Der Mond ist sclion in den ältesten Zeiten mit grosser Sorg-
falt beobachtet worden. Es war ja ein mannichfaches Interesse,
welches die Völker seinem Laufe zuwendeten; nicht nur weil er
es war, der das Dunkel der Nächte erhellte und durch seine wieder-
kehrenden Lichtgestalten dem Menschen das Mittel zu einer ge-
regelten Zeiteintheilung bot: durch die Finsternisserscheinungen
hatte er in jenen Zeiten, wo die Furcht vor den Naturgewalten
und dem darin geoiFenharten Willen der Götter eine so grosse Macht
auf die Gemüther ausübte, noch einen besonderen Anspruch auf
die Aufmerksamkeit der Völker. Wir sehen deshalb auch, dass
die ältesten Mondbeohachtungen Aufzeichnungen der Finsternisse
zum Gegenstand haben, und dass das Bemühen der alten Astro-

nomen dahin gerichtet war, diese Erscheinungen mit einiger Sicher-
heit vorhersagen zu können. Wir finden, dass die Babylonier und
Chaldäer, die den Griechen so manches Denkmal ihrer astrono-
mischen Thätigkeit hinterliessen, schon Einzelnes über die wahre
Bewegung des Mondes erforscht hatten, aber es war ein Verdienst,
welches den Helleneu überlassen blieb, dieses Einzelne theoretisch
zu verbinden. Hipparch ixnd Ptolemäus vor Allem sind es, die
auch auf diesem Gebiete unserer Wissenschaft den Grund zu
der heutigen Strenge gelegt haben. Jener begann den Bau, wies
die Principien, nach welchen man verfixhren müsse und that die
ersten grossen Züge der Ausführung; dieser übernahm das be-
gonnene Werk und förderte es noch weiter, um einen Schritt,
von welchem selbst Delambre, der sonst fast nur Worte des
Tadels und der Verdächtigung für ihn hat, sagt: Cette découverte
importante suffirait seule pour placer son auteur parmi les astro-
nomes de première ligne.

Mit dieser Mondtlieorie, wie sie uns Ptolemäus in seinem
Almagest¹) überliefert hat, wollen wir uns in den folgenden Zeilen
beschäftigen.

Wir werden die Eigenthümlichkeiten der Theorie nur dann
recht verstehen können, wenn wir die Entwicklung derselben in
ihrem besonderen Gange im Auge behalten. Die Griechen waren
nicht in der Lage, über genügendes Material gebietend, eine Hy-
pothese aufbauen zu können, welche sogleich sämmtliche Erschei-
nungen hinreichend darstellte. Sie mussten vielmehr, schrittweise
vorgehend, erst die ältesten Beobachtungen ausnutzen und dann,
sow^eit diese unzureichend waren, neue hinzufügen, um damit ihre
Theorie auszufeilen. Es sind also gerade die alten Mondfinsterniss-
heobachtungen, welche Ptolemäus upbs täc xaftoXou xa-caKv^etc, zur
Ergründung der allgemeinen Theorie, benutzen will; sie sind auch
noch insofern am meisten dazu geeignet, wie er ausdrücklich her-
vorhebt, als sie allein den wahren Mondort ergeben, frei von den
störenden Einflüssen der Parallaxe. Nicht als ob er die Wirkungen
derselben nicht bestimmen könnte, im Gegentheil, er unterwirft
sie seinen Berechnungen und giebt sogar Tafeln dafür; aber er traut
ihnen doch wohl nicht die Sicherheit zu, die erforderlich ist, um
eine Theorie darauf gründen zu dürfen. Erst nachdem dieser erste
Theil der Hypothese, welcher die Bewegungen in den Syzygien
(Neumond und Voflmond) darstellte, vollendet war, gingen die Alten
weiter, unterwarfen den Mond auch in anderen Punkten seiner
Bahn einer genaueren Untersuchung und bauten so, Glied für Glied,

Dass sich der Mond sehr wenig gleichförmig bewege, war
schon in den ältesten Zeiten erkannt worden, und es war daher
das erste Ziel, welches die Astronomen 7A1 erreichen suchten, einen
umfassenden CyClus zu finden, in welchem sich alle diese Ungleich-
förmigkeiten periodisch wiederholten. Die Chaldäer gaben dafür
die bekannte Periode von 18 Jahren 10 Tagen, oder vielmehr von
65851 Tagen: Hipparch jedoch fand dieselbe nicht genau gemig
und ersetzte sie durch die andere von r26007 Tagen 1 Stunde. In
diesem Zeiträume fand er 4267 synodische Monate, 4573 Penoden
der Anomahe, 4612 siderische Umläufenbsp;und 345 Sonneu-

1nbsp; Dom Verfasser lag die Ausgabe von Halma vor KXccjofoy FlToXeiJ-aiou p.a-
a6vT«?i? Paris 1813, wahrend an zweifelhaften Stellen noch die Aasgabe
von Simon Grynaeus, Basel 1538 verglichen wurde. '

Samen Divisor 17 theilend, fand er noch, dass 251 synodische
Monate gerade gleich 269 Restitutionen der Anomalie seien, und
endlich entsprachen nach ihm 5458 synodische Monate 5923 Um-
läufen des Argumentes der Breite¹).

Aus diesen Daten ergeben sich nun leicht die mittleren Be-
wegungen des Mondes. Wir finden zunächst für die Dauer eines

wie Ptolemäus sagt ²). Multipliciren wir ferner die tägliche Bewe-
gung der Sonne mit der Zahl der Tage im Monat, so erhalten wir:
29quot; 6' 23quot; 1quot;' 241^ 30^1 bV^K
Der Mond hat aber in derselben Zeit offenbar 360® mehr
zurückgelegt, also 389° 6' u. s. w.

Indem wir dies durch die Anzahl der Tage im Monat divi-
diren, fiuden wir für die mittlere tägliche Bewegung des Mon-
des in Länge:

LS» . 10 . 34 . 58 . 33 . 30 . 30.
Ferner geben die 269 Restitutionen der Anomalie 269.360®
= 96840®. Dies entspricht 251 Monaten, d. h. 7412i. 10.44.51.40.
Mithin wird die mittlere tägliche Bewegung der Anomalie
13® . 3 . 53 . 56 . 29 . 38 . 38.
Ebenso ergeben die 5923 Umläufe des Argumentes der Breite
2132280quot;, die 5458 Monate 1611??'^. 58 . 58 . 3 . 20. Also erhalten
wir als mittlere tägliche Bewegung des Argumentes der Breite:
13®. 13 . 45 . 39 . 40 .17 . 19.
Die Differenz endlich zwischen der mittleren täglichen Bewe-
gung der Sonne und der des Mondes ergiebt uns als tägliche Be-

1nbsp; Ptolemäus kennt die Bezeichnung „Argument der Breitequot; nicht. Das
Wort „TtXocTo;quot;, Breite, bezeichnet ihm sowohl das, was wir noch heut darunter
verstehen, also den senkrechten Abstand von der Ekliptik, als auch unser „Ar-
gument der Breitequot;. In den meisten Fallen meint er das Letztere, da die Breite
selbst bei ihm nur eine untergeordnete Kollo spielt.

2nbsp; Die griechischen Astronomen hatten bei allen Theilungen das Sexagesimal-
system eingeführt; Ptolemäus zerlegt daher auch den Tag in Sechzigstel erster,
zweiter, dritter u.sw. Ordnung. Er findet für den Monat 29''. 31.50.8. 20. syT'®™!
os sind aber genauer 29 . 31 . 50 . 8 . 9,3 364 8. Wenn wir mit dieser Zahl die an-
deren Daten berechnen, so erhalten wir bei allen vier Angaben ca. 4quot;quot;,5 mehr.
An den weiteren Resultaten wird jedoch dadurch nichts geändert, da Ptolemäus
bald an die Hipparch'schen Zahlen eine Correktion anbringt, wodurch auch diese
Abwei(!hung gehoben würde. Auffallend bleibt aber dieses Versehen, da sonst alle
Rechnungen mit grosser Genauigkeit ausgefühi't sind.

Ptolemäus bringt an diese Hipparch'sehen Zahlen, wie wir
später sehen werden, nur noch unbedeutende Correktionen an und
entwirft dann mit ihnen Tafeln für die mittleren Bewegungen des
Mondes, wonach man leicht für jeden Zeitpunkt den mittleren
Mondort berechnen kann. Es handelt sich nun aber um die Ab-
weichungen der wahren Mondbewegung von dieser angenommenen
mittleren.

Die Ebene der Mondbahn macht mit der Ekhptik einen Win-
kel von nur etwa 5quot;; es ist daher ersichtlich, dass für die Beob-
achtungen der Alten die Längen-Coordinate weitaus die wichtigste
war. Ausserdem gewährt uns aber die geringe Neigung noch den
Vortheil, dass wir sie hei der Betrachtung der Länge gänzlich
vernachlässigen können; in der That, das Glied, welches den Mond-
ort auf die Ekliptik reducirt, hat nnr einen Coëfficiënten von we-
nigen Minuten, welcher in den anderen Irrthümern der alten Theorie
vollkommen untergeht.

Ptolemäus unterscheidet in dem Mondlaufe zwei Ungleich-
heiten; da jedoch die zweite in den Syzygien ganz verschwindet
und die erste gerade aus Mondfinsternissen, also aus Beobach-
tungen in der Opposition bestimmt werden soll, so kann man die
Untersuchung derselben auch ohne Kenntniss der zweiten aus-
führen.

Zwei Hypothesen sind es nun, deren sich die Alten bei der
Darstellung solcher periodischen Ungleichheiten zu bedienen pfleg-
ten, die excentrische und die epicyklische, von denen die eine die
Abweichungen des wahren Laufes von dem mittleren dadurch er-
klärt, dass sie das centrum visionis
von dem Mittelpunkte der gleichförmi-
gen Bewegung loslöst, während die an-
dere dem wahren Monde wirklich einen
anderen Ort anweist, als er seiner mitt-
leren Bewegung nach inne hat. Be-
trachten wir beide noch etwas näher.

Es sei (Fig. l) AB DC der Kreis
der gleichförmigen Bewegung, auf
welchem sich das Gestirn entsprechend
der Restitution der Anomalie bewegt,
T sei die excentrisch gelegene Erde,

A das Apogäum, C das Perigäum. Es ist dann klar, dass,
während der Radiusvektor die beiden gleichen Bögen A B vmd
DC beschreibt, dieselben dem Auge in T nicht gleich erscheinen.
Es wird vielmehr der Bogen CD, welcher der Erde näher
ist, luiter einem grösseren Winkel gesehen werden, als A B.
Der Unterschied der wahren und mittleren Bewegung wird in
jedem Falle dargestellt durch die Winkel M BT und MD T,
denn diese sind gleich AMB — ATB resp. = AMD — ATD.
Die wahre Bewegung wird mit der mittleren übereinstimmen,
wenn der genannte Winkel verschwindet, wenn also der Him-
melskörper in A oder C, im Apogäum oder Perigäum ist;
ein Maximum wird die Abweichung sein, wenn die scheinbare
Entfernung vom Apogäum ein rechter Winkel ist, die Visirrich-
tung also senkrecht auf der Apsidenlinie steht. In der That, es

staut ist, so wird MET sein Maximum erreichen, wenn MTB
gleich einem Kechten ist, also in der Lage MTL.

Nun sei andrerseits T die Erde, der Mittelpunkt der gleich-
förmigen Bewegung, dargestellt durch den Kreis ABC (Fig. 2).
In A befinde sich das Centrum des
Epicykels. Es wird dann offenbar,
wenn sich gleichzeitig der Himmels-
körper auf dem Epicykel in L befin-
det, die mittlere Bewegung mit der
wahren zusammenfalleu; befindet er
sich aber in irgend einem anderen
Punkte, z. B. in i/, so giebt der
Winkel LTM (die Mittelpunktsglei-
chung), die Grösse der Abweichung
an, die ein Maximum sein wird, wenn
TM den Epicykel tangirt.

sich diese nach der Geschwindigkeit, mit welcher sich die
Anomalie ändert. Vollendet dieselbe gleichzeitig ndt einer Um-
drehung des Radiusvektors ihre Periode, wie dies nach Ptole-
mäus bei der Soime der Fall ist, so werden wir die Richtung des
Epicykelradius, welcher das Gestirn trägt, stets parallel der An-
fangsrichtung A C zu erhalten haben; oder was dasselbe sagt, wir
müssen dem Gestirn auf dem Epicykel in entgegengesetztem Sinne

dieselbe Geschwindigkeit ertheilen, die der Radiusvektor in seiner
Rotation um T hat. Es wird dann auch hier im Apogäum und
Perigäum die wahre Bewegung mit der mittleren zusammenfallen,
und die grösste Abweichung stattfinden, wenn die Anomahe unge-
fähr gleich einem Rechten ist.

Beim Monde dagegen wird es anders sein, da dieser früher
an denselben Punkt der Ekliptik wiederkehrt, als in dieselbe Lage
zur Apsidenhnie. Es wird durch diesen Umstand eine Compli-
kation in der Darstellung der Mondbewegung durch den excen-
trischen Kreis nothwendig, wenn man sie mit der durch den Epi-
cykel in Einklang bringen will, die wir sogleich werden zu er-
wähnen haben.nbsp;*

Zwischen diesen beiden Hypothesen hat also Ptolemäus bei
der Darstellung der ersten Ungleichheit des Mondes die Wahl.
Er zeigt zunächst, dass man sich beider mit gleichem Erfolge
bedienen kann; beide Hypothesen bringen den Mond an denselben
Ort, wenn man folgende Festsetzungen trifft.

Der Mond auf dem Epicykel und im excentrischen Kreise
bewegt sich mit einer Geschwindigkeit, die der Restitution der
Anomalie entspricht, in der Epicykeltheorie entgegengesetzt, in
der andren gemäss der Ordnung der Zeichen. Das Epicykelcen-
trum rotirt proportional der Zeit entsprechend der mittleren Be-
wegung in Länge um das centrum visionis. Ferner rotirt der
sranze excentrische Kreis um denselben Punkt mit einer Geschwin-
digkeit, die gleich dem Ueberschusse der mittleren Bewegung in
Länge über die der Anomalie ist, d. h. gleich der Bewegung der
Apsidenlinie. Endhch sind die Radien des deferirenden und des excen-
trischen Kreises
einander gleich,

der Abstand
der beiden Cen-
tren aber (centr.
excentr. — Erde)
gleich dem Ra-
dius des Epicy-
kels zu nehmen.

und Perigäum, ABP der Kreis, auf welchem sich das Epicykelcen-
trum bewegt; M endlich der Mittelpunkt des excentrischen Kreises.
Wenn sich das Epicykelcentrum in A befindet, so sei der Mond
in C, im Apogäum des Epicykels.

Nun habe der Radiusvektor den Bogen AB beschrieben, der
Mond auf dem Epicykel gleichzeitig in entgegengesetztem Sinne
den, nach dem oben Gesagten kleineren Bogen CL. Wir ziehen
TG parallel BL, dann ist BG = LC. Der Bogen AG giebt
also die Bewegung der Apsidenlinie. Genau um diesen Betrag
soll sich aber der Mittelpunkt des excentrischen Kreises um T be-
wegt haben, es ist daher der Punkt M nach M' gelangt, wenn
TM' = TM. Beschreiben wir nun um M' den excentrischen Kreis,
so muss derselbe offenbar auch durch L hindurchgehen, da ja
M'L—TB = M'IJ. Ferner ist aber unter diesen Annahmen der
Bogen HL = LC und wir sehen so in der That, dass in der einen
wie in der anderen Hypothese L den Ort des Mondes repräsen-
tirt, beide Theorien also in gleicher Weise die Mondbewegung
darstellen. Es ist zugleich klar, dass nur durch die Bewegung
der Apsidenlinie, d. h. durch die Ungleichheit der Bögen AB
und L C die Rotation des excentrischen Kreises erforderlich wird.

Wir haben bei dieser Betrachtung noch den Radius des excen-
trischen Kreises gleich dem des deferirenden vorausgesetzt und den
Abstand der beiden Centren gleich dem Radius des Epicykels.
Es genügt, dass das Verhältniss der beiden erstgenannten Grössen
gleich dem der beiden anderen sei. Wir könnten ja an Stelle
des Radius TB einen beliebig grösseren TX annehmen. Wenn
das erwähnte Verhältniss dann ungeändert bleiben soll, würden
wir, wenn X F parallel jSL, als Mondort den Punkt Y erhalten,
welcher auf der Verlängerung von TL liegt, dem Auge sich also
in demselben Punkte darbietet.

Bei der Wahl zwischen den beiden Hypothesen entscheidet sich
Ptolemäus für die epicyklische, indem er sich den excentrischen
Kreis für die Erklärung der zweiten Ungleichheit vorbehält. Seine
Theorie ist nun folgende.

Man denke sich einen Kreis, concentrisch zur Ekliptik, aber
gegen dieselbe geneigt um einen Winkel von etwa 5®. Diesen
l^reis lasse man gleichförmig, entgegengesetzt der Ordnung der
Zeichen, um die Normale zur Ekliptik rotiren und zwar mit einer
Geschwindigkeit, die gleich dem Ueberschusse der Bewegung des
Argumentes der Breite über die Bewegung in Länge ist. Auf dein
Kreise bewegt sich rechtläufig entsprechend der Bewegung des

Argumentes der Breite das Epicykelcentrum, und auf dem Epicykei
endlich läuft der Mond entgegengesetzt der Ordnimg der Zeichen
und entsprechend der Bewegung der Anomalie.

Die Geschwindigkeit, mit welcher der Kreis um die Erde
rotirt, ist offenbar nichts anderes als die rückgängige Bewegung
der Knotenlinie; denn in der That, da Ptolemäus von der Nei-
gung der Mondbahn gegen die Ekliptik absieht, so setzt sich die
Bewegung des Argumentes der Breite zusammen aus der recht-
läufigen Bewegung in Länge und der rückläufigen Bewegung der
Knotenlinie.

Die nächste Aufgabe muss nun sein, das Verhältniss des Epi-
cykelradius zum deferirenden festzustellen, da hierdurch offenbar
die ganze Darstellung bedingt wird. Ptolemäus bestimmt dasselbe
zweimal, einmal aus den drei ältesten babylonischen Beobachtungen,
die ihm zugänglich sind, und zweitens aus solchen, die er selbst
zu Alexandria mit grösster Sorgfalt angestellt hat. Die Ueberein-
stimmung beider Resultate giebt ihm ausser der Controlle, zugleich
durch die grosse Zwischenzeit ein Mittel an die Hand, die Hip-
parch'schen Zahlen der mittleren Bewegung zu prüfen.

Bevor wir jedoch näher auf die Beobachtungen eingehen,
wollen wir, um das Verständniss der folgenden Angaben zu er-
leichtern, noch eine kurze Bemerkung über das Zeitmass voraus-
schicken, welches denselben zu Grunde liegt.

Ptolemäus unterscheidet zwei verschiedene Stunden wpai iar^-
[xeptvat, d. h. „Stundenquot; nach unserer jetzigen Bezeichnung und
(opai xaipixai. Letztere verdanken ihre Entstehung der Sitte der
Alten, sowohl Tag wie Nacht, unbekümmert um ihre Länge, in
zwölf Intervalle zu theilen. Diese „bürgerlichen Stunden,quot; wie
man sie nennen kann, sind also von sehr verschiedener Dauer;
will man sie untereinander vergleichen, so müssen sie erst in «ipai
ia7)|j,epivai (Aequinoxialstunden) verwandelt werden. Aber auch diese
sind noch von ungleicher Länge, da Ptolemäus den wahren
Soinientag zu Grunde legt und also noch die Zeitgleichung be-
rücksichtigen muss, um ein wirklich gleichförmiges Zeitmass zu
erhalten. Mit Ausnahme der Mondtheorie ist ihm indessen diese
Correction zu unbedeutend, als dass er sie in Betracht ziehen sollte.
Er zeigt nämlich, dass das Maximum der Zeitgleichung oder
16|quot; betrage, so dass sich zwei Sonnentage um PJ unterscheiden
können, eine Abweichung, welche nach ihm bei der Sonnenbe-
wegving ouäsvt av aiaOvjTtj) xaxaßXäTrxoi, bei der Mondbewegung da-

gegen einen Fehler von hervorbringen kann. Es wird deshalb
hier der Ort sein, in Kürze zu zeigen, wie er den Unterschied von
wahrer und mittlerer Zeit berechnet.

Bekanntlich sind es zwei Ursachen, die sich vereinigen, um
die „avtaoTTjS töjv vu)'igt;7j[j.sp(uv'' hervorzubringen. Zunächst die un-
gleichförmige Bewegung der Sonne in der Ekliptik, inid dann die
Neigung der letzteren gegen den Aequator, in Folge deren die
Bewegung der Sonne in Rektascension, wenn sich auch die Länge
proportional der Zeit änderte, doch eine ungleichförmige sein
würde. Ptolemäus berücksichtigt diese beiden Theile einzeln. Wie
man in jedem Falle den wahren Sonnenort findet, hat er bereits
gelehrt; aus der Differenz zweier derselben erhält er den wahren
Weg, welchen die Sonne während der betreffenden Zeit in der
Ekliptik zurückgelegt hat. Es fragt sich, wie gross die Bewe-
gung in Rektascension ist, welche dieser schiefen Bewegung ent-
spricht. Um dies zu er-
mitteln, benutzt Ptolemäus

zehnten Grad der Ekliptik
den Punkt des Aequators be-
rechnet hat, welcher gleich-
zeitig den Meridian passirt.
Es ist leicht, diese ent-
sprechenden Punkte zu
bestimmen, denn es sei
(Fig. 4) NS der Meridian,

EE die Ekliptik, AA der Aequator, so ist, wenn die Punkte E'
und A^ gleichzeitig durch den Meiidian gehen

Auf diese Weise projicirt Ptolemäus Anfangs- und Endpunkt
des wahren Sonnenweges auf den Aequator und erhält so die
wahre Bewegung der Sonne in Rektascension. Die mittlere Be-
wegung entnimmt er aus seinen Tafeln, der Unterschied zwischen
beiden giebt ihm die Differenz der beiden Zeitgleichungen, welche
man anzubringen hat, um das in wahrer Sonnenzelt gegebene Inter-
vall in mittlerer Zeit auszudrücken.

Wir wollen nun sehen, wie Ptolemäus aus den Beobachtungen
seine Resultate herleitet.

Die erste der drei babylonischen Finsternisse ereignete sich,
wie er berichtet, im ersten Jahre des Mardocempadus in der Nacht

vom 29. zum 30. des Monats Tlioth ¹). Die Finsterniss war eine
totale und begann eine gute Stunde nach Aufgang, d. h. etwa
Stimde vor Mitternacht, da die Nacht damals 12 Stunden
dauerte. Die Mitte der Finsterniss trat, da sie total war, etwa
2| Stunde vor Mitternacht in Babylon ein. Alexandria liegt nach
den Angaben der Alten 50quot; westHcher als Babylon, also haben
wir für die Mitte der Finsterniss nach Alexandrinischer Zeit 3'' 20quot;
vor Mitternacht. Ebenso erhalten wir für die zweite Finsterniss
die Nacht vom 18. zum 19. Thoth im 2. Jahre des Mardocempadus.
Die Mitte trat für Alexandria 50quot; vor Mitternacht ein. Für die
dritte endlich finden wir die Nacht vom 15. zum 16. Phamenoth
desselben Jahres 4''20quot; vor Mitternacht.

Die Sonnenörter für die drei Finsternisse ergeben sich zu
11^ 24» 30'; IPI3045'; 5« 3015'²).
Mithin die Mondörter

Für die Zwischenzeiten zwischen den einzelnen Finsternissen
erhält Ptolemäus mit Berücksichtigung der Zeitgleichung
354quot; 2» 34quot; und 176quot; 20''12quot; (genauer ist 13quot;):

Berechnet man hiermit die mittlere Bewegung des Mondes
in Länge und Anomalie, so findet man für die erste Zwischenzeit
.345051' und 3060 25' [24]³),

Der wahre Unterschied in Länge ist aber zwischen den beiden
ersten Oertern 3490 15', zwischen den beiden anderen 1690 30'.
Es ist daher in dem ersten Intervalle die wahre Bewegung um
30 24' grösser als die mittlere und in dem zweiten um Oo 37' kleiner;
d. h. es ist der Unterschied der beiden ersten Mittelpunktsglei-
chungen gleich 30 24', der der beiden letzten gleich OO 37'.

1nbsp; Die zwölf ägyptischen Monate sind: Thoth, Phaophi, Athyr, Choiak,
Tybi, Mechir, Phamenoth, Pharmuthi, Paehom, Payni, Epiphi, Mesore; jeder zu
30 Tagen und ausserdem 5 rjjAspai ä^aYo'jj.evat.

2nbsp; Ptolemäus macht häufig von der Eiutheilung der Ekliptik in die zwölf
Zeichen des Thierkreises Gebrauch, deren jedes =30quot; ist. Die obige Angabe
bedeutet also 24° 30' der Fische oder 354° 30' u. s. w.

3nbsp; Die eingeklammerten Zahlen geben die Werthe, die der Verfasser bei
Ausführung derselben Rechnungen gefunden hat.

B, C die Punkte, in wclchen sich
der Mond während der Mitten
der drei Finsternisse befand. Dann
geht aus dem eben Gesagten her-
vor, dass A ^-D i? = 30 24',
CZ»Ü = 0''37', ^J5Calso =2H7'
ist. Ferner der Bogen 2^^=53035',
^C=96o 51,150^26'. Aus
diesen Daten soll das Verhältniss
der beiden Radien DK:LK be-
rechnet werden.

Wir wollen uns zwar im
Allgemeinen bei der Ausführung
solcher Rechnungen der Hülfs-
mittel bedienen, welche sich die
moderne Mathematik geschaffen
hat; da es aber nicht ohne Inter-
esse sein dürfte, einen Einblick
in die Rechnungsw'eise der Grie-
chen zu erhalten, so wollen wir
dieses erste Beispiel ganz nach
dem Verfahren des Ptolemäus
wiedergeben. Wir werden sehen,
wie er trotz der Unbehülflichkeit
seines Rechnungsapparates sehr
genaue Resultate erzielt.

Es handelt sich in dem vor-
liegenden Beispiele nm eine tri-
gonometrische Aufgabe und zwar
um eine Reihe von Dreiecksauf-
lösungen. Die alten Griechen
pflegten alle derartigen Rechnun-
gen auf Lösungen rechtwinkliger
Dreiecke zurückzuführen. Die
Hypotenuse derselben betrachteten sie als Durchmesser eines Krei-
ses, so dass die drei Seiten des Dreiecks als Sehnen (Chorden)
aufgefasst wurden. Die Bögen aber, zu welchen dieselben gehörten,
waren doppelt so gross, als die ursprünglich gegebenen Dreiecks-

winkel. Dies berücksichtigten sie dadurch in ihren Rechnungen,
dass sie einen Unterschied machten zwischen solchen Graden, von
welchen 360 vier Rechte ausmachen und anderen, von denen 360
nur zwei Rechte geben. An Stelle unserer trigonometrischen Tafeln
haben sie ganz entsprechend die Chordentafeln, in welchen für
jeden Kreisbogen die zugehörige Sehne im Verhältniss zum Durch-
messer angegeben ist. Der Radius des Kreises wird dabei nicht
= 1 gesetzt, sondern =60 partes ([xoipai), der Durchmesser also

Kehren wir nun zu unserem Beispiele zurück. Ptolemäus
fällt von E auf AD und CD die Lothe EZ und EH und von
C auf AE das Loth CT. Dann ist der Winkel
TotouTu^, owuv [J,sv sicjiv Ott xssaapsc öpftai xj (360), ouov oe ai ouo
optiai xS, xowuxouv 6® 48'. Er muss eben den Winkel verdoppeln,
um den Kreisbogen zu erhalten, dessen Peripheriewinkel == 3quot; 24'
ist. Aus der Chordentafel ergiebt sich als Sehne hierfür, wenn
die Hypotenuse DE =120^ gesetzt wird, EZ=7vT.

Ferner ist AEB = 26quot; 47'30quot;, EDA = 3o 24', folglich
EAD = 23quot; 23' 30quot;; hieraus folgt EZ= Chorde 2 {EAD) = 47p 38' 30quot;,
wenn AE= j20p ist. Mithin, wenn EZ=lvT, so ist

Nun ist BDC= 0037', also die zugehörige Sehne Ell= 1p 17'30quot;
{DE=120)-, andererseits ist 5^6'=75M3', 6'i)£'= 0quot; 37', also
ECD = 74« 36', woraus EH = 115i' 41' 29quot; (EC = 120). Wenn
also EH=lT 17'30quot;, dann ist EC= 1? 20'23quot; und Z) = 120?.

Hieraus ergiebt sich ^ 6'= 17p 3'57quot; von den Theilen, wovon
DE 120 enthält. Andererseits ist aber auchnbsp;Chorde AEC

= 891'46'14quot;, wenn der Durchmesser des Epicykels 2»quot; =120?
ist. Aus der Vergleichung dieser beiden Resultate ergiebt sich
i)£'=63lPl3' 48quot;

Der Bogen über CE wird hiernach C^ 6» 44'1quot; und da
avcBAC^ 1500 26' war, so ist BCE= 157« 10' 1quot;; die Sehne BE
mithin = 117p 37' 32quot;. Es ist dies kleiner als der Durchmesser 120,
folglich liegt das Centrum des Epicykels ausserhalb des Kreisab-
schnittes BACE, wie wir auch in der Figur angenommen haben.

BD=BE-^ED,
ferner BD .DE=LD .DM, wenn M das Perigäum, L das Apo-
gäum des Epicykels ist, oder

ßZ) = 748p
DE = amp;'d\

51quot;20quot;
13 48

476300 5 32
DK = 690 8 42,
während der Epicykelradius = 60 ist. Setzen wir daher DK= 60»,
so wird der Epicykelradius =5'' 12,978, oder wie Ptolemäus sagt

Er bestimmt ausserdem noch die Entfernung des Punktes B
vom Apogäum und die Mittelpunktsgleichung fiir die zweite Fin-
sterniss, also die Winkel LKB und LDB, zwei Grössen, die wir
sogleich gehrauchen werden.

Als Bogen, der zur Chorde DN gehört, ergiebt sich dann
DKN. Das Supplement zu DKN ist LKN und das Complement
die gesuchte Mittelpunktsgleichung LBD. Endlich ist nocli
LKB = L KN — IB KE.

V-, LKN^dOquot;
LDB= 0 59
LKB = 12 24.
Wie aus der Figur ersichtlich ist, war zur Zeit der zweiten
Finsterniss der wahre Mond noch hinter dem mittleren zurück;
wir müssen also die 0quot; 59' zu dem wahren Orte hinzufügen, um

Genau ebenso verfährt nun Pto-
lemäus mit den drei Finsternissen,
die er selbst beobachtet hat. Wir
erhalten für dieselben nach Aus-
führung aller Reductionen die
folgenden Daten:
Mittlere Zeit Alexandria für die Mitte
der Finsternisse.
]) 17. Jahr des Adrian
Payni 20 11quot; 15™

Die drei Sonnenörter waren
430 15'; 2050 1 0'; 3440 .V,
folglich die Mondörter

531quot; 23quot; 87'quot;.5 [38] und
502quot; 5quot; 30quot;gt;.0 [28quot;'].
In diesen Zeiten betragen
die mittleren Bewegungen

in Länge sind 1610 55' und
1380 55, die Yermehrung der
Mittelpunktsgleichungen also
— 7042' und 10 21'.

Die Rechnung gestaltet sich genau wie oben, doch führen wir
sie mit Hülfe der trigonometrischen und Logarithmentafeln aus.
Es ist zunächst (Fig. 6)

ßC' = 0.116223 ..

CBE= 360 23' 8quot;
CE= 72 46 16
^C=168 3

~AE= 95 16 44^
IAE= 47 38 22

9.868597
2r = 0.301030?-
0.169627 r
DN= 1.059404
DK= 1.060152

cos LDA = 9.999252
LDA = 3quot; 21' 40quot;
LKN = 93 21 40

Nun war \ AE = 47» 38'22quot;, also wird LA = 45quot; 43'18quot;,
woraus endlich, da AB == HOquot; 21'

Die beiden Beispiele haben ihm somit für den Epicykelradius
ergeben 5''13' und 5''14'. In dem weiteren Verlaufe seiner Be-
trachtungen legt er jedoch weder den einen, noch den anderen
Werth zu Grunde, sondern setzt den Radius = also 5M5'.
Wir werden später noch einmal auf diesen Punkt zurückkommen.

Ptolemäus benutzt nun gleich die vorliegenden Resultate, um
die Richtigkeit der Hipparch'schen mittleren Bewegungen zn kon-
trolliren. Der mittlere Mondort zur Zeit der zweiten babylonischen
Finsterniss hatte sich gefunden zu:

In der Zwischenzeit betrug also, abgesehen von ganzen Um-
läufen, die Bewegung in Länge:

Die Zwischenzeit ist aber nach den obigen Angaben gleich
854 Jahren 73123quot; 50'quot;, oder mit Berücksichtigung der Zeitgleichung
854 Jahren 73quot; 23quot; 20'quot; [22quot;']. Wenn hiermit nach den Hipparch'
sehen Tafeln die mittleren Bewegungen berechnet werden, so findet
man, abgesehen von ganzen Umläufen, für die Länge 22 tquot; 46' [47'],
für die Anomalie 52quot; 31' [32']. Es erhält Ptolemäus somit für die
mittlere Bewegung in Länge dasselbe Resultat wie Hipparch,
während er für die Bewegung der Anomalie einen Unterschied
von 17' findet. Wenn er diese auf die 854 Jahre 74 Tage ver-
theilt, so erhält er als Correktion für einen Tagnbsp;und
die mittlere tägliche Bewegung der Anomahe wird somit:
13°. 3. 53. 56. 17. 51. 59.

Mit diesem Werthe sind auch seine Tafeln der mittleren Be-
wegung konstruirt. Um dieselben vollständig zu machen, fehlt

jetzt nur noch die Angabe einer Epoche für den mittleren Ort.
Er wählt dazu das erste Jahr der Regierung Nabonassar's, und
zwar den Mittag des ersten Thoth. Von diesem Zeitpunkte bis
zur Mitte der zweiten der obigen Finsternisse sind 27 Jahre
verflossen [ll'gt;7quot;']. Die mittlere Bewegung in dieser Zeit
ist für die Länge

123« 22' [23'], für die Änomahe 103« 35'.
Der mittlere Ort war aber für die zweite Finsterniss

1640 44', die Anomalie = 120 24'.
Mithin erhalten wir als Epochen für den Mond bei Beginn
der Nabonassar'schen Aera für die Länge 410 22', für die Anomalie
268® 49'.

Und da die Sonne sich zu derselben Zeit in den Fischen
0® 45' befand, so erhalten wir noch als Epoche der Elongation
700 37'. =nbsp;^-io'^i''

Ptolemäixs jetzt also ermittelt und ihren Be-
trag festgestellt. Die grösste Abweichung
hat offenbar statt, wenn die Absehenslinie
den Epicykel tangirt; dann ist aber

Ptolemäus giebt schon hier eine Tafel,
aus welcher man mit der Anomalie als Ar-
gument den jedesmaligen Betrag der Un-
sleichheit entnehmen kann. Wir werden

sogleich einige Male die Mittelpunktsglei-
chung zu benutzen haben und wollen daher
eine Formel aufstellen, nach welcher sie
berechnet werden kann.

Es sei (Fig. 7) T die Erde, C das
Epicykelcentrum, A das Apogäum, B der
wahre Mondort. AGB ist die Anomahe
= a. Nach einem bekannten Satze der
Trigonometrie ist dann:

oder aber, wenn wir die gesuchte Mittelpunktsgleichung s nennen
und die gefundenen Zahlenwerthe einsetzen:

Dem Beispiele des Ptolemäus folgend, haben wir bisher einen
Punkt noch nicht in imsere Betrachtungen gezogen, die Be-
wegung des Argumentes der Breite. Sie ist insofern von Wich-
tigkeit, als von ihr die Breite des Mondes, mitbin die Grösse der
Finsternisse abhängt, und es werden daher umgekehrt auch zu
ihrer Untersuchung am vortheilhaftesten die Grössen der Ver-
finsterungen benutzt werden. Ptolemäus wählt zwei Finsternisse,
in welchen Grösse und Art, d. h. Himmelsrichtung der Bedeckung
dieselbe war, während welcher sich ferner der Mond in gleichen
Entfernungen von der Erde und in der Nähe desselben Knotens
befand. Wenn diese Bedingungen gleichzeitig alle erfüllt sind, so
ist man sicher, dass der Mond gerade eine volle Anzahl von Um-
läufen xa-a TrXatn? vollendet hat.

1. 256 Jahre 122quot; 10quot; 15quot;' ri9™l ^ ^ •
2.871 - 256 8 5 [10-] 6Jahre 133''21'. .00™.

Beide Finsternisse fanden in der Nähe des aufsteigenden
Knotens statt, und zwar stand der Mond, da sein südlicher Theil
bedeckt war, nördlich von der Ekliptik. Nun finden wir aus den
Tafeln der mittleren Bewegung, dass in dem ersten Falle der Mond
100quot; 19' vom Apogäum entfernt war, in dem zweiten 251quot; 53'.
Hieraus folgt zunächst, dass auch die vierte nothwendige Bedingung
erfüllt ist, dass der Mond nämlich in beiden Fällen gleich weit
von der Erde entfernt war. Ferner ergiebt sich als Mittelpunkts-
gleichung für den ersten Ort —5° 0' (der mittlere Mond war also
dem wahren voraus), für den andren 4quot; 53' (der mittlere war
hinter dem wahren zurück). lu der Zwischenzeit also, in welcher
der wahre Mond gerade eine Anzahl ganzer Umläufe vollendet
hat, fehlen dem mittleren daran noch 9quot; 53'. Berechnet man aber
die mittlere Bewegung nach den Hipparch'schen Zahlen, so findet
man für diesen Unterschied 10quot; 2' [3], sodass sich eine Correktion

von 9' ergiebt. Vertbeilen wir dieselben auf die 615 Jahre 134 Tage,
so erhalten wir für den Tagnbsp;die mittlere tägliche Be-

Es bandelt sich aber auch hier noch um die Feststellung der
Epoche. Ptolemäus giebt dazu zwei Finsternisse an, welche die-
selben Bedingungen erfüllen, wie oben, nur mit dem Unterschiede,
dass sie nicht beide bei demselben Knoten stattfanden, sondern
an entgegengesetzten. Die Beobachtungszeiten sind nach mittl.
Zeit Alex.

Es geht hieraus zunächst hervor, dass sich der Mond in
beiden Fällen im Apogäum befand, in der ersten Finsterniss in
der Nähe, imd zwar nördlich vom aufsteigenden, in der zweiten
nördlich und dicht beim niedersteigenden Knoten.

Wenn also (Fig. 8) ABC die Bahn
des Mondes darstellt, B den nördlichsten
Punkt derselben, A den aufsteigenden, 6'
den niedersteigenden Knoten, so repräsen-
tiren uns die Punkte D und E die Mond-
örter während der beiden Finsternisse,
wenn AD = EC. Die mittleren Oerter
werden durch die Punkte E und A! dar-
gestellt werden, vorausgesetzt, dass ED
= 59' imd ME=Vd'.

Nun ist die Zwischenzeit zwischen beiden Finsternissen =
218 Jahren 309quot; 23quot; 5™. Das Argument der Breite hat in dersel-
ben vermöge seiner mittleren Bewegung 160quot; 4' [3'] zurückgelegt.
Der Bogen EM muss also = 1600 4' sein. Daraus ergiebt sich
für DE 160» 50' und es bleibtnbsp;19M0'

AD = EC = 9quot; 35'.
Der Abstand des mittleren Mondes vom Knoten ist somit
AL= 10034'; MC = 9022'

Für die Epoche erhalten wir deshalb, da während der obigen
Zeiten die Bewegung des Argumentes der Breite 286quot; 19' und
86quot; 22' beträgt

280quot; 34' — 286quot; 19' = 354quot; 15'
und 80quot; 38' — 86quot; 22' = 354quot; 16'.

Soweit wir die Theorie bis jetzt verfolgt haben, war sie
bereits Eigenthum des Hipparch, der sie nicht nur erkannt, sondern
auch zahlenmässig festgestellt hatte. Sie basirt, wie wir gesehen
haben, ausschliesslich auf Beobachtungen von Mondfinsternissen
und kann daher auch nur Anspruch darauf machen, die Mond-
bewegung zur Zeit der Syzygien genügend darzustellen. Hipparch
ging aber schon weiter, untersuchte, ob seine Theorie sich auch
für die Zwischenzeiten bewähre und beobachtete zu dem Ende
den Mond in anderen Phasen, vornehmlich in den Quadraturen.
Dabei fand er nun bemerkenswerthe Abweichungen, gelangte
jedoch zu keinem endgültigen Resultate darüber, sondern musste
Ptolemäus das Verdienst überlassen, das Gesetz der Evektion zu
ermitteln.

Es handelt sich nämlich um die zweite der oben erwähnten
Ungleichheiten des Mondes, eben dieselbe, die wir heute mit dem
Namen der Evektion belegen. Ptolemäus erkannte, dass die Ab-
weichungen, welche Hipparch constatirt hatte, ihr Maximum in
den Quadraturen erreichten, während sie zur Zeit der Conjunktion
und Opposition = 0 waren. Hieraus ging also hervor, dass sich
diese zweite Ungleichheit nach der Stellung des Mondes zur Sonne
richtete. Ausserdem zeigte sich aber noch eine andere Abhängig-
keit; befand sich nämlich der Mond in den Quadraturen, zugleich
aber im Apogäum oder Perigäum des Epicykels, so dass die Mittel-
punktsgleichung = 0 war, dann fixnd wieder völlige Uebereinstim-
mung mit der obigen Theorie statt; dagegen war der Unterschied
am grössten, wenn während der Quadraturen die Mittelpunkts-
gleichung ihr Maximum hatte. Die zweite Ungleichheit strebte
also stets darnach, die Mittelpunktsgleichnng, wie sie nach der
ersten Hypothese berechnet war, ihrem absoluten Betrage nach
zu vergrössern, am meisten in den Quadraturen. Ptolemäus zog
daraus den Schluss, dass das Verhältniss des Epicykelradius
zum deferirenden veränderlich und zwar in den Quadraturen
grösser sei, als in den Syzygien. Wollte er also nicht den Epi-
cykel bald grösser, bald kleiner werden lassen, so musste er seine

Entfernung von der Erde variiren, so dass er in den Quadraturen
der Erde am nächsten, in den Syzygien am fernsten war. Diesen
Weg schlägt mm Ptolemäus in der That ein; er behält zwar die
Annahme bei, dass sich das Epicykelcentrum um die Erde pro-
portional der Zeit bewege, zu diesem centrum aequans fügt er
aber jetzt noch ein centrum distantiarum hinzu, d. h. einen Punkt,
von welchem das Epicykelcentrum immer gleich weit entfernt
bleibt. Mit anderen Worten: das Epicykelcentrum bewegt sich
auf einem, im Verhältniss zur Erde excentrischen Kreise.

Die Bahnebene des Mondes dreht sich entsprechend der Be-
wegung der Knotenlinie rückläufig um die Normale zur Ekliptik.
Der Mittelpunkt des Epicykels bewegt sich auf einem excen-
trischen Kreise rechtläufig um die Erde als centrum aequans ent-
sprechend der Bewegung des Argumentes der Breite. Centrum
und Apogäum dieses excentrischen Kreises aber rotiren ihrerseits
wieder rückläufig um die Erde mit einer Geschwindigkeit, die gleich
der doppelten Elongation weniger der Bewegung des Argumentes
der Breite ist. Der Mond selbst bewegt sich auf dem Epicykel
in demselben Sinne entsprechend der Bewegung der AnomaHe.

Der Abstand des Epicykelcentrums vom Apogäum des excen-
trischen Kreises ist immer gleich der doppelten Elongation; das
Centrum befindet sich also im Apogäum zur Zeit der beiden
Syzygien, wenn die
Elongation 0 ® oder
180quot; ist, und im Pe-
rigäum während der
beiden Quadraturen,
wo dieselbe 90quot; ist.

Mithin ist durch
diese Anordnung in
der That die Bedin-
gung erfüllt, dass die
Entfernung während
der Syzygien am gröss-
ten, und zwar dieselbe,
wie nach der ursprüng-
lichen Hypothese,
während der Quadra-
turen am kleinsten sei.

wenn wir uns dies an der Hand einer Figur und mit einigen
Zahlen noch mehr verdeutlichen.

ÄBCD (Fig. 9) sei die Ebene der Mondbahn; in A befinde
sich das Epicykelcentrum, das Apogäum des excentrischen Kreises
und die mittlere Sonne. Diese Annahmen werden sämmtlich zur
Zeit der mittleren Conjunktion, bei welcher die Elougation = 0 ist,
erfüllt sein. Z sei der Mittelpunkt des excentrischen Kreises. Cen-
trum und Apogäum des excentrischen Kreises bewegen sich nun
rückläufig um einen Betrag, welcher gleich der doppelten Elon-
gation weniger Argument der Breite ist. In einem Tage wäre
dies = 2 . (12quot; ir,5) _ 13quot; 14' = 11quot; 9'. Es möge so das Cen-
trum Z nach dem Punkte Z gelangen, das Apogäum nach D.
Gleichzeitig beschreibt der Radius EA rechtläufig den Bogen
13quot; 14'; das Epicykelcentrum gelange dadurch nach B, oder viel-
mehr, da es sich auf dem excentrischen Kreise bewegen soll, nach
ƒ/. Es ist hier wohl zu beachten, dass sich die Rotation nicht
um den Mittelpunkt des excentrischen Kreises, sondern um die
Erde vollzieht. In dem anderen Falle hätten wir die 13quot; 14' auf
dem excentrischen Kreise zu zählen und würden, da der Winkel
DZHgt; DEH, nicht bis U gelangt sein.

Der Abstand des Epicykelcentrums vom Apogäum, oder der
Bogen DB beträgt jetzt also 24quot; 23', d. h. die doppelte Elonga-
tion. Wenn die Elongation = 90quot; ist, der Mond sich also in
Quadratur befindet, werden sich die Punkte D imd B diametral
gegenüberstehen, der Punkt Z nach Zquot; gelangen, das Epicykel-
centrum der Erde am nächsten sein. Beträgt die Elongation 180quot;,
so ist der Mittelpunkt des excentrischen Kreises nach Zquot; gelaugt,
das Epicykelcentrum nach C, also wieder nach dem Apogäum.
Im letzten Viertel endlich ist der Punkt Z in Zquot;quot; der Epicykel-
mittelpunkt in d^ h. wieder im Perigäum.

Im Laufe eines synodischen Monats beschreibt so das cen-
trum distantiarum rückläufig einen kleinen Kreis um die Erde.

Im Verhältniss zur ersten Hypothese ist offenbar durch diesen
Zusatz nichts geändert, als dass der Mond der Erde abwechselnd
näher gebracht und wieder von ihr entfernt wird. Aber gerade
dadurch wird bewirkt, dass die jedesmalige Mittelpunktsgleichung,
die nach der ersten Hypothese nur für das Apogäum des excen-
trischen Kreises berechnet ist, im Verhältniss zur Annäherung an
die Quadraturen vergrössert wird.

Ptolemäus bemüht sich nun zunächst, das Maximum der
Mittelpunktsgleichung bei dieser Anordnung der Dinge zu finden.

Er beobachtet daher den Mond in den Quadraturen, und zwar,
während seine wahre Bewegung nahezu gleich der mittleren ist,
d. h. während die Linie Erde — Mond den Epicykel tangirt,
weil in dieser Stellung die Mittelpunktsgleichung nach der ersten
Hypothese ihr Maximum hat, mithin auch nach der zweiten.
.\usserdem wählt er solche Zeiten, wo sich der Mond im Nona-
gesimus¹) befindet, nm die Parallaxe in Länge möglichst zn ver-
meiden.

Bei Berücksichtigung aller dieser Umstände erhält er für die
Mittelpunktsgleichung 7®|, während ihm die Beobachtungen in
den Syzygien nur 5° 1' ergaben. Um dies an einigen Beispielen
zu beweisen, giebt-er an, dass er Sonne und Mond im zweiten
Jahre des Antoninus beobachtet habe, am 24. Phamenoth IS'quot; 4.5quot;'.
Der Sonnenort war 10® 18quot; 50'. Der Mondort 7''9quot;!; im Meridian
stand 8« 40. Es ist mithin

Bringen wir an den Sonnenort die Mittelpunktsgleichung an,
so erhalten wir 10® 18quot; 50' [43] zaamp;w? xai sv t(;5 acjTpoXocß(.) Skutttsuexo,
wie Ptolemäus sagt. Die Anomalie und die Elongation beweisen
uns, dass die oben erwähnten Bedingungen erfüllt sind; der Unter-
schied zwischen dem wahren und mittleren Mondorte ist aber in
der That 7quot;|, wie er beweisen wollte.

Ebenso giebt er noch ein Beispiel aus Hipparchs Beobach-
tungen, zu welchem er folgende Angaben macht. Mittlere Zeit
Alexandria: 52. Jahr der 3. Epeche des Calippus den 15. Epiphi
17quot; 50quot;. Zeit nach der Epoche = 619 J. 314quot; 17|quot;.

Anomalie des Mondes = 257quot; 47'
Bringen wir an den Sonnenort die Gleichung an, so erhalten wir
4» 8quot; 20' [22'].

Hiernach ist nun wahrer (J^ — mittlerer ([ = 7quot; 55'. Ptole-
mäus folgert aber so: Beobachtet ist

w. O — w. = 86quot; 15'; berechnet w. © — m- C = 55',
also w. ^ — m. = 7quot; 40'.

Er übergeht den Umstand mit Stillschweigen, dass der beob-
achtete und berechnete wahre Sonnenort um 15' von einander
abweichen.

Mit dem Werthe als
Maximum der gesammten Un-
gleichheit ist es nun leicht, das
Verhältniss des Radius des ex-
centrischen Kreises zu den an-
deren Elementen der Mondbahn
zu bestimmen. Es sei (Fig. 10)
ABC der excentrische Kreis, A
das Apogäum, D der Mittel-
punkt, C das Perigäum, E die
Erde.

In C befinde sich das Epi-
cykelcentrum, dann ist, wenn ET
den Epicykel tangirt, TEC=rf,

Das Verhältniss von EC:CT können wir mit ziemlicher
Annäherung auch setzen = 60 : 8. In dieser Gestalt benutzt es
Ptolemäus bei der Berechnung der Tafeln.

So war in der Theorie des Mondes wieder ein bedeutender
Schritt vorwärts gethan. Hipparch hatte nur den Erscheinungen
während der Syzygien Genüge geleistet; Ptolemäus fügte, wie wir
eben gesehen haben, die Quadraturen hinzu. Er untersucht nun,
wie seine neue Hypothese die Mondbewegung ausserhalb der vier
Phasen darstellt, für welche sie zuvörderst nur berechnet ist. Er
findet, dass die Beobachtungen nicht immer mit den Rechnungen
übereinstimmen, jedoch leitet er aus diesen Abweichungen nicht
eine dritte Ungleichheit her, sondern erklärt sie durch eine Be-
sonderheit in der Richtung der Apsidenlinie des Epicykels.

Bisher nämlich wies diese Richtung, wie es ja auch das Zu-
nächsthegende ist, stets nach der Erde, um welche sich die
Rotation vollzieht. Bei genauerer Untersuchung findet aber Ptole-
mäus, dass dies nicht der Fall sei, dass die Apsidenlinie zwar
eine konstante Richtung bewahre, diese aber nach einem Punkte
des excentrischen Durchmessers weise, welcher von der Erde

ebenso weit entfernt ist, wie das centrum distantiarum, diesem
aber gerade entgegengesetzt.

Es ist klar, dass diese TrpoçvEUStç toù àutxuxXou, wie Ptolemäus
die Erscheinung nennt, nur insofern eine Aenderung hervorruft,
als der Anfangspunkt der Zählung für die Anomalie eine kleine
periodische Schwankung erleidet. Ptolemäus wird dadurch gezwun-
gen, einen Unterschied zu machen zwischen einem mittleren und
einem wahren Apogäum, und zwischen einer mittleren und einer
wahren Anomahe. Die mittlere erhält er aus den Tafeln der
mittleren Bewegungen, mit der wahren dagegen ist die Mittel-
punktsgleichung zu berechnen.

Befindet sich das Epicykelcentrum im Apogäum oder Peri-
gäum des excentrischen Kreises, so fällt die Richtung der wahren
Apsidenlinie mit der der mittleren zusammen; für die Syzygien
und Quadraturen ist daher nichts geändert. Dagegen muss offen-
bar der Unterschied am stärksten hervortreten, wenn der Mond
in der mittleren Entfernung von der Erde ist.

Ein Punkt bleibt hierbei unklar. Ptolemäus sagt, als er zuerst
von der Prosneusis spricht, dass er sie bemerkt habe, wenn der
Mond fxYjvosiSrjç xoù àficpaupTOç war; das Maximum tritt nach ihm
ein, wenn der Mond uspl xàç [xéoîaç àmaxdaziç ist, worunter doch
wohl die Oktanten zu verstehen sind. Die Beispiele, die er giebt,
und von welchen er ausdrücklich hervorhebt, dass in ihnen T; Tu^siaxT)
ôiot'fopà aujxßaivei xwv èxxsi[j-év(uv Tcpoçvsuaswv, zeigen uns auch in
der That den Mond in den Oktanten; trotzdem ersehen wir aus
seinen eigenen Tafeln, dass dasnbsp;pjg U

Maximum vielmehr eintritt, wenn
die Elongation etwa 60« oder 120quot;,
genauer 57° oder 123° beträgt.
Chasles, welcher in den Comptes
rendus (1862 tome 54, p. 1007)
hierauf aufmerksam gemacht hat,
findet diesen Widerspruch so auf-
fallend, dass er sagt, es sei hier
vielleicht „une lacune dans la
suite de la théorie lunaire.quot;

Eine Figur wird die Erschei-
nung noch mehr veranschaulichen.
Es sei (Fig. 11) ABC der excen-
trische Kreis, D der Mittelpunkt desselben, A das Apogäum, C das
Perigäum. B sei der Mittelpunkt des Epicykels, E die Erde, und

EN endlich = DE. Der Unterschied, welcher durch die Richtung
der Apsidenlinie hcsrvorgebracht wird, ist dargestellt durch den Win-
kel EBN. Dieser Winkel verschwindet aber ofienbar, wenn B
mit A oder C zusammenfällt, und er ist ein Maximum, wenn AEB
ungefähr = 120» ist.

Zum Beweise seiner Behauptung führt nun Ptolemäus zwei
Beobachtungen an, die wir in folgende Daten zusammenfassen
können.

1) Mittlere Zeit Alexandria:
197. Jahr nach dem Tode Alexanders am 10. Pharmuthi 18quot; 20'quot;.
Beobachtet wurde

Die Zeit nach der Epoche ist 620 J. 219lt;'18''0™ [17quot; 57quot;'].
Damit findet sich die mittlere Sonne = 36^41' [37], der wahre
Ort = 37« 45' [44']. Ferner m. (^ = 352M3' [10'], die mittlere
Elongation = 315quot; 32'; endlich die mittlere Anomalie des Mondes
= 185quot; 30' [28]. Die Mittelpunktsgleichung d. h. w. C— m-C
ist = — 0quot; 46'.

(Fig. 12) ABC der
excentrische Kreis,
D der Mittelpunkt
desselben, E die
Erde, B das Epi-
cykelcentrum ; dann
ist AEB gleich
der doppelten Elon-
gation = 27 P 4',
oder der Ergänzung
dazu 88quot; 56'. Die
Richtung ET BZ
giebt die mittlere
Apsidenlinie, XM
sei die wahre, N
also der Punkt,

dessen Abstand von E wir bestimmen wollen,
wahren Mondort darstellen, so dass BEI! =

sin AEß

I) B quot;

. Hieraus ergiebt sich dann zunächst
der Bogen TH. Wir führen die Rechnung aus:

Nun ist der Bogen XU = 185» 30', also MII = 5« 30', mit-
hin TM d. h. EBN= 11» 52'37quot; und ENB = 77quot; 3'23quot;.

Genau ebenso verfährt Ptolemäus noch mit einem anderen Bei-
s[»iele. Es ist von demselben Jahre, Payni 17, 4quot; 0'quot;, und zwar
fand sich

Hiernach findet man die m. 0 = 102quot; 5' [3'], die wahre
= 100quot; 40' [41]; den mittl. ([ = 147quot; 20'[7'!], die Anomalie des
Mondes == 333quot; 12' [1'!], die mittlere Elongation = 45quot; 15'[4].

Es war aber der wahre Mond = 149quot;, der mittlere = 147quot; 20',
also würden wir auf diesem Wege für die Mittelpunktsgleichung
erhalten 1quot; 40'. Auch hier haben wir wieder den Fall, dass der
berechnete Sonnenort von dem beobachteten um 14' abweicht, ohne
dass indess Ptolemäus diesen Umstand erwähnt.

Es ist also (Fig. 13) J£'B=90quot;30', i3£'i?=P26'; //i/= 26° 48'.
Die Rechnung gestaltet sich daher folgendermassen:

EBH= 180—14quot; 47 49=ra
MU ist = 26quot; 48', folglich EBN= 12quot; 0' 11quot;; ENB = 78quot; 29' 49quot;

Ptolemäus sagt EN = 10^ 20'.
Auch dieses Resultat zeigt dieselbe Uebereinstimnumg wie
oben. Die Abweichung von 2' zwischen seinem Werthe und dem,
den wir gefunden haben, beruht auf einem kleinen Versehen des

Ptolemäus. Er sagt nämlich, dass zu dem Bogen 2° 52' die
Chorde 2i' 59' gehöre; es muss aber heissen 3? 0'(gt;quot;.

Nachdem Ptolemäus so die Prosneusis der Apsidenlinie nach-
gewiesen hat, geht er, am Schlüsse seiner Theorie angelangt, dazu
über, die Resultate seiner Untersuchungen tabellarisch zusammen-
zustellen, um dadurch

das Berechnen der jedes-
maligen Mittelpunkts-
gleichung zu erleichtern.
Wie ersichtlich ist, han-
delt es sich zunächst um
die Berechnung der Cor-
rektion der Anomalie.
Wir können dabei, die
Methode des Ptolemäus
etwas vereinfachend, fol-
gendermassen verfahren.
Es ist (Fig. 14)

D = der mittleren Elongation gesetzt ist, also AEB = 2 D. Dann
ist, wenn wir die gesuchte Correktion x nennen:

Man kann x auch in eine Reihe entwickeln, wie z. B.
Delambre gethan hat. Er erhält dafür:

X = 12» 31' 14quot;,27 sin 22) — 2quot; 42' 19,3 sin 47)
0''33'45quot;,0 sin - 7'39,0 sin SZ»
1'59quot;,66 sin lOZ» — .32,3 sin 122)
nbsp;14quot;,6 sinl4i)— 2,32 sin 1(5 7) .

Da man hier aber mindestens sechs Glieder mitzunehmen hat,
so dürfte diese Art der Berechnung kaum vortheilhafter sein.
Ausserdem ist Delambre's Entwickelung nicht ganz genau.

Mit der so korrigirten Anomalie ist die Mittelpunktsgleichung
zu berechnen. Ptolemäus trennt die beiden Theile derselben, wie
er sie auch einzeln entwickelt hat; für den ersten Theil hat er
bereits Tafeln gegeben, den anderen erhält er auf folgendem Wege.
Er berechnet die Mittelpunktsgleichung für das Perigäum, also
mit dem Verhältniss 60 : 8, und tabulirt den Ueberschuss derselben

über den ersten Theil. Dieser gilt aber offenbar nur für die Qua-
draturen, während er für die dazwischenliegenden Punkte kleiner

sein muss. Das Bei-
spiel, welches er hier-
bei anführt, wird sein
Verfahren am deut-
lichsten machen.

ABC (Fig. 15) sei
der excentrische Kreis,
D der Mittelpunkt des-
selben, A das Apo-
gäum, Cdas Perigäum;
E die Erde, B das
Epicykelcentrum. Wir
ziehen die Tangente
ET u. den Radius BT.
Dann ist zunächst wie-
der, wie oben:

DBnbsp;-1)7^ IT

sm BDE.

Der Epicykelradius erscheint also bei dieser Grösse der Elon-
gation unter einem Winkel von 6quot; 54'. Nach der ersten Hypothese
beträgt dieser Winkel aber nur Öquot;l'; durch den excentrischen
Kreis wird also eine Vergrösserung von 1quot; 53' bewirkt. Im Peri-
gäum haben wir dafür 2quot; 39- mithin wird bei eiuer Elongation
von GOquot; der zweite Theil der Mittelpunktsgleichung verkleinert im
Verhältniss von 2quot; 39' zu 1quot; 53', oder, wie Ptolemäus der damaligen
Sitte gemäss schreibt, von 60? : 421' 38'.

gleicliiing nach Ptolemäus das folgende Verfahren einzuschlagen.
Mau geht mit der doppelten Elongation in die Tafeln ein, ent-
nimmt daraus die Correktion für die Anomalie und den Bruch,
welcher angiebt, in welchem Verhältniss bei dieser Elongation die
zweite Ungleichheit verkleinert wird. Mit der korrigirten Ano-
malie geht man wieder in die Tafeln ein, entnimmt den ersten
Theil der Gleichung, multiplicirt den zweiten mit dem obigen
Bruche iind fügt ihn zum ersten hinzu Diese Summe giebt uns
die Mittelpunktsgleichung. War die Anomalie lt; 180quot;, so ist sie
negativ, war jene gt; 180quot;, positiv an den mittleren Ort anzubringen.

Wir haben so die Mondtbeorie des Ptolemäus, wie er sie xms
im Ahnagest überliefert hat, entwickelt und wollen jetzt dazu über-
gehen, zu untersuchen, wie weit es ihm gelungen ist, durch seine
Hypothesen die Bewegungserscheinungen wirklich darzustellen, mit
anderen Worten, welche Genauigkeit seinen Resultaten beizumessen
ist. Es wird hier zugleich der Ort sein, vorher noch Einiges über die
Rechnungen des Ptolemäus und deren Genauigkeit vorauszuschicken,
weil dadurch natürlich die der Resultate bedingt ist.

Es haben sich im Verlaufe der ausgeführten Rechnungen nicht
selten kleine Abweichungen von den Werthen, die Ptolemäus giebt,
herausgestellt. Am auffallendsten ist dies wohl bei Berechnungen
von mittleren Bewegungen. Man hat ja dabei nur die Werlhe
für die einzelnen Angaben aus den Tafeln zu entnehmen und zu
einander zu addiren. Trotzdem aber erhalten wir häufig gegen
Ptolemäus eine Abweichung von 1 — 2', ja einmal sogar (S. 27)
von 13' und 11'. Was zunächst den letzteren Fall betriÖ't, so
scheint derselbe auf einem Versehen des Ptolemäus zu beruhen. Er
findet nämlich die Zeit der angeführten Beobachtung nach der
Epoche = G20 J. 286quot; und dTrXü; 4quot;, ti/pißSs Ss d. h. mit Be-
rücksichtigung der Zeitgleichung 3quot; 40quot;\ Mit diesem Werthe
müssten also die mittleren Bewegungen des Mondes berecluiet seiu;
die Zahlen des Ptolemäus erhalten wir dagegen, wenn wir den
ungenauen Werth von 4*' zu Grunde legen.

Die kleineren Abweichungen von 1' oder 2' kann man sich
häufig dadurch erklären, dass man annimmt, Ptolemäus habe jeden
einzelnen Werth, welchen er aus den Tafeln entnimmt, sogleich bis
auf die Minuten abgekürzt. Es ist klar, dass er so, wenn er z. B.
zweimal 29quot; fortlässt, bereits einen Fehler von 1' begangen hat.
Mitunter muss man jedoch zur Erklärung der Abweichungen noch

die Annahme hinzufügen, dass er die Stundenbrüche noch mit
den Secunden addirt und erst die Summe abkürzt.

Eine andere Quelle, aus welcher für seine Rechnungen manche
Ungenauigkeit fliesst, ist die eigenthümliche Schreibweise der Brüche.
Die Alten lieben besonders solche Brüche, deren Zähler =1 ist,
so schreiben sie z. B. nie |, sondern stets | für | | i für 37'
giebt Ptolemäus | obwohl dies eigentlich = 37'| ist.

Hierbei suchen sie ausserdem, mitunter selbst auf Kosten der
Genauigkeit, möglichst kleine Zahlen im Nenner zu erhaben.
Dies erklärt besonders die kleinen Abweichungen in den Zeit-
gleichungen, denn wenn es z. B. (S. 10) vorkommt, dass die ver-
besserte Zeit = 176quot; 20quot; 13quot;quot; ist, so sind wir sicher, dass Ptole-
mäus schreibt 20iquot;. Für 23quot;21'quot;,7 setzt er 23|quot; u. dergl. m.

Diese Vorliebe für kleine Zahlen und einfache Verhältnisse
ist aber nicht nur für die Rechnung von Bedeutung, sie tritt uns
überall, auch in der Theorie selbst, entgegen, und ist auf die Ge-
staltung derselben häufig genug von entscheidendem Einflüsse. Sie
ist es gewiss, viel mehr als nur die Bequemlichkeit im Rechnen,
die Ptolemäus bewog, statt der beiden gefundenen Werthe für den
Epicykelradius 5M3' und 5^14' zu setzen sie ist es, die ihm
die genäherte Uebereinstimmung der Werthe 10p 18' und 10p 20'
mit lOP 19' zur vollständigen werden lässt, obwohl er doch gewiss
zu den Beispielen, die er giebt, diejenigen ausgesucht hat, in wel-
chen die Uebereinstimmung am deutlichsten hervortritt.

Aus allen diesen Dingen geht schon hervor, dass die Genauig-
keit seiner Zahlen nach einem anderen Massstabe zu messen ist,
als wir ihn an unsere heutigen Rechnungen anzulegen gewohnt
sind Man bedenke weiter die Unbeholfenheit des mathematischen
Hülfsapparates, die Unvollkommenheit der Messinstrnmente, ferner
die ungenauen Angaben über die Mondfinsternisse, mit^ welchen
Ptolemäus rechnen musste, wie [aiS? lt;öpa£ Ixavw; TrapsXamp;o6ar,? oder
Yj asXrgt;Yi Icpoti'vsxo iizi^wm tou X^ovxo? x» (29) [.aXiaxa [xotpas;
man bedenke endlich auch noch die geringen geographischen Kennt-
nisse des Ptolemäus (er nimmt z. B. den Meridian von Rhodus
für denselben, wie den von Alexandria, während der Unterschied
20 = 8'quot; ist): und man wird zugestehen müssen, dass man nur
eine Genauigkeit von höchstens 10' erwarten darf Einen Be-
trag von 4' vernachlässigt Ptolemäus ohne Umstände, indem er
hinzufügt, dass es o6 TtapaSobvnbsp;xoaouTOV xalnbsp;aitÄ? xi?

x-/ipYiasis uXsovaxi? Siaueaslv. Wir dürfen uns aber nicht wundern,
wenn sich auch grössere Fehler zeigen. Haben wir doch bei
zweien seiner Beobachtungen (S. 24 und 27) gesehen, dass ihm

selbst ein Irrthum von 15' kein erwähnenswerther Umstand ist;
er hätte doch sonst gewiss nicht gerade solche Beobachtungen in
seinem Buche angeführt.

Sehen wir nun zu, wie sich innerhalb solcher Grenzen eine Ver-
gleichung der heutigen Resultate mit denen des Ptolemäus gestaltet.

Von den Ghedern, welche uns die modernen Mondtafeln geben,
brauchen wir, wie durch das eben Gesagte zur Genüge erwiesen
ist, nur die drei wichtigsten zu betrachten, d. h. das Excentricitäts-
glied, die Evektion und die Variation.
Alle anderen Glieder liegen unterhalb der
bezeichneten Grenze, denn die jährliche
Gleichung, deren Betrag noch 11' ist,
musste den griechischen Astronomen we-
gen ihrer grossen Periode entgehen.

Die drei genannten Gheder lauten nun
nach Damoiseau (tables de la lune 1824),
wenn L die mittlere, X die wahre Länge
bedeutet, M die mittlere Anomalie, D die
mittlere Elongation:

X~L=-60 17',3sini/ 12',8sin2M
-()',6sin3M- 10 16:,5sin(2i)-iV7)
-H 39', 5 sin 2 D.

Es sei (Fig. 16) T die Erde, B der
mittlere Mondort, M der wahre, A das
Apogäum, also ABM die Anomahe, dann
ist für die Syzygien BTBM = 5i.
Wir haben daher:

Entwickeln wir dies in eine Reihe,
so erhalten wir für die Mittelpunkts-
gleichung

Die Damoiseau'schen Zahlen dagegen
ergeben, wenn wir, um die Syzygien zu
erhalten, 2 Zgt; = 0 setzen:

Dam. — Ptol. = 0', 4 sin 2 M 0', 2 sin 3 M.
Diese Zahlen sprechen sich ihr Urtheil selbst.
Delambre gelangt in seiner histoire de l'astronomie ancienne
tome H, p. 206 zu ganz verschiedenen Resultaten. Er findet schliess-
lich, dass der Fehler des Ptolemäus in den Syzygien nicht we-
niger als

Setzt man in seiner allgemeinen Gleichung, um die Syzygien
zu erhalten, 2 i) = 0, so wird

X — L = — 4» 57, 2 sin M^ 20', 1 sin 2 M.
Vier Zeilen vorher findet man für denselben Werth

—nbsp;40 51,1 sin M^ 11' sin 2M— 0', 8 sin 3 AI-,
wieder vier Zeilen vorher steht

Aus dieser reichen Auswahl von Werthen wählt Delambre zur
Vergleichung den ersten, also

= 0', 3sinJf— 11, 5 sin 2 i¥.
Den auffallenden Werth 17',5 sin AI ei'hält Delambre theils
durch einige Zeichenfehler, theils dadurch, dass er vier Glieder
im Betrage von je 4' — 7' fortlässt. Es ist dies nicht die einzige
Stelle, die den Eindruck hinterlässt, dass Delambre in seiner
Kritik des Ptolemäischen Werkes nicht mit genügender Sorgfalt
vorgegangen ist.

Gehen wir zu den Quadraturen über, so haben wir nach Pto-
lemäus für das Verhältniss der beiden Radien zu setzen 60:8,
woraus für den Unterschied der wahren und mittleren Länge

X — L = — 70 38', 4 sin AI30', 6 sin 2 AI — 2', 7 sin 3 AI;
andererseits wird nach Damoiseau für i)==:=t:90°:

X _ L == — 70 33, 8 sin if-h 12, 8 sin 2 AI— 0, 6 sin 3 AI
Dam. — Ptol. = 4- 4', 6 sin Af — 17, 8 sin 2 AI 2', 1 sin 3 AI.

Das Hauptglied ist also auch hier richtig bestimmt, imd erst
das zweite zeigt eine grössere Abweichung; indessen übersteigt
auch diese die oben angegebene Grenze nicht um sehr viel. Sie
kann im Maximum mit den anderen Gliedern zusammen, wenn
M ungefähr = 130« ist, auf 22' steigen, für i/= 82«| etwa ver-
schwindet sie ganz.

Noch von einem anderen Gesichtspunkte aus möchten wir die
Vergleichung für diese beiden Phasen des Mondes ausführen, in-
dem wir die beiden Hauptglieder der Mondgleichnng, die in den
Syzygien und Quadraturen vereinigt auftreten, von einander trennen.
Das Maximum der Gleichung für die Syzygien giebt Ptolemäus

= 5« 1'; die heutigen Tafeln 4« 58'
für die Quadraturennbsp;7« ^0^ » « y^ Jquot;quot;

Also die mittlere Gleichung 6» 20, 5 „ „ „ 6« 18'
die Evektionnbsp;1quot; 19,5 „ „ „ 1» 20'

Wir sehen also die beiden Hanptglieder mit ansehnlicher
Genauigkeit dargestellt.

Um eine allgemeine Vergleichung anstellen zu können, müssten
wir die Ptolemäischen Resultate ganz allgemein in eine Reihe ent-
wickeln. Dies ist aber wegen der Veränderlichkeit der Entfer-
nung eine sehr komplicirte Aufgabe, welche in den zu erwartenden
Resultaten keinen entsprechenden Ersatz bietet. Wir wollen uns
daher mit einer flüchtigen Vergleichung begnügen, indem wir eine
Reihenentwicklung zu Grunde legen, die Biot in dem Journal des
Savants für 1843 giebt. Wegen der vielfachen Abkürzungen, die
vorgenommen werden müssten, stellt sie die Ptolemäischen Zahlen
nur mit einer Genauigkeit von etlichen Minuten dar. Es ist nach ihr
X — L = -- 6quot; 11', 2 sin M-h 19', 2 sin 2 M — 1', 4 sin 3 M

—nbsp;1« 15',5sin(2D-M) 7',8sin(4Zgt;H-if)-H5',7sin(4Z)-i/)
-h 8', 0 sin (2 Zgt; — 2 M).

— 1 ',0 sin (2 Z» — M) — 7',8 sin (4Zgt;-4- M) — 16',3 sin (4 Z) — M)

In dem Ausdrucke für die Evektion treten mehrere Glieder
auf, für welche die Damoiseau'schen Tafeln gar keine entspre-

chonden haben. Es kommt dies daher, dass Ptolemäus durch die
Prosneusis das Gesetz der Erscheinung nicht ganz richtig dar-
gestellt hat. Für die beiden Beispiele, die er im Almagest an-
führt, heben sich die erwähnten Glieder zum grossen Theile auf;
ihnen wird also in der That genügt, wenn wir, wie eben geschehen,
die Variation vernachlässigen.

Wir wollen diese allgemeine Vergleichung nicht weiter führen,
sondern wollen noch einen speziellen Fall hervorheben und unter-
suchen, welcher von grösserem Interesse ist, nämlich die Dar-
stellung der Bewegung in den Oktanten.

In den Syzygien und Quadraturen vereinigen sich, wie wir
gesehen haben, die beiden ersten Ungleichheiten des Mondes zu
einem einzigen Gliede, in den Oktanten dagegen trennen sie sich
nicht nur, sondern treten auch in ganz anderer Form auf; ausser-
dem geht noch die Variation mit ihrem, vollem Betrage ein. Es
hat diese Untersuchung noch ein allgemeineres Interesse. Bekannt-
lich wird die Entdeckung der Variation dem Tycho Brahe zu-
geschrieben. Dagegen erhoben sich vor etwa dreissig Jahren in
der Pariser Akademie einige Stimmen, welche diese dritte Un-
gleichheit des Mondes bereits in einem Werke des arabischen
Astronomen Abul Wefa aufgefunden hatten. Der Streit hierüber
hat sich zwischen den Hauptvertretern Sedillot, Chasles einerseits
und Münk, Biot, Bertrand andrerseits bis in die neueste Zeit hin-
gezogen, und wir möchten schon in Rücksicht darauf etwas genauer
auf die Oktanten eingehen, da es sich bei jener Frage natürlich
auch darum handelte, ob Ptolemäus sclion etwas von der Va-
riation habe.

Für 21) = =±=90 ist die Correktion 7 =110 59'4quot;; ferner
i:/? = D ß cos 7 = 48 . 6005. Nun ist offenbar:

Mithin ist Dam. — Ptol. = - 14',0 sin M — 5',5 sin 2 vl/ 0',6 sin 3 M
0',6 cos M - 8',1 cos 2 M 0',9 cos 3 M =t= 39',5.

Sehen wir von dem Variationsgliede (39',5) ab, so beträgt
dieser Unterschied im Maximnm 24'. Den Verlauf desselben bei
verschiedenen Werthen von M für 2 D = 90quot; und 270quot; steht
folgendes Täfelchen dar:

Hieraus ersieht man, dass, wenn man die Variation hinzufügt,
nämlich die Tafelwerthe bei 2 Zgt; = 90quot; nm 39',.5, bei 2D = 270quot;
um — 39',5 verbessert, die Unterschiede der alten und neuen Theorie
beträchtlich vermehrt werden, so dass alsdann die geringste Dif-
ferenz 24' beträgt, das Maximnm aber bis .'luf 63',5 steigt. Ohne
die Variation dagegen haben wir eine MaximaldifFerenz von 24',
während es auch einige Werthe der Anomahe giebt, für welche
der Unterschied = 0 ist.

Es ergiebt sich somit, dass in der Rechnung des Ptolemäus
von der Variation noch nichts enthalten ist.

Auffallend ist es allerdings, dass ihm dieselbe entgehen konnte,
obwohl er seine Beobachtungen gerade so angestellt hat, dass sie
mit ihrem vollen Betrage einwirken musste; es müssen jedenfalls
Beobachtungs- und auch wohl Rechnungsfehler dabei mitgespielt
haben. Verfolgen wir seine Angaben bei den beiden Beispielen
o-enauer, so finden wir in der That zahlreiche kleine Abweichun-
gen, die sich beim zweiten, bei welchem noch ein Versehen m
dem Sonuenorte hinzukommt, soweit summiren, dass wir statt 1quot; 26'
für die Mittelpunktsgleichung 1quot; 52' bekommen können. Mit diesem

Wertlie hätte Ptolemäus wenigstens einen grossen Theil der Va-
riation erhalten.

Der Kuhm, die dritte Ungleichheit des Mondes entdeckt zu
haben, muss daher dem Abul Wefa allein vorbehalten bleiben.
(Siehe Sédillot, Matériaux, pour servir à l'histoire comparée etc.
und Comptes rendus 1862 [Chasles].)

Auf einen Punkt möchten wir nun zum Schlüsse noch auf-
merksam machen, welcher uns eine Schwäche der Ptolemäischen
Darstellungsweise erkennen lässt, einen Punkt, welcher ihm selbst
wohl auch nicht entgangen ist, der ihm aber von zu untergeord-
neter Bedeutung war, um darauf grösseres Gewicht zu legen. W ir
meinen die scheinbare Grösse des Mondradius, welche wegen der
grossen Variabilität der Entfernung des Mondes sehr verschiedene
Werthe annehmen müsste. In den Capiteln, in denen sich Ptole-
mäus mit der Parallaxe beschäftigt, bestimmt er den Mondradius
für das Apogäum des Epicykels und des excentrischen Kreises zu
15'! [heute 14y. Bedenken wir nun, dass sich die grösste und

so fipden wir für den scheinbaren Halbmesser im Perigäum 29'9
[heute nicht ganz 17']. Der Mond musste nach Ptolemäus im
Perigäum fast doppelt so gross erscheinen, als im Apogäum. Er
hat allerdings den Halbmesser de.s Mondes für das Perigäum nicht
berechnet, wohl aber die Parallaxe, welche er für die Erdferne
zu 53' 54quot; angiebt, für die Erdnähe zu 1quot; 44', also doppelt so gross.
Dass er trotz dieses Umstandes seine Hypothese beibehielt, hat
wohl darin seinen Grund, dass die Distanz -Phänomene für ihn
nur während der Syzygien von Wichtigkeit waren, in welchen
der Mondhalbmesser auf die Grösse der Verfinsterungen von Eiu-
fluss ist. Wir haben ja (S. 6) gesehen, dass es ihm im Allgemeinen
nur auf die Darstellung der Längenbewegung ankommt, indem er
kein Bedenken trägt, den Radiusvektor, der das Gestirn trägt, be-
liebig zu vergrössern und doch hinzuzufügen, dass unter diesen
Umständen xà aùxà tpatvoptsva aufjißrjafsxat. Warum sollte er also
seine Theorie, die den Moudlauf so gut darstellte, eines Umstan-
des wegen verwerfen, welcher ihm von keinem Interesse war, da
er doch selbst als seine Aufgabe angiebt:

TTSipScjftod |xàv (O; EVI aaXtaxa xà? àîïXoucsxspaç xôiv utoi)e(îsojv
Ècpapaôïsiv -aXq sv xiô oùpotviô xiv/jssatv.

DBE =	11quot; 58'57quot;
AEB =	88quot; 56'
BDE =	79quot; 5' 3quot;
DB _	1.696286
ÄnAEli
sin EDB =	9.99207,0
EB =	1.688356
UB =	0.720159
	0.968197
sin BEI! =	8.126471

	-KUquot; f /
/	/ / /

DB _	1.696228
sin AEB ~
sin BDE =	9.989609
EB =	1.6858,37
IIB^	0.720159
	0.965678
sin BEI! -	8.398179
sin EHB =	9.363857
EBB =	13quot; 21'49quot;
BEH =	1quot; 26'

	2	D	j	2D		1	■2D			2 D
M	90quot;	270»		90»	270»	M 1	90»	270»	M	90»	270»
0»	— 7'	-h 7'	90»	- 7'	23'	180»	-10'	4-10'	210quot;	4-23'	7'
10 !	- 10	2	100	— 5	- 20	190	9	4- 9	280	4-24	9
■20	- 13	3	110	- 3	— 17	200	1- 7	4- 8	290	4-23	11
30	— 15	- 8	120 '	- 3	-12	210	3	g	300	4-20	13
40 1	~ i:.	-13	130	- 3	— 7	220	2	4- 5	310	17	15
öO ■	— 15	1 1 -	140	— 5	— 2	230	7	4- 3	320	13	15
go !	- 13	- 20	150	- (i	■ 3	240	,-f-12	-1- 3	330	8	15
70 1	- 11	- 23	160	- 8	7	■250	4-17	4- 3	340	- - 3	13
80	- 9	- -24	170	— 9	9	2g0	-1-20	4- 5 1	3.50	-- 2	10
90	1	- 23	180	- 10	4-10	270	23	\ i	3g0	- 7	7