KINEMATISCHE
PROJECTIE

J. N, BOUMAN

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT

UTRECHT.

tequot;

rvî-fe^rf

, gt; ^

•^rClïO': ■ - .

t- \ i

iiiflÂl'^^Éil®

mm

iti-.:

m:

Äi

.....

Äi

li

»

-.y ? ■

l

quot; \ 'Si quot;

■ 'ii.'

■iSv

Vi

S

m'

ft
gt; gt;

■■'UX

KINEMATISCHE PROJECTIE

KINEMATISCHE PROJECTIE

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT
OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS
DR.W.E. RINGER, HOOGLERAAR IN DE FACULTEIT
DER GENEESKUNDE, VOLGENS BESLUIT VAN DE
SENAAT DER UNIVERSITEIT TEGEN DE BE-
DENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN
NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
OP MAANDAG 26 APRIL 1937,
DES NAMIDDAGS TE 4 UUR
DOOR

JOHAN NICOLAAS BOUMAN

GEBOREN TE AMSTERDAM

1937

DRUKKERIJ Fa. SCHOTANUS 6 JENS - UTRECHT

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT

utrecht.

Pssii

mi

AAN MIJN MOEDER.
AAN DE NAGEDACHTENIS
VAN MIJN VADER.

Het contact met U, die ik mijn leermeesters mag noemen,
heeft mij in mijn studietijd in velerlei opzicht zeer verrijkt.
Voor hetgeen U daartoe hebt willen bijdragen, zij hier mijn

oprechte dank gebracht.

Hooggeleerde Barrau, Hooggeachte Promotor, U waart
het vooral, die van de aanvang af mijn belangstelling wist
te wekken en te verdiepen. Het is mij dan ook een bijzonder
voorrecht, in dit proefschrift een onderwerp te mogen be-
handelen. dat zó zeer Uw stempel draagt.

m

INLEIDING

Bij de behandeling van kinematische vraagstukken kan men
twee methoden onderscheiden, die in de geschriften worden
aangewend: de meetkundige en de analytische.

Enkele schrijvers houden zich streng aan één behandelings-
wijze en bereiken aldus eenheid in hun betoog. Als voor-
beelden zijn te noemen de werken van Burmester en
ScHOENFLiES De meesten laten echter dit ideaal los ter
wille van de eenvoud der bewijsvoering en het sneller be-
reiken van het doel. Voor een gewoon leerboek, dat in de
Kinematica bedoelt in te leiden, ware zuiverheid in deze
moeilijk vol te houden.

In het volgende zal voornamelijk gebruik gemaakt worden
van de analytische methode. Daarbij wordt uitgegaan van
een afbeelding, door J. A. Barrau ontwikkeld in zijn ver-
handeling, getiteld: „Mouvements algébriques dans le planquot;
De bewegingen van een vlak stelsel worden hierbij afgebeeld
op krommen in een vier-dimensionale ruimte. Op enkele der
daar bewezen stellingen zal een enigszins ander licht worden
geworpen.

In zijn artikel beperkt Prof. Barrau zich. zoals de titel
aangeeft, tot algebraïsche bewegingen, dat wil zeggen be-
wegingen, wier beeldkromme algebraïsch is. In een eerste
hoofdstuk zal nu deze restrictie worden losgelaten en het
tijdselement meer naar voren worden gebracht. Hoe ver-

D. Burmester, Lehrbuch der Kinematik.

A. Schoenflies, Geometrie der Bewegung.

J. A. Barrau, Mouvements algébriques dans le plan; Journal de
Mathématiques pures et appliquées, 7e série tôme 3 (hierna aan te duiden
als Mouv. alg.).

scheidene bekende eigenschappen uit de Kinematica uit eigen-
schappen in de beeldruimte volgen, komt zo duidelijk tot
uiting.

In een tweede hoofdstuk zal getracht worden, in analogie
aan het eerste, de afbeelding uit te breiden voor bewegingen
van een vast lichaam in een (Euclidische) drie-dimensionale
ruimte. Enige der stellingen, die voor het vlakke stelsel zijn
afgeleid, zullen blijken mutatis mutandis ook voor dit geval
te gelden.

Het is nog mogelijk, een Kinematica op te bouwen voor
niet-Eudidische of hoger dimensionale ruimten. Daarmede
houdt zich dit proefschrift niet bezig. Het blijft bij de meest
gebruikelijke vormen van Kinematica, die in het Euclidische
platte vlak en in de Euclidische drie-dimensionale ruimte.

Het leerboek, waarnaar steeds verwezen zal worden, is
het werk van Prof. Schuh i), dat voor ons land als het
nieuwste op dit gebied kan gelden.

Dr. F. Schuh, Leerboek der Theoretische Mechanica deel I, le en
2e stuk (hierna aan te duiden als Theor. Mech. 1, 1 of 1, 2).

EERSTE HOOFDSTUK
KINEMATICA VAN EEN VLAK STELSEL

§ 1. Bicylinder en Representanten.

Strikt genomen is een vlak stelsel een aantal star met elkaar
verbonden punten, welker beweging men bestudeert. Om
de voordelen, hieraan verbonden, denken we ons het vlakke
stelsel uitgebreid over een heel vlak We krijgen zo naast
het vaste vlak V een bewegend vlak v. Op elk moment kunnen
we de stand van v ten opzichte van V beschrijven door de
transformatie, die v in V overvoert:

X= cx sy a
Y — — sx cy b

of door de inverse:

c'X s'y a'

yz=-s'X c'Y b'nbsp;^^^

Hierin zijn X en Y coördinaten in V bij een tevoren ge-
kozen, rechthoekig assenstelsel; x en y evenzo in v. De vier
variabelen c, s, a en £gt; vat J. A. Barrau op als coördinaten
in een vier-dimensionale (afflene) beeldruimte Elk punt
hiervan stelt een „standquot; van v voor, mits het gelegen is
op de „bicylinderquot;

= l (2)

F. Schuh, Theor. Mech. I, 1, blz. 159.
]. A. Barrau, Mouv. alg. no 1.

Laat men het vlak v over V bewegen, dan zullen op elk
moment de variabelen c. 5. a en è een waarde aannemen, af-
hankelijk van de tijd f. Bij de functies c {t). s (t). a (t). b (t) willen
we analytische moeilijkheden vermijden. Ondersteld wordt
dat ze continue afgeleiden bezitten van 20 hoge orde als
nodig zal blijken.

In de vier-dimensionale beeldruimte stelt

c = c{t)
s = s{t)
a = a{t)
b = b{t)

een kromme voor, de ..représentantequot; der beweging. Elke
représentante ligt natuurlijk op de bicylinder (2). De aan-
dacht wordt nog gevestigd op de scheve vierzijde, waarin
de bicylinder de kwadriek

= 0
/i = 0

in het oneindige snijdt (/z is de homogeen makende variabele)
namelijk:nbsp;quot;

rc /5=onbsp;/c-ffs=o

nbsp;(3) (a-tamp; = 0 (4)

fc-is^O

= 0 (5) (a-fè = 0

(6)

Vooral de beide rechten (4) en (5) zullen als „cyclische
rechten een rol spelen in volgende paragrafen.

§ 2. Kinematische Transformatie'^).

De transformaties (1) of (1') bepalen de stand van v ten
opzichte van V bij bepaalde keuze van de assenstelsels in
beide vlakken. Om hieraan niet gebonden te zijn, gaan we
de invloed na van een andere keuze. Een nieuw assenstelsel
(coördinaten x'. y') in het bewegende vlak zij als volgt bepaald:

yx ay-fa

of invers:

jc= y'x' o'y' a'

y=-o'x' y' y' ß'

Evenzo in het vaste vlak:

rx 2Y Anbsp;p'X' ^'V' A'

Y' = -2X rY Bnbsp;Y = -r X' r'Y' B'

Hierdoor treedt in de kinematische beeldruimte een trans-
formatie op van de coördinaten c, s, a, b. Deze „kinematische
transformatiequot; wordt gevonden door het verband tc leggen
tussen X'. Y' en x', y'.

X'= cx' sy' anbsp;x'= c'X s'Y' a'

Y' = -sx' cy' hnbsp;y' = -s'X' c'Y' W

Alle optredende grootheden c, s, a, b; c', s'----enz. vol-
doen aan dc relatie (2).
Verder is:

c = {ry'-2a')c — (ro' 2 y') s
s = {ra' Iy')c {ry' -2o')s

h = {rß'-2a')c-{ra' ^2ß')s-Sa rb^B
J. A. Barrau, Mouv. alg. no. 3.

Door (7) wordt de gezochte transformatie in de beeldruimte
aangegeven. De inverse wordt volgens dezelfde manier ge-
vonden ; de coëfficiënten daarvan blijken dezelfde als die van (7),
waarbij echter geaccentueerde grootheden in ongeaccentueerde
moeten worden verwisseld en omgekeerd.

De groep der kinematische transformaties is een onder-
groep der afBene groep. In het oneindige blijft invariant een
figuur op de kwadriek

C- =

namelijk de rechten (4) en (5). Met de rechten (3) en (6)
liggen deze op de invariante bicylinder (2). De beide laatste
lijnen worden door de groep niet invariant gelaten, reden
waarom ze voor ons doel van minder belang zijn dan de
eerste twee, de cyclische rechten. De punten op (4) en (5)
hebben tot coördinaten respectievelijk

Xi. fi, — JU i\ en {X. — X i, fii\ (8)

X en ^ hebben in het algemeen een complexe verhouding.

Over het lijnenpaar (4) en (5) ligt een lineaire congruentie
van rechte lijnen.

Twee gevallen doen zich hier voor:

1quot;. gt;17^0
2quot;. X = 0

1°. In (8) stellen we gt;1=1; fx wordt dan fx = fi^fA.^
waarin n^ en reëel zijn. De bedoelde congruentie van
rechten wordt nu

I b = fi^c — /JL^s

f Pc Qs Ra = 0 „

l Qc — Ps Pb^O '

J^^O, kan dus steeds = 1 gesteld worden.
De rechten { P, Q. R S. of j P, Q, 1 ! noemen we „cen-
tralenquot;. De reden hiervoor zal in de volgende paragraaf

duidelijk worden.

Tot de congruentie over de cyclische rechten behoort nog

de toprechte van de bicyhnder:

Cd

die het geval 2quot; vertegenwoordigt.

Door kinematische transformatie gaan de centralen in elkaar
over; de toprechte (9) echter blijft invariant, want ook het

hele asvlak van de bicylinder:

{

wordt in zichzelf getransformeerd. De nieuwe coördinaten
van de punten van (10) komen daarbij geheel overeen met
de nieuwe coördinaten in V; immers de kinematische trans-
formatie van het asvlak geschiedt volgens:

a'= ra ^b A

b' — — 2a rb B

a neemt dus blijkbaar de rol over van de coördinaat X
in V, b die van Y.

§ 3. Kinematische Projectie.

Bij een willekeurige beweging c (^). s {t), a (t), b (f), tekent
zich de baankromme van een punt {Xj, } van v in V als
volgt af:

( X{t)= X, c{t) y^ s(t)-^a(t)
\ Y{t)=-x, s{t) y, c{t) b(t)

De baankromme van de oorsprong van v is zo:

X{t) = a(t)

Y(t) = b(t)nbsp;^ ^

Hiermede vergelijken we de kromme in het asvlak (10),
[ a = a{t)nbsp;(13)

I b = b(t)

(13) is gelijk en gelijkvormig aan de baankromme (12);
indien we althans het asvlak als een Euclidisch vlak opvatten.
Reeds is de nauwe betrekking tussen V en het asvlak ge-
bleken in § 2. Het zal een goede gedachte blijken, beide
vlakken incident te maken. Daarbij legge men de beide assen
overeenkomstig op elkaar. Onderscheid tussen V en het as-
vlak zal verder niet meer gemaakt worden. De krommen (12)
en (13) noemen we bijvoorbeeld identiek. Nu heeft (13) een
merkwaardige eigenschap. Projecteert men de representante
der beweging vanuit de rechte

a = 0

. b = 0nbsp;(14)

l h = 0

op het vlak V, dan krijgt men juist (13); de lijn (14) is een
rechte, behorend tot het stelsel centralen { P, Q, 1 } en wel
het exemplaar {O, O, Ij.

De oorsprong van v is een geheel willekeurig punt. Door
een transformatie in v kan men elk ander punt {Xj, y^},
welks baan men bestuderen wil, tot oorsprong maken. Daarbij
treedt in de beeldruimte een kinematische transformatie op.
Deze is bepaald als we ook nog onderstellen, dat het assenstelsel
in V onveranderd blijft. Een punt met coördinaten \ c, s, a, b, (h)}
in R4 gaat over in j c', s', a', b', (h)}. De representante wordt

de getransformeerde beeldkromme. V blijft, als asvlak be-
schouwd, punt voor punt invariant. In de nieuwe kinematische
beeldruimte geldt bovenstaande eigenschap. Dus de baan-
kromme van de nieuwe oorsprong is de projectie van dc
representante { c' W. s' (t). a' {t). b' (f) S uit de rechte

a' = 0

= 0nbsp;(H')

Nu gaan we terugtransformeren. Het punt j O, O, 1
het getransformeerde vlak v wordt het gewenste punt J Xi. y^ j:
de representante komt op de oude plaats terug. De centraal
(14') gaat over in een andere centraal {P, Q. 1 ! (§ 2), en
wel in:

f c yi s a = 0
( y, c-x, s b = 0

of de centraal | yi, 1 }!

De projecterende vlakken door de punten der representante
blijven projecterende vlakken. Tenslotte blijft de baankromme.
hun doorsnijding met V, op dezelfde plaats.
We vinden zo dc stelling:

De projectie van de representante uit de centraal | y^, 1
op het asvlak levert de baankromme van het punt { Xj. y^, 1 \
van het bewegende vlak.'^)

Dit is ook direct in te zien. Daartoe brengen we vlakken
aan door twee punten van de centraal S y^, 1 }. namelijk

Pi : { 1, O, -xi. -yi, OS
Pa : {O, 1. -yi. O!

en een willekeurig punt van de representante
vgl. J. A. B a r r a u, Mouv. alg. no. 9.

van

P : j c W. s (t). a (t). b 1 !

door lineaire combinatie van P, Pi en Pg.

Snijdt men zulke vlakken met V, dan komen als snijpunten
de punten van de baankromme voor den dag:

j 0. 0. a (t) xi c (^) yis(t); b (f) — s {t) yiC (t), 1 }

vgl. (11). Alle baankrommen kunnen we zo krijgen, door één
kromme, de representante, uit de bijbehorende centralen te
projecteren.

Door de projectie wordt een correspondentie gevestigd
tussen de punten van de representante en die op de centraal,
die als top fungeert; aldus: met het door f^ aangewezen
punt van de representante correspondeert het punt

{ c (^i), s (^l), c (fi) y, s (^l), - s (h) yi C (t^), O i.
waarin de projecterende straal de centraal treft.

§ 4. Projectie in de oneigenlijke Ruimte.

Daar elke representante op de bicylinder ligt, heeft men
in h = 0 slechts te doen met de oneigenlijke punten van (2).
Reëel wordt R3 slechts in de toprechte (9) gesneden, de U van
V. Snijdt dus een representante /i = O reëel in P, dan levert
projectie vanuit een willekeurige centraal op V natuurlijk
steeds ditzelfde punt P. Alle baankrommen gaan dan door P.
Ze hebben steeds alle dezelfde asymptotenrichting.

Heeft de representante imaginaire punten op de toprechte,
dan kunnen we het bovenstaande daarop onveranderd toe-
passen. De baankrommen hebben dan alle dezelfde imaginaire
asymptotenrichting.

De representanten kunnen imaginaire punten in /i = O ook
hebben buiten de toprechte. Het enige, wat voor het alge-
mene geval dan gezegd kan worden is, dat de projecties

imaginaire punten op (9) worden. Voor verschillende haan-
krommen krijgen we verschillende imaginaire asymptoten-

richtingen.nbsp;,

Een bijzonder geval maakt hierop een uitzondermg. Als

de representante namelijk de cyclische rechten (4) en (5)
snijdt, worden die snijpunten geprojecteerd in vaste punten
op (9). namelijk de cirkelpunten en van V. De rechten
(4) en (5) fungeren zelf als projecterende stralen. Dan gaan
alle baankrommen door de cirkelpunten. Eventueel zijn uit-
gezonderd die baankrommen. die projecties zijn uit centralen,
die de representante op (4) en (5) snijden.

§ 5. Vlakke Representanten.

Onder dit hoofd willen we enkele soorten van bewegingen
samenvatten, wier representanten in vlakke ruimten liggen.

In de beschrijvende vlakken van de bicylinder vindt men
de translaties!). Zon beschrijvend vlak is evenwijdig aan V.
Projectie uit de centralen (een scheve parallelprojectie) levert
dus baankrommen, die alle met elkaar congruent zijn % Het
eenvoudigste voorbeeld leveren de rechten op de bicylinder,
de beelden der rechtlijnige translaties.

In vlakken, wier oneigenlijke rechte een centraal is, vinden
we als doorsnede met de bicylinder een kegelsnede, die de
cyclische rechten treft % Volgens § 4 zijn de baankrommen
kegelsneden door de cirkelpunten van V, cirkels. De centraal,
die de oneigenlijke rechte van het representantevlak vormt,
geeft de genoemde uitzondering. De projecterende vlakken,
vanuit deze centraal vallen alle samen in het representante-
vlak De baankromme reduceert zich tot een enkel punt, het
punt. waar dit vlak V snijdt. Het blijft gedurende de be-

]. A. Barrau, Mouv. alg. no. 10.
') F. Schuh, Theor. Mech. I, 1, blz. 163.
]. A. Barrau, Mouv. alg. no. 11.

weging invariant; het is centrum van de rotatie. Alle vlakken
door centralen snijden (2) in rotatierepresentanten.

Een willekeurig vlak snijdt de bicylinder eveneens volgens
een kegelsnede In het algemeen vindt men als baankrommen
ellipsen, want reële asymptotenrichtingen komen niet voor,
tenzij we hier te doen hebben met een representante in een
beschrijvend vlak, dus het eerst behandelde geval. Het algemene
geval levert de representante van een elliptische beweging.

Om de rechtlijnige banen te krijgen, die oo^ punten van v
beschrijven, gaat men uit van zulke centralen, die de on-
eigenlijke rechte Iq, van het representantevlak snijden. Voor
elk van deze rechten geldt, dat de projecterende vlakken in
één ruimte Rg liggen, de ruimte door de centraal en het
vlak van de beeldkromme. De gezochte punten van v vindt
men dus, door de oo^ centralen op te zoeken, die dat vlak
snijden. De corresponderende punten in v liggen op een
cirkel. De bovengenoemde centralen vormen namelijk in
h = 0 het 2e graads regelvlak over 1« en de lijnen (4) en (5).
De projecterende vlakken door P : { c (ti), s a (fj, b {t^) j
vormen een 2e graads hypervlak. een kegel met P als top.
Deze kegel gaat door de cyclische rechten. Snijflguur met
V is dus op het moment ti een cirkel; dus ook in v liggen
de bewuste punten op een cirkel. De cirkels in V zijn na-
tuurlijk voor alle momenten congruent. Alle gaan ze door
eenzelfde punt van V, het snijpunt van het representantevlak.
Een cirkel met dubbele straal raken ze zo alle inwendig aan.

De representanten, die gelegen zijn in vlakke drie-dimensionale
ruimten, die geen raakruimte aan (2) zijn, zijn beeld van een
beweging met één rechtgeleiding Het punt van v, dat de
rechte baan beschrijft, correspondeert met de enige centraal,
die geheel in de ruimte is gelegen. Deze centraal projecteert

') ].A. Barrau, Mouv. alg. no. 11, F. Schuh, Theor. Mech. I, 2,
blz. 49 en vv.

J. A. Barrau, Mouv. alg. no. 12.

de representante volgens vlakken, die in deze R3 blijven.
De snijlijn van Rs met V is de rechte baan.

§ 6. Twee Standen.

Si en S, mogen twee punten (standen) zijn op de bi-
cylinder:

Si = \ Cl, Si. ai, bl, 1 1

Sa = i Cg, Sg, a^. 63. 1 \

Ondersteld wordt, dat Si en S, niet in één beschrijvend
vlak liggen. Door het oneigenlijke punt van Si b^:

i Cl — Ca. Si — sg. ai — a^. fci — b,.0]
gaat dan steeds een centraal \P, Q. 1 Het vlak door

!P Q 1 i en Si Sg bevat een rotatierepresentante, die zowel

door S'i als S, gaat. De bijbehorende rotatie doorloopt de
beide standen Si en S, Het punt J P. Q. 1 ! m v wi,st het
rotatiecentrum aan, in V dus

i ai Pci Qsi. fci Qci - Psi I =

= \ a, Pc, Qs,. h Qc. - Ps, !

het punt. dat het gemiddelde rotatiecentrum voor Si en S,

vormt 1).nbsp;jnbsp;c j« lt;;

De hoek waarover gedraaid moet worden, om Si m b,

over te voeren, vindt men terug als „hoekquot; tussen de beide

raakruimten aan (2) in de beeldpunten. Hierbij denke men

zich de beeldruimte Euclidisch. Het duidelijkst ziet men dit

in, als men de raakruimten snijdt met een vlak „loodrecht

op V

Liggen Si en S, in één beschrijvend vlak. dan is er geen
rotaüecentrim, als boven aangegeven. De rechte Si S, sm,dt

de toprechte van (2) en is zelf representante van de recht-
lijnige translatie die Sj in S, overvoert. Zulk een rechtlijnige
translatie wordt wel een rotatie om een in het oneindige
gelegen centrum genoemd

§ 7. Algebraïsche Representanten.

Over algebraïsche bewegingen heeft Prof. Barrau in zijn,
in de inleiding genoemde, artikel uitvoerig gehandeld. Hier kan
volstaan worden met de opmerking, dat de daar gevonden
eigenschappen van baankrommen, wat graad en aantal dubbel-
punten betreft % onmiddellijk gevolg zijn van het feit. dat
die baankrommen projecties zijn van de representante.

Ter illustratie nemen we een niet-strekbare stangenvier-
zijde De representante heeft de graad 6. Ze heeft drie
schijnbare dubbelpunten, en een dubbelpunt in de cirkelpun-
ten Ii en Ig van V. Bovendien ligt op elk der cyclische
rechten nog een punt. De koppelkrommen hebben de graad
6. Volgens § 4 gaan ze drie maal door Ii en Ij. Drie dubbel-
punten keren in alle koppelkrommen terug.

§ 8. Snelheid, Versnelling enz.

In elk punt van de representante, P: | c(f), s (c), a (t), b {t) j
brengen we een stelsel vectoren aan, die we door hun voer-
stralen aanduiden respectievelijk als PP'quot;, PP®, PP(3),
PPW, . . de le, 2e, 3e... F .. fluctievector. PPO noemen
we de snelheidsvector in P, PPO de versnellingsvector, PP«
de (k—1)^ versnellingsvector P« is hierin het punt:

c^)nbsp;(k)nbsp;(k)nbsp;(k)

\ c(t) cit); s (t) s{t); a{t) a {t); b {t) b (t), 1 }
(k)

c{t), c{t). . . . c(^) enz. zijn de le, 2e, ... k® afgeleiden
van c naar t.

F. Schuh, Theor. Mech. I, 1, blz. 196.
Mouv. alg. no. 5 en 6.
F. Schuh, Theor. Mech. I, 2, blz. 176.
quot;) F. Schuh, Theor. Mech. I. 2, blz. 19.

Evenzo brengen we in een punt Q: S -X'W: i'(^); M van
de baankromme een dergelijk stelsel vectoren QQquot;'' aan:

(Wnbsp;w , ,

=nbsp; nbsp;\\ of

(k) (k) (k)

QW = i ató JCi c{^) yi s (^) a {t) x^c(t) y^ s (f):

(k) (k) (k)
b(t)-x,s(t) y^c(t) b(t)-x,s{t) y^s(t); 1 !

De vector PPquot;^' gaan we nu projecteren uit de centraal
I xi. y^. 1 ]. Het punt P geprojecteerd op V wordt Q. De
projectie van Pquot;^' gaat het eenvoudigst door linaire combinatie
met de punten Pj en P^ uit § 3. Het blijkt dat die projectie
QC^' is. De vector PP'*^' gaat dus voor alle baankrommen op
het moment t in QQquot;'* over. We vinden dus:

De projectie van de snelheid (op de representante) is de
snelheid van de projectie (baankromme). De projectie van de
versnelling is de versnelling van de projectie, enz.

PPC), de snelheidsvector ligt langs de tangent in P. Door

pc) \ c, s, a, b, O \ gaat i.h.a. één centraal. Deze centraal
bepaalt met P de representante van de rakende rotatie i),
namelijk als doorsnee met (2) van het vlak door P en die
centraal. Men kan op 't moment t de rakende rotatie in P
dezelfde snelheid geven, door ook aan P als punt van de
rotatierepresentante de vector PPC toe te voegen. Dan is
de snelheidsverdeling van de rotatie in het hele vlak V de-
zelfde als die van de oorspronkelijke beweging. In elk baan-
punt is immers wegens de projectie van de ene vector PPquot;',
de snelheid QQquot;' voor beide bewegingen dezelfde.

Het hier gedefinieerde vlak van de rakende rotatie snijdt
V in een punt, dat zal blijken de snelheidspool te zijn (§ 9).

]. A. Barrau, Mouv. alg. no. 18; F. Sc hu h, Theor. Mech. 1, 1,
blz. 168.

Ligt Plt;quot; op de toprechte van (2), dan hebben we te doen

OO

met een tijdelijke translatie; de snelheidspool ligt in het on-
eindige

Het vlak door P, PO en P®. het osculatievlak in P, bevat

00 00

de osculerende elliptische representante. Men kan aan P,
als beeldpunt van deze elliptische beweging, de vectoren PP'quot;
en PP® toevoegen, die beide in het osculatievlak liggen. De
snelheidsverdeling èn de versnellingsverdeling is dan voor
beide bewegingen in het hele vlak V gelijk.

Van de oo® ellipsen, die de oo^ baankrommen osculeren, zijn
er ooi, jig jjj ggjj rechte lijn zijn ontaard, (tijdelijke translatie).
De bijbehorende punten in v liggen op een cirkel, die zich
in V als de buigcirkel aftekent (§11, vgl. § 5).

Het osculatievlak snijdt V in de buigpool (§ 12). Het is

mogelijk, dat het punt P'^' op de centraal door Pquot;) valt. Dan
„ °° 0°
zijn elliptische osculerende beweging en rakende rotatie identiek.
De beweging { c (t), s (t), a (t), b } osculeert voor zo'n stand
de rotatie om de pool

Door de punten PO, P®, P(3) en P gaat de ruimte, die
de representante in P hyperosculeert Men kan hierin
krommen vinden op de bicylinder, die de representante in
P eveneens hyperosculeren. Ze zijn het beeld van een be-
weging met baankrommen, die de oorspronkelijke banen alle
hyperósculeren. Voegt men als boven aan de nieuwe represen-
tante de vectoren P Plt;». P P®, p pO) in p toe. dan is snel-
heids-, versnellings- en derde fluctieverdeling in alle baan-
punten gelijk. De tweede beweging heeft één rechtgeleiding.
de doorsnede van de ruimte P PO pP) pO) mgt V. Dit is
tevens de rechte door buigpool, (2—3)-pool en (3—l)-pool
(§ 12).

F. Schuh, Theor. Mech. I, 1, blz. 169.
') F. Schuh, id. 1, blz. 200 en 2, blz. 16.
J. A. Barrau, Mouv. alg. no. 18.

§ 9. Polen.

Baanpunten, waar de k^ fluctievector op het moment ^^
nul is, noemen we k-polen der beweging. In zulke punten is:

(k)nbsp;Wnbsp;M

a(^l) XlC(^l) yl s(fi) = O
(k)nbsp;wnbsp;O

b (^l) — 5 (fi) yic (fi) = O

Twee gevallen willen we uitsluiten; het geval, dat de
vector P P*'') nul is en het geval dat op de toprechte
ligt. In het eerste zijn alle punten van het vlak V k-pool;
in het tweede is er geen enkele k-pool voor het moment ti.
Voor het algemene geval wordt de k® fluctievector in V
slechts nul. indien de projecterende straal van P en die van
uit dezelfde centraal in V elkaar snijden. Beide stralen
liggen dan in één vlak, dat noodzakelijk door P en P^ moet
gaan. De enige k-pool der beweging krijgt men dus door

de centraal te zoeken door P'*quot;* en vanuit deze het punt P

00

te projecteren. De coördinaten van de k-pool kunnen nu

als volgt worden afgeleid.

Zij \ Xi, yy i het punt van v. welks baan een k^ fluctievector

nul heeft op 't tijdstip ti-

Uit (15) lost men x^ en yi op:

(k) (k) (k) (k)
_ s(^l)amp;(^l)-c(^l)a(^l)

— (iö (k)

(k) (k) (k), (k) ^ '
_ c(^l)fc(^l) s(fl)a(^l)

yi — (k) quot;quot;öö

(k) (k)

Uitgezonderd (zie boven) is het geval c (fj) = O; 5 (^l) = 0.

Dc k-pool in V. het punt { X(t^). } is:

(k) (k) (k) (k)

X {tj} = a (fi) c (fi) —jy-^^-

(k) (k) (k) (k)
c(t,)b{t,) s{t,)a(t,)
^ (k) (k)
\c{t,) P

(17)

(k) (k) (k) (k)

F (tl) = b (fj) S (^l)

(k) (k) (k) (k)
c{t,)b{t,) s{t,)a{t,)
(k) (kj
!c(0 P ls(fi)P

Denkt men zich in bovenstaande ti vervangen door een
variabele t, dan stellen de vergelijkingen (17) de k^-pool-
baan voor, de meetkundige plaats van k-polen.

Voor de (snelheids)-pool treedt in (16) nog een vereen-
voudiging in wegens de relatie

c(^l)c(^^) 5(^l)5(fl) = 0nbsp;(18)

Dit gesubstitueerd in (17) geeft:

s(t,)c(t,)-c(t,)s(t,)

(t,)
s{h)c{t,)-c(t^)s(t,)

Y{t,) = b(t,) at{,)

De restrictie c = O, s = 0; betekent hier, dat we met
een tijdelijke translatie te doen hebben. Dit blijkt ook
uit de vergelijking voor de hoeksnelheid co. Men vindt co
bijvoorbeeld door de snelheid van de oorsprong van het v
vlak te delen door de afstand tot dat punt van v (de pool),
dat momenteel in rust verkeert.

l/aM^r

co =

In het uitgesloten geval is co _ 0.

De centraal door Pquot;», verbonden met P geeft het vlak,

dat V in de (snelheids-)pool snijdt. Een toepassing maken
we op een stelsel bewegingen, wier representanten een alge-
braïsch oppervlak op de bicylinder vormen In een enkel-
voudig punt P (stand) van dit oppervlak liggen de tangenten
aan alle tot het systeem behorende representanten in het
raakvlak van P. Zij loc de oneigenlijke rechte van dat raakvlak.
De centralen, van waaruit de polen van alle bewegingen
van het stelsel worden geprojecteerd, gaan alle door 1«. Zo
vormen deze centralen een 2e graads regelvlak over en
de beide cyclische rechten. De polen liggen op een „kegelquot; met
P als top, door de cyclische rechten. V wordt door de kegel
gesneden in een kegelsnede door de cirkelpunten. Dus:

De polen van een stelsel bewegingen als boven omschreven
liggen op elk moment (in het algemeen) op een cirkel

Is het punt P op het representanten oppervlak niet enkel-
voudig, maar bijvoorbeeld k-voudig, dan vormen de tangenten

1) ]. A.Barrau, Sur la Cinématique Plane: Comptes Rendus du Congres
International des Mathématiciens, Strasbourg 22-30 Septembre 1920.

Opmerking. Deze stelling geldt ook voor niet-algebraïsche stelsels.

in P een k® graads kegel. De oneigenlijke ruimte wordt dan
door de tangenten niet in een rechte Iq^ gesneden, maar in
een k® graadskromme C'.

oo

Ook nu weer worden de polen geprojecteerd uit centralen,

die O treffen. Zulke centralen vormen een regelvlak van

00

de graad 2 k. De cyclische rechten (4) en (5) zijn beide
k-voudige rechten van dit regelvlak. De polen worden ge-
projecteerd door een kegel met top in P, eveneens van de
graad 2 k. De snijflguur met V, waarop voor het moment
tl alle polen van het systeem liggen, is een kromme van de
graad 2 k. Door elk der cirkelpunten en Ij gaat hij k-maal.

§ 10. Hoeken tassen Vectoren en Voerstralen.

_ (k) (k) (k) (k)

De centraal door PC^': \ c{t), s(t), a{t), b(t), O ! wordt be-

oo

paald door de vergelijkingen (16). Vier punten erop willen we

in het oog vatten, namelijk: PW, de beide punten Ji en J^,

00

waarin de cyclische rechten worden gesneden en het punt,
van waaruit de k-pool geprojecteerd wordt:

(k) (k) (k) (k)

(k)^ (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k)
I ..c(f)b(f) 5(f)a(()nbsp;s{t)b{t)-c{t)a(t)

^ ^nbsp;(k) (k)nbsp;' — ^ W ÖÖ ÖÖ

nbsp;sM^) cM^)

(k) (k) (k) (k)

s' {t) c^ {t)

Uit elke rechte van het centrale stelsel wordt dit viertal
in dezelfde dubbelhouding op V oo geprojecteerd. Hierbij gaan
Ji en Ja steeds over op Ii en Ia.

Elke centraal projecteert de verbindingslijnen van P met

dit viertal volgens vier ruimten, die eveneens de dubbelver-
houding (PW, Jl, h, R) hebben. Ze snijden V in de projecties,

vier rechte'n door Q, waarop resp. de k® fluctievector, de
beide isotrope rechten en de voerstraal van Q naar de k-pool.
Gevolg is:

Op een willekeurig tijdstip maakt de k^ fluctievector in elk
baanpunt dezelfde hoek met de voerstraal naar de k-pool.

Voor k = 1 wordt deze hoek = | als gevolg van de

relatie (18).

Voor k = 2 zien we zo de versnellingshoek te voorschijn
komen de hoek tussen versnelling en versnellingsstraal.

Beschouwt men de beeldruimte als Euclidisch, dan is de
gedefinieerde hoek gelijk aan de corresponderende „hoekquot;
p(k) p R op de representante.

§ 11. Buigcirkel enz.

Voor het moment h mofl« ondersteld worden, dat de
punten Pquot;'' en P'quot; niet samenvallen en dat hun verbin-
dingslijn de rechten (4) en (5) niet snijdt. Dan wordt ?« Plt;»

getroffen door centralen. die een 2e graads regelvlak
vormen. Op de bekende wijze projecteren die centralen P
volgens een cirkel in V. Alle baanpunten op die cirkel hebben
voor het tijdsdp t^ de eigenschap, dat hun k® en fluctie-
vectoren langs elkaar vallen. De projectie van de k^ en fluctie-
vector in P op de representante geschiedt namelijk voor
zulke punten door één ruimte, de ruimte door de centraal.

de punten P«. P« en P.

00 00

We vinden dus:

De meetkundige plaats van punten, waar fc® en / fluctte-
vector voor het moment t^ dezelfde richting hebben, is een

cirkel.

Door de voorwaarde in te voeren, dat de centraal \x,y,\\
de rechte Pquot;'' P'quot; snijdt, vindt men de vergelijking van de

oo oo

cirkel (in v) zeer eenvoudig:

De k-pool en de 1-pool liggen op de cirkel, ook de (k-l)-pool
(zie volgende paragraaf).

Het geval k =: 1,1 = 2 levert de buigcirkel geprojecteerd
vanuit de centralen, die het osculatievlak van P treffen. Alle
punten erop hebben de eigenschap, dat snelheid en versnelling
dezelfde richting hebben, of wel dat de versnelling gericht is
langs de tangent aan hun baan; het zijn buigpunten.

§ 12. Buigpool enz.

Reeds terloops kwam de buigpool ter sprake als snijpunt
van het osculatievlak met V (§ 8). In breder verband worden
hier besproken de punten, waarin V wordt gesneden door vlak-
ken, bepaald door twee flucticvectoren. Voor het moment t^
onderstellen we de beschouwde fluctievectoren van verschillende
richting in P en niet gelegen in een beschrijvend vlak. Het
snijpunt met V van het vlak door k^ en fluctievector noemen
we de (k-l)-pool. Hij ligt volgens § 11 op de (k-1) cirkel (19).

Alle projecterende ruimten, die de k® en 1® fluctievector projec-
teren volgens twee vectoren met dezelfde richting in de baan-
punten op de (k-1) cirkel, gaan door de (k-1) pool. Immers
bevatten zulke ruimten de punten P''^', P'quot; en P, dus juist het
vlak, waar we van uit gingen. Daar de snijlijnen volgens
welke zulke ruimten V snijden, de rechten zijn, waarlangs

zowel de k^ als de 1lt;= fluctievector liggen, krijgen we de vol-
gende stelling.

Als de k« en 1® fluctievectoren van een baanpunt langs
dezelfde rechte vallen, gaat deze rechte door een vast punt
van het vaste vlak of: De rechten, waarlangs de k-^ èn fluctie-
vector van baanpunten op de (k-1) cirkel vallen, gaan door
één punt, de (k-1) pool op die cirkel.

Het geval k=l. 1 = 2 levert de buigpool i), het punt,
waar alle buigraaklijnen samenkomen van punten, die op het
moment t^ door een buigpunt van hun baan gaan.

Door drie vectoren in P, de k^ en m^ fluctievector gaat
één ruimte. In die ruimte ligt het vlak door de k^ en l^ ^t
door de en m® en dat door de m^ en k® fluctievector. De
snijlijn van deze ruimte met V gaat dus door de (k-l)-pool.
de (l-m)-pool en de (m-k)-pool.

We vinden dus:nbsp;, /nbsp;,

De (U)'pool en de (l-mj-pool liggen met de (m-kj-pool

in één rechte.

Voor het gevar k = 1. 1 = 2, m = 3 ontmoetten we deze
rechte reeds (§ 8) als snijlijn van de hyperosculerende ruimte
in P met V.

§ 13. Isoklinen.

De beide centralen door P« en P« bepalen een bundel
van 2e graads regelvlakken,°°uit centralen bestaande. Zo'n
bundel heeft als basisfiguur de scheve vierzijde, bestaande
uit de twee genoemde centralen en de beide cyclische rechten.
Een exemplaar is het oppervlak, dat de (k4)-cirkel projecteert.
Andere exemplaren kan men zich bijvoorbeeld bepaald denken

door rechten Pquot;^' R«. waarbij R« een willekeurig punt op
de centraal door P'quot; is, (de beide cyclische rechten zijn ge-
meenschappelijk. zodat het gegeven P« R voor uitkiezen

van één exemplaar voldoende is). Op de centraal R® liggen
als merkwaardige punten, behalve Plt;quot; en de beide snijpunten
Jl en Ja met (4) en (5). Vanuit elke centraal van het opper-
vlak wordt dit viertal op de toprechte volgens dezelfde dubbel-
verhouding geprojecteerd. Verbinden met P: { c (^l), s (fj),
a (tl), b (tl), 1 } levert vier projecterende ruimten. Projecties
zijn vier rechten door het baanpunt Q, respectievelijk langs
de 1®, de k® fluctievector en de isotrope richtingen door Q.
Gevolg is, dat de cirkel, de meetkundige plaats van Q, de
eigenschap heeft, dat in al haar punten de k® en F fluctie-
vector dezelfde hoek a maken of het supplement van a. Deze
cirkel noemen we de (k-l)-isokline. De k-pool en de 1-pool,
projecties respectievelijk uit de centralen door en P'quot; van

P liggen op alle (k-l)-isoklinen. De „hoekquot; Rlt;quot; P P« iegelijk
aan de hoek QW QQ«.

De (k—l)-cirkel is het exemplaar in de bundel, waarvoor
deze hoek nul is. R''' valt met P™ samen. Voor k = 1, 1 = 2
krijgen we de isoklinen in de gebruikelijke zin van het woord,
gaande door (snelheids)- en versnellingspool i). Nulisokline
is de buigcirkel.

De vergelijking van de isokline (in v) is weer eenvoudig
aan te geven. Door P''' gaat de centraal.

oo

(1) (1) (1) (i) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
(sè —ca)c-K( —c6 —sa)s —(c2-hs2)a = 0

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
( — cb — sa)c — (sb — ca)s (c' s')b = 0

Een willekeurig punt R'*' hierop:

(1)0) (1)(1) (1)0) (l)(i)
i 2 (ca — sb)l (cb sa)/j.

Inbsp;(1) (1)

s^

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) lt;1)
(cfc-f sa)A —(s6 —ca)/x

(1) (1) ' ^ gt;

__c^ s^

De isokline heeft tot vergelijking (de centraal \x,y,l\ moet
PC') Rd) snijden):

1.0,nbsp;—X

0,1,nbsp;— y

(k) (k)nbsp;(k)

CSnbsp;^

(1)0)nbsp;(1)(1) (1)0) (DW,

f*' (1) (1)
c^ s^

Door de drie centralen van de punten PW, P«, P^ gaat

00 00 00

één 2e graads regelvlak uit de bundel. P wordt vanuit
dit regelvlak geprojecteerd in een cirkel uit de bundel, de
(k-l-m) isokline. De punten er op hebben k®-, P- en m^ fluc-
tievectoren, die steeds gelijke hoeken insluiten. Tenslotte
nog de opmerking, dat elk exemplaar van de bundel 2e graads-
oppervlakken in plaats van door P« R'quot; ook bepaald kan
worden door Pquot;' R«*^'. is dan Evenzo een willekeurig

OO

punt op de centraal door P'*quot;'.

§ 14. Bijzondere Punten op de Isoklinen.

Behalve de k-pool en de 1-pool beschouwen we op de
(k-l)-isokline nog een tweetal punten, die te vergelijken zijn
met de (k-l)-pool op de (k-l)-cirkel of nul isokline. Evenals
we de laatste verkregen als doorsnede van het vlak P«*^' P'quot; P
met V, verkrijgen we het „k-polairequot; punt als snijpunt van
het vlak R® P met V en het „1-polairequot; punt als snij-
punt van P'i' RW P. De beide polaire punten liggen op de
isokline, daar de vlakken PW Rlt;'gt; P en P« R« P op het
projecterende hypervlak ligge^ Alle k^ fluctievectoren van
punten Q op de (k-l)-isokline zijn gericht naar het k-polaire
punt. Dit vindt zijn oorzaak in het feit, dat alle projecterende
ruimten van de k® fluctievector in P, vanuit centralen op het

2e graads oppervlak door Pquot;'' Rlt;') bepaald, het vlak PW R(quot; P
bevatten. De ruimten snijden alle volgens rechten door het
k-polaire punt; de k® fluctievectoren der punten Q liggen
langs deze rechten. Eveneens zijn de 1® fluctievectoren der punten
Q alle gericht naar het 1-polaire punt. Op de a-isokline is de
boog tussen het k-polaire en het 1-polaire punt uiteraard — la.

We vinden verscheidene combinaties van drie dergelijke
punten op één rechte op dezelfde wijze als in § 12 geschied is.

De rechte P^« R« projecteert P in het k-polaire punt van
de a-(k-l)-isokline, als

a=^lg (PW.RW, J/), ygt;)).nbsp;(zie§13).

4b Xnbsp;Oo

De rechte PW RO projecteert P in het m-polaire punt van
de a-(m-l)-isokline en de rechte Pquot;^' PIquot;) in de (k-m)-pool.
Nu liggen PW Rd), pw Rd) en pw^pH^n één vlak. P wordt

Jnbsp;• J °° 1 °° ,nbsp;Oo 00

dus uit deze rechten door één ruimte geprojecteerd in één
rechte lijn in V:

Het k-polaire punt van de a~(k-l)~isokline en het m-polaire
punt van de a-(m-l)-isokline liggen met de (k-m)-pool in één
rechte lijn.

Als tweede combinatie nemen we de rechten P**^' RO, R»)

S(m), en S(-) P(W, waarin:
00

1 Ig (P(n,)^ SW. JiW, J^W) = a
^ tnbsp;OO

De rechte R« S'-quot;' hgt dan op het 2e graads oppervlak
door (4) en (5) en PW P^-), want op 2 transversalen, de cen-
tralen door P') en zijn de dubbelverhoudingen der vier
snijpunten gelijk. R« S(»' projecteert P in een punt van de
(l-m)-cirkel, dat op een booglengte = 2 a van de (l-m)-pool
verwijderd ligt. Dus:

Het k-polaire punt van de a-(k-l)-isokline en het k-polaire
punt van de a.(k-m)-isokline bepalen de rechte lijn, die de

(m4)-cirkel treft in een punt ter booglengte 2 a van de (m-l)-
pool verwijderd.

De derde combinatie worde gevormd door de rechten
Q(k) R(i) S(-) en S'quot;' QC^', waarin:

1 Ig (pW. Q(k),nbsp;J^(k)) = «

Z t oo

De rechte, waarin V door de ruimte Qquot;'' R'quot; S'quot;quot;' P getroffen
wordt, snijdt de (k-l)-cirkel, de (l-m)-cirkel en de (m-k)-cirkel in
punten, die men verkrijgt door respectievelijk uit de (k-l)-pool,
de (l-m)-pool en de (m-k)-pool een boog ter lengte 2 a af te
passen.

Ten slotte liggen alle rechten door P'''' en R'quot;, als wc ons

oo

R'quot; willekeurig denken op de centraal door P'*', in één plat

oo

vlak. Het vlak P''^' R'quot; P doorloopt bij variabele stand van

00

R'quot; een ruimte, die V in een rechte snijdt.

Alle punten dezer rechte vertegenwoordigen de k-polaire
punten van de door R'quot; aangewezen (k-l)-isoklinen. Valt R'''
met P'quot; samen, dan correspondeert hiermee op de rechte de

oo

(k-l)-pool. We hebben de volgende stellingen bewezen:

Alle k-polaire punten van de oo^ (k-l)-isoklinen liggen op
één rechte door de l-pool; alle l-polaire punten van dezelfde
categorie isoklinen liggen op een tweede rechte door de k-pool.
Beide rechten snijden elkaar in de (k-l)-pool.

Voor het geval k = 1, 1 = 2 komt er dus in het bijzonder:
De punten, waardoor op alle isoklinen de snelheidsrichtingen
in punten der isoklinen zelf gaan, liggen op één rechte. De
l-polaire punten zijn hier alle diametraal tegenover de pool
op de isoklinen gelegen. Hun meetkundige plaats vormt zo
een rechte lijn loodrecht op de verbindingslijn van snelheids-
en versnellingspool door de buigpool.

De punten, waardoor op alle isoklinen de versnellings-
richtingen in punten op de isoklinen zelf gaan, liggen op één
rechte. Deze gaat eveneens door de buigpool (versnellingsas)

§ 15. Buigcirkel en Poolbaan.

Ter voorbereiding van de ontwikkeling in de volgende
paragraaf, wordt het vlak V zodanig getransformeerd, dat
voor het moment de pool in de oorsprong komt te liggen
en de raaklijn aan de poolbaan aldaar F-as wordt. Dit be-
tekent een kinematische transformatie, waarbij voor het ogen-
blik de nieuwe c(f), s(t), a(t), b(t) voldoen aan:

; SC — CS -

a — b-= O

c^ s^

, . • sc — cs -
O 4- a-= O

c^ s^

y sc — CS , ;SC — CS
a — b--h b- = O

c2 s2nbsp;c2

Vult men deze relaties in bij de vergelijking van de buig-
cirkel (§ 11), dan komt er:

F^)(sc-cs) ArS-6(c^ s^) a(sc-cs)

— a [sc — cs)j = 0

De buigcirkel raakt in de oorsprong, de pool, aan de F-as
dus aan de poolbaan. De poolbaan omhult alle buigcirkels i).

§ 16. Kromtemiddelpunten.

Volgens definitie is het kromtemiddelpunt van de baan
Y(t)\ op het moment t^-.

Y(ti) X(ti)-

x(t,)Y{t,)-x(ti) m)

het middelpunt van de osculerende cirkel.

Voor de baan van de oorsprong van v wordt dit, met
weglating van f^:

i(0,nbsp;fe a^^. 1| (20)

ab — abnbsp;ab — a b

Door het punt P jc(fi). s (^l), a(Ci). fe (^l), 1 i der represen-
tante wordt nu een „cirkelquot; aangebracht als volgt: op de
buigcirkel wordt een cylinder opgericht met de rechte PO
als beschrijvende en deze cylinder wordt gesneden met een
vlak door P evenwijdig aan V. De snijflguur, de bedoelde
„cirkelquot; raakt in P aan het vlak door P en de raaklijn aan
de poolbaan. Nu wordt de „cirkelquot; vanuit de pool O ge-
projecteerd door middel van een 2e graads kegel, die „krom-
mingskegelquot; genoemd wordt. Langs PO raakt hij aan het
vlak door P en de tangent aan de poolbaan.

Het hele vlak V wordt nu door middel van stralen door
P op de krommingskegel afgebeeld. Bij elk punt A van V
behoort één punt A' van de kegel en omgekeerd. Uitzonde-
ringen vormen het punt O, dat met de hele beschrijvende
O P correspondeert, en dc punten van O Y, die alle in P
worden afgebeeld.

Analytisch voeren we dit uit voor het baanpunt B:
j O, O, a (tl), b (^i), 1 i, waarin de oorsprong van v zich momen-
teel bevindt. De poolstraal door B is:

Xb(ti)-Ya{ti) = 0

Het beeldpunt B' moet liggen in het vlak W door deze
poolstraal en P. In W liggen de beschrijvende van boven-
genoemde cylinder, die door PB wordt getroffen, en de be-
schrijvende van de krommingskegel, die in B' wordt gesneden.
Teneinde dc laatste te bepalen, snijden we eerst de poolstraal
in W met de buigcirkel; snijpunt:^)

10,0,---:

— a a (Cl) b (fi)

De beschrijvende van de cylinder gaat hierdoor en door
het punt Q:

!c(fi),5(Ci).a(fi)----:

bit,)---; 1 I

\s(t,)c(t,)-c(tys(t,)\\a^t,) b^t,)\

in het vlak door P evenwijdig aan V.
B' ligt op QO. Het blijkt te zijn:

B' = { c (fi). s (fi), a (t,) (1 /.), b (t,) (1 /i). 1 !

— aa (Cl)

fi =

Vergelijking van de buigcirkel:

\X' Y'\\s(t,)c{h)-'c(h)quot;s(h)] aX=0. 2ie§ 15.

Op de lijn PO nemen we nu het midden M

\c(t,).s(t,),a(t,),b{t,), 21

M noemen we krommingscentrum.

Vanuit M willen we nu alle beeldpunten A' weer op V
terugprojecteren. dus ook B'. Projectie van B' wordt Bquot;:

Bij uitwerking van de factor —^ blijkt Bquot; juist het punt

(20) te zijn, dus het kromtemiddelpunt van de baan, die de
oorsprong van v beschrijft, in B.

Tot een algemene stelling komt men nu, door een kine-
matische transformatie toe te passen. Het vlak V wordt punt
voor punt invariant gelaten, terwijl in v een willekeurig punt
\x,y,\\ tot oorsprong wordt gemaakt. Bij de kinematische
transformatie gaat P over in een punt P' op de getransfor-
meerde representante; M blijft in het midden van de rechte
O P': M', omdat de kinematische transformatie een affiniteit is.
De cylinder en krommingskegel behouden zo hun eigen-
schappen. De bovengenoemde stelling geldt voor het punt,
dat thans als oorsprong van v fungeert. Het krommings-
middelpunt bij de nieuwe oorsprongbaan krijgt men dus door
projectie van het beeld op de krommingskegel vanuit M'.
Na terugtransformeren blijkt dus:

Het kromtemiddelpunt, behorend bij een willekeurig baan-
punt A, wordt gevonden door projectie van het beeldpunt A'
op de krommingskegel vanuit het krommingscentrum.

§ 17. Verwantschap tussen Baanpunten en Kromtemiddel-
punten.

Door de afbeelding van § 16 wordt een { 1,1 | verwant-

schap gevestigd tussen de baanpunten in V en de bijbehorende
kromtemiddelpunten. De correspondentie is birationaal^). Reeds
werd de aandacht gevestigd op de singuliere punten van de
tangent in O aan de poolbaan.

Met de oneigenlijke rechte van V als meetkundige plaats
van kromtemiddelpunten komt op de krommingskegel overeen
de cirkel in het vlak door M evenwijdig aan V. P projecteert
die cirkel op zijn beurt in de buigcirkel; hieruit wordt nog
eens gevonden, dat de buigcirkel de meetkundige plaats is
van punten met kromtemiddelpunten in het oneindige.

Met de oneigenlijke rechte als meetkundige plaats van
baanpunten correspondeert de cirkel op de krommingskegel
in het vlak door P evenwijdig aan V. Geprojecteerd uit M
krijgen we een cirkel in V symmetrisch met de buigcirkel ten
opzichte van de tangent aan de poolbaan: de keercirkel.

De cyclische punten van V, Ii en I2. liggen op de krom-
mingskegel. Een kromme van baanpunten door en I2 gaat
dus over in een afgebeelde kromme op de kegel, eveneens
door de cyclische punten van V. Ook projectie uit M op
V laat deze punten onaangeroerd. Met een cyclische kromme
van baanpunten komt zo steeds een cyclische kromme van
bijbehorende kromtemiddelpunten overeen en omgekeerd.

Het beeld van een m® graads kromme Cquot; van baanpunten
op de krommingskegel is een C^quot;quot;, de doorsnede van de
m® graads-projecterende kegel met top in P en de krommings-
kegel. M projecteert C^quot; op V volgens een vlakke C®quot;quot;.

Bijzonderheden vertonen de snijpunten van Cquot;quot; met de
tangent aan de poolbaan. De tak van Cquot;quot;, waarop zo'n
snijpunt, mits buiten de pool, ligt, wordt afgebeeld in een
tak van de beeldkromme door P. Vanuit M geprojecteerd
wordt dit een tak door de pool, rakend aan de tangent aan
de poolbaan en nader: osculerend aan de keercirkel. bevat

F. Schuh. Theor. Mech. I, 1, blz. 260 en v.v.

dus in het algemeen een m-voudig punt, waarbij de m takken
elkaar en de keercirkel osculeren.

Het bovenstaande is evenzeer van toepassing op een kromme
C- van kromtemiddelpunten. Men behoeft overal slechts P
met M en keercirkel met buigcirkel te verwisselen.

Om volledig te zijn, dienen nog de gevallen bezien te
worden, waarbij takken van Oquot; door de pool gaan. Wordt
daarbij de tangent aan de poolbaan t niet geraakt, dan splitst
zich in de getransformeerde kromme C^quot; deze rechte t af.
C^- bestaat dan dus uit eennbsp;de eigenlijke kromme,

die met C- correspondeert, en t. Wordt t geraakt door C-,
dan splitst t zich 2 of 3 maal af, al naar gelang de keer-
cirkel, respectievelijk de buigcirkel niet of wel geosculeerd
wordt (vergelijk voor het laatste, wat hierboven is gezegd).

Dientengevolge wordt de kromme C^» met het m-voudige
punt in de pool. als boven verkregen, een Oquot; waarvan
Lh echter de rechte t 3m maal afsplitst. Er blijft dus naar
behoren de C». waarvan men oorspronkelijk uitging, over.

Het geheel is bepaald, als pool en buigcirkel zijn gegeven. Dit
kan ook zo worden uitgedrukt: als het osculatievlak van de
representante in P bepaald is. Alle bewegingen, wier represen-
tanten elkaar in P osculeren. hebben op het bi,quot; P behorende
tijdstip een identieke verdeling van kromtemiddelpunten m
V. Het eenvoudigst kan men die vinden bij de osculerende

elliptische beweging.

TWEEDE HOOFDSTUK

KINEMATICA VAN EEN VAST LICHAAM
IN DE RUIMTE

§ 18. De kinematische Beeldruimte.

Analoog aan de behandeling van de kinematica van het
vlakke stelsel willen we thans overgaan tot de kinematica
van een „vast lichaamquot; in de (Euclidische) ruimte. Daartoe
denken we ons het lichaam onbegrensd, over de gehele
ruimte uitgebreid Een bewegelijke ruimte r met coördinaten
{x,y,z\ ten opzichte van een aangenomen rechthoekig assen-
stelsel wordt daarbij dus ingevoerd. De verschillende standen
van r of continue opeenvolgingen van standen worden be-
schouwd ten opzichte van een vaste ruimte R. In R is daartoe
eveneens een rechthoekig assenstelsel gekozen; coördinaten
\X.Y.Z!.

Elke stand van r wordt vastgelegd door een Euclidische
transformatie, die r in R overvoert:

X=aiX-\-a^ya^ zai

Y= b.x b^y bsz bi
Z— Cl X -f C2 y Cg z C4
Hierin voldoen a-^, a^, a^, b^^, b^, b^, c^, c^, c^, aan de relaties
ai^ a/ 33^=1 (21) feiCi 62C2 amp;sC8 = 0 (24)
fes' = 1 (22) Cl ai Cg a^ C3 as = O (25)
c,' c,' c,'= l (23) a,b, a,b, a,b,= 0 (26)

en (of) aan

nbsp;1 (21')nbsp;a,a, b,b, c,cs = 0nbsp;(24')

Vnbsp; V nbsp;(22')nbsp;asai fos^ CsCi^Onbsp;(25')

Vnbsp; nbsp;= l (23')nbsp;aia, fciamp;3 CiCä = 0nbsp;(26')

1) F. Schuh. Theor. Mech. I, 2, blz. 315.

Ook kan de stand van r bepaald worden door de inverse trans-
formatie. waarvan de coëfficiënten met een accent mogen aange-
geven worden; ze voldoen eveneens aan de relaties (21) tot en met
(26). De 12 coëfficiënten \ a^, a^. ag. a^. b^, b^, feg, 64- Ci. Cj. Cg. C4 j
worden nu opgevat als coördinaten van een punt in een ruimte
van 12 afmetingen R^^. Als homogeen makende variabe e
wordt eventueel h gebruikt. Een stand van r wordt afgebeeld
in een punt van de beeldruimte Ri^. een beweging van r
in een kromme: de representante der beweging. De coëfficiënten
zijn in dit laatste geval functies van t (de tijd). Van deze
functies wordt ondersteld, dat ze continue differentiaalquotienten
bezitten van zo hoge orde, als nodig zal blijken.

§ 19. De cylindrische Beeldvariëteit.

Alle punten, die een stand van r representeren, voldoen
aan de relaties (21) tot en met (26); ze liggen op een 6-dimen-
sionale variëteit B in de beeldruimte, waarvan de vergelijkmgen
in die relaties gegeven zijn. B is dus doorsnee van 2e graads-
variëteiten. Op B liggen meervoudige punten, daar op elk
der zes variëteiten (21) tot en met (26) dubbelpunten liggen
en wel in de vlakke ruimten:

a,nbsp;= a, = a3=/.=0nbsp;(27)

b,=nbsp;h = h=h=0 28
ci=c,=c, = h=0nbsp;(29)

= = = =nbsp;(30)

ci=ai = c,=a, = c,=a, = 0 (31)
a, = b, = a,=b, = a, = h = 0nbsp;(32)

Het vlak in het oneindige:nbsp;^

= = = = = =

waardoor (27) tot en met (32) gaan. fungeert als een topvlak
voor de variëteit B. Alle driedimensionale ruimten, door dit
vlak en een willekeurig in het eindige gelegen punt van B.
liggen geheel op B (beschrijvende ruimten).

Om de graad van B tc bepalen moet deze zes-dimensionale
variëteit gesneden worden met een vlakke zes-dimensionale
ruimte R^. Hiervoor kiezen we

= = C4 = ai = fcg = Cs = Onbsp;(33)

In (33) liggen de volgende punten van B en niet meer
dan deze:

|0, I, 0,0, 0,0, l,0, I. 0,0,0,(1)1 (8 stuks)
I O, 0.±I,0,±1.0, 0,0, O, 1, O, O, (1) j (8 stuks)
\0. l,±i.O, 0,0, 0,0, O, 0,0,0,(0)1 (2 stuks)
I O, O, 0,0, l,0,±i, O, O, 0,0,0,(0)1 (2 stuks)
I O, O, 0,0. 0,0, 0,0, 1,± I, O, O, (0) ! (2 stuks)

De beide eerste achttallen zijn op elk der variëteiten (21)
tot en met (26) enkelvoudig. Op B zijn ze dus minstens enkel-
voudig. Van de paren imaginaire punten geldt, dat ze in drie
der ruimten (27) tot en met (32) liggen. Ze zijn dus elk op
drie der variëteiten (21) tot en met (26) dubbelpunt; de eerste
twee bijvoorbeeld op (22), (23) en (24). Op B zijn dus de
zes imaginaire punten minstens 8-voudig. De graad van B,
het aantal snijpunten met de gekozen Rg (33), wordt 20
minstens 166X8 = 64.

De graad van B kan echter niet hoger zijn dan 2®. Dus
B is een Vg®^

§ 20. Kinematische Transformatie.

Zowel in R als in r brengen we een ander orthogonaal
assenstelsel aan; nieuwe coördinaten respectievelijk {AïZ' i
en j x', y', z' j

x' = AT -f- Og y «3 Z -f 04

= ^^ ; invers:
z'=nbsp; ygZYi

x = ai' x' a^'y' ag'2' «/
y x' y' z'
z^ïi x' y/y'i-ys' z' y,'

Y' = B,X B,Y BsZ Bi; invers:

z' = Tl X Fj^ Y r^ z r^

X = Ai' X' A,' Y' A3' Z' A/
Y = X' 5/ Y' Bs' Z' B/
z= r/ X' r/ Y' r,' z' r/

De getransformeerde ruimte r: {x',y',z') moge met de ge-
transformeerde ruimte R: (X', Y', Z') verbonden zijn door de
transformatie

= y' agz' a,
Y' = h,x' h,y' h,z'nbsp;invers:

Z' = Cl jc' Ca y' Cg z' c^

x' = a/X' a/ F' ag'Z' a/
y'=b/X' b/ F' bg' Z' b,'
z' = c/ X' Ca' F' Cg' Z' c/

Alle optredende coëfficiënten voldoen aan de relaties (21)
tot en met (26). De transformatie in de beeldruimte, teweeg
gebracht door de verlegging van de assenstelsels in R en r,
de kinematische transformatie, wordt dan als volgt:

ai=ai Al a/ a^ A^^/ ag A^ yi' 4- h «i'
èaAa /Si' ègAa ^' q Ag a.' c^ Ag

cg Agyi

bi= ai B, a/ aa Bi a« y/ ^
b,nbsp;èg Ba yi' Cl Bg a/ ca Bg/5, ' Cg Bg ^

Ci =airia/ aari^/4-a8ri;'/-hfciraa/ fcaraA
-f feg Ta j-i' Cl r,a/ Ca Tgnbsp;Cg F, y/

a^ = ai Al a/ ag Al -h ag Al y/ a^ Al 61 Aa a^

h k' nbsp;K Aa Cl Ag a/ Ca Ag

Cg Ag y^' C4 Ag 4- A4

b,nbsp;= a, B, a/ a^ B, ag y/ a,B, b, B, a/

b, B, nbsp; b, B, Cl B, a/ Cs B,

Cs fis q fis B,

c,nbsp;= ai Tl«/ as Tl ag F, y/ a, F, fe, F,«/

b, F, èg r, j./ fc, r^ Cl Tg a/ Cs Tg
C3r3y/ c,rg r,

De transformatie is afBen: h = 0 blijft invariant. Verdere
invarianten zijn: de variëteit B en de ruimte van drie af-
metingen

ai = as = as = = fes = tg = Cl = Cs = Cg = O (34)

Deze ruimte wordt getransformeerd juist zoals de ruimte R.
Evenals dit voor het platte vlak is geschied met het asvlak
en V, zullen we de „asruimtequot; (34) identificeren met R.

In = O blijven invariant de variëteit Vu®

= Onbsp;(35)

en tevens de variëteit E, gegeven door een stelsel van 9 ver-
gelijkingen : de gelijk nul gestelde onderdeterminanten van D.

Enkele andere invariante stelsels komen in het volgende
nog ter sprake.

§ 21. Spiegeling.

Elke stand van r heeft een beeldpunt op B. Vraagt men
omgekeerd, of elk punt van B een stand van r representeert,
dan is nadere precisering nodig.

Uit de vergelijkingen van B, (21) tot en met (26), volgt
namelijk:

(zie 35)

dus:nbsp;D= lnbsp;(36)

en D =—\nbsp;(37)

De vergelijking (36) wijst de transformaties aan, die R
rechtstreeks in r overvoeren, de vergelijking (37) echter slechts
na spiegeling. Continue overgang langs B van een punt, dat
aan (36) voldoet, naar een, dat aan (37) voldoet, is niet
mogelijk. B bestaat dus uit twcc it bladenquot;. De punten van
B representeren standen van r of van een gespiegelde r,
al naar gelang ze liggen op het blad (36) of (37).

Spiegeling kan plaats hebben tegen een punt of tegen een vlak.

Spiegelen wc r tegen het punt { O, O, O, 1 } van R, dan
gaan de coördinaten | a^, a,, ag, a^, bi, b,, b^, fe^, Ci, Cg, Cg, c^, (1) j
in de beeldruimte over in { — a^, —a,, — a^,—a^, — b^,

— fej, — bg, — 64, — Cl. — Cj, — Cg, — C4, (1) |.

De verbindingslijnen van twee corresponderende beeld-
punten gaan dus door O: { O, O, O, O, O, 0, O, O, O, 0, O, O, (1) \;
O deelt die verbindingslijnen „middendoorquot;. Door trans-
formatie van R kan men { O, O, O, 1 j over laten gaan in elk
gewenst punt { X, Y, Z, l De bijbehorende kinematische
transformatie voert O over in \ O, O, O, X. O, O, O, Y, O, O, O, Z, 1
De genoemde eigenschappen blijven behouden.

De standen van r en de daarmee corresponderende ge-
spiegelde standen ten opzichte van het punt \X, Y, Z, \]
van R hebben op B beeldpunten, die „gespiegeldquot; liggen
ten opzichte van { O, O, O, X, O, O, O, F, O, O, O, Z, 1 }.

Op analoge wijze kan men de spiegeling tegen een vlak
behandelen, maar het resultaat geeft niet aanleiding tot een
eenvoudige formulering als boven gevonden.

Opmerking:

Was het uitgangspunt van § 1 gekozen in het stel ver-
gelijkingen :

-X'=ai jc-l-aa ya^
ai^ a^® = 1 ; fe/ = 1 ; ai amp;i a^ = O
dan was evenzo een beeldvariëteit gevonden, waarop de ge-

spiegelde standen een plaats hadden. De vergelijkingen (1)
zijn op te vatten als resultaat van een eliminatie hieruit,
tevens keuze voor de rechtstreekse transformaties.

In het volgende zullen de gespiegelde standen buiten be-
schouwing gelaten worden. Van een beeldpunt

{ a^, a^, ag, a^, b^, b^, fcg, b^, Cj, Cj, Cg, c^, (1)}
wordt dus ondersteld, dat het voldoet aan (36).

§ 22. Kinematische Projectie.

Zij een beweging gegeven door de representante

P {t) ai {t), a, {t), ag {t), a, {t), b, (t). b, (t), b, (t), b, Xt),

Cl {t). C, (t), Cg (f), Q (0. 1 !

De baankromme, door de oorsprong van r in R beschreven,
kan voorgesteld worden door

Dit is echter tevens de projectie van de representante op
R vanuit de acht-dimensionale ruimte in het oneindige

= = C4 = /i = O

Op geheel dezelfde wijze als dit in § 3 gebeurd is, be-
wijzen we, dat alle baankrommen als projecties van derge-
lijke Rg in h — Q) te voorschijn komen. Het middel is ook
hier het toepassen van een kinematische transformatie.
Daarbij gaat 34 = amp;4 = C4 = = O over in:

Pai Qasj -f/^as 5a4 = 0
P 61 -f Q -h i? èg 5 64 = O
Pci-F Qc,-F/? cg 5c4 = 0nbsp;(38)

h = 0
S^O

Uit de „centraalquot; (38), de centraal { P, Q, R, S }, wordt de
representante geprojecteerd in de baankromme, die het punt

\P,Q.R.S\ van r beschrijft. Dit bhjkt ook rechtstreeks
eenvoudig, als men de volgende 9 punten op (38) neemt:

j S, 0. O, — P. O, O, 0. O, 0. O, O, 0. (0) I
S 0. S, O, — Q, 0. 0. O, O, O, O, 0. O, (0) j
j O, O, S. — R. O, 0.0, 0. 0.0, 0. O, (0) S
jo.o.o, O, 5,0,0. —P. O, 0,0, 0,(0) S
{0,0,0, O, 0,5,0, —Q. O, 0,0, 0,(0)i
{0.0,0, O, O, 0,5, —0.0. O, 0,(0)1
{0,0,0. 0.0,0,0, 0,5,0,0. —P.(0)!
{0,0,0, 0,0,0,0, 0,0,5,0, —Q.(0)!

{0,0,0, 0,0,0,0, 0.0,0,S, — R.{0)\

Verbonden met het lopende punt P (t) der representante
en gesneden met R, levert dit als snijpunt:

Qit): { O, 0. O, 5a, (t) Pa^ Q a^ (t) Ra, (t).

O, O, O, 5 h [t) PbAt) Q h (t) RbB (t)gt; O etc. 1 1,

het lopende punt van de baankromme van { P, Q, R. 5 De
centralen vormen een in zichzelf gesloten stelsel van Rg in
h = 0; het geval 5 = 0 blijft een afzonderlijk gesloten stelsel,
alles voor kinematische transformatie.

Door een willekeurig punt in h = 0 gaat in het algemeen
één centraal, daar de vergelijkingen (38) in het algemeen
één oplossing {P,Q.R.S\ toelaten. De projecterende stralen
tekenen in elke centraal een kromme af, wier punten in { 1; 1 !
correspondentie staan met de punten der representante.

Een algebraïsche representante levert als projectie steeds
een algebraïsche kromme in R van, in het algemeen, dezelfde
graad. De baankrommen hebben zo, uitzonderingen daarge-
laten, dezelfde graad als de represante: dubbelpunten etc.
herhalen zich in elk exemplaar.

§ 23. Rotaties.
Het vlak in de beeldruimte

ai — tg = O

= O

Cs = h

as = 34 = = = Cl = Cs = C4 = O

snijdt de cylindrische variëteit B. Doorsnede is een kegel-
snede. De oneigenlijke punten van deze kegelsnede

I I, 1, O, O, - 1. i. 0. O, O, 0. 0. 0. (0) \
\—i,1.0,0,-1, — i, 0. O, 0. 0. O, O, (0) j

zijn gelegen op de absolute kwadriek

I' ' ' h=0

Werd de beeldruimte dus Euclidisch opgevat, dan zou de
snijfiguur een cirkel heten.

Door kinematische projectie worden de punten (40) vanuit
elke centraal op twee vaste punten van R, en wel nader, op
de absolute kegelsnede

gelegen, geprojecteerd. Baankrommen van de beweging, wier
representante bovengenoemde „cirkelquot; is, worden dus cirkels
in evenwijdige vlakken. Het middelpunt dezer cirkels blijkt
te liggen op de rechte OZ van R.

Bijzonderheden vertonen de centralen door de punten (40),
de centralen:

A ag ^ a^ = O

^ Cg fiCi —O
h = 0

Het vlak (39) wordt vanuit zo'n centraal geprojecteerd
door middel van één R,; projectie is dus slechts één punt,
het snijpunt van de projecterende R9 met R. Volgens boven-
staande zijn de punten in r, die aldus bij de beweging in-
variant blijven, de punten { 0. O, A, fi Ze vormen de rechte
O Z van r. en ook van R. De beweging is de rotatie, waarbij
de Z-assen van r en R incident blijven.

Door kinematische transformatie komt men nu tot een in
zichzelf gesloten stelsel van vlakken, die alle B volgens een
kegelsnede snijden. Speciaal geven we aan, waarin de punten
(40) overgaan. Voor een willekeurige transformatie worden
dit de punten

c.nbsp;Ze worden door een willekeurige centraal geprojecteerd
in de punten

en j Al

op de absolute kegelsnede van R.

d.nbsp;Bijzonderheden bij de projectie treden op, als de centraal
de punten (42) en (43) bevat. Dit is het geval met de oo^
centralen \ P, Q, R, S die voldoen aan

( Pß,' Qß/ Rßg' Sß,' = 0

De bij deze bijzondere centralen behorende punten van r
vormen een rechte lijn, met als oneigenlijk punt:

«/. «2'. «s'
ßi' ßa'' ßz

In R ligt dit geconjugeerd ten opzichte van de absolute
kegelsnede met de punten (44).

e. Elke centraal snijdt alle cyclische rechten.

Samenvattend kan men zeggen, dat elke doorsnede van
de 2e graad, waarin een vlak door 2 cyclische punten (42)
en (43) de variëteit B snijdt, representante is van een rotatie.

§ 24. Representanten in vlakke Ruimten.

De cylindrische variëteit B heeft als beschrijvenden drie-
dimensionale ruimten door het topvlak, het oneigenlijke vlak
van R. De representanten, die geheel in zo'n beschrijvende
ruimte liggen, zijn beeld van de translaties van r in R. Als
gevolg van de parallelprojectie vanuit de centralen zijn

namelijk alle baankrommen met elkaar congruent. Het een-
voudigste voorbeeld vormen de rechte lijnen als representanten.
Daarmee corresponderen de rechtlijnige translaties van r in R.

Door een punt in het eindige en een centraal \P.Q, R,ii\
brengen we een 9-dimensionale ruimte Rg aan. Rg snijdt B
in een 3-dimensionale variëteit. R wordt volgens één punt
gesneden: L. Gaan we een willekeurige representante in R9
vanuit \P.Q,R,S\ projecteren, dan krijgen we slechts dit
ene punt L als projectie. Het punt \P,Q.R.S] van r blijft
dus invariant. Dit is het punt

L=\Pa, Qa, Ra, Sa,;Ph Qh Rh Sb,;

van R, waarin { a^, a,. a^. a^, b^, b,. b„ c^, c,. c^ \ wille-
keurig op de representante kan gekozen worden. We hebben
hier te doen met bewegingen om één vast punt.

Representanten in een 1 O-dimensionale ruimte Rio. welke
een centraal in zijn geheel bevat, zijn beeld van bewegingen,
waarbij een rechte lijn invariant blijft; dit is de snijlijn van de
ruimte Ri„ met R. In het algemeen zijn dit bewegingen, waarbi)
alleen het punt \P.Q,R.S\ van r gedwongen wordt een

rechte lijn te doorlopen.

Representanten in een 11-dimensionale ruimte R^ door
een centraal \P,Q.R.S\ zijn beeld van bewegingen, waarbi)
een punt van r in een vlak van R blijft, het vlak ™n de
ruimte Rn door R wordt gesneden. Het punt \P,Q,R.Ö\
van r beschrijft in dit geval dus een vlakke baan.

§ 25. Twee Standen,

In de kinematica van het vlakke stelsel wordt aangegeven,
hoe men twee standen in elkaar kan doen overgaan door
rotatie (§ 6). Men brengt door het oneigenlijke punt van de
verbindingslijn der beide beeldpunten een centraal aan. De
twee beeldpunten worden van hier uit in het rotatiecentrum ge-
projecteerd. Op het eerste gezicht lijkt hier iets dergelijks
mogelijk. De centraal door het oneigenlijke punt der ver-

bindingslijn van de twee beeldpunten zou die beeldpunten
in één punt van R projecteren. Zodoende zou men twee
standen in elkaar kunnen doen overgaan door middel van
een beweging om één vast punt (§ 24). Dit mislukt, omdat
een dergelijke centraal niet bestaat. Elk tweetal beeldpunten,
dus elk paar punten op B, heeft een verbindingslijn, die
h = 0 snijdt in een punt van de invariant D — 0 (35). Door
zulke punten gaat echter geen centraal. Het bewijs leveren
we als volgt:

Te bewijzen is, dat de „standenquot;

S': I ai', ag', ag', a/, 6/.....c^'. Ij

Snnbsp;t,nbsp;_ quot; 1 1

; 1 ai ,33 , ag , a^ , b^ , .... c^ .Ij

een verbindingslijn hebben, die D = O snijdt. S' en Squot; liggen
op B. We passen een kinematische transformatie toe, zo-
danig, dat S' overgaat in

S': \ 1,0,0,0,0, 1,0,0,0,0, 1,0,(1)1.

Squot; gaat dan over in een ander punt van B,

Squot;nbsp;™ quot; u quot; ^ quot; 1 i

: I ai , 02 , Bg , a^ , Dl ....€4,15,

terwijl D = 0 invariant blijft. Het oneigenlijke punt van S' Squot;
wordt nu het oneigenlijke punt van S' Squot;, namelijk:

( _ // 1nbsp;U quot; U quot; 1 u quot; u quot; _ quot; _ quot;

i ai — 1, ag , ag , a^ , Dl , D2 — 1, Dg , b4 , Ci , c^ ,

1, c/', O

Dit ligt op D = 0, want

5,nbsp;_ laquot;nbsp;a quot;

ai 1, a^ , ag

b]quot; 'W — l.bgquot;

.Cgquot;-1

W' -

Wegens de orthogonaliteit van de eerste determinant in
het rechterlid van bovengenoemde identiteit, is de gehele

vorm =01).nbsp;.nbsp;. c/ cquot;

Daar dus de stelling geldt voor de standen is en ö ,

geldt ze tevens voor S' en Squot;, omdat de eigenschap bij
kinematische transformatie niet verloren gaat. Alle verbindings-
lijnen van twee punten op B hebben zo een oneigenlijk punt
op D = 0. Geheel overeenkomstig bewijst men, dat de ver-
bindingslijnen de invariant E (§ 20) niet snijden.

Het zoeken naar een centraal S P, Q. R, S j, in het begin
genoemd, levert tot resultaat: S = O

-as'

fc/ _ b,quot;, h' - hquot;, h' - h'

Ondersteld is, dat de in deze matrix voorkomende deter-
minanten niet alle nul zijn.

Het zal blijken, dat het punt \P,Q,R.O\ van r toch in
zekeren zin de rol van het (gemiddelde) rotatiecentrum uit
§ 6 overneemt.

§ 26. Rotatie en Schroeving.

Twee „standenquot; S' en Squot; mogen nu zó gelegen zijn, dat
het mogelijk is een beweging te vinden om één vast punt,
die zowel S' als Squot; doorloopt. Het vaste punt zij het punt
\P,Q.R,S\ van r, S ^ 0. Dan is:

Pa,' Qa,' Ra,'-hSa,' = Pa,quot; Qa,quot; Ra/' -f Sa/'

Pb\'^Qh' R fes' 5 = P fc/' Q b/; RW ^ Sb/

Pcl' Qc/ Rc/ Sc/ = Pc,quot; Qc,quot; Rc,quot; S c/'

\P,Q,R,S] vinden we dus uit de vergelijkingen:
1) F. Schuh, Lessen over de Hoogere Algebra I, blz. 58.

P(a/-a/) Q(a/-a/) /?(a3'-a3'') S(a/-a/) = 0
P{W~b,'') Q{W-b,'') R{W-W') S{W-b:)^0 (46)
P(c/-c/) Q(c/-c/) ;?(c3'-C3'') 5(c/-c/)=0

Daar S O, kan dit alleen, als de drie vergelijkingen af-
hankelijk zijn. dus de rang van de matrix der coëfficiënten
lt; 3. dus - 2.

De determinant

ai-a/'. a/-a/'. a/-a/

W-W. b/-b/', b/-b/

Ci'-Ciquot;. c/-c/'. c/-c/

moet dus bijvoorbeeld gelijk nul zijn.
Als oplossingen van (46) vinden we

P = X
-Q^X

R =
-S = X

32 —ag , 34 —a^
b/-b,quot;. b'-b.

W-W'. b:-b,quot;

O '_3 //

quot;8 —ag

b'-b'', b'-b''

ai —ai , ag —ag

W-hquot;, bg'-bg

ai'-a/', a/-a/'

De punten {P, Q, 5 | vormen in r een rechte lijn van
invariante punten. Blijft dus één punt invariant, dan auto-
matisch een gehele rechte; de twee standen zijn in zo'n geval
door een rotatie in elkaar over te voeren, de rechte is
rotatieas. Het oneigenlijke punt. dat natuurlijk ook invariant
blijft, blijkt het punt { P, Q, O I (45), genoemd in het eind
der vorige paragraaf als gemiddeld rotatiecentrum.

Ondersteld is, dat de determinant

—Si .

by—t]quot;. b^'—bi

ongelijk nul is. Wegens de opmerking op bladzijde 55 is een
dergelijke determinant steeds te vinden, zodat bovenstaande
of een analoge ontwikkeling steeds mogelijk is.

Is de rang van de matrix van coëfficiënten van (46) gelijk
aan 3, dan is er geen punt te vinden (in het eindige), dat
invariant kan blijven bij een beweging, die zowel S' als Squot;
doorloopt. Op overeenkomstige wijze, als dit gewoonlijk ge-
schiedt willen we komen tot de schroeving, die in zo'n
geval S' in Squot; overvoert. De schroefas wordt tegelijkertijd
bepaald.

Daartoe voeren we eerst S' door een rechtlijnige translatie
over in S', zodat S' en Squot; in één projecterende Rg liggen.
Voorts laten we S' door een rotatie in Squot; overgaan en
postuleren, dat de rotatieas evenwijdig wordt aan de translatie-
richting. De uitwerking gaat als volgt:

We denken ons een willekeurige centraal \ Pi, Qi, Ri, Si },
nog geheel onbepaald. S' en Squot; worden van daar uit ge-
projecteerd op R respectievelijk in de punten K' en Kquot;:

K' = I S. a/ P, a/ Q, a^' R^ a/ ; 5, 6/ P, b,'
Qi 6/ Ri b,'; 5, c/ Pi c/ Q, c/ R, c^' j

Kquot; = j 5i a/' Pi a/' Q, asquot; R, a,quot; ; b,quot; Pi 6/'
Qi b,quot; b,quot; ; 5i c,quot; Pi c/' Qi c,quot; i?. c,quot; !

De lineaire translatie, die K' in Kquot; overvoert, heeft als
richting L:

L = S O, O, 0. 5i (a/ - a/O Pi (a/ - a/') Q, {a,' - a,quot;)
Ri ia,' - asquot;). O, 0. O, 5i (amp;/ - b,quot;) .....O !

1) F. Sc hu h, Theor. Mech. I, 2, blz. 353, 354.

Een representante van deze translatie is de rechte S' L
met als lopend punt : S' A L.

De projecterende Rg. die Squot; uit { P,, Qi,5, j in Kquot;
projecteert, is:

Pi ai Qi aa R, a, a,- P, a/'

—nbsp;Qia,quot; — R^a,quot; — S,a,quot;=: O
Pi h Qi ta R, b, Sib, — Pi blquot;

Pi Cl Qi Ca /?i Cg Si C4 - Pi Clquot;

-nbsp;QiCaquot;-/?iC3quot;-5ic/' = 0

Ze snijdt S' AL in S':

S' = { ai', aa'. a,'. S, a/' - P, (a/ - a/') - Q, (a/ - a,quot;)

V.V.....1 !

De standen, gerepresenteerd door S' en Squot;, hebben nu een
punt gemeen, namelijk Kquot; ; ten overvloede blijkt dit ook nog
uit de rang van de matrix (46), opgesteld voor S' en Squot;,
welke = 2 is.

Volgens het voorafgaande wordt de as der rotatie, die
S' in Squot; overvoert, in r gegeven door

aa' - aaquot;, - P, (a/ - a/') - Q. (aa' - aaquot;)
6a' - hquot;. - Pi (bl' - blquot;) - Qi (fea' - 6aquot;)

aa aa , ag — a,

bi — 6aquot;, 63' — bg'

ai' - aiquot;, - Pi (ai' - a/') - Q. (a,' - a,quot;)
bl' - blquot;, - P (bl' - 61quot;) - Q, (b,' - b,quot;)

-R,(ag'-agquot;)
— Ri (bg' — bgquot;)

Bi — » »2 quot;2

Si is hierin = 1 gesteld.

Voor A = O vindt men de richting van de rotatieas.
Deze is \P.Q,R,0\ (45).

Nu wordt gepostuleerd, dat rotatieas en translatie dezelfde
richting hebben: L = {P. Q. R.0 \ in (R!).

Si (a/ - a/0 P (a/ - a/') Q, (a/ - a/')

R, (a,' - X (P axquot; Q a,quot; R a,quot;)

s, [b: - bn p (fc/ - b,quot;) Q. (amp;/ - hquot;)

R. (ts' - fesquot;) = z {Pb^quot; Qb/' Rbsquot;)
S, (c/ - c/O A (c/ - qquot;) Qi (c/ - c/')

(cs - Csquot;) = X {P Clquot; Q c,quot; R Csquot;)

De oplossingen vormen een lineaire verzameling

j Si, Pi, Qi. z!:

a/-a/',a/-a/'. a,'- a,'

. b/'. h' - b,quot;. h' - fes
c,quot;, c/ - c/'. Cs' - Cs

//nbsp;/nbsp;„ quot; O 'nbsp;O quot;

64' —nbsp;61' — blquot;, tg' — 62'

C4 C4 , Cx — q , C2 — Cg

a^nbsp;, a^ , a^ ag

64' — b^quot;, bl — blquot;, b/ — 63quot;

C4 C4 , Cl Cl , Cg Cg

Ondersteld is, dat

Di =

quot;4 34 , ainbsp;, ag a2

W — b/', bl — blquot;, 62' — b/'

/nbsp;„II Inbsp;„ quot; r. 'nbsp;quot;

C4nbsp;C4 , Clnbsp;Cl , C3nbsp;C2

Dit is steeds het geval. Di = O heeft ten gevolge, dat
alle determinanten der 3e orde in (46) nul zijn, wat op een
rotatiegeval wijst.

De gevonden { Pi, Qi, Ri, Si \ vormen de schroefas in r.
Het oneigenlijke punt is weer \P,Q,R,0] (45). Dit punt is
gedurende de schroeving invariant. Men kan dit dus inderdaad
vergelijken met het gemiddelde rotatiecentrum voor het
vlakke stelsel (vgl. § 25). De schroefas { Pi, Qi, Ri, Si \ is
de gemiddelde schroefas der twee standen i).

§ 27. Snelheid, Versnelling enz.

In elk punt P : j ai (f), ag (f), ag (t). a, (t), bi {t), b, (t), bg [t). b, (t).
Cl (t), C2 {t), Cg (t), C4 (^), I I van de representante denken we ons

een stelsel vectoren, de Ie, 2e, 3e......k® fluctievectoren.

De voerstralen zijn respectievelijk P PC', P P*^), P P(3)......P pw.

PC^) = ! ai it) ai (f), a2 (^) X iO. ag (f) ag [t).

(k)

a4 (t) a4 (f).....I I

(k)

ai (t) is de k® afgeleide van ai (f).

We hebben zo respectievelijk de snelheids-, versnellings-,

tweede versnellings-......(k-1)^ versnellingsvector van

de representante op 't tijdstip t ingevoerd.

Evenzo brengen we in de punten der baankromme zulke
stelsels vectoren aan. die de snelheid enz. van het beschouwde
punt in zijn baan weergeven.

Vanuit de centraal \ P. Q. R. I \ gaan we nu het stelsel
vectoren P Pquot;*, P P*^'. etc. projecteren op R. Dit geschiedt op
de eenvoudigste wijze met behulp van het 9-tal punten in
de centraal, als in § 22 aangegeven. We vinden evenals in

§ 8 de stelling:

Projectie van de fc® fluctievector in elk punt P van de re-
presentante vanuit een centraal is k^ fluctievector in een bij-
behorend punt Q van een baankromme; projectie vanuit de
centraal Snbsp;z^, 1 } geeft de k^ fluctievector van het punt

j Xi, yi, Zi, 1 ! t-an r in zijn baan.

In het bijzonder is de snelheid van de projectie gelijk aan
de projectie van de snelheid; evenzo voor de versnelling.
Het vlak door PFquot; en PP'^'. het osculatievlak van de re-
presentante, wordt aldus in het algemeen in het osculatievlak
van de baankromme geprojecteerd.

Ligt de representante in een projecterende Rg (§ 24), dan
liggen alle vectoren in die Rg. Voor zover de k^ fluctievector
op de representante niet zelf nul is, zijn in het algemeen ook
geen der vectoren op de baankrommen nul, behalve alle in
het invariante punt. Het is namelijk niet mogelijk, door het
oneigenlijke punt van PP«''» een andere centraal te brengen
dan de bij het invariante punt behorende. Een uitzonderings-
geval wordt gevormd door de voerstralen PPlt;''', die de in-
variant D = 0 (35) snijden.

§ 28. Polen.

De voerstraal van de k® fluctievector in P, PPlt;« moge
h = 0 snijden in PW. Stel, dat P« niet op D = 0 (35) ligt,
dan is er één centraal te vindenrdie PP« snijdt. Zulk een

centraal projecteert de vector in plaats van door een Riq,
door een R^. De projectie wordt dus een enkel punt. Op
elk tijdstip is er één zo'n punt te vinden, waarvoor de
k^ fluctievector in zijn baan nul is. Dit punt noemen we de
k-pool der beweging op dat moment. De k-pool heeft in
r tot coördinaten (de variabele t is weggelaten):

(k)nbsp;(k) (k)nbsp;(k)

Hl,nbsp;ag, ag, a^

(k)nbsp;(k) (k)nbsp;(k)

bl,nbsp;63, bg,nbsp;64

(k)nbsp;(k) (k)nbsp;(k)

Cx,nbsp;C2, Cg,nbsp;C4

Denken we t variabel, dan beschrijft de k-pool in R de
k® poolbaan. De k'^ poolkromme, de meetkundige plaats van
k-polen in de bewegende ruimte, wordt voorgesteld door (48).

Volgens § 27 reduceert de k® poolkromme van een be-
weging om één vast punt zich tot dat punt zelf.

§ 29. Pooloppervlakken.

Gaan we, als in de vorige paragraaf aangegeven, de
(snelheids-) pool bepalen, dan komen we tot dezelfde moei-
lijkheden als bij het zoeken van het gemiddelde rotatiecentrum
van twee standen. P'quot; hgt namelijk zonder uitzondering op
D^O (35). Door in°°§ 24 S' en Squot; „tot elkaar te laten
naderenquot;, blijkt dit. Men kan hoogstens in oneigenlijke zin
van een snelheidspool spreken, door het punt {P, Q, R,0\
van r als zodanig aan te merken

ai, a^, ag

bl, 63, bg

in R de projecties van het beeldpunt P(^) der representante
vanuit de centralen \ P, Q, R, S

Ze vormen de (ogenblikkelijke) rotatieas.
Heeft de matrix (50) de rang drie, dan is er geen eindig
punt, dat een snelheid nul heeft of wel momenteel invariant
is. Daarentegen blijft een rechte invariant, de (momentele)
schroefas i).

a^. ag, ag. a^,, P a^ Q a^ R ag

Cl, Cg, Cg, C^, P Cl Q Cg Cg

s(52)

waarin \P,Q.R\ =

In beide gevallen blijft een oneigenlijk punt invariant.

namelijk \ P, Q, R, O \ van r (53). Dit zou men de snelheids-
pool kunnen noemen.

Denkt men t variabel, dan geeft (52) een regelvlak weer:
in r het bewegende pooloppervlak. In R wordt het lopende
punt op de representante uit de centralen (52) in het vaste
pooloppervlak geprojecteerd i).

De oneigenlijke kromme van het pooloppervlak wordt ge-
geven door (53), de „poolkrommequot;. Bij beweging om een
vast punt is het pooloppervlak een kegel met een top in dat
punt. Het pooloppervlak bestaat dan geheel uit rotatieassen,
die alle door het vaste punt gaan.

In het algemeen ligt P'^' niet op de invariant D = O (35).

00

Door een voorbeeld kan men dit aantonen. Er zijn dus in
het algemeen versnellingspolen in de eigenlijke zin.

§ 30. Buigkrommen enz.

Indien de k® en 1® fluctievectoren niet dezelfde richting
hebben, bepalen ze in het punt der representante

P (tl) = I ai (tl), a, (tl), ag (ti). a, (ti). K (ti) . ... c^ (ti), 1 }
een vlak. De oneigenlijke rechte daarvan is P''^' PW. Door

oo oo

een willekeurig punt van P''^' P'quot;, mits niet op D = O (35)

oonbsp;oo

gelegen:

(k) (1) (k) (1)nbsp;(k) (1)

\ X Bl /X ai', X a, fj, a,;.....Xc^-\- fic^-.O]

kan men de centraal aanbrengen. Men krijgt zo een ver-
zameling van oo^ centralen j P, Q, R, S bepaald door de
vergelijkingen

(k) (1) (k) (1) (k) (1)

(k) (1)

(k) (1) (k) (1) (k) (1)

h) R (^h fi. h)

(k) (1)

(k) (1) (k) (1) (k) (1)
nbsp; R(Xc, lucs)

(k) (1)

(53)

Al deze centralen hebben de eigenschap, dat ze de
k^èn de 1® fluctievector volgens dezelfde R^o projecteren, namelijk
de Rio door de centraal, het punt P (Cj) en de rechte P®, die
de centraal snijdt. De punten \P,Q,R,S\ van r hebben dus
de eigenschap, dat op het moment t, de k® en P fluctievector
in het baanpunt, waar ze zich dan bevinden, langs elkaar vallen.

De punten {P,Q,R,S\ van r vormen een rationale kromme.
In R tekent die zich af als projectie van P(Ci):

X = Pa, (fi) Qas (Cl) Ras (Ci) 5 a, (Ci)
Y= Pb, (fi) Qb, (Cl) Rh (Cl) Sb, (Cl)
Z = P q (Cl) Q Cs (Cl) Rcs (Cl) S C, (Cl)

P, Q, R en S zijn polynomia van de 3e graad in de
homogene parameters A en ju. De kromme is dus een ratio-
nale kromme van de 3e graad. De k-pool en de l-pool
hggen erop.

De meetkundige plaats van baanpunten, waar op een mo-
ment Cl de fc® en P fluctievector gelijke richting hebben, is een
rationale derde graads kromme door de k-pool en de l-pool.

Voor het geval k = 1, 1 = 2 krijgen we het analogon van
de buigcirkel in het platte vlak: de buigkromme. Op die
buigkromme hebben snelheids- en versnellingsvector dezelfde
richting, dat wil zeggen: het punt bevindt zich op het ge-
kozen moment in een buigpunt van zijn baan.

De bovengenoemde stelling wordt in dit bijzondere geval:

Alle punten, die zich op een moment in een buigpunt
van hun baan bevinden, liggen (in het algemeen) op een
rationale derde graads kromme door de versnellingspool (en
de „snelheidspoolquot;). Dat de buigkromme het oneindige snijdt
in de „snelheidspoolquot;, blijkt uit (53) door ^ = O te stellen.

§ 31. Vlakpunten op de Baankrommen.

Combineren we drie fluctievectoren in P (^l), de k®, 1® en
m®, dan bepalen deze een ruimte, voorzover ze niet in één
vlak liggen. De ruimte wordt in het algemeen gesneden door
oo® centralen; \ P, Q, R, S\ voldoen aan:

(k)nbsp;(1)nbsp;(m)nbsp;(k)nbsp;(1)nbsp;(m)

P (A ai ^ ai r ai) Q (2 ag aa v a^)

(k)nbsp;(I)nbsp;(m)nbsp;(k)nbsp;(1)nbsp;(m)

R {X ag /A. ag V ag) S (X ai /I a^ V a^) — O

(k)nbsp;(1)nbsp;(m)nbsp;(k)nbsp;(1)nbsp;(m)

(k)nbsp;(I)nbsp;(m)nbsp;(k)nbsp;(1)nbsp;(m)

R{Xbg fibg vbg) S{Xb, /^b, vb,)=0{54)

(k)nbsp;(1)nbsp;(m)nbsp;(k)nbsp;(1)nbsp;(m)

P (A Cl iquot; Cl »- Cl) Q (A Cs 4- /W Cg Cg)

(k)nbsp;(1)nbsp;(m)nbsp;(k)nbsp;(1)nbsp;(m)

/? (A Cg Cg V Cg) S (A C4 ^ C4 V cj = O

Vanuit deze 00^ centralen wordt P (t^) geprojecteerd in 00®
punten Q (^i), een oppervlak vormende. Elk baanpunt Q (ïj)
heeft de eigenschap, dat de k®, en m® fluctievectoren in
één vlak liggen, want de k®, 1® en m® fluctievector in P (ti)
worden er door één Ru geprojecteerd op R. Voor zulke
punten geldt dus:

X(ti). F(^l).Z(^l), 1
(k) (k) (k)
X(ti).Y{ti),Z(t,).l
(1) (1) (1)
X(fi), F(fi),Z(fi), 1

(m)nbsp;(m)nbsp;(m)

X(t,),Y(t,),Z{t,).l

Het oppervlak van de punten \ P, Q, R, S \ in r is van
de 9e graad in het algemeen, want P, Q, R en S zijn poly-
nomia van de 3e graad in de homogene parameters A, fi en v.

Baanpunten met de eigenschap, dat de k®, 1® en m® fluctie-
vectoren in één plat vlak liggen, vormen op elk moment een
oppervlak van de 9e graad, de projectie van P (^J) vanuit de
centralen (54).

Zo'n oppervlak bevat de (k-1), de (1-m) en de (m-k) kromme
en gaat door de k-, de 1- en de m-pool.

De le, 2e en 3e fluctievectoren in P (^l) bepalen de hyper-
osculerende ruimte aan de representante. De centralen,
waardoor deze ruimte in het algemeen wordt gesneden,
projecteren P (fi) in de baanpunten op het (1—2—3) opper-
vlak. Hier liggen snelheids-, versnellings- en 2e versnellings-
vector in één vlak. De straal van de kromtebol wordt on-
eindig groot in die baanpunten; het zijn vlakpunten van de
baankrommen:

Op elk moment vormen de punten, die zich in een vlak-
punt van hun baan bevinden, een oppervlak van de 9e graad
door „poolquot;, versnellingspool en 2e versnellingspool. Het
bevat de buigkromme en tevens de (2-3)-, en de (3-l)'kromme
(in het algemeen).

§ 32. Afbeelding door gebonden Quatemionen.

Zoals reeds in § 21 is opgemerkt, kan het uitgangspunt
van de behandeling der kinematica van het platte vlak ge-
kozen worden in transformatievergelijkingen met zes varia-
belen. Hiertussen bestaan dan drie relaties. De spiegelingen
vinden in dit systeem een plaats. De transformatie volgens (1)
is als een vereenvoudiging te beschouwen. Het aantal ver-
anderlijken is teruggebracht tot twee met één relatie. Tevens
vallen de gespiegelde standen weg.

Voor de ruimte is iets dergelijks mogelijk. Uit de relaties
(21). (22') en (23') volgt:

V nbsp;V-Cs^nbsp;(55)

De eigenschap, dat in de orthogonale matrix elk element
gelijk is aan zijn cofactor i), geeft :

63 Cg = — ai fcg C3nbsp;(56)

Uit (55) en (56):

Dergelijke betrekkingen gelden voor de paren variabelen
aj, fel, en Ci, a^.

Thans worden vier nieuwe variabelen ingevoerd:
a, b, c, d aldus :

4 a^ = 1 ai — feg — Cs

_ai è,-c3
ai fc, C3

In a, b,c en d zijn negen van de twaalf oorspronkelijke
grootheden, namelijk a^, a^, ag, fci, tg 63, Ci, Cg Cg rationaal uit
te drukken en omgekeerd, terwijl één relatie overblijft (60).

bg = 2(bc ad)-.ci = 2{ac bd)
c^=2(bc — ad);ag = 2(ac—bd)nbsp;(59)

33 = 2(3 6 cc/)

b, = 2{ab-cd)
— —

—

1 (60)

De tekens zijn door (57) en (59) geheel bepaald (For-
mules van Euler).

vgl. § 25.

') E. A. We is 2, Einführung in die Liniengeometrie u. Kinematik, blz. 94,95.

Merkwaardig is. dat het aantal variabelen is teruggebracht
en daardoor tevens de spiegelingen wegvallen wegens (56).

Samenstellen van twee transformaties \ a', b', c', d', a^, b,, c^}
en \aquot;,bquot;,cquot;,dquot;.a/',b/',c/'\ gaat volgens de formules

a'quot; = a' dquot; aquot; d' b' cquot; - hquot; c'
b'quot; = b' dquot; bquot; d' c' aquot; - cquot; a'
c'quot; = c' dquot; cquot; d' a' bquot; — aquot; b'
d'quot; = d' dquot; - a' aquot; - b' bquot; - c' cquot;

■4

//

Hierin is { a'quot;, b'quot;, c'quot;, d'quot;, a,quot;'. b,'quot;, c/quot; } de resultante.
De vergelijkingen (61) zijn de vermenigvuldigingsverge-
lijkingen voor de quaternionen van Hamilton.

De quaternionen voldoen echter niet aan de relatie (60).
Men zou de viertallen \a,b,c,d\ „gebonden quaternionenquot;

kunnen noemen.

De zeven variabelen { a. b, c, d, a,. b^. c, } worden nu op-
gevat als coördinaten van een zeven-dimensionale beeldruimte.
Elke stand van r heeft een beeldpunt in deze ruimte, gelegen
op een variëteit V«^ (60). Omgekeerd beantwoordt aan elk
punt van deze beeldfiguur een stand van r. Het punt
{ O, O, O, 1, O, O, O, (1) i wijst bijvoorbeeld het geval aan. waarbij

r en R identiek zijn.

De bewegingen hebben weer representanten op de Vg^.
In sommige opzichten is er analogie met de beeldvariëteit B
van de voorgaande paragrafen. De figuur (60) is een cylindrische
variëteit met als topvlak

a = b = c=d=(h) = 0

De translaties hebben representanten, die geheel in be-
schrijvende ruimten Rg liggen, die dit topvlak met een eindig
punt verbinden.

De baankromme van de oorsprong van r kan als projectie
van de representante beschouwd worden. Echter is de kine-
matische transformatie niet lineair. Dit is de reden, waarom
de algemene eigenschap, dat elke baankromme projectie is
van de representante, verloren gaat.

De vergelijking

A = 0nbsp;(47)

is nodig en voldoende, opdat twee standen S' en Squot; door
rotatie in elkaar kunnen overgaan. Na substitutie volgens (59)
gaat (47) over in:

(a/ - a/O (a' dquot; - aquot; d' b' cquot; - bquot; c')
iW - W') (b' dquot; - bquot; d' c' aquot; - cquot; a')nbsp;(62)

4- (c/ - c/0 (c' dquot; - cquot; d' a' bquot; - aquot; b') = O

Indien men S'quot; invoert als resultante van de inverse van
Squot; en van S', krijgt (62) een eenvoudige gedaante:

,///nbsp;/// I »/// 1 'quot;

b'quot; b,'quot; c'quot; c/quot; == O

Hetzelfde resultaat wordt bereikt door de inverse van
S' met Squot; samen te stellen tot S'quot;.

Het gemiddelde rotatiecentrum \P.Q,R,0\ in r (45) blijkt
na substitutie en overbrenging naar R het punt

ja'quot;, fequot;'.cquot;',0i

van de vaste ruimte. Daar we hier met quaternionen te doen
hebben, was dit te verwachten.

§ 33. Afbeelding door gebonden Biquaternionen.

De uiteenzettingen van § 32 zijn te beschouwen als over-
gang tot de afbeeldingswijze van S t u d y i). De standen van r.

E. Study, Geometrie der Dynamen, blz. 556.

door hem „Somenquot; genoemd, beeldt hij af op de punten van
een zeven-dimensionale ruimte, gelegen op een V^j zonder
singulariteiten. Study gebruikt acht homogene variabelen (coör-
dinaten) { ai, fci, Cl, dl, ag, 62, Cg, d, S, waartussen één quadratische
relatie bestaat. De eerste vier ai, b^, c^, d^, zijn gelijk te stellen
met de variabelen a, b, c, d uit § 32. Doordat hier homogeen
wordt gewerkt, behoeft niet voldaan te zijn aan de relatie (60).
Men kan de coördinaten echter delen door N=ai® -H b-^^

gjj bereikt dan een nauwere aansluiting met § 32.
Uitzondering dient gemaakt te worden voor de beeldpunten,
waarbij N = O, dus ai = fei = Ci = di = 0. Dit zijn de zoge-
naamde pseudosomen van Study Ze beantwoorden niet in
eigenlijke zin aan standen van r, daar ze overeenkomen met
de punten in het oneindige bij de vorige afbeeldingsmethoden.
We laten de pseudosomen verder buiten beschouwing en
denken de coördinaten dus door de vorm N gedeeld.

De variabelen j a^, èg, Cg, d^} vormen bij Study ook een
quaternion. Deze wordt gedefinieerd als product van 2 qua-
temionen, namelijk

S ag, 6g. Cg, dg 1 = - V2 ! ai, fel, Cl, d^ j. i a^. b^, c„ O j

Dus volgens (61):

ag = — V2 (a^ dl 4- fci C4 — Cl)
= — Vg (64 dl -h Cl 34 — C4 ai)

Cg = — Vs (C4 dl 4- ai 64 — 34 tl)

dg = -t- V2 (ai a4 4- 61 64 4- Cl C4)

Omgekeerd kan men de oude variabelen uit de nieuwe af-
leiden

34 = — 2 (— 3i dg -f Sg dl — fel Cä 4- h Cl)
= — 2 (— 61 dg 4- h dl — Cl ag 4- Cg ai)

C4 = — 2 (— Cl dg -h Cg dl — 31 feg -fag fei)

O = — 2 (4- dl dg -f 3i 3g -1- fel feg -f Cl Cg) (63)

E. Study, Geometrie der Dynamen, blz. 580.

Aan elke stand van r beantwoordt zo een „gebonden biqua-
ternionquot;, { a^, b-^, q, d^, a^, b^, Cg. 4 een punt van de beeld-
ruimte, dat voldoet aan (63). Ook omgekeerd beantwoordt aan
een punt van (63) een stand van r. De beeldvariëteit is een
quadriek. Er liggen geen singuliere punten op.

De stand, waarbij r identiek is met R, heeft in dit systeem
een beeldpunt in het hoekpunt | O, O, O, 1, O, O, O, O i van het
coördinatenstelsel.

Uit de relatie (62) leidt men voorts af de voorwaarde,
waaraan de coördinaten van twee somen moeten voldoen,
als ze door rotatie in elkaar zijn over te voeren. Deze blijkt
na substitutie te zijn:

a/ a/' -f a/' a^' -j- b,' b,quot; b,quot; b/ c/ c/' -f qquot; c/

d,'d,quot; d,quot;d,' = O

Twee standen, die door rotatie in elkaar kunnen overgaan,
hebben beeldpunten, die geconjugeerd liggen ten opzichte
van de beeldvariëteit

H. Beek, Lineare Somenmannigfaltigkeiten, Mathematische Annalen
Band 81, blz. 195.

INHOUD

Bladz.

Inleiding..................... 9

Eerste Hoofdstak» Kinematica van ccn vlak Stelsel.

§ 1. Bicylinder en Representanten.........11

§ 2. Kinematische Transformatie..........13

§ 3. Kinematische Projectie............15

§ 4. Projectie in de oneigenlijke Ruimte......18

§ 5. Vlakke Representanten............19

§ 6. Twee Standen................21

§ 7. Algebraïsche Representanten..........22

§ 8. Snelheid, Versnelling enz............22

§ 9. Polen....................25

§ 10. Hoeken tussen Vectoren cn Voerstralen ....nbsp;28

§ 11. Buigcirkel enz................29

§ 12. Buigpool enz.................30

§ 13. Isoklinen..................31

§ 14. Bijzondere Punten op de Isoklinen.......33

§ 15. Buigcirkel en Poolbaan............36

§ 16. Kromtemiddelpunten.............36

§ 17. Verwantschap tussen Baanpunten en Kromtemiddel-
punten ...................39

Tweede Hoofdstuk»Kinematica van een Vast Lichaam
in de Ruimte.

§ 18. De kinematische Beeldruimte.........42

§ 19. De cylindrische Beeldvariëteit.........43

§ 20. Kinematische Transformatie..........44

Bladz.

§ 21. Spiegeling..................^^

§ 22. Kinematische Projectie..........quot; • ^^

§ 23. Rotaties ..................

§ 24. Representanten in vlakke Ruimten.......^^

§ 25. Twee Standen................

§ 26. Rotatie en Schroeving............

§ 27. Snelheid, Versnelling enz............

§ 28. Polen ...................

§ 29. Pooloppervlakken..............^^

§ 30. Buigkrommen enz.nbsp;........

§ 31

§ 32. Afbeelding door gebonden Quaternionen
§ 33. Afbeelding door gebonden Biquaternionen

STELLINGEN

I

Er bestaat een natuurlijk verband tussen de coördinaten

der „linksequot; en der „rechtse Somenquot;.

E. A. Weisz, Einführung in die Liniengeometrie und Kine-
matiek, blz. 115.

II

Door G. Schaake (Versl. Kon. Ak. v. Wetensch. XXXII.
1923 blz. 626) wordt een aantal stellingen afgeleid betreffende
kegelsneden in R,. De meeste van zijn resultaten zijn met
de gebruikelijke afbeeldingsmethode niet op eenvoudige wijze
te verkrijgen.

III

Bij de bepaling van Planck's constante h door middel
van het photoeffect is kennis van de snelheidsverdeling der
uittredende electronen niet noodzakelijk.

P. L u k i r s k y en S. P r i 1 e z a e V. Zs. f. Physik, Bd. 49 (1928),

L.\^DuBridge, Phys. Rev. Bd. 43 (1933), blz. 727.

IV

De beschouwingen van A. Boutaric omtrent diffusie-
metingen aan suspensies geven weinig aanleiding tot de con-
clusie. dat deze slechts qualitatieve betekenis hebben voor
de bepaling der optische dichtheid.

A. Boutaric, Revue d' Optique XI. (1932), blz. 145.

V

Ten onrechte kenschetst Ba vink de tegenwoordige natuur-
wetenschap als op weg naar de religie.

Bernhard Bavink, Die Naturwissenschaft auf dem Wege
zur Religion.

iiiPiiiiitiiirr I

Zij een functie f{x) gegeven op het segment a^x^è;
fiaXO f(b)gt;0. Indien f'(x) aldaar bestaat en niet stijgt,
kan de benaderingswijze van Newton worden toegepast.

F. Schuh, Lessen over de Hoogere Algebra 1, blz. 45/.

VII

De stelling (Korollar). door J. Ridder genoemd. (Nw. Arch.
V Wisk XVII 1932. blz. 280) kan eenvoudig worden be-
wezen. ook voor een meer uitgebreide klasse van functies

dan de continue.

VIII

Bii zijn afleiding van de formule voor de wiskundige reserve
ener ziekteverzekering gaat F. P. Berckenhoff uit vaneen

onjuiste onderstelling.

F. P. Berckenhoff, Het Verzekeringsarchief VII (1926),

blz. 49.

IX

Volgens de methode van Moll is het mogelijk de sterfte-
kansen der leeftijden in gehele jaren q, onmiddellijk te be-
rekenen zonder tussenschakeling van qx V,'

D.nbsp;P. Moll, Het Verzekeringsarchief XIII (1932), blz. 8.

X

Een nader onderzoek naar de aard van de zgn. K-termen
in de spectra van spiraalnevels is nodig.

E.nbsp;Hubble, Red Shifts in the Spectra of Nebulae.

XI

De methode 't Hooft is van weinig waarde voor het be-
volkingsvraagstuk.

Ir. F. W. 't Hooft, Het Bevolkingsvraagstuk.

m

r

«

mm^m

SiSiÄSP'

mmmvWrn^i
. - -

.'s'