RANDONDERZOEK BIJ
CONFORME AFBEELDING

• aij-quot;-..

-nbsp;•nbsp;■nbsp;, . wnbsp;'Ä-

tl - , ^
...... quot;nbsp;-.iOnbsp;i'j. .V .;.■■nbsp;'

- ;; r -nbsp;'nbsp;'nbsp;lt; s quot; ■■ -

. V 'V'?

-r

ir, V

ÏÀ^i',}quot; gt;. , ...

V- ^

RANDONDERZOEK BIJ CONFORME
AFBEELDING

RANDONDERZOEK BI}
CONFORME AFBEELDING

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT
OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS
DR. TH. M. VAN LEEUWEN, HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER GENEESKUNDE, VOLGENS BE-
SLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT
DER WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
OP MAANDAG 23 JANUARI 1939, DES NAMIDDAGS
TE 3 UUR

DOOR

sigofred jacobus vles

GEBOREN TE ZALT-BOMMEL

P. NOORDHOFF N.V. - 1939 - GRONINGEN-BATAVIA

BIBLIOTHEEK DER
RIJKSUNIVERSITEIT
U T R E C H Ti

Aan mijn vrouw.

mr

PROMOTOR: Prof. Dr. J. WOLFF

■ - '-b. ..

^i-pi

LITTERATUUR.

1.nbsp;Lars Ahlfors, Untersuchungen zur Theorie der Konformen Abbil-
dung und der Ganzen Funktionen.

Acta Societatis Scientiarum Fennicae, Nova Series A. Tome I No. 9.

2.nbsp;J. Wolff, Over de grenswaarden van holomorfe functies. Konink-
lijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Deel XXXVI
No. 10.

3.nbsp;J. Wolff, Sur la représentation conforme des bandes.

Compositio Mathematica, Vol. I, Fase. 2.

4.nbsp;J. Wolff. Démonstration d'un théorème sur la conservation des
angles dans la représentation conforme d'un domaine au voisinage d'un
point frontière.

Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Proceedings
Vol. XXXVIII No. 1.

5.nbsp;C. Carathéodory, Conformai representation. Cambridge Univer-
sity Press. 1932.

6.nbsp;J. Wolff, La représentation d'un demi-plan sur un demi-plan à
une infinité d'incisions circulaires.

C. R. de l'Académie des Sciences, Séance du 18 Février 1935.

1.nbsp;Definitie van het begrip strook.

Een strook Q van het ^-vlak (coördinaten a; en y) is een
enkelvoudig samenhangend gebied, dat aan de volgende voor-
waarden voldoet:

a)nbsp;in ü ligt een kromme = z{t) = x{t) iy{t), O lt; ^ lt; 1,
waarvoor geldt lim x{t) = — oo en lim x{t) = -f co.

b)nbsp;op iedere rechte a; = const. is ieder lijnsegment van ü begrensd.

2.nbsp;Het op elke rechte R(z) = x kiezen van een lijnsegment Bx.

Het lijninterval in ü gelegen op de rechte R(^r) = x, hetwelk
door de kromme z = z{t), O lt;t lt; l bij toenemende t het eerste
getroffen wordt, noemen we

De lengte van stellen we voor door 0{x).

3.nbsp;Conforme afbeelding van een strook op een andere.

Bij conforme afbeelding van de strook Q op een strook T gelegen
in het C-vlak (coördinaten | en t]), gaat het segment over in
een kromme y^.

De onderste grens van f op zij de bovenste grens
zij la- De schommeling van | op d^ is dan: m{x) = i^i^) —

4.nbsp;Begrenzing naar beneden van ^iC^fj)—^aC-*^!)' conforme

a

afbeelding van Q op een strook T, waarvoor geldt | ïj | lt; —.

Indien ü conform wordt afgebeeld op een strook T

en indien deze afbeelding zoodanig is, dat, de oneigenlijke punten
van Q en T correspondeeren dan geldt, voor % lt; X2.

— 4a, mdien voldaan is aan de

Q{x)
gt; 2. 1).

voorwaarde

1) De getallen zijn verwijzingen naar de gebruikte literatuur.

De ongelijkheid geldt in het bijzonder, indien: Afg—% gt;nbsp;x^) is.

Orni^iX^ is de bovenste grens van 0 in het interval {xy^, x^.

5. Begrenzing naar boven van ^2(^2) —nbsp;^ij conforme

a

afbeelding van 12 op een strook T, waarvoor geldt |*j| lt; —•

Indien de strook ü nog voldoet aan de volgende voorwaarden:

a)nbsp;Q is symmetrisch t.o.v. de reëele as,

b)nbsp;op elke rechte R(x) = a; ligt slechts één tot het gebied be-
hoorend lijnsegment n.1. 0^

c)nbsp;de variatie van de functie d{x) is in elk eindig interval be-
grensd

d)nbsp;d{x) is begrensd voor — 00 lt; lt; 00.

dan geldt, indien 6{x) L tot bovenste grens heeft:

dx

d{x)

Qix-., x„) = 8a -f- IQal?---

X2) is het minimum van 0 in het interval (At^, X2)
V(%, AJg) is de variatie van d{x)^ in het interval X2)-

6. Uitbreiding van de in no. 5 besproken stelling.

ü' zij een gebied, dat een als in No. 5 gedefinieerd gebied Ü
bevat.

C (2) beelde het gebied Q' conform af op de strook T

ii{x) ennbsp;zijn respectievelijk de onderste en bovenste grens

van R[C(2)] op het bij het gebied ü behoorende lijnsegment d^.
L,nbsp;X2) ennbsp;x^) hebben betrekking op het gebied Q.

Nu geldt:

dx

i,{x2) - ^ « J ^ 4a Q(x„ X2) 1).

1. Definitie van „hoekafgeleidequot;.

c == C{z) zij een holomorfe functie van 2 voor R(z) gt; O, z^ zij

een punt van de imaginaire as.

jcnbsp;31

Indien nu in elke hoek —--h ^ arg (z — ^q) ^ — — a (a gt; 0)

2 2

uniform:

a)nbsp;lim C{z) = Uzo)

b)nbsp;lim ^^-^^^ = T is, dan definieeren we r als hoekaf-

geleide van C{z) in het punt z^.

Is Zq = 00 en C(Zo) ^ 00, dan wordt, indien:

lim z[Ii{z)—=Tis uniform voor —a^ argz^—oc,

T als hoekafgeleide van in het punt oo gedefinieerd.
Indien nu ook nog = ^ is, dan luidt de definitie:

C{z)

hm -= T.

«—VOO ^

2.nbsp;Indien limZ'{z) voor \arg{z — Zq) | ^ — — a, a gt; O, be-

staat dan bezit C{z) in het punt Zq een hoekafgeleide, die gelijk is aan
lim t,'{z).

3.nbsp;Indien in een hoek van het halfvlak, waarvoor geldt:
arg z I ^ ^ —■ «, «.gt; O, uniform lim ^^ = t is, t ^ O, dan

geldt:

lim C'{z) = T uniform in elke hoek, die voldoet aan:

z—gt;00

argz\nbsp;^

Bewijs: Bij elk positief getal e behoort een waarde q^, zoodanig,
dat de functie (p{z) = ^z) — zr in het gebied bepaald door de
ongelijkheden:

^ Qs en

arg^

voldoet aan de voorwaarde:

(p{z) I lt; e .

^Q zij een punt van de hoek arg z

Qe

Verder zij: | gt; — .

1 — sin (a — a)

Nu hgt de cirkel C^ met middelpunt en straal | Zq | sin (oc' — a)

geheel in het gebied arg z ^--a.

2

Uit:

volgt dan direct:

\ smfoc —a)/

Hiermede is de stelhng bewezen.

§ 3.

Onderzoek naar noodige voorwaarden voor het bestaan
van een van O en oo verschillende hoekafgeleide op oneindig
bij conforme afbeelding van het rechter ^-halfvlak door
middel van de functie z(Q op een in het z-vlak gelegen gebied
G, zoodanig, dat het oneindig verre punt van de reëele as
van het i^-vlak correspondeert met het oneindig verre punt
van de reëele as van het z-vlak.

We onderstellen, dat de functie z(C) een van nul en oo ver-
schillende hoekafgeleide bezit. Deze hoekafgeleide wordt reëel
verondersteld. Dit is steeds te verwezenlijken door een draaiing
van het gebied G.

Onderstel, dat het punt z = O een randpunt van G is. Dit is steeds
door een translatie te bereiken. Transformeer de gebieden G en
R(^) gt;0 met behulp van de transformaties s = x' iy' = logz

r

en cr = f' -(- iri' = log C in 2 strooken Q en T.

lt;

Volgens het onderstelde blijft

groot op de reëele as van het ^-halfvlak. Dus bestaat er een
eindige constante M, zoodanig, dat op deze as voor | C | grooter
dan een vast, positief getal:

= — x'{a) lt; M is.

Met de reëële as van het C-vlak correspondeert in het z-vlak een
kromme, die alle doorsneden van het gebied ü snijdt.

Dus is er op elke doorsnede, waarvoor % groot genoeg is,
minstens een punt, waarvoor:

|'(s) — x' lt; M is.

Voeren we de notatie van § 1,3 in, dan kunnen we schrijven:

lt;U.........(1)

Volgens de stelling van § 1,4 geldt, indien x gt; is;

dx'

■ 4:Jl

d{x')

(2) en (1) geven samen:

dx'

■a; =

d{x')
ü

d.w.z. de integraal

De interpretatie hiervan voor het z-vlak is de volgende:
Indien Q{r) de openingshoek voorstelt van die op de cirkel
= r gelegen boog, vi^elke correspondeert met de doorsnede
^logr' dan is een noodzakelijke voorwaarde voor het bestaan van
een eindige positieve hoekafgeleide, dat de integraal

■7i — Q{r) ^

Hr)
1

onder een eindige grens blijlt.

We wenschen ook nog een tweede noodige voorwaarde te ver-
krijgen. Dit is mogelijk met behulp van § 1; 6. ß zij een in Q ge-
legen, t.o.v. de X'-as symmetrisch gebied, dat op elke rechte
R(s) = x', waarvoor x' groot genoeg is, slechts één doorsnede
bevat, waarvan de lengte wordt voorgesteld door d[x').
Verder onderstellen we nog, dat er een interval oo) bestaat,
waarin de totale variatie van Q{x'Y eindig is.

blijft begrensd voor | f | voldoende groot op de reëele as

van het C-halfvlak.

Voor x' groot genoeg geldt:

è'{x')—x'gt;—M' (M' is een eindige constante).
Dan geldt dus a fortiori

gt;-W,.........(1)

waarbij ^'^{x') de bovenste grens van ^'(s) op d^ is.

We onderstellen nu, dat liminf 9(a;') gt; O is en we kiezen in de

stelling van § 1; 6, zoodanig dat: x^ gt; x'^ -f 8jr is. De onge-
lijkheid (1) geeft voor x' gt; x\

P' dx'

- i'{x\) ^nj ^ Q{x\,x')

In de restterm kan men L = 2n stellen en vindt, daar als onder-
steld Y{xq, oo) eindig blijft en d^{x\ — Sjr, x') grooter dan een
positief getal blijft, dat Q{xi,x') onder een van onafhankelijke
eindige grens ligt.

Dit geeft samen met (1) dat:
dx'

6{x'

naar onderen begrensd blijft.

Hetzelfde resultaat geldt natuurlijk ook, indien lim inf 0 (%') = O

is. Want, daar Q alle genoeg veraf gelegen punten van de hoek

arg f I ^ ^ bevat, kan ü door een ander gebied vervangen

r_ 71

worden, waarvan de doorsneden gelijk zijn aan M ö{x'), - •

Omdat de bij dit gebied behoorende integraal naar_onderen
begrensd blijft, geldt dit a fortiori voor de grootere bij Q behoo-
rende integraal.

Bij transformatie van het gevonden resultaat naar het z-vlak
krijgen we de volgende voorwaarde:

G zij een willekeurig in G gelegen, ten opzichte van de reëele
as symmetrisch gebied, dat van elke cirkel \z\=r slechts één
boog bevat. De openingshoek van deze boog zij 0(r). Indien er
een interval (^o, oo) is, waarin de variatie van e{r)^ eindig is,
dan is voor het bestaan van een van nul en oneindig verschillende
hoekafgeleide noodig, dat:

0(r) ^
r

Ö{r)

quot;■o

voor elke r gt; Tg boven een eindige grens ligt. Hieruit volgt:
Indien een van nul en oo verschillende hoekafgeleide bestaat,
dan kan G geen hoek grooter dan n bevatten. Beschouw een
hoek, die symmetrisch is t.o.v. de reëele as._ Indien we deze
hoek als gebied D beschouwen, dan is de lim 6 (r) gt; 7t, waaruit

volgt, dat de integraal negatief oneindig wordt.
Noodige voorwaarden zijn dus:

^_^ — is naar boven begrensd.

0(r) f

■quot;T.-öir) dr .nbsp;^ K ^

——. — IS voor elke r gt; r^ naar beneden begrensd.
e(r) r

3) G kan geen hoek grooter, dan n bevatten.

§

Stelling van Fatou.

Indien f{z) voor z lt;l holomorf en begrensd is { f{z) lt; M),

dan bestaan bij radiale nadering tot de rand
waarden

lim f{reif) =

bijna overal {hoogstens met uitzondering van een (p-v er zameling
van de maat nul).

Bij het bewijs van de stelling maken we gebruik van een
stelling van Lebesgue. Deze zegt, dat een reëele functie met
begrensde differentiequotienten bijna overal (hoogstens met uit-
zondering van een verzameling van de maat nul) differentieer-
baar is.

Beschouw de functie F{z) gedefinieerd door:

F{z) =

Er bestaat dus een 2 dimensionale limiet van F (z) voor z | = 1

F(z) „wordtquot; dus continu voor

F(z) op z 1 voldoet dus ook aan:

lt; e

F(z)-F(z')

heeft op volle maat E een afgeleide, welke in absolute

dtp.

Bekend is: waarnbsp;een afgeleide heeft, daar is radiaal:

r7)(p

F'ire'^f) = i[réf) — e-f^

Hiermede is de stelling bewezen.

Uitbreiding van de stelling van Fatou.

Een uitbreiding van de stelling van Fatou werd door de ge-
broeders Riess gegeven en wel in de volgende vorm: De in de
vorige § bedoelde limiet is slechts voor een ^j-verzameling van
de maat nul gelijk aan a, indien a een willekeurig getal is.

Een zeer eenvoudig bewijs is hiervan gegeven door Wolf f 2).
Hierbij werd zonder aan de algemeenheid te kort te doen, aange-
nomen, dat /(O) a is, ]J{z) was holomorf en begrensd voor

Nu is voor O lt; r lt; 1 volgens Jenssen:

c2n

27îlg /(O)—a ^lg e 27r lg (2M)

dus: /lt;E„ ^ —j-, «=1,2... C constant.

Ig-

e

De waarden van cp, waarvoor lim /(re^'') = a is, behooren tot

de limes inferior van E„ voor w ^ oo.

Dus de maat van de verzameling dier waarden is hoogstens

c

—en daar e willekeurig tusschen O en 1 kan worden gekozen,

Ig-

e

is deze maat nul.

^ 6.

Indien de begrensde functie u(z) (| | lt; M) harmonisch is voor
X gt; O en indien op de imaginaire as lim{u{ti)—■%{—ti)] nul

is, dan bestaat lim v{x), (v(z) is een geconjugeerde functie van u{z))

Ç'^u{^ti)—u{ti) ,

-1 dt convergeert.

indien:

1

Bewijs:

1 / 1 1 \

u{x) ivix) = — u{ti)\--1---\dt 4quot; constante.

7tJnbsp;— tt 1 ti!

In de integraal is u{ti) de Fatou'sche ]ha.u{x ti).
Neem de constante = 0.

Zij e gt; O en vast en zij a; zoo groot, dat voor t gt; ex\

e2

u{ti)—u{—ti) lt;

vrr

{x \)dt

{u(ti)—m(—ti)}

[x—ti) (1 -{-ti)

t gt; EX

{x l)dt

l gt; EX

Nu is:

Vl gt; I i I = V^^ t^ cos V gt; V^^ t^ cos X =

vrr

{x l)(nnbsp;\

dus:nbsp;K lt;ns voor ^ voldoend groot.....(1)

t{l — x^)u{ti)dt

.£X (1 __nbsp;-~u{— ti)}

Nu is:

1 P,

= -l

dus

rex u[—ti)—u{ti)

tdt }

tdt

= M log (1 £2) lt; M£2 . . . (2)

t^
0

Uit (1) en (2) volgt nu:

■ui—ti)—-uiti)

\ ' 2nbsp;— Me2 ^ Um inf. v(x) ^

1 ^

lt; lim. sup V (x) lt; lim sup

X—^nbsp;X—^ GO *

, dan is lim v {x) =
œ-x»

2. Bestaat limî!;(A;) = I, dan is

(

ook volgt:

.ex

l — Tie — Me^ ^ lim inf. J ^ lim supnbsp;ns Me^

Onbsp;O

Opmerking:

Noodig en voldoende is ook de convergentie van
— ti) —u{ti)

dt, wegens

t

t 1

1 t i!(l t^)'

§ V-

Indien C{z) holomorf is voor R{z) gt; O en als bovendien geldt:

I gt; O, dan nadert in iedere hoek \ arg z\ lt; — e lt; — het quotient

2 2

-, indien z tot oo nadert, uniform to een reeele eindige grens-

waarde ^ O, welke dezelfde is als de onderste grens van ^^ voor

X

X gt; O, m.a.w. er bestaat steeds een eindige hoekafgeleide op oneindig
en deze is positief of nul.

Bewijs:

Zij a (reëele deel a) een punt van het z-vlak en zij ot' hetspiegel-
beeld van a t.o.v. de imaginaire as van het z-vlak.

Zij verder /? (reëele deel b) het door C{z) aan a toegevoegde
punt en zij /S' het spiegelbeeld van C t.o.v. de imaginaire as van
het C-vlak,

dan beelden de functies:

lt;p =

de halfvlakken

C-/S'

a; gt; O en I gt; O af op de eenheidscirkels | 991 lt; 1 en | ^ | lt; 1.
Nu is ip{(p) een holomorfe functie van cp voor | 95 | lt; 1.
Verder is y(0) == = f{(p)'\.

Aan de voorwaarden van het Schwarz' lemma is dus voldaan
zoodat geldt:

Vgt;{lt;f)

dus:

lt;

f-r

Indien nu z tot a nadert, dan nadert:

a' — a

I

X

Op elke rechte // de reëele as van het z-vlak geldt dus:

I

j

X

dus - daalt monotoon op iedere zoodanige rechte

X

- ^ A ^ 0.

Deze hmiet is op alle rechten // Ox gelijk

Op de X-as geldt: - j A

X

£
x'

Op het lijnsegment x, wi)
geldt derhalve:

dy ^d^

X ^ ^ X

Zij eerst A = 0:

Voor X ^ ao volgt hieruit: ^^ O, dus - O angulair.

^ d!:

^ dus ---^ O angulair.

dz

Eveneens — ^ O
z

Beschouw nu het geval A gt; 0.
We kijken dan naar C — ^z.

Op de reëele as geldt: -=---X | 0.

oc %

De hoekafgeleide van (C — Az) op oneindig is dus 0.
Dus: hm ang.nbsp;=nbsp;quot;quot;

lim ang. — ^ == O, dus hm ang. ^ = ^

hm ang. — = O, dus lim ang. ^ =

§ 8.

Uitbreiding van de stelling van § 7.

Gy zij een enkelvoudig samenhangend gebied dat alle voldoend
verre punten der reëele positieve as bevat.

Gy zij gelegen in het halfvlak ^ gt; O en zij een functie, welke
G-y conform afbeeldt op het halfvlak R{zi) gt; O, zoodanig, dat het
oneindig verre punt van de reëele as van het 1,-vlak correspondeert
met het oneindig verre punt van de reëele as van het z-vlak.

(i)

Verder wordt ondersteld, dat ^^ voor | voldoend groot begrensd is.

Dan bestaat voor elke in G^ holomorfe functie z{Z), welke een
positief reëel gedeelte heeft, de limiet'.

Un, i®.

C-gt;00 C

indien:

argl:\ ^ — a (a gt; 0) is.

Deze limiet is reëel en eindig.

Bewijs: zij de omkeeringsfunctie van
Omdat R[Ci(2)] gt; O is, bestaat de limiet:

lim = gt; O, nniform in elke hoek, waarvoor geldt

gt;-00 Z

71

axgz

Ook de functie z[!;{z-^)'\, die in het rechter .z-halfvlak gedefinieerd
is, bezit daar een positief reëel gedeelte:

Dus: hm ^^^ ^^^ = m^^ lt; oo, uniform in elke tot het gebied

0—gt;00 Z

behoorende hoek.

Dus is in elke hoek, waarvoor geldt:

arg z\ ^ - — a, uniform
2

Daar m^ van nul en oneindig verschilt geldt:

a) alle punten van de hoek | arg C| ^ - — e voor | C| gt; Pe

2

behooren tot het gebied G^.

b) hun beeldpunten in het z-vlak vallen binnen een iets grootere

31 ,

hoek arg z è - — e
Z

e' lt;e

7C

Dus is in elke hoek arg C ^ - — e, uniform

2

yi^x C m-^
§ 9.

Onderzoek naar voldoende voorwaarden voor het bestaan
van een van O en oo verschillende hoekafgeleide op oneindig
bij conforme afbeelding van het rechter ij-halfvlak door-
middel van de functie z(^) op een in het z-vlak gelegen ge-
bied G waarbij het oneindig verre punt van de reëele as
van het ^-halfvlak correspondeert met het oneindig verre
punt van de reëele as van het z-vlak.

Transformeer de gebieden G en R(C) gt; O door de transformaties
s = iy' = log z en (T = -f ir]' = log C in 2 strooken ü en T.

Beschouw de functie

dx{x') definieeren we als de lengte van het grootste op gelegen
t.o.v. de X'-as symmetrische segment. We voeren nu in:

Zij k een positieve constante en zij het maximum van a.{x')
in het interval vk ^ x' ^ {v \)k, indien dit maximum positief is.

Is dit niet het geval, dan zij = 0.

Voor het z-vlak wil dit zeggen:

m^ in het grootste van de getallen O en max \\_n — (log r)] in
het interval Kquot; ^ r ^nbsp;waarbij K = is.

We zullen bewijzen, dat voor het bestaan van een van nul en on-
eindig verschillende hoekafgeleide op oneindig, voldoende is, dat:

dr

de reeks S m^ en de integraal
v=o

Bewijs: Uit de convergentie van de reeks 2 volgt, dat vanaf

v=o

een zekere r-waarde (vq), m^ lt; ^ n is.

Beschouw in het s-vlak het gebied ü^, dat bestaat uit de recht-
hoeken vk lt;x' ^ {v l)k, I y Inbsp;voor v ^ v^.

Dit gebied correspondeert

in het z-vlak met een gebied Gigt;
dat symmetrisch is t.o.v. de reëele as en dat zoowel in het halfvlak
R(z) gt; O als in het gebied G bevat is.

We zullen nu bewijzen, dat het gebied Gj voldoet aan de eischen,
die gesteld zijn in § 8.

Het ^ewijs leveren we door gebruikmaking van § 1; 6. De bij het
gebied ü.^ behoorende functie d-^{x') is in het interval vklt;x'lt;{v
steeds gelijk aan: n —

Dus:
r^quot; dx'

71

'' dx' ^ Tiknbsp;V

Indien a(s) = |'(s) iri'{s) de functie is, die met behoud der

____jjr

symmetrie het gebied ü^ op de strook \n' \ lt;— conform afbeeldt,
dan geldt:

-nbsp;-nbsp;ST^ 2m k

n — Zm.,,

In de restterm kan men L = 271 kiezen. Indien nu A een geheel
getal grooter dan ^ is, krijgen we:

Vj A
^ Stt S OTy.

Wegens de convergentie van de reeks S m^ blijft dus: —4L,

v=o

yji _(_ 4L) van willekeurige v^ begrensd. Kiezen we v-^ zoo groot,

71

dat voor v gt; v^ — X, m^ lt; - is, dan is voor iedere v^ gt; v^

7t

— 4L, vJi 4'L)gt;-. Hieruit zien we, dat de restterm

vji) voor elke v^ begrensd blijft.
Dit geldt ook voor de in het rechterlid van (1) staande som,
want de reeks:

2

konvergeert tegelijk met de reeks:

v=o

Uit (2) volgt nu, dat: l^ivk) — vk voor elke v begrensd blijft.
Hetzelfde geldt dan ook voor:nbsp;—x', voor willekeurig

want als (v — 1)^ lt;x' ^vk is, dan is: i^'ix') —nbsp;{'gt;'k)—vk k.

Dit beteekent echter voor de functie C{z) = g^eo»«)^ die op

Nz)

het halfvlak R(C) gt; O conform afbeeldt, dat - in G^ gelijk-

matig begrensd blijft, d.w.z. G^ voldoet aan de voorwaarden van
§ 1; 6.

71

Dus bestaat in elke hoek arg^nbsp;—a de eindige limiet:

Jd

C(^)

Nu moet nog aangetoond worden, dat deze limiet niet
kan zijn.

Hiervoor maken we gebruik van § 1; 4.

71

Bij afbeelding van ü op de strook \ rj' lt; - geldt:

dx'

— 471

indien x' gt; 4jr is.
Nu is:

{6 ~ 7i)dx' -

71

(0 — 7l)dx'.

Hieruit volgt:

— ^ — - r (Ö — — 471 l2'(0) — (3)

71

O

Volgens het onderstelde blijft:

(0 — 7i)dx' begrensd.

x') — x' voor elke x' boven een eindige grens hgt, d.w.z.
blijft op de cirkelbogen 0,, die correspondeeren met de
doorsneden grooter dan een positief getal.

Dus kan de hmiet lim

Uit het bestaan en van nul en oneindig verschillen van deze

limiet concludeeren we dat de afbeelding op oneindig conform is
en dat:

lim ^^ gelijkmatig aanwezig is in elke hoek met

C

I arg C I ^ — — a en van nul en co verschilt.
2

§ 10.

Stelling van Caratheodory.

G zij een gebied van het C-vlak, dat het oneindig verre punt
van de reëele as van het C-vlak bevat. D zij het halfvlak R{z) gt; 0.

C = beelde het halfvlak R(z) gt; O af op het gebied G zoo-
danig, dat het oneindig verre punt van de reëele as van het z-vlak
correspondeert met het oneindig verre punt van de reëele as van
het ^vlak.

Nu is door Carathéodory bewezen, dat voor het bestaan van
een nul en oneindig verschillende hoekafgeleide in het punt z = oo,
voldoende is, dat het gebied G een halfvlak bevat en zelf in een
halfvlak bevat is.

Het bewijs van deze stelling volgt makkelijk uit de vorige §.

Want als G het halfvlak R(C) gt; ö bevat en zelf bevat is in het
halfvlak R(C) gt; — ó, dan is:

nij, are sm —
K.

en

\ d{r) — 7t\ ^2 are sin -.
Hieruit volgt direct de convergentie van de reeks

S Wy en van de integraal

v=o

Uitbreiding van de stelling van Garatheodory.

De in de vorige § beschreven stelling is zeer te verfijnen.
We beschouwen daartoe het rechter-halfvlak xgt;0, en beelden
dit af op een gebied, dat gelegen is in dit halfvlak en waarvan de

grens symmetrisch is t.o.v. de reëele as. De vergelijking van de
grenskromme zij:

V

hm — = 00,nbsp;monotoon toenemend.

We onderstellen, dat met het oneindig verre punt van de reëele
as van het 2;-halfvlak het oneindig verre punt van de reëele as
van het C-gebied correspondeert en vragen nu naar de vorm,
die de rand van het C-gebied moet hebben, opdat het bestaan van
een positieve hoekafgeleide voor z -gt; co verzekerd is.

We zullen bewijzen, dat noodig en voldoende is het convergeeren
van:

^df]

Voor het bewijs moeten we gebruik maken van een paar hulp-
stellingen. Deze volgen nu eerst.

23
§ 12.

Gegeven zijn:

B is de strook | y | lt; 1 van het z-vlak {z = x iy).

^ l(^) _[_ beeldt de strook B conform af op een in
B gelegen gebied D, dat de volgende eigenschappen bezit:

a.nbsp;D wordt begrensd door 2 Jordan-krommen F^ en F^, die
van ic = — 00 tot = oo in B loopen en die voor:»; = oo respec-
tievelijk de rechten y = 1 en y = — 1 tot asymptoten hebben.

b.nbsp;er bestaan 2 getallen m en q, zoodanig, dat als P en Q 2 punten
van F^ of F2 zijn, die dezelfde abscis u hebben, welke grooter is
dan q, dat dan de schommehng van de abscis op de boog PQ
kleiner is dan m.

cnbsp;00, indien x ^ co.

Dan geldt: als a{a) de schommeling van f — z voorstelt of het
segment S„{x = a, | y | 1) van B.

hm sup: a{a) ^ 2m. ®)

a—00

Indien in hypothese 2w vervangen kan worden door en m^
respectievelijk op F^ en F^, dan heeft men voor elk getal 0 waar-
voor geldt — 1lt;0lt;-|-1, de volgende ongelijkheden voor de
schommehngen a^ia) en a^ia) voor —z op de segmenten
x = a, e^y^l en x = a, — l^y^d

hm sup lt;Ti(«) ^ Wj
lim sup a^ia) ^ Wg.

Voor het bewijs, met behulp van de stelling van § 16, zie®).

§ 13.

Beschouw de gebieden B en D als gedefinieerd in § 12.

Op de bovenrand gelde: y = 1, voor x ^ co : r] — y^O

Op de onderrand gelde: y = — 1, voor xco : rj— y ^ 0.

Verder is r] — y harmonisch en begrensd in de strook.

Dus f] — y voor ^ 00.

Voor X co geldt:

Vv 1

Cœ 1 uniform voor l elt;ylt;l —,

1 uniform voor l elt;3/lt;l —■ s.

§ 14.

Bewijs van de stelling van § 11.

Ondersteld was, dat C ^ oo voor z ^ ao.

Beeld het rechter halve z-vlak en het f-gebied door de trans-
formaties (p = t ix = log z en CO = u iv = log C af op onder-
staande figuur.

Dan is voor t -s- oo; u ^ co.
Volgens de stelling van § 12 geldt dan:
dm

1 voor T ^ 00, uniform voor %

dep

1, uniform voor | %

Hieruit volgt -
(p

Volgens § 12 (geval m = 0) zijn de beelden van de verticale
streepen r = constant, voor voldoende groote t bijna recht en
verticaal, d.w.z. de horizontale schommeling nadert tot nul voor

T oo. Dit gecombineerd met (1) levert dadelijk - ^ 1 uniform

lt;P

voor Tnbsp;00.

In de oorspronkelijke figuur beteekent dit:
log C

j--^ 1, uniform voor z co, dus log y oo log rj.nbsp;(2)

Ter verkrijging van een kenmerk voor liet bestaan van een
positieve hoekafgeleide op oneindig maken we gebruik van § 6.

Daar werd nl. bewezen, dat, indien een functie u{z) begrensd
en harmonisch is voor a; gt; O en indien lim {u{ti) — u{—ti)} nul

(^OO

is, lim v{x) bestaat, als

' u{—ti) —u(ti)

dt convergeert.

X

In dit geval nu definieeren we (zie blz. 22):

Dan is:

V = log

Voor het bestaan van lim v is nu noodig, dat:

dt convergeert.

dt dy r èdy
ig.--0 r-^ - en — =—, dus--moet conver-

2 rj t y - V y

geren.

We wenschen echter een kenmerk, waarbij we y als functie
van 7] niet noodig hebben, want we wenschen aan de randkromme
van het C-gebied te zien of de hoekafgeleide (1) grooter dan nul
is, zonder de afbeeldingsfunctie f(z) te gebruiken.

De onbekende functie y{r]) is te elimineeren met behulp van
formule (2), blz. 24.
A. Zij 1 gt; O, dan is:

rnnbsp;£

logy d - lt; een constante M lt; oo. Daar

7]

i lt; O is, is ^ log « lt; M en — f log y i - lt; M.
Tjnbsp;vin)nbsp;n

Wegens (2) is ook:

(•nnbsp;^

log r] d — lt; constante lt; oo, dus:
V

ï/=i

i drj

--lt; constante lt; oo,

V n

convergeert.

, dan bewijst men op dezelfde wijze, dat

r^dy

--convergeert, dat dus A gt; O is. De convergentie van

n y

r .

—— IS dus noodig en voldoende voor A gt; 0.

§ 15.

Indien een halfvlak H{x gt; 0) een gebied G bevat en indien G
een gebied G' bevat, dan is indien hij de afbeelding van H op G',
waarbij de oneindig verre punten correspondeeren, de hoekafgeleide
op oneindig positief is, deze ook positief hij de afbeelding van H op
G met correspondentie van de oneindig verre punten.

00

Noodig is aan te toonen de convergentie van de reeks 2 m^ en

V — O

dr

van de integraal [d{r)—7i\— bij afbeelding van H op G.

De convergentie van S m^ is verzekerd, daar de convergentie

V-O

van deze reeks gegeven is bij afbeelding van H op G', waarbij de

termen grooter zijn dan bij de afbeelding van H op G.

00

De reeks 21 m^ convergeert dus a fortiori.

V-O

Eveneens is direct in te zien, dat

convergeert bij afbeelding van H op G, daar zij dit reeds doet bij
afbeelding van H op G'.

§ 16.

Gegeven is een gebied G. oc zij een zoodanig randpunt van G,
dat G een punt bevat, dat op een afstand grooter, dan een vast
getal h van a is gelegen.

Beschouw nu de familie holomorfe eenwaardige functies, ü{z),
waarvan de absolute waarde in G kleiner dan 1 is.

C zij een cirkel met middelpunt «. en met straal q lt;h. a{Q) zij
de verzameling van tot C behoorende bogen binnen G en A(^)
zij de totale lengte van het door Q{z) verkregen beeld van a{Q).

Dan zullen we bewijzen:

Bij elk positief getal e behoort een getal ö tusschen o en h zoodanig
dat voor lt; p lt; ^ de lim. inf. jLi(d) van kleiner is dan e.

ö hangt noch van s noch van h af.

Het bewijs van deze stelling is eenvoudig.

Indien ^ en 9) de poolcoordinaten van een punt z van G t.o.v. a
zijn, dan geldt:

qdq dep ' ' 71.

Verder is =

Uit deze beide ongelijkheden volgt:

{^(e)} — lt; indien 0lt;dlt;h, dlt;l

dus:

Dus is /i{d) lt; e indien d lt;e

17.

Hoektrouw in de buurt van een grenspunt bij conforme
afbeelding van een gebied.

G zij een enkelvoudig samenhangend gebied, zoodanig, dat
met elk getal e tusschen O en — een getal R(e) correspondeert
zoodanig, dat het deel van G, gelegen buiten de cirkel | z | = R(e)
het gebied D(e) bevat, gedefinieerd door z gt; R(e), argz

71

en bevat is in het gebied D(£), gedefinieerd door | z | gt; R(e),

^rg z 1 lt; e.

Nu is aan te toonen, dat elke in G holomorje functie w(z) =
u iv, welke G op het halfvlak D{;u gt; 0) afbeeldt, zoodanig, dat in
elk gebied D{e): limw{z) = oo is, de volgende eigenschap bezit:

In elk gebied D{e) geldt: lim arg. — = 0.

z—^00nbsp;^

Opmerking: Over de grens van G is niet de onderstelling gemaakt,
dat zij een Jordan-kromme is.

Voor het bewijs van deze stelhng maken we gebruik van een
door Caratheodory s) bewezen stelling.

Deze luidt als volgt:

Zij G een enkelvoudig samenhangend gebied, dat met een
enkelvoudig samenhangend deel g een grensstuk AB = y ge-
meen heeft.

Men beeldt G en g op eenzelfde cirkelschijf E af, zoodanig dat
y beide keeren overgaat in eenzelfde boog y^ = ^^^B^ van de
grens F van E.

Zij (5i een in E gelegen cirkelboog A^B^, die /J en ó tot beelden
in G en g heeft, dan ligt d binnen het gebied, dat door y en A begrensd
wordt.

Met behulp van deze stelhng bewijzen we nu de in de aanvang
van deze paragraaf vermelde stelling.

Zij A een bereikbaar

grenspunt van G. Bij de toepassing der
hulpstelling zal B het punt oo zijn. Uit het onderstelde volgt het

bestaan van een kromme in G van A naar oo, waarop arg z ^ —

voor z ^ 00. G wordt door x in twee gebieden verdeeld, waarvan
er één (g) alle voldoend verre punten van de positieve reeële
as bevat.

Zij E het halfvlak u gt; O, dat op G en g conform wordt afgebeeld,
zoodanig, dat het gemeenschappelijke grensstuk A oo telkens
correspondeert met het grensstuk v van E. Zij een kromme

71

(O oo) in E, waarop arg. ze; -gt; — voor w oo. Daar k een Jordan-

boog is, geldt op het beeld d van (5^ in g: arg z ^ — voor z oo.
Uit de hulpstelling volgt nu, dat op het beeld A van in G geldt:

71

hm mf. arg. z^ —.

gt;00 2

Op een dergelijke manier bewijst men, dat op A geldt:

71

lim sup. arg znbsp;bijgevolg:

7t

argz — arg. ze'O als arg. ^— . . . . (1)
Evenzoo bewijst men, dat (1) geldt als arg. ï» ^— ^

2

18.

De gebieden G en G^ hebben een gedeeltelijk gemeenschappelijk
grensstuk y. Het gebied G^ is binnengebied van het gebied G.
De gebieden G en G^ worden beide conform afgebeeld op eenzelfde
cirkel, zoodanig, dat een tot de beide gebieden G en Gj^ behoorend
inwendig punt bij de afbeelding overgaat in het middelpunt van
de cirkel.

Dan is de heeldlengte van y bij de afbeelding van kleiner dan
bij de afbeelding van G.

Voor het bewijs is het voldoende aan te nemen, dat de gebieden
G en Gi respectievelijk zijn een cirkel en een willekeurig in deze

cirkel gelegen gebied, waarvan de rand voor een gedeelte gevormd
wordt door de cirkelrand.

We gaan nu het gebied G^ afbeelden op de cirkel G. Bij deze
afbeelding blijve het punt O invariant.

De afbeeldingsfunctie, welke het gebied G^ conform afbeeldt
op de cirkel G zij 2 = z{w).

(Het gebied G^ wordt beschouwd te liggen in het w-vlak, het
gebied G wordt beschouwd te liggen in het vlak).

tot boog AB, dan nadert:

De functie = z{w) is voortzetbaar over AB.

dz

Uit deze voortzetbaarheid volgt, dat — bestaat, continu is en

dw

ongelijk nul is op AB.

Nu is: (boog ACB)o,Gi= (boog AiCBi)o, g. waarbij algemeen
onder (boog y)o q verstaan wordt: de beeldlengte van y als G wordt
afgebeeld op de eenheidscirkel, zóó dat met het punt O van G
het middelpunt van de cirkel correspondeert.

w(z) is holomorf voor

Nu is volgens het Schwarz-lemma:

w lt;

Kies het punt ^o' op de straal O^o. dan is:

Wo' — Wq

^ 1 volgens Schvi'arz.
dw

Laat nu zJ naderen tot Zq, dan is:

dz

De gelijkheid is uit te schakelen, want in dat geval zou w = z
zijn in alle punten van boog AB en dan zou w^ z zijn.

Met deze mogelijkheid hoeven we geen rekening te houden.
Dus is:

gt; 1.

(y)o G wordt kleiner, als G krimpt.

§ 19.

Toepassing.

Het gebied G van het z-vlak zij het rechter halve z-vlak met
uitzondering van daarin liggende „franjesquot; (Schlitze). Het gebied

- fgt;

G gaan we conform afbeelden op een halfvlak en we vragen nu naar
de grenzen, waartusschen de afbeelding van „franjequot; q komt
te liggen.

Daartoe bedenken we, dat in verband met de stelling uit de
vorige paragraaf:

(boog . gt; O min alle franjes ^ (boog

gt; O min eenige franje g.

We gaan nu kijken naar de beeldlengte van boog q bij afbeelding
van het gebied {M,x gt; O min franje q) op een halfvlak.
We passen op dit gebied toe de transformatie:

W = Vz^ — Q^

We gaan na, wat er met boog q gebeurt.

z = Q gaat over in : w = o
M{z=e h) „ „ „ : w = V2Qh h^

We beschouwen nu het ze^-vlak {w = u iv).

Q

tglt;p =

V2Qh h^'

Voor kleine p: w co —
h

4o

(boog e)M . gt; O min alle franjes =

V2Qh h^

We willen nu een schatting hebben naar de andere kant. Teeken
daartoe in het z-vlak hoek POQ, Binnen POQ is ahéén franje q
gelegen.

Nu is:

(boog q)u,xgt; o, min alle franjes ^ (boOg Z.poq, min franje Q

Pas toe de transformatie: w = z^^ op POQ min franje q.
Het beeld in het te»-vlak wordt dan als in onderstaande figuur is
aangegeven.

W

(pih)

Op de figuur in het w-vlak passen we nu toe de transformatie:

O)

Nu is: (boog 0)m,ZPOQ min franje g = ^(boognbsp;=

TC

= 2y = 4T ^ 4

Samenvattende:

:„tnbsp;gt; O min alle franjes ^ ji

71

(boognbsp;gt; O min alle franjes lt;

Deze schatting vindt toepassing bij de verscherping van een
resultaat van Ahlfors®).

STELLINGEN.

1.nbsp;Om een birationale afbeelding van de bollen van Rg op de
rechten van Rg te vinden, kan men eenvoudiger te werk gaan
dan SoPHUS Lie.

2.nbsp;Bij het oplossen van vierdegraadsvergelijkingen is een aan-
zienlijke tijdsbesparing te verkrijgen door gebruik te maken
van nomogrammen.

3.nbsp;Het in de advertentiecampagne van een warenhuis geïnvesteer-
de kapitaal moet grootendeels als waardeloos worden be-
schouwd.

4.nbsp;De methode van de directe waarneming is bij het doen van
vliegproeven in het algemeen verkieselijk boven de registratie-
methode. Het is daarom door het Nationaal Luchtvaart-
laboratorium te Amsterdam juist gezien voor het meten van
de baanhelling van een vhegtuig een direct aanwijzend in-
strument te gebruiken.

5.nbsp;Het is onjuist, dat de golfweerstand steeds het overheerschende
deel vormt van de totale weerstand van een lichaam, dat
zich met een snelheid grooter dan de geluidssnelheid voort-
beweegt door een compressibel medium.

6.nbsp;De vleugelbelasting van vliegtuigen zal in de toekomst blijven
toenemen. In verband hiermede zal gebruik gemaakt moeten
worden van bijzondere startmethoden.

7.nbsp;Het is gewenscht uit vhegproeven de polaire van het vliegtuig
te berekenen en de aldus verkregen polaire te vergelijken met
de tunnelpolaire.

v' ■ l

1 U ^

' • f 'if ^ ' ^ , ^

' ' ». ,nbsp;V •nbsp;-r —,

•y ' ■. f.

■

m