-ocr page 1-

r: ^m

■mm

■ . , \ - - •gt;• -

.'L.'tVi

... ^ .-.i

ft/-» »■ , » ' -

... ''Vf,,/. 'Xnbsp;'-■•v ^ \ ^

-, - •■•V O ■ :■ ' / ' ■

■ ■ ^^ Tnbsp;^

V'. 'quot; - s

IV.

:•¥ M

V ■ t

LN;-: •nbsp;'

-ocr page 2-

Doctrina MJsceü.
Oiiarto. Hquot;, ipZ.

-ocr page 3- -ocr page 4- -ocr page 5-

fi

(ic -

j-y-'''-

•'■.■rïSiS

iilSsamp;STATiO MA'lHeM\lfCÀ ÎNi^mmLtS

. UiaHl i^MM C0¥\ A tu ^ I

-ocr page 6-

m

-J-

I

i

hi

wc

I
li

m

-ocr page 7-

DISSERTATIO MATHEMATICA INAUGURALTS

D E

QUIBUSDAM CÜRYARUM AFFINITATIBUS

-ocr page 8-

-r

! ,

im'

-ocr page 9-

/

DISSERTATIO MATHEMATICA INAüGURALIS

rgt; K

QUIBUSDAM CURVARUM AFFINITATIBUS,

QUAM,

FAVENTE SUMMO NU MINE,

EX AUCTORIÏATE RECTOEIS MAGNIFICI

BE RN AR 1)1 FRAN Cl SCI SUEEMAN,

MED. DOCT. ET PKOP. OKU.

AMPLissiMi SENATUS ACADEMICI consensu

NOBILISSIMAE FACULTATIS MATHESEOS ET PHILOSOPHIAE NATURALIS DECRETO,

SUJTMISQUE IN MATHESI ET PHILOSOPHIA NATUBALI HONORIBUS AC PKIVILEGIIS
In Academia Rheno-Trajectlna

RITE AC LEGITIME CONSEQUENDIS ,
ERUDITOEUM EXAMINI SUBMITTIT

JOHANNES GEEARDUS HENRICHS SWELLENGREBEL,

Rheno-Trajectinns.

AD DIEM VIII. M. JUNII ANNI MDCCCXLVII, HORA II.

TRAJECTI AD RHENUM,

Apud L. E. BOSCH ET FILIUM,

.'Vcademiae Typograplios.
MDCCCXLVII.

-ocr page 10-

iär-

Mrs

Xf ■

amp;

i-

_ h'-/quot;'-

-ocr page 11-

PARENTIBUS OPTIMIS CARISSIMI8

SACRUM.

-ocr page 12-

(.-sS—

itwi

mMi

i.im

-ocr page 13-

OKDINIS CONSPECTUS.

Pag.

Introitus..........................

CAPUT I

De affinitate xx' = 1, yy' == 1. . ............... 3.

CAPUT IT.

De affinitate x - x', yy' = 1.................27.

CAPUT IJI.

De affinitatenbsp;, rr' = 1.................45.

CAPUT IV.

De affinitate f—) f-':^) = 1, (—) f—1......60.

\ B 4- X y V « X /nbsp;' \a - - X J \ a —X J

-ocr page 14-

Tquot;

-ocr page 15-

introïtus.

Ëiineae alicujiis H C G (fig. 1) formam si analytica formula indicare velimus, notutn est, ita hoe
potissimura fieri solere, ut rectas duas fixas fingarnus XX' et YY', quas
coordinatamm axes dici-
mus, distantias autem C D et C E, quibus figurae propositae punctum quodlibet C ab axibus
liisce distet, puncti illius C
abscissam et ordinatam slve ejusdem coordimtas vocemus.
Aequatio jam si proponitur aliqua f (x, y) = o, mutua prodit coordinatarum relatio, h. e, series

prodit pmictorum, quibus linea proposita G C H constat. Coordinatarum vero notio, - ut

raonuit inter alios Drückenmüller, die Uebertragungsprincipien der analytischen Geometrie

pag. 1, - latius special: Variabilia enim si fingamus quaelibet quanta u et v - sive sint

lineae sive anguli sis^e numeri-quaecumque inter variabilia ista proponitur aequatio f (u,v) = o

sive v = F (u), si alteri coordinatae u cunctos deinceps tribuamus valores a, a', aquot;, etc.,
Seriem quamdam profert rerum recte definitarum

u ^ a V = F (a)
u ^ a' V = F Ca')
u = aquot; V = F (aquot;)

quas, Drückenmüllero praeeunte 11. pag. 4, elementa vocemus. Elementum istiusmodi si

punctum lineamve aliamve quamdam indicat rem geometricam, elementorum ista series sive

aequatio proposita f (u,v) = o lineam quamdam indicare solet: cujus rei apud Drückenmül-

1

-ocr page 16-

lerum II. et apud Plückerum C1) exempla occurrunt bene multa. Duo jam eligamus istius-
modi
elementorum genera: u et v, u'et v': eandemcpie functionem f primum horum, deinde
illorum mutuam relationem indicare statuamus : duae ita prodibunt lineae f (u , v) = o et
f (u' v') =0, quae, si elementa u' et v' ex elementis u et v originem ceperint adeoque aequa-
tione quadam
F (u , v , u', v') = o vel duabus aequationibus F (u , v , u', v') = o et
F (u, V , u' , v') = 0 cum illis cohaereant, ipsae quoque erunt secum invicem afiinitate quadam
conjunctae. Ex innumeris istis coordinatarum mutuis relationibus simplicissimam eligamus hancce,
qua constans sit analogarum coordinatarum productum: figuraruin oritur ita affinitas, quam aequa-
tiones repraesentant uu' == A% vv' = B% aliave earumdem alBnitas, aequationibus u = u',
vv' = B^ indicata. Quarum affinitatum posterior, si ponamus B = 1 coordinatasque u et v or-
thogonales esse h. e. u abcissam x, v contra applicatam y denotare statuimus, eadem illa est
relatio x = x', yy' = 1, de qua cl. Verdam egit in Commentariis Institut. Belgici vol. XII.
pag. 67-93. Sin alium statuamus coordinatarum u et v significatum, relatio proposita u = u',
vv' = B^ aliam dénotât figurarum affinitatem, ab affinitate modo memorata x = x', yy' =
1
plane diversa, quod ad mutuam analogarum asymptotarum relationem vel quod ad reliquas
attinet geometricas analogarum figurarum qualitates. At vel sic tamen formidae analyticae

....)== 0, etc.

dv

= 0, nu,V,'quot;

dv

quae coordinatarum relatione proposita u = u', vv' = B=' e figurarum afiinitate x = x',
yy' = B2 gequebantur, intactae in nova afiinitate permanent, sed ut eas alio sensu inter-

pretemur requirunt. Generates igitur figurarum afiinitates propositas - uu' = A^ ,

vv' = B^ et u = u', vv' = B^ - si in una aliqua coordinatarum u et v definitione

consideraverimus, duplicem triplicemque hinc fructum hauriri licebit ea agendi ratione, quam

comniendat PI ticker us, System der anahjtischen Geometrie^ pag. 48: „.....so können

wir auch den Symbolen irgend einer vorliegenden analytischen Beweisführung verschiedene Coor-
dinaten-bedeulmg beilegen^ und erhalten alsdan eben so viele geometrische Sätze.quot;

du'
m?'

Do priore igitur videamus e generahbus afiinilatibus propositis, h. e. de affinitate, quam
aequationes indicant uu' = A', vv' = B\ Quum autem, generalis hujus affmitatis qualitates quid
significent, sit ita maxime perspicuum, si u et v orthogonales designant sive vulgares coordinatas,
aflinitatem nostram ea hypothesi interpretemur, ut u abscissam x , v contra applicatam y denotet.

1nbsp; Analytische Entwickelungen, System der analytischen Geometrie, et alibi.

-ocr page 17-

c A P U T 1.

DE AFFINITATE, QUAE INDICATOR FORMULIS xx' = 1, yy = 1.

Ile hac igilur agamus figurarum analogia, quae universe quidem relationibus indicatur uu' = A%
vv' = B^; quam e nostra, qua hocce capite utimur coordinatarum u et v definitione, aequationibus
quoque indicari xx' = A% yy' = B^ manifestum est.

Primum, quod se nobis affinitatem hancce considerantibus offert, hoc est, mutuam esse inter
coordinatas u et v symmetriam, mutuam item inter coordinatarum systemata u v et u' v' esse
s^Tnmetriam: omnia igitur, quae de coordinata u afferri possint, in coordinatam item v quadrare,

omniaque quae de u, , u , etc.....aUisve coordinatae u functionibus valeant, de

analogis item valere coordinatae v functionibus v , v-^, etc.....modo htteras u et v

secum permutemus ; nec uUam esse caussam, cur coordinatarum u et v systema systemati prae-
staret u' v' : figura enim si sit aliqua f (u , v) = o, e. g. triangulum quoddam P, quae res-
pondentem sibi habeat in systemate u' v' figuram afiquam 0, fore ut in systemate quoque u' v' sit
triangulum P', quod systematis u v figuram quamdam 0', figurae Q similem, respondentem sibi habeat.
Ne igitur supervacaneis iterationibus inutilem operara navemus, ea tantum afferamus, quae alteri
coordinatae u aliisve ejusdem coordinatae functionibus contingunt; omittamus vero illa, quae mutua
litterarum u et v permutatione inde sequuntur: ejusdem brevitatis caussa figuris tantummodo
f (u, v) = 0 systematis u v quaeramus analogas alterius systematis figuras f (u' v') = o;

-ocr page 18-

quae vero sint systematis u v figurae, quae systematis u' v' figuris propositis respondeant,
inquirere omittamus.

Aequationes, quibus affinitas de qua agitur indicatur, uu' = vv' = B% e nostra coordinatarum
u et
V defmitione banc nos docet inter respondentes sibi quaslibet figuras P et Q esse analogiam,
ut inter abscissam u sive x puncti cujuslibet C, in priore figura siti, interque abscissam u' analogi
analogae figurae puncti C, sit linea quaedam media proportionialis, cui longitude contingat A,
h. e. quae A longiludinis unitates contineat. Jam vero, quum longitudinis unitas sit arbitraria, ipsa
ista linea media proportioniali unitatem longitudinis repraesentari statuamus : qua suppositione
aequatio nostra simpliciorem induit formam hancce uu' 1. Defmita autem ita longitudinis unitate,
non jam arbitraria erit longitudo lineae B, inter analogas analogarum figurarum applicatas v et v'
mediae proportionalis; brevitatis tamen caussa statuamus, esse B quoque = 1, modo attendamus,
affinitatem nostram ita fieri minus generalem, multaque igitur, quae in afiinitate ita oriente

uu' = 1, vv' = 1 valent - iUa e. g. quae ad affinitatem xx' = 1, yy' = 1

aequationibus inter polares coordinatas r et (p exprimandam spectant-in generali unde exiimus

affinitate uu' = A% vv' = B^ non ampHus obtinere.

Ex aequationibus fundamentalibus, quae mutuam ipsarum coordinatarum relationem indicant

vv' = 1

(1)

uu'

aliae sequuntur inter coordinatarum producta vel quotientia aequationes

(2)
(3)

uv

v

u

quarum e nostra coordinatarum u et v definitione hic erit sensus: m sive xy abscissae C D appli-
cataeque C E productum indicat, h. e. superficiem rectanguli 0 D C E, quod puncti cujuslibet
coordinatae C D et C E axium XX' et YY' ope includunt; quotiens autemsive
-J- tangentem
repraesentat anguU COX, quem puncti cujusHbet C radius vector 0 C cum semiaxe 0 X facit.
Aequatio (2) igitur, superficiei unitatem inter analoga utriusque figurae rectangula 0 D C E et
0' C' D' E' mediam esse proportionalem nos docet; aequatio (3) autem nos monet, analogos
quoque analogorum punctorum radios vectores 0 C et 0' C oppositis regionibus jacere, tan-
gentem enim angufi COX esse cotangentem anguli C 0' X', angulumque adeo COX alterius
anguli esse complementum 90quot; — C 0' X'.

-ocr page 19-

Ex his jam aequationibus (1—3) apparet, saepius fieri, nt primitivae aliciii figurae
analogam facillime invenire possis. Sequitur enim inde, fore ut

r,' _ ^ \

I

m

agt;
•g

m

g

e

0

1

S
^

o

V

v

u'
v'

m

v' = '/b (5)

= 0

= OD

1

— 1

1

•/c ) (6)

(designantibus a, b, c quanta quaelibet finita). Primitivae jam aequatio alterutra coordinata
careat: aequationes (4) et (5) nos docent, analogam huic respondere figuram, cujus
aequatio eadem coordinata careat: cujus rei e nostra coordinatarum definitione hie erit sensus :
si primitivae sit recta aliqua x = a vel y = b, alterutri axium YY' vel XX' parallela,
fore ut analoga quoque sit recta, eidem axi paraUela: ipsi igitur axi x = o vel y = o
terminum respondere x' =
ao vel y' = go, quo pervenire sludet recta, axi YY' vel axi XX'
parallela, ab eodem autem infmite recedens. Aequationes contra (6) nos docent: si primitivae
istiusmodi contigerit aequatio, in qua conslans sit coordinatarum quotiens, analogam respondere,
cui idem contingat: quod pro nostra coordinatarum u et v definiendarum ratione hue redit: cuilibet
rectae, coordinatarum initium 0 pervadenti, aliam respondere ex alfinitate nostra rectam, punctum
0 ipsam quoque transeuntem: modo excipias ipsas rectas XX'et YY', quae non erunt sibi analogae:
de mutua enim serierum = o et = co analogia infra videbimus. Ex his igitur patet,
sex esse rectas in systemate u v sive x y, quae, si analogas iis quaeras alterius systematis
figuras, intactae maneant:

u =

u = —

u == CO
u' = Va
u' = 0

V' = GO

u

=

0

u

=

a

m
C3

-a

CO

u

=

GO

V

=

0

s

V

=

b

s

O
§

s

lt;xgt;

V

v

u

=

GO
0

v

u

=

c

v

u

=

CO 1

§

O)
'S

a
o

£

V =

V = - 1
1

-ocr page 20-

quarum duae, quas poslremo loco nominavi, e nostra coordinatarum u et v definiendarum ratione
rectas indicant GK et FL (fig-. 2) sive x = yetx y= o, coordinatarum initium 0 ita trans-
euntes, ut cum utroque axe angulum faciant 45 graduum: quatuor contra priores nostro loco rectas
axibus parallelas indicant GL, FK, FG, KL (fig. 2).

Hanc tamen analogiam, qua unaquaque e sex istis redis ipsa sibi sit analoga, cave ne ita
intelligas, ut earum unumquodque pimctum ipsum sibi respondere statuas: de punctorum enim
sive elementorum analogia afiter se res habet. Vidimus enim

u'

=

CO

v'

= GO

u'

GO

v'

= '/b

o
u

O

u'

GO

v'

= 0

'O

a

O
Oh

u'

=

Va

v'

= CO

m

t-l

u'

=

Va

v'

= Vb

a

s

u'

=

Va

v'

= 0

s

'S

u'

=

0

v'

= GO

u'

=

0

v'

= Vb

u'

0

v'

= 0

Vnbsp;=nbsp;0

Vnbsp;=nbsp;b

Vnbsp;=nbsp;CD

Vnbsp;=nbsp;0

Vnbsp;=nbsp;b

Vnbsp;=nbsp;CO

Vnbsp;=nbsp;0

Vnbsp;=nbsp;b

Vnbsp;==nbsp;GO

Unbsp;0

Unbsp;=nbsp;0

Unbsp;=nbsp;0

unbsp;a

unbsp;==nbsp;a

unbsp;=nbsp;a

Unbsp;=nbsp;GO

unbsp;==nbsp;GO

unbsp;=nbsp;GO

§
i

CSD

(designantibus a et b quanta quaelibet finita).

Unde patet, elemento primitivae figurae, cujus utraque coordinata sit finita, h. e. puncto primi-
tivae, quod ab utroque axium XX' et YY' finite distet, alterius figurae respondere elementuni
sive punctum, cui idem contingat: sin non fuerint ambae primitivi elementi coordinatae finitae,
neque fore analogi elementi coordinatas finitas: puncto enim, in alterutro axium XX' vel Y Y' sito,
punctum respondere, quod ab eodem axe infinite distet: elemento u = o v = co , h. e. limiti,
quo pervenire studeat punctum, rectam YY' baud deserens, a recta contra XX' infinite recedens,
limitera respondere, quo tendat punctum, in recta XX' manens, ab altero autem axe infinite
recedens: ipsi denique coordinatarum initio 0 metam respondere, quo tendat puncti cujusdam
infmita ab utroque axe recessio. Inter cuncta igitur primitivae figurae puncta quatuor tantum
erunt, quae, si ad analogam figuram trangrediaris, ipsa sibi respondeant: puncta videlicet F, G,
K, L (flg. 2) sive

u= l v= l

u = 1 v == — 1

u = - 1 V = 1

u = — 1 V = — 1

-ocr page 21-

Quam igitur sex utriusque figurae reclis supra vidimus contingere secum ipsis analogiam, ita
intelligendam esse apparet, ut, si in rectarum (7) una alterave punctum eligas, quod ad puncta (9)
non referendum sit, aliud ei ex afTmitate nostra respondeat ejusdem rectae punctum.

Ex hacce elementorum analogia apparet jam, quid sibi velit mutua serierum o et = co
analogia, de qua supra sermo erat. Attendamus enim, Seriem ^ = summam indicare cuncto-
rum elementorum, quorum coordinata v coordinatam u infinities magnitudine superet: coordinatae
igitur
V si cunctos deinceps inde ab o usque ad oo tribuamus valores finitos, u semper erit = o:
sin valorem coordinatae v tribuamus infinitum, fieri potest, ut sit u finita vel etiam infinita,
modo infmita ejus magnitudo infinities ab alterius coordinatae valore superetur. Elementorum
igitur series =
od e nostra coordinatarum u et v definiendarum ratione haecce indicabit puncta:
punctum primum 0; reliqua porro axis YY' puncta; puncta deinde, quorum distantia est ab

axe illo fmita, ab altero contra axe infinita - cujusmodi puncta contingunt figuris, quibus

est asyraptota aliqua x = a, axi YY' parallela- puncta deinceps, quorum distantia est ab

axe YY' infinita, ab altero axe infinities major - cujusmodi sunt puncta D et E (fig. 3),

parabolam y = ax^ baud deserentia, a recta autem YY' infinite recedentia. Series item ~ = o
-quatuor constabit punctorum generibus. Mutua jam serierum — = o et =
cd analogia ita erit
intelligenda, ut unuraquodqiie ex alterius seriei elementis isto respondeat alterius seriei elemento,
quod ei ex aequationibus fundamentalibus (1) respondere oporteat: ipsum igitur coordinatarum initium

Tnbsp;V'

0 sive primiun e quatuor seriei — = co punctorum generibus quarto seriei — = o respondebit
punctorum generi, b. e. punctis istis, qualia in parabola x' = ayoccurrunt; secundum deinde
seriei — = co punctorum genus, b. e. puncta rectae YY', finite ab 0 distantia, tertio respon-
debit e seriei == o punctorum generibus, b. e. punctis, quibus sit y' finita, x' infinita.

Ex aequationibus porro fundamentalibus (1) haec sequitur inter analogorum elementorum signa
vel — concordia:

(10)

u

gt;

0

v

gt;

0

05

® -S

-a a

s o

u'

gt;

0

v'

gt;

0

1

u

gt;

0

v

lt;

0

u'

gt;

0

v'

lt;

0

a

o

u

lt;

0

v

gt;

0

o a

p- g

o Oi

lt;

0

v'

gt;

0

u

lt;

0

v

lt;

0

1 u'

lt;

0

v'

lt;

0

quae, si coordinatas u et v solita ratione orthogonales esse statuimus, nos docet ; puncto pri-
mitivae, quod in uno alterove quatuor quadrantium XOY, X'OY, X'OY', XOY' (fig. 1)

-ocr page 22-

situm sit, punclum respondere analogae figurae, in eodem quadrante situm. Ex iïsdem aequa-
lionibus (1) sequitur praeterea

u' = -L lt; V' = -i

u ^nbsp;v

u' = i- gt; V' = -i-

U gt; V
U lt; V

fore

prout sit

(11)

modo earn intelligamus alterius coordinatae prae altera praestantiam, quae ad magnitudinem tantuni
spectat, signi ± non ratione habita, h. e. utu = — 5gt;u = —3 dicamus: quibus aequationi-
l)us analogia, quam inter analogorum punctorum situm nostra in aßinitate exstare modo videbamus,
ita accuratius definitur, ut puncto primitivae, in octante X O G vel Y O G sito (fig. 2), punctum
respondere analogae docemur, quod in octante jaceat Y O G vel X O G, ac reliquorum item
quadrantium octantia sibi esse simili modo quoad punctorum situm opposita.

Sequitur tandem ex iisdem aequationibus (1)

minuatur

fore ul u' vel v'

(110

prout

augeatur

j augeatur u vel v
j minuatur u vel v

quod nostra e coordinatarum u et v interpretatione nos docet: si primitivae sit pars aliqua, quae
aximn alterutrum accedat vel ab eodem recedat, analogam contra analogae figurae partem ab eodem
illo axe recedere vel eundem appropinquare.

Ex analogia autem isla, quam ex afïïnitate nostra inter utriuscpie figurae elementa elementorumve
series exstare aequationes (4 — 10) nos docent, elficitur, ut nonnullas possimus enunciare analogae
figurae proprietates, quae notis ignotae alicujus primitivae qualitatibus respondeant. Ipsa enim
primitiva si sit nobis ignota, at si illani elemento gaudere quodam u = a, v = b, h. e. punctum
quoddam Iransire x = a, y = b cognitum habeamus, facile apparet, requiri, ut analogum analogae
figurae elementum contingat, h. e. ut analogum punctum analoga transeat. Ex aequationibus igitur
(4 — 10) haec sequitur inter analogarum proprietates analogia: Quoties primitiva punctorum
F, G, K, L., (fig. 2) unum alterumve transit, toties idem punctum transit analoga. (1) Quoties
rectarum GL, FK, FG, KL, GK, FL (fig. 2) unam alteramve primitiva tangit vel secat, toties
eandem rectam offendit analoga. Quot sunt in primitiva asymptotae, alterutri axium XX' vel YY'
parallelae, toties alterum axem offendit analoga (f). Quot primitiva gaudet asymptotis, neutri

1nbsp; Exemplum praebct punctum L (fig. 5).

(t) Asymptotae e. g. F G (fig. 5 et 6), DE (fig. 7 et 8) respondent alterius figurae cum recta XX' intersectionibus
A (fig. 5 et 6), A (fig. 7), A (fig. 8). Binae autcm asymptotae x=: oo etx = — «gt; (fig. 3) y«1 duplex asymptota
X = CO (fig. 8) duplici analogae figurae cum axe XX'intersectioni, h. e. ejusdem in O tactioni (fig. 3 et 8) respondet.
Asymptota tandem x o (fig. 4) respondet alterius figurae asymptotae y = o (fig. 4.)

-ocr page 23-

axium parallelis, toties analoga punctum O transit, neutri axium parallela At non possis
vicissira affirraare, si primitiva alterutrum axem secet, asymptotam fore in analoga, alteri axi para-
lallelam, sed hoe tantum e punctorura analogia supra investigata sequitur, fore ut analoga ab altero
axe fmite, ab altera infinite distet: sitne vero ei asymptota necne, ab analogae in puncto isto infinite
distanti directione pendet; quae quomodo cum primitivae directione cohaereat, infra videbimus.

Fundamentales autem affinitatis nostrae aequationes (1) quum sint quod ad singulas coordinatas
primi gradus, afiinitatem nostram ejusmodi esse apparet, ut uni cuifibet primitivae puncto unum
tantum ex aflinitate nostra respondeat punctum analogae. Attendendum tamen, si duo sint pri-
mitivae puncta x = a,y = b etx = a, y=b c, quae, mutuamque a se invicem dislantiam c,
suamque ab axe YY' distantiam a intactam servantia, ab axe XX' infinite recedant, tandem fore,

ut utrumque punctum coordinatis indicetur x = a, y = go , atque utrique adeo puncto-ut

aequationes (8) nos docent -punctum respondeat x' = '/a? y' = o, in recta XX' situm.

Unde patat, uni alicui primitivae puncto, prout vel ab utroque axe fmite distet, vel in alterutro
axe situm sit, vel tandem ipsum occupet coordinatarum initium O, vel unum tantummodo respon-
dere ex aflinitate nostra punctum analogum, vel infiuitam punctorum multitudinem, vel multilu-
dinem tandem punctorum infinities eliam majorem sive ut ita dicam bis infmitam.

Ex Iiis autem, quae de respondentium sibi punctorum analogorum numero reperimus, sequitur,
nou semper posse, si primitivae sit alicubi punctum duplex, alfirmari, ejusdem singularitatis pun-
ctum in analoga quoque reperiri. Primitivae enim figurae f (u , v) = o sive v = F (u) statua-
mus, ob dupficem functionis F naturam, duos esse ramos sive duas elementoriim sive punctorum
series: quarum utriusque istud eligamus elementiun, cui coordinata contingat u = a, h. e. istud
punctum, quod in recta x = a situm sit: duo ita oriuntur elementa

u = a V = F, (a) = b
u = a
v = F, (a) = b 0
Lineae jam nostrae hanc contingere formam statuamus sive functionis F banc esse naturam, ut,
ubi coordinata u continua auctione vel deminutione ad certum tandem aliquem pervenerit valorem
u = a d = e, in alterius contra coordinatae valore evanescat functionis F duplicitas, qumn
discrinien F, (e) — F2 (e) sit = 0 vel saltem == w h. e. infinite parvum. Facile jam palet, inter
analogos quoque quos coordinata v' nanciscatur valores v' = et v' nullum fore vel

-ocr page 24-

infinite parvuni discrimen, nisi sit F, (e) = o : hoc enim si fiat, apparet duplici primitivae
elemento

u = e v = F,(e) = 0
u = e V = F, (e) w ==

= cc

u

r, (ej 0) F, (e)

designante h quantum quoddam finitae magnitudinis, nisi u quantum indicare velis e secundo
ordine parvum, quo casu erit h infinite parviun Quae si pro nostra coordinatarum u et v de-
finiendarum ratione interpretamur, vidimus, si in primitiva duplex triplexve aliudve fuerit punctum
multiplex, ab utroque axium XX et YY' finite distans, analogum requiri in analoga figura
punctum ejusdem singularitatis; sin in alterutro axe situm fuerit punctum multiplex, accuratiorem
investigationem requiri, analogumne respondeat ei punctum multiplex, an vero duo pluresve
analogae rami, qui, finitam mutuam a se invicem distantiam servantes, infinite ab eodera axe
recesserint: quin fieri solere, si in ipso coordinatarum initio 0 fuerit duplex primitivae punctum,
ut analogi respondeant ei analogae rami, qui in infinitum exeant, quorumque adeo infinita sit a
se invicem distantia.

Primitivae jam f (u , v) = o sive u = (v) sive v = F (u) statuamus esse aficubi
elementum quoddam u = a, v = b, ipsum quidem reale, Cquot;quot;) sed iraaginariis undique elementis
circumdatum; h. e. si coordinatae u realem tribuamus valorem u = a, realis prodat alterius
coordinatae valor v = F (a) = b; sin alterutri coordinatae valorem tribuamus, valore a vel b minima
qualibet quantitate w majorem vel minorem, imaginarium altera coordinata nanciscatur valorem

V ^ F (a ± w) vel u == F (b ± co);-cujusmodi elementum, e nostro quo hocce capite utimur

coordinatarum u et v significatu, nos docet, primitivae esse ibi punctum quod per se stet sive a

reliquis sit separatum (un point isolé) -; vel primitivae elementum istud u = a, v = b ita se

haliere statuamus, ut, si alterutri coordinatae, e.g. v, tribuamus valorem v = b vel v gt; b, altera
coordinata u realis sit unumque tantummodo habeat valorem, sin esse v lt; b ponamus, altera

coordinata imaginaria evadat - quod in nostro coordinatarum u et v systemate nos docet,

1

V =

u =

(c)

1

respondere

(12)

v' =

h

ramum aliquem primitivae subito subsistere sen esse ibi ut ita dicam punctum interstitionis (un point
d'arrêt) —- Facile patet, prout horum unum alterumve in primitiva locum habuerit, requiri ut idem

-ocr page 25-

se nobis in analoga offeral. Unde apparel, si primitivae fuerit alicubi punctiim a reliquis separatum
pmictumve interstitionis^ universe quidem analogum requiri in analoga figura punctum ejusdem
singularitatis. Quum tamen puncto, in alterutro axium sito, innumera supra vidimus respondere
analogae figurae puncta, facile patet, si primitiva duobus constiterit finitae magnitudinis ramis,
({uorum alter infmite a puncto 0 recesserit, ramum istum in analogae figurae uno indicari puncto
a reliquis separata ipsumque punctmn 0 occupante; similemque esse mutuae punctorum interstitionis
Mialogiae adliibendam restrictionem: primitivae enim si in alterutro axe fuerit punctum interstiiionis,
mubiguimi relinqui, analogaene ejusdem singidaritatis punctum contingat an vero ramus in infinitum
exiens, h. e. qui asymptota gaudeat eidem axi perpendiculari nec lamen ab altera as^mptotae
parte regrediatur.

Primitiva igitur figura si sit nobis ignota, eorum tamen ope, quae liucusque attulimus, notae
alicui ignotae figurae proprietati analogam possumus analogae invenire proprietatem, inodo pro-
prietates istae ab ipsis coordinatis vel a finitis earundem functionibus pendeant, h. e. ad punctorum
situm
definiendum valeant. Ouod non valet de figurarum directione aliave qualitate, quae a
dilFerentiali coordinatarum functione pendet; non enim posse mutuam asymptotarum analogiam ex
ils quae liucusque attulimus accurate investigari, supra jam vidimus. Quare videamus, quaenam
ex aequationibus aßimtati nostrae fundamentalilras (1) sequantur relationes inter differentiales coor-
dinatarum u et
v functiones ordinis primi :

dv'

dZquot;

dv

ä(l\

= =nbsp;= (ii-Y (13)

^^ /_1_\nbsp;dunbsp;~ Vv/ du ^

\ u /nbsp;TT^quot;quot;

= flWl^ = - — (14)

dunbsp;Vu;nbsp;du/nbsp;V du

1nbsp;— ~ quot; ^ ^ 1 _ iL JL =nbsp;(15)

1 — — ^ —nbsp;Vnbsp;V du

\

V du

V ^ = (t) e = ^ ^ =

du

i-T

, d^ __ /lii ^ ^ il ^ hz_ (17)

^ dir ~ \v/ Vv' du Jnbsp;V» dunbsp;du

-ocr page 26-

Videamus primum de aequatione (13). Quae nos docet, non posse, definita functione diffe-
rentiali — = a, non definitis contra coordinatis u et v, analogam inveniri alterius figurae

du

functionem differentialem , nisi ipsius primitivae f (u, v) = o cognitam habeamus naturam;
({uotientem enim et a ^ et a pendere; h. e., si coordinatas u et v solita ratione in-
terpretemur, non posse, si ignotae primitivae figurae directionera definiamus, situm haud defi-
niamus, analogam reperiri analogae directionera, siquidem haecce ab angulo pendeat CBX (fig. 1),

dy'

quem in analoga figura tangentialis recta cum axe XX' facit, hujus autem anguli tangens =

dv'

tam ab analogi anguli CBX tangente ^pendeat, quam a tangente ^ anguli COB, quem radius
vector cura semiaxe OX facit. Mutuam igitur differentialium funclionura et ^ analo-
giam investigare siveliraus, ipsas coordinatas u et v earumve saltern quotientera definiamus aliqua-
tenus oportet:

finitum, —— = o

/-11-1

dv'

quot;dZ

dv'

d^

dv'

dv

IhT

dv

quot;diT

dy

V

u

V

u

V

u

= 0
finitum

== QO

finitura

(18)

erit

sit igitur

= GD

Cujus rei, si ipsas quoque coordinatas u et v finitas esse statuamus, liic erit in orthogonalium coordi-
natarum systemate significatus: si primitiva alicubi finite ab utroque axe distarit processeritque ibi
directione, vel axi XX' vel axi contra YY' vel neutri tandem axi parallela, fore ut ex his tribus
id ipsum liceat de analogae directione affirmari, quod in primitiva locum habuerit. Coordinatas
contra u et v si statuamus esse = o vel infinite saltera parvas, aequationes (18) nos docent,
eandem inter priraitivae analogaeque direcliones subsistere analogiara, vel si primitiva ipsum transeat
coordinatarum initiura vel infinite parva ab eo distet distantia, raodo sit ibi finitura, h. e. modo
primitivara statuamus vel ambos secare axes, punctumque adeo 0 obfiquo sub angulo transire, vel

neutrum secare axem -quemadmodura in infinite parvis Ulis fieri solet circum punctum 0 gyris,

quibus punctum istud tanquam punctum asymptotum nonnullae figurae circumvolvuntur. Quotientera
— jam ita defmiaraus,

= OD vel finitum
== 00 vel finitum

dv'

quot;dZ

dv'

quot;dZ

GO

= 0

du
dv

(19)

erit

ut sit

= GO

du

quorum sensus, si u et v finitas esse statuamus, e nostra coordinatarum u et v definitione hucredit:
si primitiva, finita a puncto 0 distantia, alterutrum axiura XX' vel YY' perpendiculari vel obliquo

-ocr page 27-

secaverit angulo, fore ut analogae figurae asymptota contingat, eidem axi perpendicularis. Unde
ambiguitas, quae de asymptotis alterutri axium parallelis supra (pag. 9) se nobis obtidit, partim
tollitur: restât tarnen etiamnum quaedam ambiguitas: quotientem enim ita definiamus,

dv'
du'
dv'
du'

dv

quot;diT

dv

quot;diT

O X œ

0 X go

O
go

0

go

(20)

erit

ut sit

quare, si inquirere velimus, sitne infinitum an finitum an vero infinite parvum, functionis
iL nova denuo differentiatie aliave accuratior investigatio requiritur; unde, si solitum coor-

\ V / du

dinatis u et v significatum tribuimus, sequitur, si primitiva axium XX' vel YY' alterutrum tangat,
ambiguam fore analogam analogae directionem, neque adeo posse, nisi accuratiore investigatione
instituta, dirimiquaestionem, contingatne analogae asymptota necne: vicissim, si recta aliqua x = a
vel y = b, alterutri axium parallela, primitivae fuerit asymptota, ambiguum esse, quaenam sit
analogae directio, alterumne axem illa tangat an vero secet.
Ad aequationem (13) jam redeamus: unde haec sequuntur:

dv'

si velimus esse

du'
dv'

du
du

requiri ut sit

du'

dv

• UÎ dv N /dv\ _

v^ du/\du/ Vv du

dv

== 1 vel — 1, nisi sit = o vel go (21)

'nbsp;'du

1 (22)

quorum in ortbogonalimii coordinatarum systemate bic erit sensus: Aequatio (21) nos docet, fieri non
posse, ut prüïiitivae alicubi directio sit analogae in analogo puncto directioni parallela, nee tamen
alterutri axium parallela, nisi in iis punctis, ubi sit = -f- 1 vel ~ = — 1, b. e. ubi rectarum
GK vel FL (fig. 2) alterutram figurae offendant, Aequalio autem (22) nos docet, fieri non
posse, ut primitiva alicubi, neutri axium parallela procedens, sit analogae in analogo puncto
perpendicularis, quum boe requiratur, ut ^ imaginarium valorem
V — 1 nanciscatur ipsaque
adeo primitiva fiat imaginaria.

Primitivam jam figuram f (u,v) = o sive v = F (u) ad figuras complexas quas
dicunt pertinere statuamus, b. e. duobus constare ramis: functionem enim F, si imum coordi-
natae u tribuamus valorem, duos alteri coordinatae praebere valores v = F, (u) et v = Fj (u):
unde plerumque sequitur, differentialem item functionem ^ =nbsp;= F (u) duplicem nâncisci,

si unum tantummodo u nanciscitur, valorem ; coordinata jam u ubi continua auctione vel deminutione

-ocr page 28-

b ^ = F(a) = c

u = a V = F, (a)

respon-
debit

(23)

ad cerium aliquem pervenerit valorem u = a, utriusque funclionis, et F et F, evanescere ibi
duplicem naturam statuamus, quum sint discrimina Fj (a) — F^ (a) et Fj (a) — F^ (a) nulla
vel saltern infinite parva. Dupfici istiusmodi primitivae elemento

dv

u = a V = F, (a) = b - = F (a) = c

quod e nostro coordinatarum u et v significatu nos docet: si duo in primitiva figura se tetigerint
alicubi rami, analogam in analoga figura respondere duorum ramorum mutuam tactionem. Quae
tamen tactionum analogia quominus semper obtineat, baec obstant: Primum enim aequationes (12)
nos docuere, duplici puncto, in alterutro axe sito punctumve 0 occupant!, vel posse analogum
punctum ejusdem singularitatis vel duos respondere in analoga figura ramos, quorum finita sit a se
invicem distantia: quod si in nostrum locum transferatur, nos docet, tactionis puncto, quod hanc
ob caussam in primitivae oriatur, quod duo ejus rami eodem obliquo sub angulo punctum 0 trans-
eant, vel posse analogam respondere tactionem vel contra duos analogae ramos, in infinitum
excurrentes, quibus parallelae quidem sint, at finite a se invicem distantes asymptolae. Deinde
vero aequationes (20), non posse interdum analogae directionem nisi difierentialium functionum
secundi ordinis ratione habita reperiri, nos docent: unde patet, si recta quaedam, alterutri axium
parallcla, duobus simul fuerit primitivae ramis asyuiptota, tactionisque punctum ita in primitiva
oriatur, baud constare, analogine rami in altero axe axemque ilium seque invicem tangant, an
vero haec sit alterius rami, iUa alterius, diversa tandem ab ambabus ipsius axis directio. Ex his
tandeni apparet, si idem axis a duol)us primitivae ramis eodem puncto tangatur, duphcem esse
caussam, cur non semper analogum respondeat in analoga figura punctum tactionis : et enim posse
duos respondere ramos, quorum finita sit a se invicem distantia, nec opus esse, ut sint rami isti
sibi paralleli, sed diversam esse posse utriusque directionem. Cquot;)

Quum autem ctispis sive punctum flexus contrarii sive punctum regressionis (un point de
rebroussemout) e tactionis puncto ita ortum esse fingi possit, ut uterque ramus in ipso tactionis

puncto subito imaginarius factus sit - quum porro simili ratione mticro (un point saillant)

tamquam dimidia duplicis puncti pars considerari possit, facile jam erit nobis mutuam mspidnm
mutuamve nimromm investigare analogiam, modo illa, quae de mutua pvmctorum interstitionis

y (*) Tactionis c. g. puncto quod cissoidi (fig. 8) hanc ob caussam oritur, quod axem XX' in ipso puncto O duo
tangant rami, duo respondent alterius figurae rami AT et A G (fig. 8) qui et infinite a se invicem distant et opposita
procedunt directione.

-ocr page 29-

(poiiils d'arrêt) analogia supra vidimus, iis adjungamus, quae de niulua tactionum de mutuaque
duplicium punctorum analogia se nobis modo obtulerunt; unde apparebit, si singularia nostra puncta
finite ab utroque axe distarint, analoga iis respondere ejusdem singidaritatis pmicta in analoga;
sin minus, accuratiorem rei investigationem requiri. 09

Ex aequatione (13) igitur sequi vidimus bene multa. Ex eadem haec quoque sequuntur; quum
factor ^^ sit cpiotientis ^ quadratum adeoque sit semper affirmativum, nisi imaginarium considérés

punctum, fore ut,

dv'

lh7

dv'

dZ

dv

IhT

dv

quot;cuT

gt; 0
lt; 0

gt; 0
lt; 0

(24)

sit item

prout sit

dv

Quotientem autem esse affirmativum, in orthogonalium coordinatarum systemate hoc sibi
vult: figurae tangentem, si directione intacta loco removeatur, donee punctum 0 transeat,
in primum tertiumque perventuram esse coordinatarum quadrantem, h. e. hac procedere
/

—; negativus contra quotientis ~ valor hujusmodi indicat tangentis cursum

directione

Docet igitur conditio (24) : prout primitivae tangens parallela e loco suo remotione vel in
primum tertiumque possit vel in secundum quartumque pervenire coordinatarum quadrantem, idem
de analoga alterius figurae tangenti esse dicendum.

\

\

O

\

\

O

/

/

Quotientis jam - signum vel — in oppositum abire alicubi signum slatuamus: quod -
- mutationem subito subeat infinities majorem quam in conlinua curva fieri oportebat, h. e.

du

similem subeat signi mutationem: prout enim ^ transeat
per ±
0 a gt; 0 in lt; o
—---a lt; 0 in gt; 0

a lt; 0 in gt; 0

■ nisi

nisi mucronem (un point saillant) ibi fuisse statuas, -ut quotientis ^ valor per ± o vel ± oc

dv'

transeat, requirit. Aequationes jam (24) nos monent, seqm inde, ut quotiens quoque-^

dv
(hi

per ± 0 a gt; 0 in lt; o

fore ut

dv'

per ± 00 a gt; 0 in lt; 0
---a lt; 0 ill lt; 0

transeat

per =t GO a gt; 0 in lt; o
-----a lt;
0 in gt; 0

du'

(25)

-ocr page 30-

quae, si coordinatas u et v solita ratione interpretamur, nos docent : prout primitiva alicubi
sinum conficiat, axiura XX vel YY' alterutrum vel in alterara contra partem spectantera, fore
ut analoga analogum conficiat sinum, ab eodem axe recedentera veleundera contra axem spectantera.

Aequalionera istam (13) jam mittamus, ac de reliquis aequationura (13-17) videamus. Quod
igitur primum ad aequationem (14) attinet

dv'

quot;dZ

u dv
V du

(14)

hujus in orthogonalium coordinatarum systemate hie erit sensus : in quolibet primitivae figurae
puncto C (fig. 1) cotangentem = anguli COB , quera radius vector CO cura semiaxe OX
facit, si cum tangente = anguU CBX, quem recta tangentialis ACB ciun eodem semiaxe

OX facit, multiplicatur, productum proferre — , quod, si ad analogum analogae figurae

punctum transeas, intactura maneat. Productum autem istudnbsp;esse alicubi positivum, in-

dicio est, quotientia et in puncto de quo agitur de signo ± secum convenire, fineamque
adeo propositam ea procedere in puncto isto directione, ut ambos simul axes XX' et YY'

appetat vel ab ambis simul recedat, sicut haec nos figura ostendit
aequatione (14) sequitur

\

/

0

/

\

Quod igitur ex

gt; 0
lt; 0

gt; 0
lt; 0

pnbsp;u' dv'

fore — —^

\ du

(26)

sit

prout

dv

si cum aequatione (11^ conferatur, certiores nos facit, affmitatera nostrara esse ejusmodi, ut,
si primitiva alicubi ambos axes appetat, analoga contra ab ambis sit in analogo puncto recessura; sin
primitiva ab ambis recedat,analoga ambos sit appropinquatura; sin primitiva alterum axem appetat,ab
altero recedat, analogam fore functionibus et de signo ± discordiam, analogamque adeo
quoque figuram alterum axem esse appetituram, ab altero recessurara, sicut in hocce figura

. Sit jam productum istud ~ £ alicubi = ~ 1 : in analogo alterius figurae puncto

1. Quod nostro loco ita erit interpretandum : si fuerit alicubi in

requirilur ut sit ~ —

'■nbsp;v du'

primitiva-^ — li- COB = 180quot; — CBX = CBO, (fig. l)h. e. si aequicrurium fuerit
triangulum COB, quod rectaque tangentialis ACB radiusque vector 0 C cum axe faciat XX',
aequicrurium itera fore, quod siraili modo in analogo alterius figurae puncto oriatur triangulum.

Sit contra productumnbsp;== 1, h. e. - si ad coordinatas x et y transgrediamur,

sit ^ ^ == 1 give = sive COB = CBX 180° - CBO : h. e. recta tan-

y dxnbsp;'nbsp;Xnbsp;dx

fit

/

\

0

\

/

-ocr page 31-

gentialis cum radio veclore congruat vel saltem sit ei parallela : unde sequitur, si sint x et y
finita, rectam tangentialem transire coordinatarum initium 0, sin sint x et y infinite parva, punctum O
non esse figurae punctum ut dicitur asymptotum, sed contra a figura transiri, sin sint tandem
x et y infinita, asymptotam figurae contingere, rectas XX' et YY' in puncto 0 afiisve in quibus-
libet punctis secantem. Ad analogum jam analogae figurae punctum si transimus, erit ibi quoque
= -I- 1 : quam aequationem eadem ratione interpretari licebit, atque in aequatione 7 1
modo fecimus. Unde apparet, affinitatem nostram esse ejusmodi, ut baec sit inter utriusque figurae
proprietates analogia: Quoties primitiva finite ab utroque axe distant, ejusdem autem ibi tangens
punctum O transient, toties idem in analoga figura locum babebit : quoties primitiva punctum 0
transient nec tamen axium alterutrum ibi tetigerit, toties analogae erit asymptota aliqua, neutri
axium parallela axesque vel in ipso puncto 0 vel alibi secans ; (quae igitur de asymptotis neutri
aximn parallelis supra prodibat ambiguitas, ubi finitas tantum coordinatarum functiones attende-
bamus, hoc loco tolKtur); quot vicissim primitiva habuerit asymptotas neutri axium paral-
lelas toties altera punctum 0 non infinite tantummodo appropinquabit, ut in punctis asymptotis
fieri solet, sed ipsum iUud punctum 0 transibit. Haec autem formulae ^ = 1 interpre-

latio__ut recta tangentiafis cum radio vectore congruat vel sit eidem parallela - valet

ilia, sive sint - et — sive non sint finita : at contrarium non valet, nisi sit y vel finitum:
recta enim tangentialis si banc ab caussam sit radio vectori paraUela, quod asymptota figurae
contingat alterutri axium parallela, vel quod alterutrum axem figura tangat, non possis inde
affirmare, productum - — esse = 1, sed finitus quilibet infinitusve vel infinite parvus
producto
istud contingere potest valor. Quam ad rem erit attendendum, ne, si primitiva alterutrum
axium tangat, efficias inde, esse ibi ^ = -^r = 1, asymptotamque adeo analogae
contingere, eidem axi perpendicularem : quod contra ambiguum remanere nisi accuratiore instituta

investigatione, supra vidimus.

Ad rehquas jam transeamus aequationum (13—17). Aeqatio igitur (15), si coordinatas
u et
V sohta ratione interpretamur, in quolibet nos docet primitivae figurae puncto C (fig. 1)
rectam tangentialem AGB axem Y Y' in istiusmodi secare puncto A, ut, si ejusdem abO distantiam
Q ^ ^ y _ X - per applicatam CE = OD = y dividamus, qnotiens oriatur quod, si
ad analogum transeas analogae figurae punctum, mtactum maneat. Aequatio (16), si orthogonales
coordinatas désignant u etv, hue redit: sitangentem anguU COB, quem radius vector cum semiaxe
OX alicubi in primitiva facit, in secundum poteslatem elFeramus dividamusque per subnormalem,

(-T

quae ibidem primitivae contmgat, quotientem ita oririnbsp;quod subtangentis aequiparet magni-

y -r

5;nbsp;3

-ocr page 32-

tudinem, quae analogae figurae in analogo puncto contingat. Eandemque, si subnormalem et
subtangentem secum invicem tangentemque item Iquot; et cotangentem y secum invicem permutemus, sub-
sistere analogiam, aequatio (17) nos monet. Primitiva igitur quo ties i-ectarum x ==y velx y = o
alterutram olFendit, ejusdem subtangens vel subnormalis analogae erit alterius figurae subnormal! vel
subtangenti quod ad magnitudinem opposita sive aequatione (ynbsp;^ ^

cum illa cobaerebit. Ob symmetricam autem illam quam inter coordinatas u et v invicem exstare
relationem capitis hujus initio vidimus, facile apparet, mutua hterarum u et v permutatione aliam
ex aequatione (15) ortum iri aequationem, quae de quotiente-^(fig.l)idemmoneat, quoddequo-

OA

tiente aequatio (15); ex aequationibus item (16) et (17) alias ortum iri aequationes,
quae eadem moneant de subtangente ac subnormali x ac x sive in recta YY' com-
putatis, quae aequationes (16) et (17) de subtangente ac subnormali quae vulgo ita dicuntur
sive de functionibus y et y monebant.

Postquam igitur, quanam ratione analogae dillerentiales coordinatarum u et v functiones ordinis
primi secum ex affinitate nostra cohaereant, quaenamque sequatur inde inter analogarum figurarum
proprietates analogia, vidimus, transeamus jam ad dilTerentiales coordinatarum functiones ordinis
secundi. Quas hac ratione cohaerere secum inveniemus:

/u» dv \

quot;dirj

d«v'
du'»

= - U^

du'

d»v
du»

du

[

du

iL. llL_filY.

' du V' V du / y' J

d»v'
du'»

= GO

(28)

d»v'
du'»

= CO

(29)

d»v'

dv 2u»

du'»

du

d»v'
du'»

= 0

(31)

Sequitur inde

d»V

_dv

quot;quot;ST

d»v

dv
du
dv

, u , V finita

CO
QO
0
0

du»
dv
du
d'v

d»v
du»

£
,o

m

'E

2U''

(30)

——== 0, u et V finita

dunbsp;'

quibus mutua literarum u et v permutatione alias posse addi aequationes, eademque igitur, quae
de functionibus ac aequationes (27—31) memorant, in functiones posse ac
transferri, capitis hujus initio vidimus. Quod si fecerimus, aequationes (30) ac (31), si coor-
dinatas u et V solita ratione interpretamur, nos docent; si primitiva aficubi finite ab utroque

-ocr page 33-

axe distarit processeritqne ibi alterutri axium parallela habueritque ibi punctum inflexionis,
analogum item inveniri in altera figura punctum inflexionis; sin primitiva infinite quidem ab
utroque axe distet punctoque inflexionis ibi gaudeat at neutri axium paraUela progrediatur,
baud constare, sitne in altera item figura punctum inflexionis, sed hoc tantum constare, quanta

certa quadam ratione in analogo alterius figurae puncto secum cohaerere.

Primitivam jam figuram f (u, v) == o seu v = F (u) duobus ramis esse complexam sta-
tuamus : duos enim functionem F coordinatae v tribuere valores a se diversos v = Fj (u)
et V = Fa (u) : coordinata vero u ubi certum aliquem nacta sit valorem u = a, ipsamque
functionem F ejusdemque differentiales quotientes ordinis primi et secundi-^ = F (u) et -^7== (p (u)

duplicem suam naturam ibi amittere, quum sint discrimina Fi(a) — Fa (a), ^'i(a) —

(p^ (a) _ (p.^ (a) nulla vel saltem infinite parva. Facile jam apparet, fore ut duplici istiusmodi

dy' dquot;y'

primitivae elemento elementum respondeat analogae, in quo coordinata item v' ejusdemque

differentiales quotientes ordinis primi et secundi et duplicem suam amittant naturam,
modo coordinatas u et v earumque differentialem quotientem finitas fuisse statuamus. Quod,

du

si coordinatas u et v solita ratione interpretamur, nos docet: si duo primitivae rami se alicubi
invicem non tetigerint modo, sed sint quoque osculati, universe quidem analogam requiri in analoga
figura osculationem: plura tamen esse, quae, quominus osculationum ilia semper prodat analogia,
obstent, quam quae tactionum analogiae obstare supra vidimus, siquidem hoc loco non ad figu-
rarmn situm, sed ad earundem quoque directionem attendendum sit. Bene multa igitur ex oscu-
lationum mutua analogia excipienda esse apparet; idem ex analogia quoque patet, qua cohaerent
ex affinitate nostra analogi utriusque figurae
radii osculi (rayons de courbure) : primitivae enim

1

radius osculi quum sit =

, analogus contra analogae hac indicabitur formula:

d'y
dx»

_ (Jl-Y

2x'

[

d'y

dîF

lt;iy

2x

d'y'

dx'^

x'

dx /

y'

unde ob aequationem quidem (28) sequitur: si primitivae radius osculi fuerit alicubi == 0, finitaque
ibidem fuerint x, y,nbsp;fore ut analogae item radius osculi sit =
0 : quidnam vero, si

primitivae radius osculi fuerit = go , de analogo sit dicendum, quanamve universe ratione uter-
que cohaereat, non potest nisi multis verborum ambaginibus indicari.

Ex his igitur apparet, afiinitatem nostram uu' = 1 vv' = 1 ad istarum quidem qualitatum

-ocr page 34-

analogiam investigandam, quae ab ipsis coordinatis a fmilisve earum functionibus pendcanl -

Ii. e. si coordinatas u et v solita ratione interpretamur, ad istas secum conferendas analogarum

figurarum proprietates, quae ad analogorum punctorum situm spectant-perquam esse idoneam;

ad mutuam vero investigandam illarum qualitatum analogiam, quae a coordinatarum u et v functio-
nibus differentialibus primi ordinis pendeant-h. e. quae analogas analogarum figurarum direc-

tiones spectant - affinitatem nostram minus esse aptam, sed ambigua nonnuUa accuratiori

investigationi relinquere: minime vero eandem illarum qualitatum analogiae perscrutandae sufiicere,
quarum mutua analogia a coordinatarum u et v differentialibus functionibus ordinis secundi

pendeat- h. e. quae figurae curvedinem attendant. Qua ratione si procedimus, facile patet,

minus etiam convenire affinitatem nostram illarum quafitatum investigationi, quae a differentialibus
coordinatarum functionibus ordinis tertii originem ceperint. Ab altera autem parte quaeri possit,
possitne ex affinitate nostra mutua facillime investigari illarum utriusque figurae qualitatum
analogia, quae a coordinatarum u et v functionibus differentialibus ordinis — 1, h. e. ab integralibus
earundem functionibus pendeant sive quae ad analogarum figurarum superficies pertineant.
Nequaquam ita se rem habere apparet, raodo formulas attendamus

- m ' (v)=- ~ ,,,,

unde, si ad coordinatas x et y transgredimur, haud simplicem esse rationem apparet, qua in
primitivae figurae puncto aliquo C (fig. 1) superficies j ^ d y sive OH CD, quam curvaeque
abscissa CD ipsaque curva CII axium
XX' et YY' ope includit, cum analoga alterius figurae
superficie cohaereat: nec minus simplicem esse rationem, qua cohaereant secum analogae in analogis
figuris superficies y d x sive 0 K C E ; minus vero etiam simplicem esse superficiei
0HC = |ir2dlt;|) = ^^(ydx — xdy)cum analoga alterius superficie analogiam.

Hisce jam prolatis de analogarum proprietatuin congruentia, quae cuilibet figurae convenit, de
nonnullis jara speciatira figuris videamus, ut exemplis res modo meraoratas illustreraus. Aequationes
igitur quaeramus satis simplices f (u, v) = o, ac quaenam ex afiinitate nostra respondeant iis
aequationes f (u', v') = o sive f ,7) = 0 quaeramus. Prima se offert nobis aequatio
u™ Vquot; = a, (designantibus ra, n, a quanta quaelibet realia, sive sint ilia finita sive infinita sive
infinite parva, sive sint affirraativa sive negativa, sive sint intégra sive fractiones.) Ex aequationibus
enim fundamentalibus (1) sequitur, si primitiva figura aequatione indicefur

u™ Vquot; a (33)

-ocr page 35-

analogam simili indicari aequatione u™ vquot; = '/a, quae a primitiva una tantum constante a discrepet.

Sit e. g. m = 0 vel n = 0 vel m n = o: mutua figurarum (33) analogia in eandem
illam abit analogiam, quam elementorum seriebus v = a, u = a, a cum seriebus v'= '/a,
u' = '/a, = '/a intercedere supra vidimus.

Sit m = n = 1: quae ita oritur inter aequationes uv = a ac u'v' = '/a mutua relatio,
e nostra coordinatarum defmitione nos docet, si primitiva fuerit aequilatera hyperbola, cujus
centrum ipsum occupet coordinatarum initium 0, cui autem ipsae axes XX' et YY' sint
asymptotae, fore ut analoga ei respondeat hyperbola, ipsa quoque aequilatera similoque modo sita.

Sit n = — 1, m contra quemlibet designet numerum, modo ne sit = o vel 1
vel = — 1: quae ita oritur inter figuras

V == JLquot; ac V = au-quot; (34)
relatio e nostra coordinatarum u et v defmitione nos docet: si primitiva fuerit cujuslibet ordinis
parabola y = — cujus vertex ipsum occupet coordinatarum initum 0 , cujus autem asymptotae sint
axium
XX'vel YY alterutri parallelae, fore ut respondeat parabola ejusdem ordinis y ^ ax^, eodem
quoad axes XX' et YY' situ gaudens, sed a primitiva parametro a discrepans. Parabolis e. g. y. = ax%
sive
DOE (fig. 3) ac x^y a sive EDGF (fig. 4) parabolae respondent y = 7 sive D'OE'
(fig. 3) ac x-y = '/a sive E'D'G'F' (fig. 4). Unde, ob symmelricam illam inter coordinatas
u etv relationem, de qua capitis hujus initio vidimus, sequitur, parabohs item x = ay^ ac xy^ = a
parabolas ex affinitate nostra respondere x = 7 ac xy^ = '/a. Istarum autem parabolarum
formam si velis affinitate nostra intactam remanere, h. e. ipsas sibimet esse analogas, parameter
sit iis 1 vel — 1 necesse est; longitudinis e. g. unitatem si istiusmodi esse statuas, ut
parabolae HOL (fig. 3) ac IHLK (fig. 4) aequalionibus indicentur y = x^ ac x-y = 1,
utraque parabola ipsa sibimet erit analoga. Quae tamen analogia simifi modo erit intelfigenda,
atque analogia ista, qua rectam x = y aliamve e sex ilfis rectis (7) sibimet ipsi ex affinitate
nostra respondere olim monuimus, h. e. ut unumquidque istarum parabolarum punctum non
ipsum sibimet, at alii ejusdem parabolae puncto respondeat: ipsi e. g. coordinatarum initio
0 sive parabolae HOL (fig. 3) vertici termini respondebunt H et L punctorum, eandem para-
bolam non relinquentium, ab ejusdem autem vertice infinite recedentium.

Afias jam quaeramus aequationes formae satis simplicis, quibus analogas quaeramus ex affini-
tate nostra aequationes. Prima se olfert nobis aequatio, quae quoad coordinatas u et v gradus
est primi: vidimus enim

primitivae | au bv 1 = 0 = | respondere | bu av uv = 0 | (35)

-ocr page 36-

quod e nostra coordinatarum u et v interpretatione certiores nos facit, rectae cuilibef ax by 1 = o
sive D L H (fig. 5), quae axem
XX' in puncto A sive x = — '/a axemque YY' in puncto
B sive y = — '/b secet, byperbolamrespondere aequilateram DLF G E sive bx ay xy = o,
coordinatarum initium 0 pervadentem, cujus asymptolae DE et F G sive y = __ijacx = —a
sint coordinatarum axibus parallelae, cujus autem centrum punctum occupet C sive
X = — a, y = — b : ac iUa quidem rectae lineae pars, quae a dextra axis YY' parte
Sita est, L e. BD, cum hyperbolae parte congruit DLO; pars vero HA respondet hyperbolae
parti OF; pars tandem AB, intra axes sita, hyperbolae ramum repraesentat] GE.

Ad aequationes jam transeamus gradus secundi. Generali igitur secundi gradus aequationi
a bu cv duv eu^ fv^ = o
si analogam quaerimus aequationem, aequatio prodit

, b , c , d , e , f

__« ü 7 nbsp;= «

au'nbsp;buv' eu' V duv -f ev'nbsp; fi?quot; = ô

quae universe est quarti gradus, pro certa tamen constantiumnbsp;a, b, c, d, e, f definitione ad
secundum ipsa quoque gradum reducitur. Apparet enim

a -f- bu cv duv = o
bu cv duv eu' = o
bu -t- cv duv fv' =0
d eu 4- bv auv = 0 (36)
du ev buv eu' = o (37)
fu dv CUV bv' =0 (38)

respondere
analogas

primitivis

Ad orthogonalium jam coordinatarum systema transeuntibus nobis apparet: si primitiva fuerit
sectio aliqua conica, universe quidem fineam ei e nostra afiinitate respondere gradus quarti;
certa tamen primitivae si forma certusque quidam contigerit situs, analogam quoque sectionem
esse conicam. Relatio (36) enim nos docet; si primitiva fuerit hyperbola aequilatera DBF GAE
(flg. 6), cujus asymptolae DE et F G sint axibus XX' et YY' paraUelae, analogam ei respondere
Iiyperbolam aequilateram D'B'F' G'A'E', cujus ipsius quoque asymptolae D'E'et F'G'
sint coordinatarum axibus parallelae. Relatio (37) autem hue redit : si primitiva fuerit hyperbola
GODE AF (fig. 7), coordinatarum initium O transvadens, cujus altera asymptota DE axi
YY' parallela, altera contra F G qualibet procedat directione, analogam requiri byperbolam
G'OD'E'A'F', de qua eadem illa dicere liceat. Relatio (38) tandem asymptotas illas DE
ac D'E' analogarum hyperbolarum non axi YY', sed axi contra XX' parallelas esse poscit,
ceteroquin ad relationem (39) redit. Mutuam autem constantium a, b, c, d, e, f relationem.

-ocr page 37-

quam indefinitam reliquimus, si certa aliqua ratione defmimus, simpliciorum linearura prodibit
mutua aflinitas : in relatione (37) e. g-. ponamus b = o: primitiva rectam XX' in puncto 0
non jam secat, sed tangit, alterumque igitur cum eadem intersectionis punctum A amittit: analoga
contra hyperbola rectam quidem XX' bis etiam nunc in 0 et in A' secat; at ejusdem asymptota
F' G' obliquam quam antea habebat directionem amittit alterique fit asymptotae D' E' parallela,
ipsaque adeo hyperbola in parabolam abit.

Eadem ratiocinatione si procedentes ad aequationes transgrederemur, in quibus coordinatarum
u et v tertia occurrat potestas, relationes proderent baud ita simplices. Quare de nonnullis
tantum videamus aequationibus, quae, si ad orthogonalium coordinatarum systema transgredimur,
lineas indicant satis usitatas. Cissoidi igitur DOE (fig. 8) sive ax® = y^b — x) linea res-
pondet F A G sive ay^ = bx' — x^, cui punctum 0 est punctum
a reliquis separatum ; cui
tamen puncto ob imaginariam ipsius naturam nullum in cissoide respondet punctum separatum
nullave linea realis.
Cartesiano folio x® y^ = axy linea respondet x® y^ =
Lineae axquot;' ± by- = 1 linea respondet ayquot; ± bxquot;' = xquot; yquot; ; ellipsi e.
g. hyperbolaeve
ax^ ± by^ = 1 , cujus centrum ipsum occupât coordinatarum initium, cujus autem axes cum
axibus XX' et YY' congruunt, linea respondet quarti gradus bx^ ± ay^ = x^ yl

Et haec quidem de algebraicis inier coordinatas u et v aequationibus suDTiciant. Universe autem
de aequationum illa transformalione, quae ex afiinitate nostra oritur, hoc licet alTirmari: si in
primitiva aequatione coordinatae u et v algebraica ratione secum cohaeruerint, fieri non posse,
ut algebraica substitutione u' = '/u, v' = 7v circularis aliave funclio transcendens in analogae

aequationem irrepat; nec contra fieri posse apparet -si ad mutuam systematum u v et u' v'

symmetriam, capitis bujus initio memoratam, attendas - ut transcendens occurrerit in primi-
tivae aequatione functio, quae in analoga evanescat. Nostram igitur afiinitatem uu' = 1, vv' = 1,
si coordinatas u et v sofita ratione orthogonales esse velimus, ejusmodi esse apparet, ut, prout
analogarum figurarum alterutra vel ad transcendentes quas dicunt figuras vel contra ad algebraicas
pertinuerit lineas, idem sit de altera figura dicendum.

Inter algebraicas autem istas lineas videmus esse bene multas, quarum aequatio, si ad analogam
ei ex affinitate nostra transeas aequationem, nullam subit formae mutationem, nec aliter ab
analogae aequatione discrepat, nisi quod aliis atque analoga gaudeat aliove ordine dispositis
constantibus sive coefficientibus. Primitivae enim aequatio sit universe hujusmodi

auquot;gt;v quot; bu -quot;v eu Pv du quot;^v etc.....== o (39)

-ocr page 38-

Literas jam u et v si in et '/v sive uquot;' et v~' mutamus, analogae oritur aequatio

aunbsp;bu quot;quot;v quot; CU quot;Pv du pv i etc......= o

quae nisi mutato coefficientium a,b,c,d, . . . . ordine a primitiva non discrepat. Quaeri autem
possit, sintne inter transcendentes item aequationes nonnullae, quae, si in analogas ipsis ex affini-
tate nostra aequationes mutantur, haud ullam subeant formae mutationem? Est sane istiusmodi
aequationum genus, quod universe hacce indicatur forma

f (are. sin. u, are. sin. v, are. cos. u, are. cos. v, are. tg. u,
are. tg. v, are. cotg. u, are. cotg. v, are. sec. u, are. sec. v,
are. cosec. u, are. cosec. v) = o (40)
(designante f algebraicam quamlibet functionem.) Hujusmodi enim aequationi analoga respondet

ex affinitate nostra aequatio

f (are. cosec. u, are. cosec. v, are. sec. u, etc.....) = o

quae a primitiva hactenus tantum differt, quod functiones are. sin. u. ac are. cosec. m, are. cos. u
ac are. sec. m, etc. alia alius locum occuparint; quae locorum mutua permutatio saepe nullius
erit momenti, e. g. si functio f functionum inverse - circularium mutuam significat additionem.

Vidimus enim, si primitiva fuerit

a. are. tg. u b. are. tg. v c. are. cotg. u d. are. cotg. v e = o (41)

analogam respondere huic aequationem

a. are. cotg. u b. are. cotg. v c. are. tg. u d. are. tg. v e = o
mutato tantum constantium a, b, c, d ordine a primitiva discrepantem. Sin primitivae aequatio
nequeat ad aequationis (40) formam redigi, neque poterit illi cum analogae aequatione similitude
esse modo memorata. Primitiva enim aliis atque inverso-circularibus constet functionibus,
forma e. g. gaudeat

f (sin. u, sin v, cos. u, cos. v, tg. u, tg. v,. ..) = o

vel hac

f (equot;, eO = 0

analogae foi-ma continget plane diversa

f ( sin.nbsp;sin. [7], cos.

l 1 i\
f 1 e e ^
\

-ocr page 39-

Eadem erit diversitas, si primitivae aequatio et ipsas coordinatas et transcendentes earum func-
tiones algabraica functione f conjunctas contineat, e. g. si forma gaudeat hujusmodi

f (u, V, sin. u, sin. v, . ..) — o
f (u, v, arc. sin. u, arc. sin. v, . . .) = o
f (u, V, Ig. u, Ig. v, . . .) = 0

Ex his jam apparet - si a generalibus coordinatis u et Y ad orthogonales transimus

X et y--nullam fore e lineis transcendentibus, quae et ipsa satis simplex sit atque usitata

et in analoga idem offerat. Logarithmicis e. g. x = a. Ig. y ac y = a. Ig. x vel sinussoidibus
X = sin. y ac y = sin x. si analogas quaerimus lineas, lineas inveniemus minus usitatas
x. Ig. y = — Va, y. Ig. x = — Va, x. sin. (y) = 1, y. sin. (7) = 1.

Unum tandem ut addamus affinitatis xx' = 1 yy' = 1 exemplum, primitivam statuamus esse
n — gonum seu n rectarum linearum intersectione esse ortam; cuilibet jam rectae quum hyperbola
respondeat ex affinitate nostra aequilatera, punctum O transvadens, cujus asymptotae sint axibus

, XX' et YY' parallelae - ut monuit nos relatie (35) - analogam figuram apparet constare

n istiusmodi hyperbolarum partibus, h. e. esse ut ita dicam n — gonum hyperbolicum ; quod si
in vulgatum n — gonum abire vefis, primitiva e rectis punctum O pervadentibus vel alterutri
axium parallelis constet necesse est.

Affinitatem autem nostram xx' == 1 yy' = 1 -quae e generali unde exiimus affinitate

uu' = 1 vv' = 1 ista qua hocce capite usi sumus coordinatarum u ac v definitione oritur-

ut rectius etiam perspiciamus, eandem affinitatem aequationibus inter polares coordinatas indicemus
sive inter radium vectorem r = O C (fig. 1) interque angidum
(p = COX, quem radius
vector cum recta facit OX, unde in angulo
lt;p computando eximus. Prodit ita:

xx' == 1__jj' = 1_

(r. cos. Cp) (r'. COS. Cp') = 1 = (r. sin, cp) (r'. sin. 0')
COS. (p. COS. (p' = sin, (p. sin, (p'
cotg. cp. cotg. (p' = 1
Cp lt;P' = 90quot;

r. cos. (p. cos. (_m0quot;

1

r =

•P)

r. cos. qi. slii. I/I

r. sm. 2 (p

r. coö. (p. coti. q:
d

dr'
dip

(_?_^

\r. sin. 2 J _ 4 cos. 2 (jo

dr
di/j

1'- COS. 2 lt;f.

— dl?

dr'

■ x'iiq'

r. siu^. 2 (f

ra^

dr'

r'-'Uç»'

r'. siu. i If

di-

2 cotg. 2 qgt;.

= (i r. sin. 2 , )nbsp;= (1 r^ sin. 2 . )

-ocr page 40-

enim constantiam ut admittat substitutie cp' = 90quot; — cp, v' =

, requiritur ut pri-

r. sm. (p. cos. qgt;

Quibus ex aequationibus ratio apparet, qua radiusqiie vector r, angulusque (p, queni radius
ille vector cura recta initiali O X facit, angulusque are. cotg.nbsp;quera radius vector cum recta

tangentiali facit, polaresque tandem subnormalis ^ ac subtangens r' cum analogis alterius
figurae angulis fineisve ex affinitate nostra cobaerent. Confirmatur inde, quod supra (1) nos
docuit functionis - iquot; transitione ad analogam figuram constantia, videficet, quod in analoga
quoque figura tangentialis recta cum radio vectore congruat vel ei saltern sit parallela, si in
primitiva ita se res habuerit: idem enim hinc sequitur, quod, si sit = co , requiri vide-
mus ut sit quoque ^ = co , nisi fuerit cotg.
2 (p == co , h. e. nisi fuerit c^ = o vel 90°
vel 180° vel 270° vel universe = nx. Confirmatur inde praeterea, quod supra monuimus :
nullas esse nisi algebraicas lineas, quae, si ad analogas iis ex affinitate nostra transeas fineas,
nullam subeant formae mutationem, nisi quae a rautato constantium ordine pendeat. Istiusraodi

mitivae aequatio formara referai r = f (sin. lt;p); sin primitiva fuerit spiralis afiqua r = f ((p)
aliave quaedam linea transcendens, fieri non posse apparet, ut analoga ei ejusdem formae res-
pondeat linea. Attendendura autem, aequationes modo raemoratas satis simpfices, quibus polares
coordinatas earumque producta et quotientia in analogis figuris cohaerere docemur, ad illam tantum
spectare affmitatem xx' = 1, yy' = 1, quae ex affinitate uu' = 1, vv' = 1 prodüt; sin
a generaliore ista orti esseraus affinitate uu' = A% vv' = B% de qua in capitis hujus initio
sermo erat, affinitas prodiisset xx' = A% yy' == B% qua mutua polarium coordinatarum relatio
potuisset quidem, at non nisi prolixis aequationibus indicari.

1nbsp; Belatione (14) pag. 17.

gt;9lt;

-ocr page 41-

CAPUT II

DE AFFINITATE, QUAE INDICATUR FOMIULIS x = x' yy' = 1.

\ ideamiis jam de altera generalium quas in Introitu memoravimus affinitatum - de affinitate

videlicet u = u' vv' = B'. Quaruni aequationum posterior nos docet: inter analogas utriusque
ficTurae coordinatas v et v', prout coordinata v vel longitudinem repraesentet vel superficiem

O

aliudve rerum genus denotet, vel longitudinem esse vel superficiem vel aliam tandem rem esse
mediam proportionalem, quae B contineat longitudinis aliusve rei unitates. Quum autem unitatis
istius magnitudo sit plane arbitraria, pro unitate assumere licet ipsum illud quantum, quod sit
inter v et v' medimii
proportionale: affmitas ita oritur u ^ u' vv' = 1, simplicioribus
iudicata aequationibus nec tamen minus generalis, quam illa unde exiimus u = u' vv' = B^

De affinitate igitur bocce capite agamus, quam aequationes indicant u u' vv' = 1; eadem-
que rursus utamur qua in superiore capite coordinatarum u et v defmitione: quo facto ipsa illa
oritur affmitas x = x' yy' = 1, de qua cl. Verdam egit in Commentariis Instituti Belgici

Vol XII. pag. 67-93.

Ex iis, quae capitis superioris initio de iterationibus fugiendis monuimus, pars tantum intacta
hoc loco manet, eam dico, quae de systemate u v systemati u' v' non praestante agit; at vero
omnia, quae de coordinata u vel quae de ^^ abave coordinatae u functione reperla habu-
imus, in coordinatam item v analogamve item in coordinatae v functionem, permutatis tantum-
modo secum litteris u et v, esse quadratura, hoc loco dicere nefas est.

-ocr page 42-

Ex aequationibus affmitati nostrae fundamentalibus

u u' vv' = 1 (42)
liae sequuntur inter coordinatarum producta atque quotientia aequationes:

uv =

(43)

— = u V

V

quarum - quum coordinatis u et v earumque adeo quoque producto vel quotienti idem qui

in superiore capite subsit sensus - hie erit significatus : si in primitiva figura radium vecto-

rem 0 C pnncti alicujus C (fig. 1) circulo r = 1 sive L N, cujus radius unitatem longitudinis
aequiparat, secemus, fore ut tot insint cotangenti M N longitudinis unitates, quod superficiei
unitates contineat rectangulum 0' D' C' E', quod analogum analogae figurae punctum C' coor-
dinatarumque C' D' ac C' E' axiumque XX' ac YY' ope includit.

Ex aequationibus autem (42) ac (43) sequitur, nonnullas esse figuras primitivas, quibus
analogas facillime invenire possis. Vidimus enim

u

=

a

v

0

m

o

V

b

'G

agt;

V

GO

S

®

y

=

0

Ö
O

u

o-,

Ul

c

o

ILh

v

v

=

GO

u

U'

= a

V'

= GO

v'

= Vb

v'

= G

v'

= GO

v'

= Vc

v'

= 0

(44)

(45)

m
S

= Vb gt;

- n 1

s

S
c

O

s

O

'S

= Vc m

(designantibus a, b, c, quanta quaelibet finita). Ad orthogonales jam coordinatas x et y si
transimus, relatio (44) nos docet, quamlibet rectam x = o vel x = a vel x = ao , axi XX'
perpendicularem, ipsam sibi esse analogam: relationes (45) nos monent, cuüibet rectae
y = 0 vel y = b vel y = GD , axi YY' perpendiculari, aliam respondere rectam, eidem
axi perpendicularem; relationes tandem (46), rectae coordinatarum initium 0 pervadenti non

rectam hoc loco respondere-ut in superioris capitis afiinitate locum habuit -sed hyperbolam

contra aequilateram respondere nos monent, cujus centrum ipsum coordinatarum initium occupet 0,
cui autem ipsae axes XX' et YY' asymptotarum partes praestent.

-ocr page 43-

Rectas igitur si quäerimüs, quae ipsae sibi ex aiSnitate nostra respondeant, non 6 tantum, ut
superiore capite, sed innumeras reperiemus: duas primum

Vnbsp;= 1

, (47)

Vnbsp;= — 1

h. e. rectas FG et KL (fig. 2), axi XX' parallelas, quamlibet deinde rectam eidem axi perpendicu-
larem. Ex his autem duas tantum (47), quas priore loco nominavi, revera sibimet ipsis analogas
esse apparet: harum em'm quodfibet elementum sive punctum

quot; = =nbsp;(48)

u = a v = — 1

ipsum sibimet esse, si ad analogam figuram transeas, analogum: non vero esse praeter haec aba
etiam elementa, quae nullam in transitione ad analogam figuram subeant mutationem: quare
analogiam, qua recta quaehbet axi XX' perpendicularis ipsa sibimet respondeat, ita esse accipiendam,
ut ista tantummodo ejus puncta, quae in rectis (47) sita sint, ipsa sibimet respondeant, reliqua
non ipsa
sibimet, at aliis respondeant ejusdem rectae punctis.

Quod igitur ad mutuam attinet elementorum ex aflinitate nostra analogiam, vidimus fore ut

CD
'/b
0
GO

Vb
0
GO

Vb

O

0
0
0
a
a
a

GO
GO
00

V

V

V

V

V

V

V

V

V

unbsp;=
u'

u'nbsp;=

u'nbsp;=

u'nbsp;=

u'nbsp;=

ƒ

unbsp;=

u'nbsp;=
t

unbsp;=

0
b

GO
0
b
GO
0
b
GO

V

V

V

V

V

V

V

V

V

0
0
0
a
a
a

GO

GO
GO

unbsp;=

unbsp;=

unbsp;=

unbsp;=

unbsp;=

unbsp;=

unbsp;=

unbsp;=
u =

o

a

o
^

O

(49)

g
g

-S
quot;o

a
«

S

OJ

'S

unde apparet, quodlibet primitivae figurae elementum, cujus finita sit utraque coordinata -

h. e., si ad coordinatas x et y transgredimur, quodlibet punctum, cujus finita sit ab axibus

XX' et YY' distantia - elementum sive punctum requirere analogae, cui idem contingat:

sin non fuerit utraque coordinata finita, hanc prodi, si orthogonafium coordinatarum systemate
utimur, punctorum analogiam: quodvis axis YY' punctum, quod a coordinatarum initio 0 finite
dislet, aliud requirere istiusmodi punctum sibi respondens: cuilibet puncto, ab axe XX' finite.

-ocr page 44-

ab axe contra YY' infinite distanti, aliud respondere punctum, simili ratione silum; cuilibet axis XX'
puncto punctum respondere, cujus eadem atque primitivi sit ab axe YY' distantia, distantia
contra ab axe XX' infmita: ipsi igitur coordinatarum initio metam respondere, quo tendat
punctum, axem YY' non relinquens, ab altero autem axe infmite recedens: termino contra
puncti, axem XX' non relinquentis, ab axe contra YY' infinite recendentis, terminum respondere
puncti, ab utroque axe infinite recedentis.

Ex hacce punctorum analogia facile apparebit, quanam ratione analogia sit interpretanda,

quam relationes (46) elementorum seriebus = o et ^ = go -quas quaternis singulas

punctorum generibus constare supra (pag. 7) vidimus - intercedere velint cum elementorum

seriebus u' v' = go (h. e. hyperbola aequilatera, quae a coordinatarum initio infinite migravit)
ac u' v' =0 (h. 6. hyperbola aequilatera, quae in asymptotas suas sive in axes
XX' et YY' abiit.) Attendamus enim, universarum serierum mutuam analogiam inde oriri, quod
unumquodque prioris seriei elementum analogum sibi alterius seriei habet elementum: serierum
e. g- = CO ac u' v' = o congruunt secum ista primum elementa, quibus est u = u' = o (h. e.
ipsa recta O Y secum congruit), earundem deinde congruunt elementa, quibus finitum est
u = u' (h. e. hyperbolae u' v' = o alter ramus 0 X cum seriei =
od istis con^
gruit punctis, quibus distantia est ab axe YY' finita, ab axe XX' infinita), tandemqiie
utriusque seriei ista congruunt elementa, quibus est u = u' =
go ,

Primitiva autem f (u, v) = o si elementum quoddam contineat A, cui analogum respondeat
ex affinitate nostra elementum B, Iiinc jam sequitur, ut elementuni istud B iinum sit ex analogis

analogae fineae f (u', v') = o elementis; h. e. - si ad coordinatas transgredimur

x et y - si primitivam punctum quoddam transire novimus A, cui punctum respondeat B,

analogae novimus lineae, vel si ceteroquin incognita nobis sit, boe tamen contingere, ut punc-
tum transeat B. Cujus ratiocinationis ope analogiam inter elementa elementorumve series modo
repertam adhibere licet ad istam enunciandam inter analogarum figurarum proprietates analogiam,
quae ad ipsas coordinatas u et v sive x et y, h. e. quae ad punctorum situm spectat: Primitiva
igitur quoties rectam aliquam axi XX' perpendicularem secat vel tangit vel universe offendit,
toties eandem rectam offendit analoga figura. Primitiva quoties rectarum y == - - 1 vel
y = — 1 alterutram offendit, toties analoga eandem rectam, et in iisdem quidem, in quibus
primitiva, punctis offendit (1). Quoties primitiva axem YY finita a puncto O distantia offendit.

1nbsp; Exempluin pracbet rcotao y = — 1 punctum L (fig. 5), quod et primitiva D H et analogae ramus transit K L.

-ocr page 45-

loties eundem axem offendit analoga, et finita quidem ab 0 distantia. Primitivae si asymptolà
quaedam sit axi XX' perpendicularis, eundem axem offendit analoga in isto puncto, ubi axem
asymptota transiit. (-J-) Ipse igitur axis YY' si sit primitivae asymptota, punctum 0 analoga transit (§)

Recta autem x = ± co si sit primitivae asymptota, --h. e. si primitivae rami contingant in

infinitum excurrentes, qui, quo magis ab axe YY'recedant, eo magis fiant eidem paralleli-ana-
loga axem XX'infinita ab O distantia offendit; (quot;'quot;0 unde plerumque sequitur, axem XX' analogae
fore asymptotam; quod tamen fiatne necne, dijudicari nequit, nisi analogae non situm tantummodo
sed directionem quoque cognitam habeamus; quod rursus requirit, ut differentiafium functionum ex
affinitate nostra analogiam antea investigaverimus. Eademque est caussa, cur non liceat ex
analogia bucusque allata affirmari, si punctum 0 aliudve quoddam axis XX' punctum primitiva
offenderit, analogae fore asymptotam eidem axi perpendicidarem. Eandemque ob caussam, si
primitivae vel asymptota fuerit neutri axium parallela vel asymptota contra fuerit axi XX'
parallela finiteque ab eo distans, ex iis quae bucusque attufimus supponere quidem licet, at non
affirniare, analogae vel ipsum axem XX' vel rectam huic parallelam finiteque ab hoc distantem
fore asymptotam.

Anteaquam autem ad ambiguitates hasce dirimendas in mutuam differentialium functionum ana-
logiam inquiramus, videamus antea de nonnullarum proprietatum analogia, quae ab ipsis coor-
dinatis pendent. Quod igitur ad coordinatarum u et v afiirmativum negativumve attinet signum,
subsistunt hoc loco superioris capitis relationes (10), non subsislunt relationes (11), Cujus

rei - siquidem coordinatis u et v idem hoc loco atque capite IS subest sensus - hie

est significatus: Quoties primitiva in uno alterove versata sit 4 quadrantium XOY, X'OY, X'OY',
XOY' (fig. 2), loties eundem quadrantem ab analoga occupari; sin accuratius, primitivae punctum
quoddam ubinam situm sit, defmiatur, octansque adeo quem occupai delerminetur, ambiguum rema-
nere, quonam in octante analogum situm sit analogae figurae punctum : pro varia enim magni-
tudine, quam longiludinis unitati tribuamus, vel in GOX vel in GO Y situm esse punctum, quod

-ocr page 46-

oclanlis GOX puncto alicui respondeat, Relationes tandem (11^ hanc nostro loco induunt formam;

augeaturnbsp;u

--V

minuaturnbsp;u
--V

augeaturnbsp;u'

minuaturnbsp;v'

--u'

augeaturnbsp;v'

fore ut

prout

(50)

quod, si coordinatas u et v solita ratione interpretamur, nos docet: prout primitiva axem YY'
vel accedat vel ab eo recedat, idem analogae contingi; prout vero axem XX' primitiva vel
appropinquet vel ab eo recedat, analogam contra ab axe XX' vel recedere vel eundem versus
progredi.

Fundamentales autem quibus affinitas nostra indicatur aequationes (42) quum coordinatarum
u et
V primas tantummodo contineant potestates, binc jam sequitur, idem de nostra quod de supe-
rioris capitis affinitate posse affirmari, h. e, unum uni semper respondere elementum elemento.
ünum tamen uni semper respondere punctum puncto, ut superiore capite, ita bic quoque ne-
quaquam inde sequitur: Nullius quidem est boe loco momenti, sitne punctum primitivae in ipso
axe u =
0 sive YY' situm, an vero finite vel infmite ab eo distet: at contra, prout ab axe
V = O sive XX' vel finite infiniteve distet vel in eodem situm sit primitivae quoddam punctum,
vel unum ei respondet punctum analogae analogum vel infmita punctorum multitude.

Eadem porro ratiocinatione qua superiore capite uti sumus, hic quoque affirmari licet, si
primitivae contigerit alicubi punctum mM^/iyiea; punctumve
ïnterstitionis punctumveanbsp;separatum.,

analogum requiri in analoga figura ejusdem singularitatis punctum, modo finite ab utroque
axe distarit punctum primitivae. Quibus addi licet, huic singularium punctorum analogiae

non obstare hoe loco - quod superiore capite analogiam auferebat vel saltem dubiam relin-

quebat- quod primitivae punctum singulare in axe situm sit YY'. At, ut superiore capite,

ita hic quoque, si in altero axe XX' duplex fuerit primitivae punctum, ambiguum erit, punctumne
in analoga duplex an duo respondeant rami, qui, finita a se invicem distantia servata, infinite
ab axe XX' recesserint; punctumve
interstitionis si in axe XX' fuerit primitivae, analogae erit
inter punctum similis singularitatis interque ramum in infinitum excurrentem eligendum; in axe
tandem illo XX' si
punctum primitivae fuerit a reliquis separatum^ vel analogum respondere
potest ejusdem singularitatis punctum vel recta axi YY' parallela finitaeque magnitudinis, quae
ab axe XX' infinite recessit.

-ocr page 47-

Videamus jam, inter differentiales coordinatarum u, v, u', v' functiones ordinis primi quaenam
sit ex affmitate nostra analogia. Aequationes produnt:

(51)

dv

dv'

du

-nbsp;(uv)

-nbsp;(i) (-

(53)

v*
dv

^ (55)

' = flW__= _

dunbsp;Vv/ Vnbsp;y

(56,

du

, du'nbsp;/nbsp;v'du \

U — = u (---=

vnlu

du

u dv

7 li^T (52)

dv'
quot;di?quot;

du'

d7quot;

v'du /

vgt;du \

quot;quot;quot;dv^/

du
quot;dvquot;

dv

^ (54)

dv'

si ad orthogonales coordinatas

dv

Videamus primum de aequatione (51). Quae differentialem functionem non posse iuve-

niri, nisi et et v cognita habeamus, nos monet, b. e.

du

X et y transeamus - non posse notae directioni, quae ignotae primitivae ignoto in puncto

dv'

contingat, analogam reperiri analogae directionem. Ad mutuam igitur functionum — ac re-
lationem investigandam si coordinatam v aliquatenus definimus, hae produnt aequationes:

dv'
du'
dv'

quot;dir

dv'

IST

V finitum, ~

' du

= 0

= 0
finitum

du

finitum

fore'

prout sit

(57)

dv

lür

CD

= QO

quae, ad coordinatas x et y translatae, nos docent: Prout primitiva vel axi YY' fuerit vel axi
contra XX' vel neutri tandem perpendicularis, idem contingere analogae, modo finite ab axe
XX' primitiva, adeoque analoga quoque, distant; nec directionum buic analogiae obstare hoc
loco, quod ei ex aequationibus (18) superioris capitis obstabat, h. e. quod primitiva ab axe YY'
nulla vel infinita distant distantia. Quae igitur supra (pag. 31) de asymptotarum ex affinitate nostra
analogia remanebat ambiguitas, relationibus (57) partim tollitur: primitivae enim si sit asymptota
aliqua axi XX' parallela fmiteque ab illo distans, similis contingat analogae asymptota analoga

-ocr page 48-

tiecesse est, siquidem utrique figurae esse ibi — o docent nos relationes (57).1 Iisdem
relationibus analogia de analogis axis YY' ab analogis figuris offensionibus supra allata eatenus
accuratius defmitur, quod axem YY' videmus ab analoga figura vel perpendiculariter vel obfique
contra secari vel tandem tangi, prout hac illave e tribus istis rationibus eundem axem primitiva
offenderit.

Alia jam ratione si coordinatam v defmimus, sequitur ex aequatione (51)

go vel finitum
0 vel finitum
0

go

dv'

quot;di7

dv'
dv'

dlTquot;

dv'
du'

dv

inr

dv
quot;döquot;
dv

lüT

dv
llu~

= CO

-nbsp;O

---nbsp;go

=nbsp;0

=nbsp;gd

Vnbsp;=

Vnbsp;-

V

Vnbsp;=

(58)

= O

fore

prout sit

(59)

quae — quum coordinatis u et v idem qui superiore capite subsil sensus -hue redeunt: Si

axem XX' primitiva alicubi perpendiculari obliquove sub angulo offenderit, analogae erit asymptota
axi XX' perpendicularis: sin axem XX' primitiva tetigerit, iterata requiritur differentiatio aliave accu-
ratior investigatio, sitne analogae asymptota (f) necne: vicissim, si primitiva infinite quidem ab axe
XX' distarit, non tamen axi YY' parallela processerit, neque adeo asymptotam halraerit, nisi quae
axem XX' infinita a puncto O distantia transeat, requiri, ut axis XX' ab analoga tangatur:
sin asymptota primitivae fuerit axi XX' perpendicularis, axem XX' ab analoga vel tangi posse
vel secari. Quae igitur de asymptotis axi XX' perpendicularibus se nobis offerebat supra (pag. 31)
ambiguitas, ut superiore capite, ita bic quoque partim tollitur, partim ad mutuam differentialium
functionum secundi ordinis analogiam investigandam remittitur.

Ex eadem aequatione (51) sequitur praeterea

iL = O vel O) (60)

du

dv'
du'
dv'
du'

dv
du

17

si velimus esse

requiri ut sit

1nbsp; Asymptota e. g. D K (fig. simili respondet alterius hyperbolae asymptotae Dquot; Equot;.

(f) Quemadmodum parabolae x«y = a (fig. 4) eontingit, ut axe YY' gaudeat asymptota, quae respondet axis XX'
ab analoga parabola (fig. 3) in puncto
0 taction!.

-ocr page 49-

Ad orthogonales jam si coordinatas transimns, docet nos relatio (60), fieri non posse, ut
finite alicubi ab axe XX' distans primitiva neutrique axium parallela procedens, sit analogae in
analogo puncto parallela. Relatio autem (öl), ut primitiva sit analogae in analogo puncto

dx

perpendicularis, requiri docet, ut subtangens y — sit = -1- 1 vel = — 1.

Duos jam primitivae ramos se invicem alicubi tetigisse statuamus: eadem jam qua
superiore capite usi sumus ratiocinatione hie quoque probari licet, fore ut analoga respondeat
in analoga figura tactio: eademque, quae Capite I?, orit tactionum huic analogiae adhibenda
restrictie, si tactio iUa occurrerit distantia ab axe XX' infinitae parvitatis vel magnitudinis;
infinita vero axis YY' vicinitas infinitave ab eodem distantia nuUam hoc loco tactionis puncto
affert caussam, quominus analogum ei respondeat punctum singidare. Eademque ratione patet,
si
cuspis (un point de rebroussement) vel mucro (un point saillant) finite in primitiva distant
ab axe XX', quicumque fuerit ei quod ad axem YY' situs, analogum semper ei respondere in
analoga punctum ejusdem singularitatis; sin ab axe XX'
cuspis illa vel mucro distantia distant
infinitae
parvifaîis magnitudinisve, accuratiorem rei investigationem requiri.

Ad aequationem (51) redeamus. Quae, quum factor sit quotientis ~ quadratum adeoque
semper affirmativum, nos docet,

dv'

quot;dz

dv'

quot;dTquot;

dv

quot;IT

dv

quot;diT

lt; 0
gt; 0

gt; 0
lt; 0

(62)

fore

prout sit

Attendentibus jam nobis, quanam ratione signorum vel — concordiam, quam inter func-
tiones — et iÇ olim exstitisse relationes (24) monuerunt, simus interpretati, facile apparet,

/

/

O

/

/

vel hac contra

dx quot;quot; dx

relationum (62) hunc esse sensum: prout primitiva hac

fore directionem.

proces-

serit directione, analogae hanc

X

N

N

\

vel hanc contra

Quotientis jam ~ affirmativum negativumve signum in oppositum abire statuamus functionisque

dv

adeo valorem, nisi mucro ibi fuerit, per ± o vel ± go transire: haec jam erit analogia:

per ± 0 a gt; 0 innbsp;lt;nbsp;0

---a lt; 0 innbsp;gt;nbsp;0

per ± go a gt; 0 innbsp;lt; 0
---a lt; 0 innbsp;gt;nbsp;0

per ± 0 anbsp;lt;nbsp;0nbsp;in gt; 0

fore ut

. dv

prout —
transeat

dv'

- transeat

du'

-----a gt;nbsp;0 in lt; 0

per ± GO anbsp;lt;nbsp;0 in gt; 0
----anbsp;gt;nbsp;0nbsp;in lt; 0

-ocr page 50-

quae, solita rursus ratione coordinatis u ac v interpretatis, indicio nobis est, prout primitiva
alicubi sinum confecerit, vel axem XX' spectantem vel ab eo recedentem, fore ut analogue
analogae sinus vel ab axe illo recedat vel eundem versus spectet: sin priraitivae sinus in axem
YY' oppositamve in regionem spectarit, fore ut analogae figurae sinus contingat simifi ratione
situs

Ad aequationem (52) jam transearaus. Unde primum sequitur :

gt; 0
lt; O

dv

quot;dir

lt;
gt;

dv'
du'

0
0

prout sit

fore —

v

(64)

quod e nostra coordinatarum u ac v defmitione hoc sibi vult: si analogarum figurarum alterutra ambos

simul accedat axes ab arabisve simul recedat adeoque hac procedat directione

-- I N

analoga contra figura alterum axem accedat, ab altero recedat adeoque hac ratione progre-
diatur —

Ex eadera aequatione (52) sequitur praeterea: si functio — fuerit aUcubi = -f 1

vel = — 1, reqiuri ut in analogo contra alterius figurae puncto sit — = — 1 vel = 1.

du'

Quod quo sensu sit e nostra coordinatarura u ac v definitione interpretandum, facile manifestum
erit, modo in memoriam revocemus quae de functione ~ ^ capite superiore monuimus(pag. 16).
Ita enim apparebit, nostram quam hocce capite consideramus afiinitatem esse ejusmodi, ut, si
analogarum figurarum alterutrius recta tangentialis cum radio vectore congruat vel saltera sit ei
parallela, analogae contra recta tangentialis triangulura cum axe XX' cum radioque vectore faciat
aequicrurium, h. e. ut angulus CBX (fig. 1), quera cura axe XX' faciat analogae recta tangen-
tiafis, suppleraentura sit anguU COB, quera cum semiaxe OX radius vector faciat primitivae.
Quam interpretationem attendentes, ambiguitatem vidimus, quae de asymptotis neutri axium pa-
rallelis supra se nobis obtufit, eatenus tolli, quod, si primitivae hujusmodi contigerit asymptota

dy'

contigeritque adeo valor — = 1 ? analogae ut valor contingatnbsp;= — 1 ipseque

adeo axis XX' ut sit analogae asymptota necesse est (f); at eatenus ambiguitas iUa remanet,

-, requiri ut

dy

-ocr page 51-

dy

= — 1 necne, du-

= 1 sive ut asymptotam

quod, si axis XX' sit primitivae asymptota, dubium est, sitne ~ ^^

biumque adeo quoque est, contingatne analogae, ut sit ei ~
habeat necne.

Ad aequationem (53) jam transeuntes, in analogis quibuslibet punctis analogas utriusque
figurae subtangentes y ac y' ejusdem videmus esse ex affinitate nostra magnitudinis,
at oppositi signi h. e. oppositi quoad axem YY' situs. Aequationes autem (54—56) minus
simpficem esse ex affinitate nostra rationem docent, qua subnormalis y vel qua subtan-
gensque x subnormalisque x cum analogis analogae figurae lineis cohaereant: ut enim
bic quoque analogae utriusque figurae lineae quoad magnitudinem attinet conveniant, quoad
signum vero sive situm attinet sibi sint invicem oppositae, requiri, ut v sive y sit =
-f 1
vel = — 1, h. e. ut de istis agatur punctis, C1^) ubi rectarum y = lvely = — 1
alterutram primitivaque analogaque offendant.

Et haec quidem de difiierentiafibus coordinatarum u, v, u', v' functionibus ordinis primi
sufficiant. Ad differentiales functiones ordinis secundi transeamus: quarum haec prodit relatio :

_ 2 / dv Ynbsp;'l''

d'v'
du'^

(65)

du'

du

Sequuntur inde aequationes, a superioris capitis aequationibus (28—31) pauUulum tantummodo
discrepantes :

et V finita

et V -

et V--

= O, V finitum

dquot;-v
dugt;
dv
du
d'v
quot;d^
d»v
du'

dv

quot;dïT

d=v
du'
dv

'quot;diT

dv
du

(66)
(67)

GO
GO
0
0

= GO

du''
d'v'
duquot;
d'v'
du''
d'v'

di7'~

= GO

£
.O

m

= O (69)

Quum autem non sit hocce capite mutua superioris capitis inter coordinatas u et v symmetria.

functionum ac alia prodit relatio, a relatione (65) diversa:

2 v\

d'u'
dv''

d'u

= V'.

quot;dv

dv'

dv

dv

1nbsp; ])C puncto e. g. L (fig. 5) vel B (fig. 10).

-ocr page 52-

unde rursus sequitur

ciHi
dv^

du

~d7

dgt;u'
dv'ï

si sit

— 0, V finitum

fore

= 0,

= 0 (71)

^Ad orthogonales jam coordinatas si transimus, relationibus (69) et (71) hunc videmus inesse
sensum: si primitiva finite ab axe XX' distarit fueritque ibi axium alterutri paraUela habueritque
ibi punctum inflexionis, analogum respondere in altera figura punctum inflexionis. Relatio contra
(68) nos monet, non semper analogum respondere inflexionis punctum puncto ejusdem singula-
ritatis, quod contigerit primitivae, finite quidem ab axe XX' distanti, neutri autem axi parallelae.

Eadem porro qua superiore in capite si utimur ratiocinatione, duobus videmus primitivae
ramis, qui se invicem osculentur, analogam respondere analogorum ramorum osculationem, nisi
ista fuerit primitivae directio vel ab axe XX' distantia, quae osculationum isti analogiae obstet.

Analogi tandem radii osculi nostra ex affinitate hacce cohaerent relatione:

primitivus quum sit =

h±S-T ]

d'y

dx2

i±Mr ^ I' .

analogus erit =

d'y'
dx'»

d'y
dx'

m'

unde relationis (66) ope sequitur: si primitivus radius osculi fuerit = o, finitaque fuerint et

dy

y quot;dl' ^^ analogus item radius osculi sit == o: minus vero simplicia esse, quae de
analogo sint radio osculo dicenda, si primitivus fuerit =
od.

Eadem ratione si procedentes ad differentiales coordiuatarum functiones ordinis tertii progre-
deremur, minus etiam simplices proderent relationes. Nec opus est, ut multa moneamus de
integralibus coordinatarum functionibus, quarum haec erit hoc loco mutua relatio:

5quot;' äv - y quot; = -

5V du'nbsp;=

dv

(72)

His igitur missis, nonnuUis jam lineis analogas quaeramus lineas, ut exemplis proprietates aifini-
tatis nostrae relatas illustremus. Primum se offert istud linearum genus, quod universa indicatur
aequatione u^vquot; = a; prodit ita analogia linearum

u-^vquot; = a ac u'quot;v-quot; = a (73)

Sit e. g. m = 0 vel n 0 vel m f n = o vel tandem na = n = 1 : eadem prodil

-ocr page 53-

relatio, quam elementorum seriebus u = a, v = a,-^='a cum analogis seriebus u' = a,
v' = '/a 5 u' v' = '/a intercedere supra jam vidimus.

Sit jam n = — 1, m alium quemlibet designante numerum, modo ne sit o vel 1 vel — 1
vel sit contra m = — 1, n quemlibet designante numerum, o, 1, — 1 tamen exceptis:
sequitur e relatione (73) fore ut

^ - (v)
quot;
= (t)

u-'v = a (74)
vquot;u = '/a (75)

an

primitivis

respondeant

sive

Ö

Unde ad orthogonales coordinatas transeuntibus nobis apparet, nostram esse ejusmodi affinitatem,
ut cuilibet parabolae ordinis n [h. e. y = axquot; vel x = ayquot;] cujus vertex ipsum
occupet coordinatarum initium, cujus autem asymptotae sint alterutri axium parallelae, alia ex
affinitate nostra respondeat parabola, simili modo sita, ordinis vero — n [ h. e. y = ('/a) xquot;quot;
sive x° y = Va, vel x = ayquot;quot; sive yquot; x = a] ita quidem ut primitivae parameter
sive constans 0, si formula x = ayquot; ipsam indicaveris, intacta maneat, sin formula usus sis
y = axquot;, in oppositam sibi constantem abeat '/a? msi fuerit a = lvela = — 1, quo
casu idem erit ambis figuris constans. CO Non fieri igitur e nostri capitis affinitate posse apparet,

ut sit parabola aliqua, quae ipsa sibimet respondeat - qualis in transitione ad analogam

figuram constantia se nobis superiore capite obtufit (pag. 21) - nisi hue referas parabolas

ordinis 0, h. e. rectas alterutri axium parallelas y = ± 1 vel x == a, quas ipsas sibimet
nostra quoque ex afiinitate respondere supra vidimus.

A parabolis istis si ad aequationes minoris simplicitatis transgredimur, prima se offert nobis
primi gradus aequatio: vidimus enim primitivae

au bv c — 0 respondere analogam auv b cv = 0 (77)
(piod in orthogonafium coordinatarum systemate ita erit interpretandiim : rectae cuifibet lineae
ax by 1 =
0 sive D H (%. 5) quae axem XX' in puncto secet A sive y = 0, x = — Va,
axera autem YY' in puncto B sive x =
0, y = — Vb, byperbolam respondere aequilateram
XLB'KJHX', cui ipse axis XX' rectaque huic perpendicularis F'A'G' asymptotarura partes
praestent; ac eam quidem rectae partem, quae supra axem XX' sita sit, h. e. AH, hyperbolae

-ocr page 54-

ranio respondere JHX', partem contra rectae AD, iufra axem XX' sitam, alteri hyperbolae
ramo respondere KLX.

Ad secxmdi jam gradns aequationes transeuntes, generali videmus secundi gradus aequationi

a bu -f- cv duv -f- eu^ fvquot; == o
analogam respondere quarti gradus aequationem

a ^^ bu ^ -f-- eu^ -f- ^ = O

av^ buvquot; -h cv -h duv eu'^ v^ t o

quae tarnen, si certa quadam coefficientes a, b, c, d, e, f cohaereant ratione, ad secundum
ipsa quoque gradum reducitur. Apparet enim primitivis

a bu -)- cv -f- duv = o
a cv duv fv^ --
O
c -}- du -f- av -(- bvu = o (77)
f
f cv duv av' - O (78)

respondere

Quod, si coordinatas u ac v orthogonales esse statuimus, nos docet: Si primitiva fuerit sectio
aliqua conica, universe quidem lineam ei ex affinitate nostra respondere gradus quarti, fieri
tamen interdum, ut analoga quoque sit sectio conica: primitiva enim si fuerit hyperbola aequi-
latera DBFGAE (fig. 6), cujus asymptotae D E et F G sint axibus XX' et YY' parallelae,
analogam ei relatio (77) monet respondere hyperbolam Dquot;Bquot; A'Gquot;Fquot;Equot;, cujus asymptotis
Dquot; Equot; et Fquot; Gquot; eadem contingat directio ('quot;quot;); primitiva autem si fuerit h^-perbola aliqua
F H X' X J G (fig. 9), cui axis XX' alterutrius asymptotae partes agat, analogam ei relatio
(78) docet respondere hyperbolam F'H'X'XJ'G', eodem axe XX' ipsam quoque asymptota
gaudentem. Certa autem constantium a, b, c, d, f definitione prodit simpliciorum linearum analogia;
sit e. g. in relatione (78) c = o: utraque hyperbola, et primitiva et analoga, hactenus accu-
ratius defmitur, quod ejus asymptotam FCG vel F'C'G' punctum 0 transgredi oportet, punc-
tumque adeo istud utrique hyperbolae esse centrum.

Quod jam ad reliquas attinet algebraicas, quae sibi ex affinitate nostra respondent, inter coor-

-ocr page 55-

dinatas u, v, u', v' aecpiationes, lineae his in orthogonalium coordinatarum systemate designan-
tur haud ita simplices: ellipsi e. g. hyperbolaeve a^x^ ± b^y^ = a^b^, cujus centrum ipsum
occupât coordinatarum initium 0, cujus autem axes cum axibus XX' et YY' congruunt, linea
quarti gradus respondet nec satis usitata a^x^y^ ± b^ = a^b^yl Quare universe tantum mo-
neamus, algebraicam inter coordinatas u ac v interve coordinatas u' ac v' aequationem algebraicae,
transcendentem transcendent! respondere inter analogas coordinatas aequationi, siquidem fieri ne-
queat, ut algebraica substitutione v' = vel v = circularis aliave transcendens functio in
alterutram aequationem irrepat, si in altera non fuerit ; h. e. - si ad orthogonales transgre-
dimur coordinatas x et y - ut in superiore capite, ita hic quoque fore ut, prout primitiva

vel ad algebratcas quas dicunt vel ad transcendentes pertinuerit lineas, idem sit de analoga
dicendum.

Inter algebraicas autem istas aequationes erunt bene multae, quae, si ad analogas iis ex af-
finitate nostra transeas aequationes, nuUam nisi mutati coefficientium ordinis subeant mutationem:
quas universa haec complectitur aequatio

auquot;'v quot; bu^v-quot;^- eu Pv 1 du pV!-!- etc.....= o (79)

cui aequatio respondet

quot;'v bu quot;quot;v quot; eu Pv du Pv 1 etc.

= 0

au

lu cujusmodi si incideris aequationem, coordinatam u in u, = u g mutare licet, modo eandem
illam subeat analoga mutationem, h. e. -si ad orthogonales transimus coordinatas--pri-
mitivam licet qualibet ab axe YY' removere distantia, modo forma ejus situsque intacti ceteroquin
maneant; nec afiam analoga, nisi similem ab axe YY' remotionem, subibit mutationem. Parabola
e- y ax^ sive DOE (fig. 3) si sinistrorsum eousque movetur, donee aequatione indicetur
y = a (x gf, h. e. donee vertex ejus punctum axis XX' oeeupaverit P, cujus distantia ab 0
sit g = OP, parabola huic respondet y (x g)^ == Va, ita orta, quod similem ab axe
YYquot; remotionem g = OP subiit parabola x^y = 7a sive EDGF (fig. 4). Similis vero ab
axe XX' remotio analogae formam plane subvertit.

Missis igitur algebraicis, de transcendentibus videamus aequationibus. Qua ùi re attendendum,
non esse nostra in affinitate mutuam illam, quam superiore capite inter coordinatas u ac v vi-
dimus exstitisse symmetriam. Quare distinguendum inter duo haeece transeendentium aequationum

ffenera:

u = f [F(v), F(v), £ï)(v),----] (80)

v = f LF(u), F(u), cj)(u), . . . .] (81)

-ocr page 56-

(désignante f algebraicam, F, F, lt;p contra transcendentes quaslibet functiones).

Quod primum ad aequationem (80) attinet, nostrae affinitatis substitutione v' = ~ diversis-
simam plerumque nanciscitur illa formam, ut aequationes nos docent

u == a. sin. v b. cos. v -h . . . .
u = a. b. 6-quot; ....
quibus aequationes respondent, a primitivarum forma plane abborrentes

u = a. sin. (-f ) b. cos. (4quot;) • • •

u = a. e quot; b. e 4- • • • •

Neque adeo nisi raro fit, ut primitiva, si aequationis (80) formam référât, nullam affinitate nostra
nisi mutati constantium ordinis subeat mutationem; quod tamen fieri interdum posse, aequationes
nos docent

u = (a - b) Ig. V (82)

u = a. arc. tg. (v) b. arc. cotg. (v) c. arc. sin. (v) d, arc. cosec. (v) . . . . (83)
quibus respondent aequationes

u = (a-b) Ig.nbsp;= (b - a)lg.

u = b. arc. tg. (v) a. arc. cotg. (v) d. arc. sin. (v) h- c. arc. cosec. (v) - - ....

Quod vero ad aequationem (81) attinet,-si functionem f statuimus transcendentium functionum

additionem divisionemque significare formamque adeo praebere hancce

h a. P (u) b.nbsp; c. (p (n) . . . .

v =

(84)

k d. F (u) e. -F(u) g. ip (u; . . . .

nihil aliud ad analogam aequationem transitio offeret ei mutationis, nisi quod numeratorque divi-
sorque locum suum invicem mutent, analogaque igitur ei respondeat aequatio

_ k d. F (u) e. -TÇu) g. ly (u) ■ ■ . .

h a. F (u) b. /-'(u) c. (p (u) . . . .

({uae, si eaedem in divisore quae in numeratore occurrant functiones transcendentes F, F, c^,

a primitiva nisi mutato coefficientium a, b,____k ordine non discrepat.

Ad orthogonales jam si redimus coordinatas x et y, nuUam videmus esse inter transcendentes
lineas usitatas, cui simihs respondeat analoga, una tantummodo excepta logarithmica x - a. Ig. y
sive X'BD (fig. 10), cui aliam respondere aequatio (82) nos docet logarithmicam x = — a. Ig. y
sive XBE, a primitiva non forma, sed situ tantum diversam. Logaritlunicae contra y = a. ]g. x

-ocr page 57-

liaea respondet diversae formae y Ig. x = ^ ; sinussoidibus item x = sin. y vel y == sin. x
diversae ab bis lineae respondent x = sin.nbsp;T cosec. x.

Haec jam de transcendentibus lineis sufficiant. Unum tantummodo aflinitatis nostrae addamus
exemplum: Primitivam enim n rectarum partibus interclusam esse statuamus: quarum cuique quum
hyperbola respondeat, cui axis XX' rectaque huic perpendicularis sint asymptotae, (sicut relatio
(76) nos supra monuit), primitivo apparet n — gono n — gonum respondere ut ita dicam hy-
perbolicum seu %uram, n istiusmodi hyperbolarum partibus conflatam: quam si ipsam quoque
rectarum linearum partibus constare velis, primitivam rectarum alterutri axi parallelarum intersectione
ortam esse oportet.

Quae autem e generali capitis nostri affinitate - u = u', vv' = 1 - nostra coordi-
natarum u et V definitione orta est affinitas -x == x', yy' = 1 - potest illa quoque

(quod affinitatem xx' = 1 yy' = 1 potuisse supra vidimus) aequationibus indicari inter analogas
utriusque figurae polares coordinatas r, c^, r', 0. Habemus enim:

x = x

y' = Vy

= xy

cotg. (p' (r. COS. lt;p) (r. sin, cp)
are. cotg. (rl sin. lt;p cos- lt;p).

/nbsp;\ / 1 \ 1/ (xMquot; O

I _ 1/ (r*. siii'. lt;p. co»». 1)

r. sin. if

quibus tamen aequationibus non eandem inesse simpKcitatem apparet, atque ilfis, quibus affinita-
tem xx' = 1 yy' = 1 supra indicavimus. Neque igitur, quanam ratione ex affinitate
nostra functionesnbsp;rnbsp;r' cum analogis functionibus cohaereant, inquirere satis operae

pretium foret.

Ad generalem capitis nostri redeamus affinitatem u = u' vv' = 1. A qua diversam esse
illam afOnitatem patet, quae formuUs indicatur uu' = 1 v = v'. Postremae tamen hujus affmi-
tatis naturam ut inquiramus, non opus erit, ut omnia quae hocce capite investigavimus denuo
retractemus : quum enim coordinatarum u et v naturam indefinitam reUquerimus nuUaque adeo sit
caussa, cur altera coordinata alteri praeslet, facile patet, mutua üterarum u et v permutatione
omnia iUa, quae de afiinitate u = u' vv' =1 hocce capite monuimus, in affinitatem posse

uu' = 1 V = v' transferri. Est autem, quo ambae affinitates cohaereant. Figura enim

6«-

-ocr page 58-

si est aliqua A sive f (u, v) = o, cui analogas quaerimus e tribus nostris affmitatibus
figuras,

1 vv'^- 1
u' vv' = 1
1
V = v'

respondet
ei figura

t) - « CB)

f(«'7) = « (C)
v) =
0 (D)

uu'
u

uu'

ex affinitatibus

Figurae jam C quaeramus quaenam ex affmitate uu' = 1 v' = v', figurae contra D
quaenam ex aiBnitate u = u' vv' = 1 respondeat figura: utrique respondens prodit rursus
figura B. Transformatie igitur illa, quam figura aliqua subeat necesse est, ut in figuram sibi
e capitis primi affmitate congruam abeat, conjunctionem repraesentat transformationum, quae ex
affmitatibus u == u' vv' = 1 ac uu' = 1 v = v' eidem offeruntur: neque refert hac in re,
quonam ordine transformationes u = u' vv' = 1 ac uu' = 1 v = v' sibi successerint :
eadem semper prodit figura B; quamvis ipsas figuras C ac D a se diversas esse patet.

M®«

-ocr page 59-

CAPUT III.

DE FIGURARUM AFFINITATE, QUAE INDICATUR AEQUATIONIBUS

cp = cp' rr' 1.

D

e qua superiore capite vidimus generali figurarum affinitate, aequationibus iudicata u == u vv' = 1,
de eadem rursus hocce capite agamus, sed coordinatis u et v alium atque supra induamus
significatum; non enim jam orthogonales, sed polares contra designent iüae coordinatas. Coor-
dinata enim v longitudinem denotet r, quae puncti alicujus C (fig. 1) radio vectori OC contingit,
sive puncti cujusHbet C figurae propositae distantiam indicet 0 C a certo quodam puncto fixo
sive
polo 0. Coordinata contra u magnitudinem Cp designet anguli COB, quem radius ille
vector 0 C cum recta quadam fixa 0 X facit; qua igitur a recta in angulo
(p computando
exeamus, sive quae
recta sit angulo cp initialis.

Quibus positis, omnia illa quae de mutua elementorum de mutuave coordinatarum functionum
analogia superiore capite vidimus, intacta nostro loco remanent, quod ad formulas attinet analy-
ticas, sed alium induunt significatum; quare geometricae primitivae figurae proprietates alia ratione
e nostra, alia e superioris capitis affinitate, si ad analogam figuram transeas, commutantur. Quas
igitur superiore capite reperimus formulas analyticas ut possimus nostri e coordinatarum systematis

-ocr page 60-

sensu interpretari, videamus, quidnam hoc loco sibi velint elementa eorumve series:

ipsam rectam OX, angulo lt;p initialem,
rectam quamlibet, polura 0 pervadentem.
metam, quo tendit recta, polum pervadens, innumerisque eum
circumvolvens gyris.
ipsum polum 0.

circulum fmitae magnitudinis, cui polus est centrum,
cuncta puncta, quorum distantia est a polo infinita.
(designantibus a et b quanta quaefibet finita.)

Superioris igitur capitis si aequationes (44) et (45) attendimus, quamlibet videmus rectam,
quae polum transeat, ipsam sibi ex affinitate nostra esse analogam: quemHbet autem circulum,
cui in polo centrum sit, non ipsum quidem sibi, at alü tamen respondere circulo, cui ipsi quoque
polus centri vices agat: et ipsum quidem polum cunctis respondere punctis, quorum sit distantia

a polo infinita: e circufis autem istis esse duos, r== lacr = — 1 - qui hoc loco

eundem occupant locum circulosque indicant, quibus radius sit, unitatem longitudinis aequiparans-

qui ipsi sibimet respondeant: horumque veram esse analogiam sen talem, qua quodfibet eorum
punctum ipsum sibi sit analogum: analogiam contra, qua recta polum transiens ipsa sibimet
respondeat, ita esse intelligendam, ut quodfibet ejus punctum, nisi forte in circulo r = =h 1
jaceat, alü respondeat ejusdem rectae puncto.

Ex hac serierum analogia proprietates possumus affinitatis nostrae nonnullas enunciare, quae
ad figurarum situm pertinent: primitiva enim quoties rectam initialem OX aliamve quamdam, quae
polum transeat, offendit rectam, toties eandem rectam offendet analoga: primitiva quoties circulum
Î- ± 1 offendit, toties eundem circulum offendet analoga et in üsdem quidem atque primitiva
punctis: primitiva quoties polum transit vel saltem infmite ei appropinquat, toties altera a polo
infinite distabit.

Ad ipsorum elementorum significatum definiendum procedamus, ac primum quidem de elementis
videamus, quibus est u
= od . Cujusmodi in elementis ita demum altera coordinata v definitum
aliquem nanciscetur valorem, ,'si primitiva ad certas quasdam pertinuerit
spirdium quae dicuntui-
linearum, h. e. si primitiva hujusmodi indicetur aequatione r = f ((p), quae, angulo (p in infinitum
aucto, certam aliquam radio vectori praebeat magnitudinem »• = f
( od ) = p; sin primitiva ad
vulgares sive algebraicas pertinuerit lineas, ejusque adeo aequatio fuerit ejusmodi, ut radius

VI
®

g
p

c

C

œ

S

-Si
o

u

= 0

u

== a

u

GO

1

V

= 0

.SP

'En

V

= b

V

od

O
m

-ocr page 61-

vector circular! aliqua aliave periodica anguli 0 functione indicetur, e. g. r. = sin. indefi-
nitus erit qui infinita anguli
(p auctione radio vectori tribuendus erit valor r = sin. (oo ) intraque
eerlos quosdam limites fluctuabit. Superioris jam capitis aequationes (49) nos monent, primitivae
elemento, in quo sit u = oo , v autem recte definitum, elementum respondere analogae, in quo
sit u' = GO , v' rursus recte definitum; unde sequitur, ejusmodi contra primitivae elemento, in
quo sit u = ao , V indefinitus ac fluetuans, ambiguum item analogi elementi respondere valorem.
Nostram igitur ejusmodi esse affinitatem apparet, ut, prout primitiva vel ad spirales quas dicunt
vel ad algebraicas contra pertinuerit fineas, idem sit de analoga dicendum.

Quam jam aequationes (49) praebent mutuam elementorum, quibus est u = go vel u' = go ,
analogiam, nulfius esse in algebraicis fineis momenti apparet ; non item in lineis spiralibus.
Quod enim

cp = lt;X) r 0
(J) == CO r = GO

respondeant
elementa

cp' == (X) r' = GO

= GO r' = o

elementis

nos docet : si analogarum figurarum alterutri polus 0 fuerit punctum ut dicitur asymptotum, b. e.
si polum magis magisque figura nostra appropinquet, nec tamen ad eum nisi post innumeros pe-
ractos gyros perveniat, alteram contra figuram innumeris polmn circumvolvi gyris ab eoque
inagis magisque recedere. Quod autem elemento

(p =z cc r = b respondeat cp' = cc r' = '/b
nos docet: si circulus aliquis r = b, cui polus centrum, fuerit primitivae
circulus ut ita dicam
asymptotus, b.e.si primitiva, innumeris polum gyris circumvolvens, circulum r = b magis magisque
appropinquare cum circuloque isto magis magisque coalescere studeat, idem fore de analoga in
analogum circulum
r' = Vb sensim paullatimque abeunte dicendum (1).

Quod jam ad elementa attinet, quibus est v = o vel v' = o, in his distmguendum, sitne
polus analogarum figurarum alterutri
punctum ut dicitur asymptotum necne: si priore modo se res
habet, nihil est, quo elementorum, quibus est v = o, significatus prae refiquorum elementorum
significatu praestet, siquidem elementum quoque v = o, u == o vel = a vel = oo primitivae
situm quidem définit, non vero définit directionem: neque adeo mutua elementorum, quibus est
V == 0 vel v' =
0, analogia satis digna est, quam accuratius attendamus. Sin polus non
fuerit primitivae punctum asymptotum, h. e. si, coordinata
r minimum quemvis nanciscente valorem

1nbsp; Exemplum praebent Hneae sibi analogae rip bç. a=:oac?i hrç Ar =: o.

-ocr page 62-

r = w, altera coordinata 0 = p mutationem suheat infinite pàrvam,

angulus iste lt;p.

quem elementi r = w, cp = p radius vector cum recta OX facit, ipsum eundem indicat angulum,
su!) quo figura nostra rectam OX in polo secat; elementumque adeo, cui est r = o vel saltern
infinite parvus, figurae non tantum situm, sed directionem quoque dénotât. Punctis igitur in polo
asymptotis si analogas figuras carere statuas.

(p' = 0 r' = GO
0' - a r' = GO

(p = 0 r 0
cp = a r = 0

cum elementis

elementorum

analogia, aequationibus (49) indicata, nos certiores facit: prout analogarum figurarum alterutra
vel rectam initialem XX' rectamve huic saltem parallelam asymptotam habuerit (1) vel contra
asymptotam habuerit, quae rectam XX' angulo magnitudinis a (f) secarit, analogam vel rectam
XX' in polo tangere vel contra eandem rectam angulo
a in polo transire. At vicissim, si
primitiva angulo quodam polum transient, analogae fore asymptotam, primitivae direction! seu
rcctae tangentiali parallelam, ex aequationibus (49) efficere non licet, nisi antea analogae

d^nbsp;t dçi

directionem h. e. functionum r et r analogiam investigaverimus.

Ouod jam ad refiquas attinet aequationum (49), mutua nos elementorum

(p = a r = b ac ip' = a r' '/b
analogia certiores facit: quoties primitiva finite a polo distarit, toties idem esse de analoga di-
cendum, ita quidem ut in eodem radio vectore analoga analogarum figurarum puncla sita sint.

Hisce igitur de analogia monitis, qua elementa eorumque series in analogis cohaereant secum
figuris, de coordinatarum u et v afiirmativo negativoque jam videamus signis. Coordinatis igitur
u et v valores quosdam tribuamus u = GOX, v = OG (fig. 2): vidimus jam

u=- f GOX v = OG
u _ GOX V = — OG
u- GOX V 0G

u GOX V = — OG

«
s-

CB

â
Cfi

o
-a

punctum G, in ipso radio vectore OG situm.

---K, in altera radii vectoris 0 G parte situm.

- L, in recta situm OL, quae angulum cum OX facit

LOX = GOX, modo opposita directione in angulo
computando procedas.

---F, in rectae OL altera parte situm.

1nbsp; Litui e. g. sive spiralis r'(f — a asymptota OX ejusdem rectae taction! respondet, qua parabolica spiralis r' = aq,
eam in polo tangit. Hyperbolicae autem spiralis ramus EF (fig. 12) respondet Archtmedicae spiralis ramo DO (fig. 11),
rectam OX in polo tangenti.

(t) Exempla praebent hyperbolae asymptotae DE et F G (fig. 14) reetave DE, quae ipsa sibimet est asymptota
(fig. 13) , obliquis respondentes poli a lemniscata (fig. 14) vel a circulo (fig. 13) transitionibus.

-ocr page 63-

Ouum tamen, ubi de polaribus coordinatis sermo est, illa tantum considerari soleant puncta,
quibus et r et (?) sint positiva, nos quoque brevitatis caussa et u et v positiva semper esse
hocce capite statuemus; unde, ob aequationes (10) capitum I ac II, eandem signorum defmi-
tionem in analogis quoque obtinere coordinatis u' et v' sequitur. Quibus positis, aequationes (50)
nostro loco hue redeunt: Prout primitiva vel hac vel illa directione polum circumvehitur, h. e.
vel directione Y'HCKG (fig. 1) vel contra GKCHY' procedat, idem analogae contingere:
prout vero primitiva polum vel appropinquet vel ab eo recedat, analogam contra vel a polo
recedere vel eundem appropinquare.

Quod porro ad coordinatarum attinet productum atque quotientem, quorum mutuam analogiam
nos aequationes (43) docent, non inerit iis hoe loco aliquid satis memoratu dignum. Quare haec
jam mittamus et ad differentiales coordinatarum functiones transeamus. Quarum hic erit hoe loco
significatus :

subnormalem polarem

dr
dlt;p

dv

on
Qi
C
O

c

.3

du
du

dv
du

m

lt;o

T3

dv

tangentem r^ angidi OCB (fig. 1) quem recta tangentialis AB cum radio vectore OC facit

dy

subtangentem polarem r^ —

•quot;unctio autem - — aliaeve functiones, quarum analogia aequationibus (51—56) consideratur,

V du

du

non sunt hoc loco magni momenti. Nostro igitur in coordinatarum systemate functionis v —
majorem quam reliquarum esse rationem habendam apparet; quare primum videamus de aequatione (53):
quae nos docet, esse ex affinitate nostra

dç)

drnbsp;dr'

h. e. tangentem angub, quem in primitiva radius vector cum recta tangentiali faciat, ab analogo
alterius figurae tangente non magnitudine, sed signo tantum discrepare, ipsosque adeo
angiilos
esse alterum alterius supplementum sive utriusque semper summam 180 gradus conficere. Se-
quitur inde

r' J^ = OD
d)-

= ± 00
= ± 0

r
r

dr
dtp

quot;IT

fore

si sit

, dij)'

= =F O

dr'

h. e. si primitivae recta tangentialis cum radio vectore congruat vel saltem ei sit parallela, idem
esse de analoga statuendum; sin primitivae recta tangentialis radio vectori fuerit perpendicu-

-ocr page 64-

lans (1), eandem perpendicularitatem in analoga inveniri figura. Apparet porro

lt;i(fnbsp;, dgf'

— r

dai

= 1 vel - 1

drnbsp;dr'

si vefimus esse

requiri ut sit

dr

h. e. si primitivam velimus analogae esse in analogo puncto perpendicularem, requiri ut ejus ibi
radius vector a recta tangentiafi sub angulo 45 vel — 45 graduum secetur (f), sin primitivam
analogae parallelam procedere velimus, requiri ut utriusque recta tangentiafis vel radio vectori sit
perpendicularis vel cum radio vectore congruat sive sit eidem parallela.

Haec jam si cum illis conferamus, quae supra nos mutua elementorum eorumve serierum analogia
docebat, sequi inde videmus : Primitiva quoties, finita a polo distantia, rectam angulo
Cp initialem OX
aliamve quamdam rectam, quae polum pervadat, tetigerit vel obliquo angulo
a secaverit vel tandem
fuerit ei perpendicularis, analoga eandem rectam, prout horum unum alterumve obtinuerit, vel
tanget vel obliquo sub angulo secabit 180° — a vel tandem erit ei perpendicularis. Primitiva si, ubi
certum aliquem valorem
(p = a angulus Ç nactus sit, polum pervadat, h. e. si fuerit ei r = o, =
r = O, analogae figurae erit r' = oo, cp = a, r' = o, h. e. asymptota ei erit, rectam

initialem angido secans o, - quod supra (pag. 48) dubium relinquebatur -; polumne vero

transeat illa asymptota necne, dubium etiamnunc remanet, eritque hujus rei investigatio ad
functionum etnbsp;analogiam, de qua infra agemus, remittenda. Primitiva jam polum

infinite quidem appropinquet, non tamen ad ipsum nisi post innumeras peractas circumvolutiones
accedat; analoga infmite quidem a polo recedet nec tamen polum circumvolvi desinet, ut supra
jam vidimus (pag. 47). Quae tamen, differentiafium functionum analogiae ope, accuratius delmire
licet. Primitivae enim sit r = o, r = co , h. e. polus ei ita sit punctum asymptotum, ut,
quo magis polum appropinquet, eo magis in poli circumvolutionem abeat ista ad polum appropin-

quaüo - analogae erit r' = oo , r' = od , h. e. innumeris illa gyris a polo infmite recedet,

quibus tamen inesse a polo recessionem minus minusque fiet perspicuum (§). Primitivae contra
sit r = O,
r ~ finitum, h. e. ejusdem ad poliun appropinquatio nec in pofi circumvolutionem

-ocr page 65-

nec in poli transitionem umquam abeat - analogae item gyris numquam circnmvolutionum

fore asymptotarnmve fore umquam naturam patet, siquidem erit r' ~ quoque finitum (f).
Sit tandem r = o, c|) oo , r = o, h. e. primitiva post innumeros peractos
gyros polum tandem transvadat ; huic puncti asymptoti cum ejusdem puncti transitione
conjunctioni respondet similis in analoga figura asymptotarum naturae cum innumeris gyris

f (ÎÇ'

conjunctio, h. e. erit ei r' = QD , = co , r = o; eaque erit adeo meta, quo
tendant analogae figurae gyri, ut ramus fiat tandem, asymptotam juxta in infinitum excurrens.

Ut jam ad differentiafium functionum signa ± transeamus, superioris capitis aequationes (62) ac
(63) parva illa afficiamus mutatione, ut pro ^ ac — quae minoris esse hoc loco momenti

videbamus - functiones substituamus v ^ ac v' quae mutatie non obstabit, quominus

intactae subsistant aequationes (62) ac (63). Docet igitur nos aequatio (62):

Aqi'

dç)

~d7

dr

gt; O
lt; O

lt; O

fore

prout sit

h. e. si primitiva radium suum vectorem directione quadam secet ST (fig. 1), oppositam fore
rationem, qua radium illum vectorem secet analoga PR. Aequationes autem (63) nos monent:
si primitiva sinum confecerit, vel polum versus vel in alteram contra partem spectantem, fore
ut analogus contra analogae sinus vel a polo recedat vel polum spectet f-^); sin primitivae
sinus drcnlum spectarit, radio suo vectori perpendicularem, siinilem fore analogi sinus situm.

Ad aequationem (51) jam transeamus: quae nos docet, esse hoc loco

dr'nbsp;dr

ii(p'
_ dr'
r'ï dvgt;'

dip
dr
dip

polaremque adeo primitivae subnormalem, si cum polari analogae subtangente, vel primitivae
subtangentem, si cum analogae subnormali multiplicetur, productum proferre, quod sit = — 1.
In his autem primitivae punctis, quae in circulo r = ± 1 sita sunt, quum unitatis per subnor-
malem quotientem aequiparet subtangens, siquidem est ibi r'^ = (1)1

ana-

logiam modo memoratani apparet, ubi circulum r = ± 1 analogae figurae offendant, ita

1

dip

drnbsp;/ dr\

Vd'ï/

-ocr page 66-

posse enunciari, ut primitivae subtangens a subtangente analoga vel primitiva subnormalis ab
analoga analogae functione non magnitudine sed signo tantum discrepet.

Ex aequatione autem (51) secutas olim esse vidimus aequationes (57); quas si non in ~ tantum

(lunbsp;'

sed in alteram quoque functionem v' — adbibeas atque e nostri deinde coordinatarum systematis
sensu interpretaris, apparet, nostram esse affinitatem ejusmodi, ut in punctis quae a polo finite distent,
polaris analogae subtangens vel subnormalis sit vel infinitae vel finitae magnitudinis vel infinitae
tandem parvitatis, prout in primitivae subtangente subnormafive res se habeat. Quam eandem
analogiam inde quoque efiicere potuisses, quod, si primitivae tangens vel radiiun vectorem oc-
cupet vel sit eidem perpendicularis, idem de analogae tangente esse ex afiinitate nostra dicendum
supra vidimus. Ex eadem aequatione (51) secutas esse vidimus praeterea aequationes (58);
quas si simili ratione non in tantum, sed in v' ~ quoque adhibuerimus e nostraque
deinde coordinatarum u et v definitione simus interpretati, sequitur inde haec inter analogas utriusque
figurae subtangentes analogasve inter subnormales relatio: Primitivae si in ipso polo subnor-
malis contingat fmitae infinitaeve magnitudinis, utroque casu infmita erit subnormalis, analogae in
analogo puncto infinite distanti contingentis, magnitude: primitivae in ipso rursus polo si subtan-
gens sit finitae infinitaeve magnitudinis, analoga alterius figurae in analogo puncto subtangens
1 ^ ------ = — —--j X -- = —nbsp;X
go adeoque = go ; eadem-

que ratione patet, si in puncto a polo infinite distante subnormalis primitivae ejusdemve sub-
tangens fuerit finitae infinitaeve parvitatis, infmitam fore parvitatem, quae analogae in ipso polo
subnormali vel subtangenti contingat. Aequationes contra (59), si in ipso polo primitivae
subtangens fuerit subnormafisve = o, ambigua esse analogam analogae figurae subtangentem
subnormalemve nos monent magnitudine, nisi rem accuratius investiges, eandemque esse
ambiguilatem, si in puncto a polo infinite distante infinita magnitude contigerit primitivae subnormali
vel subtangenti.

In istiusmodi igitur punctis, ubi ambigua sit mutua analogarum subnormafium mutuave subtan-
gentium relatio, ad aequationem (51) erit redeundum; eritque e magnitudine, quae alterius figurae
subnormali vel subtangenti contingat, analogae in altera figura subtangentis vel subnormalis
definienda magnitude. Ex his apparet, quaestionem quae supra se nobis offerebat,
si polum
primitiva transeat., polumne transeat respondens huic poli tiansitioni asymptota analoga necne,
aequationis (51) ope ita posse dirimi: prout polum transeunti primitivae polaris contingat sub-
normalis vel infinitae vel finitae contra magnitudinis vel tandem infinitae parvitatis, fore ut analogae
in puncto analogo, a polo infinite distante, subtangens contingat vel infmite parva vel contra

-ocr page 67-

finita vel tandem infinita, h. e. ut analoga analogae figurae asymptota vel polum transeat vt'l
contra, ubi finita facta sit ejus a polo distantia, polum non ampfius appropinquet, vel tandem
infinita semper a polo distet distantia. Sin polum quidem transire novimus primitivam, at
incognita nobis sit ejus natura ejusque adeo quoque subnormalis, analogae asymptotae a polo
distantiam ambiguam relinquit aequatio (51); neque prodest ibi, ut ad aequationes (58) et (59)
confugiamus: quum enim, si polum primitiva transit, sit semper rnbsp;== o eoque magis

r^ ~ = 0, aequationes autem (59), si hoc fiat, ambiguam esse subtangentis r'^ ~ magni-
tudinem doceant, facile apparet, nullum, si ita se res habeat, afferre adjumentum mutuam subtan-
gentium analogiam, aequationibus (58) et (59) indicatam, sed accuratiorem rei investigationem
requiri.

Ad analogiam jam tractandam procedamus, qua cohaerent ex afiinitate nostra diilerentiales
coordinatarum functiones ordinis secundi. Superioris igitur capitis aequationes (65—71) si nostri
e coordinatarum systematis sensu interpretari velimus, nihil prodibit satis memoratu dignuin,
siquidem non inest functioni functionive ^^ significatus, unde geometricae profluant figura-
rum proprietates satis memorabiles. Aequationes igitur istas parva hacce aificiamus mutatione,

cujus minorem esse hocce capite rationem habendam supra vidimus

du'

dT'

ut pro functione

functionem substituamus v' ^, neque adeo dilferentialem functionis ~ quotientem

— seu

dv'

dv'

d'u'

Quod si fecerimus aequatio-

dv

dv

—r, sed functionis contra v' ^ mutationem consideremus

dv'

nemque (53) attenderimus, aequationem (70) banc induere formam apparet:

dr

= r' X

aequationemque adeo (71) hunc in modum mutari:

^ 0, modo sit r finitum.

I c.-t V ir)

- = 0, fore

SI sit

dr

dr'

h. e. si primitiva aficubi finite a polo distarit, angulusque, quem ejus recta tangentialis ibi
cum radio vectore faciat, nuUam ibi subierit mutationem, similem requiri in analogo angulo
constantiam. Unde tamen baud sequitur, si primitivae fuerit alicubi punctum inflexionis, analo-
gum requiri ejusdem singularitatis punctum in analoga. Hujusmodi enim non exstare hoc loco

-ocr page 68-

analogiam, facile apparet, si mutuam attenderimus radiorum osculi analogiam. Primitivae enim
radius osculi quum sit

[quot; (^)Tquot;

1^ 2 (--) — r -

analogus respondet huic radius osculi analogae

(^)'l''- ^ (- ___

V r^dg, ) rnbsp;dlt;p

P (-£-)•]:; __ ayi

1nbsp;/ d»- Vnbsp;2 / drnbsp;1 dV —nbsp;/nbsp;dTTT

T'- - HT^) - - -

Mutua igitur differentialium secundi ordinis functioniun analogia haud prodit hoc loco simplicem
aliquam analogarum utriusque figurae proprietatum analogiam. Idem dicendum de coordinatarum
functionibus integrahbus. Superficiel e. g. ^sive OHC (fig. 1), sive sectori, quem
primitiva HC radiique vectoris OC rectaeque initiafis OX ope includit, si analogam quaerimus
superficiem, integralis prodit functio r'^dCp' = ^
Restât, ut in singularium punctorum ex affinitate nostra analogiam investigemus. Eadem jam

ratiocinatio, qua in superiore capite usi sumus--modo pro functione , quam minoris esse

hoc loco momenti vidimus, functionem ubique v ^ sive r substituamus - nos docet

dvnbsp;drnbsp;'

nostra quoque ex affinitate, si primitivae fuerit punctum multiplex punctumve interstitionis vel
punctum
a reliquis separatum duorumve ramorum tactio vel cuspis vel tandem mucro^ ejusdem
requiri singularitatis punctum in analoga analogum, modo finita ibi sit coordinatarum v et v'
magnitudo, h. e. modo puncta ista fmita a polo distarint distantia: sin non sit v =-
r finitum,
accuratiorem requiri rei investigationem : puncto e. g.
a reliquis separato, quod ipsum occupet
polum, universam posse respondere finitae magnitudinis figuram, quae infinite a polo quafibet
recesserit directione. Functionis autem v pro functione substitutione factum est, ut accu-

dvnbsp;clunbsp;quot;

ratior etiam e nostra affinitate oriatur punctorum singularium analogia, quam in superiore capite
locum habuerit, siquidem functionum v ac v' arctior est quam functionum ac

dvnbsp;dvnbsp;^nbsp;dunbsp;du'

mutua relatio - ut aequationes nos (51) ac (52) docent -- neque adeo valor coordinatae v

infinitae parvitatis infinitaeve magnitudinis tollit functionum v ac v' analogiam ; quare, si
primitivae polus punctum fuerit asymptotum, mucrones, cuspidesve afiave puncta singularia in

-ocr page 69-

infinite parvis circum polum gyris similia requirunt ex affinitate nostra puncta singularia, quae in
analogis poli circumvolutionibus a polo infmite distantibus reperiantur. Missis igitur singularibus
hisce punctis, quorum cum analogis singularitatibus analogiam non tollit infmite parva eorum a
polo distantia, de his tantum breviter videamus punctis singularibus, quibus ob infinite parvnm
coordinatae v = r valorem non respondent analoga alterius figurae puncta singularia, h. e. quae
ramorum polum transeuntium mutua intersectione oriuntur; quibus pofi transitionibus asymptotas
respondere alterius figurae supra vidimus; quare quaenam puncta in polo singularia quibusnam
respondeant alterius figurae asymptotis, videamus.

Primitivae igitur sit una aliqua asymptota, quam ramus aliquis figurae vulgari persequatur ratione,
h. e. a polo ramus ille magis magisque recedat, ab asymptota contra minus minusque distet, donee
tandem, metam nactus
-[- go , cp = a, asymptotam secet in alterumque asymptotae terminum
r
= — cc, cp = a sive r = œ , lt;p = 180quot; a transsiliat poloque deinde rursus
appropinquet; hujusmodi asymptotae respondebit alterius figurae punctum infiexionis, in ipso polo
situm. Sin primitivae ramus, ubi metam nactus sit r = oo , = a, in alterum quidem
transsiliat asymptotae terminum, nec tamen asymptotam secet, sed a dextra semper a simistrave
semper asymptotae parte maneat, hujusmodi primitivae ramo ramus respondebit alterius, polum
transiens, punctis autem singularibus carens. Intermedia ratione si primivae ramus asymptotam

persequatur - quemadmodo in recta fit linea, quae ipsa sibimet est asymptota adeoque

nec a dextra nec a sinistra asymptotae parte procedit, sed cum ipsa congruit - analogus

alterius figurae ramus polum nulla transit singularitate (1). Primitivam jam statuamus ad metam
quidem pervenisse r=:-fco,c|) = a, at non posse eam transsilire, sed eodem rursus
itinere, asymptota aut secta aut non secta, ad polum regredi; respondet alterius figurae
cuspis
sive punctum flexus contrarii, et prijni quidem aut secundi generis. Primitivae tandem sit ramus
in infinitum exciirrens, nec ab altera asymptotae parte polum rursus appropinquans : respondet
punctum
interstitionis. Primitivae jam ponamus esse duas asymptotas, diversa directione proce-
dentes, quas figura vulgari ratione persequatur: respondet alterius figurae punctum duplex (f);
sin primitivae unus alterve ramus, ubi a polo infmite recesserit, in alterum transsifire asymptotae
terminum poloque rursus appropinquare negligat, analogo alterius figurae duplici puncto est puncti

1nbsp; Exemplum praebet circulas KOG (fig. 13), rectae D E respondens.

(t) Exempla praebet lemniscatae (fig. 14) centrum O, analogae hyperbolae asymptotis DE et F G respondens.

-ocr page 70-

mterstitionis singularitas addenda; quod si iteratur, punctum duplex in mucronem abit. Duas
rursus fingamus primitivae asymptotas, sed quae sint sibi invicem parallelae: vulgari eas ratione
si primitivae rami persequuntur, in altera figura tactionis erit singularitas; sin neuter primitivae
ramus in alterum suae asymptotae transsiliat terminum, analoga in figura vel punctum flexus
contrarii respondet vel ramus singularitate carens. Idemque, quod de duabus asymptotis sibi
parallelis monuimus, valebit item, si una aliqua sit primitivae
duplex quae dicitur asymptota, h. e.
(juae duobus primitivae ramis communis sit asymptota.

Nonnullis jam exemplis ea quae de affinitate nostra bucusque attulimus illustremus. Primae
se offerunt lineae, quarum mutuam analogiam nos superioris capitis aequatio (75) docet, sive
quae generali indicantur aequatione u = av° I cujusmodi aequationem, si u et v orthogonales
désignant coordinatas x et y, parabolas varii ordinis denotare supra vidimus; eadem vero, ubi
de polaribus coordinatis sermo est,
spiralium quae dicuntur linearum maxime usitatas indicat.
Linearum igitur (75) analogiam si in nostrum locum transferimus, videmus cuilibet spirab

r = acpquot; respondere spiralem rcpquot; = '/a
Sit e. g. n = 1 :
Archimedicae spirab r = ac^ sive O DE F (fig. 11) hyperbolica spiralis
rcp = '/a sive DE F (fig. 12) respondet. Sit n = '/j ; parabolicae spirali rquot; = alt;p spiralis
respondet, cui aequatio r^cp = '/a^ cui autem nomen est
lituus.

Ouod jam ad rebquas attinet aequationes algebraicas, quarum mutuam analogiam superiore ca-
pite sumus persecuti, lineae iis e nostra coordinatarum u et v definitione indicantur haud usitatae.

Quare hoe unice moneamus: quod superiore capite vidimus - primitivae alicujus coor-

dniatam u in u, = u -(- g licere mutari, modo analogam item alterius figurae coordinatam

u' in u'i == u' g mutemus--hoe loco, ubi de polaribus coordinatis sermo est, nos docet.

primitivam licere ita loco suo removeri, ut, puncto quod polum occupaverit ibidem remanente,
reliqua figura quotlibet graduum circumvolutione polum circumvehatur, modo totidem graduum
angulo analogam item figuram polum circumferamus. Archimedicam e. g. hyperboficamque spi-
ralem (fig. 11 et 12) si angulo X O Xquot; = b polum circumferamus, sive - quod eodem

redit - si rectam initialem OX alia quadam directione OXquot; polum transire statuamus,

(fuae ita oriuntur spirales r = a (cp b) ac (lt;p b) r = '/a non minore secum quam
spirales antea consideratae r = a ac r cp == '/a conjunctae erunt affinitate.

-ocr page 71-

De transcendentibus igitur videamus inter coordinatas u et v aequationibus. Prima se otFert
superioris capitis aequatio (82), qua in nostrum locum translata, cuilibet videmus spirali loga-
rithmicae
(p = a Ig. r aUam ex affinitate nostra respondere logarithmicam lt;p = — alg. r,
a primitiva non forma sua discrepantem, sed hoc tantum quod directione, primitivae directioni
opposita, procedat.

Superioris jam capitis aequationem (84) attendamus, et functiones quidem F, F, (p circulares
esse statuamus. Quo facto, magnus se praebet nobis aequationum numerus, quoad coordinatas
qiddem u et v transcendentium, algebraicas autem indicantium lineas.

Sit e. g. primitiva recta quaedam r = a. sec. — b) sive DE (fig. 13): circulus respondet
r = C/a) cos.(4' — b) sive OGK, polum transiens; centrum circuli C in recta situm est OF,
quae a polo 0 in primitivam rectam DE perpendiculariter ducitur; recta autem primitiva, si
a = 1, circulo est recta tangentiaUs ; sin non a = 1, non ipsa quidem circulum tangit, at
est tamen parallela tangenti H K, quae in perpendicularem 0 F perpendiculariter erigitur. Unde
sequitur, si primitiva fuerit n-gonum seu mutua n rectarum intersectione orta fuerit, fore ut
n circulorum polum transeuntium constet analoga smgulorum singulis partibus; nisi primitivi latera
statuas rectarum polum transeuntium fuisse partes: quo casu analogi item n-goni analoga latera
curvedinem suam amittent in rectasque abibunt.

Primitiva jam sit hyperbola r = ^ cos. a?, sin. ^q.) i centrum sit ipse polus; res-
pondet lemniscata =nbsp;^os. — al sin. ^(p) cujus ipsius quoque centrum polus
occupât. Similique ratione procedentes, ex mutua aequationum

^ ^ (t) ^ COS. 2 cp

r =

\/ COS. 2 cp

ab

1/ bl COS. '(p al sin. 'Cp
b'

a (a' =F b') COS. cp

1 COS (?)

2 ab'. COS. Cp
a' sin. '■'cp zp b'. cos. ^cp

p COS. 0
sin. '^lt;p

a sec. (?) •gt;

r ==

r =

r =

r =

'' ^ (ib)^ (b'- COS. '0 al sin. '0)
r = Ö [a |/(a' =f b') cos. 0]
r = (1) (1 COS. 0)

a' sin. ± b' cos. ^0

r =

2 abl COS. 0

- (t)^'quot;- ^

COS. 0
1

r —

a sec. (?) b
sin.
0

r —

-ocr page 72-

anaïogia ïiaûc sequi videmus mutuam linearum ex alBnitate nostra analogiam: Hyperbolam, de
qua modo sermo erat, reddamus aequilateram: hyperbolae huic GHDEJF (fig. 14) analoga
lemniscata in illam abit lemniscatam H'OJ' (fig. 14), quae a
Foffnani nomen habet sive cujus
punctum in polo duplex ramorum sibi invicem perpendicularium mutua intersectione oritur. Hyper-
bolam in ellipsin mutemus, eodem tamen loco centrum maneat: figura respondet, ad lemniscatarum
genus ipsa quoque referenda, duplici tamen puncto carens. Primitiva rursus sit ellipsis hyperbo-
lave, at polum alteruter focorum occupet:
cardiois respondet: ellipsin hyperbolamve in parabolam
mutemus: cardiois in
eirmlarem ut vocant cardioidem abit. Primitiva rursus sit elKpsis hyper-
bolave, alterutro vertice polum occupante: lineae respondent satis simplicis formae: sin parabola
fuerit primitiva, analoga in
cissoidem abit. Nec minus simplices erunt lineae, conchßidi vel Di-
nostrati quadratrid
respondentes.

Quae autem e generali capitis II alHnitate u = u', vv' == 1 hacce nostri capitis coordinatarum
u et V defmitione orta est figurarum affinitas
(p == (p', rr' —- 1, potest illa aequationibus quoque
inter orthogonales coordinatas indicari. Quibus tamen aequationibus omnium illarum proprietatum
imalogia, de quibus hocce capite vidimus, h. e. quae ab ipsis polaribus coordinatis u et v
sive
r el 0 earumve a differentialibus fimctionibus pendent, minus fit simplex atque perspicua;
quare asymptotae, polumve transeimtes radiove vectori perpaidiculares rectae tangentiales, punc-
tave in polo asymptota, aliaeve istiusmodi primitivae proprietates quidnam in analoga figura requi-
rant sibi analogum, non potest nisi prolixis formufis magnoque labore investigari; at contra
harum proprietatum analogia, quae ad rectarum tangentialium cum recta initlali OX intersectionem

spectant, e. g. Y Y alio va modo ab orthogonalibus pendent coordinatis -

quorum tamen minus simplex erit nostra ex affmitate relatio -facifius poterit novis de quibus

jam videbimus formulis investigari. Habemus igitur:

Inbsp;,nbsp;. ,nbsp;COS. tpnbsp;r. cos. lt;pnbsp;X

X = r. COS. Cp =-7- =nbsp;=

,nbsp;I •nbsp;sin. wnbsp;r. sin. lt;pnbsp;Y

y = ^ • Sin. lt;p = -7- = —7— = iTT^

( y \ (x^ y^) dy-y. d(x- y') iL _ 2 xy
\x' y' /nbsp;(x^ y')»____dx_

dy' _______ _ ___

dx' — W ^ \nbsp; dx - X. d(x^ y')nbsp;quot; _ ..

quae aequatio, si sit = o vel oo vel ± 1, in simpliciores hasce abit formas

dy' _ 2xynbsp;^ _ HzrîLnbsp;iL. — X'—y' 2xy

quot;dT'nbsp;x'—ynbsp;dx'nbsp;2xynbsp;dx'nbsp;yquot;—x»'72xy

-ocr page 73-

Prolixiore hacce adhibita substitutione x' = ^ jr Y' =nbsp;eadem jam quae supra pro-

dibit algebraicarum linearum, ex affmitate nostra sibi respondentium, analogia, ut sequentes nos
docent aequationes: Sectioni cuilibct conicae, cujus indefinitus est situs atque forma, h. e.
quae generali indicatur secundi gradus aequatione

ax by cxy 4- dx ey f = 0
linea quarti gradus respondet

(ax by cxy) (dx ey) (x^ f) f (x^ ff = o

a^x b=y a^ b^
a^x ~ e) b^y -- a'^ b^
y P (x — q)

S
S

§

-a
§

a.

co

y

ëu

- (2 a =F x) X

y px
a^x -± b^ a^b^ (x y^)^
a^ (x — ex - eyO '-f b^y
y (px — qx^- qy2) (x^ y')
2 ab ^x (x y^) - a^y b ^x
0
y === px (x y^)

-ocr page 74-

c A p u T IV.

««5

DE ILLA FIGURARUM AFFINITATE, QUAE IN ORTHOGONALIUM COORDINA-
TARUM SYSTEMATE AEQUATIONIBUS INDICATUR

(;r ~) (quot;il?) = 1 'nbsp;(cT^IT) quot;quot;

Dlt;

generali videamus hocce capite affinitate, de qua Capite I? sermo erat, aequationibus
uu' ==1, vv' = 1 iudicata; coordinatas autem u ac v non jam orthogonales sive vulgares
designare statuamus coordinatas x et y, sed hunc in modum definiamus: Duo sint puncta fixa
A et B (fig. 15), quae
polorum nomine donemus rectaque conjungamus X'ABX; punctum jam
quodlibet C definiatur duarum rectarum AC et B C intersectione, quarum altera polum A, altera
polum B transeat, h. e. definiatur angulis CAB et CBA sive
et Xi q^os cum recta X'X
faciunt radii vectores AC et BC sive rectae, cum alterutro polo punctum C conjungentes.
Et affirmativa quidem sit angulo ij/ directio L B N R, negativa R N B L (b. e. puncto C sit
vp = BAC, puncto autem L sit vp == — BAL), angulo contra % afiirmativa sit directio
LANS, negativa S N A L ; recta autem X'X sit utrique angulo initialis sive unde in angulis
et computandis exeamus. Coordinatas jam u ac v si ipsos designare statuimus angulos
ip ac Xj figurarum prodit affinitas haecce

quot;PV =1 zz' ^ i

-ocr page 75-

quae tamen hand profert simplicem aliquam multarum proprietatum analogiam; quare praestat,
pro angulo
ip et x eorundem tangentes substituere. Cujuslibet igitur puncti C coordinata u sit
tg. lî' sive tg. CAB, coordinata autem v sit tg. sive tg. CBA. Affinitas ita oritur, de
qua hocce capite agamus,

(tg. (tg. 1 (tg. Og- = 1.

Symmetrica jam illa coordinatarum u ac v mutua relatio, quam, quod ad analyticas formulas

attinet, inter generales istas exstare coordinatas monuimus capitis I initio - quam eandem,

si u ac v orthogonales designant coordinatas, intactam subsistere, quod ad geometricas attinet

proprietates, ex iis apparet, quae ^in refiqua capitis I parte occurrunt - eadem illa symmetria

hie quoque inter coordinatas reperietur tg. ac tg. siquidem nulla est caussa, cur polorimi
alteruter prae altero praestet. Quod hie quoque iterationum fugiendarum nobis copiam facit,
siquidem, quae de altero polo de alterave figurae cujusdem parte monuerimus, de altero alterave
quoque affirmare licebit.

Ut jam possimus ea, quae capite I- reperimus, nostrum in locum transferre, videamus antea,
quidnam hoc loco sibi velint elementa elementorumve series finitaeve coordinatarum u ac v functiones :
coordinatarum igitur quotiens — ex hacce nostri capitis coordinatarum definitione hue redit:

tg. X ^ tg. CBA ^ (bM ) __ ^
tg. Vnbsp;tg. CABnbsp;/
CM \

V am ^

cm

^nbsp;(%. 15)

BM

am'

adeoque quotientem indicat distantiarum AM ac BM, qiribus a polis distat rectae polos conjun-
gentis X'X cum perpendiculari CM intersectionis punctum M.

Ipsorum jam elementorum, quorum mutuam analogiam relationes (8) nos supra docuerunt, si
significatum quaerimus, e nostra coordinatarum defmitione ilKs contingenten!, dubia quaedam se
nobis offerunt, quae ut accuratius de iis videamus requirunt. Primum enim, si elementum quod-
dam proponitur u= b,v = — b, cujus coordinatae non magnitudine sed signo tantum
discrepent, erit nobis, e coordinatarum definitione supra allata, per utrumque polum recta quae-
dam ducenda, ita quidem, ut recta AC cum X'X angulum faciat CAB, cujus tangens b ab
alterius anguH CBA tangente non nisi signo discrepet, h. e. qui sit anguli CBA, quem cum
X'X altera recta BC facit, supplementum. Rectas igitur vides CA et CB fore sibi parafielas,
nec fore iis adeo ullum intersectionis punctum; unde sequi credas, ut hujusmodi elemento nullum
indicetur nostro capite punctum. Attendamus tamen, elementum u=^ b,v = — b limiteni
esse, quo infinita quanti w deminutione tendat elementuni u = b, v = — (b cu), h. e.

-ocr page 76-

rectarum, eadem fere directione procedentium, intersectionis esse punctum, a polis infinite distans:
facile jam apparet, elementum nostrum u = b,v = — b terminum indicare, quo tendat
punctum, rectam AC aliamve huic parallelam finiteque ab hac distantem baud deserens, a polis
autem infinite recedens. Quod si in elementum transfertur u =
go,v = — co, terminum
apparet indicari puncti, in recta RAT aliave in recta rectae
X'X perpendiculari siti, a X'X
autem infmite recedentis. Elementum igitur u = 4-ao,v= — co nostra e coordinatarum
defmitione indefmitum esse vides, siquidem cunctaindicat puncta, quorum a rectis RAT vel SBU
quaelibet finita sit vel etiam nulla distantia, modo a recta X'X infinita sit eorum distantia. Nec tamen
nostro hoe coordinatarum systemati tribuendum: eadem enim ambiguitas, si vulgaribus utaris coor-
dinatis u = X et v = y, elemento inest u = oo v =
— go , quo quodlibet designatur
quarti quadrantis punctum, cujus infinita sit a rectis X'X et YY' distantia, indefinito puncti situ;
quam situs ambiguitatem si tollere cupias, adjici oportet — == -L = tg. cp == b. Idem hoe
loco faciamus: ad elementum enim eeteroquin ambiguum u = qo,v = — oo definiendum
adjieiamus, quinam sit coordinatarum quotient! tribuendus valor, h. e. quaenam sit distantiarum
AM et BM relatio: quo facto, determinatur punctum M, definiturque adeo, reetamne RAT an
vero SBU an vero neutram punctum nostrum occupet. Eadem ambiguitas elemento inest
u =
o , v == o: quo indicatur intersectionis punctum rectarum, polos A el B ita transeuntium,
ut angulum cum recta X'X faciant nullum vel saltem infmite parvum: quas adeo rectas vel ipsam esse
rectam oportet X'X vel rectas saltem, quae, quamdiu a polis finite distent, cum recta X'X congruant,
nec nisi infinita a pofis distantia fmitam a recta X'X distantiam nanciseantur. Elemento igitur u = o,
v ==
o cuncta vides designari rectae X'X puncta cunctaque praeterea puncta, quorum fmita a X'X,
infinita a pofis sit distantia. Itaque hujus quoque elementi ambiguitas additione quotientis — —
punctique adeo M defmitione tollatur necesse est. Videndum tandem de elementis, quibus sit u = o,
v contra finitum: quibus indicantur intersectionis puncta duarum rectarum, quarum altera rectam
X'X in polo B certo sub angulo transit, altera polum contra A pervadit angulumque cum X'X
facit nullum adeoque cum X'X congruit ; hanc autem rectam, nisi sit v item = o, non posse
a recta polum B pervadente in alio puncto nisi in ipso polo B secari manifestum est; unde
apparet, istiusmodi elemenüs ipsum significari polum B. Quae tamen ratiocinatio non amplius

valet, si figura polum B infinite quidem appropinquet nec tamen transeal - quemadmodum

fieri solet, si polus B figurae sit punctum ut dicitur asymptotum. Lineam enim fingamus quam-
dam f (u, v) = o, cujus coordinata v varios inde a
b usque ad c nanciscente valores
b, b', bquot;.....c, altera contra coordinata u maneat semper = o; cujusmodi Linea, si vul-

-ocr page 77-

garibus utimur coordinatis u = x et v = y, lineam indicat FGHJ (fig^ 16), cum aXe YY'
sive X = 0 per aliquod spatium congruentem; cujusmodi vero lineae e nostra coordinatarum

definitione hoe proprium est, ut polum B infinitae parvitatis gyro p p' pquot;----circumvolvalur.

Hujusmodi igitur lineae varia elementa

Vnbsp;= b

Vnbsp;= b'

Vnbsp;= bquot;

u o
u = 0
u = 0

non polum cuncta indicant, at varia potius indicant gyri istius puncta p, p', pquot;, etc. Sin polus
B non fuerit istiusmodi
punctum asymptotum, sed a figurae contra ramo KBMN transvadatur,
angulus X. sive ABM, quem cum recta X'X facit radius vector BM puncti M a polo B
paullulum distantis, ipsum indicat angidum ABP, quo figurae ramus KBMN sive ejusdem
recta tangentialis BMP rectam X'X secat; quo casu elementis modo memoratis non varia, ut
supra, indicantur figurae puncta, loco definite, directione indefinita, at unum contra semper
indicatur punctum, ipse videlicet polus B, adjecta tamen directionis, qua figura eum transit,
definitione. Eadem autem illa, mutatis mutandis, de elementis item valere

u = a V = O
u = a' V = O
u = aquot; V = 0

monere vix opus est.

Haec jam attendentibus nobis facile erit elementorum definire nostri e coordinatarum systematis
sensu significatum. Qua in re brevitatis caussa statuamus, ad neutrum polorum A vel B, nisi
(îosdem pervadat, infinite figuram nostram appropinquare, neutrumque adeo polum esse ei
p/unc-
tum
ut dicitur asymptotum, siquidem non occurrunt haecce puncta in illis figuris, quarum hocce
capite videbimus analogiam. Videmus itaque

rectae X'X tactio in polo A
---- B

U = 0 v = 0— = 0

- = GO
u

punctum rectae X'X, cujus fmita sit a poUs distantia.

punctum 0, inter polos A et B intermedium.

punctum, cujus a X'X nuUa vel finita, a pofis infinita sit distantia.

terminus puncti, rectam RAT haud deserentis, a polis infinite receden-

(tis.

terminus ejusdem puncti, rectam SBU haud deserentis.

«

!S

â

m

■O

-== 1

-1

U = GO V=GO— =0

— _ = 00
u

-ocr page 78-

rectae X'X intersectie in polo B sub angulo CBA == b

- A - CAB = a

rectae SBÜ tactio in polo B

- RAT - A

punctum rectae RAT, a polis finite distans.
__SBÜ, -

punctum, cujus distantia a rectis X'X, RAT, SBU finita.

punctum, cujus distantia a rectis X'X, RAT,SBU infinita,ita tamen

(ut nulla reliquas infinities superet.

punctum rectae YOY.

Attendentibus jam nobis, elementorum seriem u = o cuncta designare ista elcmenta

u = 0 v = o
u = 0
v = 1)
u = O V = b'

u ^

0

V

b

u

a

V

== 0

u =

0

V

= GO

u

QO

V

== 0

u

GD

V

a

u ^ -

a

V

=== GO

u ==

a

V

= b

u =

1)

V

u =

b

V

=

£
05
S

•ËP

'S

u = o v go

quibus, varios nanciscente coordinata v valores, sit semper u = o, idemque de refiquis valere
elementorum seriebus, perfacile jam erit, ex elementorum significatubus modo definitis, quid sibi
hoe loco variae velint elementorum series jam definire. Videmus enim

rectam X'X, adjectis punctis, a X'X finite, a poMs infinite distantibus.

-X'X, üsdem adjectis punctis.

- polum A transeuntem, modo ne sit X'X vel RAT vel SBU

- B --

3

'C

lt;ü

I
'1

s

s
®

g

s
33
'S

— = c

II

= o

— =- 00
u

rectam RAT, adjectis punctis, a RAT finite, a X'X infinite distantibus.

- SBU, - SBU -

- rectae X'X perpendicularem.

- RAT

- SBU

----Y OY', inter RAT ac SBU intermediam.

= 4- 1
_ 1

X = ± GO seu terminum rectae, rectae X'X perpendicularis,

(a polis infinite recedentis.

u 0

Vnbsp;= O

u — a

Vnbsp;-- b

u == go

vnbsp;= go

-ocr page 79-

Ouibus jam defmitis, nostrum in locum transferamus quam Capite I? reperimus mutuam elemen-
torum mutuamve serierum elementorum analogiam. E relationibus (4—6) igitur apparet, fore
ut ex hac quoque nostri capitis affinitate nonnullae sint rectae, quibus analogas facile invenire
possis. Docent enim relationes (4), cuilibet rectae polum A transeunti aliam respondere rectam,
idem punctum trauseuntem ; relationes (5) contra, cuilibet rectae polum B pervadenti aliam
analogam esse rectam monent, quae eundem polum permeet; relationes (6) tandem, cuilibet
rectae, rectae X'X perpendiculari, aliam respondere docent alterius figurae rectam eidem X'X
perpendicularem. Ex his tamen rectis alterutrum polum transeuntibus excipiendam esse apparet
ipsam rectam X'X: serierum enim u = o ac u' = ao serierumve v = o ac v' =
go si
mutuam quaerimus analogiam, attendendum erit, universarutn serierum hinc oriri mutuam analo-
giam, quod analoga utriusque seriei elementa sibi invicem respondeant: Seriem itaque u == o ita
respondere seriei u' = oo, ut prioris seriei elementum u = o , v = o (h. e. recta X'X)
i .respondeat alterius seriei elemento u' - co, v' == co (h. e. punctis a X'X infmite distantibus),
reliqua autem prioris seriei elementa u = o, v finitum vel infinitum (h. e. poli B variis sub
angulis transitio) reUquis respondeant alterius seriei elementis u' = co, v' fmitum vel infinite
parvum (h. e. variis rectae RAT punctis).

Inter has autem rectas, e relationibus (4-—6) sibi invicem analogas, 6 esse vidimus Capite I?,
quae ipsae sibimet respondeant: rectas videficet

u = 4 1

u — 1
vnbsp;1

v = - 1

rectas nostro loco désignantes ANS, ALU, BNR, BLT (fig. 15), rectam X'X in polis
sub angulo ± 45 graduum secantes; rectam praeterea = -f 1 sive YOY'; rectamque
tandemnbsp;— 1 seu terminimi x ± oo rectae ab YOY' infinite recedentis. Quam

tamen analogiam non ita intelfigendam esse vidimus Capite I-, ut quodUbet earum punctum sive
elementum ipsum sibimet esset analogum: nam 4 tantum esse elementa, quibus talis contingat in
transitione ad analogam figuram constantia: elementa primum

u = 1 V = 1
u = — 1 V _ 1

-ocr page 80-

fi. e. puncta N et L, in quibus rectae se invicem ANS ac BNR rectaeve se invicem ALU
ac BLT ofFendunt; elementa deinde

u= l v = — 1
u = - 1 V ^ 1
h. e. puncta, quorum infinita a X'X, eadem tamen a RAT quoque vel a SBU infinita est
distantia, h. e. termini puncti, rectam ANS afiamve huic parallelam vel rectam contra ALU
aliamve huic parallelam baud deserentis, a pofis autem infinite recedentis. Reliqua contra
elementa non fore sibimet ipsis ex aflinitate nostra analoga, docent nos relationes (8).

Quae autem e relationibus bis (8) sequitur punctorum analogia mutuam quamdam nobis praebet
illarum utriusque figurae proprietatum analogiam, quae ab ipsis elementis pendet; siquidem, pri-
mitiva si punctum quoddam transeat, punctum puncto huic e relationibus (8) analogum analogae
esse figurae transeundum manifestum est. Quae tamen proprietatum mutua analogia hoe loco

non unice - sicut Capite R fiebat--ad analogum spectabit utriusque figurae situm,

directionum analogiae nulla habita ratione, sed partim situs, partim directionis respieiet analogiam.

Suppositione enim supra a nobis facta - non fore A vel B punctum asymptotum -----

factum est, ut elementa hocce capite et locum denotent, quem occupet figura, et directionem
interdum, qua procedat.

Quod igitur e relationibus (8) elementa

u = a V = b ac u' = '/a V = '/b
sibi invicem respondeant, hoc loco nos docet: Prout primitiva a rectis X'X, RAT, SBU aut
finite distant aut non finite, idem esse de analoga dicendum. Quod autem

conbsp;v

'/anbsp;v

onbsp;v =

'/anbsp;v'

= Vb

= co

= Vb
0

b
0
b

cc

0nbsp;v

anbsp;V

gcnbsp;v

anbsp;v

u
u'

u'
u'

u
u
u
u

g

OJ

'S

o

Sh

m

£

§

o

nos docet : Quoties primitiva alterutrum polum, A vel B, obfiquo sub angulo transient, toties
analogam certum quoddam transire punctum alterius alterum polum B vel A transeuntis rectae
SBU vel RAT; cujus quidem puncti finitam a X'X distantiam certa quadam ratione pendere
a directione, qua polum A vel B primitiva transient; indefinitum tamen esse, nisi differentiales
coordinatarum functiones attenderis vel accuratiorem saltem rei investigationem institueris, qua-

-ocr page 81-

nam directione rectam illam SBU vel RAT offenderit analoga, rectamne illam tetigerit an vero
secarit. Vicissim: quoties rectarum RAT vel SBU alterutram primitiva, qualibet directione,
at certa quadam finita a X'X distantia offenderit, toties analogam alteram transire polum B vel A,
et ea quidem directione, quae a situ pendeat puncti, quo rectam RAT vel SBU primitiva
offenderit (1). Mutua porro elementorum

u = 0 V = QO ac u' = oo v' = o
u = co v=o ac u' = o v' = ao
analogia nos monet: rectarum SBU vel RAT alterutram si primitiva in ipso tetigerit rectae
illius cum recta X'X intersectionis puncto, h. e. in ipso polo B vel A, analogam requiri alterius
rectae RAT vel SBU in altero polo A vel B ab analoga figura tactionem (■{•). Mutua tandem
elementorum

u = o v = o ac u' = aD v'==-qd
u GO v - GC ac u' = o v' == 0
analogia
ob indefinitum borum elementorum significatum nullam quidem universe affert proprietatimi
analogiam; sin elementa accuratius defmimus, attendimusque, ex aequatione (3) esse ==
videmus

B
§

S

£
0)

O

P

= 00 v = 00

=nbsp;0

=nbsp;CD

=nbsp;0

=nbsp;QD

=nbsp;GO

=nbsp;0

=nbsp;GO

=nbsp;O

V 0

u = 0

g
2

u
T
u

v

u = 0 v = 0

u = 00 v = 00

b. e. quoties analogarum figurarum alterutri alterutra rectarum RAT vel SBU asymptotae partes
praestarit, toties rectam X'X ab analoga figura in altero polo B vel A tangi (§); vicissim,
rectam X'X si in alterutro polo primitiva tetigerit, analogae nullam ab altera rectarum RAT

1nbsp;* Exempla praebent rectae WK (fig. 24), parabolarumve (fig. 25), hyperbolarumve (fig. 26 et 27), circulorumve
(fig. 28) intersectionis puncta K et K' cum recta KAT, P et P' cum recta SBU, quibus respondent obliquae in
polis B et A rectae X'X ab analogis figuris transitiones.

-ocr page 82-

vel SBÜ, infinitam a X'X fore distantiam, adeoque, nisi analogae obstarit directio accuratius
investiganda, alteram illam rectam RAT vel SBU analogae fore asymptotam. Quod porro
elementis

u' = GO v' = GO -lp = '/e

u

respondeant

= 7c

U = GO V ^ - GO — = C

U -= 0

V = 0

nos docet : Quot alterutri figurae sint asymptotae, rectis RAT ac SBU parallelae finiteque ab iUis
distantes, toties rectam X'X ab analoga figura olFendi(13; contrarium statui non posse, nisi
directionum sinat analogia; plerumque igitur fieri (si ponamus c — 1), ut alterius figurae
ramus parabolicus sive cui recta x =
± go sit asymptota, alterius figurae ramo sit analogus,
qui recta X'X aliave huic parallela finiteque ab hac distante tamquam asymptota utatur; ad istius-
modi tamen asymptotarum analogiam requiri directionum praeterea mutuam analogiam, a differen-
tiafibus coordinatarum functionibus repetendam. Quod tandem elementa sibi invicem

u _ _ b V = b ac u' = -nbsp;v' =

respondeant, indicio nobis est: Primitivae si asymptota fuerit, rectae X'X nec parallela nec

perpendicularis, alteri quoque figurae--modo directionum sinat analogia- asymptotam fore,

quae rectam X'X obfiquo angulo secet (f) ; ac si angulus quidem ille fuerit 45 vel — 45
graduum in primitiva, eandem fore angulo illi in analoga figura magnitudinem (§). Analogia
tandem, qua sex elementonim series (7) vel qua elementa

u = 1 V 1
u = - 1
V = - 1
sibimet ipsa respondere supra vidimus, hanc alTert proprietatum analogiam : Quoties rectarmr»
YOY', ANS, ALU, BNR, BLT (fig. 15) unam alteramve primitiva offenderit punctorumve
N vel L alterutrum transient, toties analogam in analoga figura requiri ejusdem rectae olfen-
sionem ejusdemve puncti transitionem

u == 0

V = 0

— ^ c

u

1nbsp;* Primitivae e. g. hyperbolae asymptota D E (fig. 24 et 26) respor.clentem sibi habet rectae X'X transitionem ab
analoga recta
W K in puncto V (fig. 24) analogave ab hyperbola in puncto V' (fig. 26.).

-ocr page 83-

Ut jam capitis I relationes (10) ac (11) hue possimus transferre, videamus quidnam hoc Joco
affirmativa vel negative sibi velint coordinatarum signa. Attendentibus igitur nobis, anguli alicujus
tangentem esse

gt; 0 vel contra lt; o
prout angulo isti magnitudo contingat
inter — 180quot; ac - 90«

0 ac 90°
180° ac 270°

vel contra

inter — 90°nbsp;acnbsp;— 0

--h 90°nbsp;acnbsp;4- 180quot;

~ 270°nbsp;acnbsp; 360'
etc.

u

gt;

0

V

gt;

0

u

lt;

0

V

lt;

0

O

Cfi

m
«

u

gt;

0

V

lt;

0

ra
'm

u

lt;

0

V

gt;

0

etc.

facile apparel, cuncta puncta, quibus u == tg. 4/ = tg. CABnbsp;(fig. 15) sit affirmativum, in
(piadrantium RABX vel X'AT alterutro esse sita; eademque ratione procedentes, puncta videmus,
quibus sit

in rectangulo S BAR
- TABU

in alterutro rectangulorumnbsp;SBX vel X'AT
----RAX' vel XBU

Docent nos igitur relationes (10) : Primitiva si alicubi in hac illave e quatuor istis universi
spatii partibus versata sit, requiri, ut analogum quoque alterius figurae punctum in eadem spatii
parte versetur (-{•). Dubium itaque videri possit, si primitivae punctum consideramus in rectan-
gulo SBX situm, sitne in eodem rectangulo SBX an vero in X'AT analogum huic alterius
figurae punctum quaerendum. Attendamus tamen, puncta, quibus sit inter coordinatarum signa
vel — discordia.

in X'AR vel X'AT
in XBS vel XBU

u gt; v
u lt; V

i ; • i J '

sita esse

prout sit

modo eam intelligamus alterius coordinatae prae altera praestantiam, quae ad magnitudinem
tantum, non ad signum special. Relationes (11) in memoriam jam revocantibus nobis apparet,

-ocr page 84-

puncto primitivae, quod in SBX, ÜBX, RAX', TAX' situm sit, punctum contra respondere
alterius figurae, cujus in TAX', RAX', UBX, SBX locus reperiendus (1).

Vidimus porro Capite I=, unum uni semper respondere ex affinitate nostra elementum
elemento; nequaquam tamen inde, si u ac v orthogonales designent coordinatas, sequi, ut unum
uni quoque respondeat semper punctum puncto; excipienda enim esse puncta, in alterutro axium
XX' vel YY' sita; quorum unicuique infinitam respondere analogorum punctorum multitudinem.
Eadem exceptio hic quoque e nostra coordinatarum definitione obtmet, non tamen in punctis

rectae YY' - quorum unicuique aliud ejusdem rectae respondere supra vidimus punctum -

sed in punctis contra alterius rectae X'X ; quorum unicuique innumera respondent hic quoque
alterius figurae puncta, quibus eadem quidem est a rectis RAT ac SBÜ distantia, variae
contra sint a recta X'X distantiae infinitae. Ex bis tamen punctis rectae X'X ipsi excipiendi
poli A ac B; horum enim alteruter, si per se spectatur sive figurae eum transeuntis non
ratione habita, cunctis respondet alterius rectarum RAT vel SBU punctis, sive finita sive
infinita sit illorum a X'X distantia; sin non ipsum polum, sed figurae polum transeuntis istud
spectaveris punctum quod polum occupet, unum tantummodo puncto huic respondet alterius rec-
tarum RAT vel SBU punctum ; nisi rectam X'X statuas in polorum alterutro tangi ; quo casu
istud quoque figurae punctum, quod polum occupât, cum reliquis rectae X'X punctis hac in
re convenit, quod infinita ei respondet punctorum multitude, alteram rectarum RAT vel SBU
occupantium, a recta autem X'X infinite recedentium.

Ex bis jam facile patet, capitis I relationes (12), in nostrum locum translatas, de duplicibus
punctis baec nos monere: primitivae si fuerit alicubi punctum duplex, ex hac quoque nostri capitis
affinitate requiri, ut ejusdem singularitatis punctum in analoga item reperiatur: excipienda tamen
esse puncta dupficia, in recta X'X sita, quibus vel duplicia posse respondere alterius figurae
puncta vel duos contra ramos, qui, fmita a se invicem distantia servata, a recta X'X infmite
recesserint; majore etiam jure excipienda esse puncta in alterutro polo dupficia; cujusmodi puncto

primitivae - nisi ob ramorum parallelismum tactionis simul punctum fuerit - non duplex

alterius figurae respondet punctum, at duplex contra respondet rectae RAT vel SBU alt«rum

1nbsp; Haec autem rectangulorum analogia facile nobis reddit, quinam primitivae rami quibusnam respondeant ramis analogae
investigare. Hyperbolarum e. g. F B R T J G ac F B E T J' G' (fig. 22) hanc videmus esse mutuam analogiam, ut
ramus F B respondeat alterius ramo G' J' T respondeantque sibi deinceps invicem rami BßacRB, TJG ac BF.
Kectae autem WK haec erit cum analoga hyperbola mutua ramorum analogia, ut respondeant sibi rami W P ac FA,
P V ac A E , V L ac D L , L K ac L B , extrema tandem rectae pars ramo hyperbolae B G

-ocr page 85-

polum transeuntis ab analoga figura offensio; nec infinita erit - quod in ramis duplici

puncto respondentibus requiri modo videbamus - ramorum iUorum a recta X'X distantia,

at qualibet ab bacce recta distare possunt distantia finita.

Eandem tandem quam Capite E adhibentes ratiocinationem, nostra quoque videmus ex affinitate,
si primitivae fuerit alicubi punctum
a reliquis separatum punctumve irderstitionis, analogum
requiri in altera figura ejusdem singularitatis punctum, nisi coordinatarum u ac v alterutra
fuerit =
0, h. e. nisi rectam X'X singularia ista puncta occuparint. Ouo casu, si dirimi velimus
quaestionem, sitne analogum analogae punctum singulare necne, primitivae nobis erit natura
accuratius investiganda. Primitivae e. g. si hujusmodi contigerit elementorum series

u =

0

V

= b

u' =

GO

v'

b

u =

0

V

= b'

u'

GO

v'

17

cui analoga alterius

f

!

u

0

V

= bquot;

u' =

GO

V

bquot;

series respondeat

etc. .

u

0

V

C

1

u =

GO

v'

1
e

erit primitivae punctum a reliquis separatum, ipsum occupans polum B; cui tamen puncto non
analogum in altera figura punctum ejusdem singularitatis, at rectae contra RAT certa quadam
pars respondebit.

Ad differentiales jam coordinatarum functiones anteaquam transeamus, de Capitis I aequationi-
bus (2) ac (3) breviter videamus. Quotientis igitur significatum supra (pag. 61) definitum
si attendamus, aequationem (3) hue videmus redire: Duo si habeas analoga sibi analogarum
figurarum puncta C et C', e quorum utroque in rectam X'X perpendicularem ducas CM vel
CM', harum jam perpendicularium cum rccta X'X intersectionis puncta M et M' distantiis a poHs
A et B distabunt AM, AM', BM, BM', quas inter haec erit relatio:

/ am
Vbm

) ^ (^j = 1 sive AM : BM = BM' : AM'

Aequatio (2) contra non est hoc loco satis magni momenti. Quare hanc potius nostro capite ei
substituamus inter coordinatarum functiones relationem:

1 1
---
i-.-

11nbsp;v

__ -

V 4- u

11 T

1 — U T

iiv — 1

-ocr page 86-

u v

ex hacce nostri capitis coordinatarum definitione

. - tkfin. = tg- = - tg- [180° zn = - tg- ACB. (fig. 15).

Hanc igitur functionem quum ex alfinitate nostra, si ad analogam transeatur figuram, eandem vi-
deamus servare magnitudinem, at signum ± mutare, sequitur fore ut angulus ACB, quem puncti
cujuslibet bini radii vectores AC et BC secum faciunt, si ad analogum transeatur analogae figurae
punctum, in supplementum sui abeat CO-

Et haec quidem sulficiant de proprietatum analogia, quae ex ipsarum coordinatarum sequitur
relatione. Ad differentiales transeamus coordinatarum functiones, ac primum quidem ad functiones
ordinis primi. Quarum quinam sit hoc loco significatus , ita apparebit : Duo fingamus figurae
cujusdam ICC'J (fig. 17) puncta C et C', quorum infinite parva sit distantia: utrumque jam
punctum si cum utroque jungimus polo et A et B, alterius puncti C radii vectores CA et CB
alterius erunt puncti C' radiis vectoribus C'A et C'B, ob infmite parvam punctorum C ac C'
distantiam, parallefi aut saltem infinite parvo directionis discrimine procedentes ; eademque erit
caussa, cur eadem fere in utroque puncto sit lineae ICC'J recta tangentialis MCC'Q. In quam
ab utroque polo perpendicularem ducamus AG et BH; a punctisque praeterea C ac C' in alterius
puncti radios vectores C' A ac C B' perpendiculares ducamus CD ac C' D'. Attendentibus jam
nobis, si a puncto C ad punctum procedamus C', augeri angulum CBA = minui contra
•angulum CABnbsp;bisque adeo angufis in processu illo incrementa contingere CAC - dip,

CBC' d%, hic jam prodibit difierentialis coordinatarum quotientis significatus:

CD = AC. sin. CAC = AC. sin. (— dif/) = - AC X d^/
CD' = BC. sin. CBC = BC. sin. ( dx) = BC
X d;^

Est autem functio illa

tg. -If' tg. /

C C. sin. A C' C

CT)
C' n'

A C. sin. A C G

B C. sin. B C II

- clip

(4§J

V)

v cos. 'llr /

quot;pzzy

V, cos. /

C C'. sin. B C C'

AC
B C

AG

X

BH

cos. 'ifi. sin.
cos. 'x-

X

sin. A C' C
siTi. B C C^

CDnbsp;A C

BC

CM. cosec. X 7nbsp;dz ®

V

0' D'

d (tg. ■»)
d (tg. y.)
sin. AGG
sin. B C H

X

X

dz

sin.

sin. à-x

= _ (_lY .

. - Ifnbsp;V u

du

AC
B C

Jg- 'x
tg-

-ocr page 87-

Differentialis igitur quotiens hoe loco quotientem indicat (1) perpendicularium, ab

^^ —----^----------« -------- jj^

utroque polo in rectam tangentialem ductarum, modo statuamus esse ibi

du

modo de istorum primitivae punctorum differentiali quotiente agatur, quae rectam YOY'

occupant - vel esse — = — 1--h. e. modo ista considerentur figurae nostrae puncta.

quae asymptotas rectae X'X non perpendiculares persequantur aliave quadam ratione infinite a
rectis RAT ac SBU recedant inque terminali adeo recta x = ± co sita sint. Sin non sit

h. e.

= 1 -

apparet faciliore nos posse ac simpliciore

du

17

— = -f- 1 vel = — 1, functionem

du

ratione hoe loco geometrice interpretari, quam possimus functionem — ; cujus rei contrarium
obtinuit in Capite K, ubi functionis major erat quam functionis • ratio habenda.

Definite itaque differentiafium harum functionum significatu, mutuas jam in memoriam revocemus
earum relationes, in Capite E ohm reportas (pag. 11):

O' ^ C13)

dv'
du'

U'

V'

dv'

quot;diF

(14)

u dv
V du

Quarum posterior nos docet: Si perpendicularium, in tangentialem rectam ductarum, quotiens

(v)quot; quot;

(fig. 17) cum coordinatarum quotiente - =nbsp;(fig. 15) multiplicetur,

du

BH

AM

dv

productum oriri

X

ob triangulorum KAG ac KB H similitudinem =h. e.
figura analogum productum

AG
u

, quod, si ad analogum transeas analogae figurae

dunbsp;A(x ^ quot; BM

punctum, nullam subeat nec signi nec magnitudinis mutationem. Sit e. g. productum istud = 1
adeoque (^y. = 7 sive ^^ = h. e. figura nostra vel sit rectae X'X perpendi-
cularis habeatque adeo BH = BM acAG = AM, vel rectam X'X in puncto afiquo K (fig. 18)
offendat [quo casu punctum M (fig. 15) in ipso illo puncto K (fig. 18) erit situm, eritque adeo

; in analoga jam

du'

BM

AKnbsp;AG AM

erit = 1 , adeoque analoga quoque figura vel rectam
X'X secabit vel erit rectae huic perpendicularis : unde sequitur, si primitiva alicubi finite a
rectis X'X, RAT, SBU distant fueritque ibidem rectae X'X perpendicularis, eandem requiri
in analoga alterius figurae parte perpendicularitatem (f).

Ad aequationem (13) jam transeamus. Quam supra vidimus (pag. 12) aüis ortum praebere

1nbsp; Vel, si mavis, — , sicut e formnlis modo allatis efficias. Quum tameu arbitraria plane sit ratio, qua
perpendicularibus AG ac BH affirmativam dicimus vel negativam contingere longitudinem, quotientis boe loco si-
gnum ^ non attendamus; de hoe enim infra agetur (pag. 79).

(t) Exempla praebent respondentia sibi analogorum circulorum puncta V ac W', W ac V' /'fig. 28) analogave ana-
logarum parabolarum puncta
H et H' (fig. 25).

-ocr page 88-

relationibus (18-20); quas tamen parva hacce afficiamus nostro loco mutatione, ut pro functione
ibi occurrente functionem ubique substituamus

illius momentum; quae non obstat mutatio, quominus integrae subsistant relationes (18-20).
Relationum igitur (18), quae mutatione nostra hanc induunt formam

T (vJ- == ^

/ u' \2 dv'

l-7-j-nbsp;== «
--finitum

--= CD

______ finitum

fore

si sit

= GO

varius in variis punctis erit sensus. Primum enim fieri potest, ut non quotiens tantiun sed
ipsae quoque coordinatae u ac v sint finitae: cujusmodi punctorum duo sunt genera, alterum
illorum quae a rectis X'X, RAT, SBU fmite distant, alterum illorum, quibus a rectis ilfis
infinita est distantia, nulla tamen distantia reliquas infinities superante. Fieri deinde potest ut sit
— quidem finitum, u ac v contra = o, vel ut sit finitum, u ac v = co. In quaternis
hisce punctorum generibus relationes (18) adhibeamus.

Primum itaque istiusmodi fingamus primitivae punctum, quod a rectis X'X, RAT, SBU
finite distet, Cujusmodi in puncto fieri quidem posse patet, ut quae punctum iUud transit recta
tangentiafis alterutrum praeterea polum pervadat perpendiculariumque adeo AG ac BH alterutram
ad nihil reducat, non vero fieri posse , ut utrumque eodem simul tempore permeet recta
tangentialis polum, neque adeo posse et A G et B11 simul evanescere; nec vero fieri posse
patet, ut sit in istiusmodi puncto perpendicularium AG ac BH alterutra infinita. Quotiens igitur
ut sit in istiusmodi puncto vel = o vel = co vel finitum, requiri apparet, ut sit vel

A G

BH == O, AG finitum, vel AG ^ o, BH finitum, vel tandem BH ac AG fmita, h. e.
ut recta tangentiafis vel polum B vel polum contra A vel neutrum tandem transeat polum.
Docet nos igitur relatio (18): Si primitiva alicubi fmite a rectis X'X, RAT, SBU dislarit ejus-
demque ibi recta tangentialis alterutrum neutrumve transient polum, requiri ut analoga analogae
figurae recta tangentiafis eundem, quem primitiva, neutrumve, si neutrum primitiva, transeat polum.

Sit jam deinceps primitivae aficubi u = — b,v = -f-b,-^ = —- 1 sitque adeo ana-
logae u' = — '/b, v' = -f- '/b, = — 1, h. e. et primitiva et analoga a rectis
X'X, RAT, SBU infmite distet, ita tamen ut ne una e tribus reliquas infinities superet
distantias. In istiusmodi jam puncto si contingat primitivae asymptota, rectae X'X nec parallela
nec perpendicularis eandemque rectam in alterutro polo vel finita saltem a pofis distantia

-ocr page 89-

secans,--utraque perpendicularis, et AG et BH, recte definitae erit nec tamen ejusdem

magnitudinis, earumque adeo quoque quotiens • ~ recte erit defmitum nec tamen = 1:

ac prout quidem asymptota vel polum A vel polum contra B vel neutrum tandem transit polum,

eritf—T- vel = 00 vel = o vel finitum. Relatio (18) igitur - si attendimus.

d ' d 2
analogum quotientem J •nbsp;quot;quot;nbsp;lir) (^J • siquidem sit hoc loco

^ == — 1, non posse esse == 1, nisi primitivus quoque quotiens • ~ fuerit = (— 1)' = 1:

quod non fieri hoc loco posse, modo statuebamus —— nos docet, idem de quotientis (^J.

quod de quotientis f^J. ^^ magnitudine posse affirmari: h. e. alterutri figurae si asymptota

fuerit, rectae X'X nec parallela nec perpendicularis eandemque in alterutro polo finitave

saltem a polis distantia transvadens, similem requiri in altera figura asymptotam, quae eundem,

atque primitiva, neutrumve, si neutrum primitiva, transeat polum. Quibus tollitur ambiguitas,

(juae de mutua hujusmodi asymptotarum ex alfinitate nostra analogia se nobis supra (pag. 68)

offerebat. As^Tnptota vero nostra si rectam X'X infmita a polis distantia permeet vel

si figura nostra infinite quidem a reclis X'X, RAT, SBU recesserit, asymptota vero

ibidem careat (f), utraque perpendicularis, et AG et BH, erit infmita, earum autem dis-

quot;quot; ad limitem tendet 1: hoc autem si

00 h

fore 1 modo videbamus; quod rursus fieri non

du'

l)otest, nisi in analoga quoque figura infinita sit utriusque perpendicularis magnitudo. Docet nos
igitur relatio (18): Primitiva si infinita a rectis X'X, RAT, SBU, nec ab harum una
alterave infinities majore quam a reliquis recesserit distantia, vulgari tamen caruerit asymptota.
idem posse de analoga affirmari.

In tertio jam quartoque e punctorum generibus modo allatis non magnopere nos adjuvat re-
latio (18). Primitivae enim statuamus esse alicubi asymptotam aliquam, rectis RAT, YOY',
SBU parallelam finiteque ab his distantem: erit ibi u =
go , v = go , ^finitum, AG praeterea
ac B H finita a seque diversa, earumque adeo quotiens ~ sive Jquot; ~ finitus ac recto
definitus nec == 1; at, si primitiva finite quidem a rectis RAT ac SBU infiniteque a recla X'X
recesserit, non vero habuerit ibi asymptotam, nisi forte talem, quae rectam X'X infinita a
pofis distantia secarit, erit AG == oo
a, BH = co b, earumque adeo quotiens

crimen nullum vel finitum, earumque adeo quotiens

/ u' \2 dv'

fiat, analogum item quotientem j .

-ocr page 90-

b

ad limiteni tendet 1. Unde patet, vulgarisne sit primitivae asymptota

(v)quot;

necne, non inde pendere, unde supra pendebat, h. e. utrum fmitus an vero = o vel ce
esset quotiens (-^J-nbsp;sed hinc contra hoc loco pendere, sitne (-^J- == 1 «ecne.

Dubitalionem igitur de mutua asymptotarum analogia supra ortam baud posse relatione (18) toll!
vides, quae de hoc tantummodo agat, sintne functionesJ •nbsp;Imitae an ve-

ro == 0 vel = CO. Relatione (18) igitur omissa, ita potius ratiocinemur: Primativa si rectam
X'X finita a redis RAT, SBU, YOY' distantia perpendiculariter vel obfique ofiquot;enderit, erit
ibi u =
0, V = 0, — finitum, AG praeterea ac BH finita a seque diversa; earumque adeo

finitum quoddam ac recte definitum quantum c aequiparabit, nec

BH

quotiens—- =

dv

du'

du

dv'

erit = 1 : vidimus autem supra (pag. 73), esse ibi

= —7-. —— = 1 : erit itaque

dunbsp;v du

= '/c neque adeo 1; unde sequitur, analogae fore asymptotam rectae X'X

flv

quot;dir

u

,2 dv

/uV

^ = Vc

perpendicularem. Vicissim, si fuerit primitivae hujusmodi asymptota, erit ei (-j.

dv'

dv

lüT

= c ; cui conditioni satisfaciet rectae X'X

u

ac —

= 1 eritque adeo analogae 1-

ab analoga figura sectio vel etiam tactio, modo ei quotiens sit ==-nbsp;ad limitem ten-

dens c. At, si finite quidem a rectis RAT ac SBU primitiva infiniteque a recta X'X recesserit.,

EH

ad limiteni

vulgari tamen caruerit asymptota, erit ei quotiens —~
tendens 1; neque adeo rectam X'X secabit analoga, sed tanget, ita quidem, ut sit ei perpendicu-
larium quotiensnbsp;= ° , ad limiteni tendens 1. Rectam tandem X'X primitiva si tetigerit
quotientisque adeo (—Jnbsp;limitem habuerit = 1, ambiguitatem fore apparet directionis.
qua analoga procedat figura, sitne vulgaris ei asymptota necne, siquidem hoc tantum requiritur,
ut sit ei quotienits valor, ad limitem tendens 1. Alteram igitur, quam de mutua
asymptotarum analogia supra reperiebamus ambiguitatem, partim tolli vides, partim ad difi'eren-
tiafium quotientium secundi ordinis mutuae analogiae investigationem remitti.

Quae de asymptotis superest ex ambiguitatibus supra allatis---si alterutri figurae recta X'X

rectave huic parallela finiteque ab hac distans fuerit asymptota, sitne alteri figurae ramus parabo-

licus sive quae recta x = gc asymptota gaudeat necne - non tollitur haec relationibus (18).

Quae enim in primitivae asymptotam aliquam sive rectam tangentialem ducuntur perpendiculares
AG ac BH, ejusdem ambae erunt, si tangens ifia sive asymptota rectae X'X parallela procedat,
magnitudinis quotientemque adeo proferent (^J. = 1. Ad alteram jam si transeamus figu-
ram, perpendicularium quotiens e relatione (18) oritur

u Y lt;lv

quot;J

CO -)- b

CO a

du

/

^r) X

dv'

117

dv

u' \2
V'

= 1 X (quot;nbsp;1.

-ocr page 91-

Huic autem conditioni quaecumque satisfaciet analogae rectae tangentialis directio, modo ne alter-
utrum polum transeat fmitave saltem a polis distantia rectam X'X secet: hoe enim si non fieri
statuas nullumque adeo rectae tangentiali cum recta X'X intersectionis esse punctum nisi quod
infinite a polis distet, erit utraque analogae perpendicularis = oo , eritque finitum vel nullum
utriusque perpendicularis discrimen, tendetque adeo perpendicularium quotiens ^tl
tem 1; unde apparet, nullius ad directionum analogiam definiendam esse relationem (18) hoc-
loco momenti. Neque juvat, hue afferre aequationem (14) sivenbsp;= 7- -^:estenini

in istiusmodi puncto primitivae, ut supra videbamus (pag. 73), 7- 77 = requiriturque adeo, ut
sit quoquenbsp;= 1 : huic autem conditioni quaelibet satisfaciet analogae directio, modo

reclam X'X infinita a polis distantia secet: erit enim analogae semper AM c» , BM -
AG = OD , BH - co , adeoque semper ^ = 1 ^nbsp;Istiusmodi igitur primitivae

ramis, quae asymptotas rectae X'X parallelas persequuntur, si analogas velimus reperire ana-
logorum ramorum directiones, ad differentiales coordinatarum functiones ordinis secundi erit re-
fugiendum accuratiorve saltem rei investigatio erit instituenda.

Quae porro ex aequatione (13) sequebantur in Capite I? relationes (19) ac (20), nostri c
coordinatarum systematis sensu interpretatae, nos docent, primitivae alterutrum polum transeuntis
curvedo sive directionis mutatio quomodo cum alterius figurae rectam RAT rectamve S B U
olïendentis directione cohaereat, h. e. certa afiqua primitivae curvedo requiratne rectae RAT
rectaeve S B U ab analoga figura tactionem an vero sectionem. Quae tamen accuratius investi-
gare vel reliquas quas Caput I proferebat inter differentiales coordinatarum functiones relationes
(15—17,21—22) accurate hoe loco persequi, minoris erit momenti. Quare unice de aequa-
tione (21) paucis videamus. Qquot;« paullulum hunc in modum mutata, ut pro functione ^^ , quae
minoris est hoe loco momenti, functionem substituamusnbsp;—, relatio ita prodens

^ .. / u dvnbsp;/ u y dv'

requiri ut sit

vel _ = _ 1

u

-- 7 1

\yj du

00

nos docet : Perpendicularium quotientem ^ si velimus in transitione ad analogum analogae
figurae punctum intactam suam servare magnitudinem, horum unum alterumve requiri: vel ut
alterutrum polum tangentialis primitivae recta pervaserit--quo casu primitivae altera ei-it

-ocr page 92-

perpendicularis finita altera infinite parva, earuinque adeo quotiensnbsp;^ = o vel = oo: quod

si fiat, alterius item figurae tangentiafi rectae supra vidimus eundem esse polum transeundum,
perpendiculariumque adeo quotientem eundem atque in primitiva nancisci infinitae parvitatis

luagnitudinisve valorem--vel ut sit ^ = 1 - h. e. ut tangentiales rectae consi-

derentur istiusmodi primitivae punctorum quae in recta Y 0 Y' sita sint---vel tandem ut sit

— = — 1 - h. e. ut primitiva terminalem rectam x = ± oo ofiendat sive a rectis

n

KAT ac SBU infinite recedat. Cujusmodi infinita recessio quum in istis fiat primitivae ramis,
qui asymptotas rectae X'X non perpendiculares persequuntur, e relatione (21) sequi videmus:
Primitivae in asymptotam quamfibet, rectae X'X non perpendicularem, si ex utroque polo per-
pendicularem ducamus AG ac BH, eundem harum fore perpendicularium quotientem, atque
illarum, quae in analogam analogae figurae asymptotam ducuntur. Ex eadem relatione (21)
sequitur quoque: Si primitiva aficubi rectae X'X fuerit paraUela habueritque adeo AG = BH
sive J- p = 1, fieri non posse ut analoga alterius figurae pars eidem rectae X'X parallela
procedat, nisi vel rectam YOY' primitivaque analogaque perpendiculariter secarint (1) vel
asymptotas rectae YOY' perpendiculares primitivaque analogaque habuerint.

Eadem jam qua supra (pag. 14) adhibita ratiocinatione, duorum videmus ramorum tactionem
cuspidemye mmronenwe^ quae primitivae contigerit, analogum poscere in altera figura punctum
ejusdem singularitatis, modo fuerint coordinatae u ac v fmitae, h. e. modo punctum singulare
memoratum fmite a rectis X'X, RAT, SBU distant; sin minus, non semper singularitatum
illam esse analogiam, sed ita se rem habere: Duo primitivae rami si rectam X'X in eodem
ambae puncto tetigerint, analogos alterius figurae ramos et situ posse et directione a se invicem
discrepare, h. e. vel tactionis posse respondere punctum vel punctum duplex vel ramos duos
parafielos vel ramos denique non paralleles. In alterutro autem polo B vel A si fuerit primi-
tivae mutua duorum ramorum tactio, requiri, ut alterum polum transiens recta RAT vel
S B U a duobus alterius figurae ramis in uno afiquo puncto offendatur, h. e. ut analogae figurae
sit in recta illa vel punctum duplex vel mutua duorum ramorum tactio. Nisi tactionis punctum
primitivae hinc originem ceperit, quod rectam X'X duo ejus rami in alterutro polo A vel B
letigerint (fig. 23); quo casu requiri supra vidimus, ut alterum polum transiens recta SBU vel
RAT sit analogae figurae asymptota. Recta igitur RAT vel SBU si alicubi a primitivae quodam
ramo bis ofienditur nec tamen transsecatur, h. e. si primitiva rectam illam tangit in rectave illa

1nbsp; Quemadmoaum in analogis fit analogarum ellipsium (fig. 21) punctis H ac H', J ac J ■

-ocr page 93-

cuspidem habeat vel mucronem, cujus uterque ramus ab eadem rectae ilhus parte maneat, ana-
logae videmus fore
cuspidem, m altero polo B vel A sltam (1).

Quod jan ad affirmativa vel negativa attinet signa, quae^diflerentialibus contingant coordinata-

lt;lv lt;1 ftg. X) _ ^ '/. _nbsp;f COS. ■gt;/gt; „ .

rum functionibus, vidimus supra esse - ^-y^gT;;;)nbsp;quot;nbsp;^ Uos. x/'

COS.

autem producti alter factornbsp;quum sit quadratum, erit semper affirmativus, nisi de

imaginario agatur figurae ramo. Quare universa functio erit vel gt; o vel lt; o, prout sit
vel gt; 0 vel lt;0, b. e. prout anguli 4/ et % in transitione a puncto C vel Cquot; ad

dtp

contiguum ei punctum C' vel Cquot; (fig. 18) vel augentur ambae ambaeve minuuntur vel contra
augetur alter, alter minuitur, h. e. prout vel in puncto aliquo K', polos A et B interjacente,
rectam X'X offendit figurae nostrae I' Cquot; Cquot; J' recta tangentialis G'H' vel contra extra polos
in puncto afiquo K rectam X'X secat figurae ICC J recta tangentialis GH. Relationem (24)
igitur Capitis I si ex hocce nostri coordinatarum systematis sensu interpretamur, affinitatem
videmus nostram esse hujusmodi, ut, prout primitivae recta tangentiafis rectam X'X vel intra (f)
vel extra (§) polos secarit, idem possit de analoga analogae figurae tangentiali recta affirmari.
Haec jam attendentibus nobis in memoriamque revocantibus, functionem ( —I. -r- functio-

du

nemque adeo quoque modo sit finitum] esse vel = o vel = co , prout tangentialis
recta vel polum B vel alterum transeat polum A, facile jam erit relationes (25) nostri e coor-
dinatarum systematis sensu interpretari. Quas hue redire apparet: Prout in primitiva figura rectae
tangentialis cum recta X'X intersectionis punctum K vel intra polos antea fuerit polosque jam
deserat vel contra extra polos antea fuerit polisque se jam interponat, ac prout quidem punctum
K in transitione ilia vel polum A vel alterum occupaverit polum B, idem esse de analogo alterius
figurae intersectionis puncto affirmandum: h. e. si primitiva sinum alicubi confecerit J'CH' vel
Jquot; C Hquot; (fig. 19), in alterutrum polum B vel A, non vero in alterum polum A vel B spectan

1nbsp;* Parabola e. g. si sit aliqua y = p (x - «)' , cujus vertex rectam S B U in puncto tangat P, a polo B distantia
BP = p distante, cujus autem diametrae sint rectae X'X parallelae, analogae figurae erit in polo A
cuspis, parabolae
vertici respondens.

-ocr page 94-

(em, vel sinum confecerit JCH vel Jquot;'C'Hquot;', ab utroque polo recedentem rectaeque X'X
terminum X' vel X respicientem, fore ut analoga analogum conficiat sinum, ad idem atque
primitiva pertinens sinuum genus e quatuor generibus allatis. In puncto jam, quod a rectis
X'X, RAT, SBU finite distet, primitivae functionem ~ velnbsp;statuamus ad valorem

([uidem pervenisse o vel go , nec tamen signi ± ibi mutationem subire, sed hunc huic functioni
maximum aliquem esse minimumve valorem: idem ut in analoga fiat functione, requiri manifestum
est. Quae nos docent: si primitiva alicubi a rectis X'X, RAT, SBU finite distarit, ejusdemque
i!)i tangens alterutrum polum transierit, punctumque ibi fuerit
infiexionis, ab hac illave tangentialis
reclae parte situm, idem quod de primitiva de analoga quoque esse statuendum.

Et haec quidem sulficiant de differentialibus coordinatarura functionibus ordinis primi. Ad dif-
ferentiales jam functiones ordinis secundi transeuntibus nobis, nec satis simplices mutuas earum
esse relationes ex aequationibus (27-31) apparet, nec significatum iis e nostri capitis coordina-
tarum definitione inesse satis memorabilem facile patet, Unde sequitur, affinitatem nostram ad
punctorum
inflexionis vel radiomm osculi aliarumve ad proprietatum a curvedine pendentium
mutuam analogiam investigandam parum esse aptam, nisi proprietates illae certa afiqua directione
jirogredienti certoque aliquo situ gaudenti primitivae contingant; qno casu fieri potest, ut singular!
ista directione vel situ illo singulari mutua proprietatum curvedinem spectantium analogia aliqua-
tenus simplicior reddatur Nec vero ab altera parte simplicem aliquam ac satis memorabilem
figurae, ex affinitate nostra sibi analogae, prof erunt proprietatum analogiam, quae ab integralibus
coordinatarum functionibus pendeat, h. e. quae superficierum magnitudinem respiciat. Elementares
quidem sectores ACC' ac BCC (fig. 17), quas elementaris afiqua figurae propositae pars CC',
radiorum vectorum ope ex utroque polo ei allatorum, includit, quotientem proferunt

acc/nbsp;^ ac x cdnbsp;i ac x cd

(t)

bc x cd'

BCC

i bc x cd'

quod supra (pag. 72) vidimus esse =nbsp;^ adeoque simpfici sane ratione cum analogo

alterius figurae quotiente cohaerebit. Sin ad universas transeas superficies A C X' ac B^ C X'
(fig. 20), quas figuraque proposita C C'Cquot; Cquot; radiusque alteruter vector AC vel BC rectaque
tandem X'X intercludunt, nec alterutra superficies nec earundem quotiens aliave functio simpfici
satis ratione, si ad analogam figuram transeas, commutabitur.

-ocr page 95-

Ut jam exemplis res hucusque allatas illustremus, de nonnullis speciatiin figuris videamus, ac
quaenam iis ex affinitate nostra analogae respondeant Mneae quaeramus. Quibus igitur aequa-
tionibus inter coordinatas u ac v satis simpUcibus (33-41) simpfices item vidimus Capite K
respondere inter easdem coordinatas aequationes, easdem jam aequationes nostri e coordinatarum
systematis sensu interpretemur. Quod igitur primum ad aequationem attinet

a bu cv duv = o (36)
unum, si ponimus u = o vel v = o, altera coordinata realem nanciscitur valorem v = —
vel u = — — ; unde apparet, lineam nostram rectam X'X in polo A sub angulo secare

arc. tg. (---] == 180quot; — arc. tg- in polo contra B sub angulo arc. tg. /- =

= 180» — arc. tg. j. Sin ponimus u = — v, aequatio nostra reducitur ad

a (b — c) u — du^ = 0
adeoque, pro varia coefiicientium a, b, c, d relatione vel nullum valorem vel duos contra
valores a se diverses vel duos tandem ejusdem magnitudinis valores nanciscitur coordinata u; quod
nos docet, Uneae nostrae vel paraUelas posse vel diversae directionis esse posse duas asymptotas

unus

vel tandem posse illam asymptotis carere. Ponamus tandem u

bnbsp;c

rursus alterius coordinatae prodit valor realis v = — — velu = — —; unde videmus,
utramque rectam et RAT et SBU semel a figura nostra ofFendi. Quae in Capite E sequitur
aequatio

bu cv duv eu o (37)
si ponimus v == o, valores prodit reales u = o ac u = — quot;T' ponimus u — o, unum
tantummodo admittit valorem v = o; quod nos docet, rectam X'X a figura nostra in polo A
sub angulo transiri arc. tg.nbsp;in alioque praeterea ab ea offendi puncto, nec tamen,

praeter haec duo, alia etiam habere cum ea puncta intersectionis, neque adeo polum B a figura
nostra transiri. Ponamus jam v =
go : duo produnt alterius coordinatae valores u = go

ac u =--^ ; sin ponimus u = go , prodit tantum v = oo ; unde rectam apparet SBU

semel a figura nostra offendi, non offendi alteram rectam RAT nisi in ipso polo A, figuraeque
nostrae esse praeterea asymptotam, rectae X'X perpendicularem. Ponamus tandem u == — v :
duo produnt valores u = o ac u = ^^^ ; quorum prior rectam X'X a figura nostra secari
docet, posterior contra, asymptotam ei esse, quae rectam X'X obfiquo sub angulo arc. tg.
secet. Eademque ratione procedentes, eorum ope possumus, quae supra vidimus (pag. 63 ac 72)
de reliquis quoque agere Capitis 1° aequationibus nonnullasque linearum ab iis indicatarum pro-
prietates enunciare. Sin non unam alteramve velimus harum linearum proprietatem, sed universam

11

00 vol V = GO

-ocr page 96-

potîus earum investigare naturam, haud ita facile res procedet, nisi coordinatarum systematis
hocce capite adhibiti universam antea naturam accuratius investigaverimus. Quod quum nos a re
proposita abduceret, vulgaris potius coordinatarum systematis ope linearum sibi ex aflmitate nostra
analogarum naturam investigemus, videamusque adeo, quomodo a nostris possis hujus capitis
coordinatis ad vulgares sive orthogonales transire coordinatas.

Abscissas in recta X'X, applicatas in recta YOY' computemus, sitque adeo coordinatarum
initium punctum 0, medium inter utrumque polum occupans locum. E nonnuUis jam figurae
cujusdam CC'C'Cquot; (fig. 20) punctis C, C', Cquot;, Cquot; perpendiculares in rectam X'X ducamus
CF, CF', Cquot;Fquot;, Cquot;'Fquot;'. Erit jam, si AO == OB statuimus esse = a,

tg. % = tg. (- ABCquot;) = - -Çp
tg. = tg. (ABC) =nbsp;=

— y

quot;quot;quot; BO 4-OF'quot;
Cquot; Fquot;nbsp;y

« (— X)

B 0 OFquot;

C' F'
BO — O F'

a (— X)

C' F'

tg. - tg. (ABC) =

BF'

tg. == tg. (ABC) = tg, (180« - CBF) = _ tg. CBF == - g = -

ig. ==tg.(BAC) = S =
tg. 4/ tg. (BAC) = etc.....

Hinc jam apparet, formulas, quibus puncti cujusfibet coordinatas et % in vulgares mutare
possimus coordinatas x et y, in universa figura proposita CCC'Cquot; fore hasce

a X

V

CF

u = tg. 4. == ^

y = tg- z =

Inter aequationes jam (33—41), quarum mutuam analogiam Capite U vidimus, simplicissima
prima prodit

u'quot; v° = a (33)

cui ejusdem formae aequationem respondere vidimus uquot; vquot; = '/a, una tantum constante a
discrepantem a primitiva. Sit e, g. m = o vel n ==
0 vel m -f n == 0: serierum
v = a,u = b,^ = ccum seriebus v' = '/a, u' = Vb, ^ = Vc mutua prodit analogia
supra (pag. 65) jam considerata, h. e. rectarum alterutrum polum transeuntium rectaeve X'X
perpendicularium. Ac perpendicularium quidem ^ == c ac = Vc, si ad orthogonales coor-

=

BFnbsp;OF — BO

V

(t X

-ocr page 97-

dinatas transgrediaris, hanc apparet esse mutuam analogiam, ut rectae

unbsp;^

« t^ = c

a — X

X = KC — CX

X == « (^T)

respondeat recta — = '/c sive x = a

c

Ut

\— 1,

1 c

cuilibet perpendiculari, e. g. x == a, alia respondeat recta x == — a, ab altera axis YOY'
parte sita, sed eadem , atque primitiva, distantia ab illa distans.

Sit jam in aequatione (33) n = — 1, m contra quembbet designet numerum, sive affir-
mativum sive negativum, sive integrum sive fractionalem. Mutua ita prodit analogia linearum

V = — ac v = a u-quot; (34)

quae, si ad orthogonales transimus coordinatas, formam induunt

sive y™-' = a x)^- (« - x)quot; ' acnbsp;= '/a (« x)^(« - x)quot; '

vel, coordinatarum initio a puncto O in polum translate, hanc referont formam

ac Tquot; =

i,m — l

y — ^^

a (2 a — X)

2 ft — X

cujusmodi lineae universo nomine ellipsium varii ordinis indicari solent. Unde, ob mutuam coor-
dinatarum u ac v symmetriam saepius jam consideratam, aliarum quoque, si m ponimus = — 1,
n indefinito relicto, sequitur linearum analogia

u = avquot;
acnbsp;=

u == — ac

a

xquot;quot;

a xquot;°
2 a X

n — 1 _

Sive y

a (2 a x)

h. e. earundem atque supra mrii ordinis ellipsium, sed quibus polus B poli A vices agit.
Sit e. g. m = 1, n = 1 : primitiva formam induit

uv = a

Va X/ \a — x)

X')
n'a

y' — a («' —
y^ a xquot; =

il'

-ocr page 98-

adeoque ellipsin indicat AHBJ (fig. 21), cui centrum est 0, axes autem AB sive 2 « ac
HJ sive 2 « a, vertices tandem A et B; hujusmodi igitur eUipsi alia respondet ex afiinitate
nostra eUipsis uv = '/a sive -j- = 1 sive A H' B J', cum primitiva congruens

2 a

i71

abut.

eUipsi, nisi quod alter axis H J = 2 « a in H'J' =

Sit jamnbsp;— l,n = 2: primitivae haecce contingit aequatio

u —

\a — X y

- (« — x7 C«

a X

X)

- xy = y (g X)

ax^ — 2û!ax a 'quot;a — xy

= 0

«y

y =

a (« — x)»

qua hyperbola indicatur FBRTJG (fig. 22), rectam X'X in polo B tangens; recta RAT ei
est asymptota, altera autem asymptota F G rectam X'X obliquo sub angulo secat arc. tg. a. Huic
igitur hyperbolae alia respondet ex affinitate nostra hyperbola F'BRTJ'G', rectam X'X ipsa
quoque in polo B tangens, recta RAT ipsa quoque asymptota gaudens; sed altera ejus asymp-
tota F' G' rectam X'X sub angulo secat arc. cotg. a.

Sit jam m = — 1, n = 3: primitivae aequatio « = ^ formam in vulgari coordi-
natarum systemate induit hancce

a H- X

ay

(a - x)^ (« X)

a (« - xT = f (« X)
sive, coordinatarum initio a puncto 0 in polum B translate atque substitutione adeo facta

X — iZ =

^ a e = f (2 ^ Ö

l/a

- £

2 a S

qua aequatione, si sit a = 1, cissois indicatur, sin non sit a == 1, linea indicatur, a cissoide
paufiulum discrepans, üsdem tamen fere quibus cissois proprietatibus gaudens. Figurae enim
nostrae RHBJT (fig. 23) recta RAT est asymptota, punctum autem
flexus contrarii in polo B;
duobusque constat figura nostra ramis RHB ac BJT, sui invicem simifibus rectamque X'X
in polo B tangentibus, nec extra rectas RAT ac SBU extenditur. Huic igitur primitivae
analoga respondet figura u = av® sive y = ± ^ y/a\/nbsp;
£ sive R H'B J'T, rec-

tam X'X in polo B ipsa quoque tangens, rectaque RAT ipsa quoque asymptota gandens, nec

-ocr page 99-

aliter a primitiva discrepans, nisi quod hujus brachia BH ac BJ longius a recta X'X quam
brachia BH' ac BJ' recedant.

Harum autem linearum, quas universa complectitur aequatio (33), si analogiam in identitatem
abire velis, requiri supra vidimus, ut sit b =
1 vel = — 1. Circulum igitur apparet
uv = 1 sive ANBL (fig. 21) sibimet ipsum ex affmitate nostra respondere: idemque in hy-
perbolas valere u = v% v =
u% u v' = o, v -f tf = o, rectam X'X in alterutro polo
tangentibus, rectaque
RAT vel SBÜ asymptota gaudentibus, quarum autem altera asymptota
rectam
X'X sub angulo 45 vel — 45 graduum secat: idemque tandem affirmari posse de

cissoidibus u = v® ac v = u^

Missa jam aequatione (33), ad rehquas transeamus Capitis I aequationes (35-,41). Prima se
offert primi gradus aequatio

au bv 1 = 0 (35)
quae nostro in coordinatarum systemate banc indicat lineam

^ (.-f,) b 1 - «

ay (a — xj by (a x) («nbsp;= lt;gt;

gnbsp;^y (b a) xy (b — a) — X o

y =

(a — b) X — « (a b)

h. e. hyperbolam FAEDLBG (fig. 24), utrumque polum permeantem, cujus altera asymptota
Änbsp;RAT ac SBU est parallela, altera vero asymptota F G obhquo

DE sive X =

sub angulo GVX = arc. cotg. (a — b) rectam X'X secat. Huic igitur lineae hanc Caput I
nos docet respondere Uneam

bu -t- av uv == 0

nbsp; (^-L-^ ^^ = 0

a — X \a x/ V,« — X/
-

b (a — x) a (« x) y = 0

igt;y

x^)

y = (b — a) X — « (b a)
h. e. rectam
WPVK (fig. 24J, quae rectam X'X sub angulo WVX = arc. tg. (a — b) in
puncto secat V, quod a puncto 0 inter polos medio eadem distat distantia, qua distat ab eo
punctum, quo hyperbolae FAEDG perpendicularis asymptota DE rectam polos conjungentem
X'X secat; at hyperbolae hocce intersectionis punctum ab altera situm est rectae YOY' parte,
ab altera rectae intersectio
V. Nostrum igitur quod hocce capite adhibuimus coordinatarum

-ocr page 100-

systema cum vulgari ita cohaerere vides systemate, ut generalis primi gradus aequatio
au bv
4- 1 = 0, quae in hoe rectam quamlibet désignât lineam, in illo lineam repraesentet,
rectae isti e Capitis IV. affinitate analogam, aequatio contra bu av uv = o nostro hujus
capitis sensu rectam quamlibet significet fineam, at in vulgari systemate lineam indicet, rectae
isti e Capitis IV affinitate analogam.

Ad secundi jam gradus aequationes transeuntibus nobis prima se offert aequatio (36)

a bu 4- cv duv = o

» -^rgr quot; (T^) (r^) = °

a (as x') by (:« — x) cy (a x) dy o
dy ax (c — b) xy (c b) ay ct ^a = o

qua aequatione vel ellipsis indicatur vel hyperbola vel parabola (*), utrumque polum permeans. (f)
Ab eaque Caput I nos docet, non aequationis forma, sed coefficientium tantum magnitudine
discrepare analogam

d CU bv auv = O

ay

-bv
/

dx (b — c) xy (b c) «y a ^a = O

Ac prout quidem primitiva fuerit vel parabola (§) vel ellipsis vel hyperbola, idem erit de analoga

aanbsp;0, in analoga item fore apparet

dicendum; prout enim fuerit in primitiva

/ c - b Vnbsp;gt;nbsp;^ quot;

— aanbsp;O.

Ouae sequitur in Capite 12 aequatio (37)

bu cv duv eu^

1 (-vir) (t^t) » (t^J

(a ■ xf (a — x)

I) (fls x^) c (a x) dy (a x) ey («

x) = 0

^c — b) X (d — e) xy 2 a cx -I- (d e) «y (b c) a o
hyperbolam (1) indicat FVPADEJG (fig. 26). (ü), quae polum A transeat (§§), asymp-

by

« x

y

1nbsp;** Quum sitnbsp;0 (c — b) gt; 0.

-ocr page 101-

totaque gaudeat DE, rectis RAT ac SBU parallela (1). Respondetque ei hyperbola
F'V'P'AD'E'J'G' sive

du 4- ev buv 4- cu o
(e — d) X (b — c) xy
2ct ex (b c) a^' (d e) « o

polum A ipsa quoque permeans, asymptotamque habens D'E', ipsam quoque rectis RAT ac
SBU paraUelam. Quae in Capite E sequitur deinde relatio (38) eandem rursus profert earumdem
hyperbolarum analogiam, non tamen polum jam A, at alterum contra polum B transeuntium.
Varia autem constantium a, b, c, d, e definitione varia oritur hinc simpficiorum linearum ana-
logia. Ponamus e. g. b = o: primitiva polum A vel B ita transit, ut rectam X'X ibi tangat:
analogae autem asymptota, rectae X'X perpendicularis, in ipsam abit rectam SBU vel RAT.

Ab aequationibus jam gradus secundi si ad tertii gradus transimus aliasve algebraicas mter
coordinatas u ac v aequationes, linearum sibi respondentium analogia prodibit baud ita simplicium;

quare ad transcendentes potius transeamus aequationes. Quarum vidimus Capite Iquot; esse nonnullas-

quas universa complecfitur aequatio (40) - quae, si ad analogas transeas aequationes, vix

ullam subeunt nisi mutati transcendentium functionum ordinis mutationem: cujusmodi aequationes,
si simplicior iis contigerit aequationis (41) forma, alfmitate vidimus nostra eatenus tantummodo
mutari, quod alio atque antea ordine constantes sive coefficientes sint dispositae. Quum tamen
aequatio (41), si nostri e coordinatarum systematis sensu coordinatas u ac v interpretamur,
lineam indicet baud ita usitatam, paullulum etiam simpliciorem eandem reddamus, primitivamque
statuamus figuram alterutra harum indicari aequationum

are. tg. u are. tg. v = e
are. tg. u — are. tg. v = e
quibus apparet respondere analogas

Hi

are. cotg. u are. cotg. v = e
are. cotg. u — are. cotg. v = e
Qua ratione si aequationem (41) simplificamus, transcendens quidem iUa remanet aequatio, at
potest tamen ad algebraicam reduci formam. Quum enim sit

arc
arc

tg. u arc. tg. v — arc. tg. ^ quot; ^ )
tg. u — arc. tg. V = arc. tg. (nbsp;)

1nbsp; Terminus enim , in quo secunda coordinatae y occurrat potestas, in aequatione nostra frustra quaeritur.

-ocr page 102-

apparet, si primitivae contigerit aequationis forma

arc. tg. u arc. tg. v = e
eandem aequatione quoque posse indicari

n r

arc.

1 — nv }

u -t- Vnbsp;^

-— = tg. e

1 — uvnbsp;®

u 4- V = tg. e — (tg. e) uv

adeoque unam quamdam esse linearum, quarum mutuam analogiam nos relatio (36) supra docuit;
ac aequationem quidem contingere ei, si ad orthogonales transeamus coordinatas; hancce

= o

« x

Y (« — x) y (« x) = (tg. e) ja' — x') — (tg. e) y-

x' y' (2 a cotg. e) y

qua circulus indicatur AJBPK (fig. 28), utrumque polum pervadens, cujus centrum punctum
quoddam rectae YOY' occupât C, ab 0 distantia distans
OC = a cotg. e. Analoga respondet
huic linea

/uv — In.

arc. cotg. u arc. cotg. v = arc. cotg. y ) == ®

uv - i

u v

= G

-ocr page 103-

arc. cotg. u — are. cotg. v = are. cotg.nbsp;) = e

V •— u = (tg. e) uv tg. e
x^ — y'' (2 cotg. e) xy —
ar = o

^ 90» —
270quot; —
= 90quot; -
- 270quot; -

ac
ac
ac
ac

= 90quot; - xfy
4/' = 90quot; —
= 270quot; —
xP' = 270quot; — 4/

Itaque quatuor credas una illa de qua hucusque egimus affinitate indicari affinitates inter se

diversas, h. e. cuilibet figurae quatuor ex affinitate nostra respondere figuras analogas. Atten-

12

utrumque polum ipsa quoque pervadens, cujus centrum punctum rursus occupât O, at cujus
asymptotae angulos cum recta X'X faciunt G'OA == 90quot; — ac D'OA == 180quot; — —.
Primitivam autem si cum analoga congruere velis, abeat utraque necesse est in circulum
X quot; ynbsp;sive ANBL (fig. 21), quem sibimet ipsum respondere supra jam vidimus

(pag. 85), in hyperbolamve aequilateram x y a- sive VBWV'AW' (fig. 27), cujus
vertices ipsos occupant polos, cujus autem asymptotae angulos cum recta X'X faciunt 45
vel — 45 graduum.

Analogas autem sibi fineas si statuas non quatuor illis, de quibus modo agebamus, sed aliis
indicari transcendentibus inter coordinatas u ac v aequationibus, linearum analogia prodibit minus
usitatarum. Quare haec jam quidem mittamus, hoe tantum unum addentes: Quum rectae cuifibet
hyperbola ex affinitate nostra respondeat, utrumque polum pervadens (ut supra vidimus pag. 85),
fore ut n-gono seu primitivae, ex n rectarum intersectione ortae, n-gonum respondeat ut ita
dicam hyperbolicum seu n constans ramis, qui singuli singularum istiusmodi hyperbolarum sint
partes; quod ut in vulgare abeat n-gonum, requiri, ut primitivi latera partes fuerint rectarum
alterutrum polum transeuntium rectaeve X'X perpendicularium.

Affinitatis autem nostrae, aequationibus (tg. i/z) (tg. tf/') = 1, (tg. x,) (tg- X') = 1 indi-
catae, quae e generafi Capitis 12 affinitate uu' = 1, vv' == 1 nostra hujus capitis coordinatarum
u ac
V defmitione orta est, ut magis etiam perspicua nobis sit natura, afiis jam inter alias
coordinatas aequationibus eandem indicemus. Ac primum quidem non angulorum
^ ac x tangen-
tibus, sed ipsis hisce angub's in affinitate nostra definienda utamur: Aequationes ita produnt

analoga quoque erit hyperbola

angulis secent GOA = -^acDOA = 90'gt;
aequilatera D'B P'F'G'K'A E'.

-ocr page 104-

damus vero, duanim rectarum unum tantum esse punctum intersectionis, e quatuorque adeo
uni alicui puncto 4/ = a, % = b respondentibus angiüorum alterius figurae valoribus

= 90quot;

a

90° -

- b

= 90quot;

— a

- 270quot; -

~ b

= 270°

— a

= 90quot; -

- b

= 270quot;

- a

= 270quot; -

b

tres esse, qui imaginaria, unum tantum, qui reale indicet punctum. Affinitatem itaque [nostram,
(|uae una erat tangentium, unam quoque esse figurarum, quadruplicem contra esse patet angu-
lorum, ita tamen ut non cunctae simul, sed altera post alteram prodant quatuor istae angulorum
uffinitates, h. e. ut, pro vario punctorum sibi analogorum situ, modo 90° modo 270quot; conficiat

respondendum sibi angulorum summanbsp;)c x-

In afiinitate jam nostra enuncianda nec angufis utamur et nec horum tangentibus, sed
vulgaribus potius sive orthogonafibus coordinatis x et y. In memoriam igitur revocantibus nobis,
quibusnam possis formnfis a nostris hujus capitis coordinatis ad vulgares transire coordinatas,
aequationes se ofFerunt, affinitatis nostrae indicatrices:

(ftnbsp;(^^r)nbsp;^_(ft — x) (lt;t — x')

x') (ûs X) = yy' = (« — x) (« - x')
quot; xx' - 2 ^ Çx x') = xx' 2 a (X x')
O ^ 4 (x x')
x' = — X

(a x) (li k')nbsp;(k x) (« — x) __

— 2 xy dx — («quot; — X') dy \

2 x , ti' — X»- dy

ynbsp;y'

Y =

unde sequitur aequatio differentiafis :

dy' ^ (quot;y ) ^ . (_

dx'nbsp;à (— X)nbsp;- dx

Aequationibus hisce constantem vides inesse arbitrariam ä, quam in aequationibus fundamen-
talibus uu' = 1 vv' == 1 frustra quaeras. Unde tamen cave ne efficias, posteriorem hancce
figurarum affinitatem, quam orthogonafibus coorà'natis adhibitis oriri vides^ minus esse definitam
illa, imde exümus. Eadem enim arbitraria constans superiori quoque inest affinitati uu' = 1,
vv' = 1, non tamen aequationibus inest sive mutuae analogarum coordinatarum relationi, sed ipsis

-ocr page 105-

inest coordinatis u ac v sive ipsi potius coordinatarum systemati hocce capite adliibito. Utriusque
enim poli situm si indefinitum relinquimus, neque erit mutua horum distantia definita, eritque
adeo arbitraria quoque distantiae hujus cum longitudinis unitate relatio u.

Harum autem aequationum ope, quibus aflinitas nostra, vulgari adhibito coordinatarum systemate,
indicatur, nonnullas potuisses ex affinitatis nostrae proprietatibus supra investigatis eâdem qua
supra factum est facilitate invenire. Quod e. g. functionisnbsp;in transitione ad analogam

functionem -

constantia nos supra docuit (pag. 73)

recfis X'X, RAT, SBU distarit fueritque ibi rectae X'X perpendicularis, eandem requiri in

analoga figura perpendicularitatem--idem e differentiali quoque aequatione modo allata facile

apparet. Sit enim alicubi = co : erit analogae = 2 nbsp;C*^)

eritque adeo quoque = co, modonbsp;quot; ~ ^ finita esse statuas, h. e. modo primi-

tivae punctum de quo agatur finite a rectis X'X, RAT, SBU distarit. Quin possis satis
multa, quae relationem spectant, qua cum recta X'X rectave YOY' analogae sibi figurae

cohaerent--distantias e. g. y — xnbsp;ac y' — x'nbsp;quibus a puncto 0 distant

analogarum tangentium cum recta X'X puncta intersectionis--facilius ex aequationibus modo

allatis quam e fundamentalibus affinitatis nostrae aequationibus efficere. Sin illa spectas, quae
nostro coordinatarum systemati nostraeque adeo quoque affmitati sunt propria, h. e. quae ab
utroque polo pendent, non faciliorem orthogonalium coordinatarum usus, at multo contra diffi-
ciliorem reddet mutuae proprietatum analogiae investigationem. Quod e. g. perpendicularium
quotiens, ex utroque polo in asymptotam quamfibet ductarum, si ad analogas transeas perpen-
diculares, in analogam alterius figurae asymptotam ductas, intactam suam servet magnitudinem
(ut supra vidimus pag. 78), non potuisses, orthogonafibus coordinatis adhibitis, nissi prolixioribus
formuhs reperiore.

dv'
du'

si primitiva finite aficubi a

-ocr page 106-

■Sis:,

quot;^iî

B^.ifreJo

.üamp;SSamp;'-'i

gS^---

-ocr page 107-

THES E S.

I.

JlàvTce %WQ(X xcxi ovdip fisyn.

HERACL ITUS.

11.

Caussas rerum naturalium non plures admitti debere, quam quae et vera sint el earum
phaenomenis explicandis sufficiant.

NEWTON.

III.

Qavfux^irai tSv fiiv kutù (yihiv GvußaivopTtav, oomv dyvotiTai to airiov.

AEISTOTEIES.

IV.

Le principe de d'Alembert, . .. ne revêt la forme d'un principe, que par un certain tour
d'expression qu'on lui donne.

p 01N s 0 T.

-ocr page 108-

V.

Linearium coordinatarum systema, quo usus estPlückerus ^Analytische Entwickelmgen. Vol. II),
ad plerasque figurarum qualitates investigandas haud minus quam vulgare sive orthogonafium
coordinatarum systema valet.

VI.

Si l'on avait primitivement donné le nom de force à la cause capable de faire tourner sur
un axe, on aurait eu pour ces nouvelles forces une Statique toute semblable (à
la Statique
actuellement existante).

p 0 I N s 0 t.

VII.

Die Eigenthümlichkeit und die Stärke der analytischen Geometrie beruht in dem vollständigsten
Parallelismus zwischen geometrischen und analytischen Formen oder, um mich bestimmter aus-
zudrücken, in dem Umstände, dass wir durch das Zusammenrücken, das Zusammenwachsen
gleichsam von Construction und analytischer DarsteUung dahin gelangen, über die grossartigeji
Betrachtungsweisen der Analysis gebieten zu können, ohne irgend einen der unersetzlichen
Vortheile, welche die unmittelbare Anschauung gewährt, aufzugeben.

plücker.

Vlll.

E variis rationibus, quibus sonorum altitudinem cognoscere possimus, prae ceteris praestat
instrumenti usus,
Siren dicti, quod excogitavit Cagniard-de-la-Tour.

IX.

Il semble qu'on pourrait produire des sons, qui seraient encore perceptibles, quoque résul-
tants d'un nombre de chocs beaucoup plus grand que 24000 par seconde.

savart.

X.

The varions forms, under which the forces of matter are made manifest, have one common
origin, or in other words, are so directly related and mutually dependent, that they are conver-
tible as it were one into another and possess equivalents of power in their action.

faraday.

XI.

Tales sunt aquae, qualis terra per quam fluunt.

SENECA,

-ocr page 109-

95
Xll

Rejicienda hypothesis, quae geologica phaenomena bene multa e motione explicat, quam tel-
luris subierit ohm axis rotationis.

xin.

Lapides in patria nostra hic iUic sparsos e glaciei montanis molibus (Gletscher) originem re-
petiisse contendo, quae eam olim texerint.

XIV.

Botanica systematica non minus histologia atque embryologia, quam externa niti debet plan-
tarum forma.

XV.

Le degré de confusion entre les organes de la végétation et ceux de la propagation est
la mesure du degré de la simplicité du végétal entier.

jussieu.

XVL

Il n'est pas vrai, comme on l'a dit, que les métamorphoses des animaux supérieurs sont
toujours une représentation successive des diverses classes inférieures.

cuvier.

ÉÊÊÊ

-ocr page 110-

m*'

lfm

gt; -i

S

„ ï^s______

^rï.' ;

If CtSirÄ

-ocr page 111-

T . -

/

TC

.r fu^. /.

X-

:x

Y'

F. ff

Y'

H ir

X'

X

T

'X'

j

'F'

F

Fi/l ■ gt;

■A'

\

A'

ÎY

- X

/

■ /

. /

S'

/

/
/;

/ ■

/

l ^

Y'

1 77' Y

F

iUilÉ

F'-

f'-

Fiy. 9

'JJt'

•f'f

//

I ■ \ ■ ^

I ■ \ a'
: ■■ \

e'

;t

-ocr page 112-

m _

aafcät.

iES^-fc^v'M

w-

-ocr page 113-

F

E Y ^

X'

\\

/

/

^ ■ /

/ s

\

l:

\

1;

i:

\

Y

\

X

Y

_--------1-

-X

F,

Xquot;

X

Y

-ocr page 114-

M:.

tSit!:

m:

'•^tJ't:

-ocr page 115-
-ocr page 116-

M

-ocr page 117-

X

s

Ftf 2S.

M

T

__

F'

M

.r
ff

J'
c

o

c
Ir

X

-ocr page 118- -ocr page 119- -ocr page 120-