Hoe men uit metingen van willekeurige onderlinge afstanden van de randen en de middelpunten der Zon en andere hemeUigehamen de parallax van gene bepalen kan.

(Verg. P. A. HANSEN'S Theorie der Sonnenfinsternisse etc, en Bestimmung der Sonnenparallaxe durch Venus vorübergange vor der Sonnenscheibe etc.)

Hoe men uit metingen van willekeurige onderlinge afstanden van de randen en de middelpunten der Zon en andere hemelligehamen de parallax van gene bepalen kan.

(Verg. P. A. HANSEN'S Theorie der Sonnenfinsternisse etc. Bestimmung der Sonnenparallaxe durch Venus vorübergange vor der Sonnenscheibe etc,)

Bij den laatsten overgang van Venus over de schijf der Zon, is men op verschillende punten, onder anderen te Ispahan niet in staat geweest in- en uitwendige contacten waar te nemen. Zoo heeft men ook de eerste inwendige aanraking te Eéunion en te Mauritius, waar lord Lindsay zich bevond, niet kunnen zien, en luidt een telegram van Janssen, die te Nangasaki was: Janssen failed, internal contact uncertain several seconds, ofschoon hij zelf 10 December telegrafeert: Ik heb Venus op de corona gezien zonder ligamenten (banden), inwendig contact maar zonder ligamenten. Ik wil daarom in de volgende formules aantoonen, hoe men niet alleen uit den afstand der randen — o maar oo ± i s', waar s' de straal der Zon en i een willekeurig getal is, gener parallax bepaalt.

Het is in de eerste plaats noodig uit den afstand den straal des schaduwkegels, dien wij u noemen willen, af te leiden. Men legge door de plaats der waarneming en de middelpunten van de hemelligchamen, waarvoor ik hier de Zon en Venus aanneem, een vlak en trekke eene regte lijn uit de plaats van waarneming naar het middelpunt van Venus. Noemt men dan die lijn Z', dan heeft men in den driehoek VOZquot;, wanneer VZquot; = Z', OZ = u en

en u den straal van den schaduwkegel aan, gezien uit het middelpunt van Venus tot aan het Zenith.

Vormt men een dergelijken driehoek voor de Zon dan heeft men evenzoo, zoo men den afstand van Zon en Venus = mr stelt, den hoek in de Zon = a' in den driehoek ZO Z' Z quot;V = mr, VO = Z', JL Z. = a', tg a' = ^ _mr

Z de afstand van de Zon tot aan het middelpunt der aarde en z eene lijn evenwijdig aan Z', die de Z coördinaat van de plaats der waarneming van af het middelpunt gerekend op die lijn is :

Neemt men nu Z = mr, z = mp₀ sin H (waar H bijna de hoogte van het middelpunt der zon aanduidt niet gecorrigeerd voor refractie) en r,. -f- r = r dan is hier

Dit is dus de waarde van het verschil van den straal van den schaduwkegel gezien van uit de Zon of uit Venus. Heeft men nu randenafstanden gemeten en daarvoor de waarde van dien straal = U bevonden, noemt (u) dien straal voor randaanrakingen, dan is:

1. Wanneer de afstand der ruimte van de digtste Venus-en Zonneranden gemeten is, moet de waarde van (U) voor inwendige randcontaeten, en het bovenste teekcn van U gebruikt worden.

2. Is de afstand van den tegenovergestelden Vennsrand van den digtsten Zonnerand gemeten, dan moet de waarde van (u) voor uitwendige eontaeten, en insgelijks ü gebruikt worden.

3. Is de afstand van de het verst van elkander verwijderde randen van Venus en de Zon gemeten dan moet men de waarde van (u) voor uitwendige randaanrakingen, maar — U gebruiken.

4. Is de afstand van den naast bijgelegen Vennsrand van den meest verwijderden Zonnerand gemeten dan moet men (u) voor inwendige randaanrakingen en —• U gebruiken.

De vraag blijft nu hoe men (u) voor uit- en inwendige aanrakingen bepalen, en daaruit de parallax der zon afleiden kan, als controle van U, of ook voor zich zelf.

Noemt men de stralen voor den gemiddelden afstand van Venus en van de Zon ms en ms', en de afstand van Venus tot de zon mr, de hoek, die den schaduwkegel doet ontstaan f, dan is

waar het bovenste teeken voor uitwendige, het onderste voor inwendige aanrakingen geldt.

ïrekke men nu wederom de overige lijnen door de middelpunten van Venus en de Zon, en eene evenwijdige daaraan door het middelpunt der aarde, die de Z van vroeger is, legge loodregt daafop een vlak, dat ook door het

middelpunt der aarde gaat, en waarop de twee andere regthoekige condinaten P en Q, in de doorsnede van dit vlak met de eldiptika gelegen, zich in positieve rigting P Oostelijk en Q Noordelijk uitstrekken. 1)

Laat verder u' de straal van den cirkel ziju, dien de scliaduwkegel in het vlak PQ afsnijdt, dan is streng, wanneer men de eenheid van al de lineaire grootheden door m aanduidt:

u' = (Z sin f ± ms) sec t maar bij Venus overgangen is het maximum van f ongeveer 23', men kan dus sec f = 1 stellen, eu Z is ongeveer gelijk aan den afstand van Venus tot de aarde. Zij weer Z = mr, dan is daar bijna r, = r' — r is, wanneer r' den uit de tafelen genomen voerstraal der Zon aanduidt

1) De doorsnede der twee genoemde vlakken ligt niet noodwendig in het Oosten men moet dus de uitdrukking Oost en Noord in den zin van rigting links en 90° verder bij eene wending van liet Zuiden naar het Noorden door het Oosten verstaan.

De lijn door het middelpunt van Venus en de Zon of liever de evenwijdige daaraan door het middelpunt der aarde zal alleen wanneer de eklips eentraal is in de ekliptika vallen. Neemt men nn aan dat deze lijn in den meridiaan valt, dien men tot uitgangspunt kiest, dan ligt op 90° van daar, dus in het Oosten de doorsnede van het vlak, waarvan dezo lijn de pool is met de ekliptika. Men moet dus altijd van uit het punt der ekliptika rekenen, waarin de Zon op het oogen-blik der centraliteit is, of de afwijking van de lijn door het middelpunt van Venus en de Zon van het vlak der ekliptika buiten aanmerking laten, eene afwijking, die van meer of minder beteekenis is, naar gelang van het oogenblik der eklips; overigens is het bezwaar theoretisch, daar de formules niet veranderen voor een ander punt van doorsnede. De verschillen in R A voor het eerste en laatste contact zijn voor 1874 bijna 14' — 5' Zon-Planeet.

wanneer men A en A' de hoeken noemt, waaronder men op den gemiddelden afstand der aarde van de zon de stralen van Yenus en de Zon ziet, en dus s = sin A s' = sin A' stelt.

Q = mr, (sin b cos /3' — cos b sin /3' cos (1 — V)) Z = mr, (sin b sin |3' cos b cos /3' cos (1 — X)) waar 1 en b de geocentrische lengte en breedte van Venus en V en |5' de aphrodicentrische lengte en breedte der Zon zijn. Daar cos (1 — V) zeer klein is , kan men schrijven

Men moet nu voor de voorloopige rekeningen uit de Venustafels eenige heliocentrische lengten, breedten en stralen in de nabijheid van den conjunctietijd nemen, en voor dezelfde tijden uit de Zonnetafels de lengten, breedten en stralen, benevens de helling van de ekliptika en de tijdvergelijking. Men kan dan later de waarnemingen gebruiken om de tafelfouten te verbeteren.

De Zonnestraal werd reeds boven met r' aangeduid, de Zonnenlengte moet 1' en de Zonnenbreedte b' genoemd worden. Uit deze grootheden moeten vervolgens de geocen-

trische lengten, breedten en afstanden van Venus berekend worden. Deze noem ik 1, b en r.

r, sin b = r' sin b' r sin /3 In deze vergelijkingen moet de aberratie ingevoerd worden, want daar het verschijnsel van den Venusovergang op de schijnbare plaatsen van Venus en de Zon berust, zoo moet men van nu af onder 1 en b de schijnbare geocentrische lengten en breedten van Venus, onder 1' de schijnbare lengte van de Zon verstaan.

Daar de aan te wenden aphrodicentrische lengten en breedten van de Zon, zooals van zelf spreekt aan de zooeven genoemde schijnbare plaatsen beantwoorden moeten, kan men die uit de daartoe betrekkelijke strenge vergelijkingen , die op dezelfde wijze als de vorige vergelijkingen gevormd worden, afleiden, namelijk wanneer men die wederom X' en p' noemt:

Daar evenwel het onderscheid, dat door invoering der aberratie ontstaat, klein is, kan men deze korter door differentialen bepalen en de formules verkorten. Zij de aberratie in Zonnenlengte o 1'

in geoc. Venuslengte 1 in geoc. Venusbreedte b zoo dat zij bij de ware plaatsen gevoegd moeten worden om de schijnbare te vormen, dan verkrijgt men :

Ue geheele duur van den voorbijgang is 4 tot fi uur, en in die tijdruimte komen de bewegingen van Venus en de Zon der gelijkvormigheid zoo nabij, dat men die gelijkvormig stellen kan. Men behoeft dus niet meer als drie plaatsen van Venus en de Zon te berekenen, met intervallen van 2 a 3 uren. Nadat men deze plaatsen berekend heeft, berekent men voor ieder derzeive vooreerst de coördinaten :

Men kan r, standvastig nemen, daar er weinig verschil is in den afstand van Venus tot de aarde. Laten de drie waarden van P zijn:

en P₍₎ en Q₀ in de nabijheid van den tijd der conjunctie genomen zijn. Zij voorts;

waar T₀ de ware Zonnetijd van den eersten willekeurigen meridiaan is, waarvoor P₀ en Q₀ genomen zijn. Hier is: n de gemeenschappelijke beweging van de Zon en van Venus van uur tot uur;

N de hoek, dien deze beweging met de projectie van den door het punt (V, /3') 1) gaande breedtecirkel maakt, bepaalt dus in realiteit de veranderingen in den positiehoek van Venus en de Zon van af den breedtecirkel.

7 de kortste afstand van de gemeenschappelijke projectie van het middelpunt van de Zon en Venus van het middelpunt der aarde;

[i de in graden uitgedrukte ware tijd van den eersten meridiaan, in welken de kortste afstand plaats vindt.

Men behoeft dus alleen den conjunctietijd te gebruiken om de drie tijden waarvoor men de plaatsen berekenen moet, zoo te kunnen kiezen dat zij den geheelen duur der eklips omvatten, en het is niet noodig dien meer dan globaal te kennen, terwijl hij evenals de grootheden P—,, Po, P| , Q—i enz. verder niet voorkomt.

q = mp {sin B cos /3' — cos B sin .5' cos (L — V)} z — rap {sin B sin |3' cos B cos 3' cos (L — V)} waar a de afstand van de plaats der waarneming van het middelpunt der aarde en L en B deszelfs geocentrische lengte en breedte zijn.

1) (V, |3') of (a' (f') ^zijⁿ eigeulijk de coördinaten van een punt, op eene lijn uit het middelpunt der aarde evenwijdig aan de lijn door het middelpunt van Venus en de Zon.

Zijn dus de coördinaten van Venus met betrekking tot de plaats der waarneming P', Q', Z', dan worden: P = P — p Q' = Q — q

Men kan nu delengte uit de uitdrukkingen voor p , q , z door regte klimming en declinatie vervangen. Laten a' en o regte klimming en afwijking zijn van (V, /3'), A en y' regte klimming en afwijking van het geocentrische Zenith van de plaats der waarneming en h de hoek dien de breedtecirkel met den afwijkingscirkel in het punt (V, /3') of (a', (?') maakt, dan is:

p sin h q cos h = mp {sin y' sin 3' — cos y' sin ê' cos (A — cc') z = mp {sin o' sin 3' cos y' cos S' cos (A — a' die men door de coördinaten X', /3' om den hoek h, en '/ en A — a.' om a', daar men van aphrodicentrische tot geocentrische coördinaten overgaat, te laten draaijen verkrijgen kan in welk geval z onveranderd blijft en in het algemeen x = x' cos h —y' sin h/ y = x sin h y cos h wordt.

Hansen geeft hiervan p. 320 § 13 Theorie der Sonnen-finsternisse eene andere veel uitvoeriger ontwikkeling, die op formules uit de spherische trigonometrie berust, waaraan hij verschillende nieuwe vormen gegeven heeft. Legt men door de plaats der waarneming een vlak, hetwelk evenwijdig aan het vroeger vermelde, (loodregt op de lijn, evenwijdig aan de lijn die door het midden van Zon en Venus gaat) en is u de straal van den cirkel, dien de schaduw-kegel in dit vlak uitsnijdt, dan is:

u sin 3- = P cos li — Q sin h —■ mp cos f' sin (A — a) u cos 3- = P sin h Q cos h —■ mo {sin ip' cos

— cos p' sin S' cos (A — a')} u = u' — mo {sin p' sin iï' cos y' cos 3' cos (A— a') tg f hier is das 3 de positiehock die, van de Zon af, het punt aangeeft waar Venus op het oogenblik der in- of uittrede is. 3 is = o, wanneer het middelpunt van Venus op dat oogenblik in den door het punt (a', 3 ) —■ waarvoor men ook hier het Zonnemiddelpunt kan aannemen —• gaanden declinatiecirkel, en tevens noordelijk daarvan is. De hoek 3 neerat van daar toe in oostelijke rigting.

bedienen; in het algemeen behoeven 3', h niet met de grootste naauwkeurigheid bepaald te worden.

Noemt men de regte klimming der zon a', dan is tg a' = cos s tg 1' — sin b' sin s en zoo men stelt

Is t de in graden uitgedrukte ware lijd onder den eersten meridiaan, die gelijktijdig met den tijd van de waarneming bestaat, en is

dan is A de in graden uitgedrukte oostelijke geographische lengte van de plaats der waarneming met betrekking tot dien meridiaan.

— m p {sin o' cos ö' — cos f' sin 3' cos (t A a')} Moet men de straalbreking hebben, dan moet men ra (1 x) in plaats van m berekenen , waar mx de grootte van het verschil tusschen den schijnbaren en waren afstand

aangeeft en uit de tafels van Hansen art. 17 van zijne „Theorie der Sonnenfinsternissequot; kan afgeleid worden.

Men moet nu uit de vorige vergelijkingen o₀ of de aequato-riaal horizontaal parallax der Zon afleiden, en daarna de correcties invoeren of in de voor de coördinaten voor Venus aangenomen waarden of in de waarde van p₀ zelf.

en heet de poolshoogte van de plaats der waarneming f, dan verkrijgt men die breedte o, door de volgende vergelijking:

tg tjgt;, — (1 — c) tg De vergelijkingen voor liet in- en uittreden worden nu: u = u' — mp₀{(l — c) sin y, sin 3' cos y, cos 3' cos(t Aa') tg f

— m po {(1 — c) sin o, cos öquot; — cos a, sin S' cos (t A a')} waaruit men p₀ bepalen kan.

cos lt;jgt;, sin (t A a' = cos H sin K cos lt;jgt;, cos (t A a') = cos D sin H — sin D cos H cos K sin co, = sin D sin H cos D cos H cos K waarin H zeer nabij de hoogte van het punt (a', d¹') boven

den horizon en K de parallaktische hoek in dat punt is. Men verkrijgt nu zoo men e tg f verwaarloost u = u' — m p₀ tg f sin H

u sin 5- S sin (N' — 2) — in;)» cos H sin K u cos ^ = S cos (N' — 2) — mo» d cos H cos K die men door de substitutie

u cos (0 — L) = S cos (W' — 2) — mp₀ 1 cos H u sin (e — L) = S sin (W — 2)

W - N' — L is. Verheft men deze vergelijkingen in het quadraat dan verkrijgt men

m¹ po² l¹ cos H — 3mp₀1 S cos H oos (W — 2) S² —u³ = o, waaruit men p₀ bepalen moet.

u = u' — mp₀ tg f sin H en dus eene functie van de onbekende po, maar men kan deze grootheid met de tegenwoordig aangenomene waarde berekenen.

S cos (W' — 2) veel grooter is dan u cos W moet men deze door benadering oplossen , terwijl men stelt: (S u) (S — u) - ■ p₀* m² l² cos H '^{0o —} 2ral S cos H cos (W — 2)

Men moet nu de correcties uit de waarnemingen invoeren, of door verbetering der waarden van Yen us , of door verandering van p₀.

Men verkrijgt door differentiering van p₀, wanneer men de vergelijkingen van blz. 15 gebruikt, waaruit de vergelijking van den tweeden graad voor po gesproten is, en 1 =; 1 stelt waardoor L = K is :

u cos (0 — K) = S cos (N' — K — 2) — moo cos H u sin (0 — K) = S sin (N' — K — 2)

= cos (N' — K — 2) d S S sin (N' — K — 2) d (K 2) ra p₀ sin H d H — m cos H d po sin (5 — K) du u cos (0 — K) d (0 — K)

= sin (N' — K — 2)dS — S sin (N' -— K — 2) d (K 2) Elimineert men d (,j — K), en maakt gebruik van de vergelijking:

die uit de naast voorgaande formules afgeleid wordt door de tweede met cos (0 — K) en de eerste met sin (0 — K) te vermenigvuldigen en af te Irekken , dan is: cos H cos (9 — K) dp₀ = p„ sin H cos (0 — K) d H

waar dl' de tafelfout in de Zonnelengte, d X en d |3 de tafelfouten in de heliocentrische lengte en breedte van Venus aanduiden. Hieruit verkrijgt men;

Fouten in de geocentrische lengten en breedten van Venus komen niet in aanmerking, terwijl de veranderingen in de waarden van de voerstralen hier door hare kleinheid geen invloed kunnen uitoefenen.

Men bepaalt hieruit dl, d l en d |3, d P en d Q, dan d y en dp, hieruit d S en d 2 en hieruit d p₀.

Bij iederen Venusovergang is N een bestendige boog van ongeveer 270 graden, terwijl 2 veranderlijk maar tus-schen waarden gemiddeld van 90° of 370°, naarmate y positief of negatief is, ingesloten is. De grootste afwijking daarvan heeft plaats bij de in- en uittrede (in 1874 31°) de middelwaarde zelve nabij de grootste phase. In den regel is cos (N' — N — 5) grooter dan sin (N' — N — 3-) dus de fout in de Venusbreedte zal grooter zijn dan die der lengte, en deze heeft ook in de tafels van de fout der bij de bearbeiding aangenomene parallax meer geleden. Voor gelijke afstanden der middelpunten aan beide zijden van de grootste phase zijn de fouten blijkbaar bijna even groot, terwijl alleen cos 5o van teeken verandert wanneer p' negatiefis.

De tafelfouten verschillen dus hier in teeken voor beide halfronden en het arithmetische midden uit de resultaten is reeds vrij digt bij de waarheid. Kan dit niet doordien het aantal of gewigt der waarnemingen aan beide zijden niet even groot is, dan kan men altijd de waarnemingen anders verbinden. Men kan echter in dit geval ook de fout der tafels afzonderlijk bepalen.

Laten A en D de regte klimming en declinatie van Venus zijn, dan is de geocentrische declinatie:

wanneer Ho de meridiaanhoogte van Venus aanduidt. Het bovenste teeken moet gebruikt worden als Venus zuidelijk, het onderste als Venus noordelijk van het Zenith der waarneming culmineert. Uit A en D berekene men lengte en

waar h₀ de op het tijdstip der waarneming bestaande hoek tUsschen den breedte- en declinatiecirkel is. Uit L en B berekene men de helioceut. lengte en breedte (ï) en (/3)), dan is de tafelfout uit deze waarneming

{p)~p0 ± po {cos H₀ cos h₀ ^clt;^ P⁰ COS Ho sin h₀ sin |3„ (sin lo-),₀)}

Men kan nu liet arithmetische midden uit de waarnemingen nemen in de veronderstelling dat de tafelfout niet verandert gedurende den tijd waarin de waarnemingen gedaan zijn. Laat (L) het midden uit (X) — ^₀₎ a het midden uit de waarden van de coefficienten van po die bij de waarden van (X) — ).₀ hoeren, zijn , (B) het midden uit de waarden (p) — en 1) liet midden uit de daartoe behoorende coefficienten van p₀, dan is de tafelfout, wederom d ), en d 8 genoemd ,

d gt; = (L) ± p₀ a, d j3 = (B) ± b en men verkrijgt door de vergelijking voor dp₀ van blz. 17 d po = U ± p,, U'

_ ar' sin (N' — N — 5) (B) r' cos (N' — N — S) ^{— — —} cos H cos e„

gesteld wordt. Heeft men nu voor po de waarde (p₀) gevonden dan is de ware waarde van p₀:

Wanneer in de meridiaanwaarnemingen, die volgens het voorgaande gediend moeten hebben om U en U' te verkrijgen, Venus in de nabijheid van het Zenith geculmineerd heeft, is U' zeer klein en het teeken van U' onverschillig, maar culmineert Venus betrekkelijk ver van het Zenith, dan moet de deeler van p₀ grooter dan één zijn ; dit zal plaats hebben wanneer de waarnemingsplaatsen aan weerszijden van den aequator liggen. Anders wordt de deeler kleiner dan één en kan zelfs nul worden. De tafel-fouten van de Zonnelengte moeten bij deze methode afzonderlijk bijvoorbeeld door waarnemingen in den meridiaan bepaald worden. De verbetering van fouten in de stralen van Venus en de Zon , zal met het volgende verbonden worden.

Tot nog toe heb ik de bepaling van de Zonneparallax uU een Venusdoorgang zoo opgevat, dat men uit iedere waarneming door de vroegere verg. de daar uit volgende Zonneparallax bepaalt terwijl men het ontbrekende door latere en vroegere waarnemingen aanvult. Vervolgens moet men naar de beginselen der waarschijnlijkheidsrekening de waarnemingen zoo verbinden, dat men de waarschijnlijkste waarde van de Zonneparallax daaruit verkrijgt, en de opgave van de beste methode hiervoor

is aan geene zwarigheid onderhevig. Men zal namelijk voor de eliminatie der fouten de gewone regels van de methode der kleinste quadraten te volgen hebben, daar de grond dat kleine fouten waarschijnlijker zijn dan groote, hier in het algemeen als bestaande kan aangenomen worden. Het komt in de eerste plaats op de fouten d X' en d /3', in de baan van Venus, alsmede d 1' aan; vooreerst moet men d V = d X en d /3' — — d |3 stellen, dat is de aphrodicentrische fout der Zon wordt door de heliocentrische fout van Venus vervangen, zooals die uit eene vergelijking der tafels met de waarneming blijkt te zijn, voorts 1*'

is d b (13 = — d jS, d. i. men behoeft de geocentrische fout in de tafels van Venus niet te bepalen.

Zijn er nu standvastige of progressieve fouten in de waarden van d 1', d X of d /3, dan kan men de fout direct bepalen; zijn zij met toevallige vermengd, dan heeft men de eerste van de laatste te scheiden; men kan altijd vooraf van twee of meer waarnemingen, die gelijktijdig maar aan weerszijden van den aequator genomen zijn, het arithmetische midden gebruiken; zijn de waarnemingen vroeger of later gedaan maar op ongeveer denzelfden meridiaan dan zal men zien of dezelfde regelmaat aanwezig is; zoo de later bepaalde verschillen grooter of kleiner afwijking vertoonen zal men beter doen de methode der kleinste quadraten toe te passen. Heeft men eene regelmatige fout te verbeteren dan moet men de geheele baan veranderen of men kan de fout laten bestaan, en al de waargenomen waarden veranderen zooveel als dooide nieuwe metingen wordt aangewezen.

nier de meest waarschijnlijke waarde van d 1', d ), en (1 |5 bepaald, dan voere men die in de formules voor d2, dS dpi en dy in, door van d Q en dP de waarde te bepalen , daaruit d y en d y., daaruit d S en d 2 af te leiden , en daaruit d p₀. 1) Men zal op deze wijze veiliger en naauwkenriger handelen , dan zoo men de fouten (d 1 — d V) _en (,i b — d Squot;) in de formules voor d P en d Q invoerde, daarna d y, dp. enz. bepaalde en dus de vorige regels toepastte ter bepaling van de waarschijnlijkste waarde van d p„ of wel zoo men de waarschijnlijkste waarden van d P, dQ, of van dy, du. dS en dS ging zoeken, want in de waarden die men gevonden heeft voor d),, d |3 en d l zijn grootere en kleinere fouten of eene constante , in het eerste geval zullen die fouten ongelijk werken de grootere font zal in sommige der formules meer vergroot of verkleind worden dan in andere, de fout der fout zal dus vergroot worden. Zoo zal voor d Q lt; 5 P, n lt; 15 en cos N = 90° de absolute waarde van d y kleiner zijn dan die van d p (alhoewel van een ander teeken); de fout die m d p zelve blijft, is dus grooter geworden, en men heeft de voorwaarde om de waarschijnlijkste waarde van d o» te vinden moeijelijker gemaakt, met andere woorden de kans om die

Nog verwerpe men fouten die te veel afwijken en bepale het gewigt door aan eene meer vertrouwde bepaling dubbele stem of meer te geven.

1) Hansen ziet dit in zijn betoog voorbij. wanneer hij terstond d o₀bepalea wil.

„Alle so erhaltenen V\ erthe der Sonnenparallaxe sind hierauf nach den Grundsatzen der Wahrsoheinlichheitsreeh-nung so mit einander zu combiniren , dass schliesslich der wahrscheinliehste Werth der Sonnenparallaxe daraus her-vorgeht, und die Angabe dieser Combination unteiiiegt keiner Schwierigkeitmen zal trouwens de afzonderlijke bepaling van d p₀ bij gebrek aan waarnemingen van denzelfden tijd alleen in het geval eener waargenomen progressie in de verschillen met vrucht kunnen maken.

Gewoonlijk evenwel, zoo ook bij den Venusovergang dei-vorige eeuw, neemt men p₀ aan, werkt daarmede voort tot aan de waarnemingen, vergelijkt deze met de aldus berekende grootheden en vormt differentiaal-vergelijkingen tusschen de hierdoor ontstaande verschillen en de verbeteringen in de elementen waarvan men uitgegaan is, die men volgens de methode der kleinste quadraten oplost. Voor de A'enusovergangen der vorige eeuw, waar niets als in- en uittredingen werden waargenomen of althans in rekening gebragt, heeft men met eene voorloopige Zonnen-parallax de in- en uittredingen berekend, met de waar-genomene vergeleken, de differentiaal-vergelijkingen daarop betrekking hebbende gevormd, en door de methode der kleinste quadraten opgelost. Men kan bij waargenomen randafstanden evenzoo handelen, maar de naauwkeurige vergelijkingen zijn in dik geval transcendent; zij bevatten de tijd t zelf zoowel als sin t en cos t, en kunnen dus slechts door benaderingen opgelost worden, terwijl ook de berekening der coefficienten van de onbekende verbeteringen der baan omslagtig wordt. Veel eenvoudiger is de rekening, wanneer men uit de waargenomen tijden

en eene aangenomene waarde van pa den straal u van den schaduwkegel bepaalt in liet vlak door de plaats van waarneming; dezen straal bij contacten der randen met de theoretische en bij waargenomcne randafstanden met de waargenomene waarde vergelijkt, vervolgens de differentiaalvergelijkingen vormt en volgens de methode der kleinste quadraten oplost.

ïer uitvoering van deze wijze van handelen kan men de uit de waarnemingstijden te berekenen waarde u, die ik Uo noem, uit de vorige tweedemagtsvergelijking berekenen, nadat men die met betrekking tot u omgezet heeft. quot;Beter is het u uit de eindvergelijkingen voor op te lossen, zonder die evenwel af te korten. Stelt men J = ö — L

Uo cos J = s cos (W — 2) — m p₀ 1 cos 11 en geven niet alleen u₀ maar ook den hoek J, die later in de differentiaal quotiënten weer verschijnen en ter berekening daarvan gebruikt zal worden.

Om u₀ en J uit de vorige vergelijking te kunnen berekenen , moet vooreerst de kennis van 1, Z en H verkregen worden, hetgeen men zoo doet, terwijl men p en q als

door welke men q altijd zoo bepalen kan, dat cos p positief is , dan verkrijgt men :

De functies L, (1 cos H) en sin H zijn de eenige die men hier in plaats van K en H noodig heeft. Heeft men gene berekend , dan is :

waarmede alle grootheden , die ter berekening van u,, en J uit de vorige vergelijking noodig zijn . gegeven zijn , terwijl voor Oo eene willekeurige benaderde waarde wordt gebruikt.

Men kan y uit de tafel waarden voor P,, en Q,, of direct uit de waargenomene lengten en breedten afleiden; het best zal men doen deze grootheden op die twee wijzen te verkrijgen , en vervolgens te verbeteren volgens de daarvoor door mij opgegevene regels.

Baar t de waargenomen ware tijd van de plaats der waarneming is, heeft men, zoo de waarneming naar middelbaren of sterretijd gemaakt en neergeschreven is, dezen in waren zonnetijd te veranderen.

Laat ons nu het geval van den waargenomen randafstand beschouwen , dan moet men tegenover de boven aangegeven waarde van u₀ de uitdrukking van u die vroeger gevonden is, stellen;

zijn. 1) Met betrekking tot de aanwending der bovenste of onderste teekens verwijs ik naar de vroeger gegeven uiteenzetting der 4 mogelijke gevallen. Het onderscheid tussclien u» en u hetwelk te voorschijn zal komen , is nu een gevolg gedeeltelijk der waarnemingsfouten, gedeeltelijk der fouten van de elementen , die bij de berekening dezer beide grootheden aangewend zijn, en duidt men de som der fouten der laatsten met d u₀ en d u aan , zoodat de ware waarden u₀ d u₀ eu u d u worden, dan moet, wanneer geene fouten van waarneming aanwezig zijn, de voorwaarde

u₀ du₀ = u du aanwezig zijn. Maar dezelfde vergelijking moet ook bij voorhanden fouten van waarneming voor iedere voorhanden waarneming gevormd worden, en daar men aan al deze voorwaarden, wegens de fouten van waarneming, niet kan voldoen, moeten, volgens de beginselen der waarschijnlijkheidsrekening daaruit de waarschijnlijkste waarden der fouten der elementen naar de methode der kleinste qua-draten worden afgeleid. Men moet nu eerst du₀ en du met betrekking tot de daarin bevatte elementen ontwikkelen, en deze zijn: de parallax der Zon, het onderscheid tusschen de Zonnenlengte en de heliocentrische Venus-lengte , de heliocentrische Venusbreedte en de stralen van Venus en de Zon, waarbij men de lengte der plaats dei-waarneming voegen kan, ofschoon deze bij de oplossing der vergelijkingen weggelaten moet worden.

quot;f en tg f eveneens als sin b' en tg b' hebben hier wegens de kleinheid der bogen dezelfde grootte.

In de voorgaande vergelijkingen was 1 nu eens = t z — de geographische lengte van de plaats der waarneming, nu eens gelijk de heliocentrische lengte van

S d 2 = cos 2 d y ^- sin 2 (d ï₀ 4- dft) die, met behulp der vroeger gevonden betrekkingen voor

drukken en wel niet van den straal maar van den omtrek, in de volgende overgaan:

3600quot; ^{Sln 2 fi}waar R = 206263', en de eenheid van d /„ 15 maal de eenheid van de andere differentialen is.

Men moet nu deze uitdrukkingen voor du» en du stellen in de voorwaardelijke vergelijking

Het onderscheid u₀ — u geven de vorige uitdrukkingen in deelen van den straal, en de substitutie van de waarden voor du₀ en du gevonden zou dus ten gevolge hebben dat men ook d p₀₁ (d / — d I ,) d |3, S d d A', en d A, in deelen van den straal uitgedrukt zou verkrijgen. Daar het evenwel doelmatig is deze verbeteringen in boogsekon-den uit te drukken moet men bij het substitueren u₀ — u met K = 206265quot; vermenigvuldigen. Wanneer wij de twee gevallen opnemen, waarin de afstanden der randen van Venus, van den digtst en verst afgelegen Zonnerand gemeten zijn, dan is in het eerste geval:

o = -5-(u₀— u) — {l cos H cos J - (sin f-⁵-^ tg b')sin H} d p„ r' sin (W — N — J) (d gt; — d 1') r' cos (W- N — J)d (3 - U cos (VV — J) d --7 sin H) (d A ± d A.)

negatief wanneer de aanraking inwendig en s, s, positief wanneer Venus de Zon uitwendig aanraakt; men moet nu de tweede waarde van sin f gebruiken wanneer men den afstand der tegen elkander aan gelegene, de eerste wanneer men den afstand der van elkander afgelegene randen van Venus en de Zon gemeten heeft. Daar de uitdrukking-voor u eenigzins verandert voor waargenomen in- en uitgangen, houd ik het voor doelmatig ook voor deze gevallen de voorwaardelijke vergelijking te vormen.

⁼ u —• mpo sin f sin H wordt, waar u' en sin f dezelfde vormen hebben als vroeger , verkrijgen wij nu

o = (uo ■— u) — {l cos H cos J — sin f sin H} d^o r' sin (W' — N — J) (d), — dl') r' cos (W — N — J) d(3 — U cos (W — J) d gt;o sin H) (d A' ± d A,)

en het bovenste teeken voor uitwendige, daarentegen het onderste voor inwendige aanrakingen moet aangewend worden, hetwelk evenzeer voor sin f geldt.

Eenige opmerkingen moeten nog bij de voorwaardelijke vergelijkingen gemaakt worden , daar gemeten randafstan-den op verschillende wijze behandeld kunnen worden. Wil men iederen gemeten randsafstand afzonderlijk behandelen , dan moet men wel is waar aan deze voorwaarden niets bijvoegen , maar anders is het wanneer men meer dan eene meting vereenigen kan.

Ik neem aan dat men eerst den afstand van de naaste randen van Venus en de Zon, en terstond daarna den afstand van Venus' versten rand van denzelfden zonnerand gemeten heeft. Wegens het korte interval tussehen deze beide metingen is men geregtigd het arithmetisehe midden daaruit te nemen, en als eene waarneming op te vatten voor het arithmetisehe midden uit de tussehen tijden. Laten de beide gemeten afstanden d en d' zijn , en h' = i (d d )

dan is b' de afstand van het middelpunt van Venus van den digtsten zonnerand, en wanneer het instrument dat men gebruikt, doelmatig ingerigt is, kan men de beide

waarnemingen zoo inrigten dat in de vorige uitdrukking van b' de collimatiefout daarvan van zelf vervalt. In ieder geval is hier de straal van Venus verdwenen en men heeft weder voor u de uitdrukking;

Daar hier de straal van Venus mr, geheel en al verdwenen is, wordt de laatste vergelijking:

die gebezigd wordt wanneer de beide randen van Venus en de naastbij gelegen rand der Zon gemeten zijn.

Heeft men daarentegen de afstanden van de beide Venus-randen van den versten Zonneland in een korten tusschen-tijd gemeten , dan zal men voor het midden uit de beide waarnemingstijden:

moeten stellen, waar dquot; en dquot; deze beide afstanden aanduiden. Verder is b' de afstand van het middelpunt van Venus van den verstverwijderden Zonnerand, en

terwijl (u) dezelfde uitdrukking krijgt als in het naast voorgaande geval. In de vergelijking van bl. 29 voor het tweede geval voor den afstand van de beide randen van Venus van den meest verwijderden rand der Zon, moet men nu bquot; voor b' substitueren en d A, = o stellen.

Kan men de vier metingen vereenigen en voor het artih-metische midden uit de vier tijden van waarneming laten gelden, dan moet men stellen^:

b = i (b' — b') = i (dquot; dquot; — d' — d) dan wordt b de afstand van het middelpunt van Venus van het middelpunt der Zon, die onafhankelijk van de beide stralen is gevonden. De uitdrukking die men nu voor de berekening van u moet aanwenden is

Zoo men meenen inogt, dat de aanname van het bij elkander hooren van het midden uit de metingen en uit de tijden tot onnaauwkeurigheden aanleiding geven zou, kan men evenals voor metingen van hoogten rondom den

meridiaan eene verbeteringsformule construeren, met wier behulp men meer dan 4 afzonderlijke waarnemingen met elkander verbinden kan.

Heeft men namelijk z, z' zquot; enz. te vinden die de ware zenithsafstanden aanduiden in de nabijheid der culminatie, noemt die in den meridiaan , ?quot; enz. dan is £ = z — x ?' = z' — x' enz. voor x, x' xquot; het horizontaal verschil tusschen z en ?, z' en enz.

Heeft men nu N waarden voor circummeridiaanhoogteu en dus ook N reducties op den meridiaan, dan kan men 2 z 2 x

Dr. A. Sawitsch lirst. Band p. 255, men zal dus evenzeer hier alle waargenomen afstanden tot één punt bijv. den eersten gemeten rand of het middelpunt der zon moeten reduceren, vervolgens x, x', x ', xquot;', de afstanden van den gemeten rand van Venus tot aan den rand of het middelpunt der zon bepalen en heeft dan in het eerste geval d = d, x = o d, = d', x' = o d,, = dquot; xquot;

Ik merk nog op dat de eerste methode om do₀ te berekenen zeker korter dan de laatste en even naauwkeurio' is, terwijl men du niet behoeft te kennen; men schijnt

daaraan dus de voorkeur te moeten geven maar kan zich des-verkiezende van beide methoden bedienen en dan vergelijken.

Voorts is de verandering van p„ 7r'₀ ten gevolge van die van sin 7r'₀ relatief zeer groot, wordt de hoek van 8.quot;5766 8.quot;8903 dan vermindert volgens Hersliel /3o3,400,000 Engelsehe mijlen dus ongeveer 1,000,000 uren. Laat nu de verandering ( of —) van de aangenomen waarde

6 1 1000 ^Z1quot;^|n' ^{s On}o^eveer jqquot; ^van t'c vorige, dan is de verandering in den afstand Aarde-Zon ongeveer 20,000 dus 15000 geog. mijlen of ongeveer ^33 ^van den afstand; ver-

zin. De veranderingen van m zijn = 3,2, 1,6 enz. voor eene verandering van 100, 50,000 enz. van = 20 millioen g. m., of men moet de waarden der grootheden waarmede men ra vermenigvuldigt veranderen. Verdere vermoedens laat ik na daar zelfs de lengten en breedten van vele stations nog bekend gemaakt moeten worden.

Ik deel thans eene algemeene beschouwing mede over het verband tusschen de verschillende methoden om den afstand p₀ te bepalen, vooraf deze vraag: welk is het juiste oogenblik van contact? Ik doe deze vraag met opzet omdat Héraud te Saigon 1) met Bonifay, een scheepsvaan-

drig, die in zijne buurt waarnam, een tijdverschil van ongeveer 1 sekonde heeft in de bepaling van het eerste inwendig contact.

Héraud zegt: 1 minuut na berekening 30^h58'nam ik eene duidelijke uitronding (échancrure visible) waar op de schijf der Zon, 21¹'17^/ was de intrede voor meer dan -/3 voltooid. Nu ziet hij de hoornen der Zon (deelen der Zon tusschen Venus en den rand der Zon aan de buitenzijde) steeds meer tot elkander naderen, eindelijk blijven die stilstaan, op dat oogenblik geeft hij het sein aan den chronograaf dat de ingang voltooid is. Tegelijkertijd kan hij de franjes aan de randen van Venus, wier afscheiding van Venus vroeger, zooals hij zegt, zelfs duidelijker zigtbaar was dan die van de Zon daarvan, niet meer zien, misschien naar hij meent een gevolg van den zwarten druppel 1). 20 sekon-den later, voegt hij er bij, was er licht tusschen het zwarte beeld en de Zon, de zwarte vlek wordt kleiner; eindelijk keeren de franjes aan den buitenrand van Venus terug

ïot hiertoe Héraud. Ik vergelijk nu zijne keuze voor het oogenblik van het inwendig contact met die van Bonifay, die het oogenblik na de intrede van Venus waarop de Zonnerand wederom een geheel vormt, uitkiest.

Geeft men al aan Héraud de voorkeur, de grootste naauw-keurigheid in de bepaling van het tijdstip van ingang is zeer moeijelijk bereikbaar; het oogenblik van de vermoedelijke vorming van den zwarten druppel is welligt te vroeg, daar die zich waarschijnlijk aan den buitenrand reeds voor dat

IJc zwarte druppel vormt zicli op het oogenblik dat de beide raudeu in contact zij 11, bij verwijdering verdwijnt die.

het contact geheel voltooid is, begint te vormen. Ziet men toch twee randen van voorwerpen waarvan het eene lichtgevend is nabij elkander, dan wordt het licht van het eene tegen den rand van liet andere gebroken waar de afstand van die randen zeer klein is, en men verkrijgt daar eene donkere plek; maar de twee randen op zeer kleinen afstand van het contact zijn digt bij elkander en dus kan de zwarte druppel reeds vóór het contact tot vorming komen. Bij het oogenblik van den uitgang zegt Héraud: „alle lichtverschijnselen verdwijnen op het oogenblik van het contact, het zwarte gedeelte van Venus is op een schat baren afstand van de Zon eenige oogenblikken later is de afstand nul. Ik zie de franjes van den ingang niet terug, maar wel is het lichtnet tusschen de planeet en do randen zwart gekleurddat zwart gekleurde lichtnet moet dus hetzelfde verschijnsel onder eene eenigzins andere voorwaarde zijn. Om die verduistering bij den rand zijn andere afstandsmetingen van onschatbaar belang.

Ik wil hierbij een algemeene beschouwing voegen over de andere methoden om den straal der aardbaan te bepalen, waaruit men, afgezien van de waarnemingen van 1874, den stand van dit vraagstuk volgens eene discussie der naauwkeurigste gegevens alleen kan zien.

1. De analytische methode; hier wil ik in de eerste plaats de laatste proeven en uitkomsten van Cornu aanvoeren, die met een getand rand dat 1600 ronddraaijingen in de seconde kan doen, genomen zijn. Is n = het getal tanden dat tusschen een heen- en weergang van het licht verloopen, het instrument als bekend verondersteld, de afstand 23 kilo-

meters (3 maal de afstand van het observatorium naar de tour Monthery) dan heeft men

n = 4 n = 5 ii = fi n = 7 tot n = 21 V 300130 300530 300730 300820 300060 k;(2n — 1) 15 X 7 33 X 9 30 X 11 10 X 13 36 X 41 waaruit het gemiddelde 300,330 is, met eene middelbare refractie van de lucht 1,0003, is dus de snelheid V = 300,400 kilometers in de sekonde meteene waarschijnlijke fout = 0,001 waaruit voor den tijd 3-, dien het zonnelicht noodig heeft om tot ons te komen = 473,3 in den driehoek, waarvan e de parallaxhoek p de aardstraal en 'II de straal der aardbaan is, voor p = 6378,333 kil., E, = VS, p = K tge,

2. l)e physische methode: eklijjsen van Jupiter, of aberratie der vaste sterren. Hiermede stemt de constante van aberratie van Uelambre overeen a = 30quot;,35 waaruit, daar ï = 865.36 X 86400quot; ,

3. Geometrische methode: parallaxberekeningen uit overgangen van Venus van 1761 en 1769 s = 8.859, en van meridiaan-observaties van Venus gedurende 106 jaar; s = 8.866 sekonden.

Neemt men het gemiddelde uit Cornu, Struve, Delambre en de meridiaan- en overgangswaarnemingen van Venus dus 8,878,8.881, 8,7977,8859 en 8.866, dan is de voorloopige waarde van den parallaxhoek = 8.856 sekonden.

Men zal evenwel m. i. aan de proeven van Cornu eu de bepaling van Struve cene hooge waarde moeten toe-

, „ -et _het getal 473,3 waartoe Delambre kennen eu dan ^ ^ _Fnm5cll0n nog in gebruik xs.

De lijn MZ, middelpunt der aarde tot Zon, is niet getrokken , daarop verhouden zich de reële afstanden ZV en MV als 3:1, dus V M = ⁱU Z M, M Zquot; en O M zijn op liet oog genomen.

Men kan d rj„ ook direct uit de laatste verg-, van bl. 17 afleiden maar tnerke op dat deze formules alleen gelden voor de conjunctie waarbij 5 — K = 5₀ gesteld is.

bl. 18 reg. 1 v. b. al

_1S 6 v. b. cos H

\\ v. b. cos (i g v. o. uil Y2 v. o. Z0T111.6H 4 V. O. dan verkrijgt men:

gt;o)

„ 27 28

33 35 37

lees; sin * * t ₎ vormt

is;

4	■ eg. 6	V.	b. ZO Z'		lees	: ZO Z'
5	„ 10	V.	o. zon			Zon
11	1	V.	o. u'		JJ	u
14	„ 10	V.	O. A a		5J	A a
15	7	V.	b. 16			15
15	9	V.	b. t		J J	t
]fi	„ 7	V.	b. deze		99	deze tweede magts verge lijking.
16	l	V.	b. tweede eerste		3J	eerste tweede
17	3	V.	b. d (s _	du\ dm )	33	du d 2 — . -dm