IJl, l^s

CONTINUE ITERATIE

J. VAN KUIK

1, gt;

; ; quot; V.

; -f

. ^ ,1,

ir.:

: V,nbsp;'

-vii-...,nbsp;-■/■■Tri.'à

teiWipii
gplilllllll^^

mm^m

m

wmmrnm^i'^mmmmiSMM^^

Sr:-

UvV

P^-v:

■

- '

-

CONTINUE ITERATIE

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
Dr. F. H. QUIX, HOOGLEERAAR IN DE FACUL-
TEIT DER GENEESKUNDE, VOLGENS BE-
SLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT,
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT
DER WIS- EN NATl^URKUNDE TE VERDEDIGEN
OP MAANDAG 3 IUNI1940 OM 15 UUR

door

JAN VAN KUIK

geboren te amersfoort

p. NOORDHOFF N.V. — GRONINGEN-BATAVIA

AAN MIJN OUDERS,
AAN MIJN VROUW.

. . .. JöÄp®

Bij de voltooiing van dit proefschrift betuig ik gaarne mijn op-
rechte dank aan U, Hoogleraren in de FaCülteit der Wis- en Natuur-
kunde aan de Rijks-Universiteit te Utrecht, voor het onderwijs, dat ik
van U heb ontvangen.

Hooggeleerde Wolff, Hooggeachte Promotor, de voortdurende
hulp en steun die ik bij mijn werk van U heb ontvangen, stemmen mij
jegens U tot grote dankbaarheid; het schenkt mij bijzondere voldoening,
daaraan op deze plaats uitdrukking te kunnen geven.

■«s V

^ -

s ä. ' J

î-T * tequot; quot; '

li Ä

»

-quot;TT-n.

r ■ -Äf

INHOUD

Blz.

inleiding....................... 1

hoofdstuk i. Enkele algemene eigenschappen van de
continue iteratie................... 4

§ L xt neemt toe met t............... 4

§ 2. Twee krommen T(z) snijden elkaar niet...... 4

§ 3. zt is een holomorfe functie van z......... 5

§ 4. Overnbsp;^ arg w(zt) — log xt, | w(zt) | xt en

Xt

arg w(zt) log Xt............... 7

§ 5. Over de convergentie van zt voor t-gt; 00..... 8

hoofdstuk il Gedrag van voor f ^ 00, in het geval

Xgt;0......................... 9

§ 6. arg Zt convergeert voor t 00................9

§ 7. Functie van Königs..............................12

§ 8. Over de angulaire afgeleide van k(z) in het punt

oneindig........................................14

k(z)

§ 9. Een voorbeeld waarbij limnbsp;= 0.....16

gt;00 {ang) Z

§ 10. Over het verband tussen 2 functies van Königs . . 17
§11. Een nodige en voldoende voorwaarde voor
k(z)

limang.^^gt;0................18

s—gt;00 Z

§ 12. Enkele toepassingen van de functie van Königs . . 21

Hoofdstuk III. Gedrag van «t voor f 00 in het geval

= 0.........................23

§ 13. Hoofdstelling..................23

§ 14. Het geval Xtc(z) lt;00............24

Blz.

§ 15. Een nodige en voldoende voorwaarde voor conver-
gentie van Xt..................26

§ 16. Een 2e nodige en voldoende voorwaarde voor con-
vergentie van Xt................34

§ 17. Een 3e nodige en voldoende voorwaarde voor con-
vergentie van Xt................35

§ 18. Enkele voorbeelden voor het geval X = 0.....36

§ 19. Uitbreiding van de voorbeelden behandeld in § 18. 39
§ 20. Over functies, holomorf in D, met positief reëel deel,

die zich in het oneindige angulair gedragen als — . 40

z

§ 21. Over functies, holomorf in D, met positief reëel deel,

die zich in het oneindige gedragen als p z^ . . . 42
§ 22. Over functies, die zich niet in het oneindige gedragen

als een zekere macht van z...........44

§ 23. Een nodige voorwaarde voor lim inf arg zt gt; O 47

i—^oa

§ 24. Een nodige en voldoende voorwaarde voor

lim inf arg Zt gt; oc gt; O.............50

§ 25. Een nodige en voldoende voorwaarde voor

arg Zt -gt; y, Xt oo..............51

HOOFDSTUK IV. Gedrag van voor t lt; 0........55

§ 26.nbsp;Het geval xt c(z) gt; O, voor t -gt; — oo.....55

§ 27.nbsp;Over de functie ■y;(z)...............58

§ 28.nbsp;De gevallen zt iy, | y | lt; oo.........60

§ 29.nbsp;Het geval xt O, yt oo voor t — oo . . . .nbsp;67

INLEIDING.

Wij zullen in het volgende functies van z : w{z) = u{z) iv{z)
beschouwen, welke holomorf zijn voor z = x iy \n het rechterhalf-
vlak D (dus xgt; 0). Verder wordt ondersteld dat u{z) gt; O in elk punt z
van D. Aangetoond is dat de nquot; geitereerde z^{zi = w{z), z^ = w{zi),
____, z„ = ïe){z„_i)) als n tot oneindig nadert, convergeert tot een li-
miet a (eindig of oneindig).

Deze limiet is onafhankelijk van het beginpunt z en de convergentie
is uniform als 2 zich bevindt in een afgesloten en begrensd gedeelte
van D 1).

In het geval dat het limietpunt a eindig is en Ra. gt; O, blijkt a een
wortel te zijn van de vergelijking w{z) = Men heeft dan een geval
van iteratie, behandeld o.a. door K ö n i g s (aantrekkend dek-
punt a).

Indien w{z) = z geen wortel heeft in D, blijkt de grens van D een
punt a te bevatten (dus Rv. = O of a = oo), zó, dat z„ ^a als n oo.

Neemt men (zonder de algemeenheid te schaden) a = oo, dan is
te bewijzen dat voor een zodanige functieï£'(z) = u(z) iv{z), u[z) gt; x
(alleen in het geval: w{z) = z ih is u = x). Bij de iteratie heeft men
dus

Zie: J. Wol ff, Comptes Rendus t. 182 p. 42, 200, 918.

Bij het onderzoek naar de eigenschappen van de iteratie (in het
geval dat a = oo), wordt veelvuldig gebruik gemaakt van de vol-
gende eigenschappen:

Gegeven: w{z) = u{z) ^ iv{z) is een holomorf e functie van
z = x-[-iy, gedefinieerd in het halfvlak D{xgt; 0). u{z) gt; 0.

') Er zijn enige uitzonderingen, die samen te vatten zijn onder:

w(z) — a z — anbsp;(a is een punt van D, a' het spiegel-

iit(z) — a' z — a' ^ beeld van a t.o.v. de imaginaire as)

Voor tü O is dit een niet-euclidische draaiing om a.
Voor to = O is w(z) = z.

2)nbsp;^is monotoon niet stijgend op elke rechte H x-as {dus — convergeert

^nbsp;X

tot een limiet X gt; O ew lt; oo).

3)nbsp;DitgetalXis zodanig, dat w{z) = X2 oi{z), waarbij m{z) = Uj^{z)
ivi{z) een holomorfe functie van z is, voor z in D, met u^ (z) gt;0, terwijl

/ TC

voor z-^00 angulair, d.w.z. binnen een hoek : | arg' z | lt; — — s — gt; s gt; O ,

2 \2

«1 diùnbsp;Oi

~x ' Ife ^^ — gelijkmatig tot nul naderen.
Daaruit volgt:

/ 7 ■ ^ 7 u dw w

4)nbsp;Voor z ^ 00 [angulair) naderen ^ en — gelijkmatig tot X.

X ctz z

X heet de angulaire afgeleide van w{z) in het punt oneindig.

Zie o.a.: J. Wolff; Comptes Rendus t. 183. p. 500. G. V a 1 i-
r o n, Bulletin des Sciences Math. 2e serie, t. 55, 1931 p. 4.

Voor de functies die bij bovengenoemde iteratie als limietpunt
y. = 00 hebben, geldt (omdat u gt;x) ■.'k gt;\.

De gevallen waarbij X gt; 1 vertonen een geheel ander karakter dan
die waarbij X = 1.

In het eenvoudigste geval: Xgt; 1, blijkt het argument van de
geitereerde z een limiet te hebben, als n tot oneindig nadert.

Deze limiet is een niet constante harmonische functie van z, gelegen

TCnbsp;7t

tussen--en —.

2 2

Het geval X = 1 is meer ingewikkeld : arg kan convergeren tot een

limiet welke onafhankelijk is van z en welke ook ± — kan zijn (dit

2

laatste gebeurt o.a. als convergeert voor w ^ 00 en dus ^ ± 00).
Ook zijn er gevallen bekend dat arg z^ niet convergeert.
De eigenschappen van bovengenoemde iteratie vindt men in:
J. Wolff: Bulletin de la Société Math, t 57, 1929, p. 195.
G. V a 1 i r o n: Bulletin des Sciences Math, t 55 Avril 1931.
J. Wolff: Proceedings, Kon. Akademie van Wetensch. Vol.
XXXV, no. 4, 1932.

In de Comptes Rendus van 23 Mei 1938 voert J. Wolff het be-
grip continue iteratie in, voor w{z) = u{z) i v{z), holomorfe functie-
van z, gedefinieerd in D{x gt; 0) terwijl u{z) gt; 0.

Stel t is een reële veranderlijke (dus bijv. de reële tijd), M ^ O,
in D en

= (Ai!) . w{Za)

= (M) . w{Zy)
2„ i = (Ai) . w{z„)

dus

= w{z^, als men z^^i — z„ — Az„ stelt.

At

Laat men At tot nul naderen, dan nadert de polygoon Zq, Zj, ....
tot een kromme T(Zo), die gedefinieerd wordt door:

™ = w(z} voor t gt; O, met z=^Zg voor t == 0.
dt

Om deze reden wordt de studie van de krommen T{z) „continue
iteratiequot; genoemd.

Het is gebleken dat vele eigenschappen van de gewone iteratie,
uitgebreid kunnen worden tot die van de continue iteratie.

Bij de continue iteratie heeft men dat de gevallen, waarbij de af-
geleide op oneindig van w{z), groter is dan nul, alle een zelfde karakter
vertonen (te vergelijken met het geval X gt; 1 bij de gewone iteratie).
Het blijkt dat arg Zt convergeert als t ^ oo {Z( is de plaats van het
punt z op het tijdstip t).

De limiet is een niet constante harmonische functie van z, die alle

Tlnbsp;tc

waarden tussen--en H--aanneemt.

2 2

Het geval X = O is te vergelijken met het geval X = 1 bij de „gewonequot;
iteratie.

Zie J. W o 1 f f: Compositio Math. Vol. 6, fase. 2 blz. 296).

De bedoeling van dit proefschrift is, de resultaten van J. W o 1 f f
te completeren. Allereerst zullen enkele algemene eigenschappen wor-
den afgeleid.

HOOFDSTUK I.

enkele algemene eigenschappen van de continue iteratie.
§ 1. X( neemt toe met t.

Wij besciiouwen w{z) = u{z) iv{z) . w{z) is een holomorfe functie
van z, voor ^ in het rechter halfvlak D{x gt; 0). Verder is ondersteld dat
u{z)gt; O in ieder punt z van D.

dz

H ^nbsp;^ quot;quot; ^^ ^ quot;quot;nbsp;^ functie van t be-

paald. Onder z^ = Xf iyt verstaat men de plaats van het punt, dat
op het tijdstip lt; = O de plaats z^ = x^ ^ iy^ inneemt.
Men heeft nu:

dz dx dy

dus

dx

dt

Dus Xt neemt toe als t toeneemt. De meetkundige plaats van de
punten Zt voor de verschillende waarden van t, zullen wij T{z) noemen.

§ 2. Twee krommen T(z) snijden elkaar niet.

Bij iedere Zt in D, zowel voor ^ gt; O als voor t lt; O, behoort één ^
(dit in tegenstelling met de gewone iteratie in D, waar bij een bepaalde
z^, meerdere waarden van kunnen behoren). De kromme T{z) is dus
ondubbelzinnig bepaald door één punt.

B e w ij s:

dz dx dy

dx u

dus I /; 1 lt; ■

Twee integraalkrommen kunnen elkaar dus niet snijden, omdat in
de omgeving van ieder punt | f'^ \ begrensd is, zodat aan de L i p-
s c h i t z-voorwaarde voldaan is.

dy V

Opmerking: Uit = — = tg (arg ze)(2)) volgt nog, dat de

dx u

richting van de raaklijn aan de kromme T{z), in een punt van T{z),
gelijk is aan het argument van w{z).

§ 3. Z( is een holomorfe functie van z.

Zowel voor ^ gt; O als voor ^ lt; O is een holomorfe functie van z i).
Beschouw nl. de functie

— I ^^ integratieweg mag willekeurig

genomen worden in D).

s{z) is een holomorfe functie van z.

dï, 1 u — iv

dz w{z) u^ -f v'^
Daar het reële deel van - groter is dan nul, is ^ univalent (zie op-

(tZ

merking blz. 6)

dz

J w(z)

Wat het geval l lt; O betreft, geldt dit alleen voor die waarden van t,
waarvoor z^ in D. Het blijkt nl. (zie § 28) dat er punten ^ zijn waarbij Zt de
y-as bereikt voor t ~ — oo, maar ook punten waarbij dit gebeurt voor
^ gt; — oo.

Uit Yt = volgt dat = nbsp;(1)

De krommen T{z) worden dus door de functie ^{z) afgebeeld op
rechten // de reële as van het ^ vlak.

Met behulp van de functie ^z) kan men bewijzen dat z, een holo-
morfe functie van z is.

Wegens de univalentie van ^z) volgt uit ^(oc) = dat a = [i
en uitnbsp;Z (P) volgt a ^ p, als oc en p in Z) liggen.

Kies 2 punten z en z' in D en fixeer t. Dan is volgens (1):

dus

=nbsp;(A)

Als z' -^z, z' i=. z, geldt dus:

Uzi), z't Zt, zi ^ Zf

Nu is voor z' (dus z^ -gt; z^) : ^(z;) — l{zt) oo . [z^ — z^) (B)
en ook:

(C)

Uit (A), (B) en (C) volgt:

w{Zt) dz, xv{z,)

-rnbsp;= quot;quot;TTnbsp;= ' ^t holomorf m D.

z — z ; [zt) w[z)nbsp;dz w{z)

Opmerking: Bij het bewijs van bovenstaande stelling is
gebruik gemaakt van de volgende eigenschap:

Indien f{z), holomorf e functie van z, in het convexe gebied G een af-
geleide functie heeft, waarvan het reële deel in ieder punt z van G positief
is, dan is f{z) univalent.

Om deze bewering te bewijzen, is voldoende om te bewijzen, dat
voor a^h, f{a) ^ f{b).

/(è) _/(«) =ff'{z)dz.

a

Neem (wat geoorloofd is, wegens het holomorf zijn van f'(z) en het
convex zijn van G) als integratieweg de rechte verbindingslijn van
a en h, dan is:

m-f{a) =ƒ(amp; — «) f'{a b—at)dt

O

--ff'{a b^at)dt.

Daar de integraal in het rechterlid een positief reëel deel heeft, is het
linkerlid niet gelijk aan nul, dus f{b) ^ f{a).

§ 4. Overnbsp;arg vi^(Zt) — log x„ | w(Zt) | x^ en arg w(Zt) log x,.

Xt

cn arg — log x^ nemen niet toe

als t toeneemt, terwijl Xf | wizt) \ en arg w {Zf) 4- log x^ niet afnemen bij
toenemende t.

B e w ij s (zie ook Compositio Math. Vol 6, fase 2, bldz. 296).

dw{z^nbsp;dzt ,, \ I \

dt dt

Nu is (zie bldz. 2):

u{Zt) 1 dxt
Xf Xt dt

d log Xt d log I w[zt) I dlog Xt

dt dt dt
d log Xt d arg w{zf) d log Xt

dt dt
Hieruit volgt direct het gestelde.

§ 5. Over de convergentie van z, voor t-gt; oo.

Men heeft voor elk beginpunt z\ Zt oo als t ^ oo.
B e w ij s: Omdat Xt groeit bij toenemende t, heeft men voor t oo\
Xt oo oi Xt c {O lt;c lt;oo).
Als Xt oo dan Zf ^ oo.
Als Xf -^c dan y« ^ i oo, dus Zt -gt; oo.
Immers volgens § 4 is :

I ^i^t) I

---gt; h voor t-gt;oo (O lt;oo)

I H^t) Ixt-^h voor t ■~^oo{l^gt; 0).

Wegens .i;, ^ c volgt hieruit dat | w{zt) \ convergeert tot een van nul

verschillende limiet. Ook arg w{zt) convergeert (dat volgt uit § 4) dus

w{zt) convergeert tot een van nul verschillende limiet: a{z) ib{z)

j ^^t

dus:nbsp;~ a(z) voor t oo,

dyt

Omdat .r^ convergeert, is a{z) = O dus b{z) ^ 0. Als b{z) gt; O heeft
men -gt; oo en als b{z) lt; O heeft men y, — oo.

Opmerkingen: 1) Bovengenoemde functie a{z) i b{z) is
een holomorfe functie van (want de verzameling van holomorfe
functies van 2 : ■w(zt) is normaal in den zin van Montel).
Omdat a{z) = O is b{z) constant.

2) Ook met de afbeelding genoemd in § 3 kan men bewijzen dat
Zf -gt;00 voor t 00:

1

dus ^Zt) 00 als i! ^ 00, wat alleen mogelijk is als z^ nadert tot de
grens van het rechterhalfvlak D. Omdat groeit met t. heeft men
dat Zf ^ 00 voor t ^ 00.

HOOFDSTUK H.

gedrag van zt voor t -gt; OO, in het geval X gt; 0.

§ 6. arg Zj convergeert voor t h» oo.

Stelling (Wolff): Als de afgeleide X van w{z)', in het funt on-
eindig groter is dan nul, dan nadert op iedere kromme T{z) het argu-
ment van Zf, voor ^ ^ oo,tot een limiet (f{z), welke een niet constante

7tnbsp;Tl

harmonische functie is van z en welke alle waarden tussen--— ew —

aanneemt.

B e w ij s: w(z) = u{z) i v(z).
Men heeft gt; X (zie blz. 2)

Xt dt
begrensd voor tgt; O,

dyt

(2)

dyt

Uit 1) en 2) volgt dat -— begrensd is dus ook — .

dXtnbsp;Xf

Daarom is (zie blz. 2):

I w;{zt)

• X als ^ —gt; oo.

Uit § 4 volgt dat ^ ^ ^ convergeert.

stel deze limiet = dan is wegens (3) : gt; X, want | | gt;

Uit 3) en 4) volgt:nbsp;dus

I I ix (z)

Xnbsp;X

cos (arg Zt)nbsp;O lt;----lt; 1.

Omdat arg z^ bovendien een continue functie van t is, volgt hieruit
dat arg Zf convergeert. Arg Zt is voor iedere waarde van t een har-
monische begrensde functie van z, zodat de grens functie (p(z) harmo-
nisch is (ffi(z) is niet constant, zie onderstaande opm. 1).

Ook cp(z) — arg z is een begrensde harmonische functie van z. Deze
functie nadert op iedere kromme T{z) voor z ^ oo, tot nul. Daaruit
volgt dat 9(2) — arg z uniform tot nul nadert voor z 00 in iedere hoek

TTnbsp;U

lt;— —z lt; ^ (Zie opmerking 2). Omdat arg z iedere

waarde tussen — 2 ^ aannemen, neemt 9(2) ook iedere zoda-
nige waarde aan.

Opmerking 1: Dat 9(2) = lim arg Zf niet constant is, kan men
als volgt bewijzen:

Stel dat (p(z) constant is. Beschouw in D een punt a (vast) en een
punt z.

lim arg a^ = lim arg Zt, dus lim arg ~ = 0.

t-^00nbsp;(-gt;oonbsp;t-^oonbsp;0C(

De functies — van z (holomorf in D) vormen een „normalequot; functierij
(want ze nemen geen negatieve waarden aan). Er is dus een rij van
functies {zj te extraheren, zodat convergeert voor t„~gt;oo tot de

'^tn

constante 1 (want het argument van de limietfunctie is nul, dus deze
functie is een positieve constante; dat deze constante = 1, ziet men
als men z = o. neemt). Men heeft dus nu:

— 1 voor t„ 00, voor iedere z in D,nbsp;fn

dus ook:

-- 1 voor t^ 00, voor iedere 2 in D.nbsp;(2)

Uit (1) en (2) volgt:

^tn

Verder is op T{z): w(zt) co X z^
Stel S gt; O (8 is vast).

Volgens § 3 is:

■ S voor tn oo,

.XS of

^tn

Het hierboven onder 3) vermelde resultaat is hiermede hi strijd,
zodat dus cp(z) niet constant is.

Opmerking 2: Dat 9(2') — arg z si]s z ^ 00, uniform voor

arg z\ lt; — — eOlt;E lt;— kan als volgt bewezen worden:
2 \ 2 /

Beschouw (zie fig. 1) een gebied G^ begrensd door 2 krommen r(a)
en r(p) (waarvan resp. OC en OD asymptotische richtingen zijn)

en het hjnstuk AB. Volgens opm. 1) kunnen a en ß zo gekozen
worden dat OC en OD niet samenvallen.

Beschouw in Gq de harmonische begrensde functie: = 9(2)
— arg z. Deze neemt in het punt oneindig de randlimiet nul aan, als
z ^ 00 over T(a) en ook als z —gt; 00 over

Definiëren we nu de waarde dezer harmonische functie in het punt
oneindig als nul, dan is de randwaardencollectie continu in het punt
oneindig dus 4' O voor 2 —gt; 00 in Gg tweedimensionaal. Be-
schouw nu in het gebied Gj (begrensd door de cirkels | 2 | = 1 en | 2 |

= 2 en de rechten arg z = ± — ')) de rij van begrensde harmonische

functies:nbsp;= 9(2«^) — arg (2quot;2).

In ieder punt van het gebied Gj (begrensd door de cirkels ] | = 1 en
I 2 I = 2 en de rechten OC en OD) convergeert deze rij volgens het
bovenstaande tot nul, dus ook in bovengenoemd gebied G^.
De convergentie is gelijkmatig (wegens het begrensd zijn van
Men heeft dus dat cp(z) — arg z-gt; O als 200, uniform in iedere

hoek: \argz\ lt; —— £(olt;£lt;--V Q.E.D.
2 \ 2/

Van de stelling op blz. 9 geven we nog een eenvoudig voorbeeld:

dz

— = \dt , d log z = I dt.
z

Zf = {a nbsp;a en b constant, a gt; 0.

Xf =nbsp;_ ^

yi =nbsp;b

De integraalkrommen T{z) zijn halfrechten door de oorsprong.

§ 7. Functie van Königs.

Beschouw de functies van 2 : —— voor i gt; O, 2 en a beide in D,

I ^-t I

a vast.

Dit zijn holomorfe functies van z met argument = arg Zf. Volgens
§ 6 convergeert arg Zf tot een niet constante limiet, voor t oo.

Omdat —niet cx) (zie opm. hieronder), is nu te bewijzen dat

i I

voor t oo, —^ convergeert tot een niet constante holomorfe functie.

1 «« I

De convergentie is uniform in ieder afgesloten, begrensd gebied van D.

Immers: de verzameling der functies is normaal in den zin

1 «« i

van Montel (het reële deel gt; 0). Door extractie is een deelrij [t^ te
verkrijgen welke tot een holomorfe functie Fi{z) convergeert voor
tj, oo.

Neemt men een andere deelrij t^, welke convergeert tot bijv. F^{z),
dan hebben F-i{z) QnF^{z) gelijk argument {nl. 9(2) d.i. lim arg Zf).

t^oo

Omdat F^{z) en F2{z) voor z = 7. beide de modulus 1 hebben, zijn

Zt

ze identiek. Hieruit volgt dat de rij--convergeert voor i ^ 00 tot een

I «i I

functie k{z), holomorf in D. De convergentie is, wegens het normaal
zijn van de verzameling^^ , uniform in ieder afgesloten en begrensd
gebied van D.

k{z) heeft een positief reëel deel omdat arg k{z) = lim arg Zf tussen

t-^00

— |-en ™ligt.

Opmerking: Datnbsp;niet -gt;00, is als volgt te bewijzen:

I alt; I

De verzameling der functies is normaal. Indien men nu voor
één z had: —*—gt; 00, dan zou dat voor alh 2 gelden, dus ook voora.

I «d

Dit is onmogelijk want!-——1 = 1.

! kf I 1

Wij leiden nu nog enkele eigenschappen af van k{z):

Zt

1) k{z)= lim -is univalent.

t-^00 I c-t I

B e w ij s: —~ is univalent (zie § 2) dus ook k{z) volgens de stelling:

I I

M

Een uniform convergente rij van univalente functies convergeert tot een
univalente functie.

2) k{z) voldoet aan de vergelijking k{zi} = ê^* k{z).
Bewijs: Op blz. 11 is afgeleid:

f'lS^ _gt; gXSals i ^ oo.
Zt

Verder is: k{z^) == Urnnbsp;k{z) = Um y—-- dus k{z^) = ^^k{z)

t-^oo \ V-t Inbsp;gt;00 I \

oi wel: k{zt) = equot;^'k{z).

k(z) kan men een functie van K ö n i g s noemen behorende bij de

continue iteratie. k{z) is door Hm bepaald op een constante factor

t-^00 I Cf-t I

na (want a is een willekeurig punt van D).

§ 8. Over de angulaire afgeleide van k(z) in het punt oneindig.

Het is bekend dat bij het klassieke geval van de iteratie, behandeld
o.a. door Königs, waar het gaat over een aantrekkend dekpunt in
welks omgeving de functie holomorf is, de afgeleide van de bijbehorende
functie van Königs niet gelijk is aan nul in dat punt. Bij de door
ons in de inleiding vermelde iteratie in D kan de (angulaire) afgeleide
van k{z) in het punt oneindig, dat met zo'n dekpunt te vergelijken
is, gelijk zijn aan nul.

Dit is ook het geval bij de functie van K ö n i gs (waarvan de
waardevoorraad in D) welke voldoet aan k{zt) = e^^k{z) (dus beho-
rende bij de continue iteratie). ,

Noemt men de afgeleide in het punt oneindig van een zodanige
functie k{z) : y, dan is

k{z) ,

Y = hm -= km —^^^

i^oo Zf t—gt;co ZfC

Hieruit volgt dat öfnbsp;convergeert ofnbsp;00 (want y gt;0)

en verder dat het van Um Zt dus van Um ] | zal afhangen of

«—gt;•00nbsp;t-^00

y = O is, of dat y gt; 0.

Als Um I Zt 1 = 00, dan is y = 0.

f^oo

I Zt I

Omdat ------ convergeert tot een eindige positieve limiet, hangt

het al of niet nul zijn van y af van resp. de divergentie of convergentie
van XfC'^^K Nu is:

dz

— = w {z) =7^ m{z).
dt

Daar ^^ = - gt; X is Ro^[z) = «1(2) gt; O

dus — gt; of -;- gt;0.

dt dt

Dusnbsp;neemt niet af, als t toeneemt.

Omdat Xte~'^*, voor iedere waarde van t gt; 0, een harmonische func-
tie van z is, convergeertnbsp;als t ^ 00 voor elke z in D, als dit
voor één waarde van 2 gebeurt (Theorema van Harnack). Anders
heeft men, dat voor iedere zin D'.nbsp;-gt;00.nbsp;(1)

d {log Xt — X^) u^{zt)

Verder is:

dtnbsp;Xt

oc

Ul{Zt)

Dus Um XfC^quot;^^ is eindig of oneindig naar gelang / -dt con-

vergeert of divergeert. Uit het bovenstaande volgt tevens dat
laatstgenoemde integraal in D óf overal convergeert óf overal diver-
geert (zie (1)). Men heeft verder nog:

00nbsp;00nbsp;00

r

fnbsp;/•nbsp;I ^^dx.

J Xt J dxtnbsp;J X^ u{z)

Xtnbsp;over T(.e)

Omdat ^ X gt; O als 2 00 over T(z), convergeert of divergeert

00

/quot; «1(2)

laatstgenoemde integraal tegelijk met / —^ dx.

over T(z)

Vatten wij de resultaten van § 7 en § 8 samen, dan krijgen we:
Bij de continue iteratie, in het geval X gt; O, treedt een functie k{z) op,

holomorf in D, univalent en te definiëren door Um —^ . Het reële deel

t-^ao I «« I

van k{z) is groter dan nul. k(z) voldoet aan de verg. k{zt) — e^^ k{z) en
heeft een (angulaire) afgeleide in het punt oneindig welke positief is of

00nbsp;00

nul naar gelang de integraal ( — dt (of j ^^^ ds^ convergeert

*nbsp;over T(z)

of divergeert voor één punt z. Bovengenoemde integralen zijn overal in D
convergent of overal divergent.

Opmerkingen. 1) In iiet geval dat Zte~~'^'' convergeert voor

k(z)

t-gt;oo, volgt uit de door ons afgeleide gelijkheid: y = y---^t

itnii Zf e

i—gt;cxd

k(z)

dat lim z^equot;^' = -Ai (y ^ o).

t^oonbsp;ï

Lim Zf e^'^' is dus nu een holomorfe functie van z welke voldoet aan

t^ca

k(Zf) = e^'k{z). De angulaire afgeleide in het punt oneindig, van deze
functie, is gelijk aan 1.

2) Er zijn ook holomorfe functies van z die voldoen aan k{zt) =

—nbsp;e^^ k{z), waarvan de waarde voorraad niet in D ligt. Voorbeeld:

hm —.

i—gt;00

k(z)

§ 9. Een voorbeeld waarbij lim--= 0.

2—gt;00 (ano) ^

dznbsp;Z

—nbsp;=nbsp;—^--- , Xgt;0.

dtnbsp;log(z 3)

^ heeft als teken van het argument dat van arg (x~iy).

log (2 3)
z

log~ïz^3)

z

eindig, van -^--is gelijk aan nul.

log [z 3)

Voor z reëel is ~ reëel, dus T{z) is hier de %-as.
dt

oanbsp;O

j ^ dx over T{z) = J

X log {x 3)

00

X 3 dlog{x 3)
— X

log {X 3)

Daarnbsp;^ l en 1nbsp;= log log (x 3)

Xnbsp;J log (x 3)

oo
f

divergeert, zal / — dx ook divergeren, dus k{z)
j ^^

over T(z)

de {ang.) afgeleide nul in het punt oneindig.

Ook op een andere wijze kan men tot dit resultaat komen:

dznbsp;z

^ = 3j =

ztnbsp;tnbsp;zt

dz dtnbsp;f dz r, r 2(1/2)
--Idt—,--r—^ =0, / — — X j dt— I , .. ' , . =0.

log(z 3) J 2nbsp;J J w{z)log{z 3)

znbsp;Os

Hieruit volgt dat log Zt — X^ —nbsp;log log Zt een eindige limiet heeft
voor t oo

'nbsp;Zt 1

want--i- - voor t ^ oo . Omdat log log Zf oo, heeft

w{Zt) Xnbsp;/

men lim z^e^'^'- = oo zodat volgens blz. 14: y — 0.

lt;-»oo

§ 10. Over het verband tussen 2 functies van Königs.

Stelling: Indien k{z) een functie {van Königs) is welke voldoet aan
k{z^ = e^* k{z), dan is elke zodanige functie K{z) gelijk aan een constante
X k{z).

Alle functies van Königs die voldoen aan k{zt) = e^' k{z) en hun
waardevoorraad in D hebben, kunnen slechts een positieve constante
factor verschillen.
B e w ij s:

K{zt)= e^^K{z)\ K{zt) K{z) . ,

^ quot; „ ^ ' \ —™ = —^ voor iedere t.
k[zt) = k{z) i k{zt) k[z)

-r~ is een holomorfe functie van z, welke constant is op Tiz), dus in D.
k{z)

dus ^^ = pe'® (p en O constant; p O, dit zou geven K{z) = 0)
k{z)

dus K{z) = pe'ö k{z).

Bewijs van het 2e gedeelte: Neem voor k{z) : lim -—^

(-gt;oo I «-t 1

{k{z) heeft haar waardevoorraad in D).

arg k{z) = 9(2) en daar (f{z) alle waarden tussen — ^ en ^aanneemt

(zie blz. 10) moet 6 = 0 zijn, aangezien K{z) haar waardevoorraad
in D heeft.

Zt

Gevolg: Alle eigenschappen van Um---gelden voor iedere

I a« I

functie van Königs welke voldoet aan k{Zf) =nbsp;en welke haar

waardevoorraad in D heeft. In het bijzonder geldt: Indien één zoda-
nige functie een {ang.) afgeleide heeft in het funt oneindig, welke gt; O,
dan is dat met elke functie het geval.

Opmerking: Een soortgelijke stelling als het 2e gedeelte van
de bovenstaande stelling treft men aan bij de „gewonequot; iteratie in D
(Zie: J. Wol ff: Proceedings Kon. Akad. van Wetensch. vol. XXXV
No. 4 1932 blz. 504), met dit verschil echter dat het daar nodig was om
te onderstellen, dat één functie k{z) (waarvan de waardevoorraad in D)
een angulaire afgeleide in het oneindige heeft, welke gt; 0.

§ 11. Een nodige en voldoende voorwaarde voor

k(z)

lim ang.nbsp;gt; 0.

2—gt;00nbsp;^

Wij zullen in het volgende een stelling afleiden, waardoor wij in het
bezit komen van een nodige en voldoende voorwaarde voor con-
formiteit op oneindig van k{z) (dus lim ^^ gt; O , anders dan ver-

\ 2-^00 z
{ang)

meld op blz. 15.

Iets dergelijks is voor de „gewonequot; iteratie in D af te leiden uit de
theorema's 3,4 en 5 van de in § 10 vermelde publicatie van J. W o 1 f f.

co(z)

Stelling: Uit de convergentie van

over Tifi)

. 00

00

f w(2j) , , ,nbsp;.nbsp;/quot;nbsp;7

met X ƒ - dt) volgt de convergentie van j ^^^

'nbsp;over Hz)

3

uAzi)

- dt en omgekeerd.

Xt

B e w ij s: Het eerste gedeelte van deze stelling is direct duidelijk

I Zt I

want: | «(zj) | gt;«1(2^) en omdat - convergeert tot een eindige

00

limiet, besluit men dat als / --—dt convergeert voor één

• ' \ Zt\

00

f uJZt)

waarde van z, /---dt dit ook doet voor die z (dus voor iedere z).

./ Xt

Bewijs van het omgekeerde: Gegeven is dus dat

Ui [Zt)

dt convergeert.

X,

Te bewijzen:

Uit het gegeven volgt dat de functienbsp;convergeert tot een

O

eindige positieve limiet (zie blz. 15), zodat dus ook ƒquot;

convergeert.
Verder heeft men voor t gt;0:

gt;x (want Xte~'^* is niet afnemend als t toeneemt,

zie blz. 15).

Daaruit volgt, dat het voldoende is om te bewijzen dat

oo

f I ^{^t) I ,

ƒ -— dt convergeert.

Men heeft nu:

6/(2) I lt; ^ dus I — to(2o)l lt; / ^
Xnbsp;J X

«O

overT(z)

Xnbsp;J Xt dt

Sonbsp;O

over T(z)

\

I

xiüi.,.

Zt

voor ^ oo tot X en- is begrensd, dus

Xt

_ \ lt;M / Ui(zt) dt [M onafhankelijk van t)

O

1 lt; I (o(2o) \ M f u^{zt)dt

O

oo

f * quot;' dt ƒ e-^* dt ƒ dp

f I '^(^o) I .

I '—— dt convergeert en

=--/ de

lnbsp;oo

|oonbsp;Jnbsp;^

-nbsp;Jnbsp; - j e-^nbsp;dt

inbsp;ii

De 2e integraal convergeert, terwijl
t

equot;quot;^ f Ui{z^dp gt; O, zodat dus ook het gedeelte I lt; oo.

O

Hiermede is de stelling bewezen.

Gevolg van bovenstaande stelling:
Indien

over 2'(«)
oo

/Ui jnbsp;f Mj (Zf)

— dx diis / - dt en omgekeerd.

X- \ J X(

over 2\z)

dt 1 is voor iedere z in D

convergent of voor iedere z in D divergent.

Met indirecte bewijzen en, wat de laatste stelling betreft, met behulp

uw

van de stelling dat / dx (of / ^^^ dt ^

over T{z)

convergeert öf divergeert, zijn deze stellingen eenvoudig te bewijzen.

Opmerking: Omdat op T{z) : 1 lt;

cß{z)

lt; M lt; 00 mag in

dz I vervangen worden door

Als 2e nodige en voldoende voorwaarde voor conformiteit op oneindig
van k(z) hebben we dus gevonden:

De convergentie van

over T(z)

Opmerking: Indien

1

1 E

0(2)

CVi

log 1 2

is met bovenstaand criterium de conformiteit op oneindig van k{z) te
bewijzen:

1

{iog \ Zt 1}

Nu is: \zt\ e-'^ gt; XtC-^^ gt;x (zie blz. 19)
I I gt; a; [x = constant gt; 0).
^og \zt \ gt; constante kt

gt;(C Xlt;)i ^ dus
1

dt convergeert.

§ 12. Enkele toepassingen van de functie van Königs.

Door een functie h{z) (waarvan de waardevoorraad in D) wordt het
rechterhalfvlak D afgebeeld op een deelgebied van D.

Uit k{zi) = k{z) volgt, dat Zt een beeld heeft, dat uit het beeld
van 2 verkregen wordt door vermenigvuldiging met ^^ t.o.v. de oor-
sprong van het k vlak. De afbeelding van een kromme T{z) is dus
een halfrechte in het k vlak: arg k = constant, 1 ^ | gt; m{z), waarbij
m{z) positief is of nul, als Zt de grens van D{x = 0) bereikt resp. voor
tgt; — 00 of voor t = — 00.

Afgeleid is door ons (zie blz. 17) dat een functie k{z), welke haar
waardevoorraad in D heeft, op een positieve constante factor na

voorgesteld kan worden door lim . k{z) heeft dus het argument

9(2) d.w.z. van de richting waarin Zt over T{z) naar het oneindige gaat.
Het beeld van T{z) in het k vlak van T{z) is dus gelegen op de half-
rechte arg k = (f{z).

Indien Um ^ = ygt; O, heeft men arg^^ voor too

z-^oo znbsp;Zf

(ang)

want--gt;Ygt;o.

Zt

Dit geldt ook in het geval dat y = O, want:

arg k{zt) = (p(z) en arg z^ ^(z) voor t oo, dus arg ^^ voor
t —gt; oo.

Ook in het geval dat y = O is dus de afbeelding van D door k{z),
hoewel niet conform in het oneindige, toch hoektrouw in het grens-
punt 2 = oo, want uit het bovenstaande volgt dat 2 koorden k^ en k^
in het ^-vlak, die elkaar in ^ = oo snijden onder een hoek 6, de beel-
den zijn van 2 krommen T^ en die elkaar onder dezelfde hoek 6 in
z = oo snijden.

Tenslotte kan men nog dit opmerken:
Beweegt z zich

naar het oneindige zó, dat arg z = a. — constant

-j, dan nadert arg k{z) tot a.

HOOFDSTUK HL

gedrag van voor ^ oo in het geval X = 0.

§ 13. Hoofdstelling.

Gegeven: w{z) = u{z) ^ iv{z) is een holomorf e functie van zin D.

w{z)nbsp;dz

u(z) gt; O in elk punt z van D, hm -= 0, = w(z).

z-^oo znbsp;at

(ang)

Bewering: Als voor één punt Zq, arg Zf een limiet 9 heeft voor
t -^00, dan heeft voor elk ander punt z, arg Zf dezelfde limiet.

y«

Bewij s: Onderstel eerst 9 lt;—. Dan is — voor elke z inöbe-

2nbsp;Xt

grensd. Immers indien dit niet zo was voor een punt z-^, dan zou er
een deelrij zijn, zó, dat arg (Zi),„ ^ - bijvoorbeeld, voor t^ -gt; 00.

Zi

Daar arg Zt^ een harmonische functie van z is, en wèl een begrensde,
bevat de rij {n) een deelrij {p), zodat arg Ztp convergeert tot een har-
monische functie van z.

Daar deze voor z = z^ haar maximum bereikt is zij voor elke 2 in D

gelijk aan dus ook voor z = Zo, wat wegens 9 lt; — onmogelijk is.
2 2

Vt

De onderstelling voert dus tot een ongerijmdheid, dus — is begrensd

Xt

voor t 00, bij vaste 2. Men heeft nu:

dzt , ,

-Tt =

d log Zt ^ w{z^

dtnbsp;Zt

d log Zt , . w[zt)nbsp;,nbsp;d log Zt w{zt)

—~— X wiz) = - dusnbsp;—--=nbsp;.

dznbsp;Ztnbsp;dz iej{z)zt

0 voor t^oo (want is begrensd).
w{z)ztnbsp;Xt,

De convergentie is uniform in elk begrensd en gesloten gebied van D

(want de verzameling van holomorfe functies van z\ ■nbsp;is nor-

maal in den zin van Montel).
Neemt men nu Zj ^ Zg, dan is:

Sinbsp;e.

J dznbsp;J w{z)zt

«O

Voor t oo heeft men dus log— -gt; O dus

(2o)«nbsp;(2o)«

Omdat arg (z^)« -s- 9, convergeert arg Zf voor elke z in D ook tot 9.

We nemen nu aan dat 9 = — bijvoorbeeld, dus arg {Za)t —.

^ 2

Dan is voor elke 2 in D : arg ^ ~ voor t 00.

Immers, indien dit niet zo was voor een punt 2 = z^, zou er een

deelrij t^ zijn, zodat arg -gt;a(a # —) voor t„ 00.

\ 2/

Daar arg een harmonische functie van 2 is, en wèl een begrensde,
bevat de rij [n) een deelrij {p), zodat arg z^^ convergeert tot een har-
monische functie van 2. Daar deze voor 2 = 2o haar max = ~ bereikt,

is zij overal — , dus ook voor 2 = z^, wat wegens o'- ^ ^ onmogelijk is.

Men heeft dus arg z^ voor t ^ 00.

Gevolg van bovenstaande stelling: Blijft, bij
X = O, voor één punt z in D, arg Zf schommelen, dan is dit het geval voor
elke z in D..

Voor alle beginpunten is het gedrag van arg Zf voor t 00 hetzelfde.,
§ 14. Het geval x, c(z) lt; 00.
dznbsp;dx dynbsp;dx,

Tt =nbsp; Tt = gt;

dus Xt neemt toe met t.

Er zijn dus 2 gevallen mogelijk:

Xt c{z) lt; oo voor t oo

Xt oo voor t oo.

Eerste geval: Xt^c{z) lt;00 voor t-
(of — 00) want Zj ^ 00.

Afgeleid is (§ 5) dat ^ h voor t -^00, h onafhankelijk van 2 en

dt

h ^ O, dusnbsp; 00 als hgt; O, y« ^ — 00 als amp; lt; 0.

Xt is voor iedere waarde van t een harmonische functie van z, welke
toeneemt als t toeneemt, zodat Xt voor elke z'mD convergeert (tot een
harmonische functie c(2)) als dat voor één punt 2 gebeurt. Elke kromme
T{z) heeft dus een asymptoot aan de rechterkant, als dat bij één het
geval is. De harmonische functie van z : c(z) —Xt, nadert tot nul voor
t 00, dus c{z) — X O voor 2 ^ 00 op iedere kromme T{z). Daaruit
volgt, dat als bovengenoemd getal hgt; O : c{z) — x O voor y 00,

uniform in iedere strook B(z) : O lt; z lt; x lt; —.

B e w ij s: (zie fig. 2).

Beschouw een gebied Gq begrensd door 2 krommen T{a.) en r(ß)
(die resp. de asymptoten x = c en x = d hebben) en het lijnstuk AB.
Beschouw in Go de harmonische functie c{z) — Deze functie (welke
begrensd is in Go, want c lt; c{z) lt;denO lt;x lt;d) neemt in het punt

oneindig de randlimiet nul aan, als 2 ^ oo over r(a) en ook als 2 -gt; 00
over r(ß). De harmonische functie van 2 : c(z) —x, nadert dus tot nul
als z ^00, tweedimensionaal in Gq.

Om te bewijzen, dat de convergentie van c{z) —tot nul, voor y -gt;00,
uniform is in elke strook B{e), beschouwen we in het gebied G^, begrensd

door de rechten y = O, y = 1, = s, a; = i, de rij van begrensde har-
monische functies van z : c{z in) — x (n is een natuurlijk getal).

/nbsp;I

In ieder punt van het gebied G^ indien bijv. cgt; e en dgt; is G^

begrensd door y = y =-0, x = c, x ^ ^ convergeert deze rij vol-
gens het bovenstaande tot nul, dus ook in bovengenoemd gebied G^.
De convergentie is gelijkmatig (wegens het begrensd zijn van
c{z^ in) — x). Men heeft dus c (2) —■ O als y 00 uniform in fi (e).

Gevolg van bovenstaande stelling: c(z) kan wille-
keurig dicht bij iedere positieve waarde komen, dus wegens de continuïteit
ook elke positieve waarde aannemen.

Opmerking: Als 2^00 over T{a.) dan: w{z)^ib, evenals
in het geval dat 2 00 over r(p) (zie § 5). Op dezelfde wijze als bij
bovenstaande stelling kan men dus bewijzen: Als bgt; O dan w{z) ib
voor y -^00, uniform in elke strook B{z).

§ 15. Een nodige en voldoende voorwaarde voor con-
vergentie van Xj.

Een nodige voorwaarde voor convergentie van x^ is allereerst:

X = hm-= O, omdat voor A gt; O, zoals bewezen is, ^ 00 voor

3—gt;00 2
{ang)

Wij nemen nu aan dat de krommen T{z) een verticale asymptoot
aan de rechterkant hebben

en dat bijv. è gt; O, dus —gt; -f- 00 voor

t 00.
Men kan

nu bewijzen dat:

00

fudy convergeert en tengevolge daarvan ook J u dy over elke verticale

over T{z)

rechte in D: x = constant.

Immers: Stel x = c is de asymptoot behorende bij T{z). Dan is:

c

dy V
dx u

over l\z) over T(z)nbsp;over T{z)

Omdat w -gt; è als z CX) over T{z) en c lt; oo, convergeert laatst-

oo

genoemde integraal, dus: fudy lt;00.

over T(z)

Volgens blz. 2 is voor hgt; 0:

^ h)
Xnbsp;X h '

Toegepast op het bovenstaande geeft dit voor d gt; c:
u{xt iyt) ^ u[d iyt)

(want Xf lt; d)

d

d

dusnbsp;u{d iyt) lt; — u{xt iyt).

Xg

00

Hieruit leidt men af dat ƒ u{d iy)dy convergeert voor d gt;c.
Daar dit geldig is voor elke positieve waarde van c (zie Gevolg op

00

blz. 26) is f udy convergent op elke verticale rechte in D.

Neemt men omgekeerd aan dat voor een functie w{z) = u{z) iv{z),

00

holomorf in D met ugt; O, / u {c iy)dy (c gt; 0) convergeert (waar-
uit, volgens bovenstaande ongelijkheid (I), de convergentie van

00

f u{d iy)dy voor dgt; c en volgens opm. 1 op blz. 30 ook voor
O lt;d lt;c volgt), dan kan men bewijzen:

1)nbsp;w{z) -^ib {b constant) als y 00.

2)nbsp;Als bgt;0, dan hebben de krommen T[z) een verticale asymptoot aan
de rechterkant.

B e w ij s: Beschouw op een rechte x == d twee punten d pi en
d qi {O lt;p lt; q).
Dan is:

8nbsp;a

C u{d yi)

I w[d qi) — w{d pi) \ =

want I w'{d yi) \ lt; ü^^lztl!! (^ig blz. 2).

d

co

Omdat ƒ u{d yi) dy convergeert, convergeert w (dus ook u) op
de rechte x = d tot een eindige limiet, als y 00.

00

Uit de convergentie van ƒ u{d yi)dy volgt dat lim u = 0, zodat
bovengenoemde lim w{z) zuiver imaginair is, stel ib. Deze limiet is

y-^oa op x = d,

constant op alle verticale rechten in D volgens de stelling:

Een functie w = f{z), holomorj en begrensd in een gebied G^ en op
de rand links continu en rechts continu in een punt z^, kan lams V
in 2 verschillende richtingen naar z^ geen twee verschillende limieten
hebben i).

Deze stelling geldt ook voor functies die begrensd zijn „in ruimere
zinquot; (dus o.a. voor w{z), waarbij u{z) gt; o), omdat men deze gevallen
door een passende transformatie tot het genoemde kan terugvoeren.
Voor G^ nemen wij in ons geval het gebied begrensd door 2 verticale
rechten in D en een lijnstuk dat een punt op de ene verbindt met
een punt op de andere; z^ is hier het punt oneindig. Dat de convergen-
tie w{z) ih voor y cxgt; uniform is in iedere strook B{z) kan bewezen
worden als op blz. 26; maar ook voor de rechten x = d, d gt;cgt; O
(c vast) is de convergentie uniform, omdat volgens de ongelijkheid (II)
op blz. 27:

J d

en j u{c iy) dy convergeert.

y

Stel nu ö gt; O, dan volgt uit de ge-
lijkmatige convergentie: w{z) =
= m(z) iv(z) -^ib voor y -^oo{xgt;c),
dat er een getal P zó te bepalen is,

dat v gt; 1 5 in het gebied G! ^ ^ ^

\ygt;P

Voor elk punt van G heeft men dus
yj co. Beschouw een beginpunt

z = c ^ iy, ygt; P. Stel == c« iyt

de plaats van dat punt op het tijd-
stip t en T{z) de meetk. plaats van de
punten Zf Voor t gt; O liggen de pun-

Fig. 3.

----/«j. ,nbsp;^nbsp;vac; puil-

ten van T{z) in G (want voor z = c iy is ugt; O en v gt; ^ b).

•) Zie o.a. J. H. Wansink: Enige randproblemen der conforme afbeelding
Proefschrift 1931 blz. 69.

Men heeft (zie fig. 3):

iyt) . m(c iyt)
-

Ctnbsp;c

c

u[c iyt) gt; — u[ct iyt)
Ct

gt; quot; u{Ct iyi) als -:gt; t.

T

Men heeft dus voor t gt; O:

Vr

j udygt; ƒquot;u{z) dy

Vnbsp;2

overx = cnbsp;over l'(z)

dus

Vtnbsp;ZT St

Vnbsp;z Z

overx=onbsp;over Ti.-!) over T(z)

'quot;J

V

over 5C = c

Als men aanneemt dat £^.-gt; 00 voor -r 00 dan is

00

fudygt; bc.

V

over x = c

Daar y zo groot gekozen kan worden als men wil, is de laatste on-

00

gelijkheid in strijd met de convergentie van ƒ u dy. Dus c^ conver-

over x — c

geert voor t 00, dus iedere kromme T{z) heeft een verticale asymp-
toot aan de rechterkant.

Als Xt convergeert voor ^ ^ 00 en als 5 lt;0, dan is te bewijzen dat
ƒ u dy op elke verticale rechte in D convergent is en ook omgekeerd:

'—00

Als ƒ u dy over één verticale rechte convergent is en als bovendien

—00

op die rechte ■w{z) bi met 6 lt; O, voor y ^ — 00, dan wordt op de-
zelfde wijze als hierboven bewezen dat Xt convergeert.

Samenvattende krijgt men de volgende stelling (van J. Wolff):

Een nodige en voldoende voorwaarde opdat de krommen T{z) een verticale

asymptoot aan de rechterkant hebben, is de convergentie van fu dy [of
van£u dy) over één verticale rechte in D {waaruit de convergentie op alle

verticale rechten in D volgt) en verder dat de limiet b van v{z) voor xgt; O
eny-^oo {of in het geval dat Ju dy convergeert, voor y oo), waarvan

het bestaan door bovenstaande convergentie van fudy {resp. fudy) ver-
zekerd is, positief {resp. negatief) is.

Voor bgt; O heeft men y^ oo, als t oo.
Voor b lt;0 heeft men ytoo, als t ^ oo.

Opmerking. 1. Op blz. 27 wordt beweerd dat uit de con-

OO

vergentie van f u dy oygt; één verticale rechte in D, de convergentie op
elke verticale rechte in D volgt. Voor de rechten x = d,dgt; c was dit
duidelijk. Wij zullen bewijzen, dat ook op de rechten x = d,0 lt;d lt;c,

f udy convergeert.

oo

Zij dus fu {c yi) dy lt;oo en O lt;d lt; c.

(1)

I w'{z) I lt; — dus

X

j dlogu d lop X

Dus ux neemt niet af bij constante y en toenemende a;, waaruit:
u{d yi)nbsp; yi),

Cv

oo

f u {d yi) dy lt;oo (volgens (1)).

O p m e r k i n g 2: Bij de stelling op bl. 29 is niet als voorwaarde
vermeld:^ = o. Dit is ook niet nodig, omdat dit uit de andere

(ano)

voorwaarden af te leiden is: op = c heeft men w{z) ^ ib, dus

. ,nbsp;w{z)

-^-^Oalsz-^ooopx = c.-~~iseen holomorfe functie van2, welke

geen negatieve waarden aanneemt, dus is begrensd, „in ruimere zinquot;,

■w{z)

zodat volgens de stelling op blz. 28 ook hm-----= 0.

z—gt;oo Z
(ang)

Het volgende voorbeeld illustreert bovenstaande stelling:

= - z = u{z) iv{z)
dt z

X

u(z) =

X2 -f yi

Stel c gt; 0.

/nbsp;y

udy = are tg —

dus f udy convergeert.

over x=c

Um w{x iy) = i dus b = 1 dus Xt convergeert volgens genoemde

y-»oo

stelling.

Dit is ook af te leiden als volgt:

dz 1 .nbsp;zdz

— =--\-1, -r = dt.

dt znbsp;\ tz

z

f z dz

I z az

Op T(z) is lm. I-rnbsp;constant.

znbsp;z

zdznbsp;^ ii ., , idz

lm. I ^ . = lm. / l—ïdz

./ l tz J

\nbsp;\ izj

= lm. {— iz /og (1 iz)}
1 = i[z — i). Stel dus z — i = pe'®.
Op T(z) is dus:

lm. {— iz log {ip e'®)} = Constant, nbsp;( 1 )

Omdat I 6 I lt; ^ , is op T{z) x begrensd, dus T{z) heeft een verticale

asymptoot aan de rechterkant. Bij toenemende t groeit a; dus volgens 1)
ook 6, dus e ^, arg ^ voor ^ oo.

^nbsp;z

Wij onderzoeken het gedrag van de krommen T(z) nader (zie fig 4).

Uit 1) volgt a) op T{z) is I a; C I lt; -

2

TT

h) voor iedere T{z) is C lt;

c) de verg. der baankrommen is:
y—1

— X -{- are tg-

dus

y=\-{-xtg{x C).

Voor het snijpunt van T{z) met de rechte y = 1 is:
^ tg{x C) = O dus tg{x C) = O (want x gt; 0). In verband met (2)
is dus a; C = O, a; = — C.

Alleen die krommen T{z) snijden dus de lijn y = 1, voor xgt; O,
waarvoor C lt; 0.

Wij beschouwen nu de krommen T(z) voor de verschillende waarden
van C.

I)jgt;Cgt;0.

1)nbsp;Geen snijpunt met y = 1 voor x gt; 0.

2)nbsp;X ^ O, X gt; O dan y ^ l. De krommen komen dus uit het in
punt (0,1).

3)nbsp;X — C, X — C dan y ^ cx). De rechte x = — — C

2 2 2

is asymptoot van T{z).

Voor C = O vinden we: de asymptoot x = ~, ~ = tg x-\--^— O

2 dxnbsp;cos^ X

voor X O, X gt; 0. De kromme (C = 0) raakt in (0,1) aan de lijn y = 1.
II) 0gt;Cgt;-|.

1)nbsp;Snijpunt met y = 1 voor gt; 0: = — C.

2)nbsp;X ^ O, xgt; O dan y 1 en 6 C.

3)nbsp;X — — C X lt;— — C dan y -gt;oo, dus asymptoot: x = — — C.

2 2 2

1)nbsp;Snijpunt met y = 1 voor xgt; 0: x = —.

2

dy

2)nbsp;X -i'0, xgt; O, y -gt;O en ----^0. De kromme raakt in O aan de

dx

X-SiS,.

3)nbsp;asymptoot: x = tz.
IV)

1)nbsp;Snijpunt met y = 1 voor x gt; O : x = — C.

2)x-gt;nbsp;— — — C, xgt; — — — C, dan y — oo. De rechte

2 2

^ = — ^ — C is asymptoot aan de linkerkant.

3)nbsp;asymptoot aan de rechterkant: x = — — C.

§ 16. Een 2e nodige en voldoende voorwaarde voor convergentie

van Xf

Stelling: Een nodige en voldoende voorwaarde voor convergentie
van Xt, terwijl oo, is, dat er een getal d gt; 1 aan te wijzen is

d yi

dz

zodat Um ■q[d yi) lt; O, waarbij ■ï]{d yi) = lm. /

1

B e w ij s:

a) Nodig: Beschouw T(l), d.i. de kromme bepaald door-

dz

Tt =

2 = 1 voor t = 0.

z

f

Op 7(1) is: -/)(2) = lm. / = O (zie § 3).

J w{z)
1

r(l) verdeelt D{x gt; 0) in 2 gebieden, in het ene is:
r^(z) gt; O, in het andere: Tj(z) lt; 0.

Wij noemen nu het gebied, waarin de punten liggen op de rechte:
^ = constant, die grotere y hebben dan het punt van 7(1) op die
rechte: „boven 7(1)quot; en het andere gebied: „beneden 7(1)quot;.
Men heeft:

= lm.nbsp;= -[ f-^

.1 w(z) J u^ v^ J u' V^'

1nbsp;1nbsp;O

over X—as over x =const.

y

/udy

groeiend met y, dus ook -qiz), dus:

O

over X ==:const.

■riiz) lt; O beneden 7(1) en rj(z) gt; O boven 7(1).

Stel nu dat 7(1) een verticale asymptoot heeft aan de rechterkant.
a; = c (cgt; I), dat y( oo en gt; c.
Dan ligt d in het gebied beneden 7(1) dus

yi{d iy) lt; 0.

Omdat r^[d iy) toeneemt met y, heeft men ■/]((? iy) -gt; limiet
lt; O, voor y oo, dus ■fi{d oo i) lt; 0.

h) Voldoende:

Stel dus dat er een getal i gt; 1 is met ri{d ooi) lt; 0.

Dus op X = d is ri{z) lt; 0. Bijgevolg heeft de baan 7(1), waarop
7] = O, geen punt met de rechte x = d gemeen.

r(l) heeft dus een verticale asymptoot aan de rechterkant.

Daar r,(z) beneden 7(1) negatief is, ligt de rechte x = d in het ge-
bied beneden T{\), hetgeen alleen mogelijk is als op 7(1) : ^ oo
voor t ^ oo. Op elke kromme T{z) heeft men dus: Xf c{z) lt; oo,
yt-^ oo voor t-^ oo (zie § 14). Q.E.D.

Voorbeeld: Wij zullen bovenstaand criterium toepassen op het
voorbeeld van § 15.

dz 1 . a; — iy

____[_ ^ _ _::_ 1 ^

dt znbsp;x^ y^

Xnbsp;y

u = —---V = 1

nbsp;x^ y2

dx — X — 1 — arctgx ^ are tg 1

u dy [ X dynbsp;tznbsp;1

=--are tg — .

u^ J (y — 1)^ 2nbsp;quot; %

Onbsp;O

over X =const.

Wij zien direct dat er een getal gt; 1 te bepalen is, zodat
ri{d ooi) lt; O, dus Xt convergeert en -gt; -f oo.

Opmerking: Op gelijke wijze als hierboven bewijst men:
Een nodige en voldoende voorwaarde voor convergentie van Xi, terwijl
Vt-^—oo, is, dat er een getal dgt; 1 aan te wijzen is, zodat ■ri{d—ooi) gt;0.

§ 17. Een 3e nodige en voldoende voorwaarde voor con-
vergentie van Xj.

Stelling: Een nodige en voldoende voorwaarde voor convergentie
^an Xt terwijl y^ -j- oo, voor t —gt; oo, is:

dat er 2 waarden van x zijn, c en d (O lt; c lt;d), zodat
lim •/](£ yi) gt; lim ri(d -{- yi).

y—gt; oonbsp;!/-gt; oo

B e w ij s:

Nodig: Stel dat een kromme T{z) een asymptoot x = d heeft,
aan de rechterkant, en dat c -f- een punt is van die kromme'
Dan is (zie § 16):

7](c -f iy^) gt; -ql^z) voor 2 op = d,
dusnbsp;-f^^c iy,) gt; -r^id ooi),

waaruit:nbsp;y)(c 00/) gt; ri{d ooi).

Voldoende: Stel O lt;c lt;d en -/3(c 00 i) gt; r^d 00 i).

Volgens deze onderstelling is het dus mogelijk op de rechte .r = c
een punt 2 te vinden zó, dat •/](2) gt; ooï).

De rechte x d bevindt zich dus in het gebied beneden T{z),
waarmede bewezen is dat T{z) een verticale asymptoot aan de rechter-
kant heeft en dat op 2\z), y, 00 voor t -gt; 00. Dit gebeurt
volgens § 14 voor elk beginpunt 2.

Gevolg:

Als voor 2 waarden van x,c en d, Q lt;c lt; d, voldaan is aan de
voorwaarde: 00 i) gt; n[d 00 i), dan is r^x ooi) een af-
nemende functie van x.

Dit volgt onmiddellijk uit het bovenstaande, als men bedenkt, dat
in dit geval iedere verticale rechte in D asymptoot van een kromme
T{z) is (zie § 14).

Opmerking 1: Op gelijke wijze als hierboven kan men de
volgende stelling afleiden:

Een nodige en voldoende voorwaarde voor convergentie van Xt, terwijl
yj -gt; — 00, is, dat er 2 waarden van zijn, c en d {O lt;c lt;d) zodat
7i(c — ooi) lt; ■q{d — 00 i).

Opmerking 2: Bij het voorbeeld van § 15 (zie blz. 31) is
r.{x -t- 00 i) = —■ constante, dus inderdaad afnemend bij toe-
nemende

§ 18. Enkele voorbeelden voor het geval X = 0.

1ste voorbeeld: — = 2s/z.
dt

I arg 1 lt; dus 2 V^ is een functie van de door ons beschouwde

klasse, met X = 0.

dznbsp;. ,,

-- = 2 equot;-quot;quot;'^ dt
V2

= t ^ a = constant = V^o als 2„

het beginpunt is.

2 = (e^'^/i t a Uy (als a = a bi)
z = ^^ 2(a bi) i! _ ^ 2abi
z = it^ {a bi) (-v/2 nbsp; _ 52

a; = (a V2 — h^2)t
y = (6v'2 ay/2)t 2ab

Y

'T(z)

Fig. 5.

T{z) is dus een parabool (fig. 5) met als as: de y -as en als top:
{O, — J («V2 —

Als X ^ quot;!quot; 00 dan y ^ 00. Voor elk beginpunt z convergeert

arg Zf voor t -gt;00 tot dezelfde limiet nl. —, m overeenstemmmg met de

2

steUing in § 13.

dz

2e voorbeeld: -— — yjz.

dt

Men kan dit op gelijke wijze als het vorige voorbeeld behandelen.
Men vindt voor T{z) dan parabolen met as: de — as, terwijl de top op
het negatieve gedeelte daarvan ligt (zie fig. 6).
Dus: arg Zf ^ O voor t 00.

Eenvoudiger vindt men het laatste resultaat als volgt: Neem een

beginpunt z op de x-as. — = -y/z, \/z is reëel, zodat T{z) de x-as is,

dt

dus arg Zf O voor t oo voor ieder beginpunt z in D, in verband met
de stelling in § 13.

T(a)

-X

3e voorbeeld: ~ =

CIL

Dit behandelen we op soortgelijke wijze als het 2de voorbeeld.

arg w{z) = ^ ^ arg z.
Wij bepalen nu een punt z waarvoor arg z = arg w{z),

arg z =

hargz=:~ dus argz=j.

Neem dus een beginpunt z op de rechte: arg ^ = Omdat ook

arg w{z) = ~, blijft het punt z, voor gt; O, op de rechte arg = ^.

dus T{z) is de rechte argz = Voor ieder beginpunt z heeft men dus

argzt-^ — .
4

Wij zien dat op deze manier andere voorbeelden te construeren zijn

waarbij Um arg Zf gelijk aan een willekeurige waarde tussen

kan zijn. Wij komen dan tot een resultaat dat in § 19 afgeleid zal
worden.

lt; — , dus z in D).
\—p 2

a

De kromme T{z) van zo'n punt is de rechte arg z =nbsp;•

men dus voor ieder beginpunt z heeft:

d-rg Zt -voor t oo.

1 —p

Opmerkingen: 1) De stelling is juist voor p = 0
I a I lt; ^ ; ^{z) is dan een constante.

2) In het geval p = — 1 moet, volgens onderstelling, oc = O zijn,

dz P ,nbsp;n

zodat voor — = - geldt: arg Zt 0.
dt z

Men kan dit direct controleren, maar het volgt ook uit een meer
algemene stelling, welke in § 20 behandeld zal worden en welke geldt
voor functies, holomorf in D, die zich in het oneindige angulair ge-
dragen als —.

§ 20. Over functies, holomorf in D, met positief reëel deel,
die zich in het oneindige angulair gedragen als—.

dz

^^ = w{z) = u{z) iv{z), u{z) gt; O, lim ^ = 0.
c

w{z)

(ang)

Daaruit volgt:

lim zw{z) = p, p gt; O of p = oo.

z—gt;oo
(ang)

De convergentie is uniform voor 2 oo in iedere hoek:

I «^g ^ I lt; ^ — £, ^ gt; £ gt; 0.

Als p lt; 00 bestaat de volgende stelling (van J. W o 1 f f, iets uit-
gebreid).

Als de angulaire afgeleide van w[z), in het funt oneindig, gelijk is aan
nul en als bovendien de angulaire limiet van zw{z) voor z ^ 00 eindig is,
dan convergeert, voor elk beginfunt z, arg z^ tot nul als t00.

B e w ij s: Wij bewijzen allereerst dat ~ begrensd is

Als 2 00 zó, dat \argz\ lt; oc, O lt; a lt; ^ dan:

zw{z) p gt; O (uniform),

arg z arg w{z) O (uniform).

Er is dus een positief getal P te vinden zó, dat

largz argw(2) llt;ix,nbsp;1)

voor alle punten in het gebied:

largz^^Vfnbsp;^AOB voor gt; P.

Beschouw een beginpunt 2 in dat gebied. T(z) zal voor t gt; O in
/^AOB liggen.

Trek nl CO en DO (zl COX = / DOX = |a). Wanneer het be-
ginpunt of een punt z^ voor tgt; Oin /_ AOC zou liggen (dus het arg.
gt; ia) dan volgt uit de ongelijkheid 1):

arg ze» lt; O in dat punt,

dz

dus arg -— lt; 0.
dt

Wanneer het beginpunt z, of een punt Zt voor O O, in /. BOD zou

dz . ,

liggen (dus het arg. lt; —|-a) dan isnbsp;O dat punt.

In beide gevallen nadert Zt bij toenemende t dus de x-as. Hieruit

Vt

volgt dat voor het beschouwde punt — begrensd is voor t gt; 0.

Xt

gt; p voor t oo
p dus Zt^ oo2 pt.

Hieruit volgt: arg Zf-^O voor t oo.

Dit gebeurt nu (volgens § 13) voor ieder beginpunt 2. Q.E.D.

De bovenstaande stelling is ontstaan door uitbreiding van het

1 ^^nbsp;P

voorbeeld :—- = — ■
dt z

Ook de voorbeelden behandeld in § 19 kunnen op deze wijze wor-
den uitgebreid. Men komt dan tot een stelling welke behandeld zal
worden in §21.

§ 21. Over functies, holomorf in D, met positief reëel deel,
die zich in het oneindige gedragen als ^e^^zv.

Stelling: Indien voor de functie w{z), holomorf in D, met -positief
reëel deel geldt:

■ p e''quot; voor z oo in een hoek

= 0 en Um zw{z) = k, k gt; 0 of k = oo)p

(ang)

voldoet aan de voorwaarde'. — 1 lt;p lt;\, verder a een zodanig reëel

getal is, dat

\-p

P een positief getal is, zodat

voor ieder beginpunt z, arg Zf tot de constante

■ p gt; O voor z oo gelijkmatig in de hoek

arg z ■

Dus:

arg w{z) —y. — pargz-^0 voor 2 ^ 00 uniform in ^ AOB (Zie fig. 8,

arg z = j^-^en AOE = BOE = ß).

Men kan dus een positief getal P vinden, zodat voor alle punten in
het gebied:

x-p

xgt; P

geldt:

arg w{z) — Cf. — p arg z \ lt; — p)^

(want \ —pgt; O en ß gt; 0).

Beschouw een beginpunt 2 in dat gebied. De kromme T{z) zal voor
t gt;0 in AOB liggen.

Trek nl. CO en DO (Z COE = Z DOE = Iß).

Wanneer een punt van T{z) voor t gt;0 in Z. AOC ligt, dan is in
zo'n punt:

arg z gt;nbsp; i ß.

1 —p

{\—p)argzgt;o.-Vh^{\—p) (want 1—/)gt;0)

— pargz—-a.gt;—argz^l^{\—p).nbsp;(2)

Uit de ongelijkheid 1) volgt:

arg w[z) —oi — pargz lt; J ß (1 — /gt;).

In verband met 2) is dus

dz

arg w{z) lt; arg z dus arg — lt; arg z.

Cl/V

Bij toenemende t zal Zt dus de lijn OE naderen.

Neemt men aan dat een punt van T{z) voor t gt;0 in /_ BOD ligt,
dan is in zo'n punt:

arg z lt; T-^-T — è ß
1 —p

— pargz — alt; — argz — \^{\—p).nbsp;(3)

Uit 1) volgt: arg w{z) — 7. — p arg z gt; — —/gt;) ß dus in ver-
band met 3): arg w(z) gt; arg z, zodat ook hier Zt bij toenemende t de
lijn OE nadert.

In beide gevallen is Zt voor t gt; O dus gelegen in de hoek:

argz-j^^ lt;ß.

Dus:nbsp;p e'« voor t oo

i^iy

1 dzt

[ztY-^c^ (1 — j!,) pe'a^
(1 —p) arg Zf^oL argzt -

Volgens de stelling in § 13 gebeurt dit voor elk beginpunt 2. O E D
Toepassingen van bovenstaande stelling zijn voldoende te vinden
, ..nbsp;dz

w{z)

1 voor 2 oo (dus a = O, = f)
dus arg Zf -gt; O voor t oo.

§ 22. Over functies die zich niet in het oneindige gedragen
als een zekere macht van z.

In de stelling van § 21 worden functies beschouwd die zich in het
oneindige gedragen als p e'« met een exponent p, zodat — 1 lt; ^ lt; 1
Bl] de niet hieronder te rangschikken functies komen gevallen voor
waarbij arg convergeert, maar ook gevallen, waarbij arg 2, blijft
schommelen. We geven van beide gevallen een voorbeeld:
1 ste voorbeeld: argZt convergeert.
dznbsp;z a

log (z a) is holomorf in D en w{z) (ook holomorf) heeft een positief

reëel deel (want 2 « ennbsp;hebben argumenten die tegensteld

van teken zijn).

w{z) is niet te rangschikken onder de functies genoemd in §21.

dz ^ 2 fl
dt log (2 a)

d^gjz j^ ^_1_ d {log (2 a)

dtnbsp;logiz a)quot;quot;^ Jt-= 2

{log (2 a)Y =.2t a hi (a en h constant).

Stel (z a) e'^

{logp = 2t a-\-bi
log^ p — e^ 2ï6 logp = 2t a bi
2Q log p = b = constant.

Omdat p oo voor t oo, heeft men Ö O dus arg Zf -gt; 0.
Opmerking: Ook op de volgende wijze ziet men in dat arg z« O
voor t ^ co:

dz

Voor z op de x-as is ^ reëel, dus T(z) is de x-as.

ut

Hieruit volgt arg O voor t oo, voor elk beginpunt z.
2de voorbeeld: arg Z( blijft schommelen.

— = wiz) = z^ 2 é^'''^ waarbij (als z = r
dt

z^ = {cos log r i sin log r). | cp | lt; — .

Zé

z^ heeft dus een positief reëel deel, terwijl de angulaire af-
geleide in het oneindige gelijk is aan nul.

dx

= e-f coslogr nbsp;(I)

= e~f sin log r.nbsp;(2)

Omdat I zM lt; is — — lt; «rg ^ lt; .nbsp;(3)

6 dt 6

Daaruit volgt dat de mogelijke limiet van arg Zf in ieder geval in

absolute waarde niet groter dan —kan zijn.

6

/ TTnbsp;TC

lt; —Stel sgt; 0.
6 6

Stel nu dat arg z^ a voor t -gt; oo

dan is voor t voldoende groot:

\argZt — a.\ lt; s (bij vaste z).

lt; — is er dus een waarde van t te bepalen {t= i),

dt

zodat voor het aangenomen punt z,rt (= | Zj |) toeneemt met t
voor i gt; T.

Wij beschouwen nu de punten Zf van T{z) voor t gt; t. Daarvoor is

rsnbsp;.

— gt;0, maar ook:
dt

lldr 1

/ Tt ^ 37^'

dy

Uit (2) volgt dat — telkens van teken verandert als r oo'.
dt

gt; O voornbsp;lt;r lt;e(2gt;i i)7r ^^ ggj^ natuurlijk getal).

Als wij nu kunnen bewijzen dat de hoek, waaronder wij het stuk

(dy

waar~^gt; O (zie fig. 9) van O uit zien, groter blijft
dt

dan een vast positief bedrag, dan is bewezen dat arg Zf onmogelijk kan
convergeren.

Voldoende is om te bewijzen dat
Vb —VA

gt; 8 (vast) gt; O

c(2m 1)W

f dy lldr

^^ X ^iMoverr(.))

elniT
e(2« l)7T

e ^ sin log r X / — dr
/ dt

sin losr 1 ,
X-dr,

,7t/2

want — gt; - voor 2 op AB, en verder volgens (4).

c(2» l)7r

sin log r dlogr

dus - gt; —

r. 3 e

e2mr

(2K l)7r

j sin u du, want e-^f gt; e-'^'^

2 «TT

Vb —VA

gt; 0.

Hiermede is het bewijs geleverd.

S 23 Een nodige voorwaarde voor lim inf arg z^ gt; 0.

«-»oo

Stelling: Een nodige voorwaarde, opdat lim inf arg Zf gt; O, voor
elk beginpunt z in D, is:

■ dx 00.

over de x—as

B e w ij s: Zij die lim inf = a gt; 0. Stel Z ZOX =-- ß, a gt; ß gt; 0.
(zie fig. 10).

Voor lim inf arg = k gt; O, voor elk beginpunt 2 in D, is nodig,

dat de rechte OZ door alle krommen T{z), waarvan het begmpunt 2 op
de x-as gelegen is, gesneden wordt voor t gt; 0.

Stel [xi, yi) is een snijpunt van T (1) met OZ [x^ gt; 1), [x^, y^ van
T [x^ met OZ [x.^ gt; x^) enz.

snbsp;s

[ dx f udy — vdx
Op iedere kromme T{z) is lm. ƒ —tt /-r——^ = constant

iv{z) J u-
1 1

(zie § 3). Bijgevolg is:

dy

v^

over x — xi
Vt

u

dx —

u^ v^

tl I
-het reële deel van —— . Omdat

liquot;- v^

lt; — (zie blz. 2),

dus voor ygt; 0:nbsp;u' (x,y) gt;u' (x,0)nbsp;(2)

Zij (x, y) een punt van de rechte OZ, x gt; 1 en [i = m.
ynbsp;y

Uit 12) volgt: /--— dy = / u'dy gt; m equot;™ x ii'{x, 0).

J ti^ v^ J

Omdat X ii' {x, 0) niet afneemt bij toenemende x (zie blz. 30), is voor
(x.y) op OZ (xgt; 1):

u

dygt; M gt; O {M onafhankelijk van x).

J 11'' v'

O

over X = constant
xn

Uit (1) volgt dus:

over de x—as

dx -gt; 00 voor n ^ 00.

over de x—as

Uit lint inf arg Zj = a gt; O volgt, dat voor % voldoende groot de

t-^ oa

X-as in het gebied beneden T{Xn) is gelegen. Daar op iedere verticale

z

dz

rechte ïi(z) = lm. j toenemend is met y (zie § 16) en daar verder
J w(z)
1

Xn

op T{x„), 7](z) constant is (=nbsp;dx), is voor voldoende gróót:

1

X

vdx

gt; 0.

U^ v^

Xn

In verband met (3) volgt hieruit :

dx = oo.nbsp;Q.E.D.

Opmerking: De genoemde voorwaarde is niet voldoende voor

lim inf arg z« gt; O, getuige het voorbeeld:
t-gt; 00

dz

-77= Vz i-

dt

f dx

ƒ-= oo, zodat dus aan de genoemde voor-

X \

J U^ J X l
1 1
over de x—as

waarde voldaan is. Toch heeft men niet: lim inf arg Zf gt; O, want

gt; 00

W z i

arg Zt^O voor t ^ oo (immers —---gt; 1 voor z -gt; oo, zodat in

yz

verband met § 21, arg z^ -gt; 0).

Opmerking 2: Op gelijke wijze als bij bovenstaande steUing,
komt men tot het volgende:

Een nodige voonmarde, opdat lim sup. arg Zj lt; O voor ieder beginpunt

t-^ oa

z in D, is:

X

V

dx = — oo.

tlquot;-

1

over de x—os

Wij zullen nu in § 24 een nodige en voldoende voorwaarde afleiden
voor Um inf. arg Zg gt; x gt; O en daarbij gebruik maken van bovenstaan-
de nodige voorwaarde.

§ 24. Een nodige en voldoende voorwaarde voor
Hm inf arg z, gt; a gt; 0.

Stelling: Een nodige en voldoende voorwaarde, opdat
liminf argZt gt;xgt; O voor ieder beginpunt z in D, is: -q{z) ^ —oo,

i—gt;- -f oo

voor z oo in elke hoek — ^''ê' z lt;, a — s lt;7..
B e w ij s:

Nodig: Wij zullen eerst bewijzen dat bij ieder positief getal P
een getal Q aan te wijzen is zó, dat voor de punten z op de rechte
arg z x — z, waarvoor 121 gt; Q, voldaan is aan: y)(2) lt; — P. Dan
is dus bewezen dat 73(2) — 00 voor 2 00 op de rechte arg z = y. - - s.

X

Kies daartoe op de A;-as een punt a: zó, dat /--dx gt; P dus

j ti^ ^ v^
1nbsp;.

Tt{x) lt; — P (dit is mogelijk volgens § 23). Indien nu Um inf arg Zf gt; a,

lt;-gt; 00

dan IS voor voldoend grote 121, de lijn arg 2 = a — s gelegen in het ge-
bied beneden r{x), dus 7j(2) lt; —P voor die punten. Men heeft dus
73(2) -gt; — 00 voor 2 -gt; 00, arg 2 = a — s.

Dat ook geldt: r;(2) —00, voor 200 in elke hoek

7Ï

—-J lt; «»-g 2 lt; a — s lt; a, volgt uit het feit dat ■/i(2) op elke verticale

rechte in D afneemt, als y afneemt.

Voldoende: Be.schouw een punt 2o in D. Op T{z^) is •/)(2) = C
(constant). Omdat op de rechte argz = x — z, 7)(z) -gt; — 00 voor
2 00, is voor de punten 2 van die rechte waarvoor j 21 voldoende groot
is: 73(2) lt; C, zodat dus die rechte, voor jz] voldoende groot, in het ge-
bied beneden T{Zo) gelegen is. Daaruit volgt:

Um inf arg 2« gt; a — e.nbsp;(\\

t-^ 00nbsp;^ '

Het getal s voldoet aan de voorwaarde: O lt; s lt; — 3,, maar is
overigens willekeurig. Uit (1) volgt dus:

Um inf arg 2« gt; a.

f-gt; oo

Opmerking: Op gelijke wijze als hierboven komt men tot de

volgende stelling:

Een nodige en voldoende voorwaarde opdat lim stip arg lt; a lt;0

i—gt; 00

voor ieder beginpunt z in D, is: ^^{z) -f oo, voor z ^ oo in elke hoek
~gt; arg z gt; y. sgt; a..

§ 25. Een nodige en voldoende voorwaarde voor

7U
quot;2

Als bijzonder geval van de stelling in § 24 vinden we de volgende

nodige cn voldoende voorwaarde voor lim arg Zt=-^ :

t-^ 00 2

Voor lim arg z« = — is nodig en voldoende:

t^ oanbsp;2

fudy — vdx

lim I ---= — oo, m.a.w.: hm 71(2) — — 00.

( «gt;2 „2nbsp;/

(ang.)^ w -p fnbsp;2-^00 (ang.)

Bij deze stelling kan lim Xf zowel eindig als oo zijn.

lt;^ 00

In § 15, § 16 en § 17 hebben wij nodige en voldoende voorwaarden
gegeven voor argnbsp;, terwijl x^ convergeert voor ^ oo. Wij

zullen nu een nodige en voldoende voorwaarde afleiden voor arg —
terwijl Xt co, voor t ^ -f óo-

Stelling: Voor lim argnbsp;^^^ —^ is nodig en voldoende:

limri{z)= — oo,nbsp;(1)

z—gt;-oo (ang.)

terifijl verder: liniT^{x yi) gt; O {voor xgt; 1).nbsp;(2)

2/—gt; 00, x=const.

Bewijs: Voor lim arg Ztnbsp;is, zoals bewezen is, nodig en

voldoende: lim rj{z) = — oo.

s—gt;oo (ang.)

Beschouw nu de kromme r(l).

z

C dz

Op r(l) is ■q{z) = lm. I ^ = 0; in het gebied boven 7(1) is73(2gt;gt; 0.
1

Neemt men nu aan, dat op 7(1): x« oo voor t oo, dan ligt iedere
verticale rechte, voor y voldoende groot en x gt; 1, in het gebied boven
7(1).

Op iedere verticale rechte is ■ri{z) toenemend met y. Bijgevolg is aan
de voorwaarde (2) voldaan.

Is omgekeerd aan de voorwaarde (2) voldaan, dan is, mede in verband
met (1), te bewijzen, dat oo. Uit (2) volgt nl. dat iedere verticale
rechte: a; = constant, xgt; l, voor y voldoende groot in het gebied

boven 7(1) gelegen is. Omdat argZt^^, volgt hieruit dat op 7(1) (dus

op iedere T{z)) x« oo als ^ ^ oo.

Opmerking: In bovenstaande stelling mogen wij de voorwaarde
(2) vervangen door:

lim 7) (x yi) is niet afnemend met x.

X = constant.

Het bewijs hiervan volgt uit § 17: „Gevolgquot;.
Voorbeeld: Wij beschouwen nogmaals het voorbeeld door ons in
§ 18 behandeld:

dz

Tt

Gebleken is reeds, dat arg — en x^ oo als lt; oo.

2

Dit is ook af te leiden met bovenstaand criterium:

s

1

Dus ■/]{z) — oo als z -H» oo (angulair), dus arg ^t ^^ ^ ■

Als 2 -gt; oo over een verticale rechte z6, dat y oo, dan heeft

men:

0 '

vi(2) = Vp sin — i- V'2 ^ I (want p sin

X sin® I----

-gt;0), dus Xf ^ oo, zowel volgens bovenstaande

stelling, als volgens de voorwaarde genoemd in bovenstaande pp-
merking.

cosO

Wij merken nog op dat bij dit voorbeeld ook 71(2) — 00 als
2 00 over een verticale rechte zó, dat y — 00. Dit is in overeen-
stemming met het feit dat iedere kromme T(z} een eindpunt op de y-as
heeft (zie fig. 5), zodat iedere verticale rechte voor y lt; O en | y | groot
genoeg, in het gebied beneden T(z) ligt. Dit is niet het geval met het
voorbeeld van § 15 (zie fig. 4). Men heeft daar: ■/](x — cxj i) = - x
constante gt; — 00.

Opmerking: Voor lim argZt = —~ , Xt 00, kan men, op

gelijke wijze als hierboven, de volgende nodige en voldoende voorwaar-
de afleiden:

Veor lim arg Zt = en Xt 00 is nodig en voldoende:

(-)- 00nbsp;2

lim ■t]{z) = -Ir 00nbsp;(1)

2—^00 (ang.)

jl verder: lim ri(xyi) lt;0 (voorxgt; 1).nbsp;(2)

y~-gt;—00, X—constant

De voorwaarde (2) mag vervangen worden door:

lim ri{x yi) is niet toenemend met x.nbsp;(3)

2/——00, X = constant

dz _

Als voorbeeld van dit geval kan dienst doen: = 2 e quot;quot;quot; ^Jz.

We krijgen dan iets dergelijks als bij het vorige geval.
Wij geven nog een ander voorbeeld:

dz _ 1 —i^/z
dt^ '

Binnen een hoek: \argz \ lt; — — ^ lt; s lt; is:

znbsp;z

j ^^ ^ fnbsp;^z _— = ix — y, dus aan voorwaarde (1)

J w{z) J 1 — iVz i

1nbsp;1

wordt voldaan.

Verder is' ^^ = ï 4---• Op een verticale rechte is

1 — i^yznbsp;y/z ^

1 1

het reële deel van—-,, voor y—00, gehjkwaardig met———

y 2 1nbsp;V ■^y

(2) (en ook aan (3)) is dus

voldaan, zodat men heeft:

Um arg Zt = ~~ en oo.
t-^ 00 2

Dit resultaat is ook als volgt af te leiden:

w{z) = u{z) iv{z) = —--i.

Vz

judy ~ ƒnbsp;^^y = oo, zodat in verband met de stelling

—aonbsp;—oo
over X =consl.

op blz. 30, ^ oo als ^ -gt; oo. Verder heeft men voor xgt; O, dat
arg w{z) - y, uniform, als y ^ —oo. Daaruit kan men direct

afleiden, dat op iedere kromme Tiz). arg z^nbsp;(zie Opmerking

in § 2).

HOOFDSTUK IV.

GEDRAG VAN Z^ VOOR t lt; 0.

§ 26. Het geval Xj ^ c(z) gt; O, voor t -gt; — oo.

Keeds in § 15 is ons gebleken, dat de krommen T(z) op verschillende
wijze tegen de y-as kimneh „stotenquot;. Bij het aldaar behandelde voor-
, ,, 1

beeld: =--i, komen ook krommen voor, welke de y-as niet

dt z

bereiken (zie fig. 4). Op deze krommen heeft men: yt — oo, voor
t —gt; — oo.

dz ï ,

Bij het geval: -—---i, zullen op gelijke wijze krommen ge-

^t z

vonden worden, die de y-as niet bereiken en waarop: y^ ~gt; oo voor
t ^ — oo.

Heeft men dat op één kromme T{z): Xf ^ O O, y^ oo voor
t -y — oo, dan volgt daaruit dat er een gebied is in D, bestaande uit
zulke krommen T{z). Immers we zien direct dat de krommen behorende
bij punten in het gebied boven eerstgenoemde T(z), de y-as niet kun-
nen bereiken. Het is duidelijk dat deze krommen een asymptoot heb-
ben aan de linkerkant.

J. W o 1 f f heeft de volgende nodige en voldoende voorwaarde voor
het optreden van deze gevallen gegeven i):

Een nodige en voldoende voorwaarde, opdat een kromme T[z) een verti-
cale asymptoot aan de linkerkant heeft {x = c gt; 0) [waaruit het bestaan

oo

van een gebied A van zulke krommen volgt), is de convergentie van ƒ udy
[of van f udy) over één verticale rechte in D [waaruit de convergentie op

—oo

alle verticale rechten iyi D volgt) en verder, dat de limiet b van v[z), voor
X gt; Oewy^-f-oo [resp. voor y — oo), waarvan het bestaan door

oo

bovenstaande convergentie van f udy (resp. ƒ udy) verzekerd is. negatief

—oo

[resp. positief) is.

') Comp. Math. Vol. 6 fase. 2 blz. 303.

In A heeft men dan, als t ~gt; — oo:

Vt-^ — oo als bgt; 0.

Vt -[- oo als b lt;0.

Het bewijs van deze stelling is nagenoeg gelijk aan dat van de
soortgelijke stelling, behandeld in § 15.

Een 2de nodige en voldoende voorwaarde voor Xt c gt; O als

z

lt; — oo, is af te leiden met behulp van de functie t,(z) = lm. 1 :

./ ui{z)
1

Een nodige en voldoende voorwaarde opdat x^ -gt; C{z) gt; O, oo

alst-^~ oo, voor één punt z in D {waaruit het bestaan van 'een gebied A
van zulke punten volgt), is:

dat er 2 waarden van x zijn, c en d {O lt;c lt;d)

lim iri(c yi) lt; Um ri{d yi).nbsp;m\

y-^ oonbsp;y-^ oonbsp;^ '

Het bewijs van deze stelling is gelijk aan dat van de stelling in § 17
(met verandering van enige ongelijkheidstekens).

Voor het in het begin van deze § genoemde voorbeeld: — = 1 _ j

dt z '

IS ooj) = a; constante, zodat aan de voorwaarde (1) voldaan is
In aansluiting op bovenstaande 2de nodige en voldoende voor-
waarde, behandelen we 2 stellingen:

Stelling 1: Als voor 2 waarden van x: c en d {O lt;c lt; d), voU
daan is aan de voorwaarde:

7)(C OOï) lt; ooi),
dan IS ■ti{x ooi) een toenemende functie van x.
Bewijs: Uit het gegeven (1) volgt:

oo

V](c OOJ) lt; oo, dus flt;oo

J v^
ü

over X =0

nnbsp;quot;nbsp;1

ITTV^ quot;quot;«ële deel van ^ is, volgt hieruit:

oo

/udy

^^^^ lt; oo over iedere verticale rechte (zie blz. 30 Opm. 1).

O

ooi) lt; oo, voor gt; 0.nbsp;(2)

Stel nu: O lt; x^ lt; x^, dan zijn er 3 mogelijkheden:
Inbsp; ooi) gt; ooi),

IInbsp;ooi) = y](x2 ooi),

III 7)(Xi ooi) lt; ■fi{x2 ooi).

Inbsp;vervalt wegens § 17 „Gevolgquot;; dit laatste is nl. in strijd met het
gegeven (1).

y gt;0

IInbsp;vervalt eveneens. Immers in elk gebied » „ ^

quot;nbsp;0lt;£lt;Xlt; —

is, volgens (2), -/](2) begrensd, zodat uit II zou volgen: ■q{x ooi) =
constant, voor xgt; O, hetgeen in strijd is met (1).

Rest dus; III. O.E.D.

Stelling 2: Als op één kromme T{z): Xt c gt; O, y, oo,
voor t — oo, dan is elke verticale rechte in D asymptoot aan de lin-
kerkant van een zodanige kromme T[z).

B e w ij s: Stel S gt; O en ■/)(§ ooi) = p.

Uit het gegeven volgt, in verband met bovenstaande stelling 1, dat
■f]{x ooi) toenemend is met x en dat p lt; oo.

Bijgevolg is het dus mogelijk in het gebied xgt; 8, een punt 2 te vin-
den, zodat ri{z) = p.

De bijbehorende kromme T{z), waarop 71(2) = p, heeft de rechte
X = 8 tot asymptoot. Immers op de rechte x = S is yi(S iy) afne-
mend als y afneemt, dus 72(8 iy) lt; p. De lijn x -■= 8 ligt dus in het ge-
bied beneden T{z), zodat noodzakelijk op T{z) : y^ 00 als
t ~gt; — 00.

Stel nu dat op T{z) : lim = [i gt; S en dat G het gebied is be-

—00

grensd door x = S, T{z) en een rechte welke 2 punten van die lijnen ver-
bindt.

Omdat 7] (2) begrensd

is in G, heeft men nu:
T,{z) -gt; p, als 2 -gt; 00 in G.

Dit is in strijd met het toenemen van ri(x ooi) als x toeneemt.
Daaruit volgt dus dat de rechte x = 8 asymptoot is van T{z), waar-
mede de steUing bewezen is.

Opmerking: Op gelijke wijze als hierboven, komt men tot deze
nodige en voldoende voorwaarde voor cgt; O, y, -gt; — 00 als
t — 00:

Een nodige en voldoende voorivaarde opdat Xf C{z) gt; O, y^ _oo,

alst ^ — oo, voor één punt z in D {waaruit het bestaan van een gebied A
van zidke ptmten volgt), is:

dat er 2 waarden van x zijn, e en d {O lt; c lt; d) zodat

lim -/j(c -f yi) gt; Um ^ yi).

y—gt;—oonbsp;2/-gt;—oo

Voor het voorbeeld ^ = I i (zie fig. 4) is ri{x — ooi) =

constante, zodat aan bovenstaande voorwaarde voldaan is.

Wij kunnen, zoals duidelijk is, gelijk hierboven, stelhngen 1 en 2
afleiden. Wij komen dan tot dergelijke resultaten.

§ 27. Over de functie 7j(z).

Voor het onderzoek naar de andere manieren waarop de krommen
T{z) tegen de y-as kunnen „stotenquot;, is het noodzakelijk dat wij de functie

7)(z) = lm.

nader beschouwen.

Deze functie heeft ons in het voorgaande reeds vele diensten bewe-
zen. Wij herinneren aan 2 daarvan en leiden daaruit enkele gevolg-
trekkingen af:

Op elke T{z) heeft men:
Xt c^{z) lt; oo, y, -gt; -I- oo
voor t -{- oo.

Op elke T{z), van een deelge-
bied A van D, heeft men:
Xt c^{z) gt;0, y, -gt; -f oo
voor i -gt; — oo.

T^{x ooi) is afnemend
als X toeneemt. (§ 17).

T^{x ooi) is toenemend als
X toeneemt (§ 26).

Gevolg 1: Indien voor géén z in D:

Xt^Ci lt; oo, y^ ^ -f oo, / oo
ofnbsp;Xt-gt;c^gt; O, y; oo, i — oo,

dan is ■ri{x ooi) onafhankelijk van en omgekeerd.

dznbsp;T.

Voorbeeld: — = z, r.ix ^ ooi) = A

dt ' ' '2

Gevolg 2: Het is onmogelijk dat op een kromme T{z):

Xf-^Ci lt;00, Vj 00, ; 00

ennbsp;Xfnbsp;O, Vt -gt; 00, t ^ — 00.

of ook:

Het is onmogelijk dat bij een zelfde functie [van de door ons beschouwde
klasse) krommen voorkomen waarop: ^ Cj lt; 00, y^ ^ 00, als

^ 00 en krommen waarop Xt ^ O, y^ -gt; -f 00, alst --00.

Tot het gevolg 2, kunnen we ook op andere wijze komen. Wij vinden
dan nog een iets algemener resultaat:
Het is onmogelijk dat op een kromme T{z):

Xt -^c^ lt; 00, Vt ^ -f 00, als ^ cxD

ennbsp;Xt -gt; Ca gt; O, y« ^ 00, als t — 00.

B e w ij s: Stel dat op een kromme T{z):

Xt ^ Cl lt;00, yt. 00, als i ~gt; 00
ennbsp;Xt Ca gt; O, y« 00, als ^ ^ — 00.

Beschouw in het gebied G boven T{z), de harmonische functie
van 2 :nbsp;Um Xf

lt;— 00

Deze is begrensd in G (nl. lt; c^) en op T{z) gelijk aan Cg. Bijgevolg is de
functie constant in G, hetgeen in strijd is met het gevondene in §15.

Opm.: Het is duidelijk dat ook de andere redactie van Gevolg 2
(iets uitgebreid) geldig is. We zullen daarvan gebruik maken in § 29.

Wij vermelden nu nog enkele eigenschappen van de harmonische
functie •/](2).

I. Voor iedere reële waarde van y bestaat lim 73(a; iy) i).

X-
V=C

h)e liniietfunctie zullen we cp (y) noemen.

II. ç(y) is een monotoon niet afnemende functie van y.
Dit is duidelijk, want ■fi{x iy) is toenemend met y op iedere vertica-
le rechte in D.

') Zie J. Wolf f. Nieuw Archief voor Wiskunde. Deel XVIII, 2e stuk,
blz. 20.

III.nbsp;9(y) is zodanig dat de Stieltjes integraal jnbsp;convergeert i).

—oo

IV.nbsp;De junctie —— kan worden voorgesteld door de formule :

w{z)

00

1 1 /■ƒ 1 1 ]

~ I ^ TT^ f

—00

waarbij de integraal te nemen is in den zin van Stieltjes en ç(y) de
Junctie is, ingevoerd onder I. \ en pi zijn constanten, waarbij \ de an-
gulaire afgeleide van is, in het punt oneindig i).

Bovenstaande eigenschappen zullen in § 28 en § 29 toegepast worden.

z

w{z)

1

de tijd waarop de krommen T{z) de y-as bereiken. Immers voor de
functie

=l{z) i-ri{z). geldt op 7(2):

=nbsp;(zie §3)

dusnbsp;l{zt) = l{z,) t.

Op T{z) is 7j(2) constant. Door de univalente functie ^z) (zie § 3)
wordt dus het gebied D afgebeeld op een gebied H, zodanig dat de
krommen T{z) tot beeld hebben rechten of halfrechten vj = const., naar
gelang Zf de grens van D bereikt op een oneindige of eindige negatieve
tijd.

§ 28. De gevallen z, ^ iy, | y | lt; 00.

De monotoon niet afnemende functie (p(y), gedefinieerd op de y-as
(zie § 27) is van belang voor het onderzoek naar de manieren waarop de
krommen T{z) op de y-as kunnen uitmonden.

J. W O 1 f f is tot de volgende resultaten gekomen:

Geval A: p is een discontinuïteitspunt van lt;p(y).

') Zie J. Wolff en F. d e K o k. Bull, de la Soc. math, de France
60, III—IV, 1932, p. 225.

£) bevat een gebied Aj, bestaande uit krommen die in ip uitmonden
voor t — oo. Op elke kromme nadert het argument van z — ip tot
een limiet, welke op de verschillende krommen van A» varieert van

— ^ tot ^. Voor 2 in Aj) heeft men: w{zt) ^ O als ^ -gt; — oo.

Het gebied H waarop D door de functie ^(z) wordt afgebeeld, (zie
§ 27) bevat een strook van rechten: yi{z) = constant, (p(/) — 0) lt; v) lt;
?(/gt; 0), — oo lt;5 lt; oo, welke de beelden zijn van de krommen
T{z) die in ip uitmonden.

Geval B: q is een continuïteitspnnt van 9(y), dat niet het uiteinde
is van, of gelegen is in een interval waar ^(y) constant is.

In iq mondt één kromme T{z) uit, voor i = — oo of voor t eindig ne-
gatief, naar gelang de integraal:

1

u{x iq) ^^

\w{x iq)
ü

divergeert of convergeert.

Geval C. Er is een eindig interval I op de y-as, waarvan irn
en ifi de uiteinden zijn, zodat ©(y) constant is voor m lt;y lt;

Uit het feit dat over I kan worden voortgezet (dus ook —^

w{z)

is af te leiden:

Als een kromme T{z) haar eindpunt heeft in een inwendig punt ir
van /, dan is ir enkelvoudige pool van w{z) en omgekeerd. w{z) kan
hoogstens één pool hebben op I. De raaklijn aan T(z) in ir heeft de hori-
zontale richting en ir wordt bereikt op een tijdstip, dat negatief eindig is.

Verder is af te leiden: Is in m (of n) 9(y) continu, dan is im (resp. in)
eindpunt van een kromme T{z) als v(z) op I, in de omgeving van im
(resp. in), negatief (resp. positief) is. w{z) heeft dan geen pool op I. Zijn
m en n beide continuïteitspunten van 9(y), dan mondt op het segment I
[m lt; y lt; n) steeds één en niet meer dan één kromme uit, steeds op een
eindig negatief tijdstip.

Het geval dat m en (of) n discontinuïteitspunten zijn, is vermeld on-
der A.

Voor de bewijzen: zie Compositio Math. Vol. 6, fase. 2 blz. 301—302).

Wij volstaan met het geven van enige voorbeelden. Wij construeren
allereerst een voorbeeld behorende bij een geval genoemd onder C.

We beginnen met (p(y) aan te nemen op de y-as.

9(y) monotoon toenemend,

?(y)=0, voor—llt;ylt;l
v(y) =y~ i,voornbsp;ygt; 1

9(y) = y -!- 1, voor y lt; — i

fäcp(y)

' ^^^ convergent (zie III § 27),

—oo

9(y) constant op — 1 lt; y lt; i
en continu in de uiteinden.

Wij trachten een functie ^ te vinden met positief reëel deel,
zodat /m.J ~ de goede randwaarden heeft. Wij merken op dat

meerdere oplossingen voor ^ gevonden kunnen worden (men ziet

bijvoorbeeld onmiddellijk dat de oplossingen, die in de cofactor van de
term . verschillen (zie IV § 27) toch aanleiding geven tot dezelfde

randwaarden van lm. f^]. Wij zoeken een oplossing voor -I-

waarbij Xj =-- 0.
Wij beschouwen eerst het gedeelte zonder z, in de formule:

00

1nbsp;I

—oo

}\{y) J_ n 1nbsp;1 I

TC./ i ,ynbsp;

—oonbsp;1

00

Wij nemen dus:nbsp;

1 L

w{z) y:J{z ,y T^^P^ f^»

i z~i

= lJ-2--log -— .

n z t

Bepaling van a

2 ! ^ {(2 i) log {z -f i) — {z — i) log [z — i)}

Stel 11., = y. iß.
-/i(2) = ay ß:v —ß
i)-~arg{z — i)}
- i) arg {z — i)

1

= y ~log

tc

dus a = 1, ß = 0.

(1)

2 Z

y 1 , y— 1

—arg (2 H- %)■ --- arg {z — i). (2)

Op de x-as is 7)(2) = O, dus de x-as is een T{z) welke uitmondt in het
punt O. O is een enkelvoudig nulpunt van

w

(zie(l).

w{z)

dus O is een enkelvoudige pool van w{z), in overeenstemming met het
vermelde onder geval C. Er is geen andere kromme welke uitmondt op
de y-as in een punt van het segmentT (waarop — 1 lt; y lt; 1). Immers
op de krommen in het gebied boven de ^r-as is y)(2) gt; O, op die daar
beneden is -qiz) lt; O, zodat geen van die krommen kan uitmonden op de
y-as, in een punt van f, ook niet in i of — i. Dit laatste is in overeen-
stemming met het feit dat op /, in de omgeving van i, v{z) negatief is,
in de omgeving van — i, v{z) positief is. Dit is af te leiden uit:

=--%

In fig. 11 zijn enige krommen getekend.

Voor punten met dezelfde x en tegengestelde y, is 7] (2) tegengesteld
(zie (2)). Het halfvlak D wordt dus door de x-as verdeeld in 2 delen zó,
dat bij spiegeling t.o.v. de x-as van krommen T{z) in het ene deel,
krommen in het andere deel verkregen worden. Van de functie w{z) is

de ang. afgeleide in het punt oneindig, gelijk aan nul, zodat op alle
krommen, arg z^ tot dezelfde limiet (nul) convergeert als i oo.

De hoek 6 (zie fig. 11), waaronder de krommen de y-as snijden, wordt
bepaald met:

Z-'i

z i

Vnbsp;—

tg{arg w{z)) = - =--

11nbsp;1 z — i

\-\-—arg ——.

7U Z ï

1 y —

dus voor y gt; 1 is: tg% = — log --

Tt y

e O, als y

6nbsp;als ynbsp;1, ygt; I.

Opmerking: Bovenstaand voorbeeld illustreert ook het geval
B : 9(y) is continu en niet constant voor y gt; 1 en y lt; — 1. In ieder
punt van de y-as (waarvoor y gt; 1 of y lt; — 1) mondt één kromme
T{z) uit. Alle krommen bereiken de y-as op een tijdstip dat negatief
eindig is:

u{x iq)nbsp;/ ), , 1nbsp;j ,

-dx= I ^ \ -I--arg , . f dx (convergent).

\w{x iq)

dz _ -f 1
dt ~ z^ z

= i ^ i log (3x2 1) constante.

= i i {arg [z i ïV3) arg {z ~ i const. (1)

^z) = i- (x' —nbsp;log I 1 I const.

?{y) = voor ygt; i-x/3

?(y) = O a, voor — i lt;y ^3 « = const.

9(y) = — voor y lt; _ 1

3^2 I ]

Polen van de functie w{z) = - op de y-as: i, O en — i.

De 3 krommen die uitmonden in resp. ï, O en — i, zijn de enige
krommen die uitmonden op de y-as in een punt waarvoor y ^ ± ^'s/3.
De raaklijnen aan die krommen, in de eindpunten, lopen horizontaal.
De x-as is de in O uitkomende kromme.

Als2-^i, dan^(z)-gt; — 1 p

Als z O, dan ^(2) -gt;nbsp;[i i 3 | lt; 00.

Als 2 ^ —i, dan ^z) -gt;— i j^log2 ^

Bovengenoemde krommen bereiken dus de y-as op eindig negatief
tijdstip.

9(y) heeft 2 discontinuïteitspunten: i i-^3 ennbsp;Er is dus

een verzamehng van krommen, die hun eindpunt hebben in 1 i-y/3 of
— i W3. (zie geval A). Als 2 ^ 1 of 2 — 11\/3, heeft men:
l{z) ^ — 00. De krommen die in 1 «ys of — i uitmonden,
bereiken die punten voor t = — 00.

Men heeft verder: —==:—1-

w

2y

- 3y^ 1
y3 —y

Dus op de y-as is ^ toenemend met y op de intervallen:

ylt;——i V3 lt;y lt;0. i V3 lt;y lt; 1

en afnemend voor:

— 1 lt;ynbsp;O lt;ynbsp;ygt; 1.

Wij kunnen nu met het bovenstaande gemakkelijk afleiden hoe de
afbeelding is van D, door de functie (Zie fig. 12).

?j = a

-F

IV

Figuur 12.

De halfrechten AB, CD en EF zijn de beelden van de krommen die
uitmonden resp. in i, O en — i.

De rechten t; = constant in I en II zijn de beelden van de krommen
die uitmonden in resp. i en — i- voor t = — oo.

De rechten yj = constant in III en IV zijn de beelden van krommen
welke de y-as niet bereiken. De krommen behorende bij III liggen in het
gebied boven T{i), zodat op die krommen voor i _ oo: y« oo.
In verband met (1) volgt hieruit dat Xt^O.

De krommen in liet gebied boven T{i) (en evenzo die in het gebied
beneden T{— i)) hebben de y-as tot asymptoot aan dé linkerkant.
In fig. 13 zijn enige krommen getekend.

Daar de angulaire afgeleide van w{z), in het punt oneindig, gelijk is
aan nul, en de A;-as een kromme T{z) is, heeft men op elke T{z): argZf-gt;0
als i --gt; -f cx). Ook hier is de figuur symmetrisch t.o.v. de A;-as.

§ 29. Het geval x, O, yt oo voor t ^ — oo.

Bij het 2e voorbeeld van § 28 komen krommen voor welke de y-as
als asymptoot aan de hnkerkant hebben. De volgende stelling geeft
een nodige en voldoende voorwaarde voor het optreden van dit geval:

Stelling (W O 1 f f): Een nodige en voldoende voorwaarde opdat
2 krommen T{z), waarop y^ -gt; -4- oo (o/ — oo) voor t — oo, de asymp-
toot X = O hebben {waaruit het bestaan van een gebied A van zulke krom-
men volgt) is, dat de functie 9(y) op de y-as {zie / § 27), begrensd is naar
boven {resp. naar beneden) en dat

Um Tl {x -f iy) = -f- oo {resp. Um -q {x iy) = — oo),

y—gt; 00, x= constnbsp;j/—gt;—oo,x=const.

voor xgt; 0. Men heeft dan in A voor t -gt; — oo:
yj ^ -f- oo {resp. — oo).

B e w ij s: Stel dat op de krommen r(a) en T{fj): O, y^ oo
voor t-gt; — oo, en stel dat j3 (dus r(,S)) gelegen is in het gebied A boven
T{x). Beschouw in A de harmonische functie van z: Um Xf. Deze functie

—oo

is gt; O in A.

Voor 2 == |3 (in A) is de functie nul, dus voor z in A is Um Xf = 0.

lt;-gt;—oo

Elke kromme in A heeft dus de y-as tot asymptoot.

Nodig voor het optreden van dit geval is:

a)nbsp;cp(y) is begrensd naar boven.

Immers beneden T'(o'.) is -q lt; v](a), dus cp(y) = linifi {x yi) lt; 7)(a).

gt;0

b)nbsp;T,{x ooi) = oo voor xgt; 0.

Immers volgens §27: Gevolg 2 (uitgebreid) en § 17 kan ri{x-]-ooi)
niet afnemend zijn bij toenemende x, en omdat het gebied boven T{iy.)
bestaat uit krommen waarop Xf -h^ O, y^ —gt; oo voor t ^ — oo, kan
volgens § 26, ■i]{x ooi) ook niet toenemend zijn. Gevolg: rj(A; coi) =
C (constant), x gt;0.

Stel C lt;00, dan heeft men wegens de begrensdheid van •/](2):
7i(a) = 7](p), wat onmogelijk is.

Dusnbsp;r;{x ooi) = 00.nbsp;Q.E.D.

Voldoende: Stel 9(7) op de y-as begrensd naar boven en
■f]{x ooi) = 00, xgt; 0.

Volgens dit is het dus mogelijk een punt z in D aan te nemen
zó, dat 7j(2) gt; lim 9(y). De kromme Tiz) zal dus de y-as niet bereiken

y-^ 00

Daar T{z) gelegen is in het gebied boven een kromme welke op de y-as
uitmondt, heeft men op T(z) : y^ -j- 00.

Dat -gt; O voor / — 00, volgt uit het feit dat yj(x ooi) = const
voor xgt; O, zodat niet mogelijk is: x^ ^ cgt; O, y^-gt; 00 voor
t -gt; — 00 (zie § 26).

Opmerking I. Als op de y-as voor y gt; y^ : lt;p(y) = C (const.) en
als op één kromme T(^): ^ O, y, -gt; -f- 00 voor / ^ — 00 dan is te
bewijzen dat er een gebied A is, bestaande uit dergelijke krommen
Immers op r(p) is 73(2) gt; C. Beschouwt men een punt 0-. zó, dat
C lt; 7](a) lt; Y](p), dan ziet men direct dat ook op r(a): -gt; O, y« -gt;-f 00
voor t-^ — 00, zodat men dan in het geval van bovenstaande stelling

Opmerking 2: Als men op één kromme T{z) heeft: x^ O,
y« -gt; 00 voor t~^ — oo, dan kan men niet de gevolgtrekking maken
dat er dan een gebied A is, bestaande uit dergelijke krommen. Het vol-
gende voorbeeld toont dit aan:

Beschouw op x = O de monotone functie: (p(y) = _ 1, __ 00 lt; y lt; 1

en 9(y) = —1 lt; y lt; 00.

y

Volgens de formule in IV § 27, is

00

1 _ 1 r dt

w{z)nbsp;mz-ti) Neem == 0.

1nbsp;TTnbsp;i

----lofiiz — i)

Z 222 'nbsp;fe V lt;■)

z

=ƒ ^ = ,(2 - 1) -f -1 (I - 1) _ ^ _ 1 /„g ( 1

, 1 , 2-»
TC I — t

Uz) = (oc ^-p) (a; iy) - (a i^) TT-^- - i

Z[x y j

i[x—ly)nbsp;1 7 (nbsp;_

j i % (y- 1 ^ arg (z-i) I -11nbsp;^

nbsp;(y— m iarg{z~i)—Uog2^i~y (1)

yarg{z -—i) log 2 1

Als.T-gt;0,ygt; 1 dan9(y) = ocy —

2- ynbsp;y

Hieruit volgt : a = O, p = f -f- ^ .

271

Contrôle : als x -gt;0, y lt;\, dan cp(y) = ay — p _ i = _ ].

2,7Z

Uit (2) volgt: ooî) = p^;. Omdat p gt; 0 is -qix ooi) toene-
mend met

X. Volgens § 26 is er dus een gebied van krommen waarop
Xt c(z) gt; O voor t -gt; — oo, terwijl y^ -f oo. 7j(c ooi) = pc
(cgt; 0). De kromme T{z) waarop yj(z) = pc heeft de rechte = c tot
asymptoot (zie het bewijs van Stelling 2 in §26). De kromme T{\),
waarop 75(2) = O, heeft dus geen asymptoot x ^ c gt; O, maar kan ook
de y-as niet bereiken omdat ©(y) lt; 0. Omdat 7(1) gelegen is boven alle
T waarop 7i(z) lt;0 welke hun eindpunten op de y-as hebben (daarvan
zijn er oneindig veel, want lt;p(y) is continu en niet constant voor y gt; 1),
is de y-as asymptoot van 7(1) zó, dat op 7(1): y^-f 00 voor
t -gt; — 00. Zowel uit het bovenstaande als uit de in het begin van deze
paragr. behandelde stelhng, volgt dat er maar één kromme van deze
soort is.

Men heeft verder: ■ri{x — ooi) = pa; — 1, dus eveneens toenemend
met a;. Volgens § 17 hebben alle T{z) een asymptoot a; = c{z) zó, dat
op T{z) ■. y00 voor i 00.

De krommen boven 7(1) hebben dus een asymptoot aan de hnker-
kant en één aan de rechterkant. Zijn deze voor een dergelijke kromme
T{z) resp. := en = dan is : p JCi = p x^ — 1

dus :nbsp;x^ —-Xi= .

Voor al die krommen T{z) hebben de 2 asymptoten dezelfde afstand
1nbsp;4r.