LOGARITHMENTAFELS

MET

VTJF DECIMALEN,

DOOK

A. J. VAN PESCH.

HOOfJLKKKA A K TK A MSTKRÜAM.

DERDE DRUK.

LEIDEN, A. W. SIJTHOFF

ohcfa

LOGARITHMENTAFELS.

tL^ïl i|t

LOGARITHMENTAFELS

M ET

VIJF DECIMALEN,

DOOR

A. J. VAN PESCH,

IIOnGLEEKAAR TE AMSi'KRI)AM,

DERDE DRUK.

LEIDEN, A w. S IJ T H O F F.

VOORBERICHT.

Deze tafels zijn geheel op dezelfde wijze ingericht, als dit met de Loga-rithmentafels met zeven decimalen gemeenlijk het geval is. Alleen heb ik enkele zeer kleine wijzigingen aangebracht, die naar ik vertrouw verbeteringen zijn gebleken. Zoo zijn in de gewone logarithmentafel (Tafel I) de eerste cijfers der logarithmische breuk zoo veel mogelijk herhaald, en wat zwaarder gedrukt, tot gemak in het opzoeken. Verder zijn in Tafel II (die de logarithmen der goniometrische lijnen bevat) de verschillen voor elke minuut opgegeven in plaats van voor elke secunde. Hierdoor zijn deze tafels nog meer gelijkvormig aan de grootere tafels, terwijl daarenboven deze wijziging én met den aard der tafel beter overeenkomt én niet verboden wordt door de praktijk die met één secunde (op een goed instrument van den tegenwoordigen tijd een boogje van nog geen duizendste deel van een millimeter) maar in zeer zeldzame gevallen te maken heeft.

De nette uitvoering dezer tafels zal zeker zeer tot aanbeveling strekken; zij wedijveren in dit opzicht met de fraaie tafels van WITTSTEIN. De cijfers zijn, even als bij WITTSTEIN, staartcijfers, omdat deze veel gemakkelijker te lezen zijn dan cijfers, die allen dezelfde hoogte hebben en die het oog spoedig vermoeien. Het papier is geelachtig gekozen om het schitteren der cijfers te voorkomen, terwijl door het aanbrengen van afscheidingen gezorgd is dat vergissingen in het opzoeken bijna niet kunnen plaats grijpen.

Met enkele woorden zij hier opgegeven, waarom tafels met 5 decimalen de voorkeur verdienen boven tafels met 6 of 7 decimalen. Daarin zal men tevens de aanleiding zien tot deze uitgaaf.

Om spoedig met allerlei tafels, zoo wel kleinere als grootere, te leeren omgaan, is het onvoorwaardelijk aan te bevelen met een kleinere te beginnen. Zelden vindt men, bij uitsluitend gebruik van tafels met 7 decimalen, dat de leerlingen de logarithmische bewerkingen met dezelfde

VOORBERICHT.

zekerheid leeren uitvoeren als andere becijferingen. Dit komt, omdat het zelfvertrouwen veel bijdraagt tot het juist cijferen, en dit zelfvertrouwen verliezen de leerlingen bijna geheel als zij, bij de eerste kennismaking met logarithmen, op al den omslag stuiten, aan het gebruik der grootere tafels verbonden. Ofschoon nu de tafels met vijf decimalen geheel op dezelfde wijze ingericht zijn, is het opzoeken zoo veel gemakkelijker en zijn de hulpbewerkingen zoo veel lichter uit te voeren, dat men, met deze tafel werkende, in korten tijd hierbij even weinig of even veel fouten maakt als in andere becijferingen. Uit dit oogpunt zal aan tafels met vijf decimalen door elk goed docent de voorkeur gegeven worden. Tafels met vier decimalen bieden zoo mogelijk nog grooter voordeelen aan: het omslaan valt daarbij geheel weg, en de hulpbewerkingen zijn zoo eenvoudig mogelijk.

Een andere vraag is, van welke tafel bij voorkomende bewerkingen het meest gebruik moet gemaakt worden. Dit hangt geheel af van de nauwkeurigheid, met welke de gegevens bekend moeten zijn om een resultaat van vooraf bepaalde nauwkeurigheid te verkrijgen. Natuurlijk in de onderstelling, dat de gegevens met de verlangde nauwkeurigheid kunnen gemeten worden; geen enkele waarde toch kan men absoluut nauwkeurig bepalen. Nu hangt bij eene logarithmische bewerking de fout in het resultaat niet alleen af van de fouten in de gegevens, maar ook daarvan, dat de logarithmen slechts tot een bepaald aantal decimalen en dus bij benadering gegeven zijn. Men zal daarom moeten zorgen, dat de invloed van de laatstvermelde fouten slechts een klein deel is van dien der fout, uit de gegevens voortvloeiende en daartoe zal voor elk geval nagegaan moeten worden, welke tafel men gebruiken moet.

Een veel voorkomend geval zij hier vermeld. Als men, zoo als bij het landmeten meest gedaan wordt, eene lengte meet met den meetketting, wordt gewoonlijk aangenomen, dat in gunstige gevallen de fout bij de

meting kleiner is dan ₂₀₀₀ der lengte; in niet zoo gunstige gevallen mag

die slechts kleiner dan —— der lengte ondersteld worden. Brengt men

iooo

nu het in § 5 der Inleiding gevonden resultaat hier mede in verband, zoo vindt men, dat het beter is in dit geval bij de berekening geen tafel met 4 decimalen te gebruiken, maar tevens, dat een tafel met s decimalen volkomen voldoende is.

Onderzoekt men eveneens andere gevallen, zoo vindt men dat, hoewel in vele gevallen een tafel met 4 decimalen toereikend is, toch in evenveel, zoo niet in meer gevallen een tafel met 5 decimalen gevorderd wordt. Nog leert dat onderzoek, dat slechts in zeer weinige gevallen, bijv. bij graad-

VOORBERICHT.

metingen, waar een basis met kostbare hulpmiddelen en bijzondere zorg gemeten wordt (het meten van zulk een basis is het werk van eenige maanden) een tafel met 7 decimalen vereischt wordt.

Het onderzoek geeft dus een besliste voorkeur aan de oefening met een tafel van niet meer dan vijf decimalen. Het is waar dat men, waar een kleinere tafel voldoende is, ook een grootere kan gebruiken, maar men werkt dan met een aantal cijfers, die niets tot het resultaat afdoen en verkwist den tijd nutteloos. Dat een kleine tafel tot tijdsbesparing leidt is duidelijk: niet dat die zoo groot is als bij onderzoek blijkt. De astronoom ENCKE, zeker een bevoegd beoordeelaar, zegt omtrent deze kwestie het volgende (Astron. Jahrbuch für 1835):

Die Zeiter sparnis ist dabei hoe hst hetrüchtlick. Bei einerlei Rechnung ver halt sick der Zeitaufwand bei sieben, seeks tend fünf Decimalen nahe wie 3:2:1. Zugleick aber giebt diese vorlattfige Ueberlegung — om namelijk uit te maken met welke nauwkeurigheid de gegevens moeten genomen worden, ten einde een resultaat met bepaalde nauwkeurigheid te verkrijgen — misser dem Beweise den sie ablegt dass der Bereckner sick seiner Aufgabe völlig bewusst war, atiek einen sekr sickern Takt in der Untersckeidung des Wesentlicken von dem Unwesentlicken, und lekrt sekr scharf das trennen, was zur Ermittlung des wahren Resultats notkwendig ist, von dem was nur als eine imaginaire Zahlcngenauigkcit betrachtet werden mus.

Men ziet hieruit hoe groot de tijdsbesparing is. Ik heb den laatsten volzin mede afgeschreven, omdat die zeer leerzaam zijn kan voor menigeen, die zich nog door zulk eene Imaginaire Zahlengenauigkeit verblinden laat.

A. J. VAN PESCH.

BERICHT BIJ DEN DERDEN DRUK.

Bij deze derde uitgave, die even als de vorige stereotiep is, zullen de enkele overgebleven fouten der tweede editie, naar ik vertrouw, geheel verdwenen zijn. De waarde dezer Tafels, die blijkbaar goeden aftrek vinden, wordt daardoor weder iets vergroot. Ten einde hen van des te meer dienst te doen zijn, heb ik in Tafel IV ook de quadrat en der getallen van i—iooo opgenomen; deze kunnen nog al eens gemak opleveren.

Voor het geval dat nog enkele fouten overgebleven zijn, looft de Uitgever weder een prijs uit, ten einde den vinder er van een aanleiding te geven ze bekend te maken. Ieder die nl. een cijfer fout in de Tafels I en II aanwijst, welke als zoodanig door mij erkend wordt, zal als de verbetering niet reeds in het Weekblad voor den Boekhandel opgenomen is geweest, voor een bedrag van ƒ 2,50 uit de fondsartikelen van den Uitgever dezes mogen uitzoeken.

amsterdam, Juni 1883. A. j. VAN PESCII.

INRICHTING EN GEBRUIK DER TAFELS.

TAFEL 1.

§ i.

De eerste tafel bevat de Logarithmen der getallen van I tot 10000 in het stelsel, welks grondtal 10 is. (Briggiaansche Logarithmen).

De logarithmen bestaan uit een aantal geheelen (wijzer) en een onmeetbaar gebroken. Daar het aantal eenheden, waaruit de wijzer bestaat, dadelijk uit het aantal cijfers der geheelen van het getal volgt, behoeft in de tafel alleen het gebroken aangegeven te worden. Behalve op bladzijde I is dan ook enkel het gebroken vermeld en wel tot in vijf decimalen, terwijl de vijfde decimaal verhoogd is met de eenheid, wanneer de zesde decimaal 5 of meer is. Achter elk van die verhoogde cijfers staat een streep, ten teeken dat van die getallen iets afgetrokken moet worden.

Op bladzijde i komen de logarithmen voor der getallen i—ioo. Naast de kolom met getallen (N.) vindt men die hunner logarithmen (L.). De wijzers zijn hier vermeld.

Het overige deel dezer tafel is anders ingericht. Men heeft toch gevonden, dat de logarithmen, behalve in het eerste gedeelte van de tafel, langzaam veranderen. Zoo vindt men door berekening;

Log. 4610 z= 3,66370 Log. 4611 = 3,66380-Log. 4612 = 3,66389-Log. 4613 = 3,66398 Log. 4614 = 3,66408-Log. 4615 = 3,66417 Log. 4616 3,66427-Log. 4617 = 3,66436-Log. 4618 3,66445 Log. 4619 = 3,66455-

In deze logarithmen verschillen de gebrokens alleen in de laatste drie decimalen. Men kan daarom de uitkomsten op de volgende wijze volkomen duidelijk aangeven:

I⁰!¹!²!³!⁴!!⁵!⁶!⁷!⁸!⁹

ee 3701380-1389-13981408-II4171427-1436-14451455-

Inrichting en gebruik der Tafels.

De eerste twee cijfers der breuk (66), die bij de logarithmen der getallen 4610—4619 hetzelfde blijven, moeten nu gevolgd worden door een der negen groepen van drie cijfers, die er achter staan, naar gelang van het laatste cijfer van die getallen. Daarbij kan men zich voorstellen, dat de getallen 4610—4619 vermeld zijn, door eenmaal 461 op te schrijven, en op de eerste horizontale rij, het laatste cijfer.

Op deze wijze is de tafel ingericht van bladzijde 2 af. Van bladzijde 2—19 vindt men in de eerste kolom (N.) alle getallen van 100—1000 die met de cijfers,

0123456789 welke boven- en onderaan op elke bladzijde voorkomen, alle getallen van 1000—10000 voorstellen. Achter het getal in de eerste kolom vindt men een groep van twee cijfers, die de eerste cijfers der logarithmische breuk voorstellen, terwijl de drie laatste cijfers in een der volgende groepen van dezelfde horizontale rij voorkomen. Om dus b. v. de breuk van Log. 41,96 te vinden, zoekt men in de eerste kolom het getal 419, dat voorkomt op bladzijde 8. Achter het getal 419 vindt men 62, dat de eerste twee decimalen zijn van het gebroken. Gaat men in dezelfde horizontale rij voort, zoo vindt men de groep 284 in de kolom waarboven 6, het laatste cijfer van 2196, vermeld staat. Derhalve is

Log. 41,96 1,62284-

Achter sommige getallen in de eerste kolom staan geen cijfers, maar vindt men een streep. Dit heeft plaats bijv. achter 426 (bladzijde 8). De berekening der Logarithmen heeft namelijk gegeven:

Log. 4260 = 3,62941-Log. 4261 = 3,62951 Log. 4262 = 3,62961 Log. 4263 = 3,62972-Log. 4264 = 3,62982-Log. 4265 = 3.62992-Log. 4266 — 1,63002 Log. 4267 = 3,63012 Log. 4268 = 3,63022 Log. 4269 = 3.63033-

Hieruit blijkt, dat de eerste twee decimalen voor de eerste getallen 62 en voor de lateren 63 zijn. Men kan dus achter 426 niet een van die twee getallen aangeven, maar moet de beide getallen aanwijzen, die achter 425 en 427 voorkomen. Daarom zijn geen van beide vermeld en is bij een deel der groepen van deze cijfers een sterretje * geplaatst. De groepen, waar geen sterretje bij staat, moet men nu laten voorafgaan door de twee cijfers achter 425, dus door de twee cijfers boven de streep, en de groepen, waar het sterretje bij staat, door de twee cijfers onder de streep. Zoo is

Log. 6913 = 3.83967-

Inrichting en gebruik der Tafels.

Achter 691 in de eerste kolom vindt men namelijk een streep (bladzijde 13), en bij de groep 967 in dezelfde rij en in de vertikale kolom, waar onder en boven 3 opgegeven staat, komt geen sterretje voor. Men moet dus 967 laten voorafgaan door het cijfer boven de streep, dat is door 83. Maar zoekt men Log. 6919, zoo vindt men achter 691 en in de kolom, waar 9 boven- en onderaan vermeld staat, *004. Men moet dus deze cijfers doen voorafgaan door de cijfers 84 onder de streep en vindt

log. 6919 = 3,84004.

§ 2.

Wil men den logarithmus zoeken van een getal van meer dan vier cijfers, zoo zoekt men, na den wijzer bepaald te hebben, eerst op de wijze in § 1 aangegeven de breuk, die behoort bij de eerste vier cijfers van het getal. Daarna zoekt men de breuk, die men krijgen zou als het laatste der vier cijfers met de eenheid vermeerderd werd, en ziet hoeveel het verschil dezer twee breuken bedraagt. Dit verschil, vermenigvuldigd met het vijfde en zesde cijfer van het getal, als tiende en honderdste deelen, geeft aan, wat nog bij de eerstgevonden breuk gevoegd moet worden om den gevraagden logarithmus te verkrijgen. Ter vereenvoudiging van de bewerking zijn in de laatste kolom de verschillen, en daaronder 0,1, 0,2 enz. tot 0,9 van het verschil opgeschreven.

Om dus log. 47,218 te bepalen zoekt men eerst de breuk, die behoort bij 4721. Hiervoor vindt men (bladz. 9)

log. 47,21 — 1,67403.

Het verschil met log. 4722 is 10. Dit vermenigvuldigd met 0,8 geeft 8, welk getal nu nog bij het laatste cijfer van 1,67403 gevoegd moet worden om den gevraagden logarithmus te vinden. Dus is

log. 47,218 = 1,67411.

Wil men eveneens bepalen log. 128,374 zoo vindt men eerst

log. 128,3 = 2,10823

terwijl het verschil tusschen de groep 823 en de daarop volgende 857 is 34. Men moet nu nemen 0,74 van 34. Daartoe kan men in het hulptafeltje, waarboven P. P. (partes proportionales) staat, het verschil 34 opzoeken. Dan blijkt dat 0,7 van 34 is 23,8, dat 0,4 er van 13,6 is en dus 0,04 er van 1,36 zal zijn. Dit geeft samen 25, en zoo is

log. 128,374 = 2,10848.

Natuurlijk kost het zoeken in het hulptafeltje lang zoo veel tijd niet als het lezen van deze uiteenzetting. Toch is de tijdsbesparing, vergeleken met het gewone ver-manigvuldigen, niet zeer groot, vooral niet omdat het zesde cijfer alleen in den aanvang der tafel invloed heeft op den logarithmus, en zelfs daar niet zooveel, dat elke eenheid in het zesde cijfer den logarithmus doet veranderen. Zoo vindt men

XII Inrichting en gebruik der Tafels.

log. 128,375 = 2,10847 log. 128,373 = 2,10847.

Bij het gebruik van grooter tafels geven de hulptafeltjes meer bekorting door de grootere vermenigvuldigingen, die daar gevorderd worden. Maar ook bij deze Tafel is het goed die te bezigen, daar het toch iets bekort en men meteen het gebruik leert der grootere tafels, die geheel ingericht zijn zooals deze,

§ 3-

De in de vorige paragraaf gestelde regel vindt zijne verklaring in het volgende. Denkt men alleen aan de getallen van vier cijfers, zoo is een blik op de tafel voldoende om te doen zien, dat over een vrij groot verloop de loga-rithmen met gelijke verschillen opklimmen. Zoo zijn in de tafel de logarithmen opgegeven van 1000 tot 10000, dus 9000 logarithmen, terwijl het grootste verschil tusschen twee logarithmen (zie bladz. 2) is 43 en het kleinste (zie bladz. 19) is 4. Er zijn dus 40 verschillen, of gemiddeld hebben 225 op elkaar volgende logarithmen hetzelfde verschil. Men mag dus voor een zeker verloop stellen:

de aangroeyingen der logarithmen zijn evenredig met de aangroeyingen

der getallen.

Hieruit volgt de regel dadelijk. Immers om log. 67,214 op te zoeken kan men schrijven:

log. 67,21 = 1,82743 log. 67,214 = 1,82743 x log. 67,22 = 1,82750

of = 1,82743 -f- 7 eenheden in de 5^de decimaal

De verschillen tusschen het eerste en tweede en het eerste en derde getal verhouden zich als 4: 10. Deze verhouding 0,4 moet dus ook bestaan tus-

X

schen * en 7 (beide in de vijfde decimaal gerekend). Derhalve — = 0,4 of x = 0,4 X 7* •

De stelling, waarop het interpoleeren berust, is natuurlijk niet juist, als de logarithmen tot in een groot getal decimalen gegeven waren. Maar in alle goed ingerichte logarithmentafels mag men, tot interpolatie, van de genoemde stelling gebruik maken van het begin tot het eind der tafel, zoowel in tafels met 4 of S als met 7 decimalen. Of wel, bij deze Logarithmentafels is de stelling volkomen juist binnen de grenzen der tafels.

§ 4-

Uit de inrichting der tafel en de in § 3 genoemde stelling volgt, hoe men handelen moet, als men het getal wil bepalen, welks logarithmus bekend is. Zij

Inrichting en gebruik der Tafels.

gevraagd a, als men weet log. a — 1,42857. De wijzer geeft aan dat het getal tusschen 10 en 100 ligt, of dat de geheelen uit twee cijfers bestaan. Men zoekt nu in de tweede kolom het getal 42, de eerste twee cijfers van het gebroken, en vindt dit op bladz. 5- Zoek daarna in de horizontale rijen, waar 42 voorafgaat, naar de groep 857 of de naast kleinere. Deze is 846 en dus is

log. 26,82 — 2,42846 log. a =. 2,42857 log. 26,83 — 2,42862.

Derhalve ligt a tusschen 26,82 en 26,83 iⁿ- Het verschil tusschen log. 26,82 en log. a is II; dat tusschen log. 26,82 en log. 26,83 is 16. Daar nu

ten naastenbij 0,7 is, zoo is

16

a = 268,27.

Men moet de eerste twee cijfers der logarithmische breuk ook in de rijen zoeken waar slreepen vooraan staan, maar waar die cijfers gerekend kunnen worden te staan. Wil men bijv. a vinden uit log. a — 2,42085 zoo vindt men, in de rijen waar 42 werkelijk vooraanstaat, geen groep gelijk of kleiner dan 084; maar in de daarboven staande rij komt *078 voor, waar het sterretje aanwijst dat vooraan 42 moet gedacht worden. Men heeft dus

log. 263,5 = 2,42078.

Het verschil tusschen dezen logarithmus en den volgenden is 17; tusschen denzelfden logarithmus en den gegeven is het 7. In het hulptafeltje blijkt, dat 7

gelijk is aan 0,4 en dus

a — 263,54.

Men had natuurlijk ook 7 door 17 kunnen deelen om het laatste cijfer 4 te bepalen.

Zij nog log. a— 1,13464 zoo vindt men op bladz. 2

log. 13,63=1,13450,

terwijl het verschil tusschen dezen logarithmus en den volgenden 31, tusschen dezen en den gegeven 14 bedraagt. Zoek in het tafeltje der evenredige deelen bij 31, dan vindt men 12,4 gelijk 0,4 van het verschil. Maar tusschen 12,4 en 14 is het verschil 1,6. Dit met 10 vermenigvuldigd geeft 16, waarmede in het hulptafeltje 0,5 overeenkomt; dus komt 1,6 overeen met 0,05. Derhalve

a = 13,6345.

Dit gedeelte (45) wordt ook gevonden door het deelen van 31 op 14.

Inrichting en gebruik dei' Tafels.

§ S-

Men kan uit de tafel zelve nagaan, welke nauwkeurigheid men met het opzoeken bereiken kan. Zij daartoe eerst volkomen nauwkeurig gegeven

log. a= 1,12090.

Deze logarithmus komt in de tafel voor, en wel op bladz. 2. Dus is

a= 13,21.

Dit is evenwel geen stellig resultaat. Want daar bij dien logarithmus in de tafel het verschil 33 voorkomt, is het duidelijk, dat de getallen tusschen 13,21 tot 13,22,

met ^ van de eenheid in het vierde cijfer opklimmende, nog logarithmen zullen

hebben met 1 in de vijfde decimaal aangroeiende; maar ook, dat als bij 13,21 de helft of.minder van dit verschil gevoegd of afgenomen werd, de logarithmus van het nieuwe getal toch 1,12090 zou blijven. Men weet dus, dat 0=13,21

een fout kan hebben, maar dat die kleiner is dan — X — van de eenheid in

2 33

het vierde cijfer. De betrekkelijke fout is dan kleiner dan

1

^ of kleiner dan ^—.

1321 85000

Gaat men zoo de geheele tafel na, dan vindt men dat als de logarithmische breuk 5 decimalen heeft, en die volkomen juist gedacht wordt, de betrekkelijke nauwkeurigheid van het bijbehoorende getal overal ongeveer dezelfde is. Is bijv.

log. a — 1,99957

zoo vindt men op bladz. 19

a 9990

en een verschil 4 bij de logarithmen. Op dezelfde wijze als daareven redeneerende is dan de betrekkelijke fout in het getal kleiner dan

1

8quot; I

999° ^— 79920quot;

Tot nog toe is ondersteld, dat de logarithmus volkomen nauwkeurig is. Stel nu nog het geval, dat

log. a -- 1,12090

maar dat de logarithmus gegeven is in 5 decimalen met inachtneming van de zesde. Dan is de fout in den logarithmus kleiner dan '/j in de vijfde decimaal, en daar elke eenheid in de vijfde decimaal — het verschil in de tafel 33 zijnde — beant-

Inrichting en gebruik der Tafels.

woordt aan ^ van de eenheid in het vierde cijfer van het getal, is er daarenboven een fout in het getal mogelijk, gelijk aan ^l/₁ X ^ van de eenheid in het

vierde cijfer. Deze fout bij de vorige gevoegd, geeft dus een mogelijke fout, die het dubbel is van die in het vorig geval, en dus is de betrekkelijke fout kleiner dan

I

40000

Evenzoo in de geheele tafel.

Komt de logarithmus niet in de tafel zelve voor, zoo verkrijgt men hetzelfde resultaat.

Men kan dit op geheel dezelfde wijze nagaan, maar het ook afleiden uit het gestelde in § 3. Daaruit volgt toch, dat men door interpolatie alle getallen kan bepalen, zoodat de Logarithmen van de getallen telkens 1 in de laatste decimaal verschillen, en heeft men die opgezocht en daarmede in gedachten een nieuwe tafel samengesteld, zoo zou men altijd in het voorgaande geval verkeeren.

Men heeft bij de vorige redeneering voor het verschil in de opvolgende logarithmen het verschil genomen, dat in de tafel voorkomt, terwijl het in werkelijkheid iets meer of minder kan zijn. De fout daardoor gemaakt, kan gemakkelijk nagegaan worden, maar heeft geen invloed op het gevonden resultaat.

Be nauwkeurigheid bij het eenmaal opzoeken in de tafel, als de logarithmus tot in vijf decimalen, met inachtneming van de zesde, gegeven is, mag dus

op —¹— gesteld worden, maar ook niet hooger, zoo dat nimmer het zesde cijfer 40000

kan vertrouwd worden.

§6.

Bij het onderzoek in de vorige § is niet gerekend op de aanwijzingen, die bij de logarithmen gevoegd zijn, waardoor men weet welke logarithmen te klein zijn genomen door het afbreken bij de vijfde decimaal, en welke te groot zijn gegeven. (Zie § 1). Men kan een stelselmatig gebruik maken van die aanwijzingen, door alle logarithmen zonder streep met ¹/₄ van de eenheid in de vijfde decimaal te verhoogen, en de logarithmen met een streep met hetzelfde bedrag te verminderen. Rekent men met de zoo verkregen getallen — ook bij het opzoeken der verschillen — zoo is de mogelijke fout in eiken logarithmus slechts de helft van die in het vorig geval, en de nauwkeurigheid, die men bij eenmaal opzoeken in de tafel verkrijgen kan, dubbel zoo groot en dus

1

80000'

Inrichting en gebruik der Tafels.

Het hangt natuurlijk van de nauwkeurigheid der gegevens af, en van het doel dat men beoogt, of men van deze methode gebruik zal maken, even als het daarvan afhangt, of men een logarithmentafel met meer of minder decimalen zal gebruiken.

TAFEL IL Logarithmeu der goniometrisclie lijnen.

§ 7-

In deze tafel zijn opgegeven de logarithmen tot in vijf decimalen der sinussen, cosinussen, tangenten en cotangenten van alle hoeken in het eerste quadrant van minuut tot minuut. Op het eerste gezicht schijnt de tafel slechts tot 45⁰ te gaan, en vindt men in de eerste en tweede kolom de graden en minuten, en in dezelfde rij, naar aanwijzing der opschriften van dien hoek, achtereenvolgens

log. sinus, log. tangens, log. cotangens, log. cosinus.

Daarmede zijn evenwel ook de overige waarden gegeven. Daar toch

sin. a =. cos. (90°—a)

cos. a = sin. (90°—d)

tg. a — ctg. (90⁰—a)

ctg. a — tg. (go⁰—«)

zoo zullen dezelfde getallen, die voorstellen

log. sin. a log. tg. a log. ctg. a log. cos. a,

ook op de rij af gelijk zijn aan

log. cos. (90°—a) log. tg. (90°—d) log. ctg. (90°—d) log. sin. (90°—d).

Daarom heeft men in de laatste kolommen van de tafel hoeken geschreven, die juist de complementen zijn der hoeken in de eerste kolommen, en daarenboven is onder aan de kolom, waar boven log. sin. staat, geschreven log. cos.; waar boven log. tg. staat, komt onder aan log. ctg., enz. Als men nu de graden en minuten rechts en de onderschriften bij elkaar neemt, heeft men de opgaven van 45⁰ tot 90°.

Achter de kolommen met de opschriften log. sin,, log. tg. en log. cos., vindt men kolommen met de verschillen, ten minste zoodra die meer dan 2 bedragen. Achter de kolom met log. ctg. staat geen verschil vermeld, omdat de verschillen daar — maar in omgekeerde orde afgetrokken — gelijk zijn aan de verschillen der log. tangenten. Immers uit

Inrichting en gebruik der Tafels. xvn

fg. a — —en tg. (« lt;5) =

ctg. a ctg. [a S)

volgt

log. tg. (a 4- J) = — log. ctg. (a S)

log. tg. a = — log. ctg. a

en daaruit

log. tg. (a (T) — log. tg. ö = — j log. ctg. (a J) — log. ctg. a j Ten slotte moet opgemerkt worden, dat a/ de getallen, die de logarithmen der goniometrische lijnen voorstellen, met 10 verhoogd zijn, en dus achter elk van deze getallen — 10 gevoegd moet worden. In de kolommen met de opschriften log. sin., log. tg. en log. cos. is dit geschied om de logarithmen in positieven vorm te kunnen stellen; in de kolom met het opschrift log. ctg. alleen voor de regelmaat.

§ 8.

Wil men van een hoek, die in graden en minuten gegeven is, een der waarden log. sin. a, log. tg. a, log. ctg. a of log. cos. a vinden, zoo zoekt men, als de hoek kleiner dan 45⁰ is, in de eerste kolommen links en in de opschriften en als de hoek grooter dan 45⁰ is, in de laatste kolommen rechts en de onderschriften. Men vindt dan, in dezelfde kolom en in dezelfde horizontale rij blijvende, het gevraagde getal, mits men er —10 achtervoegt. Zoo vindt men bijv., bladz. 64, log. sin. 35⁰ 20'= 9,76218—10 log. cos. 35° 43' = 9,90951 — 10 log. tg. 54⁰ 12' 1=1 10,14193 — 10 log. ctg. 54°58'= 9,84576—10.

Zijn er ook onderdeelen van minuten gegeven, zoo laat men die eerst weg, zoekt het getal, dat bij de graden en minuten alleen behoort, en maakt dan verder gebruik van de stelling, dat de aangroeiingen der logarithmische waarden evenredig zijn met de (kleine) aangroeiingen der hoeken, welke stelling voor de tafel doorgaat van 2° tot 88°. Men moet daarbij bedenken dat, zooals de getallen in de tafel voorkomen, de log. sinussen en log. tangenten aangroeiende zijn, terwijl de log. cotangenten en cosinussen afnemen.

Is gevraagd log. tg. 32⁰ 4i^,,6 zoo zoekt men eerst in de tafel naar log. tg. 32⁰ 4i' en vindt, bl. 61,

log. tg. 32⁰ 41' = 9,80725 — 10 terwijl het verschil daar bedraagt 28 voor 1', en de getallen aangroeiende zijn. Men moet dus nog 0,6 van 28 of 16,8 bij het gevonden getal voegen en vindt dan log. tg. 32⁰ 4i',6 =19,80742 — 10.

Zij nog gevraagd log. cos. 29⁰ 34',3 zoo zoekt men in de tafel eerst log. cos. 29⁰ 34' en vindt, bladz. 57,

log. cos. 29⁰ 34' = 9,93941 — 10

Inrichting en gebruik der Tafels.

terwijl het verschil 7 bedraagt voor 1'. De tafel is hier afnemende, dat is bij een grooter hoek vindt men een kleiner getal, dus moet voor 0 ,3 nog 0,3x7 = 2,1 van het gevonden getal afgenomen worden, en men vindt dus

log. cos. 29⁰34',3 = 9,93939—10.

Laat nogmaals gevraagd worden

log. ctg. 61⁰ 12',2

dan zoeke men in de kolommen links 6l⁰ 12', en onderaan log. ctg., waaruit op bladz. 56 gevonden wordt,

log. ctg. 61°, 12' = 9,74017—10,

terwijl het verschil bedraagt 30 voor i' en hier, als de hoeken grooter worden, de tafel afnemende is. Men moet dus het gevonden getal nog verminderen met 0,2 van 30 dat 6 is, en vindt

log. ctg. 61⁰ I2',2 = 9,74011 — 10.

Zijn de onderdeden in secunden gegeven, zoo kan men die tot tiende deelen van minuten herleiden, of ook het produkt van hel verschil met het aantal secunden door 60 deelen. Daar het veel meer voor zal komen, dat tiende deelen van minuten bekend zijn, en slechts zeer enkele malen dat men op een secunde na een hoek kent, is de tafel zoo ingericht, dat men de tiende deelen van minuten het gemakkelijkst berekent.

§ 9-

De vraag om den hoek te bepalen, als de logarithmus van een der goniome-trische lijnen gegeven is, wordt op de volgende wijze opgelost.

Zij gegeven log. sin. « = 9,68315 — 10, zoo zoeke men in de eerste of vierde kolom, waar óf boven óf onder log. sin. vermeld staat, het hierbij naastkomende getal. Men vindt dit op bladz. 56 in de eerste kolom, en wel

9,68305 — 10,

dat blijkens het opschrift gelijk is aan log. sin. 28° 49'. De getallen zijn daar toenemende, dus is de gevraagde hoek gt; 28° 49' maar lt; 28° 50'. Terwijl het gevonden getal met log. sin. a verschilt 10, is het verschil dat bij log. sin. 28° 49'

voorkomt 23. Men moet dus nog ¹⁰ = 0,4 van een minuut bij het gevonden

23

aantal voegen en krijgt

a = 28° 49',4.

Zij nog log. cos. « = 9,67218—10, zoo zoeke men weer het naastkleinere getal in de eerste en vierde kolom, en vindt, op bladz. 55,

9,67208 — 10

zijnde, volgens het onderschrift, log. cos. 61⁰ 58'. De getallen nemen hier af, als

Inrichting en gebruik der Tafels.

de hoeken grooter worden, derhalve ligt a tusschen 61⁰ 58' en 61⁰ 57'. Nu is 8

het verschil van het gevonden getal en de gegeven log. cos.; van het gevonden

g

getal en log. cos. 61⁰ 57' is het verschil 24. Men moet dus nog — — o',3 van

²4

61⁰ 58' afnemen en vindt

a — 61⁰ 57',7.

Is log. tg. a of log. ctg. a gegeven, zoo handelt men geheel op dezelfde wijze, behalve dat men het naastkomend getal opzoekt in de kolommen, waar boven en onder deze namen voorkomen, terwijl men in dit geval dadelijk weet in welk der twee kolommen het getal te vinden zal zijn. Het komt namelijk in de eerste der twee kolommen voor, als de gegeven logarithmus negatief, en in de tweede, als de gegeven logarithmus positief is.

§ 10.

De regel, dat de kleine aangroeiingen der hoeken evenredig zijn met de aangroeiingen van de logarithmen der goniometrische waarden, gaat niet door, als het de log. sin. of de log. tg. betreft van een hoek kleiner dan 2°. In dit geval maakt men, als het noodig is om de vijfde decimaal juist te vinden, gebruik van het hulptafeltje voorkomende op bladz. 91.

Men herleidt in dit geval de graden, minuten en onderdeden tot secunden en zoekt van het zoo verkregen getal de logarithmus in tafel I — de gewone logarithmen tafel. Dan is, zoo als ook in het hulptafeltje vermeld staat,

log. sin. aquot; =. log. « -)- S log. tg. aquot; — log. a T

als men de behoorlijke waarde van S en T uit het hulptafeltje neemt.

Wordt bijv. gevraagd log. sin. i⁰2l'2r of log. sin. 4881quot;, zoo zoekt men, op bladz. 91, de waarde van S voor dien hoek en vindt dan

8 = 4,68554— IO

terwijl uit tafel I volgt

log. 4881=3,68851;

deze getallen bij elkaar voegende, komt er

log. sin. 1° 21'21quot; = 8,37405 — IO.

Dezelfde formulen dienen als log. sin. a of log. tg. a gegeven is, en a kleiner dan 2° blijkt te zijn. In bijv. log. tg. a = 8,21875 — ^IOgt; ^zoo vindt men op bladz. 23 dat a ligt tusschen 56' en 57'. Wil men nu hoek a zoo nauwkeurig mogelijk vinden, zoo zoeke men op bladz. 91 de waarde van T voor zulk een hoek, en vindt dan

. T = 4,68562 — 10.

Inrichting en gebruik der Tafels.

Dit van log. tg. a aftrekkende, vindt men

log. «quot;=3,53313,

en, met behulp van tafel I,

«quot;=3413quot;= 56'53''-De nauwkeurigheid, die men bij het opzoeken bereiken kan, berekent men op dezelfde wijze als bij Tafel I, terwijl ook het besprokene in § 6 hier toepassing vindt.

TAFEL HL

Ganssische Lo^nrithmeu.

§ II.

In deze tafel zijn telkens twee bij elkaar behoorende getallen A en B gegeven, waarvan, als het eerste voorstelt log. x, het tweede log. (* -f- l) is, of met andere woorden: de bij elkaar behoorende getallen A en B stellen de Briggiaansche logarithmen voor van twee getallen, die met elkaar de eenheid verschillen. In het eerste en laatste deel van de tafel vindt men de getallen A en B naast elkaar; in het midden is het een tafel met dubbelen ingang, even als Tafel I, en vindt men het eerste deel van het getal A in de eerste kolom, en het daarop volgend cijfer in de rijen

0123456789

die boven en onderaan voorkomen. Naast het getal A in de eerste kolom komt het eerste deel van B voor, dat gevolgd moet worden door een der groepen van drie cijfers in dezelfde horizontale rij voorkomende.

De inrichting is, zooals die door wittstein voorgesteld is. De getallen A beginnen met 5)00, verminderd met 10, zijnde log. 0,00001. Tot aan bladz. 82 moet men nl. elk getal A met 10 verminderd denken Ten slotte moet opgemerkt worden, dat het eerste deel van B niet overal herhaald is. Men moet het eerste getal nemen, dat in of boven de horizontale rij, waarin men zoeken moet voorkomt, als de groep zonder sterretje in de tafel staat, en het eerste, dat onder die rij staat als de groep met een sterretje vermeld staat. Eene aandachtige beschouwing der tafel leert de inrichting trouwens geheel kennen.

§ 12.

Op dezelfde wijze als in tafel I, zoekt men hier bij een getal A het overeen-

Inrichting en gebruik der Tafels.

stemmende B en omgekeerd, waarmede dus meteen de vraag opgelost is om log. (« l) en log. (a— i) te vinden als log. a gegeven is.

Men heeft dus voor elk dezer vragen maar eenmaal op te zoeken, terwijl men met de gewone logarithmentafel dit tweemaal moet doen.

Nog meer gemak geeft de tafel bij de meer voorkomende vragen:

Gegeven log. a en log. b, hoeveel bedragen dan log. {a-\-b) en log. (a — h)!

Om de eerste vraag op te lossen merkt men op, dat a-\-b — b ^en dus log. {a-\-b) — log. b log. ^ ^a~ 4- i).

Nu is log. = log. a — log. b en dus bekend. Zoekt men dit getal als A in de

tafel, en neemt men het daarbij behoorende getal B, dat dan log. (quot;y ^zal voorstellen, zoo is

log. (a — log. ^ -f- B.

Om eveneens log. (a — b) te vinden, stelle men, omdat a — b — h --I ^

log. (a — b)— log. b log. (y — ¹) ■

Cl

Zoekt men nu log. — = log. a — log. b als het getal B in de tafel, dan is het

getal A, dat daar bij gevonden wordt, gelijk aan log. ^ ~— I ^ en dus

log. {a — b) — log. ^ A.

Zij gegeven log. a =z 2,31425 en log. ^ = 1,87218, zoo staat de berekening voor log. {a b) aldus:

log. 0 = 2,31425 log. b = 1,87218

A =: log. a — log. b =. 0,44207

Bij deze waarde van A komt, volgens bladz. 82, . . B =0,57604 derhalve log. (a^-b) — 2,44822

Wil men met dezelfde gegevens log. (a — b) vinden, dan staat de berekening aldus:

log. a = 2,31425 log. 1,87218

B = log. a — log. b = 0,44207

Bij het getal B behoort, volgens bladz. 82,.....A =0,24733

log. («—(5) = 2,11951.

Inrichting en gebruik der Tafels.

TAFEL IV.

§ 13-

In deze tafel zijn verschillende opgaven bijeengevoegd, waarvan somtijds een nuttig gebruik te maken is.

Men vindt er ten eerste de sinussen en tangenten, en dus ook de cosinussen en cotangenten, van o tot 90°, met een graad opklimmende, en tot in vier decimalen. Verder het hulptafeltje, waarvan reeds in § 10 gesproken is; eenige logarithmen in 7 decimalen, die bij samengestelde interest-berekeningen noodig kunnen zijn; de lengte der bogen van 1°, 1', 1quot; benevens de veelvouden; eenige veel voorkomende getallen met hunne logarithmen; en eindelijk de veelvouden van

M en als M (modulus) het getal voorstelt, waarmede de Neperiaansche logarithmen vermenigvuldigd moeten worden om de Briggiaansche logarithmen van dezelfde getallen op te leveren.

Tafel I.

BE BRIGGIAANSCHE LOGAIUTHMBX

der getallen van 1 tot lOOOO.

i

I. Logarithmen.

L. O

I. Logarithmen.

1. Logarithmen.