JE ANALYTISCHE K

BIJZONDERE PUNTEN

KROMME LIJNEN RN OPPEIIYLAKKEE

Ilt;] r s L o C J o (1 o (* 1 (, o :

RlJZONDEI\E PUNTEN VAN VLAKKE KROM/HE LUNEN.

AKADEMISCH l'ÜOEFSCIIIMl'T,

mi VURKItr.KIlNIÏ VAN HUN (illAAII VA\

DOCTOR IN DE WIS- EIM NATUURKUNDE

AAN IIH riOOOKSOIKKd, TK l.ioiPKN,

op gezag van don Rootor Mugniflena

pR yj. p P A U W E N H O F F ,

llitoglecnitir in dit fucultoit tlor Qoilgolourtllifitl,

dp 'Xaterd'Uf Hen 7 (rtoier isïï, den nainiddoi/s te uren,

IX MKT orUNIJAAR TK VKltDEDIOKN

DUOII

DP 31. O PI IS IDE BOER,

geboren te Assendelft.

DMVMN'TKK, Wi:i-. 1'. igt;k LANfiK. 1 s T 1.

P* qu*

1149

MS 'ff.;¹-; mbbUHW

.

: •

_r,,'' -. . '■ . quot; ~ '

ii-w

,:-i :i • /1

f

,

■ .

■

■■ J. V ■ '-V4SMBCH

HHBj |'vjiv:j;gijy-

-■■ , 1| -.^:H':il ■ :^.;

WÊÊ

| mBBM ■ •■ r ■ jtw j. m'J Bi

.

¹ 'iw'M

; i'r

'''' ^h ¹quot; ^:m ^m m

IH!H|IMHM||||M||M|HMMHMMHHMH^^^^^^^^^^^^^^^^^P^^^jyülMHRMMMIBH|||n

B li - m m

a^-.Tr .^ ■ - .. ■■lt;; -.;-ï zs~ilt;.v7.quot;*i!v'i! . iv-t- . v... ■bhbpebbkbmbmhbi

.■. .. , toKi..', mm 'V'.'j'v. .'ri

èUjÖJ '?M$ki 5i#it

p; : ,■.

h-^jj , ■

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■llKW^R^ifcl^tolv^atlM?^» lt; . gt;. iSb^S

Mm ■ • V ''-Tr-'i - S ■ B i^M -

■

quot;/-'.s* ® ' ' . '.v' .;,_rquot;'-.t'U . v .f^^frtvisjrv'wquot;- - i®!¹'J'

mÊÊÊm

BHHHHII ■

Sèïiife rSamp;'W?^'?

i isiU'-''' .fv^NB

- - - - ■-'■ ■ ^ gt; i

_ —

pti // V

DE ANALYTISCHE KENMERKEN

BIJZONDERE PUNTEN

VAX

KROMME LIJNEN EN OPPERVLAKKEN.

Eerste Gedeelte:

jSlJZONDEF^E PUNTEN YAN VLAKKE KROMyME LIJNEN.

AKADEMISCH PEOEFSCHRIFT,

TUB TEBKEIJGINCf TAN DEN GRAAD VAN

DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE

AAN DE HOOGKSCHOOL TE LEIDEN,

op gezag van den Rector Magnificus

pa y. Y' P jR_AUWENHOFF,

Hoogleeraar in (le faculteit der Godgeleerdheid,

@p Xatmlag den 7 ffctober ISYI, des namiddags U it uren,

IN HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN

DOOK

IFILOIEIIS IDE BOE IR,

geboren te Assendelft.

✓

DEVENT RK, Wed. P. DE LAN G K. J 8 7 1.

BIJZONDERE PUNTEN

V A N

KROMME' LIJNEN EN OPPERVLAKKEN.

I.

BIJZONDERE PUNTEN VAN VLAKKE KROMME LIJNEl\.

t

Dovoutor, Stoomdrukkerij, Wed. P. de Lange.

VOORBEDE.

Men sal sich waarschijnlijk verwonderen over den vorm, waarin mijn Academisch Proefschrift het lieht siet, namelijk dien van het eerste gedeelte eener verhandeling, niettegenstaande de inhoud van dit gedeelte een gesloten geheel vormt, en evengoed op sich self kon worden uitgegeven. De reden is dese. Oorspronkelijk had ik de geheele verhandeling, die behalve uit het in dit proefschrift voorkomende eerste hoofdstuk nog uit twee andere bestaat, voor dissertatie bestemd, en eerst toen reeds een gedeelte was afgedrukt, heb ik om verschillende redenen van dit plan afgezien, en besloten, alken het gedeelte, dat thans het licht siet, als dissertatie te besigen. De vorm, waarin toen het eerste gedeelte gedrukt was, liet niet meer toe, het als afsonderlijke verhandeling uit te geven.

De beide andere hoofdstukken, die respectievelijk over Bijsondere pmten om Oppervlakken en van Kromme lijnen in de ruimte handelen, sijn in mamscript nagenoeg gereed, en sullen vroeg of

laat wel het licht sien.

In een aanhangsel heb ik het bewijs geleoerd voor eene stelling, die ik gedurig moest gebruiken, en die ik nergens bewegen vond. Misschien komt het bewijs hier of daar voor, en was het dus overbodig.

De eerste afdeeling van dit hoofdstuk is hoofdsakelijk eene uitbreiding van hetgeen over dit

.w_to„₍ » _{sw 6}._{afa; m e}, ^ ₁₇₆__185i ^ _{mlsem eaesMmdm} methode afgeleid. Met hetgeen Po™, Komu, m „«fa.» „„ _m ^

(.«( het zich .ie, goed „gelijken, daar eij de „aat uit een geheel ander oogpunt heUen heeeU-Jit.

quot;' Eenheid gdmUlc. am een openlijk woord van dank le bren_aen om ,le

Hoogleeraeen da- Wie- en Sahmrhnndige faentteit en aan knnne ad.islenkn mor het va, hen genoten enderviis en de „etmUendi^, die it ** „„ hen no,,, „,den,inden. dierheid getdt

dit n,ijn UoggeseJMe, Promotor Prof. Birrfns _be Haa», „iene lereiUmllinheid „ij onder „Meren hij de bewerking van mijn proefschrift gebleken is.

Ook hun breng ik mijnen dank, die door hunne vriendschap my het leven aan de Akademie /'Men veraangenaamd, en aan wier omgang ik in meer dan ren opzicht veel verschuldigd hen.

IE IE?-1?--A. T-A..

INLEIDING,

g l. Het is niet gemakkelijk eene juiste definitie te geven van het begrip Bijmulercpunten, in liet, algemeen kan men zeggen: Bijzondere punten van eene kromme lijn of oppervlak zijn zoodanige punten, waar de kromme lijn of het oppervlak in hunnen vorm eene meer of minder in het oogvallende bijzonderheid, eene afwijking van den gewonen vorm vertoont. Deze definitie is echter alles behalve mathematisch, daar de woorden hijzonder en geivoon veel te vaag van beteekenis zijn om in eene zoodanige definitie gebruikt te kunnen worden. Het kan dan ook geene verwondering baren, dat niet allen hetzelfde onder bijzondere punten verstaan, ofschoon allen van hetzelfde grondbegrip zijn uitgegaan. Wij zullen de zaak zoo algemeen mogelijk opvatten, en bijzondere punten van verschillende orden onderscheiden. Bijzondere punten van de eerste orde zullen wij noemen de zoodanige, waar reeds bij de beschouwing van twee naburige punten eener kromme lijn, of van twee naburige punten op iedere doorsnede van een oppervlak eene bijzonderheid wordt opgemerkt. Van de tweede orde zullen heeten zoodanige punten, waar men drie punten eener kromme lijn of op iedere doorsnede van een oppervlak in hunne onderlinge rangschikking moet bestudeereu om iets bijzonders te vinden. Bijzondere punten van de derde, vierde orde enz. zullen zijn die, wsar eerst bij de beschouwing van vier, vijf, enz. punten eene bijzonderheid in hunne rangschikking blijkt. Overigens zal men zich uit den loop onzer beschouwingen kunnen vergewissen, welk begrip wij aan de uitdrukking Bijzondere punten gehecht hebben.

Wij stellen ons voor de Analytische kenmerken van de belangrijkste gevallen van Bijzondere punten af te leiden in het geval van reclitlioekige evenwijdige coordinaten. Heeft: men de kenmerken voor dit geval gevonden, dan kan men die voor andere coördinatenstelsels, daaruit afleiden door substitutie van transformatie-formulen

Wij zullen achtereenvolgens behandelen I. Bijzondere punten van vlakke kromme lijnen,

II Bijzondere punten van oppervlakken,

III. Bijzondere punten van kromme lijnen in de ruimte.

Bij het opsporen van de analytische kenmerken van Bijzondere punten kan men tweeërlei weg inslaan. Men kan namelijk de Bijzondere punten, die men beschouwen wil, meetkunstig definieeren en daarna nagaan, aan welke analytische betrekkingen de vergelijking of vergelijkingen van de kromme of het oppervlak moet voldoen opdat zij zoodanige punten vertoonen, of men kan bijzondere betrekkingen onderstellen tusschen de verschillende uit de vergelijking of vergelijkingen afgeleide grootheden (de partieele differentiaalquotienten van het eerste lid der tot nul herleide vergelijking of vergelijkingen ten opzichte van de coordinaten) en daarna nagaan welke meetkunstige bijzonderheden aan de onderstelde analytische bijzonderheden beantwoorden.

Wij zullen in deze veihaudeling den laatsten, voor zoover wij weten, nog niet gevolgden weg inslaan. Hierbij dient echter opgemerkt te worden, dat, terwijl iedere vergelijking van den vorm

_of ƒ (*■, U) = O,

f{x,y,s) — 0,

of ieder stelsel vergelijkingen van den vorm

f{x,tj, s) — O, f' (,r, //, z) — 0 slechts ééne enkele kromme lijn of één enkel oppervlak voorstelt, het omgekeerde niet het geval is, daar iedere kromme lijn of oppervlak door oneindig veel verschillende vergelijkingen of stelsels van vergelijkingen kan worden voorgesteld. Vooreerst toch hangt de vorm der vergelijking af van de ligging der kromme of van het oppervlak met betrekking tot het coördinatenstelsel, en bovendien stellen alle onderling identieke vergelijkingen of stelsels van vergelijkingen dezelfde kromme of hetzelfde oppervlak voor. Het spreekt echter van zelf, dat, zal eene analytische betrekking eene bijzonderheid in den vorm voorstellen, die betrekking-onafhankelijk zal moeten zijn van het aangenomen stelsel van coordinaten, en moeten blijven bestaan bij eene identieke transformatie van de vergelijking of het stelsel vergelijkingen van de kromme of het oppervlak. Onze methode zal nu hierin bestaan, dat wij beginnen met zoodanige betrekkingen op te sporen 'en daarna de meetkunstige beteekenis van die betrekkingen onderzoeken, door een bijzonderen stand van het coordinaten-stelsel aan te nemen, of door de vergelijking of de vergelijkingen in eeneu bijzonderen vorm te brengen.

Een element, dat bij de beschouwing van bijzondere punten meer dan ergens anders op den voorgrond treedt, is de orde van aanraking tusschen lijnen en oppervlakken. Wij zullen daarom ieder der gedeelten, waaruit deze verhandeling bestaat bij wijze van inleiding aanvangen met eene deiinitie van dit begrip voor de soort van uitgebreidheden, die daarin behandeld worden.

•v~ —

I.

BIJZONDERE PUNTEN VAN VLAKKE KROMME LIJNEN.

§ 2. Wauueer raeu door eeu punt P eeuer kromme eene rechte lijn trekt, en uit een nabij gelegen puut A vau dezelfde kromme eene loodlijn AB op de rechte lijn neerlaat, die deze in B snijdt: dan zal men altijd een getal » kunnen vinden, zoodanig dat

AR

^mi' (PB)' ............

eene eindige grootheid is, wanneer men het punt A tot het punt P laat naderen; met andere woorden, dat AP eene grootheid van dezelfde orde is als (PB)v . Ingeval * gt; O is, zegt men, dat de rechte lijn de kromme aanraakt en daarmede eene aanraking heeft van de «'^lc orde.

In ieder puut eener kromme, dat niet geheel van de andere punten afgezonderd ligt, zal men altijd minstens ééne zoodanige lijn kunnen vinden, die men de raaklijn aan de kromme in dat punt noemt. Wij zullen zien, dat deze in den regel eene aanraking van de eerste orde met de kromme heeft.

Twee krommen raken elkander aan, wanneer zij in een gemeenschappelijk punt eene gemeenschappelijke raaklijn hebben. Zij P het gemeenschappelijk punt, B een in de nabijheid daarvan gelegen punt van de gemeenschappelijke raaklijn, A en A' de punten waar eene loodlijn, op PB in het punt B opgericht, de beide krommen snijdt; dan zullen deze met elkander eene aanraking van de orde hebben, wanneer

AA'

(PB)'

eene eindige grootheid is, als PB tot nul nadert.

Wanneer de uitdrukkingen (a) en (b) beide eindige grootheden zijn, zal

A'B

hm -. . ,................(c)

(PB)'^T'

insgelijks eene eindige grootheid, of gelijk aan O zijn. Hebben dus twee krommen met elkander eene aanraking van de orde, en heeft eene van deze eene aanraking van de orde mot de gemeenschappelijke raaklijn, dan heeft ook de andere eene aanraking van dezelfde of van hoogere orde met die raaklijn. Op dezelfde wijze ziet men licht, dat wanneer de aanraking van de eerste kromme met de raaklijn van hoogere orde is dan de aanraking der krommen onderling, laatstgenoemde aanraking van dezelfde orde zal zijn als die van de tweede kromme met de raaklijn; en dat wanneer de aanraking der krommen onderling van

i

lioogere oide is dan die van eene der krommen met de raaklijn, beide krommen eene aanraking van dezelfde orde met de raaklijn znllen hebben.

Na deze voorafgaande beschouwingen maken wij een aanvang met het eigenlijk onderwerp van dit eerste hoofdstuk, het opsporen van de analytische kenmerken voor bijzondere punten van vlakke krommen, en houden ons in de eerste plaats bezig met de bijzondere punten van de eerste orde.

EERSTE A F D E E L I N G.

Bijzondere punten van de eerste orde.

§ •{. Het is duidelijk, dat men voor het opsporen van bijzondere punten van de eerste orde alleen betrekkingen noodig heeft tusschen de partieele dilferontiaalquotienton van de eerste orde van het eerste lid der vergelijking

f (x,y) = O................(4)

de algemeens vergelijking vau vlakke kromme lijnen, daar hier slechts sprake is van de onderlinge rangschikking van twee naburige punten. Bij het onderscheiden van verschillende soorten van punten kunnen ook differentiaalquotienten van hoogere orde te pas komen, omdat daarbij ook andere in de nabijheid gelegene punten in het spel kunnen komen.

Het eerste wat ons dus nu te doen staat is hst opsporen van betrekkingen tusschen en — die

(lx (ty'

onafhankelijk zijn van het aangenomen coördinatenstelsel, en niet veranderen bij eene indentieke transformatie van (A).

Zij daartoe

F (x', y') — O ('..............

de vorm, dis de vergelijking der kromme aanneemt door de substitutie van andere coordinaten x', y' in plaats van de oorspronkelijke; dan hoeft men

ö-F __ df d.r _i df dy ite' (te dx' dij dx'.

d F ___ df dx df dy.........■••(!)

dy' d.r dy' quot;* dy dy'.

Verder heeft men door de bekende transformatieformulen

x = % a;'cos^ - y'sinS,

y = 7, .ï.''siu5 -f «/'cosd,............

te ditterentieeren

{¹ F zal in liet algemeen voorstellen lederen vorm, die liel eerste lid der tot nul herleide vergelijking kan aauneraeu, lietzij door verandering der coordinaten, hctzil door identieke transformatie van de vergelijking, /daarentegen zal zijn de bepaalde vorm, dien men zich voorstelt voor zich te hebben, of dien men zich gegeven denkt. Verder zullen wij uitdrukkingen, uil .f afgeleid, voorstellen door de groote letters (P, K, lt;S', enz.), cn do overeenkomstige uitdrukkingen, afgeleid uit f, door de overeenkomstige kleine letters [p Z;, s, enz.).

5

% = ^cos$' % = -^siquot;⁵' W = ^sitó' % = ........lt;³gt;

dus door substitutie in (1)

» = s ^{coiS s,n9}'

»=-¥- *» •............⁽¹⁾

(ty (gt;:b fgt;lt;/

W'' _ y dF _ _r

dx'-^X' Wquot; ' .............._(o)

Ö/ - 9y _ -

4~^r'

dan hebben wij door (4) te difterentieeren ton opzichte van S

⁽~- — - .«sin 5 - - hcosS ■— Y,

d* ^J .............(5)

— - ipcosd - »7sin5 = - X.

Zij nu

y — F (X).................(«)

eene betrekking onafhankelijk van S, dan moet

dY (IV dX

d» ^=: dX d^................ '

of na substitutie van (5) en («)

zijn. Hiervan is de integraal

X^: Y² = const.,...............(1)

welke betrekking bij onderzoek werkelijk blijkt onafhankelijk van S- te zijn.

§ 4. Het is echter niet genoeg dat de gevonden betrekking onafhankelijk is van de richting der coordinaten: zij moet ook onafhankelijk zijn van den vorm, waarin do vergelijking geschreven is. Alle vergelijkingen nu, welke identiek zijn met (A), zijn begrepen in den vorm

F {x, y, z) ~ lt;p (x, y, f (x, y\ O,) - ^ [x, y, O, / (x, y))} — 0;......(C)

waarin lt;p voorstelt eene willekeurige functie van het verschil dat men verkrijgt, wanneer men in eene eveneens willekeurige functie van vier veranderlijken, --P {«, /3, vi 2), eerst « door x, p door y, y door ƒ (x, y) en 2 door O, en daarna « door x, fl door y, y door O en S door ƒ {x, y) vervangt, en de laatste van de eerste aftrekt; met dien verstande, dat ip (0) = O is. Wij zullen stellen dty , cty , ( '4' — . .

^ ^•quot;^enz- ■■-chjj ⁼ ^^1,2' ir*ify ~ ^¹'³'^enz,; • ■ • • = ^.■.•..enz. .. = ^....^enz... enz. .

enz.

en door een cijfer 1 of 2 boven de 4 geplaatst onderscheiden of « door x, p, door y, y door ƒ en door O, of wel « door x, é door y, y door O en ^ door ƒ moet vervangen worden.

Differentieeren wij dan (C) ten opzichte van x en y, dan hebben wij

6

W tdf 2 1 2 )

d£ IJx

dï idf ^{1 2 1 2} i ..........

dy - lö^ - ^₄) - V j ?'■

Stellen wij nu overal f [x y) = O, dan vervalt het onderscheid, dat door de boven de ^ geplaatste

cijfers is aangeduid; eu wanneer wij dan de notatien (lt;*■) gebruiken, en tevens

Ws — — ».............(y)

stellen, gaan de vergelijkingen (7) over in

X = ax, Y = ay.............(8)

Differentieert men (8) naar a dan heeft men

dX _ _ dY _ _ ._a,

da ~ ' da ~ ^y.............^

Beschouwen wij nu («) als eene betrekking onafhankelijk van a. dan heeft men door differentieeren

dj __ dF dX^

da dX da'

of na substitutie van («) en (9)

■^J ~ dX ^X'..............

eindelijk heeft men door dit met a te vermenigvuldigen en (8) te substitueeren

waarvan de integraal is

¹ = const................(II)

X

Deze vergelijking drukt uit, dat de gezochte betrekking homogeen moet zijn met betrekking tot X en Y. De vergelijking (I) kan echter niet homogeen zijn, tenzij haar tweede lid 0. qo of % zij; zoodat wij moeten hebben

-X — O en Z = O,

X = oo of Y —lt;xgt;,

X = % of Y — %;

of, wat nu hetzelfde is,

— O en 17 = O, ............(Hl)

X = CO of I/ = 00 , (¹ (² ............(IV)

X - 7o of y = %. c ('............(V)

§ 5. Beschouwen wij eerst het geval van verg. (III), en maken wij voorloopig de onderstelling, dat geen der differentiaalquotienten, die wij bij onze beschouwingen vermelden, oneindig of onbepaald wordt.

Wanneer h x en Ly de zeer kleine coordinaten voorstellen van een punt, gelegen in de nabijheid van hot beschouwde punt, wanneer dit als oorsprong wordt aangenomen; zal men de vergelijking dor kromme in de nabijheid van het beschouwde punt aldus kunnen voorstellen.

(¹ Van beide stelsels van vergelijkingen zullen in den regel beide vergelijkingen gelijktijdig plaats hebben; en is dit niet dadelijk het geval, dan zal zulks het geval worden, wanneer men het coördinatenstelsel laat draaien om eenen hoek, die geen veelvoud is van ^ t.

('■^! Wanneer a = O of = 00 of = quot;/o i^si het gebeuren, dat men bij eene transformatie van de vergelijking van een dezer gevallen in een ander overgaat.

7

, v (A a;)³ 2qLxL y riamp;yY ^ _R __ Q, (J)) / (A.r, A */) r= / (0, 0) - - i- A aj -4- y A 2/ quot;I---------- i . 2

waarin R de som der termen voorstelt, die van hoogere orde zijn dan (A^)² en (A?/) , en waaiin gesteld is

ö^s/ _ - n ^ . ...............W

dx* 'iv èy dy-

Men heeft echter

ƒ (A x, A ?/) ■-= / (0, 0) = 0,

en in het hier beschouwde geval bovendien

Si = y = O-,

waardoor bovenstaande vergelijking overgaat in

p [Lx)¹ 2 7 A x An /• (Ay)' r _ o.........i^B')

Voor iedere waarde van A x zal men dus in het algemeen twee waarden van ^

die echter ook onbestaanbaar kunnen zijn; waaruit volgt, dat in het beschouwde punt twee takken de kromme elkander snijden, of dat in de nabijheid van het beschouwde punt geene andere punten dei kromme voorkomen. In het eerste geval noemt men het punt een dulhelpunt, m het tweede een afg

aonderd of geïsoleerd punt.

De waarden van ^ uit (/gt;') verschillen slechts weinig van die uit de vergelijking

(Ai»)² 2 g Aas A2/ r (Ay)² — O..............^{(1) )}

en worden voor Lx = O daaraan geheel gelijk. .

D. beide kremmen, voo^M dec, (D') en ICquot;), zullen due elkander aa„.,ken. ^{De lmtóto} „telt echter niets anders ,.or dan twee rechte rijnen ef een enkel pnnt. In het ee.st. se.al » dus de vergelijking (!gt;') de beide raaklijnen veorateUen, die in het ge.al .an een dnbhelpnnl m dat punt

aan de kromme getrokken kunnen worden.

De waarden van uit {!)') zijn blijkbaar onafhankelijk van Lx, en stellen voor de tangenten

van de hoeken, die de marlijnen maken met de ^ as. Hetzelfde zal dus gelden van de waarden van

A?y_ _uij. _{(D) V001}. _A,_r _ o. Overigens is het duidelijk, dat deze waarden niets anders zijn dan de A .t;

dy

waarden van

s 6. Ter onderscheiding van de verschillende gevallen, zal het ncodig zij» de hulp in te roepen van de partieele difcenliaalquotientcn van do tweede orde. Trachten wjj dus nok daartnsschen betrekkrngen le vinden, onafhankelijk van de richting der coordinalen en van den vorm der vergelijking

Door do vergelijkingen (1) ep nieuw le dilterentieeren vinden wij, als wij de netatien (J) en cc

volgende gebruiken

^d'^F _ P HL — Q =z ..............U

W' - • dx'dy' - ^y' èi/¹

deze vergelijkingen

/ dx \' , „ dx dy „ ( dy \^{5 p} = v\Tx') dx' dx^^r\Tx)'

dx dx (dx dy dx dy \ , _r fy. ÈL.........(11)

^ V dy' dx' \dx' dy' dy' dx¹)' dx' dy'

(dx \² „ dx dy . (dyY ^{Ti = p} (%') ^q dy' dy' ^r V dy') '

8

of na substitutie van (3)

P = p cos'-'3 2 q sin^. cos.9 r sin'-'S,

Q — - p sin». cosamp; q (cos^!9- - siirS-j r sin». cosS-, .... (12), 11 = p sin²amp; - 2 q sinS-, cosB- - - r cos''3-.

Differentieert men deze vergelijkingen naar 3-, dan heeft men dP

~ ² P ^cos9'- squot;^{13- 2} (cos^!,9- - sin⁵») 2 r siuS-. cosS- = 2 Q,

(IQ _y „

^r= P (S111^!amp; - cos'-Squot;) - i q sinS-. cosS- r (cos²3- - siu⁵3-) ;= R - F, . . . (13)

dR

,13. = ² P ^co^- ^squot;iS- - 2 q (cos⁵,9- - si,u^!3-) - 2 r sin». cosS- = - 2 Q.

^ii 1HI Q =Z F (P, li)..............(6)

eeue betrekking onafhankelijk van ,9-, dan moet

dQ _ ÖF dP dF dli

(fö ,)/' _t/,9- dR (fó............^{( )}

zijn; waaruit men door substitutie van (13) en [h) de volgende partieele differentiaalvergelijking afleidt

= ...........(O

De integraal van deze vergelijking is

f {P±R, Q' - F1{) = 0. (quot;...........(VI)

Nog rest ons te onderzoeken, welke vorm de functie 1' moet hebben om onafhankelijk te zijn van den vorm der vergelijking. Daartoe differentieeren wij de vergelijkingen (7) nog eenmaal, en vinden

1 = |j) (^,₃ —■ -h {$)• (^.j 'ïfi) 2 « (4-3M — 4' -i) ^i-i — ^i-i | /

jx 4, ~ 4._t) i, - -hl' lt;Pquot;,

V = I 2 (^3 - üy (^3-3 — ^.■4) •i-^,(^3.2 — ^•J) 2/(^3'1 - 4.f I) ^ I-2 quot; • i | lt;?' -

( - ^{1 2 1 2} ) i ^{1 2} 1 2 i (\5Y

|^x (^,) ~ V'i) I j?/ (•£., — ^j) -f 1 4,',

— |r (^3 - ^₄) (y)= (^.J.3 — ^₄.₄) i- 2 y (^,, — ^,,) i_a._a — t₂.₂}lt;p'±

j 1 2 I 2 12

-Iquot; |ï/ {^3 — V-t) 'quot;/'ï — ^2/

Stellen wij nu in (15) ƒ ( x, y) ~ o en x — y — O, dan gaan deze vergelijkingen over in

F = a p, Q = a q, Ji = a r. {■...........(16)

Differentieert men deze naar a, dan heeft men

dP dQ, dR

da da~ da '............

Beschouwen wij (6) nu als eene betrekking onafhankelijk van a, en differentieeren wij, dan komt er

(IQ _ ÓF dP SF dQ

da dP da ^ dQ da'...........'

waaruit door substitutie van (h) en (17) volgt

(' Zie het aanhangst'l.

(⁵ Altijd in de ouderstelling, dat noch lt;p' noch eene der andere coefileienfen van x en y oneindig zijn.

9

f = g, gr............(1»)

Vermenigvuldigt men dan deze vergelijking met a, cn substitueert (17), dan vindt meu

«= II^p Hl *.............lt;^D)

eene partieele differentiaalvergelijking, die uitdrukt dat da gezochte betrekking homogeen moet zijn. In plaats van (VI) hebben wij dus

Q,* - PR , q² - pr /ir_TT\

-7--™r- = const. — --...........(VII)

(P-t-72)^s (jO r)^s

§ 7. Neemt men nu het coördinatenstelsel zoodanig aan, dat p = O wordt, dan gaat {17) over in

2 qamp;x A»y r[Lgt;jy O............[!)quot;)

Men ziet, dat nu eene van de raaklijnen mat de x as samenvalt, en dat de tangens van den hoek,

2(7

dien de andere met de x as maakt, gelijk is aan — Hieruit volgt, dat, wanneer u den hoek voorstelt tusschen de beide raaklijnen, men zal hebben

..............(20)

De uitdrukking is echter voor p ~ O hetzelfde als ±--^ gt; ^en daar deze uitdrukking van het coördinatenstelsel onafhankelijk is, zal men in het algemeen hebben

...........(vnr)

^J (ƒ»- ■ »')^s

waarin « den hoek tusschen de raaklijnen voorstelt.

De onderstelling p ~ O is echter alleen mogelijk, wanneer q' - pr positief is. In het tegenovergestelde geval toch zou de met p — O overeenkomende waarde van qquot;- negatief en dus q onbestaanbaar zijn.

Hieruit volgt, dat het punt een dubbelpunt zal zijn, wanneer q' - pr positief is, en een afgezonderd punt, wanneer die uitdrukking negatief is. Is in het eerste geval

p \ r — Q,...............(IX)

dan staan de beide raaklijnen der kromme loodrecht op elkander.

In het geval

q * - pr~ Q................(X)

heeft men blijkens (VIII) tg« — 0.

In dit geval vallen de beide raaklijnen samen, en raken dus de beide takken der kromme elkander aan. Wij zullen in het vervolg den vorm der kromme in dit geval nagaan, en zien, dat die vorm verschillende bijzonderheden vertoonen kan.

Hadden de vergelijkingen (IX) en (X) tegelijk plaats, dan zou men noodzakelijk moeten hebben

p — q — r — O.............(XI)

In dit geval zou men, de redeneering van § 5 volgende, gemakkelijk vinden, dat de kromme in het beschouwde punt in het algemeen drie takken vertoont, waarvan er echter ook twee onbestaanbaar kunnen zijn. Het beschouwde punt is dus in dit geval een drievoudig punt of een afgezonderd punt, liggende op een bestaanbaren doorloopenden tak der kromme. Ook op dit geval komen wij terug.

Wanneer men de vergelijking [A) naar y oplost, dan zullen er onder de wortels, die function van ,r zijn, twee moeten zijn, die voor x_l (de waarde van x. die met het beschouwde punt overeenkomt) gelijk worden aan ?/, (de overeenkomstige waarde van y.) Onder de factoren van den vorm y - f{x), waarin

-10

{A) ontbonden kau worden, ziju er dus twee, die voor x = x_l m ij = y, gelijk aan O worden. Wanneer wij dus door de andere factoren deelen, kunnen wij [A) onder den vorm

(y ' fi (*)) («/ quot; /2 («)) -- ⁰..............

brengen. Door differentieeren vinden wij hieruit

x = - ƒ, '(#) (y - ƒ₂ («)) - ƒ.' W (2/ - /. («)' v - ² y - /. («) - /1 (^). (2i),

p = - ƒ,quot; (^) (2/ - /₂ (x)) - ƒ/ (x) Cv - ƒ, (x)) -t- 2 (x)q = -ƒ,'(,'«) -/₄'(.-r), r = 2.

/,'(«) eu /.₂'(x) zijn voor x ~ x, blijkbaar niets anders dan de twee waarden, die 2/' in het beschouwde punt kan aannemen. Wanneer wij dus in (21) ar = x,, y ~ y_l stellen, hebben wij

x =0, (/ — O, j). = 2«= - (y/ ?/»'), '■ = ².......(22)

De substitutie hiervan in (VII) geeft

lt;3' - PR _ r ZPZ ^ (?/■' ~ Vi'y - i Ur _u

P -\- H ~ {}gt;■lt;!-gt;•)' 4 (1 ;ty,^,y_ï')

waardoor de boven gevonden uitkomst bevestigd wordt.

§ 8. Ter verdere ouderscheiding is het noodzakelijk betrekkingen op te sporen tusschen de partieele difterentiaalquotienten van de derde orde, al of niet met die van de tweede orde verbonden. Daartoe differentieeren wij de vergelijkingen (U) op nieuw, waardoor wij bekomen

ö³/ _ dy (dxy ay /dx^y dy, , ZÉLV (ÈLV

dx'¹ ~ fx⁹ \ (lx¹/ dx'dy \dx'/ dx' ^ tedy* dx' \dx'/ hj^a \dx' /

d³F _ ö³/¹ (dxy dx_ 9Y lt;2-— ^d'^J -1 ( dxy dy l

' dx'³dy' ^— dx* \ dx' / dy' dx'-hy ' dx' dx' dy' \dx' J dy' 1

ö³/ ( o dx dy dy_ ^ ( dy^y dj^\ (dyy dx

3.x'cgt;?/² i dx' dx' dy' \dx' ' dy' ( dy^:s \dx' ' dy' ' _ _ ^3

d³F _ 9Y ( r/xiy J_ ) dx dy dx_ /^V dy 1

dx'di/¹ * flx^:l rt;/quot;' \dy') ¹ ix'èy i dy' dy' dx' \dy'/ dx' l

By' \ dx dy dy_ (dy\³ ^Ll J/ (dy)'

dieÖi/¹ t dy' dy' dx' \dy'/ dx') dx* \dyJ dy' '

^ _ öy /dry , o \² dy_ ₃C% V .

dy'* — öa;» V dy') dx^:dy \dy') dy' èxdy ' dy' \ dy' / dy³ \dy'/

of, als wij de volgende notatien invoeren,

N;

„ ........(?)

en de vergolijkingeu (3) substitueeren,

K — k cos³ cos² Sr. sin Sm cos 5. sin² d n sin³

L — -Tc cos⁵ 5. sin $ l (cos³ .5-2 sin^! 3. cos 3) - m (sin³ 5 - 2cos^! S. sin 5) 4- n sin² ». cos M=Jccos a. sin^: 5 l (sin³ 5-2 sin A cos² •-gt;) 4-»» (cos³ » - 2 sin² 5. cos $) n cos² 5. sin 9-. $ - 1c sin³ 5 -f 3 2 sin² 5., cos ^ - 3 m sin cos² 3 w cos³ 5.

Differentieert men deze vergelijkingen naar 9-, dan heeft men ^ll- — .3 k cos⁵ S. sin3 3 /,(cos³ 3- 2sin² 5. cos3) -3 m(sin³ 3-2 cos² 3. sin $) 3 n sin²3. cos3 =r 3 L,

d9r

^{d L} —]_c{2 sin² 3. cos3- cos³ 3) - ? (7 cos ²3. sin5 - 2 sin³ 3) -(7 sin' 3. cos 3 - 2 cos³ 3) w (2 sind. cos² 3 - sin³ 3) - 2 M- K\ d* (25)

=amp;(2cos^!3 sin3-sin³3) ?(7sin²3.cos3-2cos³3)-w(7cos²3.sinS-2sin³5')-«(2cos3. sin^!3-cos³3) N- 21.,

damp;

= - 8 Jc sin'3. con^-S l (sin³3 - 2cos^J 3. sin 3-) - 3 ni(cos³ 3 - 2 sin² 3. cos5) - 3 n cos² S. sin $ — - 3 JI/,

lt;iS

11

Is nu N = F {P, Q, R, K, L, M).................(c)

eene betrekking onafhankelijk van 9-, dan moet

dN _ ÖP dP BP dQ dR W dK dL^ dM

H^— ^dP (?3- ÖQ^ 97J dS ï)K da- dL dï d$ ' ' '

zijn, waaruit door substitutie van (13), (25) en (c) volgt:

eene partieelo differentiaalvergelijking, welker integraal is

f [P K, Q² - FR, [K M)quot; (I iï)\ V - KM Mquot; - LN,

4t(L'²—KH) (M²-IA⁷) — {KL-LU)^,,2 Q j (M--LN) — (i²-KM) j — {P-R) iKN-LU)\ =i 0 . (XII)

§ 9. Door de vergelijkingen (15) nogmaals te differentieeren vinden wij f 1 2 12 12 12 K ----- } k (Y3 - ^.l) Spx [ri,3.S—'lt;PiA) Sp{^3.l — U.l)-Tix)ⁱ(^3.3.3 — ^l.iA-h 3 («)² (^3.3.1 - ^4.4.l) ,

-r- 3 x 43.1.1 — 4.1.0 4- ^1.1.1 —li.i.i -h 3 \p{l₃-l_i)'h(xV (^3.3-^4.4) 2« (^3.i-^1.1 )

1 2)11 2 1 2) 11 2 1 ^)³.,

T- ■fi.i-^i.i I [«(^3 ^_ ^1) v, — IVquot; Ja; (^3- ^J ^_ ■quot;/'i I 4¹ , (12 12 12 12 12 L—\IWz-h) 2qx(4'3.s-itA) ngt;d (**■* -^) 22W».i -^i) igt; W».» quot;^) (®)^,' fl {^.s.s—h-iA) i-

12 12 12 1 2 1 1 1 '

2xy (ts.s.i-tu.i) («)' (^.8.2-^.1.4.2) 2 x- (^3.2.1 - ■a-4,2.1) y (43.1.1- ^4.1.1) ^2.1.1 - 42.1.1 j-p'

1 1 2 quot;quot;l 'quot; ^ 1 2 1 2 1

2 j — H- Ööy (^3.3 - ^4.4) ^ (^3.2 - 'lt;/ 4.2 ) quot;h fj (^3.1 - ^3.1) ^2.1 - ^2.1 | j (^3—^4)

12) fl 2 1 2 ^ ^ ^ 2 ^ f -4,1 lt;?quot; 1^(43 -44) (iê)² (43.3-44,4)4-2 X(43.1-44.1) 4u-4i.i I (2/(43 ^— 4i)

42—4₂|(Z)quot; |a;(43—4.t) 4i-4il ji/(43^_ 44) — 4-2 - 421 4'quot;'. (²⁷)

(12 12 12 12 ¹²_,_¹,²n Mr= |m(^,—44) 2 21/(43,9 —44.4) »quot; (43.3—44.4) 2g'(43.2—44.2) ^(^8.1—44.l) «(|/)^ï(43.3.3-'44.4.4)-t-12 12 12 12 1 2 1,

2 iC y (43,3.2 — 41.4.2) (ï/)²(43.3.1—'k4.l) 2y(43.2.1-44.2.l)-He(43.2.2- ■'/•4.2.2) 42.2.1 ^— 42.2.1 ( lt;?' fl2 1 2 12 12 1 2 ) ( 1 2 2 (2 (4quot;3 ^_ 4i) a;?/(43.3—44.4) y (43.1 — 44.1) «(43 2—44.2) -1- 42.1—42.1 ) 12/(43-44)

1 2 1 (1 2 11 12^(1

■^2— 4₂}^quot; -t-'j»^-(43 — 44) (j/)² (^3,3 — 41.4) 22/ (43.2-44.2) quot;tquot; ^2.2—42.2 * p(43 —44) 1 2 ) (1 2 1 2)2f 1 3 1 ² l

■ ■ 4i — 4i 1^quot; (2/(43 - 44) 42 — 42 ( p (43-44) 4₁ 4i ƒ ?gt; ,

{12 12 12 12 ^12 12 12 12 ^¹² w (^₃ - 4₄) 4r 3r|/ (48.3 — 44.4) 3 r (^3.2 - 44.2) (y)³ (43-8.3 — V-4.4.4) 3 (y)² (43,3.2 — 44.4.2) 4-1 2 1 2) 112 12 12 4- 3 2/ (4-3.2.2 — 442.2) ■^2.2.2 ^— 42.2.2 j p' -h 3 jr(t₃ ~ ^i) ~h(y)' (48.3 44.4 ) 2 ?/ (48.2 — 44.2 ) 4-1 2 I f 1 2 1 2 1 (1 2 1 2 1 3

- - 4a.2 — 42.2 f |y(43 - 44) 42 — 42 12/ (43 ^—44) 42 — 42 ( f ■

Wanneer wij in deze vergelijkingen ƒ (x, y) — 0 en x = y = 0 stellen, het eerste door de indices boven de 4 weg te laten, en bovendien de volgende verkortingen invoeren:

(4u — 44.1) 'P' — ^cl (43.2 —^4.2) p'— A',............(')

dan gaan zij over in

iv = a /c 3 c jp,

L=Al 2cq Ap, ₍₂₈₎

M = a 2 cl 3 c JV = aw 3dr.

12

Differeutiëeren wij deze vergelijkingen, benevens (16) naar a, c en d, die alle drie volkomen onaf-liankelijlc van elkander zijn ')gt; dan hebben wij

(IK (IL dM (IN = r, = Ic,-t — l, -j— ~ in, -j— — n.

da da da da

_n dK „ dl_„ dM_ dN

~ ' d~c P' dc ^di^^dcquot;' • • • ■ (²⁹) _ndK _n dL__ dM dN ₀ dd-V' dA ^q JA~ ^r-

Beschouwen wij nu (c) als eene betrekking onafhankelijk van den vorm der vergelijking, dan hebben wij door haar naar a, c en d te differeutieeren

^ dP ^ BF ÖF . 3F ÖF dM

da dP da dQ da dit da ^ dK da dL da dM da' dN _ ^ ^ dQ cU ^ dX W_dL_ W_ d_M

dc öP dc dQ dc dli dc dK dc dL dc dM dc'.....

dN _ dF dP W dQ dJ^dE WdK ö£ dX ÖF_ tó dd ~~ ^P JA ~Q M dJi dd dK dA'*' U dd dM dd^;

welke vergelijkingen door substitutie van (c) en (29) overgaan in

dN , M , dN 'dN _y 'dN, , dN _/oi, ⁿ dP^ dQ^q ^R^r 'dK ~dL dM ^m'.......⁽³¹⁾

⁰ = ³^ ²|f« i^.........(³²)

^ = ^ .............(³³)

Vermenigvuldigt men deze drie vergelijkingen met a, dau heeft men, lettende op (28) en (16), dP dQ

l(quot;-i^i,-²»^a)...........lt;^Mgt;

s 7? - 4- 2^ O

dB dM ^Q'

Ten gevolge van (F) gaat (34) over in .

dN _D dN_n _^dN „ ^dN ^.dNj. dN ^

^N=w^F dQ^Q dB^Ji'^hm^K dL^L m^M-.......^(G)

§ 10. De vergelijking (G) drukt uit, dat de gezochte betrekking homogeen moet zijn. Van de vergelijkingen (F) zijn de respectieve integralen

f, [F, Q, B, N, 2 QK — 3 FL, EL -2QM)= O,

f₂ (P, Q, B, K, 2 QJV — 3 HM, FM — 2 QL) = O,.......

(' Men kan namelijk altijd eene functie ^vinden van x en y zoodanig, dat voor ® = a,, y = y_l, die functie

_y — a — r=c,— = d wordt. Hieraan voldoet b. v. ^ r= a (x—#,) c (y—y,) d. De uitdrukkingen ^A ' tte dtj

en ■'pi.i zijn echter niets anders dan de partieele differentiaalquotienten ten opzichte van x en

y van ^3—• De factor lt;p' verhindert natuurlijk de onafhankelijkheid niet.

13

Gelukt het ons nu vijf onderling onafhankelijke uitdrukkingen te vinden, die in het eerste lid van elke der beide vergelijkingen (XIII) begrepen zijn, dan zal eene -willekeurige functie van deze vijf uitdrukkingen, gelijk aan O gesteld, de meest algemeene integraal van het stelsel differentiaalvergelijkingen (F) zijn. (¹ Hieraan voldoen natuurlijk in de eerste plaats P, Q en B, en vervolgens de beide uitdrukkingen

KB' 2 PQN - 3FBM= KB'- P(2Q^-3 BM) ~*^m(^LR ~ ±^R'' ^(2Q'^K~ ^FK) 2 PQN,

NF- 2QBK- 3FBL = NP' B{2 QK-3 PL) ^ ²-^ps(^^p-³ (² QN - ZltM) _{2 QRK}_

De gezochte betrekking is dus, als wij deze uitdrukkingen door S m T voorstellen,

f (P, Q, B, S, T) — O.............(XIV)

Deze betrekking is nu onafhankelijk van den vorm der vergelijking; de gezochte betrekking moet echter ook van de richting der coordinaten onafhankelijk zijn. Eene willekeurige functie van vier grootheden van den vorm van het eerste lid van (XIV) en tegelijk van dien van het eerste lid van (XII) zou de meest algemeene uitdrukking van dien aard zijn. Het zou echter niet gemakkelijk zijn, zoodanige uitdrukking op het oog te vinden. Wij slaan dus een anderen weg in, en schrijven daartoe (XIV) onder den vorm

Q = F [F, B, S, T)..............(lt;0

welke betrekking wij onafhankelijk van de richting der coordinaten veronderstellen. Door naar 9- te differentieeren, hebben wij dan

dQ_W^,^dB,^_dS.^ldT

d$~Wlt;te Mds'^t DSdS^DTdï • • • .......^{1 )}

Hierin hebben wij nu te substitueeren de verg. (d) en (13) benevens de beide volgende:

dS 2QS- UT__2 PT QT— 2QS

^ ^P '...........(36)

dT _oc, ZQT-FS _ 2 TÏP QS - 2 UT

dï~' B ~ R

die men vindt door de waarden van S m T naar 9- te differentieeren, de vergelijkingen (13) en (25) te

substitueeren, en daarna weder S en T in te voeren. Zoodoende zal men bekomen

Öö 30 ITT QT-'iQSÏQ , ZRT QS-IRT 'dQ, 2i-J.= 28g-2«_s--j--_Ts -j--Sj. • • • (H)

Van deze partieele differentiaalvergelijking is de integraal

r FS*-IdST RT* (pt 3P^!jS^1!4-4iJ2^!:Q^!)₁S³-4Q(P³ iï³)/S'r f yp B, Q,* — FR, --gt; quot; ptfti

(^ 3P²i?² éP«a^!)2'²1_ _A _ ₍YVN

P²JJ² J

r m'-last rP (v^^r^ ^q^-^qip^ r^st ^ ^p^r^ iip^q-)^-] „ = f -pr, -—-,--quot; J •-)

§ 11. De beteekenis van de uitdrukking ^ ''^e'^J^^en '^{;)0vei1 ree(}is gevonden. Zoeken wij thans de beteekenis van de andere homogene betrekkingen tusschen de uitdrukkingen, die in (XV) voorkomen.

1

') Zie het aanhangsel.

2

M en N.

3

) Hierin zijn s en t op dezelfde wijze uit y, r, l, m en n gevormd als /S en T uit P, Q, P, K. L,

u

Om daartoe te geraken, differentieeren wij de vier laatste vergelijkingen (21) nog eenmaal, waardoor wij

bekomen .

k=-/_l(x) [y-f₁ [x)] [gt;/ - [x]] 3fSix)A¹ (■*) Sy/'Wƒ,' («), l = ~f W-^m = ⁰' ⁿ-⁰- ^

Stellen wij nu hierin

x ~ x_x, y -- Ui, f' (%) — y', f (^x) — U

dan hebben wij

]C= s iy'^ft y'tyS), l = -(y_lquot; y_i''), ™ = ⁿ = ⁰ ■;•••• ^w

Substitueeren wij nu (22) en (38) in de uitdrukkingen voor s en t, dan vinden wij

s = Uiy.'y,quot;-f-y^jS) # =r ~ 12 (?/,'^s?/₂quot; ?y₂'²?/,quot;) • • • • ; (⁸⁹) en, wanneer wij dit weder overbrengen in de beide laatste uitdrukkingen in (XV), die wij respectievelijk

door S en T willen voorstellen,

S --72(«/,' -y_tr' yT =r-144 |(i y.'⁴)³ y/' 2(1 y\y\yy,'ⁿy₂quot;M-(¹ ?y₂ ²)'' | .(40)

Hierbij kunnen wij nog voegen

q^-pr — ^z^ (y_l'—y\)\ igt; r — P= 2 (1 ......(⁴¹)

Men heeft-nu P² -1- 4 O4 (1 y,'²) (l f//²);........... ' ' '

dus „ „ i

__s__]iquot;yi = —.......(xvi)

^o(P² 4Q)'ⁱ (i yi'^gt;)hi yi^,)^{?I p}'^fl wanneer en _n de kromtestralen van de beide takken der kromme zijn. Eene tweede betrekking tusschen die kromtestralen vindt men door de volgende verbinding der grootheden P, Q, S en T.

2 TO P³s _ (i-i-?/₁'^s)³?y.quot;² (^L ?//⁸)³^iquot;' ~ ~ . . (XVII)

² 9Q(PH-4Qp (1 2/,'²)³ (H-^/ï'²)³ ^

De vergelijking (XV) heeft dus dezelfde beteekenis als deze

K («l/¹!! Pi) — ⁰-

Is

k _ PS-1qst rt* _ _............(XVIII)

^— PI ' .

_dan moet, wanneer, zoo als wij hier veronderstellen _q'-pr% O is eene der g^heden , en , onemdig zijn Van een van de takken der kromme gaat dus de kromtecirkel in eene rechte lijn over. De kiomt -cirkel heeft echter met dien tak der kromme, waarbij hij behoort, eene aanraking van de tweede orde, die tak heeft dus in dit geval eene aanraking van de tweede orde met eene rechte lijn. Een punt, waai n doorioopende tak eener kromme eene aanraking van eene andere dan de eerste orde met de raaklijn leeft noemen wij een huigpmt, en wel een buigpunt ^ amp; eerste soort, wanneer de kromme in dat punt'de raaklijn doorsnijdt, en een buigpunt van de tweede soort, wanneer dit met het geva is. Wanneei T aanraking, zoo als hier in het algemeen het geval is, van de tweede or e is, en -n de raa^n ^ x-as en het beschouwde punt als oorsprong aanneemt, zal A y van dezelfde oide zij ( ) '

cius A y tegelijk met A ,r van teeken veranderen. Het buigpunt zal dus in het algemeen van de eeiste

De waarde van den anderen kromtestraal vindt men blijkens (XVII) in dit geval uit

4T _ 1 .......(XIX)

9 (P^s 4 O)⁵ ' ' '

Indien dus ook T gelijk aan O is, zal ook de andere kromtestraal oneindig groot worden, en dus

(¹ Zie verder § 49.

15

ook de andere tak der kromme een buigpunt hebben, dat in het algemeen van de eerste soort zal zijn. Aan S —O, T =0, kan alleen voldaan worden door tj,quot; ~y_tquot; = 0. Daardoor wordt echter ook s=0, en t~0, en ook hieraan kan niet anders worden voldaan. Hierop zijn echter twee uitzonderingsgevallen, namelijk, wanneer van de grootheden y/ en y₂' eene O of oneindig is. In het eerste geval worden s en ^ O al is maar ééne van de waarden van yquot;, en wel die, welke overeenkomt met de verdwijnende waarde van y', gelijk aan 0; en in het tweede geval behoeven s en t voor y quot; = y.quot; — Q niet noodzakelijk te verdwijnen. De hier genoemde gevallen komen respectievelijk overeen metjp = 0 en r = 0. Wanneer dus geen van deze vergelijkingen plaats heeft, kan men de voorwaarden

S = O en T - O.............(XX)

vervangen door de meer eenvoudige

s = O en i = O..............(XXI)

Is dit echter wel het geval, dan moet men de oorspronkelijke voorwaarden behouden. De vergelijkingen (XX), en onder zekere voorwaarden ook (XXI), bevatten dus de voorwaarden, dat beide takken der kromme in het beschouwde punt buigpunten vertoonen.

Trekt men het dubbel van (XVI) van (XVII) af, dan heeft men

„ 2 TO P^S S (P'- 4- 4 O)! _ / 1 _ 1 V tYYm

9 Q (P² 4Q)³ Vp, Pt) ' '

Zullen dus de twee kromtestralen gelijk zijn, en derhalve de beide takken gelijke kromming hebben,

dan moet ,

2 TO P³S S (P² H- 4. Oyz = O..........(XXIII)

zijn.

Al deze betrekkingen en voorwaarden zijn afgeleid in de onderstelling, dat de vergelijking dei-kromme een bijzonderen vorm, dien van (E) heeft; maar, daar al de gebruikte uitdrukkingen van den vorm der vergelijking onafhankelijk zijn, zullen zij ook voor alle andere vormen der vergelijking gelden.

Het geval p r — O brengt in deze beschouwingen geene verandering; alleen nemen de meeste

uitdrukkingen een eenvoudiger vorm aan.

Indien q' - pr negatiefis, verliezen deze beschouwingen hare waarde. Inderdaad valt van een

afgezonderd punt, nadat men het als zoodanig herkend heeft, niets meer te zeggen.

§ 13. In het geval q°-pr = 0 is de integraal van (ÏI)

r _rSi/P Ti/E S(P\/P-'iRi/P)~T{B\/R-1Pl/lt)-\ _

^f L^p ' iTPlT ' ' PU J

sVp tyr s{p~2r)v p-tir-lpyrl.........(XXIV)

P ^ ^rgt; ypr ' pr J quot; '

In dit geval is uit de beschouwingen van § II niets anders op te maken, dan dat in den regel Viquot; en Dï beiden oneindig, en dus de kromtestralen beiden gelijk aan O zijn. Om debeteekenis van dit geval na te gaan, slaan wij een geheel anderen weg in. Wij hebben gezien, dat in dit geval de beide takken dei-kromme elkander aanraken, en dus eene gemeenschappelijke raaklijn hebben. Deze gemeenschappelijke raaklijn nemen wij tot agt;as en de normaal tot «/-as aan, waardoor p en q beiden verdwijnen. De vergelijking van de kromme in de nabijheid van het beschouwde punt zal nu kunnen worden voorgesteld door r(LvY /c(A;k)³ -h3?(Aa?)² (A?y) 3m(Lx)[LyY -^n{Lyy , ^ ₍j^

-2 ^h' T2X

Hieraan kan door geene andere onderstelling voldaan worden, dan dat {LyY van dezelfde orde

is als (A«)³; met andere woorden, dat de verhouding tot eene eindige grens nadert, wanneer A.«

16

en Ly tegelijk tot 0 afnemen. In deze onderstelling worden al de op (Are)³ volgende termen van

lioogere orde, en kunnen dus onder R begrepen worden. De vergelijking {I¹) gaat daardoor over in

^R' = ⁰...........^(F'⁾

Hieruit blijkt, dat, wanneer r en Zc ongelijke teekens hebben, mot positieve waarden van Ax twee zoo goed als gelijke, maar in teeken verschillende waarden van Ay overeenkomen; terwijl Ay voor negatieve waarden van Lx onbestaanbaar wordt; en dat, wannéér r en k gelijke teekens hebben, het omgekeerde zal plaats hebben. In dit geval bezit de kromme dus twee takken, die elkander in het beschouwde punt aanraken en daar afbreken. Een punt, waar dit plaats heeft, noemt men een leerpunt, en wel een keerpunt van de eerste soort, wanneer, zoo als hier het geval is, beide takken aan verschillende zijden van do raaklijn liggen.

Uit (F') volgt ook nog, dat de beide takken der kromme met de raaklijn eene aanraking van de orde '/2 hebben.

Deze geheele redeneering gaat niet meer door in het geval, dat h — O is, welke voorwaarde wij, daar r niet gelijk aan O kan zijn, door

]cr^ = 0............. . (43)

t S I/' j ^ i/' y kunnen vervangen; kr is echter niets anders dan--Mlquot; 'i®¹¹ aangenomen stand der coördinaten, en daar deze uitdrukking blijkens (XXIV) van dien stand volkomen onafhankelijk is, zal de voorwaarde, dat q² -pr niet noodzakelijk een keerpunt van de eerste soort aantoont, algemeen zijn

_ s\/p ti/r _ ₀.........., (XXV)

I/ pr

§ 13. Een voorbeeld van een keerpunt van de eerste soort biedt de semicubische parabool aan, waarvan de vergelijking is

x³ = y * .................(44)

Voor x = O, y = O vindt men namelijk

x = 0, y = 0, p — O, 2=0, r = - 2ft, k = Q, l = m=n—0.....(45)

De vergelijking (F) luidt dus voor deze kromme

— ft (A y)'¹ -t- (A x]³ = O..........• • • (46)

Zal deze kromme de nauwst mogelijke aanraking hebben met eene andere kromme, die insgelijks een zoodanig punt vertoont, dan moet men hebben

±=z-A................(47)

p Sr' ^v '

of, wat bij den aangenomen coordinaten-stand hetzelfde is,

l__sy/p J\/r_............(XX VT)

^ 3(29 r)² ypr

Het tweede lid van deze vergelijking is van den stand der coordinaten onafhankelijk; zij verschaft dus in ieder geval de parameter van de semicubische parabool, die met een kromme, welke een keerpunt van de eerste soort heeft, in dat punt de nauwste aanraking vertoont.

De aanraking tusschen de kromme en de semicubische parabool zal in het algemeen van de eerste orde zijn '). Zij kan echter onder sommige omstandigheden van hoogere orde worden. Daartoe wordt

') Als men namelijk door A ƒ voorstelt de waarde van l\y voor de semicubische parabool, heeft men

{LyY —[Ly'Y=^ (Aa^Ay-i-R,

17

vereischt, dat de termen, die na (A y)' en (A.t)³ van de laagste orde zijn, na door de coefficient van {AyY gedeeld te zijn, gelijk worden. Die term is I (A x)² ^ ?/. en daar voor de semicubische parabool ? = O is, zal dus ook voor de kromme 1 = 0,

moeten zijn.

, , I • n i i 3- — —2p)]/r^ p_e voorwaarde.

Bij den aangenomen coordinaten-stand is ecntei ir —

dat de aanraking van hoogere en wel van de orde | wordt, luidt dus in liet algemeen

s(v-2r)yp-t{r~2p)yr _...........(XXVII)

pr

Om de voorwaarden te vinden daarvoor, dat de aanraking van nog hoogere orde wordt, zouden wij de hulp van de differentiaalquotienten van de vierde orde moeten inroepen.

§ 14. In het geval van vergelijking (XXV) gaat {F) over in rfAv)² al kx njMv)³ , a (A a;)⁴ 4amp;( A ^)³ Aj/_ ^enz. — (ff)

-2--^ ^^2,3,4

f f

waarin a = ^enz-

Hieraan kan alleen worden voldaan door de onderstelling, dat A 2/ van dezelfde orde is als (A*) , waardoor de vergelijking, als wij alle termen van hoogere orde onder R begrijpen, overgaat in

^(Ai/)²-)-|(A?/)(A_a?)²H-|^(A.r)t R'=0 ........(amp;')

Hieruit blijkt dat A y dezelfde waarden heeft voor positieve en voor negatieve waarden van A x; de kromme heeft dus denzelfden vorm aan weerskanten van het beschouwde punt. Wanneer de worte s van (G) beiden onbestaanbaar zijn, is het beschouwde punt een afgezonderd punt. Zijn zij bestaan aar, dan heeft de kromme twee doorloopende takken, die in het algemeen onderling en met de raaklijn eene aanraking van de eerste orde hebben. De kenmerken ter onderscheiding van deze gevallen bevatten echter differentiaalquotienten van de vierde orde, en kunnen dus hier niet vermeld worden.

Eéne bijzonderheid kunnen wij hier echter nog behandelen; het is het geval, dat de beide waarden van A«/, op verschillen van hoogere orde na, gelijk zijn, maar verschillende teekens hebben. De voorwaarde hiervoor is Z =0, dus ook

lr?=0,................ (⁴⁸)

hetwelk bij dezen stand der coordinaten hetzelfde is als

s{p - 2r) \/p - tjr - 2p)yr _ _n..........(XXVII)

pr

De beide takken der kromme liggen in dit geval aan weerszijden van de raaklijn, en zouden eene aanraking van de tweede orde met elkander hebben, wanneer één daarvan om de raaklijn werd omgeslagen.

§ 15. Thans zijn wij genaderd tot het geval, dat p, q en r allen tegelijk verdwijnen. De vergelijkingen (28) gaan in dit geval over in

of, als men door A ^ A J/' deelt,

a _a,_MA^)^sA2/ , R

Ly ky — _r Ay-)-A/ A2/-t-Ayquot;

Het tweede lid van deze vergelijking is van de tweede orde, als A x van de eerste orde ondersteld

wordt. Hetzelfde zal dus het geval zijn met het eerste lid, waaruit het gezegde duidelijk is.

18

K~ak, L = i\l, BI—a m, N = a «...........(49)

Door te diffeventieereu naar a hebben wij hieruit

dK dL dM dN

= -M = ^m'Ti_a^ⁿ............(⁵⁰)

Is nu weder

N=V{K, L, M)..............(e)

eene betrekking onafhankelijk van a, dan vinden wij door haar te differentieeren en vervolgens (50) en (e) te substitueeren,

M₁ SAT ₇ M

ⁿ = ïK^]i TL^l m^m'............(⁵¹)

waaruit men door vermenigvuldiging met a en substitutie van (40) afleidt.

,_T m „ w _ , dN ^

ïk di m .............O

eene vergelijking, die uitdrukt, dat iedere homogene betrekking tusschen de grootheden K, L, M, iV van den vorm der vergelijking onafhankelijk is.

De vergelijking (XII) wordt in dit geval 1'[(K- -M)■ {L N)-, L² - KMt-M' - LN, 4 (ilf³ - LN] (L- - KM) - {KN- LM)²] —o —

= f |(fc wi)² -^-{l ny, l' - hn m- - In, é^mquot;-ln){l--km)-[kn-lm)'],......(XXVIII)

mits de functie f aan het vereischfce van homogeneïteit voldoe. Wij willen nu de drie in (XXVIII) voorkomende uitdrukkingen respectievelijk door K, L en M voorstellen, terwijl wij de uitdrukking

K -L — fc² -fw² Shn 3 Iw — N...........(^

zullen stellen.

§ 16. Geheel op dezelfde wijze als in § 5 redeneerende, zien wij, dat de kromme in dit geval kan worden voorgesteld door de vergelijking

k{amp;x)³ -t- 3 / (A x)² A?/4-3ot A»(Ay)² w(A y)

3

en dat de vergelijking

k [ax)³ Sl(Asc)¹ A y -t- 3 mA x (Ay)² n (Ay)³ = O......[B')

drie raaklijnen voorstelt, die in het beschouwde punt aan de kromme getrokken kunnen worden; drie takken der kromme doorsnijden elkander derhalve in dat punt, waarvan er echter twee onbestaanbaar kunnen zijn, Nemen wij één van de raaklijnen als «-as aan, dan wordt één van de wortels van (ƒ/') nul; men zal dus moeten hebben h = 0. De beide andere wortels worden dan de tangenten van de hoeken, die de beide andere raaklijnen met deze maken. De overblijvende vergelijking

3 Z (AaO² 3mj Aa; zVi/ w(A»/)² =0.........[Hquot;)

speelt bij de twee andere raaklijnen dezelfde rol als de vergelijking (Zgt;°) in het geval, dat er slechts twee raaklijnen aanwezig zijn. De tangens van den hoek, dien deze twee raaklijnen met elkander maken, vinden

2 j/' {(f * f) v}

wij dus door in de uitdrukking ±-^ ^ ^ , p door 3£, q door ³ m en r door n te vervangen. Zij is

\/ (O fff t 1 ^2 l/Th]

dus gelijk aan ±--, en dus, als wij dezen hoek door en de beide andere hoeken tusschen

de raaklijnen door lt;»., en voorstellen,

, , 9m² - I2ln

(»gt; .)•..............lt;⁵²gt;

en blijkens {Hquot;)

19

..............W

Het product van deze vergelijkingen geeft

27 l' (3 »w^s - 4 In) /5^ tg'quot;r tg tg lt;»₃— [zln n*y ..........

Van het tweede lid van (54) is do teller de waarde, die men bekomt door 7c = O te stellen in

27 M, terwijl de noemer dezelfde uitdrukking is als die, waarin IN'² in die onderstelling overgaat. Wij

hebben dus in het algemeen

.......... ■ lt;^XXIX»

Volgons (H*) is li,'., lt;!gt;•., ...........(⁵⁵gt;

vermenigvuldigt men dit met tgquot; iu_n en telt de waarde van t(j' er bij op, dan vindt men

(9m² - 6In) (9 w² - 12 Zn)4- 9(8 7 w)² V _ 81 (m² - In P]- quot; SéZ² (3w² - 4^) ^stg**_t.tg* «t— (3 In n²)^{2 —} (3Z« w²)²

De noemer van deze breuk is dezelfde als die in (51), de teller is de waarde van 81 li² — 54iM

voor Jc = O; wij hebben dus

₀ 81L² 54M (YW\ .............(XXX)

Eindelijk hebben wij door bij de waarde van tg' a, tg-a₃ die van tg² ^, op te tellen,

(9 OT² - 6 fa)(31 n)^: 4 (9 w² - 12 ln)n- _

ztg _ai— (»■ -f 3 In)²

18(m² - In P) (n- 3ln) ?.7 P(3ni² - 4, In).......^

(w² -i-Sln)¹

De teller van deze laatste breuk is voor Jc = O gelijk aan 18 LX 27 M, de noemer is dezelfde als in (54) en (5G); wij hebben dus in het algemeen

stg**_r-=^{1HUi 27n}.............(XXXI)

Uit (XXIX), (XXX) en (XXXI) volgt, dat tg' tg'*, en tg'- de wortels zijn van de vergelijking

N²1³ - (18 LX 4-27M)|² (81 L⁵ - 54.11)| - 2751 = O.....(XXXII)

§ 17. üit de beschouwing van (XXXII) blijkt, dat voor BI = O oene van de waarden van tg² « nul

wordt, terwijl de beide anderen onderling gelijk en gelijk aan 9 worden. In dit geval vallen dus twee

raaklijnen samen, en raken derhalve twee takken van de kromme elkander aan.

De voorwaarde, dat twee raaklijnen loodrecht op elkander staan, is N -- 0. In dit geval snijden derhalve twee takken der kromme elkander onder eenen rechten hoek. Hebben beide omstandigheden gelijktijdig plaats, is dus zoowel

HI=:4(Z² - km) (Mi² - In) - (hn - lm)' — O, ....... (XXXIII)

als N = 1c'■ n^t Sin-{-Shn= O..........(XXXIV)

dan vallen twee raaklijnen samen, en de derde staat loodrecht op beide. Inderdaad heeft dan (XXXII) één wortel, die gelijk aan O, en twee, die oneindig groot zijn.

Heeft behalve (XXXIII) ook nog de vergelijking

L = Z² - hn -h m² - In ~ O..........(XXXV)

plaats, dan zijn al de drie wortels van (XXXII) gelijk aan O en al de drie raaklijnen vallen samen; al de drie takken der kromme raken dus elkander aan. Opdat echter (XXXVj tegelijk plaats hebbe niet (XXXIII), moet men afzonderlijk hebben ^

20

l^! - km — 0, m' - In — Ü, hi - lm — O, ......(XXXVI [).

waarvan ieder eeu gevolg is van de beide anderen.

Merkwaardig is nog het geval

K = (lo m)' -\~(l n)'¹ — O..........(XXXVIII)

Om do boteokenis hiervan te onderzoeken, koeren wij tot do in § 10 aangenomen coordinaten terug, waardoor wij hebben

m'(l-t n)° — O.............(58)

of m — 0, l — — n..............(59)

De vergelijking {11quot;) gaat hierdoor over in

A ij { 3( Aa?)^! - (Ay)²} =0 ............{]/■')

waarvan de wortels zijn

fi.=⁰'Êi-=^±K3=^±'''⁶⁰°...........w»

De drie raaklijnen maken dus allen hoeken van CO⁰ met elkander, en verdoelen de vier rechte hoeken om haar snijpunt in zes gelijke deeleii. Ook uit (XXXII) blijkt dit, daar die vergelijking voor - m, n — - l drie gelijke wortels hoeft.

Wij hebben tot nog toe stilzwijgend verondersteld, dat al de drie wortels van (//') bestaanbaar, en dus hot punt een eigenlijk gezegd drievoudig punt was. Dit behoeft echter niet altijd het geval te zijn. Wanneer M negatief is, komen er onder de wortels van (XXXII) negatieve voor, en dus onder de waarden van tyu onbestaanbare. In dit geval kunnen derhalve niet al de takken der kromme bestaanbaar zijn, en zijn er dus twee onbestaanbare onder. Hot punt kan clan beschouwd worden als een afgezonderd punt, gelegen op een bestaanbaren tak der kromme. Zulk een punt zal zich echter op het oog door niets onderscheidon. Is M positief, dan moeten ook noodzakelijk alle wortels van (//') bestaanbaar zijn. ')

Haddon de vergelijkingen (XXXIII), (XXXIV) en (XXXV) gelijktijdig plaats, dan zou men noodzakelijk moeten hebben

h=l = m — n—0...........(XXXVIII)

De redoneering van § 5 herhalende, zal men gemakkelijk vinden, dat de kromme in dit geval in het algemeen een viervoudig punt zal hebben, dat is een punt, waar vier takken der kromme elkander snijden. Deze takken kunnen echter twee aan twee onbestaanbaar zijn.

In het in deze en de voorgaande § besproken geval laat de vergelijking der kromme zich in dezen vorm brengen

li/-/, 0)1 [y -./ ₂ («)] \gt;J - fi W] = 0,..........(/)

waarin ƒ,,/2 011/3 function zijn die allen voor x :=x_{ gelijk worden aan In dezen bijzonderen vorm verschaft do vergelijking ons

X - s/V O) \y -fi («vj [y -f₃ (x)l y — s[?/ - /-, [xj\ \y -f_% (a;)],

lgt;—-^fquot;[x) [y - ƒ ₂ (x)] [»/-/';, (x) I 2 s = gt;—2s[y/-/₁(ic)], (01)

l — -'s,f_lquot;{_x)\y-f₁[x)\ 2s/_l'(;r)/₂^,(a;), m—-2Xf_{'{x), n = 6;

1

') Dit kan men aldus bewijzen: waren a~\-Si, a-fii, y de wortels van (//'), dan zou

2

/31 (J- (quot; y -j~ /3 i öc 'quot;j^1- y quot;quot; i •

in co, — —r——r, ia a,-=. -——-tcj co._x — ---- zHii; if; M,. ia cois dus bestaanbaar; derhalve

' ¹ 1 -f-»quot; -f /3 * ^ * 1 -j- ay quot;tquot;/3yi ^ ¹ l uy-pyi J *

trjquot; 41hj- positief; lyⁱa_l is echter negatief; 31 moet dus noodzakelijk negatief zijn.

21

of als wij x — x^ y~y_n ./' (x) = y' stellen,

x=0, y — 0, p=0, q=0, r—0, k^-Gy/y^yJ, m=-~2zij_l', n=:e. . . (02)

De substitutie van deze waarden in de uitdrukkingen K, L enz. zou ons tot dezelfde uitkomsten voeren, als wij in deze en de voorgaande § gevonden hebben.

§ 18. Om betrekkingen tusschen de partieele differentiaalquotiënten van de vierde orde onderling en tusschen deze en die van de tweede en derde orde te vinden, slaan wij weder denzelfden weg in als vroeger, en differentieeren de vergelijkingen (23) nog eenmaal ten opzichte van x' en y', waardoor wij, na substitutie van de vergelijkingen (3) en van de notation

*11= A -V. JUL^-r ⁰⁴ ^ — /)

öx^ ' lt;V ' dxquot; öy'- ~ ' Sic'??/'³ ' dy't ~ '

^⁴/_ 3V _ , öV _ lt;gt;\f i '^|4/_ ••••(')

'dx^{1 a}' dx³ dy ~ ' dx'dy^{2 c}' dx ^— ' dy' ~^C'

bekomen:

yl^acos¹ amp; 4 l)cosⁿ Sr.sin5 4- C ccos⁵ S-.siir S- 4^cos9-. sin³ 3- csin⁴ S-,

B z= - a cos³ 9-. sin 3- ft (cos⁴ amp; - 3cos⁵ S-.sin² S-)-c(3sin³ 3-. cos 9- — 3 cos³ 3.sinS-)-fü(sin'^t,9- - 3cos^;5.sin^!3) -f esin³ 9-. cos 3,

6¹r=acos⁵ 3.sin² 3-t- h(2 sin³ 3.cos3- 2 cos³ 3. sin3) c(sin⁴ 3 cos⁴ ^ - 4sin^; 3.cos⁵ 4-

fZ (2 cos³ 3. sin 3 - 2 sin³ 3. cos 3) e sinquot; 3. cos² 5, (63)

.1) — - acos9.sin³5 5(3sin⁵3.cos⁵5 - sin⁴ 5) - c(3cos^:!.9-,-sin^ - 3sin³3.cos3)-!-(Z(cos⁴ 5 - 3sin^s 5.cos^{^}^)-f ^-ccos³ 3. sin 3,

E — asin⁴ 3-47)cos3.sin³5- G csin² cos^; S - 4cZcos³ sin 3 ecos⁴ S.

Door deze vergelijkingen naar 3 te differentieeren hebben wij

quot;quot; 4 a cos³ 3.sin3 4amp;(cos^li3 —3cos⁵3.sin'-3)4-12c(cos³3.sin3-s.':;³3.cos3)-}-4^(3sin^! 3.cos^J3-sin⁴3)-f- 4esin³3.cos3,

=: a(3cos⁵S.sin¹3 — cos⁴ 3) 7)(Gsin³ cos3 - lOcos³ 3. sin3)-r c(3sin⁴3-t- 3cos⁴3 -18sin¹ 3. cos' 3) ■

fZ(6cos³ 3.sin3- lOsin³.5.cos3) e(3sin⁵ 5.cos⁵ 3 — sin⁴3), ^ — «(2 cos³.9.sinS-2sin³S!,|os5)-ramp;(12sin^!!^.cos^!S--2sin⁴^~2cos⁴^) c(12cos^.sin³3-12cos³3. siu^) ^^ c?(2cos⁴ 34-2 sin⁴ S - 12sin² 3. cos⁵ S)-t-e (2cos³ 3. sin-5 - 2 sin³ 3-. cos3),

—a(sin⁴ 9- - 3sin.⁵ S.cos⁵ •?) 7;(Gsin.9. cos³ 3 - 10cos5.sin³ 3)-f-c(18 sin⁵ ^.cos⁵ 3 - 3cos⁴ 3 - 3sin⁴ 3)-f

u3

cl (G sin³ 3. cos 3 - 10 cos³ 3. sin 3) e (cosquot; 3-3 sin⁵ 3. cos⁵ 3),

^=4asin³3. cos3 4amp;(sin'^l3-3cos^:3.sin^!3) 12 c(cos³3. sin3 - sin³3. cos3)-j-4f7(3 sin^;3.cos^:3 - cos¹ 3)-

- 4ecos³3.sin3;

of, als wij de vergelijkingen (G3) weder substitueeren,

dA . Ti dB cïC „ _r, „,, dD _T1 „ ,, diï ,

,₆=-quot;'.....m

Is nu weder

C = F {F, Q, il, K, L, M, N, A, B, 1), E)............(ƒ)

eene betrekking onafhanlcelijk van 3, dan hebben wij

dG__WdP WdQ DPdjl , ÏJJÏK W dL 9Fdn 97''dE

dB-~~dPdï dQdï i)Rds'^TdKdï dL dï dM d3- dN dSr dA dB- ~^dB fl3 dDdZ 'dKdï'¹

23

t/p _ dlt;2 ^dA~Q ^dJL — o—=p ^dD=z3i} ^dE — 6r

rfg c/g ^— rfg t/g t/g ^— t/g ^— dg ~ ' rfg ' ('g ' t'g ^g rfg quot; ^r'

Beschouwen wij nu als eeno betrekking onafhankelijk van den vorm der vergelijking, dan hebboa

wij door haar teu opzichte van al de grootheden a, b enz. tot g te differentieeren

dG _ W_dP^ 3F dli SF dK ÖF dL dF dM 9F dN

rfa dP da dQ du dli da dK du èL da dM da dN da

lt;)F ^ , ^F dB ^ ()P dö j)F dE

da dB rfa dl) da dE da '

dG_ _ a_P rfP d¥_d_Q .d^dli , ÖF dK , dF dL_ dF_ dM dF dM db ^— dP db dQ db dli c/b dK rib dL Ub dM dh dN db

ÓF cM , ÖF d_B ^ dD d¥_dE ^ dA Sb dB «b dD db dE db'

^ ~ ïldf dF dQ . öF . 3F dK dF dL dF dM , aF dN ,

de dl' dc ^ d Q f^c dli dcj dK dv dL dc dM dc dN de aFd^ aF dB dF dD dF dE dA dc dB dc dD dc dE dc '

dc dF dF aF dQ dF dli . dV dK , aF^ dL , ÖF dM , aF dN d«l — dF dil aQ dd dB d(l dK dd dL dlt;l dM dA dN dd ^d^ aFdB aF dD aF dE

dA dd dB dd dD dd dE dA'

dC _ SF dP dF dQ dF dE dF dK aF dl. , aF dM , aF dN

de ~ dF de ^ dQ de dli de dK de dL de ^ dM de dN de

aF^ aFdfi aF do , aF d£

avl da dB de aD de dE de'

dC _ aF dF aF aQ aF illi , aF dK aF dL dF dM aF dN df ~ ap dF aQ Hr^dR df ^dK d( ax df dM df dN dl' ^

3F dB aFdfl.aFttt'

a^ dl' ^dB d{ dD df dE df '

dC __ aF dP dj dQ aF dli . d£ dK dF dL diïdJM WdN

dg dl' dg dQ dg aw dg a/v dg dL dg dA/ dg a^V dg ÖF (M aF d5 3F ^ , 3F

ayi lt;ïg a/i dg ao dg as dg'

Substitueeren wij hierin (f) en (69), dan bekomen wij:

dC dC ^_ dG ï)C, . dC . , dC dG dG dü dC dC

^e = W^q M^r M ^m ™ ï^{2 H}dö^(lt; a^^e' ■⁽⁷¹⁾

2^ ^=3^ 4-3g_M 3g₃r 3grS.......(72)

.......lt;⁷⁸gt;

...... W

'-=⁶Tgt; ³a4^..........lt;'⁵⁾

............(7e)

gt;=»»«•quot;»'•............lt;quot;gt;

24

§ 20, Van doze vergelijkingen is (72) een gevolg van (75), (76) en (77). Vermenigvuldigen wij de

drie laatsten met a en substitueeren de vergelijkingen (IC) dan hebben wij

^E=^6P^ ³^

^ = ^3PTB ^sliI5'............(^K)

P - 3 Q Q II ~

^b dD ^ itJ'J

Vermenigvuldigen wij nu ook (73) en (74) met a dan geeft do substitutie van (1G) ou (28).

...........„₈₎

^ ' 2 «3 _S f ^ 3 »-2 « ^3C 1 ( 2 P -12 ^ Ji - C H « ) dM dJV 9.4^ dD dE a \ dE dD /

^(¹«-^s?s-^3IiS)...........lt;⁷⁹)

Ten gevolge van (K) gaan deze vergelijkingen over in

o ar q T^C , _{0 n}dC , dC , . ₇, 3C , _{0 r} 96' , _Ar dC ^{2 M} = ^{s p}« ²«Sï quot;» «in ^s ^ivaü'

7, ÖC , , _OTgt;èC . „ÖC , ac, ^_TöC ......

^2L=^P dL ^2QdM ^SBd~JV ^I{ M ^'dD ^dË

Eindelijk vermenigvuldigen wij ook (71) met a, en de uitkomst gaat door substitutie van (16), (28) en (68) over in

, dC _n ^dC „ . dC „,*C_T , dC _Ar, dü _ArdC , , 90^ , dC ._n , 3^7 _r, , ⁶ dP 31^ dR dK dL^L dJr^M dN^N dA^A 5B^S ^D

^(2 Qquot; PU ~8^P-8 gpQ-3 g ^ - 3 f_EB') |(2 il/-8 P ^ -20 g - ^ -—.1)-

De vergelijking (80) wordt ten gevolge van (K) en (L) vereenvoudigd tot ,, öC „ , 9C „ , dC ₇, , 9C' _r_ . 36' _r , 06' ,, , ö(7 _T ÖC , DC dC dC

quot; = s^p ;,«« »* «* si^£T »'^f a'^, »* »-5» a»- m

Do vergelijlcing (S!) bewijst, dat. do gezochte betrekking ten opzichte van de daarin voorkomende grootheden homogeen moet zijn. Van de vergolijkingeu (K) en (L) zijn de respectieve integralen f, (P, Q, P, IC, L, M, JV, D, E, AR - 6 PC, 2 BP - AQ] — O,

f₂ (P, Q, E, K, L, M, N, A, B, EP - 6 PC, 2 ER - EQ) ~ O.............(XL)

f.. (P, 0. iv', K, L M, N, A, E, 3 PC - 4 QD, 3 PC - 4 QB) = O,

f'l (P, (3, A', iV, P, 2QA' - 3 PL, RL - 2 0,1/, 2 it¹ - 3 ylP, 3 L^J-4 BQ, M'—CR, MN- DU) = O, f, (P, Q, P, A', 2QN-ZKM, PM-2QL, 2 i\^r! - 8PP, SM'-ÜDQ, L- — CP, LK-BP) = O. (^XLI) Wij hebben nu zeven uitdrukkingen le zoeken, die in de eerste leden van al de vergelijkingen (XL) en (X LT) begrepen zijn, dan zullen wij do meest algemeer.e oplossing van liet stelsel differentiaal-vergelijkingen (K) en (li) gevonden hebben, wanneer wij eene willekeurige functie van deze zeven uitdrukkingen gelijk aan O stellen.

25

In de eerste plaats voldoen hieraan Q en li, die in alle vijf vergelijkingen voorkomen. Vervolgens de reeds vroeger gebruikte uitdrukkingen S en T, daar in (XLI) dezelfde uitdrukkingen voorkomen als in (XIII), terwijl aan (XL) door elke willekeurige functie van K, L enz. wordt voldaan.^ Eindelijk hebben wij de uitdrukking

BA* - 6 C1PF 8 BFQIi - iW -P7i)P- ₃₍p jq_é ^ ^ j I ^ Q³ W - IVF li*F')

9L*{F-R*-J^J3ll*) dM'iéQ'F'E. F'B*-Fli^-NHlGQ^ F - SQ'F'Ii SQ' FR¹-Fquot;- JP F³ ll-) SKL(2 QF'H- -gt; 2QB¹)-3/0/(4Q'F'11 4,(J* FB* -j- F'B'-F'B³-*- FR' - IV) - - KN{ZQ*Fⁱ -i- 8 QiFIt - 2 QB^ - ^qF'B^LM^QFB^^QF'B¹ - 2QF^B]-3LN{éQ'F3-- 4a² F-B - Fgt; B* FR* - F¹' B F* B') 3 71/^(8 Q^FB-SQW OQFB³ - ÏQF'B' 4- 2QF³ B) j ,

die, zoo als zich gemakkelijk laat verifieeren, aan de voorwaarden voldoet. Dit zelfde zal natuurlijk ook liet geval zijn met de uitdrukking, die wij bekomen door in de bovenstaande, F met /I, IC met N, L met J/ A met E en B met B te verwisselen.

Stellen wij nu deze twee uitdrukkingen respectievelijk door U en V voor, dan vinden wij voor de meest algemeene betrekking, onafhankelijk van den vorm der vergelijking,

f (P, Ö, B, S, 1\ U, V) = O..........(XLII)

§ 21. Differentieert men de waarde van U ten opzichte van 9-, en substitueert men in de uitkomst de vergelijkingen (13), (25) en (65), dan heeft men, de waarden van U en F-invoerende,

^cI^u-₌(W_₃P___iR\_u

dï \F ² Q ^ Qj K¹ Q ^PQ)^Vl en evenzoo ^2^

(13- \R Q ¹ Q) V ' « ^ m)

De uitdrukkingen 11 en V hebben het inconvenient van oneindig groot te worden voor F P — o Wij willen daarom twee andere, U' en F', invoeren, zoodanig dat

^U' = ^U- SP'B*(P B){Q' i'⁽¹⁰ QⁱPR^, WP^kR M'l^}'lt*-20Q'P'1{gt;-

- P»iï^J-8P»iJ» 5P»ie»-P^s7J«)^« (4 Qquot; Pgt; IV 4Qgt;Pie«-P»iJ» 5 PUV' -^P-R^-PR(,)_T1_

- 2 (4 QH^R ^Qn^r- -H 80³- QP'R* QPUV-T QF*U'' - QPll*)Srj,

^V' ~ ^V ~3 P^:R² {P R) (Q- - PR) {4 -(-(P- 72)² j'¹ '^1G Q^{llipi 4}' Q,² WP SQUVP* — IQQ'Rip* -

- R*pt - 8 RiPHS /i'P*-R'P*) r- (4 q?R*p* \,qiupi - ]t*p* m*p*-m*ps -RP*)8*~ -2(4§³J?2'P 4Q3-ffi²P! 8Q'iJP³-Qfi»P» ^«^'-7 QR^P* - QRP*)ST\.

Wanneer men hierin de waarden van U en F substitueert, verdwijnt do factor F ■ B uit den noemer. Daarvoor is echter nu do factor Q² - FB in de plaats gekomen, zoodat do uitdrukkingen IJ' en F', in geval Q° - FB — O is, onbruikbaar worden. In dat geval kan echter F B niet O worden, tenzij F, Q en B ieder afzonderlijk O zijn, zoodat wij ons dan weder van U en F bedienen kunnen. Differentieert men (a) ten opzichte van ,9- en substitueert men (13), (30) en (81), dan heeft men

=z Jt) U' ~ ' ^B2\v

te V P Q ² Q / V ² Q ² fq)

(1 *1 ......

te \ it - Q ² q ) V q ² RP) '

welke vergelijkingen volmaakt denzeifden vorm hebben als (81).

26

Zij nu Q = T (P, B, S, T, U', V')............{lt;;)

eene betrekking, onafhankelijk van den stand der coordinaten, dan hebben wij door naar 3- te differentieeren

dSr ~ ÖP (?9- ïli d3- iiS tl» ^ 33' dS dU' dB- ÖK' d*' ' ' ^ ' of. na substitutie van (13), (36), (82) en (g)

/'- P -O ^ O - 2 ^ O - ^ iPT-\-BT— 2 QS ÏQ ZltS PS-lQT ~ })P^H Hi ^V 05 P R •quot;^r

dQ ) _₃ ^_r Uquot;i( ^ I 1 ^L.\ y, I ^ j — a I 7' ? 1. 1 ÏL) IJ.] — o c\l

W\\P ÏQ) ^u ^VÏQ ÏPQ)* 1 ÖF'llj? ÏQ ⁵Q/ \?Q ^ï QK) ^U

waarin U' en V' naar willekeur door U en F vervangen kunnen worden. Van de partieele differentiaalvergelijking (N) is de integraal

.Tn , 7,^0 _nn PS-- 2QST nT' (Pi HP-Jf ill'Q^S'-^QlP'i-li^ST iRi BP'Jl' iP'Q^r² t \P-\-11, Q' IH, , Pquot; IV '

jjn ps ^-2 ü' F'(2 Q' —PR)-\- F'* R¹ U' S- P' {P - R)— V' T- Rquot;(R - 7^J) F'/S^! (PR² - P'- R-^RQquot;)-^_ipJt , Ql'iJi'

- irr{P^lR-PR^-^PQ')-^ U' STF' Q iiV'STR' Q-\ _

QP¹ li¹ J ^—

r „ ps² — 2qst rl² (p⁴ 3p⁵ gt;^-2 4»^-2 g²)s² —4g(r³ jiJ³)si (gt;'¹ 3igt;²gt;quot;² 4jj²g'')lt;²

^{1 1} T il' '! 'J P^r gt; ~ i pi _r'i ' gt;

n'¹ jt'¹ 2 u'v'iiqquot;¹ - pr] f'² gt;*² u' s'¹ p²{p—r) -v'f¹ r - (r-p) v' s²(pr²-])⁵ r-4 rq '■) - m ¹ lt;² (;)² r -pr '^l-ipq^tj-

4m' ^ïg ~j__q (XIj 1 lil

(/^⁵r² J ~ '

waarin de beteekenis van «' en v' geene opheldering behoeft.

De eerste vier der in (XLIII) voorkomende uitdrukkingen komen reeds in (XV) voor, en zijn reeds vroeger door P, Q, S, T voorgesteld, de beide laatsten willen wij respectievelijk door U' en V' uitdrukken, zoodat (XLTII) wordt

f (P, Q, S, T, U', V') ~ O.

§ 22. Van de eerste vier dezer grootheden hebben wij reeds in § 11 de beteekenis nagegaan. Om ook tot die van de beide laatste te geraken, differentieeren wij de vergelijkingen (37) nog eenmaal, waardoor wij vinden

a = («)0/-A («)]-ƒ/(«) [» -f, m V,quot;WA'W-hiAquot; (4A'(®) 6ƒ.quot; («)ƒ/(«),

b=-Aquot;(x)-A'quot;(x), c=0, d= O, e — 0....................(84)

Stelt men nu in (84) ,t — , y ■■ y_l,f'{x)-~y',fquot;(x)~y\fquot;'{x) — V'\ dan heeft men

« = 4(1/,'quot; y₂' y₂quot;'f/.O Cy/y./', b~--(y y₂'quot;], c = 0, d = 0, e = 0..........(85)

Brengt men de vergelijkingen (22), (38) en (85) over in de uitdrukkingen u' en v', dan vindt men

«'= 32 (pr H,¹ yry, 0 - My,'* iqilv⁹⁶^ Y ir^'

^-ry,' .....(₈₆)

v'=-32{_vry₂'* yry_t'³) Myr²f^ wv_i'² f^r.

on dit weder substitueerende in U' en V', hebben wij

_vl=-₁02Hy.'-y/)'\yry'-^rsr₁^-^rsr_T^ ^r!^_l lC^_ll...₎\, \'=:2m(ij_l'-y₂'y[y_lquot;'y₁quot;Hi y₁ⁿ) y₁quot;y_lquot;¹i^l yi'')-*yr-yrⁱ(y_l' yi¹)].....(⁸7)

in het vervolg zullen wij bewijzen, dat, wanneer eene parabool de nauwst mogelijke aanraking

27

(eene aanraking van de derde of hoogere orde) mefc eene kromme heeft, de boek tusschen de middellijn van de parabool en de gemeenschappelijke raaklijn gevonden wordt uit

........

3?/ ¹

Nu vindt men gemakkelijk uit (40) en (87)

_ 9U'Q(P^ 40) _ y,quot;'(l y,'°)-3y,quot;'_?y,'_wy/'(l y₂'0-3y/'_?/t' 04 S^s Sy,quot;^{2 x} 3?//» '

of, als wij de waarden van 6 voor de twee takken der kromme door c, en 6₁ voorstellen,

9U'Q(P-- 4Q)

cot lt;i_rcot ..........(XLIV)

- cotf _i -(- cotcj . . (XLV)

.......(XLVI)

U' - O..............(XLVII)

De parabool, die de nauwste aanraking met één

van de takken der kromme heeft, raakt dien tak aan in een punt, waar hare middellijn loodrecht op de raaklijn staat, en dus in den top. Zulk een punt heet een toppunt. Daar eene parabool in haren top eene aanraking van de derde orde met den kromtecirkel heeft, zal dit ook met eene kromme, die een toppunt heeft, in dat punt het geval zijn. Een toppunt heeft bovendien nog de eigenschap dat de kromtestraal er een maximum- of minimumwaarde bereikt ²).

In dit geval wordt do andere waaide van e blijkens (XLV) gevonden uit

3 V'Q

(XL VIII)

De voorwaarde, dat ook de tweede tak een toppunt moet hebben, is dus

V' =0.

Ingeval y,' en y₄' geen van beide O of co zijn, en y,' y₂' evenmin verdwijnt, en dus noch p, noch q, noch r gelijk aan O zijn, kunnen de beide vergelijkingen

U' — O, V — O............, (XLIX)

vervangen worden door

u' = 0, v' — O-,..............(L)

quot; - q ?/■ ?/.

hetwelk blijkt, wanneer men - 3 £ ^ ^

O gesteld, elimineert; men bekomt dan namelijk

112'

=y_l'yi'(yiquot;^! -yiquot;)=o,.........(90)

waaraan niet voldaan kan worden in de aangenomen onderstellingen. De vergelijkingen (L) kunnen dus

en dus zonder dat de

Vi'*,

niet plaats hebben, zonder dat y/quot;^-3 eny²'quot;-3-^——²-~ beiden O zijn,

l 2/i'²

vergelijkingen (XLIX) waarheid zijn.

4

1

) Zie over deze punten § 51.

2

') Zie § 51.

28

§ 23. In het geval

S — O..............(XVIIl)

worden de eerste leden van (XLIV) en (XLV) beide oneindig groot, waaruit volgt, dat ééne van de waarden van 6 gelijk aan 0 moet zijn; in eene van de krommingsparabolen (dezen naam willen wij aan de reeds in de vorige § genoemde parabolen geven) valt dus de middellijn met de raaklijn samen, zoodat de parabool zelve overgaat in twee samenvallende rechte lijnen. Dit heeft natuurlijk plaats bij dien tak, die volgens § 11 in dit geval een buigpunt heeft. Do andere waarde van 6 vindt men blijkens (XLVI) uit

¹⁶ V'

^tg ^ — aU(P^sH-4Q).............. ' )

Opdat deze tak een toppunt hebbe, moet dus even als in het algemeene geval

U' —- O..............(XLVI1)

zijn; deze voorwaarde is echter niet voldoende. In dit geval wordt namelijk, volgens § 11, ?/quot;, =0, zoodat de vergelijkingen (87) overgaan in

V' := -1024iy'\~y'iY {2/2quot; -zyr- _r]^\yiquot;,.......(9i)

V' = 2304 («/,' - J/,')² yrygt;quot; (1 2/.quot;),

en de tweede vergelijking (40) in

T ^ 144, (1 4- y₂quot;gt;.................(92)

Eene kromme, die in een van hare punten met de raaklijn eene aanraking van de tweede orde heeft, kan eene aanraking van de derde orde hebben met één van de takken eener lemniscaat in het middelpunt van die kromme. De as van die lemniscaat is, zoo als wij zien zullen, bepaald door de vergelijking

-■ = _±ll*pL .).............(03)

waarin «■ de bedoelde as voorstelt.

Door verschillende combinatiën van de vergelijkingen (91) en (92) vinden wij

258 TQ _ _(l Vt'r-y:' _ -±rita* (UU

911'(P²-MQ) |?y₁'quot;(l 2/₂'²)-82/₂y.;i2/_l'quot; quot; ^ ^{1 9 .}.....^(Lll)

16TQ _ (1 4-«/Z²)²--1_ ₂

SV' ~ 3 IJ,¹quot; ¹ ..........(^Lra'

üit (Lil) blijkt, dat voor U' =0 öf »■,, öf tg ê, oneindig groot moet zijn. Uit (LUI) zien wij, dat het eerste het geval zal zijn, wanneer ook V' — O is; het tweede, wanneer V' niet = O is.

Is dus U' = O en V' ^ O, dan heeft de tweede tak der kromme een toppunt. Is echter tegelijk U' r= O en V' = O, dan wordt de as van den reeds meermalen besproken lemniscaat oneindig groot; de lemniscaat zelf gaat daardoor over in een stelsel van twee elkander loodrecht snijdende rechte lijnen; de eerste tak der kromme heeft dus met eene rechte lijn, hare raaklijn, eene aanraking, die minstens van de derde orde is. In het algemeen zal deze tak dus een buigpunt van de tweede soort hebben.

Wanneer niet alleen IJ' = O en V' = O, maar ook nog

= ⁰.............(LIV)

is, zal volgens (LI) ook Uj 6^ — m zijn, en zullen dus beide omstandigheden tegelijk plaats hebben.

§ Hl. In het geval

S =r O, T = ü..............(XX)

') Zie § 52.

29

waarvoor wij in de meeste gevallen ook s — O, t = O kunnen stellen, verdwijnen drie van de zes in (XLIII) voorkomende uitdrukkingen, terwijl wij slechts twee betrekkingen tusschen de grootheden p, q, r,k enz. verondersteld hebben. Wij kunnen dus de integraal van (\) in dit geval niet rechtstreeks uit het algemeene geval afleiden. Wij vinden voor die integraal langs andere wegen

^U*P* 2ür(2Qi-PR) r'R' UPi 2UP''R {UR -VP){iQ'--8PR) 2rPE'-\-VR^__

\ ' Q'PRt ' PR /

= t(p _r q' -rr ²u°^{p, 2}quot;'~P^r) i''■ r' up' ^np'r jiir vp) (4g--Zpr) 2vpr- vr\\_ri

\ q-pr ' pr '

Het onderscheid tusschen TJ' en V, en F' en F vervalt in dit geval geheel, daar in al deze uitdrukkingen al de termen verdwijnen, die niet ééne der grootheden A, li, C, J) of E tot factor hebben. Volgens § 11 hebben in dit geval beide takken der kromme buigpunten, die in het algemeen van de eerste soort zijn, en zijn zoowel y,quot; als y_tquot; gelijk aan 0; en de substitutie van de vergelijkingen (22), (38) en (85) in de uitdrukkingen voor u en v geeft ons

M 32 (yrvt yquot; Vy), V = ^- 32 (?/,quot; j/j'³ y₂'quot;y .....(^ö4)

en, wanneer wij deze beide waarden substitueeren in de beide laatste uitdrukkingen in (LV), die wij door U en V zullen voorstellen,

U = - 1024^,y/'j,/',...............(95)

V = \ yr^ y_iⁿy .V2quot; a 2/. ³)^! | •

Hieruit leidt men gemakkelijk de volgende betrekkingen af

₌ ............_(LVI)

± ¹⁶ 3 ............(LVlIl

De teekens moeten steeds zoo genomen worden, dat en r₂ beide bestaanbaar zijn; terwijl in (LVI1) de bovenste en onderste teekens al of niet bij elkander behooren, naarmate de hoeken, die de beide lemniscaatassen maken met de raaklijnen, waarbij zij behooren, in dezelfde richting gerekend, gelijk of elkanders supplementen zijn. Het eerste geval heeft plaats, wanneer het tweede lid van(LVT) positief, het tweede wanneer dit negatief is. Dit alles geldt natuurlijk slechts wanneer q'-pr — Q positief is; is deze uitdrukking negatief, dan zijn «■, en o-₂ onbestaanbaar, en dit bepaalt dan de keuze der teekens. De regel voor de teekens kan derhalve ook aldus worden uitgedrukt. Indien U positief is, heeft het eerste lid van (LVI) het positieve teeken, terwijl in (LVH) =■,² en lt;r₂^: verschillende teekens hebben. Is U negatief, dan komt voor het eerste lid van (LVI) het teeken — en in (LVII) hebben o-,² en o-₂^! gelijke teekens. De grootste van de beide grootheden =■ 1² en a-₂ '² heeft het positieve of negatieve teeken, naarmate U en V gelijke of ongelijke teekens hebben.

Deelt men (LVII) door (LVI), dan heeft men

^± (^ i ïV) = ! (4(i°p.)K0.........I™quot;!

üit (LVII) en (LVI) ziet men nu, dat, opdat eene van de waarden van»-, r, b.v. oneindig groot weide, U = O moet zijn. üit (LVlII) volgt dan, dat de andere bepaald wordt door de vergelijking

1 3 V

V ^ 4(4Q P') Q...........(^LIX)

en dat dus, opdat ook o-_, = oc zij, vereischt wordt, dat V = O zij.

................(LX)

is dus de voorwaarde, dat een van de takken der kromme eene aanraking van de derde orde met de

30

raaklijn, eu dus in het algemeen een buigpunt van do tweede soort vertoont; terwijl

ttJ m 0, V — o.............(LXI)

de voorwaarden zijn, dat dit met beide takken het geval is.

De vergelijkingen (LXI) kunnen weder vervangen worden door

u — O, v — O,.............(LXI1)

mits geene van de drie grootheden p, q en r verdwijne. Dit wordt op dezelfde wijze bewezen als voor U' en v' in § 22.

De vergelijking ^ — O..............(LX1I1)

drukt, wanneer ttJ positief is, op zich zelf uit, dat do beide lemniscaten gelijk zijn, en met betrekking tot de raaklijn gelijke ligging hebben. Is in dit geval bovendien p r — O, zoodat de takken der kromme loodrecht op elkander staan, dan is dit ook met de beide lemniscaatassen het geval, en de twee takken van do eene lemniscaat raken de twee takken van de andere aan. In dit geval kan echter aan (LXIII) niet anders worden voldaan dan door

ur -h vp — O.............(LXIV)

In geval u negatief is kan de vergelijking (LXIII) niet plaats hebben '). Telt men dan echter het vierkant van (LVII) en het viervoud van (LVI) bij elkander, dan heeft men

('V-V)^s = ²⁵⁶ ^^!' ^V' ^ ^ ¹¹'........(LXV)

De vergelijking

quot;v ⁵ 4- ^ l^,!) «1 = 0..........(LXVI)

bevat dus de voorwaarde dat beide lemniscaten gelijk zijn, en verschillende ligging hebben met betrekking tot de bijbehoorende raaklijnen. Is hier p 4 r = O, dan kan aan (LXVI) alleen worden voldaan door

nr - tp — O.............(LXVII)

In dit geval vallen de beide lemniscaten geheel samen.

De vergelijking (LXVI) kan op hare beurt niet plaats hebben, wanneer U positief is.

§ 25. Thans ligt ter beschouwing aan de beurt het geval

q' - pr — O,..............(X)

waarvan wij de behandeling § 1'i hebben afgebroken.

De integraal van (.\) wordt in dit geval / SyP 'fyE S{P-'lll)yF-T{R-2P)yli UP VR U{ZR-P)P-V[ZP-li)R\ \ '' y PR ~ ~ PR ¹ PR ' FRyPR )~

f / . _r syp tvr s(p-2r)yp-t[r-2p) \/r up vr u\Zr-p)p - v[3p - r)r\__ ₀ _ (LXVIin ' y pr ' pr ' pr ' pr y pr /• ' '

In dit geval heeft de kromme, zooals wij gezien hebben, in het algemeen een keerpunt van de eerste soort. In het algemeene geval zouden wij ter verdere onderscheiding de hulp van tamelijk ingewikkelde kromme lijnen moeten inroepen. In het geval

s(p - 2r)yp-t{r - lp) y r _ ₀ _ ... (XXV11) pr ..........*

echter, waarin de kromme eene nauwere aanraking (eene aanraking van de orde V₂) niet eene semicubische

parabool heeft, kunnen wij de voorwaarden zoeken voor eene aanraking van nog hoogere orde met die

kromme.

') Uit de eerste vergelijking (95) ziet men namelijk, dat y,quot; en y₂quot; gelijke teek ons moeten hebben, en uit de tweede, dat in die veronderstelling \ niet O kan zijn.

31

Nemen wij weder hetzelfde coördinatenstelsel aan als in § 14, dan hebben wij

'quot;(Ay)' /t(A a;)³-f-3 Z(A a;)² A 2/ 3«? (A®) (A'/)⁵ «(A «/)³ 12 f • ₁₂₃ • l

a(amp;x)* U(Aocy (Ay) 4-6c (A x)' (Ay)² -4-4d(A.t) (A c(A f/)i

1.2.3.4 L—0-, (J)

waarin nu ten gevolge van (XXVII) l = O wordt.

Voor de semicubische parabool is

n^y)¹ -{amp;xy=:0.............(96)

Voor deze zijn dus al de termen van hoogere orde dan (A x)* en (A»/)² gelijk aan 0; in (J) zijn de termen, die

na~(Ax)^Q A y van de laagste orde zijn, —^ ⁰⁰^ en • Substitueeren wij nu in de eerste

van deze termen de waarde van (A y)quot;¹ uit (F'), dan is de som van beide termen

/ 4amp;m\(Aa;)^,:

(quot; ^— quot;7quot; ) 21 '

Deze uitdrukking gedeeld door den coefficient van (Ay)³, dat is door r, moet dus gelijk aan O zijn. Zij is bij den aangenomen stand der coordinaten gelijk aan

, up v r ^ pr(p -{• r)²'

en daar deze uitdrukking van den stand der coordinaten onafhankelijk is, zal onder alle omstandigheden de gezochte voorwaarde zijn

— i/ V ~ O............(LXIX)

De aanraking tusschen beide krommen klimt in dit geval tot de tweede orde op.

Ook de voorwaarde voor eene aanraking van nog hoogere orde, en wel van de orde laat zich nog met behulp van differentiaalquotienten van de tweede, derde en vierde orde uitdrukken. Daartoe wordt ver-eischt, dat de termen

n(amp;y)* hiamp;x)* Ly 6 ^en 6

uit de vergelijking (J) verdwijnen.

Als wij in de eerste de waarde van (A?y)² uit [F') substitueeren, wordt de som van beide termen

2/gt;

3 r

hr* -^ — 0,...............(97)

i^r-p)-vr^p-rl _{= 0} ...........

prypr ^K '

en, daar deze vergelijking van den coordinatenstand onafhankelijk is, bevat zij do gezochte voorwaarde in het algemeen.

') Altijd in aanmerking nemende de vergelijking (XXVII),

32

§ 26. In het geval

ypr ...........(XXV)

wordt in (-/) k 0; zoodat die vergelijking overgaat in

r(Ajy)'² SliAx)* /ly Xmamp;xiamp;y)¹ n(t\y)³ 1.2 T7273

, a[Ax)ⁱ 4,l){amp;x)³Av Gc(amp;xy{amp;y)- 4dAx(!±v)* c(Av)¹' , „ „ t- 1.2.3.4 ^--- K = 0 . . (Lr)

Hieraan kan slechts door ééne onderstelling voldaan worden namelijk dat Ay van dezelfde orde is als (Zix). De vergelijking (Cr) gaat hierdoor over in

~{Ayy ~{Axy Ay-i-^(Axy K z=0',........(fiu)

waaruit wij reeds in § 14 de conclusie getrokken hebben, dat de kromme in dit geval twee doorloopende takken vertoont, die met elkander en met de raaklijn eene aanraking hebben, welke minstens van de eerste orde is; of dat het punt een afgezonderd punt is. Ook de beteekenis van de vergelijking

s(p - 2 r) » — t(r — 2«) y r

-........(xxvn)

hebben wij daar reeds nagegaan.

Hier kunnen wij verder gaan en de wortels van (Cr') onderzoeken. Deze zijn

A — 1 - 5 «gt;quot;), ,, ttir

^A?y—quot;i-—-^(A«)² R..............(98)

De coefficient van (A x) in het tweede lid is gelijk aan de uitdrukking

_ , s{p-2r)yp-t{r-'2p)i,^/r up vr {s{p-2r)Vp-t[r-2p)\/r\^t\

pr(p r)\ pr{p r)³ Wp-r^p r)* )•

Het bestaanbaar of onbestaanbaar zijn van de waarden van Ay hangt dus af van het positief of negatief zijn van

i ^vr . \s{p - 2r)\/p -t{r - 2^) j/»- j ² 1'pr{p r)⁹ SGj)²»-² (jp-)-r)⁵ '

In het eerste geval zal de kromme dus twee doorloopende takken, in het tweede een afgezonderd punt hebben.

De beide waarden van Ay in (98) hebben hetzelfde of verschillende teekens naarmate - positief of negatief is; ~ is echter hetzelfde als De beide takken van de kromme keeren elkander

H7)VV

dus de bolle zijde toe, wanneer p_r^p_^_ry positief is; zij liggen aan dezelfde zijde van de raaklijn, wanneer die uitdrukking negatief is. Is

un -f- vr

............(LXXJ)

dan is eene van de waarden van Ay van hoogere orde dan (A x)\ en wel van dezelfde orde als (Ax)'^J. In die onderstelling wordt namelijk (Cr)

—— CAxl⁵ 1{A xy Ay . Sa;⁵ ^

of 6 i2Ö^ «-^ü-...........(K)

^y da:⁵ 2{jl .............\^K)

33

Deze waarde van Ly verandert met A x van teeken. De tak, waarbij zij behoort, snijdt dus de raaklijn in het beschouwde punt, en heeft daarmede eene aanraking van de tweede orde. Deze tak vertoont dus een buigpunt van de eerste soort.

ö⁵ f

Dit alles geldt niet meer, wanneer — O mogt zijn; dan wordt de aanraking van de derde orde,

tenzij nog meer volgende partieele differentiaalquotienten verdwenen, waardoor de aanraking van nog hoogere orde zou worden. Het is niet moeielijk dit verder voort te zetten; alleen zouden wij, om de algemeene kenmerken voor de gevonden bijzonderheden te vinden, betrekkingen tusschen de partieele differentiaalquotienten van hoogere dan de vierde orde noodig hebben. Van den anderen tak der kromme blijft gelden, wat in het algemeene geval van beide gezegd is.

§ 27. Had niet vergelijking (LXX1), maar de volgende

ttff-f-w {sQ - Ir) \/p-\-t{r- 2p)y r]

pr O j)^a r¹ (p -j- r)²

plaats, dan zouden de waarden van Ay uit (98), op een verschil van hoogere orde na, gelijk zijn. De eerste drie termen van het eerste lid van ((/') vormen in dit geval een volkomen vierkant, en het zal dus van het teeken van R' afhangen, of de beide waarden van A y bestaanbaar of onbestaanbaar znllen zijn. De in li' begrepen termen van de laagste orde, die dus het teeken van K' bepalen, zijn

^ f (Ar)⁵

m Ax(A y)⁵ , hiAx)² (Ay) . ' —

2 ^ ö 120 quot;quot;

(60w(A«/)² 20ZA2/(Aaj)^!!

De tusschen haakjes staande vorm ondergaat door eene teekenverandering van A x slechts veranderingen van hoogere orde, de geheele uitdrukking, en dus ook E' verandert derhalve van teeken met A x. Zijn dus de waarden van Ly bestaanbaar voor positieve waarden van A.x-, dan zijn zij voor negatieve onbestaanbaar en omgekeerd. De kromme bezit dus in het beschouwde punt twee afgebroken takken, die dezelfde raaklijn hebben en aan dezelfde zijde van de raaklijn gelegen zijn. Een punt, waar dit plaats heeft, noemt men een leerpunt van de tweede soort. Het verschil tusschen de waarden van A«/ is hier van de orde |, derhalve de aanraking van de beide takken onderling van de orde

Dit alles zou niet meer waar zijn, wanneer bovenstaande uitdrukking gelijk aan O was. Het teeken van R' zou dan bepaald worden door

w(Ay)³ c[tix)-{Lyy ,__(Axy Ay 3V(Ax)⁰

O 4 öajtöi/ 24 da'⁰ quot;720 '

en dus van dat van Ax volkomen onafhankelijk zijn. De kromme zou dus in'dit geval twee doorloopende takken bezitten, die met elkander eene aanraking van de tweede orde zouden hebben; of het punt zou een afgezonderd punt zijn. Het is duidelijk hoe men deze beschouwingen kan voortzetten. Hierbij geldt echter dezelfde opmerking, die aan het slot van § 20 gemaakt is.

Hebben de vergelijkingen (XXVII) en (LXXI), en dus ook (LXXII), tegelijk plaats, dan zijn in (G) beide l en a gelijk aan 0. De eenige veronderstelling waardoor dan aan die vergelijking voldaan kan worden is, dat (A y)² van dezelfde orde is als (Ax)⁵. Zij neemt daardoor den vorm aan

1

120 ^{4 U} —⁰gt;...........(^Z)

2

A y gaat dus door eene teeken verandering van (Aa;) van bestaanbaar in onbestaanbaar over, of omgekeerd; terwijl de twee waarden van A?/, als zij bestaanbaar zijn, verschillende teekens hebben. Wij hebben dus

34

hier weder een keerpunt van de eerste soort. De takken hebben hier echter eene aanraking van de orde ^ raet de raaklijn en met elkander.

§ 28. Het geval van § 26 laat zich nog op eene andere wijze behandelen.

Brengt men namelijk de vergelijking der kromme weder onder den vorm (J?) en substitueert men de daaraan beantwoordende waarden van p, q enz. in u en v, in aanmerking nemende, dat hier — is; dan vindt men

« = 32 y,j/,'- 48

¹ ₍ ......(99)

v=- 32 (y/quot; y/quot;)«/,'» -¹⁴⁴

^L quot;• ;/1

en de substitutie hiervan geeft

^UP ^W — 4Sy _tquot; y ,.............(100)

terwijl wij door substitutie van (39) hebben

s(p-2r)x/p-Hr-2x)iSr__ _/0, _[„_n|^.......(^l)

pr

Door combinatie van deze vergelijkingen met

[p r) = 2(l y_{quot;)

heeft men

_ vp-bvr _ y^'y,quot; _ J_.........(LXX1II)

6pr(p r)³ (1 ?/,')³ fi?2

en

_ s(p-2r)\/p-t(r-2j)) __ y,quot; ?// _ J_^_L_;.....(LXXIV)

6pr{p r) i(/2 (I t//²) ^ ?j

waaruit zich gemakkelijk al de uitkomsten van § 26 laten afleiden. Bovendien verschaft ons de substitutie

van (99) „

u(Sr-p)v-v[Zp-r)r__M (102)

prx'pr

dus

it (3 r - j)) j) - (3p - r) r _ (?y,quot;' ?/ j'quot;) (1 y i'^a) ~ ³ ?/1' (y iquot;' .V iquot;quot;) — ^j. -j. ¹lh. . (LXXV) i2 'O³

In hot geval van vergelijking (XXVII) wordt ?, fj = 0. Is dus in dit geval bovendien

M(3r - .........(LXXVI)

pr\/ pr

dan is ook tg e, =■ tg fi,; en de takken zouden eene aanraking van de derde orde met elkander hebben, als een daarvan om de raaklijn werd omgeslagen.

§ 29. Wij zijn met onze beschouwingen genaderd tot het geval

p — q = r — O..............(-^I)

De vergelijking (XXXIX) wordt in deze onderstelling {[(K My-\-{L Ny,L* - iO/ M^! -£iV,4(Z^! - KM){M- -LN) - [KM-LF)'',A 2C-\-E,{A G)' 2(^ Z)_y⁵ (C i7)^!,(S² -^0) 2(C^: - BZgt;) (Z)^! - CE),^* - AC-\r C* - BB)[C* - BD D°-- CE)--[[AD~ BC] {BE-DC) j % [(5² -AC)-^- C^) j [KN - LM) - j {M- - LN) - (K* - KM) j j [AB-BO) -

- {BE- B O) | ] = O,..........................(LXXVTI)

en het stelsel vergelijkingen (68) en (28)

35

^=aa 4cA:, K—ak,

-® — 86-|-3cZ-)-dS, L~ rI ,

0=ac 2d? 2cm, M=am,........(103)

D = amp;d-\-SAm-\-c.n, N=an.

E—ae-\-4tAn,

Laat nu C = F (K, L, M, N, A, B, D, E)......... . Qï)

eene betrekking zijn, die onafhankelijk is van den vorm der vergelijking, dan hebben wij door naar a, c en d te differentieeren,

da öiT da dL da ?M da dJV da ïA da da dD da DS da'

dc ÏKdc ÏL de dc 'dNdc 'dA de *Bdc ZDdc tE de' ' ' ⁽ dC^'dFdK.dFdL. lt;U . dj? cW dj) W ^

dd ~ ÖK dd ^ dL dd ^ èM dA öiV dd èA dd ^ dB dil dl) dd dE dd'

hetwelk door substitutie van (h) en van de volgende vergelijkingen, die men bekomt door (103) te differentieeren,

dA dB dC dD dE dK ₇ dL , dM dN dï-^a'dï=^b'ciï=^zC'cü= ^d' ^=^e'cü=^=lc'ciï = ¹'lï = ^m'dï = ⁿ'

dA. _A1, dB dG „ dD dE _A dK dL dM dN _n

-T-= amp; Ic, -T-=31,-j-= 2m,-_T-= n.-T-=0,-Y-=-T-—-T—=-^r = 0, . . 105)

dc dc dc ^, dc dc. dc dedede ¹

dA dB , dC dD ₀ dE _A dK dL dM dN _n

^d-⁰'5d ^{= A}'dd⁼^dd = ^3w'dd=^4w' m=i:A = iiA=M=⁰'

overgaat in

. _ SC , 3(7 ₇ SC ^dC dC dC_l.dC,.dO^

^C-dK^k M^l dM^m TNⁿ dA^a dB^b^dD^d dÊ^e'- • ■ ■ ^(10b)

₂,» = g« g8! g«,...........(107)

²ⁱ=sⁱ »²» !s³«...........f™'

Door deze vergelijkingen met a, c en d te vermenigvuldigen eu (103) te substitueeren hebben wij

r — ^dc /ra.⁰⁰ t j.*^c . , öC _D , dC dC _T1 , c/₀,.. .dC „ _QdC_r dC _A7\ ,

^ — Tïr quot;tquot; Tr quot;T STiV-^quot;t- ^ir:N -f- ~ ^4 4- B -f - — D - ( 2iW-4^--TA—3r-j;L —r-jriV j

dK dL dM dN dA ^ dB ¹ dD dE a\ dB dD /

■••■■■.............iquot;»»

«=^^ 3^ gif,

...........

De vergelijking (109] gaat ten gevolge van de beide anderen over in

r — ⁰⁽⁷ 7.'-4-⁰⁽⁷ r ⁰⁽⁷ .r L ^ nr-L. A . W dG „ dC ^

^c - ö7r^A öZ ^x ^ diö ^ö 51' ^.....^(P)

Deze vergelijking leert ons weder, dat even als altijd de gezochte betrekkingen homogeen moeten zijn. Van (O) zijn de respective integralen

1

{K, L, M, N, U, 3 AL - 4 BK, 2 BM — 3 CL, CN - 2 BM) =^0, xXVim

2

Om dus de meest algemeene oplossing van de vraag te hebben, moeten wij zeven uitdrukkingen

3

5

30

vinden, die tegelijk in de eerste leden van de beide vergelijkingen (LXXV11I) begrepen zijn. Hieraan voldoen in de eerste plaats K, L, M en N, en in de tweede plaats de drie uitdrukkingen

N'A-éKND 3KME = ^{3AL-éBK)i-²^^{2BM-dGL)-b²-^{GN-2DM}

3 KME - N'A Jf (3 ME - éBN),

3MNA-6KNG SLKE =~{3AL-éBK) ^{2BM-3CL) 3KLi:=~{SEM- éI)N)-h

^2KN{2DL-3 CM) 3NMA,

M

K'E-^ KNBn-3 LNA = IDE N{3LA-éBK) = |^(3 EM- 4DN) 1^(2 J)L - 3CM)

^2KN(CK-2BL) SLNA.

¹ L

Stellen wij deze drie uitdrukkingen respectievelijk voor door G, 211 en I, dan is de gezochte betrekking

({K,L,M,N,G,H,I) = 0..........(LXX1X)

§ 30. Schrijven wij deze vergelijking onder den vorm

H= F [E, L, M, N, G-, T),.............(i)

en onderstellen wij deze betrekking onafhankelijk van den stand der coordinaten; differentieeren wij naar 3-, en substitueeren wij dan de vergelijkingen (25) en (i), benevens de volgende

= .........(no)

— —~G 4iH - — /•

¹¹ N '

dan bekomen wij

.N L» ₃KM-LN„ „öfl _r , , dff.,, _OT,

m ^l *L ^k^ m^(N-²ⁱ)

₀ öff „ , m(3L_{n A} ' JV_r\ , dG/K„ , _{A Tr} 3M \

ZN dG\K K) dI\N N )......

De vergelijkingen (110) zijn gevonden door de uitdrukkingen voor G, H en I te differentieeren naar 9-, in de uitkomsten de vergelijkingen (25) en (65) te substitueeren, en daarna weder G, H en I in te voeren.

De algemeen integraal van (q) is wel te vinden, maar onhandelbaar wegens hare omslagtigheid. Wij zullen daarom trachten op eene andere wijze ons doel te bereiken.

In de eerste plaats merken wij daartoe op, dat, wanneer

G = H = I—O.............(111)

is, blijkens (110) ook

dO dU dl _n

ï§=lt;fö=®=⁰.............(¹¹²)

moet zijn; wanneer namelijk K of N niet gelijk aan O zijn, een geval waarop wij later terug komen. De vergelijkingen (111) zijn dus onafhankelijk van de richting der coordinaten, en kunnen derhalve eene meetkunstige beteekenis hebben.

Ten tweede vormen wij de uitdrukkingen

37

S'^G* K 2HIN-SGIM, T'= P N 2HGK-GIL. ')......M

Differentieeren wij deze vergelijkingen naar 9-, en substitueeren wij de vergelijkingen (25) en (110), dan hehben wij

S=(¹7--³ï-^lt;,l)^s,-(³ 4)^r'- _(U3)

üit (113) ziet men, dat de betrekkingen

S' = T' = 0..............(114)

onafhankelijk van het coordinaten-stelsel bestaan, mits geen van de grootheden K, N, G oï I verdwijne. is echter G oï I gelijk aan O, dan kunnen S' en I' niet O zijn, zonder dat ook K of N verdwijnt. Zijn G en I beide O, dan verdwijnen S' en T' van zeil'. Dit geval is een geval van uitzondering, waarop wij terugkomen.

In de derde plaats eindelijk beschouwen wij de uitdrukking

S'²7-2Squot;2quot;H r³ ö ,, S=--oj-. • • ..........w

en differentieeren ook deze naar 9-; dan vinden wij na de noodige substitutiën

(7S;

dSr

waaruit blijkt, dat ook de vergelijking

S' - O...............(116)

onafhankelijk van het aangenomen stelsel van coordinaten bestaat.

§ 31. Trachten wij thans de meetkunstige beteekenis der vergelijkingen (111), (114) en (116) op te sporen, waartoe wij de vergelijking dor kromme in den vorm (I) brengen. Door dan de vergelijkingen (61) nog eenmaal te differentieeren hebben wij

a=- x/r {x) [y-A (*)] [y - f, (*)] 4 z ƒ.[x)/,' lx) [y -f₃' (x)] 6 s ƒ/' (*)ƒ/' ix) [y - f, (*)] -- 12 s ƒ.quot; (x)A' [x)f₃' (x), h = - sƒ ₁quot; (x) [y f₂ (i:)J 3 s ƒ,quot; (aj)/j' (x), c ^ - 2 s ƒ,quot; (x)

d — 0,e = 0,.............................C¹¹^)

of, als wij x=x_i,y=y_lJ'{x)=y',fquot;(x)=yquot;stellen,

a=-12sy_iquot;y₂^ly₃',h=S2y_lquot;(y₂^l y₃'),c=-2zy_tquot;,d=0,e=0.....(118)

Substitueeren wij nu de vergelijkingen (162) en (118) in de uitdrukkingen g, li en i, die op dezelfde wijze uit h, l enz gevormd zijn als G, H en I uit K, L, enz.; dan vinden wij (7 = - 432 (y_lquot;y_i'y.,' y₁quot;y.'y₃'-hy₃''y_l'y_i'),

li= 2\Q\y_lquot;y_i'y₃'{y,^, y₃') y.^y_l^,y₃^l{y_i' y_s'Hy''y_l'y₁^l{y_i' y;')\,. • • (119) v — -éS2{y_lquot;y₂'ⁱy₃^l:! y₂quot;y_l'^ty₃^l' y₃quot;yiⁿy_i¹').

De substitutie hiervan in s' en t', die overeenkomen met 6quot; en T', geeft

s'=in97M\y₂quot;y₃quot;{y₂^l-y₃^lyy,'^,y₂'y₃' y₃quot;y_lquot;{y₃'-y_l')^,y_lquot;y₃^ly_l' y_iquot;y_iquot;(y_t^l-y₁'yyiquot;yi'yi\, t'=-nm4_i4_l\y₁quot;y₃quot;(y_i'-y_sr-y_iquot;^,y₁'y₃-hy₃quot;y_lquot;{y₃'-y_l'yy'i''y₃'yi' yi^ryiquot;iyi'-yi'yy₃'ⁱyi^lyi'\-, (¹²⁰)

en de substitutie van deze waarden eindelijk verschaft ons

^squot;ⁱ~^2s'^{tlh t}'^ij-=G7i84_!6i(y/-y₁'y(y_i'-y₃r(y₃^,-y_i'yy,ⁿy_tⁿy₃''_ytquot;y^quot;_y3quot; ■ (¹²¹)

9¹

Wanneer wij hier in (121) nog onderstellen, dat geen der waarden van y,?/₂' en i/₃'aanelkan-') Deze uitdrukkingen zijn in vorm volkomen gelijk aan S en T.

38

der gelijk zijn, en geen \an deze diie grootheden gelijk aan O wordt, een geval waarop wij later terug komen; dan drukt de vergelijking

s'H- 2s^lt^lh t'²q

-Ji-- = ⁰'............(LXXX)

die blijkens (116) bij eene verandering van coordinaten niet ophoudt waarheid te zijn, uit, dat ééne van de drie giootheden y_iquot;,y_ïquot; en y₃quot; gelijk aan O moet zijn. Daar de waarden der drie kromtestralen zijn __(¹ ?/₁'²)* (l ?/'₂²)⁵ (1 »/,'=)'

.......(^l22)

sluit het O zijn van ééne van de waarden van yquot; het oneindig zijn van één der kromtestralen in zich. De vergelijking (LXXX) beteekent dus, dat één van de drie takken der kromme in het beschouwde punt een buigpunt heeft.

Lost men uit de vergelijkingen

8'= 0,^=0,............(LXXXI)

die men voor (114) in de plaats kan stellen, na voor s' en t' hare waarden uit (120) substitueerd

?/iquot; y quot;

te hebben, ^en^,, op, dan verkrijgt men twee vergelijkingen, die men gemakkelijk tot

g = i = 0,..............(123)

herleiden kan. Hieruit volgt, dat, wanneer niet ^ t = O is, aan (LXXXI) niet kan worden voldaan dan daardoor, dat minstens twee van de grootheden en gelijk aan O zijn. De vergelijkingen (LXXXI) drukken dus uit, dat twee van de takken der kromme in het beschouwde punt een buigpunt vertoonen.

Het geval, dat g — i = 0 is, zonder dat tevens h = O wordt, en ook zonder dat Jc of n gelijk aan O zijn, is een geval van uitzondering, dat zich kort laat afmaken; s' en t' verdwijnen dan beiden, maar (121) wordt dan

*h³kn = (i7L84.M(y_l^l-y₂y' {y_2l-y₃y y^y^y^y^y^y^. _ . _(m)

waaruit blijkt, dat dan geen van de waarden van yquot; verdwijnen kan.

Thans blijft ons nog te onderzoeken de beteekenis van de vergelijkingen

g = h = i = O............(LXXXII)

waardoor wij (111) kunnen vervangen. Wanneer men uit deze vergelijkingen, na voor g, h en i hare waarde uit (119) gesubstitueerd te hebben, y_tquot;, y₂quot; en y₃' elimineert, bekomt men de vergelijking Viifv yjih

y.'y.' Jh'y₃'{y^y.:), y^'iy,' y_l') =[y,-y_i)(y_i-y₁){y_l-y₃)y_l'*y^=o._[m]

y'-yr-, yry₃'\ y₃'*yr

Hieraan kan, behoudens onze aangenomen onderstellingen, niet worden voldaan. Het gelijktijdig bestaan van de vergelijkingen (LXXXII) vereischt dus, dat y_tquot;,y₂quot; eny,quot; allen gelijk aan O zijn. Deze vergelijkingen drukken derhalveuit, dat de drie takken der kromme in het beschouwde punt buigpunten hebben.

§ 32. Wij hebben tot nog toe ondersteld, dat k en n van O verschilden. Nemen wij thans aan, dat 1c = O is, n echter niet. In dat geval wordt ééne van de drie waarden van y', b.v. y,' gelijk aan O; de vergelijking (119) gaan dan over in

(J = ~Wly₃ⁿy_x'y₁', h=2lQy^ y^ y^'(y^' _ ₍₁₂₆₎

Bovendien is dan

g = a, 2h = 8lna, i — Smna..........(127)

CJit de vergelijkingen (LXXXII), die in dit geval samengevat kunnen worden in deze ééne

^a = ⁰'............(LXXXII)

39

laat zich dus niets anders afleiden, dan dat = O is; met andere woorden, dat één van de takken der kromme, en wel die, welke de x as aanraakt, een buigpunt heeft.

In dit geval beschouwen wij nog de uitdrukkingen

gj — 27 emP — 36 dnP -f-12 hnH — 3 an* m, .

eni_I=27em²Z — 3Q dlmn IS cn^ll—9ePn-—an³,

die in de eerste leden van (LXXVIIIj begrepen zijn, en dus onafhankelijk zijn van den vorm der vergelijking. Van onafhankelijkheid van de coordinaten kan hier geen sprake zijn, daar wij eene bijzonderen coordiuaten-stand hebben aangenomen. Substitueeren wij nu in (|) de vergelijkingen (62) en (118), na daarin y₃' ~ O gesteld te hebben, dan vinden wij

01 — 2592 y_t' y,' {y_lquot;y_i^, y_iquot;y_l') ₍₁₂₈₎

i_I = 2692y_l'y_i'(y_lquot; y₁''). ...........

Eindelijk vormen wij de uitdrukking

özn .......i • • • • w

die door substitutie van (62) en (128) overgaat in

G, = - 18436928(2/,' - y_t'yy₁'y₁^ly_l'y_tquot;..........(129)

Uit (129) blijkt dat de vergelijking

G, = O.............(LXXXIV)

de voorwaarde bevat, dat één van de beide takken, die de cc _ as niet aanraken, een buigpunt vertoont. Elimineert men uit

g.-it =0.............(LXXXV)

na voor g_I en r, hare waarde uit (128) gesteld te hebben, de beide grootheden ?/,quot; en dan vindt men

^y''ygt;y*'y\ =y_l'*y_iquot;{y_t^,-y_t')=o,........(130)

2/. 2/2. Vi'VÏ

waaraan bij de aangenomene onderstellingen niet kan worden voldaan. De vergelijkingen (LXXXV) vorderen dus, dat I/,quot; = O en t/jquot; = O, en bevatten derhalve de voorwaarden, dat beide takken der kromme, die de x as niet aanraken, buigpunten hebben.

In het geval, dat w = O, amp; ig O is, bereiken wij gemakkelijk ons doel door de x _ as met de y - as te verwisselen. Het blijkt op die wijze onmiddellijk, dat één der takken de y as aanraakt; dat deze tak een buigpunt heeft, ingeval

e — O :........(LXXXVI)

is; dat de beide andere takken buigpunten hebben voor

gaP m ~ ZQhlclm 12,ch'- m - Sal¹ k-e]i³ — 0, fLXXXVID

ij =27alm'' - 36amp;fcm⁵-f-12tï7i:²m- 9e/c²1=0-,

en dat dit met één van beiden het geval zal zijn, wanneer

it'k- Sg_ii_il-ir3g₁¹m __{

3 km

|₂ - ¹ 11'. =0........(LXXXV1II)

is.

§ 33. Nog rest ons het geval ^ = O en w = 0.

Wilden wij ook hier de vergelijking in den vorm (!) brengen, dan zouden wij onbruikbare waarden voor l, m, enz. bekomen, daar ééne van de waarden van y', b. v. oneindig groot zou worden. Wij brengen daarom de vergelijking onder een anderen vorm, namelijk

iv - fi (4J{v-lt;Pi(2/)l\y-ft (-ï)) ~⁰..........W

De functie lt;p_t bekomt men door x op te lossen uit

40

y - ƒ ₂ W — o.

Door de vergelijking (M) viermaal ten opziclite van x en y te differentieereu vindt men,

x=-ix- $2 (»/)] |/, 'wiv-fs' (xïï A'WLV -/iquot; wj} \y -ft (^x)\\y -/3 wi'

y = - lt;p ' {y)[y - ƒ, [x)]\y -f₃ («)] [« quot; f, (»/)] Uj quot;/gt; (^x) 9 'fz (*)]'

p=-{X-lt;PM\ 1 /, quot;{xlv - ƒ ₃ Ml-h/quot;₃quot;(®)[2/-/. Wl} ²/gt; WA'WIX-'PM-'* 1/1 'Wiy-f ₃(^)l /3 '(^)[y-/.4J},

q=^'(y) j ƒ, '(^) 12/ -ƒ3 (41 ^^)] )-^{x' ^^[/i'^{{X) f3}'^{(a;)] (a;)]} [V~^f'^(a;)]'

r — - 4gt;.,quot;(2/)[«/^_ƒ 1 {x)][y-f3 (a:)] —2?gt;₂' (lt;/)[2/-/, (as) 2/ quot;/3 («)] ²[a^;- (»/)]gt;

fc--[a:-^(«/)] 1 ƒ.(x)[?/-ƒ3(x)] /3'quot;(a:)[?/-ƒ, (x)]} 3[x- ₂ f^/)][Zquot;,'(x)/₃'(«) ƒ₃*(a:)ƒ,'(*)]-

— 3 j ƒ,quot; {«) 1 y — ƒ5 (a¹)] /quot;3' («) [2/^— /1 (^)] J ⁶/1' i^xV3' (^x)'

^-[^.f2_/)][/₁^) /_J»] ^-₂quot;(2/){^.quot;W[r/₃(®)] /3quot;W[r/.(^)]l-2^₂'(2/)/.'W/3'(«)-2[^,

m= ^₂quot; (2/) j ƒ.' (a-) [2/- /₃ (x)] /₃'(^)[2/-ƒ. (x)] 1 24gt;./ (2/)[/.' W /2' (^)] 2,

u = -p.,'quot;(y)[y-ƒ, (x)] [«/-ƒ3 (a:)]- 3(y)[«/ -ƒ 1 (x) 2/ -/₃ (x)]quot;

a=-[x-?.(y)] (^quot;(^[y - f^x)] ƒ»quot;(a?)[«/-ƒ.(«)] 1 4[^ quot; ^₂(2/)][/.'quot; W/_;,' (x) /₃^ffl/₂'(x)] 6[x - f_i(2/)l/₁quot;W/₃quot;W-81/.quot;(x)[2/-/j^)] /3quot;(^)[2/-/. W] 1 12[ƒ1 quot;(a;)ƒ₃{x) f''[x)Mx)l

6=-[a;^_J(₂/)][/,'«(x) /₃S(a;)l lt;p₁'(2/)l/_I'quot;(a;)[2/-/3C'»)] /3'°(«)[2/-/i(^a!)]l-3^»'(2/)i/.W3» /₃quot;(a:)/.'(«)}-

^— 3[/iquot;(a;) /₂quot;(aj)],

c = lt;p,quot;{y) IfSix) [y - /,' (ac)] ƒ / [2/ -ƒ. (aOll - 2^₂quot;(2/)/_I'(a;)/₄'(a_;; 2^₂'(2/)i:A'(a_;) /3^,(x)], (Z= lt;?₂ ^ (2/) {ƒ,' («)12/ -ƒ3 (x)] /_a '(as)[?/ - ƒ1 («)]} 3lt;p₂quot;(y) [/,'(a;)-t/;3'(x)],

e— - (x)]!?/-/3(35)]- 4^₂'quot;(2/)[y-/i (a^:;) ,f/^_/3 (x)] quot; WSiV)-

Als wij hierin x = y = y,, /' {x) = y', lt;P' iy) = as', /quot;(a;) = yquot;, lt;pquot; (y) = asquot; stellen, waarin

even als vroeger

en bovendien

dan hebben wij

p — O, 2 = 0, r=rO, k = (iti₁'y₃^l, l = -2y₁'y_i'x\-2{y_l^, y₃'),m-2x_i^l(y_l' y₃')-i-2,n^-6x._i, «=12 {y₁quot;y._i^, y₃quot;y_t^l), i^-Sx^y/y,¹ y:y_l¹)-S^.quot; y₃quot;), c = 2x₁'y_l'y₃ 2 aV (*//' ^),

cl - 3 x₂quot; (2// J/,'), e = - 12 .........................(132)

In dit geval raakt één van de takken der kromme de as-as en één de y-as aan; men zal dus hebben x ' = Oen y .}¹ = 0, oïy₃' — 0, b \.y₃' — O, zoo als ook uit (132) blijkt. Die vergelijkingen gaan hierdoor over in p — q — r~. k — O, l:~—2y_i', m =2, n — 0,a= ^y.fy,¹, amp; = — 3(2/,quot; 4- yjquot;), c = 0,d = Sx_l''y_[',

e — -12 asquot;,...............................(¹³³)

De drie volgende vergelijkingen

a = O,.............(LXXX1X)

e — O,...............(XC)

U₃ — a)»⁴-4hm³i O cm²i³ —4dml''-{-el* = O,.......(XCI)

zijn in dit geval allen in (LXXVI1I) begrepen, en dus van den vorm der vergelijking onafhankelijk. Dooide substitutie van (133) gaan deze vergelijkingen over in

12 y/yi' = o,.............(134)

— 12 as₂quot; = O,.............(135)

— 756«//«/,quot; = O.............(136)

De vergelijkingen (133) bevatten dus ieder ééne van de drie grootheden y,quot;,. en as₂quot;. Het nul

zijn van ééne van die grootheden heeft ten gevolge, dat de tak waarbij zij behoort een buigpunt heeft.

41

Zoovele van de vergelijkingen (LXXXIX), (XG) en (XCI) als waarheid zijn, zoo veel van de takken dei-

kromme hebben een buigpunt. .

Wij hebben tot nog toe ondersteld, dat al de waarden van y' bestaanbaar zijn; dit is echter zoo als

wij gezien hebben, niet meer het geval, wanneer M negatief is. In dat geval blijven ^ec^^tei'^{6 10 01}| besluiten gelden; alleen is het niet uitgemaakt, wanneer niet al de drie waarden van y gei) aan zijn, o die, welke bij den eenigen bestaanbaren tak behoort, zich daaronder bevindt. Om deze onzekerheid op te heffen merken wij op, dat wanneer twee der waarden van y' onbestaanbaar zijn, deze onbestaanbare grootheden geconjugeerd zijn. Hetzelfde zal dus ook het geval zijn met hare differentiaalquotientien ten opzichte van x, dat is, met de overeenkomstige waarden van yquot;. Wanneer dus ééne van deze gelijk aan O is, moe de andere het ook zijn. En nu is alle onzekerheid opgeheven; want wanneer slechts ééne der waarden van / gelijk aan O, is het die, welke bij den bestaanbaren tak behoort, en deze heeft dus een buigpunt. yn er twee onder de waarden van yquot;, die verdwijnen, dan behooren zij bij de onbestaanbare takken en de bestaanbare heeft geen buigpunt. Verdwijnen zij eindelijk alle drie, dan is dit weder wel het geval

In het geval 7^ = 0, of w = O, is de onderscheiding nog gemakkelijker, daar de respectieve kenmerken

a O, e = O,

bij den eenigen bestaanbaren tak behooren. In het geval h = n = O eindelijk, moeten noodzakelijk alle

takken bestaanbaar zijn,

§ M. Wij komen thans aün het geval

M = 4 (?² - km) {m ■ - In) - (kn - lm Y—O,.......(XXXlil)

waarin twee takken der kromme ééne gemeenschappelijke raaklijn hebben. De integraal van (Q) is in

^(llfc f^Val rn~ kmxkn - lm) G - 4 (I² - km) {AP - ln) 11 f Uk M]² ii' ïo^,,lⁱ - km m³ - ln, ¹--^l—--^ -

-{-{m*-ln){kn-lm)l {l*km)\l*-km-s{m'-ln) \ e 4(aw-xi¥) ] l^—km m^-ln[ ii

kn ^kn

-(m*-ln]\ m*-ln-z{l- -km]\ \ln* (l²-km)* {k-2m)(l'-kmy(m--ln)kn'

-hJV ' 6K*{L*-ICM)iM--LN)^s - 211KN{L² - KM)² {M²-LNy-

-^{n-il)^- km) {m''-ln]k'n mkhm'¹ - ln)² j i k¹ {m²-ln)- a^(i.^a -/q/)² [quot;1 _

-f IN² [L² - KM) (² ^LN) ₇ J

r .. , (P - km)(kn - lm)g-'MV - mk) {m* - ln)h = f [k m]'²-{■Qj n)-, P-km^r m* - In,---- ^

(to² -\ri](knquot;lm) i il- —Jew) | P — hm — 3(m² — ln)\g-\-4i(,kn — lm)] l²-km in² —In(li -kii ' quot; kn

- In-3(1* - km) 1 {In³ {P-km)³' (k-2m) [P-lm)* (m² - In) kn² kn ' gkquot; {P - km) {m²-In)³ - 2 Mn (P - km)² (m² - In)³

(n-21) (P - km) jm²-In)² k²n mk ³ (w² - In)* \y\k² {m² - In)² n- {P-km)² j 1 _ ₀. -j- m' {P —km)³ (m²—In) J