OVER HET DIFFERENTIEEREN

TAN BENIGE

ELLIPTISCHE INTEGRALEN

NAAR DEN MODULUS OF EENE FUNCTIE DAARVAN.

DOOR

D. BIERENS DE HAAN.

1'ilgegeTen door de Koninklijke Akadcmie van Welcnsciiappcn le Amslcrdam.

-S-O-t-

AMSTERDAM, C. G. TAPT DER POST.

1878.

P. qu.

1175

Xx m s

ca // /

' UA /amp;

£lt; è 6 ^

OVER HET DIFFEKENTIEEREN

VAN BENIGE

ELLIPTISCHE INTEGRALEN

NAAR DEN MODULUS OF EENE FUNCTIE DAARVAN.

DOOK

D. BIERENS DE HAAN.

Uitgegeven door de Koninklijke Akademie van Wetenschappen Ie Amsterdam.

AMSTERDAM, C. G. VAN DER POST.

1878.

mm.

OVER HET DIFFERENTIEEREN

VAN ££N1G£

ELLIPTISCHE INTEGRALEN

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN.

DOOK

D. B1ERENS DE HAAN.

1. quot;Wanneer men een onderzoek wil beginnen over de eigenschappen van eenige integraal, hetzij bepaalde, hetzij ook onbepaalde; of evenzeer, wanneer men in beide gevallen de bepaling der waarde op het oog heeft; altijd behoort tot de meest bruikbare methoden, die, waarbij de integraal wordt gedifferentieerd naar eene standvastige, die in de functie onder het integraalteeken voorkomt. Somtijds is het mogelijk, daarbij eene uitdrukking te vinden voor eene herhaalde differentiatie, hetzij in rechtstreekschen, hetzij in wederkeerigen vorm; en dan zijn de stellingen voor herhaald differentieeren van veel belang, die echter slechts voor enkele eenvoudige fanctiën gelden. Voor de elliptische integralen waren zulke uitkomsten nog niet bekend; hetzij wat de eerste differentiatie, hetzij wat het herhaald differentieeren betreft naar den modulus, die daarin voorkomt. Een ander onderzoek voerde mij tot de behandeling van deze vraag voor de eenvoudige integralen, waarin de j/ï —jfishfix voorkomt, en verder voor de overeenkomstige, die j/l -f jj² sin'a- bevatten.

SA.TÜÜRK. VERH. DEK K0N1NKL. AKADEMIE. DEEL XV11I.

2»

OVER HET DIFFEEENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

'J I/1—p' sin^x³

o

Ten einde deze en dergelijke uitkomsten weder tot elliptische integralen te herleiden, beschouwen wy de integraal

naar de gewone beteekenis A{p -x) = j/i—p'sin² x. Hierin moet vooreerst b oneven zijn, i,b 1; anders toch heeft men te doen met rationeele goniometri-sche integralen, en niet met elliptische integralen. Evenzeer moet a even zijn = 2«; want voor a oneven, = 2« 1, dan konde men in de integraal

cos x = ij stellen, zoodat er kwam

eene gewone irrationeele stelkundige integraal. Voor zulke a-—2a, en b = 2b-\-l kan men nu aldus te werk gaan.

Omdat hier de methode van het integreeren bij gedeelten niet gemakkelijk of rechtstreeks tot het doel voert, moet men eene zekere, geschikte functie gaan differentieeren, en wel naar het volgende algemeene beginsel, waarbij ty en z beide functiën van x zijn.

f d x

Stel dat men voor de onbepaalde integraal I eene herleidingsformule wil

zoeken, en dat men daarbij niet slaagt met de toepassing van het integreeren

NAAR DEN MODULUS, OP EENE PUNCTIE DAAEVAN. 3

bij gedeelten; dan differentieere men de functie ^ ; en nu geeft de logarith-

Z

mische differentiatie

d z' r ij zquot; t'-\ yquot; r . ,i

~^y^[{ay' t—by!s')z' y' z' z yzquot; z yz'*]^-^?!/' z—hy z' «' ^ • {^a)

Zoodra men nu er in slagen kan, om den veelledigen factor in het tweede

lid dezer formule te ontwikkelen naar opklimmende machten, hetzij vau«/, hetzij

van z₎ waarbij dan ook y⁰ of z^Q in den regel voorkomt, kan men deze methode

toepassen. quot;Want nu wordt door integratie naar x het eerste lid een geïntegreerde «quot; 1 g'

vorm, j ₁ : en in het tweede lid verkrijgt men eene reeks van eenige integralen derzelfde soort; men kan dus daaruit gemakkelijk eene herleidingsformule zamenstellen,

In ons geval verkrijgen wij langs dezen weg

d r-sin^{2a l} x. cosx-} sin^{2a l} x.cosx ^ cos# -sinx —p'Zsinx.cosx-i

dx\-(i—p'sinx)''—^ (1—p* sin^x^—h L sin cos x ^ ^ 1—p'sin'x -1

sirfl^a x

= 7:-3 . 2 \A_i_if {(^^a l)cos²x~sin* v] (1—p²sin²x) (2 (5—\)p*sin*x. cos²x\—

(1—p Slfl »1?) • * ^J

~ (1—¹)~²(^{a 1})««'«}(! —P¹ sin ^ (26—l)p^ssiti «(l—sjmV)],

en, als men in het tweede lid de veelledige grootheid tusschen de vierkante haakjes naar de machten van (1—pquot; sin'x) rangschikt,

d _r s!n^{2a 1} x. cos x-\ 1 sin²quot; x _r

T^- 1 7\ a TT T | ' 2 7! j • 2 rïTT [(^ ^a— 2 i -j- 3) (1—»^a sin x)¹ 4-aa L(l^ p sm p^s(l—psinxy l¹ • /v f ' ^

2{(2-^)(é-.l)-(l_p³)«)(J._^^ï«„^)~(l-p^,)(26-l)].........(/?;

of, wanneer men diezelfde veelledige grootheid rangschikt naar de machten van sin² x,

d fsin²quot; ^lx.cosx-\ sin^2ax _r,

23*

4 OVEK HET ÜIFPEKENÏIEËREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

waaruit blijkt, dat men zijn doel heeft bereikt. De eerste herleiding (/?) toch geeft, als men naar x tusschen de grenzen 0 en x integreert, en de laatste integraal in het tweede lid oplost, omdat de gedifferentieerde grootheid in het eerste lid voor — 0 verdwijnt,

'* sin²quot; xdx 1 r sin^{la {} x . cos x

(I—p'sht'ivy^l (I—p^a)(^i —1)L (1—pquot; sin'xy—i

C^x sitfi^axdx f¹ sin*^axdx -i

ƒ __^ ₍₂_₂₄ 3)| _(TZ7-^]. • (I)

werkelijk eene herleidingsformule, waarin de veranderlyke parameter, hier de exponent in den noemer, telkens met de eenheid verminderd wordt.

Evenzoo kan men de tweede herleiding (7) gebruiken. Omdat echter de integraal, die de hoogste macht van siifix bevat, hier tot factor onder het in-tegraalteeken zoude hebben sin^{ia i}x₎ moet men eerst de a door a—2 vervangen ; dan integreeren tusschen de grenzen 0 en j: van x₁ waarbij weder de term in het eerste lid voor ^ = 0 verdwijnt; en vervolgens de laatste integraal in het tweede lid oplossen. Langs dien weg verkrijgt men

'x _si_nia xfix 1 (- «—3 ar. cos x

ƒ* sin* sin²quot;xdx 1 rsin^Za~³ x .cosx

(1—p'sin'x^ i (2a—2 ê—1)^^J41—p'sin*x)^tgt;-i

v

„ . f^x sin²quot;—² xdx , f* sin^2a~*x dx -1 ,_TTl

quot;h {^1 quot;tquot; p') (^a quot;1quot; 1)—7j 2 ~ ,A , 1 d)! - j ■ 2 ^ ^

^{1 1 r/v} ' J (I - p sm xj⁶ i J (1—psitv x)^b i^

0 0

wederom eene herleidingsformule, waarin nu echter de parameter, die telkens met twee afneemt, hier de exponent van den teller is.

De eerste formule (I) heeft tot eindintegralen, voor b=l₁

j sin^2a x d x ^ l—p^sin^x en ƒ

Wilde men deze door de andere formule (II) bepalen, zoo heeft men als eind-integralen voor a = 1 en « — 0,

f'sin^xdxil—p^tsm^sx)±i en j dx(l—p^ssin'x)±i.

K. A

NAAR DEN MODULÜS, OF EENE PUNCTIE DAARVAN. 5

En hiervan vindt men dadelijk

ƒ//«I/I—■p'sin'x — E{p.x),........................(1)

('-~^= = F(_P.x),..........................(2)

] 1/1—// sm x

0

f* sin*xdx 1 f'l—(1—p* sirfx) irn/ ^ n/ si

1 — — _ I — -dn =—IFlp.a;)—E(p..r l. ... (3)

J l/1—p^sin' x p j l/1—p' sin' x P

0 0

Ten einde nu nog de vierde te vinden, gebruike men de herleidingsformule (II) voor a— 2, en voere daarbij de waarde van de integraal (3) in; zoo wordt

sin^ x d x 1

.7= . . ₃ quot;= (TT [P'*ⁱⁿ * - cos V1 —p'sin'« -l-(a P^JJ F{p. w)—2 (1 p²) B(p.x)],. (4) V 1-p'siltx op* ¹ J w

en daarmede wordt dan

„ , _ f 1—p* sin² x

sm²xdx[/\—/ sin'x = ƒ ; =t

¹ ƒ ^l—p'sm'x

= g^(—p¹ sinx.cosx\/i—fsin* x {l—p') F {p. x) ~ {1—1 p*) E {p. x)\. ... (5)

Voor de eerste formulen aan het hoofd dezer paragraaf geeft nog de herleidingsformule (I) voor a = 1, è = 1

/* sin* sin¹ xdx 1 r sin³ x. cos x f^x sinquot; x dx [*___

.7= i . i a — T~:A_—77r i • 2 -^a(^l-y³) I . ₀ == ³ ƒ ^si»*'''lt;'*Vl-p-sin*x L

yl-p'sm'x 1-pyl-p^sm^x J yl-p-sm x J -1

O 0 0

of, door middel der integralen (3) en (5),

1 r 1 (1—p¹) shf x 1

=L— f (¹ -P') ^{f (}P • *) (P • ')J- •••(«)

1

Deze uitkomsten zijn nu voldoende, om de eerste formulen van de vo-

6 OVER HET ÜIFFERENTIEEKEN VAN BENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

rige paragraaf nader uit te rekenen; zij geven toch, door middel der integralen (3) en (6)

~;[E[p.x)-P{p.x)],........................(agt;

3 *2

-p sm x

of indien wij de symbolische notatie der achtereenvolgende bewerkingen invoeren, hetgeen hier zeer eenvoudig aangaat,

cl

= *gt;■»■),...........................W

E^{1 2} fquot; ^j] ■ 'gt;=iép pquot; ^ quot;quot;1......M

4. Op dezelfde wijze kan men de integralen behandelen, die onder het integraal-teeken de functie |/1 -j-p'W# bevat; dan beginne men het onderzoek bij de twee eenvoudigste vormen

d [*_____d [* dx

—r-l dx\^\ -)_rpgt;sin*x en -jr-z 1 . ==.

d(p)J d(p)j {/l vsmx

o 0

Daartoe stelle men in de herleidingsformulen (I) en (II) —p² in de plaats van P²; zoo worden deze

'* sin^iaxdx 1 p m?^{a 1} a:. cos x

,2 • a„\A-i_i la j, in/i i ! tl i „\4_4

(1 -{-p sinⁱx)^b-^\ {2 b— 1) (1 p*) (1 p³ sin* x)⁶—i

_ [* sitfi^axdx C* sin^quot;xdx n

i{(2-j-p³)(6-l)-(l ^^s)a} / j . ₃ .₆ - (2a-2i-j-3) I , . , 1,.. (III)

J [1-j-p sin x)⁶—i J (1-\-p sm xy— li-'

0 O

i j- sin^2a~-⁹x .cosx

i L

(2 a — 2 b — I)?''- (l ^' sin* x^—h

C* sinP'—^xdx [* siH^2a~ⁱxdx n

-{v-p-H—v wj fTTT^Fi ^'-V ö T^ii ■⁽ⁿ⁾

0 0

É

NAAK DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 7

waartoe dan verder behooren de volgende eindintegralen. waarbij voor de her-

TV

leiding, waar noodig, de substitutie x — ~ — y is gebruikt,

(C

/* . /•§'^r _ _

dx\/\ p¹ sin²x = 1 \ cof y-zz. j — p³sin*y —

=1/1 ?ƒ' ■ O

f* dx ri^v dy 1 ri' dy

J [/\ p'sin²x 1 l/l -f- p² cos* y l/1 p' I I / quot; p 77 o i*-* amp;~xv !—

= -J—[W—LL W -J₌.'L ................._(S)

gt;/r 7^L Wi p*l \[/i p* 2 /^J

/* shfxdx 1 f* shfxdx 1 f^r(l -J-p'sin'x)—1 1 p f^x__f* dx ^

Pfw^⁼? Ttt?»? 'quot;■rw*''- _vxw^rJ 0 0 0 0

of, na invoering dezer integralen (7) en (8),

= . ¹-[(1 P²) E\ ■—==.]-£( x) 1 - W ^ li .₍9)

p'^l ^L \t/J ^/ \l/l ^2 /( ( \(/ i pz) \i/l p2 2 j|J ¹ '

Ten einde te kunnen voortgaan met het opsporen van de volgende integralen, wende men zich tot de herleidingsformule (IV), en stelle daarin a = 2, 6 = 0; dan verkrijgt men, na invoering der integralen (8) en (9),

/* sin^xdx 1 * sin^xdx 1 _r . ---p sitfixdx [* dx

_y —-1 -siux.cosjci/1 U.'pi_si_n'-i,i~2(l-p²) I —4- 1 — -1—

^ 1 -j-p²i%n²x 6p^- ' j y' 1 J j/1 -f- y₍2_i(l'_wa_AJ

o oo

1 _r _ _

^::= 3^i/r ~2 L^{— p2} ^'ⁿ ■^{C6S 30} ^¹

P- ■^(iogt;

Tlians is men in staat gesteld, om de waarde te bepalen der integraal

8 OVER HET DIPPEEENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

/'' _ r'nrflx p^sin^x

sin² x il x j/ L -|_ p* sin* x = ƒ ~T== „ =F^=dx —

J V I

^{(1 2p}'^,tHi7ÏT?)-^£fe-H!l¹...............^lt;u)

waarbij de overbrenging der integralen (9) en (10) den factor (1 -f p²) invoerde, die derhalve uit de grootheid tussehen de haakjes konde verwijderd worden. Daarop geeft de herleidingsformule (ITI) voor a = 1 en è = I

f* «in² xdx Ir «m³ x .cos x _n r' sirfi xdx [^x . „ . ,_-i

1 — ------r—2(l p²) ƒ -. = — 3 ƒ sin²xdxi/ l nZsin^x I»

/ \/1 p*8itfix 1 p \/1 -'rpPsii'Px j \/l p^sinPx J

0 oo

die weder door de invoering der pas gevonden integralen (9) en (11) overgaat in /

l/] • p*sin*x p² j/1 -}- p^{2 L} ^/l P^a «»n² « l/l y²

Vi p^{2 2} / U/i W \i/I p² 2 y^J

5. Deze uitkomsten kunnen nu strekken tot het vinden der gezochte differen-tiaalformulen voor de integralen, die hier met de elliptische integralen overeenkomen. Men verkrijgt toch naar de uitkomsten (7) en (8), wanneer men naderhand van de integralen (9) en (12) gebruik maakt,

d r_l_ ( F/—-g—]_fff —. Ü .^h_ ^d r ^d* -

A (p²) Lj/ x ( xl/l p²/ \l/1 -f- P² ^ /' ^(P²) J \/1sin* x

_l f^x sinïxdx 1_rl (1 p²)sin²x p³m?»x.cosx

*] j/l -|-p²sjM²«⁸ 2 P² j/1 ^2 L l/l -j-p²®'»²» l/(l-}-p²)

■ H-^p to) • Hl ■^m

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAAKVAN.

waaruit men besluit tot den symbolischen vorm

• i-))]=

=—j—rFf—£—\-_Ff—£_ ;_..h..............

J/] -J-p² \|/ .l-}-p⁸/ \l/l-j-p² 2 /J

waarbij eene zekere overeenkomst met de vorige symbolische formulen {c) en {d) niet te miskennen is.

Wanneer men echter ter bekorting stelt

..........^

Am)-^Ey^---')=^E*............^(lt;gt;

en daarop de differentiaalquotienten in de eerste leden van de formulen (e) en (ƒ), als die van een produkt uitwerkt, verkrijgt men achtereenvolgens

^E'⁵ ïh? = wTT? ^{((1 pSi i}'^, -^FAl

derhalve

^,,f ■ ^w

Evenzeer

¹ -JL, p I. FJ~k]_L___¹ r ^ (¹ P^in²xphiux.cosx i

)/\ p*d{f) ^v /i p*¹' 2pVlHh?L l/l Pⁱsin** vï p^{2 J}''

derhalve

_L_ït _ 1 pl (l. //²)m³a; __

J/T p^^²) ^^Vï pH

NATUURK. VERH. DKH KONINKL. AKADEMFK, DKBL XVIII.

24

1° OVER HET DIFFERENTIEEEEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN of

1/ 1 rl-|-(l

dii?) '⁼ 2?0 7i ^ Vf W^ï ^ ' 'quot;quot;l/1 t¹ P') Vl-Fl} ■ ■«,) E11 hieruit besluit men ■wederom tot den symbolischen vorm der formulen

«, = gt;■,...........................w

r l-f(14- p²) shv¹ x „ _

[l -f- 2 p [ 1 -\-p ) . ₂ . - fmix.eosxs/X-y^^Y p^) . . (/lt;,)

die schijnbaar eenvoudiger zijn dan de vorige symbolische differentiaalformulen {g) en (/lt;), en mede eenige overeenkomst vertooneu met de formulen (c) en (d) van § 3.

6. De bewerking —² ^ \ ⁰P ^cWip^^scbe integraal der tweede soort toegepast, levert eene integraal der eerste; en de bewerking [l 2

toegepast op de integraal der eerste soort, levert wederom eene integraal dei-

tweede, afgezien van een factor -_en een goniometrisclieu term; dit volgt

uit de symbolischen formulen (c) en {cl) van § 3. Het ligt nu al dadelijk voor de hand om op de elliptische integraal van iedere soort zoodanige bewerking toe te passen, dat er wederom eene elliptische integraal van dezelfde soort ontstaat ; hierin slaagt men op de volgende wijze, wanneer men de symbolische bewerkingen (c) en (d) van § 3 achtereenvolgens toepast,

[1-^2] [l 2p2;~][l-^pⁱ-~^\E{p.w]=E{pa)-phinx.cosx | j/ =_!==_ {=

— E[p.x)—sin x.cosx [—(1—p²) \/1—pï sin?'x --===r|j.......(t)

( yl—p^sin^xy

wanneer men hierbij acht geeft op het ontstaan van den goniometrischen term in de formule [d], dat is op de integraal (6) in § 2. Zoodra men toch eenige wet wil opsporen, is het meestal nuttig van de latere herleidingen af te zien, cn op te klimmen tot den oorspronkelijken vorm; en ook hier zal blijken, dat deze oor-

NAAR DEN MODULUS, OF EENE PUNCTIE DA Alt VAN. 11

spronkelijke vorm voor de volgende bewerkingen liet meest geschikt is. Uit deze (?) volgt nu verder

d{pV ' ^{JL r} d(pV^L di,^

= F(p.x) — p²sinx.cosx [— 2i/l — «3 _St_n2^ -1- ¹__— __

l ¹ l/j —p^shfix \/\—_V*sirfix' _ \ ] \

—2pVl-pW.r .quot;Tt——^rT T^- — -F 0 • 0 3 ^; ' • ^ y 1—p^surx V 1—p³s/n*x )

en wederom

, (,« ov y_ 4(1—»^!,) si«³iB 3 w² Scot³# )

=E(p.x,-p*stnx.co_Sxj (7-Sp*yi-p2siA-h - , ₃ - _B =

(. y 1—p'snrx v l—pⁱsinⁱx y i-p'sm'x )

( _n__l 4»³-4»⁴ (3 p²)(l-p^!!) 1—p² I

—E{p.x)~sinx.cosx {-{\-lpⁱ-^Jr%p^4l)\^/\-p*sin'^xx -:=---r~ . „ ₀ r;H-3 - . ;.(i₂)

^ ' ( ¹ * Vl-pl_sin*x V/l-p⁹sw³/ Vi-phiuhn

waarbij nu de bewerkingen op de elliptische integraal der tweede soort toegepast, hetzij eene integraal van dezelfde, hetzij eene der eerste soort voortbrengen, afgezien van den goniometrischen vorm, die hier telkens bestaat uit eenen factor p⁹ainx.cosx_y en eenen anderen, die functie is van [/1 — p³liïü*ü;.

Hetzelfde kan men even zoo goed bewerkstelligen ton opzichte van de elliptische integraal der eerste soort, en verkrijgt alsdan achtereenvolgens

[ 1—//^aJ [l 2/)^{a F}(P•^x) = ^EiP- x)—P²sinx. co»x i^/du*x f-_=^__a- j =

= E(p.x)—simv.cosxl—(1—p²) \/1 —p⁸ sufi x —----! ........W

( y i—i-P sm* x *

[' - [i -?■][' ■')=

1 _ 1 p⁴ 1 )

[1 a -quot;^!J [' =

_____l tp²-'lp⁴ (3 p²;(l-p²i „ I—p²

-(1 -7p² 8^)t-⁷1 -_/Alt;;»A/; 7. ^T^⁷--¹- ~ quot; o . ₂ ■3 ³. 7—

I 1 -p sm x l- X—p^su^x V I -p^tsin^i

■'J'

24*

12 OVEK HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

Het is niet moeielijk, uit deze verkregen formulen tot meer algemeene uitkomsten te geraken. Noem daartoe de bewerkingen

= . . . (£), « [i_₂^]₌Q_;.....„)

en zij in het algemeen (x) eene rationeele functie van de wortelgrootheid V l—j)²sin²x; dan volgt rechtstreeks uit de formulen (i), (^) en (4), (d), {k) en (A^),

[Q.P.Q . . . Q.P.QI E{p .x) ■=. F{p. x) -J- sht w. cosx. ^ («),......(»₃)

[P.Q.P . . . Q P,Q] ii'(p. x) — E(p. if) -j- sin x. cosu .lt;!)(«•),......{/₄)

[P.Q. P , , . P.Q.P] F{p.x) =. E{p .x) -j- sin :c. cosx. «J) (»),......(Arj)

[Q.P.Q . . , P.Q.P] Fip .x) F(p .sc) sinx.cosx.b^x).......(^3)

Maar langs dezen weg ziet men niet in, wat de algemeene vorm van de functie $ (x) worden zal, en de vergelijking dier functiën zoo als zij in de formulen (ii), (^?a)j (ty) (^1) voorkomen, geeft hier geen licht; ook niet, wanneer bij het uitwerken der bewerkingen, de gelijknamige termen niet bij elkander telt, zoo als hier boven is geschied, maar ze gescheiden houdt, onder gedurige toepassing der duidelijke herleidingsformule

p*sin^sai 1—(1—p² sin? x) 1 1 ^

i/1—/'²»gt;n^{2 — —} t/i—««2 ' ' * ¹ ^

ten einde de grootheid tusschen de vierkante haakjes, in het tweede lid, telkens tot functie van alleen i/l—^sin^x te herleiden.

Zoodra men echter later overgaat tot compleete elliptische integralen, dus tusschen de grenzen 0 en genomen; dan wordt dit bezwaar geheel opgeheven, omdat alsdan de $ (x) in het geheel niet meer voorkomt. Zij zelve kan toch nimmer oneindig groot worden, en de factor sinx.cosx wordt gelijk aan nul, zoowel voor a: = O, als voor x = in- vandaar dat die laatste term in de vorige formulen geheel verdwijnt.

7. quot;Wanneer men nu dezelfde beschouwingen wil toepassen op de difterentiaal-formulen, die in § 5 voorkomen, stelle men eerst ter bekorting

^K7TyH?TT?-HH........^w

NAAR DEN MODULUS. OF EENE FUNCTIE DAAKVAN. 13

iSi p*! li/i p⁸/ Vi p^{s a} )gt;

«dan verkrijgen de formulen (g) en {h) den vorm

................

td r* sin* x d r* sin* x —__quot;i

^{1 2/i2 F}* — ^E% p^{1 sin}quot; *^cosx T^ , o . r i/i p^s«quot;^s «J —

a(p )-^J Lj/J

= £(( «nA'.cos/T(1 j/1 »^s■st»'— —^======1 = E_i'\-iinx.co8xV{x)₁ . (A')

^L l/l P «»

vaar de ^ (.r) uitdrukt eene rationeele functie van de wortelgrootheid v/l ^^asm%. Past men deze bewerkingen, vice versa, nog eenmaal toe, zoo verkrijgt men

[1 /gt;»] [1 2p*^^[l-Zp* Ez sinx.coavVM,.....V)

[¹ - 2P²J^] [1 P²] [1 ²P^a^] ^ = ^2 «««• !F(^)......W

Wanneer men toch de aangewezene bewerkingen ten uitvoer brengt, en overal, waar noodig, de herleidingsformule

p'sin¹# (l-t-p^a»m^siy)—-1 __1 1

|/ l-i-p⁸m⁸ar²* ¹ j/l -j-p® »i«² a:²*quot;^¹ j/1 -j-p² sin² ,r⁸*^—1 j/1 -{-p¹ sin? a;²*^¹

toepast, dan verkrijgt men telkens in het tweede lid een goniometrischen term, die sinx.cosx tot factor heeft en waarvan de andere factor een rationeele vorm van i/l -f- p* sin² x, dat is eene ^(x) is.

Maar nu kan men ook doorgaan met de achtereenvolgende toepassing der vorige bewerkingen; voeren wij daarbij gemakshalve wederom symbolen in, dan kan men de Q uit (n) behouden, maar moet de P uit (^) vervangen worden door

[i rt[i V^_rj] = i'v................M

«Op die wijze verkrijgt men dan hier

[Pi.Q.Pj . . . Q.Pi.Q'] E_i-{• airiiV. oo-i u: V ^r), ..........(/j)

14 O TEE HET DIFPERENTIBEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRAJLEN

[Q.Pj.Q . . . Q.Pj.Q] =/'3-j-«Miaj.ciMiïï'(«)...........(/j)

[ Q. Pj. Q . . . Pj.QPi] F₂ = Pjj sin x. cos x V (x),..........(«i)

[Pt.Q.Pj . . . Pj.Q-P^Pj = jE?_a sit/ x.cosxW (x).........

Ook de formulen (gi) en (/ij) geven gereedo aanleiding voor eene overeenkomstige behandeling; maar daarbij heeft men dan andere bewerkingssymbolen noo-dig. Noem deze hier

.................w

[f yJ [' ²'^,ï(1 =^Si...........«'

dan heeft men vooreerst

[P] E_l = .....................iffi)

_ „ 14-(l 4-p²)sin²x p^sinx.cosx „ phinx.cosx ( sirfix -- .

[5] ^1=^, -f- T =• - 7_ =£1 . y o ■ o i/l pW^

l/l f p^asiM³.-r /l ^² \/l p²

„ «/n«. cös «J ^ ___1

=E,

1(1 ^)1/1 4- «2^2« --—^4- . (^j)

I J/1p^a«en^a.r|

wanneer inen onder W (x), even als boven, wederom eene rationeele functie van \/l p²sin².v verstaat. Bij de herhaalde toepassing dezer bewerkingen, over en weder, komt er daarop vooreerst

[gt;S. P] Ei =z Ei sin x. cos x *P ^v).............(«)

[P .S]Fi = Fi sin x cos.V(a--); .............(0)

en vervolgens, geheel algemeen,

[S.R.S . . . R.S.K] El = El mix.cosxVix]..............(«1)

[R.S.R . . . R.S.R] Ei — Fi «in x.cosx V («),.............(«3)

[R.S.R . . . S.R.S] Fi — F_l sin x. cos x fix),.............K)

[S.P.S . . . aS.P.aS] Fi —Ei sinx.coaxV[x)............(quot;s)

Een groot bezwaar van al de formulen in deze paragraaf, is, dat zij allen eene zekere functie W [x) van y/\ -}- p* sin² x bevatten, waarvan de wet vooralsnog.

NAAR DEN MODULUS, OP EENE PUNCTIE DAARVAN. 15

onbekend is. Zoodra men echter later tot de grenzen 0 en overgaat, zoodat

de elliptische integralen compleete worden met den modulus wordt

dit bezwaar weggenomen, omdat dan die functiën van onbekende zamenstelling niet meer voorkomen wegens den factor sinx. cosx, die evenzeer voor x — 0, als voor x — verdwijnt.

8. Men kan echter tot geheel andere, niet minder belangrijke, uitkomsten geraken, door de vergelijking (a) nog eens naar p³ te differentieeren; en daarbij gebruik te maken van de reeds gevonden eerste differentialen naar de formulen (a) en (£gt;). Aldus verkrijgt men

d⁸ —i I \ i

!1 quot;f1 quot;f^- ( ] — _Si_n% rp j

^— './T o ftvnx.tosx — (1—/) h'if.x) 4- E{p.x)\ =

y 1 —y* sin^z x J J

r ^ g-y/ ^ Kl-jquot;⁸)-¹ r,/ . -..r,, gt; l il-p^sitPxp^sinx.cosx-^

2/^ ' 1—/ quot; quot; [/l'—jfisin^x 1—P^a

^ lilz^l Z³ _x . i q-/) sitfi x sin x cos x

-p¹*

en verder, door middel van de formule (a), ten einde de overgebleven (p.x) te elimineeren.

p , 1 i _{/ %} ^ 1 2 —/ ) ^ 1 (1

j/l—[PsirPx 4/(1—^p²)

— / 1 (1 — /;²) sm² « .«in x .cosx -■^K{P-«) ----

4!p⁴(l—/) j/j—p* mfi x 4p²(l—p²)'

en hieruit volgt ten slotte

IVa-?⁸)— il £(..«) = ' ⁽¹₌

^{L d}(Pl d{f) J ^v' gt; j/l — p^sivPx

_j sitêx ____)

|!/! —ffisitfix quot;^{f 1/1} - *gt;**•,.................CPi)

waarbij met voordacht is afgezien van de nadere herleiding van den goniometri-schen term, zooals die in de formule {%) is toegepast. Want nu kan men gemakkelijk n 2 maal differentieeren, het eerste lid volgens het theorema van LEIBNITZ, en het tweede lid naar de bekende formulen (zie o. a. mijn Overzicht der Differ. Rekening, bladz. 53, 34).

16 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EEKIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

dⁿ cZquot;—1 dquot;—'*

♦P'^{(1 (}quot;-²⁾

d (p²)«

dn-i

E(p.x)=

flip²)quot;—² dquot;-²

d ply-*

r ■ o ^a— ¹ ■ rfquot;~³ , —st'w®;»

= «« x . COS x sin* x —--r —- ^ _n „ i - —

L dlff-ïy/i — ftirPx dip²)quot;—* yquot; 1 — p² sin³ x-i

_r dquot;-² 1 dquot;*³ 1 = sin X . cos ^ _(p2^__{2 l}/₁__p2^gt;_i2,; quot;quot; (/ (p2j»-3 j/ r__p2_s/_n3-J ^!

of wel, na herleiding, dⁿ

dquot; ²

⁽¹-^p8)JWquot; ^1!(quot;^_1)~⁽²*^_3)fï!ï^ ^!1~⁴⁽quot;^_2)8)%^ïF^;]^£lt;?'-¹'⁾⁼

t (-1 )»-a l«-?/2 (— sm® ,r)«-S (— l)quot;—3 (— ₃i_n3 _a.)i-3 1

/«^S .1! . C'ÖS .1' J '--^- * ---------------------

sm

— sin²quot;—^x.cosx 1»—3/2

—^-{1 — (2» — 5 p²)«m².r}.

Ten einde voorts de vergelijking {b) op dezelfde wijze te behandelen, schrijve men haar kortheidshalve

d(p²)^F{p'^x)~^R ïp^2F{p'^x) Zp²a-p²)

waar dus

1 -f- (I—p²) dn² x sin x. cosx

R — —

|/1 — p² sit,² x 2(1 —p²)

genomen werd; dan verkrijgt men, door nog eens naar p² te differentieeren,

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN,

. SXVl iV • COS SC

— 7371— .na,/T—3-7=3 {(¹ (3-4pï—p^) (l-/)²sw².r)-I-2 (l-;;²)²(i-^² «m²»)³}

v¹ —p*) V \~p^z sin* x .

2—8»^a 1—2^

4 p⁴(l --/^²) ^F('^P' ^ ~ 2^(1—^²;² ^ ' ■^r-⁾' ' .................^

Gebruikt men nu de formule {h) weder, om uit (r) de E{p.tv) te elimineeren, zoo verkrijgt men

1—3p² p*

dil'²) 2/u²(l—;j²) ^4^(1 — ï.²) ^ ^

waaruit wederom wordt afgeleid

d² ....._nd n . . dli

ó'in x, cos x

~ «²i/i 2 t¹ —(! P³) (1— 2/)² (1 /gt;² .s'm² a;)²] = r k i —p^sm^x

sin x, cos x

~ ,/₁ q —:—t— 3 [■^v^^2a'—(1 --p^siifix) 2(1—^⁸sm^ai»)²].. .... (»'₂) K -l—p^sin^x

Bij deze herleidingen is in de laatste vergelijking (r₃), even als bij (gt;*1), gebruik gemaakt van de volgende uitkomst

~--R =-i_t sin x.cosx \ -sinKv -1 , ₌

(^ ) (1 P²)1—p^a«m²»|l (l — p^jsiifiw l—p² quot;1—phtA)

= - i sin x. _Co^ l (l-p*)sm*x 2 (1 - 3p²) .m²,. (1 -

(■^ P²) j/1 —p²sin²x ^ (1 — p^) (1 —p²sin²x) {1 (1—p²) sin² x} — sin x. cos x

- 4^(1—'-p^—^(a—^-^(i—^^^^(i-^^i-^iA-)²},

Eu uu kan men er toe overgaan, om de vergelijking (j^) n—2 maal tedifïeren-tieeren met behulp van het theorema van leibnitz bij het eerste lid, en der boven aangehaalde formulen bij het tweede lid; deze bewerking levert ons dan het volgende

NATÜÜRK. VERH. DER KON1NKL. AKADEMIE. DEEL XV1I1.

25

18 OVER HET ÜIFFEHENÏIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

F(p.iv)=z

( d»-' 1 ^«-2 1 d«-8

( ²d'y)»-gt; J/. -phinh' ^(p²)quot;-Vi —p³.vi«²;e ^^P²)quot;-³ \/l—p*siA \'

waaruit men na herleiding verkrijgt

fjti dn—1 ²

1'l —pisirfix)ⁿ~i Üquot;^-2(1p²sigt;A;)^B—''a ' p²si«²;i,')^B—Vj {

—— (-sm²tf(SJfl-3)(2n-5)-l-(:J«-5) (l-p³SMt^J«)-|-2(l-/gt;²m²a-^,)²j =

2«—2 ^ 1 —p2 gj/jï 3;)»—è

—siti^*¹—'^7' coSiV 1^fl quot;'^Z²

— -—o ■ _a' ., :i)4- {(2u—3) (2«—5)—(2M—1)P²},SMAÏ . («)

9. Laat ons trachten, dergelijke algemeene differentiaalformulen af te leiden voor de overeenkomstige integralen van § 5; beginnen wij daartoe met den laatsten vorm der uitkomsten {e{) en {fi). Differentieeren wij de vergelijking^) nog eens naar ^², zoo komt er

d* 1 2»• 1 id d „ 1 2 f „ „

rf(p²)² Sp¹'(1 -j-p²)² ,ip²vl -(-p²) (dip²) lt;l{p²)

^TV(¹ !gt;') v,i vA t ki p'»»quot;.» l-¹

₌ _^ 2_£^ _i r_Vii₁-U^±|^_pv..^r 5?l.. w

2p⁴(H-p²)² 4p⁴(l p²)²L \/\-\-p* sin² x

Daar nu de F_l uit den tweeden term van het tweede lid verdwenen is, en alleen voorkomt in den eersten term aldaar; en daar die eerste term naar de vergelijking (^) zelve juist

NAAK DEN MODULUS, OP EENE FUNCTIE DAARVAN.

1 -f 2 p' d

P⁴ (¹ P') ^{d :}V')

tot waarde heeft, zoo geeft het overbrengen daarvan in het eerste lid

1 2p² d 1 p 1 -)-(l -j-p^z).nA , -

ij -f- -T—-— --— -Ë/i — — ---—'fE, -f- ---pVfslWX.COS,V\/ 1 -j_ «2 I;

: IT . „O. o 1 4p3(i /gt;VL ¹ l/l _p*_sin*V y tl ]

quot;(1 P^S)(1 2^)^ 1] Ei =

( StTift X

— ^S^^{n X} • ^{C0S X} l/ I -|- | , n ■ o 4quot; I/ 1 -1- P² «i»² X

\v i -Hp .f

eene uitkomst, die men nu weder gereedelijk «—2 maal naar p² kan differen-tieeren; bij welke bewerking eenerzijds het theorema van leibniïz, anderzijds de boven aangehaalde formulen voor herhaald differentieeren te gebruiken zijn. Langs dien weg komt men tot deze uitkomst

d» dⁿ~^l ₍/h-2

^{V(1 p8)}Wquot; ⁽'quot;^{ÏW1 1?! 3rt}lt;W^{i 4(}quot;quot;^2){quot;quot;^{S,4lt;1 6,2,}4?Fquot;

dn-i

₄₍l _a^ ^₎___ _(m_₂₎ 4_{(3 V)}__.

w-3

) 4.4.

d,p^%Y' dquot;-*

dip²)quot;

als P het tweede lid van de vergelijking (^) voorstelt, dus

P = (— «Mi ,r. cos x) {[/ | p2j

Ten einde van deze uitdrukking het n—2 differentiaalquotient ten opzichte van p² te bepalen, is men gedwongen, zijn toevlucht te nemen tot het theorema van Leibnitz; en daartoe vindt men achtereenvolgens

25*

20 OVEE HET DIFFEEENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

d^k r sin^iv

r sin*# _y_quot;1

7/ 9.\/c\ 7-~~ r~ 1 4- p^2, aiifi x =

d{p²t ^Ll/ I /.'².vi₎₍²,r ^J

d^k ftm^z:v ¹ siift x . , [sirftxY

— ---— _|_ quot; '» «gt;-------l~ ^ ^__-_ j

d{f)^k'\ ' l p'sm*® d[pⁱ)^k-*''•/ l p'sin'a La^A(l /si'»²«)^ l ²a^A-²( 1 -J-p*siu*U

(—1)^' sin%^k,v \k-\l'2 (—1^-1 ^quot;V2 —-r—r^-;—r-f (k-1 )sgt;n w-f 1 p^siri^gt;x)} = —--——--—;— } 1 (1—2/: « ) «w⁸.)¹},

([u—k— 2 __—//r —8 ^ ^_Ij»—/;—3^«—^—;V2

¹ v* ■— * j/rqrp ^{— 5} tn-h-ó (x _ _v2yï-k-n''

zoodat nu algemeen is

,/«—2 k-n-i l_n O \ f—l ] k-\/2 (_ I \n-k-i\n-k-iii

—_B--P=-dnx.cosxS Y-j-¹ r. ! ^, f 1 -t-(1 M~^{-ii-~-~7=z

dip*)»-* i₌o\ k /S-Kl pW^ i^{1 K} ^-piy-k-'H

k^n-i I _n-2''| l'i—1/3 \n —k—Zli silftk^x. ausiï I -f- (1 - — % lc sitfi x

~^y^^{n 1} \ ^ / 2«-8(l p3_f-A-2i (1 p* siv* xf k ^;

en hierdoor wordt de vergelijking {u) na eenige herleiding

2

d (p^s)

o dⁿ ^ dⁿ ® ~i

{l Hv-mn{2 -3p*) ~[S ïp )]}

r- dquot; d^u~l

= [!^(l yr)³—-f 4(1 ^^){(2«_3)^H-(«-l)(l ^0}^-^

(l^/l — ^ t/⁷'— V ⁴(quot; -² Ü'⁴ -² l^;' (2* — 3)(l /r)]}³)^1^Z3quot;]^ =

k-ti-l Iii—3¹. \^k—'/2 1«—k—i/i/fi^ik 1 _iCo,9 j _j_ ^ j—2 k -(- p%) sivfix

k=.0 ^ ^ k ) 2^K—2 fl ^.p^n—k—ii (J quot;h p*Stn^X^ i ' ' '

waarin de tweede vorming van het eerste lid geschied is met het oog op de straks af te leiden algemeene differentiaalformule («O voor de andere functie F₁: op die wijze toch wordt eerst liet verband tusschen beide formulen zichtbaar.

Ten einde nu de overeenkomstige vergelijking (/i) op dezelfde wijze te kunnen behandelen, schrijve men haar eerst in den volgenden vorm

d sin x. cosx _r sin a; --1 1

^F'⁼wW? rrw^i ^¹ 27 ^{1 -} WHvf '■ ■^(h)

NAAE DEN MODULUS, OP EENE PUNCTIE DAARVAN. 21

dan komt er, wanneer men, even als boven, nog eens ten opzichte van differentieert,

_— sin x. cosx sin¹ x ) srnx.oosxi _l sin'¹ x sin^x

^ri{p) ¹ 2,2i/ï f/¹ [/i ffmvx ^l' i 1 hp²1 ^l/l p²sin²x³ l/l p'sin'x

JL_e , jL±1^__f , ^{1 d} _ 1 ^d _r _

lp* ^ Zp*{i pgt;? ¹ 2p*d(p²) ¹ 2p²(l p^:lcl{,r) ¹ ' , sinⁱx „ sin² x _1

⁽ '' VrH?Sir?- ^ ^1/1 quot;

ip¹ ü jn'^Fl ^ 4_//' 11 f)'^l: ' ^

-sin x. vos x ( Kin¹ x __) 1 1

Vi'-ny⁵'

—sitix.oosx| ₃ ,iiuⁱx ₂ sin¹ x ___

P ,--I a ■ , .....⁷ '' l p'sln^x

*P ^l' i P I l 1 p Wil X ^ I -rp'stn x

Ten einde hieruit nog de overgebleven E_l te elimineeren, telle men naai' de formule (/quot;i) bij

ld -sinx.coHxC sin² x _) 1 2(14- n-\

p-dW

dan komt er, na herleiding,

dquot; 1 d -sinx.cosx

quot; r I *- •quot; r 'Wquot; a sm at _i 1

Vt ¹ p'V) ¹ V)/ny

waaruit verder dadelijk volgt

f^² ............cl

_r Qj*' ,1 1

[^♦a vd p-)^ ij =

3 ■ ,-\ . sni-x Sill X 1

-p sinx.cosx^ i f ₂ . ^-^l fsinrx]. . (v,)

(. V l-\-p sm x Vl p-sin*x ''

Iliei bij valt leeds dadelijk op te merken, dat de symbolische bewerking* van liet eerste lid overgaat in die bij de vergelijking (^) wanneer men in (vj quot;ie p² en 1 f onderling verwisselt; men ziet dadelijk dat eene dergelijke verwisseling, dat is van p² en 1 —p\ bij de vorige overeenkomstige vergelijkingen^) en (/■,) niet opgaat. Wil men nu uit deze differentiaalformule van de tweede orde eene

22 OVER HET DIFFERENTIE EREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

algemeene differentiaalformule afleiden, dan moet men eerst het tweede lid der vorige vergelijking (vj), wat betreft den factor tusschen de haakjes, in een anderen vorm brengen, meer geschikt voor het algemeene differentieeren naar p'; men vindt alzoo achtereenvolgens

k-2

dquot; dⁿ~^ -^{4/?4(1 f?,3)}^ ^(Mquot;^2)4/'^{2(2 3p3)}^P ^{4 (,i}-²⁾⁽'ⁱ-^{3)4(2 6?}'²⁾,^v^

dquot;-^z

d»-i

V(l P²)j^p («-3) 4(l 2p²)

^ (n-2)(n-3) .4.2.

k-2

d{p*y

waarbij (gt; het tweede lid der vergelijking (t^) voorstelt, en wel zoo, dat de tweede factor tusschen de haakjes den vorm (v₃) heeft verkregen. Men heeft dus

dⁿ'² f. „ _I sin*x l -\-i

Q=-sinx.cosx- (pV 1 p^J) . Tl^./rir ■■ ■ ü ^¹ P^2s^'-^V ■

d[p f¹ \ y \-\-p sm x yl-^-p-sin'x /J

Ten einde deze door middel van het theorema van leibniïz te bepalen, heeft men eerst

# _ #-1 _ (_l)*-ll*-l;2 (_l)A-2lyl-2/a

(_lU-2U-2/2 (_lU—21^—2/2

_{_,,.(_2i-s, ₈(i ,«)) =

NAAK DEN MODULUS, OP EENE FUNCTIE DAARVAN. '23

clⁿ / -.SMl^ x ]

_d{p*)ⁿ~^k-* \[/i -J- p*sin*J' l/l p

_dn-k-l ] cZ»-*-2 1 „ ₍ln-k-i — ~ï7~ï\-'i—i— —-I--;—- ---—isilfi.):----—

_1 - / . . O . I I/ 0\ A O. / _ .1 Ti .1 / 0.\/M_ . Zgt;___'-i *

' d{pⁱ)ⁿ~^k-'ⁱ \/\ phinh

1) ' 1 n'k-yi ^ sin'x)ⁿ~'

| -|-p3 «Mi² xy-t-(-1 .n-k-21 n-k-Vi^lyf^yi-k-,

' iin-k-2( i _i_p2 ^^2 ^«-/fc-3/, {-(^^M-2^-3)(2«-2^-⁵)s^²a; (2w-2/_t'-5)(¹ _/ö²sm²a_;) ²(¹ P^;!s'^:»^2a'')²]= (_1 1 tt-k-yz/airfasn-k-z

zooclat eindelijk wordt

f/quot;-³ . i-ffl-3[n— 2 \ 1 -3/2 1A-2/2 (_1)« (₄j_n3i-2

^)»-2^ö —_A / ^«-2(1 p2)t-i(l p2sm³^)»-^-5 ' ² — (² ^ /^} X X ['.Sn——3)—{i2 n—2 k—3) {2,n—Zk—5) (2« - i k—1) p^a) sirfix -}- Zp¹ siifi.«];

en hiermede verkrijgen wij ten slotte voor onze differentiaalformule {w)

dⁿ /7m—i

^*'¹ '^,,)i^- ^ (quot;f² quot;J'')-¹³

_r/«—2 fin—

[1 4 («-2) {«(l 3p2) _ (2 7^) j ] —— 4 («—2) (n—3/ —--

clip*)quot;-* quot; ⁷ _tZ(p³jn-3

clⁿ (l^gt;l—1

^^{lt;1 !}'' ^1,?! (^;!!quot; -^{8) (1} ''^!,

[l 4(«-3){(«-2)(l ^) (an-5)p²)]^_ip_i-l-t(n—») («-3)2——

to~ⁿ~2/u—3\ ]«—4—9/2 {k—i/H _si_n2n—2k—3_iV-COg_;v

— {(2 u—2. k —3)[2n —% k 5) (2 n—i fc—5)p^z} sin®x ■ %p¹ sin*x]-,......

waarbij wederom het eerste lid door eene kleine herleiding zoo veranderd is, dat de straks vermelde overeenkomst met de formule (/q) gemakkelijker in het oog springt.

10. De schijnbaar meer zamengestelde vergelijkingen (e) en (/) kan men op dezelfde wijze behandelen; zoo als men zien zal, geven zij tot meer eenvoudige uitkomsten aanleiding. Schrijven wij ze daartoe in den volgenden vorm

24 OVER HET DIFFERENTIEREEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

• -.......... • •• w

J {j^j 2 /;²

^ n ^ 1' (1,1 , n I TP I

F₉ — —---—7- --=—p² sin a\ cos v— (1 p-¹) i'o f- A, =

³ 2^(1 ^1 l/l 4-»2^2^ ^ v -r/ ; 3 r

fl!(/gt;²) quot; 2 yi/³ (1 4quot; /gt;^aJ ( l/1-j-«

sinx.cosxl sin² x --—-\ 1 „ . 1 ,,

=_a7r 7)\PTTF^ ^{Kl p gt;} w ?)''''^lt;n

waarbij nu de vormen en Fo van de formulen (i) en (k) zijn ingevoerd; zoodat die beide vergelijkingen in dezen vorm met de andere vergelijkingen (c) en (r?) tamelijk wel overeenkomen. Differentieert men nu deze vergelijkingen nog eenmaal naar ^i², en voert men daarna dezelfde vergelijkingen wederom in, zoo komt er achtereenvolgens voor de eerste

«7 {^7)^e'~wi^f') ^{= Fl)}

1 i- 1 sinx.cosxl .sin² v ,_\ 1 1 „ 1

quot; '^h i(ïï?)(^4]''

omdat nu bij den term tusschen de vierkante haakjes in het tweede lid, de

term F» geheel verdwijnt, behoeft de 7''₂ alleen uit den eersten term van

2 p

dat tweede lid te worden geelimineerd. Dit geschiedt zeer eenvoudig door middel van de vergelijking (e); telt men toch bij

4 ~v U.₂ — ~(E₂~FX p^dip*) ² 2 ;j^{4 2 2;}'

zoo komt er

rl? „ 1 p _ q j-pV-1 _ .vnv.eosx ( *in*x . , \

d (/gt;²)^{2 2} rffp²) ² ~ 4 pi (i -f- p²) ² 4 p² (i p²) 11/ :rTpW^ ^¹ ^)' of, na eene aangewezen herleiding,

_ dl d 1 sin^x _\

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 25

waaruit verder, wanneer men deze vergelijking n—2 maal naar p² differentieert, de algeraeene differentiaalformule volgt

dⁿ /7« —1 dⁿ—²

W (-«)»(! »/gt;*) 1 (-«) («-3)

a—1 ^»-2

4 (1 -j- »²) -; (m—2) 4.1, ——d

^ ^{X 1} 'dip*)quot;-* ^V ' d{p*)ⁿ-²

dn—2

diP²)

JrfM—2 1 (f«—rfM—2 1 (f«—^s SiM² X

sin² x---■„ — — 4- ——;-- A

r7/^2\n—2« /I i o o ¹ r1(*amp;\n—3 ^z i

)n—2 j/ j ^2^2 _a. d (/;² J®—³ l/1 -j- jo² «m² «

dat is

L⁴quot;'⁽¹ M(—i) (2» 12)^s-1 gt; «• =

(_l)«-8 1«—2/2_a.)»-2 (—l)»-³ l»-³/²(siw².r)«-³ 2«—3(1 _|_^²sin²;(;)»—'/2 ¹ 2quot;^—8 (1 -|- P²•sm²,(;)quot;^—!,/2

(—Ij^wn²quot;^-1«. cos.» 1^B—3/², ^ ,

= (1 _?w,)—-i ⁵-^⁾~ *}..............^w

Ten einde verder op dezelfde wijze de functie te behandelen, noeme men kortheidshalve den eersten term in het tweede lid van de vergelijking (f)

sin x. cos x f sin* x ____\ sin x. cos ,r 1 -j- (1 p¹) sin* x

2 (1 P²)\l/1 _io²,9m²,r ^1/1 P^2sln2xj — ^h ~ 2( J p*) \/'\ p* sin^T ^

en differentieere vervolgens die vergelijking (ƒ') nog eenmaal naar (p²), zoo verkrijgt men

d^^d^F) ^li ^^l'²~-lp\V py^Ë2~ïp¹1 ^S_97/^/'² 2_//(l _?r)^/4'²1 2_?r( I //')

Daar nu echter in den eersten term van het tweede lid is

d _n 1 (I p²) sin*x 1 sin² x 1 sinquot; x )

———it = hsinx, cos x--— -I -—-—------i --- l —

d{p) ' (l p¹)!/! p*sm*x\ 1 -l-(l p²)«t'i².r 1 /'² l y^ntfix]

— sin x .cosx , „ , .

-4(i rtvr ^»?^{s quot; ³P')»''' (¹ P⁸gt;^Ï'quot;⁴4 =

___ qiyi $ ₀ COS iV

~4^(] P^a-¹—(^{2 :3}?²—P⁴'^¹ P^Wx) H-(1 P²)²(^l P²S/«²C)²],

26

NATÜÜRK. VEEH. DEK KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

26 OVER HET DlFPEKENTIEEEEN YAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN en dus, na substitutie in de vorige vergelijking,

JL-p 1 ¹ ,_¹__\

d{p*)* ^{2 2}12/A 4/5⁴ 4pi(l-t-^)( ²\3^(l ^)2 4.^{l-f^²) 4.^(l ■■?gt;*)}

... ' ₂.₂ , ' ₀ . {(^l /^,2)-(² 3^--;)⁴)(l /gt;²«m^a«0 -3{l p²)²(I-i-/gt;²m^a.e)²},.(^r,)

Daar in de coëfficiënt van E₂ de beide laatste termen elkander opheffen, moet slechts de eerste term worden verdreven, om de geheel te elimineeren. Tot dat einde telle men bij de vorige vergelijking (2)

1 2^ d l g^⁸ _ 1W _F , l g^ _R

p²(l _i»²) d(^²) ² a/v^l-t-p¹)^{2 2} 2/^(1-t-p²) ?gt;^a(l ?'²) '

zoodat men verkrijgt

d* ,, , 1-My² d / ' , ¹ 1 l ^² \ .

^(P²) P²(l P^a) ^(?²J ^{2 2} 4p⁴' 4p⁴'(l ^²) p^z)l

^d VA. J?( ¹ ■ ^{l 2}P*\ (_ ^ ^ TZ 1 ^{1 3ya} TzV

[ 2/ p²(l _?^a)/ (~ 4^(1 P²) V/(?²) 2p³(5 p²) )' en hieruit leidt men verder af

[V( 1 - ^1 (i V) 1] n =

_ -s/.riA .cos.v -—(i4.^)4 (l—//)(] phin²*) (! //)2/)²(l /)²aw².(')²} =

p²vl ^²)l/1 -|-p²,9m²a;

_ —^x^cosx ^ f _ ₁ ^ (! __?,3) (1 jfishfix) 1 p*(l p*sin*xf) — ^²j/1 -|- iPshPx

— _l^inx-^cosx f,;, 2 /,^2,,) 2(l p²3w²^²}............(^2)

l⁷quot; 1 -j- ^² «IM² ^

Thans kan men overgaan, om deze differentiaalformule «—2 maal te differentieeren, waarbij men weder gebruik heeft te maken van het theorema van leib-NITZ, en van de reeds vroeger aangehaalde formulen voor herhaald differentieeren. Langs dien weg komt men dan tot de volgende uitkomst

NAAE DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 27

W (— »1« a V) i (—f) (»-«)»■ ^

»1'

n-~2

d['p²)quot;—2

j dⁿ—¹ l dⁿ~2 1 rfquot;^—3 , sin% x ziinx.cosx | -2-—----———r---- 2 -

I J/.-O. VM_I - / — . n ■ n J / * St i n n •

d^)quot; ¹1/1 d{p²)^{n 2} l/1 -^-p^sin^x d(pⁱ)^{n 3} l/1 -)-p^sitfix j '

waaruit verder na herleiding volgt

sin.t.eosxj ^n—i(i-l-/j²siK²2quot; ²(1 2quot;—8(l yC»^a«m^aa;)«—%)

2»-2(l ^«jn2a!)«-è ^{v r 7 r} ' ⁵

/_1 —l si 7$^—^%c,cosx

= 7t ^_Sm2®)»-i -^[(^-3) {{2«-3)(2«-5) (2«-i)p²}«A 2pW_ii,J.. (_aa)

11. Laat ons ter toepassing van enkele der vorige formulen, nog het derde differentiaalquotient ten opzichte van p² afleiden van de beide elliptische integralen der eerste en tweede soort. Zij daartoe in de vergelijking {q) n ■= 3, zoo is

_r d'^ d² d -i „ sin³ a. cos .v

Daar by volgt uit de vergelijkingen (p) en (o), overeenkomstig,

d² ( 1 2—»² sin x.

■pfishflx 4 p² (I — p²) j'

d „ . 3 —- -B(» .x) — —

^(j)²) ^ ' 2 p²

Wanneer men deze bij de eerste optelt, en dan door 4p² (1 —p²) deelt, verkrijgt men

d» 3 50² —16p⁴ 6^6 4 —3«² - «) =-——-—--E (p. x) — ——-— P(p. x) —

d(p²f 8 p⁴ {1—jfif 8p⁴(l—/;²J

sin x. cos x | clt;m² x 7 -}- »³ — 5 «i» - x _1

'^i:'--^rH ' • lt;•«gt;

26*

28 OVER HET DIFFERENTIEEUEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN Vervolgens neme men « — 3 in de vergelijking (s), dan is

r dfi d 1

,-9—]_fgt;^) =

₅ \ {—3sin¹ x (1—p^sin^x) -j- -(1 —

j/1 — x

Evenzeer volgt nu uit de vergelijkingen (r) en (b) achtereenvolgens rf² i- 2—'óp² J—2)y^!

-^s(1-

jil{p'ⁱ)E[p,x₎—j fAvjd(p²)l/' l-p2«ji²r=j V i-p²ainquot;x—-- j [/l-p^z.iin²u

n (» 0

/ d(p²)F(/).a)— j c/x fdfp²)—______________— f dx—, ' {/1—p^sin^x——2 ƒ \/\ — p

J J J V i-pWx J ^ J

NAAE DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. ²⁹

Beide uitkomsten zijn ondoorloopende integralen, omdat de functie onder het integraalteeken voor de benedenste grens n — 0 een eindigen teller bezit, terwijl daarentegen de noemer, skfix, nul wordt. Langs dezen weg kan men dus niet tot bruikbare uitkomsten geraken.

13. Veel eenvoudiger worden de vorige uitkomsten, wanneer men de integralen tusschen de grenzen 0 en § ^ neemt, waardoor zij tot bepaalde integralen worden.

In dat geval toch worden de vergelijkingen («) en (amp;), (c) en {d)

................⁽ⁱ⁾

........^lt;Bgt;

..................^(C)

................'^ugt;

Bij de vergelijkingen (e) en (ƒ), (*/) en (A) wordt

E^ — }^( Z_\ —jgf .^1 ^i,r== .E(^. . (di)

I \l/l p2/ [l/l p* * /) \|/l4-p2/

O

f_ï = \f( ^p quot; — j ^{T= f( ^p v . . . (e,)

zoodat zij leveren

• ■^(E)

¹ 1]-.-I-M ^p A-rl ^P V (F)

d(/)²)Vi p² Vi p³/-¹ apVi ^l \I/I P²/ \i/i p²/j'

=7^7^^)'.........^(G)

[* ........^lt;H)

30 O VEE HEÏ DIFFERENTIE EEEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN terwijl verder uit de volgende quot;vergelijkingen (e^) en (fi), (ƒ/)) en (hi) wordt afgeleid

-j- »•( ^ --1-U(—£_—\j........(E,)

•Hf') Wl r'l «y^!(l p^s)l \l/l p'l Wi p'l)

ïï^-= mï pquot;) l*^{1 E}(j/ï^p)^—^(ttt?) 1' • •^(ï,)

[ⁱ-^a'^,'^{(i p,gt;}^)gt;(?ïtp)=n^)...............^

[1 rt^] F (^) = (1 E [^=]..........(HO

Behouden wij de notatiën voor de bewerkingen

[1 -„«] [1 = P, . . . (£). e„ [1 - = «;.....(,)

dan geven de vergelijkingen (%) en (Jc^) en (A^)

IQ.P.Q . . . Q.P.Qi] E{p) = F{p),............(I3)

iP.Q.P . . . Q.P.q]E{p)-E{_v),............(I₄)

[P. Q.P . . . P.Q.P'] F (p) = E{p),............(K₂)

[Q.P.Q . . . P.Q.P] F(p) — F(p)-,...........(K₃)

terwijl by het behoud der notatie

(1 !gt;'] [l = ^Fi................W

de vergelijkingen (/j) en (/₂), (mi) en im₂) geven, omdat hier wordt,

^r 7*(p^=.)...............«.)

^—1/1 ;gt;» ^ li/r i?)'..............^¹'

[iVa.P. . . . = M

NAAE DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 31

^F ■^(M,)

Civop.... ■ lt;«.)

En eindelijk, indien men de bewerkingsnotatiën

[i-W ^] = «................(quot;)

[rn?][^l ^(¹ !'⁸)ji^]=^s..........®

behoudt, leidt men uit de vergelijkingen (wj) en (w₂), (oi) en (o₂) af

_lSM._S . . . ...........(N.,

IE.S.* . . . = ..........._W

...........™

..........._(0j)

Verder leveren de vergelijkingen (p) en (pi), (/•) en (ri)

= .......m

T- eft d

[_lp!(1 4(1 -f) ~ l] £(_rt = O,.........(P.)

^5 = I-phi'-PT IC - w W - 2 (1 - V) .e(rt).....(R)

r dP d ~\

LV'O-P»)^ *(1- 2^^--!]^)= 0,........(K,)

32 OVER HET DIFFERENTIEEEEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

en de meer algemeene differentiaalformulen (//) en (s)

⁴ («-¹) ^{= 0}' ■^(S)

Vervolgens genaderd tot de vergelijkingen (t) en (h), (v) en («0, komt er naar de formnlen (^0 en («i)

²⁰ ■^lt;T)

d2 ~ .-o.\ ^d , il JPI \ — 0,.....(TO

[V (1 f V ^ Ml P*) O » P») ^ ^ [pi=?)

⁼ wTrtl ^Fi^)^_lt;1 ^ fe)!' • • ■^(Vgt; C⁴^ ^ ^ ^{= 01}.........^lt;v,)

en naar de meer algemeene differentiaalformulen (u) en (w)

[4p²(l p³)²^p 4(1 p²j 3)p² («— 1)(1 p²)) _d

(i 4(«- 2) [(«- 2) P² (Ü «- 3) (i p*n I ^ (TÏ^)⁼⁰' * •^(U)

!■ ■^(X)

1

[4 p² (1 p²)² 4 p² ((2 « — 3) (1 p²) (« - 2) p²1

2

{1 4(» - 2) [(« -2) (1 f p²) - (2 « - ⁵)P²]}^Zi]^(_vl7j=_a) - ⁰-' • (^W)

3

Even zoo geven de volgende vergelijkingen (,?) en («O, (2) en 00, wanneer men de formnlen («t) en (/;) gebruikt,

NAAE DEN MODULUS, OP EENE PUNCTIE DAARVAN. 33 [^'d p.) ^ 4 (1 _ i] [sr p E f-^]] = o.....(XJ

,.(Z)

j/l p²

d*

[4^(1 -t- 4- (1 :2 y*) -I- l] -- F (---^1 — 0; • . . (Zj)

^L ^(r;^{a JL}1/1 ^ \J/i p²/^J

en de meer algemeene differentiaalformulen (y) en (aa)

[_₄,,_a ^ _M(.__{l) (2}.__3OT_^;T

.......................^(ï)

_r cZ^w /7^—l /in—2

C¹quot;⁸quot; ⁽quot;-^{8) f}''

kérf*^F{ïé^]gt;''.......................'^AA)

Ten slotte geven de waarden {ah) en (ac) nog hier d³ 1

^^⁾ = ^ÏZ^)i^ ⁵^-16^-l-6/)^)-(l~_/^(4-3p2)^)]. • (AB)

(P 1

d^f^{F{p) =} 8/(1-^)3K⁸— Vi/^lïip)-^ a/gt;²- 3^) A'(f')]. • . • (AC)

Men had alle formulen van deze paragraaf, ook rechtstreeks, en op zich zelve beschouwd, veel gemakkelijker kunnen vinden, als men de integralen (1) tot (12) tusschen de grenzen 0 en Jtt neemt, en deze als punt van uitgang neemt voor de volgende beschouwingen.

NATUURK. VER1T. DKR KON1NKL, AKADEMIB. DEET, XVITT.

?7

s_tx. Ü' -