Expliqué amp; démontré d'une manière
ûoiute amp; fecile, amp; augmenté d'un Traité
de la divifîon des Champs.

A LA HAYE,
Chez Henry van Bulderen, Marchand
Libraire, dans le Pooten, à l'Enfeigne
de Mezer a y.

ES Vfages du Compas
de Proportion étant
dans un très - grand
nombre je me fuis,
propofé de vous donner
feulement icy ^ Mon cherLedeur,
ceux qui m'ont femblé les plus utiles
amp; les plus généraux, afn que par
leur moyen vous puisiez facilement
trouver les autres de vous-même^
furtout quand vous aurez bien com-
pris les demonfirations de ceux que
je pre'tens enfeigner icy le plus briè-
vement qu'il me fera poffible. Jmfi
je me fûts contenté de mettre feule-
ment dans cet Injirument, d'un
cotéldi Ligne des Parties égales,
A 2nbsp;pour

four pouvâir divifer me Ligne
droite felon me raifon donnée : La
Ligne des Plans , pur pouvoir
augmenter amp; diminuer m Plan
felon me raifon donnée : amp; la Li-
gne des Polygones, pour pouvoir
infcrire dans un Cercle un Polygone
regtilier s amp; de Vautre côté la
Ligne des Cordes, pour la mefu-
re des Angles ^ amp; la Ligne des
Solides, four pouvoir augmenter
amp; diminuer m Sohde felon une rai-
fon donnée.

lE Compas de Proportion eft
un Inftrument de Mathéma-
tique , dont on |)eut fe fer-
vir trés-coramodcmentpoui:
refoudre promptement amp; fa-
cilement lès Problèmes les plus utiles amp;
les plus neccltdres dans toutes les parties
de Mathématique, amp; principalement daiîs
la Geometric pratique, tant fur le papier
que fur le terrain.

lt;î Construction du Compas
ment ne foir pas inconnue aux Ouvriers,
qui travaillent aux Inftrumens de Mathé-
matique ; néanmoins je ne lailTeray pas
^e l'enfeigner icy brièvement pour les Li-
çneS que nous nousfommes propofées d'y
mettre, fçavoir pour les Lignes des Par-
ties e'gales, des Plans , des Polygones ,
des Cordes, amp; des Solides , étant facile
à lear imitation d'y ajouter les autres li-
gnes,' dont on pcxît avoir befoin dans la
pratique, comme la Ligne des Tangen-
tes , pour la defcription des Cadrans So-
bires, la Ligne des Métaux, amp;c.

AYant déterminé la longueur du Com-
pas de proportion, que vous vou-
iez conftruire, comme de fix pouces, ce
qui eft le plus ordinaire, amp; la largeur,
comme de fix lignes, préparez deux Rè-
gles de ieton , ou de quelqu'autre ma-
tiere folide , ayant cette même longueur
amp; cette même largeur , pour les jambes
de vôtre Compas, lefquelks doivent être
mobiles à l'entour de leurs extremitez,
que l'on doit pour cette fin joindre en-
1^-mble par le moyen d'une charniere ,

eiiiorte que le Compas de proportion le
puiffe fermer amp; ouvrir comme l'on vou-
dra par un mouvement, qui foit autant
égal amp;niniforme qu'il fera poffible, pour
s'en pouvoir fervir plus commodement.

Le centre de cette charniere iera pris
pour le centre du Compas de propor-
tion, comme A, duquel on doit tirer
delfus chaque jambe de côté amp; d autre
toutes les lignes qu'on veut ajoûter au
Compas de proportion, pour ion ufage,
amp; premièrement U Ugne des Parues
éjr/les, ainfi appellée , parce quelle eft
divifée en un certain nombre de parties
égales, tel que l'on veut, amp; le plus grand
fâa le meilleur , afin que l'ufage en ioit
plus miiverfel. Ce nombre eft ordinaire-
mait 200 , dans une longueur de fix
pouces, amp; bien que la divifion de cette
lene en 200 parties égales foit facile,
néanmoins pour ne rien kiiler adevmer,
je diray icy en peu ds mots la manière de

La longueur de vôtre Ligne etmt de-
terminée iur chaque jambe , divilez-la ^ •
depuis le centre du Compas de propor-
tion jufqu'à fon extrémité , en deux par-
ties égales, dont chacune vaudra 100.
Diviiez encore chacune de ces deux par-

ties égales en deux autres parties égales,dont
chactme vaudra ;o. Divifez enfuite chacu-
ne de ces parties égaies en deux autres par-
ties égales, amp; chacune de ces nouvelles par-
ties égales en cinq parties égales, amp; enfin
chacune de ces demieres parties égales en-
core en cinq parties égales , amp; b Ligne
propofée fe trouvera divifée en fes zoo
parties égales, que vous feparerez de cinq
en cinq par de petites lignes , aufquelles
vous ajouterez des chifires de i o, en i o,
feulement, en les contant depuis le cen-
tre A , jufqu a l'autre extremité , où le
nombre aoo fe trouvera.

Proche la Ligne des parties égales, on
pourra ajouter fur la même (urface du
Compas de proportion la Ligne des
fUns. Pl*ns, ainfi appellee, parce qu'elle com-
prend depuis le centre A, les cotez ho-
mologues d'un certain nombre de Plans
femblables multiples du premier amp; plus
petit par les nombres namrels x, 3, 4,
amp;c. Ce nombre eft ordinairement
dans une longueiu: de fix pouces, telle
que nous l'avons icy fiippofce ; fi bien
que l'cxiremité de cette ligne reprelènte
le côté du6^46Plan, c'eft-à-dire d'imPlan
64 fois plus grand qu'un autre Plan fem-
blable, dont le côté homologue eft égal

à la 8= partie de toute la ligne des Plans,
parce que la Racine quarrée de eft 8 j
amp; c'eft pour cela qu'on a choifi ce nom-
bre quarré (^4 , afin que fa Racine quar-
rée 8 étant exade , on ait auffi exade-
ment le côté homologue du premier amp;
du plus petit Plan femÛable , parce que
ce côté eft égal à la S'^ partie du côté ho-
mologue du Plan, puifqire la Racine
quarrée de (Î4 eft 8 , amp; que les Plans
femblables font entr'eux comme les quar-
rez de leurs cotez homologues,par2o.(j.

Pour trouver le côté homologue de ce
premier amp; çlus petit Plan , amp; par fon
moyen les côtez homologues de tous les
autres Plans femblables, doubles , tri-
ples , quadniples, amp; ainfi enfuite jut
qu'au 64e, amp; plus grand Plan, divifez à
part le côté de ce plus grand Plan, ou la
ligne des Plans en im certain nombre de
parties égales , qui foit divifible par la
Racine quarrée 8 du plus grand Plaia (J4 ,
amp; le nombre le plus grand fera le meil-
leur, comme en 1000 parties égales, ce
qui fera facile dans une longueur de fix
5ouces; amp; diuifez ce nombre 1000, par
a même Racine quarrée 8 du plus grand
Plan , Se le quotient donnera exade-
inent izj parties pour la quantité du cô-

lo Construction du Compas
té du premier Plan. C'eft pourquoy fi
l'on porte 125 parties fur la ligne des
Plans depuis le centre A , on aura un
)oint qui terminera la longueur du côté
lomologue du preinier Plan , par le
moyen duquel on trouvera aifément les
longueurs des cotez homologues des au-
tres Plans femblables multiples ; comme
fl on veut trouver le côté homologue
d'un Plan double, on multipliera par 2,
le quarré 15(^25 , du nombre 125, des
parties du côté du premier Plan, amp; on
prendra la Racine quarrée du produit
3 I2JO , laquelle donnera environ 177
parties pour le côté homologue du Plan
double : C'eft pourquoy fi on porte 177
parties fur la Ligne des Plans, depuis le
centre A, on aura un fécond point, qui
terminera la longueur du côté du fécond
Plan : ainfi des autres.

C'eft de cette maniéré que nous avons
lâipputé la Table foivante, qui montré
le nombre des parties des côtez homolo-
gues de tous les Plans femblables, dou-
bles, triples, quadruples , amp;c. à l'égard
du plus petit côté de i2j , oU du plus
grand de 1000 parties.

Cette Table Ce peut fupputer par une
autre maiiiere , qui eft plus facile que la
precedcnte, parce quelle peut fervir de
la même façon pour un autre nombre
du plus gr^nd Plan que lors que ce
nombre ne fera pas quarré , amp; qu il ne
diviferapasexadement le quarré du nom-
bre des parties du côté du même plus
grand Plan; ce qui empêchera le côté du
premier Plan d'être exad, amp; de pouvoir
s'en fervir pour trouver commodément
A lt;înbsp;les

ïi Construction du CompasI
les cotez homologues des Plans fembla-
bles multiples. Dans ce cas on pourra
trouver ces cotez plus facilement en cet-
te forte.

Faites une Regie de trois directe,
dont le premier terme foit le plus graiid
Plan 5 comme icy 64, le fécond foit le
Plan fcmblable, dont on cherche le cô-
té homologue, comme par exemple 5 ,
)our un Plan quinmple du plus petit, amp;
e troifiéme foit le quarré du nombre
des parties du côté du plus grand Plan,
comme icy 1000000, amp; la Racine quar-
rée du quatrième terme 78155 , doime-
ra environ 279 parties pour le côte ho-
mologue du Plan quintuple, comme il
eft évident par 20. 6. Ainfî des autres.
itiyianes. Enfin proche la Ligne des Plans, on
pourra ajouter la Ligne des Polygones,
ainfi appellee, parce qu elle comprend
depuis le centre A, les côtez d'un certain
nombre de Polygones réguliers infcrits
d.ins un même cercle, le Qmrréy étant
compris, Se non le Triangle, pour n'ê-
tre pas d'un graïad ufige. Ce nombre eft
ordmalrement 8 , en commençant de-
puis le Qmrré jufqu'au Dodecagone , les
autres Polygones n'étant pas d'un 4i grand
ufige, parce que les Polygones reguliers

ne fervent ordinairement que pour la for-
tification des Places regiJieres, amp; qu'il
fe trouve rarement une Place rcgvilicre_ de
plus de douze Baftions.

Puilque les côtez des Polygones reguIiers
infcrits dans un même cercle diminuent à
mefure qu'ils ont plus de côtez, il s'enfuit
que le côté du Quarré eft le plus grand de
tous, amp; que par confequent on le doit faire
égal à la longueiu: de la ligne des Poly-
gones, que noits avons luppofée de fix
pouces, en la prenant depuis le centre A.

Ayant ainfi determine la longueur du
côté du Qiiarré, on le divifèra en tel
»ombre de parties égales que l'on vou-
dra, amp; le plus grand fera le meilleur,
comme en i ooo, pour trouver dai^s ces
parties la valmr des côtez des autres Po-
ygones, amp; premièrement le côté de i'Exa-
go fie, ou le Rayon du cercle commun à
tous ces Polygones, ce qui fera facile,
parce que ce Rayon eft le côté d'im trian-
gle ifolcele reftangle, dont l'hypotenufe
cft égale au côté du Quarré. C'eft pour-
quoy fi on multiplie ce côté que nous
avons fuppofé de looo parties, par luy
même, on aura loooooo pour (on quar-
ré, dont la moitié 500000 fera par con-
fequent le quarré du Rayon, par 47. i.

14 Construction du Compas
C'eft pourquoy fi on prend la Racine
quarree de cette moitié 500000, on au-
ra 707 parties pour le Rayon, ou pour
le côté de l'Exagone, que l'on pourra
auffi trouver par cette analogie :

Par le moyen du côté de l'Exagone
ainfi trouvé on trouvera les côtez de tel
autre Polygone qu'on voudra, par cette
analogie :

Au double du côté de l'Exagom-y
Ainfi le Sinus de la moitié de l'an-
gle du centre du Polygone ,

Au côté du Polygone eju^on cherche.
C'eft de cette maniéré que nous avons
conftruit la Table fuivante, qui montre
la quantité des côtez des Polygones ré-
guliers depuis Iq QuarréAU. Dodé-
cagone-y amp; il fera facile de la prolonger
autant que l'on voudra, pour les Poly-
gones de plus de côtez, amp; par fon moyen
de marquer les côtez fur la ligne des Po-
lygones, en portant les parties qu'ils con-
tiennent depuis le centre A fur la même
ligne des Polygones. Cela eft trop clair,

fans qu'il foit befoin d'en donner un
exemple particulier , amp; c'eft pour cela
auffi que nous ne nous fommes pas arrê-
té à donner la démonftradon des deux
analogies precedentes.

Il ne refte plus qu'à vous enfeigner
maniéré de mettre de l'autre côté, c'eft à
dire fur l'autre furface de chaque jambe
du Compas de Proportion, les lignes des
Cordes amp; des Solides, amp; premièrement
la ligne des Cordes en cette forte.

i6 Construction du Compas
Orrfff. Ayant tiré du centre A, fur chaque
janibe du Compas de proportion, la li-
gne des Cordes, ainfi appellée, parce
qu'elle comprend les cordes de tous les
degrez du demi cercle, qui a pour Dia-
mètre la longueur de cette ligne, laquel-
le doit être égale de côté amp; d'autre; por-
tez les cordes de tous les degrez de ce
demi cercle divifé exactement en fes i8o
degrez, en les prenant depuis l'une des
deux extremitez du Diametre, depuis 1«
centre A, fur chaque ligne des Cordes,
amp; y marquez autant de points, qui re-
prefenteront les degrez du demi cercle :
Separez ces points ou degrez de cinq en
cinq par de petites lignes, pour les pou-
voir conter plus facilement, amp; y ajoûtez
les chifres de i o en i o, en commençant
à conter depuis le centre A, jufqu'à l'ex-
rremité du Compas de proponion, où
le 180« degré fc trouvera.

On pourroit auffi marquer les degrez
fur cette ligne des Cordes, par le moyen
d'une Table qui {îippoferoit la longueur
de la ligne des Cordes divifée en 1000
parties égales; mais comme cette manié-
ré ne me femble pas fî fimple, ni il exac-
te que la precedente, je n'en parleray pas
davantage.

Proche la ligne des Cordes, on pourra JsWn.
mettre la ligne des Solides, ainfi appellee,
parce quelle comprend les côtez homolo-
gies d'un certain nombre de Solides fem-
îlables multiples du premier amp; plus petit,
parles nombres naturels 2, 3, 4, amp;c.
Ce nombre eft ordinairement 64, dans
line longuair de fix pouces, telle que
nous l'avons icy fuppofée, fi bien que
l'extremité de cette ligne reprefente le
côté du 64 Solide, celi-à-dire d'un Soli-
de 64 fois plus grand qu'un autre Solide
femblable, dont le côté homologue eft
égal à la 4« partie de toute la ligne des So-
lides, parce que la Racine cubique de
6^4, eft 45 amp; c'eft pour cela que l'on a
choiii ce nombre cubique afin que
fa Racine cubique 4, étant exaéte, on
ait aulli exadement le côté homologue
du premier amp; plus petit Solide fembla-
ble, parce que ce côté eft égal à la 4=
partie du côté homologue du Soli-
de, puifque la Racine cubique de (54 cft
4, amp; que les Solides femblables font
comme les cubes de leurs côtez homolo-
gues, par 33. 11.

Pour trouver le côté homologue de
ce premier amp; plus petit Solide, amp; par
fon moyen les côtez homologues de tous

les autres Solides femblables, doubles, tri-
ples, quadruples, amp; ainfi en fuitejufques
au 54« amp; plus grand Solide ; divifez à part
le côté de ce plus grand Solide, ou la ligne
des Solides,en un certain nombre de parties
égales, qui foit divifiblepar la Racine cu-
bique 4, du plus grand Solide 64, amp; le
nombre le pus grand fera le meilleur,
comme en 1000 parties égales ; amp; divi-
fez ce nombre 1000, par la même Ra-
cine cubique 4j du plus grand Solide
lt;gt;4, amp; le quotient donnera exaétement
ajo parties pour la quantité du côté du
premier Solide. C'eft pourquoy fi l'on'
porte 250 parties fur la ligne de Solides
depuis le centre A, on aura un point,
qui terminera la longueur du côté ho-
mologue du premier Solide, par le moyen
duquel on trouvera aifément les lon-
guairs des côtez homologues des autres
Solides femblables multiples ; comme fi
on veut trouver le côté homologue d'uiï
Solide double, on muhipliera par 2 le
cube 15^25000 du nombre 250 des par-
ties du côté du premier Solide, Se on
prendra la Racine cubique du produit
31250000, laquelle donnera environ
3 15 parties pour le côté homologue du
Solide double. C'eft pourquoy fi on por-
te

te 315 parties fur la ligne des Solides de-
puis le centre A , on aura^ un fécond
point, qui terminera le côté du fécond
Solide. Ainfi des autres.

C'eft de cette maniéré qu'on a fuppu-
té la Table fuivante, qui montre le nom-
bre des parties des cotez homologues de
tous les Solides femblables, doubles, tri-
ples , quadruples, amp;c. à l'égard du plus petit
côté de 125 ou du plus grand de looo
parties.

802	49	914
810	SO	921
818	SI	927
825	S2	933
S33	S3	939
	S4	945-
848	SS	9fi
	S6	956
862	SI	962
869	S^	967
876	S9	973
882	60	978
889	~i	984
896	62	989
902	63	99S
908	64	1000
Cette

I	25-0	17	643	33
2	315-	18		34
3	360	19	667
4	397	20	678	^
J-	4171	21	689	H
6		22	700	38
7	478		711	39
8	' fOO	24	721	40
9	Sio	ij	^73-1	41
10	5-38	26	740	42
11		27	7 SO	43
12		28	7S9	44.
13	f88	29	76S	45quot;
14	602	30	777	46
15-	616	31	78f	47
16	630	3i	794	48

Cette Table fe peut fupputer par une
autre maniéré, qui eft plus facile que la
precedente, parce qu'elle peut fervir de
la même façon pour un autre nombre du
plus grand Solide que 64, lors que ce
nombre ne fera pas cubique, amp; qu'il ne
divifera pas exadement le cube du nom-
bre des panics du côté du même plus
grand So ide; ce qui empêchera le côté
du premier Solid'e d'être exad, amp; de
pouvoir s'en fervir pour trouver commo-
danentles côtez homologues des Soli-
des femblables multiples. Dans ce cas on
pourra trouver ces côtez plus facilement
en cette forte.

Faites une Regie de trois direde, dont
le pranier terme foit le plus grand Soli-
de, comme icy 64, le fécond foit le So-
lide femblable, dont on cherche le côté
homologue, comme par exemple 5 ,
pour un Solide q^uintuple du plus petit,
amp; le troifiéme foit le cube du nombre
des parties du côté du plus grand Solide,
comme icy 1000000000, amp; la Racine
cubique du quatrième terme 78125000,
donnera environ 427 parties pour le' cô-
té homologue du Solide quintuple, com-
me il eft évident par 53. n. Ainfi des
autres.

La ligne des Parties égales fert pour
divifer une ligne droite d'une gran-
dair donnée en parties égales, pour luy
ajoûter ou pour en retrancher telle par-
tie que l'on voudra; pour tracer un Plan
fur le papier; pour fervir d'Echelle à ce
Plan, Se y connoître la mefure de tou-
tes fes parties par rapport à une Ligne
comuië : ce qui eft d'une trés-grande uti-
lité dans la Fortification, où l'on peut
connoître fans Trigonométrie, amp; fans
aucune Echelle particuUere, la quantité
d'une Courtine, d'une Face, d'un Flanc,
amp;c. le côté intérieur du Polygone, ou
bien la Ligne de defenfe étant luppofée
d'une grandeur connue, laquelle eftd'eu-
viron 120 toifes dans un Fort Royal.

POur divifèr uiie Ligne donnée en un
nombre donné de parties égales, il
en faut porter la longueur fur la ligne des
parties égalés du Compas de proportion,
à un nombre de part amp; d'autre, qui foit
diviiîble par le nombre donné, en forte
que le Compas de proportion foit ouvert
d'une telle maniéré, que la diftance de
ce nombre dans chaque Ligne des par-
ties égales, foit égale à la ligne donnée.
Après quoy, le Compas de proportion
demeurant ainfi ouvert, on prendra avec
le compas commun de côté amp; d'autre
fiir la même Ligne des parties égales, la
diftance du nombre qui viendra en divi-
fant par le nombre domié, le nombre
auquel on a appliqué la longueur de la
ligne donnée lur les parties égales ; amp; cet-
te diftance divifera la Ligne donnée en
autant de parties égales qu'il a été pro-
pofé.

X^'il faille divifer par exemple en cîi«j
parties égales la Ligne donnée FG. Sup-
pofons
que les
deux Li-
gnesAB,
ACjfoient
chacune la
Ligne des
parties é-
gales du
Compas

de Proportion, en forte que A foit le
centre, amp;lesextremitezB, C, les points
ioo. Parce que ce nombre 200 eft divi-
llble par 5, il poiu'ra fervir pour la di-
vifionde la Ligne propofée FG, en cinq
parties égales ; fçavoir en ouvrant le Com-
pas de proportion, en forte que la dit
tance BC, de 200 à 200, foit égale à la
Ligne propofée FG; amp; en prenant la di-
ftance DE de 40 à 40, qui eft la cin-
quième partie de 200, car je fuppofe
que la marque 40 eft en D amp; en E: amp;
cette ouverture DE, divifera Lî ligne pro-
pofée FG, eo ciiiq parties égales, com-
me

me il étoir propolë; c eft à dire que la Li-
gne DE, fera la cinquième partie de la
Ligne donnée FG, ou de fon égale BC.

Car à aufe que les deux triangles ifof-
celesABC, ADE, font femblables, par
C. 6. on connoît par 4. 6. que les quatre
Lignes AD, AB, DE, BC, font pro-
portionellesquot;. D'où il fuit que comme AD
eft la cinquième partie de AB, parce que
AD eft de 40 parties, amp; AB de ico,
aulTi la Ligne DE eft la cinquième partie
de lapgneBC, ouFG, fon égale. Ce
qu'il faloitdémontrer.

Au lieu d'appliquer la longiteur de la
Ligne donnée FG, de 200 à 200, on
l'auroit pu appliquer de 100 à 100, qui
eft un nombre divifible par 5, amp; alors
on auroit pris la diftance de 20 à 20,
qui eft la cinquième partie de 100, pour
avoir auflî la cinquième partie de la Li-
gne propofée FG; mais il auroit fàlu ou-
vrir davantage le Compas de proportion,
ce [qui eft moins commode dans la pra-

tique, amp;c c'eft pour cela que nous nous
fommes fervi du nombre 200 , lequel
étant plus éloigné du centre A, ne de-
mande pas une li grande ouverture du
Compas de proportion.

Si on ne peut pas appliquer fur la Li-
gne des parties égales la longueur de la
Ligne donnée FG , pour être trop graii-
de, on en appliquera feulement la moi-
tié , ou le tiers, pour en trouver la cin-
quième partie, comme il a été enfeigné;
amp; le double ou le triple de cette partie
fera k cinquième partie de toute la Ligne
n-opofée FG, Il peut arriver d'autres cas,
efquels n'étant pas de grande confequen-
ce, ne méritent pas que nous en pariions
icy davantage.

Appliquez la Ligne donnée fur la Li-
gne des Parues égales de part amp;
d'autre, en forte que le Compas de pro-
portion foit tellement ouvert, que la di-
ftance du nombre égal à la fomme des
Bnbsp;deux

deux termes de la raifon donnée, pris de
côté amp; d'autre fur la Ligne des Parties
égales, foit égale à la Ligne donnée ; amp;
le Compas de proportion demeurant ainfi
ouvert, prenez avec le compas commun
fur chaque Ligne des Parties égales, la
diftance du nombre égal à l'un des deux
termes de la raifon donnée, pour la por-
ter enilùte far la Ligne propofée depuis
l'une de fes deux extremitez , amp; cette
Ligne - fe trouvera coupée felon la raifon
donnée.

Qu^il faille divifer la Ligne donnée
FG, en deux parties , dont la raifon foit
égale celle des daix nombres donnez
50, ç)o, Suppofons que les Lignes AB,
AC, Ibient chacune la Ligné des parties
égales du Compas de proportion, que le
centre foit A, que les deux points 6, C,
également éloignez du centre A, foient
les points marquez 140, qui cft la fem-
me des deux termes 50, 90, de la rai-
fon donnée ; amp; que les deux points D,
E, aullî également éloignez du centre A,
foient les points marquez 50, qui eft l'un
des deux nombres de la raifon donnée.

des Parties Egales, i?
Ayant ouvert le Compas de proportion,
en forte que la diftance BC, de 140 à
140 , foit égale à la ligne donnée FG,
prenez la diftance DE, de 50^50, amp;la
portez fur la Ligne donnée FG, depuis
Ibn extrémité F en H; amp; les deux par-
ties FH, GH, feront dans la raifon des
deux nombres domiez jo, 90.

Car fi l'on tire par le point D, à la
Ligne AC, la paraUele Dl, on aura CI,
égale à DE , amp; par confequent à FH,
parce que Ion a fait FH égale à DE: amp;
à caufe de BC , égale à FG, par la con-
ftmdion, on aura BI égale à GH ; ôc
parce que AD eft de 50 parties, amp; AB
de 140 , amp; par confequent DB, de 5?o,
amp; que par 2. b raifon des Lignes CI,
eft égale à celle des deux AD, DB,
B anbsp;50,

50,5)0, il s'enfuit que la raifon des deux
Lignes FH, GH , égales aux deux Cl,
BI, eft égale auffi à celle des deux nom-
bres donnez50, ç)o. Ce qu'il faloit dé-
montrer.

Si les deux nombres donnez font trop
petits , on les multipliera chacun par un
même nombre tel que l'on voudra, pour
avoir leurs équimultiples , lefquels étant
en même raifbn que les deux nombres
donnez, pourront fervir pour la folution
du Problème , pourvii que leur fbmme
ne foit pas plus grande que zoo , parce
que le plus grand nombre des parties
égales ne pafle pas 200.

On fera tout le contraire, quand les
deux nombres donnez feront trop grairds,
c'efl-à-dire qu'on les divifera chacun par
un même nombre tel que l'on voudra,
pour avoir deux autres nombres plus pe-
tits , dont on pourra fè fervir à la place
des deux donnez, puilqu'ils feront dans
la même raifon , comxîie étant fembla-
bles parties aliquotes des deux nombres
donnez.

Ligne FG, en parties proportionnelles à
plus que de deux nombres donnez , il
taudroit ajoûter enfemble tous ces nom-
bres donnez , pour avoir leur fomme,
amp; travailler comme il vient d'être enfei-
gné.

Si les daix termes de la raifon donnée
font des fraftions de diverfe efpece, on
les réduira en d'autres fraétions de même
denomination, amp; en négligeant le deno-
minatatr commun, on ie iérvira des nu-
mérateurs à la place des fradions propo-
fées.

Etant àonnèes deux Lignes ^ amp; les
Parties égales de Vune j trou-
ver les Parties égales
de Vautre.

SI on applique la longueur de la Ligne,
dont les Parties égdes font connues,
de côté amp; d'autre au nombre de ces Par-
ties für la Ligne des Parties égales du
Compas de proportion, amp; que l'on por-
te la ongueur de l'aittre ligne, fur la mê-
me Ligne de ces Parties égaies, faïaschan-
B 3nbsp;gcr

ger Fouvermre du Compas de propor-
tion, en forte que cette longueur s'ac-
corde de part amp; d'autre à un même nom-
bre ; ce nombre fera celuy des Parties
égales qu'on cherche.

C^e la ligne FG, foit par exemple le
côté interieur d'un Polygone fortifié, amp;
que ce côté étant fiippolé de lao Parties,
égales, ou de 120 toiles, il faille trou-'
ver dans ces mènes parties: la quantité de

foient chacune la Ligne des Parties égales
du Compas de proportion ; que le cen-
tre foit A, amp;c que les deux points B, C,
foient les points marquez 120. Ayant
ouvert le Compas de proportion , en
forte que la diftance BC de 120 à 120,
foit égale à la Ligne donnée FG, amp; le
Compas de proportion demeurant ainli
ouvert, portez avec le Compas commun
la longueur de l'autre hgne donnée FH,
fur la Ligne des parties égales , en forte
que cette longueur réponde de côté Ôc
d'autre en deux points également éloi-
gnez du centre A , c'eft à dire du iiiême
nombre des parties égales, comme D, E :
amp; fi ce nombre fe rencontre par exem-
ple 16, c'eft a dire , fi chacune des Li-
gues égales AD, AE, fe trouve Ac x6
parties, on conclura que la ligne FH,
contient parties (emblables à celles
dont FG en comprend 120.

Car daîis les deux triangles ifofceles
ABC, /J)E, on connoît par 4. 6. que
la raifon des deux Lignes BC, DE, ou
de leurs égales FG, FH, eft ég;ile à cel-
le des deux AB , AD , ' ou des deux
13 4nbsp;nom-

nombres izo , 16. Ceft pourqiioy la
Ligne FG étant de 120 parties égales, il
eft de necelTité que la Ligne FH con-
tienne 16 de ces mêmes Parties. Ce qu'il
faloit démontrer.

On pourra connoître de la même fû-
çon la quantité d'une Face, d'un Flanc,
d'une Courtine , amp;c de toutes les autres
Lignes d'un Pol/gone fonifié. Mais fi
la Ligne FG fe trouve trop graiide pour
pouvoir être appliquée fur la Ligne des
Parties égales, on fe fervirade fa moitié
ou de fon tiers , en prenant pareille-
ment la moitié ou le tiers du nombre de
la Ligne DE, pour la Ligne FH. Et fî
le nombre des parties fuppofées de la
Ligne FG eft trop grand, on fe fervira
aulfi de la moitié ou du tiers de ce nom-
bre, après quoy on prendra le double
ou le triple du nombre des Parties égales
que l'on trouvera pour la Ligne FH,
pour avoir en ce double, ou en ce tri-
ple , le veritable nombre des Parties éga-
les de la même Ligne FH.

Etant donnée une Ligne j amp; nom-
bre des Parties égales qu'elle con-
tient j en retrancher tel nombre
que Von voudra de ces Parties,

AYant appliqué la longueur de la Li-
gne donnée de côté amp; d'autre, an
nombre, des Parties égales qu'elle con-
tient , fur la Ligne des Parties égales du
Compas de proportion , portez la di-
ftance du nombre des Parties égales qu'on
veut retrancher, prife de part amp; d'autre
fur la même Ligne des Parties égales du
Compas de proportion ainfi ouvert, fur
la Ligne propofée depuis l'une de fes ex-
tremirez vers l'autre extrémité , amp; le
Problème fera refolu.

Reprenons la Figure precedente, amp;
qu'il faille retrancher du côté intérieur
FG, que nous fuppofonsde 120 toifes,
ia ligneFH, de26 toifes, telle que doit
B 5nbsp;être

être la Demi-gorge dans l'Exagone, fe-
lon nôtre Metode nouvelle de fortifier,
qui convient parfaitement bien aux meil-
leures maximes de la Fortification. Ap-
pliquez la Ligne donnée FG, fur chaque
Ligne des Parties égjes AB, AC, du
Compas de proportion, de 120 à izo,
enlorte que la dift.ince BC , de 120 à
120, foit égale à la Ligne propoféeFGj
amp; le Compas de proportion demeurant
ainfi ouvert, portez la diftance DE de
16 kz6, fur la Ligne donnée FG, de-
puis fon extrémité F en H; amp; la ligne
FH fera de 26 Parties égales, dont la li-
gne FG en comprend 1205 dont la de-
monftration eft tout-à-fait la même que
celle du Problème precedent.

Vous voyez par la pratique de ce Pro-
blème amp; du precedent, que la Ligne des
Parties égales du Compas de proportion
peut trés-commodément fervir d'Echelle
pour quelque Plan que ce foit, pourvû
que l'on fçache la quantité d'un de fes co-
tez que Ton peut aifément tracer un
Plan fur le papier , amp; le reduire en un
Voliune plus grand ou plus petit de la ma-
nière

des Parties Egales. 55
niere que Ton voudra. Cela eft trop clair
pour en parler davantage.

Je diray feulement que fi la Ligne F G
eftquot; trop grande, on fe ièrvira de la moitié
ou de fon tiers, amp; on prendra le double
ou le triple du nombre donné pour la Li-
gne F H ; Et que fi le nombre des parties
iuppofées delà Ligne F G eft trop grand,
on fe fervira auffi de la moitié ou du tiers
de ce nombre, en prenaiit pareillement
la moitié ou le tiers du nombre donné pour
la Ligne F H.

PUifque le Diametre d'un cercle eft à fà
circonférence, environ comme 100 eft
a 3 14, ou comme 50 eft à 157, comme
nous avons démontré dans nôtre Geome-
trie Pratique ; Il s'enfuit que fi on appli-
que le Dianietre du Cercle donné de 50
à 50, fur la Ligne des Parties égales du
Compas de proportion, amp; que le Com-
pas de proportion demeurant ainfi ouvert,
on prenne iur la même Ligne des Parties
B 6nbsp;égales

7,6 Usage de la Ligne
égales la diftaiice de 15 7 à 15 7, on aura la
longueur de la circonférence qu'on cher-
che,

Si on ne peut pas ouvrir commodé-
ment le Compas de proportion, en por-
tant la longueur du Diametre du cercle
donné de 50 à 50 pour être trop grande,
on la portera de 100 k 100, amp; alors la
diftance de 15 7 à i j 7, donnera feulement
la moitié de la circonférence du cercle pro-
pofé.

Si tout au contraire en connoifîànt la
circonférence d'un Cercle , on vouloir
trouver fon Diametre, il fàudroit appli-
quer la longueur de cette circonférence de
157^^575 fii^r la Ligne des Parties égales
du Compas de proportion, amp; prendre la
diftance de j o à j o fiir la même Ligne des
Parties égales du Compas de proportion
ainfi ouvert, pour avoir le Diametre qu'on
cherche.

Ouvrir le Compas de proportion j en
forte que Vangle des deux lignes
des Parties égalesfoit droit.

Formez de deux nombres quelconques,
comme de (î, i z, ce Triangle rectan-
gle 180, 144, 108 ; amp; ayant pris fixr la
Ligne des Panics égales depuis le centre du
Compas de proportion, 180 parties,
appliquez cette longueur fur la même
Ligne des Parties égales, de part amp; d'autre
de 108 à 144, amp;Ie Compas de propor-
tion fe trouvera ouvert à un Angle de po
degrez, à l'égard de la Ligne des Parties
égales, comme il eft évident par 47. i.

Si les nombres du Triangle reétangle
font trop petits , on fe fervira de leurs
doubles, ou de leurs triples, comme il
faudroitfe fervir de leurs moitiez, ou de
leurs tiers, s'ils êtoient trop grands : Mais
pour empêcher que cela n'arrive, il faut
que les deux nombres generateurs foient
bVnbsp;tels.

38 Usage de la Ligne
tels, que la fomme de leurs quarrez ne
palle pas 200 , parce que la Ligne des
parties égales ne contient pas pkwde 200
parties.

Pour former un Triangle redanglede
deux nombres donnez, on prendra la
fomme de leurs quarrez pour l'hypotenufe,
la^ifference des mêmes quarrez pour un
côté, amp; le double du produit de ces deux
mêmes nombres pour l'autre côté.

Ce Problème fè peut propofer amp; re-
foudre plus generalenient, enfaifantque
l'angle des deux Lignes des parties égdes
foit égal à un angle donné, en cette forte.

Ayant pris depuis le centre du Compas
de proportion, fur la Ligne des parties,
le nombre des parties que contient le
Sinus de la moitié de l'angle propofé pour
un Sinus total de 200 parties, appliquez
cette longueur fur la même Ligne des par-

ties égales, de côté amp; d'autre toujours de
100 à 100, amp; les deux Lignes des parties
égales feront un angle égal au propofé.

AYant porté la longueur des deux pre-
mieres Lignes données , chacune
fur la Ligiae des parties égales du Compas
de proportion, qu'il ne fera pas necelïàire
d'ouvrir, parce que cette tranfpofitionfe
doit faire depuis le centre, pourfçavoir
combien chacune de ces deux Lignes con-
tient de parties égales, écrivez fur chacune
le nombre des parties égales qu'elle com-
prendra, pour vous en louvenir; amp;ayaiit
appliqué la longueur de la troifiéme Ligne
donnée de part amp; d'autre ilir la Ligne des
parties égales du Compas de proportion,
à un nombre égal a celuy des parties égales
de la premiere ligne donnée ; amp; le Com-
pas de proportion demeurant ainfî ouvert,
prenez fur la même Ligne des parties éo-a-
les, la diftance de côté amp; d'autre du nom-
bre égal a celuy des parties égales de la
fécondé Ligne donnée, amp; cette diftance
donnera la longueur de la quatrième Li-
gne proportionnelle qu'on cherche.

Comme s'il faut trouver aux trois Li-
gnes données HI, KL, MN, une qua-
trième proportionnelle : en portant la
longiteur HI de

gneAB, ouAC,gt;th
des parties égales
du Compas de
proportion, de-
puis le centre A
en D , ou en E,
on trouve que ce
point D, ouE, eft 15, par exemple,
on marquera i ; fur la ligne HI : amp; pareil-
lement en portant la longueur de la fé-
condé ligne donnée KL , fur la meme
Ligne AB ou AC, des parties égales, de-
puis le centre A, en B, ou en C , on
trouve que ce point B ou C , eft par
exemple zo; on écrira zo furlafeconde
ligne KL. Après cela ouvrez le Compas
de proportion, en forte que la diftance
DE de 15 à 15 , flir la ligne des parties
égales , foit égale k la troifiéme ligne
donnée MN ; amp; alors la diftance BC,

cîe io à iO, fera la quatrième proportioiv
nelle qu'on cherche, c'eft-à-dire que les
quatre lignes HI, KL , MN , BC, fe-
ront proportionnelles.

Car on connoît par 4. 6. dans les deux
Triangles ifofceles femblables ABC ,
ADE, que les quatre Hgnes AD, AB,
De , BC , font proportionnelles ; amp;
parce que les trois premieres AD, AB,
DE , font égales aux trois données HI,
KL, MN, il eft denecefïitéquelesquar
, tre lignes HI, KL, MN, BC, foient
aufïï proponionneUes. Ce qu'il faloit
démontrer.

Il eft évident par 16. 5. qu'on peut
prendre la troifiéme ligne donnée MN ,
pour la fécondé KL , amp; celle-cy pour
celle-là; ce qui peut en quelque rencon-
tre faciliter la pratique de ce Problème.

Si les deux premieres lignes données
font plus longues que le Compas de pro-
portion , on en portera la longueur fur
Une echelle plus grande, divifée exaéte-

ment en parties égales , pour pouvoir
connoître le nombre des parties égales
qu'elles contiennent: ou bien on pourra
en leur place porter fur la Ligne des par-
ties égales du Compas de proportion leurs
moitiez ou leurs tiers , pour avoir le
nombre de leurs parties égales, qui fera
pris pour celuy des deux Lignes pro-
pofées; parce qu'ainfi on trouvera toii-
jours la même ligne quatrième propor-
tionnelle , comme il eft évident par 11, j..

Si la troiliéine Ligne donnée eft auffi
trop grande , poirr pouvoir être appli-
quée lur le Compas de proportion, on
en appliquera feulement la moitié ou le
tiers ; amp; alors , le double ou le triple
de la quatrième proportionnelle qu'on
trouvera , fera la quatrième Ligne pro-
portionnelle qu'on cherche : ou bien on
fe fervira de La moitié ou du tiers de la pre-
miere amp; de cette troifîéme ; amp; la qua-
trième proportionnelle qu'on trouvera,
fera celle qu'on cherche.

Par le moyen de ce Problème , on
peut aifément trouver à deux Lignes don-
nées une troifiéme proportionnelle; fca-

des Parties Egales. 4?
voir en ajoutant aux deux Lignes don-
nées , une troifiéme égale à la deuxième ,
amp; en cherchant à ces trois Lignes une
quatrième proportionnelle , comme il
vient d'être enfeigné.

On poiurra auffi facilement trouver k,
trois figures femblables données , une
quatrième figure femblable proportion-
nelle ; fçavoir en cherchant aux côtez
homologues des trois figures données,
line quatrième ligne proportionnelle,
qui fera le côté homologue de la figure
qu'on cherche : amp; piireillement à trois
Cercles donnez, ou à trois Spheres don-
nées, un quatrième Cercle, ou une qua-
trième Sphere proportionnelle; fçavoir
en cherchant k leurs trois Diametres, uia
quatrième Diametre proportionnel.

Enfin on peut aifèment fur une Ligne
donnée décrire un Plan femblable a un
Pian donné , augmenter ou diminuer
une Ligne donnée , felon une raifon
donnée, amp; refoudre plufieurs autres Pro-
blèmes, dont la conftruélion fera facile
à inventer à celuy qui aura bien compris
la theorie amp; la pratique de ce Problè-
me, amp; des precedens.

Geometrie , j'enfeigneray icy en pailànt
lUîe maniéré prompte amp; facile potir

Trouver geometriquement k deux Li-
gnes données une troifiéme proportionnel-
icj cri trois une quatrième.

Premièrement pour trouver aux deux
Lignes données AC, AD, une troifié-
me proportionnelle , infcrivez dans le
demi - cerclenbsp;q.,^

droite AB , égale à l'autre Ligne donnée
AD; amp; décrivez du centre B, par la me-
ine extremité A, une circonférence de
cercle AEG , qui rencontre icy la pre-
miere Ligne donnée AC , prolongée ,
au point E , amp; termine la Ligne AE,
qui fera troifiéme proportionnelle aux
deux données AC, AD.

Car fi on prolonge l'Arc AE , jufqu'à
ce qu'il coupe la Ligne AB, prolongée,
en G, amp; qu'on tire les droites EG, BF,
on aura dans les deux Triangles Redan-
gles femblables ABF, AEG , cette Ana-
logie, AF, AG : : AB, AE; amp; fi à la
place des deux premiers termes AF, AG,
on met leurs moitiez AC, AB, on aura
celle-cy, AC, AB : : AB, AE: où l'on
voit qu'à caufe de AB, égale à AD, par
la conftrudion, la Ligne AE eft troifié-
me Proportionnelle aux deux données
AC, AD ; ce qu'il faloit démontrer.

Si la fécondé Ligne donnée AD, fe
trouve trop grande, pour pouvoir être
infcrite dans le demi-cercle ABF, on n'y
infcrira que fa moitié, ou que fon tiers ;
amp; alors le double ou le triple de la Ligne
AE , fera la troifiéme proportionnelle
qu'on cherche.

Secondement, pour trouver une qua-
trième proportionnelle aux trois Lignes
données AB, AC , AD, qui doivent
être mifes d'un même côté en Ligne
droite, amp; partir d'un même point, tel
qu'eft icy le poiiit A-, décrivez par ce

point commun A, des extremitezB, C,
de la premiere amp; de la fécondé Ligné
donnée AB, AC, les deux Arcs AEG,
AFH; amp; infcrivez dans le premier AEG,
Ja droite AE, égale à la troifiéme Ligne

donnee AD ; amp; cette Ligne AE, étant
prolongée jufqu'à la circonférence du fé-
cond Arc AFH, donnera la longueur AF
de^ Là» quatrième Ligne proportionnelle
quon cherche; de forte que les quatre

Car fi on achève les demy-cercles
AEG, AFH, amp; qu'on tire les droites
EG, FJH, on aura dans les deux l'rian-
gles Redangles femblables AEG, AFH,

fi à la place des deux premiers termes
AG, AH, on met leurs moiticz AB,
AC,' amp; au lieu de la Ligne AE, fon
étrale AD, on aiu'a cette autre Analogie,
AB , AC :: AD , AF ; ce qu'il faloit
démontrer.

Si la troifiéme Ligne donnée AD efl:
trop grande pour pouvoir être infcrite
dans le premier demy-cercle AEG, il y
faut infcrire la fécondé AC, fî elle eft
plus petite ; amp;c au lieu de décrire le fé-
cond demi-cercle AFH du centre C , on
le décrira du centre D : car ainfl on trou-
vera toujours la même quatrième pro-
portionnelle AF; parce que, par 11. j.
il eft permis de changer de place aux deux
-dernieres Lignes Données AC, AD.

Ou bien n'infcrivez dans le pr(ffiiicr
demi-cercle AEG, que la moitié ou le
tiers de la Ligne trop grande AD ; ôc
alors la moitié ou le tiers de la Ligne AF
terminée par le fécond demi-cercle AFH
décrit du centre C , fera la quatrième
proportionnelle qu'on cherche.

On pourra par le même principe trou-
ver à deux Lignes données une troifiéme
proportionnelle , en ajoutant aux deux
J-ignes données une troifiéme égale à la
féconde, comme nous avons déjà dit ail-
leurs.nbsp;Mais

Mais on peut auffi par le même prin-
cipe , divifer une Ligne donnée en autant
de parties égales que l'on voudra, com-
me vous allez voir.

Parcourez fur la Ligne indéfinie AF
cinq parties égales d'une grandeur volon-
taire, aux points A, B, C, D, E, F,
fî vous voulez divifer la Ligne donnée
en cinq parties égales ; amp; déaivez des
centres B, C, D, E, F, par le même
point A , autant de circonférences de
cercles.' Après cela appliquez la Ligne
donnée fur le plus grand cercle, en com-
mençant depuis A, laquelle par exemple
foit AG ; amp; cette Ligne AG fe trouvera
divifée par les autres circonférences de
cercles en cinq parties égales, aux points
H, I,K,L, comme il eft aifé à démon-
trer.nbsp;US^-

r A Ligne des Plans, fert pour trouver
à avec facilité un Plan nuxltiple, ou
loû-multipledmi Plan femblable donné;
d augmenter amp; de diminuer un Plan felon
une raifon donnée ; de trouver entre deux
Lignes données une moyenne proportion-
nelle; amp; pour refoudre plufieurs autres
Problèmes de Geometrie, entre lefquels
nous ajoûterons iq^ feulement ceux qui
ont les plus neceflàires, amp; qui viennent
le plus en pratique; parce que les autres
étant dune Theorie plus profonde, amp;
dimep^ratique moins ordinaire, doivent
êtrerefolusdune maniéré aufli plus Géo-
métrique, Scplusfcientifique.

Etant donné m Triangle ^ trouver
m autre Triangle femblable en
• raifon donnée.

Appliquez la longueur d'un côté du
Triangle donné, fur la Ligne des
Plans du Compas de proportion, à un
nombre ^al de part amp; d'autre au premier
terme delà railon donnée: amp; le Compas
de proportion demeurant ainfi ouvert,
prenez fur la meme Ligne des Plans, la
diftance de côté amp; d'autre du nombre égal
au fécond terme de la raifon donnee, pour
avoir la longueur du côté homologue du
Triangle qu'on cherche. C'eft de la mê-
me façon que l'on trouvera les côtez ho-
mologues aux deux autres côtez du Trian-
gle propofé.

Soit donné le Triangle F G H, amp; qu'il
luy faille trouver un autre Triangle fem-
blable, en force que le Tri;uigle F G H,
foit à celuy qu'on cherche, comme par
exemple 3 à 4.nbsp;Suppo-

iuppolons que les Lignes AB, AC ,
loient chacune la Ligne des Plans du Com -
pas de proportion, que le centre foit A
que les points marquez 4, ou du quatn^
mePlan, foientB,C, amp; que les points
marquez 3 , ou du troifiéme Plan Ibienc
D E Pourtrouver le côté homologue à
1 un des cotez du Triangle donné FGH
■ comme au côté FG, portez la longuaic
dececoteFG, furlaL^ne desPkns^B,

Triangle IKL fera celuy qu'on cherche,
c'eft-à-dire qu'il fera femblable au Triangle
donné F G H, amp; que ce Triangle F G H
fera au Triangle IKL, comme 3 à 4.

Car dans les deux Triangles ifofceles
femblables, ABC, ADE, on connoît
par 4.6. que les quatre Lignes DE, B C,
AD, AB, font proportionnelles, amp;
parz2.lt;5.queleursquarrez font auffi pro-
portionnels; amp; parce que les deux quar-
rczAD,AB, ibnt entr'eux comme 3 à
4, par la conftrudion de la Ligne des
Plans, les deux quarrez DE, BC, ou
FG,IK, feront auffi entr'eux comme 3 à
4 ; ôc l'on connoîtra de la même façon,
que les deux quarrez FH , IL , font
auffi dans la raifon dé 3 à 4, auffi bien
. que les deux GH, KL: d'où il fuit par
II. que les trois quarrez FG, FH,
GH, font proportionnels aux trois quar-
rez IK , IL; KL, amp; par 22. que
les trois côtez du Triangle FGH, font
proportionnels aux trois côtez du Tri^i-
gle IKL. C'eft pourquoy par 5. 6. ces
deux Triangles feront lemblables, amp; par
19. 6, k Triangle FGH fera au Triangle
^nbsp;IKL,

Si les deux termes de la raifon don-
née font trop grands , on prendra leurs
foumultiples, en les divifant chacun par
un même nombre tel que l'on voudra:
amp; s'ils font trop petits, on prendra leurs
Multiples, en les multipliant chacun par
un même nombre tel que l'on voudra,
pourvu que le plus grand nombre qui
viendra, ne furpalfe pas 64, parce que
dans le Compas de proportion le plus

_ Si les deux termes de la raifon don-
née ont leurs Racines quarrées prédfes,
on fe fervira de ces Racines quarrées,
mais au lieu de travailler fur la Ligne des
Plans , on travaillera fur la Ligne des
parties égales: car ainfi les côtez homo-
logues des deux Triangles femblables fe-
ront dans la raifon de ces Racines quar-
rées, amp; par 15). 6. les deux Triangles fe-
ront dans la raifon des deux nombres
donnez.

Enfin fi les deux termes de la raifon
donnée font des fradkions de différente
C 3nbsp;efpece

efpcce, on les réduira en deux autres
fraftions de même denomination, amp; en
négligeant le Dénominateur commun,
on fe fervira des deux Numérateurs à la
place des deux fradions propofées, pour
travailler fur la Ligne des Plans comme
ilaétéenfeigné.

On pourra de la même façon à un cer-
cle donné trouver un autre cercle en rai-
fon donnée, en travaillant par le Diamè-
tre du cercle domié pour avoir le Diame-
tre du cercle qu'on cherche ; amp; pareille-
ment à un Polygone donné trouver un
autre Polygone lemblable en raifon don-
née, en reduiiànt le Polygone donné en
Triangles par une ou pluheurs Diagona-
les , amp; en cherchant autant de Triangles
femblables dans la raifon donnée, lelquels
étant joins enfemble donneront le Polygo-
ne qu'on cherche.

Ainfi vous voyez qu'on peut à l'aide
de ce Problème augmenter amp; diminuer
un Polygone donné, ou un cercle don-
né, félon une raifon donnée; parce que
cette raifon peut être de plus grande ou
de moindre inégalité.

Portez la longueur d'un des côtcz du
plus petit des deux Polygones don-
nez , fur la Ligne des Plans du Compas
de proportion , à im même nombre de
part amp; d'autre te!que l'on voudra; amp; le
Compas de proportion demeurant ainll
ouvert, portez for la même Ligne des
Plans la longueur du côté homologue de
l'autre Plan donné, pour voir 4 quel
nombre égal de côté amp; d'autre cette lon-
gueur répond: amp; ce fécond nombre avec
le premier auquel répond le côté homo-
logue du premier Plan donné, feront les
deux termes de la raifon qu'on cherche.

Reprenons la Figure precedente, amp;
qu'il iàille trouver la raiibn des deux'
l'riangles fembkbks donnez FGH,
IKL. Suppofons que les deux Lignes
AB , AC, foient chacune la Ligne des
C 4nbsp;plans

Plans du Compas de proportion, amp; que
le centre foit A. Ayant porté la longueur
du côté FG de côté Se d autre for la Ligne
des Plans au nombre 3, par exemple,
en forte que la diftance DE, de 3 à 3,
foit égale au côté FG : lailfez le Compas
de proportion ainfi ouvert, amp; portez la
lon^air du côté IK, homologue au côté
FG, fur la même Ligne des Pians, à un
même nombre de part amp; d'autre, com-
me de B en C, où foit par exemple le
nombre4. Cela étant, je dis que le Plan
FGH eft au Plan IKL, comme 3^4;
dont la demonftration eft tout-à-fait la
même que celle du Problème precedent.

Si le côté du plus grand Plan donné
eft trop grand, pour pouvoir être appli-
qué fur le Compas de proportion, qui
feroit trop peu ouvert, il faut porter la
longueur du côté du plus petit P an don-
né iùr un même nombre de la Ligne des
PL-ms, le plus proche du centre qu'il fera
pofîible, afin que le Compas de propor-
tion étant ainfl plus ouvert, on puiflè y
porter la longueur du côté homologue du
plus grand Plan doimé.

Mais fi le côté du plus petit Plan don-
né fe trouve trop grand pour pouvoir
être appliqué fur la Ligne des Plans à uii
même nombre de part amp; d'autre, com-
me nous avons dit, il le faudra porter de-
puis le centre fur la même Ligne des
'lans, amp; auffi le côté homologue du
plus grand Plan donné, pour avoir les
deux nombres des côtez homologues des
deux Plans donnez, amp; ces deux nom-
bres en exprimeront la raifon.

Que fi ces deux côtez homologues fe
trouvent encore trop grands, on lè fer-
vira de leurs moitiez ou de leurs tiers :
amp; pour ne pas tomber dans cette diffi-
culté, fi l'on peut, on fe fervira dans
chaque Plan donné des deux plus petits
côtez homologues , lors que les deux
Plans donnez leront irreguHers.

Ce Problème fe peut auffi refoudre
aflèz facilement par le moyen de la Li-
gne des parties égalés du Compas de pro-
portion, fçavoir en cherchant à deux cô-
tez homologues des deux Plans donnez
une troilîéme Ligne proportionnelle,
comme il a été enfeigné au Pramp;bleme VI.
de fZJfage de la Ligne,des Parties éga-
les : parce que par 20. 6. les nombres
des parties égales que contiendront la pre-
C cnbsp;mie-

miere amp; la troifiéme proporcionelle, fe-
ront les deux termes de la raiibn qu'on
cherche.

Comme les Cercles font dans la rai-
fon des quarrez de leurs Diametres, par
2. 12. on voit aifément que l'on peut par
le moyen de ce Problème trouver avec la
même facilité la raifon de deux ccrclcs
donnez en le fervant de leurs Di.unetres,
comme de deux côtez homologues, amp;c.

Ouvrir le Compas de proportion y
en fine que les deux Lignes des
Flans fajjenî un Angle droit.

AYant pris avec le Compas commun
fur là Ligne des Plans, depuis le
centre du Compas de proportion, la lon-
gueur d'un nombre de Plans tel que l'on
voudra, appliquez cette longueur fur la
même Ligne des Plans de part amp; d'autre
à. un même nombre égal- à la moitié du
precedent, amp; alors les deux Lignes des

Suppofons que les Lignes AB, AC,
foient chacune la Ligne des Plans du
Compas de proportion, dont le centre
fera par confequent en A. Suppofons en-
core que les points B, C, foient chacun
les points du trente-deuxième Plan, par
exemple ; que les points D, E gt; foient
chacun le point du b
16«. Plan, moitié
du premier 32. d
Je dis que fi vous
ouvrez le Compas ■
de proportion, en
forte que la dit
tance DE, de 16
a 16, foit égale à AB, ou à AC, l'An-
gle A fera droit.

Car puifque AB, ou DE, eft 3 2, amp;
que AD eft 16, moitié de 32. le quarré
DE fera par la conftrudion de la Ligne
des Plans, double du quarré AD, ou
AE, amp; par confequent égal aux deux
C 6

qiiarrez AD, AE; d'où il fuit par 48.
I. que l'angle A eft droit. Ce qu'il fa-
loit démontrer.

Il fuit évidemment de la pratique de
ce Problème, que fi la Ligne DE eft plus
grande en puillànce que le double, de la
Ligne AD, c'eft-à-dire que fi le Plan AB,
égd à DE, eft plus grand que le double
du Plan AD, l'angle A fera obms ; amp;
aigu, fi le Plan AB eft moindre que le
double du Plan AD.

AYant porté deux côtez homologues
tels que l'on voudra des deux Plans
donnez fi.tr la Ligne des Plans du Com-
)as de proportion, en commençant de-
puis le centre, pour connoître le nom-
jre des Plains de chacun, amp; ayaiu ou-
vert le Compas de proportion à angle
droit, par le Problème precedent, la
diftance des deux nombres trouvez prilè

de C3té amp; d'autre fur la Ligne des Plans,
doiinera le côté homologue d'un Plaii
femblable amp;c égal aux deux donnez.

Qu'il faille trouver le côté homologue
d'un Plan femblable amp; égal k deux Plans
femblables don-
nez, dontdeux
côtez homolo- ^
gues font les Li-
gnes DE , FG.
Suppofbns que
les Lignes AB,
AC, îbient cha- xgt;t

Compas de proportion, dont le centre
eft A j que le côté DE étant porté fur la
Ligne des Plans AB, depuis le centre
A en B, ce point B foit le Plan ; 8c
que l'autre côté FG étant pareillement
porté iiir l'autre Ligne des Plans AC,
depuis le centre A en C, que ce point
C foit le 9e. Plan. Cela étant fuppofé,
le Compas de proportion étant ouvert à
angle droit, en forte que l'angle A foit
droit, la dj-ftance BC, de 4 à prife
C 7nbsp;de

de côté amp; d autre fur la Ligne des Plans,
fera le côté homologue d'un Plan fem-
blable amp; égal aux deux donnez, dont
DE, FG, font deux côtez homologues.

Car, par 47. i. le quarré BC étant é-
gal aux deux quarrez AB , AC , ou
DE,FG,

la Ligne BC fera par 31.6'.
le côté homologue d'iui Plan lemblable
amp; égal aux deux donnez, dont DE,
FG, font deux côtez homologues. Ce
qu'il faloit démontrer.

Si les côtez DE, FG, ne peuvent pas
être portez fur la Ligne des Plans, pour
être trop grands, on en portera feule-
ment la moitié ou le tiers j amp; alors le
double ou le triple de la diflance BC fera
le côté homologue qu'on cherche.

Ce Problème fe peut auffi refbudre,
fans qu'il foit befoin d'ouvrir à angle
droit le Compas de proportion, comme
vous verrez dans la methode que nous
enfeignerons pour ajoûter enfemble deux
Solides fcmbhbles, par le moyen de laLi-

gne des Solides, cette methode étant la
même pour les Plans, excepté qu'on doit
fe fervir de la Ligne des Plans.

Par le moyen de ce Problème on peut
fe vanter de fçavoir la mamere d'ajouter
enfemble autant de Plans femblables que
l'on voudra, en ajoutant enfemble les
deux premiers, amp; en ajoutant à la fom-
me le troifiéme, amp; ainfi en fuite.

On peut auffi facilement trouver un
cercle égal à plufleurs cercles donnez ,
en travaillant par leurs Diametres confi-
derez comme les côtez homologues d'au-
tant ^lans femblables.

AYant porté chacune des deux Li-
gnes données fur la Ligne des par-
ties égales du Compas de proportion,
lt;gt;ii fur quelque autre Ligne divifée e«

parties égales, pour fçavoir le nombre des
parties égales que chaciuie contient, ap-
pliquez la longueur de la plus grande Li-
gne donnée de part amp; d'autre iùr la Li-
gne des Plans duComp as de proportion,
à un nombre égal a celuy de fes parties
égales, amp; le Compas de proportion de-
meurant ainfl ouvert, prenez fur la Li-
gne des Plans, de côté amp; d'autre, la
diftance du nombre égal à celuy des par-
ties égales de la plus petite des deux Li-
gnes données, pour avoir la moyenne
proportionnelle qu'on cherche.

C^'il faille trouver une moyennq pro-
portionnelle
entre les deux
Lignes don-
nées FG,
HI, dont la
plus petite
FG contien-
ne par exem-
ple 20 parties égales , amp; la plus grande
HI en contienne 45. Suppofons que les
Lignes AB, AC, foient chacune la Li-
gne des^ Plans du Compas de proportion,

dont le centre eft A : que les points B,
C, foient chacun le 45« Plan, amp; les
points D, E, chaatn le xo^ Plan. Ap-
pliquez la longueur de la plus grande Li-
gne donnée HI, fur la Ligne des Plans
de part amp; d'autre aux points B, C, en
forte que la diftance BC, de 45 à 45 ,
foit égale à la plus grande Ligne donnée
HI; amp; alors la diftance DE, de 20 à
20, fera moyenne proportionnelle entre
les deux Lignes domiées FG, HI.

Car dans les Triangles ifofceles fem-
blables ABC, ADE, on a par4. 6. cet-
te Analogie, AB, AD:: BC, DE,
ou AB, AD :: HI, DE, à cattfe de
BC, égale à HI, par la conftrudion:
c'eft pourquoy, par 22. 6. on aura celle-
cy, ABq, ADq::HIq, DEq; amp; fx à
la place des deux premiers tenTies ABq,
ADq, on met les deux nombres 45,.
20, qui font en même raifon, par la
conftmdionde la Ligne des Plans, ou
bien fi à la place de ces deux nombres
45, 20, on met les deux Lignes HI,
FG, qui font aulfl en même raifon, on
aura cette autre Analogie, HI, FG ::

^(î Usage de la Ligne
Hlq, DEq; Se enfin fi aux deux pre-
miers termes HI, FG , on donne la
hauteur commune HI, on aura cette
Analogie Hlq, FGHI :: Hlq, DEq,
où l'on voit, que le Redangle FGHI
eft égal au quarré DE, amp; que par 17.
6. la Ligne DE eft moyenne propor-
tionnelle entre les deux Lignes .domiées
FG, HL Ce qu'il faloit démontrer.

Si les nombres des parties égales des
deux Lignes données font trop grands,
on fe fervira de leurs moitiez, ou de
leurs tiers, con:îme il faudroit fè fervir
des doubles, ou des triples des deux mê-
mes nombres, s'ils étoient trop petits.

Ce Problème fe peut auffi refoudre
)ar le moyen de la Ligne des parties éga-
es, mais comme la folution en eft plus
longue, nous n'en parierons par davan-
tage.

Par k moyen de ce Problème, on
peut aifément reduire un Plan en quarré,
comme par exemple un cercle, en cher-
chant

des Plans. lt;Î7
chant entre fon rayon amp; la moitié de là
circonférence une moyenne proportion-
nelle: un Triangle, en cherchant entre
uii de fes côtez amp; la moitié de fa perpen-
diculaire une moyenne proportionnelle :
amp; telle autre Figm'e plane que l'on vou-
dra, parce qu'on la peut ailément rédui-
re en Triangle.

On peut auffi facilement trouver une
figure ièmblable amp; égale à la difference
de deux Plans femblables donnez, fça-
voir en cherchant entre la fomme amp; la
difference de deux côtez homologues
quelconques une moyenne proportion-
nelle, qui fera le côté homologue de la
figure qu'on cherche, amp;c.

Or comme l'iifage d'une moyenne
iroportionnelle eft très confiderable dans
a Geometric, nous ajouterons icy, pour
ceux qui aiment la fpeculation des Ma-
thématiques , une methode curieufê
pour

Trouver Geometric^uemem entre deux
Lignes données , une moyenne propor-
tionnelle.

Que les deux Lignes donjiées ibient
AB, AC, que je fuppofe placées en Li-
gne droite, l'une fur l'autre, Se tirées
^nbsp;du

du même point A, pour avoir une con-
ftrudion plus facile, telle queft la fui-
vante.

Ayant prolongé la plus grande Ligne
donnée AC en E, en forte que la Ligne
CEfoitéga-nbsp;^nbsp;^

le à la plus
petite Ligne
donnée AB;
amp; ayant tiré
à la Ligne
AB, par fon
extrémité B,
la peipendiculaire BF égale à la même
Ligne AB , infcrivez dans un demi-
cercle décrit alentour de la Ligne AE,
k Ligne EG, égale à la Ligne EF, amp;
decrivez du centre A, par le point G
une circonférence de cercle, qui fe trou-
ve icy coupée par la Ligne Locale Ahquot;
qui fait en A avec AC un Angle demi!
droit, au point H, duquel on doit tirer
à la ligne AC, la perpendiculaire AD; '
amp; la Ligne AD fera moyenne propor-
tionnelle entre les deux données AB,
AC«-

Car dans le Triangle reûangle AGE,
on a par 47. i, AGq, oU AHq, ou i
ADq AEq-EGq ; amp; à aufe de
AEq ACq t CEq f 2 ACE, par 4.
i. ou de AEq ACq t ABqt 2 CAB,
parce que l'on a fait CE égale à AB,
amp; encore à caufe de EGq, ou EFq «
BFq t BEq, par 47. i. ou de EFq «
ABqt ACq, onaurai i\.Dq « 2 CABquot;;
amp; par confequent ADq « CAB, amp;ron
connoîtra par 17. G. que la Ligne AD
cil: moyenne proportionnelle entre les
deux données AB, AC. Ce qu'ilfaloit
démontrer.

Cette conftrudtion a été tirée de l'E-
quation conftitutive du Probleme, que
nous avons reduite en deux lieux, fça-
voir en un lieu à la Ligne droite, amp;
en un lieu au cercle, en cette forte.

fant premièrement ce lieu à la Ligne
droite, X f jt ^ b poiu: avoir x
amp;parconfequentA;x M bh-ihy\yy, d'où
étant le double de l'Equation conftimti-
ve, fçavoir ixx c« xab, on aura ce lieu
au cercle, —xx «gt; bb-iab-iby f yy, dont
le rayon eft R. ab, que l'on peut trouver
geometriquement fans fuppofer l'inven-
tion d'une moyenne proportionnelle ,
fçavoir par la fouftraétion des deux quar-
rez aa, bb, du quarré aa -f lab bh de
la fomme a f b des deux Lignes don-
nées AB, AC, comme vous avez vu
dans la conftrudion.

Si vous voulez un liai à mi autre cer-
cle, amp; par confequent une autre con-
ftrudion, mettez x à la place de b,
ce qui fe peut faire à caufe du lieu liip-
lofé à k Ligne droite x -f y « amp;
'Equation conftitiitive a;a; 'nab, fe chan-
gera en celle-cy xx « ax ay, dont le
double zxx « tax f lay étant ôté de
XX « hb-xby\yy, on aura cét autre lieu
au cercle, -xx bh~zax~iay-tby ^yy,
dont le rayon eft R. laa f tab, lequel
on peut trouver auffi Geometriquement
Cuis aucune moyenne proportionnelle,
fçavoir par l'addition des deux quarrez
Àa, aa \ lab bb, amp;c par la fouftrac-

tlon du quarré hh, comme vous verrez
dans nôtre grand Traité d'Algebre, lors
qu'il aura le bonheur de paroître. ^

On peut encore trouver un lieu a un
autre cercle donné, amp; par confequent
une troifiéme conftrudion ; car dans le
lieu fuppofé à la Ligne droite xf y « h,
on trouvera jy « b-x, amp; par confequent
yy « bb'Zbx t XX , d'où ôtant 2.xx ^
lax t lay, qui eft le double de l'Equa-
tion conftitutive changée , on aura cét
autre lieu au cercle , yy-tax-xay « bb-
zbx-xx, dont le rayon eft R. zaa-zabf
xbh, que l'on peut trouver pareillement
fins aucune moyenne proportionnelle ,
fçavoir par la feule addition des trois
lt;^\3XKzaa, bb , aa-iab-['bb, comme
vous verrez dans nôtre grand Traité
d'Algèbre, où nous avons expliqué amp;
démontré à fonds ces deux dernieres
conftruétions, amp; ce n'eft pas le Ueu icy
d'en dire davantage. Ceux qui voudront
fçavoir plus particulièrement la maniéré
de refoudre par deux lieux les Equa-
tions de deux dimenfions, pourront voir
nos deux Traités des lieux Geometriques
amp; de la confiruftion des Equations, qui
font precedez d'unTraité des Lignes du
premier genre.nbsp;USA

La Ligne des Polygones fert principale-
ment à divifer un cercle donné en au-
tairt de parties égales que l'on voudra;
ce qu'il faut fçavoir faire dans l'Archi-
tedure militaire , pour la fortification
des Places regulieres , amp; quelquefois
aulîi dans l'Architeéture civile, pour la
defcription des quarreaux faits en Poly-
gones propres pour paver une Sale. Elle
lert auffi dans la Geometrie, comme par
exemple, pour couper une Ligne don-
née dans la moyenne amp; extreme raifon,
pour tracer un Triangle ifofcele, où l'an-
gle à la bafe foit double de l'angle au
ibmmetj amp;cc.

Appliquez la longueur du rayon du
cercle donné de part amp; d'autre fur
la Ligne des Polygones du Compas de
proportion, de 6 a. 6, amp; le Compas de
proportion demeurant ainfi ouvert, pre-
nez fur la même Ligne des Polygones,
la diftance de côté amp; d'autre d'un même
nombre égal au nombre des côtez du Po-
lygone que vous voulez décrire , pour
avoir le côté de ce Polygone.

Qu'il faille décrire un Epragone régu-
lier dans le cercle donné FGH, dont le
centre eft I, amp; le rayon IF, ouIG. Sup-
pofons que les Lignes AB, AC, foient
cliacune la Ligne des Polygones du Com-
pas de proportion, dont le centre eft A:
que les points B, C, foient chacun les
points de l'Exagone, amp; les points D,
Ej cliacun le poiutde l'Eptagone. Ayant
Dnbsp;ap-

d'autre de B en C, en forte que la dif-
tance BC, de 6^6, foit égale au rayon
IF, amp; le Compas de proportion demeu-
rant ainfi ouvert, prenez la diftance DE,
de 7 à 7, laquelle donnera la longueur du
côtéFG, ouGH, del'Eptagone regulier
infcriptible dans le cercle donné FGH.

des Polygones. 7?
fembkbles ABC, ADE, on comioît
par 4. 6. que la raifon des deux Lignes
AB, AD, eft égale à celle des deux BC,
DE : c'eft pourquoy comme AD eft le
côté d'un Eptagone regulier infcrit dans
un cercle, dont le rayon eft AB, par la
conftruétion de la Ligne des Polygones,
il eft de necefficé que DE, ou F G,
foit auffi le côté d'un Eptagone regulier
infcrit dans un cercle, dont le rayon eft
BC, ou IF. Ce qu'il faloit démontrer.

Si le rayon du cercle donné eft trop
grand, pour pouvoir être appliqué lîir la
Ligne des Polygones, on en appliquera feu-
lement la moitié ou le tiers, amp; alors le
double ou le triple de la Ligne qu'on
trouvera, fera le côté du Polygone qu'on
clierche.

Quand le Polygone qu'on veut décria
re au dedans du cercle donné, aura plus
de douze côtez, on ne pourra plus fe fer-
vir de la Ligne des Polygones; amp; dans
ce cas on fe fervira de la Ligne des Cor-
des, par le moyen de laquelle on fera
l'arc FG d'autant de degrez qu'en doit
avoir l'angle du centre I, lefquels on
D znbsp;trou-

AYant appliqué la longueur de la
Ligne donnée de part amp; d'autre
fur la Ligne des Polygones du Compas
de proportion, à un nombre égal à ce-
luy des côtez du Polygone qu'on veut dé-
crire, amp; le Compas de proportion de-
meurant ainfi ouvert, prenez fur la mê-
me Ligne des Polygones , de côté amp;
d'autre la diftance de 5 à 6, laquelle fe-
ra le rayon du cercle propre à décrire le
Polygone. C'eft pourquoy lî avec cette
duvertiire ou décrit des 'deux extremi-
tez de la Ligne donnée deux arcs de cer-
cle, l'interlèdion de ces deux arcs don-
nera le centre de ce cercle.

il faille décrire lui Eptagone regiilier.
Suppofons aulTi que les Lignes AB ,
AC, foient chacune la Ligne des Poly-
gones du Compas de proportion, dont
le centre eft A; que les points B, C,
foient chacun le point de l'Exagone, amp;
les points D, E, chacun le point de
l'Eptagone. Appliquez la longueiH de la
Ligne donnée FG, fur la Ligne des Po-
lygones de part amp; d'autre aux points D,
E, en forte q^ue la diftance DE, de 7 à
7, foit égale a la Ligne donnée FG j Sc
le Compas de proportion demeurant ain-
fî ouvert, décrivez avec la diftance BC,
àc 6 3. 6, priiè fur la même Ligne des
Polygones, des deux extremitez F, G,
deux arcs de cercle, dont le point defe-
élionl, fera le centre du cercle circonf-
criptible, de forte que la Ligne BC fera
le rayon du cercle propre à décrire le Po-
lygoiie.

Car dans les deux Triangles ifofceles
femblables ABC, ADE, on connoît par
4. 6. que la raifon des deux Lignes AD,
AB, eft égale à celle des deux DE, BC;
amp; comme la Ligne AD eft le côté d'un
D 3nbsp;Epi^a-

Epragone regiilier infcrit dans un cercle,
dont le rayon eft AB, par la conftiuc-
tion de la Ligne des Polygones, il feut
que la Ligne DE, ou FG, foit auffi le
côté d'un Eptagone regulier, infcrit dans
VU! cercle, dont BC eft le rayon. Ce qu'il
faloit démontrer.

Si la Ligne donnée eft trop petite,
pour pouvoir être appliquée fur la Ligne
des Polygones, il en faut appliquer le
doitble ou le triple, amp; dors la moitié ou
le tiers de la Ligne qu'on trouvera ,
fera le rayon du cercle circonfcrit.

Quand le Polygone qu'on veut décri-
re fiir la Ligne donnée, aura plus de
douze côtez, on ne pourra pas le lèrvir
de la Ligne des Polygones, amp; alors le
centre I du cercle circonfcript, fe trou-
vera par le moyen de la Ligne des Cor-
des , en tirant des deux extremitez F ,
G, de la ligne donnée FG, les deux
rayons FI, GI, qui falîent avec la Ligne
donnée FG, chacune un angle égal au
demi-angle du Polygone, lequel demi-
angle eft égal au complement de la moi-
tié de l'angle du centre.

Appliquez la longueur de la Ligne
donnée fur la Ligne des Polygo-
nes du Compas de proportion de part amp;
d'autre, de (î k 5 ; amp; le Compas de pro-
portion demeurant ainfi ouvert, prenez
fur la même Ligne des Polygones de
côté amp; d'autre la diftance de lo à lo,
bquelle donnera le plus grand fégment de
la Ligne propofée.

Qu'il faille couper la Ligne donnée
FG, en H , dans la moyeime amp; ex-
treme raifon.nbsp;—
Suppofons que
■ les Lignes AB,
AC, foient
chacune la Li-
gne des Poly-
gones du Com-
pas de propor-

joints B, C, foient chacun le point de
.'Exagone, amp; les points D, E, chacun
le point du Decagone, Ayant appliqué la
longueur de la Ligne donnée FG lut la
Ligne des Polygones de part amp; d'autre de
B en C, en forte que la diflancé BC,
^ '^Sale à la Ligne donnée
FG ; amp; le Compas de proportion de-
meurant ainfi ouvert, la diflance DE,
de lo à lo , donnera la longueur du
grand Segment FFI.

Car dans les deux Triangles ifofceles
femblables ABC, ADE, on connoît par
4. 6. que la,raifon des Lignes AB, AD,
eft égale à celle des deux BC, DE, ou
FG, FH; amp; comme AD, AB, font les
côtez d'un Decagone amp; d'un Exagone
mfcrits dans un même cercle, ilfkutque
FG, FH, foient aufïï les côtez d'un
Exagone amp; d'un Decagone infcrits dans
un même cercle. C'eft pourquoy par le
Coroll. de p. 13. le point H divife la
Ligne propofée FG dans la moyenne amp;
extreme raifon. Ce qu'il faloit démontrer

Si la Ligne donnée eft trop longue ;
pour pouvoir être appliquée fur la Li-
gne des Polygones, on en appliquera
feulement la moitié, ou le tiers, amp; alors
le double ou le triple de la Ligne qu'on
trouvera, fera le plus grand fegmenc de
la Ligne propofée.

Ce Probleme fe peut auffi refoudre
fur la Ligne des Cordes , fçavoir en
appliquant la Ligne donnée flir la Li-
gne des cordes, de (îo à lt;îo, amp; en pre-
nant fiir la même Ligne des cordes la
diftance de 3lt;î à 36, qui donnera le
grand fegment de la Ligne propofée,
parce que le côté de l'Exagone eft la cor-
de de 60 degrez, amp; le côté du Decago-
ne la corde de 36 degrez, dans un mê-
me cercle.

Par le moyen de ce Probleme CMipeuc;
aifémenr reloudre cette Equation de deux
dimenfions, xx ax « aa-, fçavoir en,
coupant la Ligne reprefentée par la let-
tre dais la moyenne amp; extreme rai-

Ion : car le plus ^rand fegment de cette
Ligne ainfi coupée, fera la racine veri-
table de TEquation propofée XXfax w
aa, amp; le plus petit fera la racine verita-
ble de cclle-cy, xx-^ax '^-aa, comme
il fera aifé à démontrer àceluy qui en-

Décrire far une hafe donnée un
Triangle tfofcele ^ où l'un des
angles à la bafe foit double de
f angle au fommet.

A Ppliquez la longueur de la bafe
X A. donnee, de part amp; d'autre fur la Li-
gne des Polygones du Compas de pro-
portion, de ioàio, amp;le Compas de
proportion demairant ainfi ouvert, pre-
nez fur la même Limie des Polygones de
cote amp; d autre la diftance àe pour
ayoïi; la longueur de chacun des deux
cotez du Triangle qu'on cherche.

Qu'il faille décrire fur la bafe donnée
FG , un Triangle ifofcele FGH, en for-
te que l'angle F, ou G, foit double de
l'angle H.quot; Suppofons que les deux Li-
gnes AB, AC, foient chacune la Ligne
des Polygones du Compas de propor-

tion, dont le centre eft A. Que les points
B, C, foient chacun le point amp; les
points D, E, chacmile point 10. Ap-
pliquez la Ligne donnée FG fur la Li-
gne des Polygones de part amp; d'autre,
de D en E, en forte que ladiftanceDE,
de 10 à 10, foit égale a la bafe donnée
FG: amp; le Compas de proportion demeu-
rant ainfi ouvert, prenez la diftance BC,
de 6 à pour avoir le côté FH, ou
GH du Triangle qu'on cherche.

Pour ladémonftration, faites HI éga-
le à FG, ou à DE; amp; parce que dans
les Triangles ifofceles femblables ADE,
ABC, on a par 4. (î. cette Analogie,
AD, AB :: DE, BC, amp; que AD eft
le coté d'im Decagone, amp; AB le côté
d'un Exagone, inlcrits dans un même
cercle, il faut que DE, ou FG, ou
HI, foit pareillement le cote d'un De-
cagone, amp; BC, ou FH, le côté d'un
Exagone, infcrits dans un même cercle:
c'eft pourquoy par 9. 15. la Ligne FH
eft coupée en I dans la moyenne amp; ex-
treme raifon, amp; par 10. 4. le Triangle
FGH fera celuy qu'on cherche. Ce qu'il
làloit démontrer.

Ce Problème fe peut auffi refoudre
par le moyen delà Ligne des Cordes,
içavoir en appliquant fur cette Ligne des
cordes la longueur de la Ligne donnée
de part amp; d'autre, de k , Se en
prenant fur la même Ligne des cordes la
diftance àt 60 di 60, qui doiuiera le côté da
Triaogl^qu'on chere*ie.nbsp;PRO-

Ouvrir le Compas de proportion m
forte que les deux Lignes des
Polygones fajj'ent un angle droit.

AYant pris avec le Compas commun,
fur la Ligne des Polygones, de-
puis le centre du Compas de propor-
tion , la longueur du côté du Pentago-
ne , appliquez cette même longueur far
la même Ligne des Polygones de côté ôc
d autre, de lo k lt;î, amp; alors les deux
Lignes des Polygones feront au centra-
un angle droit.

Suppofons que les Lignes AB, AC,
foient chacune k Ligne des Polygones,
du Compas de proportion dont le cen,-
tre eft A. Suppofons encore que AB foit
le côté du Pentagone, AD le côté de
de l'Exagone, amp; AC, le côté du Deca-^
gone. Je dis que li l'on ouvre le Com-
pas de proportion, en forte que la dit
D 7nbsp;tail-

tance CD de lo à
6, foit égale au côté
AB du Pentagone,
l'angle A fera droit.

du côté du Pentago- -a. c
ne, eft égal au quarré AC du côté du
Decagone, amp; au quarré AD du côté de
l'Exagone, par lo. 13. il eft de necelE-
té par 48. I. que l'Angle A foit droit.
Ce qu'il faloit démontrer.

La Ligne des Cordes feit pour me-
fiirer un angle fur le papier, ou fiir
le terrain : ou bien pour faire fur le par-
pier, ou iîir le terrain, un angle d'au-
tant de degrez que l'on voudra. Elle fèrc
auffi pour la defcription des Polygones
réguliers, comme vous avezvû, amp; pour
reloudre plufieiu's autres Problèmes,
dont les principaux amp; les plus necellàires
fèrpnt feulement icy dedarez.

f rmdn fur la circonférence d'un
Cercle donné, m Arc d'autant
de degrez que l'on voudra.

Appliquez le Rayon du Cercle don-
né, fur la Ligne des Cordes du
Compas de proponjon, de part amp; d'au-
be.

88 Usage de la Ligite
tre, toujours de
6o. à 6^0, parce
que le Rayon
d'un Cercle eft
égal à la Corde
de 60 degrez :

amp; le Compas de
proportion de-
meurant ainfi
ouvert, prenez
fur la même Li-
gne des Cordes gt;
de côté amp; d'au-
tre, la diftance
du nombre égal
à celuy des degrez propofez, amp; la tranf-
portez fur la circonférence du Cercle
donné, pour avoir un Axe d'autant de
degrez qu'il étoit propoféi

Que le Rayon du Cercle donné foit
FG, amp; qu'il faille prendre fltr fa circon-
férence un Arc, par exemple de 80 de-
grez. Suppofons que les Lignes AB,
AC, foient chacmie la Ligne des Cor-
des du Compas de proportion, dont le
centre eft A. C^e AB, ou AC, foit I3-

Corde de 80 degrez, amp; AD, ou AE,
la Corde de 60 degrez. Ayanr appliqué
la longueur du Rayon FG, de part amp;
d autre d? D en E, en forte que la dif-
tance DE, de 60 k 60, foit égale au
Rayon FG, amp; le Compas de propor-
tion demeurant ainfi ouvert, portez la
diftance BC, de 80 à 80, lîirla circon-
férence du Cercle donné, depuis G en
H, pour avoir l'arc GIH de 8o- de-
grez.

Car dans les Triangles Ifofceles fem-
blables ABC, ADE, on connoît, par
4. 6. que la raifon des Lignes AD ,
AB ,. eft égale k celle des Lignes DE,
BC, ou FG, GH: amp; comme AB eft
la Corde de 80 degrez à l'égard du Ra-
yon AD, parla conftruétion de la Li-
gne des Cordes, il eft de neceffité que
GH foit auffi la corde de 80 degrez, k
l'égard du Rayon FG , amp; que par con-
iequent l'arc GH foit de 80 degrez. Ce
qu'il faloit démontrer.

On peut par une operation contraire,
trouver les degrez dun Arc, dont on
connoît ledemi-Diametre; fçavoir en ap-
pliquant cedemi-Diametrede 60 à ôoâir
la Ligne des Cordes, amp; en tranfpor-
taiu la Corde de l'Arc propofé fiu: la mê-
me Ligne des Cordes, en forte que Ion
rencontre de part Se d'autre un même
nombre de degrez, car ce nombre mar-
quera la quantité de l'Arc propofé.

On peut par le moyen de ce Problè-
me, faire à im point donné d'une Li-
gne donnée fiu- le p^ier, un Angle d'au-
tant de degrez que l'on voudra: ou bien
connoître la quantité d'un Angle reéHli-
gne donné fur le p^ier, puifque la me-
iure d'un tel Angle eft un Arc de Cercle
décrit de fa pointe. D'où il eft aifé de
conftruire fur une Bafe donnée un Trian-
|le ifofcele, où l'Angle de la bafe foit à
'Angle du fommet en raifon donnée,
en faifant a chaque extrémité de la bafe
donnée, im Angle, dont les degrez fe

trouveront, en multipliant 90 degrez par
le double du terme homologue ai Angle
de la bafe, amp; en divifant le produit par
la fomine du même double amp;c de l'autre
terme.

Ouvrir le Compas de proportion ^
en forte que l'Angle des deux Li-
gnes des Cordes foit d'autant de
degrez qiian voudra.

SI on prend depuis le Centre du com-
pas de proportion fur l'une des deux
Lignes des Cordes , la Corde corref-
pondante aux degrez propofez, amp; qu'on
en applique la longueiu: fur les Lignes
des Cordes de côté amp; d'autre, de 6q à
60, le Compas de proportion fc trou-
vera ouvert comme l'on demande.

Qu'il faille oitvrir le Compas de pro-
portion en forte que les deux Lignes des
Cordes faiïent im Angle, par exemple,

Usage de la Ligne
de 40 degrez. Suppofons que les Lignes
AD, AE, foient chacune la Corde de
40 degrez, amp; les Lignes AB, AC, cha-
aine la Corde de 60
degrez. Je dis que fi
on applique la Cor-
de AD, ouAE , de
40 degrez de côte amp;
d autre, de B enC,
en iorte que la diftance BC, de ^o à ^o,
joit egaie à la Corde AD de 40 degrez,
l'Angle A fera auffi de 40 degrez.

Car fi Ton décrit du centre A, par
les points B, C, l'Arc de Cercle BC,
amp; que l'on confidere que la Ligne AD
eft la Corde de 40 degrez à l'égard du
Rayon AB, qui eft la Corde de do de-
grez, on connoîtra aifément que la Li-
pie BC, égale à la Ligne AD, eftauffi
la Corde de 40 degrez: amp; comme eUe

ft ^ ' ^ P^*^ confequent l'Angle A,
clt auffi de 40 degrez. Ce qu'il faloit dé-
montrer.

On peut par une operation contraire
à la precedente, connoitre l'ouverture du
Compas de proportion à l'égard de la
Ligne des Cordes : car fi on porte de-
puis le centre du Compas de proportion
lur la ligne des Cordes, la diftiice de
60 'k 60, prife de part amp; d'autre fur la
même Ligne des Cordes, on rencontre-
ra le nombre des degrez de i'ouverture
qu'on cherche.

C'eft a caufe de cela que l'on ajoute
quelquefois au Compas de proportion
des pinnules placées for la Ligne des
Cordes, pour pouvoir mefurer un An-
gle fur la terre, ou pour en faire un
Iùr la terre d'autant de degrez que l'on
voutira : mais j'aimeroîs mieux me fervir
d'un demi-Cercle bien divifé, le Com-
pas de proportion n'étant propre que
pour travailler ptomtement fur le papier.
Ceft pourquoy je negligeray icy d'expli-
quer plufieurs ulages, qui ne font que
d'iuie pure ciuiofité.

Trouver le demi-diametre d'un Arc
de Cercle donnée dont on con-
noît les desres:.

SI on applique la Corde de l'Arc donné
fur la Ligne des Cordes du Compas
de proportion , de côté amp; d'autre au
nombre des degrez de l'Arc propofé, amp;
qu'on lailïè le Compas de proportion
ainfi ouvert, la diftance de 60 Ï60 prife
fur la même Ligne des Cordes, donne-
ra la longueur du Rayon qu'on cher-
che.

Que l'Arc de Cercle GH foit par
exemple de 80 degrez, amp; qu'il en faille
trouver le Rayon FG. Suppofons que
les Lignes AB, AC, foient chacune la
Ligne des Cordes dii Compas de pro-
portion, dont le centre eft A. QueAB,
ou AC, foit la Corde de 80 degrez, amp;
AD, ou AE, la Corde de 60 de^rrez.
Je dis que fi on appUque la Corde GH

fur la Ligne des parties égales du Com-
pas de proportion, de part^ amp; d'autre de
B en C, en forte que la diftance BC,

de 80 à 80, foit égale h cette Corde
GH, la diftance DE, de 60 a. 60, fe-
ra égale au Rayon FG.

Car dans les Triangles Ifofceles fem-
blables ABC, ADE, on connoîtpar4.
6. que la raifon des Lignes AB, AD,
eft égale à celle des Lignes BC, DE, ou

GH, DE: amp; comme AD eft le Rayon
à 1 égard de la Corde AB de 80 degrez
par la conftrii6tion de la Ligne des Cor-
des , il eft de necefficé que DE foit auffi
le Rayon à 1 égard de la Corde GH de
80 degrez amp; par confequent le demi-
diametre de l'Arc propofé GIH.

Si l'Arc GIH étoit Amplement don-
né, fans en connoître ny le centre, ny
le nombre des degrez, on trouvera ce
nombre de degrez, en prenant à volon-
té fur cet Arc un point, comme 1, amp;
en tirant les deux Cordes IG, IH,
dont l'Angle GIH, «tant mefuré , amp;
fon double étant ôté de 3 60 degrez, le
refte donnera le nombre qu'on cherche.

On peut par 'le moyen de ce Problè-
me, trouuver aifément le centre d'un
Cercle, ou d'un Arc de Cercle donné,
ou bien faire paifer par trois points don-
nez une circonférence de Caxle: car fi
on prend fur le Cercle donné un Arc à
volonté, poiu: en connoître les degrez,

comme il a efté enfeigné dans le Scolie
precedent, amp; qu a Tintervalle du Rayon
que l'on trouvera, onfaffe de deux points
quelconques de l'Arc donné, ou des trois
points donnez , deux Arcs de Cercles,
qui s'entre-coupent, la fedion de ces deux
arcs donnera le centre du Cercle qu'on
cherche.

La Ligne des Solides à l'égard des
Corps, a les mêmes Ufages que la
Ligne des Plans k l'égard des Siurfaces,
comme vous allez voir dans les Problè-
mes fuivans.

Etant donnée me Pyramide j trou-
ver une autre Pyramide fem- ^
hlable en raifon donnée.

Appliquez la longueur d'un côté de
la Pyramide donnée, fur la Ligne
des Solides du Compas de proportion à
lui nombre égal de part amp; d'autre au pre-
mier terme de la raiibn donnée: amp; le
Compas de proportion demeurant ainfi
ouvert, prenez fur la meme Ligne des
Solides la diftance de côté amp; d'autre du
nombre égal au fécond terme de la rai-
fon donnée, pour avoir la longueur du
côté homologue de la Pyramide qu'on
cherche. C'eft de la même façon que l'on
uouvera les côtez homologues aux autres
•Gûtez de la Pyramide propofée.

Soit donnée la Pyramide FGHI, amp;
qu'il luy faille trouver une autre Pyrami-
de femblable, en forte que la Pyramide
FGHI foit k celle qu'on cherdie, com-
me

me par exemple à 54. Suppofons que
les Lignes AB, AC, foient cliacune la
Ligne des Solides du Compas de propor-
tion, dont le centre eft A. Que les points;
marquez 54, ou du 54« Solide foient B,
C, amp; que les points marquez 16, ou
du x(je Solide foient D, E. Pour trou-
ver le côté homologue à Tim des côtez
de la Pyramide donnée FGHI, comme
au côté FG, portez la longueur de ce

côté FG fur la Ligne des Solides AB,
AC, de côté amp; d'autre de D en E, en
forte que la diftance DE, de i (î à 16,
foit é^e au même côté FG, amp; alors la
«iftance BC, de ;4 à 54, donnera la
E inbsp;Ion-

longueur du côré KL homologue au côté
FG; amp; l'on trouvera de la même façon
le côté LM homologue au côté GH,
amp; pareillement la hauteur N O homolo-
gue à la hauteur IP, amp; ainfi des autres,
amp; la Pyramide KLMN fera celle qu'on
cherche, c'eft à dire qu'elle fera fembla-
ble à la Pyramide donnée FGHI, Se
que cette Pyramide FGHI fera à la Py-
ramide KLMN, comme à 54.

Car dans les deux Triangles ifofceles
femblables ABC, ADE, on connoît
par 4. 6. que.les quatre Lignes DE,
BC, AD, AB, font proportionnelles,
amp; par 37. II. que Iciurs cubes font auflî
proportionnels; amp; parce que les deux
cubes AD, AB, font entr'eux comme
i6 à 54, par la conftrudion de la Ligne
des SoUdes, les deux cubes DE, BC,
ouFG, KL, feront aufïï entr'eux com-
me 16 à 54, amp; par 8. II. la Pyramide
FGHI fera à la Pyramide KLMN,
auflî comme 16354, parce que ces deux
Pyramides font femblables, par la con-
ftrudion ,amp; par Def. p. II. Ce qu'il
faloit démontrer.

Si les denx termes de !a raifon donnée
font trop grands, on prendra leurs foû-
multiples, en les diviiant chacun par un
même nombre tel que Ton voudra : amp;c
s'ils lont trop petits , on prendra leurs
multiples, en les mitltipliant chacun par
un même nombre tel que l'on voudra,
pourvu que le plus grand nombre qui
viendra, ne fi-Up.illè pas 64, parce que
dans le Compas de proportion le plus
grand folide n'cfl; que 64.

Si les deux termes de la raifon donnée-
ont leurs Racines cubiques exades, on
fe fervira de ces Racines cubiqites à la
place des deux nombres donnez , mais
au lieu de travailler fur la Ligne des So-
hdes, on travaillera fiuquot; la Ligne des
parties égales : car ainfi les côtez homo-
logues des deux Pyramides femblables fe-
ront dans la raifon de ces Racines cubi-
ques, amp; par 8. IX. les deux Pyramides
feront dans la railon des deux nombres
donnez.

Enfla, fî les deux termes de la raifon
donnée font des fractions de différente
elpcce, on les réduira en deux autres
E 3nbsp;frac-.

fradions de même denominarion, amp; en
négligeant le denominateitr commun, on
k ïervira des deux numerateurs à la pla-
ce des deux fradions données, pour tra-
vailler fur la Ligne des Solides comme il

On pourra de la même façon à une
Sphere donnée trouver une autre Sphere
en raifon donnée , en travaillant par le
Diametre de la Sphere donnée, pour
avoir le Dianaetre de la Sphere qu'on
cherche; amp; pareillement à un Cone ou à
un Cylindre donné, trouver un Cone ou
un Cylindre femblable en raifon donnée,
en travaillant par le Diametre de la bafè
amp; par la hauteur du Ccyie ou du Cylin-
dre donné, pour avoir le Diametre de la
bafe amp; la hauteur du Cone ou du Cylin-
dre qu'on cherche.

On poiUTa auffi de la même façon k
quelque autre Corps donné que ce foit,
trouver un Corps fa-nblable en raifon
donnée, en travaillant féparément pour
chaque côté du Solide donné, pour avoir
le côté homologue du Solide qu'on cher-
die.

Ainfi vous voyez qu'on peut à l'ayde
de ce Problème augmenter ou diminuer,
un Solide donné, amp; par confequent une
Sphere donnée, amp; auffi un Cone amp; un
Cylindre donné , felon une raifon don-
née, parce que cette raifon donnée peut
Être de plus grande ou de moindre iuéga-
hté.

POrtez'la longueur d'mi des côtez du
plus petit des deux Solides domiez
fur la Ligne des Solides du Compas de
proportion, de part amp; d'autre à un mê-
me nombre tel que, l'on voudra; amp; le
Compas de proportion demeurant ainfi
ouvert, portez fur la même Ligne des
Solides la longueiu: du côté homologue
de l'autre Solide donné, pour voir à quel
nombre égal de côté amp; d'autre cette lon-
gueur répond; amp; ce fécond nombre avec
ïe premier auquel répond le côté homo-
logue du premier SoHde, feront les deux
termes de la raifon qu'on cherche.

Reprenons la Figure precedente, 8c
qu'il faille trouver la raifon des deux Py-
ramides femblables données FGHI,
KLMN. Suppofons que les deux Li-
gnes AB, AC, foient chacune la Ligne
des Solides du Compas de proportion,
dont le centre eft A. Ayant porté la lon-
gueur du côté FG de part amp; d'autre fur
a Ligne des Solides au nombre i6 par
exemple, en forte que la diftance DE,
de i6 à foitïgale au côté FG; lait
fez le Compas de proportion ainfi ou-
vert, amp; portez la longueur du côté KL
homologue au côté FG, fur la même
Ligne des Solides, à un même nombre
de côté amp; d'autre, comme de B en C,
où foit par exemple le nombre 54: cela
étant, je dis que le Solide FGHI eft au
Solide KLMN, comme 115354; dont
la démonltration eft la même que celle,
du Problème precedent.

pliqué fur le Compas de proportion,
qui feroit trop peu ouvert, il faut porter
la longueur du côté du plus petit Solide
donné fur la Ligne des Solides, le plus
proche du centre quil fera poffible, afin
que le Compas de proportion étant ainli
plus ouvert, on puiife y porter la lon-
gueur du côté homologue du plus grand
Solide donné.

Mais fi le côté du plus petit Solide
donné fe trouve trop grand, pour pou-
voir etre appliqué fur la Ligne des Soli-
des à un même nombre de part amp;c d'au-
tre, comme nous avons dit, il le faudra
porter depuis le centre lur la même Ligne
des Solides, amp; auffi le côté homologue
du plus grand Solide donné, pour avoir
les deux nombres des côtez homologues
des deux Solides donnez, amp; ces deux
nombres en exprimeront la raifon.

Que fi ces deux côtez homologues fc
trouvent encore trop grands, on fe fer-
vira de leurs moitiez, ou de leurs tiers :
amp; pour ne pas tomber dans cette diffi-
aïké, fi l'on peut, on fe fervira dans
chaque Solide donné îles deux côtez ho-
mologues les plus petits, loiique les deux.
Solides donnez feront irreguliers.

le moyen de la Ligne des panies égales
du Compas dé proportion, fçavoir en
cherchant à deux côtez homologues des
deux SoHdes donnez une troifiéme Li-
gne proportionnelle, amp; à ces trois Li-
gnes une quatrième proportionnelle,
comme il a efté enfeigné au Prohl. VII.
de rVfage de la Ligne des parties éga-
les^ parce que par 33. 11. les nombres
des parties éga es que contiendront la

i)remiere amp; la quatrième proportionnel-
e, feront les deux termes de la raifon
qu'on demande.

Comme les Spheres font dans la rai-
fon des cubes de leurs Diametres, par
ï8. 12. on void aifémait que l'on peut
par le moyen de ce Problème trouver avec
la même facilité la raifon de deux Sphe-
res données, en fe fervant de leurs Dia-
metres, comme de deux côtez homolo-

res. Et pareillement on pourra trouver
raifon de deux Cones, ou de deux
Cylindres femblables donnez, en fe fer..
Yant des Diametres de leurs bafes,amp;c.

Oimir le Compas de proportion^
en forte que V Angle des deux
Lignes des Solidesfoit droit.

AYant pris fur la Ligne des Solides
depuis le centre du Compas de
proportion, le côté du 15^Solide,appli-
quez-en la longueur fur la même Ligne
des Solides, de part amp; d'autre, de 3 à
S ; amp; le Compas de proportion fe trou-
vera ouvert k un Angle de 90 degrez à
l'égard de la Ligne des Solides, parce
que le quarré du côté du 15^ Solide eft à
peu prés égal au quarré du côté du 3® So-
lide, amp; au quarré du côté du Solide,
fans qu'il s'en manque feulement luie mil-
lième partie de la longuaxr du Compas
de proportion, ce qui eft de petite con-
fequaice pour la pratique, comme l'on
peut voir dans la Table des Solides, qui
vous fera connoître que l'on peut auffi
appliquer la lon^ieur du plus grand amp;
64« Solide, prilè depuis le centre fur la
Ligne des Solides, de part amp; d'autre,
de 3 à J 2, ou de 5) à 40, ou bien en-
É 6nbsp;co.x

core de I (S à 30, faiis que Terreur foit
feulement d'une millième partie de la
longueur du plus grand Solide.

SUppofant que l'un des côtez du pre-
mier Solide donné foit d'un nombre
de Solides tel que l'on voudra, appli-
quez-en la longueur fur la Ligne des So-
îides du Compas de proportion, de part
amp; d'aua-e à ce nombre fuppofé; amp; le
Compas de proportion demeurant ainfî
ouvert, portez la longueur du côté ho-
mologue du fécond Solide domié, furïa
même Ligne des Solides, en forte que
cette longueur réponde de côté amp; d'au-
tre à un même nombre: alors la dif-
tance du nombre égal à la fomme de ces
deux nombres, prifè de part amp; d'autre
fur la Ligne des Solides, donnera le cô-
té homologue du Solide qu'on cherche.

Qu'il faille trouver le côté homologue
d'un Solide femblable amp; égal à deux So-
lides femblables donnez, dont deux cô-
tez homologues foient les Lignes HI,
KL. Suppofons que les Lignes AB^
AC, foient
chacune la
Lignedes So-
lides du Com-
pas de pro-
jortion, dont
e centre eft
A. Suppofons.
encore que
les deux

points F, G, foient chacun le point par
exemple du S^ Solide, auquel on appli-
quera il l'on veut, la longueur du côté
Hl, en forte que la diftance FG, de 8
à 8, foit égale à ce côté HI, pour ap-
pliquer enfiiite lur la même Ligne des
Solides la longueur de l'aiiure côté KL,
de part amp; d'autre de D en E, en forte
que les points D, E, foient chacun éga-
lement éloignez du centre A, c'eft à dire
d'un même nombre de Solides, qui foit
E 7.nbsp;par

par exemple 27 ; en forte que la diftance
DE, de 27 à 27 , foit égde à cet autre
côté KL. Cela fait, amp; le Compas de
proportion demeurant ainfi ouvert, je
dis que la diftance BC, denbsp;qui

eft la fomme des deux nombres prece-
dens 8, 27, qui expriment la raifon des
deux Solides donnez, eft égale au côté
homologue d'un Solide femblable amp; égal
aux deux Solides donnez , dont deux
côtez homologues font HI, KL.

Car dans îes Triangles ifofceles fem-
blables ABC, AFG, on a par 4. 6.
cette analogie, AB, AF :: BC, FG:

cy, ABf, AFlt;r::BCc, FGr; amp; fi à la
place des daix premiers termes ABf,
AFlt;r, on met les deux Nombres 35,
8, qui font en même raifon, parce que
AB eft le côté du 35e Sohde, amp; AF le
côté du 8e, on aura cette autre analogie,
35, 8 :: BCc, FGc; amp; en divifant,
on aura celle-cy, 27, 8 :: BCc-FGc,
FGf-; amp; fi à la place des deux premiers
termes 27 , 8, on met les deux cubes
AD» AF, qui font en mène raifon.»

parce que AD «eft le côte du 27e Solide,
amp; AF le côté du , ou bien fi à la
îlacedeces deux ADf, AFc, on met
es deux DEc, FGc, qui font en mê-
me raifon, à caufe des Triangles ifofce-
les femblables ADE, AFG, on aura
cette autre analogie,DE«-,FGlt;: :: BCc-
FGc, FGc, où Ton void que le cube
DE, ou KL, eft égal à la difference
des deux BC , FG , ou HT, amp; que
par confequent le cube BC, eft égal à la
lômme des, deux HI, KL. D'où il fuit
par 33. II. que la ligne BC eft un côté
homologue d'un Solide femblable amp; égal
aux deux Solides femblables donnez,
dont deux côtez homologues font les
lignes HI, KL. Ce qu'il faloit démon-
trer.

Pour n'avoir pas un Nombre trop
^rand dans la fômme des deux Nombres
qui expriment la raifon des deux Soli-
des donnez, on donnera au côté du
premier Solide donné im Nombre dq
Solides le plus petit que l'on pourra, afin
que l'autre nombre des Solides du côté
homologue du fécond Solide, foit aufE

plus petit, amp; qu'ainfi I4, fomme de ces
deux nombres fe puiiïè trouver fur la
Ligne des Solides.

Il fuit aifément de la pratique de ce
Probleme, que l'on peut ajoûter enfem-
ble plus de deux Solides femblables don-
nez, fçavoir en ajoûtant enfemble les
deux premiers, amp; en ajoûtant à la fom-
me le troifiéme,quot; amp; ainfi enfuite.

On peut aufli facilement trouver une
Sphere égale à plufieurs Spheres don-
nées , en travaillant par leurs Diainetres
confiderez comme les cotez homologvies
d'autant de Solides femblables : amp; trou-
ver pareillement un Cone, ou un Cy-
lindre égal à plufieurs Cones , ou à plu- ■
fieurs Cylijidres donnez, fçavoir en tra-
vaillant par les Diametres de leurs bafes,
amp; par leurs hauteurs, amp;c..

On peut aufïï à l'imitation de ce Pro-
bleme, trouver un Solide femblable amp;
égal à la difference de deux Solides fem-
blables donnez, fi au heu d'ajouter eri-
femble les deux nombres de leur raifon,,
(Qji ôte le plus petit du plus grand, amp;c.

Si de quatre Lignes, les trois pre-
meres font proportionnelles, amp;
que k Cube de la troisième joit
égal au Solide fous la fremiere
amp; le ^arré de la quatrième ^
ces quatre Lignes feront dans une
proportion continué.

quot;TE dis que fi des quatre Lignes FG,
I KL, DE, HI, les trois premie-
res FG, KL, DE, font proportion-
nelles , amp; que le So-
lide FGHl^, fous Pi-^G

quatriéme HI ,
loir égal au Cube de la troifiéme DE
ces quatre Lignes FG, KL, DE gt;
HI, lèront continuellement proportiorr
nelles.

Puifque par la Suppofition le Solide
FGHIfl, eft fuppofé égal au Cube DE ,
on aura par 54. 11.cette analogie, FG,
DE :: DE^, HJ^j amp; 11 on donne aux
deux premiers rennes FG, DE, la hau-
teur commune DE, on aura cette autre
analogie, FGDE, DE^::DEf,H%;
amp; fi à place du Plan FGDE, on met le
quarré KL, qui luy eft égal, par 17.(5.
à caufe des trois proportiomielles FG, '
KL, DE^ on aura cette autre analogie,
KL^, DE^ :: DE^, Hla, où l'on
Void par 22. 6. que les trois lignes KL,
DE, HI , font proportionnelles : amp;
parce que les trois lignes FG, KL,
DE, Ibnt auflî proportionnelles, parla
liippofition, il eft de neceffité que les
quatre FG, KL, DE, HI, foient con-
tinuellement proportionnelles. Ce qu'il
faloitdémontrer.

AYant porté chacune des deux Li-
gne données fur la Ligne des Piu:-
ties égales du Compas de proportion,
ou fur quelque autre Ligne divifée en
Parties égalés, pour fçavoir le nombre
des Parties égales que chacune contient,
appliquez la longueur de la plus grande
Ligne donnée, de part amp; d'autre fiir la
Ligne des Solides du Compas de pro-
portion , à un nombre égal à celuy de fes
Panics égales ; amp; le Compas de propor-
tion demeurant ainfi ouvert, prenez fiir
la même Ligne des Solides, de côté amp;
d'autre, la diftance du nombre égal a
celuy des Parties égales de l'autre Ligne
donnée, pour avoir la plus grande des
deux Moyennes proportionnelles qit'on
cherche, entre laquelle amp; la plus petite
Ligne donnée, une Moyenne propor-
tionnelle, fera la plus petite des deux
Moyennes qu'on cherche.

Qu'il faille trouver deux Moyennes
proportionnelles entre les deux Lignes
données FG, HT, dont la plus petite
FG contienne par exemple iq Parties é-
gales, amp; la plus grande Hi en contien-
ne 45. Sup-
jofons que
es Lignes
AB, AC ,
foient chacu-
ne la Ligne
des Solides
du Compas
de proportion, dont le centre eft A r
que les points B, C, foient chacun le
45® Solide, amp; les points D, E, cha-
cim le ioe Solide. Appliquez la longueur
de la plus grande Ligne HI fur la Ligne
des Solides, de part amp; d'autre aux points
B, C, en forte que la -diftance BC»
de 4; à 45 , foit égale à la plus gtande
Ligne donnée Hl ; amp; alors la diftmise
De, de 20 à io, fera la plus grande des.
deux Moyennes proportionnelles qu'on
cherche, c'eft-à-dire a troifiène de qua-
tre continuellement proportionnelles,^

dont FG eft la premiere , amp; H[ la qua-
ïriéme : amp; fi entre cette troifiéme trou-
vée DE, amp; la premiere FG, on trou-
ve une Moyenne proportionnelle , 011
aura la fécondé.

Car dans les Triangles ifofceles fem-
blables ABC, ADE, on a par 4. 6.
cette analogie, AB, AD;:BC, DE,
ou AB, ÂD :: HI, D£, à caufe de
BC égale a HI, par la conftrudion ; c'eft
pourquoy par 37. 11. on aura celle-cy,
ABt-, AD^ :: Hk, DEc: amp; fi à la
place des deux premiers termes ABc,
ADc, on met les deux nombres 45,
io, qui font en même raifon, par la
conftrudion de la Ligne des Solides,
ou bien li à la place 'de ces deux nom-
bres 45, 20, on met les deux Lignes
Hf, FG, qui font aufli en même rai-
fon, on aura cette autre analogie, HI,
FG f: Hic, DE«-: amp; enfin fi aux deux
premiers termes HI, FG, confiderez
comme des hauteurs, on donne la bafe
commune HI^, on aura cette derniere
analogie, HIr, FGHI^::HIc, DEr,
où l'on void que le Solide FGHIf eft

égal au cube DE. D'où il fuit, parle
Lemme precedent, que la Ligne DE eft
la plus grande des deux Moyennes pro-
jortionnelles qu'on cherche. Çe qu'il fa-
oit démontrer.

Si les nombres des Parties égales des
deux Lignes données font trop grands,
on fe fervira de leurs moitiez, ou de
leurs tiers, comine il faudroit fe fervir
des doubles ou des triples des deuxme-
nies nombres, s'ils étoient trop petits.

Or comme l'ufage de deux Moyennes
proportionnelles entre dmx Lignes don-
nées, eft abiolument necelïàire [xjur la
reduétion d'un folide en aibe , nous
.ajouterons icy, pour finir agréablement
ce Traité, une maniéré facile de

Trouver geometriquemern entre deux
Lignes données , deux Moyennes
proportionnelles.

Pour trouver deux Moyennes propor-
tionnelles entre les deux Lignes données
AB, AC, divifcz l'une de ces deux,
comme AC, en deux également au
point D, amp; luy tirez par ce point D,

la perpendiculaire DE, égale à la moi-
tié de l'autre Ligne donnée AB, pour
décrire du centre E, par les points A,
C, une circonférence de Cercle AlFK.
Aprez cela déai-
vez par le point
A, (lu-l'axe AC,
la Parabole FA M,
dont le Paramé-
tré foit AC; amp;
par la feétion F
du Cercle amp; de
la Parabole, tirez la droite FG, perpen-
diculaire à l'axe AC; amp; les deux Lignes
AG, FG, feront les deux Moyennes
qu'on cherche : de forte que les quatre
Lignes AB, AG, FG, AC, feront
dans une continuelle proportion.

Car fl on tire le Diametre IK per-
pendiculaire à la Ligne FG, ou panille-
e à l'axe AB, les deux Lignes LF,
LH, feront égales entr'elles, par 5.3,
enfoite de quoy, on conuoîtra aifément
que la fomme des deux Lignes FG,
GH, eft égale à la Ligne AB.

que par la propriété de Parabole, on a
cette analogie, AC, FG :: FG , AG,
amp; que par la propriété du Cercle, on a
ceEe-cy, CG, GH :: FG , AG. Ceft
pourquoy on aura celle-cy, AC, CG : :
FG, GH; amp; en compofant, on aura
celle-cy, AC, AG :: FG, AB , parce
que la Ligne AB eft égale à la fomme
des deux FG, GH. De cette derniere
analogie, amp; de la premiere, il fuit que
les quatre Lignes AB, AG, FG, AC,
font dans une proportion continue. Ce
qu'il faloit démontrer.

Nous avons donné dans nôtre grand
Traité d'Algebre, douze maniérés diffé-
rentes amp; trés-fimples, pour la folutionde
ce Problème : mais comme celle-cy me
femble la plus facile détourés, outre que
ce n'eft pas icy le lieu d'en parler da-
vant^e, nous mettrons fin à ce Traité,
pour venir plutôt au fiiivant.

A divifion des Champs fert
pour partager une piece de
terre entre deux ou plu-
fieiu's perfonnes, en forte
que chacune en ait une por-
tion égale, ou telle autre partie que l'on
voudra. Pour procéder par ordre, nous
commencerons par le Triangle, qui eft
la premiere des Figures, pour aller en-
fuite aux Figures de quatre côtez, amp; en
après aux Polygones, comme vous allez
Voir dans les Chapitres fiiivans.

Divifer le Triante donné ABC j
en autant de Parties égales qu'on
voudra j par des Lignes tirées
de l'angle donné A.

côté BC oppofé à l'angle A, en trois
Parties égales aux points D, E, amp; me-
nez les droites AD, AE, amp; les trois
Triangles BAD, DAE, EAC, feront
égaux par 38. I.nbsp;Sco-

II eft évident par i. que fi on vou-
loir divifer le Triangle donné ABC,
en plufieurs Parties inégales felon une
raifon donnée, il faudroit divifer le cô-
té BC felon cette même raifon, en au-
tant de Parties inégales.

Divifer le Triangle donné ABC ,
en autant de Parties égales qu'on
voudra j far des Lignes paral-
lèles au côté BC.

SI vous le voulez divifer en trois Par-
ties égales par exemple, divifez l'un
des deux autres côtez AB, AC, com-
me AC , en trois également aux
deux points D , E , amp; coupez le mê-
me coté AC aux deux points F , G,
en forte que la Partie AF foit Moyen-
i^e proportionnelle entre AC , CD ,
^ la Parti; AG Moyenne propor-
îionnaie entre AC , CE. Après cela
F 3nbsp;tirez

Car puifque les deux Triangles AHF,
ABC, font femblables , ils font dans la
raifon des Quarrez AF, AC, qui eft la
même que celle des Lignes CD, AC,
à caufe des trois proportiomielles CD,
AF, AC; amp; parce que CD eft le tiers
de AC, le Triangle AHF eft aulïï le
tiers du Triangle ABC.

Pareillement de ce que les Triangles.
AIG, ABC, font femblables, ils font
dans la raifon des Quarrez AG, AC,
qui eft la même que celle des Lignes,
CE, AC, à caufe des trois proportion-
nelles CE, AG,,AC; amp; parce que

CE eft les deux-tiers de AC, le Trian-
gle AIG eft auffi les deux-tiers du Tri-
angle ABC. D'oij il eft aifé de conclure
que les deuxTrapezdidesBIGC, HIGF,
font chacun le tiers du même Triangle
ABC , amp; qu'ainfi le Triangle propofé
ABC eft divifé en trois Parties égales
par les deux Lignes GI, FH, qui fonc
paralleles au côté BC. Ce qu ü faloit
Lire amp; démontrer..

Si on vouloir divifer le Triangle
ABC en deux fois plus de parties, il
faudroit divifer en deux égiement le
Triangle AHF, par une Ligne parallele
au côté HP, comme il vient d'être en-
feigné, amp; auffi en deux également cha-
cun des deux Trapezoides HIGF,
IBCG, par une Ligne parallele au côté
IG, comme il fera enleigné au ProbL
X. Chap. II.

Divifer en deux également le Trian-
te A B G par une Ligne perpen-
diculaire au côté AB.

AYant divifé le côté AB en E, en
forte que le Quarré BE foit égal
à la moitié du Reétangle fous le coté

AB, amp; le fegment BD terminé par la
perpendiculaire CD, tirez du joint E,
au côté AB, la perpendiculaire EF, qui
divifera en deux également le Triangle
propofé ABC.

Dans les Triangles femblables CDB,
FEB, on a cette analogie, BD, CD : :
BE, EF; c'eft pourquoy fi aux deux
premiers termes BD, CD, on donne
a hauteur commune AB, amp; aux deux
derniers la hauteur commune BE, on au-
ra celle-cy , ABD, ABCD :: BE^, BEF,
où l'on void que puifque le Rcdangle
ABD eft double du Quarré BE, il faut
que le Redangle ABCD foit aulfl dou-
ble du Redangle BEF; amp; en prenant
leurs moitiez, on connoîtra que le Trian-
gle ABC eft double du Triangle FEB.
Ce qu'il faloit faire amp; démontrer.

Pour trouver le point E, divifez le
fegment BD en deux également au point
G, amp; tirez par ce point G au même
fegment BD, la perpendiculaire GH,
qui fera terminée en FI par un demi-cer-
cle décrit à l'entour du côté AB ; amp; il
n'y aura plus qu'à faire BE égale à BH,
dont le Quarré, ou le Redangle ABG,
eft bien la moitié du Redangle ABD.

On peut de la même façon divifer Te
Triangle donné ABC, en autant de
Parties égales qu'on voudra, par des Li-
gnes perpendiculaires au côté AB : com-
me fî on le vouloit divifer par exemple
en trois Parties égales, il faudroit pre-
mièrement prendre la Ligne BG, égale
au tiers du Segment BD, pour avoir le
Quarré BE, égal au tiers du Reélangle
ABD, amp; par confequent le Triangle
BEF égal au tiers du propofé ABC. Il
faudroit enfuite prendre la Ligne BG
ëgale aux deux-tiers du Segment BD,.
amp;c. Mais il ne faut pas que le point E
tombe au de-là du point C»

Divifer le Triangle donné ABC
en deux également j par une Li'
gne tirée du point donné Dßr
le côté BC.

connoîtra paru 6. que le Triangle BAE
eft la moitié du Triangle ABC; amp; par-
ce que le Trapeze ABDF eft égal au
Triangle BAE, comme nous avons dé^
montré dans nôtre Geometric pratique,
il s'enfuit que le Trapeze ABDF eft auffi
la moitié du Triangle ABC, amp; qu'ainfl
le Triangle propofé ABC fe trouve divi-
fe en deux également par la droite DF..
Ce qu'il faloit faire Se démontrer,.

On peut par cette maniéré divifer le
Triange donné ABC en plufieurs Par-
ties égales, par plufieurs lignes tirées
du point D : comme fi on le vouloir
divifer en trois Parties égales, il fku-
droit fàire BE égale au tiers'de BC,
pour avoir le Trapeze ABDF égal au
tiers du Triangle ABC, amp; enfuite fai-
te BE égale aux deux-tiers de BC, amp;c..
Mais cela fe concevra mieux, dans, k
Problème Tuivant.

Divifer le Triante donné ABC,.
en autant de Parties égales que
fon voudra j par des Lignes ti-
rées du point donné D fur le cô-
té donné BC.

POur le divifer en trois Parties éga-
les par exemple, divifez le côté
donné BC, aiiili en trois Parties éga-
ks, aux deux points E, F; amp; ayant ti-
ré la droite AD, tirez-luy par les deux

points E , F , les parallèles EG , FH,
pour avoir fur les côtez AB, AC, les
deux points G, H; par lefquels on ti-
fera au point donné D , les droites
F 7nbsp;DG„

Car fi ou mène les droites AE, AF,.
©n connoîtra par i. 6. que chacun des
deux Triangles BAE , CAF , eft le
tiers du Triangle ABC; amp; parce que
le Triangle BAE eft égal au Triangle
BGD, à caufe des Triangles égaux
GO.4, DOE, parties des Triangles
égauxGAE, GDE, le Triangle BGD
fera auffi le tiers du Triangle ABC. Pat-
un femblable raifonnement, on connoî-
tra que le Triangle CAF eft auffi égal,
au Triangle DHC, à caufe des deux
Triangles égaux APH, DPF, parties
des Triangles égaux AFH, DFH, amp;
que par confequaat le Triangle DHC
eft auffi le tiers du Triangle ABC,
D'où il fuit que le Trapeze AGDH eft
auffi le tiers du même Triangle ABC,
amp; qu'ainfi les deux Lignes DG, DH,
diviient le Triangle propofé ABC en
trois parties égales. Ce qu'il faloit faire
ôc démontrer,

Si on vouloir divifer le Triangle don-
né ABC en deux fois plus de parties,
on devroit divifer par Problème L cha-
cun des deux Triangles DGB, DHC,
en deux également par des Lignes tirées
de l'Angle D , amp; aufli le Trapeze
AGDH en. deux également, par une
Ligne tirée du même Angle D, com-
me il fera enleigné au Erobkme Flh.
Chap. IL

Tirer du point donné D, au de-
dans du Triangle donné ABC ^
trois Lignes^ en forte que fune
pafje par l'Angle donné A, amp;
que les trois divifent le Triangle
donné ABC en trois parties
égales.

gle donné A, la' parallele AF, amp; à la
Ligne DC, par le point G, milieu de
AF, la parallele GH. Enfin tirez du
point domré D, par les trois points A,

P, H, les Lignes DA, DF, DH,
qui diviferont le Triangle propofé ABC,
en trois parties égales.

Car il eft déjà bien évident que le
Trapeze ABFD eft le tiers du Trian-
gle ABC , amp; nous démontrerons au
■Probleme FIT. Chapitre IL que l'autre
Trapeze ACFD, eft divifé en deux
également par la droite DH. D'où il fuit
que le Triangle propofé ABC, fe trou-
ve ainfi divifé en trois parries égales-
Ce qu'il jamp;loit faire amp; démontrer.

Divifer le Triangle donné ABC,
en trois parties égales i par trois
Lignes tirées-aux trois tangles
A. B, C.

AYant pris for l'un des côtez, com-
me for BC là troifiéme partie
BD, tirez par le point D, au côté adj^

cent A B, la parallele DE, amp; par fon-
point du milieu F, tirez les trois Lignes
FA, FB, FC, qui diviferont le Trian-
gle propofé ABC, en trois parties éga-
es..

Car il eft déjà bien évident que le
Triaaigle AFB eft le tiers du Triangle
ABC, parce qu'il eft égal au Triangle
ÀBD, qui eft le tiers du Triangle.
ABC, par 1. 6. Il eft évident auffi que
chacun des deux autres Triangles AFC,

BFC,nbsp;eft le tiers du même Triangle
ABC, parce qu'ils font égaux entr'eux,,
à caufe des deux Triangles égaux CFD»
CFE, amp; des trois égaux AFD, AFE»:

BFD,nbsp;par 38. i. D'où il fuit que les
trois Lignes FA, FB, FC , divifenc
le Triangle propofé ABC, en trois par-
ties égales. Ce qu'il faloit faire amp; dé-
montrer..

Retrancher du Triante donné
ABC, un Triangle égal au don-
né CDE , amp; ayant un Jngle
égal à l'un de ceux du Triangle
donné ABC.

AYant fait au point D, l'Angle CDF,
égal à l'Angle AGB, par la droite
DF, qui fera terminée en F par la Li-
gne EF, parallele au côté CD, faites CI

égale à DF, amp; CHégalek CD, amp; me-
nez la droite HI, qui retranchera le
Triangle CIH égal au Triangle CDE.

gle CIH eft égal au Triangle CDF: amp;
parce que le Triangle CDF eft égal au
Triangle CDE par 37. i. il fuit que le
Triangle CIH eft auffi égal au Triangle
CDE. Ce qu'il feloit foire amp; démon-
trer.

Retrancher du Triante donné
ABC, un Triangle égal au don-
né CDE, par une Ligne tirée
de l'Anglé donné B.

AYant fait une conftrudion fembla-
ble à celle du Probleme precedent,
Sc de plus ayant tiré par le point I, à la
Ligne BH, la parallele IG, menez la
droite BG, qui retranchera le Triiuigle
CBG , égal au donné CDE.

Car à caufe des deux paralleles CD,
EF, le Triangle DCF eft égal au donné
CDE, par 3 7. i. amp; à caule des quatre
proportionnelles CB, CH, CI, CG,

ou CB, CD, DF, CG, amp; des deux
angles égaux BCG, CDF, le Triangle
BGC fera égal au Triangle CFD, amp; par
confequent au donné CDE, par ij. 6,
Ce qu il faloit faire amp; démontrer.

Retrancher du Triangle donné
ABC , un Triangle égal au
donné CDE, par une Ligne ti-
rée far le point I donné fur le
côté BC.

AYait fait au point D, PançleCDF,
égal à l'angle ACB, par la droite
DF, terminée en F par la Ligne EF, pa-
rallèle au côté CD, cherchez aux trois
Lignes IC, CD, DF, une quatrième
proportionnelle CH, amp; menez la droite
HI, qui retranchera le Triangle CHI,
égal au domié XDE, amp; la démonftra-
tion s'en fera comme au Problème pre-
cedent.

Retrancher du Triante donné
ABC, un Triante é^al au don-
né CDE, far une Ligne pa-
rallele au côté donné BC.

AYant trouvé entre la bafe BC, amp;
la hauteur AF, itne moyenne pro-
portionnelle HIj amp; pareillement entre

Ta bafe CD, amp; la hauteur EG
iiioyemie proportiomielle LM, cher-
chez aux trois Lignes HI, LM, AB,
mie quatrième proportionnelle AN ; amp;
tirez par le point N, au côté domié
BC, la paraUele NO, qui retranchera ie
Triangle ANO égal au donné CDE.

Car puifque les quatre Ligues HI,
LM, AB, AN, font proportionnelles
on aura cette Analogie HI^, LM^ ::'
AB^, AN^; amp; fi à la place du quaiTé
HI, on met le Reétangle AFBC, qui
luy eft égal, à caufe des trois proportion-
nelles AF, HI, BC, amp; à k pkce du
quaiTéLM, le ReétangleEGCD, qui
luy eft égal, parce que la Ligne LM a
efté faire moyenne proportionnelle entre
les deux EG, CD; amp; enfin qu a k pk-
ce des deux quarrez AB, AN, on met-
te les Triangles femblables ABC, ANO,
qui font en même raifon, par jp. 6:
on connoîtra que le Redangle AFBC,
eft au Reétangle EGCD, comme le
Tn;uigle ABC, au Triangle ANO.
Et encore fî à la place des deux Redan-
gles AFBC , EGCD, on met leurs
moitiez, ou les Triangles ABC, CDE;
on connoîtra que les quatre Triangles
ABC, CDE :: ABC, ANO, font
îroportionnels, amp; que par confequent
e Triangle ANO doit eftxe égal au
Triangle donné CDE. Ce qu'il f^oit
faire ôc démontrer.

Ce Problème Te peat réfoudre autres
ment êc plus facilement en cette forte.
Ayant trouvé à la hauteur CP, à lahau-
teiu EG, amp; à la bafe CD, une qua-
triéme proportionnelle AQ^ cherchez
entre AB, AQ^ une moyenne propor-
tionnelle AN; amp; tirez par le point N,
au côté donné BC, la parallèle NO,
qui retragt;ichera le Triangle ANC égal
au donné CDE.

les, le Redangle CPAQ^fera égal ....
Reétangle CDÉGgt; c'eft pourquoy leurs
Mo tiez, ouïes Triangles AQC, CDE,
Gnbsp;feront

feront auffi égaux : amp; parce que les Trian-
tes femblables ABC, ANO, font dans
h raifon des quarrez AB, AN, qui eft
la même que celle des Lignes AB, AQ,
ou des Triangles ABC , AQC; le
Triangle ANO fera égal au Triangle
AQC, amp; par confequent au Triangle
donné CDE.

Nous pourrions ajouter icy pîufkurs
autres Problèmes touchant la di-vifion des
Triangles^ par des Lignes tirées d'un
joint donné au dedans ou au dehors du
Triangle propofé: mais comme ces for-
tes de Problèmes font plus curieux qu'uti-
les, Cr que kur conflruBion eji plus
emharajfée, nous les laijferons pour ve-
mr plutôt k la divijion des ttgures de
quatre côtez.

Divifer le Parallelogramme dminé
ABCD, en autant de parties
égales qu'on voudra j par des
Lignes paralleles au côté donné
AD, ou BC.

côté AB en trois égalemesit aux points
E, F, par où vous tirerez à laittre cô-
té AD, les parallèles EG, FH, qui
G znbsp;di-

diviferont le Parallélogramme propofë
ABCD, en trois parties égales, comme
il eft évident par 3 6. i,

Divifer le Farallelogramme donné
ABCD J en trois parties égales j
en commentant par l'AngJe don-
né A.

côté AB, menez les droites AE, EF,
qui diviferont le Parallélogramme pro-
pofé ABCD 3 eu trois parties égales.

Car il eft déjà bien évident par i. 6.
que le Parallélogramme EFBC eft le tiers
du propolé ABCD, amp; par 3 4. i. que l'au-
tre A DEF eft diviie en deux égalenient
par la Diagonale AE.. Done, amp;c.

Dhifer le Farallelogramme donné
ABCD, en trois parties égales ,
en commençant par le point E
donné fur le coté AB.

élites DI égaie à EG, amp; divifez IC en
également au point K, amp; EB en
G 3nbsp;deux

deux également au point L, pour tirer
les droites El, KL, qui diviferont le
Parallélogramme propofé AJBCD , en
trois parties égales.

Car fi l'on tire par le point F, au cô-
té AD, la parallele FH, la Ligne DH
lèra égale à la Ligne AF, amp; par confe-
quent à l'a Ligne FG : amp; fî des deux Li-
gnes égales EG, Dl, on ôte les deux
égales FG, DH, il reftera la Ligne EF
égale à là Ligne HI; ce qui fait que
ks deux Triangles équiangles OEF „
OHI, font égaux, par i. amp; que par
confequent le Trapezcidc AEID dl ég;il
au Parallélogramme AFHD , amp; confé-
quemment au tias du Parallélogramme
propofé ABCD. Et parce que l'autre
ïrapezoïde EBCI, fe trouve divifé en-
deux également par la droite KL, com-
me nous démontrerons au Problème VI.
il s'enfuit que le Parallélogramme propo-
fé ABCD, eft divifé en trois parties é-
;ales par les Lignes IE, KL. Ce qu'il fa-
',oit faire amp; démontrer.

Divifer le Fardklogramme donné
ABCD^ en trois parties éga-
les ^ par deux Lignes tirées dt
VAngle donné A.

AYant fait h Ligne CE égale au tiers
du côté CD , amp; ayant tu'é^par ie
point F, milieu de la Ligne BB, aia

Diagonale AC, la paraUele FG, menez
les deux Lignes AE, AG, qm divife-
ront le Parallélogramme propole ABCD,
en trois parties égales.

Crj il a efté démontré au Probleme
II. que le Triangle ADE eft égal au tiers
du ParaUelogramme propofé ABCD;
ôc il fera démontré au Probleme VII.
que la Ligne AG divife le Trapeze ABCE
en deux également. D où il luit que les
Lignes AE, AG, divifent le Parallélo-
gramme propofé ABCD , en trois par-
ties égales. Ce qu'il faloit faire amp; démon-
trer.

Divifer le Paralleïogramme donné
ABCDj en trois parties éga-
les j par deux Lignes tirées d%
point donné E fur le côté donné

AYaiit fait les Lignes AF , DG'y,
égales chacune au tiers du côté
ABamp; la Ligne GH égale à la Ligne

EF, tirez par le point T, milieu de îâ,
Ligne BH, à la Ligne EC, la parallele
IK, amp; menez les deux Lignes EH,.
EK, qui diviferont le Parallelogram-
me propolé ABCD, en trois parties
égales-

Car il a eftc démontré an Probleme
III. que le Tr.ipezo'ide AEHD eft le
tiers du Parallelogramme ABCD, amp; le
refte fe démontrera au Probleme VIL.

vous le voulez divifer par exem-
fcjJ pie, en trois parties égales, divifez
tiracun des côtez paralleles AB, CD

FH, qui diviferont le Trapezdide pro-
pofé ABCD, en trois parties égales,
puifque ces trois fout compofées de
Triangles égaux, amp;c.

Divifer le Trapeamp;e dcnnéABCD i
en deux également ^ far me
Ligne droite tirée de VAngle
donné D.

AYant tiré par le point E, milieu de
. la Diagonale AC, la droite EF,
parallele à l'autre Diagonale BDj mea^

la droite DF, qui divifera leTrapeze pro«.
£ofé ABC D,, en deux parties %ales.

Car fi aux Triangles égaux DEA,
DEC, on ajoute les Triangles égaux
AEB , CEB, on aura le Trapeze
A DEB, égal au Trapeze CDEB : amp; k
caufe du Trapeze ADEB, égal au
Triangle ADF, amp; du Trapeze CDEB
égal au Trapeze CDFB, parce que les
rieux Triangles DEO,.BFO, font
égaux, comme l'on connoîtra en ôtant
des deux Triangles égaux DEB, DFB,
le Triangle commun DOB ; il s'enfuit
que le Triangle ADF, eft égal au Tra-
peze CDFB , amp; qu'ainfi la Ligne DF
divife le Trapeze donné ABCD, en
deux également. Ce qu'Ü faloit faire amp;
Remontrer.,

Divifer le Trapeze donné A B C D
en deux également, par une Li^
gne droîte tirée du point E mi-
lieu du côté AB.

AYant tiré par l'Angle D , au côté
donné AB , la parallele DF , ti-
rez par fon point du milieu G, à la Li-

gne EC, la parallele GH, amp; menez îa
droite EH, qui divifera le Trapeze pro-
Joß ABCD, eil deux également.

Cat ft atxx deux Trapezoides AEGD y
BEGF, qui font égaux par le Problème
VI. on ajoàte les Triangles GCD,.
G CF, qui font auffi égaux, par 38. i.
on aura le Pentagone aEGCD égal au
Trapeze EGCB, ou le Trapeze AEHD
égal au Trapeze EHCB,, à caufe des
deux Triangles égaux EGO , CHO ,
comme l'on connoitra en ôtant des deux
Triangles égaux EGC, EHC, le Trian-
gle commun EOC, ou des deux égaux
£GH, CGH, le commun GOH,

snent, amp; trés-facilement en cette forte.
Ayant tiré, des deux points A, B, fut

le côté CD, les deux perpendiculaires.
AF, BG, cherchez aux trois Lignes
AF t BG , BG , CD , une quatriè-
me proportionnelle DH, amp; menez la.
droite EH, qui divifèra le Trapeze pro-
pofé ABCD, en.deux parties égJcs.

Car puifque par laconftruétion, nous
avons cette Andogie, AF BG, BG ::.
CD, DH; en divifant, on aura celle-
cy , AF, BG : : CH , DH ; amp; le
Redangle AFDH fera égal au Rectangle
BGCH, amp; par confequent le Triangle
AHD au Triangle BHC : amp; à caufe de
l'égalité des deux Triangles- AEH»,
BEH, il s'enfuit que le Trapeze ADHE
eft égal au Trapeze BCHE, amp; qu'ainfi;
la Ligne EH divife le Trapeze propofc:
ABCD en deux parties égales. Ce qu'il
faloit faire amp; démontrer.

Ce même Problème fe peut aufïï re-
foudre par le moyeji du. fuivant, qui eft
plus generaL-

Divifer le Trapeze donné ABCD,
^n deux également j far une Li-
gne droite tirée du point E don-
né fur le côté CD.

AYant tiré de l'Angle C, à la Dia,
gonale DB, la parallele CF, qui
rencontre le côté AB, prolongé en Fgt;.
divifez AF en deux également au point

G; amp; ayant tiré de l'Angle D, à la Li-
gne EG, la parallele DH, menez la droi-
te EH-, qui divifera en deux également
le Trapeze propofé ABCD-

Car à caufe du Triangle ADF, égal
au Trapeze ABCD, comme nous avons
démontré dans nôtre Geometrie prati-
que , fa moitié,, ou le Triangle ADG,
ièra auiE la moitié du Trapeze ABCD:
amp; parce que ce même Triangle ADG,
eft éml au Trapeze ADEH, à caufe des
parallèles EG, DH, il fuit que ce Tra-
peze ADEH, eft auffi la moitié du doniîé
ABCD, amp;que par confequent la Ligne
DG divife le Trapeze donné ABCD en
deux parties égales. Ce qu'il faloit faire
ÖC démontrer..

Divifer le Trapeze donné ABCD,
en deux également, par une Li-
gne parallele au côté donné
AD.

AYant tiré l'Angk C à la
Diagonale DB, k parallele CE,
qui rencontre icy le côté AB prolongé
«n E, amp; ayant divife AE en deux éga-

Tement au point F , prolongez le côtf
CD, jufqu à ce qu'il rencontre le côté
AB prolongé en G, amp; abaiifez du point
F, fur AG, la perpendiculaire FO,
qui fera finie en O, par un demi-cercle
décrit k l'entour de AG. Faites enfin

CHAPîTRfi II. Ilt;5î
GH égale à GO, amp; tirez par le point
H, au côté AD, la parallele HI, qui.
divifera le Trapeze propofé ABCD en
deux parties égies.

Car à caufe du Triangle ADE, égal
au Trapeze ABCD, comme nous
avons démontré dans nôtre Geometrie
pratique, fa moitié ou le Triangle
ADF, fera égal au Trapeze BCDFl
amp; parce que k Triangle AOG eft rec-
tangle , par ji. 3.. ks deux Triangks
AOG, FOG, feront femblables, p-at
8. 6. amp; par 4. 6. la Ligne GO, ou ion
égale GH, lèra moyenne proportion-
nelle eutre les deux AG, GF; e\ft
pourquoy la raiibn de ces deux Lignes.
AG, GF, fera égale à celle des deux,
quarrez AG, GH, par CoroU. io.
laquelle raifon eft la même que celk des.
Triangles, femblables ADG , HIG ,.
par 19, 6.. Et comme la raifon des mê-
mes Lignes AG, GF, eft auffi égale à.,
celk des deux Triangles ADG, FDG,
par I.. 6. on conclud aifèment, que la
raifon des deux Triangks ADG, HIG,,
eft égale à celle des deux. Tnangks
^nbsp;ADG,

Des Quadrangles.
ADG, FDG, amp; que par confeqiient îe
Triangle HIG eft égal au Triangle FDG ;
ceft pourquoy fi de chacun on ôte le
Triangle commun BCG, il reftera le
Trapeze BCIH, égal au Trapeze BCDF,
ou à la moitié du Trapeze donné ABCD.
Dou il fuit que la droite HI divife le
irapeze propofé ABCD, en deux par-
ties 'égales. Ce qu'il faloit faire amp; dé-
montrer..

ze ABCD, en Trapezoïde, tirez de
rAngle A, au côté BC, la parallele AE,
qui fera finie en E, par la Ligne DE,
Parallele à la Diagonale AC; amp; menez
a droite EC, amp; le Trapezoïde AB CE
leta égal au Trapeze propofé ABCD..

Triangle commun AFC, on aura le
Triangle AF E égal au Triangle CFD;
amp; fi à chacun de ces deux Triangles
égaux AFE, CFD, on ajoute le Tra-
peze ABCF, on aura le Trapezoïde
ABCE j égal au Trapeze donné
ABCD. Ce qu'il faloit faire ôc démon-
trer.

Bien que cette piethode Ibit courte
amp; facile , néanmoins elle ne fe trouve
pas propre pour nôtre defTein, qui efl de
divifer un Trapeze en deux également ;
parce que dans cette rédudion il y a
deux côtez qui changent. C'eft pour-
quoy nous eiîfeignerons icy une autre

methode pour réduire un Trapeze em
Trapezoide, en diangeant feulement im
-côté.

Pour donc reduiie le Trapeze
ABCD, en Tri^jezdide, prolongez les
deux côtez AD, BC , jufqu'à ce qu'ils
fe rencontrent en E ; amp; coupez le cô-
té AE en F , en forte que le côté BE
foit au côté AE, comme le Redangle

CED, au-quarré EF, ce qui eft facile.
Après cela menez k droite CF, amp; luy
tirez par le point D, k parallele DG.
Enfin menez la droite FG, qui fera pa-
rallèle au côté AB; amp; le Trapezoide
ABGF fera égal au Trapeze propofë
ABCD.

, -Car à caufe des Triangles femblables
EFC, EDG le Redangle FEG, fera
égal au Reétangle CED, amp; l'on pourra
faire cette Analogie, FEG, EF^::CED,
EF^ ; amp; à caufe que JEF eft une hauteur
commune aux deux premiers Reélan-
gles, on pourra faire celle-cy, EG, EF::
CED, ÉF^. Et fi au lieu des deux der-
niers termes CED, EF^, on met les
deux Lignes BE, AE, qui font en mê-
me raifon par la conftxuéiion, on aura
cette derniere Analogie, EG, EF :: BE,
AE, laquelle fait connoître par 6. (î.que
le petit Triangle EFG eft femblable au
grand EAB, amp; que par confequent le cô-
té FG eft parallele au côté AB ,; amp;qu'ainli
la figiure ABGF eft un XTapezdide, le-
quel efl égal au Trapeze propofé ABCD ,
à caufe de l'égalité des deux Triangles
FDG, FGC, par 37. x. defquels ôtant
le Triangle ccMnmun FOC, il reftera le
Triangle FOD égal au Triangle COG;
c'eft pourquoy fi à chacun de ces deux
Triancrles égaux FOD, COG, on
ajoute le Pentagone conomun ABCOF,
on aura k Trapeze ABCD égala\}Trar-

II ne refte plus qu'à vous enfeigner la
maniéré de divifer en deux également
le Trapezôide ABGF, par une Ligne
parallele au côté AB; ce qui fe fera en
cette forte.

Coupez le côté AE en H, en forte
que le quarré EH, foit la moitié de la
fomme des deux EA, EF; amp; inenczpar
le point H, à la Ligne AB, la parallele

Car puilque la fomme des quarrez
EA, EF, eft double du quarré EH, par
la conftmébion , les trois quarrez EFgt;
EH, EA, amp; par confequent les Trian--
gles femblables EFG, EHI, EAB, qui
font en même raifon, par ip. 6. feront
en proportion arithmétique : c'eft pourî.
quoy l'excez du fécond fur le preinier,
fçavoir le Trapeze HIGF, fera égal à
l'excez du troifiéme fur le fécond, c'eft
à dire au Trapeze ABIH. Ainfi la Li-
gne HI divife en deux parties égales le

Trapezoïde ABGF, amp; par coiifequent
le Trapeze propofé ABCD. Ce qu'il
filoit faire amp; démontrer.

Il fuit de la pratique de ce Problème;
amp; du Prohleme FI. mie maniéré aifëe
pour divifer un Trapezoïde donné, en
quatre parties égales, par deux Lignes
perpendiculaires entr'elles.

Divifer le Trapeze donné A^CD^
en trois parties égales j par deux
Lignes tirées de l'Ângle donné!).

divifez la Ligne AE , en trois parties
égales, aux points F, G, amp; menez les droi-
tes DF, DG, qui diviferont le Trape-
ze propofé ABCD, en trois parties éga-
ies, à caufe du Triangle ADE, qui efl
égal au Trapeze ABCD, amp; qui eftdivi-
fe en trois également par les droites DF,
DG : il faut prendre garde que le point
G ne doit pas paifer au delà du point B.

Divifer le Trapeze donné ABCD,
en trois parties égales, par deux
Lignes tirées du point E, don-
né fur le côté CD.

fakes AG égale à mi tiers de AFj amp;
ayant tiré à la Ligne GE la parallè-
le DH , amp; à la Ligne BE la parai-
le Cl, faites HK égale à la moitié de
HI, amp; menez les droites EH, EK,
qui diviferont le Trapeze propofé
ABCD, en trois parties égales.

Car puifque le Triangle ADF eft égal
au Trapeze ABCD, amp; que le Triangle
ADG en eft le tiers, par i. 6. à caufè
de la bafe AG égale au tiers de la bafè
A F , par la conftruéiion , le Trapeze
AD EH, qui tft égal au Triangle
ADG, à caufe de la Ligne EG, paral-
lele à la Diagonale DH, fera auffi le
tiers du Trapeze ABCD: amp; parce que
le Trapeze reftant BCEH fe trouve di-
vifé en deux également par la droite EK,
parce qu elle divife en deux également le
Triangle LIEI, qui eft égal au Trapeze
B? 'EH, il s'enfait que les deux Lignes
Eh, EfC, divifent le Trapeze propo-
fé ABCD, en trois parties égales. Ce
(ju'il faloit faire amp; démontrer.

Divifer le Trapeze donné ABCD»
en mis parties égales J par deux
Lignes paralleles au côté donné
AD.

AYant tiré par l'Angle C, à la Dia-
gonale DB, la parallele CE, qui
rencontre icy le côté AB prolongé en
E, amp; ayant fait A F égale au tiers de
AEj prolongez le côté CD, jufques à

ce qu'il rencontre le côté AB prolongé
en G; amp; cherchez entre AG , GF,
une moyenne proportionnelle GH, amp;

tirez par le point H, au côté AD, la
parallele HI. Après cela tirez par le mê-
me point C, à la Ligne IB, la paralle-
le CK; amp; ayant diivifé HK en deux
également au point L, cherchez entre
riO, GL, une moyenne proportion-
nelle GM, pour tirer par le point M,
au même côté AD, la parallele MN :
amp; le Trapeze propolé ABCD fe trouve-
ra divifé en trois parties égales, parles
deux paralleles HI, MN.

Car on démontrera, comme dans le
Problème X. que le Trapeze ADIH eft
k tiers du propofé ABCD; amp; que la
Ligne MN divife en deux également le
Trapeze HBCI, qui eft égal aux deux-
tiers du propofé ABCD. b'ou il eft ai-
fé.de conclure que les deux Lignes HI,
MNquot;, divifent le Trapeze propofé
ABCD, en trois parties égales. Ce qu'il
àloit faire amp; démontrer.

Divifer le Trapeze donné ABCD,
en trois parties égales ^ par deux
Lignes tirées des deux tangles
Dofezh, D.

AYant tiré de l'Angle C, à la diago-
nale DB, la parailele CE, qui ren-
contre le côté AB prolongé en E, fai-
tes A F égale à un tiers de^AE, amp; me-
nez la droite DF, laquelle eftant pro-
longée rencontrera la parallele CE, auffi
prolongée, en G; amp; ayant divilé la Li-
gne FG en deux également au point H,
menez la droite BH: amp; les deux Li-
gnes DF, BH, diviferont le Trapeze
propofé ABCD, en trois parties égales.

Car puifque la bafe AF, du Triangle
ADF, eft Ie tiers de la bafe AE, du
Triangle ADE, qui eft égal au Trape-
ze ABCD, ce Triangle ADF fera par
i. 6. Ie tiers du Triangle ADE, amp; par

confequent du Trapeze ABCD : amp; pa-
reillement parce que la bafe FH , du
Triante FBH, eft la moitié de la bafe
FG du Triangle FBG, qui eft égal au
Trapeze FBGD, ou aux deux-tiers du

Trapeze ABCD, ce Triangle FBH eft
la moitié du Triangle FBG, ou du Tra-
peze FBCD, amp; par confequent le tiers
du Trapeze ABCD. D'où i fuit que le
Trapeze propofé ABCD, eft divifé en
trois parties égales, par les deux Lignes
DF, BH. Ce qu'il taloit faire amp; démon-
trer.

Divifer le Trapeze damp;nné h'^CD^
en deux parties ^ dont la raifon
foit égale à celle des deux Li-
gnes données AG^ GH.

AYant tiré des Angles A, C, fur la Dia-
gonale DB , es perpendiculaires
AF, CE, amp; ayant prolonge AF en I, en
, forte que FI foit égale à CE, divifez Al en
L, en forte que les quatre Lignes AH, AG,

AI, AL, foient proportionnelles : amp;
parce que le point L tombe icy fur la
perpendiculaire AF, du Triangle ADB,
divifez fon côté AB en M, en forte que
les quatre Lignes AF, AL, AB, AM,
fôieut proportionnelles ; amp; menez la

dtoite DM, qui diviicra le Trapeze pro-
pofé ABCD, en deux parties AD M,
BCDM, dont la raifon eft égale à celle
des deux Lignes données AG, GH.

Car puifque par i. lt;gt;. le Triangle
ADM eft au Triangle BDM, comme
AM à BM; en compofant, le Triangle
ADM fera au Triangle ADB, comme
AM à AB, ou comme AL a AF: amp; pa-
reillement puifque le Triangle ADB eft
au Triangle CDB, comme AF à CE,
ou FI C en compofant, le Triangle
ADB fera au Trapeze ABCD, comme
AF, à AI : amp; fl à la place du Trian-
gle ADB, amp; de la Ligne AF, on met
le Triangle ADM, amp; la Ligne AL,
qui font en même raifon, comme il
vient d'être démontré, on connoîtra que
le Triande AD M eft au Trapeze AB CD,
comme'AL à AI; c'eft pourquoy en di-
viGint, le Triangle ADM eft^au Trape-
ze BCDM, comme AL à LI, ou
comme AG à GH. Ce qu'il faloit faire
Se démontrer.

On void aifément que par le moyen
de ce Probleme, on peut retrancher dun
Trapeze donné , telle partie que l'on
voudra, amp; de plus refoudre le Proble-
me VII. amp; divilèr un Trapeze donné en
autant de parties égales que Ton voudra.

SI l'on réduit en Triangle le Trapeze
propofé , comme nous vavons fait
dans plufieurs Problèmes de ce Chapitre,
amp;que de ce Triangle on retranche une fi-
giu-eégaleàla donnée par les preceptesdu
Chapitre precedent, le Probleme ierare-
fblu.

Ou bien on confiderera la raifon de la
figure donnée au Trapeze donné; amp; à
l'aide du Probleme precedent, on divi-
fera le Trapeze donné felon cette raifon

Divifer m Polygone regulier en
deux également j far une Li-
gne tirée du milieu de l'un de fes
cotez.

PRemierement fi le Polygone regulier
eft compofé d'un nombre pa,ir de
côtez, comme l'Exago-
ne ABCDEF, on di- y-
vifera deux de fes cô- / ,
tez oppofez amp; parai- lt;T
leles , comme AB, \
DE , chacun en deux
également, aux points
G, H; par où l'on meneraladroiteGHj
qui diviiera en deux parties égales l'Exît-
gone propofé ABCDEF.

pofé d'un nombre impair de côtcz, com-
me le Pentagone ABCDE, on divifè-
ra l'un de fes côtez com-
me-AB, endeuxégale-
ment, au point F; par
où l'on tirera à l'Angle
oppofé D, la droite
DF, qui divifèra le Pen-
ragone propofé ABCDE,
eu deux parties égales.

Nous ne donnons pas la démonftra-
tion de ces deux pratiques, parce qu'el-
le eft évidente; car on void ailément que
chaque Polygone fe trouve divifé en deux
Trapezes égaux, puifque les Angles amp;
les côtez de l'un, font égaux aux Angles
Si aux côtez de l'autre.

gone ABCDE, tirez à l'une de fes Dia-
gonales, comme à la Diagonale DB„
par l'Angle voifui C, la parallele CF,
qui rencontre icy le côté oppofé A B pro-
longé en F ; amp; menez la droite DF,
pour avoir le Trapeze AEDF, égal ait
Pentagone propofé ABCDE, à caufe
du Triangle DOC égal au Triangle
BOF: c'eft pourquoy il n'y a qu'à redui-
re en Triang e ce Trapeze AEDF; ce
qui le fera en tirant à ià Diagonale EF,
H 7nbsp;par

par l'Angle D, la parallele DG, qui ren-
contre icy le côté AF prolongé en G,
par où vous mènerez la droite EG,
amp;VOUS aurez le Triangle AEG, égal au
Trapeze AEDF, ou au Pentagone pro-
pofé ABCDE, à caufe du Triangle
EOD égal au Triangle FOG.

Ainfi vous voyez que l'on peut aifé-
ment reduire en Triangle tel Polygone
que l'on voudra, parce qu'on le peut
toujours réduire en une figure d'autant
de côtez moins un, amp; cette autre figure
en une aiure d'autant de côtez moins un,
amp; continuer ainfi jufques au Triangle.
Comme icy de la figure de cinq côtez
ABCDE, nous en avons fait une de
quatre AEDF, amp; de céile-cy une de
trois AEG.

Divifer un Polygone regulier en
deux également j par tine Ligne
pardkle à l'un de fes côtes^.

PRemierement fi le Polygone regulier
eft pair, comme l'Exagone AECDEF,
qu'on le veiiille divifer eu deux éga-

îement par une Ligne parallele au côté
donné AB , on tirera cette Ligne par les
deux Angles F, C, qui font diamétrale-
ment oppofez amp; également éloignez du
côté donné AB. La démonftration en eft
ttop claire pour en parler icy davantage.

Âlais fi le Polygone propofé eft im-
pair, comme le Pentagone ABCDE, on
e divifèra en deux, également par luie Li-
S'^e parallel; au côté donné AB, par une

Ayant réduit par le Lemme precedent,
le Pentagone propofé ABCDE, au Tri-
angle FCH , comme icy, par l,e|moyen
des deux Lignes BF, DH , parallèles aux
deux Diagonales CA , CE 5 divifez la
bafe FH en deux également, au point
G, amp; menez la droite CG, pour avoir
le Triangle FCG égal à la moitié du

Triangle FCH , ou du Pentagone pro-
pofé ÂBCDE. Tirez enfuite par le point
C , au côté donné AB , une Ligne pa-
rallèle , qui fe trouve icy la même que la
Diagonale CE , parce que le PentagonO'
propofé ABCDE eft regulier. Ainfi cet-
te parallele donnera fur le côté AE, pro-
longé quand il en fera befoin, le point
E; amp; le côté BC , prolongé, donnera
fur k même côté AE , auffi. prolongé,

le point I. C'eft pourquoy vous cher-
cherez entre les Lignes IE , IG, une
moyenne proportionnelle IN ; amp; vous
tirerez par le point N , au côté donné
AB , la parallele NO , qui divifera le
Pentagone propofé ABCDE , en deux
parties égales.

Car à caufe des Triangles femblables
ICE, ION, on connoît par 15?.-lt;3.
que la raifon du Triangle ICE, au Tri-
angle ION , eft égale à celle du quarré
IE, au quarré IN ; amp; fi à la place des
deux qvurrez IE, IN, on met les deux
Lignes IE, IG, qui font en même rai-
fon , à caufe des trois proportionnelles
lE , IN , IG, amp; encore fi à la place
des deux Lignes IE, IG, on met les^
deux Triangles ICE , ICG, qui font
en même raifon par i. 6. on connoîtra
que la raifon du Triangle ICE, au Tri-
dngle ION , eft égale à celle du Trian-
gle ICE, au Triangle ICG, amp; que par
confequent le Triangle ICG eft égal au
Triangle ION ; amp; fi de chacun on ôte
le Triangle commun IBA , il reftera le
Trapeze ABCG, égal au Trapeze

iSlt;? Drs Polygones.
AEON, ceft à dire au TriangleFCG,
ou à la moitié du Pentagone propofê
ABCDE.

Divifer m Polygone regulier en qua-
tre parties égales j par deux Li-
gnes perpendiculaires entr'elles.

PRemierement fi le Polygone régulier
eft pair, comme l'Exagone ABCDEF,
divifez deux de fes côtez oppofez amp; pa-
ralleles , comme AB , DE , chacun en
deux également, aux points G, H, amp;

menez la droite GH, amp; le Diametre CF.
Il eft évident que ces deux Lignes CF,
GH , font perpendiculaires entr'elles ,
amp; ciu'elles diviient l'Exagone propofé
ABCDEF, en quatre parties égales.

Mais fi le Polygone propofé eft impair,
comme fe Pentagone ABCDE , divifez
l'un de fes côtez , comme AB, en deux
également, au point F, par lequel vous
tirerez à l'Angle oppofé D, la droite DF,
qui fera perpendiculaire au même cote
AB , 8c divifèra le Pentagone propofé
ABCDE en deux parties égales.

Après cela divifez par le Probleme II.
le mkiie Pentagone ABCDE en deux
également par la droite GH, parallele

an même côté AB ; ce qui fera que cet-
te parallele GH fera perpendiculaire à la
Ligne DF , amp; que ces deux perpeudicu-
lairezDF, GH, diviferont le Peatago-
né propoié ABCDE, en quatre parties

Divifer un Polygone regulier en
deux également j far une Ligne
tirée d'un foint donné fur Fun
de fes cotez.

PRemieremeut fi le Polygone regulier
eft 7air,comme l'ExagoneABCDEF,
amp; qu'il le faille divifer en deux égale-
ment par une Ligne tirée du point don-

né G, fur le côté DE: prenez fur le cô-
té (jarallele AB, depuis l'Angle A op-
3olé à l'Angle D, la Ligne AH égale à
a Ligne DG, ou depuis l'Angle B op-
pofé à l'Angle E, la Ligne BH égale à
la Ligne EG, amp; menez la droite GH,
qui divifera le Polygone propolé
ABCDEF, en deux parties égales, com-
me il eft aiié à démontrer.

Mais fl le Polygone propofé eft im-
pair, comme le Pentagone ABCDE,
amp; qu'on le veiiille diviler en deux éga-
lenient par luie Ligne tirée du point

donné O, fur le côté donné CD, fuivez
cette regle generale pour toutes fortes de
Polygones.

AyaiTt réduit le Pentagone propofé
ABCDE, au Triangle FCG, amp; ayant
divifé fa bafe FG, en deux également
au point H, tirez les Lignes HC, HO,
amp; à la Ligne HO la parallele CN,
qui. donnera fur la bafe A E, le point N,
par où tirant au point donné O, la droi-
te NO, elle divifera le Polygone propo-
fé ABCDE, en deux parties égales.

Car il eft évident que le Pentagone
ABCON, eft égal au Triangle FCH, à
caufe de la Ligne OH, parallele à la Dia-
gonale CN, amp; de la Ligne BF parallele
à l'autre Diagonale CA : amp; parce que le
T riangle FCH, eft la moitié du Trian-
gle FCG , ou du Pentagone propoie
ABCDE, il s'eniuit que le Pentagone
ABCON eft auffi la moitié du propolé
ABCDE, amp; qu'ainfi k Pent?.gonc pro-
pofé ABCDE eft divifé en duix égale-
ment par la droite NO. Ce qu'il taioit
faire amp; démontrer.

Divifer le Polygone donné ABCD,
en trots parties égales, par deux
Lignes tirées du point dênné O ,
fur le côté donné CD.

ayant fait FH égale au tiers de FG, me-
nez les droites HO, HC , amp; tirez à La
droite HO, par le point C , la parallele
CN, qm donnera fur la bafe AE, le
point N, par lequel amp; par le point don-
né O, vous menerez la droite NO.

Après cela reduifez la figure NEDO
au Triangle NOI; amp; ayant divilé fibafe
Ni en deax également, au point M,

menez par ce point M, au point donné
O, la droite OM; laquelle avec la pre-
cedente ON, divifèra le PoWone pro-
pofé ABCDE en trois parties égalés.

Car on démontrera comme dans le
Problème precedent, que le Pentagone
ABCON eft le tiers du propofé
ABCDE, amp; que le Triangle NOM eft
la moitié du Trapeze NEDO. D où l'on
conclud aifément que les deux Lignes
OM, ON, divifent le Polygone propo-
fé ABCDE , en trois parties égales.
Ce qu'il faloit faire amp; démontrer.

Divifer en trois parties égales le
Polygone donné ABCDE ^ par
deux Lignes tirées de VAngle
donné D.

AYant redïiit le Polygone propofé
ABCDE au Triangle FDG, di-
vifez fa bafe FG en trois parties égales.

aux points H, I; amp; menez les deux Li-
gnes DH, DI, qui diviferont le Poly-
gone propofé ABCDE, en trois parties

Car on démontrera, comme aupara-
,vant, que le Trapeze AEDH , eft le
tiers du Polygone propofé ABCDE; amp;
comme le Triangle HDI en eft auffi le
tiers, il s'enfuit que le Polygone propofé
ABCDE fe trouve divifé en trois par-
ties égales, pr les deux Lignes DH,
DI. Ce qu'il faloit faire amp; démontrer.

quot;Di-oifer le Polygone donné
ABCDE, en tms parties éga-
les, far deux Lignes tirées des
deux foint s O j P, donnez fur
le côté CD.

AYant réduit le Polygone propofé
ABCDE au Triangle FDG, amp;
ayant fait FH égale au tiers de la bafè
FG, tirez par le point D, à la Ligne
HO, la parallele DI, amp; menez la droi-
te OI. De même ayant réduit le Trape-
ze IBCO au Triande lOL, amp; ayant di-

c H A p I T R « I I I. ï^i^
vifé la bafe IL en deux également, au
point m, tirez à la Ligne mp, par le
point O, la parallele ON, Se menez 1«

droite PN ; Se le Polygone propofë
ABCDE fe trouvera divife en trois par-
ties égales, par les deux Lignes OI, PN.

Car on démontrera comme dans le
Problème IV. que le Pentagone AEDOI
eft le tiers du propofé ABCDE, amp;que
le Trapeze lOPN eft la moitié du Trape-
ze IBCG, amp; par confequent égal au tiers
du Polygone propofé ABCDE; amp; que
par confequent le Trapeze reftant NBCP,
eft aufli le tiers du même Polygone
ABCDE. D'où il fuit que ce Polygo-
ne ABCDE, eft divifé en trois parties
«gales, par les deux Lignes 01, PN.

Divifer Je Polygone donné
ABCDE , en deux parties ^
dans la raifon des deux Lignes
données M y IL^ par une Li-
gne tirée de l'Angle donné D.

Yant réduit le Polygone propofé
L ABCDE, au Triaigle FDG, di-
vifez fa bafe FG dans la raifon donnée

Al, IL ,au point H, enforte que les
quatre Lignes AI, IL, FH, GH, foient
proportionnelles ; amp; menez la droite D H,
qui divifera le Polygone propofé
ABCDE, en deux parties AEDH,
BCDH, proportionnelles aux deux Li-
gnes données AI, IL.

Car on connoîtra aifément que le Tra-
peze AEDH eft égal au Triangle FDH;
amp; que le Trapeze BCDH, eft égal au
Triangle GDH : amp; comme les Triangles
FDH, GDH, font proportionnels aux
deux Lignes FH, GH, ou aux deux
données Al, IL, il s'enfuit que les deux
Trapezes AEDH , BCDH , font auffi
proportionnels aux deux Lignes don-
nées AI, IL. Ce qu'il faloit faire amp; dé-
montrer.

Les TroUemes que nous omettons kj,
Cy ejui ne peuvent être d'ufage fe re-
fondront facilement,) k Vimitation des
precedens, Cefl pourquoy nous mettrons
jin à ce Traité.

|N f^it par experience, quelle dif-
ficulté il y a dans la pratique ordi-
naire de cette partie de l'Arithmé-
tique qui regarde les Fradions; Sc
l'on trouTe trés-peu de gens qui
n'en foient auffi-tôt rebutez. On
a donc cherché le moyen de fe de'livrer de ce't em -
barras, amp; l'on n'a pas eu de peine à k trouver.
Voicy ce que c'eft:
On fuppofe premièrement que toute Quantité'

entiere fe divife en i o parties égales, qui s'appel-
lent Primes -, amp; chaque diïic'me ou Prtme , enco-
re en I o parties , qui s'appellent Secondes, ce qui
fait 100 ; puis chaque centième ou Seconde, en
dix parties , q^ui-s'appuient T/erff^, cequi fait
1000, amp; ainfi à l'infini, en procédant toujours
de dix en dix, luivant le befoin que l'on peut
avoir de ces fubdivifions, pour parvenir a une
plus grande piecifion ; amp; cette partie d:Arithme-
rique s'appelle à caufe de cela lîraplemait LtDiX'
me, parStevin, qui s'en attribue l'inventioni

De plus il faut fçavoir que leSigne de l'Entier
eft un petit Zero renfermé dans un petit Cercle ,
ainfi, (p), amp; fe met au deffus de l'Entier ou i
côré. Ainfi 5 Toifes par exemple, s'exprimeront

par 5 , ou 5 (q) gt; c'eft à dire 5 Entiers, ou
Commencemeiis. Mais le Signe des Primes eft'
(i); cclujdesSecondeseft (z) ; des Tierces {3),..
amp;c. Ainfi ce Nombre Décimal

fignifieraîS Entiers, z Primes, 4. Secondes, s
T ierces , amp; 9 Quartes 5 c'eft à dire 5 8 Entiers ,

Mats avait que de paflTer aux Operations, je.
traitetay^ premièrement' de quelques ReduftionS:
, qui. font ntccfiaités pour les mieux compieiidre
amp; les pratiquer.

i°.Ecrivez à part le Numérateur de la Fraûion
propolée, amp; y joignez un Zero

x°. Divifez ce Nombre, ainfi augmenté , par
le Dcînominateur de la Fraftion propofe'e.

5°. Prenez le Quotient de cette Divifion, amp;
faites en k Num. d'une nouvelle Fradion , pre-
nant I o pour fon Dénominateur : amp; cette nou-
velle Fradion fera e'gale à la propofe'e , pourvu
que la Divifion n'ait lailTé aucun refte. Mais fî
cette Divifion a kiiîé quelque refte aprcfs elle, joi-
gnez un fécond Zero enfuite du premier, amp; con-
tinuez la Divifion à l'ordinaire , amp; placez le nou-
yeau chifrc du Quotient enfuite du premier,que
vous aurez prispourIeNum.de vôtre Frail. De-
cim.Puis joignez aufli un fécond Zero au De'nom.
de cette Fraà. afin d'avoir i oo au lieu de i o.

Que s'il refte encore quelque chofe au Dividen-
de , continuez ia Divifion jufqu'à cc qu'il ne refte
lien , augmentant à mefure le Num. amp; le De'-
nom. delaFradtion Decim. celuy-là du nouveau
chifre du Quot. amp; celuy-cy d'un nouveau Zero ;
après q^uoy la Fraction Decimale fera égale à la
pro pofce.

Mais fi en continuant la Divifion, on trouve
toujours quelque refte, on pourra s'arrêter après
la troifiéme ou quatricme ; après quoy ce qui re-
liera Étant négligé , n'apportera aucune erreur

f«nfiblc dans l'uftge , amp; furtoiit fi ce refte eft
inoindre que la moitié du Divifeur, amp; s'iltft
plusorand, on pourra ajoûter mie Unité au Nu-
jmeraleur de la Fraftion Decimale ; amp; par ce
moyen on ne s'éloignera pas beaucoup de la pré-
cifion : amp; l'on eu approchera tant que 1 on vou-
dra, en continuant encore la Divifion ; car tant
plus on la continuera , amp; tant plus la Fradiou
Dûcimaleferajufte.

3°, Au delîous de ce Quotient écrivez i o , amp;
faites un trait de plume entre-deux , cela fera f--,.
pour la Fradion Decimale-dcmande'e ; laquelle
fera pre'cilement égale à la propofée-1-, d'autaut
qu'il u'eft rien refté fur la Divifion.

3°. Au defibus de ce Qu^otient écrivez 10 , avec
un trait de plume entre-deux; cela fera-i, pour
une FraiSion Decimale, laquelle repréfentc-f },
mais d'autant qu'elle s'éloigne trop de la juftefTe ,
à caule du refte 1, cj^ui eft demeuré après la Di-
vifion , lequel reprticnte 7 ( ou i) de ce qui
î 5nbsp;f^ic

faiti, amp; qu'ainfi ieft uneFraftion moindre
de—que i: D'autant, dis-je, qu'il refte quelque
chofé (ur cette premiere Divifion, je joints un
Zero à ce refte , ce qui fait lo, que je divife en-
core par 4; le Qiiotienteft ç , fans aucun refte.
Ecrivez donc 5 enfuite du Numerateur 7 de la
Traftion Decimale , amp; oignez un Zero à fon
De'nominateur 10 ; cela donnera^ pour la Frac-
tion Decimale , laquelle fera prc'cifeijieiit égale i
f, puis qu'il n'eft rien refté fur la Divifiou.

3. E x e m p l e.
Soit propofé de réduira en Fralt;ftion Decim.
les Opé rations fuivantcs feront connoître que
tctte Fraftion ne fe peut reduire en Fra£lion Dé-
cimale, qui luy loit égale précifément, puis qu'il
ïéftera toujours quelque chofe fur la derniere Di-
-vifion. Mais après la 4. divifion on aura pourtant
pour une Fralt;5Viori Decimale qui approchera
afl'ezprés de la juftefTe. Et d'autant que le refte
a furpaflè la moitié du Divifeur 5 , on pourra
ajouter i au Numérateur 666Ó, afin d'avoir ^^
au lieu de

1°'. Prenez le Numerateur de cette Fraftion
Serécriveza part, en le confiderant comme un
JSJbmbre entier.

^^ Au deflus dn dernier chiamp;e de ce Nombre
Ecrivcz fon- Signe ; qui expofeza le nombre des

Au deffiis du peuultiéme chifre de ce même
Nombre, écrivez fon Signe , moindre de i que
XdVdernier, amp; ainfi de ^e fur les autres
cîufres, en diminuant toujours de i le Signe de
chacun.

5 Sur le 7 mettez pour Signe ( i ). Ainfi vous
aurez '7 ? , qui Cgnifieront 7 Primes., amp; 5 Se-

loso e'g. à 6 6 6 7 -
C'eft à dire « Primes ^ 6 Secondes, é Tierces, amp;
7 Quartes, ou-^ ,nbsp;^-zssâsquot;'

ïaSt même chofe oue dans la i.Reduaion
?o«i eft de la Divifion. Mais au heu de for-
CdX-en' uneEraaionDecimale, eny
WcrWaM l'Unité avec des Zero, confiderez ce

^t^cpc chifre marqu^. ks Signes (iM^) (})
co2ime danslaRcduaion P-cedente^ ^ ^ ^^

I. E X E M p L E.
Soirpropofcdereduire-f en parties Decimal-s.
L'Opération feule fuffira pour faire entendre la

3. E X E M p L E.
Soit propofé de reduire ^-en parties Decimales.
\oicyrOperation, elle fuffira.

3- t x e m p l e.
Qu'il £iilk reduire ? en parties Dccimaîcs.
Voicy rOpsration , elle fuffira.

Tgt;Ediiire les parties ordinaires d'une Efpece de
Quantité en Frailion ordinaire.
1°. Reduifez par la Multiplication to,utesIes
parties à la dénomination des plus petites qur
TOUS font données, amp; le Produit fera le Numé-
rateur de vôtre Fraftion.

2°. Reduifezauffiparla Multiplication l'En-
tier en ces mêmes plus petites parties données,
amp; vous aurez le Dénominateur.

Soitpropofédereduire4 pieds, 8 pouces , 6
lignes, en Frailion ordinaire d'une Toife.

( Il faut d'abord fuppofer que la Toife fe divi-
fe en 6 pieds, le pied en li pouces. Se le pouce
eu II Lignes.)

1°. Reduiîéz les 4 pieds en 48 pouces, en mul-
tipliant ii par 4. Aces 48 pouces joignez les 8
pouces propofez , cela fera 56 pouces. Multipliez
56 pouces par iz (lignes,) vous aurez éyz lignes,
A ce tiombre joignez les-6 lignes propofées, amp;
vous aurez 678 lignes pour la valeur des parties
propofées d-'une Toife, à fçavoir 4pieds, 8 pou-
ces, 6 lignes. Et ce nombre (678) fera le-
Nuraerateur de vôtre Fraftion.

Reduifez auffi la Toife en lignes I en mul-
tipliant premièrement 6 pieds par II (pouces,)
cela donnera 7 2. pouces gt; qui étant multipiie? par
Il ( lignes. ) donneront enfin 864 lignes , pour
k valeur d'une Toife ; amp; ce nombre (era vôtre
Dénominateur; ainfi vous aurez|^d'une Toii'e
pour la Fraition demandée.

8^4lign. pourleDénoiTii
î. E. X E M r 1 E.
Soitpropoféde reduire 10 Oncesfiigros en
Fradion ordinaire. Soyez premièrement averty
fjue la Livre à peier fe divi fe en 16 Onccs;amp; l'On-
ce en 8 gros ; après quoy

s c gros. Joignez-y !es 6 gros propofcz, vous au-
rez 8 S gros. Doublez ce Nombre à caufe du de-
mi-gros vous aurez 171 demi-gros ; à quoy
vous ajouKrcz i, cela fera 17 ; demi-gros ,
pour les parties propofe'es de la Livre ; amp; ce fera
vôtie Numerateur.

x°. ReJuifez la Livre entiere en demi gros,
multipliant 16 Onces par g ( gros, ) amp; vous au-
reziiSgros. Doublez ce Nombre , amp;vousau-
aurez enfin i demi gros, pour la valeur de la
Livre; amp; ce nombre fera vôtre Dénominateur.
Ainfi vous aurez d'une Livre pour la Fra-
«Sion demandée.

quot;D Eduire les parties ordinaires d'uneElpece de
Quantité, en parties Decimales.

1°. Reduifez les parties propofées en Fraiflion
ordinaire par la Redudion precedente.

1°. Reduifez ces parties en Fraction ordinaire
par la Reduftion precedente 5 yoas trouverez
|î?d.'uueToifc.

i*. Reduifez cette Fraftion en parties Deci-
males par la 3. Reduftion , Se vous aurez

2. Exemple.
Soit propofé de réduire to Onces i —gros en
parties Decimales d'une Livre.

TS Eduire des parties Decimales en parties
naires d'un Efpece de Quantité.
1°. Multipliez votre Nombre Décima!,, par
vôtre Entier réduit en fes plus grandes parties.
Puis de ce Produit retranchez autant de chifresy
dcladroite à la gauche, que vous défignerale
dernier Signe de vôtre Nomb. Decim. Et ce qui
teftera à la gauche, fera le nombre des plus hau-
tes parties de vôtre Entier.nbsp;1°. Mul-

1°. Multipliez ce Nombre retranche', par mie
des plus hautes parties reduite aux fiennes pro-
chainement moindres. Puis du Produit retran-
diez aulTi autant de chifres , de la droite àla gau-
che, que vous en avez retranché dii premier
Produit ; amp; ce qui vous reftera à la gauche, fera
le Nombre des parties moyennes de vôtre E..tier;
amp; ainfi defiiite.

1°. Multipliez 7847par é ( pieds.-) qui font
les plus hautes parties de la Toife : vous aurez
47081. Puis deceNombre retranchez les qua-
tre derniers Chifres, ainfi, 417081; parce qpe
Je dernier figue de vôtre Nombre Dccimal eft (4) ;
amp; il vous reft era à gauche 4, qui feront déjà 4
Pieds.

1-°.. Multipliez les Chifres retranchez 7081,
gt;ar 11, (pouces,) qui fiibdivifentimmediatement
e Pied ; amp; vous aurez 8 4984. Coupez en les qua-
tre derniers chifres, .linfi, 8(4984; amp; vous au-
rez à gauche 8, c'eft à dire 8 pouces.

5°. Multipliez Je Nombre rerranchc 49184,
par II (lignes, ) qui fubdivifent immédiate-
ment le pouce; amp;vousaurez 59808. Coupez-
en les quatre derniers chifres, ainfi, 5I9808 ;amp;il
vous reftera à gauche 5, qui feront 5 lignes.
Mais d'autant que les quatre chifres retranchez -
(9808) valent d'une Ligne, amp; que cette
ïradion approche de l'Entier, vous ajouterez
encore i ligue avec les 5 ; amp; ainfi vous aurez 6 li-
gues . Icfquelles vous joindrez aux 4 Pieds, 8
Jouces, afin d'avoir en tout 4 Pieds , 8 pouces 6
ignés, pour la valeur de vos parties Dcciraales
pr-opofc'cs, Voicy ksopcra:ions.

Soit propofé de reduire 6 7 j 7 une Li-
vre à pefer, en parties ordinaires gt; c'eft â dite eti.
Onces amp; gros.

les quatre derniers chifres
ainfi, lolSiii; il reftera à gauche 10, c'eft à'
dire i o Onces.

tquot;. Multipliez le refte (8iir) par 8 gros}
vous aurez 64855. Coupez en les quatre derniers
chifres, ainfi, 6)48 96; il vous reftera à gauche
6, c'eft à dite 6 gros. Et d'autant aue le relie
( 48 96 ) vaut d'un gros, c'eft à dire prefque
un demi-gros, vous joindrez ce demi-gros avec
les 6 ; amp; ainfi vous aurez en tout 10 Onces
gros pour les parties demandées delà livre. Voi-
cv les opérations.

ADDITION,
pour ajouter enremble plufieurs parties Decima-
les arrangez lés Nombres comme des Entiers,
lempliflanr par des Zero la fuite des parties, fi
e'ie eft interrompue , comme auffi celle de leurs
Signes, amp; difpofant les chifres enfbrte que les Si-
gnes égaux foient l'un far l'autre, c'eft à dire les
Entiers fu r les Eriti ers, les Primes fur les Pri mes,
les Secondes furies Secondes amp;c. Puis faites l'Ad-
dition à l'ordinaire ; amp; la (omme qui en vien-
dra, feracellequ'il vous faut; à laquelle vous
donnerez les mêmes Signes que ceux des Nom-
bres particuliers dont elle efl compotée.

Arrangez ces trois Nombres comme des En-
tiers. amp; faites l'Addition àTordinaire; amp; la (bm-

Suppléez par des Zero les parties qui manquent,
amp; rerapHIlez la fuite des Signes , puis ajou-
tez à l'ordinaire , amp; vous aurez pour fommc

Suppléez les parties amp; les Signes qm manquent»
puis operez à l'ordinaire, amp; vous trouverez

Suppléez les parties amp; les Signes qui man-
quent ; puis operez à l'ordinaire, amp; vous trouve-

SOUSTRACTION. .
pOurSouftraire un Nombre Decimal d'un aa-
tre, on n'aura pas de peine à le faire, après
avoir compris l'Addition. Car il n'y a qu'à fup-
pléer les parties amp;Jes Signes qui pourroient man--
quer , amp; arranger les cîiifres enforte que les Si-

fnes égaux foient l'un fur l'autre; puis operer à
ordinaire , comme fi c'étoit des Eluiers.

FaireslaSourtraftion à l'ordinaire, comme fi
c'étoit des Entiers ; amp; vous trouverez pour ref-

de 836.
Suppléez les parties qui manquent, comme
dans l'Addition ; puis fouftrayez à l'ordinaire, Se
lt;o)(i)(i)(3)

4 7 ° 7 {3)-
MULTIPLICATION.
■pOur multiplier un Nombre Decimal par un
autre, rempliflez premièrement la fuite cks
Signes . fi elle eft interrompue ; puis multipliez
à l'ordinaire, comme fur des Nombres entiers.Et
le Produit qui viendra, fera celuy que vous cher-
chez.

pOur diviTer un Nombre Decimal p»r un au-
tre , fupple'ez amp; divifez à l'ordinaire ; puis au
dernier chifre du Quotient qui viendra , donnez
pour Signe la différence des derniers Signes duDi-
vidcnde amp; du Divifeur , amp; vous aurez e Quotient
demandé.

Que file dernier Signe du Divifeur excede ce-
luy du Dividende, joignez un Zero, ou plus,
au Dividende , afin d'égaler fon dernier Signe à
celuy du Divifeur. Puis divifez à l'ordiiiaite ; amp;
le Quotient lera celuy que vous cherchez. Et pour
trouver le Signe de fon dernier chifrf, fouf-
trayez à l'ordinaire le dernier Signe du Divifeur
du dernier Signe du Dividende i amp; ce qui refte-
ra, fèraaulli pourle dernier Signe du Quotient.

Enfin s'il reftoit quelque chofe au Dividende
après la Divifion faite, joignez y plufieurs Zero
de fuite, amp; augmentez les Signesdans leur fuite
naturelle, afin d'avoir un Quotient plus pricis ;
car tant plus vous ajouterez de Zero, amp; plus
vôtre Quotient approchera de la précifion.

(o)(2)C3)
25-8 par 284.
Supple'ez amp; divifez à l'ordinaire, amp; vous trouvc-

Quotient 54 , c'eft a dire 54 Entiers; où l'on a
(o) pour le Signe du dernier chifre, d'autant que
lt;3) moins (3) fait (o).

151 par 385.
Joignez premièrement un Zero au Dividende,
afin de rendre fon dernier Signe au moins égal aa
dernier Signe du DiTileur. Vous aurez donc

13 o adivilerpat 3 8 5. Et faiïant la di-
vifion à l'ordinaire, vous trouverez pour Quo-

.Divifez d'abord à l'ordinaire ; amp; d'autant qu'il
refiera quelque chofe au Dividende, joignez
trois ou quatre Zero à ce relie, amp; continuez la
Divifion : amp; vous trouverez pour Quotient
(o)Ci)(2)(3) (c)(,)(z)(3) . ,

4 97 4,ou 4 9 7 5, y ajoutant i , par-
ce que le refte 5 70 cl^ plus grand que la moitiudc
de 945 , qui eft le Divifeur.

Comme les Extradions des Racines ne (ont
^ue devraycs Divifions, cù le Divifeur eft in-
connu, amp; doit être e'gal au Quotient: fi l'on a
bien compris les Regies de h Divifion ordinaire ,
on n'au ra pas de peine à les appliquer aux Extrac-
tions des Racines. Car il n'y a qu'a operer à l'or-
dinaire i amp; donner pour dernier Signe à v6tre Ra-
cine , la moitié' 3e celuy du Nombre propofé'.
Ainfi vous trouverez, par exemple que la Racine

, , (o)(0(i) „ (oHi) ^ , „ . ■
miarreede 14 ^ 4. eft 3 8. Et la Racine Cu-

I	Ilf	17		.33		718	49	87f
3.	177	18	5-30	134		729	yo	884 892
3	216	19		Î3J		739	5-1	884 892
4	25-0	20				7yO	fi	901
5	279	21	5-73	1	37	760		910
6	306	22	5-86		38	770	)quot;4	918
7	330	2.3	5-99		39	780	ff	927
8	3f3	24	612		40	790	f6	935quot;
9	37S'	if	625-		41	800	S7	944
10	395	26	637		42	810		9f2
11	414	27	65-0		43	819	5-9	960
12	433	28	661		44	829	60	968
13'	4fo	29	673		4f	^		976
14,	467	30	684		46	848	62	984
	484	31	696		4/	8r7	63	992
16	Soo	3^	707		48	866	64	1000

Polygones 1	cojfez.
Qmrré I	looo
Pentagone \	831
Exagone \|	707
Epagone \|	613
OBogone !	540
Enneagone \|	484
Decagone J	437
Endecagone 1	398
Dodecagone 1

1- -	1
	é.
	V