HET GESLACHT VAN
VLAKKE ALGEBRAISCHE
KROMMEN

......V.^''^': . ■

.......'

...... '

.kjf.'^Y'/nbsp;•-■/.'y',.'

Mmm^rn

5i:

■i-ß'-'
i

, «siï.-i-it'

jfV.

fr ''

es- 'S

/ s .

HET GESLACHT VAN VLAKKE
ALGEBRAÏSCHE KROMMEN.

HET GESLACHT VAN VLAKKE
ALGEBRAÏSCHE KROMMEN

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
Dr. W. E. RINGER, HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER GENEESKUNDE. VOLGENS
BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT
DER WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
OP MAANDAG i MAART 1937,
DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

DOOR

HUBERTUS ANTONIUS GRIBNAU

GEBOREN TE ARNHEM.

DRUKKERIJ J. HOEIJENBOS N.V.

1937

BIBLIOTHEEK DER

RIJKSUNIVERSITEIT

U T r cr - u T,

li

AAN DE NAGEDACHTENIS MIJNER MOEDER.
AAN MIJN VADER.
AAN MIJN VERLOOFDE.

Bij de voltooiing van dit werk zij het mij vergund hier mijn
dank te betuigen aan allen, die tot mijn wetenschappelijke
vorming en academische opleiding hebben bijgedragen.

In het bijzonder dank ik U, Hooggeleerde BARRAU, Hoog-
geachte Promotor, voor de belangstelling en bereidwilligheid, die
ik van U tijdens de bewerking van dit proefschrift mocht
ondervinden.

INHOUD.

~ blz.
INLEIDING................1

HOOFDSTUK I.

De ontwikkeling van het geslachtsbegrip.....4

HOOFDSTUK II.

Clebsch ............... H

HOOFDSTUK III.

Geslacht en Plückersche formules.......20

HOOFDSTUK IV.

Birationale Invariantie...........24

HOOFDSTUK V.

De invariantie van „pquot; t.o.v. Cremona-transformatie . 25

HOOFDSTUK VI.

Het oorspronkelijke Riemannsche bewijs.....31

HOOFDSTUK VII.

De methode van Clebsch.........35

HOOFDSTUK VIII.

Het bewijs van Cremona.........48

HOOFDSTUK IXa.

Het bewijs van Bertini..........50

HOOFDSTUK IXb.

Het bewijs van Ze ut hen.........51

HOOFDSTUK X.

De formule van Zeuthen en het algemeen correspon-
dentie-principe .............60

HOOFDSTUK XI.

Het bewijs van Cl e b s c h—N o e t h e r.....63

HOOFDSTUK XII.

De methode van Enriques en Sever i; de
Italiaansche School............68

HOOFDSTUK XIII.

Toepassingen van de stelling van het behoud van
geslacht bij birationale transformatie, door middel van
de theorie der puntgroepen.........77

INLEIDING.

In „Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen
einer veränderlichen complexen Grössequot; (Inauguraldissertation)

(1)nbsp;en „Theorie der Abelschen Functionenquot; (J. f. M. Bd. 54)

(2)nbsp;1) opende Riemann voor het behandelen van algebra-
ische functies geheel nieuwe wegen, die hem o.a. voerden tot
een merkwaardige verwantschap tusschen deze functies door de
„birationale transformatiequot;. Door de samenhang tusschen functie
en onafhankelijk veranderlijke op te vatten als vergelijking van
een algebraische kromme, heeft Clebsch deze resultaten
vruchtbaar gemaakt voor de geometrie en kwam hierbij omge-
keerd op problemen, die bijdroegen tot de ontwikkeling der
functie-theorie.

R i e m a n n beschouwde als tot een klasse behoorend alle
irreducibele algebraische vergelijkingen, F (s, z) = O, in 2 varia-
belen, welke door rationale substituties in elkaar zijn om te zetten.
Hierbij is p gegeven door de formule:

p = w — (n —• 1)

waarin het aantal vertakkingspunten w gedefinieerd is door
\ P

F = O, = O, en n de graad is van F = 0.
d s

Het bewijs van de gelijkheid van p voor functies, die door een
birationale verwantschap verbonden zijn, ontleent R i e m a n n
aan de Analysis Situs.

De resultaten, die Clebsch verkregen had voor de krom-
men van de derde graad, uit hun samenhang met de elliptische
functies, deden hem zoeken naar een dergelijke samenhang voor

1) J. f. M. = Journal für die reine und angewandte Mathematik {Voort-
zetting van Grelles Journal).

hoogere krommen met hoogere transcendenten. Als eerste vrucht
van zijn onderzoekingen verkreeg C 1 e b s c h een nieuwe klas-
sificatie voor de algebraische krommen, nl. naar hun geslacht,
d.i. naar de klasse van de Abelsche functies, die met een vlakke
kromme van de n-de graad samenhangen. Hij nam hierbij als
grondslag niet het Riemannsche oppervlak F (s, z) =0, maar
de algebraische kromme f (x^, xg, X3) == O van de n-de graad,
zonder dubbelpunten, d.i. een in projectieve opvatting algemeene

d P

kromme. De definitie van vertakkingspunten (F = O, ------= 0)

d s

nam hij hierbij uit R i e m a n n over, evenals de vergelijking

P==M w— (n— 1)

en de transcendente definities van p, nl. uit de samenhang van
het Riemannsche oppervlak en het aantal overal eindige inte-
gralen, integralen van de eerste soort.

Het bewijs van de invariantie van het geslacht van alge-
braische krommen t.o.v. birationale transformatie, direct volgend
uit de Riemannsche theorie, is een onderwerp van onderzoek
geweest van vele geometers, als C 1 e b s c h, B e r t i n i,
Zeuthen, C r e m o n a, Schubert, N o e t h e r, e.a.

De verschillende bewijzen voor de invariantie van het geslacht
t.o.v. birationale transformatie hebben, als men van het eene op
het andere overgaat, een zoo verschillende vorm, dat men een
geheel nieuw gebied denkt te betreden, terwijl nadere beschou-
wing echter aantoont, dat het onderscheid niet zoozeer in wezen,
als wel in de gevolgde methode en voorstellingswijze gelegen is.

In het volgende willen wij de diverse vormen van dit bewijs
nagaan en vergelijken. Voor een vergelijking van de verschillende
systemen leek ons een voorstelling van hun inhoud en hulpmid-
delen in hun historische ontwikkeling geboden, waarom zooveel
mogelijk is getracht de chronologische volgorde te handhaven en
de bewijzen in hun origineele opzet te geven. Bij het weergeven
der verschillende theorieën hebben wij, wat critiek en beoordee-
ling betreft, ons ertoe beperkt opmerkingen in te lasschen omtrent

hun onderhnge samenhang en de voor- en nadeelen die hen
kenmerken.

Waar wij de diverse vormen van het bewijs van de invariantie
van het geslacht willen nagaan en in verband hiermede de vraag
zou kunnen rijzen naar een practische bepaling van het geslacht,
verwijzen wij hiervoor naar:

H. Baker, „On examples of the apphcation of Newton's
polygon to the theory of singular points of algebraic functionsquot;
(Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Volume
XV), (3), en

H. F. Baker, „The practical determination of the deficiency
and adjoint curves for a Riemann-surface.quot; (Math. Ann. Bd.
45) (4).

In het slothoofdstuk „Toepassingen van de Stelling van het
behoud van het geslacht bij birationale transformatie, door mid-
del van de theorie der puntgroepenquot; hebben wij o.m. eenige
nieuwe stellingen afgeleid voor de derdegraadsruimtekromme en
de vierdegraadsruimtekromme van geslacht O en 1.

HOOFDSTUK I.

Dc Ontwikkeling van het geslachtsbegrip.

Van de grootheden die invariant zijn bij rationale transfor-
maties van een algebraische kromme, heeft C 1 e b s c h er in
de periode van 1863—1865 een uit Riemann overgenomen,
nl. „die Klassenzahlquot; p, welke C 1 e b s c h als „Geschlechtszahlquot;
van de kromme F (x^, X2, xg) =0 aanduidt.

Zij heeft voor een kromme van de n-de graad, met d gewone
dubbelpunten en k gewone keerpunten de waarde:

P=:H (n- 1) (n-2) -d-k

en is in dezen vorm afkomstig van Clebsch (vergelijk:
Riemann, Crelles Journal Bd. 54) (2). Door over-
gang varl punt op klassecoördinaten en de daardoor ontstane
(1,1)-correspondentie verkreeg Clebsch:

P = Mnbsp;1) (y -2)-8-gt;c

een nieuwe verbinding van de bekende Plückersche vergelijkin-
gen, terwijl Cayley (Quaterly Journal t. 11, pg. 185) (5)
met behulp van p de formules van P 1 ü c k e r in de meest een-
voudige vorm bracht, welke zich het gemakkelijkst leenen voor
het onthouden, nl.:

2p —2= y k —2n
2p — 2= n }c —2y
2p —2 = n (n —3) — 2 (d k)
2p_2 = y (y_3)-2(8

De beteekenis van het getal p voor de geometrie werd overi-
gens onafhankelijk van Clebsch ook ingezien door H. A.
Schwarz, (J. f. M. t. 64) (6) die in het bijzonder de bij

p = O behoorende „planaren abwickelbare Flächenquot; behandeld
heeft.

Schwarz stek in zijn artikel voorop:
Omnes curvae planae, quae in eadem superficie rectilinea
irreductibih simplices sitae sunt, praeter generatrices ipsas, ad
eandem classem algebraicam pertinent, nam si duas contempla-
mur, unicuique puncto alterius per rectas superficies unum punc-
tum alterius algebraice respondet; itaque coordinatae alterius
rationaliter per coordinatas alterius exprimi possunt.

Si curva algebraica r« ordinis gt;2(1 —nbsp;— 2) — g

punctis duphcibus praedita est, coordinatae ejus rationaliter ex-
primi possunt:

si ß = 0, sive si curva maximo numero punctorum duphcium
praedita est, per unam variabilem,

si ß = 1, per unam variabilem et radicem quadratam ex func-
tione intégra tertii vel quarti ordinis hujus variabilis,

si q=2, per unam variabilem et radicem ex funcdone intégra

quinti vel sexti ordinis,

si e gt; 2, coordinatae rationaliter exprimi possunt per unam
variabilem f et algebraicam functionem ejus rj, quae junguntur
aeqatione ju, quot; ordinis secundum utramque variabilem, ubi
Q ^ 2 II — 3aut2ß==2/^ — 3aut2fi — 2.

In casu generali coordinatae non possunt rationaliter exprimi
per unam variabilem f et functionem algebraicam ejus ■gt;], radicem
aequadonis algebraicae F (f, rj) = 0, quae secundum variabilem

inferioris ordinis est quam n quot; .

(H. A. S c h w a r z. De superficiebus in planum explicabilibus
primorum septem ordinum. J. f. M. Bd. 64). (6).

Ook Salmon wees op de belangrijkheid van p: „we call
the deficiency of a curve the number D (= p) by which its
number of double points is short of the maximum; this number

playing a very important part in the theory of curves......quot;

(Salmon: A treatise on the higher plane curves.) (7).

Descartes noemde de algebraische krommen „geometrische
krommenquot; en bedoelde met „mechanische krommenquot; die, welke
wij in navolging van Leibniz transcendent noemen. Hij deelde

eerstgenoemde in in geslachten „genresquot;, waarbij hij iedere 2
opvolgende graden 2n 1 en 2n 2 tot één „genrequot; vereenigde.
(Descartes: La Géometrie.) (8). Deze indeeling is door
Newton vervangen door de tegenwoordig nog gebruikelijke
naar de graad van de krommen.

De meest fundamenteele classificatie der algebraische kram-
men, nl. naar hun p, is de inzet van het werk van Clebsch.

De klasse van Abelsche functies, bepaald op een Riemannsch
oppervlak behoorende bij een vlakke algebraische kromme van
de n-de graad, wordt bepaald door het getal:

P = M (n—1) (n —2)

als de kromme geen dubbelpunten en keerpunten heeft
en Clebsch verkreeg in „Ueber die Anwendung der Abel-
schen Functionen in der Geometriequot; (J. f. M. t. 63) (9) een
rij fraaie geometrische resultaten, die op deze opmerking steunen.
De geometrische toepassingen van de theorie der Abelschen
functies zijn zoo talrijk, dat Clebsch zich beperkte tot de
uitwerking van eenige gevallen, die vooral betrekking hebben
op de theorie van de krommen van de vierde graad en bevatten
o.a. een oplossing van het probleem der dubbeltangenten, welke
zich door een uit den aard der zaak voortvloeiende overzichtelijke
groepeering van deze merkwaardige lijnen aanbeveelt.

Hierbij komen als vanzelf te voorschijn een rij van stellingen,
reeds door Hesse en Steiner (Bd. 49 J. f. M.) (10)
gegeven, over de 63 systemen van kegelsneden, die een kromme
van de 4-de graad in 4 punten raken en de 64 systemen van
3-de graadskrömmen, die een 4-de graadskrommen in 6 punten
raken, reeds door Hesse en Steiner gegeven, en waarop
Hesse zijn fraaie verklaring, van de tusschen de 28 dubbel-
tangenten optredende relaties door de verbindingslijnen van 8
punten in de ruimte, gebaseerd heeft.

Iedere algebraische vergelijking F (s.z) = O, waardoor s als
functie van z is bepaald, is volgens Riemann de basis voor
een klasse van Abelsche integralen. Uit de overal eindig blij-
vende integralen, die men hierbij verkrijgt, worden de argumenten

van 0-functies op lineaire wijze samengesteld. Neemt men de
p argumenten van een 0-functie als bekend aan, dan correspon-
deeren hiermee p waarden van z, welke de bovenste grenzen
van de constitueerende integralen vormen; en dezen, of een of
andere algebraische functie ervan, laten zich bepalen als wortels
van een vergelijking van de p-de graad, waarvan de coefficienten
rationaal zijn samengesteld uit ©-functies.

Het getal p v/ordt aangegeven door:

p = ^ w — (ri—1)

(Riemann: Theorie der Abelschen Functionen. J. f. M.
Bd. 54) (2).

Hierin is n de graad van de gegeven vergelijking t.o.v. s, w
het aantal malen, dat F' (s) = O, zonder dat F' (z) = 0. Hierbij
wordt verondersteld, dat voor de waardensystemen, waarvoor
F' (s) = O en F' (z) = O, niet

Fquot; (ss). Fquot; (zz) — Fquot; (s2)2 = O

is. (Vergelijk onderstaande opmerking, pag. 8).

V/aar Riemann (I.e.) als grondslag neemt de Riemann-
sche algemeene vorm F (squot;,2™ ) = O, waarin de coefficienten
van alle machten van s alle van de m-de graad in z zijn, en het
daarbij behoorend Riemannsch-oppervlak, neemt Clebsch als
grondslag de algemeene algebraische kromme.

F (s° , zquot;) =0 zou voeren tot een in Clebsche opvatting
speciale'kromme, f (xi, Xz. Xg) = O, met een n-voudig punt in
A == O, B = O en een m-voudig punt in C = O en D = O, als
men s en z als de parameters van 2 waaiers A — sB = O en
C — zD = O opvat.

Clebsch ging daarom uit van een kromme f (xi, Xg, X3) =0
van de n-de graad zonder dubbelpunten, dat is een in projectieve
zin algemeene kromme. Van hieruit komt hij door 2 niet-speciale
(t.o.v. f = 0) waaiers met parameters s en z tot een speciale
Riemannsche vorm F (squot;,2°) =0, waarin nu de waarden
s = 00 of 2 =00 niets bijzonders meer hebben. De w para-
meters Zj der werkelijke tangenten van de z-waaier geven de

w vertakkingspunten van het s voorstellend Riemannsche opper-
vlak op het 2-vlak.
Zoo wordt dus, daar:

P = M w — (n—1)

en w = n (n—l),ofw = n (n—1) _2d,

als f == O d gewone dubbelpunten heeft,

p = (n_l) (n—2) — d.

Hierbij werden dus de definitie van vertakkingspunt (uit F = O
d F

äT ^nbsp;^^ vergelijking p = w — (n — 1) door

Clebsch uit Riemann overgenomen.

P = (n — 1) (n — 2) — d, is aldus het getal, dat de
klasse van de tot een kromme van de n-de graad behoorende
Abelsche functies aangeeft.

Opmerking.

Is F' (s) = O en F (z) = O, dan is ook Al _ o il = o
d I _nbsp;X, ' d xj '

~ ®nbsp;de kromme een dubbelpunt. Is

Fquot; (ss). Fquot; (zz) _ Fquot; (s2)2 = 0.

dan treedt een keerpunt op. De beperking

Fquot; (ss). Fquot; (Z2) — Fquot; (s2)2 = O

is op te heffen door op te merken, dat voor ieder keerpunt het
aantal tangenten met één vermeerderd moet worden.

Bij het voorkomen van keerpunten is het aantal raakpunten:

n (n—1) _ 2 d — 3 k.

Dan wordt:

w = n (n—I) — 2 d — 2 k

en dus:

P = M (n-1) (n—2) — d — k.

Nu kunnen met behulp van de elliptische functies (p = 1) van
één variabele, in parametervorm worden voorgesteld de alge-
meene krommen van de derde graad, de krommen van de vierde
graad met 2 dubbelpunten, etc.; met behulp van de eerste klasse
van de Abelschen transcendenten de krommen van de vierde
graad met één dubbelpunt, of die van de vijfde graad met 4
dubbelpunten, etc.

Als eerste vrucht van zijn onderzoekingen verkreeg Clebsch
zoo een nieuwe indeehng van de algebraische krommen, die men
tot dan slechts door hun graad had onderscheiden, met daarin
onderverdeelingen naar het aantal dubbelpunten.

De Clebsche indeeling geschiedt naar de geslachten (Ge-
schlechtszahlen), dus naar het getal p. Tot het eerste geslacht
behooren alle algebraische krommen met p = 0; tot het tweede
allen, waarvoor p = 1 etc. Nu komen omgekeerd de verschil-
lende! graden als onderdeelingen in de geslachten en wel tot
p = 3^ (n — 1) (n — 2), waarbij men dan heeft de meest alge-
meene, d.w.z. zonder dubbelpunten of keerpunten, kromme van
de n-de graad.

De tot hetzelfde geslacht behoorende krommen kan men ook
daardoor definieeren, dat hun homogene coördinaten zijn voor
te stellen door rationale geheele functies van 2 parameters s en z,
welke verbonden zijn door een algebraische vergelijking f (s, z)
= O, welke een bijbehoorende klasse van Abelsche functies be-
paalt.

Voor p = O kan men s in z rationaal uitdrukken.

Voor p = 1, komt in de voorstelling van s in z de vierkants-
wortel uit een uitdrukking van de derde of de vierde graad, enz.

Na op deze nieuwe indeeling gewezen te hebben, behandelde
Clebsch het eerste geslacht, waarvoor p = O, dus de krom-
men waarvoor het aantal dubbelpunten en keerpunten bij be-
paalde graad maximaal is, welke krommen reeds, hetzij beperkt,
besproken waren door S a 1 m o n in „Treatise on higher plane
curves.quot; (7)

De algemeene methode voor het omzetten van de vergelijking
van een kromme van geslacht 1 in de parametervoorstelling,

waarbij de coördinaten elliptische functies zijn van 1 verander-
lijke, werd door Clebsch uitgewerkt in de verhandeling
„Ueber diejenigen Curven, deren Coördinaten sich als elliptische
Functionen eines Parameters darstellen lassen.quot; i) (J. f. M.
t. 64) (11).

Veelal kan men bij speciale gevallen het uitvoeren der alge-
meene methode nalaten en kan men door voor het probleem ge-
eigende substituties tot de verlangde parametervoorstelling ge-
raken.

Wij willen dit aan een speciaal voorbeeld demonstreeren. In
zijn „Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysisquot; heeft
O. Schlömilch (13) een bijzondere vlakke kromme van de
vierde graad als volgt gedefinieerd:

De m.p. der punten, waarvoor de rechthoeken gevormd uit de
afstanden van een punt tot een vaste rechte en tot een vast punt,
constante oppervlakte bezitten.

Deze kromme en het krommensysteem dat men verkrijgt door
de constante te laten varieeren is uitvoerig onderzocht door G.
H u be r in „Die Conchalen, ihre orthogonalen Trajectoriën und
die Cissoiden 4-ter Ordnungquot; (Monatshefte für Mathematik und
Physik, Jahrgang 6). (14).

Is FA = 2a de loodrechte afstand van het vaste punt F
(brandpunt) tot de vaste rechte (richtlijn), r de afstand van een
willekeurig punt P der kromme tot F en d de loodrechte afstand
van dit punt tot de richdijn, dan geldt voor alle punten P van
de kromme de betrekking: r.d = a.k, waarin k een bepaald posi-
tief getal beteekent.

Het voorstellen van de konstante door a.k in plaats van k2
is een practische handigheid, waardoor alle uitdrukkingen een-
voudiger zijn voor te stellen.

Nemen de middelloodlijn van FA als IJ-as en het midden van
FA als oorsprong 0. De abscis van het brandpunt is dan x = a.

In cartesische coördinaten wordt de vergelijking van de
kromme dan:

1) Voor een moderne uitvoering hiervan vergelijke men J. L. Coolidge:
A treatise on algebraic plane curves (12).

y2 (x a)2 (x2 _ a2)2 = a2 k2

of: y = ± -^

X a

Deze kromme is dus van de vierde graad en ligt symmetrisch
t.o.v. de X-as. Door k te laten varieeren van O tot ©o krijgt men
een krommensysteem van index 2.

Uit de vergelijking van de kromme volgt direct, dat het on-
eindig verre punt der IJ-as (en richtlijn) een dubbelpunt der
kromme is, en dat de rechte x = —a (richtlijn) asymptoot aan
2 takken der kromme is, welke in het oneindige 4 samenvallende
punten met de kromme gemeen heeft; het oneindig verre punt
der richtlijn is een punt van zelfcontact. De kromme gaat verder
door de imaginaire cirkelpunten van het vlak.

Het punt van zelfcontact telt voor 2 samenvallende dubbel-
punten, zoodat men voor de Plückersche getallen van de kromme
berekent:

n = 4, 7 = = 12, 8 = 8, p = 1.

De richtlijn, als tangent in het punt van zelfcontact telt onder
de dubbeltangenten voor 2, de overige 6 blijken imaginair te zijn.
De vorm van de kromme hangt verder af van de waarde van k.
Voor k = O heeft de kromme nog een dubbelpunt in O en is
dan rationaal.

De poolvergelijking van de conchalen t.o.v. brandpunt F (a, o)
als pool en de positieve X-as als poolas, kan gebracht worden
in den vorm:

r2 (r cos 0 2a)2 = a2 k2

De algemeene conchaal is van geslacht 1, en haar coordinaten
zijn dus rationaal als elliptische functies van 1 variabele voor
te stellen.

, / (x^-Hak- a^) (ak a'' —x^)

y _ a:nbsp;__

Al naar k S a geschiedt de invoering der elliptische functies
verschillend.

Geval 1: k gt; a.

De concaal bestaat uit 2 oneindige takken, rechts en links
van de richtlijn liggend.

Stel X = K a (k a) / 1 _ z^. Modulus =nbsp;lt; 1

I 2 k ^

2ak;^ .zKl-

y =

a K2ak: xV^-z'

Stel nu 2 = sn u, KT^ = cn u, YT^f^ = dn u.
dan worden de vergelijkingen der conchaal:
X = Y^'Jk . . cn u

2 a k . . sn u . dn u

y ^

K2ak.;i;.cnu

De coördinaten van de punten der kromme zijn daarmee een-
duidig door elliptische functies uitgedrukt; met iedere reëele
waarde van u komt een rechts van de IJ-as liggend punt, met
imaginaire een links van de IJ-as liggend punt der kromme
overeen.

Twee even groote, tegengestelde waarden van u geven 2 sym-
metrisch t.o.v. de X-as hggende punten.

Omgekeerd hoort bij een punt der kromme niet één waarde
van u. maar oneindig veel. Is u één dezer waarden, dan zijn de
overigen voor te stellen door: u±4mK±4niK', waarbij
4 K en 4 i K' de reëele en imaginaire perioden der elliptische
functies voorstellen. De kromme heeft eveneens deze perioden.

Geval 2: k = a.

De conchaal is dan unicursaal en haar coördinaten moeten dan
voor te stellen zijn door trigonometrische, of door rationale
functies van één variabele.

In bovenstaande voorstelling k gt; a, wordt nu modulus x = 1
en gaan de elliptische functies in hyperbolische over.

Nu wordt:

Sn u = th u. cn u = dn u = ^^ en de vergehjkingen gaan
over in:

^ _ afT
Ch^

2 a th u

y = Tr^

Door het stellen van Sh u = cotg 0, Ch u = gj en

th U = cos 0 worden de vergehjkingen:
x = a ]/quot;2 Sin 0
a Sin 2 0

1 f 2 Sin 0

Geval 3. k lt; a.
Vergelijking der kromme:

V ^ ± /(x='-a(a-k)}{a(a k)-x^}
^nbsp;x a

Wij voeren dan uit de substituties:

i- X^z^nbsp;ï a k

®nbsp;cn z = snu.

a k

De vergelijkingen van de conchaal worden dan:

X = /a(a-k)
dn u

sn u . cn u

y =nbsp;dn u (K a (a - k) a dnu)

HOOFDSTUK II.

Clebsch.

De groote beteekenis van Clebsch voor de ontwikkeling
der moderne geometrie en de invoering van het geslachtsbegrip
door Clebsch zijn voor ons aanleiding aan hem en zijn werk
een apart hoofdstuk te wijden.

De grootste en voornaamste verdienste van Clebsch is
geweest, buiten zijn uitgebreid ander werk op geometrisch en
algebraisch gebied, door de invoering van de Abelsche functies
en de door hem ontwikkelde beschouwingswijzen in de geometrie,
aan de geometrie een nieuwe en geweldige opbloei te hebben
gegeven.

De aanleiding hiertoe was de samenwerking, die ontstond tus-
schen Clebsch en Gordan (1863). Clebsch was
hoogleeraar te Giessen, waar in 1863 Gordan de Analysis kwam
doceeren. Van deze tijd dateert de nieuwe richting in het werk
van Cl e b s c h.

In „Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Functionen
in älterer und neuerer Zeitquot; door Brill-Noether (Jahres-
bericht der Deutschen Mathematikerverein. Dritter Band 1894)
(15) lezen wij: „Welche Mühe es Clebsch verursachte, dem
es doch an Belesenheit und Vielseitigkeit keineswegs fehlte, in
Riemann's Abhandlung über Abelsche Functionen einzudringen,
geht aus einem Brief an Roch vom August 1864 vor, wo
Clebsch erklärt, das er selbst nach den grössten Bemühungen
von Riemann's Abhandlung nur wenig verstanden habe.quot;

Door de nauwe samenwerking met Gordan nu werd
Clebsch beter bekend met de Abelsche functies en in het
bijzonder met de toentertijd nog betrekkelijk weinig bekende
Riemannsche onderzoekingen. Wat uit het gezamenlijke werk van

C 1 e b s c h—^G o r d a n op rekening van Clebsch en wat
op rekening van G o r d a n geschreven moet worden is niet
geheel uit te maken, daar zij veel van hun werk gemeenschappelijk
hebben gepubliceerd. In het algemeen mag men wel zeggen, dat
wat de geometrische uitwerking en interpretatie betreft van de
verkregen algebraische resultaten, deze geheel op Clebsch
alleen is terug te voeren, terwijl de afleidingen behoorend tot
de analysis van dezen dikwijls van G o r d a n afkomstig zullen
zijn geweest.

De directe aanleiding, om de transcendente functies met de
nieuwere geometrie in verband te brengen, werd voor Clebsch
wel op de eerste plaats een door Steiner zonder bewijs
bekend gemaakte stelling (Cr el Ie, J. f M. t. 33), (16) welke
betrekking heeft op polygonen die in een kromme van de derde
graad beschreven kunnen worden.

In ,,Ueber einen Satz von Steiner und einige Punkte der
Theorie der Curven dritter Ordnungquot; (J. f. M. t. 63) (17), de
eerstei publicatie waarin Clebsch de theorie der transcen-
dente functies op de geometrie toepaste, gaf hij namelijk van de
Steinersche Stelling: ,,Es giebt unendlich viele Polygone von 2n
Seiten und 2n Ecken, deren Ecken auf einer gegebenen Curve
dritter Ordnung liegen, deren ungerade Seiten sich in einem
Punkte a derselben treffen, und deren gerade Seiten durch einen
zweiten Punkt b der Curve gehen. Ist a gegeben, so ist b dadurch
mehrdeutig bestimmt; zu zwei zusammengehörigen Punkte a und
b giebt es aber unendhch viele Polygone, indem die erste durch
a gehende Seite ganz beliebig gewählt werden kann.quot;, een een-
voudig en doorzichtig bewijs, door uit te gaan van een voor-
stelling van de coördinaten der punten van zulk een kromme
door elliptische functies van één parameter, zooals deze door
Aronhold (J. f. M. t. 61) (18) gegeven was. Het bewijs
komt neer op een toepassing van het additietheorema der ellip-
tische functies, daar tusschen de bovenste grenzen van 3 ellip-
tische integralen van de eerste soort, waarvan de som gelijk is
aan een constante, dezelfde betrekking bestaat als tusschen de
drie abscissen der snijpunten van een rechte met een kromme van

de derde graad, in wier vergelijking slechts het kwadraat der
ordinaat optreedt.

Door deze opmerking is niet slechts de stelling van Steiner
zonder meer te bewijzen, maar zijn ook al de merkwaardige
theorema's, door M a c-L aurin. Poncel et, Plücker,
Hesse en Steiner opgesteld, over de buigpunten der
krommen van de derde graad, over de tangenten, de contact-
kegelsneden ervan, etc., als met één slag opgelost: zij zijn terug-
gebracht tot de eenvoudige vergelijking, welke zegt, dat de
sommen der bij de snijpunten behoorende argumenten gelijk zijn
aan een constante op veelvouden van de 2 perioden na.

Spoedig hierna verscheen de groote verhandeling van
Clebsch over „Die Anwendung der Abelschen Functionen
in der Geometriequot; (J. f. M. t. 63) (9) waarvan de richtlijnen
in 2 verdere publicaties „Ueber diejenigen Curven, deren Coör-
dinaten sich als rationale Functionen eines Parameters darstellen
lassenquot; (J. f. M. t. 64) (19) en „Ueber diejenigen Curven, deren
Coördinaten sich als elliptische Functionen eines Parameters
darstellen lassenquot; (J. f. M. t. 64) (11), voor de eenvoudigste
gevallen uitvoeriger in practijk werden gebracht.

De grondslag hiervan is de idee, dat de vergelijking, die A b e 1
tot definieering van de irrationaliteit van de naar hem genoemde
integralen vooropstelt, is op te vatten als de vergelijking van
een algebraische kromme.

Aan deze verhandeling van Clebsch hebben wij het fun-
damenteele klassificatie-principe voor algebraische krommen, het
geslacht, te danken.

Dit begrip, was naar zijn beteekenis voor vergelijkingen tus-
schen 2 variabelen het eerst door Riemann ingezien, wat
echter zijn analytische eigenschappen betreft ook Abel niet
vreemd, die de vraag heeft gesteld (Mémoires des savants
étrangers t. 7) (20) naar het kleinste aantal integralen, waarop
men een som van integralen met gegeven grenzen kan terug-
voeren.

Volgens Clebsch behooren tot eenzelfde klasse al die
algebraische krommen, welke zoodanig aan elkaar kunnen wor-

den toegevoegd, dat met ieder punt van de eene kromme slechts
één punt der andere overeenkomt (bijv. kromme en evolute), of
wat hetzelfde is, dat de eene kromme uit de andere door een-
duidige transformatie kan worden afgeleid (verg.: Cl e b s c h:
Ueber die Singularitäten algebraischer Curven. J. f. M. t. 64)
(21). Bij elke klasse behoort een karakteristiek getal, het geslacht
(Geslechtszahl), welk getal voor de krommen van eenzelfde
klasse constant is.

Voor een gegeven kromme is het geslacht „Geslechtszahlquot;
een functie van de graad en het aantal dubbel- en keerpunten,
anderzijds is het gelijk aan de klasse der Abelsche functies,
waardoor de coördinaten harer punten als functies van één
parameter kunnen worden voorgesteld.

Mocht de idee van de geometrische interpretatie van het ge-
slachtsbegrip, in de tijd dat Cl eb sch zijn verhandeling
schreef, wel reeds in het gevoel der mathematische wereld ge-
legen hebben en in bijzondere gevallen ook wel tot uitdrukking
zijn gekomen (H. A. Schwarz) (6), dit doet niets af aan
het feit, dat C 1 e b s c h deze voor het eerst algemeen uitsprak
en wat van nog grooter beteekenis is, haar draagwijdte doorzag
en ze practisch bruikbaar wist te maken.

Sedert dien tijd is het geslachtsbegrip ingeburgerd in de geo-
metrie, en wordt zonder onderscheid in de synthetische zoowel
als in de analytische richting toegepast. Het is geen toeval, dat
de algemeene op algebraische krommen betrekking hebbende
„Abzählungsquot;-formules, door de invoering van het geslacht
essentieel vereenvoudigd zijn, zooals bijv. de correspondentie-
formules voor puntsystemen op een kromme van hooger geslacht,
welke correspondentieformule (C a y 1 e y) een veralgemeening is
van het correspondentieprincipe van C h a s 1 e s, dat slechts
betrekking heeft op rationale „Gebildequot; van één dimensie.

De stelling van het behoud van het geslacht bij eenduidige
transformatie is op zich zelf beschouwd een algebraische, en
eischt als zoodanig een direct, d.w.z. niet op beschouwing van
integralen gebaseerd, algebraisch, of wat bij de huidige ontwik-
keling der geometrie zeggen wil, geometrisch bewijs.

Het bewijs zooals dit oorspronkelijk door R i e m a n n ge-
geven is, behoort tot de Analysis Situs. De stelling behoort tot
een gebied, dat wat zijn ontstaan betreft nauw met de theorie
der Abelsche functies verbonden is, maar hiervan als iets zelf-
standigs moest worden losgemaakt, nl. het ten tijde van
Clebsch eerst weinig onderzochte gebied van de invariante
eigenschappen van algebraische relaties bij willekeurige een-
duidige transformaties.

Door in „Theorie der Abelschen Functionen, Abschnitt 3quot;
(22) het probleem der eenduidige transformatie van een kromme
op algebraische wijze te formuleeren, gelukte het Cl eb sc fa-
Go r d a n een direct algebraisch bewijs van het behoud van
het geslacht te geven, door middel van een subtiel eliminatie-
proces, waarbij zij, in plaats van een identisch nul wordende
resultante, met behulp van „variatie der constantenquot; een uit-
drukking vormen, welke deze vervangt; een werkwijze, die zich
sedert dien in andere problemen der geometrie meerdere malen
bruikbaar heeft getoond.

Uit al het werk van Clebsch blijkt, hoe volkomen hij het
algebraisch apparaat beheerschte. Clebsch was trouwens in
de eerste plaats algebrist, waarnaast zich in latere onderzoekin-
gen een zuiver geometrisch begrip stelde, waardoor iedere stap
door de berekening uitgevoerd, in een aanschouwelijke vorm
werd gebracht. Maar het is niet de concrete wijze de ruimtelijke
verhoudingen te zien, zooals wij deze bij vele andere geometers
vinden; de geometrische aanschouwing is voor hem meer symbool
en oriënteeringsmiddel voor de algebraische problemen waarmee
hij zich bezig houdt.

Steeds zal Clebsch tegenover andere geometers te karak-
teriseeren zijn door het samengaan der algebraische en geometri-
sche opvatting, en uit zijn uitgebreid oeuvre zal men dat bovenaan
moeten stellen, waarin hij door deze dubbele begaafdheid, tot
dan tot gescheiden takken der wetenschap in hun gemeenschap-
pelijke logische grondslag samenvatte.

De voordrachten van Clebsch over de geometrie zijn door

F. Lindemannn verzameld en bijgewerkt in „Vorlesungen
über die Geometriequot;. In de Fransche vertaling „Leçons sur la
Géométriequot; omvat dit driedeelige werk:

le. Traité des sections coniques et introduction à la théorie
des formes algébriques.

2e. Courbes algébriques en général et courbes du troisième
ordre.

3e. Integrales Abéliennes et connexes.

HOOFDSTUK III.

Geslacht en Plückersche formules.

Gaan wij nu uit van een rationale kromme van de n-de graad.

#nbsp;X = fl (A) fj hoogstens van graad n, minstens één f. heeft

#nbsp;y = f2 (A) graad n. Wij veronderstellen verder eenmalige
2 = f3 (A) overdekking, hetgeen steeds te bereiken is

volgens het rekenvoorschrift van A p p e 11.
In klassecoördinaten:

fl f2 f3

U„ ^ U2. U3) = Inbsp;||

Hieruit vindt men:

y = 2n — 2

Substitutie in de eerste Plückersche formule, waarbij wij alleen
gewone dubbelpunten toelaten:

y = n(n— 1) — 2d

geeft:

d = H (n- 1) (n-2).
Heeft een kromme van de n-de graad meer dan
M (n-l) (n-2)

dubbelpunten, dan is de kromme ontaard.

Immers indien er meer zijn, kan men door deze

(n—1) (n —2) 1

en (n—3) andere punten van de kromme, een kromme leggen

van de graad (n—2). Het aantal snijpunten van dezenbsp;met

de Cquot; is dan:

2. H (n—1) (n—2) n—3 = n (n—2) 1

dus de heeft óf met de een ontaardingsdeel gemeen.

óf is een deel van de Cquot; (C. Mac L a u r i n, Geometria
organica, sive descriptio linearum curvarum universalis, 1720).
Dit bewijs toont slechts aan, dat krommen van een bepaalde graad
niet meer dan een bepaald aantal dubbelpunten kunnen hebben,
en laat niet zien, wat inderdaad het geval is, dat zij er steeds
zooveel kunnen hebben, i)

Het bovenstaande gaat ook door als onder de dubbelpunten
keerpunten aanwezig zijn. Heeft de kromme meervoudige punten
van hoogere orde, dan is hetzelfde criterium van toepassing, waar-
bij dan elk meervoudig punt van k-de orde als equivalent met
k (k— 1) dubbelpunten gerekend moet worden. Er zijn na-
tuurlijk grenzen voor de mogelijkheid om een bepaald aantal
dubbelpunten te vervangen door een meervoudig punt van
hoogere orde. Immers een kromme van bijv. de vijfde graad kan
6 dubbelpunten hebben. Vervangt men een drietal door een
drievoudig punt, dan is dit met de resteerende 3 dubbelpunten
niet meer te doen.

Heeft omgekeerd een kromme het maximaal aantal dubbel-
punten (bij die graad n) dan is de kromme rationaal, d.w.z. de
coördinaten van haar punten kunnen worden voorgesteld door
rationale algebraïsche functies van één parameter.

Men neme hiertoe een bundelnbsp;met basispunten in de

y^ (n—1) (n — 2) dubbelpunten en in n —3 overige punten
van de C°.

Cn-2 I Cn-2 = Q geeft op één variabel snijpunt, af-
hankelijk van A.

Los uitnbsp; l C5-2 = O en Cquot; = O (bij onderdrukking

van z) bijv. met Sylvester yop, door eliminatie van x.

Aan een ander bewijs voor

dmax. = H (n-1) (n-2)

afkomstig van W. Esson in „On Synthetic Geometryquot; (Proceedings of the
London Mathematical Society, Vol. XXVIII) (23) mag geen waarde worden
toegekend.

De resulteerende vergelijking is van de graad n (n — 2). waar-
in de coëfficiënten polynomen zijn in A. Deze vergelijking in y

geeft slechts één nieuwe waarde voor y, daar reeds n (n_2)_1

wortels vast gekozen zijn.

Wij kiezen de symmetrische functie van de wortels:

/7y, = f (A).

De ééne onbekende y is dus y = _____________LML

n (gekozen wortels)

Zoo is dus y rationaal in A uitgedrukt. De polynomen in A
zijn van n-de graad of lager. De kromme wordt slechts eenmaal
doorloopen als A over een rechte loopt.

Rationale krommen bezitten dus het maximum aantal dubbel-
punten voor niet-ontaarde krommen van die graad.
Bij niet-ontaarde krommen is:

(n—1) (n —2) — d — k amp; O

Stel:

M (n— 1) (n —2) —d —k = p.

p = geslacht (Geschlecht, Cl eb sch)
p = D (Deficiency, benaming ingevoerd door Ca y ley)
p is een autoduale grootheid, immers:

n (n—1) - y_2d — 3k=y 1) — n — — 3x . . (1)
}in (n 3) — d — 2k = }4y{y 3)—d — 2^ . . . . (2)

1-ste hd (2) = aantal voorwaarden, die een kromme van
graad n met d dubbelpunten en k keerpunten bepalen.

2-de lid (2) = aantal voorwaarden, die een kromme van klas-
se y. met S dubbeltangenten en x buigpunten bepalen.
Optelling van (1) en (2) geeft:

K (n-1) (n-2) _ d —k =

H (y-1) (v-2) - 8 - = P

HOOFDSTUK IV.

Birationale Invariantie.

Het geslacht is invariant:

1.nbsp;voor alle collineaties; immers alle Plückersche getallen zijn
invariant.

2.nbsp;voor alle birationale transformaties.

De birationale transformaties kunnen wij onderscheiden in
2 groepen, nl.:

a.nbsp;de transformaties van vlak op vlak, de z.g. Cremona-
transformaties.

b.nbsp;de transformaties van kromme op kromme, de z.g. Rie-
mann-transformaties.

Elke Cremonatransformatie is een Riemanntransformatie, ech-
ter niet omgekeerd.

Waar wij de verschillende bewijzen voor de invariantie van
p willen nagaan, zouden wij dus met de Riemanntransformaties
kunnen volstaan. Voor de volledigheid en uit historisch oogpunt
willen wij in het kort ook een bewijs van de invariantie van p
t.o.v. Cremonatransformaties opnemen.

HOOFDSTUK V.

Dc invariantie van „pquot; t.o.v. Cremona-transformatie.

a. Een Cremonatransformatie, overgang van vlak (x^, X2, X3)
naar (x'^, x'2, x'3) is gedefinieerd door:

t?'. x', = 0, (X,, X2, X3) 0,. 0j, 03. bekende

. x'2 = 02 (x,, Xj, X2) functies van (x,, X2, X3)
ê . x'3 = 03 (x,, X2, X3) van n-de graad,

^r . X, = 0', (x',. x'2, x'3)
en omgekeerd ê' . X2 = (x'|, x',, x'3)
ê'. X3= 0'3 (x'„x'2.x'3)

Als deze inverse uitdrukkingen mogelijk zijn, moeten ook de
0j van n-de graad zijn in (x'i, x'2, x'3).

Immers met de n snijpunten van

3nbsp;3

a. x. = O met een kromme 2 = O

zal in het andere stelsel correspondeeren, het snijpunten-
systeem van

2- Oi 0', = O met 2quot; x'i = O,

dat dus ook uit n punten moet bestaan.

Gaan wij de voorwaarden na, waaronder dit mogelijk is.

(x'i, x'2, x'3) = (ai, aa, ag),

hiermede correspondeert in het andere systeem de snijfiguur
der krommen,

01 : 02 : 03 ■ = = : as-

Aantal snijpunten is n2, indien de algemeene krommen zijn
van de n-de graad.

Hebben de 0,, 02, 03 g gemeenschappelijke punten, dan gaan

J 1nbsp;02

de krommen--=----= ? steeds hierdoor en zijn er slechts

Hl a2 a3

n2—g loopende snijpunten. Deze n2—g punten correspondeeren
dan met het gegeven punt (x'i, x'g, x'g). Is g = n2—1. dan
één loopend snijpunt; de coördinaten van het resteerende snij-
punt zijn dan éénduidig bepaald en zijn dus rationale functies
van (x'i, x'2, x'3), en er bestaan uitdrukkingen van den vorm:

Xi : X2 : Xg = 0', : 0'^ ;

1-ste voorwaarde voor Cremonatransformatie is dus, dat de
krommen 0,, 0^, n2—1 gemeenschappelijke snijpunten hebben.

Deze voorwaarde moet echter gecompleteerd worden door een
tweede. Wij mogen nl. denbsp;niet zoo nemen, dat zij n2—1

verschillende punten gemeen hebben, omdat zij dan (n gt; 2) nog
een punt gemeen zouden hebben, en dan dus geen loopend snij-
punt zouden leveren. Men kan aan de voorwaarden die het pro-
bleem stelt toch voldoen, door nl. voor 0i, 03 krommen te
nemen, die gemeen hebben:
«1 gewone punten,
«2 dubbelpunten,
as 3-voudige punten,
etc., zoodanig dat deze gezamenlijk equivalent zijn met n2—1
snijpunten, en dat het aantal hierdoor opgelegde voorwaarden
2 minder is dan het aantal noodig om een kromme van de graad
n te bepalen.

Het geven van een r-voudig punt stelt

q,, = K r (r 1)
voorwaarden en zulk een punt gemeen aan 2 krommen telt voor
r2 snijpunten. Wij krijgen zoo dus de vergelijkingen:

ai-|-22aj ---- nbsp;(1)

en (a,-|-C|a3 qa3 ...nbsp;=Hn(n 3)-2

3 02 603 ... V2r(r l)a,=: V2n(n 3)-2

of: ai 22aj ....nbsp; r2a,= n2—1nbsp;(1)

en a, 2aj -------- rar=3(n—1)nbsp;(2a)

(2a is verkregen door de vergelijking (2) met 2 te vermenig-
vuldigen en daarna met (1) te verminderen.)

Wij hebben dan evenveel manieren van transformatie met
behulp van krommen van de n-de graad, als deze vergelijkingen
(1) en (2a) oplossingen hebben met geheele positieve waarden
voor oj, a^, a^, etc., met de restrictie dat het aantal meer-
voudige punten, dat de krommen verondersteld worden te heb-
ben voldoet aan de beperking, die wij reeds noemden (pg. 21).

Het is nu mogelijk het karakter te bepalen van de kromme,
die correspondeert met een kromme van de k-de graad, waarvan
wij veronderstellen, dat zij niet door één van de basispunten gaat.

Substitutie van 0i.nbsp;voor x'i, x'2, x'3, in een functie van

de k-de graad, geeft een functie van de graad nk.

Hebben de krommen 0i, 02. 03 een punt (ai) gemeen, dan
zal de lijn in de andere figuur, die met (ai) correspondeert de
kromme S in k punten snijden, die alle correspondeeren met
(ai); dit is dus een k-voudig snijpunt.

Analoog: elk van de hoofdpunten a^ zal een rk-voudig punt
zijn. Heeft de oorspronkelijke kromme geen meervoudige punten,
dan zal de getransformeerde kromme geen meervoudige punten
hebben buiten de hoofdpunten.

De graad van de getransformeerde kromme is nk en het corres-
pondeerend maximum aantal dubbelpunten: (nk—1) (nk—2).

De hoofdpunten zijn meervoudige punten van de getransfor-
meerde kromme, en het aantal dubbelpunten waarmee zij equi-
valent zijn is:

'I2 a^ k (k—1) V2 a2 . 2 k (2 k-1) ..... V2 a, r k (r k—1)

of:

V2 k^ («1 4 aj .....r2 «,) — V2 k (ai 2 a^ .....r «r)

en in verband met vergelijking (1) en (2a):
(n2_l)k2 - 3/2 (n-l)k.

Het geslacht van de getransformeerde kromme is dus:
p = H (nk—1) (nk—2) — {(n2—1 )k2 — Zj^ (n—1 )k ) =

H (k-1) (k-2),

dat is hetzelfde als het geslacht van de oorspronkelijke kromme.
Heeft de oorspronkelijke kromme meervoudige punten buiten de
hoofdpunten, dan zullen hiermee op de getransformeerde kromme
meervoudige punten van dezelfde orde correspondeeren.

Dus:

Het geslacht is invariant t.o.v. Cremonatransformaties.

Litteratuur:

Cremona: Sulla trasformazione geometriche delle figure
piane, Nota 1 ed 2. Mem. di Bologna. Ser. 2 t. II, 1863 en Ser.
2 t. V, 1865 (24 en 25).

C a y 1 e y: On the rational transformations between two
spaces. Proceedings of the London Mathematical Society. Vol. 3.
1869. (26).

Salmon: A treatise on higher plane curves. (7),

De beteekenis van C r e m o n a's werk is gelegen in de
geometrisch algebraische voorstelling van de één-éénduidige cor-
respondentie van twee vlakken, zooals deze door hem voor het
eerst abstract werd gedefinieerd.

Met een rechte van het eene vlak correspondeert een net alge-
braische krommen van de n-de graad in het tweede vlak, welke
krommen echter zooveel gemeenschappelijke punten moeten heb-
ben, dat twee der krommen elkaar in het algemeen slechts in één
variabel punt (in het bijzonder geval in oneindig veel) snijden.

De inhoud van het werk van C r e m o n a bestaat in het
opstellen van criteria voor deze eischen, het karakteriseeren der
fundamentaalpunten en die punten waarmee oneindig veel punten
(een fundamentaalkromme) correspondeeren; het opstellen van
de eigenschappen dezer transformaties en het aangeven van
systemen van transformaties, die aan de criteria voldoen.

In de theorie van Cremona over deze speciale klasse van

eenduidige transformades, zien wij de eerste poging om eigen-
schappen welke krommen van een zelfde klasse gemeen hebben,
nl. de rationaal invariante eigenschappen, langs geometrisch-
algebraischen weg af te leiden.

Is van de invloed van het werk van Cremona in de ver-
handeling van Clebsch, „Ueber die Anwendung der Abel-
schen Funktionen in der Geometriequot;. (J. f. M. Bd. 63. 1863) (9)
nog niets te bespeuren, zoo vinden wij deze wel in het hoofdstuk:
„Ueber die eindeutigen Transformationenquot; (Theorie der Abel-
schen Functionen, Abschnitt 3, von Clebsch—'Gordan)
(22), waar tevens naar het werk van Cremona verwezen
wordt.

b. De voorwaarden in het voorgaande opgesteld voor trans-
formatie van vlak op vlak zijn niet noodzakelijk voor rationale
transformatie als wij slechts de transformatie van de gegeven
kromme S = O beschouwen.

x'i : x'2 : x'3 = 01 : 0, : 03, 0, functies van n-de graad in
(xi, X2, Xg), die niet noodzakelijk aan de C r e m o n a-voor-
waarden voldoen.

1 punt (xi, X2, X3) geeft 1 punt (x'i, x'2, x'3), daar (x\, x'2, x'3)
gegeven zijn als rationale functies van (xi, X2, Xg).

Hebben 0i, 03 ai gewone snijpunten, 02 dubbelpunten etc.,
dan zullen met een punt (x'j, x'2, x'g),

(n2 — ai — 4 02 ... — r2 a, )

punten (xi, xg, Xg) correspondeeren.

r

Het aantal: n^ — 2quot; k^ Ok^ = 0 zal in het algemeen van

I

één verschillen. De meetkundige plaats der punten in het ge-
accentueerde vlak, die correspondeeren met de punten van de
kromme S, zal zijn een kromme S', die met S correspondeert, en
met ieder punt P van S zal een punt P' van S' correspondeeren.

P' zal echter behalve met P nog met 0 — 1 andere punten
in het niet-geaccentueerde vlak correspondeeren. Deze 0 — 1
punten liggen in het algemeen niet op S en de figuur, die met

S' correspondeert, bestaat uit S en een restfiguur, de m.pl. van
de (0—1) punten.

Beschouwen wij alleen punten op de kromme S, dan bestaat
er dus tusschen S en S' een (1,1) verwantschap.
Ofschoon dus de vergelijkingen

x'i : x'a : x'g = 0i : 02 :

niet voldoende zijn om rationale uitdrukkingen te geven van
(xi, X2, xg) in (x'i, x'a, x'g), wordt dit anders, als wij de
vergelijkingen combineeren met de vergelijking S = 0.

Als wij uit de vergelijkingen x^, X2, Xg elimineeren, krijgen wij
een vergelijking S' = O, welke de voorwaarde is, voor de coëxis-
tentie van het systeem vergelijkingen. Is deze voorwaarde ver-
vuld, dan kan men in het algemeen rationaal de waarden van
Xi, X2, Xg bepalen, die aan al de vergelijkingen van het systeem
voldoen. Een uitwerking hiervan is te vinden in:
Salmon: Higher Algebra, Lesson 10. (27).
Wij zien dus, dat als een kromme S wordt getransformeerd
door een substitutie

x'i : x'a : x'g =0^:0^ : 03,

men in het algemeen een rationaal inverse uitdrukking

xi : X2 : Xg = 0'i : :

kan verkrijgen.

Het geslacht is ook invariant voor deze (1,1) transformaties,
welke wij samenvatten onder de naam R i e m a n n-transfor-
maties.

Het meest fundamenteele bewijs voor dit theorema is het eerst
gegeven door R i e m a n n, uit de theorie der Abelsche functies.
(Crelle's Journal für die Mathematik, Bd. 54) (2).

HOOFDSTUK VI.

Het oorspronkelijke Riemaimschc bewijs.

De formules van Plücker leeren graad en klasse van een
kromme en het aantal buigpunten, dubbeltangenten, dubbelpunten
en keerpunten kennen, als drie van deze grootheden bekend zijn.
In een groot aantal gevallen kan men nog een relatie toevoegen,
zoodat voor de bepaling van de gezamenlijke singulariteiten dan
slechts 2 ervan bekend hoeven te zijn, zooals uit onderstaande
(1) volgt.

De verbinding van de theorie der krommen met de theorie
der Abelsche functies voert tot deze relatie. Men kan volgens
de richtlijnen door Clebsch (J. f. M. Bd. 63) (9) aange-
geven, de krommen indeelen naar de klasse van Abelsche
functies, welke zij leveren, of met het daarmee overeenkomend
getal p.

Als nu uit de gegeven kromme een andere wordt afgeleid, zóó
dat met ieder punt of iedere tangent der ééne kromme in het
algemeen slechts één punt of tangent der andere overeenkomt,
dan voeren beide krommen tot dezelfde Abelsche integralen, be-
hooren dus tot hetzelfde geslacht en hebben dus dezelfde p.

Dit theorema is slechts een andere inkleeding van het theo-
rema van Riemann, zooals dit door Riemann (J. f. M.
Bd. 54) (2) gegeven is.

P-H (n-1) (n-2)—d-k = H (y-l) (y-2) -8-;.

De gelijkheid van deze twee waarden volgt uit de Plückersche
formules zelf, kan echter ook uit bovengenoemd principe worden
afgeleid, door op te merken, dat indien men het behoud van het
geslacht aanneemt, in het algemeen bij een punt der kromme
slechts één tangent in dat punt behoort, en omgekeerd. Bij over-

gang van punt- op klassecoördinaten is n met y, d met S, k met «
te verwisselen, zoodat dus de eene uitdrukking voor p, de andere
met zich meebrengt.

Heeft een kromme, welke met de aangegeven beperking uit de
oorspronkelijke is afgeleid, de karakteristieke getallen n', y', d',
S', k', dan is ook:

P = K (n'—1) (n'—2) — d' k'

H (/-l) (y'-2)nbsp;(1)

en dit is de relatie die steeds voor zulke krommen geldt.

Het oorspronkelijke bewijs van R i e m a n n behoort tot de
Analysis situs en is als volgt te resumeeren.
Met een algebraïsche vergelijking

f (Xl, X2, Xg) = O

of in rechthoekige coördinaten F (x, y) = O correspondeert een
Riemannsch-oppervlak, waarvan de samenhang bij definitie ge-
geven is door 2p 1, dat wil zeggen, dat het door 2p sneden
kan gemaakt worden tot een enkelvoudig samenhangend opper-
vlak, waarbij p voorstelt het geslacht van F.

Als nu 2 krommen F en F^ door een (1,1)-verwantschap ge-
bonden zijn, is dit insgelijks het geval met de correspondeerende
Riemannsche oppervlakken. De samenhang is dus krachtens haar
begrip hetzelfde voor beide oppervlakken, d.w.z. gelijk aan
2p 1, waaruit dan direct de gelijkheid van het geslacht volgt.

In § 11 van „Theorie der Abelschen Functionenquot; (J. f. M.
Bd. 54) (2), drukt Riemann zich als volgt uit;
„Die Gleichung

F ( squot;, zquot; ) = O
kann durch eine rationale Substitution in

Fl ( Siquot;', Ziquot;»quot; ) = 0
und diese in jene transformiert werden.

Die Grössengebiete (s, z) und (sj, Zi) sind gleichvielfach
zusammenhangend, da jedem Punkt des einen ein Punkt des

andern entspricht. Bezeichnet daher r^ die Anzahl der Fälle, in
welchen Sx und z^ für zwei verschiedene Punkte des Grössen-
gebiets (s^, Zx) beide denselben Werth annehmen und folglich

gleich 0 und
d^ Fl

d Si . dzi

nicht Null ist, so musz:

(ni—1) (mi—1) — n = p
sein.quot; Of in verband met

w ^ 2 { (n—1) m—r},

M wi - (ni-1) = p = w - (n-1).

Men zou de vraag kunnen opperen, of de p gedefinieerd uit
de samenhang van het Riemannsche oppervlak dezelfde is, als de
vroeger gedefinieerde. Hiervoor verwijzen wij naar het volgende
hoofdstuk, waar wij nader ingaan op de meer geometrische
methode van Clebsch.

Bij het bovenstaande merken wij op, dat de constructie van
het Riemannsch oppervlak dat bij F behoort, y als functie van x
beschouwt, afhangt van het gekozen coördinatenstelsel.

Meer in overeenstemming met de fundamenteele begrippen
van de Projectieve meetkunde is dan ook de methode, zooals
Klein deze uitwerkte.

Klein: Ueber eine neue Art der Riemannschen Flächen, Math.
Ann. t. VII. (28).

Klein: Sitzungsberichte der phys. med. Societät zu Erlangen.
Mai. 1874. (29).

Klein: Bemerkungen über den Zusammenhang der Flächen.
Math. Ann. t. VII. (30).

Hij beschouwt de variabelen in f = O als lijncoördinaten, en
knoopt hieraan direct een constructie vast van een oppervlak, dat
het vlak meerbladig overdekt. Het Kleinsche Riemannsch opper-
vlak verschaft voor de functies, waarvan de irrationaliteit ge-
geven is door F = O, dezelfde hulpmiddelen als het Riemannsche.

Ook het behoud van het geslacht laat zich hiermee aantoonen,
al doet zich dan eenige complicatie voor. Bestaat tusschen 2
krommen een (1,1)-correspondentie, dan zal dit voor de bijbe-
hoorende Kleinsche oppervlakken niet voor alle punten gelden.
In het algemeen komen op beide oppervlakken fundamentaal-
punten voor, punten waarmee een geheele kromme van het andere
oppervlak correspondeert. In plaats van de gelijkheid der samen-
hang van 2 oppervlakken die (1,1) correspondeeren, krijgt men
hier een relatie tusschen de samenhang van elk oppervlak en
de wederzijdsch optredende aantallen fundamentaalpunten.

HOOFDSTUK VII.

Dc methode van Clebsch.

Zij f (xi, X2, X3) == O de homogene vergelijking van een alge-
braische n-de graads kromme op driehoekscoördinaten.
d f

. X, = O

dxi = O

zoodat:

De differentiaaluitdrukking:

3

± Cl . Xj. d X3

is dan onafhankelijk van de greep ( Ci }• Deze symmetrische
uitdrukking van dergelijke differentiaaluitdrukkingen werd het
eerst gegeven door A r o n h o 1 d (Monatsberichte der Berliner
Akademie 1861) (31).

Zij 0 (xi, X2, X3) een homogene rationale functie van de orde
(n-3).

0 ± Cl Xj d X3

af

is dan slechts afhankelijk van één variabele, is nl. t.o.v. de x
homogeen van de nulde orde, verandert niet als men de Xi, X2, X3
met een gemeenschappelijke factor verandert en hangt dus slechts

af van de verhoudingen ^ en ^^ welke verhoudingen echter

X3nbsp;X3

verbonden zijn door f (xj, xg, xg) = 0.

Integreeren wij tusschen 2 punten van de kromme

v = ƒ

dan is deze, in het algemeen, irrat. algebr. integraal de meest
algemeene integraal van een rationale functie van x^, xg, Xg, welke
men vormen kan.

Voor het bewijs zie men: Theorie der Abelschen Functionen,
C 1 e b s c h und G O r d a n (22) en Cours d'Analyse, Jordan
(32).

Kiezen wij nu een nieuwe gronddriehoek, bestaande uit het
punt {c, } en 2 willekeurig gekozen punten {a, } en {bi) en
transformeeren de integraal met behulp van de lineaire trans-
formatie:

ai bl c,

I Xi, ^ Xj. X3 j =

32 ba C2
83 ba C3

(t, X, Sx ) zijn dus de coördinaten van (xj, X2, xg) t.o.v. de nieuwe
gronddriehoek.
Substitutie voert tot:

f'jt.x.s^) . (t dx— X ^
ds.

waarbij t, x, s^^, gebonden zijn door F (t, x, s, :) =0.

De differentiaaluitdrukking is weer homogeen van de nulde
orde, en zonder aan de algemeenheid te kort te doen, is t = 1
te stellen:

^ -y ÓF

^ Sx

waarbij nu F = O een vergelijking is in x en s,, die s. als functie

van X definieert. De integraal is nu dus getransformeerd tot een
gewone integraal met één variabele.

Bij t = 1, volgt uit de transformatieformules:

O = 2' ± a, . bj . X3 Sx . 2' ± Cl . bj • X3

d.i. waaier met top in | bi |.

O = 2 ± ai . C2. X3 X . ± b1.C2.X3

d.i. waaier met top in [ ci }.
Sjt en X zijn de parameters in deze waaiers.

Om de integraal V in een aantal eenvoudiger integralen te

splitsen, stelle men W = . Graad van N zij m, dus van M

(n m — 3).F = 0enN = 0 snijden elkaar in mn punten,
welke wij verschillend onderstellen. Uit { Ci } trekt men de
mn stralen naar de snijpunten, waarmee evenzoovele waarden
van X overeenstemmen. De vergelijking van deze stralen zij
X = O, van graad mn.

Wij kunnen nu X schrijven in den vorm:

X = AF BN. (Noether-theorema Af B 0,)

In de origineele opzet komt C 1 e b s c h hiertoe eerst na
eenige berekening, daar het Noether-theorema nog niet bekend
was. Wij passen direct Af B0 toe ter bekorting van de be-
rekening.

A en B zijn door deze vergelijkingen niet volkomen bepaald,
want men kan A resp. B vervangen door A CN resp. B—CF.
waarin C een willekeurige kromme van graad (mn—m—n).

B is van de graad m (n—1) en gaat door de mn (n—1) snij-
punten van F en X, die niet op N liggen. Wij kunnen nu kiezen
met een (m—1) (n—1 )-voudig punt in { Ct }. Evenzoo: A
van graad n (m—1), gaat door de mn (m—1) snijpunten van
X en N, die niet op F liggen, en wij kiezen A met een
(m—1) (n—l)-voudig punt in(ci}, d.i. in (t ■= O, x == 0).

Voor W kan men dus schrijven W = —rr, waarin X een functie

X

is van den graad mn in x alleen, terwijl de teller een functie is van

den graad (mn n — 3). Laagste exponent die in A en B
voorkomt bij t en x is (m—1) (n—1), zoodat dus de hoogste
macht van s^ in de teller is:

(m n—3) (mn—m) — (m—I) (n—1) = m 2n—4.
Dus MB = sm 2n-4Ynbsp;4-,.m 2n-5

• ^(m-1) (n-1) -1 .....

X zijn functies van x alleen, van graad = index.
Stel nuC = 3quot; °- *.^, ,, -t-gm n-s

Xnbsp;^(m-l) (n-1) ^ ®x

• ^(m-1) (n-1) - 1..... fmn-3

De functies | zijn zoo te bepalen, dat MB CF geen hoogere
machten van s^ bevat, dan s

*nbsp;X

F = foSxquot; fiS,quot;-' ..... =

O

fo O, dus j Ci } d.i. het punt (t = O, x = 0) niet op de kromme.
Dan is:

1-1) (n-1) ^(m-l) (n-1) quot; ^o

O ^(m-l) (n-1) 1 f(m-l) (n-l) l • f« f(n,_i) („_,) • fl

Hierdoor zijn de functies volkomen en eenduidig bepaald.
Dus is: MB =nbsp; nbsp;

X'

ap quot;-1nbsp;..... mn n-ï

= ^-k (n — k) f^ . - quot; - 1

asx

Stel. gt;X'_..nbsp;=

nfonbsp;■ a sxnbsp;■ a sx ■

dan is: M B C F - D ^^ = _, • s,quot;-^

v» cn-5 4- 4-Xquot;
^nin-®x ^----^ mn n-3

In verband met F = O wordt dus:
Mnbsp;. D ap _

Nnbsp;X quot; X ■ d sx

De integraal V vervalt dus in twee stukken:
J ^ dx is de integraal van een rationale functie en kan dus
door logarithmen en rationale functies geïntegreerd worden.

Het eerste deel van ~ kan men door uitdeelen splitsen in een
N

geheele functie van graad n—3 in s^ en x, plus een rest.

De rest is t.o.v. x in de teller van graad mn—1 en in de
noemer X van graad mn in x, en is dus verder met partieel-
breuksplitsing te behandelen.

Stelt men de wortels van X = O verschillend, dan ontstaan
bij splitsing mn verschillende termen waarvan de tellers van
graad n—2 in Sj^ zijn, terwijl de noemers steeds van den vorm
X—a zijn.

Iedere integraal van de beschouwde soort is dus op te vatten
als een aggregraat van de volgende soorten integralen:

1.nbsp;Integralen van rationale functies van x.

2.nbsp;Integralen van den vorm: f —• Q geheel cn van
de graad n — 3 in s* en x. J

3.nbsp;Integralen van den vorm:

-p , Q van de graad n—2.

Integralen met hoogere machten van ( x—a ) in den noemer,
die optreden als X == 0 gelijke wortels heeft, kan men door
limietovergang uit soort 3 verkrijgen.
Beschouwen wij nu soort 2:

~J IJL j ' iz'^r --

a Sxnbsp;1 ö Xi

Q homogeen

van graad n—3. Integrand discontinu als

a Fnbsp;3 ^ r

= O of Ci. = 0.

Sxnbsp;1 quot; a Xi

5 d f

quot;f' ■ = 0 is de vergelijking van de eerste poolkromme van
ci I t. o. V. f = 0

Raakpunt: de eerste poolkromme van { ci } snijdt op f = G
in, de raakpunten der tangenten uit ( Cj } aan f gt;= 0. Voor
zoo'n snijpunt (s,quot;, x®) is

F (x9. Sx») = O ennbsp;0.

De Taylorontwikkeling in de omgeving van dit punt wordt:

FC,„x) =0=nbsp; ,.....(,)

d Fnbsp;F»

quot;quot; . ... (2)

Uit (1 ) en (2) volgt, dat dan de noemer van V een constante
factor verschilt met Y'^^^o De integraal wordt bij integratie
in omgeving van ( s^», xquot; ) dus op een constante factor na

fy^ = ' i^-^o

en blijft dus eindig.
Dubbelpunt:

Heeft f = eenige gewone singulariteiten, dan
y = n (n—1) — 2d — 3k

(Een m-voudig punt is steeds vervangbaar door Y^ m (m—1)
gewone dubbelpunten, als alle tangenten verschillend zijn). Alle
eerste poolkrommen gaan door de dubbel- en keerpunten.
Voor dubbelpunt:

fi fnbsp;à Pnbsp;à F

=0. i=1.2.3. of: F = 0, ^=0, 4^ = 0.

() Xinbsp;d s^nbsp;à X

De Taylorontwikkeling innbsp;omgeving van het dubbelpunt
(Sxquot;, X®) wordt:

( ponbsp;f)2 po

F (s,. x) = O = v.jnbsp;(s,-s/)

(x-x'') nbsp;. . (1)

àP à^P' .nbsp;ON J. à^P' , ON I

Tir ^ ^nbsp;' ^ a ,0 (x-xquot;) . . . ■

Uit (1) blijkt, dat ( s^ — s/ ) evenredig wordt met (x—xquot;)

5 _ g 0

en wij krijgen 2 waarden voor ____^ = k uit de vierkants-

x — xquot;

vergelijking:

ponbsp;^2 ponbsp;J2 po

U2nbsp;-i- 2 k -ü- 4-nbsp;- 0

quot; à s/'' ^ à s/d x» dxquot;' - ■

In omgeving van het dubbelpunt verschilt V dus door een

constante factor met de integraal:
ƒ

en wordt V dus logarithmisch oneindig.

Hier is uitgesloten het geval, dat Q voor ( s^quot;, x® ) nul wordt,
dan nl.:

ook Q verschilt dan een constante factor met (x—Xo).

In dit geval blijft de integraal bij het dubbelpunt eindig.
Keerpunt:

In dit geval is de discriminant van voorgaande v.k.v. nul, dus:

d^ Fquot; azpquot;
d s/2 ■ ~d x««

Men kan de grootheden a en b dan zoo bepalen, dat:

F

d s^ö d xquot; •

De Taylorontwikkeling, termen van de derde orde nog in acht
nemend wordt:

x) = O = V2nbsp; b(x —x»)!®-!.

d3 po

a (sx-Sx®) b (x-x») [ ....

Uit (1) blijkt, dat:

{a (sx-s/) b (x-x«)}
van orde 3/2 is, zoodat wij in de termen van de derde orde van
F (Sx, x) = O. de vergelijking a (s^ - s^quot;) b (x - x») = O

kunnen gebruiken.

Bij substitutie blijkt, dat:

a (s^-s/) b (x-xo).

ö F

dus ook —— , evenredig wordt met(x_x«)'/2. Deintegraal wordt
in omgeving van het keerpunt dus van den vorm:

fi „ A

J \ y (x - X»)3 ^ jA X - xquot; j

'I3 y^^o 2B/X-X,.

dus V wordt oneindig en wel van dezelfde orde als (x—

Ook hier is uitgesloten dat Q ( s/, xquot; ) = 0. Indien dit wel
het geval is, wordt V op een constante factor na

d Xnbsp;,_

= 2 / X - X»

0

en blijft eindig.

Het keerpunt gedraagt zich, zooals trouwens ook was te ver-
wachten als een vereeniging van een dubbelpunt en raakpunt,
zoodat na opheffing van het dubbelpunt nog de eigenschappen
van het raakpunt overblijven.

Uit voorgaand overzicht blijkt, dat er integralen zijn, die overal
eindig blijven. Voor deze moet de teller Q of 0 voor alle
singuliere punten nul worden, hetgeen steeds mogelijk is voor
n gt; 2.

Het maximum aantal dubbelpunten, dat een niet-ontaarde n-de
graadskromme kan hebben is Yi (n—1) (n—2). Dit aantal is
juist gelijk aan het aantal coefficienten in de vergelijking 0=0
die de teller van dV vormt. Is het maximum aantal dubbelpunten
aanwezig, dan krijoit men ter bepaling van de coefficienten van
0 evenveel homogene vergelijkingen als er onbekenden zijn,
in welk geval alleen de nul-oplossing voldoet.

In dit geval is het aantal overal eindige integralen nul.

Zijn er d dubbelpunten en k keerpunten, dan is het aantal
der coefficienten in 0 die nog onbepaald blijven

(n_l) (n-2) — d - k = p

(zooals wij vroeger definieerden). De meest algemeene, overal
eindig blijvende, integraal kan men dus samengesteld denken uit
p speciale integralen. Er zijn p verschillende integralen van de

eerste soort, waarbij men onder „Integraal van de eerste soortquot;
een overal eindige integraal verstaat.

Gaan wij nu transformeeren met behulp van de transformatie-
formules:

= «gt;i(yi.y2.y3). i = l. 2, 3. (0J rationaal) (1)

f = O gaat dan over in MF = O, waarbij M een factor is, die
zich mogelijk laat afzonderen. In het geval van de birationale
transformatie, waarbij zich ook omgekeerd de y rationaal in x
laten uitdrukken, zal deze factor M werkelijk optreden. Immers,
als men de transformatieformules (1) combineert met F .= O,
moet men door eliminatie van y weer op f = O komen, terwijl
men bij het elimineeren de y evenredig moet vinden met geheele
rationale functies van x. F moet dan geen functie zijn van
^i' K K anders zou het elimineeren de y geven als functies
van X alleen uit de vergelijkingen (1), en dus in het algemeen
irrationale oplossingen.
De differentiaaluitdrukking:

dV = ^i^ii^jd^^
I di '

Cj . ^-

waarin Q een functie van de orde n—3 (niet noodzakelijk ge-
heel) gaat door deze transformatie in een soortgelijke over.

\ 1 ^ yj èK, }•
daar slechts waarden beschouwd worden, die aan F = O voldoen.

Dus: Inbsp;Mlik.

1 ' a Xjnbsp;, j ■ a'y.

met kj = i X, . IZL

' 1nbsp;d Xj

Wij vermenigvuldigen nu teller en noemer van dV met de
determinant:

^ - ^ ± • •

d Xjnbsp;d X2nbsp;O X3

dan wordt A . 2quot; ± q Xj, d X3 = r 2 ± ki yj d yj,
waarin r de graad van de functies 0i beteekent, en

~ zl ^ d y, ■ d y2 ■ d Ys '

D is een geheele functie in y.
dV gaat dus over in:

r D 2- ± ki y2 d y3

5 ö F
M k .

1 ö Yi

welke differentiaaluitdrukking weer geheel van dezelfde aard is
als de oorspronkelijke. In plaats van Q is gekomen de functie

; in plaats van de willekeurige grootheden c,, de even-

Ni

eens willekeurige grootheden kj.

Is de oorspronkelijke integraal van de eerste soort, dan is de
getransformeerde het ook. Q is dan een geheele functie van
graad n—3. De teller Q D van de getransformeerde is dan met
behulp van F = O steeds zoo te transformeeren, dat hij door M
deelbaar wordt en dat het quotiënt nul wordt voor de dubbel- en
keerpunten van F = 0.

Aan de simultane vergelijkingen:

2.3)

«Yinbsp;I lt;^Xj d yj

moet voldaan zijn voor alle discontinuiteitspunten van de gegeven
integraal. Aan deze vergelijkingen kan voldaan zijn, als D = 0;

of als —— = O (i = 1, 2, 3). In het laatste geval, heeft f in
d x^

Xj óf een dubbelpunt en wordt ß = O, omdat de gegeven
integraal van de eerste soort is; óf alle x^ worden nul, doordat
voor de betreffende y; de 3 functies 0j gelijktijdig nul worden.

In dit geval worden de Ij . ^ (i = 1, 2, 3) nul van de

1 dXj óy.

orde n—1, D wordt tegelijk nul van de 1-ste orde en ß als
functie van graad n—2 in x nul van de (n—2)-de orde, dus het
product ß D nul van de (n—1 )-ste orde, evenals de noemer,
(verg.: C 1 e b s c h—G o r d a n: Theorie der Abelschen Func-
tionen, pag. 52).

Wordt de noemer nul, dan de teller op dezelfde wijze en men
heeft dus een integraal van de eerste soort.

Bij de birationale transformaties, waarbij de Xj en de yj weder-
keerig rationaal in ekaar zijn uit te drukken, komen de punten
van f == O en F = O (1,1) met elkaar overeen. Met ieder punt
yj van de tweede kromme correspondeert in het algemeen één
punt Xj der eerste kromme en omgekeerd.

Ieder voor x gevormde integraal van de eerste soort levert
een integraal van eerste soort voor y en omgekeerd.

Hieruit volgt, dat het aantal integralen van de eerste soort
in beide gevallen gelijk moet zijn, d.w.z.:

Voor krommen, waarvan de punten (1,1) correspondeeren
heeft het getal p dezelfde waarde:

(n-1) (n-2) _ d - k = (n'—1) (n'-2) - d' - k'.

b. Beschouwen wij nu de totaliteit der waarden (s, z), reëel
zoowel als complex, die aan F (s, z) = O voldoen. Bij een punt
van het z-vlak behooren dan n waarden s, en het z-vlak wordt
n-voudig overdekt. Deze waarden van s zijn verschillend, tenzij

d F

z een waarde is, die voldoet aan F == O,--= 0. De met deze

ó s

waarden overeenkomende punten heeten vertakkingspunten, in
welke in het algemeen 2 waarden van s samenvallen.

Is Zo een vertakkingspunt en Sq de bijbehoorende waarde. Laat
dan z een kleine cirkel beschrijven (die geen andere vertakkings-

punten omvat) om Zq, dus (z—Zq) = e.e^V, dan krijgt men
voor F (s, z) = 0:

^f^(s-so)^ ^ 0.

dus s — s» = k Fz — Zo- (k = constante.) s — Sq = k Ve . e f

Bij een omloop verandert g? met 2 tt en als men bij het begin-
punt terug is, is s - s« = - k Fe . e^ geworden. De waarde

van s is bij deze omloop dus veranderd.

Dit gedrag van het vertakkingspunt is een gevolg van het
feit, dat s—Sq in de omgeving van zoo'n punt evenredig wordt
met y z — Zq. Neemt men in plaats van een vertakkingspunt,
dat overeenkomt met een raakpunt, een punt, dat met een dubbel-
punt overeenkomt, dan wordt in een omgeving van zoo'n punt
s—So evenredig met z—Zq en de karakteristieke eigenschap van
het vertakkingspunt is verdwenen. Zulke punten rekenen wij dan
ook niet tot de vertakkingspunten. Wel echter de keerpunten,
waar s—Sq evenredig wordt met (z—Zq)^!^.

Het aantal raakpunten is n (n—1) — 2d — 3k.

Het aantal vertakkingspunten w is dus:

w = n (n—1) — 2d — 2k.

Stellen wij: (n—1) (n—2) — d — k = p,

dan: w = 2 p 2 (n—1), d.i. de formule waar Riemann
vanuit ging. (Vergelijk hoofdstuk VI). De definities van p vol-
gens Riemann en Clebsch stemmen dus geheel met
elkaar overeen.

HOOFDSTUK VIII.

Het bewijs van Cremona.

Door de beschouwingen over de stelling van het behoud van
p werden ook de geometers aangezet tot nieuwe geometrische
bewijzen. Het eerste is afkomstig van Cremona in: Prelimi-
nari di una teoria geometrica delle superficie (Mem. Acc. Bo-
logna, Ser. 2, t. VI) (33).

Dit bewijs, dat van verrassende eenvoud is, maakt gebruik
van de meetkunde der ruimte. Cremona dacht de 2 krommen,
die (1,1) correspondeeren in 2 verschillende vlakken V en V',
en construeert het regelvlak voortgebracht door de verbindings-
rechten van correspondeerende punten en verkrijgt dan de stel-
ling, door het bepalen van de graad der dubbelkromme van het
regelvlak uit ieder der beide vlakke krommen.

De krommen C en C' respectievelijk in V en in V', hebben
n, d, k, resp. n', d', k', tot graad, dubbel- en keerpuntenaantal.

De verbindingslijnen van overeenkomstige punten bepalen een
regelvlak van graad n n'.

V' snijdt het regelvlak volgens C' en n rechten, nl. de n lijnen,
die de snijpunten van V' met C verbinden met de overeenkom-
stige punten op C'. V' bevat n lijnen van het oppervlak en moet
dus het oppervlak raken in n punten, respectievelijk op de n lijnen
gelegen. Trekken wij deze raakpunten af, dan heeft de door-
snede van V' met het regelvlak dus:

nn' H n (n—1) d' k' — n =
nn' n (n—3) d' k'

dubbelpunten.

Dit aantal geeft aan de graad van de dubbelkromme op het
oppervlak. Dus is:

nn' H n (quot;—3) d' k' = n'n H n' (n'—3) d k

of:

^ n (n-3) _ d - k = M n' (n'-3) - d' -k'
^ (n_l ) (n-2) _ d - k = H (n'-l ) (n'-2) - d'- k'.

dus: p = p'.

HOOFDSTUK IXa.

Het bewijs van Bertini.

Bertini (Giorn. di mat, 7, 1869) (34) neemt de twee met
elkaar correspondeerende krommen C(x) en C'(x') in één vlak.
en kiest 2 willekeurige punten a en a'. Hij construeert dan de
m.p. der snijpunten van een straal ax met de hiermee correspon-
deerende stralen a'x'. Van deze meetk. plaats, welke een
kromme F is, bepaalt hij op twee manieren de klasse. Door gelijk-
stelling verkrijgt hij dan de stelling over het behoud van p.

Het bewijs van Zeuthen dat wij in de volgende paragraaf
bespreken is op dezelfde grondgedachte gebaseerd, maar wordt
uitgevoerd voor meerduidig correspondeerende krommen, waar-
door een relatie gevonden wordt tusschen p en p', welke relatie
voor (1,1 )-correspondentie overgaat in p ■= p'.

Al komt aan B e r t i n i de prioriteit van de gebruikte methode
toe, toch is het werk van Zeuthen hiervan geheel onafhan-
kelijk. Immers Zeuthen schrijft in „Nouvelle démonstration
de théorèmes sur les séries de points correspondants sur deux
courbesquot; (Mathematische Annalen 3, 1871) (35):

,,Après la publication de cette démonstration j'ai appris, que
Mr. E. B e r t i n i, professeur au Lycée Parini a Milan, a ap-
pliqué antérieurement le même procédé, à la démonstration du
théorème de Riemann.quot;

HOOFDSTUK IXb.

Het bewijs van Zeuthen.

Zeuthen en Bertini leverden hun bewijs op grond van
het eenvoudige correspondentie-principe van C h a s 1 e s.

De eerste grondleggende theorie over de algemeene involuties
en correspondenties vindt men bij:

Jonquières: Généralisation de la théorie de l'lnvolution.
(Annah di Matematica t. II) (36).

C h a s 1 e s : Comptes rendus de l'Académie des Sciences

(1864) (37).

C a y 1 e y : Transactions of the Cambridge philosophical
Society, t. II. (38).

Cremona: Einleitung in die Theorie der ebenen Curven.
Een involutie van de n-de graad op een rechte is gedefinieerd
door de vergelijking:

aquot;^ 2 b^ = 0.

De vergelijking steh voor een bundel van puntgroepen, elke
groep bestaande uit n punten, (a en b geen gemeenschappelijke
factor.)

Eigenschappen:

1.nbsp;elke groep is door één van zijn punten bepaald.

2.nbsp;elk punt behoort slechts tot één groep.

3.nbsp;de bundel is bepaald door 2 willekeurige groepen.

Er zijn in de involutie groepen die 2 samengevallen punten,
coïncidenties, bevatten.

Deze groepen zijn bepaald door de vergelijkingen:

a;;-^ . ai A br' • b, = 0.
• a2 A b^' . b2 = 0.

De coincidcnties zelf vinden wij door eliminatie van A, hetgeen

levert de functionaaldeterminant van a = O en b = O, dus:

(a b) a^' b^' = 0.

Om de groepen te vinden, waarin een coincidentie voorkomt,
elimineeren wij de Xi en X2, hetgeen een vergelijking van de graad
2 (n—1) levert in X.

In een involutie van graad n bestaan 2n—2 groepen die een
dubbelpunt hebben, en die dubbelpunten zelf zijn bepaald door
de vergelijking:

(a b) aquot;-' bquot;-' = 0.
Twee involuties van den vorm:

A, a;;- 4 b*:: =0
f^l =0
met: A h lui B /j.^ C D /u^ = O.
of in niet homogene vorm, wat de parameter betreft:

Xh^ =0

(1)

«J ^ = O

heeten projectief. De projectieve correlatie van de 2 involuties (1)
is op te vatten als een correspondentie van hoogere orde.

Met elk punt x van de rechte correspondeeren n punten |,
met ieder punt f correspondeeren m punten x, en het verband
tusschen de punten x en f is gegeven door de vergelijking:

m rtOnbsp;n . mnbsp;*

a^ ^^ -nbsp;= O. (2)

Het kan voorkomen, dat een punt x samenvalt met een punt f,
dat met x correspondeert, d.w.z. dat 2 geassocieerde groepen een

punt gemeenschappelijk hebben.

Deze gemeenschappelijke punten verkrijgen wij uit:
a;;^ Pi - K = 0 (2a)

d.i. een vergelijking van de graad (m n) in x.

Twee projectieve involuties van de graad n en m, hebben
(m n) groepen met een gemeenschappehjk punt.

Dit theorema is begrepen in een veel algemeener, waartoe men
eenvoudig komt door (2) te vervangen door:

m n

0 (X, f) O (3)

waarin 0 een homogene functie is van de graad m in x en van
de graad n in

De vergelijking (3) is de basis voor een correspondentie van de
meest algemeene soort, waarin met ieder x-punt n f-punten, en
met ieder f-punt m x-punten correspondeeren.

De voorwaarde dat een punt x samenvalt met een correspon-
deerend puntf, geeft een vergelijking van de graad (m n) in x,
d.w.z. er zijn (m n) coincidenties in de correspondentie 0. Dit
theorema is het z.g. Correspondentie-principe van C h a s I e s.

Het Zeuthensche bewijs verloopt nu als volgt: (Math. Ann. 3)
(35).

Twee vlakke krommen C ^, met n;. , kj, pj, respectievelijk als
graad, klasse, aantal keerpunten, geslacht, zoodat geldt: (i=l, 2)

kj — 2nj = (pi - 1) .

Tuschen Ci en Cg bestaat een zoodanige correspondentie, dat
met ieder punt P2 van C2 correspondeeren x^ punten Pi van Ci
en met ieder punt Pi van Ci, X2 punten van C2.
Yi en 72 geven resp. aan het aantal coïncidenties van 2 punten,
die resp. op Ci en C2 correspondeeren met een zelfde punt der
andere kromme. Onder deze getallen yi en 72 nemen wij niet die
puntenparen Pi en P2, die zoodanig correspondeeren, dat tege-
lijkertijd 2 punten correspondeerend met Pi samenvallen in P2
en omgekeerd 2 punten correspondeerend met P2 samenvallen
in Pi. Dit aantal wordt afzonderlijk aangeduid door z.

Wij voeren nu in de hulpkromme D, d.i. de m.p. der snijpunten
van de rechten A^Pi en AgPa, die 2 vaste punten van het vlak
verbinden met 2 correspondeerende punten P^ en Pg.

Graad van D.

Gl en Ga zijn de snijpunten van AiPi en A2P2 met een proef-
rechte L.

AiGi snijdt Cl in ni punten Pi; met elk correspondeeren
X2 punten P2, zoodat met iedere Gi niX2 punten Gg correspon-
deeren, met ieder punt G2 UaXi punten Gi.

De verwantschap (n^Xz, naXi) op L heeft (uiXg n2Xi)
coïncidenties.

De graad van D is dus (niXg UaXi).

Klasse van D,

AiPi is tangent aan D als 2 van de correspondeerende
rechten A2P2 samenvallen tot één A2P2, zonder dat tegelijk 2
van de rechten, die met AgPa correspondeeren in AiPi samen-
vallen. In het laatste geval is het snijpunt van AjPi met AgPa
een dubbel- of keerpunt van D.

Dus:

1.nbsp;tangent uit Aj aan Ci zal tangent aan D zijn in al de Xg
punten waar zij de rechten, die A2 verbinden met de Xg punten
die correspondeeren met het contactpunt op Ci, snijdt; aantal dus

2.nbsp;Een rechte die Ai verbindt met een keerpunt van Ci zal
tangent zijn aan D, in al de snijpunten met de rechten, die A2
verbinden met de punten, die met het keerpunt van Ci correspon-
deeren, tenzij deze punten zitten onder het aantal k' van punten,
die zelf keerpunt zijn; aantal dus kiXg — k'.

3.nbsp;Een rechte die Aj verbindt met één van de 73 punten van
Cl, waarmee 2 samenvallende punten van C2 correspondeeren,
zal een enkelvoudige tangent van D zijn; aantal dus y^.

Hierbij moeten nog gevoegd worden de n2Xi tangenten in het
meervoudige punt A^ zoodat wij als klasse van D vinden:

yi X2 kl X2 — k' y2 4- 2n2 Xi. (1)

Uitgaande van A._.:

72 xi ka xi — k' yi In^ xo.nbsp;(2)

Door gelijkstelling van (1) en (2) en in verband met:
j^i ki _ 2ni = 2 (Pi - 1).

verkrijgt men:

yi — 72 2X2 (Pi — 1) — 2xi (P2 — 1). (3)

De geometrische afleiding, met de invoering van k', zooals
dit in de Zeuthensche vorm geschiedt, heeft het nadeel een beroep
te doen op de aanschouwing en zich daardoor tevens te beperken
tot het reëele gebied.

Het voorkomen van k' in de formules (1) en (2) drukt uit,
dat als 2 keerpunten correspondeeren, dit in de kromme D aan-
leiding geeft tot een keerpunt. Dit nu berust geheel op de aan-
schouwing. (zie figuur.)

Een algebraische rechtvaardiging van deze methode is echter
te vinden in de methode van Clebsch — Noether, welke
neerkomt op een algebraische formuleering van het Zeuthensche
bewijs. De hulpkromme uit het bewijs van Clebsch —
Noether is nl. dezelfde als die van Z e u t h e n. (Vergelijk:
Hoofdstuk XI).

Z eu then schrijft: „La formule (3) se déduit presque im-
médiatement du théorème au moyen duquel Mr. C a y 1 e y a
étendu la principe de correspondance à une courbe quelconque.
(Second memoir on the curves which satisfy given conditions,
Phil. Transactions of the R. Soc. London, t. CLVIII, 1868) (40).
En effet, on trouvera au moyen de ce théorème:

yi 2 z 2 X2 (xi — 1 ) 2 X2 Pl.

y2 2 z = 2 xi (x2 — 1 ) 2 xi p2.

Ces deux équations ne donnent pas seulement l'équation (3),
mais fournissent aussi dans les cas, où l'on sait trouver z, le
moyen de déterminer séparément les valeurs de y^ et yg au lieu
de leur différence. Néamoins, je n en ferai pas usage ici, ayant
pour but de montrer la portée des considérations géométriques
simples que je viens d'exposer, et ne connaissant aucune démon-
stration simple et complète du théorème de Mr. Cayley. J'ai
essayé en vain, d'enfonder une sur la formule essayé (3) et sur
les procédés qui y ont conduit.quot;

De formule C = a ,8 2py, d.i. de uitgebreide correspon-
dentieformule en de Zeuthensche-formule (3),

Yi — 72 = 2 X2 (pi — 1 ) _ 2 xi (p2 — 1 ),

die men er uit kan afleiden, zijn zeer vruchtbaar voor het vinden
van allerlei geometrische eigenschappen.

Z eu then gaf (I.e.) de volgende toepassingen van de door
hem gevonden formule (3).

1 ) Het theorema van R i e m a n n voor de invariantie van p.
Immers voor Xj = X2 = 1, en dus y^ = y2 = O, vindt men
direct pj = p^. Neemt men speciaal X2 = 1, waaruit yg = O,
en Pl lt;= P2, dan:

yi = 2(pi — 1) _ 2xi (pi _ 1).

Daar y noodzakelijk O, heeft men x^ = 1 (als p =f= I). Dus
bestaat het theorema:

Als tusschen 2 krommen van hetzelfde geslacht p gt; 1, een

verwantschap bestaat, zoo, dat met ieder punt van de eerste
kromme een punt van de tweede correspondeert, dan is deze
relatie ook wederkeerig. In ,,Zur Theorie der Transformationen
algebraischer Funktionenquot; (Grelle, J.f.M. Bd. 76) (41) heeft
W e b e r een direct bewijs gegeven van genoemd theorema,
geheel gegrond op de principes van R i e m a n n.

Het geval p = 1 heeft een aparte behandeling noodig en staat
in verband met de transformatie van elliptische functies.

2)nbsp;Hij bepaalde het geslacht pg van de omhullende C3 der
rechten, die correspondeerende punten verbinden van de 2 syste-
men op de krommen Cj en C2.

2 (P3 — 1) = 72 2 2x2 (pi — 1)

of = yi z 2xi (p2 — 1).

Als X2 = 1, dan overeenkomstig het theorema van R i e m a n n
P3 = Pl-

3)nbsp;Hij leidde af de formule van Chasles: t = /xyi vni.

De 2 correspondeerende systemen zijn hierbij bepaald, door de

doorsnijdingen van de 2 krommen met de krommen van een
systeem (/x, v), d.w.z. een krommensysteem, waarvan er fi door
een willekeurig punt gaan en v raken aan een willekeurige rechte.

Hierbij is t = aantal krommen van het systeem, die aan Cx
raken.

De Zeuthensche formule is in vele gevallen bruikbaar. Maken
wij nog een enkel voorbeeld.

Door L. Burmester werd in het fraaie artikel: „Das
bifocal-veranderliche Systemquot; (Math. Ann. Bd. 16) (42) on-
derzocht, de transformatie van een kromme C in een vlak ü]
met brandpunten F^ en F2, naar een kromme C' in vlak 2'
met brandpunten F'j en F'g, bij behoud van de voerstralen.

Is C van de graad n, dan is C' van de graad 2n, daar Bur-
mester aantoonde, dat C' te beschouwen is als de tweede pro-

jectie van de doorsnijdingskromme van een eenbladige omwente-
lingshyperboloide met een rechte cyhnder op C in het eerste
projectievlak. Dat de graad van C' 2n is. volgt ook uit het feit.
dat de ellips met F^ en Fg tot brandpunten en met F'^F'a = 2a,
de kromme C in 2n punten snijdt, die na transformatie op de as
F'iF'2 in komen. C' is symmetrisch t.o.v. de as. Met een punt
van C correspondeeren 2 punten, symmetrisch t.o.v. de as in Z',
van C'.

Met een punt van C' correspondeert één punt van C. Met een
dubbelpunt van C twee symmetrisch t.o.v. de as hggende dubbel-
punten van C'. Maar in C' ontstaan nog meer dubbelpunten, nl.
het aantal malen, dat C zijn gespiegelde t.o.v. de as F^Fa snijdt,
verminderd met aantal malen, dat C de as F^Fg snijdt. Dus een
aantal (n2 — n).

Het geslacht van C' is dus:

P2 = H (2n—1) (2n—2) — (n2_n) — (n—1) (n—2) 2 Pi

P2 = n 2 Pi — 1.

Met de Zeuthensche formule vindt men direct: y^ = O,
y2 = 2n, immers er zijn op C 2n punten, die correspondeeren met
samengevallen punten op F'iF'2 in Z'.

X2 = 2, xi = 1, dus:

— 2n = 4 (pi_ 1) —2 (p2- 1)
of: p2 = n 2 Pi — 1.

Deze uitkomst is ook te bepalen, door volgens de opvatting van
B u r m e s t e r C' op te vatten als de tweede projectie van de ge-
noemde doorsnijdingskromme.

De eenbladige omwentelingshyperboloide en de rechte cylinder
snijden elkaar volgens een kromme van de tweede graad, welke
een [n,n]-kromme is.

Lnbsp;n^ n^ — n — n , ,

quot;PI -nbsp;^- = (nquot; - n) schijnbare dubbelpunten.

De rechte cyhnder heeft (n — 1) (n — 2) — pi dubbel-
rechten. Elke dubbelrechte snijdt de hyperboloide in 2 punten,
die echte dubbelpunten van de doorsnijding zijn.

De tweede projectie heeft dus:

(n2 _n) _ (n — 1) (n — 2) — 2 pi
dubbelpunten, waaruit weer volgt:

P3 = n 2pi — 1.

Een willekeurige kegelsnede wordt dus getransformeerd tot
een 4-de graadskromme van geslacht 1, dus met 2 dubbelpunten
symmetrisch t.o.v. de as.

HOOFDSTUK X.

De formule van Zeuthen en het algemeen
correspondentie-principe.

Bij hun onderzoekingen naar het aantal krommen van een
enkelvoudig oneindig systeem, die een gegeven kromme raken
werden de gevallen waarin laatstgenoemde kromme een rationale
is, behandeld met het z.g. eenvoudige correspondentie-principe of
wel het „Principe van C h a s 1 e squot;.

Komen met een punt P van zoon kromme a punten P' van de
kromme overeen door middel van een algebraische betrekking,
en omgekeerd met ieder punt P' ß punten P, dan komt men tot
het bestaan van een algebraische vergelijking tusschen x en x',
in X van de graad ß, in x' van de graad a, welke voor x = x',
a ß oplossingen geeft, welke met de coïncidenties overeen-
komen. Hierbij gaat men op de vorm van de relatie, die er tus-
schen P en P' bestaat, niet verder in. In bepaalde gevallen
moeten echter de oneigenlijke oplossingen, d.w.z. oplossingen,
die wel aan de vergelijking voldoen maar niet met het gestelde
probleem overeenkomen, worden afgetrokken. In het bepalen van
de af te trekken wortels hgt juist in de meeste gevallen de groote
moeilijkheid.

De formule van het eenvoudige correspondentie-principe is niet
meer toe te passen bij krommen van hooger geslacht. Voor het
oplossen van raakproblemen bij krommen van hooger geslacht,
moest men komen tot een breedere opzet van genoemd principe.

Een generalisatie van het correspondentie-principe van
Chasles werd aangekondigd door Cayley, aanvankelijk
zonder bewijs in Comptes Rendus t. LXII (43), en meer in detail
in de verhandeling „On the correspondence of two points on a
curvequot; (Proceedings of the London Math. Society t. I, 1866)

(44), waar het bewijs voor een bijzonder geval gegeven werd.
Tenslotte is het nogmaals door denzelfden auteur behandeld in:
„Second memoir on the curves which satisfy given conditionsquot;
(Philos. Transactions of the R. Soc. London t. CLVIIl, 1868)
(40). Cayley geeft voor het aantal coincidenties van een
correspondentie (aj3) op een kromme f van geslacht p de vol-
gende formule:

C ^ a 13 2py.

Hierin is a het aantal punten P', die door middel van een
kromme, die zelf in P y snijpunten met f heeft, met het punt P
overeenkomen, terwijl met P' ^ punten correspondeeren.

Gaat men met deze correspondentie-formule het verband na
tusschen het geslacht pi van een kromme C^ en p^ van C2, waar
tusschen C^ en C2 een zoodanige verwantschap bestaat, dat met
ieder punt Pj van Ci X2 punten Pg correspondeeren en met ieder
punt P2 xx punten P^, dan vindt men de reeds genoemde for-
mules:

yi -f 2 z = 2 X2 (xi — 1) 4- 2 X2 p

y2 4- 2 z ■= 2 Xj (x2 — 1) 2 Xip,
waaruit door aftrekking de Zeuthensche formule volgt:
yi — 72 = 2 X2 (Pi — 1) — 2 Xi (P2 — 1).

Cayley bewees de formule voor het geval van een kromme
f (x, y, z) = O zonder dubbelpunten, waarbij hij de correspon-
dentievergelijking C (xi, Yi, zi, X2, 72, Z2) = O tusschen de co-
ordinaten van Pl en P2 aannam in de vorm van een homogene
functie van de graad y in de verschillen:

yi Z2 — Zi yg, Zi X2 — Z2 Xi, Xi 72 — 7i X2,

en voor het bepalen van de coincidenties gebruik maakt van het
feit, dat als Pi = P2, dus:

Xi : Yi : Zi = X2 : 72 : Z2.

deze verschillen zich verhouden als de eerste differentiaalquotien-
ten van f (x, 7, z) naar x, 7, en z. Het identisch nul worden van

C werd op deze wijze ondervangen. Voor de talrijke voorbeelden
die C a y 1 e y gaf, heeft C echter juist niet de genoemde vorm.

Cayley heeft bij zijn bewijs noodig, dat de met elkaar
correspondeerende punten door krommen werden uitgesneden.
Kon nu Z e u t h e n zijn formule direct uit de C a y 1 e y-formules
vinden, het resutlaat van Zeuthen had toch een meer alge-
meen karakter, daar hij gebruik makend van het eenvoudige
correspondentie-principe, deze aanname niet noodig had. Daar
staat tegenover, dat de twee formules van Cayley meer
zeggen dan de Zeuthensche formule.

Een volledig algebraisch bewijs van een meer algemeene for-
mule dan die van C a y 1 e y, werd tenslotte gegeven door Brill
in „Ueber Entsprechen von Punktsystemen auf einer Curvequot;
(Math. Ann. t. 6) (45), waarin hij aantoonde, dat het aantal
puntenparen, dat op een kromme van geslacht p aan de correspon-
denties (aß)y en (a'ß')y' tegelijkertijd voldoet, gegeven wordt
door:

aß' ßa' ~ 2 p yy'.

Hiermede was voor het eerst het door Cayley opgestelde
correspondentie-principe, nu Cayley-Brillsche corres-
pondentie-principe genoemd, volledig bewezen.

Voor het geval van rationale krommen biedt het uitgebreide
correspondentie-principe geheel geen verschil met dat van
Chasles. Voor het geval p =t= O, moet het aantal coincidenties
volgens Chasles, vermeerderd worden met een getal, dat af-
hangt van het geslacht der kromme.

Brill gaf hetzelfde bewijs nogmaals in meer geometrische
vorm in: „Ueber die Correspondenzformelquot; (Math. Ann. t. 7)
(46), terwijl hij een zuiver algebraische theorie der correspon-
denties ontwikkelde: in „Ueber algebraische Korrespondenzenquot;
(Math. Ann. 31) (47).

L i n d e m a n n gaf het bewijs van hetzelfde principe vanaf
het standpunt der Analyse met behulp van Abelsche inteoralen
(Crelle, J.f.M. t. 84.)

HOOFDSTUK XI.

Het Bevvijs van Clebsch—Noether.

Een modificatie van het bewijs van Zeuthen is door
Clebsch in algebraische formuleering gegeven. In een door
Clebsch nagelaten fragment van een „Vorlesungsheftquot; over
Abelsche functies werd een eenvoudig bewijs van de geslachts-
stelling voor krommen gevonden, door beschouwing van een
splitsing van de transformatie in 2 opvolgende transformaties,
neerkomend op een successievelijke invoering der beide variabelen.

N O e t h e r gaf dit bewijs in par. 1 van zijn verhandeling:
,,Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens algebraischer Ge-
bildequot; (Math. Ann. Bd. 8) (49), bij uitbreiding op hoogere
singuliere punten van een kromme. De grondgedachte van dit
algebraische bewijs gaf N o e t h e r tevens aanleiding tot een
nieuw eigen bewijs, dat eveneens eenvoudiger is dan het alge-
braisch bewijs, zooals dit voorkomt in „Theorie der Abelschen
Functionenquot; (22) door C 1 e b s c h - G o r d a n.

Clebsch heeft voor het bewijs van het behoud van het
geslacht bij eenduidige transformatie van een algebraische krom-
me, de volgende eenvoudige gedachte uitgesproken:

,,De transformatie van de vergelijking f ( squot;, z™ ) = O splitse
men in twee opvolgende, door eerst een rationale functie a van
s en z in plaats van s, daarna in de resulteerende vergelijking
een tweede rationale functie ^ van ct en z in plaats van z te
substitueeren.quot;

Beschouwt men bij de eerste transformatie s, met betrekking
tot or, als functie van z, dan blijft het getal n, evenals het aantal
vertakkingspunten w, van het over het z-vlak uitgebreide Rie-
mannsche oppervlak onveranderd. Hetzelfde geschiedt met de
twee getallen m', w' bij de tweede transformatie, als men z als
functie van lt;j beschouwt.

Men heeft dus slechts aan te toonen, dat een combinatie van

de beide getallen n en w, (bijv.: --(n—1)), waarbij a als

functie van z wordt beschouwd, niet verandert, als men z als
functie van «r opvat. Is dit bewijs geleverd, dan is een dergelijke

combinatie (p = —— (n—1) ^ — — (m'—1)) een voor
2 2
de geheele transformatie invariante grootheid.

N O e t h e r werkte deze grondgedachte in een iets andere en
meer algemeene vorm uit.

De gegeven kromme zij: f (x^, xg, Xg) = 0.

De transformatieformules:

Yi : y2 : Ys = 0i (x) : 02 (x) : 03 (x).

Invers: Xi : Xg : Xg = y , (y) j y,^ (y) ; (y).

f gaat hierdoor over in: f^ (y^, yg, y3) =0.

Deze transformatie wordt nu echter niet direct uitgevoerd,
maar door de transformatieformules:

Zi : 22 = 01 (x) : 02 (x), 22 : 23 = X2 : Xg

wordt ingevoerd een hulpkromme f' (2^, Zg, 23) =0.

De overgang van f' (2) = O op fi (y) = O geschiedt dan door
de formules:

zi : 22 ■= Yi : Y2 . 22 = 23=^^2 (Y) : V3 (Y)-

Hiermede is dus het voorschrift van Clebsch opgevolgd,
nl.: de splitsing van de transformatie in 2 opvolgende transfor-
maties.

Bij de eerste transformatie tusschen f en f', bestaat een eendui-
dige correspondentie tusschen de doorsneden van f met de bundel
x,2 A, X3 = O en van f' met de bundel 22 A 23 = 0. Het
aantal n van beweeglijke snijpunten op een rechte van de eerste
bundel is dus het2elfde als op een rechte in de tweede bundel.
Onder w verstaan wij het aantal rechten door P (x2 = X3c=0),

waarmee bij transformatie tangenten aan f' kunnen correspon-
deeren. w omvat dus de aantallen rechten, die:

1.nbsp;f raken in een van P verschillend punt.

2.nbsp;door een niet in P vallend keerpunt van f gaan.

Bezit f een hooger singulier punt buiten P, dan zijn hiervoor
in w zooveel rechten te rekenen, als er bij een transformatie
tangenten mee kunnen correspondeeren.

Meervoudige punten die P „unendlich benachbartquot; zijn,
moeten hierbij ook beschouwd worden als buiten P te liggen.

(Voor „unendlich benachtbartequot; punten, zie men: S e v e r i—
Lö f f 1 e r. Vorlesungen über algebraische Geometrie.) (50).

Is nu w' het analoge getal t.o.v. f' en de lijnenbundel door
p' (z2 = Z3 = 0), dan volgt uit de eenduidigheid der trans-
formatie direct: w = w'.

Laten deze getallen voor de transformatie van f' in fj en de
daarbij met elkaar correspondeerende lijnenbundels zijn: ni en Wi.

Zij P' een i-voudig en P'i een i^-voudig punt van f'. Het
getal w is voor een bundel met top in P' 2i kleiner als voor
een bundel waarvan de top niet op de kromme ligt. (Dit geldt
ook als P' een willekeurig singulier punt is, hetgeen blijkt door
het toepassen van een transformatie, die het singuliere punt P'
oplost. Voor het oplossen van singuliere punten zie men:
Severi—Löf fier.) (50).

Hieruit volgt, dat bij overgang van P' naar P'i, de betrekking
bestaat:

w -f 2i = W] -I- 2i,,

d.w.z. het getal w -t- 2i dat voor f' bij de bundel door P' hoort,
verandert niet bij verlegging van den top der bundel naar een
willekeurig punt P'i (of: verandert niet voor een willekeurig
lineair getransformeerde kromme f', zonder verandering van de
bundel).

w -f- 2i = wi -F 2ii,
en daar ook: n -h i = n^ -H ii, is dus:

w — 2n = wi — 2ni

of: ^ _(„_,)=

De kromme f' wordt, als f en f^ respectievelijk van de graad
n en n^ zijn, van de graad (n nj), met een nj-voudig punt
in P' en een n-voudig punt in P'^, die geen bijzondere singulari-
teit vertoonen.

Deze kromme is dezelfde als de hulpkromme van Z e u t h e n,
waarvan Zeuthen voor het bewijs van de geslachtsstelling
op 2 manieren de klasse bepaalde, hetgeen in wezen overeen-
komt met het hier gevolgde proces. Deze modificatie van de
methode van Zeuthen is ook bij een meerduidige correspon-
dentie van de krommen door te voeren.

De grondgedachte van het voorgaand bewijs voerde Noe-
ther nog op een andere weg om tot de stelling van het ge-
slachtsbehoud te komen. Hij vergeleek met betrekking tot de
beide krommen f (x) ^ O en f^ (y) = O, die weer door de
formules:

yi : 72 : 73 = 0i (x) : 02 (x) : 03 (x)
eenduidig met elkaar correspondeeren, direct de rechtenbundel:

2-«, y, X Znbsp;= O,

met de hiermee correspondeerende krommenbundel:

door het bepalen van de „contactkrommenquot; van de beide bundels,
waarbij het getal der contactkrommen op dezelfde wijze als in
het voorgaande het getal w moet worden opgevat, dus een door
een keerpunt gaande rechte van de eerste bundel moet worden
meegerekend.

Zijn f (x) en fj (y) resp. van de graad n en nj, de van de
graad s en laten deze door ieder i-voudig punt van f j-voudig
gaan en bovendien a enkelvoudige vaste punten op f bezitten.

Dan is:

ni = s.n—2 i.j — a.nbsp;(1)

Het aantal contactrechten van de eerste bundel met f^ is:
w=ni (ni-1) -^ii (ii-1).nbsp;(2)

Om de raakpunten van de aan f rakende exemplaren van de
tweede bundel te bepalen, moet men de functionaaldeterminant:

^ _ a (f, 2 g,nbsp;0,)

d (X,, Xj. X3)

opstellen, en het aantal, niet in de vaste snijpunten van f met
alle 0 vallende, snijpunten van f — O en D = O bepalen.

De graad van D is: (n—1) 2 (s — 1).

Het gedrag van D in een singulier punt van f gaat men na,
door de termen van de laagste graad voor dit punt (x^ = X2 = 0)
op te maken.

Men vindt dan voor het aantal contactkrommen van de tweede
bundel:

w = n (n 2s — 3) — 2i (i 2j — 1) — 2 a. (3)

Door uit de drie gevonden betrekkingen w en (s . n —2'i. j—a)
te elimineeren, vindt men direct:

n (n—3) — (i—1) = n^ (ni—3)nbsp;(h—1).

HOOFDSTUK XII.

De methode vaai Enriques en Severi; de Italiaansche School.

In het voorwoord op het werk „Vorlesungen über algebraische
Geometriequot; (1920) (50) van F. Severi schreef A. B r i U:

„Als um die Mitte des vorigen Jahrhunderts durch das Zu-
sammenarbeiten von deutscher und fremdländischer Forschung,
die Geometrie einen mächtigen Aufschwung genommen hatte,
dessen Höhepunkt die Verwendung der Riemannschen Theorie
der Abelschen Funktionen in der Kurventheorie war, setzten
Untersuchungen von Clebsch selbst, der diesen Weg gewiesen
hatte, und Arbeiten jüngerer Mathematiker, der Theorie der
algebraischen Kurven neue Ziele, die weit über den damals
bevorzugten projectiven Standpunkt hinauswiesen. Aus der Deu-
tung des Abelschen Theorems auf der Kurve entwickelte sich
der Begriff der Punktgruppe und damit ein neuer Wissenszweig:
die Geometrie auf der Kurve.

Dieser Wendung folgend haben italienische Mathematiker —
an der Hand gewisser neuer Begriffe und Bezeichnungen, sowie
eines förderlichen Rechenverfahrens mit Korrespondenzen —
die Punktgruppen zu einem Hilfsmittel ausgebildet, das, in Ver-
bindung mit dem Schubertschen Abzählungskalkül für Gebilde
in höheren Räumen, sowohl die Geometrie der algebraischen
Kurven als namenthch die der Oberflächen in ungeahntem
Masze gefördert hat.quot;

De methodische behandeling van de „geometrie op een alge-
braische krommequot;, door Severi gedefinieerd als „het geheel der
eigenschappen van een kromme, die bij birationale transformatie
onveranderd blijvenquot;, vindt haar oorsprong in de verhandeling
van Brill en Noether:

„Ueber die algebraische Funktionen und ihre Anwendung in
die Geometriequot; (Math. Ann. Bd. 7) (51).

Brill en M o e t h e r, de voornaamste figuren uit de school
van Clebsch, hadden in tegenstelling met Clebsch een
voorkeur voor zuiver algebraische hulpmiddelen. Zij werden de
grondleggers van de algebraisch-geometrische richting in de
theorie der algebraische functies. In bovengenoemde verhandeling
werden de door Riemann, Clebsch en Gordan langs
transcendenten weg gevonden stellingen over algebraische
functies, respectievelijk krommen, systematisch met zuiver alge-
braische hulpmiddelen afgeleid en werden verdere resultaten ge-
vonden als de „Restsatzquot; en de „Redprozitätssatzquot;, welke uit de
analysis nog niet bekend waren. Verg.: E. Schonhardt,
Alexander v. Brill. Mathematik, Heft I, 1936. (52).

De door Brill en Noether ingevoerde algebraisch-
geometrische richting vond veel beoefenaars. In het bijzonder
waren het de Italianen, die deze richting met groot succes verder
ontwikkeld hebben. Van dezen moeten vooral genoemd worden:
Segre, Castelnuovo, E. Bertini, Enriques, Se-
veri. Het grootste aandeel in het grondvesten van een eigen
Italiaansche school had Severi, die de, in de Italiaansche
werken en tijdschriften verkregen resultaten, met de bekende
algebraisch-geometrische grondbeginselen van Brill en Noe-
ther, tot een geheel vereenigde.

Severi: Lezioni di geometria algebrica. 1908. (53).

Severi: Vorlesungen über algebraische Geometrie. 1920.
(Vertaling van E. Löf fier.) (50).

Severi: Trattato di geometria algebrica. 1926. (54).

Het onderscheid tusschen de Italiaansche school, ontstaan
uit het werk van Bril 1—N o e t h e r en de Brill-Noethersche
richting zelf, bestaat in de werkmethode der Italiaansche onder-
zoekers. Zij stellen het werken met zuiver algebraische hulpmid-
delen niet op den voorgrond. Hun werk draagt daarentegen een
overwegend geometrisch en synthetisch karakter, met een veel-
vuldig gebruik van de vorderingen van de projectieve meetkunde

der meerdimensionale ruimten.

p

2' ;ii . 0i (x, y) = O snijdt op f (x, y) = O een lineaire schaar

«

uit. Als n de orde is en r de dimensie, wordt deze schaar voor-
gesteld door het symbool g;;, welke notatie afkomstig is van
Brill en Noether.

De dimensie van de schaar gj-^ is slechts dan kleiner als de
dimensie van het systeem 1 .0. =0, als er onder de
krommen van dit systeem exemplaren zijn, die f bevatten.

Twee op een algebraïsche kromme liggende groepen A en B,
beide van n punten, heeten equivalent, als zij bevat zijn in een
zelfde lineaire schaar De equivalentie van deze groepen wordt
symbolisch voorgesteld door A=B, welke notatie afkomstig is
van E n r i q u e s c.s.

Eenvoudig is te bewijzen de Transitiviteitsstelhng:

Als A = B en B eee; C, dan ook A = C, daar deze stelling
klaarblijkelijk begrepen is in:

Als 2 verschillende lineaire scharen g j; en g» een groep

gemeen hebben, dan is er een hneaire schaar, waarin beide bevat
zijn.

Een hneaire schaar heet „volschaarquot; als er geen lineaire schaar
van dezelfde orde maar van hoogere dimensie bestaat, waarin ze
bevat is. Een deelschaar is wel bevat in een lineaire schaar van
dezelfde orde en hoogere dimensie.

Het is direct duidelijk, dat men, door het vormen van lineaire
scharen van de orde n, maar met steeds hoogere dimensie, ten-
slotte tot een volschaar moet komen, daar immers de dimensie r.
welke gelijk is aan het aantal willekeurig te kiezen punten van
een groep, nooit hooger dan n kan worden. Niet a priori duidelijk
is het, dat een gegeven schaar in één en slechts één hneaire
volschaar bevat is, m.a.w. dat een hneaire volschaar, waarin een
gegeven hneaire schaar g ; bevat is, éénduidig is bepaald. Een
eenvoudige redeneering toont de juistheid aan; was nl de g^
bevat in de volscharen g« en gS , ^an zouden deze 2 scharen,
daar zi, de groepen van de g;; gemeen hebben, weer bevat zijn

in eenzelfde schaar van hooger dimensie. De g« en gS zouden
dan geen volscharen zijn, dus contradictie.

In het bijzonder wordt door een groep A op f een volschaar
gedefinieerd, symbolisch voorgesteld door | A |, welke men ook
kan definieeren als de verzameling van alle groepen = A.

Bij birationale transformatie van de algebraische kromme f
gaan equivalente groepen in equivalente groepen over, zoodat
met een lineaire volschaar een lineaire volschaar correspondeert.

De stelling van de éénduidigheid van de lineaire volschaar,
die een gegevennbsp;bevat, werd algebraisch bewezen door

Brill en Noether, in „Ueber die algebraische Funktionen
und ihre Anwendung in die Geometriequot;. (Math. Ann. Bd. 7.)
(51).

In het boven geschetste bewijs is de methode gevolgd, aan-
gegeven door Enriques in ,,Intorno ai fondamenti della geo-
metria sopra Ie superficie algebrichequot;. (Torino Atti 37, 1901)
(55), en is in dezen vorm afgeleid door Scveri.

De gedachtengang, die hier gevolgd wordt, komt zij het dan
in anderen vorm, reeds voor in de Riemannsche theorie- der alge-
braische functies.

Voor het invoeren van de rekenoperaties met lineaire scharen
heeft men 2 hulpstellingen noodig:

1.)nbsp;Als men van een volschaar de groepen verzamelt, die een
bepaald stel vaste punten hebben, dan is de verzameling van die
groepen weer een volschaar.

Met behulp van 1.) bewijst men:

2.)nbsp;Zijn 2 lineaire scharen |A] en |B| gegeven, dan zijn alle
groepen, die men verkrijgt door een groep van de eerste schaar
met een groep van de tweede te vereenigen, onderling equivalent.

Zie: Severi. Trattato di Geometria Algebrica. Vol. I.
Parte I., Pag. 99 e.v. (54).

Uit hulpstelling 2.) komt men tot het begrip: „som van 2
hneaire scharen |A| en |B1quot;.

Definitie: Onder de som van de scharen |A1 en jB] verstaat

men de lineaire volschaar jA B], die door de groep A B
gedefinieerd is.

Hieruit is direct het begrip „verschilquot; van 2 scharen iC| en |A|
te definieeren:

Wij stellen voorop, dat er groepen van |Cj zijn, die A als deel
bevatten, d.w.z. dat de restschaar van A t.o.v. |C| werkelijk be-
staat. Zij deze schaar |B|, dan is:

|C| = |A B|

en wij noemen |B| de restschaar van |A| t.o.v. |C|, of wel het
verschil |C—A| van de gegeven scharen.

Hierbij dient te worden opgemerkt, dat de schaar |B| bepaald
is, onafhankelijk van de groep A, waarvan men bij de definitie
van deze schaar uitgaat.

Noemt men de groepen van de schaar |BJ de resten van de
groep A t.o.v. |C|, dan heeft men dus:

De resten van een gegeven groep t.o.v. een hneaire volschaar
zijn t.o.v. dezelfde schaar ook resten van een willekeurige andere
groep, die met de gegeven groep equivalent is.

Deze stelling is een deel van de z.g. Reststelhng van B r i 11—
Noether.

De somdefinitie is op meerdere scharen uit te breiden. Vallen
de verschillende scharen samen, dan spreekt men van een meer-
voudige schaar.

|A| |Aj |A| ...... |A| |A| |A| = k. |A|.

De begrippen somschaar, meervoudige schaar en verschilschaar
zijn invariant t.o.v. birationale transformatie van de kromme.

In een g» op f zijn groepen, waarin 2 punten samenvallen.
Wegens het algebraisch karakter zijn er een eindig aantal
waarden van A., waarvoor in de bijbehoorende groepen een dub-
belpunt aanwezig is. De verzameling van deze punten, de dek-
puntengroep, wordt de „]acobi-groepquot; der gi genoemd.

Voor de Jacobi-groep van een gi geldt de volgende stelling:

Maakt men van een gj een g^, ^ ^ door toevoeging van k
vaste punten, dan bestaat de nieuwe Jacobi-groep uit de oude

Jacobi-groep, waarbij dan de k toegevoegde punten, twee maal
als dubbelpunt moeten worden bijgeteld.
Voor het bewijs vergelijke men:
Severi: Vorl. über alg. geom. Pag. 98 (50).
Severi: Trattato di geom. algebrica. Pag. 112 e.v. (54).
In het eerstgenoemde werk wordt het bewijs zuiver meetkundig
gegeven, terwijl in het tweede van de analyse gebruik wordt
gemaakt.

Wij geven het bewijs in de volgende vorm, het meest over-
eenkomend met de eerstgenoemde methode.

De g Ji wordt op f uitgesneden door een bundel hulpkrommen,
V/elke bundel mogelijk H vaste basispunten op f heeft. Om de
groep K^ uit te snijden, kieze men een vaste kromme welke
dan mogelijk nog een groep K2 uitsnijdt.

A 01 V 0j V' = Onbsp;(1)

snijdt dan uit de g' en de vaste punten. Wij voegen nu een
kromme x 'oe van dezelfde graad, welke niet tot de bundel be-
hoort en niet gaande door H, K^ en K2.

l ip fi 02 y V X = O

is een net, waartoe de bundel (1) behoort. Dit net snijdt een
g2 uit, waarbij N n H -f K^ K2 en waarvan de gj^ aan-
gevuld met H, Ki en Kg een deelschaar is.

r e Yo 0» V

\ Q y\ = V f = O,
\ Q Yi ^ X

geeft een afbeelding van de kromme f, nl. een vlakke kromme C,
waarop de groepen, die correspondeeren met de groepen der g
op f, worden uitgesneden door de rechten van het vlak van C.
De rol van het net wordt hierbij overgenomen door de rechten
van het vlak, de rol van een bundel uit het net door een waaier
in het vlak. Elke rechte van de waaier, die met de bundel (1)
correspondeert, snijdt op C dan N punten uit, waarvan er slechts

n beweeglijk zijn. De top van de waaier is dus een {H Kl K2)-
voudig punt der beeldkromme.

De punten van de Jacobi-groep vindt men door de tangenten
uit de top. De taktangenten in de top zijn echter als 2 samen-
gevallen taktangenten te rekenen, en iedere tak telt voor een
vast punt. Hieruit volgt dus, dat men voor de Jacobi-groep Kj
twee maal moet bijtellen. (H en Ka vervallen weer.) Het alge-
meene geval is hiermede bewezen.

Kiest men de K punten geïsoleerd, dan komen in het K-voudig
punt geen keerpunten voor.

In het K-voudig punt is een buigpunt aanwezig, indien een van
de gekozen vaste K punten in een van de dubbelpunten der g'
zou vallen. Ook in dat geval gaat de stelling door, zooals blijkt
uit een limietbeschouwing, waarbij men de K-groep met een van
zijn punten tot een dubbelpunt laat naderen.

Een typisch voorbeeld van de werkmethode der Italiaansche
school vindt men in het bewijs van de volgende stelling:

De Jacobi-groepen der uit een gj; zijn onderling equi-
valent.

Wij nemen het geval, dat de g;; niet-samengesteld is, en be-
ginnen met r = 2. Wij maken dan van de g^ een planimetrisch
beeld. De Jacobi-groepen van de gj^ uit de g^ correspondeeren
met de raakpuntengroepen, behoorend bij de punten van het vlak
der beeldkromme. Deze raakpuntengroepen worden uitgesneden
door het systeem der eerste poolkrommen, en dit systeem is
lineair, q.e.d.

Voor het algemeene geval r gt; 2 maken wij van de g ■■ een
meerdimensionaal beeld in Rp. Zijn en i:^ 2 willekeurige
R r-2 in de Rr dan zullen de twee bundels hypervlakken door
2*1 resp. ieder een gJi op de beeldkromme uitsnijden.

2] cn hebben in het algemeen een

Rr-2 X Rr_2 = R,_4nbsp;(1)

gemeen. Wij kiezen dan buiten deze R in 2quot;! een punt Pj, en
in 2, een punt Pg. Pi, Pg en de R bepalen dan een R,_2= 23.

welke zoowel metnbsp;als 2*2 een Rr-3 gemeen heeft. De

hypervlakken door een Rr-a snijden op de beeldkromme een g ^
uit. De Jacobi-groepen der g uit een g® zijn equivalent, waar-
uit dus nu, in verband met het voorgaande, volgt, dat de Jacobi-
groepen van alle g uit een g];^ equivalent zijn.

(1) Verg. E. B e r t i n i: Introduzione alla geometria proiettiva
degli iperspazi, pag. 9 (56).

Het geval, dat de gj^ samengesteld is volgt direct uit het
voorgaande, met toepassing van de stelling: Telt men bij equiva-
lente groepen telkens een vaste groep op, dan zijn de sommen
ook weer equivalent.

De lineaire volschaar, die de Jacobi-groepen A der g uit
één en dezelfde gj^ bevat, wordt de Jacobi-schaar der gj^
genoemd.

Uit het voorgaande volgt zonder meer de fundamentaalstelling
over de Jacobi-scharen, welke in formule uitgedrukt luidt:

|(A B)jl = |Aj 2B| = |2A Bj|.

dus eveneens:

|Aj-2A| = |Bj-2Bl,

welke schaar de „Kanonische schaarquot; genoemd wordt.

De orde van de Kanonische schaar is een constant getal, dat
een bepaalde beteekenis krijgt.

Zijn a en a-^ de orden van |A| resp. |Aj|, dan is:

Sj — 2a = bj — 2 b.
Stellen wij a^ — 2a = 2p ^— 2, dan is:

(vergelijk met de formule van Riemann p = 3^w — (n—1)),
waaruit volgt, dat het getal p onafhankelijk is van de lineaire

schaar met behulp waarvan zij gedefinieerd wordt; het doet er
immers niet toe of men uitgaat van de schaar |Aj of |B|.

Het boven gedefinieerde getal p blijkt te zijn het geslacht
van de kromme f.

Immers: aj = n (n—1) — 2d
a = n

Dan: p lt;= ï^ n (n—1) — d — n 1
= H (n-1) (n-2) _ d.

overeenkomend met de vorige afleidingen van het geslacht.

Hierbij is slechts oogenschijnlijk de kromme f niet algemeen
genoeg gekozen. Heeft de kromme eenige s-voudige punten met
gescheiden taktangenten, dan wordt:

s

H (n-1) (n-2) -2-

2

Algemeene hoogere singulariteiten kan men volgens Noe-
ther (Verg. Noether: Rationale Ausführung der Opera-
tionen, Math. Ann. 23.) (57) door achtereenvolgende kwadra-
tische transformaties oplossen, waarbij een kromme ontstaat met
gewone meervoudige punten. Hierbij treedt geen verandering
van het geslacht op.

De in het voorgaande geschetste methode van invoering van
de begrippen „Jacobi-schaarquot; en „geslacht van een krommequot;, in
dezen vorm gebracht door Severi, is in wezen afkomstig van
Enriques:

Boll, di bibl. e storia delle matematiche. 2, 76 (1899). (58).

Torino Atti. 37, 19 (1901). (59).
Severi, Palermo Rendiconti. 17, 82 (1902). (60).

De stelling van het geslachtsbehoud bij birationale transfor-
matie der kromme is hier eenvoudig te bewijzen.

Zijn f en f' 2 krommen die birationaal verwant zijn, dan
komt met een lineaire schaar g ^ op f een g J^ op f' overeen
en de Jacobi-groep der eerste correspondeert met de Jacobi-groep
der tweede. De getallen p en p', die met behulp van deze twee
overeenkomende scharen berekend worden, zijn dus gelijk.

HOOFDSTUK XIII.

Toepassingen van de stelling van het behoud van geslacht bij
birationale transformatie, door middel van de theorie der
puntgroepen.

In deze paragraaf willen wij eenige voorbeelden geven, hoe
met de theorie der puntgroepen en de daarbij optredende biratio-
nale transformatie geometrische resultaten kunnen worden afge-
leid, waarvan inderdaad zeker de eenvoudigste, maar wellicht
ook de andere wel anders kunnen worden verkregen en som-
migen ook reeds verkregen zijn. In het volgende worden
echter ook verkregen, eenige geheel nieuwe stellingen voor de
derdegraads-ruimtekromme, en voor de vierdegraads-ruimte-
kromme van geslacht O en 1.

Essentieel bij al deze toepassingen is het geslachtsbehoud.

1. De transformatie.

Het uitgangspunt van de volgende onderzoekingen zal zijn de
volgende transformatie. (Severi. Vorlesungen über alge-
braische Geometrie, pg. 75 e.v.) (50).

Een lineair, echt „r-dimensionaalquot; systeem van vlakke alge-
braische krommen:

r

Z Aj Ci (xq, Xi, Xj) O
i = 0

snijdt op een vlakke algebraische kromme f (xq, xi, xg) = O in
een schaar gquot;quot; . Wij veronderstellen deze gj^ zonder vaste

punten, eenvoudig en echt.

Door: p yj = Q (xq, Xi, xg) , i = O, 1.2.....r

en:nbsp;O = f (xq, Xi, xg)

v/ordt dan bepaald een ruimtekromme C' in Rquot;- met de volgende
eigenschappen:

1.)nbsp;C is „echtquot;, d.w.z. is niet bevat in een ruimte van lager
dimensie.

2.)nbsp;C is birationaal verwant met de kromme f = O,

3.)nbsp;De punten door een hypervlak in R-quot; op C' uitgesneden,
correspondeeren met een groep der gquot;- op f = 0.

4.)nbsp;De graad van C' is N.

5.)nbsp;Met onderscharen op f correspondeeren onderscharen van
dezelfde dimensie op C'.

2. Neutrale puntenparen.

Gaan wij nu uit van een vlakke algebraische kromme
f (xo, xi, xa) = O van de graad n en geslacht p, waarop door
een net van vlakke algebraische krommen,

2

.J Q(xo. X1.X2) = O,

van de graad m, wordt uitgesneden een g^^ Nemen wij hierbij
f = 0 vrij van de basispunten van het net, in welk geval N = n.m.

C' wordt nu een vlakke algebraische kromme van de graad
N waarop de groepen, die correspondeeren met de groepen der
op f ^ O, worden uitgesneden door de rechten van het
vlak van C'.

Daar het geslacht invariant is ten opzichte van birationale
transformatie (Theorema van Riemann) is C' van het ge-
slacht p. Het aantal dubbelpunten van C' is dus:

d = (N-1) (N-2) - p.

Wij gaan nu na de singuliere elementen van deze afbeelding
van f op C'. Door een dubbelpunt O van f wordt uit het net een
bundel bepaald, welke op f een uitsnijdt, welke 2 vaste
samengevallen punten bevat. De groepen, die op C met de
groepen van deze g^ correspondeeren, worden op C' uitge-

sneden door een bundel rechten. In elke groep van deze g
op C zijn dan ook twee vaste punten, die samen moeten vallen,
daar er anders geen bundel rechten door dit puntenpaar ging.
Met een dubbelpunt van f correspondeert dus steeds een dubbel-
punt van C'. Omgekeerd geldt dit niet. Singuhere elementen
voor deze afbeelding van f op C' zijn de overige dubbelpunten
van C', indien C' meer dubbelpunten bevat dan f. Met deze
resteerende dubbelpunten van C' correspondeeren namelijk pun-
tenparen op f = O, die zoodanig gelegen zijn, dat een paar geen
exemplaar van het net bepaalt, maar een bundel van het net.
Met deze resteerende dubbelpunten van C' correspondeeren dus
,,neutrale puntenparenquot; op f 0.

Op f = O zijn dus steeds:

H (N-1) (N—2) - p - H (n-1) (n—2) p

= H (N-1) (N-2) - H (n-1) (n-2) = d,

puntenparen, die ieder met de3^n(n 3) — 2 basispunten,
die het net kan hebben, n (n 3) geassocieerde basispunten
van een bundel vormen. Bevindt zich onder de d^ dubbelpunten
van C' een keerpunt O', dan correspondeert hiermee op f = O
een puntenpaar Oi = O2. dat niet in een dubbel- of keerpunt van
f = O valt.

In eenvoudige gevallen kan men die d^ puntenparen op f direct
zien. Bijv.:

a) Op een K2 wordt door een net K2, gegeven door 3 punten
(vrij van de gegeven K2) een g^ uitgesneden, d^ = 3.

Deze 3 puntenparen zijn de 3 snijpuntenparen, verkregen door
de 3 verbindingslijnen van de basispunten van het net met de
gegeven K2 te snijden. Elk dezer paren bepaalt immers uit het
net een bundel ontaarde kegelsneden, terwijl elk ander paar een
exemplaar van het net bepaalt.

C' heeft 3 dubbelpunten. Raakt één der verbindingslijnen der
basispunten van het net aan de K2, dan heeft C' 1 keerpunt en
2 dubbelpunten.

b)nbsp;Op een derdegraadskromme f3 = O wordt door een net K2,
gegeven door 3 punten (vrij van f3 = 0) een g| uitgesneden.'

dr • 5.4 - K . 2.1 = 9.

Op elke verbindingslijn der 3 basispunten van het net K2
liggen 3 snijpunten met de kubische kromme. Uit elk drietal
snijpunten op een rechte kan men 3 puntenparen vormen. Deze
9 paren zijn de neutrale, en bepalen elk een bundel van het net.
Wij merken hierbij echter op, dat in dit geval de C' voor de
d^ = 9 dubbelpunten, 3 drievoudige punten in de plaats geeft.

c)nbsp;Op een derdegraads kromme fs = O wordt door een net
kubische krommen, gegeven door bijv. 7 punten, (vrij van de
f3 •= 0) een g| uitgesneden.

d, H . 8.7 — H . 3.2 = 27

Stelling:

Op een kubische kromme liggen 27 puntenparen, die ieder met
de 7 basispunten van het net een geassocieerd 9'tal vormen.

3. Rakende, dubbelrakende en osculeerende exemplaren in bundel
en net.

Zij f (xq, xi, xa) = O van de n-de graad en geslacht p. Dan
is C' van de graad N = n.m en geslacht p. Het aantal dubbel-
punten van C' is dus:

d = M (N-1) (N-2) - p.
De klasse van C' is:

y = N (N—1) — 2 d = 2 (N—1) 2 p.
Er zijn dus in een bundel van het net
2

i=0

y exemplaren, die op f = O groepen uitsnijden, waarin twee
punten samenvallen, en die dus aan f = O raken.

Is er onder de dubbelpunten van C' éen keerpunt O', dan zijn
uit een punt P' (y—1) tangenten aan C' te trekken. Trekken

wij echter de lijn P'O', dan correspondeert met de hierdoor uit-
gesneden groep op C' ook op f O een groep, waarin 2 punten
Ol == O2 samenvallen.

Het aantal buigpunten van C' is:

K = 3 n (n—2) _ 6 d = 3 (N—2) 6 p.

In het net zijn dus K exemplaren, die op f = O groepen uit-
snijden, waarin 3 punten samenvallen en die dus f = O osculeeren.
Is er een keerpunt onder de dubbelpunten van C' dan heeft C'
(K—2) buigpunten. De keertangent in O' snijdt echter ook op C'
een groep uit, waarin 3 punten samenvallen en hiermee correspon-
deert op f 1= O een groep, waarin 3 punten samenvallen, nl.
in Ol = O2.

Wij kunnen de, door de keertangent uitgesneden groep, 2-maal
tellen, in analogie met: keertangent is twee samengevallen tak-
tangenten. C' heeft een aantal dubbeltangenten 8, waarbij:

2 8 = y (y—1) — n — 3 K.

Er zijn dus S exemplaren in het net, die op f = O groepen
uitsnijden, waarin 2 maal twee punten samenvallen en die dus
f c= O twee maal raken.

Heeft C' k keerpunten, dan neemt K af met 2k en y met k.

Uit de Plückersche formules volgt dan voor 8 een afname:

k (y — k -1- 3) q.

Men kan echter uit elk der k keerpunten van C' (y — k 3)
tangenten, verschillend van de keertangent, aan C' trekken, welke
ook groepen uitsnijden, waarin 2 maal twee punten samenvallen,
terwijl de C^ verbindingslijnen der k keerpunten dergelijke
groepen eveneens leveren.

Toepassing.

g2 op een gegeven K2 uitgesneden door een net K2.

C' is vlakke 4-de graadskromme van geslacht O, dus d^ = 3.

y = 6. In een bundel van het net zijn 6 exemplaren, die aan
de gegeven K^ raken.

K = 6. In het net zijn 6 exemplaren, die de gegeven K^
osculeeren.

S = 4. In het net zijn 4 exemplaren, die de gegeven K2 twee
maal raken.

Het geval, dat C' keerpunten heeft, behoeven wij, tengevolge
van bovenstaande, niet meer apart te beschouwen.

4. De op een rechte.

Wij beschouwen nu speciaal de g| , die door een net kubische
krommen,

2

(^0. Xi, Xj) = O,

op een rechte 1 (geen basispunten op 1) wordt uitgesneden.

C' is een vlakke kubische kromme van geslacht O en heeft
dus één dubbelpunt, O' (keerpunt).

1. Op 1 hgt één puntenpaar (Oj, Og), dat correspon-
deert met O'. Dit puntenpaar bepaalt een bundel van het net.

y = 4. In een bundel (geen basispunt op 1) zijn 4 exemplaren,
die aan 1 raken.

In een bundel, waarvan een basispunt A op 1 hgt. zijn dan 3
exemplaren, die aan 1 raken. Het ééne raakpunt is A, de andere
B en C, liggen dan elders op 1. Wij noemen B en C de „satel-
lietenquot; van A. De bundel uit het net, bepaalt door het punt A,
snijdt op 1 een g| in, met A als vast punt. Na weglating van
A over een g^. In de zijn dus 2 groepen, ieder bestaande
uit 2 samengevallen punten, nl. de satellieten van A. (Dit is weer
de bekende eigenschap, dat er in een K2-bundel 2 exemplaren zijn,
die raken aan een rechte, welke niet door een van de basispunten
gaat.)

Snijdt men een C^ doornbsp;Neemt men op 1, 2 groepen

twee rechte lijnen en verbindt van de g|, (ai, ag, ag) en
men de snijpunten door drie (bi, bg, bg) en vormt men
verbindingslijnen, die elk de de groepen (a^, b^, P^),

kromme nog in een punt snij-
den, dan zijn de zoo verkregen
3 punten weer collineair.

De stelling van Mac-Laucin:
De satellieten van drie col-
lineaire punten op een C^ zijn
weer collineair.

De C' heeft 3 buigpunten,
waarvan 2 imaginair.

Deze drie buigpunten hggen
op een reëele rechte.

(ao, bg, Pq), (as, bg, P3), dan
is ook (Pl, Pg, P3) een groep
der g| en door dit drietal
gaat dus een exemplaar van
het net.

Is (ai, 32, 33) een groep
der g| en bepaalt men een
satelliet (p, p) van ai en een
satelhet (q, q) van a^, dan is
het derde punt r van de groep
(p, q, r) een satelliet (r, r)
van a.

Er zijn in het net van ku-
bische krommen drie exempla-
ren, die een gegeven rechte
tot buigtangent hebben. Deze
drie buigraakpunten vormen
een groep der g|.

Wij komen dus tot de navolgende stelling:

In een net van kubische krommen zijn drie exemplaren, die
een willekeurig gegeven lijn tot buigraaklijn hebben, terwijl door
de drie raakpunten een kromme van het net gebracht kan
worden.

Het bewijs van deze Stelling is ook analytisch nog gemakkelijk
te geven. De krommen van het net bepalen op elke rechte nl.
drietallen van punten en wel zoodanig, dat het derde punt door
de beide anderen bepaald is, d.i. een involutie van de derde graad
en tweede rang, die door 3 groepen ondubbelzinnig bepaald is.

Deze involutie op 1 kan worden voorgesteld door de ver-
gelijking:

A3 c 3

c^ = O, drie geheel algemeene derde-

Het eerste lid van (1) is een volkomen derde macht, indien
voldaan is aan de relatie:

ap bo Conbsp;Al ai b, 4 _c,__

Ai ai b, A3 c, A, a^ A^ br A3 c^ ~
Al a, A, b, A, c.

(2)

Al 33 A, b3 A3 C3
In verkorte notatie:

Ao Ai Aj

A,

Beschouwt men nu de greep (Ai, A^, Ag) als de driehoekscoör-
dinaten van een, met een kromme van (1) overeenstemmend punt
P, dan volgt uit (2), dat er zooveel krommen in het net de lijn 1
tot buigraaklijn hebben, als er punten P gemeen zijn aan de
drie kegelsneden:

ÏAq Al A, _ 0
Al Aj A3 II

Dit aantal is dus drie.

Nu eenmaal bekend is, dat er drie krommen zijn in het net,
die 1 tot buigraaklijn hebben, kan men de punten van 1 aan-
geven, door hun afstand x tot één der buigpunten. Zijn nu de
beide andere buigpunten bepaald door x, en Xg, dan kan men
de involutie als volgt voorstellen:

X3 Al (X—Xi)3 jal (X—X2)3 = 0.

Door elke greep (Ai, /^i) wordt een drietal bepaald. Bepaalt
men het drietal waartoe x = xi en x = xg behooren, dan moet
men voor Ai en /xi de waarden kiezen, verkregen uit:

/xl (Xi—X2)3 = O
ennbsp;xgS Al (xg—Xi)3 = 0.

Het drietal waartoe x = Xi en x = Xg behooren heeft dus
tot vergelijking:

(xi—X2)3x3 X23(x—Xi)3 — xi3(x—X2)3 = 0.

Hieraan voldoet nu ook x = 0.

Het zou in deze opzet dus eigenlijk de voorkeur verdienen,
dit bewijs vooraf te laten gaan, en daaruit de overeenkomstige
eigenschap voor de vlakke rationale kubische kromme af te leiden.

Gaan wij weer verder met onze g | dan valt nog op te mer-
ken, dat ook (Ol, Ol, O2) en (Oi, O2, O2) groepen der g|
zijn. Ol en O2 zijn eikaars satellieten.

5. Eigenschappen van de kubische ruimtekromme.

Op een rechte wordt door een kluwen kubische krommen uit-
gesneden een g'. C' is een kubische ruimtekromme.

De groepen op C', die correspondeeren met de groepen der
g ä, worden op C' uitgesneden door de vlakken van haar ruimte.

a.) Een net uit het kluwen
kubische krommen geeft op 1
een g|- In het net zijn 3 exem-
plaren, die 1 tot buigraaklijn
hebben. De drie buigraak-
punten op 1 vormen een groep.

b.) Een net uit het kluwen
snijdt uit een g| op 1. Het
beeld van deze g| is een
vlakke, rationale kubische
kromme. Deze is van de klas-
se 4. In een bundel zijn dus
4 exemplaren die aan 1 raken.
In elke g| is 1 neutraal paar.

Een vlakkenschoof door een
willekeurig punt T, bepaalt op
C' een g|. Door T gaan drie
vlakken die de kubische ruim-
tekromme osculeeren. Deze
drie osculatiepunten op C' lig-
gen met T coplanair. (Klasse

3).

Door een willekeurig punt
T gaan 4 raakvlakken aan C'.
(Rang 4).

Door een willekeurig punt
der ruimte, gaat één koorde.
De schoof graad van de
koordencongruentie = 1.

c.)nbsp;Zijn (ai, ag, ay) ennbsp;Breng door een punt T der
(bl, ba, bg) twee groepen van ruimte 2 vlakken, die'op de
een g| op 1, en worden ge- kub. ruimtekromme uitsnijden
vormd de groepen (ai,bi,pi), (a^, ag, ag) en (bi, bg, bg).
(ag, ba, P2), (ag, bg, pg), dan De vlakken door T bepalen op
is ook (pi, p2, pg) een groep C' een g|. Zijn de derde snij-
van het systeem. punten der vlakken (T, ai, bi),

(T, Bo, ba) en (T, ag, bg) met
C' respectievelijk pj, pg, pg,
dan vormen (pi, pa, pg) een
groep.

Stelling: (T, pi, p^, pg), liggen coplanair.

d.nbsp;De stelling van Mac-Laurin:

De satellieten van een groepnbsp;Een vlak door T geeft op

vormen weer een groep.nbsp;C' de groep (aj, 32, ag).

Brengen wij door (T, ai) en
(T, 32) raakvlakken aan C'.
Raakpunten zijn resp. (pp)
en (q, q). Zij r het derde snij-
punt van het vlak (T, p, q)
met C', dan is (T, 33, r, r)
rsakvlak 3an de kubische
ruimtekromme.
Stelling: (T. ag, r, r) is raakvlak.

6. Eigenschappen van de vierdegraadsruimtekromme van
geslacht 0.

Door een net vierdegraadskrommen wordt op 1 = O uitge-
sneden een g^ C' is een vlakke 4-de graadskromme van ge-
slacht 0.

d, = 3, y = 6, K = 6, S = 4.

Door het kluwennbsp;Q (^o. x^. Xa) = O , wordt op

1 (xo, Xi, Xa) = O uitgesneden een gf. C' is een rationale vierde-
graads ruimtekromme.

a.) De afbeelding van een
op 1 is een vlakke C^, met
K = 6.

b.) idem. y == 6

c.)nbsp;Een punt niet op 1 be-
paalt uit het kluwen een net,
welke op 1 een g | insnijdt.

Hiervoor d^ = 3, d.w.z. er
zijn 3 puntenparen op 1, die
geen exemplaar van het net
bepalen, maar een bundel.

d.)nbsp;op 1. Het beeld is
een vlakke vierdegraadskrom-
me met S = 4.

e.)nbsp;Het net, bepaald door
een punt op 1, snijdt in een
g|. Het beeld is een vlakke
derdegraadskromme, met 3
buigpunten, die een groep
vormen.

f.)nbsp;Punt P op 1, bepaalt
een g® met P als vast punt.
In de resteerende g| is een
puntenpaar (Oi, O2), dat
geen exemplaar van het net
bepaalt.

a.)nbsp;Door eennbsp;willekeurig
punt der ruimte gaan 6 oscu-
latievlakken vannbsp;C'. Klasse
= 6.

b.)nbsp;Door eennbsp;willekeurige
rechte gaan 6nbsp;raakvlakken
aan C'.

Door een punt T, niet op
de kubische ruimtekromme,
gaan 3 koorden van C'.
Schoofgraad van de koorden-
congruentie = 3.

Aantal schijnbare dubbel-
punten = 3.

Door een willekeurig punt
T der ruimte zijn 4 dubbel-
raakvlakken aan de kub. ruim-
tekromme te leggen, d.w.z. de
klasse van de torsus der dub-
belraakvlakken = 4.

Door een punt T van C'
kan men 3 osculatievlakken
aan de kromme leggen. De
3 steunpunten liggen met T
coplanair.

P' op C'. gf op C' met P'
als vast punt. In de resteeren-
de g I op C' zijn 2 punten
O'i, O'2, die met P' een vlak-
kenbundel bepalen. D.w.z.
door P' gaat één trisecante
van C'.

(P. Ol, O^) bepalen geennbsp;Elke groep (P', O'j, O'g)

exemplaar van het kluwen wordt bepaald door één harer
maar een bundel.nbsp;punten. De steunpunten der

trisecanten vormen een I3.

g.) Wij kiezen op C' een punt T; de vlakkenschoof hierdoor,
bepaalt op C' een g| met T als vast punt, dus na weglating van
T een g|.

Wij bepalen van deze g| twee groepen (ai, ag, ag) en
(bl, bg, bg) door 2 willekeurige vlakken door T. Bepalen wij
daarna de groepen (ai, bj, pi), (a^. b^, Pa) en (ag, bg, pg) dan
is (Pi, P2. Pg) weer een groep van de g|, zooals wij in het voor-
gaande zagen.

Wij krijgen dus voor de rationale 4-de graadskromme de
volgende

Stelling:

Brengt men door een punt T van een radonale 4-de graads-
kromme 2 vlakken, die C' nog snijden in (aj, a^, ag), resp.
(bl, bg, bg) en zijn de vierde snijpunten der vlakken (T, ai, bi).
(T, ag, b2) en (T, ag, bg) met C' respectievelijk (pi, pg, pg) dan
zijn (T, pi, p2, pg) coplanair.

h.)nbsp;Een uitbreiding van de vorige stelling is het analogon van
de stelling van Mac-Laurin.

Stelling:

Snijdt een vlak de vierde graads rationale ruimtekromme in
de punten T, a^, az, ag en zijn de raakpunten der door (T, ai) en
(T, 32) gelegde raakvlakken aan de kromme respectievelijk
(p, p) en (q, q) dsn is, indien r het vierde snijpunt is van het
vlak (T, p, q) met de kromme, het vlak (T, ag, r, r) raakvlak in
r aan de kromme.

i.)nbsp;Resteert nog na te gaan, hoeveel stationnsire raakvkkken
of pknaire buigpunten, de rationale 4-de graadskromme heeft.

Dit komt hier dus neer op de vraag, hoeveel exemplaren van
3

het stelsel A. Cf (xq, Xi. x,,) = O, met 1 (xq. Xi, Xg) = O

4 samenvallende punten gemeen hebben. Beantwoording van deze
vraag staat in dit verband gelijk met na te gaan, hoeveel kegel-
sneden door 2 vaste punten A en B van een rationale vlakke
derde graadskromme gaan, die elders nog vierpuntige raking
vertoonen.

Door uit te gaan van de parametervoorstellingen der C^:

X = (1—A2«,) \
y ^ (1—A2«,)

2 = X3

en te snijden met een willekeurige K2 vindt men een relatie in

2' 3' 4' 5' 6 die bij het stellen van Ai, 2' 3' 4 = overgaat in
een 4-de graads-vergelijking in A. Er zijn dus 4 kegelsneden, die
de C' 4-puntig raken en door de punten A5 en Ag gaan.

7. Eigenschappen van de vierdegraads ruimtekromme van

geslacht 1.

Tenslotte willen wij nog een enkel voorbeeld nagaan uit de
serie eigenschappen van de 4-de graads ruimtekromme van ge-
slacht 1, die men op analoge wijze systematisch kan afleiden.

Wij snijden hiertoe op een 'C3 van geslacht 1 een gj uit, door
het systeem kegelsneden door 2 vaste punten A en B van de
kromme. De dimensie van het systeem kegelsneden is 3. De af-
beelding van de C^ is dus een 4-de graads-ruimtekromme van
geslacht 1.

Wij gaan nu na, hoeveel exemplaren van het systeem kegel-
sneden door A en B elders 4-puntige raking vertoonen.

De kegelsneden, die in een punt R van de C' 4-puntig raken,
snijden de C' in de puntenparen (A, B) van een centrale invo-
lutie, waarvan het 2-de tangentiaalpunt van R het centrum is.

Om dus de vierpuntig-rakende kegelsneden door A en B te
vinden, bepale men het derde snijpunt C van AB met de C^.
Uit C kan men 4 tangenten aan de C3 trekken (7 = 6). Laten
de raakpunten zijn Rj (i = 1, 2, 3, 4,). Uit elk van die 4 raak-
punten kan men weer 4 tangenten trekken, dit geeft 16 raak-
punten: Rj j (i, j = 1, 2, 3, 4).

Deze 16 punten zijn de zestien punten R, en er zijn dus 16
kegelsneden door A en B, die elders 4-puntig raken.

(Voert men dit uit op een rationale C^, dan vindt men in
plaats van 4 maal 4, 2 maal 2. De rationale C^ heeft dus 4 sta-
tionnaire raakvlakken.)

Bij de afleiding van eigenschappen als bovenstaand, komt men
veelal spoediger tot het doel, door gebruik te maken van het
feit, dat de coördinaten van de punten eener niet rationale C»,
zijn voor te stellen als elliptische functies van een zelfde para-
meter.

(C 1 e b s c h—L i n d e m a n n: Vorlesungen über Geometrie.)
(61).

(C O O 1 i d g e: A Treatise on algebraic plane curves, Oxford
1931). (12).

Zijn a en b de parameters van de gegeven punten A en B,
A die van R, dan moet:

a b 4A.= 0 (mod. co,, w^ ).

Hieruit volgt:

A, = _ 34 (a b) co, met ^^^. /^j = 1, 2, 3, 4.

Dus zijn er 4 X 4 = 16 punten R en er zijn 16 kegelsneden
door A en B, die elders 4-puntig raken.

De 4-de graads ruimtekromme van geslacht 1, heeft dus 16
planaire buigpunten.

Men kan bovendien aantoonen, dat de 16 R-punten met A
en B een bijzondere hgging hebben. Zij liggen namelijk 4 aan 4
op 116 kegelsneden door A en B.

Uit de bovenstaande uitdrukking voor A, volgt nl., dat voor
de som:

a b ^n,

altijd weer een der A's gevonden zal worden, stel k^. Deze
''■k, 1, m, n behoeven dan echter niet noodzakelijk van elkaar

te verschillen. Legt men een K^ door A en B, en drie punten R,
dan zal dus het zesde snijpunt met de Cs weer een R-punt zijn.
Het aantal K2 door A en B, die de Cs in 4 R-punten snijden,
vindt men dus als het aantal herhalingscombinaties 3 aan 3 van
16 elementen, dus:

_____ 18! 18.17.16

r ^ =---=----------------= 816.

3! 15! 1.2.3

Hieronder zijn er echter, die niet aan het gestelde probleem
voldoen. De kegelsneden, die telkens in vier verschillende punten
snijden, R k i m n gt; komen telkens overeen met 4 groepen, nl.
met:

1, m, n.
m, n, k.
n, k, 1.
k, 1, m.

De kegelsneden, die in Rj^^ raken en in Rj en R^ snijden,
komen overeen met drie groepen:

k, k. 1.

k, k, m.
k, 1, m.

De kegelsneden, die in R^ en in Rj raken, komen overeen
met twee groepen:

k, k, 1.
k, 1. 1.

De kegelsneden, die in Rj^ osculeeren, raken daar 4-puntig
en komen overeen met een groep:

k, k. k.

Van de tweede soort zijn er dus 16 X 6 = 96 kegelsneden, van
de derde soort 16 X 3/2 en van de vierde soort 16.

Er zijn dus 816-3.96-2.24-16 _ ^^^ kegelsneden door
A en B en telkens vier verschillende punten R.
Hiermede is dan bewezen de Stelling:

De 16 planaire buigpunten van een 4-de graads ruimtekromme
van geslacht 1 hggen 4 aan 4 in 116 vlakken.

17 Januari 1937.

LITERATUUR*

1.nbsp;B. Riemann. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen
einer veränderlichen complexen Grösse. (Inauguraldissertation).

2.nbsp;B. Riem ann. Theorie der Abelschen Functionen. (Journ. f. M. Bd. 54).

3.nbsp;H. F. B a k e r. On examples of the application of Newton's polygon
to the theory of singular points of algebraic functions. (Transactions
of the Cambridge Philosophical Society, Volume XV).

4.nbsp;H. F. Baker. The practical determination of the deficiency and
adjoint curves for a Riemann-surface (Math. Ann. Bd. 45).

5.nbsp;Cay ley. Quaterly Journal t. 11. pag. 185.

6.nbsp;H. A. S c h w a r z. De superficiebus in planum explicabilibus primorum
Septem ordinum. (J. f. M. Bd. 64).

7.nbsp;S a 1 m o n. A treatise on the higher plane curves.

8.nbsp;Descartes. La géometrie.

9.nbsp;A. Clebsch. Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in
der Geometrie (J. f. M. Bd 63) (1863).

10.nbsp;Hesse en Steiner. (J. f. M. Bd. 49).

11.nbsp;A. Clebsch. Ueber diejenigen Curven, deren Coördinaten sich als
elliptische Functionen eines Parameters darstellen lassen. (J. f. M. Bd. 64).

12.nbsp;J. L. Coolidge. A treatise on algebraic plane curves. Oxford, at
the Clarendon press. (1931).

13.nbsp;O. Schlömilch. Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysis.

14.nbsp;G. H u b e r. Die Conchalen, ihre orthogonalen Trajectoriën und die
Cissoiden 4-ter Ordnung.

(Monatshefte für Mathematik und Physik. Jahrgang 6).

15.nbsp;Brill—Noether. Die Entwicklung der Theorie der algebraischen
Functionen in älterer und neuerer Zeit. (Jahresbericht der Deutschen
Mathematikerverein, Dritter Band, 1894).

16.nbsp;Steiner. Grelles Journal f. M. (Bd. 33).

17.nbsp;A. Clebsch. Ueber einen Satz von Steiner und einige Punkte der
Theorie der Curven dritter Ordnung. (J. f. M. Bd. 63).

18.nbsp;Aronhold (J. f. M. Bd. 61).

19.nbsp;A. Clebsch. Ueber diejenigen Curven, deren Coördinaten sich als
rationale Functionen eines Parameters darstellen lassen. (J. f. M. Bd. 64).

20.nbsp;Abe 1. Mémoires des savants étrangers. t. 7.

21.nbsp;A. Clebsch. Ueber die Singularitäten algebraischer Curven. (J. f.
M. Bd 64).

22.nbsp;CI e b s c h—G o r d a n. Theorie der Abelschen Functionen.

23.nbsp;V/. Es son. On Synthetic Geometry. (Proceedings of the London
Mathematical Society. Vol. XXVIIl).

24—25. Cremona. Sulla trasformazione geometriche delle figure piane.
Nota 1 ed 2 (Mem. di Bologna, Ser. 2 t. II, 1863; Ser. 2 t. V, 1865).

26.nbsp;C a y 1 e y. On the rational transformations between two spaces.
(Proceedings of the London Mathematical Society. Vol. 3. 1869).

27.nbsp;Salmon. Higher Algebra, Lesson 10.

28.nbsp;Klein. Ueber eine neue Art der Riemannschen Flächen. (Math. Ann.
t. VII).

29.nbsp;Klein. Sitzungsberichte der phys. med. Societät zu Erianaen. (Mai
1874).

30.nbsp;Klein. Bemerkungen über den Zusammenhang der Flächen. (Math.
Ann. t. VII. pag. 549).

31.nbsp;Ar on h old. Monatsberichte der Berliner Akademie (1861).

32.nbsp;Jordan. Cours d'Analyse.

33.nbsp;Cremona. Preliminari di una teoria geometrica delle superficie. (Mem.
Acc. Bologna. Ser. 2 t. VI).

34.nbsp;E. Bertini. Giornale di mat. 7. (1869).

35.nbsp;Zeuthen. Nouvelle démonstration de théorèmes sur les séries de
points correspondants sur deux courbes. (Mathematische Annalen t. 3).

36.nbsp;Jonquières. Généralisation de la théorie de l'Involution. (Annali
di Matematica. t. II).

37.nbsp;Chasles. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (1864).

38.nbsp;Cayley. Transactions of the Cambridge philosophical Society, t. II.

39.nbsp;Cremona. Einleitung in die Theorie der ebenen Curven.

40.nbsp;Cayley. Second Memoir on the curves which satisfy given conditions.
(Phil. Transactions of the R. Soc. London, t. CLVIII, 1868).

41.nbsp;Weber. Zur Theorie der Transformationen algebraischer Functionen
(Crelle. J. f. M. Bd. 76).

42.nbsp;L. Bur mes ter. Das bifocal-veränderliche System. (Math Ann
Bd. 16).

43.nbsp;Cayley. Comptes Rendus, t. LXIL

44.nbsp;Cayley. On the correspondence of two points on a curve. (Pro-
ceedings of the London Math. Society t. I, 1866).

45.nbsp;Brill. Ueber Entsprechen von Punktsystemen auf einer Curve. (Math.
Ann. t. 6).

46.nbsp;Brill. Ueber die Correspondenzformel. (Math. Ann. t. 7).

47.nbsp;Brill. Ueber algebraische Korrespondenzen. (Math. Ann. t. 31).

48.nbsp;F. Lin de mann. Crelle J. f. M. (Bd. 84.).

49.nbsp;Noether. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens algebrai.scher
Gebilde. (Math. Ann. Bd. 8).

50.nbsp;Severi—Löf fier. Vorlesungen über algebraische Geometrie.

51.nbsp;Brill und Noether, Ueber die Algebraische Functionen und ihre
Anwendung in die Geometrie. (Math. Ann. Bd. 7).

52.nbsp;E. Schonhardt. Alexander von Brill. (Mathematik. Heft I, 1936).

53.nbsp;Severi. Lezioni di geometria algebrica (1908).

54.nbsp;Severi. Trattato di geometria algebrica (1926).

55.nbsp;F. Enriques. Intorno ai fondamenti della geometria sopra le super-
ficie algebriche. (Torino Atti 37. 1901).

56.nbsp;E. B e r t i n i. Introduzione alla geometria proiettiva degli isperspazi.
(pag. 9).

57.nbsp;Noether. Rationale Ausführung der Operationen. (Math. Ann. 23).

58.nbsp;F. Enriques. Boll, di bibl. e storia delle matematiche. 2, 76, (1899).

59.nbsp;F. Enriques. Torino Atti, 37, 19, (1901).

60.nbsp;Sever,i. Palermo Rendiconti. 17, 82, (1902).

61.nbsp;C1 e b s c h—L i n d e m a n n. Vorlesungen über Geometrie.

ERRATUM.

pag. 85 r. 7 v. o.,

staat: Door een willekeurig punt T gaan 4 raakvlakken aan C'.
lees: Door een willekeurige rechte 1 gaan 4 raakvlakken aan C'.

tm*

Im

STELLINGEN.

I.

Aan het bewijs voor

dmax = H (n-1) (n-2).

zooals dit voorkomt in het artikel „On Synthetic Geometry'
door W. E s s O n, mag geen waarde worden toegekend.

W. ESSON, Proceedings of the London Mathematical Society,
Vol. XXVIII.

II.

De algemeene, analytische oplossing van het probleem:
„de cirkels te bepalen, welke drie gegeven cirkels Ci, C2, C3
snijden onder gegeven hoeken 92. quot;Paquot;, faalt indien de drie
cirkels Ci, C2 en C3 ontaard zijn.

CASEY, A treatise on the analytical Geometry of the point,

line, circle and conic sections, 2d. Ed. (1893).

BARRAU, Analytische'Meetkunde, Deel I, pg. 79 e.v. (1918).

III.

„Das ganz primitive Prinzip, durch Koordinaten x, y, z die
Lage eines Punktes im Räume zu bestimmen ist schon seit den
ältesten Zeiten gebraucht worden.

Rechtwinklige Koordinaten werden auch von A p o 11 o n i u s
in der Lehre von den Kegelschnitten verwendet.quot;

Bovenstaande beweringen kunnen aanleiding geven tot mis-
verstand over het coördinatenbegrip in de oudheid.

A. VOSS, Ueber das Wesen der Mathematik, pg. 12 (Teubner,
1908).

IV.

Het systeem der asymptoten van de orthogonale hyperbolen-
bundel, gegeven door 3 punten A, B, C, valt samen met het
systeem der Simsonrechten van A A B C. en omhult dus een
Hypocycloïde van Steiner.

Voor het construeeren van de 3 Simsonrechten Si, So. S3 door
een punt D van de Feuerbachcirkel N van A ABC heeft
men de volgende voorschriften:

1)nbsp;voor Si: Zij P de productfig. van D t.o.v. H, met factor 2.

R het voetpunt der loodlijn uit P op B C, dan
D R = si.

2)nbsp;voor S2: Trek door N de middellijn L K van de Feuerbach-

cirkel, loodrecht s^, dan zijn D L en D K resp.

S2 en S3.

VI.

Het bewijs van de Stelling van Schwarz:
„Is f (x) continu voor a^ x ^ b en is de gegeneraliseerde
tweede afgeleide voor f (x), À (x) = O voor a lt; x lt; b, dan is
f (x) lineair voor a ^ x ^ bquot;,

volgens W o 1 f f, is te verkiezen boven dat van R o g o s i n s k i.
J. WOLFF, Fouriersche Reihen mit Aufgaben.
W. ROGOSINSKI, Fouriersche Reihen (Samml. G.).

VII.

Afgezien van de geheel andere voorstellingswijze kan men in
de bewijzen van F aber en Wolff van de Stelling van
Osgood eenige verwantschap aanduiden.

F ABER, Sitzungsberichte Bayerischen Akademie der Wissen-
schaften, München 1922.

WOLFF, Sur la représentation conforme; Verslagen Kon. Ak.
van Wetensch., 1930.

VIII.

De beweringen van Karsten:

(k-k,).c.l

(enbsp;_,)

geeft de afwijking van de Wet van L a m b e r t aan. Is de absor-
beerende laag voor doorlaatbaarder dan voor X, dus k gt; k,
dan wordt [ ] gt; 1, d.w.z. Iq te groot. In het omgekeerde geval

k lt; kl, wordt Iq kleinquot;,

zijn aan bedenkingen onderhevig.

P KARSTEN, Bijdrage tot de Colorimetrie in het algemeen, en
de titrimetrische Colorimetrie in het bijzonder. (Diss. Gronin-
gen 1934).

IX.

De onderzoekingen ter bepaling van de optische constanten
van stoffen uit extinctie en stralingsmedngen, aan kolloide op-
lossingen ervan, dienen te worden voortgezet.

H. A. GRIBNAU.

'ß-

•' irquot;: - .

m

i

* t

/

........ ^ .

; -, -

' Inbsp;«

.'■i'f-'

I

t .5 quot;

. jrf .if '

' _ . . , _ . . , _ ______ _______ gt;

mmmm^mmm^

m^mëmw^M