REDE EN AANSCHOUWING
IN DE WISKUNDE

E. W. BETH

bibliotheek ^rquot;;,

rijksuniversiteit

UTRECHT.

/

f ■

'i ■

ƒ ■ ./

■nbsp;I

■ ■ : ■ ■ t \ ^ V ■■ ' '.

\ ■

y

BIBLIOTHEEK UNIVERSITEIT UTRECHT

3148 026 6

REDE EN AANSCHOUWING IN DE WISKUNDE

REDE EN AANSCHOUWING
IN DE WISKUNDE

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE LETTEREN EN WIJSBE-
GEERTE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE
UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR
MAGNIFICUS Dr. C. W. VOLLGRAFF, HOOG-
LEERAAR IN DE FACULTEIT DER LETTE-
REN EN WIJSBEGEERTE, VOLGENS BE-
SLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVER-
SITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBE-
GEERTE TE VERDEDIGEN OP VRIJDAG
22 NOVEMBER 1935, DES NAMIDDAGS
TE 4 UUR

DOOR

EVERT WILLEM BETH

geboren te stad almelo

P. NOORDHOFF N. V. — G R O N IN G E N - B A T A V IA

bibliotheek der
rijksuniversiteit
UTRECHT.

De afsluiting van mijn academische studie verschaft mij een
welkome aanleiding, mijn dank uit te spreken aan allen, die tot
mijn wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen.

Hooggeleerde Wolff, Hooggeleerde Barr au, Hooggeleerde
Kramers, Hooggeleerde Ornstein, Hooggeleerde Nijland, de
herinnering aan het vele, dat ik op Uwe lessen en bij andere
gelegenheden van U heb mogen leeren, stemt mij tot de grootste
dankbaarheid. Hooggeleerde de Vries, ik beschouw het als een
bijzonder voorrecht, dat ik, zij het slechts kort, in de gelegen-
heid ben geweest, ook U te hooren.

Zeer Geleerde Bockwinkel, Uw''boeiend onderrichtquot;heeft veel
bijgedragen tot het wekken van mijn belangstelling voor de
wiskunde; ik acht het mijn phcht, U daarvoor hier tequot;danken'.'

Mijn verblijf te Leiden laat bij mij de aangenaamste herinne-
ringen achter; aan allen, van wier onderwijs ik aldaar gebruik
heb mogen maken, voel ik mij ten zeerste verplicht. Hooggeleerde
van der WouDE, sta mij toe, U in het bijzonder dank te zeggen
voor Uw lessen en voor Uw omgang en steun.

Ik dank verder de Nederlandsche Afdeehng van de Commissie
voor Intellectueele Toenadering tusschen Nederland en België,
die het mij mogelijk heeft gemaakt, mijn studie te Brussel voort
te zetten. Hooggeleerde Barzin, Hooggeleerde Errera, de ge-
legenheid, die Gij mij hebt willen schenken tot verdieping van
mijn kennis, stel ik ten zeerste op prijs. Aan allen, die er toe
hebben medegewerkt, mijn verblijf te Brussel zoo aangenaam
en vruchtdragend mogelijk te maken, betuig ik bij dezen gaarne
mijn grootste erkentelijkheid.

Hooggeleerde Franken, niet alleen door de welwillendheid en
de belangstelling, die Gij mij hebt betoond, door als mijn pro-
motor te willen optreden, maar ook door de aangename wijze,
waarop Gij mijn studie hebt willen regelen, en door de leerzame
gesprekken, die aan vorm en inhoud van dit proefschrift en tevens
aan mijn wijsgeerige vorming ten goede zijn gekomen, hebt Gij
mij tot de grootste dankbaarheid verplicht; het schenkt mij
bijzondere voldoening, daaraan bij deze gelegenheid uitdrukking
te kunnen geven.

îMê

»

m

to

AAN MIJNE OUDERS.

INHOUD.

A. ALGEMEENE ORIENTEERING.

Hoofdstuk I. Inleiding................ 1

Hoofdstuk II. De Aanschouwing als Kentheoretisch Pro-
bleem bij Kant................. 8

Hoofdstuk III. De Ruimte als Aanschouwingsvorm en het

Ruimtebegrip van de Natuurwetenschap...... 20

Hoofdstuk IV. Moderne Kritiek op Kant's Wijsbegeerte

van de Wiskunde................ 33

B. METHODENLEER.

Hoofdstuk V. De moderne formeele Logica en haar Toe-
passing op de Methodenleer van de Wiskunde ... 38
Hoofdstuk VI. De Systematische Plaats van de Meetkunde

als Onderdeel van de Zuivere Wiskunde...... 59

Hoofdstuk VII. De Methoden van de Ervaringsweten-
schappen ....................

C. PSYCHOLOGIE.

Hoofdstuk VIII. Het Ruimteprobleem in de Psychologie. De

reconstructieve Methode............. 71

Hoofdstuk IX. Resultaten van de reconstructieve Methode 79

D. KENLEER.

Hoofdstuk X. Kentheoretische Toepassing van de ver-
kregen Resultaten................ 85

Aanhangsel I. De term „Aanschouwingquot;........ 90

Aanhangsel II. Over het Principe der Reeurrentie of Volledige

Inductie.....................

Aanhangsel III. Over de Verhouding van de traditioneele

Syllogistiek tot de moderne Logistiek.......101

Aanhangsel IV. Bezwaren tegen de Niet-Euelidische Meet-
kunde. Onderzoekingen van Heymans.......106

Sommaire......................m

Bibhografie.....................

A. ALGEMEENE ORIENTEERING.

HOOFDSTUK I.

Inleiding.

Het onderzoek, dat wij met een enkel woord willen inleiden,
is een bewerking van het door ons ingezonden antwoord op de
door de Faculteit der Letteren en Wijsbegeerte van de Rijks-
universiteit te Utrecht uitgeschreven prijsvraag:

„Of de noodzakelijkheid van de ruimte als aanschouwingsvorm
a priori vervalt, doordat de meetkunde zuiver logisch kan worden
opgebouwdquot;,

welk antwoord een eervolle vermelding mocht verwerven.

Deze bewerking betreft zoowel den opzet van het antwoord
als de uitvoering in détails, echter niet het methodisch gezichts-
punt, dat ons bij de beantwoording leidde.

Het zij ons vergund, van den gang van ons onderzoek een over-
zicht te geven, en daarbij tevens in te gaan op den algemeen
wijsgeerigen grondslag, waarop wij ons hebben geplaatst.

De prijsvraag was ten duidelijkste gesteld naar aanleiding van
de moeilijkheden, waartoe in onze dagen, tengevolge van de ont-
wikkeling inzonderheid van de z.g. „exacte wetenschappenquot;, de
uitvoering van de door Kant aan de wijsbegeerte gestelde opgaven
blijkt te leiden.

In een ,,Algemeene Orienteeringquot; geven wij daarom eerst een
uiteenzetting van Kant's standpunt, meer in het bijzonder ten
aanzien van het aanschouwingsbegrip. Daarop volgt een» over-
zicht van nieuwere opvattingen in zake het ruimtebegrip (Gauss,
Riemann, Helmholtz), die, zooals bekend is, op de moderne
ontwikkeling van wiskunde en natuurwetenschap in hooge mate
van mvloed zijn geweest. De moderne kritiek op Kant's wijs-
begeerte van.de wiskunde wordt gedemonstreerd door de analyse
van een artikel van één harer bekwaamste vertegenwoordigers,
L. Couturat; wij beperken ons tot dit ééne voorbeeld, omdat
hier de bezwaren, die men van modern standpunt tegen Kant

1

kan aanvoeren, met groote helderheid en tevens met groote
beheersching van Kant's werk zijn uiteengezet.

Na deze drie voorbereidende hoofdstukken gaan wij over tot
den opbouw achtereenvolgens van een methodenleer en van een
psychologie der zuivere en toegepaste wiskunde.

De methodenleer houdt zich bezig met de logische structuur
van de wetenschappen (zoowel in statischen als in dynamischen
zin); die structuur wordt onderzocht voor de wiskunde zoowel
als voor de ervaringswetenschappen, en overeenstemming zoowel
als onderscheid tusschen beide komen aan het licht.

Toch ligt niet in dit structuurverschil de wortel van de alge-
heele ongelijksoortigheid van wiskunde eenerzijds, ervarings-
wetenschap anderzijds: dit verschil ligt veel dieper en wel in
de verschillende evidentie, die aan de resultaten ervan toekomt i).
Dit verschil tusschen de evidentie van de mathesis en die van de
ervaringswetenschap is er echter niet een van graad, maar een
van karakter.

De evidentie als verificatie toch staat aan den oorsprong van
alle wetenschappelijke en niet-wetenschappelijke objectivatie;
tegenover het oer-factum van de evidentie staan echter de
formeele hulpmiddelen van de methodenleer machteloos.

Toch eischt de „bedrieglijkheidquot; van de evidentie een nadere
fundeering van haar toepassing in de wetenschap; naast de
„objectieve fundeeringquot; met behulp van logische methoden moet
treden een „subjectieve fundeeringquot; met behulp van psycholo-
gische methoden. Op een uiteenzetting van den aard dier methoden
volgt een bespreking van hun resultaat.

Overeenkomstig het in de wetenschappen aanwezige analytisch
en synthetisch element moesten we een objectieve (logische)
zoowel als een subjectieve (psychologische) fundeering leveren;
ook al zijn die echter gegeven, toch blijven analyse en synthese
voorloopig tamelijk vreemd naast elkaar staan.

De subjectieve en de objectieve fundeering als een eenheid
te doen zien en zoo tevens de innige vervlechting van analyse en
synthese in de wetenschappen begrijpelijk te maken is de taak

1) Verg. Leibniz' onderscheiding van „vérités de raisonquot; en „vérités de faitquot;,
waarmee Kant's onderscheiding van a priori en a posteriori analogie toont.

van de kenleer-, we geven in een laatste hoofdstuk de toepassing
van de verkregen resultaten op de kentheoretische probleem-
stelling; in het bijzonder wordt daarbij het synthetisch element
in de wiskunde getoond.

Wanneer men zegt: „de wiskunde (en dus ook de meetkunde)
wordt zuiver logisch opgebouwdquot;, dan moet „zuiver logischquot;
dus niet worden begrepen als analytisch, doch slechts als a priori.

De ruimte als aanschouwingsvorm komt ter sprake bij de sub-
jectieve fundeering van de ervaringswetenschap, bij het onder-
zoek naar de structuur van het waarnemingsbewustzijn.

Haar eigenschappen kunnen a priori worden vastgesteld; men
kan dus zeggen: de ruimte is een aanschouwingsvorm a priori,
en in zooverre komen onze resultaten met Kant's opvattingen
overeen.

Bij Kant echter is de ruimte tevens subjectieve grondslag voor
de meetkunde: deze beteekenis kunnen wij haar niet toekennen.
Zelfs is de bepaling van de structuur vaii het waarnemings-
bewustzijn zonder meetkunde niet eens mogelijk.

De meetkunde is dus onafhankelijk, niet alleen van den inhoud
van het waarnemingsbewustzijn (de „waarnemingquot;), maar ook
van zijn structuur.

In het volgende wordt tevens een overzicht gegeven van eenige
der belangrijkste onderzoekingen, die op het terrein van de
(philosophische, mathematische, physische, psychologische) ruim-
teleer zijn verricht. De zoo verkregen inzichten worden dan zoo-
veel mogelijk zelfstandig verder ontwikkeld. In het begin draagt
dit werk daarom een kritisch-refereerend karakter, terwijl verder-
op steeds meer wordt getracht uit het verkregen standpunt
verder gaande conclusies te trekken.

Onze methode van philosopheeren onderstelt een ons kritisch
onenteeren aan de resultaten der positieve wetenschappen. Wij
zullen dientengevolge ons standpunt hebben te bepalen ten op-
zichte van twee denkwijzen vooral: het kriticisme en het positi-
visme. Zooals reeds gebleken zal zijn, hebben wij in het bijzonder
rekening gehouden met de philosophie van Kant zelf. In dit
verband wijzen we nog even op de handhaving van de syn-
thetische oordeelen a priori.

In de wiskunde zijn alle existentiestellingen synthetisch a
priori: immers de wiskunde zal a priori blijken en géén existentie-
bewijs kan analytisch worden gevoerd i).

In de natuurkunde treden synthetische oordeelen a priori op
als formuleering van het „programmaquot; eener theorie. Het zou
ons evenwel te ver voeren om hier deze gedachte nader uit te
werken.

Van geringer invloed op ons werk zijn geweest de nieuwere
kriticistische scholen. Een bezwaar is nl., dat de belangrijkste
werken buitengewoon breed zijn opgezet, waarbij de toepassmg
op speciale problemen óf geheel achterwege blijft (b.v. Rickert
„Der Gegenstand der Erkenntnisquot;), óf wel zéér algemeen wordt
gehouden (b.v. Görland „Prologikquot;), óf ernstige gebreken ver-
toont (b.v. Cohen „Kant's Theorie der Erfahrungquot;, Natorp
„Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaftenquot;), zoo-
dat men, na kennis genomen te hebben van het vele, dat hier
te leeren is, toch het gevoel behoudt, bij het beantwoorden van
zulke problemen geheel op eigen arbeid aangewezen te zijn. Een
gunstige uitzondering maakt in vele opzichten Cassirer's „Phi-
losophie der Symbolischen Formenquot; (voor de hier besproken
problemen raadpleegt men met vrucht het derde deel van dit
werk); ook hier echter ontbreekt vaak een juist begrip, inzonder-
heid van intuitionisme en formalisme.

De meest consequente moderne positivistische school, de
„Wiener Kreisquot;, gaat inzonderheid uit van de mathematische
physica en de logistiek in haar nieuwste ontwikkeling. Enkelen
hieruit hebben tot die ontwikkeling belangrijke bijdragen geleverd
en in het algemeen onderscheiden hun publicaties zich (ook ver-
geleken bij die van de Marburgsche school) door souvereine be-

heersching van dit gebied.

Voor deze denkers is de methode van de natuurwetenschap de
wetenschappelijke methode bij uitnemendheid („Physikalismusquot;).
De onderscheiding tusschen „natuur-quot; en „geesteswetenschapquot;
wordt opgeheven („Einheitswissenschaftquot;).

Belangrijk en sympathiek is voor ons de „Wiener Kreisquot; om

1) Een analytisch existentiebewijs bezit principieel dezelfde structuur als het
„ontologisch godsbewijsquot; van Anselmus van Cantkrbury en gaat dus aan dezelfde
wetenschappelijke euvelen mank.

zijn antimetaphysisch streven; toch mag niet worden verzwegen,
dat dit streven aan ernstige eenzijdigheid mank gaat. Zoo wordt
b.v. de fundamenteele problematiek, die aan de evidentie in-
haerent is, eenvoudig genegeerd. Een gevolg hiervan is een
onbevredigende opvatting van logica en wiskunde. De „Wiener
Kreisquot; is nl. van meening, dat deze wetenschappen bestaan uit
louter tautologieën i), d.w.z. uit oordeelen, die uitsluitend aan
hun vorm (en niet aan een verificatieproces) hun geldigheid ont-
kenen. Logica en wiskunde hebben geen zelfstandige betrekking
tot de „werkelijkheidquot;; ze behandelen de wetenschappelijke taal.

Deze, o.i. onjuiste, opvatting over logica en wiskunde, ontleent
de „Wiener Kreisquot; aan Wittgenstein's interpretatie („Tractatus
logica-philosophicusquot;) der Russell-wnitkhead-sehe logistiek
(„Principia Mathematicaquot;); de wijsgeerige zwakten van dit
systeem worden evenwel niet voldoende doorzien.

Met het oer-factum der mathematische evidentie houden daar-
entegen op behoorlijke, zij het uiteenloopende, wijze rekening het
formalisme en het intuitionisme.

Uit het voorgaande zal reeds gebleken zijn, dat wij ons bij
ons onderzoek op een zeer breede basis hebben gesteld; uit de
verkregen algemeene inzichten vloeit het resultaat, waartoe wij
komen, zonder groote moeite voort.

Noodzakelijk is het, een scherp onderscheid te maken tusschen
drie gedaanten, waaronder het ruimtebegrip zich aandient:

1)nbsp;de mathematische ruimte,

2)nbsp;de physische ruimte,

3)nbsp;de aanschouwingsruimte.

De moeilijkheden, die de behandeHng van het ruimteprobleem
voor de philosophie opleverde, kunnen wij (met Carnap^)) voor
een groot deel toeschrijven aan het feit, dat men deze drie be-
grippen nooit voldoende uit elkaar heeft gehouden. Dit is weer
toe te schrijven aan de wijze, waarop de drie vormen van het
ruimtebegrip zich in de historie hebben ontwikkeld.

Het mathematisch ruimtebegrip is niet anders dan het object
van dien tak van de wiskunde, dien men als meetkunde betitelt.

M Zie Hoofdstuk V, § 1.

R. Carnap: „Der Raumquot;.

We zullen zien, dat de meetkunde van de huidige wiskunde niet
langer een nauwkeurig omschreven onderdeel vormt, maar dat
het een zaak is van voelen en overlevering, wat men als meet-
kunde wil beschouwen en wat niet. De vraag naar de grond-
slagen van de meetkunde gaat dus onder in de vraag naar de
grondslagen van de wiskunde in het algemeen.

Op deze vraag bestaan, zooals we al opmerkten, elk voor zich
volkomen aanvaardbare antwoorden, en wel:

1)nbsp;de formalistische opvatting van de wiskunde als een stelsel
zinlooze, zij het volgens zekere vaste regels opgebouwde, teeken-
combinaties;

2)nbsp;de intuitionistische opvatting van de wiskunde als een in
de mathematische oerintuitie opgetrokken constructie.

We zullen zien, dat op de consequent doorgevoerde formalis-
tische opvatting geen weerlegging vat heeft. Een zuiver zinledige
mathesis kan evenwel klaarblijkelijk nimmer ,,toegepastquot; worden.
Wil men de formalistische teekencombinaties toepassen, dan moet
men ze ,,duidenquot;, dat wil zeggen laten zien, dat ze stellingen
uit een „zinvollequot; mathesis vertolken, wat nu evenwel slechts
tot op een zekere hoogte het geval blijkt. Aangezien wij tevens
tot taak hebben, de toepassing der mathesis in het natuurkennen
te onderzoeken, kunnen wij alleen iets aanvangen met een zin-
volle mathesis, zoodat we aan het volgende de intuitionistische
opvatting ten grondslag hebben gelegd. Daarmee is dan tevens
een antwoord gegeven op de vraag, wat men te verstaan heeft
onder een „zuiver logischequot; opbouw van de meetkunde.

Bij de moderne ontwikkeling van de physica kwam weer de
vraag naar voren naar de verhouding van ervaring en meet-
kunde. De beantwoording van deze vraag wordt bemoeilijkt,
doordat men niet meer van de meetkunde kan spreken; meerdere
meetkunden dienen zich aan, die logisch denzelfden graad van con-
sistentie blijken te bezitten. Daardoor kan men niet langer de
mathematische geldigheid van de meetkundige oordeelen met
Kant verklaren uit hun transcendentale aprioriteit. Wij zullen
laten zien, hoe men de metrische eigenschappen van de physische
ruimte inderdaad als gegevens van de ervaring kan interpreteeren;
men doet daarmee aan de methode der kritische philosophie geen
geweld aan: inderdaad schrijft het factum der natuurwetenschap
(Einstein) deze interpretatie gebiedend vóór.

Stellen we nu met Kant de vraag naar de mogelijkheid van
natuurwetenschap, dan blijkt, dat voor elk waarnemingsoordeel
karakteristiek is een zekev formeel element Dit formeel element
biedt het aangrijpingspunt voor een systematisch-wetenschappe-
lijke bewerking van het ervaringsgegeven. Kort gezegd vormen
de gezichtspunten en grondbegrippen, die bij deze bewerking
vooropgesteld worden, het „a priori''' der natuurwetenschap.

Zoo komen we ten slotte tot de vraag: hoe wordt het in elk
ervaringsoordeel aanwezig formeel element door het subject
doorleefd? Het antwoord luidt: als zekere, voor het subject
karakteristieke, aanschouwingsvormen. En onder deze aanschou-
wingsvormen vinden we dan de aanschouwingsruimte. De eigen-
schappen dezer aanschouwingsruimte op te sporen is nu evenwel
niet langer de taak der zuivere wiskunde; dat is een probleem
van de psychologie, nauwkeuriger van de kennispsychologie.

Het formeel element komt overeen met de vaste structuur van het waar-
nemingsbewustzijn, het materieel element met den veranderlijken inhoud.

HOOFDSTUK II.
De Aanschouwing als Kentheoretisch Probleem bij Kant.

§ 1. Ter inleiding van onze ontleding van het aanschouwings-
begrip beschouwen we dit begrip uit kentheoretisch oogpunt.
Hieraan ga vooraf een korte uiteenzetting van de systematische
positie van de kentheoretische probleemstelling in het algemeen.

Scherp dient men de kentheorie te onderscheiden van de
logica. De taak van de logica is de bepaling van het begrip
wetenschap, het onderzoek van de wetenschappelijke methode
als zoodanig, en de toetsing van al hetgene, dat zich als weten-
schap aandient, aan de resultaten van die bepaling en van dat
onderzoek. De logica beschouwt dus de wetenschap als een object,
waarvan wel de algemeene eigenschappen, de structuur, gezocht
worden, maar niet de oorsprong. Vraagt men naar den „oor-
sprongquot; van de wetenschap, dan komt haar betrekking tot een
subject, tot een bewustzijn, aan de orde. Uit deze betrekking
van de wetenschap tot een bewustzijn, waarin het phaenomeen
der kennis bestaat, ontstaan alle specifiek kentheoretische
problemen, als die van de „betrouwbaarheidquot; en van eventueele
„grenzenquot; van dé wetenschap.

Het hoofdprobleem van de kentheorie is dus zóó te formuleeren:
wat is de betrekking van de wetenschap tot het bewustzijn en
onder welke voorwaarden is ze mogelijk?

Voordat deze vraag beantwoord kan worden, zal men eenig
inzicht moeten hebben verkregen in de structuur van de beide
relata, wetenschap en bewustzijn, die door de kenrelatie ver-
bonden worden. Aan den opbouw van een kenleer zal dus opbouw
van logica en van psychologie tot een zekere hoogte moeten
voorafgaan.

§ 2. Van objectieve en subjectieve wetenschapsbeschouwing,
van logica en kentheorie, is dus de eerste de meest fundamenteele.

Toch is de kentheorie de oudste, en ook wel, menschelijk ge-
sproken, de meest interessante. In haar oudste gedaanten is de
kentheoretische bezinning geheel door metaphysiea beheerscht.
Voor een wetenschappelijke behandeling van de kentheoretische
problemen was noodig, dat het bewustzijnsphaenomeen, het phae-
nomeen van de subjectiviteit in zijn zelfstandigheid, en daardoor
tevens in de eraan eigen problematiek, werd ontdekt.

Deze ontdekking bleef aan de moderne wijsbegeerte, in het
bijzonder aan Descartes, voorbehouden. Met Descartes begint
dan ook de ontwikkeling van de moderne kenleer, die in het
systeem van Kant haar hoogtepunt vindt.

§ 3. Van Kant's kenleer willen we enkele, voor ons vooral
belangrijke, punten, in het bijzonder de behandeling van het
aanschouwingsbegrip en de toepassing daarvan op de ruimteleer,
samenvattend weergeven.

De groote moeilijkheden van een juiste interpretatie van Kant's
werk zijn te bekend, dan dat wij hierop te dezer plaatse nog
uitvoerig zouden behoeven in te gaan. Eén van de oorzaken van
die, bijna onoverkomenlijke, moeilijkheden willen we echter
nog in het kort aangeven, omdat ze in het bijzonder voor zijn
leer van de ruimteaanschouwing zoo verstrekkende gevolgen
heeft gehad.

Kant heeft blijk gegeven, de taak van de formeele logica te
beperkt te zien, toen hij de ,,formeele logicaquot; in haar traditioneelen
vorm (in hoofdzaak afkomstig van Aristoteles ) aan zijn systeem
ten grondslag legde. Bekend is zijn opvatting, dat de logica in
een ,,beharrlichen Zustandquot; verkeerde en dat deze omstandig-
heid zakelijk verantwoord was. Specifiek logische problemen aan-
gaande de grondslagen van de wiskunde, w.o. bijvoorbeeld de
vraag, welke rol de formeele deductie in de opbouw van de wis-
kunde spelen moet, worden door Kant niet als zoodanig herkend
en dientengevolge in de kenleer ondergebracht. Dit is daaraan
toe te schrijven, dat Kant tot het stellen van die vraag door
kentheoretische overwegingen werd geleid.

Zoo komt Kant tot de, later terecht bestreden, opvatting,
dat de grondstellingen, die de meetkunde logisch fundeeren,
tevens als „a prioriquot; de structuur van ons kenvermogen tot
uitdrukking brengen en daarom met het bewustzijn van hun
noodzakelijkheid en onaantastbaarheid verbonden zijn.

§ 4. Wat verstaat Kant onder „Anschauungquot;? Men zoekt
tevergeefs aan den aanvang der „Kritikquot;je€n uitvoerige definitie;
men vindt echter verderop eenige aanduidingen. De meeste hier-
van zijn in overeenstemming met de uitvoeriger definities^der
„Logikquot;:

„Alle Erkenntnisse, das heisst: alle mit'Bewusstseyn auf'ein
Object bezogene Vorstellungen sind entweder Anschauungen oder
Begriffe. — Die Anschauung ist eine einzelne Vorstellung, der
Begriff eine allgemeine oder reflectirte.quot; (S. 139)i). „Alleunsre
Erkentnisse nemlich sind, . . ., entweder Anschauungen'^oder
Begriffe. Die erstem haben ihre Quelle in_^der Sinnlichkeit — die
letztern im Verstande. —quot; (S. 41).

Hier is de „Anschauungquot; een bepaald soort kennis. Op andere
plaatsen evenwel is ze in het bijzonder de materie dier kennis
(in tegenstelling tot den vorm) en ook wel het vermogen ertoe.
Ook hier dus weer veel aanleiding tot moeilijkheden en mis-
verstand. Dit daar gelaten, bezitten we nu definities van

„Anschauungquot;
„Begriffquot;
„Sinnlichkeitquot;
,,Verstandquot;.

Kant vervolgt echter met de woorden

„Beyde Grundvermögen lassen sich freylich auch noch . . .
auf eine andre Art definiren; nemlich, die Sinnlichkeit als ein
Vermögen der Rezeptivität, der Verstand als ein Vermögen der
Spontaneität. Allein diese Erkenntnisart ist nicht logisch, sondern
metaphysisch. —quot; (S. 45).

In totaal maakt Kant dus in onze kennis een tweevoudige
onderscheiding:

1)nbsp;De citaten uit Kant's „Logikquot; hebben betrekking op de oorspronkehjke
uitgave.

2)nbsp;In aansluiting hieraan heft de Marburgsche School van Neokantianen de
onderscheiding van logica en kenleer geheel op. O.i. is hiermee de helderheid
van de probleemstelling niet gediend. De onderscheiding van kenleer en logica
wordt b.v. wel behouden door O vink, die ook recht doet aan de samenwerking
van logica en psychologie in den opbouw van de kenleer.

bijzonder (einzeln)nbsp;— algemeen (allgemein)

receptiefnbsp;—nbsp;spontaan.

Men zou zich dus vier vormen van kenvermogen kunnen voor-
stellen, correspondeerend met de verschillende combinaties

1)nbsp;bijzonder, receptiefnbsp;3) algemeen, receptief

2)nbsp;bijzonder, spontaannbsp;4) algemeen, spontaan.

De mogelijkheid van 3) is de grondstelling van het Platonisme
(verg. in den modernen tijd Descartes en Husserl). Voorts
onderscheidt Kant in aansluiting aan Berkeley 2) en 4) als
„intellectus archetypusquot; en „intellectus ectypusquot; i).

De mogelijkheden 2) en 3) worden nu in de „Kritikquot; als
„intellektuelle Anschauungquot; uitdrukkelijk aan den mensch ont-
zegd. Ze zijn op zichzelf echter geenszins ondenkbaar. Kant
schrijft dezen vorm van kenvermogen aan het „Urwesenquot; toe
(B 72). Voor den mensch blijven er dus twee vormen van ken-
vermogen over:

1)nbsp;de „Sinnlichkeitquot;, het vermogen tot receptieve, bijzondere
„Erkenntnissequot;.

2)nbsp;de „Verstandquot;, het vermogen tot spontane, algemeene
„Erkenntnissequot;.

Triviaal is voor Kant, dat de „Sinnlichheitquot; a posteriori kan
„anschauenquot;. Men moet echter tevens aannemen, dat ze in
staat is a priori „anzuschauenquot;. Ziehier voor Kant het groote
resultaat van de „transzendentale Aesthetikquot;, dat de onderstelling
van een „intellektuelle Anschauungquot; overbodig maakt

Het resultaat van die „Anschauungquot; zijn nu ruimte en tijd,
de „Anschauungsformenquot;. Want voor Kant zijn ruimte en tijd
geen „Begriffequot;, maar „Anschauungenquot;. De argumenten geeft
Kant in de „Metaphysische Erörterungenquot; (A 24, B 39, A 31,
B 47): er is maar één ruimte en er is maar één tijd. „Die Vor-
steUing, die nur durch einen einzigen Gegenstand gegeben werden
kann, ist aber Anschauungquot;

1) Zie hiervoor brief aan Herz 21 Febr. 1772 (Ak. X) en ook „Was heisst, sich
ihm Denken orientieren?quot; (1786).
Zie „Prolegomena 207 n.
') Dit is Vaihinger klaarblijkelijk ontgaan; immers hij schrijft: „die Formen
unserer Anschauung brauchen selbst noch keine Anschauungen zu sein.quot;

Tot zoover kan Kant's uiteenzetting ook heden nog worden
aanvaard, al zouden wij heden deze zaken anders formuleeren.
Men vergelijke b.v. den „Physikalismusquot; van den „Wiener Kreisquot;:
„Sowohl die Protokollsätze, als auch die Nichtprotokollsätze sind
in der räumlich-zeitlichen Terminologie {Physikalismus) abge-
fasstquot; 1). Hier worden ruimte en tijd echter niet in de kenleer,
doch reeds in de ,,Wissenschaftslogikquot; ingevoerd; dit hangt samen
met de these van den „Physikalismusquot;, dat de taal van de natuur-
wetenschap voor alle wetenschappen logischfundamenteelis 2).

De „Transzendentale Erörterung des Begriffs vom Räumequot;
echter (daaronder begrepen de woorden „Hieraus folgt . . . Gewiss-
heit abgeleitetquot; in de voorafgaande „Metaphysische Erörterungquot;
(al. 4) op A 24, al. 3) op B 39), die systematisch in § 3 thuis
hooren, maar daarheen in uitgave B niet zijn overgeplaatst), stuit
bij den modernen lezer, o.i. terecht, op onoverkomelijke bezwaren.
Voordat wij deze uiteen zetten, willen wij echter wijzen op een
merkwaardige opvatting, die achter Kant's betoog ligt, en daar-
van in het kort een analyse geven.

§ 5. Het is de opvatting, dat er in ruimte en tijd iets is,
dat zich door het discursieve „Verstandquot; niet laat vatten, dat
met het Denken in wezen incongruent is

Zooals bekend mag worden geacht is deze opvatting reeds in
de Grieksche philosophie gangbaar, en werd ze op de meest
treffende en geniale wijze vertolkt door Zeng den Eleaat. Wij

1) O. Neurath „Einheitswissenschaft und Psychologiequot; („Einheitswissen-
schaft Heft 1, Wien 1933) blz. 7.

Deze these is evenwel een dogma, psychologisch te verklaren uit de suggestie,
die van de volKomenheid der moderne natuurwetenschap uitgaat. De beteekenis
van de taal voor de wetenschap wordt principieel overschat; hiermee hangt samen
een verkeerd inzicht in het wezen der wiskunde. Men ziet niet in, waarom de be-
oefenaars van een tak van wetenschap niet zelf de taal mogen vaststellen, waarin
zij elkander de resultaten van hun onderzoek willen meededen.

ä) Voor een uiteenzetting dier opvatting zie Bolland: „Aanschouwing en
Verstandquot;; wij citeeren slechts:

p. 4. „Het is anders gemakkelijk genoeg te bevroeden, dat de menschelijke
„wetenschapquot; in het eerste het beste aanschouwde continuum voor een onoplosbaar
raadsel staat.quot;

p. 43. „Aanschouwing en verstand hebben iets onderling onmeetbaars . .
p. 45. „Wij mogen stellen, dat reeds in de gewone meetkunde niemand toe-
komt zonder iets, dat van het standpunt der onvermengde onvervalschte logica
niets anders dan methodisch geordende onzin, verstandig onverstand kan zijn.quot;

willen niet trachten. Zeno's subtiele bewijsvoering hier te repro-
duceeren; trouwens, reeds omtrent inhoud en beteekenis daarvan
bestaat verschil van meening. Van belang zijn echter vooral de
zeer uiteenloopende gevolgtrekkingen, die men uit de Eleatische
paralogismen heeft meenen te kunnen trekken.

Zeng zelf stond op het standpunt van zijn leermeester en
vriend Parmenides, die leerde, dat Zijn en Denken hetzelfde is.
Wat zich niet laat denken, dat kan slechts in schijn bestaan.
Ruimtelijke uitgebreidheid, duur, verandering, beweging, kortom,
de veelheid en hare gevolgen, berusten slechts op zinsbedrog;
dat, meende blijkbaar Zend te mogen besluiten, leerden zijn
paralogismen; het Zijnde was dus Een en onveranderlijk.

Een zoo extremistische leer evenwel, die een uitgebreid terrein
van wetenschap, de wetenschap der natuur, eenvoudig waarde-
loos maakte, kon natuurlijk op den duur zich in dien vorm niet
handhaven; de groote beteekenis van de Eleatische school blijft
gelegen in het wijzen op de problemen, die het ruimtebegrip mee-
brengt, niet in de oplossing, die zij daarvan gaf.

Van ontologisch standpunt lag voor de hand een andere op-
lossing van de door Zeng aangewezen moeilijkheden: neem naast
het Denken een ander vermogen aan, dat den mensch kennis zou
kunnen verschaffen van het Zijnde; daarbij stond van te voren
vast, op grond van de heerschende overtuiging van de bedrieg-
lijkheid van de zinnen, dat de zintuiglijke waarneming die kennis

niet kon verschaffen.

Zoo kwam men noodzakelijk tot de onderstelling van een
„Aanschouwingquot; van intellectueel karakter, van een vermogen
dus tot receptieve en tegelijk algemeene kennis a priori (ideeënleer
van Plato; Descartes).

Bij deze oplossing knoopt Kant aan; hij neemt haar evenwel
niet over dan na de ingrijpende wijzigingen, waartoe eenerzijds
de ontwikkeling van de mathematische natuurwetenschap (New-
ton), anderzijds zijn opvattingen aangaande den mensch hem
noodzaakten. Hoofdzakelijk bestaan ze in de verwerping van de
onderstelling van „intellektuelle Anschauungquot; voor den mensch;
het is de „Sinnlichkeitquot;, die ons de „Anschauungenquot; levert i),

') De aan de „Sinnüchkeitquot; ontsproten voorstellingen heeten bij Kant „An-
schauungquot;; echter wordt ook vaak het vermogen, dergelijke voorstellingen te
bezitten, aangeduid als „Anschauungquot;, aanschouwing, ,,Intuitionquot;; verg. Des-
cartes, Bolland (Zie Aanhangsel I).

en Kant laakt scherp den „schwärmerischen Idealismusquot;, die
,,sich gar nicht einfallen Hess, dass Sinne auch a priori anschauen
solltenquot; (Prolegomena 207 n) —.

Intusschen bleek de incongruentie tusschen ruimte- en tijd-
voorstelling eenerzijds, en Denken anderzijds, door Zeno gesig-
naleerd, in werkelijkheid niet te bestaan. Wat immers was het
geval; wat Zeng (evenals de ,,formeele logicaquot; tot het ontstaan
van de z.g. „mathematische logicaquot;, beter „logistiekquot; genoemd,
toe) onder ,,Denkenquot; verstond, was slechts toepassing van
eenvoudige eigenschappen van en relaties tusschen eindige
klassen.

Het eenvoudigste mathematische systeem is de eindige klasse;
op de beschouwing van eindige klassen berust dan ook het ,,na-
tuurlijke redeneerenquot; en eveneens de structuur van de „natuur-
lijke talenquot; wordt erdoor in hooge mate bepaald; ten slotte levert
de eindige klasse het eenvoudigste wetenschappelijke verklarings-
principe.

Het zal dan ook geen verwondering wekken, dat de oudste
eenigermate wetenschappelijke verklaringen van den kosmos
geheel in den ban van dit principe staan: zoowel het natuurlijk
getal (Pythagoras), de vier elementen (Empedokles), de atomis-
tiek (Demokritos ), zijn als verklaringsprincipes van het ruimere
principe der eindige klasse slechts verbijzonderingen.

En al richtte Zeno's dialectiek zich in het bijzonder tegen de
atomistiek (hij laat nl. zien, dat deze theorie van de structuur
van het continuum geen bevredigende verklaring kan geven),
men ging op den duur inzien, dat haar strekking een algemeenere
was (de ontdekking van de irrationeele verhouding toonde even-
eens de onhoudbaarheid van het natuurlijk getal als universeel
verklaringsprincipe); men begreep, dat het apparaat van de logica

1) Aristoteles is de eerste geweest, die de wetten van dit „natuurlijke rede-
neerenquot; systematisch heeft ontwikkeld; als bekend is na hem meer dan twee-
duizend jaar lang verdere ontwikkeling van de formeele logica uitgebleven.

Dat Aristotei.es enkel het oog heeft op eindige klassen, kan nog ten overvloede
blijken uit de voorbeelden, die hij telkens aanvoert, en uit zijn loochening van het
actueel oneindige. Zijn standpunt ten opzichte van het begrip van het continuum
is dan ook het eleatische (E. J. Dijksterhuis. „De Elementen van Euclidesquot;,
dl. i, afd. i).

der eindige klassen geen inzicht kon verschaffen in den bouw van
het continuum.

Voor die onderzoekers, van Zeno en Abistoteles tot Kant
en later, die meenden, dat het logisch redeneeren, als techniek
van het Denken, voor eeuwig binnen dit beperkte terrein op-
gesloten was („Es giebt nur wenige Wissenschaften, die in einem
beharrlichen Zustand kommen können ... Zu diesen gehört die
Logik; „Logikquot; S. 118) was hiermee uitgemaakt, dat alle hoop,
rationeel inzicht in de structuur van het continuum te verkrijgen,
noodzakelijk ijdel zou moeten blijven; wat, zooals we gezien
hebben, voor den radicalen rationalist Zeno voldoende aan-
leiding was, de realiteit van al datgene, dat, zooals ruimtelijke
uitgebreidheid, duur, verandering en beweging, van de denkbaar-
heid van het continuum afhankelijk is, te loochenen, voor anderen
echter, een nieuwe kenbron in te voeren.

En toch was reeds sinds lang het zoo zeer gewenschte inzicht
verkregen: het tiende Boek van Euclides' „Elementenquot; bevat
een aan hooge eischen van exactheid voldoende theorie van de
irrationeele verhoudingen, die door Theaitetos en Eudoxos ont-
wikkeld heet 1).

§ 6. Zoo zien we reeds de ontwikkehng van de Grieksche wis-
kunde in sterke mate beinvloed door twee gedachtenrichtingen,
die nog heden ten dage, zij het niet ongewijzigd, tegenover
elkaar staan: aan de eene zijde de opvatting, dat in de meetkunde
het Verstand een aanschouwelijk gegeven veelheid ordent (later
de „empiristischequot; opvatting: Gauss, Helmholtz). Aan de andere
zijde de leer, dat de meetkundige stellingen niet in het Verstand,
maar in een daarvan onderscheiden kenvermogen van den mensch,
in de structuur van de „Sinnhchkeitquot;, hun fundament zouden
vinden.

De laatste opvatting werd door Kant in zijn „Kritik der reinen
Vernunftquot; verdedigd, maar daartegen rees, zooals we zullen zien,
tengevolge van de moderne ontwikkeling van wiskunde en natuur-
wetenschap (niet-EucHdische meetkunde, relativiteitstheorie), hoe
langer hoe meer verzet.

Voor nadere historische bijzonderheden: E. J. Dijksterhtjis, i.e.

Zonder twijfel beschikt de mensch over een „receptiefquot;
kenvermogen. De klove tusschen „rationeelequot; en „empirischequot;
kennis is voor hem niet te overbruggen. Eveneens moet
men Kant gelijk geven, wanneer hij leert, dat aan al onze
waarnemingen zekere vormen (aanschouwingsvormen) inhaerent
zijn. Aan al onze waarnemingen is zeker de ruimtelijkheid
inhaerent.

A priori evenwel bezitten wij enkel en alleen de aanschouwing
van de ruimte in hare totaliteit. Al onze voorstellingen in de
ruimte zijn afhankelijk van of intentioneel gericht op waar-
nemingen. Dit geldt evenzeer van onze fantasie- of herinnerings-
beelden van voorwerpen, als van aanschouwelijke voorstellingen
van meetkundige figuren. Ook is onze aanschouwelijke voor-
stelling van meetkundige figuren geenszins adaequaat te achten.
Een lijn wordt voorgesteld als streep, een punt als stip. Aan zulke
onscherpe voorstellingen kunnen natuurlijk streng geldige stel-
lingen niet ontleend worden.

Zijn al onze ruimtelijke voorstellingen met dit gebrek aan
scherpte behept? Neen: wij bezitten een scherpe (waarschijnlijk
op haptische gewaarwordingen intendeerende) voorstelling van
de relatie „binnenquot; tusschen ruimtedeelen. Van deze relatie
kennen wij met volkomen zekerheid de volgende eigenschappen:

AbA.

{AbB amp; BbC) AhC.

Men definieert

A = B = AbB amp; BbA.^)

Wil men evenwel een niet al te rudimentaire meetkunde op-
bouwen, dan moet men nadere onderstellingen toelaten, die
echter niet de aan de ruimtevoorstellingen eigen evidentie be-
zitten. Deze onderstellingen laten nu toe het begrip „puntquot;
formeel te definieeren; de „aanschouwingsruimtequot; wordt dan een
„puntverzamelingquot;, waarin de axioma's van Hausdorff van
kracht zijn. Men heeft dan een meetkunde verkregen, waarin

1) De letters A, B, C, . . . stellen ruimtedeelen voor, en AbB wil zeggen:
A ligt binnen B. Voor een nadere uiteenzetting van deze wijze, een meetkunde op
te bouwen, zie men: Nicod: „La Géométrie dans Ie Monde sensiblequot;, Parijs 1924.

(hoewel er al meer in aangenomen is, dan, strikt genomen, door de
aanschouwing gedekt wordt) toch nog geen sprake is van metriek
of zelfs dimensietal. Bij de mathematische behandeling moet men
gebruik maken van het aan onze aanschouwing vreemde begrip
„oneindigquot;. Zoo wordt reeds het punt gedefinieerd door een on-
eindig proces.

Uit dit alles volgt, dat de aanschouwing geen basis kan geven
voor de strenge geldigheid van de Euclidische Meetkunde, dat wij
evenwel van de ruimte als aanschouwingsvorm wel streng geldige
kennis a priori kunnen bezitten.

Tot zoover de uiteenzetting van die onderdeden van Kant's
theorie van de wiskundige kennis, die op de latere onderzoekers
van invloed zijn geweest. Deze invloed is nl. vooral uitgegaan
van de „transzendentale Ästhetikquot;. Houdt men echter met dit
gedeelte van Kant's systeem te eenzijdig rekening, dan komen
de verdiensten hiervan niet volledig tot hun recht. In het
bijzonder loopt men dan gevaar, „Sinnlichkeitquot; en „Verstandquot;
te veel te beschouwen als afgescheiden „vermogensquot; van het
bewustzijn (Kant geeft tot dat misverstand door zijn uit-
drukkingswijze trouwens ruimschoots aanleiding), in plaats van
als functies, die aan den opbouw van de bewustzijnseenheid
samenwerken.

In zijn „Schematismus der reinen Verstandesbegriffequot; slaat
Kant tusschen „Sinnlichkeitquot; en „Verstandquot; een brug, en wel
als volgt: „In allen Subsumtionen eines Gegenstandes unter
einen Begriff muss die Vorstellung des ersteren mit der letzteren
gleichartig sein . . . Nun ist klar: dass es ein Drittes geben müsse,
was einerseits mit der Kategorie, andererseits mit der Erscheinung
in Gleichartigkeit stehen muss, und die Anwendung der ersteren
auf die letzte möglich macht. Diese vermittelnde Vorstellung muss
rein (ohne alles Empirische) und doch einerseits intellektuell,
andererseits sinnlich sein. Eine solche ist das transzendentale
Schema . . . Das Schema ist . . . ein Produkt der Einbildungs-
kraft; aber . . . doch vom Bilde zu unterscheiden . . . Diese Vor-
stellung nun von einem allgemeinen Verfahren der Einbildungs-
kraft, einem Begriff sein Bild zu verschaffen, nenne ich das
Schema zu diesem Begriffequot; (A 137-140).

„Das reine Bild aller Grössen {quantorum) vor dem äussern
Sinne, ist der Raum, aller Gegenstände der Sinne aber überhaupt,

2

die Zeit. Das reine Schema der Grösse aber {quantitatis) als eines
Begriffs des Verstandes, ist die Zahl, welche eine Vorstellung ist,
die die sukzessive Addition von Einem zu Einem (gleichartigen)
zusammenbefasstquot; (A 142).

Ook later nog komt Kant op het probleem van de mathema-
tische objectiviteit terug:

„Der Raum hat drei Abmessungen, zwischen zwei Punkten
kann nur eine gerade Linie sein usw. Obgleich alle diese Grund-
sätze, und die Vorstellung des Gegenstandes, womit sich jene
Wissenschaft beschäftigt, völlig a priori im Gemüt erzeugt werden,
so würden sie doch gar nichts bedeuten, könnten wir nicht immer
an Erscheinungen (empirischen Gegenständen) ihre Bedeutung
darlegen. Daher erfordert man auch, einen abgesonderten Begriff
sinnlich zu machen, d.i. das ihm korrespondierende Object in der
Anschauung darzulegen, weil, ohne dieses, der Begriff, (wie man
sagt) ohne Sinn, d.i. ohne Bedeutung bleiben würde. Die Mathe-
matik erfüllt diese Forderung durch die Konstruktion der Ge-
stalt, welche eine den Sinnen gegenwärtigen (obzwar a priori
zustande gebrachte) Erscheinung ist. Der Begriff der Grösse
sucht in eben der Wissenschaft seine Haltung und Sinn in der
Zahl, diese aber an den Fingern, den Korallen des Rechenbretts,
oder den Strichen und Punkten, die vor Augen gestellt werdenquot;
(A. 240).

Er is in deze uiteenzettingen een allerbelangrijkste correctie
van de theorie van „transzendentale Ästhetikquot; te vinden; de
daar (bedoeld of onbedoeld) gegeven voorstelling van zaken was
immers de volgende: aan de ,,Sinnlichkeitquot; zijn de mathema-
tische (meetkundige) objecten onmiddellijk en a priori ge-
geven. Door die gegevenheid treden dan de mathematische
eigenschappen (axioma's van Euclides) met volledige evidentie
aan den dag.

Hier evenwel blijkt Kant van een andere opvatting: de mathe-
matische objecten worden door de ,,Einbildungskraftquot; in de „An-
schauungquot; opgebouwd volgens door den „Verstandquot; a priori
vastgestelde wetten. Wanneer men daarbij aan den „Verstandquot;
maar genoeg vrijheid toekent, blijkt de opbouw van verschillende
meetkundige systemen mogelijk; de nadere uitwerking van deze
gedachte, waarop we later ingaan, bleef aan een latere periode
voorbehouden. Wij denken hier in het bijzonder aan de verderop
te bespreken methode van de arithmetisatie, die tegenwoordig een

rationeele bewerking van het aanschouwelijk gegevene mogelijk
maakt, en zoo het vage en onbepaalde van de aanschouwing voor
een streng begripsmatige behandeling toegankelijk maakt. Zonder
op het volgende vooruit te loopen, kunnen we dezen gedachten-
gang echter niet verder vervolgen.

HOOFDSTUK III.

De Ruimte als Aanschouwingsvorm en het Ruimtebegrip
van de Natuurwetenschap.

§ 1. Ter inleiding in de nieuwere opvattingen over de rol
van het ruimtebegrip in den opbouw van het wereldbeeld der
natuurwetenschap, willen we in het kort de gedachten weergeven
van eenige zeer grooten onder hen, die voor die opvattingen
de grondslagen hebben gelegd: Gauss, Riemann, Helmholtz,
poincabé.

Zooals men weet, dateert Gauss' belangstelling voor deze pro-
blemen reeds uit de laatste jaren van de achttiende eeuw. Rie-
mann's beroemde rede „Über die Hypothesen, welche der
Geometrie zu Grunde liegenquot; werd gehouden in 1854. In 1866
pas verschijnt ze in druk, ongeveer tegelijk met de eerste pu-
blicaties van Helmholtz op dit gebied. Onder den invloed van
dezen laatsten, ongewoon veelzijdigen, geleerde richt nu de
philosophische wereld haar blik op deze onderzoekingen. Ook
wordt haar aandacht gevestigd op de oudere ontdekkingen van
Bolyai, Lobatschewsky en Gauss over de niet-Euclidische
meetkunde („metageometriequot;).

Omstreeks 1870 begint dan van de hand van philosophen
kritiek hierop te verschijnen; vooral in den beginne echter ver-
raadt deze maar al te vaak een te gering begrip voor de werkelijke
waarde van hetgeen door de wiskundigen werd gevonden en van
de methoden, die zij daartoe moesten toepassen. Als voorbeeld
geven we hier een overzicht van Riemann's rede i) en van de
kritiek daarop gegeven door Cohen in zijn Kant-commentaar 2).

§ 2. Riemann leidt zijn werk als volgt in:

„Ich habe mir daher zunächst die Aufgabe gestellt, den Begriff
einer mehrfach ausgedehnten Grösse aus allgemeinen Grössen-
begriffen zu construiren. Es wird daraus hervorgehen, dass eine
mehrfach ausgedehnte Grösse verschiedener Massverhältnisse

1)nbsp;geciteerd volgens de „Gesammelte mathematische Werkelquot; Leipzig 1876.

2)nbsp;„Kants Theorie der Erfahrung^quot; Berlijn 1885.

fähig ist und der Raum also nur einen besonderen Fall einer
dreifach ausgedehnten Grösse bildet. Hiervon aber ist eine
nothwendige Folge, dass die Sätze der Geometrie sich nicht aus
allgemeinen Grössenbegriffen ableiten lassen, sondern dass die-
jenigen Eigenschaften, durch welche sich der Raum von anderen
denkbaren dreifach ausgedehnten Grössen unterscheidet, nur aus
der Erfahrung entnommen werden können. Hieraus entsteht die
Aufgabe, die einfachsten Thatsachen aufzusuchen, aus denen sich
die Massverhältnisse des Raumes bestimmen lassen . . .quot; „Indem
ich nun von diesen Aufgaben zunächst die erste, die Entwicklung
des Begriffs mehrfach ausgedehnter Grössen, zu lösen versuche,
glaube ich um so mehr auf eine nachsichtige Beurtheilung An-
spruch machen zu dürfen, da ich in dergleichen Arbeiten philoso-
phischer Natur, wo die Schwierigkeiten mehr in den Begriffen,
als in der Construction liegen, wenig geübt bin und ich ausser
einigen ganz kurzen Andeutungen, welche Herr Geheimer Hofrath
Gauss in der zweiten Abhandlung über die biquadratischen Reste,
in den Göttingischen gelehrten Anzeigen und in seiner Jubiläum-
schrift darüber gegeben hat, und einigen philosophischen Unter-
suchungen Herbart's, durchaus keine Vorarbeiten benutzen

konntequot; (S. 254/255).

Hoe het stond met Riemann's verhouding tot Herbart's philo-
sophie, leeren wij uit de „philosophische geloofsbelijdenisquot;
(Werke 477):

„Der Verfasser ist Herbartianer in Psychologie und Erkennt-
nisstheorie (Methodologie und Eidolologie), Herbart's Natur-
philosophie und den darauf bezüglichen metaphysischen Disci-
plinen (Ontologie und Synechologie) kann er meistens nicht sich
anschliessen.quot;

Hieruit blijkt duidelijk, dat Cohen, wanneer hij schrijft:

„Von diesem seinem allgemeinen philosophischen Standpunkt
aus können wir allein zu einem Verständniss seiner Raumtheorie

gelangenquot; (I.e. S. 223)

den invloed der Herbartsche (en zelfs in 't algemeen den
invloed van eenige) philosophie op Riemann's werk overschat.
Daardoor zoekt Cohen meer te halen uit het woord Mannig-
faltigkeit dan Riemann er in wil leggen. („Grössenbegriffe sind
nur da möghch, wo sich ein allgemeiner Begriff vorfindet, der
verschiedene Bestimmungsweisen zulässt. Je nachdem unter
diesen Bestimmungsweisen von einer zu einer andern ein stetiger

Übergang stattfindet oder nicht, bilden sie eine stetige oder
discrete Mannigfaltigkeitquot;; Werke S. 255).

AI onmiddellijk maakt Cohen bezwaar tegen de doelstelling:
„den Begriff einer mehrfach ausgedehnten Grösse aus allgemeinen
Grössenbegriffen zu construiren,quot; en wel met de woorden:

,,Der Begriff der Grösse soll demnach als der allgemeinste zu
Grunde gelegt werden. Dagegen sind wir hier bemüht, in einer
bestimmten Bedeutung den Raum als erste Bedingung aller ma-
thematischen Naturerkenntniss anzusetzenquot; (S. 223).

Klaarblijkelijk ontgaat het Cohen, dat Riemann twee proble-
men stelt, nl. dat van de mathematische structuur van de ruimte
en dat van de verhouding van het mathematisch ruimtebegrip
tot andere wetenschappen. Voor de oplossing van het eerste
probleem legt hij den grondslag. Zijn beantwoording van het
tweede blijft in het algemeene, waarvoor hij zich, zooals we zagen,
verontschuldigt.

Cohen vervolgt nu:

„Es ist als Mangel zu bezeichnen, dass Riemann weder den
Begriff der Mannigfaltigkeit, noch den der Grösse definirt hat.quot;
(S. 224).

Wij willen deze opmerking weerleggen aan de hand van eenige
citaten. Riemann's definitie van de „Mannigfaltigkeitquot; werd reeds
op de vorige bladzijde besproken. Bijna onnoodig op te merken,
dat deze Mannigfaltigkeit niets te maken heeft met die uit
Riemann's fragment „Zur Psychologie und Metaphysikquot; (Werke
S. 477) of met het „Mannigfaltigequot; bij Kant.

De definitie van het begrip „Grössequot; geschiedt als volgt:
„Bestimmte, durch ein Merkmal oder eine Grenze unterschiedene

Theile einer Mannigfaltigkeit heissen Quanta.....wo die Grössen

... als Gebiete in einer Mannigfaltigkeit betrachtet werdenquot;
(S. 256).

Uit den tweeden zin volgt, dat in den eersten „Quantumquot;
synoniem is met „Grössequot;.

Hetzelfde begrip der „Grössequot; en dezelfde opvatting van haar
fundamenteele beteekenis vinden we trouwens bij Kant en bij
Gauss. Bij den eerste (B. 203, A. 714) treffen we zelfs het gebruik
aan van „Quantumquot; als synoniem. Met genoemde opvatting
gaal^de nieuwere wiskunde niet meer accoord; immers zij bepaalt
zich niet tot de theorie der „quantaquot;, doch behandelt ook geheel
andersoortige objecten.

De moderne wiskunde zou in elk geval van het begrip der
„Grossequot; een scherpere bepaling verlangen dan Kant, Gauss of
Riemann geven; om te laten zien, hoe dicht Riemann eigenlijk
nog staat bij zijn voorgangers, geven we nog een tweetal citaten:

„Die Form der mathematischen Erkenntnis ist die Ursache,
dass diese lediglich auf Quanta gehen kann. Denn nur der Begriff
von Grössen lässt sich konstruieren . . .quot; (Kant A 714). „Gegen-
stände der Mathematik sind alle extensive Grössen (solche, bei
denen sich Theile denken lassen) . . . Der Raum oder die Geome-
trische Grösse, welche Linien, Flächen, Körper und Winkel unter
sich begreift .... die Mathematik betrachtet die Grössen nur
in Beziehung auf einanderquot;

De mathematische probleemstelling, die we in Riemann's werk
vonden, is aanleiding geworden tot de ontwikkeling van een
geheele reeks mathematische wetenschappen, die een buiten-
gewonen rijkdom aan resultaten hebben opgeleverd. Wij noemen
hier slechts de „RiEMANNSche meetkundequot;, de leer der trans-
formatiegroepen (Lie) en in den jongsten tijd de dimensietheorie
(Brouwer, Urysohn, Menger). Ze getuigen alle van de groote
vruchtbaarheid van Riemann's gedachtengang 2).

§ 2. We kunnen nu overgaan tot een beschouwing van Rie-
mann's beantwoording van de kentheoretische vraag over de ver-
houding van meetkunde en natuurwetenschap; een interessant
historisch feit willen we in het voorbijgaan vermelden: Riemann
is hier een voorlooper van de algemeene relativiteitstheorie.

Aan de hand van een citaat (Werke p. 491, uit de „Fragmente
philosophischen Inhaltsquot;) kunnen we Riemann's kentheoretische
opvattingen als volgt weergeven:

„I. Wann ist unsere Auffassung der Welt wahr?

„Wenn der Zusammenhang unserer Vorstellungen dem Zu-
sammenhang der Dinge entspricht.quot;

II. Woraus soll der Zusammenhang der Dinge gefunden
werden? „Aus dem Zusammenhange der Erscheinungen.quot; Die
Vorstellung von Sinnendingen in bestimmten räumlichen und
zeitlichen Verhältnissen ist dasjenige, was beim absichtlichen

1) Gauss: „Zur Metaphysik der Mathematikquot;. Werke Bd. XII p. 55.
Zie voor nadere litteratuuraanduiding de litteratuurlijst aan het slot.

Nachdenken über die Natur vorgefunden wird oder für dasselbe
gegeben ist. Es ist jedoch bekanntlich die Qualität der Merkmale
der Sinnendinge, Farbe, Klang, Ton, Geruch, Geschmack, Wärme
oder Kälte, etwas lediglich unserer Empfindung Entnommenes,
ausser uns nicht Existirendes. Dasjenige, woraus der Zusammen-
hang der Dinge erkannt werden muss, sind also quantitative
Verhältnisse, die räumlichen und zeitlichen Verhältnisse der
Sinnendinge und die Intensitätsverhältnisse der Merkmale und
ihrer Qualitätsunterschiede.

Aus dem Nachdenken über den beobachteten Zusammenhang
dieser Grössenverhältnisse muss sich die Erkenntniss des Zusam-
menhangs der Dinge ergeben.quot;

Van dit gezichtspunt uit moet men nu de ook door Cohen
aangehaalde woorden (Werke S. 254,255) begrijpen. „Hiervon
aber ist eine nothwendige Folge, dass die Sätze der Geometrie
sich nicht aus allgemeinen Grössenbegriffen ableiten lassen, son-
dern dass diejenigen Eigenschaften, durch welche sich der Raum
von andern denkbaren dreifach ausgedehnten Grössen unter-
scheidet, nur aus der Erfahrung entnommen werden können.quot;

Hierover zegt Cohen:

„Hier ist der schwankende unklare Ausdruck der Erfahrung
reeipirt, mit dem Herbaut über Kant zu den Engländern
zurückgegangen ist. Wenn der Raum eine besondere Grössenart
darstellt, so werden die Bedingungen derselben aus der Geometrie
abzuleiten sein, und nur im Verhältniss und in Rücksicht auf eine
allgemeine Grössenlehrequot; (S. 226).

Deze tegenwerping is wel uiterst zwak. Na de beantwoording
van de mathematische probleemstelling hebben „Geometriequot; en
„allgemeine Grössenlehrequot; hun taak als mathematische weten-
schappen verricht. Het resultaat van hun bemoeiingen is evenwel
niet ondubbelzinnig bepaald: van mathematisch standpunt zijn
een groot aantal meetkunden mogelijk. Slechts één hiervan,
met ook mathematisch scherp definieerbare bijzondere eigen-
schappen, wordt in de natuurwetenschappen gebezigd; dat is een
„ervaringsfeitquot;, zooals Riemann terecht opmerkt.

De vraag is nu echter, hoe dit optreden van een bijzonderen
ruimtevorm kentheoretisch is te interpreteeren. Zijn de hiervoor
karakteristieke eigenschappen aan de waarneming, aan de ,,stofquot;
der ervaring, inhaerent, of zijn ze voor de ervaring als zoodanig
formeel-constitutief?

Ziedaar een vraag, die Riemann nog niet opwerpt, maar die,
in nauwe aansluiting aan Kant's theorie van de ruimte, door
Gauss en Helmholtz werd gesteld.

§ 3. Zooals bekend, zijn voor Kant de stellingen van de meet-
kunde voor de ervaring formeel-constitutief. Zijn voornaamste
argument was de apodictische geldigheid van deze stellingen i),
die naar zijn meening anders moeilijk te rijmen viel met het
feit, dat ze niet formeel-logisch waren te deduceeren.

Immers, dat laatste wist Kant; hij wist zelfs, dat er meetkunden
waren met eigenschappen, die van die der Euclidische meetkunde
in vele opzichten afwijken: hij had nl. zulke meetkunden in zijn
„Gedanken der wahren Schätzung der lebendigen Kraftquot; zelf
opgebouwd

En toch waren dat voor hem, naast de Euclidische meetkunde,
slechts kunstmatig in elkaar gezette hersenspinsels, zonder apo-
dicticiteit.

Waaraan, zoo vroeg Kant zich af, kon deze laatste haar apo-
dictische zekerheid toch wel ontkenen? Niet aan de ervaring,
want die geeft slechts „komparative Allgemeinheitquot;. De eenige
oplossing was: aan haar transcendentale aprioriteit, aan haar
constitutieve functie bij de totstandkoming van de ervaring.

§ 4. Gauss en Helmholtz stellen nu de vraag, of de stellingen
van de Euclidische meetkunde inderdaad wel alle apodictische
zekerheid bezitten. Aanleiding was hiertoe hun onderzoek van
de niet-Euclidische meetkunde; het ging hun, zooals het iedereen
pleegt te gaan, die zich met niet-Euclidische meetkunde een
voldoend langen tijd bezig houdt: de stellingen krijgen op den
duur denzelfden graad van aanschouwelijkheid, van evidentie,
die voordien alleen de stelHngen van de Euclidische meetkunde
bezaten, tenminste zoo lang men zich beperkt tot ruimten van
2 of 3 dimensies; een dergelijke aanschouwelijkheid krijgen de

1)nbsp;„Denn die geometrischen Sätze sind insgesamt apodiktisch, d.i. mit dem
Bewusstsein ihrer Notwendigkeit verbunden, z.B. der Raum hat nur drei Ab-
messungen; . . .quot; (B. 40).

2)nbsp;Zie hierover het artikel van Prof. de Vleeschauwer in „Euclidesquot; (lOe
jaargang).

Stellingen over ruimten van meer dan 3 dimensies zelden of
nooit.

Het schijnt dus wel, alsof er tusschen het parallelenpostulaat
en het axioma der driedimensionaliteit een verschil in evidentie is;
die meening wordt nog versterkt door de opmerking, dat wiskun-
digen van alle tijden getracht hebben, het parallelenpostulaat te
bewijzen; dat deze pogingen falen moesten, weten wij thans op
grond van de mogelijkheid van een niet-Euclidische meetkunde.

Men moet dus met de mogelijkheid rekening houden, dat
niet alle stellingen der Euclidische meetkunde apodicticiteit be-
zitten. Waarop berust dan echter hun toepasbaarheid in de natuur-
wetenschap? Laten wij eerst Gauss' antwoord vernemen.

„. . . Ich komme immer mehr zu der Uberzeugung, dass die
Nothwendigkeit unserer Geometrie nicht bewiesen werden kann,...
Bis dahin müsste man die Geometrie nicht mit der Arithmetik,
die rein a priori steht, sondern etwa mit der Mechanik in gleichen
Rang setzenquot; (Brief aan Olbers, 28 April 1817, Werke Bd. 8
S. 177).

„Dieser Unterschied zwischen rechts und links ist, so bald
man vorwärts und rückwärts in der Ebene und oben und unter
in Beziehung auf den beiden Seiten der Ebene einmal (nach
Gefallen) festgesetzt hat, in sich völlig bestimmt, wenn wir gleich
unsere Anschauung dieses Unterschiedes andern nur durch
Nachweisung an wirklich vorhandenen materiellen Dingen mit-
theilen können i) (Werke Bd. 2 S. 177).

„ . . . Gerade in der Unmöglichkeit, zwischen Z und S a priori
zu entscheiden, liegt der klarste Beweis, dass Kant Unrecht
hatte zu behaupten, der Raum sei nur Form unserer Anschauungquot;
(Brief aan Bolyai Sr., 6 Maart 1832; Bolyai Jr. had in zijn
„Appendixquot; de Euklidische meetkunde aangeduid door S, de
„absolutequot; of niet-Euklidische door S).

„Das der Raum . . . eine reelle Bedeutungquot; kon bezitten, had
Kant in zijn eerder geciteerde „Gedanken ...quot; getoond, in te
zien. Hij legt daar nl. verband tusschen het dimensie-tal drie

„Beide Bemerkungen hat schon Kant gemacht, aber man begreift nicht wie
dieser scharfsinnige Philosoph in der ersteren einen Beweis für seine Meinung dass
der Raum nur Form unserer äussern Anschauung sei, zu finden glauben konnte,
da die zweite so klar das Gegentheil, und dass der Raum unabhängig von unserer
Anschauungsart eine reelle Bedeutung haben muss, beweiset.quot;

van onze ruimte en den vorm van Newton's attractiewet, en
loopt daarbij met Riemann (die, in zijn reeds behandelde rede,
zegt: ,,Es muss also entweder das dem Räume zugrunde liegende
Wirkliche eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, oder der Grund
der Massverhältnisse ausserhalb, in darauf wirkenden bindenden
Kräften gesucht werdenquot;) vooruit op Einstein's relativiteits-
theorie. Dit standpunt heeft hij evenwel later, bij de opstelling
van het systeem van de kritische philosophie verlaten, daar hij
meende, dat het onvereenigbaar was met zijn opvatting van
de ruimte als aanschouwingsvorm a priori.

Gauss merkt op, dat hier geen alternatief behoeft te bestaan:
óf „Anschauungsformquot;, óf „reelle Bedeutungquot;, maar dat het
ruimtebegrip wel eens een dubbele functie zou kunnen vervullen.
Zullen dan echter de eigenschappen, die aan de ruimte in beide
functies toekomen, dezelfde zijn, en, kentheoretisch beschouwd,
denzelfden „oorsprongquot; bezitten? Dat is een delicate kwestie;
Gauss schijnt van meening, dat sommige eigenschappen van de
ruimte aan de aanschouwing inhaerent zijn, dat echter andere op
ervaring berusten. Zoo heeft hij zelfs een driehoek (de bergtoppen
Broeken—Hohenhagen—Inselsberg) opgemeten, ten einde vast
te stellen, of inderdaad de som van de hoeken 180° bedroeg:
de fouten der waarneming in aanmerking genomen, bleek dit
werkelijk het geval te zijn.

§ 5. Deze probleemstelling is verder bewerkt door Helmholtz.
Hermann von Helmholtz (1821—1894) kwam als gevolg van
zijn physiologische onderzoekingen (waarbij hij in Joh. Müller
een voorganger had) tot de studie van de kennistheorie en zoo
tevens tot het aanvatten van het ruimteprobleem. Onbekend
met het werk van Riemann (dat immers pas in 1867 verscheen)
publiceerde hij in 1866: „Ueber die thatsächlichen Grundlagen
der Geometriequot;; toen hij met Riemann's reeds besproken voor-
dracht bekend was geworden, deed hij in 1868 een tweede ver-
handeling verschijnen: „Ueber die Thatsachen die der Geometrie
zum Grunde liegen.quot; Hierin wordt de voorgaande verhandeling
op een belangrijk punt verbeterd.

In deze beide verhandelingen is een belangrijke aanvulling
van Riemann's resultaten voorhanden. Helmholtz lost hier nl.

het „homogeniteitsprobleemquot; i) voor de ruimte op. Enkele ma-
thematische tekortkomingen zijn naderhand nog door Sophus
Lie aangevuld.

Bij deze belangrijke mathematische successen is Helmholtz
niet blijven staan. Voor hem kwam het in de eerste plaats aan
op de philosophische consequenties, die uit zijn resultaten voort-
vloeiden. Hij toetste, evenals Gauss, de ruimteleer van Kant aan
de nieuwere inzichten in de meetkunde. Zijn resultaten legde hij
neer in „Über den Ursprung und Sinn der geometrischen Sätze;
Antwort gegen Herrn Professor Landquot; (Wissenschaftliche Ab-
handlungen Bd II, p. 640). Als polemiek tegen Land heeft dit
werk zijn actualiteit verloren. Het interesseert ons hier alleen
om de duidelijke uiteenzetting, die Helmholtz van zijn eigen
denkbeelden geeft. Wij geven enkele citaten, die weinig commen-
taar zullen behoeven.

„Ich halte dafür, dass durch die neueren Untersuchungen über
die erweiterten Formen der Geometrie, oder durch die sogenannten
metageometrischen Untersuchungen, folgende Sätze festgestellt
sind:

„1) Kant's Beweis für den Ursprung a priori der geometrischen
Axiome, welcher darauf basirt ist, dass keine von denselben
abweichenden Raumverhältnisse in der Anschauung auch nur
vorgestellt werden können, ist unzureichend, da die als Grund
angeführte Behauptung thatsächlich unrichtig ist . . .quot;

,,Uebrigens ist es ein Missverständniss von Herrn Professor
Land, wenn er glaubt, ich hätte gegen die Auffassung des Raumes
als einer uns Menschen a priori gegebenen, für uns nothwen-
digen, also in Kant's Sinne transcendentalen Form der Anschau-
ung Widerspruch erheben wollen . . . Aber der Raum kann eine
solche Form der Anschauung im kant'schen Sinne sein, ohne
dass diese Form der Anschauung nothwendig die Axiome ein-
schliesst.quot;

1) Dit probleem is door Lik als volgt geformuleerd:

„Es sollen solche Eigenschaften gefunden werden, die sowohl der Schaar der Eukli-
dischen als den heiden Schaaren von Nicht-Euklidischen Bewegungen zukommen,
und durch die diese drei Schaaren von allen anderen möglichen Schaaren von
Bewegungen einer Zahlenmannigfaltigkeit ausgezeichnet sind (Lie, „Theorie der
Transformationsgruppenquot; Bd. III S. 397; zie ook: Weyl „Mathematische Analyse
des Raumproblemsquot;.)

„Kant's Lehre von den a priori gegebenen Formen der An-
schauung ist ein sehr glückhcher Ausdruck des Sachverhältnisses;
aber diese Formen müssen wirklich inhaltsleer und frei genug sein,
um jeden Inhalt, der überhaupt in die betreffende Form der
Wahrnehmung eintreten kann, aufzunehmen.quot;

„2) Wenn trotz der Mangelhaftigkeit des Beweises die Annahme
festgehalten wird, dass die Axiome als Gesetze unserer Raum-
anschauung wirklich a priori gegeben wären, so würden zweierlei
Arten der Gleichwerthigkeit von Raumgrössen unterscheiden

werden müssen, nämlich

1)nbsp;Die subjektive Gleichheit in der hypothetischen transcenden-

talen Anschauung.

2)nbsp;Die objektive Gleichwerthigkeit der reellen Substrate solcher
Raumgrössen, welche sich im Ablauf physischer Verhältnisse

und Vorgänge bewährt.

„Dass die letztere mit der ersteren zusammenfiele, könnte nur
durch Erfahrung bewiesen werden. Nur auf die letztere käme es
an bei unserem wissenschafthchen und praktischen Verhalten der
objektiven Welt gegenüber. Wenn beide nicht übereinstimmten,
würden die ersteren nur den Wert eines falschen Scheines haben.quot;

De oplossing van deze moeilijkheid geeft Helmholtz zelf.
„Aber der Raum kann eine solche Form der Anschauung im
kant'schen Sinne sein, ohne dass diese Form der Anschauung
nothwendig die Axiome einschliesst.quot;

We zien hier dus een confrontatie van de aanschouwings-
ruimte met wat wij thans de physische ruimte noemen. In de
aanschouwingsruimte heerscht slechts „subjektive Gleichheitquot;
in de physische ruimte heerscht de „objektivequot; Gleichwerthigkeit.quot;
We komen hierop in ander verband terug i).

Samenvattend kunnen we zeggen, dat Helmholtz' arbeid van
de grootste beteekenis is geweest voor de ontwikkeling van het
mathematisch, physisch en psychologisch ruimtebegrip. Deze drie-
voudige onderscheiding komt evenwel bij hem nog niet volkomen
tot haar recht.

Ook is het een groote verdienste van Helmholtz, opnieuw
de aandacht te hebben gevestigd op Kant's wijsbegeerte, waarvan
de invloed destijds duchtig geslonken was. De kennis van die

') Zie § 7 van dit Hoofdstuk.

wijsbegeerte is zonder twijfel aan de onderzoekingen van
Gauss en Helmholtz ten goede gekomen, al zijn zij dan ook
geen rechtzinnige belijders van de leer.

Helmholtz is zeker in de eerste plaats de man geweest, die
door zijn veelzijdigheid de studie van de ruimteleer in al haar
onderscheidene aspecten heeft vernieuwd, en die ook in breede
(vooral ook philosophische) kringen de belangstelling voor al
deze vragen opnieuw heeft gewekt. Door hem b.v. eerst is de
niet-Euclidische meetkunde algemeen bekend geworden, die tot
zooveel polemiek aanleiding zou geven.

§ 6. PoiNCARÉ heeft een derde mogelijkheid aangewezen voor
den oorsprong van de meetkundige eigenschappen: de conventie
(„La Science et l'Hypothèsequot;, Ch. 5).

Conventie, dat wil zeggen vastlegging door een daad van
(methodische) willekeur, speelt in de natuurwetenschap inderdaad
een rol; men denke b.v. aan de keuze van de maateenheden. Hierin
bestaat een groote mate van vrijheid, waarvan op oordeelkundige
wijze gebruik dient te worden gemaakt.

Het gaat dan -ook niet aan, Poincabé's ,,conventionalismequot;
(dat trouwens in zijn wijsgeerige opvattingen een veel geringere
plaats inneemt dan men gemeenlijk denkt) als een vorm van
subjectivisme te veroordeelen.

Poincaré doet opmerken, dat bij proeven als die van Gauss
noodzakelijk zekere conventies zijn voorondersteld. Wanneer
Gauss eens zou hebben gevonden, dat de som van de hoeken
van zijn driehoek van 180° verschilde, dan behoefde hij nog niet
aan te nemen, dat de ruimte niet-Euclidisch was: hij kon de
afwijking ook verklaren door de onderstelling, dat de licht-
stralen (die bij zijn proef een wezenlijk element waren) zich niet
volkomen rechtlijnig voortplanten. Omgekeerd bewijst zijn proef
alleen iets op grond van de conventie, dat rechte lijnen geidentifi-
ceerd worden met banen van lichtstralen.

§ 7. De conventies, die mede de meetkundige eigenschappen
van de natuurkundige ruimte bepalen, sluiten zich aan bij de
fictie van het ,,ideale vaste lichaamquot; van de Euclidische meet-
kunde. Zooals bekend is, wijken de in de natuur werkelijk voor-
komende vaste lichamen van dit ideaal vrij aanmerkelijk af. Deze

afwijkingen zijn natuurverschijnselen; men moet ze dus causaal
behandelen.

Daartoe gaan we ze eerst classificeeren. We onderscheiden:

1)nbsp;de specifieke; deze loopen voor de verschillende lichamen
uiteen, en hangen af van vorm en materiaal van het beschouwde
lichaam. Oorzakelijk worden ze onderscheiden als

mechanische deformatie,
thermische uitzetting,
magnetostrictie, enz.

2)nbsp;de niet-specifieke; men ziet zich genoodzaakt, afwijkingen
in de lichamen aan te nemen, die van hun specifieke eigenschappen
niet afhangen. Deze worden weer onderscheiden in

2a) niet-specifieke afwijkingen, afhankelijk van den bewegings-
toestand van het beschouwde lichaam („contractie van Lobentz-
Fitzgeraldquot;),

2b) niet-specifieke afwijkingen, alleen afhankelijk van plaats
en tijd. Van deze laatste afwijkingen is de oorzaak natuurlijk
niet in het lichaam zelf te zoeken. Want dan zouden toch specifieke
verschillen moeten optreden. Men poneert als oorzaak zekere
„metrischequot; eigenschappen van de ruimte, die daardoor dus in-
derdaad een „reelle Bedeutungquot; verkrijgt. Het in de ruimte
voorkomend „metrisch veldquot; wordt beschreven door zekere groot-
heden gij., die afhangen van de verdeeling van de materie in de
ruimte. De metrische eigenschappen van de ruimte bepalen dus
de gedragingen van de materie, de materie bepaalt echter om-
gekeerd de metrische eigenschappen van de ruimte.

„Nach Einstein ist die metrische Struktur der Welt nicht
homogen. Wie ist das möglich, da doch Raum und Zeit Formen
der Erscheinungen sind? Allein dadurch, dass die metrische
Struktur nicht apriori fest gegeben ist, sondern ein Zustandsfeld
von physikalischer Realität, das in kausaler Abhängigkeit steht vom
Zustand der Materie. Das Wirkliche zieht in den Raum nicht
ein wie in eine rechtwinklig-gleichförmige Mietskaserne, an welcher
all sein wechselvolles Kräftespiel spurlos vorübergeht, sondern
wie die Schnecke baut und gestaltet die Materie selbst sich
dies ihr Hausquot; (Weyl „Mathematische Analyse des Raum-
problemsquot; S. 44).

Samenvattend kunnen we het resultaat van de nieuwere onder-

zoekingen over de ruimteleer als volgt weergeven; er is geen
alternatief van den vorm: de ruimte en haar eigenschappen zijn
óf aanschouwelijk gegeven en a priori, óf van empirischen oor-
sprong, maar het is mogelijk, dat de ruimte een dubbele functie
vervult en haar eigenschappen dus niet alle denzelfden oorsprong
bezitten; naast aanschouwing en ervaring is ook nog conventie
denkbaar als bron van meetkundige kennis.

HOOFDSTUK IV.
Moderne Kritiek op Kant's Wijsbegeerte van de Wiskunde.

§ 1. Na eerst aanhanger van Kant's philosophie te zijn ge-
weest, is Couturat, onder den invloed van Russell's onder-
zoekingen, later tegenover haar komen te staan. Aan zijn nieuw
verkregen standpunt heeft hij uiting gegeven in een rede ter
herdenking van Kant's honderdsten sterfdag i), die we hier,
als vertegenwoordigende de moderne kritiek op Kant's wijs-
begeerte van de wiskunde, aan een eenigszins uitvoerige analyse
willen onderwerpen.

Deze kritiek richt zich in hoofdzaak tegen het sterkste argu-
ment, door Kant aangevoerd: het synthetisch karakter van de
mathematische oordeelen

Couturat wijst op het gebrek aan scherpte van Kant's
definitie der analytische oordeelen en vervangt deze (met Frege
en Heymans) door de volgende: „Un jugement est analytique,
lorsqu'il peut se déduire uniquement des définitions et des prin-
cipes de la Logique.quot;

Zoo komen van zelf de definities in de wiskunde aan de orde.
„. . . nous constatons que toutes les définitions mathématiques
sont purement nominales . . . Une définition . . . c'est une con-
vention qui porte uniquement sur l'emploi d'un signe simple
substitué à un ensemble de signes.quot; De opzet van de kritiek
wordt nu zóó omschreven: „. . . nous ne considérons comme
mathématiques pures que l'Arithmétique d'une part, et la

1)nbsp;„La Philosophie des Mathématiques de Kantquot; (RMM 12, 1904). H. PoiN-
CAEÉ schreef daaromtrent: „j'ai entendu mon voisin dire à demi-voix: „On voit
bien que c'est le centenaire de la mort de Kantquot;quot; („Les Mathématiques et la
Logiquequot;, RMM 13, 1905).

2)nbsp;Zie reeds het motto: „Wenn die mathematische Urtheile nicht synthetisch
sind, so fehlt Kant's ganzer Vernunftkritik der Bodenquot; (Zimmermann: „Kants
mathematisches Vorurteilquot;, Sltzungsber. d. Wiener Ak., phU. h. Kl., Bd. 67 (1871);
h o. nader: F. A. Lange: „Geschichte des MateriaUsmusquot;, 2. Buch, 1. Abschr., I).

3

Géométrie d'autre part, et nous examinerons tour à tour les
propositions de ces deux sciences, pour rechercher leur caractère
synthétique ou analytique.quot;

§ 2. Zoo komt dus eerst Kant's theorie van de rekenkunde
aan de orde, te beginnen met het klassieke voorbeeld,

7 5 = 12,

van een synthetisch oordeel (B 15). Couturat merkt op, dat,
wil men alle oordeelen van dezen vorm als „immédiatement cer-
tainesquot;, „évidentsquot; en „indémontrablesquot; beschouwen, men aan
de rekenkunde een oneindig aantal axioma's ten grondslag moet
leggen, iets, dat, naar zijn meening, als onmogelijk moet worden
beschouwd.

Eén argument ten gunste van het synthetisch karakter van de
rekenkundige oordeelen blijft dan nog over: „c'est la conception
du nombre, telle qu'elle résulte de la théorie du schématisme.
Ainsi, en tant que scheme, le nombre est intermédiaire entre la
sensibilité et l'entendement: il est à la fois intellectuel et in-
tuitif . . . que vient faire le schème entre ce concept et son image?
S'il est un produit de l'imagination, il ne peut être que confus
comme l'image même; s'il est une méthode générale de construc-
tion, il ne diffère pas du concept; dans tous les cas, on ne voit
pas comment il peut faciliter la comparaison et le rapprochement
du concept et de l'image.quot;

Ook de theorie van het schematisme bewijst voor Couturat
noch voor het begrip der grootte, noch voor het getal eenige af-
hankelijkheid van de aanschouwing: „. . . la notion de grandeur
est, en soi, distincte de l'espace et du temps, puisque ces deux
formes d'intuition ne font que lui prêter des images ou des sehèmes.
Or la mathématique est, selon Kant, la science de la grandeur
en général; donc comme telle, elle est indépendante de l'espace
et du temps; elle ne repose pas sur l'intuition mais sur le concept
a priori de grandeur. Seulement, on peut en dire autant du
nombre . . . Concluons donc que les sciences du nombre et de la
grandeur sont des sciences rationnelles pures, indépendantes de
l'intuition.quot;

Naar aanleiding van Kant's beschouwing der algebra (A 716
vv.) merkt Couturat op: „II n'est pas vrai qu'en Algèbre on

raisonne sur les signes; on raisonne toujours sur les idées qu'ils
réprésentent.quot;

Van algemeene strekking is nog de volgende opmerking:

„II est étrange de voir Kant faire consister, comme un simple
empiriste „l'évidencequot; dans la „certitude intuitivequot;, faire appel
au témoignage des „yeuxquot; pour „préserver toutes les déductions
de l'erreurquot;, et ne reconnaître comme démonstrations que celles
qui s'appuient sur l'intuition.quot;

§ 3. lets uitvoeriger gaan we in op Couturat's kritiek van
de kantiaansche theorie der meetkunde:

,,I1 semble que, selon Kant, on ne puisse pas démontrer une théo-
rème de Géométrie sans construire une figure et mener des lignes
auxiliaires, et que toute construction implique nécessairement un
appel à l'intuition. Or ni l'une ni l'autre de ces propositions n'est
justifiée. Pour commencer par la seconde, une démonstration géo-
métrique n'est valable que si elle ne repose pas sur un appel à
l'intuition: tout le monde sait, qu'il ne faut jamais invoquer les
propriétés apparents de la figure, et que l'on peut commettre
ainsi des sophismes dont quelques-uns sont classiques . . . D'ail-
leurs, quand on parle de construire telle ou telle figure, c'est là
une façon de parler anthropomorphique, une métaphore emprun-
tée à la pratique: les figures que l'on trace . . . existent déjà
idéalement, en tant qu'elles sont déterminées par les données de
la question ^ ) . . . Ainsi, lors même que les constructions seraient
indispensables, elles n'impliqueraient pas un appel à l'intuition.
Mais elles ne sont pas si indispensables qu'on le croit...quot;

Hier is Kant's meening zeer onzuiver wéérgegeven; voor
Kant is een meetkundig bewijs niet identiek met een ,,blik op
de figuurquot;:

„Dem ersten, der den gleichseitigen Triangel demonstrierte,
dem ging ein Licht auf; denn er fand, dass er nicht dem, was
er in der Figur sähe, oder auch dem blossene Begriffe derselben
nachspüren und gleichsam davon ihre Eigenschaften ablernen,
sondern durch das, was er nach Begriffen selbst a priori hinein-
dachte und darstellte, (durch Konstruktion) hervorbringen
müsse . . .quot; (B XI).

') Men lette op Couttjrat's begripsrealisme, dat in deze woorden tot uiting
komt.

couturat maakt, aansluitend bij Vaihinger nog de volgende
interessante opmerking:

„Toutes ces inconséquences proviennent de la confusion per-
pétuelle (fort bien mise en lumière par M. Vaihinger) entre la
forme de l'intuition et l'intuition pure. Il n'y a aucune raison
pour que la forme de l'intuition soit elle-même une intuition. On
pourrait peut-être résoudre par là les difficultés de la doctrine
kantienne: l'espace et le temps seraient des formes d'intuition,
mais des formes intellectuelles et non sensibles.quot;

Helder zet Couturat uiteen, dat de z.g. paradox der symme-
trische figuren geen paradox is, om daarna het tweede deel van
zijn onderzoek als volgt te besluiten:

,,Ce qui est sûr, c'est que les postulats de la Géométrie ne
peuvent pas se déduire, comme les axiomes de l'Arithmétique, des
principes de la Logique: et la preuve en est qu'il n'y a qu'une
Arithmétique, tandis qu'il y a plusieurs Géométries ... il faut
nécessairement faire un choix . . . Notre choix (sera ) guidé par la
„commoditéquot;. Or, comme il s'agit. . . d'une commodité intellec-
tuelle, on peut présumer que ces raisons de „commoditéquot;, se
réduiraient à des raisons . . . rationnelles, c'est-à-dire à des juge-
ments synthétiques a priori . . . cette thèse donnerait bien plutôt
raison à l'intellectualisme leibnizien qu'à 1',,intuitionismequot; kantien.
Néanmoins, à coté de ces postulats d'un caractère intellectuel,
il y en a au moins un, celui relatif au nombre des dimensions de
notre espace, qui ne paraît. . . avoir aucune raison d'être intelli-
gible ... Si donc il y a un postulat qui paraisse justifier la doctrine
kantienne, c'est bien celui-laquot;.

„. . . tandis que l'Arithmétique dément la théorie kantienne,
c'est dans la Géométrie que cette théorie a le plus de chances de
subsister. Ce résultat est contraire à l'opinion d'un grand nombre
de mathématiciens, qui prétendent que l'invention des géométries
non euclidiennes à réfuté la doctrine kantienne ... ce qui a ruiné
la philosophie kantienne des mathématiques, ce n'est pas la
Géométrie non euclidienne mais la reconstruction logique de
l'analyse, ce que M. Klein a appelé Varithmétisation des mathé-
matiques......les progrès de la Logique et de la Mathématique

au XIXe siècle ont infirmé la théorie kantienne et donné raison
à Leibniz.quot;

§ 4. We beschikken op het oogenblik nog niet over het mate-

riaal, noodig voor een uitvoerige antikritiek, maar willen dit
hoofdstuk toch niet besluiten, alvorens naar aanleiding van
Couturat's betoog nog enkele opmerkingen te hebben ge-
maakt.

Niemand zal ontkennen, dat Couturat met groote scherp-
zinnigheid in Kant's werk inconsequenties heeft aangewezen, en
punten, waarin Kant's formuleering of betoog leemten bevat,
of beweringen, die door de moderne ontwikkeling zijn achterhaald.
Zulke punten zijn er in Couturat's betoog evenwel ook, en op
een aantal daarvan willen we in het kort even wijzen.

Ten eerste is daar de bewering, dat in de wiskunde enkel
nominale definities zouden voorkomen; deze berust op een mis-
vatting, die teruggaat tot Peano's axiomatiek van de reken-
kunde. Peano meende nl. som en product van natuurlijke ge-
tallen nominaal te definieeren. Nieuwere onderzoekingen hebben
echter bewezen, dat deze z.g. recurrente definities een veel gecom-
pliceerder karakter bezitten

Het is verder volstrekt niet zoo ongerijmd, als het wellicht lijkt,
een theorie op een oneindig aantal axioma's te fundeeren, mits
in elk bewijs afzonderlijk het aantal gebruikte axioma's eindig is.
Ackermann en Herbrand b.v. hebben voor de rekenkunde on-
eindige axiomastelsels gegeven.

De axioma's van de rekenkunde, meent Couturat, zijn uit de
principes van de logica af te leiden; deze afleiding echter, reeds
door PoiNCARÉ streng gekritiseerd, is in de nieuwere onderzoe-
kingen over de grondslagen van de rekenkunde verlaten; was ze
mogelijk, dan zou het niet zoo veel moeite kosten, de contra-
dictieloosheid van de rekenkunde te bewijzen.

Het is dan ook niet waar, dat er meerdere meetkunden, doch
maar één rekenkunde zou zijn; inderdaad kan men door variatie
van de axioma's meerdere rekenkunden opbouwen.

Na dit alles kan men reeds vermoeden, dat Couturat's ver-
nietigend oordeel over Kant's wijsbegeerte eenigszins voor-
barig was.

Zie het Aanhangsel II, waar ook nadere litteratuur is aangegeven,
afkomstig van Frege: „Grundgesetze der Arithmetikquot;; zie hierover Bach-
mann: „Untersuchungen zur Grundlegung der Arithmetikquot;, Leipzig 1934.

B. METHODENLEER.

HOOFDSTUK V.

De moderne formeele Logica en haar Toepassing op de
Methodenleer van de Wiskunde.

Een uiteenzetting van de historische ontwikkeling van de
moderne formeele logica of logistiek (ook wel „mathematischequot;
of „symbolische logicaquot; genoemd; wij achten echter deze namen,
die licht aanleiding geven tot verkeerd begrip van de zaak,
minder gelukkig) moge hier achterwege blijven i); wij geven in
het volgende in hoofdtrekken en op strikt elementaire wijze een
opbouw van deze zoo interessante theorie.

§ 1. De Oordeelslogica. De oordeelslogiea gaat uit van een
aantal symbolen, t.w.

(de ,,logische constantenquot;), en van een onbepaald aantal letters

p, q, r, . . .

(de ,,logische variabelenquot; of „elementaire oordeelenquot;).

Door logische variabelen samen te voegen door middel van
logische constanten ontstaan „logische uitdrukkingenquot; of „oor-
deelenquot;; opgemerkt worde, dat de term „logische uitdrukkingquot;
of „oordeelquot; ook op de logische variabelen of elementaire oor-
deelen van toepassing is, maar niet op de logische constanten.

Het begrip ,,logische uitdrukkingquot; wordt nu op grond van de
volgende recursieve en constructieve definitie nog nader om-
schreven:

1)nbsp;Men zie b.v. Jorgensen: „A Treatise of Formal Logicquot;, Scholz: „Geschichte
der Logikquot;.

2)nbsp;De „beteekenisquot; van deze symbolen (resp. „nietquot;, „ofquot;, „enquot;, „als . . .
dan . . .quot;) doet thans nog niet ter zake.

ä) Zie „Aanhangsel IIquot;.

1)nbsp;Zijn A en B logische uitdrukkingen, dan ook

Ä, B („niet-^quot;, „niet-J?quot;),
AvB {„A of Bquot;),
Aamp;B („A en Bquot;),
A^B („als A, dan Bquot;).

2)nbsp;Een logische variabele is een logische uitdrukking.

3)nbsp;Elke logische uitdrukking is uit logische variabelen te ver-
krijgen door daarop regel 1) vaak genoeg toe te passen.

Men gaat b.v. uit van de logische variabelen

p,

volgens de regels 1) en 2) zijn dan ook

f, q, pvq, p amp;q, p q, qvp, q amp;p, q ^ p,

pvp, p amp;p, p ^p, qvq, q amp;q, qq

logische uitdrukkingen; op deze en op de logische variabelen
p, q (en eventueel nieuwe logische variabelen r, . . .) kunnen
we nogmaals de regel 2) toepassen; zoo ontstaan steeds ingewikkel-
der logische uitdrukkingen.

Opmerking: opdat duidelijk zichtbaar zij, op welke wijze een
logische uitdrukking is ontstaan, moet men, wanneer A en B
beide of één van beide méér dan één variabele bevatten, zoo'n
uitdrukking tusschen haken zetten, voor men AvB, Aamp;B,
A -gt; vormt.
Derhalve is

[{pvq) amp;r]v {[{p amp;q)v{q amp;r) ]vr}

een correct gevormde logische uitdrukking,

(pvq) amp; {qvr) {r amp; p)

niet; staat boven een uitdrukking A een streep dan kan
men de haken om A weglaten i); de uitdrukking van zooeven
zou dan worden:

{pvq) amp; rv {[{p amp;q)v{q amp; r)] vr}.

1) Men kan door geschikte afspraken het aantal haken nog meer beperken;
aangezien de formules dan moeilijker te lezen zijn, doen we dit niet.

Evenals men aan een algebraïsche uitdrukking, b.v.

(x y) w^) y]

door ,.substitutiequot; van getalwaarden voor x, y, z, w een getal-
waarde toevoegt, kan men aan een logische uitdrukking door
substitutie van zekere logische waarden voor p, q, r, ... een
bepaalde logische waarde toekennen.

Men moet daartoe

1)nbsp;Vaststellen, welke waarden men voor de variabelen p, q,
r . . . substitueert.

2)nbsp;Aangeven, volgens welke regels men het resultaat van die
substitutie „berekentquot;.

Dit geschiedt als volgt; voor de variabelen p, q, r . . . substi-
tueert men één van de „logische waardenquot;

X, IX.

Verder geeft men de volgende tabellen

A lil

A nl

Wil men nu de waarde van een uitdrukking bij substitutie
uitrekenen, dan neemt men eerst die deelen van de uitdrukking,
die opgebouwd zijn uit één of twee variabelen met behulp van
hoogstens één constante; in de uitdrukking, die we al eerder
als voorbeeld genomen hebben, zijn dat:

jgt;, q, r, p amp; q, q, r, r.

De waarden van die partieele uitdrukkingen bij substitutie
vindt men in de tabellen. Daarna zoekt men de partieele uit-
drukkingen, opgebouwd uit één of twee van de reeds bekende,

met behulp van één logische constante. In ons voorbeeld dus

pvq, q amp;r, r.

Daar de waarde van hun onderdeden bekend is, kunnen we nu
ook die samengestelde uitdrukkingen met behulp van de tabellen
vinden. Zoo voortgaande krijgen we ten slotte de waarde van de
geheele logische uitdrukking i).

De oordeelslogica houdt zich bezig met die functies, die de
waarde X bezitten voor elke substitutie voor de variabelen. Zulke
functies zijn er, b.v.

p V p
p^p

enz.; men noemt ze ,,tautologieënquot;. Van de oordeelslogica of
leer van de tautologieën geven we nu de fundamenteele eigen-
schappen in het kort wéér.

1)nbsp;Is de functie A{p), waarin behalve p nog andere variabelen
mogen voorkomen, een tautologie, dan is ook de functie A{B),
die ontstaat, wanneer de variabele p overal waar ze voorkomt,
door eenzelfde, overigens willekeurige, functie B vervangt, ook
een tautologie („Substitutieregelquot;).

Voorbeeld:

pvp

is een tautologie, dus ook

{q amp; r)v{q amp; r).
We geven deze bewerking als volgt schematisch weer:

A(B)

(,, Substitutieschemaquot;).

2)nbsp;Zijn A en A ^ B logische uitdrukkingen met de waarde
A, dan bezit ook B de waarde A („Implicatieregdquot;).

We geven deze bewerking als volgt schematisch weer:

A

A^Bnbsp;m

B

(,,Deductieschemaquot;, „modus ponensquot;).

Men doorziet deze, slechts schijnbaar gecompliceerde, regels gemakkelijk,
wanneer men denkt aan de volkomen analogie met de berekening van een alge-
braïsche uitdrukking bij substitutie van getalwaarden.

Zijn in het bijzonder A en A B tautologieën, dan zal ook
B een tautologie zijn. Voorbeeld:

pvp

en

(pvp) -^{p-^p)
zijn tautologieën, dus ook

Uit deze tweede eigenschap volgt, dat de tautologieën (wanneer
we voor A ^ B lezen: „uit A volgt Bquot;) een deductief systeem
vormen: dat wil zeggen een systeem, dat tegelijk met de stel-
lingen „Aquot; en „uit A volgt ßquot; ook de stelling „1?quot; bevat.

Passen we op tautologieën de schema's van substitutie en
implicatie toe, dan ontstaan dus steeds weer tautologieën; zijn er
wellicht een aantal tautologieën, waaruit alle andere door her-
haalde toepassing van die schema's zijn af te leiden, m.a.w. is
een axiomatische behandeling van de oordeelslogica mogelijk?

Het antwoord op deze vraag luidt bevestigend. Als axioma's
kunnen b.v. dienst doen de tautologieën:

(AvA)^Anbsp;I

A (AvB)nbsp;II

{AvB)-gt;{BvA)nbsp;III

{A ^ B) ^ [(CvA)(CvB)]nbsp;IV

in combinatie met de volgende definities (de definitie vannbsp;een

logische uitdrukking stelt haar waarde gelijk aan die vannbsp;een
reeds bekende):

A^B = AvBnbsp;(a)

A amp; B = AvB.nbsp;(6)

Men behoeft dus eigenlijk alleen A en AvB door tabellen te defi-
nieeren en kan daarna van A B en van A amp; B nominale
definities geven.

Het teeken -f = Q '^^le men als volgt: „Het symbool P is synoniem met het
symbool Qquot;. Het symbool = geeft dus aan, dat we met een nominale definitie te
maken hebben.

§ 2. Uit de zoo verkregen opbouw van de oordeelslogica be-
wijst men zeer eenvoudig de contradictieloosheid; met andere
woorden, men bewijst, dat twee logische uitdrukkingen A en A
niet tegelijk tautologieën kunnen zijn.

Immers, laat A een tautologie zijn, d.w.z. een logische uit-
drukking, die voor elke substitutie de waarde A bezit; om A te
berekenen, moet men eerst A vinden, om daarna met behulp van
de eerste tabel A te bepalen. Maar A is steeds A, dus A is steeds
JU, dus zeker geen tautologie. De onderstelling, dat A en A beide
tautologieën zouden zijn, leidt dus tot een contradictie.

§ 3. De Begripslogica. We nemen n oordeelen, b.v. pj^, p^,---Pngt;
die we aanduiden door

ƒ(%), /(ag), . . .ƒ(«„),

en definieeren nu:

5f./K) amp;/(«2) amp; • • • amp;ƒ(«»)gt;nbsp;(O

{Ex)f(x) = f{a,)vf{a,)v . . . vf{aj.nbsp;{d)

Hieruit volgt, dat

V

f{x) ^ {Ex)f{x),nbsp;VI

waarin ƒ(«) één van de oordeelen ƒ(a^) . . .f{an) aanduidt, tauto-
logieën zijn. Verder geldt de volgende eigenschap: stelt in de
schema's

(y)nbsp;^—7 (lt;5)

A^{x)f{x)nbsp;(Ex)f(x)^A

A een oordeel voor, dat niet van x ,,afhangtquot;, en bezit het oor-
deel boven de streep voor elke waarde van x de waarde A, dan
bezit ook het oordeel onder de streep (dat niet meer van x af-
hangt!) de waarde 1.

§ 4. De tautologieën I—VI, de definities a en b, de schema's
a—(5 bepalen de z.g. elementaire oordeels- en begripslogica. Het
zou ons niet moeilijk vallen, deze nog tot de relatielogica uit te
breiden; waar het hier alleen om het principe van de zaak gaat,

willen we daarop niet verder ingaan. Wel merken we nog even op,
dat de begripslogica uit de oordeelslogica door de nominale defi-
nities c en d is afgeleid. Uit de contradictieloosheid van de oor-
deelslogica kunnen we daarom onmiddellijk tot die van de begrips-
logica besluiten.

§ 5. We hebben tot nu toe oordeels- en begripslogica opge-
bouwd als leege schemata: zin en toepassingsmogelijkheid van
deze schemata willen we nu in deze § aan de orde stellen.

Al eerder hebben we opgemerkt, dat we voor „^ i?quot; kunnen
lezen „uit Ä volgt i?quot;; zoo kunnen we voor „A amp; 2?quot; lezen
„A en Bquot;, voor „AvB'': „A of Bquot;. Hierbij is in het oog te
houden, dat hier „A of Bquot; óók waar heet, wanneer A en B
beide waar zijn; zooals bekend, staat het natuurlijk taalgebruik
in dit opzicht niet geheel vast.

Verder kan als een waar oordeel worden beschouwd een oordeel
met de waarde A.

De oordeels- en begripslogica leveren ons nu tautologieën,
d.w.z. oordeelscombinaties, die waar zijn, onverschillig of de
constitueerende oordeelen waar zijn of niet.

Om het gebied van de tautologie te overschrijden, zullen we dus
moeten vaststellen, welke niet-tautologische oordeelen waar zijn;
dit geschiedt nu zoo, dat een aantal oordeelen, de z.g. axioma's,
„willekeurigquot; als waar wordt gesteld. De oordeels- en begrips-
logica (en, bij gecompliceerder systemen, de hier niet behandelde
relatielogica) stelt ons dan in staat andere oordeelen te vormen
(te „deduceerenquot;), die eveneens waar zullen zijn. Op die wijze
ontstaat dan een formeel-deductief opgebouwde theorie.

We hebben hier enkele hoofdstukken uit de logistiek en hun
toepassing op de theorievorming geheel,,synthetischquot; uiteengezet.
De historische gang van zaken was echter geheel anders. Men
begon zich omstreeks het midden van de vorige eeuw de opgave
te stellen, meer dan voorheen zich rekenschap te geven van de
onderstellingen, die voor den opbouw van een mathematische
theorie moeten worden gemaakt en van de formeele regels van dien
opbouw; men wilde zooals men het wel uitdrukt, de wiskunde
„formaliseerenquot;.

Het opsporen van de gemaakte onderstellingen voerde tot de
axiomatiek; het vaststellen van de deductieregels tot de logistiek.
Van de beoefenaars van de axiomatiek noemen we Peano (voor

de rekenkunde), Pasch en Hilbert (voor de meetkunde); voor
de logistiek noemen we uit een zeer groot aantal onderzoekers:
Boole, Peirce, Schroder, Frege, Peano, Russell. Een over-
gang tot een oudere periode vormen eenerzijds mannen als
Gauss, Riemann, Helmholtz, Dedekind, anderzijds o.a. Leib-
niz, Lambert, Hamilton. Russell publiceerde in 1902 zijn
„Principles of Mathematicsquot;, daarna van 1910 af, in samen-
werking met Whitehead, de „Principia Mathematicaquot;, waarin
de formalisatie van de belangrijkste deelen van de wiskunde werd
gegeven. Dergelijke werken hebben in sterke mate de opvattingen
in zake het probleem van de grondslagen der wiskunde beïnvloed.
Hieraan willen wij in de volgende paragrafen een uitvoerige be-
spreking wijden.

§ 6. Het Logicisme.

Louis Couturat heeft naar aanleiding van Russell's „Prin-
ciples of Mathematicsquot; in de Revue de Métaphysique et de Morale
een even enthousiaste als leesbare reeks artikelen doen verschijnen,
getiteld ,,Les Principes des Mathématiquesquot;. Men vindt daarin
(Xllme Année p. 46) een uiteenzetting van de resultaten der
nieuwere logica. Behalve het aantoonen van de onjuistheid van
vier der traditioneele modi van het syllogisme (t.w. Darapti,
Felapton, Bamalip, Fesapo) dankt men haar ook de weer-
legging van drie fundamenteele dwalingen van de klassieke logica,
te weten:

1.nbsp;de identiteit van de beginselen der identiteit, der contra-
dictie en van het uitgesloten midden;

2.nbsp;dat genoemde beginselen voldoende fundament voor de
logica zouden zijn;

3.nbsp;dat alle redeneerwijzen tot syllogismen te herleiden zouden
zijn.

In de inleiding nu maakt Couturat zich tot tolk van de aspi-
raties van een denkwijze, die men als logicisme betitelt; hij zegt
nl. van Russell's „Principlesquot;:

„Cet ouvrage est en somme destiné à justifier la thèse capitale
de l'identité de la Logique et de la Mathématique, en montrant
que toutes les propositions de celle-ci reposent sur neuf notions

Zie Aanhangsel III.

indéfinissables et sur vingt principes indémontrables, qui sont
les notions premières et les principes de la Logique même.quot;

We hebben in het voorgaande (zeer in het kort) willen schetsen,
hoe, op de basis van de groote successen der theoretische logica,
de logicistische opvatting van de wiskunde ontstond. Het waren
evenwel niet enkel successen, die de theoretische logica oogstte.
Zij had ook zeer aanmerkelijke tegenslagen en wel in den vorm
van het optreden van paradoxen.

Natuurlijk is het optreden van een paradox in de wiskunde
voor de theoretische logica als wetenschap volstrekt geen ramp.
Integendeel, het is van groote propagandistische waarde voor deze
wetenschap; men leert er immers uit, dat men een nauwgezette
analyse der redeneerwijzen moet nastreven.

Wel is het een ramp voor het logicisme als stelsel, wanneer,
ondanks de pijnlijkste zorgvuldigheid in de symbolische operaties,
zich toch ergens in het symbolensysteem een contradictie voor-
doet. Immers wordt daardoor het geheele systeem waardeloos,
want in een contradictoor systeem kan men alles bewijzen.

Reeds bij de Grieken waren paradoxen bekend: met uitzonde-
ring van die van Zeno hadden ze slechts een anecdotisch karak-
ter; men maakte er zich niet te ongerust over, daar men nog
niet, zooals de logistici zouden doen, getracht had, logica en wis-
kunde te vereenigen tot één samenhangend deductief systeem.
Men kon nog met een eenvoudig beroep op het gezond verstand
de paradoxen links laten liggen. Toen evenwel de eerste antino-
mieën der verzamelingsleer bekend werden, brachten deze bij de
logicistisch gezinde wiskundigen groote ontsteltenis teweeg.

Een van de karakteristiekste is de z.g. „paradox van Russellquot;;
we beschouwen eigenschappen van eigenschappen (of, wat op
hetzelfde neerkomt i), klassen van klassen); een eigenschap kan
b.v. de eigenschap bezitten, steeds een andere eigenschap in te
sluiten.

1) De opvatting, dat er tusschen klassen en eigenschappen geen verschil be-
staat, is tegenwoordig algemeen gangbaar (zie b.v. Carnap: „Logische Syntax
der Sprachequot;) en behoeft geen nadere verdediging; een afzonderlijke theorie
èn voor klassen èn voor eigenschappen (zooals b.v. de „Principia Mathematicaquot;
geven) is dus overbodig. Wij gebruiken dus de termen „klassequot; en „eigenschapquot;
zonder onderscheid.

Een eigenschap kan op zichzelf passen: zoo is b.v. de eigenschap
„abstractquot; zelf abstract, e.d. Ook dit „op-zichzelf-passenquot; is een
eigenschap, en wel één, die alleen voor eigenschappen zin heeft;
evenzoo de eigenschap „niet op-zichzelf-passenquot;. Past deze laatste
eigenschap op zich zelf, ja of neen? Past ze op zichzelf, dan heeft
ze de eigenschap „niet-op-zichzelf-passenquot;, en past dus niet op
zichzelf, en omgekeerd.

Men symboliseert deze contradictie als volgt: duidt a een
eigenschap aan, en (p een eigenschap van een eigenschap; dan
beteekent 9?(a): „(p past op aquot;; men stelt nu de zooeven besproken
eigenschap vóór door F:

Fi'P) ^ (Piv)-

Substititie van F voor 99 geeft dan

F(F) = F{F).

Het behoeft ons dus niet te verwonderen, dat van verschillende
kanten pogingen in 't werk werden gesteld om de paradoxen
onschadelijk te maken, en voor de toekomst het optreden van
andere te voorkomen.

Russell gaf achtereenvolgens de „zigzag-theoriequot;, de „theorie
der grootte-begrenzingquot; en de „no-classquot; theorie. De laatste heeft
hij uitgewerkt tot de typentheorie, waaraan we een enkel woord
willen wijden. De klassen (verzamelingen of eigenschappen) worden
hier volgens een ,,hierarchiequot; gerangschikt. Men gaat uit van
zekere ,,individuenquot;. Klassen van deze individuen heeten klassen
van het eerste type. Klassen van klassen van het eerste type
heeten klassen van het tweede type enz. . . . Men ziet nu gemak-
kelijk in, dat de paradox aangaande de klasse der klassen, die
zichzelf niet bevatten, wordt opgelost. Een klasse kan nooit
zich zelf bevatten, daar ze anders tot twee opvolgende typen
zou behooren (de klasse der abstracte begrippen is dus geen klasse
in den zin der typentheorie; evenmin de klasse aller klassen).

Hoe succesvol de typenleer ook moge zijn, ze behoudt het
karakter eener theorie ad hoe. Het is in dit stadium niet in te
zien, dat niet nog eens in een ander geval zich contradicties
zouden kunnen voordoen; men moet dan maar afwachten of men
in zulk een geval de theorie nogmaals door een geschikte inperking
kan redden.

§ 7. Het Intuitionisme.

Toen, met de ontwikkeling van de mathematisehe logica, ook
het logicisme zich tot een gesloten systeem begon te ontwikkelen,
dat als ideaal stelde, de geheele wiskunde te ontwikkelen als een
volgens zekere regels (de „wetten van de logicaquot;) opgebouwd
symbolenstelsel, rees tegen dit streven verzet. Als eerste moderne
„intuitionistquot; ontmoeten we Kkonecker, die de bekende stelling
uitsprak: ,,Die ganzen Zahlen sind von Gott gemacht; alles
andere ist Menschenwerkquot;, en daarmede dus den eisch formuleerde
de mathesis te construeeren, uitgaande van de intuitief gegeven
getallenrij. Wat zoo niet te construeeren was, zou zinloos zijn.

In 1904 en 1905, toen Couturat een vurige verdediging van
de logicistische opvatting der wiskunde publiceerde, die (trouwens
geheel consequent) culmineerde in 't verwerpen van Kant's
synthetische oordeelen a priori, was het (naast enkele anderen)
Poincaré, die het opnam voor de intuitie (Revue de Mét. et de
Morale 1905, 1906, ook in „la Science et la Méthodequot;). Volgens
hem uit zich de intuitie in het toepassen der volledige inductie i);
onder dit gezichtspunt onderzoekt hij nu werken van Whitehead,
Russell, Peano, Burali-Forti, -Hilbert. Deze beschouwingen
laten aan geest en ironie niets te wenschen over.

Toch gaan zij mank aan zekere oppervlakkigheid. Zoo heeft
Brouwer later ook de woorden (gecit. art. p. 819): „en mathé-
matiques Ie mot exister ne peut avoir qu'un sens, il signifie
exempt de contradictionquot; terecht aangevallen als inconsequent
Poincaré heeft dan ook de laatste consequenties van de intui-
tionistische beschouwingswijze niet getrokken. Daarom kon van
zijn beschouwingen weinig invloed uitgaan. Tegenover het prestige,
dat de logistische school verkregen had door de grootsche resul-
taten der theoretische logica, kon zelfs Poincaré's geweldige
mathematische autoriteit weinig gewicht in de schaal leggen.

De eerste, die van de intuitionistische opvattingen de laatste
consequenties heeft aanvaard, was onze landgenoot Brouwer.
In zijn werk ,,Over de Grondslagen der Wiskundequot; (1907) be-
handelt hij in drie hoofdstukken achtereenvolgens

Zie Aanhangsel II.

Kritiek op deze opvatting eveneens bij E. Cassirer: „Kant und die moderne
Mathematikquot;, Kantstudien 12, 1907, S. 41.

De Opbouw der Wiskunde
Wiskunde en Ervaring
Wiskunde en Logica.

De „Opbouw der Wiskundequot; is hier natuurhjk slechts schets-
matig uitgewerkt. Deze gaat uit van de stelling (p. 179):

„De wiskunde is een vrije schepping, onafhankelijk van de
ervaring; zij ontwikkelt zich uit een enkele aprioristische oer-
intuitie, die men zoowel kan noemen constantheid in wisseling
als eenheid in veelheid''.

Deze „oer-intuitie der wiskunde (en van alle werking van het
intellect)quot; wordt nu (p. 8) nader beschreven „als het van qualiteit
ontdane substraat van alle waarneming van verandering, een
eenheid van continu en discreet, een mogelijkheid van samen-
denken van meerdere eenheden, verbonden door een „tusschenquot;,
dat door inschakeling van nieuwe eenheden zich nooit uitputquot;.

Wij komen hierop in § 2 van hoofdstuk IX uitvoeriger terug.

Het tweede hoofdstuk, getiteld „Wiskunde en Ervaringquot; is
voor ons zoo mogelijk van nog grooter beteekenis. De vraag naar
de aprioriteit van de ruimteaanschouwing wordt hierin als volgt
behandeld (p. 97):

„Nu de aprioriteit-, men kan hiermee twee begrippen bedoelen,
n.1.:

)

lquot;. Bestaan onafhankelijk van de ervaring.

2quot;. Noodzakelijke voorwaarde voor de mogelijkheid der weten-
schap.

„Wordt het eerste bedoeld, dan volgt uit den intuitieven op-
bouw, dat de geheele wiskunde a priori is, en b.v. de niet-Eucli-
dische evengoed als de Euclidische, de metrische meetkunde even-
goed als de projectieve.

Wordt het tweede bedoeld, dan mogen we, daar wetenschappe-
lijke ervaring haar oorsprong vindt in toepassing der intuïtieve
wiskunde op de „werkelijkheidquot;, en er behalve ervaringsweten-
schap geen andere wetenschap bestaat, dan juist alleen de eigen-
schappen van die intuïtieve wiskunde, niets anders a priori
noemen, dan dat eene, wat aan alle wiskunde gemeen is, en dat
aan den anderen kant toereikend is, om alle wiskunde op te bouwen,
de mtuitie van veeleenigheid, de oer-intuitie der wiskunde.

En daar deze samenvalt met de bewustwording van den tijd
als verandering zonder meer, kunnen we ook zeggen:

Met eenige aprioristische element in de wetenschap is de tijd''

Verderop (p. 113) onderzoekt en verwerpt Brouwer nu,
zooals te verwachten is, de ruimteleer van Kant.

In het derde hoofdstuk wordt de verhouding van wiskunde
en logica onderzocht. We citeeren p. 127:

„Is dus de wiskunde niet afhankelijk van de logica, de logica
is wèl afhankelijk van de wiskunde: vooreerst het intuitief logisch
redeneeren is dat bijzondere wiskundige redeneeren, dat over-
blijft, als men bij het bekijken der wiskundige systemen zich
uitsluitend beperkt tot relaties van geheel en deel...quot;

Belangrijk is verder nog op p. 129:

„Nu hebben de menschen, die alles wiskundig willen bekijken,
dat ook gedaan met de wiskundige taal, en wel in vroeger eeuwen
steeds uitsluitend met de taal der logische redeneeringen: de
hieruit voortgekomen wetenschap is de theoretische logica. Eerst
in de laatste twintig jaren is men de wiskundige taal in het algemeen
op dezelfde wijze gaan bekijken: hierin bestaat... de logistiek.

Zoowel theoretische logica als logistiek zijn dus empirische
wetenschappen, en toepassingen der wiskunde, die . . . nog eerder
tot de ethnographie, dan tot de psychologie moeten worden
gerekend.quot; En op p. 165:

„Dat in de taal, die de wiskunde begeleidt, de opvolging der
woorden aan wetten gehoorzaamt, spreekt vanzelf; maar die
wetten als de leidende bij den opbouw der wiskunde te beschouwen,
daarin ligt de fout.quot;

Met deze woorden is Brouwer's algemeen-wijsgeerig stand-
punt, naar wij meenen, voldoende toegelicht.

In „Het Wezen der Meetkundequot; (1909) vinden we o.m. nog-
maals een uiteenzetting van zijn opvatting inzake de aprioriteits-
vraag; aangezien deze geen nieuwe gezichtspunten opent, gaan
we er niet nader op in. Van groote beteekenis is het artikel: „Over
de Onbetrouwbaarheid der logische Principes.quot; Het principium
tertii exclusi blijkt niet langer als een geoorloofd mathematisch
bewijsmiddel te kunnen worden beschouwd. Het berust nl. op het
in 1900 door Hilbert geformuleerde axioma van de oplosbaarheid
van ieder wiskundig probleem.

Dit axioma vertolkt inderdaad een door haast ieder mathema-

1) Verg. Kant. B XVII.

ticus gedeelde overtuiging. Laat ons echter eens nagaan, op welke
gronden die overtuiging berust.

Ze berust op de voorsteUing, dat de mathematische objecten
„bestaanquot; onafhankehjk van den denkenden geest; de driehoek,
die geconstrueerd moet worden, het getal, dat moet worden be-
rekend, bestaan al, zij het idealiter, en de opgave is slechts,
dien driehoek of dat getal te leeren kennen^). Deze geesteshouding,
die men vriendelijk als platonisme of begripsrealisme, onvrien-
delijk als ,,naiver Existentialabsolutismusquot; aanduidt, is psycholo-
gisch naar analogie van het naief realisme van de natuurobjecten
volkomen te verklaren; men kan er andere opvattingen tegenover
stellen, b.v. de opvatting, dat het denkend bewustzijn de wis-
kundige objecten zelf voortbrengt (het „intuitionismequot; in engeren
zin: Kant, Brouwer).

Het zal echter in het oog springen, hoe gewenscht het is, den
opbouw van de wiskunde geheel onafhankelijk te doen zijn van
ieder speciaal antwoord in deze metaphysische (kentheoretische)
controverse. Men bezige dus, zoolang men voor het principium
tertii exelusi of voor het axioma van Hilbert geen deugdelijker
fundament bezit, geen dezer beide beginselen als mathematisch
bewijsmiddel. Van deze conclusie heeft Brouwer ook de laatste
consequenties aangedurfd. Het blijkt noodzakelijk, ongeveer de
heele wiskunde van den grond af opnieuw op te bouwen. Van zoo'n
intuitionistischen opbouw is het uiterlijk kenmerk het verwerpen
van het principium tertii exelusi; het eigenlijk karakter wordt
bepaald door de hooge mate van construetiviteit. In zijn
verhandelingen „Begründung der Mengenlehre unabhängig vom
logischen Satz vom ausgeschlossenen Drittenquot; (1918 —'19) en
„Begründung der Funktionenlehre unabhängig vom logischen
Satz vom ausgeschlossenen Drittenquot; (1923) heeft Brouwer voor
dien opbouw den grondslag gelegd. Door Brouwer's leerlingen
is deze opbouw in verschillende richtingen voortgezet (de Loor,
Belinfante, Heyting).

Heyting heeft de intuitionistische wiskunde formeel-logisch
onderzocht („Die formalen Regeln der intuitionistischen Logikquot;
I, II, III, 1930). Tengevolge van het verwerpen van het prin-
cipium tertii exelusi zien de formeele regels van Heyting er
natuurlijk anders uit dan de gebruikelijke. Met nadruk wijst

Zie onze noot hoofdstuk IV, § 3.

Heyting er echter op, dat niet dit onderscheid het gewichtigste
strijdpunt uitmaakt. De intuitionistische kritiek op de klassieke
wiskunde gaat uit van onderzoek naar haar zin-, de intuitionis-
tische opbouw van de wiskunde aanvaardt dien zin, doch tracht
dien op meer volkomen wijze te verwezenlijken. Niet op den
uiterlijken vorm van de intuitionistische redeneeringen (en dien
onderzocht Heyting) komt het dus aan, maar op haar inter-
pretatie.

Tegenover de „Parijsche Schoolquot; (na Poincabé o.a. Borel
en Lebesgue) van het intuitionisme staat dus de school van
Brouwer (waarbij ook nog Weyl genoemd moet worden; Weyl
knoopt, behalve bij Kant, ook aan bij de phaenomenologische
philosophie van Husserl) als de eenige, die met het intuitio-
nistisch beginsel werkelijk ernst heeft gemaakt, en heeft laten
zien, hoe de volgens dat beginsel opgebouwde wiskunde van de
traditioneele verschilt.

§ 8. Het Formalisme en de „Metamathematikquot;.

Bij het verloren gaan van zoo aanzienlijke gedeelten van de
traditioneele zoowel als van de moderne wiskunde legde men
zich natuurlijk maar niet zoo aanstonds neer.

Hilbert schreef b.v.:

,,Die Existenzbeweise mittels des Tertium non datur haben
meist einen besonderen Reiz wegen ihrer überraschenden Kürze
und Eleganz. Dieses Tertium non datur dem Mathematiker
nehmen, wäre etwa, wie wenn man den Astronomen das Fern-
rohr oder dem Boxer den Gebrauch der Fäuste untersagen
wollte.quot;

De intuitionistische kritiek laat naar zijn meening van de
wiskunde slechts „kümmerliche Restequot; over; hij stelt zich tot
taak, de wiskunde in haar traditioneelen omvang op te bouwen
op een wijze, die aan de intuitionistische kritiek niet langer
vat geeft. De logische principes worden daartoe op een geheel
nieuwe wijze geïnterpreteerd: het zijn regels, die het Denken
zich in volkomen vrijheid en dus in volledige willekeur oplegt.
Van den ,,zinquot; dier principes, d.w.z. van de bedoeling, waarmee
het Denken zich die regels stelt, kan men abstraheeren. De be-
grippen, die het Denken hanteert, kan men representeeren door
symbolen; de logische principes worden dan gerepresenteerd door
regels, volgens welke die symbolen gecombineerd worden.

Tot nadere verklaring diene het volgende citaat naar de in-
leiding van de „Grundlagen der theoretischen Logikquot; door Hil-
bert en Ackermann:

„Der Übergang zu logischen Folgerungen, wie es durch das
Schliessen geschieht, wird in seinen letzten Elemente zerlegt und
erscheint als formale Umgestaltung der Ausgangsformeln nach
gewissen Regeln, die den Rechenregeln der Algebra analog sind;
das logische Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkül.
Dieser Kalkül macht die erfolgreiche Inangriffnahme von Pro-
bleme möglich, bei denen das rein inhaltliehe, logische Denken
prinzipiell versagt. Zu diesen gehört z.B. die Frage, wie man die
Sätze charakterisieren kann, die aus gegebenen Voraussetzungen
überhaupt gefolgert werden können. — Eine besondere Bedeutung
hat der Logikkalkül in den letzten Jahrzehnten noch bekommen,
indem er sich zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel der mathema-
tischen Grundlagenforschung entwickelt hat. . .

In jüngster Zeit hat Hilbert in einer Reihe von Universitäts-
vorlesungen den Logikkalkül dazu verwendet, um auf einem
neuen Wege zu einem Aufbau der Mathematik zu gelangen, der
die Widerspruchsfreiheit der zugrunde gelegten Annahme er-
kennen lässt.quot;

De hier door Hilbert algemeen geformuleerde vraagstukken
waren voor hem geenszins nieuw. Reeds in 1898 had hij in de
,,Grundlagen der Geometriequot; zijn resultaten over de contradictie-
loosheid van de Euclidische meetkunde gepubliceerd, later ook
analoge resultaten voor de niet-Euclidische meetkunden. Op de
bij dit onderzoek gebezigde methoden kunnen we natuurlijk niet
ingaan. Essentieel is echter, dat de beginselen van de logica en
van de leer der natuurlijke en reëele getallen moesten worden
vooropgesteld. Men kan nu trachten weer verder terug te gaan,
en, om eens iets te noemen, uitgaande van de beginselen van de
logica en van de leer der natuurlijke getallen alléén, te bewijzen,
dat de leer der verzamelingen, en dus ook de (daaruit af te leiden)
theorie der reëele getallen, contradictieloos is.

Het is echter evident, dat men de bewijsmiddelen niet tot nihil
kan reduceeren. Welke bewijsmiddelen zullen ons uitgangspunt
zijn?

Hilbert antwoordt: als bewijsmiddel fungeert het intuitief
redeneeren, waarop ook Brouwer de wiskunde fundeert.

Toch is er een groot verschil: voor Brouwer vormen de resul-

taten van het intuitief redeneeren de wiskunde. Hilbert echter
verstaat onder wiskunde uitsluitend het symbolenspel. Over dat
symbolenspel echter gaat hij intuitief redeneeren. Op die wijze
ontstaat de „metamathesisquot; (bewijstheorie).

Een mathematische theorie wordt bepaald door een stel
teekens, door bepaalde operatieregels voor die teekens, en door
bepaalde teekencombinaties, die als „axioma'squot; dienst doen. Men
vraagt zich nu af: gegeven een stelling (dus een met inachtneming
van operatieregels gevormde teekencombinatie),

1)nbsp;is deze stelling bewijsbaar? d.w.z. op grond van de operatie-
regels uit de axioma's af te leiden?

2)nbsp;is de ongerijmdheid van die stelling te bewijzen? d.w.z. kan
men na toevoeging van die stelling aan de axioma's iedere stel-
ling bewijzen?

Een bijzonder geval van dit vraagstuk is dat van de contra-
dictieloosheid van de theorie i).

Men is gewoon, in een theorie achtereenvolgens voor verschil-
lende stellingen met meer of minder succes die vraag te stellen.
Hilbert stelt het probleem, deze vraag voor de stellingen van
een theorie algemeen te beantwoorden. Dat is het „Entscheidungs-
problemquot;: heeft men dit probleem voor een theorie opgelost, dan
weet men van elke stelling, of deze bewijsbaar en zoo ja, wat
haar bewijs is. Het „Entscheidungsproblemquot; is opgelost voor
de oordeelslogica, en voor enkele andere eenvoudige theorieën.

§ 9. Samenvatting. De oorspronkelijke doelstelling van de ma-
thematische logica was gericht op een codificatie van de be-
schouwde theorieën uit formeel-logisch gezichtspunt. Ze vroeg
zich af: welke postulaten liggen aan deze theorie ten grondslag,
welke bewijsmiddelen zijn voor haar opbouw gebezigd? Op het
bewustzijn, de volledige kennis dier postulaten en bewijsmiddelen
te bezitten, gronden zich de aspiraties van het logicisme: alle
mathematische begrippen door expliciete definitie tot logische
begrippen terug te voeren, en alle mathematische stellingen
deductief uit de logische principes af te leiden. Intuitionisme en
formalisme komen nu daarin overeen, dat ze de vraag stellen naar
de ,,legitimiteitquot; der gebruikte bewijsmiddelen. Ze verschillen
echter in de antwoorden, die ze op die vraag geven.

1) Een voorbeeld van een eontradictieloosheldsbewijs gaven we in § 2.

De wortel van de oneenigheid tusschen logicisme en intuitio-
nisme hgt in de radicaal verschillende beteekenis door deze beide
richtingen aan de mathematische evidentie toegekend. Voor
Descartes, Kant, Schopenhauer is de evidentie („reine An-
schauungquot;) voor de wiskunde het fundament bij uitstek. In de
eerste plaats is noodig een aanschouwelijke fundeering van de
mathematische stellingen; haar logische ordening in een op
„axioma'squot; deductief gebouwd systeem kan pas daarna komen.

Tegen deze opvatting verzet zich het logicisme. Het voor-
naamste argument is gelegen in de bedrieglijkheid van de aan-
schouwelijke evidentie i); het grondvesten van de mathesis op
evidentie brengt in deze wetenschap noodzakelijk een element
van willekeur, van smaak, kortom van „subjectiviteitquot;. Voor
„objectiefquot; onderzoek vatbaar zijn alleen de verbale mededee-
lingen over „Evidenzerlebnissequot;; de logica van de wiskunde
heeft zich slechts bezig te houden met die mededeelingen en te
onderzoeken, welke samenhangen daartusschen bestaan. Die me-
dedeelingen, systematisch geordend, vormen de mathematische
theorieën

Brouwer wijst op de onmogelijkheid, de evidentie te ehmi-
neeren; het onderzoek van de gesymboUseerde theorieën (logistiek
en bewijstheorie) is zonder bepaalde evidenties theoretisch on-
denkbaar en practisch onuitvoerbaar (zooals de formahstische
school van Hilbert volledig blijkt te erkennen), en die evidenties
zijn in wezen met de traditioneele mathematische evidenties vol-
komen gelijksoortig

Ook is het feit, dat de evidentie ons wel eens misleidt, evenmin
een voldoende aanleiding, de evidentie uit de wiskunde te ver-
bannen, als het voorkomen van zinsbedrog de waarneming voor
de natuurwetenschap waardeloos maakt. De eisch, elk beroep op
evidentie te vermijden kan alleen gesteld worden, wanneer men
van de wiskunde een absolute zekerheid verlangt (een standpunt,
dat Menger n.b. den intuitionisten verwijt!) en dus een ab-
soluten waarborg tegen fouten en vergissingen noodig heeft.

Wel is het noodzakelijk, dat we ons op het wezen van de

Voorbeelden bij Hans Hahn: „Die Krise der Anschauungquot;, „Krise u.
Neuaufbau in den ex. Wiss.quot; 1933 Lpz/Wien, S. 4 ff.
Karl Menger: „Die neue Logikquot; I.e. S. 93 ff.
ä) Zooais uit de uiteenzettingen van §§ 1—5 en van Aanhangsel I kan blijken.

mathematische evidentie nader bezinnen, teneinde aan haar toe-
passing op de wiskunde een grondslag te verschaffen {subjectieve
fundeering van de wiskunde) en aldus de mathematische bewijs-
middelen te legitimeeren.

Volgens de intuitionisten ontleenen een mathematische theorie
en de daarin gebezigde bewijsmiddelen hun legitimiteit aan hun
,,constructiefquot; karakter.

Een mathematische theorie moet gefundeerd zijn op bepaalde
mathematische constructies (zoo b.v. de rekenkunde op de be-
werkingen met geheele getallen: optellen, aftrekken, vermenig-
vuldigen, deelen, ontbinding in factoren, enz.) en ontwikkelt
van die constructies de eigenschappen. Haar stellingen poneeren
de mogelijkheid of onmogelijkheid van constructies („existentie-
stellingenquot;, ,,onmogelijkheidsstellingenquot;). In het eerste geval be-
staat het bewijs in het aangeven van de wijze, waarop de con-
structie kan worden uitgevoerd, in het tweede geval in het aan-
wijzen van een plek, waar de constructie noodzakelijk moet mis-
lukken. De uiteenzetting op papier (in logistische symbolen of
in natuurlijke taal) of door het gesproken woord is van die
constructies slechts een beschrijving. De wetten van de logica
beschrijven alleen de algemeene regelmatigheden dier uiteenzet-
ting en zijn dus voor de mathesis als zoodanig niet essentieel.

Voor den formalist echter is, evenals voor den logicist, zoo hij
consequent ware, die symbolische uiteenzetting de wiskunde zelf.
Of de stellingen van de wiskunde een „zinquot; bezitten, komt er
voor hem niet op aan. Essentieel zijn de relaties dier stellingen.
Een mathematische theorie is legitiem, wanneer het bewijs van
haar niet-strijdigheid is geleverd.

Onderzoekingen van Gödel i) schijnen er evenwel op te wijzen,
dat aan pogingen in deze richting een principieele grens is gesteld.
Gödel bewijst nl. langs metamathematischen weg: voor een
,,recursievequot;, niet contradictore formeele theorie k kan het bewijs
van de niet-strijdigheid niet geleverd worden met behulp van
bewijsmiddelen, die men binnen die theorie k kan formaliseeren.

1) Monatshefte f. Math. u. Phys., 38 (1930), S. 173, waarheen we ook moeten
verwijzen voor een uiteenzetting van wat onder een recursieve theorie moet worden
verstaan (de uiteenzetting van Menger Lc. is ten deze onbetrouwbaar); alleen
merken we op, dat het systeem der „Principia Mathematicaquot; en v. Neumann's
formeele theorie van de verzamelingen recursieve theorieën zijn, zoodat daarop
Gödel's theorema van toepassing is.

Dit tast weliswaar de metamathematische methode niet aan;
immers deze maakt van intuïtieve niet-geformaliseerde bewijs-
middelen gebruik. Wanneer we echter die bewijsmiddelen gaan
formaliseeren, zal moeten blijken, dat ze uitgebreider zijn dan de
bewijsmiddelen van de theorie k. Een successieve inkrimping
van de gebruikte bewijsmiddelen blijkt dus onmogelijk. Wel
blijkt uit Gödel's resultaat de vruchtbaarheid der metamathe-
matische methode, echter ook de onmogelijkheid, langs den weg
der formalisatie tot een „absoluut fundamentquot; der mathesis te
geraken.

§ 10. De Axiomatiek. Van welke beteekenis is de axiomatische
methode voor den opbouw van de intuitionistische wiskunde?

Na Weyl 1) heeft Heyting in de inleiding tot zijn proefschrift
deze vraag aangeroerd; in afwijking van Weyl, die over schijnt
te hellen tot de opvatting, dat voor den intuitionist de axiomatiek
elke beteekenis verliest, meent Heyting, dat voor een axiomatische
behandeling van intuitionistische theorieën plaats blijft, al kan
ze niet langer dienen als grondslag. Hij gaat uit van een door
Brouwer in zijn „Begründung der Mengenlehrequot; I blz. 4 aan-
gegeven beginsel, op grond waarvan uit de soorten de tc® orde
een soort A der (re 1)® orde gevormd wordt „De axiomatiek
is een toepassing van dat principe; de definieerende eigenschap
der nieuwe soort A is, dat tusschen de elementen van haar
elementen de door de axioma's gepreciseerde relaties bestaan.quot;

Het zij ons vergund, hiernaast een andere opvatting te stellen,
waardoor de axiomatiek een grootere (zij het niet volkomen)
zelfstandigheid verkrijgt; we gaan daartoe uit van de door Kol-
mogoroff gegeven interpretatie van de intuitionistische
logica als een logica der problemen.

De logische variabelen p, q, r, . . . duiden problemen aan. De
intuitionistische logica leert nu, problemen tot andere te her-

1) H. Weyl: „t)ber die neue Grundlagenkrise der Mathematikquot;, Math. Zs.
10, 70.

A. Heyting: „Intuitionistische Axiomatiek der Projectieve Meetkundequot;,
Proefschr. A'dam 1925.

=) Dit principe komt overeen met Russell's typentheorie; Brower's soorten
van stijgende orde zijn de intuitionistische analoga van Russell's Massen van

type 1, 2,----

Kolmogoroff, Math. Zs. 35, 58.

leiden. Het probleem, de oplossing van een probleem q tot de
oplossing van een probleem p te herleiden, wordt aangeduid
als p q.

De axioma's vertegenwoordigen dus de grondproblemen van
de theorie. Men kan nu op twee manieren te werk gaan: men
kan vooreerst aannemen, dat deze problemen vooraf reeds zijn
opgelost, zoodat de theorie niets anders doet, dan onopgeloste
problemen (vertegenwoordigd door de afgeleide stellingen) tot
deze opgeloste grondproblemen herleiden.

Men doet dit, wanneer men, zooals Heyting in zijn genoemd
proefschrift, aan de axiomatische behandeling van de projec-
tieve meetkunde een arithmetische fundeering doet voorafgaan.
De axioma's formuleeren dan zekere arithmetische (algebraïsche)
problemen, waarvan de oplossing bekend wordt ondersteld, en
waartoe de andere oplosbare problemen van de theorie worden
herleid.

Men kan echter ook (en op deze wijze komen o.i. de mérites
van de axiomatiek beter tot haar recht) de axioma's onafhankelijk
van een arithmetische fundeering opstellen en daarna eerst (b.v.
door invoering van coördinaten) de meetkundige problemen tot
arithmetische trachten te herleiden De axioma's formuleeren
dan een complex problemen, een plan van constructie (want elk
probleem heeft betrekking op een mathematische constructie);
eerst gedurende de deductieve ontwikkeling van de theorie vinden
die problemen hun oplossing, vindt dat plan zijn uitvoering.

1) Zie b.v. Hermann Weyl: „Mathematische Analyse des Raumproblemsquot;,
Berlin 1923, 1. Vorl.

HOOFDSTUK VI.

De Systematische Plaats van de Meetkunde als Onderdeel
van de Zuivere Wiskunde.

Het vorige hoofdstuk bepaalde zieh tot een onderzoek van de
wiskundige methode in het algemeen. De moderne mathesis
echter is een wetenschap, die aan uiterste strengheid en gesloten-
heid van opbouw een buitengewone differentiatie paart. Zij
omvat talloos vele afzonderlijk op te bouwen en onderling on-
afhankelijke theorieën, zoodat men wellicht zou kunnen ver-
moeden, dat ook in de mathematische methode een dergelijke
differentiatie zou bestaan, waarmee dan in het voorgaande mis-
schien niet in voldoende mate rekening was gehouden. Vooral
zou deze vraag zich kunnen voordoen naar aanleiding van de
nog steeds veelvuldig voorkomende onderverdeeling van de wis-
kunde in analyse en meetkunde. Hield misschien onze, in beginsel
sterk naar het formeele georienteerde, uiteenzetting wellicht niet
eenigszins eenzijdig rekening met de behoeften der analyse, en
is dan voor de behandeling van de meetkunde een meer op het
aanschouwelijke gerichte methode misschien niet geheel onont-
beerlijk?

Onderzoekt men, wat er in de zuivere wiskunde alzoo als
„meetkundequot; wordt aangemerkt, dan ziet men vóór zich uitge-
stald een chaos van de meest uiteenloopende vakken. Het blijft
aanvankelijk duister, waarom men op deze onderdeden der wis-
kunde het etiket „meetkundequot; plakt en op andere niet. Inderdaad
blijkt ook, dat aan deze betiteling geen consequente indeelings-
methode ten grondslag ligt, maar dat daarbij verschillende factoren
een invloed kunnen doen gelden.

Allereerst is daarbij te noemen de historische factor. Van
oudsher was overgeleverd de „Euclidische Meetkundequot;, dat wil
zeggen een tak van de wiskunde, die in beginsel voortbouwt
op het door Euclides in zijn „Elementenquot; {Sroixeïa) gelegde
fundament, waarbij men evenwel nastreeft verbreeding en ver-
dieping van de hierin neergelegde resultaten. Nu kwamen in later

tijd hiernaast afwijkende methodische gezichtspunten op, b.v.
die van de „analytische meetkundequot; (Descaktes), die van de
,»projectieve meetkundequot; (Desargues, Poncelet e.a.), die aan-
leiding gaven tot de ontwikkeling van in den grond van de
Euclidische meetkunde onderscheiden takken van de wiskunde.
Intusschen was deze ontwikkeling in het begin zoo nauw met de
probleemstelling van de Euclidische meetkunde verbonden, dat
het fundamenteele verschil ternauwernood gevoeld werd, en dus
deze nieuwe vakken eveneens den naam ,,meetkundequot; ont-
vingen, dien ze later bleven behouden.

Met de pretentie, fundamenteel van de Euclidische te ver-
schillen, maar niettemin volkomen gelijkwaardig er mee te zijn,
en dus evenzeer den naam ,,meetkundequot; te verdienen, verschenen
nu de veel omstreden „Niet-Euclidische Meetkundenquot;. En deze
ontwikkeling bleef voortgaan. Ieder nieuw vak, dat zich oorspron-
kelijk aanleunde aan de probleemstelling van één der als meet-
kunde betitelde vakken, nam eveneens dezen naam aan, zoodat
hierdoor een groot aantal meetkundige wiskundevakken ontstond.

Een andere factor is die van de methode en de nomenclatuur
in het onderhavige wiskundevak. Zoo'n vak kan vaak oorspronke-
lijk geheel vreemd staan t.o.v. de meetkunde; nu komt iemand
op het idee, dat de behandeling van dat vak wordt vergemakke-
lijkt door in dat vak een meetkundige nomenclatuur te gebruiken.
Zoo krijgen nu de stellingen een meetkundigen klank, men kan
alles meetkundig inkleeden, en zelfs van tijd tot tijd door figuren
de zaken verduidelijken. Dat dit alles voor velen een groot con-
venient kan zijn, laat zich hooren, maar evenzeer, dat het karakter
van het vak de facto niet verandert

Den systematischen factor treffen we aan bij Klein. In zijn
,,Erlanger Programmquot; geeft hij de opvatting van meetkunde als
de in variantentheorie van een of andere ,, transformatiegroepquot;.
We willen dit nog nader toelichten door een voorbeeld. In de
Euclidische meetkunde wordt geen onderscheid gemaakt tusschen
twee driehoeken, die congruent zijn. Hiermee bedoelen we niet.

Voorbeeld: de afbeelding van de complexe getallen op de punten van het
platte vlak („complex vlakquot; van Gauss-Akgand). Deze werd de grondslag voor
de latere ontwikkeling van de „meetkundige fimctieleerquot; (Riemann, Klein e.a.).
Een ander voorbeeld levert de getallentheorie (Minkowski: „Geometrie der
Zahlenquot;).

dat men ze als identiek beschouwt, maar men beschouwt ze als
aequivalent: alleen die eigenschappen van den driehoek, die ze
met alle ermee congruente gemeen heeft, worden als ,,in den
zin der Euclidische meetkunde wezenlijkquot; beschouwd. Nu ont-
staan alle congruente driehoeken uit elkaar door verschuiving
als men symmetrische driehoeken ook congruent noemt, moet
men hier bijvoegen: of door spiegeling. Wezenlijke eigenschappen
van een driehoek (of een andere figuur) gaan dus bij verschuiving
of spiegeling niet teloor, en ook omgekeerd: eigenschappen, die
bij verschuiving of spiegeling niet teloor gaan, zijn als wezenlijk
te beschouwen.

Dat de gelijkbeenige driehiek ABT met de top naar beneden
wijst, is geen wezenlijke eigenschap, want we kunnen hem zoo
verschuiven, dat de top in een willekeurige richting wijst. Dat
hij gelijkbeenig is, en dat de beenen c.m. lang zijn, is wel een
wezenlijke eigenschap, want nooit kan men ABT op zoo'n manier
spiegelen of verschuiven, dat deze eigenschap verloren gaat.

„Geometrie unterschiedet sich eben dadurch von Topographie, dass
nur solche Eigenschaften des Raumes geometrisch heissen, welcher
bei einer gewissen Gruppe von Operationen ungeändert bleiben'''

In ons geval bestond die „Gruppe von Operationenquot; uit de
(Euclidische) verschuivingen en spiegelingen. Men kan nu ook
een andere „Gruppe von Operationenquot; ten grondslag leggen, en
krijgt dan noodzakelijk een andere meetkunde. Door de syste-
matische onderzoekingen van Lie, Klein e.a. over deze z.g.
,,Transformationsgruppenquot; heeft men nu tevens een systema-
tisch overzicht gekregen van de meetkunden, die men op die
manier kan verkrijgen.

Op den duur werd echter ook deze omschrijving weer te eng.
Brouwer gaf de volgende uitbreiding („Het Wezen der Meet-
kundequot;, Amsterdam 1909 p. 13):

„Meetkunde houdt zich bezig met de eigenschappen van ruim-
ten van een of meer dimensies. In het bijzonder onderzoekt en
classificeert zij de in die ruimten mogelijke puntverzamelingen,
transformaties en transformatiegroepen.quot;

Een vierde factor van niet te onderschatten beteekenis is de
aesthetische. Wanneer men een onderdeel van de wiskunde, een

Ook de draaiingen worden hierbij tot de verschuivingen gerekend.
F. Klein, „Höhere Geometriequot; II Göttingen 1893 S. 29.

bewijsmethode, een manier van behandelen ,,meetkundigquot;
noemt, dan is dat niet zelden een vorm van aesthetische waar-
deering, meestal gunstig bedoeld, maar soms ook ongunstig.

In gunstigen zin ,,meetkundigquot; heet een bewijsmethode, die
geen gebruik maakt van ingewikkelde berekeningen, of lang-
dradige formuleeringen, maar die recht op het doel afgaat en
doorzichtig verloopt; ook een methode, die zich op elegante wijze
door een figuur laat illustreeren (natuurlijk doet die figuur alleen
als illustratie, niet als bewijsmiddel dienst). Aan den anderen
kant beschouwen sommige meetkundigen b.v. een behandeling
van de algebraïsche krommen, die op groote schaal gebruik maakt
van de theorie der complexe functies, niet als voldoende ,,meet-
kundigquot;. In ongunstigen zin ,,meetkundigquot; noemt men een be-
handeling, die door langdradige redeneeringen een voor de hand
liggende algebraïsche behandeling tracht te vermijden, of ook
wel een, die aan mathematische strengheid te wenschen overlaat.

We kunnen uit dit alles met Veblen en Whitehead („The
Foundations of Differential Geometryquot;, p. 17) de volgende slot-
som aanvaarden.

„A geometry is a mathematical science. The question then
arises when the name geometry is given to some mathematical
sciences and not to others. It is likely that there is no definite
answer to this question but that a branch of mathematics is
called a geometry because the name seems good, on emotional
and traditional grounds, to a sufficient number of competent
people.quot;

Voor ons wil dat natuurlijk zeggen, dat er van philosophisch
standpunt geen aanleiding meer is, onderscheid te maken tusschen
meetkundige en andere takken van de wiskunde, tenminste zoo-
lang we ons beperken tot de zuivere wiskunde en met name
nog afzien van de toepassing van wiskunde op de ervarings-
wetenschappen.

We hebben in het voorgaande gezien, dat het een kwestie is
van historie, speciale systematiek, nomenclatuur, ja zelfs van
aesthetische waardeering en van traditie, of men een zekeren tak
van de zuivere wiskunde aanduidt als meetkundig. Hieruit
kunnen we concludeeren, dat we bij een onderzoek van de zuivere
wiskunde uit een zuiver logisch oogpunt beter doen, die onder-
scheiding van de wiskunde in meetkundige en niet-meetkundige

onderdeelen als hier niet relevant buiten beschouwing te laten.
De vraag, of het bewijs in de meetkunde zuiver logisch kan
worden geleverd, en ook de vraag, wat dat eigenhjk beteekent:
een zuiver logisch bewijs leveren, zijn dus voor de meetkunde geen
andere meer dan voor eenig ander onderdeel van de zuivere
wiskunde.

Nu kan men de eerste vraag voor de wiskunde niet in 't alge-
meen beantwoorden: men moet voor elk onderdeel van de wis-
kunde afzonderlijk beproeven, of een zuiver logische opbouw
mogelijk is. Kort gezegd komt het er op aan, zonder een beroep
te doen op de „ervaringquot;, dan wel op logisch niet zuiver te
vatten „voorstellingenquot;, de „grondbegrippenquot; te definieeren en
de daarvoor geldende eigenschappen in „axiomataquot; of „postula-
tenquot; te formuleeren. Daarna moet men, enkel voortbouwende
op deze „grondslagenquot;, de overige begrippen van het onderhavige
onderdeel van de wiskunde invoeren, en de stellingen ervan
opstellen en bewijzen.

Deze methode, de axiomatische, is wel het eerst door D. Hil-
bert in haar uiterste consequenties doorgevoerd; minder ge-
slaagde pogingen treft men reeds veel vroeger aan (de eerste
bij Euclides); wij stellen ons ermee tevreden, op te merken, dat
Hilbert in zijn werken „Grundlagen der Geometriequot; (1898),
„Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometriequot;
(1903), „Über die Grundlagen der Geometriequot; (1902), „Über
den Zahlbegriffquot; (1900) voor de aldaar behandelde takken der
wiskunde de axiomatische methode met volledig succes heeft
toegepast, en zoo het „zuiver mathematischquot; karakter dier
wetenschappen buiten allen twijfel heeft vastgesteld, en dat vele
andere wiskundigen voor andere takken der wiskunde zich dezelfde
moeite hebben getroost.

Daarna doet zich evenwel een tweede vraag voor. Wat is
het „wezenquot; van het logisch bewijs, wat is de „rechtsgrondquot;
van de axiomatische methode? Deze vraag moet in 't algemeen
worden beantwoord. Wij kunnen daarvoor naar het vorig hoofd-
stuk verwijzen

Een derde vraag is dan nog over. Hoe is het mogelijk, dat

Bedoeld is een zuiver rationeele opbouw, een opbouw onafhankelijk van de
empirie, en niet een opbouw in een of ander logistisch systeem.
Hoofdstuk v, §§ 8—10.

een zuiver wiskundige wetenschap als de meetkunde, een weten-
schap dus, die zuiver logisch kan worden opgebouwd, in wissel-
werking treedt met de „ervaringquot;? Hoe is het mogelijk, dat een
dergelijke wisselwerking vruchtbaar is? Deze vraag is het, die den
grondslag uitmaakt van de probleemstelling van Kant's philo-
sophie. Voor Kant was theoretische wetenschap ondenkbaar
anders dan als grondslag van ervaringswetenschap. Wij volgen
hem hierin niet; naar onze meening is een zuivere theoretische
opbouw van de wiskunde mogelijk; of die wiskunde toepasbaar-
heid bezit op ervaring is een tweede, niet minder belangrijke
vraag, die pas nu aan de orde kan komen. Deze tweede vraag
beantwoordt Kant door zijn invoering van de aanschouwings-
ruimte. Wij hebben dit begrip reeds uitvoerig besproken, en gaan
thans dus tot nader inzicht in de toepasbaarheid van de wiskunde
over tot een studie van de methodenleer van de ervaringsweten-
schappen.

HOOFDSTUK VII.

De Methoden van de Ervaringswetenschappen.

§ 1. Het Waarnemingsoordeel. Het waarnemingsoordeel be-
staat in het aanduiden van een aanschouwelijk gegeven „feitquot;
door een teeken of door een stel teekens; het begrip „teekenquot;
worde in zoo ruim mogelijke beteekenis genomen, zoodat behalve
woorden, getallen e.d. voorstellingen en voorstellingscomplexen
ertoe kunnen worden gerekend, in zooverre ook deze in zekeren
zin kunnen dienen, om een aanschouwelijk gegeven te „objecti-
veerenquot; en te „representeerenquot;.

Zoolang een aanschouwelijk ,,gegevenquot; gevangen blijft in den
chaos der gewaarwordingen, blijft het individueel-subjectief; zal
het objectieve waarde bezitten, dan moet het geobjectiveerd zijn
en aangeduid zijn door een teeken. Alleen geobjectiveerd bezit het
beteekenis voor de wetenschap; de logica als wetenschapsleer
heeft zich dus in de eerste plaats bezig te houden met het ob-
j ectivatieproces.

§ 2. Welke aanschouwingselementen nu zijn voor objectivatie
vatbaar? Anders gezegd: waarop berust de mogelijkheid van
objectivatie door middel van teekens?

Het antwoord is hier niet moeilijk te geven: de mogelijkheid
van aanduiding door teekens immers berust klaarblijkelijk op
de mogelijkheid, relaties van overeenkomst en verschil te stellen
en weer te geven door overeenkomst en verschil van teekens.
In het aanschouwelijk gegeven treden deze relaties op als over-
eenkomst en verschil van aanschouwelijk gegeven objecten ten
opzichte van een aanschouwelijk gegeven qualiteit. Zulke aan-
schouwelijk gegeven qualiteiten zijn b.v. kleur, ruimtelijke
hgging; verder de vorm i) van de objecten.

Verg. de „Gestaltqualitatenquot; van Ehrenfels.

Een waarnemingsoordeel heeft dus steeds betrekking op een
object, en wel in dier voege, dat het dat object vergelijkt met
een ander ten aanzien van een aanschouwelijke qualiteit. De
eigenaardige wijze, waarop wij de gewaarwording van die aan-
schouwelijke qualiteit subjectief beleven, is voor objectivatie niet
vatbaar en komt daarom in een oordeel nimmer tot uitdrukking.

§ 3. Een enkelvoudig waarnemingsoordeel bepaalt zich in het
algemeen tot het constateeren van één dergelijke relatie van
overeenkomst of verschil; werkelijk voorkomende waarnemings-
oordeelen echter bevatten meestal impliciet of expliciet meerdere
dergelijke relaties. Om te begrijpen, hoe dat mogelijk is, zullen
we onderzoeken, hoe we meerdere enkelvoudige waarnemings-
oordeelen tot een samengesteld waarnemingsoordeel kunnen
bijeenvoegen; omgekeerd kan dan een waarnemingsoordeel, dat
meerdere zulke relaties tot uitdrukking brengt, geacht worden
te zijn ontstaan door bijeenvoeging van meerdere enkelvoudige
waarnemingsoordeelen.

§ 4. De bijeenvoeging van enkelvoudige waarnemingsoordee-
len tot samengestelde geschiedt door middel van de teekens
(„nietquot;), amp; („enquot;), v („ofquot;), (het teeken voor de implicatiequot;;
p-gt;q beteekent „uit p volgt qquot;), (x) („voor alle^cquot;), {Ex) „er
is een xquot;), en wel, in aansluiting aan Hoofdstuk V, als volgt:

Zij p het waarnemingsoordeel „x komt met y t.o.v. de qualiteit
Q overeenquot;, dan duiden we den volzin „x verschilt van y t.o.v.
de qualiteit Qquot; aan door het verkorte symbool p; zij p het waar-
nemingsoordeel „X verschilt van y t.o.v. de qualiteit Qquot;, dan
duiden we den volzin „x komt met y t.o.v. de qualiteit Q overeenquot;
aan door p; in beide gevallen noemen we p een „waarquot;, p een
„onwaarquot; oordeel.

Verder geven we een aantal regels, waardoor we de waarheid
of onwaarheid (het „waarheidsgehaltequot;) van een samengesteld
oordeel terugvoeren tot die van een of meer minder samengestelde,

1)nbsp;p is waar of onwaar, naar gelang p onwaar of waar is.

2)nbsp;p amp; g is waar, wanneer peaq beide waar zijn, anders onwaar.

3)nbsp;pvq is onwaar, wanneer p en g beide onwaar zijn, anders waar.

4)nbsp;p-^q is onwaar, wanneer p waar, q onwaar is, anders waar
We hebben daardoor de „beteekenisquot; dezer samengestelde

oordeelen vastgelegd, want we kunnen ze successievelijk tot enkel-
voudige herleiden en dan nagaan of ze waar zijn of onwaar.

Om de beteekenis van de symbolen (x) en {Ex) te verklaren,
stellen we ons voor, dat we een aantal objecten a^, a^, . . .
hebben, die we gezamenlijk door x voorstellen; verder, dat we
voor al die objecten een overeenkomstig oordeel kunnen uit-
spreken (dat echter niet altijd waar behoeft te zijn); die oor-
deelen zullen we afzonderlijk door ƒ(%),ƒ(ag), . . ƒ(««), gezamen-
lijk door f{x) aanduiden.

We stellen dan de regels op:

5)nbsp;(x)f(x) is waar of onwaar, naar gelang

ƒ(%) amp;fia^) amp; . . . amp;/(aj

waar of onwaar is.

6)nbsp;(Ex)f{x) is waar of onwaar, naar gelang

f{ai)vf{a^)v . . .vf{a^)

waar of onwaar is.

De zoo verkregen algemeene en existentieele oordeelen berusten
op volledige inductie in den zin van de empirie. Van alle elementen
«1, tta, . . . a„ moet onderzocht zijn of het oordeel f{x) waar is,
voordat men kan beslissen over waarheid of onwaarheid van de
oordeelen {x)f{x) en {Ex)f(x).

§ 5. Constructieve Methode. Een op deze wijze verkregen „al-
gemeenquot; oordeel {x)f{x) bezit slechts ,,komparative Allgemein-
heitquot;. De wijze, waarop het is verkregen, staat toepassing van
het oordeel slechts toe op die objecten x, waarvoor de juistheid
van f[x) door waarneming is gegarandeerd

Men kan deze definities als volgt in een schema overzichtelijker samenvatten:

p \w O

p amp;q

W O
O O

Men herinnert zich, dat op deze opmerking Stuabt Mai. zijn kritiek van
de syUogistiek fundeert.

Het zal duidelijk zijn, dat de ervaringswetenschappen zeer weinig
zouden kunnen vorderen, wanneer men zich hieraan hield en
dus de algemeene oordeelen in den zin van de inductieve methode
en zonder eenige generalisatiemogelijkheid interpreteerde, maar
eveneens, dat een generalisatie van het algemeene oordeel buiten
het terrein van de waarnemingscontróle een grondige methodische
fundeering behoeft.

Die wordt nu geleverd door de mathematisch-constructieve
methode. Zooals de inductieve methode bestaat in de „waar-
nemingquot; van de verschijnselen in de zintuiglijke aanschouwings-
wereld, zoo bestaat de mathematisch-constructieve methode in
hun „verklaringquot;. Deze verklaring geschiedt op grond van
„modellenquot;; gewoonlijk pleegt men onder model meer bepaalde-
lijk „mechanisch modelquot; te verstaan; wij begrijpen hieronder
evenwel ieder mathematisch systeem, dat tot verklaring van zekere
waargenomen verschijnselen dient. Zoo is b.v. het mathematisch
apparaat van de relativiteitstheorie een „modelquot;.

De verklaring van de verschijnselen op grond van de construc-
tieve methode maakt nu

1)nbsp;zinvolle generalisatie van de door waarneming verkregen
resultaten mogelijk, en

2)nbsp;stelt ze ons in staat aan de verschijnselen den „wezenlijkenquot;
van den „onwezenlijkenquot; kant, aan de objecten de „wezenlijkequot;
van de ,,onwezenlijkequot; eigenschappen te onderscheiden.

Op die laatste onderscheiding berust de mogelijkheid van for-
meele invoering van de identiteitsrelatie tusschen objecten van
de aanschouwingswereld. We willen deze met eenige uitvoerigheid
verrichten.

§ 6. Formeele invoering van de identiteitsrelatie. We duiden
het oordeel, dat overeenkomst, resp. verschil van de objecten
X en y t.o.v. de qualiteit Q aanduidt, aan door

ccEyiQ)

resp.

xDyiQ).

Dan gelden de volgende, gemakkelijk te begrijpen, regels:
7) xEyiQ) -gt; yExiQ) 8) xDyjQ) ^ yPxjQ);
9) xEx(Q)__10) xDx{Q^_

11) xEyiQ) xDyiQ)nbsp;12) xDyiQ) xEy{Q);

(de regels 10 en 12 volgen uit de overige op grond van de regels
van de oordeelslogica).

We noemen twee objecten a en è gelijkwaardig ten opzichte
van de qualiteit Q, wanneer elk object cc, dat t.o.v. Q overeen-
komt met, resp. verschilt van a, ook overeenkomt met, resp.
verschilt van b t.o.v. Q, en omgekeerd. In formule:

13)nbsp;aAeqb(Q) = {x){[xEa(Q) ^ xEb{Q)]amp;

[xDa{Q) ^ xDb{Q)]amp;
[xEb(Q) ^xEa{Q)]amp;
[xDb{Q) ^ xDa{Q)]}.

Men bewijst nu de stelling: de gelijkwaardigheid t.o.v. een
qualiteit Q is een reflexieve, symmetrische, transitieve betrekking:

14)nbsp;xAeqx(Q)

15)nbsp;xAeqyiQ) yAeqx{Q)

16)nbsp;{[xAeqyiQ)] amp; [yAeqz{Q)]} [xAeqziQ)]

Volgens een stelling uit de logistiek bepaalt dan (op grond van
de methode der abstractie) elk object een klasse C{x), zoodanig
dat

17)nbsp;[yeC(x) xAeqy(Q)] amp; [xAeqy{Q) yeC{x)] i).

Een dergelijke, aan het object verbonden, klasse noemt men
een eigenschap van het object.

Twee objecten hebben we identiek genoemd, wanneer ze in
alle wezenlijke eigenschappen overeenstemmen; duiden we een
wezenlijke eigenschap van x aan door W{x), dan kunnen we deze
definitie zóó weergeven

18)nbsp;{x^ y) = {W){xeW{y) amp; yeW{x)}

§ 7. Voorbeeld van een identificatie. We hebben al opgemerkt,
dat we, om een identificatie van twee objecten te kunnen uit-
voeren, moeten weten, welke eigenschappen van die objecten
als „wezenlijkquot; te beschouwen zijn; dat is in het algemeen alleen
mogelijk op grond van de constructieve methode.

Een bekend voorbeeld van zoo'n identificatie is het volgende.
Eerst de formuleering van de algemeene wet der gravitatie door

Men leze het symbool xeC als volgt: „het object x behoort tot de klasse Cquot;.

isaac Newton leerde, welke eigenschappen voor een komeet
wezenlijk zijn: een komeet gehoorzaamt aan die wet evenzeer
als de planeten. Zij zal derhalve een kegelsnee-baan beschrijven;
de „elementenquot; van die baan (dat zijn de grootheden, die vorm,
afmeting en ligging van die baan, alsmede het tijdstip, waarop
een bepaald punt gepasseerd wordt, vastleggen) zijn dus wezen-
lijke eigenschappen van de komeet. Aan den anderen kant bleek
het uiterlijk voorkomen zeer van variabele omstandigheden af-
hankelijk, zoodat het geen wezenlijke eigenschap mag heeten.
Een identificatie van kometen kan dus geschieden op grond van
vergelijking van de baanelementen. Op die wijze slaagde Newton's
leerling Halley erin, een aantal sinds de Oudheid (o.a. kort
voor den inval van Willem van Nobmandië in Engeland, 1066)
waargenomen kometen te identificeeren; op grond van die iden-
tificatie voorspelde hij den terugkeer van het hemellichaam voor
1753. Toen deze inderdaad plaats vond, bleef aan de komeet
voortaan Halley's naam verbonden.

§ 8. Samenvatting. In een ervaringswetenschap zijn drie min
of meer onderscheiden stadia aan te wijzen.

1)nbsp;enkelvoudig waarnemingsoordeel (aanschouwing);

2)nbsp;samengesteld waarnemingsoordeel (beschrijving);

3)nbsp;model (verklaring).

Het enkelvoudig waarnemingsoordeel ontstaat als objectivatie
van een aanschouwelijk gegeven relatie van overeenkomst of
verschil. Het samengestelde waarnemingsoordeel ontstaat uit
enkelvoudige door de operaties

amp;, ü, {x), {Ex).

Modellen ter verklaring ontstaan op grond van de mathema-

tisch-constructieve methode i).

Niet aan de orde was de causale verklaring van het ontstaan
van de aanschouwelijke relaties van overeenkomst en verschil;
dat in een probleem van de physiologische psychologie.

1) Deze methode is uitvoeriger behandeld in een studie „Klassieke en moderne
Chemiequot; (Ann. d. er. phil. 5/ Alg. Tijdseh. voor Wijsb. 1); wij hebben ons daarom
hier in de uiteenzetting van de methodenleer van de ervaringswetenschap tot
datgene beperkt, dat voor de kwestie van de aanschouwingsruimte van belang is.

C. PSYCHOLOGIE.
HOOFDSTUK VIII.

Het Ruimteprobleem in de Psychologie.

De reconstructieve Methode.

§ 1. We hebben reeds in algemeene trekken uiteengezet, op
welke wijze de natuurwetenschap, uitgaande van de aanschou-
wingswereld, haar modellen ter verklaring van de waargenomen
verschijnselen constructief opbouwt. Die modellen, in hun syste-
matischen samenhang, vormen het zoogenaamde „wereldbeeldquot;
van de natuurwetenschap. Men hoede er zich evenwel voor, dat
wereldbeeld voor een afbeelding of nabootsing van de aanschou-
wingswereld aan te zien i). Dat dit onjuist zou zijn, blijkt wel
overtuigend uit de steeds afnemende ,,aanschouwelijkheidquot; van
de door de natuurwetenschap geconstrueerde modellen bestond
de natuurwetenschap in een zoo ,,natuurgetrouwquot; mogelijk na-
bootsen of afbeelden van de aanschouwingswereld, dan zou die
aanschouwelijkheid voortdurend moeten toenemen; de natuur-
wetenschap evenwel streeft geen aanschouwelijkheid, maar wet-
matigheid na. Zoo beweegt ze zich, voortgedreven door haar
methode der objectiveerende constructie, voortdurend van de
„onmiddellijkquot;, doch subjectief, gegeven aanschouwingswereld af.

§ 2. Men kan nu het probleem stellen, die aanschouwings-
wereld zelf, zooals ze aan het bewustzijn onmiddellijk gegeven is,
dus in haar „oorspronkelijkequot; gedaante, wetenschappelijk te
bestudeeren. Dit probleem beschouwen we met Natorp als een
probleem voor de psychologie; ter nadere verklaring mogen een
aantal citaten volgen.

Verg. Cassireb: „Philosophie der Symbolischen Formenquot; III, S. 25.
Men denke aan de opeenvolgende invoering van de electromagnetische licht-
theorie (die de aanschouwelijke aethertheorie verdrong), van de relativiteitstheorie,
van de quantumtheorie, in het bijzonder in haar nieuwste gedaante (Dieac—
Heisenberg).

„Bildet den Gegenstand der psychologischen Untersuchung die
Erscheinung bloss nach ihrem subjektiven Dasein allemal für
ein Ich, mit Absehung von aller objektiven Bedeutung derselben,
so muss auch die Methode dieser Untersuchung verschieden sein
von allem solchen wissenschaftlichen Verfahren, welches eben die
Objektivierung der Erscheinungen oder ihre Beziehung auf den
Gegenstand zum Ziele hat. . . Das Verfahren aller objektivieren-
den Erkenntnis aber ist dem letzten Prinzip nach gleicher Art;
es gestaltet ihrem „Gegenstandquot; im Gesetzequot; i).

„Es fragt sich, welcher eigentümliche Weg der Forschung . . .
übrig bleibt. Die Antwort ergibt sich aus der Erwägung, dass
zwar die objektivierende Erkenntnis ... ein Unmittelbares des
subjektiven Bewusstseins voraussetzt, dass aber dies Unmittel-
bare keineswegs auch unmittelbar bekannt ist. . . . Diese Erkennt-
nis des Subjektiven ist in der Tat nur möglich durch einen Rück-
schluss von den vollzogenen Objektivierungen auf das, was als
letzte subjektive Grundlage zu diesen vorauszusetzen ist. Die
Rekonstruktion des Unmittelbaren muss sich also stützen auf
die vorausgegangene Konstruktion des Objekts; sie besteht im
Grunde in der reinen Umkehrung des Weges der objektivierenden
Erkenntnis . .

We zijn met het citeeren eenigszins uitvoerig geweest, omdat we
meenden, dat de zoo uitermate heldere probleemstelling van
Natorp alle aandacht verdient. Toch mogen enkele bedenkingen
niet achterwege blijven. Men zou wel zeer teleurgesteld worden,
wanneer men hoopte, op grond van een „reconstructiequot; in den
zin van Natorp het onmiddellijke, concrete geestesleven (in ons
geval b.v. het waarnemingsbewustzijn) „terug te krijgenquot;. Im-
mers, een wetenschappelijke constructie of reconstructie leert ons
nooit een materie, een inhoud, doch steeds enkel en alleen een
vorm, een structuur kennen; deze structuur echter bestaat niet
in den ontologischen zin ään de materie, maar ze wordt er door
de wetenschappelijke behandeling aan opgelegd; door de structuur
krijgt de als zoodanig onbepaalde materie haar nadere bepaUng.

Bij een echte reconstructie is datgene, wat geconstrueerd
wordt, historisch of logisch „eerderquot; dan de reconstructie, d.w.z.
het fundeert het procédé der reconstructie. Het bewustzijn

1) „Allgemeine Psychologie^quot; S. 4/5.
1. s. S. 9/10.

echter, dat hier „gereconstrueerdquot; wordt, is van de reconstructie
niet het fundament; dit is (en dat is juist de eigenaardigheid van
de situatie) de objectivatie i). De reconstructie dient echter, om
te laten zien, hoe het objectivatieproces kan uitgaan van, zijn
„oorsprongquot; kan vinden in bepaalde evidenties (de evidentie der
zintuigelijke waarneming of de mathematische evidentie) en
toch opbouw van een wetenschap (in de genoemde gevallen opv.
natuurwetenschap en wiskunde) kan „mogelijk makenquot;. De psy-
chologie reconstrueert dus niet in den eigenlijken zin „ein Un-
mittelbares des subjektiven Bewusstseinsquot;, ze construeert een
hewustziinsstructuur, wier functie het is het uitgaan door het
objectivatieproces van de „objectiefquot; niet nader te bepalen
„evidentiequot; te fundeeren.

De „subjectieve fundeeringquot; van de natuurwetenschap ver-
eischt dus de bepaling van de structuur van het waarnemings-
bewustzijn, van de „aanschouwingsvormenquot;. Over welke gegevens
kunnen we te dien einde beschikken?

§ 3. We kunnen (min of meer scherp) vier verschillende be-
schouwingswijzen onderscheiden: de physische, de physiologische,
de phaenomenologische en de kentheoretische.

1) de physische beschouwingswijze.'De aanschouwingswereld
levert de bouwsteenen voor de constructie van het physisch
wereldbeeld; al is dit laatste ook geen afbeelding of nabootsing
van de eerste, toch bestaat tusschen beide een, zij het wellicht
gecompliceerde, samenhang. Tusschen de structuur van het phy-
sisch wereldbeeld (die veranderlijk is, maar mathematisch exact
bepaalbaar) en die van de aanschouwingswereld bestaat dus wel-
licht een analogie, een correspondentie, die vooral te verwachten
zal zijn voor die structuren van het physisch wereldbeeld, die zijn
veranderlijkheid het minst ondervinden. Ook is het mogelijk,
het bewustzijnsverschijnsel der waarneming van objecten causaal
in verband te brengen met physische werkingen uitgaande van die
objecten (zoo b.v. de optische waarneming met reflectie of

1)nbsp;Verg. .1. C. Franken: „Kritische Philosophie und Dialektische Theologiequot;,
A'dam 1932 S. 379.

2)nbsp;Vermeld worde in dit verband het door ons („Klassieke en Moderne Chemiequot;,
Ned. Tijdschr. v. Wijsb. 1/ Ann. d. Cr. Phil. 5) ingevoerde begrip van den „eviden-
tie-modusquot;, die voor elk complex verwante wetenschappen karakteristiek is.

emissie van lieht); ook dit is een steun voor de opvatting, dat
de physische wisselwerking tusschen de objecten aanwijzingen
kan geven over de structuur van de aanschouwingswereld.

Zoo heeft Kant i) verband gezocht tusschen de driedimen-
sionaliteit van de aanschouwingswereld en den vorm van New-
ton's gravitatiewet. Op dezelfde grondgedachte berust Helm-
HOLTz's constructie van de structuur van een (hypothetische)
aanschouwingswereld op grond van een niet-Euclidische structuur
van de physische ruimte.

2)nbsp;de physiologische beschouwingswijze sluit zich bij de phy-
sische gemakkelijk aan. Bij de waarneming van objecten zijn
behalve de physische werkingen, uitgaande van die objecten,
ook de organen, die voor die werking gevoelig zijn (de zintuigen),
in rekening te brengen. De bewerktuiging van die organen zal
weer van invloed zijn op de structuur van de aanschouwings-
wereld.

Deze gedachtengang vinden we b.v. bij Heymans en Poincaré.

In het bijzonder komen hier bewegings- en tastzin eenerzijds,
gezichtszin anderzijds in aanmerking. Gehoor, reuk, smaak werken
niet of zoo goed als niet mede aan het totstandkomen van de
ruimtevoorstellingen. Interessant is nu vooral te zien, hoe aan
den opbouw van de ruirntestructuur bewegings- en tastzin en
gezichtszin harmonisch samenwerken, hoewel ze toch elk voor
zich niet tot eenzelfde structuur van het waarnemingsbewustzijn
aanleiding zouden geven.

3)nbsp;de phaenomenologische beschouwingswijze.

Zij berust op de eigenaardige omstandigheid, dat men zich
de structuur van het bewustzijn door een actus van reflectie
spontaan en onmiddellijk voor den geest brengen kan. Men ver-
mijdt op die wijze den (volgens Natorp onvermijdelijken) omweg
over het objectivatieproces; zij is daarom zóó aantrekkelijk, dat
wij ons een nadere bespreking, los van haar resultaten, niet willen
ontzeggen. Daarbij zal tevens gelegenheid bestaan, te wijzen op
enkele bezwaren, die deze methode aankleven, en die daarom bij
onvoorzichtige toepassing niet zelden tot min of meer ernstige
fouten aanleiding hebben gegeven.

Een van de meest recente toepassingen is gegeven door Carnap

1) „Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräftequot; (1747).

in zijn voortreffelijk werkje „Der Raumquot; (het is wellicht niet
ondienstig, op te merken, dat de daarin gegeven uiteenzettingen
onafhankelijk zijn van Carnap's tegenwoordig extreem-positivis-
tisch standpunt); wij lezen daar o.a. (S. 23):

„Der Anschauungsraum ist ein Ordnungsgefüge, von dem wir
wohl die formale Art begrifflich umgrenzen können, aber wie
bei allem Anschauungsmässigen nicht sein besonderes Sosein.
Hier lässt sich nur auf Erlebnisinhalte hinweisen, nämlich auf
den anschaulich räumlichen Gebilde und Beziehungen: Punkte,
Linienstücke, Flächenstücke, Raumstücke, das Liegen eines
Punktes auf einer Linie, in einem Raumstücke, das Sich-Schneiden
zweier Linien usw. Die psychologische Frage nach der Entstehung
solcher Vorstellungen wird hier nicht gestellt, wohl aber die nach
der logischen Begründung der Erkenntnisse über den Anschau-
ungsraum, genauer der Grundsätze, da die weiteren Sätze aus
diesen formal-begrifflich abgeleitet werden. Erfahrung gibt nicht
den Rechtsgrund für sie ab; die Grundsätze sind erfahrungs-
unabhängig, genauer (Driesch): unabhängig vom „Quantumquot;
der Erfahrungquot;, d.h. ihre Erkenntniss wird nicht, wie bei Erfah-
rungssätzen, durch die mehrfach wiederholte Erfahrung immer
gesicherter. Denn es handelt sich hier, wie Husserl gezeigt hat,
gar nicht um Thatsachen im Sinne der Erfahrungswirklichkeit,
sondern um das Wesen („Eidosquot;) gewisser Gegebenheiten, das in
seinem besonderen Sosein schon durch einmaliges Gegebensem

erfasst werden kann.quot;

De groote moeilijkheid bij deze methode is klaarblijkelijk
daarin gelegen, dat men gemakkelijk door voorstellingen van niet-
aanschouwelijken aard (b.v. ontleend aan de geaxiomatiseerde
Euclidische meetkunde) wordt beinvloed. Ook Carnap is aan dat
gevaar niet ontkomen.

In verband hiermee staat het volgende bezwaar; voor al het
aanschouwelijke is kenmerkend een zekere onbepaaldheid, die zich
uit, zoo spoedig men tracht het in zuivere begrippen tot uit-
drukking te brengen. Hiervan is het gevolg, dat een formeel-
logische conclusie, uit stellingen, aan de aanschouwing ontleend,
afgeleid, zeer goed, hetzij aanschouwelijkheid missen, hetzij met
de aanschouwing in strijd zijn kan. Het formeel-logisch apparaat
dient dus met groote omzichtigheid en onder voortdurende con-
trole door de aanschouwing te worden toegepast. Men kan dus
niet volstaan met, zooals Carnap wil, de grondstellingen aan de

aanschouwing te ontleenen en daarop formeel-deductief voort te
bouwen. Deze opmerking is het eerst gemaakt door Klein in
een rede: „On the mathematical character of space-intuition and
the relation of pure mathematics to the applied sciencesquot;:

„.. .the naive intuition is not exact, while the refined intuition
is not properly intuition at all, but arises from the logical develop-
ment from axioms considered as perfectly exact.'quot; (Ges. Math.
Abh. Bd. 2). ,

De moeilijkheden, waartoe dat leidt, zijn door Burkhardt in
zijn bespreking van Wundt's „Logikquot; meesterlijk beschreven:
,,Die neueren Untersuchungen über die Principien der Infi-
nitesimalrechnung haben zu einer Reihe von Begriffen geführt —
überall unstetige und integrirbare, überall stetige und doch
nirgends differentirbare Funktionen, umkehrbar eindeutige Be-
ziehungen eines eindimensionalen Gebietes auf ein zweidimen-
sionales und dgl. mehr — denen in der Anschauung durchaus
nichts Aequivalentes gegenübersteht i). Die aus dieser Divergenz
entspringenden Schwierigkeiten scheinen nur überwunden werden
zu können, wenn man mit den Herren F. Klein und Pasch
davon ausgeht, das unsere Raumanschauung wesentlich ungenau^)
ist, dass es jedesmahl erst eines Grenzüberganges bedarf, um
von den der unmittelbaren Raum ans chauung zu entnehmenden
Vorstellungen zu den abstracten Begriffen zu gelangen, mit denen
die Mathematik operirt. Wenn dem aber so ist, stehen möglicher-
weise mehrere Wege zur Vollziehung eines solchen Grenzüber-
ganges offen; ...quot;

4) de kentheoretische beschouwingswijze vindt haar uitgangs-
punt in de overweging, dat de mogelijkheid van het weten-
schappelijk objectivatieproces afhankelijk is van het bestaan van
een aan de aanschou wings wereld inhaerente structuur; immers
ons onderzoek naar deze structuur moest dienen om het weten-
schappelijk objectivatieproces, dat zijn oorsprong vindt in het
onbepaalde van de subjectieve waarneming, nader te fundeeren.

Als meest fundamenteele voorwaarden nu vooronderstelt het
objectivatieproces klaarblijkelijk:

Verg. H. Hahn, „Die Krise der Anschauungquot;.
2) Beter ware: onbepaald, niet exact-te-omsehrijven; deze omstandigheid vindt
gcreedelijli haar verklaring: de taal en alle andere symbolismen doen dienst
bij het objectivatieproces en zijn dus geheel en al aan die functie aangepast.

a)nbsp;de mogelijkheid aanschouwelijke objecten als van elkaar
en van de overige aanschouwingswereld afgezonderd te denken.

b)nbsp;de mogelijkheid op deze wijze afgezonderde objecten te
samen, als tot elkaar in bepaalde relaties staande, te denken.

De meest voor de hand liggende onderstelling zal nu zijn die
van het bestaan van een dubbele structuur van de aanschou-
wingswereld, van het bestaan derhalve van twee aanschouwings-
vormen: den tijd, die het bewustzijn van de onderscheiding, als
na-elkaar, en de ruimte, die het bewustzijn van het samen-
denken, als naast-elkaar, vertegenwoordigt. Zoo schrijft Natorp,'
in nauwe aansluiting bij Kant:

„Deshalb lässt sich das durch die Zeit unterschiedene Mannig-
faltige wiederum zur Einheit der Vorstellung zusammennehmen
allein unter der Form des Raumes, umgekehrt das räumlich
Verbundene sich in seine unterscheidbaren Elemente auseinander-
legen allein unter der Form der Zeit.quot;

§ 4. We hebben in het kort een overzicht gegeven van de
verschillende beschouwingswijzen, die kunnen leiden tot een
reconstructie van de aanschouwings wereld. Die beschouwings-
wijzen waren zeer uiteenloopend en werden dan ook toegepast
door zeer onderscheidene, elkander bestrijdende philosophische
richtingen; in het bijzonder stonden de physische en physiolo-
gische beschouwingswijze van de empiristische of positivistische
scholen eenerzijds, en de kentheoretische van de idealistische
scholen anderzijds scherp tegenover elkaar. Ons inziens betreft
het hier beschouwingswijzen, die geen van alle voor zich alléén,
maar enkel in onderlinge samenwerking in staat zijn, het pro-
bleem der „reconstructiequot; van de aanschouwingswereld te be-
antwoorden; de gegevens, die elk der verschillende beschou-
wingswijzen levert, zijn op zichzelf daartoe niet voldoende.
Streng genomen leert de kentheoretische beschouwingswijze al-
léén, dat de mogelijkheid van onderscheiden en samendenken moet
bestaan; op welke wijze het bewustzijn deze voorwaarde ver-
werkelijkt, zal ze nooit kunnen leeren; hier kan de phaenomeno-
logische methode ons verder helpen; ook deze evenwel kan de
aanvullende gegevens van de physische en de physiologische be-
schouwingswijze niet ontberen. Een veel voorkomend verschijnsel
is het nu, dat men bij onderzoekingen op dit gebied op grond van
principieele overwegingen meent, zich van toepassing van een

of méér der behandelde beschouwingswijzen te moeten ont-
houden, doch dat men, onbewust, een beroep doet op gegevens,
die alleen op grond van die beschouwingswijzen, of langs wéér
anderen weg, zijn te verkrijgen.

§ 5. De reconstructie van de aanschouwingswereld bezit een
bijzondere philosophische beteekenis. Immers ze levert in zekeren
zin een rechtvaardiging van het begrip der waarneming, en zoo
een logische fundeering van het daarop gebouwde systeem van
ervaringswetenschappen. De ervaringswetenschap als geheel ver-
krijgt zoo dus een systematische afsluiting, niet 'fei dien zin
natuurlijk, dat uit de eigenschappen van de aanschouwings-
wereld de ervaringswetenschap zou zijn te deduceeren, maar
zoodanig, dat het aan de ervaringswetenschap ten grondslag
liggende en daarbinnen dus niet verder bepaalbare begrip van de
„waarnemingquot; hier een nadere bepaling ondergaat.

Deze systematische afsluiting neemt de plaats in van een
eventueele metaphysische fundeering en maakt deze dus over-
bodig.

HOOFDSTUK IX.

Resultaten van de reconstructieve Methode.

§ 1. Wij willen in het volgende een overzicht geven van de
resultaten, die de reconstructieve methode (men veroorlove ons,
deze onjuiste en misleidende naam te blijven gebruiken) verkrijgt,
wanneer men de resultaten van de verschillende, door ons uit-
eengezette, beschouwingswijzen systematisch tot één geheel ver-
werkt.

Zooals we al gezien hebben, is het resultaat van de kentheore-
tische beschouwingswijze fundamenteel, maar mager i): de aan-
schouwingswereld moet beschouwd kunnen worden als samen-
gesteld, als opgebouwd uit deelen: ze is een „extensieve grootheidquot;.

§ 2. Phaenomenologische bezinning leert nu, dat voor het
onderscheiden en samendenken het tijdbewustzijn de subjectieve
grondslag is. Dit tijdbewustzijn evenwel maakt, zooals reeds Kant
opmerkte (A 102/3), op grond van de synthesen der „Appre-
hensionquot;, ,,Reproduktionquot; en „Rekognitionquot; den opbouw van
de getallenleer mogelijk Brouwer heeft gewezen op de moge-
lijkheid, de wiskunde op te bouwen alléén uitgaande van de
getallenleer; hij verdedigt daarom de opvatting, dat het tijdbe-
wustzijn voor de wiskunde een voldoende subjectieve fundeering
verschaft.

„(Het) neo-intuitionisme ziet het uiteenvallen van levens-
momenten in qualitatief verschillende deelen, die alleen geschei-
den door den tijd zich weer kunnen vereenigen, als oergebeuren
in het menschelijk intellect, en het abstraheeren van dit uiteen-
vallen van eiken gevoelsinhoud tot de intuitie van twee-eenigheid
zonder meer, als oergebeuren van het wiskundig denkenquot; („Wis-
kunde, Waarheid en Werkelijkheidquot; blz. 11).

Om meer te kunnen bijdragen, zou de kenleer een beroep moeten doen op
de psychologie; in dit stadium echter beschikt ook de psychologie, die we immers
juist opbouwen, nog niet over meer gegevens.
Zie Aanhangsel II.

O.i. terecht is Brouwer daarom van meening, dat voor de
verschillende wiskundige wetenschappen, óók voor de meet-
kunde, op een andere subjectieve fundeering (in het bijzonder
op de ruimteaanschouwing), géén beroep behoeft te worden ge-
daan; met dit laatste kan men zich algemeen vereenigen. Ern-
stige bezwaren bestaan echter bij velen nog tegen de opvatting,
dat de wiskunde een subjectieven grondslag (zij het ook alleen
in het tijdbewustzijn) zou kunnen bezitten; zij achten dat in
strijd met de objectiviteit, die aan de wiskunde in zoo hooge
mate moet worden toegekend.

Hier is klaarblijkelijk een verkeerde opvatting van de sub-
jectiviteit in het spel; men vat subjectiviteit op als vooroordeel,
of willekeur; en die spelen inderdaad bij den opbouw van de wis-
kunde geen rol. Ze zijn uitgesloten door de objectiviteit van de
wiskunde, op grond dus van het feit, dat de wiskunde haar ob-
jecten volgens vaste wetten opbouwt; ziedaar de objectieve
grondslag. Hiermee is echter volstrekt niet in strijd, dat die
opbouw niet los is te maken (alleen methodisch los is te denken)
van zijn relatie tot een bewustzijn: en daarin ligt de noodzakelijk-
heid van een subjectieve fundeering.

Fundamenteel voor het juist begrip van het bewustzijn der
mathematische constructie is Kant's onderscheiding van den
„äusserenquot; en den ,,inneren Sinnquot;, die men als volgt phaenome-
nologisch fundeert.

Alles, dat tot het bewustzijn behoort, heeft naar zijn aard
een „intentioneele betrekkingquot; tot een „intentioneel objectquot;
(Brentano, Husserl); deze betrekking wordt door Kant als
„Apperzeptionquot;, door Natorp en Cassirer als „Repräsentationquot;
aangeduid. Al naar gelang nu dit intentioneel object „immanentquot;,
dan wel „transcendentquot; is, behoort het tot den ,,innerenquot; of
tot den „äusseren Sinnquot;.

De „intentioneele betrekkingquot; en de onderscheiding van im-
manente en transcendente ,,intentioneele objectenquot; worden door
Hermann Weyl als volgt beschreven: ,,die wirkliche Welt,
jedes ihrer Bestandstücke und alle Bestimmungen an ihnen, sind
und können nur gegeben sein als intentionale Objekte von Be-
wusstseinsakten... Ich „habequot; die Wahrnehmung, aber erst wenn

1) „Raum-Zeit-Materiequot;, 5. Aufl. Berlin 1923.

ich diese Wahrnehmung selber wieder, wozu ich in einem freien
Akt der Reflexion imstande bin, zum intentionalen Objekt einer
neuen, inneren Wahrnehmung mache, „weissquot; ich von ihr etwas...
In diesem zweiten Akt ist das intentionale Objekt ein immanentes,
nämlich wie der Akt selber ein reelles Bestandstück meines Erleb-
nisstromes; in dem primären Wahrnehmungsakt aber ist das
Objekt transzendent, d.h. zwar gegeben in einem Bewusstseins-
erlebnis, aber nicht reelles Bestandstück. Das Immanente ist
absolut, d.h. es ist genau das, als was ich es da habe, und dieses
sein Wesen kann ich mir eventuell in Akten der Reflexion zur
Gegebenheit bringen. Hingegen haben die transzendenten Gegen-
stände nur ein phänomenales Sein, sie sind Erscheinendes — in
mannigfaltigen Erscheinungsweisen und „Abschattungenquot; ... In
jeder Wahrnehmung liegt nun weiter unzweifelhaft die Thesis
der Wirklichkeit des in ihr erscheinenden Objekts, und zwar als
Teil und inhaltliche Fortbestimmung der Generalthesis einer
wirklichen Welt. Aber indem wir von der natürlichen zur philoso-
phischen Einstellung übergehen, machen wir, über die Wahr-
nehmung reflektierend, diese Thesis sozusagen nicht mehr mit. . .
Der Sinn und das Recht dieser Setzung wird uns jetzt gerade
zum Problem, das von dem Bewusstseins-Gegebenen aus seine
Lösung finden muss.quot;

Tot het bewustzijn van den „äusseren Sinnquot; behoort het waar-
nemingsbewustzijn, tot het bewustzijn van den „inneren Sinnquot;,
de wiskunde. Zooals Kant reeds opmerkte, hebben „äusserequot; en
,,innere Sinnquot; elk hun bijzondere structuur.

De tijd is de vorm van den „inneren Sinnquot;; hij levert de relaties
tusschen onze bewustzijnsmomenten, zooals ze onmiddellijk door-
leefd worden, de relaties van het „voorquot; en „naquot;; voor zoover
ze tot het waarnemingsbewustzijn behooren, hebben ze naar hun
aard tegelijk betrekking op een transcendent intentioneel object;
het aanschouwelijk schema voor de tusschen deze intentioneele
objecten bestaande en voor hun onderscheiding en samen-denken
onontbeerlijke relaties levert de aansehouwingsruimte, de vorm
van den „äusseren Sinnquot;.

§ 3. Welke is nu de structuur van de aanschouwingsvormen,
ruimte en tijd? De fundamenteele gegevens danken we aan de
phaenomenologische beschouwingswijze. In combinatie met andere
methoden is deze reeds eeuwen toegepast; b.v. door Kant tegelijk

6

met de kentheoretische en de physische beschouwingswijze. De
eerste toepassing van de phaenomenologische beschouwingswijze
als zelfstandige methode is echter pas gegeven door Stumpf i);
een rpcent en zeer belangrijk onderzoek volgens deze methode is
afkomstig van Becker 2). We geven Becker's methode weer
met de woorden van Weyl zooals men zal zien, sluit ze zich
in vele opzichten aan bij de reeds eerder behandelde opmerkingen
van Klein, Pasch en Burkhardt.

„So kann man in der rationalen Bearbeitung eines Kontinuums
drei Stufen unterscheiden: die Morphologie, die mit vag um-
schriebenen gestaltlichen Typen operiert; die Topologie, die durch
auffällige Singularitäten geleitet oder in freier Konstruktion ein
Gerüst, vag lokalisiert, aber kombinatorisch genau bestimmt in
die Mannigfaltigkeit hineinsieht; und die eigentliche mit Ideal-
gebilden operierende Geometrie, die in ein wirkliches Kontinuum
erst dann exakt sich hineintragen Hesse, wenn dies mit einem
sich ins Unendliche verfeinernden und verschärfenden Teilungs-
netz übersponnen wäre; die geometrischen vom Teilungsnetz un-
abhängigen Eigenschaften der im Kontinuum konstruierbaren
Gebilde mögen sich dabei auf ein in ihm ausgebreitetes Struk-
turfeld nach Art des metrischen Feldes stützen ...quot;

Op de derde „Stufequot; met haar „Idealgebildenquot; echter heeft
men het gebied van de aanschouwingswereld reeds weer verlaten:

„Die geometrischen Angaben sind also lediglich ideelle Bestim-
mungen, die einzeln für sich eines im Gegebenen aufzuweisenden
Sinnes ermangeln. Nur das ganze Netzwerk ideeller Bestimmungen
berührt hier und da die erlebte Wirklichkeit, und an diesen SteUen
muss es „stimmenquot;quot; (I.e. S. 95).

Deze phaenomenologische beschouwingswijze doet ons den tijd
als één-, de ruimte als driedimensionaal continuum in den zin
van de combinatorische topologie kennen.

§ 4. Voor nauwkeuriger inzicht in de structuur dezer continua
moet men zich bedienen van de physiologisch-physische be-
schouwingswijze. Haar toepassing op de tijdsaanschouwing is vrij

ï) „über den psychologischen Ursprung der Raumvorstellungquot;, Lpzg. 1873.
„Beiträge zur phänomenologischen Begründung der Geometriequot;, Husserls

Jahrbuch 6, 1923.

3) „Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaftenquot;, S. 63.

eenvoudig, en leert, dat wij op grond van physiologische processen
(ademhaling, hartslag, vermoeidheid e.d.) in staat zijn, in ruwe
benadering ,,tijdsdurenquot; te vergelijken. Het tijdscontinuüm bezit
dus een, weliswaar slechts ruw bepaalde, „metrische structuurquot;.
Ook de aanschouwingsruimte bezit een metrische structuur; deze
te bepalen is moeilijker, daar ze gelijktijdig bepaald wordt eener-
zijds door tast- en bewegingszin, anderzijds door den gezichtszin,
en deze elk voor zich een verschillende metriek zouden geven;
immers de tast- en bewegingszin staat niet bloot aan de perspec-
tievische „verteekcningquot;, waaraan de gezichtszin onderworpen is.
Men spreekt daarom wel van één ruimte voor tast- en bewegings-
zin en van een andere voor den gezichtszin, elk met haar eigen-
aardige structuur i). In de onmiddellijke beleving echter vallen
beide ruimten door „associatiequot; volkomen samen tot de ééne
aanschouwingsruimte, waarvan de „inhoudquot; voornamelijk door
den gezichtszin, de structuur echter door tast- en bewegingszin
bepaald wordt; dat wij, ondanks de perspectievische verteekcning,
in staat zijn, ook „op het oogquot; lengte en afstand te schatten,
berust op associatie tusschen de gegevens van tast- en bewegings-
zin met die van den gezichtszin. De tast- en bewegingszin immers
geeft ons lengte en afstand, „zooals ze zijnquot;, dat wil zeggen in
(benaderde) overeenstemming met objectieve bepalingen.

Deze beschouwingswijze is het eerst gegeven door Bain, den
engelschen assiociatiepsycholoog; onze landgenoot Heymans is
zelfs zóó ver gegaan, de apodictische geldigheid van de Euclidische
meetkunde uit associatie van innervatiegewaarwordingen te ver-
klaren. Laat ons de methodische grondslagen van deze methode
eens iets nader bekijken; ze is afhankelijk van de harmonische
samenwerking van physiologische en physische beschouwingswijze.

Physiologisch kan, b.v. op grond van de ruimtevoorstellingen
van blindgeborenen, verband worden gelegd tusschen de structuur
van de ruimtevoorstellingen en tusschen bewegingsinnervaties;
physisch is echter vast te stellen, dat de deelen van ons lichaam
beschouwd kunnen worden te bewegen als scharnierend verbonden
vaste lichamen; de bewegingsmogelijkheden van ons lichaam zijn
dus op grond van de theorie van de physische ruimte te bepalen;

Men zie hierover Poincaré: „La Science et THypothesequot; („Pourquoi l'espace
a trois dimensionsquot;).

de metrische structuur van de aanschouwingsruimte zal dus een
(benaderde) weergave zijn van die van de physische ruimte.

Nu is de structuur van de physische ruimte voor gebieden als
wij gewoonlijk overzien, zeer ten naastenbij Euclidisch; ook de
aanschouwingsruimte zal dus een benaderde Euclidische metriek
bezitten.

Heymans' poging, op deze wijze de apodictische geldigheid van
de Euclidische meetkunde te fundeeren, gaat dus reeds aan twee
gebreken mank:

1)nbsp;doordat kennis van de physische ruimte ondersteld wordt,
is apodictische geldigheid niet te verkrijgen.

2)nbsp;door de onbepaaldheid van alle aanschouwelijkheid (Pasch,
Klein) kan in de aanschouwingsruimte slechts een benaderde
metriek bestaan.

Bovendien bevat Heymans' afleiding een mathematische
dwaling, die we in Aanhangsel IV nader zullen bespreken.

§ 5. Samenvattend: er zijn twee aanschouwingsvormen: tijd
en ruimte. De tijd is de vorm van het zelfbewustzijn en biedt den
subjectieven grondslag voor het opbouwen van de wiskunde. De
tijd en de ruimte zijn beide vormen van het waarnemingsbewust-
zijn en bieden den subjectieven grondslag voor het opbouwen van
de ervaringswetenschap. De tijd is een ééndimensionaal, de ruimte
een driedimensionaal continuum; beide bezitten ze een benaderde
Euclidische metriek.

D. KENLEER.

HOOFDSTUK X.
Kentheoretische Toepassing van de verkregen Resultaten.

§ 1. In de wetenschappen worden zekere oordeelen als waar
gesteld. Waaraan ontleenen die oordeelen hun waarheid?

Onze studie van de wetenschappelijke methoden heeft ons
geleerd, drie mogelijkheden te onderscheiden, en wel:

1)nbsp;Een oordeel kan zijn waarheid aan die van andere oordeelen

ontleenen; zoo kan b.v. een oordeel

p amp; q

zijn waarheid ontleenen aan die van de afzonderlijke oordeelen
p en q.

2)nbsp;Een oordeel kan ook zijn waarheid ontleenen aan een
willekeurig vaststellen; voorbeelden daarvan leveren b.v. de
definitie en de conventie.

3)nbsp;Ten slotte is het denkbaar, dat een oordeel noch op grond
van de waarheid van andere oordeelen, noch op grond van
willekeurig vaststellen waar is; b.v. een waarnemingsoordeel. Een
dergelijk oordeel is dus uit formeel-logisch oogpunt geheel on-
herleidbaar; men zou zoo'n oordeel in aansluiting bij Kant syn-
thetisch willen noemen.

De vraag, waaraan deze synthetische oordeelen hun waarheid
ontleenen, zal niet op grond van formeel-logische methoden alléén
kunnen worden beantwoord. Immers, juist de logica leerde ons
deze oordeelen kennen als voor haar onherleidbaar en dus oor-
spronkelijk. Om te laten zien, hoe men verder kan komen, be-
schouwen wij het reeds eerder aangevoerd voorbeeld van een syn-
thetisch oordeel: het waarnemingsoordeel. De waarheid van een
waarnemingsoordeel berust op zijn betrekking tot de waarneming,
tot een voor logische analyse ontoegankelijk, „onmiddellijkquot;
verificatieproees.

De logische analyse leert ons, in de ervaringswetenschappen de
waarnemingsoordeelen van alle andere te onderscheiden, zij leert
ons echter niet, deze oordeelen verder te fundeeren. Een metho-

disch uitgangspunt voor deze fundeering vinden we nu in de
analyse van de waarneming, van het onmiddellijk aan het bewust-
zijn „gegevenquot; verificatieproces zelf. Van deze analyse en meer
in het bijzonder van de haar beheerschende methodische gezichts-
punten hebben we in het psychologisch deel van ons onderzoek
een uiteenzetting gegeven. Het zal nu onze taak zijn, de aldaar
verkregen resultaten op de kentheoretische probleemstelling toe
te passen.

§ 2. Voor de wiskunde hebben we eerst te beantwoorden de
vraag, of ze synthetische, d.w.z. onmiddellijk te verifieeren, oor-
deelen bevat. We beschouwen daartoe de beide eenige ons bekende
methoden om de wiskunde op consequente wijze op te bouwen:
de formalistische en de intuitionistische.

De formalistische opbouw berust op willekeurig vastgestelde
oordeelen en begrippen en bestaat in het „formeel-deductiefquot;,
door toepassing van willekeurig vastgestelde deductieoperaties, uit
willekeurig vastgestelde axiomata ontwikkelen van het wiskundig
oordeelssysteem. Zal aan deze wijze van opbouw wetenschappelijke
beteekenis kunnen worden toegekend, dan moet van het zoo te
verkrijgen oordeelssysteem de contradictieloosheid worden aange-
toond. Dit contradictieloosheidsbewijs zal evenwel niet op grond
van de axiomatische methode kunnen worden geleverd; dat zou
klaarblijkelijk een circulus in probando beteekenen. De bewijzen
van contradictieloosheid worden daarom door de formalistische
school volgens een andere methode geleverd, die gewoonlijk als
de finitistisehe wordt aangeduid. In deze methode worden alleen
onmiddellijk verifieerbare beweringen toegelaten, zooals b.v.: „de
formule (het oordeel) p amp; q is opgebouwd uit de teekens (oor-
deelen) p, q en het teeken (de oordeelsfunctie) «fequot;.

Deze beweringen zijn echter, van kentheoretisch standpunt,
te beschouwen als synthetische oordeelen. Al treden deze dus
in de formalistische theorieën zelf niet op, ze vormen de meta-
mathematische redeneeringen, die dienen moeten, om de op
formalistische wijze opgebouwde wiskunde wetenschappelijk te
rechtvaardigen.

§ 3. De intuitionistische wiskunde vermijdt dezen omweg, die
geen andere bedoeling heeft, dan de wiskunde in haar geheelen,
traditioneelen omvang te kunnen handhaven. In de wiskunde zijn

alleen onmiddellijk verifieerbare redeneeringen toegestaan; men
zegt wel: de intuitionistische wiskunde is zuiver constructief.
Een existentiebewijs is derhalve alleen aanvaardbaar, wanneer
de bewezen existentie te verifieeren is, d.w.z., wanneer het mathe-
matisch object in quaestie aan te geven is. Hierdoor vervalt
het logisch principe van het uitgesloten derde, tenminste als
universeel evident bewijsmiddel, waardoor het niet mogelijk is,
de wiskunde in haar traditioneelen omvang langs intuitionis-
tischen weg op te bouwen. De door de formalisten in de bewijs-
theorie toegepaste methoden vertoonen met de intuitionistische
een sterke analogie; hoe dat komt, zullen we na de gegeven
uiteenzetting niet meer behoeven te verklaren.

§ 4. De twee moderne, werkelijk consequente methoden, om
de wiskunde op te bouwen, zijn dus beide afhankelijk van de
mogelijkheid van synthetische oordeelen. Wij herinneren ons nu
een tweede onderscheiding, eveneens door Kant ingevoerd: die
tusschen oordeelen a priori en oordeelen a posteriori. Deze onder-
scheiding bestaat alleen voor de synthetische oordeelen. Aan-
gezien nu de synthetische oordeelen met de onmiddellijk verifieer-
bare oordeelen samenvallen, ligt het voor de hand, de diepere
grond voor deze onderscheiding te zoeken in de eigenaardigheden
van de bijbehoorende verificatieprocessen.

Men heeft deze onderscheiding wel als volgt trachten te for-
muleeren: bij de verificatie van oordeelen a posteriori spelen de
zintuigen een rol, maar niet bij de verificatie van een oordeel
a priori. Men meende in dat geval Kant te kunnen verwijten
(zie b.v. onze bespreking van Couturat's kritiek op Kant),
inconsequent te zijn geweest; hij beschrijft immers als volgt het
verificatieproces in de rekenkunde.

„Man muss über diese Begriffe hinausgehen, indem man die
Anschauung zu Hilfe nimmt, die einem von beiden korrespon-
diert, etwa seine fünf Finger, . . . und so nach und nach die
Einheiten der in der Anschauung gegebenen Fünf zu dem Begriffe
der Sieben hinzututquot; (B 15).

Men meent dan, den aanschouwelijken opbouw van de reken-
kunde volgens Kant onder het empirisme te kunnen rangschikken.
O.i. bewijst ons citaat alléén, maar dan ook zeer overtuigend,
dat de zooeven weergegeven formuleering Kant's bedoeling met
de onderscheiding van oordeelen a priori en a posteriori geheel

verkeerd weergeeft; een aanwijzing tot juister begrip vinden we
o.a. in de volgende woorden:

„Notwendigkeit und strenge Allgemeinheit sind . . . siehere
Kennzeichnen einer Erkenntnis a priori.quot; (B 4).

Het gaat hier volstrekt niet om een physiologische karakteri-
seering van het verificatieproces; wanneer het verificatieproces
zóó is, dat men de zekerheid heeft, dat bij een herhaling van de
verificatie, eventueel ook langs anderen weg, het resultaat
hetzelfde zal zijn, dan fundeert die verificatie een oordeel a priori.
Deze zekerheid heeft men ten aanzien van de rekenkundige
oordeelen, onverschillig, of men deze verifieert met behulp van
een telraam, op de vingers tellende, met behulp van op het papier
geteekende figuren, of „uit het hoofdquot;. Dat aan al deze verifi-
catieprocessen physiologische processen inhaerent zijn, zal nie-
mand ontkennen, doch dat doet niets af aan het aprioristisch
karakter van de geverifieerde oordeelen.

§ 5. Hoe kan men rekenschap geven van de mogelijkheid van
synthetische oordeelen a priori? Het platonisme of begripsrealisme
neemt een vermogen aan van intellectueele aanschouwing, van
onmiddellijke aanraking met de begrippen, zooals wij door middel
van de zintuiglijke waarneming in onmiddellijke aanraking
(meenen te) komen met de natuurobjecten. Deze theorie verklaart
wel het synthetisch karakter van de wiskundige oordeelen (en
dan nog alleen maar naar analogie van het, zacht uitgedrukt,
aanvechtbaar physisch realisme), maar niet hun aprioriteit. De
natuurobjecten leeren wij door herhaalde waarneming al beter
kennen, de natuurwetten worden door herhaalde verificatie al
beter gefundeerd. De wiskundige oordeelen staan echter, in prin-
cipe, na éénmaal geverifieerd te zijn, reeds met volkomen zeker-
heid vast. Leerden wij de objecten der mathesis door intellectueele
aanschouwing kennen, dan ware te verwachten, dat ook hier
door herhaling van den actus der verificatie het resultaat hoe
langer hoe zekerder zou komen vast te staan.

§ 6. In aansluiting aan het vorige hoofdstuk kunnen we de
volgende, juistere verklaring geven.

Als subjeetieven grondslag der wiskunde leerden we kennen de
opbouw van de mathematische objecten in het zelfbewustzijn;
een element van willekeur ligt daarin alleen in zóóverre, als het

bewustzijn zich de wetten van dien opbouw zelf stelt. In deze
wetten, die den opbouw van de mathematische objecten bepalen,
ligt nu tevens de waarborg voor de objectiviteit van de wiskunde.
Het synthetisch karakter van de oordeelen, die deze opbouw-
wetten tot uitdrukking brengen, zal geen nader betoog behoeven,
het aprioristisch karakter wordt echter eveneens zeer eenvoudig
verklaard; voor de verificatie van zoo'n oordeel is opbouw van
een of meer mathematische objecten noodig; aangezien deze op-
bouw volgens vaste wetten geschiedt, zal herhaling van de
verificatie op haar resultaat niet van invloed kunnen zijn.

§ 7. De wiskunde vindt dus haar subjeetieven (aanschouwe-
lijken) grondslag in den opbouw van de mathematische objecten,
haar objectieven (redelijken) grondslag in de wetten van dien
opbouw. Aanschouwing en Rede zijn dus in de wiskunde geen
kenbronnen van verschillend karakter, die aan haar opbouw op
geheimzinnige wijze samenwerken; het zijn begripsvormingen, die
hun ontstaan danken aan de twee verschillende wijzen, de sub-
jectieve en de objectieve, waarop men de wiskunde kan en moet
fundeeren.

AANHANGSEL I.

De term „Aanschouwingquot;.

De term „aanschouwingquot; (waarmede de termen „intuitiequot;,
„intuitioquot;, „intuitionquot; taalkundig als synoniem worden be-
schouwd) is in de philosophische litteratuur zeer herhaaldelijk
aan te treffen. Het komt ons voor, dat men er een zeer uiteen-
loopende beteekenis aan toekent, zoodat het ons niet ondienstig
schijnt, bij enkele philosophen eens na te gaan, wat zij onder aan-
schouwing verstaan. Naar volledigheid hebben wij hier niet willen
streven.

Beschouwen wij allereerst eens Descartes; in de ,,Règles pour
la Direction de l'Espritquot; (Règle III) lezen we:

„. . . nous allons énumérer ici tous les actes de notre intel-
ligence au moyen desquels nous pouvons atteindre à la con-
noissance des choses sans aucune crainte d'erreur. On n'en
admet que deux: l'intuition et l'induction.

J'entends par intuition, non la croyance au témoignage variable
des sens ou les jugements trompeurs de l'imagination, mauvaise
régulatrice, mais la conception d'un esprit sain et attentif, si
facile et si distinct qu'aucun doute ne reste sur ce que nous
comprenons; ou bien, ce qui est la même chose, la conception ferme
qui naît dans un esprit sain et attentif des seules lumières de la
raison, et qui, plus simple, est conséquemment plus sûre que la
déduction elle-même, qui cependant, comme nous l'avons remar-
qué plus haut, ne peut-être mal faite par l'homme. Ainsi chacun
peut voir par intuition qu'il existe, qu'il pense, qu'un triangle se
termine par trois lignes . . .

Nous distinguons donc l'intuition de la déduction certaine,
parce que dans la déduction on conçoit un mouvement ou une
certaine succession, au lieu que dans l'intuition il n'en est pas
de même, et qu'en outre la déduction n'a pas besoin, comme
l'intuition, d'une évidence présente, mais qu'elle emprunte plutôt,
en quelque sorte, toute sa certitude à la mémoire.quot;

Afgezien van de sterk psyehologisehe inkleeding willen we als
voor ons belangrijkste punten in Descartes' opvatting aan-
stippen.

1quot;. Het aehterstellen van de deductie bij de intuitie.

2®. Het bezigen van de intuitie als grondslag voor de meet-
kunde.

3quot;. Het bezigen van de intuitie als grondslag voor de metaphy-
sica.

Als tweede beschouwen wij Kant; in den aanvang zijner
„Kxitik der reinen Vernunftquot; lezen we:

„Auf welche Art und durch welche Mittel sich auch immer
eine Erkenntnis auf Gegenstände beziehen mag, so ist doch
diejenige, wodurch sie sich auf dieselbe unmittelbar bezieht, und
worauf alles Denken als Mittel abzweekt, die Anschauung. Diese
findet aber nur statt, sofern uns der Gegenstand gegeben wird;
dieses aber ist wiederum nur dadurch möglich, dass er das Gemüt
auf gewisse Weise affiziere. Die Fähigkeit (Rezeptivität), Vor-
stellungen durch die Art, wie wir von Gegenständen affiziert
werden, zu bekommen, heisst Sinnhchkeit. Vermittelst der Sinn-
lichkeit also werden uns Gegenstände gegeben, und sie allein liefert
uns Anschauungen, durch den Verstand aber werden sie gedacht,
und von ihm entspringen Begriffe ...quot;

„Die Wirkung eines Gegenstandes auf die Vorstellungsfähigkeit,
sofern wir von demselben affiziert werden, ist Empfindung.
Diejenige Anschauung, welche sich auf den Gegenstand durch
Empfindung bezieht, heisst empirisch. Der unbestimmte Gegen-
stand einer empirischen Anschauung heisst Erscheinung.quot;

„In der Erscheinung nenne ich das, was der Empfindung
korrespondiert, die Materie derselben, dasjenige aber, welches
macht, dass das Mannigfaltige der Erscheinung in gewissen Ver-
hältnissen geordnet, angeschaut wird, nenne ich die Form der
Erscheinung ... die Form derselben . . . muss zu ihnen insgesamt
im Gemüte a priori bereit liegen, und dahero abgesondert von
aller Empfindung können betrachtet werden .quot;

„Ich nenne alle Vorstellungen rein, in denen nichts, was zur
Empfindung gehört, angetroffen wird. Demnach wird die reine
Form sinnhcher Anschauungen überhaupt im Gemüte a priori
angetroffen werden . . . Diese reine Form der Sinnlichkeit wird
auch selber reine Anschauung heissen. So, wenn ich von der

Vorstellung eines Körpers das, was der Verstand davon denkt,
als Substanz, Kraft, Teilbarkeit amp;c., imgleiehen, was davon zur
Empfindung gehört, als Undurchdringlichkeit, Härte, Farbe amp;c.
absondere, so bleibt mir aus dieser empirischen Anschauung noch
etwas übrig, nämlich Ausdehnung und Gestalt. Diese gehören
zur reinen Anschauung, die a priori, auch ohne einen wirklichen
Gegenstand der Sinne oder Empfindung als eine blosse Form der
Sinnlichkeit im Gemüte stattfindetquot; (A 19/21).

We zien hier een opvatting van de aanschouwing, die van de
Cartesiaansche hemelsbreed verschilt. Was bij Descautes de
,,Intuitionquot; één met het Denken, bij Kant daarentegen is er
tusschen „Anschauungquot; en ,,Verstandquot; een tegenstelling. Deze
wordt zeer gelukkig tot uiting gebracht in een voetnoot der
„Prolegomenaquot; (in den „Anhangquot;):

„Der eigentliche Idealismus hat jederzeit eine schwärmerische
Absicht und kann auch keine andre haben, der meinige aber ist
lediglich dazu, um die Möglichkeit unserer Erkenntnis a priori
von Gegenständen der Erfahrung zu begreifen, welches ein Pro-
blem ist, das bisher noch nicht aufgelöst, ja nicht einmal auf-
geworfen worden. Dadurch fällt nun der ganze schwärmerische
Idealismus, der immer (wie auch schon aus dem Plato zu
ersehen) aus unseren Erkenntnissen a priori (selbst denen der
Geometrie) auf eine andere (nämlich intellectuelle Anschauung),
als die der Sinne schloss, weil man sich gar nicht einfallen Hess,
dass Sinne auch a priori anschauen sollten.quot;

Ten slotte beschouwen wij enkele woorden van een meer recen-
ten auteur, Henri Poincaré (wiens opvattingen wel te onder-
scheiden zijn van die van zijn landgenoot Bergson; het begrip
„Intuitionquot; van den laatste beweegt zich meer in irrationeel-
metaphysische richting), ontleend aan zijn artikel ,,Les Mathé-
matiques et la Logiquequot; (Revue de Mét. et de Mor. 1905, 1906),
p. 817:

„ . . . ce que je veux rechercher, c'est s'il est vrai qu'une fois
admis les principes de la Logique, on peut je ne dis pas découvrir.

1) Voor nadere historische bijzonderheden betreffende de problemen van
ruimte en tijd zij verwezen naar de in de bibliografie genoemde werken van
Baumann, Deichmann en Cassieer („Erkenntnisproblemquot;). Het werkje van
A. Drews „Die Lehre von Raum und Zeit in der nachkantischen Philosophiequot;
1889 is van weinig beteekenis.

mais démontrer toutes les vérités mathématiques sans faire de
nouveau appel à l'intuition.quot;

„A cette question, j'avais autrefois répondu que non; notre
réponse doit-elle être modifiée par les travaux récents? Si j'avais
répondu non, c'est parce que „le principe d'induction complètequot;
me paraissait à la fois nécessaire au mathématicien et irréduc-
tible à la logique . . . J'y voyais le raisonnement mathématique
par excellence.quot;

Het hier beschreven begrip intuitie is in lijnrechte tegenspraak
met de „Anschauungquot; van Kant; het is (ondanks zijn niet-
reduceerbaar-zijn tot de logica) een uiting van intellectualiteit en
niet van sensualiteit.

De Kantiaansehe tegenstelling van „Anschauungquot; en „Ver-
standquot; is door Bolland in ,,Aanschouwing en Verstandquot; opge-
dreven tot een tegenstrijdigheid. Deze opvatting schijnt ons te
ver te gaan; men komt zoo tot uitspraken van de soort (p. 45):

„Wij mogen stellen, dat reeds in de gewone meetkunde niemand
toekomt zonder iets, dat van het standpunt der onvermengde
onvervalschte menschelijke logica niets anders dan methodisch
geordende onzin, verstandig onverstand kan zijn.quot;

Tot slot volge nog een bespreking naar aanleiding van een
beteekenis, die ook vaak aan de term ,,Aanschouwingquot; wordt
toegekend, en wel bij beschouwingen van didactisehen of paeda-
gogischen aard. Men ziet zich bij het wiskunde-onderwijs gesteld
voor de vraag: moet men bij het onderwijs aan jonge kinderen
meer aanschouwelijke, dan wel meer formeele methoden volgen?
Deze vraag is natuurlijk wel te onderscheiden van de logische
probleemstelling: of de meetkundige stellingen hun geldigheid
danken aan de Aanschouwing of aan het Verstand. Een „aan-
schouwelijkequot; behandeling (en daaronder wordt dan verstaan een
behandeling, die in de eerste plaats gebruik maakt van figuren,
draadmodellen, van demonstratie door teekenen en uitknippen,
en dergelijke), wordt zeer vaak verdedigd door wiskundigen, die
volstrekt niet van meening zijn, dat de mathematische geldigheid
van de meetkunde haar oorsprong vindt in een „Aanschouwingquot;
in den zin van Kant, ja, die aan dergelijke „Aanschouwingquot;
volstrekt niet gelooven. Onder „Aanschouwingquot; verstaan zij een-
voudig „visueele waarnemingquot;; zij hopen nu, dat de leerhngen.

na op deze wijze een aantal stellingen te hebben geleerd, zullen
gaan inzien, dat voor een ,,bewijsquot; van sommige een aanschouwe-
lijke demonstratie volstrekt overbodig is. Zoo wordt dan de be-
hoefte gewekt aan een meer „formeelequot; behandeling: men gaat
trachten zoowel mogelijk van de bekende stellingen terug te
voeren tot een klein aantal, waardoor men komt tot het opstellen
van een axiomastelsel. Daarmee is dan een basis geleverd voor
de verdere behandeling van de meetkunde: de leerlingen hebben
zich eraan gewend, zich op handige wijze bij het ontdekken van
nieuwe stellingen, of bij het oplossen van vraagstukken, te be-
dienen van aanschouwelijke hulpmiddelen. Maar tevens is hun
kritisch vermogen tot ontplooiing gekomen. Zoo'n nieuw ontdekte
stelling wordt niet als geldig beschouwd, dan na een formeele
deductie uit de reeds bekende stellingen. En ook bij die deductie
levert de „aanschouwingquot; weer de kostelijkste hulpmiddelen.

AANHANGSEL II.
Over het Principe der Reeurrentie of Volledige Inductie.

§ 1. We hebben in het voorgaande verschillende malen over
recurrente definities, constructies, bewijsmethoden moeten spre-
ken, zonder van deze begrippen telkens een nadere toelichting
te kunnen geven; het lijkt ons derhalve gewenscht, thans in
samenhang uiteen te zetten, wat daaronder moet worden verstaan.

§ 2. Onze uiteenzetting blijkt wellicht het doorzichtigst,
wanneer men de rij van de natuurlijke getallen denkt opge-
bouwd, uitgaande van de eenheid en door successieve toevoe-
ging van eenheden, dat wil dus zeggen door „tellenquot;. Ten
einde over de zoo verkregen getallen te kunnen spreken, moet
men er namen aan geven; een wijze van naamgeving, die zich
op zeer aanschouwelijke wijze bij de genoemde wijze van opbouw
aansluit, is de volgende

1, 1 1, 1 1 -f 1, . . .

en die zal dan ook aan ons betoog ten grondslag worden gelegd.

§ 3. De rekenkunde bepaalt zich niet tot de studie van de
resultaten van het tellen; zij past op de natuurlijke getallen
ook andere bewerkingen toe dan toevoeging van de eenheid,
en wel als eenvoudigste de optelling. Om de optelling van een
getal b bij een getal a ondubbelzinnig te definieeren, zal men
klaarblijkelijk moeten aangeven, op welke wijze men het getal
a b, uitgaande van de eenheid door successieve toevoeging van
eenheden opbouwt. Dit geschiedt als volgt.

We stellen om te beginnen vast, dat ct 1 het natuurlijk
getal is, dat door toevoeging van de eenheid uit het natuurlijk
getal a ontstaat, a — 1 (zoo a niet de eenheid zelf is) het natuur-
lijk getal, waaruit a door toevoeging van de eenheid ontstaat.

Nu definieeren we a b als volgt:

a b =Ja (b ~ 1)] 1.

Deze definitie zegt alleen dan iets, wanneer we weten, wat

beteekent; dit getal is echter op grond van de definitie, als volgt
bepaald:

« (è - 1) = {a [(6 - 1) - 1]} 1.

Kennen we evenwel het getal

a [(amp;-!)-1]?

Blijkbaar (weer volgens de definitie) alléén, indien we het
getal

a {[{b - 1) - 1] - 1}.

kennen, enz.

De bepaling van het getal a è is dus, op grond van de
definitie, successievelijk terug te brengen tot de bepaling van de
getallen

a {b -1), a [{b - 1) - 1], enz. i) .

Komt aan die reeks bepalingen een eind? We bedenken, dat
we in de reeks

b, b-1, (è - 1) - 1, . . .

in omgekeerde volgorde het opbouwproces van het getal b voor
oogen hebben; die reeks eindigt met de eenheid, en dus is de
bepaling van a b herleid tot de bepaling van a 1, die zonder
meer mogelijk is.

De definitie staat dus inderdaad de berekening van a b
voor elke a en elke b toe.

Andere voorbeelden van definities door recurrentie zijn die
van a X fe en van a™:

aXamp; = aX(6 — l) a, waarbij

a X 1 = a,

resp.

a™ = X a, waarbij

1) Het is deze eigenaardigheid, die men tot uitdrukking brengt, wanneer men
spreekt van een definitie door recurrentie.

§ 4. Voor de optelling geldt de „associatieve eigenschapquot;

a (è c) = (a è) c,nbsp;(a)

waarvan we thans het bewijs willen weergeven.
Volgens de definitie van de optelling is

a {b l) = {a b) l,

zoodat (a) geldt voor c = 1.

Is c niet gelijk aan 1, dan is de juistheid van (a) af te leiden
uit de juistheid van

a [è (c-l)] = (a è) (c-l).nbsp;(«')

Immers zij (a') waar, dan geldt ook

{a [b {c- 1)]} 1 = [(a ö) (c - 1)] 1

of, op grond van (/9), herhaaldelijk toegepast:

a {[b {c- 1)] 1} = (a è) [(c - 1) 1]

a {6 [(c - 1) 1]} = (a 6) [(c - 1) 1].

Nu volgt uit de wijze, waarop a 1 en a — 1 ingevoerd zijn:

(c - 1) 1 = c,

zoodat inderdaad (oc) uit (a') volgt; de vraag, (a) te bewijzen,
is dus herleid tot de vraag, (a') te bewijzen; maar op dezelfde
wijze is de vraag, (oc') te bewijzen, te herleiden tot de vraag,

a {6 [(c - 1) - 1]} = {a b) [{c - 1) - 1] (ocquot;)

te bewijzen; enz.

Komt aan deze reeks herleidingen een eind? Voortschrijdende
in de reeks, zien we c vervangen worden door

c - 1, (c - 1) - 1, ... .

Maar zoo komen we ten slotte op de eenheid terecht, omdat
c uit de eenheid door toevoeging van eenheden wordt verkregen.
En dus wordt (a) herleid tot

« (è 1) = (a 6) 1.

Maar daarmee zijn we op (/3) aangeland, dus op een juiste stelling;
(a) is dus ook juist.

Zooals de definitie van § 3 het prototype mag heeten van alle
definities door recurrentie, zoo is het hier gegeven bewijs te be-
schouwen als prototype van alle bewijzen door volledige inductie.

§ 5. Uit de gegeven uiteenzetting zal gebleken zijn, waarop de
toepasbaarheid van de definities door recurrentie, en de bewijs-
kracht (de evidentie) van de bewijzen door volledige inductie
eigenlijk berusten: ze vloeien voort uit het principe, volgens het-
welk de natuurlijke getallen zijn opgebouwd. Aangezien nu de
definities door recurrentie en de bewijzen door volledige inductie
de geheele theorie van de natuurlijke getallen beheerschen, is
dit opbouwprincipe, het principe van de recurrentie of van de
volledige inductie, in den zin van hoofdstuk IX § 2 en hoofdstuk
X § 5 te beschouwen als subjectieve grondslag van deze theorie.

§ 6. Wat is het formeel-logisch karakter van de definities
door recurrentie? Alvorens deze vraag te beantwoorden, bezinnen
we ons nog eens op de beide typen van definities, die we reeds
hebben leeren kennen, de nominale definitie en de definitie door
postulaten.

De nominale definitie (waarvan de formules (a), (è), (c) en
{d) in §§ 2/3 van hoofdstuk V ons voorbeelden leveren) is een
formeele regel, die ons in staat stelt, een bepaalde teekencombinatie
overal waar zij voorkomt naar willekeur door een andere te ver-
vangen. Door het invoeren van een nominale definitie wordt het
logisch karakter van een theorie niet veranderd; er ontstaan
geen nieuwe geldigheden; alleen ontstaat de mogelijkheid, de
oude op een nieuwe manier tot uitdrukking te brengen. Omgekeerd
kan men steeds „substituer les définitions ä la place des définisquot;
en zoodoende uit elke redeneering, uit elk probleem het ge-
definieerde begrip „elimineerenquot;. Op deze wijze kan men inzien,
dat door een nominale definitie in een theorie geen nieuwe pro-
blemen of contradicties kunnen worden ingevoerd.

Met de definities door postulaten (door Hilbert aan de meet-
kunde ten grondslag gelegd) is het anders gesteld. Zij geven het
gedefinieerde mathematische object niet rechtstreeks aan, doch
brengen van dat object slechts die kenmerkende eigenschappen
tot uitdrukking, die aan de formeele theorie ten grondslag worden
gelegd. Definities door postulaten komen in elke theorie voor,
omdat, zooals evident is, nooit alle in de theorie voorkomende

begrippen door nominale definities kunnen worden vastgelegd.
Zoo worden in Hilberts „Grundlagen der Geometriequot; punten
en lijnen door postulaten gedefinieerd. Een definitie door postu-
laten is in den regel niet te „elimineerenquot;; ze kan derhalve nieuwe
problemen en eontradieties introdueeeren.

Noemt men een definitie „explicietquot; of „implicietquot; al naar
gelang ze te elimineeren is, of niet, dan kan men dus zeggen:
een nominale definitie is altijd expliciet, een definitie door postu-
laten is in den regel impliciet.

We keeren nu terug tot de definities door reeurrentie. Peano
vatte een definitie door reeurrentie op als een reeks nominale
definities, welke opvatting, blijkens onze uiteenzetting van § 3,
zeker gerechtvaardigd is. Ieder dier nominale definities afzonder-
lijk is te elimineeren, en dus is, zoo meende Peano, ook de definitie
door reeurrentie zelf te elimineeren.

Deze argumentatie houdt een drogreden in, die we hier echter
niet uitvoerig kunnen analyseeren. We willen er alleen dit van
zeggen: de definitie door reeurrentie vertegenwoordigt een on-
eindige reeks nominale definities, en derhalVe kan het voorkomen,
dat de eUminatie een oneindig proces vereischt, dat niet tot een
eindig proces te herleiden is, en derhalve onuitvoerbaar. Een
definitie door reeurrentie kan derhalve impliciet zijn, niet-te-
elimineeren; zij kan dus tot nieuwe problemen en eventueel con-
tradicties aanleiding geven. Een definitie door reeurrentie ver-
eischt dus een bewijs van contradictieloosheid. Het is de definitie
van de vermenigvuldiging, die in de rekenkunde aanleiding geeft
tot het optreden van tot op heden onoplosbare problemen. In
een rekenkunde, die alléén beschikt over de begrippen gelijk,
ongelijk, som, verschil zijn echter alle te stellen problemen op-
losbaar.

§ 7. Recurrente methoden beheerschen alle theorieën, die een
met dien van de rekenkunde verwanten subjeetieven grondslag
bezitten. Een voorbeeld levert de in hoofdstuk V, § 1 behandelde
oordeelslogica. We hebben daar het opbouwprincipe voor de
„logische uitdrukkingquot;, het object van de oordeelslogica, wel wat
heel abstract geformuleerd en een nadere explicatie lijkt derhalve
niet geheel ongewenscht.

Daartoe laten we de analogie uitkomen met het opbouwprincipe,
dat de theorie van de natuurlijke getallen beheerscht; in het

laatste geval één „uitgangsobjectquot;: de eenheid, en één „grond-
operatiequot;: toevoeging van de eenheid aan een reeds verkregen
natuurlijk getal; en alle natuurlijke getallen worden door herhaalde
toepassing van de grondoperatie uit de eenheid verkregen, met
dien verstande, dat ook het uitgangsobject, de eenheid zelf, ge-
acht wordt een natuurlijk getal te zijn.

In het geval van de oordeelslogica hebben we onbepaald veel
„uitgangsobjectenquot;: de „logische variabelenquot;

p, q, r,...

en vier „grondoperatiesquot;: het opbouwen van „logische uit-
drukkingenquot;

Ä, AvB, A kB, A^B

uit reeds verkregen „logische uitdrukkingenquot; A en B; en alle
„logische uitdrukkingenquot; worden door herhaalde toepassing van
grondoperaties uit „logische variabelenquot; verkregen, met dien ver-
stande, dat ook de uitgangsobjecten, de „logische variabelenquot;
zelf, geacht worden „logische uitdrukkingenquot; te zijn.

Zooals we al opgemerkt hebben, is ook hier weer het opbouw-
principe subjectieve grondslag voor de toepasbaarheid van
reeurrente methoden, die dan ook in onze uiteenzetting van de
oordeelslogica herhaaldelijk zijn toegepast. Zoo levert het toe-
kennen van een waarde aan logische uitdrukkingen een voorbeeld
van definitie door recurrentie; onze bewijzen van enkele eigen-
schappen van logische uitdrukkingen en tautologieën gaven voor-
beelden van bewijzen door volledige inductie.

■ iVolgens Herbband onderscheidt men nog recurrentie naar de
constructie, en recurrentie naar het bewijs van een oordeel: de
eerste geldt voor ieder oordeel, de tweede alleen voor bewijsbare
oordeelen.

LITTERATUUR:

G.nbsp;Peano: „Formulaire de Mathématiquesquot; Tome II — No. 3, Turin 1899, § 20,
3/4, p. 29/31.

H.nbsp;Poincaré: „Ie Science et l'Hypothèsequot;. Chap. I.

Jacques Herbrand: „Recherches sur la Théorie de la Démonstrationquot;, Thèse
Paris 1930.

D. Hilbert u. P. Bernays: „Grundlagen der Mathematikquot;, Berlin 1934, S. 292.

AANHANGSEL III.

Over de Verhouding van de traditioneele Syllogistiek
tot de moderne Logistiek.

§ 1. De traditioneele syllogistiek beschouwt als fundamen-
teele relatie de relatie tusschen subject en praedicaat, het vallen,
met andere woorden, van een lager onder een hooger begrip.
Deze relatie kunnen we in de begripslogica formaliseeren en wel
als volgt

Een begrip wordt, zooals we al weten, voorgesteld door een
symbool f{x); zijn nu a{x) en 7i{x) de symbolen voor subject,
opv. praedicaat, dan zal de subject-praedicaatrelatie als volgt
tot uitdrukking kunnen worden gebracht:

{x)[a{x) n{x)\,

of in woorden: „voor elke x geldt: als x onder het subject valt,
dan valt x ook onder het praedicaat.quot;

Men duidt deze relatie gewoonlijk aan door het symbool aan
en wij hebben er geen bezwaar tegen, die notatie in de volgende
paragrafen over te nemen; hetzelfde doen we voor de overige,
in de syllogistiek voorkomende, relaties i, e, o; d.w.z. wij voeren
een viertal definities in:

^irj = {Exmx) amp;
^erj = {oc)[^{x) ri{x)\
^or, = {Exmx)

§ 2. De z.g. sluitreden „volgens Barbaraquot; luidt nu, wanneer
men van deze overzichtelijke notatie gebruik maakt:

{[jian amp; aafx) -gt; aan-.

Men zie in onze uiteenzetting dus geen anticipatie op de hier niet be-
handelde relatielogica.

De lezer moge zelf deze definities controleeren; grieksche letters duiden
begrippen aan.

ze volgt uit de axioma's van oordeels- en begripslogica, evenals
de andere sluitredenen van de z.g. „eerste figuurquot;.

Alle overige sluitredenen worden afgeleid door terugvoering
tot deze; deze terugvoering berust op de volgende bewerkingen:
conversie, contrapositie, metathesis praemissorum.

Conversie en contrapositie berusten beide op de tautologie:

ip^q)^ Cq-gt;P),

de metathesis praemissorum daarentegen op:

(p amp;q)-gt;{qamp;p).

§ 3. Tracht men nu, de traditioneele afleiding der 19 sluit-
redenen op grond van de oordeels- en begripslogica uit te voeren,
dan doet men de verrassende ontdekking, dat voor een viertal
deze afleiding niet gelukt; dat zijn de ook door Couturat ge-
noemde: Darapti, Felapton, Bamalip, Fesapo. Onderzoekt men
deze kwestie nader, dan blijkt, dat de klassieke afleiding berust
op de mogelijkheid van een „conversio per accidensquot;, die in
onze notatie als volgt kan worden voorgesteld:

iarj Tjii.

Deze stelling geldt evenwel in de begripslogica niet algemeen;
ze is daar alleen dan juist, wanneer er inderdaad onder het
begrip i zekere voorwerpen vallen; is dat niet het geval, is het
begrip i leeg, dan zou ook rj leeg kunnen zijn; in dat geval zou
Tji^ nooit kunnen gelden.

§ 4. We zien dus, dat er tusschen de traditioneele formeele
logica en de moderne logistiek een discrepantie bestaat, tengevolge
van de omstandigheid, dat de eerste bij het oordeel „alle I's
zijn jy'squot; (stilzwijgend) de onderstelling maakt, dat er I's zijn,
de tweede niet. De vraag, welke van de twee „gelijkquot; heeft, is
natuurlijk zonder zin; beide „standpuntenquot; (wanneer men daar-
van hier mag spreken) hebben, mits consequent toegepast,
gelijkelijk recht van bestaan; maar een zeer interessante, hoewel
meer psychologisch gerichte vraag is deze, welke van de twee
nu het „natuurlijke denkenquot; het meest nabij komt.

Wanneer men iemand „a bout portantquot; voor deze vraag stelt,
dan zal hij het vrijwel steeds voor de traditioneele logica op-
nemen; deze situatie is reeds meermalen als argument tegen de

logistiek aangevoerd i). Toeh is deze voorstelling onjuist, zooals
we zullen aantoonen op grond van het voorkomen van algemeen
toekennende oordeelen, niet in logistische of ook maar zuiver
mathematische, maar in philosophische werken, waar het subject
een leeg begrip is.

Als voorbeeld beschouwen we Kant's kritiek van de rationeele
theologie. Deze berust iri beginsel op de onderscheiding van gods-
bewijzen a priori en godsbewijzen a posteriori; uitvoerige bewijzen
geeft Kant van de volgende stellingen

1)nbsp;Er is geen godsbewijs a priori.

2)nbsp;Alle godsbewijzen a posteriori vooronderstellen een gods-
bewijs a priori.

Of deze stelhngen en hun bewijzen juist zijn, komt er thans
voor ons niet op aan, alleen het voorkomen van de tweede stelling
als argument. Uit de tweede stelling en de eerste volgt, dat er
geen godsbewijzen a posteriori zijn; de tweede stelling is dus een
algemeen oordeel met leeg subject.

Een andere opmerking is deze: maakt men de onderstelling
van de syllogistiek, dan geldt niet de disjunctie: „alle I's zijn
ri, of er is een | die niet rj isquot;; immers deze disjunctie houdt geen
rekening met de mogelijkheid, dat er géén | is. Aangezien het
natuurlijke denken zich van tijd tot tijd op deze disjunctie
beroept, volgt ook hier weer, dat het natuurlijk denken niet (of
niet altijd) met de traditioneele logica in overeenstemming is.

§ 5. Er zou voor ons weinig aanleiding hebben bestaan, de
traditioneele syllogistiek (die sinds de ontwikkeling van de
moderne logistiek op andere dan historische belangstelling geen
aanspraak meer kan maken), zoo uitvoerig te behandelen, wanneer
we niet onlangs opmerkzaam waren geworden 3) op de voor ons
bevreemdende omstandigheid, dat deze nog heden aan onderzoe-
kingen naar de intelligentie, zelfs door de modernste psycholo-
gische scholen, ten grondslag worden gelegd.

1)nbsp;H. Kleinpeter in den „Anhangquot; van zijn vertaling van Stanley Jevons'
„Elementary lessons in logicquot;, 2. Aufl., Leipzig 1913.

H. Burkamp „Begriff und Beziehungquot;, Leipzig 1927.

2)nbsp;Ph. Kohnstamm „De formele logica en het kinderlijke denkenquot;.

H. Tubkstra „Psychologiseh-Didactische Problemenquot;; zie ook de bespreking
van het laatste door H. J. E. Beth in EucUdes X.

We zullen hier niet ingaan op de vraag naar de „testeerbaarheid
van intelligentiequot;, en evenmin op de vraag, of, indien men de
intelligentie wil testeeren, opgaven uit de formeele logica, die
liggen buiten de belangstelling van kind of doorsnee-volwassene,
en die (willen ze eenige waarde bezitten) geheel buiten zijn
gewone gedachtensfeer moeten worden gekozen, wel een daartoe
geschikt hulpmiddel moeten worden geacht, maar willen alleen
met nadruk wijzen op de wenschelijkheid, bij gebruik van formeel-
logische tests ook rekening te houden met de meest betrouwbare
formeel-logische gegevens.

De moderne logistiek geeft niet alleen veel nauwkeuriger en
vollediger de elementen van het formeel redeneeren weer dan de
syllogistiek (uit welker directe en indirecte sluitredenen alléén
ongeveer geen enkele werkelijk voorkomende redeneering is op
te bouwen), ze daalt tevens tot veel eenvoudiger fundamenten af;
eenvoudige en evidente uitspraken als

ip^q)^ [(?nbsp;r)]

zoekt men in de traditioneele formeele logica tevergeefs; de
feillooze en intuïtieve hanteering ervan is echter een conditio
sine qua non voor het met inzicht volgen zelfs van den een-
voudigsten meetkunde-cursus. Door rekening te houden met
de resultaten der logistiek zou men tevens gevrijwaard zijn voor
een verrassing als degene, die Schüssler is overkomen: hij gaf
aan 12 volwassen proefpersonen, w.o. 11 intellectueelen, prae-
missen van de gedaante

nafi
[laa

en verkreeg 12 maal als conclusie

Tiaanbsp;^

in afwijking van de traditioneele syllogistiek, die de conclusie

aijT

voorschrijft; hij rekende deze antwoorden „foutquot;, een zeer „on-
rechtvaardigequot; handelwijze, niet alleen, zooals Kohnstamm
meent, omdat de eisch, volgens Bamalip te concludeeren, kennis

van de Aristotelische metaphysiea vooronderstelt, maar ook,
omdat de conclusie naa volkomen onaanvechtbaar en streng
geldig is, terwijl, zooals we gezien hebben, bij de afleiding van
ain reeds van het standpunt van het „natuurlijke denkenquot; ge-
gronde bezwaren zijn aan te voeren.

Andere verrassingen zijn evenwel niet uit te sluiten: het zijn
b;v. die conclusies, die hun ontstaan danken aan door de prae-
missen gewekte wenschvoorstellingen i); zij zijn vaak volkomen
onaanvechtbaar, maar komen van formeel-logisch standpunt
niet in aanmerking, omdat de formeele logica zich voor onze
wenschen nu eenmaal niet interesseert.

Zoo b.v. de door Kohnstamm l.c. p. 26 genoemde:

als ik naar de bioscoop ga, heb ik geld noodig,

ik heb geen geld,

dus moet ik geld zien te krijgen.

AANHANGSEL IV.

Bezwaren tegen de Niet-Euclidische Meetkunde.

Onderzoekingen van Heymans.

Heymans heeft in een tweetal artikelen: „Zur Raumfragequot;
de ruimtevoorstellingen physiologisch trachten te verklaren. In
hoeverre een dergelijke verklaring ook kentheoretische waarde
kan bezitten, willen we voorloopig daarlaten. Heymans zelf is
op deze kwestie teruggekomen in een artikel getiteld ,,Erkennt-
nistheorie und Psychologiequot;. Ons is het erom te doen, allereerst
de mathematische fout aan te wijzen in Heymans' betoog; daarna
worden aan dit resultaat nog eenige algemeene beschouwingen
vastgeknoopt. We beginnen met enkele citaten.

„Dabei liefern uns die bekannten Beobachtungen an Blind-
geborenen jedenfalls einen werthvollen Ausgangspunkt: die
Gewissheit nämlich, dass die Innervationsempfindungen für sich
genügen, um das Verständniss der geometrischen Elemente zu er-
möglichenquot; (S. 269).

„Der Raum kann für den Blindgeborenen nichts Anderes sein
als das System der überhaupt möglichen Innervationen . . . Dieser
Begriff ist aber offenbar kein physischer, sondern ein psycholo-
gischer Begriffquot; (S. 272/273).

„Die apodiktische Gewissheit aber des Axioms von der Drei-
dimensionaliteit findet ihre einfache Erklärung in dem Um-
stand, dass die Innervationsempfindungen zu den Empfindungen
aus centraler Reizung gehören, also nicht ein gegebenes, sondern
ein willkürlich hervorgebrachtes sind. Es ist also nicht das
blosse Fehlen einer vierten Art von Innervationsempfindung,
worauf das Axiom von den drei Dimensionen sich stützt; es ist
vielmehr die Beschränkung unserer subjectiven Machtsphäre,
welche als solche empfunden wird und dem Axiom seinen apodik-
tischen Charakter verleihtquot; (S. 274).

„Woher hat nun der Blindgeborene die Gewissheit dass sein
Raum weder ein sphärischer, noch ein pseudosphärischer ist?
. . . Ich verstehe . . . unter Innervationsreihe eine Reihe sich ohne

Unterbrechung folgender —, oder nur durch innervationslose
Intervalle getrennter Innervationen; ich nenne dieselbe gleich-
förmig, wenn sie in allen Theilen in constantem Verhältniss aus
elementaren Innervationen der drei Arten zusammengestellt ist.
In diesem Falle wird die Innervationsreihe durch eben dieses
constante Verhältniss qualitativ bestimmt; also etwa durch die
Formel {a:b :c). Qualitativ bestimmt. . . durch die Angabe der
von diesem Anfang an erzeugten Innervationsquanta der drei
Arten: also durch die Formel {ma, mb, mc) oder m{a, b, c) . . .quot;
(S. 278).

„ „Gerade Liniequot; bedeutet für ihn i) nur: gleichförmige Inner-
vationsreihe; und einen „Punktquot; kann er sich nur als den End-
zustand einer qualitativ und quantitativ bestimmten Innerva-
tionsreihe denkenquot; (S. 279).

Op grond van het voorgaande wordt daarna in een volkomen
sluitend betoog de geldigheid van de Euclidische meetkunde voor
den „Innervationsraumquot; aangetoond.

Dat w^il evenwel niet zeggen dat de aprioriteit van de Eucli-
dische meetkunde werkelijk is aangetoond.

Immers, er is in de voorafgaande definities één onderstelling
ingevoerd, die weliswaar Heymans in staat stelt, zijn bewijs te
leveren, maar die geheel willekeurig is. We zien hier hetzelfde
verschijnsel als op te merken valt in de tallooze pogingen van
wiskundigen om het parallelenpostulaat te bewijzen: ergens in
het betoog wordt een schijnbaar vanzelfsprekende aanname ge-
maakt, waardoor het gevraagde bewijs mogelijk wordt.

Zelfs Heymans, die klaarblijkelijk toch van metageometrische
onderzoekingen studie gemaakt had, is in deze fout weer ver-
vallen.

Waar zit de verstopte onderstelling^. Ze zit, als bijna altijd im-
pliciet in een definitie, en wel in die van de „gleichförmige In-
nervationsreihequot;.

Men kan in eens inzien, dat de aanname daar moet schuilêfi
en wel op de volgende wijze. Het bestaan van een „gleichförmige
Innervationsreihequot; impliceert het bestaan van de groep der
vermenigvuldigingstransformaties van een of ander punt uit.
Immers willen we O als centrum kiezen, en zij P een willekeurig
punt, dan is er een „gleichförmige Innervationsreihequot;, b.v.
t

1) nl. voor den blindgeborene.

(p, q, r), die van O naar P voert. Zij de vermenigvuldigingsfactor
A, dan zal met P correspondeeren P', dat bereikt wordt uit O
door (Ap, Xq, Ar). Het bestaan van zoo'n vermenigvuldigingsgroep
impliceert de geldigheid der Euclidische meetkunde (Wallis,
1616 — 1703) 1).

Wanneer we nu dus eens even de definitie nader beschouwen:
„ich nenne dieselbe gleichförmig, wenn sie in allen Theilen in
constantem Verhältniss aus elementaren Innervationen der drei
Arten zusammengestellt ist,quot; dan valt onze aandacht op het
feit dat hier wel wordt gelet op de verhouding der „elementaren
Innervationenquot; maar niet op hun volgorde. En nu spreekt het
volstrekt niet vanzelf, dat het op die volgorde niet aankomt
Integendeel wordt toch door ons het verschil in volgorde in eenige
reeksen van ,,Empfindungenquot; juist zeer sterk ondervonden!

Berst de ,,Innervationquot; a, dan b, is heel iets anders dan eerst
b, en daarna pas a. Het heeft heelemaal geen zin deze combi-
naties zonder meer gelijk te stellen. Voor onze voorstelling zijn
ze juist zéér verschillend.

Wat zou het nu kunnen beteekenen, dat de reeksen

eerst a, dan b
eerst b, dan a

,,gelijkquot; zijn? Dit heeft alleen een beteekenis a posteriori, en
wel: „de eerste reeks voert me van een voorwerp p naar een
voorwerp q, en de tweede ook.quot;

Maar deze gelijkheid is een ervaringsfeit, en ze kan dus niet
langer aanspraak maken op apodictische zekerheid.

Resumeerend: twee Innervationsreihen kan men alleen dan a
priori, dus met apodictische zekerheid gelijkstellen (maar dat
is dan ook eigenlijk triviaal!), wanneer ze uit gelijke elementen
in gelijke volgorde zijn opgebouwd.

Is dat niet het geval, dan is over die gelijkheid alleen a posteriori
té beslissen.

In de mate, waarin de volgorde van een reeks voor haar waarde
zonder beteekenis is, is de ruimte der „Innervationenquot; dus
Euclidisch te noemen; d.w.z. in die mate daalt haar „krommingquot;.

Op het bewijs van deze stelling, dat van zuiver mathematischen aard is,
gaan we niet in.

En dus spreekt ook de legitimiteit van die definitie niet vanzelf.

Wij hebben Heymans' werk eenigszins uitvoerig besproken,
omdat het (ondanks de mathematische tekortkomingen) wel de
belangrijkste en de origineelste is onder de pogingen, om Kant's
leer van de aanschouwingsruimte tegenover de niet-Euclidische
meetkunde te rechtvaardigen. De oudste van deze pogingen
vinden we bij Lotze („Metaphysikquot; 2. Aufl.). Men kan de tegen
de niet-Euclidische meetkunde aangevoerde bezwaren rang-
schikken in twee hoofdgroepen:

1)nbsp;bezwaren tegen de mathematische theorie als zoodanig.

2)nbsp;bezwaren tegen een niet-EucUdische structuur van de aan-
schouwingsruimte of de physische ruimte (die men echter zelden
of nooit onderscheidt).

In bijna alle gevallen (Heymans maakt een gunstige uitzonde-
ring) worden bezwaren van beide soorten tegelijkertijd en on-
onderscheiden aangevoerd. Het zal na de uiteenzettingen van
hoofdstuk III, VIII, IX niet meer noodig zijn, de bezwaren
van de tweede groep te bespreken. Die van de eerste groep zijn
door Bertrand Russell i) op de volgende wijze geclassificeerd.

„The objections to non-Euclidean Geometry which have just
been discussed fall under four heads:

I.nbsp;Non-Euclidean spaces are not homogeneous; Metageometry
therefore unduly reifies space.

II.nbsp;They involve a reference to a fourth dimension.

III.nbsp;They cannot be set up without an implicit reference to
Euclidean space, or to the Euclidean straight line, on which
they are therefore dependent.

IV.nbsp;They are self-contradictory in one or more ways.

The reader who has followed me in regarding these four objec-
tions as fallacious, will have no difficulty in disposing of any
other critic of Metageometry, as these are the only mathematical
arguments, so far as I know, ever urged against non-Euclideans.quot;

Hij weerlegt ze op meesterlijke wijze.

Van het dooreenmengen van beide groepen van bezwaren
geven we zonder commentaar nog enkele voorbeelden.

„Es war mir nicht möglich, die Gesichtseindrücke des pseudo-
sphärischen Raumes zu konstruieren.quot;

1) „An Essay on the Foundations of Geometryquot;, Cambridge 1897, p. 93, 108.

„Es war also widerlegt, wenn wir wirklich auf Grund der
Nicht-Euklidischen Geometrie neu Anschauungen formen er-
lernen könnten. Allein das ist nicht möglich, denn das Bild des
metamathematischen Raumes befindet sich im Euklidischen
Raum, aus den uns Helmholtz nicht herausführen konntequot;

„Es könnte zunächst freilich scheinen, alsob wir jede Geometrie
zur Grundlage der Erfahrung machen könnten, indem wir diese
eben in die „Sprachequot; der verscheidenen Geometrien „über-
setzenquot; . . . Allein ich brauche hier nicht besonders darauf auf-
merksam zu machen, dass wir, um beim Bilde zu bleiben, dann
doch immer von einer Art „Grundsprachequot; ausgehen. Wichtiger...
ist es, dass die „übertragenenquot; Thatsachen dann eben doch nicht
die realen Thatsachen sind.quot;

„Wir können darum ruhig zugeben, dass auch die nicht-eukli-
dische Geometrie formal-mögliche Erfahrung logisch bedingen
kann. Aber allein die euklidische Geometrie ermöglicht logisch
reale Erfahrungquot;

„Dass wir aber die nicht-euklidischen Räume uns sogar zur
Anschauung zu bringen vermochten, hat zwar Helmholtz beweisen
wollen, aber dieser Beweis — der mit der Mathematik der nicht-
euklidischen Räume nichts zu tun hat, vielmehr eine rein psy-
chologisch-physiologische Frage betrifft ist heute wohl allgemein
als missglückt erkannt und dürfte kaum noch ernstliche Vertei-
digung finden. Die „Anschauungquot; sphärischer und pseudosphä-
rischer Räume, die uns Helmholtz hat verschaffen wollen, ist
ganz ersichtlich nichts als eine „Abbildungquot; oder Projektion
derselber auf den Euklidischen Raumquot;

1)nbsp;W. Meinecke: „Die Bedeutung der Nicht-Euklidischen Geometrie in ihrem
Verhältnis zu Kants Theorie der mathematischen Erkenntnisquot;. Kant Studien 11,
1906. S. 223/231.

2)nbsp;Bruno Bauch: „Erfahrung und Geometriequot;, Kantstudien 12, 1907 S.
227/28; ook in zijn „Studien zur Philosophie der exakten Wissenschaftenquot;, Heidel-
berg 1911, S. 129/30.

ä) P. Natorp: „Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaftenquot;.

Lpzg. u. Berlin 1911, S. 309.

SOMMAIRE.

Le présent travail constitue une réponse à une question mise au
concours par la Faculté de Lettres et de Philosophie de l'Université
d'Utrecht. La Faculté avait demandé:

„si la nécessité de l'espace comme forme a priori de l'intuition est
supprimée par suite de la possibilité d'édifier la géométrie d'une façon
purement logiquequot;.

Cette question fait allusion aux polémiques entre le kantianisme
et le logicisme moderne. Le logicisme en mathématiques peut être
défini comme l'affirmation de la possibilité d'édifier les sciences
mathématiques indépendamment de toute évidence intuitive. Or on
montre que les seules méthodes, connues à nos jours, qui permettent
d'édifier les mathématiques d'une façon vraiment satisfactoire (l'in-
tuitionnisme de Brouwer et le formahsme de Hilbert) impliquent
toutes les deux un appel à l'intuition, combien la place, adjugée à
celui-ci, puisse différer dans ces deux systèmes.

A notre avis le caractère trompeur attribué (souvent avec raison,
il est vrai) par le logicisme à l'évidence intuitive ne justifie pas le
rejet absolu de tout appel à celle-ci; de même façon on pourrait nier
le caractère scientifique des sciences empiriques, qui font appel à
des perceptions sensibles, parfois trompeuses elles aussi. En effet, la
critique justifiée de la confiance sans réserve du jugement de l'intui-
tion ne fait que rendre nécessaire une fondation rationnelle et systé-
matique de son apphcation dans les sciences (qui nous semble iné-
vitable).

Cette fondation subjective est placée à coté de la fondation objective
ou logique; de même que celle-ci consiste dans la détermination de
la structure formelle des sciences, la fondation subjective cherchera
la structure de la conscience immédiate.

Nous avons divisé notre travail en quatre parties; la première
s'occupe de la thèse kantienne et de la critique moderne de celle-ci;
nous avons cru utile y traitér en dehors des travaux de Gauss,
Riemann, Helmholtz et Poincare d'une manière détaillée la critique
de Couturat, qui nous paraît d'une lucidité' exemplaire.

Cette orientation générale est suivie d'une analyse logique des
sciences mathématiques et physiques; on montre, que la géométrie
ne diffère pas essentiellement des autres parties des sciences mathé-
matiques. On donne aussi un développement des parties élémentaires
de la logistique et des applications correspondantes des méthodes
métamathématiques.

Dans la partie psychologique nous donnons l'exposé d'une méthode

générale due à Natorp qui est destinée à nous fournir une réconstruc-
tion de la conscience immédiate. On montre que cette réconstruction
ne regarde que la structure de celle-ci. Cette structure correspond
exactement aux formes de l'intuition de Kant. On admet la distinc-
tion kantienne entre le sens externe et le sens interne, dont les formes
sont respectivement l'espace et le temps; l'espace sera a priori comme
fondement subjectif des sciences physiques; ceci n'entraîne pas la
prédominance de la géométrie euclidienne, admise à tort par Kant.
Les mathématiques appartiennent au sens interne et par conséquent
on ne pourra admettre que le temps comme fondement subjectif des
mathématiques.

Le dernier chapitre cherche une synthèse entre la fondation objective
et la fondation subjective; le caractère synthétique a priori des ma-
thématiques une fois admis, il se pose la question épistémologique:
comment le jugement synthétique a priori est-il possible? Le réalisme
des objects mathématiques est rejeté et on est mené a accepter la
solution intuitionniste: le jugement mathématique, jugement synthé-
tique et a priori, est possible puisque la Pensée elle-même construit
les objets mathématiques. Cette construction se fait suivant des lois
rigides, quoique arbitrairement posées; voilà le fondement objectif.
C'est le temps qui constitue le substratum unique de cette construc-
tion comme acte conscient; et voilà le fondement subjectif.

Dans la deuxième note on donne un exposé du principe de l'in-
duction complète; il est destiné à illustrer le rôle de la fondation
subjective. L'évidence des raisonnements par induction complète
provient du principe suivant lequel les nombres naturels sont successi-
vement construits.

BIBLIOGRAFIE.

Ackermann, W. (s. 134).

1.nbsp;Bachmann, F. „Untersuchungen zur Grundlegung der Arithmetikquot;, Lpzg,

1934.

2.nbsp;Barbarin, P. „La géométrie non euclidienne®quot; Paris 1928.

3.nbsp;Barrau, J. A. „Ruimtezin en Ruimteleerquot;, rede, Groningen 1913.

4.nbsp;— ,,De Onbemindheid der Wiskundequot;, rede, Groningen 1926.
Bakzin, M. (v. 124, 125).

5.nbsp;Bauch, Bruno „Erfahrung und Geometriequot;, Kantstudien XII 1907.

6.nbsp;— „Studien zur Philosophie der exakten Wissenschaftenquot;, Heidel-
berg 1911.

7.nbsp;Baumann, J. J. „Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik in der neueren

Philosophiequot;, 2 Bde, Berl. 1868/73.

8.nbsp;Bavink, B. „Ergebnisse und Probleme der Naturwissenschaft^quot;, Lpzg. 1921.

9.nbsp;Becker, O. „Beiträge zur phänomenologischen Begründung der Geometriequot;,

Husserls Jahrbuch VI 1923.

10.nbsp;— „Die mathematische Existenzquot;, Husserls Jahrbuch VIII 1925.

11.nbsp;— „Zur Logik der Modalitätenquot;, Husserls Jahrbuch XI 1930.

12.nbsp;Behmann, H. „Mathematik und Logikquot;, Math.-Phys. Bibl. 71 Lpzg. u.

Berl. 1927.

13.nbsp;Behrens, G. ,,Die Prinzipien der mathematischen Logikquot;, Inaug.-Diss.

Kiel, Hamburg 1918.

14.nbsp;Bergson, H. „L'intuition philosophiquequot; Revue Mét. Mor. XIX, 1911.
Bernays, p. (s. 135).

15.nbsp;Beth, H. J. E. „Eenvoudige beschouwingen uit de meetkunde van Gaussquot;,

Euchdes IV 1927/28.

16.nbsp;— „Inleiding in de niet-euclidische meetkimde op historischen
grondslagquot;, Groningen 1929. ,

17.nbsp;— ,,Newton's PrinCîpiaquot;, 2 din, Groningen 1932.

18.nbsp;Beth, E. W. „Critiek van Vredenduin's logica der wiskundequot;, Euclides

X 1933/34.

19.nbsp;— „Klassieke en moderne Scheikundequot;, Alg. N. Tijdschr. Wijsb.

20.nbsp;— „Sur un théorème concernant le principe du tiers exclu et ses
applications dans la théorie de la non-contradiction,quot; C.R. du Ilme Congr.
Nat. des Sciences, Bruxelles '35.

21.nbsp;— ,,La métamathématique et ses applications au problème de la
non-contradiction de la logique et de l'arithmétiquequot; (zal binnenkort ver-
schijnen in Christiaan Huygens).

22.nbsp;Bolland, G. J. P. J. „De Ruimtevoorstellingenquot;, Batavia 1889.

23.nbsp;— ,,Aanschouwing en Verstandquot;, Leiden 1897.

24.nbsp;_ „Het Wereldraadselquot;, Leiden 1896.

25.nbsp;Bonola—^Liebmann, „Die nichteuklidische Geometrie'quot;, Wiss. u. Hyp.

IV, Lpzg u. Berl. '21.

26.nbsp;Boole, G. „An investigation of the laws of thoughtquot;, London 1854.

27.nbsp;Bolyai, J. ,,Appendix —quot;, Ed. nova, Lpzg 1903.

28.nbsp;Bredebveld, J. „Het object der psychologiequot;, Diss. Leiden 1933.

29.nbsp;Brouwek, L. E. J. „Over de grondslagen der wiskundequot;, A'dam-Lpzg 1907.

30.nbsp;— „Het wezen der meetkundequot;, A'dam 1909.

31.nbsp;— „Wiskimde, waarheid, werkelijkheidquot;, A'dam—Groningen 1919.

32.nbsp;— „Mathematik, Wissenschaft und Sprachequot;, Monatsh. f. Math.
36 1924.

33.nbsp;— „Willen, weten, sprekenquot;, Euclides IX 1932/33.

34.nbsp;Brunschvicg, L. „La notion moderne d'intuition et la philosophie des

mathématiquesquot;. Revue Mét. Mor. XIX 1911.

35.nbsp;Brunstäd, F. „Logikquot;, Hdb. d. Phil. Abt. I München u. Berlin 1933.

36.nbsp;Burkamp, W. „Begriff und Beziehungquot;, Lpzg 1927.

37.nbsp;_ „Naturphilosophie der Gegenwartquot;, Berl. 1930.

38.nbsp;— „Logikquot;, Berl. 1932.

39.nbsp;Carnap, R. „Der Raumquot;, Kantstudien Erg. h. no. 56, 1922.

40.nbsp;— „Abriss der Logistikquot;, Wien 1929.

41.nbsp;_ „L'ancienne et la nouvelle logiquequot;, Paris 1933.

42.nbsp;_ „Die Aufgabe der Wissenschaftslogikquot;, Einh.wiss. H. 3 Wien 1934.

43.nbsp;— „Logische Syntax der Sprachequot;, Wien 1934.

44.nbsp;Cartan, E. „Le parallélisme absolu et la théorie unitaire du champquot;, Paris '32.

45.nbsp;Cassirer, E. „Das Erkenntnisproblemquot;, i^ Berl. 1911, ii Berl. 1907.

46.nbsp;_ „Kant und die moderne Mathematikquot;, Kantstudien XII 1907.

47.nbsp;_ „Zur Einstein'schen Relativitätstheoriequot;, Berl. 1921.

48.nbsp;— „Kants Leben und Lehrequot;, Berl. 1921.

49.nbsp;_ „Philosophie der symbolischen Formenquot;, 3 Bde Berl. '25/29.

50.nbsp;Clebsch—Lindeman, „Vorlesungen über Geometriequot; II^ Lpzg. 1891.

51.nbsp;Cohen, H. „Kants Theorie der Erfahrung^quot;, Berl. 1885.

52.nbsp;_ „Logik der reinen Erkenntnisquot;, Berl. 1901.

53.nbsp;Cohn, E. „Physikalisches über Raum und Zeitquot;, Lpzg—Berl. 1920.

54.nbsp;Couturat, L. „La philosophie des mathématiques de Kantquot;, Revue Mét.

Mor. XII 1904.

55.nbsp;— „Les principes des mathématiquesquot;, Revue Mét. Mor. XII 1904.

56.nbsp;— „L'algèbre de la logiquequot;, Paris 1905.

57.nbsp;— „Pour la logistiquequot;, Revue Mét. Mor. XIV 1906.

58.nbsp;Dantzig, d. van „Over de elementen van het wiskundig denkenquot;, voor-

dracht, Euclides IX 1932/33.

59.nbsp;Dedekind, R. „Was sind und was sollen die Zahlen?'quot; Braunschweig 1911.

60.nbsp;— „Stetigkeit und Irrationalzahlen^quot;, Braunschweig 1927.
Dehn, M. (s. 193).

61.nbsp;Deichmann, C. „Das Problem des Raumes in der griechischen Philosophie

bis Aristotelesquot;, Lpzg 1893.

62.nbsp;Descartes, R. „Discours de la méthodequot;.

63.nbsp;_ „Règlespour la direction de l'espritquot; (Oeuvres choisies, Paris s.d.).

64.nbsp;Dingler, h. „Das Experimentquot;, München 1928.

85.nbsp;_ „Geschichte der Naturphilosophiequot;, Berlin 1932.

66.nbsp;Drews, A. „Die Lehre von Raum und Zeit in der nachkantischen Philo-

sophiequot;, Halle 1889.

67.nbsp;Du Bois—Reymond, E. „An Herrn v. Helmholtzquot;, „Redenquot;, 2. Bd.

68.nbsp;Duhamel, J. M. C. „Des méthodes dans les sciences du raisonnementquot;.

Ire—Vme partie. Paris 1873/75.

69.nbsp;Dijksterhuis, e. j. „De Elementen van Euclidesquot;, 2 dln, Groningen

1929/30.

70.nbsp;Eddington, a. „Het uitdijend heelalquot;, 's Gravenhage z. j.

71.nbsp;Einstein, A. „Geometrie und Erfahrungquot;, Berl. 1921.

72.nbsp;_ „Vier Vorlesungen über Relativitätstheoriequot;, Braunschweig 1922.

73.nbsp;Einstein, A. „Théorie de la relativitéquot;, Paris 1933.

74.nbsp;_ „Mein Weltbildquot;, A'dam 1934.

(s. 169).

75.nbsp;Emmens, W. „Das Raumproblem bei Bergsonquot;, Diss. Leiden 1931.

76.nbsp;Engel, F. und P. Stäckel. ,,Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis

auf Gaussquot;, Lpzg 1895.

77.nbsp;Enriques, F. „Probleme der Wissenschaftquot;, Wiss. u. Hyp. XI^ u. XI^.

Lpzg u. Berl. 1910.

78.nbsp;— „Zur Geschichte der Logikquot;, Wiss. u. Hyp. XXVI, Lpzg u.
Berl. '27.

79.nbsp;Erdmann, B. ,,Die Axiome der Geometriequot;, Lpzg 1877.

80.nbsp;Errera, A. „Quelques remarques sur les mathématiques intuitionnistesquot;,

Revue Mét. Mor. XLI, 1933.
(v. 124, 125).

81.nbsp;Feys, R. „Le raisonnement en termes de faitsquot;, Revue Néo-Scolastique

de Phil. 1927/28.

82.nbsp;Fraenkel, A. „Einleitung in die Mengenlehre®quot;, Berl. u. Lpzg 1928.

83.nbsp;Franken, J. C. „Kritische Philosophie und Dialektische Theologiequot;, diss.

Utrecht, A'dam 1932.

84.nbsp;— „De Systematiek der Kritische Philosophiequot;, rede Utrecht '32.

85.nbsp;Frege, G. „Grundlagen der Arithmetikquot;, Breslau 1884.

86.nbsp;— „Grundgesetze der Arithmetikquot;, 2 Bde, Jena 1893/1903.

87.nbsp;Frischauf, J. ,,Elemente der absoluten Geometriequot;, Lpzg 1876.

88.nbsp;Gauss, C. F. „Werkequot;, herausgegeben von der Königlichen Gesellschaft der

Wissenschaften, bes. Bd. VIII Göttingen 1900.

89.nbsp;Goedewaagen, T. „Summa contra Metaphysicosquot;, Leiden 1931.

— „Verleden en heden der critische philosophiequot;, Alg. Ned. Tijdschr.
v. Wijsb. I 1934/35.

91.nbsp;Gödel, K. „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica

und verwandter Systemequot;, Mon. hefte Math. Phys. 38, '31.

92.nbsp;Göbland, A. „Aristoteles und Kantquot;, Glessen 1909.

93.nbsp;— „Ethik als Kritik der Weltgeschichtequot;, Wiss. u. Hyp. XIX
Lpzg 1914.

94.nbsp;_ „Prologikquot;, Berl. 1930.

95.nbsp;Gomperz, Th. „Griechische Denkerquot;, 3 Bde 1896/1909.

96.nbsp;Grassmann, H. „Die Ausdehnungslehre von 1862quot;, Werke Bd Lpzg 1896.

97.nbsp;Guëll, Vicomte de „L'espace, la relation et la positionquot;, Paris 1924.

98.nbsp;Hahn, H. „Die Krise der Anschauungquot;, Krise und Neuaufbau in den exakten

Wissenschaften, Wien 1933.

99.nbsp;— „Logik, Mathematik und Naturerkennenquot;, Einh. Wiss. H. 2
Wien '33.

100.nbsp;Helmholtz, H. von „Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometriequot;,

101.nbsp;— „Über die Thatsachen, die der Geometrie zum Grunde liegenquot;;
diese beiden Abhandlungen in:

102.nbsp;_ „Wissenschaftliche Abhandlungenquot; Bd II 1883.

103.nbsp;_ „über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen
Axiomequot;,

104.nbsp;— „Die Thatsachen in der Wahrnehmungquot;; diese beiden letzten
Abhandlungen in:

105.nbsp;— „Schriften zur Erkenntnistheoriequot;, herausg. und erl. von P.
Hertz u. M. Schlick, Berhn 1923.

106.nbsp;— „Handbuch der Physiologischen Optikquot;, 3 Bde, Lpzg 1867.

107.nbsp;Henry, V. „Das erkenntnistheoretische Raumproblemquot; Kantstudien Erg.

h. no. 34 Berl. 1915.

108.nbsp;Herbart, J. F. ,,Schriften zur Metaphysikquot;, Werke ed. Hartenstein Bd

IV 2. Tl.

109.nbsp;Hebbertz, R. „Die Philosophie des Raumesquot;, Stuttgart 1912.

110.nbsp;Herbrand, J. „Sur la theorie de la démonstrationquot;, C.R. 186, 1274.

111.nbsp;— „Non-contradiction des axiomes arithmétiquesquot;, C. R. 188, 303.

112.nbsp;— „Sur quelques propriétés des propositions vraiesquot; C.R. 188,
1076.

113.nbsp;— ,,Sur le problème fondamental des mathématiquesquot;, C.IÎ. 188, 554.

114.nbsp;— „Recherches sur la théorie de la démonstrationquot;, Thèses Paris 1930.

115.nbsp;— „Sur la non-contradiction de l'arithmétiquequot;, Journ. Math.
166, 1931.

116.nbsp;Hertz, H. „Prinzipien der Mechanikquot;, Braunschweig 1894.

117.nbsp;Heymans, G. „Zur Raumfragequot;, Viertelj.schr. f. wiss. Phil. 1888.

118.nbsp;— „Gesetze und Elemente des wissenschaftlichen Denkens'quot;,
Lpzg 1915.

119.nbsp;Heyting, A. ,,Intuitionistische axiomatiek der projectieve meetkundequot;,

diss. A'dam 1925.

120.nbsp;— „Die formalen Regeln der intuitionistischen Logikquot;, Sitz. Ber.
Berlin 1930.

121.nbsp;— „Sur la logique intuitionnistequot;, Ac. r. de Belgique, Bull, de la
Cl. des Sei., s. 5, t. 16, 1930.

122.nbsp;— „Die intuitionistische Grundlegung der Mathematik, Erk. II 1931.

123.nbsp;— „A propos d'un article de MM. Barzin et Erreraquot;, L'enseign.
math. 31me ann. 1932; cf. dans le même t.:

124.nbsp;M. Barzin amp; „Note sur la logique de M. Heytingquot;, et

125.nbsp;A. Errera „Réponse a M. Heytingquot;.

126.nbsp;Heyting, A. ,,Intuitionismus und Beweistheoriequot;, Lpzg. Berl. 1934.

127.nbsp;Hilbert, D. „Grundlagen der Geometriequot; (1898).

128.nbsp;— „Neue Begründung der Bolyai-Lobatschewskyschen Geometriequot;
(1903).

129.nbsp;— „Über die Grundlagen der Geometriequot; (1902).

130.nbsp;— „Über den Zahlbegriffquot; (1900).

131.nbsp;— „Über die Grundlagen der Logik und Arithmetikquot; (1904). Alle
diese Arbeiten in:

132.nbsp;— „Grundlagen der Geometrie®quot;, Wiss. u. Hyp. VII Lpzg u.
Berl. 1923.

133.nbsp;— „Die Grundlagen der Mathematikquot; (mit Zusätzen von Weyl
und Bernays), Abh. math. Sem. Hamburg VI Lpzg 1928.

134.nbsp;— und W. Ackermann „Grundzüge der theoretischen Logikquot;, Berl. 1928.

135.nbsp;— und P. Bernays. „Grundlagen der Mathematikquot;, 1. Bd Berl. 1934.

136.nbsp;Höfler, A. ,,Grundlehren der Psychologie^quot;, Wien 1905.

137.nbsp;Holder, O. „Die Mathematik im Verhältnis zu den anderen Wissenschaftenquot;,

Lpzg 1918.

138.nbsp;Hopmann, P. „Das Problem des Satzes vom ausgeschlossenen Drittenquot;,

Kantstudien XXXVI 1931.

139.nbsp;Houël, J. „Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie

élémentaire^quot;, Paris 1883.

140.nbsp;Jorgensen, J. ,,A treatise of formal logicquot; 3 vols, Kopenhagen 1931.

141.nbsp;Kant, I. ,,Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräftequot;,

(1747).

142.nbsp;— „Kritik der reinen Vernunftquot; (A 1781, B 1789).

143.nbsp;Kant, I. „Prolegomenaquot; (1783).

144.nbsp;— ,,Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaftquot; (1786).

145.nbsp;— „Kritik der Urteilskraftquot; (1790).

146.nbsp;— „Logikquot;, Königsberg 1800.