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UTRECHT. |

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VAN

Prof. J. A. C. OUDEMANS.

AUGUSTUS 1900.

Ueher das Kepler'sche Problem.

UEBER DAS KEPLER'SCHE PROBLEM.

Von Peofessor J. C. KAPTEYN.

In diesem Aufsatze wird eine Reihe entwickelt fur die Lösung des Kepler'schen Problems, die für alle Planetenbahnen, auch die am meisten excentrischen, ausserordentlich convergent ist. Diese Oonvergenz ist so gross, dass eine directe Berechnung der excentrischen Anomalie, mit Zuhülfenahme einer massig grossen Tafel eben so bequem, oder sogar noch etwas bequemer wird, als nach den gebraüchlichen Naherungsverfahren. Aber auch abgesehen von der Frage, in wiefern diese Lösung für den Praxis zu empfehlen ist, möchte die Reihe vielleicht nicht ohne Interesse sein.

Es sei M die mittlere, E die excentrische Anomalie, e die Excentricitat, AE = E - M,

Die erwahnte Reihe wird dann erhalten, wenn man E — M entwickelt nach den steigenden Potenzen entweder von cotang M oder von T. Das Ergebniss der ersten Entwickelungsart wird man in die folgende Form bringen können—

a = R cos a

« sin M

Es ist daher a immer kleiner (in absoluten Werth) als 1 _ g _co3 m ' In eine Reihe entwickelt ergiebt sich fur a—

Wird dieser Werth für a in (1) eingeführt, so ist die erhaltene Reihe in Wirklichkeit nicht verschieden von einer Reihe, die schon von Keill VOL. III. D

Ueber das Kepler sche Problem.

(Introductio ad veram Astronomiam) entwickelt wurde, und die spiiter noch haufig besprochen worden ist. Die Glieder der KeiU'schen Reihe aber, welche nach den aufsteigenden Potenzen von e sin M geordnet sind, werden bald sehr verwickelt, und dies ist wohl die Ursache, warum man nirgends (wenigstens so weit mir bekannt ist) eine grössere Zahl von Gliedern entwickelt findet. Ware dies wohl geschehen, waren z. B. die Glieder bis zur zehnten oder funfzehnten Ordnung berechnet, so hatte man wahrscheinlich schon langst bemerkt, dass diese Eeihe sich in eine Form wie die obige bringen liesse. Wie dem auch sei, fur eine directe Berechnung der excentrischen Anomalie bei einigermassen grossen Excen-tricitaten ist die Keill'sche Reihe, wie sie bisher gegeben wurde, gewiss nicht geeignet.

Nach der Reihe (1) wird dagegen die directe Rechnung sehr bequem ausfallen, denn ihre grosse Convergenz und bequeme Form sind augenscheinlich. Jedes Glied ist (wenn e als eine kleine Grosse erster Ordnung betrachtet wird) um drei Ordnungen kleiner als das unmittelbar vorhergehende. Das Fremdartige einer Entwickelung nach einer Grosse, die unendlich gross werden kann, verschwindet sofort durch die Bemerkung, dass nach (3) die Coefficienten alle R, also auch sin M enthalten, und zwar mit einem Exponenten, der immer viel grosser ist als die von cot M. Es wird dieses noch klarer, wenn man 2' statt cot M einführt mittelst—

„ e cos M tv . ut ^a i Tii

T = i-tt = R cot M = —— cot M

1 — e cos M cos a

Man erhalt sofort—

El if 337 l if 337 1

- 6 ^a3 120 ^a6 - 5040 ^a7 .....J

T2 cos² .....]

T³ cos⁸ a Jg a⁷ -h.....

wo keine Grossen mehr vorkommen, die unendlich werden können. Es scheint mir aber, dass die Formel (1) für die Berechnung ein wenig bequemer sein wird und ich werde daher bei dieser Reihe stehen bleiben. Es sei kurz—

(5) E _ M = a /3 cot M y cot² M S cot³ M e cot⁴ M ^ cot⁵ M . . . .

Die Coefficienten a, j3, y ... . sind alle reine Functionen von R und können also mit dem Argumente R in eine Tafel gebracht werden. Mit dieser Tafel wird dann die Berechnung von E sehr einfach. Zur Erleichterung der Uebersicht über die Zahl der noch in Betracht kommenden Glieder und ihrer Grosse, berechnete ich das hier folgende kleine Tableau, worin der beilaufige Werth

Ueber das Kepler'sche Problem.

des Maximums der Glieder fur verschiedene Werthe von e angegeben ist (dieses Tableau ist nur roh berechnet)—

Maximal-Werthe.

t cot⁰ M

0quot;-001 0-043

Es wird sonach schon das Glied e cot⁴ M für alle bekannte Planeteubahuen immer unter O'^Ol bleiben, denn selbst für die Bahn der Aethra (die am meisten excentrische von allen) wo die Excentricitat = O'SSS ist, erreicht dieses Glied im Maximo nur den Werth O'^OOT. Sogar das vorige Glied kann nur für sehr wenige Planeten einen merklichen Einfluss haben und zwar nur innerhalb gewisser Grenzen der Anomalie. Wie leicht übrigens die Berechnung der noch übrigbleibenden Glieder ausfallen wird, sieht man sofort ein.

Einige Beispiele werden dieses noch naher beleuchten. Zu dem Ende wurden die folgenden Bruchstücke einer allgemeinen Tafel berechnet: dabei wurde die geschlossene Form der Coefficienten benutzt, die wei ter unten gegeben wird. Die Vorzeichen, die den Logarithmen beigesetzt sind, beziehen sich natürlich auf den Zahlen, zu welchen diese Logarithmen gehörent—

log (

. 8-58 8-59

Diese letzten Werthe kommen nur für Kometen in Betracht. Für Planeten wird R nie viel grosser als 20° (für Aethra im Maximo 23^0,8). Es sei nun E zu berechnen in den drei folgenden Beispielen—

log e = 9^,3897262 1 _t rri „ i\,r t- „ a w- i q _ 332° 28' 5iquot;-77 i* HiGoriR JMotuSj Art. 13.

log e = 9*5833466 ) _n q₉\

M == 40° 7' 20quot;^,00 J ^ ''

log e = 9-7395859 ( ^

M= 33quot; 27' 50quot;.00|^Kometray^e-^Moller-

Die Berechnung von Pi nach E, =

1quot; Beispiel _ 8° 17' 59quot;-33 2quot; „ 20 0 28-17 3quot; „ 4- 32 0 11-05

* Zur Erleichterung der Interpolation wird es den Vorzug verdienen E — a statt a in eine Tafel zu bringen.

t Wer sich durch noch andere Beispiele von der Bequemheit der Methode Uberzeugen will, kann natürlich schon mit dicsen Bruchstücken eine grosse Menge von Problemen auflösen.

D 2

Ueber das Kepler'sche Problem.

Weiter stellt sich fur das erste Beispiel die ganze Rechnung so: mit dem

Argumente R findet man in der Tafel 5' 6quot; 57 — M573 — 8-31

ferner ist log cot M, cot² M — 0*2832 0-57

1-4405 _ 8'SS

so darf sich mit nur zweimaligem Eingehen in eine 4 stellige Logarithmentafel ergeben—

M = 332° 28' 54quot;*77

R _ 8° 17' 59quot;-33

a _ R 5' 6-57

/3 cot M 27-57

y cot² M — 08

332° 34' 28quot;-91 _ 8 17 59-41

E = 324 16 29-50 was vollkommen mit Gauss's Berechnung stimmt. Fast eben so schnell findet man fur das zweite Beispiel—

M 40° 7' 20quot;-00 R 20 0 28-17 R — a /3 cot M

y cot² M 9-08

I cot³ M

60° 7' 57quot;-25 _ 1 12 32-94

E = 58 55 24-31 richtig innerhalb 0^//-01.

Im letzten Beispiele endlich wird gefunden—

M 33° 27' 50quot;-00 R 32 0 11-05

R - a _ 3° 47' 58quot;-48

/3 cot M 45 8-28 y cot² M 3 28-04

S cot³ M 21-08

e cot⁴ M 2-43

( cot⁵ M 0-30

ij cot⁶ M 0-04

65 31 31-56 - 4 33 28-14

E = 60 58 3-42

richtig innerhalb O'^OS; dieser Fehler ist fast ganz den unvermeidlichen Fehlern der siebenstelligen Berechnung von R zuzuschreiben.

Nachdem jetzt, wie ich hoffe, die Bequemlichkeit der Berechnung dargethan ist, gehe ich liber zu der Entwicklung der Reihe selbst. Diese ist ausserst leicht und

Ueher das Kepler'sche Problem.

fur die Reihe nach Potenzen von T fast identisch mit der der Reihe nach cot M. Ich werde mich daher auf die zvveite Form beschranken, weil diese hier in Anwen-dung kam. Wie sdbon oben gezeigt wurde, ergiebt sich aus diesen letzteren dann unmittelbar die Reihe nach Potenzen von T.

Die Gleichung M = E — e sin E kann man auch so schreiben :

(6) AE = e sin (M AE) = e sin M cos AE -|- e cos M sin AE

welche, wenn man einfiihrt—

in die folgende ungewandelt wird—

(8) R cos AE AE = RS (sin AE — AE). Man setze nun—

(9) AE = a /38 yS² ^S³ tS⁴ ^S⁵ . . . oder kurz—

^10) AE = o ^r

so dass man hat—

r = /38 _rS² SS³ _£S⁴ -f £8«

Entwickelt man jetzt sin t und cos t nach steigenden Potenzen von S (mittelst der Gleichungen sin t = t — ^t³ . . . , cos t = 1 — ...,) und setzt man diese ein in—

sin AE = sin a cos r cos a sin r cos AE = cos a cos r — sin a sin r

so ergeben sich sofort—

(14) sin AE = sin a 8'/3 cos a -j- S² [y cos a — | ft'² sin a]

Ueher das Kepler¹ sche Problem.

Werden jetzt (9), (14), (15) in (8) eingeführt und die Coefïlcienten der Potenzen von S jeder für sich = 0 gesetzt, so erhalten wir die Gleichungen—

a — R cos a =0

ji (R sin a 1) = R (sin a — a)

y (R sin o 1) 1 /3²R cos a =• R/3 (cos a — 1)

f (R sin a -f 1) — gTg |(3⁸R sin a ftyü cos a = Ry (cos a — 1) — | /3²R sin a

. £ (R sin a -f- 1) — i /3²yE sin o ^ /32 | y² — /3⁴ ^ R cos o

R2 (cos a — 1) — g - /3³R cos a — /3yR sin a

i (R Sin a 1) — ^ |/3-2 -1- i/3y² _ ft⁵ ) ^{R si}n a ^ /3e yS — ^ /3³y j R cos a

= Ré (cos a — 1) — i/3²yR cos a — ^/32 ^ y² — 9T3T4 ^ ^s^^{n ft}

durch welche die Coefficienten von (9) bestimmt werden. Werden diese Coefïlcienten (3, y, h ... . hieraus nach steigenden Potenzen von a entwickelt, so ergeben sich die lieihen, die oben (in der Gleichung (l) ) für diese Grossen angesetzt sind. Man sieht aber aucli schon unmittelbar aus den Fonneln (16), dass wenn e, also auch R, als eine kleine Grosse erster Ordnung betrachtet wird—

a eine Grosse 1quot; Ordnung sein wird quot;~

/3 „ „ 4-y „ » 7f

ê „ „ 10quot; „ u.s.w.

Es ist leicbt zu beweisen, dass ganz allgemein die Ordnung eines Coefficienten um drei Ordnungen höher ist als die des unmittelbar vorbergebenden. Dazu fübre ich statt a, /3, y, S . . . . die Bezeicbnungen a, /8,, /3₂, /8₃ . . . . ein ; es ist demnach—

(17) AE = a r

(18) r = /3.S .........

und ich werde nun zeigen, dass wenn bis /3_m inclusive die Ordnung der Coefficienten f}_n 3n l ist, dann auch noch /3_m , von der Ordnung 3 (ra l) 1 = 3m 4 sein wird. Es bedarf keines naheren Nachweises dass, sobald esgelungen ist dieses zu zeigen, damit auch der gewünschte Beweis geliefert ist.

Bei den hier folgenden Reihen wird man jedesmal die Ordnung des allgemeinen Gliedes angegeben finden. Diese Ordnung wird aber im Voraus nur als gültig anzusehen sein bis auf das letzte noch angesetzte Glied inclusive. Es wird also die Bezeichnung—

(19) r = /3,8 -f /3₃S² . . . /3_mS^m 4- . . . (/3_n Ordnung 3n 1)

diese [Bedeutung haben ; bis auf /3_m inclusive ist die Ordnung der Coefficienten /S„ 3n 1. .

Ueber das Kepler'sche Problem.

Entwickelt man die Potenzen von t so kotnmt zuerst—

r² = . . . /3A.-1 • • • Pm-A S^m ' • • •

Es wurde aber vorausgesetzt, dass yöj von der vierten, /8₂ von der siebenten Ordnung, ft,,, von der {3m l)ten Ordnung ist, folglich ist, wenn die Coefficienten mit y„ bezeiclmet werden—

(20) r² = y₂S² y₃S³ -f . . . y_{m 1}Squot;^{, 1} (y„ Ordnung 3m h 2).

Ganz ebenso wird gefunden—

(21) r³ = c₃S³ gjS⁴ . . . 2_{m 2}Squot;' ^i! . . . (ê,, Ordnung 3n 3).

(22) r¹ = _£lS⁴ _£5S⁵ . . . £» ₃ö^{m 3} • • • (f„ Ordnung 3« 4).

Werden rnit Hülfe dieser Fortneln und der Gleichungen—

cos r = 1 — J r² 2^4 r⁴ .

¹ -3 i ¹ ■

sin r = r — r⁸ MTö ^r

die Werthe von cos t und sin t nach steigenden Potenzen von S entwickelt so ergiebt sich leicht—

A_{m 1}Squot;' ¹ -f . . . (A,. Ordnung 3n -f- 2) -f- B^S'quot; . . . (B,. Ordnung 3n 1).

C_{m 2}S^,,' ² -t- . . . (0„ Ordnung 3n 3).

Es genilgt aber AE der Gleichung (8), die hier mit Zuhtilfenahme von (10) geschrieben wird—

AE = E. cos a cos r — R sin a sin r ES sin a cos r ES cos a sin r — ESa — ESr

oder—

(24) AE = E cos a cos r — E sin a sin r ES sin a cos r ES (sin r — r) ES sm r (cos a - 1) — EaS

II und a sind beide erster Ordnung. Wird also durch Einführung der Formeln (23) das zweite Glied dieser Gleichung entwickelt nach steigenden Potenzen von S, so wird man bemerken dass in der Entwicklung aller Glieder, mit alleiniger Aus-nahme von der des zweiten Gliedes, die Coefficienten von Squot;' ¹ von der Ordnung 3m 4 oder höher sind. Allein auch dieses Glied wird in die gewünschte Form gebracht, wenn man die Identitat—

E sin ctAE = Ea sin a Er sin a addirt, wodurch die Form erhalten wird—

(25) AE (1 E sin a) = E a sin a — EaS E cos a cos r — E sin a (sin r — r)

ES sin a cos r ES (sin r — r) RS sin r (cos a — 1),

Ueher das Kepler*sche Prohlevi.

Setzt man hierin die Werthe (23) ein, so wird die Ordnung der Coefficienten ■von g»» i- i _gej_n—

im 3^en Gliode 3 (m -f- 1) 4- 3 = 3m -f- 6

„ 4^equot; „ 3 (ni -j- 1) -j- 5 = 3»» 4- 8 „ 5^equot; „ 3m -f- 4 „ 6^en 3?» 4 „ 7™ „ Sm f 4

Es ist also der Coefficient von S'quot; ¹ in der Entwickelung von AE (1 R sin a) von der Ordnung 3m 4 ; die namliche Ordnung wird dieser Coefficient also auch in der Entwickelung von AE nach steigenden Potenzen von S haben.

Zum Schluss erlaube ich mir noch ein Paar Bemerkungen hinzufügen über die Construction der Tafeln, die für die hier gegebene Lösung des Kepler'schen Problems erforderlich sind. Die Berechnung dieser ïafeln ist nicht schwierig, mag man dazu (wenigstens für kleinere R) die Reihenentwicklungen der Coefficienten verwenden, die in der Gleichung (1) gegeben sind oder mit den geschlossenen Eormen (9) rechnen. Letzteres verdient wohl im Allgemeinen den Vorzug. Die Lösung der in beiden Fallen auftretenden transcendenten Gleichung a = R cos a (die nur einen besondern Fall der Kepler'sche Aufgabe bildet) wird nicht die geringste Schwierigkeit darbieten. Wenn oij eine erste Annaherung ist (wenn man keine bessere hat kann dafür R selbst genommen werden) so ist—

R cos a_I — a, R sin a,

(26) 0 = 0, ! _{R s}i_{n ai} = ^E «os o, — ^{cos a}' ^-

d. h. a wird, wenn der Fehler der Niiherung eine Grosse dritter Ordnung ist (was schon bei der Niiherung a, = R der Fall ist) nur um eine Grosse fünfter Ordnung-von R cos a, verschieden sein. Man wird also sehr leicht erst eine kleine Tafel etwa von Grad zu Grad berechnen können (mit 4 oder 5 stelligen Logarithmen)

worin genaherte Werthe für und i 4, _tt[ = ^ angegeben werden. Mit Hülfe einer solchen kleinen Tafel wird dann die Berechnung einer ausführlichen Tafel für et, selbst wenn diese zehnstellig geführt wird, fast nie mehr als eine directe Rechnung nach—

(27) o = R cos a, — P (R cos o, — o,)

erfordern.

Was nun den Umfang der erforderlichen Tafel betrifft, so geht aus den hier gegebenen Bruchstücken hervor, dass ein Intervall von 1' in den Argumenten ausreicht. Wird nun ein Tafel berechnet nur für Planetenbahnen (es scheint mir zweckmassig für die weniger excentrischen Eometenbahnen eine besondere Tafel zu besitzen) so bleibt R unter 24° und die Zahl der Argumente also unter 1440. Die Grosse R hat man in Bogensekunden zu berchnen, weshalb es vielleicht vortheilhafter ist das Argument R in der Tafel in Sekunden ausgedrückt zu geben,

Ueber das Kepler'sche Problem.

und bei dieser Einrichtung würde ein Intervall von 100quot; vorzuziehen sein, wodurch die Zahl der Argumente auf 864 herabsinken würde. Eine solche Tafel wird also auf keinen Fall eine sehr grosse Ansdehnung zu haben brauchen,

Nachdem das obige geschrieben wurde, kam mir die neue Auflage des vorzüglichen Lebrbuchs zur Bahnbestimmung von Herrn Oppolzer zu Gesicht. Daselbst wird ein Naherungsverfahren benutzt und auf ein Beipsiel angewendet, das mir eine sehr erwünsehte Gelegenheit anbietet die Bequemlichkeit der hier vorgetragenen Methode mit einer der besten Naherungsmethoden zu vergleichen. Denn das dort gegebene quot; Encke'sche durch Herz wesentlich erweiterte Verfahrenquot; stiitzt sich gerade auf eine Modification der Keill'schen, also auch der hier gegebenen Reihe ; davon wurden aber die Glieder siebenter Ordnung quot;die schon etwas mehr zusammengesetzt sind quot; weggelassen.

Ich werde um diese Vergleichung sofort ganz übersichtlich zu machen, die Coefficienten der Reihe (1) angeben mit dem Argument das bei Oppolzer S. 55 mit at) bezeichnet wird. Die Berechnung des Arguments wird dadurch zwar ein wenig langer, dagegen wird die Hülfstafel noch ein wenig einfacher, so dass man die Werthe der Coefficienten fast auf den ersten Bliek der Tafel entnehmen kann.

Die Berechnung wird von Herrn Oppolzer geflihrt nach den Formeln (die Buchstaben a, /3, y, S sind hier, um Verwirrung vor zu beugen mit Accente versehen)—

e sin M ⁰ V 1 — e cos M / a ■gt; J 'ï = tg V cos y

xquot; = an /3' cot M»)⁴ y'j;⁵ ê' cot M. t)⁶

WO log a = 5-3144251 log /3 = 4-5363,,

log y' = 4-5363 log 3 = 4-2766

Nach der Form el (1) wird man, wenn man das Argument a/77 gebrauchen will, zu rechnen haben nach (a — a'rj — A geseizt)—

e sin M ^ 1 — e cos M

(B)

^v ^ 1 tj = tgy cosy

aquot; = at) A /3 cot M -1- y cot² M wo A, log /3 und log y aus einer kleinen Tafel mit dem Argument a/77 ^zu nehmen sind. Nach ditsen Formeln mag nun das oben behandelte erste Beispiel, das auch Oppolzer gewahlt hat, berechnet werden. Es wird sich dabei zeigen, dass aus der Tafel das folgende Stück erforderlich ist—

arj A log /3quot; log yquot;

± 8° 12' 2quot;-06 _ 1-1543 8-31 13' 2-08 1-1578 8-32

wo die Vorzeichen, die den Logarithmen beigesetzt sind, sich wieder auf dendazu

gehörigen Zahlen beziehen. Man sieht, dass man wirklich fast auf den ersten

Blick die Werthe von A, log /3quot;, log y,quot; der Tafel entnehmen kann. Ich setze

nun die beiden Rechnungen einander gegenliber, die des Herrn Oppolzer so, wie

VOL. III. E

Uéber das Kepler'sche Problem.

man sie S. 56 seines Lehrbuchs findet, die nach den Forrneln (B) genau eben so vollstandig (bei Oppolzer sind die a', ft', y', 8', die eins für allemal auf einem Streifen Papier geschrieben werden, weggelassen; bei meiner Rechnung ist dies nur mit a' den Fall). Ein Versehen in der Oppolzer'scben Berechnung, wodurch er zu dein unrichtigen Schlusse geführt wurde, dass schon die erste Naherung das richtige Resultat ergiebt, ist hier verbessert—

Nach den Forrneln A (Oppolzer's Naherung).

sin M 9-664 C693„ siii M 9'664: GG93,,

cos M 9-947 8574 cos M 9'947 8574

e cos M 9-337 5836 e cos M 9-337 5836

1 ; (1 - e cos M) 0-106 5502 1 : (1 _ e cos M) 0-106 5502

e sin M 9-054 3955,. e sin M 9-054 3955»

tg 1/ 9-160 9457_n tg y 9-160 9457,,

cos y 9-995 4905 cos y 9-995 4905

r, 9-156 4362_{n v} 9-156 4362quot;

loga',, 4-470 8613,. log a'i/ 4-470 8613„

Wie man sieht, ist die Arbeit in den beiden Fallen kaum verscbieden. Die

Zabl der Operationen die im Kopfe oder auf dem Papiere auszufübren sind, ist für

die Forrneln (B) noch etwas geringer, aber dabei wird eine hesondere Tafel

erfordert, was bei der Berechnung nach den Forrneln (A) nicht der Fall ist.

Dagegen aber erlangt maa nach dem Oppolzer'scben Verfahren auch nur eine

Naherung, die zwar immer nur wenig von der Wahrheit entfernt ist (in den

extremsten Fallen unseres Planeten systems nur wenige Sekunden), dennoch eine

weitere Rechnung nach den Forrneln—

M! = E, — equot; sin E,

M _ M,

E* = E, j _ lt;5 _cos E,

nothwendig macht, indem nach den Formeln (2) die Rechnung immer den Werth von E sofort richtig giebt.

Durch diese Vergleichung wird also, wie ich glaube, die am Anfange dieses Aufsatzes aufgestellte Behauptung genügend gerechtfertigt.

Groningen, Holland,

December 1882.

¹