ÎTS»- A quot; »

l'

■ -vÊfetf^SiWilli

.........

-■•■'.i-1nbsp;A-••■id.'.-. ■ •; ^•gt; ^

W-

' ''v'ti---'

4

im
«

OVER REEKSEN VAN DEN VORM V ^

Wz-a^

OVER REEKSEN VAN
DEN VORM L

z-a.

PROEFSCHRIFT
TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN
DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT. OP GE-
ZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS DR. C. W.
VOLLGRAFF, HOOGLEERAAR IN DE FACUL-
TEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEERTE,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT, TEGEN DE BEDENKINGEN
DER FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 4 MEI 1936
DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

DOOR

MELS VAN VLAARDINGEN

GEBOREN TE UTRECHT

BIBLIOTHEEK DER
RlJK'i^Ur^lVEr^SiTEIT
UTRECHT.

J'J.i i*

De samensteller van dit proefschrift werd geboren te Utrecht,
bezocht aldaar het Sted. Gymnasium en de Rijksuniversiteit
en is sedert 1927 verbonden als Leeraar in de wiskunde aan
het Rott. Lyceum te Rotterdam.

mM

iSsgï«

INLEIDING

» ^ A

Reeksen van den vorm ^-^^— kunnen o.a. gebruikt wor-

den, wanneer men functies wil construeeren, die niet in den
zin van Weierstrasz over een contour voortzetbaar zijn.

De eerste, die een eenvoudig voorbeeld gaf was T. J. Stiel-
tjes [II].

Tegelijkertijd ongeveer volgden eenige meer algemeene be-
schouwingen van E. Goursat [III] en H. Poincaré [I].

Zij namen reeksen —, waarbij als eenige eisch werd ge-
^ Z —«m

steld: SjA^I convergent. Van de punten ocm (door Poincaré
„pôles apparentsquot; genaamd) veronderstelden zij, dat deze overal
dicht lagen op een gesloten contour, die zóó was, dat tot het
binnengebied minstens een hoek met a^ als hoekpunt behoorde.
In dit geval gelukte het de niet voortzetbaarheid te bewijzen.

Verder kwam men voorloopig niet. Zelfs een eenvoudige uit-
breiding op een contour, die in een punt a.^, een keerpunt heeft
met naar binnen gerichte raaklijn ontsnapte aan de methode
Goursat.

Als eerst volgende belangrijke publicatie valt te noemen
een stuk van A. Pringsheim [IV].

Het was hem er meer om te doen eenige feiten uit de theorie
van de reeks van Taylor voor reëele functies te verduidelijken.
Verder komen hierin voor het eerst voor beschouwingen over
het geval, dat de punten «m niet zelf op de grens van het gebied
liggen, maar zich naar de grens toe verdichten.

Ook door E. Borel [V] werden eenige beschouwingen hieraan
gewijd. Door hem werden eenige belangrijke resultaten afge-
leid, al moest hij ook door invoering van een nieuwe veronder-
stelling aangaande de reeks der „residuënquot; nl. „2i^|An| con-

vergentquot;, iets van de algemeenheid opofferen. Hij bewijst dan
b.v. dat er punten zijn zoodanig, dat onze reeks op bijna elke
rechte door dat punt absoluut en uniform convergeert en ook
dat er cirkelbogen zijn met de genoemde eigenschap.

Men ziet, dat hier reeds het maatbegrip een rol gaat spelen.
Inderdaad blijkt de verdere ontwikkeling der theorie geheel
beheerscht te worden door de maattheorie en de daarop geba-
seerde integraal van Lebesgue.

Het duurt dan tot 1921 voordat er voortgang komt. Door
J. Wolff [VI 1 en 2] werden in dat jaar twee stukjes gepubli-
ceerd, die een geheel andere wending aan de zaak gaven.

Zij' nl. E de verzameling der en hun verdichtingspunten.
Het complement van E (wanneer dit complement tenminste
bestaat) vormt één of meer continua. Zij F één daarvan. De
som der reeks convergeert uniform op elk gesloten gebied
binnen F. Zij F de grens van F. Ieder punt van F is dan, of een
punt of verdichtingspunt daarvan.

Zij f(z) de som der reeks binnen F. f (z) is holomorph bmnen F.
Men kan zich nu de vraag stellen: kan f(z) binnen F samen-
vallen met een functie cp(z) die holomorph is binnen een gebied.

dat F en F bevat?nbsp;, • u .

Men zou meenen van niet. J. Wolff bewees van wel; m het

algemeen zijn dus de schijnbare polen verschillend van de singu-
lariteiten der analytische functie, die binnen F met f (z) samenvalt.

De volgende twee belangrijke publicaties zijn van A. Den-
joy [VII en VIII]. In de le daarvan behandelt hij de theorie
van Wolff wat meer numeriek en levert verder eenige algemeene
steUingen, waarvan de volgende van groot belang is.

„Zij S I I convergent. De verzameling der punten, waar

V ^^ niet absoluut convergeert, is tweedimensionaal van de
w z —

maat nul. Verder is de functie F(z), die gelijk is aan de som der
reeks Vnbsp;in de punten, waar die reeks convergeert

^IZ —«ml

en O elders, sommeerbaar op elk eindig gebied.

Zijn tweede stuk bevat eenige zeer algemeene stellingen en
lost de vraagstukken in vollen omvang op.

Hij neemt het geval van een punt a, dat zelf schijnbare pool
is en gelegen is op den rand van een gebied behoorende tot de
complementaire verzamehng der a^'s en hun verdichtings-
punten.

Hij bewijst nu de volgende twee algemeene stellingen:

I) Wanneer y een cirkel is met middelpunt a, (ßa) een een-
voudige Jordanboog gelegen binnen y en in een gebied, dat geen
der a„,'s bevat, dan is het onmogelijk dat:

z — anbsp;z —

z op (ßa) en f(z) holomorph binnen y.

Het 2e theorema luidt:

„Het is onmogelijk, dat de volgende 3 dingen gelijktijdig
vervuld zijn:

le) y is een cirkel met middelpunt a, (ß„a„) een Jordanboog
van eindige lengte binnen y gelegen, ß„ ligt op y en a„ a als
n GO. Geen der a^'s ligt op de segmenten (ß„a„).

oo

2e) y^nbsp;— convergeert uniform op (ß„a„) en

^ |z —«ml

z — a ^ z — a.^nbsp;z — a

geldt in elk punt van (ß^a^).

3e) co„, onafhankelijk van z, nadert niet tot 1 als n ^ oo;
k„(z) is holomorph binnen y en daar begrensd onafhankelijk
van z en n.

We merken reeds hier op, dat het bewijs van Denjoy (wan-
neer men tenminste de aanvankelijk door hem gebruikte bij-
conditie: „S|A„| log |A„| convergentquot; laat vaUen) moeüijk
is, daar er zeer ingewikkelde en omslachtige beschouwingen uit
de analysis situs voor noodig zijn.

Dit was dan ook voor J. Wolff [IX, 1, 2] aanleiding een ver-
eenvoudigd bewijs te construeeren, dat door hem werd mede-
gedeeld in twee publicaties.

Door Denjoy werden verder eenige zeer vernuftige, zij het

omslachtige voorbeelden van reeksen der besproken soort
gegeven, om eenige bijna paradoxale mogelijkheden aan te geven.
Vermelden we thans nog eenige latere pnbhcaties.
Men kan zich de volgende vraag stellen:

oo

Wanneer ^ —uniform convergeert tot 1 op een recti-
z —«m

oo

ficeerbare kromme, wat weet men dan vannbsp;| ?

1

Het antwoord [X] luidt:

oo

Dan is: ^ | A^ | ^ C. d, als d den diameter van den boog
1

voorstelt en C een universeele constante is.

Het theorema van Wollf werd daarna door Denjoy [XI] op
andere wijze bewezen.

Vermelden wij verder, dat men onze reeksen ook kan bestu-
deeren in verband met een andere vraag nl.:

Als de som van een reeks O is op een kromme y onder welke
voorwaarden aan de A^'s op te leggen, is dan de som bijna
overal nul?

Hierop is een antwoord gegeven door T. Carleman [XII].
Hij vond als voorwaarde:

Maar men kan bewijzen:

oo

A

Als 7™-^^— bijna overal uniform begrensd is, dan is

A„ = 0 m= 1, 2, ....

Dus is in 't geval Carleman elk der residuen 0.
Hiermee eindigen we deze inleiding om in de volgende hoofd-
stukken de verschillende phasen te bespreken.

HOOFDSTUK I
§ 1. Het eerste eenvoudige voorbeeld van een reeks van

oo

den vorm /m-^ is afkomstig van T. J. Stieltjes [II].

Zij op den eenheidscirkel C gegeven de volgende puntverzame-
ling: aj == 1, aj = — 1. Kies ag en a^ zoo, dat deze punten met
ai en a^ de hoekpunten van een regelmatigen 4-hoek vormen.
Dan as, ag, a,, ag zoo, dat er met de vorige mee een regelmatige
8-hoek ontstaat. Algemeen als k = moet men a^,,.!,
.... ajk zoo nemen, dat er met de reeds gekozen punten mee
een regelmatige 2°-hoek ontstaat.

Er onstaat zoo een puntverzameling a^, a^, ----, die overal

dicht op den cirkel ligt.
Vorm thans de reeks:

= f(z).

a„ —z
z

Wanneer | z | lt; p lt; 1 dan is

1-p

a„ —z

De reeks der absolute waarden wordt dus gemajoreerd door

oo

—-— iL — • Binnen en op O p (p lt; 1) is de reeks dus absoluut
1 — p ^ n»

en uniform convergent en daar de termen der reeks holomorphe
functies zijn binnen C, is de som der reeks ook een functie
holomorph binnen C.

Gemakkelijk ziet men in, dat men alle termen voor | z | lt; 1
in machtreeksen kan ontwikkelen en dat men schrijven mag:

z z2
- -2- ....
Va« aj

Wegens de absolute convergentie der dubbelreeks, mag men
rangschikken volgens machten van z.

oo

Dus is f(z) = ^ c^zquot;. De convergentiestraal dezer macht-
1

reeks is 1.

Is deze functie nu voortzetbaar over C?
Om dit na te gaan laten we z radiaal naderen tot a^.
Stel dus z = ai,.t, O lt;t lt; 1.
Dan is blijkbaar:

oo

1nbsp;au . t

We schrijven dit als volgt:

waarm:

k-l

1 a^ . t

CO

1 a. . t

In het interval O ^ t ^ 1 is blijkbaar fi(t) continu, daar de

punten a^, ____ ak_i allen op een afstand van a^ . t verwijderd

zijn, die een positieve constante overtreft.
Maar nu f2(t). Uit onderstaande fig. volgt:

1 4. t2 — 2t^ 9 = (1 t)2 sin2 i lt;p (1 — t)2 cos2 i 9
^ 4t2 . sin^ i cp = P^P^
dus:

Vl t^ — 2t cos 9 2 sin ^ 9

m.a.w.

I a^.t

-a,.t

In de reeks f2(t) is de index n grooter dan k.
Maar dan is duidelijk, dat:

TZnbsp;,nbsp;TC

I a^ — a^ I gt; 2 . sin — of daar, 2 sm x gt; x als x lt; -

7t

is tenslotte: | a„ — aj gt; — voor n gt; k.
Dus geldt voor n gt; k, O t ^ l:

a^.t

a„ — a^ . t

m.a.w.

^^ n3'a„-a,.t

k l

is absoluut en uniform convergent voor O lt; t lt; 1.

Als dus t -gt; 1 dan naderen fi(t) en f2(t) tot eindige waar-
den A en B.
Dus:

= A -i- B = eindig.

Wanneer dus z radiaal nadert tot a^, dan nadert het reëele
deel van f(z) tot oo. Dus is f(z) niet over aj. heen voortzetbaar.
Daar de punten a^ overal dicht liggen op C, is C dus een coupure
in den zin van Weierstrasz.

§ 2. In hetzelfde deel bespreekt E. Goursat [III] een uit-
breiding die al vroeger door H. Poincaré [I] beschouwd werd.

-«m
oo

waarbij alleen verondersteld werd, dat ^ | | convergeert.

Wanneer we nu eens een gebied beschouwen, waarin geen
punten of verdichtingspunten daarvan gelegen zijn, dan
zien we gemakkelijk in, dat de reeks in dat gebied convergeert
en dat de som een in dat gebied holomorphe functie is. Wan-
neer we nl. een O teekenen in dat gebied waarvan de omtrek
een positieven afstand S heeft tot den rand van het gebied dan
wordt binnen en op dien O de reeks gemajoreerd door

IEiaj

Nu is de bewering, dat wanneer er een O is, die door één
der punten a^ gaat en verder in het inwendige geen dier punten
bevat, de functie, die gelijk is aan de som der reeks binnen den
O, niet over heen voortzetbaar is, wanneer z tot a„ nadert
binnen den Q.

We zullen het bewijs voor een iets algemeener geval leveren.

Stel, dat er een cirkelsector is met top in a^, waarvan het
binnengebied vrij is van punten a^^.

Laat z nu binnen den sector naderen tot a^.

Nu is:

z —ai —z —a„ -^jZ —

Hierin is p zoo gekozen, dat

oo

^ I I lt; i I Al I sin 9

p i

wat wegens de absolute convergentie van 2 A^ mogelijk is.

Nu is verder:
p

= Constante bij vaste p

waarin d = min {| a^ — a^ ----| ai — Op} 4= 0.

Verder is voor z op de halfrechte:

A,

en dit nadert tot oo voor z-» aj, langs de halfrechte. Liggen
dus de oc^'s overal dicht op een gesloten contour, die zoodanig
is, dat van elk punt a^ een sector van de besproken soort door-

dringt in het binnengebied, dan is die kromme blijkbaar een
coupure voor f(z).

§ 3. Men zou nu nog een stap verder willen gaan en een
contour willen nemen, die in a^ een keerpunt heeft met naar
binnen gerichte raaklijn. De methode laat ons dan echter in
den steek.

Het is eerst vele jaren later [VHI] mogen gelukken het pro-
bleem in volle algemeenheid op te lossen. Het blijkt nl. niet
mogelijk verder te komen zonder gebruik te maken van de
integralen van I^ebesgue en eenige door Denjoy ingevoerde
metrische begrippen.

§ 4. De bemoeiingen van Pringsheim [IV] met deze materie
hadden ten doel eenige feiten te verduidelijken, die zich voor-
doen in de theorie van de reeks van Taylor voor reëele functies.
Het kan nl. voorkomen, dat in een punt een functie en al haar
afgeleiden bestaan, terwijl de reeks van Taylor voor dat punt
een convergentiestraal O heeft of wel convergeert maar de
functie niet voorstelt.

oo

V- 1nbsp;1

Hij beschouwt daartoe de reeks —. . , „ ^ waarm

^^ m! 1 -f- a . X

a gt; 1 is.

Onze punten (die we in het vervolg met Poincaré schijn-
bare polen zullen noemen), zijn blijkbaar de punten: — a»,

-_a-i,.....Zij liggen allen op het interval (— 1,0) en hebben

O tot verdichtingspunt. Voor x = O convergeert de reeks echter
ook.

De reeks convergeert uniform in elk gesloten gebied, dat
geen der punten O, — a», — a-\ .... bevat. In zoo'n gebied
is de reeks term voor term differentiëerbaar.

oo

f(o)(x) = (_l)».n!£

m! ■ (1-f a°'.x)° iquot;
Al deze reeksen convergeeren voor x = O,

Men heeft blijkbaar:

f(o) = O
fW(o) = (_ l)V n!

Maar men overtuigt er zich gemakkelijk van, dat de reeks

f(m)/Q\

xquot; divergeert voor alle pos. waarden van x.

m!

O

De verklaring is nu gemakkelijk door middel van het voor-
gaande te geven.

Stel nl. eens dat die reeks een convergentiecirkel T had met
positieven straal. Binnen T liggen op de neg. reëele as oo veel
punten —a-°. Neem er een b.v. —a-''.

Trek in dat punt een loodlijn op de reëele as. Neem een punt
Zo op die loodlijn. De TaylorontwikkeHng behoorende bij Zo
heeft dan eenerzijds een convergentiestraal die minstens gelijk
is aan den afstand van z^ tot den omtrek van T en anderzijds
volgens onze algemeene beschouwingen gelijk is aan | Zq—(— a- i.
Men kan nu z^ zoo dicht bij — a-quot; kiezen, dat de eerste af-
stand grooter is dan de 2e, waarmee tegenspraak bereikt is.

Door een kleine verandering krijgen we nog een merkwaardig
geval, dat op analoge wijze tot klaarheid gebracht kan worden.

Zij nl. nl:

m! l a-^.x

Wat de convergentie betreft gelden dezelfde opmerkingen.
Maar nu is:

f(o) = '

e

\e

n!

Het verschil is thans, dat

fquot;quot;(o)

x'' = 9(x).
n!

steeds convergeert, maar niet met f(x) kan overeenstemmen.

Het bewijs is als voren.

§ 5. In het verdere deel van zijn verhandeling beschouwt
Pringsheim voor het eerst het geval, dat geen der schijnbare
polen op den eenheids O hgt, maar wel zich van buiten af
naar den rand des cirkels verdichten. Binnen den O convergeert
weer de reeks en de som is daar een hol. functie, die volgens
Pringsheim den O tot coupure heeft. Zijn redeneering is niet
juist, zooals door E. Borel (Ann. de l'éc. norm. sup. 1895) uit-
voerig betoogd wordt, daar hij uit het feit, dat de som der
reeks in een punt buiten den O, niet naar binnen voortzetbaar
is, concludeert dat nu ook de functie in het binnengebied niet
naar buiten voortzetbaar is. Het zal later blijken dat dit zelfs
in het algemeen niet waar is.

Een eenvoudig voorbeeld, waarin Pringsheim wel gelijk
heeft volgt thans.

§ 6. Neem weer op den eenheids O C een overal dichte punt-
verzameling {aj b.v. die uit het voorbeeld van Stieltjes. Plaats
nu de schijnbare polen op de normalen door de punten a„.

Neem b.v. op (Oaj) = (01) buiten C de punten a^, a^, ----

die 1 tot limiet hebben. De verzamehng a's op (Oa„) wordt
dan ingesneden door concentrische cirkels te trekken. Op (Oa^)

hgt dan dus de verzamehng a^^, k = 1, 2, ---- en tevens is

I «nk I = I «Ik 1 en arg = arg a„. Nu gaan we de residuën
vaststellen.

Geef twee convergente reeksen van positieve termen

We kiezen het residu behoorende hij a^^ gelijk aan: A^^ = ■ Uk-
Beschouw de reeks:

oo oo

Binnen C stelt de som weer een hol. functie voor. We zullen
aantoonen, dat C een coupure is.

Het is voldoende aan te toonen, dat de functie niet over
z = 1 heen voortzetbaar is.

We nemen daartoe een punt a, O lt; a lt; 1 en zullen bewijzen,
dat de Taylorontwikkeling behoorende bij het punt oc een con-
vergentiestraal heeft, die gelijk is aan 1 —a.

We schrijven nu net als in het geval Poincaré-Goursat

oonbsp;pnbsp;OOnbsp;OOnbsp;OO

^ «Ik —Z , ^ a —z ^ ^ a-,. —Z

oo

A

Wanneer we V -^^— naar machten van (z — a) ontwik-

^ «Ik —z

kelen, dan gaat de convergentie O door a^.

De convergentiecirkels van de volgende p — 1 ontwikke-

hngen gaan door aj, ag, ----- ap en bevatten allen a^. Dit zal

blijken geen bezwaar te zijn. Vorm nu werkelijk de machtreeks-
ontwikkeling voor het 3e stuk.
De coëff. van (z — a)quot; wordt:

oo oo

s s__^

Nu is uit de constructie duidelijk dat:

I «uk — a I gt; I «Ik — « I

dus:

A„k

(«Ik — «)

dus:

nk

ar 1

Maar men heeft weer: A

^ K^ = Uk ^ A„1 •

p 1

Geef nu s gt; O en bepaal dan p zoodanig, dat

ioo

^ lt; £ . Aii

p 1

Dan is dus totaal:

v:nbsp;AiiUi.

°°nbsp;A

yi_^

■ ^nbsp;— al

Nu bestond f{z) uit 3 gedeelten. Noem het le gedeelte fi(z)
en het 3e gedeelte fp(z) en stel even: g(z) = fi(z) fp(z).
Laat hun Taylorontwikkelingen zijn:

S P:n(z - 2 q„(z - a)-quot;, S rjz - a)quot;*.
Dan is dus:

Pm == Tm-

Maar we toonden aan dat: r„ = 0 . e • Qm waarin | 0 | lt; 1 of:
Pm = qmO 0^)-

Dus:

__ _ _ ^_ 1

lirnv^lPml =lim^|q„| = JIT^ quot;

De convergentiestraal is dus in totaal (1 — a) daar de con-
vergentiestralen van de p - 1 overige reeksen met m staat
zijn de andere te vergrooten.

§ 7 Men zou nu denken dat f(z) nooit voortzetbaar is over
de contour, waar tegen de a's zich verdichten zonder er zelf

op te liggen.nbsp;^

Aan dit denkbeeld is een einde gemaakt door J. Woltt [Vl.
1, 2] wiens constructies we in het volgende hoofdstuk zullen

bespreken.

HOOFDSTUK II

§ 1. Gaan we over tot de constructie van reeksen ^ ^_^

waarvan de som voortzetbaar is binnen gebieden, waarin de
a's liggen, terwijl toch S | A^ | convergeert.
Beginnen we met een voorbeeld [VI, 1].
Vooraf brengen we eerst eenige stellingen in herinnering,
r. Zij D een cirkel met middelpunt a en straal R. Dan is:

dx dynbsp;7ïR2

z — x — ly z — a

d

71 |z —aP

als I z — a I lt; R.

|z-a|

2°. Volgens de overdekkingsstelling van Vitah is het moge-
lijk door middel van aftelbaar oneindig veel twee aan twee
buiten elkaar gelegen cirkels Yk. die alle binnen D gelegen zijn
een deel van D te overdekken, waarvan de maat gelijk is aan

§ 2. Laat nu C een cirkel zijn met middelpunt O en straal R.
Overdek een deel van C op de onder 2°. aangegeven wijze met
cirkels y^. De middelpunten dier cirkels noemen we a^ en hunne
oppervlakken A^,. Dan is S A^ = itR^.

°° A

Stel voor | z | gt; R, f(z) = Tk-

* z — a^

Volgens de stelling genoemd onder 1°. is:

A, _ rr dx dy

z —a^ JJ z —X —iy
Yk

dus:

ly z

Yknbsp;c

De a^'s hebben elk punt van den omtrek van C tot verdich-
tingspunt, alsmede elk punt van de omtrekken der cirkels y^.
Toch is f(z) over elk dier punten heen voortzetbaar behalve
over het punt O.

§ 3. Men kan meer algemeen de volgende stelling aantoonen
[VI, 2],

Iedere functie, holomorph in een begrensd gebied D, is in
ieder gebied Dj, dat met zijn grens hgt binnen D, voor te stel-

A

len door een reeks -— , a^ binnen D en S lA^I convergentquot;.

ió«- Z-«Ij

Bewijs: Er bestaat een gebied A, dat Dj bevat, waarvan de
grens bestaat uit een eindig aantal polygonen P, welk gebied
A met grens en al binnen D is gelegen. Zij S de afstand van P
tot de grens van D.

Met ieder geheel getal n laten we polygonen P^ evenwijdig

S

aan P correspondeeren; P„ buiten A en op afstand — van P.
P„ omsluit een gebied A„, waarvan A een deel is. Ook is:

Zij thans f(z) een functie holomorph binnen D en |f(z)| lt;M
op Pq. M is onafhankelijk van n.

Zij L = hm der lengten van P„. L is ook onafh. van n. Ligt
nu z binnen A^, dan is:

,, , I /■ f(t) dt
f (z) =:

27Ti J t — z
Pi

De methode volgende, die leidt tot het theorema van Runge,
kunnen we schrijven voor z binnen Aj:

27ti. f (z) = Vnbsp; 2ni fi (z)

ajj — z

De a^ zijn punten, eindig in aantal en gelegen op Pj, terwijl

Ak = f («k) • («k i — lt;*k)

M

fi(z) is holomorph binnen Ag en daar absoluut lt; — terwijl:

S |Ak| ^ M.L.
Op dezelfde wijze hebben we voor z binnen A3:

27ri fi(z) = ynbsp; U{z)

«k — z

waarbij de nieuwe in eindig aantal zijn en liggen op Pg,

M

f2(z) is hol. binnen A3 en daar absoluut lt; —.

ML

De som der absolute waarden der nieuwe residuen is — .

2

Zoo kunnen we doorgaan. Algemeen vinden we voor z binnen

27ri f(z) = Y-^ 27ri f„(z)
•^quot;«k — z

De a^ zijn eindig in aantal en liggen op Pi, Pj, ---- Pq.

M

f„(z) is hol. binnen en daar absoluut lt; —, terwijl S |A^|

^ ML

2°-

Daar Dj ligt binnen elke A^ hebben we binnen D^ uniform:

«k — z

waarbij de a^ een geïsoleerde verzameling vormen. Iedere P„
bevat een eindig aantal ervan, terwijl de a's elk punt van P
tot verdichtingspunt hebben.

Opm.: door een ietwat fijnere schatting kan men een voor-
stelling krijgen, waarbij voor de residuen geldt: S lA^I (1 -j- s)
ML, e gt; O willekeurig.

§ 4. De voorgaande constructie is om te werken tot eene, die

2

ons een inzicht geeft in de orde van grootte van lA^l [VII].

Zij b.v. gegeven een enkelvoudig samenhangend, begrensd
gebied D, waarvan de grens gevormd wordt door een kromme C
met de eigenschap, dat in elk punt van C de kromtestraal grooter
is dan een vast bedrag R. Zij d lt; R en stel d = d^ d^ • • • •.

waarbij d„ als volgt gekozen wordt. Zij u„ = ^ ^^gi a^' ^

n = 2, ....

en

oo

S =

2

dan is:

dn = - • Ua 1

We brengen nu aan een verzameling parallelkrommen van
C nl. Cl, Ca.....die aUen C omsluiten.

Cl op afstand d van C

Cü „ „ d — dl van C

C3 ,. „ d —dl —da van C enz.

Zij L de lengte van C. Door d klein genoeg te nemen kan men

bereiken, dat de lengten van Ci, C^, ---- alle lt; 2L zijn.

Op Cp plaatsen we np punten a^ , b^ zoodanig dat de lengte
van boog a^, die twee opeenvolgende punten verbindt kleiner
L

is dan —.
Up

De punten a^ zullen de schijnbare polen worden. Hunne
keuze is onafh. van de gegeven functie f{z) die hol. is binnen
en op Cl.

De residuën worden als volgt bepaald:

ƒ ^^

nP
an,

De integratie geschiedt langs Cp.

Laat nu z liggen binnen Cg. Dan is:

bL

1 f f(t) dt 1 /■ f(t) dt

al

Stel:

bL

=nbsp;J (ai.-z) (t-

ai

Zij M het max. van |f(z)| op Q en M^ dat van |fi(z)| op C^.
Zij de afstand van z (binnen C^) tot boog a^hl,. Dan is
blijkbaar:

1 ^ oï M L CTi

Nu is het duidelijk dat ^ ^ aequivalent is met waarin

quot;nbsp;c,

r de afstand voorstelt van een punt z binnen C^ tot een punt
op Q.

Dank zij de veronderstelling over de kromtestraal leert een
eenvoudige schatting, dat men voor deze integraal mag schrijven:

/I ^

O

Evenzoo is: / — = o( — V r is hierin de afstand van een

J \dp/

Cp

punt z binnen Cp i tot een punt van Cp. Al deze integralen en

K

constante die voor alle krommen gebruikt mag worden.

Dit opgemerkt zijnde, vinden we ten slotte:

M L.K MKi
Ml lt; — . — = —r-
2n nidi nidi

Zoo kan men doorgaan. Voor z binnen Cp j geldt:

AP

mnbsp;™

en dus:

K

■p i ^ ^^^p • --^

quot;p i • S i

eKi

Nu kiezen we voor n :

dp

Doen we dit, dan volgt daaruit direct:
Mp i lt; M e-P.

De reeks V ^^ i V —^ .... convergeert dus
tot f(z) voor z binnen of op C.

§ 5. |A^| is nu gemakkelijk te schatten.
Stel ni na .... np = mp.

Wanneer A„ behoort bij een pool gelegen op Cp, dan ligt het
rangnummer m blijkbaar in tusschen mp en mp_i. Nu is:

esKi

quot; d

2

Het is op eenvoudige wijze in te zien, dat die som gelijk is aan:

^ ^ • , s gt; O en -^0 als p -gt;• oo.
(2 s) Up^,'

Dus is:

esKi p 1

(2 e)d Up i •

Daar blijkbaar —-gt;-1 als p-^ oo mogen we schrijven:
mp

esKi p 1nbsp;^ ,

m =--— • ^-, e, ^ O als p -gt; oo.

(2 Od Up i

Rekening houdende met de waarde van Up_^i volgt uit laatst
genoemde formule:

pa == m^quot;quot;quot;®™, Snj O als m -gt; 0.

en dus:

/log mY « _ / 2 Y «
Vlogp/ \l sj

p2 = pUp . ^ - mu„ (2^ « 4- O . K,. m

of:

p = mVu». Ks
waarin K, en K3 numerieke constanten zijn.
Maar daaruit volgt nu direct:

lt; Mp.cTp lt; M (Tp.e-P

en dus is voldaan aan:

|A„| lt; e S gt; 0.

§ 6. Stellen we nu f(z) voor door een analoge reeks, waarbij
alleen andere polen en residuën gebruikt worden, dan zal het
verschil dier twee reeksen = O zijn binnen C zonder dat alle
A's O zijn.

We zullen later zien, dat als

i e

|A„| lt; e-»

dit onmogelijk zou zijn.

HOOFDSTUK IH

§ 1. Gaan wij thans over tot het bewijs der in de Inleiding
genoemde algemeene stellingen [VIII].

Eerst zullen we echter eenige algemeene stellingen bewijzen
waarvan in het vervolg vaak gebruik zal worden gemaakt.
Bij het bewijs hiervan zullen we gebruik maken van de volgende
hulpstelling uit de theorie der sommeerbare functies [XIII]:
„Is fi(P), f2(P),____een monotoon stijgende rij van niet nega-
tieve functies, die op een verzameling E sommeerbaar zijn, dan
is de grensfunctie f(P) dan en alleen dan sommeerbaar op E
als ƒbegrensd is en dan is steeds: ƒ/ = hm

Enbsp;E m^oo E

Zij thans F een willekeurige O met straal R. Beschouw

^^^^ onverschillig of a„ binnen dan wel buiten F ligt.
Z —«nl

Voer nu poolcoördinaten in ten opzichte van Men ziet dan
gemakkelijk in, dat steeds:

z —«nl JJ r

Zij thans

Volgens de hulpstelling is dus F(z) = lim F„(z) sommeer-

n—»-oo

baar over T. Maar dat wil weer zeggen, dat de verzameling der
punten waar F(z) = oo tweedimensionaal van den maat O
is. Op de overblijvende volle maat is dus F(z) eindig. Maar dat

op volle maat van T convergeert.

wil zeggen dat^™

z —a„

1

Hiermede is dus de volgende gewichtige stelling afgeleid [VII]:

oo

convergeert bijna overal in het com-

X

plexe vlak en de functie F(z) die gelijk is aan de som der reeks
in de convergentiepunten en O elders is sommeerbaar over
elk begrensd gebied. Hetzelfde geldt a fortiori voor de reeks

OO

-5L_ en voor de daarmede overeenkomende functie f(z).

§ 2. Brengen we in 't kort nog even de volgende zaken in
herinnering:

r. De verzamehng der punten behoorende tot oo veel meet-
bare verzamelingen Ej, Eg,----met S |i. E„ lt; oo is van den

maat 0.

Immers zij E die verzameling en Ep = Ep j Ep j ----

dan is: E = Eq. E^. E^ .... daar Ep i lt; Ep is fxE = lim Ep = O,

p-^oo

wegens de conv. der reeks S [xE„.

2°. Als f(t) monotoon daalt op (ab) en E is een verzameling

met maat (j, op (ab) gelegen, dan is:
b

ƒ f(t) dt ^ ƒ f(t) dt. Het eenvoudige bewijs laten wij achterwege.

Enbsp;b —(i

§ 3. Gaan wij thans over tot de genoemde stellingen van
Denjoy. We zullen eerst geven een bewijs van Denjoy, waarbij
als extraconditie geëischt wordt: S | A^^ | log | A^^ | convergent.

Wij geven dit bewijs om te laten zien op hoe vernuftige wijze
de oorspronkelijke methode van Borel, die hierin bestond, dat
men bepaalde intervallen met de punten a^^ als middelpunt
uitsloot, door Denjoy vervolmaakt is.

Merken we verder even op, dat men mag veronderstellen

oo

^ I A^ I lt; I en I a — a^ I lt; i
1

§ 4. le Stelling:

Als z — a = requot;P, r gt; O en | «„j — a | = r^j lt; ^ dan con-

oo ^

vergeert de reeks ^^ --—- op volle dikte.

1 I 'quot;ml

Bewijs: Beschouw het lijnsegment O lt; r lt; oo. Omgeef de
punten r„ door de intervallennbsp;— I |, r^ | AJ |.

Zij l een positief getal. Zij l^ wat er van het interval (O, l) over-
blijft als men er de doorsnede van (O, l) en uithcht. Dan is
blijkbaar:

rm—|Am|nbsp;'

J Ir —J —r J r —

lmnbsp;Onbsp;rm I Am 1

Zij Ep de verzameling, die er overblijft van (O, l) als men er
alle punten uithaalt, die behooren tot minstens één der inter-

oonbsp;°o

vallen Ip^^, Ip g,.....Daar ^ (x = 2 ^ | A,^, j lt;1, kan

1 1

oo

men p zóó groot kiezen, dat ^ [x lt; ^ • Ep bestaat dan wer-

p i

kelijk op (O, /).

Nu is weer voor m gt; p:

Epnbsp;Ira

Wegens de convergentie van 2 | A^, | en S | | log | A^, | volgt

I A I

nu dus, dat de reeks ^ ---—- op Ep slechts divergeert op

I ^ ^m I

een verzameling Hp met ji. Hp = 0.

Volgens een reeds gemaakte opmerking heeft de verzameling
der punten, die tot oneindig veel intervallen behooren op
(O, l) de maat 0.

Noem die verzameling K. Ieder punt van (O, l) dat niet tot
K behoort, behoort tot een eindig aantal I^ en dus tot een Ep.
Zij thans: M = K Hi .....Dan is (x M = 0.

oo

- ^nbsp;I ^ I

In ieder punt van (O, — M convergeert ^nbsp;—

j I ^m I

Immers als r niet behoort tot M, behoort r niet tot K en
dus tot een Ep. Dus b.v. tot Eg en dus niet tot H, (want anders
behoorde r tot M). En in zoo'n punt convergeert de reeks.

2e Stelling'.nbsp;^

Zij in een convergentiepunt r gt; 0: h(r) = V ' quot; , en

j i ^ '^m I

h(r) = O als r een divergentiepunt is. Zij r. h(r) = g(r) en
g(o) = O, dan is g(r) approximatief continu rechts van o.

Bewijs: Als we dus getal e gt; O geven, dan moet worden
aangetoond, dat de verzameling der getallen r, waarvoor
g(r) lt; e de rechterdikte 1 heeft in O of wel een dikte gt; 1 — s
op (O, p) als p klein genoeg is; dit laatste zal weer het geval zijn
als de dikte op (p, 2p) tot 1 nadert als p -gt; o.

Ontken thans de stelling d.w.z. er is een „uitzonderings-squot;
genaamd vj en een uitzonderingssuite p'-gt; o zoodanig dat de
verzameling der getallen waarvoor geldt:

g(r) gt;7] en p' lt; r lt; 2p'

een maat heeft gt; 7;p'. Noem die verzameling H(p')-
Hiervan moeten we de onmogelijkheid aantoonen.
Leg om r„ een interval JJr^ —r„|A„|, r„ |A„|).
Daar | A^ | lt; ^ is blijkbaar gelegen binnen het interval

™ 3r„\

V 2 ' 2 )

Beschouw die waarden van m waarvoor minstens een
punt gemeen heeft met (p', 2p').

Voor die waarden van m geldt blijkbaar:
f p lt; r„ lt; 4p.

De reeks 2 r^, | A^, | waarbij gesommeerd wordt over de ge-

oo

noemde indices heeft een som lt; 4p 2 | A^ |, als N 1 de

N l

kleinste index is van de bedoelde soort.
Als p O dan N 1 ^ oo.

oo

Men kan dus p zoo klein kiezen, dat S | A„ | lt; De ver-

N l

zameling K der punten, die buiten alle J^ liggen bestaat dan op

oo

(p, 2p). De dikte van K op (p, 2p) is gt; 1—8 S | en nadert

N l

dus tot 1 als p 0.

Noem 1 —S die dikte van K op (p, 2p). Zij K(p) het deel van
K op (p, 2p), dan is:

(xK(p)gt; (l-S)p

Kies nu po zoo dat voor p lt; po geldt: S lt; t] .
Zij: I(p') = H(p') X K(p'). Dan is klaarblijkelijk:

(xl(p')gt; (tj-S') p' als p' lt;po.

Beschouw thans;

J = ƒ h(r) dr

Kp')

J gt; f — dr en dus, daar — monotoon daalt:

J rnbsp;r

Kp')

2p'

/quot; dr ,nbsp;2

(2—l) S')p'

2

Maar het rechteriid nadert tot y] log -= l-r' als p' -gt;■ 0.

2 —Y)

Zij Pi zoodanig dat voor p' lt; pi

Jgt; V

Nu gaan we een schatting in omgekeerden zin maken.

pnbsp;oo

J ^ |r —J |r —r„|

Kp')nbsp;dp') ^

p zal nader worden bepaald. Kies p^ klein genoeg dat op
(O, 4p2) geldt:

^ |r —

Het interval (O, épj) mag dus geen enkele r^, met index ^ p
bevatten.

Verder is blijkbaar:

Zij thans p^ wat er overschiet van (p', 2p') als men er de
punten die J^, met (p', 2p') gemeen heeft aftrekt.
Dan is:

.'^Jgt; l P 1nbsp;y Inbsp;quot;I

K{p')P l P 1 p„

Nu leert een elementaire berekening, dat:

-^-

Pm

Maar klaarblijkelijk convergeert S | | e^i en dus kan men
p zoo kiezen, dat:

K(p')P l ^

En dus is:

Jlt;2kp' |-.

en dit is lt; ■»)' voor p' lt; po, pg en p, = — en daarmee zijn we

4k

dus in tegenspraak met J gt; r/ voor p' lt; pj.

Uit deze twee stellingen volgt nu:

co

A

Als f(z) = /m -5— in de convergentiepunten der reeks,

z —«m

dan bestaat (z — a) . f (z) en nadert tot O als z a op een
verzameling E, die in a de circulaire dikte 1 heeft.

Deze stelling heeft direct beide theorema's van Denjoy ten
gevolge.

§ 5. Wanneer men de bijconditie laat vallen, dan lukt het
bewijs van de hulpstelling niet meer.

Denjoy gaat dan als volgt te werk: de onmogelijkheid van
de identiteit:

oo

z — anbsp;z —a^

moet worden aangetoond langs de boog pa.

Daartoe integreert hij beide leden van p tot z langs de deel-
boog pz van pa.nbsp;„o

Er treedt dan op een reeks: ^ log | z — =

1nbsp;I ^^ I

Van deze reeks kan men op analoge wijze als voor \ ---

I ^ '^m I

is geschied, aantoonen dat:

bestaat en tot O nadert met z-^ a:

log I z — a

1 op een verzameling E, die in a de circulaire dikte 1 heeft
en 2°. op volle radiale maat met top a.
Dit gedeelte van het bewijs veroorzaakt geen bijzondere
moeilijkheden. Wèl echter de bij de integratie ingevoerde ter-
men : variatie van argument van z — a^, langs ßz.

Het opstellen van schattingen voor deze termen zonder iets
naders te veronderstellen omtrent ligging der «'s of het gedrag
van boog ßa bracht groote moeihjkheden met zich, die thuis
behoorden op het gebied der Analysis situs.

Door een later bewijs [IX, 1, 2] werden zij echter grooten-
deels vermeden.

§ 6 De stellingen kunnen op eenvoudiger wijze worden aange-
toond.

Zij r een continue kromme, die niet door O gaat, maar die
O wel bevat in haar limietverzameling.

Laat ieder segment Py van T rectificeerbaar zijn. Veronder-

A

stel verder, dat op T de reeks --— convergeert tot f(z)

Z — «m

en dat de reeks term voor term geïntegreerd mag worden op
ieder segment Py. Laten pquot; en p' lt; pquot; twee positieve getallen
zijn en I p I = p', I y I = pquot;; verder veronderstellen we, dat voor
ieder punt z van boog py geldt (p' | z | ^ pquot;.)

We zullen nu aantoonen, dat voor pquot; -»- O approximatief
geldt:

Y

— J ^(z) ■ dz O

d.w.z. met ieder getal s gt; O correspondeert een getal S, zoodanig,
dat als pquot; lt; S, de absolute waarde van het le lid kleiner is
dan e, behalve misschien als p' of pquot; behooren tot een verzame-
ling, waarvan de maat hoogstens s . S is.

Bewijs'. Stel weer

F(z) = g

in die punten, waar de reeks convergeert. Geef e gt; 0.

Neem een cirkel C met straal R en middelpunt O, zoodanig,
dat: S I lt;s.
|ak|lt;R

Zij p lt; J R. Dan is weer:

1 2
dxdy lt; V - —Ak

z — ajj

ƒƒ{ r

l«llt;p |akllt;R

' F(z) dxdy lt; 47iep ^ £
l'llt;p 1

waaruit volgt:

- ƒƒ F(z) dxdy O als p -gt;■ 0.

lz|lt;p

Geef nu 7) gt; O en kies po zoodanig, dat

ƒ ƒ F(z) dxdy lt; if)^ - p voor p lt; po-

|z|lt;p

Voer poolcoördinaten in:

27t pnbsp;P

(dm . fF{z). r . dr = ƒ dr . ƒ F(z). r . dep lt; yj^ . p.
0 0 0 0

Nu is ƒ F(z). r . dr een functie van cp. De verzameling £(9)

van 9-waarden, waarvoor die functie grooter is dan tq . p heeft
een maat lt; t).
Immers:

2TCnbsp;pnbsp;r r

/dlt;p./F(z).r.dr=/ / lt;7)p

0nbsp;0nbsp;E(lt;p) CE(cp)

en dus:

7].p.[xE(cp) lt;yfp of [xE(9) lt;7).

Verder is: /F(z). r . dep een functie van r.
0

De verzamehng E(r) van r-waarden lt; p, waarvoor die func-
tie grooter is dan ■/), heeft een maat lt; t) . p wat op analoge wijze

wordt aangetoond.

p ^

Als nu iF(z).r.dr eindig is, dan convergeert gt;
0

op voUe maat van het segment (O, pequot;P) en dus ook de reeks

y^nbsp;= z . f(z). Bovendien is die reeks, dan evenals de

Alt z — a^

le op dat segment term voor term te integreeren.

2n

Eveneens geldt: als ƒ F(z) . r . dtp eindig is, dan convergeert

O

A z

de reeks ——— op volle dikte van den cirkel | z | = r en
^ z — a^

is daarop termsgewijs integreerbaar.

Daar verder: 1 f(z) | F(z) hebben we tevens voor p lt;Po:

7j, waarin de integraal genomen mag wor-

den langs de straal of langs een gedeelte daarvan, met uitzon-
dering eventueel van een 9-verzameling £(9) met maat lt; tq.

7), waarin de integraal genomen mag

UI =r

worden langs een cirkel | z | = r of een gedeelte daarvan, uitge-
zonderd misschien voor een r-verzameling E(r) met maat lt; v). p.
Zij thans w een gesloten, continue, rectificeerbare contour

en zoodanig, dat op een volle dikte van co —--= z . f(z)

z — aj.

convergeert en termsgewijze integreerbaar is.

Dan is: ƒ z . f{z) . dz = 2ni S A^a^ waarin de sommatie uit-

tanbsp;co

gestrekt wordt over alle a^ binnen co.

//

Trek nu door O een halfrechte, waarvan het argument niet
behoort tot £(9) en laten p' en pquot; lt; po niet behooren tot E(r).

Stel dat de cirkels met middelpunt O en stralen p' en pquot; van
r een boog afsnijden, zoodanig dat onderstaande figuur onstaat.
Dan is klaarblijkelijk:

I /zf(z) I ^ 27t I 2 At aj r)p' 2r,p'
Pnbsp;01

of

T

vl

Daar E | A^ | ^ S | A^ | O met p', is daarmee het theorema

(Onbsp;I ak| lt; pquot;

aangetoond.

Stel nu b.v. eens dat op T geldt:

f(z) = — hol-functie in een cirkel om O. Dan is:
z

Tnbsp;Ynbsp;Y

I rnbsp;1 r 1 /quot;nbsp;3 functie van S en y

-jzf(z)=-jdz -jh(z)dz=l-^ -

p pp

Men ziet direct in, dat dit niet approximatief tot O nadert
als Y 0.

Voor een modificatie van dit bewijs voor het geval, dat de
fig. niet van zoo'n eenvoudige soort is zie men [IX, 2].

HOOFDSTUK IV
De onderzoekingen van T. Carleman

§ 1. In zijn bekende werk „Théorie des fonctionsquot; voert E.
Borel de volgende bij conditie in: Er is een convergente reeks

lAi

Un

Deze conditie is gelijkluidend met de volgende:

S V| I convergent.

Immers, is aan deze conditie voldaan, dan kan men stellen:
u„=nbsp;Is er omgekeerd een reeks met algemeenen term

I I

u„ zoodanig, dat de reeks ^ —^ = ^ convergeert, dan
bedenke men, dat:

Vl A„I = Vu„v„ ^ . DusS V\\\ convergeert.

In dit geval kan men op eenvoudige wijze aantoonen, dat
er op iedere rechte een verzameling E is, zoodanig dat (x CE

lt; e, met de eigenschap, dat de reeks ^ op een lood-

lijn door een punt van E op de gegeven rechte getrokken ab-
soluut en uniform convergeert.

Neemt men aan, dat A„ I convergeert, dan kan men door
om als middelpunt 3 concentrische cirkels te trekken met
stralen k A„ |, k A„ en k | A^ | aantoonen, dat er een
verzamehng van punten x is met de volgende eigenschappen:

3

le ze liggen buiten de cirkels met stralen k A^j^
2e er gaat een verzameling rechten door heen met hoekmaat
gt; 2-k — e, zoodanig dat de reeks op zoo'n rechte absoluut en
uniform convergeert,

Ten onrechte meende Carleman, dat de eigenschap ook waar

is, als SV| An I convergeert. Ware dit zoo, dan zou men de
volgende redeneering kunnen houden.

§ 2. Veronderstellen we thans eens, dat verdichtingspunt
is der verzameling ag, ag,----en tevens dat a^ een punt x is.

OO

A„

Dan convergeert de reeks ----— absoluut en uniform op

2 z —

oo ^

bijna elke rechte door a^ en kan dus f(z) = ^ -in de

^ z —«m

buurt van a^ niet bijna overal uniform begrensd zijn.

Hieraan dacht T. Carleman waarschijnlijk toen hij schreef [XII]

„On peut démontrer que le terme--— est le terme domi-

z

nant sur presque tous les vecteurs qui passent par pourvue
qu'il existe une série à termes positifs convergente S u„ telle

que ^ — converge. On déduit de là: Sif(z) est uniformément

bornée sur un ensemble de points obtenu par exclusion d'un
ensemble de mesure nulle, tous les A„ sont égaux à zéro.quot;

Maar het is duidelijk, dat de hypothese: ai is een punt xquot;
niet vervuld behoeft te zijn. Is b.v. aj = O, dan zorge men dat:

Geef nu een s gt; 0. Dan is er een N zoodanig, dat

1 1

Dus is:

lt; c- 11nbsp;ceu

I a„ I lt; eu„ als n N 1

en dan ligt aj = O dus binnen alle cirkels C„ vanaf zekere n,
waarmee het bewijs uit § 1 komt te vervallen.

§ 3. We zullen thans de door Carleman genoemde stelling
verscherpen: We gaan bewijzen, dat de conditie „S V[AJ
convergentquot; niets met de zaak te maken heeft.

ZA^

5 --— in die punten, waar de reeks con-

• 7, - (Y

. We weten reeds, dat F(z)

sommeerbaar is over elk eindig gebied.

Er is dus een volle p-maat, zoodat ƒ Fds lt; oo. Fp is een G

met middelpunt a^.

Wegens | f(z) | ^ F(z) is f(z) sommeerbaar op Fp en
^ f (z) dz — ƒ f (z) dz, waarin Cp de verzamehng der convergentie-

oo

punten van ^^ -2— op Fp is; want op volle (p-maat van Fp

^—^ A

is F lt; oo wegens f Fds lt; oo en dus 7m --— convergent.

Verder is:

ƒ

waaruit volgt:

00

We hebben nu:

dz=

Fpnbsp;Cpnbsp;Cpnbsp;Cp

Vnbsp;CO

'{L-^V^fL

waarin | 0 | lt; 1 dus:

V

f(z) dz = 27ii ^ A^ s^, O als V oo.

1

lami lt;p

Bijgevolg:

CXgt;

/'f(z)dz = 27ri ^
I ami lt; p

Dus:

lim / f(z) dz = 27ti Aj.

Wanneer we thans met Carleman onderstellen dat f(z) bijna
overal uniform begrensd is, dan is er dus weer een volle p maat
van cirkels met a^ als middelpunt met de eigenschap dat op
volle maat 9-maat | f(z) | lt; M (M onaf. van z).

De doorsnede van beide volle p-maten is weer een volle maat
en wanneer we dus voor Pp zoo'n O uit de doorsnede nemen,
geldt daarvoor tevens:

I ƒ f(z) dz I ^ 271 Mp O als p -gt; O

en dus in verband met het voorgaande: A^ = O en dus:

A„ = O n = 1, 2.....

§ 3. Komen we thans tot de stelling van Carleman.

Gegeven:

[AJnbsp;lt;0

«n

op een rectificeerbare kromme F. F ligt op de puntverzameling E,
die ontstaat uit het z-vlak door daaruit te verwijderen de cir-
kels om a„ met stralen:

l

•, Z gt; O, a gt; 1.

nquot;

Bewijs: Neem een punt O (Co) op E en trek door O twee rech-
ten, die geen der genoemde cirkels snijden en van F een boog
AB afsnijden.

De rij der a^ vervalt in twee deelen:

ßi, ß2. ____binnen OABO

Yi, Yi' ____buiten OABO.

Zij thans z een punt binnen OABO en buiten de cirkels.
Dan is:

oonbsp;oo

^ Z —ßn ^ Z —ïn
Er is blijkbaar een stijgende functie N(n) zoodanig, dat:

ßn = '*N(n) •

Zij thans Oq de hoek, dien de bisectrice van AOB maakt
met de reëele as en zij verder AOB = k . ti.
De functie:

heeft de absolute waarde 1 als z ligt op OA of OB.
Immers daar is:

'nbsp;-O kTti

z —?:o = e ® . |z —!:ol
en dus is de functie daar:

en de absolute waarde daarvan is 1.
Stel nu:

mnbsp;oo

B„ V- C„

Z —Pn ^ Z—Yn

en:

1

F„(z) =nbsp;' . f^(z) . Ff (z - pj .

1

Deze functie is holomorf binnen en op OABO.
Op OA en OB geldt:

OO

en is L de diameter van het gebied, dan is daar dus:

M

|FJz)|lt; —.L-.
In alle punten van AB is verder, daar f(z) = O op F

oo

B„

^Ndn)
1

IUz)l =

waarin:

oo

Rn = £ n«.|A,

N l

We krijgen ten slotte de volgende schatting, die geldt op
OABO en dus binnen OABO:

1

Daaruit volgt weer:

p-oa /T \N

I llt; — (j) {M e«quot; . Rk} (N !)«.

Hierin is:

1 ^
a = R . D . [(z — ^o) e-'®']quot; en b = L^

De nog willekeurige waarde van a bepalen we zoo, dat:

L\

e'quot;quot; = N.l —
I

Dan is:

b

IUz)llt;

§ 4. Gaan we thans even Rf, schatten.
Rnnbsp;(N l)quot;' nbsp;(N 2)« ....

Verder is duidelijk, dat:

^ 1)1 e alog(N 1) ^ g-(N 1)1 s (N l)S

en dit laatste is weer conbsp;s'gt;0.

Ook is duidelijk, dat de reeks met algemeenen term
convergeert. De partieele sommen daarvan zijn begrensd
en lt; K.

Passen we thans de transformatie van Abel toe.

g_(N l)l e'_|_g-(N 2)l E'_|_____^ g-4(N l)l e'_ g-i(N l)l e'_j_____

= (S - S)nbsp; (S - S)nbsp;....

N 1 Nnbsp;N 2 N 1

Nnbsp;N 1

Hiervan gebruik makende, vinden we = stellendej:

d.N / \a.d

(jl -(N!) .Rnlt;

/LNd-N

(N!)«-^ 2 K . e-i^^ i»'^quot; =

^ Q |gd.:ogN d.N.logi a.d.NlogN-a.d.N 5^IogN-i(N l)l e'}

= O (1) daar de laatste term in de exponent het op den duur
wint van alle andere samen.

§ 5. Van dit resultaat gebruik makende vinden we dus:
fm(z) = O W en dus lim f„(z) = f(z) = 0.

\JNnbsp;m—gt;oo

Laten we thans l tot nul naderen, dan blijft er een volle maat
van het z-vlak over en in ieder punt daarvan is f(z) = O daar
zoo'n punt z altijd in te sluiten is in een figuur van den vorm
OABO.

Gebruik makende van de stelling in § 3 kunnen we thans
dus werkelijk besluiten tot

A„ = 0; n= 1, 2, ....

HOOFDSTUK V
Over de constante van J. Wolff

§ 1. Door J. Wolff [X] is de volgende merkwaardige eigen-
schap ontdekt:

Zij gegeven een rectificeerbare kromme F met diameter d
en een reeksnbsp;, die op die kromme uniform convergeert

tot 1.

De ontdekking is nu deze:

Als S = S |A„|, dan is er een constante C, zoodanig dat

S ^ C. d.

Bewijs: Daar de diameter d is bestaan er op T twee punten
A en B wier lineaire afstand juist d is. Uit de definitie van het
begrip diameter volgt dan, dat F geheel ligt binnen de lens
omsloten door de twee cirkels, die A en B tot middelpunten
en d tot straal hebben.

Noem den O om A: C.

Dan is weer, als F(z) de bekende beteekenis heeft:

ƒ ƒ F(z) dxdy ^ 4n. d. S
c

Voer nu vanuit A poolcoördinaten in. Dan is dus:

d 271

ƒ ƒ F(z) dxdy = ƒ ƒ F(z). r. dr. d9 4n. d. S

Cnbsp;0 0

Ztt

Nu is ƒ r. F(z). dq) een functie van r b.v. i}lt;(r).

Stel nu eens, dat van B tot het midden van AB, die functie
overal gt; Stï S was. Dan krijgen we een tegenspraak. Immers
dan was: ƒ ƒ F(z) dxdy gt; 8nS. Jd gt;4tc. d. S.

Dus: er is een p zoodanig, dat ^d lt; p d zoodat:
fpF(z} d9 ^ Stt S (er wordt geïntegreerd over cirkel p)

O

d

Evenzoo is: ƒ r F(z) dr een functie van lt;p b.v. xi?)- Neem een

O

willekeurig lt;p-vak ter grootte n en stel dat overal op dat vak:

X(9) gt; 4. d. S.

Ook dat kan niet. Immers dan was weer:

ƒ ƒ F(z) dxdygt;4.d.S.7t.
c

Op ieder vak van de beschouwde soort is dus een lt;p, waarvoor
ƒ F(z) r dr lt; 4. d. S

O

Neem nu voor het 9-vak, dat, wat bepaald wordt door de
raaklijn in A aan den O met B als middelpunt en dat F niet
bevat. Er is dus een straal l in dat vak, die F alleen in A snijdt
en waarop

d

f r F(z) dr lt; 4. d. S.
'0

Zij q het punt waar l O p snijdt en p het eerste snijpunt van
cirkel p met F (zie fig.).
Beschouw:

f y ^lÈz:^ dz = 27.i s' («, - A)A,

J ^

ApqA 1

waarbij de sommatie uitgestrekt wordt over alle polen, die
binnen de gesloten contour vallen. Beschouw de diverse stuk-
ken, waarin de integraal uiteenvalt.

I ƒ (z_A) f(z) dzl = | ƒ (z-A) dzi = | Iz-AI'' gt; i d»

anbsp;*

? (z„A) f(z)dz 1 ^ ƒ I z-A I I f(z) I p dcp^ p ƒ p F(z) d9^87r.d.S
Pnbsp;Pnbsp;P

anbsp;^

I ƒnbsp;.f(z). dr I ^ ƒ |z —A|. F(z) dr lt; 4. d. S.

qnbsp;''

Dit alles samen levert op:

i d^' ^ Bk. d. S 4. d. S 2.7t. S. d of:
d

S ^

SOtl 32'

§ 2. Neem eens voor F een cirkel met middelpunt y en straal
^d. Dan is:

ĥ dz _ fijz) dz_
2-1 — - j z-y - ^ (z-y) (z-aj

Men berekent gemakkelijk, dat de laatste som gelijk is aan

27ri y'-Al- waarbij de sommatie uitgestrekt moet worden
^ «k—ï'
over alle a^, die buiten F liggen.

W a^—Y

en dus

1 lt; I- of S ^

èa -

In het geval van een cirkel is dus: C ^
Maar maken we volgens de algemeene constructie uit Hfst.
II een reeks, die op T uniform tot 1 convergeert, dan weten:

5lt;quot; .gt;0

quot;nbsp;2n

of

en daar e willekeurig was dus: S lt; - en daarmede is aange-
toond, dat voor den cirkel de constante ^ is.

§ 3. Door Denjoy [XI] is een andere elementaire manier
aangegeven om de stelhngen van Wolff te bewijzen.
Hij beschouwt:

a

genomen langs F.

Blijkbaar mag men de integratie langs F vervangen door een
integratie langs als K —a|gt;2d en dan is dus:

d® , d®

lUI lt;--: of-

l^-al K-ßl

al naar gelang | j; — a i of | — ß | de kleinste is.
Beschouw nu even:
1

= ƒ (Lzi^-^dzvoorluKl.

Hier komt uit: u log unbsp;Voor de logarithme kiezen

we de hoofdwaarde.

De integraal is geborneerd.

Men kan b.v. voor een ruwe schatting stellen: u = 1 — v

v« v' V* ,

{|v|lt;l)(l-v)log(l-v) = -v 2 6 1^ ••••

en dit wordt gemajoreerd door 1

Zoodat we ten slotte vinden:

I cp(u) I lt; 3 -.

Door de transformatie t = ^ of t =nbsp;vindt men

nu gemakkelijk:

U (a, P, g = - (C-a)^ cpnbsp;= - ^ (^p)

Nu wilden we hebben |u| ^ 1 en dus gebruiken we de le

transformatiealslC —Pl^ K—«lende2ealsK —PI ^ —

Is dus K —a I ^ 2d dan vinden we de schatting:
|U (a, p, lt; 4d^ (3 ^)

en is IJ; — a I gt; 2d dan geldt dit blijkbaar a fortiori.

°° *

§ 4. Zij thans weer op boog ap uniform f (z) = JZI^ quot;quot; '
Dan is:

®nbsp;^^ (z-oc) (P_z)

L/ z — «) vp — 1

a

en dus:

of:

d d

4 (18

waarmee de stelling van Wolff opnieuw is aangetoond.

LITERATUURLIJST

I: H. PoiNCARÉ, Acta Soc. Sc. Fennicae, deel XIII, 1883.

II; T. J. Stieltjes, Buil. des Sc. Math. 2e serie, deel XI,
1887, pg. 46.

III: E. Goursat, Ibid. pg. 109.

IV: A. Pringsheim, Math. Ann. deel 42 en 44.

V: E. Borel, Théorie des fonctions.

VI 1, 2: J. Wolff, C. R. de l'ac. des Sc. de Paris deel 173, 1921
pg. 1056—1058 en 1327—1328.

VII: A. Denjoy, Buil. de la Soc. Math, de France, deel LII,
1924, pg. 418—434.

VIII: A. Denjoy, Rendiconti del circolo mat. di Palermo,
deel L, 1926 pg. 1—93.

IX 1, 2: J. Wolff, C. R. deel 185, 1927. pg. 1251.
C. R. deel 186, 1928, pg. 62.

X: J. Wolff, C. R. deel 186, 1928 pg. 565.

XI: A. Denjoy, C. R. deel 186, 1928 pg. 1191.

XII: T. Carleman, C. R. 1922, pg. 588.

XIII: C. Caratheodory, Reelle funktionen pg. 422.

re t

m-T-

m-

A'-

41

sgt;m

STELLINGEN

I

Wanneer bij het op blz. 12 en vlg. besproken voorbeeld de

reeks ^ —— divergeert, dan is de niet-voortzetbaarheid der
W aik — 1

reeks -— zonder machtreeksontwikkehng gemakkelijk

^ Z —«m

aan te toonen.

II

Voor de stralen r^ der cirkels beschouwd op blz. 15 geldt:
Sr^ is divergent.

III

De door A. Denjoy op blz. 80 van Rend. di Pal (1926) gedefi-
nieerde functies Xn(2) kunnen verkregen worden door een soort-
gelijke methode als de „balayagequot; van Poincaré.

IV

Het bewijs van de stelling voorkomende op blz. 25 kan door
rechtstreeksche toepassing van de regels der I. R. vereenvoudigd
worden.

V

De op blz. 36 gegeven voorwaarde: | A„ | lt;nbsp;kan door een

scherpere vervangen worden:

nl. I A„ I lt;nbsp;9 (n) ^ oo monotoon.

De kloof tusschen | A J lt;nbsp;en | AJ lt;nbsp;is nog

te overbruggen.

VI

De door J. G. van de Putte behandelde sommatiemethode
(Eenige sommatiemethoden, diss. Utrecht 1927, Hoofdstuk I)

is een bijzonder geval van de door O. Perron (Math. Z. 1920) op-
gestelde methode. Men kieze voor de daar beschouwde somma-
torische functies:

(p^ (x) = O voor O ^ X lt; k

voor l X lt; i -t-1

A,

waarin gt; en-^ 1 monotoon.
A„

VII

oo

Is ^ a„ sommeerbaar tot som L volgens de in de vorige stel-
0

a

hng genoemde methode en is hm ~ = O, dan is ^ a„ som-

n—gt;-oo rVn

meerbaar tot som L — aQ.

VIII

De steUing v. Ham-Cayley is bijna triviaal als de X's verschil-
lend zijn. Zijn er gelijke X's, dan passé men hmietovergang toe.
Ook de bewering van van Lier (N. A. v. W. deel XVIII, 2e
reeks, 3e stuk) volgt eenvoudig met behulp van een basis:

Yi = xi

y2 = aai Xa

IX

In het door D. Pompeiu (N. A. v. W. 2e reeks, deel X blz. 353)
gegeven voorbeeld, voldoet de reeks 2 | A^ | niet aan de door
E. Borel (théorie des fonctions, blz. 95) opgestelde voorwaarde.

X

In de door S. Mandelbrojt op blz. 150 van zijn werk „Séries de
Fourier et classes quasi-analytiques de fonctionsquot; gegeven stel-
ling, is de continuiteit van f (x) in a^ en Pi niet noodig voor het
singulier zijn der functie 6 (z) in ei«« en eiPi.

Het bewijs van de in hetzelfde boek op blz. 146 voorkomende
stelling is goeddeels overbodig. De stelling is een onmiddellijk
gevolg van het spiegelingsprincipe van Schwarz.

XII

De door T. Carleman gegeven voorwaarde

log log r^nbsp;.

^^^_LlIÏLl convergentquot; (zie: les fonctions quasi-analyti-

log; ^

I AmI

ques, blz. 98) is niet noodzakelijk. Vergel. J. Wolff, C. R. Febr.
1936.

Wanneer gegeven is | Am | O monotoon, dan is de voor-
waarde van Carleman een bijzonder geval van die van J. Wolff.

XIII

Het spreken van „coupure artificiellequot; en „coupure essentiellequot;
(zie: J. Hadamard, La série de Taylor etc. pg. 22) heeft geen zin,
daar de taak der coupure in beide gevallen niet te vergelijken is.

XIV

Het door L. Bieberbach gegeven bewijs van een stellmg van
Löwner (L. d. F. II blz. 124) is onvoUedig (zie ook G. Julia,
Principes géom. d'analyse blz. 93-95).

XV

In vele vraagstukken betrekkmg hebbende op meetkundige
waarschijnlijkheid laat de strengheid van de oplossmg te wen-
schen over.

». *

..... •

JiXX

, ■ - -r***quot; vVquot;'.-1 quot;, - -

-quot;vt-AÎ^^VV:-:' '-'S

VT/?'

: äff

•. s'y

■m

«

M

iffillfi
ïfiMÜ

■.ir-