is, bezit zulke eenvoudige formules. Er zijn echter

') Dc projectie van Mercator heeft eenvoudigere formules, mnnr deze geeft nnecn voor punten dieht bij «lou «equator eenc geringe afwijking van de vergrooting. Deze projectie kun eelitcr beschouwd worden als een bijzonder geval van dc bovenstaande (zie $ 42).

8

ouder die projectiihi sommige, die weinig meer samengestelde formules opleveren.

Zoo heeft men bij de eirkelprojeetie van Lagbange, die wat de vergrooting betreft verre te verkiezen is, de volgende eenvoudige formules (zie § 27)

Ty — Tg i (JX,

X—p Sin u.,

r^zS XTfjitU.

Daarin zijn q en S funetiën van de breedte cn dus in tafels te vereenigen (sde Tabel IT). De grootheid u. is een hulpboek, die eene eenvoudige betcekenis heeft. Voor de berekening is het zelfs nog eenvoudiger de formule voor X aldus te schrijven

X=2 p. T(j J a. Cos* ' «,

daar men alsdan slechts eene benaderde waarde van den hulpboek « noodig heeft, om log Cos'¹ \ a in de logarithmentafel te kunnen opzoeken. Bij do bcoordeeling van deze formules moet men wel in het oog houden, dat van de grootheid Tg .1 a, die in de formides voor X en F voorkomt, de logarithme uit de eerste formule gevonden wordt, en men die dus niet behoeft op te zoeken.

5 8. De betrekkelijk samengestelde vorm, dien de formules voor de projectie van Lagbange toch nog hebben, leidt tot de vraag, of het niet mogelijk is, eene projectie te ontwikkelen, die dezelfde voordeden bezit wat de vergrooting betreft, maar eenvoudigere formules oplevert. Langs tweecrlij wegen zijn wij tot dit doel gekomen. Vooreerst (hoofdstuk V) door uit te gaan van de eigenschap van de homofoeale ellipsen en hyperbolen, die elkaar ook onder rechte hoeken snijden, en waarvan de hiervoren bedoelde parabolen slechts een bijzonder geval vormen. Aangezien daarin een parameter meer voorkomt, kan die projectie, even als de eirkelprojeetie, aan het terrein worden aangepast.

Ten tweede (hoofdstuk VI) hebben wij aan de eenvoudige formules voor de parabolische projectie een enkelen term toegevoegd, en daardoor den noodigen parameter gevonden, die in do eerste ontbrak.

Door aan deze laatste nog enkele termen toe te voegen, waardoor eene onsymetrische projectie verkregen werd, hebben wij eindelijk de afwijking der vergrooting tot een minimum gemaakt, zonder tot zeer moeilijke formules te geraken (hoofdstuk VII).

§ 9. Door de meridianen en parallellen door homofoeale ellipsen

«

ca hyperbolen voov te stellen zijn wij tot twee kaartprojecticii gekomen, die elkaar als het ware aanvullen.

Door de meridianen door hyperbolen, en de parallellen door ellipsen voor te stellen, vindt men (§ 44 en fig. 3)

X — p Sin C A,

Yz^S qSin* \ CA.

Door omgekeerd de hyperbolen als parallellen, en de ellipsen als meridianen aan te nemen, vindt men (§ 55 en fig. 4)

X Sh. C', A,

Y—Sy lt;/, SJi'¹ \ C, X.

De in deze formules voorkomende grootheden p, q on S, en fj j, 6'j zijn funeticn van de breedte, en kunnen iu tal'els vereenigd worden. Voor de eerste dezer projection, die op do kaart van Nederland toepasselijk is, zijn deze tafels in Tabel lil vervat.

Do grootheden C en C, stollen de parameters voor, waardoor de projectie aan den vorm van hot terrein kan worden aangepast. Zij zijn zoodanig onderling verbonden, dat als de eene imaginair wordt, de andere bestaanbaar is.

§ 10. Bovenstaande formules blijken onmiddellijk veel eonvondigcr te zijn, dan die voor de cirkolprojectie; maar beiden zijn voor kleine waarden van A eenigszins lastig, doordat men de goniometrisohe of hyperbolische function van kleine grootheden moot opzoeken.

Bij de projectie van Lagrange doet men in dat geval hot best, do log Tg J 6'A met behulp van hot tangentengetal, dat in de loga-rithmentafels door do letter T wordt aangegeven, op te zoeken; voor de logarithme van Cos¹ ' u. kan men eehtor eenvoudiger schrijven (§ 37)

log Cos² \ u.—log _g —-MTg^%\a. —-A,

welke formule geldig is, zoolang log Tang ,[a lt; 8,34055—10 is.

Voor de projectie met elliptische parallellen en hyperbolische meridianen kunnen wij voor dat, geval eenvoudiger schrijven (§ 45)

logX -f toyAquot;—A ,

% (F- S) = * 2 log Aquot;-|- _?ï - i A;

en voor de projectie met hyperbolische parallellen on elliptische meridianen (§ 55)

log X —p* -F log Aquot;4- A,

log{Y- S) — t Z log Aquot;

10

wiinrin /gt;₂, en S function van de breedte, en i eene standvastige voorstellen. De grootheid A is eene kleine correctie, waarvan do logarithme, in beide gevallen, gelijk is aan t -f 2 ^o//Aquot;; welke grootheid bij de berekening van log[Y—S) van zelf reeds voorkomt, zoo-dat men A alleen in do logarithmentafol behoeft op te zoeken.

Om de bewerking voor beide projccticn boter te kunnen vergelijken, geven wij hier een voorbeeld van de berekening. Voor de breedte, die wij in hot vervolg altijd door de letter ip voorstellen, nemen wij 0 ^ 51^ü18'20quot;, en voor de lengte A = l^o4'6quot;,30.

Cirkelprojectie van Lagrange. Tahel II.

]CA= J-A=:82'3quot;,15 %|Aquot;=:3,2840131.7 quot;) ⁷ jlf=6,63778 T =4,6855874.5-11) 2%Tyl« = 5,73950 lugq =9,8951488.5-10 %A =2,36728 lor/Tg \ct — 7^8647494.7-10 - A = —233.0 log%_v =7,0073945.8

%X =4,8721207.5 X— 74493,91

log Tg { u. =7,8647494.7-10 log{Y-S) =2,7368702.2 'Y-Sz=. 545,595

S = ~ 101972,410 1^= —101426,82.

Bij deze berekening moet men behalve den [hoek JCA, zestien getallen opschrijven en vijf grootheden in de logarithmentafel opzoeken, namelijk log .1 Aquot;, T, A, X en (Y—S). De berekening van den hoek -j CA is hier gemakkelijk, omdat C juist gelijk is aan de eenheid. Bij oen ander terrein, waarvoor C eene niet zoo eenvoudige waarde bezit, wordt de berekening iets mooielijker; voert men die berekening door middel van logaritlimcn uit, dan heeft men nog twee getallen meer op te schrijven; men heeft daarbij echter niets meer in de tafel op te zoeken, omdat log\G standvastig is.

') Do Mj deze en volgende berekeningen bijgevoegde nelitsto decimaal is gevonden met behulp van de tafel van SeniiöN, en dient alleen om do nauwkeu-riglieid van de zevende deeimanl to verhoogen. Do in de tafels voorkomende achtste decimaal is overal gevonden door de berekening tot in tien of elf dceinialcu uit te voeren, en kan hoogstens eene eenheid van die decimaal foutief zijn.

11

Projectie met elliptische parallellen en hyperbolische meridianen. Tabel III.

= 1,2870887.9 t= 4,8708741.9—10

logXquot; =. 3,5850431.7 'iloy^'— 7,1700863.4 - A = —109.9 =quot;^,0409605.3

log X = 4,8731209.7 A = —54.9

= 0,6959827.7 log{r-S) = quot;2,7369378.1 ¥-8= 545,680 S =. —101972,437 X= 74493,95 F = -101426,70 ^

Bij deze berekening heeft men slechts veertien getallen op te schrijven, dus twee minder dan bij de Laokanof,-projectie; men moet vier grootheden in de logarithmcntafel opzoeken (namelijk log Xquot;, A, X en F—S) dus ccn minder dan bij de vorige; en men heeft niets te maken met de standvastige C, die alleen voorkomt in de grootheden , q.,, t en S.

Het blijkt dus hieruit, dat deze projectie, wat de eenvoudigheid van de berekening betreft, staat boven de cirkelprojectic van Lageange.

§ 11. In hoofdstuk VI hebben wij nog eene andere projectie ontwikkeld en daarbij getracht, de formules zoo eenvoudig mogelijk te maken, door uit gaan van de formules voor de projectie met parabolische meridianen en parallellen, en daarbij een enkelen term te voegen, om de projectie aan den vorm van het terrein te kunnen aansluiten, voor zoo verre dit bij eene symetrischc projectie mogelijk is.

De formules, waartoe wij gekomen zijn, zijn de volgende

X = A_lXquot;-A._iXquot;\

r = ^₀-M₂Aquot;².

Zie hier de toepassing dier formules op het bovenstaande voorbeeld, met gebruikmaking van Tabel IV

/or/zl, =1,2870883.7 5,5667945.2—10 hijA._K — 9,5 113,^r).4—20

log Aquot; = 3,585043 i.7 Hog Xquot; — 7,1700863.4 3lorji.quot;= 10,75513.0

4,8721315.4 2,7368808.6 0,26648.4 A, Aquot; = 74495,755 Aquot;» = 545,608 —/t₃ r-¹ = —1,847 ^„= — 101972,412 7 4493,9 f y = — 101426,80.

Uit dit voorbeeld blijkt, dat men even als bij de vorige projectie vier grootheden in de logarithmcntafel heeft op te zoeken, namelijk

12

ioij Aquot;, A_l Aquot;, A„ Aquot;2 en Aquot;³, en dat men slechts cén getal meer heeft op te schrijven, zoodat deze projectie wat de uitrekening betreft, bijna gelijk staat met de vorige. Er is echter eene andere reden, waarom zij boven die te verkiezen is.

§ 12. In dc vorige parngraphen hebben wij alleen gelet op de eenvoudigheid van de formules en van de berekening. Van veel belang is het echter, dat de coördinaten door middel van die formules zoo nauwkeurig mogelijk kunnen bepaald worden, Wij hebben steeds getracht de formules zoodanig in te richten, dat eene scherpe berekening mogelijk is.

Voor de berekening van de ordinaat Y zijn wij bij alle projeetiën volkomen daarin geslaagd. Het grootste gedeelte daarvan werd toeh onmiddellijk gegeven door eene tafel, die vooraf zoo nauwkeurig mogelijk berekend kan worden. De daaraan aan te brengen correctie (in het behandelde voorbeeld 545,59 ii 545,68) kan nauwkeurig genoeg berekend worden met behulp van logarithmeu met zeven decimalen.

Niet alzoo wat de waarde van X betreft; bij dc cirkclprojeetic en bij dc projectie met elliptisehe of hyperbolische meridianen, wordt de X in eens door haar logarithme gevonden, en bij de laatst behandelde projectie het grootste gedeelte daarvan, namelijk: A, Aquot;. Is nu de X eenigszins groot, en rekent men met eene tafel met zeven decimalen, dan zal men die waarde daarin niet meer met de noodige juistheid kunnen vinden, üij eene waarde vau 43000 meter komt eene eenheid van de zevende decimaal reeds overeen met cén centimeter en bij de toepassing op de kaart van Nederland waarbij de abscis X tot 150000 meter kan klimmen, zal men dus de centimeters niet meer nauwkeurig kunnen berekenen.

Bij de cirkelprojectie en bij dc projectie met elliptische of hyperbolische meridianen is het niet wel mogelijk, dc formule voor X zoodanig te veranderen, dat aan dit bezwaar te gemoct gekomen wordt, zonder de formule al te samengesteld te maken en de berekening daardoor te bemceielijkcn.

Bij de in de vorige paragraaf aangegeven projectie is dit wel mogelijk; voor den term. AyXquot;, waarop het hier aankomt, kan men namelijk schrijven (zie § 64)

Ai*quot;

waarin A eenvoudig evenredig is met A en dus met behulp van eene tafel (zie Tabel TVa) zoo nauwkeurig kan berekend worden, als men verkiest. De coëfficiënt A^ is eene functie van (p, waarvan dc logarithme door eene tafel gegeven wordt, waarmede de term A^ /3quot; Aquot;,

13

die klein is in verhouding tot A, nauwkeurig genoog door middel van logarithmen kan gevonden worden.

De berekening, op deze wijze uitgevoerd, wordt iets, maar niet veel, omslagtiger; de nauwkeurigheid van de uitkomst wordt echter veel verhoogd. Ter vergelijking geven wij hier de berekening van het vorige voorbeeld, met behulp van de Tabellen IV en IV«.

1° CS323,0120 6,0720445.6 logA.^ 5,5667945.2—10

4' 4554,8675 ~ 3,51 83139.3,, 2 lotj Xquot; = 7,1700863.4

Cquot; 113,8717 log kquot; — 3.5850431.7 2,7368808.6

0quot;3 5,6930 3,1756016.6,.,

A= 72997,445 logA^ 9,51135.4—20 — A„ -f I 498,310 3%Aquot;.= 10,75513.0 A^quot;^l= 545,608

— A^quot;'= —1,847 0,26648.4 ^„=—101972,412

X— 74493,9T^- y = quot;^l0l426,80.

Uit de vergelijking van deze berekening met de vorige blijkt, dat men, behalve de berekening van A, die zeer eenvoudig afloopt, alleen logfiquot; meer heeft op te zoeken. De nauwkeurigheid wordt eehter aanmerkelijk verhoogd, zoodat men bijvoorbeeld voor de toepassing op de kaart van Nederland alle coördinaten tot in centimeters nauwkeurig kan berekenen.

§ 13. Uit het bovenstaande blijkt duidelijk, dat er verschillende projecticn bestaan, die, wat de verandering van de vergrooting betreft, veel gunstiger zijn dan de projectie met parabolische meridianen en parallellen, zonder daarom al te ingewikkelde formules op te leveren voor de berekening van de coördinaten.

Al die projectiën geven echter, wat de verandering van de vergrooting betreft, niet het uiterste, dat bereikt kan worden. Wij hebben daarom gemeend eene enkele projectie, waarbij werkelijk dat uiterste bereikt wordt, te moeten behandelen (hoofdstuk VII). De formules voor die projectie

(3quot;² Aquot; i?₃ Aquot;³,

zijn natuurlijk samengesteldcr; de vier bijkomende termen kunnen echter met logarithmen met vijf decimalen met genoegzame nauwkeurigheid berekend worden. Zij levert dan het groote voordeel, dat de verandering van de vergrooting aanmerkelijk verminderd wordt. Toegepast op de kaart van Nederland wordt die verandering van _TT|_TÏ tot _TrJ_ffïi teruggebracht.

14

HOOFDSTUK II.

ALOEMEENE BESCHOUWINGEN OVEll CONFORME OF ORTHOMORPHE PEOJECTIËN.

5 14. Zooals bekend is, is hot voor eene conforme of orthomorplic projectie, waarbij dus gelijkvormigheid bestaat tussehcn de kleinste deelen van het terrein en de kaart, noodzakelijk en voldoende, dat voor ieder punt twee richtingen, die op het aardoppervlak loodrecht op elkaar staan, dit in de projectie ook zijn, en dat de vergrooting volgens die twee richtingen dezelfde is.

Nemen wij voor die twee richtingen den meridiaan en de parallel, en stellen wij door cf) en A de geographisehe breedte eu lengte en door x en y de rechthoekige coördinaten van het punt in de kaart voor, dan wordt de richtingscocflicient van tien meridiaan in de kaart voorgesteld door

en die van den parallelcirkel door

? x 9 A ? A

Staan beide richtingen loodrecht op elkaar, dan moet het produkt van beide richtingscoëflicienten gelijk zijn aan minus de eenheid; zoodat dus do eerste van de bovengenoemde voorwaarden uitgedrukt wordt door

...........a)

Ox dm (Üp (U

Stelt 71 den kromtestraal van den meridiaan ter breedte (p voor, dan is J£f/lt;p de lengte van een elementje van den meridiaan; dit zelfde elementje heeft in de kaart tot lengte

hieruit volgt dus voor do vergrooting in de richting van den meridiaan, die wij door de letter m zullen voorstellen,

_mJ .........₍₂₎

15

Op overeenkomstige wijze vinden wij voor de vergrooting in de richting van den parallelcirkel, als r den straal van dien cirkel voorstelt,

= -——..........(3)

r '

Dnar nu volgens de tweede van de bovengenoemde voorwaarden beide waarden van de vergrooting aan elkaar gelijk moeten zijn, zoo vinden wij als tweede vergelijking

R r '

Deze vergelijking kan echter nog belangrijk vereenvoudigd worden; uit (1) volgt namelijk

d x_ ? A ? ?/

i)(p d x

waardoor bovenstaande vergelijking overgaat in

„Da -

li — r

en waaruit door vermenigvuldiging* met en dceling door

s/m m'

d 9/ li D X

volgt — = - —..............(4)

(*lt;p ^v '

De vergelijkingen (1) en (4) zijn voldoende ter ontwikkeling van de conforme projection; in plaats van de eerste kan men echter nog eene andere stellen; door namelijk tusschen (1) en (4) de partieele Dy D ic

differentiaalquotiënten en — te elimineeren, vindt men

D x R Dy

.............(⁵)

Deze vergelijking in verband met (4) is ook voldoende ter bepaling

ns

van de conforme projection, en in sommige gevallen te verkiezen boven het stel vergelijkingen (1) en (4).

Stellen wij nu nog in het algemeen ')

') Jlij deze en nlle verdere ontwikkelingen beschouwen wij liet aardoppervlak nis een omwentelingsoppervlak, zonder omtrent den vorm van do meridiaandoor-snede cenige onderstelling te doen. De formules worden daardoor niet alleen algemeener, maar tevens eenvoudiger.

Voor het geval van een ellipsvormigcn meridiaan met de exeentriciteit r, wordt bovenstaande functie V

r/₌r^₌r =

Jf, '' J,,._b(I —f* S'»'¹ lt;l')Cos_v.

_ _A7 , Tff (45° J if) / 1 — f Sin if I f Sin (f₀ . j r ~ * ⁹ Tg (45° i_Vo) ' y\ _f Sin * ' l-_eSin_Vo) quot;

Ontwikkelen wij deze uitdrukking in eene reeks voigena de machten van f en voeren voor zooveel noodig de afplatting p — i — l 'l—t' in, dan vinden wij na eenigc herleiding

U=N_ngt;lo_q ^(45° » _

■' ry/(45^o j-v₀i

5f. (— ¹) quot; \² quot; /^ 2 tl -j- 1 , , . r,. 2 H -f- l ,

■ 4p 2, Cos—-— (tf (p₀).Siri —-— iv — to

Door hierin voor de excentriciteit e en de afplatting p de waarden volgens Besski. te substitueereu vindt men

U- Lloq —(8,1261068.918—lOjCos^ ^.SinK,/,—_v )

M ■ r(j(4^ro° ivj

(4,8728490.282—10)Cos»(o. ».₀).Sm«(_v— —(1,8748036.597—lOlCosJ^ vJ.SwK»—^0) (8,9524790.101—20) Cos —enz.

In deze formules stellen do tnsschen haakjes geplaatste getallen de gewone of briggiaansche logarithmen van de coëfUcienten voor. Door loy worden diezelfde logarithmen verstaan en door M haar modulus.

Voor het geval, dat men te doen heeft met kleine waarden van het breedte-verschil v—if₀, is het doelmatig ook den eersten term van'bovenstaande formule in eene reeks te ontwikkelen, en wel volgens dc machten van Si» |(ip — f₀). Ontwikkelen wij daarbij tevens bovenstaande Sinussen van dc veelvouden vnn J. (ip — (f_o) volgens de machten van Sin ('# — f₀), dan vinden wij met verwaarlozing van termen van de orde f¹¹ Sin³ 4 (v — 'f,,)) lt;11° '^Jij de hierachter volgende toepassing op de kaart van Nederland, alleen invloed hebben op de decimaal

_{U= 2} ; ('®2i£y enz. -

1 — i'¹ Sin ' rf_m Cos lt;f_m ' \ Cos lt;/,„,/ ^J \ Cos (p /

— J f ^ Sin '¹ I ft. Cos 3if_m, waarin (V het breedteverschil («/i — ?„), cn lt;f_m dc gemiddelde breedte i{(f it₀) voorstelt.

17

rQii

-d4gt;=U, ............(OJ

-hquot;^r

waarin lt;p„ de breedte van een punt voorstelt, dat zooveel mogelijk in het midden van het af te beelden terrein gelegen is, — welk punt wij met den naam van centraal punt zullen bestempelen, en waarvan de juiste plaats later naauwkeurig zal worden aangegeven, — dan gaan bovenstaande vergelijkingen (4) en (5) over in ')

Nemen wij vnn deze uitdrukking de gewone logarithmo en stellen daarbij

Sin i f) 1

-—=— =x en —— ■ — o),

Cos,_lm l/l

dau vinden wij

» xquot;* x *

% U = a-\- loqx -f % w¹ -f a ^--1- n — ,

w* o»*

waarbij de waarde van de verwaarloosde termen, bij bovengenoemde (oepassing, slechts opklimt tot eene eenheid van do elfde decimaal.

De in deze formule voorkomende coëdioiontcn hebben de volgende bcteekenis re = %2(I — j:») = 0,29812163612,

^ (\ —f* Cos³ v_m. CosStpn),

3{1-^)

M s__5^ I —f'Sin¹ lt;p_m\

iv 18 1 —f'¹ /'

5(1-

Do twee laatste eoëfRcicnten ziju niet geheel standvastig; zij zijn eehter zoo weinig veranderlijk, dat men kan volstaan met voor (/gt;„ eene gemiddelde waarde te nemen. Do fout, die daardoor ontstaat, is bij de hier volgende toepassingen nauwelijks merkbaar in de tiende decimaal van loy U, Voor =; 52° 13' 20quot; vindt men

loija, = 9,1635755 — 10, loija^ =: 8,79997 —10.

Hiermodo zijn do logarithmen van V berekend, die aan de hierachter gevoegde tabellen ten grondslag liggen.

') Zoo hier, als bij de verdere ontwikkelingen, hebben wij meermalen te doen met grootheden, die fuuctiün zijn van eene enkele veranderlijke; in alle die gevallen zullen wij, ter vereenvoudiging van de formules, de afgeleide functie door een accent aanduiden.

De gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen (0') hebben wij niet in het algemeen geintegreerd, omdat in ieder van de hierna te behandelen gevallen daaruit andere diflerentiaalvergelijkingcn kunnen afgeleid worden mot eene enkele onafhankelijke veranderlijke, en die dus gemakkelijker te intcgreeren zijn. De alge-mecnc integraal, die men bijna in iedere verhandeling over conforme projection cn in ieder handboek over kaartprojcetiën vindt, is

_ ^F( V )y~\) F, (ü~)y~\) _ F( U-\-X\y~\]~F_l ( r7_A'i/rT) y-----, x-----.

2 2^—1

Neemt men voor de daarin voorkomende function V en 1\

F[ ü) = I'\ IU}-AU D IP ,

N. A. v. W. Dl. VIII. 9

18

• • • (6')

welke vergelijkingen voor de verdere ontwikkelingen boven de vergelijkingen (4) en (5) nog eenige voordeelen bezitten.

§ 15. Om bij de berekening van de coördinaten van de verschillende punten niet met al te groote getallen te doen te krijgen, is het wenschelijk, dat de oorsprong van het coördinatenstelsel zooveel mogelijk in het midden van het terrein gelegen zij. Wij zullen daarom het in de vorige paragraaf bedoelde centrale punt als oorsprong kiezen. De coördinaten ten opzichte van dit stelsel zullen wij steeds door groote letters uitdrukken; om ze zoodoende te onderscheiden van de coördinaten ten opzichte van andere stelsels, die bij de berekening mochten voorkomen.

Verder zullen wij alle grootheden, die op het centrale punt betrekking hebben, door den index nul onderscheiden, zoodat wij dus vooreerst hebben

X₀ = 0 en F_g = 0

en voor de in hoofdstuk VII behandelde projectie eindelijk

F(U) = AU BÜ* (C D^^ï) ü\

F^üj^A U B U' [C—D^~\]V\

Alleen do laatste bevat vier parameters. Één dient voor dc bepaling van de schaal, de tweede voor de plaats van het centrale punt, de twee overige ora de projectio aan den vorm van het terrein aan te sluiten. Dc vier daaraan voorafgaande projection bevatten slechts drie parameters, en kunnen dus slechts gedeeltelijk aan don vorm van het terrein worden aangesloten. De eerste bevat er slechts twee, cn kan dus in hot geheel niet daaraan worden aangesloten.

It)

Eindelijk zullen wij de .K-as steeds rakend nemen aan tien meridiaan in het centrale punt, en wel met het positieve gedeelte naar het noorden gekeerd. De daarop loodrecht staande X-as is dan rakend aan den parallelcirkel van het centrale punt. Het positieve gedeelte dier as zullen wij steeds naar het oosten richten.

Uit de aangegeven richting van de F-as volgt onmiddellijk voor liet centrale punt

fe), = ⁰............lt;⁸gt;

Uit do aangegeven richting van de A'-as, ot' ook door bovenstaande uitdrukking in vergelijking (ö) over te brengen, vinden wij voor dat zelfde punt

a-............«

Om te zorgen, dat in het centrale punt tie overeenstemming tus-scheii het terrein en tie kaart zoo volkomen mogelijk is, zullen wij de vergrooting voor dat punt gelijk aan de eenheid pellen; zoodat dus het terrein, in de onmiddellijke nabijheid van dat punt gelegen, in ware grootte en vorm wordt voorgesteld. Moeht het later om de een of andere reden wenschelijk blijken, de vergrooting in dat punt niet juist gelijk aan de eenheid te nemen, dan kan men zulks gemakkelijk verkrijgen door alle afmetingen mot een zelfden factor te vermenigvuldigen. Stellen wij dus voor het centrale punt in (3) de vergrooting m — \, dan volgt in verband met (8)

/lt;gt;X\

[*gt;:)='■•...........lt;¹⁰)

Op dezelfde wijze vinden wij uit (3) in verband met (9), of ook door (10) in (4) over te brengen,

/'dF\

bv=^M'..........'quot;)

5 16. Dc vergrooting m verschilt bij de conforme projeetiën van het eene punt tot het andere; wil men er voor zorgen, dat die vergrooting voor de verschillende punten van het voor te stellen terrein zoomin mogelijk uit elkaar loopt, dan moet men voor een punt, iu het midden van dat terrein gelegen, dus voor het centrale punt, de afgeleide van de vergrootiug zoowel ten opzichte van A als van (p gelijk nul maken, dat is dus

2*

ao

=0, c_n =0,

VÏ^Vn \iï(p)₀

of wat O]) hetzelfde neerkomt, maar voor de berekening eenvoudiger is,

(^) =»• quot; (^).=».......

Door vergelijking (3) in het vierkant te brengen en ten opzichte van A te differentieeren, vinden wij

c*.»»² 2 |~(gt;iF()²ir !

r

waaruit voor het centrale punt in verband met (13), (8) en (10) volgt

r?²x

Door dezelfde uitdrukking voor m¹ ten opzichte van (p te differen-tieeren komt er

d.m²_ 2 fa: ?² x Sy '/.l _ o?l'_f?f2

?(p ~ r² IJÜ (^(U r '

Merken wij verder op, dat voor ieder omwentelingsoppervlak

r' — — 11 Sin lt;p.............(15)

is, en dat door differentiatie van (4) en (5) ten opzichte van A volgt

^ y _Ji x

?(pdA r JA² '

^x RWy

en

~ r ?A² ' '

d .m¹

dan gaat bovenstaande uitdrukking voor ^ ■ over in

ö.»i² „ -K ï^,2y ?² « 1 j c na-v

1^=-²,-LmsF-S!SF-quot; quot;• ■•^(l8)

Voeren wij nu voor het centrale punt de tweede voorwaarde (12)

in, en letten wij tevens op (8), (10) en op m₀ — l, dan vinden wij

..........⁽¹⁹⁾

Uit de vergelijkingen (16) en (17) volgt verder voor het centrale punt, als wij op (14), (15) en (19) letten,

=0..............(20)

\? A./ o

31

.....^lt;s,)

Door de vergelijkingen (4) en (5) ten opzichte van (p tc diffcreu-tieeren vinden wij

Vy _ rR'-Rr' tx R x ~ r¹ r

?²x _ rR'-Rr' R Wy

Ïcp'¹ r² r ÏI0Ï)X'

waaruit voor het centrale punt volgt, als wij op (8), (10), (30) cn (31) letten,

''n ^ o ^—-^o''o .. i _ jy foQ\

-—;- T--' o — ^Ji o • • • K*quot;¹)

0.....................(33)

0

§ 17. Uit de in de belde vorige paragrafen ontwikkelde waarden voor de gedeeltelijke differentiaalquotienten van X cn Y in het centrale punt kunnen wij een paar betrekkingen afleiden, die bij onze verdere ontwikkelingen van eenig nut kunnen zijn.

De kromtestraal van den meridiaan in de kaart, wordt voor een willekeurig punt uitgedrukt door

[©)■ (!)?

(h/ d² x

(üp ' Ftp² ~ ÏÜp ' iup²

Brengen wij hierin de waarden over, die gelden voor het centrale punt, dau wordt die kromtestraal oneindig groot.

De kromtestraal van de parallel in de kaart wordt uitgedrukt door

tl² y {gt;y ®

(•A

en deze uitdrukking gaat voor het centrale punt over in

£lt;k=*°^cw°'

als N dc lengte vnn de normaal tot ann de omwentelingsas voorstelt.

De eerste dezer uitkomsten leert, dat onder de in § Ifi genoemde voorwaarde, het centrale punt in de kaart alleen kan overeenkomeu

33

met een punt, waar de meridiaan een oneindig grooten kromtestraal bezit. De laatste uitkomst leert, dat in dat punt de kromtestraal van de parallel gelijk is aan de lengte van het stuk van de beschrijvende lijn van den omhullingskcgol, die het aardoppervlak aanraakt volgens den parallelcirkel van het centrale punt, begrepen tusschen het raakpunt en den top.

§ 18. Voor de vergrooting m hebben wij hiervoor twee uitdrukkingen (3) en (3) ontwikkeld. Voor het geval echter van een klein terrein, dat zich in de verschillende richtingen slechts over enkele weinige graden uitstrekt, is het doelmatiger de waarde van m of van w,² in eene reeks te ontwikkelen volgens de opklimmende machten van (p — (p₀~l3 en van A; waarbij wij, voor wat de lengte betreft, uitgaan van de onderstelling, dat de meridiaan van het ceiitralo punt als eerste meridiaan wordt aangenomen.

Voor clezc ontwikkeling hebben wij hiervoor reeds gevonden

willen wij de ontwikkeling dus voortzetten tot op de termen van de derde orde na, dan moeten wij nog de waarden van

/?².m²\ /d²,m²\

VlüTj/ ^on {'WJo'

ontwikkelen.

Differentieeren wij daartoe vooreerst de vergelijking (13) ten opzichte van A, dan vinden wij

_ 2 P(1 x x /^² ?/\ ² (\?/ 0³y~|

A^{2 —} T²! ÖA fgt;A^? IcU² j ?A ÜA=J'

waaruit voor het centrale punt volgt, als wij op (8), (10), (14) en (10) letten,

......^m

Door (18) ton opzichte van A te differentieeren komt er d¹ m² li F?® (I³ y lt;( ?/ ?t³ a . (l.w⁴ |

^ = -²^ cT^-ÏTa _a-J-

■28

Differentieeron wij diezelfde vergelijking (18) ten opzichte van lt;p, dnn komt er

?l0² r' l_(tA J

_n 7J [quot; ?² a' y ?x ?³1/ lt;*²;/ x dy (^³ x

~² H ju² iü quot; f^(gt;A ?a^y ?A m² ?4)~

?) «;² T

— ' ■■ r² - 3 m² r r' SiuCp - in¹ rquot;¹ C'os(p ; v(p J

of als wij de vergelijkingen (16) en (17) in aanmerking nemen, cu tevens de twee vergelijkingen, die daaruit door differentiatie ten opzichte van A volgen, namelijk

cgt;³ ;/ Wd³ x ?³ x _ Riï³ y

^iU² ~r^³' ⁶¹¹ lt;gt;0,gt;A² ~ rïU*'

dan vinden wij

r¹ [(U (U² ^A ^A² J^T

w r/^yy *x igt;³x /Vxy ^ ^³y

gt;•gt; Lv^^a2/ f)A igt;A³ VA²,] igt;A?A³ⁱ-

--—r- Sin 0 2 w-² —— /Sï«0 -f j»² — Cos tp I •

^ CP Jfgt; Jll J-V J

Met behulp van (8), (10), (12), (14), (15) en (19) vinden wij eindelijk voor het centrale punt

Volgens de recks van Taylor is nu, tot op termen van dc derde orde na,

„ /(K?«²\ , /(K)»²\ , /?^!!.ot²\ ,

» =quot;• (tx).^x (^quot;)/ -W).

waarin (3 het breedtoverschil (0 — $„) voorstelt.

Substitueeren wij hierin de boven gevonden particelc differentiaal-quotienten voor het centrale punt, dan vinden wij

»'=¹ KCwV^-] *'-^s^ 0/^s

•24

Nemen wij nu nog in aanmerking, dat uit dc formules (7) tot (11), tot op termen van de tweede orde na, volgt

X — r₀*. en F=:lt₀l3,

dan kunnen wij voor bovenstaande uitdrukking van m'¹ schrijven

De hier gevonden uitdrukking voor dc vergrooting kan onder een nog eenvoudiger vorm gebracht worden. Tellen wij namelijk de cocfficicnten van X¹ cn Y* samen, dan vinden wij daarvoor de eenvoudige uitdrukking

CosQ,, _ l _ 1

als N dc lengte van dc normaal en p den zoogenaamden gemiddelden straal ^ JiN voorstelt. Stellen wij nu hot verschil van beide

Jgt; Q

coëfficiënten door —- en den coëfficiënt van X Y door voor,

fo' Po

dan gaat (27) over in

. (i ^^-aQ^r a-P)^ _i __ ..

of als wij uit beide leden den wortel trekken

_{m =} l^ P)X*-*QXY (l-F)Y* ₍₂₈₎

⁴Po

De hierin voorkomende waarden van P en Q zijn bepaald door dc volgende uitdrukkingen

Rn

-1=2^^^-1-1-

0

2yd₀

—) . . (2^,.l)

gt;-₀^s Coslt;p₀ /„

..........lt;«

§ 19. Uit (28) blijkt, dat alle punten van de kaart, waarvoor de vergrooting dezelfde is, gelegen zijn op gelijkvormige ellipsen of gelijkvormige hyperbolen.

Het gunstigste zal het zijn, als die lijnen ellipsen voorstellen; want

25

is voor de kleinste van die ellipsen, die nog o m het terrein beschreven is, de waarde van (1 F)X¹ -ÏQX. ï {\-F) Y- gelijk aau c², dan noemt dc vergrooting van het centrale punt af in alle rich-

c²

tingen toe van de eenheid tot 1 -f -—- . Verkleint men nu alle af-

^Po

c

metingen in reden van 1 tot 1 - g—^ , dan wordt de vergrooting

c² c²

in het centrale punt 1 — ~—- en in dc uiterste punten 1 A--;

⁸ Po' 8 p₀² zoodat die vergrooting nergens meer dan

c²

₈-—₂...............(31)

⁸ Po

van de eenheid afwijkt.

Heeft men daarentegen met hyperbolen als lijnen van gelijke vergrooting te doen, dan wordt dc kaart door dc gemconseliappclijke asymptoten in vier deelen gedcokl. In twee daarvan is de vergrooting grooter, in dc twee andere is zij kleiner dan dc eenheid. Is voor de uiterste hyperbool in het cene gedeelte tic waarde van (1 -|- 7') .Y² — 2 Q ,Y .F-f (1 ~P)Yⁱ gelijk aan c,², en in het andere gedeelte gelijk aan — c₂², dan vcran-

c 2 _c a

dort de vergrooting tusschcn de grenzen I -f —-— en 1---— . Door

4(j_n²

hier nu alle afmetingen te wijzigen in de verhouding van 1 tot c ² c ^

1 — r—r -f , kan men slechts verkrijgen dat dc vergrooting

OPo °Po hoogstens

«Po⁴

van dc eenheid afwijkt.

Een getallen-voorbeeld moge dit nog nader toelichten. In lig. II is om de kaart vim Nederland een cirkel, zooals die bij de stcreo-graphische projectie voorkomt, als lijn van gelijke vergrooting getrokken '). Voor dien cirkel is c = 170000 meter, en daaruit volgt £ -

voor -—- de waarde 0,0001774; zoodat de vergrooting van het 4 Po

centrale punt af in iedere richting toeneemt van dc ceniieid tot 1,0001774. Door echter alle afmetingen in reden van 1 tot

') Voor nadere bijzonderheden hieromtrent raadplege men § 23 als ook j 33 en $ 53.

36

1 — 0,0000887 = 0,0999113 te verkleinen verkrijgt men, dat de vergrooting nergens meer van de eenheid afwijkt dan

0,0000887 =_T14₇₅.

In fig. Ill zijn om dezelfde kaart eenige hyperbolen getrokken, die de lijnen van gelijke vergrooting voorstellen bij eenc kaart met parabolische meridianen en parallellen '). Daaruit blijkt, dat de vergrooting begrepen is tusschen de grenzen 1 — 0,00017 en 14-0,00029; en door dus alle afmetingen in roden van 1 tot 1—0,00006 — 0,99994 te verkleinen, kan men het alleen er toe brengen, dat de vergrooting niet meer van de eenheid afwijkt dan

0,00023 =

Zoodat de afwijkingen in dit geval ongeveer twee en een halfmaal grooter zijn dan in hot vorige.

§ 20. Blijkt het uit de vorige paragraaf, dat het voor de kaartprojectie voordeelig is, als de lijnen van gelijke vergrooting ellipsen zijn, als dus voldaan is aan de betrekking

zoo zal men in nog gunstiger omstandigheden verkeeren, indien

((gt;(gt;³X\ /S³i^r\

—^ j en j ^ccn l^)aal' standvastigen bevatten, waarover men

naar willekeur kan beschikken; want men kan alsdan aan F en Q zoodanige waarden geven, dat de grootheid c, en dus ook de afwij-

c²

king van de vergrooting van de eenheid, dat is -—r, zoo klein

⁸ Po '

mogelijk wordt.

Zijn a en A de halve assen van de uiterste ellips van gelijke vergrooting, en is cs de hoek, dien de halve as a met de richting van den meridiaan maakt, gerekend van het noorden naar het oosten, dan is de vergelijking dier ellips in poolcoördinaten

p²^»²(6-«) . p»co«⁴(a~«) -ïv- -7¹ -¹'

waarin p den voerstraal en ö den hoek voorstelt, dien de voerstraal met de F-ns mankt, geteld in dezelfde richting als de hock a.

Aangezien nu X — f8inb en Y = p Cosö is, zoo volgt hieruit voor de vergelijking der ellips in rechthoekige coördinaten

1

Voor nadere bijzonderheden hieromtrent raadplege men § 40.

37

( Cos¹ a _i (tin* ct\ _n fSiu a. Cos a Siua .C'osci\ ,_r

[~bï~ ^X ~²\ —J*---^2 ) ^Xr

(^-quot; ^)^rquot; = ¹-Zal deze ellips identiek zijn met de ellips

(l i^,)X^ï-2(3JZ (l-i^,)r^ï =:c²,

dein moet aan de volgende voorwaarden voldaan worden

(^-• ^).' = i p, {Sin a.Cos a. Sinci.Cosc.\ „ _

(—--7/7' quot;)^c ^ gt;

/ Sin¹ a Cos¹ a.\ „ ,

■P

a' ]

waaruit door oplossing volgt

^C-^=a^'............^

^{1) =} ^JJ^lC0S2ci'.........⁽³³⁾

^Q — 7^T^lSi'^l2ce..........⁽³⁴⁾

Trekken wij in bovenstaande ellips de middellijn, die den hoek tnssehen de assen midden door deelt, dan kunnen wij de lengte daarvan vinden door in bovenstaande polaire vergelijking (ö —a) gelijk aan 45° te stellen; wij vinden dan

_p.-₂_^L__c2.

p — amp; O I / O — ^ J

zoodat dus de halve lengte dier middellijn gelijk is aan de grootheid c.

Wil men de projectie dus zoodanig inriehten, dat de vergrooting zoo min mogelijk van do eenheid afwijkt, dan moet men om het terrein eene ellips eonstrueeren, waarvoor de middellijn, die den hoek tussehen de assen midden door deelt, zoo klein mogelijk is. Uit de halve assen a en h en den hoek ci, dien de halve as a, met den meridaan maakt, vindt men dan met behulp van (33) en (34) de aan P en lt;9 te geven waarden. Het middelpunt van dc ellips geeft ons tevens het punt aan, dat wij voor het eentrale punt van de kaart moeten kiezen.

28

§ 21. De boven bedoelde ellips kan men gemakkelijk door beproeven vinden, door op calqueerpapier eenige ellipsen te teekenen en deze om de kaart van het terrein te passen; heeft men eene ellips gevonden, die om het terrein past, dan teekene men eenige andere ellipsen, die dezelfde waarde voor c hebben, maar eene andere verhouding voor de assen, en gaat na, of er hierbij ook zijn, waarin het voor te stellen terrein met meer speelruimte past. Men zal dan met diezelfde verhouding voor de assen en met eene kleinere waarde van c eene nieuwe ellips kunnen teekenen, die om het terrein past, en dus eene kleinere waarde voor de afwijking van de vergrooting geeft.

In fig. I is deze handelwijze op de kaart van Nederland toegepast.

Vreest men door de kleine schaal van de teekening, waarop men dit onder/.oek moet instellen, te onnauwkeurige uitkomsten te verkrijgen, dan kan men, nadat men op de boven beschreven wijze de ellips ten naaste bij gevonden heeft, de vijf punten van de grenzen van hot terrein, die op de bedoelde ellips liggen, gemakkelijk vinden, de coördinaten daarvan op eene grootere kaart uitmeten, en met behulp hiervan door berekening de waarden van P, Q en c en de plaats van het centrale punt zoeken.

Uit fig. I vinden wij voor deze vijf punten: 1°. de uiterste grens bij Bourtange, 3°. de aansluiting van de grens tusschen Westfalen en Hannover, 3°. het zuid oostelijkste punt van Limburg, 4quot;. het westelijkste punt van Walcheren en 5°. een punt van de noordwestelijke grens van Vlieland. Op de topographisehc kaart gemeten zijn de coördinaten van deze punten

Zijn nu p en r/ de coördinaten van het centrale punt in het coördinatenstelsel van de topographisehc kaart, dan is de vergelijking van dc gevraagde ellips

Substitueeren wij nu hierin beurtelings bovenstaande vijf waarden van .v en y, dan vinden wij vijf vergelijkingen met de vijf onbekenden i^J, Q, p, '/ en c, die daaruit gemakkelijk opgelost kunnen worden.

29

Door die oplossing vinden wij

P = 0,45766, Q = 0,50493 ,

= 19810 meter, y — 27770 meter,

c = 136430 meter ').

Het punt, door bovenstaande waarden van ji en y op de topogra-phische kaart bepaald, ligt 80 meters ten zuiden van het punt, dat op 51c 45' XB. en 17'13quot; OL. van Amsterdam ligt. Uit dc gevonden waarde van c en den gemiddelden straal voor 51° 45', namelijk

c² 1

p₀ — 6383350 meter, volgt -—_r= 0,0000571

lp/ '' 17500

Zien wij, om voor de breedte een rond getal minuten te verkrijgen van bovenstaande 80 meter, overeenkomende met ongeveer 3² se-cunde, af, dan vinden wij dus voor de beste kaart van Nederland de volgende gegevens.

Centraalpunt 51° 45'NB 17'13quot;OL. van Amsterdam Constanten P = 0,45766 lt;2 = 0,50493 Horlpidino-a- c'^

coëfficiënt ¹-8^ = ¹-TThv= li|||(% = 9,9999751824-10) Grenzen voor de vergrooting 1 ± 0,0000571 = 1 ± _T}-5_ÏÏÏÏ § 33. Stellen wij in (33), (33) en (34), a — co dan vinden wij c^ï = 3i¹)

P = Cos 3 «,

Q = Sin 3 u,

c'

- — JL (—V

4Po² 16 \p₀ )

fo

De lijnen van gelijke vergrooting gaan dan over in evenwijdige rechte lijnen, en de projectie is dan geschikt voor een lang maar smal terrein. Ter bepaling van h en a heeft men dan slechts liet terrein tusschen twee evenwijdige lijnen, met zoo klein mogelijkeii onderlingen afstand, in te sluiten. De afstand dezer lijnen is dan

1

P» -f Q¹

81)

3 h on daaruit volgt voor de greiizen, waai- tussokeu de vergrooting begrepen kan blijven,

1 _

■quot; vPo

Dit geval ia onder ander van toepassing op het eiland Java. Ecu eenvoudig onderzoek leert, dat het geheele eiland tussohen twee evenwijdige lijnen kan besloten worden, wier afstand 215000 meter bedraagt. Hieruit volgt dus, dat het mogelijk is voor Java eene eon-tbrme projectie te ontwerpen, waarbij de vergrooting nergens meer van de eenheid zal afwijken dan

1 /315000\⁴ 1

vH-- =0,0000715=:——.

16 \ p_(l / 14(000

§ 33. Bij vele projeetiën, en onder andere bij alle projectiën, die

/d³Y\

symetriseh zijn ten opzichte van de Z-as, is (-—- 1 = 0, en dus

/ o

Q — 0. Bij deze projeetiën zijn de assen van de ellipsen van gelijke vergrooting gericht volgens de coördiuatenassen.

liet onderzoek naar de voordeeligste waarde van F heeft hier op dezelfde wijze plaats als in § 31 is aangewezen, met dit kleine verschil, dat men steeds aan de assen der ellipsen bovengenoemden stand moet geven. Uit de lengten van de halve assen der ellips vindt men dan de waarde van P door de volgende formule

P=^al-^bquot;

16 IP„ !

V i²

terwijl c steeds door (32) bepaald blijft.

Voor een terrein, dat zich hoofdzakelijk uitbreidt in de richting van de parallellen, maar zeer weinig in de richting van den meridiaan, zal men b oneindig groot kunnen nemen, waaruit voor 1' volgt

P =-1.

Voor een terrein daarentegen, dat zich hoofdzakelijk in de richting van den meridiaan uitstrekt, « = (» nemende, vinden wij do andere uiterste waarde voor 1\ namelijk

P = l.

Hebben wij eindelijk te doen mot een terrein, dat zich in alle richtingen ongeveer even ver uitbreidt, dan wordt a~b-, do ellipsen gaau in cirkels over, en wij vindon voor F

Ps=0.

31

Voor een terrein, dat tot geen van de drie genoemde gevallen behoort, zal men op de beschreven wijze de gunstigste waarde van 1' moeten zoeken, die altijd gelegen zal zijn tussehen -1 en i.

Bovengenoemd onderzoek op de kaart van Nederland uitvoerende vindt men voor den gunstigsten vorm van de ellips, den in fig. II voor-gestelden cirkel, waarvan het middelpunt gelegen is op 52^o13'30quot;NB. en 26'30quot;OL. van Amsterdam.

Bij eene kaartprojectie voor Nederland, waarbij Q — 0 is, zal men dus het centrale punt moeten nemen op

52^o13'30quot; NB. 26'30quot;OL. van Amsterdam,

en voor P eene waarde gelijk aan nul of ongeveer gelijk aan nul. De straal van bovengenoemden cirkel is ongeveer 170000 meter;

Cp'

dit is tevens de waarde van c, en daaruit volgt —- = 0,0000887 =

quot; Po

1 11274

— ; zoodat dc toe te passen herleidingscocflieient ------

iXó/o

{log — 9,9999614799—10) wordt, en de vergrooting nergens meer van de eenheid zal afwijken dan

0,0000887 =,-1^.

Hieruit blijkt, dat voor eene projectie voor eene kaart van Nederland, waarbij symetrie bestaat ten opzichte van den meridiaan van het centrale punt, de afwijking ongeveer anderhalfmanl zoo groot is, als voor eene projectie, waarbij die symetrie niet aanwezig is.

HOOFDSTUK III.

DE CIIIKELPROJECTIE VAN LAGRANGE.

\ 24. Uitgaande van de algemeene vergelijkingen voor de conforme projectiën, ontwikkelt Lagbanoe in een tweetal verhandelingen Sur ln constmolion des carles ycoyrapluqtm, voorkomende in de Nouvemx mémoires de VAcadémie royale des sciences el belles-letlres de Berlin, année 1779 , pages 101—310 (zie ook: Oeuvres de Lagkange par J. A. Seiuieï, ï. IV, pages 635—692), eene projectie, waarbij de meridianen en parallellen in de kaart door cirkels voorgesteld worden. Wij zullen hier langs een anderen weg, onmiddellijk uitgaande vuu

32

de onderstelling, dat genoemde lijnen door cirkels voorgesteld worden, die projectie ontwikkelen en in verband brengen met de in het vorige hoofdstuk ontwikkelde theorie omtrent de vergrooting.

angezien de twee cirkels, die een meridann en een parallel voorstellen , elkaar rechthoekig moeten snijden, zoo zal, als wij het gemeenschappelijk snijpnnt met beide middelpunten vereenigen, en ook de verbindingslijn dier twee middelpunten trekken, een rechthoekige driehoek ontstaan; waaruit volgt, dat de som van de vierkanten van beide stralen gelijk is aan het vierkant van den afstand van beide middelpunten. Stellen wij dus door r_ip, en ?/^ den straal en de coördinaten van het middelpunt van den parallelcirkel ter breedte (p voor, en door r^, xj en ?/; de overeenkomstige grootheden voor den meridiaan ter lengte A, dan vinden wij

(y_ï-^)¹.......W

Daar deze betrekking voor alle mogelijke waarden van lt;p en A moet doorgaan, zoo kunnen wij ten opzichte van (p en A differen-tieeren, waardoor wij vinden

^ai'_v*'i y'_vgt;y'x = ⁰'

of ;

v'x

waaruit volgt, dat de middelpunten van de cirkels, die de parallellen voorstellen, en de middelpunten van de cirkels, die de meridianen voorstellen, gelegen zijn op twee rechte lijnen, die loodrecht op elkaar staan.

Nemen wij deze twee lijnen voorloopig als coördinatenasscn aan, cn wel de lijn van de middelpunten der parallellen als y-as, en die van de meridianen als ai-as; dan is —y^ — 0. Stellen wij verder

— B en — — dan gaat (1) over in r\ T\ = V\li\

of

Aangezien het eerste lid dezer vergelijking alleen afhangt van A, en het tweede lid alleen van lt;p, zoo kan aan deze vergelijking alleen voldaan worden, als beide leden gelijk zijn aan eene zelfde standvastige. Stellen wij deze standvastige door A^a voor, dan volgen uit die eene vergelijking de beide volgende betrekkingen

r_x=\/l* J\............(2)

33

en het komt er dus alleen nog op ami de twee t'iinctiün Ij en li te bepalen, waarvan de eerste uitsluitend van de lengte, de tweede uitsluitend van de breedte afhangt.

§ 25. In figuur 1, waarin oA = A, oJi=7i en oL=zL is, stelt PS de uit B als middelpunt beschreven parallel ter breedte (p en A P Q den uit L als middelpunt beschreven meridiaan van de lengte A voor. Uit die figuur kunnen wij gemakkelijk de coördinaten vau het punt P opschrijven, indien wij als hulplioek invoeren, den hoek, dien de meridiaan in 1' met de //-as of' de parallel in dat punt met de as-as maakt, dat is a:= /.oBP — LoLP. Voor beide coördinaten vinden wij op die wijze twee waarden, en wel

■^v — % ^a' ^{en x} — ^rl Cos ci — L,.......(4)

y — B — Cos y — fi Sin a...........(5)

Stellen wij de twee waarden voor x, en de twee waarden voor ?/ aan elkaar gelijk, dan vinden wij twee vergelijkingen, waaruit do hulplioek « kan gevonden worden. De eenvoudigste formule vinden wij door beide vergelijkingen daartoe te bezigen, en daaruit afzonderlijk den Sinus en den Cosinus van a op te lossen, waardoor wij vinden, als wij op (2) en (3) letten,

= Ai - L

{r\ r\)Cosu=li\/W-A¹ -|- L \1 L* A\

Trekken wij de laatste dezer vergelijkingen van r--f r'^L ■_K=:1V- L-af, dan komt er

{r\_l r\){l-Cosa) = l}* L¹ -B ^ - A* ~L\I L¹ A\

Deelen wij nu deze vergelijking door de eerste, dan vinden wij 1 — Cos a. _ B* L*-B \l B'-A^-L Vj' A¹ Mncc _B w ji-L s/B¹ -A*

Merken wij nu op, dat het eerste lid dezer vergelijking gelijk is aan 'ty ï «i eu vermenigvuldigen wij teller en noemer van het tweede lid met

B VTmTZ² L \IB--A¹ ,

dan komt er na eenige herleidingen

.....m

waaruit a. gemakkelijk berekend kan worden, indien men vooraf tafels

, , i , , B--sjB^T^F ₇ \JU A^-L ontwerpt van de waarden van log---- en loq -—-,

waarvan de eerste alleen afhangt van 0, de laatste alleen van A.

3

34

§ 26. Heeft men uit formule (6) den hulphoek u. berekend, dan geven (4) en (6) de coördinaten x en y. Deze formules willen wij echter nog eene kleine wijziging laten ondergaan, om ze beter voor de berekening geschikt te maken. Tevens zullen wij daarbij overgaan tot het in § 15 aangegeven coördinatenstelsel. In § 17 hebben wij gezien, dat tie kromtestraal van den meridiaan iu het centrale punt op de kaart oneindig groot moet zijn; daaruit volgt onmiddellijk, dat het centrale punt alleen kan gelegen zijn op de lijn oA. Stel dus dat genoemd punt in O komt, en dat wij don oorsprong der coördinaten daarheen verplaatsen; de abscis ondergaat dan geene verandering, maar van de ordinaat y moeten wij oO, dat is de ordinaat y₀ van het centrale punt, aftrekken. Daar nu voor het centrale punt a = ü is, zoo volgt uit (5) voor dnc punt

yo — ⁵Ü-^gt;V₀ = ⁵o- V B^-A\

en daardoor vinden wij voor X en ü, als wij zoowel van (4) als van (5) de eerste vergelijking nemen,

X= \] B--yP Sin a...........(7)

F = 5- /io V - VB'L-AïCosa.

Voor de werkelijke berekening is de laatste formule weinig geschikt, omdat F daarin uitgedrukt is door het verschil van twee groote getallen. Vervangen wij echter Cos a door (1 — 2 tiiu- ^ a), en

____x

merken op, dat uit (7) volgt % \J B¹ — A* Sina — ——j—, dan

L/OS 2quot; CC

gaat de uitdrukking voor Y over in

F = ... (8)

Vatten wij de in deze en in de vorige paragraaf ontwikkelde formules samen, dan vinden wij voor de berekening van de coördinaten het volgende stel formules

_n 1

Ty \ — q - ).

. ^A ......(9)

X—pSinu., '

Yz=S XIg\u-,

') Dc uitdrukking ^^ ^—— heeft eene eenvoudige mectkunstigo be-A

oO

teekenis. Uit figuur 1 volgt namelijk, dat die uitdrukking gelijk is aan —,

cn dus gelijk is aan dc tangens van de helft van den hoek, dien de meridiaan AP in het punt A met den eersten meridiaan AO mimkt.

35

waarin p, ij en S drie tunctiën van lt;p zijn, wier wanrden of' wier logarithmen, voor verschillende waarden van cp, men voorat' ia tafels kan brengen. Deze funotiën zijn

S=iB-sJ - V j

p= \l B'ⁱ-A^ï, ) • ■ • (¹⁰)

y — ^B quot; \IB* --A* |

Voor X kunnen wij ook nog schrijven

X = 2pT!/\ci.Cosⁱl-cc,........(9')

welke formule voor het gebruik gemakkelijker is, omdat log Tg J u. reeds bekend is, en men om log Cos¹ te vinden slechts ccne benaderde waarde van J a noodig heeft.

Voor kleine waarden van ,1 amp; is het nog doelmatiger hiervoor te schrij ven

..........⁽⁹quot;⁾

aangezien men, zoolang log Tg I a. kleiner is dan 8,3405539—10, voor % 1 Tgquot;^{1 1} 'j. ^lllaquot; ^scl^irij^ven Tgquot;¹ }, a, of, uitgedrukt in deelen van de zevende decimaal als eenheid,

-10^f MTg* * a = -{0,63118) Tg* gt; a.

Tot hiertoe hebben wij de voorwaarde van de gelijkvormigheid nog niet ingevoerd; de formules (9) gelden dus voor alle mogelijke pro-jectiën, waarbij de meridianen en de parallellen door elkaar rechthoekig snijdende cirkels worden voorgesteld ').

') Het is in het algemeen niet mogelijk, cene equivalente projeotio te maken, waarbij de meridianen en de parallellen door elkaar rechthoekig snijdende cirkels worden voorgesteld. Dit is alleen mogelijk voor het bijzondere geval, dat do meridianen rechte lijnen zijn, en de projectie dus in cene kegelvormige overgaat. Voor de equivalente projectie moet namelijk voldaan zijn aan de betrekking „ _dy d x dy lt;)«gt; JU iU t*'P

Brongen wij hierin do waarden van ^ en zooals die in de

dV dl «U at volgende paragraaf onder (12)—(15) ontwikkeld zijn, over, dan vinden wij na cene eenvoudige herleiding

R gt;■ = Jl' L' Sin'' a,

waaruit volgt, dat L' Sin² (t onafhankelijk moet zijn van A. DilVercntieeren wij die uitdrukking dus ten opzichte van X, dan vinden wij

3*

86

§ 27. Aan de vergelijking (1) van hoofdstuk 11 wordt door de ontwikkelde uitdrukkingen voor x en y reeds voldaan, omdat wij begonnen zijn met de meridianen en de parallellen loodrecht op elkaar te nemen. ïer bepaling van de twee t'unetiën B en L hebben wij dus alleen eene van de formules (6') van dat hoofdstuk noodig. Om eene van beide toe te passen moeten wij de differentiaalquo-tienten van x m y ten opzichte van A en lt;p opmaken. Differen-tieeren wij daartoe eerst de formule (6) van het tegenwoordige hoofdstuk, dan vinden wij

^L' o- ^()a__^B cc».

(11)

3A yJli A¹ \lB^l—A^l

Met behulp hiervan vinden wij nu uit (4) en (5)

— r Cosci^ z=-L^,^L=£=Sma..Cosci, . {\Z)

— — - Smu. — = 4--® ■ ■' - a, ... . (13)

*y ^ _ rgt; \Ib*-aï

~ = r„ Sm ci-z- —— Jj —-----

dA f dX sj W A¹

— TiCosci — — B' Sin Cl. Cosct. . (15)

*lt;p ^K dlt;P ^Bt-A*

Door deze uitdrukkingen nu in eene van de [formules (6'), van het vorige hoofdstuk over te brengen, vinden wij

yjBi-A* slTS A*

L' B'

of

Lⁱ A^ï~ V'iB-L-A¹)

Daar het eerste lid dezer vergelijking alleen afhangt van A, het tweede alleen van (p, zoo kan aan die vergelijking niet voldaan wor-

l'Sin¹ a 2L' Sin a.Cosu ^ = Lquot;Sin¹ n — 2 ——--Sin¹ a.Cos a ■=.(),

d* WL' A¹

l'VL' A¹ of -^- ^=Cöiquot;'

Hieruit volgt, dat Cosa, cn dus ook «, onafhaDkelijk moet zijn van lt;f, hetgeen niet mogelijk is, tenzij de meridianen in rechte lijnen overgaan.

37

den, tenzij beide leden gelijk zijn fian eene zelfde standvastige.

Q

Stellen wij die standvastige door —voor, dan vinden wij do twee volgende vergelijkingen ter berekening van de functien L en B

AL'

= 6'............(16)

L¹ JrA'

J 1)1

-B^A^^CU'..........⁽¹⁷⁾

De eerste dezer vergelijkingen geeft door' integratie

^b9 WO'A —

waarbij het niet noodig is eene standvastige te voegen, omdat wij den meridiaan van het centrale punt als eersten meridiaan aannemen en dus voor A=:0, L oneindig groot wordt. Uit deze vergelijking volgt nu

L = ACtgÜX.............(18)

^ V = W1 Ctg* CX = . . . . (19)

~^r—=^ ^ =ïs, . (20)

Door deze waarde te substitueeren in (9) vinden wij Tg\it — qTg\CX, j

X~pStnce, !..........(20')

r=s xrgla. )

§ 38. De vergelijking (17) geeft door integratie

en dus

^{B A}_ ₍. _u

~B-A~ B₀-A

waaruit volgt

_B-_A [B* A)elt;v {B_a-A)e quot; *{B_n A)e™-[U_a-A)e-™ ......^ ^;

p — \l Üⁱ~A^ï —

(l}_o A)elt;-quot;-{B₀-A)e-^' B- \l B*~J* _ V Ih A e^r'^u- V Ih-^A \] Bt AeCV ^l B₀-A^y

9 —

(22)

38

hA \l B'^l„-yP _ [ • • (²³)

quot;quot; \J B_a-\-A \1~B^A ' ^jir^Ae'-quot;^ ^-2' !

§ 29. Ter bepaling van de standvastigen 11 _a en A hebben wij do

vergelijkingen (8), (10), (14) en (19) van hoofdstuk II; om deze

te kunnen toepassen moeten wij eerst de differentiaalquoticuten

ct.y ?^ïa! _t •lui

— gt; , -—- en nader ontwikkelen.

ÖA² ?A²

Uit (11) in verband met (16) en (19) volgt daartoe vooreerst

9 «__C. Sin a

SinCX

en uit (13) en (14) volgt dan

? a-_ j —-— CSin u. Cos a

~ SÏuCX '

^ =yjB^=Ai ^CSin'\

d A ^v Sin CA

Deze—twee vergelijkingen ten -opzichte van A - differentieerende, vinden wij nog

Gaan wij over tot het centrale punt, dan verkrijgen alle vier dilïc-rentiaalquotienten den onbepaalden vorm -, omdat alsdan a en A gelijktijdig nul worden. Uit (6) in verband met (20) volgt eehter

ö- \J B--yi

cn dus voor het centrale punt

« /r-₀~A*

Jam — =

CA A

Met behulp hiervan vinden wij nu uit bovenstaande vergelijkingen

a=».

pi-.

3«

Ami de vergelijkingen (8) en (14) van het vorige hoofdstuk blijkt dus reeds voldaan te zijn; de vergelijkingen (10) en (19) geven ons de volgende twee vergelijkingen ter berekening van A en ö₀

0\! il\-A*

Uit deze twee vergelijkingen volgt

■ y/² =:

Sin Cp_n '

B_n-y] B\-Ai _ Sin(p_n

-A -~C~^,

._ ^ ^ ^r(i

' ~ W-Sintcpo'

r_u C*-\-Sin'¹ lt;p₀ Sin$₀ C*-Sbi'^ïlp'₀'

r₀ (O Sin(t).₀y Sin(p₀ G¹—Sinⁱlt;p_l) r₀ (C-Sintpn)¹

^ ⁰ ^ SinCpf, C-—Sin'¹ (pq Brengen wij deze waarden in (23) over, dan vinden wij eindelijk

4 Cr,

(C-j- Sin(p₀)² e^(:v — ( C— Sin (C Sin lt;p„)e^CA'-{C- Sin lt;p „) (C-t- «S/» $₀) «^{c u} {C— Sin (p₀) e^{c 11} — 1

S—ïr,

(C Sin(p„)_e™-\-(C-Mn(p₀)

§ 30. De hier ontwikkelde uitdrukkingen voor p, q on S zijn voor de berekening weinig geschikt; zij kunnen echter gemakkelijk voor logarithmische berekening geschikt gemaakt worden, door hot invoeren van de hyperbolische function

-^equot;° et — ^e° ^equot;°. 2 ' --2

Shz —

Die formules gaan daardoor over in

3 Cr.

(6'² Sin- lt;p_n).ShCU 2 CSin.(p_n . CU CU

40

_ C.Sh ^ CU Sinq,, .Ch l C U C.Ch\CU-tSinlt;p_a.Sh{CV'

S-Zr ^Sh^^Cl]

⁰ C.Ch^CU SinQt.Shl CU' Stellen wij nu nog

Sin4gt;_n _ SM ...........₍₂₈₎

C CM dan gaan die uitdrukkingen over in

3r₀ C 1

^Pquot; C*-Sin-(p_n Samp;iZH CU)' |

lt;j=T/t{b lCU), 1......(29)

_s_ 3r„ SkiCÜ 1

V C'¹—Sin ■ (p₀ CA (6 iCU) j Nog op andere wijze kunnen de formules voor p, q en S voor berekening geschikt gemaakt worden; stellen wij namelijk

^-⁰ =^4-0............(30)

en CU-\-Nej)logTff^-\-^_a)—NeplorjTg[të-\-^']'), . . (3i) dan gaan die formules over in

__r₀ Cö«i|/

^P~Tc-gt;-Sm*lt;p- _sint±±^_CosÏE±^'

2 2

gt;S=—--. Tn ^ -)

yJC^-Sin¹^, ² I

') De ciikclprojcctio van Laguanok kan men ook ontwikkelen door de punten eerst van liet aardoppervlak op een bol over te brengen, en dan den bol stcreogra-phiseh te projeeteeren. Verandert men bij de overbrenging op den bol de geographi-sche lengten in reden van 1 tot C, cn stelt de breedten op den bol door ifi voor, dan krijgt men ter bepaling daarvan onmiddellijk de formule (31). Om den straal van den bol en do breedte van bet centrale punt te bepalen, heeft men de voorwaarden

i;0, waaruit voor v,, de formule (30) en voor den straal de

uitdrukking -— — volgt. Door dezen bol nu stercograpliisch te projee-

^ C' — Uin¹ lt;/•„

toeren vindt men onmiddellijk dc formules (32).

41

§ 31. Om de vurgrooting voor een willekeurig punt van een terrein , dat zich in iedere richting slechts over enkele graden uitstrekt, te vinden, moeten wij de waarden van P en Q (§ 18) opmaken. Daar de projectie symetrisch is ten opzichte van den meridiaan van het centrale punt, zoo weten wij reeds dat Q —quot; is; dit zou trouwens

■ . .• Z?³ Y\

onmiddellijk uit J volgen. ïer berekening van F moeten

/c* X\

ij I - 1 opmaken. Difterentieeren wij daartoe de eerste verge-\ o A / ₀

_ £gt;2 rquot; ^

=. V M ' —-d¹ ■ . 3 amp;in O A. Cos a.((Jon 2x~ Cos a. Cos C'X) — bill • C/ A A

— SinCX.Sinu,.{% Sin 2 a — Sinu.CosCX) — -|-

?gt;A

-|- CSin C A. Sin u. Cos ec. Sin CA — ■ 3 CSin a. (Cos 3 a — Cos cc. Cos C A) Cos 6'A J —

„ ,, „ Cos a - Cos CA „

3 Cos 3 a. — c,. , „ ,--Cos u. ,

Sm* CA

Sin CA

waaruit voor het centrale punt volgt

(«) = j

welke uitdrukking tengevolge van (36) overgaat in

(y )o = 5 ^r* ^Cl-l^rn ^ lt;Po.......(33)

Substitueeren wij deze uitdrukking in vergelijking (39) van hoold-

stuk II, dan vinden wij, na eene eenvoudige herleiding,

^ .........

N₀ Cos²4)₀ ^ ^J

Uit deze uitdrukking blijkt, dat, indien wij C^l laten aangroeien

N

van Sin* lt;p₀ tot Sin* lt;p₀ -|- 3 Cos¹ (p₀, 1' in dat geval alle moge-

M₀

lijke waarden van — 1 tot -f 1 doorloopt; zoodat deze projectie aan den vorm van het terrein kan aangesloten worden, voor zooverre dit bij eene symctrische projectie mogelijk is, en in § 33 is uiteengezet.

43

Is de waarde van 1^J volgens die paragraaf bepaald, dan geeft formule (34) voor V de waarde ■)

') Lagranoe bepaalt in de boven aangehaalde verhandeling de waarde van

don uarametei' C uit dc voorwaarde (^—') ~ Ü, om daardoor de afwijkingen

\alt;p'S_u

van dc vergrooting zoo gering mogelijk te maken, cn vindt dan C'^! =:1 Cus' lt;/'„• Dit komt voor do, bolvormige aarde blijkbaar overeen met P = 1, cn geeft, zooals duidelijk is, eene geringe afwijking van de vergrooting in den eersten meridiaan. Men heeft daarbij echter over het hoofd gezien, dat, door het verminderen van die afwijking in den eersten meridiaan, zij in de richting loodrecht daarop toeneemt. Dit blijkt duidelijk uit formule (28) van het vorige hoofdstuk, die voor dc hier behandelde projectie, waarvoor lt;2 = 0 is, overgaat in

, , (l P)!' (1 — J')r*

m — l-r--_T—---

^ Po

Laat nieu hierin de P tot 1 aangroeien dan neemt de afwijking in de richting der J'-as af, maar wordt tevens in de richting der X-as grooter.

Dc meeste schrijvers, die zich na Laguange met dit onderwerp hebben bezig gehouden, zooals O. Bonnet (Sur la théorie mathématique des cartes ycograjihi-ques. Journal de Liouvillc, T. XVII, 1852, p. 301) en A. Germain (Traité des projections des cartes géographiques. Paris, p. 54), volgen denzclfden weg.

Dr. II. GhetscheI;, in zijn Lehrlnch der Karten-Projection. Wcimnr 1873, S. 227, komt langs een zeer raadselachtigen weg tot hetzelfde eindresultaat. Hij

stelt namelijk als voorwaarde = 0. Welk voordeel er aan verbonden is,

c»

dat ilc waarde van m_a met if ₀ slechts weinig verandert is niet duidelijk, cn hoe hij daaruit kan afleiden, dat „der Maassstab im Wesentliehen cin und der sclbc sein wirdquot;, is geheel raadselachtig.

Nog raadselachtiger wordt het, als men nagaat, dat de waarde van »«„ bij hem

zich voordoet onder den vorm éS£.-— wij schrijven hier zijne formule

2 Ca Cos ip ₀

met onze notatie over; de formule van GBETSciiEr. luidt, met verbetering van cene daarin voorkomende fout, die tot dc zaak zelf echter niets afdoet, als volgt

z — hij beschouwt evenals Lagrange bij bovenstaande ont-

iacSin/

wikkeling dc aarde als een bol; anders zou a moeten vervangen worden door iV,,— en dat hij deze uitdrukking ten opzichte van lt;p₍₎ difTerenticcrt, zonder er op te letten, dat J eene geheel willekeurige grootheid is, die men zeker met (f₀ zal laten veranderen, cn liefst zoodanig, dat = 1 wordt.

Tciii;byciiev bepaalt, in eene verhandeling „Sur Ia construction des cartes géogri:h/iiques,quot; voorkomende in de „Bulletin de la classe physico-mat/iématique de l'm'adémie impériale des sciences de Saint-Fétershourg, T. XIV, N⁰. 17, St. Pi'lcrsbourg 1856, en door Germain in zijn bovengenoemd werk op page 75—7') overgenomen, voor een terrein, dat begrensd is door eene ellips, waarvan de assen samenvallen met den meridiaan en cene loodlijn daarop, de waarde van C op cene wijze, die geheel overeenkomt met den door ons gevolgden weg. In cene uitvoerige verhandeling zou hij de bepaling van dien parameter voor een willekeurig terrein behandelen. Het is mij echter niet mogen gelukken, die ver-handeling te vinden; ik heb ze ook nergens vermeld gevonden.

4.8

Ü=\J amp;in*lt;P_ü [l ï)^NJgt;-Cos*lt;p_a......(35)

§ 32. Wil men cone projectie hebben, waarbij do vergrooting in allo richtingen even sterk toeneemt, dus voor een terrein, dat zich in alle richtingen even ver uitbreidt, dan moet men P =. 0 stellen; waardoor men vindt

C— \J Sin* ^ Cos* = y/ 1 _Cosï ^ .

Deze uitdrukking verschilt slechts weinig van de eenheid; voor de eenvoudigheid van de berekening kan men voor C de eenheid zelve nemen. De geringe waarde, die P daardoor verkrijgt, namelijk N —Jt

--—--, zal aan de vcrdeeling van de ai'wijking van de vergroo-

o

ting weinig verandering brengen. De lijnen van gelijke vergrooting worden daardoor ellipsen in plaats van cirkels. De assen dier ellipsen verhouden zich in reden van 1 tot \/ - , - ') en de

V 3iV o—Rq

kleinste dier assen is naar het noorden gericht, indien, zooals bij tie afgeplatte ellipsoïde, A^r(lgt;7i₀ is.

Door deze bijzondere waarde voor C ondergaan de formules voor de projectie eenige vereenvoudiging; de formules (28) en (30) gaan daardoor over in

0 = ^;% 257(45'' |4)oM

/........⁽³⁶⁾

terwijl de waarden van p, y en 5' uit (29) en (32) overgaan in

1 Costy j

G^'_n 'Sh{ÜTv)' V - o ^ j. c?),, ^*-00' (37)

2 2

44

(37)

Sin

_q—Th{H\U),

Voor een bolvormig aardoppervlak is, voor het hier behandelde geval van C—l, de waarde van P juist nul; de projectie gaat alsdan over in de bekende stereographische projectie. De formules voor deze projectie worden alleen in zooverre eenvoudiger, dat hier J/ — ^ wordt, en de formule (31) dus vervalt.

§ 33. In § 33 hebben wij gezien, dat voor de kaart van Nederland (p₀—52quot; 13'20quot; en F — 0 moet genomen worden; nemen wij echter naar aanleiding van de vorige paragraaf C—l, waardoor P = — 0,00252 wordt, en de assen van de ellipsen van gelijke vergrooting zich verhouden als 1 tot 0,99748; dan vinden wij voor die kaart het volgende stel formules

Tff { a = gTff j A, j

X —pSina, !.....

Y= S XTg\*', )

waarbij q, p en S berekend worden uit de formules

Sin

q = Tl^\\U),

') Pe berekening volgens bovenstaande goniometrische formules kan niet met de nooilige nauwkeurigheid geschieden, tenzij men eene formule opmaakt voor het kleine verschil tusschen y en lt;f. Voor het hier behandelde geval, waar 6' = 1 is, kan dat verschil, uitgedrukt in sceunden, berekend worden volgens onderstaande formule, die bij de toepassing op dc kaart van Nederlnud in ai hoogstens eene fout veroorzaakt gelijk 0',0000076,

45

In deze formules stellen dc tussehen haakjes geplaatste getallen de gewone of briggiaansche logarithmen van de coëfficiënten voor; daarbij is tevens rekening gehouden met den in § 23 bedoelden herleidings-^c' \

eocffieient ( 1 —-— 1; zoodat bij deze projectie de vergrooting tus-

\ ⁸fo /

schen de grenzen

l±^=l ±0,0000887

blijft.

Door loff worden evenzoo gewone logarithmen bedoeld, en M is de modulus 0,434294419 dier logarithmen.

De hier achter gevoegde tabel II geeft de waarden van S, log 2 p en lay q.

§ 34. Voor een terrein, dat zich over eene groote uitgestrektheid uitbreidt, kan de formule (28) van het vorige hoofdstuk voor de vergrooting niet meer toegepast worden; men moet dan zijne toevlucht nemen tot formule (2) of (3) van dat hoofdstuk. Nemen wij de laat-

^ CC 7/

ste en substitueeren daarin de waarden van — en —- uit (23) dan

(' A ('A

vinden wij

^ B¹ — A'¹ CSinti CpSin»

¹¹¹ rSinCX rSinCX'......^

welke uitdrukking ingevolge formule (9) den volgenden eenvoudigen vorm aanneemt

m— .............(41)

r Sm CA ^v '

Voor punten op den eersten meridiaan gelegen zijn deze uitdrukkingen echter niet bruikbaar; omdat zij daarvoor den vorm ~ aannemen. Uit

Tg \a- —qTg\ GX volgt echter voor dat geval

^Limik⁼⁽¹'

waardoor (40) voor den meridiaan van het centrale punt overgaat in

1

— t' Stn²lt;p_m

4(1

.= 2«...............(«,

r

Subatituccreu wij hierin voor p en q de waarden uit (39) en (32), dan vinden wij de twee volgende uitdrukkingen voor do vergroo. ting in den eersten meridiaan

. — ^r« ^ChH asi ^m ~ r Chi (ö -J- C U)..........^{( )}

r„ Cost l

en m = — -----j--_r........(44)

'' ^Cos^ Cos*

2

De formules (40) en (41) zijn weinig geschikt voor de berekening van punten in de nabijheid van den eersten meridiaan, en evenmin, indien men de vergrooting wil berekenen van eene reeks punten op dezelfde parallel. Als volgt kunnen wij de formule daartoe beter geschikt maken. Uit (40) volgt namelijk

CpSin \ci .Cos \ a, _CpT(j\u. Cos²},?, _ Cp q Cox¹ ' a

lït ___ _

ramp;in J C'X.C'os | CA r Ty .[ 6'A Cos* ! 6'A r Cos¹ \ CX

Drukken wij nu den cosinus van \ a door de tangens uit, dan vinden wij

Cos* l'ci _ _1_ _ _ 1

Cos' \ CX 6'o«² |-C'A.(l ïgt;²|a) Cos* |CA.(l _?² Tq¹ 6'A) ~ 1 1 ^— Cos¹1 CX q* Sin*\CX ^— \-[l--q*)Sin* \Cx'

Met de waarde van q uit (39) volgt hieruit

Cos* -J es 1 1

Cos¹ — 1 - (1 - Th* (0 ,|C' U)) Sin* j CX ~ ~ Sin* ■ CX '

Ch*{ti \OU)

of met de waarde van q uit (33)

6'os² \u. __1 _

Cos* {-Cx y t -h 'b n \

Sm* —z— \

1_( i--^—- jsinHCx

Cos* ₂

1

Cos Cos 4* „

1--—-T- Sm* ; CX

2

47

zoodat wij voor de vergroot,ing de twee volgende uitdrukkingen vinden

1

r , Sin¹ .16'A 1 -

Ch^l ^ {CU) Cpq 1

^r l-^C0S^^C'^Oa^ Si^\CK Co** t-*quot;

2

Stellen wij voor C,', p en y ook nog hunne waarde, dan vinden wij _ gt;■„ C/i» 6

^{Hlt; —} T O/i¹ (6 1C V) — Sin¹ \ Ch'..........

r„ Cofixp 1

^{6,1 m =} V au,---' • ⁽⁴⁸⁾

⁰ Cos² —---CosiJj,CosiJj(_l.Sm'ⁱ ^ C'X

§ 35. Enkele bijzondere gevallen van deze projectie mogen hier nog iets nader ontwikkeld worden. Stelt men in formule (35) P——1, dan vindt men voor een terrein, dat zich hoofdzakelijk in de richting van de parallel uitstrekt, voor O de waarde Sin(p₀. Do formules (29) en (32) zijn alsdan niet toe te passen, omdat zij den vorm

H aannemen. Uit (27) volgt echter vooreerst q=l, waaruit volgt

cc =. CA.

De formules voor de coördinaten worden hierdoor

X =p Sin CA, I Y=S-\-XTff-\CxJ.......

terwijl voor p en S uit (27) volgt

V — -f, «^-(U' = CfyQo- .

8=^(1—e-^cv)=.iN₀Ctff(p₀.e-i ^cu Sk | C U. 1 G

Voor de vergrooting volgt uit (40), aangezien a=zCA is,

m — ^C^= ..........(51)

r r

dat is eene uitdrukking, die geheel onafhankelijk is van A, zoodat de vergrooting voor alle punten van dezelfde parallel dezelfde is, en men de kaart dus in de richting van do parallel onbepaald kan uitbreiden, zonder dat de vergrooting daardoor verandert.

48

Do hier ontwikkelde projectie is de bekende conforaio kegelvormige projectie van Lambert, ook bekend onderden naam van de projectie van Gauss.

§ 36. Neemt men het centrale punt op den aequator, dan is lt;p_n — 0, en daardoor worden alle formules aanmerkelijk vereenvoudigd. De hulpgrootheden ö en \|/_(l worden beide nul, en daardoor veranderen (29) en (32) in

? = \ CU,

2r₀ 1

CShCÜ .........(52)

Th^CU,

en q = Tg

P — |.........(53)

Voor de vergrooting langs den eersten meridiaan geven (43) en (44)

» = 7¹(«rrcp=Tlt;¹-^:rquot;'l^c£''.....

Oil • = - 7?TT-,, = -{\-T'r\i'V........(56)

Cos* l-y r

terwijl voor de vergrooting langs den aequator uit (45), (4(5), (47) of (48) volgt

m =-77—W- = 1 2V² 1 CA;.......(56)

Cos¹! CA ^{T 1 v} '

de vergrooting voor een willekeurig punt eindelijk wordt voorgesteld door

1

r Ch¹ \ CU-Sin¹ ICa'

of Joot --V ......^(t8)

§ 37. Stelt men in de formules van de vorige paragraaf C=0, of in die van de kegelvormige projectie in §35 Sinlt;p₀ — C — 0, dan vindt men de projectie van Meucator. Het gemakkelijkst volgt uit (49), (50) en (51) daarvoor

49

(59)

X —p CX r=: r„ A, j Y ~S = r_l) U,

^ro r

Dc in deze on in do vorige paragraaf voorkomende ?•„ is, omdat het centrale punt op den aequator ligt, gelijk aan den straal van den aequator.

HOOFDSTUK IV.

KAARTPROJECTIE MET PARABOLISCHE MERIDIANEN EN PARALLELLEN.

§ 38. Stelt in fig. 2, o het gemeenschappelijk brandpunt voor van twee stelsels parabolen, wier assen nllcn samenvallen met de lijn oO, maar waarbij de parabolen van liet eene stelsel hunne opening naar O en die van het andere stelsel naar y keeren; dan /.nllcn de parabolen van liet eene stelsel die van het andere rechthoekig snijden.

kernen wij de parabool PQ van liet eene stelsel als den meridiaan, waarvan de lengte A is, aan, dan zal. als wij het gemeenschappelijk brandpunt o voorloopig als oorsprong en do gemeenschappelijke as als ?/-as van bet coördinatenstelsel aannemen, die meridiaan voorgesteld worden door de vergelijking

x¹ z=.p^ —lp _ky,

waarin ;;_;, de parameter van de parabool, eene functie van A zal zijn.

De parabool PS van het tweede stelsel als parallel beschouwende, dan is de vergelijking van die parallel

3^.y,

waarin de parameter eene functie van de breedte (p is.

Door uit deze twee vergelijkingen x cn ?/ op tc lossen vinden wij

voor de coördinaten van het punt P

^x

Stollen wij, om wortclgrootheden te vermijden, p =. Ti¹ eu L '-en brongen wij den oors]irong van hot coördinatenstelsel naar hot

4

50

centrale punt over, dat ingevolge § 17 alleen ergens in een punt O van de rechte lijn oO kan gelegen zijn, dan vinden wij voor de coördinaten X en Y

X—BL,................(1)

F = ⁶ⁿ— .1/gt;²;.........(2)

waaruit blijkt, dat alle projectiën, conforme ot' niet, die bovengenoemde parabolen als meridianen en parallellen bezitten, zeer eenvoudige formules voor de berekening van de coördinaten opleveren '), en daardoor dus een groot voordeel bezitten.

§ 39. Ter bepaling van de twee functiën H en L hebben wij eene van de vergelijkingen (ü') van hoofdstuk II. Om deze toe te passen differentieeren wij eerst de vergelijkingen (1) en (3) ten opzichte van

(p en A, waardoor wij vinden

*=quot;• .........«

y* = .........(4)

{\Cp l' A

Deze uitdrukkingen, in eene van de formules (6') gesubstitueerd, geven

') Stelt men zich de vraag eene kaartprojectie te ontwikkelen, waarbij Je meridianen cn parallellen elkaar rechthoekig snijden, on die voor dc berekening van de coördinaten dc eenvoudige formules X~J3L cn waarbij B en

S_x functiën van on L en £, function van A zijn, oplevert, dan vindt men met behulp van formule (1) van hoofdstuk IT, onmiddellijk bovenstaande vergelijkingen (1) cn (2), en dus parabolische meridianen en parallellen.

Die projectie tot ccno equivalente te maken is echter in het algemeen niet mogelijk. Dit kan alleen, indien dc parabolen in rechtc lijnen overgaan. Door namelijk bovenstaande uitdrukkingen voor X cn Y in Rr ^ te substituecren,

vindt men Br =—S'L' (B' amp;), waaruit volgt dat Z'(.B¹ Z¹) onafhankelijk van A moet zijn. Deze uitdrukking ten opzichte van A geditlcrentiecrd geeft

Xquot;X²) 2ZZ/'¹ = 0 of B' ^ ¹ l*^LL • ^{11101111111 knn niet vo1}quot;

daan worden, tenzij beide leden oneindig groot worden, i? = co wil zeggen, dat het brandpunt zieli in het oneindige verwijdert, en de parabolen dus in rechtc lijnen overgaan. Het tweede lid wordt oneindig groot voor Zquot; = 0, cn dus L~aX. Zullen X en T echter eindig blijven, dan moet a tot nul naderen, cn

B — d — ah zyn, waarin A eene standvastige en h eene functie van qgt; is. Deze a

uitdrukkingen voor L en 7? in (1) en (2) overbrengende, vindt men voor « = 0, X = J k en Y= A lf.

51

- UB' — U' BL',

of ^L=-w

eene uitdrukking, waaraan alleen voldaan kan worden, indien beide leden gelijk /.ijn aan eene zelfde standvastige. Stellen wij deze standvastige gelijk A, dan vinden wij

L' = A en .........(5)

waaruit door integratie volgt

I — A\ en B-li^—AV.........(6)

Bij de eerste dezer vergelijkingen is het niet noodig eene standvastige te voegen, omdat wij den meridiaan van het centrale punt als eersten meridiaan nemen, en dus voor A — 0, X = 0 wordt.

Met behulp van (5) en (6) vindt men uit (3) en (4)

= = ^........o

en deze, ten opzichte van A gedifferentieerd, geven

wx „ d*r

lt;U*— ' SA^ ^ ..........

Voor het centrale punt vinden wij dus

waaruit blijkt, dat reeds aan de voorwaarden (8) en (14) van hoofdstuk II voldaan is. De voorwaarden (10) en (19) geven de twee vergelijkingen

AB^ — r^ en A² = r„ Sin lt;p₀,

waaruit volgt

A = = .....(9)

Met hehulp hiervan gaan de vergelijkingen (G) over in Z = A VSin(p₀ , B = \/ -q-- V''o ^s'ⁿlt;Po ^u —

sW^-^TJShlt;pn) ■ ■ ■⁽¹⁰⁾

Brengen wij deze uitdrukkingen eindelijk in (1) en (2) over, dan vinden wij voor de berekening van do coördinaten de twee volgende uitdrukkingen

4*

X = r₀{l-USi7ilt;p₀)\...........(11)

cn r=r„iU-\U*Sm(p₀) \r₀SiH(p_l,.\*-, .... (12)

Of X = pgt;,, r=S ql\.........(13)

waarin p en S functiën zijn van tp, en y eene standvastige is. § 40. Ter bepaling van. de vergrooting heeft men, aangezien hier

en ^ gelijk nul zijn, uit form (29) en (30) van hoofdstuk II

? X'^J

J^J —2 Ti/¹ (|)₀ — 1, en Q —0.......(14)

0

Dnar de grootheid F geeue standvastige bevat, waarover naar willekeur beschikt kan worden, zoo is het niet mogelijk, deze projectie aan den vorm van het terrein aan te passen; waardoor zij verre ten achter staat bij de hiervoor behandelde cirkalprojectie.

Laat men (p,, aangroeien van 0 tot 90', dan groeit F aan van — 1

tot oo; zoolang Tg'¹ lt;p_u lt;_ -y , d. i., omdat jVq en Il₀ steeds weinig

It ₀

van elkaar verschillen, zoolang (pn blijft beneden omstreeks 45 '), is F gelegen tusschen -1 en -f 1, zoodat men dan elliptische lijnen van gelijke vergrooting vindt. Voor grootere waarden van (p_g verkrijgt men hyperboliseho lijnen van gelijke vergrooting, en komt men dus in zeer ongunstige verhoudingen.

Brengt men de waarden van F en Q over in formule (28) van hoofdstuk II, dan vindt men voor de vergrooting

x¹ Ta¹ (p₀ - y¹ (ay lt;p₀ - — ]

— -2*7---^.....⁽¹⁵⁾

In fig. Ill zijn met behulp van de waarde lt;p_n — 52° 10' de hyperbolen geteekend, waarvoor de vergrooting is 1 0,00017 en l 0,00029; en daaruit blijkt, dat men de kaart van Nederland kan insluiten binnen de hyperbolen, waarvoor de vergrooting is 1 — 0,00017 en 1 0,00029; zoodat, als men alle afmetingen herleidt in reden van 1 tot 1 — 0,00006 = 0,99994, de vergrooting blijft tusschen de grenzen 1 ± 0,00023. De afwijking van de vergrooting bij deze projectie is dus ruim 2£ maal zoo groot als bij de cirkelprojectie, en in het algemeen als bij elke symetrische projectie, die eene stand-

i) Je ellipsoidvormigc aarde gaan dc ellipsen in hyperbolen over bij 'J'hq,— ----, dat is bij lt;; = omstreeks 45°2'ü0quot;.

^J * fy i—,,*

vastige bevat, met behulp waarvan men do projectie aau den vorm van het terrein kan aanpassen. Die afwijking is ruim viermaal zoo groot als bij eenc niet symetrische projeutie, die twee standvastigen tot dat doel bevat.

(j 41. Voor een terrein, dat zieli over een groot gedeelte van het aardoppervlak uitstrekt, moeten wij, om de vergrooting te bepalen, onze toevlucht nemen tot formule (3) van hoofdstuk II.

Uit (11) en (12) vinden wij door differentiatie

r₀ (1 USinCpn),

c'A

en — =r₀bmCp„ . A.

('A

Deze uitdrukkingen in genoemde formule overbrengende, vinden wij m — ^ \/ (1 - USinCpa)¹ A² Sin² lt;p„......(16)

Hieruit volgt voor de vergrooting' langs den eersten meridiaan

.... , ^(l—USmCpo)............(17)

r

en voor die langs de parallel van liet centrale punt

V1 -I- A² Sin '^l lt;p _(l...........(18)

§ 43. Bij de toepassing van deze projectie op een terrein van groote uitgestrektheid, dient nog opgemerkt te worden, dat voor A r— 0, de waarde van Y (d. i. S), slechts zoolang toeneemt met toenemende waarden van (p, als (1—USin(p_tl) positief is. Voor

quot;-■k..............^m

^,,0quot;^{ll 1}'= 5^. =!«•'■

Deze waarde is gelijk aan de lengte Oo figuur 2; het punt, overeenkomende met de uit (19) volgende waarde van U en dc lengte A — 0, valt dns in het gemeenschappelijk brandpunt. Voor dat punt is volgens (17) de vergrooting gelijk nul. De parallel, overeenkomende met dio breedte, projecteert zich volgens de lijn oQ. Voor grootere waarden van de breedte wordt vonr A = 0 dc waarde van Y kleiner, zoodat die punten zich zullen projcctccren op de plaats, waar reeds andere punten geprojecteerd zijn.

Bij bovenstaande waarde (19) vim U heeft er dus eenc soort van

54

disooutinuiteit plaats, eu ineu zal de projectie dus niet verder kunnen voortzetten dan tot de daarmede overeenkomende waarde van de breedte. Zelfs zal men van die grens nog eenigsins verwijderd blijven, omdat in de buurt daarvan de vergrooting eene zoo kleine waarde heeft.

Wat er plaats heeft voor grootere waarden van de breedte, kan uit een theoretisch oogpunt belangrijk zijn: voor de kaartprojectie is het geheel van belang ontbloot. Wij zullen ons dus hier niet met dat onderzoek ophouden, en alleen de grens iets nader opgeven, tot waar de projectie kan uitgestrekt worden.

Stellen wij de geographische breedte van het punt, dat overeenkomt met de waarde van U uit (19), door de letter ^ voor, dan vinden wij voor de berekening daarvan bij een bolvormig aardoppervlak, de volgende formule

M

%^(45 .»4-)=%^(45 ^₀) .... (20) met behulp waarvan het volgende tabelletje berekend is.

Uit dit tabelletje blijkt, dat de poolstreken met behulp van deze projectie nooit naar behooren kunnen voorgesteld worden.

Slechts voor écne bepaalde waarde van cp_n kan men de breedte tot 90° laten toenemen; dat is voor (p_n 0, als wanneer het centrale punt op den aequator ligt.

In dit geval gaat echter, zooals uit (11), (13) en (16), die hier overgaan in

X = r₀\,

r=r₀ IJ,

m = —,

r

blijkt, de projectie over in de bekende projectie van Mercator, waarbij de pool op een oneindig grooten afstand verwijderd is.

HOOFDSTUK V.

KAAllïPUOJJÜCTIE MET HOMOPOCALE ELLIPSEN EN HYPERBOLEN ALS MERIDIANEN EX PARALLELLEN.

§ 43. Zooals bekend is, worden al de ellipsen, die dezelfde brand-punten hebben, rechthoekig gesneden door al de hyperbolen, die die-zelt'de brandpunten bezitten. Deze eigenschap, waarvan de eigen-schap, iu het vorige hoofdstuk aan de projectie ten grondslag gelegd, slechts een bijzonder geval uitmaakt, kan ook dienstbaar gemaakt worden voor eene kaartprojectie.

Nemen wij voorloopig het gemeenschappelijk middelpunt van alle ellipsen en hyperbolen, figuur 3, als oorsprong van het coördinatenstelsel, de verbindingslijn van de brandpunten E en E' als y-as en de loodlijn daarop als «-as aan, en stellen wij den afstand van beide brandpunten door 2A voor; dan zullen, als wij de ellipsen als parallellen aannemen, deze voorgesteld worden door

ntl «. 2

-----L ~ ..........n)

als H de halve groote as oS van dergelijke ellips voorstelt, en dus eene functie van de breedte lt;p is.

De meridiaan, die door de hyperbool QP voorgesteld wordt, heeft tot vergelijking

...........⁽²)

waarin L, de halve onbestaanbare as, eene functie van de lengte A is.

Lossen wij uit deze vergelijkingen de x en y op, dan vinden wij voor de coördinaten van het punt P, waarvan de lengte en breedte floor A en (p worden voorgesteld,

*=. \! B-L-A* - ............(3)

yl

(4)

') Steil men zich dc vraag, ceuc projectie te vinden, waarbij de meridianen en parallellen elkaar rcehtiioekig snijden, en waarbij de eoördinnten door do eenvoudige formules x — B_l /,, y — B L, waarin B en H_l funetien van ?gt;, L en L_l fuiictien van /. zijn, bepaald worden; dan geeft formule (1) van hoofdstuk II onmiddellijk de bovenstaande vergelijkingen (3) en (4).

5 li

Voor dc uitvoering van dc berekening is het goed de laatste vergelijking eene kleine wijziging te laten ondergaan; nemen wij dan tevens het centrale punt, dat ingevolge § 17 ergens in O op de lijn F' F moet liggen, als oorsprong aan, dan vinden wij

x — \1T}~7iï ^L-,...........(5)

A

r = (/lt;„ - /o ^ ........₍₆₎

In deze vergelijkingen heeft men nu slechts voor H en L willekeurige funetiën van (p en A te nemen, om verschillende projection ') te krijgen met homofoeale ellipsen en hyperbolen als parallellen en meridianen, die echter niet allen conforme projectiën zullen voorstellen. Welke funetiën voor B en I in dit laatste geval moeten genomen worden, zal in de volgende paragraaf onderzocht worden.

§ 44. Difl'erentieeren wij dc formules (5) en (6) ten opzichte van Cf) en A, dan vinden wij

') Hot is in het algemeen niet mogelijk, eene equivalente iirojeetie te maken, waarbij de meridianen en parallellen door liomofoeale ellipsen en hypdrbolen worden voorgesteld, tenzij men de twee brandpunten late samenvallen, waardoor de ellipsen in cirkels, de hyperbolen in rechte lijnen, eu de projectie dns in eene kegelvormige overgaat. Snbstitueeren wij de waarden van x en y namelijk in do voorwanrden-vcrgelijking van de equivalente projectie, namelijk in

_ ()// ^.i'_df

O v d A d /, () ia '

lï L'(A* — H-—L') . , .

dan vinden wij, na ccnigc herleidinK, Ilr ~— -— — ; waaruit volgt

dat ^_—- onafhankelijk moet zijn van Stellen wij dns de daar-W A* — jC'

van ten opzichte van A afgeleide fiinctie gelijk nul, dan vinden wij na herleiding

Lquot;{A'— L')~ LI.' '

B¹ — ---------- (jfl²—Li-). Aangezien JS lunctie van i/. is, zoo moet

Ij {-A³ —) -f- /lt;// ²

liet tweede lid den vorm — aannemen, waaraan alleen voldaan kan worden door 0

L

eene standvastige waarde \oor L te nemen. Uit (5) volgt echter, dat — functie

A

van A moot zijn; deze uitdrukking moet dus overgaan in en dus zijn /- en y/

beiden nul; waardoor do projectie in de equivalente kegelvormige projectie overgaat.

57

(U _ nLH' £i' _ _ ,gt;■ V •'^/l-£² _r7l

jVX _ sIli'^A- j, dj _____H LL'__

^ ^ yi yj A¹- !*.....

Door doze uitdrukkingen in eene van de formules ((5') van hoofdstuk II over te brengen, vinden wij

_₌ piiEZx-,

A A

L' -B'

o[ —r = .........(9)

yjA'-L* U'yjB--A²

Daar het eerste lid dezer vergelijking alleen functie kan zijn van A, het tweede lid alleen van (p, zoo kan aan die vergelijking alleen voldaan worden, indien beide leden gelijk zijn aan dezelfde standvastige, die wij door C zullen voorstellen; en waardoor wij dus vinden

C.............(10)

sjA'-L*

B'

-.-CU'..........(11)

De eerste dezer vergelijkingen geeft door integratie

B n Sin- — (JX,

A

waarbij gecne standvastige behoeft bijgevoegd te worden, omdat wij den meridiaan van het centrale punt als eersten meridiaan aannemen. Uit deze vergelijking volgt nu

La-,. \

— SmCX,

= CosC'\, gt; (12)

——ⁱ~—~ — 1 — CosCA = 2Sm¹ ' CA;

A

zoodat wij voor de formules (5) en (0) kunnen schrijven X = 'p Sm 6'A, |

Y=i S qShl¹ quot;CA;!.........

waarin p, q en S functiën van (p zijn, waarvan eens vooral tafels kunnen ontworpen worden. Deze functiën worden bepaald door de formules

58

(¹⁴)

p =. V /i '¹ - A -, j

S — )

^ 45. Voor kleine waarden van A zijn de l'ormules (13) eenigszins lastig in het gebruik, doordat men de log tiiti van kleine hoeken moet zoeken. Voor dat geval kan men echter aan die formules een meer praotisehen vorm geven.

Neemt men namelijk in aanmerking dat

loffSm* = lo_ffu-M (₂-_{3 4}_;' ₅ • • •)

Met¹'

is, dan kan men, zoolang minder bedraagt dan de helft van

1 oU

de zevende decimaal, d. i. zoolang a lt;3° 51' is, voor log Kin v. schrijven

M , ₍ /M A ,

log Sin u. — log a—« - = log Bg\quot; loyzquot; — ( -_r Bg'¹1quot; | v.quot;¹,

als ciquot; den hoek a, in secunden uitgedrukt, voorstelt.

Met behulp hiervan vinden wij

'M

logX— loyp -f log Sin C'a-~ log rgt;\log Bg\quot; -\-logC Xquot; — ^ - Bg'^l\quot;^ (!-)gt;quot;-

iM

log(Y— S) — log lt;/ 3 log Sin | Ca

/M \ 0²A'

= 2 log Hg 1quot;\ llog \ CAquot; - 2 ( — 1quot; )

'-^lolt;Aww^^lo^ⁿ^ ^B'^{jX l}quot;) ²^^Aquot;quot;i(f^02%ri'')^Aquot;²-

Stelt men nu log(pCBg 1'') = p,_l,

^l0,J («mÖ') ~ ^?2' .......(14')

, ZlO'ifC² ₇ .₁₍,\ ,

^0/71~T— ⁰ )~

Aquot;' = A.

dan gaan bovenstaande formules over in

log X zzz p ^ log ^

l.og{Y~S)=zq^-\-t-\-%logXquot; ■ |A.f

(14quot;)

59

De grootheden ■p._l en q₁ zijn hier i'uncticn van cp, die gevonden

worden door bij logp m logq o\gt; te tellen respectievelijk log[Cliglquot;) g

cn ^-^YqT — ^'^383069478 — 10 ; de grootheid l is cene standvastige; en de correctie A wordt, uitgedrukt in eenheden van de zevende decimaal, gevonden uit

log amp; — i 4* %log aquot;.

Voor de berekening (zie § 10) schrijft men eerst do grootheid p₁ uit de tafel op, daaronder ZoyAquot;; naast p₁ schrijft men de standvastige t, eu daaronder het dubbel van log Aquot;. Door de beide laatste samen te tellen vindt men de logarithme van A, die meu dus kan opzoeken; de waarde van A afgetrokken van de som van p., en log Xquot; geeft dan log X; en de helft van A afgetrokken van de som van t en 2logAquot;, en daarbij opgeteld de grootheid y, uit do tafel, geeft log[F—S), waaruit X eu Y gemakkelijk gevonden worden. De hier ontwikkelde formules zijn geldig, zoolang C'A lt;3quot; 51' en

3° 51' .

dus A lt; —is.

O

§ 46. Ter bepaling van de in (14) voorkomende functie B volgt uit (11) door integratie

logl±^El_=-.CU,

*„

en dus B V W-A* = (6, yj ,

waaruit door deeling op de grootheid Aquot;¹ volgt

B-\l IP-A- =z (B₀ - V B₀²-A*)e^,:lJ.

Uit deze twee vergelijkingen volgt nu onmiddellijk

„Cü^fi—CV ._ gCV i _e—cv

p = slW^A* =-B_a —₂—- ,

q = ZB =i B,{e^,:v-\-e-^cquot;)~ Bq--A*{e™-e-™),

_eCVi_e-CU\ -__ _ecv^e~i:v

S—Bn — B — B quot;

§ 47. Ter bepaling van de standvastigen A en .ö₀ , ingevolge de voorwaarden in het tweede hoofdstuk ontwikkeld, vinden wij uit (8) met behulp van (10)

waaruit blijkt, dat aan (8) en (14) van hoofdstuk II reeds voldaan is; terwijl uit (10) en (19) volgt

C\]B₀*-A* = r„,

r_n Sin Cp „,

is. Deze uitdrukkingen in (15) overbrengende, vinden wij

Siutpn e^tA' — e~ '^:,! . —— • -

_n | _a^c,,— e-~^€,! Sm$₀ /e''''-}- e~^c,; ^

2 . C \ 2

Uit (18) en (19) volgt nog voor de waarde van A

¹Sin'¹ Cp,,

7 (31)

V ⁰ C¹' V C' C'¹ C¹

waaruit blijkt dat 6' altijd kleiner moet zijn dan Sm(p„.

§ 4S. De formules (20) zijn niet voor logarithmische berekening geschikt; zij kunnen daartoe echter geschikt gemaakt worden door het invoeren van de hyperbolische functiën; voeren wij dan tevens de hulpgrootheid 6 in, bepaald door de vergelijking

—^-ⁿ - Colhi = —, C SAS '

• (23)

«I

dan vinden wij na eonige herleiding _v — \!'Sm^l^_oZC- _Sh^__0U) _ ^_Sh(ö „ _cU})

7=3 Ch^-CU) =■ 2ACh^-CU), ' (23)

,S' = 2 ^y'^SlayjLl^Cl sm-1 ; 6'(7= 2^(6 - C'ü/).^ 1 Cf/, i ^-,2 . . ƒ

Nog langs anderen weg kunnen de formules (20) voor logaritli-inische berekening geschikt gemaakt worden ; stelt men namelijk

Siu (p_t, _ 1

O Sin i|/ ₀ ' ' '

en Nep lor) Tg (45 -.j 4¹) — Nep foy ÏJ/ (45 4- J J/ ₀) — 6' f, . . (25) dan gaan de formules (20) na eenige herleiding over in ')

r₀ V Sin'¹ cp_n- C'¹ p = ----₆,-₂---Tgb —ATg\,

_n r _n \/ Sin² _(l—6'² 1 „ , „ , i

, ₌ 5 = *ASni. | _(s6)

siJJp.M.hz* siJih.si.hz*

,,_₀ yoStnCpQ _2_^ _2 ,j__^^_.

quot; C'² 6'os Cos i|/. Cos i)/ ₀

§ 49. Ter beoordeeling van de vergrooting voor een terrein van geringe uitgestrektheid merken wij op, dat de grootheid Q van hoofdstuk II hier nul is, omdat de projectie symctrisch is ten opzichte van den meridiaan door het centrale punt. ïer berekening van P vinden wij uit (17) door differentiatie

t f'¹ —__n* ,_ ___

^4 =-— \JB^—Aquot;¹ L' —--- \lBⁱ-A^ï \JA'--L*-,

d\³ A A

voor het centrale punt volgt hieruit

') Brengt men do formules (23) cn (20) in verband met (13), en neemt men als oorsprong het gemecnscliappelijk middelpunt van alle ellipsen en liyperbaleu, dan vindt men voor de eoördinateu do volgende eenvoudige uitdrukkingen x = A Sh (5— C U). Sin C)., y = —A Ch (6— C U). Cos Cgt;., eu x ■= ATgy. Sin C X, y — —ASecip.CosC).;

voor de practische berekening zijn echter de formules (13) in verband met (23) of (2fi) veel doelmatiger.

62

Deze uitdrukking, overgebracht in Formule (39) van hoofdstuk II, geeft

p — 2 — Ta-(b -1-2— _2^° C i (W)

N₀ ¹ Cos'?., -²gt;₀ -^)₀ ^ ⁽²⁷⁾

waaruit omgekeerd volgt

^ = Sm' Cp„ - ff ^Cosï 'Pquot;.......(²⁸)

Aangezien P de grootheid C bevat, waarover naar willekeur beschikt kan worden, zoo kan deze projectie aan den vorm van het terrein aangepast worden, zoo goed als dat bij een symetrische projectie mogelijk is. (Zie § 33).

l-(-P

Daar —-— altijd positief is, zoo is C¹ werkelijk kleiner dan Sin'¹ lt;p₀, li

en de grens, door formule (31) aangegeven, dat C² niet grooter mag zijn dan Sin - Cp₀, belet dus niet de waarde van C² volgens (28) te bepalen.

Uit (28) volgt echter, dat voor Si//.² 4gt;„ lt; ftw¹ lt;p_n, dat

2 R_n

is voor 5—■) de waarde van C² negatief, en C dus

-^*0 ^

1 p

imaginair wordt. In dit geval, — dat zich, omdat —— hoogstens

gelijk aan de eenheid kan zijn, alleen kan voordoen, indien de breedte van het centrale punt minder dan 45° bedraagt, — verkrijgen de formules voor de projectie een imaginairen vorm; zij kunnen echter tot bestaanbaren vorm worden teruggebracht. Welken vorm die vergelijkingen dan aannemen, en wat daar verder bij valt op te merken, zullen wij later onderzoeken. (Zie § 54)

') In de Chorographie van Littrow (zie do vertaling daarvan door Lobatto. 's Gravcnhagc en Amsterdam 1842, blz. 149—150 en 195—197) komt ecne jiro-jeetie voor met de formules

„ _ , Sin )■

*=T_ffV.OosX,

later komt nog eens dezelfde projectie voor, met de gewijzigde formules

Cos A Sin A

Sin y' Tg 1/1

waarin i//= 90 — lt;f is, de meridiaan van het centrale punt overeenkomt met X = 90°, en de assen 90° verdraait zijn.

Eindelijk vindt men daarin de meer algomcene formules

H3

§ 50. Ter bepaling vau do vergrooting bij een uitgestrekt terrein moeten wij terugkeeren tot formule (3) van hoofdstuk 11. Substi-tueeren wij daarin de uitdrukkingen voor de difïerentiaalquotienten volgens (16), dan vinden wij

'ri. — -_r\J — (-6² - A*){Agt; - U) ^ V = ⁽- \lBt- A* Z² .

Brengen wij hierin de voor B an L gevonden uitdrukkingen over, dan vinden wij voor de vergrooting de volgende formules 6'

- Vp¹ \A'¹ Sinquot;¹ CX,

r

— dll \j Sh² (ö - Ü U) -Samp;² CK — V Sh² (a - 6' U) Sin ² C' A

n =r--LL--V C7i{3 6—2 6' f/j - C'0«2 6'A ,

?• V2M5

en

AC

V Ta¹ 4/ 4-Si»² 6' A — _m⁰. V T(j'¹ J/ Si»² 6'A. r ^J rTg^_n

Voor de punten langs den middelsten meridiaan volgt hieruit

Cfc r „Shit-OU)

m — — , m —----r-- gt;

r rSh 6

«'o

en rn =——— ,

i-Tg\_ü

en voor de punten langs de parallel van het centrale punt jf = - Coi (|W M A) . (?J/quot; J i/) CI(J quot; gt;. i/y),

r=| Sin{m-\-nX).{Tyquot; IVi—C/ffquot; iy);

De hierin voovkoraendc grootheid m geeft geen gtootere nlgemeenhcid; zij be])aalt alleen den eersten meridiaan; de grootheid « komt overeen met den in dit lioofd-stuk ingevoerden parameter C.

Al deze projectiëu hebben elliptische parallellen en hyperbolische meridianen met gemeenschappelijke brandpunten j zij behooren dus tot de hier ontwikkelde projection. Van do laatste wordt wel gezegd „Doch ook bij deze meerdere algc-„meenheid bemerkt men evenmin, welke bijzondere voordeelen daarin voor de „praktijk mogten kunnen opgesloten liggen,quot; maarzij worden niet nader onderzocht.

Germain neemt in zijn „Traité des projections des cartes géographiquesquot; p. 74, de eerste van bovenstaande formules over, zonder zo nader tc onderzoeken.

Bij nader onderzoek blijkt het, dat hier de brandpunten op den equator liggen, een bijzonder geval dat wij niet behandeld hebben; omdat het geen bruikbare kaartprojectie oplevert.

Dit zijn de eenige projection, die wij beschreven vonden, waarbij de parallellen en meridianen door homofoctile ellipsen en hyperbolen worden voorgesteld.

«4

_w _ y/ _l .......(31)

§ 51. Enkele bijzondere gevallen, die zich bij deze projectie voordoen, dienen nog Iets nader ontwikkeld te worden. Nemen wij in de eerste plaats P m — 1, dus geldende voor de kaart van eene landstreek, die zich vooral in de richting van den parallelcirkel uitstrekt.

Uit (28) volgt voor dit geval

C = Sin(p₀ ,

waaruit blijkt, dat voor dit geval, wat ook de waarde van lt;p₀ zij altijd de hier ontwikkelde projectie kan toegepast worden.

Snbstitneeren wij deze waarde voor O in (21), dan vinden wij

A— O-,

de twee brandpunten vallen in dit geval dus samen, de elliptische parallellen gaan dus in cirkels, de hyperbolische meridianen in rechte lijnen, en de projectie in de confbrmkegelvormige over.

In dit bijzondere geval komt deze projectie dus volkomen overeen met de cirkelprojectie van Lagrange, die, zooals wij in § 35 gezien hebben, voor P—— 1 ook in de kegelvormige projectie overgaat. De formules (13) en (20) moeten dan ook onmiddellijk in de daar gevondene overgaan.

De formules (30) geven vooreerst

^e~^lt;:quot; — ^No VtffQo. e-^CD,

S=^ (l-e-M) = 2 N, Ctfflt;p₀. e-WS/t {CV;

voor q vinden wij eene uitdrukking, die juist overeenkomt met 2p; en zoo wij dit in (13) suhstitueeren, komt er

X zzzpSm CA,

¥= S lp Sin¹1 CA = S XTgit CA,

welke formules juist overeenkomen met de formules (49) en (50) van genoemde paragraaf.

De eerste van de formules (29) geeft eindelijk voor dc vergrooting

» = ^ e-Cf,

r r

oveveenkomeude met formule (51) van genoemde paragraaf.

65

§ 53. Ecu nnder bijzonder geval, dat opmerking verdient, is hetgeen wij krijgen, als wij C' — 0 stellen; dus do overgang tussehen de boven ontwikkelde formules en de straks te ontwikkelen formules, waarbij C eene imaginaire waarde verkrijgt.

Stellen wij in (21) C zrz 0, dan wordt A oneindig groot; bet eene brandpunt {F') verdwijnt dus in het oneindige, en de ellipsen en hyperbolen gaan dus over in parabolen; zoodat wij de projeetie terug vinden, die in het vorige hoofdstuk behandeld is. De formules {13) en (20) moeten dan ook in de daar ontwikkelde formules overgaan.

Uit (13) volgt vooreerst voor zeer kleine waarden van C X z= p C\, en r=S-\-₁](jCⁿXⁱ-,

uit (30) volgt dan verder, voor p Ü, ([ ()■ en S, als wij C tot nul laten naderen,

pV = r₀ —~] = r^l-SinCpgM),

lt;1 amp; =■ 2r₀ (Siucp, -i-¹ - )) = 2r₀Smlt;p₀,

ni ^)-(i-6'f/) _c„ , (i-j-cu-\-!c²?y²) (i-6'^-i-|6^gt;2m)-2

'■quot;L al⁷--⁰⁰------quot;quot;--quot;

= r₀{U~.}_iSm(p₀.U*-).

Deze uitdrukkingen in vorenstaande formules voor X en Y overbrengende, vinden wij

X — r₀ (1 — USinCp,,)X,

F — r_B {V — \ V¹ Sin J r₀ Sin(p_n . A'² ,

volkomen overeenstemmende met de formules (11) en (12) van het vorige hoofdstuk.

§ 53. Passen wij de projectie met elliptische parallellen toe op de kaart van Nederland, dan moeten wij ingevolge § 23 nemen 4)₍₁ = 52⁰13'20quot; en Uit formule (28) volgt dan

0,0007029743 ...........(32)

Met deze waarden voor C en 0,, vinden wij X jSÏ» 0,6607629743 A, J r= 3303814871A. /........^ '

De hierin voorkomende grootheden p, q en S zijn fnncticn van (p, waarvan vooraf de waarden voor verschillende waarden van lt;p in eene tafel vereenigd kunnen worden. Zij worden berekend met behulp van een van de twee onderstaande groepen van formules.

66

_P =(6,5898074847)^(0-CO), lt;] =(6,8908374804) (7/i(6-Ci7), 5 = (6,8908374804) ^/«(6 - }. 013). Sh \ O O,

itf 6 = 0,5345047482, 6 = 1,3077168144.

p = (6,5898074847) Tg$, ₅ = (6,8908374804)\ (₃₄₎

„. ij' 'l'n o. 4*0 4*

Sm —-— . ten —^—

S = (7,1514711369) - quot;

Cos ij/

% Ttj (45° • lt;P) = 0,5245047483 - CMU,

= 56° 43'9quot;,8734.

Bij deze formules is rekening gehouden met den herleidingscoëf-c'¹ 11374

fieieut 1 — -—— = vau §33, y.oodat bij deze projectie de

S Pqquot; 11375

vergrooting binnen de grenzen

1±87T=¹ ■ ¹ ®Po

blijft.

De tussehen haakjes geplaatste getallen stellen de gewone of Brig-giaansehe logarithmen van de coëfficiënten voor. Door log worden die zelfde logarithmen bedoeld, en door M hun modulus 0,43439448. Verder is bij de berekening gebruik gemaakt van de Besselsehe afmetingen van de ellipsoïde.

Voor kleine waarden van A vindt men uit (14') en (14quot;)

lofjX—pi locjX'-h, \

loffiY-S) = t %lo_!/ Aquot; 4 ^ - | A J.....¹ '

waarin = 4,5056305663 — 10 4- loyp, j

_?2 = 3,5383069477-104-.....(34quot;)

^= 4,8708741933-10. )

3⁰51'

Deze formules zijn bruikbaar, zoolang A kleiner dan , dat is

kleiner dan 5° 50' is, en dus voor geheel Nederland toe te passen.

§ 54. Uit formule (38) van § 49 hebben wij gezien, dat voor waarden van (p₀ kleiner dan 45° de voordeeligste waarde van 6'² negatief en C dus imaginair kan worden. De formules voor de berekening van X en Y verkrijgen daardoor een imaginairen vorm, maar X en Y blijven toch reëele waarden behouden. Om die formules tot bestaanbare vormen terug te brengen, zullen wij C= C, v' — 1 stellen, waardoor formule (38) overgaat in

«7

0,* = --^- —⁰ Co**lt;p₀-Sm*lt;p₀......(35)

De formules (13) gaan nu over in X —pSm6',A. V -1= p^e'^X ~l ' \/-r=^ \/-l^C|A=?J,®C'₁A.

(V

I--—e t^I^- .—A

r J- C, A. v -1 =-» ?(---T,- V-l j =

= S-qSli* j C, A = 9, jS'A² J C, A. Voor p_l ~p V-l, ?i —~'l ^en S_l—S vinden wij dan uit (20)

Pt —2gt; V-l =

V —IL 3 c, V-l ² -j

= ^ j^CosC, Siu C\ J/j ,

Smlt;p_n e^C' e~^c\ _eC\ U^=T

c, V-i Lc, V-i ^{2 2}

r₀ f/SwC)

^ L

S_l=zS =

r_u r_eC₁i/l/=r__e.-C^,1I/l/-r _{Sin(pfi (e}C_lV^ _e-C^-f .

V-ïl ² ' C'^^ïK 2 7

= ^ |~amp;« C, f7 (C'₀,_s C, Z7-1)] .

Voeren wij nu nog een hulpboek ö, in, bepaald door de betrekking

Sin (p„

CfffK,...........(30)

O,

en letton er op Aat (31) overgaat in r

t' ^v'^squot;'*• ⁰■^:=6^^£^'^,.....⁽³quot;

') Door de verandering van C in C, j,,-'—1 geeft formule (20) ecno negnlieve waarde voor ;l, daarmede overeenkomende, dat A lüer in tegengestelden zin voorkomt; het brandpunt Iquot; (fig, 4) ligt hier namelijk op hot negatieve gedeelte der y-as, en niet zooals in fig, 3 op het positieve deel. Baar wij echter alleen met do absolute waarde van J tc maken hebben, zoo laten wij in form. (37) het negatieve tceken weg.

«8

dan vinden wij na cene eenvoudige herleiding liet volgende stel formules ter berekening van A' en V ')

X=jgt;_lS/iC_t X, \

r= lt;/, s/t²{C', a.I.........¹ '

waarin p_x — A Sin{(:_x — C_xU), j

y, =2^eos(6₁-C?₎ t/), .....(3»)

5, = 2 A Sin (ö, -1 C, U). Sin ?, C\ U.)

Onderzoekt men met behulp van de formules (38) den vorm van de meridianen en parallellen, dan vindt men, dat hier dc meridianen door ellipsen en de parallellen door hyperbolen worden voorgesteld. Wij zullen dat onderzoek hier niet instellen, maar, uitgaande van den vorm voor de meridianen en parallellen, rechtstreeks dc formules voor de projectie afleiden, waardoor wij dan de formules (38) eu (39) zullen moeten terug vinden. Wij zullen dan tevens de overige grootheden, zooals de vergrooting, die op deze projectie betrekking hebben , rechtstreeks kunnen afleiden.

§ 55. Nemen wij de hyperbool I'S (figuur4) als parallel aan, en stellen wij 08 = 7?, dan is de vergelijking daarvan

-__*-1— ^=1.........(40)

A^-B' ^t

Dc vergelijking van de ellips QPT, die den meridiaan ter lengte A voorstelt, wordt, als wij oT = Z stellen,

y' = i..........(4i)

') Do berekening met Sh C'₁ /. is voor kleine waarden van i. niet omslagtiger

dau de berekening met Si?i C_l A, ook al bezit men geen tafel van hyperbolische

ar^{3 zl} \ ^

function. Men heeft namelijk Shz~z-\- -i- ₁ 2 3^ ••• —

= ~-(¹ Ï fi-o 5üiö • • •)'^waal'^{uit V0,gt} =

4. ^ .0 4. Dc term — r⁴ wordt echter eerst voor z = 3°50' = 0,00090 ^r 2835 ' 180

gelijk aan 0,00000004834 en bereikt dus nog niet de helft van de 7^l11' decimaal. Zoolang dus ). blijft beneden 3°50' (C, is altijd kleiner dan dc eenheid), kan men zieh bepalen tot dc uitdrukking

T\r

logShz = logz ~ (8,8590331-10)^,

M „ .

of, indien z in seeunden gegeven is, en men den correctie-tem uitdrukt in eenheden van dc 7^do decimaal

logSh.e-4,6855748.008 logequot; (5,2307828 - 10) «quot;2.

(i!)

Uit deze twee vergelijkingen x en y oplossende, vinden wij

x = v/7^- 7^ - ,

a

^ ~ ^—

Nemen wij verder ingevolge § 17 liet centrale punt in O, dan vinden wij voor de coördinaten x en v

\ia gt; i? „ ₇₁ „ , „yja' tf-j 'a

Door deze uitdrukkingen ten opzichte van 0 an A. te diircrcntice-ren komt er

-bib' df b' \] a' j:-

. (43)

^0 a \j a^ — b¹

~^L=r; .... (44)

^V ^ asja^ l*

waaruit, door substitutie in eene van dc formules (6') van hoofdstuk II, volgt

a a

i! ti'

ot

\/^² X^J v'sia'-b¹

Daar het eerste lid dezer vergelijking uitsluitend A kan bevatten, cn het tweede lid alleen functie kan zijn van (p, zoo kan aan die vergelijking niet voldaan worden, tenzij beide leden gelijk zijn aan eene zelfde standvastige.

Stellen wij deze standvastige door (7, voor, dan vinden wij onmiddellijk de volgende twee vergelijkingen ter bepaling vim l en b

h-— c₁...........(45)

en , ---- — c_l i/.........(4(i)

yja'-b-'

De eerste hiervan geeft door integratie

70

/. V'- / M

%---r------= C, A,

waarbij het niet noodig is eenc standvastige te voegen, omdat wij don meridiaan van het centrale punt als eersten meridiaan aannemen, waardoor voor A =: 0, L — 0 wordt. Hieruit volgt

L-\- V A--\- TJ

------e^C'¹,

A

en door deeling op de eenheid

A ~^{e ;}

en hieruit vinden wij nu onmiddellijk

L e^{c 1} ^—e~ \ A =--i--= ^SSC,'^A■

\l A* 4-L¹ - A

----= ZS/t¹ J Cj A;

waardoor de formules (43) overgaan in

A' —Pt Sk C_l A, i.........₄₈

r=^₁ 2, SA⁴ .1 C', A, '

als wij p_i = V^² —B²,)

2«, i...........(49)

S, = B - öo. )

stellen.

Op gelijke wijze als in § 45 vinden wij, zoolang A kleiner is dan 3° 51

, de volgende formules

'y

%J=/;₂ %Aquot; A, gt;

%(J'--S') = _?2 /! 3%Aquot; ,J A,(......

waarin = %(/;, C', /^//lquot;),

(49quot;)

71

Deze lorinules komen op liet tcekeu van A mi volkomen overeen met de formules (14') en (14quot;).

§ 50. Tor bepaling van de functie /J, en dus van q, en /S, , geeft (46) door integratie

7» jn

Bij Sin — Bg Sin —~ ~ C', U,

Bz= A Sin C', U Bg Sin ^ — \J A^-B^ Sin C, U B_n Cos C_i U,

V A- — tt^L =.ACos(y C_{ U-j-Bf/Sin^~ j = V A'—B_a ¹ CosCy ü—B₀SinC₁ U,

Voeren wij nu nog den hulpboek ö, in, bepaald door de formule ')

UiZzzW-BgSin¹^, of Ctg^ . . . . (49)

dan vinden wij

= VA'^ — B' = ASintfi —C_i U),

_?1—2B = 3^ Cos (O,-C, (7),

S_l =^-i?₀=:^[Co.?(ö₁-Cj?7)-C^,osö₁] = = 3 ASin{ti, C\ U). Sm \ C, U-,

zooals men ziet, stemmen de formules (48) en (50) volkomen overeen met, de formules (38) en (39), die langs anderen weg gevonden zijn ²).

§ 57. Ter bepaling van de twee standvastigen A en O,, of A en B₀, vereenvoudigen wij eerst de differentiaal-qnotienten (44) met behulp van formnle (43), waardoor wij vinden

') JIcu had nog eenvoudiger kunnen stellen By Sin —■ — Jj ^«aaruit volgt 7o J — ——⁰-=^1^, vergelijk form. (50)^ .waardoor wij onmiddellijk vinden

VA^—B_n ^c, gt;

p. = ACos(^ -I- C, tO, ?, = MSin (ö,-!-C, U) cn S,-2 JCos(6, iC, U).Sin{C, U. Wij kozen echter bovenstaande formnles (40) en (50), omdat die, wat den vorm betreft, beter overeenstemmen met de formules (23) van dit hoofdstuk.

-) Door de formnles (48) en (30) samen te verbinden en den oorsprong in het gemeensehnppelijk middelpunt van de ellipsen en hyperbolen te nemen, vindt men de formnles voor de coördinaten onder den allercenvondigstcn vorm .r = A Sin (ö, — C_l U).ShC_l X en y - ACos^_x —C\V) .ChC^, die cchtcr wat de praetischo bruikbaarheid betreft, vooral bij een betrekkelijk klein terrein, achterstaan bij dc formules (48).

72

Deze uitdrukkingen nogmaals ten opzichte van A tliffcrcntieercndc, komt er

(53)

Uit (51) en (53) volgt clan verder voor het centrale punt „ ./quot;77—TT-, (*y\

(.iO,^-''^{1 v}''' (k).-⁰' (©=«•

or blijkt dus reeds voldaan to zijn aan de formules (S) en (14) van hoofdstuk II; terwijl uit (10) en (19) volgt

C, =''o en B₀=r_nSin(p₀,

waaruit wij achtereenvolgens vinden

yjA*-fi₀*=^,...........(53)

_ r„Sin(p₀ CS '

= \/^ ^fl«^a = ^ï Vlt;V ^lt;f)₀

^=7=^=^........lt;«)

§ 5S. Ter beoordeeling van de vergrooting bij een terrein van gc-riugc uitgestrektheid merken wij op, dat hier wederom de grootheid Q van hoofdstuk II, ten gevolge van de symetrie, gelijk nul is. Ter bepaling van F vinden wij uit (53) door differentiatie

='4- •

cn dus voor het centrale punt

(s»).»quot;-' ......(quot;)

Deze uitdrukking in formule (3'J) van hoofdstuk II substitucereiule, vinden wij

73

i'--=*p lY lt;P- i 2—#^- ^c\²=² F¹ -i. (38)

'' o ^08 y u o Oosquot; (p q

en hieruit volgt voor C\, als F bekend is,

= —Cos^tp^Sin^,,......(59)

overeenkomende met formule (35).

§ 69. Ter beoordeeling van de vergrooting bij een terrein van grootere uitgestrektheid moeten wij wederom onze toevlucht nemen tot formule (3) van hoofdstuk II. Substitueeren wij daarin de waarden van — en ~ uit (51), dan vinden wij (iA lt;iA ^

en door hierin do waarden van li en L over te brengen, vinden wij olg Cy

sjp | - -f A¹ tift - 6', A,

- \l Sin¹ (ö, - C', Uf S/t.* 6', A —

, __, («quot;)

y Sin²{è_t-O_l ^ Sk¹ 6'j A,

- ^y/ Ci r\/2

Voor de punten langs den middelsten meridiaan volgt hieruit

_ tf.üi

Ho--gt;

;•

r_n Sin (6, — 6', (/)

m =. —--!-- —-

r Sm i,

en voor de punten langs do middelste parallel

quot; = v/ ¹ amp;Wi »• »• lt;■'. K («2)

§ (50. Bij de toepassing van do beide in dit hoofdstuk ontwikkelde projection doet zich het zelfde bezwaar voor, als wij bij de projectiën met parabolische meridianen en parallellen in het vorige hoofdstuk gezien hebben; dat er namelijk eene grens aan te wijzen is, waarbij het niet meer mogelijk is het daarbuiten gelegen terrein naar behooron voor te stellen, omdat de punten van dat gedeelte

74

zouden vallen ter plaatse, waar reeds andere gedeelten van het terrein geprojecteerd zijn. Zelfs /.al men bij de voorstelling nog eenigsins van die grens verwijderd moeten blijven, omdat zich daarbij /.eer abnormale verhoudingen voor de vergrooting voordoen.

Beschouwen wij eerst de laatst behandelde projectic, waarbij de meridianen door ellipsen en de parallellen door hyperbolen worden voorgesteld, en die hare toepassing vindt in het geval, dat

1 PN₀

^T{/-lt;Po^lt; _{2 ]i}

0

is, cn waarvoor 6', gegeven wordt door de formule (35), namelijk C',² ~ Cos-(p„ -Sin- lt;p_n.

Schrijven wij daartoe de formules voer die projectie onder den meest eenvoudigen vorm, namelijk

x =■ A Sin (fl, — Ci U).Sh C_x A, i . .

y — A Cos(öi — lt;?, U).ChC_i A, \.......^

waarbij de oorsprong niet in het centrale punt, maar in het gemeenschappelijk middelpunt van alle ellipsen en hyperbolen is aangenomen.

Uit die formules blijkt, dat er, wat do lengte betreft, geen grens voor de projectie is aan te wijzen; op een /.elfde parallel kunnen wij de lengte dus onbepaald laten toenemen, zonder dat daardoor cenige abnormaliteit ontstaat.

Met de breedte is dit geheel anders; laten wij de breedte toenemen, dan neemt (6,—C', U) af, en dus t'o.s(0, —C\ U) toe, totdat (!), — 6', TI) gelijk nul wordt. Voor deze waarde projectecren zich dc punten op het gedeelte Py (figuur 4) van dc ?/-as, en voor grootcre waarden neemt y weer af, en projecteeren dc punten zich dus op plaatsen, waar reeds andere punten geprojecteerd zijn. Dc bovenste grens wordt dus aangegeven door de breedte, behoorende bij dc

waarde |van U, bepaald uit de volgende betrekking

^...............⁽⁶⁴

Wat er voor grootere waarden van de breedte verder plaats heeft, is voor de kaartprojectie van geen belang, en zal dus hier niet nader onderzocht worden.

Laten wij de breedte van cj),, afnemen, dan wordt (0, — U) grooteren Tos (ö, — C, t/) kleiner, wordt negatief, en die negatieve waarde neemt verder toe, tot ö, — (J_l U — n wordt; voor nog klei-

ncre waarden van de breedte zal de negatieve waarde van den cosinus weer afnemen, eu zullen de punten zich weer pvojecteeren op de plaats, waar reeds andere punten geprojecteerd zijn. De benedenste grens voor de breedte wordt dus aangegeven door

ö i quot;quot;quot; T

^u=-7r-..............(65)

' 1

De grootheid 0, , die in deze beide formules voorkomt, wordt gevonden uit de formule (3(5), namelijk

Sin lt;p „

hieruit volgt, dat in het grensgeval C_l = 0, waarbij dc bovenbedoelde projectie ophoudt toepasselijk te zijn, 6, — 0 wordt, waardoor de formules (04) en (fiö) overgaan in

i/₌^lt;l~ . JL_,

0 Sm(p_n

₍₁₁₁ u_ 0 —TT _

Voor do bovenste grens blijven wij dus eene bepaalde waarde vinden, die natuurlijk overeen moet komen met de grens in het vorige hoofdstuk gevonden (/.io formule (19) van dat hoofdstuk), terwijl de onderste grens eerst bereikt wordt bij lt;p z= — ⁽,)0ⁿ,

§ 61. Voor hot onderzoek van de projectie met hyperbolische meridianen en elliptische parallellen, — ecne projectie, die alleen geldt voor het geval, dat

„ . 1 ^ -V,,

!:'/■»„gt;-_r3r;

is, cn waarbij de coëfficiënt C bepaald wordt door dc betrekking (28), namelijk

CT' = Sin* lt;p₀ Cos* cp_n, -

schrijven wij dc formules weer onder den cenvoudigsten vorm; namelijk

x = ASh(b-CU).SmCX, | y =z-ACh(p-CU).CosCX. f........^

Hieruit blijkt, dat voor toenemende waarden van A dc -v toeneemt, tot 6'A gelijk aan 90° wordt; bij nog groOterc waarden van A neemt x weer af, de punten projccteercn zich dan op het gedeelte boven

76

de axis, eu er komt dus alleen eene grens voor A, zoodra die punten in de y-as komen, en x dus weer nul wordt. In dit geval wordt CA =180°, en daaruit volgt voor de grenswaarde van A de uitdruk-180quot;

king -. Aangezien echter C steeds kleiner dan de eenheid is,

G

zoo ligt die grens steeds boven de 180° en is dus praotisoh van geen bezwaar.

Laten wij de breedte van (p„ af aangroeien, dan wordt {0 — CIJ) kleiner, en dus ook de waarde van — CU), totdat h—CU = 0 wordt, en alle punten van de daarmede overeenstemmende parallel zich op FF projecteeren. Voor grootere waarden van (p neemt Ch{} — CU) weer toe, en komen de punten dus weer te vallen ter plaatse, waar reeds andere punten geprojecteerd zijn. Er is dus ecno bovenste grens voor de breedte aanwezig, en deze wordt bepaald door de vergelijking

U=-_c..............(67)

Daar de hierin voorkomende waarde van ö bepaald wordt door dc betrekking (23), namelijk

C Sm Vn waaruit volgt 6 — Ne/jloff Ti/(45^_n),

zoo kan die formule ook als volgt geschreven worden

U=liïeplo#Tt;(45 lt₀).........(68)

Eene benedenste grens is voor de breedte in dit geval niet aanwezig, aangezien, bij waarden van lt;p kleiner dan lt;p₀, U negatief wordt, en bij afnemende waarden van Cp die negatieve waarde steeds toeneemt, tot zij voor cp = — ^,.)0ⁿ oneindig groot wordt; gelijktijdig daarmede neemt dus b — CU tot in hot oneindige toe, cn daarmede ook de waarde van 6'A (5 — C U).

In het bijzondere geval, dat men aan P de uiterste waarde 1' = — 1 geeft, wordt C=Sm(p₀-, de hulpboek iI/₀ gaat daardoor over in 90°, cn 6 wordt dus oneindig groot; dit is dus ook met de grenswaarde van U het geval, en hiermede komt overeen de grenswaarde 0 ~ 90°. In dit bijzondere geval, waarin de projectie, zooals wij in § 51 gezien hebben, in de kegelvormige projectie overgaat, kan zij dus tot aan de pool worden voortgezet; in ieder ander geval is dit niet mogelijk.

77

§ fi2. Ten einde de bovenbehandelde grenzen ecnigs/.ins nader

aan te wijzen, volgt hieronder eenc opgave van die grenzen voor

verschillende waarden van en van V, in de onderstelling van een bolvormig aardoppervlak.

Voor dit bijzonder geval is

en U=NeploffTff(4:5 l(P)-NeploffTff(,4,5 ?₀),

waardoor de boven behandelde formules in de volgende eenvoudigere overgaan.

1. Voor '/'//■ lt; ¹~- of Cos2Cp„gt;

'i = \J ¹ g ⁷ Cos¹¹ lt;p„-Sm^ï(p„ — \J Cos2Cp₀-

O,

JV/6, — —J- ,

Smlpn

loffTffiM iQt) = %^(45 -V0_o)

% JV/(45 ; 0,) = lo,_v7V/(45 1 0,,) _ ^5.

c, c,

2. Voor Of C'os24)₀lt; LJ!.,

/ 1 4- 7^J / l — P 3 4- P ^C=\/ ^SinicPo--3 Cos²Cp„= y ---Vos2(p_u,

Sin 4- d = — ^

Sinlt;p_a'

lo,j 2^ (45 » ,) = % % (45 ₀) i % ^ (45 J- 4,₀).

In deze formules stelt log de gewone logarithme en M hare modulus voor; verder beteekent 0_i de bovenste en (p., de benedenste grens van de breedte.

Tevens zijn in die opgaven de hulpgrootheden C, en fl,, res])ec-tievelijk C en •]/ _a, vermeld.

De bij die o|)gave gebezigde waarden van P zijn — 1, — |, 0, J- en 1. De waarden van (p₀, waarbij voor die waarden van F de overgang van het eene stelsel van bovenstaande formules tot het

1 •/'

andere plaats heeft, zijn, berekend uit de formule Tt/*(p₀= ——- ,

ti

respectievelijk de volgende 0⁰0'0quot;, 20° 33'54quot;, 35«15'52quot;, 40⁰ 53'36quot; en 45('0'0'.

78

79

HOOFDSTUK Vl.

AAUÏl'llOJECTIE MET EENVOUDIGE FORMULES VOOll DE UEUEKENINfi VAN ÜE COÖUJHNATEN,

§ 63. In de vorige hoofdstukken zijn wij, uitgaande van eenvoudige lijnen voor de meridianen en parallellen, gekomen tot zeer eenvoudige formules voor de berekening van dc coördinaten van de verschillende punten, waarvan lengte en breedte gegeven is.

De allereenvoudigste formules leverde de projectie met parabolische meridianen en parallellen, namelijk

X=]JX, Y=iSJrqX\

waarin p en S uitsluitend functiën van (p zijn, en waarvan de waarden dus in eene tafel vereenigd kunnen worden; de grootheid r/ is eene standvastige.

Deze projectie heeft echter het nadeel, dat er geene parameter in voorkomt, waarover men naar willekeur kan beschikken om de projectie aan den vorm van het terrein aan te passen.

De andere ontwikkelde projeetiën bezitten dit nadoel niet; zij kunnen, voor zooverre dit bij eene symetrischo projectie mogelijk is, goed met den omtrek van het terrein in verband gebracht worden; daarentegen moet men telkens de tangens of sinus van een kleinen hoek opzoeken, en dit moet vooral bij de toepassing op een klein terrein en op eene groote schaal met groote nauwkeurigheid geschieden. Hierdoor zijn de formules voor deze projeetiën eenigszins lastig in het gebruik; en vooral veel lastiger dan de bovenstaande formules, Dc vraag doet zich dus voor, is het niet mogelijk aan die formules eene zoodanige wijziging aan te brengen, dat zij met behoud van den eenvoudigen vorm toch naar behooreu aan Let terrein kunnen worden aangepast.

Hiertoe moeten die formules, behalve aan de voorwaarden

. . . (1)

ook nog voldoen aan de voorwaarde, die uit formule (29) van hoofdstuk II voortvloeit, namelijk

80

/«PA'X l PiV_n ca* io\

)- ~Y~r_ü '■quot; *.......^{( )}

Uit deze laatste voorwaarde blijkt, dat in de formule voor de abseis A' een terra in A'¹ moet voorkomen. Wij kunnen dus stellen

Z^A ^.J...........₍₈₎

F = 40 ?i ^

en onderzoeken, ot' het mogelijk is de grootheden 7/, , p, (/$ en q_ï, zoodanig als funotiën van lt;p te bepalen , dat de projectie eene gelijkvormige is. Is dit mogelijk, dan hebben wij de in die uitdrukkingen voorkomende standvastigen maar te bepalen volgens de voorwaarden (1) en (2), waaruit voor het centrale punt volgt

(p,)o = (~) ₍₎=r₀, (?„)„ = r₀ = O, I

(p*)o = !: (|~|) _n = ^ '•« ^C,m2 • W

/?² r\ . 1

(^2)0 —— i r_Q SmCpd. |

§ 04. Opdat de projectie eene gelijkvormige zij, moet voldaan zijn aan de twee vergelijkingen (0') vnn hoofdstuk II; om dat te onderzoeken differentieereu wij de formules (3) ten opzichte vnn A en (p, waardoor wij vinden

^ =^1 ³i'3^A2' ²'^?2A'

011 deze uitdrukkingen in de genoemde formules overbrengende, komt er ?o' ?2'^² —i^;l 3^3 W A²,

H'i's'•^³ •— —^

Daar aan deze vergelijkingen voldaan raoet zijn voor alle mogelijke waarden van A, zoo moeten de coëflieienten van dezelfde machten van A in beide leden aan elkaar gelijk zijn; waaruit dus volgt

li — V',

vi=--%q-i Vgt;

Integrecren wij deze vier vergelijkingen, en nemen wij daarbij de onder (4) opgegeven waarden ter bepaling van de standvastigen in acht, dan vinden wij

81

= standvastige = — r₀ Cos* lt;p_o-l r_n -SiV (J)₀, |

—\r_BSin(t)₀ Sp₃U, (..(«)

Jgt;, =r„-r_t)Sinip₀.U-3p₃Uⁱ, |

'l_n = r„V~{r₀Smlt;P_a.Uⁱ-p_iü³. j

Deze formules stemmen voor /j₃ = 0 volkomen overeen met de in hoofdstuk IV gevonden formules voor de projectie met pnrnbolische meridianen en parallellen.

Voor de practische toepassing zal het doelmatig zijn, deze formules zoodanig om te werken, dat men A in seotinden kan uitdrukken.

Stellen wij daartoe

A,= q_tB_g^V',

^Ai =

■dn— ?o gt;

dan gaan de formules (3) over in

X = A_iXquot;-A₃Xquot;\ |

r=A ^Aquot;=. f.........^(S)

Voor eenigszins groote waarden van A is het niet mogelijk door middel van deze formules, en van eene logarithmentafel met zeven decimalen, de waarde van X scherp genoeg te bepalen; omdat men daarin de wanrde van A! Aquot; niet nauwkeurig genoeg kan vinden. Stelt men voor dat geval

-^i Aquot; ~ A — y/₍₍(3quot; Aquot;,..........(9)

dan is A = r₀ A — Jiy 1quot; Aquot;, evenredig met het lengteverschil A, en daarvan kan men eene nauwkeurige tabel opmaken. De tweede term in die uitdrukking kan met behulp van logarithmen berekend worden. De daarin voorkomende coëfficiënt Awaarvan de logarithmen voor verschillende waarden van lt;p in eene tafel vereenigd kunnen worden, wordt gevonden nit de formule

(i jjfc*). ... 0»)

§ Gu. Stellen wij ter toepassing van deze projectie op de kaart van

Nederland lt;^_n = 53° 13'20quot; en 1' — 0, en brengen wij daarbij den

/ r' \ 11374 coëfficiënt 1- = —i- , % =(9,9999614799-10) van § 23 V ap,, / 11^7.)

in rekening, dan vinden wij

ü

82