DE MEETKUNDIGE PLAATS
VAN DE
PUNTEN OP GELIJKE' AFSTAND
VAN TWEE VERZAMELINGEN

DOOR

]. DEKNATEL

h. j. paris - amsterdam

......................................................................

BIBLIOTHEEK DER

If., - - ^

■ ■• t:. .ri
■äquot; .

A

'mê

1nbsp;■». nf

DE MEETKUNDIGE'PLAATS
VAN DE PUNTEN'ÓP GELIJKE AFSTAND
VAN TWEE VERZAMELINGEN

'-S/- ■

fji»

DE MEETKUNDIGE PLAATS
VAN DE PUNTEN OP GELIJKE AFSTAND
VAN TWEE VERZAMELINGEN

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van de graad van doc-
tor in de wis- en natuurkunde aan de
rijks-universiteit te utrecht op gezag
van den rector magnificus, dr c. w.
vollgraff, hoogleraar in de faculteit
der letteren en wijsbegeerte, volgens
besluit van de senaat der universiteit
tegen de bedenkingen van de faculteit
der wis- en natuurkunde te verdedigen
op maandag 16 december 1935, des namid-
dags te 4 uur

door

JAN DEKNATEL

geboren te zutfen

h. j. paris
amsterdam mcmxxxv

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
UTRECHT.

Bij het voltooien van dit proefschrift wil ik een woord van
dank richten tot hen die aan mijn wetenschappelijke opleiding
hebben bijgedragen.

Mijn bijzondere dank geldt echter U, Hooggeleerde Wolff,
Hooggeachte Promotor, voor het vertrouwen dat ge in mij
gesteld hebt, en de vele tijd die ge aan mij hebt willen geven.

AAN DE NAGEDACHTENIS
VAN MIJN VADER

NOTATIE

U (El, E^) de meetkundige plaats van de punten evenver
van El als van E^.

E Fnbsp;£ is deelverzameling van F.

E F] E — F-, E . F] E F resp. som, verschil, doorsnede
en vereniging van E en F.

[A, jB]nbsp;het lijnstuk AB met de eindpunten A en B

inbegrepen.

(A, B)nbsp;het lijnstuk AB zonder A en B.

[A, B), (A, B] het lijnstuk AB met A wel, B niet, resp. B
wel en A niet inbegrepen.

E, Fnbsp;de afstand der verzamelingen E en F.

H (E)nbsp;het kleinste convexe omhulsel van E.

k(A,E)nbsp;afstandcirkel met A als middelpunt en A,E

als straal.

£(A,E)nbsp;het op k(A, E) gelegen deel van E.

INLEIDING

In dit proefschrift zal de meetkundige plaats U (E^, E^ be-
studeerd worden van de punten op gelijke afstanden van twee
verzamelingen E^ en E^ in het Euclidische vlak.

Onder de afstand P, E van een punt P tot een verzameling
E verstaat men de onderste grens van de afstanden van P tot
de punten van E. Uit deze definitie volgt dat P, E een twee-
dimensionaal-continue funktie van P is.

Voor willekeurige E^ en E^, is de meetkundige plaats U E^
gesloten. Immers geldt voor een punt P b.v. P, E^ lt; P, E^ dan
i§ er wegens de continuïteit van de afstandsfunktie een om-
geving van P waarvan ieder punt deze eigenschap heeft. Het
complement van U {E^, E^ is dus open, U (E^, E^ is dus
gesloten.

Verder volgt nog uit de afstandsdefinitie dat P, E ongewijzigd
blijft indien men E afsluit. We mogen voor het bestuderen van
V (El, £2) dus aannemen dat E^ en E^ gesloten zijn, zonder de
algemeenheid te schaden.

Indien men omtrent E^ en E^ geen nadere onderstellingen
maakt, valt er over U (E^, E^), behalve de geslotenheid niets
te zeggen. Immers zij F een willekeurige gesloten verzameling
dan zijn er twee verzamelingen aan te geven die F als meet-
kundige plaats opleveren. Is n.1. F het vlak, dan is P = U (F, V).

In hoofdstuk I nemen we E^ en E^ gesloten en begrensd,
maar overigens willekeurig. Een noodzakelijke en voldoende
voorwaarde wordt afgeleid voor de begrensdheid van JJ (E^, E^.

In hoofdstuk II wordt ondersteld dat E^ en E^ gesloten,
begrensd en zonder gemeenschappelijk punt zijn. Aangetoond
wordt, dat U (Ey E^) dan bestaat uit een eindig aantal enkel-

voudige gesloten Jordankrommen (event. op een inversie na)
die een eindig aantal punten gemeen hebben. Verder zijn deze
krommen in ieder punt voorzien van twee half tangenten.
Doorloopt een punt een der krommen U {E^, E^ in bepaalde
zin, dan is de hoek die de halftangent in de gekozen doorlopings-
zin' met een vaste rechte maakt een fnnktie van begrensde
variatie. Deze laatste eigenschap is aequivalent met de volgende:
de krommen kunnen bij gedeelten opgevat worden als grafische
voorstelling van de som van twee funkties, waarvan de grafische
voorstellingen convexe krommen zijn. Een verder verband
tussen U (E^. E^) en convexe krommen geeft nog de volgende
stelling: indien E^ en E^ gesloten verzamelingen zijn met een
gemeenschappelijk punt, dan vormen de inv^rendige punten van
U {El, £2), indien ze er zijn, een convex gebied.

In hoofdstuk III zal de vraag onderzocht worden in hoeverre
de gevonden eigenschappen U {E„ E,) karakteriseren. Het zal
blijken dat de eigenschappen „im Kleinenquot; de krommen vol-
komen karakteriseren.

Tenslotte willen we er nog op wijzen dat de beschouwing
van de meetkundige plaats U {C„ C^) waarbij C^ en C^ continua
zijn, een toepassing heeft gevonden in een bewijs van de stelling
van Jordan omtrent de verdeling van het vlak door een gesloten

kromme

1) J. Wolff, Bulletin de Ia Société Mathématique de France, t. LXIIl.

HOOFDSTUK I

Definitie I:

Een verzameling met de eigenschap, dat indien de punten
P en ^ er toe behoren ook [P, Q] ertoe behoort, heet convex.

Stelling I:

De doorsnede van een verzameling van convexe verzame-
lingen is convex.

B,e w ij s :

Zijn P en Q punten van de doorsnede, dan bevat ieder der
beschouwde convexe verzamelingen blijkbaar P en Q, dus ook
[P, [P, behoort dus tot de doorsnede.

Definitie 11 :

Is E een willekeurige verzameling, dan heet de doorsnede
H [E) van alle gesloten half vlakken die E bevatten, het kleinste
convexe omhulsel van E.

Stelling II:

H (E) is convex, (volgt uit st. I)

Stelling III:
H {E) is gesloten.

B e w ij s :

De doorsnede van gesloten verzamelingen is weer gesloten.
1) Zie notatie pag. 8.

Stelling IV:

H {E) is de kleinste gesloten en convexe verzameling die
E bevat.

B e w ij s :

Stel dat C een gesloten convexe verzameling was, die E
bevat en dat er een punt P-{ H (E) was, dat niet tot C be-
hoorde. Zij a de afstand van P tot C, en A een punt van C
zodat A^P = a, (wegens de geslotenheid van C is er zulk een
punt). Laat m de middelloodlijn van [A, P] zijn, F^ het half-
vlak door m bepaald dat P bevat en V^ het andere door m
bepaalde halfvlak. V^ bevat dan geen punt van C. Immers
lag er een punt B i C in, dan zou [A, B] tot C behoren en
een afstand kleiner dan a tot P hebben. V^ bevat dus C, en
a fortiori E, terwijl P er buiten Hgt. Dit is in strijd met de
definitie van H {E).

Gevolg:

Is C een gesloten convexe verzameling, dan is C = H {€).

Stelling V:

Is P een punt van de grens R van H {E), dan is er minstens
één halfvlak dat E bevat en P op de rand heeft.

B e w ij s :

Daar P op P ligt, is er een rij halfvlakken Vi, V^. ■ ■ ■ V„ . .
die E bevatten, en zodanig dat de afstand van P tot de randen
Pj, R^, .. - Rn - ■ tot nul nadert. (Ontkenning zou direkt een
tegenstrijdigheid opleveren.) Er is een deelrij P«,. . . P«*. .
welke nadert tot een rechte l door P. Indien aan beide zijden
van l punten en P van E lagen, zou er ook een P«» zijn die
^ en B scheidt, wat onmogelijk is. Een der beide halfvlakken
door l bepaald bevat dus E.

Is P een punt van de grens van een convexe verzameling
H (E), dan heet de grens van een halfvlak dat E bevat en P
op de grens heeft, een raaklijn in P aan H {E).

Stelling VI:

Is E gesloten en begrensd, en is P een punt van de grens van
H{E), echter geen punt van E zelf, dan behoort P tot een lijn-
segment van de grens van H {E), waarvan de eindpunten tot
E behoren.

B e w ij s :

Zij l een raaklijn in P aan H (E), en li een der halfrechten door
l en P bepaald. Stel dat op /j geen punt van E lag. en E zijn
dan gesloten verzamelingen zonder gemeenschappelijk punt,
terwijl E begrensd is. E en zouden dan een positieve afstand
hebben Er zou dan een hoek ad met hoekpunt P bestaan
waarbinnen E lag. Daar P niet tot E behoort, is er een omgeving
van P waarin E geen punt heeft. Er zou dus een halfvlak
te construeren zijn, dat P uitsluit en E bevat, in strijd met de
aanname dat P op de grens van H {E) ligt. Evenzo ligt op de
andere halfrechte door P en l bepaald een punt van E, waarmee
de stelling bewezen is.

Stelling VII:

Is P een inwendig punt van de begrensde, gesloten, convexe
verzameling C, dan is de doorsnede van een halfrechte h, met P
als beginpunt, met C een segment [P, Q] waarvan alleen Q op
de grens R van C ligt.

B e w ij s :

Uit definitie I volgt dat de doorsnede een lijnstuk [P.
is waarvan Q punt van R is. Een willekeurig punt X van [P, Q]

1) Onder de afstand E^. E^ van twee verzamelingen £1 en £3 verstaat
men de onderste grens van afstanden van punten van Ej tot punten
van jEg.

is een inwendig punt van C. Immers, er is een omgeving tu van
P welke tot C behoort. De verbindingslijnen van de punten
van O) met Q behoren tot C, terwijl hun vereniging X als in-
wendig punt heeft.

Gevolg:

De rand R van een convexe verzameling met een inwendig
punt P is een enkelvoudige gesloten Jordankromme. Immers
R is volgens St. VII voor te stellen met poolcoördinaten
t.o.v. van P en een halfrechte met P als beginpunt door
r = r{(p). Hierin is r{(p) continu. Immers was in lt;pi een discon-
tinuïteit, dan zou wegens de geslotenheid van R de bijbe-
horende halfstraal minstens 2 punten van R bevatten, in
strijd met St. VII.

Stelling VIII:

Zijn Cl en C^ gesloten, begrensde verzamelingen, dan is een
noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de begrensdheid
van U (Cl, Ca), dat indien R de grens van (Ci-f Cj) is, of
7? . Cl of 2? . Cj, leeg is.

B e w ij s :

I. De voorwaarde is voldoende.

Zij R . Cl leeg. Daar R en Cj gesloten zijn, is R,Ci = dgt; Q.
We nemen aan, dat er een punt van U (Cj, Cj) op positieve
afstand van H (C^ C^) bestaat, daar anders niets meer te
bewijzen valt.

Zij M zulk een punt en P een punt van e (Af, Cj) (fig. I).
P en M zijn resp. inwendig en uitwendig punt van H (Cj 4- C^)-
Volgens st. VII is dus: [M, P] . (C^ C,) - [P, PJ, waarin
PiiR.

Daar binnen /fe (M, C^) = A (M, C^) = k geen punten van
Cl 4- Cj liggen, ligt P^ op een verbindingssegment van C^ 4- Cg
(st. VI). Dit segment heeft met k een koorde [Q^ Q2] gemeen.
Is D de diameter i) van H (E), dan is dus Q^, Q^ ^ Egt;- Verder is

d ^ R^i lt; P^T^i lt;

Dusnbsp;_ _

PrQr^P.Q. PPi'Pl

II. De voorwaarde is noodzakelijk.

Onderstel, dat Cj en C^ ieder een punt op R hebben, resp.
P en Q. Indien P = Q behoort een buitennormaal «) in P op i?

tot U {Cl, C2).

Indien P^Q geldt voor ieder punt X van een buitennormaal
in P X^i lt; xTQ. Voor ieder punt Y van een buitennormaal
in Q yTCz lt; YTCi. Ieder verbindingssegment van de buiten-
normalen bevat dus wegens de continuïteit van de afstandfunktie
minstens één punt van U (C^, Cj).

Voor het vervolg zal nog een nadere beschouwing van het
gedrag op oneindig van U {Ei, E,) nodig zijn. We onderstellen

1)nbsp;Onder de diameter van een verzameling E verstaat men de bovenste
grens van afstanden van twee punten van E.nbsp;r-

2)nbsp;Onder een buitennormaal in P aan een convexe verzamehng C
verstaan we een halfrechte loodrecht op een raaklijn in P aan C in het
halfvlak dat geen punt van C als inwendig punt heeft.

en £2 gesloten, begrensd en zonder gemeenschappelijk punt.
Verder onderstellen we nog, dat H {E^ E^ een inwendig punt
P heeft en dat U (E^, E^) niet begrensd is.

Wegens het gevolg van St. VII kan de grens R van H {E^ E^)
voorgesteld worden in poolcoördinaten door r = r{(p). Laat P((p)
het bij behorende punt van zijn. Volgens St. VIII zijn i? . £
en R . E2 niet leeg. We mogen dus onderstellen, dat P(o) E^.
I^at de grootste waarde zijn zodat voor O lt; lt;p lt; (p^, P{lt;f)
niet tot R . E^ behoort. Wegens de geslotenheid van E^, is dan
P{lt;p^ R . E^. Laat qi^ de kleinste waarde van 95 zijn, zodat
voor (pilt; (p lt; qgt;2, P{lt;p) niet tot R . E^ behoort. De boog van
punten P{lt;p) waarvoor lt; lt;p lt; lt;P2 bevat dan geen punt van
R . Ejoi R . E^. Volgens St. VI bestaat deze boog dus uit een
lijnsegment met uiteinden P(yi) =nbsp;E^ en P{(p^ =

^ Bl £2. Daar A^. B^ S £1. £2 gt; O hggen op R slechts
een eindig (even) aantal dergelijke lijnstukken

[Al. B,]. [A^. B^] .... [Ak, Bk].

De complementaire bogen B^A^, B^A^. . . BkA^, waarvan er
een of meer in punten kunnen ontaarden, bevatten beurtelings
punten van E^ en £3. Zij nu G» het gebied, bepaald door [An, B»]
en de buitennormalen in A-n en Bn die loodrecht op [An, Bn]
staan, dat H (£j £3) niet bevat. Zij A het complement van
H {El £2) Gn t.o.v. het vlak. Zij Q, indien mogelijk, een
punt van U {E^, £3) in A ■ ^ [Q. E^) = k {Q, £2) = k bevat in
het binnengebied een boog b van R (anders had H {E^ £,)
slechts een punt met k gemeen, in strijd met E^. = O),
b kan niet tot een der segmenten [An, Bn] behoren, daar Q dan
in Gn zou liggen, b behoort dus tot een boog BnAn i- Deze bevat
slechts punten van E^ of E^, stel van Ei- Zij ö„ de afstand van
E-i tot boog BnAn i, dan is dn gt; 0. Evenals op pag. 15 toont
men dan aan, dat de afstand van Q tot H{Ei £3) hoogstens
D^lö» is. Daar« slechts een eindig aantal waarden kan doorlopen
is U (£1, £2) in A begrensd.

Beschouwen we nu het deel van U (£1. £3) in Gi. Op ieder

verbindingssegment van de buitennormalen, evenwijdig aan
A^B^, ligt minstens één punt van U (E^, E^. Laat a en ^ om-
gevingen van ^^ resp. B^ zijn met diameters kleiner dan | A^Bi-
Zij d de afstand van [A^, BJ tot Ei E^ —a . E^ — ^ . E^,
dan is ó gt; 0. Zij Q een punt van U {E^, E^ in G^, en zij p de
pijl van de boog die A^B^ van k {Q, E^) = k (Q. E^ afsnijdt.
Voor Q op voldoend grote afstand van H (E^ E^ is p lt; è,
zodat £ [Q, El) iaën E (Q, E^) lt;( jS. Voor een punt Q', op het
verbindingssegment van de buitennormalen door Q evenwijdig
aan ^iBi,geldt dan öf Q^ilt;Q^2otQ',E^lt;Q',Ei, naargelang
Q' aan de kant van Aj of B^ ligt. Hieruit volgt, dat indien we
een assenkruis aannemen met A^ als oorsprong, het punt B^
op de positieve y-as en de buitennormaal in A^ als pos. x-a.s,
U {El, E^ in Gi voor voldoend grote rc voorgesteld kan worden
door y = f{x). Uit de geslotenheid van U (Ei, E^) volgt nog
dat f{x) continu is. Verder nadert voor toenemende ac e {Q, Ei)
tot en e {Q, E^ tot Bi- De koorde, die k {Q, E^ = k {Q, E^
van {Al, Bl] uitsnijdt, nadert dus tot [Ai, Bi]. Hieruit volgt
dat lim. y = | Bj.

Indien H {£1 E^) geen inwendig punt bevat, is gemakkelijk
in te zien, dat U {Ei, E^ uit de middelloodlijnen van lijnstukken

[Ak, Bk] bestaat.

Er is dus een afstand M, zodat U {Ei, E^) o p
afstand groter dan M van H {Ei E^) verwij-
derd, bestaat uit een eindig aantal Jordan-
bogen, ieder voorzien vau een asymptoot.

Hieruit volgt nog dat er geen twee gesloten, begrensde ver-
zamelingen zijn zonder gemeenschappelijk punt. die tot meet-
kundige plaats opleveren een parabool, of een figuur met
een parabolische tak.

HOOFDSTUK H

Stelling IX:

Zijn El en E^ gesloten, begrensde verzamelingen zonder ge-
meenschappelijk punt, dan bestaat U {E^, E^ uit een eindig
aantal gesloten Jordankrommen (event. op een inversie na) met
een eindig aantal snijpunten, en in ieder punt voorzien van twee
niet samenvallende halftangenten.

B e w ij s :

Zij P een punt van U {E^, E^ en O een punt van c (P, E^).
Zij oi de grootste hoek in positieve zin tussen PO en een straal
PBi van k (P, El) = k (P, E^) = k, zodanig dat binnen deze
hoek geen punt van s (P, E^ ligt. Bi behoort dan tot E^. Zij
Ca de grootste hoek in pos. zin tussen PBi en een straal PB^,
zodanig dat binnen deze hoek geen punt van e (P, Ei) ligt, enz.
Daar Ei, E^ ^dgt;0 is, onderspannen de bogenO.Bi, B1B2, B^B^..
koorden met lengte minstens d. Er zijn er dus een eindig
aantal k. Zij a^' de kleinste hoek in pos. zin tussen PO
en een straal PAi, zodanig dat binnen AiPBi geen punt
van El gelegen is. Evenzo a^ de kleinste hoek in pos. zin tussen
PBi en een straal PA^ zodat Z A^PB^ geen punt van E^ bevat.
Er ontstaan dus bogen BiA^, B^A^ . . . BkAi op k, welke afwisse-
lend punten van en £ ^ bevatten, en bogen AiBi, A^B^.. AkBk
(k even) die, uitgezonderd de eindpunten, geen punten van
El of £2 bevatten. Van de eerste soort kunnen er een of meer
in punten ontaarden.

Onderstel AiPBi^tz (fig. II). Laat en y^ cirkels met
stralen en ö^ en met middelpunten resp. Ai en Bi zijn. Kies
zo klein dat de raaklijn uit Bi aan yi, welke de punten en P

FigH

niet scheidt, een koorde [Bj, B/] van k afsnijdt. Evenzo dg zo
klein dat de raaklijn uit A^ aan y^, die P en B^ niet scheidt, een
koorde [A^, A^] afsnijdt. Zij B het midden van [ßj, B-^] en
A het midden van [A^, Aj'].

Zij d de afstand van boog A^B^ tot £2 — • — y^-
dan is ó gt;0. Er is een omgeving co van P, zodat voor een wille-
keurig punt X ervan, de afstandcirkels k {X, E^ en k (X, E^)
niet verder dan J ö buiten k uitsteken.

Kies X binnen w en binnen A BPBi. k {X, E^) snijdt de
koorde [ß^, B^] in twee punten, k {X, E^ heeft dus geen punt
met El gemeen. Hieruit volgt dat binnen de omgeving lt;w van
P, /_BPBi en evenzo £,APAi geen punten van U (E^, E^)
bevat. Door d^ en ö^ tot nul te laten naderen, naderen PA en
PB tot de bissectrice b van /_AiPBi. De halfrechte b' door b
en P bepaald, gelegen binnen de uitspringende hoek A^PBi,
is dus halftangent in P aan U {E^, E^.

Laat ßi en a^ punten van resp. PB^ en PA^ zijn binnen m,
en zodanig dat [«j, /SJ ± b. Daar a^ E^ lt; a^, E^ en ß^, E^ gt;ßi,Et,
bevat [ai, ßj] dan minstens een punt Y van U {E^, E^). Stel
dat er nog een tweede punt Y' op lag. Laat resp. tj^ en r]\ punten
van resp. e (Y, E^) en e (Y', E^) zijn. [Y', »jJ snijdt dan k (Y'.Ej)
terwijl [Y, r)\] k (Y, E^) snijdt, k (Y', E^) en k (Y, Ey) snijden
elkaar dus binnen y^. Het andere snijpunt ligt in y^. Tevens
moeten beide snijpunten symmetrisch liggen t.o.v. de lijn
a^ßi, hetgeen in strijd is met de aanname omtrent ój en è^ .
bevat dus één punt Y van U {E^, E^). Onderstel nu Z.AJ'B{gt;n.
We beschouwen weer cirkels y^ en yz om A^ en B^, met stralen
dl en Ó2. Kies zo klein dat de raaklijn uit ^^ aan y^, die Bi en P
scheidt, van k (P, E^) een koorde [Ai, A'i] afsnijdt. Analoog
Zij d de afstand van boog AyBi tot Ei — Eiyi E^ — E^ y^,
dan is ó gt; 0.

Er is weer een omgeving lt;w van P, zodat voor een punt X
ervan k {X. E^ en k {X, E^ niet verder dan | ö buiten k uit-
steken. Noem de middens van AiA'i en BiB\ A resp. B, de
snijpunten van de verlengden van AP en BP met k resp.
A* en ß*.

Zij X een punt binnen de uitspringende hoek BiPB* en in w.
De straal van k {X, E^ is hoogstens X, Bi. k {X, E^ snijdt
dus [Bi, B'i] in twee punten en heeft dus met Ei geen punt
gemeen. X behoort dus niet tot U {Ei, E^). Evenmin is er een
punt in co en de uitspringende hoek A*PAi, dat tot U (Ei, E^)
behoort. Het deel van U {Ei, E^) in de inspringende hoek
AiPBi heeft dus de halfrechte b', door b en P bepaald, gelegen
binnen de inspringende hoek ^^Pßi, tot halftangent. Evenals in
het vorige geval bevat een lijnstuk [a, /3] ± b, waarvan de uit-
einden aen ß op PA* resp. PB* gelegen zijn, één en niet meer
dan één punt van U {Ei, E^.

Brengen we nu een assenkruis aan met Pais oorsprong en pos.
x-as langs b'. Voor a; gt; O en klein genoeg is het deel van U [E^ E^,
dat in de bij b' behorende Z_AiPBi ligt, voor te stellen door
y = f[x). Wegens de geslotenheid van U {Ei, E^ is i{x) continu.

Ieder punt P van U {E^E^ is dus bevat in een gebied, waar
IJ £2) bestaat uit een eindig (even) aantal Jordanbogen,
samenkomende in P. Volgens pag. 17 geldt dit event. ook voor
het punt op oneindig. U (E^, E^) is dus volgens Borel te over-
dekken met een eindig aantal dergelijke gebieden gj, gg. • • • gk-
Zij Pk het vertakkingspunt, of, indien niet aanwezig, een wille-
keurig punt van U (Pj, E^), gelegen op gk- Laat PkAk^. . -PkA^quot;

de op gk gelegen bogen zijn, waarbij AV.....A^quot; randpunten

van gk zijn. We denken ons de nummering zo gekozen, dat van
alle halftangenten in Pk aan U {E^, E^), die aan de boog PkA''^^.
de kleinste hoek in pos. zin maakt met de halftangent aan
PkA[ {l=\.2...mk-l). Stel PkA^ 4. PkAl ' = jl We onder-
stellen gl. . g» zó gekozen dat geen geheel in een bevat is.
Kies nu een boog j^K Het eindpunt is in minstens een van
de gebieden g^, g^ ----g« gelegen, b.v. in g„,. Het op g„, ge-
legen deel van is dan gelegen op een der bogen jl^----

stel op Indien de boog -}- — na afsluiting slechts
met gemeen heeft, is -j- een boog; is er behalve
nog een gemeenschappelijk punt, dan bevat 4quot;
een gesloten Jordankromme.

Onderstel het eerste. Al'^^ ligt in minstens een der gebieden
gl, g2____gn, b.v. in g„„ terwijl het op g„. gelegen deel van

na afsluiting slechtsnbsp;metnbsp;gemeen heeft, is

4- j'^» een boog. Na een eindig aantal malen dit proces
te hebben voortgezet, komt er een vereniging van bogen

■ ■ 'nm

die een gesloten Jordankromme ƒ bevat. We merkten reeds op,
dat het aantal takken dat in een vertakkingspunt samenkomt
steeds even is. Verwijdert men dus uit U (E^, E^ de gevonden
Jordankromme op de event. vertakkingspunten na, dan blijft
in ieder der verzamelingen gj, gg •.. g» öf niets öf een vertakkings-
punt met weer een even aantal takken over. Hieruit volgt, dat

die overgebleven verzameling weer een gesloten Jordankromme
bevat, enz. Hiermee is de stelling bewezen.

Opmerking :

Zijn El en E^, continua, dan is er een boog B^A^ die e {P, E^
en een boog B^Ai die s {P. Ei) bevat. In ieder punt P van
U {El, E^) komen dan twee takken samen, zodat U {Ej, E^)
uit één enkele gesloten Jordankromme bestaat.

Stelling X:

Zijn El en E^ gesloten, begrensde verzamelingen, dan hebben
de Jordankrommen U {Ei, E^) de eigenschap, dat de hoek die
een halftangent in bepaalde zin met een vaste rechte maakt,
bij het doorlopen van ieder der krommen, een funktie van
begrensde variatie is.

B e w ij s :

Laten PenQ punten van U {Ei, E^) zijn, P' en Q' punten van
£ (P, Ej) resp. e {Q. E^, dan snijden [P. P'] en [Q. Q'] elkaar
niet (event. is P' = Q'). Immers onderstel dat k (P, Ei) en
k [Q, £i) niet buiten elkaar liggen, en laat K de vereniging van
beide cirkelschijven zijn. De grens R van K bestaat uit twee
cirkelbogen p en q resp. behorende tot k (P, E^ en k {Q. E^.
P' ligt buiten, of op de rand van k {Q, E^, dus op p, terwijl
Q' op q ligt. Hieruit volgt de genoemde eigenschap.

Laat P{s) het punt op een boog van U {Ei, E^ aanduiden,
waarvoor de boogafstand (in positieve zin gemeten) tot een vast
punt P(o) van U {Ei, E^) gelijk s is. Laat ^(s), B{s) de boog
van k{P{s), E^) = k{P{s),E^ zijn waarop noch Ei, noch
£2 een punt heeft (behalve de eindpunten die tot resp. Ei en
£2 behoren), en die met de halftangent in positieve zin in P (s)
aan de kromme correspondeert. We beschouwen een boog s'
welke geheel binnen k (P (0), £1) = k (P(o), £3) = k gelegen is,
en die geen vertakkingspunten bevat. Volgens het voorgaande
snijden [P{o), .4(o)] en [P(s), 4(s)] elkaar niet, zodat

I ^ P{o) A{o). P{s) ^(s) \lt;\L A{o) P{o) A'(s) I

U Pio) A'{s) P{s) I

als /l'(s) het snijpunt van ^(s) P{s) metk is (fig. III). Nu is

I ^ P{o) 4'(s) P{s) \lt;M.s..........(l)

en \ L Mo) P{o) ^'(s) I lt; ^boog A{o) 4'(s) ... (2)

waarin M een constante is. Als P(s) de boog van P{o) naar
P(s') doorloopt, loopt ^'(s) niet terug, zodat boog A{o) A'{s)
monotoon toeneemt. Uit (1) en (2) volgt dus dat de richting
van P(s)vl(s), voor o^s^s', een funktie van begrensde
variatie is. Hetzelfde geldt voor P(s) B(s). en dientengevolge
eveneens voor de bissectrice van ^ A(s) P{s) B(s), waarmee
de stelling bewezen is voor een eindige boog.

Beschouwen we nu een oneindige tak van U (E^, E^), dan kan
deze op genoegzaam grote afstand van E^ en E^ worden voor-
gesteld door y = f{x). waarbij evenals op pag. 17 de pos. x-as
langs de buitennormaal gekozen wordt in het eindpunt An van

het Hjnstuk [A„, B„], dat met de beschouwde tak correspon-
deert (fig. IV).

Zij t(x) die halftangent in het punt P(x) van de beschouwde

a

P-

^ Fio.ivquot;

tak, die met toenemende x corresponpeert. i(x) is dan bissectrice
van een hoek gevormd door de verbindingslijnstukken l (x) en
w(^)van P(x) met resp. een punt van e{P{x),Ei) en van
e{P{x),E^). Laat a{x) de scherpe hoek tussen l{x) en de
asymptoot a zijn. Daar geen twee segmenten l{x) elkaar
snijden (blz. 22), is de positieve variatie van a{x), als vanaf
zekere positieve waarde naar co loopt, hoogstens gelijk aan
de scherpe hoek tussen l {x^) en P {x^) An. Daar 0lt; a {x) lt; nß
voor gt; Xi. is a (x) dus van begrensde variatie. Hetzelfde geldt
voor de scherpe hoek tussen a en m]{x), dus ook voor de scherpe
hoek tussen t (x) en a. U {E^, E^) kan nu volgens Borel overdekt
worden met een eindig aantal bogen waarvoor de eigenschap
geldt. Hiermee is het bewijs geleverd.

De eigenschap van stelling X kan nog in een andere, ermee
gelijkwaardige vorm gegoten worden: U (E^, E^) kan bij gedeelten
opgevat worden als grafische voorstelling van de som van twee
funkties, waarvan de grafische voorstellingen convexe krommen
zijn. Beschouw daartoe een boog / van U (E^, E^) waarover de
variatie van de richting der halftangent in bepaalde zin minder

dan 7r/4 is. Neem een coördinatenstelsel met oorsprong in een begin-
punt van ƒ, waarbij de positieve Af-as langs de beschouwde half-
tangent aan ƒ valt. / kan dan worden voorgesteld door y = f{x),
O ^x^è. Zij R{x) = tg a de rechter afgeleide van f{x) in x^
dan kan, daar a van begrensde variatie is en tussen—njAennjA
ligt, R{x) = P{x) -f N(x) gesteld worden, waarbij P{x) een
monotoon groeiende, N{x) een monotoon dalende funktie is.

Zij AW - J^P{t}dt en U{x)nbsp;= Mx)

waarin fi{x) een convexe kromme is met de holle zijde naar
,,bovenquot;, f^{x) een convexe kromme met de holle zijde naar
,,benedenquot;.

Stelling XI:

Pestaat de doorsnede van twee gesloten verzamelingen
£ien £2 uit een punt 5, dan vormen de event. inwendige punten
van ü (El, £2) een convexe verzameling.

B e w ij s :

Laat P een inwendig punt van de U (E^, E^ zijn. Stel dat
£ (P, £1) een puntnbsp;bevatte. Voor een punt B van (P, A)

geldt dan B, A B, E^ lt; B, E^. P zou dus geen inwendig
punt van U (E^, E^) kunnen zijn. Er geldt dus s (P, Ej) =
= s (P, £2) = S. Zij Q een van P verschillend inwendig punt
van U (£1, £2), dan is e (Q, E^) = s (Q, E^) = 5. Ieder exem-
plaar van de cirkelbundel door k (Q, E^ en k (P, E^) gevormd,
waarvan het middelpunt tussen P en Q gelegen is, heeft S op
de rand en geen punt van E^ of E^ als inwendig punt. [P, Q'\
behoort dus tot U (E^, E^. Tevens is ieder punt van [P, Q]
inwendig punt van U (E^, E^ : verbind alle punten van een
tot U (E^, £2) behorende omgeving van P met die van een
tot U (El, £2) behorende omgeving van Q-, deze verbindingslijn-
stukken behoren tot U (E^, E^ en hun vereniging heeft [P,
in het inwendige.

HOOFDSTUK IH

We zullen thans de vraag stellen in hoeverre de gevonden
eigenschappen de meetkundige plaats karakteriseren, en be-
wijzen daartoe de volgende stelling:

Stelling XII:

Is J een enkelvoudige Jordanboog met de eigenschap dat in
ieder punt P twee halftangenten zijn, zodanig dat als P de
boog J doorloopt, de hoek die een vaste halfrechte maakt met
de, bij de bewegingszin van P behorende, halftangent in P een
funktie van begrensde variatie is — dan zijn er twee buiten
elkaar gelegen continua E^ en E^ te construeren zodat er een
deelboog van / bestaat die een deel van U E^ is.

B e w ij s :

Zij P(o) een vast punt van J. P(s) het punt van J dat tot P{o)
een boogafstand s heeft, en t{s) de halftangent in P(s) aan J in
pos. s-richting. Kies s' zodanig dat de variatie van de richting
van t(s} over het vak o = s~s' hoogstens tt/Iö is, dan zullen we
aantonen dat bij de boog/', tussen P(o) en P{s'), de gevraagde
continua zijn te construeren. Stel v{Si) de variatie van de scherpe
hoek tussen t{s) en i{o) over het vak o = s = Sj = s'. We ver-
klaren een bepaalde draaiingszin in het vlak als de positieve, en
construeren in ieder punt P(s) van ƒ' twee halfstralen h^is, o)
en h^is, o) met P(s) als beginpunt, zodanig dat vanuit t{s) ge-
rekend de hoek met hi{s, o) gelijk is aan a(s), de hoek met
h^is, o) gelijk is aan — a(s). We kiezen:

Tweehalfstralen /»^(si, o) en o). o^s^^s^^ s', snijden
elkaar niet, immers de hoek tussen t(si) en ^(«2) is hoogstens
«(sj)—lt; Jt/16, terwijl «(s^) — «(Sg) = j^Cs^) —f (si). Evenmin
snijden de halfstralen h^is^, 0) en h^is^, o) elkaar. Zij P{sk) een
dakpunt i) van ƒ' en stel v{sk) — v{sk — 0) = m. Dan maakt
èf de richting van o) öf die van h^is, 0) in P{sk) een sprong
ojk', onderstel dat het ^^(s, 0) is, dan voegen we toe de verzameling
halfstralen h^isk, (p) met beginpunt in P{sk), die met t{sk) hoeken
a{sk) lt;p maken, waarbij o lt;(p~m (fig. V).

Een dergelijk stel halfstralen 9?) voegen we toe indien
de richting van h^is, 0) een sprong in P(sfc) maakt. Een der
delen H^ van het vlak dat begrensd wordt door J', hy{o, 0) en
/8j(s', 0), heeft de eigenschap dat door ieder punt ervan één en
niet meer dan één halfrechte ^^(s, (p) gaat. Evenzo heeft een der
delen H^ van het vlak, begrensd door /', h^ip, 0) en , 0} de
eigenschap dat door ieder punt een halfrechte hzis, lt;p) gaat. Zij

I) P(St) is een dakpunt indien de beide halftangenten niet in eikaars
verlengde liggen.

P(x, y) een inwendig punt van b.v. H^ en ^{x, y) de hoek die
de door P{x, y) gaande halfstraal ^^(s, qi) met de positieve a;-as
maakt. Dan is ^{x, y) een tweedimensionaal continue funktie.
Dit volgt uit het feit dat twee halfstralen elkaar niet snijden
(hoogstens een beginpunt gemeen hebben). Verder is aan de

Lipschitz conditie voldaan dat ^nbsp;^^ begrensd

zijn; immers, is P een punt van H^, g de lengte van het stuk
van de halfstraal waar P op ligt, gerekend van het beginpunt
tot P, dan Qnbsp;is X ennbsp;egt;Oenin

een gebied van H^, dat op positieve afstand van J' ligt, naar
onderen begrensd. Volgens de Stelling van Lipschitz i) is er
nu in Hl één en niet meer dan één kromme x{t), y{t) zodat

dx[t) ... ,nbsp;dy{t)nbsp;.

terwijl x{o) = y{o) = y„, als P{xq, y^) een willekeurig punt
in Hl is. Deze kromme is de orthogonale trajectorie van de
hl stralen door het punt P{Xq, y^). We beweren dat twee ortho-
gonale trajectoriën E^en E^, die van hi{o, o) resp. h^io, o) gelijke
stukken «^(o) = «2(0) afsnijden, een meetkundige plaats
U {El, £2) opleveren die J' als deelboog bevat. We onderstellen
ai (0) zo groot gekozen, dat EiJ' niet snijdt. Zij «^(s) het stuk
dat El van hi {s, 0) afsnijdt, «3(5) het stuk dat E^ van ^2(5, 0)
afsnijdt, dan beweren we, dat «^(s) = a2(s)- Uit de constructie
volgt dat als P{sk) een dakpunt is, of Ei een cirkelboog beschrijft
tussen de stralen 0) en hi{sk, m) öf E^ tussen de stralen
h2{sk, o) ennbsp;^k) ■ tii{s) en «gf^) dus continue funkties

van s. Verder is uit figuur VI af te lezen, dat voor de rechter
afgeleide 7?{«i(s)} van aj(s) geldt

R {ai(s)} = — cos a(s)

en evenzo:nbsp;R {«aC^)} = — cos a{s).

Twee continue funkties die overal dezelfde begrensde rechter

1) O.a. te vinden in E. Picard, Traité d'Analyse II, blz. 350 e.v.

afgeleide hebben verschillen een constante; wegens «^(o) = «2(0)

is dus «1(5) = a^is).

We zullen nu aantonen, dat voor een punt P(Si) van ]' geldt:
P(si), El = P(Si), £2. Zijnbsp;het snijpunt van hi{Si, 0) met

El, P(S2) een van P{Si) verschillend punt van /' {s^ gt; Si), Qis^)
het snijpunt van hiis^, 0) met Ey. De vierhoek P{Si)
P(S2) Qi^i)nbsp;inspringende hoeken. (De hoek

B5IZE

P(si) P{Si) Q{Si) is kleiner dan n omdat hi (s^, 0) t.o.v. hi{si, 0)
hoogstens over een hoek 71/8 gedraaid is, terwijl

Z Q{Si) P{Si) P(S2) = «(Si) —= '^h^n.

Hieruit volgt Z P{Si) P(h) Qi^-z) =

De diagonaal [P{Si), ^(52)] is dus binnen de vierhoek gelegen,
en maakt met die halftangent in aan Ei, die bij toenemende
s behoort een hoek groter dan nß (genoemde halftangent staat
loodrecht op hiis^, 0)). Hieruit volgt, dat als Q{s) de kromme
El van Q{si) naar Q{s^) doorloopt P{si), Q{s) groeit. Dezelfde
eigenschap geldt bij afnemende s. Hieruit volgt, dat

P{si), El = P{si). Q{si) = aiisi).

Evenzo is P{Si). E^ = «2(51). Daar ai{si) = a,{Si). is hiermee de
stelling bewezen.

Er kan nog de vraag gesteld worden of de gevonden eigen-

schappen van U (Pj, E^ deze ook „im Groszenquot; karakteriseren.
We laten de beantwoording van deze vraag in het midden, maar
zullen nog aantonen, dat indien J een convexe kromme is, de
twee verzamelingen E^ en Pj op eenvoudige wijze kunnen
worden geconstrueerd. Kies een willekeurig punt E^ binnen ƒ
(fig. VII) en beschouw de vereniging van alle cirkelschijven
C{P) met op de rand en met middelpunt P gelegen op ƒ.

Zij £2 de grens van deze vereniging (de omhullende van het
stelsel). Dan is U {E^, E^ — J. Immers laat A een punt van ƒ
zijn, t{A) een tangent in A aan /, en A' het op de rand van
C{A) gelegen spiegelbeeld van E^ t.o.v. t{A). J ligt nu aan één
zijde van t{A), A' aan de andere. Daar ^(^4) de middelloodlijn
van [Pj, A'] is, geldt voor ieder punt P van J P, E^^ P, A'.
A' is dus geen inwendig punt van een van de cirkelschijven
C(P), en behoort dus tot de omhullende E^. Hieruit volgt, dat
voor ieder punt P ■{ J geldt P, Pj — P, E^. Buiten ƒ zijn
er geen punten met deze eigenschap, daar voor E^ en E^ continua
U (Pj, E2) uit een enkelvoudig gesloten Jordankromme bestaat
(zie opm. pag. 22).

Het door Wolff gegeven bewijs (Bulletin de la Soc. Math. de
Fr. t. LXIII, fase. I, II, pag. 37 en 38) dat D^ en D^ gebieden
zijn, kan eenvoudiger geleverd worden.

II

Het door Lebesgue gegeven bewijs van de tussenwaarde-
eigenschap van afgeleide funkties is onjuist.

Leçons sur 1'intégration et la rech. des f. pr., 2de druk, pag. 96.

HI

De volgende redenering in hetzelfde werk pag. 205 is onvol-
ledig:

De là il résulte qu'une fonction f{x) ponctuellement discontinue
sur tout ensemble parfait est aussi ponctuellement discontinue
sur tout ensemble fermé car, ou bien cet ensemble fermé est
parfait, ou il contient des points isolés en lesquels f{x) doit
être regardée comme continue.

IV

In E. W. Hobson, ,,The theory of functions of a real vari-
ablequot; I, 3de druk, pag. 401, staat de volgende stelling van A. N.
Singh geciteerd: er bestaat geen continue functie die in elk punt
nóch naar rechts, nóch naar links een afgeleide heeft. Het
bewijs van deze stelling is echter onjuist en vermoedelijk niet
te herstellen.

j. deknatel

IP ' msammmk^

• • . . ...

De naam „pathologische functiequot; voor een nergens differen-
tieerbare continue functie is eenzijdig; van een bepaald stand-
punt beschouwd kan een continue functie die ergens differen-
tieerbaar is pathologisch heten.

VI

De opmerking van E. T. Steller in Euclides 6, 1934-'35, dat de
„draaiende slotenquot; een goed voorbeeld van gezichtsbedrog zijn,
geeft aanleiding tot begripsverwarring. Zijn verklaring is niet
duidelijk.

VII

Tegen de verklaring van H. Köhler van het verschijnsel van

iriserende wolken kunnen ernstige bezwaren worden aangevoerd.

Meteor. Zs. 46, 1929.

VIII

De verklaring die Hilbert van de term „Erweiterungquot; in

ax. V 2 geeft is ontoelaatbaar.

D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7de druk, blz. 30.

IX

De waarschijnlijkheidsleer kan als onderdeel van de wis-
kunde gefundeerd worden. De verhouding tussen waarschijn-
lijkheidsleer en zijn physische toepassing wordt dan analoog
aan die tussen meetkunde en physische ruimteleer.

iSîîiîfel

■ ■ iiili's^iiil

T 'ihi'

» -v' • Anbsp;Nnbsp;' ƒ V • '

. : y '' v*'

a.

»4 it

- .. -vi

iv 'V

v, . v^.-.-

:. ■