v;3

•v'-r .-Î

t-A,

lil«

Kr - v)r)VWgt;li

ty®«

Sïii

». !

M . -

mm

M

m

f.

m

It

-m

'P

gflt M ~

c II qfiO gt;

THEORI A

MOTVS CORPORVM

COELESTIVM

in

SECTIONIBVS CONICIS SOLEM AMBIENTIVM

A V c T o R E

CAROLO FRIDERICO GAVSS

Hamevrgi svmtibts Frid. Pr.RTHEs ET I. H. Bessek.

1 8og.

Venditur

Paristts ap. Treuttel amp; Wiirtz. L o n d i k i ap. R. H. E vans.
Stockholmiae ajî. A. Wiborg.nbsp;Petropoli ap. KIostermann.

Madiiiti ap. Sancha.nbsp;Frorentiae ap. Molini, Lundi amp; C^

AmstELODami in libraria: Knnst-und Industrie-Comptoir, dicta.

■r

PRAEFATIO

Detectis legibus motus planetarum Kepleri ingenio non defue-
runt subsidia ad singulorum planetarum elementa ex obsemationi-
bus emeuda. Tyclio Brahe, a quo astronomia practica ad fasti-
gium antea iguotum euecta erat, cunctos planetas per longam an-
norum Seriem summa cura tantaque perseuerantia obseruauerat, vt
lieplero talis thesauri dignissimo herecli seligendi tantummodo cura
restaret, quae ad scopum quemuis propositum facere viderentur.
Nee mediocriter subleuabant hunc laborem motus planetarum me-
dii sumxna iamdudum praecisione per obseruationes antiquissiraas
determinati.

Astronomi, qui post Heplerum conati sunt planetarum or-
bitas adiumento obseruationum recentiorum vel perfectiorum adhuc
accuratiiis dimetiri, iisdem vel adhuc maioribus subsidiis adiuti
sunt. Neque enim amplius de elementis plano incognitis elicien-
dis agebatur^ sed nota leuiter tantum corrigenda arctioribusque li-
mitibus circumscribenda erant.

Principium grauitationis vniuersalis a summo Ne%vton dete-
ctuvn campum plane nouum aperuit, legibusque iisdem, quibus
quinque planetas regi Hepler expertus fuerat, leui tantum muta-

P R A E F A T I O

tione flicta omnia corpora coelostia uecessario obsecpi debere edo.
cuit, quorum quideua motus a vi Solis tantum moderentur. Scili-
cet obsematiomxm testimonio fretus Kepler cuiusuis planetae orLi-
tam ellipsem esse pronuuciauerat, in qua areae circa Solem, focum
alterum elHpsis occupantem, vniformiter describantur, et quidem
ita, vt tempora reuolutioimm in eUipsibus diuersis sint in ratione
sesquialtera semiaxium maiorum. Contra Newtoii, principio gra-
vitationis vniuersalis posito, a priori demonstrauit, corpora omnia
a SoHs vi attractiua gubernata in sectionibus conicis moueri debere,
quarum quidem speciem vïijmi, elKpses puta, planetae nobis ex-
liibeant, dum species reliquae, parabolae et hyperbolae, pro aeque
possibüibus haberi debeant, modo adsint corpora Sohs vi velocitate
débita occurrentia; Solem semper focum alterum sectionis conicae
tenere; areas, quas corpus idem temporibus diuersis circa Solem
describat, his temporibus proportionales, areas denique a corpo-
ribus diuersis, temporibus aequalibus, circa Solem descriptas, esse
in ratione subduphcata semiparametrorum^orbitarum: postrema ha-
nun legum, in motu elliptico cum vltima Kepieri U-ge lae.vtlca,
ad motum parabolicum hyperbolicumque patet, ad quos haecce ap-
phcari nequit, reuolutionibus deficientibus. Iam fUum repertum,
quo ducente labyrintlium motuum cometarum antea inaccessum in-
grédi hcuit. Quod tam feliciter successit, vt omnium cometarum
modbus, qui quidem accurate obseruati essent, explicandis suffi-
ceret vnica hypothesis, orbitas parabolas esse. Ita systema graui-
tationis vniuêrsaHs nouos analysi trimnphos eosque splendicHssimos
parauerat; cometaeque vsque ad iUum diem sempeï indomiti, vel
si deuicti videbantur mox seditiosi et rebelles, frena sibi iniici

passl, atque ex liostiLus hospites reclditi, iter suura in ;tramiti.
bus a calculo delineads prosequuti sunt, iisdem quibus planetae le-
gibus aeternis religiose obtemperantes.

Iam in determinandis cometarum orbitis parabolicis ex ob-
seruationibus difficultates suboriebantur longe niaiores, quam in de-
terminandis orbitis ellipticis planetarum, inde potissimmn, quod
cometae per breuius temporis interuajlum visi délectum obserua-
tionum ad liaec vel illa imprimis commodarum non concedebant,
sed iis vti geometram cogebant, quas fors obtulerat^ ita vt metlio-
dos speciales in calculis planetarum adhibitas vix vmquam in vsum
vocare Ucuerit. Magnus ipse Newton, primus saeculi sui geonie-
tra, problematis difficultatem haud dissimulauit, attamen, ceu ex-
spectari poterat, ex hoc quoque certamine victor euasit. Multi
post Nevvtonum geometrae eidem problemati operam suam nauaue-
runt, varia vtique fortuna, ita tamen, vt nostris temporibus pa-

rum desiderandum rehctum sit.

Varum enim vero non est praetermittendum, in hoc quoque

problemate peropportune difficultatem diminui per cognitionem
vnius elementi sectionis conicae, quum per ipsam suppositionem
orbitae parabolicae, axis maior infinite magnus statuatur. Quippe
omnes parabolae, siquidem situs negligatur, per solam maiorem mi-
noremue distantiam verticis'a foco inter se difFerunt, dum sectiones

ynbsp;■■

conicae generahter spectatae varietatem infinities maiorem admit-
tant. Haud equidem aderat ratio sufficiens, cur cometarum traie-
ctoriae absoluta praecisione paraboHcae praesmnerentur: quin potms
infinite parmn probabile censeri debet, rerum naturam vnquanx
tali suppositioni aimuisse. Attamen quum constaret, phaehomena

pip

corporis coelestis in ellipsi ve] hyperbola incedentis, cuius axis maior
permagnus sit ratione parametri, prope perihelium perparum discre-
pare a motu in parabola, cui eadem verlicis a foco distantia, dif-
ferentiamqiie eo leuiorem euadere, quo maior fuerit iUa ratio axis
ad parametrum; porro quum experientia docuisset, inter motum
obseruatum motumque in orbiLa paraboKca computatum vix vm-
quam maiores differentias remanere, quam quae ipsis obseruatio-
num erroribus (hic plerumque satis notabilibus) tuto tribui
poterant: astronomi apud parabolam subsistendum esse rati
sunt. Recte sane, quum oirxxiixxo deessent subsidia, e quibuS,
imm vUae quantaeue differentiae a parabola adsint, satis certo colU-
gi potuisset. Excipere oportet cometam celebrem HaUeyanum, qui
ellipsem valde oblongam describens in reditu ad perihelium plu-
ries obseruatus tempus periodicum nobis patefecit: tunc autem
axi maiori inde cognito computus rehquorum elementorum vix
pro difnciUori habendus est, quam determinatio orbitae paraboh-
cae. Silentio quidem praeterire non possumus, astronomos etiam
in nonnulhs ahis cometis per tempus aliquauio l^^^xgiua obserua-
tis determinationem aberrationis a parabola tentauisse: attamen
omnes methodi ad himc finem propositae vel adhibitae, innitmi-
tur suppositioni, discrepantiam a parabola haud considerabilem es-
se, quo pacto in iUis tentaminibus ipsa parabola antea iam compu-
tata cognitionem approximatam singulorum elementorum (praeter
axem maiorem vel tempus reuolutionis inde pendens) iam submi-
nistrauit, leuibus tantum mutationibus corrigendam. Praeterea fa.
tendum est, omnia ista tentamina vix vnquam aliquid certi deci-
dere valuisse, si forte cometam anni 1770 excipias '

Quamprimum motum planetae noui anno 1781 detecti cum
hypotliesi parabolica conciliari non posse cognitum est, astronomi
orbitam circularem illi adaptare inclioauermit, quod negotium per
calculum perfacilem ac simplicem absoluitur. Fausta quadam fortu-
na orbita huius planetae mediocriter tantum excentrica erat, quo
pacto elementa per suppositionem illam eruta saltem approximatio-
nem qualemcunque suppeditabant, cui dein determinationem ele-
mentorum ellipticorum superstruere licuit. Accedebant plura alia
peropportuna. Quippe tardus planetae inotus, perparuaque orbitae

ad planum ecHpticae inclinatio non solum calculos longe siinplicio-

«

res reddebant, melhodoscjue speciales aliis casibus haud accommo-
dandas in vsum vocare concedebant, sed metum quoque dissipa-
bant, ne planeta radiis Solis immersus postea quaeritantium curas
eluderet, (qui metus alias, praesertim si insuper lumen minus vi-
uidum fuisset, vtique animos turbare potuisset), quo pacto accura-
tior orbitae determinatio tuto difFerri poterat, donec ex obseruatio-
nibus frequentioribus magisque remotis eligere Jiceret, quae ad
propositum maxime commodae viderentur.

In omnibus itaque casibus, vbi corpomm coelestium orbitas
ex obseruationibus deducere oportuit, commoda adera^it quaeclam
haud spernenda, methodorum specialium applicationem suadentia
vel saltem permittentia, quorum commodorum potissimum id erat,
quod per suj)positiones hypotheticas cognitionem approximatam quo-
rundam elementortmi iamiam acquirere licuerat, antequam calculus
elemeutormn ellipticorum susciperetur. Nihilominus satis mirum
videtur, problema generale

Betenninare orbitam corporis coelestis, absque omni suppositione

PRAEFATIO

hypothetical ex obseriiationibus tempus haud magnum complectentihus ne-
que adeo delectum, pro applicatione methodorum specialium, patientibus
vsque ad initium îiuius saeculi penitus propemodum neglectuni esse,
vel saltern a nemine serio ac digne tractatum, quum certe theore-
ticis propter difficultatem atque elegantiam sese commendare po-
tuisset, etiamsi apud practices de summa eius vtilitate nondum
constaret. Scilicet inualuerat apud omnes opinio, impossihilem esse
talem determinationem completam ex obseruationibus breuiori tem-
poris interuallo inclusis, maie sane fundata, quum nunc quidem
certissimo iain euictmn sit, orbitam corporis coelestis ex obserua-
tionibus bonis paucos tantummodo dies complectentibus absque vlla
suppositione liypothetica satis approximate iam determinari posse.

Incideram in quasdam ideas, quae ad solutionem problema-
tis magni de quo dixi fiicere videbantur, mense Septembri a. 1801,
tune in labore plane diuerso occupatus. Haud raro in tali casu,
ne nimis a grata inuestigatione distraliamur, neglectas interire si.
nimus idearum associationes, quae attentius examinatae vberrimos
fructus ferre potuissent. Forsan et illis irlftnli« e.qdem fortuna in-
stabat, nisi peropportune incidissent in tempus, quo nullum sane
faustius ad illas conseruandas atque fouendas eligi potuisset. Scili-
cet eodem circiter tempore rumor de planeta nouo Ian. 1 istius anni
in specula Panormitana detecto per omnium ora volitabat, moxque
ipsae obseruationes inde ab epocha illa vsque ad 11 Febr. ab astro-
nomo praestantissimo Piazzi institutae ad notitiam publicam per-
uenerunt. NulHbi sane in annalibus astronomiae occasionem tam
grauem reperimus, vixque grauior excogitari posset, ad dignitatem
istius problematis luculentissime ostendendam, quam tunc in tanto

cUscrimiiic vrgeiiteque quot;necessitate, vbi omnis spes, atomum plane-
tariam post aimum fere elapsum in coelis inter innumeras stellulas
reinueniendi, vnice pendebat ab orbitae cognitione satis approxi-
mata, soUs illis paucnlis obseruationibus superstruenda. Vmquamne
opportunius experiri potuissem, ecquid valeant ideolae meae ad
vsum practicum, quam si tunc istis ad determinationem orbitae Ce-
reris vterer, qui planeta inter 41 illos dies geocentrice arcum trium
tantummodo graduum descripserat, et post annum elapsum in coeli
plaga longissime illinc remota iaadagari debebat? Prima haecce me-
thod! applicatio facta est mense Oct. 1801, prunaque nox serena,
vbi planeta ad normam numerorum inde deductorum quaesitus est¹),
transfugam obseruationibus reddidit. Tres alii planetae iioui inde
ab iUo tempore detecti, occasiones nouas suppeditauerunt, metho-
di efiicaciam ac generalitatem examinandi et comprobandi.

Optabant plures astronomi, statim post reinuentionem Cere-
ris, vt methodos ad istos calculos adhibitas publici iuris facerem;
verum obstabant plura, ^uominus amicis hisce soUicitationibus tunc
morem gererem: negotia alia, desiderium rem aliquando copiosius
pertractandi, imprimisque expectatio, continuatam in hac disquisi-
tione occupationem varias solutionis partes ad mains generalitatis,
simplicitatis et elegantiae fastigium euecturam esse. Quae spes quum
me haud fefellerit, non esse arbitror, cur me huius morae poeni-
teat. Methodi enim ab initio adhibitae identidem tot tantasqiie
mutationes passae sunt, vt inter modum, quo ohm orbita Cereris
calculata est, institutionemque in hoc opere traditam vix vllum

1nbsp; Dec. 7, 1801 a dar. de Zach.

similitucliiiis vestigium rejiiaiiserit. Quamquain vero a proposiio
meo alienura esset, de cunctis his clisquisitionibus paullatim magis
magisque perfectis narrationem completam perscribere, tamen in
plaribus occasionibus, praesertim quoties de problemate quodam
grauiori agebatur, methodos anteriores quoque liaud omnino sup-
primendas esse censui. Quin potius praeter problematum principa-
lium solutiones plurima, quae in occupatione satis longa circa mo-
tus corporum coelestium in sectionibus conicis vel propter elegan,
tiam analjticam vel imprimis propter vsum practicum attentione
digniora se mihi obtulerunt, in hoc opere exsequutus sum. Sem«
per tamen vel rebus vel methodis mihi propriis maiorem curam
dicaui, nota leuiter tantum, quatenusque rerum nexus postulare
videbatur, attingens.

Totimi itaque opus in duas partes diuiditur. In Libro pri-
mo euoluuntur relationes inter quantitates, a quibus motus corporum
coelestium circa Solem secundum Kepleri leges pendet, et quidem
in duabus primis Sectionibus relationes eae, vbi vjiicus tantum lo-
eus per se consideratur, m Sectione tertia et quarta quot;vero eae, vbi
plures loci inter se conferuntur. Illae continent expositionem me-
thodorum turn vulgo vsitatarum, tum potissimum aliarum illis ni
tailor ad vsum practicum longe praef'erendarum, per quas ab ele-
inentis cognitis ad phaenomena descenditur; hae problemata multa
grauissima tractant, quae viam ad operationes inuersas sternunt.
Scihcet quum ipsa phaenomena ex artificiosa intricataque quadam
complicatione elementorum componantur, hanc texturae rationem
penitius perspexisse oportet, antequam lilorum explicationem ope-
risque in elementa sua resolutionem cum spe successus suscipere li-

PRAEFATIO

ceàt. Compàràntur itaque in Libro primo instrumenta atque sub-
sidia, jîer quae dein in Libro altero arduum hoc negotium ipsum
perficitur : maxima laboris pars tune iam in eo consistit, vt illa sub-
sidia rite colligantur, ordine apto disponantur et in scopum pro-
positum dirigantur.

Problemata grauiora ad maximam partem per exempla ido-
nea illustrata sunt, semper quoties quidem licuit ab obseruationi-
bus non fictii desumta. Ita non solum methodorum efficaciae ma-
ior fiducia conciliabitur, vsusque clarius ob oculos ponetur, sed id
quoque cautuni iri spero, vt nec minus exercitati a studio harmii
rerum deterreantur, quae procul dubio partem foecundissimam et
pulcherrimam astronomiae theoricae constitumit.

Scripsi Gottingae d. 28 Martii 1809.

CONTENTA

lyiber Prim vs. Relationes generales inter quaiiütates, per ^uas corporum coe-
lestium motus circa Solem definiuntur.

Sectio I. Relationes ad locum dmplicem in orhita spectanie».nbsp;p^g. ^

Sectio ir. Relationes ad locum dmplicem in spatio spectantes,nbsp;45

Sectio III. Relationes inter locos plures in orhita.nbsp;— 82

Sectio IV. Relationes inter locosnbsp;in

^nbsp;— 135

LIB E R S c V K D V s. tetigatio orbitarum corporum coelestium ex obseruatio-
nibus geocentricis.

Sectio I. Determinatio orUtae e tribus ohseruationibus completis.nbsp;Pag. i3i

Sectio XL Determinatio orbitae e quatuor ohseruationibus, quarum duae tan^
tum completae sunt.

—nbsp;192

Sectio III. Determinatio orUtae obseruatiomhus quotcunque quam proxime sa-
tisfacientis.

—nbsp;20S

Sectio IV. De determination orlitarum, habita ratione perturlationvm. ' - 225

TAB VI; AB.

LIBER PRIMVS

RELATIONES GENERALES INTER QVANTITATES PER
QVAS CORPORVM COELESTIVM MOTVS CIRCA SOLEM

DEFINIVNTVR.

SECTIO PRIMA

Relationes ad locum simplicem in orhiia spectantes.

i;

Corporum coelestiitm'motus in hoc opere eatenus tantum considerabimus, qua-
tenus a Solis vi attractiua gubernantur. Excluduntur itaque ab instituto nostro
omnes planetae secundarii, excluduntur perturbationes, quas primarii in se inui-
cem exercent, excluditur omnis motus rotatorius. Corpora mota ipsa vt puncta
mathematica spectamus, motusque omnes ad normam îegum sequeiitiuni fieri sup-
ponimus, quae igitur pro basi omnium disquisitionum in hoc opere sunt habendae.

I.nbsp;Motus cuiusuis corporis coelestis perpetuo fît iu eodem plauo, in quo si-
mul centrum Solls est situm.

II.nbsp;Traiectoria a corpore descripta est sectio conica focum in centro Solis

habens.

III.nbsp;Motus in ista traiectoria fit ita, vt areae spatiorum in diuersis tempo-
ram mteruallis circa Solem descriptorum hisce interuallis ipsis sint proportionales.

emporibus igitur et spatiis per numéros expressis, spatium quoduis per tempus
intra quod describitur diuisum quotientem inuariabilem suppeditat.

IV.nbsp;Pro corporibus diuersis circa Solem se mouentibus horum quotientium
quadrata sunt innbsp;•

.lu ratione inuersa parametrorum orbilis respondentium, atque apffre-
gatorum massae So]i«nbsp;•

t.nbsp;^ oons cum massis corporum motorum.

Designando itaque per ap parametrum orbitae, in qua corpus incedit per
quanùtatem materiae huius corporis (posita massa Solisnbsp;per aream quam

1

anbsp;Libr. 1. Sject. L

tempore t cjrca Solem describit, erit '^y/pnbsp;quot;quot;merus pro omnibus cor-

poribiis coelestibus constans. Quum igitur nihil iiitersit, quonam corpore ad valo-
rem huius numeri determinandum vtamur, e motu terrae eum depromemus, cuius
distantiam mediam a Sole pro vnitate distanlianim adoptabiuuis: vnitas temporum
semper nobis erit dies medius solaris. Denotando porro j)er n rationem circumfe-
rcntiae circuli ad diametrum, area ellipsis integrae a terra descriptae manifesto
erit !frs/p, quae igitur poni debetnbsp;si pro t accipitur anmis sideralis, quo

pacto constans nostra fit = ----- Ad valorem mtmericum huius consfan-

tis, in sequentibus per k denotandae, explorandum, statuemus, secundum nouissi-
mam determinationem, annum sideralem siue t ~ 565,2565855, raassam terrae sine
u= ——^--=: 0,0000028192 , vnde prodit

554710

log a^................................0,7981798684

Compl. logt........................7,4374021852

Compl. lognbsp;.........9,9999993878

Jog I-................................... 8,25558I44I4

i:—nbsp;0,01720209895

2.

Leges modo expositae ab iis, quas, Keplerus noster detexit, alrter non dip-
ferunt, nisi quod in forma ad omnia sectionum conicarum genera patente exhibitae
sunt, actionisque corporis moti in Solem, a qua pendet factornbsp;ratio est

liabita. Si lias leges tamquam pliaenomena ex imiumeris atque iudubiis obseruatio-
nibus depromta consideramus, geometria docebit, qualis actio in corpora circa So-
lem mota ab hoc exerceri debeat,. vt ista phaenomena perpetuo producantur. Hoc
modo iuuenitur, Solis actionem in corpora ambientia perinde se exerere, ac si
vis attractiua, cuius iiitensitas quadrato distantiae reciproee proportionalis esset,
corpora versus centrum Soils propelleret. Quodsi vero viee versa a suppositione
talis vis attractiuae tamquam principio proliciscimur, pliaenomena illa vt consequeu—
tiae neccssariae inde derniantur. Hic leges tantum enarrauisse sufficiat, quarum
nexui cum principio grauitationis hoc loco eo minus opus erit immorari, quum post
summum Newton auctores plures hoc ai'gumentum tractauerint, interque eos ill.

RELATIONES AD LOCV:?,I SniPT.ICEM IN ORBITA SPECTANTES.

Laplace in o^Pe, perfectissimo, Mécanique Celeste, tali modo, vt iiiliil amplius
desiderandum reliquerit.

5.

DLsquisitiones circa motus corporum coelestium, quateinis fiunt in sectio-
nibus conicis, tlieoriani completam huius curuarum generis neutiquam postulant;
quin adeo vnica aequatio generalis nobis sufficiet, cui omnia superstruantur. Et
quidem maxime e re esse videtur, earn ipsam eligere, ad quam tamquam aequa-
tionem cliaracteristicam deferimur, dum curuam secundum attractionis legem de~
scriptam inuestigamus. Determinaiido scilicet quemuis corporis locum in orbita sua
per distantias y a duabus rectis in piano orbitae ductis atque in centro Solis
i. e. in altero curuae foco sub angidis rectis se secantibus, et denotando insuper
corporis distantiam a Sole (positiue semper accipiendam) per r, habebimus inter r,
X, y aequationem linearem r nbsp;in qua a, ß, y quantitates constantes

expriment, et quidem y quantitatem natura sua semper positiuam. Mutando recta-
rum, ad quas distantiae x,y referuntur, situm per se arbitrarium, si modo sub
angulis rectis se intersecare perseuerent, manifesto forma aequationis valorque ipsius
y non mutabimtur, a et ß autem alios aliosque valores nanciscentur, patetque, si-
tum illum ita determinari posse, vt ß euadat = o, a autem saltem non negatiua.
Hoc modo scribendo pro a, y resp. e,p, aequatio nostra induit forraam r^ex—p.
Hecta, ad quam tunc distantiae y referuntur, linea apsidum vocatur, p semipa-
rameter^ e excentricitas; sectio confca,denique ellipsis, parabolae vel hyperbolae
nomine dislingititur, prout e vnitate minor^^aiitati aequalis, vel vnitate maior est.

Ceterum facile intelligitur, situm lineae^ apsidum per conditiones traditas plena
determinatum esse, vnico casu excepto, vbi tum et tum ß iam per se erant = o • in
hoc casu semper ûi r=p, ad quascunque rectas distantiae x, y referantur. Quo-
niam itaque habetur e = o, curua (quae erit circulus) secimdum definitionem no-
stram ellipsium genei-i annumeranda est, id vero singulare habet, quod apsidum
posilio prorsus arbitraria manet, liquidem istam notionem ad hunc quoque casum
Cïtendere placet.nbsp;quot;quot;

4.

Pro distanlia x iam angulum v introducamus,^ qui imter lineam apsidiim et
rectam a Sole ad corporis locum ductam {radium vector em) continetur, et quidem
hic angulus ab ea lineae apsidum parte vbi distantiae ar sunt positiuae incipiat, ver-

LI BR. I. Sect. l

susque eam regionem, quorsmii motus corporis clirigltur, cresc^ supponatur.

Hoc modo fit x = rcosp, adeoque formula nostra r = —'.—E_, vnde protinus de-

i eeosf

riuantur conclusiones sequentes:

I. Pro v=o valor radii vectoris r fit minimum, puta
ctum perihelium dicitur.

IL Valoribus oppositis ipsius v respondent valores aequales ipsius r; qllo-
Pirca linea apsidum sectionem conicam in duas partes aequales dirimit.

III. In ellipsi r inde a. vzz^o continuo crescit, donec valorem maximum
asseqiiatur in ajjJielio pro p=i8o°- post aphelium eodem mode rursus clc-

1 -e

■ crescif, quo ante increuerat, üoxieo pro ^=.560quot; perihelium denuo attigerit. Ll-
Heae apsidum pars perihelio hinc aphelio illiac terminata axis maior dicitur; hinc

semiaxis maior, qui etiam distantia media vocatur, fit =—E_5 distantia puncti

i-ee

in medio axe iacentis {centri ellipsis) a foco erit -JP—z=ea, denotando per« se-

1

miaxem maiorem.

IV.nbsp;Contra in parabola proprie non dcifur aphelium, sed r vllra omnes li-
mites augetur, quo propius ad 180° vel —180quot; accedit. Pro i-^r iSoquot; valor
ipsius r fit iiifinitus, quod indicat, curuam a linea apsidum a parte periheho op-
posita non secari. Quare proprie quidem loqxtendo de axi maiore vel centro eur-
vae scrmo esse nequit, sed secundum analyseos vsum consuetum per ampliationem
formularum in ellipsi inuentarum axi maiori valor infinitus tribiiitur, centrumque
curuae in distantia inünita a foco collocatur.

V.nbsp;In hyperbola denique v inter limites adlmc arctiores coërcetur, scüicet
inter —(180quot;'-'^) et ^= (180°-^/), denotando per ■»// angulum, cuius co-
sinus = Dum enim v ad hosce limites appropinquat, r in infinitum crescit;

si YCro pro alter horum limitum ipse acciperetur, valor ipsius /• infinitus prodi-
ret, quod indicat, hyperbolam a recta ad hneam apsidum angulonbsp;supra

Tel mfra inclinata omnino non secari. Pro valoribus hoc modo exclusis, puta a
jSoquot;-^ vsque ad 180° ^, formula nost;ra ipsi r valorem negatiuum assignat; re-
cta scilicet sub tah angulo contra lineam apsidum inchnata ipsa quidem hyperho-'
Jam non secat, si vero retro producitur in alteram hyperbolae partem iiicidit, quam

RELATIONES AD LOCVM SIMPLICEM IK OHEITA SPECTÀXTES.nbsp;5

a prima part^^nnino separatam yersusque cum focxim quem Sol occupât conuexam
esse constat. Sed in disquisitione nostra, quae vt iam momiimus suppositioni innx-
iitur, r sumi posiliue, ad hanc alteram hyperbolae partem non respiciemus, in
qua coi-pus coeleste tale, tantummodo incedere posset, in quod Sol vim non attra-
ctiuam sed secundum easdem leges repulsiuam exçrceret. — Proprie itaque loquen-
do etiam in hyperbola non datur aphelium; pro aphelii analogo id partis auersae
punctum quod in Imea apsidum iacet, et quod respondet valorihus •^■=^180°, v —

--gt; haberi poterit. Quodsi ad instar ellipsis valorem espressionisnbsp;etiam

hic, vlii negaliuus euadit, seiJiiaxem maiorem hyperbolae dicere Ivibet, Jiaec quan-
titas puncti modo commemorati distantiam a perilielio simulque situm ci qui in el-

Jipsi locum habet opposltum indicat. Perinde —, i. e. clistantia puncli inter

i-ee

liaec duo puncta medii (centri hyperbolae) a foco, hic ^btinet valorem negatiuura
propter situm oppositum.

S.

Angulum p, qui pro parabola intra terminos —180' et 180°, pro hyper-
bola Ultra —(i8o°-7^) et (180°--?//) coërcetur, pro ellipsi vero circulum inte-
grum periodis perpetuo renouatis percurrit, corporis moti anomaliam veram nun-
cupainus. Hactenus quidem omnes fere astronomi anomaliam veram in ellipsi non
a perihelio sed ab aphelio inchoare solebant, contra analogiam parabolae et hyper-
bolae, vbi aphelium non datur adeoque a perihelio inqipere oportuit: nos analo-
giam inter omnia sectionum conicarum genera restituere eo minus dubitauimus, quod
astronomi gallici recentissimi exemplo suo iam praeiuerunt.

formam saepius aliquantulum niutare

1 e cos V

Gonuenit- imprimis noteiitur formae sequentes:
Pnbsp;_nbsp;P

i e—aesin^v^

r =

S.—in hyperbola expressio sequens

imprimis est commoda r =.

2 cosi-(v-i-'^) cos-i-(v—y)

Gnbsp;Lier. I. S.kct, L

6.

Progrecînnur iam ad çomparationem motus cum tempore. Statuendo vt in
art. 1. spatium tempore t circa Solem descriptum =ig, massam corporis moti
jU, posita massa Solis =i, Iiabemusnbsp;(i-f-^). Differentiaîe spatii

autem fît =-irrdp, vnde prodit it{/p.\/( i■=.frràigt;, hoc integraîi ita sumto,
vt pro t — o euanescat. Haec integi-atio pro diuersis sectionum conicarum generi-
bus diuerso modo tractari debet, quamobrem singula iam seorsim considerabimus,
initiumque ab ELLIPSI faciemus-

Quum r ex p per fractionem determinetur, cuius denominator e duabus
partibus constat, ante omnia hoc incommodum per introductionem quanütatis no-
vae pro p auferemus. Ad hunc finem statuemus tangf fnbsp;Lf_ — tang^jB, quo
pacto formula vltima art. praec. pro r praebet

pcosjE^ __ , / cos|^ siniiS;^nbsp;P rnbsp;r^

r = -7-^-—r-—^ — —-;- -) =-i-— ( 1—ecosE).

(i e)cosit'^nbsp;i enbsp;1—e ) 1 — ee ^nbsp;^

àE __ àv , \

-, adeoque dp

i e 'nbsp;r\/{i — ee) '

•^Yi^ee) ~nbsp;quot; ^ ^ — ecosE)dE, atque xntegrando

it)/p. v/ (i ,«) =-^—^ {E—esiaE) Const.

(1 — ee)quot;^

Quodsi itaque tempus a transitu per perilielium inchoamuSj vbi frro, E=zo adeo-

que Const. = o, habebimu5, propter —i--= « .•gt;

é

lu hac aequatione angulus auxiîiaris iJ, qai anomalia excentrica diciiar, in pai'-
tibus radii

exprimi debet. Manifesto autem hunc angulum in gradibus etc. retinere
licet, si modo etiam esini? atquenbsp;( i. eodem modo exprimanturj in mi-

nutis secundis hae quantitates exprimentur, si per numerum 206264,67 mnhipli-
cantur. Multiplicatione quantitatis posterioris supersedere possumus, si statim quan-
titatem k in secundis expressam adhibemus, adeoque, loco valoris supra dati, sta-
tuinms k = 5548quot;, 18761,

cuius logarithmus = .5, 55ooo65746. — Hoc modo ex—
pressa quautitas ^ V^ ( ^^ f^ ) anoinalia media vocalur, quae igitur in ratione tein-

aulatioxes ad locvm simplicem in orbita spectantes.

polis crescit, et quidem quotidie augmento

nus dicitur. Anomaliam mediara per M denotabimus.

In perilielio itaque anomalia rera, anomalia excentrica^ et anomalia media
sunt =o;j crescente dein vera, etiam excentrica et media augentur, ita tamen, yt
excentrica minor maneat quam vera, mediaque minor quam excentrica, vsque ad
aphelium, ybi omnes tres simul fiunt =ï8o°; binc vero vsque ad periheb'um ex-
centrica perpetuo est maior quam vera, mediaque maior quam excentrica, donec
in j^erihelio omnes tres fiant =360°, siue, quod eodem redit, omnes iterum =0.
Generaliter vero patet, si anoinaliae verae v respondeat excentrica E mediaque M,.
verae 36o°—v respondere excentricam 36o°lt;—E atque mediam 36o®-yE DiiFeren-
tia inter anomaliam veram et mediam v-M aequatio centri appellatur, quae itaque
a perihelio ad aphelium positiua, ab aphelio ad perihelium negatiua est, in peri-
lielio ipso autem et aphelio euanescit. Quum igitur v el M circulum integrum a
O vsque ad 360° eodem tempora percurrant, tempus reuolutionis vnius, quod et
tempus periodicum dicitur, in diebus expressum inuenitur, diuidendo 36o° per mo-
tum diurnum ■ ^^nbsp;. , ynde patet, pro corporibus diuersis circa Solem re-

voluentibus quadrata temporum periodicorum cubis distantiarum mediarum propor-
tionalia esse, quatenus ipsorum massas, aut potius massarum inaequalitatem ne-
gligere liceat.

8.

Eas

iam inter anomalias atque radium vectorem relationes, quae imprimis
attentionte dignae sunt, colligamus, quarum deductio nemini in analysi trigonome-
tnca vel mediocriter versato difficultates obiicere poterit. Pluribus harum formula-
rurn concinnitas maior conciliatur, introducto pro e angulo cuius sinus est — e.
Quo per ^ designato, habemus s/ {1 ~ee) = eos cp, \/( 1 e) = cos (nbsp;n/s,

nbsp;v/—— =tang(45°-içgt;), y/{i-^ e){i~e) =

x e

2 eos lep, — \/(x_e) — 2sini(p. Ecce ianx relationes praecipuas inter amp;,
p, r, e, cp, V, E, M,

8nbsp;Libh. L Sect. L

I.nbsp;p-=. a cos Ç)®

II.nbsp;--

i e cos igt;

III.nbsp;r = a(i—ecosE)

IV.nbsp;=nbsp;siuenbsp;co^E-^

i ecosi^nbsp;1 —é?co3£

V.nbsp;—COS^) =sinifV—

i ^ cos Unbsp;p

Sinlvs/ -

l ^COSi'nbsp;^nbsp;P

cos I v'----

a( 1-e)

VIL tang kE = tang f tang ( 45quot; — ^ ^ )

vm.

Pnbsp;a cos q)

Pnbsp;^ ^ r

XLnbsp; = cosfr^sin^y/-^ = cosir^sin^v/-

Xll. M-E-e sin E

9-,

Si perpendicuknn è puncto quocunque ellipsis in lineam apsidmn demissmn
retro producitur, rsquedum eirculo e eentro ellipsis radio « descripto occzrrat,
inclmatio eius radii, qui puncto intersectionis respondet, contra lineam apsidum
(simili modo intellecta vt supra pro anomalia vera) anomaliae excentricae aequalis
ent, vt nuïlo negotio ex aequ. IX. art. praec. deducitur. Porro patet, rsin^ esse
distanùam cmusque puncti ellipsis a linea apsidum ; quae quum per aequ. VIII. flat
= ,«eos lt;p sm E, maxima erit pro E == 90% i. e. in centro ellipsis. Haecce di-
stantia maxima, quae fit = aeosnbsp;semiaxis minor e^j^^ellalnv. In

foco ellipsis, i. e. pro P = Qo°, distantia ista manifesto fit = n, sine semiparame-
tro aequalis.

HELATIOXES AD LOCY^ST SIMrLICEM IN ORBITA SPECTA^'TES.nbsp;9

10.

Aequationes art. 8. omnia continent, quae ad computum anomallae excen-
trlcae et mediae e vera, vel excentricae et verae e media requiruntur. Pro dedu-
cenda exeentriea e vera vulgo formula VII. adliibetur; plerumque tamen praestat
ad hunc ilnem aequ. X. vti, praesertim quoties excentricitas non nimis magna est,
m quo easu E per X. maiori praecisione computari potest j quam per VII. Prae-
terea adhibita aequatione X, logarithmus sinus qui in XII. requiritur, protinus
per aequationem VIII. habetur, quem adhibita VII. e tabulis arcessere oporteret;

Igitur in illa methode hic logarithmus etiam e tabulis desumltur, simul calculi
recte instituti confirmaUo hinc ofotinelur. Huiusmodi calculi examina et comproba-
tiones magni semper sunt aestimanda, quibus igitur consulere in omnibus metho-
dis in hoe opere tradendis, vbi quidem commode fieri potest, assiduae nobis vbi-
que curae erit. — Ad maiorem illustrationem exemplmn complete calculatum ad-
iunglmus.

Data sint ■p = 5io'55'29quot; 64, ^ = i4° 12'1quot; 87 , logr=;o,55o764o; quae-
runtur p, a, £ et M

.................9,3897262

log cost^.................9,8162877

9,2060109 vnde ecos p = 0,1606990

ïog ( 1 cos t')......0,0647197

log r......................0,5307640

logp......................0,5954837

log cos (f................ 9,975o448

^og g......................0,4224589

log sin..................9,8782740 n*)

log\/JL...............0,0525598.5

g,8459i4i .5«
log sini^...............9,0920595

tog sini {p~E) ....8,9379536.5 « hinc i{p-E) =-4° 58'32quot; 94 J v~Ez=.'

— 9°56'45quot;88j 32o''52'i5quot;52

Litera » logaritlinio alBxa i„die.t, „«merum cui respondet negatiuum esse.

o

Porro fit

log«................9,58972653

log 206264,7.., 5,3i4425i

loge in sec:.....4,7o4i5i3

log smE..........9,8000767«

Calculus pro log sin S per formulam Vlll,

log-— sin p......9,8155543 n

log cos ............9,9865224

log sini?.........9,8000767 n

4,5042278« hinc esini? in secundis = 31932quot;!4 = S^Ds'i2*14
atque iJf=529°44'27quot;66. — Per formulam VII. calculus pro E ita se haberet:

iv=i55°52 7'44quot;82 'nbsp;log tang if................9,6594579/î

45quot; — i =57°55'59quot;065nbsp;log tang (45°—jcp) ...9,8912427

log tang iE..............9,5507006 n

ynde iE=. iQoquot;2Q'atque £^ = 320° 52'i5quot;52 vt supra.

It.

Problema inuersum, celebre sub nomine problematis Kejpleri, scilicet ex
anomalia media inuenire veram atque radium vectorem, longe frequeiitioris Ysus
est. Astronomi aequationem centri per seriem infinitam secundum sinus angulorum
M, 2 iii, quot;5 M etc. progredientem exhibere soient, quorum sinuum coëfficientes sin-
guli et ipsi sunt series secundum potestates excentricitatis in infinitum escurrentes.
Huic formtilae pro aeqiiaLione centri, quam plures auctores euolucrunt, liic immo-
rari eo minus necessarium duximus, quod, nostro quidem iudicio, ad vsum pra-
cticum, praesertmi si excentricitas perparua non fuerit, longe minus idonea est,
quam methodus indirecta, quam itaque in ea forma, quae maxime commoda no-
bis videtur, aliquanlo fusius explicabimus.

Aequatio XII,nbsp;sin ZJ, quae ad transcendentium genus referenda

est solutionemque per operationes finitas directas non admittit, tentando soluenda
est, incipiendo a valore quodam approximato ipsius E, qui per metliodos idoneas
loties repetitas corrigitur, vsque dum illi aequationi exacte satisfaciat, i. e. vel omni
quam tabula© sinuum permittunt praecisione, vel ea saltem, quae ad scopum pro-
positum sulEcit. Quodsi hae correctiones haud temere sed per normam tutam atque
certam mstituuntur, vix vllum discrimen essenüale inter metlaodum talem indirectam
atque solutionem per series adest, nisi quod in illa valor primus incognitae aliqua-
tenus est arbitrarius, quod potius pro lucro habendum, quum valor apte electus
correctiones insigniter accclerare permittat. Supponamus, e esse valorem approxi-
matum ipsius E, atque x correctionem illi adhuc adiiciendam (in secundis expres-

relationes ad locvm simplicem in orbita spectantes.

sam), ita vt valornbsp;^^.-v aequationi, nostrae exacte satisfaciat-. Com];)iiteti!r

esine in secundis per logaritlimos, quod dum perficitur, simul e tabulis notetur
variatio ipsius log sine pro iquot; variatione ipsius atque variatio log esine pro va-
natione vnius vnitatis in- numero esinej sint liae variationes sine respectu signo-
rum r'esp. 2, ^u, vbi vix opus est monere, vtrumque logarithmum per aeque mul-
tas figuras dccimales expressum supponi. Quodsi iam e ad verum ipsius £ valo-
rem tam prope iam accedit, vt variationes logarithmi sinus ab e vsque ad e a;,
variationesque logarithmi numeri ab e sin s vsque ad e sin ( £ -j- ) pro vniformibus

habere liceat, manifesto statui poterit esin nbsp;4i ^^

signo superiori

pro quadrante primo et quarto, inferiori pro secundo et tertio valente. Quare
quum sit £ nbsp; fit —(if e sin e —e) , valorque ve-

-y- A.

rus ipsius B siue e-f-x = M e sinenbsp;sin«—«), signis ea qua

diximus ratione determinatis. Ceterum facile perspicitur, esse sine respectu signi
iW:^ = i:ecose, adeoque sempernbsp;vnde concluditur, in quadrante primo et

vitimo M esins iacere inter e atque s x, in secundo ac tertio vero e x inter e
atque ilf esine, quae régula attentionem ad signa subleuare potest. Si valor sup-
positus £ niinis adhuc a vero aberrauerat, quam rt suppositionem supra traditam
pro satis exacta habere liceret, certe per liane metliodum iuuenietur ralor multo
propior, quo eadem operatio iterum adhuc, pluriesue si opus videtur, repetenda
erit. Nullo vero negotio patet, si differentia valoris primi e a vero tamquam quau-
titas ordinis primi spectetur, errorem valoris noui ad ordinem secundum referen-
dum fore, et per operationem iteratam ad ordinem quartum, octauum etc. deprinii.
Quo minor insuper fuerit excentricitas, eo velocius correctiones

successiuae con-

vergent.

12.

Valor approximatus ipsius B, a quo calculus incipi possit, plerumque sa-
tis obums ent, praesertim vbi problema pro pluribus valoribus ipsius M soluenduin
es , e qmbus quidam iam absoluti sunt. Defîcientibus omnibus aliis subsidiis id
saltem constat, quod £ inter limites M et MJie iacere debet (excentricitate e in
secundis expressa, signoque superiori in quadrante primo ef secundo, inferiori in
tertio et quarto accepto); quocirca pro valore initiali ipsius E vcl M vcl valor sc-

cuiidum aestimationem qualemciinque aiictus seu deminutus adoptari poterit. Vix
opus est monere, calculuui primum, quoties a valore parum accurato inclioetur,
anxia praecisione haud iudigere, tahulasque minores quales cel. Lalande curauit,
abunde sufficere. Praeterea, vt calculi commoditati consulatur, tales semper valo-
res pro e eligentur, quorum sinus e tahulis ipsis absque interpol atione excerpere li-
cet j puta in minutis seu secundorum denariis completis, prout tabidae per singula
ininuta seu per singulos secundorum denarios progredientes adhibentur. Ceterum
modilicationes, quas haec praecepta patiiuitur, si aiiguli secundum diuisionem no—
vam decimalem exprimantur, quisque sponte euoluere poterit.

Bxemplum. Sit excentricitas eadem quae in exemplo art. lo. JJr=533*2 8'54''77.
Ilic igitur est loge in secundis 4,7o4i5i3, adeoque e=5o6ooquot;= i4°5'2oquot;. Quare
quum hic E minor esse debeat quam My statuemus ad calculum primum f^SaSquot;quot;,
vnde per tabulas minores fit

log sine......9,74756/2, mutatio pronbsp;vnde X=:o,32 -

loge in sec...4,70415
4,45171 n

luncesinfi=—28295quot;=—7®5i'55\ „r • , •

' quot;nbsp;Mutatio logantliim pro. vnitate tabulae, qnae hic lo se-

^'Slllnbsp;.....................^24: Sy 20nbsp;cundis aequliialet......iG } vnde ^ —

o

Differt ah e..........................i 22 4o = 4960quot;. Hinc ■ x 4960quot; = 1240*

=:2o'4o'. Quare valor correctus ipsius E fit =:52i° 37'20quot;^ 20'éoquot; =: 524'16'4oquot;,
cum quo calculum secundum tabulas maiores repetemus.

log sine.........9,7663058« j5 = 29,25

log e..............4,7o4i5i3

4,4704571«
esine= —29543quot;, 18 =~8°i2'23quot;i8

M-k-e sine........................524 16 5i,5g

Differt ab e....................................8,4i. Multiplicata hac differentia per

_^nbsp;prodit 2quot;09, vnde valor denuo correctus ipsius E

524°i6'3.iquot;59 — 2quot;o9nbsp;16'29quot;5o, intra oquot;oi exactus.

llKLATIüNKS AD LOCVM SIMl'iiiCEiM IN OUBITA SPECTANTES,nbsp;ï5

i4.

Pro deriuatione anomaliae verae radiique veetoris ex anomalia excentrica
aequationes art. 8. plures methodos suppeditant, e quibus praestantissimas explica-
bimus.

I.nbsp;Secundum methodum vulgarem v per aequationem VII, atque tune r per
aequationem II. determinantur; hoe modo esemplum art. praec. ita se habet, reti-
uendo pro p valorem in art. lo. traditum:

8' i4quot;75.nbsp;log e........;..... 9,3897262

log tang f ...........9,5oS2 198/1nbsp;log cos y...........9,8496597

log tang(45'—-i: y)... 9,^8912427nbsp;9,2393859

log tangif............9,6169771 «nbsp;ecosv__— o, 1755.545

iv i57°3o'4iquot;5onbsp;logp...............0,3954807

V = 3i5 123,00 ^nbsp;log ( I-fe cos i^).. 0,0694959

log r.....................073259878

II.nbsp;Breuior est methodus sequens, siquidem plures loei calculandi sunt, pro
quibus ïogaritlimos constantes quantitatum \/a(i e), \/a(i — e) semel tantum
eomputare oportet. Ex aequationibus V et VI habetur

= sill I^^^V/a (i e)
cosiP\/r = cosi:E\/a(i—e)

vnde iv atque logy/r expedite determinantur. Generaliter nimirum, quoties habe-
tur PsinQnbsp;P cos Q=B, irmenitur Q per formulam tang Q = — , atque tune

P per haue P^-^q-, quot;V^el per P = - J^q- : priorem adhibere praestat, quaildo

sin Q est maior quam cos Q ; posteriorem, quando cos Q maior est quam sin Q.
Plerumque problemata, in quibus ad tales aequationes peruenitur (qualia in hoe
opere frequentissime occurrent), conditionem implicant, quod P esse debet quanti-
tas positiua; tune dubium, vtrum Q inter o et 180° an inter 180° et 36o° aecipere
«porteat, sponte hinc tollitur. Si vero talis conditio non adest, haec determiuatio
arbitrio nostro relinquitur.

In exempio nostro habemus e ==0,2453162,

log sini E........ 9,4867632nbsp;log cos iE........9,9785434 n

logv/«(i e)-.--0,2588595nbsp;logv/a(T —e)... .o,i5oio20

i4nbsp;Libk. I. SECT, I.

Hinc

log sin It-'v/'quot;-.. 9,7456225 \ vncte log tang = 9,6169771 ra
log cos iv\/r... 0,12864:54^ ninbsp;= i57°5o'4iquot;5o

log cosjy.......9,96565i5renbsp;v~5i5 1 23,00

log\/ r...........0,1629939

logr.............0,3259878

III. His methodis tertiam adiicimiis, quae aeque fere expedita est ac se-
cunda, sed praecisione, si vltima desideretur, isti plerumque praeferenda. Scilicet
primo determinatur r per aequationem III, ac dein v per X. Ecce exemplum no-
strum hoc modo tractatum:

log e.................9,3897262

logr.................0,3259877

log sin^;..9,7663366 n

log y/( 1 —gcos Jg)-.-9,95i7744

9,8145622 n

log siniç).............9,0920395

log sin I (t-—JE)......8,9066017 n

—B) = — 4° 37'33quot; 24

p—E =—9 i5 6,48

p = 5i5 1 20,02

log —sinjS....9,8627878 n

log cosy .'.quot;.'...9,9865224
9,8493102 n

log sin p.......9,8495102 n
log sini?v/—.....9,8145622 re

log cosiçQ.........9,9966067

9,8112189 n

log sin2(i^-f.^)---9j8ii2i89 n

i5.

Qimm anomalia media M, vt vidimus, per p et ^ complete determinata
sit, sicuti p per M et cp, patet, si omnes tres quantitates simul vt variabiles spe-
ctentur, inter ipsarum variationes differentiales aequationem conditionalem locum
habere debere, cuius inuestigatio haud superflua erit. Differentiaiido primo aequatio-

d-Bnbsp;dv d® __ . ,

—:—iT =—:----— ; ditierentiando perinde aequatio-

sinii smv coscp 'nbsp;^nbsp;^

nemXII, fit dM—{\ — ecosE)dE—âinEcoscpàff. Eliminando ex Ws aequationi-

bus diiferentialibus dJS, obtinemus

relationes ad locvm simpmcem in orbita spectantes.

sinJS( 1 — ecosE)

siïiE cos

smpnbsp;\nbsp;' •nbsp;cos^

siue substituendo pro sini;, i — ecosE valores suos ex aeqixatt. VIII, III

r (r-\-p) sini'

dep

aa cos cpnbsp;. aa cos (p~

sine denique, exprimendo vtrumque coëiEcientem per v et q) tantum,

(2 ecoslt;^) sini'cos

dep

(i ecosf)''nbsp;(i-f-ecosp)^

Vice versa considerando i' tamquam functionem qiiantitatum iW, (p, aequatio hancce
formam obtinet:

aa cos w , r C 2 e cos v ) sin v
(J ^ ------ï_ J ■ ^nbsp;'

dM ■

cos (p

siue introducendo E pro v

aacos m
du=--diJf '

16.

Radius vector r per i' et vel per 31 et lt;p plene nondum determinatus est,
sed insuper a p vel a pendet; constabit igitur eius differentiale tribus meiubris.
Per diiTerentiationem aequationis II. art. 8. nanciscimur
d r dp _ e sin p ^nbsp;cos cp cos v

dp-

1 e cosi'

1 e cos p
danbsp;1 / ,

-2 tang99d97 (quod sequitur e differentiatione aequ. I),

pnbsp;a

exprimendoque secundum art. praec. dp per dM et d9P, prodit post débitas redu-
ctiones

anbsp;,nbsp;a

~ tang9fsmf dû/— — cos 95 cos i'd ^, siue.

dr = —d a atang^ sinpdM— a cosepcospdcp

Ceterum hae formulae, sicut eae quas in art, praec. euoluimus, suppositioni
lunituntur, i', 95-et Jf siue potius di-, d^, et d7/1 in partibus radii exprimi. Quodsi
Igitur variationes angulorum v, cp, M in secundis exprimere placet: vel eas for-
mularum partes quae dp, d9P aut duW implicant, per 206264,7 diuidere oportet,
vel eas, quae continent dr, dp aut da, per eundem numerum multiplicare. For-
miüae igitur art. praec., quae hoe respectu sunt hoinogeiieae, mutatione opus non
habebmit.

17-

De, indagatione aequaiîonis centri maxiinae pauca adiecisse hand poenitebit.
Primo sponte obuium esi, differenliam inter anomaliam excentricam et mediam
maximum esse pro jE=:go°, vbi fit =e (in gradibus etc. exprimenda); z-adius ve-
ctor in hoc puncto estnbsp;vnde v— 90° ^?, adeoque aequatio centri tota
= quae tamen hic non est maximum, quoniam differentia inter v et B ad-
huc vltra cp crescere potest. Haecce differentia fit maximum pro d(p—JE) =0
siue pro dp = d£!, vbi excentricitas manifesto vt constans spectanda est. Qua

suppositione quum generahter fiat —= sinBquot;' P^^®^'nbsp;puncto vbi diffe-

rentia inter p et B maximum est, esse debere sinf = sini?; vnde erit, per ae-
quatt. VIII, III, r=:c{coslt;p, ecosiJ=:i — cosçgt;, siue cos JS = tangi çgt;. Perinde
inuenitur cos V =-tang quapropter erit lt;^ = 90® arc. aintangl^r,, B = go° —

\/ cos

arc. sin tangl: hinc porro sinjE=y/(i—tangly®) =

cos|ç7

centri tota in hoc puncto fiat =2 arc sintangi (jo 2 sin | ç) \/cosç;, parte secunda in
gradibus etc. expressa. — In eo denique puncto, vbi tota aequatio centri ipsa
maximum est, fieri debet'di^ = djf, adeoque secundum art. \5, r — a\/coslt;p-, hinc

fit cos V ■= —

C ( 1 v/COS 9!gt;)nbsp;l-}-\/cOSÇJ '

per quam formulam E vltima praecisione determinare licet Inuenta jE, erit per

V -x^TTnbsp;.nbsp;. sin i« sin i?nbsp;„ „

aequ. A, Xll aequatio centri = 2 arc sm --^-- (?sm£l Expressioni ae-

y/ cos cp

quationis centri maximae per seriem secundum potestates excentricitatis progredien-
tem, quanî plures auctores tradiderunt, hic non immoramur. Vt exemplum habea-
tur, conspectum trium maximorum, quae hic contemplati sumus, pro lunone ad-
iungimus, vbi excentricitas secundum elementa nouissima = 0,2554996 supposita est.

*) Ad ea maxima, quae inter aplielium et perihelium iacent, non opus est respicere, quum
manifesto ali iis, quae inter perilieliuni et a^îlielium sita sunt, in signis tantum différant.

llELATIONE$ AD LOCVM SIMPI^ICEM IN ORBITA SPECTAgt;:T1;S.

18.

In PARABOLA anomalia excentrica, anomalia mcclia atque molus mé-
dius fierent =0; hic igitur istae notiones comparationi motus cum tempore inser-
vire nequeunt. Attamen-in parabola angulo auxiUari ad imegrandum rràp omnino

pp d V___PPjii^^ljJL —

opus non habemus; fit enim rrdr = -vnbsp;— scosiv^

ipp(i taiigiv')dtangi-v, adeoque frràv = ipp{tang f t^ 1 tang) Const. Si
tempus a transitu per perihelium incipere supponitur, Constans fit = 0 ; habetur
itaque

tang ii' f tang é =--^

F'

per quam formulam t ex P, atque v ex t cleriuare licet, simulac p et ^ sunl co-
gnitae. Pro p inter elementa parabolica radius vector in perihelio qui est ip ex-
hiberi, massaque ju omnino negligi solet. Vix certe vmquam possibile erit, massam
corporis talis cuius orbita tamquam parabola computatur, determinare, reueraque
omnes cometae per optimas recentissimasque obseruationes densitatem atque mas-
sam tam exiguam habere videntur, vt haec inseusibilis censeri tutoque negligi possit.

19-

Solutio problematis, ex anomalia vera declucere tempus, multoque adhuc
magis solutio problematis inuersi, magnopere abbreuiari potest per tah\ilain auxilia-

rem, qualis in pluribus libris astronomicis repcritur. Longe vero eommodissima
est tabula Barkeriaua, quae etiam operi egregio cel. Olbers {Abhandlung über die
leichiesie und bequemste Methode die Bahn eines Cometen zu berechnen, Wei-
mar 1797.) annexa est. Continet ea pro omnibus anomaliis veris a o vsque ad
i8o° per singula 5 minuta valorem expressionis 76 tang J 25 tang J sub nomine
motus medii. Si itaque tempus desideratur anomaliae verae p respondens, diuidere

i5o ^

oportebxt motum medium e tabula argumente v exeerptum per -i-, quae quan-

titas motus medius diurnus dicitur; contra si e tempore anomalia vera computan-

da est, iUud in diebus expressum pernbsp;multipHcabitur, vt motus medius prod-

p^

eat, quo anomaliam respondentem- e tabula sumere licebit. Ceterum manifesto
valori negatiuo ipsius motus medius tempusque idem sed negatiue sumtum respon-
det : eadem igitur tabula anomaliis negatiuis et positiuis perinde inseruit. Si pro p

3

dlsfantia in perihelio vti malumus,nbsp;motus medius diunius esprimitur per
XV28I2,5

, vbi factor constans hs/fit =0,912279061, ipsiusque logarith-
mus 9,9601277069. ~ Inuenta anomalia vnbsp;radius vector determinabitur'per for-
mulam iam supra traditam --

cosiv^ '

20.

Per differentiationem aequationisnbsp;=nbsp;si omnes

quantitates v, t, p ceu variabiles tractantur, prodit
dp

■ skp-^di — Stip-^dp, siue

Zth ■

~ rr --

Si variationes anomaliae in secundis expressae desiderantur, etiam ambae partes

ipsius dp hoc modo exprimendae sunt, i. e. pro h valorem in art. 6. traditum

5548quot;i88 accipere oportet. Quodsi insuper i^vo p introducatur ip =lt;7, formula
Ita se habebit

hy/^qnbsp;Zlt

--J— dt---7-da

rrnbsp;rrs/aq J

vbi logarithmi constantes adhibeadi sunt log^v'2 = 5,7005215724, logS^Vi -

3,8766128315.nbsp;/ gt; 8 V Î

Porro differentiatio aequationis ^ =nbsp;suppeditat

quot;nbsp;siue exprimeiido d^ per df et

r

dr

__—nbsp;5k/tangip \

Coëfficiens'ipsius dp, substituendo pro i valorem suum per transit in
1 Sptangiv^ ^ ptmg^^,* 1 /nbsp;v

cos«nbsp;^ )Lsinfnbsp;'

; coefficiens ipsius dt autem fitnbsp;Hinc prodit dr = icos..dp

tang i p

2 r

y/j, dt, siue introducendo q pro p,

relationes ad liocvm simplicem in orbita spectantes.
J:sinv

drrr cosvAq 4

Logarithmus constans hic adhibendus est hgt;g^\/4 = 8,o85o6644a6.

21.

In hyperbola cp atque E quantitates imaginariae fierent, quales si
auersainur, illarum loco aliae quantitates auxiliares sunt introducendae. Angulum
_ 1

cums cosinus — -— iam supra per ifj designauimus, radiumque vectorem

3ecosjp(^_yy) cos ^nbsp;— inuenimus. Factores in denominatore huius

fractionis, cosi(t)—y/) et cos i (vifj), aequales fiunt pro v~o, secundus euane-
scit pro valore maximo positiu^o ipsius Vy primus vero pro valore maximo negatiuo.

0.nbsp;, 1 • .nbsp;—y/)

otatuenao igitur —nbsp;= , , erit u = 0 in perihelio j crescet in infinitum,

dum V ad limitem suum 180quot;-^ appropinquat; contra decrescet in infinitum, dum
V ad limitem alterum —(180°—-(//) regredi supponitur: quod fiet ita, vt valoribus
opposiüs ipsius V valores reciproei ipsius u, vel quod idem est valores tales quo-
rum logaritlimi oppositi sunt, respondeant.

Hic quotiens u percommode in hjqierbola vt quantitas auxiliaris adhibeturj
aequali fere concinnitate istlus vice fungi potest angulus cuius tangens =

€' I

, quem vt analogiam eum ellipsi sequamur, per iF denotabimus.

Hoe modo facile sequentes relationes inter quantitates v, r, u, F colliguntur, vbi
— ^ statuimus, ita vt b euadat quantitas positiua.

1.nbsp;b — /Jcotangy/*

p cos IfJ

i eeosv 2cosi{v — i//) cosi{v i//)

III. tangiF— tang

......o-y— „^j

IV. « =nbsp;_ i tangf

cos4(v y,) - T—tangéi^ = ^^^ ^^^

1

1 cos llJ cos V

lt;? cost'

cos F

1 ecosv

2 cos — If/) cos i (f IfJ)
Subtrahendo ab aequ. V. vtrimque 1, prodit

Uü

VI. sin è f V'' = sin I FvZ-t-r--^

* (e—i)cosjp

Simili modo addendo vtrimque i fitnbsp;-

va oosivV,-

Diuidendo VI per VII ad III reiieniremus ; multiplicatio producit

VIII.nbsp;r sin =: p cotang ■?// tang F = b tang f tang F

— ij7Cotang'^(M—= i^'tangy/(« — —)

E combinatione aequatt. II, V porro facile deducitm'

1 1 ^

IX.nbsp;rcosv=-b(e--(2e—u--)

^ cos Pnbsp;^nbsp;u '

22.

Per differ en tiationem formulae IV prodit (spectando vt quantitatem con-
staïitem) ~~ = i ^tang i{v i/j) — tang i (t'—d =nbsp;f j .

pr

d = —r^-d u, siue subsütuendo pro r valorem ex X,

Mtangy/ 'nbsp;'

/nbsp;1nbsp;1 \

rr d f = bb tang;// [ie {1 --) —- d u

^nbsp;ll Unbsp;U j

Integrando deinde ita, vt integrale in perihelio euanescat, fit

yrrdv =nbsp;——log«) = ^VpV(i /w) = ^^tangy/v/è.\/(i ^)

Logarithmus hic est hyperbolicus; quodsi Ïogaritlimos e systemate Briggico vel ge-
neraliter e systemate cuius modulus adhibere placet, massaque ^ (quam pro
corpore in hyperbola incedente haud determinabilem esse supponere possumus) ne-
gligitur, aequatio hancce formam induit:

, , uu—1nbsp;Iht

AJL. i^e

rr

log M

u

relationes ad locvm simplicem in orbita spectantes,nbsp;2x

siue introducendo P

Xht

Xe tangiï' — log tang (45° \F) = -p—

Si logarithmos Briggicos adhiberi supponimus, habemus log.^ = 9,6377845ii5,
logjiX- =; 7,8733657027, -sed praecisionem aliquantulum maiorem atüngere licet, si
logarithmi hyperbolici immediate apphcantur. Tangentium logarithmi hyperbolic! in
pluribus tabularum coUectionibus reperiuntur, e. g. in iis quas Schulze curauit, ma-
iorique adhuc extensione in Beni. Ursini Magno Canone Triangulorum logarithmico.
Colon. 1624. vbi per singula 10quot; progrediuntur. — Ceterum formula XI ostendit,
valoribus reciprocis ipsius u, siue valoribus oppositis ipsius F V respondere va-
lores opposilos ipsius t, quapropter partes hyperbolae aequales a perihelioque
vtrimque aequidistantes temporibus aequalibus describentur,

23.

Si pro inueniendo tempore ex anomalia vera quantitate auxiliari u vti pla-
cuerit, huius valor commodissime per aequ. IV deterniinatur ; formula dein II abs-
que nouo calculo statim dat p per r, vel r per p. Inuenta u formula XI dabit
lit

quantitatem—, quae analoga est anomaliae mediae in elhpsi et per N denota-

bitur, vnde dem.anabit tempus post transitum per perihelium elapsum. Quum pars

{uu — 1 ) „ , -vrTTT ^nbsp;Xr sin v , , 1

prior ipsms N puta --per formulam VIII fiat = - ^^^^^ , calculus du-
plex huius quantitatis ipsius praecisioni examinandae inseruire, aut si mauis, iV
absque u ita exhiberi potest
XII. is— ; tang yy sin V__

2COS|:(lt;^ ')//)cOS| (f-Xp)nbsp;quot; COS^^v-^lf/)

. Exemplum. Sit e=: 1,2618820 siue yj == Syquot; 55'oquot;, v=i8°5i'o', log r
= 0,0333585. Tum calculus pro u, p, b, N, t ita se habet:

logcosliv — ^)......9,9941706 j iiinc log «......0,0491129

log COS ......9,9450577)nbsp;1,1197289

........................o,o333585nbsp;„„^ 1,2537928

...................o,4o2o488

........................S;^6356

log cotang ,^^...........0,2274244

log^».....,...................0,6020600

LI BE. I. SECT. I.

9,4312985

log sin^........................9,5095258

iogA..............................9,6577845

Compl. log siii-^............0,2147509

8,7951595

Pars prima ipsius iV=; 0,0621069

log u___= 0,0491129

ATnbsp;=0,0129940

logjl^............................7,8755658 |

'iloglgt;............................0^9050900 ƒ

Calculus alter

log (uu—1)......9,4044795

Compl. logM......9,9508871

log;?..................9,6577843

logjg.................9,7999888

8,7931395

log iV.................8,1137429

Differentia.........6,9702758

log?..................1,1434671

t.=:nbsp;i3,91448

Si calculum per logaritliraos Iiyperbolicos exsequi constitutum est, quantitate
auxiliari E vti praestat, quae per aequ. Ill determinabitur, atque inde N per XI;
semiparameter e radio vectore, vel vicissim hic ex illo per formulam VIII compu-
tabiturj pars secunda ipsius N duplici si lubet modo erui potest, scilicet per for-
mulam log hyrp tang (45° i F), et per lianc log hyp cos i (p--yj) - log hyp cos I {v yj).
Ceterum patet, quantitatem iVquot; hic vbi = 1 in ratione i.X maiorem euadere,
quam si logarithmi Briggici adhibeantur. Ecce exemplum nostrum hoc modo tra-
ctatum :

log iang^yj.....................9,5318179

log tang ^ V......................9,2201009

log tang iF.....................8,7519188

loge...............................0,1010188

log tang F...................... .9,05 45566

9,1555554

etangp'rrrnbsp;o,i45oo638

log hyp tang45° 0,11308666
Nnbsp;=0,02991972

logX'..............................8,25558I4

■I log 6.............................0,9050900

iF:= 3° 13'58quot; 12

C. log hyp cos f (v — y/) = 0,01542266
C. log hyp cos IrCt^ y/) = 0,12650950

Differ.__=o,ii5o8664

log N..............................8,4759575

Djffer................................7,3324914

log t.................................i,i43466i

t =nbsp;15,91445

relationes ad locvm simplicem in orbita spectantes.

a 5.

Ad solutionem problematis inuersi, e tempore anomaliam yeram radiumque

yectorem determinare, primo ex N =: A ^per aequationem XI elieienda est
quantitas auxiliaris u vel F. Solutio huius aequationis transseendentis tentando per-
ficienda erit, et per artifieia iis quae in art. ii exposuimus analoga abbreuiari pot-
ent. Haec autem fusius expheare supersedemus : neque enim operae preüum esse
videtur, praecepta pro motu hyperbolico in coehs vix vmquam fortasse se oblaturo
aeque anxie expohre ac pro motu elliptico, praetereaque omnes casus qui forte oc-
eurrere possent per methodum aham infra tradendam absoluere licebit. Postquam
F vel u inuenta erit, inde per formulam III, ac dein r vel per II vel per VIII
determinabitur; commodius adhuc per formulas VI et VII f et r simul eruentur;

e formulis reliquis vna alteraue pro contaatione cdculi, si lubet, in vsum vocari
poterit.

26.

Exemplum. Manentibus e et amp; vt in exemplo praecedente, sit t= 65,41256:
quaeruntur v et r. Vtendo logarithmis Briggicis habemus
^ogf...............1,8156598

......6,9702753

iog ............8,7859356 , vnde N — 0,061 o8514. Hinc aequationi JV=

AetangF—log tang {4^5' iF) saÜsfieri inuenitur per jP=25''24'27'63 , vnde fit
per formulam III

log tang iP......9,3530120

log tangj'^......9,5318179

logtangit.......9,8211941 adeoque iv=55'3i'29 8g atque p=: 67quot; 2'69quot; 78. Hinc

porro habetur

C.logcosè(i. y,).....0,2157476)

C.logeosK.-V^)...o,0145197nbsp;..............

pnbsp;^ Iogtang(45° 4i^)....0,1992280

.......9,9725868

^.................................

27.

Si aequatio IV ita diiTerentiatur, vtnbsp;y/ simul vt Variabiles ti-aetentur

proditnbsp;'

LIBR. I. SECT. I.

r tang 7// ,nbsp;rsinf

•nbsp;nrtQ ■i/ynbsp;/

acosïOf'—ip) cos nbsp;Pnbsp;' pcos^

Differentiando perinde aequationem XI, inter variationes differentiales quan-

titatum u, rfJ, N emergit relaüo

-I 2nbsp;^^^ ^ „ y T ^ucosip

^nbsp;r sm V ,

^ hu ' bcosijj
Ilinc eliminando du adiumento aequationis praecedentis obtinemus
c\Nnbsp;rr , / r\ rsin{^

--- d w, siue

b cos ifj ^

/b b\ sini'tang

hb tang lU

= —ITTquot;

' l r ) sin yy ^

28.

Differentiando aequationem X, omnibus r,b, e, u pro variabilibus habltis,
substituendonbsp;eiiminandoque d« adiumento aequationis inter d

dw, dip in art. praec. traditae, prodit

bbeiuu— i)

dr

Coëfficiens ipsius dN per aequ. VIII transit innbsp;coëfficiens ipsius dyj au-

tem, substituendo per aequ. IV, «(sinv^-sln=sin(Ygt;-^), -^(sinvz sinv) =

•nbsp;mutatur in-^^ —^nbsp;ita vt habeatur

un^ip^rv), mutatur in ^.^sy/nbsp;smi// '

rnbsp;/jsiiiv , pcosv ,

^ sin y/

Nnbsp;^

Quatenus porro vt functio ipsarum b et t spectatur, fit dA- = — df —

quo valore substituto , dr, ac perinde in art. praec. di', per df, dö, dip expres-
sae habebuntur. Ceterum quod supra monuimus etiam hic repetendum est, scdicet

relationes ad locvm simplicem in orbita spectantes.

si angulorum ^^ et y/ variationes non in partibus radii sed in secundis expressae
concipiantur, vel omnes terminos qui dp, d^ continent per 206264,7 diuitli, vcl
omnes reliquos per hunc numerum multiplicari debere.

29.

Quum quantitates auxiliares in ellipsi adhibitae B, M, in hyperbola va-
îores imaginarios obtineant, haud abs re erit, horum nexum cum quantitatibus rea-
hbus, quibus hic vsi sumus, inuestigare: apponimus itaque relationes praecipuas,
vbi quantitatem imaginariam y/ — 1 per i denotamus.

sm cp—e

cosy/

tang(45°—= ^Vnbsp;= itaiigl^

tang = icotang(45°—— i tang (45°—^cp) = — -
cos lt;jp —i tang yj
(p = 90° J log (sin Î cos 9?) = 90° — Î log tang (45quot; fy/)

tshglE —itanglF

IC •f* 1

gj^jB — 2 cotang | i tang = —i co tang P siue
i{uu— 1)

sin^? = Î tang-P = ■

2 u

cotE = ^ cotangnbsp;tang iE=z

tang^=: isini^*

1

cosjG =

2U

COS F

iE = log (cos £: 1' sin jB) = log — siue

Uf

aog(45° |i^)

esm.E = flog M

Logarithmi in his formulis sunt hyperbolici.

Libr. I. Sect. I.

5o.

Quum omnes quos e tabulis logaritlnnicis et trigonometricis depromimus nu-
men praecisionem absolutam non admiüant, sed ad certum tantummodo gradum
suit approximati, ex omnibus calculis illarum adiumento perfectis proximo tantum
vera resultare possunt. In plerisque quidem casibus tabulae vulgares ad septimam
figuram decimalem vsque exactae, i. e. vltra dimidiam vnitatem in figura septima
excessu sen defectu numquam aberrantes a vero, praecisionem plus quam sufiicien-
tem suppeditant, ita vt errores ineuitabiles nullius plane sint momenti: niliilomi-
nus vtique fieri potest, vt errores tabularum in casibus specialibus efFectum suum
exserant augmentatione tanta, vt metliodum alias optimam plarte abdicare aliamque
ej substituere cogamur. Huiusmodi casus in iis quoque calculis, quos hactenus ex-
plicauimus, occurrere potest; quamobrem ab insütuto nostro baud alienum erit,
disquisitiones quasdam circa gradum praecisionis, quam tabulae vulgares in iUis
pei-mittunt, liic insütuere. Etsi vero ad hoc argumentum calculator! practico gra-
vissimum exliauriendum hic non sit locus, inuestigationem eo perducemus, vt ad
propositum nostrum sufficiat, et a quolibet, cuius interest, vlterius expoliri et ad
quasuis alias operationes extendi posait.

5i.

Quilibet logarithmus, sinus, tangens etc. (aut generaliter quaelibet quanti-
tas irrationalis e tabulis excerpta) errori obnoxius est, qui ad dimidiam vnitatem
in figura vltima ascendere potest: designabimus hunc erroris hmitem per a, qui
itaque in tabulis vulgaribus fit = o,óoooooo5. Quodsi logarithmus etc. e tabulis
immediate desumi non potuit, sed per interpolationem erui debuit, error duplici
caussa aliquantulum adhuc maior esse potest. Primo enim pro parte proportional!,
quoties (figuram yltimam tamquam vnitatem spectando) non est integer, adoptari
solet integer proximo maior vel minor: hac ratione errorem tantum non vsque ad
duplum augeri posse facile perspicitur. Ad hanc vero erroris augmentationem omnino
hic non respicimus, quum nihil obstet, quominus vnam alteramue figuram decima-
leni parti illi proportional! affigamus, nulloque negoüo pateat, logarithmum iuterpo-
latum, si pars proportionalis absolute exacta esset, errori maiori obnoxium non
esse quam logarithmos in tabulis immediate expresses, quatenus quidem horum va-
riationes tamquam vniformes considerare liceat. Erroris augmentatio altera inde
nascitur, quod suppositio ista omni rigore non est vera : sed' hanc quoque negligi-

relaauones ad .locvm simplicem in orbita spectantes.nbsp;27

mus, quoniam efFectus differcnliarum socunrlarum alliorumque in onniibus prope-
modum casibus nullius plane momcnii est (praesertim si pro quantitatibus trigono-
metricis tabulae excellentissimae qiias Taylor curauit adhibentur), facilique ncgotio
ipsius ratio haberi possit, vbi forte paullo maior euaderet. Statuemus itaque pro
omnibus casibus tabularum errorem maximum ineuitabilem = a, siquidem ai-gumen-
lum (i.e. numerus cuius logarithmus, sen angulus cuius sinus etc. quaeritur) prae-
cisione absoluta habetur. Si yero argumentum ipsum proxime tantum innotuit, er-
rorique maximo, cui obnoxium esse potest, respondere supponitur logaridimi etc.'
Tariatio a (quam per rationem differentialium dcfinire hcet), error maximus loga-
ritlmii per tabulas computati vsque ad lt;y asccndere potest.

\ice Tersa, si adiumento tabularum argumentum logarithme dato respon-
dens computatur, error maximus ei eius variationi aequalis est, quae respondetva-
riationi co in logaritlimo, si hic exacte datur, vel quae respondet varialioni loga-
rithmi a-i-o/, si logarithmus ipse vsque ad erroneus esse potest. Vix opus erit
monere, o et co' eodeni signo affici debere.

Si plures quantitates intra certos tantum limites exactae adduntur, aggregalf
error maximus aequdis erit aggregate singulorum errorum maximorum, iisdem .-oi-
gnis aff. ctorum; quare etiam in subtractione quantitatum proxime exactarum diffe-
rentiae error maximus summae errorum singulorum maximorum aequalis erit. In
multiplicatione Vcl diuisione quantitiitis non absolute exactae error maximus in ea-
dem ratione augetur vel dimiiiuitur vt quantitas ipsa.

52.

Progrcdimur iam ad applicationem horum principiorum ad vtilissimas ope-
rationum supra explicatarum.

I. Adhibendo ad computum anomaliae verae ex anomalia excentrica in motu
elliptico formulam VII art. 8, si cp et B exacte haberi supponuntur, in log tang
et log tang commitü potest error adeoque in differentia = log tang error

2«; error maximus itaque in determinatione anguli iP eritnbsp;-=

_3_«sinlt;.nbsp;dlogtangit'

' désignante A modulum logarithmorum ad hunc calculum adhibitorum.

En01 itaque, cui anomalia vera p obnoxia est, in secundis expressus fît
juysmt^ r r- _ quot;

J- 20D200 — o 0712 sin t-, si logarithmi Briggici ad septem figuras decimales ad-

Lier. L Sect. L

liibentur, ita rt semper intra ©quot;07 de yalore ipsius v eerti esse possîmiis : si tabulae mi-
nores ad quinque tantum figuras adhibentur, error vsque ad 7quot; 12 aseendere posset.

IL Si ecosE adiumento logaritlimorum computatur, error committi potest

T SoecosE . , .
vsque ad--j--; eidem itaque errori obnoxia erit quantitas 1 — ecosE siue

In eomputando ergo logarithme huius quantitatis error vsque ad (i (J)ft)

ZecosE

aseendere potest, designando per tî quantitatem

1 :— e cos lù

eundem limitem ascendit error in log r possibilis, siquidem log a exacte

datus supponitur. Quoties excentricitas parua est, quantitas J arctis semper limiti-

bus coërcetur: quando vero e parum differt ab 1, 1 —ecosE perparua manet, quam-

diu E parua est; tune igitur S ad magnitudinem haud contemnendam increscere

potest, quocirca in hoc casu formula III art. 8. minus idonea esset. Quantitas

5(a—r) 5e(cost' e)
ita etiam exprimi potest -=-:;-—-, quae formula adhuc clarius

T*nbsp;1

ostendit, quando errorem (i lt;J)c3 contemn ere liceat.

III.nbsp;Adliibendo formulam X art. 8. ad computum anomaliae verae ex ex-
centrica, Iogv/~^ obnoxius ei'it errori (i ï^)«, adeoque logshi\(p siQ.E\/
huic (| ïJ)lt;y; hinc error maximus in determinatione anguh v—E vel f possibi-
lis eruitur ( 7tangi(v—E), siue in secundis expressus, si septem figu-

rae decimales adhibentur, =(oquot;i66 oquot;o24 J) tangiC^ — E). Quoties excentricitas
modica est, S et tang^(i^ — E) quantitates paruae erunt, quapropter haec metlio-
dus praecisionem maiorem permittet, quam ea quam in I contemplaü sumus : haecce
contra methodus tunc praeferenda erit, quando excentricitas valde magna est pro-
peque ad vnitatem accedit, vbi â et tang-|(t^ — E) valores valde considerabiles
nancisci possunt. Per formulas nostras, vtra methodus alteri praeferenda sit, fa-
cile semper decidi poterit.

IV.nbsp;In determinatione anomaliae mediae ex excentrica per formulam XII
art. 8. error quantitatis e sin ^^, adiumento logarithmorum computatae, adeoque etiam

5 6) e sin

ipsius anomaliae M, vsque ad--j- aseendere potest, qui erroris limes si

ill secundis expressus desideratur per 206265* est multiplicandus. Hinc facile eon-
cluditur 5 in problemate inuerso, vbi E ex M tentando determinatur, E quantitate

rexiationes ad locvm simpeicem: in orbita spectantes.

ZaesinE dE ZaeasmE
--J--.-J^-aobabö =----. sobsbö erroneam esse posse, etsi

aequationi E—esm.E:=.M omni quara tabulae permittunt praecisione satisfactum
fuerit.

Anomalia vera itaque e media computata duabus rationibus erronea esse
potest, siquidem mediam tamquam exacte datam consideramus, primo propter er~
rorem in computo ipsius v ex E commissum, qui vt vidimus leuis semper momenti
est, secundo ideo quod yalor anomaliae excentricae ipse iam erroneus esse potuit.
Effectus rationis posterioris definietur per productum erroris in E commissi per

1 T .. SaesinE
, quod productum fit =-^---

• dlVLnbsp;— Xr

(esinp ieesinsp \ „
--j o 0712, si septem figurae adliibentur. Hic error, pro va-
loribus paruis ipsius e semper modieus, permagnus 'euadere potest, quoties e ab
vnitate parum diflfert, vti tabella sequens ostendit, quae pro quibusdam valoribus
ipsius e valorem maximum illius expressionis exhibet.

V.nbsp;In motu hyperbolico, si v per formulam III art. 2i ex F et f exacte
notis determmatur, error vsque ad-j-.206265' ascendere potest j si vero per

fnbsp;1nbsp;(«—i)tang|:W

lormulam tangiv —-—-21. computatur, u et yj exacte notis, erroris

limes triente maior erit, putanbsp;206265quot; = o'ogsinpro septem figuris.

t

VI.nbsp;Si per formulam XI art. 22 quantitas - z=N adiumento logarithmo-
rum Bnggicorum computatur, e et u vel e et E tamquam exacte notas supponen-

do, pars prima obnoxia erit errorinbsp;«i computata est in forma

Xe(u—i)(u ^nbsp;_ 3 («« !) elquot;

, vel erron --^^^-, si computata est in forma ^Uu

2U

jle

--vel erron oe a tang F, si computata est in forma A e tang F, siquidem er-
rorem in log A vel logiA commissum contemnimus. In casu primo error etiam per
5elt;ytangF, in secundo per ' exprimi potest, vnde patet, in casu tertio er-

COS JP

rorem omnium semper minimum esse, in primo autem vel secundo maior erit,
prout M aut gt;2 vel lt;2 , siue prout ±.F gt;56®62' vel lt;56°52'. — Pars se-
cunda ipsius iNT aijteni semper obnpxia erit errori

VII. Vice versa patet, si u vel F ex N tentando eruatur, u obnoxïam fore

. f , ^nbsp;„dunbsp;^ 5eGj dunbsp;,

errori (1 rbS^cjtang J*)nbsp;vel huic (1 nbsp;prout membrum pri-

mum in valore ipsius N vei in factores vel in partes resolutum adhibeaturj F au-
di^

tem errori huic (1 .5 e» tang F) quot; g j^quot;- Signa superiora post perihelium, infenora

dunbsp;AF , . .nbsp;df.

ante perilielium valent Quodsi Iiic pronbsp;vel pronbsp;subsütuitur ^^ ,

emerget effectus huius erroris in determinationem ipsius v ^ qui igitur erit

hb tang (j Jlö e tang F) a
À IT

u adhibita est; contra, si adhibita est F, ille effectus fit =

bh tang gt;ƒ/ ( 1 5 e tang F ) co _ « j (i ecosi')^ 5 gsinigt;(i gcos t^) )

I7rnbsp;quot; ^ l tang y/ —nbsp;tang (//^nbsp;| quot;

Idiicere oportet factorem 206266quot;, si error in secundis exprimendus est. Manife-
sto hic error tune tantum considérabilis euadere potest, quando -rfj est angulus par-
vus, sine ^ pauHo maior quam j; ecce valores maximos huius tertiae .expressionis
pro cj^uibusdam valoribus ipsius e, si septem figurae decimales adhibcntur:

nEIiATXONES AD IiOCVM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTANTES.

Huic errori ex erroneo valore ipsius F vel u orto adiicere oportet errorem in V
determinatum, vt incertitude totalis ipsius v liabeatur.

Vin. Si aequatio XI art. 22. adiumento logarithmorum hyperbohcorum sol-
vrtur, F pro quantitate auxiliari adhibita, effectus erroris in hac operatione possi-
bilis in determinationem ipsius v per simiha ratiocinia inuenitur =:

( 1 -f g cos vY conbsp;3 e sin f (1 -f e cos p) agt;

tang-?//' -i-

vbi per co' incertitudinem maximam in tabulis logarithmorum hyperbohcorum desi-
gnamus. Pars secunda liuius expressionis identica est cum pai'te secunda expres-
sionis m VII traditae, prima vero in ratione 2o)':a minor quam prima in illa ex-
pressione, i. e. in ratione 1:23, si tabulam Vrsiiii ad octo vbique figura§ exactam
siue = 0,000000005 supponere liceret.

33.

In iis igitur sectionibus conicis, quarum excentricitas ab vnitate parum dif-
fert, i. e. in elhpsibus et hyperbohs,. quae ad pai-abolam proxime aceedunt, me-
thodi supra expositae tum pro determinatione anomahae verae e tempore, tum pro
determinatione temporis ex anomalia vera¹), omnem quae desiderari posset praeci-
sionem non patiuiitur: quin adeo errores ineuitahiles, crescentes dum orbita magis
ad parabolae similitudinem vergit, tandem omnes limites egredereutur. Tabulae
maiores ad plures quam septem figuras constructae hanc incertitudinem diminuèrent
quidem, sed non tollerent, nee impedirent, quominus omnes limites superaret^ si-
mulae orbita ad parabolam nimis prope accederet. Praeterea methodi supra toadi-
tae in hocce casu satis molestae fiunt, quoniam pars. earum indireeta tentamina sae-
pius repetita requirit: cuius incommodi taedium vel grauius est,, si tabuhs maiori-
bus operamur. Haud sane igitur superfluum erit, methodum pecuharem excolere,
per quam in hoe casu incertitudinem illam euitare, soloque tabularum vulgarium
admiuiculo praecisionem sufficientem assequi hceat.

1nbsp; Quoniaw tempus iiirplicat factorem vel b^, error in gt;/vel N commissas go magis aia-
çfctur, quo maior fuerit a~—--a___£__

■nbsp;^nbsp;I — ee 'nbsp;quot; — ea— i '

54.

Methodus vulgaris, per quam istis incommodis remedium afferri solet,
quentibus principiis innititur. Respondeat in ellipsi vel hj-perbola, cuius excentri-

P

se-

citas e, semiparameter p adeoque distantia in perihelio

1 e

perihelium t anomalia vera v, respondeat porro eidem tempori in parabola, cuius
semiparameter siue distanlia in perihelionbsp;anomalia vera w, massa f^

Vel vtrimque neglecta vel vtrimque aequali supposita. Tunc patet habej-i
f ppdp_ n ^qqdw

J (i eeospT (i cos«-)^ -Vp-V^q

idtegralibus a v~o et w=:o incipientibus, siue

s

(i efdp__n adw _

J (i ecosf)^v'3 ^ J (i cos«')^
1 — e

Designando - j P®^ «j tang^p per 6, integrale prius inuenitur =

nbsp;2«) — fnbsp;—Saa) nbsp;—4 a') — etc.^

posterius r= tang f tang w'. Ex hac aequatione facile est determinare w per
a et V, atque p per tt et w, adiumento serierum infinitarum: pro cc si magis pla—

cet introduci potest i—enbsp;=o. Quum manifesto pro a = o vel S=zo

fiat v—w, hae series sequentem formam habebunt;
w = Sp' SSvquot; (J' pquot;-h etc.
tgt; = w Sip' SSwquot;-i-S'i^quot;' etc.
vbi p', pquot;, pquot; etc. erunt fimctiones ipsius p, atque w', wquot;, wquot; etc. functiones ipsius w.
Quoties S est quantitas perparua, hae series celeriter conuergent, paucique termini
sufficient ad determinandum w ex p, vel p ex w. Ex w inuenitur t, vel w ex t
eo quem supra pro motu paraboHco explicauimus modo.

55.

Expressiones analyticas trium coëfficientium primorum seriei secundae w^wquot;, wquot;
Bessel noster euoluit, simulque pro valoribus numericis duorum primorum w, wquot;
tabulam ad singulos argument! w gradus constructam addidit (Von Zach Monatliche
Correspondenz, vol XII. p. 197-)- Pro coè'fficiente primo w tabula iam ante ha-

relationes ad eocvm simpiilcem in oreita spectantes.

bebatur a Simpson computata, quae operi dar. Olbers supra laudato annexa esl.
In plerisque casibus hacce metliodo adiumento tabulae Besselianae anomaliam A-^e-
ram e tempore praecisione sufficiente determinare licet: quod adhuc desiderandum
relinquitur, ad haecce fere momenta reducitur:

i. In problemate inuerso, temporis puta ex anomalia vera determinatione
ad methodum quasi indirectam confugere atque w ex v tentando deriuare oportet.
Cui incommodo yt obueniretur, series piior eodem modo tractata esse deberet ac
secunda: et quum facile perspiciatur, —v esse eandem functionem ipsius v, qua-
bs w est ipsius w, ita vt tabula prow signo tantum mutato pro v inseruire pos-
sit, ndul iam requireretur nisi tabula pro quo vtrumque probicma aequali prae-
cisione soluere liceat.

II. Interdum vtique occurrere possunt casus, vbi excentricitas ab vnitate
parum quidem differt, ita vt methodi generales supra expositae praecisionem baud
sulEcientem dare videantur, nimis tamen etiamnum, quam vt in metliodo peculiari
modo adumbrata effectum potestatis tertiae ipsius 8 altiorumque tuto contemnere li-
ceat. In motu imprimis hyperbolico eiusmodi casus sunt possibiles, vbi, siue illas
methodis adoptes siue banc, errorem plurium secundorum euitare non possis, si-
quidem tabulis vulgaribus tantum ad septem figuras constructis vtaris. Etiamsi vero
huiusmodi casus in praxi raro occurrant, aliquid certe deesse videri posset, si in
omnibus casibus anomaliam veram intra oquot;i aut saltem où determinare non beeret,
nisi tabidae maiores consulerentur, quas tamen ad libros rariores referendas esse
constat. Haud igitur prorsus superfluani visum iri speramus expositionem methodi
peculiaris, qua iamdudum vsi sumus, quaeque eo etiam nomine se comniendabit,
quod ad excentricitates ab vnitate parum diuersas haud limitata est, sed hocce sal-
tem respectu applicationem gcneralem patitur.

06.

Antequam banc methodum exponere aggrediamur, obseruare conueniet, iu-
certdudmem methodorum generalium supra traditarum in orbitis ad parabolae sitni-

m mem vergentibus sponte desinere, simulac B vel E ad magnitudinem conside-
rabilem increupvint i ■ 1

^ucrmt, quod quidem m magnis demum a Sole distantiis fiet. Quod
vt ostendamus errr.!

' ^^^quot;lem maximum in ellipsi possibilem, quem in art. Sa, IV in-

vennnus

.206265quot;, vnde

5

sponte patet, errorem aretis semper limitibus circumscriptum esse, simulac E va-
lorem considerabilem acquisiuerit, siue simulac cos E ab vnitate magis recesserit,
quantumuis magna sit excentricitas. Quod adhuc luculentius apparebit per tabulam
sequentem, in qua valorem numericum maximum istius formulae pro quibusdam
valoribus determinatis computauimus (pro septem figuris decimalibus):

° error maximus =: 3quot;o4

0,76

0,19

0,08

Simili modo res se habet in hyperbola, Vt statim apparet, si expressio in art, 52.

_ , „nbsp;«cosF(cos-P 3esini^)\/(ee—1)

VII eruta sub hanc formam pomtur--TT~I1--W^--206265.

Xiß cos-i )

Valores maximos huius expressionis pro quibusdam valoribus determinatis ipsius F
tabula sequens exhibet:

Quoties itaque E vel F vltra 4o° vel 5o° egreditur (qui tamen casus in orbitis a
parabola parum discrepantibus haud facile occurret, quum corpora coelestia in ta-
libus orbitis incedcntia in tantis a Sole distantiis oculis nostris plerumque se subdu-
cant), nulla aderit ratio, cur methodum generalem desereimus. Ceterum in tali
casu etiam series de quibus in art. 34. egimus nimis lente conuergerent : neutiquam
igitur pro defectu methodi nunc explicandae haberi potest, quod iis imprimis casi-
bus adaplata est, vbi E vcl F vltra Valores modicos nondum excreuit.

RELATIONES AD LOCVM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTANTES.

57.

Resumamus in motu elliptico aequationem inter anomaliam excentricam et tempus

\'bi E in partibus radii expressam supponinius. Factorem V'Ci abhinc omitte-
mus; si vmquam casus occurreret, vbi eius rationem habere in potestate operae-
que pretium esset, signum t non tempus ijisum post perihelium, sed hoc tempus
pernbsp;multiplicatum exprimere deberet. Designamus porro per lt;7 distantiam

inperihelio, et pro JSet sin.£introducimus quantitates—sinjBet.Ê'——
■TS E -TS shi E : rationem cur bas potissimum ehgamus lector attentus ex sequenti-
bus sponte deprehendet. Hoe modo aequatio nostra formam sequentem induit:

(1 — nbsp; (£—siniS) ~ht

Quatenus E vt quantitas parua ordinis primi speetatur, eritnbsp;sin£^ =E-

•öV-S' T-zööi^'—etc. quantitas ordinis primi, contra E—siujB = i jB'_

TöVö-S'— etc. quantitas ordinis tertii. Statuendo itaque
sin^;)nbsp;, ^nbsp;

= 4^,

exxlliA—E'' — -i-^E'^ —nbsp;—etc. quantitas ordinis secundi, aXc^e B—

I— etc. ab vnitate quantitate quarti ordinis diuersa. Aequatio nostra
autem hmc fit

(X - ^H(X 9nbsp;,nbsp;...............................

Per tabulas vulgares trigonometricasnbsp;quidem praecisione sufficiente

ealculari potest, non tamen E—wxE, quoties est angulus paruus: hacce igitur

Via quantitates A et B satis excàcte determinare non hceret. Huic autem difficuhati

remedium aflerret tabula peculiaris, ex qua cum argumente E aut ipsum iï aut lo-

garithmum ipsius B excerpere possemus: subsidia ad eonstructionem talis tabulae

necessaria cuique in analysi vel mediocriter vcrsato facile se Offerent. Adiumen-
to aequationis

9^ sin^

B

20

etiam \fA, atque hi„c t per formulam [iJ omni quae desiderari potest praecisione
determinare liceret.

Libr. I. SECT. I.

Ecce specimen talis tabulae, quod saltem lentam augmentationem ipsius
log J5 manifestabit: superfluum esset, banc tabulam maiori extensione elaborare,
infra enim tabulas formae multo commodioris descripturi sumus:

38.

Haud inutile erit, ea quae in art. praec. sunt tradita exemplo illustrare.
Proposita sit anomalia vera =ioo°, excentricitas =0,96764567, log 9f = 9,76565oo.
Ecce iam calculum pro E, B, yi et t :
log tang...............0,0761865

Iogv/-i-j-^..........9,1079927

logtang^-ËT..............9,T84i792, vnde =8'4i'i9quot;32, atque E= 17°22'5Bquot; 6'i.

Tïuic valori ipsius E respondet log jB =o,ooooo4o; porro inuenitur in partibus ra-
dii iS = 0,3032928, sinnbsp;0,2986645, vnde ïV J5 ^Vsin£ = o,i5i4i5o, cuius
logarithmus = 9,1801689, adeoquenbsp;= 9,180x649. Hinc deducitur per for-
mulam [1] art. praec.

............

log ........................9,1801649 log^^........................................7,5404947

log 43,56586 = 1,63912.63 log 19,98014nbsp;= i,5oo5q85

63,544oo =t

Tractando idem exemplum secundum methodum vulgarem, inuenitur e sin jB in. se-
cundis ,=.5.9610quot; 79 = i6quot;35'3oquot;79,nbsp;anomalia media = 49'7quot;85ag^f 85.

Ilinc et ex log= 1,6664302 deriuatur ^=-63,544io. Differentia,

ileiiationes AD locvm SIMPLICEM IN oRBITA SPECTANTES.

quae Mc tantum est tb-s-ö-^ pars vnius diei, conspirantibus erroiibus facile triplo
vel quadruplo maior euadere potuisset.

Ceterum patet, solo adiumento talis tabulae pro log B etiam problema in-
versum omni praecisione solui posse, determinando B per tentamina repetita, ita
vt valor ipsius t inde calculatus cum proposito congruat. Sed liaec operatio satis
molesta foret: quamobrem iam ostendemus, quomodo tabulam auxiliarem multo
commodius adornare, tentamina vaga omnino euitare, totumque calculum ad algo-
rithmum maxime concinnum atque expeditum reducere liceat, qui nihil desideran-
dum relinquere videtur.

09-

Dimidiam fere partem laboris quem illa tentamina requirerent abscindi posse
statim obuium est, si tabula ita adornata habeatur, ex qua log B immediate argu-
mento A desumere liceat. Tres tunc suiieressent operationes; prima indirecta,
puta determinatio ipsius y/, vt aequationi [1] art. .37 satisfiat; secunda, determina-

tio ipsius E ex A et B, quae fit directe vel per aequationem E — 2 B {A^

vel per hancnbsp;=nbsp;—rA^)-, tertia, determinatio ipsius ex E per aequ.

VII. art. 8. Operationem primam ad algorithmum expeditum et a tentaminibus va-
gis liberum reducemusj secundam et tertiam vero in vnicam contrahemus, tabulae
nostrae quantitatcmi nouam C inserendo, quo pacto ipsa H omnino opus non habe—
bimus, simvdque pro radio vectore formulam elegantem et commodam nanciscemur.
Quae singula ordine suo iam persequemur.

Primo aequationem [1] ita transformabimus, vt tabulam Barkerianam ad

Jnbsp;5_5 e

eius solutionem adliibere liceat. Statuemus ad hunc finem A^ ■=:\.axis.\w\/--,

°nbsp;1 9e '

vnde fit 75tangit^' 25tang|-«''nbsp;^ «

1 • 1nbsp;75^n/(f l-e)

clesignando constantem-\---per a. Si itaque B esset cognita, iv illico

e tabula Barkeriana desumi posset, vbi est anomalia vera, cui respondet motus

medius —^ ; ex w deriuabitur A per formulam ^ = tang ftp®, designando con-
5 — be

stantemnbsp;P®!quot; ß- Iam etsi B demum ex A per tabulam nostram auxilia-

rem imiotescat, tamen propter perparuam ipsius ab vnitate differentiam praeuidere
licet, w et A leui tantum errore affectas prouenire posse, si ab initio diuisor B
omnino negligatur. Determinabimus itaque primo, leui tantum calamo, w et A,
statuendo JS i ; cum valore approximato ipsius A e tabula nostra auxiliai'i inue-
niemus ipsam B, cum qua eirndem calculum exactius repetemus; plerumque re-
spondebit valori sic correcto ipsius A prorsus idem valor ipsius B, qui ex approxi-
mato inuentus erat, ita vt noua operationis repetitio superflua sit, talibus casibus
exceptis, vbi valor ipsius E iam valde considerabilis fuerit. Ceterum vix opus erit
monere, si forte iam ab initio valor ipsius i? quomodocunque approximatus aliunde
innotuerit (quod semper fiet, quoties e pluribus locis haud multum ab inidcem di-
stantibus computandis, vnus aut alter iam sunt absoluti) praestare, hoc stadm in
prima approximatione vti: hoc modo calculator scitus saepissime ne vna quidem
calculi repetitione opus liabebit. Hanc celerriinam approximationem inde assecuti su-
mus, qtiod B ab i differentia ordiuis quarti tantum distat, in coëfficientem per-
paruum numericum insuper multiplicata, quod commodum praeparatum esse iam
perspicietur per introductionem quanfitatum E—sin^,nbsp; tV sin i? loco ipsarum

E, sin E.

4o.

Qaum ad operationem tertiam, puta determinationem anomaliae verae, anguuis
E ipse non requiratur, sed tantum tang|-ii siue potius log tangi^^, operatio illa cum
secunda commode iungi posset, si tabula nostra immediate suppeditarct logai-ith-

mum quantitatisnbsp;•gt;nbsp;^ quantitate ordinis secundi differt. JMaluimus

tamen tabulam nostram modo aliquantulum diuerso adornare, quo extensione mi-
nuta nihilominus interpolationem multo commodiorem assecuti sumus. Scribendo

i5(£'—sinZ?)

breuitatis gratia T pro tang^iJ®, valor ipsius A in art. By traditus —^E-^^^ÏÖE
facile transmutatur in

_ y—ir^ f ^y^-t-H t^— etc.

vbi lex progressionis obuia est. Hinc deducitur per conuersionem serierum

^^ _ , A À \ R /tquot;^ J 8nbsp;2.8 7 4 4__A'' A- CiC.

^jr- 1 -f^ Tf-s^nbsp;T 3 3 6nbsp;T TTTTsTâT-^-^ T

59

RELATIONES AD LOCVM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTANTES.

A

Statuendo igiturnbsp;— ^jl-^C, erit C quantitas ordinis quarti, qua in tabu-

lam nostram recepta, ab A protinus transire possumus ad v per formulam

Anbsp;ytangi«.

-. \/-^-r^ = —7

■e

designando per y constantemnbsp;lucramur calculum

commodum pro radio Tectore. Fit enim ( art. 8, VI )

r =nbsp;C)q

( 1 7') cos-i-~

4i.

Nihil iam superest, nisi vt etiam problema inuersura, puta determinationem
temporis ex anomalia vera, ad algoriüimum expeditiorem reducamus: ad hunc
fmem tabulae nostrae columnam nouam pro T adiecimus. Computabitur itaque

1 B

primo T ex V per formulam 7=-——tangit^^J dein ex tabula nostra argu-

1 4quot; e

mento T desumetur A et logsiue (quod exactius, imo etiam commodius est)

(i C) r

C et log B, atque hinc A per formulam A=—TZjTTjî—j tandem ex A et B erue-

tur t per formulam [^^ij art. Sy. Quodsi hic quoque tabulam Barfcerianam in vsiim
vocare placet, quod tamen in hoc problemate inuerso calculum minus subleuat,
non opus est ad A respicere, sed statim habetur

i C

tang tang \ v\J ^^j^^fy

atque hinc tempus t, multiplicando motum medium anomaliae verae w in tabida

B

Barkeriana respondentem per

42.

Tabulam, qualem hactenus descripsimus^ extensione idonea conslruximus,
operique huic adiecimus (Tab. I.). Ad ellipsin sola pars prior spectat; partem al-
teram, quae motum hyperbdicum complectitur, infra explicabioius. Argumentum
tabulae, quod est quantitas yl, per singulas partes mille.simas a o vsque ad o,ooo
progreditur; sequuntur log B et C, quas quantitates in partibus looooooo'»'®, siue

Li br. L Sect. L

ad Septem figuras decimales expressas subintelligere oportet ^'cifrae enim primae,
figiiris significatiuis praeeuntes, suppressae sunt;, columna denique quarta exliibet
quantitatem T primo ad 5 dein ad 6 figuras computatam, quae praecisio abunde
sufîicit, quum liaec columna ad eum tantummodo vsum requiratur, vt argumente
y valores respondentes ipsius log B et C habeantur, quoties ad normam art. praec.
t GX V determinare lubet. Quum problema inuersum, quod longe frequentioris
vsus est, puta determiuatio ipsius f et ex omnino absque quantitatis T sub-
sidio absoluatur, quantitatem A pro argumente tabulae nostrae eligere maluimus
quam T, quae alioquin argumentum aeque fere idoneum fuisset, imo tabulae eon-
structionem aliquantulum facilitauisset. Haud superfluum eiit monere, omnes ta-
bulae numéros ad decem figuras ab origine calculates fuisse, septemque adeo figuris,
quas hic damus, vbique tuto eonfidere licere; methodis autem analyticis ad hunc
laborem in vsum vocatis hoc loco immorari non possumus, quarum explicalione
copiosa nimium ab instituto nostro distraheremur. Ceterum tabulae extensio omni-
bus casibus, vbi methodum hactenus expositam sequi prodest, abunde sufficit, quum
vitra limitemnbsp;cui respondet 2'= 0,592574 siue JS= 64°7', methodis artifi-

cialibus commode vt supra ostensura est abstinere liceat.

43.

Ad maiorem disquisitionum praecedentium illustrationejn exemplum calculi
completi pro anomalia vera et radio vectdre ex tempore adiicimus, ad quem finem
numéros art. 38. resumemus. Statuimus itaque e = 0,96764567, log lt;7= 9,7656500,
t=i 65,544oo, vnde primo deducimus constantes loga=:o,5o52557, log/J = 8,2217564,
\ogy =0,0028755.

Hinc fit loga^ =2,io83io2, cui respondet in^ tabula Barkeri valor approxi-
matus ipsius =99°6', vnde deriuatur A =nbsp;et ex tabula nostra logBzzz

o,ooooo4o. Hinc argumentum correctum quo tabulam Barkeri intrare oportet fit =

log-^ = 2,1083062, cui respondet w = 99°6'i3quot;i4 ; dein calculus vlterior ita se habet:

logtangiw^......0,1585954

log/?................8,22iy564

loga................8,0603298 '

A = 0,02292608
hinc logB perinde vt antej

C — 0,0000242
i — fa c = 0,9816833
i j-A C = 1,0046094

logtang i w.........................0,0692967

log 7...................................0,0028755

§ Comp, log 1 —f-^4- C......o,oo4oi43

logtangi^..........................0,0761865

r- o t n

=nbsp;5o o o

V = 100 o o

logg...................................9,7656500

2 Comp, logcosii'...............o,583865o

\ogi—f A C...................9,991971^

C. log 1 4- A C.................9,9980028

log r...................................0,1394892

Si in hoc calculo factor B omnino esset neglectus, anomalia vera erroruscnlo oquot;i
tantum (in excessu) prodiisset affecta.

44. .

•

Motum JiyperboUcum eo breuius absoluere Hcebit, quoniam methodo ei quaiu
hactenus pro motu elliptico exposuimus prorsus analoga tractandus est. Aequatio-
nem inter tempus t atque quantitatem auxiliarem u forma sequente exhibemus:

»

1)nbsp;— A nbsp;—log«^ = ht

vbi logarithmi sunt hyperbolici, atque — nbsp;quantitas ordinis primi,

-^(u—— logM quantitas ordinis tertii, simiilac logw tamquam quantitas parua

It

ordinis primi spectatur. Statuendo itaque

6 U(a ——log«)

—A__---

•) /^log«

u

erit A quantitas ordinis secundi, B autem ab vnitate differentia ordinis quarti dis-
crepabit. Aequatio nostra tunc formam sequentem induet:

......................[2]

quae aequationi [1] art. 57 prorsus apaloga est. Statuendo porro ^nbsp;~

6

B (e—

erit T ordinis secundi, et pèr methodum serierum infînitarum înuenietur

=nbsp;—nbsp;etc. Quamobrem

Anbsp;ri OT*

ponendo-^nbsp;erit C quantitaS ordinis quarti, atque Az^—^_^ •

Dcnique pro radio yectore ex aequ. VII art. 21 facile sequitur
__Cl___ii fA C)q

45.

Pars posterior tabulae primae operi huic annexae ad motum hyperboü-
cum spectat, vt iam supra monuimus, et pro argumento A (vtrique tabulae parti
commuui) logarithmum ipsius B atque quantitatem C ad septem figuras decimales
( cifris praecedentibus omissis ), quantitatem T Tero ad quinque dein ad sex figuras
sistit. Extensa est haec pars, perinde vt prior, vsque ad .^=o,5oo, cui respon-
det îr= 0,241207, M= 2,950 vel o,54i, =nbsp;vlterior extensio su-

perflua fuisset (art. 56.)

Ecce iam ordinem calculi tum pro determinatione temporis ex anomalia vera

tum pro determinatione anomaliae verae ex tempore. In problemate priori habe-

€-1

bitur T per formulamnbsp;^^ ^ tangjr^'; ex T tabula nostra dabit logB et C,

vnde erit A = ^_^ ^ ; hinc tandem per formulam [2] art, praec. inuenietur /.

In problemate posteriori computabuntur primo logarithmi constantium

75iVC±±M_

«

ag^
5e — 5
i ge

i ge

7

Tunc determinabitur A ex i prorsus eodem modo vt in motu elliptico, ita scilicet
at

Yt motui medio —^ in tabula Barkeri respondeat anomalia vera w atque fiat A =
^tangi«'^; eruetur scilicet primo valor approximatus ipsius A neglecto vel si sub-
sidia adsunt aestimato factore B'j hinc tabula nostra suppeditabit valorem approxi-
matum ipsius B, cum quo operatio repetetur; valor nouus ipsius B hoc modo pro-
diens vix vmquam correctionem seusibilem passus, neque adeo noua calculi itéra-

tio necessaria erit. Correelo yalore ipsius A e tabula desumetur C, quo facto ha-
bebitur

Inbsp;/nbsp;2,nbsp;V ' 5^ v^ y

Patet hinc, inter formulas pro motu eUiptico et hyperbolico nullam omnino diffe-
rentiam repei'iri, si modo /?, A et T in molu hyperbolico tamquam quantitates nega-
tiuas tractemus.

46.

Motum liyj^erbolicum quoque aliquot exemplis illusirauisse haud inutile erit,
ad queni fineni numéros arlt. a5, 26 resumemus.

I. Data sunt 6=1,2618820, logç =: o,oaoi G5y, v = i8°5i'oquot;: quaeritur
Habemus

2 logtang|(^......8,4402018 log T...................7,5o38575

log ^^......9,o636357nbsp;' .............

C.logi —^T......0,0011099

H T................7,5O38375nbsp;...................7,504(9476

T = o,oo319034
logB— 0,0000001
C =. o,oooooo5
^Bcp

i-^rj

log^^....................8,7024758

Iogi3,77584 = 1,1391182
o,i386i

13,91445 = t

II. Manentibus e et q vt ante, datur t = 65,4i236, quaeruntur v et r.

Tnuenimus logarithmes constantium
log a = 9,9758545
log^ = 9,0251649
log 7 = 9,9807646^

Porro prodit logai=: 1,7914943, vnde per tabulam Barkeri valor approximatus

jpsius tf'= 7o°5i'44quot;, atque hinc ^ = d,o52985. Huic A in tabula nostra re-

spondet logi?= 0,00002075 vnde tog-^- = 1,7914756, ^alor correctus ipsius

= 7oquot;'3i'56quot;86. Calculi operationes reliquae ita se habent:

log tang .................9,8494699

log 7...........................9,9807646

j,C.lQgi fnbsp;.....9,9909602

log tang i v...............779,8211947'

iP =z 33''3i'3oquot;o2
p = 67 3 o,o4

log lt;7...........................0,0201657

2 C. log cos It'.............0,1580578

iogi fA C............0,0180796

C.logi —j-A C.......0,0045713

logr...........................0,2008544

Quae supra (art. 26.) inueneramus f = 67°2'59quot;78, log r =o,2oo854i, minus ex-
acta sunt, proprieque euadere debiiisset vnbsp;5'oquot; 00, quo valore supposito valor
ipsius t per tabulas maiores fuerat computatus.

45

SECTIO SECVNDA

Relationes ad locum simplicem in spatio spectantes.

47.

In sectione prima de motu corporum coelestium in orbitis suis actum est,
nulla situs, quem hae orbitae in spatio occupant, ratione habita. Ad hunc situm
determinandum, quo relationem locorum corporis coelestis ad quaeuis alia spatü
puncta assignare liceat, manifesto requiritur tum situs plani in quo orbita iacet re-
spectu cuiusdam'plani cogniti (e. g. plani orbitae telluris, eclipticae), tum situs apsi-
dum in' illo piano. Quae quum commodissime ad trigonometriam sphaericam re-
ferantur, superliciem sphaericam radio arbitrario circa Solem vt centrum descri-
ptam fingimus, in qua quoduis planum per Solem transiens circulum maximum,
quaeuis autem recta e Sole ducta punctum depinget. Planis aut rectis per Solem
ipsum non transeuntibus plana rectasque parallelas per Solem ducimus, circulosque
maximos et puncta in sphaerae superficie his respondentia etiam illa repraesentare
concipimus: potest quoque sphaera radio vt vocant infinito magno descripta supponi,
in qua plana rectaeque parallelae perinde repraesentantur.

Nisi itaque planum orbitae cum piano eclipticae coincidit, circuli maximi
illis planis respondentes (quos etiam simjiliciter orbitam et eclipticam vocabimus)
duobus punctis se intersecant, quae nodi dicuntur; in nodorum altero corpus e Sole
visum e regione australi per eclipticam in borealem transibit, in altero ex hac in
ülam reuertetj nodus prior ascendens, posterior descendens appellatur. Nodorum
situs in ecliptica per eorum distantiam ab aequinoctio vernali medio {longitudinem)
secundum ordinem signorum numeratam assignamus. Sit, in Fig. 1, ß nodus as-
cendens, AQB pars eclipticae, C QD pars orbitae j motus terrae et corporis
coelesüs fiant in directionibus ab J versus B et a C versus Zgt;, patetque angulum
sphaericum, quem ^D facit cumnbsp;a o vsque ad 180° crescere posse, neque

tamen vltra, quin ß nodus ascendens esse desinat: hunc angulum inclinationem
orbitae ad eclipticam dicimus. Situ plani orbitae per longitudinem nodi atque in-
cmationem orbitae determinato, nihil aliud iam requiritur, nisi distantia perihelii
a no o ascendente, quam secundum ipsam directionem molus numeramus, adeoque
negatiuam siue inter. 180° et 36o' assumimus, quoties perihelium ab ecliptica ad
austrum situm est. Notentiu- adhüc expressiones sequentes. Longitudo cuiusuis
puncti in circulo orbitae numeratur ab eo puncto, quod retrorsum a node ascen-

(lente in orbita tantundem distat, quantum aequinoctium yernale ab eodem puncto
retrorsum in ecliptica; hinc longitudo perihelii erit summa longitudinis nodi et di»-
stantiae.perihela a nodo; longitudo vera corporis iti orhita autem summa anoma-
liae yerae et longitudmis perihelii. Denique longitudo media yocatur summa ano-
maliae mediae et longitudinis perihelii: haec postrema expressio manifesto in orbi-
tis ellipticis tantum locum habere potest.

48.

Vt igitur corporis coelestis locum in spatio pro quouis temporis momento
assignare liceat, sequentia in orbita elliptica nota esse oportebit,

I. Longitudo media pro quodam temporis momento arbitrario, quod epo—
cha vocatur: eodem nomine interdum ipsa quoque longitudo designatur. Plerum-
que pro epocha eligilur initium alicuius anni, scilicet mericlies i, lanuarii in anno
bissextili, siue meridies 3i. Decembris anno communi praecedentis.

IT. Motus medius inter certum temporis interuallum, e. g. in vno die so-
lari medio, siue in diebus 365, 365aut 3652 5.

III.nbsp;Semiaxis maior, qui quidem omitti posset, quoties corporis massa aut
nota est aut negligi potest, quum per motum medium iam detur (art. 7): commo-
ditatis tamen gratia vterque semper proferri solet.

IV.nbsp;Excentricitas. V, Longitudo perihehi. VI, Longitudo nodi ascendentis,
VII. Inclinatio orbitae,

Haec septem momenta yocantur elementa motus corporis.

In parabola et hyperbola tempus transitus per perihelium eJementi primi
vice fungetur; pro II tradentur quae in his sectionum coriicarum generibus motui

medio diurno analoga sunt (v, art. 19 j in motu hyperbohco quantitasnbsp;art. 20).

In hyperbola elementa reliqua perinde retineri poterunt, in parabola verb, vbi axis
maior infmitus atque excentricitas = 1, loco elementi III et IV sola distantia in pe-
rihelio proferetur.

49.

Secimdum vulgarem loquendi morem inclinatio orbitae, quam nos a o vsque
ad 180° numeramus, ad 90° tantum extenditur, atque si angulus orbitae cum arcu
UJ3 (Fig. 1) angulum rectum egreditur, angulus orbitae cum arcu (qui est
illius complementum ad 180° tamquam inclinatio orbitae .spectatur; in tali (unc casu

acldere oportebit, motum esse retrogradum (veluti si in figura nostra EÇ^F par-
tem orbitae repraesentat), vt a casu altero vbi motus directus dicitur distinguatur.
Longitudo in orbita tunc ita numerari solet, vt in ß cum longitudine huius puncti
in ecliptica conueniat, in directione ÇlF autem deer escale punctum initiale itaque
a quo longitudines contra ordinem motus numerantur in directione Ç^P tantundem
a distat, quantum aequinoctium vernale ab eodem ^ in directione ÇlA. Quare
in hoc casu longitudo perihelii erit longitudo nodi deminuta distantia perihelii a
nodo. Hoc modo alteruter loquendi vsus facile in alterum conuertitur, nostrum
autem ideo praetulimus, vt distinctione inter motum directum et retrogradum su-
persedere, et pro vtroque semper formulas easdem adhibere possemus, quum vsus
vulgaris saepenumero praecepta duplicia requirat.

5o.

Ratio simplicissima, puncti cuiusuis in superficie sphaerae coelestis situm re-
spectu echpticae determinandi, fit per ipsius distantiam ab ecliptica {latitudinem),
atque distantiam puncti, vbi ecliptica a perpendiculo demisso secatur, ab aequino-
ctio {Icngitudinem). Latitudo, ab vtraque eclipticae parte vsque ad 90° numerata,
m regione boreali vt posiüua, in australi vf negatlua spectatur. Respondeant cor-
poris coelestis loco heliocentrico, 1. e. proiectioni rectae a Sole ad corpus ductae in
sphaeram coelestem, longitudo latitudo ß-, sit porro u distantia loci heliocen-
trici a nodo ascendente (quae argumentum latitudinis dicitur), i inclinatio orbitae,
longitudo nodi ascendentis, habebunturque inter i, u, ß, Z—Çl, quae quantita-
tes enmt partes trianguli sphaerici rectanguli, relationes sequentes, quas sine \lla
restrictione valere facile euinciturr

I.nbsp;tang (J—SI) = cos i tang u

II.nbsp;tang ß =: tang i sin (gt;?. — ß)

III.nbsp;sinß = sin î sin M

IV.nbsp;cosm = c0sy5c0s(;î-çl)

Quando i et u sunt quantitates datae,nbsp;inde per aequ. I determinabitur, ac

dem ß per II vel per III, siquidem ß non nimis ad ±90° appropinquate formula
IV SI placet ad calculi confirmationem adhiberi potest. Ceterum formulae I et IV
docent, A ^ et ^^ semper in eodem quadrante iacere, quoÜes ? est inter O et 90°•
contra Z ^^ et 56o u ad eundem quadrantem pertinebunt, quoties i est inter
90° et 180°, siue, secundum vsum vulgarem, quoties motus est retrogradus: hinc

Libr. I. Sect. II.

ambiguitas quam determinatio ipsius Z—Si per tangentem secundufti fornmlam I
relinqmt, sponte tollitur.

Formulae sequentes e praecedentium eombinatione facile deriuantur:

V.nbsp;sin(M—^ = Qsinii® sinwcos (;i — Si)

VI.nbsp;sin (if— Jl) == tang i i sin /?Scos (Jl —

VII.nbsp;sin(M—i S^) = tang ii tang ^ cos M

VIII.nbsp;sin (m ^ — SI) = 2 cos i P sin u cos (X—'Q,)

IX.nbsp;sin(M .^ — i'i) = cotang ii sin/9 cos (A—^Sl)

X.nbsp;sin(M ;i—ß) = cotangi i tang/? cos«

Angulus u—quoties i est infra 90°, aut « —Ji, quoties i est vltra 90quot;,
secundum vsum vulgarem reductio ad eclipticam dicitur, est scilicet differentia in-
ter longitudinem heliocentricam X atque longitudinem in orbita quae secundum ilium
vsum est ßjtw, (secundum nostrum S1 k). Quoties inclinatie vel parua est vel
a 180° parum diuersa, ista reductio tamquam quantitas secundi ordinis spectari
potest, et in hoc quidem casu praestabit, primo per formulam III ac dein i per
VII aut X computare, quo pacto praecisionem maiorem quam per formulam I as-
sequi licebit.

Demisso perpendiculo a loco corporis coelestis in spatio ad planum eclipti-
cae, distantia puncti intersectionis a Sole distantia curtata appellatur. Quam per
r', radium vectorem autem per r designando, hahehimus XI. r = r cos ß

5i.

Exempli eaussa calculum in artt. i4 inchoatum, cuius numéros planeta
lunonis suppeditauerat, vlterius continuabimus. Supra inueneramus anomaliam ve-
ram '3l5°l'23quot;o2, logarithmum radii vectoris 0,3259877: sit iam i =i3°6'44quot;io,
distantia perihelii a nodo = 24i° 10'2oquot;57, adeoque « = i96°xi'43quot;59; denique sit
Si = 171° 7' 48quot; 73. Hinc habemus :

log tang u................9,4650573

log cos?...................9,9885266

logtang {X—9,)......9,451.583^

Si = 195° 47'4oquot; 25
X'nbsp;== 6 55 28,98

logr........................0,3259877

log cos..................9,9991289

logr'.......................0,3251166
logsin(;.— Si)......9,4548691 n

log tang i................9,3672 3o5_

logtang^...............8,8020996 n

^ = — 3°37'4Oquot;O2

log cos/?................9,9991289 -

logcos(;î — -9,9802852 n
9,9824141 n
log cos ................9,9824141 u

49

relationes ad locym simplicem in spatio spectantes.

Calculus secundum formulas III, VlI ita se haberet:

log sin«......9,4454714 n logtangiï...............9,0604259

log sin i.......9,5557570

log taug................8,8020995 n

logcosz^..-.- .-..........9,9824i4i n

log sin — A Jl)...7,8449395

u-X 9, - O°24'3quot;34
= 1954740,25

52.

Spectando i et u tamquam quantitates variabiles, difFerentiatio aequationis 111
art. 5O suggerit:

cotang/?d/9 = cotang idt cotang udu

siue

XII.nbsp;dj9 = sin(;. — sini cos—
Perinde per differentiationem aequationis I obtinemus

XIII.nbsp;d(A—= —tang^cos(;.—

du

cos ßquot;-

Denique e differentiatione aequationis XI prodit
dr' — cosßdr — rsinßdß, siue

XIV. dr' = cos/3dr —rsiny?sin(;} — ^ di—r sinsinicos(A-

In hac vltima aequatione vel partes quae continent di et du per 206265quot; sunt diiii-
dendae, vel reliquae per hunc numerum multiplicandae, si mutationes ipsarum i et u
in minutis secundis expressae supponuntur.

55.

Situs puncti cuiuscunque in spatio commodissime per distantias a tribus pla-
nis sub angulis rectis se secantibus determinatur. Assumendo pro planorum vno
planum eclipticae, designandoque per z distantiam corporis coelestis ab boe plano a
parte boreali positiue, ab australi negatiue sumendam, manifesto babebimiis 2 =
tang/3 =ir sin^ = rsinzsin«. Plana duo reliqua, quae per Solem quoque ducta
supponemus, in spliaera coelesti circulos maximos proiicient, qui eclipticam sub
angulis rectis secabunt, quorumque adeo poli in ipsa ecliptica iacebunt et 90°
ab muicem distabunt. Vtriusque plani polum istum, a cuius parte distantiae
positiuae censentur, jjo/um positiuum appellamus. Sint itaque iV^ et 90° ]on_
gitudmes polorum positiuorum, designenturque distantiae a planis quibus respon-
dent respectiue per .v, y. Tunc facile perspicietur haberi

cos(A—N) = rcos^cos{X — cos{N~Çi) rcos
y = r sm{À—N)=r cos^ sin{X — fl) cos(N~^)~rcos^cos^X — SI)sin[N— SI)
qui valores transeunt in

x = r cos (N— i^) cos w r cos t sin (iV—J^) sin u
f=rcos i cos (N— SI) sin «—r sin (N—Çl) cos u
Quodsi itaque polus positiuus plani ipsarum x in ipso nodo ascendente collocatur, vt
sit N^Sl, liabebimus coordinatarum x, y, z expressiones simplicissimas
x.= r cos M
j'=r cosï'sinz«
.s = r sin i sin «

Si vero haec suppositio locum non habet, tamen formulae supra datae formam aeque
fere commodam nanciscuntur per introductionem quatuor quantitatum auxiliarium o,
h , A^ B iXa. determinatarum vt habeatur
cos (iv—s^) asmA
cos i sin (iV— ^ =: a cos A
— sin(iV—Jl) —hsinB

cosicos(iV—fi)=6cos_S
(vid. art. i4,II). Manifesto tunc erit
jf = ra sin{u-^A)
y=rdsia (uj B)
z=:rsm isin u

54.

Relationes motus ad eclipticam in praecc. explicatae manifesto perinde vale-
bunt , etiamsi pro ecliptica quoduis aliud planum substituatur, si modo situs plani
orbitae ad hoc planum innotueritj expressiones longitudo et latitudo autem tunc
supprimendae erunt. Offert itaque se problema : e situ cognito plani orbitae alius-
que plani noui ad eclipticam deriuare situm plani orbitae ad hoc nouumplanum.
Sint 7. fî, , riQ! partes 'circulorum maximorum, quos planum eclipticae, planum
orbitae planumque nouum in sphaera coelesti proiiciunt (Fig. 2). Vt inclinatio
circuli secundi ad tertium locusque nodi ascendentis absque ambiguitate assignari
possit, in circulo tertio alterutra directio eligi debebit tamquam ei analoga, quae
in ecliptica est secundum ordinem signorumj sit haec in fig. nostra directio ab n
versus Praeterea duorum hemisphaeriorum, quae circulus nSl' separat, alterum

reiiaulokes ad locvm simpmcem in spatio spectanïes.

censere oportebit analogum ïiaemisphaerio boreali, alterum australi: haec vero liae-
misphaeria sponte iam sunt disiincta, quatenus id semper quasi boreale spectatur,
quod in circulo secundum ordinem signorum progredienti ¹ ) a dextra est. In figura
igitur nostra sunt n, Q,' nodi ascendentes circuH secundi in primo, tertii in primo,
secundi in tertio; i8a° — n^Q,', 9,n9gt;',nbsp;inclinationes secundi ad primum,

tertii ad piimum, secundi ad tertium. Pendet itaque problema nostrum a solutione
trianguli sphaerici, ybi e latere vno angulisque adiacentibus reliqua sunt deducenda.
Praecepta vulgaria, quae in trigonometria sphaerica pro hoe casu traduntur, tam-
quam abunde nota supprimimus: commodius autem metliodus alia in vsum vocatur
ex aequationibus quibusdam petita, quae in libris nostris trignonometricis frustra
quaeruntur. Ecce has aequationes, quibus in sequentibus frequenter vtemur: dési-
gnant a, b, c latera trianguli sphaerici atque A, B, C angulos illis resp. oppositos:

siui(5 — c)

smi{B—C)

cos ^ a

Quamquam demonstrationem harum propositionum breuitatis caussa hic praeterire
oporteat, quisque tamen earum veritatem in triangulis, quorum nec latera nec an-
guli i8o° excedunt, haud difficile confirmare poterit. Quodsi quidem idea trianguli
sphaerici in maxima generalitate concipitur, vt nec latera nec annuli vllis hmitibus
restringantur (quod plurima commoda insignia praestat, attamen quibusdam diluci-
dationibus praeliminaribus indiget), casus existere possunt, vbi in cunctis aequatio-
nibus praecedentibus signum mutare oportet; quoniam vero signa priora manifesto
restituuntur, simulac vnus angulorum vel vnum laterum 560° augetur vel diminui-
tur, signa, qualia tradidimus, semper tuto retinere licebit,' siue e latere anguhs-
que adiacentibus reliqua determinanda sint, siue ex angulo lateribusque adiacentibus;
semper enim vel quaesitorum valores ipsi vel 36o° a veris diuersi hisque adeo ae-
quiualentes per formulas nostras elicientur. Dilucidationem copiosiorem huius argu-
menti ad aham occasionem nobis reseruamus: quod vero praecepta, quae turn pro

1nbsp; Puta ill interiori sphaerae superficie, quam figura nostra repraesentat.

solutione problematis nostri tum in aliis occasionibus formulis istis superstruemus,
in omnibus casibus generaliter valent, tantisper adiumento inductionis rigorosae»
i. e. completae omnium casuum enumerationis, haud difficile comprobari poterit.

55.

Designando vt supra longitudinem nodi ascendentis orbitae in ecliptica per Ji,
inclinationem per i-, porro longitudinem nodi ascendentis plani noui in ecliptica per n,
inclinationem per e j distantiam nodi ascendentis orbitae in piano nono a nodo ascen-
dente plani noui in ecliptica (arcum nflquot; in Fig. 2) per fl', inclinationem orbitae ad
planum nouum per iquot;; denique arcum ab ß ad secundum directionem motus
per A: erunt trianguh sphaerici nostri latera ß—SI', A, angulique oppositi i',
180° — i, e. Hinc erit secundum formulas art. praec.

sin^i'sin A) = sin f (Si —«) sin^ (i e)
siniri'cos|:(Si' A) = cos i (Si — «) sin è (« — f)

cos il' sin i (Si'— A) = sin i ,Si—n) cos i {i e)
cos i i'cos i (îi'—A) = cos i (Si — n)cosi{i — e)
Duae primae aequationes suppeditabunt l:(Si' A) atque sinÜ'; duae reliquae
i:(Sl'—A) atque cos^i'-, ex |:(Si' A) etnbsp;demanabunt Si' et A; ex

sinii' aut cosfi' (quorum consensus calculo confirmando inseruiet) prodibit i.
Ambiguitas, vtrum |(Si'-f A) et |r(Si'—A) inter o et 180° vel inter 180quot; et 56o'
accipere oporteat, ita tolletur, vt tum sinji' tum eos^i' fiant positiui, quoniam
per rei naturam i' infra 180° cad«re debet.

56.

Praecepta praecedentia exemplo ilhistrauisse liaud inutile erit. Sit Si =
J72' 28' i3quot; 7, i = 54° 58' 1quot; I ; porro sit planum nouum aequatori parallelum, adeo-
que 7z = i8o°; angulum e, qui erit obliquitas eclipticae, statuimus =23° 27'55quot; 8.
Habemus itaque

=—7« 31'46quot;5nbsp;KSi —«) = —3''45'53quot;i5

i f = 58 5 56,9nbsp;29 2 58,45

i—£ = 11 10 5,3nbsp;fi) = 5 35 2,65

logsini(Si—n)...8,8173026 nnbsp;logcosi(Si—n)......9,9990618

logsini(i f)......9,6862484nbsp;logsin^(f—c)......8,9881406

logcos Kï ff)......9?94i6io8nbsp;log cos i {i—e)......9,9979342

relationes ad locvm simplicem in spatio spectantes.

Hinc fit

logsin|ri'sin§(^' A)...8,5o355io n
log sii^ i'cos i A)...8,9872023
vnde é -f 19quot; o 1
log sin i i'......9,0094368
logcos|i'sinè(Ji—A)...8,7589134 M

cos i coslCfi—A)...9,9fl6.QQ^
vnde A) = 356° 41'quot;siquot;43
logcos^i'.........9,9977202

Obtinemus itaque fi'= 5° 5i'56quot; 445, i'= 11° 43'02quot; 89, Jl'= 338° 3o'5oquot; 43,
A= —i4°52'i2quot;42. Ceterum punctum n in sphaera coelesti manifesto respondet
aequinoctio autumnali; quocirca distantia nodi ascendentis orbitae in aequatore ab
aequinoctio vernali (eius rectascensio) erit i58° 3o'5oquot; 43.

Ad illustrationem art. 53 hoe exemplum adhuc ylterius continuabimiis, for-
mulasque pro coordinatis respectu trium planorum per Solem transeuntium euolue-
mus, quorum vnum aequatori parallelum sit, duorumque reliquorum poli positiui
in ascensione recta oquot; et 90° sint siti: distantiae ab his planis sint resp. z, x, y.
Iam si insuper distantia loei heliocentrici in sphaera coelesti a punctis Q,, resp.
denotetur per u, fiet u—u—A = « 14° 52' 12quot; 42, et quae in art. 53 per
^—SI, U exprimebantur, hic erunt i', 180°—Sic per formulas illic data«
prodit

logS sin^......9,5638o58

log 6 cos B......9,9595519 n

rnde = i5Squot;5'54quot;97

log 6............9,9920848

57.

Corporis itaque coelestis distantia a quouis piano per Solem transeunte re-
duci poterit ad formam Xrr sin ^t^designante v anomaliam veram, eritque/I-
sinus inclinationis orbitae ad hoc planum, distantia perihelii a nodo ascendente
orbitae in eodem piano. Quatenus situs plani orbitae, lineaeque apsidum in eo,.

LIBR. L SE CT. II.

nec non situs plani ad quod distantiae referuntur pro constantibus haberi possunt,
etiam k ei K constantes erunt. Frequentius tamen illa methodus in tali casu in
vsum Yocabitur, vbi tertia saltem suppositio non permittitur, etiamsi perturbationes
negUgantur, quae primam atque secundam semper ahquatenus afficiunt. Illud eue-
nit, quoties distantiae referuntur ad aequatorem, sine ad planum aequatorem sub
anlt;^ulo recto in rectascensione data secans: quum enim situs aequatoris propter
praecessionem aequinoctiorum insuperque propter nutationem (siquidem de vero non
de medio situ sermo fuerit) mutabilis sit, in hoc casu etiam Jc et mutationibus, len-
tis vtique, obnoxiae erunt. Computus harum mutationum per formulas differentia-
les absque difficultate eruendas absolui potest: hic vero breuitatis caussa sufficiat,
variationes dilferentiales ipsarum i, Ji', A apposuisse, quatenus a variationibus ipsa-
rum ÇI — n atque s pendent.

di' = sine sinSï'd(g —«)—cosJl'ds

sin i cos A , , , siquot; ,
—.nbsp;d (SI—») —— cl e

smi
sin £ cos
sini'

Ceterum quoties id tantum agitur, vt plures corporis coelestis loei respectu talium
planorum mutabilium calculentur, qui temporis interualkim mediocre complectuntur
(e. g. vnum annum), plerumque commodissimum erit, quantitates a, A, b, B,
c, C pro duabus epochis intra quas illa cadunt reipsa calculare, ipsarumque muta-
tiones pro singulis temporibus propositis ex illis per simplicem interpolationem
eruere.

58.

Formulae nostrae pro distantiis a planis datis inuoluunt i' et r: quoties lias
quantitates e tempore priu^ determinare oportet, partem operationum adhuc con-
trahere, atque sie laborem notabiliter alleuare licebit. Deriuari enim possunt illae
distantiae per formulam persimplicem statim ex anomalia excentrica in ellipsi, vel
e quantitate auxiliari F aut u in hyperbola, ita vt computo anomaliae verae radü-
que vectoris plane non sit opus. Mutatur scilicet expressio sin(t; is:)

I- pro ellipsi, retentis characteribus art. 8, in

akcos(p cosKsinE aisinKicosE—e)

Determinando itaque l, L, X per aequationes

ahsmK—lsmL

ah cosg) cosK =/cosZ/

.— eaXsmÄquot;= — elsixiL —X
expressio nostra transit in lsin(E L)-\-X, vbi I, L, constantes erunt, quatenus

I.nbsp;K, e pro constantibus habere licet; sin minus, de iUarum mutationibus com-
putandis eadem valebunt, quae in art. praec. monuimus.

Exempli caussa transformationem expressionis pro a: in art. 56 inuenti appo-
nimus, vbi longitudinem perihelü= 12i°i7'34quot;4, i4''i3'3iquot;97 , log a = 0,4423790
statuirnus. Fit igitur distantia perihelii a nodo ascendente in echptica = 3o8°49 207 =
II—p; hinc Jlt;C = 212quot; 36'56quot; og. Habemus itaque

legal-..............0,4411713nbsp;log/sinZy......0,1727600 n

log sin K..........9,73i5887 nnbsp;log/cos Z^......o,353ii54 n

logaJtcosç)......0,4276456nbsp;vnde iy rraiS'aS'5iquot; 3o

logcosÄquot;,.........9,9254698 nnbsp;logl = 0,4316627

log;? == 9,5632352
2 = 0,5657929

II.nbsp;In hyperbola formula iamp;r sinCf Äquot;) secundum art. 21 transit innbsp;tang F
7/secansi5', si statuitur eàksmK=:A, b h iscagyj cos —bksinK — Vj ma-

nifesto eandem expressionem eüam sub tormam -'^p ~ reducere licet,

Si loco ipsius F quantitas auxiliai'is u adhibita est, expressio Xt sin (v-fiST) per

art. 21 transibit in a —, vbi a, y determinantur per formulas

u

a-=z Z — ehhsmK

III.nbsp;In parabola, vbi anomalia vera e tempore immediate deriuatur, nihil ahud
«upererit, nisi vt pro radio vectore valor suus substituatur. Denotando itaque di-

stantiam in perihelio per q, expressionbsp; fit =--cos ' --'

59.

Praecepta pro determinandis distantiis aplanis per Solem transeuntibus ma-
nifesto etiam ad distantias terrae applicare licet: hic vero simplicissimi tantum ca-
sus occurrere soient. Sit R distantia terrae a Sole, L longitudo heliocentrica ter-

rae (quae 180° a longitudine geocentrica Solis differt), denique X, Y, Z distan-
tiae terrae a tribus planis in Sole sub angulis reetis se seeantibus. Iam si

I,nbsp;Planuin ipsarum Z est ipsa ecliptica, longitudinesque polorum planorum reli-
quorum, a quibus distantiae sunt X, F, resp. N et iV goquot;: erit

X=:Äcos(iy —iV), r=:i2 sin(iv—iyT), Z=:o.

II.nbsp;Si planum ipsarum Z aequatori parallelum est, atque rectascensiones polorum
planorum reliquorum, a quibus distantiae sunt X, Y, resp. O et 90°, habebimus,
obliquitate eclipticae per s designata

X=:,RcosL, YR cose sinL, Z =:R sms sinL.

Tabularum solarium recentissimarum editores, clarr. de Zach et de Lambre, lati-
tudinis Solis rationem habere coeperunt, quae quantitas a perturbationibus reliquo-
rum planetarum atque lunae producta vix vnum minutum secundum attingere pot-
est. Designando latitudinem heliocentricam terrae, quae latitudiui Solis semper
aequalis sed signo opposite affecta erit, per B, habebimus:

in casu II.

X =z R cosB cosL/

Y = R cosjS cosfi sinZ/—jRsin^sine
Z = R cos B sin e sin L -{• R sin B cos e

Pro cos B hic semper tuto substitui poterit i, angulusque B in partibus radii ex-
pressus pro sini?,

Coordinatae ita inuentae ad centrum terrae referuntur: si t^, ^ sunt di-
stantiae puncti cuiuslibet in terrae superficie a tribus planis per centrum terrae
ductis iisque quae per Solem ducta erant paraUelis, distantiae illius puncti a pla-
nis per Solem transeuntibus manifesto erunt X l, Y-\-tf,nbsp;valores coor-
dinatarum |, jy, ^ autem pro vtroque casu facile determinantur sequenti mo-
do. Sit Ç radius globi terrestris (siue sinus parallaxis horizontalis mediae Solis)
X longitudo puncti sphaerae coelestis, vbi recta a terrae centro ad punctum super-
ficiei ductum proiicitur, ß eiusdem latitude, « ascensio recta, lt;J dechnatio, ex-itque

in casu I.
I =: çgt; cos/? cos(;i —iV)
ij z= Ç coSj5sin(^'—N)
i = Ç sinß

Punctum illud spliaerae coelestis manifesto respondet ipsi zenith loci in superficie
(siquidem terra tamquam sphaera spectatur), quocirca ipsius ascensio recta conue-
niet cum ascensione recta medii coeli siue cum tempore siderali in gradus conuerso,
declinaüo autem cum eleuatione polij si operae pretium esset, figurae terrestris
sphaeroidicae rationem habere, pro S eleuationem poli correctam, atque pro ç) di-
stantiam veram loci a centro terrae accipere oporteret, quae per régulas notas
eruuntur. Ex a et (J longitudo et latitudo i et per régulas notas infra quoque
tradendas deducentur; ceterum patet, X conuenire cum lougitudine nonagesimi, at-
que 90°—ß cum eiusdem altitudine.

60.

Designantibus x, y, z distantias cor^Doris coelestis a tribus planis in Sole
sub angulis redis se secantibus; X, Y, Z distantias terrae (siue centri siue puncti
in superficie) ab iisdem planis: patet, a; — X, y—F, z — Z fore distantias corpo-
ris coelestis a tribus planis illis parallele per terram ductis, basque distantias ad
distantiam corporis a terra ipsiiisque locum geocentricum *), i.e. situm proiectionis
rectae a terra ad ipsum ductae in sphaera coelesti, relationem eandem habituras,
quam x, y, z habent ad distantiam a Sole locumque heliocentricum. Sit A distan-
tia corporis coelestis a terra; concipialur in sphaera coelesti perpendiculum a loco
geocentrico ad circulum maximum, qui respondet piano distantiarum z, demissum,
sitque a distantia intersectionis a polo positiuo circuli maximi, qui respondet piano
ipsarum x, denique sit h longitudo ipsius perpendiculi siue distantia loci geocentrfci
a circulo maximo distantiis z respondente. Tune erit h latitudo aut declinatio geo-
centrica, prout planum distantianmi ;s est ecliptica aiit acquator; contra a ^on-
gitudo seu ascensio recta geocenti-ica, si N désignât in casu priori-longitudinem in
posteriori ascensionem rectam poli plani distantiarum .t. Quamobrem erit

a- — X = A COSamp; cos a
y— F = A COSamp; sin«
s—Z = A sinö

Duae priores aequationes dabunt a atque AcosS; quaniiias posterior (quam posi-
tiuam fieri oportet) cum aequatione tertia combinata dabit b atque A-

*) In sensu latiori: proprie enim haec expressio ai cum casum refertur, vbi rccta e terrae
tro ducitiur.

8

6i.

Tradidimus in praecedentibus methodum facillimam; corporis coelestis lo-
cum geocentricum respectu eclij^ticae sen aequatoris, a parallaxi hberum siue ea
affectum, ac perinde a nutatione liberum sen ea affectum determinandi. Quod enim
attinet ad nutationem, omnis differentia in eo yersabitur, ytrum aequatoris positio-
ném mediam adoptemus an vcram, adeoque, in casu priori longitudines ab aequi-
noctio medio, in posteriori a vero numeremus, sicuti in casu illo eclipticae obli-
quitas media, in hoc vera adhibenda est. Ceterum sponte elucet, quo plures ab-
breuiationes in calculo coordinatarum introducantur, eo plures operationes praeli-
minares esse instituendas : quam obrem praestantia methodi supra explicatae, coor-
dinatas immediate ex anomalia excentrica deducendi, tunc potissimum se manifesta-
bit, vbi midtos locos geocentricos determinare oportet: contra quoties vnus tantmn
locus computandvis esset, aut perpauci, neutiquam operae pretium foret, laborem
tot quantitates auxiliares calculandi suscipere. Quin potius in tali casu methodiun
vulgarem haud deserere praestabit, secundum quam ex anomalia excentrica dedu-
citur vera atque radius vector; hinc locus heliocentricus respectu eclipticae; hinc
longitudo et latitudo geocentrica, atque hinc tandem rectascensio et declinatio. Ne
quid igitur hic deesse videatur, duas vltimas operationes adhuc breuiter explicabiznus.

62.

Sit corporis coelestis longitudo heliocentrica 2, latitudo ß ; longitudo geo-
centrica I, latitudo b, distantia a Sole r, a tei-ra A; denique terrae longitudo he-
liocentrica Lt, latitudo B, distantia a Sole B. Quum non statuamus B = 0, for-
mulae nostrae ad eum quoque casum applicari poterunt, vbi loci heliocentrici ct
geocentricus non ad eclipticam sed ad quoduis aliud planum referuntur, modo de-
nominationes longitudinis et latitudinis supprimere oportebit: praeterea parallaxeos
ratio statim haberi potest, si modo locus helioccntxicus terrae non ad centrum sed
ad locuin in superficie immediate refertur. Statuamus porro r cos ßnbsp;A cos b = A',

RcosB —I^. Iam refer endo locum corporis coelestis atque terrae in spatio ad
tria plana, quorum vnum sit ecliptica, secundumque et tertium polos suos habeant
in longitudine N et ^'quot; 90°, protinus emergent aequationes sequentes:

r'cos(;î—iV) — R'cos{L — N) = A'cos(/~iV)
r'sin(;i —Aquot;) — Ä'sin(jL—iV) = A'sin(/~-A^)
/tang/? — lÜtangBnbsp;= A'tang b

vbi angulus N omilino arbitrarius est. Aequatio prima et secunda statim determi-
nabunt I—N atque A', vnde et ex tertia demanabit b-, ex b et A' habebis A. Iam
vt labor calculi quam commodissimus euadat, angulum arbitrarium N tribus modis
sequentibus determinamus:

I. Statuendo N=zL, faciemus -^sin(A—L) =P, cos (i—l)—»
= inuenienturque I—JL, - atque h per formulas

tang(Z_i;)

A'nbsp;O

■ cos(/—i.)
^tang/3 — tang 5

72'

H! JR^
II. Statuendo N= X, faciemus -y- sin {2.—L)—P,i--p- cos (;i — Z/) = Q,

eritque

tang(/—;i)

A'nbsp;P

sin(/—2)nbsp;cos(/—A)

72'

tang ß---r- tang B

Aquot; ■

III. Statuendo Nnbsp;, inuenientur I atque A' per aer^uatiouee

tangnbsp;= -J7~^tangi(;.—Z.)

^ (r 7g')sin|(;.—i.) _ {r'—R')eosi{X—L)
sin (/— i {X L)')nbsp;cos (/—i {X^-Lf)

ac dem b per aequationem supra datam. Logarithmus fractionisnbsp;commode

calculatur, si statuitur-?! = tangf, vnde fitnbsp;= tang (45' 0. Hoe

modo methodus III ad determinationem ipsius I ahquanto breuior est, quam I etil,

ad operationes rdiquas autem has ij]i pracfcrondas censemus.

65.

Exempli caussa calculum in art. 5i vsque ad locum heliocentricuïn produ-
ctum vlterius continuamus. Respondeat illi loco longitudo heliocentrica terrae
24° 19'4905 =Z/, atque logiZ = 9,99809795 latitudinem^ statuimus =0. Hahe-
mus itaque k—= — i7°24'2oquot;o7, logR' — logR, adeoque secundum methodum 11,

log-^..................9,6729815nbsp;log(i—Q)......9,6526258

logsin(;.—//)......9,4758655 renbsp;i—Q= 0,4495925

log cos (A—L)......9,9796445nbsp;lt;2 0,5506075

logP......................9,1488466nbsp;re

lóg Q.....................9,74o842i

Hmc 21'6quot;75nbsp;vnde l =:002'54^'22quot;23
A'

log ..................9,7546117nbsp;vntie log A'-. 0,0797283

logtangß...............8,8020996 renbsp;log cos ......9,9975144

log tang 6...............9,0474879nbsp;log A...........,0,0824159,

b — — 6° 21'55° 07

Secundum methodum III ex log tang ^ = 9,6729815 habetur 25° i5' 6quot; 5i, adeoque

log tang (45° ............0,4441 og 1

log tang — ............9,1848958 n

log tang (/—-li?—iiy)...8,6290029 re
/—i;? —-iZ/ = — 23°5'i6'-79 gt;

I 0 I 1 rnbsp;, f; r-., r-^ „ ^ ( vnde / = 552''34'22''225

=nbsp;150709,01,3 J

64.

Circa problema art. 62 sequentes adhuc obseruationes adiicimus.
I. Statuendo in aequatioiie secunda illic tradita iV=gt;?, N=L,. N—l, prodit
sin= sin(/—;?); r'sin(;i —= A'sin(/—i); r'sin (/-;!)nbsp;sin(/-iv) 3

aequatio primo, aut secvtnda commode ad calculi confirmationcni applicatur ^ si in€—
^ thodus I aut II. art. 62 adhibita est. Ita habetur in exemplo nostro
logsin(i—......9,4758655 nnbsp;Z. = —5i°45;26quot;82

log-^..............9,7546117

9,7212556 n
log sinnbsp;.......9,7212556 re

II.nbsp;Sol duoqne in plano eclipticae puncta, quae sunt proicctiones loci cor-
poris coelestis atque loci terrae, triangulum planum formant, cuius latera siuil
A'^ r', angulique oppositi vel X—L, l—180°—l L, \eï L—Z, X —
180° — £/ /: ex lioc principio relationes in I traditae sponte sequuntur.

III.nbsp;Sol, locus verus corporis coelestis in spatio, locusque verus terrae aliud
triangulum formabmit, cuius latera erunt A, R, r\ angulis itaque his resp. oppo-

sin sinT sin(^ r)
sitis per S, T, iSo^—S—T denotatis, eritnbsp;=nbsp;^-r--'

num huius trianguli m sphaera coelesti circulum maximum proiiciet, in quo locus
heliocentricus terrae, locus helioceutricus corporis coelestis eiusdemque locus geo~
centricus siti erunt, et quidem ita vt distantia secundi a primo, tertii a secundo,
tei'tH a primo, secundum eandem directionem numeratae, resp. sint S, T, S-\-T.

IV.nbsp;Vel ex notis variationibus differentialibus partium trianguli plani, vel
aeque facile e formulis art. 62 sequentes aequationes differentiales deriiiaiitur:

/cos (;.—/)

dX-

/)dl cos(;. — /) dr'
r'cos Z» sin amp; sin ( .P.— l)nbsp;r'cosV^

A'

■ (tang ß-— cos (X ■

vbi partes quae continent dr', dA' per 206265 sunt multiplicandae, vel reliquae per-
206265 diuidendae, si mutationes angulorum in minutis secundis exprimuntur.

V. 'Problema inuersum, scilicet determinatio loci heliocentrici e geocentrico
problemati supra euoluto prorsus analogum est, quamobrem superfluum foret, illi
amplius inhaerere. Omnes enim formulae art. 62 etiam pro illo problemate valent,
si modo omnibus quantitatibus quae ad locum corporis coelestis^^ßsfentricum spe-
ctant cum analogis üs quae ad geocentricum referuntur permutatis, proi^, B resp-
substituitur Z. i8o°, —B, siue quod idem est pro loco helioceutrico terrae geo-t-
centricus solis accirntur.

6^.

E'.iamsi in eo- casu , vbi ex elementis datis paucissimi tantum loei geocen--
trici sunt determinancli, omnia artificia supra tradita, per quae ab anomalia exeen-
triea Statim ad longitudinem et latitudinem geoceutricam 5 vel adeo ad rectascensio-

nem et declinationem, transire licet, in Ysnm vocare vix operae pretium sit, quo-
niam compendia inde demanantia a multitudine quantitatum auxiliarium antea com-
putandarum absorberentur: semper tamen contractio reductionis ad eclipticam cum
calculo longitudinis et latitudinis geocentricae lucrum baud spernendum praestabit.
Si enim pro piano coordinatarum z assumitur ipsa ecliptica, poli antem planorum
coordinatarum x, y collocantur in longitudine Jl, 90quot; coordinatae facillime abs-
que vlla quantitatum auxiliarium necessitate determinantur. Habetur scilicet

x = r cos it

y=rcosisinu

z=:rsmisinu

66.

E longitudine et latitudiné puncti cuiusuis in sphaera coelesti eius rectascen-
sio et declinatio deriuantur per solutionem trianguli sphaerici, quod ab iHo puncto
polisque arcticis eclipticae et aequatoris formatur. Sit e obhquitas eclipticae, /lon-
gitudo, d latitudo, cc ascensio recta, S declinatio, erimtque trianguli latera e,
90°—1gt;, go°'—pro angulis lateri secundo et tertio oppositis accipere licebit go° a,
90 7 (yjrn.iidcm trianguli spljaeriri ideam maxima generalitale roncipimus); angu-

lum tertium lateri e oppositum statuemus =90°—E. Habebimus itaque per for-
mulas art. 54.

siu (45°—§ J) sin é (£ a) = sin (45° 1 O sin (45°—i ( e 5 ))
sin (45quot; — § COS è ( ^ « ) = cos (45° f / ) cos (45°—é (f]— 6))
cos(45—i(^)sini(£—«)=cos(45' -I-/)sin(45''—i(£— ))

cos (45quot;— iô)cosi {E—a) = sin (45° i /) cos (45° —è ( ^))
Aequationes cluaë primae dabunt i (iJ a) atque sin (45°— iS)', duae vltimae -i {E— «)
atque cos (45°—ex i{E a) et l-{E—a) habebitur cc simulque E', ex
sin (45°—if^) aut cos (45° — iS), quorum consensus calculo confirmando inseruiet,
determinabitur 45° — iS atque hinc »J. Determinatio angulorum i{E a), i{E a)
per tangentes suos ambiguitati non est obnoxia, quoniam tum sinus tum cosinus
anguli 45°—positiuus euadere debet.

Älutationes differehtiales quantitatum a, S e mutationibus ipsarum /, 6 se-
cundum principia nota ita inueniuntur:

sin E cos b

Al-

cos snbsp;cos à

d (J cos E cos Û d / sin Zgt;

67.

Methodus alia, problema art. praec. soluendi, ex aequationibu«
cos 5 sin/ = sine tang 6 cos/tang a
sin(^ = cose sin 6 sine cost sin/
cos 6 coscos «cos (J
petitur. Determinctur angulus auxiliaris 6 per aequationem

tang b

. , -, eritque
sm / ' ^

cos {s 6) tang I

tang Of

cos 6

tang = sin a tang (e (i)
quibus aequationibus ad calculi confirmationem adiici potest

cos {ß 6) COS h sin I

siue cos3 = -Z^ßsina

Ambiguitas in determinatione ipsius « per aequ. secundam eo toIlitUTj quod. coscs
et cos7 eadem signa habere debeut.

Haec metliodus minus expedita €st, si praeter a et § etiam E desideratur:
formula commodissima ad hunc angulmn determinandum tunc erit cos Ez
sin s cos I

= ^^^—•nbsp;P^r hanc formulam E accurate computari nequit, quoties .cosE

parum ah ynitate differt; praeterea ambiguitas remanet, Ttrum E inter o 'et 180'
an inter 180° et 36o° accipere oporteat. Incommodum prius raro vllius momenti
est, praesertim, quum ad computandas rationes differentiales vltima praecisio in va-
lore ipsius E non requiratur: ambiguitas vero illa adiumento aequationis cos amp; cos SsinE
=: cosfi — sin amp; sin facile tollitur, quae ostendit E inter o et 180°, vel inter 180°
et 56.0° accipi debere, prout cose maior fuerit vel minor quam sin 5 sin Jquot;: mani-
festo hoc examen ne necessarium quidem est, quoties alteruter angulorum b, § li-
mitcm 66°32' non egreditur: time enim sinZ^ semper fiet positiuus. Ceterum ea-
dem aequatio in casu supra addigitato ad determinationem exactiorem ipsius E, si
operae pretium videtur, adhiberi poterit

.68.

Solutio problémàtis inuersi, puta determinatio longitudinis et latitudinis ex
ascensione recta et declinatione, eidem triangulo sphaerico superstruitur : formulae
itaque supra traditae huic fini accommodabuntur per solam permixtationem ipsius b
cum S, ipsiusque I cum —cf. Etiam has formulas, propter vsum frequentem, hic
apposuisse haud pigebit:

Secundum melhodimi art. 65 habemus
sin(45°——= cos(45° «) sin(45quot; —i(e4-c^))
sin (45°—16) cosnbsp;= sin(45° |«)cos(45' —

cos(45°--§5)sinl(jS-|-/) = sin(45''-f-i-a)sin(45°—(Î))
cos(45°—i5)cos|:(^ /) =008(45° 1 a) cos (45°—

Contra ad instar methodi alterius art 67 determinabimus angulum auxilla-
rem ^ per aequaiionem

5. tang(j'

cos (^—f) tang a

tang/==:

cos^
sin I tang (^—e)

Ad calculi confirmationem adiungi poterit

cost^cosocnbsp;ros — s) cos S sin a

cos/ ~nbsp;cos ö sin/

Pro determinatione ipsius E inseruient perinde vt in art. praec. acquationes
sin e cos a sin s cos /
cos bnbsp;cos S

cos 5 cos (Jsin = cose — sinamp;«inJ

Variationes differentiales ipsarum /, b liiscc formulis exhibebuntur:

sinjBcosfînbsp;cos^; ,

O.' — -7-dor --do

coêônbsp;^ cos 5

db := —cosEcos^da sihJSdJ

69,

Exempli caussa ex ascensione recta 355* 43'45'So =«, declinatione
— 8°47'25quot;=J, obliquitate eclipticae 23°2/5gquot;a6 =£ longitudinem et latitudinem
computabimus. Est igitur 45° i a—222^51'62quot; 65, 45°—=57° 39'42quot; 87,
45° —=28°52'17quot;87; hinc porro

log cos (45° la)................9,8650820 « log sin (45°................9,8326803 «

log sin (45° —i (e J))......9,7860418 log sin (45°—i (e— â)).....9,6838112

log cos (45° — ......9,8985222 log cos (45°-i (s— CÎ)).....9,9425572

log sin (45quot;— i b) sin f (E^I).........9,65ii258 nnbsp;----

logsin(45° — iamp;)cos!■(£—/).........9,7750375 n

vndenbsp;0 = 216'56'5quot;o9; logsin(45° —=9,8725171

log cos (45°—i Ô) sin § (lE /}........9,5164915«

log cos (45° — § 5) cos è /).......9,7606042 n

vnde i(ZJ /) = 209°5o'49quot;94: logcos(45°—^6) = 9,8259669
Pit itaque ^= 426'26'55quot;35,/=—7°25'i5quot;45, siue quod eodem reditE=z66'26'S5quot;55,
/= 352° 34'44quot; 55; angulus 45° —ib e logaritlimo sinus habetur 48°io'58quot;i2, elog-
arithmo cosinus 48°io'58quot;i7, e tangente, cuius logarithmus illorum differentia est,
i8 io'58quot;i4; hinc 6 =~6°2i'56quot;28.

Secuniîum metliodum alteram calculus ita se habet:

,logtang(J......9,1893062 n C.logcos^...........0,3626190