jEene volledige behandeling van de Platte- en Bolvoumick-Qanders genaamd Klootscke) Dkii hosksmetingen, de v^EELHOEKS- en veelvlakkige Ligchaamsme-

JACOB de GELDER,

B. S C II E U R L E E R, Junior.

r o o R R E D E.

De Meetkunst^ veelal ten onregte^ de JVetenfchap der uitgebreidheden genoemd^ berust alleen op het begrip^ dat wij, van nature, van de uitgebreidheid ennbsp;van derzelver grenzen en deelen verkregen hebben.nbsp;Dit begrip, op zich zelve genomen, zou ons weinignbsp;verder brengen, dan ons over de voljlrekte gelijkheidnbsp;of ongelijkheid van twee uitgebreidheden te leeren oor^nbsp;deelen en ons, daardoor, tot het algemeen beginfel vannbsp;fuperpofitie te brengen, en, langs dien weg, tot fom-mige van die eigenfchappen der figuren, welke derzelver gelijkheid betreffen. Om verder te komen, en,nbsp;naar onfeilbare regels, te beoordeelen, hoe de betrekking van elke gegevene uitgebreidheid, tot eene anderenbsp;van dezelfde foort, afhangt van de wijze, waarop zijnbsp;befiaat, en door hare grenzen bepaald wordt, heeftnbsp;men nog met de gelijke deelen der uitgebreidheid ennbsp;derzelver aantal to doen; en, in deze foort van be-fchouwingen, moet de Meetkunst de heginfelen der Rekenkunst te hulp roepen, om de betrekkingen der ge-lijkfoortige uitgebreidheden tot elkander, door getallen, als de eigenaardige teekens van die betrekkingen,nbsp;te bepalen en uittedrukken: ja ook, , om zelfs nog verder Je gaan, moeten de meetkundige grondwaarhedennbsp;onderworpen worden aan de grondregelen van die verhevene kunst, welke, op eene onfeilbare wijze, uit gefielde of aangenomene betrekkingen der grootheden,nbsp;over de omftandigheden en de gevolgen van die betrekkingen leeft oordeelen en redeneren.

* 3 nbsp;nbsp;nbsp;De

F o o R R E B E.

Be Meetkunst berust derhalve op twee onderfchei-dene foor ten van beginfelen. Op beginfelen, welke in het �wezen der ruimte en uitgebreidheid gegrondnbsp;zijn. 2^ Op beginfelenwelke, daar zij op alle foor-ten van grootheden toepasfelijk zijn, de uitgebreidheden zoowel, als alle andere denkbare grootheden, onder hun gebied feilen. De ontleding van de onder-fcheidene foorten van uitgebreidheden, als ook het be-ginfel der fuperpofitie of op elkander pasfng behoor ennbsp;tot de eerfe foort; tot de tweede foort, de tweede ennbsp;volgende axiomatd, en inzonderheid, de Leer der evenredigheden, welke, in de befchouwing der meetkunfigsnbsp;figuren, en voornamelijk in de beginfelen, eene eigenenbsp;en regtfreekfche toepasfng verkregen, heeft.

Deze ver��nigde beginfelen, aan de redenering en haar veel vermogend werktuig, de wiskundige analy-fis, onderworpen, leert ons in de ruimte en uitgebreidheid lezen en dezelve over hare geheimen raadplegen,nbsp;om, uit eene bron, die voor elks onderzoek geopend is ,nbsp;eenen rijken fchat van wetenfchappelijke kennis opte-zamelen. Zich zelvcn-, in dit onderzoek, te leerennbsp;beduren, daarin op eene kunstmatige wijze te werk tenbsp;gaan, is de Meetkunst, de kunst, welke in dit werknbsp;geleerd wordt, te beoefenen.

Deze wetenfchappelijke kunst is derhalve zeer onder-fcheiden van elke gefchiedkundige wetenfehap, hoeda-nige de Aardrijkskunde, de Gejcliiedenis, de natuurlijke Historie en anderen zijn, in welker beoefening, men zich, met opgegev'ene daadzaken en getuigenisfennbsp;van anderen, moet te vreden houden: hier integendeel,nbsp;leert men kunstmatig, met de oogen des verfiands zien,nbsp;en waarnemen; met het werktuig der wiskundige taal,

uit

VOORREDE.

nit de ruimte en uitgebreidheid., als uit eene rijke en onuitputtelijke mijn -, de fchoonfle en-verhevenfle waar-heden opdelven; het eeuwig en onvefanderlijk verhandnbsp;tusfchen de uitgebreidheden en hare,wijze van beflaan,nbsp;benevens de waarlijk goddelijke eti verhevene eigen-jchappen van dit verband kennen en doorgronden.

De ruimte en uitgebreidheid., en bijzonderlijk de laatfle^ zijn de voorwerpen., welke hier aan de be-fchouwing van het verjland onderworpen worden. Hetnbsp;doet hier niets ter 'zake, wat d� Wijsgeeren over denbsp;ruimte en uitgebreidheid gedacht., jd ook forntijds gebeuzeld hebben: de Meetkunst heeft met deze wijsgeernbsp;rige befchouwingen niets gemeens: zij neemt de ruimtenbsp;en uitgebreidheid aan., zoo ah zij aan elk gezond men-fchelijk verjland voorkomen., en zoo als zij., naar onveranderlijke Phijiologij'che' wetten; zelfs door den be-krompenfien Hottentot., 'Otaheiter of Nieuw-zeelander,nbsp;worden gevoeld., opgemerkt'en waargenomen, en (fm-trent welken' eene '-overg�dtevene' fpitsvindigheid, omnbsp;niet te zeggen fophistefij, wanneer men in zich zelven,nbsp;tot zijne eigene gewaarwordingen terug keert, niet denbsp;minfie twijfeling kan doen ontflaan (i).

CI) Het zou 'er met de Meetkunst ellendig uitzien, indien men, zoti als fointnige drijven, eerst een gedeelte der Kantiaanfche PFijsbe-geerte moest doorarbeiden, om zich tot de beoefening dezer tVeten-fchop voortebereiden. Het bcirbarismus van vreemde Kantiaanfchenbsp;woorden kan niet anders dan duisterheid te weeg brengen in begrippen , welke op zich zeUe zoo klaar er, eenvoudig zijn, dat niets meernbsp;dan eene duidelijke verklaring der woorden en zaken, en geene diepnbsp;afgetrokkene redeneringen vereischt worden, om elke zaak grondig tenbsp;bevatten en intititief in te zien.

�hreidheid brengt ons tot eene duidelijke voorjielling van derzelver grenzen en Jeelen, en van daar tot denbsp;cnderfcheiding van driederlei hoofd-foorten van uitge-rnbsp;breidheden; de ligchamelijke, gt;vlakte en de lengte-uicgebreidheid, en eindelijk to.t het punt, dat is^ totnbsp;die wezenlijk denkbare plaats , dat ergens zijn, dat iets,nbsp;dat van alle uitgebreidheid beroofd is. Deze vier hoofdzaken, het punt,\ de lijnen, de vlakken en de ligcha-men, door aftrekking gedacht, of-, uit de befchomvingnbsp;van eenige ligchamelijke uitgebreidheid, ontwikkeld,nbsp;zijn de gegevene grondfloffen, waaruit het verfiandnbsp;alle mngelijke Meetkunflige figuren fchept en aan desze Ifs befchouwing onderwerpt, ten einde de eigenfehap-pen dezer figuren, welke .de-:redenering ontwikkelt, innbsp;eenen regelmatigen zamenhang te brengen, in gefiachten en foorten te rangfehikken en alzoo tot een weten-fchappeUjk zamenfiel te brengen, gefchikt, om toegepast te kunnen worden op die wetenfehappen, welkenbsp;op de kennis van uitgebreidheid, tijd en andere foorten van grootheden., gegrond zijn..

Het ganfche zamenfiel der Meetkunfiige.onderwerpen is alzoo het werk van des menfehen fchep.p�ng: hetnbsp;verfiand maakt of confirueert zelf die begrippen, naarnbsp;de wetten van het gezond denkvermogen; wetten, die,nbsp;zoo onveranderlijk als de natuurwetten zelve, in dezen, onder alle menfehen eene juiste over��nfiemmingnbsp;doen geboren worden, die de reden verklaard, waarom 'er, in de Wis- en Meetkundige waarheden, zoonbsp;als wel eens, in andere zaken, plaats heeft, geen ver-fchil van gevoelen befiaat, en waarom een volk, datnbsp;nimmer met eenige befchaafde volken van het verlichtnbsp;Europa gemeenfehap mogt gehad hebben, op de eigen-

VOORREDE. nbsp;nbsp;nbsp;X

fchappen der meetkunj�ige pguren nadenkendenogtana dezelfde dingen, welke wij kennen, zien en ontdek^nbsp;ken zou.

De figuren der uitgebreidheid zijn ontelbaar., zoo oneindig in aantal., als het mogelijk is, de wetten,nbsp;volgens welken derzelver deelen, of de doelen vannbsp;derzelver grenzen, elkander opvolgen, onderfeheidennbsp;kunnen zijn: doch alle deze figuren kunnen ondernbsp;twee groote hoofd-foor ten gerangjchlkt worden:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de

eerde en eenvoudigfte uitgebreidheden, de meer za-mentreftelde. De eerfie behooren onder het gebied der zoogenaamde Elementaire Meetkunst of de Beginfelen,nbsp;en de tweede onder de verhevener of zoogenaamdenbsp;Anaiytifche Meetkunst.

De' eenvoudigfie uitgebreidheden zijn, onder de on., bepaalde voortloopende lijnen, de regte lijn; onder denbsp;vlakken, het platte vlak, de cilinder- en kegel-v lakken ;nbsp;onder de bepaalde vlakte uitgebreidheden, de regtlij-nige figuren en den cirkel; onder de ligchamelijke, denbsp;veelvlakkige ligchametz, de cirkelvormige cilinder, kegel en de bol: derzelver eigen fchappen, in deze hegiurnbsp;felen ontwikkeld en betoogd zijnde, geven de hulpmiddelen aan de hand, om in de hoogere 'Meetkunst, hetnbsp;onderzoek van de eigenfehappen der kromme lijnen ennbsp;gehogene oppervlakken aan algenieene regels te onderwerpen , en het zamenfiel der Meetkunj�ige Leerwijze ,nbsp;in haar geheel genomen, tot een eindelijk zamenhan-gend geheel te brengen.

Dit geheela werk, hetwelk de Elementaire Meetkunst bevat, is in twee groote hoofddeelen verdeeld. De negen eerfie Boeken behandelen de Meetkunst der vlakkenbsp;figuren. De regte lijnen en regtlijnige figuren wor-

den in de /, III en IV. Boeken; de cirkels., de regelmatige veelhoeken en de daarmede in verband jlaands Oiiadratuur des Cirkels, benevens de eerfte eigenfchap-pen der Ifoperimetrifche Figuren �worden in de Ven VILnbsp;Boeken behandeld; het VIL Boek leert niet flechts danbsp;conflruamp;ien van de voornaamjle en dagelijks voorkomende meetkunflige Werkflukken kennen: maar geeftnbsp;ook algemeeneen, door uitgezogte voorbeelden, opge-helderde, regels aan de hand, om een meetkunflignbsp;werk flik, door een analytifche redensering, tot de oplos fng en emdelijkc conflruamp;ie te'brengen, eene leerwijze , welke heden ten dage te veel verzuimd wordtnbsp;en verdrongen is door de nieuwere leerwijze, welke,nbsp;ja wel, vele voordeelen hoven de eerjle bezit, maar ooknbsp;in tegendeel, wederom in vele opzigten, beneden dezelvenbsp;moet g�fteld worden.

De VIII en IX Boeken handelen over de Goniometrie of de Meetkunst der hoeken, en de Trigonometrie of de platte Driehoeksmeting. In hetzelve is de leernbsp;van den pofitieven en negatieven toefland der Gonio-metrifche lijnen, bij d.e meeste Schrijvers, zelfs denbsp;Franfche niet uitgezonderd, zoo onoplettend behandeld,nbsp;naar de leerwijze, welke wij elders, in onze Handleiding, breeder ontvouwd hebben, op eene beknopte wijzenbsp;voorgedragen (gij. Vele nieuwe formulen zijn in hetnbsp;IX. Boek vervat, in hetwelke w'if getracht hebbennbsp;den leerling niet flechts, in de oplosfing der gewone

(2) Van hoeveel belang deze kennis zij, zal uit de vergelijking onzer Driehoeksmeting met die van anderen blieken. Zie onder anderen aanmerkingen op de Xlll. Steil. XUI. Boek. Velen onzer dVis-kundigen van Profesfie fchijnen daarmede niet grondig bekend te zijn.

gevallen^ door de berekening van gepaste voorbeelden , te oefenen; 'maar ook, in de behandeling der Tri-gonometrifche flelkundige oplosfingen, bekwaam te maken.

XI en XII. Boeken over de Meetkunst der Ligchainen, Boor de ondervinding wetende-, hoe nadeelig voor dennbsp;goeden tiitflag der toekornftigs vorderingen eene al tenbsp;flordige behandeling van quot;de ligging en jnijding dernbsp;vlakken zijhebben wij het X. Boek-, hetwelk voor. ditnbsp;onderwerp heflemd was., hoven alles-, met eene bijzondere oplettenheid behandeldzoodat men in hetzelvenbsp;alles-, in een welgeordend verhand-, vinden zal., wat totnbsp;de ligging en fnijdmg der regte lijnen en vlakken innbsp;de ruimte behoort-, en inzonderheid eamp;ne naaiiwkeurigenbsp;ontwikkeling der veelvlakkige of ligchamelijke hoeken.,nbsp;welker grondige kennis, in de toegepaste Meetkunst vannbsp;zulk een groot aanbelang is. Op deze grondfagennbsp;w�rden in het XL Boek de eigenfchappen der veel-vlakkige ligchamen en in het XII die der ronde lig-chamen opgegeven en betoogd.

Het XIIL Boek behandelt., op eene beknopte en volledige wijze-, de Bolvormige of Spharifche Briehoeks-meting. In de behandeling dezer (tof, hebben wij den Leerling niet flechts gelegenheid willen geven, oin, denbsp;gevallen dezer Briehaeksme�ng op de Aardr�jks- ennbsp;Sterrekunde; maar ook op de Meetkunst zelve toete-rnbsp;pasfen, met de ontwikkeling en omzetting der for-rtiulen, door hej uitbrengen van verfchillende oplosBn-gen, voor elk geval, gemeenzaam te maken. Bit fluknbsp;is zoo volledig behg-ndeld, dat men, in verfcheUlenenbsp;grqote en uit gebreide we f ken, alles wat wij hier, in esu

De XIV en XV Roeken., quot;Welke in z.ekeren zin., als eene hijl^e tot het geheele v/erk kunntn aangemerktnbsp;quot;Worden, behandelen twee gewigie theorien, quot;waarvannbsp;Carnot en S, Huilier de uitvinders zijn, en hetnbsp;gebied der Elementaire Meetkunst niet weinig vergrootnbsp;hebben: te weten de theorie der Transverfalen en denbsp;Veelhoeksmeting, onderwerpen, welke wij in het bree-de onderzogt, en, in eene geheele nieuwe en beknoptenbsp;fchikking, met de bijvoeging zelfs van vele nieuwe ennbsp;nuttige eigenfchappen, vergroot hebben.

Met de behandeling van alle deze onderwerpen meenen wij aan onze Landgenooten den tegenwoordigen

paat der Meetkunst, in haar geheel, beknoptelijk en tevens volledig, te hebben voorgedragen. Doch wijnbsp;vleijen ons, dat zulks niet den eenigfen dienst zalnbsp;zijn, welke wij aan onze Landgenooten bewezen zullen hebben. Wars van de flordigheid, waarmede mennbsp;federd een groot getal jaren, onder den naam van bekorting, de Demonftrat��n of Retoogen behandelde, (3)

(3) Onder zulke bekortingen tel 'ik regtftreekfche of ingewikkeld onnaauwkeurige en, met de regels ftrijdlge, gevolgtrekkingen. Bij voorbeeld, Steenstra bewijst wel (J.V. Proj). 1. B.j dat de lijn, welke dennbsp;tophoek van eenen gelijkbeenigen driehoek midden door deelt, regthockignbsp;op de hafs (laat, en dezelve in twee gelijke deden deelt: maar hijnbsp;handelt tegen de regels eener firikte redeneerkunde, wanneer hij ingewikkeld, in het betoog rgt;an de XI. Prop. I. 3., befluit, dat de lijn,nbsp;welke uit den tophoek van eenen gelijkbeenigen driehoek r�gthoekig cpnbsp;de bafis valt, dezelve midaen door deelt, eene zaak, die welwaar is,nbsp;maar die hij niet bewijst. Op gelijke wijze, maakt diezelfde Schrijver,nbsp;in zijne XXVII. Bef. I. B. eene jiilzwijgende onderflelling, welke, innbsp;het betuig der A7/, Prop. eene nadere ontwikkeling verkrijgt, en zao

VOORREDE.

overtuigd van de nadeelige gevolge, welke zulks na zich fleept ^ hebben wij., aan den eenen kant., op allenbsp;mogelijke bekortingen bedacht geweest; maar ook, aannbsp;den anderen kant., ons niet veroorloofd valfche voornbsp;deugdzame., onvolledige voor volkomene bewijzen op tenbsp;disfen., en vooral niet., uit sene bewezene ftelUng totnbsp;deszelfs omgekeerde leeren befluiten: veel liever hebbennbsp;'^ij, om alle mogelijke bekorting te maken, die betoo-gen, welke de leerling zelve vinden kan, evenwel fechtsnbsp;Voor die flellingen, welke van minder aanbelang zijn,nbsp;geheel weggelaten. Wij hebben alzoo getracht, dennbsp;ftrengen betoogtrant der Ouden, ontheven echter vannbsp;die kleine etiquettes, welke in onzen tijd nutteloos zijn,nbsp;tot ons model te nemen, zonder ons, door een overdreven vooroordeel voor hunne handelwijzen, te latennbsp;wegflepen en blindelings overtenemen, hetgeen zijnbsp;zeker beter zouden gedaan hebben, wanneer zij onzenbsp;hulpmiddelen hadden te baat gehad. Dat wij nunbsp;hierin, zonder eenigzins omflagtiger te worden, ge-flaagd zijn, blijkt hieruit; dat in de zes eerfie boekennbsp;van den Heer Steenstra, 14� flellingen en werk-

ah uit onze XXIX. Steil. I. B, blijken zal, wel degelijk moet bewezen worden, en niet bewijsbaar is, zonder dat die XII. Prop. welke echternbsp;op die defenitie fleunen moet, bewezen is. Wij zouden vele zulke on-naauwkeurigheden, welke het gevolg van die foort van bekortingennbsp;zijn, kunnen epgeven;quot; onder anderen ook de conclufien tot het omgekeerde der flellingen, hetwelk tegen de eerfie regels flrijdt. Zal mennbsp;zeggen, dg eerstheginnenden gevoelen die flrengheid van bewijzen niet?nbsp;dit weten wij nogtans beter. 'Er is geen middenweg tusj'chen dezenbsp;twee dingen: de leerling moet de Meetkunftige waarheden gefchied-kundig keren kennen: maar dan moei het geen bewijzen heien', of,nbsp;wanneer men bewijst, dan moet men hel, naar de regels, en zoo alsnbsp;het behoort, doen.

XIV fiukken voorkomen -; bij ons insgelijks i^6 over hetzelfde onderwerp ^ waarvan nogtans een veertigtal nieuwenbsp;peilingen^ welke bij Z. E- niet voorkomen ^ gevondennbsp;worden^ zonder de omgekeerde fielUngen nog te rekenen^ welke die fchrijver nergens afzonderlijk bewijst',nbsp;waaruit derhalve blijkt, dat men, zonder van denbsp;Pr engheid aftewijken, nogtans bekorten kan.

JEanneer wij., in zekere opzigten., uitvoeriger dan anderen niogten fchijnen., is het hi de toelichting., hetnbsp;zij der belangrijkflehet zij der moeijelijkfle zaken.nbsp;Wij wenfchen die beoordeelaars, die zulk een vlugnbsp;verfiand hebben., dat zij., met een half woord., datnbsp;geene begrijpen., waartoe een gewoon niensch 'er tiennbsp;modig heeft., (^maar dan ook tevens zoo vlug zijn, datnbsp;zij in hunne vlugt het oogmerk van den fchrijver,nbsp;dien zij beoordeelen, vergeten,) van harte, met hunnenbsp;uitmuntende begaafdheden geluk: voor hun hebben wijnbsp;ook niet gefchreven: maar voor die doordenkende verbanden, welke zoo vlug niet zijn; doch gaarne eenenbsp;zaak, jnct klaarheid en overtuiging, zien en gevoelen, eer zij aan dezelve hunne toefiemming kunnennbsp;geven, en voor dezulke hebben wij zeker niet te veel,nbsp;maar niisfchien wel te weinig gezegd.

De gewigtigfie theorien, welke in de beginfelen der Meetkunst moeten voorkomen, zijn door ons, op eenenbsp;geheel nieuwe wijze, behandeld en in een duidelijkernbsp;en klaarder licht gepeld. Onder deze moeten wij vattnbsp;de leer der Evetiredigheden en der gelijkvormige Figuren, met een woord, gewag maken.

Flet is niet te verwonderen, dat zij, die blijde zijn, wanneer zij eenigen wiskundigen regel in het werkda-dige weten te gebruiken, en zich dan verder over de

VOORREDE.

kennis van dcszelfs gronden niet bekommeren, minder [maak in onze wijze van de Evenredigheden te behandelen vinden moeten: maar dat Kunstregtersmet eenenbsp;enkelde pennenflreek verklaren., dat onze behandelingnbsp;der Evenredigheden minder bevalt., zonder optegeven.,nbsp;waarom'? is zoo vreemd als onbillijk. Wij moetennbsp;dan nogmaals eenige oogenblikken hij dit [tuk blijvennbsp;flilflaan, en de gronden ontvouwen, waarom onze wijze van behandeling der Evenredigheden heter dan denbsp;gewone en heter dan die van Euclides is? De Meetkunst bewijst in vele gevallen ontegenzeggelijk., h. posteriori, het beflaan der onmeetbare grootheden., welkenbsp;men zich a priori kan voorftellen: zoodra men derhalve , op eene algeweene wijze, over de evenredigheden vannbsp;lij'-nen., hoeken., cirkelbogen, vlakken en Ugchamen., enz.nbsp;in eenige gefielde figuur, moet redekavelen, kunnen denbsp;grootheden, welker betrekking overwogen wordt., of onderling meetbaar of onderling onmeetbaar zijn: bevonden zich nu de termen der befchouwde betrekkingnbsp;altijd in het eerfle geval., dan zou de gewone oppervlakkige wijze van de behandeling der evenredighedennbsp;zoo als dezelve., bij Steenstra en anderen., voorkomen.,. voldoende zijn: maar daar dit nu hePgeval nietnbsp;is, zal, na den afloop van een betoog, nog altijd denbsp;vraag overblijven: zal de betoogde Helling nu ook innbsp;het geval der onmeetbaarheid waar zijn? en deze twijfeling kan, wanneer men de evenredigheden, dts innbsp;getallen uit gedrukt zijnde, befchouwt, en derzelver termen diensvolgens meetbare grootheden zijn, niet worden uit den weg geruimd. Euclides heeft deze zwarigheid zoo klaar ingezien, dat hij, in de V. Bep.nbsp;van zijn V. Boek, eene geheele algemeene Bepaling

RED

van de 'evenredigheid gegeven heeft^ welke heide ge^ vallen in zich fiidt. Deze bepaling van Euclides isnbsp;duister: vandaar ^ dat ook alle zijne betoogen over denbsp;evenredigheden duister^ gedwongen en omjlagtig zijn;nbsp;en zulks is misfchien wel de reden ^ waarom de laterenbsp;Schrijvers, geen kans ziende^ oni de zaak op eene hetere wijze te redden^ de gardiaanfche knoop hebbennbsp;door gehouwen, en zich alleenlijk bij de getallen evenredigheden bepaald. Het ontbrak echter aan Euclidesnbsp;en de latere Schrijvers aan de noodige hulpmiddelennbsp;om de zaak te redden: de theorie der gedurire breu-hen., welker eerfie gronden tot het volledig verjlandnbsp;der evenredighedenzoo als wij dezelve - behandelennbsp;noodig is, was aan Euclides , en zelfs voor de tijdennbsp;van Euler en Lagrange , die dezelve hebben daarge-field en verder ontwikkeldonbekend: en deze theorienbsp;alleen kan het denkbeeld doen geboren worden, om denbsp;evenredigheden, naar onze wijze van voordragt, te behandelen. Die wijze van behandelen is nu duidelijk:nbsp;het wezen der evenredigheid Wordt hier met de eigenaardige gefieldheid der meetbare en onmeetbare grootheden en derzelver waar criterium, als ook met denbsp;theorie der gedurige breuken in een onaffcheidelijk ennbsp;natuurlijk verband gehragt. Of nu onze wijze vannbsp;voordragen., klaarheid., duidelijkheid en bekorting., innbsp;de behandeling van het onderwerp brengt., zal elk kun-nen'^oordeelen., die de moeite neemt., om ons tweedenbsp;hoek met het vijfde van Euclides te vergelijken., ennbsp;wij twijfelen dan niet., of onze wijze van behandelenynbsp;waaraan nog geen uitheemsch Schrijver gedacht heeftnbsp;zaf wegens de algemeenheid der voordragt en d'e rijkheid der Jlof, aan elk vcrflandig man, wel verre va-a

VOORREDE.

tuinder dan eenig ander gedeelte van ons werk te bevallen, moeten behagen en vermaak doen.

De theorie der gelijkvormigheid, welke in het IF. Boek is voorgedragen, en waarvan wij reeds vroegernbsp;eene , kleine proeve gegeven hadden, (^4) is van onzenbsp;vinding, en buitenslands nog nergens op deze wijzenbsp;voorgedragen. De bepaling der gelijkvormige figurennbsp;van Euclides eit anderen firekt zich alleen tot denbsp;regtlijnige f.guren uil, en die der gelijkvormige lig-chamelijke figuren is gebrekkig: de kromme lijnen ennbsp;oppervlakten zijn in dezelve niet begrepen. Euclidesnbsp;zelf, om zich gelijk te blijven, heeft niet durven zeggen: dat cirkels gelijkvormige figuren zijn, en de latere Schrijvers hebben alleen verzekerd dat alle Parabola's, Cisfotden, Cyclo�den, enz. gelijkformige figuren zijn, niet, omdat zij zulks uit eene algemeene bepaling hefloten; maar, omdat zij in dezelve eigenfchap-pen ontdekten, welke met die der gelijkvormige regtlijnige figuren over��nfiemden. Onze bepaling van denbsp;gelijkvormigheid is algemeen, zijnde de XXII. Bepalingnbsp;van het XL Boek flechts eene herinnering van de III.nbsp;van het IF. Boek; zij omvat de gelijkvormigheid dernbsp;ligchamelijke, zoowel als die der vlakke figuren, ennbsp;is, door nader aan het algemeen indrukfel te komen,nbsp;dat de menfchen, op het zien der gelijkvormigheid, ontwaren , meer populair, meer bevattelijk en meer naarnbsp;de waarheid ingerigt.

SiMpsoN en Legendre hebben gegronde critiken op de bepalingen der gelijkvormigheid {de Euclidiaanfche

na-

namelijk') gemaakt^ doch deze raken de gelijkvormigheid der regtlijnige figuren en yeelvlakkige ligchamen. Volgens Legendre, zouden in de bepaling der gelijkvormigheid geen meer voorwaarden, dan volflrekt noodzakelijk zijn^ behoor en op geteld te worden: dan^ indien men zulks tot eenen regel zou willen aannemen^nbsp;is onze bepaling^ naar dien regel te beoordeelen, aannbsp;critiken onderworpen: doch men kan, a priori, inzien,nbsp;dat eene bepaling, aan zulk eenen regel onderworpen,nbsp;volflrekt �nmogelijk is, gelijk ook de Heer Legendrenbsp;'er geene hetere voor in de plaats fielt. De zaak nog-tans wel ingezien zijnde, bevat onze bepaling, algemeen genomen, geene enkelde voorwaarde te veel ofnbsp;te weinig: dit alleen is waar: dat, wanneer de gelijkvormige regtlijnige figuren en veelvlakkige ligchamennbsp;aan dezelve worden onderworpen, een groot aantalnbsp;voorwaarden onderling afhankelijk van elkander worden, en uit dien hoofde eene vermindering kunnen ondergaan : maar daar nu dit aantal voorwaarden, voornbsp;elke bijzondere foort van figuur, anders zou worden,nbsp;gevoelt men immers ten klaarfie, dat men geene al-gemeene bepaling, aan dien regel onderworpen, ontwerpen kan. Het is genoeg, dat onze bepaling innbsp;geene tegenfifijdigheden kan vallen, dat zij een alge-meener licht over de zaak verfpreidt en aanleidingnbsp;tot nieuwe fiellingen gegeven heeft, welke, in de werk-dadige toepasfing, vun het grootfie , aanbelang en hetnbsp;uitgeftrekfte nut zijn.

Beginfelen inziet, dan zal men befpeuren: dat de zaken in een zamenhangend en, zoo wij vertrouwen, in een natuurlijk verhand geplaatst zijn. De theorie

der

der evenwijdige lijnqn^ (5) welke op het einde van het eerfle boek behandeld is, en waartoe jlechts weinig voorafgaande heginfelen\vereischt worden^ is de grondflagnbsp;van de geheele Meetkunst. Zij brengt ons., in het III.nbsp;Boek., tot de eigenfchappen Paralklogrammen, Kegt-hoeken en Vierkanten., tot het befaan der ongelijkvormige en gelijke figurentot de transformatie van allenbsp;foorten van figuren i tot het vergelijken der inhouden.,nbsp;tot het Theorema van Pythagoras, enz. In het IV.nbsp;Boek, tot de eigenfchappen der evenredige lijnen en ge-lijkvormige figuren. In het V en VI. Boek tot denbsp;eigenfchappen des cirkels;' zij is de grondflag vannbsp;de theorie der t ransv er falen, welke, niet haar te za-men genomen, de bafis en grondflag van het geheelenbsp;meetkunfiig zamenfiel zijn. Diezelfde theorie eindelijknbsp;is de grondflag van de ligging en Jnijding der vlakken en van de Meetkunst der Ligchamen, welke daarop gegrond is.

Indien liet beflek dezer voorrede het gedoogde, zouden wij veel aangaande de Methodus docendi en het gebruik, dat men van dit werk maken kan, te zeggennbsp;hebben: dan, daar wij ons voorfiellen, zulks in eennbsp;afzonderlijk fltikje te doen, zullen wij dit onderwerpnbsp;voor het tegenwoordige aan zijne plaats laten,

JVij meenen genoeg gezegd te hebben, om den Lezer met den aard en de inrigtlng van dit werk bekend tenbsp;maken: het bevat, zoo als de tijtel belooft, een ontwerpnbsp;van heginfelen, zoo als de tegemvoordige fiaat der

(.s') V^t is niet uit overtuittin^, maar uit toegcvenheid, dat svij de bewijzen van de XFIII en XIX. Stellingen van het l. Boek , eknbsp;den gegeven, hier niet gebruikt hehbe^i. J

'kunst hetzelve vordert. De taak 'die wij ondernamen -was moeijelijk., vereischte geduld en oplettcnheidbe-langlooze opofering van tijd en moeite; dan., de goedkeuring van verdienstelijke en in ons Vaderland metnbsp;roem bekende mannen., die reeds de eerfle afgedruktenbsp;bladen, met . hunne goedkeuring vereerden en ook dezelve aanvankelijk tot een�n leiddraad in hun onder-wijs gebruikten, heeft ons-, in de getrouwe uitvoering van den ons opgelegden moeijelijken Paak., nietnbsp;weinig bemoedigd. Die goedkeuring, in plaats vannbsp;ons onachtzaam te maken, en voor mogelijke mistas-tingen te verblinden, heeft integendeel onze eerzuchtnbsp;opgewekt, om met verdubbelde oplettcnheid, niet Jlechtsnbsp;het vervolg van dit werk, met eene naauwgezette omzichtigheid, te bearbeiden; maar ook zelfs het reedsnbsp;afgewerkte nader te verbeteren'en te befchaven. Vannbsp;daar dan ook, dat dit werk eenige maanden later,nbsp;dan wij ons eerst hadden voorgefield, in het lichtnbsp;verfchijnt, eene vertraging, waaraan ook andere bezigheden, welke de- onaangenaamheid des tijds veroorzaakten , het hunne hebben toegebragt.

Steeds geen ander doel, dan de waarheid en het beste, gehad hebbende, en, om, naar de mate onzernbsp;geringe vermogens en talenten, den roem van onsnbsp;Vaderland, hetwelk (leeds zoo vele beroemde mannennbsp;in dit vak opleverde, en, in alle vakken van geleerdheidnbsp;en befchaving, voor deszelfs naburen niet behoeft tenbsp;wijken, op te houden, en, ware het mogclijk te bevorderen, behoort ook onzen arbeid uit geen ander gezichtspunt befchouwd te worden. En, fchoon wij innbsp;vele opzichten weinig aanmoediging genoten, zal zulksnbsp;met beletten, om, 'indien de Hemel ons gezondheid en

VOORREDE.

krachten blijft verkenen^ op den begonnen loopbaan, moedig veorttegaan; en eerlang de Analptifche Meetkunst te voorfchijn te brengen. Dan, zoo wij, in ditnbsp;alles, ons de aanmerkingen van kundige, brave ennbsp;wehneenende mannen, met dankbaarheid, te nutte maken, zullen wij nogtans, met eene ftilzwijgende verachting, ons niet bekreunen aan die lage vitters, ennbsp;in het donker vliegende uilen, welke de bewijzen metnbsp;_ Zich mede brengen, dat zij beoordeekn, wat .�zij nietnbsp;f verflaatz, en lasteren, wien zij niet kennen, en fam-pige van welke, bij zekere gelegenheden, van zulkenbsp;niets beduidende wezens als wij zijn, wel eens hebbennbsp;willen leeren wat goed en nuttig is.

INHOUD.

Blndz.

Elfdb Boek. OiTr de veelvlakkige Ligchamen-, bijzonderlijk, over de Prism-i�s, Pf.rallelopipeda�s, Piramiden, enz. Oyernbsp;derzelver inhouden, er. over de gelijkvormige Ligchamelijkenbsp;Figuren.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;....

Twaalfde Boek Over den Cilinder, den Kegel, en den Bol. Dertiende Boek. Over de Meetkunst der Drievlakkige Hoeken , bekend onder den naam van Sphicrifche of Bolvormigenbsp;Driehoeksmeting.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.....

Oyer de Regtzijdige Rolvormige Driehoeken en de afleiding der vergelijkingen y welke tot derzelver oplosjing dienen kunnen,nbsp;Befchouwing der Bolvormige Scheefhoekige Driehoeken,

(acvalleny in welke de � Rolvormige Driehoekeuy door eene benade-ring y ^^nvoudiger y en y met eene voldoende naauwkeurigheidy kunnen opgehst worden.

yrnagjiukken y betrekkelijk He Rolvormige Driehoeken y benevens derzelver gebruik in de Ligchaamsmetingnbsp;Iets �ver de vijf Regelmatige Ligchamen.

Veertiende Boek. Os'er dc Theorie der Transverfalen, hene-vem eene korte aanmjzing van dcrzelver gebruik.

7oepasJtiig der yoorgeande Befchowwingen. nbsp;nbsp;nbsp;.

�Meetkundige Stellingen 'ivelke ^ met behulp yan de Leer der Transverfalen, kunnen betoogd veordcn.

Vijftiende Boek. Over de eerfte beginfelen der Veelhoehme-ting (Polygonometrie) en over de eigenfchappen der veelvlak-kige Ligehamen (Polyedrometrie)

^Toepaspng der voorgaande Befchouwtngen,

jilgemeene Bigcnfcbappen der vee�vlakkige Ligehamen (^Polyodro-meirie.) nbsp;nbsp;nbsp;.......

Noodige Tabellbs. .....

NOODIG BERIGT.

In dit werk worden de allereerfte Beginfelen der Reken- en Stelkunst en de kennis der teekens onderlleld.

Men kan, in de Lezing van dit werk, de tiende, elfde en twaalfde Boeken onmiddelijk op de zes eerfle laten volgen. De achtfte en negende Boeken maken met het dertiende een geheel. De veertiende ennbsp;vijftiende Boeken bevatten afzonderlijke Theorien.

Men kan, met die Leerlingen, welke niet veel tijds hebben, de be-toogen der omgekeerde Stellingen wel overflaan, om dezelve bij eene andere gelegenheid, of bij eene herhaling, nategaan: onder beding, datnbsp;men dezelve niet, als gevolgtrekkingen der hoofdftellingen, doe voorkomen. Met zoodanige leerlingen kan men ook overflaan:

In het I. Boek, Steil. XXVIII.

In het III. Boek, Steil. XXL

In het V. Boek,, Steil. XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII en XXVIII.

En in het VI. Boek, het artijkel van de Ifoperimetrifche Figuren.

BE GINSELEN der

meetkunst.

EERSTE deel.

g. I. I. JJepaling. De Meetkunst is de kunst, om te bepalen, hoe de grootheid van elke uitgebreidheid afhangtnbsp;van de wijze,' op welke zij door hare grenzen bepaald is,nbsp;ten einde, langs dien weg, de regels te vinden, om dezelvenbsp;met uitgebreidheden van dezelfde foort te vergelijken.

�. 2. II. Bepaling. Eene uitgebreidheid is eene ruimte, welke, aan alle kanten, binnen zekere grenzen befloten is.

�. 3. III. Bepaling. Men verftaat door de grenzen eener uitgebreidheid, in het algemeen, alle die plaatfen, welkenbsp;noch binnen noch buiten die uitgebreidheid gelegen zijn; denbsp;plaats tot zoo verre deze uitgebreidheid ftrekt, en van denbsp;omliggende ruimte is afgefcheiden.

�. 4. �Er zijn in de Meetkunst driederlei foort van uitgebreidheden; iv de Ugchamelijke, 2� de vlakte�) 3'� de lengte

�� 5' IV. Bepaling. Eene Ugchamelijke uitgebreidheid, eenvoudig Ligchaam genoemd, is, in alle rigtingen, tot aannbsp;hare grenzen uitgefirekt. Men drukt deze hoedanigheid uit,nbsp;door te zeggen, dat zij lengte, breedte en hoogte heeft.

A nbsp;nbsp;nbsp;�� lt;5.

�. 6. V. Bepaling. De grenzen eener ligchamelijke uitgebreidheid zijn, over den omtrek van dit ligchaam, uitge-ftrekt; zij maken, in haren geheclen zamenhang, eene uitgebreidheid, welke van eenen geheel anderen aard is, dan de ligchamelijke, en alleen lengte tw breedte^ zandernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;noch

hoogte heeft: men noemt haar vlakte ^uitgebreidheid, eenvoudig vlak, vlakte of oppervlakte.

�. 7. Gevolg. De omtrekken der Ugchamen, of der ligchamelijke uitgebreidheden, zijn derhalve vlakken, en derzel-ver onderfcheidene deelen raken of fluiten altijd, volgens het beloop van vlakken, aan elkander.

�. 8. VI. Bepaling. Eene lengte uitgebreidheid, eenvoudig lijn genoemd, heeft alleen lengte, zonder breedte noch dikte. � De lijnen zijn derhalve de grenzen der vlakken, ennbsp;de deelen eener vlakte raken of fluiten, volgens het beloop vannbsp;lijnen, aan elkander,

�. 9. VIL Bepaling. De .uiteinden der lijnen zijn punten. Punten hebben geene uitgebreidheid: zij zijn alleen zekere bepaalde plaatfen, welke in de uitgebreidheid, of in hare grenzen, gedacht kunnen worden.

�. 10. De lijnen worden in twee groote h�ofdfoorten on-derfcheiden: in Regte en Kromme.

�. II. VIII. Bepaling. Eene regte lijn, Fig. i, is eene lijn, welke altijd in dezelfde rigting voortgaat, zonder, ternbsp;regter noch ter linkerhand, op noch benedenwaards, aftewij-ken. Zij is klaarblijkelijk de kort ft e afftand, tusfchen tweenbsp;punten A en B, en zij kan, aan denzelfden kant, flechts innbsp;��ne rigting, verlengd worden.

�. 12. IX. Bepaling. Eene kromme lijn is eene lijn, welke, van elk punt tot het naastvolgende, onophoudelijknbsp;van rigting of Breek verandert. Zie Fig. 2.

�� 13' X. Bepaling. Eene platte vlakte of een plat vlak is zulk eene vlakte, over welk� eene regte lijn, in alle rignbsp;ringen, zoodanig kan bewogen worden, dat zij altijd, in allenbsp;hare punten, het vlak aanraakt. Bij voorbeeld, het oppervlak van een ftilftaand water.

M E E T K U N S T.

tegeiigedelde hoedanigheid: hetzelve zal niet, in alle rigiin-gen, door eene regte lijn, in alle tkszelfs punten, kunnen worden aangeraakt.

�. 15- XII. Bepaling. De figuur eener uitgebreidheid is de wijze, waarop zij beflaat, en door de onderlinge liggingnbsp;van hare grenzen bepaald is.

�. i6. Aanmerking. Men onderfcheidt de Beginfelen der Meetkunst , in de Meetkunst der Vlakken, en in de Meetkunst der Ligcha-tnen, welke twee hoofddeelen, wederom hunne bijzondere onderdee-liugen hebben. In de Meetkunst der Vlakken, bepaalt men zich alleenlijk tot de regtlijnige figuren en tot den Cirkel, en, in de Meetkunst der'Ligchamen, tot de veelvlakltige Ligchamen, den Cilinder, Kegelnbsp;en Bol. Van deze bijzondere uitgebreidheden, zullen wij ten tijde.nbsp;Wanneer, en ter plaatfe, alwaar het zal te pas komen, de behoorlijkenbsp;bepalingen geven. De Leerwijze, welke men, in de beginlelen dernbsp;Meetkunst, volgt, is de finthetifiche; men draagt de ondetfcheidenenbsp;meetkunffige waai heden voor, welke elkander in eene aan�'�ngefchakel-de orde opvolgen, en welke dan betoogd of bewezen worden. Innbsp;eike Helling wordt iets ondcrfteld en iets gefield, hetwelk, met dit on-derllelde, in een noodzake�jk verband Haat. Bewijzen of hetoogen isnbsp;nu aantetoonen en klaarblijkelijk te inaken: ^Sat het gejlelde een nood*nbsp;zakelijk gevolg is van hetgeen in de Jlelling wordt aangenomen. Nog-tans moet men, met betrekking tot deze ftellingen, den eerstbegin-nenden waarfchutven: dat men eenige bewezenc Helling niet omkeereiinbsp;en het omgekeerde, zonder nader' onderzoek, voor eene bewezenenbsp;Waarheid houden mag. Wij zullen ook daarom het omgekeerde dernbsp;VoornaamHe en gewigtigHe ftellingen op zijne plaats betoogen.

17. De gronden, welke tot het betoog der ftellingen, als ontwijfelbare en in zich zelve klaarblijkelijke waarheden,nbsp;aangenomen en daarom Axiomatet, of algemecne kundigheden^nbsp;genoemd worden, zijn de volgende.

I. Axioma. Alle uitgebreidheden, welke zoodanig op elkander gelegd^ of in elkander geplaatst kunnen worden, dat derzeher grenzen ov�ral op en in elkander vallen, zijn gelijknbsp;e�f even groot. Men noemt zulke uitgebreidheden gelijk eanbsp;gelijkvormig, om dezelve van uitgebreidheden te onderfchei-den, die wel gelijk zijn, maar niet op elkander pasjen.

4 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

III. nbsp;nbsp;nbsp;Axioma. Geene uitgebreidheid kan een gedeelte vannbsp;eene andere zijn., indien niet deze uitgebreidheideen zekernbsp;aantal malen genomen zijnde, gelijk of grooter dan die anderenbsp;� uitgebreidheid, dan dit geheel, worden kan.

Geen punt kan derhalve een deel van eene lijn, een vlak of lig-chaara; geene lijn een deel van een viak of ligchaam, geen vlak een deel van een ligchaam zijn: maar de deelen der lijnen, vlakken ennbsp;ligchamen zijn insgelijks lijnen, vlakken'en ligchnmen.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Axioma. Indien twee dingen, elk in het bijzonder, aan eennbsp;derde gelijk zijn; dan zijn ook die dingen gelijk of even g'root.

V. nbsp;nbsp;nbsp;Axioma. Indien een ding A gelijk is aan een ding B;nbsp;maar B grooter of kleiner is dan een derde ding C; dan zalnbsp;ook A grooter of kleiner dan C zijn.

VI. nbsp;nbsp;nbsp;Axioma. Indien A grooter is dan B, en B wederomnbsp;grooter dan C; dan zal ook A grooter dan C zijn.

VIL Axioma. Indien men bij gelijke grootheden gelijke of dezelfde grootheden optelt; dan zijn de fommen gelijk.

Vlir. Axioma. Indien men van gelijke grootheden gelijke aftrekt; dan zijn de verfchiilen gelijk.

IX. nbsp;nbsp;nbsp;Axioma. Indien A grooter dan B is; dan zal A, opgeteld met C, grooter zijn dan B opgeteld met C; en wederom , A min C grooter dan B min C zijn.

X. nbsp;nbsp;nbsp;Axioma. Indien A grooter dan B, 'en C grooter dannbsp;D is; dan zal de fom van A en C ook grooter dan efe fomnbsp;ran B en D zijn.

Xlt Axioma. Indien van twee gelijke grootheden twee ongelijke afgetrokken worden; dan zullen de verfchiilen pngelijk zijn, en de grootheid, waarvan het meest is afgetrokken, zalnbsp;het minst overlaten.

XII. nbsp;nbsp;nbsp;Axioma. Dezelfde veelvouden en dezelfde evenmatigenbsp;deelen van gelijke grootheden zijn gelijk.

XIII. nbsp;nbsp;nbsp;Axioma. Indien twee grootheden uit een bepaald ofnbsp;onbepaald; maar altijd hetzelfde aantal, gelijke deelen beflaan;nbsp;het eerfle deel gelijk aan het eerfle, het tweede gelijk aan hetnbsp;tweede, enz.; dan zijn deze grootheden gelijk.

DSR MEETKUNST.

S. i8. Nog 'vorden, tot het betoog der ftel�ngen, de volgende zaken (^Postuiata of Verehchten) gevorderd.

III, nbsp;nbsp;nbsp;Dat men een punt, in eene regte lijn, zoodanig magnbsp;/lellen, dat. het die lijn, in twee gelijke deelen, verdeelt.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Dat men insgelijks, tusfchen de heenen van eenen hoek,nbsp;eene lijn, uit deszelfs toppunt komende, zoodanig mag aannemen, dat zij dien hoek, in twee gelijke deelen^ verdeelt.nbsp;(Zie XIV en XV. Bep. hier onder.)

Eene Propofitie is eene Helling, welke dan eens een Theorema, dan � wederom een Prohlema is.

Een Theorema is eene eigenlijk gezegde Meetkundige Helling, in welke eene of andere eigenfehap, om te bewijzen, g�fleld wordt.

Men noemt Lemma, of Voorbewijs, eene foortgelijke Helling; doch, welke met het onderwerp der onmiddelijk voorgaande en volgendenbsp;Hellingen geene of weinige gemeenfehap heeft, en nogtans tot het bewijs van eene of meer volgende Hellingen dienen moet.

Een Pr�hlema, of kFerkjiuk, is een meetkunflig'Vraagfluk, dat, door conHruaie, of berekening, moet opgelost worden.

Een Corrollarium, of Gevolg, is eene witheid, welke uit eene be-wfzene Helling, of, uit den loop van derzelver betoog, onmiddelijk volgt.

Een Scholium is eene Aanmerking, of Leering, welke uit eenige Helling of derzelver betoog wordt afgeleid.

Men onderjlelt, in dit eer/ie deel der Beginfelen, Jlilzwij-gend: dat alle punten, lijnen en cirkels, welke in eene figuur voorkomen, in dezelfde platte vlakte gelegen zijn. In het vervolg zal het woord lijn altijd regie lijn beteekeneii.

EER-

EERSTE BOEK.

Over de regte Lijnen^ de Hoeken, de Driehoeken, Loodlijnen en evenwijdige Lijnen,

�. 2C. Indien twee punten, P en van eene lijn AB in eene andere lijn CD gehragt worden-, dan zullen deze lijnen,nbsp;in alle derzelver punten, met elkander over��nkomen.

Betoog. Nemen wij, dat de lijn AB, na dat hare punten P en ^ in de lijn CD gebragc zijn, niet overal met dezelve over��nkome;nbsp;en eene rigting aanneme, als in de figuur wordt vooxgefteld; dan zounbsp;daaruit volgen: dat de lijn AB in haar beloop eene veranderlijke rigting hebben, en (Kill, Bep.j gevolgelijk geene regte lijn zijn zou.nbsp;Alle hare pdnten moeten dan in de lijn CD vallen.

�. ai. I. Gevolg. Men kan dan, van het ��n tot het ander� punt, Jlechts ��ne regte lijn trekken.

�. 22. II. Gevolg. 7wee lijnen kunnen dan ook geene bepaalde vlakte influiten.

�. 23. XIII. Bepaling. Fig. 4. Twee lijnen AB en CD, worden gezegd gelijk, of eten lang, te zijn, wanneer, � hetnbsp;punt A ill het- punt C, en de lijnen voorts langs elkandernbsp;gelegd zijnde, het punt B in het punt D valt.

�. 24. XIV. Bepaling. ii7;v. 5. Een regtUjnige hoek, bij wtkoning, hoek genaamd, is de onbepaalde ruimte P, welkenbsp;gelegen is tusfchen twee lijnen, AB en BC, welke in ��nnbsp;punt B zamenkoraen, eii naar welgevallen verlengd kunnennbsp;worden. De zamenkoinende lijnen, AB en BC, noemt mennbsp;de beenen of zijden, en het punt van zamenkomst B htt toppunt of hoekpunt van den hoek. Anderen zeggen; dat eennbsp;hoek de helling- of neiging van twee regte lijnen is, die elkander ontmoeten.

�. 25. Indien het geene dubbelzinnigheid kan veroorzaken, drukt yien, in eene figuur, een hoek door de letter, die aan het hoekpunt

ftaat, uit; anders door drie ietters, mits men de letter, aan het hoekpunt ftaande, in het midden plaatfe. Men zegt dus: hoek B, hoek ABC of hoek CBA.

%. .26. Gevolg. De hoegrootheid van eenen hoek hangt niet af van de lengte, welke deszelfs beenen in eene figuur htb-ken; maar van de grootere of kleinere ruimte, welke tusfchennbsp;deze beenen gelegen is.

�� 27. Aanmerking. Fig. 6. Hoeken ABC, CBD en DBE, zijn grootheden, welke, door de toppunten dezer hoeken in elkander, en derzelver beenen langs elkander te leggen,nbsp;tot ��n geheel kunnen ver��nigd worden. En elke hoek ABEnbsp;kan, door, uit het hoekpunt B, binnen den hoek, lijnen BCnbsp;BD enz. te trekken, in deekn ABC, CBD, DBE, enz.nbsp;verdeeld worden.

�. 28. XV. Bepaling. Fig. 7. Twee hoeken ABC en -D^A'worden gtzzgd. gelijk-, of even groot, te zijn: indiennbsp;het hoekpunt � van den eerden hoek ABC va het hoekpuntnbsp;E van den tweeden hoek Z).�i''gebragt zijnde, en een beennbsp;BA van den eerden, langs een been ED van den tweeden,nbsp;dan ook het andere been BC van den eerden langs het andere been EFs^xs den tweeden valt.

�. 29. XVI. Bepaling. Fig. 8. Wanneer eene lijn CD op eene andere lijn AB zoodanig daat, dat de hoeken A DCnbsp;en BDC, aan weerszijden, gelijk zijn; dan wordt deze lijnnbsp;CD gezegd loodregt {perpendiculairj op de andere AB te.nbsp;daan, en de hoeken A DC en BDC, welke deze lijnen bepalen , worden alsdan regte hoeken genoemd.

Betoog. Laat D C loodregt op A B en G H loodregt op E F ftaau; dan tiioet bewezen worden: dat hoek AD C gelijk aan hoeknbsp;EGH is. Laat het punt G in het punt D en GE langs D A gelegd ivorden; dan zal Ql. Steil.j GE langs DB vallen: indien nunbsp;G H niet langs D C valt; dan zal zij ter regter of linker zijde vannbsp;CD vallen, en met CD een hoek CDH maken; en dan is hoeknbsp;� D Ht�- hoek BDC; maar hoek BDC� hoek A DC zijnde,

BEGINSELEN

(onderjlelling) is hoek B D H'gt; hoek ABC-, wederom is hoek BDH, {pnderft.') � hoek/)//,� derhalve {F. Axd) hoek ABU'gt;nbsp;hoek ABC, en het gedeelte zou derhalve grooter dan het geheelnbsp;moeten zijn. De lijn G//kan derhalve niet buiten, maar wel langsnbsp;de lijn BC vallen, en de hoek ABC m�et derhalve gelijk zijn aannbsp;den hoek EGH.

�. 31. Gevolg. Uit een punt D, genomen in eene regts Jijn AB, kan niet meer 'dan e�ne loodlijn CD op dezshe worden opgerigt.

�. 32. XVII. Bepaling. Fig. 10. Een hoek ABC, die kleiner dan een regte hoek is, wordt fcherpe hoek genoemd.

.S� 33- XVIII. Bepaling. Fig. 10. Een hoek DEC, die grooter dan een regte hoek is, wordt flompe of plompe hoeknbsp;genoemd.

�. 34. XIX. Bepaling. Fig. lo. Indien men het been AB van eenen hoek ABC verlengt; dan wordt de hoeknbsp;DEC, welke, door dit verlengde been en het andere been,nbsp;gemaakt wordt, het fupplement of aanvulfel van dezen hoeknbsp;ABC genoemd. Op gelijke wijze is de hoek ABC het fup-plcraent van den hoek BBC.

�. 35. De fupplementcn van gelijke hoeken zijn gelijk. �� en omgekeerd. � De hoeken, welke gelijke fuppiernenten hebben , zijn gelijk.

�. 36. Indien twee lijnen AB en CD elkander, in een punt E, doorfnijden', dan zijn de overjiaande hoeken AED ennbsp;BEC gelijk.

Betoog. Want de hoek BEB is het fupplement, zoo wel van den hoek BEC, als van den hoek AEB. Volgens de HL Stelling, zijnnbsp;dan de hoeken BEC en AEB gelijk.

�. 37. Gevolg. Big. 12. Wanneer men derhalve eene loodlijn CD naar beneden verjengf, dan ontflaan �er, om het

R MEETKUNST.

punt van ontmoeting C, vier regte hoeken; en, indien eene iijn C D loodregt op eene andere B C ftaat, ftaat deze laatftenbsp;wederkeerig loodregt op de eerjle.

�. 38. Aanbierking. Omdat alk regte hoeken gelijk zijn, zullen vkr regte hoeken, om ��n punt, aan elkander fluiten.

�. 39. Een hoek ABC en zijn fluppkment BBC maken, te zatnen genomen, twee regte hoeken.

Betoog. Laat aangenomen worden : dat B E loodregt op A D ftaat: dan is de hoek DBC gelijk aan de fom van den regten hoeknbsp;liDE, opgeteld met den hoek CBE. Hierbij voegende darzelfdennbsp;hoek ABC, zal QFIL Ax.') de fom van den hoek ABC en zijn fupple-inent DBC gelijk zijn aan den regten hoek DBE met nog de fomnbsp;der hoeken CBE en ABC: maar dB fom der hoeken CBE ennbsp;ABC is gelijk (//. Ax.j aan den regten hoek ABE; derhalve is denbsp;fom van den hoek ABC en zijn fupplement DBC gelijk aan eenen reg-teu hoek DBE, niet nog eenen anderen regten hoek ABE; dat isnbsp;gelijk aan tweemaal �diion regten hoek.

�. 40. Wanneer twee hoeken, ABC en BEF, welker fom, twee regte hoeken b'edraagt, tot ��n geheel aan elkander gevoegd worden; 'dan zijn de uiterfte heenen dezer hoeken, innbsp;dezelfde rigting, dat is, in dezelfde lijn, gelegen.

Betoog. Want iiidien DE niet het verlengde van ABis; drm zal eene andere lijn BG, boven of beneden DE, het verlengde van ABnbsp;zijn, en dan zal Stell.j fom der hoeken ABC en CBG,nbsp;gelijk aan twee regte hoeken zijn: maar, volgens de onderllelling, isnbsp;de fom der hoeken, ABC m CBD, gelijk aan twee regte hoeken;nbsp;derhalve C//^. Ax.j is de fom der hoeken ABC en CBD, gelijk aannbsp;de fom der hoeken ABC en CBG; indien men nu van deze gelijkenbsp;fommen denzelfden hoek ABC afneemt; dan zullen (JAIL Ax.j denbsp;resten, namelijk de hoeken CBD en CBG, moeten gelijk zijn: indiennbsp;men derhalve BG als het verlengde van AB aanmerkt; dan zal het gtvnbsp;deelte aan het geheel moeten gedjk zijn, en zulks ia (//. Ax.j on-' A s

BEGINSELEN

mogelijk. Geeiie andere, dan de lijn BD, kan bijgevolg het verlengde van AB zijn.

5. 41. Gevolgen uit de IV en V Stellingen.

i'* Indien men, Fig, 14, uit een punt C, in eene lijn eenige andere lijnen CD, CE, CF en CG trekt; dan zalnbsp;de fom der hoeken, welke door deze lijnen gevormd worden,nbsp;gelijk zijn aan twee regte hoeken. Men drukt dit aldus uit:nbsp;hoek BCD -k- hoek Z) C � hoek E C F hoek � C G nbsp;hoek GCA � aR.

2quot; Indien men, Fig. 15, uit een punt A, in het rond, ver-fcheidene lijnen AB, AC, AD, AE en AF trekt; dan zal de fom der hoeken, welke, om dit punt, aan elkander fit it en,nbsp;gelijk zijn aan vier regte hoeken: dat is

�. 42. De regie hoek is natuurlijke ��nheid der hoeken. Van ouds verdeelde men donzelven in negentig kleinere hoeken, die mennbsp;graden noemt; de graad in zestig kleinere hoeken, die men minutennbsp;noemt; eene roinuut wederom in zestig kleinere hoeken, die men fe-cunden noemt; de fecunde in zestig tertien, de terde in zestig quar-ten, enz.: doch thans gebruikt men, in deze verdeeling, welke mennbsp;de Sexagcjimale noemt, niet meer de benaming van tertien: maar mennbsp;verdeelt de fecunde, in tiende, honderdfte, duizendlle deelen, enz.

' �. 43. Volgens de nieuwere verdeeliitg, verdeelt men den regten hoek�in honderd gfSden, de graad in honderd minuten, de. minuutnbsp;in honderd fecunden. Men noemt deze verdeeling de Decimale verdeeling,

�. 44. In beide verdeelingen, wordt het woord graad door *gt;, minuut door ' en fecunde door quot; uitgedrukt: aldus wordt 73� 18'17''^,3 gelezen: 73 graden, 18 minuten, 17 fecunden, en 3 tiende van ��nenbsp;fecunde. In de decimale verdeeling, laat men nogtans de teekens 'nbsp;en quot; weg. Aldus wordt ^3'', 83 07 gelezen; dg� decimale graden,nbsp;83 minuten en 7 fecunden.

�. 45. Een fcxagefimale graad is gelijk aan ��n en ��n-negende decimale graad-, en ��n decimale graad gelijk aan negen-tienJe

der meetkunst.

fexagefimale. Hieruit volgt: dat men, om fexagefimale graden tot decimale overtebrengen, bij het gegeven getal fexagefimale graden ��n-iiegende van hetzelve moet optellen, na vooraf de minuten en fecunden in tiende deelen van fexagefimale graden herleid te hebben. (^Zte 1. C.nbsp;�.413.) En dat men, om decimale graden in fexagefimale overtebrengen, (zie /. C. �. 354.) van het gegevene getal decimale gradennbsp;��n-tiende aftrekken, en de tiende, honderdfte, enz. deelen van graden tot minuten en fecunden moet herleiden.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

S- 46. XX. Bepaling. Om eene vlakte intefluiten, worden ten ininfte drie lijnen vereischt, welke elkander onderling fnijden. Eene vlakte, welke

Onder den naatn 'van vedhosk, kan men den viefhoek, viif-fiQek, enz. begrijpen. De lijnen, welke eenen drie �t veelhoek bepalen, noemt men de zijden des veelhoeks. Menr geeft ook aan den driehoek en de veelhoeken den naam vannbsp;regiiVpilge figuren.

�. 47. Gevolg. In elke rtgtUjnige figuur, (drie of veelhoek,') is altijd het getal der zijden gelijk aan het geval der hoeken.

�. 4'd. XXI. Bepaling. Ftg. id.Jn eenen driehoek ABC onderfcheidt men: de drie zijden AB, BC tti AC, die zijnenbsp;grenzen zijn; de hoeken ABC, BCAen BAC, welke, doornbsp;de onderlinge ontmoeting der zijden, oiitftaan; de punten .r^,nbsp;B en C, welke de hoekpunten genoemd worden. Men noemtnbsp;voorts d� zijde AB, op welke de driehoek ftaat, de ba fisnbsp;of grondzijde- AC en. BC de opftaande zijden; de boekennbsp;ABC en Bj^C de hoeken aan de bafis; den hoek ACB dennbsp;tophoek. Nogtans kan men, in de befchouwing eens driehoeks, elke zijde als bafis aanneraen. De hoek ABC, welke drtor twee zijden AB en BC gemaakt wordt, wordt gezegd tegen over de derde zijde AC te fiaan. -r~ En omgekeerd.

BEGINSELEN

keerd, elke zijde AB tegen over den hoek C, welke door de twee andere zijden AC en BC gemaakt wordt.

�. 49. XXII, Bepaling. Fig. 16. De drie zijden van eenen driehoek kunnen alle in lengte onderfcheiden zijn: innbsp;dit geval, noemt men den driehoek ongelijkzijdig.

�. 50. XXIII. Bepaling. Fig. 17. Men kan, op de bee-nen van eenen hoek ABC, AB gelijk BC nemen, en de lijn AC trekken, dan heeft de driehoek ABC twee gelijke zijden, AB en BC. Men noen^ hem, in dit geval, gelijk-leenig. Men noemt de zijde, tegen over den hoek, tusfchennbsp;de gelijke zijden, of beenen, bij voorkeur de hajis.

5. 51. XXIV. Bepaling. Fig. 17. Men kan de beenen AB tin BC in zulk eenen Hand brengen, dat AC gelfk ABnbsp;gelijk BC wordt. In dit geval, zijn al de zijden gelijk, ennbsp;men noemt zulk eenen driehoek gelijkzijdig.

�. 52. Elke zijde AB eens driehoeks ABC is korter dan de Com zijner twee andere zijden, AC en BC.

Betoog. Want de lijn AB is de kortfte weg, om uit het punt A in het punt B te komen, en is bijgevolg korter dan de fom dernbsp;zijden AC en BC.

S' 53' Wanneer men uit een punt D, kinnen eenen driehoek ABC, tot aan de uiteinden van ��ne zijner zijden AB twee lijnm, AD en B D, trekt-, dan is de fom dezer lijnennbsp;kleiner dan de fom zijner twee andere zijden, AC en BC. �nbsp;Dat is, AD-k-BDlt;AC BC.

Betoog. Verleng AD tot aan E, In den driehoek BED is BE EDgt; BD (VII. Steil.)-, tel hierbij A D 1=. A D-, �xa \$nbsp;(/X. Ax.) BE-\-ED-\- AD oi BEAEgt; BD AD.

Wederom is, in den driehoek AEC, (volgens Stelling Vlij), AC CEgt; AE; tel hierbij BE �BE; dan is (IX. Ax.) AC-\-CEnbsp;�^BE of AC BOAE BE.

DER MEETKUNST.

S- 54. Leering. Men leert hieruit: dat de fom der zijden AC en BC grooter is dan de fom der lijnen AE en BE.

IX. Stelling. Fig. 19.

S* 55. Twee driehoeken zijn gelijk en g�Ujkvormig, wanneer eene zijde van den eerflen gelijk is aan eene zijde van den tweeden, en wanneer de hoeken, aan deze zijden gelegen, in de wederzijdfche driehoeken, gelijk zijn.

Opheldering. Indien A B � DB; hoek A zz. hoek D; en hoek Bzz hoek � is; dan zal hoek Czz hoek F; ACzzDFen BCzznbsp;EF zijn.'

Betoog. Men legge het punt Z) in het punt A; de zijde D E langs de zijde AB; dan zal, omdat A Bzz DE is, (volgens XllEnbsp;Bcp.) het punt B in het punt E vallen; en, omdat hoek A zz hoeknbsp;D, en hoek Bzz hoek E is, zal, (zie XF. Bep.) de zijde D F langsnbsp;de zijde AC, en de zijde EF langs de zijde BC vallen: het puntnbsp;F zal dan in het punt C vallen. Volgens de XF. Bep. zal de hoeknbsp;Fzz den hoek C, ook zal {XHI. Bep.) DFzzAC en E FzzBCnbsp;zijn; de driehoeken zullen dan in alles gelijk en gelijkvormig zijn.

X. Stelling. Fig. 19.

�. 56. Twee driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, indien een hoek van den eenen gelijk is aan eenen hoek van den anderen, en de zijden, welke, in dg wederzijdfche driehoeken,nbsp;deze hoeken bepalen, gelij^ zijn.

Opheldering. Indien hoek AzzhoekD; A Bzz DE en ACzzz Z)F is; dan zal BCzzzEF; hoek Bzz hoek E, en hoek Czz hoeknbsp;F zijn.

Betoog. Men brenge het punt D in het punt A, en D� langs AB; omdat dan A Bzz DE is, zal (jXIII. Bep.) het punt E in Bnbsp;vallen; voorts, omdat hoek- D � hoek A is, zrl (.YK Bep.) D Fnbsp;langs AC vallen, cn omdat DFzzAC is, zal het punt �111 C vallen: volgens Xin, jgt;cp^ 2al BCzzEF, en volgens XF. Bep, zal hoeknbsp;Bzz hoek �, en hoek Czz hoek F zijn, en de driehoeken zijn der-ha.ve gelijk en gelijkvormig.

xr.

14 nbsp;nbsp;nbsp;BE, GINSELEN

�. 57. Wanneer twee zijden,, AB en AC, van eenen driehoek ABC gelijk zijn aan twee zijden, DE en DF, van eenen anderen driehoek DE F; maar de hoek A, welke door deze weenbsp;zijden, AB en AC, in den eerjlen driehoek, gemaakt wordt,nbsp;groot er is dan de- hoek D, welke door de twee andere zijden,nbsp;DE en DF, in den anderen driehoek DE F, gejpaakt wordt;nbsp;dan zal de derde zijde B C van den eerjlen driehoek grooternbsp;zijn dan de derde zijde EF van den tweeden driehoek.

Betoog. Fig. 21. Laat het punt fl in het punt A, en DE langs AB gelegd worden; omdat dan DEzzAB is, zal {XlIE Bep,') hetnbsp;punt E in het punt B vallen, en omdat hoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoek

is, zal de zijde DF binnen den hoek BAC vallen, en nu zal AF � DF� AC en BF�EF zijn. Het punt F zal dan, 1� of buiten den driehoek ABC, 2� of in dcszelfs zijde BC, of 3�, binnennbsp;den driehoek vallen.

I. Geval. Fig. 21. Valt het punt F geheel buiten den driehoek ABC, dan is, volgens VIL Stelling, AClt;,AG GC ennbsp;GF BG: deze twee ongelijkheden bij elkander tellende, dan is,nbsp;(J. Ax.') AC -k- BFlt;.AG ^GF GC-k-BG, o� AC�k-BFlt;nbsp;AF-\- BC; trekt men hiervan AC� AF a�; dan zal {IX. Ax.') BFquot;^nbsp;.BC o� BOEF z\]n.

'II. Geval. Fig. 21. Valt het punt Fin.de zijde BC; dan blijkt het van zelven, dat BC grooter dan EF is.

III. Geval. Fig. 22. Valt eindelijk het punt F binnen den driehoek ABC; dan zal {VUL Steil.') AF BFlt;AC-\-BC zijn; van deze ongelijkheid AFtz: AC {onderdl) aftrekkende, zal het ook,nbsp;in dit geval, blijken: {IX. Ax.) dat de zijde BF, of EF, kleinernbsp;dan de zijde BC is.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

�� 58. Indien twee zijden, AB en AC, van eenen driehoek ABC gelijk zijn aan twee zijden, DE en DF, van eenennbsp;tweeden driehoek DE F: maar de derde zijde BC des eerjlennbsp;driehoeks ABC grooter is, dan de derde zijde EF des tweeden driehoeks DE S'; dan zal de hoek A, welke, in den eerjlen

flen driehoek ABC^ tegen over die groot ere zijde BC fiaat^ ook groot er zijn, dan de koek D, welke, in den tweeden driehoek DE F, tegen over de kleinere zijde EF flaat.

Betoog. Indien de hoek A niet grooter is dnn de hoek Z); dnn zal, ifi de hoek A gelijk aan den hoek Z) moeten zijn, of 2'�, denbsp;hoek A zal kleiner dan de hoek D moeten zijn. In het cerfie geval,nbsp;zou, volgens de X. Stelling, BC�EF; en, in het tweede geval,'nbsp;zou, naar de XI. Stelling, EF grooter dan BC moeten zijn: beklenbsp;deze gevolgen ftrijden met de onderftelling; de hoek A kan dan nochnbsp;gelijk aan den hoek D, noch kleiner dan dezelve zijn: de hoek Anbsp;ffloet derhalve grooter dan de hoek D zijn.

�� 59. Wanneer de drie zijden van eenen driehoek, elk in het bijzonder, gelijk zijn aan de drie zijden van eenen andernbsp;ren driehoek-, dan zullen de hoeken. Welke, in deze driehoeken , over de gelijke zijden Jlaan, aan elkander gelijk, en denbsp;driehoeken zelve zullen gelijk en gelijkvormig zijn.

Opheldering. Indien AB � DE; AC~DF en BCzr^EF is-, dan zal moeten bewezen worden: dat hoek A�\iotk D; hoek Bnbsp;^ hoek. E en hoek Czz: hoek F zal zijn, en dat de driehoeken vol-niaakt op elkat^der zullen pasfen.

Betoog. Indien do hoek A niet gelijk is aan den hoek D; dan Zal de hoek A, of grooter of kleiner dan de hoek Zgt; moeten zijn;nbsp;omdat nu, volgens de onderftelling, ABzzDE en ACzzDF is.nbsp;Zal, (XL Steil.j in hef eerfte geval, BC grooter, en, in het tweedenbsp;geval, kleiner dan ET moeten zijn; daar zuiks nu met de onderftel-ling ftrijdt, zal de hoek A niet grooter noch kleiner dan de hoek Zgt;nbsp;kunnen zijn; .hoek A moet dan gelijk aan hoek D zijn; en dan zalnbsp;(X. Steiiingj ook hoek Bzz.hoekE, en hoek Cr:: hoek T, en denbsp;driehoeken zullen gelijlc en gelijkvormig zijn.

5- lt;So. De hoeken, A en B, welke, in eenen gclijkheentgen driehoek ABC, tegen over de gelijke beenen, BC en AC,nbsp;Baan, zijn gelijk,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

BEGINSELEN

Betoog. La?t de lijn CD den tophoek C iii twee gelijke hoeken JCD en BCD verdeelen; dan verkrijgt men, in de figuur, de driehoeken ACD en BCD, in welke CD eene gemeene zijde, AC~nbsp;BO (o�*ty?.)\en hoek ACD � hoek BCD is'; de driehoeken ACDnbsp;en BCD zi]n dan (Z. Steil.') gelijk en gelijkvormig, en hoek CADnbsp;= hoek CBD.

�. �i. I. Gevolg. Al de hoeken van eenen gelijkzijdigen driehoek zijn gelijk.

�. 62, II. Gevolg. Fig. 23. Indien men de gelijke bee-nen AC BC tot in E en F verlengt; dan zijn de hoeken ABF t\\ BAE de fupplementen van de gelijke hoeken ABCnbsp;en DAC, en zijn (///. Steil.) derhalve gelijk. Indien mennbsp;dan, in eenen gelijkbeenigen driehoek, de gelijke heenen totnbsp;beneden de bajis verlengt', dan zijn de hoeken, onder de bafisnbsp;gelegen, ook aan elkander gelijk.

�. 63. Leering. Fig. 23. Uit de bewezene gelijk en gelijkvormigheid der driehoeken ACD en BCD volgt: i� dat AD~BD is, 2� dat hoek ^Z)C= hoek BDC de lijnnbsp;CD Haat dan (XFI. Bep.) loodregt op AB. De lijn derhalve, welke den tophoek van. eenen gelijkbeenigen driehoek, innbsp;twee gelijke deelen, verdeelt, Jiaat regthoekig op de bajis, ennbsp;fnijdt dezelve insgelijks, in twee gelijke deelen.

�. 64. Wanneer een driehoek ABC twee gdijke hoeken, A en B, heeft; dan is de driehoek gelijkbeenig; dat is, de zijden, BC en AC, tegen over die gelijke hoeden, A en B,nbsp;fiaande, zullen gelijk zijn.

Betoog. Want indion AC grootcr dan BC konde zijn; dan zon men AD gelijk BC nemen kunnen, en, indien men dan de \i\n BDnbsp;trok; dan zouden, in de driehoeken ABC en ABD, de hoek ABCnbsp;~ hoek BAD (onderji.) zijn; voorts AB � AB en BC�AD;nbsp;deze driehoeken zouden dan (Z. Steil.) gelijk en gelijkvor.nig, ennbsp;bijgevolg hoek ABDtz: hoek BADzzi hoek ABC zijn; dat is, hetnbsp;gedeelte gelijk aan het geheel. Het is dart ongerijmd A C grooter dannbsp;BC te ftellen. Stelt men AC kleiner dan BC; dan valt men in dezelfde ongerijmdheid; de zijde AC kan derhalve niet anders dan gelijk zijn a.aii de zijde , i�C.

ER MEETKUNST.

�. 65. In etken driehoek^ ABC^ ftaat eene grootere zijde tegen over eenen grooteren hoek: cn, omgekeerd, een grooternbsp;hoek tegen over eene grootere zijde.

Opheldering. Dat is, iiidien hoek BAC'gt; hoek ABC is; dan zal Bc ook gt; AC zijn. � en omgekeerd � Indien BC'igt; AC is; dannbsp;Zal ook hoek BAC'gt; hoek ABC zijn.

Betoog van hst eerjle. Omdat hoek BAC'igt; hoek ABC is, zal men, binnen den driehoek, uit het hoekpunt A, de lijn A D kunnennbsp;trekken, zoodanig, dat de hoek BAD-=. den hoek ABD is, en dannbsp;zal {XF. Stell.j AD~BD zijn; bij elk dezer gelijke lijnen dezelfdenbsp;lijn CD tellende, zullen (FII. Ax.j de foramen gelijk zijn; dat is, denbsp;fora van AD en CD gelijk aan de fom van BD en D C, gelijk aan denbsp;zijde BC: maar de fora der zijden AD en CD is QFIL Stell.j grooternbsp;dan de derde zijde AC; derhalve (/^. Ax.j is ook de zijde IS C grooter dan de zijde AC.

Betoog van het omgekeerde. Stelt men BC'lgt; AC; dan zal, indien hoek BAC niet gt; hoek A B C is, of hoek BAC gelijk aan hoek//BC, of kleiner dan dezelve moeten zijn; in het eerfte geval,nbsp;zou (XF, Stell.j BC� AC, en, in het tweede geval, {volgens hetnbsp;bewezenejj BClt;iAC moeten zijn: beide gevallen met de onderftel-ling rtrijdig zijnde, moet hoek BAC grooter,dan hoek ABC zijn.

�. 66. XXV. Bepaling. Fig. 26. Elke hoek ABC eens driehoeks ABC heeft zijn fvpplement of fupplementshoeknbsp;CBD, o�'ABE, welke ontflaat, wanneer men �cne van des-zelfs zijden, ABo�BC, naar welgevallen, verlengt, en dezenbsp;fupplememshoeken zijn {IE. Stell.j gelijk. Deze bepalingnbsp;geldt voor eiken anderen hoek des driehoeks, en ook voornbsp;de hoeken van alle veelhoeken, in het algemeen.

�. 67. Het fupplement C B van eiken hoek ABC eens driehoeks ABC is^ grooter dan ��n van de twee andere hoeken,nbsp;BCA en BAC, dezes driehoeks: en de fom van twee hoeken,nbsp;BAC en ACR, eens driehoeks is gelijk aan het fupplementnbsp;C B van deszelfs derden hoek A B C.

BEGINSELEN

Betoog van het eerfle gedeelte. Men neme, in de zijde j5C, het punt 2) zoodanig, dat CD gelijk BD zij, en men trekke, van hetnbsp;hoekpunt A, door het punt D, eene onbepaalde lijn ^22)72, nemenbsp;DE � AD, en trekke BE; dan liggen de lijnen AE en BE klaarblijkelijk binnen den hoek CAQ^, en men heeft, in de figuur, de driehoeken ADC en EDB, welke gelijk en gelijkvormig zijn; want (27^.nbsp;Steil.) hoek ADC is hoek BDE; CD � BD en AD � DEnbsp;(volg. conft.). Men zal dan (A'. Steil.) hebben, hoek ^C-S �hoeknbsp;CBE, en hoek CAE� hoek AEB; daar nu de lijn BE binnen dennbsp;hoek C-SjO ligt, is hoek CBE een gedeelte van den fupplementshoeknbsp;CBQ^, en derhalve kleiner dan dezelve: de hoek ACB, welke gelijknbsp;aan den hoek CBE is, {F. Ax.) is gevolgelijk kleiner dan de fupplementshoek CBOj Indien men de zijde BC, naar beneden, tot in R verlengt; dan zal, uit het bewezene, volgen: dat de hoek A BR of denbsp;hoek C7?0_ grooter dan de hoek BAC is.

Betoog van het tweede gedeelte. Laat nu, op dezelfde wijze, als boven, de zijde BE van den driehoek A BE in F midden door gedeeld, uit het punt A de lijn AEG getrokken, FG � AF gemaaktnbsp;w,orden; dan zal, volgens het bewezene, in het eerfte gedeelte, hoeknbsp;AGBz=. hoek EAG en hoek 5 � hoek 2i5G zijn: maar hoeknbsp;AEB is = hoek CAE (bew,); derhalve zal (^IF. Ax.) hoek EBGnbsp;~ hoek CAE zijn.

Men zal de zijde BG van den derden driehoek ABC in II midden door deelen, en, op het verlengde van AH, de lijn HItxlAII nemen, en de lijn BI trekken; waardoor men den driehoek ABInbsp;verkrijgen zal, en dan zal wederom, uit het bewezene, volgen; datnbsp;hoek GBIzz: hoek EAG is.

Wanneer men, op dezelfde wijze, voortgaat, met de driehoeken ABL, ABN, ABP, enz. op de voorfchrevene wijze, zamen te ftel-len; dan zal, op gelijke wijze, volgen: dat hoek IBLzzhoekGAI;nbsp;hoek LBNztz hoek lAL; hoek NBP�hoek LAN; enz. zal zijn.

Nu is het klaarblijkelijk: dat men, zonder ophouden, met het za-menftellen van volgende driehoeken, op dezelfde wijze, als boven, gevormd, zal kunnen voortgaan. De volgende hoeken, welke door deze voortgezette conftru�tie, aan de hoekpunten A en B, zullen ontftaan,nbsp;blijven dan, ��n voor ��n, onderling aan elkander gelijk, terwijl zijnbsp;fteeds kleiner worden; en, offehoon men, ftrikt gefproken, niet allenbsp;deze hoelcen vinden kan, ziet men toch, dat eindelijk de zijden vannbsp;den laatlien driehoek ABP in de lijn .B(2,��toeten vallen. De hoeken

C/�j'B en EBQ^ beftann dan elk, uit een onnoeralijk, maar hetzelfde aantal, deelen, weike onderling aaa elkander .gelijk zijn, het eerlle aannbsp;het eerlle, het tweede aan het tweede, het derde aan het derde, enz.nbsp;het honderdfle aan het honderdfle, enz. deze deelen dan, ��n voornbsp;��n, aan elkander gelijk zijnde, moeten noodzakelijk de geheelennbsp;(jCni. Ax.') gelijk zijn, en de hoek EBO^ moet gevolgelijk gelijknbsp;rail den hoek B.'j/C zijn.

Nu is hoek C5�=:hoek ACB (l/eiv.')\ derhalve zal (^FIl. Ax.') tie foin der hoeken CBE en EBQ,, dat is de hoek CBQ^, of hetnbsp;ftipplement van den hoek ABC, gelijk zijn ar.n de fom der twee andere hoeken, BAC en ACB, des driehoeks.

�. 6j. De fom van al de hoeken eens driehoeks is gelijk aan twee regte hoeken.

Betoog. Laat ��ne der zijden, bij voorbeeld, de zijde verlengd worden tot in D; dan is {XFII. Steil.') de fom der hoeken BAC en ACB gelijk aan het fupplement, CBD of ABE, van dennbsp;derden hoek ABC; tel, bij elk dezer gelijke'dingen, den hoekABC;nbsp;dan zullen {VIL Ax.) de fommen gelijk zijn; dat is, de fom vannbsp;de hoeken BAC, ACB en ABC des driehoeks zal gelijk zijn aan denbsp;fom van den hoek ABC en zijn fupplement CBD, gelijk {V. Steil.)nbsp;aan twee regte hoeken. Dit betoog geldt voor alle driehoeken.

�. 69. I. Gevolg. Een driehoek kan geen twee regte hoeken, en nog veel minder twee flompe hoeken hebben. Op deze waarheid herustea de volgende bepalingen.

�� 70- XXVT Bepaling. Fig. aS. Een regthoekige driehoek ABC is een driehoek, welke ��nen regten hoek B heeft. Zijne twee andere hoeken , A en C, zijn fcherp. De zijde AC,nbsp;welke tegen over den regten hoek B �aat, noemt men hypo-thenufa of fchuinfche zijde; de zijden AB en BC, om dennbsp;regten hoek B ftaande, noemt men de regthoeks zijden.

�� 71* XXVH. Bepaling. Fig. 29. Een Jlomphoekige driehoek ABC is een driehoek, welke �dnen Hompen hoek Bnbsp;keeft. Zijne twee andere hoeken, yj en C, zijn fcherp.

�� 7-. XXVlIf. Bepaling. Fig. 26. Een fcherphoekige driehoek is een driehoek, welite drie fcherpe hoeken heeft.

Men zegt, ivelke drie fcherpe hoeken heeft^ otn daardoor den fcherphoekigen driehoek van den regthoekigen en ftoinphoe-kigen te onderfeheiden.

73. II. Gevolg. Fig. s8. De fom van de fcherpe hoeken A en C, eens regthoekigen driehoeks is gelijk aan het fupplement van den regten hoek B, dat is, gelijk aan ��nennbsp;regten hoek.

�. 74. III. Gevolg. Fig. 30. Omdat de hoeken, AtnB, aan de bafis AB van eenen gelijkbeenigen driehoek ABC,nbsp;gelijk, en de fom dezer boeken bijgevolg gelijk is aan hetnbsp;dubbeld van elk ��nen van dezelve, zal het fupplement BCDnbsp;van den tophoek C eens gelijkbeenigen driehoeks gelijk zijnnbsp;aan het dubbeld van elk ��nen der hoeken aan de bafis. En,nbsp;elk der hoeken aan de bafis gelijk aan het halve fupplementnbsp;van den tophoek.

�. 75. IV. Gevolg. Fig. 26. Wanneer P.vee hoeken, A en B, eens driehoeks, in getallen van graden en derzelver onder-deelingen, bekend zijn, zal men den derden hoek, zoo- als mennbsp;het noemt, bij conclufie, vinden kunnen, wanneer men de fomnbsp;dezer hoeken van twee regte hoeken, of van 180�, aftrekt.

�. 76, V. Gevolg. Fig. aS. Insgelijks zal men, wanneer ��n der fcherpe 'hoeken A eens regtshoekigen driehoeks, in getal van graden, gegeven is, den anderen fcherpen hoek C,nbsp;bij conclufie , vinden kunnen, wanneer men den gegevenennbsp;fcherpen hoek A van ��nen regten hoek, of van 9o�\ aftrekt.

Gegeven htek A � 5�'' i?' 23quot;, 5 1 nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,

�. 77. VI. Gevolg. De hoeken van eenen gelijkzijdigen driehoek (�. Qev. XW. Steil, j gelijk, en derzelver fom gelijknbsp;aan twee regte hoeken zijnde, zal elk ��n zijner hoeken gelijk

DER MEETKUNST.

aan ��n-derde van twee regte hoeken^ dat ts, aan tw�ee-derde van ��nen regten hoek, of gelijk aan 6o� zijn.

�. 78. VII. Gevolg. Wanneer de tophoek van eenen ge-lijkbeenigen driehoek gegeven is; dan zal men elk der hoeken aan de bafis vinden, door de helft van het fupplement des tophoeks te nemen. En , wanneer ��n der hoeken aan de bafis bekend is; dan zal men den tophoek vinden, door het dubbeldnbsp;van dien hoek van 180� aft strekken.

�. 79. VIII. Gevolg. Fig. 31. Wanneer twee hoeken, A en B, van eenen driehoek ABC, elk in het bijzonder, gelijknbsp;zijn aan twee hoeken, D en E, van eenen anderen driehoeknbsp;HEF; dan zalmen, al zijn die driehoeken niet gelijk, heflui-ten mogen: dat de derde hoek C des eerften driehoeks gelijknbsp;is aan den derden hoek F des tweeden driehoeks, Want denbsp;fom der hoeken A, B en C is gelijk aan de fom der hoeken D, E tn F; trekt men hiervan af de fom der hoekennbsp;^ en B, die (FII. Ax.j gelijk is aari de fom der hoeken Dnbsp;en E; dan moet {Fill. Ax.j hoek C~ hoek F zijn.

�� 80. IX. Gevolg. Fig. 31. Wanneer twee regthoekige driehoeken, ABC en DE F, {welke in B en E regthoekignbsp;zijn,) twee gelijke fcherpe hoeken, A ett D, hebben; dan zalnbsp;men, al is het, dat deze regthoekige driehoeken voor het overige niet gelijk zijn, mogen befluiten: dat de twee anderenbsp;fcherpe hoeken, C en F, insgelijks aan elkander gelijk zijn.

�. 81. X. Gevolg. Fig. 31. Indien de fom der hoeken A en B gelijk is aan de fom der hoeken D en E, zonder datnbsp;hoek A~ hoek D en hoek B � hoek E is; dan mag m.en befluiten : dat de derde hoek C gelijk is aan den derden hoek F.

�. 82. XXIX. Bepaling. In het vervolg, zal de letter eenen regten hoek beteekenen. De uitdrukking (zie fig. 26.)

hoek dBC -f hoek BCA -1- hoek CAB � zR zal gelezen worden: de fom van de hoeken des driehoeks ABCnbsp;is gelijk aan twee regte hoeken.

S- ^3' XXX. Bepaling. Fig. 32 cn 33. De lijn AC, Welke de hoekpunten van twee hoeken A e.n C cens veellioeksnbsp;ABC D E verc�nigt, wordt hoekpuntslijn {diagonaal) genoemd.

Bs nbsp;nbsp;nbsp;�� 84.

BEGINSELEN

�. 84. XXXI. Bepaling. F!g. 32 en 333. Een hoek D eens veelhoeks ABC DE is ullfpringend, of ftaat naar buiten, wanneer de �ioekpuntslijii, welke de hoekpunten van denbsp;twee naaste hoeken ver��nigt, binnen den veelhoek gelegennbsp;is, gelijk in fig. 32: maar hij ftaat naar binnen, of is in-fpringend, wanneer de hoekpuntslijn van de hoekpunten dernbsp;twee naaste hoeken buiten den veelhoek valt, gelijk, in fig, 33.

�. 85. De fiom van al de hoeken eens veelhoeks, 'welks hoeken alle naar buiten flaan, is gelijk aan zoo veelmaal twee regte hoeken, als het getal der zijden min twee bedraagt.nbsp;Dat is, het getal der zijden nr n, en de Com der hoeken 'tzi Snbsp;flellende, zal S'=.{n � zjxzR zijn. En de fiom van danbsp;fupplementen van al de hoeken van zulk eenen veelhoek is, hoenbsp;groot het getal van deszelfs zijden, of hoeken, zijn moge,nbsp;altijd gelijk aan vier regte hoeken.

Betoog van het eerjle. Neem, binnen den veelhoek ABCDE, een punt P, en trek, van dit punt tot al de hoekpunten A, B, C, Dnbsp;en E, de regte lijnen, PA, PB, PC, PD, PE; clan zal de veelhoek in even zoo vele driehoeken ABP, BCP, CDP, DEP,nbsp;E�P, als de veelhoek zijden of hoeken heeft, verdeeld zijn. In-dien men nu al de hoeken dezer driehoeken bij elkander opteit, zalnbsp;derzelvor fom {XFIIl. StQl!.') zooveelmaal twee regte hoeken, als denbsp;veelhoek zijden of hoeken heeft, moeten bedragen: dat is, in dennbsp;vierhoek, viermaal, in den vijfhoek, vijfmaal, in den zeshoek, zesmaal , in den n hoek, n maal twee regte hoeken, of � x 2 /?. Omnbsp;dan de fom van de hoeken des veelhoeks te verkrijgen, zal men vannbsp;de fom van de hoeiten dezer driehoeken, dat is, van n % zR, al denbsp;hoeken, welke om het punt P ftaan, en welker fom (^Il.Gev. VI.nbsp;StellP) vier regte hoeken of, 2 x 2 , bedraagt, moeten aftrekken, ennbsp;dan zal het verfchil, namelijk (, n�2) X 2/?, gelijk zijn aan de fomnbsp;van de hoeken A, B, C, enz. des veelhoeks.

Betoog van het tweede. De fom van al efe hoeken eens veelhoeks is, met dcrzelver ftipplementen, te zanten genomen, klaarblijkelijk gelijknbsp;r.an zooveelmaal twee regte hoeken, als de veelhoek zijden of hoekennbsp;heeft, gelijk aan �xe/i; nu is de fom der hoeken gelijk aan 13x2^�

DER MEETKUNST.

2 X2R; deze fom van de voorgaande aftrekkende, vindt men, voer de fom der fupplementen , 2 x 2R, of vier regte hoeken.

�. 86. Gevolg. De fom der hoeken van eenen vierhoek wordt, uit de algemeene vergelijking, 6��(�� 2) X 2R, door �=4 te Hellen, afgeleid, en bevonden gelijk te zijn aan vier regte hoeken.

XX. Stelling.

�. 87. Wanneer men, op het midden C van eene lijn AB, eene loodlijn CD oprigt; dan Jlaat elk punt D dezer loodlijnnbsp;C D op eenen gelijken afjiand van de uiteinden, A en B, der lijnnbsp;AB, op welke zij is opgerigt. � En, omgekeerd. �- Allenbsp;punten D, welke, boven of beneden eene bepaalde lijn AB, opnbsp;gelijke afjlanden, AD en BD, van de uiterjle punten ,A en B,nbsp;dezer lijn AB gelegen zijn, liggen in de loodlijn CD, welke,nbsp;uit het midden C dezer lijn AB, op dezelve is opgerigt.

Betoog van het eerjle. Want, wegens den onderftelden loodregten Hand van de lijn CB op AB, hebben (ATT. Bep,') de driehoekennbsp;ACD en BCB de gelijke hoeken ACB en BCD; voorts is (ond-jnbsp;AC ~BC, en zij hebben de gemeene zijde CD: zij zijn dan (X.nbsp;Steil.') gelijk en geiijkvormig, cn AD is derhalve gelijk aan BD.

Betoog van het tweede. Laat C in het midden van AB genomen worden, en trekt de lijn CD; dan is, behalve de onderftelde gelijkheid der lijnen AD en BD, nog AC�BC en CD~CD: de drie-iioeken ACD en BCD zijn dan (Z///. Steil.) gelijk en gelijkvor-nng; gevolgelijk is hoek ACD�\ioe:\ BCD, en om die reden zalnbsp;(ATT. Bep.) CD loodregt op AB (laan, enz.

XXL Stelling. Fig. 36.

Sj 80. Wanneer men, uit een p�nt P, buiten eene lijn AB gelegen, tot verfcheidene punten, C, D, E, F, van die lijnnbsp;andere regte lijnen, PC, PD, PB, PF, enz. trekt;nbsp;dan zal:

l'� Onder al die lijnen, Jlechts ��ne lijn PC loodregt op deze lijn AB kunnen jlaan.

a� Die loodlijn PC zal korter zijn dan elke andere lijn PD of PF, welke men, uit dat punt P, aan de ��ne of aan

15 A nbsp;nbsp;nbsp;de

BEGINSELEN

3quot; De lijn PE, die verder van de loodlijn PC afjlaat, zal langer zijn dan de lijn PD, die nader aan dezelve gelegen 'is.

4'' Men zal, aan we�rszijden van het voetpunt der loodlijn, flechts twee punten, D en F, vifiden kunnen, welke op cenennbsp;gelijken afftand van het punt P liggen, namelijk die tweenbsp;punten, welke denzelfden afjland van het voetpunt C der loodlijn pc hebben.

Betoog van het eerfte. Men neme, dat P C en P P, twee onder-fcheidene loodlijnen zijn; dan zal de driehoek PCD (XFI. Bep.') twee regte hoeken PCD en P�D C hebben: zulks nu onmogelijknbsp;(/. Gev. XVllI. Steil.') zijnde, kunnen CP en DP niet te gelijk lood-regt op AB ftaan.

Betoog van het tweede. Indien PC de loodlijn is; dan is de driehoek PCD regthoekig in C; de hoek PDC, is dan (XXFI. Bep.') leherp en (XFII. Bep.) kleiner dan hoek P CD; de lijn P C is derhalve {XFI. StelF) korter dan PI). Om dezelfde reden is PC korter dan PF.

Betoog van het derde. De hoek PDC {bewezen) fcherp zijnde, is {F. Steil.) zijn fupplement PDE (lomp, en bijgevolg grooter dannbsp;de hoek PED, die {XXFII. Bep.) insgelijks fcherp moet zijn; denbsp;lijn PE zal {XFI. Steil.) gevolgelijk langer dan de lijn PD zijn.

Betoog van het vierde. Omdat CDezz CF is, en PC loodregt op AB ftaat, is {XX. Steil.) PD'zzPF: nu zal, voor elk punt E, tus-fchen C en D, de lijn PE, volgens het bewezene, korter dan PD,nbsp;en, voor elk punt E, aan den anderen kant van D, de lijn EP langer dan PD zijn. Niet meer dan twee punten, D en F, ter wederzijden van de loodlijn PC, op eenen gelijken afftand, van het voetpuntnbsp;C, genomen, kunnen denzelfden afftand tot het punt P hebben,

�� 89, XXXir. Bepaling. Fig. 36. De afjland van een punt P tot eene regte lijn AB is de loodlijn PC, welke, uitnbsp;dit punt P, op deze lijn A B valt. Hij is, naar het betoogde, in de voorgaande Helling, de kortfte weg, langs welkennbsp;men, uit een gegeven punt P, in of tot eene gegevene lijnnbsp;A B, kan komen.

DEK. M E E T K U N S T.

S. 90. Wanneer men van eene zekere grootheid R de helft neemt^ van de overblijvende helft wederom de helft, en telkensnbsp;van hetgeen ''er overbliift op nieuw de helft, enz.; dan zal mennbsp;daarmede zonder ophouden voort gaan, en dit halveren zelfs zoonbsp;verre kunnen voortzetten; dat het laatst overblijvend deel,nbsp;(dat men echter altijd nog zjxl kunnen halveren j) kleiner dannbsp;de kleinfie gegevens grootheid van dezelfde foort zal zijn: en,nbsp;de fom van alle deze deelen, te weten:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

laatst overblijvend deel na, het geheel uitmaken, en van hetzelve gevolgel�jk minder dan de kleinjie gegevens grootheid ver-fchillen.

Betoog. Deze ftelling is uit zich zelve blijkbaar. Vergelijk nog-�ns r. C. �. 839; en II. C. �. 65.

�. 91. Twee loodlijnen, AC en DD, uit twee onderfcheide-ne punten, A en B, eener regte lijn AB, op dezelve opgerigt zijnde, kunnen elkander, hoe verre zij, naar den ��nen of naarnbsp;den anderen kant, verlengd worden, nergens ontmoeten, ofnbsp;doorfnijden.

Betoog. Want, indien zij elkander ergens, in een punt P of ontmoeteden, zouden zij met de lijn /IB eenen driehoek ABP ofnbsp;AB(f vormen, welke, firijdig met de eigenfchap des driehoeks,nbsp;(/. Gev. XFIII. Stell.j in A en B, twee regte hoeken zou hebben:nbsp;deze lijnen kunnen derhalve elkander nergens ontmoeten.

�. 92. Indien twee lijnen, AB en CD, hoe verre zij, aan den eenen of anderem kant, verlengd mogten worden, elkandernbsp;nimmer ontmoeten-, dan flaan zij beide loodregt'cp eenige derde lijn GH. Dat is: indien eene derde lijn GH l'oodregt opnbsp;��ne dezer twee lijnen CD ftaaf, dan ftaat zij ook tevensnbsp;loodregt op de tweede lijn AB.

BEGINSELEN

Damp;toog. Indien de lijnen en CD elkander niet ontmoeten, en G// loodregt op CD fiaat; dan moet bewezen worden: dat G//nbsp;ook loodregt op ftaat, of dat de hoek DGB een regte hoek is;nbsp;en zulks zal bewezen zijn, wanneer men bewijzen kan: c/at, vanneefnbsp;de hoek HGB fcherp of flomp is, de lijnen A B en CD elkandernbsp;noodzakelijk, het zij aan den ��iien, het zij aan den anderen kant,nbsp;moeten fnijden.

Men make HI~HG en trekke de lijn G/; dan is GHl een gelijkzijdige regthoekige driehoek, en, volgens UI. Gev. XFIIL Stelling , zal hoek HIG = hoek HGI~ aan den halven fupplementshoek CUG=z eeneu halven regten hoek ~^R zijn.

Men neme wederom IK-zzIG en trekke GK-, dan zal, in den ge-lijkbeenigen driehoek IKG, om dezelfde reden, hoek IKG~ hoek IGK � halven hoek HIGnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijn.

Nemende verder KL~GK en trekkende GL-, wederom LM� GL en trekkende GM; dan zal, om dezelfde reden, in de gelijkbee-nige driehoeken GKL en GLM, de hoek KGLz=:^R en de hoeknbsp;LGM=^^R zijn.

Men zal, op dezelfde wijze, met de zamenllelling van volgende gelijkbeenige driehoeken kunnen voortgMn; want men zal, op het verlengde van CD, altijd eene lijn gelijk aan de bafis van den laatftennbsp;gelijkbeenigen driehoek kunnen nemen, en, in de volgorde dezer driehoeken , zullen even, als in het begin, de hoeken aan de bafis vannbsp;eiken volgenden gelijkbeenigen driehoek gelijk zijn aan de helft vannbsp;de hoeken aan de bafis van eiken voorgaanden.

Men verkrijgt alzoo, door het voortzeuen dezer gelijkbeenige driehoeken, in de figuur, aan het gemeene hoekpunt G, de hoeken HGl, IGK, KGL, LGM, enz. die {R altijd eenen regten hoek beteekenen-de,) gelijk \ R, Jit, \ R, f^R, f^R, ^^R, enz. zullen zijn.

Nemen Avij nu: dat de hoek HGB een fcherpe hoek zij; dan zal men, door het punt G, eene lijn Gi^ kunnen trekken, welke mee. HG-eenen regten hoek maakt, en de hoek FGB zal, hoe klein hij ooknbsp;zijn moge, eene wezenlijke grootte hebben.

Nu zal, volgens het voorgamide Lemma, de fora der hoeken HGl, IGK, KGL, enz., dat is, de fom der hoeken \ R, \ R, fR, enz.,nbsp;op het laatst minder van ��nen regten hoek verfchillen dan de kleinftenbsp;hoek BGF, die men zich kan voorfiellen: hoek BGF zl] dan zoonbsp;klein men wille, zoo lang hij eene wezenlijke grootte heeft, zal �er,nbsp;nrsfehen de beenen van dezen hoek, eene lijn GZ beftaan, die de

DER MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;27

bafis vsn ��nen der volgende gelijkbecnige driehoeken zal zijn, en de lijn GB, die dan binnen dien driehoek valt, zal alsdan de lijn CDnbsp;iioodzakelijk moeten doorfnijden.

Men kan dan de hoek HGB niet zoo weinig van ��nen regten hoek doen verfchillen, of de lijn AB zal de lijn CD doorfnijden: de koeknbsp;HCrB kan derhalve -niet fcherp zijn-

Stelt men den hoek HGB ftomp; dan zal zijn fupplement AGII fcherp zijn: maar dan zal, volgens het bevvezene, de lijn AB de lijnnbsp;CD, aan den anderen kant, ontmoeten. De hoek HGB kan aan ooknbsp;niet ftomp zijn.

Indien dan de hoek HGB niet fcherp noch ftomp zijn kan, (om-d_at, in ��n van beide gevallen, de lijnen AB en CD elkander, aan den ��nen of aan den anderen kant, moeten fnijden 5^ moet hij regcnbsp;zijn: lijnen derhalve, die elkander nooit ontmoeten kunnen, zullennbsp;door eenige derde lijn, onder regte hoeken, mrden doorgefneden.

�. 93. XXXIII. Bep.aling. Lijnen, welke, het zij aan den ��nen, het zij aan den anderen kant, verlengd zijnde, elkander nimmer fnijden noch onpnoeten, worden evenwijdige ofnbsp;parallele lijnen genoemd.

�. 94. Uit het bevvezene, in de twee voorgaande ftellin-gen, kaa men dan deze drie gevolgen opmaken.

I. nbsp;nbsp;nbsp;Gevolg. Alle lijnen, welke loodregt op dezelfde lijnnbsp;fiaan, zijn evenwijdig.

door eenige derde lijn, loodregt wordt doorgefneden-, dan zal die derde lijn ook de tweede dezer evenwijdige lijnen noodzakelijknbsp;onder regte hoeken moeten fnijden.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

III. nbsp;nbsp;nbsp;Gevolg. Door hetzelfde punt kan niet meer dan ��nenbsp;lijn, evenwijdig aan eene andere lijn, getrokken worden.

Want, indien fig. 38, GF evenwijdig aan AB loopt, en de lijnen CD en GF gevolgelijk met de derde lijn GH regte hoeken maken,nbsp;zal eene andere lijn, welke door G getrokken wordt, met G�/eenennbsp;fcherpen hoek maken, en CD, volgens het betoog der voorgaandenbsp;ftelling, ergens ontmoeten, en gevolgelijk aan CD niet evenwijdignbsp;kunnen loopen.

EGINSELEN

Betoog. Lnat, uit eenig punt E der fnijdende lijn EF, de lijn EI loodregt op ��neder evenwijdige lijnen, op AB, vallen; dan ftaat der-zelver verlengde (//. Gev, XXXIII. Bcpl) ook loodregt op de anderenbsp;lijn CD: de regthoekige driehoeken EGI en EHK, hebben nu uitnbsp;zich zelven de gelijke fcherpe hoeken, GEI en HEKi de hoekennbsp;JGE e� EHK zijn (/A', Gev. XKIll, Stell.j bijgevolg gelijk.

�. 96. Indien twee lijnen, AB en CD, door eene derde lijn EF, onder gelijke hoeken, EGB en EHD, worden doorgefneden dan zijn deze lijnen evenwijdig.

Betoog, Laat, uit eenig punt E, de loodlijn EK op CD vallen; dnii fiujdt deze de lijn AB in I; de driehoeken EGI en EHK hebben dan de gelijke hoeken EGI en EHK, jonderft.) en de gelijkenbsp;hoeken GEI en HEK, (door de figuur,) de hoek GIE zal dannbsp;(^FHI. Gev. XFHI. Steil.) gelijk zijn aan den hoekHKE; maar, vermits de hoek HKE een regte hoek is, is de hoek GIE ook regt;nbsp;de lijnen AB en CD liaan dan regthoekig op dezelfde lijn EK, etanbsp;zijn (/. Gev. XXXIII. Bep.) 9nderling evenwijdig.

�. 97. XXXIV. Bepaling. Fig. 40. De lijn EF, welke twee evenwijdige lijnen, AB en CD, doorfnijdt, wordty�y-lijn genoemd.

Deze Inijlijn maakt, door hare doorfnijding, met de evenwijdige lijnen, acht onderfcheidene hoekenj waarvan �er vier naar buiten, en vier naar binnen liaan.

De naar buiten ftaande hoeken, AGE, BGE, CHF en D H. F, noemt men uitwendige hoeken.

Tot de uitwendige hoeken, AGE,BGE,CHF tn D HF, behooren de inwendige boeken, CHG, DHG, AGH ennbsp;BGH, welke, ten opzigte van de eerde, tegenoverjlaandenbsp;inwendige hoeken genoemd worden.

Twee inwendige hoeken, AGH en DHG, o� BGH en CHG, aan onderfcheidene lijnen en aan tegciiovergcdelde

Twee inwendige hoeken, AGH en CHG, of BGH en DHG, die wel aan onderfcheidene lijnen, maar aan dezelvenbsp;zijde van de fnylijn, liggen, noemt men inwendige hoeken aannbsp;dezelfde zijde van de fnijlijn.

CHF, nbsp;nbsp;nbsp;aan onderfcheidene lijnen en aan tegenovergellelde zijden van de fnijlijn liggende, noemt men uitwendige verwisfelende h�eken.

Twee uitwendige hoeken, AGE en CHF, o� BGE en �DHF, wel aan twee verfchillende lijnen, maar aan dezelfdenbsp;zijde van de fnijlijn gelegen zijnde, noemt men uitwendigenbsp;hoeken aan denzelfden kant van de fnijlijn.

�. 98. Indien twee evenwijdige lijnen, AB en CD, door eene derde lijn E F, gefneden worden; dan is:

1'^ Elke uitwendige hoek, BGE, AGE, CHF en DUF, gelijk aan zijnen tegerioverftaahden inwendigen hoek, DHG,

sA De inwendige verwisfelende hoeken, A G H en DHG, gelijk ook BGH en CHG, zijn gelijk.

3� De fom van twee inwendige hoeken, AGH en CHG, of BGH en DHG, aan denzelfden kant der fnijUjn liggende,nbsp;is gelijk aan twee regte hoeken, en ��n dezer hoeken is alzoonbsp;het fupplement van den anderen,

4'^ De uitwendigs verwisfelende hoeken, AGE en D HF, benevens BGE en CHF, zijn gelijk.

5� De fom van twee uitwendige hoeken, AGE en CHF, of BGE en D HF, aan dezelfde zijde van de fnijlijn liggende, is gelijk aan twee regte hoeken, en de ��n is gelijk^nbsp;aan des anderen fupplement.

Betoog van het eerfte. De lijnen BB en CD, door de onderftel-ling, evenwijdig zijnde, is {XXIF. Stell.j hoek i?G� � hoek DIIG: maar (�//. Stell.j gelijke hoeken hebben gelijke fupplementen j derhalve

1 N S E L E N

ve is, i� hoek AGE � hoek CHG, 2quot; hoek CliF�aoik ACH, en 3�, hoek Zlt;W�=: hoek BGH.

Betoog van het t'Meede. Hoek A Gil is (JF. Stelll) =:hoek BGE en hoek i?G�i2:hoek DHG (bewezen)-, derhslve is hoek AGH-^znbsp;hoek DHG (IF. Ax.)-, en, deze hoeken gelijk zijnde, zijn ook hunne fupplementen (III. Steil.) gelijk; dat is: hoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoek C//G.

Betoog van het derde. De hoek BGE is =: hoekD�^G, bewezen; tel, bij elk dezer gelijke hoeken, denzelfden hoek BGH; dan is de foffl tier hoeken BGH en DHG (FII. Ax.) gelijk aan de fora dernbsp;hoeken BGH en BGE; maar de fora dezer laatlle is (F. Steil.) gelijknbsp;aan twee regte hoeken; derhalve is de fom der hoeken BGH ei\ DHGnbsp;gelijk aan twee regte hoeken. Op dezelfde wijze betoogt men: datnbsp;de fom der hoeken AGH en CHG gelijk aan twee regte hoeken is.

Betoog van het vierde. Volgens het betoogde, is hoek BGE=. hoek DHG; maar (IF. Steil.) hoek DHG is hoek CHF; derhalve (IF. Ax.) is hoek SG�:r= hoek CHF; derzelver fupplementen,nbsp;namelijk de hoeken'y/GjE en DHF, zijn dan (III. Steil.) ook gelijk.

Betoog van het laatfte. Tel bij elk der hoeken BGE en DHG, die (bew.) gelijk zijn, denzelfden hoek DHF; dan is de fom dernbsp;hoeken BGE en DHF gelijk aan de fom der hoeken DHG en DHFnbsp;(FII. Ax.), gelijk (F. Steil.) aan twee regte hoeken. Om dezelfdenbsp;reden, zal de fom der hoeken AGF^ en CHF insgelijks gelijk aannbsp;twee regte hoeken zijn.

�. 99- Wanneer eenlge lijn EF twee andere lijnen, ylB en CD, zoodanig fnijdt; dat, of de inwendige verwisfelendc hoeken gelijk zijn; of, dat de fom der inwendige hoeken, aannbsp;denzelfden kant van de fnijlijn liggende, gelijk is aan tweenbsp;regte hoeken; of, dat de uitwendige verwisfelendc hoeken gelijk zijn; of, dat, eindelijk, de fom van twee uitwendige hoeken, welke aan denzelfden kant van de fnijlijn liggen, gelijk is aan'twee regte hoeken; dan zal men, onder elk ��rienbsp;dezer afzonderlijke omftandigheden, tot de evenwijdigheid dernbsp;alzoo gefnedene lijnen, AB en CD, mogen bef uiten.

Betoog, i*'� Indien de inwendige verwisfelende hoeken AGH en GHD gelijk zijn; dan zijn ook (III. Steil.) de andere inwendige ver-wisfeiendo hoeken BGH en GHC, die de fupplementen der eente

igt; ER Jsl E E T K U N S T. nbsp;nbsp;nbsp;3t

zijn, gelijk: nu is hoek AGII nbsp;nbsp;nbsp;Steil.') rz ho�k BG E; clevhfilve

2� Indien hoek BGH-\- hoek DHG � zR is; dan zal, omdat {K Steil.) hoek BGE hoek BGU=2R is, (volg. IK Ax.)nbsp;hoek BGH-\- hoek DHGzz hoek BGE-\- hoek BGBI zijn; trektnbsp;men van deze gelijkheid denzelfden hoek BGH af; dan houdt mennbsp;(J'AII. Ax.) over: hoek BGE� hoek DHG.

3� Is hoek �G�:=; hoek CHF; dan zal, omdat (IK. Steil.) hoek CHFzz'aoSkDHG is, ook (_IF. Ax.) hoek BGE~ho�DIIG zijn.

4'� Is eindelijk hoek 5G� hoek DHFzzzR; dan zal, aauge-zien {^K. Steil.) hoek DHF hoek Z)/7G = 2 R is, (volg. IF. Ax.) ook hoek ^Gz-� hoek DHF= hoekZ)///^ ho�DIIG zijn; vannbsp;deze gelijkheid denzelfden hoek DUF afnemende, zal (^KIII, Ax.)nbsp;hoek BGE=z hoek DHG zijn.

Welke der onderltelde omftandigheden, bij de doorfnijding van twee lijnen AB en CD, door eene derde lijn EF, dan plaats hebbe, zalnbsp;deze derde lijn EF dezelve lijnen AB en CD, onder gelijke hoeken,nbsp;doorfnijden, en zij zullen (^XXK. Steil.) derhalve evenwijdig zijn.

�. IOC. Twee regthoekige driehoeken, ABC en DE F, zijn gelijk en gelijkvormig, wanneer zij twee gelijke regthoekszij-den, BC er, EF, en twee gelijke h^pothcnufen, AC en DF,nbsp;hehhen.

Betoog. Wanneer de derde zijde A B des eerden driehoeks niet gelijk is aan de derde zijde DE des tweeden; dan zal men BG~nbsp;de kunnen nemen; trekkende dan CG; dan zullen, omd:'t BG~nbsp;De, BC=.EF, jonderji.) en hoek 5= hoek E is Qonderft.), denbsp;driehoeken G�C en DEF {X. Steil.) gelijk en gelijkvormig zijn;nbsp;CG zal derhalve gelijk /) F; dat is, (onderft.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AC zijn: dit

Ilrijdt nu niet het betoogde in de XXI. Stelling: de zijde DE moet dan gelijk aan de zijde AB zijn, en (XIH. Steil.) de driehoeken ABCnbsp;en Z)FF zijn derhalve gelijk en gelijkvonnig.

�� 101. Twee plinten,E en G, van ��ne van twee evenwijdige lijnen, AB en CD, Jiaan op eenen gelijken afftand van de

nen AB heeft tot de nveede CD denzelfden afdand, ah eenig punt H van de tweede CD tot de eerfte AB. � En, omgekeerd. �' Wanneer twee punten, E en G, van eenige lijn ABnbsp;tot eene andere lijn CD denzelfden afjiand hebben', ofwel,nbsp;wanneer eenig punt E, in eene lijn AB, van eene andere lijnnbsp;CD zoo ver afflaai, als eenig punt PI in de laatjie CD vannbsp;de eerjle AB; dan zijn deze lijnen evenwijdig.

Betoog van het eerjle. Het eerfte gedeelte dezer ftelling beftaat rtit twee deden, i� Indien de lijnen AB tw CD evenwijdig zijn,nbsp;en uit � en G de loodlijnen EF en GH op CD vallen; dan moetnbsp;men bewijzen: dat deze loodlijnen, welke de afftanden (XXXII. Bep.jnbsp;der punten � en G tot CD zijn, gelijke lengte hebben. Trek denbsp;lijn FG; dan zal, wegens de onderftelde evenwijdigheid der lijnen A Bnbsp;en CD, (XXIII en II. Steil.j hoek FEG= hoek GIIF=R zijn,nbsp;en (XXIV. Steilj) hoek EG F� hoek GFII, en dan zal ooknbsp;(IX. Gev. XFIII. Stell.j hoek EFG~ hoek FGH zijn; de driehoeken, die de geineene zijde FG hebben, zijn dan (IX. Stell.j gelijknbsp;en gelijkvormig,. en EF is derhalve gelijk aan GH.

2� Indien, uit �, de lijn EF loodregt op CD, en, uit H, de lijn HG loodregt op AB valt; dan moet bewezen worden: dat ook, innbsp;dit geval, EF�GHz� zijn. Wederom zal, wegens de onderfteldenbsp;evenwijdigheid, de driehoek EFG gelijk en gelijkvormig zijn aan dennbsp;driehoek FGH, en gevolgelijk EF~GH.

Betoog van het omgekeerde, i'' Wanneer de loodlijnen �� en GH, welke uit de punten � en G op CD vallen, gelijk zijn; dannbsp;juoet men bewijzen: dat A ii evenwijdig aan CD is. Men trekke denbsp;lijn FG. Omdat dan hoek G//�= hoek HFE=zR (XVI. Bep.jnbsp;is, en (H. Gev. XVIH. Stell.j de fora der hoeken HFG en FGHnbsp;gelijk aan ��nen regten hoek, gelijk aan de fom der hoeken HFG ennbsp;EFG is, zal, indien men van deze gelijkheid denzelfden hoek HFGnbsp;aftrekt, (VIII. Ax.j hoek FGH=. hoek EFG overblijven: nu isnbsp;EE~GH (onderji.j en FG � FG: de driehoeken �G//en EFGnbsp;zijn dan (X. Stell.j gelijk en gelijkvormig, cn hoek ��G=:hoeknbsp;FHGquot;R: de lijnen AB en CD worden dan door eene lijn EF onder regte hoeken doorgefneden, en zijn (XXIII. Stell.j evenwijdig.

2^' Indien, Fig. 43, uit E, de lijn EF loodregt op CD, en, uit �/, de loodlijn HG op AB valt, en EF~GHis, zullen (�//trekkende) de twee regthoekige driehoeken EFH en G�/f eene geraeene

ER MEETKUNST.

hypothenufe EH, en twee gelijke regthoekszijdeii EF en Gil hebben, en zullen derhalve (IE Ummd) gelijk en geiijkvormig zijn; de hoek FHE is dan gelijk aan den hoek HEG, en de lijnen JB Qnnbsp;CD zijn {XXFII. Steil.') evenwijdig.

S* �02. Gevolg. Uit het betoogde volgt: dat evenwijdi-lijnen overal even ver van elkander afflaan^ en dat, omgekeerd, lijnen-^ die overal even ver van elkander affiaan^ even^ wijdig zijn. De Holiandfche benaming van evenwijdige (evennbsp;ver van elkander afflaande,) lijnen drukt deze eigenfchapnbsp;zeer eigenaardig nir.

S. 103. XXXV. Bepaling. Fig. 4^. De af/land van twee ^evenwijdige lijnen, HB en CI)^ is de loodlijn EF^ w Ike,

� uit eenig punt E van ��ne dezer twee lijnen AB, op de andere CZ) valt. Zij heeft (XXFIII. Steil.) overal dezelfde lengte.

�� 104. Ee lijnen AB en CD, welke, elk in het bijzonder , aan eene derde lijn LM evenwijdig zijn, zijn onderling evenwijdig.

Bf.toog. Men trekke door een punt b' van de lijn LiM eene onbepaalde loodlijn PS: omdat dan AB en CD, elk in het bijzonder, evenwijdig aan LM loopen, zijn de hoeken, om de punten .Q,en R,nbsp;r-egte hoeken (//. Ccv. XXXIII. Bep.)-. de lijnen AB en CD ftaan,nbsp;bijgevolg loodregt op dezelfde lijn PS, en zijn (I. Gev. XXXIII. Bcp.)nbsp;bijgevolg evenwijdig.

�� 105. De hoeken ABC en 2,PF, welker hsenen, heide in dezelfde rigting, evenwijdig aan elkander loopen, (^A3 tian Pen BC aan PR,) zijn gelijk.

Betoog. De hoeken liggen in elkander, als iii fig. 45, of buiten elkander, als in fig, in het eerfle geval, verlenge men eene der zij-den PQ^vm den binnenllen hoek jfP R tot in D; dan is, in beidenbsp;figuren, wegens de onderllelde evenwijdigheid der lijnen, QXXIIL Steil.)nbsp;hoek ABC� hoekODC; en hoek O�C=hoek QPR; derhalvenbsp;{IP\ Ax.) is hoek ABC=. hoek Q.PR-

106. De regte lijnen AD en BC, welke de uiteinden van twee gelijke en evenwijdige lijnen AB en CD ver'��ni-gen, zijn zelve gelijk en evenwijdig.

Betoog. Trek de iijn BD; dan zijn de driehoeken AB D en BBC gelijk en gelijkvormig: want', omdat AB evenwijdig aan DC is,nbsp;zijn de verwisfelende hoeken ABD en BBC {XXFI Stelli) gelijk,nbsp;en voorts zijn de zijden, om deze gelijke hoeken (bande, gelijk,nbsp;namelijk BB = BB en AB^CB-, derhalve is (^X.Stell.j AB �nbsp;BC en hoek ABBz=. hoek CBD, en (XXFII. StclL') AB evenwijdig aan BC.

�. 107. Indien men^ uit alk de punten A, B, C, enz. van den omtrek eener regte of kromlijnige figuur., gelijke ennbsp;evenwijdige lijnen AD, BE, CF, enz. trekt; (namelijk allenbsp;naar denzelfden kant j) dan zijn de uiteinden dezer lijnen gelegen in eene regte ofi kromlijnige figuur, welke aan de eerfienbsp;gelijk en gelijkvormig is.

Betoog. Ver��nig de punten A, B en C door de lijnen AB, BC en AC, en de punten B, E en F door de lijnen DE, EF en BF.nbsp;Omdat nu, (onderfli) AB � BE � CF is, en deze lijnen onderlingnbsp;evenwijdig zijn, is (XXXI. Steil.') AB � BE; BC�EF en AC=.nbsp;DF. Indien men nu het punt ^ in D,^e lijn AC langs BF past,nbsp;zal, omdat de driehoeken ABC en BEF (XIH. Steil.) gelijk ennbsp;gelijkvormig zijn, het punt C in F, en B in E vallen. Wanneer dannbsp;de punten A m B van den omtrek der gegevene figuur in den omtrek der voortgebragte figuur DEF gebragt worden , zal een derdenbsp;punt B van den omtrek der gegevene figuur in den ointrek der voort-gebragte, in E, vallen; daar nu hetzelfde, voor alle andere punten Gnbsp;en H, gelden zal, zullen alle de punten der gegevene figuur in dienbsp;der voortgebragte vallen, en de figuren zullen (/. Ax.) gelijk en gelijkvormig zijn. - Voor regtlijnige figuren zal men de waarheid de

T W E E D E B O E K.

Over de Evenredigheden, �� Proportien, en derzelver voor-naamfte Eigenfchappcn.

�. io8, I. Bepaling. Eene grootheid wordt door eene andere, als eene aantrenomene maat, gemeten, wanneer mennbsp;in dezelve, zoo lang zij ftrekt, deden neemt, welke eik, innbsp;het bijzonder, aan die maat gelijk zijn.

�. 109. II. Bepaling. Eene grootheid A is een evenma-iig deel van eene andere B wanneer zij, eenige malen genomen, gelijk aan de grootheid B, waarvan zij als een ge-deelte aangeraerkt wordt, worden kan: of, wanneer, n een geheel getal zijnde, ny.A~B\i.

�. iio. m. Bepaling. In het tegengeftelde geval, wanneer n'X.A-C^B en tevens 1) ye. A'gt;B is, zal A een onevenmatig deel van B zijn.

�. III. IV. Bepaling. Eene grootheid C is eene gemee-^ ne maat van twee andere grootheden A en 5, wanneer zijnbsp;een evenmatig deel van elk dezer grootheden is.

�. iia. .Gevolg. Omdat elk evenmatig deel eener ge-meene maat van twee grootheden noodzakelijk eene gemeene maat van diezelfde grootheden is, beftaat �er tiisfchen dezenbsp;grootheden, indien zij Hechts ��ne gemeene maat hebben , eennbsp;onnoemlijk aantal van gemt ene maten; en, onder alle dezenbsp;gemeene maten, is ��ne de grootfie.

�� 113. V. Bepaling. De betrekking of reden van twee grootheden wordt uifgedrukt door twee getallen, welke tenbsp;kennen geven, hoeveelmaal eenige gemeene maat van dienbsp;grootheden op elk van dezelve verbonden is. De getallen.nbsp;Welke deze betrekking uitdrukken, zullen de kleit (Ie zijn, .nbsp;indien de grootfie gemeene maat dezer grootheden, i� hetnbsp;hepalen dezer verhouding, is genomen geworden.

BEGINSEL

Wr.nneer, bij voorbeeld, C iii A twintigmaal, en C in 5 dertienmaal begrepen is; dan zal de betrekking of reden der grootheden A CU B door de getallen 20 en 13 worden uitgedrukt, en men zal zulks,nbsp;bij verkorting, aldus fchrijven.

�. 114. VI. Bepaling. Eene uitdrukking als deze ry/, B, C, D, E, E, G7

e. �5 nbsp;nbsp;nbsp;^54?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^7 � -J

wordt, in bet vervolg, aldus gelezen: de grootheid B is in de grootheid A tweemaal met nog eene grootheid C {kleinernbsp;dan B) begrepen', de grootheid C is in B ��nmaal met nog Dnbsp;begrepen; D is in C viermaal met nog E begrepen; E is innbsp;D driemaal met nog F begrepen', F is in E ��nmaal met nognbsp;G; en G is in F juist tweemaal begrepen. Zulk eene uitdrukking noemt men den index of betrekkingswijzer van denbsp;betrekking der grootheden A en B: hij bevat de volgendenbsp;vergelijkingen, waardoor men de betrekking der grootheden,nbsp;door denzelven uitgedrukt, in getallen, vinden kan.

E=:F-k-G=:'zG-'rG=zzG D'zz'iE-\-F�gG-\-iG � i\Gnbsp;C � 4 �) -j- � � 44 G 4quot; 3 G ~ 47 ^nbsp;i?rrC-}-Zi=:47C-|-nG = 5BGnbsp;Azz 2 � -f- C� I x6 G -f 47 G ~ 163 G

Men zie, wegens het berekenen van zulk eenen wijzer, den Ecrflen Curfus der l-Fiskundige Lesfen, de XXXII. Les, jS. 502, et fcq.

115. I. Aak.merking. Wanneer men twee gegevene grootheden, bij voorbeeld, twee lijnen, of twee hoeken, behandelt, als in de voorgaande bepaling befclireven is, en men alzoo derzelver betrekkingswijzer opmaakt, zal men altijd derzelver gemeene maat, indien deze namelijk betont, ontdekken, en dan zal de berekening van dozen'wijzernbsp;leeren, hoeveeimaal de gemeene maat G in elk der grootheden A ennbsp;B begrepen is, waardoor dan {F. Bcp.j derzelver betrekking, in getallen zal bekend worden. In den bijgebragten wijzer zal, ingevolge denbsp;opgeraaakte berekening, A :B� 163 : 58 zijn. Men kan nogtans dienbsp;getallen, door eenen gemakkelijker regel vinden, (zie I. C. �. 609.)

�. II6. n. Aanmerkinc;. Twee grootheden kunnen zoodanig gefield zijn; (lat zij, op de voorfchrevene wijze, behandeld zijnde, nimmer

ER MEETKUNST.

een evenmatig deel te voorfchijn brengen. Wanneer men dcrlialve de betrekking van twee grootheden onderzoekt, komen �er twee gevallennbsp;in aanmerking. i� Wanneer die grootheden meetbaar; ten 2quot;, wanneer zij onmeetbaar zijn.

�. 117. Vn. Bepaling. Twee grootheden zijn ineethaar, {commenfiirahel^ wanneer eenig evenmatig deel van de eeiftenbsp;tevens een evenmatig deel van de tweede is. Zij hebben dannbsp;{y. Bep.') eene gemeene maat, welke, door het vooifchriftnbsp;der VI. Bep. zal gevonden worden, en men zal derzehernbsp;betrekking altijd door twee getallen, volkomen en naauwkeu-Tig, kunnen uitdrukken.

S* 118. VIII. Bepaling. Twee grootheden zijn onmeetbaar (^incommenfurabcl,j wanneer geen evenmatig deel van de eerfte, als een half, een derde, een vierde, enz., welknbsp;een het ook zijn moge, en hoe klein ook genomen, tevensnbsp;een evenmatig deel van de tweede zijn kan.

�. 119. Gevolg. Onmeetbare grootheden hebben derhalve geene gemeene maat; naar het voorfchrift van de VI. Bepaling, behandeld zijnde, zal men, bij elke volgende meting,nbsp;een overfchot verkrijgen, en derzelver betrekkingswijzer zal'nbsp;gevf'lgelijk uit een onnoemlijk aantal termen beflaan.

�. 120. Aanmerking. In het geval der onmeetbaarheid, zullen de overfchotten, die men bij de uitmeting verkrijgt, weldra zoo kleinnbsp;worden, dat zij niet meer handelbaar zijn: men zal dan, deze ver-waarloozende of gelijk nul ftelleude, twee getallen vinden, welke, tennbsp;naaste bij, de betrekking dezer twee grootheden uitdrukken: maar,nbsp;ftrikt genomen, kan die betrekking nooit volkomen, zelfs niet, doornbsp;.de grootfte getallen, die men zich verbeelden kan, worden voorgemeld: want, hoe groot men deze getallen nemen moge, onderflellen zijnbsp;eene gemeene maat, hoedauige twee onmeetbare grootheden, volgens

7 nbsp;nbsp;nbsp;Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~

manen eene evenredigheid, wanneer de betrekking der twee eerfle dezelfde is als de betrekking der twee laatfle: of meernbsp;bepaaldelijk, wanneer de betrekkingswijzer der twee eerfien,

BEGINSELEN

in alles, zoo wel ten aanzien van de termen, ��n voor ��n genomen, als ten aanzien van derzelver aantal, dezelfde is, als de hetrekkingswijzer van de twee laatflen, namelijk

�- 122. Nadere opheldering. Om dan te iDCoordeelen, of twee grootlieden, en B, in dezelfde reden zijn, als twee andere grootheden , P en lt;2., moet men de twee eerften J en B, als ook de tweenbsp;laatften P en 0_, naar het voorfchrift van de VI. Bepaling, behandelen, en, wanneer men dan, voor de eerften /l en B, dezelfde wijzer-getallen, als voor de twee laatften verkrijgt; dan zuilen de groothedennbsp;J en B evenredig zijn aan de grootheden P en Q. Zijn nu denbsp;grootheden A en B onmeetbaar, dan zal derzelver betrekkingswij-zer nooit ten einde loopen: zal �er dan eene evenredigheid beftaan,'nbsp;moet insgelijks de hetrekkingswijzer van de twee andere grootheden Pnbsp;en O nooit ten einde loopen, en men moet bovendien aannemen, dat,nbsp;in beide, de wijzer getallen, term voor terra, dezelfde zijn. Offchoonnbsp;nu dit laatfte, wegens de bepaaldheid onzer zintuigen, door dadelijkenbsp;ervaring, niet blijken kan, zal men nogtans tot de evenredigheid dezernbsp;grootheden mogen befluiten, al is het, dat de twee eerfte groothedennbsp;onmeetbaar onderfteld worden, bijaldien zij maar m.et de twee anderenbsp;zoodanig verbonden zijn, dat men, door redenering, kan aantooncn,nbsp;dat, wanneer men de uitmeting onbcpaaldelijk konde voonzetten, denbsp;betrekkingswijzer van de twee eerfte dezelfde zou moeten blijven alsnbsp;die van de twee laatfte.

�. 123. Aanmerking. Zijn de twee eerfte grootheden meetbaar; dan moeten ook de twee laatfte meetbaar zijn: de betrekking der ttveenbsp;eerfte moet dan door dezelfde getallen, als die der twee laatften worden uitgedrukt. Fier grootheden zijn dan evenredig, wanneer de gc-mcene maat der twee eerften, op elk van de twee eerften, zooveelinaalnbsp;begrepen is, ak de gcnieene maat van de fwee laatften, op elk vannbsp;dezelvet In dien zin, zijn getallen evenredig.

�. 124. X. Bepaling. Wanneer twee grootheden, J en B, met twee andere grootheden, P en evenredig zijn; dannbsp;worden de grootheden A, B, P, Q^, in deze evenredigheidnbsp;voorkomende, derzelver termen genoemd: de grootheden Anbsp;en B noemt men dan de termen der eerfte, en P en denbsp;termen der tweede reden.

DER MEETKUNST.

�. 125. XI. Bepaling. De termen eener evenredigheid worden gezegd welgeordend te zijn, wanneer, in elke reden,nbsp;de grootfte op den kleinften, of de kleinfte op den grootdennbsp;term volgt.

�. 126. XII. Bepaling. Om te kennen te geven: dat de grootheden J, B, P en ^ in eene welgeordende evenredigheid zijn, wordt zulks aldus gefchrevennbsp;A:B = P-.Q,

en gelezen: de grootheid A jlaat tot de grootheid B, in dezelfde reden, of, in dezelfde betrekking, ah de grootheid P tot de grootheid jQ.

�. 127. XIII. Bepaling. De eerfte term van elke reden wordt voorgaande', de tweede term volgende term genoemd.nbsp;In de redens A'.B, en P:jQ, zijn A en P de voorgaande^nbsp;en P en ^ de volgende termen.

�. 128. XtV, Bepaling. Diensvolgens worden, in elke welgeordende evenredigheid, A\B�P\Qj, de eerfle en derde termen de voorgaande; de tweede en vierde de volgendenbsp;termen genoemd.

�. .129. XV. Bepaling. In eene welgeordende evenredigheid , A: B � P: Q^, dragen de eerfe en vierde termen den naam van ulterfle, en de tweede en derde den naam van mid-delfle termen. De vierde term wordt de vierde evenredigenbsp;tol de drie grootheden A, B en P genoemd.

�� ISO- XVI. Bepaling*. Wanneer de twee middelde termen eener evenredigheid, A�- B =z B : C, gelijk of dezelfdenbsp;zijn; dan wordt deze evenredigheid cenc. gedurige evenredig-,nbsp;heid genoemd. Zulk eene evenredigheid wordt wel eens al

derde evenredige tot A en B; en de tweede term � de midden evenredige tusfchen A en C genoemd.

S- 131- XVII, Bepaling. Wanneer, in eene reeks van grootheden, A, B, C, �gt;, E, F, enz., drie op elkandernbsp;volgende termen altyd in eene gedurige evenredigheid zijn,nbsp;wordt zij eene meeikunflige reeks genoemd. Beflaat deze

BEGINSELEN

reeks uit vier termen, dan heeten de middelfien de twee midden-evenredigen tusfchen de uiterflen; bellaat zij uit vijf termen; dan heeten de drie middelden de drie midden-evenredi-gen tusfchen de uiterflen^ enz. Zie I. C. XXXIX. Les.

�. 132. XVIII. Bepaling. Indien meer dan twee redens aan elkander gelijk zijn; dan maken deze redens eene aan-e�ngefchakelde evenredigheid. Zulk eene is derhalve A'. B~nbsp;C\ D � E\ F�G�. H. Zij kan uit zoo vele redens beftaan,nbsp;als men goedvindt. Men pleeg wel te zeggen, de grootheden A, C, E, G, zijn evenredig met de grootheden D,nbsp;F, H. Of C, E, G} (�, D, F, Hfnbsp;1. Stelling.

�. 133. Indien twee redens A:B en C:Z), elk in het bijzonder, aan eene derde reden P : gelijk zijn; dan zijn deze redens onderling gelijk. Of indien A:B � P-.Q^en CxD �nbsp;F'Q^; dan zalB�C'. D zijn.

II. Stelling.

�. 134. De redens eener evenredigheid, A: B~C: D, �mogen verplaatst worden. Dat is, men mag feilen: C : D zzz A:B.

Betoog. Want, door liet verpinrtfen der redens, wordt de gelijkheid der betrekking, die het wezen der evenredigheid uitmaakt, niet veranderd.

in. Stelling.

�� ^35- Ee termen van de redens eener evenredigheid mogen omgezet worden. Dat is; men mag, uit de evenredigheid , A: B � P \ Q , hef uiten : dat B x A zzz O P is.

Betoog. De betrekking der grootheden /I en B kan, of volkomen, of ten naaste bij, door twee getallen p en q worden uitgedrukt. Nunbsp;is het klaar: dat men zoo wel zeggen kan: B haat tot A gelijk q totnbsp;p, als A ftaat tot B gelijk p tot q; daar zulks nu, in beide redens,nbsp;geichieden kan, zal men B: B � D : P kunnen Hellen.

S� 136. Wanneer de termen van de eerfte reden eener evenredigheid gelijk zijn', dan moeten ook de termen van de tweede reden dezer evenredigheid gelijk zijn.

Betoog. Deze waarheid is een offlnidde�jk gevolg van de bepaling der evenredigheid. Zie IX. Bep.

�� 137. I. Gevolg. quot;Tzvee gelijke grootheden zijn derhalve altijd in dezelfde reden ah twee andere gelijke grootheden.

�� 138. II. Gevolg. Twee ongelijke grootheden kunnen dan ook met twee gelijke grootheden niet evenredig zijn.

�� 139* Wanneer de betrekking van twee meetbare grootheden A en B door de getallen a en b wordt uitgedrukt, en al-^00 A:B~a:b is; dan zal de eerfle grootheid A, zooveel-maal genomen, ah '�er ��nheden in het tweede getal b zijn, gelijk zijn aan de tweede grootheid B, zooveelmaal genomen,nbsp;ah er ��nheden in het eerjle getal a zijn, of b A � a B. �nbsp;En omgekeerd. � Indien eenlg veelvoud eener grootheid Anbsp;gelijk is aan eenig ander veelvoud eener andere grootheid B,nbsp;of bxA~axB; dan zullen deze grootheden tot elkandernbsp;^tjn ah de getallen, waarmede zij vermenigvuldigd zijn, innbsp;eene omgekeerde orde genomen: dat is, A�. B-zr. a xb.

Betoog van het eerfle. De grootheden A en B kunnen niet tot elkander �aan, als een getal a tot een getal b, indien zij geene ge-meene maat hebben. Stel deze gemeene maat M; dan is A~aMnbsp;B�h M: laten deze gelijkheden, de eerfte met b, en de tweedenbsp;met a, vermenigvuldigd worden; dan zullen (X//. Ax.j b/l�abMnbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijlij en derhalve (JF. Bx.j b A ~a B.

Bei OOG van het omgekeerde. Men kan elke grootheid, in zulk een getal evenmatige deelen verdeelen, als men goedvindt: laat A dan innbsp;een aantal van a gelijke deelen verdeeld, en elk dezer deelen M genoemd worden; don 2al A�aMexi (XIl. Axh) b A =sahM zijn:'nbsp;nia�r^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5 {onderfll) zijnde, is (IV. Axl) abM~aB, en

v,,^i^elk dezer gelijke grootheden een af� deel nemende, is (jXII.Ax.j - B. dat is, wanneer de.grootheid A een aantal vnn a deelen,

4i begins elen

elk gciijk Af, bevat; dan bevat B een aantal van ^ zulke deelen, eij derhalve is (/^. -ffe/.) A:Bz:za :b.

of dezelfde veelvouden, ah ook dezelfde evenmatige deelen van de termen der eerfle of tweede reden, met de termen der tweedenbsp;of eer ft e reden ^ evenredige Dat is, n een geheel of gebrokennbsp;getal zijnde, zal nA\nB~P\ Q^; of A: B~n P:n zijn.

Betoog. Laten de betrekkingswijzers der grootheden A en B en der grootheden P en 0_

i A, B, C, D, E, enz.l ^ jP, Q,, R, S, T, enz. } l a, b, c, d, enz. I 1 a, b, c, d, enz. inbsp;zijn, betonde uit dezelfde, en hetzelfde asmal termen, indien denbsp;grootheden meetbaar zijn; maar, indien deze onmeetbaar zijn, onbepaald voortloopende, en uit dezelfde wijzer getallen beftaaude; dannbsp;geeft (zie Ff. Bep.j de eerde wijzer de vergelijkingen A � aB -\-C;nbsp;B � bC-k-D; C=:c D E; enz. tot zoo ver de wijzer loopt, ennbsp;welker aantal onbepaald is, indien de grootheden A en B onmeetbaarnbsp;zijn: wanneer men nu alle deze vergelijkingen met n vermenigvuldigt;nbsp;dan zal men {XU. Axlj de vergelijkingen, n A~anB -k-nC-, nB �nbsp;b nC -\-n D i st Czz c n D nE ^ enz., verkrijgen: maar deze vergelijkingen geven den betrekkingswijzer

^nA, nB, nC, nD, nE, enz. 1 I a, h, c, d, enz. �nbsp;naardien nu de wijzer- getallen van dezen betrekkingswijzer dezelfdenbsp;zijn als die van den 'betrekkingswijzer der grootheden P en 0_,- zalnbsp;QX. Bep.') nA:nB � P:Q^ zijn.

�. 141. L Gevolg. Men heeft bewezen: dat nA'.nB P: Q^\s: maar P : Qj=A-. B zijnde, zal (/. Stell.j nA:nbsp;n D~ A-. B zijn : wederom is A: Bz=.m P '.m O^; derhalvenbsp;zal ook nA\nB~mP'.raQ^ zijn. Dat is: gelijke veelvouden van de termen van de eerfte reden eener evenredigheid zijnnbsp;evenredig met gelijke veelvouden van de termen der tweedenbsp;reden.

%. 142. II. Gevolg. Wanneer M en N twee gdijkllach'

' nbsp;nbsp;nbsp;ti-

MEETKUNST.

tige grootheden zijn; dan is M�. M\ het voorgaande gevolg, p M'.p N'=. g M: gN-, dat 5's: gf-li]ke veelvouden van gelijkj�achtige grootheden zijn evenredignbsp;tnet andere gelijke veelvouden van diezelfde grootheden,

VIL S T E R L I N Gj

= P � jQ,, alle gelijkfiachtig zijn; dan zijn de voorgaanden tot elkander in dezelfde reden ah de volgenden: of A'. P =

e-Z:

Betoog. I. Geval. Indien de grootheden /I en B, en bijgevolg ook i-gt; en jg,, onderling meetbaar zijn, zoo iaat M de gemeene raastnbsp;van A en B, en N de gemeene maat van B en O zijn: indieii dnnnbsp;M A exy B respectievelijk p en q maal begrepen is, zal (^Aamn.nbsp;IX. Bepl) IV op P en O insgelijks p en q maal begrepen zijn, en m�nnbsp;Zal, in plaats van de grootheden A, B, P en jj, ftellen kunnen

pN, qN, welke, wanneer zij in de rangorde, pAT, p/V, qXf ? IX, gefield worden (//. G�v. FI. Steil.), eens evenredigheid malten;

II. Geval. Wanneer de grootheden A en B, en bijgevolg ook Q,t onmeetbaar zijn; dan ioopen de betrekldngswijzers, zondernbsp;einde, voort: wanneer men nu, in beide wijzers, hetzelve getal termennbsp;neemt, dan zal men twee getallen verkrijgen, welke ten naaste bij dcnbsp;betrekking van A tot B en van P tot O uitdrukken; ftellen wij, bijnbsp;voorbeeld, dat, voor honderd wijzer getallen, r en s deze getallennbsp;zijn; dan is

zijnde B^ en Oj twee grootheden, welke tot A en P dezelfde reden hebben, als het getal r tot het getal s. Men zal dan, naar liet betoogde, iij eerfte geval, mogen ftellen:

vermits nu de getallen r en s zooveel te naauwkeuriger de betrekking van A tQi jj gjjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p tot zullen uitdrukken, naar mate, uit de

betrekkingswijzers, meer tennen, tot de zamenftelling der getallen r en hebben mede gewerkt, zullen de grootheden B' en (V, die tot Anbsp;� P in dezelfde reden, als r tot s, genomen zijn, zeer weinig vannbsp;o grootheden B en 0_ verfchillen, en al minder en minder, naar mate

BEGINSELEN

termen uit de wijzers neemt, tot dat eindelijk, indien men de geheele oneindigheid der termen te zamen neemt, B� � B en O wordt;nbsp;als wanneer A-.P � B'.O^ zal zijn,

S- 144. Gevolg. Omdat dan, uit de evenredigheid, A\ B ~P:Q^, (indien alle hare termen gelijkflachtig zijn,) volgtnbsp;A : P z=: B '� .O; zal, wanneer A� P is, ook (JF. Steil.')nbsp;� :zz zijn. fFanneer dan de voorgaande termen eener evenredigheid gelijk zijn; dan moeten ook de volgende eene gelijkenbsp;grootte hebben.

i*-� De fom van de tertnen der eerjle reden tot de fom van de termen der tweede reden, ah de voorgaande der eerjle reden tot den voorgaanden der tweede reden, of ah de volgendenbsp;van de eerjle lot den volgenden van de tweede reden.

2.^ Het verfchil van de termen der eerjle reden is tot het verfchil van de termen der tweede reden, ah de voorgaande ofnbsp;volgende van de eerjle tot den voorgaanden of volgenden vannbsp;de tweede reden.

3� De fom van de termen der eerjle reden float tot de fom van de termen der tweede reden, ah het verfchil van de termen der eerjle reden tot het verfchil van de termen der tweede reden.

Betoog van het eerjle. Laten de betrekkingswijzers van de reden /I tot B en van P tot O, zijn:

i a, b, c, cl, enz. i l a, b, c,.d, enz. * dan is het klaar: dat, vermits B ox� A begrepen is a maal met nognbsp;C, de grootheid B op de fom van de grootheden A en B zal begrepen zijn a I maal met nog C; en dat insgelijks, in den tweedennbsp;wijzer, �, op /gt; -|- o zal begrepen zijn a-pi maal met nog R: wanneer men dan de betrekkingswijzers vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot B, en van ^� .0

tot opmaakt, zullen beider wijzergetalien (namelijk a-Pi, b, c, d, enz.) dezelfde zijn, en men zal {IX. Bep.') mogen ftellen: A-pnbsp;B : B� P -p (f'.jj, waaruit (^PIL Steil.) volgt, A -P B �. P -p Oj=.nbsp;B'.O.: maar uit de gefielde evenredigheid, AiB � PAjl, volgt:

(/'//. Steil.quot;) /l:P � B:0_; derhalve zal (/. Steil.) J B :P Q, ~A:P~B-.Q^ zijn.

Betoog van het P.veede. Uit dezelfde wijzers volgt verder: dat B in A � B zal begrepen zijn � i maal met nog C; dat ^ innbsp;^ � O insgelijks a � i maal met nog � zal begrepen zijn : indiennbsp;men derhalve de betrekkingswijzers van A � B tot B, en van P � O,nbsp;tot ^ opmaakt, zullen zij dezelfde wijzer getallen, a�i, b, c, d,nbsp;enz. hebben, en derhalve gelijk zijn; volgens de/A'. Bep. zal A�B-.nbsp;�fi = /gt; � O: a zijn; en (W. Steil.) A�B �. P--Oj=zB�=nbsp;A-.P.

Betoog van het derde, tn de twee eerfte gedeelten, is bewezen: dat B : P 4- Qj=. A-.P, en A � B-.P �Qj=.A: B is; derhalve (�. Steil.) zal A-^B-.P -tr O = A � B-.P � Q^ zijn,

IX. Stelling.

S* 146. In elke evenredigheid, AB P�. -welker termen alle gelijkflachtig zijn, is:

iv De fom van de voorgaanden tot de fow van de volgende termen, ah een voorgaande tot eenen volgenden term van dezelfde reden.

oA Het verfchil van de voorgaanden is tot het verfchil van de volgende termen, als een voorgaande tot eenen volgenden termnbsp;van dezelfde reden.

3� De fom der voorgaanden termen jiaat tot die der volgenden, gelijk het verfchil der voorgaanden tot' het verfchil d�r volgenden.

Betoog. Deze ftelling is een onmiddelijk gevolg der twee voorgaande Hellingen: want, uit de gefielde evenredigheid, A-.B~P:lt;j, volgt (^FII. Steil.) A-.P-=zB : Qj waaruit, naar de Fill. Steil, wederom de evenredigheden, 1� A P -. B -\- Q^�AB �=: P:

X. Stelling.

147. In eene aane�ngefchakelde evenredigheid, A:B=zC:D � quot;E: F= G : H� I-. K enz.

BEGINS

ftaat de Jam van al de voorgaande tot de fom van al de volgende termen, als een voorgaande tot eenen volgenden term van dezelfde reden', dat is:

Betoog. Volgens de onderftelling, is A : B � C: D; derhalve (/V. Steil.') A C'. B D ~ A: B; maar A: B-E-.F zijnde, isnbsp;(/. Steil.) A Q�.B D �E'.F. In deze laatfle evenredigheid isnbsp;wederom (JX. Steil.) -A C E �. B DFzsz E :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A-.B;

maar A'.BztzG-.H zijnde, ztX A C E: B D F-=z G �. H, en (JX. Steil.) /f C � G : 5 Z) F //= G:: 5nbsp;zijn. Op deze wijze voortredenerende, zal men bevinden: dat, hoenbsp;vele redens ook mogten aan��ngefchakeld zijn, de fom der voorgaande tot de fom der volgende termen altijd in dezelfde reden zal zijn, alsnbsp;een voorgaande tot eenen volgenden term van dezelfde reden.

�. 148. Aanmerking. De eigenfchappen der evenredigheden, in de voorgaande Hellingen betoogd, zijn alleen betrekkelijk tot evenredigheden, welke, uit eenige gefielde evenredigheid, worden afgeleid.nbsp;In alle deze, heeft men de evenredigheden der grootheden, op welkenbsp;de voornaamfte raeetkunftige betoogen gevestigd zijn, op de alge-meenfte \vijze, en ook zelfs, in liet onmeetbare geval, overwogen:,nbsp;doch, de getallen kunnen ook evenredig zijn, en deze evenredigheid,nbsp;welke van die der grootheden in geenerlei wijze, dan alleen daarinnbsp;onderfcheiden is, dat de termen van derzelver redens, uit zich zelve , (zie Aanm, IX. Bep.) altijd meetbaar zijn, wordt in alle goedenbsp;Rekenboeken geleerd, is ook door ons (I. C. XXXIV. Les) behandeld, en derzelver kennis wordt hier derhalve onderfteld. Wanneernbsp;men nu aanneemt, dat eenige grootheden evenredig zijn; dan zijn ooknbsp;de getallen, waardoor deze grootheden, in ��nheden van dezelfde foortnbsp;worden iiitgedrukt, evenredig, en deze getallen, onderling evenredignbsp;zijnde, moeten ook, omgekeerd, de grootheden, die zij uitdrukken, zonder bedenking, ah evenredig zijnde, befchouwd worden. Oflchooiinbsp;'Tuen nu de evenredigheid der onmeetbare grootheden niet naauwkeu-rig, in getallen, kan voorflellen, neemt men toch meestal, iw plaatsnbsp;van de grootheden, die in eene evenredigheid voorkomen, derzelvernbsp;getallen waarden, en men houdt het alsdan daar voor, dat alles, watnbsp;van die getallen evenredigheid bewezen is, ook van de grooheden zelve, die zij uitdrukken, mag gelleld worden. De voornaamfte eigenfchappen der getallen evenredigheden, waarvan wij gebruik zullen maken, zijn nu de volgende:

I. nbsp;nbsp;nbsp;Dat, in elke evenredigheid, het produB der uiterfie termen gelijknbsp;is aan het produB der middeljlett. Zie I. C. �. 650,

II. nbsp;nbsp;nbsp;Dat de vierde evenredige tot drie getallen gelijk is aan hetnbsp;produB der twee laatfte, gedeeld door het eerfte. Zie �. 653� 1- C.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Dat men de termen der eerjie cf tweede reden, of de beidenbsp;voorgaanden, of de beide volgenden, door hetzelfde getal mag yerme-tiigvuldigen of doelen. Zie I. C. �� 658��. 660.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Dat, eindelijk, de produBen van de over��nkomftige termen

van twee af 7neer evenredigheden met elkander evenredig zijn. Zie I. C, �� 666. Waaruir dan volgt: dat de tweede en derde inagten van denbsp;terjTien eener evenredigheid insgelijks even) edtg zijn,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;volgende

Hellingen zijn betrekkelijk tot de zoogenaamde omgekeerde en za-mengeftelde evenredigheden.

�. 149. XIX. Bepaling. Eene grootheid A is van eene grootheid P, of van meer andere grootheden P, Q^, R,nbsp;enz,, afhankeliik, wanneer, die grootheid P, of die grootheden p, O en P, waarvan zij afhangt, andere waarden verkrijgende, ook tevens de grootheid zf, volgens eene beften-dige wet, daardoor insgelijks andere waarden verkrijgt.

�� t.50. XX. Bepaling. Wanneer eene grootheid A van eene andere P zoodanig afhangt, dat twee onderfcheidenenbsp;waarden, welke aan P gegeven worden, evenredig zijn aannbsp;de waarden, welke vf daardoor verkrijgt; dan zegt men: Anbsp;is in dezelfde reden van P, of A is evenredig aan P.

�Omdat, bij voorbeeld, de geldwaarden van twee onderfcheidene hoeveelheden van dezelfde waar met die hoeveelheden, in maten ofnbsp;gewigten uitgedrukt, evenredig zijn, zegt 'men: de geldwaarde vannbsp;eene zekere waar, van dezelfde deugd en hoedanigheid, is evenredignbsp;aan derzelver hoeveelheid.

�� 151. XXL Bepaling. Maar hangt de grootheid y? van grootheid P zoodanig af, dat twee onderfcheidene waarden van P, in eene omgekeerde orde genomen, evenredignbsp;zijn aan de over��nkomllige waarden, welke A verkrijgt,nbsp;(dat is de tweede waarde van P tot de eerfte, gelijk de eerfte waarde van A tot de tweede,) dan zegt men: Aficatnbsp;in de omgekeerde reden van P, oin daardoor te kennen tenbsp;geven, dat de waarden van A in eene omgekeerde reden vannbsp;de Over��nkomflige waarden van P zijn.

48 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

Tot het vervaardigen van zeker werk, wordt een zeker getal arbeiders, en eenen bepaalden tijd, waarin zij hetzelve kunnen volbrengen, vereischt; wordt nu het getal arbeiders grooter genomen; dan zal �er, in diezelfde reden, minder tijd noodig zijn, om dit werk tenbsp;volbrengen: men drukt zulks uit, door te zeggen: het aantal athei-ders is in de omgekeerde reden van den tijd.

�. 152. I. Gevolg. Elke regte evenredigheid A �, B � P i Q^, (want aldus noemen wij, in het vervolg, wanneer het duidelijkshalvenbsp;noodig zal zijn, eene gewone, en, zoo als in de XI. Bepaling gezegdnbsp;is, welgeordende evenredigheid,) kan in eene omgekeerdenbsp;A: B omgek. � Qj P

en elke omgekeerde in eene regte veranderd vtorden, door de termen van ��ne der t%�ee redens omtekeeren; of, iih-die reden, den voor-gaanden met den volgenden term te verwisfelen.

�. 153. II. Gevolg. In de Rekenkunst wordt bewezen: dat de waarden der breuken, welke de ��nheid tot teller hebben, fteeds, innbsp;dezelfde reden, kleiner of grooter worden, naar mate men den noemer grooter of kleiner fielt: het .is daarom, dat men, de getallen,nbsp;wmlke de betrekking van twee grootheden uitdrukken, in plaats vannbsp;de grootheden zelve nemende, voor de omgekeerde evenredigheidnbsp;A: B omgek. ~P:Q^nbsp;nemen kan de regte evenredigheid

~P ' ~Qi

welke laatfte dan getvonelijk gelezen wordt: A is tot B in de omgekeerde reden van P tol Qj, en dat, om nittedrukken: dat eene grootheid A in d� omgekeerde reden van eene grootheid P is, zulks

�� 154- Wanneer, in twee evenredigheden, A'. B~C:D en A-P~C:Q^, de voorgaande termen in de eerjie, dezelfde zijn als, of gelijk zijn aan, de voorgaande termen in denbsp;tweede', dan zullen de volgende termen der eerfte evenredigheidnbsp;evettredig zijn met de volgende termen der tweede, de laatftenbsp;in dezelfde rangorde als de eerjie genomen zijnde. Dat is;

oer meetkunst.

Beto�o. W.uit, uk de gekelde evenredigkeden, volgt: (FIL Steil.') C etz B i D J : b=:P: lt;Zi derhalve zal (J. Steil.) B : 2).=nbsp;P �� O zijn.

XII. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling.

�. 155. En., wanneer de volgende termen., in de eerfte van dezelfde evenredigheden, dezelfde zijn als, of gelijk zijn aan,nbsp;de volgende termen der tweede', dan zullen de voorgaande termen der eerfte evenredigheid evenredig zijn aan de voorgaandenbsp;termen der tweede, wel verftaande, in dezelfde rangorde genomen. Dat is, wanneer AB 'stttaSl~ D ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;isi

Betoog. Want (JU. Steil.) A'.C = B:D, en P: 0 = B: D zijnde, zal (/. Steil.) A: C=P:0 zijn.

XIII. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling.

�� 15^* Indien de uiterfte termen van eette evenredigheid, A-.B � C-.D, gelijk zijn aan de uiterfte termen van eenenbsp;andere evenredigheid, A-.P�Q^-.D', dan zal de tweede termnbsp;der eerfte evenredigheid tot den tweeden term der tweede, omgekeerd, zijn, als de derde term der eerfte tot den derden term

volgens de XI. Stelling, zal uit deze de evenredigheid B-.^ � P;-^ volgen; en dan zal CFII. Steil.) B'.Pz=-^: ^ zijn.

XIV. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling.

* D nbsp;nbsp;nbsp;A'.B

5rr: C: Z) en F: B ~C: dezelfde of gelijk zijn-, dan flant de eer ft e -term van de eerfte evenredigheid tot den^eerftennbsp;terjn van de tweede, omgekeerd, ah de laatfte term van de eerfte

F ' F*

S. 158. XXtf. Bepaling. Wanneer eene grootheid A van twee andere grootheden, P en Q^, zoodanig afhangt, dat zij,nbsp;wanneer ��ue van beiden, P of Q^, dezelfde waarde behoudt,nbsp;;iltiid evenredig bliift aan de waardij, welke de andere dezernbsp;twee grootheden, jQ^ofP, verkrijgt; dan zegt men, om dezenbsp;�;f hankeliikheid kunstmatig uittedrukken: de grootheid A isnbsp;'n de zamengeftelde reden van de grootheden P en Qj

In gelijke tijden, zijn, bij voorbeeld, de vvinllen aan de hoofdfom-fflen, en, voor gelijke hoofdfommen, de winften aan de tijden evenredig : men zal daarom zeggen: de winften zijn in de zamengeftelde reden van de hoofdfommen en de tijden.

�. 159. XXII!. Bepaling. Hangt eene grootheid A van eenige grootheden, P, Q^, R, enz. zoodanig af, dat zij, wanneer alle deze grootheden P,Q^,R, enz. tot op ��ne na, dezelfde blijven, evenredig is aan de grootheid, die van waardenbsp;verandert; dan zal men deze afhankelijkheid uitdrukken,nbsp;door te zeggen : de grootheid A is in de zamengeftelde redennbsp;van de grootheden, P, Q^, R, S, enz., waarvan zij afhangt. .

�. 160 I. Aanmerking. Het produft van twee of meer getallen hangt van dezelve zoodanig af, dat het in dezelfde reden, als d�n dezer getallen, (alle andere faftoren dezelfde blijvende,) grooter of kleiner wordt: men kan dan zeggen: dat het prodiuft van eenige faftorennbsp;in de za�nengellelde reden van diezelfde faftoren is: daar nu de waarde

DER MEETKUNST.

de van een produfl door dadelijke multiplicatie gevonden wordt, is men gewoon, (nemende getallen voor de grootheden, welker betrekking zij uitdrukken,) ora de grootheden, in welker zamengeftelde reden een andere grootheid (laat, door het teelten van multiplicatie aannbsp;elkander te verbinden. Aldus z%\ A^ x S. zeggen: A is in de za-tnengejielde reden van P en O^; dat is: de �waarden, welke A verkrijgt, zijn in de zamengeftelde reden van de waarden, �welke P,nbsp;en van de waarden, welke verkrijgt. Op dezelfde wijze zal /f::nbsp;P y-Q^y-R; A:-.Py.0^y,R'AS; enz. moeten verftaan worden.

�. i6i. II. Aanmerking. Uit dit alles blijkt nu, waarom, wanneer in de Reken en Wiskunst, zie �. 682, I. C., de over��nltomftigenbsp;termen van twee redens, die in getallen gegeven zijn, als 3:5 ennbsp;7:13, met elkander vermenigvuldigd worden, de produdten, 21 ennbsp;65, gezegd worden innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zamengeftelde reden van 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;totnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5, en van

Squot; XXIV. Bepaling. Wanneer de grootheid A van de grootheden P ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zoodanig afhangt, dat,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(landvas-

tig blijvende, A in nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regte reden van P, en,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftandvas-

tig blijvende, A in de omgekeerde van verandert; dan zal men zeggen: yj is in de zamengeftelde reden van denbsp;regte reden van P en van de omgekeerde reden van O.

�. 163. Aanmerking. Omdat een gebroken in dezelfde reden groo-ter wordt, indien men zijn teller kleiner neemt, en in dezelfde reden kleiner wordt, indien men zijn noemer grooter neemt; zal men deze

�� 164. XXV. Bepaling. Hangt eene grootheid A van eene grootheid P zoodanig af, dat zij altijd in dezelfde realen is, als de tweede niagt van het getal, dat de betrekkingnbsp;van p uvtdrukt; dan zegt men: de grootheid A is in de verdubbelde reden van de grootheid P.

�� 165. XXVI. Bepaling. Doch, is deze afhankelijkheid zoodanig gefteld, dat A altijd evenredig is aan de derdenbsp;magt van het g^tal, dat de betrekking van P uitdrukt; dannbsp;zegt men : de grootheid A is in de verdriedubbelde redennbsp;van P. Vergelijk verder I. C. �. 694. et [eg.

BEGINSELEN XV. Stelling.

�. 166. It^dien ^: B = P X R: Q^X S is; of cle grootheden A en B in de zamengeflelde reden van P tot en van R tot S zijn, en wederom P : 2-� ^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A: B

Betoog. Want, indien raen de termen der evenredigheid, P: Q^~ C : D, met R:S~R'.S vermenigvuldigt; dan zal jlF. Eigenfch.nbsp;�. 148.) X R : O X � � C y. R: D XS zijn; nu is : � = P X R :nbsp;O, X J' (onderjl.j, derhalve (/. Stell.j ook A: B � C Y. R: D X S.

�. 167. Wanneer, in eenige evenredigheden, (als hiernevens uitgedrukt,) de laat-jle term van de eerfte reden van elke evenredigheid gelijk is aan den eerften term van de eerfle reden der volgende evenredigheid; dan zal d� eerfle term van de reden der eerfle evenredigheid tot den laatflen term van de eerfle reden der laatflenbsp;evenredigheid in eene reden zijn, welke zamengefleld is uit denbsp;tweede redens dezer evenredigheden. Dat is :

Betoog. Want, indien men de over��ukoinftige termen van de twee eerfte evenredigheden vermenigvuldigt; dan zijn (IF. Eigenfch. �. 148)nbsp;de produften evenredig:' dat is A X B-.B X C � P X R.O,x S:nbsp;deelt men nu de termen der eerfte reden door B; zal (///. Eigenfch.nbsp;�. 148.) A: C � P X R:(fx S zijn. Op dezelfde wijze betoogtnbsp;men de volgende evenredigheden.

DER-

DERDE BOEK.

Over de Paralklogrammen, Regthoeken en Vierkanten^ de Inhouden der regtlijnige Figuren, en het Theoremanbsp;van Pythagoras.

�. 168. r. ^Bepaling. Fig. 49. Een parallelogram ABCD is een vierhoek, welks tegen over elkander (taande zijdennbsp;evenwijdig zijn; namelijk CD AB, en BC AD.nbsp;Men kan ��ne van derzelver zijden, bij voorbeeld, AB, totnbsp;hajis nemen; de zijde CD, welke dan tegen over die bafisnbsp;(laat, wordt de lovenAjde genoemd, en de tvt^ee andere zijden, AD en BC, dragen dan den naam van opftaande zijden.nbsp;Men kan voorts, in een parallelogram, (lechts twee hoek-puntslijnen, AC cn BD. trekken: de hoeken, welker hoekpunten deze hoekspuntslijnen ver��nigen, worden tegen overnbsp;elkander flaande hoeken genoemd,

�� 169. Elke hoekpuntslijn, ACofBD, van een parallelogram, deelt hetzelve in twee gelijke en gelijkvormige driehoeken, ABC en ACD, of ABD en BCD, en deszelfs overjlaande zijden en hoeken zijn gelijk.

Betoog. 'Want de hoekpuntslijn /IC is eene gemeenfchappe�jke zijde der driehoeken ABC en ADC; omdat nu (ondcrJH) CZgt; aannbsp;AB, en jj)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;evenwijdig zijn, is jXXFI. Steil. /. B.j hoek

BACzez hoek ACD, en hoek ACB~ hoek D AC; de driehoeken ABC en /Juc, zijn {IX. Steil. I. B.') derhalve gelijk en gelijkvor-mig. Men za�^ op dezelfde wijze, betoogen: dat de hoekpuntslijnnbsp;BD het parallelogram in de gelijke en gelijkvorraige driehoeken ABDnbsp;en BCD verdeelt. Uit de gelijkvormigheid dezer driehoeken volgt nunbsp;de gelijkheid der overllaande zijden en hoeken van zelve.

p 3 nbsp;nbsp;nbsp;�. r/o.

BEGINSELEN

�. 170. Gevolg. Het blijkt ook, uit de befchouwing der driehoeken , ABE en CDE, dat de wee koekpuntslijnen van een parallelogram elkander midden door deelen. Zijnde A E~ E C, en BE z=ED.

171. Wanneer, of de overflaande zijden, ofdeoverfiaan-de hoeken van eenen vierhoek A BCD gelijk zijn; dan is die vierhoek noodzakelijk een parallelogram.

Betoog van het cerjle. Laat eene hoekpuntslijn AC getrokken worden; dan zijn (omdat AB~CD en BC�AD gefield wordt,nbsp;en AC�AC is,j de driehoeken ABC en ACD (JCIII. Steil. I. B.')nbsp;gelijk en gelijkvormig; daarom is hoek BAC� hoek ACD, ennbsp;hoek BCA� hoek CAD; de lijnen AB en CD, alsmede de lijnennbsp;AD en BC, worden dan, door eene derde lijn AC, zoodanig gefiie-den, dat de verwisfelende hoeken gelijk zijn; de zijde CD is dannbsp;{XXFII. Steil. I. B.j evenwijdig aan AB, en BC aan AD, en denbsp;vierhoek A BCD is bijgevolg (/. Bep.j een parallelogram.

Be'ioog van het tweede. Omdat, uk de onderftelling, hoek A~ hoek C, en hoek B ~ hoek D is; zal (FA. Ax.j hoek A hoeknbsp;B � hoek C -f- hoek D zijn; hier bij tellende, hoek A hoek B;nbsp;zal (FII. Ax.j tweerasal de fom der hoeken A en D gelijk aan denbsp;lom van al de hoeken des vierhoeks zijn; dat is,' (Gev. XIX. Steil.nbsp;/. B.j gelijk aan vier regte hoeken: de fom der hoeken A en B isnbsp;dan (Xn. Ax.j gelijk aan twee regte hoeken; de zijde AD is dannbsp;(XXFII. Steil. I. B.j evenwijdig aan BC. Op dezelfde wijze volgt:nbsp;dat AB evenwijdig aan CD is: de vierhoek A BCD is dan, (I. Bep.jnbsp;ook in dit geval, een parallelogram,

�. 172, II. Bepaling, Fig. 50. Een regthoek ABCD (met eenen regten hoek niet te verwarren,) is een parallelogram, welks hoeken, A, B,Ce.x\D, alle regt zijn.

Eigenlijk is het genoeg, dat men zegt: hetwelk eenen regten hoek heeft: want, opidat de hoeken, welke aan dezelfde zijde liggen, denbsp;��n het fupplement van den anderen is, brengt het regt zijn van eenennbsp;der hoeken dat der anderen noodzakelijk mede.

�. 173. III. Bepaling. Fig. 51. Een vierkant, of qua-.draai ABCD, is een regthoekig gelijkzijdig parallelogram,

DER MEETKUNST.

of een gelijkzijdige regthoek. � Men zegt ook wel: dat het een vierhoek is, welke vier regte hoeken en vier gelijke zijden heeft.

�. 174. IV. Bepaling. Eeii fcheefhoekig parallelogram kan gelijkzijdig zijn: en, in dit geval, wordt het rhombusnbsp;genoemd.

�. 175. Aanmerking. De fcheefhoekige paralMogrammen zijn van de regthoekige daarin onderfcheiden, dat de hoekpuntslijnen van denbsp;laatfte gelijk en die van de eerfte ongelijk zijn. Met behulp dernbsp;X en XI. Steil. l. B. zal men gemakkelijk betoogen, dat de hoek-puntslijnen van een� regthoek en vierkant gelijk zijn, en dat de hoek-puntslijn, welke de hoekpunten van de fcherpe hoeken van een fcheef-hoekig parallelogram ver�enigt, langer is dan die, welke de hoekpunten der ftompe hoeken zamenvoegt.

�. 176. Berigt. Wanneer wij, in het vervolg, het woord parallelogram bezigen, begrijpen wij, onder hetzelve, tevens den regthoek en het vierkant. Alles, wat van de eerfte figuur bewezen is, moetnbsp;gehouden worden ook van de twee laatfte bewezen te zijn.

S. i77gt; V. Bepaling. Fig. 52. Een parallelogram AB CD wordt gezegd, onder twee lijnen P en ^ en eenen hoeknbsp;R, gemaakt of zamengefleld te zijn; indien twee van des-zelfs zijden, AB en BC, 'aan deze lijnen P en jQ,, en denbsp;hoek 2?, welken deze zijden bepalen, aan dezen hoek R gelijk zijn. � Omdat voorts al de hoeken van eenen regthoeknbsp;regt zijn, zegt men: dat een regthoek, onder twee lijnen,nbsp;P en gemaakt is, wanneer twee zijner zijden aan deze

�. 178. VI, Bepaling. Fig. Twee aan elkander liggende zijden, AB en BC, van eenen regthoek worden ook wel deszelfs lengte en breedte genoemd, zonder deze benamingennbsp;aan de langde of kortde zyde, in het bijzonder, toete�igenen,nbsp;De lengte van een vierkant is dan gelijk aan deszelfs breedte.

�� 179- VII. Bepaling. Door den inhoud eener figuur, verdaat men de geheele ruimte, welke tusfehen de grenzennbsp;van die figuur begrepen is.

BEGINSELEN

�. i8o. Gevolg. Omdat gelijke en geltikvormige figuren (/. ^x.) gelijke ruimten hebben, zijn bijgevolg derzelver inhouden geit k

�� i8i, A inmerking. Offchoon gelijke en gelijkvormige figuren gelijk Van inhoud zijn, zijn nogtans niet alle figuren, die gelijke iii-houdenfiebhen, gelijkvorniig, dat wil zeggen, hebben niet altijd dezelfde gedaante, pasfen niet altijd op elkander: zuiks blijkt ten klaarde, wanneer men de deelen i en 2 van de 53 figuur verplaatst, en, gelijk in de 54 figuur wordt afgebeeld, aan elkander voegt,

�� 182. Parallelogrammen, ABCD en EFGH, welke^ onder gelijke zijden, AU, AD en EF, EH, en gelijke hoeken, A en E, zijn zamengefield, zijn gelijk en gelijkvormig.

Betoog. Men trekke de lioekpuntsiijnen B D sn F If; dan is jondetfl.) AB � EF; AD�EH; en hoek A� hoek E: de dria-ho.ken AHD en EFH zijn dan {X. Steil. I. B.j gelijk en gelijk-vorraig; derhalve ook (/. Siell.j de driehoeken BCD en FGH^ ennbsp;eindelijilt; de^ parfdlelogrammen, ABCD en EFGH, zelve.

�. 183. Wanneer ��ne der zijden AB van een parallelogram ABCD in een Ziker aantal gelijke deelen verdeeld is, dannbsp;zullen de lijnen, E11, F'l, G K, welke door de deelpunten E,nbsp;F. G, evenwijdig aan de andere zijden AD of BC des parallelograms getrokken worden, hetzelve in even zoo vele gelijke en gelijkvormige parallelogrammen, AEHD, EFIH,nbsp;FG KI, GBCK, verdoelen, als 'er deelen in deze zijde ABnbsp;genomen zijn.

Bkio g. Want, wegens de onderftelde evenwijdigheid der lijnen EH, El, GK, zijn (J. Bep.j de deelen der figuur parallelogrammen.nbsp;Welke (,/. Steil, en onderJl.j onder gelijke zijden en {XXFI. Steil.nbsp;I. B.j onder gelijke hoeken zijn zamengelleld, en bijgevolg (///. Stell.jnbsp;geiiik en gelijkvormig zijn; zijnde voorts deze gelijke parallelogrammen klaarblijkelijk zooveel in aantal, als �er deelen in de zijde ABnbsp;genomen zijn.

DER meetkunst.

�. 184. Wanneer twee aan elkander liggende zijden, AB en AD, van een parallelogram A BCD, het eerfie AB in p, ennbsp;het tweede AD in q gelijke dtelen verdeeld is, en, door denbsp;doelpunten, E,F,G,H, lijnen , evenwijdig aan de zijde AD;nbsp;en door de deelpunten, I, L, N, lijnen, evenwijdig aan A Bnbsp;getrokken worden', dan zal het parallelogram A BCD in eennbsp;aantal van pxq gelijke en gelijkvormige parallelogrammennbsp;AEPI, EFQ^P, enz. verdeeld zijn.

Betoog. Want het parallelogram A BCD wordt, door de lijnen, welke door E, F, enz. evenwijdig aan AD getrokken worden, QIF.nbsp;Stcll.j in p gelijke en gelijkvormige parallelogrammen; en elk dezernbsp;Wordt wederom, door de evenwijdige /^, LM, NO, in q gelijke parallelogrammen verdeeld: het geheel is derhalve in 7� x q, elk aannbsp;AEPI gelijke en gelijkvormige parallelogrammen, verdeeld.

%. 185. Wanneer de lengte E F van eenen regthoek EFGH tot de zijde AB van een vierkant ABCD in dezelfde redennbsp;flaat, ah een getal p tot een getal q-, en de breedte FG vannbsp;dienzelfden regthoek tot de zijde BC van datzelfde vierkant,nbsp;ah het getal r tot het getal s; dan zal de inhoud van den regthoek EFGH tot dien van het vierkant ABCD, in dezelfdenbsp;reden zijn, ah het produB pxr tot het produB qY.s.

Betoog. Want, omdat EF'. A B�p:q is, zullen�er (^Aamn.IX, Bep. 11. BI) in EF een aantai van p m va AB een aantal van q gelijke deelen kunnen genomen worden; en omdat FG:BC�r:s is,nbsp;zullen �er in l'G een aantal van r, en in BC een aantal van s gelijkenbsp;deelen moeten beftaan: indien men nu, zoowel in den regthoek, alsnbsp;in het vierkant, door de deelpunten, evenwijdige lijnen aan de zijdennbsp;tiekt; dan zullen �er QF. Steil.) ih den regthoek EFGH een aantalnbsp;van p y. r, en in het vierkant ABCD een aantal van q y. s gelijkenbsp;deelen of regthoeken ontfiaan: gevolgelijk QAansn. IX. Bep. II. B.)nbsp;zal de inhoud van den regthoek EFGH tot den inhoud van hetnbsp;vierkant ABCD zijn, als het getal p y. r tot het getal q y s.

D 5

BEGINSELEN

elke zijde des regthoeks tot de zijde van het vierkant, in getal, gegeven is, altijd de betrekking van de inbonden dezer figuren tot elkander, in getal, kunnen bepalen: zijn nu de gegevene betrekkingen meetbaar, dan is ook die der inhouden meetbaar; zoo niet, zal de betrekking van den regthoek tot het vierkant flechts ten naaste bij in getal bepaald kunnen worden.

qsA regth. EFGHz=pr X vierk. A BCD zijn; en, wanneer men deze vergelijking door het getal qs deelt, zalnbsp;(X//. Ax.')

zijn: nu is = -L. X -L; de breuken �- en �, drukken nu de q s q snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;q j �

betrekking van de zijden des regthoelts tot de zijde van het vierkant uit, en zijn, of eigenlijke breuken, of geheele getallen', naar dat denbsp;zijde van het vierkant een onevenmatig of evenmatig deel van de zijdennbsp;van den regthoek is; wanneer men derhalve de geheele of gebroke-ne getallen, welke de verhouding, of de betrekking, van de zijde eensnbsp;vierkants op of tot de twee zijden van cenen regthoek uitdrukken,nbsp;met elkander vermenigvuldigt, zal het prodult de verhouding, of de'nbsp;betrekking, van dit vierkant op of tot dien regthoek bepalen.

�. 188. III. Gevolg. Omdat dan de betrekking van eenen gegeven regthoek tot een gegeven vierkant, door de vermenigvuldiging vannbsp;geheele of gebrokene getallen gevonden wordt, zegt men, bij verkorting: de inhoud van eenen regthoek is gelijk aan deszelfs lengte metnbsp;deszelfs breedte vermenigvuldigd, eene fpreekvvijs, welke altijd, alsnbsp;in het voorgaande gevolg, moet uitgelegd worden.

�. i8p. IV. Gevolg. De inhouden der vierkanten, befchreven op lijnen, welke in reden, ah de getallen, i, 2, 3, 4, cnz.n, ofp zijn,nbsp;ft aan tot elkander, als de tweede magten dezer getallen, ah 1,4,nbsp;p, 16, enz. rF, of p^.

�. ipo. V. Gevolg. De inhoud van eenen regthoek, in vierkante ��nheden, en de lengte van ��ne zijner zijden in lengte ��nheden ga�nbsp;geven zijnde, zal men de andere zijde des regthoeks, in ��nhedennbsp;der lengte maat, vinden, wanneer men deszelfs gegevenen inhoud doornbsp;de gegevene zijde deelt,

�. 191. VI. Gevolg. De inhoud van een vierkant, in vierkante ��nheden, gegeven zijnde, zal men vinden, hoeveelmaal de ��nheid dernbsp;lengte maat in de zijde van dit vierkant begrepen is, door, uit ditnbsp;gegeven getal vierkante ��nheden, den vierkants wortel te trekken.nbsp;Zie, wegens deze worteltrekking, I. C. XXXVI. Les.

�. ipa. Aanmerking. De Meetkunftenaars houden, omdat gelijke vierkanten in de lengte en breedte aan elkander fluiten, het vierkantnbsp;als de natuurlijke en eigenaardige maat der vlakken, en verkiezen, onder alle vierkanten, het vierkant, dat op de ��nheid van de lengte maatnbsp;befchreven is. De ��nheid van de lengte maat is de Meter (zie I. C.nbsp;XXVI. Les); die der vlakte maat is derhalve het vierkant, op den meter befchreven. Men noemt dit vierkant vierkanten meter, welke innbsp;honderd vierkante decimeters; de vierkante decimeter in honderd vierkante centimeters, de vierltante centimeter in honderd vierkante millimeters verdeeld wordt. Laat nu, fig. 58, EF�iynt, 37 en GFnbsp;=:6�,83 zijn, dan zal de inhoud van den regthoeknbsp;GF�171�, 37 X 6�, 83� 118,6371 vierkante meters, of 118 vierkante nieters, 63 vierkante decimeters en 71 vierkante centimeters zijn.

�. 193. VIII. Bepaling. Fig. 58. In het vervolg, zullen wij, om den inhoud van een� regthoek EFGH uittedrukken,nbsp;de aan elkander liggende zijden, EF eu FG, van dien regthoek door het teeken van nmltiplicatie verbinden. Alzoonbsp;zal EFxFG gelezen worden: inhoud van den regthoek,nbsp;welke de lijnen EF en FG rot zijden heeft. Ook za! JB-'nbsp;gelezen worden: inhoud van het vierkant, op de lijn JBnbsp;befchreven.

�� 194- Uit het betoogde, in de voorgaande flellingen, kan men nog de volgende waarheden afleiden.

�� 195. VIL Gevolg. Fig. 59. Indien men, in eenen regthoek ABCD, eene lijn EF, evenwijdig aan ��ne dernbsp;zijden AD o� BC trekt; dan wordt hij {I. Bep.) in tweenbsp;regthoeken AEFD en BE FC verdeeld, welker fom aannbsp;den regthoek ABCD gelijk is; nu is {Fill. Bep.) regth.

Men kan -hieruit opmaken; dat de regthoek, onder twee lij-A en B, gelijk is aan de fom der regthoeken, welke onder

der de deelen van ��ne der lijnen ah lengte, gemaakt zijn, en welke alle de andere lijn B, tot breedte^ hebben.

�. 196. VIII. Gevolg. Fig. 59. Wmntti AI)z=z AB genomen wordt, dan verandert de vergelijking van bet voorgaande gevolg in AB^ = AB x AE AB x B E. Hetnbsp;vierkant, dat op eene lijn befchreven is, is dan gelijk aan denbsp;fom der regthoeken, die alle deze lijn, tot lengte, en derzehernbsp;afzonderlijke deelen, tot breedte, hebben.

�. isgt;7' IX. Gevolg. Fig. 59. Neemt men AD � AE-, dan wordt de vergelijking AB xAE = AE�^ AE xEb.nbsp;De regthoek, onder eenige lijn en ��ne van derzelver deelen,nbsp;is dan gelijk aan het vierkant van dit deel, met den regthoeknbsp;van de deelen dezer lijn, te zomen genomen,

�. 198. IX. Bepalikr. De hoogte van een parallelogram is de afftand van eenig punt der bovenzijde tot de bafis, ofnbsp;derzelver verlengde. Insgelijks is de hoogte van eenen driehoek de affland van het toppunt tot de bafis, of het verlengde van dezelve. Die hoogten zijn derhalve QXXXIl.nbsp;Bep. /. B.j de loodlijaen, welke, uit eenig punt van de bovenzijde des parallelograms, of uit het toppunt des driehoeks,nbsp;op de bafis of het verlengde van dezelve vallen.

�. 199. De inhouden van alle parallelogrammen, A BCD en AB EF, welke op dezelfde bafis AB flaan, en tusfehennbsp;dezelfde evenwijdige lijnen, AB en DE, geplaatst of befiotennbsp;zijn, zijn gelijk.

Betoog. Omdat ABCD en ABEF {oisderfiP) parallelogrammen zijn, zijn {I.Fepl) de zijden AD' en AF evenwijdig aan de over-llaande BC en BE; de hoeken DAF en QBE zijn derhalve (XIXnbsp;Steil. 1. Bf gelijk, en de driehoeken AFD en 5�C fX. Steil. L BJ)nbsp;gelijk en gelijkvormig, en hebben jVIL Bep.j eenen gelijken inhoud.nbsp;Wanneer men nu in, fig. 60, bij eiken dezer driehoeken, dezelfdenbsp;vierhoekige figuur ABCF opitk, zuilen QFIE Ax.') de fommen'gelijk zijn; dat is het paralielogr. ABCD=z aan het parallelogr ABEF.

Maar wanneer men, in fig. 61, van diezelfde gelijke driehoeken, AFD en BEC, deazclfden driehoek CFG afneemt; dan zuiieii de

DER MEETKUNST.

overblijvende ftukken, {VHL Ax.') namelijk de vierhoeken, AGCD en AG FE, ook gelijk zijn; bij elk dezer laatflen denzelfden driehoeknbsp;JBG optellende, zal (^//. Ax.^ wederom parallelogr. ABCD=.p^-rallelogr, A BEF zijn.

�. 200. Aanmerking. Wij hebben, in onze Handleiding tot de �efch. en Werid. Meetk. �. 272, aangetoond: hoe men ��n der twee paralle-logrammen in ftukken verdeden kan, welke, door eene gefchikte ver-plaatling, de ruimte van hot ander parallelogram kunnen vervullen. Hetnbsp;is nuttig, dat men de waarheid eener Helling, waarop bijna het geheelenbsp;zamenftel der Meetkunst berust, ook, op deze. wijze, proefmatig aannbsp;het verftand van den eerstbeginnenden doe gevoelen.

�. 201. I. Gevolg. Omdat parallelogrammen, virelke gelijke bafes en gelijke hoogte hebben, (zie IX.Bep.') klaarblij-kelijk op dezelfde bafis en tusfcheii dezelfde evenwijdige lijnen kunnen geplaatst worden, kan men, uit het betoogde, ontniddelijk befluiten : dal de inhouden van parallelogrammen,nbsp;die gelijke bajes en gelijke hoogten hebben, aan elkander gelijknbsp;zijn.

�. 202. II. Gevolg. Onder alle parallelogrammen, die gelijke bafes en'gelijke hoogten hebben, is �er ��n, dat'regt-hoekig is: in dezen regthoek wordt de bafis de lengte, ennbsp;de breedte de hoogte; omdat nu de inbond van eenen regt-' nek (lil. Gev. VI. Steil.') gelijk is aan zijne lengte met zij--e breedte vermenigvuldigd, zal de inhoucl van een parallelogram gelijk zijn aan de bafis, vermenigvuldigd met desze�fsnbsp;hoogte.

�. 203. Bij voorbeeld,de bafis ^5�18��,3 en de hoogte2=11��,3 zijnde, zal de inhoud �200,79 vierkante meters bedragen.

Vin. Stelling. Fig. 62.

�� 204. De inhoud van eenen driehoek ABC, is gelijk aan de helft yan den inhoud van eenen regthoek AB D E, welke,nbsp;met dien driehoek, dezelfde bafis AB en dezelfde hoogte CGnbsp;heeft.

Betoog. Wanneer de regthoek ABDE, en de driehoek ABC dezelfde bafis ftaan, dan kunnen zij (XXFIIL St. I. B. en IX. Bep.)nbsp;niet dezelfde hoogte hebben, indien het toppunt C des driehoeks ABCnbsp;niet in de bovenzijde Ed des regthoeks, of derzelver verlengde, gele-

BEGINS

legen is: men trekke dan AF evenwijdig aan BC; dan is ABCF (/. Bep. en onderji.') een parallelogram, dat {Pdl. Steil.') gelijk is aannbsp;het regthoekig parallelogram ABDE: nu is (/. Steil.) de inhoud vannbsp;den driehoek ABC gelijk aan de helft van den inhoud van het pa-rallelogr. ABCF', derhalve (JF. Ax.) de Inhoud des driehoeks ABCnbsp;gelijk aan de helft van den inhoud des regthoeks ABDE.

�, 205. Gevolg. l�g. 62. Omdat de inhoud van den regt-hoek ABDE~ AB y. AEzzz ABxCG is, zal de inhoud van den driehoek ABC=.\AByCG zijn. De inhoud vannbsp;eenen driehoek is dan gelijk aan de helft van zijne hajis verme~nbsp;nigvuldigd met zijne hoogte.

�. 206. Laat, bij voorbeeld, AB�iS��,^, CG=i8��,4 zijn; dan is inhoud driehoek ABC-=2 \AB X CG~ � X 1(5,5 X 18,4nbsp;� 151,8 vierkante meters.

�. 207. De inhouden van driehoeken, die gelijke bafes en gelijke hoogten hebben, zijn gelijk.

regthoeken, die op dezelfde bafis ftaan en gelijke hoogte hebben; daar nu {III. Steil.) deze regthoeken gelijk zijn, zijn ook {IF. Ax.) denbsp;driehoeken, die gelijke bafes en gelijke hoogten hebben, gelijk.

�. 208. De toppunten, C en D, der driehoeken, ABC en ABD, die op dezelfde bafis A B flaan, en gelijke inhoudennbsp;hebben, liggen in eene lijn CD, die evenwijdig aan de ge-tneenfchappelijke bafis AB loopt.

Betoog, Want, indien CD niet evenwijdig is aan AB, dan zal nien door C eene lijn CE, evenwijdig aan AB, kunnen trekken; iu-dien men dan BD tot aan E verlengt, en de lijn AE trekt; dan zalnbsp;{tX. Steil.) driehoek ABE=z driehoek ABC zijn: maar driehoeknbsp;ABC is {onderft.) = driehoek ABD; derhalve zal {IF. /fx.) driehoeknbsp;ABD � driehoek A BE; dat is het gedeelte aan het geheel gelijknbsp;zijn; daar zulks nu {II. Ax.) �nmogelijk is, kan CE, of eenige aigt;nbsp;dere dan de lijn CD, niet evenwijdig aan AB zijn. De lijn CD isnbsp;derhalve evenwijdig aan AB.

X[. Stelling, Fig. 6^.

209. De inhcurj^i damp;r pnrallelogfammen, die gelijke hoogte hebben, ftaan tot elkander in dezelfde reden ah hunne ba-fes. Dat is:

Betoog. I. Geval. Indien de bafes AB en �/-quot; onderling meetbaar zijn; dan hebben zij QAI. Bep. H. B.j eene gemeene maat M, welke een evenmatig deel van AB, en tevens een evenmatig deelnbsp;van EF zal zijn; laat dit evenmatig deel p maal in AB, (in de figuur zevenmaal,) en q maal in EF (in de figuur tienmaal,) begrepennbsp;^ijn; dan zal men in AB en EF respcaievelijk p m q deelen, elknbsp;gelijk aan M, nemen kunnen: laten nu, in beide parallelogrnmmen,nbsp;door de deelpunten der bafes, lijnen evenwijdig aan de opftaande zijden, in A BCD, aan AD, en, in EFGH, aan �//getrokken worden; dan zal (///. Stell.j het parallelogr. ABCD in/gt; parallelogr. elknbsp;gelijk aan AIKD; en het parallelogr. EFGH in q parallelogr., elknbsp;gelijk aan ELMII verdeeld zijn; maar nu is AI~EL � M; en denbsp;parallelogr. AIKD en ELMH hebben nu met de geheele parallelo-grammen, waarvan zij deelen zijn, dezelfde hoogte; doch deze geheele parallelogrammen hebben G/nderfl.') gelijke hoogte; de parallelo-grammen AIKD en ELMII hebben dan gelijke bales en gelijkenbsp;hoogten, en zijn derhalve (^FII. Stell.j gelijk van inhoud: elk' dezernbsp;parallelogrammen kan dus als eene gemeene maat der parallelogr, ABnbsp;CD en EFGH worden aangemerkt; daar nu blijkt: dat die gemeenenbsp;maat op elk der parallelogrammen, ABCD en EFGH, zooveelmaalnbsp;begrepen moet zijn, als de gemeene maat der bafes op elke balis, zijnnbsp;{^Aanin, IX. Bep. H. U.j de inhouden dezer pr.rallelogrammen in dezelfde reden als hunne respectieve bafes.

II- Geval. Indien de bafes onmeetbaar zijn; dan zal men, door uitmeting, derzelver betrekkingswijzer (zie FI. Bep. II. B.j vindennbsp;kunnen. Laat nu die betrekkingswijzer zijn:

^EF, AR, P, (f,R, S, 'F, cnz.j t a, b, c, d, e-, �, enz. (nbsp;dan zal men, in EF, een aantal va^ a deelen, elk gelijk aan AB,nbsp;nemen kunnen, en, wanneer men door de doelpunten lijnen, evenwijdig aan de opftnande zijden trekt, van EFGH een aantal van a parallelogrammen, elk gelijk ABCD, kunnen affnijden, en men zal nognbsp;een parallelogram P', op de bafis P ftaande, overhouden, kleiner dan

BEGINSELEN

A BCD; omdat verder P op ^5 begrepen is b maal, zal, uit dezelfde gronden, blijken: dat het parallelogr. P' in A BCD zal begrepen zijn b maal, en dat men een zeker parallel(�|ram O/j op ballsnbsp;ftaande, zr.1 Overhouden, enz. Hieruit blijkt derhalve; dat de betrek-kingswijzer, welke de betrekking der inbonden voorftelt, noodzakelijknbsp;dezelfde zal moeten zijn als die, welke de betrekking der bafes EFnbsp;en AB uitdrukt; de inhouden zijn dan, ook in dit geval, (/X Bep.nbsp;II. B.') in dezelfde reden als de bafes.

�. 210. Da inhouden van de parallelogrammen, ABCD en EFQII., welke gelijke hafes, AD en EF, hebben, flaan totnbsp;elkander in dezelfde reden, als hunne hoogten, AK en EL.nbsp;Dat is:

Beloog. Laten AK cn BI loodregt op AB, en EL en FMlooi-regc op EF liaan; dan zijn (/. Gev. XXXIII. Bep. I. B. en II. Bep.j ABIK on EFML regthoeken, welke met de parallelograramen ABnbsp;C/) en EFGH op dezelfde bafes en tusfehen dezelfde evenwijdigenbsp;lijnen liaan; regthoek ABIKis dan (/^//. Stellij gelijk parall. ABCD,nbsp;en regth. EFML gelijk pavall. EFGH. Nu kan men AK tn ELnbsp;als de bafes van de regthoeken ABIK en EFML aanmerken, welkenbsp;nu (onderft.j de gelijke hoogten AB en EF hebben: men heeft dannbsp;(17. Steil.)

regth. A B IK: regth. E F ML tzz AK: EL of, wegens de betoogde gSijkheid der regthoeken en parallelogram-men,

2II. De inhouden van twee parallelogrammen, ABCD en E FG H, flaan tot elkander in de zamengeflelde reden vannbsp;hunne bafes en hoogten. Dat is:nbsp;p-.arall. ABCD: 'parall. EFG H= ABxCI:EFx HK.

Bp,tgt;iog. Want de getallen, welke de verhouding van de vierkante d�eh.den op de iiihapden d.;r parallelogrammen uitdrukken, wordennbsp;gevonden, wanneer men de getrdlea, welke de verhouding van de

DER MEETKUNST.

lengte ��nheid op de baus en hoogte van elk parallelogram uitdrukken, met elkander vermenigvuldigt (//. Gev. FlI. Steil.')', derhalve zal (ZZ//. Bep. en /. Aanm. XXlll. Bep. 11. B.)

XIV. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling. Fig, 66.

�� ai2. De inhouden van twee driehoeken, ABC en EFH, fiaan tot elkander, ah hunne ba fes, AB en E F, indien denbsp;hoogten. Cl en HK, gelijk zijn; of als hunne hoogten, Clnbsp;en HK, wanneer de bafes gelijk zijn; of, beide ongelijk zijnde , in de ssamengeflelde reden van hunne bafes en hoogten.

Betoog. Omdat de driehoeken ABC cn EFH Qf, Steil.) de helften der parallelogramraen A BCD en EFGH zijn, volgt dit gefielde onmiddelijk uit de drie voorgaande Stellingen en de VI. Stelling vailnbsp;het II. Boek.

213. Gevolg. Wanneer twee paralhlogrammen, of twee driehoeken, eenen gelijken inbond hebben, dan zijn hunne bafes in de omgekeerde reden van derzelver respeStieve hoogten.

Want, wanneer men de bafis van eenen driehoek twee, drie, n maal grooter maakt, moet men, om denzelfden inhoud te behouden,nbsp;de hoogte in dezelfde reden verminderen, en gelijk aan de helft, eennbsp;derde, een van die des gegevenen driehoeks nemen; de hoogtennbsp;zijn dan (AT/. Bep. II. B.) in de omgekeerde reden van de bafes.

S. 214. Tot elke veelhoekige figuur ABC DE kan eene andere AFDE, van denzelfden inhoud zijnde, en ��ne zijde minder hebbende, gevonden worden.

Betoog. Want, indien men ��ne van de zijden AB des gegevenen veelhoeks ABC DE verlengt, en, uit het hoekpunt B van den hoek, aan deze zijde liggende, eenen hoek C tusfehen beide latende,nbsp;de hockpuntslijn B jp , en voorts, door het hoekpunt C van dennbsp;tusfehen beiden liggenden hoek C, de lijn CF, evenwijdig aan BD;nbsp;dm zal, nadat de lijn Z)F getrokken is, de vierhoek AFDE. gelijknbsp;aan den vijfhoek ABODE zijn. Want, omdat de driehoeken BFDnbsp;tn BCD op dezelfde bafis BD en cusfehen dezelfde evenwijdige lij-

BEGINSELEN

nen BD en CF (laan, zijn (JX. Steil.') hunne inhouden gelijk; telt men nn, bij eiken dezer gelijke driehoeken, den vierhoek ABDF,;nbsp;dan zal Ax.) de vierhoek AFDEztz den vijfhoek ABCDE zijn.

�. 215. Aanmerking. W.anneer een veelhoek een grooter aantal zijden en iioeken heeft, zal men denzelven nogtans altijd, op dezelfdenbsp;vrijze, in eenen and^en veelhoek, van denzelfden inbond, en ��nenbsp;zijde minder hebbende, veranderen kunnen, en daar men eiken nieuwnbsp;verkregen veelhoek wederom, op dezelfde wijze, zal kunnen behandelen, zal men eindelijk tot eenen driehoek komen, welke met dennbsp;gegeveneii veelhoek denzelfden inhoud zal hebben. Men Zal alzoo,nbsp;door eene herhaling van dezelfde meetkundige conftruftie, den inhoudnbsp;van eenen veelhoek met dien van eenen driehoek, en eindelijk (Gev.nbsp;Fin. Steil.) met dien van eenen regthoek kunnen vergelijken. Eennbsp;veelhoek van n zijden zal eindelijk, op zoo vele onderfcheidene wijzen, als door het getal 8 X 10 X 12 X 14 X enz. 2 (�� 2) Xnbsp;2^�! � l)X2� wordt aangewezen, in eenen driehoek vei'anderdnbsp;kunnen worden.

�. 216. X. Bepaling. Fig. 68. Een trapezium is een vierhoek ABCD, in welken alleen de bafis riB aan de bovenzijde CD, en niet de opftaande zijde AD aan BC,nbsp;evenwijdig is. Het kan jJechts twee regte hoeken hebben.

�. 217. Gevolg. Fig. 68. Wanneer men dit trapezium, als, in de voorgaande {telling, is voorgefchreven, behandelt;nbsp;dan zal, omdat CD aan BF, en BD aan CJ�'evenwijdignbsp;is, ook (/. Steil.) BFzzzCD zijn; de driehoek AFD, welke {XF. Steil.) aan het trapezium A BCD gelijk is, heeftnbsp;dan eene bafis AF, welke gelijk is aan de fom van de bovenzijde en van de bafis van het trapezium, en beide dezenbsp;figuren hebben dezelfde hoogte DG. Nu is (Gev. FIIL Steil.)nbsp;de inhoud van den driehoek AFD � i^AFxDG; derhalve is:

Voorbeeld. Zij zf5=;27�, 37; CZ)=:2o�gt;, 63 en DG � dan zal de inhoud van het trapezium A�CD � \ (AB-\-CD) y. DGnbsp;� I X (27, 37-f 20,53) X 12=2288 vierkante meters zijn.

�. 218. Bijvoegsel. Fig. 69, Men kan eiken veelhoek ABCDE., door hoekpuntslijuen te trekken , altijd in een aantal van driehoekennbsp;A BE, BCE en CDE verdeden, welke (leeds twee minder zijn, daiinbsp;het aantal van de zijden dezes veelhoeks. FFanneer men nu vinden kan,

R 3\I E E T K U N S T.

hoevcclffiaal de ��nheid der lengte maat op ��ne der zijden van eiken driehoek, en op de loodlijn, welke, uit het toppunt van den overftaan-den hoek dezes driehoeks, op die zijde, valt, begrepen is, zal mennbsp;(Gevolg Fin. Steil.') ook vinden kunnen, hoeveelmaal de vierkante ��nheid op eiken driehoek verhouden is? en de font van de inhouden dezer driehoeken zal klaarblijkelijk gelijk zijn aan den inbond van dennbsp;geheelen veelhoek.

�. 220. Wanneer eenige lijn AB, door een punt C, in twee gelijke of ongelijke deelen, verdeeld wordt; dan is:

1� Plet vierkant op de geheele lijn gelijk aan de fom van de vierkanten op deze deelen, te zamen genomen met tweemaalnbsp;den regthoek onder diezelfde deelen.

Het vierkant van ��n der deelen, te zamen genomen met den dubbelden regthoek, onder de geheele lijn en het anderenbsp;deel, is gelijk aan de fom der vierkanten, -welke, op de gZ'nbsp;heele lijn, en op dit andere deel, befchreven zijn.

Betoog. IMen (lelie op de lijn AB het vierhant ABDE; neme AFztszrlc, en trekke, door de punten C en F, de lijnen Cl en FH,nbsp;evenwijdig aan AE en AB; dan is het geheele vierkant ABDE,nbsp;door die lijnen, welke elkander in G doorfnijden, (/. en II. Bep.) innbsp;vier regthoeken, ACGF, GHDI, BCGH en FGIE, verdeeld.

Omdat nu AF~AC is, is (///. Bep.) ACGF een vierkant, op de lijn AC befchreven, en deszelfs inhoud wordt door AC^ uitgedrukt,

BEGINSELEN

BC=RF: maar nu is, (J. Steil') EF�Gl en BC-GH-, derhalve GI�GH en GHDIis {III. Bep.) een vierkant, hetwelk, omdat nbsp;nbsp;nbsp;is, gelijk is aan het vierkant op BC, of gelijk BC^i

Omdat eindelijk FG�CG � AC en GI�GH�BC is, zijn de regthoeken FGIE en BCGH (///. Steil.) gelijk, en, elk in het bijzonder, gelijk aan den regthoek, welke AC tot lengte, m BC totnbsp;breedte heeft, gelijk aan AC y. BC.

Alle deze deelen zijn nu {II. Ax.) aan het geheel gelijk; derhalve is AB'^�AC^ -f 2ACyBC.

Betoog van het tweede. Telt men bij de gelijke regthoeken FGIF., en BCGH hetzelfde vierkant GHF)I�, dan zal {VII. Ax.) regthoeknbsp;FIIDE �� regthoek BCID � regthoek AB y BC zijn. Neemt mennbsp;nu deze regthoeken, FHDE en BCID, met het vierkant ACGFnbsp;te zamen; dan heelt men klnarblijlcelijk het geheele vierkant A BCD,nbsp;met nog het vierkant GIIDI; dat is:

II. L E M M A. Fig. 71.

�. 221. riet verfchil van twee vierkanten is gelijk aan eenen regthoek, welks zijden gelijk zijn aan de fom en het verfchilnbsp;van de zijden dezer vierkanten.

Opheldering. Laten A BCD en AEFG twee vierkanten zijn; dan is derzelver verfchil de ruimte, tusfchen de lijnen BE,BC,CD,DG,nbsp;CF en EF begrepen: nu moet men bewijzen: dat deze ruimte gelijk is aan eenen regthoek, welke de fom der zijden, A B en A E, totnbsp;lengte, en het' verfchil dezer zijden, of BE, tot breedte heeft.

Betoog. Verleng EF tot in H, en verder tot in /; maak III� DII � GF � AE, en trek IK evenwijdig aan A B. Omdat nunbsp;{UI. Bep.) A B~ AD en AE=AG is, zal {VIII. Ax.) BE = DGnbsp;zijn: maar S/� is �CH {I. Steil.)', daar nu {conflr.) HI�DH is,nbsp;zal {III. Steil) regthoek GFHD� regthoek/ZCAquot;/ zijn; hierbijnbsp;tellende regthoek EBCII, zal {VII. Ax.) de fom der regthoekennbsp;ERCH en GFHD, (die gelijk aan het verfchil der vierkanten opnbsp;AB en AE is,) gelijk zijn aan den regthoek �5ATZ, dat is aan dennbsp;regthoek, welke EI, dat is de fom der zijden AB en AE tot lengte, en BE, of het verfchil der zijden, tot breedte heeft. Men druktnbsp;dit aldus uit:

X I. Stelling. Fig. 72.

S- 222. Het vierkant^ op de hypothenufa, of fchuinfche zijde, van eencn regthoekigen driehoek befchreven, is gelijk aan de fom van de vierkanten, welke op deszelfs regthoekszijdennbsp;befchreven zijn.

Opheldering. Deze ftelling is het vermaarde Theorema van Pythagoras. Men moet namelijk bewijzen: dat, wanneer ABC een regt-hoekige driehoek is, en, op elke van derzelver zijden, vierkanten befchreven zijn; namelijk ACED op de fchuinfche zijde AC', BA MG en BCLF de regthoekszijden AB en BC', de inhoud van hetnbsp;vierkant ACED gelijk zal zijn aan de fom van de inhouden der vierkanten ABGM en BCLF; hetwelk aldus wordt uitgedrhkt: AC^~nbsp;AB^ BC^. Dit gewigtig Theorema kan, onder anderen, op denbsp;volgende wijze, betoogd worden.

Betoog. Laat, op de hypothenufa AC, het vierkant ACED gemaakt zijn; en, door de punten, E en D, EF evenwijdig aan BC, en DG evenwijdig aan AB getrokken worden: deze fnijden elkandernbsp;in 11. Omdat dan, uit den aard van het vierkant, (/ en Hl. Bep.')nbsp;DE evenwijdig aan AC is, zal QXXX. Steil, I. B.j hoek DEHzttznbsp;hoek ACB en boek EDJT= hoek CAB zijn; vermits im nog DEnbsp;~AC is, (///. Bep.j zijn de driehoeken DEH en ACB (JX. Steil.nbsp;/. B.') gelijk en gelijkvormig; en daarom is EHzz.BC, en DHzznbsp;AB. Men trekke nu verder, van B door H, de lijn BIHK; dan isnbsp;deze, (omdat EH. gelijk en evenwijdig aan BC is,) volgens JXXT.nbsp;Steil, f, B. evenwijdig arm CE; de vierhoeken AIKD en ICEK 7X]xinbsp;dan (/ en ll. Bep.') regtboeken, en de lijn �/ftaat derhalve loodregtnbsp;op AC. Mcii trekke nu CL evenwijdig aan AB; dan is (//. Bep.quot;)nbsp;BCLE' sen regthoek; maar een regthoek, die gelijkzijdig en, dus eennbsp;vierkant is; want, de regthoekige driehoeken, CEL en CAB, hebbennbsp;(///. Bep.) de gelijke hypothenufen, CE en CA, en, omdat hoeknbsp;^CA :::z hoek LCB zzR is, zal, indien men van deze gelijke hoeken deiizelfden hoek ACL afneemc, (JMIL. Ax.) hoek F.CL'zz hoeknbsp;ACB Overblijven, Deze driehoeken dan (/X. Steil. I. B.) gelijk ennbsp;gelijkvormig zijnde, is CLzzBC; en BCLFis derhalve een vierkant,nbsp;en wel het vierltant, op BC befchreven. Trekt men eindelijk AB'I evenwijdig aan BC, en dus ook evenwijdig aan EF; dan is {XXX. Steil.nbsp;E B�) hoek CELzz hoek DAM, en hoek ECLzz hoek A DDL;nbsp;daar nu ADzzECzzAC is, zijn {IX. Suil. I. B.) de driehoeken

ADM en E/.C gelijk en geUjkvormig, en nu is A M ~E Lz=.AEi de regthoek ABGM is dan gelijkzijdig, en hij is hec vierkant, opnbsp;de regthoekszijde AD befchreven.

Nu is: i'^ omdat (conft.') DG evenwijdig aan AD is, Qll. Steil.') vierkant ABGM� parailelogr. ABIID, en omdat BK evenwijdignbsp;aan AD is, is parallelogr. A B H D ~ regthoek AIK D; derhalvenbsp;QIF. Ax.) is het vierkant AEG AI� aan den regthoek AIKD.

CZ E=r paraiielogr. BCEII; en parallelogr. BCEH� regthoek CIKE-, derhalve {IV. Ax.) is het vierkant BCLF� aan den regthoek CIKE.

3� De fotii der vierkanten, ABGM en BCLF, is derhalve gelijk aan de lom der regthoeken AIKD en CIKE; maar de lom dezernbsp;regthoeken is {11. Ax.) gelijk aan het vierkant ACED; derhalve isnbsp;{IV. Ax.) de fom der vierkanten ABGAI en BCLF gelijk aan hetnbsp;vierkant ACED; dat is: AC^�AB^ -\-BC^.

�. 223. Leering. Het is, uit den loop van bet voor-� gaande betoog, gebleken: dat 5/loodregt op ACik.'i.if, nu

en, in plaats van den regthoek CIKE, wederom ACy.CI (zie VUL Bep.) nu i.s regth. AIKD � vierk. ABGM mnbsp;regth. CIKE� vierk. BCLF; dat is: ACX AI� AB^nbsp;en ACy.CI� BC^. In eiken regthoeklgen driehoek, is dannbsp;het vierkant van elke regthoekszijde gelijk aan den regthoek,nbsp;onder de hypothenufa en het fluk, dat van dezelve, door de loodlijn , uit het hoekpunt van den regten hoek op de hypothenufanbsp;vallende, wordt afgefnedm, en aan deze zijde gelegen is.

�. 224. Gevolg. Omdat BI rcgtlioekig op de hypothe-iiufa ftaat, zijn de driehoeken ABI tx\ Z C/zelve regthaeki-ge driehoeken; daarom is, volgens het bewezene, AB^z^s BI-A-AU en BC^ � BIquot;-{-CU. Deze vergelijkingen bij elkander optellende, vindt men: ABquot;^ BC^ � iBD-k-AUnbsp;4- CU ; xwtizx AB^-k-BC^ �AC^ � AU -f C/^ -f 2 Aly ICnbsp;(�. Lemma) zijnde, is {IV. Ax.) sl BU -k- AU -1- CU =:nbsp;siAIyIC-k-AUa^CU�, hiervan dezelfde grootheid AU -k-CU aftrekkende, zal {VIIL Ax.) nBUzzzi AlylC of {XII.nbsp;Ax.) BU � AlylC overblijven. Het vierkant van de loodlijn, W�lke f uit het toppunt van den regten hoek eens regt-

� E R MEETKUNST.

hoekigen driehoek, op de h�jpothenufa valt, h dan gelijk aan den regthoek, onder de deelen, waarin zij de hypothenufa verdeelt.

�� 225. Bijvoegsel. Deze betoogde eigenfchnppen des regthoeki-gen driehoeks kunnen dienen, om, wnnneer twee der zijden gegeven 2ijn, de derde zijde, benevens de loodlijn en de ftukken van de hy-pothenufa, door berekening, te vinden. Zij gegeven AB � 60 meters; BC�^i meters; dan is AB^ � z6oo vierk. meters; BC^z=nbsp;8281 vierk. meters; en de fom van AB^ BC^ ztZ�iSSi vierk. meters ~AC^. Hieruit zal men (/-Ti Gev. VI. Stellij vinden; ACzznbsp;�-^ii88i~io9 meters. Voorts is AI�^dB^'.AC�^Sooi�Ojzttnbsp;33tI� meters; C/=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: yfCz=; 8281:109 = ysllS meters; zijn

�. 226. Wanneer het vierkant op ��ne der zijden AC van eenen driehoek ABC gelijk is aan de fom van de vierkantennbsp;op de twee andere zijden, AB en BC, dezes driehoeks-, dannbsp;is hij regthoekig in den hoek, die tegen over die eerfle zijdenbsp;AC jiaat.

Betoog. Laat BD regthoekig op BC gefteld en gelijk aan AB genomen worden: trek dan de lijn C�; dan is (Zf7. Stell.j CD^ �nbsp;BD^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;maar AC^�AB�-\-BC- (pnderjl.j zijnde, zal (JV,

Ax.j CD^ � AC^ en AC�DC zijn; de driehoeken z/-SC en D5C zijn derhalve QXIII. Steil. I. B.j gelijk en gelijkvormig; de hoek ABCnbsp;is dan ook gelijk aan den hoek DBC; maar de hoek DBC is (conjlr.jnbsp;een regte hoek; de hoek ABC is dan (/K. Ax.j insgelijks een reg-te hoek, en de driehoek ABC is derhalve regthoekig in B,

�� ^27. In eiken driehoek, ABC, is het vierkant van de zijde AC, tegen over eenen fcherpen hoek B ftaande, gelijk aan de fom der vierkanten, op de twee andere zijden, AB en BC,nbsp;verminderd met den dubbelden regthoek, welke ��ne dezer tweenbsp;andere zijden AB tot lengte heeft, en tot breedte dat gedeeltenbsp;BD van diezelfde zijde AB, hetwelk gelegen is, tusfehen dien

BEGINSELEN

fcherpen hoek B, en de loodlijn, welke, tiit het hoekpunt, tegen over de zijde A B Jlaande, op dezelve valt. Dat is:

Van elk van de leden dezer vergelijking � x BD aftrekkende, zal �er (Fill, Ax.j overblijven

AD^z=.AB^-irBD^~ssABy.BD Wanneer men nu, bij elk van de leden dezer laatfte vergelijking,nbsp;CD^ optelt; dan zal (VIL Ax.j

AD^ DC�^=zAB^ BD^ CDlt;^ � 2ABy.BD zijn; nu is (XVI. Steil.) AD^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= Ad, en BD^ CD^=:

�. 228. In eiken ftomphoekigen driehoek., ABC, is het vierkant van de zijde AC, tegen over den /lompen hoek B, gelijk aan de fom van de vierkanten der twee andere zijden, AB ennbsp;BC, op geteld bij den dubbelden regthoek, welke ��ne der zijden AB, om den /lompen hoek B /taande, tot lengte hee/t,nbsp;en den af/land van het hoekpunt van den /lompen hoek' B, totnbsp;de loodt'jn, welke uit het over/iaande hoekpunt C op die zijde A B valt, tot breedte. Dat is:

telt men, bij elk dezer gelijke grootheden, het vierkant C��; dan zal men (VIT. Ax.) veritrijgen:

AD^ Jr CD^ � AB^ BD'^ CD^ ^AB x BD Nu is, omdat CD loodregt op AD ftaat, (XVI. Stellij AD^-k-CD^=.AC�=-, en BD'^ CD^-BC'^-, derhalve zal (IV. Ax.j denbsp;voorgaande vergelijking in de volgende veranderen:

�. 229. Leering. Wanneer men de XVI en de twee laat-fte ftellingen met elkander vergelijkt; dan blijkt het: dat het vierkant i op de zijde eens driehoeks, golijk, groot er of kleiner,

DER MEETKUNST.

fier, dan de fom van de vierkanten op de twee andere zijden zal zijn, naar dat de hoek, tegen over deze zijde jlaande,nbsp;^^gl �I jiomp of fcherp is; en dat, in de twee laatfle gevallen,nbsp;het onderfcheid tusfehen dit vierkant en de fom der twee anderen, gelijk zal zijn aan den tweevoudigen regthoek, welkenbsp;��ne der zijden, om den /lompen of fcherp en hoek Jiaande, totnbsp;lengte en den af/land van het hoekpunt van dien /lompen offeher-pen hoek tot de loodliin, welke, uit het hoekpunt van den over-/laanden hoek, op deze zijde of deszelfs verlengde valt, totnbsp;hreedte heeft, tiet Theorema van Pythagoras is bijgevolgnbsp;een bijzonder geval dezer meer aigemeeiie ftelling. Zie Bijgevoegde Steil. B. IF. B. Bladz. 92.

�. 230. Gevolg. Fig. 74 en 75. Wanneer men al de zijden des driehoeks ABC, als bekend aanmerkt, zal men de waarde van BD kunnen oplosfen: men zal namelijk vinden: zie (l\ Gev. VI. Stellij

T) r. AB^-\rBC^ -'AC^ nbsp;nbsp;nbsp;� Equot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� J'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r 1

wanneer nn BD, door de berekening dezer fonnulen, is bekend geworden, zal men, met^ehulp van de Xl'I. Stelling, in den regthoe-kigen driehoek -SC�lde* loodlijn CD, uit de bekende zijden BC dn BD, door de formule CDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� BD^'), vinden kunnen, en

hieruit eindelijk den inhoud des driehoeks zelven. � Bij voorbeeld, gegeven zijnde AB = n.iamp; meters; BC�z^o meters en AC � ii'Conbsp;meters; dan zal men vinden: BD = 34. meters, en CDz=z'iS meters,nbsp;en de inhoud dezes driehoeks zal gelijk zijn aan 60192 vierkante meters. - Men moet hier bij opmerken: dat, wanneer men de vier

kanten der gegevene zijden berekend heeft, de eerjie of tweede formule zal moeten gebruikt worden, naar dat de fom der vierkanten op AB en BC grooter of kleiner dan het vierkant op AC is,

�. 231. Stellen wij, AB � a, BC � b en AC�c; voorts BD en DC�p; dan hebben wij, wegens de eigenfehappen desnbsp;fcherphoekigen driehoeks ABC, en des regthoekigen driehoeks BCD,nbsp;deze twee vergelijkingen:

BEGINSELEN

eene vergelijking, welke ons de waarde van het vierkant van de loodlijn CD, in eene niedrukking van de zijden des driehoe�ts voorflelt. Wanneer men de leden dezer vergelijking met 40=^ vertnenigvuldigt,nbsp;en onder het oog houdt: dat (de inhoiid des driehoeks I ftellende)nbsp;I�~ap, �^I-zzaap en \G z=. d^a-p- is; dan verkrijgt men:

eene vergelijking, welke aanwijst: hoe de inliond des driehoeks van zijne drie zijden afhangt? Het eerde lid dezer vergelijking beflaat uitnbsp;het verfchil van twee vierkanten; dit verfchil is (//. Lemma') gelijknbsp;aan de fom van de zijden dezer vierkanten, vermenigvuldigd met der-zelver verfchil; wij hebben dan:

�c^) X (20^ �a'^ �h'^ �\-c^)� \ 6D of, l(^a b)^�c^] X [_�(ia~by--\-c^']z=.i6Dnbsp;Het eerde lid dezer laatfte vergelijking bellaat uit het produd vannbsp;twee fiiftoren, en elk ��n dezer faftoren belli^t^wederom uit het verfchil van twee vierkanten; wij hebben dan, om dezelfde reden:

[a-\-b-{-c] X [ayb�c] X [a � � c] X [�a-Yb-\-c)�\6D waarvoor kan gefchreven worden:

ilelleii wij nu I (a b c)�s; dnn is ? (lt;z ^ � e} = s � c; l(a � b-!r c) = s � b, en i Q�a-\-b c) = s � a; en wij verrnbsp;krijgen dan eindelijk, voor den inhoud des driehoeks, de zeer voor-treifelijke uitdrukking:

l=zl/[s.O~a),(s � b).Qs � c)'] ons leerende: dat, wanneer men van de halve fom der zijden vannbsp;eenen driehoek, (van welke gedaante hij ook dan wezen moge,) elknbsp;��ne der zijden aftrekt, het gedurige produd dezer drie komendtnbsp;yerfchillen, nog eens met de halve fom der zijden vermenigvuldigt�gt;nbsp;'er alsdan een getal ontflaat, welks vierkants-wortel gelijk is aan dennbsp;inhoud d^es driehoeks, uitgedrukt in een aantal van vierkanten, di^nbsp;tot zijde hebben de ��nheid van de lengte maat, waarmede de zij'

den iks driehoeks zijn gemeten, en in getal ititgedmkt worden. Zij, bij voorbeeld, � �41�; b � en ^ = 480; dan is, ... *nbsp;K� ^ 0 = 5945 i ��=17*^; s �^ = 304; s �lt;7=114;nbsp;en nu hebben wij:

I = \/[s. (i�a') . {t�l}) . (j�0] = yC5P4 X 176 X 304 X 114) = ^^^3623076864 = 60192.

y[s.(s�a'y.Cs�b).(_s�cy]=yliid X \a X la x la-]=zytta*-^ia^ X y'S', dat is, de inhoiid van eenen griijkzijdigen driehoek., is gelijk aan ��n-vierde van het vierkant, oj) ��ne zijner zijden be-fchreven, vermenigvuldigd met den vierkants wortel uit het getal drie,

XX. Stelling. Fig. 76.

�. 232. De fom van de vierkanten van twee zijden, j4C en BC, eens driehoeks is gelijk aan de fom van tiveemaal het'nbsp;vierkant, op de helft van de derde zijde AB, en tweemaalnbsp;het vierkant op de lijn CD, welke, uit het midden D vannbsp;die derde zijde AB, tot het hoekpunt van den overjiaandennbsp;hoek C getrokken wordt. Dat is :

Betoog. Laat, uit het hoekpunt C, de loodlijn CE op de over-ftaande zijde AB vallen; dan is vooreerst, in den fcherphoekigen driehoek BCD, (XFlll. Steil')

BC^ � BD'^-y-CD'^�^BDxDE en, in den ftomphoekigen driehoek A CD, {XIX. Steil.)

AC^ = AD'^ -f- CD�'- y-iADx DE Men telle deze vergelijkingen bij elkander op: dan zal {FII. Ax.)

AC^-{-BC^�BD^ AD^ r,CD^ 2.AD x DE � iBDxDE zijn: maar nu is {omlerjl.) AD = BD; derhalve ook AIA=zBD^,nbsp;en 2^ZJ X DE � 1 BD x DE: men kan derhalve ii\ p!a.quot;.ts vannbsp;BD^ -t-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1)2 fchrijven 1 AD^-, en 0. A D x DE � 2 B D X DE

�� 233. Gevoeg. Fig, 49. Omdat de hoekpunts�jnen van een pa-talldogtanj elkander midden door deelen, is, volgens het bevvezene, AD^ j^CD'^�siDE^ y-zAEAnbsp;AB^ y.BC^=.lt;iBE^ y-zCE^

BEGINSEL

Indien men deze vergelijkingen optelt: dan zal, omdat ^iE = ECea DE �EB is, (flL /Jx. en IF. Gcv. VI. Steil.')

ATV AD^ B C� CD^ z=AC^ IiD^ zijn. De fom der vierkanten van de 'hoekpuntslijnen eens parallelograms is derhalve gelijk aan de fort van de vierkanten van at.enbsp;deszelfs zijden.

XXI. Stelling. Ftg. 76.

�. 234. Wanneer men de hajis AB van eenen driehoek ABC., in een punt Z), zoodanig verdeelt., dat de deelen ADnbsp;en B D tot elkander Jlaan, ah een getal m tot een getal n;nbsp;dan zal altijd

Men neme nu het � voud van de eerfte en het gt;n vond van de tweede dezer vergelijkingen; dan is (XII. Axioma)

n X AC^ � nx AD^ -f- � x CD^ -j- 2 � X AD X DE m X BC^=in X BD^ �/ X CD^ � stm x BD x DEnbsp;en, wanneer men nu deze vergelijkingen optelt, zal (VIL Ax.) mennbsp;verkrijgen ;

n X AC^ -1- m X BC-�n X AD^-k-nt x BD^ (� �) X CZ)* in X AD X DE � int X BD X DE

Nu is (onderjl.) AD-.BD � m-.n; derhalve zal (V. Steil. II. B.) nxAD � tnxBD zijn, en volgens het //. Axioma, m x AD xnbsp;DE � im X BD x DE: deze twee termen, gelijk zijnde, vernietigen elkander in de-voorgaande vergelijking, en zij verandert derhrdvenbsp;in de volgende:

n X AC^ -\-mX BC^�nX AD'^ -^-mx BD^ �Ir(m-\-n) x CD^ welke mosst J^wezen worden, � Indien men m � n Helt; dan ver-auvlert deze�w.ling in de voorgaande.

VIERDE BOEK.

Over de evenredige Lijnen, en de eigenfchappen der gelijk-vormige Driehoeken en gelijkvormige Figuren.

S' 255. ]Dlk fielfel van drie evenwijdige lijnen, AB, CD EF, fnijdt van Wee andere lijnen, AE en BF, welke,,nbsp;eenigerlei wijze, naar welgevallen, geplaatst zijn, (mitsnbsp;^i�t evenwijdig aan de lijnen van dit jielfel hopende,^ deelennbsp;� welke met elkander eene welgeordende evenredigheid uitmalen. Dat is: AC:CE= BD: D F.

Betoog, Trek de lijnen CB, CF, AD en DE; dnn zijn, de driehoeken ytCD en CBD, welke op dezelfde bpfis CD en (onderjiF)nbsp;tusfehen dezelfde evenwijdige lijnen, CD en AB, liaan, (IX. Steil.nbsp;III. B.') gelijk; 2� zijn, om dezelfde reden, de driehoeken CDE canbsp;CD F, welke op dezelfde bnfis CD en (onderji.') tusfehen dezelfdenbsp;evenwijdige lijnen, CD en EF, (laan, gelijk. Nu hebben de driehoeken, ACD en CED, omdat hunne toppen, in hetzelfde punt D,nbsp;zamenkoinen, gelijk� hoogten; derljalve is (XIV. Steil. UI. B.jnbsp;drieh. ACD: drieh. CED �AC: CEnbsp;'Vederom is, om dezelfde reden,

drieh. BDC: drieh. DFC � BD : D F Omdat nu (IX. Steil. III. B.j drieh. ACD � drieh. BCD; en drieh.nbsp;^DD�drieh. DFC is, zal (I. Steil. I. B.jnbsp;AC:CE � BD:DF

�. 236. I. Gevolg. Fig. 77, Wanneer meer lijnen, GH, enz., evenwijdig aan AB, CD en EF, in dit fldfelnbsp;gegeven zijn; dan zal, volgens het hewezene, CE:EGv=znbsp;^ F i FH; wederom EG'.GI�FH'.HK zijn, enz., ennbsp;zal (XFIIl. Bep. // B.j hebbennbsp;(AC, CE, EG, GI, enz.j ::(BD, DF, FH, HK, enz.j

Een

Jien flelfel van zoo vole evemljdige lijnen, als men naar '.vel-gevallen aanneemt, fnijdt dan van twee lijnen, welke, op eenigerlei wijze aangenomen zijn., deekn af, welke tot elkander in eene welgeordende evenredigheid flaan.

�. 237, IL Gevoi.g. Fig. 77. Wanneer men, door het punt B, de lijn BO, evenwijdig aan AI, trekt; dan zijnnbsp;ABLC, CLME, EMNG, enz. (/. Bep. III. jS.) parai-lelogratnmen, welker overftaande zijden (/. Steil. UI. 6.) gelijk zijn; namelijk �L=zAC; LBIzrzCE; MN�EG eiinbsp;NOzzzGI; 4aar nu {AC, CE, EG, G/,)::(/!/), DF,nbsp;E'H, HKj) is, zal ook

zijn. Dat is: de lijnen NII, MF, LD, welke, evenwijdig aan ��ne der zijden KO van eenen driehoek BKO loopen,nbsp;fnijden de twee andere zijden des driehoeks, (^namelijk BKennbsp;BOin evenredige deekn: ZOO dat B D : DF-=s D L : L Minbsp;B D : FH �BL'. MN', enz. is.

�. 23H. 111. Gevolg. Fig. 77- Wanneer nu de deden BL, LM, MN, NO, enz. gelijk zijn; dan moeten {Gev-VIL Steil. II. 5.) ook de deeien BD, DF, FH, HK,nbsp;enz. gelijk zijn. Wanneer men dan de zijde B O van eenennbsp;driehoek BKO, in gelijke deekn verdeelt, en, door de deel-piinten, lijnen, evemvijdig aan ��ne der twee andere zijden,nbsp;trekt; dan zullen deze evenwijdige lijnen de dorde zijde deSnbsp;driehoeks insgelijks in gelijke deeien verdeden.

O nbsp;nbsp;nbsp;�J y' - . nbsp;nbsp;nbsp;- J � � nbsp;nbsp;nbsp;Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

censn driehoek, ABC, �n evenredige deeien verdeelt, [zoo dut AD '. DC�BE ; EC /V,] hopt evenwijdig aan de dordenbsp;zijde A B.

Beto�g. Indien DE niet evenwijdig aan AB \s', dan zal men� door hec punt Z), eene lijn DF, evenwijdig aan AB, kunnen trekken, en dan zal (/�. Gev. I. Steil.') AD:DC�BF:CF zijn; manfnbsp;nu is, naar de onderftelling, AD: DC�BE: EC, derhalve z^lnbsp;(J. Stel!.- IL B�) BF: FC� BE:EC zijn. Uit deze evenredigheid

DER. MEETKUNST.

volgt C/7//. Steil. //. B.'), BF-\-FC-.BE^EC~BF-. BE-, dat is, BC: BC� BF: BE. Indien men dan eene andere, dan de lijnnbsp;DE, evenwijdig ann JB, Heit; dan zal daaruit volgen, dat tweenbsp;gelijke grootheden tot elkander in dezelfde reden, als 'twee ongelijkenbsp;grootheden, zullen moeten zijn; daar zulks nu QI/. Cev, IF, Steil,nbsp;II. �.) onmogelijk is, blijkt daaruit: dat geene andere, dan de lijnnbsp;de, evenwijdig aan /IB loopen kan,

�. 240. I. Gevolg. Fig. 79* Wanneer men dan, op de heenen, AB en BC, van eenen hoek ABC, van het hoekpuntnbsp;B afterekenen , op het eene been AB, gelijke deelen, BD, DF,nbsp;enz., en, op het andere heen BC, insgelijks gelijke deelen,nbsp;BE, EG, enz., aanneemt; dan zullen de lijnen, DE, FG,nbsp;EI, enz., welke deze declpunten ver'��nigen, onderling even-'ii'ijdig zijn.

Want, door de gelijkheid der deelen, is (/. Gev. IF. Steil. II. B.quot;) BD: DF� BE: EG; derhalve is DE evenwijdig aan FG. Om dezelfde reden, is III evenwijdig aan FG, enz.

�� 241. II. Gevolg. Fig. 79. Wanneer men, door de punten, E, G, I, L, N, enz., de lijnen, EV, GW, IX,nbsp;enz., evenwijdig aan BA, trekt; dan zullen zij (///, Gev.

I. nbsp;nbsp;nbsp;Steil.') de lijnen FG, Hl, enz. in gelijke deelen verdee-len; en, omdat, wegens de evenwijdigheid dezer lijnen, denbsp;vierhoeken, welke, in de liguur, aan elkander fluiten, pa-rallelogrammen zijn, waarvan de overflaaiide zijden (/. Steil.

II, nbsp;nbsp;nbsp;B.) aan elkander gelijk zijn, zal de eerjle lijn DE in denbsp;tweede FG tweemaal, in de derde Hl driemaal, in de vierdenbsp;KL viermaal, in de vijfde MN vijfmaal, in de zesde OPnbsp;zesmaal, enz.; en, in het algemeen, in de n�� lijn n maalnbsp;begrepen zijn.

�� 24Q. lil. Gevolg. Fig. 79. Wanneer men dan aanneemt, dat de lijnen A3 en B C onbuigbaar en om het punt B beweegbaarnbsp;zijn, en men dezelve alsdan zoo verre opent, dat de afftand van tweenbsp;over�cnkomftige punten b' en T, welke de lijn ST, in de figuur metnbsp;8 geteekend, ver��nigt, gelijk worde aan eene gegevene lijn M;nbsp;dan zal DE gelijk ��n-achtfte, FG gelijk tare-achtfie, Hl gelijk i/nV-�chtjle, enz. van de lijn M worden. Op deze eigenfehap is de za-menftelling en het gebruik van de lijnen der gelijke.deelen, op dcanbsp;Proportk-pafer, gegrond.

BEGINSELEN

�. 243. IV. Gevolg. Fig. 79. Stel, dat de gelijke deelen, op beide de beenen BA en BC van den hoek A,BC, in een gelijk aantal van n deelen genomen zijn; dan is het oppervlak des driehoeks ABCnbsp;in een zeker aantal gelijke parallelogrammen en een zeker aantal gelijke driehoeken verdeeld. Het aantal der parallelogrammen is klaarblijkelijk, gelijk aan de fom van de termen der rekeiikunftige reeks, i -j-

2 3 4 �^�- C�~0 = Ci ��1) X �(��1)=|�02�i)

(_zie /. C. �. 824,) en het aantal der driehoeken �n. Ku zijn, wegens de gelijkheid der deelen, de bafes der gelijke driehoeken gelijk aan die der parallelogrammen, en de driehoeken hebben met de parallelogrammen gelijke hoogten; wanneer men derhalvenbsp;de laatfle door hoekpuntslijnen SF, enz., in gelijke en gelijkvormigenbsp;driehoeken verdeelt; dan zal liet oppervlak der figuur, behalve de nnbsp;driehoeken, die aan de lijn B C liggen, nog in tweemaal zooveel driehoeken , als �er parallelogrammen in de figuur voorkomen, dat is, innbsp;een aantal van n -j- tweemaal |nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�� n, of fi rA � � of ge

lijke en gelijkvormige driehoeken verdeeld zijn. If^anneer men dan elke zijde van eenen driehoek in een aantal van n gelijke deelennbsp;verdeelt, en dc deelpunten door lijnen ver��nigf, dan wordt het oppervlak des driehoeks in een aantal van rF, of n y. n, gelijke ennbsp;gelijkvormige driehoeken verdeeld.

'd- �. 244. V. Gevolg. Fig. So. Wanneer men, op de lij-,ven PA, PB, PC, PD, welke, uit een punt P, tot eeni-ge lijn AD getrokken worden, de punten E, F, G en H, zoodanig neemt, dat de deelen dezer lijnen altijd in dezelfdenbsp;reden tot elkander Jl aan, namelijk P EE A � P F: FB ~nbsp;PG-.GC, enz.; dan zullen alle deze punten E, F, G, H,nbsp;enz. gelegen zijn in eene lijn, welke evenwijdig aan deze eer-fie lijn AD kopt.

Want, omdat PE : EAz=.PF:FB is, zal EF, volgens het be-wezene, evenwijdig aan AB zijn; om dezelfde reden, is FG aan BC en GPl aan CD evenwijdig; mi zijn AB, BC, CD, deelen van dezelfde lijn; EF, FG, GH, moeten dan ook insgelijks deelen vannbsp;dezelfde, en aan AD evenwijdig loopende, lijn zijn.

in. Stelling. Fig. 81.

�. 24fi. De lijnen, PA, PB, PC, PD, enz., welke, uit eetiig punt P, tot eene andere lijn AD getrokken zijn,

fnij-

�EK MEETKUNST.

fiiijden van eene anders lijn EH, welke evenwijdig aan dezelve loopt ^ deelen, EF, FG, GH, af, welke evenredig zijn nan de deelen AB, BC, CD, op de lijn AD genomen. Dat is:nbsp;(EF, FG^ GH, enzOr.CHB, BC, CD, enz)

Betoog. Trek de iijiien BE en SG; dan hebben wij; i�� omdat evenwijdig is aan AB, (XIF. Steil. IIL B )

drieh. ABP drieh. BCP'zz AB �. BC drich. A BE: drieh. BCGz=.AB-.BCnbsp;derhalve zal (/. Steil. II. B.)

drieh. AB P: drieh. BCPzz drieh. A BE: drieh. B CG zijn; en, volgens de IX. Stelling, H. Boek, zal drieh. ABP min drieh.nbsp;ABE tot drieh. BCP min drieh. BCG zijn, als drieh. ABP totnbsp;drieh. BCP, als AB tot BC: dat is, volgens de figuur,nbsp;drieh. BEP: drieh. BGP=zAB:BC.

drich. P E F: drieh. PEG zzEF: FG drieh. BEF: drieh. BFG�EF: FGnbsp;derhalve zal de (/. Steil. II. B.)

drieh, PEF: drieh. PFG � drieh. BEF: drieh. BFG Zijn, en, volgens de IX. Steil. 11. B.

drich. B P E : drieh. B P Gzz EF: FG maar nu is bewezen: datnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*,

zijn, en zulks alzoo zijnde, zal ook FG:GH-zr,BC:CD zijn; en, in het-algemeen, {EF, FG, GH, etiz.)::(AB, BC. CD. enz.)

$. 246. Grvolg. Wanneer ABzzzBC�CD enz. is; dan zal ook EF-=FGz=:GH-=. enz. zijn.

�. 247. De lijn CD, welke den hoek AC B eetn driehoeks ABC, in twee gelijke deelen, verdeelt, verdeAt de o'.erjiaandenbsp;zijde AB in Pukken, AD en BD, welke evenredig zijn aan denbsp;twee andere zijden, AC en BC. des driehoeks: datts, AD'-BD � AC: BC. � En de lijn CF, welke het fup.dementnbsp;t'an dien hoek, in twee gelijke deelen, fuijdt, zal, indien de

BEGINSELEN

heetten van dien hoek niet gelijk zijn, en de driehoek niet ge-lijkheenig is, het verlengde van de ovetjiaande zijde, in een punt F, ontmoeten�, en dan zullen de afflanden van dat puntnbsp;F, tot de hoekpunten van de twee andere hoeken des driehoeks , insgelijks met deszelfs opjlaande zijden evenredig zijn;nbsp;dat is, F�.BF=AC�. BC.

Betqog van het eerjie. Verleng AC tot in E, maak CE � BC, en trek 6E; dan driehoek BCE gelijlcbeenig, en de helft van dennbsp;hoek ACB is (///. Cev. Xnil. Steil. 1. B.') =. hoek CBE; maarnbsp;(onderde helft van den \toekACB is = hoek 5CZ); derhalve isnbsp;(XXVII. Steil. I. BI) BE evenwijdig aan CD, en daarom is (II. Gev,nbsp;I Steil,') AD : DB � AC: CE; maar CE � BC zijnde (conjlr.),nbsp;zal AD�.DB� AC�. BC zijn,

Bkt�o� van het tweede. Neem CG � BC, en trek BG; dan is weoerom (lil. Gev. XFIH. Steil. I. B.) de helft van den hoek BCE,nbsp;dat is (onderji.) hoek 5 CF=: hoek C^G, en (XXVII. Steil. I. B.)nbsp;BG evenwijdig aan CF; derhalve (II. Gev. I. Steil.) zal AG-.CG �nbsp;AB :BF zijn, en (VIII. Steil. II. B.) AG -k- CG�. ABBFz=.nbsp;CG�.BF; of AC�. AF�CG-.BF; of eindelijk, (VIL Steil. II. B.)nbsp;AF�.BFzzAC�.BC.

248. De regthoek, zamengefteld onder de uiterjlen, A en D. van vier evenredige lijnen, A, B, C en D, is gelijk aannbsp;den regthoek, zamengefield onder de middelften, B en C, dezer zelfde lijnen.

Betoog. Laten, op de twee eerde lijnen, A B, twee regthoekeii P en (9 gemaakt worden, welke de lijn D tot hoogte hebben; dannbsp;is (XI. Steil. UI. B.) P �.(1= A : B; maar A-.B�C�.D zijndenbsp;(onde-fl.,, zal (I. Steil. II. B.) P:0^�C:D zijn. Men ftelle nu,nbsp;op de lijnen C en Z), de regthoeken Z� en 6', welke de lijn B totnbsp;hoogte hebben; dan is (XI. Steil. III. B.) R:S�C:D; maar C�.Dnbsp;f zijnde (bewezen), kal P; 0_=:R;6' zijn. Nu hebben de regthoeken , en .y de lijnen 5 en Z) tot zijden, en zijn (III. Steil. III. B.)nbsp;gelijk; dcbalve zullen {Gev. VU. Steil. II. BI) ook de regthoeken Pnbsp;en R gelijk zijn: dat is, de regthoek, onder de uiterfte lijnen, A ennbsp;gelijk'aan den regthoek, oijder de middelde lijnen B en C.

�. 249. Wanneer twee regthoeken ABC en DEF gelijk Ajn, of gelijke inhouden hebben; dan zijn derzelver zijdennbsp;'ivederkeerig evenredig: dat is, men zal de zijden, AB en BC,nbsp;van den eerjlen regthoek, tot de uherjle of middelfte, en denbsp;Ajden, DE en EF, van den tweeden regthoek, tot de mid-delfle of uit erft e termen eener evenredigheid ftellen kunnen.

Betoog. Iiidien DE tot AB niet is, als BC tot EF; dan zal men eene lijn EG, grooter of kleiner dan EF, vinden kunnen, die de vierdenbsp;evenredige tot DE, AB en BC \s, en indien men dan door G eenenbsp;lijn GH, evenwijdig aan DE, trekt; dan zal Steilregth. AB k.nbsp;BC � regth. Z)� X �G zijn; maar regth. ABy.BC = regth. DEnbsp;X EF zijnde, is (^IF. Ax.') regth. DE X EG� regth. DE x EF,nbsp;en zulks is (//. Ax.') onmogelijk: geene andere, dan de lijn EF, kannbsp;dan de vierde evenredige tot DE, AB en SC zijn. Men mag dan,nbsp;uit de gelijkheid dezer regthoeken, tot de evenredigheid DExAB �nbsp;BC-.EF befluiten.

�. 250. Gevolg. Wanneer drie lijnen, A, B en C, ge-durig evenredig zijn, en derhalve {XVI. Bep. II. B.) A: B B;C is, dan zal de regthoek, onder de uiterfle lijnen, Anbsp;en C, gelijk zijn aan het vierkant op de middelfte lijn B.

�. 251. Aanmerking. Om nu, uit de zijden der gelijke regthoeken, eene welgeordende evenredigheid opteftellen, moet men de zijden van den eerjlen regthoek voor de uiterjle of middeljie, en de zijden van den tweeden regthoek voor de middelfte of uiterjle termednbsp;der evenredigheid aannemen, zonder dat het, voor het overige, noo-dig is, eenige andere orde, in de rangfchikking der termen, in achtnbsp;te nemen.

�� 252- De vierkanten, welke op vier evenredige lijnen he~ fchreven zijn, zijn evenredig.

Betoog. Wanneer de lijnen A, B, C en Zgt; evenredig zijn; dan moet men bewijzen: dat A^:B^�C^:D^ is. Wanneer men, opnbsp;de lijnen A en B, twee regthoeken befchrijft, die de �jn A; en, opnbsp;C en D, twee andere regthoeken, die de lijn C, tot hoogte, hebben;nbsp;dan zal {XI. Steil. III. B.)

BEGINSELEN

AA-.JB�A-.B=.C:D en CC-.CD � C-.D-=zA:Bz\]\\nbsp;derhalve (J~ Steil, ��. B.')

AA-.AB~CC\CD . . . . . . (/V) Befchrijft men, op de twee eerfte lijnen, A en A�, regthoeken, welke de lijn B tot hoogte hebben; en, op C en D, regthoeken, welke dezelfde hoogte D hebben; dan zal wederom (Z/, Steil. IL B.')nbsp;AB-.BB�A-.B�C-.Dnbsp;CD :DDz=^C:DzzA:Bnbsp;zijn, en, volgens de I. Steil. 11. B. zal

Nu is, door het verpiaarfen van de termen van de redens der evenredigheid (iV), volgens U. Steil. 11, B.,

of, AA-.CC � BB:DD (.II. Steil. II. 5,1 en, AA-.BB�CC-.DD (VIL Steil. 11. B.) zijn,

�. 253. I, BitPALi^G, Fig, 103. Twee regriijnige figuren zijn onderling gelijkhoekig, wanneer de Ir-eken A, B, C,nbsp;D, E cn F, van de eene, in eene btftendige volgorde,nbsp;regtsoni of linksom, genomen zijnde, respe�tievelijk gelijknbsp;zijn aan de hoeken a, b, c, d, e en f, van de tweede figuur, deze laaifte mede, in eene zekere volgorde, genon ennbsp;zijnde, � Wanneer de hoeken, in beide figuren, in dezelfdenbsp;volgorde, genomen zijn, ftaan deze figuren, ten opzigte vannbsp;elkander, in eene regte; doch, in het tegengeftelde geval,nbsp;in eene omgekeerde fielling.

�. 254, II, Uepaung. De zijden, welke, in onderling gelijkhoekige figuren, om de gelijke hoeken ftaan, noemt,nbsp;men overe�nkomjlige, geli kflandige, eveneensgeplaat/le zijden.nbsp;Aldus zijn AB m BC gelijkftaodig niet nb en bc, enz.

�, 255. Aanmerking, Fig. [i6. W;;nn,:er dan, in de driehoeken ABC en DEF, hoekzf r: hoek 5, hoek C2=hoek�, en bijgevolgnbsp;(IX. Gev. XFIII. Stel!, I. BI) hoek C~ hoek F is; dan zijn de driehoeken ^5 C en Z)55 onderling gelijkhoekig, en de z\]itn AB,BCnbsp;en AC gelijkftandig met DE, F.F, D F. Bij onderlinge gelijkhoekigenbsp;driehoeken, kan men zeggen: dat de gelijkjlattdige zijden over denbsp;geliike hoeken fiaan,

S- =5(5*

I) ER M E E T IC U N S T.

s. 256. III. Bepaling. Twee figuren en derzelver omtrekken zijn gelijkvormig ^ wanneer de afftand van elke twee punten , in den omtrek van de eene figuur, tot den afftand van de over'��nkomftige punten^ in de tweede^ overaf waar mennbsp;die punten, in de eerfte figuur, ook nemen moge, in dezelfdenbsp;reden is, als eene lijn tot eene lijn, of als een getal tot een getal.

�. 257. Aanmerking. De gelijkvormigheid (welk woord leiteriijk gelijkheid van vorm, gelijkheid van gedaante beteekent,) is eigenlijk die over��nkomst, in de figuur of gedaante van twee uitgebreidheden, welke, offehoon zij niet even groot zijn, op onze zintuigennbsp;Dogtans de uitwerking maakt, dat wij, in de ��ne uitgebreidheid, de figuur of gedaante van de andere herkennen, beftaande derhalve in hetgeen men, door de wandeling, het wel gelijken Viotm. De ervaring,nbsp;door de juistheid der Meetkunftige begrippen voorgelichr, leert: datnbsp;de gelijkvormigheid in de voorwaarden der zoo even gegevene- bepaling gelegen, en op alle foorten van figuren, zoowel kromlijnige ahnbsp;regtlimige, zoowel vlakke ah ligchamelijke, algemeen toepasjclijk is.nbsp;Vergelijk AT//. Bep. XL B.

Wanneer men nu onze algemeene bepaling van de gelijkvormigheid op regtlijnige figuren toepast, in welke de hoekpunten de merkwaar-digfte punten van den omtrek zijn, befpeurt men: dat deze aan denbsp;voorwaarden der gelijkvormigheid zullen onderworpen zijn, wanneernbsp;de afftand van elke twee hoekpunten van ��ne dezer regtlijnige figuren, tot den afjland van de twee over��nkomjiige hoekpunten, in denbsp;andere, overal, in welk eene rangorde deze hoekpunten, in de eerftenbsp;figuur, genomen worden', in dezelfde befiendige reden tot elkandernbsp;ftaan, zoodac de gelijkvormigheid van twee regtlijnige figuren nood-zakelijk zoo vele evenredigheden medebrengt, als de hoekpunten vannbsp;��ne dezer figuren, op alle mogelijke wijzen, twee aan twee genomen, door regte lijnen, ver��nigd kunnen worden. Wanneer mennbsp;zulks nu, fig. 86, op twee driehoeken ABC en DEF toepast; dannbsp;zal de algemeene bepaling, in dit geval, zeggen: dat de driehoekennbsp;ABC en DEF gelijkvormig zijn, wanneer de zijden dezer driehoeken evenredig zijn-, dat is, indien A BD E �BC i EF~ AC: D Fnbsp;of {_AB, BC, AC)::iDE, EF, DFj) is.

VIII. Stelling. Fi^, 86.

BEGINS EI- en

Opheldering. Wanneer, in de driehoeken ABCm DE F, de hoek hoek D; hoek 5� hoek Ej en bijgevolg (F///. Gev. XFHI.nbsp;Steil. I. B.') boek Cnzhoek F is; dan moet men betoogen: dat dezenbsp;driehoeken gelijkvormig zijn; dat wil, zie Aanmerk. III. Bep., zeggen: dat (_AB, BC, AC')itQDE, EF, DF} zal zijn, of dat denbsp;drie volgende evenredigheden tusfchen de gelijkftandige of overeen-komftige zijden dezer driehoeken, (zie II. Bep.')

(waarvan de laatfte (�. Steil. II. B.) een onmiddelijk gevolg der twee eerfle is,) zullen plaats hebben.

Betoog. Laat de driehoek DEF naast den driehoek ABC ge-plaatst worden, zoodanig, dat het punt D in B, en de zijde DE op het verlengde van AB valle. Men verlenge dan de zijden AC tnnbsp;EF, tot dat zij elkander in G ontmoeten: omdat dan, volgens denbsp;onderftelliug, hoek A ~ hoek D, en hoek B � hoek � is, zullennbsp;(^XXV. Steil. I. B.) AG aan DF, en EG aan BC evenwijdig zijn;nbsp;de vierhoek BFGC \% dan (/. Bep. III. B .) een parallelogram, welksnbsp;(/. Steil. III. B.) overftaande zijden gelijk zijn, namelijk CG~DFnbsp;enFG = BC.

AB-.DE � BC\EF, en A BDE = AC-DF waaruit dan (/. Steil. IT. B.) volgt, dat BC: EF~ AC\DF is.

�. 259. I. Gevolg. Volgens de VIII en IX Gevolgen van de XVIII Stelling van het I Boek, zal men tot de gelijkvormigheid vannbsp;twee fchesfhoekige driehoeken, ABC en DEF, be fluiten mogen, indien twee hoeken, A en B, van den eenen gelijk zijn aan twee hoeken, D en E, van dew anderen, en tot de gelijkvormigheid van tweenbsp;regt hoekige driehoeken, indien ��n der fckerpe hoeken van den eenennbsp;gelijk is aan ��n der fckerpe van den anderen.

�. 260. II. Gevolg. Fig. 87. Laten uit de hoekpunten der gelijke hoeken, C en F, de.loodlijnen CG en FII, op de overftaande en over��nkoraftige zijden vallen; dan zijn (ZV. Gev. XVllI. Steil. I. B.)nbsp;de driehoeken ACG en DFH gelijkhoekig; derhalve is CG�.FHt=znbsp;AC-.DF� Qewez.) AB-.DE-, wederom AGiDH=AC-.DF=l

BEU M E T K U N S T.

AB : DE=zCG:FH m BG-.HEzz-BC-.EF�AB-.DE. Twee over��nkomftige loodlijnen zijn dan, in twee gelijkvormige driehoeken,nbsp;in dezelfde reden, ak de zijden, op welke zij vallen; en deze zijdennbsp;*gt;ijn wederom evenredig aan de overUnkomJlige ftukken, in welke zijnbsp;door die loodlijnen verdeeld worden.

�. adi. III. Gevoig. Fig, 87. Wanneer men, viit de twee andere gelijke hoeken, en D, de loodlijnen. Al en T)K, op de over-flaande zijden BC en EF\^amp;t vallen; dan zal, insgelijks. Al: DK �nbsp;AB i DE~CG iFH, zijn. De loodlijnen, welke, uit de hoekpuntennbsp;der gelijke hoeken, op de overftaande zijden vallen, zijn gevolgelijknbsp;evenredig. Dit alles ftemt in met de UI. Bepaling.

�. 262. IV. Gevolg. Fig. 88 en 89. IVanneer de drie zijden, E)E, EF, FD, van eenen driehoek DE F, evenwijdig hopen aan denbsp;zijden, AB, BC en AC, van eenen anderen driekoik ABC; dannbsp;zijn deze driehoeken, ABC en DE F, gelijkvormig. Want, volgensnbsp;de XXK. Steil. I. B., zal hoek A ~ hoek D, hoek B � hoek E, ennbsp;Ijoek C'zz hoek F zijn; de driehoeken ABC en DF,Fzv\n dan (bew.')nbsp;onderling gelijkhoekig, en bijgevolg geiijkvormig, dat is: {^AB, BC,nbsp;^C)::(D�, EF, DFj.

�. 263. V. Gevolg. Fig'. 90. IFdnneer men ergens, in de zijden van eenen dtiehoek ABC, of derzelver verlengde, de punten G, H en Inbsp;neemt, en, door die punten, loodlijnen CD, HF en IF op de zijdennbsp;AC, BC en AB trekt; dan zal de driehoek DEF, welke door denbsp;fnijding dezer loodlijnen ontflaat, aan den driehoek A BC gelijkvormig zijn, en (.AB, BC, ACj:;(FD, FE, DE). Want, omdatnbsp;de hoeken G en H, in den vierhoek CHEG regt zijn, is (Gev.XIX.nbsp;Steil. I. 8.) hoek C het fuppleinent van den hoek GEH; maar denbsp;boek DEF is het fupplement van denzelfden hoek GEH; derhalvenbsp;is (Hl. Steil. /. Tl.) hoek DEF� hoek C. Met behulp van den vier?nbsp;boek AGDI, biijkt het, dat, om dezelfde reden, hoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;boek

�. 264. VJ. Gevolg. Fig. 85. Men kan, uit elke der evenredigheden-, welker �er tusfehen de zijden van gelijkvormige driehoeken be-ftaan , door (FH. Steil. II. B.) de eerde tot den derden, gelijk de tweede tot den vierden term, te Hellen, eene andere evenredigheid afiei-den, namelijk

A B : D E�AC :DF^. de evenredigheid}. AB'.AC-=zDE'.Df\ yBC-.EFzzAC'.DFJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BC'.AC=:EF'.DF}

BEGINSELEN

waaruit volgt: dat de zijden, welke, in de onderling gelijkhoekige driehoeken, om de over'�cnkomflige gelijke hoeken Jiaan, evenredig zijn.

�. 265. Aanmeuring. Men moet, in het opftelleti der evenredigheden tusfchen de zijden der gelijkhoekige driehoeken, ten einde de termen dezer evenredigheden wel geordend en de gevolgen, welke mennbsp;uit zulk eene evenredigheid trekt, wettig zouden zijn, in acht nemen,nbsp;,dat men, voor de twee eerde termen der evenredigheid, twee zijdennbsp;naar welgevallen nemen mag: maar dan moeten de twee overige termen in dier voege geordend worden, dat de voorgaande en volgendenbsp;termen gelijkftandige zijden zijn, welke, in de wederzijdfche driehoeken over gelijke hoeken liaan,

Opheldering. Dat is, wanneer de zijden, AB, BC, en AC, van eeiien driehoek ABC evenredig zijn aan de zijden, DE, EF, DF,nbsp;van eenen anderen driehoek DBF, dat is {AB, BC, ACj::{DE,nbsp;EF, DF 'r, dan zullen ook deze driehoeken onderling gelijkhoekig zijn.

Betoog. Men neme, in den grootlien driehoek ABC, AG=zDE en AH=DF, en trekke de lijn GH; omdat dan AB:DE = AC:nbsp;DF is-, zal AB:AG = AC-.AH zijn, en {VUL Steil. II. B.j ABnbsp;~ AG-. AG=z AC� AH AH; o� BG-. AG=.CH-. AH. De lijnnbsp;GH is daarom {H. Steil.j evenwijdig aan BC; derhalve {XXIV. Stelt.nbsp;I. B.j is hoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoek/Vil C, amp;ti hotk A HG=\ioek ACB;

de driehoeken AGH cn ABC, zijn dan gelijkhoekig, cn, volgens de Vni. Stelling, AB �. AG �BC\GH: maar, volgens de onder.nbsp;Helling, is AB-.DE�BC-.EF; derhalve {XI. Steil. 11. B.j AG:nbsp;GH=DE:EF; maar AG = DE zijnde, zal {Gev.VII.Steil.H.B.jnbsp;ook GH�EF zijn: de driehoeken, AGH en DEF, zijn dan {XIH.nbsp;Steil. I. B.j gelijk en gelijkvormig, en, om die reden, is dan hoeknbsp;jD hoek BAC; hoek�=: hoek AGH �\ioSk. A BC, en hoekF=:nbsp;hoek AHG� hoek ACB: dat is, de driehoeken ABC en DEF zijnnbsp;onderling gelijkhoekig.

�. 5.67, Twee driehoeken, ABC ,en DE F, zullen gelijkvormig zijn, wanneer een hoek Al. van den eerflen gelijk is

R MEETKUNST.

aan eenen hoek D van den tweeden, en, wanneer de i.ijden, en AC, in den eenen, met de zijden, DE en DF, innbsp;den anderen, om die gelijke hoeken jiaande, evenredig zijn.nbsp;Dat is, hoek A = hoek D, en AB �. AC D E' D F zijnde, zal ook hoek B =: hoek E, en hoek C= hoek F zijn.

Betoog. Maak AO~DE; JH=DF; en trek HG; dan is, zie voorgaande betoog, AGiGB � AH'.HC; derhalve is G//evenwijdig aan BC; en dan is (jXXlF. Steil. L B.') hoek G = hoek B,nbsp;en hoek hoek C. Omdat nu hoek D = hoek A is, zijn (A''. Steil.nbsp;LB.) de drieho�ken AGH en DBF, gelijk en gelijkvormig; daarom isnbsp;hoek � = hoek G=: hoek i?, en hoek/��= hoek//= hoek C. enz.

�. 263. De inhouden van gelijkvormige driehoeken, ABC en DE F, zijn tot elkander, in dezelfde reden, als de inhouden der vierkanten, A B KI en DE ML, welke, op de gelijk-J�andige zijden, AB en DE, hefchreven zijn.

Betoog. Men late, uit de hoekpunten der hoeken C en F, de loodlijnen CC en FH vallen, en trekke de hoekpuntslijnen BI ennbsp;HL; dan flaan de driehoeken ABC en A BI op dezelfde bafis AB;nbsp;en zijn derhalve {XIF. Steil. III. B.') in dezelfde redeii, als hunnenbsp;hoogten; men heeft dan, omdat AI�AB is,

Maar nu is jll.Gev. Fill. Steil.') CG�.AB = FH-.DE=FIhDL; derhalve zal (/, Steil. IL B.)

De driehoeken, DEF en DEL, ftaan ook op dezelfde bafis DE, en zijn dus (XIF. Steil, UI. Bj) in dezelfde reden, als hunne hoogten , FH en DL; dat is;

Vergelijkt men deze evenredigheid met de naast voorgaande; dan heeft men (�, Steil. IL B.)

drieh. ABC: drieh. A BI� drieh. DEF: drieh. DEL of, volgens de FII. Steil. IL B.

* drieh. ABC: drieh. DEF� drieh. ABI: drieh. DEL en eindelijk (/7/. Steil. 11, B.)

drieh. ABC: drieh.DEF� zinaal drieh. ABI: 2 maal drieh. DEL Maar (/, Steil. Hl, BI) tweemaal drieh. ABI �s gelijk het vierkant

BEGINSELEN

drie/i. ABC: drieh. DEFz= vierk. ABKI: vierk. DEML of.....drieh. ABC: drieh. DEFz=. AB^ :DE^.

�. 269. I. Gevolg. Fig. 92. Omdat {Fill. Steil.) A Bi lyF � BC '. E F � AC : D F ~ CG : FH, en derhalvenbsp;Cr//. Steil.) AB^ i DE^ � BC^i EF^ = AC^ : DF^z=nbsp;CG^ : Fis, blijkt hieruit; dat de inhouden der gelijkvor-mige driehoeken zijn, als de vierkanten der andere gelijkpan-dige zijden, of der loodlijnen, welke, uit de hoekpunten dernbsp;gelijke hoeken, op de overjiaande zijden vallen.

�. 2JO. Aanmerking. De oude Meetkunftenaars, (en een groot aantal der hedendaagfche volgen zulks nog,) plegen de betoogde ei-genfchap der gelijkvormige driehoeken aldus uittedrukken. Gelijkvor-ruige driehoeken zijn in de verdubbelde reden van derzelver gelijk-fiandige zijden. Zie XXV. Bep. II. B.

�. 271. II. Gevolg. Fig. 92. Laat AP �AC en DR~DF genomen, en Pg, evenwijdig aan AB, en RS evenwijdig aan DE getrokken worden; dan Is {XI. Steil. III. B.j regth. ABKl: regth. ABOP � AI: AP � AB : AC�DE: DF�DL : DR � regth.nbsp;DE ML: regth. D E SR,, en (A7/. Steil. II, B.) regth. A B QJP: regth.nbsp;D ES R � regth. ABKI: regth. D E M L: nu is regth. ABKI:nbsp;regth. DEML � drieh. ABC: drieh. D E F; gevolgelijk

drieh. ABC: drieh. DEF� regth. A B QF : regth. DE SR of, . . drieh. ABC:drieh.DEF�AB X AC:DE X DF.

De inhouden van twee gelijkvormige driehoeken, zijn dan tot elkander , als de regthoeken, onder de zijden, welke om twee gelijke hoeken jlaan, dat is, {zie Xfll. Steil. Hl. B.) in de zamengefletde reden van die zijden.

�. 27a. III. Gevolg. Fig. 93, Niet fechts de inhouden der gelijkvormige driehoeken, maar ook de inhouden van alle driehoeken, ABC en A DE, welke twet gelijke hoeken hebben, zijn tot elkander in denbsp;zamengejlelde reden van de zijden, die om deze gelijke hoeken Jlaan,nbsp;Dat is:.

Want, trek de lijn CD; dan is, volgens de XIF. Steil. lil. B. drieh. ABC: drieh. ACD � A B : ADnbsp;drieh. ACD: drieh. ADE � AC: AEnbsp;volgens de XFl. Steil. IJ. B. is dan

xir.

DER MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;91

XII. Stelling. Fig. 94.

S- 273. De loodlijn CD, welke, uit het hoekpunt C van den regten hoek C eens regthoekigen driehoeks ABC, op denbsp;hypothenufa AB valt, deelt denzelven in twee andere regthoe-kige driehoeken, ACD en BCD, welke, elk in het bijzonder, m�t den geheelen driehoek, en derhalve ook onderling,nbsp;gelijkvormig zijn.

Betoog. Omdat de driehoeken ABC en ACD beide (^onderfl.j regt-hoekig zijn in C en Z), en voorts denzelfden hoek A gemeen hebben, zal ilX.Gev. XFllI. Steil. I.B.j hoek ABC � \soekACD zijn: denbsp;driehoeken ABC en ACD zijn dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Stell.j gelijkvormig.

Omdat voorts de regthoekige driehoeken ABC en CBD den ge-Jneenfchappelijken hoek B hebben, zal jlX.Cev. XFlII.Steil. I. B.) hoek BAC � hoek BCD zijn; de driehoeken ABC en CBD zijnnbsp;dan QF/II. Stell.j gelijkvormig.

Eindelijk hoek CAD = hoek BCD, en hoek ACD zzzhoek CBD zijnde, zijn ook de {Fill. Stell.j driehoeken/ZCZ) en .BCZ) gelijkvormig.

�. 274. I. Aanmerking. Hoe verder men, in het zamenflel der Meetkunftige waarheden, voortgaat, zooveel te menigvuldiger wordennbsp;de hulpmiddelen, om de waarheden van nieuwe Hellingen te betoogen.nbsp;Zoo zullen, onder anderen, de gevolgen, welke, ui: de tegenwoordigenbsp;Helling, kunnen getrokken worden, de eigenfchappen des regthoekigennbsp;driehoeks, welke in de XFI. Stelling van het voorgaande boek bewezen zijn, op eene geheel andere wijze bevestigen.

�. 275. I. Gevolg. De gelijkvormige driehoeken ABC en ACD geven de evenredigheid

en, volgens de F. Stelling, is AC^ � AB x AD. Wederom geven de regthoekige driehoeken ABC en BCD dfc navolgende evenredigheidnbsp;AB:BC = BC:BD

en {F. Stell.j BC^�AB x BD. Hieruit volgt dan: dat elke rcgt-hoekszijde eens regthoekigen driehoeks midden-evenredig is, tusfchen de hypothenufa en het ftuk, dat van dezelve, door de loodlijn, aannbsp;den kant van die regthoekszijde, wordt afgefneden, en telt men denbsp;vergelijkingen op, welke deze evenredigheden geven; dan vindt men:nbsp;AC^ BC^ � AB X AD AB X BD=:AB~, eene waarheid,nbsp;welke , in de XFI. Steil, 11. B. uit andere beginfelen, bewezen is.

92 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

geven eindelijk de evemedigtieid, AD: CD ~CD i B D, en CD^z=z ADxBD. De loodlijn, welke, uit het hoekpunt van den rektennbsp;hoek, op de hjpothenufa valt, is dan midden-evenredig tusfehen denbsp;deden, waarin zij de hjpothenufa verdeelt,

�� 277. lil. Gevolg. Wnnneer men BE loodregt op C5,- EF looJrcgt op BE; FG loodregt op trekt, enz.; dan is Cvoorg.gev.jnbsp;�D midden-evenredig tusfehen CD en DE; DE tusfehen D B eanbsp;DF enz. De lijnen AD, CD, BD, ED, FD, GD, enz. zijn dannbsp;{XCH. Bep. II. B.j in eene onafgebrokene meetkunjiige reeks.

i. 278. II. Aanmerkiing. De betoogde Helling is fleehts een bijzonder geval van de volgende meer algemeene. IVanneer men, aan het hoekpunt C, van eenen driehoek ABC , {AB de ba fis zijnde,')nbsp;de hoeken ACD en BCE respectievelijk gelijk tnaakt, ^aan de hoeken B en A; dan zullen de driehoeken ACD en CBE respectievelijknbsp;gelijkvormig zijn aan den driehoek AB C. Foorts zal AC^z^ AB K,nbsp;ad, BC'^ � AB H BE en CD^ zz CE^ =: AD x-BE. flet betoog dezer Helling aan den Lezer overlatende, zullen wij, ter bevestiging van het gezegde in de I.Aanni., �er nog de volgende bij voegen.

Bjjgevoegde Stelling. B. Fig. 95.

�. 279. �Vanneer men, uit het toppunt C van eenen fcheSf-hoekigen driehoek ABC, eene loodlijn CE op de bafis AB laat rallen, en E D zzi B E neemt, en voorts de lijn C D trekt;nbsp;dan zal AC^ � BC^ A B x aiD zijn.

Betoog. Omdat 1� DEzzEB is, zal (XX. Steil. I.B.j CDzz.BC zijn. Men make ten 2quot; hoek ADF zz honk AC3; de driehoekennbsp;abc en AFD, hebben dan den hoek A gemeen; hoek ACBzznbsp;hoek ADF; derhalve zijn deze driehoeken {Flll.Stdl.j gelijkvormig,nbsp;en AB: AC zz AF: AD en {F. Steil.) AB x ADzzAC x AF.nbsp;Eindelijk 3�, omdat hoek A BCzzhoek AFD zz hoekBDC is, zullen de fuppieraenteii (///. Steil. I. B.) ADC lt;en DFC gelijk zijn; denbsp;driehoeken A DC en DEC hebben nu, behalve deze twee gelijke hoeken, den gemeenfch.'ppelijken hoek ACD, en daarom is {Fill. St.jnbsp;AC:CDzzCD:CF en {F.Stell.j CD^ zz AC X CFzzBC^. Tellende nu deze vergelijking bij de voorgaande, dan is AB X AD-k-BC^ zz ACX. AF-h- AC X CFzzAC^.

280. Gevoi.g. Naarmate de boek B minder van eenen regten hoek verfchik, of liever, naarmate de zijde CB nader bij de loodlijn CE

1) E R MEETKUNST.

komt, zullen ook de punten B en D nader bij elkander komen, en, op het oogenblik, dat AC de loodlijn zelve wordt, verandert de rrJe-hoek /1BC in eenen regthoekigen en de regthoek AB X /iD in hetnbsp;vierkant op AB, en de betoogde vergelijking wordt van Yi�iTlieoreruanbsp;van Pythagoras. Men kan, voor het overige, uit deze vergelijking,nbsp;gemakkeiijk het betoogde in de XVlII en XIX. van het III. Boek af-Iciden, hetwelk ook, uit het betoog der Helling, in �, 278, voorgedragen , kan gevonden worden.

281. Aanmerking. De VIII, IX, X en XI. Stellingen en der-Zelver gevolgen leeren de eigenfch-ppen d�r gelijkvormige driehoeken kennen; de XII en de bijgevoegde Stelling B- geven voorbeelden vannbsp;derzelver gebruik: thans zullen wij, in de volgende, de eigenfchappennbsp;dor gelijkvormige figuren, in het algemeen genomen, overwegen.)

XIII. Stelling. F�g. 96, 97, 98.

�. 282. Wanneer men, of binnen, of buiten, of in den omtrek van eenige regtlijnige of kromlijnige figuur, regelmatige of onregelmatige, ABCDEFG, een punt P, naar welgevallen, aanneemt, en, uit dit punt P, tot aan al de punten vannbsp;den omtrek dezer figuur, de lijnen, PA, PB, PC, PD,nbsp;PE, enz. trekt', en, voorts op deze lijnen, of derzelver verlengde, van het punt P af ter eken en, de deelen Pa, Pb. Pc,nbsp;Pd, Pe, enz, zoodanig neemt, dat zij tot de gebeele lijnen,nbsp;PA, PB, PC, PD, PE, enz, altijd in dezelfde redennbsp;flaan, als eene lijn tot eene lijn, of als een getal tot een getal; dan zullen de punten a, b, c, d, e, enz. gelegen zijnnbsp;in den omtrek eener figuur, welke aan de eerfie gelijkvor-vtig is.

Betoog. Laten de punten A en B, door de lijn AB, en der/el-ver over�'�nkomftige punten a en h. door de lijn ah, ver�'. � ��grl worden; omdat d.ni {onderfij) Pd:Pa�PB-.Ph is, zal (^/hSte'!.') ab evenwijdig aan AB zijn, en (^FUl. St.t'.j dan zal ABiabzztnbsp;AP'.aP zijn. Oni dezelfde reden zal BC:bc~PB:Pb . Ai'-.nbsp;aP, en AC-.ac� AP'.aP, enz, de afiland van twee punten, in d; nnbsp;otntrek der gefielde figuur, is dan tot den afiland der over��nkomfti-ge punten, in de voorgebragte figuur, overal, waar mem dezelve nemen moge, in dezelfde bellen.liga reden: en om die reden zijn denbsp;figuren (///. Bep.j gelijkvormig.

1?EGINSELEN

�. 283. I. Gevolg. Fig, 96, 97, 98. Wanneer men drie punten el, B en C der gefielde figuur, door drie lijnen, AB, BC en AC,nbsp;ver��nigt; dan zal de driehoek ABC, welke daaruit geboren wordt,nbsp;met den driehoek abc, welke uit de vere�niging der over�enkomfligenbsp;punten a, b en c ontfiaat, gelijkvormig zijn; want, aangezien QAB,nbsp;BC, AC'):: (ah, bc, ac) is, zijn QIX. Steil.) deze driehoeken gelijkhoekig. Drie punten eener figuur hebben dan, ten opzigte van elkander, dezelfde betrekkelijke ligging, als de drie over��nkomftige punten eener figuur, die met dezelve gelijk vormig is.

�. 284. II. Gevolg. Fig, 100. Wanneer de figuur ABCDE regtlijnig is, dan zal de figuur abcde, welke op deze wijze wordtnbsp;voortgebragt, insgelijks regtlijnig zijn; want, wanneer de lijnen FQ^,nbsp;PR, PS, PT, getrokken, en Pq, Pr, Ps, Pt, tot deze lijnen, innbsp;de reden van Pa tot PA, genomen worden; dan zull�n QF. Gev. II.nbsp;Steil.) de punten a, q, r, s, t, b, in dezelfde lijn ab, die evenwijdig aan AB loopt, gelegen zijn. Men moet hier, als eene bijzonderenbsp;omftandigheid van de gelijk vormige veelhoeken, herinneren: dat tweenbsp;veelhoeken gelijkvormig zijn, wanneer de afjiand van twee hoekpunten der eerfte figuur tot die van de over��nkomfiige hoekpunten, innbsp;de tweede, altijd in een beftendige reden is. Zie Aanm. Hl. Bep.

�. 285. I. Aanmerking. Door het betoogde wordt de mogelijkheid van het beftaan der gelijkvormige figuren, op de wijze, als in de III. Bepaling, is voorgefchreven, buiten allen twijfel gefield.

�. 286. II. Aanmerking. Fig. 99. Wanneer men de deelen Pa, Pb, Pc, enz., welke tot PA, PB, PC, enz. overal in dezelfde beftendige reden moeten zijn, op het verlengde dezer lijnen, en met betrekking tot de punten A, B, C, enz. aan den anderen kant neemt,nbsp;dan zal de figuur abcdef, met betrekking tot de figuur ABC DE F,nbsp;waarmede zij gelijkvormig is, in eene omgekeerde ftelling gelegennbsp;zijn: de eene figuur zal zich aan de voorile, en de tweede aan denbsp;achterfie zijde vertoonen.

�. 287. III. Aanmerking. Fig. 96, 97, 98 en 99. Wanneer men de lijn AP om het punt P beweegbaar fielt, en aan de punten A en anbsp;op deze lijn zulk eene beweeging geeft, dat, wanneer het punt A dennbsp;omtrek eener regte of kromlijnige figuur doorloopt, hetzelve door hetnbsp;andere punt a zoodanig gevolgd wordt, dat overal PA tot Pa in dezelfde flandvastige reden is, dan tal het punt a eene figuur befchrij-ven, welke, blijkens het betoogde, aan de gegevene getijkvormig is.

XIV. Stelling. Fig. loi.

5. �88. Wanneer men ^ op de verlengde zijden, ABenEC, van een parallelogram^ A BCD, de panten P en E zoodanignbsp;neemt, dat zij, met het punt D, in dezelfde regte lijn PE liggen, en, voorts het geheele Jlelfelvan lijnen, waaruit de zijdennbsp;van het parallelogram beftaan, om de hoekpunten A, B ,C en Z),nbsp;in beweeging jielt, {_deze lijnen onbuigbaar en onrekbaar feilende,') dan zullen, voor eiken bijzonderen fland der figuur^nbsp;de punten P, D en E, altijd in dezelfde regte lijn PE blijven, en PD zal altijd tot PE, in dezelfde ftandvastige reden, van PA tot PB zijn.

Betoog. Vermits, door de onderftelling, A BCD, een parallelogram is, zal (/. Bep. Hl. B.) AD en DC om BE on PB evenwijdig zijn; de driehoeken ADP, CED en BEP zullen dan Cev. VIU, SteilP) gelijkvormig zijn, en wij hebben derhalve de evenredigheden AP �. AD �CD: CE en PD:PE � PA:PB. Omdatnbsp;nu de lijnen onbuigbaar en onrekbaar onderfteld worden, zal, waaneer de figuur den Pand A'B'C'D heeft aangenomen, A'B'�ARfnbsp;B'C' � BC; C'D' = CD en A'D' ~ AD blijven, en {l en II.nbsp;Steil, lil- B.) A'B'C D' zal in dien fbind nog een parallelogram zijn,nbsp;terwijl, volgens het bewezene, PA' : A'D' � D'C' : CE' zal zijn,nbsp;en {XXX. Steil. /. B.) hoek P A' D ~ hoek D'C'E'�, weshalvenbsp;{VIll. Steil.) de driehoeken PA'D� en D'C'E' gelijkvormig zijn,nbsp;zijnde hoek P D'A' � hoek D' E'C'; en hoek E'D�C' � hoeknbsp;D'PA'; deze hoeken met de hoek A'D'C'�\wek B' opteilende,nbsp;aal men {VII, Ax.) vinden, dat de fom der hoeken PD'A', A'D'CXnbsp;en C'D'FJ� de fom der hoeken P, B' en E' {XVllI. Steil. /. B.)nbsp;� zR is; de lijn D'E' is dan, in dezen nieuwen ftand der figuur,nbsp;{VI. Steil. E B.) het verlengde van de lijn PD', terwijl, wegens denbsp;geliikvormige driehoeken, PA'D' en PB'E', de lijnen PD' en PE'nbsp;tot elkander in dezelfde reden, als PA' tot PB', of, als PA tot PBnbsp;zullen gebleven zijn.

�. 289. Gevolg. Fig. loi. Wanneer men het geheele ftelfel out het punt P beweegbaar ina^kt; dan zal men het punt E, langs dennbsp;omtrek eener figuur QJiS, kunnen bewegen, en dan zal het punt Dnbsp;eene figuur qrs befchrijven, welke, omdat PD tot PE altijd io ^euenbsp;bertfcndige reden is, aan de figuur Q^RS gelijkvormig zal zijn.

S� -$o.

BEGINSELEN

�. apo. Aanmerking. In dezen toeflel bedaat de Pantographe of Verkleinaap, in welke men nogtans PB gelijk aan B� neemt, en, innbsp;welke, men ��n der punten P, D of E, naar welgevallen, voor hetnbsp;vaste punt P, m fig. p6, pj, p8, pp, loo, kan aannemen. Neemtnbsp;men, m fig, 102, de lijn EC, in het parallelogram APB F, evenwijdig aan AP, en het punt D op de hoekpuntslijn PF; dan zal mennbsp;dien toeflel van lijnen om het punt P beweegbaar kunnen Hellen, ennbsp;hij zal denzelfdeii dienst, als die van de loi figuur, bewijzen.

�. 291. Wanneer twee veelhoeken,, ABCDEF en abcdef,, gelijkvormig zijn; dan zijn zij ook onderling gelijkhoekig ^nbsp;en de zijden, om de gelijke hoeken ftaande, zijn evenredig.nbsp;Dat is, hoek A zal gelijk hoek a; hoek B gelijk hoek b;nbsp;hoek C gelijk hoek c, enz. zijn; en {AB, BC, CD, DE,nbsp;EF, FA) Qab, bc, cd, de, ef,fd).

Betoog. Want aangezien (///. Bcp,') de gelijkvormigheid van twee figuren beftaat in de ftandvastigheid van de reden tusfchen den af-fiand van twee punten, in de eerfte figuur, tot den afiland der over-�cnkomllige punten, in de tweede, zal, indien men de hoekpuntslij-nen AC w ac trekt, AB\ah=BC-,hcz=.AC:ac zijn; de driehoeken ABC en abc zijn dan (/X. Steil.) gelijkhoekig, en de hoeknbsp;B is derhalve gelijk aan den hoek b. Wanneer men nu verder denbsp;hoekpuntslijncn, BD en bd, CE en ce, DF en df, EA en ea,nbsp;FB en fb trekt;-dan zal het insgelijks blijken: dat hoekCu=hoekf,-hoek �) ~ hoek hoek �= hoek e; enz. zal zijn; en, wat nu denbsp;evenredigheid d-er zijden om de gelijke hoeken betreft, deze is, in denbsp;bepaling der gelijkvormigheid, reeds van zelve begrepen.

�. 292. Wanneer tVt'ee veelhoeken, ABCDEF en abcdef, onderling gdijkhoekig, en de zijden, welke om de gelijke hoeken flaan, daarenboven tot elkander detelfde Jlandvastige reden hebben; dan zijn deze veelhoeken ook gelijkvormig.

Betoog. Indien men de hoekpuntslijncn AC en ac trekt; dan zal, aangezion (pnderjl.) AB �. ab � BCrbc of AB'. �C�abibc en

OER MEETKUNST.

hoek i5::r hoek b is, C-^. Steil.') de driehoek ABC, met den driehoek abc gclijkvormig zijn, en daarom zal nbsp;nbsp;nbsp;Steil.) AB-.ab~

ACiac zijn, en hoek BAC~ hoek bac; hoek ACD'zz hoek ach. Om dezelfde reden, is B'D-.bd'ZzBC'.hctziAB -.ah; wederom isnbsp;CE � ce � CD �. cdquot; AB : ab. Hetzelfde zal van elke hoekpuntslijtinbsp;gelden, welke eenig hoekpunt met het hoekpunt van den tweedennbsp;daar aan volgenden hoek ver��nigt. Maar hetzelfde geldt ook van denbsp;hoekpuntslijnen, welke het hoekpunt van eenigen hoek met dat vannbsp;den derden of vierden hoek ver�enigen; want, laten de hoekpuntslijnen AD en ad getrokken worden; omdat dan hoek BCD � hoeknbsp;^cd is, zal, wanneer men hier van hoek BCAzttt hoek bca Qbew.)nbsp;aftrekt, (FUJ. Ax.) hoek ACD:=c hoek �eul overblijven; daar nnnbsp;bewezen is, dat AC-.acz=.CD\cd is, zal (Fill. Steil.) AD', adnbsp;'=L AC', ac� AB-.ah zijn; en zulks is genoeg, om te doen zien:nbsp;dat, wanneer de veelhoeken uit een grooter aantal zijden bellaan, denbsp;afftanden van twee hoekpunten, in de eerfte figuur, tot die van denbsp;over�enkoraftige hoekpunten, in de tweede, overal in dezelfde reden,nbsp;en dat de veelhoeken diensvolgens (UI. Bep.) gelijkvormig moeten zijn.

�. 293. Aanmerking. Fig. 103. Wanneer twee regtlijnige figuren meer dan drie zijden hebben, is de gelijkheid der hoeken niet genoeg,nbsp;om tot derzelver gelijkvormigheid te befluiten; want een regthoek ennbsp;een vierkant zijn, bij voorbeeld, gelijkhoekig en nogtans ongelijkvor-mig. Ook kan men, uit de evenredigheid der zijden, op zich zelvenbsp;genomen, tot de gelijkvormigheid niet befluiten; want het is genoeg,nbsp;om de zijden van eene der twee gelijkvormige figuren, bij voorbeeld,nbsp;vau abedefg om de hoekpunten een weinig te doen draaijen, (hetgeen altijd, behalve in den driehoek, gefchieden kan,) om, behoudensnbsp;de evenredigheid der zijden, die der hoekpuntslijnen, welke nogtansnbsp;tot het Wezen der gelijkvormigheid behooren, te verbreken. Hetnbsp;zijn alleen de driehoeken, in welke, of de gelijkheid der hoeken, ofnbsp;de evenredigheid der zijden, (welke (VIII en IX Steil.) de eene eennbsp;noodzakelijk gevolg van de andere is,) elk op zich zelve, in hetnbsp;bijzonder genomen, de gelijkvormigheid tusfeheii dezelve noodzakelijknbsp;medebrengt: i-naa^ hebben de figuren meer dan drie zijden,.wordt �er totnbsp;de gelijkvormigheid zoowel de evenredigheid der zijden, als de gelijkheid der hoeken, vercischt, Euclides heeft daarom ook de geiijk-vormige regtlijnige figuren bepaald, ah gelijke hoeken en om de ge-Bjke hoeken evenredige zijden hebbende', eene bepaling, welke, biij-kens de XV Stelling, uit de onze volgt, en, naar de XVI Stelling,

BEGINSELEN

tot het beftaan der gelijkvormigheid genoeg toereikend is, hoewel anders deze bepaling, zoo als van zelve blijkt, niet even gemakkelijk op alle foorten van figuren toepasfelijk is.

XVII. Stelling. Fig. 104.

�. 294. De omtrekken van gelijkvormige veelhoeken ftaan tot elkander in dezelfde reden, als derzelver eveneens geplaatftenbsp;zijden of hoekpuntslijnen, en derzelver inhouden flaan tot elkander in dezelfde reden^ ah de vierkanten^ welke op de eveneens geplaatfle zijden of hoekpuntslijnen befchreven zijn.

Opheldering. Dat is, wanneer de veelhoeken ABODE en abode gelijkvormig zijn, Jan zal vooseerst

AB BC-k- CD -k- DE-k-EA-.ab-k-bc-gt;rcd-k-de-k-ef=ABi ah � BC ; bo � CD-, cd � D�:de � AE �.ae � AO'-ao �nbsp;BD�.bd~enz.nbsp;zijn; en, ten tweeden

Ink. ABODE-. Ink. abode�AB'^ : ab^ =BC^: bc'^-rzOD^ : cdquot;^ ~ DE^ : de^ � AE^ : ae^ ozz AC^ : ac^ � BD^ : b d'^nbsp;n:: enz.

� nbsp;nbsp;nbsp;BO : be � OD: cdzz.DE: de � Ae -.ae; derhalve is {X. Steil.nbsp;II. B.j

abzzBC-.bozzCD-.odzzDE-.de �11, omdat fill. Bep.j de eveneens geplaatfte zijden tot elkander innbsp;dezelfde reden, als de eveneens geplaatfte hoekpuntslijnen zijn, zijnnbsp;ook (/. Steil. 11. B.j de omtrekken der gelijkvormige veelhoeken innbsp;dezelfde reden als de eveneens geplaatfte hoekpuntslijnen.

Betoog van het tweede. Laten, uit de hoekpunten der gelijke hoeken A, en a tot al de overige hoeken der gelijkvormige veelhoeken, de hoekpuntslijnen AC en AD; ao en ad getrokken worden;nbsp;dan worden beide veelhoeken, in hetzelfde aantal van driehoeken,nbsp;abc en abo, ACD en acd, ADE en ade verdeeld, welke omdat (JU. Bep.j derzelver eveneens geplaatfte zijden tot elkander innbsp;dezelfde reden ftaan, JX. Stell.j gelijkvormig zijn: nu is (Xl.Stell.jnbsp;Inh. irieh. ABC: Inh. drteh. abezzAB^ :ah'^nbsp;maar aangezieu AB: ahzz AC: a o \%. is ook (VII. Stell.j AB^:ab^

Ink.

M E E T K U N S T.

Inh. drieh. ABC'. Inh. drieh. abczrzInh, drieh. ACD'. Ind,drieh.acd Uit dezelfde gronden zal volgen, dat

Inh. drieh. A CD'. Inh. drieh, a cd�Inh. drieh. A DE'. Inh. drieh. a de is,� en zoo verv�lgens, wanneer de veelhoeken, meer zijden hebbende,nbsp;in een grooter aantal driehoeken kunnen verdeeld worden. Wij hebben dan de aan��ngefchakelde evenredigheid:

Inh. drieh. ABC'. Inh. drieh. ahc� Inh. drieh, ACD : Inh, drieh. acd� Inh. drieh. ADE'. Inh. drieh. edenbsp;daar nu, in zulk eene evenredigheid, (Z, Steil. 11. B.) de fora van alnbsp;de voorgaande tot de fom van al de volgende termen in dezelfde reden ftant, als een voorgaande tot een� volgenden, en de fom der voorgaande termen aan den inbond van den veelhoek ABCDE, en dienbsp;der volgende aan den inhoud van den veelhoek a bede gelijk is, zalnbsp;Inh, ABCDE'. Inh. abede� Inh. drieh. ABC', l'nh. drieh. abcnbsp;zijn; maar Inh. drieh. ABC: Inh, drieh, abc �Aiazijnde,nbsp;zal (;/. Stel/. II. B.)

Inh. ABCDE : Itik. abede � AB'^ i ab^ en daar eindelijk AB :lt;ib � BC:bc � CD'.cd=tDE:de=.AE:nbsp;ae � AC: ac � BD ibdzz enz. en daarom (JAI, Steil.) AB^ :ab^nbsp;zz.BC- : hc^ � enz, � AC^ : ac^ zz. enz, is, zullen de inhouden dernbsp;geiijkvormige veelhoeken tot elkander in dezelfde reden ftaan, als denbsp;vierkanten der eveneens geplaatlle zijden of hoekpuntslijnen.

�� 295. Leeuing. Het is, uit het betoog der laatfte ftel-ling, gebleken: dat geiijkvormige veelhoeken, in een gelijk aantal geiijkvormige en op dezelfde ^wijze aan elkander geplaatfte driehoeken kunnen verdeeld worden.

V IJ F D E BOEK.

�. o.gCu I. Ui �PALING. Fig. 10$. Een cirkel is eene platte vlakte, hefioten binnen eene in zich zelve terugkeerende krommenbsp;lijn., welker punten /J. B, C, enz., geen uitgezonderd, allennbsp;even ver afftaan van hetzelfde punt BI, dat, in het middennbsp;gelegen zijnde, daarom het middelpunt genoemd wordt. Denbsp;kromme lijn ziBCDE, welke de ruimte des cirkels bepaalt,nbsp;wordt zijn omtrek genoemd.

�. 297. Aanmerking. De cirkel kan begrepen worden door de omwenteling eener regte lijn MA, om ��n zijnernbsp;uiterfte punten IM, geboren te worden: wanneer die lijn, omnbsp;het punt BI, ��ne omwenteling volbragt heeft, dan heeft denbsp;lijn MA de vlakte des cirkels en het punt A den orotreknbsp;doorgeloopen. De cirkel is, onder de kromme lijnen, de eeni-ge, welke in alle deszelfs deelen eeneriei beloop en gedaante

deszelfs omtrek genomen worden: maar dan zal zulks ook zoo duidelijk in het oog loopen, dat men naar de beteekenisnbsp;niet zal behoeven te raden.

� 5. 298. 11. Bepaling. Fig. 105. De lijnen A BI, BBI, CBI, DM, enz., welke, van het middelpunt, tot aan dennbsp;omtrek eens cirkels getrokken worden, noemt men Jlralennbsp;of radien: en de lijnen AMD, welke door het middelpuntnbsp;loopen, en ter wederzijde aan den omtrek bepaald worden,nbsp;dragen den naam van middellijnen.

I. nbsp;nbsp;nbsp;Alle jlralen en middellijnen van denzelfden cirkel zijnnbsp;onderling gelijk.

II. nbsp;nbsp;nbsp;De middellijn eens cirkels is gelijk aan het dubbeld vannbsp;deszelfs Jlraal.

DER MEETKUNST.

in. Indien men int het middelpunt eene lijn trekt ^ ial het uiteinde van die lijn binnen^ ini, of buiten den omtrek liggen ^nbsp;naar dat die lijn korter, gelijk, of langer dan de fraai is.

�. 300. 111. Bepaling. Fig. 105. Een cirkel wordt gezegd , uit een gegeven punt M, als middelpunt, met eene ge~ gevene lijn P, als firaal, befchreven te zijn, wanneer ditnbsp;punt M het middelpunt des cirkels, en deszelfs ftraal yJMnbsp;aan die lijn P geliik is.

S. 301. IV. Bepaling. Fig. 106. Een cirkelboog is een gedeelte van den omirek des cirkels, als, bij voorbeeld,nbsp;ADB, ACB.

302. V. Bepaling. Fig. 106. De lijn AB, welke de uiteinden van eenen cirkelboog Z) S ver��nigt, en derhalvenbsp;dien boog als onderfpant, wordt de koorde van dien boognbsp;genoemd. Wanneer die koorde door het middelpunt loopt,nbsp;is zij eene middellijn.

Tot elke koorde Ali, behooren twee bogen, ADD en ACB; doch, wanneer men van eenen boog fpreekt, welke door eene koordenbsp;onderfpannen wordt, bedoelt me'n, indien het niet uitdrukkelijk anders gezegd wordt, den kleinften der twee bogen.

�. 303. VI, Bepaling. Fig. 105. Een cirkel feSior AMB is een gedeelte des cirkels, tusfchen twee llralen, AM ennbsp;BM, en eenen cirkelboog yf 5 begrepen.

�. 304. Vil. Bepaling, Fig. 106. Een cirkel fegment, ABD, is een gedeelte des cirkels, tusfchen eenigen boognbsp;APgt;B en zijne koorde begrepen. � Eene koorde deelt dennbsp;cirkel altijd in twee fegmenten.

�� 305. VIII. Bepaling. Fig. 106. Eene lijn AB wordt gezegd,, in den cirkel te jiaan, of, in den cirkel befchreven

�� 306. IX. Bepaling, Fig. \oj. Eene fecans of fnij-lipi, ABCD, is eene lijn, waarvan �en gedeelte binnen, en een ander gedeelte buiten den cirkel gelegen is.

�. 307. X. Bepaling. Fig. 107. Eene tangent of raaklijn, FFG, is eene lijn, welke, behalve een punt ii'van dezelve, hetwelk in den omtrek gelegen is, en het raakpunt

genoemd wordt, voor het overige, geheel buiten den omtrek ligt. Zulk eene raaklijn wordt gezegd den cirkel in hetnbsp;raakpunt aanteraken.

308- XI. Bepaling. Fig. 108. Een hoek AMB, wordt gezegd, in den cirkel aan het middelpunt te ftaan^nbsp;wanneer het hoekpunt il/ van dien hoek in het middelpuntnbsp;gelegen is.

�. 309. XII. Bepaling. Fig. to8. Een hoek ACB^ wordt gezegd, aan den omtrek eem cirkels te ftaan, wanneer het hoekpunt C in den omtrek gelegen is, en deszelfsnbsp;beenen, AC en j5C, het zij beide fnijlijnen, of het eenenbsp;eene fnijlijn en het andere eene raaklijn is. Men zegt ook:nbsp;dat een hoek, AMB of ACB, op eenen hoog ADB , aan hetnbsp;middelpunt of aan den omtrek flaat, wanneer de beenen vannbsp;dien hoek door de uiteinden van dien boog loopen, en hetnbsp;toppunt aan het middelpunt, of aan het overige gedeelte vannbsp;den omtrek, geplaatst is.

�. 310. XIll. Bepaling. Eene regtlijnige figuur wordt gezegd, in den cirkel hefchreven te zijn, wanneer alle der-zelver hoekpunten, geen uitgezonderd, in den omtrek de-zes cirkels liggen.

�. 311. XIV. Bepaling. Eene regtlijnige figuur wordt gezegd, om den cirkel hefchreven te zijn, wanneer alle harenbsp;zijden, of derzelver verlengde, geeae uitgezonderd, den omtrek aanraken. Op dezelfde wijze moet het verftaau worden, wanneer men zegt; dat een cirkel in eenige regtlijnigenbsp;figuur hefchreven is.

312. XV. Bepaling. Fig. 109. Een cukcl MDEF, raakt eenen anderen cirkel ABCM, in een punt BI inwendig, wanneer die twee cirkels het raakpunt M alleen gemeennbsp;hebben, en derzelver omtrekken binnen elkander liggen; ennbsp;een cirkel MG Hl raakt den cirkel ABCM, in een puntnbsp;M, uitwendig, wanneer zij Hechts het punt BI gemeen hebben, en de omtrekken buiten elkander gelegen zijn.

�� 3*3� omtrekken en inhouden van cirkelt^ die gelijke flralen, of middellijnen hebben, zijn gelijk.

Betoog. Wnnt, omdat de ftralen of middellijnen gelijk zijn, zullen, wanneer de middelpunten der cirkels op elkander gelegd worden,nbsp;(A Gev. 11. Bep.') de omtrekken op elkander moeten vallen, en daarom zullen de omtrekken en inhouden (/, Ax.j gelijk zijn.

�. 314, Elke middellijn deelt den cirkel en deszelfs omtrek in twee gelijke deel�n.

Betoog, Men late de benedenfte helft der figuur AFEB om de middellijn AD omdraaijen, en op de bovenfte helft vallen, dan zullen al de punten van den omtrek A FED, wegens de gelijkheid der'nbsp;flralen, in den omtrek der figuur A BCD moeten vallen: de figurennbsp;A FED en A BCD, zullen derhalve (/, Ax.') gelijk zijn. Men gevoelt nu, waarom de lijn AD, die door het middelpunt gaat,nbsp;dellijn genoemd wordt.

�� 3^5quot; In ^^ken cirkel is eenige koorde, AB, korter dan deszelfs middellijn.

Betoog, Omdat het middelpunt M des cirkels buiten elke koorde ligt, zal men, uit het uiteinde A der koorde A B, door het middelpunt M, de middellijn A MC kunnen trekken; indien men dan nognbsp;de ftraal MZ?'trekt, dan zal (Vil. Steil. L BF) ABlt;;^AM BMnbsp;zijn; vermits nu AM-k- BM�AM-\-MC�AC (/, Gev. II, Bep.')nbsp;is, zal (V. Ax.) ABct^AM z\]xi. De middellijn eens cirkels is al-zoo de langde lijn, die in denzelven kan geplaatst of befchreven worden.

�. 316. Eene regte lijn, AD, kan den omtrek eens cirkels fechts in twee punten, B en C, doorfn'ijden.

BEGINSELEN

punten doorfnijdt, en men dan uit het middelpunt tot die punten firs-len trekt; dan zal men buiten eene lijn een punt hebben, dat op eenen gelijken afftand van drie onderfcheidene punten gelegen is; daar zulksnbsp;nu (XX/. Steil. I. B,') onmogelijk is, zal ook de doorfnijding van eenenbsp;regte lijn, met eenen cirkel in geen meer, dan in twee punten, kunnen plaats hebb�u.

V. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling. Fig. iix.

�� 317. In denzelfden cirkel.^ of, in gelijke cirkels, worden gelijke cirkelbogen door gelijke koorden onderfpanmn. � Ennbsp;omgekeerd. � Gelijke koorden onderfpannen, in denzelfdennbsp;cirkef of^ in gelijke cirkels, gelijke hogen.

Opheldering, Dat is, wanneer de ftraal AM gelijk is aan de ftraal A'M', en de boog ACB gelijk aan den boog A'0B'; dan zal denbsp;koorde A B gelijk zijn aan de koorde A'Bgt;, � en omgekeerd, �nbsp;wanneer de koorde AB gelijk is aan de koorde A^Bf dan zullen denbsp;bogen ACB en A'C�B' gelijk zijn.

Betoog van het eerfle. Laat het punt M, in het punt M�, en AM langsgelegd worden; dan zal (fKlll. Bep, I. B.j het puntnbsp;.^ in het punt A' vallen, cn de omtrek van den boog ACB (/. StelLjnbsp;langs den omtrek van den boog A'C'B'; omdat nu de bogen ACBnbsp;en A^C'B' gelijk zijn, zal het punt B in het punt B' vallen; denbsp;uiteinden der koorden AB en A'B' vallen derhalve in elkander, ennbsp;zijn (X///. Bep. I. B.j gelijk.

Betoog van het tweede. Omdat de zijden der driehoeken, ABM. en A'B'M', volgens de onderftelling, gelijk zijn, namelijk AM�nbsp;yitpif BM�B^M' en AB � A'B'; zal {XUI. Steil. I. B.j hoeknbsp;AMB� hoek A'M'B' zijn; de beenen dezer hoeken zullen dr.11nbsp;QXF, Bep. I. B.j op elkander vallen; en, wegens de gelijke ftralen,nbsp;AEI en BM en A'M' en B'M', zullen de punten A en B, in denbsp;punten A' en B', en de bogen ACB en A'�B' geheel in elkandernbsp;vallen, en (/. Ax.j om die reden gelijk zijn.

VI. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling. Fig. iii.

�. 318. In denzelfden cirkel, of, in gelijke cirkels, wordt een grooter boog door eene grootere koorde, � en omgekeerd, �nbsp;eene grootere koorde door eenen grooteren hoog onderfpannen,nbsp;(mits de hogen kleiner dan een halve cirkel zijn-j

Betoog van het eerfte. Want, indien de boog ^Z)gt; boog AB is; dan zal, na de Uralen, AM, HM en DM getrokken te hebben,nbsp;AMz=.AM-, BM~DM, en hoek AMD';;�� hotkAMD zijn; derhalve zal (X/. Steil. I. H.) AD'^ AB zijn.

Betoog van het tweede. Indien, omgekeerd, AD^gt; AB is; dan zal, in dezelfde driehoeken,i^HMen ADM, (^XIL Steil. I, ^.^hoeknbsp;^MZ)gt; hoek AMB-, en derhalve boog ACBD;gt; hoozACB zijn.

S' 319- AAN1MERKI^G. Fig. iH- Wanneer de bogen ACB en ACBD, greater dan een halve cirkel zijn; dannbsp;zullen, omgekeerd, de bogen grooter worden, indien de koorden kleiner zijn.

320. De flraal MC, welke loodregt op eene koorde AB jlaat, deelt dezelve, zoo wel als den boog ACB, welken dienbsp;koorde onderfpant, in twee gelijke deelen.

Betoog. Want trek de ftralen AM en BM; dan zullen, omdat {onderfl.') hoek ADMzcz hoek EDMitZ-R is, en jl. BepB) AMnbsp;::z B M (^If. Lemma I. B.j de regthoekige driehoeken ADM ennbsp;BDM gelijk en gelijkvormig zijn, en, om die reden, zal AD �nbsp;BD; en hoek /^PCzz hoek BMC zijn. Trekt men nu de koordennbsp;AC en BC; dan zullen, omdat hoek AMCztz hoek BMC IbewezB),nbsp;CM~CM, en AM-zzBM {I. Gev. II. Bep.') is, de driehoekennbsp;A MC en BMC (X Steil. I. BS) gelijk en gelijkvormig, en derhalvenbsp;AC-^BC zijn-, de boog AC zal dan {V. Steil.j gelijk aan dennbsp;boog BC zijn.

�� 321. De lijn CM, welke loodregt. op het midden een er koorde MB flaat, loopt door het middelpunt des cirkels, ennbsp;deelt den boog, welken die koorde onder fpant, in twee gelijkenbsp;deelen.

Betoog. Want, omdat (ZT. Steil. I, H.) al de punten M van de loodlijn DM op gelijken afftand van de uiteinden A tn B der koorde ftaan, is het middelpunt des cirkels noodzakelijk in die lijnnbsp;gelegen; indien nu de koorden AC en BC getrokken worden; dan

BEGINSELEN

zuilen deze koorden (XX. Steil, I. D.quot;) insgelijks gelijk zijn, en daarom zal (F. Steil.') boog AC~ boog BC zijn.

322. nbsp;nbsp;nbsp;De ftraal MC, of middellijn CE, eens cirkelt,nbsp;welke eenige koorde AB midden door deelt, deelt ook de beide bogen, ACB en AEB, welke deze koorde onderfpant, innbsp;twee gelijke deelen. � En omgekeerd. � De ftraal MC, ofnbsp;middellijn CE, welke een en boog ACB midden door deelt,nbsp;fnijdt de koorde AB, welke dezen boog onder fpant, 'regthoekignbsp;en in twee gelijke deelen.

Betoog van het eerfle. Omdat (onderjl.) AD �BD en (/. Qev. II. Bep.) AM�BM en BID �MD is, zijn de driehoeken/i'Z)71 �nbsp;en BDM (XIll. Steil. I. B.) gelijk en gelijkvormig, de hoek ADMnbsp;is dan gelijk aan den hoek BDM gelijk R,� de ftraal MQ ftast dannbsp;(XFl. Bep. I, B.) loodregt op de koorde A B en deelt (Fill. Steil.)nbsp;den boog ABC in twee gelijke xleelen: maar de middellijn EC deeltnbsp;den boog AEB insgelijks in twee gelijke deelen: omdat, wanneernbsp;van de halve omtrekken CAE en CBE, die (II. Steil.) gelijk zijn,nbsp;de gelijke bogen AC en BC worden afgetrokken, de overblijvendenbsp;bogen AE en BE (Fill. Ax.) gelijk zijn.

Betoog van bet tweede. Wanneer de bogen AC en BC gelijk zijn,'dan tX\x\(F. StelF) de koorden AC ex\ 5C gelijk, en de driehoeken A MC en BMC, zijn dan (XIll. Steil, I. B.) gelijk en gelijkvormig; hoek AMD is dan gelijk hoek BMD, en de lijn CM ftaatnbsp;(Leer. XIF. Steil. I. B.) derhrdve loodregt op de koorde A B.

X. Stelling. Fig. 113.

323. nbsp;nbsp;nbsp;Drie punten A, B en C, welke naar welgevallennbsp;aangenomen worden, mitt zij niet in dezelfde regte lijn gelegen zijn, liggen altijd in den omtrek van eenen cirkel.

Betoog, Indien men,' door het midden C van de lijn AB, eene loodlijn Iaat gaan; dan ftaan al de punten M van die loodlijn, opnbsp;eenen gelijken afftand, van de uitcrfte punten A tn B dezer lijn;nbsp;(zie XX. Steil. I. B.) Wanneer men dan, uit eenig punt Tlf dezer loodlijn met MA als ftraal, eenen cirkel belllirijft, zal (/. Gev. ll. Bep.)

MEETKUNST.

de omtrek dezes cirkels- ook door liet punt B gann, en nu blijkt het, ten klaarde, dat door de punten J en B eene oneindigheid*-van cirkels, welker middelpunten alle op de lijn CM liggen, kunnen gebragtnbsp;worden. Op dezelfde wijze zal men, door de punten B en C, eenenbsp;oneindigheid van cirkels kunnen trekken, welker middelpunten op denbsp;loodlijn MD, door het midden, van BC gaande, gelegen zijn. Wanneer nu de punten A, B en C, niet in dezelfde lijn liggen-, dtm zalnbsp;BC met het verlengde van AB eenen hoek maken, en de verlengde �nbsp;loodlijn 31D, zal het verlengde van AB (J^.Cev.XFlH, Steil. LB.')nbsp;onder eenen fcherpen hoek E moeten doorfnijden; waaruit dan QXXIILnbsp;Steil. I. B.') volgt; dat de loodlijnen AM en DM, elk,ander ergensnbsp;in een punt M moeten doorfnijden; dit punt M ftaat dan (ZX Stel!.nbsp;I. B.') op denzelfden afftand van de punten A, B en C, en de cirkel, welke uit M, als middelpunt, met M//, als ftraal, befchrevennbsp;wordt, gaat noodzakelijk door de punten B en C, en deze drie puntennbsp;liggen alzoo in den omtrek van eenen cirkel.

�. 324. I. Gevolg. Omdat de loodlijnen CM en DB'I, elkander Hechts in �dn punt if/kunnen doorfnijden, heflantnbsp;�e?' ook niet meer daii ��n punt, dat even ver van de puntennbsp;A, B en C afgelegen is; en,, 'er kan gevol gelijk, door drienbsp;punten, niet meer dan een cirkel befchreven worden.

�, 325. II. Gevolg. Twee cirkels kunnen, elkander in geen meer dan in twee punten doorfnijden; omdat, wanneer zij elkander in drie punten fnedeii, door drie punten, llrijdig metnbsp;het voorgaande gevolg, twee ondcrfcheidenc omtrekken zouden befchreven kunnen worden.

�� Leerikg. Men leert hieruit: dat om eiken driehoek een cirkel kan befchreven worden, welks middelpunt gelegen is in de doorfnijding van twee loodlijnen, welke, uit het midden van twee zijner zijden; op dezelve worden opgerigt.

�� 3-7* Gelijke koorden, AB en CD, flaan op gelijke af-flanden van het middelpunt; en de langfte, CE, jw� twee koorden, CE en CD, flaat digter bij het middelpunt, dannbsp;de kortfle, CD.

lijnen BIF en MG op de Icoorden vallen; en trekke de flralen en CM; dan zijn (FII. Steil.) AF�FBz=:\AB en CG = ICD',nbsp;en omdat AB~ CD is, (IF. Ax.) zal AF~CG zijn; de regthoe-kige driehoeken, AMF en CMG, hebben dan gelijke hypothenufeonbsp;A BI en CM, en twee gelijke regthoekszijden, AF w. CG, �n zijnnbsp;daarom (��. Lemma /. B.) gelijk en gelijkvormig; derhalve zijn denbsp;zijden MF en GBI, of de afftanden der koorden AB en CD tot hetnbsp;middelpunt, gelijk.

Betoog van het tweede. Is de koorde CE langer dan de koorde CD; dan zal de boog CDE {FI. Steil.) langer dan de boog CDnbsp;zijn; indien men dan de loodlijnen MG en BIH op deze koordennbsp;laat vallen, zal, omdat hoek MCD Jgt; hoek BI CE is, (^F. Cev. XFIII-Steil. I. B. en XI. Ax.) hoek CMIC^ hoek CMH zijn, en omdatnbsp;MH loodregt op CE ftaat, zal (^XXI. Steil. I. B.) MI^MH zi]n'inbsp;daar nu GikT klaarblijkelijk grooter dan is, zal {FI. Ax.) GBInbsp;grooter dan HM zijn; dat is: de kortfte koorde CD ftaat het verstnbsp;van het middelpunt, enz.

�. 328. Eene lijn AB, ^velke loodregt op het einde van eene ftraal CM flaat, is eene raaklijn, welke den omirek, innbsp;het uiteinde van die Jiraal, in het punt C, aanraakt.

^ Betoog. Want, indien men, aan de eene of r.uJere zijde van de ftraal CM, eene lijn BID, uit het middelpunt, tot aan de lijn ABnbsp;trekt, zal (jXXI. Steil. I. B.) die lijn langer dan de loodlijn zijn, ennbsp;het punt D zal (///. Gev. II. Bep.) derhalve buiten den omtrek liggen'}nbsp;de lijn AB heeft dan met den omtrek des cirkels geen ander, dan hetnbsp;punt C, gemeen, en is daa/ora (X Bep.) eene raaklijn:

�. 329. Aanmerking. Fig. 115. Wanneer men, door het raakpunt C, eene lijn CE trekt, welke met de raaklijn eenen zekeren hoeknbsp;maakt; dan zal men, uit het middelpunt, eene loodlijn MF op dienbsp;lijn kunnen laten vallen; daar nu die loodlijn (XX/. Steil. I. B.) kotter dan de ftraal MC is, zal het punt F binnen den omtrek liggen,nbsp;en CE zal gevolgelijk eene fnijlijn zijn. Hieruit volgt dan:

g, 330. Eat door elk punt, aan den omtrek, jlechts eent raaklijn aan den cirkel zal kunnen getrokken worden; en dtdnbsp;eene raaklijn noodzakelijk regthoekig jlant op de lijn, wetlt^nbsp;het raakpunt met het middelpunt des cirkels vere�nigt.

xiiilt;

1) s R MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;icp

�� 33T. Uit elk punt, M, genomen op een lijn, BM, welke eenen hoek, ABC, midden door deelt, kan, als middelpunt, eenen cirkel hefchreven worden, welke beide de beenen,nbsp;AB en BC, van dien hoek, ABC, aanraakt.

Betoog. Men late, uit eenig punt M van de lijn Silf, de loodlijnen ME en MD op de beenen AB en BC van den hoek ABC vallen; dan zijn de driehoeken EBM en DBM gelijk en gelijkvor-niig; want zij zijn Qconflr.') in E exs D regthoekig, en, hoek EBMnbsp;~ hoek DBM zijnde, zal QIX. Gev, XEllI. Steil, I. BS) hoek BMEnbsp;= BMD zijn, en (^IX. Steil: /. BS) ME �DM; wanneer men dan',nbsp;nit het punt M,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;als ftraal, eenen cirkel befchrijft, dan zal

dien cirkel rfoor de punten E en D gaan, en {X, Bep. Xll. Steil, en conjlr.) de lijnen, AB en BC, in die puntep, aanraken.

�. 332. Leering. Omdat, wegens de gelijke en gelijk-Vorraige driehoeken, BEM tn BDM, ook BE � BD is, leert men hieruit: dat de deelen, BE en BD, der raaklijnen , welke, uit hetzelfde punt B, tot aan den omtrek getrokken worden, die altijd twee in getal zijn,) en tusfchennbsp;dat punt B, en de raakpunten, D en E, begrepen zijn, gelijk zullen zijn.

�. 333. Gevolg. Fig. 117. Wanneer de lijnen, AD en BD, twee hoeken, AexiB, van eenen driehoek midden doornbsp;deelen, dan zal het punt D, alwaar deze lijnen elkander fnij-den, het middelpunt van eenen cirkel zijn, welke, met de loodlijn, DE, ah ftraal, hefchreven zijnde, de zijden van dennbsp;driehoek zal aanraken, en bijgevolg in dien driehoek zal hefchreven zijn. Blen kan dan in eiken driehoek eenen cirkelnbsp;befchrijven.

�� 331* Twee evenwijdige koorden, of fnijlijnen, AB en CD, fnijden twee gelijke bogen, AC en BD, vqn den om-,nbsp;trek af, � en omgekeerd, � twee gelijke hogen, AC ennbsp;BD, zijn tusfchen evenwijdige lijnen, AB en CD, gelegen.

BEGINSELEN

Betoog van het eerfte. Laat, uit het middelpunt M des cirkels� eene loodlijn MF o�p AB vallen; dan zal, omdat AB evenwijdignbsp;aan CD is, die loodlijn (/� Gev. XXXIII. Bcp. I. B.') ook loodregtnbsp;op CD liaan; en daarom zal {Vil. Steil.') de boog ACH� boognbsp;�Z)// zijn; men trekke hiervan af den boog CH, die, om dezelfdenbsp;reden, gelijk aan den boog DH is; dan zal {VlII.Ax.) de boog XCnbsp;gelijk aan den boog DH overblijven.

Betoog van het tweele. Laten de boogen AC m Z) 5 gelijk zijn� dan moet bewezen worden: dat CD evenwijdig is aan AB. Laat Bnbsp;het midden van den boog CHD zijn, dan is dit punt ook {VH. Ax.')nbsp;het midden van den boog ACHDB: indien men dan, van /ftot hetnbsp;middelpunt M, de lijn HM trekt; dan zal {IX. Steil.) die lijn lood-regt op AB, en tevens loodregt op CD liaan: de lijn AB h dannbsp;{I. Gev. XXXIII. Bep. I. B.) evenwijdig aan CD.

�� 335� Gevolg. Indien de lijn CD den cirkel niet fnijdt, maar aanraakt;-dan zal die aanraking in het punt H, of/, moeten plaats hebben, en dan zal de boog AH� den boOg BH, of de boog Al�nbsp;den boog BI zijn.

�. 336. Wanneer de afftand van de middelpunten van twee cirkels korter is dan de fom van derzelver ftralen, en tevensnbsp;de grootfte ftraal kleiner is dan de fom van de kleinfte ftraalnbsp;en de afftand der middelpunten; dan zullen deze cirkels elkander fnijden, en de lijn, welke de middelpunten dezer cirkelsnbsp;ver'��nigt, zal de koorde, welke deze cirkels gemeen hebben, innbsp;twee gelijke deden regthoekig door fnijden.

Betoog van het ecvftc. Want, onder de gelielde voorwaarden, zal men, met den afftand der middelpunten MN, en de liralen AMnbsp;en AN, {VH. Steil. I. B.) eenen driehoek A MN kunnen zamen-liellen, en op denzelfden balls MN, den tcgenovergelielden driehoeknbsp;, BMN plaatfen: wanneer men dan, uit de punten M en N, met denbsp;liralen, AM en AN, cirkels befchrijft; dan zullen deze cirkels elkander in de punten A en B doorfnijden.

, Betoog van het tweede. Omdat A B eene gemeenfchappelijk^ koorde van beide cirkels is, zal de lijn, w'elke loodregt door het midden C dezer koorde loopt, {VHI. Steil.) door de middelpunten van

'ijn (/. Steil, 1. B.') kan getrokken worden, kan geene andere, ciau de lijn Mn, loodregt door het midden yan gaan.

S' 337. Wanneer de af ft and van de middelpunten van twee ^^rkels gelijk is aan de font of nan het verfchil van derzelvernbsp;finalen-, dan zullen die cirkels, in het eerfte geval, elkandernbsp;^dwendig, en, in het tweede geval, elkander Inwendig aan-

Betoog van het eerfte. Fig. 121. Wanneer de fora der ftralen AM ///V gelijk is aan den affland MN der middelpunten; dan hebbennbsp;cirkels geen ander, dan het punt A, gemeen: want, indien men, innbsp;omtrek van den eenen cirkel, het punt /' neemt, en de lijnennbsp;en NP trekt; dan is {Fll Steil. I. B.j MP-\-NP^MN,nbsp;^gt;er van MP � AM aftrekkende, zal (JX. Ax.j NP^ AN zijn:

ander punt P zal (///. Gey. 11. Bep.) buiten den tweeden cirkel lig-to, et: de cirkels zullen elkander (Z. Bep.j in A uitwendig aanrakeii.

Betoog van het tweede. Fig. 122. Indien men in den grootllen cirkel het punt P neemt, en dan PM ew /quot;W trekt; dan is Stel!.nbsp;I. B.y PM AfiVgt; PN; maar. PN= AN (/. Gev. 11. Bep.j zijnde, zal (jF. Ax.j PM MN'ps.' AN zvpx, en hiervan MN�MNnbsp;aftrekkende, zal {IX. Ax.j PM'jlpAM zijn: elk punt P zal dannbsp;{UI. Gev. II. Bep.j buiten den omtrek van den tweeden cirkel liggen, en de cirkels zullen {X. Bep.j elkander in A inwendig aanraken.

�. 338. Leering. Men leert hieruit: 1� Dat, wanneer twee cirkels elkander uit of inwendig aanraken, derzelver mid~nbsp;delpunten, met het raakpunt, op dezelfde regte lijn liggen.

Dat de middelpunten van alle cirkels, die elkander in hetzelfde punt uit of inwendig aanraken in dezelfde regte lijn gelegen zijn.

S* 339- De beenen van gelijke hoeken, A BIB en BBIC, Welke in eenen cirkel aan het middelpunt ftaan, fnijden vannbsp;den omtrek gelijke bogen, AB en BC, en van den inh'oudnbsp;gelijke en gelijkvormige feciors, A BIB en BMC af, � ennbsp;Gingekeerd, � op gelijke bogen, AB en BC, aan den omtrek ,

BEGINSELEN

Betoog van het eerfie. Trek de koorden AB en BC. OmdaGquot;i de flralen AM, BM en CM (/. Gev, 11. Bep.j gelijk zijn, en (pnderfi^nbsp;hoek AMBz= hoek BMC is, zal (Z. Steil. /. jS.) AB = BC,nbsp;daarom zal Steil.') boog AB � boog B C zijn. � Ennbsp;men de fedors A MB en BMC op elkander past, dan zullen zij klaaf'nbsp;blijkelijk op elkander fluiten, en (I. Ax.) gelijk en gelijkvormignbsp;Betoog van het tweede. Wanneer de bogen AB en BC gsl'i'^nbsp;zijn; dan.zijn (F. Steil.) de koorden, welke deze bogen ondC'nbsp;Ipannen gelijk en de driehoeken AMB en BMC zijn (^XIII.

I. B.) gelijk en gelijkvormig, en daarom is hoSk. AMB � hoek Bi^'^^� �. 340. I. Gevolg. Big. 124. Wanneer men dan, uitnbsp;hoekpunten, B en E, van gelijke hoeken, ABC en DE^'gt;nbsp;met gelijke flralen, AB en DE, twee cirkelboogen, ACnbsp;DF, hefchrijft, welke door de heenen dezer hoeken bepao^tlnbsp;tvorden; dan zullen deze cirkelbogen, AC en D F, zoo wel tiltnbsp;de cirkel feamp;ors, ABC en D E F, welke daardoor in de fi'nbsp;guur ontflaan, gelijk zijn.

�. 341. n. Gevolg. Fig. 12^. Omdat gelijke koorden W. Steil-) gelijke bogen, en gelijke bogen gelijke hoeken, aSi het middelpunt�nbsp;onderfpannen, zal men eenen hoek AB C, op de volgende wijze kunnen vermenigvuldigen: men befchrijve, uit het punt B, met eene ftf'ttti �nbsp;AB, naar welgevallen genomen, eenen cirkel of cirkelboog, en trefnbsp;eene flraal, gelijk aan de koorde A C, uit C eenen boog, die deunbsp;cirkel in Duit D eenen boog, die den cirkel in E; uit E ctnelinbsp;boog, die den cirkel in F, enz. fnijdt: dan zullen de bogen flC,nbsp;CD, DE, EF, enz., welke, door die conjlru�ie, gelijke koorden hebben, aan het middelpunt B, gelijke hoeken ABC, CBD, DBBjnbsp;EB F, enz bepalen, en men zal alzoo, met behulp des cirkels, eenennbsp;hoek, die gelijk -twee, drie, vier en meermalen eenen gegeven hoeknbsp;is, kunnen za�nenftellen. � Ook zal men, omgekeerd, een' hoek in eennbsp;zeker aantal gelijke deelen verdeelen kunnen, door den boog, welkenbsp;dien hoek onderfpant, in even zoo vele gelijke deelen te verdeelen-�. 342. lil. Gevolg. Nog volgt hieruit: dat, wanneernbsp;tnen uit het hoekpunt, alwaar twee loodlijnen elkander fn�J~nbsp;den, eenen cirkel hefchrijft, die loodlijnen den cirkel 0 des-elfs omtrek in vier gelijke deelen zullen verdeelen. h-leu

XVIII.

D E 11 meetkunst.

XVj�f. S T E L L I N G.j Flgt;. 126.

343. In eiken cirkel^ fl.aqn de hoefien, AMd en BMC, het middelpunt^ tot elkander in -dezelfde reden, als denbsp;-n, D E en E F, welke, door de beenen dezer hoeken, vannbsp;den omtrek yan dien ^cirkel worden afgej.neden, en op welke zijnbsp;derhalve geplaatst 'zifn. Dat is:

Hoek AMB-. Hoek BMCt=. Boog D E: Boog E F Betoog. I. Geval.Warineei; de hoeken' AMD en BMC meet-.^'sar zijn; dnn hebben'j^ij eene gemeene mra:, welke in dezelve res-Pcdievelijk p en (tif de figuur zeven en'negen) malen zal begrepen zijn: men za! dan, uit het middelpunt M, dat tevens het hoekpunt der hoeken is, ^^n zeker r.rntnl lijnen kunnen trekken, welkenbsp;den hoek /IB'IB, in p (fn de figuur in zeven.) gelijke hoeken, AMH,nbsp;IlB'Ii, enz ; en den hoek BBdC, in q (in de figuur in negen,) gelijke hoeken, BBIK, KML, enz. z.ullen verdeden De beenen dezernbsp;hoeken zullen den boog DK in p (of zeven) kleinere bogen DN,nbsp;No, enz., en den bAog F. F in q (jof negn) kleinere bogen EP,nbsp;PQ^ enz. verdeelen. Omdat mi (fKPPl. Steil.') gelijke hoeken, aan hetnbsp;middelpunt, gelijke bogvn van don omtrek nffnijden, zullen de dee-len dezer bogen gelijk zijn: 'de hoek'.^A'/// zal dan, als de gemeenenbsp;maat der hoeken, ABiB en BMC, en de boog DN, dien deszelfsnbsp;beenen van den oaitrek affnijden, ais de gemeene maat der bogen,nbsp;DE en EF, kunnen worden nangemerkt; dapr het nu van zelf blijkt:nbsp;�iat de gemeene mquot;t\AMH der hoeken, A BIB en BMC, op eikennbsp;hork zooveelmaal begrepen is, als de gemeLne maat DN der bogen,nbsp;DE on EF, op eiken,^ezer bogen, zal QAanrn. IX. Bep. Il. Bf)nbsp;Hoek A BIB', llkck B MC ~ Boog DE: Boog EF zijn.

II. Geval. Wanneer *de hoeken AMB en BBIC onmeetbaar zijn; dan zal men, den hoeli� BBIC, 'als den grootften aannemende, vannbsp;dien hoek zoo vele hoeken, gelijk aan den hoek AMB, afnemen, alsnbsp;nlogelijk is, en �er zal op het laatst een hoek V overb�jven, kleinernbsp;dan de hoek AMB. 'Vaa den hoek ABIB zA men den hoek F zoonbsp;mciiigmard af^nen, als mogelijk is, en men zal eindelijk eenen hoeknbsp;JF, kleiner dan den hoek Uoverhouden. Op deze wijze, zal men dennbsp;betrekkingswijzer der hoeken BMC en AMB, namelijknbsp;V BMC, AMB, V, IV, X, T, Z, enz, jnbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h, c, d, e, f, enz. j

BEGINSELEN

doof eene voortgezette uitmeting, verkrijgen. Maar nu is het, uit d�'' KFII. Stelling, klaarblijkelijk: dat, zoo menigmaal de hoek AMB vannbsp;den hoek BMC kan afgenomen worden, ook even zoo vele bogen,nbsp;gelijk aan den boog DE, van den boog EF zxiWm worden afgefne-den, � en dat de hoek E, dien men op het laatst overhoudt, eenennbsp;boog F' zal bevatten, kleiner dan de boog DE; dat, al verder, vannbsp;den boog DE zoo vele bogen, gelijk aan den boog F'^ zullen afgefne-den worden, als het mogelijk is, den hoek ^ van den hoek AMBnbsp;afceneraen, terwijl de overbiijvende hoek ^ eenen boog fV' onder-Ipannen zal, kleiner dan de boog F^, enz. pe uitmeting der hoekennbsp;BMC en AMB, zal dan tevens, door de fnijding van derzelver bee-nen, den betrekkingswijzer der bogen EF tn DE doen kennen,nbsp;namelijk:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

j EF, DE, F', W', X', Tgt;, Z', enz. i l a, b, c, d, e, f, enz. \nbsp;welke klaarblijkelijk dezelfde wijzergetallen, als de betrekkingswijzernbsp;der hoeken BMC en AMB zal hebben; yolgens de IX. Bepalingnbsp;II. Boek, zal dan ook, in het geval van de onmeetbaarheid der hoeken,.

�. 344. I. Gevolg. Fig. 126. In denzelfden cirkel., zul len de inhouden der feSlors, DME en EMF, tot elkandernbsp;flaan, in dezelfde reden, ah de hoeken, DME en EBIF,nbsp;ran derzelver firalen; of ah de hogen, DE en EF, doornbsp;welke deze fcElors bepaald worden.

�. 345. II. Gevolg. Fig. 124. Twee hoeken, ABC en DE F, zullen dan ook tot elkander, in dezelfde reden ft aan,nbsp;ah de bogen, AC en DF, welke, uit de hoekpunten, B ennbsp;�, dezer hoeken, met gelijke ftralen, AB en DE, befchre-ven zijn.

g. 346. m. Gevolg. Fig. 126. Ook ftaat elke hoek, AMB, tot vier regte hoeken, tot twee regie iweken, of totnbsp;��nen regten hoek, in dezelfde reden, ah de bo^DE, wftkenbsp;met eene ftraal MD, naar welgevallen genomen, uit het hoekpunt, BI, van dien hoek, befchreven zijnde, tusfehen de bee-nen van dien koek begrepen is, tot den geheelen omtrek, dennbsp;kalven ontrek, en tot het quadrant van dien zelfden cirkel.

I) ER M E E T K U N S T.

�� 347. IV. Gevolg. Fig- 126. Wanneer men de lijn am, om het punt M, laat omdraaijen-, dan wordt, doornbsp;beweging, den hoek JMB voortgebragt, en elk puntnbsp;-� brengt, gelijktijdig met dien hoek, eenen boog D E voort,nbsp;^'elke nut dien hoek altijd in dezelfde bejlendige reden /laat.

�. 348. Aanmerking. De waarheden, welke, in de twee voor-gna'nde ftellingen, betoogd zijn, zijn, zoo als, op zijnen tijd, omflan-�iger blijken zrd, in het vverkdadige der Meetkunst, van een zeer uit-fieftrekt gebruik; zij leeren ons: hoe den omtrek. eens cirkels, groot of klein, dienstbaar gemaakt kan worden, om- de betrekking van eeni-�cn hoek tot ��nen regten hoek te bep-'len, hetgeen, zonder behulpnbsp;oens cirkels, niet zoo gemakkelijk, en niet, zonder veel onilb.gs, zounbsp;kunnen gedaan worden. Want, omdat gelijke koorden gelijke bogennbsp;onderfpannen, kan men, met eenen pasfer, op den omtrek een� cirkels, met de uiterfte pra�lifche naauwkeurigheid, zoo vele gelijke dee-'un nemen, als men goedvindt; en in de werkdadige Meetkunst, zalnbsp;blijken; hoe men den omtrek eens cirkels, in 3�0 0/400 deelen, verdee-len kan ? Zulk een verdeelde, cirkel is nu wel geene eigenlijke en regt-fireekfche maat van eenen hoek: (^want elke uitgebreidheid kan aheen,nbsp;door eene uitgebreidheid van dezelfde fooit, gemeten Worden,) maar ,nbsp;wanneer het middelpunt van zulk eenen verdeelden cirkel in het hoekpunt van eenen hoek gelegd wordt; dan zullen de punten van dennbsp;Verdeelden omtrek aanwijzen, hoe v�le hoeken, elk getiik aan ��nennbsp;graad, aan ��ne minuut, enz. {vergelijk �. 42, en verv. hier hoven,jnbsp;l� dien hoek begrepen zijn, en die cirkel zal alzoo hetzelfde doen,nbsp;als of men, in dien hoek, al de lijnen getrokken had, weike denzel-ven in graden, minuten, enz. verdeelen. Men zegt daarom:

�� 349' XVI. Bepaling. Dat een hoek door eenen hoog geraeten wordt, wanneer het middelpunt van dien boog^, innbsp;ket hoekpunt van dezen hoek gebragt zijnde, de uiteinden vannbsp;dien boog aan de beenen van den hoek fluiten; of, wanneernbsp;die boog even zoo vele deelen van ��n-vierde van den omtreknbsp;bevat, als de hoek over'�inkomjlige deelen van ��nen regten hoek.

�. 35�quot; Bijvoegsel. Uit het bewezene volgt: hoe men, inge^ylge de voorfchn'ften {VI. Bcp. II. B.j, de betrekking van eenen hoek totnbsp;twee regte hoeken, zonder daartoe eenen hoekmeter te gebruiken, eenvoudig door eenen pasfer bepalen kan? Ten dien einde, verlengejnennbsp;ddn der beenen van den hoek, en men befchrijve, uit het hoekpunt,

* II a nbsp;nbsp;nbsp;eenen

de beenen vnn den hoek bevat, �p. Stel: dat met) w door p mete, enz. en, dat deze uitmeting de vergelijkingen: i�. '^ � \.p-\-q-, 2�. /gt; = 2 ? r-, 3�. ^ = 3 r s; rzzs t; 5�. 5 = / k;nbsp;lt;5�. f � 9u geve; dan geven ons deze vergelijkingen,gt; zie FI. Eep.nbsp;11. B. als volgt:nbsp;f=.^u

^ = 3r-!-sz=3 X u 10 u ~ u 10 u ~ 6j u p = 2q-\-r=i2. X 6j u i^u � 134 a -f 19 = 153 unbsp;w �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 4X 153?/ 67 a=:6i2�-l-67 a = 679 u

Uit deze berekening blijkt nu: dat {V. Bep. 11. BE) de hoek p tot den hoek 5r, of tot twee regte hoeken, ftaat, in dezelfde reden, als 153nbsp;tot 679. Men heeft dan: /gt; zn:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tzn:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X 200'�= 4$�,06628

decimale graden = �f-� X 180� zz: 40� 33'34''', p' fexageftmale, of oude graden.

Doch, behalve deze handelwijze, welke op de algemeene beginfels van de VI. Bep, II. B. berust, kan men nog eene andere volgen, dienbsp;zeer eenvoudig, en, omdat men dezelve flechts, met ��ne openingnbsp;van den pasfer, uitvoert, aan minder misflngen onderhevig is. Zij,nbsp;fig- 323, AMB een hoek, welke met ��nen regten hoek moet vergeleken worden. Befchrijf uit M, als middelpunt, met eene firaa!, naar.nbsp;welgevallen, eenen cirkel ABC; neem de punten A en B, zoonbsp;naauwkeurig moge lijk, tusfchen de beenen van den pasfer, en laat deze afjtand, van het punt A, linksom, in den omtrek des cirkels gemeten worden, den gekeelen cirkel rond, est ZOO menigmaal rond,nbsp;tot dat^ men in, of nagenoeg bij het purit A, te land kome. Tel dannbsp;het getal der afmetingen, als ook, hoeveelmaal men den cirkel zij rondnbsp;geweest. Stel dat men, na drie-en-dertigmaal den boog AB in dennbsp;omtrek te hebben afgemeten, den cirkel zeer nabij vijfmaal zij rondnbsp;geweest,.ten miiiftc zoo nabij, dat het vcrfchil niet merkbaar is; dannbsp;bevat de hoek AMB klaarblijkelijk �dn-drie en-dertigfte deel van vijfmaal 400^*; derhalve is hoek AMB � -^^ x 2000� zr�o'-� 6060C0 decimale graden. Of -inbsp;de fexagefimale verdeeling.

M E E T K U N S T/

elkander, in den omtrek eent cirkels, en gevol'^elijk, in ket raakpunt II, fnijdeit; dan tvorden de hoeken, ABD en CBD,nbsp;onder welke deze raak- en fnijlijnen elkander, in het raak-'pnnt, ontmoeten, gemeten door cU helften van de hogen, EGDnbsp;en EEHD, des omtreks, welke binnen eiken dezer hoeken gelegen zijn.

�ETOOG. Meri trekke, vaii het raakpunt B, door het middelpunt M, de middellijn BH; en�nog de middellijn GE regchoeldg op DD.nbsp;Omdat daii AC eeiie raaklijn is, is (JCH. Steil.') de hoek A BH regtnbsp;cn (II. Ax.) gelijk aan de Tom van deszelfs dcelen, ABD en DBH,nbsp;gelijk (H.Cev. XFHl. Stelt. I.B. en conftr.) aan de fom der hoeken,nbsp;MB F en BMP; trekt men nu van deze gelijkheid denzelfden hoek,nbsp;hoek Z)i?/iz=hoek MB F, af; dan zal�er, (VHl. Ax.) hoek ABDnbsp;=z:hobk BMF, overblijven; en, de fupplementen dezer gelijke hoekennbsp;zuilen insgelijks (Hl. Steil. I, B.) gelijk zijn, namelijk, hoek CBDzn^nbsp;hoek BME. Omdat nu da middellijn GE loodregt op de koorde5Z)nbsp;flaat, is (FH. Steil.) de boog BGquot; den boog DG; en de boognbsp;den boog DUE; nu wordt (XfYl. Steil.) de hoik B MG quot;nbsp;hoek ABD, door den boog BG, die de helft van den boog B-GDnbsp;is, en de hoek BMEzxz hoek CBD, door den boog BE, dat is,nbsp;door de helft van den boog BEHD, gemeten; derhalve enz.

�� dfn. De hoek, ABC, onder welken twee fnij lijn en, AB en AC, cens cirkels elkander door fnij de n, wordt, wanniernbsp;QFig. 128.) het punt van doorfnijding D in den omtrek desnbsp;cirkels gelegen is, gemeten door de helft van den boog AC,nbsp;^eike tusfchcn de beer,en van dien hoek ligt; maar, wanneernbsp;deze fnij lijnen elkander, binnen of buiten den omtrek, ont-inoet�n (Fig, 129 en 130.),' dan wordt de hoek ABC, ondernbsp;welken deze fnijUjnen elkander ontmoeten, gemeten door denbsp;halve fom of het halve verfchil der bogen, AC en D �, welkenbsp;tusfehen de boenen van dien hoek ABC gelegen zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,

Betoog. I. Geval. /�Vr. 128. Laat, door het hoekpunt 5, de raaklijn DBE, aangenomen worden; dan wordt (XIX. Steil.) hoek DBC, door de helft van den boog BAC; en hoek DBA, door de helft vannbsp;ilen boog BA gemeten; gevolgt�jk (VUL Ax:,) het veri�chil der hoe-

BEGINSELEN

ken, DBC en DBd, dat is, hoek ABC, door het halve verfchil der bogen BAC en BA, dat is, door de helft van den boog AC,

II. GiiVAL. Fig. i2p. Trek EF, evenwijdig aan CD -, dan is (XIF. Steil') boog CF� boog DE, cn (Vn. Ax.) boog AC-\- boognbsp;DE � boog AC boog CF� boog AF, Nu wordt (/. Geval) denbsp;hoek AEF, door de helft van den boog AF, dat is, door de helftnbsp;van de fom der bogen, AC cn DE, gemeten; die halve fom moetnbsp;dan ook den hoek ABC, die QXXIF. Steil. E B.) aan den hoek AEFnbsp;gelijk is, meten.

IIL Geval. Fi^,. 130. Trek evenwijdig aan AB; dan is Steil.) boog AF� boog DE; derhalve {Vlll. Ax.) hoog CF� hetnbsp;verfchil der bogen AC en DE; nu wordt de hoek CE F Ql. Geval)nbsp;door de helft van den boog CF, dat is, door het halve verfchil dernbsp;bogen, AC en DE, gemeten, en dit zelfde halve verfchil meet dannbsp;ook de hoek ABC, die (XXIV. Steil. /. BI) aan den hoek C�F gelijk is.

�� 353- l- Gevolg. Fig. 128. Het blijkt, uit het eerfte geval der ftelling: Aat een hoek ABC, aan den omtrtk cent,nbsp;enkels ftaande, gemeten wordt door den kalven boog AC, Opnbsp;welken hij flaat. Zie XH en XIX Bepnbsp;�. 35.1 II. Gevolg. Fig 128. Indien men de ftralennbsp;AM en CM trekt; dan wordt de hoek A MC, aan het iiiid-delpuiit, {XFII. Steil.) door den boog AC, waarop hij Haat,nbsp;gemeten. IVanneer dan, op denzelfden hoog AC, twee hot'nbsp;ken, A MC en ABC, de eer ft e aan het middelpunt, en denbsp;tweede aan den omtrek ftaat; dan is de eerfle hoek ge^jk aannbsp;het dubbeld van den tweeden; en de nveede gelijk aan de helftnbsp;�jan den eerflen. Zie XII. Bep.

�. 355, �I.G�voi g. Fig. 10,1. Alle hoeken, aICR,ADB, A EB, AFB, welke, aan den omtrek, op denzelfden boognbsp;AGB ftaan, zijn gelijk; omdat zij alle, door de luift vtiunbsp;denzelfden boog, AGB, gemeten worden. Ook zijn de hoe-quot;nbsp;ken, ivelke, in denzelfden cirkel, of in gelijke cirkels, aannbsp;den omtrek, op gelijke hogen, ftaan, onderling gelijk.

�. 356. IV. Gevolg. Fig. 128. Wanneer men dan dt beenen van den hoek ABC, als onbuigbaar aanneemt, en langtnbsp;de vaste punten, A en C, heen en weder fchuift; dan zftnbsp;(mits dat de opening van den hoek ABC dezelfde blijve,) hetnbsp;hoekpunt � den cirkelboog ABC hef.hrijven,

^ S' 357* V. Gevolg. Me hoeken welke in eenen kalven cirkel fiaan, zijn regt: omdat zij, door eenen iialveii omtrek, gemeten worden. En, Fig. 131, de hoeken ACB,nbsp;welke in een cirkel fegment, AECB of AGB^ Jlaan,nbsp;zijn fcherp of ftomp ^ naar dat dit cltkel fegment grooter ofnbsp;kleiner dan een halve cirkel is; omdat^'de hoek, in het eerftenbsp;geval, door minder, en, in het tweede geval, door meernbsp;dan den halven omtrek, gemeten wordt.

S' 35S. VI. Gevolg. Fig. 131* De fom van de overjlaan-^ de hoeken., ACB en AG B; of GAC en GBC, eens vierhoeks. ACBG, welke in eenen cirkel.hefchreven is, is gelijknbsp;aan twee regie hoeken, en elke hoek van dien vierhoek is gevolgelijk het fupplement van zijnen overftaanden hoek.

Want, daar de hoeken ACB en AGB, door de helften der bogen, AQD en ACB, op welken zij Haan-, gemeten worden, wordt derzeiver foin door de helft van den geheelen oratrek gemeten, ennbsp;die fom is dus gelijk aan twee regte hoeken, enz. Het is ook ge-makkelijk te zien: dat geen vierhoek in tenen cirkel kan befchrevcnnbsp;worden, indien niet elke hoek het fupplement van den overflaandennbsp;is. Om die reden, kan, bij voorbeeld, geen fcheefhoekig parallelogram in eenen cirkel befchreven worden.

�� 359quot; Wanneer twee koorden, AB en CD, elkander, in een punt E, � doorfnijden; dan zijn de regthoeken van derzeiver deelen aan elkander gelijk. Dat is i A E y. B E � C Enbsp;yDE.

Eltoog. Mea trekke de koorden,. AC en BD; omdat dan de hoeken, ACE en EBD, op denzelfdeii boog AFD, en de hoeken,nbsp;CdE en BDE, op denzelfden boog CGB, flaan, zijn zij (///. Gev.nbsp;XX.Steii.j^ gelijk, en vermits de hoeken, AEC en DEB, jlF. Steil.nbsp;I. B.j nog daarenboven gelijk zijn, zijn de driehoeken, AC Je ennbsp;DBE, onderling gelijkhoekig, en, om die reden, Steil. Ik.Bf)nbsp;gelijkvormig; mgu (^Aanm. Fill, Steil. IF. B.j) derhalve de evenredigheid , AE .. CE =. DE : BE: uit welke (_F. Steil, IF. BI) denbsp;vergelijking AE xBE � CE� volgt.

B E GG^I N S E L E

deUiin i?, welke de kon't�e CD regtkoekig doorfnijdt; dan is (fll. Steil.') CE �DE; daar j^u, in dit geval, ook 'nog de betoogde eigen*nbsp;fehap zal plaats hebben.li zal AE x BE �CE x ED�CE'^ zijn.nbsp;Dat is: het vierkant var^ de loodlijn, welke, uit eenig punt van dennbsp;onttrek eem halvcn cii keyk, op de middellijn valt, is gelijk aan dennbsp;regthock, onder de dcclenit, waarin zij de middellijn verdeelt; en isnbsp;bijgevolg middenevenredig^ .tiisfchen deze dcelen. Wanneer men nu denbsp;ftraal des cirk ls �a llOlt; dan is de fniddellijn �2a; en noemtnbsp;men dan al verder de afgelhedene AE van de middellijn 2= x, en denbsp;loo'dliin CEtzij; dan isyBE � 'z.a � x; de vergelijking x �5nbsp;z=.CE^ wordt dan ftJkipiidig aldus gefebreven, y^ � 2ax � x^, ennbsp;deze is �cne der vergelijWingen, welke men op den ciikel maken kaa,nbsp;en uit welke alle zijne eijgenfehappea kunnen worden afgeleid.

�. 361. Wanneer tHjee fnijlijnen , E B en E D, elkaiid r , huilen den omtrek ^ in ^en punt E, doorfnijden; dan zij o denbsp;II 1 regthoekeiionder de deden dezer J'nijlijnen, welke, tusfchninbsp;het fnijpunt en den omfrek, begrepen zijn, gelijk. Dat is:nbsp;rdEy^BE�CEy.DE.

Birtooc. Men trekke wederom de koorden AC en BD; dan is (�7. Gf�. XX. Steil.) de hoek B het fupplement van den hoek ACD,nbsp;en de hoek ACE is {XIX. Bcp. I. B.) insgelijks het fupplemeiit vaanbsp;denzeifJeu hoek ACD; de hoek ACE is dan {IIL Steil. I. B.) gelijk aan den hoek B: om dezelfde reden, is dc hoek EAC� dennbsp;hoek D; en, daar de driehoeken, E/iC en EDB., nog bovendien ecaennbsp;geraeeiifchpppeli'ken hoek E hebben, zijn zij onderling'gelijkhoekig,nbsp;en daarom (�///. Steil. IV. B.) gelijkvormig; ora die reden is dan,nbsp;AE : EC � ED: EB. en jV. Shll. IV. B) AE slt;EB � CEx ED,nbsp;�. 362. I. AAMiidtiGiSG. Fig. 134� Indien men de lijn EB. omnbsp;het punt �, laat oiittiraaij�n, en naar den kant van � bewegen; dannbsp;komen ile punten A en B fteeds nader bij elkander, en ver�enigennbsp;zich, op hetzelfde oogenblik, dat EB den cirkel, in het puntsan-raakt; de regrhoek EA x EB verandert dan ook in den regthoek EFnbsp;�y E F, of in EF^, en men heeft derhalve, EF^�EA x EB �nbsp;EC X E D. Wanneer dan eene raaklijn en eene ftiijlijn elkandernbsp;doorfnijden; dan is het vierkant van het geilcclte der raaklijn, tus-fchen het raakpunt en het punt van dodrjr.ijdirg begrepen, g.ehik �

DER MEETKUNST.

lt;!en regthoek, onder de deelen van de fnijlijn, welke, tmfchen het frijpunt en den omtrek, begrepen zijn.

�� 363. II. Aanmerking. Flg. 132 fot I34- De twee voorgasnde fteliingMi, zijn twee gevallen van de volgende meer algemecne Helling.nbsp;Indien twee fnijUjtien elkander, binnen of buiten den omtrek eens cirkels, doorfnijden^ dat zijn de regtboeken det deelen, tusfcJten heinbsp;fnijpunt en den onitrek begrepen, onderling gelijk,

XXIII. Stelling. Fig. i3S-

364, Dg^ vierkanten der koorden, AC en AD, welke, uit het uiteinde van de middellijn A B eens kalven cirkels getrokken, en in denzelven geplaatst zijn, zijn tot elkander intnbsp;dezelfde reden, als de deelen, AE en AF, welke, door denbsp;loodlijnen, uit de uiteinden dezer koorden, op de middellijnnbsp;vallende, van de lantjle worden afg�fneden.

Betoog. Trek de koorden BC en BDpdamp;vi zijn de hoeken, ACB en ABB regt, (V. Gev. XX. Stell.j omdat zij in eenen hsiv �nbsp;Cirkel Haan, en daarom is QLeer. XVI. Steil. III. B.j AC^ � ABnbsp;AE, en .AD'^=.AB X AF^ nu is (JXl. Steil. lU. B.j AB X //� :nbsp;AB st AF� AEi AF; derhalve zal AC^ : A� AE : A 'zijn.

XXIV. Stelling.

�. 366. Wanneer, op de ftraal AM eens cirkels, en dcr~ zelver verlengde, twee punten, B en C, zoodanig genomennbsp;worden, dat de fIr aal AM middenevenredig is tusjbhen denbsp;afftanden, B M en CM, dezer punten, B en C, tot het midtnbsp;delpunt M, {namelijk B M j A M= A M'.CM ,j dan zullennbsp;de afflanden, PB en PC, van elk punt P des otntteks, tOtnbsp;deze punten, B en C, in dezelfde beftendige reden, van AlBnbsp;tot AC zijn. Hat is: PBiPCzzzAB'. AC.

Betoog. Omdat, vo]gem de oiulerflilliiig, BM: AjM~/tM:CEI is, zal {VUL Steil. II. B.j AM� B M: CM� AMrr AM: CM,nbsp;etl ABAC'Zi AM-.Cpp ^�jn.

H 5 nbsp;nbsp;nbsp;.

121 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

en MPC ikn geraeenfchnppelijken hoek BMP, en vermits nu (otid.quot;) BM : AM AMi CM is, of (omdat PM~AM is,) BM-.PMnbsp;� PM: MC-, zijn de driehoeken MBP en MPC (X. Steil. IF. B.')nbsp;gelijkvormig; daarom zal (^FIII. Steil. IF. BI) B P :CP � P M:CM,nbsp;of BP : CP~PM :CM -=zAM: CM zijn. Maar zoo even isnbsp;bewezen, Azi A B: AC � AM:CM is; derhalve zal {I. Steil. ll. BP)nbsp;BP:CPz=.AB:AC zijn.

�. 367. Het vierkant van de lijn CD, ivelke den tophoek eens driehoeks ABC in twee gelijke hoeken, ACD en BCDnbsp;verdeelt, is gelijk aan den regthoek der opj�aande zijden,nbsp;AC en BC, verminderd met den regthoek der deelen, ADnbsp;en BD, waarin deze lijn CD de bafts AB verdeelt. Ennbsp;het vierkant van de lijn CF, welke het fupplement BCE desnbsp;tophoeks in twee gelijke deelen verdeelt, is gelijk aan dennbsp;regthoek, onder de afflanden van het punt F, alwaar die lij�nbsp;het verlengde van de hajis doarfnijdt, tot de hoekpunten vannbsp;de bafis, {AiF en BF,) verminderd met den regthoek ondernbsp;de opftaande zijden, AC en BC, des driehoeks. Dat is:

Betoog van het eerjl^. Breng, door hoekpunten des dljeiioeks, ABC, eenen cirkel; verleng CD, tot aan den omtrek, in G, ennbsp;trek de lijn BG; dan zullen de driehoeken, ABC en GBC, gelijkvormig zijn; want hoek ACD is =zhotkGCB jonder/l.) en hoeknbsp;CAD� hoek CGB, (JII.Gev. XX. Steil.) omdat deze hoeken opnbsp;denzelfden boog BC liaan: derhalve zal {Fill. Steil. IF. BP) AC: CDnbsp;� CG:BC zijn, en {F. Steil. IE BP) AC y. BC�CD x CG; maarnbsp;nu is {Fill. Gev. FI. Steil. IIL B.) CD x CG � CD^ -\-CDy DG,nbsp;derhalve is, {ly, /jx.) AC X BC� CD^ -k-CD y DG. Wederom isnbsp;{XXL Steil.) CD X DG �AD X BD; daarom zal {IF. Ax.) AC ynbsp;BC=:CD^ ad X BD, en CD^ zsz AC y BC�AD y BD zijn.

Betoog van het tweede. Men verlenge CF, tot aan den omtrek in II, en trekke de koorde All. Omdat dan {onderjl. en IF. Steil,nbsp;I. B.) hoek ACH�ko.SkECFirskotkBCF, en {PI. Gev. XX.St.)

� li R meetkunst.

hoek AHF~ hoek CBF is, z^n (/�. Qev. Fill. Steil. IF. B.') de driehoeken AQH en FCB gelijkvonnig, en daarom is, AC-.ClIz=:nbsp;CF: BC, en ^ F. Steil. IF. B.) AC X BCz=z CH X CF; hier bij teVnbsp;lende CF^ � CF^ zal QFIf. Ax.') XfC X 50 CF^ � CH X CF nbsp;CF^� {F!II. Gev. FI. Steil. III. 5.) FH X FC zijn; maar nu isnbsp;iXXII. Steil.') FHx FCzzAFX FB', derhalve is (/K Ax.) ACxnbsp;BC CF^ zzAFx BF-, en CF^ ~ AF X B F�AC x BC.

�� 368. Aanmerking. Men zal, naar aanleiding van het betoogde, in deze en in de IF. Steil. IF. Boek, de deeleii, waarin elke zijde eensnbsp;driehoeks, door de lijn, welke den overftaanden hoek midden doornbsp;deelt, benevens deze lijn zelve, (de drie zijden des driehoeks gegevennbsp;Zijnde,) kunnen berekenen.

XXVI. Stelling. Fig. 117.

�� 369. De inhoud van eenen driehoek is gelijk aan eenen regthoek., welke de fom van al de zijden dezes driehoeks totnbsp;lengte, en de halve /Iraal des ingefchrevenen cirkels, tot breed~nbsp;te, heeft.

Betoog. De lijnen, AD, BD en CD, welke, uit het middelpunt des ingefchrevenen cirkels, tot aan de hoekpunten des driehoeks getrokken worden, verdeden den driehoek, ABC, in drie driehoeken, ABD, BCD en ACD, welker toppunten, in het middelpuntnbsp;D des ingefchrevenen cirkels, aan elkander fluiten; en welke, omdatnbsp;de zijden des driehoeks den ingefchreven cirkel aanraken (XII. Steil,nbsp;en XL Bep. III. B.) deszelfs flraal tot hoogte hebben; derhalve zal,nbsp;de liraai ^ ^ Hellende, (Gev. Fill. Steil. Hl. B.) drieh. ABDzz,nbsp;AB X Ir; drieh. BCD~BC X \r, en drieh. ACD �AC X Ir;nbsp;6n daarom (FIl. Ax.j zamp;l Ink. drieh. ABC�(AB .SC -k- AC)nbsp;^\r zijn.

^ S- 370, Bijvoegsel. Wanneer men, gelijk, in het Bijvoegfel op de en XIX. Stellingen van het III. Boek, AB � a, BCztzh, ennbsp;�dC--c en Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�^ Helt; dan is Inh. drieh. ABC� . . .

� i).Cs.� cjjzz: i r X tl sztzr s; derhalve zal, wanneer men de leden dezer vergelijking tot de tweede magt verheft,nbsp;daarna alles door deelt, en eindelijk uit de quoti�nten den vicr-kants-wortel trekt,

BEGINSELEN

zijn; eene vergelijking, waardoor t!e flraal van den ciikel, welke in eenen drieht ek befchrevcn is, wanneer deszeifs zijden gegeven zijn,nbsp;zal kunnen berekend worden,

�� 3/1. De regt,hoek, onder twee zijden,, AC �n BC, eens driehoeks ABC, is gelijk aan den regthoek, onder de loodlijn CE, Q.velke, uit het hoekpunt van den koek C, welke tegen over de derde zijde AB, jiaat, op dezelve valt j) en denbsp;mid'klUin CD, van den omgej'chreven cirkel. Dat is: ACy.nbsp;BCz=CExCD.

Betoog. Men trekke de koorde BD; dan zijn de driehoeken, BEC en DBC, gelijkvormig; wane de hoeken B en D, op denzelf-deii boog B C rtaande, zijn (///. Gev. XX. Steil.') gelijk; en, omdatnbsp;CD eene middellijn is, flaat de hoek DSC in eenen halven cirkel,nbsp;en is derhalve (T. Gev. XX. Steil.) regt en gelijk aan den hoek BEC;nbsp;dc driehoeken, BEC en DBC, zijn dan (^FIH. Steil. IF. B.) gelijit-vormig, en daarom is BC:CD � CE:BC, en eindelijk {F. Steil.nbsp;IF. B.) BC X BCzzzCD x CE.

Dat is: de middellijn van den cirkel, welke or,i eenen driehoek on:-fchreven is, is gelijk aan het produ�l der' drie zijden, gedeeld door den dubbelden inhoucl des driehoeks. Wanneer men dan de flraal desnbsp;omgefchreven cirkels = R Helt; daji zal

�. 373. Deregthoak, onder de hoekpuntsUjnen, AC en BD, van eenen vierhoek, welke in. den cirkel he fchreven is, is gelijk aan de fom der regthpeken, welks onder de overjiaande

MEETKUNST.'

zij Jen van dien vierhoek worden zamengefteid. Dat is: ACy. � D z::z AB x CD AD xBC. En de twee hoekpimtsUj-nen, AC en BD^ van dienzelfden vierhoek ft aan tot elkander , in dezelfde reden, ais de foinmen van de regtheeken dernbsp;zijden, welke aan de uiteinden dezer hoekpunt dij nen zamen-komen. Dat is:

Bktoog van het eerfte. Neem de boog AP � den b�og BC, en trek de koorden DP en AP. Omdat dan de bogen AP en BC,nbsp;gelijk zijn, zal {_vn. Ax.j ook-boog APBztz boog PBC zijn; derhalve is (JIL Gev. XX. Steil.j hoek ADE � hoek BBC, en hoeknbsp;BAE of DAC�hoek BBC; de driehoeken AED en BCB, zijnnbsp;dan (/. Gev. FItl. Steil. IV. B.j gelijkvormig. Om dezelfde reden,nbsp;is hoek AB B � hoek EDC, en hoek ABDquot; hoek ECD, ennbsp;daarom zijn ook (/. Gev. VlU. Steil. IF. B.j de driehoeken A BBnbsp;en ECD gelijkvormig; daarom is (JAIL Steil. IF. B.j AD:AE �nbsp;BD-.BC; en CD iCE �BB t AB, en (F. Steil. IF B.j AD xnbsp;BC~AE X BD, en CD x AB � CE X BB. Deze vergelijkingennbsp;te zanten optellende, zal men vindeit: (J'll. Gev. VI. Steil, Ilf, B.nbsp;en FII. xlx.y AB x CD-E AD x BC�AC x BB.

Betoog vmt het tweeae. Rehab/e de gelijkvormige driei�oekcn, AED en BCD, zijn ook nog de driehoeken,- APE en DBA ge-Uikvormig; want (///. Gsv. XX. Sfell.j hoek APE is ~ hoek DBA-,nbsp;en, omdat boog AB �hoog PC is, is hoek PAE�hotk BBA.

hebben dan (^FIII en F. Steil. IF. B.j en, omdat (conft. cn 1 StcllP) de koorde AP � de koorde BC is.nbsp;jAD:DEz=:BD-.DC\ ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\ DE X Jl D � A D X BC \

[pEx BB � BCxABS-Daze vergelijkingen optellende, en onder het oog houdende, dat DE 'gt;gt; UB J-PE X BB (VII. Gev. FI. Steil. UI. B.j �BB x P D is;nbsp;dan Zal uien verkrijgen:

\kanneer men nu de boog DOzz den boog AP� den hoog BC neemt, en de koorden xlCJen trekt; dan zal rnen, op dezelfdenbsp;wijze, met behulp der gelijkvorraige driehoeken, A.FD en ABC';nbsp;kdQJ: �n ACD, bewijzen dat

^dC Y, Ad� ad X AB -V BC X CD 2-al zijn: men zal dan (/.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/�; Stelh II. B.j mogen Hellen:

gins

maar omdat de bogen en DQ, gelijk, en bijgevolg de bog^ ADQ^ en DAP, insgelijks gelijk zijn, en daarom (F. Steil.')nbsp;koorde AQj=z de koorde D P is, zal BD x. DP: AC y. AOzzB� �nbsp;AC zijn, en daarom zal (/. Steil. LI. 5.) men hebben:

B IJ V o E G s E L. Fig. 139.

�. 374. Wanneer de zijden van eenen vierhoek, welke in eenen cirkel befchreveii is, gegeven zijn; dan zal men, door het betoogdenbsp;der twee voorgaande Hellingen, deszelfs inhoud en de middellijn desnbsp;cirkels, waarin hij befchreven is, onder anderen, aldus vinden kunnen. Stel AD � a; DCzzth-, CB � c, en AB�d; AC � x,nbsp;en BD=.y; dan heeft men, volgens het betoogde in de voorgaandenbsp;ftelling, de twee vergelijkingen:

Maar, volgens de XXVJI Stelling, en het biivoegfcl op de XVni en XIX Stellingen van het derde Boek, wordt de middellijn des cirkels, befchreven om den driehoek, welks zijden a, b en x zijn, (dienbsp;midJeliiju M noemde,) uitgedrukt door

M= 2 y {(

Wanneer men nu, in deze vergelijking, voor x, de waarde Helt, welke zoo even voor dezelve gevonden is; dan zrd men, na behoorlijke herleiding, voor die middellijn verkrijgen:

Nu is de inhoud van den driehpek ADC~iabx:M; en die van den driehoek ABC� � cdx : M; de inhoud .van den vierhoek ABCDnbsp;is derhalve gelijk aan I (^ab cdquot;) x : M; wanneer'men dan eindelijk,nbsp;in deze laatfte uitdrukking, voor a: en M, de waarden Helt, welkenbsp;boven daarvoor gevonden zijn; dan verkrijgt men (den inhoud desnbsp;vierlioeks �I (lellende,)

ER. MEETKUNSti

is: de inhouk van eenen vierhoek ^ in den cii kei befchreven, h Eoltjk aan den vierkants-wortel uit het gedurig product der vier ver-fehillen, die overblijven, wanneer men, van de halve [om der zijden,nbsp;^Ike zijde, in het bijzonder, aftrekt. Stelt men a� 14, bz::i~zy,nbsp;errs8 en d � tpj', dan vindt men: /rr:840 vierkante ��nheden,nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^410197561 =48, 222, enz.

Wanneer men, in de vergelijking, welke de waarde van den iahoud des vierhoeks, die in den cirkel befchreven is, uitdrukt, (en alleennbsp;ter berekening van den inhoud van eenen vierhoek dienen kan, wanneer hij in eenen cirkel befchreven kan worden,) ��ne der zijden, bijnbsp;Voorbeeld, de zijde d~o (lelt; dan verandert die vierhoek in eenennbsp;driehoek, en dan is s�d�s, en de gevondene waarde voor I verandert dnn in die, welke in het Bijvoegfel op de XVIII en XIX Stellingen van het IIP Boek gevonden is. Voorts wordt, in dezelfde on-derflelling, de teller der breuk, welke de waarde van M geeft, ac Xnbsp;be y. ab=za^b^c^, en de vergelijking voor M wordt derhalve denbsp;vergelijking voor de middellijn of ftraal van den cirkel, welke om dennbsp;driehoek befchreven is. Zie Gevolg XXVII Stelling.

ZESDE BOEK.

Over de regelmatige Veelhoeken, de Qiiadratuur des Cirkelsf en de Ifoperimetrifclie Figuren.

AB, nbsp;nbsp;nbsp;BC, CD, enz. en geUjke hoeken, ABC, BCDtnbsp;CD E, enz. heeft. Een regelmatige veelhoek is hi'jgevolg gelijkzijdig, en tevens gelijkhoekig.

�. 37�. Aanmerking. Een drielioek, die gelijkzijdig is, is tevens (jFtt', en Xt^. Stel!, l. �.') geliil.-hoekig; en een driehoek, die gelijk'nbsp;hoekig is, is tevens gelijkzijdig: mant, wanneer eene regtiijnige ffgnnrnbsp;meer dnn dri� zijden heeft, is het gelijk zijn der zijden geen gevolgnbsp;meer van het gelijk zijn der hoeken; noch de gelijkheid der hoekennbsp;een gevolg van de gelijkheid der zijden: beide deze omfhindighedennbsp;moeten alsdan, om het wezen van eenen regeltnatigen veelhoek uittC'nbsp;maken, te zamen ver��nigd zijn.

5. 377. Uien kan, in, en om, eiken regelmatlgen veelhoek, tenen cirkel befchrljven- Of, met andere woorden: de hoekpunten van eenen regelmatlgen veelhoek liggen in den omtreknbsp;van denzelfden cirkel, en al desz�lfs zijden zijn raaklijnen totnbsp;eenen anderen cirkel, welke met den eerjlen gelijhnuldelpuntignbsp;is, of met denzelven hetzelfde middelpunt heeft, .

Betoog van het eerjie. Onderftel: dat, door .drie nabij elkander gelegene hoekpunten, A, B en C, eenen cirkel befchreven worde,nbsp;Welks middelpunt in M zij, (hetgeen volgens de X. Stelling van hetnbsp;V.Boek, altijd gefchieden kan). Laten dan, van het middelpunt d/, totnbsp;aan al de hoekpunten, A, B, C, D, E, F en G, de lijnen,

DER meetkunst. nbsp;nbsp;nbsp;129

vierhoekige figuur ABPM MP Iaat omdrarJjen, tot dat dezelve op de vierhoekige figuur DCPM valt; dan zal vooreerst, omdat MPnbsp;loodregt op .gClbac, hoek C/W= hoek iJ/W, en {FII.Stell.F.BP)nbsp;^P=zCP is, de lijn BP langs de lijn CP, en het punt B in hetnbsp;P�M C vallen; voorts, omdat, (onderft.') wegens den aard des gelijk-vormigen veelhoeks, hoek ABP� hoek DCP, en AB � CD is,nbsp;2al AB langs CD, en het punt A in het punt D vallen: de uiteinden der lijnen MA en MD vallen alzoo in ellffiiider, en (^XDL Bep.

5.) de lijn AM is gelijk aan de lijn DM. Omdat nu alle fira-bn van eenen cirkel gelijk zijn, zal de cirkel, welke door de hoekpunten A, B C loopt, ook te gelijk door het hoekpunt D loopen. Op dezelfde wijze, zal, wanneer men de loodlijn ikfO, trekt, bewezen worden: dat diezelfde cirkel, welke door de hoekpunten A, B,

C en D loopt, ook tevens door de hoekpunten E, F, G, enz. loopen zal, en het is derhalve daardoor ten klasrfte bewezen: dat al de hoekpunten van eenen ^veelhoek, die gelijke zijden en gelijke hoekennbsp;heeft, in den omtrek van denzelfden cirkel liggen, en dgt men diens-volgens, om eiken regelmatigen veelhoek, altijd eenen cirkel be-fchrijven kan.

Betoog van het tveede. Wanneer men dan,om den veelhoek, eenen cirkel befchreven heeft; dan zijn de zijden van dien veelhoek koorden van de bogen, waarin de hoekpunten van dien veelhoek den oin-irek des oingefchreveuen cirkels vcrdeelen; deze koorden zijn nu.nbsp;Wegens de regelmatigheid des veelhoeks, gelijk en zij hebben derhalvenbsp;{XI. Steil. F. B.') gelijke afftauden van het middelpunt, M, des oin-gefchrevenen cirkels: dat is, de loodlijnen, MP, M()^, MK, enz. zijnnbsp;even lang; wanneer men derhalve uit het middelpunt des omgefchre-venen cirkels, als middelpunt, met ��ne dezer loodlijnen, MP, bijnbsp;voorbeeld, a]s firaal, eenen cirkel befchrijft, dan zal die cirkel doornbsp;de uiteinden P, 0_, R, S, van al die loodlijnen gaan, en de zijdennbsp;des veelhoeks CD, EF, enz., op welke zij loodregt vallen,nbsp;(XII. Steil, V, B.') aanraken: die cirkel zal dan (XIF. Bep. F. BI) innbsp;den veelhoek befchreven zijn, en met den cirkel die �er om befchreven is, hetzelfde middelpunt M gemeen hebben.

S' 378. Leering. Fig. 140. Men leen uit dit betoog: dat een regelmatige veelhoek, A BCDEFGA, kan hegre--pen worden, zamengefleld te zijn, uit de vere�niging vannbsp;even zoo vele gelijke en gelijkvormige gelijJibeenige driehoeken,nbsp;ASM, BCM, CDM, DEM, EFM, FGM, GAM,

r, EGINSELEN

als de veelhoek zijden of hoeken heeft, welke gelijkbeenige driehoeken alle met derzelver toppunten, in ��n punt M, aan elkander fluiten, welk punt het middelpunt van den regelmati-gen veelhoek genoemd wordt, en 'tevens het gemeene middelpunt is van de cirkels, welke, om en in dien veelhoek, hefchre-ven zijn.

�. 379. II. Brpaling. Elk een dezer gelijkbeenige drie-hoeken, ABM, BCM, enz. wordt de middelpunts driehoek des veelhoeks genoemd; en de tophoek A MB, van diennbsp;driehoek draagt den naam van centerhoek of middelpuntshoeknbsp;van den veelhoek; terwijl elk der hoeken van den veelhoek,nbsp;als, bij voorbeeld, ABC, BCD, enz. door de benamingnbsp;van polygoonshoek des veelhoeks onderfcheiden wordt. Denbsp;loodWin ilfP, welke, uit het middelpunt M, op ��ne der zijden vak, noemt men apothema.

�. 380. I. Gevolg. Omdat het getal der middelpuntS driehoeken, uit welke een regelmatige veelhoek beflaat, aannbsp;het getal zijner zijden, of hoeken, gelijk is, en de fom dernbsp;middelpuntshoeken van eiken veelhoek (//. Gev. VI. Steil-I. B.j gelijk is aan vier regte hoeken, zal, indien � het gC'nbsp;tal der zijden of hoeken beteekent, de middelpuntshoek van

�. 381. II. Gevolg. Fig. 140. Omdat al de middelpunts driehoeken, ABM, BCM, enz., van eenen regelmatigennbsp;veelhoek gelijk .en gelijk vormig zijn, en {III. Gev. XVIII.nbsp;Steil. I. B.) het fupplement van den tophoek eens gelijkbee-nigen driehoeks gelijk is aan het dubbeld van ��nen der hoeken aan de bafis, moet de centerhoek van eenen veelhoek gelijk zijn aan het fupplement van deszelfs polygoonshoek, en dsnbsp;polygoonshoek omgekeerd het fupplement van den centerhoek.

S 38a, UI. Gevolg. Om derhalve de center- en poly-goonshoeken van eenen regelmatigen veelhoek, die een gegeven getal zijden of hoeken heeft, te vinden, deelt men 4 R ef 360� door het getal der zijden, dan verkrijgt men den centerhoek, en, dezen centerhoek van 1 R. of \%o'^ aftrekkende,nbsp;zal het verfchil gelijk aan den polygoonshoek zijn. Aldus is:

�� 3S3. IV. Gevolg. Fig. 140- Nog volgt uit het be-Wezeue: gat de lijnen, welke twee polygoonshoeken van eenen veelhoek midden door deelen, gelijk ook de loodlijnen, welke.,nbsp;^�it het midden van twee zijden, loodregt Op dezelve wordennbsp;^Pgerigt, elkander in het gemeene middelpunt van den veelhoek en van de in en omgefchrevene cirkels fnijden. Hierdoornbsp;tan dan geraakbelijk het middelpunt eens veelhoeks gevonden,nbsp;en eenen cirkel, in of om denzelven, befchreven worden.

S- 384. Het vierkant., in den cirkel befchreven. is gelijk aan tweemaal het vierkant van de flraali en de zijde van ditnbsp;vierkant fiaat tot de ftraal van dien cirkel, in dezelfde reden,nbsp;als de vierkants-wortel uit het getal twee tot de ��nheid.

Betoog. Wanneer men in eenen cirkel twee middellijnen JC en trekt, welke elkander regthoekig fnijden, en voorts de uiteindennbsp;dezer middellijnen door de koorden AB, BC, CD en zfZ) ver��nigt;nbsp;dan zijn (/�/. Qev. XFII. Steil. FdB.j de bogen AB, BC, CD ennbsp;AD, onderling gelijk, en bijgevolg (J^. Steil. F. B.j ook de koorden, Welke deze bogen onderipannen: de vierhoek A BCD, is dannbsp;regelmacige vierhoek, welke, door de middellijnen des cirkels, innbsp;S^lijke middelpunts driehoeken, AMB, BMC, CMD en AMDnbsp;is. Nu isj in den regthoekigen driehoek, ABM(XFl. Steil.nbsp;AMi--4-BM'^-, of, omdat AM � BMxs,, Anbsp;� en daarom zal (F. Steil. U. B.j A S- : AWF- =2:1, ennbsp;iFI. Gev. VI. Steil, lil, B.j eindelijk AB: AM-Vz : i zun.

385. Leewnq. Men leert, uit dit betoog, hoe een vierkant in eenen cirkel moet befchreven worden.

�. 3815. Gevolg. Dg hoekpuntslijn van een vierkant is de middellijn van deszelfs omgefchreveuen ciikcl.

III. Stelling. Fig. 142.

�. 387. De betrekking van de boekpuntslijn eens vierkant! tot de zijde van dit vierkant is onmeetbaar.

Betoog. In het vierkant ADCD, is de hoekpuntslijn AC, groo-ter dan de Zijde AC, m, wanneer rnen de zijde BC, op de hoek' puiuslijn AC past, en CE�BC maakt, zal men bevinden, dat dezenbsp;boekspuntslijn kleiner dan tweemaal de zijde van het vierltant is; alnbsp;hetwelk ook, uit andere beginfelen, bij gevolgtrekking, kan opgemaakt worden. Om nu de betrekking tiisfchen de hoekpuntslijn eanbsp;de zijde des vierkants optemaken, zal men, naar het voorfchrift dernbsp;FI. Bepaling van het //. Boek, den betrekkiiigswijzer tusfchen die lijnen moeten bepalen. Laat die betrekkingswijzer doornbsp;J AC, AB, AE, P, Q^, R, S, enz.nbsp;i I, a, b, c, d, e, enz.nbsp;worden voorgefteld, in welken, zoo als reeds gebleken is, het eerllenbsp;wijzergetal ��n is; dan zal men, om dien wijzer verder optemaken,nbsp;AB, door AE, AE door F, P door Q^, enz. meten, en dan zullennbsp;de getallen a, b, c, enz. bekend worden. Maar deze uitmeting wordtnbsp;op het laatst moeijelijk en onzeker: de figuur geeft een gefchikcernbsp;middel aan de hand, om de volgende wijzergetalien, door gevolgtrekking, met behulp van reeds bekende beginfelen, te bepalen. Mennbsp;befchrijve uit C, met CB als draal, den hal ven cirkel EB F; omdatnbsp;dan ABC een regte hoek is, is (A7/. Steil. F. B.') AB eene raaklijn, en (�. Aanm. XXU. Steil. P\ B.') A z= AF yi AE: men heeftnbsp;dan (fiev. FI. Steil, en Fl. Steil. IF. S.) de evenredigheid, AB\nbsp;AEtstt-AF-.AB; of, omdat �7'�25C=:2//5 is, AB-.AEz:.nbsp;zAB -j- AE: dB. Wanneer derhalve AB door AE gemeten wordt,nbsp;dan zal {IX. Bep. If. Bf) de betrekkingswijzer dezelfde zijn, als wanneer men AF door AB, of zAB-\-AE door AB meet; maarnbsp;zABBfAE door AR gemeten zijnde, geeft twee, en �er blijft AEnbsp;over; de waarde v.an a is derhalve gelijk aan P.vee. Volgens den wijzer, moet voorts AE door P gemeten worden; dan, zulks zal hetzelfde zijn, als AB door AE, hetzelfde als z AB AE door AB tenbsp;meten: men zal alzoo, voor het wijzergetal b, w'ederom het getal t^veenbsp;verkrijgen. Het blijkt hieruit: dat, wanneer men met die uitmetingen blijft voortgaan, de betrekking van elke twee op elkander volgende grootheden in den wijzer, dezelfde zal zijn, en dat de lijnen

D R R M E E T K U N S T.

en AB gevolgelijk geene geraeene maat hebben en (/'77/. Bep. 11. B.') daarom onmeetbaar zijn.

S- 388. Gevolg. De zijde van den regelmatigen vierhoek is hij-gevolg, met betrekking tot de middellijn, en de jlraal des ingefchreven cirkels, onmeetbaar,

�� 389. Aanmerking. Door het betoog dezer ficlUng, is de vfe-zenlijkheid van het bejlaan der onmeetbare grootneden, door een dadelijk voorbeeld, meetkunjiig bevestigd. _ Ook is 5 uit den zamenliang van dit betoog, gebleken: dat J/'a, door de gedurige breuk [i,nbsp;'�w.], kan worden uitgedrukt. Vergelijk 11. C. ��

IV. Stelling. Fig. 143.

�. 390. De zijde van den regelmatigen zeshoek is gelijk aan de ftraal van den cirkel, waarin hij befchreven is.

Betoog. Volgens het III. Gevolg I. Stelling, is de centerhoek Van eenen regelmatigen zeshoek gelijk twee-derde van eenen regtennbsp;hoek: de regelmatige zeshoek beftaat derhalve uit de vere�niging vannbsp;zes gelijkzijdige driehoeken, ABM, BCM, CDM, DEM, HEMnbsp;en A FM, welke, aan hetzelfde hoekpunt M, aan elkander fluiten: ditnbsp;punt M is nu het middelpunt des zeshoeks, en tevens het midiiC'puntnbsp;van den omgefchrevenen cirkel, welks ftraal ft/bijgevolg gelijk isnbsp;aan de zijde van den zeshoek.

�. 391. I. Gevolg. Fig. 143. Wanneer men derhalve, uit eenig punt B, in den omtrek eens cirkels, met deszelfs ftraal BM, eenennbsp;cirkelboog befchrijft, welke den omtrek in de punten A era C doorsnijdt, et, voorts, door de punten l�, A en C, de middellijnen, BE,nbsp;AD en cp trekt; dan zal de onitrek des cirkels, door die confiruc-tie, in gelijke deelen verdeeld zijn; en, wanneer *men nu de �ail-eindc.i dezer deelen door koorden ver'��nigt, zal 'er een regLhuntigenbsp;^eskock in den cirkel befchreven zijn,

�� 392. II. Gevolg, Fig. 143. Door diezelfde'conftruaie, zal men eenen regclnritigen of gelijkzijdigen driehoek in den cirkel be-fchnjvcn;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nadat men, uit eenig puv.t B, met de ftraal des cir

kels, den cirkelboog'^ft/C befchreven heeft, zal men flechts de middellijn BE behoeven te trekken, cn de punten, A, C en door regte lijnen, te verS�nigen, om den gelijkzijdigen driehoek, ACE, ianbsp;dien cirkel befchreven, te verkrijgen.

BEGINS

DE, EF en FA, gelijk zijn, zullen (XIV. Steil. V. 5.) CF aan en DE; AD aan BC en F.F; BE aan CD en //F evenwijdig zijn:nbsp;de zeshoek ABCDEF, kan dan (/. Bep. 11. B.') begrepen wordennbsp;uit da zamenvoeging der parallelograinmen, ABCM, CMED ennbsp;AMEF, te ontdaan: omdat nu (Gev. l. Steil. 111. B.') de hoekpunts-lijnen van eenen parallelogram elkander midden doorfnijden, is MG'^nbsp;EG; MH�llD; MI=1F; AG = GC; CH=HE; A1=1E;nbsp;ook is (1. Steil. 111. B.') driehoek ABC � driehoek A CM; driehoeknbsp;CDE� driehoek CME; driehoek A FE � Axithotk. A ME.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Men

1� Dat de loodlijn jgt;f apothema van eenen gelijkzijdigen driehoek gelijk is aan de helft van de ft raai des cirkels, waarin hij befchreven is.

2� Dat, wanneer een regelmatige driehoek en een regelmatige zeshoek in denzelfden cirkel befchreven zijn, de inhoiid yan den zeshoek gelijk is aan tweemaal den inhoud des driehoeks.

�� 394- IV. Gevolg. Fig. 143. Omdat de driehoek AMG (IX. Steil. V. B.j) regthoekig is, zal (XFI. Stell. lIL B.j AM'^ =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

daarom zal AG-=:zAM'a\/\'-i\AM\/j,, en 2 AG=iAC � AF^ X^/'s, en derhalve (V. Steil. 11. B.j AC'.AM�'[/'^m, dat is:nbsp;de zijde van den rcgelmatigeu driehoek ftaat tot de ftraal van dennbsp;cirkel, waarm hij befchreven is, als de vierkants-wortel uit drie totnbsp;de cznhdd.

�. 395. V. Gevolg. De, loodlijn EG is gelijk aan il EM, omdat MG � i FBI (bew.j is; gevolgelijk is (Gev. VUL Steil. UI- B.j denbsp;inhoud van den driehoek ACE = i AC % EQ�i E BInbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vermenigvuldigd met H EM�^ EM^ Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de inhoud van den ge-

Ujkzijdigen driehoek ftaat dan tot het vierkant van de ftraal des oingefchrevenen�cirkels, gelijk .driemaal de vierkants-wortel uit drie,nbsp;tot vier. � En hieruit is dan ook de betrekking ven den inhoud desnbsp;regelmatigen zeshoeks tot het vierkant van de ftraal des omgefchre-ven cirkels, of deszelfs zijde, bekend, en als 3I/3 tot 2.

�� 396. VI. Gevolg. Omdat de polygoonshoek van eenen regel-niatigen zeshoek gelijk fs aan 120'�, en derhalve een evenmatig dee� van vier regte hoeken is, zullen gelijke regelmatige zeshoeken aannbsp;elkander gefloten kunnen worden, zonder eenige ruimte tusfehen dezelve open te laten. Deze eigenlchap heeft de zeshoek met den re-geimatigen driehoek en her vierkant gemeen: doch in geeaen anderennbsp;veelhoek wordt deze eigenfchsp gevonden.

DER MEETKUNST.

�� 397. III. Bepaling. Wanneer men eene grootlieid zoodanig in twee deelen deelt,, dat de geheele grootheid tot het grootde deel, in dezelfde reden ftaat, als het grootfte totnbsp;liet kleinfte deel; dan wordt die grootheid gezegd, in denbsp;uiterfle en middelfle reden verdeeld te zijn.

�� 398. Wanneer men^ op het einde van eene lijn^ AB, eene loodlijn B D, op dezelve oprigt, welker lengte gelijk isnbsp;fian de helft dezer lijn, AB', en op de lijn AD, het gedeelte D E gelijk maakt aan BD of AC, of aan de helft vannbsp;de lijn AB, en eindelijk AF gelijk neemt aan AC', dan zalnbsp;de lijn AB, in het punt F, in de uiterfte en middelfle redennbsp;verdeeld zijn.

Betoog.' Omdat de driehoek ABD regtlioeldg is, zal QXFI. Steil. UI. B,quot;) AD^ zz AB^ -j- Bzijn: wederom is (7. Lemma HL B.jnbsp;A~ AE'^-k-DzAE'A ED; derhalve (JV. AxI) AB'^-fnbsp;BD^zzAElt;^ DE^-\-'xAE X ED. Nu is {onderjl.j DE = BD;nbsp;en BD^zzEE^: deze laatfte vergelijking vaii de naast voorgaandenbsp;afgetrokken zijnde, zal (^Fni. Ax.') Az=. AE^ zAE X EDnbsp;overblijveii: in deze vergelijking kan men, in plaats van aAE xED,nbsp;Keilen AE X S.DE, of (omdat zDE � AB is,) AE x AB: mennbsp;heeft QIF. Ax.') gevolgelijk AB^�AE^-\-AB x AE; wederom isnbsp;iFin. Gev. VI. Steil. UI. B.) AB^zzAB X AFftAB x BE; derhalve (^IV. Ax.') AB X AF-k- AB X BF=zAE^ AB x AE; mennbsp;trekke hier af (omdat AF�AE is,) AB X AFzzsAB x AE; dannbsp;zal {VIIl.Ax.) AB X BFzzAE^zzAF^ zijn, en daarom (/'7. Steil.nbsp;IF. �.) AB:AF�AF\BF, en {III. Bep.) de lijn AB is gevolge-lijk in de uiterfte en middelfte reden verdeeld.

�� 399. Bijvoegsel. Wanneer men de lijn AB, als de ��nheid aanneemt, dan zal men de waarde der deelen AF en BF, door bere-kening, gemakkelijk vinden kunnen; want omdat BD~\AB is, zalnbsp;= f zijn; nu \%{XVl. Steil. III. B.) AD^ = AB^ BD^z=nbsp;en AD�y\ � \}/s; Amsoea AFzzAE�AD�DEnbsp;= -i i �/5; ^nBF=zAB � AF=i {�iVs=f � 'VS�

De deelen eener Ujn^ welke in de uiterjle en middelfte reden verdeeld' is, zijn derhalve, ah van den vkrkants-wortel uit het getal vvf afhangende, mei betrekking tot de geheele lijn, onmeetbaar.

14 nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V.

V. S T E L L I N G. Fig. 145.

uiterfle en middelfle reden deelt', dan is het grootfle deel L BI, gelijk aan de zijde van den regehnatigen tienhoek, welke innbsp;dezen cirkel kan befchreven worden.

Betoog. Men make de koorde AB, gelijk-aan het grootfte ftuk LM, van de verdeelde ilraal, en trekke de lijnen MB en BL', dannbsp;is Qmdevjll^ AL'. LMzzLM'. AMi of, omdat AB-zzLM is, AL:nbsp;AB~AB:AM; de driehoeken AB3I en ALB, welke den ge-meenfchappclijken hoek A hebben, zijn derhalve (A'. Steil. IV. BI)nbsp;gclijkvormig, en om die reden is dan ook {VUL Steil. IV. B.) AM:nbsp;BM�AB'.BL: maar nu is {1. Qev. II. Bep. V. B.) AMzzlBM;nbsp;derhalve {IV Steil. II. B.) ook BL-esz-AB � LM. Wegens de ei-genfehap des gelijkbeenigen driehoeks, is dan ook hoek ABLzz hoeknbsp;AMB= hoek LBM^ de gelijke hoeken ABM en BAM zijn dannbsp;^et dubbeld van den hoek AMB, en de fora van de hoeken desnbsp;driehoeks ABM, is gelijk aan vijfmaal den hoek A BIB-, vijfmaal dennbsp;hoek A BIB is dan {XVIll. Steil. I. B.) gelijk aan twee regte hoeken, en de hoek A BIB is derhalve c�n-tiende van vier regte hoeken: de boog AB is. derhalve {XVII. Steil. V. B.) �dn-tiende van dennbsp;omtrek, en deszelB koorde AB de zijde van den regelmatigen tienhoek, welke in den cirkel kan befchreven worden.

�. 401. I. Gevolg. Fig. 145. Wanneer men derhalve de ftrr.al eens cirkels in de uiterfle en raiddelftc reden deelt, zal men de koorde van eenen boog vinden, welke gelijk is aan '��n-tiende van dennbsp;omtrek. Wanneer men nu dezen boog, naar het II. Cev. der XVil.nbsp;Stelling van het V. Boek, in den omirek rondpast, zal men denzelvennbsp;in tien gelijke deelen verdeden, en de koorden dezer gelijke bogennbsp;zullen de zijden van den regelmatigen tienhoek, ABCDEFGHIK,nbsp;iiitmaken.

�� 402. II, Gevolg, Fig. 143. Wanneer men de zijde van den regelmatigen tienhoek gevonden heeft, is die v.quot;.!! den regelmatigennbsp;vijfhoek van zelve bekend: zij is namelijk de koorde van den dubbelden boog AB, tie koorde vaii den boog ABC, of eindelijk denbsp;iijn A C.

�. 403- BI, Gevolg. Fig, 143. Wanneer men uit A als middd-punt, met de ftraal AM des cirkels, waarin de tien en de vijfhoek befchreven zijn, eenen cirkelboog NO befchrijft, welke den omtrek in

D E a M E E T K U N S T. nbsp;nbsp;nbsp;137

N doorfnijdt; dan is QF. StelL') de boog ABN ��n-zesde van den ointrek des cirkels; daar nu de bogen AB en ABC, respeftievelijknbsp;��n-iiende en ��n-vijfde van den omtrek bedragen, zal de boog NCnbsp;gelijk aan | min J gelijk van den omtrek, en de boog BN gelijknbsp;% min j�, dat is van den omtrek zijn, en men zal alzoo ��n-vijf-tiende en ��n-dertigfte deel van den omtrek des cirkels, en bijgevolgnbsp;�ie zijden van een�n dertig en van eenen vijftien hoek verkrijgen.

�. 404. IV. GnvoLG. Fig. 145. Wanneer men de lijnen AB en Mc verlengt, tot dat zij elkander in bet punt 0_ontmoeten; dan zal,nbsp;f'mdat, wegens de gelijke hoeken LBM, BML en BMC, de lijnennbsp;en QM evenwijdig zijn, en daarom (^XXFI. Steil- L BS) hoelcnbsp;AB L= boek BQ^Me=e {bcwS) boek BMQ^ is; BQ^ {XV. Steil.nbsp;�f- -fi.) gelijk B M zijn. Nu is (//. Gev. I. Steil. IV. B.') AB: B 0 =nbsp;^IL-.LM; en AL: LM=.LM: AM (volgens �e onderftelling') �nbsp;derhalve {I Steil. 11. B.) AB : BQjzzBQj. AQj en �0nbsp;^ BM~AN zijnde, \% BQ^ de zijde van den rcgelmatigen zeshoek.nbsp;I'idien men dan de zijde van den rcgelmatigen zcihoek, en die vannbsp;regehr.aiigen tienhoek, welke in eenen cirkel bej'chrevcn zijn, innbsp;��ne regte lijn ver'��r.igt, zal deze regte lijn in,de uiterjle en mid-dcljie reden verdeeld zijn.

�. 405. V. Gk.volg. Fig. 145. Laat Af/i' loodregt op AB gefield worden, dan zal zij den hoelt AMB in twee gelijke deelen verdeelen, en laat eindelijk de lijn BR worden getrokken; dan is denbsp;^oek AMR � ^l van vier regte hoeken, en de hoek CMR gelijk �nbsp;50 gelijk 5I van vier regte hoeken, gelijk r| van twee regte hoe-maar de hoek ACM, is de helft van het fupplement van dennbsp;hoek AMC; de lielft van het luppleraent v.an f van twee regte hoeken , de helft van | van twee regte hoeken, gelijk j� van twee regtenbsp;hoeken: de hoek RMC is dan {IV. Ax.j gelijk aan den hoek ACM,nbsp;CR isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�_ B.j gelijk MRi de driehoeken AMC en

CRM, zijj, daarom gclijkvormig; derhalve zal {VUL Steil. 11'. B.j oi' AM: CR, en {V. Steil. IV. B.j AC x CR �nbsp;A zijn. Wederom zijn de driehoeken ABR cn ACB gelijkvoniiig;nbsp;vvant zij h.hbeu den gemeenfehappelijken hoek CAB, en, omdat hoeknbsp;AMR=:bQQ\ bmr, AM~BM en RM-:=zRII'h\%, zal {X.Stcll.nbsp;I. B.j yJR~liB en {XV. Steil. I. B.j hoek ABR= hoek BARnbsp;^hoek ACB zijn.. driehoeken ABC en ARB zijn da.irom {X.nbsp;'^�Al. B.j gelijkvormig, en {TUIL Steil. IV. B.j AR:AB=.AB:nbsp;AC, en daarom is dan ook {V. Suil. IV. B.j AB'^zz.ARx AC:

maar nu is boven betoogd, dat AM^�AC^ CR is; telt men deze vergelijkingen bij elkander, dan zal (^Pll-AxS) AB^ AM'^�AC'^nbsp;AR-VAC-aCK� {viu^ Gev. VI. Steil. VI. B.') AC^ zijn. Dat is:nbsp;IVanneer een regelmatige vijfhoek, zeshoek en tienhoek, in denzelf�ennbsp;cirkel, befchreven zijn, dan is het vierkant op de zijde des vijfhoeksnbsp;gelijk aan de fom van de vierkanten, tvelke op de Ajdcn van dennbsp;zeshoek en van den tienhoek befchreven zijn.

�. 406, VI. Gevolg. Fig, 146. Laten de middellijnen AB en CP elkander in M regthoekig doorfnijden, en EM gelijk aan de zijde vannbsp;den tienhoek genomen worden; dan is (^IV. Gev.j de lijn AE in hetnbsp;punt M in de uitcrfte en middelfte reden verdeeld; wanneer men dannbsp;de draal AM, in het punt D, in twee gelijke deelen verdeelt; dan isnbsp;y/ilf� =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=:AEx EM�SiMD X EM nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; hier bijtel-

lende hetzelfde vierkant MD^-, dan zal (VII. Ax.') ^MD^=zaMD X EM EM^ MD^� (I. Lemma UI. B.j � ED^ zijn. Indiennbsp;men nu de lijn CD trekt; dan is (XFI. Steil. III. B.j CD^�D

gens DE^�DC^, of DE �DC. Uit dit alles volgt dan: dat, wanneer men, in eenen cirkel, twee middellijnen AB en CP trekt,nbsp;die elkander regthoekig doorfnijden, en voorts het punt D, in hetnbsp;midden van de jlraal, AM, 'neemt, en, uit dit putst D, als niid'nbsp;dclpimt, met CD, als ft raai, eenen cirkelboog befchrijft, of wel DEnbsp;� DC neemt, de lijn F.M de zijde van den tienhoek, en EC tn-zijde van den vijfhoek zal zijn, welke in dien cirkel kunnen bej'chie-ven worden,

�. 407. VIL Gevolg. Fig. 146. Indien men FG loodregt op AB' � Helt, en de lijn EF trekt; dan is (XVI. Steil. III. B.) EF^ztzED^nbsp; DF^-, maar (VI. Gev.') ED^ \s=zsMD'^ en DF^ is (Aatm-XXL Steil. V. B.) BD-aAD � ^MD^-, gevolgelijk is EF^�2,MD^nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� ?,]\ID^�Z AM^ t=.A3D C3D�ACt; daarom

EF�aC: nu is FG (HL Gev. HL Steil.) de zijde van den regelma-tigen driehoek, welke in denzelfden cirkel befchreven is; A Eli dah de zijde van den regelmatigen zeshoek, in denzelfden cirkel llaande-IVanneer men dan, na vooraf twee middellijnen, A B en CP, in dt^nbsp;gegeven cirkel, regthoekig op elkander getrokken te hebben, AEs^nbsp;A 31 neemt, en uit p met eene ftraal gelijk aan A C eenen cirkel-boog befchrijft, welke de middellijn AB in E doorfnijdt; dan zanbsp;EM de-zijde des tienhoeks en EC de zijde des vijfhoeks zijn, velkenbsp;{ft dczsH civkcl kutiHBU befchreven wordeBm

VI. Stelling. Fig. 147.

�. 408. Wanneer een regelmatige veelhoek in ecnen cirkel hefchreven is; dan zal men, in (Hen cirkel, eenen regel matigennbsp;veelhoek kunnen hefchrijven, die een dubbeld aantal van zijden heeft.

Betoog. Laten ABM, BCM, CDM, enz. de raiddelpunts driehoeken van den veelhoek zijn, welke in den cirkel befchreven is. ^len befchrijve, uit de hoekpunten A tn B, met ��ne en dozcllllenbsp;, naar welgevallen, twee cirkelbogen, welke elkander in P mij Jen;nbsp;indien men dan de lijn MP trekt; dan zal de boog AB, in h-t puntnbsp;H, in twee geli'ke deelen, de bogen A Ie en b B, verdetl-.l zijn;nbsp;Want de driehoeken A MP en BMP zijn (A7//. Steil. 1. B.) gelijk,nbsp;en gelijkvoriiiig, en daarom is hoek AME� hoik BME, en {XFlf,nbsp;Stel!, F. B.') de boog AEzz. den boog BE; de koorde A E is dannbsp;Ook !^F. Steil. F. B.') gelijk aan de koortje BE. Op dezelfde wijzenbsp;^al men de bogen BC, CD, enz. verdeelen, en men zal aizoo in dennbsp;oirkel eenen veelhoek verkrijgen, die een,dubbeld aantal zijden heeft.

�. 409. Gevolg. Omdat men, tiH de UI, IF en F'StclUquot;'gen geleerd heeft, hoe een zeshoek, vierhoek, vijfhoek, tienhoek, viiftknhoek en dertighoek, in eenen cirkel kan hefchreven worden, zal men r,unbsp;ook in ftaat zijn, o;n eenen veelhoek van 8, 16, 32, 64, lall, 256,nbsp;zijden; van 12, 24, 48, 96, 192, enz., zijden; van 20, 40,nbsp;�O) i6o, enz., zijden; van 60, 120, 240, 480, enz., zijden tnnbsp;teven cirkel te hefchrijven, en men zal derhalve den omtrek eens cirkels ook in even zoo vela gelijke deelen kunnen verdeelen.

�� 410. TFanneer een regelmatige veelhoek in .eenen cirkel hefchreven g^n zullen de raaklijnen, welke, door de hoekpunten Van dezen veelhoek, ann den cirkel getrokken worden.nbsp;Benen ��egel,matigen veelhoek van hetzelfde aantal zijden bepalen , en deze zal om den cirkel hefchreven zijn.

Betoog. De raaklijnen AH en BH, zullen elkander in het punt ^7fnijden: en dan is XHI. Steil. F. B.j AH�BH: om dezelfdenbsp;feden, x^\BI�Tc-, CK�KD zijn, ets.; daar nu (X///.A/./.i?.)nbsp;�oek ABEHz=. hoek BMIJ; hoek BWll� hoek IMC is, zal, omdat

beginselen

BMl zijn; en derhalve {IX. Steil. I. B.) HB~BI; om dezelfde re-den, zal ICztzCK zijn, en {FII. AxI) IIl~IK, en uit dezelfde gronden, zal volgen: dat al de zijden van deii veelhoek, welke doofnbsp;deze raaklijnen gevormd wordt, onderling gelijk zijn. Eindelijk zijn�nbsp;wegens de gelijke en gelijkvoriaigc driehoeken, AMH, BMll, B!-^�nbsp;C3II, de hoeken om de punten II en / gelijk, en daarom i? boeknbsp;xillI~ hoek B IC� hoek CKD � enz. De veelhoek, welke, dooinbsp;de raaklijnen bepardd wordt, is dan gelijkhoekig en gelijkzijdig, ennbsp;derhalve (/. Bep.quot;) een regelmatige veelhoek, welks zijden zooveelnbsp;in r.antrl zijn, als de zijden van den regelmatigen veelhoek, weik#nbsp;onderfteld wordt, in den cirkel befchreven te zijn.

�. 411. Gevolg. Flg. 147. Bleu zal dan, om eenen grgever. c:t' kei, alle dia veelhoeken kunnen hefchrijven, welke, 'lUiar aau'.vgz'.oSnbsp;ven het gevolg der voorgaande fielling, in den cirkel iefchreven kn�'nbsp;nen worden.

Vin. Stelling. F:g. 140.'

�.412. De inbond van eenen regehnatigen veelhoek is g-quot;' lijk aan deszelfs omtrek, vermenigvuldigd met de halve apo'nbsp;thema, of de halve flraal van den ingefchreven cirkel.

�EiooG. Het is, uit het betoog van de I. Stelling gebleken, dat, in eiken regehnatigen veelhoek, A BCD EFG, eenen cirkel kaonbsp;befchreven worden, welke de zijden van dien veelhoek, in de puntehnbsp;,0,5 -K, S, enz., welke in het midden vnn dezelve gelegen zi;ngt;nbsp;aanraakt, en dat het middelpunt M van dien cirkel tevens het inidd*^'quot;nbsp;punt van den veelhoek is, in hetwelk de toppunten van alle de ��'i'nbsp;delpunts driehoeken, ABM, BCM, CDM, DEXI, enz., uit welk^nbsp;de veelhoek kan begrepen worden zamengefteid te zijn, zamenkomeh-Nu is de inlioud van den middeipunts driehoek BCBI (Gev.

Steil. lil. B.') gelijlt aan de zijde BC, vermenigvuldigd met de hel^^ van de loodlijn MB. Op.dezelfde wijze, is inhoud driehoeknbsp;� CD X iMQj inhoud driehoek Z)�4/�x IBIR, enz.nbsp;fom van de inhoud�n dezer driehoeken is nu gelijk aan den inhoudnbsp;van den geheelen veelhoek, en, (omdat ai de Ilralen MP, MO,, e'�'quot;nbsp;gelijk zijn,) gelijk arm de fom van al de zijden des veelhoeks, veinte-nigvuidigd met de helft van de ftraa! des ingefchreven cirkels, i;ehjknbsp;aan {AB �C CD -f i)� �� ^quot;0 -f GD) X i BIP-

DER MEETKUNST.

IX. Stelling. Fig. 148.

�� 413. regelmatige veelhoeken^ hetzelfde aantal zijden of hoeken hebbende, zijn gelijkvormige figuren; en, als zoodanige, flaan derzelver omtrekken tot elkander, in dezelfdenbsp;^eden, als de flralen, of middellijnen, van derzelver in of omge-fohrevene cirkels', en de inhouden van diezelfde veelnoeken zijnnbsp;elkander, in dezelfde reden, als de vierkanten van de flra-len, of middellijnen, van diezelfde in en omgefthrevene cirkels.

Betoog, Laten ABCDE en abede, twee regelmatige veelhoe-bij voorbeeld, twee regelmatige vijfhoeken, zijn: dan moet be-'''ezen worden: dat derzelver omtrekken tot elkander in dezelfde re-zijn, als de ftralen of middellijnen der in en omgefchreven cirkels; en dat de inhouden dezer veelhoeken tot, elkander (laan, als de vierkanten van de ftralen of middellijnen van diezelfde cirkels.

Het is, uit het eerfte Gevolg der eerfte Stelling, gebleken: dat elke regelmatige veelhoek begrepen kan worden, zamengevoegd te zijn, uitnbsp;�ven zoo vele gelijke en gelijkvormige gelijkbeenige driehoeken, alsnbsp;zijden of hoeken in dien regelraatigen veelhoek voorkomen. Latennbsp;dan ABM en ahm, de middelpunts driehoeken der regelmatige veelhoeken zijn, in welke wij, ten einde het betoog algemeener te maken , een aantal van n zijden of hoeken aannemen; dan is (///. Gev.nbsp;I. Steil.') de centerhoek, A MB, van den eerden veelhoek, zoowel als

derhalve zijn ook de hoeken BAM en ABM, gelijk aan de hoeken ham en abm, welke de helften dezer polygoonshoeken zijn; de middelpunts driehoeken AMB en amb, zijn derhalve gelijkhoekig en omnbsp;die reden {Fill, Steil. IF. B.) gelijkvormig. .

*^mdat nu vooreerst, beide veelhoeken uit hetzelfde aantal van zulke gelijkvormige middelpunts driehoeken zijn zamengefteld. Zijn zij {zie

Ten tweeden. Men heeft,'ingevolge de gelijkvormigheid der driehoeken, abm sn abm, {Fill. Steil, en ll. Gev. Fill. Steil. IF. B.) e evenredigheden:

AB'.ab=^PM'.pm

BEGINS

maar ^JM en am, zijn de flralen der omgefchrevene en PM en de ftralen der ingefchrevene cirkels; de zijden der regelmatige veelhoeken zijn derhalve tot elkander in dezelfde reden, als de ftralen dernbsp;in en omgefchrevene cirkels: maar nu is ook (/^/. Ste/L 11. B.')nbsp;n X : � % ab~ AMi am.� nAM-. namnbsp;n X AB :n y, ab � PM: pm � aPM: npmnbsp;wanneer dan n het aantal van de zijdai der veelhoeken faeteekent;nbsp;dan is ny AB gelijk aan den omtrek des eerften, en nyab gelijknbsp;aan den omtrek des tweeden veelhoeks, en de oimrekken der veelhoeken ftaan dan ook tot .elkander in dezelfde reden, als de ftralen dernbsp;in en omgefchrevene cirkels, en derhalve ook als derzelver dubheldenbsp;ftralen of middellijnen.

Inh. drieh. ABM: Inh. drieh. abm � MP^: mp^ : 4MP^ : if.fnp�^ en, volgens PI. Steil. II. B., zal men dan ook de evenredigheden:nbsp;ny ABM: ny absn�AM^ :am�^ �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: n^anP-

n X ABM: n y abm zr MP^ : mp^ �\AIP- : j^mp^ mogen ftellen. Nu is n X ABM, gelijk aan den inhoud van den eet-ften, en n x abm, gelijk aan den inhoud van den tweeden veelhoek:nbsp;de inhouden der gelijkvormige regelmatige veelhoeken zijn derhalvenbsp;tot elkander in dezelfde reden, als de vierkanten van de ftralen ofnbsp;van de middellijnen der in en omgefchrevene cirkels.

�. 414. Wanneer, in en om eenen cirkel, twee regelmatige -feelhoeken,. van hetzelfde aantal zijden, en welker inhoudennbsp;ivij A en B noemen, en voorts, in en om dienzelfden cirkefnbsp;twee veelhoeken, tweemaal zooveel zijden als de eerfte hebbende fnbsp;en welker inhouden wij A' en B' noemen, hefchreven zijn'nbsp;dan zal x'^ de inhoud van den veelhoek, A�, welke in den cif'nbsp;kei ft a at en het dubbeld aantal zijden heeft, midden.-evenredignbsp;zijn tusfchen de inhouden der veelhoeken, A en B, welke if^nbsp;en om den cirkel ftaan, en het halve aantal zijden hebben.nbsp;stP Zal de fom van de inhouden der veelhoeken A en A', innbsp;den cirkel Jlaande, tot het dubbeld van den inhoud van dennbsp;kkinften dezer veelhoeken A, welke het minfle getal zijden

R MEETKUNST.

heeft, dat is 2^, in dezelfde reden fiaan, ah de inkouden van de veelhoeken van het enkelde en van dubbelde ^etal zijden, welke om den cirkel befchreven zijn: dat is, men zalnbsp;de evenredigheden

Betoog. Zij de gelijkbeenige driehoek, /IBM, ��n der middel-Punts driehoeken van den veelhoek A, aan welken wij een aantal van � zijden geven; dan is de inhoud van dien veelhoek gelijk aan n maalnbsp;den inhoud van dien middelpnnts driehoek, AMB; en dan is Aziznnbsp;^ drieh. AMB. Men deele den tophoek, AMB, des middelpuntsnbsp;driehoeks, door de lijn MD, in twee gelijke deelen, en trekke aannbsp;het punt D, de raaklijn CDE, welke de verlengde beenen van dennbsp;driehoek, ABM, in de punten C en E, ontmoet, dan is de driehoek, CEM, de middelpunts driehoek van den � hoek, welke omnbsp;den cirkel befchreven is, en dan is B~n X drieh, CEM. Men trekke voorts de koorden AD en BD', dan zijn ADM w. BDM denbsp;Middelpunts driehoeken van den 2� hoek, in den Cirkel befchreven,nbsp;en, om die reden, zal A'�2.n x drieh. ADM~n X vlerk. ADBMnbsp;Zijn. Men deele eindelijk de hoeken .rlMD en BMD, door de lijnen MF en MG, in twee gelijke deelen, en trekke de lijnen AFmnbsp;�G, welke (omdat AM�DM, MF�MF en hoek AMF~\\oeknbsp;D mF is, en (X Steil. I. B.) hoek MAFzz. hoek MDF is,) raak-hjnen tot den cirkel zullen zijn, zijnde AF�DFtw BGz=.DQ, ennbsp;de hoek FMG'=. den hoek AMD; de driehoek FG M zal dan denbsp;middelpunts driehoek van den a� hoek zijn, welke om den cirkelnbsp;befchreven en men heeft derhalve, omdat vlerk. AFDM klaarblijkelijk gelijk aan den driehoek FGMis, B'�znx vlerk. AFDM.nbsp;Na deze verklaring van de bereiding der figuur, is het betoog dernbsp;geftelde evenredigheden zeer gemakkelijk.

Vooreerst hebben de driehoeken, AMH en AMD, ah aan het toppunt A zamenkomende, gelijke hoogten, en zijn daarom (X//^, St.nbsp;UI. B.) tot elkander als hunne bafes, dat is:

Inh. drieh. AMH: Ink. drieh. A MD =:MII: MD maar, omdat de boeken A HM en CDM, ^IX en XII. Steil. �ILB.)nbsp;regt en de lijnen ah en CD (/. Gev. XXXHI. Bep. /. B.) derhalvenbsp;evenwijdig zijn, zal (//.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IF. B.) MH: MD=zAM: MC

Inh.

BEGINSEL

Deze lijnen AM en CM, zijn de bafes der driehoeken, ADM CDM, welker toppunten, in hetzelfde punt D, zamenkomen,nbsp;daarom gelijke hoogten hebben: men zal dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Steil. III. SO

zijn. De inhoud van den driehoek AMD, is derhalve midden-even-redig tusfchen de inhouden der driehoeken, AMII en CMD: neefflt men nu eiken van de inhouden dezer driehoeken 2� maal; dan verkrijgt men de inhouden der veelhoeken, A, A' tn B, en heeft derhalve de evenredigheid, A �. A' � A' -.B. De 2 n hoek in den cirkelnbsp;befchreven, is alzoo middcn-evenredig tusfchen de � hoeken, welke�nbsp;in en om denzelfden cirkel, befchreven zijn.

2� Omdat de driehoeken, D MF en CFM, aan hetzelfde punt Fi zamenkomen �, is {XIF. Steil. Hl. B.')

Inh. drieh. D MF: Inh. drieh. CFM � DF: CF maar nu is, bij de bereiding der figuur, de hoek Z)ilfF�den hoeknbsp;CMF gemaakt, en daarom is (ZG Steil. IF. S.) DF:CFz=:DM:nbsp;CM, of, omdat AM � DM is, DF: CF�AM:CM, en diens-volgens (/. Steil. II. B.')

Inh. drieh. DMF: Inh. drieh. CFM� AM: CM Nu is boven bewezen: dat de lijnen AM en CM tot elkander Haan,'nbsp;als de driehoeken AMH en ADM, als de inhouden der veelhoeken,nbsp;A en A': men heeft dan wederom (/. Steil. II. B.')

A:Agt;z=. Inh. drieh. MD F: Inh. drieh. CMF uit deze evenredigheid en de figuur, volgt nu: (/7//. Steil. II. B.')

A-\-A': A � Inh. drieh. CDM: Inh. drieh. MD F en, wanneer men de volgende termen dezer evenredigheid dubbeldnbsp;neemt, en onder het oog houdt, dat het dubbeld van den driehoek,nbsp;,MDF, gelijk aan den driehoek FGMh, is (ZV en FII.Stell.il. BI)nbsp;A.\- A' -.tiA� Inh. drieh. CD M: Inh. drieh. FG M.

Maar de driehoeken CD M twFGM, zijn, gelijk gezegd is, deelen van de veelhoeken B en B', en zijn daarom (/�. Gev. FI. St.nbsp;II. B.) met deze veelhoeken evenredig; dat is:

der mee T�K U N S T.

men zal dan, (/. StelL 11. B.') deze evenredigheid met de voorgaande vergelijkende, verkrijgen:

��415. I. Gevolg. Omdat de midden-evenredige tusfchen twee grootheden grooter dan de kleinfte, en kleiner dan de grootfte dezer grootheden is, en de veelhoek, welke om den cirkel befchreven is, groover is dan die, van hetzelfde getal zijden, welke in den cirkel Haat, 2al van de veelhoeken, welke in den cirkel Haan, de veelhoek A'nbsp;van 2 � zijden grooter zijn, dan de veelhoek A van n zijden; en dannbsp;zal ook, in de evenredigheid, AA''.2 AzzzB�.B', de eerfte termnbsp;A Sf-grooter dan de tweede term 2 A zijn, en derhalve ook Bnbsp;grooter dan B' zijn. De veelhoeken, in den cirkel befchreven, wor~nbsp;den dan grooter, en die, welke om den cirkel liefchreven zijn, kleiner,nbsp;wanneer men het getal der zijden verdubbelt,

�. 416. II. Gevolg. Uit de eerfte evenredigheid, A-.A'�A'-.B, volgt: A' � \/(^A X. Bj, en uit de tweede, B'�2A x B\{A-\-A'j,nbsp;Wanneer dan de betrekking van twee veelhoeken, van hetzelfde getalnbsp;Zijden, ill en om eenen cirkel befchreven zijnde, in getallen bekendnbsp;is; dan zal men ook de getallen vinden kunnen, welke de betrekkingnbsp;van de inbonden der veelhoeken, welke een dubbeld getal zijden hebben, tot elkander en tot de gegevens veelhoeken, uitdrukken. Bijnbsp;voorbeeld, wanneer, in en om eenen cirkel, eenen regelmatigen driehoek befchreven is; dan is het ligt te zien: dat de inhoud van dennbsp;driehoek, om den cirkel llaande, gelijk is aan viermaal den inhoudnbsp;des driehoeks, welke in den cirkel fiaat: indien men dan den laatftennbsp;zls de vlakte ��nheid aanneenit, dan zal y/=i;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijn, en dan

zeshoek, (hetwelk met het ///. Gcv. IF. Steil, over��nkomt,) en B' �:=Z2 A X B-.{^A-\- A'j � 2f- = inhoud van den zeshoek, om dennbsp;^k'kel befchreven: (lellende wederom Azz.2 en B � 2%-, dan is A^'zr.nbsp;Va X s � ^2 X 2| =2 1I//3 = inhoud van den twaalfhoek, innbsp;den cirkel befchreven, en uitgedrukt in ��nheden van den driehoek.

�' 417� IV. bepaling. Door Quadratuur van den cirkel verllaat men gemeenlijk de betrekking, welke �er tusfehennbsp;deszelfs inhoud en het vierkant, hetwelk op de ftraal of denbsp;middellijn van dien cirkel befchreven is, beftaat.

K nbsp;nbsp;nbsp;�.

beginselen

�, 418. Aanmerking. Het vinden van de Quadratuur des cirkels is met de theorie der regelmatige veelhoeken, welke, in en om den*nbsp;zelven, kunnen befchreven worden, zoo naauw verknogt�dat het, nanbsp;de voornnainfte en algemeende eigenfchappen dezer veelhoelten overwogen te hebben, hier de gefchiktlie plaats is, het Problema van denbsp;Quadratuur des cirkels te leeren oplosfen.

�. 419. De omtrek van ecnen cirkel is langer dan de omtrek van eenigen regelmatigen veelhoek, welke in denzelven, ' ennbsp;korter dan de omtrek van eenigen regelmatigen veelhoek^nbsp;welke om denzelven befchreven is.

Betoog. Laten, ABM en CEM, de middelpunts driehoeken der in en omgefchrevene veelhoeken zijn; dan zal, wanneer men het getal der zijden rz: n fielt, de oracrek des veelhoeks in den cirkel befchreven � n X AB~2,n x AH zijn; en de omtrek van een� veelhoek van een ciubbeld getal zijden ir 2� X AD; omdat nu de driehoek ADH regthoekig is, is {XVI. Steil. I. BI) AD^ AH; derhalve 2 12 X AD 2 � X 'AH, dat is: de omtrek van esncn regehna-tigen veelhoek, in den cirkel befchreven, is grooter dan die, welkenbsp;fechts het halve getal zijden heeft. Wederom is, omdat hoek cMFnbsp;= hoek DMF is, {IV. Steil. IV. B.) CF-. DF= MC-. DM; maarnbsp;MC';gt;DM zijnde, is CF^FD, of, CF^^AF, en daarom (//�nbsp;Ax.) CD';gt;AF FD, of, CD^FG; derhalve 2 22 x Ci) gt; 2 �nbsp;X FO, dat is: wanneer, om cenen cirkel, twee regelmatige Veelhoeken,nbsp;waar van de cene het dubbeld getal zijden van de andere heeft,nbsp;befchreven zijn; dan zal de omtrek van den veelhoek van het dubbeldnbsp;getal zijden kleiner dan die van den anderen veelhoek zijn. Denbsp;oratrekken der veelhoeken, welke in den cirkel befchreven zijn, worden derhalve fteeds grooter, wanneer men voortgaat, met derzelvernbsp;zijden te verdubbelen; terwijl de veelhoeken, welke om den cirkelnbsp;befchreven zijn, integendeel, bij het verdubbelen van derzelver zijden, kleiner van omtrek worden. Hoe grooter nu het getal der zijden van twee gelijkfoortige veelhoeken is, de ��n in, en de andernbsp;om den cirkel befchreven, zoo veel te minder zullen derzelver omtrekken van elkander verfchillen; want, AB-.CE � MH'.MD zijnde, zijn de omtrekken dezer veelhoeken tot elkander als de loodlijnnbsp;des veelhoeks, welke in den cirkel liaat, tot de draal van den cirkel

d2R meetkunst.

waarin hij befchreven is. Het verfchil tusfchen deze loodlijn en deze ftraal wordt fteeds kleiner, wanneer men het getal der zijden grooternbsp;neemt; de in- en omgefchreveiie veelhoeken, zoowel als derzelvernbsp;omtrekken, komen dan, in grootte en omtrek, hoe langer hoe nadernbsp;bij elkander, en verfchiilen minder van den omtrek des cirkels, welkenbsp;tusfchen deze veelhoeken gelegen is: hier van daar pleeg men dan tenbsp;zeggen: dat een cirkel een regelmatige veelhoek is, uit een oneindignbsp;aantal zijden beflaande, eene oneigenlijke wijze van zeggen, waardoor men. te kennen geeft: dat een regelmatige veelhoek zooveel tenbsp;nader met de hguur van eenen cirkel over�'�nftemt, naarmate dezeivenbsp;uit een grooter aantal zijden be�aat. Wanneer men nu dit getal zijdennbsp;grooter nemen kon dan eenig getal, dat men zich voorftellen kan,nbsp;dan zouden de omtrekken der in cn oragefclirevene veelhoeken metnbsp;den omtrek des cirkels invallen, en aan denzelven gelijk worden, ennbsp;daar nu, volgens het bewezene, een regelmatige veelhoek van minder zijden, in den cirkel befchreven, een kleiner, en die, welke omnbsp;den cirkel befchreven is, een grooter omtrek heeft, is de omtrek desnbsp;cirkels noodwendig grooter dan de ointrek eens veelhoeks, die in denzelven , en kleiner dan de omtrek eens veelhoeks, die om denzelvennbsp;befchreven is.

�. 420. Wanneer twee gelijk middelpuntige cirkels gegeven ^ijn; dan zal men, inden grootflen, eenen veelhoek kunnen he-fchrijven ^ welker zijden den omtrek van den kleinjien cirkelnbsp;niet aanraken; en, om den kleinzen, eenen veelhoek, welkernbsp;hoekpunten alle kinnen den omtrek van den grootjlen cirkel gelagen zijn.

Betoog. Laten A� en BM de ftralen der cirkels zijn, welke hun gemeen middelpunt in M hebben. Hoe weinig nu de dralen dezer cirkels van elkander verfchiilen, zal het punt A altijd binnen dennbsp;omcrek van den grootden cirkel gelegen zijn, en, wanneer men derhalve de raaklijn CD trekt, welke, ter wederzijde, aan den omtreknbsp;Van den grootfteu cirkel, bepaald wordt, dan zal deze tevens eenenbsp;hoorde zijn, welke den boog CED des grootden cirkels onderfpant,nbsp;en de draal BM za� den boog CED in twee gelijke bogen C5 ennbsp;doorfnijden: en dit alles zal plaats hebben, zoo lang AM kleiner dan BWl is. Nu begrijpt men ligtelijk, dat men op den boog

beginselen

een gedeelte BE zal kunnen nemen, .hetwelk een evenmatig deel vs� den omtrek des grootften cirkels, en daarenboven een even aantal malen in denzelven begrepen is: die boog BE dan alzoo genomen hebbende, zal men den boog BF, gelijk den boog BE kunnen nemen,nbsp;en de boog E BF zal insgelijks een evenmatig deei van den omtreknbsp;zijn, en wanneer men dan de koorde EE trekt, zal deze de zijdenbsp;van eenen regelmatigen veelhoek zijn, welke in den grootften cirlcelnbsp;kan befchreven worden: dan, vermits de bogen CE en DF (Fill. Ax.')nbsp;klaarblijkelijk gelijk zijn, is (XIV. Steil. F. BI) �E evenwijdig aannbsp;CD, en ligt bijgevolg geheel buiten den omtrek des kleinrten cirkels,nbsp;en daar het nu geen verder betoog behoeft, dat alle de zijden vannbsp;den regelmatigen veelhoek, in den grootften cirkel befchreven, dennbsp;kleinften niet zullen aanraken, is het eerfte gedeelte der ftelling buitennbsp;alle bedenking gefield. Wanneer men nu, om het tweede te betoo-gen, de ftralen EM en MF trekt, dan zullen deze de koorde CDnbsp;in de punten G exi H fnijden, en GH zal de zijde van eenen regelmatigen veelhoek zijn, om den kleinften cirkel befchreven, welke,nbsp;wegens den gemeenfchappelijken centerhoek EMF, even zoo vele zijden zal hebben, als de regelmatige veelhoek, welke in den grootftennbsp;cirkel befchreven is: nu liggen de hoekpunten, G en //, van dien om-gefchreven veelhoek in de koorde CD, en derhalve binnen den oni-trek van den grootften Cirkel, en, daar hetzelfde voor alle de anderenbsp;hoekputen van den veelhoek, welke om den kleinften cirkel befchreven is, gelden zal, is hierdoor ook de waarheid van het tweede ge-, deelte der ftelling bevestigd.

S- 421. AAr^MERKiNG. Hetgeen hier van twee geiijkmiddelpuntige cirkels bewezen is, zal ook van twee gelijkmiddelpuntige feftors, opnbsp;dezelfde wijze, betoogd worden.

�. 422. Gevolg. Fig. 150. Vermits (IX. Steil.) de omtrekken der veelhoeken, welke hetzelfde getal zijden hebben, tot elkandernbsp;ftaan, in dezelfde reden, als derzelver loodlijnen, zoo is de veelhoek,nbsp;om den kleinften cirkel ftaande, kleiner van omtrek, dan die, welke i'*nbsp;den grootften cirkel ftaat; daar nu de omtrek van den kleinften cirkelnbsp;(I. Lemma) kleiner is dan de omtrek van den veelhoek, welke oiunbsp;denzelven befchreven is, en de omtrek van den grootften chkel groO'nbsp;ter dan de omtrek des veelhoeks, die in denzelven ftaat, zal ook (L/-Jx.) de omtrek des grootften cirlcel grooter dan die van den kleiU'nbsp;ften zijn.

Bexogg. Laten twee cirkels, welke onderfcheidene ftralen MA en MB hebben, in hetzelfde middelpunt il/geplaatst worden, wanneernbsp;men dan de ftralcn MA en AfC trekt, welke den omtrek des klein-ften cirkels in B en D fnijden; dan is, wegens de eigenfchap des cir-kels, AM�CM en MBz=.MD, en daarom i? AM-.BM�CM\nbsp;�, nu geldt dezelfde evenredigheid voor elke andere flraal MC, denbsp;cirkels zijn derhalve (X///. Steil. IF. B.j gelijkvormig.

�. 424. De omtrekken der cirkels jlaan tot elkander^ ah hunne firaleti', en derzelver inhouden, als de vierkanten op doze fir alen befchreven.

Opheldering. Laten, met de ftralen AB en C�, uit de middelpunten B en D, twee cirkels befchreven worden, en fcbrijven wij, kortheidshalve, voor den omtrek des cirkels, welke A B tot flraalnbsp;heeft, Omtr. A B; en voor den inhoud des cirkels, welke A B totnbsp;flraal heeft, Inh. AB; dan zullen de twee evenredighedennbsp;Omtr. AB: Omtr. CD=:AB :CDnbsp;Ink. AB: Ink. CD=.ABmCD^nbsp;moeten bewezen worden.

Betoog van het eerfie. Wanneer Omtr. A B tot Omtr. CD niet fiaat, als AB tot CD; dan zal AB tot CD in dezelfde reden moeren liaan, als de omtrek van AB, tot den omtrek van eenen cirkel,nbsp;die met eene grootere of kleinere flraal, dan de flraal CZ) des tweeden cirkels, befchreven is: ftelien wij, bij voorbeeld, als de oratrek van ,nbsp;AB tot den omtrek, welke met de flraal DE befchreven is; en dannbsp;z'in de cirkels met DC en DE befchreven gelijkmiddelpuntig, ennbsp;men zal dus (�//. Lemma') in den buitenften eenen regelmatigen veelhoek CIKL kunnen aannemen, welker zijden den omtrek van den bin-nenften cirkel niet aanraken: wanneer men dan, in den cirkel, welkenbsp;met AB berchreven is, eenen veelhoek AFGH heichxvjx., welke aannbsp;den veeliioek Cl[{� gelijkvormig is, dan zal (^IX. Steil.)

Omtr. AFGH: Omtr. ClKB � AB: CD Zijn; maar, in onze aangenomene onderftelling, zalnbsp;AB ; CD x; Omtr. AB : Omtr. DE

BEGINSELEN

Omtr. AFGH'. Omtr. ABztz Omtr. Cl KL: Omtr. DE Nu is (//. Lemma) de omtrek van den veelhoek AFGH, kleiner dannbsp;den omtrek des cirkels met AB befclireven (e� lil. Lemma en Gev.)nbsp;de omtrek van den veelhoek CIKL groot�r dan de omtrek des cirkels, welke met DE befchreven is; in de laatfte evenredigheid zounbsp;dan de voorgaande term van de eerfte reden kleiner, en de voorgaandenbsp;term van de tweede reden grooter dan de volgende term zijn: zulksnbsp;ftrijdt nu met den aard der evenredigheid, en de ftralen AB en CDnbsp;kunnen derhalve niet tot elkander flaan, als de omtrek van eenen cirkel met de eerfte ftraal AB befchreven, tot den omtrek eens cirkels,nbsp;welke, met een kleinere, dan de ftraal CD, befchretten is. Op dezelfdenbsp;wijze, zal men betoogen; dat AB tot CD niet zijn kan, als omtr.nbsp;AB tot den omtrek eens cirkels, wmlke, met eene grootere, dan denbsp;ftraal CD, befchreven is: en hieruit volgt dan, dat AB : CD� Omtr,nbsp;AB : Omtr. CD moet zijn.

Betoog van het tweede. Wanneer AB- : CD- niet = Inh. AB: Inh. CD is, en men diensvolgens ftelt, dat AB- : CD^ � Inh, AB :nbsp;Inh. DE; dan zal, alles nemende, als in het voorgaande betoog, {_IX.nbsp;Steil.)

Inh. AFGH: Inh. CIKL� Inh. AB: Inh. DE Maar nu is Inh. AFGHInh. AB, en Ink. C/A'Z, �gt; Inh. DE;nbsp;daar zulks nu met den aard der evenredigheid ftrijdt, kfiii de aangenomene evenredigheid niet beftaan. Het zal, op gelijke wijze-, blijken, dal zij ook niet beftaan kan, wanneer men DE grooter dan CDnbsp;neemt. liet vierkant van de ftraal des eerften cirkels kan dan tot hetnbsp;vierkant van de ftraal des tweeden cirkels niet ftaan, gelijk de inhoudnbsp;des eerften cirkels tot den inhoud van eenen cirkel, die grooter ofnbsp;kleiner dan de tweede is: de inhouden der cirkels zijn dus, in dezelfde reden, als de vierkanten van derzelver ftralen.

425. I. Gevolg. Omdttt de middellijnen gelijk aan bet dubbeld der ftralen zyn, zijn ook de omlrekken der cirkels.,

D K a MEETKUNST.

ah de middellijnen-, en hunne inhouden tot elkander, ah de vierkanten van derzelver middellijnen.

kels, zijn �gelijkvorinige cirkelbogen, A FC en BED, bogen, welke tot hunne geheele omtrekken, in dezelfde realen liaan, en derhalve aan de middelpunten gelijke hoeken �dMC en BMD bepalen. Gelijkvortnige feamp;ors, MAFCnbsp;en MBED, worden door gelijk vormige bogen, bepaald, en ^nbsp;derzelver dralen hebben om die reden gelijke boeken. Gevormige fegmenten, A FC en BED, eindeliik worden doornbsp;gelijkvormige bogen en derzelver koorden bepaald.

�. 427. II. Gevolg. Fig. 151. Omdat gelijkvormige cir-bogen, A FC en BED, tot de geheele omtrekken, tot welke zij behooren, in dezelfde reden liaan, en deze met de dralen, AM en BM, en deze dralen {VIII. Steil. IV. B.jnbsp;Wederom niet de koorden, AC en BD, dezer bogen evenredig zijn, flaan gelijkvormige cirkelbogen tot elkander, innbsp;dezelfde reden, als de flralefi hunner cirkels en als de koorden,nbsp;welke deze hogen onderfpannen.

�. 428. 111. Gevolg. Fig. 151. En omdat de gelijkvor- � ffiige cirkel fcftors, A MC F en BM.DE, tot elkander (laannbsp;in dezelfde reden, als da inhouden der cirkels, tor Welke zijnbsp;behooren, en deze laatde in dezelfde reden zijn, als de vierkanten der dralen, en als de vierkanten van de koorden vannbsp;de bogen d�zer feclors, Jlaan gelijkvormige feamp;ors in dezelfdenbsp;reden, aU de vierkanten der j�ralen, en als de vierkanten vannbsp;ae koorden, welke derzelver bogen onder/pannen.

�� 429. IV. Gevolg. Fig. 151. D.aar dan de fe�lor.'; MAFC cxi ABCb, en {XL Steil. IF. B.} de driehoeken, A3IC en BMD, totnbsp;elkander in dezelfde reden (laan, al.^ de vierkanten der dralen, A31 ennbsp;tot deze lectors behooren, is (/. Steil. 11. B.Jnbsp;MafC\ Se�. MBED = piek. AMC: drieh. BMDnbsp;en volgens de ix. Steil. II. B.

BEGINSELEN

De gelijkvormtge fegmenten ftaan tot elkander in dezelfde reden, als de vierkanten, op derzelver koorden befchreven zijn.

�� 43�- CfEVOLG. Fig. 150. De inhouden der cirkels, welke, met de ftrrden, CM en MA, befchreven zijn, (laan tot elkander alsnbsp;de vierkanten dezer ftralen, en bijgevolg jFIII. Steil. 11. B.') zal hetnbsp;verfchil van de inhouden dezer cirkels tot het verfchil van de vierkanten van derzelver ftralen, in dezelfde reden zijn, als de inhoudnbsp;van den cirkel, met CM befchreven, tot het vierkant van CM, als denbsp;inhoud van den cirkel, met CA befchreven, tot het vierkant vanC^f,-maar nu is (XFI. Steil. III. B.') het verfchil der vierkanten op CMnbsp;en AM, gelijk aan het vierkant op AC; deihalve zal het verfchil vannbsp;de inhouden der cirkels, met CM tn befchreven, gelijk zijn aannbsp;den inhoud des cirkels, met CA befchreven; waaruit dan onmiddelijknbsp;volgt: dat de Jont van de inhouden der cirkels, welke, met de regt-hoekszijden van eenen regthoekigen driehoek, als ftralen, befchrevennbsp;�worden, gelijk is aan den inhoud des cirkels, welke de h'jpothenufanbsp;van dien regthoekigen driehoek tot ftraal heeft. En hieruit volgt dannbsp;verder: dat de inhoud van den ring, tusfehen de omtrekken van tweenbsp;gelijhniddelpuntige cirkels gelegen, gelijk is aan den inhoud van dennbsp;cirkel, welke met de halve raaklijn, die tusfehen die twee cirkelsnbsp;�past, befchreven is,

�. 431. De inhoud van eenen cirkel is gelijk aan den inhoud van eenen driehoek, welke eene regte lijn, zoo lang als de omtrek des cirkels, tot bafts, en de ftraal van dien cirkelnbsp;lot hoogte heeft; of, gelijk aan den omtrek vermenigvuldigdnbsp;met de helft van de ftraal.

Betoog. Wij zullen wederom den omtrek van den cirkel, welke met MA, als ftraal, befchreven is, door Omtv. AM, en de.-zelfs inhoud, door Inh, AM, uitdrukken; en dan zullen wij nioettnfcewij-zen: datnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Wanneer Omtr. AM'/. \AM niet gelijk is aan den inhoud of het oppervlak van den cirkel, welke met z/il� befchreven is; dan zal die.nbsp;regthoek aan den inhoud van eenen grooteren of kleineren cirkel moeten gelijk zijn. Stel eerst,' dat Omtr, AM x \AM gelijk zij aan den

DEK. MEETKUNST.

inhoud van den cirkel, welke, met de ftraal MC, kleiner dan AM zijnde, befchreven is: dan zal men, (///� Lemma') om den kleinftennbsp;dezer gelijkmiddelpuntige cirkels, eeneti regdmatigen veelhoek BDEFGnbsp;kunnen befchrijven, welker hoekpunten binnen den omtrek van dennbsp;kuitenften of grootften cirkel vallen, en dan zal de inhoud van diennbsp;'^'^dhoek QF/IL Steil.) gelijk zijn aan

\_BD DE-V-EF FG-\-enz.']%lCM

�iaar nu is de omtrek van den veelhoek BDEFG, (JL Lemma en UI. Lemma) kleiner dan de omtrek des cirkels, welke met AMnbsp;kefclireven is, en AM\s grooter dan CRI; bijgevolg is Omtr. ARInbsp;'^\AM grooter dan de inhoud van den veelhoek, BDEFG, ennbsp;bijgevolg pok grooter dan de inhoud van den cirkel, welke, metnbsp;Cdf, als flraal, befchreven is, en om welken den gezegden veelhoeknbsp;ftaat.

Het blijkt dan: dat de regthoek Omtr. AM X i AM grooter is dan de inhoud van eenen cirkel, welke, met eene kleinere ftraal, dan denbsp;ftraal ARI, befchreven is.

Stellen w'ij nu verder: dat de regthoek Omtr. AM '!t.\AM gelijk zij aan den inhoud van eenen cirkel, die met eene ftraal RIP, groo-rer dan de ftraal AM, befchreven is; dan zal men wederom (IlI.Lcm-gt;iia) om den cirkel, die, met de kieinfte ftraal AM, befchreven is,nbsp;�enen regelmatigen veelhoek hdefg kunnen befchrijven, weikt-r hoekpunten binnen den omtrek van den cirkel, welke MP tot ftraal heeft.nbsp;Zullen gelegen zijn, en de inhoud van dien veelhoek zal (FJ/J. 5re//.)nbsp;aan deszelfs omtrek vermenigvuldigd met de halve ftraal AM, of aannbsp;\bd-\-de Ar ef fg nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-71. I ARI

Bulijk zijn. Nu js de omtrek van dien veelhoek (//. Lemma) grooter dan de omtrek van den cirkel, welke ARI tot ftraal heeft, en, omnbsp;welken ftg veelhoek befchreven is; de inhoud van dien veelhoek isnbsp;dus grooter dan Omtr. AM x | AM; daar � nu de inhoud van dennbsp;veelhoek (Gey_ Lemma) kleiner is dan de inhoud des cirkels, metnbsp;MP als ftraal befchreven, is die laatfte cirkel (F/. Ax.) ook groot�rnbsp;Van inhoud dan de regthoek Omtr. ARI Ti lAM^

De regthoek o,ntr. AM X | AM, is derhalve grooter dan de iii-houd eens cirkel, nbsp;nbsp;nbsp;flraal, kleiner dan AM; en kleiner dan

inhoud eens cirkels, met eene ftraal, grooter dan AM, befchre-die regthoek moet derhalve gelijk zijn aan den inhoud v.an den '^''�kel, welke met ARj befchreven is, en wanneer men gevolgelijknbsp;�ene regte lijn maken kan, tvclke de lengte van den omtrek eens e�r-

K 5

DER MEETKUNST.

�� 435. Den inhoud eens cirkels, welks ftraal voor de ��n-keid Van de lengte maat genomen wordt, met het vierkant, deze ��nheid, {met het vierkant van de ftraal,') hefchre-, door benadering, te vergelijken?

^i'i'OssiNG. Zij, Fig. 141. de cirkel A BCD, met de flranl AT\1, befchreven: laat deze ftraal AM als de ��nheid worden aangenomen,nbsp;en voorts, zoowel , in als om den cirkel, de regtmatige vierhoeken ABCDnbsp;en FBqu befchreven worden; dan is (//. Stelll) het vierkant ABCDnbsp;� aan tweemaal het vierkant van de ftraal, en {IF�. Gev. FI. Steil.nbsp;-�.) het vierkant �FGH, gelijk aaii viermaal het vierkant van denbsp;; beide deze vierkanten zijn dus, in ronde getallen van ��nhedennbsp;''an de vlakte maat, bekend; namelijk ABCD �2 en EFGH�^.nbsp;�en zrd dan, {IL Gev.X. Steil.) ABCD=zAz=:2, en EFGH�B�s,nbsp;^�llende, de inbonden der veelhoeken, welke een dubbeld getal zijden hebben, dat is, de inbonden der achthoeken, in en om den cirkelnbsp;^slchreven, en welke door en B^ (zie boven X. Steil.) zijn iiit-S^drukt, vinden kunnen; want men heeft nu

inhouden dezer actitboeken alzoo, door benadering, bekend zijn-*^2,, zoeke men de inhouden van de veelhoeken van een dubbeld ge-^'*1 zijden, namelijk van de zestienhoeken, in en om den cirkel beschreven, hetgeen door denzelfden regel, wordt ten uitvoer gebragt. SS�en ftelle, tot dat einde, in dezelfde formulen van //. Gev. X. Steil.nbsp;^=2,8284271, en 5 = 3,3137085; dan zal A'�y{AAB)�nbsp;8284271 X 3, 3137085) =: 3,0614674 gelijk zijn aan de benaderde waarde van den inhoud van den zestienhoek, in den cirkel

BEGINSELEN

Omdat nu de inhouden dezer veelhoeken van vierkants-wortel* uit wortelloofe getallen afhangen, zijn zij, met betrekking tot de i**'nbsp;houden der in en omgefchrevene vierhoeken, onmeetbaar: men heel^nbsp;daarom, in het berekenen van de getallen dezer tafel, een cijfer i�nbsp;de decimale breuken van elke uitkomst meer genomen, dan �er innbsp;tafel voorkomen, zijnde de laatlle cijfers, of de naast grootere, ofd�nbsp;naast kleinere, naar dat het volgend cijfer der breuk meer of mind^nbsp;dan vijf bevonden i.s. Uit deze berekende tafel blijkt mi: l� datnbsp;de inhouden der omgefchrevene veelhoeken grootgr dan die der iug^nbsp;fchrevene veelhoeken zijn; lt;2� dat de inhouden van twee veelhoeke�nbsp;van hetzelfde aantal zijden, in en om den cirkel befchreven, mind^lnbsp;van elkander verfchillen, naarmate het getal der zijden grooter wordr�nbsp;3� dat de zijden van den veelhoek van 32768 zijden, in en om de�nbsp;cirkel befchreven, tot in het zevende cijfer van de decimale breuknbsp;met elkander over��nftemmen: zoodat, wanneer men voor den inhoUlt;nbsp;van den cirkel ftelde 3,1415927; men eenen inhoud Hellen zoU�nbsp;grooter dan de inhoud van den 32768 hoek, om den cirkel befchre'nbsp;ven, en gevolgelijk (/. Letnma) grooter dan de inhoud, welkennbsp;cirkel bij mogelijkheid hebben kan; en dat, wanneer men voor de�nbsp;inhoud des cirkels 3,i4i5p25 ftelde, men^eenen inhoud ftellen zoU�nbsp;kleiner dan de inhoud van den 32768 hoek, in den cirkel befchreven�nbsp;en bijgevolg kleiner dan de inhoud des citkels. Men is dan zeker�

DER M E E T K u N S

�Jft, wanneer de ftraal des cirkels gelijk aan de ��nheid genomen wordt, zijn inhoud meer dan 3,1415926 en minder dan 3,1415927nbsp;maal het vierkant van de ftraal zal inbonden, en dat die inhoud ge-volgelijk, op minder dan ��n-tien-millioenfte deel van het vierkantnbsp;Van de ftraal, bekend is.

�� 436. Gevolg. Wanneer men nu dezen inhoud, door de helft de ftraal, dat is door i of 0,5, deelt; dan zal men (//. Gey.nbsp;voor den omtrek nagenoeg vinden 6,2831852, en zoo-veelmaal zal de ftraal in den omtrek begrepen zijn; doch, daar denbsp;�gt;ddellijn gelijk aan het dubbeld van de ftraal is, zal de middellijn innbsp;omtrek nagenoeg de helft van 6,2831852, dat is 3gt; *415926nbsp;maal begrepen zijn, c/? dcnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zal alzoo tot ds fHiddolIijtl Jlttati,

3, 1415926 tot de ��nheid. Dat is, ^vanneer men de middellijn tn tien-millioenen deelen verdeelt; dan zal ��n dezer deelen in eenenbsp;fegte lijn, die gelijk aan den omtrek h, meer -31415926, ennbsp;minder dan 31415927 maal begrepen zijn.

S. 437. Aanmerking. Door eenen veelhoek van 96 zijden, in en om deu cirkel te befchrijven, en derzelver omtrekken te berekenen,nbsp;^eeft Archimedes het eerst gevonden: dat, de middellijn gelijk ��nnbsp;gefteld zijnde, de omtrek kleiner dan 3-�� en grooter dan sfl is: hijnbsp;ftelde daarom de middellijn tot den omtrek nagenoeg, als 7 tot 22.nbsp;Deze getallen geven eene eerfte benadering, welke, wegens derzelvernbsp;eenvoudigheid, het meest bekend, en, voor ruwe berekeningen, genoegzaam voldoende is. M�tius bepaalde deze betrekking naauwkeu-viger, als 113 tot 355. Lud�lf van Geulen vond: dat, vranneernbsp;de middellijn gelijk ��n gejt�ld wordt, de omtrek gelijk is aannbsp;3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288nbsp;�n men heeft naderhand het geduld gehad, om, echter langs veel gemakkelijker wegen, (zie II. C. �. 620��. 623. pag. 367 en 368,)nbsp;deze decimale breuk, tot het 127e, ja zelfs tot het 150e cijfer, voor-tezetten. Maar de benadering van van Geulen komt nader aan denbsp;waarheid, dan tot de behoefte der kunst vercischt wordt; want mennbsp;kan, in het werkdadige, nimmer in het geval komen, dat tot de aller-ftrengrte naauwkeurigheid, zelfs de helft van het getal der cijfers,nbsp;welke VANnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gevonden heeft, veceischt wordt. {Vergelijk ver-

BEGINSELEN

heid is, gelijk eene letter, welke, in alle de deelen der Wiskunst� het getal 3� H^59, e�2, aanduidt; dan is;

T= nbsp;nbsp;nbsp;3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1415Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;26535nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8p7p3

zijnde de laatfte Logarithmus (vergelijk I. C. �. 880��. 882.) in zijn geheel negatief gehoinen. De vijf eerlle cijfers van de decimale breU'nbsp;ken dezer Logarithmen zijn, in de meeste gevallen, voldoende:nbsp;het zal zelden noodig zijn, meer dan zeven cijfers dezer Logarithmennbsp;in de berekening te gebruiken.

Den boog van eenigen feftor, uit dien cirkel gefnedeu, in graden uitgedrukt ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Denzelfden, in ��nheden of deelen van de middellijn Den inhoud van dien feaor ....nbsp;dan heeft men:

I� Omdat de omtrekken van twee cirkels tot elkander, in dezelfde reden zijn, als hunne middellijnen, i:ir � aip; derhalve p � i: a ofnbsp;in Logarithmen.

2� Omdat de omtrek, vermenigvuldigd met ��n-vierde van de mid' dellijn, gelijk aan den inhoud is,./= dx, of, in Logarithmen:nbsp;Log. I� ciLog.a � o, 104PI01

4� Uit de'tweede vergelijking: I~\Tra^y volgt; 0^�4/:a'eo � r= 1/ 14 �: a-1 , of, in Logarithmen:

door deze, zal de middellijn eens cirkels berekend worden, wanucer zijn inhoud gegeven is.

�'�gedrukt, zal 360^ ; ^ = !ra t O zijn; derhalve 0 = ^ax �� Of, in Logaritlimen:

Log. g,= Log. q Log. � �2,0591526 quot;^oor deze zal men, wanneer de middellijn gegeven is, de lengte vannbsp;^enen boog van q graden, in deelen van die middellijn berekenen.

^ log. 5 = 2,0591526 �. Log. a door deze, zal het getal graden van eenen boog gevonden wM-Wanneer de middellijn, benevens de lengte van dezen boog, innbsp;lt;^eelen van de middellijn nitgedrukt, gegeven zijn.

7� Eindelijk, omdat de inbond van eenen cirkel-feaor gelijk is aan �^^n boog van dien feftor, vermenigvuldigd met de halve, llraal, zal

Deze omtrek wordt, door de formule Log.p~Log.a-\-o,i^lt;)�J\d^�)% ^firelcend; in dezelve is lt;2 = 39�,7.

komt Log. p . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 2, 0959404

derhalve . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. \ p ZZ 124�,7212

IE Voorbeeld. De inhoud eeks cirkels te vinden, welks halve mid-^ellijn gelijk 25�� is?

Ee inhoud wordt gevonden, door de formule TJg. I�^Log.a � '^�^�49ioi; zijnde a � go��.

beginselen

Deze middellijn wordt, door de formule Log. a:z: � . Log. I quot;f� ; o, 1049101 J � gevonden, in W'elke Iz=.z$oo is.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|

Deze weinige voorbeelden zijn genoeg, om het gebruik van de a'*' dere formulen te loeren kennen.

$. 439. VI. Bepaling. De fom van al de zijden eenef regtlijnige figuur, de omtrek eener kromlijnige figuur ?nbsp;wordt perimeter of omtrek genoemd.

�. 440. VIL Bepaling. Ifoperimetrifche figuren zijn fig^' ren, die gelijke omtrekken of perimeters hebben.

�. 441. Vni. Bepaling. Een maximum is eene grootheid� welke, onder alle grootheden, die op dezelfde wijze ont-Haan, de grootfte is: een minimum, welke de kleinfle is.

�. 442. Opheldering. Aldus is, onder alle koorden eens cirkels, de middellijn het maximum, of de grootlle; en onder alle lijnen, welkenbsp;men, van een punt tot eene regte lijn, trekken kan, (zie XXI. Steil'nbsp;I. Bi) is de loodlijn de kleinfte, of het minimum. LVanneer eefienbsp;lijn AB (^Fig. 154.) in twee deelen verdeeld wordt, zal, wanneetnbsp;deze deelen aan elkander gelijk genomen worden, derzelver regthoeinbsp;een maximum zijn. Want indien men de lijn AB in D, m tweenbsp;ongelijke deelen, en in C in twee gelijke deelen verdeelt; dannbsp;AD^BD-zz {AC CD) {AC� CD) = {LI. Lemm. III. B.) AC^

��CD^, waaruit blijkt: dat hoe nader de punten C en D bij elkaw ' der komen, en CD? kleiner wordt, de regthoek AD x BD grootcfnbsp;worden zal, en op zijn grootst zijn, wanneer de punten D en C i�nbsp;elkander vallen. En wanneer men dezelfde lijn in twee deelen deelt ^nbsp;zal de fom van de vierkanten der deelen een minimum worden, wanneer de deelen aan elkander gelijk zijn. Want volgens het I, LemffAnbsp;III. Boek is:

DER MEETKUNST.

Wanneer, het punt D in het punt C vallende, de deelen AD Bd aan elkander gelijk worden,

Squot; 443. Onder alk driehoeken, welks op dezelfde bafis AB flaan Qfi gelijke omtrekken hebhen, (o/ifoperimetrisch zij�n,')nbsp;ts de gelijkbeenige de grootfle, (is ten aanzien van den inhoudnbsp;maximum.)

Betoog. Laat op dezelfde bafis AB eenen gelijkbeenigen driehoek, ABC, (AC~BC zijnde,) en eenen anderen driehoek, ABD, ge-l^eld worden, zoodanig, dat AC-k- BC=i AD BD, oi AB nbsp; BC~AB-\-AD BD zij. Wanneer men dan AC verlengt,nbsp;en, op dit verlengde, CE^AC�BC maakt, en door E en B eenenbsp;onbepaalde lijn EF trekt; dan zal de hoek A BE een regte hoek zijn,nbsp;omdat hij (K Gev. XX, Steil. V. 5.) wegens de gelijke lijnen AC,nbsp;BC, CE, in den halven cirkel ftaat, welke, uit C, met AC, als ftraal,nbsp;hefchreven wordt. Men late nu, uit C en Z?, de loodlijnen Cff ennbsp;Bgt;G op EF vallen; dan is, aangezien SC~CE 'is, ook (//� Lemm.nbsp;BFj BH�HE. Men make verder GF~BG, en trekke de lijnnbsp;dan is (ZZ. Steil. I. B.') DF=zBD. Indien nu AD grooternbsp;kleiner dan DF is, kunnen de lijnen AD en DF niet in dezelfdenbsp;ifigte lijn liggen; want aldan zou noodzakelijk (Fig. en IX. Gev.nbsp;^^IH. Steil. L B.') hoek BAD hoek BFDt=t hoek FBD-^ hoeknbsp;moeten zijn, en hiervan (XIF. Steil. I. B.') hoek BFD �nbsp;��k DBF aftrekkende, zou (Fill. AxI) hoek BADztz hoek ABDnbsp;overblijven, gn (XF. Steil. I. B.) AD zou, tegen de onderfteiling, ge-aan Ed moeten zijn. De lijnen AD en DF, liggen dan niet innbsp;dezelfde rigdng; men kan dan de punten A m F door de lijn AFnbsp;ver��nigen, gjj yjp dan kleiner dan AD BD, kleiner dan AEnbsp;zijn, derhalve is ook (XXL Steil. I. B.') 5F kleiner damp;n BE, ennbsp;eindelijk BG-=^gt;^pp kleiner dan BH:=ztBEi de gelijkbeenige drie-oek ABC, heeft dan eene grootere hoogte dan de driehoek ABD^nbsp;inhoud van den gelijkbeenigen driehoek is,dan {XIF. Steil. III, B.')nbsp;^ grootfle van alle driehoeken, welke denzelfden omtrek hebben.

�. 444. Onder alk ifoperimetrifche veelhoeken, van hetzelfde aantal zijden, is de gelijkzijdige een maximum.

Betoog. Nemen wij �amp;x. ABCDEF een zeshoek zij, welke, on' der denzelfden omtrek, den grootften inhoud heeft; indien men dannbsp;aanneemt, dat de zijden AB en BC ongelijk zijn, dan zal men, op d�nbsp;hoekpuntslijn AC, eenen gclijkzijdigen driehoek A PC kunnen zamen'nbsp;ftellen, zoodanig dat AP -k- CP~AB-k-CB zij; dan zal (^XIF. Sti)nbsp;driehoek APC, grooter dan driehoeJc ABC, en (VIL Ax.j de veel'nbsp;hoek APCDEF, grooter dan veelhoek ABCDEF zijn: en de veel'nbsp;hoek ABCDEF zal alzoo, ftrijdig met de aangenomene onderftel'nbsp;ling, geen grootfle zijn, AB zal derhalve gelijk BC moeten zijn-Om dezelfde reden zal, opdat de veelhoek een grootfte zijn moge�nbsp;BC�CD, CD=�DE, DE � EF, EF�AF moeten zijn.

�. 445. Onder alle driehoeken, ABC, ABD en ABEi welke met twee gegevene zijden, AB en AC~ AD � AE^nbsp;en eenen hoek BAC, BAD, B AE, naar welgevallen genomen, gemaakt worden, is die driehoek ABD, in welken dBnbsp;gegevene zijden eenen regten hoek maken, de grootfle.

Bewijs. Want indien �men, uit de punten C en E, de loodlijnen en EG, op de gemeene balis AU, Iaat vallen, dan zijn deZOnbsp;loodlijnen, welke de hoogte der diielioeken ABC en A BE zijn�nbsp;(ZZ/. Ste//. I. B.j korter dan AC, of AE, of AD; de driehoek ABDnbsp;heeft derhalve de grootfle hoogte, en is QXIF. Steil. 111. B.') eennbsp;maximum of grootfle.

�� 446. Wanneer dezelfde koorde, AB, twee onderfok ei dent bogen ACB en ADB onderfpant; dan zal de hoek AEBinbsp;aan het middelpunt van den boog ACB, welke met de grootfitnbsp;flraal AE befchreven is, kleiner zijn dan de hoek AFBinbsp;aan het middelpunt, op den hoog ADB, welke met de klein-fie flraal befchreven is.

DER M E E T K U N S T.

*^.TOOG. WfliK {XUII. Steil. /. B.') boek AFGgt; \\at\iAEF zijn-5 Zal hec diibbeld van den hoek A FG dan het dubheld van den hoek AEF; dat is hoek AFBgt; hoek AEB zijn.

�. 447. Van alk vielhozken, ABCDEFA., welke, met een ^eker aantal gegevene. zijden, A B, BC, CD, enzgt;, en, metnbsp;laatjle zijde, AF, naar welgevallen genomen, kunnen ge-^^aakt worden, zal de grootfte veelhoek, of da veelhoek, wiensnbsp;�nhoiid een mlximmn is, zoodanig moeten bepaald zijn, datnbsp;in eenen kalven cirkel befchreven is, waarvan deze laatfisnbsp;onbekende zijde da midddiijn is: en ��er hej�aat flichts eennbsp;halve cirkel, in welke die veelhoek kan befchreven worden,nbsp;aan welks omtrek mgtans de gegevens zijden, in zulk eeue.nbsp;rangorde, als men goedvindt, zullen kunnen geplaatst worden.

Betoog van het eerfle. Ivlen trekke de hoekpuntslijn BF; iiidien dan de hoek ABF niet regt i', dan zal men den boek ABFsm kun-'naken, en de drieboek ABF, zal dan (A/ /. Stelhj een maxi- ,nbsp;�Uiii worden. Ilieruit blijkt dan: dat, wanneer de hoek ABF nietnbsp;regt is, de veelhoek A BCD EF, door dien hoek regt te maken, eennbsp;�npxuiium worden zal. Om dez�'fde reden, zal de veeiho�k ABC-FF.f^ insgelijks geen maximum kunnen zijn, indieu de hoeken /IGF,nbsp;^BF en AEF niet regt zijn. Hieruit volgt dan (Fl Cev. XX. Steil.nbsp;^�B.j dat de veelhoek, onder de gegevene zijden, en eene onbepaalde ,nbsp;^'jde, za�nengefteld, alleen een maximum of grootfte zal kunnen zijn,nbsp;Wanneer al zijne hoekpumen ii' den omtrek van eenen lialven cirkelnbsp;gelegen zijn, welks middellijn aan de onbepaalde zijde AF gelijk is.

Betoog van het tweede. Wanneer men nu onderftelt, dat de veel-hoek in eenen groorer of kleiner halven cirkel befchreven zij; dan ziil-'�^n, (jlV. Lemma) in hec eerfte geval, de hoeken, welke op de bo-AP B, BOC, CRD, DSE, ET F, aan het middelpunt, haan, kleiner, ejjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweede, grooter dan in de figuur zijn, en de foin

dezer bogen zni derhalve, in het eertle gevr.1, kleiner,Aui in het tweede geval, grooter dan een halve cirkel zijn: de veelhoek zal dan, in�dienbsp;nndetftellmgen, in geenen halven cirkel Haan; de hoeken ABF, AC F,nbsp;^iDF, AEF, zullen dan ook'niet regt, en de veelhoek (jeer�e ge-'^'�-he van het betoog,) geen maximum zijn.

den, AB, BC, CD, DE EF, in zulk eene rengorJe, ais goedvinde, zij onderiparuien overai gelijke bogen, en bepalen gelii!**^nbsp;fegmeutcn: nu is de inhoud van den veelhoek gelijk aan den halvednbsp;cirkel, op befchreven: min de lom der fegmeiiten APB, BQf�nbsp;CRD, DSE, ETF. Hij behoudt bijgevolg,-op welk eene wijze denbsp;gegevene zijden des veelhoeks vcre�r.igj worden, denzeifden iiihoud*

�. 448. Ds grootfle van alle veelhoeken, welke, onder gegf' vene zijden, zamengefleld kunnen worden, is die, welks boek'nbsp;punten in den omtrek van eenen cirkel gelegen zijn.

Betoog. Laat ABCDEFQ een veelhoek zijn, welke in eene'* cirkel befchreven is; dan zal men eenen anderen veelhoek abcdefginbsp;onder dezelfde zijden, kunnen z; men Hellen, (zoodanig dat2?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

BCzmbc, CD~c'l, enz. is.) om welken geen cirkel kan befchreveo worden; men moet nu betoogen: dat ABCDEFG grooter dannbsp;alicdcfg zal zijn. Trek de middellijn EH, en de 'lioo�amp;exi AHw Bllrnbsp;maak, op de zijde ab, den driehoek ahh gelijk en gelijkvormig ai'''�nbsp;den driehoek ABH: dan is (XFH. Steil,j de veelhoek ElipCDinbsp;grooter dan de veelhoek ehbed, en de veelhoek EllAGF, grootefnbsp;dan de veelhoek ehagf; derhalve (.Y. Ax.') is de veelhoek AHBCnbsp;DEEG, grooter dan de veelhoek ahhcdefg; hiervan de gelijke driequot;nbsp;hoeken AHB en ahb aftrekkende, zal de veelhoek ABCDEFGinbsp;grooter dan de veelhoe): abcilcfg overblijven.

�. 449. Gevolg. Fig. 160. Men zal, op dezelfde gronden, als in de XFII. Steil, betoogen: dat quot;er flechts een cirkel hejlaat, innbsp;de veelhoek. A BC D BFG kan bejehreven worden', en dat men dtnbsp;zijden des veelhoeks, op zoo vele onderfcheidene wijzen, als mogeUj^nbsp;is, aan elkander kan voegen, zonder dat daardoor deszelfs inliF-idnbsp;eenige verandering zal ondergaan.

$� 45'^* Onder alle \^opzx\vi\zin�ck.e veelhoeken, van hetzelfde getal zijden of hoeken, is de regelmatige (dat is, die gelijk'nbsp;zijdig en gelijkhoekig is,') de grootfle.

Betoog. Want, volgens de X('\ Stelling, moeten de zijden gei')^ zijn, en zoo. even is bewezen, dn: hij ia cenen cirkei moet kunnen

DER MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;165

befchreven worden: maar dit kan hij QI. Steil.') niet, zonder gelijk-hoeldg te zijn; derhalve, enz.-

V. L E jvi M A. Fig. 161.

S* 451. De hoeken ABC en DE F, iit onderfcheidene cir-, aan het middelpunt fiaande, zijn in de regie reden der ^tgt;gen, op welke die hoeken flaan., en in de omgekeerde redennbsp;de ftralen, waarmede deze bogen befchreven zijn. Dat is:

Hoek ABC: Hoek DEFztiz

Betoog. Befchrijf, uit E, met EG�/1B, als ftraal, den cirkelboog GIJ; dan is (//. Gev. XFIII. Steil. V. B.) hoek B�. hoek Ezz

EG ~ D� ' lende nu, in de voorgaande evenredigheid, in plaats van deh vierdennbsp;term, de grootheid, welke aan dezelve gelijk is; dan verkrijgt men:

XX. Stelling. Fig. 162.

�� 452. Van twee regelmatige veelhoeken welke denzelfden omtrek hebben, heeft die, welke het meeste getal zijden ofnbsp;hoeken heeft., ook den grootflen inhoud.

Opheldering. Deze waarheid zal bewezen zijn, wanneer men be-toogen kan, dat, onder denzelfden omtrek, een � i hoek grooter nih�ud heeft dan een n hoek.

Betoog. Laten ABC en DEF, twee halve middelpunts driehoeken van eenen regelraatigen nbsp;nbsp;nbsp;en van, eenen regelmatigen �

hoek zija^ beide denzelfden omtrek hebbende; dan zal �-f i maal BC�n maal EF, en � i maal hoek BAC�n maal hoek EDFnbsp;zijn, en daarom zfd hoek EDFgt; hoek BACzga: wanneer men dannbsp;deze driehoeken, op eenen willekeurigen afftand van elkander, op dezelfde lijn AH plaatst; dan zullen de verlengden der zijden AC ennbsp;�F elkander in een punt G ontmoeten. Laat dan de lijn GH lood-� L 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regt

beginsel

regt op JR getrokken, en, uit de punten J en D, nis middelpifn-ten, met yiR en DH, als ftralen, de cirkelbogen HK en Hl he-fclireven worden; de gelijkvormige driehoeken RBC, AHG, en DBF, DHG, geven dan {VUL Steil. IF. B.') de evenredigiieden:nbsp;BC-.AB � HG-.dlinbsp;BE-.EF � D ll-.HGnbsp;en daarom zal (JFL Steil. U. B.)

nCY.DE-.EFy. AB-DH-. AH moeten zijn: nu is (zie boven) BC�.EF� hoek A: hoek D, en daarom zal (XF. Steil. H. B.)

DEy hoek A-. AB y hoek D=:DH-. AH zijn, en, wanneer men.de voorgaande termen dezer laatfte evenredigheid door DE, en de volgende door AB deelt, (zie Aanm.X.Sth)

1 nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ^ _ hoog HK hoog III

derhalve (/. Steil. II. B.)

en, omdat het product der uiterfle termen gelijk is aan het prodiidt der middelflcn, heeft men:

en daarom DE : AB � boog TII: boog IIK. Laat nu, op het verlengde van den boog Hl, den boog /i= den boog ///o-enomen en, op het verlengde van DL, met ML �All, den boog Lp wordennbsp;befchreven; dan is boog Lp hoog Hp klaarblijkelijk grooter dan boognbsp;HIL, en daarom boog Hp'lgt; boog Hl, en omdat//Argt;/�/) is, zalnbsp;(FI.Ax.) hooglIK, grooter dan boog Hlz\\n-. in de laatfte evenredigheid, is dan ook de apothema AB grooter dan de apothema DE.nbsp;Nu zijn, volgens de FHI. Stelling, de inhouden der regelmatigenbsp;veelhoeken gelijk aan de omtrekken vermenigvuldigd met de apothe-mata; de inhouden der ifoperimetrifche veelhoeken, zijn derhalve i�nbsp;dezelfde reden, als de apothemata; maar nu is de apothema van dennbsp;�-l- I hoek grooter dan die van den n hoek; de inhoud van dennbsp;hoek is dan ook grooter dan die van den n hoek.

XXL Stelling. Fig, 163.

�� 453- Onder alle figuren^ welke denzelfden omtrek heb� heeft de cirkel den grootflxii itihoud.

Betoog. Onder alle veelhoeken, denzelfden omtrek hebbende, is Steil,') de regelmatige de grootfte, en de regelmatige veelhoeknbsp;onder denzelfden ointrek, grooter, wanneer men het getal zijnernbsp;zijden vermeerdert (XX. Steil.). Wij moeten derhalve alleen eenennbsp;��egehnatigen veelhoek met eenen cirkel van gelijken omtrek vergelij-Laat DAC middelpunts driehoek van eenen regelmatigen nnbsp;hoek zijn, en de fe�lor �EFG het � de gedeelte van den cirkel,nbsp;welke met den n hoek ifoperiometrisch is; dan is de hoek AD C ge-golijk aan den hoek EHG, en dan moet de zijde AC van den n hoeknbsp;gelijk, aan den boog EFG zijn, en de inhoud van den n hoek zalnbsp;tot dien van den cirkel ftaan, in dezelfde reden, als de middelpuntsnbsp;driehoek D AC, tot den fedor HEFG, als de apothema BD, tot denbsp;ftraai Hp. Laat nu de raaklijn IK aan het punt F getrokken, en denbsp;flralen HE en HG verlengd worden; dan is, wegens de gelijkvormigenbsp;driehoeken, DHC eii HIK, de apothema BD tot de QxszlFII, ge-'nbsp;lijk HB tot IF, of gelijk de boog EF tot de raaklijn IF; derhalvenbsp;ftaat de inhqud van den veelhoek tot.dien van den cirkel, gelijk denbsp;boog EF tot de raaklijn IF; maar nu is de raaklijn IF (X. Steil.)nbsp;grooter dan de boog EF; gevolgelijk is ook de inhoud van den cirkel grooter dan die van den n hoek, welke met denzelven eenen gelijken omtrek heeft. �

ZEVENDE BOEK.

Over de Oplosfing der Meetkunj�ige Werkflukken.

�. 454. I. XJepaung. Een fferkfiuk {Prohlema) is, algemeen genomen, zulk een voorftel, waarin, onder zekere in hetzelve opgege-vene voorwaarden, ��ne of meer onbekende grootheden moeten bepaald of bekend gemaakt worden. In een werkfluk komen gegevene of bekende, en gevraagde of onbekende grootheden voor, welke, zalnbsp;de vraag bepaald en oplosbaar zijn, met elkander zoo naauwkeurignbsp;verknogt moeten zijn, dat men, uit die voorwaarden, het onbekendenbsp;kan afleiden: de redenering, waardoor men het onbekende bekendnbsp;maakt, heet oplosfing of ontknoping van het vraagftuk.

�. 455. II. Bepaling. In de meetkundige Werkllukken, zijn de onbekende, zoowel als de gegevens, altijd punten, lijnen, vlakken ofnbsp;ligchamen, omtrent welke de volgende onJerfcheidingen moeten innbsp;acht genomen worden, i� Alk punten, die men naar �welgevallennbsp;fielt, worden als bekend aangemerkt. 2� Elke bepaalde of onbepaalde lijn, die men -naar welgevallen trekt, wordt, even als alle punten , die men in dezelve aannemen kan, ah bekend aangemerkt.nbsp;3� Elke bepaalde of onbepaalde lijn, welke door twee bekende of gegevene punten loopt, wordt ah gegeven aangemerkt, en hare rigting,nbsp;met betrekking tot de overige beke-nde deelcn der figuur, most dan ooknbsp;voor bekend gehouden worden, 4� De hoek, onder welken twee gegevene, bekende, of naar welgevallen aangenomene lijnen, elkander door-fnijden, wordt insgelijks als bekend aangemerkt; of een hoek is bekend, wanneer deszelfs beenen bekend zijn. 5� Een punt wordt ge-segd gegeven te zijn, wanneer �men deszelfs affland kent tut tweenbsp;lijnen, welke, in de figuur, naar welgevallen zijn aangenomen, ofnbsp;wel, wanneer dit punt in ��ne dezer twee lijnen gelegen zijnde, deszelfs affland tot de tweede lijti bekend is. C� Eene lijn is in fiellininbsp;gegeven, wanneer eenig punt, door welke deze lijn kopen moet, benevens de hoek, onder welke deze Hjn eene gegevene lijn doorfnijdt, bekend of gegeven zijn. 7� Deze Hjn is alleen in grootte gegeven,nbsp;wanneer hare lengte, zonder hare plaatpng of fielling, bekend is-

ܮ Zi] is in ftelling en grootte beide gegeven, wanneer zoowel hars lengte, ah de hoek, onder welke zij eene gegevene lijn doorfnijdt,nbsp;bekend is. plt;gt; Een cirkel is in flelling gegeven, wanneer zijn middelpunt, 10� in grootte, wanneer zijne ftraal, ii� jw jlelling en grootje, Wanneer het middelpunt, benevens de flraal gegeven zijn, 12� Denbsp;punten, in welke gegevene lijnen en cirkels elkander doorjhijden, zijn,nbsp;op dezelfde wijze, bekend of gegeven. Alle deze bepalingen behelzennbsp;zoo vele klaarblijkelijke waarheden, waarvan men de gegrondheid, bijnbsp;een oppervlakkig nadenken, gevoelen zal, cn bij welken nog veie aivnbsp;zouden kunnen gevoegd worden.

�� 456. III. Bepaling. Een meetkunftig Werkftuk wordt, op twee�rlei wijze, of door conflruftie, of door berekening, opgei�St. -

Door conftruaie, wanneer men, door het trekken van lijnen en cirkels , onbekende punten, lijnen, hoeken, enz. bepaalt; of eene figuur, onder gegevene omftaiidigheden en voorwaarden zamenftelt, enz.: dezenbsp;wijze van oplosfing wordt, als van alle getal en vair alle berekeningnbsp;volftrekt onafhankelijk zijnde, als zuiver meetkunftig aangemerkt, �nbsp;Door berekening, wanneer men de ftelling van punten-, lijnen, bene--vens de onbekende grenzen eener figuur in grootte en ftelling bepaalt, door te vinden, hoeveelinaal de aangenomene ��nheid of modulus in deze onbekende deelen begrepen is. Voorbeelden van dezenbsp;foort van oplosfing zijn reeds, in Bijv. XF. Stelt. ///. B.; Bijv. XP'I.nbsp;Steil. Ill, B,; Bijv, op XFIU en XIX. Steil, III. B.; Bijv. XXl'Lnbsp;Steil. V. B.; Gev. XXVll. Steil. V. B.; Bijv. XXFIII. Steil. V,m.nbsp;cn Fraagjj. VI. E. en Bijv. op hetzelve, voorgekomeu. De oplos-fing door conftiuftie zou, in vele gevallen, de eenvoudigfte- en denbsp;naauwkeuriglle zijn, indien men van de onvolkomenheid der wtaktui-gen, die men in dezelve gebruiken moet, niet afhing. De op'osliugnbsp;door berekening verdient, in verre de meeste gevallen, den voorrang:nbsp;de berekening is een onfeilbaar en bijgevolg het zekerde werktuig,nbsp;hetwelk flechts in de bepaling der onmeetbare grootheden, eene onzekerheid nalaat, welke echter, zonder ophouden, binnen nadere ennbsp;nadere grenzen, kan beperkt worden.

S- 457- Aanmerking, De oude Meetkiindigen trachtten altijd, in de conftru�lie hurmer werkftukken, zich van geene andere lijnen dannbsp;van de regte lijn en den cirkel te bedienen, en deze lijnen worden ooknbsp;'fdedaad, het gemakkelijkst, en met de meeste naauwkeurigheid, be-fchreven: nogtans beftaat �er flechts eene zekere klasfe van werkfiuk-welke door de regte lijnen en de cirkels,, of, zoo als men hetnbsp;L 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;noemtj

Gc�GD is, liggen (XX. Steil. I.B.j de punten E, A, B en dezeifde regte lijn.

Aanmerking. Men zal, op dezelfde wijze, zoo vele punten Ft � men begeert, in de rigting van AB kunnen vinden.

�. 459. 11. Werkstuk. Fig, 16$. Eene gegevene bepaalde liin A B in twee gelijke deden te verdeelen ?

Constructie. Befdirijf, met eene opening dos pasfers, grooter helft van AB, twee cirkelbogen, of cirkcis, vzcJke elkander, in de P'nbsp;ten C en D, fnijden: trek de lijn CD; dan zal deze de gegeveni^

A B, in het punt E, in twee gelijke doelen, AE, en B �, verdc�*^^^

Betoog. Want omdat de punten C en D op gelijken afftand pimtcn A en B li.ggcn, loopt iXX. Steil. I. B.j) de lijn CD doofnbsp;midden der gegevene lijn A B.

�� 460. III. Werkstuk. Fig. 166. Uit een gegeven punt eene gegevene lijn Al B , eene loodlijn op dezelve opterigten ?

I. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. Befchrijf, uit het gegeven punt C, met eenenbsp;keurige opening des pasfers, eenen cirkel, welke de gegevenenbsp;de punten A en B, fnijdt; cn met eene opening of ftraal,

AC, twee cirkelbogen, die elkander ia j) fnijden; dan zal (.XA�

I. B.j de lijn CD ioodregt op AlB ftaan.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. Fig. 167. Wanneer het gegeven punt B op b-Ot

der gegevene lijn valt; dan befchrijve men, met eene firaal, nbsp;nbsp;nbsp;jf'

ER MEETKUNST.

fevallen g�nomen, uit het gegeven punt B, den boog CD; uit C, met dezelfde firaal, eenen boog, die den eerften in D fnijdt; met dezelfdenbsp;draai, uit D, eenen boog FG; trek door de punten C en D, de lijnnbsp;CD F, welke den laatften boog ./^G in F doorfnijdt; dan zal de lijn,nbsp;BF, welke door de punten B en F loopt, loodregt op AB ftaan.

Betoog. Want omdat, volgens de conftnuaie , C D �::zD B� D F U , Raat de hoek CBF in eenen halvcn cirkel, en is (K Cev. XX. Steil.nbsp;K D.') regt.

�. 461. Aanmerking. Met voordeel bedient men zich,'in de con-�ru�tien der 'werkftukken, van eenen, uit hout of andere IloiFe, vervaardigden regthoekigeu driehoek f)BC, Fig. id8. welks kanten zuiver bewerkt en re^t zijn, en welker zijden /IF en BC zoo volniaaut

UI. Constructie. Fig. l�p. Men leggc nu'Cone der regthoekszijden R�JV van zulk eenen driehoek langs de gegevenc lijn ^ ^, en fluitc tc-;en de hypothenufa LN, een zuiver liniaal P Q,; (echter kan men daartoe ook eenen dergelijUen driehoek gebruiken,) dit liniaal onbetveeglijknbsp;�n deszelfs Hand vasthoudende, fchuift men den driehoek L M N langsnbsp;hetzelve, tot dat, in den ftand /�;�, de regthoekszijde 1.31 of lm doornbsp;het gegevene punt C ga, en men trekke dan de lijn 1 C tn, welke, om-iat L M evenwijdig aan / m, en derhalve hoek BI ~ hoek C is, regt-hoekig op AB zal ftaan. �

�, 462. IV. Werkstuk. Fig. 170. Uit, een gegeven punt P, eer.e hoci�ijn, op eene gegevene lijn AB, te laten vallen?

I. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. Befchrijf, uit het- gegeven punt P, met eene ftraalnbsp;iroot genoeg, om de lijn A B te kunnen fnijden, eenen cirkelboog,nbsp;ivcike de gegevene lijn, in de punten A en B, doorfnijdt: uit de puntennbsp;il en B, met dezelfde ftraal, of dezelfde opening des pasfers, (waardoor men nogtans eene grootere of kleinere opening nemen kan,) tweenbsp;Mrkelbogen, die elkander in C doorfnijden; dan zal (A'A'. Steil. I. B.jnbsp;Ie lijn, PC, welke de punten P en C ver�dnigt, loodregt op AB ftaan.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. Fig. 171, Men neme, in de gegevenc lijn A B, tweenbsp;mnten A en B, en befchrijvo, uit deze punten, met AP en EP, alsnbsp;Iralen, twee cirkelbogen, Welke elkander, behalve in het piintP, nognbsp;n .het punt C doorfnijden; dan zal QXX. Steil. I. B.j AB loodregt opnbsp;P C ftaan.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. Fig. 172. Men neme, in dc lijn AB, een punt A,nbsp;.naar welgevallen, trekke de lijn AP; doele dezelve, in C, in twee gc-i^.jke deelen, en befchrijve, uit C, met AC, eenen cirkel, welke de

IV. Constructie. Fig. 173. Men legge den regthoekigeu driehoek i�ZW, ''^Sthoekszijde BIN, langs de gegevene lijn AB, en liet liniaalnbsp;V !angs de hypothenufa LN. Het jaatlle in'deszelfs ftand onbeweeglijk

beginselen

lijk iiomlende, 1'diuiit men den driehoek langs het liniaal, tot dat de drie' hoek LMN in den Hand / m n kome, in welke de regthoekszijde / m dooinbsp;het gegeven punt P gaat, en men trekke dan de lijn / m, welke de bc'nbsp;geerde zal zijn.

�. 463. V. Werkstuk. Fig. 174, Een punt C, in eene lijn gegeven zijnde, door hetzelve eene lijn te trekken, die, met de gege'nbsp;'^ene lijn AB, eenen hoek, gelijk aan den gegevenen hoek PQjstnbsp;naken zal?

CoNSTR�CTiF,. B�en hefchrijve , met eene opening des pasfers, naar gevallen genomen, uit het hoekpunt (j, van den gegevenen hoek P Q,P�nbsp;als ook uit het gegevene punt C, rwee cirkelbogen, en men ranke 0^'nbsp;Gev. XVII. Steil. V. BI) de boog B D�hz boog PR; wanneer men d-�*nbsp;Uit het punt C, door het punt D, de lijn C� trekt; dan zal deze denbsp;geerde zjjn; want de hoek C 2^al dan (J. Gev. XVII. Steil. V. B.) ^nbsp;bock zijn.

Aanmerking. Wanneer men, beneden de gegevene lijn AB, dco booS B Ij� � den boog PR. neemt, en de Ijjn CD' trekt; dan zal deze ooknbsp;met de gegercue lijn A B , den hoek B C D�Z2 den hoek � maken ; �ernbsp;ulzoo op dit werkftuk twee oplosfingen.

�. 464. VI, Werkstuk. Flg. 175. Door een gegeven punt Z*� iene lijn, evenwijdig aan eene gegevene lijn AB te trekken?

I. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. V'g- i75. Neem, in de gegevene lijn AB, eennbsp;G, iia.ar welgevallen; trok, door hetzehm en het gegeven punt P,nbsp;lijn C P P t en maak (V. TVerkft.) hoek FP E~ den hoek BCP; dan Z-dnbsp;{.S.XV- Steil. I. B.) DB cvenwiidig aan AB zijn.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. Fig. 176. Neem, in de gegevene lijn ^iS, twee pu^nbsp;ten A en 8, naar welgevallen; befchrijf, uit A, met eene llraal, gel�'^nbsp;ar.n de lijn P B, eenen cirkelboog f q, cu , uit P, met eene llraal,nbsp;lijk aan de ftraal A B, eenen anderen cirkelboog r s, welke den ecrUeitnbsp;in het punt C doorfnydt; dan zal de lijn PC evenwijdig aan A 11 loop�d�'

Betoog. Want ABtX.CP en AC � BP zijnde, zal (//. Steil. lH-Pc evenwijdig aan AB zijn.

UI, Constructie. Fig. 17-. Trek, door het gegevene punt P, onbepaalde lijn PC, w^lke de gegevene AB, ia het puntA', doorfmidt�nbsp;maak BC^PB, en trek door C wederom eene lijn CD, welkenbsp;gevciic in A fnijd:: indien men dan AD~AC maakt, en P D trekt, tnbsp;deze laatfto lijn (�/. Steil. IV. B.) evenwijdig aan AB loopcn.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. Fig. 178.' Neem, in de gegevene lijn AH, een pt'*

C, naar welgevallen; befchrijf, uit dit punt C, met de'llraal gP, _ cirkel, 'vclkc de gegevene lijn AB, iii de punten A en A, doorfwiti'�nbsp;men come d.an (�/. Gev. XVII. Steil. V. E.) den boog ADtZ den oOpquot;nbsp;PB- dan zal de lijn PD, welke door de punten P en D loopt, e-Steil. V.B.) evenwijdig aan AB zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

V. nbsp;nbsp;nbsp;Constructie. Fig. 179. Gcwouelijk gebruikt men tot de couferu'-^^^nbsp;vf.n de evenwijdige lijnen eenen regthoekigen driehoek. Men

��egthoekszil'de LM van den drielioek L N ^ Jangs de gcgevcnc lijn AD, en het liniaal RS, langs de zijde LN, feliuive (het liniaal vastlioudendc)nbsp;den drielioek LRIN langs hetzelve, tot dat, in den ftaiid //� ;;, do zijdenbsp;of Jm door het punt P ga; dan zal, omdat de lijnen LD cu lm,nbsp;r^�gthoekig op /iV ftaan, de lijn IPm evenwijdig aan AB zjjn.

�� 465. VIL Werkstuk. Fig. i?.o. Op ecnen afjhmJ, gelijk aan . f-�e gegevene lijn F, eene lijn, cvetnvijd�.g aan cene gegevene 'lijnnbsp;^^7?, Ie trekken �l

CottSTEucTiB. Neem ih de gegevene lijn A B een punt C, naar welgc-'��ien; maak (�//. W^rkft.) CD loodregt op AD, en trek, na cbrzP genomen te hebben ,gt; de lijn DE, evenwijdig aan AD; dan bevindt dezenbsp;^'eli (Jixxv. �ejgt;. 1. D.j op eeii�n aiftand van AB , die gelijk is aan denbsp;lijn igt;.

S- 466. VIII. Wekkrsuk. Fig. iSi. Boor een gegeven pnvt P ^etce iij� trekken, welke eene gegevene regie lijn, oYidsr eenen hoe^k,nbsp;Selijk aan eenen ^egevenen hoek Q^, ontmoet ?

CoMsTRUCTi!',. Neem in de gegevene lijn AD een punt A, en trek door *'etzejve (^. IFcrhft.j eene lijn A C of AC', met AD eenen hoek, gelijknbsp;�'��n den gegeven hoek Q makende; wanneer men dan door het gegexeanbsp;llh'u P �e lijn PD of PD', evenwijdig aan ai C'of a-yC','trekt, zal dezenbsp;' ^ I�egeerde l^n zijn.

\vant, volgens A'A'/F. Steil. I. D. zal heek P DD � hoek CA B

koek Q

�� i6/. JX. 'Vi.;rksi-uk. Fig. io2. Ecu hoek ABC gegeven zijn~ (lezen hork te 'vennenigvulgigen; dat wil zrggen, door conjlruc-��-S eenen hoek te vinden, die twee, drie, vier, enz. malen dezennbsp;S^gevenen kgoP hevat?

^ quot;.vsTitnciiE. Eehaive de conliruClic, welke, in het II. Grvs.'g'op de

BEGINSELEN

�. 468 K. Werkstuk. Ftg-, 1S3. Eenen gegcventn hoek in twee gelijke doelen te verdoelen?

I. nbsp;nbsp;nbsp;CoA�STRUCiiE. Befdirijf, uit het hoekpunt B, van den gegevenquot;�nbsp;hoek, eenen cirkelboog AC-^ en, met dezell'de of eenc grootere of kleinbsp;nore ftraal, uit A en C, twee andere cirkelbogen, die elkander i�nbsp;Inijdon; drin zal de lijn, welke, van het hoekpunt S, door dit puntnbsp;getiukken wordt, den gegevenen hoek in twee gelijke deelen verdeelt^�'

Betoog. Want, trekkende de lijnen AD en CD, dan zijn �^��'3.) de driehoeken ABD en CBD, gelijk en gelijkvormig, ennbsp;halve hoek..t?i5�� den hoek C�il.

II. nbsp;nbsp;nbsp;CoNsTRuerrE. Dig, 184.' Verlengnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Neem, op het vmrlergJc

it, het punt E; B CztzB E, en trek B� evenwijdig aan CE; dan '�� hoek ABD � hoek CBD zijn.

Betoog. Want, wegens do evenredige lijnen CE en CO, en den !?'� lijkbecnigen driehoek CBE, is (_XIF en XXDI. Steil. I. BI} hoek Anbsp;ttz hoek B EC � hoek B C E � hoek CBD.

�� 469. A.vnmerking. Men kan dan ook eenen gegeven hoek, in 4j l�, 3a, enz. gelijke deelen, verdeelen: doch, met pasfer en liniaal,nbsp;geen hoek in 3, 5, 6, f, 9, 10, enz. gelijke deelen verdeeld worde�'nbsp;Vv^anueer men iiogtans (_Fig. 182.) zoo veie onbuigbare lijnen, eel�i'''nbsp;lengte, BO, DE, EF, fg, enz. en, om de punten D, E, F, G,nbsp;weegbaar zijnde, als de gegevene hoek in deeien moet verdeeld worden,nbsp;tusfehen twee andere, 0111 het punt B, beweegbare iijnjn A B en B C,nbsp;danig plaatst, dat de hoekpunten D, E, F, G, in deze la.atfte lijnen zlquot;nbsp;on CC blijven; dan zal men dit Holfel van lijnen zoodanig plaatfen hu--^nbsp;nen, dat de laatlie lijn, bij voorbeeld,'C C�, met zl C den gegevennbsp;maakt, en d.an zal de hoek B het evenmatig deel van den gegeven liO'-quot;-'nbsp;en, in het geval der ligiuir, een derde gedeelte van denzelven zijn.

�.�470. XI. Werkstuk. Fig. 185. Eenen driehoek te confiniei A'� welks zijden aan drie gegeven lijnen P, O. P S^Hjk zijn?

Constructie. Men make AB � P, en befchrijve, uit A en B, de lijnen �. en R, ais ftralen, de cirkelbogen q en rs, die elkande'nbsp;in C fnijden, wanneer men dan do lijnen 'AC en BC trekt; dannbsp;ABC de begeerde driehoek zijn. � De fom van twee der gegevene i'i'nbsp;ucn moet (f//. Steil. I. B.} gro�ter dan dc- derde zijn, anders is de vraai'nbsp;onmogelijk.

�. 471. XII. Werkstuk. Fxne figuur te confitmeren, gelijk en lijh�orr.iig zijnde aan eene gegevene?

Men noemt zulks eene figuur overtebrengen of te kopi�ren , hct'.'quot;'^' op verfclicidene wijzen, waarvan de-volgende dc voornaainlla zijn, h''*'nbsp;uitgevoerd worden.

I.' Consti�uctie. I. Gev.\l. Flg. 1S6. Wanneer de gegevene figuur lijhig is, dan zal men uit a! hare hoekpunten A, B, C, D, �, F, C,nbsp;evenwijdige lijnen Aa, Bh,, Cc, e:iz. trekken, waaraan men eene go 'j'nbsp;ke lengt'.' gaien zal; de uiteinden a, b, c, i, enz. dezer evenwijtiiS*^nbsp;mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ir

� E li M E E T K U N S

fijnen zullen dan (^XXXII. Suil. I B.') de hoekpunten der begeerde �-zijn. nbsp;nbsp;nbsp;'

�I' Geval. Fig. 187. Is de figuur niet regtiijnig; dan zal men nogtans, aanleiding van de XXXII. Steil. I. �� dezelve ais boven conftrueren.nbsp;hechte het papier A, waarop de gegevene figuur geteekendis, be-een p.ipier �, waarop men de kopij wil overbrengen, op eennbsp;*'^ekenbord, en trekke, met een fijn potlood, eene genoegzame menigtenbsp;evenwijdige lijnen Cc, Dd, Fe, en men make C c � D d ~E e; damnbsp;Rien eene figuur verkrijgen, die gelijk en gelijkvormig aan de gege-�^sne

kromlijnige figuren, zoowel als voor de rcgtl�nige,) men trekke eene quot;�kepaaide lijn P g,, naa� welgevallen, en late, uit alle de hoekpunten,nbsp;l^oorname punten der gegevene figuur, loodlijnen AK, BI, C G, enz.nbsp;''P deze lijn P Q. vallen. Voorts trekke men op het papier, waarop mennbsp;kopij brengen wil, eene onbepaalde lijn p q; men neme op dezelvenbsp;^ f'^P F, fg~FG , gh~G II, hizzIII, ik �IK: men trekke voorts,nbsp;de punten �, g, h, i, I;, op i�?, de loodlijnen �lt;/, g-r, he, ib , ka^nbsp;^Pjinen make eindelijk,�;!ir:,� gc�GC; he �HE; ib � IB; ka �nbsp;i dan zullen a,b,e,d,e, de overgebragte punten zijn, hetgeen ge-Piakkciyk uit de gelijke en gelijkvormige regthoekige trapeziums COF'Gnbsp;edfg, enz. zal kunnen betoogd worden.

�� 472. XIII. Werkstuk. Fig. i8p. Een parallelogram, onder P.vee S^gevene zijden P en Q^, en eenen gegevenen hoek R zamerifefiellen ?

neem AB � P en ACzzQ,; trek CD aan AB, en BD aan evenwijdig; dan is (/. e� F. Bep. III. B.'jABDC het begeerde parallelo-�tam.

�� 473. AANaiERKiNG. Wanneer men eenen regthoelc, onder eene ge-Sevene lengte en breedte, moet zamenftelleii, zal men den hoek ABC ^�3t maken, en voor het overige, op dezelfde wijze, als in de conftruc-opgegeven is, te werk gaan.

�� 474. XIV. Werkstuk. Fig. ipo. Op eene gegevene regte lijn ^�8, een vierkant te befchrijven?

�� 475* XV, Werkstuk. Fig. ipi. Een vierkant zamenteftellen, Sjlijk zijnae aan de fom van eenige gegevene vierkanten, 'A'elke on-'^^fleld mrden, op de lijnen AB, BC, CD en DE, b�foJirevetr te

BEGINSELEN

Constructie. Stel de z\jden AB, BC, CD, DE, der gcgcvene vi'f' kanten, op dezelfde regte lijn, nevens elkander, en trek de onbepi^'''^�nbsp;loodlijnen BF, CG, DH, EI, op AE; befchrijf uit B, met ABnbsp;ftraal , den cirkelboog, die B F, in/Tnijdt; iiitC, met C#quot;, den boogtnbsp;die CG in G; uit D , met D G den boog DG, die Z� �� in II; uit Enbsp;boog, die � � in I fnijdt, enz, indien �er nog meer vierkanten gegev^quot;nbsp;waren. Na Z3l B F2-~A B^ ; C G^ ~A B^-^B Clt;i ; D H^ � A B^-\-Bnbsp;4-Cil^; EI^ ~A B^-^B C^-^C D^D E^ zijn, zoo als uit JTZt/.nbsp;III. B. gemakkelijk te zien is. � Men z.al, op deze wijze, gemakkel�*�nbsp;een vierkant kunnen vinden, dat gelijk � maal een gegeven vierkant�*�nbsp;ook zal men, w.annecr eenige lijn als ��nheid aangenomen wordt,nbsp;dezelfde conftru�lie, de lijnen vinden, welke door jya., ]/$, p�s,nbsp;enz. worden nitgedrukt.

�. 476. XVI. Werkstuk. Ftg. ipa. Een vierkant zamentefleU^�^' gelijk zijnde aan het verfchil van twee gegevene vierkanten?

Constructie. Stel op A B, de zijde van liet kleinfte der twee vene vierkanten, de loodlijn 5 Cj befchrijf, uk ai, als middelpunt.nbsp;de zijde van het grootlle vierkant, eenen cirkelboog, welkenbsp;fnijdt; dan is QXt'l. Steil. III. B.j B of BC�D gelijk aan hot vernbsp;fciiil der vierkanten, welke, op de gegevene lijnen, Ac en a n, befchrc'nbsp;ven zijn.

G 477. XVII. Werkstuk. Fig. 193. Eenen regthoek, welks houd gelijk is aan dien van eenen gegevenen driehoek ABC, tenbsp;ftrucren ?

Constructie. Men late de loodlijn CD, uit het toppunt C des dn� hoeks, op zijne halls AB vallen; deele dezelve (JI. Werkfl.j in E ��nbsp;twee gelijke deelen,- en trekke , door E, de lijn FG evenwijdig aan A^�nbsp;door A en B, de lijnen AG en BF, evenwijdig aan CD; dannbsp;iyill. Steil. III. E.j regth. ABFGzi drieh. ABC zijn.

�. 478. XVIII. Werkstuk. Fig. 194, De zijde van een vierkd^quot;'^ te vinden, welks inhoud gelijk is aan dien van eenen gegevenen relf'nbsp;hoek A BCD?

Constructie. Verleng de zijde AB; maak BE � BC; befchrijf�? A E eenen halven cirkel; verleng BC tot in F; dan zal (zie A/B^�'��nbsp;AXI. Stcll.F. E.j �-F de zijde van het begeerdequot; vierkant zijn.

S. 479. Aanmerking. Het is uit de XV. Steil. Ill, B. gebleken, tot elke veelhoekige figuur eenen driehoek van denzelfdeu inhoudnbsp;gevonden worden; daar men nu, naar aanleiding van de twee voor?�*quot;nbsp;de werkftukken, tot eiken driehoek eenen regthoek, en tot eikennbsp;hoek een vierkant v.an denzelfden inhoud vinden kan', zal men ooknbsp;vierkant vinden kunnen, welks inhoud aan dien van eenen gegev��nbsp;veelhoek gelijk zal zijn.

�. 480. XIX. Werkstuk. Fig, 195 en ip(y. Eene gegevene lijn AB, in een gegeven aantal gelijke deelen, te verdeelen?

D K R MEETKUNST.

I' Constructie. Fig. 195. Zij A B de gegevene lijn, welke men, bij 'oorbeeld, in tien geljjke deelen begeert te verdeelen. Men trekke , uitnbsp;punt A, eene onbepaalde regte AC, inet AB eenen willekeuri-hoek makende; op deze lijn, neme men, van A afterekenen, tiennbsp;��Ujke deelen, naar welgevallen; ver�iinige, door de lyn BC, het uit-*'ude C van het laatfte deel met het punt B, en trekke eindelijk doornbsp;'�*1� de deelpunten lijnen die evenwijdig aan B C loopen; dan zullen dezenbsp;*''enwijdigen de lijn AB (UI. Gey. /. Steil IF. B.') in tien gelijke dee-ien verdeelen.

II- Constructie. Fig. 196. Men trekke, uit A, eene lijn AC', en uit de lijn BD, evenwijdig .aan AC; op beide lijnen, van de punten Anbsp;B afterekenen, een aantal van gelijke deelen, dat tdn minder is (lan

I. B.') evenwijdig zullen zijn, en de gegevene lijn in het begeerde '�^Utal deelen zullen verdoelen.

�.481. Aanmerking. Door eene dergeljjkc conffrudic, worden alle loorten van fchalcn zamengefteld.

Slt; 482. XX. Werkstuk. Fig. igj. Eene gegevene lijn AB, in ^ene gegevene reden, bij voorbeeld, ah het getal twee tot het getalnbsp;^�ie, te verdeelen?

Constructie. Men trekke de onbepaalde lijn A D, neme A C gelylt �an tivee, CD gelijk aan drie gelijke deelen; men trekke de lijn BDnbsp;otl CE evenwijdig aan J1 D; dan zal {1. SteU. IV. B.j A E: E BzzAC'.nbsp;Cigt;^2;3 zijn. �' Op dezelfde wijze, zal men de gegevene lyn .0, innbsp;�lt;2ne andere reden, als een getal tot een getal, of, als eene Ijjn tot eenenbsp;I'ih, in twee of meer gelijke deelen kunnen verdeelen.

�� 483. XXL Werkstuk. Fig. 198. Tot drie gegevene lijnen, P, F, eene vierde evenredige te vinden ?

Constructie. Trek twee' onbepaalde lijnen AC en AD-, onder eenen '�''illekeurigen hoek; neem op de eerfte AB, de deelen AB'::zP, BC'tzQ.;nbsp;quot;P de tweede ADzzR; trek BD, en, door C, de lijnCZ; evenwijdisnbsp;BD; dan zal (/. Steli. IV. B A B : B C � A DD E ; of P:�=:ic:nbsp;zijn, en Z) � is alzoo de vierde evenredige tor P, � en 11.

S- 484. XXII. Werkstuk, Fig. 199. Tol twee gegevene lijnen, P 0., eene derde evenredige te vinden?

Constructie. Trek tvvee onbepaalde lijnen AB en BC, die elkander, fiider ucnen regten hoek doorfnijden , raai^ABz^P, BC~fT; ti'ekAC,nbsp;^u CD loodrcgt op AC; dan zal {II. Gev. XII. Steil. IV. B.j BD denbsp;�lerdc evenredige tot AB en CD, of tot P en g, zijn.

BEGINSELEN

�. 486. XXIII. WEaKSTUK. Fig. 200. Tuifchen Ure gegeveiie �J' tien, P en Q^, eene tnidden-evcnredige lijn le vinden?

Constructie. Stel de twee gegevene lijnen, P ~A B en Q/Z^BC, o? dezelfde lijn, nevens elkander, en befclirijf op deze ver��nigde lijnnbsp;eenen halven cirkel; trek BD regtlioekig op AC; dan is BD fniddeH'nbsp;evenredig tusfehen AB en BC, of tusfehen P en g,. Zie Aanm. XXU'nbsp;Steil. F. B.

�. 487. Aanmerking. Fig. 199. Men kan, door de fnijding van lijnc# en ciikels, geen twee midden-evenredigen tusfehen twee gegevene lijne'�nbsp;vinden: nogtatis is de volgende werktuigelijke contlriiiftie volmaakt naauiv-keurig. Men plaatfe de nvee gegevene lijnen AB en BE op de beene�nbsp;van cenen rtgten hoek.^^i^Z;, welks bc-enen onbcpaaldclijk verlengd zijd'nbsp;Men pla.itfe nu twee zuivere vvinkelh.iken, ACD cn EDC, zoodanig, datnbsp;derzelver zijden aan elkander fluiten, de beenen AC cn ED door di-pimten A en E gaan, en de hoekpunten C en i) op de lijnen B C el'nbsp;BD bljjven : deze winkelhaken in dien ftand gebragt zijnde, zijn 5nbsp;BD de gevraagde midden-evenredigen.

�. 488. XXIV. Werkstuk. Fig. 201, Een vierkant te vinden, tot een gegeven vierkant A BCD in reden jlaat, ah eene lijn P totnbsp;een lijn Q^.?

C0NST?,UCTIE. Zij ABCD het gegeven vierkant, zoek, volgens XXI. Werltjluk tot P, Q. en dB, de vierde evenredige AE; trek ePnbsp;evenwijdig aan AD, en verleng (indien het noodig is,) CD tot in Flnbsp;dan is (A'f. Stel!. UI. B.j vlerk. ABCD'. regth. AEFD ~ A B �. A ElF-P'.Qj. Men moet dan een vierkant vinden gelijk aan den regthock AEFD'-men iimke tot dat einde, (gelijk in het XFIII. IFerkftuk') E G'i^E FCEnbsp;AB, en befchrijve op z?G eenen haiven cirkel; indien men dan EF�nbsp;tot aan den omtrek verlengt, dan zal E II de z^Me van het begeerde vief'nbsp;kant zijn.

�. 489. XXV, Werkstuk. Fig, 202. Op eene gegevene lijn P een regthoek te hefchrijven, gelijk zijnde aan eenen gegevenen regthot^nbsp;.tl BCD?

Constructie. Men brengc op AB, de lijn AEItzP over, trekke eP en e F evenwijdig aan E D d;in zal (f. Gey, I. Steil. IF. B.j AR : tiPnbsp;'=XAe-.ad zijn, en CP. Steil. IF. B.j A B y. A D'gzA F �)lt;. A E. De l�quot;nbsp;AF is dan de breedte van den gevraagden regthoek, zoodat, wannee''nbsp;men FG evenwijdig aan AE en EG evenwijdig aan AFuFkt, AEcPnbsp;dc begeerde regthoek zal zijn.

�. 4P�* ^XVI. Werkstuk. Fig. 203. Op eene gegevene lijn eenen driehoek te hefchrijven, gelijkvormig aan eenen gegevenen dtit'nbsp;hoek ABC?

1. Constr�c�e. Maak (Fill. VFerkjl.j do hoeken D eu E, gelijk�� dc hoeken A en B; dan zniJcn (/. Gey. Fill. Steil. IF. B.j de drielw'quot;nbsp;ken DEF en ABC gelijkvormig zijn.

DER M E E T K U N S

Constructie. Men ftelle DE in de rigtiiig van AB, of evenwijdig Ab, en 'trekke de lijnen DF en EF evenwijdig aan AC en BC;nbsp;zal (A'XX Steil. I. B. en IV. Gev. VIII. Steil. IV. B.) de driehoeknbsp;^��F gelijk vormig zijn aan den driehoek ABC.

S- 491. XXVII. Werkstuk. Fig. 204. F-en figuur te conflrueren, '^ilke gelijkvormig is aan eene gegevene figuur?

Igt;e XIII. Stelling van het IV. Boek , behelst reeds eene wijze, om deze '�quot;hftruaie uittevoeien, en, behalve deze, betlaan �er nog vele anderen,nbsp;omdat wij dezelve hier niet kunnen bijbrengen, in onze Lesfennbsp;�'��^r de Werkdadige Meetkunst, zullen verklaard worden. Wij moetennbsp;��Stans doen opmerken, dat het vervaardigen van alle foorten van kaartennbsp;plans niets andens is, dan dit werkfhik , in alle deszelfs bijzonderhc-optelosfen. Wij zullen ons thans .alleenlijk vergenoegen met de vol-*^�^nde conftruelie optegeven. Daten, fig. 204, eenige punten A, B, C,nbsp;voorname en merkwaardige punten van eene figuur of v.an een ter-teiii gegeven zijn Neem in deze figuur twee lijnen, ID en iJG, naarnbsp;'^�slgevallen, aan, welke met elkander in het punt P, eenen regten ofnbsp;Geheven hoek maken; trek op het plan, waarop men de gelijkvormigenbsp;�Suur wil overbrengen, twee lijnen I' D' en E' G�, naar welgevallen cl-^atidcr in P', onder eenen hoek gelijk aan den hoek P, welke de lijnennbsp;en EG maken, doorfnijdende; men late nu, uit de punten der gege-figiuzr, op de aangenomene lijnen � D en IS G, uit de punten A, B,

' nnz. de loodlijnen AD, BF, Cl op ID, en de loodlijnen AE, BG CII op G V vallen. Nu .overleggc men, in welke reden de afftandennbsp;��an de punten der overgebragte figuur tot die van de over�enkomftigenbsp;I'hnten der gegevene figuur moeten ftaan; Hellen wij die reden als ��nnbsp;��t twee; dan make men P'D'�. P D ZZ P'F': P FzzP I � P'I'zi'i't ennbsp;^�-.P E � P'G'iP G~P'II': P 11=1:1, cn trekke uit de punten Zi', Fnbsp;'h I� loodlijnen op I'O', cn uit de punten E', G', II' loodlijnen op E'G';nbsp;punten A', B' en C', alwaar deze loodlijnen elkander fnijden, zijn dannbsp;overgebragte punten, en, wanneer �er meer punten gegeven zijn,nbsp;quot;�Orden zij op dezelfde wyze overgebragt. Het betoog dezer conftru�lienbsp;ujj de VIII. Steil. IV. jS.'geinakkelijk opgemaakt worden.

�� 492. XXVIII. Werkstuk. Fig. 205. Het middelpunt van eenen ^^�evenen cirkel te vinden ?

Constructie. Neem, in den omtrek, drie punten A, B en C, naar quot;'^Igevalien, ' en deel de-koorden AB in BC 'mD cn E midden door;nbsp;''^k de loodlijnen DM en EM op dezelve; dan zal (A. Steil. V. B.')Mnbsp;middelpunt des gegevenen cirkels zijn. � Op dezelfde wijze wordtnbsp;middelpuntnbsp;^hnten loopt.

4P3- XXIX. W�rk.st�k. Fig, 206, Eenen cirkel te befchrijven, eene gegevene lijn AB, in urtpunt B, aanraken, en door eennbsp;gegeven punt C suil g^ian?

BEGINSELEN

COKSTRUCTIE. Omdat de cirkel door de punten � en C gaan moet, I'S' deszelfs middelpunt (X. Steil. V. B.} in de lijn DE, die ioodregt op W'nbsp;midden van BC ftaat, en omdat de cirkel de lijn AB in het punt B moe'nbsp;aanraken, ligt het middelpunt in de lijn B D, welke .Ioodregt o-c A B ftaat'nbsp;Men trekke dan IID Ioodregt op AR, vere�nige de punten B en C, trek-ke QIV. TFerltft.') eenc Ijjn DE, welke Ioodregt op het midden vannbsp;ftaat; dan is D het middelpunt des begeerden cirkels.

�. 494. XXX. V/epiistox. Fig. 207. Door een gegeven punt Pt luiten den onitrek van eenen cirkel gelegen, cene raaklijn tot diegt;^nbsp;cirkel te trekken?

Constructie. Verednig het gegeven punt P met het middelpunt des cirkels, en befchrijf op BIP, ais middellijn, eenen cirkel, die de�nbsp;gegevenen, in de punten A en B, fnijdt; dan zullen dc lijnen PA en Pl'nbsp;den cirkel in de punten A en B aanraken.

Steil. V. B.') de hoeken P AM en PB M regte hoeken, en daarom {_X1I. Steil. F. C.') PA en PB raaklijnen.

49.5- XXXI. Vv^ECiKSTCK. Fig. 200. op eene gegevene lij� een cirkel fegment te befchrijven, in hetwelk eenen hoek, gelipt uuttnbsp;den gegevenen hoek PQJl, kan geplaatst worden?

Constructie. Men trekke, door het punt A, de lijn AD, welke met AB den hoek DAB� den hoek P Q^R maakt, wanneer dan, volgens hetnbsp;XXIX. JFcrkft. eenen cirkel befchreven wordt, welke door de lijnnbsp;in het punt'wordt aangeraakt, en door .het punt li loopt; dan word'nbsp;ixix. Steil. F. B.j hoek BAD door de helft van den boog AFB gcinS'nbsp;ten, en omdat diezelfde halve boog (/. Gev. XX. Steil. F. B.quot;) den hoeltnbsp;AEB meet, zat hoek AEll�'iioeit.BADzt.hocit.PQ.R zijn. Blen ma*nbsp;I:c daarom hoek BAD � hoek P CjR; trekke MC Ioodregt op het midde�nbsp;van AB; en AM Ioodregt op AD; dan zal M het middelpunt van hc'nbsp;begeerde cirkel fegment zijn. � Of men trekke fps ioodregt op Q^P, tt*nbsp;make hoek BAM� hoek RQ.S; dan zal men ook het middelpunt va�nbsp;het begeerde fegment vcrkn.gcn.

�. 49�. Aanmep.king. Het'befdirijven der regelmr.tige veelhoeken� in en om eenen gegeven cirkel, volgt uit de betoogde Hellingennbsp;het zesde Boek zoo onmiddelljk, dat dezelve hier teplaatfen. Hecht�nbsp;eene herhaling van reeds gezegde zaken zijn zou. Ook zullen vv�i]�nbsp;ill de werkdadige Meetkunst, dit onderwerp gelijk ook de verdecliJhnbsp;van den ointrek des cirkels opzettelijk behandelen. Inrinefche:). moetennbsp;wij den Leerling, die wensclu de opgegevene Werkilukken, door dc�nbsp;enkelden pasier te lee^en uitvoeren, het Italiaanfclie werk van defnbsp;Heer L. MesCERONi, getijtcid: Geometria del compasfo, of denbsp;lelie vertaling van hetzelve bijzonderlijk aanbevelen.

p-oof

0 R R M E E T K U N S T.

Voorbeelden van de oplosfing van meer ingewikkelde meetkunftige Werkjlukken.

S- 4P7. De meeste Werkllukkeii, welker oplosfing en conftruaie '*'�] leerden kennen, zijn de gtondfiagen van de conftruaie van alle anderenbsp;''�Setkundige vverkftukken. Om nu een meetkimftig werkfluk optelos^nbsp;begint men met eene figuur voor hetzelve te teeltenen, in welkenbsp;'Ueti ds vraag, ah opgelost zijnde, befchouwt^ daariut overweegt mennbsp;Wel ernfiig, welke bekende eigenfehappen van evenwijdige lijnen, ge-hjkvorniiga driehoeken, cirkels, enz. welke in die figuur voorkomen,nbsp;^'f daarin gemaakt kunnen 'Vorder., tot de oplosfing (�/ conjlruBie kun-'^c/2 brengen. De oplosfingen der volgende werkftukken zinlen dennbsp;feeding op den weg brengen, om de oplosfing van anderen te vin-''en, en zich met de verklaarde beginfelen al meer en meer bekendnbsp;gemeenzaam te maken,

$. 498. XXXII. Werkstuk. Fig. 209, Boven eene regtelijn AB, ^�jn twee punten P en Omgelegen: nu begeert men, uit het punt P,nbsp;l� eene rOgte lijn PC, naar eenig punt C van de gegevene lijn AUnbsp;gaan, en uit dit punt C, tot het ander gegevene punt O, insgelijksnbsp;eene regte lijn terug te keeren, zoodanig, dat men den kortflennbsp;afiegge, of dat de [om der lijnen PC en CO_ i;/c/gt�r h, dan,nbsp;Wanneer wen ket punt C, meer naar de regter of naar de linkerhand,nbsp;�lemen inogt.

Oi-LossiNO. Ste�ende, dat bet punt C gevonden zij; dan ziet men ter-dat. wanneer men uit Q de loodlijn Vr� R. op AB laat vallen, � C~QB neemt, en voorts de lijn CR. trekt, de lijn CR (^XX. Steil.

B-i gelijk.aap de lijn CQ zal moeten zijn; derhalve zal PC CQ::2 �C CR zijn, omdat (141 PC-j-CQ een minioinm zijn moet, zal ooknbsp;1'C'-|-CR een minimum zijn, en het punt C zal derhalve zoo moetennbsp;l^epaald worden, dat men van P tot C, en van C tot R, of van P totnbsp;langs den kortlten weg komt; dat is, het punt C zal ia de lijn, wel-de punten P en R ver��nigt, moeten gelegen zijn. Nu is AB, be-�leven.s de punten P en Q gegeven; derhalve zijn de loodlijn QBR, en hetnbsp;i�ikit C gej�even. Hieruit volgt dan' deze Constkuctie. Men late uit Qnbsp;'�U' loodlijn QBR op AB vallen; make ER�kBQ; en trekke de lijn PR;nbsp;dan is het punt C, alwaar deze de lijn AB doorfnijdt, het begeerde punt.

�� 499. XXXIII. Week.stl'K. Fig. 210. Door een gegeven punt P �ene regie.lijn PlHi te trekken, zoodanig dat dcrzelver gedeeltenbsp;Qjl, hetwelk tusfehen twee gegevene evenwijdige lijnen, AB f� CD,nbsp;Selegen is, gelijk zij aan eene gegevene lijn l ?

OrtossiNG. Ondcrftellcn wij, dat PQPv de begeerde lijn zij; indien men door een punt E, eene lijn EF, evenwijdig aan PQR, trekt; dr.� z.tlnbsp;M inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(C

BEGINSELEN

(/, Steil. III. B.') EF~QR zijn; hieniit volgt: dat, wanijeer men, uit een punt E, als middelpunt, met eene ftraal, gelijk aan de lyn V, ecneunbsp;cirkel befclirijft, welke AB in de punten F en F' fnijdt, de lijn PQRnbsp;of PQ'lV, welke evenwijdig aan de ftralen EF en EF' loopt, de begeerde lijn zal zijn. Dit vraagftuk heeft alzoo twee oplosfingen.

�. 500. ^XXIV. Werkstuk. Fig. 211. Eene gegevene lijn JSgt; zoodanig, door het punt C, tn twee deelen te verdeekn, dat de regt'nbsp;hoek AC y. BC der deelen gelijk zij aan het vierkant op de gegevens lijn P ?

Opi.ossing. Onderllellen wij, dat C hot begeerde punt zij; wanneer mcu dan op AB cenen halven cirkel befclirijft, en CE loodregt op AB fteltinbsp;dan zal {Xl^III. JVerlfl.j ECii�ACXBC zijn; nu is E C � P gegeven jnbsp;wanneer men derhalve door E, de lijn FFD evenwijdig aan AB trekt!nbsp;dan zal eene loodlijn, BD op het einde van AB opgerigt, gelijk aaUnbsp;CE~P zijn: hieruit volgt deze Constructie. Befchrijf op AB eeuuquot;nbsp;halven cirkel; trek BD loodregt op AB, en maakt dezelve gelijk aan 1��nbsp;trek door D, eene lijn, evenwijdig aan A B ; deze zal den cirkel, innbsp;punten E en F, fnjjdeii. Laat dan , uit deze punten , de lijnen E C en FC ,nbsp;loodregt op AB vallen; dan zullen de punten C enC�de begeerde punten zijn. De vraag heeft derhalve twee oplosfingen, en wanneer p groo-ter is dan i A B, dat is grooter, dan de draai des halven cirkels, dannbsp;zal de lijn D F den cirkel njet fnijden, en de vraag zal, onder die bepaling, �nmogelijk zijn.

�. 501. XXXV. Werkstuk. Fig, 212. Eene gegevene lijn ABi tot in eenig punt C, zoodanig te verlengen, dat de regthoek, welktnbsp;de geheele lijn, met het verlengde ft uk te zanten genomen, tot leng'nbsp;te, en het verlengde ftuk tot breedte heeft, gelijk zij aan het vitt'nbsp;kant van eene gegevene lijn P ?

Oplossing. Wanneer C het begeerde punt is, en op AB als middellijn eenen halven cirkel befchreven wordt; dan zal, omdat, wanneer uit C eene raaklijn CD getro'kken wordt, (�. Aanmerk. XXII. Steil. C. S-jnbsp;CDa~ACXBC zijn: m.aar nu moet ACXBC~P zijn: men zal dannbsp;het punt C zoodanig moeten bepalen: dat de raaklijn CDz:P zij. Wanneer men nu BE loodregt op AB delt, en gelijk P maakt, en voort*nbsp;de lijn ME trekt; dan zal (jlx. Steil. /. .S.) M E =; M C en D C = B Enbsp;zijn. Hieruit volgt dan deze Constructie. Befchryf op AB eenen halven cirkel; ftel BE loodregt op AB , en gelijk aan P, en trek Mϒnbsp;maak eindelijk M C � M E; dan zal C het begeerde punt zijn.

�. 502. XXXVI. Werkstuk. Fig. 2.13. Men begeert, uit eenp��^^ P, hetwelk in de ba fis van eenen driehoek ABC gegeven is, een'-S^nbsp;regte lijnen PE, Pc, enz., te trekken, welke den driehoek innbsp;zeker aantal ftukken van gelijken inhdud verdeden ?

Oplossinu. Nemen wij: dat de driehoek in vijf gelijke deelen zul ver deeld worden. Wanneer men AD�i AB neemt, en de lijn CD trekt�

MEETKUNST.

zal (XiK Steil. UI. B.-) drieh. ACD� ��n-vijfde van drieh. ABC de driehoek AEP zal dan aan den driehoek ADC gelijk moetennbsp;wanneer men nu de lijn DE trekt, en van deze gelijke driehoekennbsp;den driehoek ADE aftrekt, zullen do driehoeken DEP en DEC nioe-gelijk z\ia; maar deze liaan op dezelfde bafis; de lijn P C is dannbsp;Steil. 111. B.') evenwijdig aan DE, en DE evenwijdig aan PC. Nftnbsp;is P gegeven, .derhalve ook PC; en, omdat AE gegeven is, is ooknbsp;~i. AI?-gegeven; dus ook het punt D, en de lijn DE. A�en nemenbsp;dan AD~iAE, en trekke DE evenwijdig aan PC, dan zal de lijn PEnbsp;diiti-vyfde gedeelte van den driehoek ABC afliiijden. Op gelijke wijze,nbsp;zai volgen: dat, wanneer men A F ::: 2 A B neemt, en F G evenwijdignbsp;aan pc trekt, drieh. APGir: drieh. ACF�ia drieh. ABC zal zijn, enz.nbsp;^^jerop berust nu de volgende algcmeene Constructie. Verdeel de bafisnbsp;B in vijf gelijke deden, AD, DF, FII, HK en BK; trek, door denbsp;declpmiten dezer deelen, lijnen, welke evemvijdig aan PC loopen; na-'hkUjk DE, FG, III, KL; dan zullen deze op de zijden AC en BCnbsp;des driehoeks de punten E, G, I, L, bepalen, door welke, uit het gc-geveuo punt p, de dedlijncn PE, PG, PI en PL, getrokken moeten worden, welke den gegevenen driehoek in vijf gelijke deden zullen verdeden,nbsp;�. 503. XXXVII. Werkstuk. Fig. 214. Binnen eenen gegevenennbsp;�driehoek ABC, een punt P te vinden, zoodanig, dut, wanneer r.ien,nbsp;^it hetzelve, tot de hoekpunten A, B en C, des driehoeks, regte lij-rien AP, BP en CP trekt; de driehoek in de (lukken ABP, ACPnbsp;cn BCP, zal verdeeld zijn, welke tot elkander in reden (laan ah denbsp;getallen 4, 5 en 3 ?

Ovi.ossiNG. Omdat de driehoeken A PB, ACP en BCP, tot elkander als de getallen 4, 5 en 3, moeten zijn, zal (Z. Steil. II. B.} de drieh.nbsp;AbP: drieh. ABC=:4 : 4-f-5-f3=:4 : nnitS moeten zijn; trekt mennbsp;dan PD eventvijdig aan AB; dan zal (IA'. Steil. 111. B.') drieh. ABDnbsp;drieh. ABP zijn; derhalve drieh. ABC: drieh. ABPquot; 3 : iquot;AC: AD.nbsp;Hieruit volgt: dat, wanneer men AD^trJAC neemt, en DP evenwijdignbsp;aan AB trekt, het begeerde punt P in de lijn D P zai gelegen zijn. Wederom zal drieh. APC: drieh. ABC �5:1a zijn; of, wanneer mennbsp;LF, evenwijdig aan A.C trekt, drieh. ABC: drieh. AEC�I2:5quot;AB:nbsp;AP,; deelt men derhalve AB in twaalf gelijke deelen, en neemt mennbsp;A E gelijk aan vijf van die deelen; d:m zal het begeerde punt P gelegennbsp;^�jn in de lijn, w'elke door E evenwijdig aan AC loopt; gevolgclijk zalnbsp;het in de doorfnijding der lijnen DP en EP, tvelkcr ftelling door de op-losfiug gevonden is, gelegen, en derhalve bekend zijn.

�� 504. XXXVIII. Werkstuk. Fig. 215. Fenen gegevenen drie^ hoek ABc, door eene lijn DE, evenwijdig aan de bafis hopende,nbsp;in eene gegevene reden, zoodanig te verdedendat DEC tot PFgt;B/jnbsp;flaat, in reden als p tot q?

BEGINSELEN

decid is, zoo als is voorgefdu'cvi ii; dan moot nbsp;nbsp;nbsp;Steil. II. B.) dricii-

CDE: drieh. C3 nbsp;nbsp;nbsp;:p -\-q ftaani ninar (A'/. Still. IF.B.') drieh. CDK:

laat nu hct'punt M zoodanig genomen worden, dat C M: MB:rigt;: f, en dcrlialvc C B: C Mr:^) ? :/� zij; dan is B : C E� c: C B : Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:

C M X C B ; derhalve CE^:::CMXCB of CE midden-evenredig tiisfclien BC en CM. Hieruit volgt deze Constructie.- Deel de zijde B C in hetnbsp;punt M in reden van p tot q; neem CE midden-evenredig tusfchcn CMnbsp;en CB, dan zal de lijn, welke, doorE, evenwijdig AB, getrokken wordt,nbsp;de begeerde zijn.

�. 505. XKXIX. Werkstuk. Fig. 216. In een gegeven vierkant een en gelijkzijdigen driehoek te hefekrijven?

Oplossing. Een gelijkzijdige driehoek wordt gezegd in een vierkant te liaan, wanneer een van deszelfs hoekpunten C in een hoekpunt van hetnbsp;vieriairt valt, en de twee andere hoekpunten E en F, in twee der zijden van datzelfde vierkant gelegen zijn. Onderlicllende dan, dat de gelijkzijdige driehoek in het vierkant befchreveh zij; dan zal, omdat CE�CF,nbsp;en CDczCB is, f/Z. Lemma I. B.') DE~BF en AE^AF, en daaromnbsp;Al' ; B1'�AE : DE en (//. Steil. II^. B.^ evenwijdig aan BD zijn;nbsp;wanneer men dan DG, evenwijdig aan EC, en BG evemvjjdig aan CFnbsp;trekt; dan zal de driehoek B D G Cir. Gev. Fill. Steil. IV. B.') gelijkvormig zijn niet deii driehoek ECF, en derhalve gelijkzijdig. Hieruit volgtnbsp;dan: dat, wanneer men op de hoekpuntslijn BD eenen gelijkz�digen driehoek BDG befch;'ij.''r, en door het hoekpunt C de lijnen CE en CFnbsp;evenwijdig 'aan DG en B G trekt; en, eindelijk de punten E en F ver-�dnigt, de driehoek C F. F de begeerde gelijkzijdige driehoek zal zijn.

�. S06. XL. Werk.st�K. Fig, 217. In eenen gegevenen driehoek ABC een vierkant FGED te befchrijven, welkt zijde FG op denbsp;ha fis AB rust?

Oplossing. �ndcrfteilen w�, da: FGED het begeerde vierkant zij ; in-dien men dan de lijn AE trekt, en in dezelve een punt H neemt, en Hl en HL evenwijdig aan ED en EG trekt, dan zal (^VIII. Steil. IV.Bi)nbsp;DE:IH:::2AE:AH � EG:HL zijn: maar D E E G zijnde, is HI H Lnbsp;en (ATAW. Steil. I. B.') hoek IHL� hoek DEG. Hieruit volgt, omgekeerd: 4at, wanneer men eenig vierkant KLHI op de bafis plaatst, metnbsp;het hoekpunt I in de zijde AC, en, vau A, door H, eene lijn trekt,nbsp;welke de zijde BC, in het punt E, ontmoet, dit punt E een der hoekpunten van het begeerde vierkant zal zijn; dan dit hoekpunt door con-llruCtie bekend zijnde, is al het overige bekend. � Constructie. Mennbsp;neme dan in AC een punt I, en late IK loodregt op AB vallen, trekkunbsp;IH evenwijdig aan AB, en make IH~IK; trekke, van A door H,nbsp;eene lijn AE; dan is E een der hoekpunten van het begeerde vierkant,nbsp;hetwelk, indiea men EG loodregt op AB, ED evenwijdig aan AB,

y�n

MEETKUNST.

eer,en diielioek A�C een punt D te vinden, zoodanig, dat, ^�*nneer men DE evenwijdig aan JB hekt, AD iDE�p'. q zalnbsp;p

j..Numende, d� D E de begeerde lijn zij; indien men dan de trekt, en, door cenig punt F, FG evenwijdig aan DE of AB;nbsp;Zal Q-IJI. Sttll. IF. BO AF : FG = AD : DE=:/.: J zijn. Nn pannbsp;Af�en FG�? nemen; wanneer men dan AG trekt, dan zalnbsp;lijn, of dcszelfs verlengde, AB in E fnijden; de lijn, welke dan

*Un.

508. XLII. Werkstuk. Fig. 219. Men begeeft zich, in-een funt P ^ Pinnen den driehoek ABC, zoodanig te plaatfen ,dcit de afflan-vclke men, in dit punt P, tot de zijden AB, BC en AC, vannbsp;driehoek heeft, tot elkander in reden flaan, ah bij voorbeeld,nbsp;getallen 5, 6 en 7; dat is zoodanig, dat (DP, PE, PFj'.�.nbsp;^5, 6, 7) zij?

. l^�LossiNG. Stellende, dat P het begeerde punt zij, wanneer men dan lijn AP een punt G neemt, en uit hetzelve de loodlijnen, GII ennbsp;I'd'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Fill. Steil. IF. -C.) APtAG:::

Al! cii A.C oprigt, cn gelijk aan vijf en zeven doelen neemt, en

lijnen KG en LG, evenwijdig aan en AC trekt; dan zal het punt G zoodanig bepaald zijn, datGH:nbsp;^ � 5 : 7 is, en het punt P zal derhalve in de lijn A G gelegen zijn.nbsp;Su'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;redenen z.al, wanneer men BM cn BN loodregt op AB

tl) plnat-ct, en MB gelijk vijf, en BM gelijk zes deeien neemt, ''�ores MC en NC evenwijdig aan AB en B C trekt, het punt Pnbsp;1'jn BC gelegen zijn. Het punt P, alwaar de lijnen AP en PBnbsp;'^r.dcr doorfnijden, is dan het begeerde punt.

It/ AAKatF.RKtNC. Het parallelogram AS GR, is (H- Gev. Vil. Si, gelijk aan AS X GHzzAR X GI; derhalve is AS r ARzzCI.-^�FtPD. Hieruit volgt cene eenvoudiger conftru�tie. Men nemenbsp;Cunbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;'�^Isovallcn, cn A R tot A S gelijk P D tot P F, en trekke S G

iiet nbsp;nbsp;nbsp;�'''�^nwijdig aan AC en AB, en voorts de lijn AG, in welke

,5IQ. XLIII. Werkstuk, Fig. 220. fVdnnecr twee voorwerpen B aan dezelfde zijde van er,ie regte lijn A B gelegen zijn,nbsp;M Knbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ie-

BEGINSELEN

begeert men, op deze regte lijn, het punt C te vinden, uit deze voorwerpen, onder den grootjlen hoek ACB, gezien worden?

Oplossing. Wanneer C het begeerde punt is, dan moet de hoek grooter zijn dan de hoeken ADB en AEB, weike in de nabijheidnbsp;het punt C, ter regter of linkerhand van hetzelve, uit de punten Pnbsp;E worden waargenomen: dit alzoo zijnde, zal men op^D, een punt ��nbsp;en, op BE, een punt F, vinden kunnen, zoodanig dar de hoekennbsp;en AFB, elk aan den hoek ACB gelijk zijn, en dan zullen de puni*^quot;nbsp;G, C en F, (�//. Gev. XX,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V. �.} in den omtrek van eenen

kei gelegen zyn, welke door de punten A en B gaat, en de lijn in het begeerde punt C aanraakt. Het is ook klaarblijkelijk, dat �ernbsp;de regterzijde van de lijn BAQ een punt C' beftaan moet, uit hetrfi^''nbsp;de voorwerpen A en B onder eenen hoek AC'B gezien worden, gr��nbsp;ter dan de hoeken, onder welke men die voorwerpen, in de nabij vnbsp;legene punten, waarneemt. Nu moet (/. Aanmerk. XXII. Steil. V. ^

Q C2-~ AQ X B Q zijn; men moet derhalve, na; door de punten A � B, de lijn BAQ getrokken te hebben, eene midden-evenredige tusftb*^quot;nbsp;AQ en BQ zoeken, welke gevonden wordt, indion men op B Q cenr�'nbsp;halvcn cirkel befchrijft, en AR loodregt op B Q ftelt, als wanneer (/� Gr''�nbsp;XII. Steil, Ifr, B.) QR de begeerde midden-evenredigc zal zijn, zooda'�nbsp;wanneer QC en Q C', elk gelijk QR genomen'worden, de voorwerptquot;nbsp;A en B, ui: de punten c en C' onder den grootften hoek zullen dquot;nbsp;zien worden.

�. 511. XLIV. Werkstuk. Fig. 221. JVanneer men aanneendi dat de onderlinge afftanden van drie punten A, B en C, hckA'nbsp;zijn; en dat men, in een vierde punt D, alwaar men zich bevin^^�nbsp;de hoeken UDC en CDA, onder welke de punten B en C, bene'-�^quot;^nbsp;C en A gezien worden, door waarneming bekend, en gelijk aan ^nbsp;hoeken P en Omzijn, begeert men, door conflruBie, de betrekkelip�nbsp;ligging van het punt D, dat is deszclfi afflanden tot de punten At ^nbsp;en C, te vinden?

Oplossing. Vermits de onderlinge afftanden der punten A , B en gegeven zyn, zal men Ixi. i-Terlft.') den driehoek kunnen conllvuerequot;�nbsp;in welker hoekpunten deze punten gelegen zijn: die driehoek dannbsp;conftrueerd zijnde, zal men (XXXI. tVerkfl.') op de lijn CB eennbsp;fegment B D F. C , waarin de hoek C D B � den hoek P, en op denbsp;AC, het cirkel fegment A D F C, waarin de hoek A D C ~ den hociinbsp;geplaatst is, kunnen befchrijven: de omtrekken dezer cirkel fegmentnbsp;zullen elkander, behalve in het punt C, ook nog in het punt D fnij�l�^'�'nbsp;welk laatlle punt het begeerde punt zal zijn; daar nu dit punt Pnbsp;deze conftruftie bekend wordt, zullen ook deszelfs afftanden tot de 1�nbsp;ten A, B en C, dat is de lijnen AD, BD en CD, bekend worden.^nbsp;�. 512. XLV. Werkstuk. Fig. 222. Lidien men aanneeint, �nbsp;de afjland der voorwerpen A en B bekend is, en dat men, ait

DER MEETKUNST.

Voorwerpen A, B en D, gezien worden, en, uit het tweede D, toeken, ADB en ADC, onder welken de voorwerpen A, B en Cnbsp;Sozien worden, door waarneming bepaalt, dan begeert men, door cenenbsp;^^^kunjlige conftrultie, de betrekkelijke ligging der voorwerpen C ennbsp;dat h de afjlanden CD, AC, BC, AD en BD te vinden?

, Oplossing. Laat, op eene lijn cd, volgens he' WerkfluTt, aan Punt c de hoeken, �ci en bed, gelijk aan de hoeken ACB ennbsp;*quot;1^5 en, aan. het punt a, de hoeken adb made, gelijk aan de hoekennbsp;en ADC gemaakt, en de lijn a b getrokken worden; dan zijn denbsp;ead, dab, abc, ebd, bepaald. Wanneer men nu op de ge-lijn AB, volgens het F. TFcrkfluk, de hoeken CAD, BAD,nbsp;^ � C en C B D, respeftievelijk aan de hoeken ead, bad, abc �n ebd,nbsp;quot;'^Ike door de- voorgaande conftruftie gevonden zijn, gelijk maakt, ennbsp;^�orts de lijn C D trekt, dan zal de betrekkelijkc ligging van de puntennbsp;D bekend zijn. Want omdat, volgens de conllruftie, hoek CABnbsp;^ lioek cahi hoek DAB~hoek dabs hoek A B C ::: hoek a i c is, isnbsp;Gev. XVIII. Steil: I. B.j hoek ACB � hoek �c �; wederom zal,nbsp;dezelfde reden hoek ADB � hoek adb zijn: de driehoeken ABC ennbsp;zijn dan (VIII. Steil. IV. B.j gelijkvormig aan de driehoeken abcnbsp;a b d ; derhalve is BC : b c ~ AT, : a b , en BD : b d tlZ AH'� a b , ennbsp;�'^�s volgens B C : b c =z bd -. 6 ,l, of B C : BDzzb c-. b d , daar nu hoeknbsp;hoek dbc is, zal (X Steil, iv: B.j de driehoek BCD aan dennbsp;�^��^l'oek bed gelijkvormig zijn, en daarom (LX Steil. IV. B.j hoek BCDnbsp;j^iioekiri en hoek CB D � hoek rid, en derhalve ook hoek AD C�nbsp;adc, en de punten C en D; zijn derhalve zoodanig bepaald, datnbsp;Voorwerpen A en B uit dezelve onder de gegevene hoeken geziennbsp;�^otden.

ACHT-

ACHTSTE BOEK.

�. 513. L ISepaling. De Goniometrie is een bijzonu�^^ gedeelte der Meetkunst, welke de waarde van de hoekennbsp;figuren, met behulp vau zekere lijnen, die vam gonionieif^'nbsp;fche of hoekmeetkunftige lijnen noemt, leert bepalen, en oW'nbsp;derling, zoo met elkander, als met de hoeken, of bogen 5nbsp;welke zij behooren, leert vergelijken.

�. 514. II. Bepaling. Fig. 223. Om een klaar en du�' delijk denkbeeld van de verfchillende goniometrifche of hot^'nbsp;'meetkunflige lijnen, welke de Meetkundigen uitgedacht heb'nbsp;ben, te verkrijgen, en zich dezelve, in eene welgeregeld�nbsp;orde, ��n voor ��n, en, in haren ouderlingen zamenhang�nbsp;te leereii voorftellen, zullen wij aannemen, dat eene onb^^'nbsp;paalde regte lijn MH, om het punt M, bewogen word^�nbsp;en dat men, op dezelve, eene lijn MC, als de ��nheid va��nbsp;de lengte maat aanneme; dan zal deze lijn, door hare beW^'nbsp;ging, om het punt C, eenen hoek AMB voortbrengen,nbsp;wijl het punt C den cirkelboog CD zal beCchrijven: de ho�'nbsp;ken AMB zullen dan (XFIII. Steil. V. B,') evenredig zij'*nbsp;aan de bogen CD, welke gelijktijdig met dezelve word��nbsp;vocrtgebragt; zoodat, wanneer de_ lijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eene gehe�^�

omwenteling volbragt, en de geheele vlakte van de figd�� doorgeloopen zal hebben , het punt C den omtrek van d��nbsp;cirkel, welks middelpunt in het hoekpunt valt, gelijktijd^nbsp;zal hebben voortgebragt. Verbeelden wij ons nu, datnbsp;onbepaaldelijk verlengd zij; dat de onbepaalde lijn lo^f*nbsp;regt op AM en ddt de lijnen ST en WX, den cirkel i�nbsp;de punten C en� aanraken; dan gebruiken wij, duidelijk�nbsp;halve, de volgende benamingen:

De lijn jiM h de oorfprong, van waar de detlen van voortgebragten hoek AMB geteld worden.

3�* De lijn VM is de oorfprong der fupplements hoeken. 4quot; De boog CZ), (tusfchen de beenen van den hoek AMEnbsp;'^grepen,) is de metende hoog', hij meet den hoek AMB.nbsp;'^�estal zullen wij hem eenvoudig hoog noemen.

7� De regte hoek A MP, of de boog CR, het eerde qua-^tant; de regte hoek PMF, of de boog RS, het tweede 'lUadrant; de regte hoek VMQ^, of de boog SZ, het derdenbsp;�Ihadrant; de regte hoek AMQ^, of de boog CZ, het vier

volbragt te hebben, nog, in dezelfde rigting, onbepaal-^''^hjk kan omdraaijen, zal men AMP het vijfde quadrant hoemen, enz.

S. 515- Aanmerking. Offchoon de uitipringende hoeken eener '�^gtlijnige figuur altijd kleiner dan twee regte hoeken zijn, volgtnbsp;'Paruit niet, dat �er geen hoeken, grooter dan twee of meer regtenbsp;'''aeken zouden kunnen beflaan; want meu kan immers zoo vele hoe-*'�n als men goedvindt, bij elkander optellen, en deze fom zal eenennbsp;�^^gten hoek verfcheidene malen kunnen overtreffen.

M P, welke bij eenen hoek AMB opgeteld, of van ��iien hoek AMB' moet afgetrokken worden, opdat, in hetnbsp;geval, de fom, en, in het tweede geval, het verfchilnbsp;^^hjk aan eenen regten Jioek zij, wordt het complement vannbsp;hoek AMB of AMB' genoemd.

S* 517. IV. Bepaling. Fig. 223. De hoek BMV, wel-bij eenen gegevenen hoek /IMB moet opgeteld, of van ^enen gegevenen hoek moet afgetrokken worden, om tweenbsp;l'^Ste hoeken te verkrijgen, noemt men het fupplement vannbsp;'�len hoek. Vergelijk XIX. Bep. I. B.

BEGINSELEN

�, 518. V. Bepaling. 2.23. De S/�us van een^^ hoek AMB^ of de Sinus van den boog CD, welke dez^�nbsp;hoek meet, is de afftand DE van het uiteinde D van die�nbsp;boog CD, tot den oorfprong van den hoek, welke�nbsp;hij meet, dat is tot het been AM^ of deszelfs verlengd�nbsp;Biy. Hij is de loodlijn DE, welke uit het uiteinde Dnbsp;den hoog CD op de middellijn CS valt.

�. 519. VI. Bepaling. Fig. 223. De loodlijn DF, dan de Sinus van den hoek BMP, dat is: de Sinus vanhdnbsp;complement van den hoek A MB. Men noemt deze Sinus d�nbsp;Coflnus van den hoek A MB; hij is (/. Steil. III. B.')nbsp;aan de lijn ME. Men kan dan zeggen: dat de Cojinus vtti�nbsp;eenen hoek de afjiand van het uiteinde van den hoog tot dtfinbsp;oor [prong der complements hoeken is; of de afjiand van hdnbsp;middelpunt tot de Sinus.

�. 520. VIL Bepaling. Fig. 223. Men noemt de lij� EC, of de affland van den oorfprong van den metend��nbsp;boog tot de Sinus, de Sinus verfus; en de lijn SE, den zf'nbsp;Hand van den oorfprong der fupplements bogen tot de SiniiS�nbsp;de Sujinus verfus van den hoek AMB, of van den boognbsp;CD. De Sinus verfus is dan gelijk aan de fraai minnbsp;Cofnus, en de Sufinus verfus gelijk aan de Jlraal, opgetfnbsp;hij de Cofnus. De lijn RF 'is de Cofnus verfus, en de lܔnbsp;ZF Aq Sucofnus verfus.

�. 521. VIII. Bepaling. Fig. 223. De Tangens lijn') van eenen hoek AMB, of van deszelfs metenden boognbsp;CD, is dat gedeelte CG van de onbepaalde raaklijnnbsp;welke den metenden boog in den oorfprong C aanraakt, he^'nbsp;welk, tusfchen dien oorfprong, en het punt, alwaar het b�'nbsp;weegbaar been van den hoek AMB deze raaklijn InijdGnbsp;gelegen is.

�. 522. IX. Bepaling. Fig. 223. De Secans (_Snijhj^' van eenen hoek A BIB, of van zijnen metenden boog CD^nbsp;is de lijn MG, welke, op het beweegbaar been, MB,F'^''^nbsp;den hoek A BIB, van het hoekpunt M, tot het punt G�nbsp;alwaar het de raaklijn doorfnijdt, begrepen is.

�� 524. XI. Bepaling. Fig. 223* De Cofecans van den |oel{ A BIB, is de Secans BIH, van het complement vannbsp;hoek. Beide deze lijnen ontliaan, op de raaklijn opnbsp;^^Zelfde wijze, als de Tangens en Secans, op de raaklijn ST.

S25. I. Aanmerking. Elke hoek, of elke boog, welke de be-^*'fkkeiij]jg waarde van dezen hoek voorftelt, heeft alle de goniome-lijnen, welke, in de voorgaande bepalingen, j'-jn befchreven. atitieer deze lijnen, voor eiken hoek of boog, in deelen van denbsp;des metenden cirkels, (die altijd de ��nheid is,) uitgedrukt,nbsp;in eene tafel ver�enigd zijn, dan noemt men deze tafel, naar denbsp;^�'^rnaamfl:e dezer lijnen, Sinm tafel, anders Tafelen der Sinmfen,nbsp;�^��gens en Secanten, anders ook wel Trigonometrifche of Driehoeks-^^^tkunfige Tafelen. Deze tafel is de ware getallen-hoekmeter, hetnbsp;'quot;^ornaamfte werktuig, door hetwelk alle berekeningen, waarin men metnbsp;��^etkutifiige figuren te doen heeft, worden uitgevoerd; het werktuig,nbsp;'''^^rdoor alle hoeken en zijden der figuren met elkander vergeleken.

''quot;derfcheid van ligging moet, in alle berekeningen, door de noodige *^ens, behoorlijk onderfcheiden worden; want daaraan is zooveelnbsp;dat de wezenlijke waarde van cenen hoek of boog niet Hechts,nbsp;/^^r de volftrekte getallen waarde van eene zijner goniometrifche lij-1 maar ook nog bovendien, door de ligging van die lijn, met be-^.^kkihg tot de voornaamfte deelen der figuur, bepaald wordt. Ditnbsp;erfcheid van ligging wordt nu, met behulp van de volgende grond-kels, door de teekens en �, uitgedrukt.

^ S. 527. I* Grondregel, 224. Om, in (te berekening, ^^^fflnnden der punten, welke in dezelfde regte lijn liggen,nbsp;te vergelijken, is het voldt^ende, datnbsp;de afjianden dezer punten tot ��n vast en onveranderlljk

BEGIN

punt P, in deze lijn aangenomen^ kcnne: daar nu deze ten, met betrekking tpt het punt P, ter regter of ternbsp;hand van hetzelve kunnen gelegen zijn, onderfcheidt mennbsp;ligging, door de teekens -p en �, en noemt dennbsp;ter linkerhand negatief, indien de afftand ter regterhaiulnbsp;Pidt� genomen is, � en omgekeerd.

�. 528. Opheldering. Wanneer derhalve de lijnen AP en BP^'' lengte van 5 en 6 meters hebben, zal men zeggen: dat AP�-\''^nbsp;en BP��6 \is. De reden van dit onderfcheid is, in de over�^�nbsp;komst tusfehen de plaatfmg dezer punten en de wijze, op welkenbsp;pofitieve en negatieve grootheden, in de gewone berekening,nbsp;liaan, fPerg, L C. �. 460,) gelegen. Stel, om deze over�enkonis'^nbsp;gevoelen, dat men, na, van P 'tot M gegaan te zijn, van M totnbsp;terugkeere; dan zal men, om te vinden, hoe verre men, in het pgt;J�nbsp;A, van het vaste punt P affiant? .den terug geganen afllandnbsp;den eerst verkregen al'ftand PM raioetcn aftrekken, en dan is AV^nbsp;PM�AM, Wanneer men tri van het punt Af blijft terug gaf��nbsp;dan zal de affland van A tot P verminderen; gelijk nul worden,nbsp;neer AMz=.PM vtotix, en, wanneer men verder dan PM terugnbsp;gaan is, zal men aan den anderen kant van P gekomen zijn:nbsp;men nu, eene grootere lijn AM van eene kleinere PM aftrekkend^�nbsp;het verfchil negatief noemt, zal (/. C. �.463,) de afiland vannbsp;punt B, ter linkerhand van P, ais negatief moeten aangemerkt word'-��'nbsp;g. 529. II. Grondregel. Fig. 224- dk�en moet dezelfl^nbsp;wijze van de telling der afflanden van een vast punt in aO�quot;^nbsp;blijven nemen, wanneer de lijn X.T van fland verandert,nbsp;zij zij evenwijdig aan zich zelve bewogen wordt, het zijnbsp;om het vaste punt P, eene omwentelende beweging aannet^^^^'nbsp;�. 530. III. Grondregel. Fig. 225. Omdat een puntnbsp;boven of beneden eene onbepaalde, maar altijd in dezelfde

BSR MEETKUNST.

532. IV. Grondregel. Fig. '2.i6. TVar.neer een kvek^ ��3b vaste en in dezelfde felling blijvende lijn AB, af-S^f'ekend wordt', dan zal men, den hoek ABC als pofitiefnbsp;'^^nnemende, den hoek ABD, welke, in de tegenovergefleldenbsp;^�S-ing, geteld wordt, als negatief moeten aanmerkenen, om-^^keerd.

'Vsnneer men dan, Fig. 223, den hoek AMB als pofitief nsn-*��eiTit5 dan zullen de hoeken, welke, van deuzelfden oodprongil/, *� eene tegengcllelJe rigting, geteld worden, eene negatieve waardenbsp;''erkrijgen, Hetzeiule, wat van de hoek�n gezegd is, geldt ook vannbsp;bogen, welke deze hoeken afmeten.

533- V. Grondregel. De benamingen van pofitief en ^^gatief, geene onderfcheidene foorten van grootheden uitdruk-maar alken flrekkende, om aantewijzen, hoe de groot-^den, die deze benamingen dragen, in de telling en terugtellingnbsp;^fhoutvd worden, moeten deze onderfcheidingen, in dezelfdenbsp;guur, op dezelfde wijze aangenomen worden, en, men zalnbsp;�arm nooit ku'nnen dwalen, wanneer men nagaat, van welkenbsp;kanten of lijnen, de affanden van punten, en, van welke lijn,nbsp;^^nigzn hoek afgerekend wordt; en ten dien einde neemt mennbsp;^^ij algemeen aan: dat de affanden ter regterhand, voor-^�ards en Opwaards, pofitief, en die ter linkerhand, achter-�^�ards en benedenwaards, negatief zijn; dat de hoeken ternbsp;^'ftkerhand, van den oorfprong afterekenen, pofitief, en ternbsp;^gterhand negatief zijn.

� de 227, 228, 229 en 230 figuren, blijkt het: dat, in de eerde ts, de complements hoeken, in het eerd� quadrant, pofitief; maar,nbsp;bet tweede en de volgende quadranten, negatief zijn; dat diezelfdenbsp;Plements hoeken, voor alle negatieve bogen, pofitief zijn; dnt, alnbsp;^��5 de fupplementen der hoeken, welke in het eerde en ttveedenbsp;rant vallen, gelijk ook van alle negatieve hoeken pofitief, en, denbsp;van alle pofitieve hoeken, grooter dan 180�, negatief,nbsp;ho'^i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wanneer men aanneemt, dat de goniometniche lijnen der

2�ll �^b�gen, welke in het eenie quadrant vallen, pofitief zijn; dan Verkr'-tweede en vo'gende quadranten, de teek; nsnbsp;hgen, welke, in ti,. volgende tafel, voor elke van deceive, wordennbsp;Segeven, gelijk, uit de befchouwing der figuren , van zelf blijkt.

BEGINSELEN

Ta?el van de omjlandigheden van het pofitief of negatief zijd der Gonioraetrifche lijnen, zoowel voor de pofuieve ahnbsp;voor de nega ieve hoeken en bogen.

�� 535' Gevolg, Wanneer m�n de teekens der goniometrirchs nen, voor de pofitieve en negatieve bogen, welke in de bovenftaa�^^nbsp;Tafel voorkomen, voor zoo verre deze lijnen, voor beide wijzennbsp;tellen, in dezelfde quadranteii vallen, met elkander vergelijkt;

DER MEETKUNST.

olijken: dnt, wanneer a eenen zekeren boog betcekent, altiid de ^nSgende vergelijkingen zullen plaats hebben.

Tang. acz: � Tang. (� a) Cot. azz � Cot, (� a')nbsp;Sec. rit =: Sec. (�nbsp;Cosec. a=: � Cosec. (� a')

^^oorts blijkt, uit de befchouwing van dezelfde figuren, als ook uit Voorgaande bepalingen: dat men, voor elke pofitieve of negatievenbsp;^vaarde van rit, zal mogen ftellen:

Omdat nu, voor elke waarde van a, het complement van a gelijk 5o� __ a is, zal men, in plaats van de vergelijking d�t�. Compl. a �nbsp;Cos. a, fchrijven kunnen Sin. (poquot;�a) ~ Cos. a; en, omgekeerd.nbsp;Hetzelfde geldt voor al de vergelijkingen, welke in de eerfle kolomnbsp;Voorkomen.

Eindelijk geeft nog de befchouwing van dezelfde figuren de waar-van de goniomctrifche lijnen van het Cjuadrant, welke inliet eer-gedeelte van de oerfte Tabelle voorkomen,

^ S- 53lt;j. Elke hoek, of boog, heeft maar ��ne Sinas, Coflnus, ''^atigens. Cotangens, Secans of Cofecans: maar tot elk ��nenbsp;^ezer lijnen behoort een onbepaald aantal, zoowel negatievenbsp;pof lieve bogen, welke die lijn., tot Sinus, Cofinus, Tangens, Cotangens, Secans of Cofecans, hebben, en, in reken*nbsp;unfiige reekfen, opklimmen en afdalen.

Betoog. Het eerlle gedeelte der ftelling volgt onmiddelijk uit de Voorgaande bepalingen. Laat, om het tweede te betoogen, yfg'. 231�nbsp;boog CD, wiens Sinus DE is, tot h.'t eerde quadrant behoorenj-^'dion meu dan DD' evenwijdig aan AS trektj dan is (JiXTTIT. .�it.

nj6

I. lt;5.) B�FJ rzz DE: de Sinus van CD is dan gelijk aan de van CDD'. Laat nu het punt D onophoudelijk door D, Z, Cinbsp;enz. omwentelen; dan zal, na elke 360�, welke het punt D is doorgelopen^, hetzelve wederom in de punten D en D' terugkomen,nbsp;de lijnen DE en D'E', zuilen de Sintisfen van 360*� CD, 360�-]'nbsp;CDD', 2 X 3()o'gt; CD, 2 X 360quot; CDD^ n x 360� CD, n %nbsp;300'� CDD' zijn. Neemt men den boog CDD'SDquot;, in het derd.onbsp;quadrant, dan is zijne Sinus D''Equot; negatief, en trekt men nu Dquot;D�'nbsp;evenwijdig aan AS-, dan is D'quot;E'quot;~Dquot;Equot;, en de boog CDD'D^'nbsp;heeft met den boog CDD'Dquot;Dquot;', dezelfde negatieve Sinus, Dquot;Equot;inbsp;de lijnen, Dquot;E�' en D'quot;E''', zullen dan de Sinusfen der bogen X **nbsp;360'� CDD'Dquot; en n X 360'� CDD'Dquot;D'quot; zijn. Hieruit blijWnbsp;derhalve: dat de pofitieve hogen , welke tot eenige pofitieve of negatieve Sinus behooren, twee onderfcheidene rekenkundige reekfennbsp;maken, welker eerfie termen de bogen CD en CDD', oi CDD'Dquot;nbsp;en CDD'Dquot;D'quot;, zijn, en welker verfchil 3600 jj. Neemt men denbsp;bogen negatief, dat is, telt men dezelve, van C door D'quot;, Dquot;, D^nbsp;D; dan zullen de negatieve bogen, tot de pofitieve Sinusfen behoo-fendc, zijn �CD'quot;Dquot;D' en �CD'''Dquot;D'D; en algemeen, ��nbsp;X 2.6o� � CDquot;'D''D', en ~n x z6oquot;� CD'quot;Dquot;D'D, en de negatieve bogen, tot de negatieve Sinusfen behoorende, � CD'quot; ennbsp;� CD'quot; D'' of �n X 300'� � CD'quot; en ��X 360��CDquot;'D''inbsp;welke dus insgelijks twee rekenkundige reekfen uitmaken, fllen behoeft flechts, voor de Cofinusfen, Tangenten, Secanten, Cotangentennbsp;en Cofecanten, afzonderlijke figuren te ontwerpen, om zich ook�nbsp;ten aanzien van deze lijnen, van de waarheid van het gefielde volkomen te overtuigen,

�� 537- Gevoi.g. Uit het betoogde, zal men, nemende dat n eC'� geheel getal, a kleiner dan po� en TirtiSo� is, gemakkelijk de volgende vergelijkingen kunnen opmaken.

Sin. ((2 � l)n� �a)~ Sin, (2 n t lt;?} ~ Sin.a Cos. (jznx � a)~ Cos, (2 ?2 tr �) � Cos. anbsp;vergelijkingen, welke dienen, om de Sinusfen en de Cofinusfennbsp;'bogen, welke grooter dan 90� zijn, in de gewone Tafels te zoeke''*

�. 538. De Goniometrifcha lijnen, welke tot denzelfden hooi behooren, hebben ds volgende eigenfehappen. 1� De fomnbsp;de nerkanten der Sinus en Cojinus is gelijk aan het vlerkotd

^an de ftraal en de Cotangens. 4'' Cofinus ftaat tot Sinus., in dezelfde reden, als de ftraal tot de Tangens,nbsp;dde Sinus (laat tot de Cofinus, in dezelfde reden, �/j denbsp;'^al tot de Cotangens. 6quot; De ftraal is midden-evenredignbsp;^^tfchen de Tangens en de Cotangens. 7� ftftj it ook midden-^'renredig tiisfchen de Cofinus en de Secans, ddn ook mid-evenredig tusfchen de Sinus en de Cofecans,

^^etoog van het ceifie. I� ilen regthoekigeii driehoek MED, is Stel!. HL B.j MET fi-ED- � MD- dat is, (wautieer mennbsp;boog CD�a, en de ftraal MD ~i Helt,} Cos'^,a-\-Sin'^.a'ZZ i.nbsp;fip-TooG van ket tweede, In den regthoekigen driehoek MCG, isnbsp;S'^Ei, Steil. lil. B.j MG^-�MC^ CG^; dat is: Sec^.az=:l -hnbsp;��'ig-.a.

In den regthoekigen driehoek MIIR, is

a tati I �}quot;

i^ETooG van het dcra

Steil. IIL B.j MID � MR'- RH- ; dat is: Coscc

Betoog van het vierde. De regthockige drit-hoeken M E D en Afco zijn, als denzelfden fclierpeii hoek /!� hebbende, (/-V//. SteR.nbsp;� B.j ge�jkvormig; daarom is ME: ED � MC:C'G; dat is:

a: Sin. a : Tan,:^. a. nbsp;nbsp;nbsp;*

Betqog iv�2 het vi'fde. De regthoei�.ige driel.'oeken MED en SII zij,,^ dezelfde reden, gciij'.cvoririig; dsaroni is ME: DEnbsp;Mr ; Rif. fipj jj. Sin. a : Cos. a�\: Cet. a.

Bexqog van het z'sde. Wegen� de evenwijdigheid der lijnen HM CG en MR, zijn {IF.Gev. VUL Steil. Ift. B.j de diiehoe-Y Mcg en IIRM geliikv�rntig, en daarom is CG -.MCzczMR:

BEGINSELEN

�. 5.'i,o. Wanneer de Sinusfen en Cojlnusfen van uvee gen, a en b, als bekend aangenomen worden'., dan zal:

Sinus van de fom dezer hogen gelijk zijn aan het product de Sinus van den grootjlen hoog , vermenigvuldigd metnbsp;Cofmus van den kleinjlen, opgeteld hij het product van denbsp;nils van den k�einflen met de Cofinus van den grootflen hoo^jnbsp;2� De Sinus van het verfchJl dezer bogen zal gelijknbsp;aan het eerjie dezer produamp;en, verminderd met bet twed^'nbsp;De Cofinus van de fom der hogen zal gelijk zijn aannbsp;produ�t van de Cofinusfen, verminderd met het produSt van^^nbsp;Sinusfen dezer hogen. 4� En, eindelijk, zal de Cofinusnbsp;het verfchil der hogen gelijk zijn aan het product van de Co'nbsp;finusfen dezer hogen, opgeteld met het product van derzelfdnbsp;Sinusfen. Dat is:

Sin. {a }}) = Sin. nbsp;nbsp;nbsp;a x Cos. h Sin. hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. a

Sin. (a � hj~ Sin. nbsp;nbsp;nbsp;a x Cos. b� Sin bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. a

Cos. {a -k- b')~ Cos. nbsp;nbsp;nbsp;a x Cos. b� Sin. anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� (3^

Cos. {a � bj~ Cos. nbsp;nbsp;nbsp;a x Cos. b Sin. anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

Betoog. Stel de bogen OA�a en AB=.b, en laac genomen worden; dr,n is OB � a.\-b en OC~a�h. Men larenbsp;der de loodlijnen ClI, AD en BG, op de draal Oil/vallen, 'nbsp;ftraal wij, als naar gewoonte, gelijk aan de ci�nheid dellen: voo- ^nbsp;trekke men de koorde BC en de ftraal AM, welke elkander k� ^nbsp;regthoekig fnijden; dan is AD �Sin.a-, MD = Cos.a; BE�E.C'^nbsp;Sin. b; ME = Cos. h; BG = Sin. {af-hj-, CIl� Sin.

BKzzKI en IL~LC: nu is (/. Steil. III. B.j EF �ZzGI; GF�IL�KE; HF�CL; en nu zal volgen, dat:nbsp;Sin. ia bj� BG= KG --B11= EF BKnbsp;Sin. (a � If = CFI= KG � KI = EF� BKnbsp;Cos. {a /,) = MG � BI F� FG = BI F� EKnbsp;Cos. (.v �� ) � MH = MF Jr F11 = BI F � �nbsp;is. Nu zijn de regthoekige drieho.�kcn BI DA en BI FE, omdat

MA: ME � AD : EF-, nbsp;nbsp;nbsp;ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: Co:, b =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. a-,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;EF

Ma : ME = MD: MF; nbsp;nbsp;nbsp;ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i: Cos. b ==nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. a:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;MF

^ietisvolgens is EF� Sin, a x Cos, b, en MF~ Cos. a x Cos, b, We-zijn {JF. Gev. Fill. Steil, IF', B.') de driehoeken MA D en gelijkvorniig, en geven de evenredigheden:

MA-.BEz= AD: EK, nbsp;nbsp;nbsp;ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i: Sin, b =1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. a :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;EK

MA :BE � MD : BK, nbsp;nbsp;nbsp;of'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: Sin. b �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.a-.BK

men zal derhalve hebben EK�Sin. a x Sin, h en BK�Sin.b ^ Cos. a. Stelt men nu deze waarden van EF, MF, EK en BK,nbsp;^ de bovengaande vergelijkingen (t//), dan verkrijgt men:

Sin. Qa b') � Sin. a nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b Sin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. a

Sin. Qa�b} � Sin. a nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b � Sin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. a

Cos. (^a-{-b')� Cos. a nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b � Sh.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. b

Cos. {a�b')� Cos. a nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b Sin',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. b

541. I. Aakmerkikg. Deze vergelijkingen gelden voor alle ho-a, b, het zij pofitieve, het zij negatieve, en niet flechts voor ^'ogen, welke (gelijk in de figuur plaats heeft,} in het eerfte quadrantnbsp;''�'Hen. Zij zijn de grondflagen van al de eigenfchappen der goniomc-trifche lijnen, welke in de volgende ftellingen zullen betoogd worden.

�� 542* II- Aanmerking. De drie laatjle vergelijkingen kumien, door eene ligte fubftitutie, uit de eerfte worden afgeleid, stellen wijnbsp;in de eerfte vergelijking, b � �p', dan is, Cos.b � Cos.(^�p')nbsp;Sinlb � �Sin.p; wij verkrijgen dan, Sin.(a�p)z=. Sin. a xnbsp;Cos.p � Sin.p X Cos.a. Men kan, in plaats van Cos.Qa b'),nbsp;felirijven: �'/�. (90��a�b') of Sin. QQtjo� � a')�b)-, maar nu is,nbsp;''ulgens de tweede vergelijking,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;((90��a)�b')�Si!i.(^^o'^�a')

^ Cos. b � Cos. (90� � ir) X Sin, b, of (omdat Sin. (90� � F) � Cos.a, en Cos. (90quot;�a) � Sin,a is,} Cos.a X Cos.b�Sin. a xnbsp;^in.b � Cos.(_a-\-b'),nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3� Stelt men in deze laatfte b'=.�p, dan

�� 543. I. Gevolg. Men kan, uit de betoogde vergelijkit^en, gemakkelijk de Sinus en Cofinus van de fom van diie en meer bogen vinden, wanneer derzelver Sinusfen en Cofinusfen, als bekend, aangenomen Worden. Want volgens de vergelijking (1}, is Sin.(a-\-b'\-c)nbsp;= Sin. {a-\-b') X Cos.c Sm.c x Cos.(a-\-b'), en, wanneer mennbsp;in deze, voor Sin,(^a h') en Cos.{a b'), hare waarden ftek; (zie.nbsp;(i} en (3} Fcrg.') dan verkrijgt men:

beginselen

f Cos.(a-\-b') X Sin. c Si�,(a,^b-\-c') � 1 Cos. (a-\-c') x Sin, h 1nbsp;Cos. (Z'-j-i:) X Sin. a Jnbsp;kan verande�-d worden.

Men zal, uit de vergelijking. Cos. (^a b o') � Cos. (� b') ^ Cos.c � Sin.(_a b') x Sm.c, met behulp van de (i) en (3) vef'nbsp;gelijkingen, verkrijgen:

r Cos.a X Sin.b X quot;J Cos.(ji-\-b-^c') ~ Cos.a X Cos.b X Cos.c�Cos.b x Sin.a X Sin.c /

V Cos.c X Sin.a X Sin.b J �welke, met behulp van de (3) vergelijking, onder de volgende gedaante kan gebragt worden;

� 90'�; dan is Sin. (� � -f t) zz i; voorts is Cos. �(� -j- i) Cos. (90��O �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- O �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(9��^

Cos.{bc')~Cos.(^^o'^ � a) � Sin,a; wij hebben dan, (^alle dez2 waarden in de vergelijking (5) overbrengende, na de behoorlijke ver-fchikking der termen,) voor drie bogen, welker fom aan ��nen regte�nbsp;hoek gelijk is, de vergelijking:

�� 545- Gevolg- Stelt men, in vergelijking (6), eerst -j-c~i8oV, en daarna �-j-^^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� jjau js; jv voor di'i2

bogen, a, b en c, welker lom 180�'is, C�s. (tf-l-^)zzCm.(180'��r) zz Cos. fijppl. c~ � Cos. c. Om dezelfde reden is Cos. (� c) z�nbsp;� Ces. b en Cos. c} zz � Cm. a. Stelt men nu deze waardennbsp;in de vergelijking (6), en houdt men onder het oog, dat .... *nbsp;Cos. -j- ^ O � Cos. 180*^ zz: �^ I is; dan vindt men :

I�Cos^.a�Cos^.b�Cos^.c�2Cos.a x Cos.b x C�M.ezzo . . (8} en, 2� voor drie bogen, a, b en c, welker fom 360� bedraagt, iJgt;nbsp;Cos. C� -}- rz Cos. (s�o� � c) zz Cos. 360� X Cm. c Sin. 360� ^nbsp;Sin. c=: Cos.c j terwijl, om dpzelfde redeu, Cos. (a-^c-c'):::^ Cos.b e�

Cos.(^a l/-\-c)=.Cos.26o'�~i is� dan verandert de vergelijking (6) in de volgende:

i-Cos�^.a � Cos^.^�Cos^-c aCos.a X Cos.lgt; x Cas.c=o . . (9) �. 546. IV. Gevolg, Wanneer men, in de vergelijking (i), a=lgt;nbsp;dan wordt Sin. (a lgt;)= Sin. 2 a; Sin. b = Sin. a; Cos.b =nbsp;Cos.a- en men heeft derhalve:

Sin.p � ^Sin.ipV-Cos.lp . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(n)

De Sinus van het dubbeld van eenen boog is dan gelijk aan twee-'naal het produSt van de Sinus van dien boog, met desze�fs Cnfinus quot;^ortnenigvuldigd.

�. 547. V. Gevolg. Stellende in de vergelijking (3), insgelijks dan verandert zij in Cos.^a � Cos'^.a � Sin-.a. Stelt mennbsp;in deze vergelijking, voor Cos^.� derzelver waarde, i�Sin^.a,nbsp;voor Sin^.a derzelver waarde i � Cos^.a; dan hebben wij:

Cos. 2 a~ 1 � 2 Sin^. a zsz 2 Cos^. a � i 'daaruit, na verfchikking der termen, volgt:'

i^Ien kan, door deze vergelijkingen, de Sinus en de Cofinus van de ^'s'ift van eenen boog vinden, wanneer de Cofmus van dien boog be-is; want men verkrijgt: Sin.\p�Y\.\ � \Cos,p'\, en Cos.�pnbsp;^^yU iCos.p-].

�� 548. Bijvoegsel. Men kan nog twee fraaije vergelijkingen vin-*^^0, waardoor de Sinus en de Cofinus van de helft van eenen boog, �*^Cenlijk, met behulp van de Sinus van dien boog, kunnen gevosidennbsp;'^��vden. Wanneer men , namelijk, de uitdrukking: Sin. a -j- Qos. 4nbsp;^ot de tweede magt verheft; dan is; (^Sin.a -{- Cos.a'y-

a -Y 2 Sin. a X Cos. a; maar Sin^. e -f- Cos^. 'Z i, en 2 Sin, a ^ Cos. a ~ Sin. 2 a zijnde, is

BEGINSELEN

Cas. �pr~^,Jy'(i -j-Sw.p) ^y(i�Sin.p) . . (i?) In deze vergelijkingen gelden hec bovenfte of het onderfte teekeii�nbsp;n:!tir dat p kleiner of grooter dan een regte hoek is.

IV. Stelling.

�. 549. De Tangens ven de fom van twee bogen is gelijk aan de fom van derzelver Tangenten^ gedeeld door de ��nheid�gt;nbsp;verminderd met het product van de Tangenten van diezetfi^nbsp;bogen; en de Tangens van het verfchil van twee begeii is g^'nbsp;lijk aan het verfchil van derzelver Tangenten, gedeeld door dtnbsp;��nheids opgeteld met het produdt van de Tangenten dezer bO'nbsp;gen. Dat is:

1 Tang. a x Tang. b Betoog van het eerfte. Omdat (//. Stellij de Tangens van eenennbsp;boog gelijk is aan de Sinus, gedeeld door de Cofiims van dien boog)nbsp;?ai men, noemende en ^ de bogen, (///. Stellij hebben:

^ nbsp;nbsp;nbsp;^ j __Sin.{a-\-bj Sin, a X Cos.h.pr Sin.b X Cos.a

Tang. (� i bj � Cosjff jjj nbsp;nbsp;nbsp;c'os.a x Cos.bTTSin.b x Sin. a

deelende nu den teller en den noemer dezer breuk door Cos. a X Cas.^' en fchrijvende, in plaats v.an de Sinus, gedeeld door de Cofinus,nbsp;Tangens; dan zal men de eerfte vergelijking (18)'verkrijgen.

Betoog van het tweede. Men neme, in de betoogde (18) ve'�^ lijkitig, b negatief; dan verandert dezelve (omdat de Tangens vannbsp;negatieven boog negatief is,) in de (19) vergelijking.

�. 550. 1. Gevolg. Stellen wij, in de zoo even betoogde ver^� lijkingen (18) en (19), hoog a �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; dan is (omdat de Tar4^

van 45'�, als makende met de ftraal en de Secans eenen gelijkbeen'�^ regdioekigen driehoek, gelijk aan de Ilraal of de ��nheid is,)nbsp;av=.i; wij hebben dan, in aanmerking nemende, dat 45� ^)^

ER meetkunst.

�. 551. II. Gevolg. Wnmieer men cle tellers en noemers der breu-5i2n, welke in de laatlle vergelijkingen voorkomen, door Ta-ag. b deelt, �� onder het oog houdt: dat i-.Tang. b = Col. b is; dan wordt

Cot, Z� I

� �. 552. III. Gevolg. Stel: men, in de vergelijking (18), a~b-, dan verkrijgt men:

en hieruit volgt, met behulp van de 11. Stelling, wanneer men namelijk de leden dezer laatfte vergelijking omkeert,

�� 553* Wanneer a en h ttvec hogen zijn, a de grootjlc en ^ de kfelnlie; dan zal: i'* het product van de Sinus va': V-;nbsp;grootften boog, vermenigvuldigd met de Cofitius van den hide 12, gelijk zijn aan de hal)a Sinus van de fom, opgetuitnbsp;de halve Sinus van hst wrfchU dezer bogen. 2,'^ Maar, 'H'.Ji�nbsp;neer raen da Sinus van eten kkinjien boog met de Cojinus vannbsp;den grootj�en vermenigvuldigt dan zal het product gelijk zijnnbsp;de halve Sinus van de [om, verminderd met de halve S�-niis van het verfchil dezer bogen. 3� Het product van de Si-^usfen van diezelfde bogen zal gelijk zijn aan de halve Cofi-nus van het verfchil, verminderd met de halve Coflt;nis van denbsp;dezer bogen, 4� Eindelijk zal hei product van de Coji-nusfen van diezelfde hogen gelijk zijn aan de halve Cofnusnbsp;van de font, opgeteld met de halve Cofinus van het verfchil dezer hogen. Bat is:

B E G I N S E I, E N

Betoog. Want, wanneer men de verselijkingon (i) en (2) op' telt, en de vergelijking (2) van (ji) aftrekt, verkrijgt men de (16)nbsp;en (27) vergelijkingen; en de vergelijkingen (28) en (29) ondfacnnbsp;door (3) van (4) aftetrekken, en dezelve bij elkander optctcllen.

�. 554. TFamieer de hoog p grooter is. dan de boog q-, d.'!^ zal: i� de fom van de Sinusfen dezer- hogen gelijk zijn aattnbsp;tweemaal het produSt van de Sinus van da halve fom, rermt�nbsp;nigvuldigd met de Cojimts van het halve verfchil dezer hogen-2^ Het verfchil van de Sinus feu van die bogen zal gelijk zij^nbsp;aan het dubheld produB van de Sinus van het halve verfchdtnbsp;vermenigvuldigd met de Cofinus van de halve fom. 3�^nbsp;fom van de Cofinusfen dezer hogen zal gelijk zijn aan hetnbsp;duhbeld product van de Cofinusfen van de halve fom en vannbsp;het halve verjchil dezer bogen. 4'�� Eindelijk., zal de Cof.u�nbsp;van den kkinfien boog, min de Cofinus van den grootflen,nbsp;gelijk zijn aan tweemaal het produB var: de Sinusfen van denbsp;halve fom van het halve verfchil dezer bogen. Dat is:

Betoog. Men Helle in de vergelijkingen (2�) tot (29); a-fb-rs^P en a � b � q-, dan is z' =: �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 4) en b �=. \ {_p � q') , en de ge

�� 55.3- De fom van de Sinusfen va;? t:veamp; hogen, p en q? flaat tot derzelver verfchil, gelijk de Tangens van de halvinbsp;fom dezer hogen tot de Tangens van derzelver halve verfckd-Dat is:

Tang. f(p �� q) . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. '......(Sl)

. Betoog. Wanneer men de vergelijking (30), door de verge�jk��S (31) deelt; dan verkrijgt men:

Sit?.

Sin. p � Sin. q

''��-��f nu mag (GVi'. 11. .Steil.'), in plaats van de Cotangens van eenen , gefclireven worden, de ��nheid, gedeeld door de Tangens:nbsp;^cn heeft diensvolgens:

Sin.p 4- .��. q _ Tang. Kp ?)

S�^TTs'in. q �� Tang. �P � q) is, in de gewone taal der evenredigheden,

^h.p Sin. q: Sin.p � Sin.q�Tang. � {p-\'q)-. Tang. \

Vni. Stelling.

S- 556. De fom van de Cojtnusfen van twee hogen {laat fot derzelver verfch�l, gelijk de Cotangens van de halve fomnbsp;de Tangens van het halve verfch�l dezer hogen', of, gelijknbsp;Cotangens vast het halve verfch�l der hogen tot de Tangensnbsp;'^an derzelver halve fom. Dat is:

Cos. p Cos. q : Cos. q � Cos. p = Cot. | nbsp;nbsp;nbsp;:

Tang. 1 (/gt; � q) . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.......(35)

Csr. p Cos. q : Cos. q � Cos. p � Cot. � (/gt; � q):

Tanglip q)...........CsO

Betoog. Wanneer men de vergelijking (32), door de vergelijking ^33), deelt; dan verkrijgt men:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

. nbsp;nbsp;nbsp;Cos. p Cos. q_Cos. I (/) q) Cos. I (/gt; � q)

amp;oS nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

�� 557- Wanneer men de fom van de Sinusfen van fffd bogen door de fom en het verfchil van derzeher Coftnusfi�^nbsp;deelt', dan zijn de respeSlieve quoti�nten de Tangens vannbsp;halve fom en de Cotangens van het halve verfchil dezernbsp;gen; en wanneer men het verfchil van de Sinusfen van diezetf'nbsp;de bogen door de fom en het verfchil van derzeher Cofinusfi'^nbsp;deelt; dan zijn de respectieve quoti�nten de Tangens vannbsp;halve verfchil en de Cotangens van de halve fom dezer bcgttf�nbsp;Dat is:

Cos.p Cos. q Sin.p � Sin.qnbsp;Cos. q � Cos.p

Betoog. De waarheid van dit geftelde zal blijken, wanneer tn''� de vergelijking (30), door de vergelijkingen (32) en (33); eonbsp;vergelijking (31), door diezelfde vergelijkingen (32) en (33) deel'?nbsp;en, in de uitkomften dezer deelingen, onder het oog houdt,

558. I. Gevolg. Stelt men, in de vergelijkingen (37) en (3S)' de boog q � o', dan zullen zij, omdat Sir..cp � o en Cas.nbsp;is, in de volgende veranderen;

�. 559. 11. Gevolg. nbsp;nbsp;nbsp;Deeltnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;men de vergelijking 1 = 1, door

_ I Cos. p ___ I , Cos.p Sin.pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin.pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin.p

der meetkunst.

S- 561, IV. Gevolg, Deelende (42) door (41), cn (41} door (42); dan verkrijgt men:

�. 562. De Sinus van de fom van twee togen flaat tot de Pgt;m van derzelver Sinusfen, gelijk de Cofinus van de halve fomnbsp;dezer bogen tot de Cofinus van derzelver halve verfchil: maarnbsp;Sinus van de fom der hogen fiaat tot het verfchil van der-quot;Welver Sinusfen, gelijk de Sinus van de halve fom tot de Si-'atis van het halve verfchil dezer bogen. Dat is:

Betoog. Omdat iUC Gev. Hl. Stell.j Sin. azza Sin. ia X Cos. I a E, zal Sin. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 2 Sin. sip qj X Cos. lip-\-qj zijn; deelen

dan deze vergelijking door Sin.p Sin, qquot; 2 Sin. iCp -h qj X (2ie Ferg. (3�)) dan verkrijgt men:

-^ffip qj _ 2 Sin. � jp qj X Cos, lip qj __ Cos. lip-\-qj Sin.p _j_ q 2 Sin. lip-\-qj X Cos. | ip � qj Cos. | i^p � qjnbsp;5 Wanneer men diezelfde vergelijking, Sin. ip qj ~ 2 Sin. . , .

JftiP qj __ 2 Sin. I ip qjX Cos. i ip qj _ Sin. liP qj Sin.p quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

13EGINSEL�N

XI. nbsp;nbsp;nbsp;S T E L Igt; I N G.

565. De fom van de Tangenten van twee hogen tot het verfchil van diezelfde Tangenten ^ gdijk de Sinus vtiffnbsp;de fom dezer hogen., tot de Sinus van derzelver verfchil. Int�nbsp;gelijks ftaat de fom der Cotangenten van diezelfde hogen totnbsp;derzelver verfchil, gelijk de Sinus van de fom tot de Sintdnbsp;van het verfchil dezer bogen. Dat is:

deck men nu den teller en den noemer der breuk, door het prodni^ Cos. a X Cos. b; dan zal men , onder het oog houdende, dat Sin. p �nbsp;Cos.p� Tang.p is, verkrijgen:

Sin, ja bj _ Tang. a Tang. b Sin. ja � bj Tang. a � Tang. bnbsp;en deelt men den teller en den noemer van diezelfde breuk, d�^fnbsp;Sin. a X Sin.b-, dan zal men verkrijgen:

Sin. nbsp;nbsp;nbsp;janbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� b)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cot. b �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cot. a

welke vergelijkingen van de gefielde evenredigheden niet anders, d^^ in de wijze van uitdrukken, verfchillen.

XII. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling.

ran de vierkanten van de Simisfen dezer hogen ^ en gelijk aan het verfchil van de vierkanten van derzelver Co-fipusfen. Dat is:

^ingt; nbsp;nbsp;nbsp; ^)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X Sin. (a �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h') =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin^- et � Sin'^. b

Sin. nbsp;nbsp;nbsp;\a bjx Sin. ja �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b) �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos'^- b � Cos^. a . (58)

Sin. (� nbsp;nbsp;nbsp; �) = Sin. anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h Sin. b X Cos. a

Sin. {a � bj~ Sin. a nbsp;nbsp;nbsp;x Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h � Sin. b X Cos. a

Sin. (a X vS':f2. {a � bj ~ Sin^. a � Sin^. b ^telt men verder, in deze laatfte, Sin'^.a� i �Cos^.a, en Sin~.hnbsp;� Cos^.b; dan zal men verkrijgen:

�� 567. De eigenfehappen der goniometrifche lijnen, welke wij, in Voorgaande fteUingen, betoogd hebben, zijn, in de platte en fpha:-�ifche Driehoeksmetingen, benevens, in al de deelen der hoogere ennbsp;^�^egepaste Wiskunst, vooral in de Sterre-, Aardrijks en Zeevaartkunde,nbsp;''an het tiiterfte gewigt; maar ook ftrekken velen van dezelve, om denbsp;^�nus-tafel zamenteftellen; dat is, de lengte van elke goniometrifche lijnnbsp;''an eenen gegevenen boog, in deelen van de ftraal, die hier de ��n-'�'��id of modulus is, uittedrukken. Nu hebben wij reeds gezien: dat,nbsp;'''anneer men de Sinus en de Cofinus van eenen gegevenen boog kent,nbsp;T-�angens en Secans, benevens de Cotangens en de Cofecans vannbsp;'aoog,' door gewone berekeningen, kunnen gevonden worden:nbsp;j^iaar wij hebben nog niet aangetoond, hoe de Sinus en Cofmus eensnbsp;van denzelven afhangen, en hoe de lengte van eenen boog,nbsp;^ati een bepaald aantal graden, in deelen van de flraal, kan wordennbsp;'^'igedrukt.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oogmerk nu zal, in de oplosfing van het volgende �

BEGINSELEN

firnal, gegeven is, eene formule of eenen regel te vinden, door men de Sinus en de Cofinus van dien hoog insgelijks,

DxSgt; -f enz., fielt, in welke de co�ffici�nten A, B, C, enz. vo^�-al!e Wanrden v:in x, dezelfde blijven; dan voldoet deze aangenoine�� uitdrukking aan d� omftandigheid, bij welke de Sinus van eei�^�nbsp;boog het tegen^eftelde teekeu, vetkrijgt, wanneer de boog nega^*^nbsp;genomen wordt. Wij hebben dan:

Sin. x~x-{- Ax^ Bxs Cx^ Dx'gt; ^r.z. derhalve ook, omdat deze uitdrukking voor aile waarden van x a!�^'nbsp;meen moet zijn.

Sin. y ~y ^y^ By^ -f- Gy's -f- Dy^ ^nz. en, wanneer men deze laatfte van de eetfte vergelijking aftrekt.

Sin. X � 3/.7. y =: (x�y) nbsp;nbsp;nbsp;^. (^^3 �yS )nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� Jquot;*)

Cos.l(x-\-yj en iSin.\(x�yj~ Koorde (x�y); derhalve zal Koorde (x~yj X Cos. 3 (x j)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(x�j) A �fj � '

B (x^�yO C(xi�y7j enz� zijn. Deelende nu beide leden dezer vergelijking door x�nbsp;zal men verkrijgen:

Stelt men nu, in deze vergelijking, x~y; dan is de Koorde (x� tot den l-ao�- (x�y) gelijk ��n tot ��n, en Cos. ^ (x-j-y) � CoS�-'^�

Cos. xzzi f- 3 Bx^ ^ Bx^ 7Cx� -i- pD 11 Ex^�

moeten zijn; trekt nreii nu deze laatfte van de voorgaande verg�d king af; dan zal men verkrijgen:

Maar nu is (K/. Steil.') jPos. x � Cos.y �2 Sin. l(y � x) X � * ' � Sin. Ifx y) �Koorde (y � x) x Sin. -] Qx -|- y): men mag _nbsp;ve, na alles door y � x gedeeld te hebben, daarbij onder het oog

DER MEETKUNST.

^'�nde, dat nbsp;nbsp;nbsp;�y'^, gedeeld door y�x, gelijk is aannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ge-

'S��. xtn: � 2 X S ^ X � 4 X s B x'^ � 6 % 2 C 8x qDx^ � 10 X 11 Ex^ � 12 X 13F.�^^ �enz.

Deze gevondene uitdrukking moet nu met de aangenoniene Sin. x � x-^-Axquot;^ B -{- C x'^ D E x^ ��nbsp;'�olkomen identiek, dat is dezelfde zijn; men heeft bijgevolg de ver-�'��ilkingen:

I.2.3.4.5-6

Deze reekfen loopen zonder einde voort, en zijn ten Latfte altijd 'convergent;'doch men zal door dezelve de Sinus en de Cofinus vannbsp;�onen boog zooveel te - fpoediger vinden, naarmate die boog door eennbsp;kleiner gebroken wordt uitgedrukc. Men zie onze Handleid. tot denbsp;^efch. cn Werkd. Meetk. I. Deel, �. 1066, en H- Eiirf. LXI. Les,nbsp;i 615. cn verv.

�� 3^9' nbsp;nbsp;nbsp;jjQt is^ /7. C. �. dip, pttg. odd, bewezen,

wanneer e het getal verbeeldt, wiens Nepcrjaanfche of zooge-�aamde Hyperbolifche Logarithraus de ��nheid is, Sinus en de ofmus van eenen boog, door de volgende vergelijkingen, zullen n'or-

uitgedrukt:

aia nbsp;nbsp;nbsp;?gt; E G I N S E I. E N

at � nbsp;nbsp;nbsp;� X Nep. Log. ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;--��--l . . . Co2gt;

v;nnneer men dan, in deze lantfie, u~Ta!}g.xJ/�i'ftelt; dan z-* racn verkrijgen:

x~Tang.x�l.Tciigquot;.x I .Tang'^-.x�yTang'^, x enz, (63) door welke reeks de waarde van ecneii cirkelboog, in deeien van d?nbsp;ftraal, zrd gevonden worden, wnmiscr de Tangens van dien boog,nbsp;��nheden van diezelfde deeien, gegeven is. Men kan dit ailes opnbsp;aangcliaalde plaatfen omfiandiger nagaan: ook is IL C., �. 623, zaO'nbsp;getoond: ddt het getal z, (JV. B. �.438, pag. 158, reeds opgeg^'nbsp;ven,) dat is de betrekking van de middellijn tot den omtrek cens cit'nbsp;tels, met behulp van �cne der twee volgende vergelijkingen:

I � Are. 45� :�: 4 Are. Tang. | � 'Are. Tang, ,1^ s'* Arc. 45� ~ 8 Arc. Tang. j-J � 4 Are. Tang. � Are. Tang. -iAnbsp;door eene zeer ligte berekening, zal kunnen gevonden worden.

vallen; dan moet de boog van po�, in deeien van de draal, worJ^� uitgedrukt; wanneer nu de (lraal=; 1 genomen wordt; drai is- 90�

rekening, zeer gefchikte nitdrukkiagen, voor de Sinus en CofmuSr vaU eeiiei] boog verkrijgen.

�. 571. De termen dezer recl;fcn zijn flechts tot zoo verre berekend, als noodig is, om de Sinus en Cofinus van eenen gegevenen ^oog, tot in het vijftiende cijfei; der tiendeeiige breuk, met juistheid,nbsp;bepalen, en daar de gonioMetrifche lijnen, in de gewone Tafe-flechts, tot in bet zevende cijfer, benaderd zijn, zijn de berekende termen, tot de conftruftie dezer tafels, meer dan voldoende.nbsp;^Vanneer men rm de Sinus en de Cofinus van eenen boog, kleinernbsp;dan 90'*, door de gevondene vergelijkingen, bepalen zal, mardtr mennbsp;gelijk aan eene breuk, welke de graden v.an den gegevenen boognbsp;tot teller en 9o�-' tot noemer heeft, en de waarde der termen wordennbsp;tl-n door de gewone multipiicatie gevonden. Tot de berekening vannbsp;de Sinus en de Cofinus van 90�, worden al de termen der gevondenenbsp;'�ergeiijkingen vereischt; want, in dit geval'is

t-'t'*' =2 etiz.: deze berekening opmakende, zal, ten proeve van de ttasuwkeurighcid der gevondene vergelijkingen,^ Sin. ^o�� i, cnnbsp;Cos. pqo _ Q 'bevonden worden. Om de Sinus en de Cofinus van 45quot;nbsp;t2 vinden, moet m ~ gefield worden, en dan zal men vinden;

d/V.), 45� � Cm, 45 = o, 70710 67811 865475 eene uitkomst, vt-elke men (rot eene tweede proef van de juistheidnbsp;tier gevondene vergelijkingen,) door 45''� Cw. 45 � inbsp;dat is, door de vierkants-wgrteltrekking uit ritvt-, vinden zal,

�� 572. De berekening zal zooveel te Ijjoediger afloopen, als de kteulf �; kleiner is. Om aizoo de Sinus van 9� te vinden, zrd

BEG

De eerjle term ~ De fweede term z:i �

De derde term ^ quot;]-

De vierde term ZZ. �

De vijfde term ZZ.

I	N S	; E	L E	N
0�	13707	96326	794^-9	66
	64	59640	97506	25 '
0.	13643	366S3	81983	41
		7969	z6i6i	46
0,	15643	44655	C8245	87
		4	68175	41
0,	I5�43	44650	40070	46
			160	44
0,	15643	44650	40Q30	90

aftrekken

Uit deze berekening blijkt, dat tot het berekenen van de Sinus van 9quot; fleclits vijf termen van de ree!c.s vereisclit worden, en dit geta'nbsp;zal n�g minder zijn, wanneer men de Sinus en Cofinus van den boognbsp;van I� wil berekenen. De volgende Sinusfen en Cofinusfen zijn doornbsp;dezelfde vergelijkingen gevonden:

Sin. 9� = C�s. 81� =: o, 15643 44650 40231 Sin. IS'* = Co5.72� zi c, 30901 :Sp943 74947nbsp;i'2�. 27�zzC�s.63quot; = o, 45399 04997 39547nbsp;A'n. 36� = Cot. 54��=:o, 58778 52522 92473nbsp;6'/�. 45� =2 C�s, 45� = o, 70710 67811nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;86548

en men zal de Sinusfen en Cofinusfen van alle andere bogen op de* zelfde wijze vinden kunnen.

�. 573. De Sinus en Cojinus van eenen boog bekend zijtuin �� de Sinusfen en. Cofinusfen van rdle volgende bogen te vinden enbsp;welke met een gelijk verfchif hij voorbeeld, van ��nen graadtnbsp;of ��ne minuut, opklimmen.

Cos. (ji b')� 1 Cos. a X Cos. h � Cos. (j� � en, omdat, wanneer men bij eene grootheid eene grootheid optdr�nbsp;en naderhand diezelfde grootheid �er van. aftrekt, de waarde dezelf*-*�

� .1^ R M E E T K � N S T.

{a-\-b')~'i.Sin.a-\-�iSin.a X Cos.h�iSin.a�Sin.{a�V) ^��gt;^-{a-\-b')-=.iCos.a -\-iCos.a X Cos.b ��xCoi.a�Cos.(_a�5)nbsp;is, zie F. Gev, ///. Steil. Verg. (14) i � Cos. b'ZZ�i Sin-. � b;nbsp;''^*i hebben derhalve:,

�� 2 Sin. � 2 Sin. a x Cos. b � � 4 Sin^. � b x Sin. a �� 2 Cos. � 2 Cos. a X Cos. b~ � 4 Sin'^. i b x Cos, anbsp;de twee laatst gevondene vergelijkingen veranderen iii de tweenbsp;'�^'geilde;

^�^.{a-\-b') � 'iSin.a�Sin.(a � b')�3^Sin^,\h % Sin.a . . (�4) ^os.l^a-\-b')~'3.Cos.a � Cos.Qa�b')�^.Sin^.lb X Cos.a . . Q6s')nbsp;Stellen wij nu ^=1�; dan isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en de twee algemeene

i'^^�2Sin.a�Sin.(a� I�)�45iH�.3o' x Sin.a (66) Cm. (� I � 2 Cos. a � Cos. (� � i �) � 4 Sin^. 30' X Cos. a (67)nbsp;^^�'gelijkingen, waardoor men de Sinnsfen en Cofinusfeii, van graadnbsp;graad, vinden zal. Stelt men b~V% dan zal men de vergelijknbsp;^^gen vinden, waardoor de Sisnisfcn en Cofmusfen, van minuut totnbsp;^^^uut, zullen bekend worden, enz.

�� 574. I. Aanmerking. Wanneer men, in de vergelijkingen (26) (ali), (^V. Steil') �=30� ftelt; dan zuilen zij, aangezien Sin,nbsp;i is, in de volgende veranderen:

^ d:elt men, in de vergelijkingen (27) en (29), � = 6o�; dan ver-men, omdat Cos. 60� � Sin. 30� � | is,

3o� berekend heeft, zal mess, door (68) en (6p), de Sinusfen ^ Cofmusfen der bogen, van 30� tot 60�, en door (70) en (71),nbsp;^ ^�nusfen en Cofinusfen der bogen,' van 60� tot 90�, door eenvou-optellen of aftrekken, vinden kunnen.

575. II. Aanmerking. Volgens het V. Gev. V. Steil. VLB., j. vierkant van de zijde des regelmatigen vijfhoeks gelijk aan denbsp;van de vierkanten van de zijden van den regelmatigen zeshoek 'nbsp;tienhoek, niet den vijfhoek, in denzelfden cirkel ftaande; dat is:

36� = 4b�!!. 18� 4 6y�a.30� � 45/�^. i8�H- i; maar nu ^ i Sin-,a z=.2 �-s. Cos. 2 a, (zie Verg. (12)), en daarom zal 2 � 'nbsp;72� � 2 � 2 Cos. 36 -{- I moeten zijn; dat is (omdat Cos. 72quot;

� Sin.�o'^ en Cm. 36'�r:: .S'�. 54^ is,) 54*^ � .S�;�. 18'�

Laat lui, in de vergc.lijkintr Sin. (lt;� ^) nbsp;nbsp;nbsp;('* � b')� 2 Sin- ^

X Cos.b, eerst ��18quot;, daarna �:�J4'' gefield worden; dan is: ,e/�.(i8P_f.'^j-|.4Vw.(i8� �^) = 2.S�;�.i8� x Cos.bnbsp;Sin. lt;^54'� 6; Sin. (^54� � b')~i Sin. 54�� X Co;, bnbsp;Wanneer men nu de eerfte dezer vergclijlangen van de tweede aftrefe'-'nbsp;za] men, omdat 2 Cos. h x (amp;�. 54� � Sin. iamp;�) = Cos. b, en Cos- ^nbsp;Sin. (90quot; � b') is, verkrijgen:

Sin. (90quot; � h') 4- nbsp;nbsp;nbsp;�\-b') -i-d;'�. (18� � b') � Sin.{Si\�-k'^�'^

Sin. C54* � b')............C7�^

door welke vergelijking de berekende Sinm-Tafel kan beproefd wordef' S. 57�. II [. AanmeiIKikc. SVanneer de Siinisfen en de Cofinusfr*�nbsp;van de bogen des quadrants berekend zijn, kan men de oyerigenbsp;niometrifche lijnen, welke tot deze bogen behooren, door de //. L/*'nbsp;lirg vinden. De volgende vergelijkingen maken nogtans die bcrek*^'

iiing' gemakkelijker.

� i Tang. a: Hellen wij in dezelve wij, na behoorlijke lierLiding,

2 Tang. (30'� 2 ^) = Cot. (30^^ � bj � Tang. (30quot; -~-bj .. (jquot;k)

2� Trekt men de (21) van de (22} vergelijking af, dan zal met behulp van de (25), vinden:

Tang. (45V 4- 1^) = 2 Tang. 2 h 4- Tang. (45� � /z) . � .

Door de eerfte, zal men de Tangenten van alle bugcn, boven de 3� � en door de tweede, de Tangenten der bogen, boven de 45�,nbsp;eenvoudig aftrekken en optellen, vinden.

3� Ide Secanten en Cofecanton zullen, wanneer de Tangonteu Cotsngenten berekend zijn, door de vergelijkitgeii:

Sec. b � Cot. (45� � J bj � 'Tang. b ... . (7^^

Cosec. b � Cot. Ib � Cot. b.......

door optellen en aftrekken, gevonden worden.

en de Tsfel, in welke de Logavithtnen der goniometrifche lij-gt;ien ver��iiigd zijn, noemt men de Logarithams-Sinus-Tafcl, oniLrent ''�eiker zp-niciiftelling het volgende' een beknopt denkbeeld zal geven.

Squot; 578. Omdat, wanneer men de ftrard gelijk c'en fielt, alle Siniis-en Coliiiusfen, benevens de Tangenten, in de eerfle helft van het 'l�adrant, en bijgevolg de Cotangenten, in de tweede helft van het-2clve, breuken en derzelver Logaritliraen om die reden negatief zijn,nbsp;*k^'geen de min ge'oefenden, welke da tafelen deigelijks gebruikennbsp;ii'oeten, zou kunnen in de war brengen, heeft men, in de zamenl�e!-der I'ogarithmus-Sinus-Tafel, de ftrap.l gelijk nan de tiende inagtnbsp;''an tien io^� 10000000000 gcfteld; wanneer men nu ook allenbsp;de goniometrifche lijnen, in de gewone Sinus-tafel voorkomende, metnbsp;dit getal of io^� vermenigvuldigt, zal men eene Sinus-tafel verkrijgen,nbsp;'''elke flechts op een grocter modulus berekend is, en nogtans dezelfdenbsp;dienften als de eerlle zal bewijzen. Noemen wij dan de fliaal van denbsp;Sinus'tafel r; dan zijn 11. Stelling

r X Cos. a _

Cos. a

859, /. C., en omdat Log.r'.

I o -1- Log. Sin. a �

Log. Cot. a�io-\- Log. Cos. a �

Log. Cot. azz.10 � Log. Tang. a Log. Sec. a �0.0 � Log. Cos. anbsp;I.og. Cosec. a � 20 � Log. Sin. anbsp;S. 57p. Het komt �er dan nu aileeu maar op aan, om de Loga-btiimeB van de Sinusfen, en.de Cofinusfen der bogen te vinden. Wijnbsp;^�ullen ons thans vergenoegen, met de uitkomften, die wij elders (jH- C*nbsp;747.) opgegeven hebben, alhier overtenemen. Indien namelijk Mnbsp;ds modulus van de gewone Briggiaanfche Logarithmen beteekent,nbsp;quot;quot;ffielijk:

M~o, 43429 44819 03251 nbsp;nbsp;nbsp;82765

dan zal, indien de Logarithmen der Sinusfen en Cofinusfen met tien Verhoogd worden,

, nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz, /........(83)

II. 13. 16.49. 125.729 nbsp;nbsp;nbsp;*

zijn; door Welke, reekfen (welke naar aanleiding van 11. C. �. 846) zonder moeite verder kunnen voortgezet worden,) de Logarithmeiinbsp;der Sinusfeii en Colinuden v.an bogen, van oquot; tot 45�, zeer gerntk-kelijk kunnen berekend worden. Doch, om deze reekfen te kunnennbsp;gebruiken, moet de boog x niet in graden, maar in deelen van denbsp;ftraal gegeven zijn; wanneer nu de ftraal i is; dan is een boognbsp;van i8o�=:3,' 14159 =6535 89793 = jt (zie �. 437.). Men zegge dan 180� : X =.sr tot de waarde van x, in deelen van de lir.aalnbsp;uitgedrukt, en welke in het berekenen van Log. Sin. x en Log. Cos. xnbsp;moet gebruikt rvordeu. De t.ifeien, in welke de Briggiaaufehe Logt--riilimen tot twintig cijfers zijn voortgezet, en die bij Cai.let voorkomen, kunnen hier met voordeel gebruiltt worden.

�. 580. De beste Tafelen zijn die van Gallet, welke wij, I. C. �. 884, hebben leeren kennen; behalve deze, komen de Tafelen vannbsp;Boiida, en die van Hobert en Ideler in aanmerking: doch dezenbsp;zijn alleen naar de tiendeelige verdeeling van het quadrant ingerigt�nbsp;verdeeling, welke wij, offehoon beter zijnde, dan de fexagefinialc,nbsp;niet gevolgd zijn, om daardoor eenigzins aan veler vooringenomenheid toetegeveu. Wat nu het gebruik dezer Tafelen aangaat, mennbsp;kan niet beter doen, dan de verklaringen, welke voor dezelve ge

NEGENDE BOEK.

S�i. I. T^gPAr.iNG. JDt Trigonometrie, oi Driehoeksme-^'quot;^5 is dat gedeelte der Meetkunst, hetwelk, door middel der ^�hionietrirclie lijnen' de betrekking van de zijden eens drie-tot deszelfs hoeken leert kennen, om alzoo, wan-, of ��ne zijde en twee hoeken, of twee zijden en ��nennbsp;of de drie zijden eens driehoeks gegeven zijn, de re-ter bepaling van deszelfs andere onbekende zijden ennbsp;��ken, uit deze gekende betrekkingen, te leeren afleiden.nbsp;582. Aanmerking. Men zou de Driehoeksmeting, in eene.rui-l�^ere beteekenis nemen, en tot dezelve alle werkllukken betrekkelijknbsp;'Utinen maken, in welke, door drie, van elkander onafhankelijke,nbsp;S^gevens, een driehoek moet bepaald worden: maar de gegevenc be-omfchrijfc de Driehoeksmeting, in de gewone beteekenisi, .�nnbsp;alle derzelver boofdgevallen, waarvan het geval, in hetwelke rilleen-Ijik de hoeken des driehoeks gegeven zijn, moet uitgezonderd wor-omdat, wegens de llandvastige fom van de hoeken eens! drie-eks, oen oneindig aantal van gelijkvormige driehoeken aan dr ie ge-*��'�2ne hoeken voldoet.

S- 583. II. Bepaling, B/g. 233, In de befchouwini; van regtiiQoiiigen driehoek, ABC, in welken de regte boeknbsp;van zei yen bekend is, noemt men d�ne der regthoel iszij-j AB, de bafis; j5C de opflaande regthoekszijde, A Cnbsp;B'potheiiufa, en den hoek A den hoek aan de bafis.

220 beginselen

regthoekszijde gelijk aan de hajls^ vermenigvuldigd met ^ Tangens van den hoek aan de bafis; en de hypothenufa isnbsp;lijk aan de hajis, vermenigvuldigd met de Secans vannbsp;hoek aan de bafis. Dat is:

1quot; BC=ABx Tang. A. 2'gt; AC�ABx Sec. A.

Betoog. Laat BD, als de d�nheid van de lengte maat, aangegt;'�� men, en uit A, met /JD, als flraal, den cirkelboog DE befchreV^�nbsp;worden; dan is deze de'maat van den hoek A: men trekke denbsp;DF loodregt op AB; dan zal (zie VIll en IX. Bep. VUL B.j Bnbsp;=zTai!g. A en AF � Sec. A zijn. Nu zijn de regthoekige driehe^nbsp;ken ABC en AD F, welke deuzelfden hoek A gemeen hebbt;'*�nbsp;(/. Cev. Vin. Steil. IV. B.') gelijkvormig, en daarom is:

I -.Tang. Az=. AB:BC\

�. 585. Gevolg. Fig. 233. Omdat (II. Steil. VIII. B.j Sec.s^ ~ I :Cos.A is, kan men, in plaats van de vergelijking ACztrsd^^nbsp;xScc.Ai fchrijven: AC= AB: Cos. A. Dat is: de hypotheuufiinbsp;gelijk aan de bafis gedeeld door de Cofinus van den hoek aan de b-fr'nbsp;�. 586. I. Aanmerking. Fig- 233- Men zal, volgens het bcioofinbsp;de, in den regthoekigen driehoek ABC, ftellen kunnen: ABi^Bnbsp;X Fvtg. C en AC�BCx Sec'. C-J=:BC: Cos. C. ,

�. 587. II. Aanmerking. Fig. 233- Omdat de hoek C het cof� plement van den hoek A is, zal Tang. A�Cot,C; Cot. A�Tang-^'nbsp;Scc. A�Cosec. C'en Cosec. A � Sec. C zijn, en men zal daarom

,in jolaats j ACzzAB x Scc.A I Hellen | AC � AB x Cosec.B\ van j AB � BC xTang.c} kunnen quot;l/yA�=;�Cx Cot.d\

' nbsp;nbsp;nbsp;�7iC X .sgt;/- r)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' /}C�

fj. 588. In'eiken regthoekigen driehoek, is de bafis aa n de hypothenufa, vertnenigvuldigd met de Cojlnus van

meetkunst.

1� ABz=iACxCos.A en 2'� BC = ^ c xSin. A. �e,toog. Lnat AD, als de ��nheid van de lengte maat, aangeno-en uit A, met AD, ais ftraal, den cirkelboog DE befchrevertnbsp;quot;gorden; dan is DE de maat van den hoek A,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wanneer men nu,

B.') DF~Sin,A, AF~Cos. A, en de rcgthoekige drie-^'^ckcn, welke den hoek A gemeen hebben, en daarom {.l-Gev, f^uE ijE gelijkvormig zijn, geven de evenredigheden:nbsp;(AD:AF=AC:AB}nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c i : Cos. A = AC: AB j

'''aariiit QF. Steil. IV. B.') volgt: i�. AB � AC x Cos.A; en 2'\ BC ^ AC y. Sin. A.

�. 5S9. Aan.meuking. Fig. 235. De vier vergelijkingen, welke in' twee voorgaande Hellingen betoogd zijn-, 1� a�cY. Tang. Anbsp;bunnen als de gronden der Driehoeksmetingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b � cy.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sec. A

''^'Scn drukken de zijden der driehoeken en nbsp;nbsp;nbsp;0,'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a� b ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. A

hen hoek door de hoofdletter, en de overftaande zijde door de kleine '�tter uit: wij zullen dit voortaan volgen: de vier betoogde vergelij-h'ngen worden dan, als in het nevenftaande tafeltje, gefchreven.

Toepasjing der gelegde gronden op de opJosJlng van de lt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gevallen der Regthoekige Driehoeken,

�. 590. In de regtlioekige driehoeken, wordt de regte hoek ftilzvvijgend als een gegeven aangetnerkt, en dan kunnen be-halve denzelven gegeven zijn:

S* 59^* I. Vraagstuk, voor het eerste geval. Fig. '3S- hene regthoekszijde met ��nen der fcherpe hoeken gege-�'�'en zijnde, de andere regthoekszijde, benevens de hypothenufa,nbsp;vinden?

C�510� � Ai 'iS, a quot;zz c % Tang. A �, 3 Of, dnar men in Loga.rithmen werkt.

I. Voorbeeld. �ij gegeven hoek 63� 28''17'''', 3 en AB c� 173��, 74: men vraagt, hoek C, Be regthoekszijde BCzza, ennbsp;hjjpothenufe AC�b te vinden?

Berekening, i�. hoek C�po� � A�ejd^ � 63�28''i7'^3 26� 3i''42'^,7

II. Voorbeeld. Fig. 23�. Om de hoogte van eenen Toren CFgt; boven den grond CdB, die men onderftelt waterpas gelegen te zijt*gt;nbsp;te ineten, is men, van het muurwerk, uit het punt A, achterwaard^nbsp;gegaan, tot in B, op eenen af ft and van 117 meters, en men heefOnbsp;op eenen voet B D, die de hoogte van i ^, 5 heeft, eenen graphomd^^nbsp;gefield, met welken men den hoek EDF gemeten en bevonden hetflnbsp;gelijk te zijn aan 43� 17^30''', \_de lijn DE '.nordt onderfteld ever'nbsp;wijdig. aan AB te zijnj] indien nu de lijn CA~^ meters is, vraoftinbsp;men de hoogte van den Toren CF te vinden?

Berekening. Omdat de toren ftilzwijgend onderfteld wordt, loo^' regt op den grond te ftaan, is de hoek C, en dns ook de hoek ^nbsp;regt, en men heeft EF~DE x Tang.D-, nu is DE � BCzt^tiddnbsp; .iC = 117 5 = 122 meters: in Logavkhmen is dan Log.F.FlF�nbsp;Log. DE-\- Log. Tang. D: derhalve

Log. DE � Log. 122 � 2, 0863593 Log. Tang. D � Log. Tang. 43� ij'20quot; �cj, 9740868

Log. DE � 2,060446� derhalve DE�i 14��,9335nbsp;tel bij CE� DD� i'�',5

DER MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;*223

Ki. Voorbeeld. Fig. 237. Wetende, ctat de voorn'erpen A en B *enen affland van 623 meten hebben ^ wanneer men zich dan, vannbsp;^et Voorwerp B, in eene lijn BC, welke loodregt op AB ftaat, ver- 'nbsp;'^ijdert, tot dat men, in C, de voorwerpen A en B, onder eenen hoeknbsp;27/^g// ^iet, vraagt men: hoe verre men, in dat punt C,nbsp;quot;^an de voorwerpen A cn B venvijderd h?

Berekening. In deze vraag is, in den regthoeldgen driehoek ABC, zijde AB, benevens de overftaande hoek C, bekend, ennbsp;^^t=zAB X Cot. C, en ^C= AB x Cosec. Cztz AB : Sin. C.

Berekening van AC.

S. 59a. n. Vraagstuk , voor het tweede gev�^al. �^*^. '235. De hypothenufa met ��nen der fcherpe hoeken ge-^even zijnde, begeert men den anderen fcherpen hoek, bene-de twee regthoekszijden, te vinden ?

Oplossing. Zij gegeven AC�h en hoek A: dan i.s {II. Stellingj ^mapo� � A; a :=: b y. Sin. A; c �by Cos. A; of, in Logaiithnbsp;hlen:

Log. a � Log, h Log. Sin. A......{pj

Log. c � Log. b Log. Cos. A......(O )

I. Voorbeeld. /%. 235. Gegeven zijnde AC^b~'j%6ot,�j'^ ca boek A � 53� 17''se''', 83, de zijden AB zz. c, BCztza te beregenen .?

Berekening, i� C= po�/fmpo� � 53� 17''52quot;, 83= . .

2��42''7''^, 17.

BEGINSELEN

Be;rekening. Om aan liet vereischte der vraag te voldoen, ffloi-*' men de loodlijnen CB en CP vinden, dat is, omdat (/l Steil. III.B-')nbsp;AV � CP is, men moet den regthoekigen driehoek ^50 oplosfth�nbsp;in welken AB � ACy.Cos.A, en BC � ACy. Sin. A is.

�. 593. III. Vraagstuk, voor het derde gevaI-' Fig. 235. De twee regthoekszijden AB=.c en BC�a gt'nbsp;geven zijnde, de fcherpe hoeken A en C, benevens de hypoths-nu fa te vinden?

Oplossing. Volgens de /. Stelling, is a~c X Tang. A, en c xTang.C: door deze vergelijkingen kunnen de hoeken A en C g^'

zal de Tangens van ��nen der fcherpe hoeken gevonden worden, watgt;' neer men de zijde over dien fckerpcn hoek, door de andere regt'nbsp;hoekszijde deelt: doch het is genoeg, om ��nen der hoeken te berek^nbsp;nen, omdat, wanneer ��n der hoeken, bij voorbeeld, A bekend is�nbsp;de andere fcherpe hoek C, door de vergelijking C = 90O � Anbsp;vonden wordt. Wanneer men nu de fcherpe hoeken A en C, doofnbsp;berekening, verkregen heeft; dan zal de fchuinfche zijde b gevondeknbsp;w'orden, door de vergelijking b � ciCos.A=.a-.Cos.C. In Logf'nbsp;rithmen is nu

Log.Tang.AzttzLog.a L.og.c; I^og.Tang.C�Log.c�Log.a (f-l Log.h = I^og,c � Log. Cos.A; Log.b = Log.'a � Log.Cos.C (S)nbsp;Voorbeeld. Gegeven zijnde AB=zc�237m en Z?C�r�zreilpquot;��nbsp;men vraagt de hoeken A en C, en de hypothenufa AC te berekewo^'

2'' Berekening van hoek C. Log. a =2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2,4608978nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Log.c= 2,3747483

Log. Tang. C= 9,9138505 Czio 39''2 Vi4'^,85nbsp;Ten proeve van de juistheid dezer berekening, maakt de foin det

beide berekeningen geven dezelfde uitkomst, welke men ook door Theorema van Pythagoras verkrijgen zal; want ii �

^^^(^289� 237^^) 22: nbsp;nbsp;nbsp;83521 50169!nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� � �

373,7512, hetgeen, tot in het laatfte cijfer, met de voorgaande be-��ekening, over��nkomt.

�. 594. IV. Vraagstuk, voor het vierde geval.

2 35- hypothenufa, met ��ne der regthoekszijden gegeven zijnde^ de fcherpe hoeken, benevens de andere regthoeks-^hde, te vinden?

Oplossing. Laten ^ en c gegeven zijn; dan is (^Aantn. I. Steil.') �^^bxCos.A, en derhalve Cos.A=zc:h. Door deze vergelijkingnbsp;'Vordt dan de hoek A bekend, terwijl de zijde a, door de vergelijking a � cX Tang. A, zal gevonden worden.

Voorbeeld, Fig. 235. Zij b~ 11x6'� en cz= ^ nieti vraagt de hoeken A en C cn de zijde a te vinden ? �

2�, Berekening van de zijde a.

Log.c� '2,8058408 Log. Tang. A-=.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9,8990381

9,8941503 j nbsp;nbsp;nbsp;Log.a-,

: 38023/570^54 j nbsp;nbsp;nbsp;U-.

C22: 51^36'' 2^,46 Men zal,'door de vergelijking a'.

Voor a vinden.

�� 595. Aanmerking. Het blijkt, uit de oplosfmg der ftraks op-getelde gevallen, dat men, in de oplosfing van eiken regthoekigen driehoek, denzelven met eenen anderen gclijkvormigen driehoek vergelijkt, van Welken, of ��ne regthoekszijde, die men als bafis aanraerkt, of de hypothenufa aan de ��nheid der lengte maat gelijk gefteld wordt:nbsp;do zijden van dien aangenomen driehoek worden, onder deze bepa-hng, in de gewone Sinus-Tafel gevonden, of kunnen, door eene ligte

BEGINSELEN

interpolatie, uit dezelve gehaald worden; want, is de bafis gelijk a*''* de ��nheid; dan zijn de opftaande zijde en de hypothenufa de Taquot;'nbsp;gens- en Secans van den hoek aan de bafis, en neemt men de hypf'nbsp;thenufa voor de ��nheid, dan zijn de bafis en de opftaande zijdenbsp;Cofinus en de Sinus van den hoek aan de bafis; dewijl nu de goniOquot;nbsp;inetrifche lijnen van alle hoeken van o'� tot po� in de Sinus-Tafel g�*nbsp;vonden worden, vindt men ook in dezelve alle regthoekige driehoC'nbsp;ken, waarvan de bafis of de hypothenufa gelijk ��n is, en welk^tnbsp;hoeken aan de bafis, van tien tot tien fecunden, opklimmen. Om dezfinbsp;reden kan men de Sinus-Tafel, behalve dat zij een telkunftige hoekffl^'nbsp;ter is, als eene in voorraad berekende tafel van alle mogelijke regt'nbsp;hoekige driehoeken aanmerken, welker zijden met het getal, dat denbsp;verhouding van de ��nheid op de zijde van eenen gegevenen reg^'nbsp;hoekigen driehoelt uitdrukt, moet^ vermenigvuldigd worden, om denbsp;waarden der onbekende zijden, in ��nheden van diezelfde lengte maat�nbsp;te verkrijgen, en de oplosfing van eenen regthoekigen driehoek bCquot;nbsp;flaat dan flechts in de handelwijze, om uit den gelijkvorraigen drifi'nbsp;hoek, die in de tafel voorkomt, den gegevenen afteleiden.

�. 5p6. Bijvoegsel. Fig. 235. Alhoewml de vier vergelijkingen, welke in de, twee voorgaande Hellingen betoogd zijn, tot de oplosfihSnbsp;van alle gevallen toereikend zijn, kan men, om de onbekende hoekeonbsp;van eenen gegevenen regthoekigen driehoek te vinden, uit de reedsnbsp;betoogde vergelijkingen, nog andere afleiden, welke, of ter bevesti'nbsp;ging van eene reeds verkregene uitkomst kunnen ftrekken, of, ia foi�'nbsp;mige gevallen, voordeeliger dan de gewone regels zijn.

�. 5P7. Wij hebben vooreerst (//. Steil.') de evenredigheid i : Sin. ^ ~b:c; dat is, omdat Sin.C�Cos./J is, 1'. Cos, A�b �. c.nbsp;deze evenredigheid volgt {VIII en VI. Steil, II, B.)

maar nu is (^F. Gev. III. Steil, VIII. B.) 1 �� Cos, A �2 Sin^. ? en I .^Cos.Az=.2 Cos'^.\A: en daarom zal

Sib'.b � c~z: 2 Sin^. i A 2b:b-\-c~2.: 2 Cos^, J- Anbsp;zijn, waaruit volgt: dat

A-y

n ER M E E T K U N S T.

l b � f

en men zal, door c�ne dezer foriniilen, de helft van ��nen der ^eherpe hoeken kunnen vinden,

��598. Omdat (^n. Steil.') \ Sin./]quot;b : a en 1'. Sin.Ct^zh-. c 's gt; zr.l (AY. St. II. n.) Sin. A: Sin. C=za\c zijn, en Sin^.A-. Sin^. Cnbsp;en (/7//. Steil. II. B.) SiiA. A � Sin^. C-.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~

Steil. Fin. D.) ShF. A�Sin^. C ^Sin.QA�C), in de onderfleraeg namelijk, dat A Czzqo'^ is;nbsp;��en heeft dan eindelijk, Sin.(_A�C) zrnbsp;�� 599. Wanneer men het vierkant van de laaifte vergelijking vaa

I aftrekt; dan vindt men Cos. CA�Cj)�-7�, en, omdat de Sinus, gedeeld door de Cofiiius, de Tangens geeft, zal men vinden�nbsp;l'ang.CA � C) � �f---nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-^5 welke vergelijking zeer gefchikt

om de fcherpe hoeken te vinden, wanneer de regthoekszijden ge-�even zijn; want, wanneer het verfchil A � C der fcherpe hoeken gevonden is; dan kent men de fom en hel verfchil der onbekendenbsp;^d^ken, en de grootft� hoek is dan gelijk 45** i CA�C), en denbsp;klehifle hoek gelijk 45� �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Y�C).

BEGINSELEN

de Situisfen van het dubbeld der fcherpe hoeken gelijk zijn, waarheid, rvelke, omd^t ri C'zzpo'^, en derhalve 2/y 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;180'^

is, bevestigd wordt, door het beginfel, hetwelk leert: dai een booS en zijn fupplement dezelfde Sinus hebben.

�1 601. Men kr.11 nu ook gemakkelijk de Cofintis van het dubbe!^^ der fcherpe hoeken vinden. Volgens'^. Gev. III. Steil. Fill. B.,

�. 603. Men zr.1 met behulp van de vergelijking Sin.^A'zz . - -2 Sin. 2 A X Cos. 2/1, uit de voorgaande vergelijkingen, vinden:

�. �04. Aanmerking. De Sinusfen van hoeken, welke zeer na ar�� 90� komen, hebben kleine verfchillen, en dit maakt, dat men, waii'nbsp;neer een hoek door zijne Sinus moet gevonden worden, in zeer fljn^'nbsp;berekeningen, op gcene groote juistheid kan ftant mrkeii. Hetzclfl�nbsp;geldt van de Cofinusfen van kleine bogen. Insgelijks nemen denbsp;genten van bogen, tibfchen de 84'-� en 90�, en de Cotangenten, juS'nbsp;fchen o'* en 6'^ niet gelijkmatig genoeg toe, om, door de evenredig�nbsp;deden, de hoeken, in die gevallen, tot in de tiende deden der fecuU'nbsp;den, te verkrijgen. Om in fijne berekeningen dit inconvenient voorts*nbsp;komen, gebruikt men, ter bepaling van die hoeken, foortgdijkc ft�quot;'nbsp;muien, als boven gevonden zijn, waar bij de helften of tweevoude�nbsp;van de hoeken gevonden worden. Zie verder de Werkdadige ftles'*nbsp;kunst.

Befchottwing van de Scheefhoekige Driehoeken.

�. 60f. De eigenfehappen der regthoekige driehoeken j welke lu de twee eerfte Hellingen betoogd zijn, zijn de

OER MEE T K U N S T.

S- 606. In alle driehoeken^ flaan de zijden tot elkander, in �^^'lt;elfde reden ^ ah de Sinusfen der ovcrjlaande hoeken, Dat is:

iAB, �C, JC)::CSin.C, Sin.J, Sin. Bj SiiTooG. Onder de betoogen, welke van deze merkwaardige hoofd-�'Senfchap der drielioeken voorhanden zijn, ftaat het volgende in eennbsp;'^^Gr oniniddelijk verband met de reeds betoogde eigenfchappen desnbsp;��^Sthoekigen driehoeks. Laat, uit het hoekpunt van den hoek C, denbsp;^kiri CD op de overftaande zijde AB vallen; dan ontdaan �er in de figuurnbsp;tWee regthoekige driehoeken, ADC en BBC, in den eerften van wel-'^en {II. Steil.') CD � AC y. Sin, A, en, in den anderen, CD zz.BC-Sin. B is; derhalve {IA. Ax.j zal AC y Sin. A�BC y Sin. B,nbsp;{AI. Steil. IF. B. of F. Steil. 11. D.j AC: BC= Sin. B: Sin. A zijn.nbsp;Igt;cze evenredigheid ondergaat nu geene verandering, wanneer, ge-*'jk in Fig. 239. een hoek ABC ftomp is; want, omdat (/. Steil.

F.) de Sinus van eenen hoek gelijk is aan de Sinus van zijn Supplement, zoowel, in, de getallen waarde, als ten aanzien van hetnbsp;teeken, zal men voor Sin. CBD mogen Hellen Sin.yJBC, en denbsp;evenredigheid AC\ BCzzzSin.B : Sin. A zal derhalve voor den ftoiiip-hoekigen driehoek, zoowel als voor den fclierphoekigen, gelden. �nbsp;Op dezelfde wijze zal volgen: dat AB-. ACzzzSin.C-.Sin.B ennbsp;Bc~Sin.C\ Sin. A is, en men heeft derhalve, in het alge-�^een , {AB, BC, AC):; {Sin. C, Sin. A, Sin. B).

�� 607. Gevolg. Indien de hoek i? = 90'� is; dan isSin.Bzzi, nien heeft AC: B Czz 1 : Sin. A of BCzzz AC y Sin. A, hetgeennbsp;h-ct de tweede ftelliiig over��nftemt.

�� 6o6�. Aamuerking. Fig. 240. Wij zullen, in het ver-de zijden en hoeken van eenen driehoek, op dezelfde als ill Aanmerking op de II. Stelling, gezegd is, uitdrukken. WGj hebben dan, volgens het betoogde, (�, Z�, c,)nbsp;iSin. A, Sin. B, Sin. C).

begins

ingefloten hoek tot de Tangens van het halve verfchil der tVld andere hoeken, welke over die twee zijden ftaan. Dat is:nbsp;et h : a � h ~ Cot. J C : Tang. � (yi� 5)

Betoog. Volgens de III. Stelling, is a : b �Sin. A: Sin. B, welke evenredigheid {Fill en VU. Steil. II. B.j) volgt:

a b �. a � b~ Sin. A Sin. B : Sin. A � Sin. B maar nu is QFII. Steil. VIII. B.')

Sin.ASin.B:Sin.A�Sin.B�Tang. ^ {^A-\-B')-.Tang.\(j^A�B') derhalve zal (/. Steil. II. BI)

a-\-b\ a � b � Tang. \ QA -k- B) : Tang.! (//� B) zijn. Maar nu-is {XVIII. Steil T. B.) yy i? C= 180''; derhaly^nbsp;�^ �Z? tC = 9o� en lA ^B oi ^{A B)=:9oO� \Cinbsp;derhalve Tang. | {A-trB) = Tang. (90quot; � J C) = Cot. ) C, en denbsp;laatfte evenredigheid verandert gevolgelijk in:

�. 610. Leering. Men leert, uit den loop van atc betoog: dat, in plaats van de betoogde evenredigheid, kan gefchreven worden:nbsp;a -\- b'. a � b � Tang. (po** � IC) : Tang. \{A � B)

�. 611. Wanneer men twee zijden a en b, met den ingeflo' ten hoek C, van eenen driehoek als bekend aanmerkt; dotinbsp;is de Tangens van eenen der onbekende hoeken gelijk aan denbsp;zijde, welke tegen over dien hoek fiaat, vermenigvuldigd mdnbsp;de Sinus van den- bekenden hoek, gedeeld door het verfchil vatgt;nbsp;de bekende zijde, aan dien onbekenden hoek gelegen, vermin'nbsp;derd met het product van de zijde, over den onbekenden'hoek^nbsp;met de Cojinus van den bekenden hoek. Dat is:

Betoog. Men late, uit het hoekpunt van den hoek A, de loodlijn AD op de overftaande zijde �C,vallen; dan is {II. Steil.) ADzV-^^nbsp;x Sin.C; CD~by. Cos.C, en BD=CB � CD=a � b xCos.C-Wanneer de hoek C floinp is, en de loodlijn buiten den driehoek valt;nbsp;dan zal BD ~ BC CD zijn; maar, omdat de Cofinns van C, innbsp;dit geval, negatief wordti zal BD nog gelijk aan a�b X Cos.C blij'

, mits men de Cofinus, zoo als het behoort, ncgniief neme. Eindelijlc is, in den. regthoekigen driehoek ABB, (J. Steil.') ADzez-X Tang, D-=z.{a � b Cos. C) X Tang. B -^.b y. Sin. C, waaruit

S. 613, IL Gevolg. Stelt men, in deze laatfte, (zie IILGev. Steil, Fin, B,) 2 Cosec, C zz Cot. � C Tang. | C �n 2 Cot. Czz.nbsp;Cot. L C � Tang. * C, dan verkrijgt men;

'''elke, .wanneer men de termen, die Cot.^^C en Tang. � C tot faftoreii hebben, ver��nigt, jn de volgende verandert:

S' 614. Elke zijde eem driehoeks is gslijk aan de fom der pfodulten van de twee andere zijden, elk vermenigvuldigd metnbsp;de Cofinus van den hoek, welke die zijde met de eerstgenoine~nbsp;zijde maakt. Dat is:

IjarooG. Men late, uit -het hoekpunt A van den hoek A, de loodlijn AB op de zijde BC vallen; dan is (II. Steil.) CD~h xnbsp;^�.C, cn BD � Cx Cos.B, en de fom dezer vergelijkingen geeft;nbsp;^ C=:2 CB B B = b X Cos. C c X Cos. B.. Wanneer nu ��n dernbsp;hoeken , kij voorbeeld , de hoek C (lomp is ; dan zal de loodlijnnbsp;� CB buiten den driehoek vallen, en BC zal gelijk BD~CD zijn;nbsp;maar omdat, in dit geval, de Cofinus van den ftompen hoek C negatief is, zal inen voor den lloinphoekigen driehoek, zoowel als voornbsp;'^en fcherphoekigen, ftellcn kunnen: a � bxCos.C-gt;rcxCos.B,nbsp;tidts .men, in de berekening van deze vergelijking, de Cofi'Uis ''^n

P j, nbsp;nbsp;nbsp;eenen

eenen ftoinpen hoek negstief neme. Op dezelfde wijze, zal blijken' dat b'=za Y. Cos.C e X Cos. A, en c~a x Cos. B b Y Cos. A 'S'

�� '615, Het vierkant van elke zijde eens driehoeks., is gt' lijk aan de fom van de vierkanten der twee andere zijden tnbsp;min tweemaal het produEt dezer zijden, vermenigvuldigd meinbsp;de Cojinus van den ingefloten hoek. Dat is:

Betoog. Aanncmende, dat de driehoek feherphoekig zij, inclien men dan, uit A, de loodlijn AD op BC laat vallen; dan zal jXFI��-Steil. UI. B.j

AB'^ � AC^ BC^~2 BC X CD zijn: maar Qll. Steil.') CD � ACy Cos.C zijnde, zal, wanneer mennbsp;deze waarde van CD, in de voorgaande vergelijking, overbVengt,

Wanneer de hoek C Ifomp is; dan wordt zijne Cofinus negatief, en de term �zab Y Cos.C verkrijgt dan het pofltieve teeken, zoodat�nbsp;in dit gev^al, eigenlijk c-�a'^ -k-b~ -Srzab X C�s. Cis, hetwelk da�nbsp;ook, met het betoogde, in de XIX. Steil. UI. B., over��nkomt: inaafnbsp;men houdt, tot eenen bcllendigen regel, in alle berekeningen, ondernbsp;het oog, de teekens der termen eener betoogde vergelijking altijd in hetnbsp;algemeen te laten, zoo als zij, in eene betoogde M'.ing, of, in denbsp;uitkomst eener oplosfing, voorkomen, en geeft, in de dadelijke berekening, naauwkeutig acht, welke termen, uit hoofde der pofitieve of n^'nbsp;gatieve waarden, welke ��n of meer fa�loreii verkrijgen, volgens denbsp;gewone helkundige regels voor de teekens der uitdrukkingen, van tee-ken moeten veranderen.

�. 616. Het vierkant van de Sinus van de helft van dt'tS hoek eens driehoeks is gelijk aan het quotient, dat men ver-krijgt, wanneer tnen de halve fom der zijden met elk der zi]'nbsp;den^om dezen hoek Jlaands, veiminderd, en het pro.duct dezsf

^ijn, en Hellen wij nu; i� nbsp;nbsp;nbsp; ' c=: s; dan zal � (^ /,�c)

� c en I(a � bc) z:zs � b zijn,,en wij verkrijgen alzoo de '��^fSeiijking;

b c

'''filke betoogd moest worden.

�� 617. I. Gevolg. Omdat Cos-.\A� i �Sin^.\A is, zal

^ nbsp;nbsp;nbsp;bcnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o c

of, na behoorlijke ontwikkeling, nbsp;nbsp;nbsp;?

BEGINSELEN

Si:ulA=y^J=DS^=:^, Cos.lA=yi^^

,0�^).0�g)

�. 620. De inhoud van eenen driehoek is gelijk aan helft van het prodtiEi van twee zijner zijden, vermenigvulH?}nbsp;met de Sinus van den ingejloten hoek. Dat is, wanneernbsp;inhoud door I woidt uitgedrukt; dan is Izz:a\aby(.Sin.C.

Betoog. Want, volgens Gev. Fill, Steil. HL B., is AD; maar (//. Steil.') AD~ACy. Sin.C; derhalve zalnbsp;% AC% Sin. Czz ~ah y. Sin. C zijn. Om dezelfde reden, isnbsp;Ihc X Sin, A~^ac y. Sin, B.

�. 621. I. Gevolg. Fig. 238. Wanneer men uit het toppunt Ct van eenen driehoek eene lijn CD, tot aan de bafis trekt; dan isnbsp;drieh. ACD � lAD y CD y Sin.ADC, en Inh. drieh. BCD-tdtnbsp;iBDy CD y Sin. B DC; omdat nu Sin. A DCzztSin. B DC is,nbsp;l�\AB y CD y Sin.ADC zijn.

�. 022. Gevolg. Fig. 241. Hieruit volgt ook: dat de inhoud va� den vierhoek A BCD�fAC y B D y Sin.E is. Dat is: mennbsp;den inhoud van eenen vierhoek vinden , wanneer men den haB^^^nbsp;regthoek der hoekpuntslijnen met de Sinus van den hoek, onder wel^�nbsp;zij elkander doorfnijden, vermenigvuldigt.

�. 623. Ill* Gevolg. Fig. 240. AVanneer men in de vergelijki�r� I�lahy Sin. C, in plaats van Siti. C, fchrijfc 2 Sin.' C y Cos. Inbsp;en voor Sin. C en C�s. 4 C -de waarden ftelt, welke, in hetnbsp;Gev. VUL Steil, voorkomen, dan verkrijgt men:

�. 624. IV. Gevc�Lg. Wanneer men de vergelijking I�\tih^^ Sin.C eerst met c vermenigvuldigd, en daarna door /X Sin.C dc^I'�nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c abc

ftiindvastige betrekking van de zijde eens driehoeks, tot de Sinus zijnen overftaanden hoek, leert kenii^.

Betoog. Volgens de IX. Stelling, is l�\bc x Sin. A, en (W. '^'^4'.) Sin. C: Sin. B-zzcxb; of, omdat C het fupplement van ^ -j- 5

�� 626. Aanmerking. Door de vergelijkingen, welke in deze en Voorgaande Helling betoogd zijn, kan men den inhoud van eencnnbsp;'ifiehoek, of, uit twee zijden en den ingeiloteu hoek, of, uit eenenbsp;^gt;jde en de hoeken, of, uit de drie zijden, berekenen.

a � b Cos. C � c. Cos. B � o h � a Cos. C � c Cos. x/ =; onbsp;c � b Cos. A � a Cos. B = o

Bi Welke al de zijden en de hoeken des driehoeks voorkomen. ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;628. lo Nemen wij, dat de hoeken A, B en C, en

ijgevolg ook derzelver Cofimisfen bekend zijn, en dat men 2 zijden begere te vinden: dan zal men deze vergelijkingen,nbsp;�� naar gewoonte, moeten oplosfen: en men zal hebben:

en vergelijkt men nu deze twee waarden van b met elkander� dan verdwijnt de grootheid a uit dezelve, en men verkrijgt-

i�Cor'^. A�Cos'^. B�Cos^. C�iCos. AxCos. BxCos. C==tgt; �ns leerende: dat de hoeken van eenen driehoek, door eeu^nbsp;bijzondere vergelijking, van elkander afhankelijk zijn, en daar*nbsp;om geen genoegzame gegevens opleveren, om de zijdennbsp;bepalen.

�. 629. s'-� Neemt men de drie zijden als bekend aan; dan zal irlt;er� door de oplosfing der drie vergelijkingen, de Cofiiiusfen der hockc��nbsp;vinden, te weten:

�. 630. 3'* Wanneer men eindelijk ��nen der hoeken, bij voorbeeld) den hoek ss regt fielt; dan wordt Cos. B � o, en men zal alsdan,nbsp;de drie gefielde vergelijkingen, al de betoogde eigenfehappen des regt'nbsp;hoekigen driehoeks wedervinden.

g. 631. lu de oplosfing der fcheefhoekige.driehoeken, kd' men vier gevallen voor.

�. 632. V. Vraagstuk, voor het eerste geval, f'�' 240. Eene zijde, benevens twee hoeken gegeven zijnde.,nbsp;derden hoek, benevens de twee andere zijden, te vinder, f

1) E u. M E E T K U N S T.

Oplossing. Lnten de 7,iide a, benei'cns de hoeken 7? en C gege-''�'1 zijn; dan zal de derde hoek A, ais zijnde hst fupplement van de Om figj. bekende hoeken, door de fonnule A~

Ssvonden, en alzoo als bekend kunnen aangenomen wori^icn. IVu is, ^�isens de IIf. Stelling^

1 Sin, A: Sin. B � a: h \ nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. A^ x Sin. B 1

Log. 1) � {_Log. a � Log. Sin. A') Log. Sin. B Log. c = {Log~ � � Log. Sin. A') Log. Sin. Cnbsp;Men trekke derhalve van den Logarithmic der bekende zijde den Lo-^^rithmm van de Sinus van den hoek, over die zijde ft aarde, af; mennbsp;^^ile bij het vcrfchil de Logarithmen van de Sinusfen der hoeken,nbsp;quot;�'Ake ever de onbekende zijden ftaan, en dan zijn de [ommen denbsp;logarithmen van de onbekende zijden. Wanneer men de berekeningnbsp;'^P deze wijze inrigt, dan wint men altijd ��ne aftrekking uit.nbsp;VooREEELO. Fig. 249. Om te vinden, hoe ver men, in een puntnbsp;Van een ontoegankelijk voorwerp C verwijderd is, heeft men, op hetnbsp;^otrein, eene bafts AB, de lengte van nopj?�, 53 hebbende, genie-^on, en uit de punten A en B, door waarneming, de hoeken A ennbsp;^ bepaald, (hoe zulks gefekiedt, zal in de IVerkdadige Meetkunst ge-^eerd worden jj namelijk, hoek A � i'�^ \j'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,% en hoek Bztz

^7� 43^28''', 3, Men vraagt de aftanden van hel voorwerp C tot punten A en B te vinden ?nbsp;i^EREKENiNG. �Er is gegeven A= 88�i7'47quot;,8 J

Log. Sin..d nbsp;nbsp;nbsp;, I^og,Sin.B~9,^2yio'amp;j bij

pkment van difn hoek moet genomen worden, om dcszelfs Sinus du Taf-'l te Kiiniien vinden.

�. 633. VI. Vraagstuk, voor. hrt tweede gevaI^* Flg. 240. Fan eenen driehoek twee zijden en ��n hoek,nbsp;gen over ��ne dezer zijden ftaande, gegeven zijnde, denbsp;andere hoeken, benevens de derde zijde, te vinden?

Oi'i,o�siNG. Stellen wij; dat de zijden ^ en c, benevens de welke tegen over de zijde b Haat, gegeven zijn; dan hebbennbsp;(^UI. Steil.') de evenredigheid, b i c � Sin. B i Sin. Cwaaruit volg^'

Log.c � Log.b. IMcn zal alzoo den hoek C, door zijne Sinu*� leeren kennen: maar alzoo elke Sinus tot twee hoeken behoort,nbsp;weten, tot eenen fcherpen, en tot eenen jiompen hoek, welkenbsp;fupplement des eerften is, zoo ziillcn 'er ook twee driehoekennbsp;deze gcgeveiis pasfen; dat is, dc hoeken C en A, en de zijdenbsp;zullen twee onderfcheidtne waarden verkrijgen: zelfs zullen , in dit g^'nbsp;val, de gegevens met. eenigen driehoek onbejlaanbaar kunnen zif�nbsp;wanneer namelijk c X Sin. B, grooter dan b zijnde, de Sinus vannbsp;jtrijdig met den aard van Sinus, grooter dan de ��nheid wordt, k)*nbsp;alles wordt, door de volgende condrtidlie, nog duidelijker. Men u^'nbsp;r.ie, Fig. 243, AB � c, en make den hoek ABC, gelijk dennbsp;'gevenen hoek B, en befchrijve uit A, met eene ftraal, gelijk aannbsp;zijde b, eenen cirkelboog, 'y/anneer nu de gegevens met eenigen dr'�'nbsp;hoek beftaanbaar zijn, zal die cirkelboog de lijn hC, in ��qnbsp;aanrakeu, of in twee punten moeten Ibijden; in het laatfte geval,nbsp;len de driehoeken ABC en ABC', de gegevene zijden c en b,nbsp;den gegevenen hoek B hebben, en, iii het eerfte geval, zullen zij zi^^�nbsp;in ��nen regthoekigen driehoek ABC ver�'dnigen, en de hoek AC^'nbsp;zal geliik den hoek AC'B, gelijk eenen regten hoek, en b-=zc'^^nbsp;Sin.B .worden. Om nu eindelijk de zijden BC en BC' dernbsp;driehoeken, AB C cil A B C' te vinden, zal (///. Steil.) Sin. B �nbsp;gtzSin.BAC-.BC, en Sin. B : AC~ Sin. BAC': BC' zijn, ennbsp;om zal

DER MEETKUNST.

3� Log.BC=z Log. AC� Log. Sin. B Log. Sin. B AC 4� Log. BC'=zLog. AC�Log. Sin. B Log. Sin. BAC'nbsp;'^'oorbeeld. Fig. 243. Gegeven zijnde, ABnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AC=z

*^3o%,78, en hoek S = 36� I7''43'''gt;5 �� hoeken A en C, henevem ^ijde B C, te vinden ?

Berekening, Om den hoek C te vinden Log. Sin. B� 9,7722840nbsp;Log.AB� 3.,?,629o62 bijtellen

restZff^.6'/�.C=: 9,8353123 hoek ACB� 43�Mi''I9quot;,42nbsp;AoeA ^C'5 =: 136'^ 48'4oquot;, 53nbsp;2� Om de hsigken BAC en BAC' te vinden.

^oek BAC= loo� 3o'57^^,o8 .. Hoek BAC: 3� Om de zijden BC en BC' te vinden.nbsp;Log. AC= 2,799^779nbsp;Log. Sin. B � 9, 7722840 aftrekken

Log. BC�3,0202377 .... Log. BC'�2, 1063509 BC�1047m, 702nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BC'= 127m,8942

blijke van de juistheid dezer berekening, zal men bevinden: '^B^ �AC^-^BCy. BC' is, zoo als, volgens Bijgev. Stellingnbsp;' Boek, moet plaats hebben.

634. VI. Vraagstuk , voor met derde geval. 240, Twee zijden, met den ingefloten hoek, gegevennbsp;JJ'de-, de. twee onbekende hoeken, benevens de derde zijde.

�lt;^''21, zijn onderfcheidene oplosfmgen voorhanden, elke Welke, in onderfcheidene omftandigheden, hare nuttigheid kunnennbsp;��ebben.

BEGINS

door deze vergelijking, zal het halve verfchil der onbekende hoek^quot; gevonden worden, en dewijl de halve fom dezer hoeken nbsp;zrpo � |C is, zal men de hoeken zelve, door de vergelijkingen:

.?=(9o��^C)-!-|(v^�5), en 5 = (90��i C)�f dat is, .door het halve verfchil bij de halve fom der hoeken -optel^^'nbsp;len, en van dezelve aftetrekken, vinden. Deze hoeken bekendnbsp;zal men de derde zijde, door ��ne der twee evenredigheden,nbsp;j Sin, B : Sin. C � b:c\^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j c~b X Sin. C: Sin. B 1

berekenen, en de driehoek zal opgelost zijn. Maar, wanneer, (hetgfi^** meestal het geval is,) de zijden der driehoeken, door hare Logarith'nbsp;men gegeven zijn; dan zal men aan de vergelijking, welke de Tafl'nbsp;gens van het halve verfchil der onbekende hoeken geeft, eene ande:'*^nbsp;gedaante kunnen geven, welke de berekening, niet alleen, in ditnbsp;va!, maar ook, wanneer de zijden regtflreeks gegeven zijn; gemakk^'nbsp;lijker maakt. Wanneer men den teller en noemer van het gebrokt'*nbsp;((7�bj:(a-k-b) door b deelt, dan komt de vergelijking van , . � 'nbsp;Tang.^QA�Bj) onder de volgende gedaante:

Deze vergelijking berust op de onderllelling, dat a grooter dan b gt;5� hot quotient a\b dan een gebroken, dat grooter dan de ��nh^'nbsp;is. Omdat nu de Sinusfen en Cofinusfen, kleiner dan ��n zijn,nbsp;men elke eigenlijke breuk, door de Sinus of Cofinus van eentn zek�^|'nbsp;boog, die altijd uit het eerlte quadrant kan genomen worden,nbsp;drukken, en omdat de Tangenten,^in het eerfte quadrant, van ��/,nbsp;in het oneindige, toenemen', kan men elk geheel en gebrokennbsp;door de Tangens van eenigen boog voorzeilen. Men ftelie dan ^ \ ^nbsp;gelijk aan de Tangens van zekeren hoek of boog, die wij door $nbsp;drukken, en, omdat deze hoek in de figuur niet gevondijn '^''0''nbsp;den hulp-hoek zullen noemen. Stellende dan a\ b zzz Tang, (p;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

DER ftJEETKUNST.

? � nbsp;nbsp;nbsp;� I _ TaKg.� � \ _nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ Tang.^� i

Zij de grootfle der gegevene zijden quot;^a', de kkinfle �b, dan heeft men, ah volgt:

Men kan deze vergelijkingen gemakkelijk in Lognrithmen overbren-�ea; want, volgens de bekende regels, verkrijgt men:

log. Tang. ~ (A� B)=Log. Tang. (d) - 45 �) Log. Tang. (90�� i G) Log c � l1. a Log� Sin, C � Log. Sin. Anbsp;Log, c � Log, b Log, Sin. C � Log. Sin, B

%� 636. Men kan aan deze vergelijkingen nog eene andere gedaante Seven. Wanneer men, (indien wederom a de grootlle en b de kleines zijde is,) Tang. p' � b �. a ftelt; dan zal Tang. | (A � �) =nbsp;lang, (450 � p'y X Tang. (90�� f C) zijn, hetwelk op hetzelfde^nbsp;^''komt. D� vorm, der bovenftaande vergelijkingen is flechts daarinnbsp;Scm.akkelijker; dat men ligter 45� van eenen boog, dan van 45� eenennbsp;kleineren boog aftrekt. Het fpreekt van zelven, dat, wanneer mciinbsp;'^2 Sinus-Tafelen, welke naar de nieuwe verdeeling zijn iiigerigt, gebruikt, 5ow^ in plaats van 45�, moet genomen worden.

Voorbeeld. F/g. 240. IFetende: dat men, in het ptait C, van de punten A en b, de volgende aftanden heeft: AQzzz b � 2%2,9�� 7inbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4309�, 73; indien dan de hoek C, naauwkeurig gemeten

�ijnde, bevonden wordt, gelijk te zijn aan 56� 39'33''', 4, vraagt ^ Men: niet alleen, de hoegrootheid van de hoeken A en B j maar ook

De twee berekeningen van c geven dezelfde uitkomst, hetwelk liogta'�* geen zeker waarborg is i tvant, men kan zich in de Leg. Sin. C yergi*nbsp;fen, zonder zulks aan de ongelijkheid der uitkomften te bemerken.

�. 637. II. OhLossiiNG. Volgens de /'Y/. Stelling, is ~ i a b Y. Ces.C. Omdat nu (//. Steil, Fl^. B.') i == f C'f'nbsp;Cot^.lC is, en (F. Gev. III. Steil. VUL fc�.) Cn.CzzCot^.lC-'nbsp;Sin'^.\C, en de uitdrukking 0=� b=- kan worden aangezien alsnbsp;produd van (^a'^ b^') Y i, zal onze geltelde vergelijking innbsp;c^zz:(^a^-itb^^Y(iSin^.lC Cos^.lC^~zabY(Cos^.lC�Sin^.lC)nbsp;veranderen; of wel, wanneer men de produften ontwikkelt, en/�nbsp;termen, welke Sin^.^C en C�s�. 5C vermenigvuldigen, te zamennbsp;��nigt, in

Deze vergelijking, welke wederom eene fraaije eigenfchrp der dn*^' hoeken voorftelt, kan op tweederlei wijze herleid worden: i� dolt;i^nbsp;derzelver tweede lid, eerst door Qaby x Sin^.\C te deelen,nbsp;naderhand het quotient met diezelfde grootheid te multipliceren,nbsp;geen, omdat Cns.p: Sin.pzzzCot.p is, na den wortel uit beidenbsp;getrokken te hebben, geven zal:

c=:C� /-)Xo7�.5Cxf{i.. C*)

DER MEETKUNST.

Deelt men het tweede lid door Qa � x Cos^.^C, en behnn-men voorts de vergelijking op dezelfde wijze; dan verkrijgt men:

f nbsp;nbsp;nbsp;X Cos.lC xy [i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 CJ'} ..

dezer vergelijking deelt, nbsp;nbsp;nbsp;x Tang. 3 Cz=. Cot. I {_Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B') zijn,

de vergelijkingen (ji) en (/3) veranderen derhalve (omdat, in het �'Semeen {III. Steil. VUL BI) y{i Tang^.p') = Sec.p=:i : Coupnbsp;�n y^j ^ Cot^.p') = Cosec.pz= i :Sm.p is,) in de volgende:

Men heeft dan, om, wanneer de twee zijden, met den ingefloten ^-Oek, gegeven zijn, de onbekende hoeken en de derde zijde te vin-de volgende formulen of vergelijkingen:

Toepassing. Nemen wij, om de uitkomften dezer oplosfing, op voorbeeld, in getallen, toetepasfen, dezelfde gegevens, als in hetnbsp;''Oorbeeld der eerfte oplosfing, pag. 241; dan hebben wij:

C�g. (lt;a � ^) = 3, 1673262 ^'�-Ta;!g.{^Q�i�aC)=: o, 2683210nbsp;3,4350472

�gt;g.Tang.l{A~.B') = 9,s^i2,75^'-gt; en | (^��) = 2o�'52''35'^,9 (ferhalve ^m:6iV4o' 13'''', 3 20� 52'35'''', 9�82��32^49'',2nbsp;B = 61� 40' 13''', 3 � 20� 52' 35''^, 9~40�47'37''^4nbsp;O �,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Be-

244

Log. (�~^) = 3,i6732^� Log. Cos. I C=9,944^nbsp;13,1119234nbsp;Log. Sin, I {A�B-) -9,5518^

�. 638. III. Oi'Los.-iNG. Wanneer men alleen de onbekende zijde hoeft te kennen; dan kan de oplosfing, op de volgende wijze, words�*nbsp;ingcrigt. Men ftelle, in de vergelijking, c^~a^-\-b^ � 'lah'f-Cos.C, het gebroken a �. b � Tang.'/y, dan is a � b X Tang.%nbsp;�z=.b'^ X Tang'^. %, en de vergelijking verandert innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

6Vlt;7^. % � ib'^ X Tang. % X Cas.C, welke vergelijking, met wei�'^ moeite, onder de volgende gedaante

de derde zijde te vinden, zonder vooraf de onbekende hoeken te b�' rekenen, de volgende vergelijkingen:

^ nbsp;nbsp;nbsp;Cm. Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. x

S- 640. IV. Oplossing. Men kan de vergelijking 2ab X Cos.C, onder ��ne van de twee volgende gedaanten brenge��nbsp;~a-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 2 ab � 2 ab X Cos. C

e~ � 2ah-\-b^ArS3.ab � 2a b X Cos. C en dan wordt, volgens F. Gev. UI. Steil. Fill. B.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ -

Inatfle vGrgelijkingen knn men wederom in de voTgetide veranderen :

^�=C-. �� X nbsp;nbsp;nbsp;�=ia-l,y X

5 nbsp;nbsp;nbsp;^ if a b quot;lt; Sinquot;^. f C ^

\ � T nbsp;nbsp;nbsp;i

de eerfte dezer vergelijkingen, is nbsp;nbsp;nbsp;grooter dm ^ab,

^�h om die reden, zal het gebroken ^ nbsp;nbsp;nbsp;kleiner

de ��nheid zijn, en men zal hetzelve daarom gelijk Sin^, tgt;. kun-��^n ftellen, en dan zal

c m quot;k b'^ ^ Cos, ft

ifOby. Sin^, f C

'i�orden. Stelt men, in de tweede vergelijking, � nbsp;nbsp;nbsp;�*

'b'ang^.v; dan zal men vinden:

c�(a � h')'. Cos, y

^len heeft alzoo, om de derde zijde regtflreeks te vinden, deze twee ftelfeis van vergelijkingen:

�' nbsp;nbsp;nbsp;� � V �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

''ergelijkingen, welke, offehoon zij, bij meest alle Schrijvers over de ^driehoeksmeting, voorkomen, nogtans minder fraai dan die der voor-ganiide oplosfing zijn. Wanneer men dezelfde getallen, als in de tweenbsp;�erife oplosfingen, neemt, zal men dezelfde waarde voor'e vinden.

kunnen deze berekeningen niet plaatfen, en moeten ook de op-l^sfingen, waarbij men ��nen der onbekende hoeken afzonderlijk ver-rijgen kan, en welke, uit de F, Stelling en derzelver gevolgen, ge-�d kunnen worden, met (lilzwijgen voorbijgaan.

S* 641. Bijvoegsel op dit geval. Het is uit de F. Stelling ge-

beginselen

Stelt men nu voor e�gt; cy�i�e�mcy�i derzelver waarde iy-^^ X Sin. m C; dan verkrijgt men, na alles door 2 y�i gedeeld tsnbsp;hebben:

Men zal, door deze fraaije reeks, welke tot in het oneindige voortloopt, de waarde van den hoek B, in deelen van de ftraal, vinden kunnen, en men zal daartoe zooveel minder termen noodig hebben?nbsp;naarmate a, ten opzigte van b, grooter is. Om nu den hoek B, welke, in deelen van de ftraal, bekend wordt, in fccunden overtebrengengt;nbsp;moet men, omdat een boog, welks lengte aan de ftraal gelijk gt;��gt;nbsp;206264-''', 8 bevat, de waarde van B met dit getal fecunden vermenigvuldigen, of bij den Logarithmus van de waarde van B den ftaiid'nbsp;vastigen Logarithmus 5,3144251 optellen.-

�. 642. liet is geraakkelijk te zien: dat de uitdrukking a'^ � 2^^ Cos, Cb^� (a�bacp'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x (ji�he�cy�i) jj; derhalve 2^1

men, in plaats vaa de nteermalen aangehaalde vergelijking, b^�zab Cos. C, kunnen fchrijven:

c^ � (a�b X ecy�i'^ ^ Qa�b X e�cy�i'^ van beide leden dezer vergelijking de Logarithmen nemende,nbsp;voorts, als in de voorgaande �, te werkgaande, zal men vinden:

eene reeks, welke niet minder fraai dan de voorgaande is. Men derzelver termen met den Modulus der Briggiaanfche Logarithnie�^ �nbsp;dat is, met 0,43429448, vermenigvuldigen, om de waarde van rnbsp;Briggiaanfche, of gewone Logarithmen, te verkrijgen,

DRR MEETKUNST.

�� 643, VTII, Vraagstuk, voor het vierde geval. ^'l^anneer de drie zijden van eenen driehoek gegeven zijn, des-hoeken te vinden?

Ow.ossiNG. Wanneer men a, h, c, voor de zijden, en A, B en C, '^oor de overftaande hoeken ftelt; dan is,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftel-

Sln.^,C=:y^^^^

Men kan ook de hoeken, zie UI. Gev. VIII. Steil, door de Cofi-fiusfen of door de Tangenten van derzelver helften vinden. Voorbeeld. Gegeven zijnde, �=2739, ^=2809, ennbsp;hoeken A, B en C, te vinden?

, nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,r,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.. j 5 = 65� 33'4o^79

2n, ten blijke van de juistheid der berekening, maakt de fom der berekende hoeken 180''. Men moet, in deze berekening, bij de fom der Logarithmen van s�b en s�e, den Logarithmus van het vierkant van de ftraal, dat is het getal 20, in de gedachte bijtellen; omdat, wanneer men de ftraal niet gelijk aan de ��nheid, maar �r ftelt,nbsp;de vergelijking, �-elke in de VIII, Stelling bewezen is, Sin^. A =nbsp;0

op.

Hoe bepaalt men, door deze gegevens,, de hoogte van dit voorwerpt in de onderflelling, dat E G evenwijdig aan den waterpas liggendcUnbsp;grond AC loopt f

Oplossing. In den driehoek EFD, is de hoek EDFzztp � qi nu is (///, Steil, j Sin.EDF-.Sin.E^E F, (of ABj-.DF; dat is

Sin. (/gt; � q)�. Sin. q~AB-.DF; en D FA B Y. --

lt;itn.{p � q)

Wederom is, in den regthoekigen driehoek DFG, (//. Steil.j DG DF Y Sin.Fz=z DF Y Sin.p: Hellende mi, in plaats van DF,nbsp;de tvaarde zoo even voor dezelve gevonden; dan hebben wij:

AB Y Sin.p Y Sin. q

Sin. (/gt;�qj

BEREItENING. Log. AB Z=. 1,9527924 �

Log. Sin.p � 9,9200291 Log. Sin. q � ^, 7491494nbsp;21,6219709nbsp;Log. Sin. ip�q) � 9. 5762755nbsp;Log.DG = 2,oi^lt;,6nfg-,

ER. MEETKUNST.

'''orden. Deze bafls, met de iiiterfte naauvvkenngheid, gemeten zijnde, �boeten, aan derzelver uiteinden, de hoeken, weike zij met de lijnennbsp;�'3akt, die van hare uiteinden tot de voorwerpen loopen, door waarneming^ bepaald worden: men verkrijgt dan vijf gegevens, door wel-niet Hechts de begeerde afftand der voorwerpen, maar tevensnbsp;3fftanden van diezelfde voorwerpen tot de uiteinden van de balisnbsp;bonnen gevonden worden.

�� 646. I. Geval. Fig. 245. Wij Hellen eerst: dat het verlengde '3n de bafis het verlengde der lijn, welke door beide voorwerpennbsp;*��pt, ontmoet, en noemennbsp;� de lengte van de balls.

P en ^ de hoeken, aan het .uiteinde van de bafis ter regterhand, uit het punt D, te weten, de hoeken BD/I en JDC, altijd'nbsp;van de regter naar de linkerhand gaande.

�� en s, de hoeken BCD en BCA, uit het punt C, aan het uiteinde van de bafis ter linkerhand, wederpm, in rangorde, van de regter naar de linkerhand, genomen.

^ en D' de affianden der voorwerpen B m A, tot het regtfche uiteinden van de bafis.

Bgt;'' en D'quot; de .afftauden der voorwerpen B en A, (ot het linkfehe uiteinde van de bafis.

Z den begeerden afltand der voorwerpen B en B. f)an geven ons in de eerfte plaats de driehoeken CDB en CDgl,nbsp;'�^Ifiens de UI. Stelling,

Nen zal nu, door de oplosling der driehoeken, ABD en ABC, '''Siller twee zijden met den ingefloten hoek bekend zijn, de begeerdenbsp;afftand z, op twee onderfcheidene wijzen, kunnen vinden. Men ftel-Volgens /. Opuy. III. Geval pag. 241, in den driehoek ADB,

Tang. I {ABD�BAD) � Tang. Cc|)�45�) Tang. (po�~. f/.), ftel Tang. 1{bBD~ BAD); � Tang. P-dan is

�m. n nbsp;nbsp;nbsp;itn. m

a X Sin.p X Sin, (r -|- s)

D'Sgt; nbsp;nbsp;nbsp;Sin. q X Sin. (/gt; ? 0

Tang. \ {BAC � ABC')z=.Tang. (Cf)'�45'�) X Tang.(gcB� f j)' , IM Tang.\(BAC�ABC)� Tang. pJ, dan is:

hoek BAC � ^oquot; � | s p- �tn' hoek ABC~ po� � J s � p/ � n�

�_y. Sin.s Dquot;' y Sin^s_a y Sin.s x Sin.(p-\-q')^

�. �47. Zie hier dan het ftelfel van vergelijkingen, door welke begeerde afftand, langs twee oaderfcheidene wegen, kan gevonde�nbsp;worden.

I, nbsp;nbsp;nbsp;Oplossing. Men MIe, dezelfde notatie als boven gebruikend^�nbsp;Sin. (r s) X Sin. (p q r)

Sin r y Sin. (? �� O 2� Tang. p � Tang. (Cp � 45�) X Tang. (90� � ip')

Sin. q X Sin. (/gt; lt;7 fj 2� Tang. p.' = Tang. (Cp' � 450) x Tang. (pa� � j s)

^ nbsp;nbsp;nbsp;A'k. m' X Sin.(p-\- q-\^r)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. n' X Sin. (^4 r

Wanneer nu deze vergelijkingen naar behooren berekend zijn; moeten de uitkomften aan deze twee volgende vergelijkingen voldoeh*nbsp;1� (./� ?) C� 0 � '�' = 360�

^^56? I7'3

*^44�38'i7'^2; dan zal men, zie de berekening, ep volgende ^^�^dzijde, Littera A. vinden, dat Z=:7inc)�lt;,243 is. Men heeft denbsp;berekening, in alle deszelfs deelen, uitgevoerd, en het blijkt uit dezel-dat elke vergelijking voor Z, dezelfde uitkomst geeft. Nogtansnbsp;houden de Logarithracn van de achterUe cijfers der laatlle uitkomftennbsp;'''21 eens ��n of twee ��nheden kunnen verfchilleu, (want zij bepalennbsp;hechts derzelver naast kleinere of naast grootere waardijen,) dan, in ditnbsp;�sval, zou men een midden uit de vier uitkomften moeten nemen,nbsp;dit middelgetal voor den waren Logarithraus afftand houden. Metnbsp;behulp der vergelijkingen (A), zal men vinden: D =: 7288�, 333,nbsp;7795090, 1)'''' = 9773�, 26 ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5038�j 237*

S- 649. II, G�val. Fig. 245. Wanneer de bafls CD de lijn, w�el-ke de voorwerpen A en B ver��nigt, doorfnijdt; dan zal men de voi-. geilde oplosfingen vinden.

1. Oplossing, Men ftelle, de notatie der figuur gebruikende:

^ Mn. r X Sin.{p-\- s)

Tang. p. = Tang. (lp � 45�) X Tang. | 90� � nbsp;nbsp;nbsp;^

fK = 9o� �s 4) B = 90� � i (7' '?) �T

a X Sin.r X Sin. {p q)

3�

dan is:

2_a X Sin, s X Sin. (? g)

Sin. m X Sin. (/gt; i)

Oplossing. Men ftelle voorts:

1�

^ Sin.p X Sin. (4 ;-)

2� Tang.ijp�fufig^ (jp!�Tang. | 9�� i 0' 0 }

3� m' =: 9CO _ I nbsp;nbsp;nbsp;_j.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ p^o _ i 4. y) _

dan is:

X Sin, q X Sin, (?� s) ^ X Sin, p X Sin. (r -l~j)

Sin. m' X Sin.i^q r)~ Sin. n' X~Siii. i,p O vervaig, op tladz. 253.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�� lt;55o-

beginselen

Men viiuU derhalve Zp27i29��,243 voor den afftand der voorwerpen.

S- 650, III. Geval. Fig. 247. Wanneer het verlengde van de lijn, ^elke de voorwerpen ver��nigt, de bafis doorfnijdt; dan blijven denbsp;fotmulen dezelfde, als voor het tweede geval, mits men de hoeken qnbsp;Cn r negatief neme.

�� 651. Voorbeeld op het tweede geval. Gegeven ��3728'�, 3,

63� i7''20'quot;; ^ = 58� 17''20'^; rzz4-5'* ^9'.......

57� 9'lo'''; dan zal Z :=. 556^�', 661 zijn.

�. 652. Voorbeeld op het derde geval. Gegeven � = 4793�, 75

t = 55� 13-'40'^; de waarde van Z te vinden?

. �. 653. XI. Vraagstuk. Jhg. 245�247. Onderflellende, dat de af-fiand van twee voorwerpen A en B bekend zij, en dat men, uit twee andere voorwerpen, {of bijzondere ftandpiinten,j D en C, denbsp;boeken BDA, ADC, DCB en BCA, of p, q, r en s, hebhe waargenomen , vraagt men: om, met behulp dezer gegevens, zoowel dennbsp;^fjland dezer twee voorwerpen, of jlandpunten D cn C, als derzelvernbsp;^ffianden tot de twee eerfle voorwerpen, A en B, te vinden ?

�VLossiNG. I. Geval. Fig. 245. Dit vraagftuk is van het voor-gaande flechts daarin onderfcheiden: dat aldaar de afftand CD bekend I^'as, en naar den afftand AB gevraagd werd; terwijl in het tegenwoordige AB gegeven is, en GD'moet bepaald worden; voor het overige zijn de gegevens dezelfde, en de hoeken m, n, m', n', welkenbsp;dezelfde zijn, als de hoeken ABD, BAD, BAC m ABC, in danbsp;figuur, worden, onafhankelijk van eenigen der afftanden, door de ver-S^lijkingen (i), (2) en (3), der eerfte en tweede oplosfmgen vannbsp;het eerfte geval van het voorgaande vraagftuk gevonden. Dezen nunbsp;door de berekening dezer vergelijkingen bekend geworden zijnde,nbsp;''olgt, (dezelfde notatie als in het voorgaande vraagftuk behoudende,)

� nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,-1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~Z% Sin. n

Uit den driehoek ABD, {

( Dquot; zz

hit den driehoek ABC, l

( Dquot;' � Z y Sin.n

hit den driehoek BCD, . . , a � D X Sin.{p-\-q-\-r') \ Sin.r uit den driehoek ACD, . . . a=zDquot;'y Sin. {q r sy. Sin.qnbsp;Het geheele zamenftel der vergelijkingen, waardoor de begeerde afftanden gevonden worden, is dan het volgende:

I � Stel Tanlt;r, 0 � nbsp;nbsp;nbsp;^ Sin.(py-q-k-r'j

^ Sin. r y Sin. {q -\- r -tf sj 3� Tang. p. zz. Tang. {Cp � 45�) y Tang, (90� � Ip')

3� w=r

Wanneer deze vergelijkingen naar bcliooren berekend zijn; dan ffloc' (i' ?) (gt;' 0 � �'~ S�o�^, en i* q-^-r � n-^-n' zijn. Voorts'quot;

7� I) �Zy.Sin.n iSin.p . . 8� D' ~Zy,Sin.m\Sin.p 9� Bquot;~Z'K Sin.m'iSin.s , . lo'^ D'quot;�Z'gt;i, Sin.n''.Sin.inbsp;en eindelijk:

De laatlle dezer vergelijkingen geeft eene dubbelde waarde voor Hi en ftrekt alzoo tot eene bevestiging van de juistheid der berekening�nbsp;nogtans kan men de gevondene uitkomst ook nog beproeven doornbsp;Sin. (/gt; ?) p, � ^ ^

welke, indien alles naar behooren berekend is, dezelfde uitkonillen al� N� (8) en (9) moeten geven. Wij herinneren nog: dat, wanneernbsp;Cp of Cp' kleiner dan 45� mogten zijn, p of p/ negatief worden, iquot;nbsp;welk geval, de teekens van p of p', In N� (3) of (6), moeten wor-der omgekeerd

�. 654. Voorbeeld. Fig. 248. Bs afftancl der middelpunten v0 den St. Laurens Toren te Rotterdam, tot den Toren van de St. Jan^nbsp;kerk te Gouda, door de fchakel der gruote driehoeken, welke een vervolg uitmaken, van den middags-cirkel van MechaIN en DelahbrE�nbsp;bevonden zijnde, ten naauwketirigfle gelijk te zijn aan 18416,93!nbsp;meten, hebben wij, in den jare 1803, in de kocpeh''van de Toretis defnbsp;dorpen, Zoetermeer en liazaartswoude, (ten opzigte van Rotterdamnbsp;Gouda, ah in de figuur wordt voorgefteld, gelegen j) men den Sextantnbsp;waargenomen �, uit Zoetermeer, den hoek van Rotterdam en Gouda gr-lijk 73� 57''Io'�'', van Gouda met Hazaartswoude gelijk 52� \' 'goquot;'�gt;nbsp;uit den Toren van Hazaartswoude, den hoek van Zoetermeer met Rotterdam gelijk 35� 34' 20'�', en van Rotterdam met Gouda gelijknbsp;�i� 6^30'quot;. Hoe ver zijn de Torens dezer dorpen van elkander,nbsp;van de twee hoofdpunten, Rotterdam en Gouda, gelegen? Zie de betekening van dit voorbeeld op de volgende Bladzijde. Littera AA.

Het blijkt uit deze berekening: dat de afftanden van

S Rotterdam ~D =:i5oo3w, 51 l Gouda =!)''= 15�05W, 10nbsp;Rotterdamnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 2o86p�lt;, 97

Gouda nbsp;nbsp;nbsp;� B'-'� 12385�', 21

Zoetenneer en Hazaartswoude ~a = 8159�, 97 welke aflianden nog, op verfclieidene andere wijzen, door andi^t�nbsp;waarnemingen en andere bekende afdanden, aldus bevonden zijn.

�. 655. II. Geval. Fig. 246. Snijdt de lijn, welke de ftandpU�� ten C en D ver��nigt, de lijn, die van het ��n tot het ander vo0^�nbsp;werp loopt; dan zal men, even als in het tweede geval van het 'tO'nbsp;lig vraaglluk, vinden: dat, wanneer mennbsp;^ Sin. s X Sin. Qi r)

Sin. r X Sin. (p s)

Tang. IJ. = Tang. (lt;J5 � 45�) X Tang. | 9�� i (? ^) | m ~ 90� � i CP quot;iquot; �b 1� i 2n ;; =: 90�

5� Tang. ij/� Tang. (Jp'� 45�) X Tang. 'j 90�

go nbsp;nbsp;nbsp;� \ Qr r) F'i en n' � 90� � (^ ^) � /�'

ftelt, alsdan

7� B~ZX Sin. m : Sin. (p q)

8� D'�Z X Sin.n:Sin. (p q)

* nbsp;nbsp;nbsp;9�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D^' � Z X Sin. m': Sin. {r s)

Dquot;! � Z X Sin. n': Sin. Qr s')

_DXSin.Qp s) _^X Sin.(^4.,-) _ BH X Sin.

Sin. s

DWy Sin. (f_ s)

~Sin,p~

zal zijn, terwijl, de zes eerfie vergelijldngen berekend zijnde, deze!''^� met behulp der vergelijkingen, 180� � (^p q) � m -{- n; 180�

(r s) = �' n'; en voornamelijk, door m �'' = 180� � . � ' ^qj^r) en nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;180� � (p ?)) zullen beproefd worden.

�. 656. III. Geval. Fig. 247. Indien niet de lijn, welke de werpen ver��nigt, maar wel derzelver verlengde, de lijn CD fnij�^*�nbsp;dan'zullen de Ipeken q m r negatief worden, en men zal dus, doof'nbsp;in de vergelijkingen van het voorgaande geval, de teekens be^oof^

DER MEETKUNST.

lijk te veranderen, de bijzondere vergelijkingen voor dit geval verkrij-8en. vVij zullen dit aan des Leerlings vlijt overiaten.

�� 657, XII. VrA/IGStuk. Fig. 249� Onde -fteld zi-tidc, dat men, ^�^t een ftandpunt P, de hoeken, A_P F en liPC, on'ier welke drienbsp;'Voorwerpen , welker onderlinge afftand bekend is, gezien worden,nbsp;^or waarneming bepaald hebbe, vraagt men: uit deze gegevei.s, denbsp;^ffianden van dit ftandpunt tot elk dezer voorwerpen te vindm ?

Opi.rjssiNG. Om, in de oplosfiog van dit gewigtig vraagfta� , waar-*'^^2 S^E[.Llus het eerfte denkbeeld gegeven heelt, met de meest rno-Sslijke duidelijkheid, te werk te gaan, zullen wij de voorwerpen, zoo zij uit het ftandpunt P gezien worden, van de regitr naar de lin-kerhand gaande, A het eerfte, B het tweede, C het derde voorwerpnbsp;*�oemen; voorts den afftand van het eerfte tot het tweede voorwerp,nbsp;is, ABtzta; dien van het tweede tot het derde voorwerp. ofnbsp;^C � b; dien van het derde tot het eerfte voorwerp, o? ACmc;nbsp;'^'ize afftanden, als bekend, aannemende, kunnen de hoeken des driehoeks ABC, indien deze niet, door waarneming, gegeven ziin, vol-Sens het vierde geval, door berekening gevonden worden. Echter isnbsp;hst, in de oplosfing, welke wij hier geven zullen, voldoende, deunbsp;hoek B aan het tweede voorwerp te kennen. Eindelijk zullen vvij danbsp;�'fftanden van het ftandpunt P, tot de eerfte, tweede en derde voor-'�'terpen, door D, D' en D'^ uitdrukken. Wij merken op: dat, w n-*'ser de hoeken PAB en PCB bekend waren, de afftanden n. Dlnbsp;Igt;quot;, door het eerfte geval van de oplosfing der fcheefhoekigenbsp;^t�-�hoeken, ABP en CBP, zouden gevonden worden; indien d,r-halve deze hoeken, die wij PAB~p en PCB � q zullen (k-il.n.

h)eze hoeken kunnen nu gerar.' kelijk gevonden wpnlen; want de fiuhoei-eu PAB en PCB, geven ons (///. Stelld) de evenredigheden:nbsp;Sin. m\ a ~ Sin. p : D'nbsp;b : Sin. n � D'-. Sin. q

te, tnet elkander vermenigvuldigd zijnde, deze andere evenredig-sid l. Steil. H. B.') voortbrengen:

' b Sin. m a Sin. n

wordt afgeleid.

Nu beilaac het laatfte lid dezer vergelijking uit geheel bekende tef' iren; want, onid.t de fom van de hoeken van eenen vierhoeknbsp;regie hoeken bedraagt, heeft men :

(/gt; j?) nbsp;nbsp;nbsp;� �) = 360�

en hieruit volgt dan:

K? ^) = 180� � � (5 �� )

Stellen wij dan . kortheidshalve :

i C/' ?) = 180'� � I nbsp;nbsp;nbsp;m n')-=.M

� nbsp;nbsp;nbsp;� N;

dan zal

hSin.m � a Sin.n �

Tang, N� --r� rr� X Tang. M

verandert, of (volgens I. Gev. IF. Steil. VIII. B. Verg. (21)) in Tang. N�Tang. (45� � lt;?) X Tang. Mnbsp;Wanneer nu'/V, door deze vergelijking, gevonden is; dan zal,

M en N de halve fom en het halve verfchil der hoeken ^ en ^ p � M-\-N q �BI � N �

zijn. De hoeken p en q alzoo bekend zijnde, zullen ook, wanfl^^^ de hoeken en C, door waarneming of berekening, bekend zijn?nbsp;andere hoeken der figuur bekend worden; namelijknbsp;Hoek JB P � 18o�� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p')

H�ikCB P ~ nbsp;nbsp;nbsp;~{n-!r q)

Hoek CJP � p � J; en Hoek ACP � q � C Stellende dan alle deze hoeken bekend; dan zal men, met behulpnbsp;III. Sreliing, voor elk der begeerde afftanden, twee onderfeheid^'�^nbsp;uitdrukkingen vinden, welke in het volgende Itelfel van vergelijk�'nbsp;voorkomen.

Men !gt;'ebruikt de laatlle vergelijking, indien het punt B beneden de AC valt. (Zie onderftarnde aantnerking.)

3� Ta, g. N� Tang. (45� � �p) Z Tang. M fen blijke ven tie jt�isrheid van dit eei�lic gedeelte der berekening, moetnbsp;�bw-{-y300� ^ijn.

�� 658. Aanmerking. Dit vraagPuk is aan onderfcheidene geval-onderworpen, welke in de gevondene vergelijkingen, op eene ^Igemeene wijze, zijn opgclloten.

I '* Indian het pant B in de lijn A C valt; dan is c � a-^-b en hoek Bm8o�. De vergelijking (2) wordt, in dit geval, ^1/2=180�

2� Valt het punt B, beneden de lijn AC; dan is klaarblijkelijk � �i�tl, en de tw'eede vergelijking verandert in Mzznbsp;i (igt; � if!�-rij, en daar, in dit geval, de hoeken A en C negatiefnbsp;'''orden, moeten de teekiiis dezer hoeken, in de vergelijkingen (6)nbsp;(7)1 '-'an � in veranderen.

3quot; Eindelijk ka�i het llandpunt P binnen den driehoek vallen. Ia geval, is de foni der hoeken w en n'gt; 180�; alle vergelijkingennbsp;*^'*)ven dan dezelfde; de hoeken q � C en q � d worden wel ne-Satief, niaar aangezien de Siuus van mn insgelijks negatief is,nbsp;luaakt zulks geene verandering in het telken van de tweede waardennbsp;Vaa D en d'', welke, even als de eerfte waarden, pofitief blijven.

Men most hier nog bijvoegen: dat men, in de berekening van de Vergelijking (3), op de teekens van Tang. (45�~(py ea Tang.M, he-tooriijk acht moeten geven, zijnde het teekcii van Tang. (,45��^')

BEGINSE LEN

het zijn deze teekens, welke het teeken van den hoek bepal�Of hebbende die hoek altijd hetzelfde teeken als zijne Tangens.

�. 659. Voorbeeld. Fig. 250. Ik bevond, in den jare 1805, of het midden van het �plat van den Toren van Wijk aan Zee, met degt;^nbsp;Sextant, van de regter naar de linkerhand gaande, den hoek van defgt;nbsp;K'rktoren van Haarlem met den IVeitertoren van Amderdam, 42'�37''5^^�nbsp;den hoek van den TVestertoren van Amfterdam met den Kerktoren va�nbsp;Alkmaar, 49^ de driehoek van de middelpunten der gezrgdonbsp;Torens van Haarlem, Amiferdam en Alkmaar, was te voren, met de�nbsp;herha�ngs-cirkel i'/7�Borda, genomen en bevonden te zijn; AmfterdaiHnbsp;en Alkmaar, uit Hiarieni 77� 54''54'^8; Alkmaar en Haarlem, uit hamp;-Iterdam 69� i (''54'''',4, en Haarlem en AmUerdam, uit Alkmaar �nbsp;32^53' 10'',8; men kende ook de Logarithmen van de afflanden dt'nbsp;zer plaatfen in nieters

Men vraagt: hoe ver de Toren van Wijk aan Zee van de opgenoemdt Torens van elk dezer plaatfen gelegen is?

�. 6�0. Aanmerking. In de berekening van het voorgaande voor-beeld, vindt men eenige Logarithmen, welke met een * getttkend zijn: deze Logarithmen moeten van de fom der Logari hmen, ondefnbsp;welke zij geplaatst zijn, ingevolge de gegevene verge�ikingen, afg^'nbsp;trokken worden; dan, deze aftrekking kan in eene optelling vcrandefi^nbsp;worden, mits men het arithmetisch complement van het achterfle cij'nbsp;fer tot tien, en van al de andere cijfers tot negen neme, en deze arith'nbsp;metifche complementen met de cijfers, welke in dezelfde kolom flrsBtnbsp;nnar den gewonen regel, optelle. (Zie /. C. �. 119, pag. 3o e�nbsp;�. 890, pag. 46p.). In- de berekening van de waarde van Log. Tang.^nbsp;werkt men aldus: bet arithra. compl. van 8 en 7 tot 10 is 2 en 3�nbsp;2 3 9 6 = 20� d� lom der ��nheden; de arithm. compl, vannbsp;7 en 7 tot 9 zijn 2 en 2; 2 0 7 9 2 = 22= de fom de^nbsp;tweede kolom enz. Meestal fchrijft men in de plaats van deze L^'nbsp;garithmen de complementen, (zie �. 890, 1. C.) doch het is ons toS'nbsp;gefchenen, dat het beter is de Logarithmen zelve te fchrijvjn, en*nbsp;ondT het optellen, de complementen der afzonderlijke cijfers te.ne'nbsp;men.

BEGINSELEN

� 661. Men zal zich, door het berekenen van de volgende wast' nemingen, met de behandeling van dit vraagftuk meer eigen kunnennbsp;maken.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

Voorbeeld. Het is, doer de waamemingen van den Heer KraijeN' hoef en ons, met den herhalings cirkel van Borda, in 1802 in het v/cr�nbsp;ge field, gebleken; dat denhoeken, onder welke de middelpunten vannbsp;Torens der honfdkerken van de Haag, Rotterdam en Gouda, uit hetnbsp;middelpunt van het Obfervatorium van de Koninklijke Hooge Schoolnbsp;te Leijden, gezien worden, zijn als volgt: de Haag en Rotterdam gt'nbsp;lijk 54�'6'8'',9; Rotterdam en Gouda gelijk 43''37''59^^5- Naderhand bleek het: dat de Logarithmen der offianden in meters wasnbsp;Fan de Haag tot Rotterdam =4,3270577nbsp;'Rotterdam tot Gouda =4,2652160nbsp;en dat de hoek van Gouda en de Haag, uit Rotterdam waargenomen, gelijk is aan 92�26''28'''',8 is. Men vraagt; hoe ver het middelpunt van het' voornoemde Obfervatorium van de middelpunten votinbsp;de Torens dezer plaatfen verwijderd is? Men vindt

ede Haag =15119�, 187 'j Rotterdam =262i2'�, 391nbsp;v Gouda =22439�', 167nbsp;�� Men zal uit eene gewone kaan zien, hoe de driehoek ten opzigtenbsp;van het llandpunt gelegen is.

Oplosflng van eenige Vraagftukken van minder aanbelang.

�. 662. XIII. VrA-IGSTUk. Fan eenen gelijkbeenigen driehoek, zij� de bafis =�, cn de opftaande -zijden elk =5 bekend: men vraagtnbsp;den tophoek cn de gelijke hoeken aan de bafis te vinden ?

Oi'LOSSiiNG. De loodlijn, welke uit den tophoek op de bafis valt� deelt den tophoek en de bafis in twee gelijke deelen, en den gelijk-beenigen driehoek in twee gelijke regthoekige driehoeken: nu is /Lnbsp;Stelling, (^A en B de hoeken aan de bafis, en C de tophoek zijnde,)nbsp;la: h~ Cos. A = Sin. i C. Men zal door deze vergelijking de hoeken vrnden. De loodlijn zr,l gelijk aan b x Sin. A�Y{b^ �

�. 663. AlV. Vraagstuk, big. 240. Eene zijde c, met den ov/i'� fiaanden hoek C, benevens de fom of het verfchil der twee an deftnbsp;zijden , a en b, eens driehoeks gegeven Zijnde, deszelfs onbekende hoeken en zijden te vinden ?

Oplossing. Volgens de Ibb. Stelling, is a �. 'hzz.Sin,A:Sin.Bi e.n hieruit volgt Q'TH en FlI. Steil. 11. B.')

�

DER MEETKUNST.

a bx Sin. A Sin. B ~a: Sin. A ''Wederom is (///. Steil.') a ; Sin. A zz: c �. Sin. C,- derhalve zal ooknbsp;Steil. II. B.) :

/� ^ : Sin. A Sin. B~cx Sin. C of, a b : c � Sin. A Sin. B : Sin. Cnbsp;2�in. Nu is {FI. Steil. VIIL.B.) Sin. A Sin. 5 = 2 Sin. 1(^ 5)nbsp;^ Cos.l(A � 5); derhalve is:

a b-.czzzSin. i (A B) X Cos. i QA � B):Sin.C ^ffldat nu ^ 5 = 180'* � C, en derhalve i (AB)�^o'^��Cnbsp;�s, zal Sin. i {A B) = Sin. (po� � i C) = 0'S. \ C, en (volgensnbsp;Qev. III. Steil. F�I. B.) SU . C= 2 Sin. i C x Cos. \ C is, zal men,'nbsp;deze waarden v;n Sin. \ d^A B) en Sin.C in de voorgaande eyen-quot;^edigheid overbrergende, en de termen der laatfte reden door 2 Cos. ^nbsp;deelende, na omkeering der redens, verkrijgen:

's. Het blijkt,uit deze evenredigheden, welke men �ok uit de formidea Voor de II. Ophsfing van het UI. Geval, pag. 242, kan aHei.ien: oi'itnbsp;^ike zijde eens ch iehoeks tot de fom van zijne twee andere zitd^nnbsp;flaat, gelijk de Sinus van de helft van den koek. over de cerfte zijde,nbsp;tot de Cofinus van het halve verfchil der hoeken, over de twee andere zijden, � en wederom, � dat elke zijde tot het verfchil dernbsp;twee andere zijden ftaat, gelijk de Cvfmus van den kalven hoek overnbsp;die zijde tot de Sinus van het halve verfchil der Wee tindei e noeken.

Wanneer nu de fom a-\-b, benevens de zijde c met den over-ftaai den hoek C gegeven zijn; dan heeft men:

BEGINSELEN

en a�lQa-\-h')-^i (^a�by, cn � i (� �) � i Qa�bquot;) zijn; door welke vergelijkingen, de onbekende zijden en hoeken gt;�*nbsp;getallen zullen kunnen .berekend worden.

�, 6�4. XV. Vraagstuk. Fig. 251. De opftaande zijden AC BC, of h en a, benevens den tophoek C, gegeven zijnde, te vinden'nbsp;ho�� ver het toppunt C van het midden van de bafis verwijderdnbsp;ahraede de hoeken, welke de lijn CD, die tot het midden van de bofdnbsp;loopt, met de opjlqa^e zijden maakt ?

Oplossing. Men ftelle CD = t/,-.hoek ACD~r en hoek BCD ~ s; dan is ( FH. Steli.j �a^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 2. ah X Cos.C, en (XV. St

4rd^ ~a'^b^tt a b y. Cos.C .... (jf) waardoor de waarde van d kan gevonden worden; en'welke, indiennbsp;men dezelve, met behulp van het F, Gev, UI. Steil. Fill. B., ondernbsp;de volgende gedaante

ftelt, en �^ab x SitF,l C�.(ji-{-b'j^ gelijk aan Cos^.u maakt, doof de gewone Logarithmen-Tafel, zal kunnen berekend worden; dochnbsp;men kan voor de waarde van d een kortere en fierlijke uitdiukkingnbsp;vinden. ladien men de evenredigheden

welke de driehoeken A DC en BCD geven, met elkander vermenigvuldigt; dan vindt men;

evenredigheid, welke ons leert: dat de opftaande zijden eens driehoeks wederkeerig evenredig zijn met de Simtsfen der hoeken, in welke de lijn, die de hafts midden door deelt, den tophoek verdeelt.

DER MEETKUNST.

omdat (F/. Steil. Fill. B.quot;) Sin. r Sin, s �2 Sin. | (?� 5) X Coj. ^ Qr�� 2 Sin. i C X C�s. I �0 en r s = C is,nbsp;a ^ b: 2a � Sin, � C X C�s. � (r � s) :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r

a b'. 2b � Sin, I C X Cos. J (^� �' O: Sin. s produft van de over��nkomdige termen dezer evenredigheden geeft:nbsp;(^a by-.j^a b = Sin^. i C X Cos^-. i Qr�s'): Sin. r x Sin. s .nbsp;daarom is;

�laar (r. Steil. VUL B.') Sin. r X Sin. s = i Cos. (r�s) � i Cos. (r s) ^ i Cfl.-. (r�s)�iCos.C zijnde, zal de laatfte wederom in

Veranderen. Nu is, QF. Gev. UI. Steil. FlU. B.,) Cos^. i (r�s') = ^ 4- i Cos, (r�i), en om die reden Cos^. 1 (r�s) � i Cos. (r�s)nbsp;^ i, en

Welke vergelijking, wanneer men, in plaats van � � j Cos. C, {F. Gev. lil. Steil. Fill. B.') fchrijft Cos^. i C, in

Verandert, ons leerende, dat de lijn. welke de ba fis midden door deelt Selijk is aan de halve [om der opflaande zijden, vermenigvuldigdnbsp;'gt;net dg Cofinus van den kalven ingejloten hoek, en gedeeld door denbsp;^ofinus van het halve vcifchil van deszelfs deelen. En het blijkt nu:nbsp;*^et. Wanneer a, b m C gegeven zijn, de afftand van het toppunt

BEGINS

hock, op de hafis valt, benevens de, hoeken, welke zij met de opjlaalt-de zijden, te vinden?

Oplossing. Men onderftelle CD loodregt op AB, en behoud� dezelfde notatie als in het voorgaande vraagfluk; dan is, volgens denbsp;bekende eigenfchappen des driehoeks, {VUL Steil. III. B. en IX. Steil-')nbsp;cd~ah X Sin. C; derhalve d�ab x Sin. C\c, of d'^zz.a^b^nbsp;Sin'^. C: , maar nu is {Vil, Steil.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� zab y. Cos. C /i� i

� De regthbekige driehoeken A DC en BDC, geven (//. d'/'e/A) d � by Cos. r � ay Cos. s; derhalve

a -k-b -.a � b� Cos. r Cos. s : Cos. r � Cos. s dat is, volgens de VlU. Steil. VIll. B.

a b:a � bzi: Cot. � C: Tang. {r � s) waaruit men voor de waarde van de Tangens van het halve verfchdnbsp;der deelen van den tophoek vindt:

gebragt worden, en is, onder dien vorm gebragt zijnde, voor eeu� bijzondere herleiding vatbaar.

Uit de reeds opgenoemde regthoekige driehoeken, ADC en BCP� volgt: {11. Steil, en VUT Steil. 11. B.)

a b'. a � Cos. r Cos. s: Cos. r a -k- b'.b � Cos. r Cos. s : Cos. snbsp;of, volgens de VI. Steil. VUT Bock,

a A;- b '.a ~ 2 Cos. i C X Cos. � {r � s) : Cos. r a-\-b-. b~2Cos.\C y Cos. i{r � s): Cos. snbsp;het produ�l: dezer evenredigheden geeft:

J�

a -}� b

^Wlen kunnen berekend worden.

^ �� 666. XVII. VkaagsT�k. Flg. 252. \Jny tgt;tQ ei'ea en afgelegen voorwerp E O te bepalen, heeft snen, uit drienbsp;^yApunten, A, B en C, gelegen, in ccjse regte waterpas gaandenbsp;ABC, gtitomen, AB � m en BC~n meters; de hoogte hoekennbsp;^ BI, EbD en ECD, of a, b en c waargenomen. Men vraagt:nbsp;do'ir deze gegevens, de voornoemde hoogte zal gevonden worden?nbsp;��Losi;I^G. Men (lelie de begeerde hoogte CD � H; dan is,nbsp;'^'^^gens de /. Stelling,

FI~AD y Tang. a � BDy Tang. b~EDy Tang.c, hieruit volgt dan:

f^Bgt; :=zHyCot.a; BD � Hy Cot.b; CD�Tly Cot, c � 'Volgens de FH. Steil, in de driehoeken ABD en BCD,

ID y CoD.b � H^ y CoF.a

BEGINSELEN

Otndnt mx AB D het fupplement van CBD is, is Cos.ABDquot;^ � Cos. CBD; men mag dan dellen;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

tn^ -j- ID (CoD.h � Cut^. a')_ nbsp;nbsp;nbsp;�* //'� (CoD. b � Co/�. /)

door welke de begeerde hoogte in getallen zal berekend worden, e** \ylke vergelijking, indien men m � n Helt, waarvan men doorgaan*nbsp;meester is, in de meer eenvoudige

�. 66/. XVIII. Vraagstuk. F/g. 253. 0gt;n den afjland van de tiB' einden van eene hajis ylB, door dadelijke meting, te vinden, is ntefiinbsp;iVegens beletfeien, verpUgt geweest, van de regte lijn AB aftewijkeninbsp;en de geknikte lijn ACB te meten, te weten, van A tot C, in eettinbsp;regte lijn Z�rz 6839�, 7; van C tot B, in ecne regte lijn, . . �nbsp;� � J)784�-, 43; wanneer men nu bevonden heeft, dat de hoek ACfnbsp;~ 175'-' 17''32'''', 5 bedraagt; vraagt men: eene gefchikte formule t*nbsp;vinden, otn, in dit geval, zonder den driehoek ACB op de gewone wijtdnbsp;optelosfen, den, afjland van A tot B ten naamvkeurigjle te vinden fnbsp;Oi'LOSsiNG. Volgens de IF. �plosfing III. Geval, �. 640. is;

= nbsp;nbsp;nbsp;J

of, wanneer men den faftor (i��) ontwikkelt, (zielI.C.�.543-) o = (� Zgt;) X |l �

O� (a-\- bj � (i? .�)x |222-[-fl2*-(-^H3_|__|^ 114 enz. |

DEP. MEETKUNST.

zij zal zooveel te (lerker convergeren, naarmate il kleiner wordt; �, wordt zooveel te kleiner, als de hoek C minder van 180quot; verschilt. Volgens deze oplosfing wordt nu de begeerde afiland aldus

i �1-1- f �1^ H- ^ �3 4-c�2. = 0,0008172581 =f Log. (� -|- ^) � 4, 2207389 a b~ 16�24'�, 13

Deze oplosfing is niet korter dan de gewone; maar zij geeft eene grootere naauwkeurightid, waarom men dan ook, onder zulke 0*4^nbsp;S^iindigheden, zich van dezelve, in het werkdadige, bediter. .4�

�� 668. XfX. VftAAGsruK. De ftra,il van eenen cirkd gege-en lijnde, de zijden, de apnthemata en de inhouden der in- en omge-fdnrevene regeluxitige n hoeken te vinden ?

Oplossing. Stellen wij de ftraal des gegeven cirkels = r, de zijde van den ingefchrevenen veelhoek =�; de apothema =:h; den in-houd=/, de zij Ie van den omgefciirevenen veelhoek � a'den inbond � I; het getal der hoeken of zijden =�,� dan is de centerhoek

1' � n A A Tang.

Met behulp dezer vergelijkingen, zal men de zijden en inhouden def in- en omgefchrevenen regelmatige n hoeken vinden, en onk omgekeerd, wanneer, het zij eene zij Ie, het zij de inhoud van eenen re*nbsp;geimatigen veelhoek gegeven is, de llraal van den cirkel btpilen kunnen , welke, om of in denzelven befchreven is. Wanneer, bij voorbeeld, in de vierde vergelijking, / als'bekend wordt aangemerkt, da�nbsp;zal men vinden:

r_il_�) nbsp;nbsp;nbsp;c_i/_

gdo** i en a ~JV .

Meetkunst.

TWEEDE deel.

TIENDE BOEK.

Dver de ligging en fnijding der regte Lijnen en platte Vlakken^ en over de Veelvlakkige of Ligchamclijke Hoeken.

669.T. ^Bepaling. Volgens de X. Bepaling van het Boek, is eene platte vlakte of plat vlak, (in h-t vervolgnbsp;^^nvoiiJig VLAK genoemd,) een vlak, hetwelk zoodanig ge-is, dat eene regte lijn, in alle rigiingen, over hetzelvenbsp;ewogen zijnde, dit vlak, in alle deszelis punten, za) aan-Uken, zinder ergens eeni;te opening rnefchen beide te laten.

�� 670. I. Gevolg. Wanneer men derhalve in een vlak ^^ee pnyifgfi neemt, en door deze punten eene regte lijn trekt'.nbsp;Zal deze regte lijn geheel in dit vlak gelegen zijn; cTat is:nbsp;punten dezer lijn zullen tevens punten van dit vlak zjn.nbsp;�71. ir. Ge VOLG. Wanneer eenig gedeelte eener lijn innbsp;vlak ligt, kan geen ander gedeelte van diezelfde lijn bui~nbsp;dit vlak gelegen zijn,

�� 672. I|(_ Gevoi g. /llle vlakken hebben cemrlei beloop �^^dfde figuur. Wanneer derhalve twee viaklvLn op elknii-

BEGINS

�. 675. Twee vlakken Pen RS, fnijden elkander gens het beloop eener regte lijn AB.

Betoog. De doorfnijding van twee vlakken is de ver��niging alle die puntert, welke deze vlakken met elkander gemeen hehb�**�nbsp;Wanneer nu A en B twee zulke punten zijn; dan ligt (�. Bepl)nbsp;lijn AB, welke door deze punten gaat, zoowel in het eene vlaknbsp;als in het ander RS: deze lijn derhalve, aan beide vlakken geiO�^'*nbsp;zijn-Ie, is bijgevolg derzelver gemeene doorfnede.

vlakte gebrast, en, om deze lijn, als beweegbaar b'fchoU'*^^ worden. � En, elk vlik ka�i om elke lim, welke in het2^nbsp;ve aangenomen wordt, in het ronde bewogen worden.

S* ^gt;77. il. Gevolg. Een oniioemilik aantal vlakken k'quot;� nen elkander, in dezelfde regte lim, doorfi�ideii.

�. 678. lil. Gevolg. Men kan hier bijvotgen: dat niet mopelijk is, dat twee onderTcheidene vlakken elkandet'nbsp;meer dan ��ne regte lijn doorfmjden.

11. Stelling. Fig. 255.

S- 679. T�A�ee lijnen, AB en CD, welke elkander, in een Punt E, doorfnijden, liggen in hetzelfde vlak FQ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Betoog. Want men kan een vlak, P (f, door ��ne dezer lijnen /iB Bten gaan, en, om deze zelfde lijn, laten omdraaijen: bij deze bewe-Swg, komt dit vlak ergens in zulk eenen ftand, dat een punt D vannbsp;lijn CD, in dit vlak valt; alsdan liggen twee punten van de lijnnbsp;C�, (de punten E en D namelijk,) in hetzelve; de geheele lijn CDnbsp;dan (/, Bepl) met de lijn AB in hetzelfde vlak /^^gelegeh zijn.

�� 680. Drie punten, A, B en C, welke, naar tvelgeval-, in de ruimte worden aangenomen, liggen in hetzelfde ^'lak PO.

Betoog. Laat door twee der drie punten, bij voorbeeld, de pun-A en B, ecne regte lijn..-7B getrokken, en door deze regte lijn ^fin vlak /�O, gebragt worden; wanneer nu dit vlak, om de lijn AB,nbsp;'t'ordt omgedraaid; dan komt het noodwendig ia zulk eenen ftand, datnbsp;het derde punt C in hetzelve valt, in welken Rand, de drie punten,nbsp;A, B en C, in hetzelfde vlak /�g, zullen gelegen zijn.

�. 681. I. Gevolg. Men kan dan door elke twee lijnen, die elkander fnljden, en door elke drie punten, welke, naarnbsp;gevallen , in de ruimte, aangenomen worden, altijd eennbsp;vlak krengen.

S- 682. 11. Gevolg. Alle hoeken en alle lijnen, die elkander onderling fnijden, liggen in. hetzelfde vlak.

�� 683. Wanneer eene lijn AB loodregt flaat op twee lij-, BC en BD, welke in een vlak Pgelegen zijn; dan f^aat deze lijn tevens loodregt op alle andere lijnen BE, wel-uit den voet B van deze loodlijn AB, in dit vlak PQ_^,nbsp;bunnen getrokken worden.

� ^PkeldertKg. Dat eene lijn AB loodregt op twee afzonderlijke h]iien, Bc~ sn BD, ftaan kan, blijkt hieruit: dat men, door deze lijn

BEGINS�LEN

andere vlak, op deze lijn AB, kan opgerigt worden: deze twee loo^� lijnen, uit hetzelfde punt 3 komende, liggen (//. Ste/L') in hetzelli^�nbsp;vlak PQ^; dus kan omgekeerd eene lijn loodregt liaan op t#^�nbsp;lijnen, BC' en BD, welke in hetzelfde vlak liggen, en nunbsp;men bewijzen: dat die loodlijn A B ook loodregt Haat op elke andet'^nbsp;lijn BE, welke, uit den voet der loodlijn, in het vlak PQ^nbsp;ken wordt, of dat de hoek ABE een regte hoek is.

Betoog. Het fpreekt van zelfs, dat A B met het verlengde t''-''' lijnen BC en BD, dat is, met de lijnen BF en BG, regte hoeks�nbsp;maakt.

Men neme, op de lijnen, BC en BD, twee punten C en D, t;ekk� de lijn CD, deele dezelve in E midden door, en trekke dan de 1'rnbsp;BE. Om nu te bewijzen: dat de hoek ABE regt is, trekkenbsp;van een punt A, in de loodlijn AB gelegen, tot de punten C, ^nbsp;en E, de lijnen AC, AD en AE; omdat dan DE �CE is,nbsp;(^XX. Steil. III. BS), in den driehoek ACD,

moeten zijn. Trekt men nu deze twee vergelijkingen van elkandst (de tweede van de eerlle) af; dan zal (7'7//. Ax.')

QAC^ � B C^) -{AD^ �BD^')=:eAE^ � eBE^ zijn: maar de driehoeken ABC en ABD, zijn, volgens de onde'quot;nbsp;ftelling, regthoekig; derhalve is (_XFI. Steil. III. B,') AC^ � BC^^nbsp;AB^ en AD'^�BD^ziiAB^, en de laatlie vwgelijking verande^^nbsp;derhalve in de volgende:

AE^ � AB^ BE'^

is; de driehoek, ABE, is dan (XFII. Steil. III. B.) regthoekig, ^ de lijn AB Haat derhalve loodregt op BE.

Wanneer men de punten C en D anders neemt, zal men eene dere lijn BE verkrijgen, op welke, 0111 dezelfde redenen, de lijn ABnbsp;ioodregt liaan zal: men zal zelfs CD tot in H kunnen verlengen,nbsp;CHz=.CD nemen, en bewijzen, dat AB loodregt op BH Haat.

1) E 11 M E E T K U N S T.

^ hetzelfde, hetwelk van eene lijn BE, welke in den hoek CBD bewezen is, gelden van alle lijnen, weike in de drie andere hoe-'fen, CBG, GBF an FBD, vallen.

Het blijkt dan uit dit alles: dat de lijn ^B loodregt zal ftaan op �lle lijnen, welke uit het punt B, in het vlak PO,, getrokken kun-��en worden.

S- 684. II. Bepaling. Eene lijn wordt gezegd loodregt een vlak te (laan, wanneer zij met alle lijnen, welke, uitnbsp;den voet van die loodlijn, in dit vlak, getrokken kunnen worden, regte hoeken maakt. � Eigenlijk zou bet genoeg zijnnbsp;Ie zeggen : eene lijn Haat loodregt op een vlak, wanneernbsp;eenen regten hoek maakt met twee lijnen, welke, uit dennbsp;t'oet van die loodlijn, in dit vlak getrokken zijn, en niet innbsp;dezelfde rigting liggen; omdat, blijkens de voorgaande llel-�ng, deze twee regte hoeken, al de hoeken van die lijn, metnbsp;de andere lijnen , die in dit vlak getrokken kunnen worden, regt maakt.

S* 61)5 1. Gevolg. Fig. 258. Uit hetzelfde punt A, kan maar ��ne'loodlijn AB op een vlak worden opgerigt. Want,nbsp;indien �er twee loodlijnen AB en AC mogelijk waren, zounbsp;bet vlak, hetwelk door deze twee lijnen gaat, het vlak PQ^,nbsp;Volgens de lijn DE. fnijden, en de hoeken en Z)^C,nbsp;Zouden regt moeten zijn, en dit is onmogelijk.

�. 686. Jl. Gevolg. Fig. 259. Om dezelfde reden, kan, t*it een punt A, flechts ��ne loodlijn yfC op een vlak Pnbsp;Vallen; omdat tvvee loodlijnen, AC en AB, eenen driehoek.nbsp;ABC zouden vormen , welke, ftrijdig met den aard vaiinbsp;^cnen driehoek, twee regte hoeken zou hebben.

687. III. Gevolg. Fig. 260. Om uit een punt A, in een vlak �^5,5 eene loodlijn op dit vlak opterigten, trekke men, door het ge-Sevene punt A, twee lijnen BC en /ID naar welgevallen, late doornbsp;��ne dezer lijnen (�C bij voorbeeld,) een ander vlak gaan, in het-'vellc men, uit het punt B, eene loodlijn AE op BC oprigte: mennbsp;hte dan dit vlak, om de lijn BC, omdraaijcn, tot dat de hoek DAEnbsp;wordt; dan zal, vermits, in dezen Hand, de hoeken h/lD en

BEGINSELEN

�. 688. Wanneer men^ uit een punt A, hetwelk in lijn AU gelegen is, een onbepaald aantal loodlijnennbsp;AD, AE, enz., {\velke natuurlijk in onderfcheidene vlakke'*nbsp;moeten liggen,') oprigf, dan zullen deze alle in hetzelfde vUkinbsp;op hetwelk deze lijn AB loodrcgt ftaan zal, gelegen zijn.

Betoog. Men kan door tvFca dezer loodlijnen, AE en /iC, 0^' Steil.) een vlak laten gaan. Wanneer nu eene derde loodlijnnbsp;niet in dit vlak gelegen is; dan zal een vlak, hetwelk door de lijn^**nbsp;AB en AD Ql. Steil.) kan gebragt worden, het eerde vlak, vel'nbsp;gens het beloop eener lijn AF, dooifnijJen, en dan zal de hoek BAlnbsp;(IF. Steil.) regt zijn: maar aangezien de hoek BAD (onderji.)nbsp;is, en alle regte hoeken gelijk zijn, zal hoek BAF�Tsoi's. BAl^nbsp;moeten zijn; daar zulks nu (II. Ax.) onmogelijk is, zal de lijn ABfnbsp;even als alle andere loodlijnen, welke uit het punt//, in andere vlak'nbsp;ken, loodregc op AB Haan, niet buiten, maar in het .vlak vannbsp;lijnen AC en AE, moeten liggen.

�. 68p. Gevolg. IVanneer men dan een jlelfel van Wee loodll' nen, om ��ne van dezelve, laat omdraaijen; dan zal de andere loodnbsp;lijn, door deze beweging, een plat vlak hefclirijven: wel te verfraai� gt;nbsp;wanneer die eerfte lijn, altijd in denzelfden (laiKl blijvende, gedurenii^nbsp;die beweging, niet van Hand verplaatst wordt.

R M E E T K U N S- T,

�tf�len, SC en BD; omdat dan, in de diielioeken, ABC ex\ ABD, ''olgens de onderftel�ng, hoek ABCz:z hotkABD; ABzzAB ennbsp;Qev. 11. Bej). S.) BCz=.BD 'm, zal (X Steil. I, S.) ACz=:

zijn. Hetzelfde zal, om dezelfde reden, voor alle andere pua-S, G, enz. plaats hebben, en de lijnen AC^ AD, Ah, AG, zullen, alle zonder onderfcheid, aan elkander gelijk zijn.

Betoog !�lt;?� het tweede. Laat het punt A, op eeuen gelijken af-flaiid, van de punten D, C en G, gelegen zijn; tl�'� zijn Qpnderft.

�. Gev. II. Bcp. V. S.) de driehoeken ABJl, ABC en ABG, onderling gelijkzijdig, en de hoeken ABD, ABC amp; ABG, zijnnbsp;^XlII. ^telL I. S.) gelijk. Wanneer nu deze hoeken niet regt zijn;

zal men, uit het punt A, eene loodlijn AP, op het vink SO,, Wen laten- vallen, de driehoeken, APD, APC en APG, zullennbsp;dan regthoekig, en (f/. Lemma I. BI) de lijnen PD, PC tn PG,nbsp;gelijk zijn; dan zulks (1. Gev. X. Steil. F. B.) �nmogelijk zijnde,nbsp;�oet AB noodzakelijk lopdregt op S^flaan,

�. 691. Wanneer men, uit een punt A, gelegen luiten een Aak PQ,-, tot in, of aan dit vlak, verfcheidene lijnen Pi B,nbsp;AD, AC, AE, enz. trekt; dan is:

De lijnen AD, AC, AG, AB', enz., �welke het vlak, �P gelijke afftanden van den voet der loodlijn A B, ontmoeten,nbsp;Ajn even lang.

3� En de lijn AE, welke het vlak, op eenen verderen ^ffiand van den voet der loodlijn, ontmoet, is langer dan denbsp;AC, welke het vlak, op eenen karteren afftand van dat-^olfde punt, ontmoet.

^Betoog. De waarheid van dit gefielde volgt onmiddelijk, uit de ^Xl, Stelling van het I. Boek.

�� 692. III. Bepaling.'^ Gelijk de afliand van een punt tot 6ene regte l^n de loodlijn is, welke, uit dit punt, op dienbsp;Hm valt; zoo is ook, op dezelfde wijze, de afftand van eennbsp;punt tot een vlak de loodlijn, welke, uit dit punt, op ditnbsp;''lak valt.

flaat loodregt op een ander vlak, APC, hetwelk door eene, het eerfte vlak ftaande, loodlijn, PI B, en eene andere lijn B ^nbsp;gaat. welke, uit den voet dezer loodlijn , loodregt opnbsp;eerstgenoemde lijn DE getrokken wordt.

Betoog. Men neme, ter wederzijden vsn het punt C, op gelijk� afftnnden van hetzelve, twee punten Z) en �j dan is DC�CB-Uit een punt A van de loodlijn AB, trekke men, tot de puntennbsp;C en �, de lijnen AD, AC en AE; en, uit het punt B, tot dezd^'nbsp;de punten, de lijnen BD, BC en BE; dan kan men in denbsp;het volgende opmerken:

Omdat {ondcrjl.') hoek BCD � hoek BCE, BC�BC DC�CE is, is (A'. Steil. I. B.j BD = BE.

2quot; Omdat Qonderft.') hoek ABD =hock ABE', AB � AB, e� BD� BE (J)ew.') is-, zal (JC. Steil. I. [i.'y AD � AE zijn.

3quot; Eindelijk, omdat AD�AE (iew.) DC�CE en AC�d^ is, z:,l (A7//. Steil. I. B j hoek ACD� hoek ACE zijn.

De hoeken, ACD en ACE, zijn dan {XFI. Bep. I. B.j regte hoe' ken, en DC (iaat derhalve loodregt op AC: maar, volgens de o�'nbsp;derllelling, ftaat DC ook loodregt op BC; derhalve Haat (/F. Steil)nbsp;DC ook loodregt op het vlak, hetwelk door de lijnen AC ennbsp;gaat: maar daar (/. Gev. 1. Bep.j de lijn AB in dit vlak gelegen )�gt;nbsp;ftaat DC loodregt op het vlak, waarin de lijnen AB en BC liggo�-

�. 694. Twee lijnen, AB en CD, welke elk regthoekig hetzelfde vlak Pftaan, liggen in een ander vlak, en zij��nbsp;onderling evenwijdig.

Betoog. Ver��nig de voeten der loodlijnen, yZD en CD, doof lijn AC; trek, van het punt C, tot het punt B, de lijn CB, en,nbsp;de vlakte ZO,, de lijn CE loodregt op AC: dan ftaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;SteHi

de lijn EC loodregt op CB: maar, volgens de onderftelling, dat Cf loodregt op Zg, is, ftaat zij (//. Bep.j ook loodregt op CE. De ��inbsp;uen AC, ZC en CD liggen dan (Zi Stell.j in hetzelfde vlak: niaff�nbsp;in ditzelfde vlak, ligt (/. Gev. I. Bep.j ook de lijn AB; de loodmnbsp;nen AB en CD liggen, derhalve in hetzelfde vlak, en zijn (pnde'i'j'nbsp;en XXII. Ssell. I. B.j onderling evenwijdig.

�. 695. Wanneer men, door eene lijn A�, welke loodregt een vlak PQ^ftaat, een ander vlak RS laat gaan, in zulknbsp;eene rigting, of in zulk eenen ftand, als men goedvindt', dannbsp;�f^ijdt dit vlak het eerfte, volgens eene regte lijn AC; wan-neer men nu, uit eenig punt C van de gemeene doorfnede de~nbsp;vlakken, eene loodlijn CD, op de gemsene doorfnede AC,nbsp;dit vlak RS, oprigf, dan zal deze loodlijn CD ook lood-op het eer (ie vlak Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ft aan.

Betoog. Men trekke, uic het punt C, tot eenig punt B, van de 'oodlijn AB, eene lijn BC, en, uic ditzelfde punt C, in Pff, eenenbsp;'oodlijn CE, op AC; dan ftaat (/77/. StclK) deze lijn ook loodregtnbsp;op BC, en op de vlakte, welke door de lijnen AB en AC gaat: maarnbsp;'O deze vlakte ligt (^onderjl.j de lijn CD; de lijn �C is dan, (^IF. St.jnbsp;loodregt op AC en C� Baande, ook loodregt op CD; deze laar-dan loodr^jgt op zfC (onderjl.j en op CE {hew.j Baande, lynitnbsp;Qf. s^ielLj CD loodregt op het vlak PQjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*.

�� 696. IV. Bepaling. F'ig. 265. Een vlak, RS, flaat loodregt op een ander vlak PQ^, wanneer eene lijn, CD ofnbsp;^E, welke loodregt op derzelver gemeene doorfnede, in eeanbsp;dezer vlakken getrokken wordt, ook tevens loodregt op hetnbsp;ander vlak ftaat.

S- 697. Gevolg. Volgens deze bepaling en de voorgaan-*^2 {telling, zal elk vlak RS, hetwelk gehragt wordt door ^^ne lijn, welke loodregt op een ander vlak Pftaat, ooknbsp;loodregt op dit tweede vlak P geplaatst zijn.

S- C98. De gemeene doorfnede AB van twee vlakken, RS' en TU, welke loodregt op ��n en hetzelfde vlak Pffftaan,nbsp;fiant insgelijks loodregt op dat zelfde vlak P Qj

Betoog. W^nc, indien de gemeene doorfnede AB niet loodregt op het vlak Pff, en dus ook niet loodregt op de fnijdingen AR ennbsp;at Baat; dan zal men, uit het punt A, twee loodlijnen AC en AD,nbsp;de eerBe, in het vlak RS, loodregt op de doorfnede AF., en danbsp;ttveede, In het vlak TU, op de doorfnede AT, kunnen oprigten, fo

BEGINSEL

deze zullen Bep.') elk loodregt op liet vlak PQ^ flaau: ineii dan AB niet loodregt op het vlak PO Mt, zal daaruit volg^��nbsp;dat, uit hetzelfde punt /l, twee loodlijnen op hetzelfde vlak kunn��nbsp;worden oprigt; daar zulks nu (/. Gey. IP\ Steil.') ongerijmd is,

�. 699. Gevolg. Indien drie vlakken regthoekig op kander ftaan, ftaat de doorfnede van twee dezer vlakken altijdnbsp;loodregt op het derde.

�. 700. Alle loodlijnen AF, CG, DH, EI, BK, roelk^ uit de verfchillende punten cener lijn, AB, buiten een vlaf'inbsp;gelegen zijnde, loodregt op 'dit vlak vallen, liggen all'llnbsp;�zonder onderfcheid, in hetzelfde vlak, en de voeten dezer looj'nbsp;lijnen in dezelfde regie lijn, FK., volgens welke het vlak dS�nbsp;zer loodlijnen het eerstgenoemde vlak F O^doorfnijdt.

Betoog, Volgens de IX. Stelling, liggen twee loodlijnen AF e� CG ia hetzelfde vhk, in hetwelk (/. Gcv. I. Bep.) de geheele lijnnbsp;gelegen is: om dezelfde reden, liggen de loodlijnen CG en D11 metnbsp;lijn AB in hetzelfde vlak; wanneer nu het vlak, waarin de lijnf�nbsp;ylF en CG gelegen zijn, een ander is dan het vlak, waarin de lijnefnbsp;CG en DH liggen, dan zullen, llrijdig met het III. Gev. der I.Stelhnbsp;twee vlakken elkander, volgens het beloop van twee lijnen AB en GGnbsp;moeten kunnen doorfnijden; de loodlijnen AF, CG en DH, liggi^''nbsp;dan in hetzelfde vlak. Hetzelfde betoog geldt van alle andere loodlij'nbsp;nen EI, BK, enz., welke alle met AF, CG, enz. in hetzelfde vla^nbsp;liggen, terwijl de voeten der loodlijnen, in de doorfnijding dezer vlal^'nbsp;ken gelegen zijnde, (/. Steil.) in eene regte lijn FK liggen.

�. 701. V. Bepaling. De projeSlie van een punt op een vlak, is de voet van de loodlijn, welke, uit dit punt, opnbsp;vlak valt.

�� 702. VI. Bepaling. Fig, 2(57. De projeBie van ceni�^ regte of kromme lijn op een vlak bellaat uit de vert�:iigi''pnbsp;van de proje�lien van al de punten dezer lijn.

De projedlie van eene regte lijn AB, op een vlak blijkens de voorgaande Helling, eene regte lijn FK', volg^��nbsp;welke een vlak, dat door deze lijn AB gaat, het vlak PQ.-

der meetkunst.

ontmoet. Het vlak van AB-, hetwelk al de loodlijnen, die AB op Pvallen, bevat, noemt men het projeBerendnbsp;en het vlak PQ^zeXwt, bet vlak van projeBie.

�� 703. Aanmerking. Eene regte lijn kan, met betrekking tot �enig vlak, driederlei verfchillenden ftand hebben, iquot; Zij lian lood-:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op dit vlak ftaan. 2� Met hetzelve eencu fcheven fland hebben.

3�^ Of evenwijdig aan hetzelve loopcn. In het eerfle geval van den ^oodregten ftand, vi'elks eigenfehappen de voorgaande ftellingen reedsnbsp;hebben leeren kennen, is hare projedtie op het vlak een enkel punt:nbsp;hl de twee andere gevallen, tot welker befchouwing wij nu overgaan,nbsp;de projedtie altijd eene regte lijn.

�. 704. VII. Bepaling. Fig. 268. Eene lijn BAH, heeft, betrekking tot een vlak P eenen fcheven ftand., wanneer deze lijn, of haar verlengde, zonder loodregt op dit vlaknbsp;liaan, hetzelve dn eenig punt A ontmoet.

S. 705. VIII. Bepaling. Fig. 268. De fland van eene, een vlak PQ__, fchuins Ihiande lijn, AB, wordt bepaaldnbsp;den flandhoek BAC, welke die lijn AB met hare pro-jh^ftie AC, op dit vlak PO_, maakt.

�. 706. Gevolg. Fig. 268 Wanneer men derhalve, uit het punt B, �hvaar de lijn AB of deszelfs verlengde het vlak PO. o�R'ho'iG* eenenbsp;loodlijn AZ op dit vlak oprigt, en, door deze loodlijn AZ en denbsp;hjn AB, een vlak laat gaan, zal dit vlak (Gev. IF. B(p.') loodregt opnbsp;ftaan, en bijgevolg het projefterend vlak van de lijn AB zijn,nbsp;quot;'filker projedtie de lijn AC is�. de hoek derhalve, welke de loodlijnnbsp;met de lijn AB maakt, is het complement van den flandhoek

XITI. Stelling. Fig. 268.

�� 707. Wanneer men, uit het punt A, alwaar eene fchuin-lijn, AB, een vlak PQ_^ ontmoet, in dit vlak verfchei-lijnen AC, AE, AlCAD, enz., trekt; dan zullen lijnen, met de fchuinfche lijn AB, verfcheidene hoekennbsp;, en dan zal, onder alle dezen, 1 de hoek B A C, welkenbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB met hare projeBie maakt, de kleinfle zijn; 2� de

'��^k B Al D, welke zij met het verlengde van de projeBie ^�ukt, zal de grootfle zijn, 3� Aan denzelfde�,i kant van de

BEGINSELEN

projectie, worden de hoeken BAE, BA F, enz. groot er, als lijnen AF, AF, enz. eenen groot er en hoek met de projeamp;dnbsp;AB maken. 4� Wanneer men, aan we�rszijden van denbsp;jeBie, de hoeken CAE en C AG gelijk maakt, dan zullen oo^nbsp;de hoeken BAG en BAE gelijk zijn.

Betoog van het eerfte. Men neme, in de lijn AU, een punt en late uit hetzelve eene loodlijn ^ C op het vlak P (j vallen;nbsp;ligt QX/I. Stell.j deze loodlijn iu het proje�lerend vlak, en fnijdtnbsp;projectie van AB in C. Wanneer men dan AE~ AC mattkt, ennbsp;lijnen AE, CE en BE trekt; dan is: iquot;, in den regthoekigen dfi*^'nbsp;hoek SCE, de bjrpothenufa BE grooter dan de loodlijn BC. 2�nbsp;de driehoeken ABC en ABE, is AB � AB; AC�AE en BE'7nbsp;BC; derhalve zal (A7/. Steil. I. B.j hoek BAE'cif XmekBAC zijn- ^

Betoog van het tweede. Men neme AF~AD~AC, en trekk� de lijnen BD, en BF; dan is QFII. Steil. I. B.') CFlt;^AC-\-of CFlt; CZ), derhalve is (XA/. Steil. I. B.') BFlt;BD. In de dri^'nbsp;hoeken, ABD en ABF, is nu ABztzA S; AD~AF en BD'P'nbsp;BF; derhalve zal ook {XII. Steil. I. B.j hoek BAD'^ hoeknbsp;zijn-.

Betoog' van het derde. Men make AF � AEztz AC, en treUk'^ de lijnen CF en BF; dan is 1�, in de driehoeken ACE en ACF, d^nbsp;� AC;, AEr=zAF, hoek CAF'tgt; hoek CAE, en (Z/. Steil. I. S-)nbsp;CF^CE; 2� in de regthoekige driehoeken BCE en BCF, isnbsp;ook {XXL Steil. I. B.j gt; BE; 3'' eindelijk is, in de driehoek*^'�nbsp;BAE en BAF, AB � AB, AE � AFcw BFgt;BE; derbalV^nbsp;zal {XII. Steil. I. B.j hoek BAFgt; hoek BAE zijn.

Betoog van het vierde. Men neme den hoek CAG�den CAE en AG�AE, en trekke de lijn BG; dan zal {X. St. I. k-')nbsp;CG=zCE; en, in de regthoekige driehoeken BCE en BCG, {X.Std^'nbsp;/. B.j BE � BG, en eindelijk, in de driehoeken ABE ennbsp;{XllI. Steil. I. B.j hoek BAE � hoek BAG zijn.

�. 708. Gevolg. Neemt men de hoeken CAG en CAE dan is AG het verlengde van AE, en omdat, in dit geval, BAE^�^nbsp;bag regt zijn, ftaat AB loodregt op de lijn EAG, wellte metnbsp;proje�lie van AB eenen regten hoek maakt. Wanneer men derhald^

om de lijn AB, een vlak laat emdraaijen; dan verkrijgt dit s�i in elke omwenteling, twee merkwaardige jianden. '1� Wanneernbsp;loodregt op het vlak PPjfiaatnbsp;het vlak PQ^de proje�ic der lijn zelve,

n a II MEETKUNST.

vlak het vlak PQ_, volgens eene lijn doorfnijdt, welke met de ProjeSiie eenen regteti hoek maakt, in welk geval de fland van ditnbsp;'�lak van den voorgaanden fiand eenen rcgten hoek verfchilt. Doornbsp;alles, kan nu het onderfcheid tusfchen den loodregten en fchevennbsp;ftand eener lijn op een vlak merkbaar genoeg onderfcheiden worden.

�. 709. IX. Bepaling. Eene lijn loopt evenwijdig aan vlak, wanneer zij, hoe verre dezelve ook, aan den eenennbsp;aan den anderen kant, mogt verlengd zijn, dit vlak nim-^her ontmoet, of doorfnijdt.

�� 710. De gemeene doorfnede CD van twee vlakken, P BC, waarvan het eene BC door eene lijn AB gaat, wel-ke evenwijdig aan het andere vlak PQ^ls, zal altijd evenwij-�^�g aan deze lijn A B hopen.

Betoog. Want, indien de lijnen AB en CD niet evenwijdig aan elkander waren, dan zouden zij elkander ergens doorfnijden, en, om-de lijn CD iu het vlak PO, ligt, zou de lijn AB het viaknbsp;'Ontmoeten, en niet evenwijdig aan hetzelve zijn.

�,711. I. Gevolg. Fig. 269. Wanneer dan het vlak BC, om �ene lijn AB, evenwijdig aan een ander vlak P^ zijnde, bewogennbsp;'''ordt, zal de doorfnijing CD of EF dezer vlakken overal aan die lijnnbsp;-^B evenwijdig blijven.

�� 712. II. Gevolg, Fig. 269. Komt dit bewegend vlak in den Hand ABEF, regthoekig op PCj; dan is 'EF de proje�lie (U/. Bcp.jnbsp;AB. IVdnneer dan eene lijn evenwijdig aan een vlak is, dannbsp;zij ook evenwijdig aan hare projellie op dit vlak: en omgekeerd.

,�� 713. III. Gevolg. Fig. 269. En, omdat eene lijn, die evenwij-^6 aan een vlak is, evenwijdig,is aan hare projeftie, zullen (J^ en � Bep.'^ dl iPg pufiign eener aan een vlak evenwijdig zijnde lijn,nbsp;'^'�eral denzelfden afjland tot dit vlak hehhen. �

S. 7I4' kPanneer twee lijnen, AB en CD, elkander tdet ^tjden, en nogtnns in onderfcheidene vlakken liggen; dan he-Jiaat 'er Jlecbts ��ne lijn, EH, welke heide deze lijnen regt-

BEGINSELEN

hoekig duorfnijdt, of, mei elk derzelven, eenen regtett maakt, en het gedeelte HE dezer lijn, hetwelk tusfchetinbsp;twee voornoemde lijnen, HB en CD, begrepen is, is koB^^nbsp;dan eenige andere lijn, welke eenig ander punt van de td'nbsp;fte lijn AB met eenig ander punt van de tweede lijn CPnbsp;ver'��nigt.

Betoog. Men kan, in ��ne der lijnen, bij voorbeeld, de lijn een punt E nemen, en door dit punt en de eerfte lijn AB jlhSt')nbsp;een vlak laten gaan, en, in dit vlak, door het punt E; eene lijnnbsp;evenwijdig aan AB trekken, en voorts, door de lijnen CD ennbsp;een vlak P(f laten gaan, aan hetwelk QXIF. Steil.j de lijn AB cv^�'nbsp;wijdig zal zijn,

Befchouwen wij nu dit vlak PO., en de lijn AB, als in denzelfJ'^� ftand blijvende; dan zal men aan het vlak, dat door de lijn AB ga*'�nbsp;eene omwenteleude beweging kunnen geven; en het zal, rtaande de^^^nbsp;beweging, ergens in eenen ftand komen, dat het loodregt opnbsp;Laat dan de figuur dien loodregten ftand voorftellen; dan zal EGnbsp;projeftie van de lijn AB zijn, en, wanneer men dan, uit hetnbsp;E, de lijn EH loodregt op deze projedlie oprigt, dan zal zij (^�nbsp;Steil.j tevens loodregt op het vlak P.0 ftaan, en daarom de lijn CVnbsp;regthoekig doorfnijden, terwijl, wegens de evenwijdigheid der lijn^�nbsp;AB (Wi EG, de lijn AB insgelijks, door EH, regthoekig zal doorg^'nbsp;fneden worden.

Maar deze lijn EH, is de eenige mogelijke, welke beide lijnd^' AB en CD, te gelijk regthoekig kan doorfnijden. Men late, 0��nbsp;zulks te betoogen, door een punt /, en de lijn CD, een vlak gp'^�nbsp;en, in dit vlak, uit dit punt /, eene loodlijn IL, op de lijn CB�nbsp;vallen; men trekke IK, loodregt op EG, en voege de punten Knbsp;L te zamen, en dan ftaat (/Pj Bep.j de driehoek IKL loodregt ^1nbsp;het vlak PQ. Wanneer nu de hoek BIL, een regte hoek ware, dquot;''nbsp;zou (/P. Stell.j AB regthoekig op den driehoek IKL ftaan, e��nbsp;omdat EG met AB in hetzelfde vlak ligt, KG QX. Stell.j insge0nbsp;regthoekig op den driehoek IKL ftaan, en de hoeken IKE en E^nbsp;zouden (//. Bep.j regt zijn: maar de driehoek IKL regthoekignbsp;het vlak PO ftaande, is de hoek ELK {VUL Stell.j een regtenbsp;Uit dit alles volgt dan: dat, wanneer men de hoek BIL, als regt aa�nbsp;neemt, de driehoek EKL twee regte hoeken zou hebben; daar z�nbsp;nu ongerijmd is, kan de hoek BIL niet regt zijn; waar ternbsp;men derhalve, buiten het punt 11)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'ij�� AB een punt /

de lijn IK, welke, uit dit punt, loodregt op CD vslt, ce lijn JB Under eenen fcheven hoek doorfiiijden, en men zal op gelijke wijzenbsp;�betoogen, dnt zulks ook zal plaats hebben, voor elke lijn, welke, uitnbsp;�unig punt van CD, regthoekig op /IB valt,

moet men nog bewijzen, dat de lijn Eli korter is, dan de af-ftand van eefiige twee andere punten I en L. Tot dat einde mer

f�Unt E, dan bij eenig ander punt van de lijn CD ftaat. 2� Dat het P^nt E, digter bij het punt //,'dan bij eenig ander punt van de lijnnbsp;ftaat. 3quot; Dat het punt /, digter bij L, dan bij eenig ander puntnbsp;''�quot;�U de lijn CD gelegen is: omdat nu, wegens den regthoekigen drie-koek, IKL, welke in K regthoekig is, IL^IK en IK�HE is,nbsp;{K. Axl) IL gt; HE zijn. Hetzelfde zal gelden van elk andernbsp;/tgt;uiit /, in AB gelegen, welks digtfte afftand tot CD, en van elknbsp;Punt L, welks digtlle afftand tot AB, grooter dan HE zal zijn. Denbsp;Punten H en E, zijn dan digter bij elkander, dr.11 twee andere puntennbsp;du de lijnen AB en CD genomen, gelegen.

�� 715. X. Bepaling. Fig. 'ijo. Naar aanleiding van ket voorgaande betoog, wordt de betrekkelijke ligging vannbsp;dvvee lijnen, HB en CD, welke elkander niet fnijden, ennbsp;hogtans in onderfcheidene vlakken liggen, door twee onder-fcheidene gegevens bepaald: i� joor de lijn Eli, welkenbsp;loodregt op beide lijnen ftaat, en derzelver kortflen afftandnbsp;Senoenid wordt; 2� door den hoek FEC, vi'elke eene lijnnbsp;die,- door ��n van de voctpunten dezer loodlijn, even-'^Ijdig aan de eene lijn HB, getrokken is, met de anderenbsp;lijn CZ) maakt, en de flandhoek dezer lijnen genoemd wordt.-S- 716. Aanmeriung. In de Meetkunst der platte vlakken, wor-de evenwijdige lijnen befchouwd, als liggende in hetzelfde vlak:nbsp;^uar daaruit mag men niet befluiten: dat twee lijnen niet in onder-Puhtidene vlakken liggen, en nogtans de overige eigenfehappen dernbsp;Evenwijdige lijnen zouden kunnen bezitten. De volgende ftelling zalnbsp;gewigtig punt bellisfcii.

17lijnen, AB en CD, welke in onderfcheidene ken liggen, kunnen niet evenwijdig zijn,

Betoog, Want, wannen men, uit eenig punt van �e'nc van evenwijdige lijnen, eene loodlijn op de andere laat vallen; dannbsp;die loodlijn ook loodregt op de eerftei deze omllandigheid heeftnbsp;(XF. Steil.') voor twee lijnen, welke in twee onderfcheidene vlakk^**nbsp;liggen, Hechts voor twee punten plaats, en niet voor alle, zoo f**'nbsp;ingevalle de lijnen evenwijdig waren, zou behooren: deze lijnen k��nbsp;nen derhalve niet evenwijdig zijn.

�. 718. 1. Gevolg. Twee evenwijdige lijnen liggen noodzakelijk in hetzelfde vlak.

�. 719. 11. Gevolg. Al de zijden van een parallelogf^^^ liggen dan ook insgelijks in hetzelfde vlak.

�. 720. Wanneer twee lijnen., AB en CD., elk in het W zonder, aan eene derde, met de twee eerfte niet in hetzelfl^nbsp;vlak liggende', lijn, EF, evenwijdig zijn; dan zullennbsp;deze lijnen evenwijdig zijn, en in hetzelfde vlak liggen.

Betoog. Omdat AB evenwijdig is aan EF, liggen deze I'ji�f jXFl. Steil.) in hetzelfde vlak, en omdat CD aan evenwij^^nbsp;is, liggen deze twee lijnen in een ander vlak. Men late nu, door 1�*^'nbsp;punt E een vlak gaan, op hetw'elk de lijn EF regthoekig Haat;nbsp;fuijdt dit vlak de twee voorgaande, volgens de lijnen EA exsnbsp;en de hoeken BAE en DCE zijn, wegens de onderflelde evenfl''^nbsp;digheid der lijnen, (//. Gev. XXXUI. Bep. /. B.) regte hoeken;nbsp;lijnen A B en CD liaan derhalve (Al Steil.) regthoekig op hetnbsp;P(f, en zijn (JX. Steil.) in dezelfde vlakte gelegen, en evenwij^^�^�

�, 721. XI. Bepaling. Wanneer twee vlakken, ten zigte van elkander zoodanig geplaatst zijn, dat zij, aannbsp;ken kant, en hoe verre zij zich inogten uitftrekken, elk^�']nbsp;der nimmer fnijden, worden zij evenwijdige vlakken genoe��

�. 72a. Twee vlakken, Pen RS, welke elke loodt' op dezelfde lijn, A B, Jlaan, zijn onderling evenwijdig.

Betoog. Want, indien deze vlakken niet evenwijdig zijn, zij elkander ergens ontmoeten, en een zeker punt C gemeen

DER MEETKUNST.

�Joor hetwelk en door de gezegde lijn AB een vink zal kunnen ge-worden, hetwelk de vlakken, volgens de lijnen AC en -flC, doorfnijden: daar nu, wegens den loodregten ftand van de lijnnbsp;de hoeken A en B regt zijn, en een driehoek geen twee reg-hoeken hebben kan, kunnen de vlakken PQ^ en Rs, elkander ner-S^ns ontmoeten, en zijn derhalve evenwijdig.

daartellellen, neme men op eene lijn AB, tweepunten A en B, trekke, in onderfcheidene vlakken, door deze punten de loodlijnennbsp;EF; GH en IK; dan zullen (JF en XVIII. Steil.') de vhik-Welke door deze lijnen gaan, evenwijdig zijn. Of, men late eennbsp;^�Ifel van twee evenwijdige lijnen, om de lijn, welke loodregt op bei-�SQ ftaat, omdraaijen; dan zullen deze evenwijdige lijnen, door harenbsp;^!^eweging, evenwijdige vlakken voortbrengen.

�. 724. II. Gevolg. Fig. 270. Omdat (_XF. Steil.) zekere lijn twee lijnen, AB tn CD, welke in twee onderfcheidene vlakkennbsp;Sgen, regthoekig fnijdt, en men door de punten, E en II, twee an-^�re lijnen trekken kan, welke regthoekig op diezelfde lijn �/� Haan,nbsp;^�ntien QF. Steil.) 'er door twee lijnen, welke niet in hetzelfde vlaknbsp;^hgen, altijd twee evenwijdige vlakken gehragt worden.

S- 725. Wanneer twee evenwijdige vlakken, PQ^cn RS, (kor een derde vlak BC gefneden worden; dan zijn ook denbsp;kjnen van doorfnijding, AB en CD, evenwijdig.

I^etoog. Want, indien de lijnen van doorfnijding elkander mogten �gt;itinoeten, dan zouden ook de vlakken, in welke deze lijnen liggen.

Stelling. Fig. 272. (//e; omgek, van de XFIII. St.)

S. 726. Eene lijn, AB, welke loodregt op ��n P O^van evenwijdige vlakken, PQ^ en RS, fiaat, fiaat ook lood-op het tweede RS.

^B�Toog. Men trekke uit het punt B, in het vlak PO^, de lijn do ^ Blijde beide vlakken, /'g, en RS, door een vlak, hetwelknbsp;de lijnen BC e.n. AB gaat; dan zal de lijn AC, volgens welkenbsp;'^iak, het vlak Rs fnijdt, QXIX. Steil.) aan BC evenwijdig, en de

hoek BAC zal (//. Gev, XXXIIL Bep. I.' B.') reg: zijn. Hetzequot;'' zal ini plaats hebben, in welk eene rigtin'g de lijn �C genomen worden de lijn AB zal derhalve regtboekig liaan op alle lijnen,nbsp;uit het punt A, in het vlak RS, getrokken worden, en zal bijge'quot;nbsp;(^IF, Steil, of II. Bep.') regthoekig op het vlak RS zijn.

727. Een vlak BAC, hetwelk loodregt op ��n twee evenwijdige vlakken., PQ^en RS, flaat, ftaat ook lo^^nbsp;regt op. het tweede vlak R S.

' Betoog. Laat uit het punt B van de genieene doorlnede B C het vlak PQ^, met het vlak BAC, hetwelk (pnderft.) op heiZ^quot;''nbsp;regthoekig ftaat, de lijn B A loodregt op deze. doorfnede worden dlnbsp;gerigt; dan ftaat Bep.) diezelfde lijn AB ook loodregt opnbsp;vlak P(f, en, omdat PO^ evenwijdig is aan RS, QXX. Steil.) In� .nbsp;regt op h�t vlak RS: -de hoek B^C is dan regt, en de lijn h��nbsp;ftaat derhalve in het vlak ABC loodregt op de doorfnede ACnbsp;de vlakken RS en ABC: het vlak BAC, ftaat dan {IV. Bep.) lo�'*'nbsp;regt op het vlak RS.

�. 728. De evenwijdige lijnen, AB en CD, welker den in twee evenwijdige vlakken, PQ_,en RS, gelegennbsp;zijn even lang.

Betoog. De lijnen, AB en CD, volgens de onderftelling, w'ijdig zijnde, liggen (/. Gev. XVI. Steil.) in een vlak, dat de

OER MEETKUNST.

�� 730. I)e eindpunten van. drie gelijke en evenwijdige Hj-welke niet in hetzelfde vlak liggen ^ zijn altijd in even-^'�jdige vlakken gelegen.

I _ Opheldering. Wiinneer de lijnen, AB, CD eii DF, aie niet slle drie h'J'L'Zfc'lfue vlak liy;gen, onderling gelijk en evenwijdig zijn; dan liggennbsp;punten B, Zgt; en F, {HL Stcll.j in een vlak, en de punten A, Cnbsp;F, in een ander vlsk; of, zoo men wil, de lijnen BD, DE en BF,nbsp;*'in iu een vlak BDF, en de lijnen AC, CE en AE, in een andernbsp;^lak ace gelegen. Nu zeg ik: dat deze twee vlakken evenwijdig zijn.

Betoog. Want, indien deze viakkeu niet evenwijdig zijn; dan zal �^en, door het punt B, een vfc.k BGH kunnen brengen, dat eveuwij-aan het vlak ACE is. Dit vlak zal de lijnen CD en EF, ofnbsp;derzelv�r verlengden, in de punten // en G fnijdeu, en, wegens denbsp;onderllelde evenwijdigheid der lijnen yf 7i, CD en DE, zal (XXII.St.')nbsp;^llzezAB; EG � AB zijn; maar daar nu {nnderfl.') AB � CDnbsp;^EF IS, zA {IF Ax.-j CH�CD en EG � EF moeten zijn;nbsp;daar dit nu (/f. Ax.') niet mogelijk is, zal geen ander, dsn het vlaknbsp;i-k^DP evenwijdig asn het vlak ACE kunnen zijn.

�. 731. Gevolg. Flakken, derhalve, welke overal even rer van elkander afftaan, zijn evenwijdigenbsp;%. 732. LEEraA'G. Omdat ({XXXI. Steil. I. S.) AC=BD; CE-=tnbsp;-^Een AE � BF\%, zullen (XllI. Steil. I.B.') de driehoeken CEnbsp;cn BB F, welke, door de uiteinden van drie gelijke en evenwijdigenbsp;hjtien, gevormd worden, gelijk en gelijkvormig zijn.

733� Wanneer de beenen van twee hoeken aan elkander '''^lt;tn'.vijdig hopen;� dan zijn deze koeken aan elkander gelijk,nbsp;^�ij zijn daarenboven in evenwijdige vlakken gelegen.nbsp;Opheldering. Wanneer AB aan DE', e.n AC aan DE evenwijdignbsp;dan zal i� de hoek BAC� aan den hoek EDE zijn; 2�,nbsp;vlak, waarin de hoek BAC ligt, zal evenwijdig zijn aan het vlak,nbsp;in de hoek EDF gelegen is.

^ Betoog van het ee-.jic. Men neme AB�DE cn AC�DF, ��1 trekke de lijnen AD, BE, CF, en de lijnen EF zn BC. Omdat

spa beginselen

fiu aan Z)� evenwijdig is, liggen (/. Gev. XFI. Steil.') deze 1gt;S' nen in hetzelfde vlak; en, naardien nog AB � BE is, zijn �nbsp;Steil. /. BS) de lijnen AD en BE gelijk en evenwijdig. Om dezenbsp;de redenen, zullen de lijnen AD en CF gelijk en evenwijdig FE'nbsp;De lijnen BE en CF, zullen alzoo, aan dezelfde lijn AD evenwij^^'^nbsp;zijnde, (JiFII. StellS) onderling evenwijdig zijn, t\\{I.Gev.XFI.^^^nbsp;in hetzelfde vlak liggen: maar, daar nu deze lijnen ook nog gelijk z'F' �nbsp;zal (XXXI. Steil. I. B.) BC=EF zijn. De driehoeken, ABCnbsp;DEF, derhalve onderling gelijkzijdig zijnde, zal (XIII. Steil. I. E�)nbsp;de hoek BAC� den hoek EDF zijn.

Betoog van het tweede. Men heeft reeds bewezen: dat de lijf^� AD, BE, en CF, gelijk en evenwijdig zijn: de vlakken, in welkenbsp;hoeken BAC en EDF liggen, zijn dan (XXIII. Steil.) evenwijdig'

�. 734. Gevolg. Flg. 277. Hieruit volgt: dat, wanneer twee evequot;' wijdige vlakken ABC en DEF, door twee andere vlakken ABE^nbsp;en ACFD, welke elkander, volgens eene lijn AD, fnijden, wofd'^'*nbsp;doorgefneden, de hoeken EDFtn BAC, onder w'elke de laaifte vi�^'nbsp;ken de eerfto fuijden, gelijk zullen zijn.

�. 735. Elk ftelfel van drie evenwijdige vlakken, PQ^, en TU, fnijdt van twee lijnen, AD en EH, op eenigA^^^nbsp;wijze, in de ruimte gelegen zijnde, deelen af, welke metnbsp;kander eene welgeordende evenredigheid, (AB : BC�pG'nbsp;C.H,) uitmaken.

Betoog. Om deze ilelUng, welke met de I. Stelling van het 3oek over�dnftemt, op de aljiemeenfle wijze, te betoogen, zullennbsp;aaiinenren: dst de lijnen AD en EH niet in hetzelfde vlak liggen,nbsp;dan aannemende, zal men een punt D, in de lijn AD, en een pi'quot;'nbsp;E, in de lijn EH kunnen nemen, en deze twee punten, doornbsp;regte lijn D E, ver��nigen. Wanneer men nu, door de lijnen ABnbsp;DE, een vkk laat gaan, zal dit vlak de vlakken PQ^, RS ennbsp;volgens de lijnen AI, BK on CL doorfiiijden, en deze lijnen zuU'^nbsp;(XIX. Steil.) met de lijnen AD en ED, in hetzelfde vlak liggennbsp;evenwijdig zijn, en men zal derhalve (I. Steil. IF. B.) mogen Hellequot;'nbsp;AB\ BC~ IK-.KL

i) ER. M E E T K U N S T. nbsp;nbsp;nbsp;*91

fnijclen, wdke QXIX. StelL') wederom in hetzeUm v'sk liggen, evenwijdig zulien zijn: men zal dan (�. Steil. IX. B.') hebben:

Wanneer men nu deze evenredigheid met de voorgaande verge-dan zal men (/. Steil. II. B.') eindelijk vinden:

AB:BC�FQ:GH.

�. 736. XIL Bepaling. Wanneer men de XIH Bepaling het I. Boek, alwaar eene bepaling van eeneii hoek feennbsp;quot;^oord, hetwelk voor regtlijnige hoek gebruikt wordt,) gegeven is, inziet; dan zal men gevoelen: dat de natmirlijktienbsp;benaming, pasiende aan de onbepaalde ruimte, gelegen tua-fchen eenige vlakken, die elkander, in hetzelfde punt, ont-hioetoii, veelvlakkige hoek zal zijn. Een Tweevlakkige hoek,nbsp;quot;'eiken Legendre coin {hoekj noemt, en die men ook Vlakte-koek zou kunnen noemen, 'is de onbepaalde ligchamelijkenbsp;fuimte, gelegen tusfchen twee onbepaalde vlakken, welkenbsp;elkander, volgens het beloop eener onbepaalde lijn, doorfnij-den. De vlakken, welke dien tweevlakkigen hoek bepalen,nbsp;zijn de zijden o� faCes, en de lijn, volgens welke die zijdennbsp;elkander fnijden, de ribbe van den tweevlakkigen hoek.

�� 737. Gevolg. De grootte van eenen tweevlakkigen hoek hangt niet af van de uitgeftrektheid of figuur, welke deszeifsnbsp;^��jdeti hebben; maar alleen van de grootere of kleinere ligcha-n'telijke ruimte, welke tmfehen dezelve gelegen is.

�� 738- Aanmerking. Fig. 279. Tweevlakkige hoeken zijn S'^ootheden, welke, door de ribben dezer hoeken langs elkander te leggen, en de zijden tegen elkander te fluiten, tot �innbsp;geheel ver��nigd kunnen worden. Men kan ook eiken tweevlakkigen hoek CBF, door middel van vlakken D, E, enz.,nbsp;^'elke door de ribbe AB van dien hoek gebragt worden, innbsp;twee of meer gelijke of ongelijke deelen, verdeden.

BEGINSELEN

eerden hoek op de zijde S van den tweeden gelegd zijnde, andere zijde P van den eerften tweevlakkigen hoek dan ooknbsp;op de andere zijde R van den tweeden valt.

�. 740. Wanneer men^ in de lijn AB^ volgens welke vlakken AP en AQ^ elkander fnijden, twee punten C en ^nbsp;neemt, en, door deze punten, in het eene vlak AP, twee evef^'nbsp;wijdige lijnen, CD en FG, en, in het tweede vlak AQ^, tv�t^nbsp;evenwijdige lijnen, CE en FH, trekt; dan zullen de hoekti^nbsp;DCE en GFH, welke deze lijnen bepalen, gelijk zijn.

CE aan FII evenwijdig is, zal QXXIF, Steil.j de hoek DCE gelijk zijn aan den hoek GFH.

�. 741. XIV. Bepaling, Fig. 281. De flandhoek vai* eenen tweevlakkigen hoek is de hoek DCE, welke gevorffl^nbsp;wordt door de loodlijnen CD en CE, welke, uit eenig pniinnbsp;C van de ribbe AB, in elke zyner zijden of faces, AP o'*nbsp;A0^, op deze ribbe AB, worden opgerigr.

742. Gevolg, Fig. 281, Die handhoek, is volgens dc Stelling, voor elk punt van de ribbe AB dezelfde, en vermits de-'quot;nbsp;zelfs beenen regthoekig op de ribbe van den tweevlakkigen hoek flaaO�nbsp;flaat jll. Bep.') deze ribbe regthoekig op het vlak van den ftnndhoe��nbsp;en de faces of zijden van den tweevlakkigen hoek haan bijgevolg oo'inbsp;{IF, Bep.') regthoekig op het vlak van den Handhoek, en, omgekeerd''

743. Gelijke iweevlakkige hoeken hehhengelijke Jrandhet' ken. En omgekeerd; alle tweevlakkige hoeken, welkernbsp;hoeken gelijk zijn, zijn'gelijk.

Betoog van het eerfle. Laten N� i en 2, twee gelijke tweevk-i^' kige hoeken zijn. Men neme, in de ribben, AB ea CD, dezer ho^nbsp;ken, twee punten, E en H, naar welgevallen, en trekke, in de lect�nbsp;AP en Ajj, de lijnen E F en EG, loodregt op de ribbe AB; vooB*nbsp;cle lijnen Hl en HK, loodregt op de ribbe CD, en in de faces CRnbsp;CS; dan zijn F EG en IHK, de Handhoeken der tweevlakkige hoeken��nbsp;N* I en 2. Men legge nu de ribbe CD, langs de ribbe AB,

�ianig, dat bet punt // in het punt E, en dnt de zijde of face CS op de zijde of face AG, valle; dan zal de lijn HK langs de lijn EGnbsp;Vallen, omdat de hoeken CHK en AEG regt, en derhalve gelijknbsp;zijn.� Omdat nu de iweevlakkige hoeken {onderjl.-) gdijk zijn, zal denbsp;^ijde of face CR in de zijde of face AP vallen; dat is, deze tweenbsp;vlakken zullen tegen elkander fluiten; daar dan de regte hoeken, CPltnbsp;on AEF gelijk zijn, zal Hl langs EF vallen; de ilandhoeken FEGnbsp;on IHK, zijn dan (XH. Bep. I. B.') gelijk.

Betoog van het omgekeerde. Wanneer de (hSndhoeken FEG en HiK gelijk zijn; dan zal men daaruit tot de gelijkheid der tweevlakkigenbsp;hoeken, N� i en 2, mogen befiuiten. Want, omdat de Handhoekennbsp;PEG en IHK gelijk zijn, zal men het punt H m E, ///f langsnbsp;EQ, en Hl langs EF kunnen leggen; drar nu de ribben AB ennbsp;CD {XIV. Bep.') loodregt op de vlakken der Handhoeken Haan, en,nbsp;{11. Gev. ir. Steil.') uit eenig punt van een vlak, Hechts ��ne loodlijnnbsp;op dit vlak kan worden opgerigt, zal de ribbe CD, langs de ribbenbsp;AB vallen, en omdat {III. Gev, I. Steil.) twee vlakken elkander niet,nbsp;Volgens twee onderfcheideue lijnen, kunnen doorfnijden, zal het vlaknbsp;CR op het vlak AP, en het vlak CS op het vlak y/g, vallen, eanbsp;de tweevlakkige hoeken, N� i en 2, zullen {XIH, Bep.) gelijk zijn.

�. 744. De tweevlakkige hoeken (laan tot elkander, in dezelfde reden, als hunne respeStieve ftaneihoeken.

Betoog. Daar deze Helling, met behu'p van de voorgaande, op dezelfde wijze, als de XVIII. Stelling van het P\ Boek, beweze�nbsp;�'Vordt, zullen wij, om plaats te winnerr, het betoog achterwege laten.

�. 745. I. AanK'Erking. Het blijkt hieruit: dat de Handhoek van oenen tweevlakkigcn hoek deszelfs betrekkelijke maat uitmaakc, gelijknbsp;^0 cirkelboog, welke, uit het hoekpunt van eenen hoek, befchrevennbsp;'vordt, de betrekkelijke maat van dien hoek is. Wanneer men derhalve, Fig_^ 20eene zijde AP van eenen tweevlakkigen hoek, om des-2elfs ribbe, laat omdraaijen; dan zal de beweging van die zijde dennbsp;tweevlakkigen hoek, en de gelijktijdige beweging van de lijn.CD,nbsp;(loodregt op de ribbe AB flaande,) den Handhoek DCE. voortbren-gen; terwijl voorts eik punt S van de loodlijn CD, eenen cirkelboognbsp;BT zal befchrijven, welke de betrekkeliike maat van den Handhoek is.nbsp;Volgens hetgeen nu, in de voorgaande Hellingen, en in de XVlH.

Steil. V. Boek, bewezen is, zal de fweevlakkige hoek, in eiken van het vlak A?, evenredig zijn aan den ftandhoek, Z) CE, en aaiiiCennbsp;cirkelboog ST. Het is om die reden, dat de Schrijvers plegen tenbsp;gen:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de fielling van Wee vlakken gemeten mrdt door denrhot^^

der loodlijnen, die, uit eenig pmt van de gemesne doorfnedc, looo' regt op dezelve, in beide vlakken, getrokken v/orden-, en dat men detinbsp;hoek. Welke twee vlakken met elkander maken, aamnerkt, als doofnbsp;deze loodlijnen gevormd te zijn,

�. 746. II. Aanmerking. Gelijk de helling of neiging van twee lijnen, welke niet anders dan derzelver onderlingen^ftand, of ftellinS�nbsp;van de eeue ten opzigte van de andere, is, door den hoek, welkenbsp;deze lijnen met elkander maken, bepaald wordt, zoo ook wordt denbsp;helling of neiging van twee vlakken tot elkander, door derzelver twe*'nbsp;vlakkigen hoek, of eenvoudiger, door derzelver Handhoek, bepaald?nbsp;terwijl de helling of neiging van eene lijn tot een vlrdc, op dezelvenbsp;wijze, door den Handhoek, welke die lijn met dit vlak maakt,

Bep.'j gemeten wordt. Men kan hier bijvoegen: dat de Helling va� twee lijnen, welke in onderfcheidene vlakken liggen, (A�', Bep,') ins-gelijk3 door eenen hoek bepaald wordt. Het zijn dan de regtiijnigenbsp;hoeken, welke de Helling van eene lijn tot eene lijn, van eene lijnnbsp;tot een vlak, en van een vlak tot een vlak bepr.lcn; en �er is, innbsp;deze wijze van flandsbepaling, zulk eene juiste ovcr�'�nHemming, datnbsp;de eene ten verHande van de andere verflrekken moet.

�. 747. III. Aanmerking. De tweevlakkige hoeken hebben, in allen opzigte, dezelfde eigenfehappen als de regtlijnige. Alles, wat, in denbsp;XVI, XVII, XVIII en XIX. Bep. I. B., van de laatHe gezegd, ennbsp;in de III, IV en VI. Steil. I. B. bewezen is, geldt ook, ouder dezelfde omflandigheden, van de eerHe; ja ook, wanneer twee evenwijdige vlr.kken, door een derde vlak, gefneden worden; dan zullen dsnbsp;tweevlakkige hoeken, door deze fnijding ontflaandc, al de eigenfehap'nbsp;pen bezitten, welke in de XXIV en XXVI. Stellingen I. B. voor dnnbsp;regtlijnige hoeken, welke bij de fnijding van twee evenwijdige lijnen�nbsp;door eene derde, bewezen zijn, te moeten plaats hebben.

XXIX. Stelling. Fig. 2113.

S* 748. JVameer, uit eenig punt C, van tie doorfnede rein twee vlakken,, AP en AQ^, twee loodlijnen, CF en CG-,nbsp;ip deze vlakken, naar denzelfden kant, worden cpgerlgt; dan �t

hoek FCG, welke de loodlijnen., CF en CG, met elkander snaken, gelijk aan den flandhoek DCE dezer twee vlakken.

Betoog. Men Iste, door de loodlijnen, CF en CG, een vlak �san: dat vlak zal (Gev. IF. Bep.') dan loodregt op eik der vlakkennbsp;. en ^g,ftaan, en, omdat dan (XT. StelL') de gemeene doorfnedenbsp;deze vlakken loodregt op het vlak, dat door de loodlijnen CFnbsp;CG gaat, geplaatst is, zullen .(//.-Se/i.) de lijnen CD en CE,nbsp;Joodregt op JB rtaan, en {XIF. Bep.') den Handhoek der vlakkennbsp;tiepalen. Nii zijn (pnderft. en IL Bep.) de hoeken FCD en GCRnbsp;reg'r; \va^Hi..er men derhalve van die hoeken denzelfden hoek GCDnbsp;shucmt, z;d men (Fill./lx.) den hoek FCG, gelijk aan den ftaud-^ek DCE overhouden.

�. 749. De hoek DCE, gevormd door twee loodlijnen, CD *n CE, welke, uit een punt C, buiten een' tweevlakkigen hoeknbsp;gelegen, op zijne zijden AP en Avallen, is gelijk aan dennbsp;fiandhoek GFE, onder welke deze zijden elkander fnijden.

Betoog. Men late, door de loodlijnen C� en CE, een Vlak gaan, hetwelk (pnderft. en Gev. IF. Bep.) loodregt op de vlakken, ennbsp;AQ,, ftaande, (A7. Steil.) ook loodregt op de lijn zal zijn, welke derhalve (II. Bep.) met de fnijdingen, FD en FE, regte hoekennbsp;zal maken, zoodat de hoek DFE, de Handhoek der vlakken zal zijn:nbsp;omdat nu de driehoeken, CDG en FGE, regthoekig zijn, en de hoeknbsp;h'GE =: hoek CGD is, zal (IJ. Gev. XFIII. Steil. I. B.) de hoeknbsp;IlCE gelijk aan den Handhoek F.FG z\)n.

S. 750. Wanneer twee vlakken, AP en AQ^, die elkander fnijden, evenwijdig zijn aan twee vlakken CR en CS; dannbsp;Is de deorfnede AB der twee eerfie vlakken evenwijdig aan denbsp;doorfnede CD der twee laatjle, en de ftandhoek der twee eer-fle vlakken, is gelijk aan den ftandhoek der twee laalft�.

Betoog. Laat, in de doorfnijding AB, een punt E genomen, en, door hetzelve, in de vlakken, AP en Ad, loodregt op AB, denbsp;hjiieo EF en EQ opgerigc, en een vlak. door deze lijnen gebragt

worden. Dit vlak zal de vlakken CR en CS, volgens het beloo''^ der lijnoii, Hl en HK, doodriijdcn, en, omdat nu bet vlak vannbsp;Handhoek F EG, {IV. Steil, in Gev. IE', i?regthoekig op de v!agt;'''nbsp;ken AP en AO^^fsx, zullen de vlakken CR en CS, als evenwij^*^nbsp;aan de eerfte zijnde, ook {XXL Steil.') regthoekig op het vlaknbsp;de lijnen EF en EG, dat is, op het vlak van den �auuhoeknbsp;ftann, en, wanneer dan III en HX, de iiiiien zijn, volgens welkenbsp;vlak de vlakken CR en CS ftijdt, zal de lijn D H, {XI. Steil.') lo�'^'nbsp;regt op de lijnen Hl en HK flnan: de lijnen AB en CD zijn def'nbsp;halve, als ftr.ande elk loodregc op het vhk van den Handhoek, (J^'nbsp;Steil.) evenwijdig; en, omdat eindelijk, wegens de evenwijdigh'^**^nbsp;der vlakken, AP, CR en AQ^, CS, {XIX. Steil.) Hl aan EF,

HK aan EG evenwijdig is, zal {XXX. Steil. I. B.) de hoek IHFi gelijk aan den hoek F EG zijn.

�. 751. XV. Bepaling. Een reelvlakkige hoek, gemsen^% lijk ligchatnelijke koek genaniT.d, is de onhepaalde ligchamelij' fnbsp;ke ruimte, begioten tusfchen dt ie of meer rlakkcn, welkenbsp;kander in hetzelfde punt ontmoeten. � Zij worden onderfchei'nbsp;den, in aV/�, wVr, vijfvlakkige hoeken., enz., iiaarmate vadnbsp;het aantal vlakken, welke, in ��n punt zatnenkouxtende, ciehnbsp;veelvlakkigen hoek bepalen. Het niinlke aantal vlakken�nbsp;welke, tot het za�nenfte�en van eeiieii veelvlakkige'n hoeknbsp;genomen kunnen worden, zijn drie. Aldus vertoont denbsp;�85. eeneii drievlakkigen hoek, bepaald zijnde door de drienbsp;regtlijnige hoeken, BAC, CAD en BAD, welke, niet iOnbsp;hetzelfde vlak mogen liggen, en, volgens het beloop van det'nbsp;zelver beenen, AB, AC en AD, die in het punt A zs-menkomen, aan eikauder fluiten, en welke beenen, in de g^nbsp;dacbte, moeten aangemerkt voorden, als onbepaaldelijk ver*nbsp;lengd te zijn. De figuren 286 en 287. Hellen zesvlakki^^nbsp;hoeken voor.

�. 752. XVI. Bepaling. In eenen veelvlakkigen hoek on-dei'fcheidt men: 1� de zijden o� faces, dat zijn de regtlijid' ge hoeken, welker hoekpuijten, in liet toppunt van den veel'nbsp;vlakkigen hoek, aan elkander komen, en welker beenen, aaHnbsp;elkander fluitende, eene onbepaalde ligchameUjke ruimte lus-fchen beiden laten; 2.� de ribben van den veelvlakkigen hoek�nbsp;zijnde de beenen der laces of zijden, door welken de v^el-

hoek bepaald wordt, en welker aantal altijd zoo-ah hut getal der zijden of faces, iedraagt; 3� de hot-

of faces bepalen. In eiken veehlakkigen hoek, komen de hoeken der ribben en de hoeken der zijden voor. Hetnbsp;listal yan elke foort dezer hoeken is zoo groot, als het getal dernbsp;^bden of ribben. In den drievlakkigen hoek, Fig- 285, zijnnbsp;koeken BJC, BAD en C.4D, als vlakken belchouwd.

z^den of faces; en de lijnen AB, AC en HD de ribben, ? dezelfde wijze, inoet zulks ook van eiken veelvlakkigeunbsp;^'^ek verflaan w'orden.

S- 753. I. Aanmerking. Euci.idks en zijne navolgers befchouv/en ligchamtlijkcn hoek, door ons veelvlakkigeu hoek genoemd, als te

S� 754. n. AASMEwtiNG. De bepaling van den veelvlakkigen hoek aanleiding�, om, tusfclien denzelven en de regtiijnige figuren,nbsp;�^iie merkelijke over��nkomst te befpeuren. Gelijk de laatfteii even zoonbsp;''Sle zijden als hoeken hebben, zoo ook is het getal van de hoekennbsp;''tn eenen veelvlakkigen hoek, gelijk aan het getal van derzelver zij-het onrierfcheid is alleen daarin gelegen, dat de zijden der rep.t-figuren regte lijnen zijn, terwijl die der veelvlakkige hoekennbsp;^�kks hoeken zijn, W'elke, door den ouderlingen fland van de lit)-des veelvlakkigen hoeks bepaald worden.

755- ni. Aanmerking. Gelijk, onder de regtiijnige figuren, de p^�'^oek de merkwaardiglle is, en de kennis van deszelfs eigenfchsp-den grond�r.g van dis der regtiijnige iiitmaakt, zoo ook is denbsp;^^^Svlakkige boek, onder de veelvlakkige hoeken, de meikwaardig�e,nbsp;datafzonderlijk overwogen te worden; te meer, ora-^ geheele Aleetkiinst der Ligchamen niet alleen, ma.ar ook de'nbsp;toegepaste Wiskundige Wetenfehappen, als de Aardrijks-en Zeevaartkunde, enz. op dezelve berusten. Hio. XllI. Boek.

aps nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

Ophehkring. Laat een drievlnkkige hoe.'t uit de hoeken UDC en /JDC, die deszelfs zijden uittnakeu, zijn zameiigevoeg*^'nbsp;wanneer dan de hoek BDC de grootfte zijde is, dan moet meonbsp;wijzen: dat deze zijde kleiner is dan de fom van de twee andei'finbsp;den, yJDB en JDC; of hoek JDB hoek JDCgt;hoekBD(^-Betoog. Omdat de hoek BDC de grootfte van al de zijdennbsp;zrd uien den hoek BDE gelijk aan den hoek ADB kunnen inak^^nbsp;dit gedaan hebbende, neme men, B en �, zoodanigj datnbsp;BD � DE zij, en men irekke de lijnen AB en BE, ennbsp;in C verlengd zijnde,) de lijn JC.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ ,

BDE �hoek ADB; de zijde BE is dan (Z. Steil. I. B.') gelijk de zijde AB. In den driehoek ABC, is voorts Steil. I. B.^ �

AC'gt; BC; trekkende hiervan af, AB � BE Qbew.')', dan zal ^ (JX. Ax.quot;) overblijven,� AO CE. Nu is, in de driehoeken, ,nbsp;en CDE, DC=DC ,en AD = DE en AOCE; derhalvenbsp;(XII. Steil. I. B.) hoek AD O hoek CDE zijn; telt men eindel'iquot;nbsp;hierbij hoek ADB � hoekBDE; zal (IX. Ax,quot;) hoeknbsp;ADBgt;hoek BDC z\]n.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

welker hoeken alle naar buiten flaan, is altijd mindeT vier regte hoeken.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

BBC, CPD, DPE, EPF en FPA, welke deszelfs zijden cn volgens de ribben, AP, BP, CP, DP, EP en FP, innbsp;punt P, aan elkander fluiten, bepaald zijn: dan 'zegt de ftelling^^^

I J nbsp;nbsp;nbsp;quot;^'�netr namelijk, al do hoeken naar buiten Haan; dat is,

�'��nneer de tfoeken van den zeshoek, ABCDEF, welke ontdaat men den zesvlakkigen hoek door een vlak doorfnijdt, alle naarnbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;quot;�'en geplaatst zijn.

i ^ ^etoog. Men neme, in het vlak van den zeshoek, ABCDEF^ punt en trekke van hetzelve tot de hoekpunten des veelhoeksnbsp;lijnen, bQ^, CO, DO, EQ^ en i=�0, en tot het hoekpuntnbsp;^ zesvlakkigen hoeks de lijn tO^; dan worden �er, aan den onttreknbsp;n den veelhoek, ABCDEF, even zoo vele drievlakkige hpekennbsp;^^Vortnd, als �er zijden of lioeken in den veelhoek zijn: omdat nu,nbsp;^'^Igens de voorgaande ftelling, in den drievlakkigen hoek A, de fomnbsp;^ hoeken, FAP en BAP, grooter is dan de hoek BAF, of dannbsp;fom der hoeken, FAQ^tn BAQ^, en zulks voor de andere drie-^�Sltkige hoeken, B, C, D, E, F, op dezelfde wijze, plaats heeft,nbsp;Ax.) de fom van de hoeken van den veelhoek, A�CDEF,nbsp;^�^�ner zijn ^ dan de fom van al de hoeken,' welke aan de bafes dernbsp;^'ehoeken, ABP, BCP, CDP, enz. gevormd worden; maar de foranbsp;de hoeken van den zeshoek, ABCDEF, \s {XIX. Stel!. I. j5.)

zijnde, gelijk aan (�� X) x n/i,- derhalve is {F. Ax.') de fom al de hoeken aan de bafes des driehoeken, welke aan het punt Pnbsp;elkander fluiten, grooter dan (��2) x sTi, of (omdat n � 6 is,)nbsp;^|ooter dan acht regte hoeken: nu is {XVIU. Steil. I. B.') de fom vannbsp;/i� hoeken dezer opftaande driehoeken, ABP, BCP, enz., omdatnbsp;aan 6 X eZi of 12. R: trekt men nu hiernbsp;- � af de fom der hoeken aan de bafes AB, BC, enz. grooter dan

�. 761. Wanneer de zijden van nvee drievlakkige in dezelfde rangorde genomen, aan elkander gelijk zijni �nbsp;zullen deze drievlakkige hoeken in alles gelijk zijn, ennbsp;k ander pas feu.

Obhcldcri��r. Zij sregcven de twee drievlakkige hoeken, N� * Wanneer dan de zijden dezer hoeken, in dezelfoe rangorde, g��'��nbsp;aan elkrnder gelijk zijn; dat is, hoek BAD � hoek FE Uinbsp;il.zi'Ciz: hoek F/tC; en hoek C^Z) � hoek G�//,- dan zullennbsp;in a;!e; gvfjk zijn: dat is i'^ het vlak BAD, zal ract het vlaknbsp;denzelfden hoje maken, als het vlak FEU, met het vlaknbsp;2� het vlak BAD, zal rnet het vlak CAD, denzelfden hoek �'��',,,1nbsp;als bet vlak FEU, met het vlak GEll, en 3�, het vlak Bd^rnbsp;met het vlak CAD denzelluen hoek maken, rds het vlak FEDgt;nbsp;het vlak GEIL _

BtTooG. Men neme, cp de eveneens gopiaaiHo ribben, AC so twee punten, C cn O, zoodanig, dat EG � AC'l\], en late, u'l

vn�'

de lijnen, PB en PD, regthoekig op AB en AD, en de en QJI, regthoekig op EF en �//,� en eindelijk de lijnen? ' 'nbsp;CB, CD en Eg., GF en GH.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�,

Omdat d'.n CP loodregt op het vlak BAD Haat, Haat BepAj het vlak BCP loodregt op het vlak BAD, en daar nu denbsp;APiP regt is, zal {VUL PtellA) AB loodregt op het vhknbsp;bijgevolg (//. Bep. en W. Steil.') loodregt op 5C zijn, en denbsp;CBP, zal de llndhoek der zijden BAD en BAC tiicmaken.

Om dezelfde redenen, zal de hoek GFQ^de Handhoek van ,_,j( den FEU en F EG; de hoek CDP, de Handhoek van'denbsp;BAD en C.ID; de hoek GHQ_, de Handhoek van de zijden ^nbsp;en GEU zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pi

driehoeken ABC en EFG, 7-ijn derhalve rest in S en en quot; hoeken HAC en FFCs, zijn domkrft.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dnarom zij; ook

Cev. XVHI. Steil. /. /?.) de hoeken ACb en F^GF gelijk; .vu-nu {cor4i.\') EG �AC is, zijn (./A�. Steil. L B.) de driehoeken ^^C en EFG gelijk en geiijkvorraig, BC�FG en AB � Ei.

Orn deztlfde redenen, zullen de driehoeken A DC en EEJG, ge-�ik en gelijkvormig, CD � GH en AD �Eli zijn.

Laat nu de vierhoek EFQJJ, op den viernoek ABPD gcpnst quot;�'�fden, zoodanig, dat het punt E, in het punt A, en �/lt;'langs A fSnbsp;dan zal F in B vallen, omdat EF�AB (�eie.) is; 2� EUnbsp;��1 langs AD en het punt H in het punt D vallen; 3� de lijnen FQ^nbsp;^0 zulh-n lanes de lijnen BP en DP vallen, omdat de hoekennbsp;de punt.n B. D, F en //, regt; zijn. Het punt O, zrd dr.n in hetnbsp;^'�^��t p, en �0, langs AP vallen, en daarom zA EOjziAP-, FQj=.nbsp;^P en (lH=z PD z\\n.

�e rcgdroekige driehoeken ECO, sn ACP., hebben dan {conjlr. en gehjke hypcthenufen EG en AC, en de gelijke regthoeks/dj.kunbsp;AP;,z\] zijn dan {II. Lemma L B.') gelijk en geiijhvormig;nbsp;^3. is dan gelijk CP; en de driehoek FG�^ is dan {XIU. Steil,nbsp;-�.) met den driehoek BCP; en de driehoek GHO^ met den drie-^Otk CDP gelijk en. gelijkvormig; de hoek CBP is dan gelijk aannbsp;dl

*5211 hoek I past, zoodanig, dat het hoekpunt E�, in het hoek-funt ^4- �p jaugj nbsp;nbsp;nbsp;gn het vlak FEPI op het vlak BAD valt;

volgens het bewezene, ED langs AD; F in B; H in D; L langs SC; HG langs DC; het punt G in C, en derhalve EG langsnbsp;vallen, en de twee drieviakkige hoeken zullen {XFIII. Bep.) in

�� 762. Aanmerking. Wanneer de zijden der twee drieviakkige �sken, jVjJ j gn 2, wel gelijk, maar nier, in dezelfde rangorde, aannbsp;� ^��der gevoegd zijn, zoodat, wanneer hoek ��//�hoek/AfG jnbsp;IpQ �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gjj G�//~hoek BAC is; dan zal

'gt;1 dezelfde lijnen, r.ls in het voorgaande betoog, trekk .nrle, hcwij-/�� datCO = cP; EF�AD; EH�A�; FQj=. PD; QJP� hoek G/'0 = hoek CGS; hoek G//O � hoek CS/-' zal zijn:nbsp;tjeen der drieviakkige hoeken .zullen elkander dan ook wel, on-fii'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoeken, als in het geval der voorgaande fteiliiig, door-

3�i nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

wnnnesr de gelijke dijden, in de wedeKijdfcke figuren, in dezel^^�-rangorde, geplaatst zijn, plaats heeft, in elkander pasfen. Nogtans nien, niet behulp van het beginfel, dat in het JlI/L Axioma gefieldnbsp;bewijzen: dat de onbepaalde ligchamelijke ruimten, begrepen tuslbb�'*nbsp;de zijden dezer drievlakkige hoeken, ook in dit geval, zoowelnbsp;het voorgaande, gelijk zijn; en dat het onderfclieid der vergel^�^�^'*nbsp;wordende hoeken alleen in de onderlinge plaatfing van derzelvetnbsp;lijke zijden, welke het onmogelijk maakt dezelve op elkander tenbsp;fen, doch niet in de hoeken, welke deze zijden met elkandernbsp;noch in de ruimte, tusfchen deze zijden bevat, gelegen is.

�. 763. XIX. Bepaling. Twee veelvlakkige hoeken door Juperpofitie of op elkander pasjlng, gelijk^ wanneernbsp;zijden A, B, C, Z), A', van den eerften gelijk zijn aannbsp;zijden A', D', C�, D\ E', van den tweeden en de ftandh'^'^nbsp;ken der eveneens gcplaatlle zijden, in dezelfde rangorde I�'nbsp;nomen, in beide veelvlakkige hoeken, gelijk zijn: dat 1*�nbsp;(wanneer men zich verbeeldt in het hoekpunt te liaan ,}nbsp;neer in beide hoeken, regts of linksom, AzzzA';

C � C^; enz : maar zij zijn, door oppojitie tegenoverfta^^ gelijk, wanneer de zijden, in eene andere rangorde genome'��nbsp;gelyk zijn; te weten, Az=zE'-, B � D'; �=�'; D-=^^nbsp;en E~A'; de Handhoeken van twee aan elkander gr��nbsp;zende zijden gelijk zijnde. Legendre noemt deze laa'^^�nbsp;wijze van gelijkheid, �galit� par fym�trie; en Lacro�^�nbsp;hoeken, weike op deze wijze gelijk zijn, angles poly�dresnbsp;verfes.

�. 7(14.. Wanneer tnen de rlhhen van eenen drtevlakkl^^^ hoek, van het hoekpunt afterekenen, in eene tegenovergefl^^nbsp;rigting verlengt', dan zal de drievlakkige hoek, welke r-*�nbsp;deze verlengde ribben ontfiaat, tegen over den eerflennbsp;en, bij oppojitie of tegenover ft and, aan denzelven gelijknbsp;Betoog. Laat de drievlakkige hoek, uit de hoeken, APB,

PER MEETKUNST.

hoek B'PC'z::: hoek BPC, en hoek A'PC� � hoek APC ^''11; de drievlakkige hoeken, welke aan hot punt P tegen over e'krti-ftaan, zijn derhalve uit gelijke zijden zamengefteld. Dan, aange-het uit de figuur zigtbaar is: dat de zijden A�PB', B'PC' ennbsp;'i'PC', van den voortgebragten drievlakkigen hoek, in eene tegenge-ftelde rangorde, met de zijden APB, BPC en APC, van den gege-'^finen voorkomen, zullen deze drievlakkige hoeken, (^Aamn. XXXIF,nbsp;bij oppofitie of tegenoverftand, gelijk zijn.

S- 76$. Aanmeri�ng. Men zal zich zonder moeite overtuigen, dat andere veelvlakkige hoeken dezelfde eigenfchap hebben,

�� 766. Wanneer de hoeken, welke de zijden van eenen ^��ievlakkigen hoek met elkander maken, gelijk zijn aan denbsp;'boeken, onder welke de zijden van eenen anderen drievlakki-hoek elkander doorfnijden, wel te verflaan, dat, in heidenbsp;^^ievlakkige hoeken, de gelijke hoeken in dezelfde rangordenbsp;^^orkomen; dan zullen heide drievlakkige hoeken, bij fuperpo-l'^^ie, gelijk zijn, en de gelijke zijden zuilen, in de wederzijd-drievlakkige hoeken, tegen over gelijke hoeken ftaan.

Opheldering. Laten, in de drievlakkige hoeken, t en 2, de ^oek van APB met APC in Nquot; i gelijk zijn aan den hoek van

P'B' met A'P'C' in N� 2; de hoek van APB met BPC in N'^ i, ^��lk zijn aan den hoek van A�P'B' met B'P'C' in N� 2, en denbsp;^cek van A PC met BPC in N** i gelijk zijn aan den hoek vannbsp;�d'P'C' met B'P^C^ in N'� 2; dan zal moeten bewezen worden: datnbsp;AP B � hos\i A'P'B'; hotk AP C � hoC^i A'P^C', en hoeknbsp;^PC ~ hoek B'P'C' zal zijn.

'^^etoog. Men legge de ribbe A'P' van N� 2, langs de ribbe AP '�aa isi'� 1, en het vlak A'P�C', op het vlak van APC; dan zal,nbsp;quot;'^gens de gelijke twecvlakkige hoeken, welke aan deze ribben ge-

en de ribben P'B' en P'C' van N� 2, zullen (7. Bep.j in do Vlakken APB en APC vallen.

Volgens de onderftelling, worden nu de vlakken B'P'C' en BPC, �W het vlak APB, ouder gelijke hoeken, doovgefucden; de vlakkennbsp;^'P'C' �a BPC zijn derhalve {Hl. Aamn. XXflIL Stell.j evenwijdig,nbsp;^^^'^gens de evenwijdigheid dezer vlakken, zal nu {XIX. Steli.j P'B'

�. 767. T'Fanneer de rihhen van twee drievlakkige aan elkander evenwijdig zijn; dan zullen zij, of, bij fup^^'nbsp;pof tie, of, bij oppofitie, gelijk zijn; naar dat de ribben lt;1^�nbsp;zer hoeken, in dezelfde, of, in eene tegenovergeftelde rigtP'f'nbsp;ten opzigte van elkander, geplaatst zijn.

Opheldering. Dat is, wanneer de drievlakkige hoeken Nlt;� i eij�� gegeven zijn, en de ribben A'P', B'P' en C'P', van N� 2, ev�e'''nbsp;wijuig zijn aan de ribben AP, BP en CP, van N� i; en deze ri*�'nbsp;ben (gelijk in de figuur,) in dezelfde rigting loopen; dan zullen de*�nbsp;hoeken, bij fuperpofuie, gelijk zijn: doch, bij oppofuie, indiennbsp;ribben van N� 2, in eene andere rigdng, als die van N� i loop-��'

Betoog. Omdat AA^' aan AP en B'P' aan BP evenwijdig zal (XXIV: Steil.) hoek A'P'll' ztz hoek APB zijn; om dezelb^�nbsp;reden, zal, wegens de evenwijdigheid der lijnen, A'P' aan APnbsp;C'P' aan CP, hoek A'P'C'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;APC, en wegens de evenquot;'�f

digheid van B'P' aan BP, en van C'P' aan CP, de hoek B'P'^^ quot;hoek BPC zijn; volgens �t XXXIV. Steil, zijn dan de drievlakli(nbsp;ge hoeken N� i en 2, bij fuperpofitie gelijk, en, volgens de XX)^'nbsp;Steil, bij oppofuie, wanneer de ribben van den eerden wel evouquot;''jquot;nbsp;dig aan die van den tweeden zijn; maar in eene tegengellelde rigt'�^nbsp;loopen. Dezelfde waarheid zal, op dezelfde Avijze, van veclvlakki?�nbsp;hoeken kunnen bewezen rvorden.

�. 768. Wanneer men uit het hoekpunt C, van eenen t�x'f vlakklgen hoek, drie loodlijnen, CE, CF en CG, op de d'i'nbsp;den, ACB, BCD en ACD, naar buiten, oprigt; dannbsp;len deze loodlijnen dc ribben van eenen anderen drievlakk'f^�'nbsp;bock zijn, welke de eigenfchap zal hebben, dat deszelfsnbsp;en hoeken de fupplementen van de hoeken en zijden vannbsp;eerst geflelden drievlakkigen hoek zullen zijn.

der meetkunst.

Betoog. Qmdat, volgens de-onderftelling, CE en CF, lood'regt op ^Cli m BCD fiaan, is (XXIX. Steil.') de hoek, welke deze tweenbsp;vlakken, 4CB en BCD, met elkander maken, gelijk aan den hoek,nbsp;welke de loodlijn CE, met het verlengde van CF maakt; de hoeknbsp;is dan (ATA�'. Sep. I. j5,gt; het fupplement van den hoek, ondernbsp;Welken de vtakken, ylCB en BCD, elkander fnijden. Om dezelfdenbsp;�^�den, zal de hoek FCG het fupplement zijn van den hoek, ondernbsp;Welke de vlakken, BCD en ACD, elkander fnijden, en de hoek GCEnbsp;het fupplement van den hoek, welken de vlakken ACD en ACB,nbsp;wet elkander maken.

Omdat nu (orAerft.) CE loodregt op ACB (laat, (laat CF, (//� F'I.) loodregt op AC en BC-, om dezelfde r�den, is CF loodregtnbsp;BC en CD-, en CG loodregt op CD en AC-, derhalve is (IF.nbsp;Steil, en II. Bep.) AC loodregt op CE en CG, of op het vlak CGE;nbsp;BC loodregt op CE en CF, of op het vlak ECF, en Z)C loodregtnbsp;t^P CF en CG, of op het vlak, dat door deze lijnen gaat. De ribben van den gegeven drievlakkigen hoek, zijn dan loodregt op denbsp;dijden van den voortgebragten drievlakkigen hoek, en derzelvej- hoeden zijl], volgens het eepfle gedeelte van het betoog, de fupplementen'nbsp;van de hoeken, onder welke deszelfs zijden elkander ontmoeten; terwijl, omgekeerd, de ribben van den voortgebragten drievlakkigen hoeknbsp;loodregt op de zijden van den gegevenen drievlakkigen hoek (laan,nbsp;waarom dan ook de hoeken dezer ribben de fupplementen zijn vannbsp;de hoeken, onder welke de zijvlakken van den voortgebragten dric-vlakkigen hoek elkander fnijden. De voortgcbragte drievlakkige hoek-is dan, ten opzigte van den gegevenen, op dezelfde wijze geftcld,nbsp;als de gegevene ten opzigte van den voortgebragten. Men noemtnbsp;den eenen drievlakkigen hoek den fupplements hoek van den anderen.

ELFDE BOEK.

Over de Veehlakklge Ligchamen; bijzonderlijk ^ over de ma�s, Parallelopipeda's, Piramiden, enz. Over der-zelver inhouden, en over de gelijkvormige lig~nbsp;chamelijke Figuren.

�. 769. I. j3epaling. De veelvlakkige Ligchamen bekl^�' den, onder de ligchamelijke figuren, dezelfde plaats, alsnbsp;veelhoeken, onder vlakke figuren: onder alle ligchamelijk�nbsp;figuren, de eenvoudigfte zijnde, (Irekken zij tot eene nta**�'nbsp;van de meer zamengeftelde, en zijn, door een zekernbsp;vlakken, die elkander onderling fnijden, ingefloten: men oU'nbsp;derfcheidt in dezelve:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de zijden of faces, die altijd drit'

hoeken, parallelogrammen, of veelhoeken zijn; 2� de rib� ben, volgens welke, de zijden aan elkander fluiten; 3� de reebnbsp;vlakkige hoeken, welke door de zamenkomst der zijdenafzonderlijke hoekpunten, gevormd worden; 4quot; ennbsp;^den inhoud, of de uitgebreidheid der ligchamelijke ruimte^nbsp;welke tusfchen de zijden dezer ligchamen is ingefioten,nbsp;welke natuurlijk van derzelver onderlinge ligging en uitg^'nbsp;breicliieid afhankelijk moet zijn.

�. 770. Aakmesking. Onder de veelvlakkige ligchamen, zijn Prisma's en Piramiden de eenvoudigjle, en (trekken, in de ligchaaia�'nbsp;meting, tot termen van vergelijking, waarmede alle andere ligchaia^nbsp;lijke figuren vergeleken worden; om welke redenen dan ook dienbsp;van ligchamen, in dit Boek, meer bijzonderlijk overwogen worden-

S- 771. IL Bepaling- Fig. 296. Een Prisma, of ZuUi is een ligcbaam, hetwelk op de volgende wijze ontllaat:nbsp;neme eene regtlijnige figuur ABODE, tot ba fis, en, op eene^*nbsp;'Zekeren afflahd, naar welgevallen, een vlak R, evenwij^'Snbsp;aan deze hafis: indien men dan, door al de zijden van de htt�nbsp;fis, vlakken brengt, welke, elk in het bijzonder, evenwijafi

can eene gegevene lijn PO^loopen; dan zal de ligchar,lelijke ruimte , tusfchen alle deze vlakken hcfloten, een prisma ofnbsp;^^il zijn. Men noemt ABODE de bafis; ah ede het hoven-Aak; de vierhoeken A Bba, BCcb ,0 D de, D E ed, EAae,nbsp;de zijvlakken, of de opfiaande zijden.

derfcheidt de prisma's in drie., vier., vijf., zeshoekige prh-enz. naar dat de baiis een drie, vier, vijf, zeshoek enz. Een driehoekig prisma wordt nogtans meestal een-^oudig prisma genoemd. 1

�. 773. IV. Bepaling. Fig. 296. De Prisma�s worden in regte en fcheve prisma�s onderfcheiden; naar dat denbsp;Hin P 0^, aan welke de zijvlakken van het prisma evenwij-loopen, met het grondvlak of dcszelfs verlengde, eeiiennbsp;of fcheven hoek maken.

S- 774. V. Bepaling. Regelmatige prisma's zijn �regte Prisma�s, welker bafe^ regelmatige veelhoeken zijn: zli hebben eene as, welke, uit het middelpunt van de bafis komen-

�. 775. De doorfnede AB van twee vlakken, AR en AS, Welke, elk in het bijzonder, aan eenige lijn Pevenwijdignbsp;is tevens aan diezelfde lijn PQ^ evenwijdig.

Betoog. Laat, in de doorlhede /2B, een punt A genomen, en door hetzelve en de lijn AB, een vlak gebrsgi worden: indien dannbsp;dit vlak het vlak AS, volgens eene lijn AC, welke met AB eenennbsp;hoek maakt, doorfnijdt; dnn zal {XIV. Steil. X. B.j AC aan P Q^,nbsp;evenwijdig zijn: maar dit vlak (^door A en BP gaande,) zal het vlaknbsp;Alk, Volgens eene andere lijn AD, doorlbijden, welke {XiV, Steil.nbsp;X. 5.) evenwijdig aan zal zijn: de lijnen, AC en AD, welkenbsp;(.h-VlI. Step, X. B.j onderling evenwijdig zijn, zouden dan elkander,nbsp;itt een punt j, fnijden; dan, zulks �nmogelijk zijnde, kan het vlak,'nbsp;hetwelk door het punt A, en de lijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;v'skken AP en

AQ^, nergens anders, dan, in derzidver gemeene doorfnede, AB, doorfnijden, en deze gemeene doorfnede moet dan {XIV. Steil. X.B.jnbsp;niet evenwijdig loopen.

�. 77�. Eik regt of fcheefhoekig prisma heeft de eigenfchap�. I� dat de zijvlakken paralleJogramtnen zijn, 2quot; dat de ribhtnnbsp;dezer zijvlakken gelijk zijn, en 3quot;, dat het bovenvlak aan dtnbsp;bajis gelijk en gelijkvormig is.

Betoog, Omdat {//. Bep.y zijvlak, ABba, BCcb, CDdCi DEed, EAae, evenwijdig is aan dezelfde lijn FQ^, zullen de doot-fnijdiiig'en dezer zijvlakken, dat zijn de opftaande ribben, Aa, Bb,nbsp;Cc, Dd, Ec, van het piisma (/. Lemma') aan de lijn Fjj,

Steil. X. B.) onderling evenwijdig zijn, en omdat (//. Bepl) het bovenvlak vr.n het prisma aan deszelfs balls evenwijdig loopt�nbsp;zullen (A7X StslL X. B.) ab aan AB-, bc aan BC-, cd aan CD',nbsp;aan DE en ae aan AE, evenwijdig zijn: de zijvlakken zijn dan (J.Bep,nbsp;III. B.) parallelogrammen, welke in de opflaande ribben van het prisma aan elkander fluiten: men heeft dan (/. Steil. HL B.) Aaz=.Bbnbsp;ztz Cc ~ Dd zsz Ee en voorts AFvee-ab; BC~hci CD-czzcdinbsp;DE �de; EA � ea; en QXXir. Steil. A'. B.) hoek ABC� hoeknbsp;abc; \{oo\s.BCD�\\oe\tbcd-, \Qlt;i\iCDE~cde-, hoek DE Jiattnbsp;hok de a en hoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rr hoek ; de grond en bovenvlakken

777. I. Gev�lg. Wanneer een prisma, door een vlak, evenwijdig aan de hafis hopende, gefneden wordt; dan zal dUnbsp;vlak hetzelve in twee andere prisma�s verdeelen, en de doQt�nbsp;fnede zal, zoo'.vd aan de bajis, als aan het bovenvlak, gelijknbsp;en gelijkvormig zijn._

�. 778. 11. Gevolg. Fig. 296. Wanneer de rigtiijii PQ_.�gt; loodregt op de bafis Haat, cn het prisma gevoigelijk regt is�nbsp;fiaan (/. Lemnui en X en XL Steil. X. B.) de zijvlakkennbsp;de ribben dezer zijvlakken regthoekig, htoowel op de hafis, aUnbsp;op de bovenzijde van het prisma.

�. 779. III. Gevolg. Fig. 298. Wanneer de bafts van het prisma een parallelogram A BCD is; dan zal, vermitsnbsp;Bb aan Aa, en igt;�C aan AD evenwijdig is, {XXIF. SteB-X. B.) het parall' lugrani A D d a aan het paralielogra�nbsp;BCcb evenwijdig zijn, en deze parallelogranimen zullen, daarnbsp;(XXLF. Steil. X. IJ.) de hoeken DAa en CBb gelijk,

lil.

DER ^T E E T K U N S T.

III. �.) gelijk en gelijkvormig zijn. Om dezelfde reden, zijn parallelogrammeu ABba en DCcb evenwijdig, geiijk ennbsp;gelijkvormig.

�. 7S0. Vl. Bepaling. Fig. 298. Een prisma^ welks ha-fis een parallelogram is, is dan bepaald door zes vlakken, die Ale parallelogrammen zijn, twee aan twee, tegen over elkander flaande, evenwijdig, gelijk en gelijkvormig zijnde. Dezenbsp;foort van prisma heeft, met uitzondering van alle andere pris-ma's, de eigenfehap, dat. elk zijner vlakken tot bafis kan ge-tiomen worden, zonder dat de figuur ophoudt prisma te zijn.nbsp;Men heeft daarom die foort van prisma�s, door de bijzonderenbsp;lienaming van parallelopipedum, (hetgeen zooveel zeggen wi!nbsp;als evenwijdzijdig Ugchaam, fomtijds balk genoemd,) onder-fcheiden: zijnde een parallelopipedum, gevolgelijk een prisma,nbsp;een parallelogram tot bafis hebbende; of, een Ugchaam, bepaaldnbsp;door zes parallelogrammen, waarvan die, welke tegen overnbsp;olkander fiaan, evenwijdig, gelijk en gelijkvormig zijn.

�. 781. VII. Bepaling. Wanneer de parallelogrammen, Welke het parallelopipedum bepalen , reglhoekig zijn ; dannbsp;Wordt het een regthoekig parallelopipedum genoemd.

�. 7S2, VJIt. Bepaling. Zija al de parallelogrammen, welke het parallelopipedum bepalen, vierkanten; dan draagtnbsp;het den naam van cuhus, of teerling.

�. 783. Twee prisma's, i en a, zullen gelijk engeltjk-vormig zijn, wanneer, derzelver bafies ABC enz. en A'B'C'enz,, gelijk en gelijkvormig zijnde, de zijden en ribben van tweenbsp;drievlakkige hoeken, aan twee eveneens geplaatfte hoekpunten,nbsp;^ en van-de bafis, onderling gelijk zijn; namelijk boeknbsp;baf� ˒A'F'; hoek BAa ~ hoek B'A'a'; hoek FA anbsp;= hoek F'A'a'; AB � A'B'; A'F'-=.AF en AazzzA'a'.

Betoog. Laat de bafis A'B�C'B'E', op de bafis ABCDE, ga-past worden, zoodanig, dat de gelijke zijden en hoeken in elkander vallen, hetgeen, wegens de onderllelde gelijk en gelijkvormigheid dernbsp;bafes, gefdfieden kan; dan valt d' in A; B' in B; C' in C; D' in F;

BEGINSELEN

F'A'a'� hoek FAa is, zal QXXXIF. Stsll. X. 5.) A^a' langs vallen, en omdat A'a' � Aa is, zal het punt a' in het punt a vallen: de parallelogrammen AHba en A'B'b'a', zijn dan {III. StelLnbsp;///. 5,) gelijk en gelijkvormig; het punt b' zal dan in het punt bnbsp;vallen: daar nu, om dezelfde reden,,het punt A in c, d' in d, e' in �nbsp;en f' in �, zal vallen, kan het prisma N�� 2, volkomen in het prismanbsp;Nquot; I geplaatst worden, en de prisma�s zijn derhalve onderling gelijknbsp;en gelijkvormig,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

�. 784. Wanneer men eene der opflaande ribben een prisma, in een zeker aantal gelijke deelen, AH, Hitnbsp;IK, KG, verdeelt, en, door de doelpunten', H, I, K, enz.nbsp;vlakken, evenwijdig aan het grondvlak, trekt�, dan zullen dezenbsp;vlakken het prisma in even zoo vele gelijke en gelijkvormig^nbsp;prisma's verdoelen, als 'er deelen in de opflaande ribbe genomen zijn.

Betoog. Want, omdat de vlakken van doorfnijding (jl.Gev. ESti) aan de balts gelijk en gelijkvormig, en de opflaande ribben AH, Hhnbsp;IK, enz. gelijk ook de drievlakkige hoeken, aan de punten A, H,nbsp;I, K, enz. {XXXIV. Steil. X. B.j aan elkander gelijk zijn, zullen (//�nbsp;Stell.j de prisma�s, in welke het geheels prisma verdeeld is, aan el'nbsp;kander gelijk en gelijkvormig zijn, zijnde derzelver aantal gelijk aannbsp;het aantal deelen, welke in de opflaande ribbe AG genomen zijn geworden,

$. 785. I, Gevolg. Vermits alles, wat een prisma, in het algiemeen genomen, bewezen is, van alle foorten van prisma�s, in het bijzonder,nbsp;gelden moet, zoo volgt hieruit: dat een parallelopipedum door eennbsp;vlak, dat evenwijdig aan ��ne zijner tijden loopt, altijd in tweenbsp;andere parallehpipeda''s verdeeld wordt.

�. 786. II. Gevolg. Fig. 302. Wanneer men de drie ribben AB, AD en AC, van een parallelopipedum, welke eenen van dtsze/fs drie-vlokkige hoeken A Lepalen, de eerfle AB in p, de tweede AC in q, Vnbsp;de derde AD in r gelijke deelen verdeelt, en, door de doelpunten, vVtnbsp;de ribbe AB vlakken, evenwijdig aan het parallelogram ACD�, doornbsp;je doelpunt en van de lijn AC vlakken, evenwijdig aan het parallel'nbsp;gram ABD, en jopr de deelpurtten van de ribbe AD vlakken, even-

vijdig aan het paratielogram BAC trekt; dan zal het geheele pa-^�allelopipedmn in een aantal van p X q % r gelijke en gelijkvormige ptirallelopipeda's verdeeld zijn, welke alle aan elkander fluiten, en denbsp;�eheele ligchamelijke ruimte van het paralUlopipedum vervullen.

S- 787. IX. Bepaling. Fig. 30a. Een parallelopipedum Worde gezegd, onder drie lijnen AB, AC Al�, en eenennbsp;gegevenen drievlakkigen hoek A, te zijn zamengejlekl, wanneernbsp;*^226 lijnen, AB, AC tn AD, de ribben van eenen der lig-^hamelijke of drievlakkige hoeken van het parallelopipedumnbsp;en de drie zijden van den drievlakkigen hoek A, na-'^elijk, de hoeken, BAC, BAD en CAD, gegeven zijn;nbsp;lijnde, door deze hoeken, als zijden van den drievlakkigennbsp;^�oek, en door de drie ribben, welke tevens ribben van dennbsp;�Irievlakkigen hoek zijn, het parallelopipedum zoodanig behaald, dat het, onder deze gegevens, kan zamengelteld worden.

S- 788. X. Bepaling. Fig, 302. Vermits al de hoeken of zijden van den drievlakkigen hoek van een regt of regt-boekig parallelopipedum regte hoeken, en dus uit zig zelvJnbsp;gegeven zijn, wordt een regt parallelopipedum gezegd, onder drie lijnen, AB, AC en AD, gemaakt of zamengejleklnbsp;te zijn, indien deze lijnen de ribben van eenen der hoekennbsp;2yu. In dit geval noemt men deze drie ribben de lengte,nbsp;breedte en hoogte van het parallelopipedum, zonder aan d�nenbsp;dfir zijden, in het bijzonder, deze benaming, bij voorkeur,

Slt; 789. XI. Bepaling. Een cubus wordt gezegd op eene 'lm A befchreven te zijn, wanneer deze lijn A eene ribbe vannbsp;dien c�bus is.

�� 790. Wanneer de lengte AB van een regt parallelopipedum P, tot de zijde EF, van eenen cubus Q^, in dezelfde reden ftaat, ah het getalp, tut het getal q-, de breedte BC,nbsp;tot de zijde PQ den cubus, gelijk het getal r, tot hetnbsp;getal s; de hoogte CD, tot de zijde GHvan den cubus, gelijk

BEGIN

het getal t, tot het getal u; dan ftaat der inhoud van het rallelopipedum tot den inhoud van den eubus, gelijk het pro~nbsp;duamp; prt-, tot het produEl gsu.

Betoog. Men zal, volgens de onderftelling, omdat dB -.EFe^ p-.q is, de zijden dB en EF, in p en q gelijke deelen, verdoelen,nbsp;en, door de deelpiinten, vlakken, evenwijdig aan B CD en FG Hgt;nbsp;trekken kunnen. Om dezelfde redenen, zal men, .SCin r, en FG\o^nbsp;gelijke deden kunnen verdeden, en, door de deelpunteu, lijnen, even-wijdig aan de vlakken dBl en EFK, kunnen trekken. , Eindelij�nbsp;zal men CD en G //, in t en u gelijke deelen, vcrdeelen, en, door denbsp;ceelpunten, vlakken, evenwijdig aan dBC en EFG, kunnen trekken-liet parallelopipedum P zal dan, (//. Getj,. III. Steil.') in /gt; x r x i'-en de cubus g,, in ^ X s x k , gelijke en gelijkvormige parallelopipeda�snbsp;verdeeld zijn, weike in beide ligchamen onderling gelijk zullen zijn-Volgens de IX. Bep. II. Boek, zal dan

zijn, en de cubus Q, zal zoo monigmaal in het parallelopipedum P begrepen zijn, als het getsl qysyit in het getal pyryt begrepen is.

�. 7pi. I. Gevolg. Men zal dan, wanneer de betrekkingen v.an de zijden van een parallelopipedum tot de .zijden van eenen cubus ge',nbsp;geven zijn, .altijd de betrekking van den' inhoud van het pr.rallelo-pipedtim tot den inhoud van. d�n cubus bepalen kiuinen, en dez�nbsp;laatfte betrekkingen zullen meetbaar of onmeetbaar zijn, naar dat denbsp;gegevene betrekkingen der ribben meetbaar of onmeetbaar zijn. �

Steil. II. B.)

�^tihUgt, zal het product de verhottding of betrekking van dien mbin of tot dit parallelopipcdiim bepalen.

793- III. Gevolg. Omdat dan de betrekking van een rcgthoe-parallelopipedura tot eenen cubus, door de vermenigvuldiging van �ehcele of gebrokene getallen, gevonden wordt: zegt men, bij ver-I^otting: de inhoud van een parallelopipediim is gelijk aan het productnbsp;Van deszelfs lengte., breedte en hoogte., met 'elkander vcrfnenigvitl-digd- ecne fpreekwijs, welke altijd, ais in het voorgaande gevolg,nbsp;en uitgelegd njoet worden.

�� 794. IV. Gevolg. De inhouden der cuben, welke befclveven op lijnen, welke tot elkander in reden ftaan, ah de .getallen l,nbsp;^gt; 3, 4, 5, enz,,n, enz. ftaan tot elkander, ah de derde magtennbsp;dezer getallen: dat is, als: J, S, 27, 64, 125, 216, 343, 512,nbsp;�a enz.

795- V. Gevolg. Wanneer den inhoud van een regtJioeklg ^�^�'etllelrpipedum in cubieke ��nheden gegeven is, en de lengte vannbsp;*'*'oe zijner ribben; dan zal men de onbekende ribbe van het paralle-^^pipedum vinden, wanneer deszelfs gegeven inhoud door het productnbsp;bekende ribben deelt.

�� 79^* Vr. Gevolg. Wanneer de inhoud van eenen cubus in Clthieke ��nheden gegeven is, zal men vinden, hoeveelmaal de ��nheidnbsp;'^an de lengte maat in de ribbe van den cubus begrepen is, wanneernbsp;�'icn uit het gegeven getal cubieke ��nheden den citbus-wortel trekt.nbsp;vvegens deze worteltrekking, I. C. XXXVII. Les.

797- Aanmerking. Omdat gelijke cuben, in de lengte, breedte hoogte, aan elkander fluiten, wordt de cubus als de natuurlijke ennbsp;^'gwiaardige maat der ligcliamen aangezien, en men verkiest onder allenbsp;'^uben den cubus, welke op de ��nheid van de lengte maat befchre-'s; dat is: de ��nheid, op den meter hefchreven. Men noemtnbsp;^ nzelven cubieken meter, bevattende duizend cubieke decimeters;

cubieke' decimeter duizend cubieke centimeters; de cubieke centimeter duizend cubieke millimeters.

inhoud van een parallelopipediim f uitgedrukt, door k[rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AC, AD, (welke een der drievlak-

ck is eene ligchamelijke uitgebreidheid, befloten binnen seJi zeker aantal driehoeken, welke in d�n toppunt zamenkonieD�nbsp;en welker bafes de zijden van eenen driehoek of veelhoeknbsp;zlin, welke de bafis Van de piramide genoemd wordt. 21)nbsp;ontftaat op de volgende wijze. Men neme eene regtlijnig�nbsp;figuur, (drie of veelhoek,) en, boyen of beneden deszelf�nbsp;vlak, eenig punt T; door dit punt T, en door de zijdennbsp;regt�jnige figuur, late men vlakken gaan, welke elkander�nbsp;volgens regte lijnen, die van het toppunt T, tot de hoek'nbsp;punten van de bafis loopen, doorfnijden, en de zijvlaki^�^nbsp;van de piramide genoemd worden.

�. 800. XIV. Bepaling. Men onderfcheidt de piramide!^ in drie-, vier- en veelhoekige, naar dat de bafis een drie-�nbsp;vier- of veelhoek is, Fig. 304. vertoont eene drie, en Fi?,�nbsp;305. eene vierhoekige piramide.

�. 801. Aanmerking, lye driehoekige piramide is het HS' chaam, dat door het minst mogelijk aantal vlakken (vier n^'nbsp;melijk) bepaald wordt. Zij bekleedt, onder de� ligchamen�nbsp;deuzelfden rang, als de driehoek, onder de regt�jnigenbsp;ren. De driehoekige piramide heeft de eigenfchap, datnbsp;barer zij\dakken als bafis kan aangenomen worden.

�. 802. XV. Bep.\ling. Eene piramide is regelmatig� wanneer hare bafis een regelmatige veellioek is, en haar top'nbsp;punt nog bovendien gelegen is, in de lijn, welke, uitnbsp;middelpunt van de bafis, loodregt op dezelve ftaat; zijndenbsp;regelmatige piramide-bijgevolg ingeOoten door eenen rege'quot;nbsp;matigen veelhoek, als bafis, en door even zoo vele gelijk^nbsp;en gelijkvormige gelijkbeenige driehoeken, als �er zijdennbsp;de bafis der piramide voorkomen.

803. Elke drie of veelhoekige piramide heeft de eig^^^^ fchap: dat, wanneer zij gefneden wordt door een vlak,nbsp;evenwijdig aan hare baps loopt, het vlak van doorfnijdingnbsp;^dcze Lafs gelijkvormig is.

MEETKUNST.

^3fis ABCDEF hebben, en door het vlak abedef, evenwijdig 'ieze bafis zijnde, gefneden worden; dan zal, omdat de evenwijdigenbsp;''lakken ABCDEF of abedef, door het vlak van den driehoek,nbsp;volgens de lijnen, AB en ab, gefneden worden, (fXIX. Steil,nbsp;B.') ab evenwijdig aan AB zijn. Om dezelfde redenen zijn denbsp;^'iden bc, cd, de, ef en fa, van den veelhoek abedef evenwijdignbsp;de over��nkomftige zijden BC, CD, DE, EF en FA, van dennbsp;'��elhoek ABCDEF. Men heeft derhalve {ILGcv. /. Steil, en FlU.nbsp;B.')

'erwiji (Gev. XXTF. Steil. X. B.f de hoek abc= den hoek ABC is. dezelfde redenen, zal

boek bedhoek BCD^ en B C i bc 13^ CD ' cd. hoek edezz hoekCDE; en CDicd~DE:de.nbsp;koek defziz koek DE F; en DExde � E F: ef.nbsp;hoek efazz hoek EFA; en EFx ef � F Ai fa.nbsp;hoek fab�hoek F AB i exi FA ifa �A B lab.

^*in. Het blijkt hieruit; dat de veelhoeken, abedef w ABCDEF, �*lderling gelijkhoekig zijn, en dat de zijden, welke om de gelijkenbsp;�fiken ftaan, tot elkander dezelfde beftendige reden hebben; en zulkenbsp;^*^2lhoeken zijn (^XFI. Steil. IV. B.'^ gelijk vormig.

S- 804. Wanneer twee veehlakkige ligchamen, N� i en n, ^�odanig gefield zijn: dat al de hoekpunten van het eene innbsp;^ de hoekpunten van het andere, en al de ribben van het eenenbsp;tlt;thaatn langs al de ribben van het andere vallen; dan zal ook

is: het eene ligchaam zal in het andere pasfen, en de ^^eneens geplaatfte zijvlakken zullen gelijk en gelijkvormignbsp;^ijn, en daarenboven gelijke Jlandhoeken hebben.

Berooo. Laten A, B, C, D, E, F,G,Hamp;tI, de hoekpunten ^an het veelvlakkig ligchaam Nquot; i, en a, b, c, d, e, f, g, h ent,nbsp;de hoekpunten van het veelvlakkig ligchaam N� 2 zijn: wanneer dannbsp;de hoekpunten a, h, c, enz. van het ligchaam 2, in de hoek-Penten A, B, c, enz. van het ligchaam N� i, geplaatst kunnen worden, zonder dat ��n van de hoekpunten van het eerde ligchaam oui-'en eenig hoekpunt van het andere valt: dan is lict klaar; dat men de

hoekpunten van het tweede �gchaam, door regte lijnen, verecniS*^** kan, en dat beide ligchamen dezelfde hoekpunten, en nogtansnbsp;fcheidene ribben kunnen hebben, en gevolgelijk door onderfclieid'^''^nbsp;vlakken ingefloten zijnde, niet altijd in alles gelijk zullen zijn.nbsp;wanneer de ribben dezer ligchamen, nog boven dien langsnbsp;vallen j dan fluiten ook de zijvlakken dezer ligchamen tegen elkandfi'quot;�nbsp;en zij zijn in dit geval gelijk en gelijkvormig, en hebben diensvolg��^nbsp;denzelfden inhoud, en dan behoeft het ook geen verder betoog ��nbsp;de eveneens geplaatfte zijvlakken gelijke flandhoeken hebben,nbsp;zien zulks uit het voorgaande, en uit de ,Y///. ennbsp;X. B. overtuigend blijkt.

�. 805. XVI. Bepaling. Twee ligchamen zijn gelijk tn gelijkvormig, wanneer al de hoekpunten vannbsp;eene ligcbaam in al de hoekpunten van het andere kunnennbsp;bragt worden, en dit gedaan zijnde, al de ribben vannbsp;eene ligcbaam langs al de ribben van bet andere vallen,nbsp;wanneer bijgevolg de over��nkomllige zijvlakken dezernbsp;chameii gelijk zijn, en gelijke handhoeken hebben.

yh'kkig �gchaam, gelijke en evenwijdige lijnen trekt, en quot; uiteinden dezer lijnen, op dezelfde wijze, ah de hoekpunh^^��nbsp;uit welke zij getrokken zijn, door regte lijnen ver'��nigt;nbsp;zal ��er een veelvlakkig �gchaam geboren worden, dat metnbsp;eerfie gelijk en gelijkvormig zal zijn.

Betoog. Laten, bij voorbeeld, uit de punten A, B en C, d^b-' pen Aa, Bh en Ce, onderling gelijk en evenwijdig aan elkandernbsp;trokken worden; dan is (XXfll. Steil, X. B.') het zijvlak abc, 'nbsp;wijdig aan het zijvlak ABC, en aan hetzelve gelijk en gelijkvoriip^^nbsp;Op, dezelfde wijze zal, wanneer men, uit al de hoekpunten van ^nbsp;ligchaam N� i, gelijke en evenwijdige'lijnen trekt, het zijvlaknbsp;evenwijdig en gelijk aan het zijvlak ACJ)- het zijvlak ad?.,nbsp;zijvlak ADE, enz. evenwijdig en gelijk zijn. Nu fnijdennbsp;StAl. X. B.j evenwijdige vlakken elLmdcr onder gelijke hoek^�r'^^.^^nbsp;de flandhpeken der z�viakken van het iigchaam N� 2, zijn dan

'��Hl da flaudhoakcn van de over�enkomftige zijvlakken van het lig-cbaam i- 51 hetwelk dan blijkt: dat {XVI. Bep.') beide lig-'^hanien gelijk en geliikvoniiig zullen zijn.

�� 807. Aanmerking, Het bevvezene in deze ftelling, is hechts een afzonderlijk geval van deze inetr algeineene (te!-''ng. Wanneer menuit al de punten van een veelvlakkig, re-^�.dmatlg.^ of onregelmatig., Ugchaam, gelijke en evenwijdige lij-trekt; dan zullen de uiteinden van alk deze evenwijdigenbsp;^{jnen gelegen zijn, in het oppervlak van een ander Ugchaain,nbsp;hetwelk aan het eerfte gelijk en gelijkvormig is. Eene Itei-welke op dezelfde wijze, als de XXXII. Stelling vannbsp;� I. Boek, bewezen wordt.

?� 808. Twee piramiden, P en O^, zijn gelijk en gelijkvnr-''''^��5 wanneer de ribben van twee van derzelver dricvlakklge en a, gelijk .zijn, {XIB zzz ah; AC = ac ennbsp;�dDizszadij en de zijden dezer drievlakkige hoeken, tus-flt;then de gelijke ribben begrepen, insgelijks gelijk zijn, {hoeknbsp;BaC= hoek bac; hoek CAD = hoek cad en hoek BAD=znbsp;^oek bad),

Hktoog, Volgens de onderlrellingen, kan men den drievlakkigeii a, in den drievlakkieen hoek A, zoodanig plp.r.tfen, dat hetnbsp;koeepniu a, in het hoekpunt B, de ribben ab, ac en ad, langs denbsp;hbbennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jq en BD, vallen; omdat damp;'a abv- BB; ac = BC

�n adzizBD is, zullen de punten b, c en d, in de punten B, C en vallen; al de zijvlakken van de piramide vallen derhalve in denbsp;vlakken van de piramide ; deze piramiden zijn derhalve (X/'7.igt;Vp.)nbsp;�ehjk en geiijkvotmig.

. �� 809. Wanneer men, uit het toppunt A, van eenen gehjk-heuiigen driehoek, ABC, {AB z= AC zijnde,) eene onbepaalde loodlijn op het vlak van dien gelijkbeenigen driehoek, BBC, Oprigt, en in deze loodlijn, boven en beneden het vlaknbsp;dien driehoek, de punten D en E zoodanig neemt, dat

A O

BEGINSELEN

Betoog. Omdat BD loodregt op Iiec vlak van den driehoek feat, zijn (//. Bep. X. 5.) de hoeken BAD, BAE, CAD ennbsp;regce hoeken, en omdat (pnderjl.j AB � AC en AD:=.AE'\s,nbsp;men de piramide ABCD, in de piramide ABCE, zoodanig kutin*^quot;nbsp;pasfeii, dat het punt A in het punt A, AD langs AE, ACnbsp;AB, en AB langs AC valt, als wanneer de punten B, D en Cnbsp;de punten C, E en B zullen vallen, ten bewijze, dat QXFL IB'0nbsp;de piramiden gelijk en gclijkvormig zijn.

�. 810. TVanneer men, uit het middelpunt P, van cirkel, welke, om eenen ongelijkzijdigen driehoek ABC,nbsp;fchreven is, en hetwelk gevolgelijk even ver van de hockpunl^^nbsp;Al, B en C dfjiaat, eene loodlijn P D op dezen driehoek oj�nbsp;rigt, en PE gelijk PD neemt; dan zullen {de lijnen ADinbsp;BD, CD en AE, BE, CE, getrokken zijndtj) de pd'^'nbsp;miden A BCD en ABCE, wel niet meer in elkander pasfi^'nbsp;maar zij zullen nogtans denzelfden inhoud hebben.

Betoog. Aangezien de driehoeken APD, BPD, CPD, AP^'^ BPE en CPE, in P regthoekig zijn, en, volgens de ondcrftellin^�nbsp;AP= PBz=:PC lt;en DPz=iEP is, zijn alle deze driehoekennbsp;St�il. 1. B.j gelijk en gelijkvormig; derhalve is AD � BD � CD'^nbsp;AE � SEz^eCE, en (AY//. Steil. I. 5.) hoek ADC�\iock AE^inbsp;\ioeamp; AD Bzz hoek A EB; en hoek CiJZf = hoek 5�C,- wannc^^nbsp;men dan de piramide ABCE, mer zijn toppunt E naar bovennbsp;ziet men: dat de ligchamelijke hoeken D m E, {XXXI. Steil. X. E-jnbsp;flechts, bij oppofitie of tegenoverftand, gelijk zijn, en niet in elkand^^nbsp;pnslcn, ten ware dat de'driehoek C gelijkbeenig of gelijkzijdig waf��nbsp;iets, hetgeen hier niet onderfteld wordt. 'Vermits dan de ligcharaelij�''^nbsp;hoeiten D en E niet in elkander fluiten, zullen ook de piramidennbsp;in elkander pasfen. � 'Nogtans hebben deze piramiden gelijke inhod^^'nbsp;Want, volgens de voorgaande ftelling is:

Pham. BCPE= Piram. BCPD Piram. ACPE~ Piram. A CPDnbsp;Piram, ABPEttz Piram. ABPD

wanneer men nu deze gelijke psramiden oprek, verkrijgt men: (T//. 4x,') piramide //C'� = piramide A BCD.

�� 8ii. Leering. Men leert, uit het betoog dezer ftel-�gt;ng: dal �er ligchamen kunnen befiaan, welke, door een ge-^hk aantal van gelijke en gelijkvormige vlakken, �ngeftoten en, alhoewel zij denzelfden inhoud hebben, nogtans nietnbsp;elkander pasfen.

�� 812. 'Er be ft a at, binnen of buiten elke driehoekige pi-^^'nide, een punt, hetwelk even ver van de hoekpunten dezer i�^^tmide verwijderd is.

Betoog. Laat ABC de bafis van de driehoekige piramide zijn, ^ -lEt middelpunt van den cirkel, welke om de balts is befchre'en,nbsp;hetwelk v.an de hoekpunten, A, B en C, even ver r.fflaat: indmnnbsp;dan de lijn /gt; 0_]oodregt op de bafis oprigt; dan zrd (/'7. Ste.l.

elk punt van deze loodlijn even ver van de hoekpunten J, C afkaan. Men deele nu de ribbe BD in R midden door, ennbsp;door R een vlak gaan, op hetwelk de ribbe BD regthoekig fl'.at;nbsp;'��h zal dit vlak de loodlijn PQ, ergens in ,Q,fnijden, en (//. Bep.

B.') de lijn Q^R, zal loodregt op BD Haan; ffD is dan (Abr. St. ^�B.) gelijk BQ^, gelijk aan AQ^, gelijk aan CQ^, en het punt O ftaatnbsp;^�'''olgeiijk even ver van de hoekpunten, A, B en C, der piramide.

S* 812. PEanneer men uit het toppunt �, eener piramide '^biCD, eene loodlijn DE op derzclver bafts ABC laat val-en het verlengde EE dezer loodlijn, naar beneden, gelijknbsp;�an de loodlijn DE maakt, en voorts de lijnen AF, BF ennbsp;trekt-, dan zal de piramide ABC F, welkenbsp;��jfflructie ontfiaat, door zijvlakken ingefolen zijn

Brtoog van het eerfte. Men .trekke de lijnen AE, BE m Cf'� dan Zijn jdnderft. en IV. Steil. X. B.j de hoeken DEA, Dl^^�nbsp;DEC, FEA, FEB en FEC regt, en (ZX Steil. I. B.j de drieh��'nbsp;ken DEA, DEB, DEC, zijn respeftievelijk met de driehoek*^�nbsp;FEA, FEB, FEC, gelijk en gelijkvormig, en daarom is AF�Jkl^

driehoeken ABF, ACF en ECF; wanneer men dan de eerde hoeken ABD, ACD en BCD, op de zijden AB, AC ca BC,nbsp;beneden laat omdrnaijen; dan znl ABD op ABF-, ACD opnbsp;en BCD op BCF vallen, en de buitenkanten van de zijvlakkennbsp;piramide ABCD, worden de binnenkanten van de zijvlakken da: P�'nbsp;ramide A BCF, en men behoeft flechts de ondcrlle piramide ABC^'nbsp;met haar toppunt naar boven te Hellen, om te zien: dat de drievkd*-'nbsp;kige hoeken, welke tegen over de gelijke zijden Haan, b�ij oppofit�^�nbsp;gelijk zijl).

Betoog van het tweede. Men neme, in de eerfte piramide, ABCP� een punt P, op gelijke afftanden vnn de hoekpunten A, B, C en P�nbsp;en, in de piramide, A BCF, het punt .O insgelijks op gelijke af��'nbsp;den van de hoekpunten A, B, C ca F; dan liggen de punten P ��nbsp;O,, (^VI. Steil. X. B.j in de loodlijn, welke loodregt op ABC, df*^nbsp;het middelpunt van den cirkel gaat, welke om den driehoek A^^nbsp;befchreven is; en nu is het klaarblijkelijk: dat AP � yJQ^;

BQ^.; C�P = CO_ en DPztzFQ^is-, en nu is (X Steil.j piramide AB^ � piramide yi SC O; Wanneer men nu de piramide A BCF opnbsp;lijn AC omdraait, en de driehoek ACD, op den driehoek ACFf^^''''lnbsp;zal, om dezelfde reden, piramide ACDP-zz-pvtwadaACFQ^z^n.nbsp;hebben dan:

en trekt-men deze gelijke piramiden op; dan zal (^VII. Ax.j pin'��*quot;' ABCDquot; piramide A BCF zijn.

1 .. t nbsp;nbsp;nbsp;l_ - ��...Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X y, ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.�,-.1 n-ZS�., . Art*

^tdtrfchdd^ dat de binnenzijden van de zijvlakken der eerfte pira-'iiidc de buitenzijden van de zijvlakken der tweede worden, deze pi-' ^aaiiden akdati gelijken inhoud zullen hebben,

XII. Stelling. Fig. 313.

�� 815. Wanneer men, uit al de hoekpunten A, B, C, J), '^^z. van een veelvlakkig ligchaam, op een gegeven vlak MN,nbsp;^��odliji,.i,fj^ AP, B O^, CR, enz. laat vallen, en deze loodlijnnbsp;5 aan den anderen kant van dit vlak MN, verlengt, en,nbsp;het verlengde dezer loodlijnen, de overUnkomftige punten a,nbsp;c, d, e, f, enz. zoodanig neentt, dat aP~ AP, bO^nbsp;^50, cR�CR, enz. zij, en voorts deze overUnkomftigenbsp;k^�nten a, b, c, d, enz. op dezelfde wijze, door regte lijnennbsp;ribben vere�nigt, als de hoekpunten van het gegeven lig-aatn ver'��nigd zijn', dan zal 'er, aan den anderen kant van

vlak BJN, een veelvlakkig ligchaam ontflaan, hetwelk de ^'btenfchap hebben zal: 1 � dat het door hetzelfde aantal zijvlakkennbsp;��hs het eerfte bepaald is, en dat de zijvlakken van het tweedenbsp;Aic van het eerfte gelijk en gelijkvortnig zijn; aquot; dat denbsp;��dtenzijden der zijvlakken van het eene ligchaam de hinnen-^jden der zijvlakken van het tweede zijn; 3'? dat de ftand-van twee aan elkander fluitende zijvlakken gelijk is aannbsp;ftandhoek van de twee gelijke en overUnkomftige zijvlak-f-ri van het tweede ligchaam; 4� dat de veelvlakkige hoeken,nbsp;'^eike in beide ligchamen door gelijke zijvlakken bepaald wor-//�wnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tegenoverftand, gelijk zJjn; 5� en dat eindelijk de

�^toog. Omdat de lijnen, AP en BQ__, (onderftj) loodregt op vlak MN (laan, zijn zij (IX. Steil. X. B.j onderling evenwijdignbsp;w hetzelfde vlak gelegen. Wanneer men dan het regthoekig trape-p, .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;om de lijn PQ^ omdraait, en op het regthoekig tra-

laat vallen; dan zal dP langs aP, en langs bff 'en, het ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B va. b; de ribbe is dan

^h�en bewijst op dezelfde wijze, dat bc~BC; cd�CD; de~ fb � FB; ac=AC; ad=AD; ae = AE; af

^^F; gdz=G�;

zijvlakken van het tweede ligchaam zijn gelijk aan de hoeken der 2lt;1 vlakken van het eerde, welke door dezelfde letters zijn uitgedrul''nbsp;en men ziet uit de figuur: dat de binnenkanten der zijvlakken vannbsp;gegevene ligchaam de buitenkanten der over��nkomftige en gel�i''�nbsp;zijvlakken in het voortgebragte ligchaam worden.

Maar de Handhoek van twee aan elkander liggende zijvlakken Aquot; en ACD, van het eerde ligchaam is gelijk aan den Handhoek vaonbsp;over��nkomdige gelijke zijvlakken, abc en acd, in het tweedenbsp;ehaara. Verbeelden wij onsom dit te betoogen: dat de puntennbsp;en D, door eene regte lijn BD, ver��nigd zijn; dan zal wederom�nbsp;als boven, volgen: dat bd�BD 'is, en de driehoek bdc, zal a*quot;�nbsp;den driehoek BDC gelijk en gelijkvormig zijn: men kan dan, o�nbsp;punten C en c, zich twee drievlakkige hoeken verbeelden; denbsp;uit de hoeken ACB, ACD en BCD, en de twee�de uit de daar'�'�'*nbsp;gelijk zijnde hoeken acb, acd en bed, zamengedeld, en dannbsp;(^XXXIF. ^tell. en Aanmerk.') de Handhoek van de zijvlakken A^''nbsp;en ACD, gelijk aan den Handhoek van de over��nkomflige zijvlskk^�nbsp;abc en acd: en men zal op dezelfde wijze betoogen, dat elke

Act

elkander eenen hoek maken, welke gelijk is aan den hoek, oi*�'' welke de over��nkomflige zijvlakken van het tweede ligchaamnbsp;der fnijden.

Het is nu ook gemakkelijk te zien, dat de over��nkomflige vlakkige hoeken der ligchamen, (welker toppunten in de figuurnbsp;dezelfde letters zijn aangewezen,} bij oppofitie gelijk zijn; wantnbsp;men zig in het punt A, dan liggen de hoeken BAC, CAD,

EAF en FAB, in rangorde van de regter naar de linkerban'' plaatst men zich in het punt a, dan zijn de overC�nkomfligenbsp;hoeken bac, cad, dae, eaf en fab, anders om, van de linked

/lp vACfPvVianH - cpnlaorct ? nbsp;nbsp;nbsp;nn lipaw/arrpn �c lt;ln^ rl�

fnijden, zijn {XIX. Bef. X. B.) de ligchamelijke hoeken A e.n oppofitie gelijk. Men zal door eene gelijke redenering zich

DER MEETKUNST.

amp;'Iijkheid bij oppofitle van de andere gelijkftandige veelvlakkige hoeken dezer ligchamen overtuigen.

twee ligchamen kunnen derhalve niet in elkander gepast worden: '�ogtans hebben zij eenen gelijken inhoud. Nemen wij, om zulks tenbsp;^�wijzen, in het vlak MN, een punt M, en verbeelden wij ons, dat,nbsp;dit punt tot de punten A, B en C, en tot de punten �, b ennbsp;de lijnen AM, BM, enz., aM, bBl, enz., getrokken worden,nbsp;�^^n zal uit de XX. Steil. I. B. volgen: dat AM�aM; BM�hRI;

is; de piramiden ABCM en abcM z\]n, derhalve (XlIL ^tcll. �. gn baven') door gelijke zijvlakken, maar die in eene te-Stnovergeftelde rangorde geplaatst zijn, bepaald; zij zijn derhalvenbsp;^^antnerk. XI. Steil.') gelijk van inhoud. Wanneer men op alle de zij-'^kkken der twee ligchamen, als bafes, piramiden ftelt, welker toppuntennbsp;het punt M zamenkomen; dan zullen, om dezelfde reden, de pira-��''den, welke op gelijke bsfes liaan, aan elkander gelijk zijn. Nu ba-^''2t de inhoud van het cerfte ligchaam ter linkerhand van MN klaar-^'ijitelijk uit de fom van al de piramiden, welker toppunten in hetnbsp;Punt R'i zamenkomen, en op de binnenkanten der zijvlakken geplaatstnbsp;min de fom van de piramiden, welke op de buitenzijden der zij-'''akken Haan: hetzelfde heeft voor het tweede ligchaam ter regterzijdenbsp;'^^gt;1 het vlak MN gelegen , plaats: daa'r nu de eveneens geplaatlie pi-�^^miden gelijk van inhoud zijn, moeten {VU en Fill. Ax.) de iu-^ouden van beide ligchamen gelijk zijn.

S- 8i�. I. Aanjierking. Wanneer men, aan eenig hoekpunt van het veelvlakkig ligchaam, de ribben verlengt, en de verlengdenbsp;��bben aan dezelve gelijk neemt, en voorts, uit al de overige hoek-Van het ligchaam, door het hoekpunt, A hoekpuntslijnen trekt,nbsp;^ ^ derzelver verlengde aan die hoekpuntslijnen gelijk neetnt, en ein-^de over��nkomjlige punten a, c, d, e, enz. welke men doornbsp;eonflru6lie verkrijgt, op dezelfde wijze, door ribben ver'��nigt,nbsp;^ de hoekpunten van het gegeven ligchaam vere�nigd zijn; dan kannbsp;bewijzen: dat het ligchaam, hetwelk op deze Wijze ontftaat, innbsp;^ gelijk en gelijkvormig zal zijn aan het ligchaam, dat door denbsp;conjlruciie ontftaan is.

Aanmerking. De ligchamen, welke men door ��ne ^J.er iwee conftruftien verkrijgt, hebben dan de eigenfehap, dat zijnbsp;fch�enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gelijkvormige zijvlakken bepaald zijn; met dit onder-

'^hinenkanten der zijvlakken van het eene de buiten-�ten van de zijvlakken van het tweede worden, en uit deze con-

beginselen

ftruftie blijkt het dan: dat �er maar ��ne wijze mogelijk is, om tweede ligcbanm met behulp van het eerfte zamenteftelien. Wijnbsp;men zulke ligchamen, welke ten opzigte van elkander op deze wij^*nbsp;zijn zamengefteld, tegenovergeftelde ligchamen. Legendre noemtnbsp;zelve fymetrieke ligchamen,

�. 8iS. XVIf. Bepaling. Tegenover gefielde of ligchamen, zijn derhalve ligchamen, welke door hetzelf�^�nbsp;aantal gelijke en gelijkvormige zijvlakken zijn ingefloten�nbsp;zoodanig, dat de binnenzijden der zijvlakken van hetnbsp;ligclvaam de buitenzijden van de zijvlakken van het andef�nbsp;zijn. Wanneer men eenig ligchaam in eenen fpiegelnbsp;fchouwt; dan is deszelfs beeld ten opzigte van dit ligcha^'�^nbsp;fymetriek.

�. 819. Gevolg. Volgens het betoog der voorgaande ling, zijn de veelvlakhige hoeken der fymetrieke ligchamen Wnbsp;oppofitie gelijk: deze ligchamen kunnen derhalve niet in elktt^�nbsp;der gepast worden', nogtans hebben zij eenen gelijken inhou^'

�. 820. III. Aanmerking. Fig, 314. Hetgeen van de veelvlakkig^ ligchamen in de voorgaande Helling bewezen is�, is ook van alle ro!*'nbsp;de en onregelmatige ligchamen waarheid. Indien men, uit alle de P'�*'�

een ligchaam Q_ bepalen, dat bij fyraetrie, of tegenoverlland, aan eerfte ligchaam P gelijk zal zijn.

�, 821. IV. Aanmerking. Behalve de ligchamen, welke bij politie gelijk zijn, heeft men dan ook nog ligchamen, welke, bij teg^�^nbsp;overftand of fymetrie, gelijk zijn. Deze laatfte foort van gelijkk^'nbsp;komt in de viakks Meetkunst niet voor, en is alleen aan denbsp;melijke figuren'in het bijzonder eigen,

�.822. 'V. Aanmerking, ��Er bcjlaan, behalve de ligchiF^�^�'^,^ welke, of bij fuperpojitie, of bij fymetrie, gelijk zijn, vele andere^^inbsp;ongelijkvorntig zijn, en nogtans eenen gelijken inkoud hebben.nbsp;volgende ftellingen behelzen de theorie dezer ligchamen, en be''^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

de algemeene beginfelen , waarop de gronden der LigchaamsiO'^^'��'� (^Stereometrie) berusten.

�. 823. XVIII, Bepaling. De hoogte van een de afltaod tusfchen deszelfs grond en bovenvlakken.

vlak'

u E K MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;3S5

vlakken (//. Bep.') evenwijdig zijnde, wordt, aangezien even-wijdige vlakken overal (Gev. XXIIL Steil. X. 5.) evenver elkander afitaan, de hoogte van elk prisma voorgefieldnbsp;^oor de loodlijn, welke, uit eenig punt van het hovenvlak, opnbsp;bafis of het grondvlak van het prisma valt. �� De hoogtenbsp;eene piramide is de afftand van haar toppunt tot hetnbsp;grondvlak, of zij is de loodlijn, welke uit haar toppunt op hetnbsp;Sfondvlak valt.

�. 824. 3Ien kan, door elke twee tegenoverftaande ribben, en DH, van een parallelopipedum, een vlak B FIIDnbsp;^��'engen, en dit vlak deelt dan het parallelopipedum in tweenbsp;S^'-ljke fymetrieke prisma's, ABD'HEF en G HFBCD.

J^LrooG, Vermits ffl. Bep.') de *2ijvJflkkei) /IBFE en /IDIIE, parrlieiogrammeii zijn, zoo zijn (J. Bep. IH, B.j) de ribben BF znnbsp;elk aan de ribbe .elE evenwijdig; zij zijn dan ook (XVll. Steil.nbsp;B.) onderling evenwijdig, en liggen diensvolgens QI. Gev. XF'f.nbsp;Steil. X. B.') in hetzelfde vlak. Men zrd dan het parallelopipedumnbsp;^G kunnen fnijden volgens een viak, hetwelk door de overftaaudenbsp;*^*lgt;ben BFoxt DH gaat, en voorts de grond en bovenvlakken, volgensnbsp;lijnen BD en FH, doorfnijdt, en dit vlak van doorfnijding zal,nbsp;Omdat BF gelijk en evenwijdig a.m DH is, {XXXI. Steil, I. B. ennbsp;� III. �P) het parallelogram BFHD zijn.

Pit parallelogram BFHD fnijdt nu het parallelopipedum AG in fymetrieke prisiv'a's. Want drieh. ABD, is {l. Steil. I1I.B)~nbsp;CDB, en {Hl. Bep.') parali. BCGF~ parall. ADHE, ennbsp;P'irall. DcgH� parail. ABFE; wanneer men dan het prismanbsp;^PPHEF, op het prisma BCDHFG, zoodanig plaatst, dat hetnbsp;Punt B i,jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ribbe AD langs de ribbe valt; dan zal

. Steil, en het hew.) het punt D in F, en het punt B in II val-blijkt het, {XH. Steil.) dat deze prisma�s fymetricU en erzeher inhouti^ti bijgevolg aan elkander gelijk zijn.

�� 825. Aanjierkikg. Het parallelopipedum AG zal nog, door ^^^ken, welke door de overftaande ribben AE eii CG, AB en GH,nbsp;en BC tn EH, AD en FG, gaan, in twee gelijke fyme.nbsp;teke prisma s kunnen gefueden worden.

X 3 nbsp;nbsp;nbsp;XIV.

2^6 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

�. 826. De inhouden van alle prima's., (het zij driehoeki^^ het zij veelhoekige j) welke op dezelfde hafisof op hetzelfi^nbsp;grondvlak , ftaan , en tusfchen dezelfde evenwijdige vlakkt^*nbsp;geplaatst zijn , (en derhalve gelijke hoogten hebben,) z,if'^nbsp;gelijk.

Aanmerking. In deze eigenfchap komen de prisma�s met de rallelogrammen (zie VIL Steil. III. B.j over��n: maar, aangeziennbsp;grondvlak van een prisma , een drie- vier- of veelhoek kan zijn,nbsp;onze fteliing, welke op eene algeraeene wijze voorgedragen is,nbsp;hare afzonderlijke gevallen, betoogd worden.

Betoog. I. De parallelopipedums, welke op dezelfde bafes en fchen di.zelfde evenwijdige vlakken jlaan, zijn gelijk. (Zie /vg. 3^^�nbsp;317 en 318.) Laten de parallelopipedums, AF tn AK, op hetzelf'nbsp;de grondvlak A BCD ftaan, en nemen wij, dat derzelver bovenvt�l^'nbsp;ken, GEtH en lAKM, deelen van hetzelfde vlak zijn; dan kunoeHnbsp;de opllaande zijvlakken, ABEG en ABIL, i� in hetzelfde vlak�nbsp;gelijk, in fig. 31� en 317, of 2�, in onderfcheidene vlakken, gelijk i�nbsp;fg. 318, liggen.

�na MEETKUNST.

t�n A nbsp;nbsp;nbsp;B gevormd zijn, zijn dan (^XXXIV, Steil. X. B,quot;) bij fuper-

Pofnie of in elkander pasfing gelijk: daar nu reeds bewezen is, dat de ribben dezer drievlakkige hoeken gelijk zijn, zijn (//. SielL') ook denbsp;driehoekige prisma�s ADMHGA en BCKFEB, gelijk en gelijkvor-en hebben denzeifden inhoud.

Dit betoogde geldt voor de figuren 316 en SU* rnaar om nu, uit gelijke driehoekige prisma�s, de gelijkheid der parallelopipedums tenbsp;bewijzen, moeten de figuren 31� en 317, afzonderlijk overwogennbsp;'Vorden.

Wanneer men in Tvg. 316, bij elk der gelijke prisma�s, wmlke de driehoeken ALG en BIE, tot bafes hebben, het prisma, dat het tra-Peziiim ABEL tot bafis heeft, optelt; dan zullen de fommen, dat isnbsp;de parallelopipedums AF en AX {VU. Ax.') gelijk van inhoud zijn.

Trekt men, in Fig. 317, van de driehoekige prisma�s, wefe de driehoeken ALG en BIE, tot bafes hebben, het driehoekig prisma,nbsp;hetwelk den driehoek iVZ� tot bafis heeft, af, en telt men bij eik dernbsp;^^Verblijvende prisma�s, welke de trapeziums ANEG en NLIB, totnbsp;hafes hebben, het driehoekig prisma, dat ABN tot bafis heeft op;nbsp;d^n Zal men (^FIII en FlI. Ax.') zien: dat ook, in dit geval, de parallelopipedums AF en AK eenen gelijken inhoud zullen hebben,

2� fFanneer, Fig. 318, geen der opflaande zijvlakken van de parallelopipedums nbsp;nbsp;nbsp;in het voorgaande geval plaats had,) in het

delfde vlak liggen', dan zullen derzelver inhouden naglans niet opkou-den gelijk te zijn, mits maar altijd de paralkhpipedums op hetzdfds Srandvlak flaan, en tusfehen dezelfde evenwijdige vlakken geplaatstnbsp;Om zulks te betoogen, verlenge men in de gedachte de op-fiaande zijvlakken BCFE en ADIJG, van het parallelopipedum AF,nbsp;de opftaande zijvlakken A BIN en DCKM, van het parallelopi-Peduni AK; dan zullen deze verlengde zijvlakken, dqor derzelver onderlinge fnijding, het parallelopipedum AP doen geboren tvorden,nbsp;aan hetwelk, (als met de parallelopipedums AF en AK, op hetzelfdenbsp;grondvlak ABCD, en tusfehen dezelfde evenwijdige vlakken ftaande,)nbsp;volgens het eerfte gedeelte van het betoog, elk der parallelopipedumsnbsp;ggjjjjj 2ijn: deze laatfte {_IF. Ax.) zullen dan insgelijks gelijk zijn, jjjgj.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jj jg algemeene ftelling voor de parallelopi

11. IFanneer de driehoekige prisma's ABCEDF en ABCIGH, Fig. 319, op dezelfde bafis ABC ft aan, en hunne hovenv lakker.nbsp;EFE sTi IHG deelcn van hetzdfds vlciknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hstwelk

BEGINSELEN

Men treklte, om zulks te hetoogen, de lijnen CK en BK, wijdig aan AB en CA, en de lijnen KL en KM, evenwijdignbsp;CE en Cl; dan verkrijgt men, op dezelfde bafls ABKC, ennbsp;fchen dezelfde evenwijdige vlakken, de parallelopipedums CD en CG,nbsp;welker inhouden, volgens het eerde gedeelte des betoogs, gelijk 'tifl'nbsp;Nu zijn (A7//. Steil.) de helften van de inhouden dezer prrallelol��'nbsp;pedums (K/L Ax.) onderling, en respeftievelijk gelijk aan denbsp;hoekige . prisma�s ABCEFD en ABCIHG, deze driehoekige prgt;�'nbsp;ma�s zullen derhalve eenen gelijken inhoud hebben.

III. Nu zal men, Fig. 320, gemakkelijk bewijzen kunnen; dat Ie veelhoekige prisma's, P en Q^, welke op hetzelfde veelhoekig groH^nbsp;vlak ABCDE flaan, en tusfehen dezelfde evenwijdige vlakken �^'nbsp;plaatst zijn, {en dus dezelfde hoogte hebben,) eenen gelijken inhoi�^nbsp;hebben.

Want, wanneer men de gemeenfchappelijke bafis door de hoek' puntslijnen AD wo BD, in driehoeken verdeelt; en voorts, door dez�nbsp;hoekpantslijnen en de aanliggende ribben, DF exi DG, vlakken lan'nbsp;gaan; dan zullen deze vlakken de prisma�s P en Q^, in even zoo veli^nbsp;driehoekige prisma�s verdeden, als de gemeenfchappelijice bafis in drilt;S'nbsp;hoeken verdeeld is. Nu zijn, volgens het tweede gedeelte van on*nbsp;betoog, de prisma�s, welke op de driehoeken ADE, ADB en BCPnbsp;geplaatst zijn, gelijk van inhoud; gevolgelijk zijn QFII. Ax.) de pr**'nbsp;ma�s, P en welke uit deze gelijke driehoekige prisma�s zijn IP'nbsp;mengefteld, gelijk van inhoud.

Het blijkt dan, uit deze onderfcheidene deelen van ons betoog, alle prisma's, welke op hetzelfde grondvlak ft a an, en gelijke. hoogP^nbsp;hebben, gelijk van inhoud zijn.

827. XIX. Bepaling. Twee prisma�s worden geze-5^ eene gelijke helling tot hunne grondvlakken te hebben, wa'^'nbsp;neer deze grondvlakken of in ��n genieeufchappelLjk vlaknbsp;legen, of onderling evenwijdig zijn, en tevens de ribbennbsp;opftaande zijden in beide prisma�s onderling evenwijdig �P'

DER MEETKUNST.

nieuwe grondvlak een prisma oprigt, met het cerfte dezelfde helling en dezelfde hoogte hebbende, dan zal de inhoud vannbsp;laatfle prisma gelijk aan dien van het eerfie zijn.

Eetoog. Om zich van de waarheid dezer aigemeene ftelling te 'Overtuigen, zal het noodig zijn, de volgende gevallen afzonderlijk innbsp;'Overweging te nemen.

Nemen wij, Fig. 321, dat het parallelopipedum op de bafes �dBCD, (^een parallelogram zijnde,} ftaat. Wanneer men dan eenenbsp;'��jn ^� trekt, en, evenwijdig aan deze, de lijn BK; dan zal (XIV.nbsp;Steil, m },g(. parallelogramnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;parall. A BCD zijn.

Trekt men nu voorts door de punten / en K, de lijnen IL en /fM, Evenwijdig aan de opflaande ribben van het paralielopipediini AG, ennbsp;�indelijk,de lijnen EL en FM', dan ontftaac in de figuur het paralle-''opipedum A BI, hetwelk met het paralielopipedum AG hetzelfde zij-d�k ABF�, dat men als derzelver gemeene bafis kan aaniiierken,nbsp;�emeen heeft, en welke parallelopipedums tusfehen dezelfde evenwij-�Se vlakken ABFE en DKBIH geplaatst zijn: het parallelopipedum,nbsp;^ is dan, met het parallelopipedum AG, van gelijken inhoud.

-V Wanneer men, Fig, 321, de parallelopipedums AG en AM '^r'or vlakken, welke door de overflaande ribben BF, DH en BF,nbsp;hL loopen, doorfnijdt; dan zullen QXin en XIK Steil.') de driehoekige prisma�s ABDHEF^exi ABILEF, welke op de gelijkenbsp;ST'ondvlakken ABD en ABI^'.zm, als aan de helften der psrallelo-P'psdums AM en AG gelijk zijnde, denzelfden inhoud hebben.

3 Bijaldien dan, Fig. 322, eenig prisma een� veelhoekige bafis ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;heeft; dan zal men QXK. Steil. HL B.) die veelhoekige

in eene andere veelhoekige bafis AFDE, welke ��ne zijde min-heeft-, kunnen veranderen. Wanneer men dan, door het hoekpunt � eene lijn evenwijdig aan de ribben van het prisma (welke uit denbsp;^�ekpunten A, B, C, D en E komen,) laat gaan; dan zal (zie fao-driehoekig prisma op de bafis BCD gelijk zijn aannbsp;driehoekig prisma op de bafis BED, en, wanneer men dan, bijnbsp;Seiijke driehoekige prisma�s, het pri.-ma, op de bafis ABDE

'JPteli; dan zullen {FIl. Ax.) de prisma�s, welke op de bafes ABC DE en AFDE liaan, gelijk van inbond zijn.

Gelijk men dan eiken veelhoek in eenen driehoek kan veranderen, *00 ook zal men elk veelhoekig prisma in een driehoekig van den-.

40 n^e.

4� Wederom kan. Fig. 323, een driehoekig prisma, op de b^f�^ ABC ftaandc, in een parallelopipedum veranderd worden, datnbsp;regthoek tot hafis heeft. Want indien men DCE, evenwijdignbsp;AB; CF loodregt op AB trekt, en de lijnen AD en BE evenwij'nbsp;dig aan CF; dan is (17//. Steil.') het prisma op ACD � prisma opnbsp;A CF, en het prisma op BECtzt het prisma op B CF, en {FILAx^nbsp;het prisma op ABED � het tweevoudig prisma op ABC. In diennbsp;dan den regthoek ABED door eene lijn GF in twee gelijke deel^��nbsp;deelt; dan zullen de prisma�s, op ABHG en GHED eik gelijk Z'rnbsp;aan het prisma, op ABC.

5*^ Eindelijk kan men, Fig. 324, een prisma, dat eenen regthot^ A BCD tot baps heeft, veranderen in een prisma, dat eenen atidt'nbsp;ren regthoek AEFG tot baps heeft, onder die bepaling, datnbsp;baps van dit nieuwe prisma eene gegevene lengte of breedte hehbi�nbsp;(Zie XXV fVerkfuk, pag. 178.) Al hetw'elk, uit de bloote hS'nbsp;fchouwing der figuur, en hetgeen reeds betoogd is, van zelf blijkt�nbsp;Men kan dan alle prisma�s in andere prisma's, en eindelijk in pfnbsp;rallelopipedims veranderen, Welle niet fechts eenen regthoek tot bajdnbsp;hebben, maar zelf eenen regthoek, welke eene gegevene lengte ofnbsp;breedte heeft. Uit dit alles is dan de waarheid van het gsftelde i�nbsp;alle deszelfs bijzonderheden bewezen,

�. 829. I. Gevolg, Wanneer men, uit al de hoekpunten van baps van eenen febeef veelhoekig prisma, loodlijnen op deze baps ofnbsp;r.g t, gaande tot aan het bovenvlak van het prisma; dan ontPaat 0^nbsp;ecu regt veelhoekig prisma, dat met lut gegevene prisma denzelfl^^'nbsp;inbond- heeft. Daar men nu een veelhoekig prisma in een prisma,nbsp;eenen regthoek tot bafes heeft, door conftruiTtie veranderen ka�j-, ^nbsp;ook elk prisma door confrudtie in een regthoekig paralleiopipei^^^�^

V 830. II, Gevolg. Een prisma dan-in zulk een regthoekig P*'quot; quot;.�'clopipedum veranderd zijnde, zal men, {II. Gev. W. Stelld) ^oo^nbsp;bepalen, hoeveelmaal de ��nheid van de lengte maat op de len�^^'nbsp;de breedte, en de hoogte van dit regthoekig parallelopipedtim be�''^nbsp;pen is, en door deze drie getallen met elkander te vermenigvuldiPP^'^nbsp;vinden, hoeveelmaal de cubieke ��nheid op den tigchamelijken in^Onbsp;van dit prisma begrepen is. Dan, gewonelijk tracht n*n denbsp;dige gegevens, waardoor den inhoud van de bafis in vierkante f-�nbsp;heden kan gevonden worden, door dadelijke meting te bepalen,nbsp;men vermenigvuldigt dan den inhoud van die bails met het getal,

DER MEETKUNST.

te kennai geeft, hoevcelraaal de lengte d�nheid in de hoogte van het prisma begrepen is. Men zegt daarom: dat de inhoud van een pris~nbsp;**lt;* gelijk is aan de bafts, vermenigvuldigd met de hoogte.

S- 831, Voorbeeld. Laat, Fig. 3i9gt; zijde BC van de bafis ^Bc van het driehoekig prisma, ABCDEF gelijk o��, 173; de lood-welke uit het hoekpunt A op de bafis van den driehoek valt,nbsp;Sfilijk O'*, 243; en de hoogte, dat is de afftand van de grond en bo-Venvlakken, gelijk o�, 96 zijn; dan zal de inhoud van het prisma,nbsp;� X 0,173 X 0,243 X o, 96 � o, 0100893� cubieke meters,nbsp;gelijlc 10 cubieke decimeters, 89 cubieke centimeters, en 360 �-

S* 832. De prisma's, welke gelijke bafes en gelijke hoog-hebben, hebben ook eenen gelijken inhoud.

_ Betoog. Men zal (/. Gev. XF. Stell.j elk prisma in een regthoe-parallelopipedum kunnen veranderen, en deze parallelopipeduras 2ul;en gelijke hoogte hebben. Nog zal men QXF. Stell.j �dn dezernbsp;fs'gthoekige paralielopipedums in een 'ander kunnen veranderen, wiensnbsp;^sfis dezelfde lengte heeft, als de bafes van het ander; maar dan zal,nbsp;�mdat de grondvlakken gelijk zijn, de breedte van het grondvlak vannbsp;veranderde parallelopipedum gelijk moeten zijn aan de breedtenbsp;Van het ander: de prisma�s dan in gelijke en gclijkvprmige parrdlelo-

^ ben, flaan tot elkander, in dezelfde reden, als hunne ba-inhouden der prisma's, welke op gelijke bafes flaan, tn clezelf^g reden als hunne hoogten; en, wanneer elnde-i' de bafes en de hoogten van twee prisma's onderfcheidennbsp;dan flaan derzelver inhouden in de zamengeftelde redennbsp;�'�nn hunne bafes en hoogten.

Betoog van het eerjle. Laten, Fig. 325, de prisma�s P en 0 de-^slfde hoogten hebben, maar op onderfcheideue grondvlakken, bij

S32 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

voorbeeld, P op een driehoekig, en op een vijfhoekig, men zal dan (XF, Steil,') de prisma�s P en in twee regthoekig�nbsp;paralleiopipediims, R en .S�, {Fig. 326,) welke dezelfde hoogte htkquot;nbsp;beu, kunnen veranderen, zoodanig, dat P � R ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is, en

cle grondvlakken dezer parallelopipedums regthoeken ABCD en r,FGii zijn, welk� nog bovendi�n gelijke breedten AD=.EH hebben.nbsp;neer nu tie lengten AB en EF meetbaar zijn en eene gemeenenbsp;hebben, welk op AB en EF respcftievelijk m en n maal (in denbsp;guur 326 acht en elf maal,) begrepen is; dan zal men AB innbsp;(in de figuur in acht) en EF in n (in de figuur in elf) gelijke d^^nbsp;len kunnen verdeelen, en door de deelpunten vlakken laten gaf��nbsp;welke evenwijdig aan de zijvlakken ADIK en EHNM loop-'�*nbsp;Deze evenwijdige vlakken zullen (///. Steil.) de regthoekige parall^nbsp;lopipedums R en .S', het eerde in m, het tweede in n gelijke en gelij'^'nbsp;vormige parallelopipedums verdeelen, die alle gelijke bafes ADlH^'^nbsp;EPINM, en gelijke hoogten AL en EO hebben. Volgens denbsp;merking IX. Bep. IL B., zijn dan de inhouden der parailelopiped�Ui*nbsp;R en- S tot elkander in dezelfde reden als de lengten AB en EPgt;nbsp;nfar deze lengten zijn {Xtl. Steil, IL B.) omdat AD � EH is,nbsp;dezelfde reden als de regthoeken ABCD m EFGH; derhalve'*nbsp;(/. Steil. IL B.)

Daar nu (conftr.) R � P en 6'=: O,; e\\ ABCD aan het gron^' vlak van P en EFGH^z aan het grondvlak van O,is, zullen de pr'*'nbsp;ma�s en Q^, (die dezelfde hoogte hebben) tot elkander Haannbsp;dezelfde reden als hunne grond'/lakken. Wanneer de lijnen AB ennbsp;onmeetbaar zijn; dan zat men, gelijk in de betoogen van de^XlSpl^'nbsp;III.B. en XVIII. Steil. F. B., kunnen bewijzen: dat ook de inhoud^�nbsp;der prisma�s in dezelfde reden als hunne grondvlakken zijn.

Betoog van het tM�eede. Fig. 327. Laten P en twee pristoquot;* zijn, het eerlle op een driehoekig grondvlak ABC, en het t\vee�^�nbsp;op een vijfhoekig grondvlak DEFGII Ihande: indien dan de inho''nbsp;den dezer grondvlakken gelijk zijn; dan zrd moeten betoogd worde�'nbsp;dat de behouden der prisma's in dezelfde reden zijn als hunne

ten. Onderdel: dat de hoogten (dat is de loodlijnen, welke fchen de grond- en bovenvlakken begrepen zijn,) meetbaar zij�'nbsp;dat derzelver gemeene maat op de hoogten der prisma�s, P ennbsp;respc�lievelijk m en � (in de figuur acht en vijf) malen begf'-�P''

D�R MEETKUNST.

vlakken, evenwijdig aan de grond- en bovenvlakken kunnen laten gnan, en deze evenwijdige vlakken zullen dan de prisma�s, P en O,, lietnbsp;eerde in � of acht, en het tweede in n of vijf gelijke prisma�s ver-'Jeelen. Omdat nu het grondvlak /JBC gelijk is aan het grondvlaknbsp;I)EFGH, zal (XlV.Stell.j het prisma AC BI gelijk aan het prismanbsp;^EFQHK zijn, en de prisma�s en � zijn dan (^Aamn. IX. Bef.nbsp;B.) in dezelfde reden als hunne hoogten. Wanneer de hoogtennbsp;prisma�s onmeetbaar zijn; dan zullen derzelvev inhouden nog innbsp;dezelfde reden als hunne hoogten flaan: hetgeen op dezelfde wijzenbsp;�ls boven betoogd wordt.

E^toog van het derde. Het blijkt dan, uit de twee voorgaande i^^toogen: dat de inhouden van twee prisma�s zoodanig van derzelvernbsp;SToiidviakken en hoogten afhangen, dat, wanneer de grondvlakken ofnbsp;hoogten dezelfde zijn, de inhouden der prisma�s tot elkander innbsp;^^elfde reden Haan, als de hoogten, of als de grondvlakken; dezenbsp;inhouden zijn dan {XXIL Bep. 11. B.') in de zaraengeftelde reden vannbsp;hunne grondvlakken en hoogten.

834. Aanmerking. Men kan deze ftelling korter; doch op eene nieetkunftige wijze betoogen. Laten de grondvlakken van tweenbsp;prisma�s, P en �, door G en g; en derzelver hoogten, door H ennbsp;worden uitgedrukt; dan zal (//. Gsv. XF. Steil.) P~G y. H eanbsp;Q^�g X h zijn 5 en daarom /gt; : O � G x H �. g x dat is de inhouden zijn in de zamengeflelde reden van de grondvlakken en da,nbsp;hoogten. Stelt men H�h; dan wordt de evenredigheid P: Qj=.

en ftelt men eindelijk G�g, dan wordt de evenredigheid hquot; �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H-.h; en hierdoor zijn de twee eerde deelen der ftelling be-

^35- Gevolg. Wanneer de inhouden van twee prisma�s zijn; dan zijn derzelver grondvlakken in de omgekeer-reden hunner hoogten.

S* 836. 2)^ inhouden der driehoekige piramidenwelke gelijke hoogten hebben, flaan tot elkander in dezelfde reden, ah de inhouden vast derzelver grondvlakken.

Betoog. Verbeelden wij ons: dat de driehoekige piramiden ABCZ rs o i. , Qp jig^elfde vlakte van het papier der teekening ge-^nbsp;plaatst zijn, en dat zij door een zeker aantal vlakken evenwijdig aan

BEGINSELEN

dit vink loopcnde, en op eenen gelijken afftand van elkander geplakt?! zijnde, (en welke vlakken gevolgelijk de hoogten der piramiden gt;*�nbsp;hetzelfde getal gelijke deelen verdeden,) de eerfte ABCZ, innbsp;ftukken ABCFGH, GHFLMN, LMNRSO, RSOAVlV��nbsp;VJVAZ, en de tweede in de ftukken A'B'bPGAl', G'IiGF'L'R'l'i^''nbsp;TJM'N'R^S'CB, R'S'Q^A'V'IV' en VF^'AIɒ, welke ftukken i�nbsp;beide piramiden dezelfde hoogte hebben. Men trekke, door de pnquot;'nbsp;ten A, B, G en /�, de lijnen AD, BE, Ga en H�, alle even*nbsp;�wijdig aan de ribbe CZ, en men verlenge FG en FH, tot in Dnbsp;E; dan ontftaan �er de driehoekige prisma�s ABCFDE en ahCFCtiinbsp;en het ft�k ABCFGH van de piramide ABCZ is kleiner dannbsp;eerfte, en grooter dan het tweede prisma. � Hetzelfde, wat tennbsp;zien van de piramide ABCZ gedaan is, moet ook van de pirami^^�nbsp;A'B'C'ZJ alzoo verftaan worden.

Zonder dat het noodig is, zulks verder te omfchrijven, gaat voort, met xle prisma�s GHFLIK en gkFLMN, enz. in de pir^'nbsp;mide ABCZ, en de prisma�s C'H'F'L'FK', g'h'F'L'M'N\nbsp;in de piramide A'B'C'Z' zamenteftellen; dan vertonnen zich in denbsp;figuur van de piramide ABCZ, de naar buiten ftaande prisffl!'�*nbsp;ABCFDE, GHFLIK, BINLQfiP, RS(),ATU en FIFAZZf^nbsp;en de naar binnen ftaande prisma�s abCFGH, gkFLMN, mn LQ,R^nbsp;cn riQJLFIF; en in de figuur van de piramide A'B'C'Z', de viZRnbsp;buiten en naar binnen ftaande prisma�s, welke met dezelfde geacceH'nbsp;meerde letters gcteekend zijn.

Het verfchil of onderfcheid der prisma�s ABCFDE en abCFGl^'� is klaarblijkelijk het prisma ABbaGDEH; ook ziet men uit de b'nbsp;gUur: dat deprisma�s GHhgMNKI, MNnmSROP, RSsrFfF�'^nbsp;en FIFATZX, respeftievelijk de ouderfcheiden of verfchillennbsp;voorfchrevene over��nkomftige uit- en inwendige prisma�s zijn,nbsp;men ziet uit de figuur: dat de fom van alle deze verfchillen, gelijk'^nbsp;aan het driehoekig prisma ABCFDE, en de fom der uitwendige pt**'nbsp;ma�s min de fom der inwendige prisma�s is gelijk aan het pris'^�nbsp;ABCFDE. Hetzelfde geldt van de figuur der piramide A'B'C^'quot;

Nu hebben, gelijk gezegd is, de prisma�s, welke in beide figi'-'^�� voorkomen, dezelfde hoogte, nrmelijk het ^nsrea ABCFDE met

prisma A'B'C'F'D'FJ; het prisma GHFLIK met het prisma � �_* GAF F'L'I'K', enz. en deze prisma ftaan derhalve tot elkandefnbsp;dezelfde reden als hunne grondvlakken.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

DER MEETKUNST*

^Uren genomen, zijn evenredig met de grondvlakken ABC en A^B'C', piramiden. Want (F. Steil.') de driehoeken ABC en GHF'i\]nnbsp;gelijkvorinig; daarom is (JX. Steil. IF. B.)

*gt;iaar omdat GH evenwijdig aan AB is, is (J. Steil. IF. Bd) A Bi : GZ en (jFII. Steil. IF. B.) ABquot;- ; Gm = AZ^ : GZ^ inbsp;^e�-''alve zal (/. Steil. IL B.)

Om dezelfde reden, zal de tweede figuur Inh. drieh. A'B'C'i Inh. drieh. G'H'F � AJZ'^iG�Z�'^nbsp;boeten zijn. Omdat nu de piramiden gelijke hoogten hebben, zoonbsp;^d'n de lijnen AZ tn A'Z', tusfehen evenwijdige vlakken begrepen,nbsp;worden door een derde evenwijdig vlak, in de punten G en G',nbsp;Zoodanig gefneden, dat ^XXFquot;. Steil. X. B.) AZiGZ � A'Z': G'Z'nbsp;{FII. Steil. IF. B.) AZ^ : GZ^ � A'Z'^ iG'Z'quot;- zal zijn, ennbsp;'^�rom zal (/. Steil. IL B.)

kan gefield worden. En, om dezelfde reden, zijn de grondvlakken der andere over��nkomftige prisma�s in beide figuren evenredig aan denbsp;grondvlakken der piramiden, ABCZ en A'B'C'Z', dat is aan denbsp;'driehoeken ABC en A'B'C'. Hetzelfde, wat hier van de uitwendigenbsp;prisma�s betoogd is, geldt ook van. de inwendige.

fom van de uitwendige prisma�s der eerde figuur daai; dan Steil. II. B.) tot de fom der uitwendige prisma�s in de tweedenbsp;gelijk het eerde prisma in de eerd? tot het eerde prisma in de tweedenbsp;figuur; dat is (/. Steil. IT. B. en het hew.) gelijk de driehoek ABCnbsp;den driehoek A'B'C', en in dezelfde reden daan ook de fommennbsp;^er inwendige prisma�s, welke in beide figuren voorkomen.

Laat nu het getal der evenwijdige en evenver van elkander afldaan-de vlakken grooter genomen worden; dan zal het bewezene evenwel altijd^ waarheid blijven, en de fommen der uitwendige zoowel als dienbsp;der inwendige pri.sma�s zullen als de grondvlakken ABC en A'B'C',

A B'C' Z', vallen tusfehen de fommen dezer prisma�s, en de fom-*hen dezer prisma�s verfchillen van elkander d� waarden der prisma�s

rgt; E G I N S

ABV.FDE. en A'B'C'F'D'; welke, indien het getal der evenwij' dige vlakken zeer groot genomen wordt, ten laatften kleiner Z'l�nbsp;dan eenige grootheid, die men zich kan voorftellen, terwijl denbsp;niiden van de fominen der uit- en inwendige prisma�s niet merkbar*'nbsp;onderfcheiden zijn: deze piramiden zijn derhalve in dezelfde reden al*nbsp;hare grondvlakken ABC en A'B'0.

�. 837. Gevolg. De driehoekige piramiden , welke o? gelijke grondvlakken ftaan en gelijke hoogten hebben, zij^nbsp;gelijk van inhoud.

. ramiden verdeeld worden, welker inhouden onderling aan tl' kander gelijk zijn.

Betoog. Laat, Fig. 329, ABCDEF, een driehoekig prisma zijr^� dan zal men hetzelve deeien kunnen door een vlak, hetwelk'doo^nbsp;de punten A, C tvi E gaat, en dan is het vlak van fnijding de driS'nbsp;hoek ACE, welke het prisma verdeelt in de driehoekige pirami3�nbsp;ABCE, en in de vierhoekige piramide ACDFE, welke het parallS'nbsp;iogram ACDF tot grondvlak en het punt E tot toppunt heeft,nbsp;welke vierhoekige piramide in Fig. 330, afzonderlijk is afgebeeld.

Deze vierhoekige piramide, in Fig. 330, kan wederom door eet' vlak, hetwelk door de punten C', E en F gaat, (het vlak van dfii*nbsp;driehoek EFC namelijk,) in twee driehoekige piramiden AC FEnbsp;CDF�, welke, in de figuren 331 en 332, afzonderlijk zijn afllquot;'nbsp;beeld, verdeeld worden.

Omdat nu (/. Stell.j de grond- en bovenvlakken ABC on DEF'' van een prisma gelijk en gelijkvormig zijn, en wegens de evenwijdig'nbsp;heid dezer vlakken, het punt E van het vlak ABC zoo ver afftaat�nbsp;als het punt C van het vink DEF, zoo hebben de driehoekige pi''�'nbsp;miden ABCE en EDFC gelijke grondvlakken ABC en DEF,nbsp;bovendien gelijke hoogten; zij zijn derhalve {Gev. XFllI. Stellij g��nbsp;lijk van inhoud.

En omdat een hoekpuntslijn CF een parallelogram ACDF Qf-UI. B.j m twee gelijke en gelijkvormige driehoeken, ACF en CPF verdeelt, en de toppunten der driehoekige piramiden ACFEnbsp;CD FE in het punt E aan elkander komen, en bijgevolg

boog'

l'ongte hebben, zijn (Gev. XFIIl. Stel/.') deze pirrmiden gelijk v.m �t�houd.

De drie driehoekige piramiden ABCE, ACFE en DC FE, in quot;elke het driehoekig prisma verdeeld is, zijn dan QF. Ax.) gelijknbsp;inaoud, en elk dezer piramiden is derhalve gelijk aan ��n-derclenbsp;het driehoekig prisma.

S- S39. De inhoud van elke piramide is gelijk aan ��nderde van den inhoud van het prisma, hetwelk met deze pira-^tde dezelfde hoogte heeft en op hetzelfde grondvlak ftaat.

bcTooG. Laat, Fig. 333, ABCDEF een driehoekig prisma zijn, '��i ABCG eene driehoekige piramide, met dit prisma op hetzelfdenbsp;�rondvlak ABC llaande, en, welker toppunt G in het, verleng Ie bo-'snvlak DEP van het pri-raa ligt; dun hebben het prisma en de pi-^^mide dezelfde hoogte. Men trekke nu de lijnen DA en DB-, dannbsp;ebben de piramiden ABCD en ABCG dezelfde bales en dezelfdenbsp;quot;Qogcen; zij zijn dan {Gev. XFIIL Steil.) gelijk van inhoud. Nu isnbsp;(AYA'. Steil.') inhoud piramide ABCD gelijk �e'n-derde van den in-lloud van het prisma ABCDEF-, gevolg^jk is flF. Ax.) de inhoudnbsp;der piramide ABCG, gelijk aan ��n-derde van het prisma ABCDEF.

Laten nu, Fig. 334, de veelhoekige piramide ABCDEF, en het ''velhoekig prisma G 111KL MN0 P 0_, op gelijke en gelijkvormigenbsp;S'Ondvlakken ABC DE en Gil/KL flaan, en gelijke hoogten heb-Wanneer men dan de hoekpuntslijiien, AD, BD en GK, IIK,nbsp;'��'-�kt. Zal men de piramide in drie driehoekige piramiden, en het pris-in drie driehoekige prisma�s kunnen verdeden, welke alle dezelfdenbsp;hebben, en dan zal, naar het eerfle gedeelte van het betoog,nbsp;Fir. ADEF� 5 PAma GIKUMNnbsp;Pir. ABDF� I Prisma GHKQNOnbsp;Pir. BCDF=. I Prisma IIIKQ^OPnbsp;en trekt men nu deze gelijke dingen bij elkander; dan zal fll ennbsp;^kl.Ax.) de piramide ABCDEF, gelijk aan ��n-derde van het pris-GHIKLBIN0P2. moeten zijn.

worden, wanneer men den inhoud van haar grendvlak met ��n-'de gedeelte der hoogte vermenigvuldigt, mits de vlakte ��nheden,

BEGINSEL

in welke de inhoud van het grondvlak is iiitgedrukt, het vierkant van de lengte ��nheid, waarin de hoogte is uitgedrukt.

�. R41. Voorbeeld. Fig. 334. Stel, dat de inhoud van het vlak ABCBE�styj vierkante meters, en de hoogte =: i5�j3nbsp;dan zal de Inhoud � A BCD � x | Hoogte � X | Xnbsp;I2o3,7 cubieke meters bedragen.

XXL Stelling.

�. 342. De inhouden der piramiden flaan tot elkander, dezelfde reden, als hunne grondvlakken, indien harenbsp;gelijk zijn; of, in dezelfde reden als de hoogten, indiennbsp;grondvlakken gelijk zijn; doch, beide ongelijk zijnde, in ^nbsp;zamengejielde reden van de grondvlakken en de hoogten.

Betoog. Want, omdat de inhouden der piramiden {XX. Stdk') gelijk zijn aan ��n-derde van de inhouden der prisma�s, welke opnbsp;grondvlakken der piramiden geplaatst zijn, en met dezelve gelijl^^nbsp;hoogten hebben; en {XIF. Steil.') de prisma�s tot elkander tttisn,nbsp;de grondvlakken, indien de hoogten gelijk zijn; als de hoogten,nbsp;dien de grondvlakken gelijk zijn, en in de zamengeflelde redennbsp;de grondvlakken cn de hoogten, indien beide ongelijk zijn, zoo zu*'nbsp;len (FI. Steil. II. B.) de piramiden, welke met deze prisma�snbsp;zelfde grondvlakken en hoogten hebben, ook tot elkander in dezelf�^^nbsp;verhouding als deze prisma�s moeten Haan.

�. 843. Gevolg. De grondvlakken der piramiden, denzelfdsn inhoud hebben, flaan in de omgekeerde redennbsp;derzelver hoogten.

Want , indien men het grondvlak n malen grooter of kleiner nee�'� dan zal men de hoogte n malen kleiner of grooter moeten ne�^quot;�nbsp;om denzelfden inhoud te behouden.

�. 844.' AANMERiaNG. Oiii den inhoud van een veelvlakkig chaam te b�palen, zal men een punt binnen dit ligchaara nemen,nbsp;uit hetzelve, tot aan rd de hoekpunten, regte lijnen trekken: het v�**quot;nbsp;vlakkig ligchaam zal daardoor in even zoo vele drie of veelhoek'^^nbsp;piramiden verdeeld worden, als het ligchaam zijvlakken heeft.nbsp;neer tam dan de vlakke inhouden van elk dezer zijvlakken, hent^nbsp;derzelver afjland tot dit aangenomen punt bepaalt; dan zalnbsp;inhoud van elke piramide vinden, door dan inhoud van het AFnbsp;van dit ligchaam met ��n-derde van deszeifs afjland tot dit

S39

^tv.ien punt te vermenigvuldigen, en de inbonden dezer p'ramidcn bij elkander optetelkn. De inhouden van bijzondere ligchamen, kunnennbsp;�ogtans, zoo als uic de volgende Hellingen blijken zal, op bijzonderenbsp;'�''ijzen gevonden worden.

S. 845. XX. Bepaling. Een afgeknot prisma is een prises, waarvan een fliik afgefneden is, door een vlak, hct-'''clk niet aan het bovenvlrdt of grondvlak evenwijdig is.

�. 846. De inhoucl van elk driehoekig afgeknot prisma^ �^liCDEF, is gelijk aan de foni van de inhouden der drienbsp;piramiden, welke met het afgeknotte prisma hetzelfde grondvlak ABC gemeen hebben., en welker toppunten., Z), E ennbsp;F, de hoekpunten van het bovenvlak van dit afgeknotte prisma zijn.

Betoog. Men deele het afgeknotte prisma ABCDEF, door de vlakken ACE en ECF, in de piramiden ABCE, ACFE en DCFE.nbsp;Be eerfle ABCE heeft den driehoek ABC tot grondvlak, en derzel-ver toppunt is in E. De piramiden ABCE en ACFE, kunnen aangemerkt worden, als hebbende de driehoeken A BE en AEF, totnbsp;grondvlakken, en het punt C tot een gemeenfchappclijke toppunt.nbsp;Volgens de XXf. Steil, is dan:

Pir. ABCE: Pir. ACFE�. drieh. ABE: drielu AEF waar, omdat BE evenwijdig aan AF is, hebbe/i de driehoeken ABEnbsp;En AEF q,iX\]ka hoogten, en daarom is {XIV. Steil. UI. B.')

Pir ABCE: Pir. ACFE � BE: AF Wo�ten zijn. Eindelijk, kunnen de piramiden ACFE en CD FE', ann-Peraerkt worden, als ftaande op de grondvlakken ACE en DCF, ennbsp;daar zij hetzelfde toppunt E hebben, is {XXI. Steil, en XIV. Steil,nbsp;lil. B.)

Pir. ACFE: Pir. CDFE drieh. ACE: drieh. CDE� AF: CD en, vergelijkt msn nu deze evenredigheid met de laatst voorgaande;nbsp;dan heeft men (/. Steil. II. B.)

Wanneer men zich nu verbeeldt: dat, uit de punten D, E en F, loodlijnen op het grondvlak ABC vallen; dan zullen deze loodlijnen,

BEGINS

daar zij onderling evenwijdig zijn, met de onderling evenwijdig pende ribben, DC, EB en FA, (XXIF. Steil. X.B.') gelijke hoekfi��nbsp;en derhalve (JX. Gev. XFlll. Steil. I. B. en Fill. Steil. IF. B.') drienbsp;gelijk vormige driehoeken maken; en deze loodlijnen zullen derhalve �nbsp;met de ribben CD, BE. AF, evenredig zijn. Omdat dan denbsp;miden, welke , op dezelfde b.ifis flaan, in dezelfde reden, ais haf�nbsp;hoogten zijn, zal de piramide AC FE gelijk zijn aan de piramide, wel'nbsp;ke op ABC Haat, en haar toppunt in F heeft; en de piramide CDFEinbsp;gelijk aan de piramide, welke op ABC (laat, en haar toppunt in Vnbsp;heeft; darj nu de fom der piramiden ABCE, AC FE en CDFEjnbsp;gelijk is aan het afgeknotte prisma, zal dit afgeknotte prisma (FII. Ax.')nbsp;gelijk zijn aan de (bra der piramiden, welke elk de driehoek ABCioinbsp;grondvlak hebben, en tot toppunten de hoekpunten �gt;, � en F.

�. 847. Gevolg. Fig. 335. Indien het afgeknotte prisma regt is 5 dan zijn de opdaande ribben AF, BE en CD, de hoogten der pl'nbsp;raniiden, welker fom gelijk is aan het afgeknotte prisma, en die allt!nbsp;den driehoek ABC tot balls hebben. In dit geval, zal derhalvenbsp;Inh. A BCDEF � ^ . ^AFnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CD^ X drieh. ABC

�. 848. De inhoud van een fcheef veelhoekig prisma is gelijk aan den inhoud van het vlak UVWXZ, hetwelk dtnbsp;ribben regthoekig doorfnijdt, vermenigvuldigd met ��n der op�nbsp;flaande ribben, bij voorbeeld, de ribbe DK.

Betoog. Wanneer het vlak UFEFXZ eene der ribben DK, bij voorbeeld, in U regthoekig doorfnijdt; dan zullen al de andere ribbeonbsp;van het prisma, welke (/. Stell.j onderling evenwijdig zijn, door ditnbsp;vlak (/. Steil. lil. B. en IF. Steil. X. B.j regthoekig gefneden worden. Stellen wij dan: dat het prisma door zulk een vlak gefnedehnbsp;zij; dan zal men, omdat (/. S.elL') het grondvlak van een prisma aahnbsp;het bovenvlak evenwijdig is, het fmk ter regterhand kunnen weggi�quot;nbsp;nomen, en aan het (luk ter linkerhand zoodanig kunnen aanvoegen, dat het punt G in A; het punt II in B; het punt I in C; hetnbsp;punt K in D; het punt L in E valle. Vermits nu de zijvlakke^nbsp;der pi i ma�s parallelogrammen zijn, zoo is {XXFI. Steil. I. B.)nbsp;hoek UK i het fupplement van den hoek UD C\ enz. met al de ehquot;nbsp;dcre hoeken. In dezen nieuwen ftaud van dc deden van het prisnie�

DER. MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;S4i

is dus KU het verlengde van UD; IFhamp;t verlengde van FM; enz.: zoodac �cr, door de gezegde zamenvoeging dezer deelen, een nudernbsp;en een regt prisma ontftaat, dat het vlak UVPFXZ, tot bafis, en dezelfde opllaande ribben als het gegevene heeft, en klaarblijkelijk vannbsp;denzelfden inhoud is. Nu is de inhoud van het regte prisma, gelitknbsp;=gt;nn het vlak UFIFXZ, vermenigvuldigd met ��ne der ribben DKnbsp;Van het gegeven prisma, het fcheve prisma zal derhalve gelijk zijn aannbsp;lgt;et vlak UFJFXZ, vermenigvuldigd met ��ne der ribben DK.

�� 849. I. Gevolg. Vermits de inhoud van elk parallelogram ge-'iijk is aan de bafis, vermenigvuldigd met de hoogte, 20� de fom der' zijvlakken van een prisma gelijk zijn aan den oiutrek van hetnbsp;dat de ribben regthoekig doorfnijdt, vermenigvuldigd met ��n?nbsp;der opflaande ribben van het prisma.

�. �50. II. Gevolg. Fig. 337. Dc inhoud van een driehoekig afr geknot prisma is (Gev, XXII. Steil.') gelijk aan het vlak PQ^R, hetwelk de ribben regthoekig doorfnijdt, vermenigvuldigd met ��n-der denbsp;^an de fom der ribben, dat is gelijk aan l (j/iB -f- CZ) �/') Xnbsp;drteh, POR-, eene uitdrukking, welke, iaditnAB � CD is, ondernbsp;de volgende gedaante kan gebragt worden:

wanneer namelijk //, de afftand van de ribbe E F, tot het tegenover-flaande zijvlak A BCD is,

�. 851. III. Gevolg. Fig. 338. Laat P een ligehaam zijn, welks grondvlak de regthoek A BCD is, en door welks zijden vier vlakkennbsp;gaan, waarvan de overftaande niet evenwijdig zijn, welke zlivlakkennbsp;Voorts gefneden worden, door een vlak EFGIl, dat evenwijdig aannbsp;*ist grondvlak loopt; dan zal de inhoud van dit ligchaam, drt mennbsp;Prisnio�de zou kunnen' noemen, op de volgende wijze gevonden wor-den. Men trekke de hoekpuneslijnen BII en CG; dan wordt denbsp;Prisnio'ide in twee afgeknotte prisma�s verdeeld, waarvan (// de af-fiand van het grondvlak tot liet bovenvlak beteekenende,) het bene.-denlle lyoorg. Gevolg) door

Ip-IiG-k-AD) X EH% \H=i{p.HG X Eli-h-AD x EH) x\H ivordt uitgedrukt. Telt men deze twee afgeknotte prisma�s bij elkau-,nbsp;der; dan verkrijgt men voor den inhoud der prisrao�de

5 -f /t//) X HG) d^AB% ADHE X //G] X f,// Zoo als men, deze produften ontwikkelende, ligte�jk vinden zal.

Y 3 nbsp;nbsp;nbsp;��

BEGINSELEN

�. 852. XXL Bepaling. Eene afgeknotte piramide is een� piramide, waarvan het bovenfte gedeelte is afgefneden doornbsp;een vlak, dat evenwijdig aan het grondvlak loopt.

XXIV. Stelling. Fig. 239-

�. 853. Fe inhoud van eene afgeknotte driehoekigepiramidt is gelijk aast de fom van de inhouden van drie piramiden 1nbsp;welke alle dezelfde hoogte der afgeknotte piramide hebben, ennbsp;welker hafes respectievelijk zijn de bafes, het bovenvlak eitnbsp;eene midden-evenredige tusfehen de hafes en het bovenvlak yaitnbsp;deze afgeknotte piramide.

Betoog. Men deele de afgeknotte piramide eerst door een vlak, hetwelk door de punten A, E en C gaat; dan is zij verdeeld in denbsp;driehoekige piramide ABCE, en in de vierhoekige piramide ACDFE.nbsp;Men deele voorts deze laatlle piramide door een vlak, hetwelk doornbsp;de punten E, F en C gaat, in de twee driehoekige piramiden DFECnbsp;en AC FE; dan zal de afgeknotte piramide in drie driehoekige piraffii'nbsp;den ABCE, ACFE en DEFC, verdeeld zijn, en dan is (ATB Stfnbsp;Pir.ABCEi Pir.ACFE = drieh.ABEi drieh.AEFnbsp;maar, omdat AB evenwijdig is aan EF, \s, {XIV. Steil. III. B.')

Pir.ACFE: Pir.CDEF=zBC:ED is: maar, omdat {F. Siell.j de driehoeken ABC tn DEF, gelijkvot'nbsp;mig zijn, is (VUL Steil. IF. B.) AB : EF =2 BC: ED: derhulvenbsp;hebben wij (/. Steil. II. B.j de evenredigheid:

Pir. ABCE: Pir. AC FE =. Pir.ACFE: Pir.CDEF Het blijkt hieruit: dat de inhoud van de piramide ACFE, middel'nbsp;evenredig is, tusfehen de inhouden der piramiden ABCE en CDEF-De piramidennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cn DEFC, hebben klaarblijkelijk, met de aff�'

knotte piramide, dezelfde hoogte; zij (laan derhalve tot elkander, hunne bafes ABC en D� F. Laat nu P de bafes van eene piram*'�**^nbsp;zijn, die dezelfde hoogte heeft, en nemen wij, datnbsp;drieh. ABC: P � P: drieh. DEF

zij; dan zal, omdat (XXL Stell.j de piramiden, welke gelijke hoofe' ten hebben, tot elkander Baan ais hunne bafes, de piramide, welk^

DEK. MEETKUNb T. nbsp;nbsp;nbsp;313

^ tot bafis heeft, midden-evenredig zijn tiisfchen de piramiden JBCE en CDEF; maar de piramide ACFE, is ook tusfchen dezelfde pi-'�3�iden ABCE en DCFE boven) midden-evenredigj de pira-inide, welke P tot bafis heeft, is dan gelijk aan de piramide ACFE,

de afgeknotte piramide is derhalve gelijk aan de fom der piramiden ABCE, DEFC, en de piramide, welke P of de midden-evea-��edige, tusfchen de driehoeken ABC en DEF, tot bafis heeft.

�� 854. I. Gevolg. Eene veelhoekige afgeknotte piramide^ heeft dezelfde eigenfehap. Want zij kan in even zoo vele driehoekige afgeknotte piramiden verdeeld worden, als de bafis zijden min twee

''eeft: daar nu elk dezer driehoekige afgeknotte piramiden gelp is ^ de fom der piramiden, welke het grond- en bovenvlak, beneisnbsp;^lak, dat midden-evenredig tusfchen het grond- en het bovenvlak is,nbsp;tot bafes hebben, zal de fom van alle deze afgeknotte driehoekige pi-tamiden gelijk zijn aan de piramiden, welke het grond- en bovenvlaknbsp;de veelhoekige afgeknotte piramide, benevens een vlak, midden-evenredig tusfchen dezelve, tot bafes, en alle dezelfde hoogte der af-geknotte piramide hebben.

�- 855. II. Gevolg. Indien dan de hoogte van de afgeknotte piramide � h; het grondvlak -G-, het bovenvlak �g; en de inhoud ::: / gefield wordt; dan zal

�. 856. XXII. Bepaling. Twee llgchamelijke uitgebrehl-heden zijn, zoowel als derzehxr omtrekken, geUjkvormig, wan~ neer de affland van elke twee punten, in het oppervlak van denbsp;^ne uitgebreidheid, lot den ajftand van de over��nkomjligenbsp;punten, in het oppervlak van de tweede uitgebreidheid genomen,nbsp;overal, waar men die punten in de eer fte figuur ook nemennbsp;�^oge, tot elkander jlaan in dezelfde reden, ah eene lijn to�nbsp;oene Jijn, of, ah een getal tot een getal.

�� 857* Aanmerking. Wanneer men de III. Bep. IP, B, wel ver-ftaan heeft, zal alle verdere toelichting van de tegenwoordige over.-bodlg zijn. Nogtans verdient hier bijgevoegd te worden: dat de gelijkvormigheid der llgchamelijke uitgebreidheden, uit den aard der zake, de gelijkvormigheid van derzelver grenzen medebrengt. Behalve dat,nbsp;Zijn ook de omtrekken der gelijkvormige figuren gelijkvormig.

XXV.

344 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

�. 858. Wanneer men, of binnen, of in, of buiten het �F pervlak van een ligchaam, {regelmatig of onregelmatig, ron�nbsp;of veelvlakkig,') een punt neemt, en, uit dit punt, tot aannbsp;de punten van het oppervlak van dit ligchaam, regte lipi^^nbsp;trekt, en op deze regte lijnen. of derzelver verlengde, pwd^^^nbsp;neemt, zoodanig, dat de afflanden dezer punten tot het vod^nbsp;punt, overal tot deze lijnen, in dezelfde reden ftaan, ahnbsp;lijn tot eene lijn, of als een getal tot een getal-, dan zulF^nbsp;dezd^ punten gelegen zijn in het\oppervlaknbsp;een ligchaam, dat aan het eerstgeflelde gelijkvormig zal zij'^�

Betoog. Wanneer men zich de figuren c)�, 97 en 98, als ligcW' melijk, voorftelt; d.nn zal het bewijs van de XIIl. Steil. IV. B. oo't'nbsp;voor de tegeiwpordige ftelling gelden.

�. 859- gelijkvormige driehoekige piramiden worden doof gelijkvormige zijvlakken bepaald, en deze maken drievlakkiF'nbsp;hoeken, welke, in de wederzijdfchc piramiden, bij fuperpofiticinbsp;gelijk zijn � En oiHgekeerd. � Fvee driehoekige piramiden, welke door gelijkvormige en op dezelfde wijze geplaatf^nbsp;zijvlakken zijn ingefoten, zijn gelijkvormig. � Eindelijknbsp;Indien de drievlakkige hoeken eener driehoekige piramide gelijk zijn aan de drievlakkige hoeken van eene andere piramide', dan zullen ook deze piramiden gelijkvormig zijn.

Betoog van het eerfte. Omdat {oiideijl.') de piramiden P en .2, gelijkvormig zijn, zijn de afflanden van de hoekpunten der over��O'nbsp;komftige hoeken onderling evenredig, en wij hebben derhalve:

{BC, CD, BD) ,, {ac, cd, bd) uit welke evenredigheden, naar de IX. Steil. IV. B., volgt: datnbsp;driehoeken ABC, ACD, ABD en BCD, gelijkvormig zijn aannbsp;driehoeken abc, acd, abd en bed, en daar nu deze gelijkvorimS'nbsp;fccid noodzakelijk de onderlinge gelijkhockigbeid medebrengt,

ook: dat de drievlskkige hoeken A, B, C D,h\] fuperpo-^'^gt;2, aan de drievlakkige hoeken a, b, c exi d, zullen gelijk zijn.

Betoog van het tweede. Indien de driehoekige piramiden P en ^ �^oor gelijkvonnige zijvlakken bepaald zijn; dan brengt de gelijkvor-*��'gheid dezer zijvlakken mede, dat de afllanden van de eveneensge-Piaatiie hoekpunten der wederzijdfche piramiden overal in dezelfdenbsp;��eden tot elkander ftaan, om welke reden de piramiden P en Onbsp;(^A7/. B 'i!.') dan ook geiijkvormig zijn.

Betoog van het derde. Wanneer eindelijk de drievlakkige hoeken P, C en D der piramiden P, bij fuperpofitie aan de drievlakkigenbsp;koeken �, b, c en der piramiden 0_ gelijlt zijn; dan moetennbsp;U�'7//� Bcp. X. B.') noodwendig de eveneenrgeplaat�le zijvlakken dernbsp;piramiden onderling gelijkhoekig, en diensvolgens gelijkvormig zijn:nbsp;de piramiden P en ^zijn dan {Betoog van het tweede') onderling ge-kjkvormig.

�. 860. Gevolg. Fig, 340. Men zal ook ligtelijk betoogen kun-dat dc afjlanden der ge�jkflandige hoekpunten tot de overftaan-z�vlakken der gelijkvonnige driehoekige piramiden onderling met ^^kander, en met de ribben dezer zijvlakken, evenredig zullen zijn.

xxvir. s T li L L I N G. Fig. 340.

�. 861. Wanneer eenige drievlakkige hoek A. eener driehoekige piramide P gelijk is aan eenigen drievlakkigen hoek a, ^sner andere driehoekige piramide en de eveneensgeplaatjienbsp;^ihben dezer drievlakkige hoeken tot elkander in dezelfde redennbsp;^an; dan zullen deze piramiden gelijkvormig zijn.

Betoog. Want, omdat, naar de onderllelling, de drievlakkige hoe-A en a, gelijk zijn, is hoek BAC� hoek hac; hoek CAD ^ hoek cad en hoek BAD~ hoek bovendien geeft de onder-j:eiiing de evenredigheden yfS �^C: �r =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Volgens

21. zijn dan de driehoeken ABC, ACD, ABD, ge-'1�� de driehoeken abc, acd, abd, en wij hebben dan '�0 evenredigheden AB � ah � BC�.bc, AB:

0 feslijkvormig. Ug piramiden P en O, zijn dan door gelijkvor-zijvlakken bepaald, en zijn derhalve {XXFI.

xxvni.

346 BEGINSELEN

XXVIII. Stelling. Fig. 341.

�. 862. Z)c; eveneensgeplaatfte zijvlakken van twee geli]^' vormige veelvlakkige ligchamen zijn gelijkvormig, ennbsp;ver eveneensgeplaatfte veelvlakkige hoeken zijn gelijk.nbsp;kunnen deze gelijkvormige veelvlakkige ligchamen in hetzclfl^nbsp;aantal gelijkvormige piramiden verdeeld worden.

Betoog. Want, wanneer de veclviakldge ligchamen P ea lijkvorniig zijn; dan zijn ook de eveneensgeplaatfte hoekpijnten,

B, C, enz. en a, b, c, enz. op evenredige afftanden van elkao�3^'' geplaatst; maar deze afftanden kiinnen niet evenredig zijn, zondernbsp;de eveneensgeplaatfte zijvlakken, benevens de vlakken, welkenbsp;twee ribben van denzelfden veelvlakkigen hoek gaan, 'gelijkvormig z�-l*��nbsp;deze laatfte zijn wederom niet gelijkvormig, zonder dat derzelver holt;^'nbsp;ken gelijk zijn, en zonder dat de gelijkheid dezer hoekennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

Steil. X. B.j de gelijkheid van de eveneensgeplaatfte veelvlakkige hO^' ken der gelijkvormige veelvlakkige ligchamen medebrengt.

Wanneer men nu, om het tweede gedeelte der ftelling te bewijzen* uit twee hoekpunten der eveneensgeplaatfte hoeken A tn a, hoe!^nbsp;puntslijnen tot de andere hoekpunten B, C, D, E, F, ea b, c,nbsp;e, �', trekt; dan worden beide ligchamen in hetzelfde aantal piramid'^�nbsp;verdeeld, en, omdat de afftanden der eveneensgeplaatfte hoekpunt^*'nbsp;altijd in dezelfde beftendige reden zijn, moeten {jXXFII. Stcll.jnbsp;piramiden gelijkvormig zijn.

�. 863. Aanmerking. , IMen zal, na deze gelegde gronden, gen��*�' kelijk betoogen: dat, wanneer twee veelvlakkige ligchamen doornbsp;lijkvormige vlakken zijn mgefloten, welke onderling met elkandernbsp;zelfde vlakte en veelvlakkige koeken maken, deze ligchamen dannbsp;gelijkvormig zullen zijn.

Betoog. Laten A, B, 'C en D vier evenredige lijnen zijn; zal moeten bewezen worden: dat A^ :B^=:C^:D^ is. Volgequot;��nbsp;onderftelling, is A: B'�C:D; wanneer men dan, op de twee se

lijnen A ea B, eenen regthoek befchrijfc, welke de lijn A tot hoob ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hee��

en op de twee laatfte eenen regthoek, welke C tot hoogte quot;�eft; dan zs] (A7. Su/L lil. B.quot;)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�. CD zijn. Plaatst

tiu verder op de twee eerfte regthoeken, en .dB, twee regt-�^'^ige parallelopipedums, welke de lijn J tot hoogte hebben, en de twee laatfte en CD, twee parallelopipedums, welke de lijnnbsp;tot hoogte hebben; dan zal {XIF. Steil,') A'^ �./FB-C- -.c^dnbsp;Stell.ll, BI)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-A^B-.C-D zijn. Volgens de FII. St.

� B. is iB^zz : Z)�.; wanneer men nu op de eerfte vierkan-A^ en , twee parallelopipedums befchrijll, welke de lijn B tot hoogte hebben, en op de twee laatfte en D^ twee parallelo-�tPEdiims, welke de lijn � tot hoogte hebben; dan kal (XlF. Steil.)

Uiet ^3 ; CJ � IC^D; dan zal (/. Stel!. H. B.) volgen; dat : C3 = 53; Z)3 is, of (FH. Steil. IL B.) A^

Squot; 865. De gelijkvormige driehoekige piramiden /iBCD en ^FGH, ft a an tot elkander, ah de cuben van der zelve r even-^^nsgeplaatft� ribben. Dat is:

Pir. A BCD: Pir EFGH=: A :EFK Betoog. De piramiden A BCD en EFGH, kunnen niet gelijk-\ormig zijn, zonder dat derzelver drievlakkige hoeken bij iliperpoli-SS�ijk zijn; men kan dan den hoek ff in den hoek D paslen, zoo-^^'g. dat de ribben IIE, IIF en HG, langs de ribben DA, DB en ,nbsp;V,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zulks gedaan zijnde, zullen, wegens de gelijkvormige zij-

tt'^f-rdoor deze piramiden bepaald zijn, EFaan AB, FG ^t�enwijdig zijn, en dan is (XXIF. Steil. X. B.) hv.t vlaknbsp;Evenwijdig aan het vlak ABC; wanneer men derhalve uit hetnbsp;loodlijn D [ op het vlak ABCbst vallen; dan zalnbsp;doorlhf^^^quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BFG in K regtVoekig

Ve nx r ' tegthoekige driehoeken, AID en EKD zijn dcrhal-tvi' h-bl nbsp;nbsp;nbsp;L B. Fill. Steil. IF. B.) gclijkvormig, en

d�quot;� nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c. (/. S��. II. BI) DI:DIC

�-AB-.Ef: Ku h ai. SMi. ir. IJ.:,

345 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

vernienigvii�digt men deze evenredigheid met de zoo even evenredigheid D11DK�AB : EF, of met

Pir. ABCD : Pir. EFGHz= AB'- : EFK �. 866. I. Gevolg. Omdat de eveneensgeplaatfte ribben deiquot;nbsp;lijkvormige piramiden met elkander evenredig' zijnzoo zijn �nbsp;QXXIX. Steil.) derzelver ciiben evenredig. De piramiden ABCDnbsp;EFGPI, ftaan dan ook tot elkander in dezelfde reden, als BC^nbsp;FG^, als AC^ .tot EGquot;^, enz.

�. 867. II. Gevolg, Omdat AB �. EF�DIDK is, en Steil.) AB'- -.EFi�DF-.BIC^, zal pir. ABCD : pir. EFGH''^nbsp;DD :DK^ zijn: dat is; de gelijkvormige driehoekige piramidennbsp;tot elkander in dezelfde reden, ah de cuben van hare hoogten.

te zeggen: de gelijkvormige driehoekige piramiden ftaan tot elkaii^^^ in de verdriedubbelde reden van derzelver eveneensgeplaatjia ribB^nbsp;en hoogten. Zie XXVI. Bep. II. B.

�. 869. De inJiouden der gelijkvorinige veelvlakkige men faan tot elkander, in dezelfde reden, ah de cuben,nbsp;kc op de eveneensgeplaatfte ribben befchreven zijn.

Betoog. Laten, uit de hoekpunten der eveneensgeplaatfte hOquot;� ken, A en a, tot aan de hoekpunten der overige hoeken, hoekpi'��*�nbsp;lijnen getrokken worden; dan worden deze ligchamen, in hetzelf'-^''nbsp;aantal gelijkvorinige piramiden verdeeld. Nu ftaan deze over��nkoi�nbsp;ftige gelijkvormige piramiden tot elkander, in dezelfde reden, als '�nbsp;cuben der eveneensgeplaatfte ribben; maar, vermits (XXII. Bep-)nbsp;eveneensgeplaatfte ribben der gelijkvorinige ligchamen tot elkaiidet gt;*,nbsp;dezelfde beftendige reden ftaan, zoo zijn ook (XXIX. Steil.) de oO

zal dan elke twee dezer gelijkvormige piramiden, waarin de gelij'f''f�^ mige ligchamen verdeeld zijn, tot elkander ftellcn kunnen, in de^enbsp;de reden, als de cuben van twee over��nkomftige ribben, ABnbsp;dat is: als AB~^ tot ab^, en dan zal (X. Steil. II. B.)nbsp;van al de piramiden, waaruit het ligchaam P beftaat, tot de fo�

piramiden, wnaruit het iigchaam 2,-is. zamengefleld, in dc-zelfde *�den fiaan, ais tot ab^.

S- 870. Bij voegsel. Omdat de eveneeusgeplaatfte zijvlakken der S'-'Hjkvormige iigchamen gcHjkvonnig zijn, en {XFll, Steil. IF. B.')nbsp;Ssiijkvormige vlakken tot elkander in dezelfde reden ftaan, als denbsp;''gt;�tkamen der eveneensgeplaatfte zijden, zoo ftaan de oppervlakten dernbsp;^^^hbvorinige veelvlakkigc Iigchamen, in dezelfde reden., ah de vier-^nteyi Van de eveneensgeplaatft-e ribben dezer Iigchamen.

S' 871. AANHtiiiiaNG. De inhouden der gelijkvorinige ligchatnen dan de reden van de cuben, welke op derzelver eveneensge-J'k.atfte ribben befchreven zijn, of de reden van de derde magten dernbsp;S^^al'en, welke de betrekking dezer ribben tot elkander uitdrukken,nbsp;^'^rnit ontftaat nu de vraag: Op welke wijze, tot een gegeven veel-^hikkig Iigchaam, een ander zal kunnen gevonden worden, dat metnbsp;otamp;elve gelijkvormig h, en Iielks inhatid tot den inhoud van hetnbsp;^^gevsne Iigchaam zal flaan, in de reden, ah een getal tot een getal,

III. D E �I st A.

_ s. 872. Wanneer vier lijnen A, B, C en D, tot elkander *� eem gedurige evenredigheid ftaan, {dat is: A: B � B:Cnbsp;^ C; ZI) dan ftaan de vierkanten, op de twee eerfte lijnennbsp;^fchreven, tot elkander in dezelfde reden ah de eerfte tot denbsp;t lijn; en de cuben, op de twee eerfte lijnen befchreven,nbsp;ttn tot elkander in dezelfde reden, ah de eerfte tot de vier-Dath:

evenredigheid met de evenredigheid J x Bzr. A: B verme-41/ ///'� verkrijgt men: .F : nbsp;nbsp;nbsp;= AB x BC; maar {A7.

menigvuldige; dan vindt men A''- x z=:ACxCD � AxC. vijjj.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Laat A ��ne der zijden van een regtiijnig

de lijn D zoodanig genomen wordt, dat A tot D ftaac, in de^� reden, als de inhoud van het gegeven ligcliaam tot den inhoudnbsp;het ligchaam, dat met hetzelve gelijkvormig is; dan zal,nbsp;A-.D-zzA^ is, en de inhouden der gelijkvormige ligchamennbsp;elkander liaan, als de cuben, welke op de afftanden der eveneens�nbsp;plaatlle zijden befchreven zijn, de lijn B, welke de eerfte der tnbsp;midden-evenredige is, do aflland der over�'�nkoinllige punten vannbsp;gelijkvormig ligohaam zijn, hetwelk' tot het gegevene in dezelfdenbsp;den (laat, als D tot A, Uit dit alles volgt dan: dat hetnbsp;of verkleinen van eene vlakke figuur van het vinden van ��ne inid^^''\nbsp;evenredige, tusfchen twee lijnen afhangt, en het vergronten ofnbsp;kleinen eencr ligchamelijkc figuur van het vinden van twee iiiiu^�'^nbsp;evenredigen tusfchen twee gegevene lijnen.

Oi'LOSsiNG. Dit vraagftuk behoort tot de klasfe der vraagftnkk' welke (zie Aanmerk. op het XXIIL JVcrkfl. �. 487, pag. 178,)nbsp;door de frijding van eene regte lijn en eenen cirkel kunnen op�^nbsp;worden. Behalve de oplosfing, vvelke, in de aangehaalde aauraerk'n^j�nbsp;van hetzelve gegeven en werktuigelijk is, kan men zich van denbsp;gende werktuigelijke oplosfing bedienen,

Constructie. Men trekke twee onbepaalde lijnen, AF en ^ welke met elkander eenen regten hoek maken. Op deze lijnen ^nbsp;men, AC � P en AB'tzsQ^, trekke CD en D, evenwijdignbsp;en AC, en voorts de hoekpuntslijnen AD en BC, welke elks�*-

J) E R M E E T K � N S T. nbsp;nbsp;nbsp;351

^FzzEG zij, (hetgeen, door eene ligie beproeving, naauwkeurig ge-�oeg gefchieden knn,) dit gedaan zijnde, zullen de lijnen BG m de begeerde miJden-evenredigen zijn. Zoodat ^C:BGzzBG:nbsp;~CF: /iB zal zijn.

'Betoog. Men trekke EH en EI loodregt op yfC en JB. Stel, �kortheidshalve, AC=:P = a; JB=:0;=.b; BG=.x en CF=y;nbsp;dan geven de gelijkvonnige driehoeken, FCD en DBG, de evenredigheid, y,b = a:x; of b-.j�x-.a. Omdat verder, volgens de con-��ruftie, EF=FG is, is de driehoek EFG gelijkbeenig, en daaromnbsp;y. �)q~�F2�ED^: maar de regthoekige driehoeken FIIRnbsp;on B IE geven: E F^ == Fm H E=- =z O-]- l ay etinbsp;ED- ~ BI^ EF ~\b^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en daarom h FD x

Igt;G~y'^ ay en igt;FD % nbsp;nbsp;nbsp;-{� 'zaf. Tel hier bij FD^

Z)G� = CF^ � � CD'� -\-DB�'- BG-=:y b^ dan verkrijgt men FG^ 33)^ -{� 2aynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: maar nu is

^G^=4lF^ JG--^ = Cy ay Qb xy , y b� -y lt;2,bXnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�. deze twee vergelijkingen van elkander aftrekken

de, verkrijgt men: 23'�-�2bx~o, o� y^~bx. Dat wil zeggen; dat CF midden evenredig is tusfehen AB en BG. Men betoogt, opnbsp;dezelfde wijze, dfit BG midden-evenredig is tusfehen AC en CF.

�. 875. Ds zijde van eenen cubus gegeven zijnde, de zij-van eenen anderen cubus te vinden, wiens inhoud tot dien '^an den gegtvenen ftaat, gelijk eene lijn P tot eene lijn 0_.nbsp;OimossiNG. Laat AC de 'zijde van den gegevenen cubus zijn.nbsp;eem ab tot AC, in dezelfde reden als F tot 0_, en zoek, volgensnbsp;de conftru�tie, van het voorgaande vraagdtik, tusfehen AC en ABnbsp;o twee midden-evenredigen BG en CF-, dan zal de cubus, welkenbsp;BG gemaakt is, tot den cubus op AC gemaakt, gelijk AC tot ABnbsp;Solijk P tot o zijn. �

�� 876. Aanmerking. De zijde van den gevraagden cubus wordt. Oor berekening, aldus gevonden. Laat de zijde van den gegevennbsp;Oubus � a zij ^ gj, ge(^gi4 vvorden; dat men eenen cubus vindennbsp;Ml, Welks inhoud tot dien van den gegevenen (laat, gelijk m tot n. Stelnbsp;o zijde van dien cubus -=zx; dan is, a'^ ; x^ sz.n:m, en A-a � �a

V. w

TWAALFDE BOEK.

877. I. 13epaling. Fig. 344. Een cilinder-vlak, op algemeenfte wijze genomen, is een vlak, hetwelk aldusnbsp;boren wordt. Laat eeiie kromme lijn ABCDEF, welk^''nbsp;deeleu in hetzelfde vlak liggen, gegeven zijn; indien men dagt;'nbsp;eene onbepaalde lijn Aa evenwijdig aan zich zelve laat be*nbsp;wegen, dat is, zoodanig, dat zij, in eiken bijzonderen �aO^�nbsp;evenwijdig zij aan eene gegevene lijn P en dat deze �J��nbsp;Aa, altijd langs de kromme lijn A B CD FF heenfchuift�nbsp;dan loopt deze lijn, in hare beweging, door eene vlakte,nbsp;ke cilinder-vlakte genoemd wordt. Men kan de kromme lij'*nbsp;ABCDEF, als de bafis van het cilinder-vlak aanmerken-878. Aanmerking. Wanneer men, in plaats van da Itromme l'J�'nbsp;ABCDEF, eene regte lijn neemt; dan wordt het cilinder-vlak,nbsp;welk op de voorfchrevene wijze geboren wordt, een plat vlak. Uj'�nbsp;platte vlak ksn derhalve als een cilinder-vlak, welke eene regte 1'Fnbsp;tot bafis heeft, aaugemerkt worden,

�. 879. Wanneer een cilinder-vlak gefneden wordt, door vlak, dat evenwijdig aan de bafis ABCDEF loopt; dannbsp;de kromme lijn, abcdef, volgens welke dit vlak het cilinder'nbsp;vlak doorfnijdt, gelijk en gelijkvormig aan de bafis.

Betoog. Verbeelden vvif ons de bewegende lijn Aa, in de den Bk, Cc, Dd, Ee, Ff-, in welke zij evenwijdig aan /�(2,isinbsp;zijn (XVll. Steil. X. B.j deze lijnen, twee aan twee, genomen

der meetkunst.

cd, ef, enz. ac, ad, enz. en dan is {XXiy. Steil. X. B.^ hoek abc ^hoek yt BC; hoek bed � hoek BCD; enz. Uit dit alles volgtnbsp;dan: dat de kromme lijn ab cdef, op de kromme lijn ABCDEF^nbsp;kan gepast worden, zoodanig, dat de punten a, b, c, d, e en f; innbsp;de punten A, B, C, D, E en F, vallen, en dat zulks ook, opnbsp;dezelfde wijze, van de overige punten der kromme lijn abc de f gelden zal, welke in den omtrek van/f BCD � F zullen vallen; de kromde lijn abedef, is dan (/. Ax.') gelijk en gelijkvormig aan de kromde lijn ABCDEF.

�� 880. 11. Bepaling. Fig. 344� cilinder is een lig-cliaam, befloten tuhfchen een gedeelte van een cilinder-vlak, en tusfehen twee evenwijdige vlakken .(d'-SCZ)�^Fquot;en abedef,nbsp;Welke het grond- en bovenvlak genoemd worden. De cilinder is regt of fcheef, naar dat de rigtlijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regt of fcheef-

boekig op het vlak van de bafis ftaat. E�ne der lijnen Ja, Pb, enz., welke in het oppervlak van den cilinder, evenwijdig aan de rigtlijn PQ^ getrokken wordt, wordt de zijdsnbsp;Van den cilinder genoemd.

�. 881. I. Aanmerking. Tot de cilinders behooren alle ligchamen. Welke eene kromlijnige vlakte, of eene vlakte, welke gedeeltelijk doornbsp;kromme eii regte lijnen bepaald wordt, tot bafes hebben. De cilinder is eigenlijk niet anders dan een kromlijnig frisma.

�. 882. II. Aanmerking. Fig. 345. In het bijzonder, zullen wij in dit Boek, bij de befchouwing der regte cirkelvormige cilindersnbsp;bepalen. Een regte cirkelvormige cilinder, in het vervolg alleen cilinder genoemd, heeft een cirkel tot bafis en kan begrepen wordennbsp;door de omwenteling van eenen regt hoek A BCD, om ��ne zijner zijden BC, geboren te worden; de zijden AB en CD, befichrijven denbsp;grond- en bovenvlakken, en de zijde AD het buitenfte oppervlak. Denbsp;Fjn BC, om welke de regthoek onidraait, wordt de as van den e�-Imder genoemd.

%. 883. III, Bepaling. Fig� 346. Een kegel-vJak wordt aldus geboren. Laat, in eenig vlak, eene kromme lijn,nbsp;�ABCD Ef, benevens een punt P, .buiten hetzelve, gegeven zijn. Wanneer men dan aanneemt: dat eene onbepaalde lijn JP, langs deze kromme lijn ABCDEF, bewogennbsp;Worde, zoodanig, dat zij altijd door het punt P ga; dannbsp;2al het vlak, door hetwelk deze lijn loopt, een kegel-vlak

liEGlNSELEN

zijn. Men noemt P het toppunt van het kegel-vlak; kromme lijn ABCDEF de bafis. De ligchamelijke rui�'nbsp;te, begrepen tusfchen het toppunt, de bafis en het kegel-vlai^�nbsp;wordt kegel genoemd. Het kegel-vlak heftaat klaarhUi^^quot;nbsp;lijk uit twee tegen over elkander ftaande deelen^ waarvtt*^nbsp;het ��ne hoven en het ander beneden het toppunt gelegen d-Elke lijn, welke, uit het toppunt van den kegel, in hare vlai'quot;nbsp;te, getrokken wordt, wordt de zijde van den kegel genoe��^'nbsp;�. 884. Aanmerking. Wanneer men voor de bafis van liet keg^''nbsp;vlak eene regte lijn neemt; dan is het kegel-vlak zelve eennbsp;vlak. Het platte vlak kan dan (7,ie Aanm. /. BepP) als eene !gt;*]'nbsp;zmdere fooit van kegel-vlak, zoovel ah eene bijzondere foovt

�� 885. Wanneer een kegel-vlak gefneden wordt^ door eet^ vlak abcdef^ evenwijdig aan de bafis ABCDEF loopendtinbsp;dan zal de kromme lijn, abcdef, volgens welke dit vlak hdnbsp;kegel-vlak fnijdt, gelijkvormig zijn aan de bafis ABCDnbsp;van het kegel-vlak.

Betoog. Men verbeelde zich twee onderfcheidene fianden van lijn AaP, te weten, AaP en BbP; dan liggen deze lijnen (//. Sted'nbsp;X. B.j in hetzelfde vlak, en dit vlak fnijdt de vlakken, ABCDE^nbsp;en abcdef, volgens de lijnen, AB en ab, welke, omdat deze vlak'nbsp;ken, volgens de onderftelling evenwijdig zijn, (Z/X. Steil. X. B.j eve��'nbsp;wijdig zijn. De driehoeken ABP en abP, zijn dan (/, en X. Std�-IF. B.j gelijkvormig, en {Fill. Steil. IF. B.j AB �.ab = AP-.a^nbsp;z=BP:bP. Om dezelfde reden, zal BC:bc � AP :aP zijn,

De afllanden van de punten van de bafis ABCDEF des kegel-vlak?gt; zijn derhalve tot de afllanden der over��nkoraftige punten van d�nbsp;doorfnijdiug des kegel-vlaks, dat is, van het vlak abcdef, in dezelfd�nbsp;reden; de iigxmv abcdef \s alzoo {III.Bep.IF.B.j gelijk en gelijkvof'nbsp;mig.aan de figuur ABCDEF.

�. 886. I. Aanmerking. Fig. 346. Wanneer het bovenfte deel het kegel-vlak gefneden wordt door een vlak a'b'c'd'e'f, hctvgt;d^nbsp;aan de bafes ABCDEF evenwijdig loopt; dan zal dit vlaknbsp;(loorfnijding insgelijks gejijkvorinig zijn aan de bafis ABC DE; dot

DER MEETKUNST.

het zal, in dit geval, ten opzigte van de hajis, in eene omgekeerde, of tegenovergeftelde, ftellmg geplaatst zijn,

�� 887. 11. Aanmerking. De kegels, dat zijn de ligchamen, welke tusfehen kegel-vlakken en derzelver bafes zijn ingefloten, maken met de pframiden eene bijzondere klasfe van ligchamen uit, waaraan mennbsp;den aigemeenen geflachtsnaam van piranuden geven kan, en dan zalnbsp;een kegel eene piramide zijn, welke eene kromlijnige hafn heeft.nbsp;Wanneer nu die bafis een cirkel is; dan zal men den kegel eenen cirkel-'��ormigen kegel noemen, en deze drkelvormige kegel zal regt zijn,nbsp;wanneer het toppunt gelegen is in de lijn, welke loodregt, vit het middelpunt van de bafis, op dezelve is opgerigt.

�� 888. in. Aanmerking. Fig. 347- Een regt cirkelvormig kegel-vlak kan begrepen worden te ontdaan, door de omwentelingnbsp;van een flelfel van twee lijnen ABC DBF, welke met elkandernbsp;eenen fcheven hoek A BE maken, wanneer namelijk, (die hoeknbsp;onveranderd blijvende,) dit flelfel om c�ne dezer lijnen DBE bewogen wordt; want alsdan befchrljft AB het beuedenfte, en SChetbo-venite deel van het kegel-vlak, waarvan de lijn DBEA^ as genoemdnbsp;Wordt, terwijl eenige loodlijn ^E, loodregt op BE ftaande, eenennbsp;cirkel befchrijft, welke als de bafis of het grondvlak van den regtennbsp;cirkelvormigen kegel kan aangemerkt worden.

�. 88p. IV. Aanmerking. Fig, 347. Wanneer de lijn ABC loodregt op den as ftaat; clan befchrijft (Gev. F. Steil. X. B.j deze lijn een plat vlak. Het platte vlak kan dan, in zekeren zin, ak eennbsp;kegel-vlak worden aangemerkt. Zie Aanm. III. Bep.

�� 890. IV. Bepaling. Fig. 348. Een omwenteling! lig-chaam is een ligchaam, dat geboren wordt, wanneer �en vlalc CED, om ��ne zijner regte lijnen AB omwentelt. De lijnnbsp;�HB wordt de as van dit omwentelings ligchaam genoemd.

�� 891. Gevolg. Elk omwentelings ligchaam heeft de eigenfehap, dat, Wanneer het door vlakken, welke loodregt op den as ftaan, ge-fneden wordt, deze doorfnijdingen altijd cirkels zijn.

�� 892. Aanmerking. Be regte cirkelvormige cilinders en kegel!' zijn derhalve omwentelings ligchamen. Welker door fnij dingen, voor zoonbsp;verre zij evenwijdig aan de bafis hopen, altijd cirkels zijn.

�. 893. De inhourl van eiken cilinder is gelijk aan den in-vermenigvuldigd met zijne hoogte,

7, 2 nbsp;nbsp;nbsp;Be-

Ee, Ff, evenwijdig aan de rigtlijn PQ^ worden getrokken; dan Den deze lijnen aangeinerkt worden als de opfta.nnde ribben vannbsp;prisma, hetwelk den veelhoek ABCDEF tot balls heeft, en in de*'nbsp;cilinder befchreven is, en de inhoud van dit prisma is (//. Gev. X^'nbsp;Steil. XL B.') gelijk aan de bails, vermenigvuldigd met de hoogte vat'nbsp;dit prisma, welke hoogte klaarblijkelijk de.hoogte van den cilindernbsp;Hetzelfde zal plaats blijven hebben, wanneer men dc punten A,

C, enz. digter, dan in de ugiiiir wordt voorgedeld, bij elkander neet�'' dan, hoe digter men deze punten bij elkander neemt, des te miiid^'*nbsp;verfchilt de veelhoekige bafis van het prisma van de kromlijnige hf'nbsp;fis des cilinders, en zooveel te minder verfchilt ook de inhoud vat*nbsp;het prisma, dat in den cilinder befchreven is, van den inhoud de�nbsp;cilinders: wanneer men dan de punten A, B, C, enz. naast elkande'nbsp;neemt; dan zullen dc bafis en de inhoud van het ingefchreven prisnquot;nbsp;van de bafis en den inhoud van den cilinder niet meer onderfcheidet'nbsp;zijn, en de inhoud des cilinders zal derhalve gelijk zijn aan zijn''nbsp;bafis, vermenigvuldigd met zijne hoogte.

�. 894. Gevolg. Fig. 345. De inhoud van eenen regU^^ cirkelvorm}gen cilinder is dan ook gelijk aan den cirkelvof'nbsp;mi gen hafts, cirk. A B, vermenigvuldigd met de hoogte, ofnbsp;met de opfiaande zijde A D. Dat is, (zie Bijv. op hetnbsp;Boek, pag. 158.)

�. 895. Aanmerking. Fig. 34,4. �Vanneer men den cilinder fnijA door een vlak, dat ��ne der zijden A a regthoekig ontmoet; dannbsp;de inhoud van dien cilinder gelijk zijn aan den inhoud van dit vlakinbsp;vermenigvuldigd met de opjiaande zijde Aa. Vergelijk XXIU. Siek'nbsp;XL B.

�. 8p6. De inhoud van eiken kegel is gelijk aan zijn grond' vlak, vermenigvuldigd met ��n-clertk van zijne hoogte.

Betoog. Men neme, in den omtrek van de bafis, op zeer kiek'� afftanden, de punten A, B, C, enz. en trekke van deze punten tot*nbsp;aan het toppunt, P, de lijnen AP, BP, CP, enz.; dan outftaat

denz^ven hetzelfde toppunt heeft, en de inbond van deze veelhoeki-ge piramide is (Gev. XX. Steil. XI. B.') gelijk^aan de veelhoekige ba-fis, vermenigvuldigd met ��n-derde van de T��ogte der piramide, of des kegels. Hoe nader nu deze punten J, B, C, enz. bij elkander genomen worden, zooveel te minder zullen de bafis en inhoud der in-gefchrevene piramide van de bafis en den inhoud des kegels, waarin denbsp;piramide befchreven is, verfchillen, en dit verfchil wordt niets, wanneer de punten B, C, enz. naast elkander genomen worden, waar-nit dan het gefielde van zelve volgt.

�. 897. Gevolg. Ftg. 347. De inhoud van eenen regten cirkelvormigen kegel is gelijk aan zijne cirkelvormige hafts.,nbsp;vermenigvuldigd met ��n-derde van de hoogte, dat is, met ��nderde van den as BE. Dat is, (zie Bijv. op het VI. B.nbsp;pag. 150.)

V. Stelling. Fig. 345.

S- 898, Het buitenfle oppervlak van eenen regten cirkelvor-ntigen cilinder is gelijk aan den omtrek van de bafis, vermenigvuldigd met de as BC, of de opftaande zijde AD.

Betoog. Wanneer het buitenfle oppervlak van den cilinder niet gelijk is. aan den omtrek van de bafis, vermenigvuldigd met de hoogte; dan zal die oppervlak gelijk zijn aan den omtrek van eenen groote-rvn of kleineren cirkel, vermenigvuldigd met de hoogte.

Stellen wij het oppervlak gelijk aan den omtrek van eenen groote-ren cirkel, vermenigvuldigd met de hoogte, en laat dan die cirkel, met zijn middelpunt, in het middelpunt van de bafis geplaatst worden ; dan zal men, (lil. Lemma VI. BI) om de cirkelvormige bafis,nbsp;eenen regehnatigen veelhoek kunnen befchrijven, welks hoekpuntennbsp;binnen den omtrek van den 'buitenften cirkel vallen. Wanneer mennbsp;dan, op dezen regehnatigen veelhoek, als bafis, een regt veelhoekig pris-hait^^''* '��^�^'velk met den cilinder dezelfde hoogte heeft, dan zal hetnbsp;^mtmfte oppervlak van dit prisma gelijk zijn aan den omtrek vannbsp;len veelhoek, vermenigvuldigd met de hoogte: maar nu is het opper-veelhoekige prisma klaarblijkelijk grooter dan het opper-va- van den cirkelvonnigen cilinder, en, omdat de omtrek van dennbsp;vcJhoek kleiner is dan de ointrek van den buitenften cirkel, zal denbsp;onttrek van den buitenften cirkel, vermenigvuldigd met de hoogte.

BEGINSELEN

grooter zijn dan het oppervlak van het veelhoekig prisma, en diens-volgens ook grooter daa het oppervlak van den cilinder. Het oppef' vlak van den cilinder kan derhalve niet gelijk zijn aan den omtreknbsp;van eenen cirkel, grooter dan de bafls, met de hoogte vermenigvuldig�^�nbsp;Op dezelfde, wijze, betoogt men: dat de inhoud van het oppervlaknbsp;des cilinders niet gelijk kan zijn aan den omtrek van eenen cirkel, klei'nbsp;ner dan de bafis, vermenigvuldigd met de hoogte: de inhoud van hetnbsp;buitenlle oppervlak des cilinders is derhalve gelijk aan den omtrek vahnbsp;de bafis, vermenigvuldigd met de hoogte.

�. 899. Gevolg. Fig. 344. Men zal, op dezelfde wijze, hetoogen' dat het oppervlak van eenen fcheven cilinder gelijk is aan den ofi�rnbsp;trek van het vlak, dat de opflaande zijde regthoekig doorjhijdt, vet�nbsp;menigvuldigd met diezelfde opflaande zijde. '

TELLING. Fig. 349.

�. 900. Het oppervlak van eenen regt en cirkelvormigen kegel is gelijk aan den omtrek van de bafls, vermenigvuldigt^ mst de helft van de opflaande zijde.

i�ETooG. Laat /IM de draal van de bafis van den regten cirkelvormigen kegel zijn, wiens toppunt in P ligt, (in de loodlijn, welke, uit het middelpunt van de bafis, loodregt op dezelve flaat,) en wiens op-ftaande zijde de lijn AP is: dan zal moeten bewezen worden: datnbsp;hef oppervlak van den kegel gelijk is aan omtrek AM x \AP.

'Vanneer het oppervlak des kegels niet gelijk is aan omtr. AM^ lAP; dan zal dit oppervlak gelijk zijn aan den omtrek van eenennbsp;grootereu cirkel KQ^S, vermenigvuldigd met de helft van AP. Laatnbsp;de cirkel KQS, met de bafis gelijkmiddelpuntig zijn; dan zal �ornbsp;jlU. Lemma FI. B.j ova den kleinften cirkel ABCDE, eenen regei'nbsp;matigen veelhoek GHI kunnen befehreven worden, welker hoekpiiU'nbsp;ten binnen den omtrek van den grootten cirkel vallen, en, wanneernbsp;men nu van het toppunt P, tot aan de hoekpunten G, H, enz. vannbsp;den omgefchrevenen veelhoek de lijnen PG, PH, enz. trekt; dan zalnbsp;men eene veelhoekige piramide verkrijgen, welke om den kegel be-fchreven is, en daar elk opllaand zijvlak GPU van deze veelhoekig^nbsp;piramide gelijk is aan de zijde van den Veelhoek, vennenigvuldigtinbsp;met de helft van PA, met de helft van de opflaande zijde van deunbsp;Kegel, zal het bovenfle oppervlak van de omgelchrcvcne piramide gU'

digtJ

n E R MEETKUNST.

ri'gd met de helft vdii de opllnanda zijde AP. Nu is het oppervlak de omgefchrevene piramide klaarblijkelijk grooter dan het opper-vlak des kegels; het oppervlak van den kegel is dan kleiner dannbsp;omtrek van den veelhoek GUI, vermenigvuldigd met de helftnbsp;Van de lijn AP-, maar nu is de omtrek van den buitenften cirkel KQJ,nbsp;grooter dan de oratrelc van den regelmatigen veelhoek GHl; derhalve is omtrek KGSx lAP grooter dan dm trek veelh. GHI �gt;lt;.nbsp;\AP- volgensnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is dan ook orutrck KGS X j AP grooter

Men zal, op dezelfde wijze, betoogen: dat het oppervlak van den hegel niet gelijk kan zijn aan den omtrek van eenen cirkel, kleinernbsp;dan, de bafis zijnde, vermenigvuldigd met \AP.

Indien dan het oppervlak van den kegel grooter is dan de omtrek van eenen cirkel, kleiner dan de bafis, vermenigvuldigd met \AP,nbsp;en kleiner dan de omtrek van eenen cirkel, grooter dan de bafis, vermenigvuldigd met \AP, zoo zal het oppervlak gelijk zijn aan dennbsp;omtrek van de bafis des kegels, vermenigvuldigd met de helft vannbsp;zijne opftaande zijde AP.

por. I. Gevolg. Fig. 350. TVanneer men dan, uit het top^ punt C van den kegel, ah middelpunt, 7net BC, ah ftraal, eenennbsp;cirkelboog BD befchrijft, welks lengte gelijk is aan den omtrek vannbsp;de bafis; dan zal de inhoud van den cirkel fe�tor BCD, gelijk zijnnbsp;aan het bovenfle oppervlak van den kegel. Want, neemt de boog BDnbsp;-=zo:ntr, BE, en vermenigvuldigt deze gelijkheid met \BC; dan is,nbsp;hoog BD X IBC� omtr. BE X IBC; dat is, (/. Gev. XIII. Steil,nbsp;B. en FI. Steil.') fe�lor BCD � het oppervlak van den kegel.

�* 902. II. Gevolg. Het oppervlak- van den kegel zal ook gelijk ^��jn aan eenen regthoekigen driehoek CBE, welke de opftaande zij-GB, cn eene lijn BE, gelijk aan den omtrek van de bafis desnbsp;kegels, tot regthoekszijden heeft.

, S- 903, Aanmerking. Volgens het III. Gev. XFIII. Steil. F.'B., omtr. B C: boog BDz=: 360� : hoek B CD: maar omtr. BC�2-wnbsp;en hoog BD � omtr.BEz=.2'ir x BE zijnde, is 2% X BC\nbsp;!J360� : hoek BCD; oi QFI. Steil. II. B.) BC-.BE=snbsp;BCD; waaruit dan volgt:

en hleuJoor kan de hoek gevonden worden, -welke de jiralen van den feBor, die aan het oppervlak van den kegel gelijk is, met elkander maken.

�. 904. De inhoud eens afgeknetlen kegels is gelijk aan de fom van de ba fis, het bovenvlak, en een vlak, dat, tusfchen denbsp;bafis en het bovenvlak, midden-evenredig is, vermenigvuldigdnbsp;met ��n-derde van de hoogte. � En het buitenfle oppervlaknbsp;van den afgeknotten kegel is gelijk aan deszelfs zijde, verme-nigvuldigd met de halve fom van de omtrekken van de bafisnbsp;en van het bovenvlak.

Betoog. Laat omtr. AB de bafis van eenen regten kegel zijn, van welken, door een vlak, evenwijdig aan de bafis loopende, hetnbsp;hovenfte ftuk, dat omtr. CD tot bafis heeft, wordt afgefneden; dannbsp;is het gedeelte van den kegel, begrepen tusfchen de cirkels van ABnbsp;en CD, de afgeknotte kegel.

Stellen wij, op hetzelfde vlak, waarop de kegel ftaat, eene driehoekige piramide, zoodanig, dat hare bafis, de driehoek HIK, gelijk van inhoud zij met den cirkel AB, en dat de piramide dezelfdenbsp;hoogte hebbe als de kegel, namelijk loodlijn EG � loodlijn dannbsp;is, vermits zoowel de inhoud van den kegel als van de piramide gevonden wordt, door de bafis met ��n-derdc van de hoogte te vermenigvuldigen , de ligchamelijke inhoud van de piramide Hl KL, gelijknbsp;aan den ligchame�jken inhoud van den kegel A BE.

Laat nu de piramide HIKL, door een vlak MN O, evenw'ijdig aan de bafis, gefneden worden, zoodanig, dat LP � EF zij; dan z.nl, inhoud driehoek MNO � inhoud cirkel CD zijn; want {_HI. Steil. XU.nbsp;B. en XL Steil. Ff. /L)

cirk. AB : cirk. CD � AG^ : CF^ =zEG-:EF=^ ca (f. Steil. XL B. en XL Steil. IF. B.')

drieh. HIK: drieh. MNO � LQp -.LP^ omdat nu (onderfil) EG � LjjcaEFzszLPis, zal {I. Steil. 11. BI)nbsp;cirk. AB'. cirk. CD � drieh. HIK', drieh. MNOnbsp;zijn: maar, volgens de onderftelling, is cirk. AB �drieh. HIK; derhalve is (Gev. FII. Steil. 11. B.) ook cirk. CD = drieh. MNO. Denbsp;piramide MNOL zal dan gelijk zijn aan den kegel CDE, en (FlU'nbsp;Ax.) de afgeknotte piramide HIKOMN� aan den afgeknotten keg^*nbsp;ABDC, en beiden hebben dezelfde hoogte, namelijk0,=

Laat nu, op den cirkel AB, als bafis, eenen kegel gefield worden, welke met den afgeknotten kegel dezelfde hoogte hebbe; dan zal,

DER MEETKUNST.

*'in aan de piramide, welke den driehoek HIK tot bafis, en /-�O tot hoogte heeft. Om dezelfde reden, zal ook de kegel, welke den cirkelnbsp;^�0 tot bafis, en FG tot hoogte heeft, gelijk zijn aan de piramide,nbsp;'^2lke den driehoek MNO tot bafis, en PO tot hoogte heeft. Ein-omdat cirk. AB� drieh. HIK en cirk. LH drich. MNOnbsp;Zal een cirkel, welke midden-evenredig tusfchen de cirkels ABnbsp;isj gelijk zijn aan den driehoek, welke, tusfchen de driehoekennbsp;^^IK en MNO, midden-evenredig is; de kegel, welke den midden-^'^enredigen cirkel tot bafis en FG tot hoogte heeft, zal dan gelijknbsp;aan de piramide, welke den midden-evenredigen driehoek tot ba-en PO_ tot hoogte heeft. Wanneer men nu deze gelijke ligcha-optelt; dan zal QFII. AxF) de fom der kegels, welke cirk. A B,nbsp;EF, en den midden-evenredigen tusfchen de cirkels AB en CDnbsp;tot bafes, en FG tot hoogte hebben, gelijk zijn �an de fom der piramiden, welke de driehoeken ////i, MNO, en den midden-evenre-tkgen tusfchen deze twee driehoeken tot bafes, en PO_tot hoogte heb-ben. Maar de fom dezer piramiden is {XXIV. Steil. XI. B.') gelijknbsp;aan den afgeknotten kegel IllK�MN; gevolgelijk is {IF. Ax.') dienbsp;afgeknotte piramide gelijk aan de fom der opgenoemde kegels, eunbsp;daar nu de afgeknotte piramide gelijk is aan den afgeknotten kegel,nbsp;zal {IV. Ax.') de afgeknotte kegel gelijk zijn aan de fom der kegels.nbsp;Welke cirk. AB, cirk. CD en den cirkel, welke midden-evenredig tusfchen cirk. AB en cirk. CD is, tot bafes en alle FG tot hoogte hebben.

Betoog van het tweede. Laat BS loodregt getrokken worden op CB, m aan den oratrek van den cirkel AB gelijk genomen'worden:nbsp;CU voorts DR loodregt op �S, en gelijk aan don omtrek van CD:nbsp;men trekke ER en RS; dan is RS het verlengde van ER. Wantnbsp;men heeft {X�. Steil. VI. B.) EB : ED � BS: DR, en, omdat hoeknbsp;f^DR� hoek EBS is, zijn (X Steil. IV. B.) de driehoeken EBSnbsp;EDR gelijkvormig, en hoek BES� hoek DER, en het punt Rnbsp;moet derhalve vallen in de lijn, welke de punten E en b' ver�cnigt.

is het trapezium BDRS. gelijk aan het bovenftc oppervlak der afgeknotte piramide gelijk {Gev. X. Bep. UI. B.) aan {DR BS)nbsp;^ j = {omtr. AB omtr. CD) X 1 BD.

�� 905- L Gevqlg. Fig. 351. Omdat de inhoud van eenen cirkel \Bi]v. VI. B.) gelijk is aan het vierkant van de middellijn, vcrnie-�gvuldigd met t ^ en de middellijn van eenen cirkel, welke- mid-^en-evenredig is, tusfchen de cirkels AB en CD, gelijk is aan . . .

BEGINS

�. 90�, II. Gevolg. Fig. 351. Omdat de omtrek van den cirkel van AB gelijk is aan tv x AB, en omtrek van den cirkel CD gS'nbsp;lijk aan tv x CD, zal de inhoud van het buitenlle oppervlak des af-geknotten kegel door

�. 907. Aanmerking. Vennits de cilinders en kegels, indedaad, niets anders dan kromlijnige prisma�s en piramiden zijn, welke met denbsp;drie en veelhoekige prisma�s en piramiden dezelfde hoofdeigenfehap-pen hebben, zal ook alles, wat van deze laatlle foort van figuren, innbsp;de XIV, XVII en XVIII. Stellingen, XI. Boek, en derzelver gevolgen, betoogd is, op gelijke wijze van de cilinders en kegels gelden.nbsp;I� Zitllen de cilinders en kegels tot elkander fiaan in dezelfde redennbsp;ah de ba fes, indien de hoogten gelijk zijn, in dezelfde reden ahnbsp;de hoogten, wanneer de ba fes gelijk zijn, 3� in de zamengefielde reden van de ba fes en hoogten, indien beide ongelijk zijn, 4� en, wanneer de cilinders en kegels eenen gelijken inhoud hebben; dan zijnnbsp;hunne bafes in de omgekeerde reden van de hoogten. Met betrekltingnbsp;eindelijk tot de regte cirkelvormige cilinders en kegels, welke begrepen kunnen worden, door de omwenteling van eenen regthoek en vannbsp;eenen regthoekigen driehoek, te ontflaan, verdient nog te worden aan-gemerltt: dat, indien deze regthoeken of regthoekige driehoeken g^-lijkvormig zijn, de cilinders en kegels, welke door hunne omwentelingnbsp;ontftaan, gelijkvormig zullen zijn, eene waarheid, waarvan men zich,nbsp;bij een weinig nadenkens, gemakkelijk overtuigen zal. De gelijkvormige regte cirkelvormige cilinders en kegels zullen nu tot elkandernbsp;ft aan, als de cuben van de middellijnen hunner grondvlakken, of tihnbsp;de cuben van hunne hoogten, of als de cuben van hunne opftaandenbsp;zijden. Waarheden, welke wij niet noodig geoordeeld hebben,nbsp;afzonderlijke Hellingen te betoogen.

908. V. Bepaling. Fig. 352. Een Bol, of Spheeri {Sph(sra') is eene ligchainelijke uitgebreidheid, bdloten binnen ��n gebogen oppervlak, welks punten alle, op e^nennbsp;gelijken afftand, van ��n punt, binnen dit ligchaam gelegd��nbsp;geplaatst zijn. Een hol kan begrepen worden te ontflaatt,nbsp;de beweging van eenen kalven cirkel ADB, om zijne

Jdclpunt

Sens eene kromme lijn DFEG; de punten dezer kromme lijn, in vlak en tevens in het oppervlak van den bol gelegen zijltje gt; liggen (^F, Bep.j op denzelfden afftand van het middelpunt; denbsp;lijn DFEG, is derhalve (/. Bep, F. B.j een cirkel;

men den bol fnijdt, volgens een vlak HKI; dan ontliaat Piiiinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oppervlak van den bol, eene kromme lijn HKI, welker

quot;'idd^'* nbsp;nbsp;nbsp;hetzelfde vlak liggen. Laat nu, uit het

Vq nbsp;nbsp;nbsp;van den bol, eene loodlijn CL, op dit fnijdend vlak, en

hokk*

quot;'�^��don; dan zijn jlF. Steil. X. B.j de driehoeken CLH, V/ !'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regthoekig, en, omdat dan {F. Bep.j CH�CK-cz:

is nbsp;nbsp;nbsp;driehoeken de gemeene regthoekszijde CL hebben,

gt; � \Pl. Leni.

quot;''OtT]

-^0 LHz=.LK�IL, Al de andere punten der HKI zullen dan van het punt L denzelfden afftaud lub-Weii! �^'�orame lijn HKI is derhalve (/. Bep. F. B.j een cirkel,nbsp;hexnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ middelpunt heeft.

g�af nbsp;nbsp;nbsp;tweede. Wanneer de fnijding door het middelpunt

'den'V* ��Jdellijn van den cirkel, die ontliaat, de middellijn Satt. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� zelve: maar, wanneer de fnijding buiten het middelpunt

quot;O is de middellijn van den cirkel, welke door die fnijding gemaakt

maakt wordt, eene koorde van den cirkel, welke door het gaat: nu is (///. Steil, V. B.') de middellijn grooter dan eenige koo^nbsp;de, en (Z/, Steil. V, B,') de koorden van eenen cirkel worden kl2�nbsp;ner, naarmate zij verder van het middelpunt afftaan; gevolgelijknbsp;de foijding, welke door het middelpunt gaat, den grootften cirkel)nbsp;de fnijdingen, buiten het middelpunt, geven kleinere cirkels, nKar�^^^nbsp;zij verder van het middelpunt van den bol zijn afgelegen.

911. VI. Bepaling. De cirkel, volgens welken vlak eeuen bol fnijdt, wordt groote cirkel genoemd, wann^^^nbsp;dit fnijdend vlak door het middelpunt van den bol gaat:nbsp;loopt dit vlak buiten het middelpunt; dan draagt die cifknbsp;den naam van kleinen cirkel.

�. 912. I. Gevolg. Omdat alle groots cirkelt door het middeV van den bol gaan, en (/. Steil. X. B'l') twee vlakken elkander^ �nbsp;gcm regte lijnen doorfnijden, zullen (J'X. Bep.j twee groots cigt;nbsp;van den bol elkander altijd, volgent ��ns van deszeIfs middelHp^^'nbsp;in twee gelijke deelen fnijden.

�, 913. II. Gevolg. Fig, 352. Volgens het betoog der voorg*'*'*� de Helling, gaat de loodlijn, welke, uit het middelpunt C van dennbsp;op eenigen van deszelfs kleine cirkels valt, door het middelpn'�^nbsp;van dien kleinen cirkel. Nemen wij nu: dat die loodlijn aannbsp;zijden tot aan het oppervlak van den bol in en B verlengd wofnbsp;dan zal ��n dezer punten, /I oi B, op eenen gelijken afftand vannbsp;punten van den omtrek van dien kleinen cirkel gelegen zijn; want)nbsp;driehoeken BHL en /IKL zijn regthockig in i, voorts is kl^nbsp;KL en BL � AL; en daarom (Z. Steil. I. B.j is AH'=.Ali�nbsp;dezelfde wijze, blijkt het: dn BH=zBK~BI is. Hieruit volgt da�nbsp;verder: dat, wanneer men het i�ne punt van eenen pasfer irgt;nbsp;punt A van het oppervlak van eenen bol plaatst, en, met hetnbsp;punt, op het oppervlak van dien bol, eene kromme lijn befchrijf^inbsp;kromme lijn noodwendig een cirkel zal zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n

S- 915. III. Gevolg. Vermits de asfeii van de groote cirkels van bol regthoekig op die cirkels ftaan, eii, door het middelpuntnbsp;den bol gaande, uit eenig punt van de doorfnede dezer cirkels,nbsp;�P dezelve zijn opgerigt, is QXXIX. Steil. X. -S.) de hoek, ondernbsp;deze asfen elkander fHijden, gelijk aan den Handhoek dezernbsp;^'^ote cirkels. Hetzelfde geldt ook, op gelijke wijze, voor de kleinenbsp;'^�titels van eenen bol.

S- 916. VUL Bepaling. Een plat vlak wordt gezegd een ��bogen vlak, in ��n enkeldpunt., aanleraken, wanneer ditnbsp;vlak, met het gebogene. Hechts ��n punt gemeen heeft.

S- 917. IX. Bepaling, Twee gebogen oppervlakten wor-gezegd elkander, in ��n enkeld puntaanteraken, wan-zij Hechts d�n punt gemeen hebben.

918. X. Bepaling. Een plat vlak wordt gezegd eene ogene oppervlakte, en twee gebogene oppervlakten wor-gezegd elkander, in de uitgefirektheid eener regte of krom-

_ _�� 919. Een plat vlak, PQ^, hetwelk regthoekig op het van de middellijn, AB, van eenen bolflaat, raaktnbsp;hol in het uiteinde A dezer middellijn aan.

Laat de bol gelheden worden door een vlak, hetwelk door ^ middellijn AB gaat; dan fnijdt dit vlak den bol, volgens den cirkelnbsp;j en het vlak, volgens de lijn EF; daar nu het vlak PQ_ regt-o�^ AB Haat, is (//. Bep. X. B�) EF regthoekig op AB', ennbsp;Q *'jn EF raakt den cirkel ACB (Xll. Steil. F. B.) in het punt A.nbsp;rii�^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;reden, zal, wanneer de bol, volgens een ander vlak ge-

^j-den Wordt, de lijn GH den cirkel ADB in het pnnt A aanraken.

groote cirkels, welke door de middellijn AB gaan, raken der-^ve de over��nkotnffige lijnen, welke in het vlak elkander in p �'iden. Het punt A is derhalve het eenig punt, dat, en in hetnbsp;^^Pervlak van den bol, en in het vlak P (9 gelegen is, en is derhal-

f BEGINSELEN X. Stelling.

�� 920. Wanneer de affland van de middelpunten van hollen gelijk is aan de fom of aan het verfchil van derzel'^'^^nbsp;firalett; dan zullen deze hollen^ in het eerfie geval, elkan^^^nbsp;uitwendig', en, in het tweede geval, elkander inwendignbsp;raken.

XL Stelling. Fig. 354.

�. 921. Wanneer, uit eenigpunt P, genomen kuiten het pervlak van eenen hol, verfcheidene lijnen AP, BPtnbsp;enz. getrokken worden, welke het oppervlak van dien holnbsp;raken', dan zijn alle deze lijnen gelegen in het oppervlaknbsp;eenen regten cirkelvormigen kegel, welke het oppervlaknbsp;den hol, in den omtrek van ��nen van deszelfs kleine citk^^^^nbsp;aanraakt', en de punten van den omtrek dezes cirkels zijgt;^nbsp;punten, in welke dit kegel-vlak den bol aanraakt.

Betoog. Men verbeelde zich een vlak, dat door het middelpgt;' M en de lijn AP gaat: dit vlak fnijdt den bol, volgens het belt^^^nbsp;van den grooten cirkel A OCR, en de lijn AP raakt dien cirk^* 'nbsp;liet punt A. Om dezelfde reden, zal de lijn BP den grooten �nbsp;welke, bij de doorfnede van het vlak, dat door het middelpuntnbsp;de lijn BP gaat, gevormd wordt, in B raken. Iiidien men dquot;� ^nbsp;flralen AM en MB trekt; dan hebben de regthoekige driehoel^*^|�nbsp;PAM en PBM, dezelfde hypothenufa PM, en gelijke regtshoeksz'1nbsp;den AM en BM; derhalve is (//. Lemma I. B.j AP � BP-uit volgt: dat, wanneer men den regthoekigeu driehoek

u E R MEETKUNST.

'^')d in de holle oppervlakte van eenen regten cirkelvormigen kegel P'aatst worden, zoodanig, dat deze oppervlakten elkander in eenennbsp;'^quot;�'�1 aanraken.

^ �� S)23. II. Gevolg. Fig. 355. Wanneer men twee bollen, welke ongelijke ftralen AP en 50 hebben, door een vlak, hetwelknbsp;de middelpunten P en j9 gaat, fnijdt, en men voorts aan denbsp;^��oote cirkels, welke uit deze fnijding onttoan, eene raaklijn ABCnbsp;welke de lijn, die door de middelpunten gaat, in C fnijdt; dannbsp;jj. fegte cirkelvormige kegel, welke door de omwenteling van denbsp;AC, om den as PQC, geboren wordt, deze twee bollen aanra-1^'' omtrekken der cirkels, welke door de beweging der pun-^ en 5, op de oppervlakten dezer bollen, worden voortgebragt.

�� 924. De oppervlakten van twee hollen, welke elkander '^'Jden, fnijden elkander volgens het beloop van eenen kleinennbsp;^'^kel.

f�ETooG. Laten P en Q, de middelpunten van twee bollen zijn, '^elke elkander fnijden: indien dan door deze middelpunten een vlaknbsp;dan fnijdt dit vlak beide bollen, volgens groote cirkels, welkenbsp;%nder in twee punten moeten A en D fnijden. Nu is het klaar: dat,nbsp;quot;'^tineer men de geheele figuur om de lijn 5(9 laat omdraaijen, hetnbsp;A door al de punten zal loopen, welke de oppervlakten dezernbsp;S^��en hebben; dan, daar dit punt klaarblijkelijk eenen cirkelnbsp;^�chrijft^ zal de doorfnijding der oppervlakten de cirkel zijn, welke,nbsp;J' beweging van dit punt A, geboren wordt.

925. XI. Bepaling. Men verllaat door een holrond op~ Aak zulk een oppervlak, hetwelk, door eene regte lijn,nbsp;P Welk eene wijze ook geplaatst, flechts in twee puntennbsp;P gefneden worden.

�� 926. fF'anneer een plat vlak, EADBC, en een geho-vlak, FADBC, denzelfden omtrek ADBC

368

Betoog. Want het gebogen oppervlak FA BBC heeft, in fJlc f�S tingen, eene grootere iiitgebreiclheid dan het platte vlak EADBC-

�. 927. Wanneer twee bolronde oppervlakten, FACBD E A C B D, elkander fnijden , of op dezelfde krommenbsp;ACBD rusten; dan heeft het huitenfte oppervlak FACF^nbsp;eenen grooteren inhoud dan het hinnenfte EACD B.

�. 928. Eet oppervlak, hetwelk geheel binnen den otnW^ van een ander gelegen is, is kleiner dan dit andere oppervltgt;^�

�. 929. Wanneer een regelmatige veelhoek ABCDEF^^ van een even aantal zijden, om ��ne van deszelfs middelUj^^^^nbsp;A G omwentelt; dan befchrijft die regelmatige veelhoeknbsp;ligchaam, dat kan aangemerkt worden, als zamengeftel^nbsp;zijn, uit twee regte cirkelvormige kegels, welke, aan denbsp;punten, A en G, door de beweging der regthoekige dti^kOS'nbsp;ken, ABH en FG V, ontftaan, en uit een zeker aatit^Fnbsp;regte afgeknotte kegels, welke, door de omwenteling der regthoekige trapeziums BCIH, CD KI, enz. geboren wordttt-Nu zal het gedeelte van het oppervlak van dit ligchaam �gt;nbsp;welk, door eenige aan elkander liggende zijden, BC, CDnbsp;DE, bij voorbeeld, geboren wordt, gelijk zijn aan den omtrek van den cirkel, welke, met de apothema MP des veelhoeks, als flraal, befekreven is, vermenigvuldigd met het gedeelte HL der middellijn, hetwelk gelegen is tusfehen de loodlijnen BH en EL, welke, uit de uiterfte grenzen dezev zijden, op dezelve middellijn vallen.

Betoog. Men trek'ke, uit het middelpunt RT, tot saa de hoekpunten B, C, D, enz. de firalen MB, MC, MD, enz. Voorts

DT3R MEETKUNST.

men de zijde CB in P, in twee gelijke deelen, en late, uit My apothema PM op BC vallen, en trekke, uit het punt P, de lood-

l^oeken 50C en PQJ\I gelijkvormig; want, volgens de conftruftie, is hoek 550 hoek 0_5il/�5; en, wegens den regthoekigen drie-�'oek 5CO, Ts hoek CBO hoek BCO=R; derhalve zal Q/f-,

Wk 550 hoek QPM� hoek C50 hoek 5C0 zijn: nu is, ''Sgeris de evenwijdigheid der lijnen 50^ en Cl,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Steil.

i^oek = hoek 5C0,- trekt men dan deze vergelijking van de '''^orgaand� af; dan zal �er (57//. Ax.') hoek' QPM= hoek CB Onbsp;^Verblijven : de driehoeken BOC en PQM, zijn dan (/X, Gcv.nbsp;HPllj,

Steil. /, 5. en PlII. Steil. IF. 5.) gelijkvormig, en wij heb-derhalve: 5 0.= PMz=:BO : BC; maar, volgens de XII. Steil. ^I.B. is POj.PMtzi omtr. PQj. omtr. PM-, derhalve zal (J. Steil.nbsp;^I. BI) ointr. pQ^.. onitr. PM~BO-.BC zijn, en uit de laatfte even-�^^digheid volgt dan: dat

Nu is het oppervlak van den afgeknotten kegel, welke met 5 C i�efchreven is (JAI. Steil.), gelijk aan Ipmtr. Cl mntr. BH) X \ BCi-�kaar omdat 2 5 0_�5//4� Cl is, (zoo als duidelijk genoeg te ziennbsp;�*0 zal onttr. Cl omtr. BII�z omtr, PQ^ zijn;-derhalve zal hetnbsp;'Oppervlak, met 5C befchreven, gelijk zijn aan omtr. PQ^yBC. Steltnbsp;��cn nu, in deze laatfte uitdrukking, in plaats van BC, de waarde,nbsp;*=oven gevonden; dan verkrijgt men, voor het oppervlak met BC beschreven, omtr, PM X BO� omtr. PM-y Hl. Omdat nu de apo-�kemata, welke^ uit het middelpunt, op de andere zijden vallen, alle ge-iijk PM zijn, zal het oppervlak, met CB befchreven, gelijk zijn aannbsp;'^�ntr. PM X IK, en het oppervlak met BE befchreven, gelijk aannbsp;PM X KL', telt men nu deze gelijkheden bij elkander, dannbsp;**1 het oppervlak met BCBE befchreven, gelijk zijn aan omtr. PM

�� 930. Gevolg. Fig. 359. Het oppervlak van het ligchaam, het-'*��k met den kalven omtrek ABCBEFG van eenen veelhoek van �en even getal zijden befchreven wordt, h derhalve ook gelijk aannbsp;omtrek, met de apothema PM, ah jlYaal, befchreven, vcme-^^Svuldigd met de middellijn dezes veelhoeks, of, dat hetzelfde is, ver-'^^enigvuidigd met de middellijn van den cirkel, welke om dien veel-'�ek befchreven is.

BEGINSELEN

�. 931. Het oppervlak van eenen hol is gelijk aan den onttrek van deszelfs gi-ooten cirkel^ vermenigvuldigd met deszelfi middellijn.

Betoog. Wanneer men tien omtrek van den grooten cirkel van eenen bol met deszelfs middellijn AD vermenigvuldigt; dannbsp;krijgt men een oppervlak, hetwelk gelijk zal zijn aan het oppefvl'*'^nbsp;van eenen bol, welke gelijk, grooter of kleiner dan de ho\ ABCP^nbsp;zal zim. Wanneer, men dan bewijzen kan, dat dit produft nietnbsp;^an het oppervlak van eenen grooteren of kleineren dan den gefteid^*�nbsp;bol kan zijn; dan zal het gel�celde volledig bewezen zijn.

efj

de halve cirkel FCH...L het oppervlak van den bol, welke ftraal heeft. Wanneer men nu, uit M, op de zijde GF, de apotheni�nbsp;MP laat vallen; dan is (^IF. Lemma') het oppervlak van het ligchaaiH*nbsp;met den veelhoek FGH..,L befchreven, gelijk aan omtr. MP Xnbsp;omdat mi klaarblijkelijk MP'ii^ AM is, is omtr. BTP'i^ omtr.nbsp;dit met FL'gt; AD vermenigvuldigende, is omtr. MP y. FL^nbsp;AMy AD; dat is, het oppervlak, door de omwenteling van FGll-�nbsp;voortgebragt, is grooter dan omtr. AMy AD: maar dit oppervlal^nbsp;(//. Lrinma) kleiner dan de bol, welke BLF tot ftraal heeft:nbsp;derhalve, welke MF tot ftraal heeft, zal (FI.Ax.) grooter zijhnbsp;omtr. AMy AD, en dit produft omtr. AMyAD zal derhalve ^nbsp;tijd kleiner moeten zijn dan het oppervlak van eenen bol, welke?nbsp;eene grootere ftraal, dan de ftraal A BI, befchreven is.

2� Fig. 361. Het produfl van den omtrek van den grooten cir t A BOD van den bol, welke AM tot ftraal heeft, kan niet gelijk

aan

1� De regthoek, onder den omtrek ABODE, en de middell'P AD, kan niet gelijk zijn aan het oppervlak van den bol FGHI,nbsp;ke uit M als middelpunt met eene grootere flraal MF befchreven �*'nbsp;Want, hoe weinig de ftralen AM en MF der gelijkmiddelpuntige bo!'nbsp;len van elkander verfchillen, zal men nogtans, in den omtrek van deonbsp;grootlk'ii cirkel, (///. Lemma FI. B.) eenen regelmatigen veelhoc'*nbsp;van een even aantal zijden befchrijven kunnen, welker zijden buiten deonbsp;onurtk van den binnenften cirkel gelegen zijn; wanneer men dan di^nbsp;liguur om de lijn FL laat omdraaijen; dan befchrijft de ointrck AEC^nbsp;het oppervlak van den bol, welke A BI tot ftraal heeft; de veelhoeknbsp;F GIJ l.. .L het oppervlak van een ligchaam, hetwelk in den bol gt;

dan

DER MEETKUNST.

bet oppervlak van eenen bol, welke, met eene kleinere ftraal FM, '�elchreven is. Want, hoe weinig deze ftralen FM en AM van el-kander verfchillen mogen, zal men, Lctntna VI. B.') in den om-��ek van den groottlen cirkel, toch altijd eenen regelmatigen veelhoeknbsp;ABc...D, van een even aantal zijden, befchrijven kunnen, zoodanig.

dit ligchnara, herwedt (/7 en lil. Lemma) grooter is dan het op-Petvlak van den bol, welke FM tot ftraal heeft, zal gelijk zijn aan pM y, AD i maar nu is AM'igt;PM; �exhzXvt omtr. ABl ynbsp;cmtr. PBl X AD; dat is ointr. AM x AD grooter dan hetnbsp;'schaam, dat door de omwenteling van den veelhoek ABC...D onc-en derhalve ook (F/. Ax.) grooter dan het oppervlak van dennbsp;welke FM tot ftraal heeft.

Het produft van den amtrek van den grooten cirkel van eenen bol, deszelfs middellijn vermenigvuldigd, is dan kleiner dan het opper-''k'k van eenen grooteren, en grooter dan het oppervlak van eenennbsp;^��lieren bol: dit produft moet derhalve aan het oppervlak van den

. 3quot; p.ie. XII. Bepaling. Fig. 352. Een holvormig fegment H een fluk MFIKI, hetwelk door een vlak HKIvm eenennbsp;�Ol wordt afgefneden; deszelfs bafis HKI is eenen kleinennbsp;grooten cirkel van den bol. Het gedeelte AHKI van hetnbsp;Oppervlak van den bol, waardoor dit fegment bepaald w�rdt,nbsp;^ordt het oppervlak van het bolvormig fegment genoemd.nbsp;� lijn AL, welke, uit het middelpunt van de bafis, regt-�^ldg op dezelve (laat, is de as van het bolvormig fegmentnbsp;Wordt tevens zijne hoogte genoemd.

S* 933- XIII. Bepaling. Fig. 352. Eene holvormige fchijf GEIJCH, is een gedeelte van den bol, begrepen tus-^hen twee evenwijdige cirkels DGE en HKI, welke hetnbsp;^^ondvlak en hovenvlak van die bolvorniige fchijf genoemdnbsp;Het oppervlak van den bol, welke tusfehen die even-ydige vlakken begrepen is, wordt het oppervlak van dienbsp;o vormige fchijf genoemd. De lijn LC, welke de middel-^ nten van ,het grond-,en bovenvlak ver��nigen en loodregtnbsp;beiden Haan, is de as en tevens de hoogte van die bol-fchijf. -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

372 BEGINSELEN

�. 934- ffet oppervlak., zoowel van een bolvormig fegmef^^^ als van eene bolvormige fchijf, is gelijk aan den omtreknbsp;den grooten cirkel van den bol, waaruit deze ligchamen geff^^'nbsp;den zijn, vermenigvuldigd met de hoogte dezer ligchamen-

Betoog van het eerfte. Laat de cirkelboog AD, welke minds'^ dan een quadrant is, om de middellijn BMP omwentelen; dannbsp;moeten bewezen worden: dat het oppervlak van het bolvormig ftS'nbsp;ment, dat, door de omwenteling van het cirkelfluk ABD, geborequot;nbsp;wordt, gelijk is aan omtr. MB Y. BD.

Men veileiige de dralen AM en BM, en befchrijve uit M de g�' lijkvonnige, en met AB gelijkmiddelpuntige cirkelbogen, �Fen lt;2,^�nbsp;dan zal het zoo even geftelde bewezen zijn, wanneer men beweze''nbsp;zal hebben: dat het producft omtr. BMyBD niet gelijk kan zijn aa�nbsp;het oppervlak van het cirkelvormig fegment, dat door de omwent^'nbsp;ling van den boog EF gemaakt wordt, en dat dit produft ooknbsp;gelijk kan zijn aan het bolvormig fegment, hetwelk door de omweH'nbsp;teling van den boog QR gemaakt wordt.

Men kan (III. Lemma VI. B.') in den cirkelboog EF, (hoe dig^ hij aan den cirkelboog AB geplaatst zij,) een gedeelte van eenennbsp;gelmatigen veelhoek befchrijven, welks zijden den boog A B niet aan'nbsp;raken, en dan zal (IV. Lemma') het oppervlak van het ligchaain, daHnbsp;door de omwenteling van den veelhoek EIHGF oxwPaai, (hebbend^nbsp;MK loodregt op EJ getrokken,) gelijk zijn omtr. MKyEV. Wm�'nbsp;neer men nu de lijnen AB en EF trekt; dan zullen de gelijkvormi�''nbsp;driehoeken, ADB en FVE, geven de evenredigheid AB: EF~Bll'nbsp;EV. Nu is EFgt; AB; derhalve is ook EVgt;BD. Ook isnbsp;gt; E'IB; derhalve omtr. MK'fi.- omtr. MB; vermenigvuldigt men dez^nbsp;laatfte ongelijkheid met EV'gt;. BD; dan zal omtr. MK Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;omP�

MB X BD zijn: maar otntr, MK x EV\s gelijk aan het oppervlak� door de omwenteling van FGHIE v�ortgebragt, en daar dit opp^^'nbsp;vlak (11, Lemma) kleiner is dan het oppervlak door den boog bnbsp;voortgebragt, zal (VI. Ax.) her boJvonnig fegment, door EF voortnbsp;gebragt, altijd grooter dan omtr. BMyBD, en niet gelijk aan ditnbsp;produft kunnen zijn.

Men zal, op dezelfde wijze, betoogen: dat liht ^xoAviSc omtr.lm Y BD altijd grooter zal zijn dan het bolvorniig fegment, het wenbsp;door de omwenteling van den kleineren booe QR ontllaat.

Het produft, omtr. BMX.BD, zal dan gelijk zijn aan het bolvor-fegment, hetwelk, door de omwenteling van den boog AB, oin as BP, geboren wordt.

Het eerlle gedeelte der Helling is nu, voor een bolvormig fegment, kleiner dnn de halve bol is, bewezen: maar zulks is genoeg, oinnbsp;^sntetoonen: dat het gefielde ook gelden moet voor een bolvormignbsp;%ttient, grooter dan de halve bol zijnde.

Laat, Fig. 363, de bof door een vlak CDE in twee ongelijke dee-gefneden worden; dan is QXHI. StellP)

oppervl. fegm. CAE � omtr. MA y. AD *^2 laatfle vergelijking van de eerlle aftrekkende, blijft �er over:nbsp;oppervl, fcgtn. CB E zz omtr. MA xBD,

Betoog van het tweede. Fig. 363. Volgens het betoogde, is oppervl. fegm. FAJizzi omtr. AM y. AGnbsp;oppervl. fegm. CAE zz omtr. AMy ADnbsp;trekt men de laatfle van de eerde vergelijking af; dan houdt mennbsp;ever:

�� 9.35- H Gevolg. Fig. 363. De oppervlakken der bolvormige fegmenten, zoowel ah de oppervlakken der bolvormige fchijven, ftaaanbsp;elkander, in dezelfde reden, ah hunne asfen ef hoogten.nbsp;i 936. II. Gevolg, ivg. 363. Wanneer men de koorden AC,nbsp;enz. trekt; dan zijn {XXIII. Steil. V.Bf) AD:AG � AC^�.

De oppervlakken der bolvormige fegmer.ten fiaan derhalve tot alkander, ah de vierkanten der koorden, welke, van de polen of toppen,nbsp;^�^t aan de omtrekken van derzelver grondvlakken, getrokken worden.

?� 937. III. Gevolg. Fig, 3�3. Om dezelfde reden, Jiaat het op-b^tvlak Van den geheelen bol tot het oppervlak van het bolvdmige f^Snient CAE, gelijk het vierkant van de middellijn AB tot het vier

�� 938. IV. Gevolg. Fig. 363. De inhoud van den cirkel, welke, met AB, ais ftiaal, befchreven is, \s ifXlB Steil. VI. B.j gelijk aannbsp;viermaal den inhoud van den cirkel, mei AM, als draal, befchrevmi,nbsp;gelijk aan omcrek van den grooten cirkel van den bol, vermenigvuldigdnbsp;met AB. Het oppervlak van den bol h dan gelijk aan viermaalnbsp;den grooten cirkel, gelijk aan den cirkel, welke met de middellijn vannbsp;bol, ah firaal, befchreven h.

374 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

oppervl. bol: oppervl. fe.gm. ACE � AB'^ x/lC^ maar naar de (Z//, Steil. VI. B.) is

oppervl. hol: oppervl. fegv.i. ACE. � Inh. cirk, AB : Inh. cirk. AC nu is (^IF. Gev.') het oppervlak van, den bol gelijk aan den cirkel,nbsp;AB, als flraal, befchreven: de voorgaande termen dezer evenredigheiiinbsp;dan gelijk zijnde, moeten ook de volgende gelijk zijn; daaromnbsp;het oppervlak van het holvormig fegment gelijk zijn aan den cirkehnbsp;welke met de koorde AC, ah flraal, hefchreven is.

�. P40. VI. Gevolg. Fig. 364. Wanneer een halve cirkel AKP� om welken eenen regthoek A BBC befchreven is, om de middellij*�nbsp;AB omwentelt; dan befchrijft de regthoek ABBC eenen regten cit'nbsp;kelvormigen cilinder, en de halve cirkel A KB eenen bol, welke i*'nbsp;dien cilinder past, en daarom gezegd wordt in denzelven befchrevennbsp;te zijn: het buitenfle oppervlak van den cilinder is (F. Steil.') g^'nbsp;lijk aan den omtrek van den cirkel met B� befchreven, vermenig'nbsp;vuldigd met DC of AB, en is dus, omdat de cirkel met BB befchrC'nbsp;ven gelijk is aan den grooten cirkel van den bol, gelijk aan het op'nbsp;pervlak van den hol. � En, wanneer de bol en de cilinder, zoonbsp;de eerfle in den tweeden geplaatst is, gefteden worden, door eennbsp;CIH; dan zal het oppervlak van den cilinder GHEC gelijknbsp;aan het oppervlak van het daar mede over��nkomflige bolvonnig Kg'nbsp;ment KAL. Want, deze oppervlakten worden gevonden, door denbsp;gelijke cirkels, welke G//en yf5 tot middellijn hebben, met de gf'nbsp;lijke hoogten CG en Al te vermenigvuldigen.

�. 941. XIV. Bepaling. Pig, nbsp;nbsp;nbsp;gen tweevlakkigs

vormige feclor^ is een gedeelte van den bol, begrepen tus-feben twee halve groote cirkels nbsp;nbsp;nbsp;en ADB, welke ei'

kander, volgens eeoe middellijn AB, doorlhijden. Een g^quot; deelte van het oppervlak van den bol, hetwelk tusfehen deZ�nbsp;halve cirkels begrepen is, wordt het oppervlak vannbsp;iecTior genoemd.

D E K MEETKUNST.

S* 942. Het oppervlak van eenen tweevlakkigen holvormigen fecior ACBD, ftaat tot het geheele oppervlak van den bol^nbsp;de flandhoek der twee groote halve cirkels ^ welke dezennbsp;feamp;or bepalen, tot vier regte hoeken.

^WooG. Wij beginnen met te betoogen: dat twee tweevlakhge ^'�Ivormige feBors ACBD en ADBE, welke gelijke jiandhockennbsp;en DME hebben, niet flechts gelijk van inhoud zijn: maarnbsp;^�'^endien gelijke en gelijkvormige oppervlakken hebben. Want laat, itinbsp;gemeene doorfnede der zijvlakken, een punt M genomen, en, uknbsp;� ^stzeive, loodregt op AB, de lijnen MC, MD en ME, in de vlr.k-ACB, ADB en AE3, getrokken worden; dan zijn {onderft.')nbsp;hoeken CMD en DME gelijk. Laat dan de tweevlakkige bol-��orinige fe�lor AD BE in den tweevlakkigen bolvormigen feaornbsp;-^Cbd gepast worden, zoodanig, dat A in A, en AB lang AB,nbsp;het vlak ADB het vlak ACB valt; dan zal Min M, ennbsp;(wegens de gelijkheid der hoeken CMD en DME,) Z)M langs CM,nbsp;EM langs DM, en het punt B in het punt B vallen, al de pun-van het oppervlak van den tweevlakkigen feftor AD BE, vallennbsp;�an ook (omdat al de punten van het oppervlak van eenen bol evoiinbsp;van het middelpunt verwijderd zijn,) in het oppervlak van dennbsp;�quot;'eevlakkigen fedor ACBD: deze twee fedors zijn dan, {l. Ax.)nbsp;hoewel als derzelver oppervlakken, gelijk en gelijkvormig.

op dezelfde wijze, als de XFIII. Steil. F. B. betoogd is, be-'�ogen: dat de inhouden van de twee tweevlakkige bolvormige feamp;ors ACBD en AD BE, zoowel als derzelver oppervlakken tot elkandernbsp;Baan, in dezelfde reden, als derzelver ftandhoeken CMD en DME^nbsp;'daaruit dan onmiddelijk volgt: dat de inhoud van den tweevlak-^igen bolvormigen feSlor A CB D tot den inhoud van bol, en het oppervlak Van dien fcBor, tot het oppervlak van den bol, ftaat in dezelfde reden, �Is de flandhoek van den feBor tot vier regte hoeken.nbsp;�. 943. I. Gevolg. Fig. 365. Indien wij dan het oppervlak vannbsp;bol � 12 Hellen; dan zal het oppervlak van eenen tweevlakki-.

GINS

groote halve cirkels, v/elke dezen fector begalen, en gedeeld door regte hoeken.

�. 944. 11. Gevoeg. Fig, 305. Een bol wordt door twee groots cirkels ACB tn AEB, welke elkander re^lioekig fnijden, in viernbsp;lijke tweevlakkige bolvormige feclors verdeeld, welker oppervlakkennbsp;gelijk zijn aan den grooten cirkel van den bol.

�. 945. III. Gevolg. Fig. 365. Verbeelden wij ons een vlak, den bol in het punt A aanraakt; dan zal dit vlak de vlakken vannbsp;groote cirkels AQB en ADB, volgens de lijnen ennbsp;den: deze lijnen zijn raaklijnen van de groote cirkels aan het puntnbsp;De hoek F AG, welke deze raaklijnen met elkander maken, is ge�i'^nbsp;aan den hoek CMD, gelijk aan den Handhoek der twee groote cif'nbsp;kels ACB en ADB.-

$. 946. XV. Bepaling. Fig. 365. De hoek FAG, welke aan het punt A, alyaar twee groote cirkels elkander fi'ij' den, door de raaklijnen dezer cirkels gemaakt, en ais de ftand'nbsp;hoek dezer cirkels kan aangemerkt worden, kan worden aaH'nbsp;gezien, als de hoek, welke de cirkelbogen AC en ADnbsp;elkander maken. Men noemt zulk eenen hoek eenen holvof'nbsp;migen hoek, gemeenlijk fphcerifchen hoek.

bolvormige feclor ABCM ontitaat, wanneer drie grooW cirkels van den bol ABDE, BCEF en ACDF, elkande�^nbsp;fnijden; hij wordt bepaald, door drie cirkel-ledtors ABFIinbsp;ACM (in BCM, welke aan het middelpunt liuiten, en doofnbsp;een gedeelte van het oppervlak van den bol, dat bepaal^^nbsp;wordt, door drie bogen AB, AC en BC, van groote cirkels. Dit gedeelte van het oppervlak noemen wij, innbsp;vervolg, holvormigen (of fphlt;crifchenj driehoek , zijnde zulknbsp;een driehoek, op het oppervlak van eenen bol, door drie bogen van deszelfs groote cirkels bepaald. Men zal hieruifnbsp;genoegzaam verdaan, wat holvormige veelhoeken zijn.

�. 948. Aanmerking. Fig. 366. Wanneer men zich drie groote cirkels verbeeldt, welke elkander gevolgelijk in het middelpuntnbsp;den bol fnijden; dan wordt de bol in acht drievlakkige bolvorfflig�nbsp;feftors, en het oppervlak in acht bolvormige driehoeken verdeeld, cunbsp;deze feftors Haan twee aan twee tegen over elkander, om welke reden wij deze drievlakkige bolvormige fedors tegemverftaande

de bolvormige driehoeken, door weike zij bepaald worden, tegen-^'��si'flaande bolvormige driehoeken zullen noemen.

XVI. Stelling. F'ig. en 367.

�. 949. De tegenoverftaande drievlakkige Rolvormige feciors, Renevens de holvormige driehoeken , door welke zij bepaaldnbsp;'borden, zijn^ hij oppofitie^ of tegenoverfland, gelijk.

I^etoog. Men zal dan moeten betoogeii,; dat fcclor *Ector DEFM, en driehoek ABC� driehoek EFD is. Stellen wijnbsp;ons gezegde feftors, in 367, afzonderlijk voor, en verbeelden wijnbsp;ons: dat de bolvormige hoek ABC, dat is de Handhoek der cirkel-fectors AdM en BCM, door vlakken, welke alle door de middel-'hn BME gaan, in een zeker aantal gelijke deelen verdeeld worde;nbsp;On de figuur in vkr,j dan zullen deze vlakken den bolvormigeu drie-lioek ABC, volgens de bogen Ba, Bb, Be, en den tegenoverftaan-den driehoek F.FG, volgens de bogen Ed, Ee, Ef, (welke bogennbsp;groote cirkels zijn,) fnijdcn, en dan zal boog Ba � boog Ed;nbsp;^oog Bb � boog Ee, en boog Bc� boog Ef zijn. Maken wij nunbsp;boog Bg� boog Ba; boog �^ boog Bb; boog Bi�boog Bbnbsp;en boog Bk �hoog Bc; en laten wij door het middelpunt M, en danbsp;punten lt;* en g een vlak laten gaan; dan zal dit vlak de bolvormigenbsp;driehoeken ABC en DE F, volgens de groote cirkelbogen ag en dlnbsp;blijden: en, wanneer men insgelijks, door b owh, door b en i, doornbsp;^ en k, en het middelpunt, zulke vlakken laat gaan; dan zullen innbsp;rlBC de groote cirkelbogen bi, ck, en, in DEF, de groote cirkelbogen em, en en fo ontftaan, en dan zal boog Bg � boog Banbsp;==boog El� boog Ed zijn, enz. De drievlakkige bolvormige ledorsnbsp;en Eld; BbJi en Eem; BIn en E.en; Bek en Efo zijn; derhalve , zoowel als hunne oppervlakken, gelijk. Wanneer me� den hoeknbsp;gt; in plaats van in vier, in honderd, in duizend en meer deelen ver-^selt; dan zal nog het betoogde altijd blijven plaats hebben: maar denbsp;fommen der kleine feftors en der kleine bolvormige driehoeken zullennbsp;Zooveel minder van de drievlakkige fe�lors ABC'tn DEF', en derzel-Ver oppervlakken zooveel minder van de oppervlakken dezer le�fors ver-fchillen, naarmate men een grooter aantal deelen neemt, vt^aaruit mennbsp;dan mag befluiten: dat de drievlakkige bolvormige feftors ABC ennbsp;��F, benevens derzelver oppervlakken, gelijk en gelijkvonnig zijn;

XVII.

37? nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

XVir. Stelling. Fig. 366.

�� 950* Het oppervlak of de inhoud van eenen bolvormig^^ driehoek^ ABC, ftaat tot het geheele oppervlak van den hohnbsp;in hetwelk die driehoek gelegen is, gelijk de fom der koekennbsp;dien bolvormigen driehoek min twee regie hoeken , totnbsp;regte hoeken. Of dat hetzelfde is, wanneer het oppervlaknbsp;den bol gelijk I2 gefield wordt', dan zal

Betoog. Volgens het eevfte gevolg der XF. Stelling, hebben wij-Oppervlak ACDB A � ^ X ^ �

deze gelijkheden bij elkander optellende, moeten de fommen geKjl^ zijn: maar de fora der oppervlakkenABCEA en CDFECtnbsp;is klaarblijkelijk gelijk aan het halve oppervlak van den bol, met nognbsp;'de fom der bolvormige driehoeken ABC en DE F, of, omdatnbsp;Steil.') drieh. DEFz=. drieh. ABC is, gelijk aan het halve oppervlaknbsp;van den bol, met tweemaal den bolvormigen driehoek ABC.nbsp;hebben derhalve:

X n 3 drieh. ABC � x (koekA hoekB hoekC) 4/inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4/inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

DER MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;579

^ -�K van eenen bolvormigen veelhoek, wellcer hoeken door A, B, � ^5 enz, en getal van zijden door � wordt uitgedrukt, gelijk zalnbsp;aan'

X n.

�� 952. Wanneer de driehoek ABC, en de regthoek ABFE, ^^ike op dezelfde bafs ft aan en dezelfde hoogte hebben, omnbsp;�^f^Zelver gemeenfchappelijke bafis, omwentelen', dan zal denbsp;^^��houd van het ligchaam, hetwelk door de omwenteling vannbsp;driehoek ABC geboren wordt, gelijk zijn aan ��n-derdenbsp;^'*'2 den regten cilinder, welken de beweging van den regthoeknbsp;^BfE voortbrengt.

Betoog. 'Wanneer men onderftelt: dat, uit het toppunt C van den ^'�'��hoek ABC, de loodlijn CD op de bafis AB of derzelver verleng-� Valt; dan zullen de driehoek ADC, en de regthoek x/DCZi de eerftenbsp;�^nen kegel, en de tweede eenen cilinder befchrijven, en deze ligcha-Zullen den cirkel, welke CD tot draal heeft, tot de bafis ennbsp;lt;^2 lijn AD tot hoogte hebben. De kegel gemaakt, met den driehoeknbsp;�d�C, zal dan QF. Stell.j gelijk zijn aan ��n-derde van den cilin-welke met den regthoek ADCE gemaakt is. Om dezelfde reden,nbsp;de kegel, gemaakt met den driehoek BDC, gelijk zijn aan ��n-^2 van den cilinder, gemaakt met den regthoek BDCF. Telt mennbsp;in Fig. 368, de tweede dezer vergelijkingen bij de' eerfte, of trekt

^f'ehoek ABC, gelijk is aan ��n-derde van het ligchaam, hetwelk de omwenteling van den regthoek ABFE is voortgebragt.

�gt door de omwenteling van den driehoek ABC, zal dan door ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;13- X CD^ X AB

BEGINSELEN

�'O''---------7 nbsp;nbsp;nbsp;---- ------ '*�� nbsp;nbsp;nbsp;--------------- ----,

iT X (CG^ � BID) y AD zijn, uitdrukking, waarvoor Lenma III. B.) 1% x (CG 5//) x jCG � BH) x AD kannbsp;fchreven worden. Nu is jBI evenwijdig aan AD zijnde,) CG'i'nbsp;BH=znEF en CG�BH~CI; derhalve wordt de inhoud vannbsp;gezegde ligchaam gelijk aan � x X EF y Cl y AD. Men trekke nnnbsp;de loodlijn AK op CD; dan zijn de driehoeken ADK ennbsp;klaarblijkelijk gelijkvonnig, en men heeft derhalve de evenredigh^�

waarde van AD, in de voorgaande uitdrukking, voor den inhoud het ligchaam; dan verkrijgt men voor denzelven f st y BCy AK Xnbsp;dat is, (omdat BCy AK gelijk tweemaal inhoud driehoek ABCnbsp;en E F y ir gelijk de helft van den ointrek van EF,') gelijknbsp;I omlr. EF y drieh. ABC.

�. 955. Gevolg. Wig, 371. Wanneer AC�AB is; dan valt punt K m E, en de gelijkvormige driehoeken A FE en CIB, ge^^�nbsp;de evenredigheid EF: AEr=.Bl: BC; derhalve BCzssAE Xnbsp;EF, en fielt men dan deze waarde van BC in de uitdrukking . � *nbsp;\ o-',itr. EF y AE y BC voor den inhoud van het ligchaam; dan vef'nbsp;krijgt men voor den inhoud (omdat omtr. EF�mryEF\s,) de eek'nbsp;voudige uitdrukking fir X AE'^ y BI�?,n X AE'^ y GH.

�. 956. Aanmerking. Pletzelfde zal nog waarheid zijn, wann^^^ BC evenwijdig aan AD loopt.

�� 957' Wanneer een regelmatige veelhoek A BC een even aantal zijden hebbende, om ��ne zijner middeldp^^^^nbsp;AG omwentelt; dan zal de inhoud van het ligchaam, hetwt^nbsp;(il/ het middelpunt zijnde,) door de omwenteling van aen ve

DEr MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;381

fe�ior BCDEM ontflaat, gelijk zijn aan het op-kervlak, hetwelk door BCDE geboren wordt, verinenigvul-met ��n-dcrde van de apothema PM des veelhoeks. En ^et ligchaam, dat door de omwenteling van den geheelen veel~nbsp;ontftaat, zal gelijk zijn aan het oppervlak van dit lig-^haatn, vermenigvuldigd met ��n-derde van de apothema.

�ktoog. Want het ligchaam, dat door de omwenteling van den ''^elhoekigen feaor BCDEM ontftaat, kan begrepen worden zamen-f�fteld te zijn, uit de omwentelings ligchamen, welke, door de otn-''^^Oteling van de middelpunts driehoeken BCM, CDM en DEMnbsp;^��tftaan: nu zijn (/-7. Lemmaj deze ligchamen respeftievelijk gelijk

het ligch. van �CM�ilt X PM^ X Hl het ligch. van CDM~ = Tt X P M'^ X IKnbsp;het ligch. van DEM�itt X PWP y. HLnbsp;gevolgelijk zal de fom dezer ligchamen, dat is het ligchaam, door dennbsp;''�e!hoekigen feiftor B CDE M voongehragt, gelijk zijn aan �!r x PM^nbsp;^Hl.

Nu is (JH. Lemmaj het oppervlak door BCDE befchreven, gelijk omtr. PM x HL; of, (^omdat, in plaats van omtr. PM kan geschreven worden a x x PM,j. gelijk aan 2 x x PM X HL. Men zalnbsp;derhalve hebben

Men ziet nu, zonder verder bewijs: dat de inhoud van het ligchaam, door den veelhoek ABCDEFG voortgebragt, gelijk is aan het opper-''lak van dit ligchaam, vermenigvuldigd met ��n-derde van de apo-ftema des veelhoeks.

�� 958. Het ligchaam, hetwelk, door de omwenteling^ van den cirkel-fePior ABM, om zijne flraal MB , ontftaat, is gelijk aan het oppervlak, hetwelk door den boog AB befchrevennbsp;Wordt, vermenigvuldigd met ��n-derde van de ftraal van diennbsp;feSior, � En de inhoud van eenen bol is gelijk aan deszelfsnbsp;oppervlak, vermenigvuldigd met ��n-derde van zijne ftraal.

i N S E L^E N

Betoog. Wanneer het ligchaara, hetwelk, door de omwenteling V'*' den feftor ABM, geboren wordt, niet gelijk is aan het oppervlfl^�nbsp;voortgebragt door den boog AD, vermenigvuldigd met ��n-derde vaonbsp;de ftraal BM; dan zal dit produ�l; gelijk zijn aan een ligchaain,nbsp;door de omwenteling van eenen grooteren fedlor EFM, ofnbsp;eenen kleineren fe�lor (^RM wordt voortgebragt.

Stellen wij: nbsp;nbsp;nbsp;dit produ�l; gelijk aan het ligchaam, voortgebr*�?''

door den fc�lor EFM, met den fe�tor ABM, in hetzelfde middelpbquot;'� fkT geplaatst; dan zal men {HL Lemma VI. BB) in den grooteren bob�nbsp;EF eenen regelmatigen veelhoek �///Gkunnen befchrijven, well�d''nbsp;zijden den boog AB niet aanraken, en dan zal het ligchaam, doornbsp;omwenteling van den veelhoekigen fe�lor FGHIEM voortgebragt�nbsp;gelijk zijn aan het oppervlak door �///G� befchreven, vermenigvu'quot;nbsp;digd m�t d�n-derde van MK. Nu is oppervl. EIHGF'gt; oppervl.Li^nbsp;en igKM'gt;\BM; derhalve oppervl, EIHGF y.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oppervl'

AB X \ BM; dr.t is, het ligchaam, voortgebragt door de omwenteling van den veelhoekigen fe�tor EIIIGFM, is igrooter dan het oppefquot;*�^�nbsp;AB ')(. \ BM: maar nu is het ligchaam, door den fe�tor EFM voort'nbsp;gebragt, grooter dan het ligchaam, door den veelhoek EIHGFMglt;^�'nbsp;ren: derhalve zal (VI, AxL) het ligchaam, voortgebragt door dennbsp;tor EFM grooter zijn dan het oppervlak, door den boog AB bS'nbsp;fchreven, vermenigvuldigd met ��n-derde van BM.

Men zal, op dezelfde wijze, betoogen: dat het ligchaam, dooreb� omwenteling vdn den fe�lor RQJM voortgebragt, kleiner is dan hetnbsp;oppervlak, door den boog AB befchreven, vermenigvuldigd met ��nderde van BM.

De inhoud van het ligchaam, door omwenteling van den fe�lor AB^ geboren, zal darf gelijk zijn aan het oppervlak, dat de boog AB be-fchrijft, vermenigvuldigd met ��n-derde van de flraal BM.

tietzelfde zal gelden van het ligchaam, hetwelk, do�r de omwenteling van den fe�lor APM, befchreven wordt, waaruit dan onmiddelijh volgt: dat de inhoud van den geheelen bol gelijk is aan deszelfs oppervlak, vermenigvuldigd met ��n-derde van de draal.

�� 9S9- Aanmerking. Fig. 366. Men zal nu ook gemakkelijk be-toogen kunnen: dat de inhoud van eenen drievlakkigen holvonniS^^''^ feSlor ABCM gelijk is aan den inhoud van den bolvormigen drit'nbsp;hoek ABC, vermenigvuldigd met ��n-derde van de ftraal AM-�. 960. I. Gevolg. Omdat (IV. Gev. XIV. Steil.') het oppervk-k

hou�

DER. MEETKUNST.

van den bol gelijk zijn aan den inhoud van den groeten cirkel, ^^�'inenigvuldigd met vier-derde van de jiraal of met twee-derde vannbsp;middellijn van den bol.

�� 961. II. Gevolg. De inhoud van eenen hol is dan gelijk aan ^^ee-derde van eenen regten cirkelvonnigen cilinder, welks bajts ennbsp;hoogte respeciietelijk aan den grooten cirkel en aan de middellijn vannbsp;hol gelijk zijn.

�� 963. III. Gevolg. Indien men dan eenen kegel, bol en cilin-zoodanig aanneentf, dat de hafes van den kegel en cilinder ge- � ^^jk zijn aan den grooten cirkel van den bol, en hunne hoogte gelijknbsp;deszelfs middellijn i dan zullen de inhouden dezer ligchamen totnbsp;alkander jlaan, als de getallen ��n, twee en dri�.

�. 963. IV. Gevolg. Fig. 362. Omdat {XllI. Steil!) liet opper-''lak, door de omwenteling van den hoog AB voortgebragt, gelijk 's aan omtr. BM 'A BD, zal de inhoud van het ligchaam, dat doornbsp;omwenteling van deiefedlor ABM ontftaat, gelijk zijn aan omtr.

X jBZ) X \BM-, Sar omtr. BM is gelijk 2 t x BM-, derhalve de inhoud van dit ligchaam gelijk zijn aan fsr x BAD A BD.

S* 964. V.' Gevolg. Stellen wij de ftraal vSn eenen bol z=.R; �^sii is (zie Bijv. FI. B.) de inhoud van den cirkel, welke met die.nbsp;ftraal befchreven �=.% a R- het oppervlak van den bol is derhalve (^IF. Gev. XIF. Steil.) = 4 r , en de inhoud (^XFHI. Steil.)nbsp;�:4ir A A IR� \\tt X R'^. (Zijnde a-=3! 14159265 enz.)

dit zijn de forinulen, waardoor (de ftraal gegeven zijnde,) het oppervlak en de inhoud van den bol zullen gevonden, worden.

9�5. VI. Gevolg. Dat alle bollen gelijkvormige figuren zijn, ^ftjkt (wanneer men de middelpunten dezer bollen in elkander plaatst,)nbsp;de XXII. Bep. XI. B. Noemen wij nu de ftralen van twee bol-

4 TT R2 ; nbsp;nbsp;nbsp;�R^ '.r-

He oppervlakken der bollen jlaan dan tot elkander, ah de vierkanten hunner jiralen en derzelver inhouden ah de tuben van diezelfde Jli a-len. Hetwelk met de hoofd-eigenfehap der gelijkvormige ligchamen,nbsp;Si'e XXXI. St�il, XI. B. volkomen inftemt. ^

�. 966. Aanmerking. De waarheden, welke in de XIII, XIV en XVlll Stellingen betoogd zijn, kunnen, hoe zeer langs eenen betoogtrant, welke fommigen voor minder ftreiig houden, uit het IV en

3S4 BEGINSELEN

VIII. Lemma, aldus worden afgeleid. Wanneer men, Fig. 3SP� zijden van den veelhoek ABCDEFG onophoudelijk verdubbelt;nbsp;zullen de omtrekicen der volgende veelhoeken (//. Lemma IV. -5')nbsp;nader komen aan den omtrek den cirkel, waarin zij befchreven zij''�nbsp;de oppervlakken der ligchamen, door de omwenteling dezer vee^nbsp;hoeken voortgebragt, nader aan het oppervlak van den bol, waarH'nbsp;zij zijn geplaatst; de iiihouden der volgende ligchamen zullen dan oo^nbsp;minder van den inhoud van den bol verfchillen, terwijl de apothern�nbsp;Pltl nader aan de ftraal van den veelhoek komen zal. Indien dannbsp;de zijden van den veelhoek kleiner genomen worden, dan eenige g^'nbsp;gevene lijn; dan zal het oppervlak van den bol gelijk wordennbsp;den oratrek van PM x AG� omtr. A M y. AG, en de inhoud vannbsp;den bol zal gelijk zijn aan Icirk.AM y AG.

� �. 967. Wanneer een cirkel-fegment^jfKC, hetwelk geheel aan dezelfde zijde van de middellijn A B van eenen cirkel gt'nbsp;legen is, om die middellijn omwentelt; dan is de inhoud vannbsp;het Ugchaam, hetwelk daardoor geboren wordt, gelijk aannbsp;J X X y. DF, {zijnde x de verhouding van de middelU]^nbsp;op den omtrek.j

Betoog. De ligchamen, welke door de omwenteling der feftots AEM en ACM worden voortgebragt, zijn (JV. Gev. XVIII. Steil.')nbsp;elk, gelijk aan fm x CM�^- y AF en �?r X CMquot;^ X AD; de ih'nbsp;houd van het ligchaam, door de omwenteling van den fe�lor ECHknbsp;voortgebragt, is klaarblijkelijk het onderfcheid dezer ligchamen en gelijl^nbsp;aan J 2- X CM^ y D F. Nu is tvederom (Gev. VIL Lemma) de if'nbsp;houd van het ligchaam door de omwenteling van den driehoek ECMnbsp;geboren, gelijk aan y MV y DF, (zijnde Ml de loodlijn, wel'nbsp;ke, uit het middelpunt M, op de koorde EC valt,) en, wannee'nbsp;men den inhoud van dit laatfte ligchaam van dien van het voorgaandenbsp;aftrekt, zal men den inhoud van het ligchaam, dat door de oinwei�'nbsp;teling van den fe�lor �/fC geboren wordt, overhouden, en die inhoudnbsp;zal gelijk zijn aan f t X (CM'^ � MV) y DF: maar (XVI. SteVnbsp;III.B.) CM^ �MD � CV � \CEA zijnde, zal deze inhoud doofnbsp;ftr X \ CE^ X DF'zx.'^x X CE^ X DF worden uitgedrukt.

D�K. M E E T K U N S T.

�� 96Egt;.n De ligchame�jke inhoud van elke lolvormlge fckijf begrepen tusfcken twee evenwijdige cirkels, (cirk,nbsp;CD en cirk. EF,') is gelijk aan de halve fom van het gronden bovenvlak, vermenigvuldigd met de hoogte, of as, D F,nbsp;deze fchijf, te zamen genomen met den inhoud van dennbsp;welke deze as, hf hoogte, DF, tot middellijn heeft.nbsp;Bi,TooG. Het blijkt, uit de figuur: dat de inhoud van de bolvor-fchijf ECGJI gelijk is aan den afgeknotten kegel, welke doornbsp;omwenteling van het trapezium CD FE ontlfcat, ongeteld met hetnbsp;Mgehaam, dat door de omwenteling van den lector EKC geboren wordt.

inhoud des afgeknotten kegels is (VIL .Sielh') gelijk aan J t X {EF^ -\-EF X CD CZ)^) X DF, en de inhoud van het ligchaam,nbsp;door de omwenteling van den feftor �/fC voortgebragt, is(ZLr. tSquot;/.)nbsp;gelijk srm y. EC^ X DF; derhalve zal de inhoud der bolvonnigenbsp;^�ihiif �CGH worden uitgedrukt door

X (2 EF^ 2 EF X CD 2 CD^ �C�) x DF . . C^') ^Ten trekke nu dc loodlijn CL op EF; dan zal QXFT. Steil. UI. B.jnbsp;CC- � EL- CL- � EL^ DF^ zijn: maar nu is EL � EF�nbsp;IF � EF�CD ; derhalve E L=- =: QE F�CDf = EF^ � 2 EFnbsp;X CD CD^ en C�- =:�F-. CZ)^ Z�Z�^ �2 EFxCD. Steltnbsp;kien nu deze waarde van' CFV, in de zoo even gevondene uitdrukkingnbsp;(�); dan zal men, voor den inhoud der bolvormige fchijf, vinden:

I^eze uitdrukking kan nu, door dezelve in twee deelen te fcheiden, OiidtT de volgende gedaante gefteld worden:

Na zijn r x EF^ en t x CZ)^ de inhouden der cirkels, met EF CD, als ftralen, bcfchrevcn: de uitdrukking iQc x EF^ ic Xnbsp;CD'^) X DF is dan de halve fom van het onder en bovenvlak, ver-lUenigvuldigd met de hoogte; en de term gW X DI^ is, (jzie Z. Gev.nbsp;Xnil. Stell.-J de inhoud van den bol, welke de hoogte Z)F tot middellijn heeft, en hieruit blijkt de vvaarheid Van het gefielde.

�. 969. Gzvolg, Fig. 372. Wanneer het bovenblak nader aan het quot;Spunt A komt, wordt het fte�ds kleiner en verdwijnt, waaneer het-^2lve door A gaat: in dit geval is CDztza; de inhoud van het bol-''ormig fegment AFAJ wordt dan

SS5

De inhoiii van een bnlvnrmig fegment is dan gelijk aan de fo',n de helft van den cilinder, welke met dit fegment dezelfde ba fa en dt'nbsp;zelfde hoogte heeft, ongeteld met den bol, welks middellijn gelijknbsp;aan de hoogte van dit fegment.

�. 970. Wij zullep de voornaamfls waarheden, rakende de regt* cilinders, kegels en bollen, in dit boek behandeld, ten einde dezelv-beter in het geheugen te prenten, hier nederftellen.

�.971. i� Zij It de ftraal van de ba�s van eenen cilinder en ^ zijne hoogte; dan zal men hebben:

�. 972. 2quot; Zij R de firaal van de bafis van eenen regten cirkel' vormigen kegel en H zijne hoogte; dan is:

�� 973- 3� Laten F en r de ftralen van de gtond- en bovenvlak' ken eens afgeknotten kegels verbeelden en II zijne hoogte; dan is:

�� 974- 4^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�3n eenen bol en Mzijn middellijn; danb�

S' 975* 5� Zijn F en z de ftralen van het grond- en bovenvlak van eene bolvormige fchijf, en H de hoogte; dan is:

de inhoud van een bolvormig fegment, welks bafis R tot ftraal heeft� sn waarvan de hoogte gelijk // is. enz.

DEE'

dertiende boe k.

Meetkunst der Drievlakktge Hoeken^ h'kend onder den naam van Sphdtrifche of Molvormige Driehoeksmeting.

977. �~Iet is, uit de XII en XV. Bepalingen van het X. Boek o�bleken, wat men door drie- � en veelvlakidge hoeken verfcat, en,nbsp;de XXVI, XXVII, XXVIII, XXXII, XXXIII, XXXIV, XXXV,nbsp;^�XXVI, XXXVII en XXXVIII. Stellingen van ditzelfde Boek, zijnnbsp;^-ds de voornaamfle eigenfehappen dezer hoeken betoogd. In ditnbsp;zullen wij dezelve opzettelijk, voornamelijk met. betrekking totnbsp;bol, in nadere overweging nemen.

�� 978. Gelijk-(AV'// XFIIL Steil. V. B.') een cirkel, wiens ^'quot;ddelpunt, in het houlipuut van eenen regtlijnigen hoek geplaatst is,nbsp;^ot eene betrekkelijke maat van dien hoek verftrekt, 'zoo verftrekt ooknbsp;^^ke hal, %�kns middelpunt, in het hoekpunt van eenen drie cf veehnbsp;'�hikkipen hoek geplaatst is, tot eene betrekkelijke maat, zoowel vannbsp;^ onbepaalde ruimte van dien hoek, als van alle de onderfcheidenenbsp;^Stlijnige hoeken, welke in de zamcnflellitig of conjlruElic van zulknbsp;arie of veelvlakkigcn hoek voorkomen', zoodat, indien de bol,nbsp;fir de ligclmmen, denzelfden rang bekleedt, als de cirkel, ondernbsp;figuren, hij ook, in de ' meetkunst der veelvinkkige hoeken,nbsp;bijgevolg qqJj^ i[j (je meetkunst der veelvlakldge ligchamen, de-^�'fde diensten bewijst, als de cirkel, in de meetkunst der hoeken ennbsp;��'^ifijiiige figuren.

AM, BM en CM, aan elkander fluiten, en welker punt M (het toppunt van den drievlakkigeiinbsp;\Ve] ver�enigd Wanneer men dan eenen bol, eene flraal naar

��i�fid�lpunt, in het hoekpunt van den igen hoek plaatst; dan zullen zijne zijden of fr.ces, als plattenbsp;B b .2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vlak-

',88

kels, fnijden, (hoek AMB volgens den boog EF, hoek AMC gens den boog DE en hoek BMC volgens den boog DF,') er*nbsp;zal, op het oppervlak van den bol, een bolvonnige of fphoetif'-^��nbsp;driehoek DEF ontftaan. De bogen DE, en DF, waardoor

ze driehoek bepaald wordt, zijn de zijden van dien driehoek eir hoeken, welke de raaklijnen dezer bogen aan de hoekpunten inakei�'nbsp;QXF. Bep. XII. B.') zijn de flandhoeken der zijvlakken van den dn�nbsp;vlakkigen hoek. JXu zijn de zijden van den bolvonnigen driehoeknbsp;hetrekkelijke maten van de hoeken, welke de, ribben van den drievlt^^'nbsp;kigen hoek, twee aan twee genomen, met elkander, in het hoekp^^^nbsp;maken, en de hoeken van den bolvormigcn driehoek kunnen voo�nbsp;flandhoeken der zijden, of faas, genomen worden.

�. p8o. En dit alles zal, op dezelfde wijze, plaats hebben, hoe of klein de flraal van den bol mogt genomen worden. Want, indi^quot;nbsp;men Md tot ftraal neemt; dan zal de bol vormige driehoek def,nbsp;ke alsdan ontftaat, wel grootcr zijden hebben; doch de betrekkingnbsp;deze zijden tot den geheelen onnrek, of 360�, zal dezelfde zijn,nbsp;de betrekking van de zijden des driehoeks DEF, tot den oratreknbsp;den grooten cirkel van den bol, welke MD tot ftraal heeft; zood*�^nbsp;(Z)�, EF, DF)::{de, cf, dfj zal zijn. Dan, hoezeer ooknbsp;zijden grooter of kleiner gemaakt worden, blijven nogtans de ho*^nbsp;ken (zie XIF. Bep. X. B. en XXIF. Steil. X. B.j gelijk; nafflcli)�'nbsp;hoek hoek D; hoek e~ hoek�,'en hoek �::r hoek 71

�. 981. De oppervlakken der bolvonnige driehoeken verhouden zF ook tot de ge heek oppervlakken van de bollen, tot welke zij behoorlik'nbsp;gelijk de onbepaalde ruimte, welke tusfehen de zijden van eenen dgt;'Fnbsp;vlakkigen hoek begrepen is, tot de onbepaalde ruimte, welke aan til^^nbsp;kanten, om het punt M, is uitgeflrekt. Want, ftellen wij het opp^'�nbsp;vlrdt van den bol, gemaakt met de ftraal MD, gelijk �, en het oFnbsp;pervlak van den bol, gemaakt met de ftraal Md, gelijk �; dannbsp;{XFII. Steil. XII. B.j drieh. DEF� QioekD hoekE-k- hoek Fquot;'nbsp;2 7) X fl : 8 �, en drkh. def-^ (hoek d hoek e hoekf� ^

DER MEETKUNST.

zal men zien: dat de drievlakkige bolvormige feamp;ors DEFM en tot de inhouden der bollen, tot welke zij behooren, in dezelf-reden ftaan, als de inhouden der holvormige driehoeken DEF ennbsp;tot de oppervlakken der hollen, op welke zij geplaatst zijn, ennbsp;dat gevolgelijk deze fedlors de betrekkelijke hoegrootheid der drie-quot;^^ukkige hoeken uitdrukken, zoodat de bol aan de drievlakkige hoekennbsp;^^2elfde dienden bewijst, als de cirkel aan de regtlijnige hoeken.

�, 983. Hetgeen van de drievlakkige hoeken gezegd is, geldt ooi ^'an de veelvlakkige hoeken, in het algemeen; doch, wij bepalen ons,nbsp;dit boek, alleenlijk bij de befchouwing der drievlakkige hoeken.

984. nbsp;nbsp;nbsp;De naauwe over��nkomst, welke �er tusfehen de drievlsk-hoeken en de bolvormige driehoeken, waardoor deze hoeken geme-

'ea worden, bedaac, maakt, dat men dat gedeelte der Meetkunst, ge-''^oonlijk Spkarifche Driehoeksmeting, (en ongefchikter Klootfche Drie-^�ocksmeting,j genoemd, op tweederlei wijze befchouwen kan: 1� ais Meetkunst der drievlakkige hoeken, 2� als de Meetkunst der holvor-'�dge driehoeken, welke door de drievlakkige hoeken van het opper-''�ak van eenen bol, wiens middelpunt in het hoekpunt van den drie-vlakkigen hoek geplaatst is, worden afgefneden. De eerde wijze vannbsp;�^^'ichouwen is, in velerlei opzigten, algemeener en duidelijker: dan,nbsp;daar het algemeen gebruik aan de cweede de voorkeur gegeven heeft,nbsp;(misfehien, omdat de theorie der drievlakkige hoeken daardoor metnbsp;de platte driehoeksmeting eene meer in het oog loopende over��nftem-ciing verkrijgt,) zullen wij ons aan de tweede wijze van befchouwingnbsp;houden, zonder nogtans de eerde uit het oog te verliezen,

985. nbsp;nbsp;nbsp;Het onderdaande tafeltje zal kunnen dienen, om de over-'^t^iikomst tusfehen de drievlakkige hoeken en de bolvormige driehoe-ken beter in het geheugen te prenten.

�� 986. I, Bepaling. De Bolvormige Driehoeksmeting, {Sphasrifche Trigonometrie') of de Mtetkmst der drkvlakki-ge hoeken^ is dat bijzonder gedeelte der Meetkunst, hetwelk,nbsp;door middel der Goniometrifche lijnen, de betrekking vannbsp;'Ie zijdeii eeus bolvormigen driehoeks tot zijne hoeken leertnbsp;kennen, om alzoo, wanneer ��ne zijde en twee boeken, of

Bb 3 nbsp;nbsp;nbsp;wee

390 twie zijden en t'dnen hoek, of de drie zijden, of de dn^nbsp;lioeken gegeven zijn, de regels, ter bepaling van deszelfsnbsp;andere onbekende zijden en hoeken, nir deze betrekking'^o gt;nbsp;te leeren afleiden.

�� 987. Aanmerking. Eer wij nu tot de befchouwing van de gels der bolvormige driehoeksmeting overgaen, zal het noodig, zijf* �nbsp;dat v.'ij vooraf cenige algemeene eigenfehapptn dezer driehoeken betoo-gen. Wij zullen in het vervolg dikwijls het woord driehoek in pl?-�^�nbsp;van bolvormigen driehoek gebruiken.

�. 98S. II. Bepaling. Fig. 374. Wanneer men twee zijden, AB en AC^ van eenen bolvormigen driehoek op het oppervlak van den bol verlengt, (hetgeen gefchiedt, door aU'�'^ in dezelfde vlakken van deze bogen of zijden te blijven,) dannbsp;ontmoeten deze verlengde zijden elkander altijd in een puntnbsp;D�, hetwelk, met het hoekpunt A vei��nigd zijnde, (omdatnbsp;twee groote cirkels van den bol elkander volgens eene middellijn fnijden,) in eene middellijn van den bol zal liggen. �Ernbsp;onlflaan dan twee driehoeken, ABC en B DC^ die eene ge-meenfchappelijke zijde BC hebben. Da hoeken A en D, o'^ernbsp;die gemeenfchappe�ijke zijde ftaande, zijn, als bepalende �tnnbsp;fiandhoek van dezelfde vlakken, aan elkander gelijk. Voortsnbsp;zijn de zijden van den boek A, in dan eenen driehoek ABC,nbsp;de fupplementen van de zijden van den hoek D, in den anderen driehoek BCD; en de hoeken, welke, in den eenennbsp;driehoek ABC, aan de gerneenfckappelijke zijde BC liggen,nbsp;zijn de fupplementen van de hoeken, welke, in den anderennbsp;driehoek BCD, aan diezelfde zijde BC gelegen zijn. Meonbsp;kan de driehoek B CD de fupplemenis driehoek van den driehoek ^5C noemen, en, omgekeerd, de driehoek ABCnbsp;fupplements driehoek van den driehoek BCD. liet is klaarblijkelijk, dat elke bolvormige driehoek drie zulke fupplerner.tsnbsp;driehoeken heeft.

tlnehoeken, waarvan elk tweetal tegenoverfiaande, QLFI. St. XII. B.') oppojitie, gelijk zijn.

I. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling. Fig. 375.

�. 990. Wanneer men, uit het hoeJtpunt A van eenen hol-t'ormigen driehoek ABC, ah aspunt, met eene ftraal, gelijk ��an de koorde van een quadrant, op het oppervlak van dennbsp;^ol^ eenen cirkelboog DE befchrijft, welke, tusfchen de bee-�on van den hoek A begrepen is, dan zal deze cirkelboog dennbsp;holvormigen hoek A meten.

Betoog. Laat M het middelpunt van den bol zijn, en de boog � genomen worden. Trek de ftralen AM, DM m ME:nbsp;indien men dan liet quadrant A ME om de flraal //ilf laat omwentelen;nbsp;dan befchrijft (Gev. F. Steil. X. B.j de ftraal ME een vlak, dat loodregtnbsp;Op AM ftaat, dat is, eenen grooten cirkei van den bol; en het puntnbsp;B, dat altijd in het oppervlak van den bol blijft, zal denzelfden boognbsp;Be befchrijven, welke, met de koorde AE, uit A ah pool, befchre-'^2n wordt. Nu ftaan ME en MD regthoekig op AM; de hoeknbsp;EMD is dan de ftandhoek der groote cirkels AEM en A DM:nbsp;maar nu wordt deze hoek gemeten door den boog DE, welke uit M,nbsp;als middelpunt befchreven is: die boog is dan ook de maat van dennbsp;bolvormigen hoek A.

�. 991. Gevolg. Fig. 375. Vermits de hoeken AMD en AME ��figt zijn, zal de boog, welke, uit het hoekpunt van eenen holvormi-ten koek, met de koorde van een quadrant, op het oppervlak, he-fekreven wordt, de beenen van dien hoek regthoekig fnijden.

�� 992. Wanneer men, uit twee punten A en B van eenen E^'ooten cirkel, twee groote cirkelbogen, AP en BP, loodregtnbsp;oprigt; dan zullen deze elkander in het punt ?, dat de pool,nbsp;of het aspunt, van den hoog AB is, ontmoeten.

Betoog. Want, omdat deze bogen tot groote cirkels behooren, gnrn hunne vlakken door het middelpunt van den bol, en ftaan lood-rfegt op het vlak van den cirkel AB: derzelver doorfnede PM ftaatnbsp;d;!ii ook (XI, Steil, X. Bij loodregt op het vlak AB, en de lijn

�� P93* Gevolg. Fig. 376. De hoek P en de hoog AB hebhey* (J. Steil.') hetzelfde getal graden, en de bogen AP en BP zijn tiU^'nbsp;dranten.

�. 994. II. Gevolg. Fig. 376. Pf-'anneer AB � go� �,� danzifl al de zijden van den driehoek ABP giiadranten, en zulk een bol'nbsp;vormige driehoek heeft altijd drie regte hoeken. Zijn oppervlak **nbsp;gelijk aan ��it-achtfte gedeelte van het oppervlak van den bol.

995. Wanneer men, uit de hoekpunten A, B en C, vad eenen bolvormigen driehoek ABC, ah aspunten, met eene ftraal,nbsp;gelijk aan de koorde van het quadrant van den grooten cirkel,nbsp;op het oppervlak van den bol, drie groote cirkelbogen bc, aCnbsp;en ab bejchrijff, dan zal �er, op het oppervlak van den hol,nbsp;eenen anderen bolvormigen driehoek abc ontftaan, welke denbsp;eigenfehap zal hebben, dat elke zijner zijden het fupplementnbsp;zal zijn van den hoek, uit welks hoekpunt, als pool, die zijdenbsp;iefchreven is: namelijk

lAcS nbsp;nbsp;nbsp;Ib^

zijn. (Vergelijk de XXXVIII. Steil. X. B., welke, in andere woorden, hetzelfde zegt.)

Betoog, Men verlenge de zijden AB, BC tn AC, tot dat zij d� zijden van den bolvormigen driehoek abc, in G en H, in � ennbsp;I, en in D en F ontmoeten; dan is (/. Steil.) Z)�=zhotk C; Hlnbsp;zzz hoek B; en FG =. hoek A; en, volgens Gev. /. Steil., zijn denbsp;bolvormige hoeken,.ann de panten D,E,F,G,11,1-, regt, De punten a,b CU c, zijn dan (//. Steil.) de polen van de bogen BC, ACnbsp;en A B, en de bogen aE, al, bD, bF, cG m cH, zijn (/. Gev. H-.Steil.) quadranten. Om deze reden, is dan �.j:-h^Z)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;180quot;.

^ iSc�, en de boog is gevolgelijk het fupplement van den hoek C'. Otti dezelfde reden, is ac het fupplement van den hoek B, en bcnbsp;Supplement van den hoek /i.

^ulgens de eerfte ftelling, is boog IE~ hoek a; en, omdat (//. de bogen 5/en CE quadr.anten zijn, isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

BE BC � IE -gt;r BC= i8o^ of hoek e BC� i8o�; boog SC is alzoo het fupplement van den hoek a-. Om dezelfdenbsp;) is boog ^C=fuppl. hoek �, en boog AB = fuppl. hoek c.nbsp;�� 996. Iir. Bepaling. Fig. 377. De driehoek W'ordCnbsp;^spunts driehoek van den driehoek ABC genoemd, en denbsp;��'�'�hoek ABC �t aspunts driehoek van den driehoek ahc.

5- 997, Aanmerking. Elke bslvormige driehoek heefc zijnen as-driehoek, welke laatjio' wederom de aspunts driehoek van den ^^��J�en is. Wanneer al de zijden van den bolvormigen driehoeknbsp;anten zijn-, dan is zijn aspunts driehoek van denzelven niet on-^^''Eheiden,

�� 998. Elke zijde AD van eenen bolvormigen driehoek �E, is kleiner dan de fom der nvee andere zijden-, dat is,nbsp;kleiner dan AE-^ DE.

Betoog. Want aang�zien deze zijden de maten van de zijvlakken don drievlakkigen hoek ADEM zijn, en (ZAT//. Steil. X. B.jnbsp;zijde AMD kleiner is dan de fom der twee andere zijden, AMEnbsp;quot; kgt;ME, zoo zal ook AD lt;t AE -{� DE moeten zijn.

^Clt;4K. nbsp;nbsp;nbsp;� n. .t. � rrtr e. N

5. 1001. F)e [om van al de hoeken van eenen holvorndgt^^ driehoek ahc, is grooter dan nvee, en kleiner d.on zes regFnbsp;hoeken.

Betoog. Men make, volgens d5 III. Steil, zijnen aspunts driehoek ABC: dan is (JU. Steil.')

hoek � hoek h hoek e 5C AC A Bz:z6R maar nu is (V. Stall.) BC~\-AC.k-AB grooter dnn 0� en kleio^i'nbsp;dan 4 R; derhalve zal hoek a -j- hoek h hoek c grooter dan 2nbsp;en kleiner dan 6 R zijn.

�. 1002, Gevolg. Wanneer de zijden vrai den aspunts drieho�*^ alle minder dan een quadrant zijn; dan zijn de hoeken a, h �nbsp;Homp. Een bolvorraigen driehoek kan dan ��n, twee, drienbsp;hoeken; ��n, twee, drie regte hoeken; ��tien ft ompen en twee fcherp^'nbsp;twee ftompe en ��nen fcherpen, i�nen ftompen en twee regte; ��ne^^nbsp;ftnmpen, ��nen regten en ��nen fcherpen; twee regte en ��nen fchtf�nbsp;pen hoek, en drie fcherpe hoeken hebben.

�. 1003. IV. Bepaling, ^tnjiotnphoekige holvprmige dri^' hoek is een driehoek, welke ��nen, twee of drie ftompe ho�'nbsp;ken heeft. Een regthoekige bolvermige driehoek is een dxiFnbsp;hoek, welke ��nen, twee of drie rrgte hoeken heeft, ennbsp;fcherpkoekige bolvormige driehoek is een driehoek, welkenbsp;fcherpe hoeken heeft.

1004. Wanneer eene lijn AB loodregt op een vlak FQgt; ftaat, fff, uit eenigpunt B van deze loodlijn AB, eene loodft]^nbsp;BE tot eene lijn CD, in dit vlak gelegen, getrokken is',nbsp;zal de lijn AE, welke de voeten der loodlijnen AB ennbsp;ver��nigt, loodregt op de lijn CD fcaan.

ftant. Omdat nu (conftr.') EF loodregt op PQ^ (laat, is X. /?.) de hoek FEC regt, en daar {onderjiF) de hoek BECnbsp;lijks regt is, (laat QIl. Bep. X. B.) de lijn CD loodregt op het v)�'nbsp;BEF., en bijgevolg (/F, Steil. X. B.) ook loodregt op de lija

1) E ii M E E T K U N S T. nbsp;nbsp;nbsp;395

�� IC05. Wanneer een bolvormige driehoek ABC twee geli]-zijden of bcenen, AC en BC., heeft, en daarom gcUjkhee-genoemd wordt; dan zijn de hoeken, over die gelijke bee-fiaande, ook gelijk. � En, omgekeerd, � B-en bolvor-driehoek, welke twee gelijke hoeken A en B heeft, is ^^hjkbeenig.

Betoog van het eerjie. Laat M het middelpunt van den bol zijn� laten de dralen AM, BM en CM, en voorts CD en CE, lood-''�gt op /JM en BM, en eindelijk CF loodregt op het vlak AMBnbsp;g-trokken worden. V�anneer men dan de lijnen DF en EF trekt;nbsp;zijn deze. lijnen {Lcnimaj regthoekig op AM vn BM, en denbsp;� CF ftaat (7/. Bep. X. �.) loodregt op deze zelfde lijnen DF ennbsp;^F: de hoeken CD F en CEF, zijn dan Bcp. X.' B.') de ftand-*'�ek�n van de zijvlakken des drievlakkigen hoeks ABCM, gelijk aannbsp;'Ie bolvormige hoeken A en B van den bolvorinigen driehoek ABC.nbsp;^'^Igens de onderftelling, is boog AC�hoogBC; derhalve is Cflmrnbsp;: de regthoekige driehoeken, CDF e\\ CEF, hebben dan gelijkenbsp;^ypothenufen en eene getneenlchappelijke regthoekszijde CF; zij zijnnbsp;'lap. Lemma I. BA gelijk en gelijkvormig; en daarom is hoeknbsp;hoek CEF; of hoek A

gelijk zijn; dan moet bewezen worden: dat boog AC�hoog BC Men trekke wederom CD en CE loodregt op AM en BM, ennbsp;late CE loodregt op het vlak A MB vallen; dan zijn {_Lemmd}nbsp;lijnen DF en EF loodregt op AM en BM, en de hoeken CDFnbsp;�n CEF, welke gelijk aan de bolvormige hoeken A en B zijn,nbsp;gelijk. Vermits dan de regthoekige driehoeken CDF en CEFnbsp;gemeene regthoekszijde CE hebben, en onderling gelijkhoekig zijn,nbsp;Qx. Steil. L E.) CD=.CE, en boog AC� boog BC.

S* loo�. Gevolg. Een gelijkzijdige bolvormige driehoek is gelijk-en omgekeerd.

�� 1007. In eiken ho�vormigen driehoek, flaat de giootjie ^hde tegen over den grootfen hoek. - Eu, Offigekeerd, � denbsp;F.rooifle hoek tegen over de grootfie zijde.

395

Cetoog van lm eerjfe. IndJen de hoek JBO holt;ik BJC is't zsl moeien bewezen worden: �ai /ICgt; BC \i. Omdat (onJerfiOnbsp;hoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoek B/iC is, zal men, door het punt eerten groO'

ten Cijkelboog BD kunnen laten gaan, zoodanig, dst hoek ABB'^ hoek BAD zij, en dan zal (JAi. Steil,') AD � BD zijn; derhaJ''^

ook AD nC�BD DC of ACztzBD DC; maar (IF. Steil.) j5i; DO BC is, zal (F. Ax.) ACgt; BC zijn.

ABC ook gt; hoek BAC zijn. Want, indien hoek ABC gelijk kleiner dan hoek BAC W'are; dan zou (FJI. Steil, en /. Ccd. BtA-)nbsp;AC gelijk of kleiner dan DC zijn, en zulks firijdt tegen denbsp;ftelling.

�. 1008. Aanmerking. De eigenfchr.ppen der bolvormige drieho^' ken, welke, in de voorgaande fteiiingcn, betoogd zijn, zijn de voogt;'nbsp;nar.mfle. De Schrijvers over de Driehoeksmeting betoogen �er doof'nbsp;gaans nog andere, welke met de eigenfchsppen der platte driehoekensnbsp;in de IX, X, XI, XII en XIII. Stellingen van het eerlle Boek bS'nbsp;toogJ, over��nkomen; dan, daar deze tot ons oogmerk iwndernbsp;nen en derzeiver betoogen bijna van zelve in het oog loepen, zullennbsp;w'ij dezelve met ftilzivijgen voorbijgaan.

Befchouwlng van de bijzondere eigenfehappen der Regt-hoekige Bolvormige Driehoeken.

�. T009. V. Bepaling. Fig. 381. In de befchouvving vah de regthoekige bolvortnige driehoeken, befchouwennbsp;zii die driehoek ��nen, nvee of drie regte hoeken heeft�nbsp;(�dnen der regte hoeken uit zich zelven als bekend aantner'nbsp;kende,) ��iie regtboekszijde AB als bafis, de andere reg*^'nbsp;hoekszijde BB sis de op/laande zijde, eii AC als de hypO'nbsp;thenula, en noemen den fcherpen of ifompen hoek A, dyt�nbsp;hoek aan de bafis en den hoek C den tophoek.

IX. Stelling. Fig. 381,

n �. R MEETKUNST.

�^'dke tegen over deze regtho 'hszijde flaat. driehoek ABC r;gthoekig is in B; dannbsp;'dCxSin. A; en Sin. AB~Stn. ACxSin. Q moeten zijn.

Betoog. Laat i!f het middelpunt van den bol zijn, en laten de fijnen MA, MB en MC, g�troltkeii �vorden; dan is de bolvormigenbsp;driehoek ABC de betrekkelijke, maat van den drievlakkigen hoeknbsp;dBCM. Onderftellcn wij nu: dat al de zijden minder dan een qua-drant zijn, en laten, uit het punt C, de lijnen CH en CG, loodregtnbsp;�P AM en BM, getrokken w�rden: dan is (de ftraal van den bolnbsp;^cor de ftraal van de Sinus Tafel nemende.) CU~Sin.AMCr=.

AC, en CG rr Siv,. CMB = Sin. BC. Dmdat-nu do hoek D regc i'S ftaat het vlak BMC regthoekig op het vlak A MB, en (_X.,Steil.nbsp;-E B.') de lijn CG ftaat loodregt op A MB. Indien men dan de lijnnbsp;Gfl trekt, zal (^Lemmaj GH loodregt op ftaan; de hoek CHGnbsp;'5 alzoo (^XIF. Bep. X. B.') de fiandhoek der vlakken AMB en ABAC,

gelijk aan den bolvormigen hoek A. Nu is, in den regthoekigen *iehoek HGC, (//. Steil. IX. 3.) CG = CIl X Sin.CHG, dat is

�. 1011. Aanmerking. Fig. 381. Alhoewel do ftelling flechts voor eone.n bolvormigen regthoekigen driehoek, wiens zijden alle mindernbsp;dan een quadrant zijn, bewezen is, blijkt het uit de figuur: dat hetnbsp;bewezene 'ook gelden zal voor de bolvormigs regthoekige driehoekennbsp;ADC, FBC en FDC. Zulks in het te willen breede armwijzen,nbsp;Zou bijna eene herhaling van het reeds betoogde zijn,

�� loio', Jfi eiker, bolvormigen regthoekigen driehoek, is de Fangens van ��ne der regtJioekszijden gelijk aan de Targersnbsp;den hoek, die tegen over dezelve ftaat, vermenigvuldigdnbsp;met de Sinus van de andere regthoekszijd^- Dat is:

BiiTOOG. Laat 31 wederom het middelpunt van den bol zijn. Trek, in het vlak BMC, do lijn AD'regdioekig op MB, tot zij het verlengde van 3IC in D ontmoet; dan ftaan zij (anngezien het vlak BMCnbsp;fo�dregt op het vlak AMB ftaat,) ook loodregt op.hct vlal: A BIB.

BEGINSEL E N

Indien men dnn de liiti �)E ioodregt op trekt, on de punten B en E door BE ver��nigt; dan zal {^LeiKmci) BE regthoekig opnbsp;ftaan, en de hoek BED zal de Handhoek der vlakken AMC en AMB�nbsp;en derhalve gelijk ann den bolvormigeii hoek A zijn. Neemtnbsp;nu de ftraal van den hol gelijk aan de ftraal van de Sinus Tafel;

BD ~Tang, BC, en BE � Sin.AB. Nu geeft de regthoeki?� driehoek EBD (l. Steil. IX. BBDttzBE y.Tang.DEBzA.BE'nbsp;X Tang. A; dat is, volgens het betoogde. Tang. BC �Tang, Anbsp;Sin.AB. Om dezelfde redenen, is Tang. AB~Tang.C v. Sin.BB�

�. 1013. Aanmerk!ng. Hier valt hetzelfde, als op de voorgaan^^ ftellimi, .aanieinerken.

�. 1014. In eiken hohormigen regthoekigen driehoek, is Cofinus van de hypothenufa gelijk aan het product van de Co'nbsp;fmusfen der regthoekszijden.

Betoog. Laat ABC een bolvormige regthoekige driehoek zijut welker zijden alle minder dan een quadrant zijn. Men verlenge d�nbsp;zijden AB en AC, naar welgevallen, en befchrijve, uit A, als aspunt�nbsp;den grooten cirkelboog BEF, en men verlenge BC-, dan zal deZ�nbsp;den boog DE F, in het aspunt F van den boog ABD, ontmoeten�nbsp;en dan zal (/. Steil.') DE de maat van den bolvorraigen hoek tinbsp;zijn, de bolvormige hoeken D en E, zullen regt en (//, StelL) denbsp;bogen DF en BF quaciranten zijn, en eindelijk zal BD (/. Stelll)nbsp;de maat van den hoek F zijn. Nu is EFt=z compl. van DF^.vAnbsp;compl.A; \\oe\ F � BD ~ corpl. AB; CE � compl. AC; CFtA-compl. BC; en hoek ACB~\\oe\ECF. Nu is, in den bolvormigehnbsp;regthoekigen driehoek CEF, welke regthoekig is in E, (/X Steil.)nbsp;Sin. CE �Sin. F y. Sin. CF. Maar nu is CE �compl. AC; hoeknbsp;F�BD � compl. AB, en Ct �compl. BC; derhalve zal (zie �. 53s0nbsp;Sin. CE � Cos. AC; Sin. F= Cos. AB, en Si;i.CF=Cos.BC z'ip,nbsp;waardoor de zoo even aangehaalde vergelijking, Sin.CE � Siii.Fnbsp;Sin, CF, in Cos. AC�Cos. AB X Cos.BC verandert.

n E 11 MEETKUNST.

^ ^^gthoekszijde, tvslke tegen over dien hoek flaat ^ r'erme-^^'gvuldigd met de Sinus vasi den anderen fcheven hoek. Dat is: Cos. ^~ BCx Sin. C, en Cos. Cr= Cos. AB x Sin. A.

Sif,^�,p� sifi^ CF X Sin. C: tnnar nu is �7quot;= compi. hoek A CFzz compi. B C; derhalve (zie �.535.) Sin. Et � Cos. A, ennbsp;'^�^'CFzzsCos.BC, en de zoo even gefielde vergelijking verandert innbsp;d zsz Cos. B C y. Sin.C. Op dezelfde wijze volgt: dat Cos.C �nbsp;AB X Sin. A is.

�� IC16. In eiken bolvormigen regthoekigen driehoek, is de Cotangens vast ��nen der fcheve hoeken gelijk aan de Tangensnbsp;den anderen fcheven hoek, vermenigvuldigd met de Co~nbsp;^gt;ius van de hypothetiufa. Dat is: Cot. A = Tang. C' Xnbsp;AC; en Cot. C= Tang. Ax Cos. AC.

Betoog. In dezelfde figuur is (A'. Stel!.') Tang.EF�Tang.C X f-CE: maar (�. 535.) Tang. EFz=. Cot. A en Sin. CE =. Cos. ACnbsp;^�jnde, zal degeftelde vergelijking, door fubftitutie, in Cot. AzrsTang.nbsp;Cy Cos. AC veranderen. Uit deze, kan nu de tweede gemakkelijknbsp;'borden afgeleid. Men fie�e Cot. A�\: Tang. A en Tang. C ~ t :

dan zal men, na alles met de noemers der breuken verme-��'gvuUioj te hebben, verkrijgen: Cot.CzzTang. A X Cos. AC.

^ ^ Cos. AC, in plaats van Cot. A, have waarde i -.Tang. A; dan zal ^ � gt; na alles niet Tang. A vermenigvuldigd te hebben, verkrijgen:nbsp;^ j AC X Tang. A X Tang. C. Dat is: In eiken holvormigennbsp;^Aaoekigcn driehoek, is de Cofintis van de Jrjpothennfa, vermenig-het produdt van de Tangenten der fcheve hoeken, altijdnbsp;�� de ��nheid.

'i'angens van ��ne der regthoekszijden ge ^ro'inus van dm de hypothenufa, vermenigvuldigd met de f' . rnbsp;^o^k, mlL tusfehen deze regthoekszijde en dc hypOtucnu.a

BEGINSELEN

legen is. Dat is: Tang. AB � Tang. AC x Cos. A; Tang. BC � Tang. AC X Cos. C.

Betoog. Volgens de (A'. Stelli) is Tang. CE Tang. F x diit is, (naar de figuur en het meer gemelde,) Cot.AC�Cot./lBnbsp;Cos. A. Schrijft men nu, voor Cot. AC en Cot. A B, derzelvernbsp;den, I �.Tang. AC en \ -.Tang. A B; dan zal men, na herleiding,nbsp;den: Tang. AB ~ Tang. AC % Cos. A. En, neemt men BCnbsp;bafis; dan zal Tang. BC~ Tang. AC y. Cus.C zijn.

�. loi^. I. Aanmerking. Aangezien de vier k.atlle ftellingen bequot;''' zen zijn, in de onderftelling, dat de zijden van den bolvormigen res'-hoekigen driehoek alle kleiner dan een quadrant zijn, zou men kunquot;^quot;nbsp;twijfelen, of wel deze Hellingen waarheid blijven zouden, waoquot;'^'^''nbsp;d�ue of meer zijden grooter dan een quadrant werden? Dan, de figu''��nbsp;384 en 385, (welke gccouftrucerd zijn, in de onderftelling, dat,nbsp;fig. 384, AB en AC grooter dan po'�; en, dat, in fig. 385,

A en BC en A C grooter dan po� zijn, en welke figuren voorts dezelfde letters als f7g. 383. geteekend zijn,) zullen, onderling verg''nbsp;leken zijnde, doen zien; dat men uit deze figuren dezelfde beiluitequot;�nbsp;a!s uit 383. verkrijgt, mits racii de beginfelen, welke in hetnbsp;Boek, �. 534 eii 535, verklaard zijn, behoorlijk in acht neme.

�. 1020. II. Aanmerking. Men kan, uit de betoogde vergeW' kingen, welke iii het eerfte gedeelte van de derde Tabelle voorkeinbsp;men, en in welke de hoeken, door de Hoofd-lecters A, B en C,nbsp;de overftaande zijden, door de kleine letters a, b, c, (zie fig. 38^-)nbsp;zijn uirgedrukt, met behulp van de theorie vnn de teekens der GOquot;nbsp;niometrifche lijnen, gewignge gevolgen afleiden, welke andere SchrO'nbsp;vers, en bijzonderlijk Steenstra, in zijne Klootfche_Igt;riehoeksmetini'_nbsp;in afzonderlijke fteliingen, fyntheiiscb bewezen hebben, i� Nemen quot;'*1nbsp;de vergelijking (2) Tang. a =2 Tang. A x Sin. c. De zijde cnbsp;�lt; 180� zijn, derzelver Sinus is derhalve altijd pofitief. Nemen wij nquot;�nbsp;dat de hoek A eerst kleiner, dan gelijk, en dan grooter dan po�nbsp;de; dan wordt Tang. A beurtelings pofitief, oneindig en negatief��nbsp;bet eerfte geval zal Tang. a politief, in het tweede geval oneintu�nbsp;en in het derde geval negatief zijn. Hieruit volgt derhalve: dat,nbsp;eiken bolvormigen regthoekigen driehoek, eenige regthoekszijde alBTnbsp;fcherp, regt of flonip zal zijn; indien de overftaande hoeknbsp;regt of ftomb is. 2� Uit de formule (3) Cos. b~ Cos. a X Cos.�'�nbsp;volgt, met behulp der teekens: dat de hjpothenufa van eenen bol'quot;'(^nbsp;tuigen regthoekigen driehoek feheip z.'il zijn, vanneer de regthoeG^^

D E II ,M E E T K U N S T.

5 af beide fcherp, of beide ftomp zijn; mnar ftovnp, iMien de regt-haehzijden^ de ��ne fiomp en de andere fcherp is. 3quot; Stellen wij eiti-�^elijk de formule (6) onder den vorm Cos. � = i: Tang, A X Tang.B;

zal uit dezelve blijken: dat de hypothenufa fcherp zal zijn, in-dien de fckeve hoeken beide (lomp of heide fcherp zijn; maar ftomp, Bidien de fcheve hoeken, de ��n ftomp en de andere fcherp is. �nbsp;kan deze befchouwingen, waarop men zich niet te veel toeleggennbsp;kan, verder uitbreiden; tot dat einde moet men de tafel van hladz.nbsp;*94* grondig verftaan en onder het oog houden: dat het produft vannbsp;twee grootheden po�tief of negatief is, naarmate de teekens van denbsp;faftoren gelijk of ongelijk zijn. Zie I. C. �. 481 en 482.

�. 1021. III. Aanmerking. De vergelijkingen, (i) en (3), in de IX en X. Stellingen betoogd, zijn de gronddagen van de volgende.nbsp;Wanneer men dan deze laatfte gemakkelijk in het geheugen wil prenten , moet men zich met de eerfte, als eerfte beginfels, gemeenzaamnbsp;maken, en, met behulp van fig. 383, de andere uit deze afleiden.nbsp;I^eze Leerwijze is ongetwijfeld beter dan die, welke bij den Heernbsp;Steenstra, in het aangehaalde werk, �. 93 en 94- is voorgefchreven.

�. 1022. IV. Aanmerking. In elke der betoogde vergelijkingen, komen drie grootheden, het zij de drie zijden, of twee zijden en d�nen hoek, of twee hoeken en ��ne zijde, voor. Twee dezer groothedennbsp;gegeven zijnde, kan men derhalve de derde vinden. Deze aanmerking brengt ons tot de onderfcheidene gevallen van de oplosfing dernbsp;holvonnige regthoekige driehoeken.

quot;^oepasjing der gelegde gronden, op de oplosfing der Bolvormige Regthoekige Driehoeken.

�. 1023, Indien men, (zie ftg. 386.) den regten hoek B, welke Van zelven bekend is, niet mede rekent, komen �er, in den regthoeki-�'m bolvormigen driehoek, drie zijden a, b en c, ^ twee hoekennbsp;en C, te zamen vijf dingen voor, uit welke men twee, naar welgevallen , als bekend, kan uitkiezen, en zich voordellen de drie anderen te vinden. Deze vijf dingen kunnen nu op 5 x 4: i X 2 ofnbsp;gt;0 onderfcheidene wijzen, twee aan twee, worden zamengevoegd,nbsp;tn zulks geeft derhalve tien gevallen, welke echter, zoo als nadernbsp;^lijken zal, tot zes eigenlijk onderfcheidene gevallen kunnen gebragtnbsp;'vorden, en, (zie altijd ftg. 38�.) in het tafeltje, op Bladz. 402, zijnnbsp;^Pgateld. Nemen wij nu het eerfte geval, wanneer de fchuinfche zij-

BEGINSELEN

de b, met den fchevcn hoek A, gegeven zijh; aljd:ui zijn de andere fcheve hoek C, benevens de regthoeks-zijden a en c, onbekend: men voege nu elke dezernbsp;onbekenden met de bekenden b tx\ J le zamen: dannbsp;heeft men de drie volgende combinati�n:

Nu zoeke men, voor elk dezer drie gevalleniti de betoogde vergelijkingen,' die vergelijking, in welke denbsp;twee bekenden, met de onbekende grootheid voorkomen,nbsp;en men zonderc, iiulien het modig is, de onbekendenbsp;of. Noor b en Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gegeven en anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbekend, geeft denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eerfle vergeli)'

king Sin, a � Sin. b nbsp;nbsp;nbsp;x Sin. A. Foor bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en A gegevennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c onbekende

geeft de zevende Tang. c ~ Tang. b X Cos. A. En voor b en A g^~ geven eii C onbekend, gebruikt men de zesde vergelijking, i rz Cos. bnbsp;X 'Tang. A X Tang. C, waarin deze grootheden voorkomen, en mennbsp;zondert Tang. C af,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hetgeen gevennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cot, C � Cos. bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tang. A�

�. 1024. De lezer omw^rpe nu, nbsp;nbsp;nbsp;naarnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dit voorfchrifc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tafel, wel

ke, in haar geheel, op de volgende bladzijde, geplaatst is, en in welk� si de tien opgenoemde gevallen voorkomen. Deze Tafel geeft onsnbsp;aanleiding tot de volgende aanmorldngen.

�. 1025. I. Aanmerking. Alleen ten aanzien van de plaatfing va� den driehoek ABC, fig, 386, en niet ten opzigte van den vonn dernbsp;vergelijkingen, zijn het eerfte van het tweede, het derde van het vierde, het vijfde van het zesde, en hot negende van het tiende gevalnbsp;onderfcheidon; zoodat, ftrikt gefproken, deze tien gevallen met viernbsp;verminderd kunnen worden, en niet meer dan de zes volgende geven!

0� Gegeven zijnde ��ne der regthoekszijden met de daoraaa liggendt fcheve hoelcn

Men kan nu de vergelijkingen, welke in de Tafel voorkomen, in her Hollaudsch overzetteu, hetgeen zeer nuttig is. Bij voorbeeld, de eerft�nbsp;vergelijking zal zeggen. Gegeven zijnde de hypothemtfa met ��nnbsp;fcheve hoeken; dan zal de Sinus van de regthoekszijde, welkenbsp;ever den gegevenen fcheven hoek ftaat, gelijk zijn aan de Sinttsnbsp;� {Zie vervolg, op bladz. 404.)

DER MEETKUNST.

Tafel voor de oplosfing van alle mogelijke gevallen van eenen Bolvonnigen Regthoekigen .Driehoek, Zie 1023nbsp;1024, benevens Fig, 386.

BEGINSELEN

dc hypothemifa, verinenigviMigi met de Sinus van den gegeveneif fcheven hoek, enz. niet de andere vergelijkingen. Ik zeg, dat zulknbsp;eene overzetting nuttig is, omdat zij het gevondene vaster in het geheugen prent, en den beoefenaar met het gebruik der kunst-termennbsp;gemeenzamer maakt.

�. 1020. II. Aanmerking. De vijfde en zesde gevallen van de tafel, of het derde der ftraks opgetelde gevallen, in hetwelk ��ne regt-hoekszijde benevens de tegenoverftaande feheve hoek gegeven zijn,nbsp;worden de wijfelachtige gevallen genoemd, omdat men eigenlijk (zinnbsp;fis- 374O i'i oplo^ing twee regthoekige driehoeken /IBC en DBCnbsp;verkrijgt, en men in het v.erkdadige, (niet meer dan deze twee dingen gegeven zijnde,) niet weten kan, welke dezer twee driehoeken denbsp;bedoelde is,

�. 1027, III. Aanjiei�jcing. Sommige vergelijkingen van de voorgaande tafel, kunnen onder andere gedaanten gebragt worden, waaronder zij ook wel eens bij andere Schrijvers voorkomen. Bij voorbeeld, uit de vergelijking (8) volgt, i:Tang.bz=.Cos, A-.Tang.c: dat is,nbsp;(omdat I : Tang. b � Cot. b is,) Cot. b = Cot. c x Cos. /}. Om dezelfde reden verandert de vergelijking (ii) in Cot.b~Cot. a x Cos.C-Voor de vergelijkingen (14), (17), (20), (21), (25) en (28),nbsp;kan men fchrijven: Sin.c-zz Tang. a y. Cot. ASin.azzTang.e %nbsp;Cot.C; Cot. A �Cot. a X Sin.c; Cot. Czz Cot. c X Sin.a; Cos. Az^nbsp;Tang.c X Cot.h; Cos. CzzTang. a X Cot.b. � En wanneer de Lo-garithmen der Secanten en Cofecamen in eene Tafel (gelijk in de Tafelen van Borda) voorkomen, kan men voor de vergel. (8) Tang. bnbsp;�zzTang.c X Sec.A; voor vergel. (i O Tang, b � Tang. a X Sec.Cinbsp;voor vergel. (13) Sin.bzzSin.a x Cosec, A Hellen, en, op dezelfde wijze, kan men de vergelijkingen (15), (16), (i8), (20), (2igt;nbsp;(22), (23), (26), (27), (29) en (3c) veranderen, en wanneer,nbsp;in alle Tafelen, de Secanten en Cofecanten voorkwamen, zou meonbsp;misfehien de voorkeur aan deze afgeleide vormen geven, indien me�nbsp;anders de Additie voor eene gemakkelijker bewerking dan de Subtractie houden mogt,

�. 1028. IV. Aanmermnc. Vermits, tot het wel kennen der bol' vormige Driehoeksmeting, niet flechts vereischt wordt, dat men allenbsp;hare afzonderlijke gevallen rekenkunflig kunne oplosfen; maar, voornamelijk, dat men, uit de gevondene grond-formulen, anderen isetsnbsp;afleiden, hetwelk, in alle deelen der toegepaste Wiskunst, maar voornamelijk, in de Sterre-, Aardrijks- en Zeevaartkunde, van het uiterd�

DE 11 MEETKUNST.

s�inbelang is, zullen wij de voornr.amfle vergelijkingen, welke uit de Voorgaande Tafel kunnen afgeleid worden, mededeelen, en ons alleenlijk vergenoegen met de Goniometrifche formulen van liet VIII Boek,nbsp;'�it welke zij afgeleid kunnen worden, optegeven; zijnde onze bedoe-ii'�g hiermede: iquot; om den Leerling deze vergelijkingen te doen ken-''t�n, 2� om hem met de herleidingen der Trigonometrifche vergelij-Itingen gemeenzaam te maken, en hem, langs dien weg, in flaat tenbsp;llellen, zijne krachten in het uirvindeu van anderen te beproeven.

�� 1029. Met bepiilp van de K Still. VIII. Boek, veranderen de (i), C9), (12) en (19) vergelijkingen van de Tafel in de volgende:

(O Sin. � nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(iknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 4')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G

(4;) Sin. c nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� C')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(*

(12) Cos, A nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ��)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(C � a)

C19) Cos. � nbsp;nbsp;nbsp;ZCnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(rtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- c)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-}-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(fl � c)

Deze vergelijkingen kunnen, door de natuurlijke Sihus-Tafelen, met behulp van de Additie en Subtradtie, berekend worden. Wanneer in (i), C4)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(gt;9)gt; de bogen of hoeken b � A, b � C en a � c negatief wor-

den, (hetgeen plaats heeft, indien b A, i lt;^C en a lt;^c is,) dan blijven de Cofinusfen dezer bogen (zie �. 533.) pofitief; maar, wanneer in (9)nbsp;en (12) de bogen A�c en C � a negatief worden; dan veranderen denbsp;teekens van Sin. CA � e) en (C ��),

�. 1030. Uit de vcrgelijldng (13) volgt: do evenredigheid: i : Sin.b ZZ Sin. A : Sin. a. Hieruit zal men, met behulp van de FII en VIII,nbsp;Ssell. 11. �., en VII. Steil., benevens II. Gev. X.Steil. VIII. B. vinden;

�� 1031. Uit de vergelijking (14) volgt: i : Sin.cZZTang.A �. Tang. a, �n uit evenredigheid, zie VII en VIII. Steil, II, B.^ II. Gev, X tunbsp;-4T. Steil. VIII. B. wederom:

Ten aanzien dezer drie afgeleide vergelijkingen, welke alle tot het tw�-relacluig geval behooren, moet worden aangemerkt: dat het dubbelde tee-ken, waarmede de wortel-uitdrukkingen zijn aangedaan, de twee driehoeken

Cos. lt;yA � C)

omtrent welke vergelijking, moet aangemerkt worden, dat de grootheid, onder het wortclteeken, wegens de algemeenheid der goniometrifche for-mulcn, het negatieve teeken verkrijgt, en dit tceken ook hebben moet,nbsp;omdat, aangezien ^ Cgt;.90� is, de eigenlijke waarde negatief, en denbsp;wortel-uitdrukking onbeftaanbaar zou worden. Voorts ziet men, dat � �nbsp;Tong. i b niet anders dan pofitief kan zijn.

�. 1034- De vergelijking (25) geeft, met behulp van de vu ea VUL Steil. II. B.; IF. Gev. IX. Steil, en XI. Steil. VIIl. B.

Sin. (_b~c')

(quot;-5) nbsp;nbsp;nbsp;.

�. 1035.

�. 1030:

(26) nbsp;nbsp;nbsp;. . .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vnonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4

Men onderfcheidt in deze vergelijking geraakkelijk, welk tceken gebezigd moet worden; want C en c moeten QII. Aanmerk. XIV. Steil.') van de-zelfde foort zijn.

�. 1036. Uit de vergelijking (27) volgt:

(27) nbsp;nbsp;nbsp;. . . Tang. la ~ y[Tang. � (b � c) X Tang. i (i 0]

en in deze gekit .alleen het politieve tceken voor de waarde van Tang. J a.

�. 1037. Men kan, behalve deze vergelijkingen, nog vele andere vinden: dan, aangezien zij voor de getallen berekening mocijclijkcr, cn bijgevolg minder nuttig zijn, zullen wij dezelve met ftilzwijgen voorbijgaan.

Foorbeclden en Vraagjlukken.

�. 1038. Daar wij, onder anderen, de oplosfing der bolvorniig� driehoelren ook op Sterre- en Aardrijkskundige Vraagftukken zullen toS'nbsp;pasfen, moeten wij, ten aanzien van deze, den Lezer verwijzen, naafnbsp;onze Sterrekundige Aardrijksbefchrijving, uitmakende het eerfie ddeelnbsp;van de navolging van Guthry, de U, UI en IF Afdeelingen, cn*nbsp;inzonderheid, de noodt ge ophelderingen op dezelve, Bladz. 40, 66 e�*

DER MEETKUNST.

82, alwaar men, op eene alzins voldoende wijze, in het verftand van deze foort van Vraagllukken zal onderrigt worden,

�. 1039. I. Vraagstuk. Fig, 387, Wanneer men, uit het punt ��1 van de docrfnede AB van twee vlakken, PQ^en PR, welke regunbsp;hoekig op elkander fla�n, twee' lijnen AC en AD, in deze vlakkennbsp;^~ekt, zoodanig, dat deze lijnen, met de gemeene doorfnede AB dezernbsp;'^lakken, gegevene hoeken maken, namelijk hoek

hoek BAD /6�'10quot;, zoo vraagt men: welken hoek deze fijnen AD en AC mef elkander maken, en onder welke hoeken hetnbsp;^lak, dat door deze lijnen gaat, de regthoekige vlakken PQ^tn PRnbsp;^al fnijden?

Oplossing. Wanneer men, in .het punt ^, het middelpunt van eenen lgt;01 plaatst: dan maakt de doorfnping dezer vlakken met het oppervlaknbsp;van dien bol den regthoekigen bolvormigen driehoek bed, waarvan denbsp;regthoekszijden b c cn hd, als de maat der hoeken C en B4D, gegeven zijn. Om dan den hoek CAD en de ho.eken, welke het vlak CADnbsp;Aet de vlakken P cn PR maakt, te vinden, moet de hypothenufa cd,nbsp;benevens de bolvormigc hoeken d ene, berekend worden, cn zulks ge-fehiedt door de (19), (20} en (ai) vergcl. van de Tafel van .B/diz. 403.nbsp;Men heeft namelijk:

Cos. cd~ Cos. bcY. Cos. bd of Cos.CAD~ Cos. BAC% Cos. BA D Tang. h dc � Tang. b c ; Sin. bdzz Tang. BA C: Sin. BADnbsp;Tang. b c d�Tavg. b d : Sin. b c red Tang. BA D : Sin. BA O-Hieruit volgt, in Logarlthmen , deze berekening:

Log. Cos. CAD � 8,7286044 SiippJ. CAD � 36� 55'53quot;,2nbsp;CAD ZZ cd 93=quot; 4' �'',8

Tang. bdo U dan ook negatief, en^ nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p..aadplecg

c , nbsp;nbsp;nbsp;j..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�c-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pjfjf, ernnot zal ecu lioeli CAD

�. 1040. II. Vraagstuk. F/f. o�/, me ^.oo nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dr,t her

BEGINSELEN

vlok van dien hoek met de vlakken PQ^ en PR gegevene hoeken maakt t welke respedievelijk gelijk zijn aan 86� 17' en 6p� 42'?

Oplossing. Van den bolvormigen rcgthoekigen driehoek bei zijn gegeven de fcheve hoeken i en r, en men moet, om het gevraagde te vinden, de hypothenufa cd en de regthoekszijden b c en b i berekenen: de eerfte zal den hoek CAD lecren kennen, en de tivee anderennbsp;de hoeken BACenBAD. Vuhamp;eh msn Ces. cd �Cos.CA DzzCtt.bdnbsp;^Cot.bdCfCos.bcZZCos. BACZZ Cos. b d c �. Sin. b cd en Ces.b d'zz.Cos.BADnbsp;'ZZ Cos. bed'. Sin. bdc. Hiermede vindt men (want de berekening latennbsp;wij aan den Leerling over,) hoek C.4Zgt; r; SS� 37'23quot;; hoek C :::::nbsp;S�'a'isquot;; en hoek BAD zz 69� 39'16quot;.

�. 1041. III. Vraagstuk. Fig. 388. Op welken tijd, na tniddef' nagt, en hoe ver buiten het Noorden, zal de Zon, aan den gezigtein-der van het gebouw, Felix Meritis, te Amfterdam, opgaan , wanneernbsp;hare noordelijke afwijking is 23� 27'5O'''', en het gezegde gebouw opnbsp;de Noor der Breedte van nz' ipquot; gelegen is? de uitwerking vannbsp;de ftraalbrehing en van het verfchilzigt, in deze berekening, niet ianbsp;aamnerkmg nemende.

Oplossing. Laat de halve eirkcl ZP N den middag-cirkel en de h.ilve cirkel ZNII de oostelijke helft van den gezigteinder van het gebouw,nbsp;Fslix Bleritis verbeelden, en bijgevolg N het Noorden, Z het Zuiden;nbsp;omdat dan deze cirkels regthoekig op elkander liaan, is de bolvorinigenbsp;hoek PNII regt. Men neme P N ZZ 5z� 22'17quot;; dan is het punt P denbsp;Noord-pool. Laat II het punt verbeelden, alwaar het middelpunt van d�nbsp;Zon zich, bij haren opgang, bevindt; men late door het middelpunt vannbsp;den hemelbol en door de punten P en II den grooten cirkelboog i� IInbsp;gaan; dan is PII de afftand van het middelpunt der Zon tot de Noordpool, of het complement van hare afwijking, en de hoek NP II, regen 15� voor �dii uur in tijd overgebragt, zal den tijd verbeelden, welke �er, federt den raiddernagt tot aan den opgang der Zon, verloopen is,nbsp;en de boog IIN zal dc ftreek zijn, alwaar de Zon opkomt. Nu is (zienbsp;rergei. (25) of (28)), in den regthoekigen bolvormigen driehoek PNII,nbsp;Cos.N P HzzTang.P N:Tang.P H, en (zie Mergel. (27) of (30)), Ces.nbsp;NIIzzCos.PII-.Cos.PN. nat is:

B R R meetkunst. 409

^^*�t-osstijG. Hier is, d�n uur tegen vijftien graden rekenende, de hoek l(j ^ 45� en PU is, wederom het complement van de Zons afwij-ioiftnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;middel van den regtliockigen bolvorniigen drie-

Oor deze vindt men dc gevraagde Breedte zr sB� 27'.'�- Door deze quot;'�-'enjking worden de breedten der zoogenaamde Aardrijkskundige Kli-

1043. V. Vraagstuk. Fig. 389. He Noorder Breedte van eeni-op gegeven zijnde, benevens de afwijking der Zon, te vinden, oogenblik van den dag, de Zon zich in het Oosten, of in dennbsp;�^^''k'^^ktal-cirkel, bevindt, en op welk eene hoogte boven of be-f gezigteinder?

tiudk,ij wederom ZTPN de middags-cirbel, ZifAt de gezigt-�ita r � ^ Noorden en Z het Zuiden; T bet toppunt; Til de vertil nbsp;nbsp;nbsp;bet Oosten; dan is TPt~Tff~TZzz^o� en Zi/�iVZ/rrpo�,

j jy 'ie bolvormige hoeken ZTII en NT ff zijn regt. Laat voorts P de ^^'quot;'d- pool zijn, ec laat de Zon, op hot oogenblik, dat zij door den oost-,^^'^'�'^aal-cirkel gaat, zich in A bevinden; dan is de boog van den groo-,'Cirkel, welke van P tot A gaat, het complement van de Zons af-�2' Om nu de vraag opcelosCen, zal mcij, in den bolvorniigen regt-

zes uren, beneden den gezigteinder, door den oost-verticaal-gaan. Voor zuider of negatieve Breedte, zal men de waarde � �quot;3 ovcr��nkomftig do teekens, moeten bepalen.

de Regtzijdigc Bolvormige Driehoeken en de afleiding er Psrgeti^bingen, yvelke tot derzelver oplosfmgnbsp;dienen kannen.

�44* VI. Bepaling. Fig. 390. Een boivormige regtzijdige C c 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;drie-

^ ehoek ^BC eenen grooten cirkel DCE gaan, welke regihoekig op ^ vlak van de bafis AB ftaac, hetgeen (X//. Steil, en FII en FIK.

'*^ve door het toppunt, ook laat gaan door de projeftie, welke de het toppunt van den driehoek met het middelpunt van dennbsp;vj '^^��nigt, op de ba�s mSjkt, Die cirkel teekent op het opper-^ vaa den bol twee boged CT) en CE, van welke de ��n het fup-van den anderen is, en welke, omdat zij loodregt op de ba-derzelver verlengde Haan, de loodregte hogen, welke, uit hetnbsp;op de bafis vallen, genoemd worden.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

^048. I, Aanmerking. Fig. 391. Wanneer ��n dezer bogen den driehoek valt; dan verdeelt hij denzelven in twee regtlioe-boivormige driehoeken A CD en BCD, en, in dit geval, wor-de bogen AD en �D, de (lukken of deelen van de bafis, ennbsp;hoeken ACD en BCD, de deelen van den tophoek genoemd,nbsp;^^��gezien nu (�. 1020.) in eenen regthoekigeii bolvormigen driehoeknbsp;ho hoeken van dezelfde foort zijn, als de tegenovevftaande regt-szijden, zoo zullen de hoeken BAC en ABC, beide van dezelf-foort zijn als de ioodregte hoog CD; waaruit dan blijkt: eJat,nbsp;nneer ��n der loodregte bogen binnen den driehoek valt, de hoe-^ ^ aan de bafis of beide fcherp �f beide fiomp snoeten zijn, en dat,nbsp;.^^^^keerd, wanneer de hoeken aan de hajis van dezelfde foort zijn,

^ h. 1049. II. Aanmerkijng. Fig. 392. Men bemerkt hieruit: dat, hide en ABC aan de bafis van 'verfchillendenbsp;ge, 1 de ��n fiomp en de ander fcherp, geen der loodregte bo-CE, binnen den driehoek ABC vallen kan: zij zul-lonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;buiten den driehoek vallen. Welke dezer twee

hogen nu ook genomen worde, ontdaan �er altijd twee regc-��ho�kA ACD e*n BCD, o� BCE en ACE, welke deze bogen tot eene gemeenfchappelijke regthoekszijde hebben,nbsp;leir'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Aanmerking. Fig. 391. In de volgende befchouwin-

dajquot;dj: dat de boivormige driehoek zoodanig gefteld zij, bogen CD binnen den driehoek valie, en als-5|j'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de bogen AD en BD, als deelen vnn de bafis, zoowel

PufiA CD en BCD, als deelen van den tophoek, voor ten hogen en hoeken aangenomen, w'elke, de eerde, van de pun-

laafde, van de bogen AC en BC, naar ; geteld worden. Hieruit voigt dan: dat, wanneer, onder zekere

BEGINSELEN

ten gevolge van andere omflandigheden, de boog AD negatief w' Want het is, zoo als op zijn tijd blijken zal, een vooroordeel tenbsp;nen: dat de loodregte boog, welke uit den tophoek van eenennbsp;hoekigen driehoek op de balls valt, altijd buiten den fiompennbsp;zal vallen. Dezelfde omliandigbeden moeten, ten aanzien van denbsp;len van den tophoek, in acht genomen worden.

�. 1051. IV. Aanmerking. Nog moet men, in de volgende fchouwingen, niet uit het oog verliezen: dat de zijden en hoekennbsp;eenen bolvorraigen driehoek altijd kleiner dan 180'� moeten zijn.

�. 1052. In eiken bolvormsgen driehoek, flaan de Sinusfi^ der zijden tot elkander, in dezelfde reden, ah de Sinusfennbsp;tegenoverjiaande hoeken. Dat is:

Betoog. Wanneer, gelijk in Fig. 391, de loodregte boog binnen den driehoek valt; dan geven de bolvormige regthoekige d�'�'nbsp;hoeken, ADC en BDC, (IX. Stell.j d^ vergelijkingen: Sin.CD�^nbsp;Sin. AC X Sin. BAC ~ Sin. BC x Sin. ABC, waaruit dan vol�'-'nbsp;Sin. AC: Sin. BC�Sin. B : Sin. A.

uit

het hoekpunt van den hoek A, op de overftaande zijde BC, vahgt; zal geven Sin. AB ; Sin. AC �Sm. C : Sin. B, enz.

�. 1053. I. Gevolg. Uif de evenredigheid. Sin, AC: Sin. B C-A Sin.B-.Sin.A, volgt (Fill. Steil. U.B.j Sin.AC Sin. BC: Siii.I^^nbsp;� Sin. BC � Sin. B Sin. A: Sin. B � Sin. A; waaruit (zie �nbsp;Steil. Fill. B.') volgt:

Tang.l(AC-\- BC) t T.-ing.i(AC~ LC^�Tatig. I (B J')'

Tang.l(B�A).......

S. io54'

Wanneer, in Fig. 392, de hoeken aan de bafis van verfchilleh''*^ foort zijn, en de loodregte bogen CD of CE buiten den driehoi^*^nbsp;vallen, zal men, aangezien de Sinus van eenen boog en die van zijd fdfnbsp;plement dezelfde waarde hebben , het zij uit de regthoekige drieholt;^nbsp;ken ADC en BCD, het zij uit de regthoekige dnehoeken ACE

M E E T K U N S T-,

''oorJcotnt, altijd pofitief. Wanneer wij dan i{AC-\-BC') eerst klei-dan gelijk, en eindelijk grooter dan 9�� ftellen, zullen, volgens de *��kende regels op de teekeus, Tang,l(^B-\-J) snTang.\(jiC-\-BC')nbsp;gelijk pofitief, te gelijk onbepaald groot, en te gelijk negatief zijn,nbsp;quot;'^sruit dan volgt: dat de [om van twee hoeken van eenen bolvormi-driehoek kleiner, gelijk, of grooter dan 180^ zal zijn, naar datnbsp;foin der overflaande zijden kleiner, gelijk, of grooter dan l8oe is,

XVI. Stelling. Fig. 391,

S. 1055. Wanneer men, uit het hoekpunt van den tophoek ^ van eenen holvormigen driehoek ABC, eenen loodregten boognbsp;op de bafls of op derzelver verlengde laat vallen y dan zul-'er de volgende vergelijkingen plaats hebben:

Tang. A X Sin. AD� Tang. B 'A, Sin. BD . . Cs) 2� Cos. A : Sin. ACD=. Cos. B: Sin. B CD ... (4)nbsp;3� Cos. AC-.Cos. A DzazCos. BC'.Cos. B D . . (5)nbsp;4� Tang. ACy.Cos.ACD=:Tang.BCxCos. BCD (6)nbsp;5� Tang. AD : Tang. ACD = Tang. B C: Tang. BCD (7)nbsp;Betoog van het eerfte. Volgens de X. Steil, is Tamg. CD �:=.nbsp;Tang. A X Sin. AD r= Tang. B x Sin. B D.

Betoog van het tweede. Volgens de XII. Steil, is Cos. A ~ Cos. CD ^ Sin. A CD, en Cos. B � Cos. CD X Sin. BCD; derhalve is Cos. CDnbsp;^ Cos. A: Sin. ACD :zs Cos. B ; Sin. B CD.

Betpog van het derde. Volgens de XI. Steil, is Cos. AC�Cos. AD ^ Cos.CD, en Cos. B C = Cos. B D x Cos. CD; derhalve zal Cos. CDnbsp;^ Cos. AC:Cos.AD=z Cos. BC-.Cos.BD zijn.

Betoog van het vierde. Volgens de XIF. Steil, is Tang. CD � l'adg. AC X Cos. ACD =. Tang. BC X Cos. B CD.

Betoog van het vijfde. Volgens de X. Steil, is Tang. AD � Tang. ACD x Sin. CD, en Tang.B D� Tang. BCD X Sin. CD, ennbsp;'hieruit volgt: Sin. CDz=: Tang. A D : Tang, ACD =� Tang. B D :nbsp;Tang.B CD.

105�; I. Aanmerking. Wanneer, zie 392, de boog CD buiten den driehoek valt; dan zal men zich, met we'�*�nbsp;moeite, kunnen overtuigen; dat de betoogde vergelijkingen, in ditnbsp;val, nog zullen'blijven plaats hebben: dan, men zal, in dezennbsp;der figuur, de goniometrifche lijnen der hoeken en bogen, het z)]�nbsp;naar de eigenlijke waarde dezer hoeken en bogen, het zij naar tJt��nbsp;ftand, welke zij met betrekking tot de ooripronkelijke figuurnbsp;(zie �. 1050.) 'verkrijgen, naar de bekende beginfelen van �. 534-535, pofitief of negatief moeten asnnemen,

�, I057. II. Aanm�hking, Fig: 392. Men zal, bij een wei'�� iradenkens, beviodeu: dat de betoogde vergelijkingen ook geldennbsp;de bogen AE, BE, en da hoeken ACE en BCE, welke, door^^��nbsp;�oodregten boog C�,.in de figuur ontdaan.

XVII. Stellino. Fig. 391.'

�. 1058. IVatineer men, uit den tophoek C van oenen fcheef' hoekigen holvormigen driehoek ABC, eencn �oodregten hooSnbsp;CD op de everflaande zijde AB laat vallen-, dan zullennbsp;betrekking�, welke 'er tusfchen de twee andere zijden en hot'nbsp;ken, en tusfchen de deelen van de bafs en den 'tophoeknbsp;ftaan, door de volgende vergelijkingen worden uitgedrukt :

Tang. � (^AD � B D)�Cof.lA B x Tang. � (^C BC)y^ Tdng.liAC�BC)

Tang. I {ACD� BCD') =-Tang. |C x Tang. i(5

. . (?)

___(lo)

� Sin. {AC BC)

n E u MEETKUNST.

J^etoog. Deze vergelijkingen, welke, naar Neper, deszelfs uitvin-de Neperiaanfche Analogien genoemd worden, kunnen, uit de ''^��gelijkingen van de voorgaande ftel�ng, ligte�jk worden afgeleid.

vergelijking N� (8) wordc^ uit de evenredigheid, Cos.ACi amp;s.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. Cflj. bD, met behulp van de IX. Steil. II. B.,

Cp) volgt uit Cos. A: Sin, A CD zzCos. D�. Sltt. B C D, iudien namelijk de beginfelen van de IX. Steil, II. B,, en FIl en Fill,nbsp;^^eli, 2, op deze evenredigheid toepast.

(lo) vplgt de evenredigheid, Tang. AC: Tang. BC�Cos.BCD; ^^^'ACD, indien men op dezelve de beginfelen van de Fill, Steil.nbsp;-S., en van de Fill en IX. Steil. Fill. B. toepast.

N� ^12^ volgt uit Tang, A: Tang. B � Sin, B D i Sin. AD ^ en uit Fill. Steil. II. B., FIl en XI. Steil. Fill. B.nbsp;�e twee vergelijkingen Nquot; (12) en (13), welke bij elkander ba-''ooren, volgen uit N** (9) en (10). Wanneer men de waarden vannbsp;^��^S.i^ACD � BCD'), in N� (9) en (10) voorkomende, met el-�quot;��f�der ver/^eliikt vindt men - met behulp van het Cey, lil,, SielL

Bang. f (Z? A) X Tang. i (f? � xl)-Sin. l lAC�nC) X Cus. h iAC-Sin. i IaC B C) X Cos. I (/f C B C)

Bang. iQB-\-A) nbsp;nbsp;nbsp;Tang. \(^AC-\-BC)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. i(^AC� BC)

Sin.i(AC�BC)

BEGINSELEN

neer de loodregte bogen (zie Fig. 392,) buiten den driehoek zijn ook deze analogien voor alle gevallen algemeen. Om die redeOfnbsp;behoeft men zich, bij het begin der berekening, niet te bekomfflef^'��nbsp;of de loodregte boog binnen of buiten den driehoek zal vallen;nbsp;ook niet, welke der twee loodregte bogen, bij het tweede geval�nbsp;de berekening zullen te pas komen; want de teekens, welke denbsp;niometrifche lijnen verkrijgen, beflisfen, bij de uitkomst der berek^nbsp;ning, deze omllandigheid.

door welke, wanneer de drie zijden gegeven zijn, het verfchil de deelen van de bafis, en eindelijk de deelen van de bafis zelve S�'nbsp;vonden worden. Want ftellen wij i QAD � BD') � P; dan is;

Tang. i QAB � BC) altijd pofltief. Wanneer dan C 5 C lt;5180* is'; dan zal Tang. � QAD-\-BD') pofitief zijn, en Tang. I (^AD�BD)nbsp;kan dan ook geene andere dan eene pofitieve waarde hebben, Hi^f'nbsp;uit volgt dan: dat, wanneer AC'igt;�BC is, ook ADt^BD zal zij�'nbsp;Maar is .^C 50 180''', dan zal Tang.l(^AD�BD') negati'^^nbsp;zijn: nu kan deze Tangens om geene andere reden negatief zijn, da�gt;nbsp;omdat AD � �Z)gt;i3o�', of, omdat AD � BD negatief is: h�^nbsp;eerde is onmogelijk, omdat AD alsdan grooter dan 180� zou zij�'nbsp;Het verfchil AD � BD moet dan negatief zijn, of BD tgt; AD. Hief'nbsp;uit volgt dus: dat zoo lang de fom van de opjiaande zijdennbsp;dan twee regte hoeken is, het grootfte ftuk van de bafis aannbsp;grootfte der opftaande zijden zal gelegen zijn; doch, dat het teget^'nbsp;deel zal plaats hebben, wanneer de fom der opftaande zijden grooF^nbsp;dan 180� is. Cagnoli (zie Trig. �. 1074, Ed. de i8o8.) verg'Sfnbsp;zich, wanneer hij zegt: ,, Dans tons les cas on trouvera pour Ienbsp;grand segment celui qui est adjacent au plus grand des deux cot�s-Nemen wij nu: dat P pofitief is; dan is (s/e boven,) AD~lti^nbsp;_j-P en B D � I AB � P-' zoo lang dan Plt;,IAB is, blijvennbsp;waarden van AD tn BD pofitief; maar is P'gt;\AB, dan zalnbsp;pofitief BD negatief worden, en de loodregte boog CD, zal bngt;'nbsp;ten den hoek B (welke, omdat AC'gt;BC is, ftomp is,) vallfi�'nbsp;Neemt men P negatief; dan worden de bovenlbande vergelijking�''

DSR MEETKUNST.

\AB-\-P, en de loodregte boog zal 'Men of buiten den driehoek, en wel, buiten den fcherpen hoek /f,nbsp;''allen, naar dat P kleiner of grooter dan � AB is. Men verkeertnbsp;derhalve in een verkeerd begrip, wanneer men gelooft: dat de lood-boog altijd buiten den jiompen hoek valt. Hij valt (ten minde,nbsp;quot;'anneer men de Neperiaanfche Analogien berekent,) buiten dcii fiom-hoek, vanneer de font der opftaande zijden minder dan i8o� is,nbsp;buiten den fcherpen hoek, wanneer die fom grooter dan 180� ts.nbsp;Wanneer AC BC� i3o� en AC niet gelijk 5 Cis; dan is de drie-altijd domphoekig, en omdat ��n boog, welks Tangens onbe-faald groot is., zoowel gelijk aan �90quot; als aan 90� kan zijn;nbsp;quot;'ordt, in dit gevrd , AD = i vt/i? poquot;, en BD=iAB ^o^,nbsp;dan zal, zie, Fig. 392, AF. � BD en BE �AD zijn, hetgeennbsp;'gt;ok nog, door andere beginfelen, lean geftaafd worden.

�. 1060, II. Aanmerking. Dezelfde aanmerking geldt ten aanzien '�an de tweede, derde en vierde analogien, en wat de vijfde en zesdenbsp;'^ezer analogien aanbelangt, het oppervlakkig inzien der vergelijkingennbsp;genoeg, om te ontwaren, dat de teekens van Tang. iQB�Aj ennbsp;^dng.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gelijk ook die van Tang. � QAC � 5 C) en ... .

�. 1061. III. Aanmerking. De betoogde Neperiaanfche Analogien 'iUnnen dienen, om, het zij de deelen van Ue balls, het zij de deelennbsp;'an den tophoek te berekenen, wanneer, of de drie zijden, of denbsp;hoeken, of de opftaande zijden met den tophoek, of de balls,nbsp;de hoeken aan de balls, gegeven zijn. Wanneer nu de deelennbsp;de bafis of van den tophoek zijn bekend geworden, zal men,nbsp;*quot;et behulp van de regthoekige bolvormige driehoeken, ACD en BCD,nbsp;'aii Welke nu altijd twee termen bekend zijn, de onbekende hoekennbsp;zijden van den bolvormigen driehoek kunneb berekenen, zoo alsnbsp;zijnen tijd omftandiger zal verklaard worden.

s. �o6a. Jjg Cofmus van elke zijde van eenen hokormigen ^�tiehoek wordt gevonden, wanneer men de Cojinus van dennbsp;'^verftaanden hoek met het produB van de Sinusfen der tweenbsp;�ndere zijden vermenigvuldigt, en bij dit product het produSinbsp;de Cofnusfen der twee 'andere zijden optelt Dat is:nbsp;^os.BC=zCos.JxSin. ABxSin. dlC Cos.ABxCos.AC (16)

4iS nbsp;nbsp;nbsp;R E G I N S E L E N

Betoog. Men l�te, uit het hoekpunt van den tophoek C, den regten boog CD op de balis vallen; dan is volgens de XFI StelU'^S��nbsp;Cos. AC: Cos. AD = Cos. BC: Cos,BD; of wel, Cos. BCy. Cos.nbsp;z=. Cos. AC X Cos. BD. Nu kan men, in plaats van Cos.BD, fteUs�'nbsp;Cos. {AB � AD) = lt;zie IIT. Steil. VUL B.) Cos. A B X Cos.A^nbsp;�\-Sin.AB X Sin. AD, en dan verandert de laatst voorgaande verg^'nbsp;lijking, door deze fubftitutie, in de volgende:

Men deele de leden dezer vergelijking door Cos:AD, en fchrij''^� voor Sin. AD : Cos.AD, hare waarde, Taag. AD; dan verkrijgt ibs�'nbsp;Cos.BC=:Cos.AC X Cos.AB Cos.AC X Sin.AB X Tang. AD

X Cos. A. Stelt men dan deze waarde van Tang. yfZ) ia de laatfte gelijking; dan verkrijgt men eindelijk:

� �. 1063. 1. Gevolg. Wanneer men, uit de betoogde vergelijki'��' de v;aarde van Cos. A afzondert; dan verkrijgt men:

en dit leert ons: dat men de Cofinus van eiken hoek van eenen F vormigen driehoek verkrijgen zal, wanneer men de Cofinus vannbsp;zijde, tegen over dien hoek flaande, vermindert met het produBnbsp;de Cofinusfen der zijden, welke om dien hoek paan, en dit verfe^'nbsp;door het product der Sinusfen van de zijden, welke om dien hBnbsp;paan, deelt.

�. 1064. II. Gevolg. Fig. 391. Omdat (XIK- Steil.) Cos.A'^ Tang. AD �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� ^ . Gos. AC

� Cos. AC� Cos. AB y Cos. BC Sin. AB y Cos.BCnbsp;Door deze vergelijkingen, zullen de deelen van de bafis gevoD'nbsp;worden, wanneer de drie zijden bekend zijn.

foorten van bolvormige driehoeken. Door de vergelijking, N�(i6), ^^31) wanneer twee zijden met den ingefloten hoek gegeven zijn, denbsp;^^rde zijde berekend worden; door de vergelijking, nv (17), vindtnbsp;iBen d�nen der hoeken, uit de drie bekende zijden; en, door N'' (iS)nbsp;(39), de deelea van de balls, uit de drie gegevene zijden. Denbsp;'eekens van Cos. BC, Cos. A, Tang. AD en Tang, BD, in Nquot; (ig),nbsp;^U), (18) en (19), hangen af van de waarde en van de teekens,nbsp;^velke de goniometrifche lijnen der gegevene Jioek�n en bogen, over-t�nkoinilig de bekende regels voor de teekens, verkiijgen.

�� 3306. H.AA^MERIUNG. Wanneer men in de vergelijUing, (16), (lelt; dan is Cos. A~o, en deze vergelijking verandert in:nbsp;-'is.BC� Cfis.AB X Cos. AC, welke, (zie XI. Steil.) eene reedsnbsp;^ntvezene eigenfchap van den regthoekigen bolvormigen driehoek voordek.

XIX. S T E 3. L I N o. Fig. 391.

�� 1067. Fgt;e Cofinus van eiken hoek van eenen bolvormigen ^��lehoek wordt gevonden, wanneer men de Cofinus van de over-fl^tatide zijde, met het produTt van de Sinusfen der twee an-�Icre hoeken vermenigvuldigt, en dit product met het produTinbsp;d� Cofinusfen der iwee andere hoeken vermindert. Dat is:nbsp;Cos. B = Cos AC X Sin. A x Sin. C� Cos AxCos C (eo)

Setoog. Volgens de fifil. Steil, is Cos.B �. Sin. BCD zzCos.A'.

derhalve Cos. IS X. Sin. ACD ~ Cos. ASin. BCD:::!

^'�^�ACB X Cos. ACD � Cos. A x Cos. ACB x Sin. . tCD. Deelt �3en deze vergelijking door Sin. ACD; dan verkrijgt men:

Cos. B � Cos. A X Sin. C X Cot. ACD � Cos. A X Cos.'C ^laar nn is ^xill. Steil.-) Cot. ACD = Cos. AC x Tang. A = Cos. AC

, d: Cos. Ai derhalve zal men, na behoorlijke fubftiuuie, ver-'^njgen;

Cos. B � Cos. AC X Sin. A x Sin. C� Cos. A x Cos. C.

1060. I. Gevolg. Uit de betoogde vergelijking volgt:

C.S. nn-Cos.B Cos.Aj^os^ nbsp;nbsp;nbsp;_

1 nbsp;nbsp;nbsp;CV�j ^ v* .^/n. nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

is: Men verkrijgt

BEGINS

�. 1069. II. Gevolg. Vermits ,(A7//. ^/^//,) Cos./lC�Cot.AC X Cot. A~ Cot. A CD X Cos. A �. Sin. A is zal men deze waarde va�nbsp;Cos. AC, met die van vergelijking N'� (21) vergelijkende, vinden:

�. 1070. I. Aanmerking. Men zal door N'^ (2c) den derden vinden, wanneer ��ne zijde, met de aanliggende hoeken, gegeven zij��nbsp;door N� (21) ��ne der zijden, wanneer de drie hoeken gegev��nbsp;zijn, en door N� (22) en (23), met dezelfde gegevens, dedeele��nbsp;waarin de hoeken door de loodregte bogen verdeeld worden.

�. 1071. 11. Aanmerking. Big. 390, Men kan de vergelijking� N� (20) uit N� (l�), met behulp van de eigenfehappen van de�nbsp;aspunts driehoek, alleiden. Men heeft namelijk

Cos. BC� Cos. A X Sin. AB % Sin. AC Cos. AB X Cos. AC nu is Cos.BC��Cos.A'; Cos.A��Cos.B'C'; Sin. AB � Sin.C^�nbsp;Sin. AC= Sin. B'; Cos. ABz=� Cos. C' en Cos. ACz=� Cos.nbsp;Men verkrijgt derhalve:

� Cos. A' z:=. � Cos. B'C' X Sin. C' X Sin. B' Cos. C' X Cos. 3^ of, na omkeering van al de teekens.

�. 1072. III. Aanmerking. Wanneer men in N� (21) AC~9�� Helt; dan wordt Cos.B � � Cos.A x Cos.B, hetweik met N� O')nbsp;van �. 1044. over�'�nftemt.

�. 1073. Wanneer men ��ne zijde AC met de twee Icgerie hoeken A en C, als Lekend, aanneemf, dan verkrij�^nbsp;men de Tangens van ��ne der onbekende zijden, wanneernbsp;de Sinus van de bekende zijde deelt door de fom van denbsp;ducten, die ontflaan, wanneer men de Cotangens vannbsp;hoek over de onbekende zijde, met de Sinus van den bekendd^^

iJsTooc. Volgens de XFI. Steil, is Tang. BC X Cos. BCD ~ Tang. AC% Cos. BCD; dat is, Tatig. BC X Cos.QJCB � AC Dj �

^'^�ig.AC X Cos. ACD; of, (zie UB Stelt. VUL B.j voor.....

^^^�{ACB~ ACDj hare waarde fdirijvende:

^ang.BC X iCes.C X Cos.ACD Sin.CX Sin.ACDj � Tattg.AC Cos. ACD.

lieeit men deze vergelijking door Cos. A CD; dan verkrijgt men:

Tang. BC X {Cos. CP- Sin. C X Tang. ACDj =zTang. AC Nn is (Z///. Stel/.j Tang. ACD = i: (Cos. AC x Tang. Aj: (lelt mennbsp;'ian deze waarde in de voorgaande vergelijking; dan verkrijgt men:

Tang. BC X l Cos.C ---7,1 2= Tang. AC

I nbsp;nbsp;nbsp;Cos. AC X lang. A 1

, na den tweeden faftor van het eerfte lid dezer vergelijking niet

Cos. AC X Tang. A vermenigvuldigd en gedeeld te hebben:

n. T. r. . { Sin.c-k-Cos.C X Tang.A X Cos. AC }_^

Tang. BCX {---r-r�~--( ~ Tang. AC.

* nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. AC X lang. A �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

�^eslt men deze vergelijking door den tweeden faflor; dan verkrijgt

men:

� Sin. C Cos. C X Tang. A X Cos. AC Schrijft men nu, in plaats van Tang. AC X Cos.AC de waarde Sin. AC,nbsp;en vermenigvuldigt men den teller en den noemer der breuk metnbsp;Cot. A^ dan zal men, omdat Tang. A X Cot. A�\ is, vinden:

Sin. AC nbsp;nbsp;nbsp;_

Tang. BC= c x CouATc^C X Cos. AC Laat men uit u eenen loodregten boog op A�C vallen; dan zal men,nbsp;op dezelfde wijze, de tweede vergelijking betoogen.

�� i�74- I. Gevolg. Uit de betoogde vergelijking volgt terftond:

Cot. nr � Sin. C X Cot. ^ nbsp;nbsp;nbsp;C X Cot. AC .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(2�)

�. 1075, II. Gevolg. Fig, 391, Neemt men AB, A t� B, sl� bekend aan; dan zal:

Tang. AC� ------

amp;in. A X Cot. B C�s. A x Cos. AB

zijn , en, volgens de XIF. Steil, is Tang. AC � Tang, AD : gevolgelijk is:

Tang. AD __Sin. A B____

Cos. A Sin. A X Cot, B Cos. A x Cos. A B waaruit men, zonder veel moeite, vindt:

rj. , ^__ Sin. A B_.

�quot; Cos. AB Tang. A X Cot. B ' nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

op dezelfde wijze zal men vinden:

Sin. AB

Sin. A B

�. 1075. I. Aanmerkiag. Met behulp der vergelijkingen, welke in deze ftelling betoogd zijn, zal men, w'anneer van eenen bolvorm!'nbsp;gen driehoek ��ne zijde met de aangelegene hoeken gegeven zijti)nbsp;elk der twee onbekende zijden kunnen berekenen; doch, men zal we-derom in de berekening oplettend moeten nagaan, welk teeken denbsp;Tangenten der onbekende zijden verkrijgen; w.ant deze zijden zulle��nbsp;kleiner of grooter dan een quadrant zijn, naar dat de Tangenten, i�nbsp;den loop der berekening, het pofltieve of negatieve teeken v�rkrijgeii)nbsp;en deze teekens hangen af van de pofitieve of negatieve waarden,nbsp;�welke aan de termen van de noemers der breuken, de waarde dczAnbsp;Tangenten uitdrukkende, ingevolge hunne waarde, moeten gegevennbsp;worden.

�. 1077. II. Aanmerking. Stellen tvij in de vergelijking (24) den, noemer van de breuk gelijk nul; dan is:

Sin. C X Cot. A � � Cos. C X Cos. AC maar dan is Tang. 5 C onbepaald groot en 2? Cm: 90'�; de driehoeknbsp;is dan regtzijdig. Deeleii wij nu de vergelijking door Sin. C; dan,nbsp;verkrijgt men: Cot.A � � Cot.Cy. Cos.AC, vergelijking, welke vatt;

^7), zie �. 1044. niet onderfcheiden is.

OER MEETKUNST.

�� 1078. TVanneer men eenen hoek B, met de twee aanligbende zijden, yJB e.n BC, van eenen bolvormigen driehoek �^BC als bekend aanneemt; dan zal men de Tangens vannbsp;^inen der onbekende hoeken verkrijgen', wanneer men de Sinusnbsp;den bekenden hoek deelt door het verfchil, dat men ver-^��bgt, wanneer men van het product van de Sinus der bekende zijde, welke dan den onbekenden hoek ligt, vermenig-^uJdigd met de Cotangens der andere bekende zijde, aftrektnbsp;het produ�t van de Cojinus der bekende zijde, aan den onbekenden hoek, met de Cojinus van den bekenden hoek. Dat is:

Betoog. Volgens de XFI, Steil, is Tang. A X Sin. AD �=zTang, B ^Sin.BD; dnt is Tang. A X Sin.QAB�BD')z=.Tang.B X Siii.BD;nbsp;is (zie ///. Steil. Fill. B.j

Tang. A x QSin.AB X Cos.BD � Cos.AB x Sin,BIT) �Tang. B X Sin. BDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

Tang, A X (^Sin. AB X Cot. BD � Cos. ABj sz: Tang, B is (zie XIF. Steil.') Tang. B D� Cos. B X Tang.BC, of Cot.BDnbsp;'Cos.B X Tang.BC; men ftelle deze waarde van Cot.BD in denbsp;Voorgaande vergelijking; dan verandert zij in:

En vermenigvuldigt men den teller en den noemer dezer breuk met Cot.BC; (Jan verkrijgt men;

waaruit, (waanneer men door den tweeden fadtor van het voorde lid der vergeiijkii-ignbsp;nbsp;nbsp;nbsp;omniddeliik volgt:

� Sin. AB X Cot. BC�Cos.ABx Cos, B De tweede vergelijking wordt, indien rnen uit A eenen loodregteanbsp;boog op BC laat vallen, op dezelfde wijze, betoogd.

Tang. BCX Cos. AC~ Cos,C �� io8i. I. Aainmerking. Men zal, door de betoogde vergelijkingen (329 en (33;� de onbekende hoeken van ,eenen bob/ormigeanbsp;driehoek vinden, wanneer twee zijden met den ingefloteu hoek gegeven zijn: dan, men zal, in de dadelijke berekening, op de teekens be-hooren acht te geven, om het \wire teeken van de Tangenten der hoeken te bepalen, aan welke het kenbaar- zal zijn, of de hoeken fcherpnbsp;of (lomp zijn.

�. 1082. II. Aanmerking. Men zal de vergelijkingen (32) en (33) uit de vergelijkingen (24) en (=5) gt; niet behulp van den as-punts driehoek, vinden kunnen, mits men, in deze afleiding, de teekens behoorlijk verandere. Steenstra heeft, (zie Klootfche Drieli.nbsp;Bladz. 155O door zulks niet in acht te neemen, de teekens van dennbsp;tweeden term van den noemer der breuk, die de waarde van de Tangens van eene zijde uitdrukt, verkeerd genomen.

�. 1083. III. Aanmerking. Stellen wij, in N� (32), de hoek A � 90� ; dan moet Sin. AB X Cot. BC � Cos. A B x Cos. B~onbsp;zijn, en deelt men deze vergelijking door Sin.AB; dan zal mennbsp;Cot.BCzzCos.BxCot.AB, of, dat hetzelfde is, Ta^. ABzzCos.B..nbsp;Tang.BC, verkrijgen, hetwelk met het bewezeiie in de XIV. Stellingnbsp;over��nftemt.

Toepasjitig ckr gelegde gronden op de oplosjing der Bolvormige Scheefhoekige Driehoeken.

�� 1084. De �igenfchappen Jer bolvormige fcheefhoekige 'driehoeken, wellle van de XV tot de XXInbsp;nbsp;nbsp;nbsp;betoogd

zijn genoegzaam, niet fleclits, om alle de gevallen der dclieef hoekige bol vormige driehoeken optelosfen, maar ooknbsp;*'le meer of min gewigtige vraagftukken, tot deze foort vannbsp;driehoeken betrekking hebbende. Mm kan de oplosfing dernbsp;dc^eefboekige driehoeken (ziamp;I.Bep. �.98�.) tot vier hoofd-^fVallen brengen.

1'' Wanneer ��ne zijde en twee hoeken Wann er ��n hoek en twee zijdennbsp;3� Wanneer de drie hoekennbsp;4� Wanneer de drie zijden gegeven zijn.

De twee eerfte hoofdgevallen houden (en zulks, omdat de lom van de hoeken van eenen bolvormigen driehoek veran-^^rlijk is, en tusfchen 2. R en 6 R. valt,) twee andere in;nbsp;2oodat alle eenvoudige gevallen (bijzondere vraagltukken uit-Sezonderd,) tot ��ne dezer zes behooren:

3'r Twee zijden met den ingeflotenen hoek 4� E�iie zijde met de twee aanliggende hoekennbsp;5� Twee zijden met ��nen hoek over ��ne dezer zijdennbsp;6v Twee hoeken met ��ne zijde over ��nen dezer hoeken,nbsp;zullen, in de oplosfing van zoo vele onderfcheidenenbsp;^raagftukken, als hier gevallen opgeteld zijn, uit de reedsnbsp;etoogde beginfelen, de regels leeren afleiden, waardoor men,nbsp;fik geval, de onbekende hoeken en zijden vinden kan.

�� 10S5. VI. Vraagstuk. Voor het !� Geval. De drie dijden van eenen bolvormigen driehoek gegeven zijnde., de for-�^ulcn of voorfchriften ter berekening van deszelfs hoeken tenbsp;binden?

�. Oplossing. Fig. 353, wij zullen, in de oplosfing van dit en � volgende vrargdukken, de hoeken van eenen bolvormigen driehoeknbsp;door da letters b en C, en de overftaancle zijden door a,nbsp;Dd 5

BEGINSELEN

b en c uitdrukken; en, daar het noodig za! zijn, zuilen wij ioodregts bogen, uit da hoekpunten der hoeken op de overltaande zijden laW�nbsp;vallen, en onderftellen: dat deze loodregte bogen (zie UI. Aanmerk^nbsp;Vil- Bep,') binnen den driehoek vallen, en de deelen der zijden e*�nbsp;hoeken, gelijk in de figuur aangewezen is, uitdrukken AD door/�nbsp;BD door q; hoek ACD door P, en hoek BCD, door enz. Ndnbsp;is XFH. Steil, (de loodregte boog CD gebruikende)

Tang.l(^p�q')=Tang.i(^a-\-b') X Tang.iQ�0) X Cot.lc Stellen wij dan i Qp � q'),=zCpi dan wordt, door de berekening de'nbsp;zer vergelijking, (p bekend, en wij hebben:

De regthoekige bolvormige driehoeken ADC en �DC geven, (zi^ Vergel. (25) of (28) van de Tafel, Bladz. 403.)

Cos. AztzTang.p X Cot. h � Tang. (i e 0) X Gr, b Cos. B ~ Tang. q x Cot. a � Tang. Qic � X Cot. anbsp;Men vindt, door deze vergelijkingen, de Cofinusfen van twee defnbsp;onbekende hoeken; dan, aangezien de loodregte bogen, welke, uit denbsp;hoeken A en B, op de overftaande zijden vallen, tot dergelijke vet'nbsp;gelijkingen brengen, en men door elk fielfel van vergelijkingen denbsp;Cofinusfen van twee onderfcheidene hoeken verkrijgt, kan men de dri^nbsp;volgende ftelfels van vergelijkingen (lellen:

1quot; Ta�g. (p � Tang. i (lt;* ^) X Tang. l(h � 0) X Coi, � c Cos. A =. Tang. (i e (?) X Cot. bnbsp;Cos. B�Tang. (_\c � (p')XCot.anbsp;2� Tang. (p' � Tang, i (J) c) X Tang. i (c�b) X Cat, i anbsp;Cos. B ~ Tang. Qi a P'') X Cdt. cnbsp;Cos. C = Tang. Cia � (p')X Cot. bnbsp;3� Tang. (p'gt; � Tang. i (e �) X Tang. iQa~c')X Cot. k hnbsp;Cos. C = Tang. (f h (p''t) y Cot. anbsp;Cos. A� Tang. {fb~ tpquot;quot;) X Cot. cnbsp;De wijze, waarop men eik dezer drie (lelfels gebruiken moet,nbsp;reeds, in de Aanmerkingen op de XVn.^Stell. Bladz. 4155 cnnbsp;gezegd. Wij voegen �er nog bij: dat, indien 'b niet 'lgt; a is, b~^^nbsp;negatief wordt, in welk geval ook Tang. � (^ � 0) negatief zal z')�'nbsp;Om nu den Leerling in de berekening dezer vergelijkingen tenbsp;en tevens, door eene dadelijke proef, de waarheid van hetgeen, ionbsp;Aanmerkingen op de XVII. Steil, gezegd is, te bevestigen, zalnbsp;nuttig zijn, dat bij het volgend voorbeeld berekene.

�pjlaandc ribben ccner driehoekige piramide, wee aan hm, gcno-^Kt!, met elkander maken, gegeven zijn; te vleten, hoek ATgt;B~ hoek ABC�\p,�2A en hoek B2,7^; vraagtnbsp;^len: hoe groot de jlandhoeken der opflaande zijvlakken zijn?

BEREKf.Ni'�G. Men plaatfe, in het toppunt D der piramide, eenen bol, quot;�clks oppervlak, door de opftaande zijvlakken, volgens de zijden vannbsp;'�lt;^1 bolvormfeen driehoek ABC, gefneden wordt; dan zijn eze zijdennbsp;maat der hoeken A D B, A D C en B D C, en vraag zal opselostnbsp;wanneer men de hoeken van den bolvormigen driehoek ABC be-fskent. Deze bolvormige driehoek'wordt, in Fig. 395 j over��nkom ignbsp;hitkomst der berekening, voorgefteld. Berekent men nu de hoekennbsp;haar de tlraks gevondene vergelijkingen; dan zal men vinden.

l�. lt;ji �_a3d3i'23quot;,a; i r '? � �.5� I5'23quot;,d; �r �T~4i�47a3 5-

zi = 79'�49'i4quot;i071 ^ = Ha''33�4oquot; nbsp;nbsp;nbsp;�

a'�. 4gt;�� 83��43'3aquot;,4j |� �J�quot;�149�3a'2quot;,41 i'*�

5 = 142� S3'40quot;; Cr: 51� 36'laquot;

3�. nbsp;nbsp;nbsp;41quot; �47'a5quot;,8; ^ 5lt;y''H 145� - 25 ,8 ;

^ = 79�49'14quot;,07; Cr:51�36' 1?quot;.

�� 1087. E. Oplossing. Volgens het /. Gev. WIH. Stel!, is:

Co'. a � Ctw. b X Cos. c ^ ~ sTnTh X Sin. c

quot;^fekt men elk litl dezer vergelijking vnn de ��nheid af; dan zal men. Omdat (U. Gev. UI. Steil, i-^ui. B.j i �C�j; A =:� 2 Smquot;^, i A is,nbsp;�Verkrijgen:

� nbsp;nbsp;nbsp;, Sin. b X Cos. c Cos. b x Cos. c � Cos. a

2 Sin'^. lA�------

iin. b X lt;3tn. c

nu is (///. Steil. �III. B.) Cos.b X Cos. c Sin.b X Sin.c =

Sin. a X Sin. c

, Sin. (s � a) x Sin. (s � F)

Sin. a X Sin. h

zijn; zijnde altijd s J lt;? � 5 i

1088. III. Opi.ossikg. Telt men bij elk lid der vergelijk^��

Cos. a � Cos. h X Cos. ^ nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tf..

--;--de e�nheid; dan zal men, met o'-

Sin. h X Sin.c

hulp van het V. Gev. UI. Steil. VIII. B., de III. Steil, en XI. S0' VIII, B. vinden:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

, Sin. s X Sin. (s'� aquot;)

Stn.b X Sin.i

Sin. Cj�a') � * nbsp;nbsp;nbsp;' Sin. (j�V)

%. 1090. V. Oplossing. 'Vernienigvuldigt men Sin. J en Cos. i A, in de tweede en derde oplosfing gevonden gt;nbsp;dan zal men, omdat Sin. I qy. Cos. lq � i Sin. q is, vinden:

l/[Sin. s X Sin. (j~a) x Sin. fs�/?) X Sjn. (5�r)]

i Sin. b X Sin. c

�. 1091. Om de formulen of vergelijkingen, in deze drie laatde oP' losfmgen gevonden, (en weike met die van de VUL Steil, ennbsp;IX. B. zooveel over��nkomst hebben,) op de berekening in getaP*^�nbsp;toetepasfen, kan men, behalve het voorgaande voorbeeld �. loSd�nbsp;daartoe het volgende voorbeeld nemen.

�. 1092. II. Voorbeeld. Fig. 396. Men heeft in eenig pmt � � den hoek ABC, onder welken twee punten A en C, Qitelke rnet ^ ^ ^

flandpunt C niet in hetzelfde horizontale of waterpas vlak gtM ' !

zijn 1)

429

gezien. Worden, -.margenom�n 73� 17^36''', 5, benevens de hoeden, welke de rigtlijnsn AP en CP met de loodUya PT maken, na-'nelijk TPA�'j^'^ II''37quot; cn Ti'C= 83� 5?'17quot;, 5. Men begeert ^en Waargenomen hoek op den gezigteinder of het horizontale vlaknbsp;^'�'ertebrengen ?

'^Pi-ossiNr,. In de Gcodolie, worden de middelpunten der forens, Gc-l�Ouvven of Signalen tot hetzelfde, horizontale vlak, dat (offehoon onze ^erde eene platronde gedaante heeft, voor zulk eene kleine uitgeftrcht-waarin drie voorwerpen, die in elkanders gezigt gelegen zijn, zichnbsp;'^�^vinden,) voor een gedeelte van eenen bol kan aangezien worden, innbsp;quot;'elks middelpunt de loodlijnen (dat is de rlgtingen der draden waaraannbsp;gewigten opgehangen zijn,) yan de punten P, A cn C, zich bevinden.nbsp;'Vannecr men zich dan door het punt P een vlak BPD verbeeldt, opnbsp;ketwelk de loodlijn PT regthoekig ftaat; dan zal dit vlak het horizontale vlak van het punt P zijn, hetwelk het oppervlak v�an den Aardbolnbsp;hl het punt P aanraakt; en, wanneer men nu , door de loodlijn PT, ennbsp;punten A en C, twee vlakken laat gaan; dan gaan deze vlakken doornbsp;loodlyncn der punten A en P, en fnijden het horizontale vlak, vol-Seiis de lynen PP cn PD, welke als de projedlien der gezigtslijnen Pnbsp;quot;1 C p kunnen aangezien worden, en den Handhoek BPD der verticalenbsp;quot; akken TPA cn TP C (dat is den bolvormigeri hoek van den holvor-*higeii driehoek, welke door de voeten der loodlijnen van P, A en C,nbsp;'hp het oppervlak der Aarde gemaakt worden,) bepalen. Deze hoek, uitnbsp;tie gegevene waarnemingen, te bepalen, is hetgeen men noemt, den waar-U^oomen hoek tot den horizon oyertehrengen.

Verbeelden wij ons nu, dat bet middelpunt van eenen bol in het ftandpimc ^ geplaatst worde, dan zullen de vlakken APC, APT, CPT en DPB,nbsp;*1^1 oppervlak van dien bol, volgens de bogen FII, EF, EU en IG,nbsp;^hijdcn, cn nu ziet men duidelijk: dat de vraag zal opgclost zijn, indiennbsp;den hoek E van den bolvormigen driehoek EFIl, waarvan men denbsp;zijden kent, berekent; want dien hoek is klaarblijkelijk gelijk aannbsp;hoek DPB.

Stellen wij nu den waargenomen hoek APC.~A; de hoeken TPA *h TPc, jjg jijgjj gewonelijk de afllanden van de punten A en C totnbsp;toppunt noemt, gelijk D en d, s~iA-i�!iD-}-~di dan zal

5. 1093. Ui. Voorbef.ld. Fig, 397. Ik bevond, op het gesvezene

f � �W voormiddags, en op een oogenblik, dat de Zon eene uidelijke of negatieve afwijking van 6� Ij' 10quot;, had, de hoogte

BEGINSELEN

Men vraagt: hoe veel tijds voor den middag deze waarneming S'*' fchiedde, in welken verticaal de Zon zich hevond, en hoe groot denbsp;zoogenaamde parallnclifche hoek, of de hoek, welke de verticaal nidnbsp;den afwijkings cirkel maakt, op het oogenhlik der waarneming,nbsp;was ?

llEREKEmya. Zij ZIJN de oostelijke helft van den gezigteindefgt; ZTPN de bovcnfte helft van den middags-cirkel, T het Toppunt, Pnbsp;Koord-pool, N het Noorden cn Z het Zuiden. Stel de Zon in S. LaoCtnbsp;door y/, het middelpunt van den Hemelbol, het toppunt T, en het niid'nbsp;delpunt S van de Zon, den top-cirkcl TS/I gaan; dan is S �� de hoogt�nbsp;= 18� 37' 43quot; en ST~ eompl. hoogte � 71� ea' 17�'; men late door lt;1�nbsp;Noordpool, het middelpunt der Zon en het middelpunt van den bol dertnbsp;afvvijkings-cirkel P S gaan; dan is (omdat de afwijking zuidelijk is,)

: 37''Ss'10quot;, 5- De zijden van den bolvormigen driehoek TPS zijn al-zoo bekend. Men zal dan den uurhoek P; de Handhoek T van den verticaal 2'SN en den par.anadtifchen hoek S, onder anderen, door de vef' gelijkingen van de II, III en IV Oplosfingen vinden, als volgt:

Uurhoek P zz 48� iTsaquot;, 02; ia tijd nbsp;nbsp;nbsp;is'5 , of 8quot; 46'32quot;,$ Vi�'

jlzimtitk. T of iV/fquot; 120quot; 22'siquot;,7lt;S , Parall. hoek ~ 28''59'35quot;, 33.

�. 1094. IV. Voorbeeld. Onderjlellende, dat de Aarde een volquot; maakte bol zij; dan vraagt men, hoeveel twee plaatfen, welkenbsp;Duitfche mijlen van elkander afgelegen zijn, in lengte verfchillen jnbsp;wanneer de eene plaats op 13'^ 7' 2�'' Noorder breedte, en de anderenbsp;op 7*^ i5''3o'''' Zitider breedte gelegen is? (J)e duitfche mijlen teget^nbsp;15 in ��nen graad van den groot en cirkel van den Aardbol gerC'nbsp;kend zijnde j Aiitw. 61quot; 13'�47'�^, 4(5.

�. 1095. VI. Oplossing. Nemen wij nog eens de vergelijking Cos. A rr (Cos. a � Cos. b x Cos. c) : Sin. b X Sin. c, en Hellen wi)nbsp;Cos. b X Cos. c zz. Cos. /j. , (hetgeen altijd beftaanbaar is ,) dan hebbennbsp;w'ij (r/. Steil. Fill B.j

Zullende het teeken van p van de teekeiis van Cos. b en Cos, c af' hangen. Indien Cos. p. negatief is, is

�. nbsp;nbsp;nbsp;1096.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;VII.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Oplossing.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Men kannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vergelijking Cos.A^

(^Cos. nbsp;nbsp;nbsp;a �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. b Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. cj : Sin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b x Sin. c,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ondernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dezennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vormnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Hellen:

Sin. a nbsp;nbsp;nbsp;X r ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^quot;1

Sin.hx Sin.c nbsp;nbsp;nbsp;[_Sin,anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J

jllen neme nu Cos, b x Cos. c : Sin, a zz Sin, %; Cw. =: Tang. %� heeft men: (zie III. btdl. VUL B.j

Cot.

h K 11 M E E T K U N S T. nbsp;nbsp;nbsp;431

^ nbsp;nbsp;nbsp;Cos. b X CV. c �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. {a x'�

�. 1097, Aan.merking. Wij gaan andere oplosfingen, welke uit de vergelijking Cos. A = {Cos. a � Cos. b X Cos. o') : Sin. b x Sin. c (uitnbsp;Vtelke alle oplosfingen behalve de eerde afgeleid zijn,) gehaald kunnen worden, en niets anders dan transformatien van die vergelijkingnbsp;zijn, met ffilzwijgen voorbij, en merken aan: dat de tweede en derdenbsp;oplosfingen liet meest in gebruik zijn. Ten aanzien nu van dezenbsp;tweede en de derde oplosfingen, zal het beter zijn de eerfte, dienbsp;�iw. f ^ geeft, te gebruiken, indien de hoek A' zeer fcherp is� en

derde, die Cos. i A geeft, indien hoek A zeer (lomp is. � Voor het overige zal men wel doen, elke der gegevene oplosfingen op denbsp;berekening van he,t eerfte voorbeeld, �. 10H6, toetepasfen.

�. 1068. Vn. Vraagstuk. Voor het II. Geval. Al de hoeken van eenen bohormigen driehoek gegeven zijnde^nbsp;de formulen of vergelijkingen te bepalen, waardoor zijne zij-'^�n kunnen berekend worden?

!� Oi'LossiNG. Fig. 393. Wanneer men, uit het hoekpunt van den boek C, eenen loodregten boog CD op de overftaande zijde AB Iaatnbsp;vallen; dan zal (zie (9) Fergel. XVII. Steil.')

Tang. \ (�!�Qj)�Tang. i C X Tang. � {B -^-A) X Tang. i {B�A) *ijn: (lellen, wij dan i{P�^)::::T; dan zal, omdat f (A-l-) � �Cnbsp;la; jc-l-T en QpziC�T zijn. Nu zijn, in de regthoeldgenbsp;bolvormige driehoeken, ACD en BCD, (zie Fergel, (24) van denbsp;'MA, Bladz. 403.)

Men gevoelt nu ligtelijk: dat men, (aangezien hetzelfde van de lood-regte bogen en BF kan gezegd worden,) de drie volgende ftel-es van vergelijkingen zal hebben:

2�. Tang. Tang. \ A X Tang. � (C 5) X Tang. I (C� Squot;) Cos.c=Cot.BX Cot.Ci^ '�')�, Cos.lgt;=Cot.CX Ca.QA�'^O

30. Tang. Tang. i B x Tang. iQA C) . Tang. i i^A� C) Cos.a=.Cot.CXCot.(^lBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.c=Cot.A KCot.{iB

waardoor men de Cofinusfen van elk der zijden, op twee onderfchei' deiie wijzen, vinden zal.

�. lopp. Voorbeeld. Fig. 394. De fiandhoeken van de zijvlakken van eenen drievlakkigen hoek gegeven zijnde; te weten, hoek y/rri42�34', hoekB � ygp'^o', en hoek C � ^1� de hoeken ttnbsp;vinden, welke de ribben AD, BD en CD, aan het hoekpunt maken ?nbsp;Men vindt: hoek i?Z)C�152� 31'51quot;, lioek^o/Z)C:=: i3iquot;4o'2o'''',inbsp;en hoek ADB~ 36� 29'34'', 8.

�. II00. II. Oplossing. Volgens het I.Gev. der XFX. Stelling ^ Cos. A Cos. B X Cos. C

�� 1103. V. Oplossing. Wanneer men de waarden van Sin, ia Cos, i a (zie II en III Oplosfing') met elkander vermenigvuldigt;nbsp;dan verkrijgt men: (zie IF. Gev. III. Steil. Fill. B.')

Sin. a = nbsp;nbsp;nbsp;X Cos.QS-A^ x Cos.(S�BJ_x Cos.(S~C'j]

i Sin. B X -Sin. C

�. 1104. Aanmerking. In de tweede, vierde en vijfde Oplosfm-gen, zijn de grootheden, onder het wortelteeken, met het negatieve teelten aangedaan: dan, vermits d�gt;po� is, wordt Cos. d'negatief, ennbsp;verandert in . Offchoon nu fommige der hoeken, S�A, S�B.nbsp;�C negatief kunnen zijn, blijven nogtans hunne Coftni'sj'en pof tief

�� 1105. Leering. Vermits, in de waarde van Sin. , a, (�/. 0/gt;/p5/.gt; Zal de driehoek mogelijk zijn ,.Cos. (d'�Aj pofitief moet zijn.nbsp;Volgt hieruit: dat, in eiken hoh�ormigen driehoek, de halve f om -/�-hoeken min eiken hoek minder dan ��n regte koek moet zijn.

�. 1106, Gevolg. Men zal, uit de waarden, welke in �, 1090 er� �. 1103, voor de Sinusfen der hoeken en zijden gevonden zijn, iig~nbsp;tvlijk kunnen opmaken : dat men, wanneer M Sin. a : Sin. A ztznbsp;^'^�bxSin.B � Sin.ciSin.C gefteld wordt, hebben zal:

_ Sin. s X Siii.f s � aj X (s � bj X Sin.Qs � c)

Cos. S X Cos. (O��Aj X Cos. (A�B) X Cos. QS�C)

�� 1107. VI. Oplossing. Wanneer men, in de vergelijking Cos.a

= nbsp;nbsp;nbsp;het produft Cos. B X Cos. C � Cos. M

Sm. B X Stn. C

dan vindt men (JFI. Steil. FIII.B.j het ilelfel der vergelijkingen M=Cos. S X Cos. C en Cos. a=

Mn. IS y. �i.. C.

�� H08. VII, Oplossing, Stelt men de vergelijking Cos.azz (Cos. A -j- Cos. B X Cos. C) : Sin. B X Sin. C onder den vorm

Cos.a� -�Jif-A___ __

Sin. A

BEGINSELEN

�. nop. Aanmerking. De formulen, welke de tweede en derde Oplo�fingen gegeven hebben, zijn het meest in gebruik. Men zal denbsp;onbekende zijde door de Sinus of de Coflnns van deszelfs helft zoeken , naar dat deze zijile fcherp of ftomp is: doch alle formulen geven eene genoegzame naauvvkeurigheid.

�. IIlo. Vlfl. Vraagstuk voor het III. Geval. Fan eanen holvormigen driehoek, twee zijden met den ingefloten hoeknbsp;gegeven zijnde., de formulen te vinden, waqrdoor de onbekende hoeken en de onbekende zijde kunnen berekend worden?

Wij zullen eerst de onbekende hoeken en daarna de onbekende zijde leeren vinden,

�. IIII. A. Wanneer men de onbekende hoeken rdleenlijk begeert te kennen; dan zal men zich van ��ne der volgende oplosfingen kunnen bedienen.

1112. I. Oplossing. Fig, 393. Laten a en b de bekende zijden en C de bekende hoek zijn. Men late, uit het hoekpunt van den bekenden hoek, de loodregte boog CO, op de overftaande onbekende zijde c, vallen, welke dien hoek in de hoeken F en !Zvet-dcelt; dan is (XVIL Steil. Vergel. (10))

wanneer het halve verfchil van de deelen van den tophoek C door deze vergelijking gevonden is; dan zal

igt;=jC i(/gt; �g.) en 0=1 C-K^-�) zijn, en men zal (zie Fergel. (3) en (6) der Tafel, Bladz. 403.)nbsp;hebben:

Cot. A ~ Cos. b X Tang. F en Cot, B � Cos. a x Tang. � hlen kan dit zamenlld van vergelijl�ngcn beknopter aldus voor-Hellen.

Cot. ArtzCos.b X Tang. ( i C %) i Cot. B �Cos.a x Tang. (^ C�%) Deze vereeiijRingen zijn ontworpen, in de onderftelHng, dat bit^ dnbsp;is: in het tegengeftelde geval, worden b � a en Sin, (b � a') neg*'nbsp;tief. Voorts zal quot;g, pofitief of negatief zijn, naar dat de teekens va�nbsp;Sin. {b � a') en Sin. (b -j- aj gelijk of ongelijk zijn.

�� 1113. II. Oplossing. Wanneer men de vergelijkingen (12) en C*3) van de XFIL Stelling raadpleegt; dan zal men zien: dat, wanneernbsp;inen ftelt:

7-, nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sifi.lCb � d)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__r f I r^-^Cos.l(b � d)

Tang./ji�Cot.iCx nbsp;nbsp;nbsp;� Tang.V=Cot.iCX

^ Sm. nbsp;nbsp;nbsp;i-os. i Qgt; d)

A�v � //, en B �

zijn. Wanneer, in deze vergelijkingen, nbsp;nbsp;nbsp;is; dan wordt p,

Negatief; maar v blijft altijd pofitief, het zij b'gt; of is.

�. II14. III. Oplossing. Men heeft, in de gevolgen op de XY7. Stelling^ voor de onbekende hoeken A tw B, gevonden:

Cot. A ~ Cot. a X b : Sin, C � Cos. b x Cot. C . . (p) Cot, B Cot, b X Sin. a : Sin. C � Cos. a X Cot. Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. .

Men kan de eerde dezer vergelijkingen, namelijk (p) onder den Vorm

^_Cot, a X Sin. b � Cos. h x Cos. C

Sin. C

iiellen, en, wanneer men dan den teller en den noemer van het laatje lid met Tang. a vermenigvuldigt; dan zal men, aangezien Tang. a X Cot.a � t is, verkrijgen:

Cot. A~ ��- X [Jiin.b � Tang. a X Cos. b x Cos. C]

436 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

� nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tang. C X Sin. A

zal zijn, zullende gevolgelijk, door deze vergelijkingen, de hoeken A en B pfzonderliik gevonden Worden. De teekens van x en A zullennbsp;van de teekens van Cos. C, Tang. a en Tang. b afhangen.

�. 1115, B. Wanneer men de onbekende zijde afzonderlijk begeert te vinden, zal men van de volgende oplosfingeu gebruik kunnennbsp;maken.

�. II16. 1. Oplossing. Fig. 393. Volgens de XFIII. Steil, is: Cos. c zz. Cos. C X Sin. a X Sin. b Cos. a x Cos. bnbsp;Men kan deze vergelijking aldus voorflellen,

Cos. c � Cos. � X ' Cos. C X Tang. a X Sin. b Cos. b') fielt men dan Cos. C X Tang. a =: Tang. k � Sin. x : Cos. x; dan zalnbsp;deze vergelijking veranderen in

en men zal, den tweeden faftor met Cos.x vermenigvuldigende, e� den eerfien door Cos.x deelende, verkrijgen:

Men heeft dan, om de derde zijde c te vinden, het ftelfel van �� twee volgende vergelijkingen;

� nbsp;nbsp;nbsp;_n n . T nbsp;nbsp;nbsp;�onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. a X Cos.Ch � -x)

omtrent welke men moet opmerken : dat het teelten van co van de teekens van Cos. C en Tang. a afhangt, en dat Cos. (� � z) altijd pigt;'nbsp;fitiefis.

�. 1117. II. Oplossing. Men zal vinden: dat de onbekende zijde ook door het fteifel der volgende vergelijkingen kan berekend worden.

�. II18. III. Oplossing. Men kan de vergelijking Cos. czz Cos.C X Sin. a x Sin. b Cos. a X Cos. h, door Sin. o X Sin. b eerst vannbsp;het weede lid afcetrekken en daarna bij hetzelve optetelleii, onder denbsp;volgende gedaante ftellen:

n 2 R MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;437

Cw, c^C�S.^ X Coi-h�Sin.a X Sin.h Ci -j-Cw. C) X Sin.aX. Stn.b is: (zie IH. Steil, en F. Gev. III. Steil. Fill. B.')

Cos. c = Cos. (i* ^) 2 Cos^. i C X Sin. a x Sin. b . . . (? ) Trekt men elk lid dezer vergelijking van de ��nheid af; dan verkrijgt men:

i~CM.f=i �Cm.C� ^) �2CflS^iCX Sin.a x Sin.b dat is, (r. Gev. lil. Steil. Fill. BI) na alles door twee gedeeld tenbsp;kebben,

f Cos�, � C X Sin. a X Sin. b ) Sin�^. i o = Sin^. i (a ^) X ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ quot;SitF. i (a -{- bquot;) f

Het gebroken Cos^.iCx Sin.aY. Sin.b'. Sin^.h{a-\-b^ is altijd kleiner dan de ��nheid; want, men kan (zie F. Steil. Fill. B. en F.nbsp;Gev. III. Steil. Fill. B.') voor hetzelve (lellen:

nu is Cos. (,� ~ nbsp;nbsp;nbsp;lt; I ; derhalve Cos. (5 � a') � Cos. (a b')-^,

I � Cos. Qa b'), en zulks is genoeg, om terftond te zien: dat de teller kleiner dan de nocnner is.

(lellen, en dan zal SiiF. � c = Bin^- i (� O X (i � S'in�^. (p) =:' Sini. i (a �) X Cos�^.ip worden, of Sin. i c = Sin. I (� Xnbsp;Cp. Men heeft dan deze oplosfing:

Sin. cp � i CX yCSin. a X nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. Qa b')

S� II19. IV. Opi.ossing, Men telle bij elk lid der vergelijking (?), Welke in de voorgaande oplosfing gevonden is, de ��nheid; dan veis�nbsp;krijgt men:

\ Cos.c=i Cos. (a b) !2Cos^.iCx Sin. a X Sin. b lt;^at is, (zie Gev. UI. Steil. Fill. BI) alles door twee deelende.nbsp;Cos�. 1 _ Cos�. K-* ^) nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ X '* ^

T.e 3

-BEGINSELEN

Cos. i C X yiSin. a X Sin. F) ^ nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos'^. \ (a h'j

�. 1120. V. Oplossing. De vergelijking Cos. c = Cos. C x �y�?. rf X Sin. b Cos. a X Cos. b kan ook nog onder deze gedaante gefieldnbsp;worden:

Cos. c ~ Cos. (b � nbsp;nbsp;nbsp;� 2 Sin'^. � C X Sin. a X Sin. h . . . (s')

Men telle wederom bij elk lid dezer vergelijking de ��nheid; dan verkrijgt men; (/^. Gev. UI. Steil. Fill. B.)

Cos^. ic � Cos^. l(J) � a) � Sin^. I CX. Sin. a X Shi. b welke vergelijking wederom den vorm

�. 1121. VI. OiLoisiNG. Men trekke de leden der vergelijking (s), welke in de voorgaande oplosfiiig gevonden is, van i i; dannbsp;verkrijgt men: QF. Gev. III. Steil. Fill. BI)

Sin^. iezzt Sin^. � (b�a) Sin^. , C X Sin. a X Sin. b Hieruit zal men, als boven, vinden: dat, wanneer Tang. os� ....nbsp;Sin. jCX yjSin. a X Sin, h)

; Cos, 03 zal zijn. Het fpreekt van zelve, dat, in deze twee laatfie op-losfingen, b de grootfte en a de kleinfie zijde beteekent.

Nu is Cos. (b~a) z=i Cos. (Jgt;�a) X i = Cos. (b�a) X (.Wn-. I C Cos-. � C) en (C. Steil. Fill. B.) 2 Si�, a x Sin.b'=zCos{b~a)nbsp;� Cos. � a y b)i derhalve zal men hebben:

Cos. c ~ Cos. (b�a)X (b/�-. i C 4- Cos-, i C) � Sin^. i C X Cos. (� � tt) -j- Sinquot;. � C X Cos. (a -j- b)

Cos.c=Cos. (� ^) X i C Cm, Ci�a') X Cos^-i C (r) Deze vergelijking, welke eene fraaije eigenfchap der bolvormige driehoeken leert kennen, is nog verder herleidbaar. Men trekke dcrzel-ver leden van de vergelijking izzSin^- iC Cos-. � c af; dan zalnbsp;�en overhouden:

Men ftelle dan Cot. i C X Sin. I (b-~a): Sin. i (^a-lrb') � T/wg.ji-^ dan is Tang, i C X Sin. J (a b')'. Sin. \ (b � a') � Cot. ft, en dannbsp;veranderen de twee laatst gevondene vergelijkingen in:

�. 1123. .VIII. Oplossing. Wanneer men bij elk lid van de vergelijking {t), in de voorgaande oplosfing gevonden, nbsp;nbsp;nbsp;|C

eene vergelijking, welke ook onmidde�.ijk uit (�)gt; met behulp van Ces�, w = I __nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, kan afgeleid worden.

Uit de vergelijking (v) zal men, dezelfde herleidingen als in de voorgaande oplosfing volgende, vinden:

�. 1124. Aanmerking. Wanneer de onbekende zijde fcherp of flomp is, zai het het veiligst zijn, derzelver helft door de Sinus of Co^nbsp;finus te zoeken. In de VII en VIII Oplosfingen, die geheel nieuiVnbsp;zijn, is de II Oplosfing van het eerfte gedeelte, waarbij men de onbekende hoeken zoekt, mede begrepen. liet zal derhalve, indiennbsp;men alle de onbekenden begeert te berekenen, gefchikter zijn, zich vannbsp;de VII en VIII Opiosfingen te bedienen.

�. 1125. I. Voorbeeld. Fig, 287. Indien de fiandhoek van de vlakken PQ^ en PK gelijk 76� 36''40^�' is, en, uit het punt A, de'nbsp;lijnen AC en AD zoodanig zijn getrokken: dat hoek BACz:^nbsp;117� i8''2o''' en hoek BAD � jp'^ 39'' is, vraagt men: welk eeneanbsp;hoek de lijnen AC en AD met elkander maken, en onder welke hoeken het vlak DAC de vlakken PQ^cn PR fnijdt? Antw. De lijnennbsp;AC en AD maken eenen hoek van 84� 5^50'''', 4. En het vlak ACDnbsp;maakt met PQ^ eenen hoek van iip� 39' 12''', 59, en met/�i� ecneilnbsp;hoek van 72� 49'9''^, 89.

�. 1126. 11. Voorbeeld. Wamseer Amfterdam op 52�22'i7'^ en Philadelphia, de ho(fdjlifd der ver��nigde Staten van Noord-Amc-rika, op 39quot; 56''55^^ Noorden Breedte gelegen zijn, en de ftandhocknbsp;van .le middags-cirkels dezer twee plaatfen gelijk is aan 80� 6'15'''',nbsp;hoe ver zijn dan {de Aarde als eenen volmaakten bol aannemende j)nbsp;deze twee plaatfen van elkander verwijderd, en in welke ftreek vannbsp;het kompas zijn zij, de eene ten opzigte van de andere, gelegen?nbsp;Antw. De afihind dezer plaatfen is 53� SV 5?'^ I ; of 808,738nbsp;mijlen; Philadelphia ligt 69� 8'47'''', 8 bewesten het Noorden vannbsp;Amfterdam, en Amjierdam 48� 5'' 36'''^, 7 beoosten het Noordennbsp;van Philadelphia,

�. 1127. IX. Vraagstuk. Voor het IV. Geval. E�nt zijde met de aanliggende hoeken van eenen bolvormigen driehoek gegeven zijnde, de formulen te vinden, waardoor denbsp;twee onbekende zijden en de onbekende hoek kunnen berekend worden?

Daar dit geval met het voorgaande zooveel overeenkomst heeft, zullen vvij ons vergenoegen, met aantewijzen, hoe de vergelijkingennbsp;voor de verfchillende oplosfingen gevonden worden.

BEK. meetkunst.

5- �28. A. Om de onbekende zijden � en � te vinden, heeft men ^e volgende oplosfingen.

�� H29. 1. Oplossing. Men vinat, door Vergel. (jii^ XJ^H. Steil. de regthoekige driehoeken, gemaakt, door den loodregten boog,nbsp;'^�'ke, uit den onbekenden hoek C, op de bekende zijde f valt, denbsp;''^rgelijkingen;

c�, h ~ nbsp;nbsp;nbsp;^ ^ Q^t, c-f p/); Cot. a = Ces. B X Cot. (� p�%)�

�'i deze oplosfing, is B de grootfie hoek. Tang. x is negatief, indien '�^ 5gt; 180� is, en dan moet ook x negatief genomen worden.

�� 1130. II. Oplossing. Uit de vergelijkingen (14) en Ci5)j ^a'., XA7/. Steil, volgen :

7. nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin.MiB-S) �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ^Cos.\{B~A^

�. 1132. IV. Oplossing. Uic de vergelijking Cot.bgtzCot.B A ; Sin. c Cos. A X Cot. c, volgt:

'-�t. X = Tang. B X Cos. c, en Tang. h = nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

�133. B. De formulen, door welke de onbekende hoek Cbcre-kan worden, worden, in de volgende oplosfingen, uit de verge-Cos. C=z Cos. c X Sin. A X Sin. B � Cos. A X Cos. B, afgeleid, ii34, I. Oplossing, Door eene behoorlijke fchikking van denbsp;dezer grond-vergelijking, zal men vinden: (vergel. �. iu6.)nbsp;rz, �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� Cos. A X Sin. (_B � /.)

Cos. Ctzz � Cos, QB�A') 2 C�s�. i r x Sin. A X Sin. 5 . � en men zal, uit deze twee vergelijkingen, de volgende oplosfin�^�nbsp;halen.

Cos^. i C� Sin^.iQA B') � Sin^. i c x Sin, A X Sin. B en deze geeft de oplosflng:

�. 1138. IV. Oplossing. Dezelfde vergelijking (p) geeft nog� Sin^. i C~ Cos^, I (^A-\-B') Sin^. if X Sin, A x Sin. Bnbsp;en uit deze volgt de oplosfing.

Sin^. I �= Cos^. i (5 � ^0 � Cos^. i c X Sin. A X Sin. B waaruit dan volgt:

Cos^. i C=Sin^. i QB�A) Cos^. ic X Sin. A X Sin.B en deze vergelijking geeft dan:

_ nbsp;nbsp;nbsp;Cos. Ic}/Sin. A X Sin.B ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^_Sin. i (5 � A')

�. H41. Uit ��ne der twee vergelijkingen (p) of (?), zal op dezelfde wijze, als in �. 1122, vinden:

Cos.C=�Cos.QA B} X Cos^.ie�Cos.{B�A') X Sin^.ic welke vergelijking, door 0=90�.te ftellen, in de vergelijking (si-)�nbsp;van Bladz. 406, �. 1033. verandert.

�. 1142. Uit deze vergelijking {r') zal men, (raadpleeg �. de twee volgende afleiden:

�.

der M E E T K U N S T.

� nbsp;nbsp;nbsp;iSin.

Sin, fi

69quot; nbsp;nbsp;nbsp;394' Gegeven zijnck de koekADC�

bu' ** nbsp;nbsp;nbsp;begeert tnen, uit het hoekpunt D, eene lijn BD,

vlak van dmt hoek te trekken, zoodanig, dat de vlakken en CDB, met het vlak A DC, hoeken maken, die rcspeamp;ie-Ht^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gelijk zijn. Men vraagt, koe groot,

^ einde de hoeken ADB en CDB moeten genomen worden, en groot de fiandkoek dezer koeken zal zijn? Antw. De hoek ADBnbsp;35^14^^95 de hoek 5DC=r 63^ 20^40'''�, 2, en de ftand-

^ nbsp;nbsp;nbsp;� -quot;O /n/ Itett_

Cos, i C_Sin.^Qyj.^ S') X Cos.jc_Sin.lQB�J'y x Sin.

groot de jiandhoek dezer hoeken zal zijn? Atitw. De hoek ADB quot; 79� 35^ 14^'', 9; de hoek ^DCrz 63� 20''4�'quot;'*�ftand~

holvormigen driehoek twee zijden, fttet eencn koek, over dezer bekende zijden flaande, gegeven zijnde, de formu-�^�t te vinden, � waardoor de onbekende zijde, benevens de twee

Dit vijfde en het volgend zesde geval, bij de Schrijvers gewone-''i*t de twijfelachtige gevallen genoemd, verdienen, alvorens wij der-^elver oiiderfcheidene oplosfmgen voordragen, eene meer bijzondere

1147' Laten dc zijden a m b, benevens de hoek A, welke ^^�6n over de zijde A ftaat, gegeven zijn. Het valt ter�oTid in betnbsp;dat {XG. Steil.') Sin. ax Sin.b � Sin. A�. Sin. B is, en dat der-de onbekende hoek B, door de vergelijking

Cu, A

.. (tent des eerften is , nbsp;nbsp;nbsp;dat twee driehoeken

bvee oplosfmgen te hebben; dat is hei �ggevcne zijden en den kunnen zatncngefteld worden, welke ernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;heeft, zal

gegevenen hoek hebben. Dat zulks �u

kit de volgende befchonwingen blijken. nbsp;nbsp;nbsp;grootc cirkels

1148' Laten, fig. 397, ABD e� nbsp;nbsp;nbsp;en eenen

kim, die elkander, volgens de middelh'D � nbsp;nbsp;nbsp;hoek

klaar nu eenige Sinus tot tw-ee bogen, eenen dignbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Hl de tafel gevonden wordt, en eenen Hompen boog,

hoek J3JC maken, die gelijk is aan den gegevenen hoek van gevraagden d ichoek. Indien men dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;neemt, en uit C)

aspunt, met de koorde van de gegevene zijde, a, op het oppe^''^ van den bol, eenen cirkel befchrijft; dan zal men de volgendenbsp;Handigheden kunnen opmerken.

�. 1149. i** Zal de boog a zoo klein kunnen gegeven zijn: die kleine cirkel geheel boven den grooten cirkel ABD gelegen'*'nbsp;en denzelven niet fuijden kan: in dit geval, beflaat �er geen driebn^*�nbsp;weike de gegevene zijden en den gegeven hoek heeft.

�. 1150. 2� Zal de boog a ook zoo groot kunnen gegeven 2')quot;' dat de kleine cirkel, uit C befchreven, geheel beneden den groo'^^nbsp;cirkel ABD valt, in welk geval ook geen driehoek, onder denbsp;vens, kan zrmengefteld worden.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

�. 1151. Beide deze omllandigheden worden kenbaar door de ''' rekening der vergelijking Sin. B � Sin. A X Sin. b: iin.a; w.an*'^ _nbsp;namelijk, Sin. A X Sin. b gt; Sin. a zijnde, Sin. B grooter dan de ^nbsp;heid wordt, hoedanig eene Sinus onmogelijk is. Wanneer derha^'

met den boog a, befchreven wordt, of boven of beneden den lee cirkel ABD ligt, en dat de gegevens met eenigen bolvoriu'snbsp;dri'-iioek geheel onbeftaanbaar zijn.

� 1152. s'* De cirkel, die, uit C, met de koorde van den ^ a, befchreven wordt, kan den cirkel ABD in deszelfs eerfte h�nbsp;in een punt B sanraken: raar.r dan Haat de boog CD of a \oonbsp;pp ABD, en de driehoek ABC is regthoekig in B; Sin. B isnbsp;= I, en Sin. A X Sin. b � Sin. a, hetgeen met de bekendenbsp;fchap van den regthoekigen bolvormigen driehoek pver�enkomt.nbsp;is, in dit geval, flechts �dne oplosfing, welke de berekening egt;�nbsp;conftruaie beide geven,

ABD in deszelfs tweede helft AFGD in een punt G aanraken^ in dit geval, zal Sin. .S � i en Sin. A X Sin. h zc. Sin. b zijn.nbsp;berekening fchijnt hier, in den eerllen opllag, eenen regthoekigen'^^,nbsp;vormigen driehoek te geven; doch, de conftru�lie geeft die quot;nbsp;deze geeft wel eenen regthoekigen bolvormigen driehoek, wed'�nbsp;gegevene zijden heeft; doch, de hoek CA F is het fupplenientnbsp;den gegeven' hoek A: de reden nu, waarom de berekening deZ^nbsp;Handigheid niet loert kennen, is eenvoudig hierin gelegen:nbsp;Sin.B, welke, in oe berekening vau de vergelijking, gebruikt

reu meetkunst.

'^k tevens de Sinus van het fupplement van dien hoek zijnde, hec �nderftheid tusfehen den hoek B/IC en zijn fupplement niet uitdrukc.

**54- 5� Indien � = po� is, dan zal de cirkel, welke, uit C, aspunt, met de koorde van a befchreven wordt, eenen grootennbsp;'kkel zijn, welke den grooten cirkel ABD, in twee middellijnig te-over elkander ftaande punten, fnijden zal. In dit geval beeft danbsp;'^�ehoek ABC de regte zijde BCz^z^o^, en omdat Sin.a�i is,nbsp;Sin. B ~ Sin. A X Sin. b zijn, en �er is flechts ��ne oplosfing.

1155. 6� Nemen wij: dat de hoek BAC fcherp is; indien dan cirkel, met de koorde van den boog uit het aspunt C, befchre-

'Vordt, de eerfte helft van den grooten cirkel ABD in twee P�titen B (ai E fnijdc; dan zullen �er twee driehoeken ABC en AECnbsp;de gegevens pasfen, welke ook, door de berekening van de ver-^�^'ijking voor Sin.B, zullen gevonden worden, wanneer men voornbsp;hoek, welke tot die Sinus behoort, zoowel dien hoek als zijnnbsp;^Pplement neemt. Nu ziet men ligte�jk, uit de berchouwlng dernbsp;dat de boog a grooter moet zijn dan de kleinlle der lood-�^�ote bogen, welke uit C op het vlak van den cirkel ABD vallen,nbsp;kleiner dan de grootfte dezer bogen , en dat bijgevolg het kleinllenbsp;�edeeite van den kleinen cirkel beneden, en des zelfs grootfte deelnbsp;koven het vlak van den cirkel ABD valt, zoodat de kleine ci;;kelnbsp;'Je bogen AC en CD fnijden zal, waaruit dan volgt: dat de boog �nbsp;k'einer dan b, en tevens kleiner dan zijn fupplement iSo� � b zalnbsp;^ijn.

1156. 7� Blijft nog BAC fcherp; dan zal a zoodanig kunnen *�geven zijn: dat gezegde kleine cirkel de tweede helft--vannbsp;Valnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cirkel ABD, in twee punten F en G, fnijdt: in dit ge-

gt; ligt de grootfte helft van den kleinen cirkel beneden den grooten en fnijdt de bogen AC on CD in derzelver verlengde,nbsp;r beftaan, m dit geval, geen driehoeken, op welke de gegevensnbsp;�^en: de vergelijking op Sin.B, fchijnt nogtans in dit geval (alsnbsp;^ytisch beftaanbaar zijnde,) twee oplosfingen te geven: doch denbsp;^milandigheid bij welke a grooter is dan b, en tevens greoter dannbsp;Ha^bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoezeer de vergelijking in zich zelve be-

kef h ^�egt;danig kunnen gegeven zijn: dat de k^ei dike , ;dt C e even, den groosen cirkel ABD in twee punten B en fnijdt.

15BGINSELEN

In dit geval, beftaat �er flechts ��n driehoek jIBC, op welke gevens pasfen: doch de kleine cirkel zal, in dit geval, het verleng*^�nbsp;van A C beneden A en CD boven D fnijden, en a zal alzoo gt; ^

�. 1158. 9�^ Het geval waarin hoek BAC�^o� is, behoort de regthoekige driehoeken.

�. 1159. 10� Wanneer de hoek BAC ftorap en a zoodanig g�?* ven is: dat de kleine cirkel, die, uit C, befchreven wordt, den gt'�'^nbsp;ten cirkel ABD, in de eerfle helft, in twee punten B en E, fnij^''�nbsp;dan ligt de kleinlle helft van den kleinen cirkel boven, en de grootl'�nbsp;helft beneden het vlak van den cirkel ABED, en fnijdt het verleng^^nbsp;van de bogen AC qw CD beneden het vlak van dien grooten cirk^^'nbsp;In dit geval beftaan �er twee driehoeken, die aan de gegevensnbsp;doen: maar nu is de zijde a grooter dan de zijde b, en grooternbsp;zijn fuppiemeiit 180� � b.

a zoodanig kunnen gegeven zijn: dat de kleine cirkel, uit C befchf^ ven, de tweede helft van den grooten cirkel ABD in de punten ^nbsp;en G fnijdt. In dit geval, ligt de grootlle helft van den kleinen cirk�'nbsp;boven het vlak van den grooten cirkel ABD, en fnijdt de bog��nbsp;AC en CD boven hetzelfde vlak. �Er zijn, hoezeer de vergelijkW^nbsp;voor Sin. B analytisch beftaanbaar is, geen driehoeken, welke denbsp;gevens pasfen: maar de omftandigheid, bij welke a kleiner is dan bnbsp;tevens kleiner dan 180* � b, doet de onbellaaubaarheid der gegev^*'^nbsp;kenbaar worden.

kleine cirkel, die uit C befchreven wordt, den grooten cirkel A.S^ in twee punten B en F Ihijden. In dit geval zal Hechts ��n dr'^nbsp;hoek beftaanbaar zijn: en nu zal de kleine cirkel den boog AC-neden A en CD boven D, fnijden, en a zal en lt; 180�nbsp;zijn. Ook zullen wederom B en b van dezelfde foort zijn.

�. 1162. 13quot; In het 8� en 12� geval, is Ililzwijgend onderde� dat AC-zb kleiner dan 90� is, en, in deze gevallen, is �gt;

lt;; 180� � b: maar indien AO genomen wordt, dan zal, die gevallen, alt;,b en gt; 180� � b zijn.

onheftaanbaar is; dan zal 'er ook geen driehoek beftaan,

'�P Welken de gegevens pasfen,

^0 /j Vergelijking Sin. B � Sin. A X Sin. b: Sin. a hejlaan-dan zal,

^ lt;90� CH a'pi-b, benevens a gt; 180� � b b'j A90� en a lt;,b, benevens a lt; 180� � bnbsp;�l^de, driehoek op de gegevens pasfen.

3quot; Maar is

aj yf^9o� en a'^b, benevens 0^180��b jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bj A �lt; 90quot; en a c;^b, benevens a lt;3 180� �b

bef aan 'er twee driehoeken^, waarop de gegeveris toepasselijk zijn,

, 4** Is eindelijk of .en ao/gt;180� � b; dan beftaat 'f fechts ��n driehoek, die aan de gegevens voldoet. In dit gevalnbsp;'� de oplosfmg niet meer twijfelachtig, en de koek B is dan altijdnbsp;dezelfde foort als de zijde b.

5quot; In alle gevallen befist nog boven Men de regel, waar hij de Vri Qverflaande hoeken altijd van dezelfde foort moet zijn, alsnbsp;� fat der zijden, tegen over welke zij flaan, (zie �; 1054,) allenbsp;bovengenoemde omflandigkeden.

5' U64. Na deze ophelderingen tot de oplosfing van het geval ^sive overgaande, zullen wij a en b, benevens den hoek A, als be-�Gd aanneraen, en de formulen voor de berekening der hoeken Bnbsp;C en de zijde c leeren vinden.

�� 1165. A- On' den hoek 5, welke tegen over de zijde b ftaat, 'Anden, heeft men de volgende oplosfingen.

�i66. I. Oplossing. Volgens �, 1147. wordt de hoek B door

^ formule

Sin. B ~ Sin. A X Sin, b: Sin, a

S�vonden,

Vg^'OerossiNG. Stellen wij, in de zoo even bijgebragte �eiijking,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^^^ordt Sin. B Sin, lt;p ;

waaruit fFllp, Stell- II. B. en VU. Steil. VUL B.} volgt;

__ Sin. a � Sin. Cp _ Tang. i(a � ipj)

' Sin. B ~ SinjjT^'iZ'ip ~ Tang. i{a !p)

44f! nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

en , . . . 5 = 90� 21// en dit ftelfel van vergelijkingen zal de hoek B, indien hij nietnbsp;van 90� verfchilt, met meer naauwkeurigheid doen bekend worden-�. ud8. III. Oi�Lossing. Men ftelle, in dezelfde vergelijking�nbsp;Sin. Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X Sin, b ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tang. ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en Sin, a �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tang. v; dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. B ^

Tang. nbsp;nbsp;nbsp;[J.: Tang, y zijn,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waaruitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;QFIII. Steil.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;II. en XI. Steil.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;VULnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B^

I Sin. B nbsp;nbsp;nbsp;Tang.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;v Tang, ftnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. fz)

Tang.V 1=1 Sin. a; Tang. ft�zzSin.Ax Sin. b; Tang. a =_ y en . .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;== 90� 2 w

vinden zal, welke oplosfing, iugevalle de waarde van den hulphoe^^ cp, in de tweede oplosfing, weinig van 90� verfchillen mogt, eeO�nbsp;meerdere naauwkeurigheid voor de waarde van B verzekert.

�. iidp. IV. Oplossing. Men vindt, uit de vergelijking van eerfte oplosfing,,^

ft � a MEETKUNST.

S- 1171. Aanmerking. Wanneer, door ��ne der voorgaande optos-^''�gen, de hoek B gevonden is, zal men den anderen onbekenden 5 benevens de onbekende zijde, welke tegen over denzelven ftaat,nbsp;door de Nepetiaanfche Analogien (12), (13), (14) en (*5)gt;nbsp;Steil, vinden kunnen; want uit dezelve volgt:

aZTls�zO

tn het werkdadige, zullen deze formulen tot eene bevestiging van de gevondene waarde van B verftrekken, welke waarde van B nogtansnbsp;ten fcherpfte zal moeten berekend worden, om eene voldoende over-��nfteinming tusfehen de eerfte en tweede, en tusfehen de derde ennbsp;Vierde formulen te vinden. Wanneer de gegevens twee oplosfingennbsp;�medebrengen, dan zullen de twee waarden van C en c, naar elke bijzondere waarde van B, afzonderlijk moeten berekend worden.

^5� 33''4o''', nbsp;nbsp;nbsp;�78� 20^30'^; de hoeken B en C^ benevens de zij-

In dit voorbeeld, is de hoek A fcherp, en de,zijde a kleiner dan b, *^0 tevens kleiner dan iSo� � b: �er zijn derhalve twee oplosfingen. Men

ft^c nu op lieze gegevens twee oplosfingen pasfen, blijkt, zoodra men de hoeken � gevonden heeft; want elke waarde van � geeft de fomnbsp;der hoeken A en B kleiner dan 180* ; vermits nu de fom der overftaan-de zijden � en a insgelijks kleiner dan 180� is, wordt �er iii geene de-*er twee oplosfingen eene tegenftrijdiglieid gevonden.

�� 1173* II. Voorbeeld. Gegeven zijnde a zzz^j6� b zzz Soquot;-� 61', en Azzzizio 52''; de hoeken B en C, benevens de zijde c,nbsp;*e vinden ?

BEGINSELEN

Hier is a en iSoquot; � k; �er zal gevolgelijk llechts ��n drielioek op de gegevens pasfen. Men zal vinden � z: 127� 29' 10quot;. 87; C JS

�. 1175. B. Wanneer men den hoek C, welke tegen de onbekende zijde flaat, uit de gegevens wil afleiden, zal men zich van de vol'nbsp;gende oplosfingen kunnen bedienen.

lt;5. 1176. I. Oplossing. F/g. 398. Laten ABC tn AB'C Ae twee driehoeken verbeelden, welke, in fommige gevallen, op de gegevensnbsp;pasfen kunnen; dan zal de loodregte boog CD den tophoek en denbsp;bafis van den gelijkbeenigen driehoek BCB' in twee gelijke deeleonbsp;verdeelen. Wanneer men dan de hoeken ACD en BCD vinden kan�nbsp;dan zal derzelver foin of vcrfcliil de hoeken ACB cn ACB' bekendnbsp;doen worden.

Stel ACD~p en BCD-=zq; dan is, vol^'ens de bekende eigen-fchappen der regthoekige driehoeken,

Tang.p~Cot, Ai Cos.b (i) en Cns.q � Tang.CD iTang.a (s) blen moet nu Tang. CD iiit de tweede vergelijking wegmaken. Md'nbsp;heeft Sin.CD = Sin. A x Sin.h ,� Cot. CD � Cos.h: Cos. AD, ennbsp;derom Cos. AD ~ Cos.p : Sin. A, en daarom Cos. CD ~ Cos.b ^nbsp;Sin. Al Cos.p. Eindelijk Tang. CD~ Sin, CD : Ces.CD � Tang.h ^nbsp;Cos. p. Stollende deze waarde van Tang. CD in de tweede vergc'ij'nbsp;king; dan verkrijgt men: Cos. q �Tang. b y. Cot. a y. Cos.p. M'-��nbsp;heeft derhalve het volgende flelfel van vergelijkingen:

Omtrent welke vergelijkingen moet aangeinerkt worden. i� Dat, wai*'-neer Cos. q�igt; i bevonden wordt, de gegevens onbeftaanbaar zij''quot; 2� Dat, wanneer Tang. p en Cos.q negatief zijn, de bogen p en 1nbsp;insgelijks negatief moeten genomen worden, 3� Dat, de waarde�nbsp;van C~p-\-q, naar de waarden van p en q, opgemaakt worde�'nbsp;de, de negatieve waarden van C, en de pofitieve waarden, die gteO'nbsp;ter dan 180� zijn, als onbeftaanbaar, moeten verworpen worden.

� �� 1177. Oplossing. Men ftelle, in de tweede vergelijking def voorgaande oplosflng, Tang.b X Cos.p �Tang. Cpi,' dan wordt Cos-inbsp;zz Col.a X Tang.(p, waaruit (i �Cos. q): (i CtfS. q) � (i �Cot- tt

Tang.p � Cot. A: Cos. b; Tang. ^ � Tang. h x Cos.p lang. \-q ~ \/\Sin. (a � (p) : Sin. (� jnbsp;Ileze oplosfing zal, wanneer q weinig van po'� mogt verfchillen,nbsp;meerdere naauwkeurigheid dan de eerfte geven.

Cot. A X Sin. C� Sin. b X Cot. a � Cosib X Cos. C , . . (df) In deze vergelijking, is alleenlijk de hoek C onbekend. Men brengenbsp;de leden dezer vergelijking in het vierkant, en fchrijve voor Sin^.Cnbsp;hare waarde i�Cos^.C; dan zal men eene vierkants-vergelijkingnbsp;verkrijgen, welke, behoorlijk opgel�st zijnde, geven zal:

S' *t8o. A.\k;iericing. De breuk, welke onder het wortelteeken kunn^^quot;�^' gelijk aan Sin'^.B; de waarde van Cos.C en Sin. Cnbsp;derhalvej volgens deze formulen, niet berekend worden, zon-palen-^d^'*''*^*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bereltening, te be

ken ' ^^''^kening maakt dan de grootheid, onder het worteltee-gt; gei] aan Cos^.^. ,^en verkrijgt derhalve,

CoA. [j.

Dan, aangezien deze analytifche waardijen vrij zamengefteld en, voor de dadelijke berekening, niet zeer gefchikt zijn, zullen wij, uit de vergelijking (M), nog twee andere vergelijkingen afleideii, welke fraaijernbsp;en minder zamengefteld zijn.

�. ii8i. V. Opi.ossing. Men kan de vergelijking (ilf), zie de III. Oplosfmg, onder den vorm:

Cot.A y. Sin.C � Sin.b X Cot.a Cos.b�Cos. 5 (i-{-Cos. C) (lellen, welke, na al de termen door t Cos. C gedeeld te hebben,nbsp;geven zal:

Sin. C__Sin. b X Cot. a Cos. b

I Cos. C

Nu is (/. Gci'. IX. Steil. VUL B.') Sin. C: (l -f- Cos. C) = Tang. \ C en (V. Gev. UI. Steil. Fill. B.) i Cos. C= 2 Cos^. i C=z ....nbsp;2 : *0^. i C=r 2 (i -^-Tang-. | C); de laaide vergelijking wordtnbsp;derhalve

2 Cot. A X Tang. i C rr (_Sin. b X Cot. a -j- Cos, b') x Tang'^. I C 4- Sin. b X Cot. a � Cos. b

� nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tsCot.A ySin.a ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� Sin.{b � a')

Sin^-tf nbsp;nbsp;nbsp;J (

�. ii82. Men moet, in deze vergelijking, twee gevallen ondef' fcheiden:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wanneer a � b pofitief is; 2� wanneer a�b neg^'

^ E R MEETKUNST.

l^(S/n. (ab') X Sin.Qa � b'))-, dan verkrijgt men voor den onbekenden hoek C deze twee waarden,

Cos. ft nbsp;nbsp;nbsp;Cos. /znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. jj. Cos. fJ.

Tang. ft ~ [Tang. A X JA [Sin. (� X Sin. (a � ^})] : Sin. a Cl ~ Cot. A X Sin.'a x Tang. fj.: Sin. (a bquot;)

�� 1184. Is, in de vergelijking [N) voor Tang. i C, alt;,b; dan quot;'Ordt Sin. [a � b') negatief, en dan kan de vergelijking niet begaanbaar zijn, indien niet dV�. (�-f-x Sin.Qa � x Tang^.Anbsp;'^Sitt^.a is. ]yjg;jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin.V � (Tang. A-. Sin. o') x ... .

i^Taar nu is [F. Gev. III. Steil, Fill. B.) i -f- Cos. v = 2 Cos^. | v, en ^ Cos.v~si Sinquot;^. Iv, en wij h�bben bijgevolg, wanneer a^bnbsp;de vergelijkingen:

Sin. V � [Tang. A X IA (Sin. (a b[) x Sin. (a � �))] : Sin. a cv � 2 Cot. A X Sin. a : Sin. (a -j- b')

�� 1185. VI. Oi�LOssiNG. Men kan de vergelijking (M) ook nog �^nder de volgende gedaante

BEGINSELEN

Tang. ft = \T(tng. A x}/ (Sin. (� ^) x Sin. (a � by)\ : Sin. a �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;il~ � Coi. A X Sin. a X Tang. fj.: Sin. (a � b')

Sin. 'i/ � [Tang. A X {Sin. {a b) x Sin. {a � ^))] : Sin. a co = � 2 Cot. A X Sin. a: Sin. (a � b')

�. II88. Aanmerking. Deze laatfte oplosflngen geven aanleiding tot verfcheidene aanmerkingen, welke wij, daar zij ons te ver zouden afleiden, aan de nafpeuring van den Lezer ovcrlaten.

�. ii8p. C. Wil men de onbekende zijde afzonderlijk berekenen, zal zulks, door de formulen, welke de volgende oplosflngen gevennbsp;zullen, kunnen gefchiedeb.

�.1190. I, Oplossing. Fig. 398. Men ftelle AD � r en BD =zs; dan geven de regthoekige driehoeken, ADC en BDC, de vergelijkingen Tang. r = Tang. h x Cos. Cos. CD = Cos. b : Cos. r ennbsp;Cos. s ~ Cos. a: Cos. CD � Cos. a x Cos. r: Cos. b. Men heeft alzoo,nbsp;om de waarde van c te vinden:

De waarden van r en s zullen negatief zijn, wanneer r en Cos.s negatief zijn. De gegevens zijn met eenen driehoek onbeftaanbaar,nbsp;wanneer Cos.s �gt; I is. Voorts moeten de negatieve waarden, welke men voor c verkrijgt, of die pofltieve waarden van c, welke groo-ter dan 180quot; zijn, als onbeftaanbaar, verworpen worden.

�. 1191. II. Oplossing. Men ftelle, in de tweede vergelijking der voorgaande oplosfmg. Cos. a x Cos.r � Cos.ip, en dan heeft men hetnbsp;volgend ftelfel van vergelijkingen:

Tang. r ~ Tang. b X Cos. A; Cos. ip � Cos. a X Cos. r Tang. iszzjy [Tang. i (.4' -j- b[) x Tang. i (1/' � by]nbsp;en o :r: r s

De onbeftaanbaarheid der gegevens blijkt, in den loop der berekening , wanneer i (ip bquot;) of � (1/' � b) negatief is.

Cos. A X Sin. b X Sin. c Cos. a � Cos. b X Cos. c , . . (Q]) brengt men deze vergelijking in het vierkant, en fchrijft men Sin^.cnbsp;rr I �Cos^.c, zal men eene vierkants-vergelijking verkrijgen, welkernbsp;oplosflng geven zal; �

I �Sin'^.A X Sin^.b �� Iip3. Aanmerking. Omdat (XFIH-Steil.') Cos. c ts^Cos. C Xnbsp;Sin.a X O'S..�? X Cos.b is, zal men de waarde van Cos. cnbsp;gemakkelijker vinden kunnen, indien men de waarde van Cos.C, wlI-�� 1178. gevonden is, met Sin.a x Sin.b vermenigvuldigt, en bijnbsp;^�st producT: Cos.a x Cos.b optelt.

�� iip4. IV. Opi.ossing. Uit dezelfde vergelijking {Q)) zal men, djor de oplosfing eener vierkants-vergelijking, vinden:

'S:7i. .............

Cs. A X Cos.a X Sin.hO^Sin.a X Cos.byQi-Sin'^.Ay.Sm^.b-.Sin^.a)

1 � Sin^. A X Sin'^.h

�. 1195. I. Aa.nmerkikg. Omdat (^XF. Steil.) Sin. c �Sin. a X Sin. C: Sin. A is, zal men de waarde van Sin. c vinden, door de waarde van Sin.C, in �. 1179. gevonden, met Sin.a te vermenigvuldigen,nbsp;en het product door Sin, A te deelen.

�� 1196. 11. Aanmerking. Omdat (^XF. Steil.) de grootheid onder het wortelceeken gelijk aan nbsp;nbsp;nbsp;is, zal men. Hellende

Silt. A X Sin. b : Sin. a tzz Sin. B, en Sin. A x Sin. b ~ Sin. ft, hebben:

Co.i.c~[Cos.a X Cos.bSin.a X Sin.b X Cos. A X Cos. A] : Cos^.ft Si;t.c=[Cos.A X Cos.a X Sin.b Sin.a X Cos.b X Cos.B): Cos�-.ftnbsp;welke vergelijkingen nog voor verdere herleidingen vatbaar zijn.

��1197. V. Oplossing. Door aanwending van de kunstgreep, waaryr.n in �, 1181. gebruik gemankt is, zal men, uit de vergelijkingnbsp;CQ.), vinden;

Tang. iez::..........

'�- ft ~ y [A'h. Qa b) X Sill, (a � b)'] : Cos. A X Sin. h

'�iCus.A X Sin. h X Tang, ft: Cos. 4 nbsp;nbsp;nbsp;^ Cos. j (_a�b)

en dan is;

^tng. i c ~ �1 X Cot. ifx, of Tang. 4 c = � �1 X 'Tang, i ft.

� O99. iManj. jj alt;b; dan ftelle men:

Sin. v~y nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A x Sin. b

^ ~ A X Sin. b : Cos. { nbsp;nbsp;nbsp;X Cos. i {_a � b)

Ff4

G I N S E iL E N

�. 1200. VI. Oplossing. Dezelfde vergelijking (^), zal (vergelijk �. 1185.) geven:

Tarig. jJ- � ]/ [Sin. (lt;? ^) X Sin. {a � h'j]: Cos. A X Sin.-b tl=�\Cos.A X Sin.b X Tang.{i.�.Sin.\(a-\-b') x Sin.\{a � b')nbsp;en dan is:

�, 1203, XI. Vraagstuk. Voor upt VI. Geval. P�an eenen bolvormigen driehoek gegeven ziptde, ttvee hoeken, metnbsp;��ne zijde, over ��nen dezer bekende hoeken [taande, de jor-mttlen te vinden., waardoor de twee onbekende zijden, en dennbsp;onbekenden hoek kunnen berekend worden?

Dit laatfte geval van de oplosfmg der fcheefhoekige bolvoftnige driehoeken is het tweede, hetwelk, onder fommige omflandigheden,nbsp;twee oplosfingen heeft, en daarom algemeen, doch ten onregte, hetnbsp;tweede der twijfelachtige gevallen is genoemd geworden.

�. 1204. Laten A en B Ae bekende hoeken, en a de bekende zijde zijn; dan is {XF. Stell.j

Deze vergelijking is analytisch beftaanbanr zoo lang Sin. A'gt; Sin. a X Sin.B is, en dan vindt men voor de zijde b fteeds twee waarden,nbsp;welke wel altijd aan de vergelijking: doch niet aan eenen bolvormigen driehoek, in den zin, waarin wij denzelven nemen, voldoen.

�. 1205. Om deze bijzonderheid meer van nabij te leeren kennen, zoo laat, Fig. 4��) de cirkel ABDPE het vlak van de ballsnbsp;des gevraagden driehoeks zijn. Laat, volgens eene middellijn AD,�o^nbsp;dezen cirkel eenen hal ven cirkel AID F, zoodanig geplaatst worden,nbsp;dat de Handhoek CA B gelijk � zij aan den gegeven hoek A van den

gevraagJm bolvonnigen driehoek ABC, en nog de halve cirkel BCm, met eenen hoek ABF�B, zijnde BC � a. Men rigte,nbsp;uit Af, het middelpunt van den bol, iu het vlak AID, de loodiiinnbsp;MI, op AD, en, in het vlak BHE, de loodlijn MH, op BE;nbsp;dan zijn deze loodlijnen ftralen van den bol, en de bogen, AI, Dl,nbsp;BH en EH, zijn quadranten, Ehdelijk befchrijve men, uit Af, metnbsp;MH en Af/, als ftralen, de kleine cirkels Hab en Icd; dan zijnnbsp;deze de projeftien van de kleine cirkels van den bol, welke, uit hetnbsp;aspunt van den cirkel ABD, met de koorden van de complementennbsp;der hoeken B en A, bc-fchreven zijnde, gezegde halve cirkels, op hetnbsp;oppervlak van den bol, in de punten //en / aanraken, en welke K.d-oe cirkels, in het oppervlak van den bol, evenwijdig aan den ciikelnbsp;ABDPE, moeten gedacht worden.

�. i2od. �Er kunnen, ten opzigte van de gegevene hoeken, vier gevallen plaats hebben, a) De hoeken A en B kunnen beide fcherp zijn. f) De hoek A ftomp en de hoek B fcherp, c) De hoek Anbsp;fcherp en de hoek B ftomp. d') De hoeken A en B beide ftomp.

�� 1207. A. Nemen wij. Fis- 400, de hoeken A tn B fcherp, on hoek A lt;, hoek B; wanneer wij dan den halven cirkel AID innbsp;zijnen ftand laten; maar den halven cirkel BCFE, van het punt Dnbsp;door de punten B, A, E, P, ent-, om het punt M, over het vlaknbsp;BBA, omfehuiven, zoodanig, dat de hoek ABC altijd dezelfdenbsp;b'djft; dan zal het punt H den kleinen cirkel befchrijven, en denbsp;punten F m G zullen beftendig in den omtrek van den kleinen cirkelnbsp;blijven. Wanneer nu het puut S, van het punt D afierekenen,nbsp;^'0 eerfte heift van den cirkel DB AP doorloopt, zal clk pim't vnnnbsp;lt;^011 boog B F, het d�ne na het andere, door het quadrant Dl gaan,nbsp;'ot dat, het punt F in I gekomen zijnde, de punten van dienzelfdennbsp;^uog, 'nijsr in eene teruggaande orde, van naar B, door het qua-drant iA zullen gaan. Is het punt B in A gekomen, en loopt hetnbsp;punt B door de tweede helft van'den cirkel DB AP; dan zullen alnbsp;d-a punten van den boog GE, h�t ��ne na het andere, door hetnbsp;quadrant /)/gaan, en, wanneer G m / gekomen is, zullen diezelfdenbsp;punten, doch nu in eene omgekeerde orde, door het quadrant IAnbsp;loopeu. Gesne der punten van den boog FG, welke geheel buitennbsp;den kleinen cirkel Icd gelegen is, zal (de hoeken A txs B dezelfdenbsp;^lijvenoe,) immer den omtrek van den halven cirkel DIA bereiken.

�. 120B. Dit verklaarde is genoeg, om te, doen zien: dat, Wanneer �cn bolvormige driehoek, onder twee gegevene hoeken A cn B, en

BEGINSELEN

eene zij te BCz=.a, moet zcmengefteld worden, hoek 5 gt; hoek is, en de hoeken A tw B beide fcherp zijn.

De zijde BC~a tot zoodanig eene grootte moe: gegeven zijn: dat het punt C door den omtrek van den halven cirkelnbsp;moet kunnen gaan, en dat alzoo, ,

2quot; Wanneer BC�a kleiner is dan BF, het vraagfiiik niet flecht* mogelijk is; maar dat �er ook, vermits het punt C (van D naar ^nbsp;gaande,) den halven cirkel AID tweemaal moet ontmoeten, tweenbsp;diithoeken aan de gegevens voldoen zullen.

po� is, zal plaats hebben, in welk geval Sin. A: zal zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

punt C den omtrek AID niet zal kiuinen fnijdtii, en diensvoigeiis de gegevens met elkander onbeftaanbaar zullen zijn, hetwelk ook, in ditnbsp;geval, door de atiiiiytifche onbtftaanbaarheid der formule, kenbaatnbsp;zal worden.

5quot; Dat eindelijk, wanneer Bc agt; BG is, ja wei het punt C door den halven cirkel AID zal gaan, en de vergelijking teV�.nbsp;Sih.a X Sin. B: Sin. A analytisch beftaanbaar zal zijn: doch, dat denbsp;driehoek, welke de gegeven hoek B, en de gegeveue zijde heelt,nbsp;eenen hoek zal hebben, welke, het fupplement van deu hoek ^ zijwnbsp;de, niet meer de gegeven driehoek is; doch niet te min, aangezieonbsp;de Sinus van eenen hoek eu van zijn fupplement dezelfde waardenbsp;hebben, ann de vergelijking van Sin. b zal voldoen. Uit al hetwelk dannbsp;volgt: dat, wanneer de funnule voor Sin, h befiaanbaar is, de hoi'nbsp;ken A en B fcherp, B'gt; A, en A en a van dezelfde foort zijn, he(nbsp;vraagfluk twee oplosfi'ngen zal hebben.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Y

�. 1209. B. Geheei anders is het met de zaak gelegen,^^wanneef {Fig. 401.) de hoeken A en B wel beide fcherp zijn: maai^hoeknbsp;gt;hoek B is. Want, wanneer men het punt B in D brengt, en dchnbsp;halven cirkel DBA laat doorloopen;� dan zullen al de punten vattnbsp;den halven omtrek EKGCB, van E naar B te rekenen, het ��nenbsp;het andere, door den omtrek vrni den halven cirkel AGFD gasn*nbsp;Waaruit dan volgt:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

l� Dat, in dit geval, de zijde, a tiile waarden van o'* to: zal kunnen hebben.

DER meetkunst.

^en cirkel ABDE doorloopt, zsl het punt C nog ��nmaal door den omtrek van AGFD gaan: maar de driehoek, welke men dan ver-krijgt, zal niet meer den fcherpen boek, maar deszelfs fupplement totnbsp;��ne der gegevens hebben.

�* 1210. In dit geval, is het nogtans merkwaardig: dat, in dc eerfle helft van de omwenteling, de fnijding der halve cirkels, in den boognbsp;moet plaats hebben, en in de tweede helft, in den boog I'D;nbsp;Social de boog h, even als zijn overftaande. hoek, fcherp zal zijn., ennbsp;eindelijk dit geval van het voorgaande daar in onderfcheide.'nnbsp;dat A'P- B en lt; i8o^� � B is, terwijl, in het voorgaande, A tenbsp;gelijk kleiner dnn B en kleiner dan 180� � B zal moeten zijn.

�� i2it. Het zal gemakkelijk zijn, voor de andere opgenoemde gevallen, figuren (�. 1205.) te ontwerpen, ^om de omftandigheden,nbsp;Waarin het vta.-gftuk mogelijk is, of flechts ��ne, of twee oplosfmgennbsp;geeft, natcgaan. Den geenen, die het bovenllaande begrepen heelt,nbsp;zal zulks gemakkelijk vallen, en hem, die te zwak is, om het reedsnbsp;verklaarde te hebben kunnen volgen , zou eene verdere verklaringnbsp;Zonder nut zijn. Alle deze befchouwingen dan ver��nigendc, zalnbsp;men tot eenen regel mogen ftellen.

lquot; Indien de vergelijking Sin, Sin. a x Sin. B �. Sin. A, ava-Ijtisch onbeftaanbaar is; dan zal ��er ook geen driehoek bejiaan, op Welken de gegevens pasfen.

2� Is de vergelijking Sin. b ~ Sin. a X Sin. B: Sin. A analpiseh ^-jlaanbaar; dan zal,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

aj a gt; po� en A . benevens x/ lt;J i llo^� � B li) (7lt;po'� en AjifB, benevens A'P'\8o'^�Bnbsp;^inde; geen driehoek op de gegevens pasfen,

aj a'gt; 90� en A'^ B , benevens A gt; 180� � B bj a C, 90� en A lt;,B, benevens lt; 180quot; � Bnbsp;beJlaan 'er twee driehoeken, op welke de gegevens toepasfeUjk ripn.nbsp;4quot; Is eindelijk A'pquot; of lt;3 5 est tevens A of'gt; i'io iB.; dannbsp;^ejlaat 'er flechts ��n driehoek; die aan de gegevens voldoet, In ditnbsp;�eval, is de vplosfing niet meer twlifelaclitig, en de zijde, b is gelijknbsp;� an dezelfde foort als de pegeven hoek B,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

5 I'S alle gevallen, beflist nog boven dien de regel, welke zegt: dat de fum van twee zijden van dezelfde foort moet zijn, als de foiiinbsp;dfr hoeken, welke tegen over die zijden jiaan, (zie �, IP540 til de

BEGINSELEN

�. 1212. Wij gaai), un deze ophelderingen, tot de oplo'ifing over, en zullen, daar wij de hoeken A an B, benevens de zijde o�nbsp;als bekend aannemen, wegens de gelijkvormigheid van dit gevalnbsp;het voorgaande, meestal de uitkomften der oplosfingeu, met de aanwijzing van de gronden, waaruit zij zijn afgeleid, opgeveu.

�. 1213. A. Om de onbekende zijde b, welke tegen over deu bekenden hoek B (iaat, te vinden, heeft men de volgende oplosfingequot;'

�. 1214. I. Oi�i.ossiNG. Volgens �. 1204. wordt de zijde b �oo^ de formule.

Sin. b � Sin. a x Sin. B : Sin. A

gevonden.

�. 1215. II. Oplossing. Men ftelie. (vergelijk �. 1167.)

�lt;P)

�. I2ip. I. Aanmlrking. Wanneer b weinig van pc'* verfchik� zal men de tweede oplosfwg gebruiken, en de derde, wanneer ^nbsp;weinig van 90� afwijkt.

�. 1220.' II. jVanmi'rking. Wanneer men de zijde b, door �e� der voorgaande oplosfingen, gevonden heeft, zullen dezelfde Neperia-'quot;�nbsp;fche Analogien, welke in �. HfG gebruikt zijn, dienen kunnen,

�. 1221. B. Om de onbekende yijde c te vinden, heeft men volgende op'csfingen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

I) K R M E E T K U N S T .

hoeken zijn, welke, onder de gegevens A, B amp;n a, beftaanbaar zijn; Wanneer men dan, uit C en C', de loodregte bogen, CD en C'D',nbsp;op de bafis, laat vallen; dan zullen de regthoekige driehoeken BCDnbsp;en B'C'D' (omdat BC�B'� � a en B � B' is,) in alles gelijknbsp;zijn. Stellen wij dan BD � B'D� � p en AD o� AD'� q; dannbsp;hebben wij (form. (2), Bladz. 403,) Tang.p~Tang. a X Cos.B, en,nbsp;'volgens de XFL Steil., Tang.B x Sin.p � Tang. A % Sin.q; derhal-ve Sin.q � Cot.A X Tang.B X Sin.p; en AB, o� c, is gelijk aannbsp;�P Men heeft derhalve her volgend lielfd van vergelijkingen,

�. 1223. Aanmerking. Wanneer Tang.p negatief wordt; dan kan Men p negatief nemen: maar dan neemt men ftiizwijgend den lood-regten boog, welke, wanneer B ftorap is, buiten den ftompen hoeknbsp;Valt, �f, wanneer B fcherp is, den loodregten boog, welke men, opnbsp;het verlengde van AB, het eerst ontmoet, en dan is, in die onder-�delling, Sin.p in de tweede vergelijking negatief. Wordt Sin.q�gt; i;nbsp;dan zijn de gegevens, in alle gevallen, onderling onbedaanbaar: maarnbsp;is Sin.qc^i en negatief; dan moet q ook negatief genomen worden.nbsp;Men kan ook, wanneer Tang.p negatief is, het fupplement van p nemen: maar dan blijft Sin.q pofitief, enz. In allen gevalle, kan men,nbsp;welk fteifel men aannerae, nooit dwalen; want, daar de waarde vannbsp;c niet negatief noch ook niet grooter dan 180'� kan zijn, zal, bij denbsp;uitkomst, blijken, of�er ��ne, twee of geeiie oplosOngen, voor denbsp;bijzondere gegevens plaats zullen hebben.

�� 1224. II* Oplossing Men Helle, in de tweede vergelijking der voorgaande oplosfing, Tang. (p = Tang. B X Sin. p en Tang. p ~nbsp;P'(Sin. (A � Cp) : Sin. (A cD)); dan zal q � 90quot; 2p zijn.nbsp;Men heeft dan nog dit andere flelfel:

Tang.p � Tang. a X Cos. B; Tang. lt;p =2 Tang. B X Sin.p Tang, p � J/(Sin. (A � (p) : Sin. (A lt;?)); q � 9�� 2 i/gt;nbsp;en f =/gt; 90� 2 p.

�� 1225, Aanmerking. Wanneer de grootheid, onder het wortel-teeken, negatief wordt, dan zijn de gegevens met eenen mogelijken tlriehoek onbeftaanbaar.

Lot. A X Sin. B � Sin. c X Cot, a � Cos. c X Cos. B Lost men deze vergelijking, met betrekking 'tot Cos.c, (gelijk innbsp;S* 1178,) op; dan zal men vinden:

� nbsp;nbsp;nbsp;I � Sin^. a X Sin-, B

�. 1228. Aanmerking. In de twee laatfte oplosfingen, wordt d� grootheid, onder het worteiteekeh, gelijk aan Cos^.b; zoodat men, ot�nbsp;deze formulen te berekenen, noodwendig b zoeken moet: maar dezenbsp;waarde van b gevonden hebbende, zal men, QSin. a x Sin. Bnbsp;Sin. p. Hellende,) verkrijgen;

Cos. c 2=: [� i Cot.A X Sin.siB X Sin^.a-\-Cos.a X Cos.b'] : Cos^-l^ Sin. [[� Cot.AX Sin. zax Sin. B-\-Cos.B'K Sin.a'^ Cos.b~\: Cos'^.j^nbsp;�. 1229, Oplosiing. Uit de vergelijking, Cos.B x Cos.c-^nbsp;Cot.a X Siit.c � Coi.Ax Sin.B, (zie ill Oplosfing) zal, gelijk Dnbsp;�. 1181. volgen:

Tang. \c�..........�

Cot.axSin.A ( nbsp;nbsp;nbsp;1 jy f Sin.(B�//) X A/�.(zf 5)quot;| J

Sin. (A �A)^ \ nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1_ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos^.a x Sin^. A J (

�. 1230. De analytifche waarde van Tang.ic, wordt, op de volgende wijze, voor het gebruik der gewone Logarithmen-tafel herleidquot; 1� Indien B^ A h, en de tweede term der uitdrukking, onder betnbsp;wortelteeken, negatief blijft; dan Helle men:

_ y(Sin.CB�A) X Sin. (B Aj)

Cot. a X Sin. A nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin.QB-

en dan heeft men voor Tang, � c deze twee waarden:

Tang. Ic � CiX Cos^. i l^, en Tang. i c � ilx Sin^. 1 /z 2� Maar is Blt;^A, en wordt de tweede term, onder het worteltee-kenpofiiief; dan Helle men:

� nbsp;nbsp;nbsp;C-S � A)X- Sin. QB ^}) _nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ Cot. a X Sin.J.

Cut. a X Sin. A nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ Sin.QB-i-t^^

en dan heeft men:

Tang. nbsp;nbsp;nbsp;X Tang. v X Cot. Iv, of Tang. �tv X Tang A

X Tang. i v.

�. 1231, VI. Oplossing. Uit dezelfde vergelijking, zal, gelijk m

�. ii85gt;

X Sin. A

1232. Deze aiir.Iydfche uitdrukking voor Cot, Je, geeft da voi-�2::de vergelijkingen:

Cot.lc � Clx Coi'^. i IJ., of Cot. \c � ^X Sin'^. i H-s'* Maar is Blt;A; dan fteile men:

�. 1233, C. Om den onbekenden hoek C te vinden, heeft men de volgende oplosfingen.

�� 1234. Ow-ossiNG. Fig. 402. Men heeft, in den regthoekigen driehoek B CD, C^ie form. 3, Biadz. 403,) wanneer men de hoekennbsp;BCD en ACD, of B'C'D' en AC'D' gelijk Pen O (lelt, i� Cot.Pnbsp;� Cot.a X Tang.B, en, volgens de XFI. Steil. Cos. B ; Cos. A�Sin.Pnbsp;: Sin. Qj derhalve Sin, 0^:= Sin. P x Cos. A: Cos. B. Men heeft dannbsp;dit fteifel van vergelijkingen:

�� 1235. z^AXMERKiNG. tiicr gelden dezelfde aanmerkingen, als in �� 1223.

�� 1236. II. Oplossing. Uit de voorgaande oplosflng, zal men, geh]k in �. 1224, vinden;

�� 1237. Iir. Oplossing. Uit de vergelijking C�s.= Cjs. z? x Sin. B X Sin. C � Cos. B X Cos. C, (zie XIX. Stel!.} volgt:nbsp;f._ Cos. A X Cos. B

Wquot; nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.....�

�. 1239. Aanmerking. Omdat Sin'^. a x Sin'^. B : Sin^. Sin~.h is, zal men ((lellende Sin'^.ax Sin^. B ~ Sin^.nhebb.e�'nbsp;Coi.C�\_�Cos.A X Cos.B Cos.a X Cos.by. Sin. A X Sin.B'] : Cos�-f^nbsp;Stt! .C�\Cos. a y. Cos. A y Sin.B-\-Cos.bySin.AyCos.B'\iCos'^�?�'nbsp;vergelijkingen, welke, even als foortgelijken, in �. 1180, �. iiP^�nbsp;�. 1228, gevonden, op verfcheidene andere wijzen, herleidbaar zij�'nbsp;�. 1240, V. Oplossing. Dezelfde vergelijking zal gevai:

Sin. u =z [yQSin. QA B) X Sin. QB � A))} : Cos. a x Sin. B i'L � Cos.a X Sin.B-, Sin. 1 (.^ 5) X Sin. i (B�A)nbsp;en Tang. i C � Sl y Sin^. J p.; of Tang. J C~il y Cos^, 1nbsp;2quot; Of, indien B A is; dan (lelie men:

Tang. � [1/ QSin. QA-\- B) X Sin. (fi�/^))] : Cos. a y Sin. B a � Cos. a y Sin. B : i Sin. i (^A B) y Sin.i(B � A')nbsp;en Tang. I C=sny Tang.v X Cot. i v; of 2= � w x Tang.v y Tutig-^'^nbsp;�. 1242. Nog zal men, door dezelfde vergelijking, vinden:

2 Cos. i (^ B) X Cos.'I {B � A)

Sin.\i.~\y{Sin.{^A-\-B)y Sin.(^B~Ayj\-.Cos.ay Sin.B il =:Cos.a X Sin.B: Cos. l {A B) y Cos. i {B�A')nbsp;en Cot. lC = �,y SifA. i /z; of Cot. � C = I2 X Cos^. � Bnbsp;2� Is B lt;!, Aj dan Helle men:

Tang. V ~ [J/(5�. (13 � A) X Sin, (/f4' -f?))! � Cos. a y Sin. B w =: Cos, a X Sin. B: 2 Cos. I (A-\- Bj y Cos. i CB�A)

B		I nbsp;nbsp;nbsp;\ E nbsp;nbsp;nbsp;]
ri ^_\
Yi_
^ x~		. y
iK

Er�,F

DER MEETKUNST.

�. 1244. 1� De onderfcheidene oplosfingen, welke wij van elk gc-Vnl gegeven hebben, hebben niet alle, met betrekking tot de wcrk-'^^dige berekening, dezelfde voordeelen; offchoon, in zeer vele omflan-%heden, (welke wij, om geene te groote uitgebreidheid aan dit ftuk te geven, met (lilzwijgen voorbij zijn gegaan, en welke wij in onzenbsp;^^Oiidelinge lesfen doen opmerken,) foinmige oplosfingen, die het on-Sefehikfte fchijnen, boven alle anderen eene meerdere naauwkeiirig-lieid.

�. 1245. 2� Echter moet de leerling, die wenscht, niet Hechts oppervlakkig de bolvormige Driehoeksmeting te verftaan: iiiaar dit wnar-^�jk allergewigtigst gedeelte der Meetkunst te doorgronden: (en dit ^�ehoort hij, zal hij zich, met vrucht, de uirrauntendfie meesterftuk-keii der eerfte Meesters van onzen tijd eigen maken, en zich op denbsp;Sterre- en Zeevaartkunde toeteleggen, t� doen,) niet Hechts ai becnbsp;t'erhandelde, met lust en verftand, nagaan: maar ook elke onzer ilitgenbsp;bragte formulen op hetzelfde voorbeeld in getallen tocpasfen. Uitnbsp;deze oefening zal hij het dubbeld voordeel trekken: 1� van bekendnbsp;te worden met de voornaamlte der anaiytifche zetten, waardoor meijnbsp;de voortbrengfels van voorname Meesters, met vrucht lezen, en zelfsnbsp;tiieuwe dingen zal leeren uitvinden; 2� dat men, met het dadelijknbsp;Sebruik der teekens en tafels, die gemeenzaamheid verl.rijgen zal,nbsp;'t'elke een noodzake�jk vereischte uitmaakt van den geenen, die gaarde op die hoogte komt, dat hij zich, met vertrouwen, op zijn eigennbsp;'t'erk kan verlaten.

�. 1245. 3� De tweede, vierde en zesde gevallen zijn, met de ^t^rfte, derde en vijfde, zoo naauw verknogt, dat de eerfte uit denbsp;laati^u ^ rnet behulp van de eigenfchappen des aspunts-driehoeks, kun-tien afgeleid worden, waarom dan ook de formulen voor de oplos-dezer alzoo in verband ftaande gevallen, die in het oog loopv.m-over��nfteraming bezitten , welke de opmerkzame Lezer daarinnbsp;reeds zm hebben opgeraerkt. Het is nuttig, dat de Leerling, vooralnbsp;indien hij {jjg heeft, zulks naga. Een voorbeeld zal genoeg zijn,nbsp;01a hem den weg in dezen te wijzen. Wij hebben (-:/, B en C,

466

Laat nu A' B'C', fig. 390, de aspunts-driehoek van den driehoek ABC zijn; dan zullen, indien, in ABC, de zijden a, b en c geg�'nbsp;ven zijn, ook de hoeken A', B' en C' bekend zijn; want (///. St^nbsp;A'Tzsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� a, B'� b en C''�iSo'' � c zijnde, zal ook,

omgekeerd, �:=i8o�^�A', ^2:::i8o* � B', c~iSo��C''zijn� on daarom Sin,a~Sin. B^; Sin.b�ZzSin. B' en Sin.czzsSin.C' zijninbsp;om dezelfde reden, zal A�\%'A^ � a'B � i%o�^�b'; C�i^�^

� nbsp;nbsp;nbsp;c'wlA=z9o''~ia'; i Bzzi^o^ � lb'; i Czz^oquot;^ ~ i c'nbsp;Sin. \ A � Sin. (90'^ � i �) � Cus. J a; enz. Cos. i A�Sin. i a enz-zijn. Verder is 5' C'�= 540� � (a b c^i S'�O.�J'^

� nbsp;nbsp;nbsp;s en 5 = 270� � S'�, derhalve Sin.szz.Sin.Qiyo'^ � 1?')= � � *nbsp;Sin. 270� X Cos. y � Cos. 270� X Sin. Sgt;; dat is, omdat Sin. 270�:^

� nbsp;nbsp;nbsp;I en Cos. 270'-' = o is, Sin. s = � Cos. S'. Eindelijk van s 2^nbsp;2~Qo � S', a z=. iSo� � A' aftrekkende, zal �er s � a � go'^ �nbsp;(d''�A'') overblijven; derhalve zal Sin.{s � a) � Sin. ^0� x . gt; �nbsp;Cos. (6'/ � A�') � Os. 90� X Sin. QS' � A'y, of, Sin. (s � a) ^nbsp;Cos. (^s' � A'^ zijn: insgelijks is Sin. (5 � b')~ Cos. QS' � B') oUnbsp;Sin.(_s � c')~Cos.QS^�C'). Stelt mei- nu al dit gevondene,

de bijgebragte vergelijkingen; dan zal men de waarden Sin. | a' 0� Cos. t a', welke in de tweede en derde oplosfingen van het tweedenbsp;geval, gevonden zijn, verkrijgen,

�. 1247. 4� Wanneer men de gevondene formulen voor de onder-fcheidene gevallen, (welke alle zoo ingerigt zijn, dat men geene bij' zondere figuur, om de berekening te maken, behoeft te teekenen,)nbsp;op de berekening van eenen dadelijk gegevenen driehoek wil toep*�'nbsp;fen; dnn behoeft men, wanneer het �er op geene groote naanwke'^'nbsp;righeid aankomt, niet alle cijfers van de decimalen der Logarithm^'�nbsp;te gebruiken; in dit geval, zijn de vijf eerfte cijfers der breuk voldoende. Indien wij dan de berekening vrm de opgegevene voorboodnbsp;den tot in de tiende deelen van fecunden bepaald hebben, is ziJksnbsp;gefchied, om den Leerling aan deze ftrikte naauwkeurigheid, die ech'nbsp;ter altijd niet noodig is, te gewennen.

468 nbsp;nbsp;nbsp;B E G I N S E L E N

als bekend aanmerkt, de waarden van (x y)'fi'i Taug.(y in onbepaald voortloopefl4e reekfen kunnen uitdrukken: want, indielt;inbsp;men de vergelijking (g_) met Tang. a zz (m Sin. 13): Qi m Cos. P'3nbsp;vergelijkt, dan is txzzx -\-y; ^zz2-y; (/gt; ?) t C? ~P) �nbsp;meii heeft dan:

�. ^253. Deze onbepaald voortloopende reekfen geven onder anderen aanleiding tot de volgende befchouwingeh.

�. 1254. I� Van eenen regthoekigen bolvorinigen driehoek ARC, r egt hoekig in Bgegeven zijnde, ��nen der fcheve hoeken A, benevens de hypothenufa b; dan zal de regthoekszijde c aan den fch�veflnbsp;hoek liggende, uitgedrukt worden door de formule

eene reeks, welke uit de vergelijking Tang.c zz Cos, A X Tang A ^ met behulp van de vergelijking (Rr) wordt afgeleid, en, wanneetnbsp;de hoek A tiiet- boven '30� is, aanmerkelijk convergeert.

�. 1255. 2� Dergelijke reekfen zal men voor andere gevallen der regeboekige bolvormige driehoeken kunnen vinden. Als bij voorbeeld�nbsp;uit de vergelijking (3) en (7), van de Tafel, Bladz. 403,

�. 1256. 3� Alle de, Neperiaanfche Analogien zijn voor dergclijk� herleidingen vatbaar. Om ons flechts bij de (12) en (13), zie Stelling XVII, te bepalen, zal men, met behulp van reeds meermaal aan-gehaalde eigenfehappen der goniometrifche lijnen, vinden: dat

4 Sin. Iquot;

zijn. Door welke reekfen dc halve fom en het halve verfchil der twee onbekende hoeken y/ en B, uit de twee gegevene zijden a ennbsp;i� en den ingefloten hoek C, kunnen gevonden worden; maar daar toenbsp;Wordt vereischt: dat beide reekfen genoeg convei'gerett 5 flechts eennbsp;gering getal termen tot de berekening uoodig te hebben. De eerftenbsp;vonvergeort altijd, oipdat in de analogie, waaruit zij is afgeleid, b'ii' anbsp;Pefleld wordt: de tweede reeks zal ook convergeren, inuien ....nbsp;'i'.'ing. \a Y. Tang. iblt;i, of Tang. i a lt; Cot. i ^ is; en, -dit gevalnbsp;^gt;eeft klaarblijkelijk plaats, indien �-j-Alt;i8o� is. Wanneer nogtansnbsp;e bgt; i8 oquot; is, zal men, door den Ibppleinents driehoek in plaatsnbsp;van den gegevenen te berekenen, (zie II. Bep.') de divergentie van denbsp;feeks kunnen vermijden. Dan, men zal ia alle gevalle, wanneer denbsp;Ssgevene zijden a tn b, beneden de 45� vallien, en het verfchil dezer zijden zeer groot is, deze reekfen met voordeel kunnen gebruiken.

�. 1257. Gevoi-g. Uit de tweede reeks volgt onmiddelijk: dat J nSi;:,C Sin. 2 Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. 3 C

1 T\-Zquot;77/ nbsp;nbsp;nbsp;_ iv� .77� �T

e^Sin.i'^

is, rfjnda n � Tang. X Tang. -J b, door welke reeks de overmaat ''au de fom der hoeken eens bolvormigen driehoeks boven twee regtenbsp;iioeken in eene reeks, welke fuadlie van twee zijden en derzelver ingefloten hoek is, in een getal van fecunden wordt voorgefleld, zoo-dat, w'anneer men (zie XFII. Steil. XII. B.) hef getal, dat dc bere-t:ening v.an deze reeks geeft, door 2592000'''', welke in 720� begrepen zijn, deelt, het quotient de betrekking van den inhoud des bol-''ormigen driehoeks tot den inhoud van hetoppervlak van den bol totnbsp;quot;'eiken hij behoort, zal voorftellen.

�. 1258. 4� Keeren wij tot de vergelijkingen (jt) en (v) ^'^�F.i(=SirF.lQa b') X Sin^.lC-\-Sin^.l{b~a') x Cos^.iC (�)nbsp;Gosz .lc � Cos^.l{a b^ X Sin^.iC-Y Cos^. | {b�a') xCos^.iC (v)nbsp;welke in �. 1123 en �. 1123, B/alz. 438 en 439 betoogd zijn, te-rug; dan zien wij: dat de termen van de leden dezer vergelijkingennbsp;de zijden van twee regthockige platte driehoeken voorflellen, iq dennbsp;eerlten van welke, Siii,c de hypothemifa, eji Sin, lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin, i C,

Gg 3 nbsp;nbsp;nbsp;en

en Sin, \ (b�X Cos. � C, de regthoekszijden zijn, en in de tweedffl� Cos.ic de hypothenufa, Cos. i (� ^) X Sin. \ C en Cos. �

X Cos. � C de regthoekszijden. Nu kan men ook uit deze vergelijkingen twee andere afleiden, welke de zijden van een platten driehoek voorftellen, met den bolvormigen driehoek ABC denzelfden hoek ^nbsp;gemeen hebbende. Men ontwikkele, tot dat einde, de waarden vannbsp;i (^ �), Sin^.l(b�a), Cos^. I {aF) en Cos^.iQb�^r)�nbsp;volgens de vergelijkingen van de III. Steil. VIll.B,, en fchrijve voornbsp;Sin^, IC� i � i Cos, C, en voor Cos^, � C� i i Cos. C; dan zalnbsp;men vinden:

Sin^. i c z= Sin^. � lt;7 X Cos�. � b -}- Sin�^. | b X Cos^. la ... - � � 2 Sin. i a X Cos. I b X Sin. i b x Cos. i a X Cos. C . . Qa�

Cos^. i 0 = Cos^. ia X Cos^. Ib Sin^. la X Sin^. .......

2 Sin. ia X Cos. ib X Sin. ib X Cos. ia X Cos, C . . (�'�') Het is genoeg deze forraulen in te zien, om overtuigd te worden:nbsp;dat de eerde (zie VII, Steil, IX, B,') do vergelijking is op de zijdennbsp;van eenen regtlijnigen driehoek, welker zijden respedtievelijk aan � :nbsp;Sin. i c. Sin, la X Cos. Ib en Sin, � h x Cos, I a, gelijk zijn,nbsp;welks hoek tegen over de zijde Sin.ic (laande, gelijk C is, en datnbsp;de tweede formule de vergelijking is op de zijden van eenen anderen regtlijnigen driehoek, welks zijden door Cos.lc, Cos,ia xCos.h^nbsp;en Sin. ia x Sin. � b worden uitgedrukt, en waarvan 180'' � C denbsp;hoek is, welke tegen over de zijde Cos. 1 c ftaat.

Wanneer nu de vergelijking op eenen regtlijnigen driehoek 7� rr** nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 2 cc i3 X Cos. C gegeven is; dan zal, zie �. 642, Bladz. 24^�

in Neperiaanfche Logarithmen,

�

O-

D a R. MEETKUNST.

fchcid tusfchen de zijden a cn 13 grooter is. Men vergelijke nu de Vergelijking (��), term voor term, ms't de vergelijking

� 2 a |3 . Cos, C; dan is cc ~ Sin, k a X Cos. i b en Cos, i a X Sin. i a; dan zal men :

Log. Sin. ie� Log. Cos. la-\- Log. Sin. i b -\-p. Cos. C� ip^ . Cos. 2 C ip^ .Cos.2C�ip* , Cos. 4 C ipj_. Cos. 5 C�cnz.

Log. Sin, Ic� Log. Sin, ia-jr Log. Cos. \b-Yq, Cos, C� i . Cos. 2 C i . Cos. 3 C� 4- 54 . Cos. 4 C 1 45 . Cos. 5 C � enz.nbsp;welke vergelijkingen de bovenfle teekens indien C fcherp is, en denbsp;feenedenfte indien C Homp is, moeten genomen worden; en, wanneernbsp;^'gt; a zal de eerfte reeks convergeren; de tweede indien agt; b is.

L--og. Cos. ic=.Log.Cos. ia-\-Log. Cos. lbr\-r.Cos.C�ir^, Cos.aC-i-enz, Log,Cos. \c~Log.Sin. \a-\-Log.Sin. ib-\-s.Cos.C�is^ .C0S.2 C-{-enz,nbsp;gt;n welke reekfen, de bovenfle of benedenrte teekens gelden, naar datnbsp;C fcherp of ftomp is, en vermits r = i : s is, zal ��ne dezer reekfennbsp;Convergeren, indien de andere divergeert,

�, i25p. Men zal voor het vierde geval, wanneer twee hoeken met de ingeflotene zijde gegeven zijn, foortgelijke reekfen vinden kunnen,

OcvaUest, in welke Bolvormige Driehoeken, door eene henack-� ring, eenvoudiger, en, met eene voldoende naauwkeu^nbsp;righeid, kunnen opgelost worden.

�. 1260. XIL Vraagstuk, Wanneer, drie zijden a, h en c van eenen holvoimigen driehoek gegeven zijnde, de bekende zijden a en bnbsp;U'einig van po� verfchillen , den hoek C, tusfchen de zijden a en bnbsp;liggende, door eene eenvoudige benadering te vinden?

Oplossing, Men ftelle a po^ � x en b~ po� � /3 en Czz; c �t; dan zal, omdat, wanneer azzpo^ cti b~poS� gefield wordt,nbsp;C�c is, X een zeer kleine boog zijn, en de vergelijking Cos. C^nbsp;[Cos, c �� Coj. a X Cos. b'\: Sin, a X Sin. b, zal in

Cs 4

BEGINSELEN

vernnderen. Maar, aangezien � en /3 zeer klein zijn, zal men, de reekfen (.59)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^o)gt; Bladz. 211, de vierde magten van ot, en /3)

als ten uiterfte klein zijnde, verwaarlpozende, vinden; Sin- �.quot;A Sin,? � xK-b en Cos. a, X Cos. ? � i � i � i /�, en dan verkrijg'nbsp;men:

a l3 � i (,z- ?^). Cos. c

in welke vergelijking, (aangezien a (3 en i(a^ (3*), ten opzig^e Van � en ^ zelve, zeer klein z.ijn,) niet meer dan zeer kleine grootheden verwaarloosd zijn geworden. Men ftelle nu t (� /3)nbsp;en i (jc � /Sj) ; dan verandert de gevondene vergelijking in :

*= ' (-IS�) - (rw�~)= ^* X i �

� nbsp;nbsp;nbsp;. Cof. i c

Het tweede lid dezer vergelijking, in deelen van de draal uitgedruk*^ zijnde, moet met het ftandvartig getal 206264'''', 8 vermenigvuldigd,nbsp;of met Sin. gedeeld .worden , om x in fecunden te verkrijgen: mequot;nbsp;heeft derhalve, in fecunden van eenen boog,

wanneer echter � en ?gt; 2^ waren, zou het beter zijn, ziek van de gewone oplosfmg des driehoeks te bedienen. In de Werkdadig�nbsp;Meetkunst zullen wnj nog eene andere oplo^fing geven,

�� 1261. XIII. Vraagstuk. Eenen bolvormigen driehoek, zijden, snet het rekking tot de fti'aal van den bol, tot welken hijnbsp;hoort, zeer klein zijn, op de wijze van eenen regtlijnigen driehoek op',nbsp;telosfeu ?

OPLOSSING. Laten a, b, c, de zijden van eenen bolvormigen dri�' hoek zijn, behooreude tot den bol, welks ftraal �r is; nemen vvij�nbsp;a, b, c tn r, in dezelfde ��nheden, bij voorbeeld, meters, z')�nbsp;uitgedrukt; dan zullen de zijden van eenen bolvormigen driehoek,nbsp;��nheid tot ftmal hebbende, zijn a:r, h\r en cxr, en, volgens ti�nbsp;bekende eigenfehap, zal

Zijn; fielt men dan deze waarden in de vergelijking voox Cos, A; dan Zal men, na behoorlijke herleiding, en, na den teller en den noemernbsp;der breuk met i {b^ c^): 6 vermenigvuldigd te hebben (denbsp;''ijfde en lioogere magten verwaarloozende,) nagenoeg verkrijgen:

Verbeelden wij ons nu eenen regtlijnigen driehoek, welks zijden, i�1 lengte, gelijk zijn aan de zijden van den voorgeftelden bolvormi*nbsp;gen driehoek: zij A' de hoek, welke in dien regtlijnigen driehoeknbsp;*�gen over de zijde a ftaat; dan is (zie FII. Steil, IX. B. en Bijy,nbsp;XIX. Steil. III. B.') Cos. A'z:z{b'^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: s2.bc, en

4 Sia^, A' zzio. a^h'^ -)- 2 nbsp;nbsp;nbsp;�a�^ � b* en

Hieruit blijkt: iw. A'gt; A' is; ftel derhalve A-=zA�-\-xi dan zal ^hfin het vierkant van x, als zeer klein zijnde, zonder merkbare on-��aauwkcurigheid, kunnen verwerpen, en dan is Cos. A � Cos. A'� xnbsp;Si!:. A'. Trekt men nu deze vergelijking van (/gt;) af; dan zal men,

laar nu is IbcX Sin.A' de inhoud van den regtlijnigen driehoek, 'vaarvan ^ en c, de zijden zijn; en deze is (dit gevoelt men vannbsp;niet merkelijk van den inhoud des voorgeftelden bolvorinigennbsp;dehoeks onderlcheiden: wanneer men derhalve den inhoud dezer

BEGINSELEN

de fom der hoeken des bolvorniigen driehoeks bo�/en twee regte hoeken. Wij noemen voorman, die overmaat het fpharhch exces, en uit cit alles volgt dan: deze merkwaatdige eigeufchap.

Eefi bolvo'inige driehoek, welks hoeken wij A, B en C noemen, en W'iks overjlaande zijden a, b, c, met betrekking tot de flraalnbsp;van den hol, tot welken hij behoort, zeer klein A]n, fiemt nagenoegnbsp;ove.'��n met cenen regtlijnigen driehoek, welks zijden a, b en c, de�nbsp;zefle lengte als de zijden van den halvorn�gen driehoik hebben, eitnbsp;waarvan {ii dien w het fphterisch exces is,j de overffaande hocke'dnbsp;geliik zijn aan A �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, B � ^ co eu C � ^ co,

�. 1262. Aanmehking. Dit Theorem;�, is, in de berekening der driehoeken, welke op het oppervlak van den Aardbol, in de' Geode-/ie, oi.tworpen worden, van het nirgeftrekte nut, De ftandpiaatfei'nbsp;zij'i. wei is waar, m^-estal op onderfcheidene afilanden van het mkl-de'punr der Aarde verwijderd; dan, men neemt, door de behoorlijkenbsp;berieidingen in acht te nemen, in plaats van de waargenomen driehoeken, de boivonnige driehoeken, welke op een bolvormig waterpas ontworpen zi;n. De bekende zijden dezer driehoeken moeten tevens met de flraal der Aarde in dezelfde maat (bij voorbeeld, meters,}nbsp;2'in uitgedrukt, en dan is, het fpharisch exces co gelijk aan den in'nbsp;koud van den driehoek, gedeeld door het vierkant van de ftraal degt;'nbsp;Aarde, en om dit Iphatrisch exces in fecunden te verkrijgen, moetnbsp;hetzelve met 2062�4'quot;, B, van den omtrek eens cirkels, welke int�*�nbsp;lengte van de draal begrepen zijn, vermenigvuldigd worden. Daafnbsp;nu �dn-vierde van den middagcirkel, of litr� 10000000 meters isgt;nbsp;za� Lng.r^zzi'b �o-�-�oz' zijn, hier aftrekkende de Logarithmus van denbsp;flraal, in fecunden uitgerirukt, namelijk Log. 2o6264'�'',8:=5,3i44��*�nbsp;verkrijgt men 1, 7066649 voor den flandvastigen Logarithmus,

D 3 R MEETKUNST.

Ulhn, en van ds fom tien aftrekken om den Logarithmm van het fpharisck exces te vinden.

�� 1263. Wanneer dus twee zijden a m b met den ingefloten hoek gegeven zijn, zal, daar Inh.� lab X Sin. C is, het fpha;rischnbsp;�xces door

�� 1264. Is eene zijde met de twee aanliggende hoeken A en B S�geven, zal, daar Inh. � lc^ X Sin.Ax Sin.C:Sin.(^A-\-B') is,nbsp;fphjerisch exces door

�. 1265. Zijn eindelijk de drie zijden a, ^ en c gegeven; dan zal, ^:=z i a i b i c Hellende, het fpiisrisch exces

�. 1266. I. Door het fpha,Tisch exces, tot welks berekening vijf cij-van de decimalen der Logarichinen voldoen, kan men den graad Van naauwkeurigheid, met welken de hoeken aan de middelpuntennbsp;4er ftandplaatfen, welke de zijden van eenen fphtcrifchen driehoek,

het oppervlak der Aarde, maken, ver��nigen, ten ftrengfte beocr-'^'^elen. Bij voorbeeld, indien men, na behoorlijke herleiding, tot de ^liddelpunten der torens en tot den Horizon bevonden heeft, dennbsp;driehoek

�0, door eene ruwe berekening, de Logarithmen van de afflanden quot;Jezer punten zijn bekend geworden, bij voorbeeld, de Logarithmusnbsp;5ffland van Alkmaar tot Amfterdam, in meters, =4,4805476; dannbsp;Zal men door formule (/) vinden wem i'''', 180: daar nu de fom dernbsp;Vvaargenome hoeken = 180� o'o''',923 is, en de fom dezer hoekennbsp;18o�o'iquot;, 180 moet zijn; is deze fom o''^, 257 te weinig, en elknbsp;der waargenomen moet gevolgelijk met o'''', 086 vermeerderd worden,nbsp;bm de misflagen der waarneming over dq hoeken gelijkelijk te ver-deelen.

BEGINSELEN

zijden, ill meters, bekend is, en de bolvormige hoeken, ann zijde gelegen, zijn waargenomen, zal men den derden hoek bij coB'nbsp;clufie vinden, vanneer men (het fphtsrisch exces door formule (^0nbsp;berekend hebbende,) het fupplement van de [om der waai'genome�nbsp;hoeken met het fpheerhch exces vermeerdert; en trekt men dan ��n-de''~nbsp;de van het fphtcriseh exces van eiken hoek af; dan zullen de verjc'^gt;�'nbsp;Icn dienen, om de we onbekende zijden naar de regels der plattenbsp;Driehoeksmeting te bepalen.

�. 1208. Hl. Zijn voorts twee zijden van eenen kleinen bolvormige** driehoek, in meters, gegeven, benevens den ingefloten hoek, dan Wnbsp;men ��n-derde van het fphcerhch exces van den gegeven hoek aftrek'nbsp;ken, en dit verfchil voor den hoek eens r egt lijm gen driehoeks, dezelf'nbsp;de zijden als den gegeven bolvormigen driehoek hebbende, aannemp''nbsp;men zal dan, door de berekening van dien regtUjnigcn driehoek,nbsp;onbekende zijden vinden en de hoeken, die deze berekening geeft ?nbsp;tnet ��n-derde van het fphicrisch exces moeten vergrocten, om de OH'nbsp;bekende bolvormige hoeken van den gegeveuen bolvormigen driehoeknbsp;te verkrijgen.

�. 1269. IV. ^ijn de drie zijden van eenen bolvormigen driehoek� in meters, gegeven, zal men om de hoeken te vinden, den regtlijnt'nbsp;gen driehoek, welke die gegevens zijden heeft, berekenen, en elk defnbsp;gevondene hoeken , met �en-derde v(iH het fpharisch exces, dat 0nbsp;door de formule {Kj gevonden wordt, moeten verhoogen.

�. 1270. V. Eindelijk zal men nog, door de toepasfmg van diezelfde beginfekn, eenen bolvormigen driehoek, welke twee zeer fcherp^ hoeken heeft, na eene ligte herleiding, op de wijze van eenen regS'nbsp;lijm gen, kunnen oplosfen. Want, de aspunts-driehoek van den gegS'nbsp;venen zal twee zijden hebben, die wpinig minder dan 180'' zijn; los'^nbsp;men nu de fiipplements driehoek van den laatflen op, welks zijdennbsp;zeer klein zijn; dan zullen_ al de onbekende zijden en hoeken vannbsp;den aspunts-driehoek, en gevolgelijk ook die van den gegevenen driequot;nbsp;hoek bekend worden.

l^raagfJukken, betrekkelijk de Bohormtge Driehoeken en feelhoekcn, benevens derzelver gebruik in de Lig-(jhaamsmeting.

�. 1371. EIV. Vraagstuk. Twee dingen van eenen gelijkbeeti'f^^ holvortnigen driehoek ABC (in welken AC�BCof wzzb isd)nbsp;geven zijnde, de andere onbekenden te vinden?

Opi.ossing. Men la!fc, uit het toppunt van den tophoek C, den loodregten boog CD op de bafis vallen: deze deelt den tophoek ennbsp;*^6 bafis beide in twee gelijke deelen, en den driehoek in twee regt-hoekige driehoeken, welken bij oppofitie gelijk zijn. Stellen wij nu:nbsp;dan geven elke dezer regthoekige driehoeken:nbsp;f Sin. i C~ Sin. � c : Sin. a

Gegeven a en c | Cos. A � Cos. B � Tang. I c: Tang. a

V nbsp;nbsp;nbsp;Cos.p ~ Cos. a : Cos. | e

r Cos. a � Cos. b -sl Cot. A X Cot. i C Gegeven A en cl Cos. i c � Cos. � C: Sin. A

V nbsp;nbsp;nbsp;Cos. p ~ Cos. A: Sin. 1 Cnbsp;^ Tang. i c � Tang. a x Cos. A

/ Cot. i ------

(. Sin. p = Sin. A X Sin. a r Tang, a � Tang. J c: Cos, Anbsp;Gegeven A en c'. Cos. i C � Sin. A X Cos. i cnbsp;\Tang.p~ Sin. I c x lang. Anbsp;r Sin. Ic � Sin. i C x Sin. a

rf Pof A- I

Gegeven C en a { Cot. A � Cos. a x Tang, j C V Tang, p � Tang, a x Cos. Cnbsp;r Sin. b � Sin. J c : Sin, J Cnbsp;Gegeven C en c J Sin. A � Cos. i C: Cos. i c

�. 1272, Aanmerking. Ilet laatfie geval is twijfelnchtig. Neemt den driehoek gelijkzijdig; dan is az^b � c; alsmede A~Bnbsp;^ C; en dan is Sin. lAzsz Sin. J a; Sin, a zsz Sin. \a\z Sin. i a y.

i a � i : 2 Cos. I a'szz i Sec. i a. Zoodat in cenen gelijksijdigcn �^' iehoek de Sinus van de helft van ��nen der hoeken gelijk is aannbsp;^0 heft van de Secans van ��he halve zijde. Voorts is, in den ge-'�jkzijdigen driehoek. Cos. p � Cos. a X Sec. la � Cos. A x Cosec. i A.

�� 1273. XV. Vraagstuk. De foin of het verfchil van twee hoe-of twee zijden van eenen bolvonnigen driehoek, benevens den der-hoek of de derde zijde, met nog de zijde of hoek, -welke tegen ^Ver deze taatfle jlaat, gegeven zijnde, de onbekende zijden en koe-^en van dien driehoek te vinden?

Oplossing. Uit de vergelijking (�), �� 112.2. Bladz. 4S9, en ''srgelijiving (12^ XtAI. Stelling, volgt Sin. J (jib')'. Sin. I e zztnbsp;^os, j . (S � A) : Sin. � C. Uit dezelfde vergelijking (u) en (yj),nbsp;slsruede uit de Neperiaanfehe Aiialogicn, zal men foortgelijke vergelij-

BEGINSELEN

kingen vinden, en in alles, zal men de volgende merkwaardige vefg�quot; lijkingen verkrijgen:

Sin, � nbsp;nbsp;nbsp;_Cos. 5 (5 � A')

Sin. i c nbsp;nbsp;nbsp;Cos, | C � �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;

Cos. i Qj f) _Cos, i QA -5)

Cos. i c nbsp;nbsp;nbsp;iin. I C

Sin. i (Z� � a')_Sin. j (^B � Aquot;)

i^in. ^ c nbsp;nbsp;nbsp;Cos. 5 C

Cos. i � aquot;)_ Sin. � (^A T�)

c�s.Tc

^ nbsp;nbsp;nbsp;, Sin.iCA B')xCos.ic

De zijden b en a door deze berekening bekend geworden zijnde, 1-'^ men de hoeken A en B door

B�\{_A^B')-\-liB � A') m A=:lQA-\-B')�iiB�^') zijn. Men zal, op deze wijze de bovengevondene vergelijkingfi**nbsp;aan de oplosfing van andere foortgelijke vragen kunnen dienstbaafnbsp;maken.

�. 1274. XVI. Vraagstuk. Fig, 3P3. de zijden van cenen holquot; vormigen driehoek gegeven zijnde, den loodregten boog te vinden,nbsp;ke, uit het toppunt van ��nen der hoeken, op de overftaandenbsp;valt ?

zijnde s � i.a-\-ib-\-ic; en volgens de IX. Steil, is Sin. CD^ Mn, A X Sin. AC~ Sin. A X Sin. b; derhalve

WER MEETKUNST.

'^w.a en Sin.b behoeven te nemen, om de wnarde van de loodregte l'�gen JE eh BF ts verkrijgen.

1275. Aaniierking. Men zal door deze gevondene vergelijking onder anderen de twee volgende vverkftukkeii kunnen oplosfen.

t'* Za/ men, wanneer, {Ftg. 403.) in een hellend vlak QJl, uit Voet van eene verticaal lijn A Pi, twee lijnen AE en BC naarnbsp;'*��^lgevallen in dit vlak getrokken zijn, uit de waargenontene horkennbsp;PAB~a en BAC den hoek, onder welke dit �i lak hetnbsp;^^f'izontale vlak fni'dt, kunnen berekenen.

Ook zffl men, door diezelfde formule, den hoek (Fig. 404.) �Wider welken eenige lijn AP een vlak �R ontmoet, kunnen hereke-wanneer men, uit het donrfiijdingspunt A, twee lijnen AB ennbsp;naar welgevallen, getrokken hebbende, de hoeken BAC, BAPnbsp;Cap, door dadelijke meting, bepaald heeft.

�. 1276. XVII. Vraagstuk. Al de hoeken van eenen bolvormigcn driehoek gegeven zijnde, den loodregten boog te vinden, welke uit hetnbsp;^�iekpunt van ��ften der hoeken op de overjlaande zijde valt?nbsp;Oei.ossiNG. Uit de formule in �. 1103, gevonden zal volgen:

nsne waarde, welke ook met behulp van den aspunts-drichoek, uit 'Je oplosfing van het voorgaande vraagftuk, kan afgeleid woiden.

S. 1277. XVIII. Vraagstuk. Twee zijden a en b, met dm Inge-^^ten hoek C, eens holvormigen driehoek gegeven zijnde, den hodreg-hoog CD te vinden, welke, uit het hoekpunt van dm bekenden 'Wik C, op de onbekende zijde c valt?

Oplossing. Volgens het II. Gcv. XXL Steil, is (zie Fig. 3P3.) �tng. ACD ~\(J'ang.b X Cot.a � Cos.Cj : Sin. C, deze vergelijking in het vierkant brengende, en, aan beide zijden van de nieuwenbsp;�'^ngelijking de ��nheid bijtellende, zal men de waarde van Sec'i-.A-''Dnbsp;^'niden, en deze met Copi-.b vermenigvuidigende, zal men, na be-'oorlijke herleiding, verkrijgen:

^ �� 1278. XIX. Vraagstuk. Nog dienzelflen loodregten boog CD Vinden, wanneer de ba fis c, benevens d,e hoeken A en B aan denbsp;^W�fn gegeven zijn ?

�. 1279. XX. Vraagst�ic. Fig. 405. De faces of zijden van eenci^ drievlakkigen hoek ABCM, te veten, hoek AMC�c; hoek BMC'^^nbsp;en hoek AMC � b gegeven zijnde, begeert men te vinden: hoedantonbsp;uit het- hoekpunt M, de lijn MP zal moeten getrokken worden, ofnbsp;dat zij, met elke der drie ribben, gelijke hoeken A MP, BMP 0^nbsp;OMP make?

Sin. u ~ Sin. s X Cos. t Sin. t X Cos. s . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

Cos. s z=. Cos. � c X Sin. p, en Cos. t = Cos. ia x Sin. q Sin. u zz. Sin. � b: Sin. x

fielt men alle deze waarden van Sin.s, Sin.t, enz. in de vergeW' king (a); dan zal men vinden:

waaruit, indien men {s~ i a i b i c zijnde,} voor Sin.B waarde in 1090. gevonden, ftelt, volgen zal:

fegte cirkelvormige kegel out eenen drievh,klagen luek l.an hcfchre-^'cn worden.

�. 1281. XXL Vraagstuk. Wanneer niet de zijden van den drie-vlakkigen hoek; maar wel de ftandhoeken zijner zijden gegeven zijn, hetzelfde te vinder,?

Oplossing. Fig. 4c5. Uit den regthoekigen driehoek jpj) volgt: Tang. X � T.'ing. h c : Cos. p. Stellende nu J// i �B �C=.S',- dannbsp;is X= 4 r en p�.S �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; r) = X � C en Cos.p� , . .

Cos.QS � CJ; derhalve Tang. x� Tang. k c : Cos. {S�Cj. Schrijft men nu voor Tang. Ic de waarde, in �. 1102, voor de-ielve gevonden; dan verkrijgt men:

Tang. x � J,d-

Cos. {S�Aj 'A Cos. iS�B) X Cos. (0 � C�)

�. 1282. XXII. Vraagstuk. De drie zijvlakken van eenen drie-vliikkigen hoek gege'-en zijnde, uit het hoekpunt eene lijn te trekken, welke , met elk dezer drie zijvlakken, gelijke hoeken maakt ?

Oplossing. Dit vraag'luk komt hier op neder, om, binnen eenen bolvormigen driehoek, een punt te vinden, dat eenen gelijken afilandnbsp;van elk der zijden heeft. Stelt men dezen afdand �x, en szztlanbsp;Ib -{� ic; dan zal men vinden:

Sin. s

' }/{_� Cos.S A Cos.jS�A) X Cos.ijs�B) X Cos.(S�C}] �. 1284. XXIV. Vraagstuk. De [om der hoeken van eenen hol-vormigen driehoek, uit deszeIfs gegevene zijden, te vinden?

Oplossing. Volgens het I. Gev. UI. Steil. VUL B., is......

Cos. i (A -i- B -r C) =: Cos. \ A A Cos. \ B x Cos. i C� Cos. \ A a Sin. \ B A Sin. s C � Cos. \ B A. Sin. \ A A Sin, i C� Cos. i C Anbsp;Sin. \A A Sin. � B. Stelt men iiu, voor de Sinusfeu en de Cofinus-i'en der halve hoeken, de waarden, welke daar voor, in �. 1087 ennbsp;1083, gevonden zijn; dan zal men, na herleiding, verkrijgen:

Sin.s� Sin.Qs�a) � Sin,(s�b) �Sin.Qs�c)

482 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

zijnde, in deze vergelijking, s~ka-\-lh-\-hc. Maar nu is (^1� Steil. VUL B.') Sin. s � Sin. (_i � a') � 2 Sin. i a K Cos. (s � � tt')nbsp;~ 2 Sin. ia X Cos. i t) en Sin. (s � ^} Sin. (_s � lt;0 ^nbsp;^Sin.Qs�2(5 0} Cos.iQb�cj = 2Sin.iaxCos.i(_b�O�nbsp;derhalve:

Sin. s � Sin. (s � /v) � Sin. (s � 5) � Sin. Qs � o') =.2 Sin. i X [Cos. i (5 0 � C�i. i (5 � c)]nbsp;of, (omdat Cos. | (5 r) � C'�s. � (5 � 0 � � ~ i 5 X Sin. � tnbsp;is,) Sin.s � Sin. (s�a) � Sin. (s�b')� Sin. (s�0� � t^-Sin.ittnbsp;X Sin. i 5 X Sin. i c. Stelt men dan deze waarde in vergelijkingnbsp;(/3), dan is:

�. 1285. XXV. Vraagstuk. Den omtrek van eenen holvormigen driehoek, uit deszelfs gcgevene hoeken, te vinden ?

�. 1286. XXVI. Vraagstuk. Te vinden: hoe de inhoud van eenen holvormigen driehoek van twee zijner zijden a en b, en den ingcflo-tcn hoek C, afhangt r

Orlossiag. In de XFII. Stelling Xll. B. is bewezen: dat het oppervlak van eenen bolvormigen driehoek tot het oppervlak van den bol, tot welken hij behoort, Haat gelijk het fphierisch exces te van dennbsp;driehoek (vergelijk �. 1261.) tot acht regte hoeken. Dit fphi-erischnbsp;exces, door acht regte hoeken gedeeld zijnde, geeft een gebroken,nbsp;waarmede het oppervlak vnn den bol, het zij in vierkante ��nhedennbsp;van eenige lengtemaat, het zij (wanneer een graad van den groeten cirkel, als regte lijn genomen, die lengte ��nheid is,) in vierkantenbsp;graden uitgedrukt, vermenigvuldigd zijnde, den inhoud van den driehoek geeft. Het oppervlak van den bol, dat wij = Cl dellen, is golijk aan den omtrek van den grooten cirkel vermenigvuldigd met ziji�Onbsp;middellijn: dat is, (de middellijn gelijk Mftellende, en t�3,14159205nbsp;e�a.) gelijk aan CI � ttx 3D, nu is t in graden uitgedrukt =2 300�nbsp;ca M 114^,591556; derhalve zal H rz 31252, 96016 vierkant�nbsp;graden zijn: dit getal moe; dus met w: 8/i vermenigvuldigd worde��nbsp;om den inhoud des driehoeks in vierkante graden te verkrijgen.

. nbsp;nbsp;nbsp;Cos. i(b � c)

Stelt men in deze vergelijking voor Tang. i QA-{-B) hare waarde, in (.S) voorkomende; dan vindt men, zie Fergel. (�),

___ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ Cot. I C X Cos. i(b � a')-i- Tang, j C X Cos. iCI a')

Weilte, (zie ///. Steil. Fill. B. en III. Gev. IX. Steil. Fill. B.') n* herleiding, geven zal:

= �----

1287. I. Aanmerking. Nemen wij eenen bolvormigen driehoek. Welken denzeifden hoek C, en ora dezen hoek de zijden a' en b'nbsp;heeft; incUen dan deszelfs iphterisch exces w' gefteld wordt; dan zalnbsp;Cot. I a'�{Cot. \a' Y. Cot. ^ i' Cffs. C) : iquot;/�. C zijn, en, wanneer,nbsp;de inbonden dezer driehoeken- gelijk zijnde, Cot. \agt; � Cot. is,nbsp;zal Cot. i a X Cot. lh~ Cot. i a' x Cot. i b', of Tang. i 0 X . , .nbsp;Tang. I b~Tang. \a' Y. Tang. Vb' zijn. De holvormige driehoekenynbsp;ivelke derhalve, onder denzeifden hoek C, eenen gelijken inhoud hebben, moeten zoodanig gefield zijn: dat de produ�en van de Tangenten der halve zijden, om dien hoek flaand�, gelijk zijn,

�. 1288. II. Aanmerking. De gevondene formule kan aldus ga-coiillrueerd worden. Men neme, Fig. 407, AM~\, en befchrijve met deze flraal, eenen cirkel, men ftelle EM regtboekig op AM, en,nbsp;EF cvenu'ijdig aan AM. Voorts neme men AB~\a-, AC~ib;nbsp;dan is EF~Cot.ia en EG �Cot. I b; indien men dan BIHz=nbsp;Eg neemt, en Hl evenwijdig aan EG trekt; dan is MEi EF-=znbsp;^'Tll -.Hl, en Hl � Cot. ia Y Cot. Ib. Men neme dienvolgensnbsp;AD^c, trekke DK loodregt op AM, en neme BlP � Hd �nbsp;Cot. I rt X Cot. ib-, dait zal, l'D getrokken zijnde, in den regihoeki-gen driehoek PKD, Sin. C � DK, Cos.Cz=.KM en KD x Cot.KPDnbsp;:=z PK, of Sin. C x Cot. KPD=: Cot. i a x Cot. i ^ Cos. C zijn;nbsp;de hoek KPD is derhalve gelijk ann i cc, gelijk aan de helft van het

BEGINSELEN

fph�firisch exces van den driehoek; zooJat, de hoek P tot vier regt� hoeken ftaat, gelijk het oppervlak van den driehoek tot het oppervlak vannbsp;den bol. Wanneer men nu onderdek, dat de zijden a zxih onverander-lijk dezelfde blijven; dan is ook MP flandvastig, en indien dan MPc:^nbsp;Cot. lay. Cot. | i gt; i is, zal de hoek MPL, en gevolgelijk de bol-vormige driehoek, onder . de gegevene zijden, op zijn grootst zijn,nbsp;wanneer (de raaklijn PL getrokken hebbende,) de hoek C gelijk aannbsp;den boog ADL is. Onidat nu {XX. Steil. F. B.') de hoek APDnbsp;door het halve venchil der bogen AD en ON gemeten wordt, zal,nbsp;wanneer de inhoud de grootfte is, I m�I AI Bl C�po**nbsp;=: i {AL ~LN)=l {AL ~ (i8o� � ALy) =l{%AL�� 80�)nbsp;� C� 90� zijn; derhalve ook A B � C. Hieruit volgt dan:nbsp;I � Dat 'er bnlvormige driehoeken befiaan, waarin ��n hoek gelijk isnbsp;aan de fom der twee anderen'., dat, wanneer, onder twee gegevenenbsp;zijden, een bolvormige driehoek, welks inhoud een maximum is, moge lijk is, {en zulk een driehoek is mogelijk, indien het produEl van denbsp;Cot an geilt en der halve zijden groot er dan de ��nheid is,j de hoek,nbsp;tusfehen deze zijden, voor dit maximum, gelijk aan de fom der tweenbsp;andere hoeken zijn moet.

�. 1289. XXVII. Vraagstuk. Dsn inhoud van eenen holvormigen driehoek, in. eene fun�ie zijner drie zijden, te vinden?

Oplossing. Omdat � yf �-�-J-j C�90� J w is, zal . . . Cos. I {ABC') ~ � Sin. I u; derhalve is, zie Fraagjl. XXIF,

otn, 2 co..^ � � ' --��-�� nbsp;nbsp;nbsp;........................... (li)

Maar men kan nog eene andere uitdrukking voor cc vinden. Men ftelie, tot dat einde, in de vergelijking Cot. i w � [Cot. lay Cot. � hnbsp;�i- Cos.C]:Sin..C (zie voorg. Fraagjl.j Cot. la yCot.lbzz ...nbsp;{i Cos. a) y {i -V Cos. bj : Sin. a y Sin. b,� en Cos. C = {Cos. cnbsp;Cos. a y Cos. hj : Sin. a y Sin. b; dan heeft men:

zyiSin.s y Siv.{s�aj X Sin.{s � bj y Sin.{s�cj'] Veunenigvukiigt lucn de vergtlijkii.gen {Rj en (V) inex elkand'-�'quot;�

dan

2 Cos. lay. Cos. i b X Vos. i c Uit deze laatfle haalt men, omdat (i � Uws, j o) ; Sin. J� �nbsp;Tang. \ 00 is, (zie /. Gev. IX. Steil. VIII. Bo en verg. CR)-)

Tang. ...............

l~-Coso.ia � Cos^. jh � Cos^. je 2 Cos, ja X Cos.jbx Cos, je l/{Sin. s X Sin. (r � a') X Sin, (i � h) X Sin, (s OJnbsp;Ue teller dezer breuk kan onder de gedaaiite

(i�Cos^.la') X (l � Cos'^.lb')~^{Cos.ia X Cos.lb�CoS.IcY-gebragt worden, welke uitdrukking in de fadloren

Sin. i a X Sin, i b Cos. i a X Cos. ^ b � Cos. 4 C en Sin. i a x Sin, | b � Cos, i a X Cos, i bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. � c

kan ontleed worden, waaruit dan gemakkeiijk gevonden wordt; Tang^.iu�

i6 Sin^. i s X Sin^. J (s�a') X Sin^. � (s � b') X Sin^. � (s � o') Sin. s X Sin. (s � �) X Sin. (s � bj X Sin. (s � c)

Uit welke, aangezien Sin,u�2Sin.iuXCos.iu is, onmiddelijk Volgt:

Tang. 4 co I Tang. I s X Tang. 4 (j � a')X Tang. J (s � S') X

o-o;

zijnde deze de fraaije formule van l�Huiluer.

S. 1290, XXVIII. Vkaagstuk. Fig. 4ogt;!. Wanneer, op dezelfde bafis AB, verfcheidene bolvormige driehoeken ABC, v/elke denzclfdcnnbsp;inhoud hebben, gedacht worden, dan begeert men de kromme lijn tenbsp;bepalen, in welke denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;toppunten vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;al dezenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;driehoeken gelegennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijn ?

Oplossing. Men nbsp;nbsp;nbsp;late, door hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;middennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van de bafis AB,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eenen

'loodregten boog EFG gaan; en neme EF�^o�', dan is Thet aspunt Van den boog AB:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en, wanneer men dan,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;door de punten Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en C,

Penen grooten cirkel nbsp;nbsp;nbsp;laat gaan; dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zal FGE loodregt op ABnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftnan.

Men ftelle nu ED�p en CD � q; dan is AT) zzp \c en BD en de regthoekige driehoeken BDC en ADC zullen ge-'^en: Cos.a � Cos.qX Cas. (p �iO^ GjS-b�Ccs.q x Tos.{p-\-Icj-,nbsp;M;:. q � Sin. a X Sin. B, Stelt men nu deze waarden in

Tm� i ^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^_ I Cos, a Cos, h -f Cos, c

Sin. C nbsp;nbsp;nbsp;Sin. a X Sin. b X Sin, C

H h 3 nbsp;nbsp;nbsp;en

Cos.p X Cos. q � Cat. 4 co X Sin. \ c X Sin. q � Cos. Je.. (P) verkrijgen, die de betrekking tusfehen p en q uiedrukt, en welke denbsp;kromme lijn, op welke de punten C gelegen zijn, bepalen moer.

Verlengen wij nu EF tot in G, en trekken wij den boog CG. Men ftelle FG m:: x en CG � y; dan is CF~ 90� � q, en hoeknbsp;C^Grr: 180��p, en men heeft (XIX. Steil.')

Cos. y � Sin. q X Cos. x � Sin. x X Cos.p x Cos. q welke met de vergelijking (P) ver��nigd zijnde, geeft:

Cos.y=zSigt;i.x X Cos.ic Sin.q X (Cos.x�Sin.xXCot.lcoXSin.lc) Stelt men nu, in deze vergelijking, Cos.x � Sin. xXCot. i ccX Sin.lcnbsp;� O-, dan is Cot. x � Cot. i co x Sin. I c en Cos. y ~ Sin. x X Cos. � c.nbsp;De boog x is dus eene llandvastige grootheid, en de waarde van ynbsp;zal om die reden insgelijks (landvastig zijn. Hieruit volgt dan; dat,nbsp;wanneer men, uit het midden van de bafis, cenen loodregten boog EFnbsp;oprigt,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;po� en Cot. FG � Cot. i x X Sin.lc maakt, ch uit

G, ah aspunt, met GC, zoodanig genomen, dat Cos.CG � Sin.FG X Cos. 4 c zij, eenen kleinen cirkel op het oppervlak van den hol be-fchrijft, de toppunten van alle driehoeken, welke op dezelfde bafssnbsp;X? B ftaan, en dcnzelfden inhoud hebben, in den omtrek van diennbsp;kleinen cirkel zullen gelegen zijn.

lapt. XXIX. Vraagstuk. Daar het, uit de oplosfirg van het XXFI. Vraagjhik, gebleken is: dat ��er bolvormige driehoeken beft a an,nbsp;waarin ��n hoek gelijk is aan de fom der twee andere hoeken, vraagtnbsp;men: de bijzondere betrekkingen tusfehen de 'zijden en de hoeken vannbsp;zulk eenen holvormigen driehoek te bepalen?

Oplossing, Stellen wij Czzi A B; dan is A -V B -k- C�iC gt; 180� i de hoek G is dus altijd (lomp. Dit onder het oog houdende, zal men de volgende omllandigheden ontdekken.

�. lepz. Iquot; De waarden van Cos.c, Cos. a en Cos.b, (zie I.Gev, XIX. Steil.) zullen geven:

Cos^. i c zszCot. A X Cot. B . . . . . (0 Si;}^.la=�Cvt.Bx Cot.C (2) Sin^,lb=.� Cot.Ax Cot.C O)nbsp;waaruit volgt: dat A en B elk minder dan po� moeten zijn.

� a R M E E T K U,N S T.

Dit is de vergelijking op de vierkanten van de halve koorden van de zijden des driehoeks: deze koorden maken derhalve, aan het puntC,nbsp;eenen platten regthoekigen driehoek: en het blijkt hieruit: dat, wanneer men, om de hoekpunten des bolvormigen driehoeks ABC, waarin C� A B is, eenen kleinen cirkel befchrijp koorde van c denbsp;Middellijn van dien cirkel zal zijn, en dat deszelfi aspunt in het midden van de zijde c liggen zal, terwijl voorts, in alk holvormige driehoeken, welke de gemeenfchappelijke zijde c hebben, en welker toppunten in den onttrek van dien kleinen cirkel gelegen zijn A Bnbsp;zijn zal.

�. 1294. 3� De vergelijking (4) kan met weinig moeite (pamp;'VI. Gev. UI. Steil, VIU. B.j onder deze gedaante:

Cos^. Iczz. Cos. i C** ^) X Cos. \ {a � b') . . . . (5) Sin-. \a � Sin.\ {b-kr cj y, Sin.\{c � bj .... (6)nbsp;Sin'^.\b~Sin.\{a cj y Sin.\(c � aj .... (7)

�. 1295. 4� Stelt men, in de vergelijking Cm. Crz (Cbs. e�Cos.a X Cos. bj : Sin. a X Sin. b, voor Cos. c hare waarde Cos. a Cos. bnbsp;� I; dan verkrijgt men:

Cos.A�Tang.iby Cot.ic (9) Cos.Bz=.Tang.la X Cnt.\c (lo) �. 1296. 5� Wanneer C en c gegeven zi[n, zal men geraakkelijknbsp;vinden: (iXt^XV. Fraagft. Bladz, 478, form. (2) en (4))

Cos.i{a-f bjz=.Cos.\c y. Cot.lC . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. (ii)

Cos.i{a � bj �Cos. I c y Tang. iC . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(12}

Tang. i {A-^Bj=.y nbsp;nbsp;nbsp;77,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� (ih)

1299. !� Aanmerkiing. Men ziet, uit deze formulen: dat fiechts twee gegevens genoeg zijn, om eenen driehoek, welks tophoek gelijk

gins e l

ann de fom van de twee andere hoeken 'is, te bepalen, en d::t zulk een driehoek bijna zoo gemakke�jk als een regthoekige kan wordennbsp;opgelost.

�. 1300. II. Aanmerking. Fig. 409. Last ABC een driehoek zijn, waarin C'=iA B is: wanneer men dan de zijden AB en BCnbsp;verlengt, tot in C'; dan is ABC' de fupplenients-driehoeknbsp;Noemen wij nu, kortheidshalve, \\o�kABC'�B' en hoek BAC' j=:A'',nbsp;dan is C'=C�A B; A'=i'io�^ � A en B'�iio^ � B ennbsp; C''~ 3do mz 4 Zf. Op dezelfde v^ijze zal de foin dernbsp;boeken van de fupplements-driehoeken BCA' en ACB' gelijk 360'^nbsp;zijn. Nemen wij dan, omgekeerd, dat de fom der hoeken vannbsp;eenigen driehoek ABC' gelijk 360� zij; dan zal de tophoek van elknbsp;der drie fuppleinents-driehoeken gelijk aan de fom der twee anderenbsp;hoeken zijn. Omdat nu 180� � a' \s, zal Sin. la � Cos. � a';nbsp;Sin. I If ~ Cos. i y zijn, en daar A�180^�A'; B � iBo� � B'nbsp;is, zal Cot.Azzz � Cot.A' en Cot.B � � Cot.B' zijn, en de foi-mulen (i), (3) en (3) van �. 12Q2. zullen in

Cos-.lb'zzCot. A' x Cot.C' . nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;....nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(3)

veranderen, en, als eene bijzondere eigenfchap van eenen driehoek,. waarvan de fom der hoeken vier regte hoeken bedraagt, zalnbsp;Cos. ia' y. Cos. i b' X. Cos, � c' � Cot. A' X Cot. B' x Cot. C'nbsp;zijn. Voorts verandert de formule N'� (4} �. 12(13. in:

Sin^. i a' SitA. I b' SitA. ic' zsz'i . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(j4j)

tsnevens nog vele andere vergelijkingen, welke alle leeren: t!at twee S^gevens genoeg zijn, om eenen driehoek, waarvan dc forti der hoekennbsp;360quot; is^ te hepakn.

%� 1301. lil. Aanmerking. De inhoud van den driehoek, waar-de fom der hoeken vier regte, hoeken is, is gelijk aan ��n-vierde ''Sn het oppervlak van den bol, tot welken hij behoort: doch, het isnbsp;Merkwaardig: dat het oppervlak van den bul, op oneindig vele wijzen,nbsp;in vier gelijke ch gelijkvormige driehoeken kan vqdeeld woiden,nbsp;^^aarvan de fotn der hoeken 360� i^- Dart Fig. 410, ABC zulknbsp;�en driehoek zijn: maak de hoek CAD tttz'AO'tk ACB, AD � BC,nbsp;trek de bogen CD en BD; dan is AC~AC, AD � BC, eunbsp;hoek CAD�\voCa ACB i derhalve is DCtzzAB, hoeknbsp;hoek ABC en hoek ACDzrt hoek BAC. Omdat nu de fom der hoeken, om de punten A, B, C en D, vier regte hoeken is, zal ooknbsp;hoek 5hoek 5CZ), en BD'-=-AC zijn-, waaruit dan de ge-hjkheid bij firperpofitie van 'al de vier driehoeken, die gelijk het blijkt,nbsp;'�Qderling gelijke zijden hebben, terftond in het oog valt. Om nunbsp;het eenvoudigfle geval te Hellen, neme men een gelijkzijdigen driehoek wiens hoeken i:

'an den bol, op zoo vele andere wnjzen, als men goedvindt, in vi.r Helijke en gelijkvormige deelen te verdeelen, neme men twee zijdennbsp;^ en b van eenen driehoek mar welgevallen, mits � -j- Zgt;gt; i8o�nbsp;en men berekene de derde zijde c door de formule Cos,lct=.nbsp;H'-Cw. I (.�-f �) X C�s, i ('* �^)] zal men, wanneer mennbsp;'�Mr zulke driehoeken, onder deze zijden, zamenftelt, bevinden: datnbsp;het oppervlak van den bol volmaakt dekken. ��r beflaan dannbsp;��'h oneindig vele driehoekige piramiden onder gelijke zijvlakken.

�� 13=2. IV. Aanmerking, hlen Helle zich eenen driehoek ^��or, zoodanig dat C=A-\-B zil; dan Hemt met denzelven eenennbsp;�*Punts-driehoek over��n, waarin de fotn van twee zijden min de derdenbsp;jtijde gelijk aan twee regie hoeken is. Even zoo zal met eenen drie-�Oek, waarvan de fom der hoeken vier regte hoeken is, eenen aspunts-hriehoek over��nHemmen, in welken de fom der zijden twee regtenbsp;'�oeken bedraagt. De formulcn, ter oplosfing van beide deze foortennbsp;'an driehoeken, zullen uit de bovenftaande, naar de bekende regels,nbsp;^Minen worden afgeleid.

�. 1303. VJII. Bepaling. Een bol vormige veelhoek ont-wanneer vier of meer punten, op het oppervlak van II b lt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;den

den bol, door bogen van groote cirkels, twee aan tw�2) vei��nigd worden,

�. 1304. IX. Bepaling. Die veelhoek is regelmatig� wanneer, die punten, in den ointrek van eenen kleinen cirkel�nbsp;gelegen zijnde, de koorden der bogeiii, die deze punten vet'nbsp;��nigen, de zijden van eenen rcgelmatigen veelhoek zijn�nbsp;w-;lke in dien kleinen cirkel befchreven is.

�. 1305. I. Aanmerking. De aspunten van dien kleinen cirkel zij*� de middelpunten der twee bolvormige regelmatige veelhoeken, waarinnbsp;het oppervlak van den bol verdeeld wordt, 'en welke veelhoeken den-zelfden ointrek hebben.

�. 1306. XXIX. 'Vraagstuk. Fig. 411. Gegeven zijnde de bool van den groeten cirkel, met welks 'koorde eenen kleinen cirkel, op hetnbsp;oppervlak van den bol, befchreven is-, de zijden van eenen regelmd'nbsp;tigen bolvormigcn n hoek, in dien kleinen cirkel pasfende,'beneveHtnbsp;de polygoonshoek en de apothetna van dien veelhoek te vinden ?

Oigt;LOsgt;]NG. Laat C het aspunt van den kleinen cirkel zijn, waarin een regelmatige bol vormige veelhoek befchreven is; dan is dit puo�nbsp;tevens het middelpunt van dien veelhoek, welks oppervlak'(indie�nbsp;men, uit het middelpunt C, tot aaival de hoekpunten, bogen van groO'nbsp;te cirkels trekt j) in even Zoo vele onderlinge gelijke en gelijkvorW'nbsp;ga middelpunts-'driehoeken verdeeld wordt, als �er hoeken of zijdennbsp;den veelhoek zijn. Nu is //CB een centerhoek ^BD een poiy'nbsp;goonshoek; de boog CE, welke eenen centerhoek midden door deehgt;nbsp;de apothema. Stellen wij dan het getal der zijden � �;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

~DC=zenz. � r; CE�p; ABz=:BC-::::zenz,-zza; en dan is JCA� = 36oquot; :;j,- ACE=.BCE�1^0'^ :n; en de regtho^'nbsp;kige bolvormige driehoek ACE geeft:

180� nbsp;nbsp;nbsp;/,}

� nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

� a R MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;491

V*ramide {zie XF. Bcp. XI. BI) gegeven zijnde, den inhoud ^van die Pinamide te vinden?

Oplossing. Zij ABM ��n der iniddelpunis-driehoeken van liet �'ondvlak; ABC �cne der opftaande zijvlakken van de piramide;nbsp;CRi de loodlijn. Stel het getal der zijden :=:�,� ABzz.a; AXI�r;

�. 1309. I. Gevolg. Stellen wij � � 3 en a~b; dan verkrijgt ��^en voor den inhoud van de driehoekige regelmatige piramide, wcl-opftaande ribben aan de zijden van het grondvlak gelijk zijn,nbsp;X 1/2.

�. 1310. II. Gevolg. Stellen wij nzz.iSe ^n a-b-, dan is Z� \a'^y2. Het dubbeld van deze piramide is ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1^2 gelijk den in-

�. 13II. Aanmerking. Wanneer niet h maar den hoek CAB, die gelijk q Hellen, gegeven is; dan heeft men:

. Squot; 1312. XXXI. Vraagstuk. Flg. 413. De drie ribben AB, AC AD van den drievlakkigcn hoek A van een � parallelopipedumnbsp;^^nevens de hoeken BAC, BAD en CAD, veclkc deze ribben metnbsp;^^ka�ider maken, gegeven zijnde; den inhoud van dit parallelopipedumnbsp;Vinden f

Volgens IX. Steil. IX. B. \s Inhoud Pa-- nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- .ab Y. Sin.')'. Laat nu DP loodregt op het

E G

Parallelogr.ABCE y. DP = ab y. DP y. Sin.y . . (^) iiitgedrukt, en men moet nu nog DP uit deze vergelijking weg�*'nbsp;ken. Men denke, tot dat einde, eeneii bol, welks middelpunt innbsp;hoekpunt A geplaatst zij; dan zijn de zijden van den bolvorniigc'�nbsp;driehoek, welke uit de fnijding der zijvlakken ontftaat, de maat ds'fnbsp;hoeken a, /3 en y, en de hoek D/IP wordt door den loodregt^'*nbsp;boog, die uit het toppunt dezes driehoeks op zijn bafis valt, geniS'nbsp;ten; derhalve is, (XFI. Fraagft.') i (t! /3-j-j^) = s fteliende,

,_2 ly'[Sifi.s X Sm. (s�a) x Sm.(s�X Sm.(s�7^

s�~lt;xz=:s �13:

11/1 =: Sin. (s in dit geval,

I�2abc X zoo als het behoort.

�. 1314. 11. Gevolg. Fig. 412. Indien men de lijnen BC, en CD trekt; dan is de piramide A BCD gelijk aan ��n-zesde 'f�'�nbsp;het parallelopipedum; bijgevolg is

Inhoud Piramide AB CD �......� '

i abc X 1/[_ Sin. s X Sin. (s � �) X Sin. Qs � /3) x Sin. Qs �

�. 1315. III. Gevolg. Men Itelle jn de laatfte vergelijking p�yzzSo'^, dan is:

Inhoud Pir. A BCD � _1 abc X l/i fielt men nog azz.b � c, dan vindt men, voor den inhoud van k�'nbsp;regelmatig viervlak,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XV2. Vergelijk �. 1309.

�. 1316. AainmerkuNg. Men zal, met behulp van het XFII. fiuk, den inhoud van een parallelopipedum, en van eene piramide)nbsp;eene functie van de drie libben van ��nen der drievlakkige boek��nbsp;en de fiandlioeken van deszclfs zijvlakken, kunnen uitdrukken.

der meetkunst.

quot;lede toch in zulk een na:iuw verband, dat wij voor derzelver plaat-fing geene gefchiktere gelegenheid hebben kunnen vinden.) Laat, % 414.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de bads der driehoekige piramide; BD en CD

hare oplkande ribben zijn; DP de loodlijn, welke uit het toppunt 7J de balis valt. Men noeine AB � a, BC�b, AC~c, en denbsp;lebben, welke respe�tievelijk tegen over deze jaatfte fta.an. DC~a,nbsp;en BD�'Y'. men trekke de lijnen AP, BP en CP, ennbsp;ftclie PC�A, AP � B en BP-C-, dan is XVIL Steil. IX. B.')

amp;.�/.c=-:....

2 y �/.=� ) X (/3^ �

'�'lelke (///. Gev. III. Stell. VIII. B.') gegeven is, zrd men, de te.rmen ehoorlijk ontwikkelende, ecne zamengeftelde uitdrukking verkrijgen,nbsp;'''slke, op de volgende wijze zal kunnen ver��nvoudigd worden, (eenenbsp;*'t)tatie, die wij ook in het vervolg gebruiken.) Men ftellenbsp;^ De font der produPten van de vierde magten van al de ribben

, d)e fom van de produPten van de vierkanten der ribben, v/elke ^t..eh�e zijvlak bepalen, of

^ 3 De fom van de praduplen van de vierkanten van drie ribben, ^atvan de iniddelfle aan de uiterfle fuiten, zoodanig, dat, in elk

overftaandc ribben gevonden worden, op alle moge lijke V�e;; genomen, ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i ,

hoekige piramide,' in eene ftmClie van hare zes ribben, uittedrukkC*^'

Oplossing. Men ftelle den inhoud �I; omdat dan de inho'*^ gevonden wordt, door de bafis met ��n-derde der hoogte te vergt;�^'nbsp;nigvuldigen, zal men (zie voorgaande Vraagftuk) vinden:

/=^ik{c~C^ 5)}.....

�. 13ip. Gevolg. Indien men de opftaande ribben �, /3 en?� gelijk fielt; dan wordt de inhoud door de vergelijking:

D 2= nbsp;nbsp;nbsp;(2 a^b�^ X a^ X h'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� b^ �c'^') ^

gevonden. Stek men nu, in deze vergelijking, a, � a~b vindt men, r.ls in �. i3op, Izz-brD}/2 Voor den inhoud vaunbsp;regelmatige driehoekige piramide.

�. 1320. XXXIV. Vraagstuk. Te vinden, hoe de fraai van bol, welke oni eene driehoekige piramide befekreven is, van de��quot;nbsp;ver zes gegevene ribben afhangt ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ,

Oplossing. Men ftelle de ftrsal van den omgefchreven bol 22^ indien men dan, uit het middeipnn: van den bol, vier lijnen totnbsp;de vier hoekpunten der piramide trekt; dan wordt de geheelsnbsp;mide in vier piramiden verdeeld, welke, in het middelpuntnbsp;bol, aan elkander fluiten, en welker opftaande ribben gelijk =2f ^

�� 1321. Gevolg. Indien el de ribben der piramiden gelijk a zijn, is ook R=i\a y6.

�� 1322. XXXV. Vraagstuk. Fig. 414. Te vinden, hoe de ftraal den hol, welke in eene driehoekige piramide hefchreven is, vannbsp;ribben dezer piramide afhangt?

Oi'LossiNG. Men verbeelde: dat, uit het middelpunt van dien bol, fijnen tot aan hoekpunten der piramide getrokken zijn; dan ial denbsp;geheele piramide in vier piramiden verdeeld zijn, welke de ftraal vannbsp;bol tot hoogte, en de zijvlakken der geheele piramide tot grond-''iakken zullen hebben. Men fteile de ftraal der ingefchrevene pira-Mde =:r,- dan zal:

l�\r X {dr. ABC ir. ABT) -ir dr. ACD ^ dr.BCD') en, omdat (XXXIU. Fraagfl.')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j/[c� 5)] is,' zal

� ~ dr. ABC dr. ABD dr. ACD dr. BCD zijnde Cselijk bekend is,) Ink. driek. ABC � k JFnbsp;Soa ^2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 1^4 � c4A ^ enz,.

S- 1323. Gevolg. Indien al de ribben van de piramide gelijk a ge-'^omen worden; dan verandert de gevondene vergelijking in r � ....

� De ftraal van den bol, welke om da regelmatige drie-^'�eliige piramide hefchreven is, is dan gelijk aan driemaal de ftraal den hol, welke 'er in hefchreven is. ��

1324. Aanmerking. Behalve de bol, welke in eene piramide

�VlC-QAf-Bf

'^Wendig, en de drie anderen inwendig, aanraken; de ftraleh dezer |�''llen worden gevonden, wanneer men, in de gevondene formule, dennbsp;'��hotid der zijde, welke uitwendig wordt aangeraakt, negatief neemt,nbsp;S. 1325. XXXVl. Vraagstuk. Eene vergelijking tusfehen de hoe-welke do,w de ribben cener driehoekige piramide, aan de toppun-vayi derzclvcr hoeken, gemaakt warden, en deze ribben te vinden?nbsp;Oplossing. In het vervolg, zullen wij, kortheidshalve, den hoek,nbsp;''��ike door twee lijnen gemaakt wordt, door eene comma nufehennbsp;lijnen te zetten, uitdrukken: aldus zal jzie A/g-.414.) Cos. ABCnbsp;Cos.a,b worden voorgefteld, enz. Befchouwt men de zijvlak-welke aan de punten A, B, C en D zaraenkomen; dan heeft men:

deze vergelijkingen opgeteid hebbende, verkr�gt men, teigt; opz'�'^ van de hoeken, welke aan hetzeliue hoekpant B der piramide geiiwa*^^nbsp;worden,

27^ � a*�. nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0^

Elk der drie andere hoekpunten J, C en D, geven eene aan gelijkvormige vergelijking: telt men nu die vier vergelijkingen op,nbsp;zal men vinden:

�\-b c Cos. htcArboi, Cos. b,a c a Cos. c,a | nbsp;nbsp;nbsp;(nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; i3^ 7* 1

welke vergelijkingen dienen kunnen, om verfcheidene vragen aang:'^''' de de driehoekige piramide optelosfen.

eencr driehoekige piramide gegevesi zijnde, den ftandhoek van derzelvcr overfiaande zijden, bij voorbeeld, a en * te vinden?

Oi-LOssiNG. ftlen trekke, Fig. 415, uit het punt Z), de lijn evenwijdig aan AB; dan liggen de lijnen AB, DE en BD, innbsp;zelfde vink, en de hoek CDE is de ftandhoek der lijnen AB ennbsp;welken wij door a,x uitdrukken. Men denke dan, in het hoekp^�J�nbsp;D, het middelpunt van eenen bol, op welks oppervlak door de I'�!nbsp;ding der vlakken ADB, BCD, ACD en CDE, de twee bolvof�*nbsp;ge driehoeken pqr en psr ontftaaii, die den hoek p gemeen hebh^��^nbsp;en welker zijden de maat van de hoeken ADB, BDC, ADCnbsp;CDE zijn. Nu is {XVIL Steil.') omdat de hoek ADE hetnbsp;ment van BAD is:

Cos. BDC� Cos. ADB x Cos. ADC ~Sin. ADB^Zs�nTADCnbsp;uit welke vergelijking terftond volgt:

\Cos.a,cgt;--\-Cos.BADy.Cos.ADC'\%Sin.ADBz=. . � [Cos.BDC�Cos.ADB x Cas.ADC~\ x Sin. BAD

�ene .eenvoudige vergelijking, waardoor den Handhoek van twee over-^aande ribben, zoo door conlirudlie, als door berekening, kan gevon-tien Worden.

1327. I. Gevolg. Wanneer men de twee vergelijkingen, welke handhoeken b,!3 en r,/ bepalen, bij de gevondene optelt; dan ver-men de merkwaardige vergelijking:

�� 1328. II. Gevolg. Indien al de ribben der piramide gelijk zijn; hsn wordt 2a a Cos. a,ao; derhalve is ook Cos. a,ix o, ennbsp;^*oek a,cc � po**.

�. 1329. Aanmerking. Wanneer men, Fig. 414, het punt D in ^et vlak yJBC laat vallen, dan zijn de gevondene formulen, welkenbsp;�'^dan nog plaats blijven hebben, in de berekening van den onregel-��'atigen vieriioek, van veel gebruik.

XXXVJII. Vraagstuk. Fig. 415. De flandhoeken van �Vee der zijvlakken eetier driehoekige piramide in eene fttnclie dernbsp;�'ibben te bepalen ?

OrLossiNG. Dezelfde bolvormige driehoek pqr, welke ons, in de bplosfing van het voorgaande vraagftuk, gediend heeft, (en in welkennbsp;hoek p de Handhoek'der zijvlakken ABD en ACD is) geeft:

^len fchrijve, in deze vergelijking, voor Cos. B DC, Cos. ADC, ^os.ADB, Sin. A DC en Sin. A DC, derzelver waarden, in fundtiennbsp;de ribben uitgedrukt; dan zal men, onder het oog houdende,nbsp;dat

2 nbsp;nbsp;nbsp;�2 -|- 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(3� 2(32 � ^4 � ix4 � 5* � l� Inlt^.ACD

^t^Ink^.ABDxJnh^.ACD X Sin^.p-^-B^ X (^A B�Cj=to ebbende A, B cn C, dezelfde beteekenis als in Vraagfluk XXXIII,nbsp;quot;daaruit volgt:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

ii E G I N S E L E N

�. 1332. XXXIX. Vraagstuk. Fig. 416. F^ene vergelijking op inhouden van de vier zijvlakken eener driehoekige piramide te vitt'nbsp;den ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

Oplossing. Men ftelle den inbond van het grondvlak ABC~Mf de inhouden van de zijvlakken, BCD, ACD en ABD, respeftievS'nbsp;lijk �P, O, en R, en de Handhoeken der opftaande zijvlakken alsnbsp;volgt; den Handhoek van P met Ojzzr, van P metnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en van

met R~p, en behoude voorts dezelfde letters als in de voorgaan' de vraagHukken. Men denke nu in de hoekpunten A, B en C, �snbsp;middelpunten van drie bollen, welke de ��nheid der lengtemaat totnbsp;flraal hebben; dan worden �er, aan de drievlakkige hoeken A, B (Atnbsp;C, drie bolvorinige driehoeken geboren. De bolvormige driehoek aadnbsp;A geeft:

zQjcB. Stelt men dit alles in de vergelijking (i); dan zal zij 1 na herleiding, de gedaante

verkrijgen. De drielioeken aan de hoekpunten B en C, geven foort' gelijke, en aan deze geiijkvonnig zijnde vergelijkingen.^ Men heeftnbsp;'dan in alles:

32 Z* R X Cos. ^ = 4 nbsp;nbsp;nbsp; b^- � c'^j � 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B^') ^

(Z-

Wanneer men nu deze vergelijkingen ontwikkelt, en derzelver tevens met de leden der vergelijking ozza�t--j-h*-i-�^�

optelr; dnn zal men, na uit de fom de termen, die elkander vernietigen, weggenomen te hebben, eene vergelijking verkrijgen, welke, nadat men in dezelve

2 nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� b^ �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� y^ eer 16

2 nbsp;nbsp;nbsp;/3* -f- 2 c'^ -f'2 �2/32 � c'^ � �'!� � /34nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l� ga

Eene vergelijking, welke ons leert: dat het vierkant van ��ne der zijvlakken eener driehoekige piramide gelijk is aan de fom van. denbsp;quot;Vierkanten der drie andere zijvlakken , verminderd met de fom dernbsp;producten dezer drie andere zijvlakken, op alle mogelijke wijzen,nbsp;twee aan twee genomen, en elk product vermenigvuldigd met de Co-pnus van den fiandhoek der twee zijden, welke in dit produR voorkomen.

�� 1333- E Gevolg. De fom der vier vergelijkingen, welke de M'asrden van M'^, P^, Oj en R^ uitdrukken, zal geven:

P^ op nbsp;nbsp;nbsp;z=:

2 PI P Cos. M,P 2 MQCos. M, O2 MR Cos. M,R 2p QCos. P, ^ 2PRCos.P,R 20_RCos.Q_,Rnbsp;kijnde BI, P de Handhoek der vlakken M en P. enz.

�. 1334. 11. Gevolg. Indien de zijvlakken P, en R, regthoe-itig op elkander Haan; dan heeft men eene driehoekige piramide, die tnen, omdat zij, onder de piramiden, denzelfden rang, als de regthoe-itige - driehoek, onder de driehoeken, bekleedt, regthoekig zou kunnen noemen, en in deze piramide is nu Cos.p � o, Cos.q=-o ennbsp;Cos.r �o-, de gevondene vergelijking verandert dan in

6n leert ons: dat het vierkant van de zijde, tegen 'over den regten drievlakkigen koek eener regthoekige driehoekige piramide, gelijk isnbsp;aan de fom van de vierkanten der zijvlakken, welke om den regtennbsp;drievlukkigen hoek flaan. Eene eigenfehap, welke met het Theorema van Pythagoras over��nftemt.

�� 1335* Aanmerking. Het vierkant van hot zijvlak is eene zeg-�vvijze, weke niet anders kan verftaan worden, aU de tweede magt Van het g'tal, dat de betrekking van den inhoud van het zijvlaknbsp;tot de ��nheid van de vlaktemaat (f tot het vierkant van de ��n-

B E G I N vS E L E N

heid np de lengtemaat, uit drukt; want men kan wel een vierkatil befebrijven, dat eene gegevene lijn tot zijde heeft; maar geen vinknbsp;kan de zijde van een-vierkant zijn. Het Theorema van Pythagorasnbsp;kan ook in zulk eenen zin verklaard worden.

�. 1336. XL. Vraagstuk. Fig. 417. IVameer, in de ruimte, uit eenig punt P, vier lijnen zoodanig getrokken zijn: dat geen drie dezer lijnen in hetzelfde vlak liggen; dan begeert men eene vergelijking op de zes onderfcheidene hoeken te vinden, welke deze lijnen,nbsp;twee aan twee genomen, met elkander maken ?

Ow.ossiNG. Men ftelle, iu het gegeven punt P, het middelpunt van eenen bol; dan ontmoeten de lijnen, welke uit het punt P getrokken zijn, Itct oppervlak vr.n dien bol, in de pin,ten A, B, C ennbsp;�, en de hoeken, welke door de lijnen AP, BP, CP en DP,nbsp;twee aan twee genomen, gemaakt worden, worden door de bogennbsp;AB, BC, CD, AD, AC cn BD, (welke de zijden en hoekpunts-bogen van eenen bolvormigen vierhoek zijn,) gemeten; de betrekkingnbsp;dezer zes bogen moet nu gevonden worden. Wij noemen, om denbsp;fyraetrie van de uitkomst zooveel te fprekender in het oog te doennbsp;vallen, overjlaande bogen, welke niet in hetzelfde hoekpunt van dennbsp;vierhoek zranenkoinen; aldus ftann de bogen Z)C, AC en AD, tegen over de bogen AB, BD enJSC, of a, jS eny, tegen overnbsp;a, b en c.

en de hoeken ABD, CBD en 360� � ABC maken 360�; derhalve is (omdat Cos. (3lt;5oquot; �0) =: Cos. a is,) zie lil. Gev. III. St. VIII.B.

fielt men nu, in deze laatfte vergelijking, de vergfdijkingen (i), (2) en (3); dan zal men, na voor Sin-.p gefchreven te hebben inbsp;Cos-.p, na behoorlijke herleiding, verkrijgen;

2 Cos. a y Cos b y Cos. c -\- n Cos. a X nbsp;nbsp;nbsp;Cos. b X Cos. ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

2 Cos. b X Cos. oc X Cos. y 2 Cos. c X nbsp;nbsp;nbsp;Cos. a x Cos. (3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. � '

� nbsp;nbsp;nbsp;2Cos.a X Cos.b X Cos.a x C'os./S�2Cos.a X Cos.cyCos.izy,^^�^'^

het in het oog: da: deze vergelijking ook gelden zal, wanneer men 360'^ � h en 360*^ � /3 voor de hoekspunts-bogen neemt; gelijk zijnbsp;ook gelden zal voor elk ander ftelfel van vier lijnen, welke, in hetnbsp;punt P, gedacht kunnen worden.

�. 1338, XLI. Vraagstuk. Ecne forntuk te vinden, door welke, '�Vanneer van de zes fiandhoeken, welke de vier zijvlakken eener driehoekige piramide met elkander maken, vijf gegeven zijn, de zesdenbsp;kan gevonden worden ?

Oplossing. Men verbeelde zich binnen de piramide, een punt, uit hetwelk loodlijnen op de zijvlakken vallen; dan heeft nion eennbsp;Hellel van vier lijnen, welker hoeken, twee aan twee genomen, denbsp;fuppiementen van de Handhoeken der zijvlakken zijn: de betrekkingnbsp;Van de hoeken dezer loodlijnen wordt door de vergelijking (/�.�.}nbsp;nii-gedrukt; om dat nu Css. (180��?) � � Cos.q en Cos.qzn.�nbsp;C�j, (i8o� � qj is, zal, wanneer men {Fig. 416.) de ftandhoekennbsp;der zijvlakken, welke aan de ribben gemaakt worden, door dezelfdenbsp;letters, welke voor de ribben genomen zijn, aanwijst, (namelijk Handhoek der vlakken /* en O. door a enz.j de betrekking dezer Handhoeken door

� nbsp;nbsp;nbsp;2 Cos. a X Cos. b X Cos.c � 2 Cos. a x Cos, ^ x Cos. y ....

� nbsp;nbsp;nbsp;2 Cos. h X Cos. a X Cos. 7 � 2 Cos. c X Cos. a X Cos. ^ . . . .

uit welke, ��n der hoeken uit de vijf anderen, door de oplosfing eener vierkants-vergelijking, kan gevonden worden.

�� 1339. XLII. Vraagstuk De betrekking te bepalen, welke ��er, in een veelvlakkig ligchaam, tusfehen het getal der veelvlakkige ofnbsp;ligchamelijke hoeken, het getal der zijvlakken en het getal der ribben beflaat?

Oplossing. Men neme, binnen het iigchaam, een punt naar welgevallen, en trekke, uit dat punt, tot aan al de hoekpunten, regte lijnen; voorts plaatfe men, in dit aangenomen punt, het middelpuntnbsp;van eenen bol, welks oppervlak de flraks getrokkene lijnen, in evennbsp;zooveel punten ontmoeten, als �er hoekpunten in het ligchaam voorkomen. Men verc�nige nu, op het oppervlak van den bol, dezenbsp;punten door bogen, op dezelfde wijze, als d� hoekpunten van het

BEGINSELEN

ligchaam, door de ribben, ver��nigd zijn; dan ontdaan �er, op bet oppervlak -van den bol, even zoo vele bolvonnige driehoeken en veelhoeken, als �er zijvlakken in het ligchaam zijn, ftemmende met elknbsp;zijvlak van het ligchaam een bolvormige veelhoek, welke even zooveel zijden, als dit zijvlak heeft, overeen; terwijl de fom van al di�nbsp;bolvormige drie en veelhoeken gelijk is aan het oppervlak van den bol-Stellen wij nu, na deze opheldering, het getal der ligchamelijkenbsp;hoeken �h-, het getal der zijden =z; en het getal der ribbennbsp;ftellen wij voorts het getal van de zijden der zijvlakken, en bijgevolgnbsp;het getal der zijden van de over�enkomftige bolvormige veelhoekennbsp;n, n', n'', nquot;\ enz. en de fom van de hoeken dezer bolvormigenbsp;veelhoeken .S', Sgt;, Squot;, S�quot;, enz, en de inbonden dezfer bolvormiganbsp;veelhoeken I, I', V', Vquot;, enz.; omdat dan (Gev. XVU. St.XU. B.')

j._.y�2� nbsp;nbsp;nbsp; 4^?

I I� 1quot; -J- Vquot; -f- enz, � SI en, omdat het getal der zijvlakken s is, noodzakelijk

S-\-S�-\-Squot;-irenz. � 2 nbsp;nbsp;nbsp;~\-n� nquot; enz.') X � 43/?,^ ^^

De fom der hoeken, om hetzelfde punt, op het oppervlak, waaf de bolvormige veelhoeken aan elkander fluiten, is �4/i, en het getal dezer punten is gelijk h; daarom is S S' Squot; Squot;' enz.

4 Voorts if elke ribbe van het ligchaam eerfe zijde van twee aan elkander fluitende zijvlakken, en, om die reden, isnbsp;K'�'-{-cnz. � zr; de laatfte vergelijking verandert derhalve in:

dat is: het getal der hoeker, en der zijvlakken te zamen genotnen, altijd t'wee meer dan het getal der ribben.

�. 1340. Gevolg. Volgens XIX. I. B. is de fom der hoeken vsO het zijvlak dat � hoeken heeft ~(n � 2) x iR � ^nR�ts^R;nbsp;volgelijk wordt de fom van de hoeken van al de zijvlakken,nbsp;fom wij S ftellen, door de vergelijking;

R M E E T K U N S T.

gevonden; of, omdat n nbsp;nbsp;nbsp; enz. z:z z r is, door S = 4 r �

� 42/ii maar r � z~h � 2 zijnde, is S =z(A � sj) x 4 is; de foni van al de hoeken dev zijvlakken ts gelijk aan zooveeltnaalnbsp;vier regte hoeken als het getal der veelvlankigc hoeken min twee.nbsp;^len kan uit deze oplosfiug vele leerzame gevolgen, afleiden.

S. 1341. X. Bepaling. Regelmatige ligchamen zijn door Sen zeker getal zijvlakken, welke gelijke en gelijkvormige diienbsp;of veelhoeken zijn, bepaald.'

�. 1342, XLIII. Vraagstuk. Het aantal der mogelijke regelmatige ligcha?Ken te bepalen, en derzelver wijze van zamcnftelling te iefchrijven.

Oplossing. Vermits tot d� zamenftelling van eenen ligcbamelijken of veelvlakkigen'hoek, ten minlien drie vlakken vereisclit worden,nbsp;Zoo zijn alle regelmatige veelhoeken, welke meer dan vijf zijden hebben, tot de zamenftelling der regelmatige ligchamen onbruikbaar. �Ernbsp;blijven dan geene andere regelmatige veelhoeken, dan de gelijkzijdige driehoek, het'vierkant en de regelmatige vijfhoek over, welke alleen, tot die zamenftelling, kunnen gebruikt worden.

Omdat nu de fom der zijden van eenen veelvlakkigen hoek minder dan 360� moet zijn, en de hoek van eaien gelijkzijdigen driehoeknbsp;lt;3o� bedmagt, zal men drie, vier en vijf gelijke gelijkzijdige driehoeken tot eenen drie, vier en vijf vlakkigen hoek kunnen ver��nigen,nbsp;en men zal met gelijke gelijkzijdige diiehoeken, drie onderfcheidenenbsp;foorten van regelmatige ligchamen kunnen zamenftellen.

I� Wanneer men. pg. 418, drie gelijke en gelijkzijdige driehoeken ABC, ADC en BCD, met derzelver hbekpumen C aan elkandernbsp;Voegt, zo�dat de ribben AC, BC en DC aan elkander fluiten; dannbsp;Wordt de gelijkzijdige driehoek ABD gevormd, welke aan eiken dernbsp;drie zamengevoegde driehoeken gelijk is, en men verkrijgt eene lig-chamelijke ruimte, befloten binnen vier gelijke en gelijkzijdige driehoeken, in welke, zoo als duidelijk te zien is, alle de drievlakkige hoeken gelijk^ zijn. Men noemt dit ligchaam regelmatige driehoekige pi-famide, Tetra�drum of regelmatig Viervlak. Men knn, om en itinbsp;hetzelve, eenen bol befchrijven.

BEGINSELEN

den gelijk zi]n aan de zijden der gelijke en gelijkzijdige driehoeken � waaruit men het ligchaam wil zhmenl�ellen. Men late twee driehoe'nbsp;ken ^BE en BCE, om de zijden AB en BC, draaijeii, tot dat twe^nbsp;van derzelver ribben BE langs BE zamenkomen: dit gedaan heb'nbsp;bende, zal men op de zijde DC eetien derden driehoek DCE aannbsp;het punt E kunnen ver��nigen, en de zijden AD, DE en AE zul'nbsp;len eenen vierden gelijkzijdige driehoek maken, die aan de drie eerftnnbsp;gelijk is. Op dezelfde wijze zal men, beneden het Vierkantnbsp;vier gelijke en gelijkzijdige driehoeken ABF, BCE', CDF aiADFnbsp;kunnen zamenvoegen, en men zal, zoo doende, een ligchaam verkrijgen, dat binnen acht gelijke en gelijkzijdige driehoeken is ingefloten,nbsp;en men zal gemakkelijk kunnen bewijzen, dat de lijnen BE, ED,nbsp;DF en BF, in hetzelfde vlak liggen en een vierkant maken, dat denbsp;zes viervlakkige hoeken A, B, C, D, E en F, bij fuperpofitie gelijknbsp;zijn, en dat men, in en om dit ligchaam, eenen bol bcfchrijven kan.nbsp;Men noemt dit ligchaam O�acdntm oE. regelmatig Achtvlak.

3�- Laat verder, 320, ABC DB een regolmafige vijfhoek zijn, welks zijden gelijk aan de zijden der driehoeken zijn; dan kan mennbsp;(gelijk in N� 2.) vijf gelijkzijdige driehoeken ABF, BCE', CDEquot;,nbsp;DEl^ en AEF, bij F zamenvoegen, en men verkrijgt alzoo op denbsp;bafis ABC DE eene regelmatige vijfhoekige piramide, hlen plaatfenbsp;Voorts op de zijden van den vijfhoelt vijf gelijkzijdige driehoekennbsp;ABC, BCEE, CDI, DEK, AEL, zoodanig, dat zij mct.de driehoeken ABF, BCF, CDF, DEF en AEE', dezelfde It�tdhoekennbsp;maken als twee der aan elkander grenzende zijvlakken der piramide;nbsp;dan is het ligtelijk te bewogen: dat de hoeken QBIE, HCl, EDIE,nbsp;KEE^ en CAL, .alle hoeken van do'' zijn, en dat alzoo, de lijnennbsp;Gil, Hl, IK, KL, LG, getrokken hebbende, deze lijnen de zijdennbsp;van eenen regeliiiatigen vijfhoek zijn, op welke eene regelmatige piramide, gelijk aan de bovenfle, door middel der gelijke gelijkzijdigenbsp;driehoeken GHM, HIM, IKM, KLM en LGM, kan zamengefteldnbsp;worden. Het ligchaam op deze wijze zriinengefteld is tusfehen twintig gelijke en gelijkzijdige driehoeken befloten.; de twaalf vijfvlakkigenbsp;hoeken, welke door deze zijden gemaakt worden zijn gelijk, en daarnbsp;men ligtelijk bewijzen kan: dat de lijnen, welke de overftaande hoekpunten ver��nigen, even lang zijn, en elkander in hetzelfde punt middennbsp;door deelen, hetwelk van al de zijvlakken denzelfden affland heeft,nbsp;zal men in en om dit ligchaam eenen bol kunnen befchrijven.nbsp;noemt dit ligchaam Icofa'�dnim of regeluiatig Jwintigvlak,

E T Iv U N S ,T.

4� Wanneer zes gelijke vierkanten, als ih fig. 421, aan elkander gevoegd worden; dan ontftaat �er een cubus, welke, in den rang der regelmatige ligchamen, Hexa�drum of regelmatig Zesvlak genoemdnbsp;Wordt. f)m en in hetzelve kan een bol befchreven worden. Ditnbsp;h'gchaani is het eenige regelmatige dat door vierkanten Iran ingeflotennbsp;Worden.

5� Wanneer men fig. 422, eenen rege'matigeen vijfhoek JUCDE als bafis aanneemt; dan zal met dezen vijf andere gelijke regelmatige veelhoeken ABHFG, BCKIH, JCDMLK, DEONM en AEOPG,nbsp;kunnen zamenvoegen, welke aan de hoekpunten A, B, C, D en E,nbsp;gelijke drievlakkige hoeken maken. Wanneer men nu, binnen eikennbsp;dezer drievlakkige hoeken, lijnen denkt, welke met de drie ribben gelijke hoeken maken,-zullen deze lijnen elkander in hetzelfde punt ontmoeten, dat van elk der hoekpunten van de zes regelmatige vijfhoeken , als ook van diezelfde vijfhoeken even ver afftaat, en men zalnbsp;gemakkelijk bewijzen kunnen: dat de ftandhoeken van twee dezer regelmatige vijfhoeken overal gelijk zijn: men zal dan nog vijf anderenbsp;aan de voorgaande gelijke regelmatige vijfhoeken IKLST, LMNRS,nbsp;hop GR, PGFUQ^, FIIITU, met de voorgaande kunnen zamenvoegen, welke aan de punten T, S, R, O. en �/, fluiten zullen, ennbsp;aldaar eenen anderen regelinatigen vijfhoek QJiSTU zullen maken,nbsp;en men zal aldus een ligchaam verkrijgen, befloten binnen twaalf gelijke regelmatige vijfhoeken, iii en pm hetwelk eenen bol kan befchreven worden. Men noemc dit ligchaam Dodecaedrurn of regelmatig Twaalfvlak,

Deze zijn de vijf mogelijke ligchamen, welke, door gelijke en regelmatige veelhoeken, itunnen ingefloten, en om, en in welken eenen hol kan befchreven worden. Wanneer men zich nu een zinnelijknbsp;denkbeeld van deze ligchamen wenscht te maken, zoo fnijde men uitnbsp;karton-pnpier d� figuren 422, 423, 424, 425 en 426, welke men,nbsp;'�olgens de lijnen in die figuren voorkomende, omvonwt, en men z'alnbsp;dati de ftraks befchrevene ligchamen, behalve den cubus, verkrijgen.

�. 1343- XLIV. Vraagstuk. De formulen te vinden, waardoor men de ftandhoeken van de zijvlakken der regelmatige ligchamen,nbsp;benevens de middellijnen der in en onigejchrcvene hollen, en de inbonden dezer ligchamen vinden' kan?

Oeuossmo. Laten, Fig. 427, ABC en ABD, twee middelpunts-^tichoeken van twee aan elkander fluitende zijvlakken z�n, zoodanig dtt AB ��ne der ribben is. Men kue, uit de middelpunten, C en

beginselen

D, der zijvlakken, de spothemata C� en DE, op de ribbe vallen; dan is de hoek CED de Handhoek van twee der zijvlakken.nbsp;Men Inte voorts, door deze apothemata, een vlak gaan, en deele dennbsp;hoek CED, door de lijn EM, midden door; trekke de lijn CM,nbsp;ioodregt.op CE, wanneer men dan de lijn MD trekt, zal deze lijnnbsp;ook loodregt op ED Haan; terwijl de lijnen MC en MD, die (X.nbsp;StcE. l, BE) gelijk zijn, loodregt op de zijvlakken Haan, en denbsp;len van den ingefchrevenon bol zullen zijn. Indien men de lijnennbsp;yJM en BM trekt, zullen deze twee dralen van den omgefchreve-nen bol zijn. Men denke nu, in het genieene middelpunt M vannbsp;het ligchaam en der in en omgefchrevene bollen, eenen bol, welk.snbsp;ftrral gelijk aan de ��nheid van de lengtemaat zij; het oppervlak vannbsp;den bol maakt dan den bolvormige driehoek abc,, welke, omdat, denbsp;vlakken CDM en ABM elkander regchoekig fiiijden, regthoekig isnbsp;in b; omdat dan CM loodregt Haat op ABC, is hoek cab� hoeknbsp;AC F, g! lijk den halven centerhoek van den veelhoek, die ��n dernbsp;zijvlakken van het ligchaam is, de boog ah is de maat van den hoeknbsp;CME., de maat van het complement van den halven Handhoek CED,nbsp;en de hoek ach is de Handhoek der vlakken ACM en AME. Mennbsp;Helle nu den Handhoek der zijvlakken CED ~C; AB�a; AMnbsp;~R en CM�r; het getal der zijden van elk zijvlak �n, het getal der zijvlakken van eiken veelvlakkigett'hoek van het ligchaamnbsp;dan is cab � i8o� \n, en c� 180� -.m; nu is, in den regthoekigennbsp;bolvotraigen driehoek abc, Cos.ab � Cos.c.Sin.a; dat is:

door welke vergelijking de Handhoeken der zijvlakken gevonden worden. Dezelf.ie driehoek geeft nog Cos.ac � Cot.a X Cot.czz . � � Cos.CMA; nu is, R-.r~i'.Cos.CElA; derhalve

Door deze en de voorgaande formulen, zal men de ftralcn der in en omgefchrevene bollen kunnen vinden; of ook wel door (2) cn dezenbsp;Volgende

V'eel gemakkelijker zal het nogtans zijn, eerst den Handhoek der zijvlakken te zoeken, en daar ha R en r door

(7)

vergelijking, waardoor de zijden der regelmatige ligchaincn, in deu-zelfden bol befchreven zijnde, gevonden kunnen worden.

I 80^

Eindelijk is de inhoud van het zijvlak nbsp;nbsp;nbsp;X Cut.-H�llen-

de dan het getal der zijvlakken =.p; dan is het geheele oppervlak

ipna^ X Cot. � ; dit met ��n-derde van r vermenigvuldigd n

zijnde geeft, voor den inhoud van het ligchaam, de uitdrukking:

i8o''

	n ,	. . m
Viervlali . .	3	� - 3
Zesvlak , . .	4	. . 3
Achtvli^k . �	3 �	� � 4
Twaulfrlak	5	� � 3
Tviotigvlek	3	- � 5

�. 1344, Men behoeft nu Hechts, voor elk regelmatig ligchaam, de waarden van nnbsp;en m, in de' gevondene vergelijkingen, tenbsp;Hellen, om de Handhoek der zijvlakken, denbsp;ftralen der om en ingefchrevene bollen, ennbsp;den inhoud van dit ligchaam te vinden. Mennbsp;raadplege dien aangaande het nevenHaande tafeltje.

^vaaruit volgt; dat, �wanneer het zesvlak en achtvlak, het iwaMfvlak en twintigvlak , in denzelfden hol befchreven zijn, dezelfde bol innbsp;het zes en achtvlak, en dezelfde bol, in het twaalf en twintigvlak,nbsp;tt-al pasfeu.

BEGINSELEN

Voor het viervlak = w = 3; /gt; = 4; Cos.C�i�, Sin.C � 7'ang.C=iy!i-, Tang. i C= lya-, R= i aj/�'-,nbsp;x| ay6', lRy6', Inhoud�^la'^ J/2.

2� Voor het zesvlak: �=24; �=23; p~6-, Cos.C=:o\ Sin.c:^^'i Tmg, i C :::z Cot .iC2=i; R� I ay 2,'., r~\a\ Inhoudquot; a'^.

3� Voor het achtvlak: �2=3; ;b=:4; ^2228; Ces. C�� 3� Sin.C�^yzi, Tang.C-rz�2^/2; Tang. IC�ya.-., R�lay^'�gt;nbsp;r�'�gay6',Tnhoud�^a'^yi2..

4'* Voor het twnalfvlak: /122212; �2=5; W2223; Cos.C^��J^5� Si/i. C = j ys; C = � 2; i C=2 J (i -[- ys'); R

s'* Voor het twintigvlr.k: p-zo-, 111 � 5; ��3; Cos.C�-^ ^ys; Sin.C=i; Tang.C=z �^ys^ Tang. i C= i (3 y Sy^nbsp;R=: iay(10 a ys')-, r � ^la x (3 y% 1^15) en Inhondt::^nbsp;X (3 K5)-

�. 1347. Bijvoegsel. Men zal, uit aiJe deze waarden gemakkelijk de gronden van de volgende conftruftie, orn, in eenen gegeven bol,nbsp;de vijf regelmatige ligchamen te conftrueren, kunnen nagaan.

Laat, fig. 428, B de middellijn van den bol, ^EB zijn halve groote cirkel, C het middelpunt zijn. Neem �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DF\oo^'

van het zesvlak. Trek EC loodregt op AB; dnn is AE de ribbe van het achtvlak. Stel AG loodregt op AB, maak AG � AB,nbsp;trek CG; dan is AH de ribbe van het twintigvlak. Men deele ein'nbsp;delijk BF, in N, in de uiterfte en middelfle reden; dan is het groot-fte Huk BN da ribbe van het twaalfvlak.

VEERTIENDE BOEK.

Over de Theorie der Transverfakn, benevens eene korte aanwijzing van derzelver gebruik.

�. 1348. I. IBf.paling. Eene transverfaal is eene regte of kromme lijn , welke, in het vlak van eenige figuur, naarnbsp;Welgevallen wordt aangenomen, en de zijden van die figuurnbsp;of derzeh^er verlengde ergens doorfnijdt. Een transverfaalnbsp;vlak is een plat of gebogen vlak, dat, naar welgevallen, innbsp;de ruimte wordt aangenomen, en een ftelfel van lijnennbsp;fnijdt, enz.

�. 1349. If. Bepaling. Wij nemen thans het woord veelhoek in eene uitgeflrektere beteekenis, en verfiaan door den-zelven een ftelfel van regte lijnen, welke eenige gegevene punten, (mits geen drie dezer punten in dezelfde regte lijnnbsp;liggen,) in eenigerlei rangorde genomen, het eerfte met hetnbsp;tweede, het tweede met het derde, enz. en het laatfte metnbsp;het eerfte ver��nigen. Zie fig, 429 en 430.

�. 1350. III. Bepaling. Wanneer die punten in hetzelfde vlak gelegen zijn, noemt men den veelhoek vlakke veelhoek: maar liggen zij in onderfcheidene vlakken, wordt de Veelhoek fcheve veelhoek jpolygone gauche) genoemd.

�. 1351. I. Aanmerking. Wanneer het aantal der gegevene punten n is, zal het getal veelhoeken, welke, door deze punten, op de voorfchrevene wijze te ver��nigen, ontdaan, door

Worden uitgedrukt, eene waarheid, welke, door de Leer der permu-tatien, gemakkelijk kan bewezen worden.

�. 1352. II. Aanmerking. Men kan ook den veelhoek befchou-Wen, als te ontdaan, uit de onderlinge fnijding van eenige gegevene lijnen; en dan ontdaan �er in deze figuur onderfcheidene veelhoeken:nbsp;doch wij zullen ons met deze wijze van befchouwen, als minder totnbsp;ons oogmerk dienende, thans niet ophouden.

BEGINS

�� 1353* Aanmerklng. De befchoinving der veelhoeksn, op de wijze, zoo ais wij dezelve hier aannemen, leert zeer fraaije eiglt;'�0'nbsp;fchappeii kennen, welke wij, als tot ons tegenwoordig plan niet be:,nbsp;hoorende, bij e�ne andere gelegenheid zullen leeren kennen.

�. 1354. Wanneer de drie zijden AB, AC en BC, van eenen driehoek of derzelver verlengde^, door eene regte lijnnbsp;DE F, als transverfaal, gefneden worden', dan ontftaan �er,nbsp;op elke zijde des driehoeks, twee lijnen, begrepen tusfchen denbsp;uiteinden van die zijde en het fnijpunt, (namelijk AD ennbsp;BD op AB', BF en CF op BC; CE en EA op AC,')nbsp;welke wij, kortheidshalve, fegmenten der zijden zullen noemen', deze fegmenten hebben, hoe de transver faal moge geno-m^n zijn, z.ulk eene over'��nkomst met elkander, dat het product van drie dezer fegmenten, welke geen gemeenfchappelijknbsp;hoekpunt hebben, gelijk is aan -het product der drie anderen.nbsp;Dat is'.

Betoog. Men trekke de lijn AG, evenwijdig aan BC; dan geven de driehoeken BAG en DBF, die (XXIF. Steil. I. S. en Fill. Steil. IF. B.j gelijkvormig zijn, de evenredigheid:

AD-.DB � AG'.BF; waaruit AD X BF=AG X BD . . (1) De driehoeken AGE en CF(j, (XXFI. Steil. I. B. en Fill. Steil.nbsp;W, B.) gelijkvormig zijnde, geven:

dG'.AEzz-CF'.CE; waaruit AG x CE�AE x CF . . . (2) Vermenigvuldigt men nu de leden der vergelijkingen (i) en (2) nietnbsp;elkaud-.r, en deelt men de gelijke produ�ten door den gemeenea factor AG; dan heeft men:

AD X BF X CE � AE x BD X CF en dii. betoog geldt voor rd de figuren, gelijk ook voor vele anderen�nbsp;in ivelken, aan de-transverfial eene andere Helling mogt gegeven ziju.

1355. I. ('rEvoLG. Indien men, Fig. 431, de transverfaal DE evenwijdig aan AB Helt; dan worden AD en BD oneindig, en denbsp;vergelijking op de fegmenten der zijden wordt BFx CE � AEnbsp;CF; waaruit xo\gf.'BF: CF � AE'.CE, hetgeen met de I. StelS^^S

�- 1356. n. Gevolg. Wanneer de cransveifaal, T/f. 431, door het punt A gaat; dan worden xiD en ^IE~o, en wij hebben,nbsp;o X BF-X. CE = o X DB X CF en BF x CE-.BD X CT=g =nbsp;eene onbepaalde grootheid; en de vergelijking kan, in dit geval,nbsp;niets leeren.

�. 1357. III. Gevolg. Fig. 431, 432 en 433- Door de trans-verfaal ontftaan �er in de figuur, behalve de driehoek ABC, nog de drie driehoeken DBF, CEF en DAE, welke respe�lievelijk denbsp;lijnen AC, BD en BC, tot transverfalen hebben: men heeft derhalve de vier vergelijkingen:

welker produft i = i geeft; zoodat het produft van drie dezer vergelijkingen de vierde moet geven.

�. 1358. IV. Gevolg. Wanneer men de eerde met de tweede, of de derde met de vierde vergelijking, vermenigvuldigt; dan verkrijgt men:

ABxBFx CE xDE = BD x BC X AE X EF en het produdt van de eerfte^ en derde, of van de tweede en vierdenbsp;vergelijking, geeft:

AD X FD X CE X BC= BD x AC x CF x DE uit welke vergelijkingen de evenredigheden,

BD X BC: AB X BF=CE xDE:A�'xEF en AD x DF:BD x DE = ACx CF: B C X CEnbsp;Volgen, waarvan men, in vele gevallen, een nuttig gebruik kan maken.

�. 1359. Wanneer men op twee zijden, .AC en BC, eens driehoeks, of op derzelver verlengden, twee punten E en F;nbsp;en, op het verlengde van de derde zijde A B, een punt D,nbsp;zoodanig neemt-, dat het produB der Jegmenten AD BE' ennbsp;CE, welke geen gemeenfchappelijk punt hebben , gAijk is aannbsp;het produB der drie andere Jegmenten, AE. B D en CF;nbsp;dan zullen de punten D, E en F. in dezelfde regte lijn gelegen zijn.

BEGINSELEN

Betoog. Wanneer ,een ander punt D', met de punten E en F, in dezelfde regte lijn liggen; dan is (/. Steil,')

AD �xBFxCE=zAExBDy.CF uit welke vergelijkingen, de evenredigheden {V. Steil. II. B.)nbsp;AD':BD'=AE X CF-. BF x CEnbsp;AD :BD=AE x CF-.BF x CEnbsp;volgen, en uit deze wederom (�. Steil. II. B.)

BD'�AD': BD � ADz=: AD': AD � AB: AB dat is twee ongelijke grootheden, in dezelfde reden, als twee gelijke:nbsp;daar zulks nu ongerijmd is, kan geen snder, dan het punt B, metnbsp;de punten E en F, in dezelfde regte lijil gelegen zijn.

�. 1360. Wanneer al de zijden van eenen vlakken veelhoek van n zijden, of derzelver verlengden, (zoo ah het valt) doornbsp;eene transver faal lijn gefneden worden', dan ontflaan 'er, opnbsp;elke van deszelfs zijden, van de hoekpunten afterekenen, totnbsp;aan het fnijpunt, twee fegmenten: nu zal het produFt van nnbsp;fegmenten, waarvan 'er op elke zijde ��n zoodanig genomennbsp;is, dat geen dezer fegmenten een gemeen hoekpunt hebben,nbsp;gelijk, zijn aan het produFt van de n andere fegmenten. Datnbsp;is voor eenen zeshoek, welke de figuur voorfielt:

AGxBHxCIxDKxelXFM=z AMxFLX�KX DIxCHxBG.

Betoog. Offchoon deze Helling niet algemeen, voor eenen n hoek, kan bewezen worden, zal het bewijs voor de zeshoeken, waarvannbsp;de figuren 434, 435 en 436, �er drie onderfch�idene foorten voor-Hellen, aanwijzen: hoe men de bewijzen voor de vier, vijf, zeven,nbsp;acht, negen hoeken, enz. kan opmaken, terwijl men, door de leiding van dit bijzonder bewijs, zal gevoelen, dat het bewezene voornbsp;den zeshoek zich tot alle andere veelhoeken, hoe groot het getal dernbsp;zijden zijn moge, moet uitHrekken.

Men trekke van ��n der hoekpunten, bij voorbeeld, A, de lioc^r-puntslijnen AC, AD en AE, welke men, indien het noodig is�

M E E T K U N S T.

a?n de rransverfaal iijn, in IV, O en 'verlengt; dan geven, volgens de /. Stelling, de driehoeken /IBC, ^tCD, ADE en AEF, de lijn KI als derzelver transverfaal lijn belchouvvende, de vier volgende vergelijitingen:

AG X BH X CN=AN X CH x BG AN X Cl X DOz=AO X Dl X CNnbsp;AO X EP X DK = AP X EKx DOnbsp;AP X EL X FM=AMx FL X EPnbsp;vermenigvuldigt men iiu de over��nkomftige leden dezer vergelijkingen met elkander; dan verkrijgt men, na alles door de gelijke fafto-ren CN, AN, DO, AO, EP en AP, welke in de beide producten voorkomen, gedeeld te hebben:

hg X BHx CIxDKxELx FM�AM xBGx CHx D lx EKX. FL welke de gefielde vergelijking is, die men betoogen moest.

Men zal, door, uit hetzelfde hoekpunt, tot de andere hoekpunten, ho�kpumslijnen te trekken, eenen vierhoek in twee, eenen vijfhoeknbsp;w drie, eenen n hoek in n � 2 driehoeken verdeelen, en het pro-du�l: der vergelijkingen, op de gemeenfehappelijke transverfaal van allenbsp;deze driehoeken, zal, na door de gelijke fa�loren, welke in hetzelvenbsp;Voorkomen, gedeeld te hebben, altijd de gefielde vergelijking geven.

IV. Stelling. Fig. 434, 435 en 436.

�. 1361. Wajineer de hoekpunten van eenen veelhoek in on-dcrfcheidene vlakken gelegen zijn, en de veelhoek diensvolgens fcheve veelhoek is; dan zal, indien men, in plaats vannbsp;eene transverfaal lijn, een transverfaal vlak KI aanneemt,nbsp;hetwelk de zijden, of derzelver. verlengden, doorfnijdt, de vergelijking op de fegmenten, welke door de ontmoeting van ditnbsp;vlak gemaakt worden, nog, op dezelfde wijze, als in het geval van eenen vlakken veelhoek, die door eene transverfaal lijnnbsp;gefneden wordt, blijven plaats hebben; namelijk voor onzenbsp;bijzondere figuren

AG X B Hx CIx DKx ELXFM� AMx BGX. CHX

Betoog. Men trekke wederom de hoekpuntslijnen AC, AD en HE, welke het tranpvcrf�a! v'ak, in de punten N, 0 en P fnijden:nbsp;��kiat nu de driehoeken ABC, ACD, ADE en AEF, eik,, in een

r. E G I N S E L E xN

bijzonder vlak, liggen, zijn de fnijpiinten G, //en N; N, 0 en U O, K en P; en M, L en P(die zich alle in het transverfaal vlaknbsp;bevinden,) drie aan drie, in dezelfde regte lijnen gelegen, welke reg-te lijnen, als in het aigemeene transverfaal vlak liggendp, de transverfaal lijnen van eiken dezer driehoeken zijn. Deze transverfaal lijnennbsp;geven dezelfde vergelijkingen van het betoog der voorgaande Helling,nbsp;en bijgevolg ook dezelfde vergelijking op de fegmenten van den fche-ven zeshoek. De hefchouwing van twee of drie andere fcheve veel-ho 'ken zal aan het verftand overtuigend doen blijken: dat het gefieldenbsp;voor alle fcheve^ zoowel als voor alle vlakke veelhoeken, volfirekt, ennbsp;zonder eenigr uitzondering, algemeen is.

�. 1361. Aanmerkiing. Men zal het omgekeerde der twee voorgaande rtellingen, op dezelfde wijze, als het omgekeerde van de eer-lie Helling, kunnen bewijzen.

1363. Wanneer men., binnen of buiten eenen driehoek ABC een punt F neemt, en uit de hoekpunten A, B enC,nbsp;van dien driehoek ABC, door dit punt P, de transverfaalnbsp;lijnen AD, BE en CF, trekt, welke de zijden des driehoeksnbsp;ABC, of derzelver verlengden, in de punten D, E en F., innbsp;twee fegmenten deelen; dan zal het produSt van drie fegmenten, op de drie onderfcheidene zijden genomen . en die nietnbsp;hetzelfde hoekpunt gemeen hebben, gelijk zijn aan het produBnbsp;der drie andere fegmenten. Dat is; AFxBDxCE::^nbsp;AExBFxCD.

Betoog. Men befchouwe de driehoeken A CF en BCF, en neme de lijnen BE en A�, als derzelver transverfalen aan; dan is Ql.St.')

AFx BD X CP=.FP X CD X AB het produdl dezer vergelijkingen geeft, na alles door FPX. CPxnbsp;gedeeld te hebben:

�. 13�4. I. Gevolg. Uit de betoogde vergelijking volgt; (f. Steil-II. , gt;'.)

wiidig ann AB; dan zijn de driehoeken AFP en BFP aan de driehoeken QJ^P en RCQ^ nbsp;nbsp;nbsp;Steil. IF. B.') gelijkvormig, men heeft

dan AF-.FP � CO^-. CP en BF: PF=CR:CP; derha.lve (X//. Steil. 11. B.) AF: BF=z CO; CR, en eindelijk, {1. Steil. II. B.')

van eenen driehoek ABC, {of op twee van derzelver verlengde naar demelfden kantj) drie punten F, D en E, zoodanig genomen worden, dat AFx B D xC E'z=. A E x B Fx C Dnbsp;zij; dan zullen de lijnen AD, BE en CF, welke, uit denbsp;hoekpunten, A, B en C, der overjlaande hoeken, lc4 deze al-quot;ZOO aangenomene punten getrokken worden, elkander in hetzelfde punt P, buiten of binnen den driehoek, ontmoeten.

Betoog. De lijnen BE en CF fnijden elkander in een punt P; Wanneer nu de lijn AD niet door het punt P gaat; dan zal men, doornbsp;het punt P, eene lijn AD' kunnen trekken, welke de zijde BC, innbsp;het punt Dj fnijdt; en dan zal {F. Steil.')

BD':CD'=AE X BF-.AFxCE BD -.CD �zAEx BF-.AFx CEnbsp;en {[.Steil. II. B.) 3Dgt;:CD'�BD:CD; waaruit {Fill. Steil.nbsp;II. B.) BDgt; -k-CD' : BD -gt;rCDz:zBD' : BD; of wel, BD':BDnbsp;zz: BC: BC volgen zal; daar nu zulks ongerijmd is, znl geene ande-le, dan de liju AD, door het punt P kunnen gaan, en het gehelde

�. 1357. I. Gevolg. Fig. 437, Laten AD, BE tn CF, de lood-hjnen zijn, welke, uit de hoekpunten, op de overftaande zijden van driehoek vallen; dan is de driehoek A FC met den driehoeknbsp;'lEB, de driehoek CDA met den driehoek CEB, en de driehoeknbsp;J^DA met den driehoek BFC gelijk vormig; derhalve is,

Kk s nbsp;nbsp;nbsp;AF

r. E G I N-,

vermenigvuldigt men deze vergelijkingen met elkander; dan verkrijgt men: (XFI. Steil. 11. B.)

AFx BD X CE-.AE x BF x. CD = AC: AC=i :i of wel, omdat de termen van de tweede reden gelijk zijn, AF Xnbsp;BD X CEzzAE x BF x CD. Volgens bet bewezene in de ftel-ling, moeten dan de loodlijnen van eenen driehoek elkander, in hetzelfde punt, doerfnijden.

�. 1368. II. Gevolg. Fig, 437. Laat AF�BF; BD � CD en CE � AE genomen worden; dan is AF x BD X CE � BF x CDnbsp;X AE; de lijnen derhalve , welke, uit de toppunten van de hoekennbsp;eens driehoeks, tot het midden overjlaande zijden, getrokken worden,nbsp;moeten elkander in hetzelfde punt, hinnen den driehoek, doorfnijden.

het produfl dezer eveiireciigbeden geeft AF X BD X CE � BFX CD X AE. De lijnen derhalve, welke de hoeken eens driehoeks innbsp;twee gelijke deelen fnijden, ontmoeten elkander in hetzelfde punt.

�. 1370. IV. Bepaling. Eenige grootheden, a, h, c, d, enz, zijn iu eene harmonifche reeks, wanneer drie op elkander volgende termen, a,b,c,o�b,c,d, enz., tot elkander zulk eene betrekking hebben, dat de eerfte dezer termennbsp;tot de derde in dezelfde reden ftaat, als h;t verfchil der tweenbsp;eerden tot het verfchil der twee laatiten: dat is, wanneernbsp;a : c-=2a � h : b � c; b'.d'=zh � c'.c � d is, enz. (Zi^nbsp;1. C. 45 Vraagfluk, Bladz. 34lt;5.) Wanneer die reeks Hechtsnbsp;uit drie leden bellaat, noemt men haar eene harmonifche evenredigheid.

1371. V. Bepaling. Fig. 439. Wanneer men, op lijn AD, van het punt yf afterekenen, de lijnen AB, ACnbsp;AD, in eene harmonifche evenredigheid neemt; dan wordt

in eene harmonifihe evenredigheid') gefiieden te zijn; en men noemt dan de dealen AB en CD de niterfle deelen, ennbsp;het middeljie deel.

�. 1372. Gevolg. Fig. 439. Omdat, naar den aard der harmoni-fche evenredigheid, AB\AD:zzAC�AB'.AD � AC is, o�ABi AD � BC�.CD, zal AB x CD �AD x BC zijn. TVanneer der~nbsp;halve eene lijn AD, in de punten B en C, harmonisch gefneden is,nbsp;zal de regthoek, onder de geheele lijn en het middelfte deel, gelijknbsp;zijn aan den regthoek, onder de uit er fte deelen.

�. 1373. Aanmerking. Fig. 439. Eene bepaalde of gegevene lijn AD kan, op onnoemlijk vele wijzen, harmonisch gefneden worden.nbsp;Stellen wij de geheele lijn AD � a, en nemen wij ��ne der niterftenbsp;deden AB � b-, (lellen wij dan het middelde deel BC~x; dan isnbsp;CD �a � b � X, en�(�. 1372O ax�ah � hl-�bx, en a-=:

h X --t-t; waaruit volgt: dat aan b alle waarden, van o ma, bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\

kunnen gegeven, en bijgevolg het uiterfte deel b naar welgevallen kan genomen worden.

�. 1374. TFanneer men, F/jg. 439, eenejijn AC, welke, in het punt B, in twee, naar welgevallen genomene deelen, verdeeld is, tot innbsp;D zoodanig wil verlengen, dat de geheele verlengde lijn AD, in denbsp;punten B en C, harmordsch gefneden zij-, of, dat hetzelfde is, wanneer men tot twee lijnen AB en AC eene derde harmonifche evenredige AD vinden wil-, dan zal men AB � a, BC � b enCZlrr.vnbsp;dellen, en dan is (a-\-b-\-xj x b�ax; en hieruit zal volgen: x �nbsp;a-\-b

�. 1375. Men kan dit alles, op eene eenvoudige wijze, door con-dru�iie, vinden. Zij, fig. 439, AD de gegevene lijn, AB het naar welgevallen genomen uiterde deel; dan trekke men, uit de uiteindennbsp;A w D, tw�ee lijnen AE en DE, welke, in een willekeurig punt E,nbsp;zamenkomen; door het punt B eene lijn FBG, evenwijdig aan DE^nbsp;men neme BG � FB; dan zal de lijn �G de beide andere deelennbsp;ilC en CD bepalen. Want, door de gelijkvormige driehoeken, welke,nbsp;door de condru�lie, in de figuur ontdaan zhn, is AB:AD~BF-,nbsp;DE = BG: DEz=BC: CD en ABXCD � ADX CD,

1376. En, om cene gedeelde lijn AC tot in D, zoodanig te verlengen, dat AD in B en C harmonisch gefneden zij, zal men eene

onbepaalde lijn AE, door B eene onbepaalde lijn FGB trekken, BG ~BF nemen, GCE trekken, tr\ ED evenwijdig aan FGlt;i dan zalnbsp;CD het verlengde der gegevene lijn zijn.

�� 377' Wanneer eene lijn AD^ in de punten B en C, harmonisch gefneden is, en men, uit eenig punt P, builennbsp;die lijn gelegen, de lijnen AP, BP, CP en DP, trekt',nbsp;dan zal. Sin. APD x Sin. B PCz= Sin. APB x Sin. C PDnbsp;zijn. En, omgekeerd, wanneer de lijnen AP, BP, C P ennbsp;DP, uit een punt P, zoodanig zijn getrokken: dat Sin APDnbsp;X Sin. BPCzz: Sin. APB x Sin. CPD is; dan zal dit jiel-fel van lijnen elke lijn AB, welke dopr hetzelve, naar welgevallen, getrokken wordt, harmonisch Jhijden.

AB:AP=i Sin. AP B: Sin. B AP: AD = Sin. D : Sin. APDnbsp;CP:BC = Sin.B:Sin.BPCnbsp;CD'.CPzz Sin. CP D ; Sin. D

vermenigvuldigt men de over��nkomflige termen dezer evenredigheden met elkander; dan verkrijgt men, na de termen van dezelfue reden,nbsp;door de gelijke faftoren, gedeeld te hebben:

AB X CD : AD X BCzzzSin.APB X Sin.CPD : Sin APD X Sin.BPC Omdat nu {onderftell.jA B XCDzzADXBC is, zal ook Sin. AP Bnbsp;X Sin. CPD � Sin. APD X Sin. BPC zijn.

Betoog van het omgekeerde. Geheel onafhankelijk van de onder-ftelling, is voor elke lijn AB, de gezegde lijnen fnijdende,

AB XCD'.ADXBC� Sin. APB X Sin. CPD : Sin. APD X Sin. BPC Omdat nu {onderft.) Sin.APBX Sin.CPD �= Sin. APD X Sin.BPCnbsp;is, zrd ook ABx CD � ADx BC zijn.

1378. I. Gevolg. Fig. 440. Elke lijn A'B'C'D', :velke, boven of beneden AD, evenwijdig, of niet evenwijdig, aan dezelv't getrokken wordt, zat, indien AD door de lijnen AP, BP, CP f''nbsp;DP, harmonisch gedeeld is, ook door diezelfde lijnen harmonisch gC'nbsp;fneden worden, welke waarheid onmiddelijk, uit de Helling en de te-gen�elling, volgt.

R MEETKUNST.

�. 1379. II. Gevolg. Wanneer men de lijnen AP, BP, CP en DP, naar boven verlengt, zullen de verlengde lijnen aP, h^P, cP,nbsp;PP, nog de eigenfchap behouden, dat zij elke lijn, die dezelve Inijdt,nbsp;harmonisch zullen fniiden.

�. 1380. III. Gevolg. Vermits de Sinusfen van de fupplementen der hoeken aan de Sinusfen van die hoeken zelve gelijk zijn, zulknnbsp;de hoeken APb, DPc, CPd en BPa, door de lijnen, welke binnennbsp;dezelve gelegen zijn, op dezelfde wijze, als de hoeken APD en aPdnbsp;gejneden zijn, zoodat alle transverfalen, welke door deze hoeken getrokken worden door de lijnen, welke dezelve fnijden, harmonischnbsp;zullen worden duorgefneden,

�. 1381. Wanneer men, uit het hoekhunt C, van den hoek tens driehoeks ABC, eene lijn CD, tot aan de bafis of der-zelver verlengde, trekt, en voorts, uit de hoekpunten der tweenbsp;andere hoeken, A en B, door eenig punt P, van die eer (Ie lijn,nbsp;CD, twee andere lijnen, AF en BE, tot aan de 0'�erftaandenbsp;zijden, of derzelver verlengden, trekt; dan zal. indien de lijnnbsp;CD de zijde AB niet midden door deelt, de lijn, welke doornbsp;de punten E en F gaat, de zijde AB, of dezelver verlengde, in een punt Q^, fnijden, naar dat CD buiten of binnennbsp;den driehoek valt. en de lijn BD zal, in het eerjle geval,nbsp;Fig. 44a, door de punten A en Q^, en in het tweede geval,nbsp;Fig. 441, de lijn P Q^, door de punten A en D, harmonischnbsp;gefneden zijn. Dat is, in beide figuren, zal A Dy. B O �nbsp;AQjy BD zijn. Eindelijk zullen alle lijnen O^EF. welke,nbsp;door het punt P hooger of lager te nemen ., op de gezegdenbsp;wijze ontftaan, elkander, in hetzelfde puntnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;doorfni]den.

Betoog van het eerfie. Omdat de lijnen CD, AF en A'/�, elkander in P fnijden, is (F- Stell.j is AD X BFY. CE � PD y CF y AE; derhalve is:

AD-.BD~CFy AE-.BFy CE en, omdat QJF eene transverfaal van den driehoek ABC is, is Ajjynbsp;BFyCE � AEy BQsy CF; derhalve

AQjBQztzCFy AE-.BFy CE en daarom is {I. Stelt, ll, B.j AD-.BD~AQjBQj, dat is: BQpynbsp;AD=.BDXA(l.

K k 4

5=0 BEGINSELEN

Betoog van het tveede. Vv^anneer het punt P hooger of lager, ja zelfs aan de andere zijde van C, of beneden den-driehoek, genomennbsp;wordt, en de transverfaal lijn, welke alsdan ontftant, niet doornbsp;maar door een ander punt 0_' mogts gaan; dan zal, volgens het bewe-zene, QiA-.(^B=zAD\BD zijn; maar nu is Q_A-.O^B�AD^ BD;nbsp;derhalve (/. BteU. il. B.') Q^A ; (BB z= Q^A-.QB en (/^7//, SieU.nbsp;11. B,') O'B ~.(AJ:O^B � Q^A ~ O^J QjI~AB �. AB, welkenbsp;evenredigheid, daar zij. ongerijmd is, bewijst: dat de nieuwe transverfaal, gelijk ook elke andere, die op dezelfde wijze gemaakt'is,nbsp;door het punt O, zal loopen.

�. 1382. I. Gevolg. Fig. 441. Wanneer de lijn CD zoodanig is aangenomen, dat zij de zijde AB in twee gelijke deelen verdeelt;nbsp;dan zal, omdat AD. ; BD � AQ^: BQ^ is, ook AQj=:.BQ^ zijn,nbsp;welke gelijkheid onbeftaanbaar is, indien O, niet op eenen oneindigennbsp;affband van A gelegen, en ABz'ipde, FEQ^ evenwijdig aannbsp;AB loopt. Uit deze eigenfehap volgt eene bijzondere confiruftie voornbsp;de evenwijdige lijnen. Zie IF. IVcrkfiuk, �. 1399, Bladz. 506.

�. 1383. II. Gevolg. Fig. 441. Trekt men de lijn CQj dan zal (77/. Stell.) Sin. QCB X Sin. ACD = Sin. O CA X Sin. BCD zijn;nbsp;de lijn OF � dan ook, in de punten E en G, harmonisch gefneden,nbsp;en, waanneer men BE tot aan H verlengd; dan is, om dezelfde reden, de lijn BH, in de punten E eu P, harmonisch gefneden. Hetzelfde is ook, in fig. 442, waarheid.

�, 1384. III. Gevolg. Wanneer men, fig. j\4.i, door de punten P en de lijn QJiPI trekt; dan bevindt zich de driehoek BF(f,nbsp;ten opzigte van de transverfaal AC, in dezelfde betrekicelijke ligging,nbsp;als de driehoek ABC, ten opzigte van de transverfaal OJS; volgensnbsp;het bswzene, zijn dan de zijden BC en AC, in de punten Pen F,nbsp;K en E, harmonisch gefneden, gelijk ook de lijn CD, in de puntennbsp;P en G.

�� 1385. Wanneer, in eene lijn BC, een punt F genomen is; dan heftaat 'er flechts ��n clkekl punt I, hetwelk, met helnbsp;punt F, die lijn harmonisch fnijdt.

Betoog. Want, indien deze fnijding nog in een ander punt 1' konde plaats hebben, zou {Gav. F, Bep.j BI: IF� B C : C F eunbsp;BI'-.FFzz.BC-.CF moeten zijn, en daarom (/, Steil. II. B.)

igt; K a M E E T K � N S T.

IF=. BI': I'F, wnaruic (^FIIL Steil. H.B.') volgen zou: BI-\- IF-. � F 1'F=z BI: Bf; dat is BF: BF�BI: BI'; dat ongelijmd is,

�. 1386. fPtinneer twee zijden AC en BC van eenen Frie~ hoek ABC, door eene transver faal OJd F, die het verlengdenbsp;Van de zijde AB in Cf ontmoet, gefneden is; dan zullen dsnbsp;f tinten K en I, welke, met de punten E en F, deze zijdennbsp;harmonisch fnijden, met het punt ff, in dezelfde r egt e lijnnbsp;gelegen zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

Bewijs. -Want, indien men, van het punt g,, door het punt P, sUvaar de hoelipur.tslijnen van den vierhoek ABFE elkander fnijden,nbsp;eene transverfaal QP trekt; dan zal deze transverlaal, met de trans-verfaal QF, de zijden AC en BC {llI. Gev. VIII. Stel!.') in de punten K en �, en / en F, harmonisch fnijden: deze fuijding kan nunbsp;{.voorgaand-LemmaPj flechts op eene wijze gefchieden; de lijn, welkenbsp;door de punten / en K loopt, zal dan ook door het punt g loopee,nbsp;�n de punten /, K qj f liggen diensvolgens in dezelfde regte lijn.

�. 1387.' Wanneer, uit een punt P, buiten eene regte lijn AE gelegen, verfcheidene lijnen AP, BP, CP, DP, EP,nbsp;enz. tot dk regte lijn AE, zoo als -het valt, g-etrokken worden en voorts, door dit flelfel van lijnen, eene trahsverfudnbsp;fghikl, welke die eerstgenoemde lijn AD , of dcrzelvernbsp;Verlengde, in een punt F ontmoet; dan zullen de punten 3P,nbsp;, O, O^, enz, , in welke de hoekpuntslijnen 'der vierhoekennbsp;ABHG, BCIH, CDKIf^DELK, enz., elkander frdj.nbsp;den, in dezelfde regte lijn liggen, welker verlengde door hetnbsp;ontmoetingspunt F zal gaan,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

Betoog. Want de lijn AP is,. (///. Gev. Fill. Stfll.) in de punten S en G, harmonisch gefneden; derhalve zullen ook (/, G(?v. A7/.

''1 de lijnen PB, PC, PD, PE, enz. als binnen denzelfden hoek F FE liggende, harmonisch gefneden zijn; en de punten .S', p, Unbsp;^en IF, liggen, {IX. Steil.) met het punt F, in dezelfde regte lijnnbsp;maar het punt BI ligt {PlI. Steil.) in de lijn ST; N in de lijnnbsp;K k 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7VV.

1388. Wanneer de lijn EF een vlak verbeeldt, en, uit een punt P, buiten dit vlak genomen, verfcheidene regie lijnen ^P. BP, CP, enz. tot aan dit vlak getrokken worden, en_ voorts dit flelfel van lijnen door een ander vlak, bijnbsp;de lijn FL ofgebeeld, wordt doorgefneden, welk vlak het eer-Jle volgens eene regte lijn FF fnijdt; dan wordt door elknbsp;tweetal dezer lijnen AP, B P, C P, enz. een vierhoeknbsp;ABHG gemaakt, en nu zullen de punten M, N, O, P�gt;nbsp;'enz- , alwaar de koekpuntslijnen dezer vierhoeken elkandernbsp;fnijden , in een derde vlak gelegen zijn, hetwelk, met de tweenbsp;voorgaande vlakken, dezelfde doorfnijdingslijn FF heeft.

Betoog. Stel dat het vlak, waarin de lijnen /IP m BP liggen, de geineene doorfnijding der vlakken FE en FL in het punt F fnijdt;nbsp;dan zal de lijn, welke door het punt M gaat, in het vlak A.BP liggen, en de lijnen AP en 3 P (^III. Gev. Fill. Steil.') hannonisch fnij'nbsp;den. Op dezelfde wijze, zal, (wanneer een vlak, dat door de lijnennbsp;BP en CP gaat, en de doorfnijding der vlakken FE en FL in l'Fnbsp;fnijdt.) de lijn, welke door de punten FF ea N gaat, de lijnen BPnbsp;en CP harmonisch fnijden: omdat �er nu {Lemma) maar een punt Lnbsp;begaat, waardoor BP harmonisch, in T en//, kan gefneden worden,nbsp;zal de lijn, welke door F en M gaat, de lijn, door FFe.n Al�loopen-de, in het punt T fnijden, en met F/�'in hetzelfde vlak gelegen zijn-Hetzelfde zal ook plaats hebben voor de lijnen, welke door TFtn ldnbsp;en door X en 0 loopen, en eikander in U doorfnijden; waaruit volgt'nbsp;dat de punten S, T, U, F, W, enz. in het vlak liggen, hetwelknbsp;door de fnijding FF gaat: maar in dit vlak liggen ook de puntet*nbsp;'BI, N, O, enz. derhalve, enz.

�. 1389. Aanmerking. Het betoogde leert eene fraaije eigenfchsp der drie en veelhoekige piramiden kennen.

w E II M � E T K U N S T.

tn CP^ eener driehoekige piramide ABCD^ {zljrde ABC de bafis,) drie vaar welgevallen genomene punten, /?,/'' ennbsp;G, aanneemt ^ en^ van de hoekpunten van de bafis ^ tot dezenbsp;punten^ de lijnen BE^ CE; AF^ CF; AQ, DG; trekt ^nbsp;welke elkander^ op de zijvlakken, in de punten //, K en M,nbsp;fnijden; en voorts, uit het toppunt, door deze punten, de lijnen Dl, D L en DN, tot aan de bajls trekt; dan zullennbsp;de lijnen, welke de hoekpunten �van de bafis, met de uiteindennbsp;/, L en N, dezer laatfte lijnen, ver'��nigen, elkander in hetzelfde punt O door fnijden; en, wanneer men nu van hoekpunten der piramide A, B, C en D, tot de punten K, M, 11nbsp;en O, alwaar de transverfalen der tegenoverflcandc zijvlakkennbsp;elkander fnijden, de lijnen AK, B ISd, CH en DO trekt;nbsp;dan zullen deze lianen elkander, binnen het ligchaam der piramide, in hetzelfde punt P, doorfnijden.

Betoog van het eerjle. Voigens de F. Stelling, liceft men, in de driehoeken ABD, BCD en ACD, de vergelijkingen:

AIxBFxBF. �AE'KDFkBI DF X CCxBL � BFx dg X CL-AE X DGX CN=zDE X ca Xnbsp;wsnneer men deze drie vergelijkingen met elkander vermenigvu'ligt,nbsp;en de produfteii door de gelijke fadloren deelt; dan verkrijgt men:

AI X BLX CNzz BI X CL X AN en deze vergelijking kan niet beftaan, ten zij QA. Stcll.j de lijnennbsp;AL, BN en Cl, elkander in hetzelfde punt 0 fnijden.

Betoog van het tweede. Het vlak AGB friijdt het vlak ACE Volgens de lijn AK; het vlak AGB fnijdt het vlak BCE, volgensnbsp;de lijn BM, en het vinknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fnijdt het vlak BCE, volgens de l�n

CII; geene dezer drie vlakken zijn evenwijdig; gevolgelijk moeten hunne fnijdingen AK, BM en CH, hetzelfde punt P gemeen lub.nbsp;ben. Men moet nii Hechts nog -bewijzen, dat de liin' DO doof hetnbsp;punt P gaat. � ABG fnijdt ADL volgens AK; ABC fnijdt BD Vnbsp;volgens BM; en ADL firijdt BDN vo)gws DO; de lijnen AK, BMnbsp;sn DO, fnijden elkander derhalve in hetzelfde punt; ran.er dc lijnennbsp;AK en BM fnijden elkander iu P; de lijn DO gaat dan ook doornbsp;datzelfde punt P.

�. I3pi. I. Gevot.g. Fig. 444. Men thekke de lijnen NF, LE en hG; dan foijden deze eikan Ier iii hetzelfde punt P, alwaar de fjeeu

BEGINSELEN

DO, AK, BM en CH, elkander fnijden. Want de vlakken BD^ en ADL, fnijden elkander volgens de lijn DO, de vlakken BD�^nbsp;en AFC volgens de lijn NF, en de vlakken ADL en AFC volgens de lijn AK; de lijnen DO, NF en AK, moeten elkander diens-volgens, in hetzelfde punt P, fnijden; maar nu fnijden de lijnen AK e�nbsp;D 0 elkander in het punt P; de lijn NF zal dan ook door dit pm�-P loopen. Oi)i dezelfde reden gaan d� lijnen LE en IG door het'nbsp;zelfde punt P.

DFX BOX NE'I=^BFx NO X MD DG X COX IH =CG X /O X HOnbsp;DE X AO X LK�AEX LOX KD.

�� 1393- BI- Gevolg. Fig. 444. Wanneer men een punt P binnen de piramide .aanneemt, en, uit de hoekpunten, door dit piuit, tot aan denbsp;overtlaande zijvlakken, de lijnen AK, BM, CH en DO trekt,- dalinbsp;is het zigtbaar dat vermits AK en r,M, AK en CH, BM en CH,nbsp;AK en DO, BM en DO, CH en DO, twee aan twfe, in hetzelfdenbsp;vlak liggen, de lijnen, welke van de hoekpunten der piramide doornbsp;de punten K, EI, H en 0, getrokken worden elkander, op de zesnbsp;ribben der piramide, iir dezelfde punten E, F, G, I, L en N, moeten fnijden, en dat alzoo K en EI met A en B; K en H met A C�nbsp;C; enz. in een zelfde vlak liggen, en dat al de vergelijkingen van de

V nbsp;nbsp;nbsp;Stelling en het voorgaande, gevolg op de figuur toepasfelijk zijn.

bij eenen vlakken veelhoek eenen cirkel, en bij een fcheven veelhoek eenen bol, als transverfaal, aannemen: men zal .dan, bij deze fnijdin-gen, eigenfehappen vinden, welke met de voorgaande volkomen inllei�'nbsp;men. De bolvormige drie- en veelhoeken bezitten ook, ten opzigi^�nbsp;van eenigen grooten cirkel van den bol, welke als derzelver tranS'nbsp;verfaal aangenomen wordt, foortgelijke eigenfehappen. Aldus zal,nbsp;fig, 4315 432) 433, (de driehoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;als bolvonnig aannemend';�

Sin. AD X Sin. BF X Sin. CE z=. Sin. AE X Sin. CFX Sin. BD zijn; en, in 7?^. 437 cn 438,

OER MEETKUNST.

hetwelk, uit de XF. Steil. XlIL B. met weinig moeite, wordt afgeleid. Dan wij gaau de verdere uitbreiding dezer eigenfdiappen voorbij, om, in het kort, eetiige werkdadige toepasfingen van dezelve aan-tewijzen.

�. 1395. Onder anderen, kunnen de betoogde eigenfchappen der transverfalen eu der harmonifche liiijdingen, welke uit dezelve volgen,nbsp;zeer gelukkig worden toegepast, om onderfcheidene Werkftukken opnbsp;het veld, door middel van baken, eu het enkel meten van toegankelijke lengten, opteloslen, zonder eenig der gewone werktuigen daarbij te gebruiken.

�. rsp�. I. Werkstuk. Fig. 445. Ttisfchen twee verafgelegen punten , A en B , eenig punt C te vinden, dat met dezelve in eene regte lijn gelegen is?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

Constructie. Men ftelle ergens, buiten de lyn A B , eene baak in D, Op de rigtingen B D A D , twee baken E en naar welgevallen; voortsnbsp;eene baak in G, alwaar de lijnen EA en 5 f elkander fiiijdcn; eindelijknbsp;nog eene baak in H, in de fnijding der lijnen E F on DG. Nu metenbsp;men, met eene maatfrok, ot' op den pas, de lengte der Ijjnen DII~a en

C, zoo vele pasfen achter uit, als �er ��nheden in � X (_a-\-b')'X. fa � begrepen zijn, en dan zal men in het punt C, dat in de lijn AB gelegen is, gekomen zijn. � Want de lyn D C is (��/. Gev. Fill. Steil.') innbsp;de punten II en G harmonisch gefneden, en CC is {Aanmerle. F. Bep.)nbsp;gelijk aan h X ia-\~b)-. (a � b). Laat, om een voorbeeld te geven,nbsp;�uraSo pasfen, b~iio pasfen zijn; dan zal CGEZ300 pasfen moeten genomen worden. �e proef, dat men in het ware punt C gekomen zij, zalnbsp;daarin beftaan : dat men, na, in de rigting van BC, eene baak / gefteldnbsp;tc hebben, bevindt, dat deze baak in de lijn AC gelegen is.

�. 1397. II. Werkstuk. Fig. 446. Onderfteld zijnde, dat 'er twee toegankelijke punten, A en B, gegeven zijn, zoodanig echter, datnbsp;eenig voorv�rp P, dat tusfehen deze punten ligt, verhindert, datnbsp;men zich, in de regte lijn, welke door deze twee punten gaat, kunnenbsp;plaatfen-, dan begeert men een punt F te vinden, dat in het verlengde van de lijn, welke doer deze punten gaat, gelegen, zij?

eu �; en, naar welgevallen, in het verlengde van BD, eene baak C, en men verbeelde zich, in F, her piin.t, alwaar het verlengde van de Ijjnnbsp;AB lijn CE doorfnbdt; dan zal dit punt F, door berekening, aldusnbsp;kunnen gevonden worden. Men ftelle AD~ai DE �b-, CE � c �nbsp;CB � d; BD � e; E F�x; dan isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�x; nu is (�. Steil.) AD X.

E F X C B � DBXCIi^EA ot 4 z' � fa -j.. b) X fc �� x) Xe. Hieruit ''indt men:

BEGIN SELEN

Rlen neme dan, op de lyn CE, van E tot F, zoo vele deden, als de berekening van de waarde van x~EF geeft; dan zal men in liet puntnbsp;J? komen, hetwelk in het verlengde vmn ^/J zal gelegen ziju.

�. 1398. lil. Werkstuk. Fig. 447. In het verlengde van de lijn JB, welke twee ontoegankelijke pinten A en B, ttisfchen welke eennbsp;heuvel ligt, ver'��nigen, eenig punt P te vinden ?

Constructie. Men ftelle eene baak in een punt F, uit hetwelkc beide de gegevene punten A en E kunnen gezien worden; men ga achter uit,nbsp;en plaatfe, in de rigting van AF, eene baak,jSj en, in de rigting vannbsp;� F, eene baalt D; voorts ga men achter uit in C, en ftelle eene baaknbsp;in het punt, alwaar de lynen AP en EE zamenkomen, en men zoekenbsp;het pant G, alwaar de lynen CF ca DE elkander fnyden; men metenbsp;dau DG en GE, en ga, in de rigting van DE, zoo verre achter uit,nbsp;to.t dat men in P gekomen, en E P � xzzl� X C^ kl): � zy; dannbsp;zal (zie 111. Gev, Fill. Steil, en Aanm. V. Pep.j het punt P in het verlengde van A B gelegen zyn. Men kan op deze wijze verfcheidene punten P viudcii, welke, indien zij in dezelfde regte lijn liggen, tot eene.nbsp;proef van de naainvlteiirigheid der coiiftrudie verftrekken.

�. 1399. IV. Werkstuk. Fig. 448. Door een gegeven punt P, eene lijn te brengen, evenwijdig aan eene gegevene lijn A B hopende ?

Constructie. Men neme, op de lyn AE, het punt C zoodanig, dat EC � AE zij. Men ga, in de rigting van AP , achter uit tot ergens innbsp;D, en ftelle aldaar eene baak; voorts ftelle men in �, alwaar de lijnennbsp;ED en PC elkander fiiijden , eene andere baak, en men ga eindelyk innbsp;de rigting van AE achterwaards, tot dat men in de lijn CD kome; dannbsp;zuilen de punten P en F (zie I. Gev. VIII. Steil.') iii eene lijn liggen,nbsp;welke evenwijdig aan A B is.

�. 1400. V. Werkstuk. Fig. 449. Door een punt C, eene lijn te trekken, welke evenwijdig loopt aan eene lijn AB, welke door tweenbsp;ontoegankelijke voorwerpen A en B loopt?

Constructie. Stel, in het gegeven punt C, eene baak; op de lijnen A C eii � C twee baken D ea �, welker rigting zigtbaar genoeg niet evenwijdig aan AE loopt. Stel eindelijk, in de fnyding der lijnen A E canbsp;3D, en in die der lijnen C F ea D E, Ac baken F eii G. Nu komtnbsp;het �er op aan, om, in het verlengde van DE, een punt �/te vinden,nbsp;hetwelk met het gegevene punt C in eene met AE evenwydig loopendenbsp;lijn, gelegen zy ? Men verlenge, in de gedachte, de lijnen DE en CPnbsp;tot aan AE, en trekke CH evenwijdig aan AE. RTen mete de lijacanbsp;� a , FGltzO, EG'tZc en D G HZ d, ftel D Izzx , ��'�'�'� en II EZtr-Omdat dan (K. Sts�. en Gev.) de lijnen CK en EI harmonisch gefnedcquot;nbsp;zijn, is EIX D GZZD IXGE ol (c d-j-x) ilzzc .x en CKXGFZECC^nbsp;XFK, of (^a-\~l;-\-y)!iZZey. Hi�rui: volgt dan

Men zal dan, door d� berekening dezer formule, uit het getal ��nheden of pasfen, welke in a, b, f en rf, begrepen zijn, vinden: hoe vele ��nheden of pasfen men uit, E in de rigting van iJ �, moet teruggaan,nbsp;om in het punt ff te komen, en de rigting Cff evenwijdig aan A B tcnbsp;vinden.

1401. VI. Werkstuk. Fig, 450. Te vinden, hoe verre men in een punt A, van een ontoegankelijk voorwerp B afftaat?

Constructie. Stel, in het gegeven punt A, eene baak, en, een goed eind vv'egs achter uit gaande, 'eene baak D; voorts in eenig punt C eenenbsp;baak C; men verkrijgt dan eenen driehoek A DC, op welks zijden AC ennbsp;DC twee baken, E en F, met het gegeven voorwerp in dezelfde regtenbsp;lijn liggende, genomen worden: eindelijk Helle men , in de fnijding van^ffnbsp;en DE, de baak G, en, in de fnijding Cff en A D, de baak ff. ivfennbsp;mete nu, met een ketting, of op den pas, de lijnen DB�a en AB�b;nbsp;dan is, als boven, de begeerde afftand gelijk f X C� U = (quot; � *)�

�. 1402. VII. Werkstuk. Fig. 451. Den afftand van twee afgelegene en ontoegankelijke voorwerpen A en B te vinden?

Constructie. Men bepale, door het voorgaande werkftuk, hoe verre men in een punt C van de voorwerpen A en B affta: dit gevonden hebbende, neme men in de rigting van BC den afftand bCtzBC, en, in denbsp;rigting van AC, den afftand aCzzAC; dan is ab�A B; of men neme,nbsp;bij voorbeeld, b'C � lBC; a�c � ^AC, dan zal ab' � lAB zijn, alnbsp;hetwelk, uit de gelijkvonnige driehoeken ABC en ahCo�a'b'C, zigt-baar is.

�. 1403. Aanmerking. Deze werkitukken, welke wij nog met een groot aantal anderen zouden hebben kunnen vermeerderen, doen zien;nbsp;Welk eene voordeelige partij men van de transverlalen en de harmoni-fche fnijding dezer lijnen, in het werkdadige, trekken kan. Onze Land- ,nbsp;genoot VAN ScHooTE,N, heeft, in zijne Exercit. Mathem. Liber II. denbsp;(-'onflruaione Problematum Simplicium qult;c folvi posfunt, duundo tantum rellas lineas, den eerften grondflas tot deze foort van handel-Miijzen gelegd: doch, wanneer men flechts zijne figuren met de onzenbsp;Vergelijkt, zal men zien, hoeveel eenvoudiger het werk door de transver-

BEGINS

verfalen eii de harnionifche fnijiliiig, dan bij hem, geworden is. Intus* fchen zijn de gelegde gronden niet fleclits van nu: in de bewerkingen op het veld; maar ook in de meetkundige conftruftien op hetnbsp;papier. Het volgend werklhik zal hiervan een voorbeeld geven.

�. 1404. VIII. Werkstuk. Fig. 452. Wanneer Pxce lijnen JB en CD, gegeven zijn, met een punt P tut fchen dezelve; dan begeertnbsp;�men, alleen, door het trekken van lijnen, door dit punt P, eene lijftnbsp;P H te trekken, welker verlengde door het ontmoetingspunt dezer tweenbsp;gegevene lijnen /IB en CD gaat?

Constructie. Men trekke eene onbepaalde lijn EG F, naar welgevallen ; door de punten G en P, de lijn G B; door de punten F en F, de lijn BF; en door de punten B en D, de lijn BDE. Voorts trekkenbsp;men, door het punt E, eene Ijjn EA^ en eindelijk de hoekpuntslijnennbsp;AG en CF van den vierhoek AFGC; dan zal (A'/. Stell.j de lijn,nbsp;welke door de punten P en H gaat, de gegevene lijnen AB on CD, innbsp;dcrzelver ontmoetingspunt, doorfnijden.

Meetkundige Stellingen^ welke, met behulp van de Leer der Transverfalen, kunnen betoogd worden.

�. 1405. Wanneer drie cirkels van onderfcheiden grootte, (welker middelpunten /l, B en C zijnfj in een vlak gegevennbsp;zijn; dan zullen de raaklijnen, welke die cirkels, twee aannbsp;twee genomen, uitwendig aanraken, elkander, in het verlengde der lijn, welke de middelpunten ver��nigt, in drie onder-jcheulene punten D, E en F, doorfnijden: deze fnijpuntennbsp;zullen nu op dezelfde regte lijn DE F liggen.

Betoog. Wij zullen, in dit betoog, kortheidshalve, de ftraleti der cirkels, door de letters, die aan de middelpunten (laan, uitdrukken.nbsp;Men verheelde zich iiu eene raaklijn MNE, welke de cirkels A en B,nbsp;in de punten M cn N, raakt; dan zijn de ftralen AM en CN regt-hoekig op de raaklijn, en wij hebben (door de gelijkvormige driehoeken A ME en CNEj A: B zz AE�. CE, eene foortgelijke evenredig'nbsp;heid heeft voor de cirkels A en B, cn B en C plaats; zoodatnbsp;A:Cz=.AE:CEnbsp;C:B=.CD:BDnbsp;B: A�BF: AF is;

Volgens de 11. Stelling, liggen dan de punten D, E en F, in dezelfde regte lijn.

�� 1406. I. Aanmerking. Fig. 453. Men kan ook nog twee andere inwendige raaklijnen aan de gegevene cirkels, twee aan twee Senomen, trekken, welke elkander, op de lijn, die de middelpuntennbsp;ver��nigt, tusfchen deze cirkels, in G, H en /, fnijden, en dan zalnbsp;wederom 5 = ^G:GE;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en C-.A�CI-./tl

zijn; het produft dezer evenredigheden geeft AG X BH x C/zc; BQ X Cli X AI, en daarom fnijden QFl. Steil,') de lijnen AH, BInbsp;en CG, elkander, in hetzelfde punt P.

�. 1407. II. Aanmerking. Fig. 453. Volgens het betoogde, is A C� AE CE � A�: Cl, en daarom AI X CF� Cl X AE^nbsp;zoodat de lijnen, welke de middelpunten der drie cirkels vercenigen,nbsp;doof de raaklijnen, harmonisch gefneden worden,

1408. III. Aanmerking. Wanneer drie kleine cirkels, op hei oppervlak van eenen hol, befchreven zijn; dan zullen de groote cir^nbsp;kek, die deze cirkels, Wee aan twee genomen, 'aanraken, in den omtrek van eenen anderen grooten cirkel gelegen zijn. Men zal dezenbsp;Waarheid, op gelijke wijze, als boven, betoogen.

�, 140P. IV. Aanmerking. Men kan het betoogde ook uitftrekken tot vier bollen, welker middelpunten, drie aan drie genomen, in On-derfcheidene vlakken gelegen zijn, (hetwelk wij, om de plaats der figuren uittefparen, niet afzonderlijk zullen beto�gen,) en dan zal mennbsp;vinden:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Dat de toppunten der cirkelvormige kegels^ welke, wan

neer vier bollen van onderfcheidene middellijnen gegeven zijn, twee derzelver, op eenige wijze gekozen, inf uiten, en welke dus zes innbsp;aantal zijn, in hetzelfde platte vlak gelegen zijn. 2� Dat^ wanneer men de middelpunten der bollen, op alle moge lijke wijzen, metnbsp;de toppunten der cirkelvormige kegels, welke de bollen naar binnennbsp;aanraken, ver��nigt, de vier lijnen, welke daardoor ontflaan, elkander in hetzelfde punt zullen fnijden. 3� En, dat, eindelijk, de lijnen, die de middelpunten der bollen, twee aan twee, ver��nigen, doornbsp;de toppunten der gezegde kegels, harmonisch gefneden zullen zijn, ��nbsp;Andere aanmerkingen (want wij kunnen de voornaamfte zaken flecht3nbsp;sanfllppeo,) gaan wij met ftiizwijgen voorbij.

XIV.

BEGINSELEN

�. 1410. De lijnen AE, BD en CF, welke de fupplemen� ten der hoeken, A, B en C, eens driehoekz midden door dee-len, fnijden de verlengden der zijden, BC, AC en AB,nbsp;welke tegen over die hoeken_flaan, in drie onderfcheidene punten, E, D en F, welke in dezelfde regte lijn gelegen zijn.

het prod u 61, dezer evenredigheden geeft de vergelijking BF Y. CE K AD~ AF Y BE Y CD en daarom zullen (Jl. Steil.) de puntennbsp;D, E en F, in dezelfde regte liju liggen.

�. 1411. Wanneer, in eenen cirkel, een driehoek ABC le~ [chreven if, dan zullen de raaklijnen, AD, BE en CF',nbsp;welke, aan de hoekpunten A, B en C, dezes driehoeks, tot diennbsp;cirkel getrokken worden, de zijden AB, AC en AB, welkenbsp;tegen over die hoeken ft aan, in dezelfde regte lijn, fnijden:nbsp;dat is, deze fnijpunten zullen in dezelfde regte lijn gelegennbsp;zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

Betoog.. Men befchouwe de driehoeken BCF en ACF: in dezelve is (///. Steil. IX. B.)

het produdi: van de over��nkomftige termen dezer evenredigheden geeft de evenredigheid:

BC Y A'F-.BFy AC~ Sin. ACF-. Sin. BCF ratttsr tiu wordt {XIX. Steil. F. B.) de hoek B CF door de helft vannbsp;den boog CAD gemeten, en is bijgevolg het fupplement van dennbsp;hoek BAC, welke (/. Gev, XX. Steil. F. Bi) door de helft van dennbsp;boog BC gemeten wordt; gevolgelijk is Sin.FCF� Sin. BAC, omnbsp;dezelfde, reden, is hoekhoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de voorgaande evenre

DE R meetkuns

De befchouwing van de driehoeken DC A en DBA, 011 van de driehoeken BBC eii EAB, geven foortgelijke evenredigheden: mennbsp;beeft dan, in alles, deze drie evenredigheden:

AC X BD: AB X CD = Sin. ACB : Sin. ABC AB X CE:BCx A�~Sin.BAC:Sin.ACBnbsp;He: produfl van de over�'�nk�mftige termen dezer evenredighedennbsp;geeft eindelijk;

AFx BD X CE~AE x BFx CD en daarom moeten (//. Steil.') de punten Zgt;, E en F, in dezelfdenbsp;regte lijn liggen.

II. Lemma. Fig. 456.

�. 1412. Warneer men, ziit het punt C, alwaar^de raak-lijnen van twee punten., A en B, van den omtrek eens cirkels elkander ontmoeten, eene fnijUjn CD E F trekt-, dan zal deze, door den omtrek des cirkels en de koorde AB, welke dezenbsp;raakpunten ver'��nigt, harmonischgefneden worden. En, wanneer men, op twee fn ij lijnen, CF en Cl, welke, uit hetzelfdenbsp;punt C, hutten den omtrek, getrokken zijn, binnen den omtrek twee punten E en H neemt, zoodanig, dat deze fnijlij- �nbsp;nen harmonisch gefneden zijn', dan zullen de raaklijnen, welke, �it datzelfde punt C, aan den cirkel getrokken worden,nbsp;de lijn, welke door de punten E en Hgetrokken wordt, innbsp;de raakpunten A en B, Jnijden.

Betoog van het eerfte. Omdat (Leer. XIII. Steil. F. B.) ABC een gelijkbeenige driehoek is, is (Bijv. XII. Steil, IF. B.) AC^~CE'^nbsp; AE X BE: maar jAanm. XXIf. Steil. P\ B.) AC^ = CD x CFnbsp;en (JA7. Steil. F. B) AE x EB=zDE x EF zijnde, is CD xnbsp;CF~CE^ DE X EF. Nu is (D// et, Fill Cev. FIH. Steil ennbsp;I. Lemma II. B.) CD x CF= CIX- A CD X DECD X EF ennbsp;CE^ D� X EF � CD^ iCD x DE DE^ DE x EF;nbsp;derhalve CD X EF= CD x DE DE^ DE x EF � DE xnbsp;{CD DD H- �F)z= DE x CF.

Betoog van het tweede. Wanneer d� raaklijnen, uit het punt C detrokken zijnde, den omttek niet, in de punten A en B, raken; dan

BEGINSELEN

zal die aanraking, in twee andere punten a en b, plaats hebben, en de koorde ab z?A dan de fnijlijnen CF eu CH in twee andere puntennbsp;c en h harmonisch fnijden: maar daar {onderfl.') deze harmonifchenbsp;fniiding in de punten E H plaats heeft, en dezelve (/. Lemma)nbsp;fleciits op ,��ne wijze kan plaats hebben, kunnen a en ^ de raakpuU'nbsp;ten niet zijn: deze raakpunten zijn derhalve de punten, alwaar denbsp;lijn, welke door de punten � en // gaat, den ointrek fnijdt.

XVL Stelling. nbsp;nbsp;nbsp;457* ,

�.,1413. Wanneer een onregelmatige vierhoek ABCD (^geene twee evenwijdige zijden hebbende j) in eenen cirkel be-fchreven is, en aan de hoekpunten, A, B, C en D, van diennbsp;vierhoek, raaklijnen HE, EF, FG en GH, aan dien cirkel getrokken worden, welker onderlinge fnijding den vierhoeknbsp;EFGH, om den cirkel befchreven, voortbrengt ^ dan zal deze'nbsp;figuur de volgende eigen fchappen hebben:

1 Zullen de punten K, L, M en N, \n welke de verlengden van de overftaande zijden der in en omgefchrevene vierhoeken , ABCD en E FG H, elkander fnijden, in dezelfde regie * lijn N K gelegen zijn.

2*^ De hoekp'untslijnen AC en BD, EG en FH, zoowel van den in als van den omgefchrevenen vierhoek, zullen elkander, in hetzelfde punt C, ontmoeten.

'f' De lijn NK, in welke de gezegde punten, K, L, M en iV, gelegen zijn, wordt door dezelve harmonisch gefneden.

Betoog van het eerjie. Men trekke, van het punt N, door het punt Tgt;, de lijn NDP tot aan P, en van C door P de lijn CPR,nbsp;en eindelijk de koorden AR en 57?; dan ontftaat in de figuur denbsp;kleine driehoek ADP, op welken men, in dit betoog, bijzonder dennbsp;aandacht vestigen moet. Volgens de /�/. Steil. IX. B., heeft men denbsp;evenredigheden:

CK-. BK� Sin. CBK-.Sin. D CK AK-. CK�Sin. ACK: Sin. CAKnbsp;CN-. PN= Sin. CPN-. Sin. P C Nnbsp;DN: CN=: Sin. NCD: Sin. CD Nnbsp;LD :AL= Sin. LAD: Sin. LD Anbsp;L P: LD � Sin, LDP�. Sin, LPD

� F. a MEETKUNST.

Nu is (�. 535.) Sin. CDK = Sin. L D/t. Voortr (IF. Steil. I. B.') Sin. LDP � Sin.CDN, en (FI. Gev. XX. Steil. F. B.') Sin. LADnbsp;=zSin. DCK; wanneer men derhalve deze zes evenredigheden metnbsp;elkander vermenigvuldigt, en de termen van dezelfde reden door hunnenbsp;gelijke fa�loren deelt: dan verkrijgt men de evenredigheid:

Nu kan men bewijzen: dat de termen van de laatfie reden dezer zamengcllelde evenredigheid gelijk zijn; want

i*' Indien men de middellijn van den cirkel, in welken de vierhoek befchreven is, als ��nheid aanneemt; dan is (I. Gev. XX. Steil. F. B. en �. 534.) Sin. ACK � Sin. ACBtez AB en Sin.CAK~nbsp;Sin. DAG�DC; derhalve

Sin. CPN: Sin. NCP � CN: PN maar nu is (Leer. XIII. Steil. F. B.') ANz=. CN; derhalvenbsp;Sin. APN: Sin. CPN= Sin. NAP : Sin. NCP;nbsp;of, omdat hoCk NAP� AR IS, en hoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoek is,

Sin. APN: Sin. CPN� Sin. A RB: Sin. CBR maar nu is Sin. ARB: Sin.CBR-=zAB :CR: men heeft dan eindelijk :

Sin.CPN:Sin.LPD � CR:AB . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- O)

3� De hoek NCD � hoek CBD, en hoek PCN� hoekC^� zijnde, zoo heeft men ook:

Sin.NCD:Sin.PCN�DC:CR Vermenigvuldigt men nu de evenredigheden (/3), (y) en (J) metnbsp;elkander; dan verkrijgt men:

de termen van de laatfte reden der evenredigheid (a) zijn derhalve gelijk; maar dan is ook:

AK X DL yAP = DK X PN y AL doch deze gelijkheid brengt (II. Steil.') mede, dat de punten iV, Lnbsp;en K, in dezelfde regte lijn liggen.

Wanneer men, van het punt M, door het punt A, de lijn MAQ^ trekt; dan zrd men, door middel van den driehoek ADO_, bewijzen:nbsp;dat de punten L, M en A', in dezelfde regte lijn gelegen zijn. liet

BEGINSEL

punt M ligt derhnlve in de lijn LK, het punt N'\n derzelver ter-lengde; de punten iV, L, M en K, liggen derhnlve in dezeli'de reg' te iijn NK.

Betoog van het tweede. Wanneer de hoekpuntdijnen BD er\ AC vrn den ingefchreven veelhoek getrokken zijn, die elkander in ,0 fnij-den; dan trekke men, van L, door het hoekpunt F van den omge-fchrevenen vierhoek, eene lijn LF, en van het punt L door het hoekpunt H de lijn LEV; indien men nu bewijzen kan: dat beide dezenbsp;lijnen, afzonderlijk genomen, door het punt O loopen; dan zal mennbsp;daaruit belluitcn kunnen: dat de lijnen LF en LH, als beide door Onbsp;loopende, dezelfde zijn, en dat de lijn, welke de hoekpunten //en Fnbsp;ver�enigt, noodzakelijk door het-punt O moet loopen.

I� Ten opzigte van de lijn J^F, heeft men: (///. Steil. IX. B.') BL: LF=Sin.BFL:Sin.FBL, uit drieh. BLF

Sin. BFL X Sin.LCF X Sin. ABC� Sin.FBL X Sin.CFLy^ Sin. BCD

volgen zal, indien men namelijk onder het oog houdt: dat Sin.FBL =: Sin. EBL =: Sin. ACB, en Sin. LC/'= Sin. DCC � Sin. ])B Cnbsp;is. Ue driehoeken BFF en CFF geven voorts (///. St. IX. BI)

vermenigvuldigt men deze evenredigheden; dan zal, omdat BFzzCF en diensvolgens Sin.CBF�Sin.BCF is, QXFI. Steil. II. B.)

zijn; welke evenredigheid met de evenredigheid (a) vergeleken zijnde, geven zal:

JB E R MEE T K U N S

BFy. DC �gt;(. AL = CFx X LD en deze vergelijking kan niet beftaan, ten zij (^7. Steil.) de lijnennbsp;BD, AC en LF, elkander, in hetzelfde punt O, fnijden.

2� Men trekke, van L door II,. de- lijn L HF; dan zal men , met behulp der driehoeken ALH, LDII, en de verdere eigenfehappennbsp;der figuur, bewijzen: dat de lijnen LF, AC tw BD, elkander in hetzelfde punt 0 fnijden.

Omdat dan de lijnen, welke van F tot L, en van L door H getrokken worden, door ihetzelfde punt O loopen, liggen die lijnen op elkander, en de hoekpuntslijn FH loopt derhalve door het punt O.

3� Men zal op dezelfde wijze betoogen, dat de hoekpuntslijn EG ook door het punt O gaat: de kockpuntsUjnen der om- en ingefcltrc-vcv.c vierhoeken fnijden elkander, .in hetzelfde punt, en de verlengdennbsp;der hoekpuntilijnen van den omgefchrev'enen veelhoek loopen nog daarenboven door de punten, alwaar dt overfiaande zijden des ingefchre-venen vierhoeks elkander fnijden.

Betoog van het derde. Wij hebben bewezen, dat de punten' N, L, M en K, in dezelfde regte lijn liggen; de punten L, H, O, F,nbsp;in eene andere, en de punten K, E, O, G, in eene derde regte lijn;nbsp;in den driehoek MFN fnijden de transverfalen FL, MG en NE,nbsp;elkander in hetzelfde punt H, en de lijn, welke door de punten Gnbsp;en E loopt, ontmoet het verlengde v^n de balls in het punt K; denbsp;lijn KN is derhalve, {Fill. Steil.) in de punten L en M, harmonischnbsp;gefneden.

�. 1414. I. Gevolg. Daar dan de regte lijn NK, in L en il7, harmonisch gefneden is-, heeft men, {Fll. Steil.) ten opzigte van het punt A, de vergelijking,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

Sin.NAK y. Sin.LAMzz.Sin.LAN y Sin.MAK . . . en, ten opzigte van het punt D, de vergelijking,

�. 141�. III. Gevolg. Omdat bewezen is, dat de hoekpuntslijn' EG door het punt K gaat, is (F/I. Steil.) de lijn MB, in de punten U en � �, harmonisch gefneden, en men heeft (77/, Steil.) denbsp;Vergelijking,

BEGINS

puntslijn HF door het punt L gant; daar nu al de lioekpnntsiijnen der vierhoeken elkander in hetzelfde punt 0 fnijden, zal (FIIL Steil.')nbsp;de lijn CK, in de punten B en F, harmonisch gefneden zijn, en mennbsp;heeft daarom de vergelijking,

SifuKLB X Sin.CLF~Sin. KLC x Sin. x BLF . . . (5) �. 1418. V. Gevolg. Uit deze laatfle vergelijking volgt:

Sin.B LN y. Sin.CLFznSin.CLN y. Sin. B LF . . . (6) �. 1419. VI. Gevolg. Uit alle deze vergelijkingen kan men totnbsp;Zeer vele harmonifche fnijdingen (FII. Steil.) befluiten, waaronder denbsp;volgende de merkwaardigfte zijn. 1� De fnijlijn LC wordt, door denbsp;hoekpimtslijn GK, in de punten D en ;b, s'* de fnijlijn LB wordt,nbsp;door diezelfde hoekpuntslijn GK, in de punten A en n, harmonischnbsp;gefneden. Ook fnijdt s'* de hoekpuntslijn LF de fnijlijn KD, in denbsp;punten A en d, harmonisch; en dat CK, in B en F, harmonisch gefneden wordt, is reeds bewezen.

�. 1420, VII. Gevolg. Befchouwen wij de punten a amp;a. c en b en d, in welke de hoekpuntslijnen van den onigefchrevenen vierhoeknbsp;den omtrek des cirkels fnijden; wanneer men dan, uit het punt L, denbsp;lijnen Lc en La, en uit het punt K de lijnen Kb en Kd trekt; dannbsp;zullen deze {JI. Lemma) den omtrek des cirkels, in deze .punten c,nbsp;a, b en d, aanraken.

�. 1421. yill. Gevolg. Verbeelden wij ons, dat door de ver�cni-ging der koorden ad, dc, cb en ab, de vierhoek abed ontftaat; dan maken de raaklijnen La, Lb, Kb en Kb, behoorlijk verlengdnbsp;zijnde, eenen vierhoek, welke om den cirkel befchreven is; daar nu denbsp;verlengden van de overflaande zijden van dien omgefchrevenen vierhoeknbsp;elkander, in de punten L en K, ontmoeten, zullen, volgens het bewe-zene in de ftelling, de overflaande zijden van d�n vierhoek a bed elkander in de lijn KN moeten fnijden.

�. 1422. IX. Gevolg. Laat, uit het middelpunt Z van den cirkel, de lijnen LZ en LK getrokken w'orden; dan zullen {Betoog XIII.nbsp;Steil. F'.BL) deze lijnen de hoekpuntslijnen GK en LF in p en qnbsp;regthoelng fnijden; indien men dan, uit hetzelfde middelpunt, door hetnbsp;ontmoetingspunt O, de lijn ZIF tot aan KIM trekt; dan zal (/. Gev.nbsp;FI. Steil.) ZLF loodregt op KN ftaan.

(j. 1423. X. Gevolg. De driehoeken ZOp en ZLJF zijn dan {IX. Gev. XFIII. Steil. I. B, en FUI. Steil. IF. B.) gelijkvormig :nbsp;derhalve Zp �. ZO �=. ZW�. 'ZL en ZO x ZW~Zp x ZL -, maar

wn den cirkel noemende) R^~ZO x ZIV: de jlraal van den cirkel is dus midden-evenredig tusfchen ZO en ZW, dat is, tusfchen de afftanden va� het middelpunt des cirkels, en het punt, alwaarnbsp;de hoekpuntslijnen elkander fnijden, tot de lijn, welke door de puntennbsp;K, L, M en N loopt,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

�. 1424. XI. Gevolg. In alle gevallen liggen de punten K, p en �?, in dezelfde regte lijn.

�. 1425. XII. Gevolg. En, wanneer AN�AK is, liggen de punten K, E, P, O, en G, op dezelfde regte lijn. Wij laten denbsp;betoogen dezer twee laatfte gevolgen aan den leerling over. De figuurnbsp;bezit nog vele andere fraaije eigenfchappen.

XVII. Stelling.

�. 1426. Wanneer een onregelmatige zeshoek in eenen cirkel hefchreven is; dan zullen de drie punten,, in welken de over-flaande zijden van dien zeshoek elkander ontmoeten, in dezelfde regte lijn gelegen^zijn. En, wanneer men, door de hockTnbsp;punten van dien zeshoek, tot den omtrek van den cirkel, raaklijnen trekt; dan zullen de hoekpuntslijnen, welke de over-flaande hoeken van den onregelmatigen zeshoek, welke alsdannbsp;om den cirkel hefchreven wordt, twee aan twee genomen, innbsp;hetzelfde punt doorfnijden.

Tiet betoog dezer Helling kan, door de Leerwijze der transveifalen, op dezelfde wijze, als in de voorgaande Helling, te werk gaande, worden opgemaakt, en wij laten hetzelve aan den Leerling over, tennbsp;einde hij hier in, als op den weg geholpen en voorzien van al denbsp;noodige hulpmiddelen, die hem daartoe dienen kunnen, zijne kragtennbsp;jreproeve.

VJJFTIENDE BOEK.

o yer de ��rfle heginfckn der Veelhoeksmetifig (Polygonornetrie) tn over de elgenfchappen der veelvlakkige Ligchamennbsp;(Polyedrometrie.)

1427. I. IJepaling. De Veelhoeksmeling QPolygonoms-trle') is een bijzonder gedeelte der Meeskunst, hetwelk de betrekking tuslchen de zijden,'' de hoeken en de inhotidetinbsp;van alle foorten van veelhoeken leert kennen.

�. 1428. I. Aanmerking. Met woord veelhoek wordt alhier in de uitgeftrekte beteekenis van de 11. liep. XIV. B. genomen.

�. 1425.). 11. Aanmerking. Daar de behandeling der afzonderlijke gevallen der Veelhoeksmeting, voor eiken bijzonderen veelhoek-, opnbsp;de, wijze, zoo als de Driehoeksmeting hier boven behandeld is, eennbsp;geheel boekdeel zou vereifchen, zullen wij ons, in dit Boek, bij denbsp;belcjiouwing der voornaaiufte hoofdzaken moeten bepalen.

�. 1430. 11. Bepaling. In het bijzonder zullen hier de �vijl' Grondregelen aangaande de beoordeeling van den pi �-tieven en negatieven toefland der lijnen en hoeken, bij hetnbsp;begin van het VlII Boek verklaard, en, welke hier ter pltat-le m�eten geraadpleegd worden, te ftade komen. Ook moetnbsp;bier worden onder het oog gebonden: dat wij, om de ordenbsp;c�i duidelijkheid, in onze volgende befchonwingen, niet uitnbsp;het oog te verliezen, �n alle duisterheid in de ware beteeke-nis der vergelijkingen, welke de eigenlchappen der veelhoeken zullen uitdrukken, te vermijden, de zijden en koeken vaf^nbsp;eiken vlakken of fcheven veelhoek (Flg. 458.) in rangorde vannbsp;de letters A.^ B, C, enz., van de regter naar de linkerhandnbsp;zullen tellen; zoadat, den veelhoek in die rigting rondgaande,nbsp;elke zijde', AB of BC, van A tot B, of van B tot C,nbsp;gerekend worden. Ook zal men elke hoek ABC, van de voFnbsp;gende naar de voorgaande zijde, van BC naar AB, binnet^j

�ER MEETKUNST.

quot;Waards m, van de regte naar de linkerhand, tellen; waardoor dan elke infpringende, of naar binnen fiaande, hoek grooter dan iSoquot;, en zijn fupplement negatief wordt. Nognbsp;moeten wij herinneren: dat, wanneer, op eene onbepaalde lijnnbsp;fff, eenige deelen A' B�, B'C�, CD', van de linker naar denbsp;regterhand gaande, genomen worden, zoodanig dat elk volgend deel aan het naast voorgaande grenfe, de- deelen ]ynbsp;E'F, F'A, welke in eene teruggaande rangorde genomennbsp;Worden, ten opzigte van de eerfte, als negatief worden aangemerkt; en dat eindelijk, op dezelfde wijze, wanneer men, vannbsp;eene zekere lijn afterek�nen, eenige hoeken, van de regter naarnbsp;de linkerhand, telt ,{el^^volgende hoek aan de naast voorgaandenbsp;grenzende,') de hoeken, welke, in eene teruggaande rigting^nbsp;(pp die wijze genomen,) geteld worden, ten opzigte van de eerfte,nbsp;als negatief moeten worden aangemerkt. IvTet ��n woord, innbsp;elke figuur moet elke lijn en elke hoek, op dezelfde wijze. ennbsp;volgens dezelfde regelmaat, als alle andere lijnen en hoeken,nbsp;in die figuur voorkomende, befchouwd en gerekend yvorden,nbsp;zonder welke voorzorg de wet van opvolging en zahieniiangnbsp;Verbroken, en de gevolgtrekkingen onwettig zouden zijn.

�. 143r. Aanmerking. Wanneer men deze gronden nie� nit het oog verliest, zullen de zaken, op de algemeenfte wijze, kunnen worden voorgedragen, en, zonder eene^menigte omfchrijvingen, voor bijzondere gevallen, te ontwerpen, den hoogstmogelijken graad van al-gcnieenlieid verkrijgen. Men zal, door zulk eene handelwijze, niet,nbsp;gelijk in de XIX. Steil. I. B., behoeven te zeggen: de fom van denbsp;fiipplementen der hoeken eens veelhoeks, welker hoeken alle naar ruiten STAAN, is gelijk aan vier regte hoeken; maar zulks, algemeen, vannbsp;sl'e veelhoeken, die infpringende hoeken hebbeir, mits zij niet van denbsp;ibort zijn, welke de 436 en 437 figuren voorftellen, kunnen vastltellon.

�. 1432, Wanneer, in het vlak van eenen vlakken veelhoek, A n C D E F, eenige onbepaalde lijn P wordt aangenomen;nbsp;dan zal. op welke eene wijze deze lijn P ook geplaatst zij,nbsp;r-e fom der produamp;en, die men verkrijgt, wanneer men elkenbsp;^ijde vermenigvuldigt met de Cofniis van den hoek, welke die

540 zlfde^ of haar verlengde^ met die aangekomene lijn PQ,nbsp;maakte gelijk nul zijn-, dat is: jAB � a; BC~b; CDztstc',nbsp;J) E:::aid; E F~ e en A F�f', en hoek A B met P Qj=. (_a) jnbsp;hoek BC met PQ^~(bj enz. ft ellende A

en deze zelfde vergelijking zal nog blijven plaats hebben, wari' neer A B CE E B' een fcheve veelhoek is, en de lijn P cr-gens f'^iaar welgevallen, in de ruimte is aangenomen gewov'nbsp;den.

Betoog van hei eerfte. Men late, ui: de Iioelcpunten A, 7�, C, D, E en P, de loodlijnen AA', BB', CC', DD', EE' en FE', opnbsp;de aangenomene lijn PjB vallen, en trekke, door dezelfde hoekpunten, A, B, C, D, E en F, de lijnen A(f, B(f, CO, Djf, EO,nbsp;en F(E, van die hoekpunten afterekenen, naar de regterhand, evenwijdig aan /�O; dan worden, aan de hoekpunten van den veelhoek�nbsp;luet die evenwijdige lijnen, hoeken gemaakt, gelijk zijnde aan denbsp;hoeken, weike de verlengde zijden, met de lijn /^O, maken; maarnbsp;om nu niet te dwalen in de wijze, op welke die hoeken, aan elknbsp;hoekpunt, genomen moeten worden, moet men het begin van elkenbsp;zijde als het hoekpunt van den hoek, welke die zijde metnbsp;aanmerken, (behoorende alzoo het hoekpunt A tot de zijde AB, hetnbsp;hoekpunt B tot de zijde BC, enz.,j en de hoeken, van de evenwijdige lijnen afterekenen, regtsom, tot aan de zijde tellen: de hoek,nbsp;welke AB met A(F, en gevolgelijk met maakt, behoort dus totnbsp;het vierde quadrant; de hoeken, welke BC en CD met-en CC�nbsp;of met PCj maken, tot het eerfte; de hoek, welke DE met /)C,nbsp;of met Pjf maakt, tot het tweede, en de hoeken, welke EF en FAnbsp;met Effen F(f,, of met Pjf maken, tot het derde quadrant; zoodacnbsp;(zie de Tafel. B.'aJz. 194.) Cos.Qij, Cos.{bj, Cos.jcj, pofiiief ennbsp;Cos. {dj, Cos.jej en Cos.jfj, negatief zijn. Het is nu in dien zin�nbsp;dat de hoeken, onder weike de zijden, of haar verlengden, de lij'*nbsp;fnijdeu, regclmatigheidshalve, en om de vergelijking, zoo als z'Inbsp;in de felling voorgedragen is, in eiken veelhoek waarheid te doei*nbsp;zijn, moeten genomen worden.

Wij hebben nu, door de loodlijnen AA', BB', enz, en da evenwij' dige AO, Bil, enz. die elkander in A'', Bquot;, Cquot;, enz. fnijden, ^nbsp;de regthoekeu, welke dr'aruit giboren worden, {1. Stel!.nbsp;A'L'lszABquot;; B'C'-BC'-, CD'�CDquot;-, D''E'~DEquot;-,

n E a MEETKUNST.

::t: E F'* en F'A' � FAquot;. De regithoekige driehoek A n Bquot; gm ft (//. Stel/. IX. B.') AW � AB X Cos. BAHquot;; �laar Cos.^BABquot;)-�nbsp;Cos. (360� � )) � Cos. (�) zijnde, is A Bquot; A B -k Cos. '^a) ~nbsp;fi X Cos. {a). Op dezelfde wijze is het met de andere regthoekigenbsp;driehoeken BCCquot;, CDDquot;, DEEquot;, EFFquot;, FAAquot;, gelegen: mennbsp;heeft daarom:

a X Cos. Qa) � AByt Cos. Bquot;AD� ABquot;=: A'B' b X Cos. = 5 C X Cos. Cquot;DCz= �\-BCquot;-=z -j- B'Cgt;nbsp;c X Cos. (0 =: CD X Cos. Dquot;CD= CDquot;=z C'D'nbsp;d X Cos. ld)=zDE X Cos.EDQ^ � � DEquot;=. � D'FJnbsp;e X Cos.le')=EFx Cos.QEFnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;EFquot; =z �E' F'

f X Cos.(_f)=:AF% Cos. O FA = � FAquot; = ~ F'A' nu is klaarblijkelijk A'B'B'C'C'D'� D'E'E'F'F'A',nbsp;en daarom A'B' B'C' CD'� D'E'� E'F'� A'F'~ o; wanneer men derhalve deze vergelijkingen optelt, zal

a X Cos. (a) A X Cos, (^) c X Cos. (c) -f- X Cos. (lt;/) -f e x Cos. (e) � X Cisji (�) zz onbsp;moeten zijn.

Dit betoog, hoezeer op e�he bijzondere figuur ingerigt, zal voor alle andere veelhoeken, op dezelfde wijze, gelden; want, in welk eenenbsp;rangorde, eenige punten mogen genomen worden, wanneer maar denbsp;figuur altijd gefloten blijft, zal men, op de aangenomene lijn PQ^.,nbsp;een aantal deelen vinden, welke van P naar g.� en een ander aantalnbsp;deelen, welke van 0 naar P geteld worden, en juist daarom, omdatnbsp;de figuur fluit en een^veellioek is, zal de fom der deelen die voor-waards geteld worden gelijk zijn aan de fom der deelen, die terug-waards genomen worden: maar, uit de befchouwing van onze bijzondere figuur, blijkt! dat een achterwaards gaande deel van de lijn PQ^nbsp;ontftaat, door eene zijde, welke met /gt;0_ zulk een hoek maakt, datnbsp;de Cofinus van dien hoek negatief is, en deze aanmerking maakt denbsp;overweging van.alle andere bijzondere gevallen overtollig: men begintnbsp;van een punt A, en komt op hetzelve terug; de veelhoek moge dannbsp;Zoo als de 435 en 436 figuren voorflellen, of nog anders, gefteldnbsp;zijn, het betoogde zal, voor eiken bijzonderen veelhoek, zonder veilige onderfcheiding waarheid blijven.

Betoog van het tweede. Verbeelden wij ops, dat de punten A, B, C, D, E cn F, niet in hetzelfde vlak, maar op eenigerlei wijzenbsp;in de ruimte verfpreid zijn, en dat de lijn PQ^ naar welgevaileii zijnbsp;rangenomen; dan zal nog dezelfde vergelijking, onder cezelldc voor-

BEGINSELEN

waarden, bcfean. M�n kte, door de punten A, B, C, D, E en een ftelfel van evenwijdige vlakken, door de lijnen AA^, BB', CC',nbsp;enz. afgebeeld, gaan, welke alle de lijn PO, regthoekig doorfnijden,nbsp;(en dit kan altijd gefchieden,) en men trekke uit de punten A, B, C,nbsp;D, E en F, de lijnen ABquot;, BGquot;, CDquot;, DEquot;, EFquot; en FAquot;,nbsp;evenwijdig aan PQ^; deze evenwijdige (laan dan {XXIX. Steil. X. BI)nbsp;regthoekig op gezegde evenwijdige vHakken AAquot;, BBquot;, enz. en {XXF.nbsp;Steil. X. B.) dan is ABquot;�A'B'; BCquot; = B'C'; CDquot;=.C�D'-,nbsp;enz. de hoeken Bquot;AD, Cquot;BC, Dquot;CD, 0��, Q�F m Q^FA,nbsp;zijn dan gelijk aan de Handhoeken wan de zijden AB, BC, enz, metnbsp;de lijn en omdat de driehoeken ABBquot;, ^CCquot;, enz. regthoe-kig zijn, verkrijgt men dezelfde vergelijkingen als boven, en het betoogde geldt derhalve ook voor eiken fcheven veelhoek.

�. 1433. I. Aanmerking. Als een zeker hulpmiddel, waaraan, behalve de boven opgegevene oinftandigheden, de pofuieve of negatieve waarden van de Cofmusien der hoeken, welke in de vergelijkingnbsp;voorkomen, kan onderkend worden, mag. men vastftellen: dat de Co-^nus, welke eenige zijde roet de lijn PO, maakt, pofitief of negatiefnbsp;zal zijn; naar dat deze zijde uitwendig (gelijk AB, BC en CD,)nbsp;of inwendig (gelijk DE,, EF en FA,) naar de lijn PO gekeerd is.

�. 1434. II. Aanmerking. Wanneer de lijn Pt? evenwijdig aan c�iie der zijden loopt; dan wordt de Cofmus van den hoek, welkenbsp;die zijde met PO, maakt, gelijk aan de ��nheid, en, wanneer eenigenbsp;zijde, of haar verlengde, de lijn PO, regthoekig fnijdt, wordt de Co-finus van den hoek van die zijde met PQ, gebjk nul.

�. 1435. Gevolg. Wanneer men bij de betoogde vergelijking 1 s � ttbed-\~ enz. (zijnde s de halve oratrek van den vlakken of fcheven veelhoek,) bijtelt, �nn zal, aangezien (Pi Gey. III.nbsp;Steil. VUL B.) I -j- Cos. Cos^, J /gt; is

zijn; dat is: de halve omtrek van elke vlakken of fcheven veelhoek is gelijk aan de fom der produllen welke men verkrijgt, indien mennbsp;elke zijde vermenigvuldigt met het vierkant van de Cofinus van denbsp;helft van den hoek, welke die zijde met eenige naar welgevallennbsp;aungenomene lijn maakt.

D E u MEETKUNST.

�. 1436. Elke zijde van ,eenen vlakken of fcheven veelhoek is gelijk aan de fom der prod��en, die ontjiaan, wanneernbsp;elke der andere zijden, zonder ��ne_uittezonderen, vermenigvuldigd wordt met de Cofinus van den hoek, welke die zijdenbsp;of haar verlengde, mei de eerst gedachte zijde maakt, wel ver^nbsp;ftaande, dat men deze hoeken inwendig neme, zoo als de hoekennbsp;van eene figuur genomen worden. Dat is: Qioemende (afijnbsp;de hoek van b met a; (fa,dj de hoek van d met a, enz.jnbsp;a � by. Ces. (a,bj c X Cos. (a,cj dx Cos. (fa,dj enz. (3)nbsp;b � ax Cos. (h,dj f x Cos. (jb,cj ^ X Cos. (b,d) enz.nbsp;Betoog. Lant PQ_ eene zekere lijn zijn; dan is (^I. Stcll.jnbsp;a-k Cos.(^aj��b X Cos.fbj�c X Co's.(fcj~(l X Cos.fjj �enz.nbsp;daar nu deze vergelijking, voor eiken ftand van de lijn PO, algemeennbsp;moet plaats hebben, zal zij ook gelden, wanneer de lijn langsnbsp;.dB gebragt wordt; maar dan is jaj � o, eii derhalve Cos.jajszznbsp; r. Wanneer men nu AB tot in R verlengt; BS, BT, BU ennbsp;Is F, evenwijdig aan CD, DE, EF m FA trekt; dan is, van BRnbsp;regtsoin gerekend, hoek RBC�(fIjj-, hoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(je); hoekRBT

zszfdj', hoek RBUzzzfej en hoek R B F ~ jfj �, de vergelijking, a X Cos.Qzj�a::^�b X Cos.(^bj�c xCos.(cj�dxCos.(fdj�enz.nbsp;geldt dan voor de hoeken UDC, RBE, RB F, enz., maar nu moeten, door de voor waarde der Mling, de hoeken niet van de lijn BR,nbsp;maar van BA, op de wijze, zoo als men de inwendige hoeken vannbsp;eenen veelhoek telt, gerekend worden; dat is, men moet de fuppla-menten der hoeken RBC, RBS, RBT, RBU en RB F, of denbsp;fupplementen der hoeken (/.�), (c), (fdj, (c) en (�), nemen. Omdat dan, in het algemeen. Cm. (180*^�:aj� � Cos. a is, zal . . .nbsp;Cos. (^) � � Cos. ABC� � Cos. (fa,bj ; Cos. (e) =: � Cos. ABQj^nbsp;Cos, (i^a,cj-. Cos. (dj ~ � Cos. ABT � � Cos. (a,(lj enz. zijn;nbsp;zoodat, wanneer men deze waarden van Cos.(bj, Cos.(cj, enz., innbsp;de bovendannde vergelijking overbrengt, dezelve in

veranderen zal. Men zal,' op dezelfde wijze, al de andere vergelij-Iti'-gen betoogen, welke, voor'elke zijde van den veelhoek, gefteld Isuiinen worden, en bijgevolg zooveel in aantal zijn, als de veelhoeknbsp;dijden of hoeken heeft.

beginselen

�. 1437. Ilt; Gevolg. Wanneer men, aan beide zijden van de vef' gelijking, a ~h % Cos. (a,b') c X Cos, (a,c') enz., bijtelc de foirinbsp;der zijden min de eerfte zijde; dan zal men, aangezien (^F. Gev. IILnbsp;Steil. VlU, B.') I Cos.p � 1 Cos^. 47� is, ms=zia-\-\b-^lcnbsp;� de halve fom van de zijden van den veelhoek Hellende,nbsp;verkrijgen:

s=zb X Cos^.i(^a,b')-\-c xC(?i^-iC�,c) ^xCw^.i(�,fir) lt;�;^2. ( ) �, 1438. II. Gevolg. En, wanneer men dezelfde vergelijking vaflnbsp;h c Jr d enz. :zz b c d -^r enz. of van as � a~b-\-c-\-dnbsp;-j-enz. aftrekt, zalmen, daar i � Cos.p=: zSin^.ip is, verkrijgen:nbsp;s � a'zzb X Sin^. |nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; c X Sin^, i (^a,c')-^d X Sin^. I Qa,d^

en men zal ook foortgelijke vergelijkingen voor s�b, s�e, s � d, enz. vinden.

�. 1439. III. Gevolg. Wanneer de veelhoek een vlakke veelhoek is; dan valt het terllond iii het oog: dat de hoeken RBC^ CBS, SBT, TBU, UBF cn FBR, de fupplementen van de inwendige hoeken, B, C, D, E, F tn A, des veelhoeks zijn; mennbsp;heeft derhalve, altijd van BR, regtsoin gaande,

RBF=zs X i%o'��iB C D E F) . ... (p) omdat nu Cos. 180� ��i; Cos, 2� x 180� = i en Cos.^2� i)nbsp;X l8olt;� = �1 is; zal ilF. Steil. FJU. B.') Cos. R BCz=:Cos.{b')=:nbsp;� Cos. B; Cos. R BS =: Cos. (o) � Cos. QB Cy, Cos. RBTz::nbsp;Cos.lt;id')=i � Cos.(B C D')-,Cos.RBU=zCos.Qe') = . . �nbsp;Cos. QB C D E') en Cos. RBFz=: Cos. (�) = � Cos. QB Cnbsp;D E y r) moeten zijn, en brengt men nu deze waarden vannbsp;Cos. Qb'), Cos. (o), enz. in de vergelijking:

a~ � b X Cos. Qbj) � c- X Cos. (0) � d x Cos. Qdquot;) � enz. over; dan verkrijgt men:

a� bx Cos.B � cXCos.(iB Cj) dxCos.(jB C D')--' e X Cos. (fe C-f-Zgt;-f f X Cos.QB C-hD E-j-F) (.6)nbsp;ons leerende: dat elke zijde.van eenen veelhoek gevonden wordt,nbsp;dien men (^den veelhoek, van deze zijde afterekenen, in de eene ofnbsp;andere rigting, rondgaande ,j elke zijde vermenigvuldigt met de

JJER meetkunst.

m van de [�m der produSten, welke de Cofmm van de fom een oneven aantal hoeken lot faCtoren hebben, de fom van al de andere producten aftrekt.

�� 1440. I. Aanmerking. Deze laatfte vergelijking (6) geldt alleen voor eenen vlakken veelhoek; omdat, wanneer de zijden in on-derfcheidene vlakken gelegen zijn, de fom der hoeken RBC en CBS niet meer gelijk is aan den hoek RBS: maar de vergelijkingen (3),.nbsp;(4) cn (5), zijn voor fcheve, zoowel als vlakke veelhoeken, algemeen.

�. 1441. n. Aanmerking. Daar het aan den eenen kant natiiurlij-ker is aantenemen, dat de inwendige hoeken van eenen vlakken veelhoek, door dadelijke meting, bekend zijn, en, aan den anderen kant, de vergelijking a �b X Cos. (a,b') -f c X Cos. (^a,c') enz., wegensnbsp;de gelijke teekens, gefchikter ichijnt, zoo is het nuttig optegeven,nbsp;hoe de Cofinusfen der hoekennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(a,d), uit de hoeken

B, C, D, E, enz. volgen. Indien men elke der bovenftaande vet-gelijkingen {p) van i8o�' = i3o'^ aftrekt, verkrijgt men;

ia,d') = (S C -i- D) � 2 X 180�

(^/)=(A C D-[-�-fgt;�)�4X iSo� diensvolgens Cos. Ca,b') � Cos. B; Cos.(a,c) = � Cos. (_BC') . . .nbsp;Cos. (^a,d') � Cos. (2? -j- C D), enz. Men zoeke dan de fomnbsp;der twee eerfte, drie eerde, vier eerde, enz. hoeken en de Cofinusfen dezer fommen,' waaraan men de teekens geeft, welke aan dezelve, over��nkoraftig de quadranten, waarin zij vallen, toekomen: dienbsp;gedaan hebbende, keere men de teekens van de Cofinusfen van denbsp;fommen van de evene aantallen hoeken om, en flelle de gevondenenbsp;Cofinusfen met hare teekens in a � b X Cos. (jtJR) enz. Men za!nbsp;zich, op deze wijze te werk gaande, niet ligtelijk verzinnen kunnen,nbsp;�. 1442. III. Aanmerking. 2%. 455. Laat, in den omtrek van eeneixnbsp;cirkel, de bogen BC, CD, DE, enz. gelijk genomen, en de koordennbsp;dezer bogen getrokken worden; dan verkrijgt men eenen veelhoeknbsp;A BCD enz. in den cirkel befchreven, welker zijden alle, behalve denbsp;zijdens, gelijk zijn; ftel de boog ECizt^q, het getal der gelijke zijden��,� AB~a, de koorde BC�CD~DEz^eiiz.�b, dan isnbsp;volgens het betoogde

az=.b X Cos. {a,b') c X Cos. (a,c') dx Cos. (ia,d) -|- er.z, neemt men nu de middellijn des cirkels voor de ��nheid; dan is a ~

M m nbsp;nbsp;nbsp;Si�.

BEGINSELEN

Sin.nqi b~Sin.q�c~(l~e~f�enz.; Cos. {a,h')~Cos.(ji� verlengt men Z)C tot in G, dan is (i5:,c) rr hoek yf G C'= hoek//� Cnbsp;� hoek BCG: derhalve Cos. (a,c') ~ Cos. (� � 3) q; Cos. ^nbsp;Cos.(n � 5)^,- enz.; en de vergelijking veranderd in:

en, wanneer die veelhoek zoodanig genomen wordt, dat JI^ =:o zij; dan wordt Siti. n q~ o, en de veelhoek is dan een regeimatiquot;nbsp;ge n hoek; wij hebben dan

Ctgt;5. (��I nbsp;nbsp;nbsp;Cos. (��3)^' Cos. (ii~S) q Cos. (n�7) q �;�. = o

�. 1443. De fom van de vierkanten van de zijden van eenen vlakken af fcheven veelhoek is gelijk aan het dubheld van denbsp;fom der produamp;en van derzv.lvcr zijden., op alle mogelijke wijzen , twee aan twee genomen , elk vermenigvuldigd met denbsp;Cofinus van den hoek, welke deze zijden, of derzelver verlengden , met eikanker maken. Dat is:

lt;3!^ nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.........

Bp.toog. Om den zin dezer ftelling wel te begrijpen, moet men verdaan, wat het zeggen wil: eenige dingen, op alle mogelijke wijzen, twee aan twee genomen, waaraangaande men, in de oplosfmgnbsp;van Fraagjl. 46, I. C. Bladz. 349, de noodige opheldering zal vinden. Men fchrijve, om tot het betoog zelve te komen, de vergelijkingen :

a szz. b X nbsp;nbsp;nbsp;Cos, ja.b')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*4quot; enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. ja.cj 4- dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4� enz.

b=.a X nbsp;nbsp;nbsp;Cos. Q,ajnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. {b,cj -k-dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Q),d)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- enz.

c zza X nbsp;nbsp;nbsp;Cos. (c.�)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. (c.b) dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(jc,d)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- enz.

dzza X nbsp;nbsp;nbsp;Cos. (d,a')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos. (d,bj 4- tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Qd,c)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- enz.

welke vergelijkingen zooveel in aantal zijn, als het getal der zijde*� van den veelhoek: men vermenigvuldige nu de eerde vergelijkingnbsp;a, de tweede met b, de derde met c, de vierde met d, enznbsp;zal men verkrijgen;

DER MEET K U N S T.

-zzba X C:n.{h,a') bcX Cos.(b,c') �\-bdx Cos. (b,d') -J- enz. . . . C^z^-cax Cos. (��,��) -i-chX Cos. (j,b) cdX Cos. (c,d) enz. . . .nbsp;d-�adxCos.Qa,d)-^dbxCos.(^d,b') dcX Cos.(^d,c^ enz. (O)

In de achterfte leden dezer vergelijkingen, vindc men alle mogelijke produ�len der zijden, twee aan twee genomen, maar abx Cos.Qa,b')nbsp;^ ba X Cos. (_b,a'); ac x Cos. (a,c) � ca X Cos.(c,a') zijnde, zalnbsp;rnen, bij aaadachtige overweging, zien; dat elk prodinfl tweemaalnbsp;Voorkomt, ep dat geene der proJudten van twee zijdenachterwegenbsp;blijven: men zal dan gemelde vergelijkingen optellende,

verki�gen.

�. 1444. I. GsvotG. Wanneer men, in het voorgaande betoog, de eerde der vergelijkingen (Jp) van de fom van al de anderen aftrekt; dan znl men, na verfchikking der termen, verkrijgen:

enz.-^2cdx Cos.{cJ)�2ce X Cas.(c,e)�enz.�enz. . .(8) dat wil zeggen; Het vierkasit op ��ne der zijden van eenigen vlak~nbsp;ken of fcheven veelhoek is gelijk aan de fom van de vierkanten vannbsp;al de andere zijden, verminderd met het dubheld van de fom dernbsp;producten welke, ontfta.'in, Jndiest men al die andere zijden, op allenbsp;mogelijke wijzen, twee aan twee, vermenigvuldigt, en elk produ� nognbsp;eens met de Coftmis van den hoek, onder welken deze twee zijdennbsp;elkander ontmoeten.

�. 1445. II. GevoLG. Men telle, bij elk lid der vergelijking (7)^ het dubbeld van de fom van de produ(fl:en der zijden, op alle moge-liike wijzen, twee aan twee genomen; dan zal men, vermits (H.Oev.nbsp;IH. Steil, p'III, B.j I -j- Cos.p � 2 Cos^. ip is,nbsp;ic enz. ftellende,) vinden :

�\-bcX Cos^.l(_b,c')-{-bdX Cos^.i(jh,dj enz, �\-cd X Cos^. � (^Cjd}enz.nbsp; enz. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. (p'i

Het vicrkasit van de halve fom der zijden is derhalve gelijk aa* font van de produblen van al de zijden, op alk mogelijke wijzer

BEGINSELEN

aan twee genomen, en elk product vermenigvuldigd met het vierkant van de Ccfinm van da helft van den hoek, welke deze twee zijdennbsp;Vlet elkander maken.

�. 14415. IIL Gevolg. Eu wanneer men, met uitzondering vr.n de eerfte zijde a, bij het tweede lid der vergelijking (8) het dub-beid v.'in de fbin van de produdlen der zijden, op alle mogelijkenbsp;wijzen, twee aan twee genomen, opcelt; dan z^I men, na behoor�j'nbsp;ke herleiding, verkrijgen :

�. 1447. IV. ,Gevoi.g. Uit de vergelijking (j') volgt nog: dat, wanneer de zijden van eenen vlakken of fcheven veelhoek de:,elf denbsp;lengte blijven behouden, en het fel fel van die zijden, om deszelfs hoekpunten, omdraait, altijd, in eiken fland, mits de figuur maar ge-foten blijve, de fom van dc produden der zijden, op alle mogelijkenbsp;wijzen, twee aan twee genomen, en elk product vermenigvuldigd metnbsp;de Cofnus van den hoek, welke die twee zijden met elkander maken,nbsp;�ene ftandvastige waarde zal blijven behouden.

�. 1448. l. Aanmerking. Man moet, in alle deze vergelijkingen, niet uit het oog verliezen, dat, door de hoeken, welke ttvee zijdennbsp;met elkander maken, de inwendige hoeken verdaan worden, en datnbsp;men, ten einde zich in de teekens der Cofinusfen niet te vergisfen,nbsp;letten moet: 1� op de hoekpunten, welke voor het begin van eenenbsp;zijde gehouden worden, n'' op de rangorde der zijden, welke in eennbsp;produft voorkomen: Men trekke dan, in de gedachte, door het beginnbsp;der zijde, welke in eene hoogere rangorde voorkomt, eene lijn evenwijdig aan de zijde van den lageren rang, en in dezelfde rigting,nbsp;waarin deze laaille geteld wordt; dan zai men, van de hoogere naarnbsp;de lagere zijde, regtsora gaande, de rigting verkrijgen, in welke denbsp;hoek moet geteld worden, waaruit blijken zal, met welk teeken d�nbsp;Co�nus van dien hoek moet worden aangedaan.

�. 1449. 11. Aanmerking. De verklaarde eigenfehappen der veelhoeken, van het getal der zijden onafhankelijk zijnde, gelden ook voor den diiehoek. Alen zal, deszelfs zijden igt; en c, en de daa�nbsp;tegenoverflaande hoeken A, B en C (lellende, vinden;

DER MEETKUNST.

a-\-h-^c � nb X Cw�, i C 2 f X Co$^. � B n'i -\-h^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c'^ ~ 1 a b X Css. C 2 �c X Cos. B 2, bc X Cos. A

(�z ^ -j- nbsp;nbsp;nbsp;� 4iZ^ X Cos^, i C -1- 4'*^^ ^ Cos^. i B ^bc X Cos^, � A

a^ = b^ c^ � 2bc X Cos. A waarvan velen reeds, uit andere gronden, bewezen zijn.

IV. S T E L L I N -G. Fig. 460.

145c. JFanneer men, in eenen vlakken veelhoek,, ��ne zij~ de bij voorbeeld, de zijde a uitzondert, en alle de overige zijden b, c, d, enz. benevens de hoeken, welke deze zijden, metnbsp;de uitgezonderde zijde a, maken, gegeven zijn', dan wordt denbsp;inhoud van dien veelhoek uit gedrukt door de vergelijking i

zijnde, in deze vergelijking, I de inhoud en p de zijde, welks, aan den anderen kant, naast a gelegen is.

B:TO�g. Men late, uit al de hoekpunten, C, /), E, enz. loodlijnen CG, DH, EI, FK, op de zijde AB, o? derzelver verlengd� vrdlen, en trekke, door diezelfde hoekpunten, CL, DM, EN, enz.nbsp;evenwijdig aan BA: dan is, (//. Steil. IX. B.) volgens de figuur, CGnbsp;~ b X Sin. Qa,b')', DL zzzc X Sin. lt;ia,c')', EM=.d x Sin. {a,d')�,nbsp;FN=z � e X Sin.{a,e')', AO'=.�f X Sin.{a,f)', derhalvenbsp;CG ~b X Sin,{a,bjnbsp;DH'=.b X Sin.(a,bj -^c x Sin,(a,cjnbsp;El�h X Sin.{a,b)~k-c X Sin.la,cjArd X Sin.(a,d')

FK�b X Sin.{a,b')-\-c xSin.{a,c)-\-dxSin.ja,d')-k-exSin.{a,ej en Q�b X Sin.(a,bj-\-cX Sin.{a,c)-k-dxSin,{a,dJ-\-ey.Sin.Ig:,ejnbsp; � X Sin. ia,f')

al hetwelk ire,i gemakkelijk, uit de befchouwing der regthoekige driehoeken en der regthoeken, welke in de figuur voorkomen, kan a�ei-den ; voorts is:

BG = � bx Cos. {a,bj; G //= X Cos. Qa.c) -, HIzz dx Cos.(^a,d')', IK�-\-e x Cos.(,a,e') en AK��/X Cos.(a,fj', hierdoor wordt (^Bijv. XF. Steil. LIL B.j

BEGINSELEN

� trap, G CD H�-{-cX Cos. (a,c) X X Sin. (a,b') i c X trap. UDEI�-\-d X Cos.(a,d) X X Siit.(a,b')-^c X Sin. :ji,c) nbsp;Idx Sin.

trap. lEFK = ^ X Cos.{a,e) X[bx Sin.(a,b') c X Sin.(ax') d X Sin. (a,d) � f X Sin. (�,�}]

d X Sin. (a,dJ lt;? X Sin. (a,o) hf X Sin. (�,� )] Uit fle befchcuwing van de figuur blijkt nu: dat de inhoud van dennbsp;veelhoek gelijk is aan trap, GCDH trap. 11 DEI trap. lEFK�nbsp;drieh. BCG � drieh./lFK. Wanneer men dan de flraks gevondenenbsp;waarden dezer trapeziums en driehoeken, in deze vergelijking overbrengt, zal men de vergelijking, die betoogd moest worden, verkrijgen.nbsp;Wanneer men, uit den loop van ons bijzonder betoog, hetwelk opnbsp;gt; eene bijzondere figuur gegrond is, deszelfs algemeenheid niet mogtnbsp;gevoeld hebben, zoo ontwerpe men eenen vlakken veelhoek van eennbsp;gro�ter aantal zijden, en zelfs eenen met infpringende hoeken; dartnbsp;zal men zien: dat (lettende behoorlijk op de teekens der Sinusfen ennbsp;Cofiiiusfen,) de inhouden der driehoeken en trapeziums, welke, omnbsp;den inhoud van den veelhoek te verkrijgen, afgetrokken moeten worden, eene negatieve waarde verkrijgen, terwijl al de andere pofitiefnbsp;zijn, waardoor al de termen van de uitdrukking, welke den inhoudnbsp;voorflelt, pofitief worden, en dat alzoo de vergelijking, voor allenbsp;veelhoeken, denzelfden vorm blijft behouden.

�. 145.1. Aanjierkikg. Fig. 460. Wanneer men al de zijden des veelhoeks, in de rigting, waarin zij geteld worden, (aan B, C, D,nbsp;enz.) verlengt; dan is (a,b)=ABC~B; (a,c) = DCL=:C �nbsp;fuppl. 5 =:C�(iSoquot; �180�; (a,d) � EDM:=znbsp;D ~ fuppl.(a,c)z=.D � (i^rB � (B C �\'�Q'^)) � B -\-C Dnbsp;� sX iSo^*; (a,e) = FEN=zE~ fuppl. (a,d) � B C Dnbsp; � � 3 X 18o�'; (lt;z �) ~B C D E � 4X 180'�: men zalnbsp;derhalve hebben:

Cos.(a,b)=.Cos.B ..... Sin.(a,b)�Sin.B Cos.(a,c)z=z�Cos.(Bds-C) .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. Sin.(a,c)=.�Sin.(B-\-C)

Cos,(a,e)ttzsr�~'C�s.(B�\�C�\-D�\~E) Sin. (a,e�Sin. (B enz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.

PER MEETKUNST.

infpringende hoeken grooter dan 180� zijn,) terwijl de teekens beurtelings afwi.-felen. Wordt'nu de Cofinm en de Sinus van eenen hoek of van de fom van twee of meer hoeken, naar het quadrant, waarinnbsp;dien hoek of de fom dezer hoeken valt, pofit� f ,� dan behoudt die go-niometrifche liin het tecken, waarmede zij in de lovenflaande vergelijkingen , is aangedaan: maar moet die. goniometrifche lijn naar denbsp;waarde van den hoek, lol welke zij behoort, negatief genomen worden, dan veranderen de teekens der vergelijkingen. Deze regel moetnbsp;overal, in het vervolg, flipcelijk in acht genomen worden,

�. 1452. Onder dezelfde omflandigheden der voorgaande feUicg, zal de inhott'J des vlakken veelhoeks doornbsp;7= � byiS!n,(a,h')xk^gt;lCosXttF).....(12)

~ dX Sin. {a.d) x \b X Cos. (�,^) X Cos. (�jCj -{- � z/ X Cos. (a.d'fj^� enz.

�p X Sin. la,p) X X Cos. {a,b') -f c x Cos. ia^cj)-f dX Cos. lt;fa,dj) -f- enz. -{- \p x Cos. (jhpA

Bctoog. Nemendo even als in fig. a6q, AB � a voor de eerde (en de niet gegevene) zijde, zoo ri;quot;e men uit B eene onbepaaldenbsp;loodlijn BK op AB op, en trekke, uit de hoekpunten C, D, E, F,nbsp;des veelhoeks, loodlijnen op AB, en loodlijnen op BK, en trekkenbsp;door B, de lijn BD' evenwijdig aan CD, BE' evenwijdig aan DE,nbsp;BE' evenwijdig aan EF, en BA' eveiiwij.'ig aan FA', dan z'jn denbsp;hoeken CBA � Qa.b')', D�BA � {a,c')', E'BA�ia,dj)', pofiiief, ennbsp;de hoeken F'BAt=Qa,ej en A'BA � ia,fj negatief, en nu valtnbsp;het in het oog: dat

NO = -\.dx nbsp;nbsp;nbsp;Cos. ia,d)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DS = / A' = -j- 7 xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. (a,dj

OP�ex nbsp;nbsp;nbsp;Cos. ia,ejnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E T = KL �� exnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. ia,ej

PA � �f X nbsp;nbsp;nbsp;Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;PP = LB � �f Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. {a,fj

BEGINSELEN

B/t�J^b X Cos. Qa,b') c X Cos. (lt;?,c) lt;? X Cos. (a,d) ex Cos.(a,e') fx Cos.(.a,f)nbsp;zal zijn. Men zal nu, ingevolge deze waarden, vinden:nbsp;drieh. B CH ~�b X Sin.Qa^b') X ib X Cos.(^a,b')nbsp;trap.CHID��ex Sm.(^a,c')X [bX Cos.(a,b') if X Cos.(^a,c)]nbsp;trap.lKED � -^-dx Sin. (_a,d) X \_b X Cos. (a,b') e x Cos. Qt^c') nbsp;. . , . idX Cos.(a.dy\ '

trap. KEF �e x Sin.(^a,e)X [h X Cos.(�,�) fXC'es.(�,e)i^-. ... dX Cos.(_a,d)-\- Ie X Cos.(a,o')] trap. LFAB��e x Sin.{a,f') X\bX Cos.^aJF) e x Cos.(a,o') -|-. ... dX Cos.(^a,d') eX C'es.(lt;j,e) i/x Ces.(�,/�)]nbsp;De waarde van den inhoud van irap. CHID, kan den eerstbcgin-Denden eenige zwarigheid maken; om deze wegtenemen, denke mennbsp;het punt D aan den anderen kant van de loodlijn _Z?/j alsdan is . . .nbsp;trap.CHIDIIIX [D/ C//]; maar daar het punt D aan denbsp;linkerhand van IB valt, wordt Dl negatief, en trap.CHIDzn \HInbsp;X [CH � D/] = � /// X [SG � lt;iON�BGy\ =z I Hl X [2 i?Gnbsp;� GiV] mr � cX Sin. C�,f} X X Cos. Iji,b) | c X Cos. (lt;?,lt;:}], ennbsp;het blijkt hieruit, dat de inhoud van het trapezium CHID eigenlijknbsp;gelijk is aan Inh. drieh. CIJQ^� Inh. drieh. DIQ.

De inhoud van den veelhoek is nu klaarblijkelijk gelijk aan , drieh. BCH -{� drieh. CHQ^� drieh. DIQ^�trap. IKED -{-trap.KEFL,nbsp; trap. LFAB � drieh. BCH trap. CHID � trap, IKED nbsp;trap.KEFL trap. LFAB. Stelt men dan de waarden dezer tmpe-Ziums, hier boven gevonden, in deze vergelijking, zal men de ver-''gelijking, welke betoogd moest worden, verkrijgen.

�. 1453. I. Aanmerking. Alle de termen van het tweede lid der vergelijking zijn, negatief: men kan aan dezelve nogtans een pofitiefnbsp;teelten geven; mits men, in plaats van de hoeken (�,�), (tr,c), enz,nbsp;derzelver fupplementen Helle; want, omdat, in het algemeen, Sin.pt::::nbsp;Sin, Suppl.p, en Cos.p � � Cos. Suppl.p is, zal de betoogde verge^nbsp;lijking veranderen in:

� t! -A meetkunst. 553

Stippl. (_a,h') zr 180� � B

Suppl. zn 4x180quot;^ � (^B �1� C �1^ B quot;jquot; �3 5 en hierdoor kan men aan de teekens van de termen der (12) vergelijking het pofitieve teeken geven, en de hoeken, welke in dezelve voorkomen, van de inwendige hoeken des veelhoeks, die ge-meenelijk gegeven zijn, doen afhangen.

�. 1455. III. Aanmerking. Men kan nu de (ii) en (12) vergelijkingen, ten einde dezelve op de dadelijke berekening van den inhoud van eenen veelhoek toetepasfen, aldus voorftellen:

i'* Stel a, b, c, d, e, enz. de zijden, en y op ��ne na de laatjle zijde, A, B, C, D,...X, de hoeken des veelhoeks, welke aan hetnbsp;begin eener zijde gelegen zijn, Qop dezelfde wijze, zoo als de figuurnbsp;voorftelt ,j zij R � po�.

AB � SI R~q A B -JrC�t^Rzzrnbsp;A B C D � 6 R � snbsp;x/-l-� C-f� � �= fnbsp;A-\-B-\-C-\-D-\-E-\- enz, x � st n R~znbsp;dsn is, de inhoud �I flellende,

2� Behoudt men dezelfde notatie', dan zal, flellende ^R-~A=zpnbsp;tkB- � iA-\-B')z=zqnbsp;6R�QA-\-B Cj-=zrnbsp;^R � lA B C-gt;rD) � snbsp;5.nR � ^A B C -f D -f enz, x) ~ z;

r N S E L E N

yx Sin,s X [lt;7 X Cos.p ^ X Cos.q-\-e!iz.-\-lyy.. Cos.s] moetende de teekens van de termen dezer vergelijkingen veranderd worden, indien de Simisfen of Cofiinsfcn van p, q, r, s, t, enz,, tenbsp;rekenen naar het quadrant, waarin die hoeken vallen, negatiefnbsp;wprden.

�. 1456. IV. AANMEtii�NG. De zijde, welke in deze vergelijkingen, op ��ne n;', de lantlle genoemd worde, kan rlle waarden hebben, en dus ook gelijk nul zijn: in dit gevel, komen al de zijden en al de hoeken des veelhoeks in rekening, en dan volgt hieruit:nbsp;dat, wanneer al de zijden en ai de hoeken van eenen veelhoek gegeven zijn, deszelfis inhoud, op onderfcheidene wijzen, kan berekendnbsp;Want men kan: 1� ��ne der zijden uitfluitende, elk dernbsp;vergelijkingen (14) en (15J op twee onderfcheidene wijzen, of vannbsp;de linker naar de regterhand gaande, of omgekeerd, berekenen; hetwelk, voor eenen n hoek, 2 (��1)'onderfcheidene wijze van berekenen , door elke formule geeft; en brengt men al de zijden en hoeken in berekening; dan zal men den inhoud, door esn onderfcheidenenbsp;berekeningen, voor elke formule vinden kunnen; gevende dit in alles,nbsp;voor tenen n hoek, 8n � 4 onderfcheidene wijzen, om door de toe-pnsfing dezer vergelijkingen, den inhoud ic vinden,

STI�.LLlr'jO.

De inhond van eiken vhtkken veelhoek is, (pvan--neer men ��ne der zijden nitzonderd, en niet in rekening hrengtf) gelijk aan de halve [om der produSten, die ontfiaan,nbsp;wanneer men al de overige zijden, cp alle mogelijke wijzen,nbsp;twee aan twee, vermenigvuldigt, en elk dezer produBcn nidnbsp;de Sinus van den hoek, of van de fom der hoeken, welke tus'nbsp;fchen die zijden gelegen zijn; mits men die pgt;roduamp;en, wet^^nbsp;met de Sinus vatt de Jom van een eren aantal hoeken vertnt-inurukligd zijn, negatief neme. Dat is, flelhnde a, b,

DER MEETKUNST.

enz, de hoeken,^ tmfchen a en h, b en c, c en d, d en e^ enz, en 1 den inhoud �, dan is, met uitzondering van a,

-\-\efxSin.F�-enz. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;......(i6)

�etoog. Men ontwikkele de vergelijkingen (ii) en (12), welke in de IV en V Stellingen betoogd zijn, door de produ�len dadelijknbsp;te vermenigvuldigen; dan zal men verkrijgen:

f Sin. (a,d') X Cos. (a,d') Je- Sin.Qa,e) X Cos.(^a,e) ei!s. box Sin. Qadd) x Cos. {a,o')

be Sin. (j},b') X Cos. {a,e') ce Sin. Qa,c') X Cos. (a,e) . � . de Sin.{a,d')X Cos.{a,e')

/= � Ih'^ Sin. (a,b) X Cos. (^a,b) � 4 Sin, {a.c') x Cos, (a,c) � 4 Sin. (a,d) X Cos. (^a,d) � le^ Sin. (a,e') X Cos. Qa.c') �enz,nbsp;~bcx Cos. {a,b') X Sin. ia,o')

� nbsp;nbsp;nbsp;bdyt. Ces. ia,b') X Sin. ia,d') � cdx Cos.ia.c) X Sin. (a.d)nbsp;^beX Cos, ia,b') x Sin. ia,o') � ce X Cos. ia,c') X Sin. ia,e) ..,

� nbsp;nbsp;nbsp;enz..........(O)

bd\Sin. ia,b') X Cos. Qa.d) � Cos. ia,b') X Stn. (a,d)J be [Sin. ia,b') X Cos. ia,e') � Cos. ia,b') X Sin. {a,eyjnbsp; bf[Sin. ia,b) X Cos. Qa/) � Cos. ia,b) x Sin. [a/j]

BEGINS

Maar nu is (III. Steil. Pill. B.') Sin. (eidgt;') X Cos. � Cos. (a,lgt;') X Sin. = Sin. [{a-JP) � C'�)0] gt; ^tiz.: tie iaatfte vergelijkingnbsp;wordt derhalve

s I� he Sin. [_(et,b') � (/?,�:)] 4- bdSin. [f^a,h') � (�,lt;/)] 4* � � � be Sin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� C'�'jO] bfSin. \_'a,b) � Qtyf'i] enz.

4- cd Sin. [(a.o') � (o!,d)'] 4quot; ee Sin. [(�,0 � nbsp;nbsp;nbsp;quot;f*.....

de Sin, [(�,�1) � (jt,ey] df Sin. [(ji^d') � (/s^fy] enz. efSin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� (pgt;,f')] 4- enz.

Maar nu is (I.Aanm. F. Steil.') (a,b') � B; (a,c')�B-yC�iSpquot;; (ci.,d) tut B C D � 2 X 18o^; (a.,e) tztt B C �)[- D B � 3nbsp;X iuQ�; (a,f)z=. B C D EF�4X 180�; enz.; derhalve is:

(ji,d)�(�,e) =180'' � E . . . (a,o') � (a,f)~i%o� � F

Stelt men eindelijk deze waarden, in de laatst gevondene vergelijking� en deelt men alles door twee; dan verkrijgt men de vergelijking, dienbsp;betoogd moest w'orden.

�. 1458. I. Gevolg. Wij hebben (I.Janni. F. Steil.') gezien: dat Sin.C':::z{b,c); amp;'�. (C-j-/)) � � Sin.(b,d)'., Sin.(CD-y E)'Z:t.nbsp;Sin.(b,e); enz. de betoogde vergelijking verandert dan in deze:

D s R MEETKUNST.

i efSin. (e,f) enz. (17) Vvaaruit blijkt; dat men de eigenfchap nog aldus kan voorftellen; Denbsp;inhoud van eenen vlakken veelhoek is, wanneer men ��ne der zijdennbsp;uitzondert, gelijk aan de halve fom der produSlen van al de anderenbsp;zijden, op alle mogelijke wijzen, twee aan twee genomen, en elk product vermenigvuldigd met den hoek, welke deze twee zijden met elkander maken. Dan, de wijze, waarop deze eigenfchap, in- de ftel-ling, is voorgedragen, fchijnt voor de berekening gefcbikter te zija.

�. 1459. I. Aanmereing. Voor eenen driehoek verandert de al-gemeene vergelijking in de bekende l�\bc x Sin.C�

�. 1460. n. Aanmerking. Vermits de uitgezonderde zijde a alle waarden kan hebben, kan zij ook = o gefield worden, zonder datnbsp;deze omftandigheid' de gedaante der vergelijking verandert. Wanneernbsp;derhalv'e al de zijden en hoeken van eenen veelhoek bekend zijn,nbsp;zal men deszelfs inhoud, even als door de vergelijkingen (14) ennbsp;(15), op 8� � 4 oiideifcheidene wijzen, kunnen berekenen.

�. 1461. Van de verdere Befchouwing dezer rijke fiof afilappende, zullen wij, korcelijk, het nut der betoogde eigenfchnppen, in het werk-dadige, aanwijzen.

�. 1462. I. Vraagstuk. Fig. 458. In een digt bewasfen b^scJi, zijn twee punten A en B gelegen, welker afjland men ten naauw-keuriglie noodig heeft te kennen: maar het is niet mogelijk, om denbsp;lijn A B dadelijk te nieten, � noch ergens eene ha fis te vinden, uit welker uiteinden, de punten A en B te gelijk kunnen gezien worden;nbsp;men kan alleen, uit B het punt A, en uit A het punt B zien; en,nbsp;in eene regte lijn, van B tot C, van C tot D, van D lot E, vannbsp;E tot F, en van F tot A gaan; en deze afflanden benevens de hoeken A, B, C, D, E, F, meten: men vraagt nu door deze gegevensnbsp;den afjland A B te vinden ?

/=233quot;�, � = 130'^; CZZ145�; D'Z.I'F; �quot;132�; nbsp;nbsp;nbsp;�d � sjiS�;

55?. BEGINSELEN

In dit Tafeltje zijn de teekens van de CoCnusfcn der hoeken, acfftcl' dezelve gefield. Om de hoeken te vinden, welke, in de tafel, die Hechtsnbsp;tot het eerfle quadrant loopt, moeten genomen worden, om de goniometri-fche lijnen voor bogen , grooter dan 90�, te verkrijgen. Deelt men hetnbsp;getal der graden, greater dan S�of zijnde, door 360�, cn lette alleennbsp;cp het overfchot; valt dit in het eerfis einadrant i dan zoekt men in de ta�nbsp;fel, met dit overfchot, de goniomctrifche lijn. Valt het overfchot in hetnbsp;tweede quadrant, moet men het van 180� aftrekken ; valt het in het der~nbsp;de quadrant, moet men *er 180� yait aftrekken , en valt het in het vier,'nbsp;de quadrant, moet het van 3�0� afgetrokken worden, en men moet, innbsp;elk geval, met het verfchil, dat altijd tuinder dan 90� zal zijn, denbsp;goniotnetrifche lijn in de tafel zoeken,

De bijgebragte vergelijking wordt, in ons bijzonder geval, ten opzigte van dc gegevens en dc teebens,

� = � 39^ X fits, 50� � e8i X Cot, 85� -j- 373 X Cos, 9�-!- 331 X Cos, 57� � 253 X Cos. 85�

Mlke term dezer vergelyking wordt door de Logarithmen gemakkeijjk ber�kcnd. Men zal met behulp van dezelve vinden:

� � � 251� , 973 � 24� , 491 3�S� , 403 nbsp;nbsp;nbsp;180� , 275 � 22� , 050

�. 1463. II. Vr/UGSt�k. Fig. 458. Laat alles, als in het voorgaande vraagfluk, gegeven zijn, uitgenomen de hoeken B cn A, welke de omjiandigheden verhimlerd hebben te meten', dan vraagt men de zijde AB~a te vinden?

(l� ZZ -|-c^ nbsp;nbsp;nbsp;e'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� - b c Cos, C a i X Cos, CC^- Z))

� ihe % Ci)j.(C D-f-5) 2i/X C�i.(C D � 5)�2flt;lX Cos. D 2c e X CflJ. (� �) � 2 c � X Coj. (D � 5) � arffi X Cos, Enbsp; 2d/X Cos.(�-|-�) �2o/X Cos. F.

i: R M E E T K U N S T.

a% 33 h ^ nbsp;nbsp;nbsp;r ^ ^ ~f� e ^ �t- *-1^ z b c X Cos. 35*^ �* e^^fX C�r.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e ^ t

X Cos. 7� � 2 i � X C'or. 45quot; � X Cos,'/(� � ace x Car. eS �� lof X CoJ. io�-4-;2ic X Cor. .}8�-f-2d/X Cof. 86'^ 2 e � X Cer.sS'�.

De berekenirg dezer vergelijking zal geven: �240�, nbsp;nbsp;nbsp;, als boven.

5. 1464. AANMER.KIXO. Men zal nu ook gemakkelijk de hoeken A cn S vinden kunnen.

c� 143 r X Cos. C � d X Cos. (_C nbsp;nbsp;nbsp;X Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

wa:irdoor C-f*0-[-�-pcn �-j-�-)-�-[.gt;C-j-^, cn bijgcv'olg A en B, berekend kunnen worden.

� 1465. III. Vraagstuk. Fig. 458. Wanneer van den veelhoek AlB CD EF dezelfde dingen, ah in het eerfte en tweede vraagflv.k^nbsp;gegeven zijn, begeert men d�n inkoud te vinden ?

Oi�i.ossi.NG. Door de loepasfing van elk der fermulcn Ci4)gt; Cgt;�} cn (ld), zal men den inbond vinden.

�. 14�6. IV. Vraagstuk. /'i;g'.4�4. Drie zijden AB�a,AD~d, DC�c, eens vierhoeks, met de tree ingefoten hoeken A en D, ge.nbsp;geven zijnde, de zijde b, benevens-de hoeken B en C te vinden?

ma.ar � C -4* D ~ 360� � A en B C ZZ 360�� nbsp;nbsp;nbsp;D) zijnde , is

Ca.'.(�-rC-j-D)3;Car..(/ en Car. (� C) = Car. (v^ Zgt;, cn de vergelijking wordt derhalve :

Zgt; X Sin. B ZZ. � a X Sln.{B --\'-C)'d[^ d X Sin. {B -4 C-4' B) of i X Sin.BzzdX Siu.A � c X Sin. {A D)nbsp;deelt men deze vergelijking door do vergelijking {(A); dan verkrijgs

X Sin. A � C X Sin. {A D)^ dddd X Cos. A-de c X Car. {A-lfjyjnbsp;Op dezelfde wijze, zal men vinden:

Deze h�eken gevonden hebbende, zal de z..de �, door de vergelijking

BEGINSELEN

�. 1467. V. Vraagstuk. Fig. 465. 'Om den inJioud eens viifiocks ABODE te vinden, heeft men gemeten ��ne der zijden rx lt;2 5nbsp;aan het hoekpunt A, de hoeken EAB, DAB en CAB, gelijk p, ^nbsp;en r; en, aan het hoekpunt B, de hoeken A BE, ABD en ABC,nbsp;gelijk aan p', q' en A. Men vraagt; hoe, door deze gegevens, dennbsp;inhottd van den veelhoek kan gevonden worden ?

Oplossing. Men zal mei behulp van de II. en IX. Steil. IX. B. vinden : (den inhoiid ^ I Hellende)

Sin.p� X� Sin. q X Sin. (p�qj nbsp;nbsp;nbsp;Sht. q' X Sin, r' X Sin. (^�rj

iSin. r X Sin, q X Sin. (r'� y') Sin. q X Sin. r X Sin.(.q'� rp Sin. Cr-(-r') X Sin. (.qf-r/j ^ Sitt. (? ?') X Sin. (r--}-/ ')nbsp;Stn.p X Sin.p* 1nbsp;iV�.(p p') j

�, 146S. IIL Bepaling. Fig, Men kan, bij elke vlakke figuur, eene zekere lijn in dit vlak gelegen, en i� hetzelve naar welgevallen geplaatst zijnde, aannenien, en allenbsp;punten, bepaalde lijnen of zijden der figuur, naar de Ven VLnbsp;Bep. X. B., op deze alzoo aangenomene lijn Pprojtfte-ren. Men noemt dan deze aangenomene lijn PQ^ de lijnnbsp;van projeamp;ie, en de lijn A' B', begrepen tusfchen de loodlij-Ken AA* en BB�, welke uit de uiteinden van eenige lijn Adnbsp;op de lijn van proje�iie vallen, deprojeBie van AB op PQ_,tnbsp;fomtijds eenvoudig de projeBie van AB. En de hoek, ondernbsp;welken het verlengde van AB �e, lijn van projedlie ontmoet,nbsp;wordt de projeBie hoek van de lijn AB genoemd. Wij zuilen in het vervolg dezen projeftie hoek door (^ABj uitdrukken, of AB~a Hellende door (aj. � Wanneer, 7%. 458�nbsp;eene lijn AB op een vlak Pgeproje�ieerd wordt, (zie Vl-Bep. X. B.j wordt de projedlie van die lijn, op het vlak var*nbsp;projeftie, volmaakt, op dezelfde wijze, bepaald.

�. -�469. IV. Bepai.ing. Fig. 463, De projf �iiie A� �'C� D'E' van eeriige vlakke figuur ABODE, op eeu vlaknbsp;dat als het vlak van projeftie wordt aangenomen, kannbsp;begrepen worden, aldus te ontdaan. Men verbeelde zich,nbsp;t�P het vlak van projVftie, eene onbepaalde loodlijn Q^R, tnnbsp;dat eene lijn , den omtrek der gegevene figuur volgende,nbsp;evenwijdig aan deze rigtlyn Q^R bewogen worde; dan v^ordtnbsp;�er (�. Bep. XII. B.) eeu cilinder vlak geboren, hetwelk, opnbsp;het vlak van projcftie, eene vlakke figuur A' B'C' D' E bepaalt, welke vlakke figuur de projeftie van de gefielde figuur ABODE, op het vlak PO., genoemd wordt. Denbsp;hoek, onder welken het gegeven vlak het vlak van projcftienbsp;ontmoet, w'ordt pok hier de projeftie hoek genoemd, ennbsp;door (^ABCDE) uitgedrukt.

I. L Emma Fig. 462.

S� I470- De projeBie A' B' van eenige lijn AB is gelijk aan deze lijn vermenigvuldigd met de Cofinus van haren pro-jeBie hoek. Dat is A^B' ~ AB X Cos. (AB).

Betoog. Want, inriien men AR evenwijdig asn A'B' trekt; dan is {XXIV. Steil. I. B.) hoek BAR = ^ABj en (I. Stdl.lU. B.) AR~nbsp;A'B'; nu is {11. Steil. IX, B,') AR~AB x Cos. BAR; dat is, A'B'nbsp;=zAB % Cos.{AD').

�. 1471. Aamvierking. Tndien x/S evenwijdig aanis, wordt {AB)�hoek BA R==. o-, nu is de Cos. o�*m, deslwlwe A'B'�A B.nbsp;Maar Is A B loodregt op de lijn van projeftic; dan is {AB)z=:^q^,nbsp;Cos.{AB) � q en A'B'�q.

II. L E M M A. Fig. 462 en 4(53.

�. 1472. De projeSfie van eenige vlakke figuur, op haar vlak van projectie, is gelijk aan die figuur, vermenigvuldigdnbsp;met de Cofinus van haren projectie hoek.

Betoog. Men moet deze fteling wel bijzonderlijk van eene vlakke figuur verftaan, en bij de bewoordingen vlakke figuur en hare projectie aan de inhouden van de figuur en van hare proje�lie denken.

B E G ' I N S E I.

zijne projeiflie zijn; dan zijn AA', BB' en CC', loodregt op PQj Men brenge door de loodlijn AA' een vlak A'D'DA, hetwelk loodregt op het vlak van den driehoek ABC Haat; dan Haan QX[. Stelt.nbsp;X. B.') de doorfneden der vlakken van ABC en A'B'C' loodregt opnbsp;het vlak A'D'DA, en de verlengde der lijnen AD txx A'D', welkenbsp;elkander in de doorfnede ontmoeten, maken met dezelve (/F. Steil.nbsp;X.B.') een� regten hoek, en de hoek, onder welken deze lijnen elkandernbsp;fnijden, is {XIV. Bep. X.B.') de Handhoek der vlakken ABC ennbsp;A'B'C', en (///. Bep.') gevolgelijk de projectie hoek van den driehoek�^5 C. Men denke nu, in het hoekpunt A', het middelpunt vannbsp;eenen bol, welks oppervlak door de vlakken A'C'D', A'C'CA,nbsp;A'D'DA, in de bogen qr', pq enp;-, gefneden wordt; voorts brengenbsp;men, door het punt A', een vlak A'cd, evenwijdig aan ACD: ditnbsp;vlak bepaalt den boog cd, en omdat dit vlak {XXVIIL Steil. X. B.quot;)nbsp;regthoekig op A'D'DA Haat, is de bolvormige driehoek pcd regt-hoekig in d; eindelijk \% pq � pr � ^cA �, p � qr � hoekD'A'C'nbsp;en �c zzzhocik DAC; dr de projectie hoek van ABC, en tevens denbsp;projeftie hoek van de lijn AD, terwijl cq de proie�lie hoek van ACnbsp;is. Men heeft dan {I. Steil.') A'D' �AD X Cos.dr=iADxnbsp;Sin.pd, en A'C' � AC Y. Cos.cq�AC Y Sin.pc. Nog is QIX. St,nbsp;XllL BI) Sin. dc � Sin.p x Sin.pc � Sin.qr Y Sin,pc, dat is.nbsp;Sin. DAC� Sin. D'A'C' X Sin.pc. Nog is {IX. Steil. IX. 3.) ...nbsp;InK ACD �\ADyACy Sin.DAC=. IADyACy Sin.D'A'C'nbsp;X Sin.pc; en Ink. A'C'D' � f A'D' Y A'C' Y Sin. D'A'C' � (zienbsp;boven) �I AD x AC X Sin.pd x Sin.pc X Sin.D'A'C� � , . .nbsp;Ink. ACD X Sin.pd �Ink. ACD X Cos.dr. Men heeft derhalve denbsp;proje�lie hoek van ACD gelijk P Hellende,

derhalve zal ook (de tweede van de eerfte vergelijking aftrekkende,) Ink. A'B'C' = Inh. ABC Y Cos. P

Laat verder Fig. 463, ABCDE een veelhoek zijn, welks 'pro-jeflie hoek op het vlak PO_ door P wordt uitgedrukt; dan zal {beu/.) uit eenig punt A de hoekpuntslijnen AC enz. trekkende, A'B'C�rttnbsp;ABC X Cos.P, A'C'D'� ACD X Cos.P, enz. zijn derhalve A'B'nbsp;C�'FJ �ABCDE Y Cos.P.

D E a M E E T K U N S T.

hoek vnii groot aantnl zijden befchrijft, zal men gemakkelijk bewijzen, dat het gefielde ook voor zulk eene figuur gelden zal.

VII. Stelling.

�. J474. De fom der producten van alk de zip�lalfken van een veelvlakkig ligchaam^ elk vermenigvuldigd met de Cofinusnbsp;Van den hoek, pelke dat zijvlak, met eenig naar welgevallennbsp;aangenomen vlak, maakt, is, op welk eene wijze ook dit vlaknbsp;geplaatst zij, gelijk nul.

Betoog. Wanneer men, op het aangenomen vlak, eene loodlijn ftelt, en, evenwijdig aan dezelve, eene lijn iaat bewegen, welke altijdnbsp;langs de ribben of zijvlakken van het ligchaam loopt, ziet men: datnbsp;hetzelve, binnen de zijvlakken van een regt veelhoekig prisma, kannbsp;belloten worden, welks grondvlak in het onbepaald aangenomen vlaknbsp;Zal gelegen zijn. Dit grondvlak zal klaarblijkelijk de proje�lien vannbsp;alle de zijvlakken van het veelvlakkig ligchaam bevatten, welke pro-jectien, daarom, omdat de zijvlakken, in het beloop der ribben, aannbsp;elkander fluiten, ook door regte lijnen aan elkander ver�dnigd, en totnbsp;aan de greiifen van de grondvlakte vnn het regte prisma zullen uit-Seftrekt zijn. Zonder dat het nu noodig zij, eene bijzondere figuurnbsp;te ontwerpen, ziet men duidelijk: dat de zijvlakken, welke, op ditnbsp;grondvlak, geprojefteerd zijn, ten aanzien van het aangenomen vlak,nbsp;iwecderlei Hand kunnen hebben: i� zijvlakken, welken, met haarnbsp;buitenkant, naar dit vlak liggen: 2� zijvlakken, welker binnenkant naarnbsp;hetzelve ftaan, en dat de fom der proje�tien, zoowel van de eerdenbsp;tils van de laatlle foort van zijvlakken, gelijk zal moeten zijn aan denbsp;bafis van het regte prisma. Noemen wij nu de zijvlakken van denbsp;eerdeToort a, b, c, d, enz. en die van de tweede foort a', h', c',nbsp;enz. en de hoeken, welke deze zijvlakken met het aangenomen vlaknbsp;makennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Jgj, enz.; dan zullen de ptojedlien van a, b, c, enz.

op het aangenomen vlak (JL Lemma') door a X Cos. ja), b x Cos.jb), t X Cos.jc), Worden uitgedrukt, en omdat (raadpleeg Betoog /. Steil,nbsp;en I. Janm. op dezelve,) de ligging van de eerde met de tweedenbsp;foort van zijvlakken, ten opzigta van het aangenomen vlak, door hetnbsp;'eeken van de Cofinus van den proje�lie hoek wordt aangewezen,nbsp;^hilen de projeftien van a', b', enz. door �a� % Cos. ja'), ....

beginselen

� ^ X CosAh'')-, worden sangewezen; coemende derhalve B het grondvlak van het regte prisma-; dan zal

li=. � a'y. Cos. {a') � h'-A Cos.(b') � c X Cos.^ � enz. en trekt men de tweede van de eerde vergelijking af; dan vindt men:nbsp;a X Cos.{a) � X C�s.(^) c X Cos.(f)-\-enz. a' X C�S.C�0

�. 1475. Gevolg. Men zal, (noemende s de halve fom der zijvlakken,) gelijk in �. 1435, vinden:

VIII. Stelling.

�. 1476. Elk zijvlak van een veelvlakkig Ugchaam is gelijk aan de fom der producten, die men verkrijgt, wanneet men elk der andere zijvlakken vermenigvuldigt met de Coji-nus van den hoek, welk dit zijvlak met het eerjle maakt.nbsp;Dat is: a, h, c, d, e, f, enz. de zijvlakken zijnde; dartnbsp;zal

arttzhx Cos. (a,cj cx Cos. (a,cj dx Cos. Qa,d) enz. h~ax Cos. (b,aj c X Cos. (h,c') dx Cos, (J?,d) enz.nbsp;c-=.ax Cos. (c,�) -^hx Cos. {c,bj dx Cos. (c,dj enz.

�. 1477. Gevolg. Noemende s de halve fom der zijvlakken, dan heeft men: (zie �. 1437 211 1438.)nbsp;s � bx Cos^. i {a,b) -f e X Cm�, i (^a.cj -f d X Cos^. � Qaf')nbsp;enz. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(21)

Qs � aj=zbx Stn^. i {a,hj e X Sin'^. i Qa,c)-\-d X Sin^.i -j-enz..........(22)

IX. Stelling.

�. 1478. De fom van de inhouden van de vierkanten det zijvlakken van een veelvlakkig Ugchaam, is gelijk aan denbsp;dubbelde fom van de produEten der zijden, op alle mogelijk^^

�EH MEETKUNST.

�wijzen, twee aan twee genomen, en elk vermenigvuldigd met de Cojinus van den tweevlakkigen hoek, welke zij met elkander maken. Dat is:

Betoog. Deze waarheid wordt, uit de voorgaande ftelling, op dezelfde wijze, als de III uk de II. Steil., afgeleid.

s*-�ab X Cos.l{a,hj-\-ac x Cos'^,l{a,c)-\-ad X C�s�. \ nbsp;nbsp;nbsp;enz,

�. 1481. III. Gevolg. Voor eene driehoekige piramide, zal dan �2 � ^2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c2- ^2 � 2 X 'Cos, C^b.c') � 2 bd X Cos.(Jgt;,d') . . .

� 2edx Cos.(je,d') zijn. Laten nu de hoeken {_h,c'), (^b,dj en (c,dj regt zijn; dan zijn hunne CofinuTen =0, en de vergelijking wordt

hetwelk inftemt met de oplosfing van het XXXIX. Fraagfiuk, XIII. B., Bladz. 499.

�. 1482. Aanmerking. Het blijkt, uit de drie laatlle Boeken, hoe naauw de eigenfehappen der figuren met elkander over��nfteminen.nbsp;Deze over��nftemming opent eene bron van nieuwe waarheden, wel-/ce, wij bij eene andere gelegenheid, hoopen te leeren kennen.

TABELLES.

I, Tabelle, bevattende de meest gebruikelijke Gcniome-trifche- Formulen.

NB. Da gewone Sinus-tafel geeft de gonioirietrifche lijnen flec�nts. van o� tot 90�-. En dit is genoeg, om dezelve voor hoeken of bogen, die grooter dan 90*� zijn, te vinden. Laat n het getal gradennbsp;zijn. Men deele hetzelve door 360, en lette op de rest der deeling,nbsp;die wij r noemen, en welke rest in het eerfte, tweede, derde of vierde quadrant kan vallen, men 'zoeke met r, 180 � r, r�iSoo/nbsp;360 � r, naar dat r in het eerfte, tweede, derde of vierde quadrant valt, in de tafel, de begeerde goniometrifche lijn, welke dannbsp;ook tot eenen hoek of boog van die n graden zal behooren. Hetnbsp;teeken, waarmede dezelve moet aangedaan worden,. vindt men doornbsp;de tafel, op Bladz, 194.

Cos. 90quot; ~ Cos. 270� rr Cos. iC4n i)!r� Cos. 5 (4 � -f- 3) vrz o Cos.\%o�z=:Cos.nw � �inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?

Tang. �Tang. 1^0� quot;Tang.n TT�o Tang. 90� Tang. |(4B-fi) xirmonbsp;Tang.2/0'^quot;Taig.i (4.11-^ X t� � eanbsp;Col. o�~Cot. ao'^ � Cot.2n7r � Cot.(2n-\- ijx�^

A' ji lt;*

Equot;-;

	0.		AsT^jyN
	Bquot; A	Equot;	:'
. Agt;^-'-;.......	..... c-q.		yf bquot; c
.'D'A7	Tb'^		Cquot;
	458

P A P' B' E' C' D'q

d:^e/z4r d/.

:*(J/� K2).C-i K5) �iC-i Ks).

Vis Vs')

:-�Ki -|-J/5) tKC30-6K5)

:^KC3 K5)-i�/C5-K5)

�-�Ky^5�y3') iyo� ^y5')

ziQ/s-y^-)

:j(�I K5)

�--^(y6-y^). (I -F-Ks) J (I �^3). yis-ys^

--Kyi5 y2)-iyi^�-^ys^

~�yyio�y2') i yQs-^y s')

- nbsp;nbsp;nbsp;X.

zjs cy 6 y 2.)I y 5) K� I 1^3) � yis ys)

2K5)

:�kCKlt;5 J/2) .(i K5) � f (� I K3) .

yis-ys')

z�fC�i I^5) iKC3oH-6^5)

- nbsp;nbsp;nbsp;\ y^

= i(Ki5�K3) JKCi� 2K5) z-iciyc�yi'). (i Ks) t(i iU3).nbsp;yis-ys')

-F'Ks)

=-*(K6-F2)-(-i F5) f(i K3).

J/(S K5)

-1 �^3

-i(j/ i(y�y^^ iy (5 4-^/5)

= Ki K5) sK(3o �lt;gt;K5)

= (K6 KO . CI K5) 1 C- I F3) .

y(5-ys) ziVQio zys)nbsp;zyy� yz) ,

=i C�14-U's) f K (30 4-�Ks)

= iK(3 4-U'5)4-IU'(5-U'5)

= KKi54-U3)4-tKC��-2K5)

Nu 4 nbsp;nbsp;nbsp;-S'/??.

- * (K� - ^2). (-1 rf F5) Ki KaL K(5 K5)

18� = C�/. 72� K(i � f Ks)

T�cirrg'. 30� � Co?. 60� 2= j 1/3 Tkz�^. 30� =: Cot. 72� ~j/{$ � 2 Ks)

lil, Onderlinge betrekking van de Goniometrifche Lijnen, welks tot denzelfden boog bekooren.

IV. Merkwaardigjle Goniometrifche Formulen, tot twee of meer bogen behoorende (*).

Cos. Qa � bj � Cos. nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cos, b Sin,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin. bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{jit

O De formulen, wcllfc met een * gemerkt ziin, zijn in liet VIII Boek �gt;iet betoogd, maar volgen eclitcr ligtelijk uit de overigen.

DER MEETKUNST.

Sin, (a-\-b-\-c) � f Sin.b X Cos.a X Cos.c l �Sin,a X Sin.b X Sin.c V Sin.c X Cos.a X Cos.b Jnbsp;r C�S.(� 3) X Sin.c -v

1�Sin^.a�Sin^.b � Sin^.c�zSin.a X Sin.b x Sin.c~o (^31) en * Sin.ssa-^-Sin.ib Sin.'ic�i^Cos.a x Cos.b X Cos.c ...(32)nbsp;2� Stel ,7 � c = 180�; dan is:

I � Cos^.a � Cos^.b � Cos^.c�iCos.a X Cos.b x Cos.c~o (33) ? I � Cnt.a y. Cot.b-YCot.a X Cot.c-^Cot.b X Os^.c . .. (34)

I�Cos'^.a � Cos'^.b�C�s==. 2C2S.lt;7 x Cos.b x Cos.c~o (37) * Tang.a-^-Tang.b -{-Tang.c�Tang. X Tang.c x Tang.c�o (38)

� E R MEETKUNST.

Stn.(^pq) : QSin.p Sin.q) � Cos.\Qp-\-q) : Cos.i{^p�q) Sin.(^p q): {Sin.p�Sin.q)�Sin.l{_p-{� q)-. Sin.\{^p�

Sin. (a b')X Sin. (a � b') � Sin^. a � Sin'^. b . . (83) Laten a, b, c, d, e, enz... .p, q eenige bogen zijn; dan is:

* Sin^. a � Sin^.p =: Sin. (a -l- b') X Sin. (a � nbsp;nbsp;nbsp; Sin. (b c)

X Sin. (b � c) (c i7) X Sin. (c � lt;/) Sin. (ji o') x Sin. (�7 � e) enz. Sin. Qp q) X Sin. {_p � q')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(84)

II. Tabelle. Gevallen voor de oplosfing der regtlij-nige Uriehoeken.

NB. De letters a, h en c, beteekenen de zijden; A, B en C, de tegenoverftaande hoeken,

^3� b � c:Sin. A =. c X Coscc. A J 2� Geval. Gegeven zijnde de hypotheniifa met ��nen der fchcrpenbsp;hoeken.

r 1� C�9o� �A 'k Gegeven b fo. A \ a � b x Sin. A -I 3� et=.b X Cos. A �

BEGINSELEN

3� Gevat,. Gegeven zijnde de twee regthoekszijden a en c; de fcherpe hoeken en de h'jpothenufa te vinden?

I. nbsp;nbsp;nbsp;Geval. Gegeven zijnde, ��ne zijde a, benevens de hoeken B ennbsp;C, welke aan die zijde gelegen zijn.

^=i8o� �(A C) ftel p � a: Sin. A; dan isnbsp;l�pX Sin. B, en c�px Sin. C

II. nbsp;nbsp;nbsp;Geval. Gegeven zijnde twee zijden a en b, met ��nen hoek A,

'� Sin.p ~~ Sin. A Wanneer bySin.Agt;a is, zijn de gegevens onBedaanhaar, en,nbsp;hy Sin.A � a zijnde, zijn beide driehoeken regthoekig, en onderling gelijk.

en Tang. ip = Tang. ((p � 45�) X Tang. (90� � i C) dan is A=: (po� � i C) -i-pnbsp;B = C9o� � iC) � gt;pnbsp;czzza Sin. C; Sin. A~by. Sin. C: Sin. B.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Oplossing. Wanneer men flechts de derde zijde C behoeft tenbsp;kennen. Stel dan:

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Oplossing. Om de derde zijde c alleen te zoeken: ftelnbsp;2 Cos. i C

574 BEGINSELEN

moetende de termen dezer laatfte reeks met den modulus der Brig-giaanfche Logarithmen, of met 0,43429448, vermenigvuldigd worden.

III. T �abelle. Inhoudende de voornaamfle eigenfchappen der Bolvormige Driehoeken.

De letters a, b en c, beteekenen de zijden; A, B en C, de te-genoverftaande hoeken. De driehoek is regt in B.

OER MEETKUNST.

Cos. a � Cos. A X ^in. c X ^ C�s. c X Cos. b. Cos. A ~ Cos. a X Sin. C X Sin. B � Cos. C.X Cos, B.nbsp;Sin. b

' Sin. c X Cot, a � Cos. c X Cos. B Deze zijn de voornaamfte grondeigenfchapp�n, op welke al de menigvuldige formulen en vergelijkingen bevatten, welke in het XIII.nbsp;Boek voorkomen en betoogd zijn, en welke de Leerling, des begee-rende, voor zich in eene bijzondere Tafel, tot zijn gemak, naar hetnbsp;model van de tweede Tabelle, verzamelen kan.

EINDE.

VERBETERINGEN.

In een werk van dien aard, als het tegenwoordige, waarin men onophoudelijk op de hoofdzaak is bedacht geweest, is het ttiet inogelijk, kleine onregelmatigheden en drukfeilen voortekomen, vooral, wanneernbsp;de Schrijver, door onaangename en tijdvorderende bezigheden belet, innbsp;de corre�lie der proeven, geene hulp gehad heeft. Onze bijzonderenbsp;' vriend, den Heer J. J. Krantz, Jr. heeft de goedheid gehad, de afgedrukte bladen, met eene naauwkeurigheid, welke hem bijzonder eigen is, en aangefpoord door een voorbeeldeloos belang, dat hij in onzen perfoon en in dit werk fielt, na te lezen. Aan hem is de Lezernbsp;de volgende verbeteringen alleen verfchuldigd.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Het geen met ** ge-

teekend is, zijn wezenlijke zinflorende feilen of noodige toelichtingen. Het geen met * geteekend is, raakt de verbetering van letters; de overige betere aanhalingen van flel�ngen. Alles kan elk, in zijn exemplaar, zonder het te fchenden, veranderen. Zij zijn alle nogtans .vannbsp;zoo weinig belang, dat Hechts zeer weinige door onze leerlingen, dienbsp;de afgedrukte bladen gebruikten, zijn bemerkt geworden.

beenige.

* nbsp;nbsp;nbsp;- � nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ond.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gt'H, lees GEH,

* nbsp;nbsp;nbsp;- 34 nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ond.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/d en B, lees A en C.

* nbsp;nbsp;nbsp;- 45 nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bov,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;met nog Q^, lees met nog R,

* nbsp;nbsp;nbsp;- 68 nbsp;nbsp;nbsp;Reg,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15, va.n bov. ftaat A BCD lees ABDE.

Steil. in. B.j

A BID gt; AMB.

* nbsp;nbsp;nbsp;- iio nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7, van bov. ftaat DEI, lees DB.

* nbsp;nbsp;nbsp;- 117 nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;13, van ond. ftaat AC, lees7iC.

-- 118 nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;19, van bov. ftaat XIX. Bcp., lees XVd. Bep.

VERBETERINGEN.

138 Reg, 3, van boy. fraat FC. Steil., lees III. Steil.; � reg. j 7, van bov. aan het begin ftaat -t- MD^, leesnbsp;-j-MC^;.� reg. p, van ond. ftaat III. Steil., lees IV.nbsp;Steil.

143 Reg. nbsp;nbsp;nbsp;4,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van ond.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;III. B,, lees F. Boek.

149 Reg. nbsp;nbsp;nbsp;8,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van bov.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftraal MC, lees ftraal MG.

152 'Reg. 9,.van bov. ftaat met AC befchreven tot het vierkant AC, lees met //ilf befchreven tot het vierkant van AM.

I5P Inatfte'regel van het I. Voorbeeld, lees 124�*,724. 167 Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van bov.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^XF. Steil.) lees (A7Z. Steil.')

175 einde nbsp;nbsp;nbsp;14nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;reg, vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ond,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaat ABC, lees BAC.

178 Reg. nbsp;nbsp;nbsp;6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van bov.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XXII, lees XXI.

185 Reg. 8, van bov. ftaat AB, lees BC of CB; � reg. 13, van ond. ftaat BM gelijk zes deelen, lees BN gelijk; � volgende regel MC en VC, lees MO en NO;nbsp;� in de volgende regel �C, lees BO; ook in de 3 vannbsp;ond. BC, lees BO.

20$ Reg. 2, van ond. ftaat de helft van de fo:n en van hst verfchil, lees de font en het verfchil.

� nbsp;nbsp;nbsp;222 Reg. 5, van ond. ftaat 43� 17''20'', lees 43� 17'�30quot;,

//. Steil. Voorts is wat lager, in de berekening van de zijde a het achterfte cijfer van Log. c geen 8 maar 5nbsp;hierdoor wordt a ~ 506�, 849.

VERBETERINGEN.

� nbsp;nbsp;nbsp;31Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ond.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;featnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XXXI, Steil. lees XIX, Bep.

� nbsp;nbsp;nbsp;320nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bov.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;featnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DCF, lees BCF.

� nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;331 Reg. .9,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van bov. Haat =0,01008936, leeSnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

__ 332 nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;13,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ond.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;flaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IX. Steil, lees XI.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Steil.

_ 335 nbsp;nbsp;nbsp;Reg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3, van bov. feat (/Z. St.) lees {XI.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;St.) � reg.

- nbsp;nbsp;nbsp;344 Reg. 5,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vnn ond. feat ac lees lgt;c � en in denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;volgende

- nbsp;nbsp;nbsp;351 Reg. 9,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van bov. iisAX.'EF=zFG lees EF:=zEG.

�� nbsp;nbsp;nbsp;354 Reg. 6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van ond. fiaat gelijk en gelijkvonnig,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lees ge

--381 Reg. nbsp;nbsp;nbsp;15, vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bov. fiaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;HL lees KL.

- 383 Reg. nbsp;nbsp;nbsp;13, vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bov. fiaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XIII. lees XIF.

- 384 Reg. nbsp;nbsp;nbsp;I, fiaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Fill, leesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FH-, � 3 regelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fiaat IX. B.

lees FI. B. � * In de eerfte regel van �. 976. fiaat cir-kelfcgment AKC, lees eirkcl-fegmcnt EKC, � en reg.

Pag.

58o nbsp;nbsp;nbsp;V E Rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B E Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E Pv I Nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G E N.

* nbsp;nbsp;nbsp;Pag. 416 Reg. 18,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van bov.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(laat Tang.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l(^AB � 5C) leesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . .

Cp' pofitief zijn; dat is (p'83� 43'32'', 4, voorts in de II. Oplosfing �. 1087. in de eerfte waarde vannbsp;2 Sin^. i A, in den teller Sin, h X Sin. c gelezen worden.

� nbsp;nbsp;nbsp;428 In �. 1088. reg. 3, (bat X. Steil, lees FT. Steil.-, � in

5. 1089. nbsp;nbsp;nbsp;2 regel is liet beternbsp;nbsp;nbsp;nbsp;te lezen door de waarde

van Cos. I A, Cos. nbsp;nbsp;nbsp;B en Cos.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i C; in �. 10S9. 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;reg.

leze men 2 Sin, | 4 x Cos. iq � Sin. q; � onderHe regel van de pag. Haat ^andpnnt lees ftandpimt P.

de uitkomst van de Oplosfing III. Voorb. zie pag. 430. is het naauwkeuriger Parall. hoek ~ 28� 59''32^''.

�. 1145. moeten gelezen worden hoekyfDS=z79V34''24quot; hoek BDC�6z'^ '20'en deftandhoek7iquot;5lt;y'i4'''',2nbsp;� �. 1147. regel 2, ftaat zijde A, lees zijde a.

* nbsp;nbsp;nbsp;-- 460 Reg. 10, van bov. ftaat Sin. a �Sin. B' lees Sin.az::!

te vinden, moet men niet uit het oog verliezen, dat, wanneer in vergelijking CR) op pag. 467, Cos.2y negatief wordt, de onderrte teekens van de reeks (P} alleen gelden.

�� 471 Reg. 4, van bov. ftaat x Sin.\c, lees X Sin\b, en in den teller van de breuk in de onderfte regel moet men.nbsp;lezen Cos. a x Cos. /3.

490 XXIX. Vraagft. is bis. Reg. 10, van ond. ftaat ABz=.BC lees ABz=.BD; � in form. (3) ftaat Cot.\P, leesnbsp;Cot. I p.

497

499

501

503

515

518

519 lt;22nbsp;523

525

528

529

530

532

533

535

539

54�

544

549

550

552

553

556

557

559

560

VEPv BETERINGEN.

Ref^ 15, van bov. Haat Cos./lPB, lees Cos.APC. Reg. d, is de exponent van /? weggevallen, lees ji^ ennbsp;daar ftaac lees ; � regel 3, van ond. Haat =2 r,nbsp;lees z=.R.

Reg. 12, van ond. Haat en Sin. ADC, lees en Sin. ADB In de twee boveiilie vergelijkingen lees c* en innbsp;plaats van en

Reg. 10, van ond. ftaat lijn AB lees lijn AD. l. 1381, reg. 12, Caat Pg. lees �0.

Reg. 9, van ond. Haat Sin. NPL, lees Sin. NDL. Reg. B, van bov. Ihat E'F, F'A, lees FJF' en F' A',nbsp;en reg. 7, van ond. lees Fig, 435 en 436.

Reg. 16, van ond. Iaat �s lees ~s. Voorts in reg. I en 14 van ond, ii: plaats van .r te leezen X.nbsp;Reg. II, van ond. Iaat �Sin. QC�/)_) lees . . .

Reg. 5, van bov. les a = 250� ,169 � en reg. 8 van ond. lees b Sin. B^s Sin.(^B-fC^~dSin. (5-[-C D)nbsp;Het tweede lid van ce waarde van / moet zijn:

Getal der	ingefekreve	Omgefchreven
zijden.	veelhoek.	veelhaek.
4	2j 0000000	4,oocoooo
?	2,8284271	3.3137085
16	3,0614674	3.1825979
32	3,1214451	3,1517249
64	3, i3tgt;5485	3,1441184
128	3, 1403311	3,1422236
250	3, 1412772	3,1417504
512	3,1415138	3,1416321
1024	3, 1415729	3,1416025
2048	' 3.1415877	3,1415951
4096	3,1415914	3,1415933
8192	3,1415923	3.1415928
16384	3,1415925	3,1415927
32768	3,141592�	3,1415926

[ / c
	alt;t^' ,'isr
	/ /
	j/JZc y nbsp;nbsp;nbsp;/

�ening	van hoek A.
a ~	2,4608978
. cm	2�3747483
A=z	0, 0861495
A~	5o�3845^^i5

Sm. ia-.	z 2 Sin. a X Cos. a .. nbsp;nbsp;nbsp;.	� � (39)
Sin.p �	2 Sin. \p y Cos. \ p . . nbsp;nbsp;nbsp;.	� � C40)
I � Cos. p �	2 Sin'^. \p......
I Cos.p=i	2 CoS�. ip......
I � Sin.p =	2 6/�^. (45� � i�)	� � (43)
I Sin.p �	iCos^.(45� � �ip) ' nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-	' � C44)
I Tang.p-	_ Cos. C45� �P') X j/2 nbsp;nbsp;nbsp;, Cos. p	. . C45)
I �- Tang.'p z	_Sin.as�-P^ nbsp;nbsp;nbsp;. Cos.p	. . (45)
I Sec. p zz	Cot.lp yTang.p . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.	� � (47)
I � Sec. p zz	� Tang. ip y Tang.p . nbsp;nbsp;nbsp;.	. nbsp;nbsp;nbsp;(4^)
	Nu 5	Tang.

		I. Foor	pofitieve Hoeken.
	le Quad, van 0^nbsp;tot 90�	ie Quad, van 90'^nbsp;tot 180�	Quad, van loO�nbsp;tot 170^	4.0 Quad, van 0.70^nbsp;tot 360''	5e Quad, van 3�0�nbsp;tot 450^	enz.
Sinus			� ~	�		enz.
Cosinus		�	�			enz.
Tangens		�		�		enz, ___'
Cotangens		~		�		e7iz, , ��
Secans			�			enz.
COSECANS			�	�		enz.
Koorde					�	enz.
		II. Foor negatieve Hoeken.

Sinus	~	�			�	enz.
Cosinus		�	�		'	enz.
Tangens	�		_		�	enz.
Cotangens	�	-U t	�		�	enz.
Secans		�	�			enz.
CoSECANS	�	��			�	1 enz.
Koorde	�	i ~	�	�		1 enz.

JIS	-
V4 Ijj -'�� '
0	ft sD
	T
A

	DCK
	CAK
	CPN
	CDN
� �;-	LDA
	LDP

kpi:m�3if^^yW%^f}

Jl

BEGIN'^ELE

NAAR HAREN TEGENWOORDIGEN STAAT VAN VORDERING;

JACOB de GELDER,

B. S C II E U R L E E R, Junior.

r o o R R E D E.

* 3 nbsp;nbsp;nbsp;De

F o o R R E B E.

uit

VOORREDE.

VOORREDE. nbsp;nbsp;nbsp;X

VOORREDE.

VOORREDE.

RED

VOORREDE.

na-

der

VOORREDE.

INHOUD.

EERSTE DEEL.

Bladz.

6

35

53

77

iC?,

i83

INHOUD.

Blndz.

INHOUD.

BE-

BE GINSELEN der

meetkunst.

EERSTE deel.

A nbsp;nbsp;nbsp;�� lt;5.

M E E T K U N S T.

4 nbsp;nbsp;nbsp;BEGINSELEN

DSR MEETKUNST.

EER-

EERSTE BOEK.

II.

BEGINSELEN

R MEETKUNST.

BEGINSELEN

5. 41. Gevolgen uit de IV en V Stellingen.

der meetkunst.

BEGINSELEN

DER MEETKUNST.

IX. Stelling. Fig. 19.

X. Stelling. Fig. 19.

xr.

14 nbsp;nbsp;nbsp;BE, GINSELEN

BEGINSELEN

ER MEETKUNST.

BEGINSELEN

DER MEETKUNST.

Bs nbsp;nbsp;nbsp;�� 84.

BEGINSELEN

DER MEETKUNST.

XX. Stelling.

XXL Stelling. Fig. 36.

15 A nbsp;nbsp;nbsp;de

BEGINSELEN

DEK. M E E T K U N S T.

BEGINSELEN

DER MEETKUNST. nbsp;nbsp;nbsp;27

EGINSELEN

1 N S E L E N

igt; ER Jsl E E T K U N S T. nbsp;nbsp;nbsp;3t

ER MEETKUNST.

T W E E D E B O E K.

BEGINSEL

�. 114. VI. Bepaling. Eene uitdrukking als deze ry/, B, C, D, E, E, G7

Men zie, wegens het berekenen van zulk eenen wijzer, den Ecrflen Curfus der l-Fiskundige Lesfen, de XXXII. Les, jS. 502, et fcq.

ER MEETKUNST.

BEGINSELEN

DER MEETKUNST.

BEGINSELEN

II. Stelling.