B

een afbeelding van de lijnelementen
in een vlakke driedimensionale

ruimte op de punten van een
vlakke vijfdimensionale ruimte

H. LIJKLEMA

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

iv gt;

.....

mm

a

EEN AFBEELDING VAN DE LIJNELEMENTEN
IN EEN VLAKKE DRIEDIMENSIONALE

RUIMTE OP DE PUNTEN VAN EEN
VLAKKE VIJFDIMENSIONALE RUIMTE

m

quot;««s?

een afbeelding van de lijnelementen
in een vlakke driedimensionale

ruimte op de punten van een

vlakke vijfdimensionale ruimte
proefschrift

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
DR H BOLKESTEIN. HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBE-
GEERTE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN
SENAAT DER UNIVERSITEIT TEGEN DE
BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
OP MAANDAG 17 DECEMBER 1934.
DES NAMIDDAGS 3 UUR, DOOR

hendrik lijklema

GEBOREN TE WORKUM

r

■r^ï

^nbsp;um ^

V- -

A

..nbsp;WAYm.....

%

-Tra-

fe ^ T-U^ißMOmnbsp;^ -si:

Aan mijn Ouders
Aan mijn Vrouw

fr-ij

Gaarne maak ik bij het verschijnen van dit proefschrift van
de gelegenheid gebruik, U, hoogleeraren in de Faculteit der
Wis- en Natuurkunde, te danken voor het onderwijs, dat ik
van U heb mogen ontvangen.

In het bijzonder dank ik U, Hooggeleerde Babratt, voor de
bereidwilligheid, waarmee gij de taak van Promotor op U ge-
nomen hebt en voor den grooten steun, dien ik bij de samen-
stelling van dit proefschrift van U mocht ondervinden.

§ 1. De methode van afbeelden.

De lijnelementen van een vlakke driedimensionale ruimte
(Jïg) kunnen op de volgende manier afgebeeld worden op een
vlakke vijfdimensionale verzameling van kwadratische opper-
vlakken (0^). We nemen in B^ vier punten A^, A^, A^ en A^
aan, die niet in één plat vlak gelegen zijn, een plat vlak a,
waarin geen der punten A gelegen is en ten slotte een rechte
l in a, die door geen der zes verbindingsrechten van de punten
A gesneden wordt.

Indien P het punt en p de rechte van het lijnelement (P, p)
is, voegen we aan dit lijnelement dat oppervlak (0^) toe, dat
door de punten A gaat en waarvoor p de poollijn is van l en
P de pool van a.

In het algemeen wordt op deze manier aan elk lijnelement één
toegevoegd, want dat l en p wederkeerige poollijnen zijn
ten opzichte van is een Hneaire viervoudige voorwaarde
voor 0^, terwijl, daar Z in a ligt, het geconjugeerd zijn van P
met de punten van a een enkelvoudige lineaire voorwaarde is
en er dus tenslotte, daar door de vier punten A moet gaan,
in het algemeen een negenvoudige lineaire voorwaarde aan-
wezig is, die bepaalt.

§ 2. Het onderzoek naar de singuliere oppervlakken.

De rechte l heeft alleen dan meer dan één poollijn ten op-
zichte van indien een dubbelpunt heeft, dat op l ligt.
Het platte vlak a heeft alleen dan meer dan één pool ten op-
zichte van 0'^, indien een dubbelpunt heeft, dat in a ligt.

ZieProf. Dr J. Wolff: quot;A representation of the plane pencils in iJg
on the conics of a plane.quot; Amst. Proceedings Vol. XXVIII, pag. 450,
1925.

De singuliere dit zijn de die met meer dan één lijn-
element correspondeeren, moeten dus gezocht worden onder
de met dubbelpunt in a.

1°. Als een Jcegel is met een top in a, buiten l gelegen {K^),
heeft l één poolUjnX ten opzichte van K^,^. Alle punten van X zijn
tm opzichte van K^ geconjugeerd met a, zoodat de kegel K^^^
correspondeert met de oo^ lijnelementen, waarvan A de rechte is.

2°. Indien em kegel is met top op l {K^) is er een vlak n,
waarvan de punten geconjugeerd zijn met l en in n een rechte
X, waarvan de punten geconjugeerd zijn met a ten opzichte
van K^, zoodat K^ correspondeert met de oo^ lijnelementen,
waarvan p in n en P op X ligt.

3°. Er rest ons nog te onderzoeken de singulariteit der
kegels, die een rechte van toppen in a hebben, de vlakken-
paren.

Elke rechte in een plat vlak door drie punten A is dubbel-
rechte van een vlakkenpaar, dat bestaat uit genoemd plat
vlak en het platte vlak door genoemde rechte en het vierde
punt A.

Er zijn vier platte vlakken ój, óg, óg, Ó4 (die respectievelijk
niet het punt A^, A^, A^, A^ bevatten), waarvan elke rechte
dubbelrechte is van een vlakkenpaar door de punten A.

Elke rechte, die transversaal is over twee elkaar kruisende
verbindingsrechten van punten A, is dubbelrechte van een
vlakkenpaar, dat bestaat uit de beide platte vlakken door ge-
noemde transversaal en genoemde verbindingsrechten. Er zijn
drie bilineaire congruentiesnbsp;ßi3, 24 ©i^ ßu, 23 (die respec-

tievelijk de drie paren verbindingsrechten A^ A^, Ag A^; A^ A3,
A2 A^ en Al A^, A^ A^ tot richtlijnen hebben), waarvan elke
rechte dubbelrechte is van een vlakkenpaar door de punten A.

De vier platte vlakkm ö m de drie bilineaire congrumties ß,
bepalen in a 7 rechten, die de zijden d {bepaald door de vlakken ö)
m de diagonalen b {bepaald door de congrumties ß) zijn van em
volledige vier zij de, waarvan de hoekpunten (B) de snijpunten zijn
van de verbindingsrechten der punten A met a. Deze rechten zijn
dubbelrechtm van evenzooveel vlakkenparm. Bij elk van deze
vlakkenparen behoort een plat vlak n', waarvan ieder punt gecon-
jugeerd is met a, dus ook met l, ten opzichte van het vlakkmpaar

dat n' bepaalt, zoodat elk der genoemde vlakkmparen correspon-
deert met de oo^ lijnelementen van een plat vlak n'.

De kegels met een bepaald punt van a als top, vormen een
bundel, met als basisfiguur de vier verbindingsrechten van dat
punt met de punten A, zoodat ieder punt van a dubbelpunt is
van singuliere oppervlakken, die een bundel vormen.

De kegels, wier toppen liggen in één der zes punten B, vor-
men een net van singuliere

De bundel singuliere wier dubbelpunten in een bepaald
punt C van een rechte d vallen, bestaat uit vlakkenparen,
waarvan het door d gaande vlak ó bestanddeel is. Van elke
is het tweede bestanddeel een vlak gaande door P en het
punt A, dat niet in genoemd vlak ö ligt.

§ 3. Het oppervlak Q.

We zullen nu de singuliere oppervlakken, waarvan het dub-
belpunt op l ligt, nader beschouwen.

We hebben gezien dat de singuhere met gegeven dubbel-
punt D op Z, een bundel (q) vormen. De poolvlakken n van Z
ten opzichte van de exemplaren van deze bundel vormen een
vlakkenbundel, gedragen door een rechte u, die Z in D snijdt.
Zoodoende behoort bij elk punt D van l een rechte u.

Twee rechten u^ en % kruisen elkaar, want hadden ze een
punt gemeen, dan zouden voor twee kegels en K^, uit de bij
en Mg behoorende bundels en Q2, de poolvlakten ti^ en jig
samenvallen met het platte vlak door % en u^. Beide kegels
moesten dan volgens Z aan 71^ 2 raken. Er is echter slechts één
kegel, die volgens Z aan een vlak door Z raakt. Immers indien
er twee kegels waren, die volgens Z aan ti^ ^ raakten, zou de
snij figuur van deze bestaan uit de dubbelgetelde rechte l
en een kegelsnede door de punten A, waarvan aangenomen is,
dat ze niet in één plat vlak liggen.

Er is ook geen vlakkenpaar met Z als dubbelrechte.

We zullen nu onderzoeken van welke graad het oppervlak
(i3), gevormd door de rechten u, is.

Indien een rechte u-^ een willekeurige rechte p snijdt, gaat
ten opzichte van één K-^ uit de bundel ^i, het poolvlak

van l ten opzichte van K^, door p en is dus p pooUijn van l
ten opzichte van K^. Is omgekeerd p poollijn van l ten op-
zichte van een kegel K^ met top op l, dan gaat het vlak tti
door p en wordt dus p door de rechte u^ gesneden.

De ten opzichte waarvan Z en een willekeurige rechte p
wederkeerige poollijnen zijn, vormen een bundel. De rechten
l en p zijn overstaande ribben van het gemeenschappelijk
poolviervlak van de exemplaren van de bundel, zoodat er twee
kegels zijn, die hun top op l hebben en ten opzichte waarvan
p poollijn is van l, m.a.w. p wordt door twee rechten u ge-
sneden.

Het oppervlak ü is dus van de tweede graad ev, de vlakkere
71 zijn de raakvlakken aan Q.

Het oppervlak ü draagt een tweede regelschaar. Beschou-
wen we de verzameling van de ten opzichte waarvan een
bepaalde beschrijvende (v) van deze regelschaar poollijn is
van l, dan bevat deze verzameling cxd^ kegels, waarvan de
toppen op l liggen en die bepaald worden door de vlakken
71 door v. Elk punt van l is top van één zoo'n kegel.

De kegels vormen geen bundel, want dan zouden ze volgens
de rechte l aan eenzelfde vlak 7t moeten raken. De vlakken ti,
die behooren bij de kegels die we beschouwen, vormen echter
de vlakkenbundel gedragen door de rechte v.

Het net (v), bepaald door drie van deze kegels, behoort tot
de te onderzoeken verzameling 0^. Indien nu buiten dit net
nog een Oj^ aanwezig was, ten opzichte waarvan l en v weder-
keerige poollijnen waren, dan zouden ten opzichte van alle
uit het kluwen, bepaald door het net v en l en v weder-
keerige poollijnen zijn. In een kluwen komt een tweedimensio-
nale verzameling van kegels voor. Hier bestaat de verzameling
kegels echter uit exemplaren waarvan slechts één de top heeft
in een punt van l of v. De verzameling is dus ééndimensionaal,
m.a.w.:

De ten opzichte waarvan l m v wederkeerige poollijnen zijn,
vormm een net.

§ 4. De vlakke vijf dimensionale ruimte B^.

De en dus ook de lijnelementen van B^, kunnen afgebeeld
worden op de punten van een vlakke vijfdimensionale ruimte

De meetkundige plaats van de toppen van de kegels in een
kluwen vormen een oppervlak van de vierde graad, dat l in
vier punten snijdt. De beeldfiguur van de kegels, waarvan de
toppen op l liggen, is in B^ dus een zoodanige, dat elke B^ er
4 punten mee gemeen heeft, m.a.w. het is een tweedimensionale
variëteit van de vierde graad (V^^).

Elk punt van l is top van cxa^ kegels, die een bundel vormen.
Er is geen vlakkenpaar dat l als dubbelrechte heeft, m.a.w.
Fg* bestaat uit oo^ elkaar kruisende rechten q.

De meetkundige plaats van de toppen van de kegels in een
net vormen een kromme van de zesde graad, dus de kegels,
die hun top in a hebben, vormen in B^ een driedimensionale
variëteit van de zesde graad (

F38), die Fa« bevat.

§ 5. Het onderzoek naar de singuliere lijnelementen.

Indien een lijnelement (P, p) singulier is, correspondeert
het met een bundel 0^.

Indien nu (P, p) singulier is, zijn Z en p overstaande ribben,
P en a hoekpunt en zijvlak van het gemeenschappelijk pool-
viervlak der exemplaren van de bij (P, 3?) behoorende bundel
O®. Het snijpunt van y met a is top van een kegel K^ uit de
bundel, dus p is poollijn van a ten opzichte van K^.

Is omgekeerd l de poollijn van a ten opzichte van een kegel
K^^, dan is voor een willekeurige uit de bundel ten opzichte
waarvan de poollijn is van Z, een punt P van A geconjugeerd
met a. Echter ook ten opzichte van K^^ is P geconjugeerd
met a, dus ten opzichte van alle exemplaren van de bundel,
m.a.w. het lijnelement (P, X) is singulier.

Dit singuhere lijnelement correspondeert met een bundel
02, die drie kegels met top in a bevat. Twee kegeltoppen liggen
op Z, waaruit volgt:

De singuliere lijnelementen worden afgebeeld op de 00® trise-
canten van Fg®, die bisecanten van V^^ zijn.

Elk punt van a is in het algemeen top van oo^ kegels die een
bundel vormen. De poollijnen van a ten opzichte van die
kegels vormen een kwadratische kegel {K^}).

De singuliere lijnelementen worden gedragen door de oo^K^^.

We zullen nu iets naders trachten te vinden van dit stelsel
van oo^ singuliere lijnelementen en eerst onderzoeken wat de
rechten X door een willekeurig punt A vormen.

De rechten X, door het punt A, zijn de poollijnen van a ten
opzichte van de kegels met top in a, uit het net [v) waarvoor
A geconjugeerd is met a.

De doorsnijding van het net v met a, is een net van kegel-
sneden (vj in a, waarbij elke kegel uit v een ontaarde kegel-
snede in a geeft. Omgekeerd is ten opzichte van de die a
volgens een ontaarde kegelsnede uit het net v^ snijdt, het
platte vlak a geconjugeerd met het dubbelpunt D van de
kegelsnede en met het punt A, m.a.w. is een kegel.

Nu vormen de dubbelpunten van de ontaarde kegelsneden
in een net v^ een kromme van de derde graad, dus de rechten
X door A, vormen een kegel van de derde graad.

De oo^ rechten X vormen dus een stralencomplex van de derde
graad.

Indien het punt A in a hgt, bestaat het met v uit die in
het punt A aan a raken. De kegels uit dit net zijn die, welke
het punt A tot top hebben en die welke volgens de rechten
door A in a, aan a raken. De complexkegel is hier dus ontaard
in een kwadratische kegel met top A en een waaier in a met
top A.

Hier blijkt dus tevens, dat iedere rechte van a een singulier
lijnelement draagt. Het punt van dit lijnelement ligt op l.

Iedere rechte van de 7 platte vlakken n' draagt een singulier
lijnelement evenals de rechten van de platte vlakken ö (§2),
zoodat de complexkegels van de punten van deze vlakken ont-
aard zijn in een waaier en een kwadratische kegel.

Verder is de complexkegel van ieder punt, dat gemeenschap-
pelijk punt is van twee platte vlakken uit de 12 vlakken
a. Tl' en ó ontaard in drie waaiers.

Op ieder der 6 verbindingsrechten van twee punten A
ligt een punt H, harmonisch met de punten A en het snijpunt

B der verbindingsrechte met a. Elke rechte p, door een punt H,
vormt met het punt H een singulier lijnelement, want ten
opzichte van de exemplaren van de bundel, waarvoor l en p
wederkeerige poollijnen zijn, is H geconjugeerd met a.

Iedere rechte door een punt B is een rechte A, zoodat de
complexkegel van een willekeurig punt A door de 12 punten
H en B gaat.

De 0^, die de afbeelding zijn van de singuliere lijnelementen,
vormen een vierdimensionale variëteit van de zesde graad ( V^).

Immers de poollijnen van l ten opzichte van de exem-
plaren van een bundel vormen een kwadratische regelschaar.
Het complex der rechten A is van de derde graad en heeft dus
zes rechten met de regelschaar gemeen. Indien ten opzichte
van een uit de bundel b een beschrijvende t van de regel-
schaar poollijn is van l en t tevens een rechte X is, zal een
oppervlak zijn uit de bundel, die behoort bij het singuliere lijn-
element, gedragen door X. M.a.w. de rechte b, die in R^ de
bundel b voorstelt, snijdt de te onderzoeken variëteit in even-
veel punten als de regelschaar rechten X bevat en is dus van

de zesde graad.

Nu zuUen we onderzoeken hoeveel rechten X met een wille-
keurig punt A een singulier lijnelement vormen.

We hebben gezien, dat indien {A,X) een singulier lijnelement
is, de bundel die bij dit singuhere lijnelement behoort, twee
kegels en K^ bevat, waarvan de toppen op l liggen, X de
snijlijn van de vlakken tv^ en n^ is en dat de rechten en
door het punt A gaan. Indien, omgekeerd, de bij twee kegels
en waarvan de toppen op l hggen, behoorende rechten
Aj en Ag elkaar in een punt A snijden, is het lijnelement, dat
men krijgt door het punt A met de snijlijn X der vlakken ttj en
TTa te combineeren, een singuher lijnelement. Immers ten op-
zichte van de kegels Xi en K^, dus ten opzichte van de
van de bundel, waarvan en Zg exemplaren zijn, is A ge-
conjugeerd met a en zijn X en l wederkeerige poollijnen.

De rechten X door het punt A vormen een kegel van de derde
graad. Er zijn 3 rechten X door A, die l snijden. De bij deze
rechten behoorende kegels bepalen op hun beurt 3 vlakken ti,
waarvan de drie onderlinge snijlijnen de rechten zijn, die met

het punt A singuhere lijnelementen vormen.

Er zijn drie rechten A, die met een wUleheurig punt A singuliere
lijnelementen vormen.

Deze drie rechten zijn ook de drie verbindingsrechten van
het punt A met de drie kritieke punten van het net v«, be-
hoorende bij de rechte l.

Indien A o^ Q ligt, gaat één van de drie vlakken 71 door de
rechte u door A, want voor één uit de bundel q, die bij u
behoort, is A geconjugeerd met a.

De twee andere vlakken 71 gaan door de rechte v door A.
Het lijnelement {A, v) is dus een singuher lijnelement.

Alle lijnelementen gedragen door de rechten v zijn singulier.

Indien het punt ^ in a gelegen is, is de kromme van de zesde
graad, gevormd door de toppen der kegels, die in A aan a
raken, ontaard. Een derdegraadsdeel wordt gevormd door de
drie rechten, uit de drie bilineaire congruenties /?, door A.
De rest is een kromme van de derde graad in a en wordt ge-
vormd door de toppen der kegels, die volgens de rechten van
de waaier [A, a) aan a raken. Deze kromme heeft een dubbel-
punt in A, omdat de K^^, die behoort bij het punt A, het vlak a
volgens twee rechten X snijdt. De drie kegels, waarvan de
toppen op l hggen, bepalen de drie vlakken 71, waarvan de drie
snijlijnen de rechten zijn, die met het punt A singuliere lijn-
elementen vormen.

Indien het punt A op l ligt, vormt iedere rechte van a door
A, met het punt A een singulier lijnelement. De bij dit singu-
liere lijnelement behoorende bundel bestaat uit oppervlakken,
die in A aan a raken.

Verder is het lijnelement, gevormd door een punt A van l
en de rechte u door A singulier. De bij dit lijnelement behoo-
rende bundel wordt gevormd door de kegels, waarvan A
de top is.

Ten slotte willen we onderzoeken, welke figuur de singuliere
lijnelementen in een plat vlak /5 vormen.

Door een willekeurig punt A van gaan drie rechten X
nl. de drie rechten door het complex der rechten X in de waaier
{A, p) bepaald. De rechten A in omhullen een kromme van
de derde klasse.

Bij het verdere onderzoek zullen we gebruik maken van de
theorie der vlakke nulstelsels.

Onder een nulstelsel (/i, v) van oo^ lijnelementen in een plat
vlak verstaat men een verzameling van lijnelementen zoo-
danig dat een willekeurig punt voor fi rechten nulpunt is en
aan een willekeurige rechte v nulpunten zijn toegevoegd.

Bij een stelsel [p, q) van oo^ lijnelementen (P, p) vormen de
punten P een kromme van de graad q, terwijl de rechten p
een kromme van de klasse p omhullen.

Om het gemeenschappelijke van stelsels van lijnelementen
te vinden, kunnen we de lijnelementen van een plat vlak af-
beelden op de punten van een driedimensionale ruimte [B^,
volgens een methode, die analoog is met die, volgens welke de
lijnelementen van B^ afgebeeld worden op de punten van B^.

We nemen daartoe in het platte vlak een rechte a aan met
daarop gelegen een punt A en een kluwen van kegelsneden
{k^), waarvan de exemplaren afgebeeld worden op de punten
van een B^.

Het lijnelement (P, p) correspondeert met die kegelsnede
ten opzichte waarvan a geconjugeerd is met P en ^ met p.
De pool en poollijn van a en A ten opzichte van een gegeven
kegelsnede, vormen het bij deze kegelsnede behoorende lijn-
element.

Singulier zijn de kegelsneden met dubbelpunt op a. Een
willekeurig exemplaar van deze kegelsneden correspondeert
met de lijnelementen van de rechte t, poollijn van a ten op-
zichte van deze kegelsnede. De rechten t vormen een kwadra-
tische eendimensionale verzameling, want a is een rechte t,
omdat er één k^ is, die a bevat, terwijl er verder door elk punt
van a één rechte t gaat.

De kegelsnede, met dubbelpunt in A(kj^), correspondeert
met de oo^ lijnelementen, waarvan het punt P op de poollijn
t^, van l ten opzichte van jigt^ een stelsel S^itj^ van oo^
lijnelementen.

De singuliere kegelsneden correspondeeren in B^ met een
kromme van de derde graad (e^), omdat in een net de toppen der
ontaardingen een kromme van de derde graad vormen, die a in
3 punten snijdt. Met kcorrespondeert een punt 5 van

Opmerking: Als het kluwen twee basispunten heeft, ont-
aardt Q^ in een kegelsnede en een secant van deze kegelsnede.

De verzameling lijnelementen van een rechte b, een stelsel 8i
(0,1), bevat een element van S^itj^) en correspondeert met een
bundel k^, waarvoor A geconjugeerd is met de punten van b
en die dus kj^ bevat. Omgekeerd correspondeert een bundel
k'^, die k bevat, met een verzameling (0,1).

De verzameling lijnelementen, waarvan het punt samenvalt
met een gegeven punt B, een stelsel /Sj (1,0), bevat twee lijn-
elementen, gedragen door een rechte t en correspondeert met
met een bundel k'^, waarvoor B geconjugeerd is met de punten
van a. De bundel bevat twee ontaardingen met dubbelpunt
op a. Omgekeerd correspondeert een bundel k'^, die twee ont-
aardingen bevat met dubbelpunt op a, met een stelsel aSj (1,0).

De oo2;Si(0,l) correspondeeren met de oo^ rechten der schoof
B in B^. De oo^ ySi(l,0) correspondeeren met de cx)^ bisecanten
van Q^ in B^. De lijnelementen der rechten t correspondeeren
met de beschrijvenden van de kegel K^ door welke q^ uit B
wordt geprojecteerd.

Een stelsel S^ (fi, v) van co^ lijnelementen heeft met elk stel-
sel /Si (0,1) V en met elk stelsel aSi (1,0) // elementen gemeen,
zoodat de afbeelding een oppervlak is, dat q^ v-voudig bevat
(iedere t draagt v elementen van Een bisecant van heeft
fl 2 V punten met het oppervlak gemeen dat dus van de
graad /i -f- 2 v is en het punt B fi v voudig bevat.

Een systeem S-^^ {p, q) van oo^ lijnelementen heeft met elk
nulstelsel 82 (1,0) p en met elk nulstelsel 8^ (0,1) q elementen
gemeen. De afbeelding is dus een kromme, die elk plat vlak
door Binp punten snijdt, terwijl het punt B q voudig is, daar
jd ^ elementen van 8^{p,q) bevat. De kromme, van de
graad p q, snijdt elk der kwadratische oppervlakken door
Q^, de afbeeldingen van de stelsels gt;8^2(0,1), in -j- 'iq punten,
waarvan er buiten B, dus 2p op o^ liggen.

We hebben nu dezelfde afbeelding gekregen als Dr Schaake
in Hoofdstuk I van zijn proefschrift ,, Af beeldingen van figu-
ren op de punten eener lineaire ruimtequot;, waarin, met behulp
van deze afbeelding, de volgende stellingen worden afgeleid:

Een nulstelsel S^iß, v) van oo^ lijnelementen en een stelsel
Slip, q) van oo^ lijnelementm hebben ppb qv lijnelementen
gemeen.

Twee nulstelsels S^if^, v) en S^'i/^^v') hebben een stelsel Si{fiv'
fjLv'-\-[i'v fX[x,') van oo^ lijnelementen gemeen.

Door een willekeurige rechte p van ß gaan twee raakvlakken
71 aan Q. Hierbij behooren twee kegels K-^ en K^, waarvan
de toppen op l liggen. Deze twee kegels bepalen de bundel 0^,
waarvoor l en p wederkeerige poolhjnen zijn. Deze bundel
bevat nog twee kegels, waarvan de toppen [T) op p liggen. Op
deze manier zijn aan elke rechte p twee punten T toegevoegd.

De lijnelementen (T, p) in ß vormen een nulstelsel, waarvan
2 het tweede karakteristieke getal is.

Om het eerste te vinden, bedenken we, dat een willekeurig
punt A van ß top is van een bundel kegels. Nu vormen de
pooUijnen van l ten opzichte van de exemplaren van deze
bundel een kwadratische kegel met top op A, waarvan twee
beschrijvenden in ß Hggen, zoodat de lijnelementen {T, p) in
ß een nulstelsel ^2(2,2) van oo^ lijnelementen vormen.

De lijnelementen van elk der zeven rechten d door de platte
vlakken lt;5 en de bilineaire congruenties ß in ß bepaald, be-
hooren tot het nulstelsel S^. Ze vormen 7 stelsels (0,1) van
oo^ lijnelementen.

Uit de beschouwingen aan het begin van deze paragraaf ge-
houden, blijkt, dat indien van één der beide lijnelementen
{T, p) van een rechte, het punt T' in a ligt, het andere lijnele-
ment singulier is. We kunnen dus ook zeggen, de singuliere
lijnelementen van ß zijn lijnelementen van het stelsel S2, ge-
dragen door de 00^ rechten X in ß.

Alle lijnelementen, gedragen door de rechten X, vormen in ß
een nulstelsel ^2'(3,0) van oo^ lijnelementen.

De nulstelsels S^ en hebben een stelsel Ä/(6, 12) van ooi
lijnelementen gemeen. Daar de rechten d tevens rechten X zijn,
behooren de 7 stelsels (0,1) ook tot S^'. De rechten d dragen
slechts een eindig aantal singuliere lijnelementen, zoodat ze
uit het stelsel S^' verwijderd moeten worden. Er blijft dan een
stelsel /S'(6,5) over. Hieronder bevinden zich nog de lijnele-

menten [T, p), waarvan T op de snijlijn s van a met ß ligt en
de rechten p de rechten X zijn. Ze vormen een stelsel (3,2), want
elk punt van s is nulpunt voor twee rechten van ß.

Tm slotte blijft er in ß een stelsel (3,3) van oo^ lijnelementen,
die singulier zijn, over.

In een plat vlak n, dat het poolvlak is van l ten opzichte
van een kegel K^, ligt een rechte A, de poollijn van a ten op-
zichte van K^. In n Hgt een rechte v, waarvan aUe lijnelemen-
ten singulier zijn.

We beschouwen een kegel K^, waarvan de top op de snijlijn
van a met n en de poollijn Aj van a ten opzichte van K^ in
n ligt. Noem het snijpunt van A en Xy S. Nu zijn ten opzichte
van K^ en Kj^ lenX^ wederkeerige poollijnen en is het punt/S
geconjugeerd met a. Dit geldt dus ook voor de bundel
waartoe K^ en K^ behooren m.a.w. het lijnelement {8, X^
is singulier.

Door 8 gaat een derde rechte X (^2). Het lijnelement (^SAg) is
ook singulier, zoodat ieder punt van X nulpunt is van twee sin-
guliere lijnelementen.

De punten 8 van de singuliere lijnelementen in n vormen een
kromme van de derde graad, die ontaard is in de rechten v en X,
waarbij X dubbelgeteld moet worden.

We hebben reeds gezien, dat ieder lijnelement van a, waar-
van het punt P op Z ligt, singulier is. Verder komen er in a
geen singuliere lijnelementen meer voor, want zou een lijn-
element {Q, q) van a, waarbij Q buiten Z ligt, singulier zijn,
dan moest er een bundel zijn, waarvan de exemplaren in
het punt Q en in het snijpunt van q met Z aan a raakten. Er is
echter slechts één kegel, die q tot dubbelrechte heeft.

De oo^ singuliere lijnelementen van a vormen een nulstelsel
(0,1).

Iedere rechte van de zeven vlakken n' is een X, die dus één
singulier lijnelement draagt.

Een willekeurig punt A van een vlak 7t' is nulpunt van twee
singuliere lijnelementen van n'. De rechten dezer lijnelementen
zijn de snijlijnen van 71' met de beide vakken jr, die behooren
bij de twee Ki^, die geen van beide het vlakkenpaar W behoo-

rende bij n' zijn, uit het net waarvoor A geconjugeerd is
met a.

De singuhere lijnelementen van n' vormen dus een nulstelsel
(2,1), Zoo'n nulstelsel heeft zeven singuliere rechten i), dit
zijn rechten, waarvan ieder lijnelement tot het nulstelsel be-
hoort. Nu bepalen de platte vlakken d en de bihneaire congru-
enties /S in yr' zeven dubbelrechten, waarvan één behoort bij
het vlakkenpaar W. Elk lijnelement van de zes overblijvende
dubbelrechten is singulier, want indien q in n' een dubbel-
rechte van een vlakkenpaar IF' is en Q een willekeurig punt
van die rechte, is ten opzichte van W en W' Q geconjugeerd
met de punten van a en g de poollijn van 1.

De zevende singuliere lijn is de rechte v, een deel van de
snij figuur van ti' met Q.

Alle rechten van de platte vlakken d, dragen één singulier
lijnelement. Is A een willekeurig punt van d, dan is de bij A
behoorende complexkegel van rechten behoorende bij singu-
liere lijnelementen, ontaard in een waaier en een kwadratische
kegel, die respectievelijk kegels W^, K^^ en K^, behoorende
tot het net v^en met toppen op l, bepalen.

Nu zijn de rechten, die met een punt A singuliere lijnele-
menten vormen, de snijlijnen p van de drie vlakken ti, be-
hoorende bij de drie genoemde kegels. De vlakken tz snijden
elkaar twee aan twee volgens beschrij venden van de complex-
kegel. De drie overblijvende snijlijnen van de vlakken ti met
de complexkegel zijn geen rechten die met A een singulier
lijnelement vormen.

Stel dat de poolvlakken van l ten opzichte van W^, K-^ en
K^^ respectievelijk ti, tt^ en tc^ zijn, dan snijdt ti de waaier en de
kwadratische kegel respectievelijk volgens de rechten p, en
P2- Hiervan vormen de rechten p^ en p^ »i®^ ^nbsp;P

een singulier lijnelement. De vlakken en ti^ moeten elkaar
dus volgens een rechte van de waaier snijden, m.a.w. het
punt A vormt met één rechte uit de waaier een singulier
lijnelement.

Zie Jan de Vries: „Vlakke lineaire nulstelselsquot;. Verslagen Kon.
Ak. v. Wet. XXI, pag. 1070.

In elk der vier platte vlakken d vormen de singuliere lijn-
elementen een nulstelsel (1, 1).

Nu heeft zoo'n nulstelsel drie singuliere punten. Dit zijn de
drie punten H in ieder vlak ö gelegen. Immers, iedere rechte
van d, door H, vormt met H een singulier lijnelement.

Verder heeft het nulstelsel in ö drie singuliere rechten. Dit
zijn de drie verbindingsrechten der punten H. Immers ten op-
zichte van de exemplaren der bundel, waarvoor een rechte
H1H2 uit d en l wederkeerige pooUijnen zijn, zijn de punten
en H^, dus aUe punten van de rechte H-^H^ geconjugeerd
met a, m.a.w. ieder lijnelement van H^H^ correspondeert met
een bundel en is dus singulier.

Iedere rechte der 12 vlahJcen a, n' m ö, draagt een singulier
lijnelement. Iedere rechte, door een der 12 punten H en B vormt
met dat punt een singulier lijnelement.

Resumeerende hunnen we dus zeggen, dat de singuliere lijn-
elementen een stelsel vormen, zoodanig dat de graad van het com-
plex gevormd door de rechten p, drie is, dat een gegeven punt met
drie rechten singuliere Ujnelementen vormt en de graad der kromme
der punten P van de singuliere Ujnelementen in een gegeven vlak,
drie is.

De singuliere Ujnelementen vormen een stelsel (3, 3, 3).

§ 6. De Ujnelementen met gegeven rechte.

Alle Ujnelementen, die gedragen worden door een gegeven
rechte p, correspondeeren met de waarvoor p de poollijn is
van l. Deze vormen een bundel. De bundel bevat twee ke-
gels, waarvan de toppen op l liggen en wordt dus in R^ voor-
gesteld door een rechte, die V^ in twee punten snijdt.

Omgekeerd is een bisecant van Fg^ ook de afbeelding van
een verzameling lijnelementen met gegeven p, nl. de verzame-
Hng, die gedragen wordt door de snijlijn der vlakken Tty^ en n^,
behoorende bij de kegels K^ en K^ volgens welke de bisecant
Fg^ snijdt.

De 00^ verzamelingen Ujnelementen, waarvan elke verzameling
bestaat uit de lijnelementen met een gegeven rechte, worden afge-
beeld op de 00^ bisecanten van Fg*.

Op deze manier zijn de rechten van R^ afgebeeld op de bise-
canten van V^-

Een rechte u is poollijn van de rechte l ten opzichte van de
bundel kegels, die het snijpunt van u en l tot top hebben. De
oo^ beschrijvende rechten u van ü correspondeeren dus met de
oqI beschrijvende rechten van V^^.

Het oppervlakheeft nog een tweede stelsel beschrijvenden,
de rechten v, waartoe l ook behoort.

Beschouwen we nu de ten opzichte waarvan een bepaalde
rechte v (vi) poollijn is van Z. In § 3 hebben we gezien dat deze
een net vormen. De kernkromme van dit net is ontaard in
de rechten Z, v^ en de vier rechten der vlakken d, die transver-
salen zijn van Z en v^.

De vlakkenparen, waarvan de dubbelrechten een waaier
vormen in een der vlakken lt;5, met als top het snijpunt A van
ö met Z, vormen een bundel, waarbij een rechte behoort.
Het poolvlak 7t van Z ten opzichte van het vlakkenpaar, waar-
van de dubbelrechte door A gaat en v^ snijdt, gaat door deze
dubbelrechte en door dus door v^, m.a.w. ten opzichte
van dit vlakkenpaar zijn Z en v^ toegevoegde poollijnen.

Een bundel uit het net, waarvoor Z en v^ toegevoegde pool-
lijnen zijn, bevat vier kegels, waarvan twee hun top op Zen twee
hun top op Vj hebben, zoodat de netten, ten opzichte waarvan
de rechte Z en een rechte v wederkeerige poollijnen zijn, in
voorgesteld worden door platte vlakken (v), die Fg^ volgens
kegelsneden snijden.

Daar een willekeurige bundel vier kegels bevat, worden de
kegels, door de punten A, in B^ afgebeeld op de punten van
een vierdimensionale variëteit van de vierde graad (V^^).

Een plat vlak v, dat V^^ volgens een kegelsnede snijdt,
snijdt F/ verder nog volgens een kegelsnede k^^. Beide kegel-
sneden hebben vier punten gemeen, die de afbeeldingen zijn
van de vier vlakkenparen, waarvan de dubbelrechten in de
vlakken d hggen en die transversalen zijn van Z en de bij v be-
hoorende rechte v.

Het platte vlak v,, waarvan de punten de voorstellen, die
I tot beschrijvende hebben, snijdt F/ volgens een kegelsnede
(f/^), die tevens, dubbelgeteld, de doorsnijding is van met

F/, omdat een bundel, met l als beschrijvende, vier kegels
bevat, die twee aan twee samenvallen.

Twee platte vlakken v^ en v^ kunnen geen punt gemeen heb-
ben, daar in dit geval ten opzichte van de door het snijpunt
voorgestelde de punten van l geconjugeerd moesten zijn
met de punten van twee kruisende rechten en v^, dus met R^.
Er is echter geen vlakkenpaar met l als dubbelrechte.

Indien p een rechte is, die l in T snijdt, raken alle exempla-
ren van de bundel, waarvoor l en p toegevoegde poollijnen zijn,
in T aan het platte vlak F door l en p. Van de vier kegels zijn
twee, met top T, samengevallen (iTj 2)- Twee kegels K^ en
K^ raken respectievelijk volgens l en p aan F. (De kegel K-^ 2
snijdt F volgens twee rechten t^ en t^, die harmonisch Kggen
met l en p). K^ behoort dus tot v^. De bundel wordt in R^
voorgesteld door een bisecant van V^, die een punt van v^
bevat.

Omgekeerd stelt een rechte, die een punt van v^ met een
punt van Y^, buiten vf-, verbindt, een bundel voor, waarvoor l
en een rechte p, die l snijdt, toegevoegde poollijnen zijn. De
rechte p is de snijlijn van de bij de beide kegels behoorende
platte vlakken n.

Indien een rechte p aan Q raakt, zijn de twee raakvlakken,
die men door een rechte aan Q kan aanbrengen, samengevallen.
Van de vier kegels, die in de bij de lijnelementen van p be-
hoorende bundel voorkomen, zijn er twee samengevallen in een
kegel, waarvan de top op l hgt. Omgekeerd stelt een raaklijn
aan V^ een bundel voor, die twee samengevallen kegels van
F2^ bevat, zoodat door de bij deze bundel behoorende rechte p
slechts één plat vlak n gaat. De rechte p is dan raaklijn aan ü.

De 00® verzamelingen van oo^ lijnelementen, die op de raak-
lijnen aan Q liggen, worden in R^ afgebeeld op de punten van
de raaklijnen van Fg^.

De tangenten variëteit van V^ is van de vierde graad, want een
willekeurige rechte h in Rg heeft vier snijpunten met die varië-
teit. Immers de lijnelementen, waarvan de punten van b de
afbeelding zijn, Hggen op de beschrijvendenvan een kwadra-
tische regelschaar, die vier rechten met het kwadratisch com-
plex, gevormd door de tangenten van ü, gemeen heeft.

Is de rechte p een raaklijn aan ü, die l snijdt, dan is het vlak
door p en l het eenige vlak tz door p, zoodat de bijbehoorende
bundel in B^ voorgesteld wordt door een rechte, die in
een punt van v^ raakt.

Opmerking: Door elk punt van Rg buiten Y^ en niet in een
plat vlak V gelegen, gaat één bisecant van

§ 7. Krommen op Q en Y^.

In een punt van ü kan men één raakvlak ti aan Q trekken.
Dit vlak 71 is poolvlak van l ten opzichte van één kegel, waar-
van de top op l ligt, zoodat met ieder punt van Q één punt
van Y^ correspondeert. Het omgekeerde is ook waar. Er is
dus een (1,1) correspondentie tusschen de punten van Q en die
van Y^, waarbij punten van eenzelfde u correspondeeren met
punten van eenzelfde q en punten van eenzelfde v met punten
van eenzelfde v^ en omgekeerd.

Onder een kromme {p, q) van Y^ verstaan we een kromme,
die elk der beschrijvende rechten g in en elk der beschrijvende
kegelsneden v^ in q punten snijdt. Een kromme {p, q) op Q is
een kromme die elke beschrijvende % in p en elke beschrijvende

in g punten snijdt.

Uit het voorgaande volgt, dat lij een kromme {p, q) op Q een
kromme {p, q) op Fg^ behoort en omgekeerd.

Een legioen van heeft met elke bundel kegels q één exem-
plaar gemeen, terwijl ten opzichte van een bundel uit het le-
gioen, waarvan twee kegels hun top op l hebben, l en een ge-
geven rechte v wederkeerige poollijnen zijn.

De raakpunten van de vlakken 7t behoorende bij de kegels
uit het legioen, die hun top op l hebben, vormen dus op ü een
kromme (1, 2).

Het legioen wordt in B^ afgebeeld op een vlakke vierdimen-
sionale ruimte {B^, die Y.^ volgens een kromme (1, 2) snijdt.
Omgekeerd is een kromme (1, 2) (t) van fg^ de doorsnede van
een B^ met Fg^. Neem 5 punten op de kromme. De B^ bepaald
door deze 5 punten snijdt Y^ volgens een kromme (1, 2) (t').
Nu correspondeeren t en t' met twee krommen (i, 2) op die
5 punten gemeen hebben en dus samenvallen, omdat een

kromme van de derde graad op een kwadratisch oppervlak,
bepaald is door vijf punten. Dus t en t' vallen ook samen.

We kunnen nu nog vragen naar de graad van een kromme
{p, q) op Fg^ d.w.z. naar het aantal snijpunten, dat een R^,
dus een kromme (1,2), met de kromme {p, q) heeft, of ook naar
het aantal snijpunten van de krommen (1, 2) en {p, q) op Q.
Dit aantal is gelijk aan 2p-\-q dus:

Een kromme [p, q) op V^ is van de graad 2p

§ 8. De lijnelementen waarvan P in een gegeven punt ligt.

We zullen nu onderzoeken de afbeelding van de lijnelemen-
ten (P, p), waarvan P samenvalt met een gegeven punt A.
De verzameling van deze oo^ lijnelementen wordt voorgesteld
door het symbool {A)^. Indien ten opzichte van een 0^, A
geconjugeerd is met a, behoort het met correspondeerende
lijnelement tot {A)^ en omgekeerd. De verzameling {A)^
beeldt zich dus af op een net : viA)^.

De zes verbindingsrechten van A met de punten B in a,
vormen met het punt A evenzooveel lijnelementen, die afge-
beeld worden op kegels uit de netten v {B) (§2).

In Pg is het net v {A)^ eefn plat vlak, dat met elk der platte
vlakken v{B) een punt gemeen heeft.

Omgekeerd is elk plat vlak F, dat met elk der platte vlakken
v{B) een punt gemeen heeft, de afbeelding van een verzame-
ling lijnelementen {A)^. We noemen het snijpunt van F met
j) De punten B^ g, B^^ 3 en B^^ 3 liggen op de rechte
64. De poolvlakken van b^ ten opzichte van K^ g, K2gt; 3 en 3
snijden elkaar in een punt A. Ten opzichte van deze kegels 'is
dus A geconjugeerd met de rechte 64, dus ook ten opzichte van
4' -^2,4 en Ks 4 omdat K^^ g, K^^ 3 en K^ 3 (zoo ze niet tot
een bundel behooren) het net bepalen. Dan is echter ten op-
zichte van Ki 4, K^^ 4 en K^^ 4 het punt A geconjugeerd met a,
dus ten opzichte van alle exemplaren van F.

Een plat vlak V, dat met elk der platte vlakken v{B) een punt
gemeen heeft, is dus in het algemeen de afbeelding van een verza-
meling lijnelememten {A)2.

De verzameling lijnelementen beeldt zich af op een

net dat bestaat uit de oo^ kegels met Ai als top. De ver-
zameling lijnelementen {B^ wordt afgebeeld op het net

De verzameling lijnelementen (P, p), waarvan het punt P
samenvalt met een bepaald punt H, wordt afgebeeld op de
van een kluwen, want ten opzichte van alle door de punten
A, is het punt H geconjugeerd met een punt B van a. De
ten opzichte waarvan het punt H geconjugeerd is met twee
willekem'ige punten van a, dus met alle punten van a, vormen
een kluwen.

In § 5 hebben we gezien dat de kernkromme van het net
ten opzichte waarvan een punt A geconjugeerd is met a, ont-
aard is in drie rechten, de stralen van de drie bilineaire con-
gruenties, die door A gaan en een kromme van de derde graad
in a, zoodat van de oo^ kegels uit het net, er drie zijn, waarvan
de top op l ligt. De platte vlakken v{A\ snijden V^^ in drie
punten.

Indien het punt ^ in a hgt, kunnen we als volgt tot een-
zelfde resultaat komen. Ieder punt P van a is top van twee
kegels, die volgens rechten door P aan a raken. Immers van de
bij P behoorende A kegel Hggen twee beschrij venden in a. Ver-
der is er één kegel, die volgens een gegeven rechte aan a raakt.
De rechten in a vormen met de daarbij behoorende kegeltop-
pen een nulstelsel (2, 1) van oo^ lijnelementen. De lijnele-
menten, waarvan de rechten p door het punt A gaan, vormen
een nulstelsel 8^ (1, 0) van oo^ lijnelementen, want een wille-
keurig punt van a is nulpunt van één lijnelement uit het nul-
stelsel, terwijl een willekeurige rechte van a geen lijnelement
uit het stelsel draagt. Het gemeenschappelijke van beide nul-
stelsels is een stelsel 8-^ (1, 3) van oo^ lijnelementen, d.w.z. de
rechten, volgens welke de kegels uit het net v{A)2 aan a raken,
vormen de waaier

{A, a), terwijl de toppen der bijbehoorende
kegels een kromme van de derde graad vormen.

Opmerking: Het nulstelsel 8^ (2, 1) heeft 22 2 1 = 7
singuhere rechten. Dit zijn de 7 dubbelrechten in a die behoo-
ren bij zeven vlakkenparen. Ieder punt van zoo'n rechte is
kegeltop.

Om in i2g onderscheid te maken tusschen de netten v{A)2,
waarbij A al of niet in a gelegen is, vragen we naar de graad
van de kromme van Fg^, die voorstelt de kegels, die volgens
rechten aan a raken.

De lijnelementen, waarvan het punt P op l ligt, vormen een
nulstelsel S^quot; (O, 1). Dit heeft met (2, 1) een stelsel 8 (3, 2)
van cxji lijnelementen gemeen. Het karakteristieke getal 2
duidt hier op de dubbelgetelde rechte l als puntkromme. Nu
vormen de dubbelrechten, die een willekeurig legioen van
in a bepalen, de tangenten van een kegelsnede. De lijnelemen-
ten van deze tangenten vormen een nulstelsel 82quot; (2, 0). Dit
nulstelsel heeft met het systeem 8 zes elementen gemeen, zoo-
dat we kunnen zeggen, dat de kegels van V^, die dubbel-
rechten in a bepalen, in worden voorgesteld door een krom-
me van de zesde graad (t®).

De netten v{A)2, waarvoor ^ in a ligt, worden in R^ voorge-
steld door platte vlakken, die t® in drie punten snijden.

§ 9. De lijnelementen waarvan p door een gegeven punt gaat.

De 00® lijnelementen (P, p), waarvan p door een gegeven
punt A gaat, de verzamehng beelden zich af op de oo^O^
van een kluwen v{A)s, waarvoor A geconjugeerd is met de
punten van l. Dit wordt in R^ voorgesteld door een vlakke
drie-dimensionale ruimte.

De verzameling 1^(^)3 bevat oo^ punten van V^. Elke be-
schrijvende rechte q van Fg^ bevat een punt van v(A)s, im-
mers in Rs wentelt het poolvlak van l ten opzichte van de
exemplaren van de bundel kegels met eenzelfde top op l, om
een rechte u en één dezer poolvlakken gaat door A.

Een willekeurig plat vlak F van v{A)s bevat drie punten
van Fg^, want in R^ is voor alle exemplaren van het net F, P
geconjugeerd met de punten van l. Het bij behoorende net
kegelsneden in a heeft ontaardingen, waarvan de dubbel-
punten een derdegraadskromme vormen. Deze snijdt l in drie
punten T^ en T^. Indien we aannemen dat A buiten a ligt,
zijn de 0^, die behooren bij de ontaarde kegelsneden met dub-
belpunt op l, kegels uit het net V, daar ten opzichte van elk
dezer het bij behoorende punt T geconjugeerd is met a en

met A. In Bs snijdt v(A)3 Fg^ volgens een ruimtekromme van
de derde graad

Als omgekeerd een vlakke driedimensionale ruimte 2*3 in
Fg^ volgens een snijdt, is een viAJ^. Neem een wille-
keurig plat vlak F in 1^3. Dit snijdt volgens de punten
Zg en Z3, die niet op één rechte liggen. In snijden de pool-
vlakken van l ten opzichte van de kegels, behoorende bij de
punten K, elkaar in een punt A. Dus voor alle exemplaren van
het net F, is A geconjugeerd met de punten van l. Neem nu
een willekeurig punt B aan in 2*3. Hierdoor is één bisecant t
van g® te trekken. Deze snijdt F in een punt C. In B^ gaat
de poollijn p, van l ten opzichte van het oppervlak C door A,
dus ook die van B, omdat de exemplaren van de bundel t de
afbeelding zijn van lijnelementen met eenzelfde rechte p-^^.
M.a.w. voor het oppervlak B, dus ook voor de oppervlakken
van 2*3, is het punt A geconjugeerd met de punten van l.

Besumeerende: De oo^ verzamelingen {A)^ worden afgebeeld
op de 00^ driedimensionale ruimten, die Fg^ volgens een kromme
van de derde graad mijden.

We kunnen ook gebruik maken van wat in § 7 gevonden is.
De kegels, die in de waarvoor een punt A geconjugeerd is
met l, voorkomen, bepalen vlakken n, waarvan de raakpunten
op ü een kromme (1, 1) vormen. Deze correspondeert meteen
kromme (1, 1) op Fg^, die dus van de derde graad is.

Omgekeerd is er bij elke kromme (1, 1) op Fg^ een aan te
wijzen, die V^ volgens die kromme snijdt, want deze kromme
correspondeert met een (1, 1) kromme, d.i. een kegelsnede op

De vlakken ti, die volgens de punten van deze kromme aan
Ö raken, gaan alle door één punt A, nl. de pool van het vlak
der kegelsnede ten opzichte van ü. De kegels, die bij deze
vlakken 71 behooren, hggen alle in het kluwen, ten opzichte
waarvan A geconjugeerd is met de punten van l.

Indien het punt A o^ Q ligt, zijn de raakvlakken uit A aan
•ö de vlakkenbundels, gedragen door de rechten u en v door
P, zoodat de E^, die in Pg het kluwen ten opzichte waarvan
A geconjugeerd is met l, afbeeldt, V^ snijdt volgens een krom-
me (1,1), die bestaat uit een beschrijvende rechte q en een
beschrijvende kegelsnede v^.

Aan elk punt A van Rg is een kromme (1, 1) van Fg^toete
voegen. Op Fg^ liggen oo^ krommen (1, 1).

Daar een vlak jt oo^ punten bevat, zullen door een punt
K van Fg^ ook oo^ krommen (1,1) gaan, waarvan er oo^ ont-
aard zijn in de rechte q door K en een der kegelsneden v^
of de kegelsnede v^ door K en een der rechten q.

Omdat twee vlakken n-^ en n^ oo^ gemeenschappelijke pun-
ten bevatten, zullen door twee punten K^ en K^ van V^ ook
cx)i krommen (1,1) gaan, waarvan er twee ontaard zijn.

Door drie punten van V^^ gaat één kromme (1, 1).

Daar door twee punten in het algemeen twee vlakken n
gaan, zullen twee krommen (1, 1) op Fg^ in het algemeen ook
twee snijpunten hebben.

De rechten p der singuhere lijnelementen uit vormen een
kegel van de derde graad (t^) met top A. De meetkundige
plaats van de poollijnen van l ten opzichte van een bundel
02 uit v{A)^ is een kwadratische kegel met top A, die zes rech-
ten met t3 gemeen heeft. Het oppervlak, waarvan de punten
02 voorstellen, die behooren bij de singuliere lijnelementen uit
{A\, is dus van de zesde graad.

We kunnen tot hetzelfde resultaat komen met hetgeen in
§ 5 gevonden is: „de singuliere lijnelementen worden afgebeeld
op trisecanten van Fg®, die secanten van V^^ zijnquot;. Indien
v{A)g een 0^2 bevat, die de afbeelding is van een singuHer
lijnelement, bevat v{A)^ de bundel 0^, die behoort bij het singu-
liere lijnelement, want de poollijn van l ten opzichte van O^^,
is een rechte X door A, waarvan de lijnelementen dus tot {A\
behooren. We kunnen dus zeggen, dat het oppervlak U, ge-
vormd door de punten vannbsp;die de afbeelding zijn van
singuliere lijnelementen, bestaat uit de trisecanten van Fg®,
die bisecanten van Fg^ zijn en in v{A\ liggen.

Nu vormen de toppen van kegels in een kluwen een opper-
vlak van de vierde graad, dat a volgens een kromme van de
vierde graad snijdt. Deze is, voor het kluwen v{A)^, ontaard in
een kromme van de derde graad en de rechte l. De kegels, die
hun top op deze kromme hebben, worden in jRg afgebeeld op
punten van het platte vlak viA)^ in v{A\. Deze punten vormen
een kromme van de derde graad (t®), want een willekeurige

rechte van v{A)2 heeft er drie punten mee gemeen. De rechte
is nl. de afbeelding van een bundel 0^, waarvoor en a respec-
tievelijk hoekpunten en zijvlak van het gemeenschappelijk
poolviervlak der exemplaren van de bundel zijn. In « Hggen
dus drie van de vier kegeltoppen. De kegels, die hun toppen
op l hebben, vormen in viA)^ een ruimtekromme van de derde
graad {q^).

De kromme t^ bevat de drie punten volgens welke e® het
vlak v{A)2 snijdt, want ^'(.4)2 bevat buiten de punten van t^
geen punten meer, die kegels voorstellen, waarvan de toppen
in a Hggen.

We vragen nu naar het aantal snijpunten, dat een rechte
q van v(A)s heeft met het oppervlak ü, m.a.w. naar het aantal
koorden van q^ dat t^ en q snijdt. De koorden van q^ vormen
een congruentie (1, 3) en de transversalen van q en t^ een
congruentie (3, 3). Het aantal gemeenschappelijke stralen
is gelijk aan 1 x 3 3 X 3 = 12. De zes koorden van
die q snijden en door de drie snijpunten van t^ en q^ gaan, zijn
echter geen trisecanten van Fg®, zoodat het oppervlak U van de
zesde graad is, hetgeen overeenstemt met wat in § ö gevonden is.

Opmerking: Indien het punt in a ligt, is t^ ontaard in
een rechte en een kegelsnede.

§ 10, Verzamelingen van lijnelementen in (.4)2.

De afbeelding van de verzameHng van de oo^ lijnelementen
{A, /S), waarvan P samenvalt met een gegeven punt A en p
in een gegeven plat vlak ^ door A gelegen is, ligt in het platte
vlak v{A)2.

We willen onderzoeken, hoeveel snijpunten de afbeelding
van {A, /S) heeft met een willekeurige rechte uitnbsp;m.a.w.

hoe vaak de poollijn van l ten opzichte van een uit een
bundel waarvoor A geconjugeerd is met a, in /3 Hgt.

De meetkundige plaats van de poollijnen van l ten opzichte
van de exemplaren van genoemde bundel is een kwadratische
kegel met top A. Van deze kegel liggen twee beschrijvende
rechten in /S. Dus de verzameHng van lijnelementen {A,
wordt afgebeeld op een kegelsnede van het platte vlak v{A)2.

Ieder der kegels K^, K^ en K^, in R^ voorgesteld door de snij-
punten van v(A)2 met Fg^, correspondeert met oo^ lijnelemen-
ten (§2). Deze verzamelingen hebben met (A)2 respectievelijk
de verzamelingen (A, jti), (A, ^2) ^^ ^3) gemeen. Dit zijn
de lijnelementen (P, p), waarvan P samenvalt met A en de
rechte p de waaiers {A, n^), (A, TTg) en (A, j}^) doorloopt. Ze
bevatten respectievelijk de singuhere lijnelementen (A, p^,
{A,p^)-, {A,py), A,p^) en {A,p^), {A,p^, zoodat ze zich in
v{A)2 afbeelden op de ontaarde kegelsneden met dubbelpunten
respectievelijk K^^, K2 en K^ uit het net met basispunten K^,
K^ en iTg.

Een willekeurige verzamehng {A, bevat een lijnelement
uit elk der verzamelingen {A,n), zoodat ze afgebeeld wordt
op een kegelsnede door de punten K.

Omgekeerd is een kegelsnede door de punten K de afbeel-
ding van een verzamehng lijnelementen {A, die bepaald
wordt door twee lijnelementen uit {A)2, die correspondeeren
met twee punten van de kegelsnede buiten de punten K.

De oo2 verzamelingen (A, /?) in {A)^ heelden zich dus af op
de oo2 kegelsneden van het net K in v{A)2, dat de punten K tot
hasispuntamp;n heeft.

De oo2 verzamelingen van lijnelementen {A, waarvan de
vlakken /S een vlakkenbundel vormen, worden afgebeeld op
de cx)2 bundels uit het net K. Hiervan correspondeeren de
verzamehngen lijnelementen door [A, p^ met de ontaarde
bundel uit het net K, waarvan het punt Ki en de rechte K Kj^
de basis vormen.

De verzameling kegelsneden, die men krijgt, door de meet-
kundige plaats van de polen van l ten opzichte van de exem-
plaren van elke bundel uit het net v{A)2 te bepalen, is een net,
met als basispunten de kritieke punten van het net behoorende
bij l, zoodat de oo^ verzamelingen lijnelementen uit {A)2, die
de kegels van het net, met als basis de drie rechten, die de
singuhere lijnelementen uit {A)2 dragen, afgebeeld worden op
de rechten van v{A)2, ieder gecombineerd met de drie verbin-
dingsrechten der punten K, want ook omgekeerd snijdt een
rechte l van v{A)2 elk der rechten Kf Kj in één punt, d.w.z. h is
de afbeelding van lijnelementen uit (A)2, waarvan de rechten

een kegel vormen, die door de rechten der singuliere lijnele-
menten gaat,

We willen verder de afbeelding onderzoeken van de lijn-
elementen uit de verzameling {A)^, waarvan de rechten p een
gegeven kwadratische kegel t^ vormen.

Daar de meetkundige plaats van de poollijnen van l ten
opzichte van de exemplaren van een bundel uit het net v{A\
vier rechten gemeen heeft met de gegeven kwadratische kegel,
wordt de verzameling lijnelementen voorgesteld door een
kromme van de vierde graad {q^) in v{A)2. De kegel t^ heeft
met elk der waaiers {A, 71) twee rechten gemeen, dus q^ heeft
in de punten K^, K^ en K^ dubbelpunten.

Omgekeerd is een kromme van de vierde graad in v{A)2,
die in de punten K dubbelpunten heeft, de afbeelding van een
verzameling lijnelementen uit {A)2, waarvan de rechten p een
kwadratische kegel vormen. Immers een kromme van de vier-
de graad is bepaald door 14 punten. Dat de kromme in de
punten K dubbelpunten heeft is gelijkwaardig met het geven
van 9 punten, zoodat elk vijftal punten, buiten de punten K,
een kromme van de vierde graad met dubbelpunten in de
punten K bepaalt. Nemen we nu 5 punten op een gegeven
dan correspondeeren deze met 5 lijnelementen uit {A)^. Door
de 5 bijbehoorende rechten gaat één kwadratische kegel. Nu
is de afbeelding van de lijnelementen uit {A)2, gedragen door
deze kegel, een in v{A)2, die samenvalt met q^, omdat beide
krommen in de punten K dubbelpunten hebben en buiten de
punten K nog 5 punten gemeen hebben.

We hebben hierboven reeds gezien dat, indien t^ de drie
singuhere lijnelementen bevat, de bijbehoorende q^ ontaard is
in vier rechten.

De verzamehng lijnelementen uit v{A)2, waarvan de rechten
p een kegel van de graad n vormen, hebben als afbeelding in
i?g een kromme van de graad 2n in het vlak v{A)2 gelegen. De
kegel bevat n stralen van elke waaier {A, 71), dus de kromme
heeft in de punten K w-voudige punten.

Dat een kromme van de graad 2n {q^), met ?i-voudige
punten in de punten K, de afbeelding is van de lijnelementen
uit ^(.4)2, waarvan de rechten p een kegel van de graad n

(tquot;) vormen, blijkt uit het feit dat de q^quot; buiten de punten K
bepaald is door | X 2n{2n 3) — 3 X (w 1) = Jw (w 3)
punten en dat dit aantal gelijk is aan het aantal beschrijven-
den dat tquot; bepaald.

Twee kegels t'quot; en tquot; hebben mn gemeenschappelijke rech-
ten. De bijbehoorende q^'quot; en g^« hebben ook, buiten de
punten K, Amn — Zmn = mn snijpunten.

Nemen we in a twee krommen aan van de graad m en n
{qquot;^ en öquot;), dan correspondeeren deze in v{A)2 met twee krom-
men, respectievelijk van de graad 2m en 2n {q^quot;^ en g^quot;) met
m enn voudige punten in de punten K. Nu geldt een m-voudig
punt voor ^m (m - 1) dubbelpunten, zoodat volgens de for-
mule van Plücker de klasse van g^'quot; gelijk is aan 2m (2m - 1) -
2 X 3 X (m - 1) —m{m -f 1). De klasse van g^'^ is gelijk
aan n {n 1), zoodat het aantal gemeenschappelijke raaklij-
nen van beide krommen gelijk is aan mn (m 1) -f 1). Dit
geeft in a de volgende stelling:

Er zijnmn {m -f 1) (w -f 1) kegelsneden, die door drie gegeven
punten gaan en aan twee gegeven krommen van de graad m enn
raken.

Verder is duidelijk, dat wanneer gquot;^ een dubbelpunt heeft,
g^quot;^ ook een dubbelpunt heeft. Het geslacht van g'^quot;^ is gelijk
aan i (2m - 1) (2w - 2) - 3 X Jm {m - l) - d = i (m - 1)
(m - 2) - d, als d het aantal dubbelpunten van g^quot;^ voorstelt.
De krommen g^^ en gquot;* zijn dus, zooals dit behoort hij een (1,1)
verwantschap, van hetzelfde geslacht.

Een kegelsnede van het vlak v{A)2 snijdt elk der verbindings-
rechten der punten K in twee punten zoodat ze de afbeelding
is van lijnelementen uit de verzameling {A)2, waarvan de
rechten een kegel van de vierde graad beschrijven, die de rech-
ten der singuliere lijnelementen tot dubbelrechten heeft.

Als we aannemen, dat het punt A buiten a Hgt, bepalen de
lijnelementen uit (A)2, die liggen in het vlak door A en een
rechte k in a, in v(A)2 een kegelsnede Jc^ uit het net met basis-
punten Kj^, K^ en K^ en omgekeerd.

Evenzoo kunnen we aan een rechte t van v{A)2 een kegel-
snede T van a toevoegen, die behoort tot het net met basis-
punten S2 en Sg, die de snijpunten zijn van de rechten der

singuliere lijnelementen met a, en omgekeerd.

De snijpunten van kegelsnede en rechte in het eene vlak
correspondeeren met de snijpunten van rechte en kegelsnede
in het andere vlak.

Een rechte rakend aan een kegelsnede in het eene vlak cor-
respondeert met een kegelsnede, rakend aan een rechte, in het
andere vlak.

Dat door een punt van het eene vlak twee raaklijnen gaan aan
een gegeven kegelsnede, komt in het andere vlak overeen met
het raken van twee kegelsneden uit een bundel aan een rechte.

Het feit dat twee kegelsneden in het eene vlak vier gemeen-
schappelijke raaklijnen hebben, geeft in het andere vlak de
stelhng:

Er zijn vier kegelmeden, die door drie gegevm punten gaan en
aan twee gegeven rechtm raken.

Nemen we in a een punt P aan en een kegelsnede r^, dan
krijgen we als analogon in v{A)2, een punt Q en een rechte t.
De raaklijnen en door P aan x^, geven innbsp;de kegel-

sneden k^^ en k^^ door Q, die aan t raken en de verbindings-
rechte % der raakpunten P^ en Pg de kegelsnede k^ door de
raakpunten der rechte t aan k^ en k^.

Nu geldt in a de volgende stelhng: Ligt een punt P' op de
poollijn K van punt P ten opzichte van x^, dan ligt P op de
poollijn x' van P' ten opzichte van t^. Dit geeft in v{A\ de
volgende stelhng:

Indien em punt Q' ligt op de kegelsnede k^ uit het net met basis-
punten Ki, K^ en K^, die gaat door de punten volgens welke de
kegelsneden uit de bundel met basispuntm K^, K^, K^ en Q aan
een rechte t rakm, dan liggen de punten K^, K^, K^ en Q met de
punten, volgens welke de kegelsneden uit de bundel met K^, K^,
K^m Q als basispuntm aan t raken op één kegelsnede.

De stelling van Pascal in het eene vlak: De drie snijpunten
der drie paren overstaande zijden van een enkelvoudige zes-
hoek, beschreven in een kromme van de tweede graad, liggen
op een rechte, geeft in het andere vlak de stelling:

Indien mm op em rechte zes puntm A aanneemt en door drie
punten B zes kegelsnedm K legt, telkens door twee punten A, zoo-
danig dat elk punt A op twee kegelmedm ligt, dan liggm de drie

snijpuntm, buiten de punten A en B, der drie paren kegelsneden
K, waarvan elk paar zoo gekozen is, dat de snijpunten A van de
vier overblijvende kegelsneden niet op eenzelfde kegelsnede K
liggen, met de punten B op één kegelsnede.

Opmerking: Daar de kegelsneden van een net in een vlak ß,
bepaald zijn door drie homogene coördinaten, kunnen ze af-
gebeeld worden op de punten van een vlak s, waarbij de kegel-
sneden, die aan een gegeven rechte raken, correspondeeren
met de punten van een kegelsnede in e. Een punt A 'm ß
bepaalt, als basispunt, een bundel kegelsneden in ß, dus een
rechte in e, terwijl het incident zijn van punt en rechte in ß, is e
beteekent dat rechte en kegelsnede elkaar raken.

De zoo juist genoemde stelling wordt in e als volgt gelezen:
Indien men zes rechten a aanneemt, die aan een kegelsnede
raken en op deze rechten zes punten K, zoodanig dat elk punt
op twee rechten ligt, dan gaan de drie verbindingsrechten van
de drie punten K, waarvan elk paar zoo gekozen is, dat de
verbindingsrechten van de vier overblijvende punten, die
rechten a zijn, elkaar niet in een der punten K snijden, door
één punt. Dit is de stelling van Brianchon.

De stelhng van Brianchon in het eene vlak: De drie verbin-
dingslijnen der drie paren overstaande hoekpunten van een en-
kelvoudige zeszijde, beschreven om een kromme van de tweede
klasse, gaan door een punt, geeft in het andere vlak de stelling:

Indien men zes punten A kiest, zoodanig dat 12 kegelsneden
[k^) door drie punten B en em punt A, die aan een gegeven
rechte raken, twee aan twee samenvallen, dan snijden de drie kegel-
sneden, door de punten B en drie puntenparen A, waarvan elk
paar zoo gekozen is, dat de kegelsneden k^, die twee van de vier
overblijvende punten A bevatten elkaar niet in een punt A snijden,
elkaar in één punt.

In het vlak e lezen we deze stelhng als volgt: Indien men
zes rechten a kiest, zoodanig dat de 12 punten K van deze
rechten, welke op een gegeven kegelsnede liggen, twee aan
twee samenvallen, dan hggen de drie snijpunten van de drie
paren rechten a, waarvan elk paar zoo gekozen is, dat de snij-
punten van de vier overblijvende rechten, die punten K zijn,

niet op eenzelfde rechte a liggen, op één rechte. Dit is de stel-
ling van Pascal.

Opmerking: Een punt van a correspondeert met een punt
van en dit weer met een rechte van e en verder een rechte
van a met een kegelsnede van »»(.4)2 en deze weer met een punt
van e, zoodat het zonder meer duidelijk is, dat de stelling van
Pascal overgaat is de stelling van Brianchon en omgekeerd.

§ 11. Verzamelingen van lijnelementen in

We willen nu onderzoeken de afbeelding van de oo^ lijn-
elementen {P, p), waarvan de rechten een waaier {A, vor-
men. A is de top en /S het vlak van de waaier. De verzameling
dezer lijnelementen zullen we aanduiden met {A, De af-
beelding moet in v[A)3 hggen en is een oppervlak van de twee-
de graad 0{A, /S), daar een willekeurige rechte uit ^O^g twee
punten met de verzamehng gemeen heeft. Immers, de meet-
kundige plaats der poollijnen van l ten opzichte van de exem-
plaren van een bundel uit het kluwen v{A)s is een kwadratische
kegel met top A, waarvan twee beschrijvenden in ^ liggen.

De 00^ lijnelementen van een rechte van de waaier {A,
worden afgebeeld op de punten van een rechte b van het eene
stelsel beschrij venden van O {A, /S), terwijl de oo^ lijnelemen-
ten van {A, die correspondeeren met de van een bundel
h' uit v{A\, waarvoor het vlak ^ geconjugeerd is met een ge-
geven punt B van l, zich afbeelden op een rechte van het
andere stelsel beschrijvende lijnen van 0{A,

{A, P)^ bevat drie singuliere lijnelementen (aSi, sj,
en (^3, S3), want de complexkegel der rechten A van A, heeft
drie rechten met de waaier {A, gemeen.

Indien voor een niet ontaarde O®, en l toegevoegde pool-
lijnen zijn, valt de pool van a ten opzichte van genoemde
in

De meetkundige plaats van de polen van a ten opzichte van
de exemplaren van een bundel b', is een kromme van de derde
graad, ontaard in een rechte door B, nl. de poollijn van a
ten opzichte van de kegel uit de bundel h', waarvan de top in
B hgt, en een kegelsnede door de punten A, ^i, Sg en De

kegelsnede gaat door A, omdat voor één uit de bundel b', A
de pool is van a.

De drie recbten s in zijn poollijnen van a ten opzichte van
drie kegels. De poollijnen van ^ ten opzichte van deze kegels
hggen dus in a en snijden de rechte l in drie punten C^, Cg en
Cg. Ten opzichte van de exemplaren van elk der bundels,
waarvoor geconjugeerd is met een punt C, is de meetkundige
plaats der polen van a ontaard in drie rechten, zoodat deze
drie bundels, rechten van het stelsel 6' van Onbsp;de af-

beelding vormen van de lijnelementen uit de verzameling
{A, waarbij P een ontaarde kegelsnede uit de bundel met
basispunten A, S^, S^ en S^ doorloopt.

Resumeerende krijgen we dus: De 00^ verzamelingen van de
cx)i lijnelementen, die op een rechte uit een waaier {A, p) liggamp;n,
worden afgebeeld op de rechten van het eene stelsel beschrij-
vende (b) van O {A, m de oo^ verzamelingen, ieder bestaan-
de uit oo^ lijnelementen {P, p), waarbij p de waaier (A, en
P een kegelsnede in /S uit de bundel met basispunten A, S-^,

en 83 doorloopt, op de rechten van het andere stelsel beschrij-
venden (amp;').

Dat twee rechten van hetzelfde stelsel b' geen punt gemeen
hebben volgt uit het feit, dat de punten P van de bij deze
rechten behoorende lijnelementen twee kegelsneden beschrij-
ven, die buiten de punten A, 8-^, 8^ en 8^ geen punt gemeen
hebben. Twee rechten van verschillend stelsel hebben een punt
gemeen, omdat de punten P van de bij behoorende verzame-
ling lijnelementen, een rechte door A en een kegelsnede door
A beschrijven, die buiten A één punt gemeen hebben.

De bisecanten t van e® in v{A\, zijn de afbeeldingen van de
oo^ verzamehngen lijnelementen, gedragen door een rechte
van de schoof A. De kromme hgt op O (A, omdat er
van de oo^ lijnelementen, die bij iedere kegel van behooren,
steeds één tot de verzameling (A, ^^ behoort.

We hebben gezien, dat O /S) opgebouwd is uit rechten t
(het stelsel b). Een willekeurige O {A, uit het net kwadra-
tische oppervlakken met q^ als basisfiguur, is de afbeelding van
de verzameHng lijnelementen {A, waarvan het vlak ^ be-
paald wordt door twee rechten p^ en p^ door A, wier lijnelemen-

ten correspondeeren met twee rechten t van O {A, /S).

Twee oppervlakken O {A^, en O [A^, ^2) hebben behalve
g® een rechte t gemeen, die de afbeelding is van de 00^ lijn-
elementen gedragen door de gemeenschappelijke rechte der
waaiers {A-^, ^i) en {A2,

Indien het platte vlak /S^ een raakvlak tc aan ü is, dat het
poolvlak is van l ten opzichte van een kegel K, zullen de be-
schrij venden t van O {A, /S^) allen door het punt K gaan. De
00^ verzamelingen lijnelementen {A, beelden zich af op
de oqI kegels, waardoor uit z'n eigen punten geprojecteerd
wordt.

Indien men twee verzamelingen {A, (8^)2 en {A, heeft,
zuUen de lijnelementen van de snijlijn s der vlakken /S^ en
zich afbeelden op de verbindingsrechte der punten K en K'
van e®.

Valt het platte vlak met /S^ samen, dan is s een raaklijn
r aan Q geworden en de rechte KK' de raaklijn Hn Z aan q^,
zoodat de lijnelementen van de raakkegel uit A aan Q, zich
afbeelden op de punten van de raaklijnen aan q^ (verg. § 6).

Dat de rang van q^ vier is, volgt uit het feit dat de meet-
kundige plaats van toevoegde poollijnen van l ten opzichte
van een bundel in v{A)3 {d.i. een kwadratische kegel met
top A), vier beschrij venden met de raakkegel gemeen heeft.
De oo^ lijnelementen gedragen door de beschrijvende lijnen
van de raakkegel worden afgebeeld op de punten van een op-
pervlak van de vierde graad in v{A)s, nl. het oppervlak ge-
vormd door de tangenten van p®.

Indien het punt A o-pQ ligt, is q^ ontaard in een rechte^ en
een kegelsnede v^, die een punt K gemeen hebben. Het punt K
correspondeert in B^ met de kegel K^, die behoort bij het raak-
vlak 71 in het punt A aan Q. De oo^ lijnelementen, gedragen
door de rechten van een waaier, waarvan de top in A ligt,
correspondeeren met de punten van een kwadratisch opper-
vlak (02) uit het net 0^ in v{A)s, waarvan g® basisfiguur is.
Alle oppervlakken hebben q tot beschrijvende. De raaklijn r
in K aan de beschrijvende kegelsnede v^ van V^, is raaklijn
aan alle 0^. Alle in het net raken in het punt K aan het vlak
V door Q en r. Daar ook ten opzichte van V^, K geconjugeerd

is met de punten van q en r, is V ook raakvlak in K aan Fg*,
zoodat de lijnelementen van de oo^ waaiers, wier toppen op Ü lig-
gen, correspondeeren met de punten van die aan Fg^ raken.

De vlakken jt, die behooren bij de kegels, die voorgesteld
worden door de punten van q^, zijn in het algemeene geval
{A niet op Q) raakvlakken aan een kegel. Ieder raakvlak bevat
een raaklijn uit A aan ü.

In het bijzondere geval, dat A op ü ligt, bestaat de ver-
zamehng der raakvlakken uit de beide vlakkenbundels, ge-
dragen door de rechten u en v door A. Beide vlakkenbundels
hebben het vlak jt^ gemeen. Alle raaklijnen uit A aan liggen
in TT^. Elk ander raakvlak bevat de raaklijn u of v.

De lijnelementen uit (^1)3, in een raakvlak door u gelegen,
worden afgebeeld op de punten van een kegel uit het net 0^,
met top Kq op Q, immers ten opzichte van één kegel Kg uit
de bundel q zijn de rechten van de waaier {A, en l toe-
gevoegde poollijnen.

De lijnelementen uit (.4)3, in een raakvlak door v gelegen,
worden afgebeeld op de punten van de 00^ rechten, waardoor
Q^ uit een punt K^, van v^ wordt geprojecteerd, want ten op-
zichte van een kegel K^ uit de verzameling v^, zijn de rechten
van de waaier en l toegevoegde poollijnen.

De lijnelementen uit (^1)3 in 71^ gelegen, worden afgebeeld op
de punten van de ontaard in het raakvlak F in aan Fg^
en het platte vlak v, dat de kegelsnede v^ van Fg^, door A,
bevat. De oo^ verzamehngen van 00^ lijnelementen van een
rechte van de waaier (A, jtjJ, correspondeeren met de rechten
van de waaier {K, F) in B^, waarbij opgemerkt moet worden,
dat de lijnelementen van de rechte v singuher zijn en corres-
pondeeren met de punten van de rechten uit de waaier {A,v).

De oo2 lijnelementen uit (^)3, die liggen op een kwadratische
kegel t2, worden in B^ afgebeeld op een oppervlak van de vierde
graad (Og^) in 1^(^)3, dat q^ tot dubbelkromme heeft. Immers in
Ä3 heeft de kegel, beschreven door de poollijnen van Z ten
opzichte van de exemplaren van een bundel in v{A)^, vier
rechten met r^ gemeen. Iedere kegel, die wordt voorgesteld
door een punt van ^^^ correspondeert met oo^ lijnelementen,
waarvan de punten P op een rechte A hggen, die r^ in twee pun-

ten snijdt, terwijl de rechten p in het vlak n door A en ^ hggen.
Zoodoende is elk punt van q^ dubbelpunt van 0^.

We kunnen nu vragen naar de lijnelementen van een ver-
zamehng {A, waarvan de afbeelding een kegelsnede is,
op de bij {A, (8)2 behoorende O {A, P) gelegen. Zoo'n kegel-
snede k^g is de doorsnijding van O (A, /S) met een plat vlak
6 uit v{A)g. In Pg vinden we dus als verzamehng lijnele-
menten behoorende bij de punten van k^g, die lijnelementen,
welke behooren tot {A, /5)2 en waarvan de punten P een krom-
me van de derde graad (r®) beschrijven. Deze t^ is de door-
snijding van P met een oppervlak van de derde graad (O2®),
dat de meetkundige plaats is van de polen van a ten opzichte
van het net ö.

Het oppervlak is als volgt te bepalen. We nemen in a
drie punten B, C en D aan. De punten B en G hggen op Z.
Verder kiezen we punt A tot oorsprong van een overigens
willekeurig assenstelsel. Indien het net voorgesteld wordt door
AOi -f fiO^ vO^ = O, vormen de poolvlakken van B, G en
D ten opzichte van de exemplaren van het net respectievelijk
de drie vlakkenschoven F, W en U, waarvan de eerste twee
gedragen worden door het punt A.

l Fi // Fg H-ï' Fg =0
ATFi ^Tf2 vWs =0
Xül 2 -f V ZJg == O
Na ehminatie van X, [x en v ontstaat met de vergelijking:

Fg Fg

W, W2 TF3
ü, U2 U,
In Fi, Fg, Fg, Wi, W2 en PFg ontbreken de bekende termen,
zoodat na ontwikkeling van de determinant, in de vergelijking
van Og® geen bekende term voorkomt en ook de termen van de
eerste graad ontbreken, zoodat Og® in A een dubbelpunt heeft.
Hieruit volgt, dat ook t^ in A een dubbelpunt heeft.

Dit kunnen we ook meetkundig bewijzen. In ^(4)3 ligt name-
lijk een plat vlak e, het net waarvan de exemplaren de eigen-
schap hebben, dat ze ^ en a als pool en poolvlak aan elkaar
toevoegen. Nu snijdt het vlak £ in twee punten, dus voor
twee van de verzameling hebben de bijbehoorende lijn-

elementen het punt P'm A, m.a.w. A is dubbelpunt van t^.

In § 11 hebben we gezien, dat 0{A, drie rechten van het
stelsel (6) draagt, waarvan de punten de afbeelding zijn van een-
zelfde lijnelement {8, s). Nu snijdt k^^ ieder van deze rechten
in één punt, zoodat t^^ door de punten 8^, 8^ en 8^ moet gaan.

Omgekeerd is de afbeelding van de lijnelementen van de
verzameling (A, waarvan de punten P een kromme van
de derde graad met dubbelpunt in A door de punten 8 (t^s)
beschrijven, een kegelsnede gelegen op 0{A, P). Neem drie
lijnelementen uit de te beschouwen verzameHng: (Pj,
(Pa, p^ en (Pg, p^). Deze bepalen drie De drie bepalen
een net ó en dit geeft als doorsnede met 0{A, de gevraagde
kegelsnede, want de bij deze laatste kegelsnede behoorende
r^ zal met Tj» moeten samenvallen, daar ze de zes punten P
en 8 met t^^ gemeen heeft en beide krommen in A een dubbel-
punt hebben.

Indien ö raakvlak is aan 0{A, is k^^ ontaard in twee
rechten. Deze kegelsnede is de afbeelding van de lijnelementen
van een rechte uit de waaier {A, en die, waarvan p door A
gaat en P een kegelsnede beschrijft door de punten A en 8.
Beide verzamehngen hebben één lijnelement gemeen, dat afge-
beeld wordt op het raakpunt van 0{A,

Resumeerende krijgen we: De exemplaren van de oo^ ver-
zamelingen uit (A, waarvan P een kromme van de derde
graad beschrijft, die door de punten 8 gaat en in A een dubbel-
punt heeft, worden afgebeeld op de punten van de kegelsneden
op 0{A, p) gelegen.

Opmerking: Door twee punten Oj en van 0{A, p) gaan
col kegelsneden op 0{A, gelegen. Oj en correspondeeren
met de lijnelementen (P^, AP^) en (P^, AP^). Aan elke kegel-
snede, door de punten en is een r^ toe te voegen. Deze t^
moeten aan de voorwaarde voldoen, dat ze in A een dubbel-
punt hebben (dit komt overeen met drie Hneaire enkelvoudige
gegevens) en verder dat ze door de punten 8 en P moeten gaan.
De t3, die aan deze acht gegevens voldoen, vormen een bundel.
De stelling van het noodzakelijke punt veronderstelt een
negende basispunt. Dit valt echter in A, want in A hebben

twee krommen uit de bundel vier snijpunten, zoodat er over-
eenstemming is met het feit, dat twee kegelsneden op 0(A, /?)
door de punten en Og buiten deze punten geen punt meer
gemeen hebben.

Indien de punten en Og tot het vlak e behooren, is aan de
oo^ kegelsneden door deze punten een bundel van t® in toe
te voegen, waarvan de exemplaren in A dezelfde takraaklijnen
hebben.

Tenslotte is een kegelsnede van 0(A, jS), die aan het vlak e
raakt, de afbeelding van de lijnelementen uit de verzameHng
(A, /S)2, waarvan de punten F een r® doorloopen, die in A een
keerpunt heeft.

De die kegels zijn, waarvan de toppen op l liggen, vormen
in r(A)g een g^. De bij deze kegels behoorende vlakken jt zijn
de raakvlakken uit A aan Ü, die a snijden volgens de tangenten
van een kegelsnede k^.

Een rechte van v(A)3 stelt een bundel voor. De poollijnen
van l ten opzichte van de exemplaren van deze bundel, vormen
een kwadratische kegel met top A, die a snijdt volgens een
kegelsnede v^. Zoodoende zijn de rechten van afgebeeld
op kegelsneden van a. Een secant van g^ correspondeert met
een, in twee rechten ontaarde kegelsnede, waarvan één rechte
tangent is van k^. Een bisecant van g^ correspondeert met een
kegelsnede, die ontaard is in twee tangenten van k^.

We beschouwen een rechte t^ van '»'(A)^, die met een kegel-
snede v^^ van a correspondeert. Een plat vlak F door ^^ snijdt
e® in drie punten K^, k2nbsp;waarbij vlakken tv behooren,

die elkaar in a twee aan twee op v^^ snijden. Beschouwen we
b.v. de kegels K^ en K^, waarvan de bijbehoorende vlakken
Ttj en 7C2 elkaar volgens een rechte a snijden, dan is voor alle
punten van de rechte K^ K^, a de poollijn van l, dus ook voor
het snijpunt 8 van K^ K2 met t. Hieruit volgt, dat a op de
kegel, die de kegelsnede v^ in a bepaalt, ligt.

Een willekeurig plat vlak F door bepaalt een omgeschreven
driehoek van Tc^, die ingeschreven is in v^^. Er gaan 00^ platte
vlakken door ij, die 00^ omgeschreven driehoeken van k^ be-
palen, die ingeschreven zijn in Vj^. Er is hier overeenstemming

met de stelling die zegt, dat, indien er één driehoek is, die in
een kegelsnede en om een tweede kegelsnede beschreven kan
worden, dan zijn er oneindig veel van die driehoeken.

We vragen nog naar het aantal kegelsneden v^, dat door
vier gegeven punten B^, B^, B^ en B^ gaat. De lijnelementen
van de rechten AB-^^, AB^, AB^ en AB^ correspondeeren met
de punten van vier bisecanten van Deze hebben twee trans-
versalen. Er gaan dus twee kegelsneden v^ door vier willekeurig
gekozen punten.

§ 12. De verzameling lijnelementen van een plat vlak.

We zullen thans iets trachten te vinden van de afbeelding
der oo^ lijnelementen, waarvan p in een plat vlak ^ hgt. We
zullen de verzameling (18)3 noemen. Indien ten opzichte van
een de toegevoegde poollijn van l in ligt, hgt de pool van
/S ten opzichte van op l en omgekeerd. De meetkundige
plaats der polen van ten opzichte van de exemplaren van een
net 0^, is een oppervlak van de derde graad, dat Z in drie punten
snijdt.

Hieruit vólgt, dat de afbeelding van in de beeldruimte
voorgesteld wordt door een driedimensionale variëteit van de derde
graad (F33).

Fg® bestaat in het algemeen uit oo^ elkaar kruisende platte
vlakken F. Elk plat vlak F stelt een net voor, ten opzichte
waarvan het vlak ^ geconjugeerd is met een bepaald punt
van Z. Door elke beschrijvende q van gaat een plat vlak F,
zoodat Fg^op FsMigt.

Fg® is ook op te bouwen uit oo^ rechten t.

De verzamehng bestaat uit oo^ verzamelingen {A,
zoodat op FgS oo^ 0{A, liggen. Twee 0{A, /S) hebben steeds
een rechte gemeen. Deze rechte behoort tot het stelsel (6). De
00® rechten van de stelsels (amp;') zijn de rechten die in de platte
vlakken F hggen.

Indien ^ raakvlak aan Q is, zoodat ten opzichte van een
kegel K, het poolvlak is van Z, is Fg® de kegel waardoor Fg*
uit het punt K wordt geprojecteerd (iTg®). Deze K^^ bestaat
uit de oo^ kwadratische kegels, waardoor de oo^ door K uit

het punt K geprojecteerd worden (§9).

Indien /3 een plat vlak door l is, hgt de top van de bijbe-
hoorende kegel op de kegelsnede van Y^, die voorstelt de
kegels, die l tot beschrijvende hebben.

Indien ^ samenvalt met a, stellen de punten van de bij (a)3
behoorende Zg® de voor, die in de punten van l aan a raken.
De oo2 singuhere lijnelementen van a correspondeeren met de
punten van Zg®, zoodat Zg® op F4® hgt (§5).

§ 13. De lijnelementen gedragen door de rechten
van een lineair complex.

De 00* lijnelementen gedragen door de 00® rechten van een
hneair complex worden afgebeeld op de punten van een
vierdimensionale variëteit van de tweede graad in R^ {Y^).
Immers de meetkundige plaats van de poollijnen van l ten op-
zichte van een bundel is een kwadratische regelschaar, die
twee stralen met het hneair complex gemeen heeft.

We zullen nu onderzoeken of er in {G)^ verzamelingen van
lijnelementen voorkomen, waarvan de afbeeldingen beschrij-
vende platte vlakken Y van V^^ zijn.

De meetkundige plaats der poollijnen van l ten opzichte van de
exemplaren van een net vormen een congruentie (1, 3).
Immers ten opzichte van één uit een net, is een willekeurig
punt A geconjugeerd met de rechte Z en ten opzichte van drie

uit een net, liggen de polen van een plat vlak /S op Z. Nu kan
een hneair complex geen congruentie (1, 3) bevatten, echter
wel een bihneaire congruentie, zoodat de platte vlakken F
van F42, Fg^ in twee punten Z^ en Zg zullen moeten snijden,
want in dat geval behooren de rechten van de poolvlakken
en jTg ^ ten opzichte van de kegels Z^ en Zg tot de con-
gruentie (1, 3), die dus ontaardt in twee velden en een bihneaire
congruentie C.

Stel dat een vlak F bepaald is door Zj, Zg en een derde
De toppen der kegels Zj en Zg zijn respectievelijk T^ en T^. De
poolvlakken van Tj^ ten opzichte van Z^, Zg en zijn respec-
tievelijk onbepaald, Tig en ^ {T^ in n^. Ten opzichte van alle
02 van het net is T^ geconjugeerd met de punten van rg, als rg

de snijlijn der vlakken n^ en is. Evenzoo is er een rechte r^ in
het poolvlak van T^ ten opzichte van de kegel gelegen,
waarvan de punten met T^, geconjugeerd zijn ten opzichte van
de exemplaren van het net F. De poolvlakken van T^ en T^
ten opzichte van een willekeurige uit het net, gaan respec-
tievelijk door de rechten r^ en r^, dus de poollijn van l ten op-
zichte van die is een transversaal van r, en r„.

Omgekeerd is een transversaal t-^ van r-^ en r^ ook een poollijn
van l ten opzichte van een uit het net en wel voor die
waarvoor een willekeurig punt P van t^ buiten r^ en r^ gecon-
jugeerd is met l. De poollijn van l ten opzichte van deze
gaat door P en is transversaal van en r^, dus de rechte

De transversaal t, snijlijn der vlakken n^ en is ten op-
zichte van alle exemplaren van de bundel bepaald door
K^ en K^, poollijn van l.

De poollijnen van l ten opzichte van de oo^ bundels uit het
net F, bepalen de oo^ regelscharen R door t van de congruentie
C met richtlijnen en r^. De regelschaar die behoort bij een
bundel die de kegel K-^ bevat, is ontaard in ti^ en een waaier,
waarvan de top op r^ Hgt en het vlak door r^ gaat.

In de vlakken n^ en n^ liggen respectievelijk de rechten u^
en u^, die r^ en r^ in de punten en 8^, snijden. Ten opzichte
van een willekeurige uit het net is T^ geconjugeerd met 8^
en T^ met 8-^. Echter ook voor de bundels ^^ en q^ (bestaande
uit kegels die respectievelijk T-^ en T^ tot top hebben). Ten
opzichte van de exemplaren van het legioen bepaald door
ea en O^ {0^ ligt niet in de R^ bepaald door q^ en q^), is T-^
geconjugeerd met 8^ en T^ met /Sfj^. Ten opzichte van de exem-
plaren van een net uit dit legioen is bovendien 8^^ geconjugeerd
met T^ en 8^ met T^ en is dus 8^8^ de poollijn van l, m.a.w.
8^82 is een rechte v.

Indien omgekeerd twee rechten r^ en r^ eenzelfde rechte v
snijden, zijn ze richtlijnen van een bilineaire congruentie,
waarvan de rechten poollijnen van l zijn, ten opzichte van de
van een net. De vlakken 71 door r^ en r^, die v niet bevatten,
snijden l respectievelijk in de punten T^ en T^, die elk top van
een bundel kegels zijn (^i en q^). Indien r^ en r^ de rechte v
respectievelijk in 8-^ en 8^ snijden, is ten opzichte van het

legioen, bepaald door het net, waarvoor v de poollijn is van l
en de bundels q-^ ennbsp;geconjugeerd met T^ en 82 met T^.

Indien A en B respectievelijk punten van r^ en rg zijn buiten
8^^ en 82, is voor een net uit dit legioen, Tg geconjugeerd met
A en Tl met B, dus T2 geconjugeerd met de punten van en
Tl met die van rg, zoodat de poollijnen ten opzichte van de
exemplaren van dit net, de bilineaire congruentie, met richt-
lijnen ri en rg, vormen.

Besumeerende kunnen we dus zeggen, dat bij de 00' platte vlak-
ken door de 00^ bisecanten t van V^, de bilineaire congruenties
behooren, die hun richtlijnen hebben onder de 00^ paren rechten
die eenzelfde rechte v snijden en omgekeerd.

Indien nu een willekeurig lineair complex de rechten v^ en
V2 van de regelschaar v bevat, zijn er 00^ bihneaire congruenties
in het complex die de rechte % en 00^ bihneaire congruenties,
die de rechte Vg bevatten. Immers, indien één van de oo® rech-
ten, die Vi snijden, richtlijn is van een bilineaire congruentie
uit het complex, dan is de andere richtlijn ook een rechte die
Vi snijdt, omdat % complexstraal is.

De bilineaire congruenties, die de rechte v^ of Vg bevatten, be-
palen twee stelsels van 00® netten, die voorgesteld worden door de
beschrijvende platte vlakken V van V^, die de afbeelding is van

De bilineaire congruenties die v^ bevatten bepalen het eene
stelsel beschrijvende vlakken en die, welke V2 bevatten, het andere.

We beschouwen nu twee bihneaire congruenties C en G' uit
(C)4 met richtlijnen r^, rg en r^', r^ van hetzelfde stelsel. Om-
dat ze tot eenzelfde hneair complex behooren, hebben ze een
regelschaar B gemeen. (Alle complexstralen die r^ snijden,
snijden ook rg'.) Bij de congruenties C en G' behooren de netten
F en F'. De meetkundige plaats der polen van a ten opzichte
van de van het net F, is een oppervlak van de derde graad
(O®), dat r^ en /-g bevat. Ten opzichte van één O^ uit het net is
nl. een willekeurig punt van r-^, geconjugeerd met twee punten
van a buiten Tg. Evenzoo behoort bij F' een 0-^ door de rechten
r^ en r2'. Beide oppervlakken snijden B, volgens een kromme
van de zesde graad (e® en ^i®). De kromme g® is ontaard in
r^, y-g en een kromme van de vierde graad (e^) en ^i® in fj', rg'

en De snijpunten van p® en zijn de snijpunten van
en Qi^. Nu is, ten opzichte van één uit het net F, een be-
paalde rechte a van R poollijn van l. De vierdegraadskromme
snijdt a dus in één punt, m.a.w. q^ en zijn op het kwadra-
tisch oppervlak dat JR draagt (I, 3) krommen. Het aantal snij-
punten P van q^ en is gelijk aan 1x3 1x3=6.
Daar de rechten p der singuliere lijnelementen een complex
van de derde graad vormen, bevat de regelschaar JR zes singu-
here lijnelementen. Hiertoe behoort ook v^, de rechte van de
regelschaar (v), die tot C en Cquot; behoort. Daar echter alle lijn-
elementen van Vi singuher zijn, zullen q^ en Qj^ elkaar niet op
snijden, zoodat van de zes snijpunten er nog vijf het gevolg
zijn van de aanwezigheid van singuliere lijnelementen. Het
overblijvende snijpunt P vormt, met de door P gaande rechte
van JR, het lijnelement waarvan de afbeelding zoowel in F als
in F' ligt.

De platte vlakken Ven V', van hetzelfde stelsel, snijden elkaar
dus in één punt.

Indien G en C' tot verschillend stelsel behooren, zijn de zes
snijpunten der beide g« het gevolg van evenzooveel singuhere
lijnelementen, m.a.w.:

Twee platte vlakken V en V', van verschillend stelsel, kruisen
elkaar.

Indien twee platte vlakken F en F' van verschillend stelsel
een punt gemeen hebben, zullen q^ en q^, buiten de zes ge-
noemde snijpunten, een zevende punt gemeen hebben. Beide
krommen vallen dan samen m.a.w.:

Indien V en V', van verschillend stelsel, een punt gemeen heb-
ben, hebben ze een rechte gemeen.

V^ bestaat ook uit oo^ bisecanten van FgS die in elk punt
van Fg^ een kwadratische kegel vormen, immers elk vlak n
bevat een waaier van rechten, waarvan de lijnelementen in R^
afgebeeld worden op de punten van een kwadratische kegel
(§ 11).

Een plat vlak F van V^^ heeft twee punten K^ en K^, met
Fg« gemeen. We hebben reeds gezien dat de punten van F
correspondeeren met een verzameling lijnelementen (Cwaar-
van de rechten een bilineaire congruentie en de punten een

oppervlak van de derde graad (O®) vormen. In F ligt de rechte
Z^Zg, die de afbeelding is van de lijnelementen van een rechte
t, die snijlijn is van de vlakken jij en jtq, behoorende bij de
kegels Zj en Zg. De rechte t hgt op O®. Nu snijdt een wille-
keurige rechte a van F de rechte Z^Zg in één punt, dus zijn
de punten van a de afbeelding van een verzameling lijnele-
menten waarvan de rechten een regelschaar vormen, die t
bevat {B) en de punten een kromme van de derde graad op B.
Deze kromme is de restdoorsnede van B met O®, na verwijde-
ring van de rechten rj, r^ en t.

Omgekeerd worden de lijnelementen van Cy, waarvan de
rechten een regelschaar door de rechte t vormen, afgebeeld op
de punten van een rechte a van F, want twee lijnelementen
(Pj, Pj) en (Pg, Pg) uit de verzamehng, bepalen twee punten van
F en deze een rechte a, die de afbeelding is van de genoemde
verzamehng van lijnelementen, omdat de regelschaar bepaald
is door de rechten p^, Pz en t.

De lijnelementen van Cy, waarvan de rechten een willekeu-
rige regelschaar beschrijven, worden afgebeeld op de punten
van een kegelsnede in F, door de punten Z^ en Zg. De pool-
lijnen van l ten opzichte van Z^ en Zg, die tot de bihneaire
congruentie behooren vormen namehjk waaiers respectievelijk
in de vlakken ti-^ en jig, waarvan de toppen op rg en r^ liggen.
Een willekeurige regelschaar uit de bihneaire congruentie, heeft
met elke waaier één rechte en met een regelschaar B twee rech-
ten gemeen.

Omdat een kegelsnede uit het kluwen met basispunten Z^
en Zg, bepaald is door drie punten en een regelschaar door drie
rechten, correspondeert omgekeerd, met een kegelsnede uit
het kluwen een verzameling lijnelementen uit G y, waarvan de
rechten een regelschaar vormen.

Resumeerende kunnen we dus zeggen: De lijnelementen uit
Cy, gedragen door een regelschaar, worden afgebeeld op de
kegelsneden van het kluwen in V met basispunten K^ en Zg.
De regelscharen die de rechte t bevatten, correspondeeren met
de ontaarde kegelsneden uit het kluwen, waarvan de rechte t
bestanddeel is en de lijnelementen van Cy gedragen door twee
waaiers met toppen respectievelijk op r^ en rg, met ontaarde

kegelsneden, die hun dubbelpunt buiten t hebben.

We zullen nu onderzoeken, hoeveel beschrijvende vlakken
F van V^ door een gegeven rechte h van V^ gaan. De rechten
der lijnelementen, die bij de punten van h behooren, zijn de
beschrijvenden van een regelschaar [R). Het oppervlak O, dat
R draagt, draagt een tweede regelschaar [R'). Indien R zal
behooren tot een congruentie, die correspondeert met een plat-
vlak F van V^, moeten de richtlijnen van deze congruentie
beide v^ of v^ snijden en behooren tot R'. Nu zijn er twee bih-
neaire congruenties, die R bevatten namelijk die welke tot
richtlijnen heeft de beide rechten van .ffi' die snijden en die
welke tot richtlijnen heeft de beide rechten van R' die v^
snijden. Deze bilineaire congruenties correspondeeren met
twee beschrijvende platte vlakken Fj en Fg van V^.

Dat deze vlakken door de rechte amp; gaan blijkt uit het vol-
gende. In het algemeen vormen de punten P, die behooren bij
de lijnelementen uit C, welke gedragen worden door de rechten
van R, een kromme (1, 3), die gaat door de zes punten 8 van
singuliere lijnelementen. De bundel 6 bepaalt op O een kromme
(1, 2), die ook door de punten 8 gaat. De krommen hebben
meer dan vijf punten gemeen, zoodat de laatste een bestand-
deel is van de eerste en de rechte h dus in het vlak F moet
liggen.

Eveneens ligt amp; in F', zoodat we kunnen zeggen:

Door een rechte van V^ gaat em plat vlak van het eene en een
plat vlak van het andere stelsel.

De beide platte vlakken van V^, welke gaan door een rechte
h van F42, die bisecant is van Fg^, worden als volgt bepaald.
Bij de rechte h behoort een rechte t in R^, die complexstraal is.
Door t gaan de platte vlakken ti^ en die door de complex-
straal V respectievelijk in de punten A^ en A^ gesneden worden.
De waaiers (A^, tc^) en {A2, n^ bevatten respectievelijk de com-
plexstralen A^B^, en A^B^, die t in de punten B^ en B^ snijden.
We zullen de richtlijnen r^ en rg, die een congruentie, behooren-
de bij een beschrijvend vlak F door b, bepalen, moeten zoeken
in de waaiers (A^, ti^) en {A2, 712). De rechte r^ snijdt v, t en
A^Bi en de rechte moet dit dus ook doen. Evenzoo moet r^
de complexstraal A2B2 snijden, omdat rg het doet, zoodat

A^B^ en A^B^ de richtlijnen zijn, die behooren bij de congruen-
tie welke de drager is van de lijnelementen, behoorende bij een
vlak door h.

De richtlijnen r^' en r^', behoorende bij het andere platte
vlak door h, worden op dezelfde manier bepaald.

Opmerking: Daar de toppen van twee door het complex
aan elkaar toegevoegde waaiers, op de snijlijn der vlakken, die
de waaiers bevatten, hggen, zullen de snijpunten van en r^'
en van r^ en r^' op t liggen. De regelschaar, die twee bilineaire
congruenties uit een complex gemeen hebben, is hier ontaard
in de waaiers [B^ n-^ en {B^ n^.

Daar door een rechte van V^ twee platte vlakken gaan,
wordt een gegeven vlak F door oo^ vlakken F' gesneden.
Hierbij behooren oo® bilineaire congruenties C. De bilineaire
congruentie C, die behoort bij het platte vlak F, bevat de
rechte t, waarvan de lijnelementen zich afbeelden op een rechte
h van F. Ieder plat vlak F' heeft een punt met h gemeen, zoo-
dat de richtlijnen van de oo^ bihneaire congruenties C' de
rechte t moeten snijden, dus de oo^ paren richtlijnen der bih-
neaire congruenties, die de lijnelementen dragen welke de
afbeelding zijn der oo^ F', die F volgens een rechte snijden,
behooren tot een bihneaire congruentie, met t en v' als richt-
lijnen.

Indien omgekeerd de richtlijnen r^' en r^' van een congruen-
tie C', die behoort bij een vlak F' van V^, de rechte t van een
bihneaire congruentie C met richtlijnen r^ en r^, die behoort
bij het vlak F, snijden, hebben F en F' een punt, dus een
rechte gemeen en zullen dus ook r^ en r^ de rechte t' uit de
congruentie C' snijden.

We vragen thans naar de platte vlakken van een bepaald
stelsel, die door een punt P van V^ gaan of indien Fj een plat
vlak van het andere stelsel door P is, naar de platte vlakken
F', die Fl volgens een rechte door P snijden, immers als twee
vlakken van verschillend stelsel een punt gemeen hebben, dan
hebben ze een rechte gemeen.

Het vlak Fi bevat een bisecant van Fg^ (a) niet door P,
waarvan de punten correspondeeren met de lijnelementen van

de rechte t^. We zoeken nu de platte vlakken F' door P, die
de rechten a snijden of in R^, de bilineaire congruenties, (die
verzameHngen Cy dragen) welke de rechten t-^ en p bevatten
{p is de rechte van het lijnelement, behoorende bij het punt P).

De co^ paren toegevoegde rechten door het complex bepaald
in de regelschaar R', die gedragen wordt door de rechten t-^,
p en v' zijn de richtlijnen van de bilineaire congruenties, die
correspondeeren met de platte vlakken F' door P.

Evenzoo gaan er oo^ platte vlakken van het andere stelsel
door P. De richtlijnen der bijbehoorende congruenties zijn de
paren toegevoegde rechten van een regelschaar R, die o.a. ge-
dragen wordt door de rechten p en v.

Omgekeerd is ook een willekeurige regelschaar [R) uit het
complex, die v bevat, drager van de oqI paren richtlijnen van
de oqI bihneaire congruenties, die correspondeeren met cxgt;i
platte vlakken F door één punt. Dit punt bepalen we als volgt.
De lijnelementen van de rechten t^ en t^ van R, correspon-
deeren met de punten van twee rechten \ en èg in Door
gaat een vlak Fj' en door een vlak Fg'. Het snijpunt P van
deze beide vlakken is het gezochte punt. Twee, door het com-
plex aan elkaar toegevoegde rechten r^ en r^, die en t^
snijden, bepalen als richtlijnen een bilineaire congruentie C,
die een plat vlak F van V^ bepaalt, dat, omdat G de rechten
en ïg bevat, de platte vlakken F^' en Fg' volgens een punt,
dus volgens een rechte snijdt. F moet dus door P gaan. De
oo^ vlakken F', door de rechten h, snijden de vlakken F
volgens rechten en gaan dus ook door P.
Resumeerende kunnen we dus zeggen:
De 00^ regelscharm van het complex, die v of v' bevatten, zijn
elk drager van de oo^ paren richtlijnen van bilineaire congruenties,
die correspondeeren met de oo^ platte vlakken F, respectievelijk
F', door de oo^ punten van V^.

Tenslotte beschouwen we nog een paar door het complex
aan elkaar toegevoegde rechten r^ en r^, die v en v' snijden. De
ten opzichte waarvan Z en w en Z en v' toegevoegde pool-
lijnen zijn, vormen respectievelijk netten v en v'. Beschouwen
we ï-j en r^ nu eerst als snijlijnen van v, dan zijn de bijbehoorende
vlakken n, de vlakken door r-^ en v' en door r^ en v'. Deze vlak-

ken n bepalen de kegels Zj' en K^ van Y^, volgens welke het
vlak F, dat correspondeert met de bihneaire congruentie met
richtlijnen r^ en r^ die v snijden, V^ en ook v' snijdt. Ten op-
zichte van één uit het net F valt de poollijn van l samen
met v, zoodat de oo® paren rechten door het complex aan elkaar
toegevoegd in de bihneaire congruentie met richtlijnen v en v',
de richtlijnen zijn van bihneaire congruenties, die ieder twee
verzamehngen lijnelementen dragen, welke zich afbeelden op
twee platte vlakken van verschillend stelsel en dus de vlakken
V en v' respectievelijk volgens een rechte en een punt of volgens
een punt en een rechte snijden (de vlakken v zijn van ver-
schillend stelsel).

We hebben gezien, dat de lijnelementen, gedragen door de
rechten van een complex, afgebeeld worden op de punten van
een V^ door Fg^. Omgekeerd zijn de punten van een niet ont-
aarde F42 door Fg^, de afbeelding van de lijnelementen, ge-
dragen door de rechten van een hneair complex. Iedere drie-
dimensionale vlakke ruimte, die in R^ V^ volgens een kromme
van de derde graad snijdt, snijdt V^ volgens een waarvan
de punten de afbeelding zijn van lijnelementen, waarvan de
rechten door een vast punt gaan. Deze rechten vormen een
waaier (§ 11). De verzameling lijnelementen is een zoodanige,
dat de bijbehoorende rechten in elk punt van R^ een waaier
vormen. De rechten vormen dus een hneair complex.

De afbeelding van de lijnelementen, gedragen door de rech-
ten van een axiaal complex (met as a) is een V^, die singulier
is. Op F4^ hggen 00^ vlakke drie-dimensionale ruimten in
twee stelsels. Ten opzichte van de 0^, voorgesteld door pun-
ten van een Rg van het eene stelsel is de rechte» geconjugeerd
met een gegeven punt van l en ten opzichte van de voor-
gesteld door punten van een R^ van het andere stelsel, is de
rechte l geconjugeerd met een gegeven punt van a.

Twee R^s van hetzelfde stelsel hebben de bisecant t van
V^ gemeen, waarvan de punten de voorstellen ten opzichte
waarvan l en a wederkeerige poollijnen zijn.

Twee Pg's van verschillend stelsel hebben een plat vlak ge-
meen.

De variëteit V^ bestaat uit de oo^ platte vlakken ü door

de rechte t en een punt van F/. Neem een willekeurig punt
O van een willekeurig vlak ü. De drie vlakken n, behoo-
rende bij kegels, voorgesteld door de drie snijpunten van U
met V^, snijden elkaar in een punt 8 op a, zoodat ten op-
zichte van alle exemplaren van het net, bepaald door de drie
kegels, dus ook ten opzichte van de behoorende bij punt
O, het punt 8 geconjugeerd is met de punten van l, d.w.z. de
poollijn van l ten opzichte van gaat door 8, dus het punt O
behoort ook tot V^.

Omgekeerd ligt een willekeurig punt O van V^ in één der
vlakken U. We hebben slechts te bewijzen dat het platte vlak
door de rechte t en het punt O een derde punt van V^ bevat.
Ten opzichte van 0^, die in R^ voorgesteld wordt door het
punt O, is een punt 8 van a geconjugeerd met de punten van l.
Dus ook ten opzichte van de 0'^, voorgesteld door de punten
van het vlak door t en O. Dit vlak hgt in de R^, wiens punten
voorstellen ten opzichte waarvan P geconjugeerd is met l.
Deze J?3 snijdt V^ volgens q^. Het platte vlak snijdt q^ en dus
ook Fa*, in drie punten.

§ 14. De lijnelementen
gedragen door de stralen van een bilineaire congruentie.

De verzameling van de oo® lijnelementen, gedragen door de
stralen van een bilineaire congruentie [C), wordt in R^ afgebeeld
op de punten van een driedimensionale variëteit van de vierde
graad (V^^).

Deze variëteit is namelijk de doorsnede van twee V^, wier
punten de lijnelementen afbeelden, van twee lineaire com-
plexen door de congruentie C.

Fg* bevat V^ omdat een vlak n één rechte van de congruen-
tie bevat en deze één lijnelement van de oo^ lijnelementen, die
met de kegel, behoorende bij het vlak n, correspondeeren.

Omdat een axiaal complex opgebouwd is uit oo^ schoven, is
de bij behoorende Y^ opgebouwd uit de oo® bisecanten van de
oqI krommen (1, 1), die door de punten K^ en K^ gaan (§ 9)
als K^ en K^ de snijpunten der bisecant van Fg*, waarvan de
punten correspondeeren met de lijnelementen van de as van

het complex, met V^ voorstellen.

Indien een bilineaire congruentie de richtlijnen a en a' heeft,
waarvan de lijnelementen correspondeeren met de punten van
de bisecanten t en t' die V^ in de punten K^, K^ en K^ , K^
snijden, wordt de afbeelding van de lijnelementen, gedragen
door de stralen van deze congruentie, gevormd door de ver-
bindingsrechten van de oo^ paren snijpunten die de krommen
(1,1) (e®) door K-i en K^ hebben met de krommen (1,1) (v^) door
Kl en K^'. Door ieder punt van V^ gaat één q^ en één v^, dus
één beschrijvende rechte van V^.

Door het punt Ky gaat, behalve de oqI q^, nog één v^. Buiten
K-i is ieder punt van v^ een tweede snijpunt van een q^ met v^.
De verbindingsrechten van deze punten met K^, vormen een
kwadratische tweedimensionale kegel met top K-^. Zoo zijn
ook de punten K^, K^ en K^' toppen van kegels. De punten
van deze vier oppervlakken zijn de afbeeldingen van de lijn-
elementen, wier rechten p de waaiers vormen, door de con-
gruentie in de vier vlakken n door a en a' bepaald.

De bihneaire congruentie bevat oo^ waaiers, die in twee
stelsels hggen. Zoo is V^ opgebouwd uit oo^ kwadratische
oppervlakken, die in twee stelsels hggen. Twee oppervlakken
van hetzelfde stelsel hebben geen punt gemeen en twee opper-
vlakken van verschillend stelsel hebben een rechte gemeen.

Opmerking: Een willekeurig plat vlak F in R^ heeft vier
punten met Fg^ gemeen. De bij F en Fg^ in R^ behoorende
congruenties (1, 3) en (1, 1) hebben vier rechten gemeen, die
de lijnelementen dragen, welke correspondeeren met de boven-
genoemde vier punten.

De verzameling lijnelementen met hun punt P in bevat
één lijnelement van de verzamehng lijnelementen gedragen
door de rechten van een bihneaire congruentie. In R^ hebben
de afbeeldingen van beide verzamehngen, F en Fg^, vier pun-
ten gemeen, waarvan echter drie op V^ vallen en dus singuher
zijn.

Indien a en a' elkaar snijden, is de congruentie ontaard in
een veld en een schoof, dus Fg^ in een R^ en een Fg®.

Opmerking: Door Prof. Dr J. A. Barrau is bewezen dat er
V^ in R^ zijn, die vier stelsels van oo^ rechten dragen {zie tijd-
schrift Mathematica, 2e jaargang, no IV, „Curved (w 1) di-
mensional varieties containing 2quot; systems of straight lines''').
We kunnen vier stelsels van oo^ verzamelingen van oo^ lijn-
elementen in de verzameling C aanwijzen, die afgebeeld worden
op vier stelsels van oo^ rechten van V^, namelijk de lijnelemen-
ten van de oo^ stralen der congruentie, de oo^ verzamelingen van
oo^ lijnelementen, waarvan de rechten p een waaier met top
op een der richtlijnen vormen, terwijl de punten P een kegel-
snede beschrijven (§ 10), idem met waaiertop op de andere
richtlijn en tenslotte de od^ stelsels van od^ lijnelementen, waarvan
de rechten p een regelschaar uit de bilineaire ccmgruentie be-
schrijven en de punten P een kromme van de derde graad vor-
men.

Tevens blijkt, dat door een punt van V^ een rechte van elk
stelsel gaat.

§ 15. De lijnelementen
gedragen door de stralen van een kwadratische regelschaar.

We willen de afbeelding zoeken van de oo^ lijnelementen,
waarvan de rechten p een kwadratische regelschaar vormen.
Nu is een kwadratische regelschaar het gemeenschappelijke
van drie lineaire complexen, zoodat de gevraagde afbeelding
gezocht moet worden onder de punten van de Fg®, die gemeen-
schappelijk is aan drie V^. De Fg® bevat Fg^, zoodat de oo^
lijnelementen, waarvan de rechten een regelschaar {R) vormen,
afgebeeld worden op de punten van een oppervlak van de
vierde graad [0^).

We willen nu onderzoeken volgens welke kromme {q^) de Og^
het oppervlak Fg^ snijdt. De punten van stellen kegels voor,
die behooren bij de gemeenschappelijke raakvlakken van R
en ü. Nu kunnen we door elke rechte v en elke rechte u van
ü twee vlakken aanbrengen, die raken aan R. De raakpunten
van deze vlakken n vormen op ü een kromme (2, 2). Volgens
§ 7 is een kromme (2, 2) op Fg^ en dus van de zesde graad.

Ook op de volgende manier kunnen we tot hetzelfde resul-

taat komen. Beschouwen we de lijnelementen van twee ver-
zameUngen, waarvan de rechten p de regelschaar B en een
complex G vormen. Ze correspondeeren in B^ respectievelijk
met en V^^, die een kromme van de achtste graad gemeen
hebben. De kromme bevat twee bisecanten van V^*, waarvan
de punten correspondeeren met de lijnelementen van de beide
gemeenschappelijke rechten van B en G. De overblijvende
kromme, van de zesde graad, moet dus uit punten bestaan,
die singuliere oppervlakken afbeelden en wel kegels met top-
pen op l.

De lijnelementen, waarvan de rechten p een regelschaar R',
die met R op hetzelfde kwadratische oppervlak ligt, vormen,
beelden zich ook af op een oppervlak van de vierde graad
(O2'*), dat Fg^ volgens een kromme van de zesde graad snijdt,
die samenvalt met de kromme volgens welke Og^ deF2^ snijdt,
daar een vlak te door een beschrijvende van de regelschaar R,
een beschrijvende van de regelschaar R' bevat.

In § 11 is afgeleid dat de oo^ lijnelementen uit die liggen
op een kwadratische kegel r^, afgebeeld worden op een twee-
dimensionale variëteit van de vierde graad, die Fg^ snijdt
volgens een kromme van de derde graad, die dubbel geteld
moet worden. Dit is een bijzonder geval van het voorgaande.

§ 16. Lineaire verzamelingen van

We willen nu nagaan met welke verzamelingen van lijn-
elementen de lineaire verzamelingen van correspondeeren.

Een rechte h van R^, die een bundel voorstelt, corres-
pondeert met een verzameling lijnelementen, waarvan de
rechten p een kwadratische regelschaar {R) beschrijven en de
punten P een kromme van de derde graad (g®).

Indien h de V^ in één punt snijdt, is R ontaard in twee platte
vlakken en q^ in een rechte en een kegelsnede.

Is l bisecant van V^, dan is R ontaard in twee platte vlak-
ken en Q^ in drie rechten.

De punten van een in R^, worden afgebeeld op de Ujn-
elementen van een stelsel 81 (2, 3).

Een plat vlak F van R^, dat een net voorstelt, correspon-

deert met een verzameling lijnelementen, waarvan de rechten
een congruentie (1, 3) vormen en de punten een oppervlak van
de derde graad. Indien het platte vlak V één punt met Fg^
gemeen heeft, wordt de congruentie gesplitst in een congruentie
(1,2) en een veld, en indien F drie punten met Fg* gemeen heeft
in een schoof en drie velden.

We Jielhefïi dus gevonden, dat de punten van een R^ in R^
afgebeeld worden op de lijnelementen van een stelsel S^, (3, 1,3).

Een R^ van R^, die een kluwen voorstelt, correspondeert
met een verzameling lijnelementen, waarvan de rechten een
complex van de tweede graad vormen. Immers iedere waaier
[A, bevat twee rechten uit de kegel die gevormd wordt
door de poollijnen van l ten opzichte van de van R^, uit het
kluwen, waarvoor P geconjugeerd is met de punten van l.

Ten opzichte van één uit het kluwen is een willekeurig
punt A geconjugeerd met a, zoodat er één lijnelement is met
A als punt.

Tenslotte kunnen we nog onderzoeken de graad van de
kromme, gevormd door de punten P, die behooren bij de oo^
lijnelementen in een vlak Nu correspondeeren de lijnele-
menten van p met de punten van een Fg^ in R^, die R^ volgens
een kromme van de derde graad (t^) snijdt. Dus de punten van
T® stellen voor, ten opzichte waarvan de poollijnen van l
in p vallen. We moeten nu de meetkundige plaats van de
polen van a ten opzichte van deze zoeken. De (9^, ten op-
zichte waarvan de polen van a in een plat vlak y liggen, vor-
men een vierdimensionale variëteit van de derde graad in R^,
die T® in negen punten snijdt. De gevraagde meetkundige plaats
is dus een kromme van de negende graad. De kromme r® bevat
echter vier kegels, waarvan de toppen op l liggen, want de
vier punten van Fg^, die in R^ Kggen, liggen ook op Fg^, omdat
V^ op Fg® hgt. De kromme van de negende graad is dus ont-
aard in vier rechten X en een kromme van de vijfde graad die
in ligt, welke laatste voorstelt de meetkundige plaats der
punten P van lijnelementen die in ^ liggen.

Opmerking: Tot hetzelfde resultaat kunnen we komen door
te vragen naar de polen van de snijlijn (a, /?) ten opzichte van

de kegelsneden, volgens welke de van de verzameling t®,

snijden. We vinden een kromme van de zesde graad, die
verminderd moet worden met de poollijn van (a, /5) ten op-
zichte van de kegelsnede, die de doorsnede is van ^ met het
oppervlak uit het kluwen, dat in het snijpunt van l met aan
jö raakt. Het platte vlak a heeft namelijk slechts één pool ten
opzichte van dit oppervlak.

Een kluwen snijdt V^ in vier punten K, zoodat het zes
bisecanten van V^^ bevat. De verzameHng lijnelementen, die
bij het kluwen behoort, bevat dus ook de lijnelementen van
zes rechten, die de ribben zijn van het viervlak, gevormd door
de vlakken n, behoorende bij de punten K.

Besumeerende kunnen we dus zeggen, dat de punten van
B^ in B^ zich afbeelden op een stelsel (2, 1, 5) van oo® lijn-
elementen.

Een B^ van B^, die een legioen van in B^ voorstelt, corres-
pondeert met een verzameling van oo« lijnelementen. De rech-
ten p van de lijnelementen met een gegeven punt A als punt,
vormen een kwadratische kegel, want voor een bundel
uit het legioen is A geconjugeerd met a. Verder draagt een
willekeurige rechte één lijnelement van de verzameling, die
bij het legioen behoort, zoodat:

De punten van een B^ in B^ worden afgebeeld op een stelsel
(2, 1) van oo* lijnelementen.

Een legioen [B^ snijdt Fg^ volgens een kromme van de
vierde graad (p*). De oo^ bisecanten van deze kromme, zijn de
bisecanten van Fg* die in B^ Hggen. De verzameHng lijnele-
menten, die bij het legioen behoort, bevat dus de lijnelementen
van oo^ rechten c, die de snijlijnen zijn van de oo^ vlakken n,
waarvan de raakpunten een kromme (1, 2) opi3 vormen (§7).

Het aantal rechten c door een punt A, hangt af van het
aantal vlakken n, dat door A gaat. Nu vormen de raakpunten
der vlakken n door A oip Q een kromme (1, 1), die drie punten
met de kromme (1,2) gemeen heeft, zoodat er ook drie vlakken
en dus ook drie rechten c door A gaan.

We kunnen ook als volgt redeneeren: Indien men de raak-
vlakken 7t in twee punten P en Q van Q aanbrengt, dan is de

snijlijn c de pooUijn van PQ ten opzichte van Q. Nu vormen
de rechten PQ, die koorden zijn van een kromme (1, 2) een
congruentie (I, 3) en is dus het aantal rechten c dat door A
gaat gelijk aan het aantal rechten PQ, dat in het poolvlak van
A ten opzichte van ligt en het aantal rechten c dat in een
plat vlak ß ligt gelijk aan het aantal rechten PQ, dat door de
pool van ß ten opzichte van Q gaat. De rechten c vormen dus
een congruentie (3, 1).

Een tweede B^ bepaalt eveneens een stelsel van rechten c,
die een congruentie (3, 1) vormen. Beide congruenties hebben
10 rechten gemeen. Deze zijn de poollijnen van gemeenschap-
pelijke koorden der beide krommen (1,2) op Ü. Beide krommen
hebben vier snijpunten, die zes gemeenschappelijke koorden
en de zes rechten c bepalen, die behooren bij het gemeenschap-
pelijk kluwen der beide legioenen. Verder zijn de rechten v
gemeenschappelijke koorden van beide krommen. Daar de
rechten v, bij polarisatie, aan zichzelf worden toegevoegd,
bevat de verzameling der rechten c ook de regelschaar v. Een
B^ snijdt in B^ elk vlak v volgens een rechte. De bij de punten
van deze rechte behoorende 0^, bepalen lijnelementen, die de
bij V behoorende rechte v tot rechte hebben, zoodat de rechten
V ook rechten c zijn. Daar de lijnelementen van v singulier zijn,
zullen met een bepaald lijnelement van v in het algemeen twee
verschillende punten correspondeeren en dus niet met een
punt van de Bg, die de beide B^ gemeen hebben.

Opmerking: Ieder singuKer oppervlak, dat tot B^ behoort,
correspondeert met oo^ lijnelementen van een rechte A.

§ 17. De lijnelementen gedragen
door hoogere complexen, congruenties en regelvlakken.

De afbeelding van de verzameling lijnelementen, waarvan
de rechten een complex van de w-de graad vormen, is een vier-
dimensionale variëteit van de graad 2n, want in B^ heeft een
complex van de graad n, 2n stralen met een kwadratische
regelschaar (de meetkundige plaats der poollijnen van l ten
opzichte van de exemplaren van een bundel) gemeen.

In § 6 vonden we reeds, dat de lijnelementen waarvan de
rechten p de raaklijnen van ü zijn (dus een kwadratisch com-
plex vormen) afgebeeld worden op een vierdimensionale varië-
teit van de vierde graad.

De afbeelding van de verzameling lijnelementen, waarvan
de rechten een congruentie {m, n) vormen, is een driedimen-
sionale variëteit van de graad m 3w. Een plat vlak in B^
heeft namelijk m -f snijpunten met de variëteit gemeen,
omdat in B^ de congruentie (1, 3), gevormd door de poollijnen
van l ten opzichte van de exemplaren van een net, m 3w
stralen gemeen heeft met de congruentie (m, n).

De afbeelding van de verzamehng lijnelementen, waarvan
de rechten een regelvlak van de w-de graad vormen, is een twee-
dimensionale variëteit van de graad 2n, {0^), want het aantal
snijpunten van de afbeelding met een kluwen, is gelijk aan het
aantal gemeenschappelijke stralen van de regelschaar en het
kwadratisch complex, dat gevormd wordt door de poollijnen
van l ten opzichte van het kluwen.

Door elke rechte van Q gaanw vlakken, die een beschrijvende
van het regelvlak bevatten, zoodat de raakpunten op Q van
de raakvlakken, door de beschrijvende lijnen van het regel-
vlak aan Q, een kromme [n, n) vormen. Deze raakvlakken n
bepalen kegels, die in R^ voorgesteld worden door punten, die
op V^ een kromme {n, n) vormen, die dus van de graad 3 n is.
Deze kromme is een deel van de doorsnede van V^, die de
afbeelding is van de lijnelementen gedragen door de stralen
van een willekeurig hneair complex, met 0^. Het resteerende
%-de graadsdeel is de afbeelding van de lijnelementen, gedragen
door de n gemeenschappelijke rechten van complex en regel-
schaar.

§ 18. Verzamelingm van lijnelementen met gegeven punten P.

De lijnelementen, waarvan de punten P in een gegeven plat
vlak /S hggen, worden afgebeeld op de punten van een vier-
dimensionale variëteit van de derde graad ( F/), want de meet-
kundige plaats van de polen van a ten opzichte van de van
een bundel is een kromme van de derde graad, zoodat er drie

in een bundel zijn, die met een lijnelement correspondeeren
waarvan het punt P in ^ ligt.

Indien het punt der lijnelementen in a moet liggen, stellen
de punten van de bij behoorende variëteit de voor, die aan
a raken.

De lijnelementen, waarvan de punten P op een gegeven
rechte h liggen, worden afgebeeld op de punten van een drie-
dimensionale variëteit van de derde graad ( Fg®), want de ver-
zamehng lijnelementen is te beschouwen als de doorsnede van
twee verzamehngen, waarvan de punten der lijnelementen in
twee vlakken ^ en y door h liggen. De gemeenschappelijke
figuur der bij behoorende variëteiten is van de negende graad,
doch moet verminderd worden met Fg®, daar de kegels met
toppen in a singuhere oppervlakken zijn.

Tot hetzelfde resultaat komt men door te bedenken, dat de
meetkundige plaats der polen van a ten opzichte van de
van een net een oppervlak van de derde graad is, dat b in drie
punten snijdt.

Zoo worden de lijnelementen, waarvan de punten P op een
kromme van de%-de graad hggen, afgebeeld op een Fg®quot;. Twee
van deze verzamehngen van lijnelementen hebben in het alge-
meen geen lijnelement gemeen. De gemeenschappelijke krom-
me van de bij behoorende variëteiten in R^, ligt dan ook op
Fg®. Zoo hebben een verzameling, die bestaat uit de lijnele-
menten, waarvan de punten een rechte a vormen en een waar-
van het punt P samenvalt met een gegeven punt A, geen ele-
menten gemeen. De afbeeldingen namelijk een Fg® en een plat
vlak hebben drie punten gemeen, die op Fg® liggen, want deze
punten stellen kegels voor, die behooren bij de drie rechten k
door A, die door b gesneden worden.

§ 19. Verzamelingen van lijnelementen in een plat vlak.

We zullen nu de afbeelding trachten te vinden van verzame-
hngen van lijnelementen in een plat vlak gelegen.

We hebben in § 5 reeds gezien, dat er in ^ een stelsel (3,3)
van ooi singuhere lijnelementen hgt. Dit kan nu ook als volgt
afgeleid worden. Daar een legioen van met iedere bundel

0^, die de afbeelding is van een singulier lijnelement, één exem-
plaar gemeen heeft, zal het nulstelsel van lijnelementen, door
het legioen in ^ bepaald, volgens § 16 een nulstelsel (2, 1), het
stelsel Si der singuhere lijnelementen bevatten. Twee van deze
nulstelsels, bepaald door twee legioenen van 0^, zullen dus
behalve het stelsel S^' (2, 5) der oo^ lijnelementen in (zie
§ 16), behoorende bij het gemeenschappelijk kluwen der beide
legioenen, het stelsel S^ bevatten. Nu hebben twee nulstelsels
(2,1) een systeem (5, 8) van oo^ lijnelementen gemeen. Dit, ver-
minderd met Si, geeft het stelsel (3, 3) van ooi singuhere
lijnelementen.

De lijnelementen, waarvan het punt P met een punt A
samenvalt, vormen een systeem (1,0) dat met het nulstelsel
S (2, 1), door een legioen van in ^ bepaald, twee elementen
gemeen heeft. De afbeelding is in B^ dus een kegelsnede (§ 10).

De lijnelementen van een rechte vormen een stelsel (O, 1)
dat één lijnelement met het stelsel S gemeen heeft. Ze worden
dus afgebeeld op de punten van een rechte (§ 6).

De lijnelementen, waarvan de rechten een waaier met top A
vormen en de punten op een rechte b liggen, vormen een stelsel
(1, 1), dat met S 3 elementen gemeen heeft en dus afgebeeld
wordt op een kromme van de derde graad. Deze kromme is
ook de doorsnede van v (^)3 en de variëteit Fg^ die behoort bij
de lijnelementen, wier punt P op amp; hgt.

Volgens § 11 worden de oo^ lijnelementen in een vlak
waarvan de rechten een waaier met top A vormen, afgebeeld
op de punten van een kwadratisch oppervlak 0{A, in B^,
dat Fa* volgens q^ snijdt. De kromme is een kromme (2, 1),
want de beschrijvenden van 0{A, van het stelsel b zijn
bisecanten van Fg*, dus van q^.

Dat de rechten van het stelsel b' één punt met q^ gemeen
hebben, blijkt in /Sals volgt. De punten P van de lijnelementen,
die correspondeeren met de punten van q^, vormen in een
kromme van de vijfde graad {q^) met een drievoudig punt in A
en dubbelpunten in de punten S der singuhere lijnelementen,
want er zijn drie lijnelementen in /S)2 met punt P in die
behooren bij een punt van Fg*, terwijl de punten der beide lijn-
elementen, die behooren bij punten van Fg* op de drie rechten

A gelegen, in de punten S samenvallen. Nu heeft een kegel-
snede door de vier punten en ^ (§ 11), buiten deze punten,
nog één snijpunt P met gS, dat met de rechte PA het lijnele-
ment vormt, dat afgebeeld wordt op het eenige snijpunt van
e® en een rechte van het stelsel 6'.

Nu bepalen twee stelsels (1, 1) van oqI lijnelementen, be-
hoorende tot de verzameling {A, twee krommen (1, 2) op
0{A, Immers elk der beide rechten b, die doorloopen worden
door de punten van de lijnelementen uit de beide stelsels,
wordt door elke straal van de waaier in één punt en door elke
kegelsnede door de punten gt;Sf en in twee punten gesneden.
Beide krommen hebben vier snijpunten. Drie van deze snij-
punten vallen in de punten K^, K^ en K^, die voorsteUen de
singuhere kegels, behoorende bij de drie rechten A in de waaier.
Het overblijvende snijpunt correspondeert met het gemeen-
schappelijk lijnelement der beide stelsels (1, 2).

Indien de rechte b van een stelsel (1, 1) door A gaat, is de
bijbehoorende kromme ontaard in de kegelsnede door de pun-
ten K en een beschrijvende van het stelsel b.

Omgekeerd correspondeert met een willekeurige kromme
(1,2) van 0{A, die dus met de kegelsnede door de punten K
drie punten gemeen heeft, een verzameHng lijnelementen uit
i^) waarvan de punten P een kromme van de vierde
graad beschrijven met in A een drievoudig punt. Indien een
kromme (1,2) door de punten Z gaat is de vierdegraadskromme
in p ontaard in vier rechten, waaronder de drie rechten A. We
kunnen dus zeggen, dat de oo^ stelsels (1,1) van oqI lijnelemen-
ten uit /5)2 afgebeeld worden op de oo^ krommen (1,2) door
de punten K^ en K^ op 0{A, }).

Als aan elke rechte uit de waaier z'n snijpunten met een
kromme van de w-de graad worden toegevoegd, krijgen we een
stelsel {n, n). Hierbij is de waaier %-voudig. Twee van deze
stelsels {n, n) en (w, m) worden respectievelijk afgebeeld op
krommen {n, 2n) en (m, 2m) van 0{A, p), die in de punten K
nenm voudige punten hebben. Het aantal snijpunten, buiten
de punten K, is gelijk aan Amn-Zmn —mn hetgeen over-
eenkomt met het aantal gemeenschappelijke lijnelementen der
beide stelsels in

Als een kromme van de w-de graad een ^j-voudig punt in A
heeft en we aan elke rechte van de waaier de n - p snijpunten
buiten A met de kromme toevoegen, krijgen we een stelsel
(n - p,n). De afbeelding is een kromme {n - p, 2n - p) door de
punten K. Twee krommen {n -p, 2n - p) en {m-q , 2m - q) be-
hoorende bij twee stelsels {n - p, n) en (m - q, m) van lijnele-
menten in (.4, ^8)2, hebben buiten de punten K nog
{n - p) {2m - q) {m - q) {2n - p) - 3(w - p) {m - q) =mn - pq

snijpunten, die de afbeelding zijn van de gemeenschappelijke
lijnelementen der beide stelsels. De laatste worden bepaald
door de mn - pq snijpunten, die de krommen in ^ buiten A
hebben, te combineeren met rechten uit de waaier.

Opmerking: Met behulp van de voorgaande afbeelding kan
men de formule, die aangeeft het aantal snijpunten van twee
krommen op een kwadratisch oppervlak, afleiden.

Twee krommen {p, q) en {p', q') op een 0{A, /3), zijn de af-
beeldingen van verzamehngen lijnelementen uit (A, waar-
van de punten P krommen vormen, die in A respectievelijk
een p q en een p' q' voudig punt hebben, terwijl iedere
straal der waaier buiten het punt ^ in en p' punten gesneden
wordt. De punten 8 zijn p en p' voudig. Dat er in A een p -{-q
voudig punt aanwezig is, komt doordat de {p, q) kromme de
kegelsnede, door de punten K, in p q punten snijdt. De
kromme is namelijk van de graad p -\-q, die p -{- q snijpunten
heeft met het vlak der kegelsnede. Het aantal gemeenschap-
pelijke punten der beide krommen op /S) is gelijk aan het
aantal gemeenschappelijke punten der beide krommen in
buiten de punten A en 8. De krommen (p, q) en {p', q') op een
kwadratisch oppervlak hebben dus

{2p q) {2p' q') - {p -{-q) {p' q') - Zpp' = p'q pq'
snijpunten.

De lijnelementen, die men krijgt, door aan elke tangent van
een kromme van de w-de graad z'n raakpunt toe te voegen, vor-
men een stelsel - 1), w} dat met het nulstelsel 8 (2,1), door
een legioen van in ^ bepaald,

2n{n-l) -\-n=n{2n- 1)

lijnelementen gemeen heeft, zoodat de afbeelding in R^ een
kromme van de graad n [2n - 1) is.

De afbeelding kan ook als volgt gevonden worden. Het
aantal lijnelementen, dat de verzamehng gemeen heeft met
de verzamehng lijnelementen waarvan de rechten een hneair
complex vormen, is gelijk aan het aantal gemeenschappelijke
punten van g* met F^^, voorzoover deze geen singuliere opper-
vlakken voorstellen. Daar het hneair complex in /? een waaier
van rechten bepaalt, is het aantal gemeenschappelijke lijn-
elementen gelijk aan n{n-l). Nu vormen de lijnelementen in
die behooren bij de kegels, wier toppen op l liggen een nul-
stelsel 8' (3,2), want door een willekeurig punt A van p gaan
drie rechten A, die bij kegels met top op h behooren. De drie
bij deze kegels behoorende vlakken n, bepalen de rechten der
lijnelementen in /?, behoorende bij het punt A. Verder gaan
door elke rechte b van /3 twee vlakken n, waarbij twee kegels
behooren, terwijl deze op hun beurt rechten X bepalen, wier
snijpunten met de rechte b de beide punten geven, die met b
lijnelementen vormen, behoorende bij kegels met toppen op l.
Nu heeft 8' met het stelsel (w - 1),

3n (w - 1) 2n= - n

lijnelementen gemeen. We kunnen nu x bepalen uit de volgende
vergelijking:

2x -nbsp;=n {n - 1),

dus X (2n - 1).

Voor n = 1, krijgen we de afbeelding van de lijnelementen
van een rechte.

Indien de n-de graads kromme in a gelegen is, worden de lijn-
elementen, waarvan de punten P niet op de rechte l hggen,
afgebeeld op kegels, die volgens de rechten der lijnelementen
aan a raken. Nu vormen de dubbelrechten van een legioen in a
de tangenten aan een kegelsnede E^. De kegelsnede Kj. en qquot;
hebben 2n (n -1) gemeenschappelijke raaklijnen. Ieder der n
lijnelementen, waarvan het punt P op l ligt, is singuher en
wordt afgebeeld op een rechte. De afbeelding van de verzame-
hng lijnelementen is dus weer een kromme van de graad n

(2w - 1), die ontaard is in een bestanddeel van de graad
(w - 1) en w rechten.

Indien de kromme, in d dubbelpunten heeft, wordt de
klasse verlaagd met 2d, zoodat de verzameling lijnelementen een
stelsel (w - I) - 2d, w} vormen, dat met het nulstelsel 8

2n [n - l) - U n =n {2n-\) - éd
elementen gemeen heeften dus afgebeeld wordt op een kromme
van de graad n {2n - 1) - 4d.

Nemen we voor gquot; b.v. n rechten, dan is dit een kromme met
\n {n - 1) dubbelpunten. De bij behoorende verzameling lijn-
elementen wordt afgebeeld op een kromme van de graad

n {2n -l) -2n [n - 1) =n.
De kromme is ontaard in n bisecanten van V^.

Indien het maximum aantal dubbelpunten heeft is de
afbeelding van de bijbehoorende verzameling lijnelementen
een kromme van de graad

n{2n-l)-2{n- 1) [n - 2) = 5w - 4.
We wiUen thans nog onderzoeken de afbeelding van een
nulstelsel (jji, v) van oo^ lijnelementen in /S. De lijnelementen
door een kluwen in ^ bepaald vormen een stelsel (2, 5) van oqI
lijnelementen, dat met het nulstelstel 2 jx 5v exemplaren
gemeen heeft. De afbeelding van het nulstelsel (//, v) is in B^
dus een oppervlak van de graad 2fx 5v.

Bij een nulstelsel (1, 0), de verzameling lijnelementen {A,
behoort dus een

Bij een nulstelsel (0,1) behoort een Dit laatste is ook
als volgt in te zien. Het nulstelsel (0,1), waarvan de lijnele-
menten die zijn, waarvan het punt P op een rechte s ligt, is
gemeenschappelijk aan een verzameling lijnelementen, waar-
van het punt P op s ligt, terwijl de rechte p verder willekeu-
rig is en de lijnelementen, gedragen door de rechten van een
axiaal complex, waarvan de as a in ^ hgt, verminderd met de
verzameling lijnelementen, waarvan het punt P samenvalt
met het snijpunt van s en a. De gezochte afbeelding in Pg is
dus de doorsnede van een Fg^ en een V^^, verminderd met
een B^, dus een

De lijnelementen, gedragen door de tangenten van een

kromme van de graad n, vormen een nulstelsel {n {n - 1), O},
dat dus afgebeeld wordt op eennbsp;dat F^^ volgens'een

kromme van de graad (w- 1) snijdt. Een rechte u wordt
door n{n-l) tangenten gesneden, evenals een rechte v. Door
een rechte u of v gaan dus » - 1) vlakken, die een tangent
van bevatten. De raakpunten vormen op Q dus een kromme
{n{n-l),n{n-\)} en de overeenkomstige punten op Fg^, die
de bij de raakpunten behoorende kegels voorstellen, dus ook
een kromme {n{n-l),n{n-l}, die van de graad 3% {n - 1) is.

Indien tZ dubbelpunten heeft, is de afbeelding een
Q2nlt;n-i)-id^ die Fg* volgens een kromme van de graad
^n{n-l) - snijdt.

De verzameling lijnelementen, waarvan het punt P een
kromme van de graad n doorloopt, is een nulstelsel (O, w), dat
zich dus afbeeldt op een Van de oqI lijnelementen in
die behooren bij de kegels van een beschrijvende q van Fg®,
vormen de rechten p een waaier, met als top het snijpunt van
de bij de bundel q behoorende rechte u met p en de punten P
een kegelsnede namelijk de doorsnede van ^ met de A kegel
behoorende bij de kegels van de bundel q. Er zijn dus 2n lijn-
elementen, die zich op een kegel van Fg^ afbeelden en waar-
van het vlak n door een bepaalde rechte u gaat.

Om de graad van de meetkundige plaats der rechten A, die
behooren bij de kegels van een kromme v^ op Fg^, te vinden,
bepalen we de doorsnede dezer meetkundige plaats met een
willekeurig vlak y. Deze doorsnede is de meetkundige plaats
der polen van de snijlijn s van a met y ten opzichte van de
kegelsneden, volgens welke de verzameHng v^ het vlak y snijdt.
Deze meetkundige plaats is een kromme van de vierde graad,
waartoe echter de rechte behoort, die de poollijn is van 5 ten
opzichte van de doorsnede van y met de kegel, wiens top
in het snijpunt van y met l Hgt. Deze rechte is geen rechte
A. De meetkundige plaats der rechten A is dus een regelopper-
vlak van de derde graad.

Op Q vormen de raakpunten der vlakken n, behoorende bij
kegels van V^, die correspondeeren met een lijnelement van
het stelsel (O, n) een kromme {2n, Sn). snijdt dus Fg^ vol-
gens een kromme {2n, 3w), die van de graad In is (§ 7).

§ 20. De afbeelding der stelsels S^, S2, 83 en 8^.

We zullen nu onderzoeken de afbeelding van een stelsel 8^
{p, n) van oo^ lijnelementen, waarvan de rechten een regel-
oppervlak van de graad p en de punten een kromme van de
graad n beschrijven; een stelsel 8^ (a, 7) van oo®lijnelemen-
ten, waarvan de punten een oppervlak van de graad a en de
rechten een congruentie met stergraad ^ en veldgraad y vor-
men; een stelsel 8^nbsp;van 00^ lijnelementen, waarbij
qgt;, y) en X respectievelijk zijn de graad van het complex, ge-
vormd door de rechten der lijnelementen, het aantal exem-
plaren met gegeven punt en de graad der kromme, gevormd
door de punten P van de lijnelementen in een plat vlak; en
tenslotte van een stelsel 8^ (jji, v) van 00^lijnelementen, waarbij
fi, voorstelt de graad van de kegel, gevormd door de rechten,
die met een gegeven punt lijnelementen uit de verzameling
vormen en v het aantal lijnelementen met gegeven rechte.

We willen beginnen met de afbeelding te zoeken van een
stelsel lijnelementen, waarvan de rechten een kwadratische
kegel en de punten P een kromme van de graad 2p vormen.
Elke beschrijvende draagt p lijnelementen.

Het aantal gemeenschappelijke lijnelementen van deze ver-
zamehng met de lijnelementen, die gedragen worden door de
stralen van een hneair complex, is gelijk aan 2p. Verder vormen
de punten 8 der lijnelementen {8, s), die correspondeeren met
kegels van V^, wier rechten bes chrij venden zijn van de kegel,
een kromme van de tiende graad. Immers de top T van de
kegel draagt drie waaiers van lijnelementen {8, s) en verder
draagt iedere beschrijvende van de kegel twee lijnelementen
{8, s). De punten P en de punten 8 vormen op de kegel dus
respectievelijk {p, 0) en (2, 6) krommen. Het aantal snijpunten
dezer krommen is gelijk aan ép -j- Qp = lOp. Indien de te
onderzoeken verzamehng zich afbeeldt op een kromme van de
graad x is het aantal snijpunten {2x) met een V^^ gelijk aan
2p -{-lQp=^l2p, m.a.w. de verzameling lijnelementen wordt
afgebeeld op een kromme van de graad Qp.

We kunnen ook als volgt tot dit resultaat komen. De ge-

zochte kromme ligt in de B^, wier punten voorstellen, ten
opzichte waarvan T geconjugeerd is met l. Nu correspondeeren
de punten van een plat vlak van B^ met de van een net.
De punten van de bijbehoorende lijnelementen vormen een
oppervlak van de derde graad, met een dubbelpunt in T. Op
de kegel ontstaat zoodoende een kromme (1,4), die met de
kromme (p, 0) juist snijpunten heeft.

We zullen nu onderzoeken de afbeelding van een stelsel
lijnelementen, waarvan de rechten een kwadratische regel-
schaar {B) vormen en de punten P een kromme van de n-de
graad. Elke rechte van B wordt door de kromme in p punten
gesneden, die met deze rechte evenzooveel lijnelementen van
de verzamehng vormen. De beschrij venden van de andere
regelschaar {B'), gedragen door het oppervlak (O), dat gevormd
wordt door de punten van B, worden door de kromme in ti - «
punten gesneden.

We beschouwen nu de lijnelementen {8, s), die gedragen
worden door de stralen van een bihneaire congruentie, wier
richtlijnen beschrij venden van B' zijn. Iedere straal iaagt
twee lijnelementen {S, s), terwijl ieder punt der richtlijnen een
punt 8 is van drie rechten s, zoodat de punten 8 een oppervlak

van de 8-ste graad vormen. Nu behooren bij elke beschrijvende

van B twee punten 8. Deze punten vormen een kromme, die
elke beschrijvende van P' in 8 punten snijdt. De verzamehng
lijnelementen, die we beschouwen, bevat dus

lijnelementen [8, s).

Nu heeft de verzamehng lijnelementen, gedragen door de
stralen van een hneair complex 2p lijnelementen gemeen met
de verzamehng lijnelementen waarvan we de afbeelding (een
kromme zoeken.

Het aantal snijpunten van V^^ de afbeelding van de lijn-
elementen van het complex, met qquot;quot; is dus gelijk aan

2n -i-8p = 2x.

Hieruit volgt dat de lijnelementen, waarvan de rechten
een kwadratische regelschaar vormen en ieder p lijnelementen
dragen, terwijl de punten P een kromme van de ?i-de graad be-
62

schrijven, in R^ worden afgebeeld op een kromme van de graad
n die V^ in 2n punten snijdt. De kromme heeft,
omdat de regelschaar 6 rechten X bevat, 6 punten met Fg®,
buiten V^, gemeen. Deze punten zijn ^j-voudige punten van
de kromme.

De graad van de kromme kan op eenvoudiger manier ge-
vonden worden, door het aantal snijpunten van p* met een R^
te bepalen.

Beschouwen we weer de lijnelementen van de verzameling
S^, die behoort bij R^, welke gedragen worden door de stralen
van een bihneaire congruentie, waarvan de richtlijnen be-
schrijvenden van R' zijn.

De punten P vormen een oppervlak waarvan de beide richt-
lijnen der congruentie dubbelrechten zijn, want elk punt der
richtlijnen vormt met twee stralen uit de congruentie lijn-
elementen, die zich afbeelden op punten van R^. Verder draagt
een willekeurige straal van de congruentie één zoo'n lijnele-
ment, zoodat de punten P een oppervlak van de vijfde graad
vormen.

Elke beschrijvende rechte van R draagt één lijnelement van
van /S4.

Elke beschrijvende rechte van R' snijdt bovengenoemd
oppervlak in vijf punten, die met de door deze punten gaande
stralen der bihneaire congruentie, die tevens beschrijvenden
van R zijn, lijnelementen van vormen.

De punten P van de lijnelementen van S^, gedragen door
de beschrijvenden van R, vormen op het kwadratisch opper-
vlak, dat R draagt, een kromme (1,S). Deze heeft met de krom-
me [p, n-p) een aantal van w punten gemeen, waaruit
volgt dat de afbeelding van de verzameHng lijnelementen, die
we beschouwen, een kromme van de graad rz. 4p is.

De afbeelding van een stelsel [p, n) van oo^ lijnelemen-
ten, waarvan de rechten een regeloppervlak van de p^ graad
en de punten een kromme van de w-de graad beschrijven, kan
als volgt bepaald worden. We beschouwen een stelsel ^4 (0,1)
van 00* lijnelementen, waarvan de punten P in een gegeven
vlak gelegen zijn. Iedere rechte van Pg draagt dus één lijn-
element van 8ij. (0,1). Verder een stelsel S4 (1,0) van 00* lijn-

elementen, waarvan de rechten p een Hneair complex vormen.
Ieder punt van R^ is dus toegevoegd aan 00^ rechten, die een
waaier vormen. De verzamehngen worden in R^ respectievelijk
afgebeeld op een V^ en een V^.

Nu heeft (0,1) met 8^ {p, n) een aantal van n elementen
gemeen. De Zp rechten A, die het regeloppervlak bevat, dragen
elk één lijnelement van 8^ (0,1) en één lijnelement van 8^. We
stellen dat 8^ y lijnelementen [8, s) bevat. De afbeelding van
8^ is een kromme (e^), die met F^®, buiten Fg®, n en op Fg®,
buiten Y^, Zp en op V^^ y punten gemeen heeft. Verder heeft
(1,0) met 8^ juist p lijnelementen gemeen. Beide verzame-
lingen zullen in het algemeen geen lijnelementen gemeen heb-
ben, die eenzelfde X tot rechte hebben. De variëteit V^^ heeft
dus met qquot;quot;, op Fg^ y punten gemeen, op Fg®, buiten Fg^ geen
en verder nog p punten gemeen. De waarden van xeny vindt
men uit de volgende vergelijkingen, Zx = n Zp -f ^ en
2x =p ^y.

Het stelsel 8^ {p, n) wordt dus afgebeeld op een kromme van
de graad n 2p, die V^^ in 2n Zp en Fg«, buiten V^^, in Zp
punten snijdt.

De lijnelementen van een stelsel 8^ (a, ß, y) worden afge-
beeld op de punten van een tweedimensionale variëteit ( V^quot;quot;).
De lijnelementen, waarvan het punt P op een gegeven rechte
a ligt, een stelsel 8^ (1, O, 0), worden in R^ afgebeeld opeenFg®,
die Fg^ snijdt volgens een kromme (2,3). Immers vormen de
rechten X, die behooren bij een rechte u een kwadratische kegel
die a in twee punten snijdt en de rechten X, die behooren bij
een rechte v een regelschaar van de derde graad, die a in drie
punten snijdt.

Het aantal snijpunten van F/ met een beschrijvende q van
F2^ of wel het aantal lijnelementen uit 8^ (a, ß, y), waarvan de
rechten p een gegeven rechte u snijden en de bijbehoorende
punten P op de bijbehoorende X kegel hggen, bepalen we als
volgt. Indien T het snijpunt van u met l is, projecteeren we het
stelsel 82 (a, ß, y) en de lijnelementen waarvan de rechten p de
rechte u snijden en de punten P op de bij u behoorende X
kegel hggen op een willekeurig vlak ß. In ß ontstaan een stel-
sel 82 (a, y) van oo^ lijnelementen en een stelsel 81 (1,2) van

oqI lijnelementen, die a 2y lijnelementen gemeen hebben.
Een gemeenschappelijk exemplaar van de projecties wijst op
een gemeenschappelijk exemplaar van de geprojecteerde ver-
zamehngen en omgekeerd, zoodat Fgquot;quot; een rechte «t in a 2y
punten snijdt.

We stellen dat een kegelsnede van Fg^ door Fg* in y
punten gesneden wordt.

Nu heeft het stelsel (1, O, 0) a lijnelementen met (oc, ß,y)
gemeen. Het complex der rechten A, de congruentie {ß, y) en
het axiale complex met as a hebben 3/5 3y rechten gemeen,
wat wijst op het aantal snijpunten van Fg® en Fg'' op F3®,
buiten Fg^.

Het aantal snijpunten van beide variëteiten op Fg^ is gelijk
aan 3 (a 2y), zoodat we de volgende vergelijking krij-
gen:

3a; = a 3/3 37 2?/ 3(a 2y).

De lijnelementen gedragen door de rechten van een schoof
met top A, een stelsel S3 (O, 1, 0) worden afgebeeld op een
vlakke E^, die Fg^ volgens een kromme (1,1) snijdt. Nu hebben

(«gt; y) en S^ (0,1, 0) een aantal van ß lijnelementen gemeen.
In Pg hebben Fg^ en P3, op Fg^ «/ a 2y en op F36, buiten Fg^
in het algemeen geen snijpunten. Dit geeft aanleiding tot de
volgende vergelijking:

Uit beide vergelijkingen volgt

X = 2a ß 5y en y = a 3y.

De rechten A in de congruentie (/?, y) gelegen, vormen een
regelschaar van de graad 3/5 3y. De bijbehoorende kegels
vormen op Fg® een kromme (g^). Om de graad van deze kromme
te bepalen, zoeken we het aantal snijpunten met een B^. Nu
vormen de rechten A, die behooren bij de kegels van Fg®, in
een B^ gelegen, een congruentie (3,6), want voor een bundel
02 uit B^, is een punt A geconjugeerd met a. Deze bundel be-
vat drie kegels van Fg®. Verder vormen de lijnelementen, die
behooren bij B^, in een vlak ß een stelsel (2,1), dat 7 singuliere

rechten heeft. Hierbij is volgens § 16 één rechte c. Be overige

zes rechten zijn rechten A. De congruentie {ß, y) bevat dus

67 rechten A, die in het stelsel lijnelementen, behoorende
bij een JR^, gelegen zijn.

V^^^ ß-^^y heeft buitennbsp;^^^ ^^^

ten met F^^ gemeen, dat we op de volgende manier zullen be-
palen.

Het aantal lijnelementen, gemeenschappelijk aan het stelsel
\ (oc, ß, y) en een stelsel S, (O, O, 1), de lijnelementen waarvan
de rechte in een gegeven plat vlak hgt, is gelijk aan het ge-
meenschappelijk aantal punten der beide bijbehoorende varië-
teiten in voorzoover het geen singuhere punten zijn
Nu wordt het stelsel S^ (O, O, 1) afgebeeld op een Fg®, die

JIC^Z s; ^^^nbsp;snijpunten van deze variëteit met

^ is gelijk aan 6a 3^ 15y. De stelsels
gt;^2 (a, ß, y) en s^ (O, O ,1) hebben y elementen gemeen, zoodat
6a 3/S 14y punten singulier moeten zijn. Deze punten
moeten alle op V^' liggen, omdat in het algemeen geen der
rechten, door de congruentie (ß, y) in het vlak van het stelsel
ASg (O, O, 1) bepaald, behooren tot het complex der rechten A
Bovenstaande geldt voor alle waarden van a, ß en y, dus ook
voor ^ =0. We krijgen dan als afbeelding van het stelsel
S2 (a, O, 7) eenV^'^ 'y, die F^^ volgens een kromme (« 2y
a 3y) snijdt. F^^^ ^ynbsp;^^^^ ^^^^^^ ^^^

maar uit het feit, dat het aantal gemeenschappelijke liinele-
menten van (a, O, y) en Äg (O, O, 1) gelijk is aan het aantal

met singuliere snijpunten der bijbehoorende variëteiten volgde

reeds dat Fg^^c a, ^^g ^^ ^^ ^ ^^^ snijpunten iebben.
We vinden dus dat, indien een variëteit de kromme (a y

quot; tnbsp; snijpunten van de variëteit

met V^^^' ^y geldt.

Keeren we nu terug naar het algemeene geval {ß ^ 0), dan
bhjkt dat van de 6a 14y snijpunten er 6a 14y het
gevolg zijn van de gemeenschappelijke snijkromme (a y
« 2y), zoodatnbsp;buiten deze kromme nog 3^ pun^

ten met Fg« gemeen moet hebben.

Resumeerende is dus de afbeelding van 8, (a, ß, y) em twee-
dtmenstonale variëteit van de graad 2a ^ 5y, die F ^ in

3/9 punten en volgens een kromme (a 2y, a Sy) snijdt, die
dus van de graad 3a 7y is, en Fg® volgens een kromme van
de graad Sß 6y.

De lijnelementen van een stelsel S^ iqgt;, ip, %) worden afge-
beeld op een driedimensionale variëteit (Fg^).

De lijnelementen, waarvan het punt P in een gegeven punt
A valt, een stelsel (O, 1, 0), hebben tot afbeelding een plat
vlak v{A)2, dat Fg* in drie punten 8 snijdt. 8^ {(p, y, x) en
82 (O, 1, 0) hebben f elementen gemeen. Verder gaan er 3^ rech-
ten A door A, die tot het complex, gevormd door de rechten uit
83, behooren. Dit wijst op evenzooveel snijpunten van Fgquot;quot; en
V op Fg® gelegen. De variëteit Fg^ bevat Fa* ;f-voudig, daar
elk vlak jt juist x lijnelementen bevat, waarvan het punt P
op de bij 71 behoorende rechte A hgt. We vinden dus

o: ^ 39^ ^ 3;^.

Om de graad van het oppervlak te bepalen, volgens hetwelk
F36 door Fgquot;quot; gesneden wordt, bepalen we de graad van de
regelschaar, gevormd door de rechten A, behoorende bij de
kegels van Fg® in een R^ van gelegen. Nu heeft R^ 4 punten
met Fa* gemeen, terwijl een kluwen in a vier dubbelrechten
heeft, zoodat l door 8 rechten A gesneden wordt. De regelschaar
is van de achtste graad en heeft 89? rechten met het complex
der rechten p uit 8^ gemeen.

Het complex der rechten p van het stelsel 8^ {(p, xp, x), heeft
met elke kwadratische kegel, gevormd door rechten A, die be-
hooren bij de kegels van een beschrijvende q van V^, 2lt;p en
met het regelvlak van de derde graad, gevormd door de rech-
ten A, behoorende bij de kegels van een kegelsnede v^ van Fg*,
39? rechten gemeen.

Verder vormt elk punt van l met f rechten evenzooveel lijn-
elementen, die afgebeeld worden op ygt; punten van een rechte q.

Iedere beschrijvende q van Fg* wordt dus in 2(p-{-ip punten
gesneden door Fg^^' V ^Z. We stellen dat iedere beschrij-
vende kegelsnede v^ van Fg* door de variëteit in 39? ?/ punten
gesneden wordt.

Om y te kunnen bepalen, zoeken we het aantal gemeen-
schappelijke lijnelementen van het stelsel 8^ (9?, xp, x) met de

verzameHng Hjnelementen, gedragen door de rechten van een
waaier, een stelsel S^ (1, O, 0). Dit aantal is gelijk aan lt;p, want
het complex der rechten p in het stelsel bepaalt (p stralen
in de waaier.

Het stelsel 8^ (1, O, 0) wordt afgebeeld op een V^^ die F^^
volgens een kromme (1,1) snijdt.

Fg^ en V^^f V H hebben 69^ 2^ 6;^ snijpunten, waarvan
van (p met singulier. (Deze niet singuliere punten wijzen op de
gemeenschappelijke elementen van 8^ en 8^.) De 2^
singuliere punten Hggen op F^* omdat het complex der rechten
A en het complex der rechten p in het stelsel 8^ ,in het algemeen
geen gemeenschappelijke stralen in de waaier van het stelsel
82 hebben.

Nu Hgt de kromme (1,1), die dus van de derde graad is, op

F/, terwijl F/;t-voudig op Fg^^ ^ SAf ligt. Dit telt voor 6;f
snijpunten.

De krommen (295 89? y) en (1,1) hebben ygt; y
snijpunten, zoodat

^quot;Pnbsp;Jrygt; y

moet zijn. Hieruit volgt y

Resumeerende is dus de afbeelding van een stelsel 8^ {(p, y), x)
een driedimensionale variëteit van de graad 895 ^ Zx, 'die
Y^X'-^oudig bevat, Fg® volgens em, oppervlak van de graad
8(p en Fg^ volgens een kromme {2cp -\~ip,Zcp ip) snijdt.

De afbeelding van een stelsel 8^ {ju, v) van oo^ lijnelementen
is een vierdimensionale variëteit ( F/).

Daar de rechten l elk v lijnelementen van 8^ dragen, bevat
F/ de Fg® juist j^-voudig.
We stellen dat F/ de Y^ y-voudig bevat.
Om a; en ^ te vinden beschouwen we de lijnelementen van
een stelsel 8^ (0,1), de Hjnelementen met gegeven rechte. Het
stelsel 8-^ en het stelsel 8^ hebben v elementen gemeen. Nu
wordt 8^ (0,1) afgebeeld op een bisecant van Y^, die x punten
met F/ gemeen heeft. Van deze punten zijn de beide snij-
punten van de bisecant met Y^, ieder 2/ maal geteld, singulier.
Dus X ~v -f 2?/.

Verder worden de lijnelementen met gegeven punt P, waar-

van de rechten een waaier vormen, een stelsel S^ (1,0), afge-
beeld op een kegelsnede die V^* in drie en Fg®, buiten Fg^, ook in
drie punten snijdt. De waaier bevat namelijk drie rechten 1. Het
stelsel /Sj (1,0) heeft met S^ {pt,, v) fi elementen gemeen. F/
en de kegelsnede hebben buiten Fg® op Y^ Zy en op Fg®,
buiten V^, Sv snijpunten, zoodat 2xnbsp;Sy 3^.

Uit beide gevonden vergelijkingen volgt x =2/j, -\-3v en
y = fi zoodat we dus kunnen zeggen:

De lijnelementen van een stelsel S^ [fi, v) worden afgebeeld op
de punim van een vierdimensionale variëteit van de graad
2ii Sv, die V^^ [fi v)-voudig en Fg® v-voudig bevat.

§ 21. De afleiding van enkele formules.

Het onderzoek naar het aantal gemeenschappelijke lijnele-
menten van een stelsel (ju, v) en een stelsel S^ [p, n), komt
neer op het bepalen van het aantal snijpunten buiten Fg®, van
eennbsp;die Fg^ (/u vj-voudig en Fg® r-voudig bevat en

een kromme van de graad 2p n, die Fg^ in 3p 2n en Fg®,
buiten Fg^, in 3^3 punten snijdt.

Dit aantal is gelijk aan

(2ju Sv) (n -i-2p)-(ju v) {Sp 2n) - Svp = jup vn.

Een stelsel {/u, v) van oo^ lijnelementen en een stelsel
aSj {p, n) van cx5^ lijnelementen, hebben p,p -\-vn lijnelementen
gemeen.

Het aantal gemeenschappelijke lijnelementen van twee stel-
sels 83 {cp, ip, x) en 82 (a, /S, y) is gelijk aan het aantal niet singu-
here snijpunten van een Fg^'^' ^ ^Z, die Fg^ ;(;-voudig bevat,
Fg® volgens een oppervlak van de graad 89? en V^ volgens een
kromme {2(p y;, S(p snijdt en een j/gSa zS sy^ ^^^ y^i
in sp punten en volgens een kromme (a 2y, « Sy) snijdt
en Fg® volgens een kromme van de graad 3/8 6y.

Dit aantal is gelijk aan {Slt;p ^ 3;^) (2a 5y) -
- {(a 2y) {Sip (a Sy) {2qgt; y;) Sfy 2
(3a 7y)x S{P y) cpj^a^p ^^yj ^ yx.

Reeds vroeger is afgeleid, dat een kromme {2q) 37? yj)
en een kromme (a 2y, a -f Sy) op Fg*

(a 2y) {S(p 4. y,) (a Sy) {2(p yj)

snijpunten hebben. De 3)3 snijpunten van y^^ P ^V met Fg*,
zijn ;^-voudige punten van FgS'^ v Sz, zoodat beide variëteiten
in deze punten Z^x snijpunten hebben. Verder hebben we in
de vorige paragraaf gezien dat het gemeenschappelijk zijn van
de kromme (a a 3y) aan beide variëteiten, voor
2 (3a 7y) snijpunten geldt. Bovendien bevat Fg^'P v ^Z de
kromme ;f-voudig. Tenslotte stelt 3 (/S y) lt;p het aantal snij-
punten voor, dat beide variëteiten op Fg®, buiten Fg*, hebben.
Dit is namelijk gelijk aan het aantal rechten dat de congruentie
y), het complex van de rechten uit het stelsel Sg {(f, y^, x) en
het complex der rechten X gemeen hebben. We vinden dus:

Een stelsel S^ {\p, (p, x) van oo^ lijnelementen en em stelsel
van oo^ lijnelementen hebben lt;ysp -j- -f- yx lijn-
elementen gemeen.

We vragen nu naar het gemeenschappelijke stelsel lijnele-
menten van een stelsel (jx, v) en een stelsel 8^ (a, /S, y).

Eerst zullen we echter bewijzen dat een kromme van de
graad 2p n in B^, die Fg* in 3p 2n en Fg®, buiten V^*, in
3p punten snijdt, de afbeelding is van een stelsel 8^ (p, n) van
oo^ lijnelementen.

De meetkundige plaats van de poollijnen van l ten opzichte
van de die afgebeeld worden op de punten vannbsp;is

een regelvlak van de graad 4p 2n, terwijl de polen van a ten
opzichte van deze (9% een kromme van de graad Qp 3n be-
palen, op het regelvlak gelegen.

We gaan nu de lijnelementen, die correspondeeren met de
singuliere punten van de kromme, uit het verkregen stelsel
van lijnelementen verwijderen. De 3p 2n punten, volgens
welkenbsp;yinbsp;bepalen 3p 2n vlakken n. Indien

deze uit de oorspronkelijke regelschaar verwijderd worden
blijft

er een regelschaar van de graad p over. De 6p -f- 2n pun-
ten, volgens welke de kromme Fg® snijdt, bepalen ten op-
zichte waarvan de meetkundige plaats der polen van a bestaat
uit 6p 2w rechten A. Na verwijdering van deze rechten uit de
oorspronkelijk gevonden kromme, die van de graad 6p
was, blijft er een kromme van de graad n over, zoodat iedere
kromme van de graad 2p n, die Fg® in 6p 2n punten
snijdt, waarvan er 3p 2n op Fg* hggen, de afbeelding is van

een stelsel S-^ (p, n) van oo^ lijnelementen.

Een stelsel [fi, v) werd afgebeeld op eennbsp;die

y^i )gt;)-voudig en Fg® i'-voudig bevat en een stelsel
'SaCa, Ar) op een F^sa iS sy^ ^^^ Fg« snijdt in punten en
volgens een kromme (a 2y, a Zy) en Fg®, buiten V^^, vol-
gens een kromme van de graad 3/S 6y.

Niet singuliere gemeenschappelijke punten van beide varië-
teiten wijzen op gemeenschappelijke lijnelementen van de
stelsels {p, v) en 8^ (a, y).

Nu hebben beide variëteiten een kromme van de graad
{2p 3^) (2a jS 5y) gemeen. Van deze kromme ligt ech-
ter een deel op Fg^ en een deel op Fg®, buiten Fg«, en wel een
kromme (a 27, a 37), die van de graad 3a 7y is, (// v)-
voudig op Fg« en een kromme van de graad 3/5 67, v-voudig
op Fg®, buiten Fg«. Na verwijdering van deze krommen uit de
snijkromme der beide variëteiten, blijkt dat deze, buiten Fg®,
een kromme van de graad (2/^ 3v) (2a ^ 67) - v)
(3a 7y) (3/S 67)nbsp; d/iy Sva 2vy is.

Om het gemeenschappelijke stelsel 8^ van {p, v) en
82 (a, /S, 7) verder te bepalen, is het noodig, dat het aantal snij-
punten van deze kromme {q) met Fg« en met Fg®, buiten Fg«,
bekend is.

We stellen dat de kromme Fg« in x en Fg®, buiten Fg«, in
y punten snijdt. De waarden van x en y bepalen we als volgt:
We zoeken het aantal gemeenschappelijke lijnelementen van
de stelsels ^4 {fi, v), 82 (a, y) en een stelsel 8^ (1,0). Het laatste
stelsel wordt gevormd door de lijnelementen, gedragen door
de stralen van een lineair complex.

Nu hebben de stelsels 8^ {ju, v) en 8^(1, 0) een stelsel
8^{v,fi,ju v) van oo® lijnelementen gemeen, want elke straal
van het hneaire complex draagt v lijnelementen, dus het hneaire
complex wordt in het gemeenschappelijke stelsel r-voudig
geteld.

Verder is een willekeurig punt P van Pg, punt van lijnele-
menten van het stelsel 8^ {ju, v), waarvan de rechten een kegel
van de graad // vormen en punt van lijnelementen van het
stelsel 8^ (1,0), waarvan de rechten een waaier vormen, zoodat
het punt P met n rechten lijnelementen vormt, die behooren

tot het gemeenschappelijke stelsel.

In een willekeurig plat vlak zijn de lijnelementen van
gt;84(1,0) die, welke gedragen worden door de stralen van een
waaier. Elke straal van de waaier draagt v elementen uit het
stelsel S^ in, v), terwijl dit stelsel de top van de waaier aan
rechten van de waaier toevoegt. De kromme, gevormd door
de punten P, behoorende bij lijnelementen van het gevraagde
stelsel in een gegeven vlak, is dus van de graad fi v.

Het aantal gemeenschappelijke lijnelementen van de stelsels
(m, s^ (1,0) en S2 (a, fi, y) is gelijk aan het aantal gemeen-
schappelijke, niet singuhere punten van de bijbehoorende
variëteiten in

F42, de afbeelding van het stelsel S^ (1,0), bevat Fg« en dus
ook de X snijpunten van de kromme q met V^^. De variëteit
F42 zal in het algemeen geen der snijpunten y van q met Fg«,
buiten bevatten, omdat Fg® niet op V^^ ligt, doch slechts
volgens een oppervlak gesneden wordt. Nu is het aantal ge-
meenschappelijke lijnelementen der drie stelsels gelijk aan
het aantal gemeenschappelijke punten van de variëteit V^^
en de kromme q, verminderd met x. Het gemeenschappelijk
aantal lijnelementen van de stelsels S^ {/i, v), S^ (1,0) en
(agt; fi, y) is gelijk aan dat van de stelsels S^ {v, ju, ju v) en
(a, fi, y), dus va. jufi juy vy lijnelementen.
We krijgen de volgende vergelijking:

va /ifi fiy vy=2 (jux 2fifi -f 3va 2vy) - x,
waaruit volgt,

ZfAfi -f- öva Zvy.

Om het getal y te bepalen, merken we op, dat het aantal
gemeenschappelijke lijnelementen van de stelselsnbsp;v),

gt;54(0,1) (dit zijn de lijnelementen waarvan Pin een gegeven vlak

fi hgt) en 82 (a, fi, y) gelijk is aan het aantal niet singuhere ge-
meenschappelijke punten der bijbehoorende variëteiten.
De stelsels 8^ {ju, v) en 8^ (0,1) hebben een stelsel
if^ v, O, ju) van 00® lijnelementen gemeen.
Om de graad van het complex der rechten, die gemeen-
schappelijke lijnelementen van beide stelsels dragen, te bepalen
nemen we een proefpunt ^ in ^ aan. Alle rechten door A vor-

12

men met A lijnelementen van S^ (0,1). De lijnelementen, ge-
dragen door de rechten in de waaier (A, P), behooren ook tot
het stelsel ;Sf4 (0,1). De rechten, die lijnelementen uit het stelsel
S^ (ju, v) dragen, waarvan A het punt is, vormen een kegel van
de graad fx, terwijl elke straal van de waaier v lijnelementen
uit dit stelsel draagt. De waaier is een i'-voudig bestanddeel
van de complexkegel, die dus van de graad )' is.

Een willekeurig punt van B^ is niet toegevoegd aan gemeen-
schappelijke rechten der beide stelsels.

In een willekeurig vlak y, vormt elke rechte van dat vlak
met z'n snijpunt met de snijlijn (P, y) een lijnelement van
/S4 (0,1). Elk punt van (p, y) is punt van fi lijnelementen van
Si (m, v), zoodat de ^M-voudige rechte (P, y), de kromme is, ge-
vormd door de punten van de lijnelementen door het gemeen-
schappelijk stelsel in y bepaald.

Hiermee is bewezen, dat de stelsels ^4 v) en /S4 (0,1) een
stelsel gt;83 (a v, O, ju) gemeen hebben, waaruit volgt dat de
stelsels ^4 (ju, v), S^ (0,1) en S^ (a, p, y) een aantal van
{/I v) a -j- fiy lijnelementen gemeen hebben.

Het stelsel S^ (0,1) wordt afgebeeld op een F4®, die F3®, en
dus ook de punten x en y bevat. We krijgen dus de volgende
vergelijking:

juol ^ vol juynbsp;(moc Spy 3fa 2vy) -x-y,

waaruit volgt

X y =^2piaL 8fiy ^vx -\-6vy

en in verband met de gevonden waarde voor x
(x = SjuP 5fiy 5va 3vy),
ynbsp; 3fiy 3ra Svy.

Resumeerende kunnen we dus zeggen, dat de variëteiten,
behoorende bij een stelsel S^ {ju, v) en een stelsel (a, P, y) een
kromme van de graad 2 (^/S /^y va vy) ficf. va. /xy
gemeen hebben, die Fg* in Z {fj,p ^ly va vy)
2 (ficL va ny) en F3®, buiten V^^, in 3 (jx^ /^y va vy)
punten snijdt.

We hebben reeds bewezen, dat de lijnelementen, die hiermee

correspondeeren en waaruit de lijnelementen, die behooren bij
de singuliere punten, verwijderd zijn een stelsel

{fiP [xy -\-vcf. vy, ^a va f/,y)

vormen.

Er is dus hewezen, dat een stelsel (fi, v) van oo* lijnelemen-
ten en een stelsel 8^ (a, p, y) van oo^ lijnelementen een stelsel

8i {fi^ i^a vy, ^a va fiy)

van oqI lijnelementen gemeen hebben.

We hebben de vier soorten stelsels van lijnelementen afge-
beeld op variëteiten van B^ en de singuliere punten, die be-
hooren tot deze variëteiten, aangegeven. Deze resultaten zijn
algemeen, d.w.z. ze gelden ook voor ontaarde stelsels van lijn-
elementen. De gemeenschappelijke figuur van twee of meer va-
riëteiten zal dus, wat graad en dimensie betreft, ook als de sin-
guliere punten eruit verwijderd zijn, onafhankelijk zijn van het
al of niet ontaard zijn van de stelsels lijnelementen, waarvan
de variëteiten de afbeeldingen vormen.

Hieruit mogen we de conclusie trekken, dat ter bepahng
van de doorsnijding van stelsels van lijnelementen, het be-
ginsel van het behoud van het aantal toegepast mag worden.

Volgens deze methode zullen we ten slotte nog de door-
snijding bepalen van een stelsel 8^ {fj,, v) met een stelsel

in', v'), van een stelsel 8^ [fi, v) met een stelsel 8^ [cp, ip, x) en
van een stelsel 8^ {lt;p, \p, %) met een stelsel 8^ {(p', y', x')-

Om het gemeenschappelijke stelsel van lijnelementen van
de stelsels ^4 (ji, v) en 8^ {fi', v') te bepalen, denken we ons het
stelsel 8^ if^', v') vervangen door een stelsel 8^' {/u', v'), be-
staande uit/lt;' stelsels 8^ (1,0) en v' stelsels 8^ (0,1).

In deze paragraaf is reeds bewezen, dat de stelsels 8^ (ju, v)
en ^4 (1,0) een stelsel 8^ (v, yw, v) en de stelsels 8^ v) en
8^ (0,1) een stelsel 83 (ji^v, O, jx) gemeen hebben. De door-
snede van de stelsels 8^ en 8^' is dus een stelsel

C«quot;' vv', flju', fxix' ju'v juv').

We hebben hier bewezen:

Een stelsel 8^ (/i, v) van 00* lijnelementen en een stelsel

{[i', v') van 00« lijnelementen hehhen een stelsel

fx'v VV', /Ifl', fj,/ fi'v ßv')

van 00® lijnelementen, gemeen.

Opmerking: De laatste uitkomst is, zonder gebruik te
maken van de afbeelding als volgt te bepalen.

Elke rechte van een schoof met top A, draagt v elementen
van het stelsel {fi, v) en v' elementen van het stelsel 8^' (ji, v).
Het punt A vormt met [i rechten uit de schoof, lijnelementen
van het stelsel 8^ (ju, v) en met p' rechten, lijnelementen van
het stelsel 8^ {/li',v').

De punten, welke beide stelsels toevoegen aan de rechten
van de schoof, vormen respectievelijk een oppervlak van de
graad v met ^-voudig punt in A en een oppervlak van de
graad pi' -\-v' met een -voudig punt in A. Beide oppervlakken
hebben een kromme van de graad (ju ^v) {ju' v') gemeen.
Elk punt van de kromme vormt met het punt A een gemeen-
schappelijk lijnelement van de stelsels 8^ (ju, v) en 8^ iju', v'),
behalve het ^/i'-voudige punt A. In een plat vlak door A,
liggen dus fxv' fi'v vv' rechten door A, die lijnelementen
van het gemeenschappelijke stelsel van 8^ {ju, v) en 8^ {ju', v')
dragen, zoodat het complex der rechten van het gezochte
stelsel Ä3 van de graad fxv' -{- [x'v -\-vv' is.

Een willekeurig punt B is toegevoegd aan rechten van de
stelsels 8^ {ju,v) en 8^ {[i',v'), die kegels, respectievelijk van de
graad fi en p' vormen, zoodat B met juß' rechten lijnelementen
van het stelsel 8^, dat we wenschen te bepalen, vormt.

De stelsels 8^ {ju, v) en 8^ {ju', v') bepalen in een willekeurig
plat vlak twee stelsels 8^ {ju, v) en 8^ {ju', v') van oo^ lijnelemen-
ten, die een stelsel 8^ gemeen hebben, waarvan de punten der
lijnelementen een kromme van de graad-\-juv' -\-fx'v vormen
(zie § 5).

Als gemeenschappelijk stelsel van beide stelsels 8^ hebben
we weer het stelsel

8s {JUV' JU'V VV', JUfl', JUfi' fiv' fl'v)

gevonden.

Ter bepaling van het gemeenschappelijke stelsel van de
stelsels S^ {/x, v) en {lt;p, rp, x), vervangen we deze respectievelijk
door het stelsel 8^' {fi, v), bestaande uit ^ stelsels /Sf^ (1, 0) en
stelsels 8, (O, 1) en het stelsel gt;83' [lt;p, y,, bestaande uit
lt;p stelsels 8^ (1, O, 0), y, stelsels 8, (0,1,0) en stelsels (O, 0,1).
Een stelsel 8^ (1, O, 0) wordt gevormd door de lijnelementen,
waarvan P op een gegeven rechte ligt, een stelsel 8^ (O, 1, 0)
door de lijnelementen, waarvan de rechte door een gegeven
punt gaat en een stelsel 8^ (O, O, 1) door de lijnelementen van
een gegeven plat vlak.

De fl stelsels ^Sf^ (1, 0) hebben met de (p stelsels /Sg (1,0 0) de
W stelsels .S3 (O, 1, 0) en de stelsels 8, (O, O, 1) respectievelijk
ficp stelsels 82 (O, 1, 1,), stelsels 8^ (1, O, 0) en ,,x stelsels
'Sa (1, O, 0) gemeen. Dit zijn dus stelsels 8^ {0,ix(p,fi(p), 8. (uw, O 0)
en 82 [fix, O, 0).

De f stelsels .S'^ (0,1) hebben met de (p stelsels 8^ (1, O, 0) de
W stelsels 8, (O, I, 0) en de stelsels ^3 (O, O, 1) respectievelijk
de stelsels 8^ (O, vcp, 0), 8^ {vy,, vy,, 0} en 8^ (O, O, vx) gemeen,
zoodat de stelsels 8^' v) en 8^' {cp, y,, x) een stelsel

vy,, filt;pJ^v(p^ vy,, [ilt;p vx)

gemeen hebben, waaruit volgt dat in het algemeene geval geldt:
Een stelsel 8^ {fi, v) van 00* lijnelementen en een stelsel
(v, W, x) ^«w oo® lijnelementen hebhen een stelsel

vy,, ix(p~{-v(p-^ vy,, /x(p vx)
van oo® lijnelementen gemeen.

Om te bepalen wat een stelsel 8^ {lt;p, y,, en een stelsel
^3 {lt;P', W', X') gemeen hebben, vervangen we het stelsel 8^ {(p, y,, x)
door een stelsel 8^' {cp, y,, x), bestaande uit (p stelsels 8^ (1 'o 0)
W stelsels 8, {O, 1, 0) en stelsels 8^ (O, O, 1) en het stelsel
S3{lt;P', W', x')^ooTeenBte\amp;G\8^'{cp',y,',x') bestaande uit stel-
sels /Sfg (1, O, 0), y.' stelsels 8^ (O, 1, 0) en stelsels 8^ (O, 0,1)
De lt;p stelsels 8^ (1, O, 0) hebben geen lijnelementen gemeen
met de lt;p' stelsels 8^ (1, O, 0). De cp stelsels 8^ (1, O, 0) hebben
W' stelsels 8^ (1, 1), dus een stelsel 8^ {qgt;y,', cpygt;') met de stel-
sels 8^ (O, 1, 0) gemeen en met de x stelsels 8^ (O, O, 1), cpx' stel-
sels /Si (1, 0), dus een stelsel 8^ {(px', 0).

Evenzoo vinden we dat de stelsels Sg (O, 1, 0) met de 9?'
stelsels (1, O, 0), de xp' stelsels S^ {O, 1, 0) en de stelsels
S3 (O, O, 1) respectievelijk de stelsels {yxp', ip(p'), 8^^ (O, ipip')
en geen lijnelementen gemeen hebben.

De X stelsels (O, O, 1) hebben met de lt;p' stelsels 8^ (1, O, 0)^
de ip' stelsels 8^ (O, 1, 0) en de x' stelsels S3 (O, O, 1) respec-
tievelijk het stelsel 8^ {xqgt;', 0), geen lijnelementen en het stel-
sel (O, xx') gemeen.

Resumeerende hebben de stelsels 8' [cp, ip, x) en 8' {(p', yi', x')
een stelsel

Si {(pw' n' w' %¥, (py' w' w' xx')

gemeen, waaruit volgt, dat in het algemeene geval geldt:

Em stelsel 8^ {cp, y, x)nbsp;lijnelementen en een stelsel

83 i(p',y',x') ^^^ lijnelementen hebben een stelsel

81 [(pw' VX' W' X9', lt;PW' W' W' xx')

van 00^ lijnelementen gemeen.

rSË

INHOUD

§nbsp;Blz-

1.nbsp;De methode van afbeelden...................... I

2.nbsp;Het onderzoek naar de singuliere oppervlakken.... 2

3.nbsp;Het oppervlak Q............................... 3

4.nbsp;De vlakke vijfdimensionale ruimte R^............. 5

5.nbsp;Het onderzoek naar de singuliere lijnelementen .... 5

6.nbsp;De lijnelementen met gegeven rechte............. 14

7.nbsp;Krommen op Q en Fg«.......................... 17

8.nbsp;De lijnelementen waarvan P in een gegeven punt ligt 18

9.nbsp;De lijnelementen waarvan p door een gegeven punt
gaat.......................................... 20

10.nbsp;Verzamelingen van lijnelementen in {A)^.......... 23

11.nbsp;Verzamelingen van lijnelementen in .......... 29

12.nbsp;De verzameling lijnelementen van een plat vlak .... 36

13.nbsp;De lijnelementen gedragen door de rechten van een
lineair complex................................ 37

14.nbsp;De lijnelementen gedragen door de stralen van een
bilineaire congruentie........................... 46

15.nbsp;De lijnelementen gedragen door de stralen van een
kwadratische regelschaar........................ 48

16.nbsp;Lineaire verzamelingen van ................... 49

17.nbsp;De lijnelementen gedragen door hoogere complexen,
congruenties en regelvlakken.................... 52

18.nbsp;Verzamelingen van lijnelementen met gegeven pun-
ten P......................................... 53

19.nbsp;Verzamelingen van lijnelementen in een plat vlak ... 54

20.nbsp;De afbeelding der stelsels S-y,nbsp;en 8^ ......... 61

21.nbsp;De afleiding van enkele formules................. 69

STELLINGEN

De kegelsneden, beschreven om de omgeschreven driehoe-
ken van een gegeven kegelsnede, vormen een kwadratische
vierdimensionale verzameling.

II

Indien een punt Q' ligt op de cirkel C door het punt K, die
gaat door de punten, volgens welke de cirkels uit de bundel
met basispunten K en Q aan een rechte t raken, dan hggen de
punten K en Q met de punten, volgens welke de cirkels uit de
bundel met K en Q' als basispunten aan t raken, op één cirkel.

III

Er zijn mn (m -fl) (n -fl) kegelsneden, die door drie gegeven
punten gaan en aan twee gegeven krommen van de graad
m enn raken.

IV

De vijf transversalen, door een gegeven punt, van de vijf
paren transversalen van de groepen van vier rechten in een
verzameling van vijf gegeven rechten, liggen in een plat vlak.

Uit hetgeen Prof. Dr J. Wolff behandelt in ,,A represen-
tation of the plane pencils in Äg on the conics of a planequot; i),
volgt dat een stelsel /S4 (/i, v) van vlakelementen en een
stelsel 81 {p, q) van cxd^ vlakelementen worden afgebeeld,
respectievelijk op eennbsp;die Fg® v-voudig en de rechte

60 '')-voudig bevat en eennbsp;die Fg®, buiten in

Zp en Po in 2q punten snij dt. Beide variëteiten hebben p/a -f gv
snijpunten buiten Fg®, waaruit volgt dat de stelsels 8^ {[i, v) en
{P' 3) een aantal van jj/i gv vlakelementen gemeen hebben.

1) Amst. Proceedings Vol. XXVIII, pag. 4ö0, 1925.

De verbindingsrechten van de kritieke punten, behoorende
bij een gegeven rechte l, van een net kegelsneden, snijden deze
rechte in de snijpunten van l met de kernkromme van het net.

VII

Indien de elementen van een bepaalde soort in een ruimte
Rn, door een (1,1) verwantschap afgebeeld zijn op de punten
van een ruimte Rm en stelsels van bedoelde elementen in i?„
correspondeeren met variëteiten in R^, waarvoor geldt dat
de gemeenschappelijke figuur van twee of meer dezer varië-
teiten, buiten de singuliere punten, wat betreft graad en di-
mensie, onafhankelijk is van het al of niet ontaard zijn van de
bijbehoorende stelsels in Rn, mag men in jB„ de kenmerkende
aantallen van twee of meer stelsels bepalen, door deze stelsels
te laten ontaarden.

VIII

Het bewijs, dat Borel in ,,Le§ons sur les fonctions entièresquot;
(2e druk, pag. 55 en 56) geeft van de bewering

1

-gt; O,nbsp;^

[X^ oo

waarbij A ^ voorstelt de coëfficiënt van 2/quot; in de reeks, waarin
de functie.

n = 00 z z^ zP
= ..........^

V aj

n = l

ontwikkeld kan worden, is foutief.

IX

De stelling:,,Heeft een onbegrensde niet monotone getallen-
rij een grootsten (kleinsten) term, dan is er uit deze rij een
monotone dalende (klimmende) rij te lichten, die de boven-
grens (benedengrens) van de oorspronkelijke rij tot grens zal
hebben,quot; voorkomend in „De grondslagen der rekenkundequot;
door Dr G. Schouten (2e druk, pag. 65) is onjuist.

! • 1

■»i^-Uv*

r

r,itifw.M

A ■

win

' - gt; - . ^ ^

:• .nbsp;-v--'. .--s-'''-'---• '. -.tó'v:.-.

..jï