Vertonende de voornaamfte Gronden en Eygen-fchappen der wydberoetnde en voortreffeiyke

MEETKONST,

Een TOEGIFT, om Vierkanten in Driehoeken j en een Agthoekineennbsp;Vierkant te befchryven.

Een AANHANG, vervattende de Trans-formatien, Addition, Subftradtien, Multi-'plicatien en Divifien in Figuren.

By JOANNES van KEULEN, Boek - en Zee-Gaart � verkooper en Graadboogmaker, aan deOoft-zydenbsp;van de Nieuwelsrug, in de gekroonde Lootsman.nbsp;Anno 1751.

Met Privilegie van d�Ed. Groot Mog. Heeren Staaten van Holland en IVefi-yrieJland,

C�RNELis Hoep,

Voorfanger en Lecrmeejler in de JV�konfif mitsgaders geadnutteert Landmeter tot Schagen.

'E konft heeft geen ver-agters als van onkundi-'gen j dit is eensdeels de reden, dat ik dit mynnbsp;eerfte in �t ligt gegeven werk aannbsp;U E. opdraag, als verJfekert zyn-de, dat � E. (die van def�, ennbsp;andere Mathematilche ftoffe ,nbsp;grondige kennis hebt,) nietalleen-lyk een regtmatig agter j maar ooknbsp;een bequaam belchermer zultnbsp;* Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zyn.

o P l) R A G T. zyn , tegen het khrollen van bitfenbsp;bedillers j andersdeels , om dat iknbsp;my verpligt agt, foo om myn genoegen in onle befondere kenniflenbsp;en gemeenlaamheyt die al overnbsp;tien a'twaalf jaaren aangevangen ,nbsp;en in cenige van de laatfte Jaarennbsp;door onderlinge ommegang leernbsp;vermeerdert is , uyt te drucken ,nbsp;als, om ineikentenilTe, vooral,nbsp;�t genooten goet, cn bewefennbsp;vriendfchap, by defe gelegent-heyt myn dankbaarheyt in �t o-penbaar te betuygen. Ik verlekernbsp;my , dat het van � E. met geennbsp;mindere toegenegentheyt lal werden aangenomen, als het U E.nbsp;eerbiediglyk na wenfchinge, datnbsp;God de Heere (de gever van allenbsp;goede gaven) U E. tot welftandnbsp;van CJ E*. leerlingen in de Ma-

o P D R A G T. thelis, gelyk ook U E*. Familie,nbsp;in langdurige gefontheyt wil bewaren , en na dit leven de falig-hcydt verleenen , wil fyn, ennbsp;blyvennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� �

V OlO R''REIgt;�(N

L E E Z E R.

Elyk een voorfichdgh Bouwmeefter vooralbe-forgt, een goeden grondnbsp;en fondement te leggen ,nbsp;om fyn gebouw daar op tenbsp;vefligen : zoo ook moet yder oefFe-naar van konden ep wetenfchappennbsp;pogen vafte gronden' tb leggen, om fynnbsp;oefFening geluckig te vol-eyndigen :nbsp;dit is noodtfakelyk in alle wetenfchappen, byfonder in de Wiskonft.

Aan den Konfi-Uminnende Leezer. Myns -bedunkings;niet beter � vpor eennbsp;leerling defer loffelyke wetenfchap�nbsp;als, na dat hy eenige bequaamheyt innbsp;de Rekenkonfl verkregen heeft, lig tenbsp;oeffenen in de beginfelen der Meet-konft van den grqoten Griek Euclid is, welke ontrent drie eeuwennbsp;voor de geboorte van Chrillus ge-bloeyd heeft. Een werk zodanig be-arbeyd, en aan een gefcliakelt, dat denbsp;voordellen, of dqor geliddq .gemenenbsp;bekentenifle of de navolgende door denbsp;voorgaande, met behulp van defelvenbsp;bekentenil�en werden bewefen ^ �fyndenbsp;even als een Ladder, die van fport totnbsp;fport rhoet beklommen werden, omnbsp;tot d�uyterlle te komen. Elen werknbsp;dat by regtfchapen. kenner?, van fynnbsp;begin tot nU toe, (eenige na,gelknau-wers en hairklovers, di e alles meenennbsp;te kpnnen verbeterennytgefpnderQnbsp;* 4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;te

VOOR-REDEN,

te rcgt onverbeterlyk wert geagt. Een werk, �t welk foo een oefFenaar het welnbsp;verftaat, hem bequaam maakt, om andere doelen der Wiskonrt, als Stiiiir-mans-konll, Landraeet-konft, Wyn-roy-konil, BofTchieterye, Sterkte-bou-wings-konft, Doorligt-konft, befchry-vinge van Sonnewyfers, Hemel-loop-kunde. Stelkonfty amp;c. grondig, ennbsp;ligtelyk te leeren. Een werk, waarnbsp;door een vlytig nafpeurder fyn ver-ftand werd gefcherpt, en een heb-belykheyd verkrygt, om�t waar vannbsp;*t valfeh t�onderfcbeyden ; dienftignbsp;voor die figtotd�oefFeningen der Wys-begeerte, Regtsgeleertheyt, Medicy-ne, en Godgeleertheyt willen begeven. Wat is dan nutter en noodi-ger voor een leerling defer heerlykenbsp;wetenfchap, als dat de voor�ellennbsp;kort en bondig worden bewefeii j de-

Aanden Konji-beminnende Leezer. u�yle de lankheyr van dien, hemnbsp;niet alleen�t hooft doen draijen : maarnbsp;ook affchrick en fyn aangevangen werknbsp;t� agtervolgcn : overfulks heb ik ge-poogt, klaar en beknopt de voor-llelien te bewyfen, op het voetfpoornbsp;van den grooten Mathematicus Bar-row, die inde Latynfchetaalgefchre-ven heeft.

Ik heb in defen alleen het eerfte, tweede, derde, vierde, vyfde, zef-de, elfde en twaalfde boek, gcdemon-Itrcerc, als de nodigde, en in het gemeen gebruyk genoegfaam fynde. Innbsp;een T oegift ikl ik eenige dingen, welke ik niet ondienflig, nog ongepadnbsp;by �t yoorige agt. Wyders verhandel ik in een Aanhang , de Transfer manen, Addition# Subftra�iien ,nbsp;Multiplicatien, en Divifien der Figuren uytvoeriger en breeder, als �t myns

VOOR-R EDEN, wetens, van yemant in onfe taal be-dagt is:, dienftig voor een leerling omnbsp;�tgebruyk en nuttigheyt van EucUdisnbsp;voorftellen te Tien, als mede omfe dennbsp;geheugenis vaft in te prenten.

Heb ik ergens in gemild, of eeni-gedingen geftelt en beweefen, dat beter konde gedaan werden, (wie kan alles in de befte ploykrygen, ) weeftnbsp;eerder eenminnelyke verbeteraar, alsnbsp;een vinnige befchrobber. Ik brengnbsp;dit werk in 't ligt, niet om imand tenbsp;benadeelen ; maar op dat bet den neer-ftigengebruyker mag dienen, tot eennbsp;fpoedige vordering in de konft, �t welknbsp;dewenfchisvan

MEETKONST,

PIETER WARIUS,

Schoolmeejier tot Ooftwoudt groot Liefhebber der Wtskonji, en onvermoeid Arbeider in dejelve.

M Eetkonftenaaren, ftreepetrekkers, Hoekmeeters,weeft nu vryverblyd.nbsp;Spring op van vreugde, dit�swat lekkers ,

Euclid�, umeetfnoervoor veeljaaren, Komt nu, fo fraai ged�ft, in�tligt.nbsp;Dit werk kan Eeuwen evenaaren ,nbsp;Euclid� heeft ieder een verpligt.

Dit word op nieuw, u aangeweefen, Soo bondig, gt; kragtig, wel ter fneed,nbsp;Datmen dubbeld dankbaar wefen,nbsp;AanWARius, die de uitgift deed.

Der ftreepen, hoekig of vierkant. Hoe dat dit �ingert door malkand�ren,nbsp;Als m^�af- of toe-doet, na u trant�

Die konftiglyk dees fehatontfloot, Geef l�f aan �bo een braave fchryver,nbsp;Vlegt Eerekranflen, na fyn doot.

J. P.

.Pag.

ST� BO�K.

Uytlegginge der Merk-tekensi

�� Min.

ar Vermenigvuldiging j of ftelling eens fechtfioeks zyde op een ander. Ook betekent het de t�fahien*nbsp;,filing der letters al^ A B oo A * B.. -V D� wortel of zyde van een quadraatgt;cubicq5ccnbsp;Triangel.nbsp;t3 Rechthoek.

Definitieni o� Bepalingen^

'Vemaat fodaatrig meri�t met zyn verftant begrypt. i. Linie, iseenlengteforidereenigebreete.

Ala ��n punt voort loopt, foo wert de weg' di� z� maakt, Linie genaamt, eri dewyl een punt ondeelbaar is, foo volgt darde lengte di� ie maakt,nbsp;Ook ondoelbaar in de br�ete is, - en dadromnbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E�n

# - '-'Vefinitien, ot Bepalingen.

een feiiii't: .ijngte dat-met ^ verftant-tevat Qioet ��^rde.Aj . en vervo^eii^onder'breb(e,

Dat IS de uyterfte,van zekere lengte, die ffient�et Zyn veritant .b�g�yptzy^�oliloclanige punten.

Hieronderfcheyt Ruclides de rechte van de kfotnTne of gebogen iinien ; welk fe�hre, de geneSs,nbsp;die de kortfte fpatie is tuflchen twee,. gefteifl�nbsp;punten, als in i. C D. die korter is., alsnbsp;A 13 of EF.,, als defejvft'gelyk beginneh ennbsp;eyndigen /,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� -.s'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. �

y, Superficie of . vlak is , 'Welke all�eri lengte e� breete heeft.N -�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- � .-S gt;

Hier verftaat Emlides zodanigen fpatie'die fig dJIe^eii uytftrekt in de lengte en breece j fonder lt;?eatgenbsp;hoogte of diepte, en moet racHe'alleen m�t'Ktnbsp;verftant bevat worden.

Iinien de eynden der ylakken; als in F/p^. 2. D E, EF., FQ. ,GD. de'eynd�nvan�c^ak A, ennbsp;HL, I K., K Jj., LM.', MH. van �tvlakB.;nbsp;endc N O P van�tvlakC.zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_

7. nbsp;nbsp;nbsp;Een platte of effenfuperficie is, dat gelijk tulfcheilnbsp;zyn linien^begrepeii is.

Hier onderfcheit Euclides de fupperficien of vlakken, w�lke recht zijn, van de kromme ofte gebogennbsp;vlakken, als vanklootcn, fuylen, en alle rondenbsp;lichameDjzijnde een platte fuperficie fodanige da:

als

- � -aJs in-3. , in � �emg punt A. eeri tech-te A B. �t een� cynde '^aft gemaakt, en�t andef cynde beweegd�, dezelve overal�t vlak komt te �nbsp;geraken,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

Em flittre o� effen hoek A; is de t^tsmcnk�-^f��4? ming van twee linien 13 A., CA. die t�alkahder *nbsp;in een eften fuppetficie gt; riiet rechtelijk oritmo�-

grypenrechtzijn, (gelijk D.) zoo wordt dezerye � een ree�r/i�//c�e A genaamii.

I dere rechte linie A 15 , makende� d� hoeken A GG.B G C. aan beyde zyden C �. gelijk,nbsp;zoo zijn deZelveretire 6oe^e� , en de linieCG,nbsp;is pgr^eiiidiculaar0^.h.Q�,

iUerkt. Ais�er verfcheyderi hoeken �p ��n punt I (als G ) komen,zoo werf yder der zelver ihef dri�nbsp;letters aangetekent, vab-w�lkede middelfte denbsp;hoek aanwyft, gelij k de hoek die de rechte C G.,

ir. jEen: hoek die grooter is als een rechte , (^zhpig.e. A C B ) wen plomp of v^ydenhoek genaamti. �

11. nbsp;nbsp;nbsp;Een hoek. die kleynder ,is als een rechtsenbsp;A C D.) wert fcherpenhoek' gems-veit..,

13. nbsp;nbsp;nbsp;is heruyterfteWa�i�enigdiog.; ��'7 .r- Fi�.y,nbsp;Soo fijn de punten A , B,dc eynden der linie fcB- d�

^ Vefinitkn, of Bepalingen

ten is, lbo is A met een, B met twee gt; C mc� drieeyndenbeflooten., en z�o voort.

1$, Cirkel, is een platte figuur beflooten met eeri linie A B C D. die men noemt Cireumfcrenti�nbsp;of omtrek j tot welke alle de rechte linien E A.gt;nbsp;EB., E C-, E D, get rokken van eenig punt E innbsp;dezelve malkander gelijk zijn.

17. nbsp;nbsp;nbsp;Diameter of middellyn des Cirkels, is een rechtenbsp;linie A C. getrocken door E. 't centrum desnbsp;Cirkels, en eyndigende aan beyde zyden tegennbsp;de circumferenti^ des cirkels in A en C, diedee-lende in twee gelijke deelen als ABC. gelijknbsp;ADC.

18. nbsp;nbsp;nbsp;Halve cirkel is een figuur beflooten van dennbsp;Diameter, ende helft dercimcumferentie; datnbsp;isABC. of ADC.

�19. Rechtlinifche figuren , zijn die met rechte liniea beflooten zijn. ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

21quot; feelzydige figuren', zijn die met meer als vier rechte linien beflooten zijn. �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

23, Van de drie zydige figuren,wert d�ze- welke drie gelijke zyden heeft , gelykzyaige triangel genaamt CaisA.)

, 24. Triangel ^ die alleen twee gelijke zyden heeft, yftengelyk�eenig e Triangel genaamt (als B.)

. Oefinitien of BepaJing�n. 5

met drie ongelyke zyden , viett o�ge~ Fig.txl fykzydige Triangel genaamt als C.

Een ongelykzydige'kan xyn een rechthoekige, plomphoekige enfcherphoekige T riangel.

27. nbsp;nbsp;nbsp;Plomphoekige Triangel. is welke eenen plom- tig-14-pen of wyden hoek heelt als E.

28. nbsp;nbsp;nbsp;Scherphoekige Triangel is j welbe drie fcherpe Fig-iS'^nbsp;hoeken'heeft als F.

Celykhoekige figuren z,yn 5 wiens hoeken alle onder malkander geljjkzy.n : En twee hguren xyn gelijkhoekig als elks byiondere hoeken d�eeanbsp;d�and�rgelyk zyn Verllaat fuik? ook van 4? ge*nbsp;lijkzydige figuren.

30* Langwerpig t;;ertonsj Welkevierrechtehoe-17-ken heeft, maar ongelijke zyden als E F� H.

31.. Rombuso� Ruyt isquot;, welke vier gelijke Zyden Fjg i?. heeft., maar geen rechte hoeken als IK LM.

overftaande hoeken en zyden gelijk zijn, fonder te zyn gelijkzydig of rechthoekig ais N O P Q:,

33' Alle andere figuren met vier zyden noemt men ongej'chikte vierhoekenoiTrapeJia alsR S T V.

34* Parallela of gelijk'wydige rechte linien zyn ^ tig. welke op eene fuperficie ofte vlak zyn; ende zoonbsp;men die veriengt aan- d�ecn of ^�^ndere zyde

A 3,

4 �I)efnin�h.��Be^a!�gt;ig�n.

PrtrW/�/o^raw is een. figuur m�t vier rechte li-nien beflootenvan welke de twee regens den anderen o ver parallel zyn j als I) E F G.nbsp;fVquot; 40- Als in een Parallelogram A B C D den Diagonaalnbsp;ot Diameter A C:. getrokken is , ennoch tweenbsp;rechte linien E F, Hl. parallel met de zyden, ennbsp;fnydendeden Diameterineen lelvepuntGj al�nbsp;�o� dat het parallelogram in vier parallelogram'nbsp;men verdeelt wort: zoo werden di� twee DG,nbsp;G tl. daar de Diameter niet doorgaat, genaamtnbsp;juppiementea ofte vervuljeh, en dc twee overige HE. FI. door welke de Diameter gait, wer-den g�l�gt �m d�n Diameter te ftaari.

l^er klaring onereenige Ko^fi-woorden die in defe leerhandelinggebruykt'warden'.

PropfitieK T.yn �voorfle�feuY'^ die w�rden onder-fch�yden in ProbUma ,;dat is nbsp;nbsp;nbsp;, en

yertoogem\:\a, daar eygenfehappem worden VQorge-ftelttedemonftreren , datEbewyzen.

Parollarium is gevolg i is iets dat tnen uyt de d�mon� ftratie trekt, en noodtfakelijk daar uyt volgennbsp;moet.

Stholium, ^at is Byvoeg, is een aanhang bp het voorftel, en een aantekening die men door inval

Lemma, is -voorhev/ys, dat is iets daar men voor af fteltj en dempnftreert, om daar op wat te latennbsp;volgen, dat men dan lichtelijk bekomt.

BEGEERTEN,

3- Een cirkel te bcfchrij ven, uyt eenig centro, ende van zulke wyte als men begeert.

GEMEENE BEKENTENISSEN.

� .wijze vjnt tTatnen gezet, zoo lijn door deze gem\ hek'; di� alle gelijk, in welken geval wynbsp;kortsheyts halven fomtijds na laten ^ezcgem:nbsp;hekent: aan te trekken, fchoon de kragt vannbsp;het gevolghi�r van afhangt.

A 4 nbsp;nbsp;nbsp;g, Zoq

8 .Defihitkn, of ^pdingeti

A. quot;Zoo men toe ongelij ke dingen gt; gelijke toe doet� defommenzijnongelyk., �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

Deeze g�m: bekent; grypt plaats tot linien en hoeken betrokk en zijnde, maar iiiet lot figuren ten zy ze gelijk zijn. ' 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, '

Verders werden die grootheden gezegt overeen te komen welkers deelen op malkander geyoegt^nbsp;gelijk of dezelve plaatfen vervullen.

Twee rechte linien in een punt;,t�lamen komen* de, fullen (vo�rtgetrocken zijnde) malkandefianbsp;dat punt doorfnyden.

Zoo een rechte linie B A. vair op twee andere rechte linien A D., C B. alfo dat deinwen%nbsp;ge hoeken bp eene zy, -^1 BAD-, ABCl

ilamen

X^efiifi�tkn i �iBepalingefi se

1t?fatnen kleynder xijn als twee rechte hoelteh deze AD., BC.opdefelyezydeverlengtzija-de, fullen ey ndelyk t�famen komen als in E.,

Alle geheel is gelijk aan al zijn deelen t�famen genomen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

16. Indien een , geheel dubbelt is van een ander ge* heel, en het afgenbmene van het eerfte dubbeltnbsp;is van het afgenomene des and�re, zoo fa�nbsp;ook het eerfte overfchot dubbelt zyn van hetnbsp;ander.

De aanwyzinge verftaat aldus:

Daar twee getallen ontmpeten, is d�eerfte df fropojitie, de tmeede het hoek, als 4; i. is door denbsp;vierde propofitie des eerften boeks, en zo met an*nbsp;dere.

Voorts beteekent.

PROPOSITIEN

E U C L I D I S.

PROPOSITIE. I.

Op een gegeven rechtelinie AB. eengehfknjdige ^ig , Triangel A CE. te befehryven.

't\^T Erk. Uyt A. en B. als Centrums* befchryft a jBeg, W � met de wy te A B. pt B A. de Cirkels fi C D.

ACE.doorfnydendemalkander in �t punt C., uyt defelve b trekt de rechte G A. 3 C B. zoo is A G B h i Begtnbsp;de begeerde.Triangel*

Be'wy^

P R O P O S I T I E a.

VM een gegeven punt A, een rechte linie A G. Fig, ilt;?. trecken, gelyl^aan een gegeven rechtelinie B C.

�tlVerk. �Befchryft uyt C. als Centrum , meta,|jg,; dewyfteCB. deCirk. GBE 3 en b trekt de rechte [, jnbsp;, A C,, op defelve e maakt den gdijkzydigen A A C D. �

u E U C L I D E S.

4ibeg. dan verlengt D G. tot den Cirkel in E. uytD. me# de wycte DE� befchryft den Cirk; D E H. en dver-lengt DI3- tot den Cirkel, komt in G.� dan zalnbsp;A � 00 � C zyn.

Byvoeg.

Men foude A G. met de pafler konnen genomen hebben: maarfnlks voldoet geen begeerte, gelijknbsp;Broclus wel gezeid heeft.

PROPOSITIE. 3.

Gegeven z.ynde twee ongelyke rechte linten A. e� B C.van de Imgpe B C een ftftk^B E.tefnydettynbsp;gelykjie kortfle A.

��tlVerk. Van�t punt B * trekt de rechte B D op A, uyt B. met de wytte B D bbefchryft den Girk: B D Enbsp;diefnyd BC.in E.dat BE oo Ais.

PROPOSITIE 4.

Soo van twee Triangels B AC. ^ E D F. de twee z,yden B A. y A C, van d^eene, gelyk._z.yn de

�er/ie Boek nbsp;nbsp;nbsp;15

twee myden ED.DF. v an tFander {dat is B A coE D.enAC.o:) D F.) en dat ookjde hoek^ A.nbsp;de hoek D begrepen -van de gelyks z.yden gelijknbsp;Kyn, foo fal oo^de Bdjis B C. de Bajts E F. ge-*nbsp;iijkjuijn, �nde de Triangel B A C.gelyk de Triangel E D F. ookjde overige hoeken B en C. ge-ly\aan de overig� hoeken E en F. namentlykdienbsp;metgelyke z.yden ondertogen zyn,

Bew: Indien het punt D. op �t puilt A., en de rechte D E. op de rechte A B. gevocgt wert, foo fal �cnbsp;puntE. op�tpuntB. vallen, om datDȫ oo A S.nbsp;isj enDF. zal op AC. en�tpuntF.op ?t punt C.nbsp;vallen) �m dat d� hoek D.aooA. enDFao�AC.a g*g;nbsp;is: deAalven fullen EF. , BC. overeen komen,nbsp;en daarom b gelijk zijn: ook fullende B A Cjts gi-m�nbsp;E DF. en de hoeken B, E. insgelyks de hoeken C, F.nbsp;overeenkomen, dienvolgensbgelijk zyn. Pat tsnbsp;bewyzenwas.

PROPOSITI E y.

dn alle gelykbeenige Triangels ABC. z.ijn de hoe-ken op den Ba fis als ABC, AC B.gelyk: ends zoo men degelyke zyden A B, AC. verlengtnbsp;zijn mede de hoeken onder den Ba fis als CB D.ynbsp;B CE. gelijk,

Ber'. * Maakt A F o� A D. enb trekt CD, B �. a j; t. Bew; In de ^s. A C D., A B F is A B e oo A C. [, jnbsp;AFdo� AD.endehoek A. gemeen ; daarom decgeg. quot;nbsp;hoek ABF* co ACD, , AFB^oo AD C. en ^ b�.nbsp;de bafis �F.e ao DC. ook is F C. f oo DB., derhalyen e 4: i.

14, E � G L I D E S.

PRO POSITIE 6.

Fig.^e. EoovM een Triangel A B C de twehoeken A BG^ ACB. gelijk, i fnllen de z.ijden A C.nbsp;A B. over defelve hoeken ookgelykj^-ij^'

ijit. Ber; Genomen dat ABC� AC.is, 2�o*lhyt bi beg, daaraf.BD ao AG, en �gt; trekt CD.a

Bew: in de A�- DBG, ACB. is de zyde cbei. BDc�oG A, en BC. gemeen de hoek D B G.nbsp;j a 00 A G B. vervolgens zullen de A�- DBG, ACBnbsp;feeelykzyn, dat is�t geheel met lijn deel, dat Giet

PROP OS I T I E 7

fig. 31. Eoo van de uyterften eener rechtelinie A Blt;., twee andere rechte linten A C .fiC,g�trocken zyn dienbsp;malkeinder in e�n ymt C,ontmoeten -jZ^oo jonnen

�op defelve van defeh� ^tterfiett, geiii -?wee anders rechte linien AD' j ED. getr�k^pi V ^erden^ die de eerftegelyk zijn, dat is ADnbsp;A-C^ en ^ B C) dit in eenpuntD ffathen,

AG, zoo moet A D oo A C. zyn; dat� nietwe-� ien kan.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,� - , )

2 Geval. Indieti �'t plint T) Valt binheu den A �� *� *gt;�85 AGB, � trekt.CQ,, en*gt;verlengt BD, BCnaF'*'nbsp;en � , A D ikoo AGj .yolgens �tgeilelde. daarom :nbsp;de hoek ADCe.go AGD^ ook dewylBDooBC.nbsp;is, fal d� hoek F D C � oo E G D zyn, oyerfulks rnbsp;de hoek FD GriCT� AG D, dat is de hoek FDCjnbsp;tr A D C j �'t wjeUror^eryinw� � � inbsp;3. G�val.' Soo �t punt D. geftelt wert buyten dennbsp;AGB., zoo trektCD. volgens dit geftelde moet. .nbsp;dc-hoeck AGD�gt;ooADC.'en BC�bpoBDCT. 'nbsp;zyn, maar de hoek B D G. is c cT^^ls A D G., foo ^ � -gagnbsp;inpet'dan BCD ook CT als A GD. .zyn, (omdat *nbsp;A*GD d 5� A D C. is) dit�qiet we�zen kan; daar dte�; fnbsp;�t^ kan �t punt D. obk niet buiten den A AGl B. val- ,,nbsp;lea.-Dattebewyz�n was.' '�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. �

Z�b vdn twee triangels A B C,.^ DEF. de twee Flg. K.yden A B,, A C.gelyl^hehhen detweexydennbsp;De. DF ende d� Bdfis B CgelyJ^de Bajisnbsp;EF is ^ zo(i zaiook den Hoek A i,: den hoek D.,nbsp;i vangelyke zy den begrepen) gelyk zyn.

en dan fal o�k �t punt A. in �t punt D vallen' (�m dat die in B g��n ander vallen kanjd�wyl A B gt; oO � Enbsp;�n A C � OO O �. is ,� derhal veb de'hoeken A, en D.nbsp;van gelyke zyden.hegrep�ri over een komen, erinbsp;i ?! gem! daarom c gely Ictijn j dat te bewyzen was;

�* nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�; .ivs .1/ . -

, . Gevolg. ....

o nbsp;nbsp;nbsp;: �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Tl -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

i.' Mier uy�'y�lg� dat onderling gelykzydlg� Triangels onder malkand�i Kgelykhbekigzyn .a. datnbsp;alle Triangels die gelyke iijden h�bb�n onder mal�nbsp;kander y even gr��t zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

P R 0,P O S I t I � 9.

Fig..H- �en gegeven.

, gelykje d��len

i �,t; Werk. Neemt A P � 00 A ,B en,b trekt D E,' bi�heg� op defelve c'maakt de gelijkzydige ^ D EF. daiinbsp;ei:i, b trekt AF.' die fal den hoek BA G. in twe�n.ge*

'Hier uyt blijkthioeeenho�kin45 8, i6)amp;c.gelij* Ice deelen kan gefneden werden; namclyk elke deelnbsp;weder in twe�n doorfnydende.

PR.�quot;

EerJle-^Boek. � . nbsp;nbsp;nbsp;.17

i? R O P O S I T I E 10,

't Werk. Op de gegeven AB a maakt den ge-a i- i. lijkzydigen A ABC, diens hoek C t (nijd in twee b 9. i...nbsp;gelyke deelen met de rechte CD, defelve fal de ge-gevene A B in twe�ngcljjkdoorfniiden. , ;

Bewys. In de A C f), B C U is A 00 B C werk. en C D.gemeen, de hoek ACD *= 06 BCP* ddrnbsp;halven^^dcoBDj da,ttedoenwas. . ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d i.

PRO P O S I T I E ir.

m een gegeven f HM C, in een gegeven richt � Unie Fig. 3 3. ABj eenperpendicHladr linie CF t'eft'ell�n.

. V Werk. a Neemt, CD co C E endgt; maakt op a 3: i� De de gelijkzydigen A DFE, dan c trekt FC,** 'W'nbsp;die fal de begeerde perpendiculaarzyn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c i eg.

Bm; In de C F j. E C F is D C d 00 C E DFdQoEFenFC gemeen, derhalven de hoek �

DCF e 00 ECF, en daarom CF i perpendiculaar ^ 3. ,, op AB, dat te doen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f lodef.

Doch dit en de volgende Propofitie werd feer licht uytgewrocht door een winkelhaak.

PROPOSITIE 12.

Enn een gegeven punt C, buyten een gegeven rechte Fig. 3 4-linie A B .y op defelve eenperpendiculaar CG te treckett.

�tWerk. Uyt C als Centrum a befchryft een cir-a 5 beg, Kei, welke de gegeven AB in twee punten Een Fnbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftijd.

E U C L I D I S.

fnyd, b deelt EF in tW��n gelyk in Gj ch �trekt C G die is perpendiculaar op A 8.

Bevj. Inde A* CG E, CGF isGE�IooCFj EGea)FGenCG gemeen, derhalven de hoeknbsp;EGCfooFGG, daarom C G g perp: op A13,nbsp;dat te doen was.

PROPOSITIE i5.

Soo eeti rechte linie A B of een ander rechte linie CD valt^ dan z.yn de hoeden aan bejde zyd�nnbsp;als ABC ^ ABD recht af t'[amen gelyk tweenbsp;rechte hoeken.

I Biw. Indi�n de hoeken A�C, ABD gelyk jQ zyn,�t blykt datfe gt; recht zyn.nbsp;a � Ber. Soo Ze one�lyk zyn i Zoo b recht uyt B denbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ pefp: BE.

Daarom de hoek ABG-f--^BD�oOa regte eigem. hoeken, �t welk was te Bewyz�n'.

Gevolg.

I. Indien de eene hoek ABD recht is, foo' is de ander ABC odlt; recht, foo defe fcherp is dienbsp;plomp en verkeert.

2- Soo v�rfcheyden rechte linien tot defelve puht in een rechte linie op eene zyd'e getrocken werden,nbsp;foo zyn alle de hoeken t�iamen gelyk twee rechte.

3. nbsp;nbsp;nbsp;Twee rechte linien elkander doorfnydende;nbsp;maken hoeken gelyk aan vier rechte.

4. nbsp;nbsp;nbsp;Alle hoeken om een punt gemaakt, thaken'

t�iatnen'

Eerjle Boek.

P R O P O S I T I � 14;

Sao op 't ejnde B eener rechte Unie AB twee andere pSg, jp. rechte linten CB , DB van beyde zyden t'famennbsp;'komen, alp) datfy twee hoeken maken A BC.^

^ B D t�famen twee rechte gelyk, dan gullen defelve een rechte linie CB D malfn.

Ber. Soo CB, .t)B in geen rechte linie veaar,^ i�o fy G Brecht �ytgt; verlengt tot Ejfoortioec Eli ^ ,nbsp;onder ot boven de,linie BD vallen: genomen datfenbsp;boven BD, valt, foofal CBE een rechte linie zyn.

Bevj. Dehoek ABC -f- ABE 1gt; 00 1 rechte,fa ij: i orn dat G B E een rechte linie geftelt werd, maar de

de gemeene, hoek ABC d blyft de hoek ABEj^g/n,. tp A B D dat e niet wefen kan, daarom kan.de rech e 9 gemlnbsp;te niet boyen B D vallen; op defelve wyfe kan fenbsp;ook niet onder BD vallen, d^rhalven nroet CBDnbsp;een rechte linie zyn, dat t� bewyzen was.

PR�fOSitlE ly.

Soo twee rechte linien AB ^ CD malkander door- F;|.40 fnyden^ fttllendefchrikshoeken CEB^ AEDnbsp;gelyk_ zyn.

1. nbsp;nbsp;nbsp;By voeg.

Indien tot een punt A m cenige reChte Iklfcih GH twee reehie linien E A x AF elk vaneen zvdenbsp;getrockeii w�rden j lulks dat d� fchrikshoeken D en Bnbsp;geiyk iyiiy ion fullen de r�chte iinien E'Ay A�nbsp;malkander recht ontmoeten.

Bewys-, Want i rechte � 30 D -f- A * 00 A z/n, der hal ven E A, AF een b rechte lune %n jnbsp;dat te bewyten wasnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, �

2. nbsp;nbsp;nbsp;Byvoeg.

Soo vier rechte linien EA,EB, FC, ED van een punt E'afloopen, fulks datdefchrikrshoeken ge-lyk zyn; foo fa'ien elk twee linien A �,-EB ennbsp;CE, E D ineen rechte linie gevoegt zyn. -

Bev): Want om dat de hoek AEC -4^ A E� �4- vjFB -4- I3EB aoo^rechtezyn; fooiaiiAECnbsp;4�AEDbo�CEB DE 8� 00 2 recht�: der-hal ven CED en AEB = rechte iinien zyn, dat tenbsp;bewyfenwas.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' �

P R OP OS 1 TI E

Fig. 43. Van een Triangel AB C een nyrfe BG verlengt z.jn^ de, foo is de tiytwendige hoek . A CD gropter alsnbsp;(en van de.over(taande inwendige hoeken CAB^

b ibegf� door A H., B E, defelve b verlengt zynde, c V � ioo neemt EF, c� BE, en H1130 AH en =* trekt FCI.nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BeW. In de^s C-EF, AE 1 is CE � 30 E Ay

ven

Eerjie Boek, nbsp;nbsp;nbsp;21

ven de hoek ECF gooEABis- Maar de hoek g 4. t i\CD is h CT!-als E CFj derhalven ACD Cquot; alsh9gem,nbsp;E A B ; Op defelve wyfe werd in de O HI�

^AH den hoek I C d �( f dat is F C D) x� *'� B ti hewefen , derhalven de geheele A C D h CTquot; alsnbsp;ABC, dat te bewyfen was.

Fan alle Triangels ABC z.yn t-wee hoeken hoe men Fig. 44.-die neemt, t�fatnen kleender als twee rechte koeken.

1 rechte is, en de hoek A C D c C~ als A, foo fal A c i�: i A C B �D als i rechte zyn: op defelve wyle fal 4 ^ gen,,nbsp;de hoek B -I- A C B als 1 rechte zvn: en foo denbsp;zyde 13 A verlengt wierde, foud op defelve manier denbsp;hoek A Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;als 2 rechte zyn, dat te bewyfen was.

Gevolg.

Hier uyt volgt. 1. V an alle Triangels, wiens eene hoek recht of plomp is, zyn de overige fcherpnbsp;2. Soo een rechte linie AE met een ander rechte linie C D ongelyke hoeken maakt, de eene AE f)nbsp;fcherp en de ander -A E C plomp, foo fal de per- p- ,nbsp;pendiculaar A D uyt �t punt A op C D vallennbsp;aan de zyde daar de fcherpe hoek A E lgt; is.

Bejuvs. V''ant fbo AC , die aan de zyde des . plompen hoeks getrocken is, geftelt werd de perpen-dikulaar te zyn, foo fal in de ^ A � C de hoek A F Cnbsp; ACE CT als 2 rechte zyn dat * niet wefen kan � jnbsp;3- Alle de hoeken van een gelykzydigen Trian-B 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gel,

E U C L I D T S.

gel, cn de twee hoeken op den Balls van een gelyk, beenigen Triangel zyn Icherp.

PROPOSITIE i8.

Ber: Van AC � fnyd AD oo AB, en !gt; trekt BD. Bevj: Dewyle AI) oo A'B is, foo is de hoeknbsp;ABD c tX3 ADB; maar AD B is d O' als C, daarom A B D ook Cr als C, vervolgens de geheelenbsp;ABC noch meer�C� als C. Op d^efel ve wyfe 1'alnbsp;A B C C� als A zyn, dat te bewylen was.

PROPOSITIE

Fig� 47 In alle Triangels ABC is de langde z.yde BC tegen over de grootfte hoek A. .

Bew: Soo BC de langdezyde niet is, foo laat a 18:1.1A C die zyn , en dan mod B de � grootde hoek zyn,nbsp;r^en �t gegeven, daarom kan A C de langde zydenbsp;niet wefen, op defel ve wyfe kan AB die ook niet zyri,nbsp;derhalven BC de langde zyde, dat te bewyfen was.

Anders.

Soo BC de langde zyde niet is, foo moet die o) ofquot;nals AC zyn, foo men deltBCc� AC. foonbsp;a 5:1. is de hoek A�oo B tegen �t gegeven, en fo B C T3nbsp;b iS: I. als A Cis, foo zal de hoek b A quot;Caals B zyn,dato6knbsp;t gcg. . c niet zyn kan, derhalven BC CTquot; als AG, op de zelf*nbsp;dewyfeBCcrals ABj dat te bewyfen was.

Ect'Jie Boek. PROPOSITIE

Bereyd: �V erlengt B A fulks dat A D b co A C en e trekt C D.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c. i.b�g,�

Beui: In de A ADC is de zijde AD �oo AC, dwerk. daarom de hoek A C D� oo D,maat de hoek B G D is fnbsp;f CT als A G D , derhal ven de hoek BCD ook g c~nbsp;als D, daarom de zyde B 13 (b dat is B A -f- A C j quot; ��Werknbsp;*cr als B G, dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

PROPOSITIE 21.

So van de ejnden eener zijde B C , eens Triangels ABC twee rechte linien BD ^ CD getrokfiennbsp;werden f die malkander inwendig ontmoetennbsp;defe zyn minder ah de z.yden des Triangels,B A^

CA^ maar maken een grooter hoek_^ B D C.

komt CE 4-BE cc-alsbD-PGD wederom in de BA E is 4. A E bCquot; als BE,nbsp;addt. E C � E G

2. Bew: De uytwendige hoek BDC isdirquot;als,di� D E C en DEC d c-als A, derhalven BDC Cquot; als

E U C L I D I S.

d�twetk hoek?'�oo�, end�uytvvendiger-fcrSsB, derhal-e 5^ I. venrCTals?,opdefclvewyfeisDCTals/^,vervolgens

Op de I. Stelling.

Isinde A A D C de hoek r n� als?, in de ^ A D13 de hoek D CTquot; als/gt;.nbsp;Derhalven door de 19: inbsp;dexyde A C C� als D Gnbsp;en B A tTquot; als B D

Op de 2. Stelling.

PROPOSITIE az.

twee hoe men die neemt, t'famen langer zyn als de derde, eenTriangel FKG tentahen.

Thr lt;? IVerk. Trekt na gevalle de oneyndigc DE, j a ftiyddaaraf D Fao A, ,FG ooB, GHcx)C, dannbsp;b � bte �� befchryft uyt F en G als centrums, metde wyttenbsp;^ FDj GElaeCirkelsFDKjGHK, doorfayden*

Eerfte Boek. nbsp;nbsp;nbsp;2f

de malkander in K, ene trekt de rechte K F, K G ^ foo is F K G de begeerde Triangel.

Beto: DewyleFK d 00 F D e 00 A,en FCe00 13, ook GKdoo GHeoo C is, foo zyn de zyden des

PROPOSITIE,

eiefelve een rechtlinifchehoek^ GC fite maken , die een gegeven rechtUnifche- hoek D� F ge ly kjs.

'tlVerk. Neemt inde rechte DE, FE de punten JS� K en [ na gevalle , en a trekt de rechte KI, dan � ^

HewjS- In de G C H, K EI is de zyde G C �^ooKE, HCccoIE.HGcooIK, derhalvendenbsp;hoek GCH d 00 KEI (dat is DEF) dat te doen was. �

Soovan tvjee Triangels ABC.,DEFde twee zjyden AB, AC, gelykjjyn de twee zyden D �, D F,nbsp;maer de hoek,van de z.yden begrepen d�een Anbsp;grooter is als d*ander D,fo fal ookjie tegen overnbsp;[taande zyde B C grooter xyn als E /�.

Ber: Maakt'den hoek EDG� ooBACenDG^oo Fig DF, enctrektEG, FG ; cndewyleditkangeval aij.tnbsp;lendat EG boven, in en onder EF komtgt; zo lal^^-.lnbsp;ikdrie gevallen bewyfen.

I, Geval,

Bew: In de A B C, E D G is D E d co �'I B, d, gegevl B fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DG

2$ E U C L I D I S,

t�t w�k. f4A' �

h 9 gem.

5bov.

bcw.

kl9 I

Dg 57-I09 gem. ij gein-

D G � 00 A G de hoek E D G oo A, daarom E G enindeADFG is�Gcoo DF, diesnbsp;d� hoek D F G g oo D G F , vervolgens de hoeknbsp;DFG liCquot;al5EGF en EFG ishcals DFG,nbsp;derhalven EFG Cquot; als EG F, en daarom EGnbsp;(idatis BG j als EF.

z. Geval.

Bew. Dewyle E G oo B G bewefen is, E G t Er*, als E F is, foo i volgt dat B C Cquot; als E F is.

3. Geval.

Subf: D G m 00 D F reS EG (�datis EG) fCTals EF; dattenbsp;� j gem. bewyfen was,

PROPOSITIE 2^

F/�-S9. SoovAn twee Triangels A B.C, DE F de twee ' hoekzyden A B A C geljk yn de tweehoek.nbsp;zijden DE., DE., maar de z.y de BC langernbsp;is als E F: dan [al mede de hoek A grooternbsp;zjyn dan den hoek^D y die vandefe/vehoek zynbsp;den begrepen zyn.

� - � nbsp;nbsp;nbsp;tegen �t voorftel, derhalven de hoek A Cquot; als D, dat

Eerjle Boek.

PROPOSITIE i6.

Seo twee Triangels ABC^T)EPelks eene z.yde Fig: Co, EF , en hoeken op defelve B ,^C ,,en E ,yE F D :

D E gelyk. hebben : dan fallen mede d'ander zpyden d'een d'ander , als ook_ de derde hoekennbsp;A en D geljk, 27�.

r. Stelling.

Ber: IndienT)� niet 00 A 13 is, ibolaatDEt^ als AB 'cyn, en�fnyd daar at EG oo AB, en trekt GK

Daiifalin A�ABC, GFF, dezyde GE ^ [,er �=00 AB, EF^ooBCdchoek: Ed0015 zyn, der-dgeijev.nbsp;Ealvendehoek EFGe^OjC d oo EF�D, dat^�niet'4:nbsp;wefen kan, daarom DE niet CTquot; als AB, en op de-felvewyfe �E niet^als A B. Ergo DE oo AB,nbsp;en vervolgens D F c co A C de hoek D e 00 A , datnbsp;te bewyfen was-

2. Stelling.

Ber. Soo E F nier 00 B C is, foo laat E F C- B C 2.yn, en neem E H g co BC, en trekt DH. g 5; i.

Bew.� Dewylfin de A^ D H E, A B C de zyde E H gt; co BC 3 D F k 00 'V15 de hoek � k 00 Bis, fainbsp;dehoekEH iDcx) C k 00 EF'D zyn, dat m niet we-1 4: 1nbsp;fenkan, derhalvtn EF niet C~ BC, en op defelve�

Wyfe EF met BC, dies EF 00BC,'oyerfulks ook D F 00 A C, en de hoek � Egt; F 00 A, dat tenbsp;bcwyi�n was.

PROPOSITIE. 27.

i8 E U C L I D I S.

3 3 beg. Ber; Soo niet A B �== C D is, Zo moeten dc-!�*?g^-felve� verlengtzynde3 eyndelyktelgt;famen komen,

� dat isftelinl, makende den c AG H 1, i y(, I Bew: Dan is de uytwendige hoek A G H ^ CT^nbsp;e�t voot- als de inwendige D H G, dat e ftrydig is: daaromnbsp;j. kunnen A B , CD verlengt zynde niet t�famennbsp;' � komen, derhalven defelve f parallel zyn, dat te be�nbsp;wyzen was.

PROPOSITIE z8.

fig, 6zi Sao een rechte Uni� E F, op twee rechte linten A By CD valt y alfodat de uytwendige hoek AGEnbsp;gelyk ii fyn tegen overfiaande inweMige GHC :nbsp;ofte dat beyde-inwendige hoeken vp defelve z,ydenbsp;AG Hy GHC gel^k zyn twee rechte, da�nbsp;fallen de linien A B y CD parallel zyn.

I. Stelling.

Bevj: Dewyl de hotk BGHsioo'AGE en C H Ci b oo A . ( E is, zoo isGHCi cco BGH,nbsp;daarom AB d--=s= DG is, dat te bewyfen was.

A H-(- jHCe 00 i regtefc�BGH-f-/'GH fubl AGHnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00 ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AGH

PRO-

PROPOSITIE 29;

Soo een rechte linie EF, op 'twee rechte parallelle linen AB\ CD valt. fi ftll�nde verw�jjeldxnbsp;hoeken D H G'^ A G ti g�ijk z.yn , ende deHnbsp;uitwendig�n AGE g�lpk'met J)n oi/erftaandcnbsp;inwendige C tl E aan defelve zyde �, alsmedenbsp;�bejde de inwendige op eene zyde AGH^ CHGnbsp;gelj/k met twee rechte.

Bev): Soodehoek AGH oiet�o DHGis, zo xal defelve CTquot; of quot;73 zynjftelle A G H C~ als D H G

maar AGH B G H b 00 � rechte} derha�l Ven D H G �Ji B G H t als 2 rechte j eti y�rvol c i ga*.-^ens A B, G t) ^ niet parallel zyn, tegen v�or '�l'*�S�^nbsp;ftel, daarom kan de hoek A G H niet �T� als D H G � 3d*�*nbsp;zyn, en op defelve wyze ook met '~J) derhalvennbsp;A G H 00 D H G, dat te bewyzen was.

AGE -f. AGHe 001 rechte�00CHE4aDHEzyn �i*. i fubf:AGHnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;foonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DHE fiftd*

Bew: De hoek AGE-J-AGHcoi rechte zyn gt; h 1 fteL ^nAGEl�OoCHE derhalven AGti-J-CHE��igem.nbsp;30 a rechte, dat te bewyzen was.

EU C L 1 � I S.

Anders.

Als men deeze Propofuie. van achteren af de-inonftreert, komt het korter aldus:.

Het blykt dat de 'hoek A G H -f- C H G. oo z a 12 �mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 anders zouden A B gt; CD� niet

� parallel zyn tegen�tg�geven. � b 15. I. Ook is d� hoek D HG-pi C H'G b 30 2 rechte,nbsp;c 3 getn. derhalven DHGcoo AGh^joBGE,. zynde al-d 15. I. 2,00 de uytwendige B G E 00 de inwendige O Gnbsp;dat te bewyzen was.;

Gevolg. � �

Hier uyt volgt dat een parallogram AC hebben� de de eene hoek A recht i een rechthoekig paral-l�gramis.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:

^ Want A -i- B* co i rechte,, derhalven, ^Is A b) gera. reet�is, zal Blgt; ook recht zyn, en op dezelve wyzenbsp;zyn ook D en G recht.

i* n O p � s 11 i � 30.

tig. tfy. Soo twee rechte linien AB, CD tot een felfde EF parallel z.yn, die z.yn ook onder malkander parallel.

Bfw: Om dat A B b s:;=i E F is, Zoo is de hoek. AGI c 00 EHI, en om dat CDb s= E F is, zoonbsp;is de hoek E H l lt;= ao D l G 3 derhalven de hoeknbsp;AGN X) DIG, en daarom ook AB= lt;==3CDnbsp;is, dat te bewvzen was.�'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

D�or een gegeven puilt 'A, een rechte E F te trek^ kfu, parallel meteen 'ander rechte linie B C.

�t Werk- tjyt �t punt A tot de gegeven� B C, trekt na gevallen de rechte A D, op dezelve in �tnbsp;Punt A � maakt den h��k' D A E OO A D C ^ en k*�nnbsp;E A b voortgecrokkeri tcrt�Pj isEF = BC.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Betu�, Otn dat de hoek DAEcooADC is,c'tweik; daarom is E F d ca B C j dat te doe� was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d 17. i.

^analleTriangels AB C eenezyde B Cverlengt ^��-^7-Kjnde^ is denuytwehdigehoek^ ACD even feo groot als beyde tegen overftaande inwendigenbsp;hoekennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ende de drie inwendige hoeken

k�mt A 4- Bdoo A CE �CD e 30 A C D dat te be; amp;c.nbsp;i. B eiu: De hpek A-f*l B^oo A C D.

31 E U e L I D I S.

gels Zyn t�famen gelyk de (�riehoeken van alle recht-linifche Triangejs: en daarom nbsp;nbsp;nbsp;: � �

, 2. Sob in een Triangel de twee hoeken (of be-ibnder of t�famen) gelyk 2,yn aan twee-hoeken (of bez-onder of t�lameny eens anderen Triangels; zoonbsp;is ook d�overige van d�eene, gelyk d�bvcrige hoeknbsp;van d�andere : insgelyks -zoo twee Triangels elksnbsp;eene hoek gelyk hebben,,' Zo� zal ook de fotn dernbsp;twee overige hoeken elkander gelyk weezen-

3. nbsp;nbsp;nbsp;Soo in een Triangel,de eene hoek recht is,nbsp;Zoo fallen de andere t�famen een rechte.uytmakeninbsp;Ook de hoek die gelyk is met de twee oyerige t�famen is recht.

4. nbsp;nbsp;nbsp;Soo in eert gelykbeenjge Triangel,;de hoeknbsp;die van gelykezyden begrepen is, recht ^; zo zullen de hpeken op den Balls half recht iyrt'. quot;

f. /Ydfe'r hoek eens gelykzydigen �'Triangels maakt | van een rechte; v/ant j van irechteoofnbsp;lechteis.

Byvoegfel.

Door deeze propofitie is bekent, hoe veel rechte hoeken, zoo de inwendige als uytwendige hoekennbsp;van een ycgelyk rechtlinilche figuur uytmaken, ciinbsp;Zulks door de twee volgende vertoogen verklaartnbsp;wert.

�erjie F�rtoog,

At de hoeken van eens yegelyks r�ctjtlinifch� jiguur^ maken [amen tweemaal z.00 veel rechtenbsp;uyt als de Figuur zyden heeft y minyitr.

Eerjie Boek,

� V li^erk. Trekt-uyc eenig punt in de �guur , ^ rechte linien�toc alle deflelts hoeken j dewelke de-zelve figuur deelt in zoo veel 1'nangels als die zy-den heeft: dewyl nu elke'l�riang ei twee rechte hoeken j begryp�ngt;' zoo ZA�llen zy alle te famcn iw�e-^j^.jnbsp;maal ilgt;o veel rechte uytmakeni als.de figuur zy-den heelt: maar de hoeken om �t geftelde punt,nbsp;zynl�ge}yk vier rechte j derhalven zoo men van de^^ ^ ,nbsp;hoeken aller Triangels weg neemt de hoeken om 'tnbsp;gerteldepunt, zoo fullen de overige hoeken�' (denbsp;welke de hoeken des tiguurs zyn) tweemaal zoo ,veelnbsp;rechte cuyt maken, als de figuur zydcn heeft, mlnnbsp;vier, dat te bewyzen was.

' Hier van daan hebben all� rechclihifche figuuren van een ioorte de ibmme haarder hoeken gelyk.

' Want elke inwendige hoek eens figuurs, d maakt met zyne uytwendige twee rechte: d�rhalv�halle d�nbsp;inwendige te famen , met all� de �yfwendige te fa-men, tweemaal zoo veel rechte als' de figuur zyderinbsp;heeft: maar door�t voorgaande vertoog zyn alle denbsp;inwendige hoeken t� famen met vier rechte tweemaal foo veel I echte als de figuur zyden heeft, �nnbsp;daarom zyn de uytwendige hoeken t�famea g�lyknbsp;vier'rechtc, dat te bewyien was,

Gevolg.

Alle rechtlinifche figuren zyn de fotnme haarder tiytwendige hoeken gelyk.

PROPOSITIE. 3^.

De rechte linien AC, BD , welke tweegelyke parallel linien AB, CD t\amen voegen, zynnbsp;medegeljk^en parallel,

Ber: V an B tot C � trekt de rechte B C.

Bew: In de A B C, D C B is de hoek ABC 00 D C B (om dat A B c C D is} en A Bnbsp;c 00 C D 3 de 2,yde B C gemeen, derhalven is A Gnbsp;d 00 B D, de hoek ACBdoo DBG, en daaromnbsp;ook A C e c= B D gt; dat te bewyzen was.

PROPOSITIE 34.

Van alle Barallelogrammen ABDC,^ zyn de teg�n^ overftaande zyden AB, CD en AC,, BD alsnbsp;ookjde hoeken A,, D en A BD, A CD geljkjnbsp;ende werd van den Diameter (of Diagonaal)nbsp;gedeelt in tweegelyke deelen,

Bew: In de A 8 C, D C B is de hoek ABC � 00 D C B (om dat A B b (== C D is) en de hoeknbsp;ACBaooDBC (om dat A C b ==gt; D B is) en denbsp;zyde B C is gemeen, derhalven AB c 00 CD, AGnbsp;c 00 B D de hoek A c 00 D, en vervolgens de Di,nbsp;ABGdcoADGB: Wydersdewyle

Eerfiz Boek.

Byvoeg.

Alle vierzydige figuren A B D C ^ 'hebbende de ?*'� ^^gen over] taande zyden geljbj, z.yn,Par aikidonbsp;grammen.

Ue-w, Want in de A� A BC ) t)CB is ABi Re�? *0o DC, AC aooBUenBG gemeen, daarom \nbsp;dehoek ABCboo PC�, daarom ABc=.CD; ^nbsp;ookdehoek ACB 1gt; X PBC, daarotn ACc D;nbsp;derhalven ABDC een [HA is, dat te bewyxen was.

Dier ujt volgt hoe men gemahfeljk door eefi gegevenpHnt C een rechte CD kan treckehy dienbsp;parallel thet eengegeve rechte linie AB ii.

Neemt in AB na gevallen�t punt E, en trekt liyt Pig. �ji E en C als Centrum op een zekere wytte E F, C Dnbsp;twee Cirkel-bogeri, eii vorders uyt F als Centrumnbsp;met de wytte E C, de boog G D die ftydt C D itinbsp;D, de getrockene C D fal ==: met A B zyn J wantnbsp;E F D C een CA is, gelyk getoont is.

Alle Parallelogrammen ABC D ^ EBC F die op P��. 75� �enen Bafis BC entitfehentwee Parallel linie�

Op de 1. Figuur.

. Bevi. Dewyle de zyde AD�xB C� O� EF isi daarom van de A� B A D, C E F de zyde A D X .... 4 �nbsp;pi AB a X DCdehoek BADb X CEF is,||^;i-derhalve�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ck quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Se

E U C L I D I S.

deABADcgoACEF cnA B ECnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A BEG addeertf

komtiC7~ABGL� 00 EBGjf, dat te be-wyfen wis.

Op Figuur 2.

Beiu: De z.yde A D c x B C � 00 EF ^is, hier vari fubft:degemeene E Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ED

relt AE nbsp;nbsp;nbsp;pbnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DF, derhalveri

is in de ABE, � C F de zyde A E 06 D F, A c X E)C de hoek A g xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dienvolgens

deAABEhxADQFis, add.Trap; EBCDcoEBCD

komt �Z7 A B C D i xgt; CZJ � B C F j dat tc bewyfea was.

Op Figuur 3.

�ew: Wederom A F) k B C k 00 E F is, addeerc �Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ED

komc AE 1� DF, derhalven isindeA; ABE,DCF dezyde-A E zu D'F,A Bnbsp;k 33 D C de hoek A � oa C D F, dies iSnbsp;deAAH� njoADCFnbsp;fubft.ADGE ;tiAFgt;GEnbsp;red; Trap: A J3 G D � 3gt; Trap; E G C Fnbsp;addeert A BGC x) ABGCnbsp;komc 4�7 A Be Dp xgt; A7 E B C F , dat tcnbsp;bewyl'cn was.

Byvoeg,

Zoo de zyde A R van bet rechthoekig Parallelo-gfatri A B CP perpendiculaar bewoogen werd door

de geheele BC, ofte BC door de geheele A�? 7^, zoo xal de inhoud Jes parallelograms ABCD beko-men Werden. Hier van zeyd men eeh rechthoek ge*nbsp;iriaakt te werden uyt de trekking of multiplicerennbsp;van twee rakende zyden.

^Ishyexempel. BC 3 voet, en AB 4 voet zyn* de, zoo trekt of multipliceert 3 in 4, zal komennbsp;12 vierkante voeten voor d� inhoud des rechtshoeks.

Sulks geltelr iyride, zo bekomt men door dit vertoog de afmeting van yder Parallelogram � B C F.

Waiit de inhoud komt voort uyt de hoogte BI, pjg. yj. getrocken op de bails BC; dewyl de inhoud desnbsp;rechthoeks B C K I gelyk is�t Parallelogram h BCFnbsp;dat gemaakt wert uyt BI op BC, derhalvenamp;c,

PROPOSITIE 56.

AlleVarallelogrammen ABCD ^ EFGH die op Flg.�;6, geljfks Bafts BCFG , en tnjfchen dez.elve Parallel linten AH \ BG Jlaan.^ xyngelyk^

Betvys. Dewyle B C b .to F G c to H is, 7,00 js B C H E een d /yy, d�rhalven fty ABCD* rod3i.iennbsp;CZ7 E BCHca)�r7.�FGH, dat te bewyfen was.

PROPOSITIE J7.

Alle Triangels A B Cy DB C die opeenen Baps 77-BCy en tuffchen twee Parallelle linien BC,EF ft aan y zyngelyk.

e ,I die � CO 7,yn , en A A B C d co * �=7 E H C A. ooi? d 54. I ^ DBG lt;ioo �17 DBCF is , foo is A ABCnbsp;e 7 gem, e 30 A D B C , dat te bewyfen was.

PROPOSITIE 38.

7h AlleTrianiels ABC, D EF die op gelyke Bafis, B C^EFenttiJJchentweeFaralldlinienG D ,nbsp;SF [taan, ^yngelyk.

ej?. ten Bew: Aangeiien GBC A , HEFD gelyke c 55d.f. �|^menxyn,en A ABC dcx)-;�I7GBCA3A �EF

By'uoeg,,

Soo de Bafis B C C� als Ei F is , fb is A A B C ook cr� als A E) E F , en als E F , zo is ggnbsp;� 'ABC'ZlalsA E)EF.

PROPOSITIE 39.

Xjg.-jP,. VtgdykeTriatigelen ABC, VBCdie op een Bags BC ftmn, K.yn op dezelve zyde tujjchen tweenbsp;, F^rallel Union B C ^ A D.

Ber- So AD niet =;= BC is , zoo moet de Es== linie onder of boven A D vallen gt; rtelle defelvenbsp;b�ven A D 3 zynde A E :== H C , ontmoetendenbsp;de verlengde B D in E 3 cn�trek C E.

Eerjie Boek, nbsp;nbsp;nbsp;39

kan 5 daarom kan de ==5 linie niet boven A D vallen, en op dezelve wyze ook niet onder, derhal*nbsp;ven A D ^B C 5 dat te bewyfen was,

PROPOSITIE 40.

X^sggly]^ Trimgelen A BC^ DE Fdie op geljhe tig. 8�, Ba fis B CEF ft aan, zyn op dez.dve zydenbsp;' ttijj'chen twee Parallel linten AD, B F.

Bereyd: Soo AD niet �= BF is, zo laat/t zyn AG, vallende boven AD, die de verlengdenbsp;ed ontmoetin G, en�getrocken F G.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f

Beu,: Dewyl A G == B F is , zoo is de G E F too fy ABC �i 00 A D E F, dat e niet welen d gev. ,nbsp;kan , derhal ven A G met =s B F, en op dezelve� 9 gquot;�*

PROPOSITIE. 41.

.Zoo een Parallelogram A B CD, en een Triangel EBC, op eenen Bafis BC, en tufjchentweenbsp;Parallel Hnien AE ^ BC ftaan , z.o is hetnbsp;Parallelogram ABCD dobbel teg�n den TriaUmnbsp;gel LBC.

Bevj. DewyledeA ABCbooA EBCis, is �t z=7 A BCD c o� i A. ABC d oo a A E6C , dat d 6 g�m.nbsp;te bewylen was.

Byvoeg.

Hier uyt bekomt men fcn inbond eenes Triarw gels E B C; want gelyk d� inhoud van een Parallelo-C 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gram

40 E U C L I D I S.

grain ABCD bekotnerj werd, door het rau�tipJi-ceren der hoogte mee de bafis: zo werd de inho�d van een T riangel bekomen , door het multiplicercninbsp;der hoogte met de halve bafis, of de balis met denbsp;halve hoogte : geiyk indien de bafis BC is H , ennbsp;de hoogte 7, zo is de mhotid des Triangels B C E z8.

PROPOSITIE 41.

.gegeven Triangel ABC , hebbende een hoek C FE'ygelyk^eengegeeven rechtlinifche hoek �),

er^.'Uyt Aatrektderechte AG �!=^'BG, b \c: � dan igt; deelt B (J in E, dat B F OD F G is, en c maakt,nbsp;e ij. I den hoek CF � 00 D, uyt C� trekt CG ^ F E,nbsp;zo is E F G G �t begeerde.

Bevjys, i)e Es ABF is exA A FC, daarom A ABC oozAAF'CfpoA7EFCG, h�bbende de h�ck G F E g 00 U, dat te bewyfen was. ,,

PROPOSITIE 43.

Fig.%1. In alle Parallelogrammen ABCD , %jndefnpple-mentenBG, DG, die om den Diameter AC ftaan malkander geljk^ ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

* en A AE G A G i C * oo A A H G -f-A GFG

reft fupp!., B G h X fuppl. D G, dat te be

Etrfie Boek.

propositie 44.

� F h te maken.,geijk een gegeven triangel hel'hende een h(iek._geiykjee\tgegevenrechtlim'nbsp;jctjen hoek Oi 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

'tU'�rk. * Maak�t egt FD oo^Balzoj datdea4i. j-, Foek G FE 00 C is, gt; verlengt u F tot H, daibzbeg�,nbsp;l'i bi d�',A IS, uycHctrekt HIi== FE, diede^ |nbsp;verlengde DE oiiTmoetin I , ddanuyt I door F,ai begVnbsp;de rechte 1 K die ontmoet de verlengde D G in K,nbsp;uyc K c trekt H L gt;t-�, G H, dewelke .E E', 1 Hnbsp;verlengt zynde,' ontmoet in M en L, dan is F HLMnbsp;het begeerde .

Bew. Want F H e 00 A is, en CD. F L bquot;oo CD F D e 00 A E , hebbende den hoek H F M g 00 f 45. , quot;nbsp;E E' G r OD G : dat tc doep was,.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, � g i j; r.

PROPOS IT IE

Op een gegeven rechte linie FG een Parallelogram Ftg.%^ F L-te maken geljft een gege ven rechtlinifcbenbsp;figttur ABC Dy hebbende een hoehj. geljk.eennbsp;gegeven rechtlinifcbe hoek^E.

'tlT'erk a Trekt de rechte A C , diedeeltdege* a t bcg. geven figuur in a As A C D, A C B, dan b maakt b At- i-1'G het �07 GI qoA ACD, hebbende dennbsp;hoek F 00 �, vorders verlengt F'I, en maakt op Hlnbsp;��het Cj FiK 00 A ACB, zois�c CD FE hetnbsp;hegeei de.

G � � nbsp;nbsp;nbsp;en .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

cn ^ F HccxiA ACD ook �Z7 IL c 00 A A C B _nbsp;komt 4Z7 F Ij ^00 %: A B C D dat te dpeix waamp;

Byvoeg,

* Rechtlinifche Figuur A, grooter is als deRechdi-nifche Figuur B: namentlyk als men op een lekere rechte Unie C !) maakt het 1gt;F oo A en D Hnbsp;SO B, xo xal �c �17 G F �t verichil xy rt dat A CTquot; isnbsp;als B.

au enj.i Werk. Uyt de eynden der linie als A en B � ftek de perpendicularengt; A D, BC yder 00 A Bgt;nbsp;en b trekt D C 5 xoxal A BC D hetbegeerdexyn.nbsp;c-twerk. Bewys. Dewyldehoek A -jr B c 00 2 rechtenbsp;d j8: 1.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' XO is A D d ==: .13 C, ook is A D e co A B lt;�

6 3}.! 00 BC: en daarom DCe r^pn �� A B, en vervolgens A B C D een gelykzydig CJ 3 maar de hoe-f34- * ken A en B xyn e regt, derhalven U en C ook f regt; g 2?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� diesis A BCD eengQ, datie maken was.

Op dezelve wyze, maakt men een rechthoekige vierhoek, die van twee gegeven rechte linien begrepen is.

Gevolg.

Fig.%%. Hieruytisopenbaars datdequadraten A F, CG d;e op gelyke linien AB3 CD ftaans gelyk xyn 3

Eerjie Boek. nbsp;nbsp;nbsp;43

1 nbsp;nbsp;nbsp;Steil. � l'rek de Diameter EB, H D.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ai kg,

zelve tr' ot zyn , ftelle LM als 1 K , en dnctne LT co I K, e;naaktdaarop�t ? IvS, dat'3 3-1nbsp;moeftaynfco �t ? 10 g 00�c n LQ., dat h met wenbsp;lenkan, daarom kan LM nietC~ als I Kzyn, en bew.nbsp;opdefelve LM niet��?.als IK, ergo LM CQ IK,E8quot;g-dat te bewylen was,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^

Gevolg.

Op dezelve wyze werd getoont, datalle gelykc rechthoekige Figuren de zyden d�een d�ander gelyknbsp;zyn.

PROPOSITIE 47.

Van alle rechthoekige Triangels A B C., iAtcjtta. Fig.zlt;). draatder tydeBC, over den rechten hoek'4nbsp;even z.o groot, als heyd.e qitadraten der anderenbsp;zydeAB,AC,

Bereyd. gt; Maakt op yderzyde des ABC cent 51. i ? gt;'als B E, B G i AI: dan ktreitt uyt A de rechte c: bc�nbsp;AK �=r BD. ookc AD, AE. CF, BI.

Bew: Dewyle de hoeken d B A C, � B A G recht e ber. zyn , daarom is GAG een f rechte linie, die ^*'3' ^

�^ooBD, FB'ooAt5, daaromisdeAFBCkoDA

AtiD;maariC:7 bG isF� 2 A FBC,eii iC7BKIl jo-i ni�gem. ^ AbD,derhalven�I7of ? bGmxj^ BK 1 , ,

op delelve wyle is ? AI ro cu CK n 2 n. 1 snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? BG -fquot;[5Xr^ 'oTFETdat te

bewyfen was.

Anders.

Fj(t oO �

^ nbsp;nbsp;nbsp;' De quadratenopyderzyde.geflelialsdefe Figuur

a4(;: t vertooiir,enbgetoog'enAD, AEenKLK=ECi.

b 1 beg. �f'z;;Dewylezz7CK�^.xgt; 2 A� ACE^xQ Al ' enZI7 BK djo2A�AHDcl,Dn bG is

U 4I *

' Want de zyde B D ontthoet FG , en de zydc DE de verlengde IH, het welke daar uyt blykt,nbsp;dat alle de hoeken r, en/, even groot z^n, omdatnbsp;over al r -J- � een rechte hoek uytmaakt�j derhalvennbsp;de A ABC, omgekeert over �t puntB, g ftemcnbsp;g ^sstn-lyvereen met de A BF D; maar gekeert over �tpuncnbsp;C g Ibemt over een met den A C1 ��

By voeg.

Dit voortrcffelyk en zeer nuttig vertoog , verdient van derivinder Phhagoras�, het PithagorifcHe genaamt te worden: door behulp van dezelve, wertnbsp;de additie en fubftra�iie der Quadraten uytgewerkt,nbsp;waar toe de twee volgende Werkftukken gefteltnbsp;worden.

^ nbsp;nbsp;nbsp;I. Werkfiuk

�Neemt de rechte E F co A gt;. en t ftelt daar per- P'i- 9i. pendiculaar F G 00 B , en �trekt G E , zoo isQ M- 'nbsp;GEdaopGF-f-OEFe^QB D A.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Y.fquot;

, Vorders *� ftelt G H o� C perpendiculaar op GE.�ib�e-enctrekt.HE, zpoisQ HE*!� DGE-i-Q GH

Wederom H i 00 D b geftelc perpendiculaar op ld E. ene getrokken IE , zoo is? IEdoe ? FlEnbsp; pHIej�OA DB4'aC4-DD.

Gegeven twee t^aadraten , wiens tyden tyn A., Fig. yj B een te maken, dat z.00 groot is als V verfchil dernbsp;gegeveA.^B.

t I4�'erk. N��mt de �neyndige G Fj en �fnydtaj: i daar af C D 00 A , en D E cn B uyt D met de wyttenbsp;(1 b belchryft �t halfrond C G F , uyt E , c Heitnbsp;perpendiculaar E G, ftotende den Cirkel in G ; c ti jinbsp;2.00 is G E de zyde van �c begeerde ?.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.�'

BevjX Dewyle ? �Gcao ? D E4-? EG en f M drf. � G f ce CDg ro Aj ende. D E g ao b is j ^nbsp;zoobisQ AmnB pEG

E U C L I D I S.

P'i- 94- Bekent zynde twee zyden eens r'echthoeki^'en Tri�gt; angels ABC de derde te vinden.

Laat d� iydq A B zyn 8 , A C 6 voet derhal-ven is ? A B ? A Cao 64 quot;4-3600 l�o 00 13 BCgt; endaaromB CxiVicoopio.

Maar indien bekent is de zyd� BCioeriAB 8, fal ? BClt;�? A B 00100� 64 00 3633 ? ACzyn,nbsp;derhalven A C 30 y 36 30 6.

PROPOSITIE 48.

Big � 95- Zoo 't yuadraat eener zyde B C, eens Triangels A B C ^ gelykjs beyde de lyuadraten der andet�nbsp;zyde A B, AC ^ dan is de Triangel regthoekig.

Bevjys. Dewijle de A A D C c rechthoekig is i daarom ?DC�laonAD-|-QAC�no ? ABnbsp;-^?ACfoooBCA dies isDC g o� BCj derhalven hebben de A* CAB, CAD de xydennbsp;d�eend�andergelijkj en daarom de hoek CAB^aanbsp;C A D i O� een rechte, dat te bewijfen wa*.

TWEE=

TWEEDE boek!

Dejimikn.

1. Alle Parallelogrammen ABCD,begreepenvan fig,pg, twee rechte linten AB, AD, die een rechtennbsp;hoek bejluyten-.werden gefeyt rechthoeken tezynnbsp;Wanneer geftek werd de CZl B A, AD, ofkort-heyts halven , de ? BADcf BAxADj zoonbsp;betekent zulks de rechthoek begrepen van tweenbsp;rechte linien B A , A D die een rechten hoek begrynbsp;pen: ofte het gemultipliceerde van defelvc B A, AD.

X. Ift Ale Var alle logrAmmen A B CD ^ werf een p. ^ vandeParallelogrammen ^ welkeom denDia*nbsp;meter [laat, met hejde deJuplementen t'famen^nbsp;een Winkelhaak of Gnomon genaamt.

Als B F-f-F D-pA F (dat is H A1) is een Gnomon. OokiC:78F^/i:7Fnbsp;(datisGCE) iseenGnomon.

PROPOSITIE I.

Aeo van twee rechte linie AB ^CD^de eene AB Pig- 98.� gedeelt wert in zoo veel deelen AE^EF, FB alsnbsp;men begeert,dan z,ynde rechthoeken van de deelen AE ,E F, FB, en ongedeelde C D ,dfd-mengelyk den rechthoek heyder linien ABnbsp;her-, i Maakt van A B , en D C den CD A K: ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

zyn

48 EUCLTDIS. ,

^ j �zyni zoo�yn E H, F I�1 := AG , en daar�m E H . FI e no AG c Tgt; D C , en dienvolgeni isnbsp;11 def. i de f a A E , D C en EI de C3 F F , i J C,nbsp;00k F K. de CH F B, D C , welke ooe a kea g onbsp;S I.J s^iquot;* zyn A E de c a van A B, G, da: is bewijlen wa^.

Bjvoe^..

' De PropioGtien van die Boek konnen alle, exempt de 11 Prvptfitie, 00k ingeheele Rationale getallennbsp;gevonden werden.-waar van indeiezy AB iijdiegevnbsp;deelt AE f, EF3,enFB4enGD6, ende is 6 xnbsp;i-i(AK) coyi;, 6x�5-(AH) W305 dx 3 (E I)nbsp;a) 18 , en6.ar4 (FK) eo 14 gt; komt aifoo 30nbsp;i8-4- ^4 00 72.

Pig. 99- Soo eenrechielinie AB na begeerengedeelt.isA C, C S', dan zjpn de rechthoeken hegreepen van denbsp;linie A B ,enjde.r deel A C^CB Afarnengelyk^nbsp;het quadraat dergantfehe linie A B,

Ber. gt; Befchryft op A B�t Q A E, en uyt C gt; � b Itek den perpendiculaar G F.nbsp;fell-* Bevj: Dewyle ADcnoABcjoBE, en de hoe^nbsp;c tgt;M. ken A en � B.� recht zyn ; daarom A F-de a A C i-AH, eiiFBdecjBG, A BjWclketweeCD koneoonbsp;t� AE, dat is Q� a B zyn , dat te bewyicn is.

. Ingetalkn.

Propositie 3.

twee deelen AC �\ dan is den rechthoel^ '� isan de geheele AB, en een der deelen A C^nbsp;geljk^ den rechthoek der deelen AC ]y CB, met '$nbsp;quadraat van't eerfte gez^ejde deel AC.

, Ber. Van.AB, AC � maakt; de a AF, enM^.T.' �yt Cftelt de perpendiciilaar C �. ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;� *�

Bew: Pewyie de hoek C c OD A recht is, xoo is a ig;� r. CElt;is=AD!, en daarom C��oo AD c^) AC= H-' r.�nbsp;^ 00 DE, dies E A� een f ? op AC, en CFnbsp;degcr] GB, AC: maarCZIAEr^CDGFlishcjogljge^nbsp;p} AF, derhalven ? A.C O CB, AC icoj 'nbsp;deczil AB, AC, datt�bewyfenwas.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� ^S'� �

Laat iyh A B 8, gedeelt in A C y, en C R 3 en is ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y, dat is �t, ? A E Zf ? jj

Bo een rechte linie A B ^ nagevalleng�deelt wert ih twee deelen AC^ CB; dan z.yn de qaadratennbsp;der deelen A ByC B ymet f^eemaal den rechthoek der deelen AC y CB ^ ffamen gelyk �tnbsp;tydadraat der linie AB.

Ber. �p AB�befchryft�t ? AE, en trekt BD,�s 4* t neemt B H .00 B C, voorts d trekt H G s=� B A, ^ J ^eg.nbsp;eaCF=B�.

50 E � C L I D I S.

f 19:1. is 5 zo zyn de hoeken H, G en C f c� A recht, en ' g j4 en vervolgens zyn G F, C H g van de twee dee-h�i def X �iei� ii�ie, en A1, 1 E ^ tD^en van defelve de�-iij gcm.len, welke twee Dt^n en twee al�� t�fatnen i 09nbsp;P A B zyn, dat te bewyfen was�

Anders,

� Siet op de feltdcnbsp;Figuur,nbsp;a ber.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

b 4 gew 3gt; I

c 19: I d 31: Inbsp;e 6: I

f 34: I

I9dcfj I h I def- Xnbsp;i Mgem.

* 'Bezu: D�wyle A D � 00 A B, eri de hoek A �recht is, daarom de hoek A D B b half recht, ennbsp;de hoek DGl is c 00 A recht, dies is DIG ooknbsp;^'halfrecht, derhakenis G D* coGffooDFfQonbsp;A C, en daarom g G F �t p van *t deel A C: opnbsp;dezelve wyfe is C H �c ? van �t deel B G, en over*nbsp;fulks zyn AI, IE de oken van AC, C13 :nbsp;welke twee oken met de AC, CB ico zynnbsp;�c p op A B, dat te bewyfen was.

In getallen.

Gevolgen.

I. Hier uyt blykt dat de para�elogrammen, ftaan* de cm de diagonaal eens quadraats, quadraten zyn.

1. Alsook, dat de diagonaal eens quadraats def-felfs hoeken in tWe�n gelyk deelt.

'Tweede Boek.

Zo een rechte linie A B.gedeelt word ifi tweegelj- pi^ jd Ae deeleitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C B ^ en ook intweemgelyke

deelen AD, DB, dan is den rechthoek der ongeljks doelen A D ^ D Bniet �i ^nadraat ojgt;

Bereyd. Op de halve linie C B = hefchryft hef a 46. t ? C F � en b trekt de diagonaal B �, en uyt D 1gt; r tgt;eg.

= trekt DG5= CE, fnydende BE inl, vorders*^ door I cgecrocken HL == AB, ook ALe== BH.

, _ komt AI 4-. K G f o� C F , maar AI ts de , �t3 van A D enD Ih co BD, en KG isl' qC Drf,nbsp;opk is CF, i ? C B, derhalven de C3 A D, BD4; lehnbsp;�4� ? C D k 00 D C B, dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

In getallen. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

l*X nbsp;nbsp;nbsp;\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a r-v .r.-

EUCLIDIS.

PROPOSITIE

C B gedeelt wert, ende aan de z.elve rechtelyk noch een ander linie B D gevoegt wert, dan isnbsp;den rechthoek dergeheele AB en aan gevoegdenbsp;BD als eene linie AD en aan gevoegde BD met

V nbsp;nbsp;nbsp;quadraat der halve linie CB, en aan gevoeg�nbsp;deBD als eene linie CD.

Bereyd: Op de halve en bygevoegde, als CD i be-fchryft �t Q C E, en b trekc de diagonaal D F, en uyt 13, c trekt B G == DE, die fnyd Dt in f,nbsp;door I c trekt L K == A D ook A K -------- D E.

komt AJj -p H G f oo CE, maar H G gtgw4iggn CB, en AL deh t=) AD, BD, ookCEnbsp;h I def. z het i ? CD, derhalven de o AD, BD ? BC k 06nbsp;en I gcv. Q C D, da� te bewyzen was.

Laatzyn AB 6, en de bygevoegde BD 2gt; ioo is A D 8, en C D y, ook CB 3.nbsp;dan is 8 2, datisa A D, B D 16

Tlt;weede Boek. nbsp;nbsp;nbsp;fj

Gevolg.

dan is de rechthoek van de uyterfte BD en BD-f-AB met het quadraat van j AB t�iameq gelyk het gt; Quadraat der tniddelfte B D -f- ^ A B.

Zo ^en rechte linie AB naget^allen gedeelt wert Fig.�c^ in twee deden AC ^ CB ^ dan is 't quadraat vannbsp;degehede AB raet het quadraat van een dernbsp;deden Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweernaal den rech'thoekjier

Bereyd. Op A B a maakt �t Q A D, en h trekt ^ j de diagonaal B E, uyt C c getogen C H == B D, b i bej.nbsp;diefhyd BE in I, door 1� trekt L K == AB, f 31: rnbsp;Bevjys, Dewyle BI, lEd zyn, ennbsp;dea AB, BC 9 co �t C3 AK ?

Gevolg:

Hier van daan is het quadraat op het verfchil van tweelinien AB, BC: gclykaanbeydedequadraterinbsp;derfelver tnin tweemaal den rechthoek van defelve.nbsp;Want ? AB Hh ? BC � r� 2 okai AB BC ACnbsp;(ubft: 2 CD^cn A B, B C ao i pken A B, B C.nbsp;refto AlIXTq BC � 2 a AB,BCao D^Coo ?nbsp;AB � BC.

PROPOSITIE 8.

rechthoek^van degeheele linie AB^ ende een der deelen B C met het cjuadraat des andere deelsnbsp;A C^geljkhet quadraat dergeheele linie AB jnbsp;en eerfigenomen deel BC als een linie' AD.

f I gcv. nbsp;nbsp;nbsp;� W ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ i - I_j T ^7

4: ^ en B O g cx) B C is, daarom�t ? C Qh 00 �t ? BE

� Al?, BC* oO�tCD OH

Tweede Boek, In getallen.

PROPOSITIE 9.

Zo een rechte linie AB gedeelt wort in tweegelyke deelen A�^ CB^ en in twee ongelyk^ �^D, DB,nbsp;dan ayn de yuadira^ten der qngelyke deelen AD,

DB, dfamen dubbelt i/an 't quadraat der halve linie A C ytnhet quadrant CD �tverfchil dernbsp;ongelyke deelen AD^ DB.

Ber. Uyt�r midden'G, perpendiculaarop A * ftelt G E' co C A, en b trekt A E, BE, uyt D b' i bcg:nbsp;trekt k D F t=s=s CE, ontmoetende B � in F, dan c 51! 1nbsp;*FG�=s=�AB, en dec rechte A F.

Bew: Dewyle CE d 00 CAcoo CBis, daarom d bet: de hoek C E A f op C A E cn C E B f co B is, xy n ^nbsp;de (om dat C d recht) yder g half recht', en ver- g 4g�v.nbsp;volgens A E B een h rechte hoek: en om dat D F 52, tnbsp;d e== CE, G F d c�~-s3 A B is, daarom de hoeken ^ ^gemunbsp;D en Gi 00 Gd recht, enalfooDFB, G F E yder i i?-. tnbsp;k halt recht, dat is 00de hoek DBF ofG EF bewe- ^ 1^*' *nbsp;fen, derhalven DFlooDBenEGlooGFmoOn,!^.,nbsp;CD; vordersi�

E U C L � D l S.

? AC aCEnoon AEha�za AC S'quot; dies is O AE ? EFigt;oo z ? AC-f-zaCDnbsp;ookisn AK-f- ? EFnoon AF�3oa AD4-anbsp;DF (? D B) d�rhalveu DAD ClDbojaz ?nbsp;o I gein. A C i Q C D, dat te bewyfen was.

In getallen.

Zyn de linie A B lo, AD 7, en PB 3 , de helft A C of C B 7, ishet verfchil C D 2.

P R O P Q S I T I E 10.

Fig.�oj Zo een rechte Linie A B gedeeltwertintwee ge-lyke deelen AC, CB, inde aan defelve recht gevoegt wert een ander rechte linie BD, dan isnbsp;^uadraat van degebeele A B en aangevoegdenbsp;BD als eene linie AD met V (juadraat der aangevoegde BD, t^famen dubbelt van 't cjuadraatnbsp;der halve linie AC., miCt quadraat der halvenbsp;C B. en aangevoelde BDali eene linie CD. '

Ber Van CD, AC� maakt den a C D F G, en b trekt A G, G B gt; dan c verlengt F D, G B, t�tnbsp;datfe malkander ontmoeten als in E, en k trekt A E.

B^w.Dewyle GC d 00 AC* 00 CB en hoek Cdregt is, daarom de hoeken C G A, C G B yder f halfnbsp;f 4gev. j recht, en overfulks AGE een g rechte hoek: o�k

xyn

Boek. nbsp;nbsp;nbsp;5/

�yn de hoqk�ft C G F, F �n D d recht; diqs zyn jj, h�GF, iGEF eniEBDyderhalfrechtj v�rvol-i^i. tnbsp;gensEFkooGF'ooGD, eoEDkooDB. Wy-fenbsp;dersis 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'� � V 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

D EF-I-? FG m 00 ? GEgco 2 ? CD ? yj �HAC-4-nCGro cb ? AGg cb 2 ? AC 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1047.*

komtO GE-J-Cl AG gco2 ? CD-f-zaAC, ook is ? G E ? A'G m npQ A E m co ? AD -f-p DE (p.DB) derhalven Q A D-j- ? DB^OO2�igs�fnbsp;p C D -t� 2. ? A C, dat te b�wyfen was.

J^getallen.

n-...- Vquot; nbsp;nbsp;nbsp;............ . . V

PROPOSITIE II.

�lt;n rechte Unie A B te deelen in G, alz.o dat den f rechthoek van degehe�le AB en't eenedeelBGjnbsp;gelykjs 't quadraat van 't ander deel A G.

�/ ITerk. � Befchryft op A B het Q A C , en ^ ,g. ^ ^ deelt A D in tween gelyk iri E, dan lt;= trekt � B j b 10: inbsp;yorders E A d verlengt tot F, dat E F oo E B is, en lt;= i btg.nbsp;�p A F a maakt �t p. A H, zo is A H X B A jf E G.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'�'s-

Dy nbsp;nbsp;nbsp;n

E U C i;. I D I s.

Byvoeg. � :

Deze Prop'ofitie kan door geen Rationale getallen opgeloft werden; want daar kan geen getal ge-deelt werden dat het geheel met het eene deel ge-multipliceert zynde, net het quadtaat van �t ander deeluyt komt, ftwclk Eaclidts toont in de 6. vaqnbsp;�t 13 boek.

PROPOSITIE

fig. 109 wythoekige Triangels ABC is het quadraat de ayde AC.^over denwydenhoek^B.^groQternbsp;als beyde de quadraten op de andere z.ydeu AB.^nbsp;B C, tweemaal den rechthoel^belloten van eennbsp;der zyden AB die denwydetihoekypaken, opnbsp;wel^ als die verlengt wert,den perpendieulaarnbsp;CD valt, en van de uytwendig^ deel BD tus-fchen den wyden hoel^B enperpendiculaar CD.

Ber. Op A D en D C�befchryfc de A H, D E, en b trekt den diagonaal D F, uyt B lt;= trektnbsp;B G c== D H, die fnyd D F in 1, door I trektnbsp;KL = AD.

Pewyle LG, BKdQt�n jryn van AB, e*;deV.a BD, z.00 zyn AI, IH e nkeo yan AB, BD:

Tweede Boek. nbsp;nbsp;nbsp;S9

�OkisD ACfoO�c ? AH -f. �t nDE 7, , , f4y;x eng BCfoo�tg BjC-f-�tQPE $quot;��

reftQ AC � ? BC� ? Abgoo �tea Al-f-'tep J H c� 2 C3��=quot; AB, BDj dat te bewyfen was.nbsp;Byvoeg,

Hier uyt blykt, als de dne zyden eens plomphoe-kigen Triangels ABC bekent zyn; dat ligtelyk kan gcivqnden werden het deel B D tuffehen denbsp;perpendiculaar CD, en de plompen hoek B, ennbsp;ookdeperpendiculaar CD 2.e]ver.

---^

divid.� A R j) �y - voor B D , waar mede men de perpend: CD vind door 47: i.

propositie 13.

Inalle fcherphoekige Triangelen A B C is 't qua-draat der z.yde A C over den feherpen hoek B ^ nbsp;nbsp;nbsp;�

l^ejnder als bejde de quadraten der andere zjy-den AB^ BC^ tweemaal den rechthoek^ van een der Zjden AB welke den fcherpen hoek maakt ^nbsp;ep welke den perpendfcttlaar C D valt, en hetnbsp;deel DB, tujfchendsperpendiculaar CD, ennbsp;fcherpen hoek^ B.

�o E � G L I D I S.

Ber: � Maakt op A B �t Q A H, en *gt; verlengt CD tot K, op KM a belchryft �t Q KM, ennbsp;neemt B E oo BD, ene trekt E F c=3 A B.

Bew: Om datHMdooHKeooBDbooBE is, daarom lyn AE, EX. van AB, BD,nbsp;en IGqAD, ook BI,HL BD.nbsp;verders is Q AB f co�c QIGnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�t Q Bit�1 Alt�ilH

Hier uy t blykt, dat als bekent is de drie zyden een? fcherphoekigen Triangels A13 0, hoe men hetnbsp;Deel DB, (tuflehen de perpendjculaar CD, ennbsp;den fcherpen hoek B) zal vinden, als mede de per-pendiculaar G D zelve.

PROPOSITIE 14I

' ao C B is 3 dan d deelt D F in iri twe�n gelyk in O, d l�. * uyt O met de wyt� OF � befchryft de halve^^l^K*nbsp;cirkel FID, �� BCF voort getrock�n ontmoetf - ,nbsp;defelve in I 3 opICfmaakt *t ? CH 3 dat is 00nbsp;de figuur A.

Bewys. Want 0 01 �4�riCOislgt;00nOI* 00. 47- * nOFkcoQDCF-l-nCO.

van beyde fubf: ? C O 00 Q C O. 46. 1 reltaDL;FiooDClmco�tnCH3 xnaarf,1'.^nbsp;�t�DCF is�co a DB moofig: A, ergom�twettnbsp;'� ? C H � 00 de fig. A 3 dat te do�n was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;��

DER-

DERDE BOEK.

Fig lit. i.Gelyke Cirkelen QABC, HDEF Tjjn gt; Wiens diameters gelijk zijn , ofte di�ns rechte liniennbsp;GA, H D van �t centrum G, H, tot de circum-ferentie gelijk zijn.

Fi^.115 i' �� rechte Unie A 13 werd gezeyd, den cirkel F E D te raken , welke van �t punt der rakingnbsp;verlengtzynd�, d�ti citkelniet doorfniid.

Fig, 114 3. De Cirkelen DAG, A B E , als ook F B Gj ABE \verden gezeyd malkander te raken:nbsp;welke al rakende malkander niet doorfnijden.nbsp;Maar den cirkel B F G fnijd den cirkel F G H.

4* De rechte linien FE, K L Werden gezeyd even wyd van �t centfo G te ftaan , wiens perpen-dicularen G H , G N uyt het centro G opnbsp;defelve gelijk zijn: Maar deeze B C is de wytftenbsp;�p welke de langfte perpendiculaar GI valt.

Fig.ixS g, Cirkelfluk (ABC) is een figuur begrepen van een rechte linie A C , ende een deel der cif-cumferentie des cirkels A B C.

6. Hoekjes Cirkel/iukf (GAB) is , welke begrepen is van een rechte linie A C, ende een deel der cirkels circumferentie A B.nbsp;j. Een hoek ABC werdt gefcydt in een Cirkel-ftuk (AB C) te ftaan , als beyde hoek zydennbsp;A B j C B uyt de eynden eener rech'ce linie

Maar als derechtC Hnien A B, B C die den hoek ABC maakcn , een deel A D C der Cir-cumi�rentie bcgrypen ? dan ftaar den hoeknbsp;A B G op �t zelve deel der Circumterende.nbsp;p. Deeler des Cirkels A DB is j een figuur, be-f/V.nbsp;grepen van twee halve Diamet�rs A D, D B quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

die een hoek A D B in �t Cehtro D mak�n, ende een deel der Circumterende A B.nbsp;lo. Geiykfarmige Cirkel/lukken ABC, DEF^;�ji'gnbsp;zyn welke gelyke hoeken (ABC, D E F)nbsp;hebben , ofte in welke de hoeken ABC,

PROPOSITIE i.

�f IVerk. a Trekt in den cirkel na gevallen de rech- a i beg i te A C; defelve t deelt in twe�n gelijk in E , door ,nbsp;Egetrocken de perpendiculaar DB , ftootendenbsp;Wederzyds den cirkel ; def� D B deelt mede lanbsp;tWe�n gelijkinF, dat fal het centrum des cirkels zyn.

Ber: Inc^en F�t centronietis, foo moet �t centrum buy ten B D zyn, genomen in C (want inB D kan�tnietzyn, omdat die over al buyten F onge-1'jk gedeeltwerd) ene trekt GA, GC, GE.

Bew; Dewijle G�tcentrum geftelt werd, foo is ^AciaoGG, en A E iseco EC , ende GE isa�silrfinbsp;^syde A� A G E , C G E gemeen , derhalven denbsp;G � A f 30 G ECg recht, maar F E C is�recht, g

64 EUCLID IS.

b It gem. is G E C 00 F E C, dat � niet wezen kani; daar-�9gera I nbsp;nbsp;nbsp;centrum niet in Gqf.eenig ander, punt

Gevolg.

Hier uyt volgt j fooi neen cirkel gt; een rechte linie B D een ander rechte linie A C in twe�n gelijk in'nbsp;r�chthoeken dqo.rfnijd, zoo fal �t centrum in de fny-dende linie B D zyn.

fig. 110 Seej. Jicht vind men �t centrum door �en winkelhaak 3 als men de hoek Q_in de omtrek paft: want, foo de rechte D E- die de punten D en E t�famennbsp;voegen '(in welke de zydeh d�s winkelhaaks QJ),nbsp;Q E de circumferens fnyden) in twe�n gelijk gedeeltnbsp;�.^erd in A 3 zoo is A �t'ccntrum gt; als blyict uyt denbsp;volgende 31�. del�s.

P R O P O S I T I E X .

F/ff.ii� ^0 Circumferentie eensCirkels CABtwee punten AenBna ge v Alen genomen werden ,nbsp;dan fal derechtelinieA B tot de fel-vegetrockeninbsp;binnen den Cirkel vallen^

Ber. Neemt in de rechte A13 , �a g�vallen het swbegii puntjD , en � trekt Uyt �t centrum C de rechtenbsp;CA3CD,CB,

�iSd�f,a Bew: Dewijl CA i� so CB 183 foo is de hoek c 16 V A1� 30 B. maar de hoek C D B is � C� als A 3 der-d I gem. halven, C D B ook lt;1CT als B 3 en daarom G B e CTtnbsp;e 19,1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;alf

Derde Boek:

(Sls C D ; maar C B komt niet verder als tot d� Circumferentiegt; ergo CD zoo ver niet, en vervolgens �t punt Da binnen den Cirkel: �pdezelvenbsp;toont men zulks met alle de punten in de rechttenbsp;A B, derhalven A B binneD den Cirkel, dat t�nbsp;bewyzen \Vas.

Gevolg.

Hier �yt biyktda.teenlechteiinieeenCi'rkeiraa-k�nde zonder doorfnyden, dezelve maar in ee�p'un� raakt. .

R � P � s i T i � gs

So in den Cirkel EABC een rechte^ linie BD door f ig.iH 't Centrum E gaande j een ander rechte A Cnbsp;die niet door �r Centrumgaat, in tweegelykenbsp;deelen in F deelt, fal dejelv� rechthoekig door-fnjden: ende foo hy die rechthoekig d'oorfnydt^nbsp;fal die in twee g�lyf� deelen gedeeli werden:

Ber. De�z� h��ft twee {tellingen op b�yde i tr�kt, j w' j, uyt �t Centrum E de rechte E A, E C.

1. Bbvj: Dewyl AF^cxjEC, E A �db E C en b't geget E F beyde A� E A F, E C F gemeen is, daarom d� ^nbsp;noek EFAdaoEFCen vervolgens � recht, dateiodeftinbsp;te bew: Was.

a. Bew. Om dat de hoeken in F f recht zyn j daat� f �tgeg; , om EF AgooEFC, enEAFisbooECF,

^0 E F is in beyde A� E A F, E F C gemeen; der kalven AFiooFC en vervolgens AC in twe�n, .g. j|nbsp;K^lyk gedeelt wert, dat te bewyzen was.

6^ EUCLIDIS*

Gevolg.

Hieruyt zo in een gelijkzijdige of gelijkbeenige Triangel een linie uyt de Tophoek velende op denbsp;balisj die in twe�n gelijk deelt gt; defelve is perpen-diculaar op de bafis: en in tegendeel foo dei�lvenbsp;perpendiculaar op de bafis valt j lbo deelt die de bafisnbsp;in twe�n gelyk'

PROPOSITIE 4.

CD niet door Centrum Egaande malkan' der doorfny den, dezelve werden niet in twe�nnbsp;gelyk gedeelt.]

Bewyt. Want lbo d�eene door �t centrum gaat, lbo blijkt het dat defelvamp;van de ander niet in twe�nnbsp;gelyk gedeelt werd, dewijle die niet door �t centrumnbsp;gaat volgens �t gegeven.

Soo geen van beyde door �t contrum ga-it, trekt dan uyt �t centrum E, de rechte E F, lbo fy nunbsp;beyde AB en C D in twe�n gelijk dborfneden wa-s 5; ? ren in F, fullen de hoeken E F B, E F D � rechtnbsp;b ligems zyn, en vervolgens^gelijk, dat r niet wefen kan, ennbsp;daarom CD, A13 niet in twe�n gelijk gedeelt, dat

Bereyd: Onderftelt dat E �t centrum beyde Cir-a ibeg: i kelen is, en a trektdCrechte EB, EDA.

. PROP O S I T I ^ 6.

�^q'twee Cirkelen MAC, B D E malkmder-m-.f^g.-^^ ivendiginBrankehf dez.elve hi.bben geen e'ettnbsp;Centrum F.

B(vjys. So'ofullenFD^ooFBf�doFAzyn, datb� c niet wefen kan, daarom geen een centrum, datnbsp;bewyfenwas, �

PROPOSITIE 7.

^00 in de Diameter A B eens Cirkels. eenig punt V��-iS'iJ G , buy ten 't. Centrum F gen�men wert, endsnbsp;van't z.elve tot de Circumferehtie getrokkennbsp;�werden eentge rechte linien CC G D ^ Q �nbsp;dan is,

t. GAdiedoor het Centrum F gaat, de langfte. i. De o'berigeGB, van den Diameter de kpgtfte,

3� Van de andere, GC de lams^fte, die naarder aan de geene is die door V Centrum gaat, alsnbsp;G D die verder tiaar af is.

4. Ende alleen twee G E ,G H aan ieder zyde deS Diameters een, z.uUen malkandergelykjLjn.

Ber: Uyt�tcentrumF, * trekt de rechte FC,,}{,{�. ^ D, FE enl� maakt de hoek H F H tD BFE. b ij. xnbsp;Bea;: i Steil. GF-f.FG (datisGA) istCr�iO��nbsp;��Is GG, dat te bewyien was.

68 EUCLIDIS.

g. Steil De A�GFCj GFD hebben G F ge-�T5lt;}ef.imeen, en FD goo FC, ook de hoek GFChcTquot; �9gsm.Ials GFD, derhalven bafis GCiCTquot;als GD, datnbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* te bewyfen was.

4Steil. DeA'FGE, FGH hebben FG ge-ktjdeCitneen FEkooFHdehoekEFGlooHFG, dies 1 *t wetk is' G E m 00 G H; en dat vorders geen ander G Dnbsp;* uyt �t punt G , gelyk G E ot G H kan zyn , isnbsp;getoont, dat te bewyfen was.

PROPOSITIE 8.

Fig. 117 2;oo van een punt A na gevallen buyten een Cirkel genomen, getrokks^ werden tot de Circuntfgmnbsp;rentte .^verfcheyde rechte linten Al^ AH.^ AG^nbsp;AF^ dan is.,

1. nbsp;nbsp;nbsp;Deeze A I die door �r Centrum K gaat, denbsp;langfte van die inwendig tot de Circumferentienbsp;komen.

2. nbsp;nbsp;nbsp;Ende van de andere is deeze AH die naardernbsp;aan die is^die door V Centrum gaat altjd langernbsp;als die AG AF die verder daar af zjin.

3. nbsp;nbsp;nbsp;Maar van die welke uitwendig tegen de Cirkelnbsp;vallen, is deeze AB de kprtfte, welke tuffjchennbsp;'tpunt A en de Diameter BI is.

Eti'ie van de andere is die geene AC ^ die naaraer aan de kortfte ftaat altjd korter als dienbsp;AD, A E dewelke verder daar af zjn.nbsp;y. Ook kannen maar twee derz.elver AC, AL ten

Derde Boe�, nbsp;nbsp;nbsp;69

Bereyd, Uy t �t centrum K �trekt de rechte K H ? a i beg. i KG, KF, KC, KD, KE, en Smaakt de hoek b x351nbsp;AKLsoAKC.

2 Steil. De As A K H A K G hebben A K e 15,def.i gemeen, K H * co K G, en de hoelc A K H ^ C� f ^ gcm,nbsp;als A K G, daarom de bal�s A H g CTquot; als A G, opnbsp;dezelve wyl� A G CT als A F, dat re bewyfcn was. *nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

reft A C nquot;13 als A D, opdelelVewyfe ^ ook A D quot;t3 als A E, dat te betyyfen was.

5�. Steil. De aKL , AKC hebben AK ' gemeen KIj�CO KC en de hoek AKLpco AKC oiydcf.inbsp;derhalven A L q oo AC, en met defe fyn geen an- p '* wak.nbsp;deregelyk, �t welk reeds getooni is, dat te bewyzen ^^nbsp;was.

PROPOSITIE 5gt;.

Ac, A K * niet gclyk, tegen �t voorftel, derhalven a 7J j Oioet A�t centrum zyn, dat te bewyfen was.

E 3 nbsp;nbsp;nbsp;PRO-

� U �C^i.'� l5 I S.

'rquot; nbsp;nbsp;nbsp;PRO P OSJ T 1 E IQ.

Fig.iiiEeH Cirkfl IAKB L do^rfnyt een Ander Cirkel IE K F L niet meer eilsin twee fu�tenk

her. Jndien �t wexetj kan., laat het fnyden indric a'i beg. I punten X, L, en �trekt de rechte IKj, KL,nbsp;b 'jo; i defelvc b deelt in twe�n gelyk iin M en N , uytdezenbsp;c II. I crtelt M,Cgt; perpendiculaarop IK, K

B�vj. IJewyl O.�t Centrum van beyde Cirkels i quot;c 11 welen lal, ,foonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;doorfnydende Cirkels het

^ zelve Centrum hebben, dateniet wezepkan ea daarom konnea ly in geen drie. punten malkandernbsp;doorfnydeu,. dat te bewyfea was. .

PROPOSITIE, it;

Big. Zoo twee Cirkels G AD E .^ p ABC Inwendig spatkander raken en de van d�eene centrum Fnbsp;tot d�ander G een rechte linie G F ge t^rok^n is_^nbsp;die vsriengt.zynde, komt in de retking.

ai bet; i nbsp;nbsp;nbsp;' i anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'. .b quot;'ili^

�7-5 G A'Titu.zyn (.als de rechte F GLgiDgdoor�rcen-trum F des grootften Cirkels ; zoozqu G.B als. G D zyn, dai d niet welen kan, daarom F 4 A ianbsp;d9gcm.5 jg jal^jngkomt, dattebewyfenwas.

PROPOSITIE Ii:

Bo twee Cirkels A C D BCE malkander Mjt~ fig, wendig raken, zo r^al de rechte linie A B vannbsp;d'eene Centrum A tot d'ander Bgetrok^n^doornbsp;de raking Cgaan.

Ber: Soo�t v/efen kon, laat de rechte A D E B de Cirkels buy ten de raking C, in de punten D ennbsp;E fnyden, en a trek A C, C B,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a i bee: i

Bew: Soo fou A D-f-E B (bdatis A C�|� C B) bijdefu c cquot; als A D E B zyn, dat d niet we/�n kan, en ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

PROPOSITIE 15.

Twee Cirkels CAF, BAD raken malkander tijt Fig iji of inwendig niet meer als in een punt A.

in de,punten A en H , zo � fal de rechte GB^ jj. (die de centtumst�famen voegt) wedeizyds verlengtnbsp;zynde vallen, zo wel in A als in H, dewyle der-baiven, C H b ar C A en B H c CT als C H is gt; zo b i jdefiinbsp;foude BA b ( B H) CT als C A zyn, dat c niet 9 geni:inbsp;wezen kan.

2. nbsp;nbsp;nbsp;Zb gezegt werd datze uytwendig raken in denbsp;punten E eri F gt; d fal de rechte getrockene E F in ^nbsp;beyde Cirkels zyn, die daarom malkander� fullen c 3 det; jnbsp;do�rfnyden, �t welk regens�tvoorft�l is gt; derhalvennbsp;delelve niet meer als in een punt in of uytwendignbsp;konnen raken, dat. te bewyfen was.

E U C L I D I S.

AC^BD even wyt van 't Centrum E : en zj) de rechte Hnien AC,, BD even wytVAn't centrumnbsp;zjn, dan zynfe gelyk.

a ii; I fier. Defe heeft twee flellingen, op beyde gt; trekt tiyt�c�entrum K deperpendicularen E F, �G, ennbsp;b I bcg. I b voorts A E, EB.

di2ez �� ^evj. Dewyle ApccoCF, BGcoo eygem.i DG.e'* A C d 00 BD isgt; daarom A F � 00 BG,nbsp;fijdcf.i ookis EAfoo EB, dcrhalven ? FEgoonEAnbsp;�DAFhxaEB�?BGgooa EG, endaw-h I gcm. om F E gt; 00 E G, dat te bewyfen was.nbsp;igeg;4�:i 2 dW/. DewylcEFk00EG, AEt3oBE,endenbsp;fi's�ef� hoeken F en G recht zyn, daarom p AF � op ?nbsp;tn faer:' �A~pEFoaop�B�? EG�00? GB,der-n 47:1 en halven AF p oo G B, en om dat AF q co FC, G Bnbsp;o fgein. 100 GD is, daarom ook AG' oo BD, dat te bewyfennbsp;p gev. 46; was.

B's-t-iA In een Cirkel G ABC is den Diameter AD de langUe linie: ende F E welke hem naarder zynnbsp;langer als B G die daar wyder af is.

a I beg. !� Steil. Ber. g Trekt de rechte G B, GC. bt5dcfi; Bevj. De Diameter AD (GBI* GC) is?nr*nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� als B C, dat te bewyfen was.

2. Steil. Ber. Laat de afftant GI C~ als G H zyn � e ,V; I en van G I d fnyd GN oO GH, dan door N-, e trektnbsp;(t beg: K L perpendici4aar op GI, f voorts, GK, G L.

Derh Boek.

Bcw. Om dat GK g oo GB en GL g GC,eisd?f.| en de hoek K G LCr als 13 GC is, daarom KJLquot;9g'w*nbsp;(dat gt; is F E) k ETquot; als B C, dat te bewyxen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\

PROPOSITIE t6.

2. nbsp;nbsp;nbsp;Ende tujfchen defelve^ en circumferentie ennbsp;kan geen andere rechte iinie A L komen,

3. nbsp;nbsp;nbsp;Ende de hoek, BAl des halven Cirkels is meer*nbsp;der als eenig rechtlinifche fcherfhaek BAL^

I Ber. Fleemt in A G h�t punt F na gevalle, en� trekt 13 F.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^aibfg

I. Dew. In de A BAF E de zyde BF (over � den rechten hoek A) b C� als de zyde E A (die over b 19: inbsp;den fcherpen hoek BF A ftaat) daarom dewyle B Anbsp;(datcis BG) den.ciikel raakt, zo moet BF ver-lt;?Udef:inbsp;der (raken, en alzoo 't punt F , als mede (om dezelve reden) alle andere punten in A C, en vervolgens de geheele AC buyten den Cirkel vallen,nbsp;dat te bewyfen was.

Bew. In de A BE A is de hoek E = CT als A, ^ daarom BAfc� als BE, eit�BA komt tot def jSrxnbsp;cirkel, derhalven BE daar binnen, en vervolgensnbsp;�cpunt E, ais ook de geheele A EL, dattebewynbsp;fcn was.

^4 E V C L I P I S.

grooter Zyo als de hoek der raking DAI; alsook dat alle fcherphoeken BAL-kleynder zyn als denbsp;hoekdesba'lfronts 13AI,^ttebewyfen\yas, ,

Cevolg.

Hier.uyt volght dat als een rechte linie, op het eynde des diameters eens Cirkels .perpendiculaarnbsp;geftelt is, die raakt den Cirkel.

P R O P O S I T l E 17.

H Werk. Van �t gegeven punt A tot �t cetitrum der Cirkels D * trekt A D inydende de gegevennbsp;Cirkel in B, uyt D met de wytte A D b befchryftnbsp;den Cirkel DAE �j Uyt Bc trekt BE perpendi-culaar op D A, die ontmoet den Cirkel O A E innbsp;E, a trekt dan DE, die fnyd D B C in C, voortsnbsp;- � van A door C getrocken de rechte AD, die raaktnbsp;den Cirkel DBC.

azjdef.i Bew. In de A�ADC, EBD isDBdooDC, D E d 00 D A, en de hoek D gemeen, derhalvennbsp;^ j de hoek ACD e oo EBD f recht, en daarom s raaktnbsp;ftweikCAC den Cirkel in C, dat te doen was.

r'quot;'quot; - P R o P � S I TI E. 18.

jig, 157 Ze eenrechte linie AB den Cirkfl FEDC raakt, endeHyt't Centrum tot het jrant der rakjng Enbsp;getro^n went de rechte FE^ defelvefalper-.nbsp;pendicalaar op de rakende A B z.yn.

foo �trelcf vy.t F de regtc F G pevpendicalaar op� **=� A-B:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- ^

Beju. Dewyl de bDekFSEbrechtgeftehwordj^ loo is F E G c minder als recht, en daarom F E d i;def�inbsp;(dat 4rs F�) �tr' als�'-Gf,' diffnret wefen kin ,e gt;8i:inbsp;fen Fufe fal-k 7.yn naet-^alk'punren die men in Enbsp;buyten E recht neemtj derhalven FE perpendi-culaar op AB, dat te bewyfeh was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: -

PRO POSITIE

^00 een rechte linie A B een Cirkel raakt, ende op Fig. i js de^L�ie vm'*t punt der raking C een perpendicu-laan C^^d�or-de� Cirkel^etrocken -word, innbsp;defelve CE is V Centrum des Cirkeh.

�� Eer. Indien �t Cenmim-hi�tto C-E is, fo� 4aat het daar buyten in F zyn, en �trekt uyt F�tot deaibeg.nbsp;raking C de rechte F C.

Bew. .Sdo.moft.dehoek FC B b recht zyn,' en b 18= 3 derhalven cqq ECB', dat 4'hi�t wefen kan, en foonbsp;�danig fa}�t.tpef alle punten buy ten CE'zyn, daar-bjn�t ceaitrum in C�gt; dat te bewijfen was.

P R O P O S I T I E ao.

In den Cirkel T) ABC ^ is den hoek^B DCin*t centrum, dubbelt niet den hoekJS AG aan denbsp;circUmferentie j als de (elve een deel B C dernbsp;eircumferentte voor Bafts hebben.

E L I DIS;

j I I. Geval. DeU7twendige hoek B DC is� oo de b 5t I en inwendige DAG 4*. D C A 00 I� i- 6 A C, dap tenbsp;� gem. bewyfen was.

d r Bew.- De uytwendige hoek BDE isd OoDA B e I ^quot;4-DBA epozDAB, insgelyks de hoek B D C30nbsp;2 D AC, en daarom in �t

3. nbsp;nbsp;nbsp;Geval de overige B D C f 00 2 B A G j dat tenbsp;bewyfen was..

P R O P O S I T

b xot } de hoek 2DAClgt;camp;DECbp02DBCgt; derhalven c 6 gem. DACeooDBC, dat bewyzen was.

2, nbsp;nbsp;nbsp;Geval. Soo het Cirkel-Ituk niet grooter is dannbsp;een halve Cirkel.

j j fom der hoeken des A? B C F, neem van beyde weg f I geval A F D e 00 B F C, ende \ D 6 f x A C B, foo blyfe

def s. D A C s OO.D B C� dat t� bewyfen was.� g5S�n-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

J^�rde �oek'.

Anders i beyde gevallen g�meen.

l^an alle �vierhoekige figuur en A BCDin Cirkels j;;g^ befchreven, zyn de tegen overfiaande hoekennbsp;ADC, abc t'famengelyx twee rechte hoeken�

Gevolgen.

1. Hier uyt, f�o A B * de eerie 2yde des vi�rzydi-gen figuurs in een Cirkel befchteven, voortgetroc-k�n werd, dan is de uytwendige hoek E B C gelyk aan de inwendige A DC, dewelke tegen pvef ABCnbsp;ftaat, die beneffens E BC twee rechte zyn, alsnbsp;blykt uyt de 13.- i �n 3 gem.

j. Verders om een Rhombus of Ruyt kan geen Cirkel befchreven worden, dewyle deflelis over hoeken t�famen of minder ofmeerder zyn als twer^te.

Byvoeg�

C ge�yk^z.yn twee rechtf ^ z.00 km mencr� die ftgmr e��'CtrMl hefehrjaenf^ � '

' , Want de Cirkel fal door de dri� hoeken B, C, D �an ( als blyken �al 'u^ de f: lt;^) Ik zegge datfe ooknbsp;door A gaat. S00 gy�t ontkent ^ ftck datdiedoor Fnbsp;gaacgt; en trekt DF v^P�

Be^, De ho�k C iJ-'F *�00 2 rechte tgt; ao G A V^rg4- �n daarom Ac-adF� dat d hier Weferikaa, enfod*-cjgem. �ig fai�i; met allp-andere punten buy ten \ komertnbsp;dn* ^ te vallen, derhalven den Cirkel die door B, C, Dnbsp;gaat, gaat ook door A, dat t� b�wyf�n v^fas'

op een rechte Unie A C kpntieugem tweegeljkfor^ �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* mige ongelykeCirke�ftukken ABC^ADCaan

defilt/ezydegepelt werden.

foo trekt na gevallen C B. die fnyd de circumteren-tien in D en B, eh^trekt ABi AD.

Bevj^ De Bafis A C gel�gt op de Bafis D F * l'tgegl �toinc daar mede�ier een,, omdat AC*xXgt;F is,,

tgt;erde Boek,

derhalven komt het Cirkel-ftuk ABC over een met I)EF ( Want anders zal het eene binnen ot buyteanbsp;�t ander vallen, en dan fullenfe �gt; niet gelykformig b tjinbsp;zyn tegen�t voorftcl, oftenminftentendeejebin-)

( ten deele buyten, �n zoo zoud het eene van ander it� drie punten gelheden worden, dat lt;= on-1 lo: 5nbsp;^ogelykis) en daarom 't Cirkel Huk ABC o oo.d 8 gem.'nbsp;I^EF, dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

PROPOSITIE

Gegeven een Cirkel-fin^A BC ^ een Cirkel te he-Jig. , fchrjven diens deel het is.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; .

�r IFerk. Trekt na gevallen in �t Cirkel-ftuk twee rechte iinien A B, B C, defelve � deelt in twe�n a 10:1nbsp;gelyk, in D en E, uyt defe 1gt; ftelt de perpendicu- gt;gt; tn Jt inbsp;iaren D�) EF) ontmoetende malkander, in F �tnbsp;Centrum des Cirkels, uyt welke j metdewytteFAnbsp;c voltrekt den Cirkel.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c^beg.

Bevr. Want �t Centrum is foo wel in d DF als�'8''^**'� in EF , en daarom �t gemcene punt F *t Centrum,nbsp;dat te doen was.

P R O P O S I T I E 2lt;?.

In gelyke Cirkelen GABC^ HD EF^ flaanFig.iJ^� gelyke hoeken.^ �tz,y in de Centrumsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;of

Hd ea GCaxHF, ook de hoek GbooHjb�tgeg;, ^erhalven AC � 30DF. Maar de hoek B is lt;ioo � c 4: �

go � U C L i D I 1

j jg. j GboofHaaoE, daarom de Cirkel-ftucken ABC, eiodet.j DEFe gelykformig, en dienvolgens f gelijk zyh,nbsp;i Uti derhalven de overige Cirkel-ftukken A C, D F ooknbsp;gem. 8 zyn j dat te bewijTen Was.

�oo in sen Cirkel A B.C D de hoge A Bgeljk is asm de boge DC ^ dan is A D parallel B C

Want getrocken xynde de rechte AC, foo fal da �ttf: � h�ek ACBgt;ooCAD zyn, derhal ven A D n=snbsp;^ �'7� � B G, dat te bewijfen was.

PROPOSITIE 27.

. 148 Ing�lyke Cirkelen G ABC, H DE F z.yn de hoeken �t in de Centrums G ^ H ^^tzy in de Cir-cumferentien B, E, die opgelyke deelen AC^ D F der circumferentien ftaan gelyk.

Bereyd: Irtdienfe nifct gelijk zyn , laat A G G . Gquot; als DH F zijnj en maak AGI�coDHF.nbsp;fell':? Bevs. SooisdeboogeAI^ooDFcxAC, datnbsp;c'tgev. a niet wefen kanop defelve wyfe fcan A G C nietnbsp;r^alsDHFzyn, derhalvendehoekAGGcoDHFnbsp;en vervolgens dc hoek ABGcuDEF, dat te be-wyfen was.

Byvo�g.

Een rechte linie E Fgetrokkenzynde door het punt A.^ 't midden ��ns cirkel fluks B AC., rakendenbsp;den Cirkel', is parallel m�t de rechte linie BC ^nbsp;die V felve cirkelfiuk.^ hegrypt.-

i^erde�Bvik. j

� Eer- * Trekt uyt�t centrum D tot het raakpunU i beg. i A de rechte D A,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'P J-i *^1

Beiu: in c�e ^sBDG, CDG is DG gemeen, , R',amp;'�v5itgt;;,pC j itn 4e-'hetek'BPiA;�io5(�PA

dault;i�ibpgfin.B,A})5_G A 4�elyk?'yh.�S;(slerh^lven-.ded 't geg= hoek PGBe 'xgt; DGCjcn dien volgensfrecht: maar* 4- r _

rie-ho�feG ,A E is S fechf .. ,ddThalv��n'G AE.h'oOg*�g-.�^'* DQB , en daarom-E:E ia=^BG j.d* is b'e\Vyfea was h i? gem,

. . ' �-�' j- . � :t nbsp;nbsp;nbsp;i:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'^i '-'�h tgt;y: - ; ;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

iigBljke-^^rkelert G A-^C ^ HG �^�fiGdm,gelyke pig. 150 tecbff; linien A F gelyke dfekh der cifcum-^ � -Jerentienaf, te �v�eten^ ^oqtli,e ABG gelytd� v-grootfte DEFi en de kleyrijte AIC gelykde �' �' � inbsp;Mey?T^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� a

G^^hco-H^ en A Cc00 DF ,- daarom dedr�ekasfi ' �GdooH, derhaWen' de b�oge A1G?3oDKE�c26: jnbsp;�n dpoyerige A B C f 00 D E E j dat, te b�wyfen was. f 3 gamp;n,

P R O P P S 1 t i ^ 29.

In gelyke, C�kelen G A B C^ HDE F, Jiac 'infover Fig.isi gelyk� deel�n nBGf � �F der cir'��mfer�iitiehtnbsp;gelyke rechte linien AC, DF.

Ber; o Trekt G A ,-G Ci H D, HF. . . * i beg. t ,1 Bew. De A* GAG, HDE hebben' de hoek � �nbsp;G**:� H (om dat d� boge A Gcco DF is) de ^ 17; 3nbsp;4de_^G A d X -H D ,.G C d oj H F, dies is A G ,nbsp;*xD.F, dat tebewyfe^was. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z 4-. %

E�CLlDiS.

PR� POS IT IE 50:

Fig.iii- �en'gegeven deel 'A B Cder circumferentim^ns�h � ' , hl m tweeigelyke deelen AByCB, te deelen. j

b 10: I twe�n gelyk in D, uyt D-erecbt de perpendiculaar �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* D B, die fnyd de boge in 13, fulx dat A B co B C is

Bevjys. De A* A D B, C D B hebben B D ge-meen, ADdoo DC', de hoek ;A D B ttoC t) B, e IIgein. dies is. A B^c� BC, en d^rom de.boge A Bi

� i, Den boek A BCydie in-den balveh Cirkel. Jiadi .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'' recbi.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. � � i

2. Den hoek B ACy die in een grooter deel Jtaaty is minder ah recht. ' .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,

Maar den 'hoek BFC, die in een kleynder deel ftaat is meer als recht-.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

a i beg. �er: * Verlengt A B na g�vallen in E, ook b trekt bibeg. uyt�t centrum D de techte DB.nbsp;c 5* X Betv: In de A D A,BisDBAcooDAB ?

cnindeADBCisDBC'ooDCB �l�g''n.inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;komt AB�doo A-f-AG^^ooEBC

2. Bewys.

�. Bfiw�. En daaromCg klejTiderals recht.g (g*^* 3- Bevj. Dewyle B A C -j-Bp Ch 30 3. fechtenbsp;^yn, foo is. B F C i meer als recht.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ij

4. Bevj. D� hoek van de rechte C B , en d'e boge C/VlBbevatj isk^rooter als recht.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;kggem.

y. Maar de hoek die bevat is van dcrechte BCgt; �n de bpoge C F K.B isl'kleynd�r als rechtj^at;teinbsp;bewylen'V/aSk �' .

SooinderechthoekigeTriangelABCjdeon-dergetogen linie A C in rwe�ngelykgedeckisin �, fal de Cirkel nvt 1) als cemrum door A befchreven,nbsp;oeik door B gaan,gelyk ligt te fien is uyt dele en i 1: 3.

Zoo een rechte linie A B den Cirkel raakt in C, en Fig.zci van de raking een linie CE getrocken VBerd; dienbsp;dm Cirkel doorjhyd, zoo zyn de hoeken ECB,

ECA, devo'e�e op de rakende Unie gemaakt voerden, g elyk aan de boeken EDC, EFC, die in 't ander deel des Cirkels ftaan.

fig I j5 Op een gegeven rechte lini� AB een Cirkelfluk AlES te hejclryven, waarin een hoek A IB kan gejleltnbsp;werden, die een gegeven recbtlinifchen boek ge'nbsp;lyk is.

V 14'erk. Uyt A � maakt de hoek BAD� Cj en b verlengt DA ria gevallen. �yt A ftelt AEnbsp;�perpendic�laar op HD , uyt B � maakt den hoeknbsp;A B F 00 B A F, diens lyde B F ontth�ct A E in F inbsp;��yt F als centrum'c b�lchryfc door A den cirke!gt;nbsp;die fal ook door B gaan.( om dac,FBA ^.30F ABnbsp;is , en daar�m FBejoFA') foo is�t'Cirkel-ftuknbsp;A IE B �t 'begeerde, waar in gecrocken de rechtenbsp;A �,,- BI, die befluyten den hoek I c�C.

Beul. Oin dathl D fperpendicuiaatopde diameter AE is. foo � raakt HD den Cirkel, e'� AB ihyd defel ve , dcrhalven AI Bk co B A D f 30� C,nbsp;dat te doen was.

PROPOSITIE 34-

Fjg. ii6 Van een gegeven Cirkel^ ABC een (luk CAB ts fnyden, waar in- een boek B kan geftelt werdennbsp;' dit een gegeven recb�mifcben hoek D gelyk is-jj �f il^'erk. � l\ekt d� reehte. E F, weike de gege-bij. Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ven cirkel raakt in A, ook igt; trekt A C foodaaig,

dat de hoek F A C c� D is, defe fnyd het begeerde �ibeg, cirkelrtuk CAB af, waar e in getfocken de rechtenbsp;A B, C B begrypen een hoek �o D.

Derde Boek.

PROPOSITIE 3y.

i^oo in een Cirkel FBCA twee rechte linlen AB. D C malkander doorfnyden in E, dan zyn de rechtnbsp;hoeken van elks^ deelen AFfi EB en CE., EUnbsp;malkander gelyk.

Vut gemllen kannen Mer zyn, gelyk aan de figuren U fien is.

j Gev. Soo delinien A B, C D malkander in�t centrum Ffcyden j foo js�t%t�aar, omdat A E *gt; ooagav.4i^-*nbsp;EBen C�b^ED is.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;��dcf.i

a. Gev. Soo d�eene A B door�t centrum F gaat, pn d�andere C D in rwe�n gelyk fnyd;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ j w

a C E D, dat te bewyfen was b y. jen 3. Gev. Soo d'ecne AB door �t centrum gaatnbsp;on d�andcre C D ongelyk fnyd.

Ber: Uyt F� trekt de perpendiculaar FG, diej ,1; j ^foyd G D in cwe�n gelyk in G.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;k 3: t

ko.Q CED 4- ? GE ? GF ra.Tn ? GD4. ? GF nco FD ^ gem. �naarQAEB -f- p FE 1 jq p FB o 00 ? F D isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 47: i

�fgo o-AEB pFEpa)C3CED pGE_J.(3GF � g�-liibft pFEnoo nbsp;nbsp;nbsp;QGE O GF p ^ gem,

SS E u c t � n I s.

PROPOSITIE

IJS Soa van. een punt D, luyten den Cirkel EBC, tvoed rechte linten DA, D B getrocken voerden ^aarnbsp;van d'eene D B den Cirkel raakt in B , endenbsp;d'ander D,A den Cirkel doorjhydt dan is denbsp;rechtboek van de doprfnydende Unie D A en deelnbsp;D C taJTcben bet punt D en de Cirkelgelyk. 't quA�nbsp;draat 'der rakende linie D B-

Twee gevallen konnen hier zyn.

Bevjys. Om dat de hoek Bb recht is, daarom Q DBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? BE c co ? ED dooaADG-^DCE

2. nbsp;nbsp;nbsp;Gev. Soo A D niet door �c centrum gaat.nbsp;Ber; gTrekt EC, EB, ED en EFhperpendi-

Gevolgen.

I. Hier uyt foo van eenig punt A buytcn denpj^_iej Cirkel genomen, verfcheydc rechte linie A B, ACnbsp;g^trocken werden , die den Cirkel fnydcn, dannbsp;2'yn de rechthoeken begrepen van de geheele linienbsp;A B, AC en de uytwendige deelen AE, A F onder malkander gelyk.

a. �t Blykt ook dat twee rechtelinien A B, ACF;;^ 16* van een punt A getrocken, die den Cirkel raken,,nbsp;pialkaader gelyk zullen zyn.

Want foo men trekt de fnydende linie AE, foo is ? ABaoppEAF �oodAC, ergo AB*J^=?nbsp;b X A C, dat te bewyfen was.

3. nbsp;nbsp;nbsp;�t Is, ook openbaar, dat van �t felve punt A�nbsp;buy ten den Cirkel genomen, maar twee rechteliniennbsp;A B, A C getrocken kunnen werden die het; rondnbsp;raken.

Want foo men eenderde AD zegt te raken, foo, isAD cooABcooAC, dat^niet wefen kan. f * 8*'^

$g E U.G L �lv-�^ I S.

X rircumferpniien vallen, en sen van. defelvecJtrCi^� kei raakt, dat! ook de andere dfe-lCirkel raak^.

' ' VVant fo��t�Jtn kan da^ niet A-G, miarcetiSn-!cier ,A � 'den Cirkel raakt, lbo is AD* ab AC .f)Xgt; Ali , (dat g niet w�fen kan.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

PROPOS IT IE ?7.

*quot; � rechteUnienD A, DB getrocken veerden, veaat. vaii cteeiiB D A den Cirkel'doorjny� , eri �aridernbsp;I) B daar tegen ruft, joodanig dat den rechtboeknbsp;van de doorjnydende DA-, ende �t deel D C, dat.nbsp;tuffchen bet.punt D en den Cirkel is, gelyk is �fnbsp;. qmdraat. der. ruftende UnienlXR, dej�lve D B [alnbsp;dan den cirkel raken. �

� 'ir.t

b I be^.

c'^gegt

�'g�v. � 46: Inbsp;f 1 lt; def:

E 8; I 18: 5nbsp;igtv:i6;

' Ber. �Trekt uyt D de raakUnie DF, ende uyt �fcentrum E de rechte tgt; E'D j E Bj EF.

Beu). Dewy Ie ?DBcjooADCfi.xiGDFis, foo is dn deA^EBD, EFD, dezydePB�agt;DFnbsp;EBfx)EF 'en �D gemeen , derhaiven de hoeknbsp;' EBDgaoEFDhao recht, dienvolgens BD hetnbsp;rondnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bcvyyfen vya^.

Gevolgen.

VIERDE BOEK.

Vefimtj,en.

�. E�n rechtlinifche Bguurvferdgtze^inceXLvechx.-linifche figuur gelchrev�di te zyn gt; als elk een der hot;kcn van de ingefchtevene raakt, elk eennbsp;der zyden van de figuur, in welke iy gefchre-yen is.

2. nbsp;nbsp;nbsp;Insgelyks werd gezegt een fig�ur omgefchrcycnnbsp;te zyn om een figuur, als elk^ zyde der otnge-fchr^'vene taakt elke hoek der ^ngefchrevene.

3. nbsp;nbsp;nbsp;Een rechtlinirche figuur werd gezegt in den Cir- fig. 16$nbsp;kei gefchreyen te zyn gt; als eiken hoek der zei- �nbsp;ver de circumf eren tie des Cirkds raakt.

4- Een rechtlmifche figuur werd gezegt om den fig, Cirkel gefchreyen te zyn gt; als elke zyde van denbsp;omgefchreven figuur Me' circumforentie desnbsp;Cirkels raakt.

5. nbsp;nbsp;nbsp;D�esgelyks werd gezegt den Cirkdin een rechtli- fjg^nbsp;nifcne figuur gefchreven te zyn , als de dr-curaferentie des Cirkels raakt dke zyde dernbsp;figuur in welke hy gefchreven is.

6. nbsp;nbsp;nbsp;Maar den Cirkel werd gezegt om een figuur ge- Fig. 163^nbsp;fcbreven te zyn als de circumferentie des Cir�

F y nbsp;nbsp;nbsp;7. Een

9^ E U C L I D I S.

Alfoo is AB in den Cirkel gefchreven die met beyde eynden A en B in de circumferenticnbsp;komt; maar niet C D , die met een eynd,nbsp;noch ook niet E, die met geen van de eyndenbsp;daar in komt.

PROPOSITIE i.

i66fo een gegevm Cirkel ABC een rechte linie AB te voegen gelyk zynde een gegeven rechte linienbsp;die niet langer zy ah den Diameter A C des gegeven Cirkels.

� 5; I . �t�P'erk Van den diameter AC^fnyd AEaoD, bjbcg. uyt A, met de wytte AE t befchr^ft den cirkelnbsp;A13 E, ontmoetende den gegeven Cirkel in 6, ennbsp;c 1 beg. c trekt de rechte A B, die is de begeerde.

�li5de�i � 5^jy. Want A Bdoo A Ee ao D fin den gege-f 7M: 4 v�n cirkel A B C is, dat te doen was.

PROPOSITIE i:

JF�gt;. een gegeven Cirkel ABC een Triangel ABC te befchryven, gelykboekig met [een gegeven Triangel

dfd.

'tlferk. � Trekt de rechte G H dat defelvc den cirkel raakt in A , en b naaakt de hoek H A C co Enbsp;b ook G A B co F, en c trekt BC, lbo is de Anbsp;A B C de begeerde.

PROPOSITIE 3.

Om een gegeven Cirkel IA BCeen Triangel L NMpig.iCS, te iefebryven, gelykheekigmeteengege�qen Trian �nbsp;gelpEF.

'tlfWk. � Verlengt de zyde EF wederzyds gevallen, K maakt in �t centrum I de hoek A IB x)

DBG, en de hoek BIC' 30 D F H, dan ^ trekt drie *7- 3 regte linien LN,LiM, MN foodanig daii� den cirkelnbsp;raiten in de punten A., B,C, die Komen t�fameninnbsp;L, M, N 5 en maken de begeerde ^ EN M.

lbo zyn de hoeken L A 13 L 13 A f kleynder als ^9 2. rechte 5 en daarom komen LN, LM, MN te g fa- gtjgem.inbsp;Cien, en maken de A L M N.

AlB Lh jo j rechtcioo DFG4-nEFquot;j;p , endchoekAlBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DEG fubf. iij-i

Ook de hoek N � .to � , en alfoo de A L M N � om m ji. i ( Cirkel befchreven gclykhoekig aan de gegevenquot;4d't4nbsp;DFj dat te doen was,

PRO-

E U C X I D I S.

P R O POSITIE 4.

a -g. I Werk, � Deelt de twee hoeken B en C yder 14 twe�n gelyk door de rechte BD, CD, die ontmoe-b 11.1 ten malkander iq D gt; uyt D 1gt; trekt de perpendicu-c 5 b^. I laren D E, D F, D G, en uyt D als centrum lt;= be-fchryfc met de wytte DE een cirkel, die fal ooknbsp;door F eh G gaan, en alfoo de 3 7.yden des A� raken.nbsp;Beiv. Want de DEB, hebben de zy�nbsp;d'fwetk de B D gemeen j en de hoek UBEdgoDilF,nbsp;DEBe00DFB, daarom DEfxDF, enopge-* � ' ' lyke wyl� DGooDFj derhalven de cirkel uyt Dnbsp;als centrum door E befchre ven, gaat door F en G 3,nbsp;g gev. en om dat de hoeken E, F gt; G recht zyn, daarom gnbsp;? raaktfealledezydendes^s ABC,enisalfqodaari�iq

Byvotg.

Hier uyt blykt ? als bekent zyn de drie zyden des T riangels, hoe dat de deelen der felverj gentaakt doornbsp;de raking eens ingefchreven cirkels gevonden kon-nen werden aldus.

Laat zyn AB iz, AC i8, BC 16gt; foo is dan A B 4- B C O) z8 j hier af fubft, 18 voor AC�nbsp;A E X F C 5 foo reft to vooy BjE -f- B F, derhal-yen B E ofte B F � f gt; en vervolgens F C of G Gnbsp;3ct iigt; en daarom GA of AExf.j.

PRO-

pierde B��k,

PROPOSITIE

A c in twe�n gelyk in D en �, uyt defelve^ fteltb it: t,. de perpendicularen DF , EF gt; tTamen komende innbsp;F, uyt welke door A � bcfchryft den cirkel FABC ^ 5 Iwg.inbsp;die fal de begeerde zyn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,; �

Bew. In de A* A D F, 13 D F is de zyde D F gemeen, ADdx)DB, en de hoek FDAnbsp;F DB,'dcrhalvenFB^aaFA, enbpdef�lvewyfeen n ;nbsp;F C ^ F A, dienvolgens den cirkel uyt F door A 1quot;�= ^ ^nbsp;Delchreven, gaat ook door B en G, en daarom is* 'nbsp;delelve g om de A A B C, dat te doen was. g jjg ^

Gevolg. nbsp;nbsp;nbsp;i-

. * Hier uyt blykt, foO de Triangelfcherph�ekig ,, ,^1-is, dat�t centrum valt binnen, ende plomphoekig i buyren den Triangel ^ maar rechthoekig zynd�, valtnbsp;�t centrum in de tegen over rechthocira zyde. , ,, �

Op def�lve wyfe werd een cirkel befchrc ven door 3rie gegeven punten, in geen rechte linieftaande. \ ^ .

PROPOSITIE. 6.

^4 E U C L I D I S.

malkander rechthoekig in�c centrum E doorfnyd�tij danb vodgtdeeynden defen diameter t famenmetdenbsp;reehte, A,B., B C , G D, DA, fyo is A B C D hernbsp;Begeerde quadraat�

Bfw. Dewyle de vief hoeken in E c recht zyn, daaromde d�bogen j alsook deondergerogene'iytlen,nbsp;AB, BC j Cf.gt;, D/V afle g�lyk, derhatven ABCDnbsp;gelykiydig isdiens h�eken alle in een f ha! quot;� cirkelnbsp;rtaan, en daarom g recht iyn, vervolgens A BCDnbsp;een h quadxa^t befebtevea* ifl de gegeven cirkel gt; datnbsp;te doen wasi � � 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' '

^ nbsp;nbsp;nbsp;P R O P O S I t I E 7.

'tU'^erk. * Trekt dq diamerers AC, BD datfe inalkander rechthoekig fhyden in �t centrum E, vannbsp;de eyndeaderlelveb trektd�'raaklinien G F, F H,nbsp;Hl, G I t�fameb komende in F ,fcl, I, G, foo isnbsp;F G I-H �t begeerde quadraat.

Bew. Dewyle de hoeken aan A en C c gelyk lyn, daarom F G d = H I eri F H d r= GI, derhal-ven FGIH een rechthoekig 'cd, �t welk ook ge*nbsp;lykzydjg is , om dat F G f 00 H l^'ao B D g ,to C A Fmnbsp;FH G,I is, daarom FGIH eeni�quadraati oranbsp;den'cirkel befchrevert, dat te doen was.

Vkrdz Boek.

'W'ant de a H B 00 z As H.E F, en � H C co I A*HGF isdoorde4i: I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

V IVerk. � Deelt de zyden des quadraats in twe�n * *c; i gclyk in de punten H gt; �, F; G, en b trekt HF, EG, b t b^. inbsp;die fnyden malkander in I, uyt I als Centrum c be- c j b^.inbsp;fchryfc door Heen Cirkel, die iS de begeerde.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

Bew. Om dat A H d oo en ' === B F is, daar-'^yg^'n-� �m ABfs=!HFf-= DG, en �p dezelve wviCfnbsp;A D = EG = BCjderbalven 1 'A, l D, IB, IC g, gjydef.tnbsp;�::7me�2,yn, dienvolgens is AH^oo AEeooHInbsp;CP EI ao IF 00 IG, derhalvetr d� cirkel uyt i door Hnbsp;befchreven, gaat ook door E,. F j G� cn b raakt de hgevnis}nbsp;zyden des ps in de l�lve punten, om dat de ho�ken ;

k in �c ? A B C P befchreven, dat t� doen wai. � nbsp;nbsp;nbsp;dlt;�^ 4

't If^erk. � Trekt de diagonalen AC, B D, die a r beg. t fnyden den anderen in E, uyt E als centrum b be- b j beg. inbsp;fchryft door A een cirkel, defelve is de begeerde.

Bevj. Dewyle de hoeken A8D,. BAG. yderc half � 4 S'�* recht zyn, daarom van de A AEB dezydc EA ^cOdVinbsp;Eb, enopdefelvewyfe EA co ED oo EC de cir-kel uyt E door A befchreven, gaat dan ook door

E U G L I D I S.

Bi Ggt; Igt;j :^e hoeken, des gegeven ^uadraatSj iieri j^^'^^f_^daarotn�omdefelv�j dac tedoenwas.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

E.eh-^l�^i^eenlghiTriAn^el ABDte maken, hoeken B en AD.B op den Bajis B H ^ernbsp;. dubbelt Zjyn �) aan de overige hoek A.

. ' � � nbsp;nbsp;nbsp;4 ^/r.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;... �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;��nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' ,

l^erk. Neetht na gevallen een rechte AB, defel-ve � d�ek iri C,, �a|zQ dat de C3 A 6 j B C �o O A Cj iSj en'uyc A ajs centrdm lgt; befchrjft met de wytt�

Bek. ATrekt �c 3 eh�omd� AACDbelchrf^ �den,cirkel AC.�., ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

�ew: Om dat d� dj A B C f oo.D A C �f ? B D is, zograakt 6 Dden cirkel ACD, �nCDfnydde*nbsp;'fefve daarom d� h�ek B 0 Chop A

� addrde'ho�k CDA db CDA komideiho�k jB D A i dO (A CDA�nbsp;k 00 B C D, maar B D A isl 00 A B D (dat isCBDjnbsp;ergo' BCD P a� CB.D, daarom DG�gt;00 DB�dbnbsp;A C, derbalven de hoek CD A,\ m.A ac� BDC,nbsp;diesis ADBaoa A coABD, dat te doen was.'

1 .; . � nbsp;nbsp;nbsp;' Gevolg,

� j Als alle d� hoeke A, B, D p nytmaken j van 5 * quot; �edht�, io blykc dat A is f van i rechte-

PRO'

VierZe Ba�k.

in eet gegeten Cirkel ABC DE een gelyksiydigen Big.i'jt en gelykhoekjgen vyfhoek^ABCDE te befchryi. .nbsp;ven.

�t If^erk. � Eelchryft eeh gelykbeenigen A F G H a *0'4* diens hoeken pp debafis elk dubbelt tegen den toji-fioek zyn gt; dan in de tgt; cirkel �en A C a D do hoe- b 4.nbsp;kig A F G H i en deelt de hoeken ,G eri D op d� � 9=nbsp;bails, yder in twe�n gelyk door de rechte CE gt; DB jnbsp;die �ntmo�ten d� circumf�reiitie in B, E, dan 4dibeg.tnbsp;trekt de rechte CB, BA) AE, ED ^ 2b iinbsp;A B C D E de begeerde vyf- hoek.

CDB) BDA) DCE) EGA ^lykxyo) daarom de e bogen) eh vervolgens de otidertogenc f liniea Inbsp;pc, CB) BA) AEjDE 9okg�lyk) derhalvefldenbsp;vyf-hoek gelykzydig iS; maar hy is opk g gelykhoe-kig) om dat deflelfs hoeken, B A E gt; A E D Scc. opnbsp;gelykebogen BGP.Egt;, ABGD �cc, ftaani derhal*

Gevolgen.

Hier van komt een hoek des gelykzydigen en ge� ^ykhoekigen vyf-hoeks gelyk | van j rechte, ofte |

In �t algemeen werden de figuurea met oneven ^yden in een cirkel befchreeven door behulp van eennbsp;Selykbeenige Triangel) diens hoeken op de ba�snbsp;Veelvoudig.tegeas de top-hoekenzya, - inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� -

�$ E U C L I D I S .

Maar figuuren met ev�ne zyden werden in een cirkel befchreyenj doof behulp van gelykbeenigenbsp;. Triangels, diens hoeken op de balls ancierhalfmaalnbsp;Zoo veel zyn als de hoeken aan het top.

Ffg.iji � Gelyk ais in de gelykbeenige A C A B, zoo de hoek A o� 3 G 00 B is, zoo is A B de zyde eens ze-venhpcks; zoo A oo 4 C oo B is, dan is A B de zy-d� �ens negenhoeks 5 enz.

Maar indien A oo 1 j C cO B is, dan is AB een Zyde des vierhoek, en A 00 i 1 C 00 B is, zoo isnbsp;AB de zyde eens zeshoek; en insgelyks wanneernbsp;AcojiCcoBis, zoo is A � de zyde van een achthoek enz.

Om een gegeven Cirl^l F A B CD E eengelyJ^y� dfgen en gelyhhoekigen vyfhoek HIK LG t�nbsp;befchryven.

?en en gelykhoekigen vyfhoek ABCDE, uyt 't bibeg: 1 centrum F lgt;trektderechteFAgt;FB,FC,FD,FE,nbsp;cn:i. op dezelve fielt perpendlc�iaaf c GAH, HBI,nbsp;IGK, KDEj leg ontmoetende den anderennbsp;in dp punten H, I, K, E gt; G *. zoo is de vyfhoeknbsp;HlKEiG de begeerde,

BeWi Dewyle GA, GE. uyt een punt G de cirkeldraken, zoo is GA �. �o GE, en AF is ^nbsp;ooEF, en G F is beyde A F, GEFgemeen;nbsp;derhalven de hoek G F A g oo G F.E, en vervolgensnbsp;A F E 00 z G F A, op dezelve wyze is de hoeknbsp;A FH 00 H FB: en daarom A F B oo z A Fti.

Maar

M�ar de Jboek A,F � is 4 JJ�r.A �'. B derhalj/cn lioek GFAvooAFH ook Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G �nrF;A

beyde GAF gt; HAF gomeet�, dks is HA^ eaii., 00AGoo.G EaoELamp;c.j.cierhalyen HG,,GL,j S'quot;�:

L Kj K. i , IH de xyden des yyCtvjeks � gelyk: maar ook zyn de boek�n � gelykgt;\TOnt ^ zyn elks het dub- nnbsp;Bek vaodagelykehoekcn A G F) AHF amp;c.'der-halven d� vytboek tilKEGldni de cirkel b�nbsp;fchreven� datte doenwasi v ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:

Op de {�lve wy�� zo in een cirkei, ech feker� gelyk-iydige en gelykhoekigefiguurbefchreeven were, eti op de uytterke punten (kirbalve diameters (die getrokken zyn uyt �tCentrum tot de hoeken) �anderenbsp;rechte linien perpendiculaar op dezelve geftelt wer-,nbsp;den i deeze maakeri een andere figuur die om dcrinbsp;cirkel befchreeven, en gelykzydig, en gclykho�kignbsp;met de ingefchreven zyri.

In een gelyf^ydigeit ett ~geljk}?oekigen vyfhoekf^S''^^^ ABCDE een cirkel FGtlJKL te hefchryven.

'tWerk. �Deelt twee hoeken des vyfhoeksj die�?*quot;' �y wilti Agt; Bgt; yder in twe�n gelyk door, de rechtenbsp;AF, bF t�famen komende in F; uyt F btrektdeb ii;rnbsp;^tpendicularen F.G, FH, Ff,. FKj FL, enayt .'nbsp;I *4 Ceotrwn ,(S?�rG?befcbryft een cirkelgt; die is�5 heg;

��O E U G i; 1 � I s.

A B � 00 8 C j en de hoek f B A ^' oo E B C j die* is A F g o�:F C en h�fekr PiA'B g oo FCB^ maar F A Bnbsp;is f �o I B A E f 00 J 8 G D, daarom F CB *gt;003nbsp;BCD) op dezelve wyze*ftfde'anderegeheele hoeken C,-D, E in twe�ngelykgefnedeh,'derhalvennbsp;inde FGB j Etl B de hoek FG BiooFHB,nbsp;F B H 00 F B G en F 8 gemeen, daarom F G k oonbsp;Fri j. insgelyks F H ,gt;F'1'., F K gt; F L, F G alle gelyk,nbsp;derhalvende cirkel uyt �t Centrum.F.door G be-fchreeven, 1 raakt alle de zyden des vyfhoeks, (de-wyl de hoeken aan de p'�ntefi m 'recht zyn) en daarothnbsp;dezelve � in de yytho�k befchreeven, dat te doennbsp;was.

Hier uyt volgt zo� tw�� naafte hp�k�n, ��ns i�-gelykeri, gelykzydig�n �n gelykhoekigen figuurs ; in cwe�n g�lyk geih�edch werden 3 �n �yt het puntnbsp;ih w�lke deezefny-iini�n t�'famed komen 3 total denbsp;overige hoeken des figuurs rechte litiien ^etOogennbsp;werden 3 zoo;iynQQ,kiil^e hoeken in jyvei^ gelyknbsp;gcfneedeh.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

.Gp dezelve wyze w^ert ih een; iegeiyk gelykzydige en gelykhoekige figuur een cirkel belchreven.

P R O P O S I T I E 1^.

fi�.�tt Om ien gegev�n geljkzydigeh �a gelyk^aekigett vyfho�k^ ABC'D� een-cirkel FABCD te be-jchryven.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� �

*�: i. ,*t Werk. � Deelt a hoeken des v/fhoeks weike

PiendeBoek:

gy wiltj als AenB, intwe�ngelyk, doorder�ch-te AF, B F, t�famen komende in F, uyt F, als centrum door A bbefchryfi een cirkel, die is,om den b 3 begtinbsp;yythoek befchreeven.

Fa, FB, FG, FD, F E alle e gelyk, en daarom �V.t gaat den cirkel uyt �t centrum F door A befchreven,

Byvoeg.

Gp dezdye wyze wert een cirkel om een iegelyk gelykzydige ende gelykhoekige figuur befchreven.

PROPOSITIE ly.

Jh een gegeven cirkel G A B C D E F een geljh:- Pig.iZt zjdige en gelykhoekige feS�hoe\ ABC DBFnbsp;te kefchryven.

't iFerk' � Trekt de diameter AD , en uyt Daibeg.t �ls centrum b ,befchryft met de wytte D G e�n Cir- 1 *�'2* tnbsp;, die fnyd de gegeven cirkel in C en t', dan anbsp;�tekt de diameters CF, EB, en �voegt deeyndcnnbsp;famen met de rechte AB, BC, CD, DE, EF, FA,nbsp;is A13 C D E F de begeerde feshoek.

�S�i E u cni^ l D I s.

jii7.} ABCDEF gelykzydig maar hy is ook lgt;gelyk-hoekig, om dac deffelfe hoeken alie pp gelyke boo-genitaan, dat te doen was.

, nbsp;nbsp;nbsp;Gevolgen^

I. Hier uyt volgt dat een zyde des feshoeks in een cirkel befchreven j gelyk is de. halve diameter.

z. .Hier door werd lichtelyk een gelykzydigea Ttiangel in een cirkel befchreven.

Byvoeg.

Aldus.

Fie.iSi .* Maakt op de gegevene CD een gelykzydige r Triangel CGD , en 1gt; befchryft uyt G als cen-�3 trum door C en D een cirkel, die begrypt de feshoek op de gegeven C D.

PROPOSITIE t6.

Fig 183/� een gegeven Cirkel AEBCH een gelj/kz^j/dige enge�ykhoekige vyftien~hockje befchryven.

� n. 4 �tfFerk. �Befchryft eerfi: in den gegeven cirkel de gelykzydige en gelykhoekige vyfhoek AEFGH,nbsp;15.^^* ook in dezelve de !gt; gelykzydige Triangel ABC, dannbsp;c 1 beg.i c trekt BF, CG, en deeze ^ brengt over in �t overigsnbsp;d I � 4- van de cirkel, zoo zjl de vyftien-hoekin den cirkelnbsp;befchreeven z.yn.

derhalven de overige BF dcj^ der circumferentie, en dewyle alle de andere 2,yden' gely k deeze zyn, zoonbsp;is de vyftien-hoek gelykzydig: maar hyisookfnbsp;iy^thoekig onj dat alle deftelfs hoeken op gelyice booten ftaan , van welke een yderis ; f. der geheele cir-,Cumferentie, en is alzoo het begeerde volbracht.

Wyders wert de dealing der circutnferentie in gegeeven deelen begeert, als wanneer iiien zich,nbsp;dikwils in plaats van de bewerkinge van zekere ge*nbsp;fchikte figuuren begeeft tot de bouwkundige werk'nbsp;tuygen, die men by de meetkundige oeffenaars zoeken moet.

VYF-

VYFDE BOEK.

Vefinitien.

3. JFffen deel, is een grootheyt gt; welke in een groo ter eccelyke gelyke maaien begreeperi IS.

Als 2. wert een effen deel van S. genaamt: ook 4. van8-, 3 van�. j 2 yan6.,f. van20 enz.,nbsp;dewyle elk in zyn meerder gelyke malen (datnbsp;isz.onderoverfchot) bevonden wortl '

Het minder is ook een deel van het meerder, al is het geen gelyke maaien in�t z�lve begreep�n;

� doch-dat is dan-geen effen, maare�n onefierj �deel,- eii daar van fpr�ekt Euclidis hier niet:nbsp;daarom wy het woord effen hier by gedaannbsp;hebb$n.,

�. .Rleni^v�Uige grootheyt is , welke ettelyke gelyke maaien een ander minder grootheyt be-i'TP-'

Deez.e is�eri omgekeerde, ofte het tegendeel der voorgaande, en is t� verftgari dat 8. ettelykenbsp;gelyke maaien van 2. of 4. is, wert daarom 8.nbsp;een menigvuldige grootheyt van de 2. of 4.nbsp;genaamt; als mede is 12. menigvuldigenbsp;grootheyt van 4., om dat I j. de 4. effen driemaal begrypt, enz

3. Reden , is de overeenkoming van twee groot-heeden van gelyke natuur, na haar groote.

Dat is, als twee lengrens, twee vlack^en , twee lichamen, ( uyt welke alle redens beftaan ) tegen malkander na haar groo.te, of waarde (dienbsp;�- lt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pien

P'yfde Bo^k- � ' lol

piqn alle door getallen uytcet) gerchat, of gc-waardeert werden ^ dat is na dat d� een grooter is als d�ander , of rai�der of gelyk .* decidenbsp;6 vereenk�ming dan, welke uyt 4ulke achting,nbsp;ichatting , vergelyking ot waardeering bevonden w�rt, were reden genaamt.

In alle redens wert die grootheyr dewelke tot een ander gebracht wert, genaamt voorgaaq-d� , ende die tot welke een ander gebrachtnbsp;wert de volgende des redens; aisinde redennbsp;van 6. tot 4 is 6 de voorgaande, en 4. de v�lgende. �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

; De grootheyt eens iegelyke tedeqs wert bekent, deelende de voorgaande door de vpl-gende, als tfe reden van 1X. tot y. wert openbaar daar Ook de grootheyddes redens van

beelden ;rC� , of co of �? dat is de reden van A tot B is grooter als de reden van C totnbsp;D, of gelyk, of Weynder: dat die geenedienbsp;dit leeien vyil, ter deeg moet aanmerken.

Wat vorders van de foorten en de verdeelingen der �redens aan fe merken is. kunnen by denbsp;uytleggers van dien gezien werden.

Dat is, als gezeyt wert 6- enS zulke reeden te hebben, als 3. tot 4. wert dan zulke gelyk-heytder redenen, proportie genaamt.

E U C L I D I S.

kander te hebben, als d�een ettelyke maaleij genoomen zynde, d�ander te boven gaat.

Dat 5 als �er twee grootheeden zyn , 4. en 6.� de minfte 4. met een getal (groot genoeg zy n-dc) multipliceert dan meerder, kome als denbsp;ander: gelyk als 4. met 2 gemultipl.: komtnbsp;8 3 dewelke de andere 6. te booven gaat, ennbsp;daarom hebben 4 en 6. reden tot malkan'nbsp;der.

Maar niet tegen iet, hebben geen reden, als o-m I. j multipliceert o. metzoogrooten getal als gy wilt, zal nooit de i. te boven gaan,nbsp;wantzyblyitaltydo.

A 4. 13 6. 1 G 24 6. De grootheden C l�. Diy. iH 60 werden gezegtnbsp;in gelyke ree'nbsp;den te zyn, te Weeten , de eerfte A tot denbsp;tweede B, en derde C tot de vierde D j als denbsp;gelykmenigvuldige grootheeden K en F dernbsp;eerfte A en derde C in zulke multiplicatie alsnbsp;men wil, tegen de gelykmenigvuldige G ennbsp;H van de tweede B en vierde D te famen ont-breeken, gelyk zyn, ofte te hoven gaan, alsnbsp;die gecne genoomen werden E, G en F, Hnbsp;welke onder malkander over een ftemnien.

Alhier verhaak Euclidis wat de grootheden ver-eyfchen om in gelyke reden te zyn, als A 4, en C I o. elx met een gelyk getal na gevallen,nbsp;als 3. multipliceert: als medeB 6. en Dry.nbsp;elx met een gelyk getal als 4, zoo komt E 12 ,nbsp;F 30, G 24, H60, alsdan Ezoo veel maalnbsp;gro�ter, ofgelyk, ofkleynderalsGis, gelyk

Pyfde BoeL nbsp;nbsp;nbsp;tof

E hier i maal kleynder als G bevonden wertj dat dan F ook zoo veel maal grooter, oi ge-lyk , of kleynder als H zal zyn , gelyk hiernbsp;F ook z maal kleynder als H is, en daaromnbsp;zyn de 4 gefielde getallen in gelyke reden, tenbsp;weeten A 4, tot fj 6. als C 10. tot D ly.nbsp;Waar van wy het merkteken aldus flellen.nbsp;Al 3 :: C / D ^ dat is dat AtotB , en C totnbsp;D, zya in een zelve reeden; fomtyds fchry ven .

�J. De grootheeden die gelyke reeden hebben, (A/13::C/D) werden geproportioneerde-grootheeden genaamd-

Alle geproportioneerde grootheden worden on-derfcheyden in Continue , dat is geduu'rige, ofte Dtfcoti�nue �) dat is ongedurige.

Continue, proportionaale grootheeden zyn , welkers reeden aan malkander hangt , alsnbsp;4/ 6/ 9/13} ,alwaar4tot6 isals�totp , ennbsp;wederom 6 tot 9, als9 tot 13^. Alzoo is�cnbsp;ook met 4/ 8/16/ 32/ 64 en andere.

Difcontinue proportionale grootheden zyn , dia twee en twee een, of gelyke reden hebben alsnbsp;4/6/ 8/11, waar van 4 tot 6, als8 tot 12 is.nbsp;Zoo ook 6/ 10/ 9/ ly, en meer anderenbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;78. Als van vier groot-

de C 5 cenige gelyke maaien g�noomen werden ; en de tweede B en vierde D, ook ee-nigegelyke maaien zoo �t valt; als dan � de

�08 E U e L I D I s.

menigvuldiging A, meerder is als G de mcT higvuldiging B, maar F de menigvuldigingnbsp;C, niet meerder is als H de menigvuldigingnbsp;D: dan zegt men de eerite A grooter reedennbsp;te hebben, tor de tweede B, als de derde Gnbsp;tot de vierde D.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Alhier wort verklaart de conditie van 4 groothee-den die geen gelyke reden tot malkander hebben, namelyk:

A 6 tot C 12 met een gelyk getal f, gemukip: komt E 30, f 60: eii B 4, D 9,00k met een gelyk getal 7 gemultipliceert: komt G 28, H63.nbsp;dewyle dan E 30, meer is, als G 2S, maar 'nbsp;F 60, niet meer als H 63 , daarom is denbsp;reden van A 6 tot B 4 (als r j) meerder ,nbsp;als van C 12 tot D 9 (zynde i j.)

Dewyl de redens tuflchen twee termen bepaalt � wert, en de proportie een gelykheyt des redens is, zoo moet ze ten minllenuyt drie termen beftaen, en dan zyn �t Continue pyp-portionale , waar van de tweede zoo veel isnbsp;als twee termen; maar in Difcontinue propor-tionale moet �er ten minften vier ter men zyn.

jo. Als drie grootheden A, B, C proportionaal zyn, wert gezegt de. reden det eerfte A tot denbsp;derde C, dubbelt, te zyn tegen de redennbsp;der eerfte A en tweede B .� ende als viernbsp;grootheden A, B, C, D, proportionaal zyn,nbsp;(oo fegnr men dat de reden der eerfte A totnbsp;de vierde D drievoudig is tegen de reden

P^yfd� ��ek.

der eerfte A en tweede B : ende foo voort altyd een meerder tot dat depmportic ge�yn-dight is.

Alhier Wert verfliaan voorde d�bbelereedenhet quadraat, door de drievoudige decubitqent.nbsp;als by exempel 4 5 8, 16,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, de reden van de

quadrtten vdn 4 en 8 j zynde 16 en 64 gt; is^de zelve reden als van 4 tot 16; en de Cubiequen van 4 en 8, zy nde 64 en y t z, is de fel ve reden alsnbsp;4tot3zenz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.�

~�7 Dit betekent Continue porportionale, als A, B ,C, U �f z, 6,18, $4 fynnbsp;11. Gelykformige grootheden zyn, als de voorgaande met de voorgaande, en de volgende metnbsp;de volgende in gelyke reden iyn.

Als indien A, B :: C, D foo werden foo wel-A en C als B en D gelykformige grootheden gefegt.

ij. Verwijfelde reden is een ftelling vaii de voorgaande tot de voorgaande , en van de vol-ge tot de volgende.

In d�ze en de vyf volgende Definitien werden geftelt de namen der bewysredens op fes manie-

Xia E U C L i D I S.

nieren � welke de Wiskundige dikwds ge-bruyken j en van welke invoering de kracht fteunt op de voorftellen defes boeks, welkenbsp;in de uyilegginge aangecekent werden.

�3. Omgekeerde reden is5 een, ftelUng van de vol' gende in plaats van de voorgande, ende denbsp;voorgaande in plaats van de volgende.

14. t'Samenfieiling der reden is , als de fomme der voorgaande en volgende, tot de volgende geftelt werd.

iy. Deelittg der reden is, als de reft, van fooveel de voorgaande meerder is als de volgende ,nbsp;tot de felve volgende geftelt wert.

Als A, B:: C, D derhalven gedeelt is A � B,-B::C��, D door 17:y. �6. Omkeeritig der 'red�n�s, als de voorgaande geftelt werd, tot de reft, di� de voorgaandenbsp;meerdef is als de volgende.

Als A, B C, D derbalven omkeering A, A � B;:C, G�D door gevolg 19: y-17. Gelakt reden is, als van veel grootheden aannbsp;d�eeh� lyde , ende mede foo v��l aan d�an-dere 2.yde, twee en twee in gelyke reden zyn;nbsp;ende dan in de eerfte grootheden de eerfte totnbsp;de laatfte is, als in de tW�ede grootheden denbsp;eerfte tot de laatfte. Of anders: een ftellingnbsp;iet uyterfteh door wegneenjing van de mid-delften.

Pyfde Boek. nbsp;nbsp;nbsp;ii :i

l8. Geordineerde of gefciikte Proportie is , als de voorgaande is tot de volgende� gelyk de voorgaande tot de volgende van de ander, endcnbsp;gelyk d�een der volgende is tot eenig ander,nbsp;zal mede d�and�r volgende tot eenig andernbsp;'^yo-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I

Dat is A, BjCjD en EjFjGjH fooisgeordi-neerde A, B :: E, F en B, C;: F, G en C, DG,H foo fal A,D;; E,H zyndoor 21; y.

�9. Beroerde Proportie is, als van drie grootheden aan d�een zyde j ende ook foo veel aan d�an*nbsp;der zyde, de eerfte is tot de tweede, als denbsp;vyfde tot de fefte, en de tweede tot de derde als de vierde tot de vyfde.

Dat is als A, B: F, G �n insgelyks B , C : E , F foo zal uyt de gelyke beroerte zyn A, C:; E, Gnbsp;door de 23: y.

zo. Soo veel grootheden als m�n wil in ordre geftelf z,ynde, is de proportie van de eerfte tot denbsp;laatfte t�famen geftelt, �yt de proportie der'nbsp;eerfte tot de tweede, en van de tweede tot denbsp;derde, en van de derde tot.de vierde, en foonbsp;vervolgens foo lange als �er proportie is.

8.0,4.

5 nbsp;nbsp;nbsp;

FRO-

EUCLID I S

PROPOSITIE I.

eenigegrivtheden ^ CDtj/n^ dieyder byfonder ettelyl^gelyhmdlen van eenige anderenbsp;grootheden E, F zyn : foo veelmaal als de eenenbsp;grootheyt AB^van d� eene Ets^foo veelmaalfuLnbsp;Un ookjille de grootheden AB �\-CD van alle denbsp;andere E^F x,yh.

a�tgev. Bew. Liaat AG,G Hj H Ryder� cd E , en Cl, Ik, KD yder�oD F iyn, foo is de veelheyt defnbsp;bzdef. 5 jjggigji A B ^ O� de v�elheyt der deelen C D, de-wyle nii

g I jgem.^ois AG *4- Cl -4- GH -4- IK -4� Hl'i -J-KD (dAB X 4-CD.) e po 3 maal.�,4� F z^ynde 3 even b foo veelmaal als de eene A B de e�n� E bevat, dat te bd*nbsp;wyfen was.

komt AB -4-CD 21 :Syhde c� 3 mSa� E-|hF 7 gt; dat is �venfoo veel maalais AB de grootheyt F is._

de derde DE, de vierde F^ en ihsgelyk^s de vjf-, de BGJoo veelmaal de tweede C^als de feJieEHnbsp;de vief de Fis: dan is de cerjte en vyfde t�fameit

�Vyfdt Buk. nbsp;nbsp;nbsp;*13

l^rhaiven A � -f- tJ G (b AG) c xo veel maal C j als '�Gge�* D � ^ E H ( H D H ) F is, dat te bewyzen was, ^ Jgems

Tn getallen.

PROPOSITIE 3.

S�o de eerjte A, is even fio veel maal de tweede 5, Fi�. i 8^ als de derde C de vierde D: en dan EI, FMnbsp;jder etteljkegeljke malen van de eerfte en der-de genomen werden ; dan is ook elk dergeno-mene, even veel maat van de andere, nam�ij/k^

Bewys. Laat EG, GH, Hl yder � 00 A, en Pk, KL, LMyder � 00 C zyn, zo is de v�elheyt �*'nbsp;derdeeleriEIbaode veelheytderdeelen FM.Wy-ders A dat is E G of G H ot HI is even v6el maalnbsp;o�, alsCofFK, �tKL, of LM van D is; der -oalven EG G Hceven veel maal van de tweede d-jjnbsp;� gt; als F K -J- K E vsb de vierde D. Op gelykenbsp;^'^eis EI (fiH4*HI)c xoo veel maalB als F Mnbsp;'PL^LIVI) van Dis, dat te bewyzen was.

H nbsp;nbsp;nbsp;In

i i4 E U C L I D I S.

In getallen.

komt E136 , en F M Z4 5 zynde EI 36 zooveel maalB�j als FM 24 vanD4is, narnelyk�maal.

^ PROPOSITIE 4.

Fig. 187 Soo de eerfte A tot de tweede B de felve reden heeft, als de derde C tot de vierde D�. dan z.uUnbsp;len ook Een F die ettelyke gelyke maaien van denbsp;eerfte A en derde C Zyn, de felve reden hebbennbsp;tot G en H tot ettelyke gelyke maakn van denbsp;tweede B en vierde D zyn, na fuiken muliit.nbsp;fUcatie als men vsil, 'indien de felve joo genomen werden da'ife onder malkander overeennbsp;fiemmen (�, G :;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H).

Ber Neemt I en K yder even v��l maal E en F, als cok L en M yder even veel maal G en H.

,,; y Bf�v. Dcwyle 1 even veel maal A is�, als K van C, ook L zoo veel maal B^als M van D is , ennbsp;b �t ge!gt;: A H :: CD. zoo c zal, iiidien t C~, 30 j quot;T} alsnbsp;c 6 d�t: 5 L is, pok K Cr, 00, als M zy n, en daarom de-wyle 1 en K even veel malen E en F , als ook L en Mnbsp;even veel malen G en H zyn, zal E� G e:: F, H jnbsp;zyn gt; dat te bewyzen was.

In getallen.

IZ � 9�8 � 6 multipl: 23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_

Hier uyt bewyfl: men de omgekeerde reden. WantdewylAj B;:G, D; indien Ec~,nbsp;als G is, zal insgelijks F f Cquot;, 00,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ak H zyn, der f 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Soo een groothert AB zooveel gel'fke malen een ander groothert C D i; als h�t afgetrockenenbsp;AE van het afgetrokkene C F is: dan is.poknbsp;bet overige EB [00 veel gelyke malen van hetnbsp;overige FD als de gehele AB van de gehele CD.

Ber. Neemt een andere grootheyt G A, die zoo veel maal de overige FD is, als de geheele A B vannbsp;de geheele C D is, ofte als het afgetrokkene A Enbsp;' �^an het afgetrokkene C F is.

G F .4. F D (a C D ) is ��, als de eene A� van d�eene i � ZOOisGEcooABnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t r ua.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bcy.

P reflGAdooEB zynde zoo veel maald3gfm:i ^ ��als ABvanC Disj dat te bewyzen was. eber.

Laat nbsp;nbsp;nbsp;A 15nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de geheele zya

en nbsp;nbsp;nbsp;A Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CFnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de aftrekkende

Jfeft nbsp;nbsp;nbsp;E Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j 8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zynde E B tweemaal F Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gelyk A Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C D is.

Pyfde Boeh

PROPOSITIE 7.

Geijlde grootheden AenB^ hebben een felfdp re-den tot een andergrootheyt C: ende degroothep C heeft totgelyke A en B de[elfde reden.

Ber, �Neemt D en E yder eenige gelyke len de gelyke A en B , ook F na gevallen eenigenbsp;gelyke malen C.

I. Stel/. Beiv, DewyleDboo Eis, daarom alsbg-gemu Dc�, 00, F is, fal ook E ITquot;, 00 , Fnbsp;lyn, derhalven A, C e ;; B, C dat tebewyfen was. c 6 def: snbsp;1. Steil. En omgekeerc G, A d ;; G B datce ,nbsp;bewyfenwas.

In getallen.

Byvoeg.

Soo in plaats van de menigvuldige F, genomen wederom twee gelykmenigvuldige, dan wert op defelve-wyfe getoont dat gelyke grootheden tot an- 'nbsp;dere gelyke grootheden deielfde reden hebben.

PROPOSITIE 8.

^an twee ongelykegrootheden ABenC.. heeft de Fig, 191 greotfte A B let een ander D, grooier reden alsnbsp;H 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de

Ii3 E U C L � DIS.

%y-1, , Ber. Van A B � fnydt A E co C � neemt H G gt; G F fodanig dat H G foo veel maal A E ot' Cnbsp;als G F de overige B E is , neemt dan IK foonbsp;veel maal D dat 1 K grooter is ais H G , maarnbsp;kleynder als H F.

I. Steil: Bew. Dewyle H G foo veel maal A E ebeunbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c als G F van E B is , foo is ook de geheele H F

d^�: J. foo veel mael de geheel A B d als- de eene H G van de eene A E ot C is , maar HF c CTquot; 1K ennbsp;HG IK en I K is c gelykmcnigvuldig D,

In getallen.

t,aat A B 12 Van iz tot � is 2|,nbsp;de de reden van 8 tot y.

Wederom de reden vari y tot 8 is ^ dat meerder

isals:jf5 zynde de reden van y tot 12.

PROPOSITIE 9.

Fig. 192 De grootheden nbsp;nbsp;nbsp;B die elhjot een ander C de felf�

d,e reden hebben zjngelykj. ende tot welke B , een ander C de [elfde reden heeft, die z.yn ook.nbsp;gelj/k.

I. Steil. Soo niet A co B is gt; foo moet A

Vyfde Boek. nbsp;nbsp;nbsp;119

C� of � 2,yn , derhalven � C� of ^ tegen �8: j. �[ voorftel, daarom A oo B, dat te beffen was.

gquot; CTquot; tegen �t voorftel, en daarom.o�k A nietb8: ^ n B, ergo A 00 B, dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, �

/� getallen.

Laat A3, B 3, G 2 zyn , de reden van A tot C is I �, en dewyl de reden van B tot C pok-foo veelnbsp;is foo miiltip: de i * met C 2, komt 3 �,^yntie geiyk B,nbsp;dat te bewyi�n was.

Wederom de reden van C tot A is ^ foo is ook de reden van C tot B, daarom C-2 doorf ged'eeltnbsp;komt 3, zynde geiyk B.

PROPOSITIE lo.

Van eenige grootheden B is^dej� de grootfte die degrootjte reden tot een ander C heeft: endenbsp;die tot weIke defelveC~degrootftt reden heeft isnbsp;de kleytifte.

B'ev;. SteltmenB oD A, fooisC, Bc ;; C, a,c7:5. tegen �t voorftel en ftelt men B c~ A,d3R is ^ d er d 8; 5,nbsp;ook tegen �t voorftel,ergo B'U A dar te bewyfen was.

H 4 nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/�

ua E U C L I p I i

In getalkp.

Laat A Bj B 6^) C lo zyn, de reden van A 8 tot C lo is f , en van B 6 tot C iq is |, nu |nbsp;is meer als daarom A meer als 13.

Wederom de reden van 'C lo tot B 6 is if, m van C lo tot A 8 is il , maar i| is meernbsp;tls , daarom. B minder als A.

PROPOSITIE M.

Flg. �94 Ah eenige radens , by fonder een andere reden ge-dan z.yiaz.e alle tnnUeAndergtlyf.

zy.xi Ber. a NeemtG, H , I elk na geval gelykme-nigvuldigA, C) E: endeKj L, Melknagevall* gelykmenigvuldigB, Dj F.

b�tg�gt Bew. Omdat Aj Bb : : Ej F, foo fal, indien e�d�f:5. Q c-, 00 TD K is, ook Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ooquot;^ M zyn,

cri mede oni dat E, Eb :: C, D foo lal indien I C�, 00 M. is, ook insgelyks H c CT, oo, '^3nbsp;L zyn derhalven foo G ^, oo K is , fal

digemri nie�deHd^, oo - '^Lzyn, daarom A,Be:;Q, e 6 dcf-5. ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jg bewyfcn was.

In getallen.

nu ^ 8 tot 6 als ix tot 9 en 4 tot 3 als 1 i tot 9nbsp;daarom 8 tot 6 als 4 tot 3 door 1 g^m. i

Fyfd� Boek

Byvoeg.

De redens die aan een felve reden gelyk zyn, die zyn ook onder malkanderen gelyk.

So 'er foo veel geproportioneerde grootheden zyn als men wil A en B ^ C en D ^ Een F^nbsp;zig een der voorgaande A, tot fyn volgende Bynbsp;alfoo j uilen alle de voorgaande A CyE tot aUnbsp;Ie de volgende B, D ^ F zyn.

Bew. Dewyl G -4- H I foo veel maal A . -4r C -f- E IS b als G van A j en K L b i:

ende dat A, Bc ::C, Dc :: E, Fis, foo fal in-j.,,�g; dien G C�. 00 3 quot;T3 K is, ook H CTquot;, 00 3nbsp;G, en 1 C~, co 3 M zyn , en daarom foo Gnbsp;Cr, co, ��n K is, fal G � . H 4- 1 CT, 00,

K -4� L -4 M zyn , derhalven A, B : : Ad6def;5 ' 'C4�3B-{- D-f-F, datte bewyfennbsp;Was.

In getallen.

Dewyle 2 is tot 3 als 6 tot 9en 8nbsp;tot I Zjlbo heeftnbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mede 16 tot 24

A~4T; -4-^1 l�. 134 D 4 E 24 want de reden

van alle is f.

H s nbsp;nbsp;nbsp;Ge.

i^^ E IX C L I D I S.

Gevolg.

Hier uyt blykt, foo men tot gelykformige pro-partionale , gelykformige proportionalen toedoet gt; de fomtne lullen ook propqrdonaal zyn. .

PROPOSITIE 15.

F)g.i9^'Soa de eerfie A iot de tweede B defelve reden heeft ., als de derde C tot de vierde P , maarnbsp;dat de derde C tot de vierde Dgro�ter redennbsp;heeft als de vyfde E tot de fefie F, foo heeft ook^nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de eer ft e A tot de tweede B ghoter reden, ais

ajt�. Ber. � Neemt G , H , I even veel maal A, C5 E; en K, L, M even veel maal. B,-D, F.'nbsp;b�tgegs Bevj. Om dat A i B b :: C j D is j 'foo falnbsp;indien H tT* L is ook G C* K fyn , irnaaf om

In getallen.

A 8. B 10. C T2. D if. E ry. F. 18. de reden van A tot B is |nbsp;van C tot D mede |

van E tot F is i zynde grooter als dat is va� G tot D gt; ook mede van A tot B , om dat dienbsp;mede i is.

yyfde Boek, Byvoeg.

P R O P O S I T I E 14.

Indienin vier geptoportianeerde grootheden de eer- Fig. igy fte A greater is als de derde C, fal mede denbsp;tweede B gtooier zj/n als de vierde D ^ maarnbsp;als de cerfte Agelykjle derde C is, fal de tweede B gelyk^ de vierde t) tyn, en de eer fte Anbsp;kleynder als de derde C, fdlAe tweede B kleyn-der als de vierde D zyn .

2. nbsp;nbsp;nbsp;Steil.- Met gelyk bewys , fo� A C is falnbsp;Bd--3 j;)7,yn, dat te bewyfen \^s..

In getallen.

3- nbsp;nbsp;nbsp;y - 6--y--6

12^ E U C L I D I S.

in �t eerfte is A grooter als Cdaarom B groo-ter als D. In �c tweede, is A kleynder als C, daarom B kleynder als D. In �t derde is A gelijk C } daarom B gelijk D , dat alles klaar vertoont.

Byvoeg.

PROPOSITIE 15.

JDegroothedftiC, en F zyn tot malkander als haar geljke malen AB en D E ^ indien fj/genomennbsp;werden datfe onderling over een [temmen ( AB^

DE ::C, F.)

BevJ. Laat A G , GB yder 00 C , en D H? HE yder oo F zyn, foo is de veelheyt derdeelennbsp;. c., A B a 00 de veelheyt der deelen D E , derhalvennbsp;b;:?. AG, Cb:;DH, FenGB, Cb::HE, F,nbsp;en daarom A G GB (AB), DH H Enbsp;c 12; s. (D E gt; 9 :: C, Fdat te bewyfcn was.

In getallen.

kooit A B 6 tot D E 4 als. C 3. tqt F

PRO'

f^fde Bo�k.

PROPOSITIE II?.

So vier grootheden A, C, D proportionaal die verwijfelt ^ zynmede proportionaalnbsp;(Aj C :: B, D.)

Bew: Dewyle E , F� :; A , B ^ : C , D� :; a i J: ?. G , His, f�� fal indien E �T, oo , ��D G is.-V.sf

derhalven A , ,4; 5

De Verwiffelde reden heeft alleen plaats,, wanneer de grootheden van een natuur lyh: Want die van geen een natuur konnen met malkanderen nietnbsp;Vergeleken werden.

PROPOSITIE 17.

Indien de vergaderde grootheden proportionaal zyn ( AB , CB :: DE^ �F) defelvegedeelt,nbsp;K.ynmedeproportionaal AC ^CB :; DF,FE.

Bfr: a Neemt G H , HL i IK , KM elk in^ gelyke malen van AC,CB, DF,FE, ooknbsp;I-N, MO gelyke malen CB, EF.

126^ E U C L I D I S.

Bew: Degeheele GL is fbo veel maal de gehee� b ir 5. Ie A B ,, 1� als de eene G H van de eene A C datnbsp;cbei! is ' als I K van D F , en ook als de geheele IMnbsp;van de geheele D E. Wyders is H N ( H L 4-j j,: lt;.gt; L N) foo veel maal C B lt;1 als K O ( K M.nbsp;e�tgeg: JVlO) van F E is , dewyle dan AB, 3Ce : :

DE} EF, is, foo fal , indien GL CTquot;, 00 quot;D ffidehyHN is, ook IMfC~, 00�? KO zyn, vande-felve genomen, HL 00 KM, lbo fal, indien denbsp;overblyvende GH C�, co, LN is, ooknbsp;g5gem:� IK g CT, oa , ^ M O zyn , en daarom A C,nbsp;CBf; :DF, FE dattebewyfenwas.

In getallen.

PROPOSITIE 18.

F ig.\oi Soo de grootheden gedeelt ^ frofortionaal zyn AB^ BC : : D�, � F, difelve vergadert z.ynnbsp;medeproportionaal zjn AC^ BC : : DF^FE.

Bew. Indien niet AC, BC;:DF, F Eis, foo moet tot DF een CTquot; ot quot;n als FE zyn, ftellenbsp;een name,ntlyk F G, dan is AG, CB:: DF,nbsp;al?: lt;� F G derhalven gedeelt AB. BG�::DG, GFnbsp;b�tg'g: en AB, BCb ;; DE, EF, ergoDG, GFc;;nbsp;d,gemn ^E gt; E F. Maar DG d cT DE daarom GF*nbsp;ei4:5* CT E F dat niet wefen kan i op defelve wyfe kan

Pyfde Boek. . nbsp;nbsp;nbsp;127

tot D F ook geen Cquot; F ti zyn j derhalven A C, B G :; D F, F E dat te bewyzen was.

In getallen.

Soo de geheele AB totdegeheete DEis.^ alt de Fig.TMt. af^etrockene AC tot de afgetrockene DF.^ /egnbsp;fal 00^ de reft CB tot de reft FE z.yn als dege-heele A B tot degeheele D E.

Bew. Dewvle AB,DE�::AC, DF foo a gt;t �oe, is, die verwiflelt zynde AB, AC *�:: DE, DF.,nbsp;defe gedeelt is A C, C B c ;; D F', F E dit wenbsp;derom verwifleltis AC, DF^: :CB, FE maar*^ ^7- 5-AC, DF�: ; AB, DE ergo AB, D E d : :

Gevolgen.

UB E U C L I D i s.

proportionale , gelykformige proportiohale aft�ekt �de reften proporcionaal ryn.

Laatzyn i\B, CB:; D�, FE. Ikf�gge AB, AB-CB (AC) ;; DE, DE-EF (DF) Wantnbsp;verwillelt is AB , DEgt; ; : CB, FE derhalvennbsp;AB, DEb ;; AG, DF i defe wederom verwii-felt is A B , A C � ;: D E j D F dat te bewyfennbsp;was.

PROPOSITIE, a�.

Fiig. loj So nbsp;nbsp;nbsp;de drie grootheden Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aan et een, id

drie D ,E , F aan d'and�r zyde, twee en tw�� in een reden zyn A^ � :: D ^ E enB ,C :znbsp;E , Fendedat ingelyks reden de eerfte Agroo-ter, gelyk, kleynder is, als de derde C, dan falnbsp;oofde vierde DgrootergelykMeynder z.yn als denbsp;fefte F.

, ^ nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- g ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;........... �

z. Suil. Met gelyk bewys wert getoont, als A C is, dat D quot;n F is, dat te bewyfen was.

,r. Wde'BoeL. j pcj /� getallen.

'lirtlef� 3 Exempelen as t�eikens, A tot B als D tcTt E, fen 13 tot C als E tot F: Meii liet daar �uitnbsp;i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AgrooterisalsC, dat lgt; grooter als

z; Exen7p: A gelyk C, dat Igt;.gdyk Fr. 7 p-E^jientp: A kleynder als C, dat D Icleyndernbsp;als F is.

^00 van drie grootheden A ^ B^C^ammd�een , ende 2.04 , drie D, �, F,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'ander z.jde^ twee en twee in

eeneredehzjn^^ endat hare proportie beroert 'is. ^ i' (.A. B '.�.E, F ende B^C::nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ef en-ais dan in

t -geij/kp reden de e�rfie Agroote^gelyk kieynder als d� derde C is^ fal mede'de vierde .D groo^nbsp;ter j geiyk\ kleynder als defe^te Fjpn. i

1 nbsp;nbsp;nbsp;Ia

E U e LID I S.

�� . � ' - ^ -!� 6 '	Ik getallen.
At*-- 18D	A-6 -fi- 4 D
Q B 8 � 9 E	B..8~3E
G 4� r6F	G,� ^ 4 F

A �-r-iD /Bi4 -r 3 Enbsp;Cii ^ 7,Fnbsp;Ift defe 5 exempel�n isit�eysens A tot B als E totnbsp;F, en BtotCalsDtotEzynde, een beroerde proportie v�lgensquot; de J9def;5'. Men fiet daar, dat als,nbsp;A grooter als CisdatDgrooter als Equot; is. i Exetnf.nbsp;AgeiykCdatDg�lykFis. z Exemp.

' P R: O- � O S I T I E ai.

tig. zap Indien ^erfia veelgroothedeu zyn als men -wil jS ^ Clj ernie me�e fop veel anderenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F dewel�

� tweeep twee genomen tn eene reden zyn .( A.^ B t D .,.E en B ^C:: E , F) j defen ingeiykenbsp;reden zyn geprpportioneert (^, C: ; Dy F.)

Ber. � Neemt G, H van A, D, eni, K-van B, E, ookL, MvanC . Felkgelykemalen.,nbsp;b�tgev% Bm,-Dewyle A , Bis*�D, Efoo isG, 1 = ;:nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ H, K, en op delelve wyfe is I, L K, M der-

Op defelv� wyf� als �er meer als drie grootheden wederzyds zyn, dat C, N F, O is, wertuyCnbsp;de gelyke redens getoonc A , N :: D , O dat t�nbsp;bewyteh is.

Vyfde Boek. In getaUtn.

Soo van drie grootheden ^4, ^, C, ende wede foo pig, lo� veel andere D.,E^Ftwee en twee in eene reden.^nbsp;ende beroerde proportie zj/n{A^ B :: E.^ F en Bynbsp;C:: Dy E: foo futlen defe in gelyke reden ge^nbsp;proportioneert zyn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;'

Eer. a NeemG, H, Ivandefelve A,B, D, alsjj.i 6ok K , L(, M vandefclve C, E , F elk eenige gelyke malen.

Bev)\ Zoo is G, H b ;: A, B � : : E , F b : ; b ly: y. L,M. orders�mdatB,Cc;; D E/ooisH,Klt;i;:

I, L , derhalvenG,H, K en Ij L, M^ynonder '** anderen beroert, volgens 2t : y j en daaromnbsp;fooGcquot;, ooj 'rnKis, fall C, 00, M 7.yn,nbsp;^erhalvenAj Cc.�rD, F. Opdefelvemanier alse�def: Jnbsp;meer als drie grootheden zynj dat te be wyfen was.

In getallen.

G$.

E U C L I D I S.

Gevolg.

5 e^n 10. � dens t�famen gevoegt, ook onder malkander ge-dcf. 5. lyk xyn: als ook dat defelve deelen vandefelvere-dens onder malkander gelyk zyn.

PROPOSITIE. 24.

Fig. 107 Soo de eeyfte A B tot 'de tweede C fuiken reden heeft, als de derde D E tot de vierde F, en datnbsp;oo^de vyfde B G fulke reden heeft tot de tweede C ale de f�fte E H tot de vierdenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dan is

mede defommedereerfteenvyfde {AG) tot de tweede C^als de fomme der derde en fefte {DH)inbsp;tot de vierde F.

Beugt;. Om dat AB, C�; : D� , ende door �t voordel omgekeert C , BG F, EH, lbo isnbsp;uyt de gelykeredensbeftaandcA!3, BG lt;= :: DE,nbsp;E H , derhalven vergadert AG, B G = ; : D ti ,nbsp;� H, maar 13 G, C� .�: E H, F, en daarom wederom uyt de gelyke redens beftaande AG, C b ;;nbsp;DH, F, dattebewyfen was.

/� getallen.

AB'	C DE	F
l� �	� tz- 8 �	-6
13G 4	EH 2
	- C nbsp;nbsp;nbsp;DH	E
AG 20	� 12 � 10 �	-.6

Soo vier grootheden proportionaal z.yn {AB^CD'. \ pig. 108 -E, F; dan zyn de groot ft e A Ben kfeynfte F tenbsp;famengrooter^ als de andere CDenE te famen.

Bew. Dewyle A B, C D b :: E , F c ;AG ibVi^eg'* C K loo is A B, C D 4 :: G I5, H D j maar A Bc s-Cquot; C D derhalven G B�cr~ H D. verders.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ '9: S-

add:GB C~H D boven bewei�n. komt AG F-f-GBhc- CH -4- E -f. H D,m3ar ^4 gemunbsp;AG -f.G Hi 00 A BenC H H Di ooC DjergoiGg�'quot;!'nbsp;A B -4- F Cquot; C D -J- E dat te bewyfen was.

In getallen.

AB4.F ti.DC Eio

NB. De volgende 9 Propofitien , en tyn van ^uclides niet, maaruyt andereKonftlievende haarnbsp;�oeken verfamelt en om haar menigvuldig gebruyknbsp;^yn die eertyts by die van Euclidesgevoegtj gelyknbsp;ook fullen doen.

PRO-

E U C L I D I S.

P R O P O S I T I E . 26.

i09 Soo de e�rfte A tot de tweede B, eengrooter reden heeft, als de derde C tof de vierde P : fo/al om-gekeert de tweede B tot de eerfte A een ^eindernbsp;reden hebben, als de vierde D tot de derde C.nbsp;Ber. Neemc E, B:: C, D.

Om dat de reden A tot B, alsZ) grooteris, als van C tor D, die 1 -1- is; daarom de reden van Bnbsp;tot A als [ is minder als van D tot C, die | is.

heeft, als de derde C tot de vierde D z.00 zal verwiffelt zynde de eerfie A tot de derde C eennbsp;grooter reden hebben, als de tweede B tot denbsp;vierde D,

A �^ nbsp;nbsp;nbsp;E , cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E B

ergo^tr* 5 dat te bewyfen.

'�Vyfdl Boek.

B nbsp;nbsp;nbsp;c

6 -7-

G nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D

7 nbsp;nbsp;nbsp;4.^ve{fvi{fek.

� nbsp;nbsp;nbsp;' � g:

D ��i-- - V 'O-Jii

Gtn dat�de reden ^an-* A'tor B, als i�y gr�oter isals vanCtotDj die i| is : daarom d?, redennbsp;A tot C als i-|'Ook grp�ter 'is' ajs van,B t�t D� 'nbsp;Zynde ii-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

PR O POS IT I Soode eerjle AB tot de tu/eed�' BC .groeier redennbsp;heeft^als de derde D E tot de vierde E F dannbsp;fdl de vergaderde der eerfie en ru/ede AC tot denbsp;tweede BCgroot er reden hehhen^ als de verga-,nbsp;derde der derde en vierde DF.jtot de vkr.de EF^ . ^�

Ber. Neemtgg 00

� nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, AB ^_DE

. Om dat 5^ �

Soo is A B C' G B ? ,� BC c� BC

In getallen.

1^^ EU e ^ I s.

Om dat de rede^i'van -fi-d^' fct BC zynde z , grooter is als van � � tqt^ E 'F zynde 11; daaromnbsp;de redeo A ,tot 13 .C zynde .3 grooter ik. a^- denbsp;reden van D F �ot E F. ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;

fig. Ui Sao d� e^'fle A C, Ui d�'tweede B Ceenfooter re-de'nh�eft ah de derde hp tot de vierde EF de felve .ge deelt [al de eerfie AB toteifi tufeede BCnbsp;groot�f reden bebbe .y dis de derde ^ E tQt cienbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� � vierde E F.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� '

In getallen.

BC D F

� 8--14 �

EF 6

BC �-

8 �DE8

't Is openbaar dat de reden van 12 tot 8 (ak ij) grooter als van 8 tot 6(zynde li )

.ri \Vyfde Boek nbsp;nbsp;nbsp;157

Soo de eerfie AC tot-de t-weede B C ^ ^rooter reden Fi^. jij heeft als de derde DF tM- de vierae � F joofalnbsp;door omkeering des redens , de eerfte AC tot denbsp;tweede-A B kjeynd -r r- den hebben, aL de derde D F tot de vierde D E.

In getallen.^

Om dat de reden van 10 tot 4 (als ij grooter is als van 7 toe 3 3 (zynde 2-}): daarom de reden vannbsp;�o tot � (als i f ) minder als van 7 tot 4 (zynde i(.)

PROPOSITIE 31.

So 'er drie grootheden A^B^Caan d'een^ en drie D^Fig.zi^ E , F aan d'andere zj/de, en datter een grooternbsp;reden is der eerjte A-van d eerftezyde tot B denbsp;twede derfelver^ als van D de eerf e der andere

�JS E U G L X D I S.

ede derde derfelver als van E de tw�de der an� dtre^tot F de derde derfelver ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ijfer

eokg�lyke lyk een groter reden der getjte A van de e^rfie zyde tot de derdeC derjelve z^yde^aU denbsp;eerfi�i) vdn de 'andere tot de derde F(^^c~

A nbsp;nbsp;nbsp;H LJ

i-i 5 dienvolgens c ' c nbsp;nbsp;nbsp;bewyfen waS,

In getallen^

1 o D Om dat d� reden van � 8 Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12. tot 9 (ais 1^) meer

7 F nbsp;nbsp;nbsp;is als van 1 o tot S (z.yn-

de Ij) en van 9 tot 6 (als ij) meer is als 8 tot 7 (z.ynde i)) daarom is ook de reden van 1 % totnbsp;6 (als 2) meerder dan de reden van 10 tos 7nbsp;(zyode i?).

PROPOSITIE iz.

F*i.' Soa van drie grootheden i?, C aan d^een en drie D,E^F aan d�ander zyde en datter een grooternbsp;reden is dereerfte A van de eerjie grootheden ^nbsp;tot B de tweede, als van E tweede tof F derde

der andere grootheden C~ | ) als ook^eeti grooter reden der tweede B tot de derde C dernbsp;eer/tegrootheden, als der eerjie D tot de tweede

Beui. Om dai 5 �CTquot; g , daaromB b CT G,,a�tgcgj

derhalven 5 lt;= Cquot; nbsp;nbsp;nbsp;gt; crnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ oq ^ , diesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b A CT- ^

A nbsp;nbsp;nbsp;Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D

Hgt; en daarom c nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'f gt; dat tenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bewyfeneijij

Was-

In getallen.

A 36 - 2.0 D nbsp;nbsp;nbsp;Om dat de reden van

b 11 -- 10 E 36 tot II (als ;) meer

f F is dan yan 1 o tot f (iy n -

� nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- J nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;------ ----

de a) en de reden van i z tot 4 ( als 3 ) meer als Van ao tot 10 (xynde z) daarom ook de'redennbsp;van 36 tot 4 (als 9) meerder dan van zo t�t f gt;

PROPOSITIE 55.

'er een groot er reden is van degeheele A B totfig, j,ig degeheele CD^ als van de afgetrok^ne AF. totnbsp;de afgetrok^ne CF, zo iff er ook eengrooter re.,nbsp;den van de reft E B tot de reft F D als van denbsp;geheele AB tot degeheele C O.

^ (Jf gt; daarom door de omkeering des redens e gb 17; j

c quot;quot;�i CD nbsp;nbsp;nbsp;A �inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E B

, F,D gt; ergo verv/iffelt, is nbsp;nbsp;nbsp;dat tec 36: 5

Dewyxen was.. nbsp;nbsp;nbsp;/a

?40 E U C L I D l S,

' .....In getallen.

10 tot 8 (die T) is) daarom is de reden van 6 t�t 4 ( ais 1 -J) ook meerder als van 1-6 tot 12.

; R R O P O S I T I E 54.

So veel grootheden A, B, C amp;e. aan d^eene als men 'H'il-.j en mede foo veel andere D, �, Famp;c. aannbsp;d'aader z.yd.^eride dat de reden di r eerfte A vannbsp;ddeene.fot D de eerfte van dquot;quot;andere zjdegrooternbsp;is, dis van B de tweede van d�eene, tot E denbsp;tweede van d'ander zyd , en ookjie reden van Bnbsp;de tweede van d^eene tot E de tweede van d'an^nbsp;dere z,ydgrooter is, als de reden van C de derdenbsp;van �'eene, tot F de derde van d'ander xyd, ennbsp;foo voorts-^ foo fal de fomme A, B,C,�c. van allenbsp;de grootheden aan d'eene zjyde tot de fomme D,E.^nbsp;Famp;c. van alle de grootheden aan d'andere zyd.

1. nbsp;nbsp;nbsp;Grooter reden hebben als B .Cifc te famennbsp;de fomme van alle de grootheden uytgenomen denbsp;eerfte A aan d'^eene tyd ,tot E Famp;c,te famen,nbsp;de fomme van alle de grootheden uytgej�naert denbsp;eerfte D aan de andere zyd.

2. nbsp;nbsp;nbsp;Kleynder reden hebben als A de eerfte va^nbsp;d�eene, tot D de eerfte van d'andere zyd.nbsp;Grooter reden hebben als C de laatfte vannbsp;d�eene tot F de laatfte van ddander zyd.

Dat

l^yfde Boek,

�5e grootheden van d�eene xyd A gt; B1 C amp;c* en van d�ander zyd D, E , F amp;c

de '�eOA B CtotD E FC^^^^ P-

cr.

X42

Op defelve wyfe wert getoont als �er meer, als drie kro�theden wederwd'^ zvn als G en Hi dat

A4.n4. C 8o. 3y D E F

Om dat de reden van 36 tot �z (als 3) meer is,' alsdie van 28 tot 14 (zytide 2) ende de reden vannbsp;aS tot 14 (als i) meer als die van 16 tot 9 (zyndenbsp;i|); daarom de reden van defom 80 tot de lom 3J�nbsp;(als meer als de reden der fom 44 tot de fom 23nbsp;(zynde t)

Als mede de reden 2^ meer als de reden van �6 tot 9 (als en foo voort met meerder getallennbsp;insgelyks.

SESDE BOEK.

hoeken byfonder gelyk gt; ende de zyden om de geiyke hoeken geproportioneert zyn.

De' hoek B x D C E , de hoek A X D en de hoek A C B x E gt; dit foo ^ynde alsnbsp;dan ook AB, BC:: DG, CE, en BA-,

CE, E D is , dan 2,ynfe gelykfbrmingh, maar een van die ontbrekende dan zynfe nietnbsp;gelykforming. '

Dat is in vier proportionale zyden, daar de eerfte en vierde ind'eene, ende de tweede en derdenbsp;in d�ander figuur zyn, befiethier vande 14 ennbsp;1 y Propolitien dtffes.

en middelfte reden gedeelt te zyn, als de ge-heele A B tot het meefte deel A C is, als bet felve meelte A C tot het kleenftc deelnbsp;CB (datis AB, AC::AC. CB.

1� He hoogte van een figuur ABC, isdenperpefl- fig.iii diculaar AD, getrokken van de top of hetnbsp;bovenfie A tot op den balls B C.

144. E u e L I D I S.

5. Een rede� wore gefegt uyt redens t�famen gefet te zyn , als de^rootheyt der red^s met mal-

� nbsp;nbsp;nbsp;kander g*iTJultipliceert zynde een andere re*nbsp;det'uyt brengen.,

Gelyk otdaar driegrewtheden2,yn A,B, C j foo wert de redetfi'.^^ti A tot C t�famen geletnbsp;uytae redens A tot 13, en B tot C, want

PROPOSITIE I,

Eer: a Neemt foo veel maal gy wilt BG, H G yder 00 B C, ook DI co C D en b trekt A G,nbsp;AH, AI.

Bew. Dewyle deA fACB, ABG, AGH e 00 zyn . als ook deAACDcoo ADI, daar-om de A ACH fpo veel maal de A AGB alsnbsp;de bafis HC de bafis, BC i8, als ook de A AGinbsp;foo veel maal de A A C D als de bafis C1 de bafis CD is , foo fal indien HG f, OD GInbsp;is, ook de A AH C d cquot;, co de A ACInbsp;7,yn , dcrhalv�n BC, CD'::A ABC, A Anbsp;C DC; O GE, OC F, daccebewyfenwas.

Br.

Sejle �oek. Byvoeg.

^ Mier viyt hebben de Triangels ABC , DEF�V.iii en de parallelogrammen, AGBC, DEFHnbsp;diens Bafen B C, E F gelyk zyn , toe malkandernbsp;als haar hoochtens. Al, DK. ,

Bew. Het blykt dat de ^ A L 1 c oo A B C en . .g. j' ^ D K M c Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O E F is, en daarom A A B C, h ,

t�ROPOSlTIE 1.

ji�s in een Triangel ABC^ een linie D E parallel met een der z.yde.BCgetrocken wert, deje fal denbsp;andere zyden AB ^ A C pt oportionaal dedennbsp;{AD ^ BD �: AE, CE) ; En als de zydeanbsp;AB^ ACproportionaal C AD^ BD:: AE ^

I. Bew Om dat D E �gt; �= B G is , daar�m b�tger. ADEBcxaDEG; derhalven de A D E, c 17. inbsp;D BE d :: A uE , EC D , maar de A A DE,d7 5nbsp;ADBE� AD, DB en A ADE, A DEeiS.

2. Steil

Wanneer �er meer parallelle gctrocken werden, met eene lyde des Triangels, foo (uilen alle de dee-len der zyden proportionaal zyn, alslichtuytdefesnbsp;te fien is.

PROPOSITIE

een hoek BAC ged'eelt wort in tweegelykg doelen , deje den hajis BC doorfnjdende yfal defelvc deelen: in fuiken reden als de andere zyde AB^nbsp;AC tot malkander hebben (BD, DC :: AB ^nbsp;AC) : ende foo de deelen BD, DC der baJis BC^nbsp;tot malkander zyn als de ander z.jden AB, ACnbsp;des triangels ABC(iSD, DC:: AB, AC) dannbsp;fal de rechte linie DA de hoek_BAC in twee-ennbsp;gelyke deelen.

^an degelykhoekige Triangelen ABC, DCE x.yn pig, ^5 de zyden om de gelyhe hoeken B, DCE propor- ;nbsp;tionaal { A B ^ BC :: DCCE} ende de inbsp;zyden AB , DC die overgelyke hoekefi ACB ^ .

Ber: �Stek de A� ABC, DCE aan malkan-a ?.i�h der, dat de 2.yde B C met CE in een rechte linie gt;5 g��-zy , en verlengt BA, ED tot datfe t� famen k�men. .

Bew: Om dat de hoek B h x E C D is , daar-, om B F c e= C D, en ook de hoek B G A X g �

oen d CJ , en overfulx AF � x C D en A C ' d 3lt; defc X F D , vorders is A B , A F (C D) f: : BG, inbsp;C E en verwiffelt AB,BC6:;CD,CEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

148 � U � LID I S.

Bjvoeg.

Hier oyt blykt foo in een Triangcl F B E de rechter A C parallel met een zyde F E getrocken is, ibo is de Triangel ABC gelykformig de gehecle FBE.

t� R � P O S i T I E s-

Zoo twee TrietHgeh AB (2D E Fdez.ydenge.-proportioneertz.jfn{A B.^BC :: D E^E FenAC^ B Ci: D F, E F, -ook^AB., AC::D E.,DF,nbsp;fo zyn mede de hoeken over welke de zyden vannbsp;eene reden zyn, malkandergelyk,

B�vj: In dc A* ABC, GEFisGEj EF=:: AB, BCd;;OEj EF daarom G E � 00 D E gt;nbsp;00k is GF, FE c :: AC, C B d ; ; D F, EFnbsp;daarom G F ' 0� D F derhalven de A* D E F,nbsp;G F E de zyden d� een d� ander gelyk zyn, en daaromnbsp;de hoek DFEfooGFEgcoCend� hoek F E D fnbsp;ooFEGgooBen overfulx d� hoek D b 00 A:nbsp;da: tc bewyfen was.

PROPOSITIE 6.

Zoo twee triangels A BC^D E F elk eerien hoek B gelyk D E F hebben ende de zyden om defelvenbsp;geproporttoneert zyn{ AB B C:: D E^E F)nbsp;fullen mede fnlkp Triangels geljkhoekig zyn ^nbsp;waar van defegelykjzyn, over welke de zydennbsp;ingelyke reden zyn.

SeJU ^oek.

dat de ^ AJPC , GEF P gelyk--|^f boekig daaromHJE / EFSir^ftBj- BCf::d4:6.nbsp;DEj EF derhalven DE e x G E, en dewyl de'9� 5nbsp;boek D E F f X B c x ,G E F is , foo E E F D g 'nbsp;00 E F G c co 6 dies ook D b x A dar t� bewyfen | jlj inbsp;was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- ' �gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

Soo Hi/ee trianaels A,pP^ DE F elFeene^ .^oekF�g-^^9 Agelyk^D nebben^ e�ae de z.yden om een anderenbsp;hoel^ A B C\, E geproportioneert z.yn ( Anbsp;B C: :Dɑ^E'Fyt zynu-deoverigeheekenC^nbsp;Fbejdee�F^kleyttderofgrooterahre'c(}tzyn^foonbsp;zyn die triangels ABCypEFgely^h��kig^waarnbsp;van dtfe gelyk^ tyn\ �m -welke de zydengepro-portioneertzyn.\

Ber. SjelJe de hoeke� C e�i F beyde,kleyndef,als yecht foo^ dan de hoek !ji ni� x E is , foo cpoecnbsp;die cr of quot;quot;D zynftell� de hoek ABC CT E,nbsp;en�maakdehoek ABG 00 E.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aijti

fif w. 4n df A i �f. �t' gt;D E F is de hoek A B G b X E , d�hoek A c x D dies de hoek A Gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

fi d xFgt; en daarom AB,.-i3Gc;; D�, E Ff.: djx'f. AB , BC derhalven �G f quot;oBC eh vervolgens�4.6 *nbsp;de hoek BGGga)Gooquot;I3 als recht geftelt,^^!?*nbsp;en daarom de hoek B G A h x F i x CT als recht, Inbsp;tegen �t geftelde , want wy hebben G en F beyde bcwcfen,nbsp;minder als r�cht geftek.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;itgey. .

Pp defelve wyfe were dele ftrydigheyt getoont/F* als de hoeken C en F be yde grootcr als recht zyn,nbsp;daarom konnen de hoeken A B C en E niet .onge-lyk^yn . derhalven de ABC, DEFk gelyk- fe jii | � 1nbsp;hoekig dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;PRO-

E U (G 'E J Xgt; I S

J^'V �

tigtx'yi 'Zoo in 'e�ri rfcUtho�^ge, Xricmgel A�C t$yt deti. ,'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ rechten hoek, A tof.den b^Jis BCgetrokken wert^

den perfendiculaar AD, dan zjn de triangels ADBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'aan bfyd?^ zyden depenpendicu-

B�vj. De A� ABCgt; DBA hebbengt;dei ioek itisem. � gemeert gt; d� ho^..A � co D , die* is de hoeknbsp;^ * B A Pgt; OQ ,G gt; pp defelyp wyfe is d� hoek CADnbsp;,CD B, derhalvcn' ali�j A* gelyfehoekigj en daaromnbsp;alle aaft-malkander e gelykt�rtriigj dat te^ewylen was.

I, HieruytBD, DAdjcDA? DC. ay'BG, AClt;i;:AG, DCi en CB, BAd:jnbsp;BA, BD.�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- 'i

V If^erk, Neme dat het j'van A B moet afgelne* den werden , loo trekt uyt A de oneyndige A G,nbsp;a J- � makende den boek B A C�na gevallen, en � neemtnbsp;in dcfelve foo veel gelyke deelen als gy moet affny-b 1 beg: Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gjj hier drie AD, DE, � F fo groot gy wilt, en b

, . trekt F B , dan uyt D , * getrocken DG c=3 ' * � ' F B die.fnydt van A B het begeerde deel A G.

komt ABgt;AGe;:AF, AD, maar *. ADistoojAFj quot;�n daarom AG goj J ABg�gem;*nbsp;dat te doen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

PROPOSITIE lo.

Een gegeven rechte linie AB te deelen in F en G, Fig, zj�, geljkfermi^h ietr g�g�ven rechte linie A C dienbsp;^edeelt if tn D'fn Ey �

�t IFerk. Stelt 'A B aan AC met een hoek B AC foo*t vak, en� trekt BC, dan DF, EGbnbsp;B=3 C B die fnyden A � na begeeren,

D E d :; A F 5 F G., en om dat E G * ^ C B is, daarom DE, EGd::Dl, 1 H, maar Dlf.io

Byvoe^.

Hier uyt Iccren wy een gegeven rechte linie A B Fig, zjj in foo veel gelyke deelen (ik neem 4 ) te deelen alsnbsp;men wil, �t welk feer licht op deze wyfe te bewerkennbsp;is.

1^2 E U C L i D I S.

'begeerf'^^erden, dan trektlt;T'5, XV 3 Z N-defe fallen de gegevcAe A B in vier gelyke deelen door-fhydennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. ,

�55!r Wmt ST� VX, -NZ ?yn � e=94 dcrhal-b �tweik ven om dat A S , S V , VN b d. zyn , -lullen 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* AO , OP , PCLook c 00 xyn, infgdyk on-gt; dat

ZB b aoZX isj lbo fs BQ_00 Ci_P eiidaarom A b in 4 gelyk gedeelt. dat te doen was.

P R O P O S I T l E II.

Werk. Vo^t AB gt; AD'agn malkanddrmet een hoek BAD na gevallen en � trekt BD j dannbsp;A B b verlengt, en neemt b G � 00 A Q nyt C 4 trektnbsp;GE c=� 8D die ontmoet' de voortgetrokkenenbsp;A D in �) dan is D E de begeerde. 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

Oftealdm.

Uyt A � fteilt AD perpendiculaar op AB eh b trekt B D uyt D � ileit D p perpendiculaar opnbsp;B D tot dat die de verlengde B A ontmoet in Cnbsp;foo is A C de begeerde.

Beiv, Want BAj ADc;;ADj AG is dat te doen was.

PROPOSITIE.

Fi^.xiCTot drie gegei^en linten J?, Ceen vierdepro'� portipnual G H te vinden,

Seft� Bvek.

daar af D E co A en�E F c� B j aan D F voegt de' oneyhdigc'D H met een hoek D na gevallen, ,�n �a j.inbsp;ihydt daar af DG oo C b en trekt GE , dan'hyt bibcj,

Sew. jWmt De, EF �1 :; DG, GH maar DE, EF, DG 7.yn ecoA, B, C ergoA,,^nbsp;Bf;: C,. G H dattcdoenwas.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f

PROPOSITIE 13.

't IFerk. a Voegt A E , Ej3 in een rechte linie A B, en t belcbryft daarop de halve Cirkel A F13,nbsp;uyt � c ftelt EF perp�nd: op^A H die ontmoetnbsp;de halve Cirkel in F, foo is E F de begeerde.

Ber. ciTrekt AF, FB.I Bew. Dewyle de hoek � AFB en f AEF -BEF recht zyn:,: foo is A�, EFg:; -EF, EBnbsp;dat te doen vijlsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' i.

Hief uyt f��'e�n rechte linie uyt eenig plint fo de diameter, perpendiculaar opdcfelvetotdeCircum- 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

forentie getrokken wert, foo is die middel propor-tionaai tuflchen de twee ftukken des diam eters.

PROPOSITIE 14.

Plt;*� de q^eljke Parallelo^ammen BD^ BFdieelk^��3^ een hoek ABC , EEGgeljkjeehben, z,yn de zy~nbsp;den om defelve in wederkerige redefi [AB, Bnbsp;Geb y B C): ende welke parallelogram',

E U C L I P I S.

pten BDy BF dieeenengetyken hoe!^ ABC^ EBG hehben, ehde de z,yden om de/elve tn w'f-. derkerige reden zyn^AB^ BG ::EB^ �C)

, Ber. a �telt de CJ* B D� B F alzoo dat de zy-4e,n A B, B lt;3 om de gelyke hoeken, in een rechte linie �yn , dan igt; verlengt FG j D G tot datfcnbsp;t�famen komen.

� 1. Steil.

etK�- �

dgeg.

eoyv.

IM.

fjjdrf.

|i.�6

67.5

�n'. y

Bevgt;. Om dat, A BG een c rechte linie , en dfr hoek ABC d ^ EBG is, daawjm EBC eennbsp;? rechte linie is, en BH een tCJ Nu is A B, Bnbsp;iGg::�:^BD, 4:7BHh::^BF. BHg::nbsp;BE, BC derhalven AB, BG*;iBEgt; BCnbsp;. dat te bewylen was-

2. Steil.

lg�g- . BE, BC k::�r7BF, �17 BHiergo/Z7BDmo9 � cy B F , dat te bewyfen was.

P R O P O S I T I E !�.

In de gelyke triangels ABC ^ DBE meteengelj.. ken hoek. ABC, DBE zyn dezyden om dejet-'ve in wederkeerige reden ( AB, BE :iD Bnbsp;BC) ende de triangels ABC, DBE quot;welksnbsp;eenengelyken hoek ABC, DBE hebben, endenbsp;�deXyden om de/elve in wederkeerige reden zjn,nbsp;zyngelykj

Seftt Roek. \ .' Iff

Ber. � Voegt de A* ABC, DBE alfo aanjj.i malkander, dat de zyde CBquot;,. BD om de gelyke .nbsp;hoekenftaande, inecnrechffe iinieCB�^k�ineh,b'iy(�-foo is b A13 � ocrit cen rechte linie, ert � trekt GE.} 5�.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;

Bm. AB, BE a - a ABC , A C^BE ADBamp;gt; ACBEdriDB, BC j-Tderhalvcn'.nbsp;AB, BE f;; DB, BC, datteljcwyfeihww... f J -

^ D6 , BC g A j A GBE dcrtiar-S geg:' � TendeAABC i oo A �BE, dattebowyfenwas.* �en

Svo vier rechte linienpfvp9i:t1}gt;rmaiz,y^ AB^FG^:: Fig. 14* E F^CB dan it der�, reththaei^^ E � begrepennbsp;- van de-middelfle E Fy. FG gelyl^derechihoek^

A C begrepen van ^^ujterfie A M y C 3: enfi de rechthoek^ A C be^rppen van de ttyterfte^elyknbsp;is aanderechthoeli EG b�grep�nvdndemid^ 'nbsp;delfte, dan zyn 'de vrier rechte linie proportie^nbsp;naeifABy FQ :,:EF, CB.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

Bew. De hoeken B en F werden recht geftelt,aitgem:x �daarom B � 00 F, ookisA B, FG t :: EF, CBJ�S'S*'-*nbsp;�Verbal vea Q A G ^ x C3 E Q dat te bewyfea �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

*�� nbsp;nbsp;nbsp;-4

: nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; 1, Steil.

fifgSrtit r De C? AC d oo .a E G en de boek fiv 6 B e go F derhalven At3, FG f Ep, CB daCnbsp;� te bewyfen wa*gt;

Gemlg.

Hier uyt is licht een gegeven rechthoek E G, op s4en een gegeven rechte linie A 13 , te voegen maken-� de AB, EE ;: FG, BC.

:: EF,CB) dan is d?n rechthoek. A C begrepen van de uyterft e A B^ C B gelyk het quadraat E G hefchreven op de midd�lfle E F, ende foonbsp;ff:. � V�: d�n rechthoek A C begrepen van de ujterftennbsp;i ABy CBgeljkisVquadraat E Ghefchrevennbsp;lt; op de middeljie E Fy dan zyn de drie rechtenbsp;; linienproportionaaliAB j E FE F^ CB.)

1. nbsp;nbsp;nbsp;Steil.

Bew. Aangefien AB, EFi�::EF (cp G), d �6-6 C 13 is , daarom deOAC^gOOEGegopnbsp;ei^dcf.iEF dat te bewyfen was.

2. nbsp;nbsp;nbsp;Steil.

Sefie Boek. Gevolg.

Byvoeg.

Aldus.

Ber. a Befchryftop AB het Q AE, uyt C*gt;5a4�.i :rektCG = BE.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bj� i

eng AB, BD CaBG) d,oo dBC i -diy.tf komt EZ] A G CZl B G(e q AB)f 00 ? A C e 15gem.nbsp;-f- ? B C dat te bewyfen was,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1. of1, ^

PROPOSITIE 18.

Op een gegeven rechte linie AB een rechtltnifche Fig.z^i figuur AG H B te befchryven gelikforrhig,nbsp;en alleens ge fielt met een gegeven rechtlinifchenbsp;figuur C E F D.

�tlFerk. * DeeltdegegevenFig�urin^s, dooraibeg. derechteCF, en maakt de huek ABH b ooGDEbijtinbsp;� A H b ao D C F dan denhoek A H G b 3oG F Enbsp;HAGbaoFCE, foo is de rechtlinifche fi'

^GFisjdaaruinAHBdaoCFDomdclclvearedenis�^i^�^ a

tie E u ci I D 1 s.

dehoek G oo E, foo is dan bewefbn dehoekBAHooDCFook AHBooCFDnbsp;enGAHcxjECFcnGHAooEFCnbsp;tzgcmsi kotncf3AG e'30gt;'DGEenBHG�oc DFfinbsp;en alzo zyn dc figuren ABHG, GDFEnbsp;gelykhoekig.

AH, nbsp;nbsp;nbsp;Afif;; CF, CD en daaromnbsp;�ii. S AG , ABg;:GE, CD, enop defelve wyfie

GH, HB;:EF, FD derhalven zyn de zyden om de eelyke hoeken van de figuren A B H G,nbsp;G DFE geproportmqeerc en boven gelykhoekig,nbsp;fc f dtft $ en daarom zynfe ^ gyiykformig en�gelykftandig ge*nbsp;i�l wcik ftelt j dat te bewyfen was-

PROPOSITIE ip.

tip 144geijiformigeTriangels ABC^ D EF z.jn tot malkander in dohbele reden barer z.jdettnbsp;BC y E F die ingelyke reden zyn.

ai�.lt; Eer. Tot BC, EF � vindt eenderde proportioquot; hrw rnaal BG, enbtrekt AG-cBevl'.6 Eevgt;. Om dat AB , DE c BC , EF d ;;nbsp;cl te. E F, B G en de hoek B ' oo E is, daarom de ^nbsp;�geg� A BGfoo A D EF, ende^ A BC, A AB Gg ::

te bewyfen was.

Sefie Boek Gevolg.

Hier uyt volgt, als drie linien BC , EF, BG proportionaal xyn dat gelyk de eerfte tot de derde is,nbsp;alfoo is d� Triarigel befchreven op de eerfte B C totnbsp;de triangel op de tweede E F gelykformig �n gdyk-ftandig b^elchrepen: ofte alfoo is de triangel op denbsp;tweede E F befchreventot de triangel op de derdenbsp;gelykfortnigen gelykftandig befchreven.

P R O P O S I T I E 20.

Gehkformige veelzydige -figuren ABCDE FG H ! K kannen in evenveelgelykformige tri-nngelen ABC ^FG H en AC D ^ F Hl ennbsp;AD E y FIK onder mAlkander ende tot baarnbsp;geheele geproportioneertnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FGH ::nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i

A D E, FIK )gedeelt werden : ende de veel-z-ydige figuren ABCDE, FG HIK zjyn tot malkander in de dobbele reden barer Tjydennbsp;BC. G H die ingelykereden zyn.

I. SteU.

Eew. Dewyle de hoek B * oo G en A B, a glt;^. en BCa:;FG,GHis, daarom zyn de A� A13 C ^nbsp;FG H lgt; gelykhoekig.op de felve wyfe zyn de A* AED ^ **

reft AG U d cjo F Hl , op defelve wyfe is d5 gem� de hoek A D C oo FI H en daarom GADec�'^*^'*nbsp;H FI, enalfoozyn de A* A C D, F HI ook ge.

lyk,-

E � e L I D I S.

lykhoekig, vorders lyn de zyden om de gelyke hoe-f4.6 ken f geproporcione�rt , derhalven de A� van de g I def. 6 veclzydige figuren onder malkander g gelyktor�iignbsp;dat te bewyfen was.

2. Stelling.

hbewefen Bew. Dcwyle de A* B C A , G H F h gelyk-ii9. *. fbrmig 7.yngt; foo xs ^ nbsp;nbsp;nbsp;� co ^ ^ a maal,om

* , , C D, H t k ;; D E , ! K is , foo 7,yn de 1 A� B �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;GHF:: CAD , HFI ::D�A, IKF

Gevolgen.

T. Hier uyt volgt als �er drie rechte prpportionaa-fe linien 2,yn. dat gelyk de eerfte is tot de derde, al-fo de veelT^ydige befchreven �p de eerfte tot de veel-zydige �p d� tweede gelykiorming �n gelykftatidig befchreven.

Daar uyt is openbaar de wyze om alle rechtlinifche figuren te vergroten en te verkleynennaar een gegeven reden, als by exempel.

Indien gy na een vyfhoek , wiens ayde CD is* �en ander Wilt maken vyfvoudig tot de eerfte, foo,

. nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ l6l

viijd'itufichen Ap^en vyfmaal. A B � :een. middel pr�por^onaalV en rna^ o|) defelv'e f yyffidek^r jg; ^nbsp;p�lykformig,tnet dQgegeye;! , zoo.is die vyfmaal denbsp;gegevene. 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;... v. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:

2. Hier uyt volgt OoIcn als.de zyden die gelyke ' lt;-red^g h^Bben der geljlcf�rmfge . figui.irer), beleent ^rri* dfir-'ook -de�Droporcle cfer fi'guuren' b.dceh�: is,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.gt;

Derechtlinifchefiguren. ( A�C^ D IE) weligeFig. 146 jfder hjfonder een f^ur Hp Ggeljhformignbsp;'die-'i^'ooliond:ir mallen der geiykformig.

end� AC,Cii � :: HG,;GF � .*: D E, � I, pok.

AB:,, 8C. � : H F, F Q ��:: Dl-, EK; derhalven �e %u6.en-A-B.C, D4.E gelykformig zyn, dat amp;c.

PU� POSITIE 22.

�^Is vier rechte linten proportionaal z.yn A B.^ CD Fig, ^^y : : EF'^ C/H, zyn mede de geljkfortnige endenbsp;, lt;flfoq gefielde figuren op defelve proportionaalnbsp;AB lCD K: : E M, G O : endefoo de recht-fii^iffhe figuren alfoo hefchreven proportionaalnbsp;yp, A B lyC D K \ :E GO, ?,oo ryn ook. denbsp;frkpi^e{inien proportionaal A BfC D, ::,EFfi H.

'Steil.

iSz EUCLibiS.

� 2. Steil.

Hier uyt werd gefeyd, en bewefbn de reden der multiplicade van furdifche grootheden', by exempel:

Laat V S gemultiplice�rt-werden met V33 foo komc�erVif. Wantuytdedefinitiedern��lciplica-rien, foo moet 1 , V 3 :: V f de uytkoroft-2,yn ,nbsp;derlialven door defe q. �c. q^ 1/ 3 V S- 9' d�uyt-komft, dat is i. 3 y. q- de uyckomll, derhalven q de uytkomft iS ly., en daarom V ly.dcnbsp;uytkomfl van V 3. met y is, dat te bewyl�n was.

B E W Y S-S T U K.

yils een rechte linie A B na gevallen gedeelt is in z.00 ts de rechthoek^ van de (iuk^n AD ^nbsp;DB middelfroportionaal tnffchen de quadrat ennbsp;van deJelve fmk^n : ookjs derechthoekhegre�nbsp;jen van de g�heele AB en ten (luk A D oftenbsp;D B middel ptop�rtimaaltujfchen�tquadraatnbsp;van de geheele AB ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quadraat desfelven

Sefie Boek. nbsp;nbsp;nbsp;163

Op A13 als Diameter � befchryfc de halve Cirkelaj beg. x A E � , en uyt D b trekt D E perpcnpiculaar op i, n j jnbsp;A B ontmoetende de halve Cirkel in �, dan c trekt c i bep* inbsp;AE, EB.

Bev). Het blykt dat AD, DEd;.- DEj DBdgev.Sft derhalven ? AD, ?DE = :: o DE, Q DB,�^^'^nbsp;datisnAD, cn ADB f C3 A D B, a-Dfijfiycsnbsp;dat te bewyl�n was.

? BA, ? AEh ? ,\E. Q A D ditis D B . Q BAD i :: D BAD, ? AD, en op defelveii7.�nbsp;wyfe ? AB, ? ABD ;; cjABD, ? AB,nbsp;dat te bewyfcn was.; .

Dus wil P. HierogoniKS, anders bewyft men dit ook feer licht uyt de r : 6 en n : y.

PROPOSITIE. 23.

Dcgelj/kfpoekigeParallelogrammtn A C.,CFzynTig, 14� tot malkflnder in degeaddeerde reden van haar

Ber, a Voegtd�17* ACj CF aan malfcandcra 3:i dat de zyden om de gelyke hoeken C in een rechtenbsp;linie B C G komen, dan is D C E ook een b rechte b byp.nbsp;Enie, en c aangevoegt�t ^ CH.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i5�i

7^� tvjie'den. , Bt^kt- dok dat de rechthoeken en * daarom' alle Parallelograrritneri onder malkander een reden hebben�, geaddeert uyt de redens van d� bafis tot de bafis-V en der hoochte totnbsp;de hoochte; Niet anders lalmen-t �ok yan deTriamnbsp;^Is verftaan.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Ten derden.. Blyktquot; h�e-dte psropbrtie der Triarr' gels en Parallelogrammen kan bekomen werden.

50 Laat X en Z Paraieldgi^mea 7.yri, welkers bafen 7,yn A C j C B en hare hoochten CL, CF.nbsp;Maak G L C.Fv. rC B, O, (oo is X, Znbsp;�{�14:6 t ACf O, dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, , ,

P R 0 P � S-h .T I E

rya//e �Parallelogrammen 'ABCD, z.yn de Fa-rallelogrammen E G yF H die om den Diameter AC ft aan ^ �onder.'malkander, enookjnet de geheele geljkformig.

Bewys. Dewyle de ZZ7men EG, HF elk een hoek moet het geheele gemeen hebben, foozynf�nbsp;onder malkanderen * gelykhoekigj ook 7.yn de A*nbsp;A B C, A EI, i H C, als mede de A� ADC, AGl,nbsp;iFC onder malkanderen�gelykhoekig, derhalven

AE�

i6f

delelve wyfe zyn ook A-'HF, 13D gelyk-quot;* ^ fbrmig, en overfulks r:ymen EG, HF naedeege-eii.^nbsp;lykformig, dat te bewyien was.

PROPOSITIE ay.

Een rechtlinifche figuur P, te hefchry ven, die ge. p;g_ lyk^is een gegeven recbtlinifche figuur F, ennbsp;gelykformig en aljoo gejlelt, ah een ander ge-geven rechtlinifche figuur A B E D C.

t IFerk. Op een der zy de als AB vandegegeve-�4y: i neABEDC, � maakt de CU A L c� de figuur b 44: �nbsp;A B E D (j, en op B E de b cm H M 00 de figuur c 15; 6nbsp;F.c Vindt dan tulTchen AB, BH de middel pro-portionaal B G , op B G of N O 00 B G_ genomen, �maakt de figuur P, gelykformig en alleens d 18:0nbsp;gcfteltals de figuur ABEDC, defelve is de begeerde �

Bew. Dew�yl AB, BG (NO) e NO, = is, foo is ABEDC c (L A), P f; : AB, B Hfw.'�nbsp;'Sr; AL, BM derhal/en P h 00 B M �so F, dat gi:(gt;nbsp;te bewyfen was,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b n: ?

Soo van een Parallelogram A B CD een ander Pgt;Slt; Parallelogram A G F E genomen wert, welk^nbsp;met het felvegelykformig en alfoogeftelt is,nbsp;de een hoelg^ EAG gemeen hehhen , dan ftaatnbsp;L 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/sff

i66 E U C L I D I S.

^er. Indien AC de gemcene Diameter niet is, foo laat A H C de Diameter van �t CJ A G F E

Bew. Dit foo geftelt zynd� fullen de b 14:6 EI , D B b gelykformig zyn , derhalven A E,nbsp;cidef.6 �Hc f; AD, DG d :: AE, EF en daaromnbsp;EH � 00 EF dat lt; niet wefen kan, defelve ftry*nbsp;f9gem-i digheden fullen �er zyn in alle punten, die denbsp;Diameter, buy ten F de rechte EF, FG door-fnydt , en daarom A FC de gemeene Diameter,nbsp;en alfoo liaan de ^men'om den fel ven Diameter,nbsp;dat te bewylen was.

p�R o P o S I T 1 e zy,

f'S' Als oj} de helft B C ecner rechte linie A B een Parallelogram B Dgemaakt is, ende een andernbsp;AG op een [tak, A K der linie A B ^ alfoo datnbsp;het Parallelogram BGgemaakt op het refteren^nbsp;de [tuk K B het e er ft e gelykformig en om den [elven Diameter B D geftelt; foo is het Parallelogram B Dop de halve linie C Bgrooter als hetnbsp;Parallelogram A G dat op 't eerfte ftuk, A Knbsp;ftaat.

Bew. Het/r7GElgt;oo iC7 G C is. addt cy KI 00 ar KI gemeen,nbsp;komt /Z7 K E c 03 CI d 00 CJ A Mnbsp;addc. cy CGnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;txs CJ CG

PROPOSITIE z8.

Op een gegeven rechte Unie ABy te voegen twee Big. aj s Parallelograms APnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;R vangelyke hoochte.,

z.tdks dat het eene Z R gelykformigh een gegeven Parallelogram D is , en het ander A P ge-lyh^is een gegeven rechtlinifche figuur C, doch niet grooter als^t Parallelogram EG welke opnbsp;de halve Unie A B gelykformig het gegeven Pa -rallelogram D gejtelt is

't Werk. � Deelt A B in twe�n gelyk in E , op E B �gt; maakt �t CJ E G gelykformig het gegevennbsp;D , en c laat zyn Z�? EG co C -4- I, om dat Cnbsp;niet � c~ E G is, e maakt het CJ NT ro Ien ge-lyktormig D of E G, dan f trekt dc Diameter B F,nbsp;en g maakt FOocKN, enF�Q_ooKT doornbsp;O en Qj trekt R S .�= A B, QZ �===: FE, foonbsp;Zyn AF, Z R de begeerdenbsp;Bew. DeiC:7sD,EG,OQjNT,ZRzynon-dermalkanderigelykformig, en CA EG k 00 CJnbsp;NT -f* C, maar CJ � Q^k 30 CJ NT, dernbsp;halven CA E G 1 c� CD O CL-f- Cnbsp;fub: CD O Q^oo ZZ7 O 0, gemeen.nbsp;reft de haak �B (^m co Cnbsp;Wyders CD P G n 30 CO E P

a 10! I

b 18: ^

e zv 6

dy.i

*51:1

fibsg, I

g I beg. I

Qp emgegeven rechte time A B ecnparalletogram

A Nte. voegen gelyk^ e'en gegeven rechilmifche. figmr C, alfoo aat van ^t felve een JthkArtjtennbsp;A B kaAey'alsP O^g�iy^formig met een andernbsp;� gegeven Parallelogram D�

't IVerh.. a 0eek A B �p twe�n gelyk in E, b maakt op � B het ny E C-� gelyktormig het gegeven D ; c maakt �f /ly H K 00 ey? E G -f- Cnbsp;en gelykformig D o� dJ EG. Wyders d mifaktnbsp;FEL 00 Ii.ij FGM 00 IK, dan � trektdoorL

en M, R. N == A B, M N --- F L, en e A R

= M N , f verlengt A B tot M N in P , eii G B

�-r *� - 7 . ----� nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�... � .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j. , w.*

tot NR in 'O, en-gtrektde Dfameter F B N, loo is- AN het begeerde O� s en P� het begeerdenbsp;ftuk.

Bevj. De zz/racn D ,H K , L M, E G zynhge-lykforming, daarom d O P �gelyktormigzr? LM of D, ook is

�17 L M E 00'/c:7 H K h 00 ^ E G 4-C d EGnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00 d E G gemeen.

.�!--------- ��fii. ��--fub;

haak E N G k qq nbsp;nbsp;nbsp;C

Maar rS7BiVllcX)rC7 LB�00/C7ALis.

addt /77 LP nbsp;nbsp;nbsp;O) d LP

In de rechtlyoehigel riangelen AEC is de figuur B E befchreven op dezyde B Coverden rechtennbsp;hock^ E A C 'gelyk b.eydefoodanigegeljkformigenbsp;figurtn BG, A L op elkj der andere z.ydennbsp;BA, AC.

Bew. Dewyle DG , CA b GA, CBis,*�** foo zal de figuur AL, figuur BFlt; DG, 0nbsp;Ook om dat ,D B, B A :: B A, B Gis, daarom figuur'*^ ^nbsp;BG , figuur BFc;;DB, BC, derhalven figuurnbsp;AL -t- BG, figuur BF d DC D B(�C)d,4;5.nbsp;BG, dienvolgens figuur AL -f-figuur BGeoofig.cbyv. 14.nbsp;B F, dat te b�wyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S'

dethal.fig.BG-f-AL,BFg;;? BA -f-?CA�jBCg^^.^ maar qB A -{- ? CA b 00 q BC , derhalven�47,^nbsp;fig. B G 'J- fig. A L i co fig' B F, dat tebewyfen jo 5nbsp;Was.

E U C L I D I S.

Gevolg,

Uyt dit voorftel kunneil alle gelykfortnigefigu-ten by gedaan en atgetrockenwerden, opdefelve wyfe alsdequadraten by gedaan en afgetrocken werden in de by voeg van de 47: l.

PROPOSITIE 3a.

j^ls twee Triangels ABC^ D CE elks twee i.y~ den by fonder geproportioneert z.yn i A B ^ ACnbsp;: : DC^ DE) ende alfoo met een hoek ^ ttan-malkander ge ft elt^ dat de zyden ingelyke redennbsp;parallel zyn AB totD C en ACtot D E ^ dannbsp;fuUende twee andere zyde BCy CE in eennbsp;rechte linie zyn.

Bem. Om dat A B � == DC, en AC� ==s D E is, daarom de hoek A^xAGDl^coDennbsp;AB, AC�:: DG, DEis, derhalvennbsp;de hoek B �00 DC Enbsp;en A jo AGPnbsp;komt B -i- A eo A C E~nbsp;addeert A C B 00 A C B

komt B -f- AT-I- ACB � co zTechte^ao A C E,-f- A

Sefie Boek. nbsp;nbsp;nbsp;lyt

Ber � Trekt de rechte B C, F G, en b voegt� t beg. i CI 00 C B, als mede G L oo F G oo L P, neemt** ** *nbsp;in de boge B C, CI de punten M j N na gevallen ; en * trekt DI, H L, H P, B M, M C, C N, NI.

B D ^ CD CI, en de boogen G L, L P oo F G, en . o * dienvolgens de hoek CDIeooBDC,en hoek * �nbsp;GHLeco G HF�ooLHP, derhalvende booge*^^'^

BI foo veel maal de booge 6 C als de hoek B DI van de hoek B D C , ook mede de booge F P foonbsp;veel maalde booge FG j als de hoek-F H P van denbsp;hoek F H G , loo dan de booge BI C~ � 03 gt; 'Dnbsp;FP is, falookde hoek BDI fCTquot;, o3j^ FHPfzy. 5nbsp;7.y n, daarom de boogen B C , F G g :: de hoeken S 6 def. ynbsp;bdc FHGnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5

Wederom de hoek BiVJCkooCNI daarom k 17. j Cirkel-ftuk B C M Fo3 C i H, en ook de A B D C114 jnbsp;� 00 AC DI, derhalven dedeeler B DG xVl n oo�'4 inbsp;C1) IN , opdefelve vvyfezyndedeelers FHG 30�ig'm.inbsp;G H L 00 L H Pj indien dan de booge B1 C�,00,

Gevolgen.

r/i E U C L I D I S,

� 2- De hoek BDC aan �c Centrum is tot 4 rechte, als de booge BC, op welkefyftaat, totdege-heele Circumferentie,

Want gelyk de hoek BDC tot een rechte, alfoo de booge BC toteen vierendeel Cirkels, derhalvennbsp;B'D C, tot 4 rechte, als de booge B C tot 4 vierendeel Cirkels, dat is de geheele circumferentie, ooknbsp;de hoek A tot 2 rechte, alfoo de booge B C tot denbsp;circumferentie.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;

fig. l�i 3- boogeti IL, CB van ongelyke Cirkelen die gelyke hoeken, �t zy in �c Centrum als IA L,nbsp;B A C, �t zy in de circumferentie ondertogen ftaan,nbsp;die zyn gelykformig.

WantIL,circumferens::hoeklAL, (BAC) 4rechte. Ook booge BC, circumferens :: hoeknbsp;BAC, 4 rechte, derhalven IL, circumferens : :nbsp;B C, circumferens, daarom de boogen IL, B Gnbsp;gelykformigzyn. Daar van komt

4. Dat twee halve Diameters AB, AC vaneen Centrums Circumfetentien gelykformige boogeiinbsp;1 L , B C affnyden.

ELFDE

ELFDE BO�K,

Defnitien.

2. nbsp;nbsp;nbsp;Wiensuyterftenfyn/a/�eryjff?�.

vlak QD, alsalleliniea BD, B�,, BF op�t felve vlak na den Jelven getrockcn met hemnbsp;inreciite hoeken ABDj AB�, ABF t�fa*nbsp;men komen.

CD gerecht} als de rechte linien F.Gj.fiK} getrocken op �t eene vlak A B , perpendiculaar met de linie ^ B ^crgemeenedoorfnydin-ge , mede perpendiculaar op �t ander vlak C D

' een vlak C D , is den fcherpen hoek A B E gt; begrepen van defelve linie AB, ende van eeny,nbsp;ander rechte linie B E' getf�cken iii �t vlak CDnbsp;uyc B, �t begin der neygendc} door t punt E,nbsp;in welke een perpeniculaar A E valt van �tnbsp;bovenftederzelve neygende linie A B.

Een vlak A B neygt of helt op een ander vlak Fig. C D gt; als de perpendic�lare linien F H, G Hnbsp;in elks getrocken met de linie E B der g�mee-ne doorfnydinge , ende uyt een felfde puntnbsp;H, dan niet perpendiculaar d� een A B opnbsp;lt;i� ander C D zyn ; endc de neyging fulker

vlacken

E U C L I D I S.

^ lo. Gelyk� en gelykfonnig� corporale figuren zyn^ welke van even veel gelyke en gelykformigenbsp;fuperfitien begrepen zyn.

li. Corporalen hoek �s-�� t�fatnenkoming in eep felfde punt, van meer a}s twee linien dienietnbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in het (elfde vlak zyn tot alle dc linien d�r hel-

Anders,

Corporalen hoek, is de t�iamenkomirig in een felf-{ nbsp;nbsp;nbsp;de punt, van rrieer als twee platte hoeken, ge-

ftclc zyndeop verfcheyde fuperfiiien. ra �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12. Piramist is een lichamelyke figuur van veel-

derleye vlacken begrepen, die malkander in een l�lfde punt ontmoeten, ende hebbendenbsp;een ander vlak voor bafis.

In de figuren 266 , zyn ABC, A B C E, �wnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A B C F E den bafis van den Piramis A B C D ,

A B G E D, A B C FED, welke bafis kan zyn een driehoek , vierhoek, vythoek ot anderenbsp;veelhoek : maar de andere vlacken die van dennbsp;bafis gefet tot aan �t punt D te famen komen,nbsp;fynalle Triangels.

e Boek.

�3. Prtfma is een Corporale figuur, begrepen van fulke vlackenj die de twee over malkander,nbsp;zyn parallel, gelyk en gelykformige figuren,

Defe figuren zyn Prifma, waar van A B G, D � F ook A B CD,HG FE, alsmedeABCDE,

F G HIK parallele , gelyke eh gelyktormi-ge vlacken zyn, die driehoeken of veelhoeken konnen wefen : ende de andere A C F E,nbsp;ABDE, BDFC amp;c. zyn parallelogrammen.

S^era, is een figuur begrepen, wanneer �e,v.Fig, i.6i Diameter A B eens halven Cirkel A C Bnbsp;onbeweeglyk blyvende, den felven halvennbsp;Cirkel gekeert werd, totdat hy komt daarhynbsp;begonnen heeft.

Gevolg.

Hier van daan zyn alle de linien uyt �t Centrum der Sphere tot de fuperficie of de uytterfte vlaktenbsp;onder malkander gelyk.

oty.. /i{fe ( Axis') der Sphere is de onbeweeglyken Diameter A B, om welke den halven Cirkelnbsp;A C B draayt.

16. nbsp;nbsp;nbsp;Het Centrum der Sphere, is �t punt D, het f�lvcnbsp;van den halven Cirkel ACB.

17. nbsp;nbsp;nbsp;Diameter der Sphere, is een fekere rechte linie , gaande door �t Centrum der felve, ende eyndigt aan de fuperficie Ofte uyterfte vlakte der fphere.

18. nbsp;nbsp;nbsp;Coitus, is een corporale figuur AEBCDjp,^nbsp;begrepen, door een rechamp;ekigcn Trian- ^

E U C L I p I S.

1 J^ �gel (C Igt; A als van delelve een Aer. rechu. ' hoeks iyde, �) C oqbeweegHlyk' 'blyvend�vnbsp;den Triangel C.D; Agt; een keer doet, ronts-otti d,e felve zyde D C paffercnde A punc Anbsp;.langs de Cirkel A�B: En foo d�ze onbp-y^eeglyk'e zyde C D gelyk is, de.ander recht*nbsp;boeks zyde D A , fal de Conus redithoekignbsp;. zyn, dac is den hoek ACB (alsl^o. i.) maarnbsp;�minder vvyrhbel^ (,als ,No. a, ),ende meerdernbsp;ircberpHQekig,,^.als,No. 3.^nbsp;�p. Affe der Cone-, is d�felve onbe^^eeglyke linie

DGj om welke dep Triangel C,-D A drayt. ; � ao. Maar den Cirkel D A KB befchcevea door ��nbsp;drayendc r^chfhoek? zycle D A ihet �tuyterftenbsp;. . punjt A j is' d�n Kafis der CJon�.A�K C D.nbsp;ili-iyo ii. Cylinder, is een corporale figuur.AB F D begrepen door een rechthoekig parallelogramnbsp;aged, als een der zyden C E onbeweeglyknbsp;blyvende, het parallelogram A E een keer omnbsp;delelve zyde CE doet,

Xiy Affi dey Gylindev.!., is delelve onbeweeglj^e .�'linie CEgt; om ^elke het parallelogram. A Enbsp;�� 'beweegt quot;werd.

13, Bafij-des Cylinders zyn de Cirkels C A B^E t) F .' dip door �t drayen van A parallelogram A E,nbsp;meC-de uyterfte'punten A en D, der anderenbsp;�rechthoeks zyde. van A gefeyde parallelogram,nbsp;befchreven werden.

--I Z4, G.el'/kjqrfipge Cotfeti A B C;, E F G. en Cylin-d�rpn A BIK j EFLM zyn, .wiens allen D C,, H G , ende Diameters haarder bafen,nbsp;als A B, E F.. gepropor tioneert zyn (DC, HGnbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(;:ABgt;EF)

�lftde Bo�h

*�. Cuhus is een Corpus (Lichaam J begrepen vartfesigelyke qiadraten.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j. .

iMs in defe figure is BGHADEFC een cubus, waarvan ABCDj AHED, ABGH;nbsp;FGirlE, FGBC, FCD� yder v�or eennbsp;quadraac aangemerkt m�et werden die alle ge-lyk zyn-

�6. Paralielepipeium is een Corpus begrepen vanf//. ayj fes vier zydige vlakken 3 waar van di� gt; de

Gelyk als in defe figure ABCD, EFGH ook ABGH3 DCFE3 alsmede AHEDs BGFCnbsp;parallel zynde 3 foo is A B G D � F G H een , ,inbsp;parallelepipedum.

De verdere Definitien die Euclides in defe noch Aelc, dienen alleen tot het gene hy op �t laatftnbsp;van �t 133 14 en if boek voorllelC3 diewynbsp;kortheyts halven hier niet by voegeri.

PROPOSITIE 1:

^em een rechte linie , en k�n niet een deel AC op een vlak D endehet ander deel C B in denbsp;lucht zyn.

Ber. aVerlengt A Cin�tvoorgefteldevlaktotF.jj^r ^ Beiv. Soo nu A C B een rechte linie is 3 dannbsp;hebben die twee rechte ACB en AC.F eennbsp;gemeen deel A G, dat b niet wefen ka�i , daarom ^

iji E�CtiDlS;

PROPOSITIE i;

fig. �7$ Sao tii/ee rechte linten AB^ CD malkander door^ fnjden in E ^foo zynfe op een felfde �vlakkende denbsp;Triangel DBB is een vlak^

Bew. Stelt nu dat de ^ D E B en 2yn deel E F G in een vlak zyn, maar F DG Bin een andernbsp;vlak gt; dan is van de rechte E Dgt; een deel EF innbsp;het voorgeftelde gt; maar het deel F D in de lucht,nbsp;ki: it dat b niet wefenkan, derhalvendeA DEB ineennbsp;vlak is: en daarom ook de rechte E D, E B, en bnbsp;vervolgens de geheele A B, D C in een vlak, dat tenbsp;bewyfen was.

PROPOSITIE 3.

F/g. �7(5 tweewlacken A B^ CD malkander doorjnyden inEy F haargemeenejhede E F is een rechtenbsp;linie.

Ber. Soo de gemene fnee E F geen rechte linie is, a t beg. 1 lbo a trekt in �t vlak A B de rechte E G F, �nin�tnbsp;vlak CD de a rechte E HF.

Bew: Dewyle beydc rechte E G F' j E H F de-felve uytcrften E en F hebben , foo befluyten di� b 14 g*ngt;. een plaats, dat b niet wefenkan, derhalvt� EFeennbsp;I rechte linie, dat te bewyfen was.^

PROquot;

P R O P OS i T IJE 4;

Sw twee linten AB, CD malkander 4oQrfnj/denmF�i�.~7J �, ende in �/ punt E van haar doorjnjdinge eennbsp;p�rpendiculaar E F gerecht werd, defe fal medenbsp;perpendiculaar z.jn op V vlahjierfelver A BCD.

Ber. MaaktEA� EC, EBj EDaUe'oOj erij^jt * tgt; trekt de rechte AC,GB.BD, AD, dopr Eb j wg.�nbsp;trekt na gevallen de rechte G H: eynddyk trektnbsp;de rechte AF, FC, FD, FB, FG, F H.

Bew. In de A� A E D, C E B is A E c q� E B, DEcooEC, endehoek AE D^o� GEB , dernbsp;halven AD e 00 CB, om defelvc reden , dewylee4:Lnbsp;dehoek A ECdcx) DEB is, falook DBe00 ACnbsp;xyn, en daarom A D f t=gt; C B en A C ^c=3 DB ,f hyv.nbsp;dienvolgens de hoek G A E g cx) E B ti en G E ,nbsp;g CX) E H B, en de zyde A E lt;= 00 EB, derhalven�nbsp;GE^ooEH, AGbooBH: Wyders hebben deh iffs tnbsp;E A F, E B F de zyde E F' gemeen , en A Enbsp;exEB, endehoek FE Aix FEB, diesis F A*g'g equot;nbsp;e00FB, opdefelvewyfeisFAecoFC ec�FD,�nbsp;daarom de A* AD F, F B C onder malkanderge-lykxydig zyn, derhalven de hoek DAFkxGBFj.g:jnbsp;dienvolgens van de A� F A G , F B H , de hoeknbsp;GAFooHBFenAGcoBH, AFooFBbewe-fen, daarom FG 1 00 FH is, en vervolgens (de Gjinbsp;wyl GEooEHis)deA*FEG, FEH ondernbsp;figgelykzydig, derhalvendehoek FE Gkoo FEHnbsp;^ CO recht. Op defelve wfyfe maakt F E met alle miodefrnbsp;de rechte linien die in �t vlak A D B C door E getrokken zyn, rechte hoeken, derhalven FE �per-quot; 5nbsp;�gt;�ndic�laar op �t felvc vlak, dat te bewyfcn was.

tS� E�CLIDlS:

PROPOSITIE �.

wig, vj% SciP een rechte linie A B of drie rechte linien AC^ ' AD,, AE die malkander in een punt A ontmoeten , perpendiculaaf ftaat , defelve drienbsp;linien zyn tn een vlak.

Bew. Dewyle AC, AD in � een vlak FC, en AD, AE in � een vlak BE zyn, foo moetennbsp;dit dan verfcheyde vlacken lyn, alsfe alle 3 in geennbsp;een vlak zyn , laat derhalven A G haar gemeenenbsp;b fnee welen Om dat B A c perpendiculaer opnbsp;- - AC en AD ftaat, en ook in�t vlak F G, daaromnbsp;e perpendiculaar op AG. Maar BA is ooknbsp;c perpendiculaar op A �, derhalven de hoek BAEnbsp;fug�m.i f 00 B A G , dat niet g wefen kan, en daarom AC,nbsp;g 9 gem.i ^ A E in geen verlcheyden, maar in een vlak ,nbsp;dat te bewyfen was.

PROPOSITIE 6.

Fig. 179 Twee rechte linien AB DC op eenf�lfde vlak, E E' penpendiculaar gerecht ^ zynparallel.

a I beg. t Ber. �Trekt AD, en b ftek D G �d A B per' �*�'*�* pendiculaar op AD, dan�trektAG, BD, BG.

Betv, Van de A� B AD , ADG is de hoek citgem-� � ADcoo A DG (omdatfed recht zyn ) en BAnbsp;d't geg.en e co G D en A D gemeen , derhalven B D f cx)nbsp;b*- A G, en alfoo de A� A G B, B G D de zyden d�eennbsp;fd�ander gelyk, daarom ook g gelykhoekig , dat isnbsp;gSii B A G 00 B D G, maar de hoek B AG isb recht,nbsp;irj def.iifijejis B D G ook recht, ook is de hoek G D G **nbsp;recht, derhalven G D perpendiculaar op de drie

Elfdt Boek, nbsp;nbsp;nbsp;i8i

�achte AD, DB. GD, die daarom in 5 een vlak i ii Zyn als B A, dewyle dan A B en D C een vlaknbsp;xyn, en de inwendige hoeken B A DG D A rechtnbsp;zyn, foois.ABk==GD, dattcbewyferiwas,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

PROPOSITIE 7,

Soo twee rechte linten AB ^ CD p(iralleiz.yn^ enpig.xto in defelve na gevallen genomen de punten B ^ Fnbsp;endegetrockeride rechte linie E Fy^defelve fal.nbsp;met de parallel linien op een vlak A BCD z.yn,

Bew. Soo EF niet is in �t vlak ABC D , foo laat die in een ander vlak zyn, die A B , CJ3 in dqnbsp;punten E , F Ihyd , en laat E C F haar gemeensnbsp;iheewelen-, defelvefaleen * rechte linie zyn, der-�5111nbsp;hal ven lullen de twee rechte E F en E G F eennbsp;plaats befluyten, dat l�-niet wefen kan , en daaromnbsp;EF op^f lelve vlakals AB, CD is, datc� bewy-��*4golfen was, ..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

P R O P O S I T I E 8.

Soo twee pdrallele rechte- -linien A B ^ DC ovel-Fig. l�t kers eene AB rechthoek^ op ^t vlak EF'tj j /ainbsp;ook^eCander CD rechthoekig op't felve vlakjayti.

Beisj. D��r �t berey^� en bewys 6: j i zyn de hoeken G D A , G D%^cht, derhalven GDnbsp;* rechthoekig op �t vlak dk door A D, B D gaat,*4:�

G D e perpendiculaar op G D, en daarom de boek i ' G D A ook d recht , derhalven C D e rechthoekig � 4'- nnbsp;op�tvlak �F, dat te bewyzen wa*.

E U C L I D l S.

gljl-,* De recht/! linten AB , CD y die tegen ten ander rechte linie EF parallel ^maarniet ineenfelfdenbsp;vlak z^n: die zynoolionder malkander parallel.

Ber. Neemt- �t punt (5 gevallen in E F) uyt deielvein 't'vlak der parallele A B, EF� trekt G Hnbsp;perpenditiflaar op E'F: ook in�t vlak der parallelenbsp;i� F gt; C D 5 �trekt GI perpendiculaar op � F.

Betu. Dewy Ie de hoeken � G H, EGi b recht 7,yn, daarom E G c rechthoekig op �t vlak � H G1;nbsp;en cp �t felv� vlak xyn ook A.N, C1 d rechthoekig,nbsp;derhalven AH* /. = C ^t is A B tsssa C D *nbsp;dat te bewyfen was.

P R O P O S I T I E *0.

fi^. f^gg fgghfgiifiigff ABy AC die malkander raken , parallel zjyn met twee andere rechtenbsp;linien BD D F malkymder rakende , endenbsp;niet %jn in een zelfde vlak^^ die fallen geljkenbsp;hoeken BAC, E DFiegrjpeu.

^y-t� Ber. a Maakt A B 00 D E, en AC 00 DF, en fcibeg. b trekt de rechte AD, EF, BE, CF,nbsp;cgeg.' Bew. Dewyl ABc^pijpendoQ DE is, fal BEnbsp;dbet. t e=gt; cn * CO AD zyn : op delelve wyfe is CFnbsp;tl^'em i* en * co AD, derhalven BF, f e== enfconbsp;tofte'i CF, en daarom ook BC * e= en *00 EF , ennbsp;8 8! 1 alfoo de /G� B A C, E D F de xyden d�een d�andernbsp;gelyk, derhalven de hoek BACgc��DF, da�nbsp;te bewyfen was�

Elfde Boek nbsp;nbsp;nbsp;183

PROPOSITIE II.

Van een gegeven pmt A in de lucht ^ op een onder-[telde vlak. B C i een perpendiculaar rechte linie AL te trekken,

�t IVerk. Op �t vlak BC trekt na gevallen de rechte DE , opdefelve uyt A�trekt de perpendi-an.*nbsp;culaar A t� , en uyt F in �t vlak JJ C b trekt F H on. inbsp;perpendiculaar op D E , dan op F H e getrockennbsp;de perpendiculaar AI? defelve zal rechthoekig op�tnbsp;vlak B C zyn.

Bew. Om dat DE d rechthoekig op AF , end-twcrfc. FH is, daarom DE e rechthoekig op�t vlak IFA,e4.nnbsp;derhalven ook KIL op �t felve vlak f rechthoekig is,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^

dienvolgens is de hoek KI A g recht , en dewyle de h �t werk. hoek AIF ook h recht if, daarom A I� perpen- � 4: trnbsp;diculaar op�t vlak BC, dat te doen was.

PROPOSITIE la.

U^t een gegeven punt Ay in een vlak.BC ^ eenper� pendiculaar linie A F op 't felve te rechten.

't IVerk. Uyt �t pupt D na gevallen buyten �t vlak , j j j j � recht D E perpendiculaar op t vlak B C , en b b i bcg. inbsp;trekt A E, dangetrocken A F c :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E D. e xx. i

BevJ, Dewyl E D d perpendiculaar op �t vlak*��quot;'� � BC, en AFde=E-=E D is, foo is bok A F � pct-eg. nnbsp;pendiculaar op B C , dat te doen was.

Dit, als ook het voorgaande Werkftuk , werd volbracht, zoo twee Wilkelhaaken tot de gegevennbsp;punten geftelt werden, als blykt uyt de 4:11.

EUCLID I'S.

PROPOSITIE

in def�lve^�h k�nn�n op e�ne zjde^geen twee per~ pendiculaar linien C D C E geftelt werd�n.

Bcw. Indien beyde CD, C E op �t vlak A B lbo fullen die � gr-s� xyn, dacnbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� b niet wefen kan , om datfe in C t�famen komen,

Anders.

Bevi. Soo CD j CE beyde rechthoekig op �t a in I � vlak A B xyn , dan a xynl� in �c vlak F G ( om dat-xein�c felvein C doorfnyden) en HG de gemec-^ 5; it ne doprfnydinge der vlacken is een ^ rechte linie, ennbsp;c? def. n daarom de hoeken DCG, ECG lt;= rechten dge-^ �^8'�quot;�lyk, dat e niet wefen kan , derhalven de Propofitianbsp;ep gem. i Waar, dac te bewyfen was.

PROPOSITIE 14.

r/g. igtf *^00 een rechte linie A B perpendiculaar is op twee vUcken CD, FEy defelve vlacken k.ynparallel.

Bew.. Indien de vlacken CD, FE niet -� � �;) xyn, foo mo.etenfe verlengt xynde, t�famen komen,nbsp;laatfulksgefphiedendatde rechte GH haar gemee-ne fnee xy: Neemt hier in�,t punt I na gevallen,nbsp;a I beg I en � trekt de rechte IA, IB die fullen in denbsp;b gegt;^ en IA B, de hoeken IA B, IB A beyde b recht moe-5 dcf. II maken, dat e niet wefen kan, derhalven de vlac-?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� ken C D, F E c=a= zvn, dat te bewyfen was.

PRO-

Elfde Boek: nbsp;nbsp;nbsp;iSjT

P R O P O S I T I E if.

Sp.o fwee rechte linien AB^ACmalkander raken- Fig. zZj de 5 'parallel zyn met twee ander malk^dtr ra~nbsp;kende rechte linien D D defe verfchey-den vlacken B AC,� EDF mwclkezy zjn :nbsp;gyn mede parallel.

quot;Ber Uyt � trekt A G perpendiculaar op �tamit vlak E F, dan b trekt G H ==gt; D �, � I == D F. *nbsp;Bew. DewylGHc~=DE^.c=ABenGlc='yFnbsp;DFACis, daaromdehoekenlG A,HGAnbsp;recht z.yn , en overfulks zyn ook de hoeken C A G,

BAG f recht, derhalven GA perpendiculaar op �c vlak BC is) maar defelveiSook lt;= perpsentjiculaarnbsp;op�cvlakEF, ergo�t vlakBCg= EFisj datte�^^'**nbsp;l:lt;ewy(en was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

PROPOSITIE i6.

Svo fwee parallel vlacken AB, C D ^ van e�n an~ F'g- iSS der vlak, H E IG F doorjheden rferden ^ zynnbsp;de Unie E H ^ G F van haar gemeene fnj-ding parallel.

Bete. Indien E:H, GF niet == zyn, foo ful-len de fel ve verlengt zynde, t�famen komen, dat ik -neme in I te zyn , derhalven , dewyle de geheele HEI, FGlitide vlacken AB, CD�zyn , foo�nbsp;fallen deze voortgetrocken zynde , ook te famennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;

komen , dat b niet wefen kan , om datfe c __ b^def.� Zyn, daarom ook E H == G F, dat te bewy- ' 8^6*nbsp;fen was.

PROPOSITIE 17.

fig. 189 Soo twee rechte linten ALB ^ C M D, van ver-* fcheyden farallele vlacken EF ^ GHy IKnbsp;doorfneeden zyn , dez.elvez.jn dan proportionaalnbsp;gefneden {AL.^ LB :CM^ MD ).

ajib^ � Ber. In de vlacken EF, IK � trekt de rechte A C gt; B D , 00k ^ A D gaande door�t vlak G Hnbsp;in N; dan a trekt NL, N M.

sew. De A� A D C, A D B b zyn vlacken, en makende.fnede LN c e=33BD. N M ---- A C..

fig' *9� Sea van een rechte Unie A B, die perpendiculaar opeen vlakjeD flaat.^ eenige an^re vlackennbsp;E F amp;c. beginnen y de[ez.Mllen alle perpendicu-laar op V felve vlak^ C D zjn.

feder vlacken CD, E F. Neemt in defelve �t punt I na gevallen in�t vlak E F, uyt H � trekt HInbsp;r== BA.

j, geg. Bew. Dswyle A B b perpendiculaar op�t vlak ebet, CD, enHI c c=s= BA is, fbois HI 00k d per*nbsp;d8: II pendiculaar op�t vlak C D , van gelyke lullen ooknbsp;alle perpendicularen opdefneeEGzyn., derhalvennbsp;e4def:n ft*2t �t vlak E F e perpendiculaar op�t vlak G D.nbsp;Ora defelve reden fullen ook alle aadere vlacken doornbsp;A B getrocken perpendiculaar op�t vlak C D zyn,nbsp;dat te bewyfen vbas.

Elfde Boek. nbsp;nbsp;nbsp;187

Soo twee vlacken A B, (! !gt; malkander ^erpen-^i^^ ; dicuUar op een andernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H [njfden, dan is

Beu)- Dewyle de vlacken A B, CD� perpendi* j culaar op �t vlak G H zyn gt; foo biykt dat uyc �r punt b 4 d�fuV-F op yder vlak AB , CD een perpendiculaaf ppnbsp;�t vlak G H kan getrocken werd�n, ende dat zal denbsp;' eenigfte zyn, en daarom de gemeene fnee van bey crj: i*nbsp;de de vlacken A B , C D 5 dat is E F ; ergo E Fnbsp;perpendiculaar op GH, dat tebewyfenwas.

Soo ten Corporale hoek A B CD drie platte hoe- p,'g. km B A D , D AC ^ B AC begrypt : zynnbsp;twee van defelve welke men wit t�fajnennbsp;meerder als de derde.

Ber. Indien de dri� hoeken gelyk zyn, foo is het openbaar: maar fooi� niet gclyk zyn, en dat BAGnbsp;de grootft� is, foo � neemt daar van BAE ooBAD,�^J�*nbsp;en b maak AE 00 AD, en trek door E foo�tvalth Jgt;inbsp;BECjdiefnyd AC, A B in C,Bctrekr BD, DC.cibeg.

Bet�. De BAD, BAE hebben A B gCquot; .. meen, enAEdoo/\F), en de hoek B A E so �

i8S E U C L I D I S.

Nu is van de /iS DAG, � A C de zyde A C gemeen 3 A � djoADeq DGCT* EC3 derhal* t)i�Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DAC^CT �AG

PROPOSITIE ri.

T.^. 153 Alle de Corporale hoeken , worden van minder als vier rechte platte boeken begrepen.

Bev). Aangefien de z.yden van de Gorperlyken hoek A van het vlak na gevallen gefnedcn werdenf,nbsp;maakt de veelzydige figuur B G D E 3 ook loo veelnbsp;/[^ismABC, Ai^D, ADE, AbB, foonoeninbsp;lis alle de hoeken van de�veelhoek X3 en de hoeKennbsp;van de driehoekigen bafe? te fatnen , noem ik Y,nbsp;531.1 en derhalven X 4-4 rechte � 00 Y 4� A.nbsp;byv.51:1 Maar dewyle ( van de hoeken tot B) de hoeknbsp;# s gera.! A B E 4quot; A B C b ETquot; G b � is, en �t felfde mede foonbsp;is van de hoeken tot C tot D 3 tot Eloo c blyktnbsp;dat Y C� X is 3 en daarom A �TII als 4 rechte 3 datnbsp;te bewelen was.

P R O P O S I T I E 2a.

Pig. ip4 Soo quot;er K.yn drie platte hoeken A^^B^HC I welker^ twee grooter zyn als de derde, begrepen vannbsp;gelyke rechte lihien A A E , F BB G .ynbsp;CHyClyjoo is 't mogelykydat ujt de rechte Uniennbsp;D EyFG ,H I ^ die gtlyke rechte Iw�en t�famennbsp;voegen, een Triangel kan gemaakt werden.

Elfde Boek,

Merkti V an drie rechte linien gt; Waar van twee derfclver t'famen grooter zyn als de derde � kan eennbsp;Triangel gemaakt werden. Maarinditv�jorftelis�tnbsp;aldus.

Bfw. VandeA*f'BG, KCH, is de hoek�* **�� * HCKeooBde2.ydeCKecx)CHfooBFfoo BGjeter.nbsp;daarom K H g oo F G , en om dat de hoek K GI fgeg!nbsp;(dat IS h H C 1 B) f CT A is ; fal K I i cr ej-'�nbsp;DEzyn: maar KI k H 1 HK (FG; dernbsp;halvcn D�1quot;Z]HI FG. Opgelykewyfekan 124.*nbsp;getoont worden dat yder twee Cquot; z.yn, als de derde,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

cn vorvolgens dat daa* vaneen A gemaakt �kan* * *�*** werden, dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�21,*

PROPOSITIE 23.

Van drie platte hoeken A, C waar van de twee welke men neemt t'famen grooter zyn , alsnbsp;de overige een corporale hoek^ M tl IK te maken:nbsp;mits dat derfelver drie hoeken^ tfamen mindernbsp;als vier rechte z.yn.

U Werk. � Maakt AD, AE, BE, BF, CF,^J-* CG alle malkander gelyk; en *gt; trekt DE , EF,eiiVi'

FG van welke � maakt den A HIK , fulks dat HIcoDE, IKooEF, KHooFGis, enomdennbsp;felven d befchryft den Cirkel L H K L En aangefiend 5-4 jnbsp;A D �r H L is, foolaat ? A D *00 ? H �

L M xyn, en f ftelt L M perpendiculaar op�t vlakf ,t ,i des Cirkels H KI, eng getrocken H M, K Mgt; 1 Ms i bcg. anbsp;foo is M H1K de begec�de corporale hoek.

E U C L I D I S.

i47:i pHMiooDHL DLMhooDADis, foo fal H OO A D zyn. Op gclyke wyfe werden M K,nbsp;MI} A D t dat is A E, EB 5tc.) gelyk bewefeii,nbsp;dewy Ie dan van de A� A D E } H MI de 2,yde H Mnbsp;00 A D, M1 cx) A,E en D � 00 H1 is, fod zalnbsp;de hoek H M11 oo A zyn ; op gelyke wyfe is denbsp;hoek iMKlooE, en HMKlc�C} derhalvennbsp;is van de drie gegeven platte hoeken} gemaakt dennbsp;Corporalen hoek M , dar te doen was.

Want foo A D 00 of H L is , zal de hoek t'twetk. AaoQoftcrHLI zyn, Op defelve wyfe zal Bnbsp;ooottr- HLK, en C xofC-KLI zyn, der-atgev. halven A -f- ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vier rechte oi gelyk, ofte

P R O POSITIE 24.

Soo een Corpus A B begrepen is van par allele vtac-kpny zyn derzjelver over nial^nder ftaande vlacken (AG .y DB amp;c.) gelykformige ennbsp;gelyke parallelogrammen.

Bew. Het vlak AC,� fnydt de parallele vlacken bitf.it AG, DB, makende de fnede AH �gt; =� DC;nbsp;e, Cjef., om dezelve reden is A � e= H C, derhalven is

vlacken van het Q) A B, lt;= ZZ7men, Dewy Ie dan A F tot H G} en AD tot H C �==8 zyn, zal de hoek

FAD

AD ^ co GH G T^n , derhalveR bok A F � 05 HG en ADeaoHCi endrenvolgensAF , AD 654.�nbsp;f:: HG, HG, deA* FA D, G H G dan g ge-lykformig en h qo zyn j daarom ook de c:7men A E , f ?� Jnbsp;HB gelykformig en � co zyn: het felfdekan vanalnbsp;de andere tegengeftelde vlacken getoont worden.�^em. 1nbsp;ErgodePropofitiewaaiachtig, dat te bewyfen was.

P R O P O S I T I E.

Soo een corporaalparallelepipedum ABCD ge� fneden wort, door een vlak, E F parallel tegennbsp;de overfiaande vloeken AD ^ SC: fio z.alnbsp;de Bafts AH tot de Bafts BH zyn^ als hetnbsp;Corpora AHD tot het Corpora BHC.

Ber. Laat �t 0 ABGD aan beydetyden verlengt werden , en * neemt AI coAE, BKoo a;*i.

Bew. De IM , A H� en DL , DG d ook IQ^, AD , EF amp;c.c gelykformig en gelyk di4.�MiL'^nbsp;tyn: derhalven�t^JAQ^e CO AF is, omdefdf-de reden is �t Q| BP 00 BF, dienvolgens zyn denbsp;Gorpora IF, E P, de corpora AF, EG gelyk-mer^vuldig, als mede de bails I H , K H dennbsp;bails AH, BH. Soo dan de bails IH tTquot; , ao,

CT E P zyn, en daarom AH , BH g :: AFj^t�* EG, dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;def,ii. �

E ut; LID I s.

Gevolg.

Soo eenig priima gefneden worr, door een vlaJr parallel met de tegen o verftaande viacken, de fneedenbsp;, ial een figuur 2.yn , geiyk en gelyktormig de over-ftaande viacken.

PROPOSITIE

op een gegeven rechte.linie AB ^uyt een gegeven pfitit A in d�felve ^ een corporale hoek A H l Lnbsp;te maken, die een ander corporale hoel^ CDEFnbsp;gelyk.is.

��t If^erk. Uyt een punt F �fielt F G perpendi-culaar op �t vlak D C E, en igt; g�trocken de rechte DF, FE, EG, GO , CG, c maakt A H conbsp;CD, end�hoek HAI dxDCE, ook A G conbsp;C E in �t vlak H AI, maakt de hoek HAK d conbsp;DCGen AK^co CG, dan e fielt K L conbsp;G F petpendiculaar op �t vlak H AI, en ^ trekfnbsp;A L. Soo is de corporale hoek AHIL 00 de gegeven corporale hoek CDEF.

�er. h Trekt de rechte H K, KI, IL, LH. Bew. V an de DCG, HAKisAHfoonbsp;CD, AK ecoCGj d�hoekHAKfcoDCG,'nbsp;daaromHK g co DG is, ooknbsp;dehoek HAIfooDGEnbsp;enHAK fcoilCG

teft K AI f ^ � Vv � daarom KIe co G E ( want Al, AKfcoCE,CG zjn )nbsp;wederom in de , DGF, HKLisde hoeknbsp;[ K i 30 G, om datle f recht zyn) K L f co G F,

H Kco D G , dks is H L g 03 D F. Ook in de A* k bewt-A K Li, C G F de hoeken K, G r/oh: A K f qo l'en.

CG j 'K; L ^ 30 G F, daarom is A L g oo C Fgt; derhal v en de A H, L j C D F de zyden d� eea �� ander ge-lykj daarom de hoek H A L' oo DCF; wyders in .nbsp;de A* E G F , I KL de hoeken G , K f recht K Lnbsp;fooGF, KIkooGE daarom LI g oo F E, ennbsp;overfulkS de As C F E, A L I de zyden d� een d� an*nbsp;der gelyk, derhalven de hoek L A F co FC E, enjg ^nbsp;vervolgens dc corporale hoek AHlLcoCDEF,nbsp;dat te bewyfen was.

PROPOSITIE 17.

Op een gegeeven rechte Unie A B een corporale pjg parallelepipednm AK te befchryven geljkfor-mig en gelyk/iandig een vocrge/ieldeparallele-pipedu m C D.

BA I di� co �yn FC E, ECG, F C G. a Maakt d�n corporale hoek Aoo C , dan b maakt F C jbuAnbsp;CE AB , AH en CE , CG AH . A lnbsp;(dan Lal uy: de gelyke FC, CG c :: B A , AI en.5nbsp;zyn), vooVtsd voltrekt't ^ A K, datfelvefa�ge-d31,1nbsp;lyktormig�t voorgeftcldezyn-

Beiu. De zr7menBH, FE �n Hl , EG, ook BI, FG e gelykformig zyn, daairom der lelyerte c�twepnbsp;genoyerftaandeookfgelyktormig, derhalven defes ^^nbsp;vlacken van �t corpus A K , gelyktormig de fesnbsp;vlacken van �t corpus C D zyn , en dienvolgetisnbsp;A K, C D g gelykformig en gelykftandige corpora g 9 def, hnbsp;zyn, dat te doen was.

FRO.

vlal^ FGCD gefneden wert door de Diagonalen D FCG, der tegenoverftaande vlacken A �,nbsp;tl E, dan werdt het corpus A B van V felvenbsp;vlahJFGCD in twee-en gelyk^gefneden.

ai4.n BevJ. Om dat DC gt; co en�ic?=FG is, daar-bH-1 om �t vlak F GCD een b CJ is , dcrhalven CA A � a 30 en � gelykformrg CD H 15, als mede denbsp;A=AFD , HGC, CGB, DFE b gelykenge-lykformig zyn : En denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AC, AG defelve

FB, DB ook agelykengelykformigzyn , derhal-ven alle de vlacken van de Prifma F G C DA H gelyk en gelykformig zyn alle de vlacken van de Prii-�9dcf.11 FGC�DEB : en daarom defelve^ gclykzyn, en vervolgens �t corpora A B in twc�n gelyk gefncderinbsp;is, dat te bewyfen was.

301 De corf orale parallelepipedes AG H E F B C D ^ AG af ml KI op defelfdo hafts AG HEnbsp;en de felfde hoochte {dat is tujfchcn parallelenbsp;vlacken AG HELK D)ge(lclt , �ielkprsnbsp;opfiaande linien A t\ AM in defelve rechtenbsp;linten AG, F L zyn; zyn malkander gelykinbsp;Bew. Want de Prifma AFMEDIa.m GBLHCKnbsp;fubPdegemeeneNBMPCI ,tgt; NBMPCInbsp;reftc�r^AFBNEDCPbcoGNMLHP�Rnbsp;add;degemeene AG NEHP ao AGNEHPnbsp;komt Ql AGHEFBCD c 00 Q! AGHExVlLKI,nbsp;^at te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;PR O*

PROPOSITIE 30.

De corporale parallelepiped's A DC B HE F G ADCBIMLK op defelve Bafts ADC Bnbsp;en hooch te ge fielt' , welkers �pfiaande tiniennbsp;A H ^ A I niet z.yn tttffchen de JeIf de recht enbsp;linien, z)n malkander gelyki

Ber. ^ Verlengt H E, G F, L M, KI tot datfe^ ^ i t�famen komen in O, N, P, en trekt de rechtch r iJ�'*nbsp;AP, DO, BQ, CN.

derhalven�tQ) ADCBHEF� d 000 A DC B P ON Qd X Q! ADG131M L K, dattcbewy-d tknbsp;fen was.

PROPOSITI� 31.

He corporale parallelepipedes AL E KG M BI CP a O HQ_D N opgelyke Bafen A L E K ^

CP a 0 en [elfden hoochte (dat isperpendicHn laar van des Bafis vlak tot het tegen over (taande vlak} ge fielt. z.yn malkander gelyk.

LM, EB, KIenCH,PQ,aD,ON per-pendiculaar op de Bafen A LEK, CPaO hebben, foo is om de gelykc hoogte de perpendiculaar � AGooCH.

b Verlengt CPdatPRcooKEis, opPRu ^ maak �t CD P RT S gelyk engelykformig �t CD

196 E U G L I D i S.

d 1?. lt; K. E L A , op �t felve c befchryft �t O P R T S CL el?:II VYXgelykengelykfortnig�t F?] AJ)j enl^voort-getrocken Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DQF, ^ R

B-w. OfiiN, CRVHjZTYFzynvlackeh die'onder malkander g == zyn , en ALEK,nbsp;CF�0,PRTS, PR6Z, zyn Zr/racquot; dieh 00nbsp;zyn: dewyle dan �t QI CD, Q) P V da^ :: CJnbsp;G^(PR6Z), z:^ Pei eiPR�ZQV^F,nbsp;Q)PVlt;i�is, foofalQ] C Uk 00 Onbsp;QV^Fi 00 epPRVQSTYXmaoQlAB,nbsp;zyn , dattebewyfenwas.

2. Of foo de Ql* A B , CD dezyden op den Bafen niet perpendiculaar hebben, fob laat in denbsp;felfde hoogte geftelc werden een Q) dien zyden opnbsp;den balls perpendiculaar zyn: die lullen onder malkander en de fcliuynen �gelykzynj �n daarom ooknbsp;de fohuynen A B , C D gelyk zyn , dat te bcwy-fen was.

PROPOSITIE 32.

De corporale parallelefipedes AE CD, EFG L met 4efelfde hoogte, tpn tot malkander als haarnbsp;Bafen AB^EE.

Ber. a Verlengt E H en b maakt ZZ7 F t o) zr7 A B, ene voltrekt�t Q) F � N M.

Bew. �t Is openbaar dat Q) FIN M(^ABCD), �,F G L e :: bafis FI (A � J, � F , dat te bewy*nbsp;fen was*

PR0-

Elfde Boek. nbsp;nbsp;nbsp;197^

PROPOSITIE 35/

Degelykjormige corporale^arallelepipedesABCD,j;-g j EFGH zyn tot malkander in de drievoudigenbsp;reden haar der gelykformige zyden AI ^ EK.

Ber. a Verlengt AI, BI, Dl tot dat IL Jgt;0Oaibeg. i EK, IN fa 00 KF, lOfaojK H is, en lt;= voltrekt fa v inbsp;�t ^ IX MT dat fal d 30 en d gelykfortnig�tnbsp;EFGH zyn,e voltrekt ook denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IXPB. DLY Q^d 17.� i�

Beiv. Het blykt dat AI, lL(EK)f;:Dl,ei �li 10 (HK) f: :13l, IN{ KFydat is ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

DL g DL, IX g BO, IT, dat is ook QI'-e-'. ABCD, DLQY H :: DLQY, IXBPh;;g..6nbsp;IX BP, IXMT (iEF G H ) derhalvende redennbsp;A (3 C D tot E F G H k drievoudigh is der reden i ber,

Hier uyt volgt, fooder Herreclitelini^ , in continue proportie zyn, dat de cerfte totvierde is, als �t para�elepipedum opde eerftetot�fparallelepFnbsp;pedum op de tweede befchreeven.

P R O P O S I T I E 54.

Fan degelyke corporale paralleleplpedes A E CD, EFGH zyn de Bafen en hoochtenseen weder�nbsp;kperige reden (AD, E H :: EG, AC)nbsp;en welke corporale paralleleplpedes ADC B,

198 E U CL I DIS,

Bew. Eerft , foo zyden CA , GE perpcn-diculaarepde Bafen zynis de h�ogte dc^ c�fporak gelyk zyn, fullen ook de Baf�n gely k xyn, c;-� �t be-wys din klaar is.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

Ber. Indien de hoogten ongclykzyn, foo neemt van�tn\eerderc EG ai', El ajo AG, endoor I bnbsp;trekt \ vlak I K parallel de bafis EH , ,derhalven

1. ' Steil.

Bw'.fefisADjEH c :: Q] ADCR,EHIK d ::QltiHGF,EHIK c ;; bafis GL,lEc;:nbsp;hoogte GE, IE ( f A C ) �t blykt derhalven datnbsp;bafes AD. E H g :; hoogte G � , A C dat te be.nbsp;wyfen was,

2. nbsp;nbsp;nbsp;Steil

Bfw Q) ADCB, EHIKh.;: bafis A D, E H i;; hoogte E G , E I b ;; bafis G L, 1 K i:;nbsp;Q) EHGF, EHI K is. derhalven Ff) ADCBnbsp;� X Q) E H G F is, dat te bewyfen was.

Eyndelyk, lbo de zyden pp de bafis niet perpen* diculaar, maar icheef Haan, foo recht op de lelvenbsp;bafis een rechthoekige , indefelvehoogte, dezenbsp;%ip ii fullen de fcheve� gelyk zyn , derhalven dewyle dezenbsp;door �t I. deel de bafen en hoogten in wederkeerigenbsp;reden zyn, fullen ook de fcheve in wederkeerige reden zyn; en zoo ook in tegendeel, dat te bewyfen was.

Gevolg.

Dat van de Parallelepipedes bewefen is, Propofi-tic 29, 30, nbsp;nbsp;nbsp;52, 33, 34, moet ook van dedrie-

hoekige Prifmaten verftaan werden, want defelve halve Parallelepipedes zyn, als blyktuytdezSPro-

Elfde Boek,

Derhalven.

z. Soo defelve gelyke hoogte , en een felfde ol , r gelyke balen hebben , zyngelyk.

3. nbsp;nbsp;nbsp;Soo fe gelykformig zyn, foo is derfelver redennbsp;drievoudig} der reden van haar geproportioneerdenbsp;�yden.

4. nbsp;nbsp;nbsp;Soofegelykzyn, foozy.nde bafen en hoogtenbsp;in wederkeerigc reden; en foo de bafen en hoogtanbsp;in wedcrkeerige reden zyri, foo zyn fc eelyk.

Soa der z,ynt wee gelyke f latte h o eken BytlC^EDFtl��g-uyt welkersfpttfen nbsp;nbsp;nbsp;rechte linten AG^DH-)

in de luchtgeftelt werden, die r/iet de eerftge-[telde hoeks z.yden, elks tot de zyne,gelyke hoe. ken maken {GAB �xi tl DE en GACx HDF)^nbsp;ende in defe lucht-linien A G ^ D El genomennbsp;de punten G ,Hemian defelve tot't vtak_, dernbsp;eerftgeftelde hoeken BAC,, EDF trekt deper~nbsp;peudicularen G l, ///f, en vande Punten I ,Knbsp;die van de perpendicular en op de vlacken zyn,nbsp;tot de ecrftgeftelde hoeken gevoegt werden , denbsp;rechte linien Al ^ DK, die [uilen met die in denbsp;lucht gaande AG, DA, gelyke hoeken GAM,

Ber. a Ma^t A L co D H, en b trekt L M ==lV ^ GI, dancMC, MB, KF, KEperpendiculaar^,/.','nbsp;op AC, AB, DF, DE, en d getogen de rechte dibeg.nbsp;BC, LB, LC , ookEF, HF, H�.

ioo

Bexv. Dewyle OI c perpendiculaar op �t vlak B A C en L M f rr~:= G1 is , lbo is L M E ooknbsp;perpendiculaarop�t vlak BAG, en daarom de hoe-}, �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;L M C, L M A, L iVl 13 h recht zyn, en om

^ � '�dar H K fperpcndiculaarop�tvlak E D F is, daarom vjn dc hoeken � 1K F, H K D, H K � ook h recht, derhalven ?ALi3onLM-4-DAlVlnbsp;'oonLM-4-nGM QACioonLlt;Gnbsp;AG, dienvolgens is de hoek ACL^ recht.

Wederom ? A L i ,To ? L M-4-? M A i co ? LM -f-n BM-f-D BAicoDBL-f-n BA,nbsp;daarom de hoek A �3 L k recht , op gelyke wyfenbsp;werd beweferr dc hoeken D F H , D E H recht tenbsp;zyn; derhalven ABlooDK, BLlco EH ooknbsp;AG 1 co UF , en G L 1 F H , en daarom B Gnbsp;ra4:j m ICO E �'�, als ook

de hoek ABG � oo DEF en AC�5�ooDFE, dit van AtsM nco DEK en ACM 'gt;.'o DEK

o) gein, I rell GBM o co F�K en BGM � 00 EFK, en alfo zyn van de A* B C M , EFK twee hoeken metnbsp;een Zyde d�een d�ander gelyk, en daarom ook G Mnbsp;Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;PK is, of ookO GM p ooD FK

1 gem: i A M q 10 D K ;

; gem: i p 00 H K, en alfoo Zyn de A� E A M, HDK onder malkander gelykzydig , en ovc^lks de lioek V *= � ' L A M v 00 H D K , dat te bewyten was.

Elfde Bock. Gevolg.

Derhalven zoo der zyn twee gelyke platte hoeken,' yyt welkers toppen in de lucht gelyke rechte liniennbsp;ftaan, die met de eerft gcftelde linien, gelyke hoe*nbsp;ken maken, d�een totd�ander, zullende perpendi-Cularen, die van de uytertte punten, der in de luchtnbsp;linien, op de vlacken der eerft geftelde hoeken vallen , onder malkander gelyk zyn: te weten L. M oo

PROPOSITIE. 36.

Als drie rechte linien DE., DG, DFproportionaal z.yn^ (oois't corporeal pardlelcpipedum Dnbsp;dat van defelve drie linien gemaakt is.gelykjoetnbsp;geljkz-jdig corporaal parallelepipedum l N datnbsp;van de middelfte linie D G ( dat is l K, 1M ^

Bew. Dewyle DE, IK � IIi, DF (bo is �fageg. d L K b OT; Ctd FE , en om dat de platte hoekb 14:5nbsp;EOF � 00 K1L , en die in de luchreaande D Gnbsp;? .101M is, daarom zyn de hoogte der DH,IN cnbsp;gelyk, en overzulksdefelved gelyk zyn, dat tenbsp;wyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d 31; u

PROPOSITIE 37.

fallen ookj^e corporaleparallelepipedums A.^ By C,Dydie (lp defelvegelyk^for/nig engelykftandignbsp;hcjchreven proportionaal zyn: ende foo vier corporale par allelepipedengelykf arm igengeljkfiaw-�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;N 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dtg

to% E U e L I D I S.

digproportionaalzyn (A, B: :C, D) fallen eokde vier rechte timen, op welke zybefchre-ven zyn, proportionaal zyn.

3 vpudige reden : : A tot B of C tot D , oolc is de reden der Q) C tot Q) D � 3 voudig .�: Gnbsp;bgcv.13:totD, derhalvcn SIA,,Q)BIgt;::g]C,S)D,nbsp;� dat te bewvfen was.

2 Steil'. Bivj. Q3 A , tot B c ;: 3 voudige reden A tot B , maar de reden Q! C tot QI =nbsp;D is 3 voudig als C tot D , derhalven A , B 4 ; ;nbsp;C, D, dat te bewyfen was,

PROPOSITIE 58.

vlak^A Cgerecht is, ende ujteenpant E in een der [elver (A B) getogen tot het ander vlak^nbsp;A C, de perpcndictilaar E jp, defe fal op dernbsp;V lac ken gem eene doorfnydinge A D vallen.

Ber. Soo�t mogelyk is, laat F de uyterfte onder de gemeene doorinydinge A D 2.yn , en in�t vlaknbsp;a li. I AC* getrocken F G perpendicalaar op de fneenbsp;b I beg. IA D j en b trekt EG.

cLieryd. Bevj. Dewyle F G c petpendiculaar op A D is, nlbo is die ook d perpendiculaar op�t vlak A 13, ennbsp;r def. II de hoek F G E e recht, ook is de hoek E F G fnbsp;^ S'g. recht, derhalven in de ^ E F G twee rechte hoe-S '7-1 ken fouden zyn, dat g met wefen kan.- en daaromnbsp;kan de perpendiculaar niet buyten, maar opdege-ineene doorfnyding valleo, dat te bewyl�n v.^as.

^ nbsp;nbsp;nbsp;PRO*

PRO PO .5 IT I E 39.

Soo de ��KforalefHirailef.ife'iiim AB, dezydenFig. jn C A � ^ FC,. AF, E ten DH, GB, DG,nbsp;fiBy. derouerfeaande vluchen AC, D B innbsp;twe�n.gelyk^gede�ltz.j/u, endoor deefe puntennbsp;gemnajit denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 L QJd , P KMR ,

dey'ervlackfngem'eevf t^oorjnjdinge S'T, en des corporale parallclepipednms diameter ABnbsp;(uilen malkander in twe'�engeljk^fnjden.

�Trcktde rechte SA, SC, TD, Ti3, a ibeg. i Bew. In-deA* DOT, BQT is DO (OG)��'g's-k:o QB., O T b .-n r:^T.cie hoek TO Dcjo TQB.cj^A'Mnbsp;daarom DT�iaxTB., en de^oek DTO BTQ_d4:gt;nbsp;is, derhalven is DTB een rechte linie. Op de-'�S*nbsp;felvewyfeis A S C ook een rechte linie. Vorders isnbsp;A Dfeoen fs== FG, oojc Gjlfai en/== FG,fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

dies is A D g .0 en g c== C B , ook is A C b aogigj;�,j en ==gt; DB j derhalven A'B , ST in een i welfde en 9. nnbsp;vlak ADBC zyn. Eyndelyk is in de A* V A S,jnbsp;VBT de hoek AVSk jp BVT. ASVnbsp;BT V } en dezyde AS m 33 BT, diesis A V quot;nbsp;VBenSV nxjVT, en fnyden alfoo AB enm7gcm,inbsp;ST malkander in twe�ngelyk, dat te bewyfen was.quot; x

Gevolg.

Hier uyt volgt, dat in alle Parallelepipedes dc Diameters alle malkanderen m twe�n gelyk fnyden innbsp;een punt V. .

E U C L I D I S.

PROPOSITIE

^ ^^Alstwec Prifmaten A B CF E D, G HM UK van geljke hoochte, de eene een parallelogramnbsp;A B C F, en de ander een triangel GUM totnbsp;Bafes hebben, en dat't parallelogram ABCFnbsp;dubbelt is , van den triangel GUM dan z,yn denbsp;tweeprifmaten A B C FE Dy GHMLIK ge-

lyk.

� ?*�* Bew. �m dat de Bafes GF �� 00 A C is , en X � de hoogten � gelyk zyn, daarom is�tQP G Q d ,-0nbsp;Q] AN; maar de Prifmaten ASCFED, GHMLIK.nbsp;,d3i.ii 2,yn e helften van dc Qjden AN, G Q, en daaromnbsp;fyg�mi ook^gelyk, dat te bewyfen was.

Byvoeg.

Uyt de voargaande demonilratie heeft tpcn da afmetinge van een drie en vierhoekige Prilhia, ofnbsp;Farailelepipedum , foo namentlyk de hoogte ge*nbsp;multipliceert wert met de balls.

Als by Exempel.

Indien de hoogte is i o voet, en de Balls 100 vierkante voeten (zal ook de Bafis gemeten wordennbsp;door ByV. 35�: 1. of 41: i. ) multipliceert 100 metnbsp;itgt;, komt lt;000 Cubifche voeten voor de corporale inhoud der gegeven Prifma.

Want gelyk de rechthoek, alzoo werd ook een rechthoekig parallelcpipedum voortgebragt uyt de

�lfde Boek. ' nbsp;nbsp;nbsp;16^

iioogte gemultipliceert met de baGs, derhalven zal een ieder Parallelepipeduro gemaakt worden, uytnbsp;de gemultipliceerde hoogte met de BaGs, als blyktnbsp;�yt de defes.

Wyders nadien de geheele parallelepipedutn gemaakt word uyt de hoogte op den geheele BaGsj foo zaldedriehoeklgepriGna ( zynde de helft daarvan)nbsp;gemaakt worden uyt de gemultipliceerde hoogte metnbsp;den hal ven BaGs, namely k den driehoek.

Bekentmakinge.

De Letteren die een Corporale hoek betekenen, is altyd de eerfte tot een punt, in welke de hoek is,nbsp;maar jie Letteren die een pyramide betekenen, is dcnbsp;laatfte tot den top der pyramide.

Als by Exempel.

De Corporale hoek ABCD, is tot hetpunt A;j, en de Pyramide BCD A , is het top tot hetpuntnbsp;A, en BaGs is den T f iangel BCD.

TWAALFDE BOEK.

PROPOSITIE 1.

Tig.^Xi^De gtlykformige veelhoeken ABCD�^ FGH/fC in Cirkelen ABC ^ FGl befchreven ^ zj/n totnbsp;malkander als de quadraten der diameter A Z',nbsp;F M der cirkelen. . ,

FG M f recht, en daarom g gelyk, dies zyn de/\s A B L , F G M h gelykhoeki^, en daarom A B,nbsp;FG i :: A L, FM; enoverlulksdegeiykforinigenbsp;figuren op de felvebefchreevenproportionaal, dat isnbsp;veelhoek ABCDE,FGHlICk;:QALj ?nbsp;F M, dat te bewylen was.

Gevolg.

Hier uyt blykt ( om dat A B, F G :AL, F M ;; B G , G H amp;c. ) dat de omtrecken dernbsp;gelykformige veelhoeken in Cirkelen bel'chreven,nbsp;tot malkander zyn als de Diameters.

Lemma of Voorbevoyi.

�egevenzynde^ tweeongelykegrootheden A B, lt;7, %9o men van degrootfte AB affnyd A H meer

als

bi det. I Bew. Dewyle de hoek ABC ^ oo FGHen A B , B C : : F G , G H is , foo fal de hoeknbsp;c6 6. ACB'ddFHG zyn : cn de hoek A L B oonbsp;dii-J ACB; FMG lt;1 ooFHGis, derhalven isdehoeknbsp;eigem.i ALB e F M G , ,ook zyn. de hoeken Ah L,

fji. ^

Twaalfde Boek.

aIs z.yn helft, en van de reft HB mede meer als xyn helft ( dat is HI) faleyndelyk overblyven,nbsp;eengroatheit IByninderals de minftegegev�nC.

Ber. Neemt DE fooveelmaal C , dat del�lvejiJ ten naaften AB te boven gaat, xulx dat DF *nbsp;FG�x)GE�x)Cis, ftelle A H t� CT* � A 13,nbsp;foo is H B *gt; quot;I] AH, ftelle ook HIET� t H B,nbsp;dat is I B H1, dit foo lanO aldus gedaan datnbsp;de menigte der deelen A B ao de menigte der dec-len DE is-

Bew: DE is c cr AB _fubf_D F-^aPE AHc-;ABnbsp;reft F � cr ; D E en H i A^Bnbsp;derhaiven F � C� is als H B

fubf: FGnietC* ^FE HI crtHB relt Ge-nietquot;n i FE 113 J- fiBnbsp;derhaiven G � e oo C CT1 B, dat te bewyfea was.

PROPOSITIE a.

De Cirkelen A BTE F N zyn toe malkander en Bii. jif als de quadraten haarder diameters AC, EG,

Bcfo. Indien �t foo niet is, foo laat ? A C gt; n E G :; Cirkel ABT, een grootheyd 1. Defe -grootheit I moet dan C~ of 'Tl als de Cierkel E F Nnbsp;xyn.

Stelle eerft , foo �t mogelyk is dat I rD de Cirkel EFN is, enlaat�tverfchiliyndegrootheycnbsp;K, foo is I -}- K T) de Cirkel EFN.

In de Cirkel E F N�befchryh �t ? E F G H, data 6.4 ' ^elve is de b helft van het omgefchreven quadraat,*� Wyr.ys

E U C L I D I S.

in twee gelyke deelcn, d� punten der ddorliryding j . d voegt te famen met de rechte EL, L F amp;c. doornbsp;cjf.i' L e trekt Q_P t=3= F E, die t'raakt de Cirkel E F N,nbsp;fbyv. 27en ontmoet de verlengde G F j HE , makende �cnbsp;? Q E P Q__F} dat g�t dubbelt is vande^ ELF, ennbsp;*' daardm de A i�L F ook grooter als de helft van'cnbsp;Cirkelftuk ELF; Insgelyks zyn de overigenbsp;grooter als de helft'van de oveiige Cirkellfucken.nbsp;En fo wederom de boogen EL, LF, FM amp;c. innbsp;tween gelykgelneden worden, ende met rechte t�fa-men gevoegt, fullen op defelve wyfe denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de helf

ten van de Cifkelftuckeo t� boven gaan. Derhalven foo het quadraat E F G H van de Cirkel E F N,nbsp;en d�overige Triangelen van de Cirkelftucken ge-fubftr: worden , en foo geducriglyk gefchiedende,nbsp;hlemm. fal eyndelyk reften of overblyven een grootheydnbsp;2.LZ. minder als K: Waaruytnugenoegfaamblykt, datnbsp;de Cirkelftucken EL, LF, F iM amp;c. te famennbsp;minder zyt� als K, derhalv�n I (dat is � Cirkelnbsp;E FN � K ) -a alsde veelhoek E L F M G N H Onbsp;(dat is Cirkel E F N � Cirkelftuk E L Hf- L F amp;c )nbsp;k Befchryft in de Cirkel ABT de veelnoek A K Bnbsp;en t teg-sQypjv gelykformig de veelhoek ELFMJNHO,nbsp;it.iz danis AKBSGTDV,ELFMGNH01 :: ? AG,nbsp;� Steil ? E G m : Grkel A BT, I. Maar de veelhoeknbsp;n9gcm.iAKBSCTDV n Cirkel ABT. derhalvennbsp;� 14, y veelhoek E L F M G N H O o I, en boven is Inbsp;'^ELFMGNHO,dat ftrydig is, daarom kan Inbsp;niet ''D als de Cirkel E F N zyn.

Twaa^dt Boek, nbsp;nbsp;nbsp;509

EFIlt;[ zyn. Dewyle dan ? AC, ? EGp::pf)^ll. Cirkel ABT, I en omgekeert I, Cirkel ABTnbsp;? F.G, ? AC. Stelle 1, Cirkel ABT,::nbsp;CirkeLEFN, K. Dan zal de Qrkel ABT qC~qi4:Snbsp;K zyn, en ? EG, ? A C r E F N , K , dacnbsp;ftrydig is tegen �t geen voor bewefen is.

Cirkel EEN is , ergo I co Cirkel EEN: maar wy hebben geftelt ? A C , ? EG ;: Cirkelnbsp;ABT, I, en om dat I oo Cirkel EEN is, foo isnbsp;dan ? AC ; p EG r :: Cirkel ABT , Cirkelt'nynbsp;�E'N, dat te be wy (en was.

De gelykformige veelhoeken fonder �ynde, in Cirkelen befchreven � zyn tot malkander als de qua annnbsp;draten harer Diameters : maar de veelhoeken in �tnbsp;oneyndige in Cirkels befchreven, die eyndigen innbsp;een Cirkel: derhalvcn de Cirkelen tot malkandernbsp;fc zyn als de qiiadraten haarder diameters, dat te b�-^ 5nbsp;wyfen was.

�Gevolg.

Hier uyc blykt, gelyk de Cirkelen zyn tot Cir� kelen, alfoo de veelhoeken in de zelve befchreven,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

PROPOSITIE 3.

.i/Sll� Pjramide ABDC met driehoekige Bafen^kon-

nenintwccgehkePjramides AEGH^ nbsp;nbsp;nbsp;5^7

O nbsp;nbsp;nbsp;gi�

3I� E U C L I D I S.

gedeelt werden, die malkander, en kyfonder de gantfche Pyramide A B D C gelykforniignbsp;zyn, en drie hoekige Bafen hebben : ah medenbsp;in tweegelyke Prifmata B FG E fl I, F G Dnbsp;IHK �t farnen grooter ah de helft dergamhhenbsp;Pyramide A B D C.

Ber. a .Deekalledczyden der Piramide in tween gelylc'in cte punten E , F-, G , H, I, K, en trekt denbsp;� rechte E F , F G , G E , I E, IF, F K j 'K'G jnbsp;GH, PIE.

Bew. Aangefien de Zfden der Piramide �propor-tionaal geihccden zyu , ibo fuiicn-HI,, A B;,ea GF, ABj ook IF, DC, als mcde HGj DCnbsp;amp;c. d c===j zyn, waar uyt blyktdatde A� A BDjnbsp;AEG, E B F, F D G, H IK e gelykhaekig , ennbsp;de 4 laatfte f co zyn. Op defelve wyfc de A*nbsp;ACB, AH E, �1B, H 1C, F G K � gelykhoe-kig, �rid� 4lantftef so'zyn. Insgelyksde A� B F1 gt;nbsp;F D K, I K C, E G H , als mede de A� A H G,nbsp;GDK, HKG, EFl onder malkander e gelykfor-mig en ^quot;00 zyn, Soo ook de HIK, A D B ennbsp;� G H , B D G , ook EFl , ADC, als mcdenbsp;FGKgt; ABC g == zyn.quot; Waar uyt voor ecrltnbsp;klaarlyk blykt dat de Pyramide A E G H l� gelykfor-mig en b oD H11^ C , en ook b gelykformig dc ge-heele A B D C is, dat te bewyi'en was.

Ten tweeden iscie A E liF i oo A ^ DF add (A E F G i DO A ^ E)l�nbsp;komt � A7 Bf G E b 00 a A� G DF,. zyn �nbsp;de Bafen van de Corpora BFGEIH, FGDIHKnbsp;datiPrifinateri zynjen van gelykehoogte ol mflchea

. ' T�f^I/Ue'B^k.

. �an- � -CX) �vn : O�k is de cede prifma B K.Q ti 1 !d �gt; /syfxAer'a�s cltf piranricie Bi:� BI { o E H ) der i' ?nbsp;haF�en de prihiia-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P CT�-diyraiTiide

A BG H ot H 1 K. C. eri dienvolgens orik prifma � igetu,i B F G BIH -f- pi�lma FG Dl H K 4 ET* pyra q.^gcm.inbsp;tnidc A B D G5 dat le bevCyfen was.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r -i- �

PROPOSITIE 4.-:

Soo twee Pyramiden ABC EFG fi Zjn, FIg. 518 metgelykj hoochte y endriehuekjge bafen ABCynbsp;EFG�. 'waar van elb^gededt is in i%vee anderenbsp;Pyramiden A IL Af, Ai NO n en EP R 5,

SI V ti malkander.^ eride de ganfch'e gelxk^ � formigh ; ende in twee gelyke prifmata 1 Bnbsp;KLAIN, KLCNMO en P F SIPST ynbsp;GT SV: en op defelve n/yfe elke Pyrnmidenbsp;dte uit de vorige deelinge fpruytgedeelt ^ datnbsp;altjtgedaan zytide: z.al zyngelyk^-n Bajis vannbsp;dd eene Pyramide, tot den Ba fis van d' anderenbsp;Pyrarnide , alfoo alle de' prifmata , die m dd :nbsp;eene Pyrarnide . tot alle de prifmata die in d'nbsp;andere Pyrarnidegelykjnenigvuldig rjyn.

Bew. He: werk ot'de deeUng. gedaan als ia de voorgaande, fort is ^ Al N O � == A B C , en a 15nbsp;A BTV � ==,A EP G , en de ho- gte van�: punr Dnbsp;** 00 H , derhaiven de hoogte A M N � � 00 Anbsp;ST.V, waar uyt. volgt de prifma KLCNMO, �nbsp;QRGTS V a A K LG . Ql.^ G : maar B K d inbsp;* 00 quot;K C en F Q_e co Q^G is , derhaiven A*34' lt;inbsp;A B C, L K C en AS B F G , R dG f gclyktor |

k^e�. 5'4* G K C, A R Q.G k:: prifma K LC N M O, pril ma QR. G T S V ( want defe gelyke hoogh 7yn)

1 prifma IBKLMN pril'ma P F QJ^.ST, der� halven de A ^BC, A EFG :: prifma KLCN MOnbsp; IBKLMN , prifma QRGTSV -f-PFQRSr,nbsp;dat te bewylen was.

Op gelyke maniere vorders gedeelt de Pyratni � deMNOD, AILM en EPRS, STVH,nbsp;zoo zullen de vier nieuwe Prifmara die gedaannbsp;werden tot de vier voort getrockene zyn gelyk denbsp;Bafis M N O en A I L tot den Bafis S T V ennbsp;�PR , dat is als LKC tot RQG ot als ABCnbsp;tot F. FG , derhalven quot; alle Prifmata van de Pyra*nbsp;mide A BCD tot alle Prilmata Van de Pyraroidenbsp;E F G H fig tot malkander hebben , als de Bafisnbsp;A B C tot de Bafis E F G, dat te bewyfen was.

pig. 319 De Pjramide i ABC D ^ E FG H uan g�ljle hoogte^ endriehoekige Bafen ABC ^ EFG ^nbsp;zyn tot malkander als de Bafen ABC, EFG.

Bfvs. Indien �t zoo niet en is. Zoo laat de Bafen ABC, EFG:; Pyramide A B C D, X zyn, denbsp;grootheyt X , moet dan CT ot de Pyramidenbsp;EFGH zyn.

Steil. Eerft zoo �t mogely k' is dat X E F G H is gt; en laat �t verfchil Y zyn , dan is X -f* Y 00nbsp;Pyramide E F G H.

Twaalfde Boek. nbsp;nbsp;nbsp;215

� Deelt de Pyramids S F G H in Pyratniden en Prifma , foo lange dat de overgeblevene Pyra-mide EPRS-f- STVH b'IDcorporaYwerdc,nbsp;gefub: van Pyraniida EFGH c oo corp: 5C -J- Ynbsp;reft PrlfoTPFQRST QRG P S V d cquot; corp: X

a Deelt ook de Pyramide A BC D in Pyramiden en Prifma 2.00 lange- als de Pyramide EFGHnbsp;gedaan is, foo zal zyn 'Prifma 113 K L M N ^nbsp;K ECN MO, PFQRST 4.QRGTSVe;:nbsp;Baf. A B G, E F G c;; Pyramide A R C D, corp.nbsp;X; maar de Pyramide A 13 G D is f CTquot; als Prifmanbsp;I 13 KL MN -^KLCNMO , dcrhalven corp.nbsp;X h Cquot; Prifma P F Q.RST H- Q_RGTSV,nbsp;en boven is �t contrarie bevvefenj daarom kan Xnbsp;niet 'TJ Pyramide E P' G H zyn.

Zoo �t Gorpus X CT kon zyn als de Pyramide EFG Hjdewyl dan geftelt werd de Pyramide ABGD,nbsp;tot�tcorp. X :;de Balis A f3 C, EFG, enomge-keert *t corp. X , Pyramide A BCD h; ,� Balis EFG,nbsp;ABC. Laat geftelt werden �t corp. X, Pyramidenbsp;ABGD:: Pyramide E P G H, �i corp Y, dewyl �tnbsp;corp XCquot; geftelt werd als de Pyramide EFGH. zalnbsp;ook de Pyramide A BG D i CTquot; als �t corp Yzyn,nbsp;derhalven fal �t zyn gclyk de Bafis E P' G, A B C k:;nbsp;de Pyramide EFGH , �t corp. Y 5 welke minder is alsnbsp;de Pyramide ABGD, Itryd�nde regen �r eerfte be-^velene,daarom kan ook X niet ET PyramideEP�GHnbsp;2.yn,eneerftisgetoontdac X DietmPyr. EFGHnbsp;kan zyn, ergo X 00 Pyramide EFGH ,en dewyledenbsp;Bafis A B C, E F G:: Pyramide A B G D, X gefteltnbsp;IS, foo moet dan ook Bafis A BG, EFG Pyrami-dcABG�j EFGH, dat te bewylen was.

PROPOSITI E. 6.

B?r. .a Trekrderechte.AG, AD, Gl. fjJv-Betp. -Pewyle Ijalts.ABG, AC D b ;: .Pyratni-d A B GF y-A C D F' is, zo is vergadert A.B GD, A C D c :: Pvramidc A B C DF , A C D Oofcnbsp;is Bafis A C D , A D F. b :: Pyrarnide A G^D.F ,nbsp;A D t,j�'. cjerFalven uyc dege;lyjlt;c A B C D,. A D Rnbsp;�it: f d;;ABCDF , ADEF, vergadert A W^DE,nbsp;A D,E. Pyrarnide A H-C D � F, A X? E'F.nbsp;Vorder? ,A D K , G 1C L b ;; Pyrarnide A D E F',nbsp;G K L ]V1 . en als yopreiy ,4?.^ omgekeert , isnbsp;egcv.4:5.GJCL, GHIICL�:: Pyramide GICLM, GHIKLMnbsp;derhalven wederom nyc de gelyke , ABCDE,nbsp;S i4�A GFdiKLs Pyramids ABGDEF', GHIKLM,nbsp;dat re bewyfen wasnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Aldus.:

Den Rafi? 'gt;BC , GDI fPyrarnide ABCF, GHIiC en ACD , GHl f :: Pyrarnide ACDF,nbsp;G H I , derhalven Bafis A B C D , G H 1 g ::nbsp;Pyrarnide . A ivCD F, GHiK. Ook is de Hafisnbsp;A'DE , G H 1 f;; Pyrarnide ADEF, G H.I K,nbsp;derhaiveii f^a'Fs ABC D� , GFdl 8 ;: Pyrarnidenbsp;A B C D E F, G Fi 1 K , dat te bewyfen was,

PRO-

Jtji^ddifde-Boek.

Bew. Dewyle ^ A B F b co en gelykformigb 15 dcf ^ DCE en A ACB c �� A ACD is lt; foQnbsp;2.ijn de gelijke honge Pyramide A C SF, A C Dnbsp;gelyk , op de zelve wyfe de Pyramide D F A C � 5-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

00 pyr- DFKC is; en A C D F, D F A C zyn een en felfde Pyramide, ergo de drie Pyramides AC F,nbsp;ACDF, DFEC in welkede Prifma gedecltis, zynnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

onder malkander e gelyk, dat te bewijfen \yas. nbsp;nbsp;nbsp;^ * S'quot;�- lt;

Hier uyt blykt, dat de Pyramides her derden-f/u. jxj deel van een Prifma is , als die een zelve Bafesnbsp;en hoogte hebben -

^f-

Alle Prifntit is drievoudig van een Pyramide als die een felfde Bafis en hoochte heeft.

Want maakt den veelhoekigen Prifma ABC D E G HIK F in driehoekige Frifmata , en Pyra*nbsp;mides , A BC D E H, in driehoekige Pyramides,nbsp;foo fullen yder byzonder deelen van de I�rif-mata, en -de byzondere deelen der Pyramidenbsp;a drie in getal zijn , derhalven de geheele Prifmaay. nnbsp;A B c D.E G H I K F de geheele Pyramidenbsp;ABCDE'H drievoudigis, dat te bewijfen was bi.jnbsp;O 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;PRO.

21^ E U G L I D � S.

PROPOSITIE �.

^iet driehoekige Bafen ABC, � FG zyn tot malkander in de drievoudige reden haurder ge-proportioneerde zyden AC ^ EG.

Bew Qni dat de ABIC, EFNG en ABMD, EFQ^Hj ook ACLD, EI (j P td�nbsp;bidefg bgelijkformis^zijn, daarom de Q)s ABICDMKL,nbsp;�9def ii�p2\'G H QU P opk f gelijktcrmig , en hernbsp;d fesvoud van dePyratnides ABCD , EFGH zijn,nbsp;derhalven zijn dezelve in een �zelfde reden: maarnbsp;de reden der Q)s tot haar z, den is f drievoudig ,nbsp;ergo de reden der Pyramide? A B C t), E Fquot; G H,nbsp;is ook g drievoudig de reden haarder gelijkredigenbsp;zyden AC, EG, dat re bewijlen was.

Hier uyt blijkt ook dat 'de veelhoekige gelijkfor-mige Pyramides een drievoudige reden hebben haarder gelijkredige zyden.

PROPOSITIE p.

met driehoekige Bafen ABC., EFG, z.yh haar hoogte in wederkeerige reden met haarnbsp;Bafen; en welke Pyramides driehoekige Bafen

Twaalfde Boek. nbsp;nbsp;nbsp;zif

i. Stel. Beu). De Bereydin^ als in dc voorgaande Fropofitie, ioo zynde ABIC DM KL,

� F N ti' ri QJJ F het � lesvoud van de gelykej^g.,^ Pyramide A Bl, U, LFGH, en daarom �gt; gelyken7.12nbsp;derhalven de hooete f H ) , hoogte (D ) c ;; Ar b^ gem-i

Stel. Beu). Dewyl de hoogte (H), hoogte ( D) e ; ; hahs ABC, FaGs F FG lt;quot; : : czj e geg.nbsp;ABIC, dJ F F N G is , derhalven A B IC ^ 'gt;� Jnbsp;DMKLgooOEFNGHCLOP ; maardeSI^gt-*.�nbsp;zyn het ^ iesvuud van de Pyramide , daarom ouk*�^*�Anbsp;de Pyramide A13 C D i x Pyramide E F G H, dat '�g�m. inbsp;te bewyfen was,

Het zelide is te verftaan van de veelhoekige Pyramides; want die tot driehoekige konnen ge-hragt werden.

Gevok.

Dat van de Pyramiden beweelenis Prop 6 8.9, is ook te verftaan van fodanige Prifmata die drievoudig van de Pyramiden zyn en de zelve Baltsen hoogte hebben; derhalven,

2 De gelijktormige Prifmaten zyn tot malkander in de drievoudige reden haarder zyden , die in gelijke reden zijn.

3. Van de gelijke Prifmaten zijn de Balls en hoogte ih wederkeerig� reden; en ter contrarie:

Jia E U G L I D l S.

Byvoeg.

Uyt het tot noch toe bewefeiie, komt de metm-ge der Pyramiden en Prifmata. a I. gfv. De Inhoud van 'a Prifmaten wort bekomen uytnbsp;deles en d� hojOgte gemultipliceerc met de Bafis: derhalven 'nbsp;T�-A,o. de b pyramidesuyt�t derdendeel van dehoogtege.nbsp;by.iz, tnultipliceert met de Bafis.

PROPOSITI E 10.

Fig. 310 Conus is het derdendeel des Cylinders als die ^eljke of een felve'Bafes AB CD en hoochte.nbsp;hebhen.

Bew. Indien �t lbo niet en is , zoo laat eerll, fno �t mogehjk is , het corpus E , den Cylinder,nbsp;het drievoud des conus re boven gaan. zulks dat denbsp;Cylinder 00 3 conus -J- E is.

* Dewijle de Prifina op het Q, om den Cirk. of Bafis ABCD � dubbelt is , der Prifm. op hetnbsp;? in den- felven Cirk. als ook' der gelijke hoogenbsp;Cylinder : foo ial de Prifina op het Q ABC D,nbsp;ook de helft der Cylinder cejaoven gaan. Op denbsp;zelve wijfe gaat de Prifina op den Bafis AF B denbsp;helft des Cylinder op het Cylinderftuk AFB als dienbsp;even hoog zijn, b te boven. De bogen gedurig innbsp;tweeden gelijk gefneden en getrocken de Prifmatanbsp;f�o lange tot dat de overgebleven ftucken der Cylinder 5 te weren AF? F B ? B G amp;c. t�lamen CD zijnnbsp;als Corpus E. DerhalvenCyl. �ftuk. AF, P'Bgt;nbsp;BG8cc. (dat is der Prifm. AFSGCHDI) is,nbsp;c,ii^ als Cyl� E, (dat is het d drievoud der Conus,)nbsp;en vervolgens de Pyramide der voorfcyde Prifma-

' T�:^aalf(k Boek. 2^9

itaan en een. T^ve hoogte beblxn ) f C' als de fy gem. i even hooge ccxius op de Bafis of Cirk. A BCD,nbsp;djc is het deel grooter alszijn'geheel, dat g niet we- g *nbsp;fen kan , daarqm kan de Cylinder niet C~ als hetnbsp;dl ievoud deiTcqnus zijn.

Ten tv.'ecden gt;laat loo �t mogdijk is, de J- Cylinder 00 conus. � corpus � zijn. Jin uyt de conusnbsp;trekt d� Pyramides, als in�c voorige deeldePrifmanbsp;uyt de Cylinder, zoo lang tot datter eyndelijkdenbsp;iTucken der cqous.als Al*�, F,B BG dcc. over-blijven t�lamen minfier als het Corpus E. Der-halven de Conus � K (dat is ^ !- des Cylinder}hgeftddenbsp;Pyraroide A F B G C H D I ( dat is de conusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

�r ft�k'AF v- F B amp;c. ) emo de Frifma ( dat is i drievoud der Pyramide als die een Bahsengei^kei gev.ynbsp;hoogte hebben ) k cr~ als de Cylinder op de Bafisnnbsp;A B C P , dat is het deel .groorer als fijn geheel ,nbsp;dat 1 niet wejen kan, daarom kan de Cylinder niet 1 ? gcm. inbsp;'~n als het drrevoud des conus zijn.

boo is dan bewefen dat de Cylinder met CC noch als het drievoud des conus is, derhalvcnde Cyl:nbsp;op 3 c-onus, dat te bewijfen was.

Anders,

Neemt dat dp de Bafis van de Conus A BC D. een gereguleerde veelhoek van eenige rijden stefz.nbsp;is , en dat ook op de Conus als Bafes e-n Pyra-nfide, en op de Cylinder een Prilma gelchrevennbsp;wort , zoo zal de Pyramide het gt; derdendeelnbsp;dyPrifmazvn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iz

120 EUCLID I S.

ticj een veelhoek van, meer als twee lyden ge-Ichreven wort, en op die Conus een Pyramide, en op de Cylinder een Prilma word geftelt, zoonbsp;zal van gelijke de Pyramide het a derdendeel vannbsp;de Priima zy n. En dit fal gedurig zoo zyn.

Derhalven dewyl de Pyramide in een Conus, eh de Prifma in een Cylinder eyndigen, zoo zalnbsp;ook de Conus het derdendeel van de Cylinder zyn,nbsp;dattebewylenwas.

PROPOSITIE ir.

Betv. Indien �t zoo niet is, zoo laat zyn de Cirkel A B, C D , Cirkel E F G H : : Conusnbsp;A B C D K, corpus N , zoo moet dan Nnbsp;of Conus E F G H M zyn.

S^ell. Eet ft zoo �t mogelyk is dat Cor N quot;D Conus EFG H M is, en laat bet verfchil corp-O zijn, zoo is N -4- O 00 Conus E F G H M.

Steil. De bereydmge en Demonftratie als de voorgaande , zoo zal eyndelijk overb'ijven desnbsp;Conus Hukken EP -4- PF -f- FQ_8cc. quot;�3 Onbsp;a�t gc-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gefubll: van l^on. EFGHM�ooN -0

Twaalfde Boek. nbsp;nbsp;nbsp;mi

� H f :: Conus A B C D K , corpus N, foo^�'**-2al de Pyramiae E P F Q_G RHSMg'^Ngn, j zijn , en boven ifie Cquot; geto�nt, dat ftrydig is,nbsp;daarom kan N nietConus E FG H M zijn.

Laat nu zoo �r mogelijk is N Conus E F G H M zijn , en ftelle de Konus E F G G M, Onbsp;:: isf. Conus ABCDKh ;; Cirkel EFG H-,hftcll.eiinbsp;Cirkel A B G D, ergo (om dat N c~ E F G H M Snbsp;geftek wore ) 7.00 zal (de Pyramide, A B V quot;5^ Knbsp;f~j de Conus ABGDK. v.ijnde ) ook de Conusnbsp;ABGDK. i CT O zijn, �t welk ftrijd tegen �t�ii-Snbsp;getoonde in �t eerfte deel , derhalven kan Nnbsp;niet C7quot; Conus E F G H M zijn , en boven karifenbsp;niet �3 zijn , ergo N oo Conus E F G H M, ennbsp;daarom Balls ABCD, EFGH:: Conus A13nbsp;COK, EFGHM, dat te bewijfen was.

Het feilde is het van de Cylinders, als men in de plaats der Konen en Pyramide neemt de Cylindersnbsp;en Prifmata, derhalven ook de Cylinders tot malkander als hare Bafen.

Anders.

De Pyramides aan even hooge eonen in geichre-ven , zijn � tot malkander als haar Balen , ende-,^ zelve eyndigen eyndelijk in de conen , derhalven zy de conen tot malkander als haar Balen, datnbsp;te amp;c.

Soo ook de cylinders, dewijle die het drievoud van de conus zijn als die gelijke Balls en hoogtenbsp;hebben , foo zullen die ook c tec malkander zijn cij.fnbsp;als haar Bafen, darreamp;amp;

ia E i) O t r D'i s.

Byv�.

Den inhoud van de rechte cylinder, wert voortgebracht, uyt den Cirkel der Halls ( welkers tnecin-geons Archimedes aanwijft) gem�lripliceert met de hoogte: en zoo ook van alderhande cylinders

Waar uyt volgt dat de inhoud van een conus voortltomt, uyt het derdendeel van de hoogte ge-mulciplic�ert met de Bafis.

PROPOSITIE 12.

ifig. 3z8 De gelykformige Conen en CylintPren A BCD A', E FG H M, z.yn tot malkander inde drievon~nbsp;dtge reden der Diameters FX^ PR haarernbsp;Bafen ABCD, EFGH.

Bew.� Soo�tfo�danignietis, foo moeten die tor een ander grootheyt een drievoudige reden hebben , ftelle dan de conus A 13 C D IA. corpora Nnbsp;drievoud TX , P R. Soo meet N C� olnbsp;conus EFGHA'l zijn Laat dan eerftzoo�tmo-gc�jk is N quot;quot;3 con; E F G H M zijn, en haarnbsp;verfchil O foo i.s N -{- O cO conus EFGH IVI,

Ber. Als in �r voorgaande zoo�zal met �t zelfde bewijs N rD Pyramide EPh QG R HS M zijn.nbsp;Laatnuvorderstotdc Alle acr conen [ K, LMnbsp;ai bee I getrocken werden de � rechte V K , C K , VI,nbsp;Cl; en Q M , G M. QL , G L.nbsp;bgeg. Dewijle de conen b gelijktormig zijn. Soo isnbsp;�f4det.vi, IK c QL, LM en de hoeken VIK,nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;QLM

Twaalfde Boek.

QJj M lijti- ^ rechc, daarom de VIK , Qt, M j jg e gelijkhoekig zija, derhalven V C, V1 f:: Q.G, nnbsp;C^L, ook Vl, VK f.:: QL, QM. ergo uyc|^|nbsp;de gelijke, is VG, VK g ; : Qj�, QM, ookg'^j^, jnbsp;is VK, CK h ;:QJVI, MG, diesweder,uycdeh7.5 ,nbsp;gelijke, is VC,CKg:; QG,GM, derhal-ven A* V K C, Q_M G gt; gelijkformig zijn, met ge-, 5, gnbsp;lijke redenen zijn d�overige A� van d�eene Pyra-mide de overige van d�ander^elykformige, daaromnbsp;de zelve Pyramide k gelijktormigezijn, maar defe k 9 �l'f-Pyramide A T 8 V CXD YK, E F F Q.G R H S M''nbsp;zijn tot malkander in een 1 drievoudige reden, 1 gev.'t.nbsp;der zyde 'V C tot Q.G , dat is � Vl tot P. lj,r- quot; 'nbsp;t. ot T X tot P R; ergo Pyramide A T B V C X D � ^ quot;nbsp;y K , Pyramide E F F QjS R H S M o :: conus oftc�. ennbsp;ABCDX, N, maar de Pyramide ATBVCXDYK n* 5.

Jgt; conus ABCDK is , derhalven Pyramide EPFQGRHSM q '�a N,en boven was hec^^f��^nbsp;contrarie , daarom kan N niet conus E F Gquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

E F G H M zijn , en ftelle N, con; ABCDK :; conus E F G H M , O : voren is Pyramidenbsp;ATBVCXDYK, Pyramide EPFQGRHSMnbsp;;; conus ABC DK, N , dit verandert is N , con.nbsp;ABCDK, r;: Pyramide EPRM , Pyramide ATr^ev.4,5nbsp;C K s ;: G Q , VC drievoud of r PR ,nbsp;drievoud, derhalven is conus E F G H M, Or;: y jnbsp;Pr, T X drievoud, en om dat N C7~ conus E Fnbsp;G H M gefteit wc-d, foo fal de conus A B C D Knbsp;�w c~ O , ftrijdende tegen �t voorgetoonde , w 14- 5nbsp;daarom kan ook N niet n~ E F G H M zijn,nbsp;derhalven NooEFGHM, en vervolgensnbsp;de conus ABCDK, conus E F G H M ::

TX, * �

?24 E H � L I D 1 S.

binders. ,

In de cirkels der bafen van d� gelijWorrnige co* nen, befchrijtt gereguleerde veelhoeken, diefullennbsp;��k gelijkformig zijn, ook fullen d� Pyrainides opnbsp;defe veelzydige coneij gelijktormigezijn , dat lig-telijk kan getoonc worden. Dele Pyramides ftaarlnbsp;dan tot � malkander in de drievoudige reden haar-der gelikredige zyderi V C, Q� , dat is ook alsnbsp;VI tot Q L pf diameter T X lt;= tot F R.

Dewijle dan de Pyramides in conen eyndigen, foo is dan ook de reden der conen , lot malkander drievoudig, de reden der Diameter T X, PRnbsp;haarder Bafen, dat re bewijfen was.

Dit nu van de conen bcwefen de waarheyt t� zijn, is licht van de cylinder mede te verftaan, de-aio.li wijle de cqnenhet d derdendeel des cylinders zijn,nbsp;200 hebben dan ook de cylinders tot malkander eennbsp;gjy j e drievoudige reden der Diameters haarder Balen*nbsp;enti-s datteStc.

PROPOSITIE 13.

S0O een Cylinder A B CD gefneden wiert, met een vlal^ E F, Parallel met z^jn tegen over-flaande vlacken B C^ AD^ i.00z.alde CjUnder AE ED tot de Cylinder E B CF zynbsp;als de As G l tot As l H.

G K 00 GI ook H L 00 H100 L M, en fteldat ijyc de punten K gt; L/, M gt; de cirkels of vlacken K N,nbsp;h�, PM e~=3 G A D � getrocken zyn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c3 beg, t

Bew. Om de lt;1 gelykheyc der affen , foo is dedbcr. cylinder E U e co cyl. A N.en cyl. E.C = oonbsp;db O P j alzo is de cyl. E N f even veel maal de cylf iS- Snbsp;E D , als de al�e 1K de affe I G is : en foo ooknbsp;de cyl. F P even veel maal de cyl..FB als denbsp;afle IM de afle IH; nadatdan I K Cquot;, oogt; ^

I|M is g fal ook den cyl. EN tTquot;gt; oOj '^FFguiii 2.yn , derhalven de cyl. AEFO3 cyl. �BCF. -igt; GI, IH, dat tebewylehwas.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y

D� Conen A E B, CED , en CjlinJteren A fi 33* CK met gel]fke Bafen AB^ CD :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot

Ber. Oe cylinder HA en de as EM* voort-* g�crocken zynde , foo b neemt M,L 00 F N uytl�SHnbsp;L, trekt �t vISk L O P e== M A B.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c 3 btg. t

Bevj. Om dat ML d 00 FN is, daarom de'^'�quot;' cyl. AP c 00 CK en de tyl. AH, AP

Het xelve is het van de conen, als zynde her^j^.j^^ g derdendeel van de cylinder. Ik voeg �er by de^nbsp;Prifmaten en Pyiamiden als blykt uyt 9 en 7.1 i.

216 E U e L I D 1 S.

conen en cylinders hahr bafen en hoogte in we-^ derkeerige reden zyn dez.elve z.yngely\.

� r-i

b7:S

Cj! t

d be(gt;

e 14� tz fgeg-

h gcg. i ber,nbsp;k 14: II

1^:5

m 11:

nrs

Soo de hoogtens gelyk zyn , zullen ook de ba-feri a gelyk zyn en �t vereyfchte danb klaar is; dog de hoogtens ongelyk zyn j zoo c neemt �er afnbsp;M O po L A.

I. Steil. Bevj; Om dat de hoogte cyl. EQjJ 00 hoogte cyl. B H is , daarom hoogte MD, MO,nbsp;(L A ) s :: cyl. EK (fBH), E Ci_g ;: bafisnbsp;B C, E F, dat te bewyfen was. �nbsp;z Steil Bevj. Om dat de Bafis B C , E Fnbsp;h :: hoogte D M, O M f i L A ) k :: cyl. E K ,nbsp;E Q^l : ; bafis B C , E F m ; ; cyl. B H , Enbsp;is, daarom cyl. EK *gt; oo.cyi. BH, dat te bewyfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/

PROPOSITIE i(j.

3ji Tweeongelykc Cirkelen AB CG D E F ora een centra M zynde � in de grootfte cirkel A BCGnbsp;eengelykzjydigenveelhoek_., even zyden hebbende.^ te befchryven, die de kleynfte Cirkel D E Fnbsp;niet raakt.

a 1 beg. I 't Werk. Door �t centr. M � trekt de rechte I, j,51 AC fnydende den cirkel D E F in F, uyt F b fteltnbsp;F H Perp. op D F , dan c maakt Cl c�?� i 3nbsp;c ? o; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;of .5. � amp;c. van de hal ve cirkel A B C, fo o d lange de

dietn.i boge IC boge H C is.* dan � trekt de rech� *�� te 1 C felve is een zyde van de begeerde veel-bnek.

Bezv. Het f blykt dat de boge IC de geheelef�twcth cirkel meet, en dat liet getal der bogen gelyk is,nbsp;dcrhalven.isdeondertogene IC, eensgzydederin-sby't-gefchreven veelhoek. Wyders is de hoek ILG�^'^ _

30 H F' C, daarom IK s= H G, maar H G, h n gem.' k raakt de cirkel D E F , derhalve;. IK defelve �^

Gevolg.

PROPOSITIE 17.

quot;Twee ongelyks Spheren ABCV ^ EFG een Centrum D zynde ^ in de groetfte Spherenbsp;A B CV een Corporale veelhoek tefchryven ^nbsp;welke vlacken niet raken de fuperfitie der min-^nbsp;fte Sphere EFGH.

'tWerk. Snyd beyde de Spheren met een viak door �t centrum � makende de cirkel E FGnbsp;A B C V en �gt; getrocken de diameter A C j B V ** * *gt;^2nbsp;malkander rechthoekig fnydende In de cirkel A Bnbsp;G V c befchrytt de gclykzydige veelhoek V M Lj,quot; �nbsp;N C amp;c. die de kleynfte cirkel EFGH niet raakt:nbsp;dan b trekt de diameter Na, endftelt D O perp. .nbsp;op �t vlak A B C V , door D O en Diametersnbsp;A C, N � getroeken de cirkels of vlacken D O C ,5wnbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DON, ^

22$ EUCLIDIS.

DON) DOL, DOM amp;c. die zullen e reciit� hoekig op �t vlak des cirkel ABCV en EFGHnbsp;jj.zyn, en vervolgens in het vlak der Sphere f vierendeel cirkels D f) C, DON maken , waar innbsp;ggei�elc: derechte CP, PQ, QJ^, RO, NS,nbsp;ST,Tlt;r, Oc, co CN, NLamp;c.gelyk, enevennbsp;h I bag. I veel in menigte, en getrocken de rechte S P, T Ci.,nbsp;c R amp;c. In de overige vierendeel- cirkels O L ,nbsp;OM amp;c. en in de geheele Sphere, insgelyks gedaan, too is ORC^PCN �cc. de begeerde veelhoek.

Ber. Van de punten P , S i trekt PX, SY Perpend, op �t vlak ABCV die k vallen in denbsp;gemeenefnydinge AC,N a, en uyt �t centrum D fteltnbsp;D Z 1 Perpend, op �t vlak N C P S als ook D dnbsp;m I bee.i Perpend, op �t vlak S P Q T eh tri getogen denbsp;rechteZN, ZG,ZS,ZP,

B-�w. Dewyle de hoek PXCojoSYN, en d�hoekPCXpohSNYis, daaromdeAs PCX,nbsp;S N Y q gelykhoekig zyn , waar van de zyde P Cnbsp;* co S N , dies ook P X s oo S Y en X C * so Y N ditnbsp;fubft. van D C t co D N

j is YX 5^ NC. Maar om dat PX y co en ybwefen z �^S Yen beydeopc�nfelvevlak ABCV recht-z 6- II hoekig zyn, zal ook S P � co cn �e=3 YX zyn,nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ en daarom S P b .�- N C, derhalven de vierzy-

Twaalfde Boek.�

f R o geheel in een vlak is. Op dezelve wyfe^ is de ganriche Spher� van defel ve vierzydige en driehoekige vlakken vervult, d�rhalven een corpo-raal veelhoek daar in befchreven is.

Wyders is D N , N C c ; : D Y, YX, en04 6 DN f cr D Y is , daarom NCg^YX (SPjfg gem. inbsp;is, en lbo ook S P CT^ T Q en TQ Cquot; f R jg '4 5nbsp;en om dat de hoeken DZC gt; DZN, DZS,nbsp;rechtzyn, ookdezydenDCj DN, DS, DP igelyknbsp;en D Z gemeen, zoo zullen ZC, ZN, ZS, Z P,nbsp;onder malkander k gelyk zyn ; en daarom kan om k 47. iquot;nbsp;de vierzydige N C PS 1 een cirkel befchreven wor-115 def. 1nbsp;den, van welke ( om dat N b , N C, C F � ge- m �t werknbsp;lyk en N C [r� S P is) N C � meer als een vie-quot; iS. jnbsp;rendeeLronts begryptj 'derhalven de hoek NZCnbsp;aan �t contr. o plomp is, en daarom ? NCnbsp;a ? ZC ( ? ZC ? ZN ).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

V orders zyn de hoeken NIC, A D V q rechte, dies is de hoek ADNfrDNC-}-DCN)s plomp,1nbsp;en defel ve D C N i CT 4 rechte , en daarom denbsp;overige der rechte, dat is C N 1 i �D D O N , M g'm.inbsp;derhalven IN v CT� IC, en overfulx ? NC,'quot;'gt;'nbsp;(�?Nl �lC)wquot;T3zO IN en alloo 1N 1nbsp;ET Z C en bygevolg D Z � tT* D I. En dewylcnbsp;�t punt I X buyten de Sphere E F G H is, daarom * 8''^-�t punt Z noch meer buyten de felve Sphere, ennbsp;derhalven �c vlak NCPS (wiens Icencr. �t puntnbsp;Z �t naaft is , ) de Sphere EFGH niet raakt,nbsp;noch fnydt. Soo ook om dat D � ETquot; D I is,

2.al �c vlak S PQT noch verder van �c centrum 2.yn en overzulks de Sphere EFGH niet rakennbsp;noch fnyden. En van de overige vlackcii der veel-P ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hack

250 E U C L I D I S.

hqek is�t,fblve: derhalven is de veelhoek O R p C,W amp;c. m de grootfte Sphere befchreven: ennbsp;'raakt de kleyofteniet, dattp doen was.

Gevolg.

Hier:uyt blijkt, zoo in eenige .indcre Sphere, een corp�raal veelhoek befchreven wert, gelijk-fortnig een gegeven corporaal veelhoek i zoo isnbsp;de reden van de veelhoek in d�eene Sphere, rotnbsp;de veelhoek in d�andere , drievoudig de reden dernbsp;Diameters defer Sphere.

Want zop uyt �t centr. der Spheren tot aile hoeken van de bafen der gefteldc veelhoeken rechte li-nien getrocken werden, zullen de veelhoeken in pyramide verandert werden, gelijk en gelijk in getal , welkers gelijkformige zyden zijn halve Diameters der Spheren, gelijk �t blijkt, foo vcrftaannbsp;wert dat de kleynfte defer Sphere in de grootfte,nbsp;om een Centr befchrc\jen is, dan zullen de rechtnbsp;getrockene linien van �t eentr. der Sphere tot denbsp;hoeken der bafen om de gelijkformigheyt der bafennbsp;over een komen; en daarom fullen de Pyramidennbsp;gelijk worden. Derhalven ;elke byfondere Pyramidenbsp;in een Sphere, tot elke byfondere Pyramidein de an.nbsp;dere Sphere � een drievoudige reden der gelijkformige zyden hebben, dat is de halve diameters der Spheren. Maar gelijk de eene 1gt; Pyramide tot d�andernbsp;Pyramide is, alzoo alle Pyramides uyt d�eene corporaal veelhoek t�famen gel�t, tot alle Pyramidesnbsp;uyt d�ander corporaal veelhoek t�famen geftelt: ennbsp;alzoo hchUeo de veelhoeken in een Sphere een drievoudige reden derhalve Diameters, en = derhalvennbsp;ook van de heek Diameters.

Twdalfd� Boek, *33; PROPOSITIE 18.

'Bevj. Laat de Sphere BAC t�t de Sphere G, in een drievoudige reden der Diameter BG tot denbsp;Diameter E F zyn: Ik zegge dat dan G oo E D F is.

Want foo �t mogelyk is, laat G ^ E D F zyn , en gedenkt dat de Sphere G een centrumnbsp;heeft met de Sphere E D F , en dat in de Spherenbsp;EDF een veelhoek befcheeven is, die de Spherenbsp;G a niet raakt , eh ge�jklorinig is de veelhoek iua 17,11nbsp;de Sphere BAC befchreven. Defe veelhoekennbsp;zijn in een ^ drievoudige reden derdiameters BO, ��gw 17-E F, dat is de c fphere B A C tot G, daarom de^ Ml.nbsp;Sphere G CT als de veelhoek in de Sphere EDFnbsp;befchreven , dat is �t- deel grooter als �t geheel.,nbsp;daarom kan G niet quot;3 EDF zijn.

Wederom foo �c mogelijk is, laat de Sphere G !-� E D F zijn, en laat zijn gelijk de Sphere E D'Fnbsp;tot een ander Sphere H , alzoo G tot B A C datnbsp;is in e een drievoudige reden der Ciameters E F tot e ftell.nbsp;fiC ; dewijle dan B A 0 f Cquot; H is, foo is dat f14.5nbsp;wederom ftrijdig tegen �t eerfte deel. Waaromnbsp;blijkt dat de Sphere G 00 � D F is, dat te bewij-fen was.

Gevolg,

Hier uyt blijkt, dat gelijk de Sphere tot de Sphere, alzoo is de veelhoek in d�eene befchreven tot de ge-iijkformige veelhoek in d� ander befchreven.

P 4

TOEGIFT.

Eu elides leert in het vierde boek verfcheyde; figuren in en om cirkelen te befchiy venmaarnbsp;. een quadraat in en om een triangel, mitsgadersnbsp;een achthoek in een quadraat te fchiyven en leert hynbsp;in geen yan 2i)n boeken; echter zijn dat zeer fraye ennbsp;nutbare faken, zullen derhalyen, daar van, benet-fens noch iets anders, tot een toegift, op ons voorgaande werk handelen, hopedatzulxby denkonft-liev�nde niet onaangenaam fal zijn.

f-'�� 3},i I. In een gegeven rechthoekige Triangel -AB C eeaq^uadraat, BGFH tejchryven.

't ITerk. � Befchrijft op A B, �t O A B D E, en b trekt de diagon: E B, die fnyd A C in F, uyt Fnbsp;ctrekt FG, FH perp.op liD, BA , zoo zal BGnbsp;F H, �r begeerde zyn.

Bevj Oth dat BD d oo ED is, daarom de d 'tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j)B�egoDEBfob^ recht, en dienvol

gens BFG bok ^30 DBE ^oo J recht, dcr-halven B G g 00 F G : op dezelve wyfe is de boek* B F H , i recht, en F Hl co B H b oo G Fnbsp;� oo BG, overzulx d�hoek G FH b recht d oo Gnbsp;k7genuid 00 H 1 00 B, daarom BG^ H een �� ?) diensnbsp;^g*S- boeken de zyden des gegeven A� � raken , in F,nbsp;mi^def, pjj derhalven � in defelve befchreven, djt te

�/

T o E G I F X

Of korter.

DewyledeAsBFG, BHFpgelykhoekigzyn?piy.i mee de A� B L) E , 13 A E , deWelke t�famen eennbsp;9 ? lyn : 2,00 lyn A* B F G -f* B H F ook een * ? 9 � ge��nbsp;zynde in de A A B G s befchreven, dac t� doen was. * gt;�weik.

Anders.

't Wirk. a Befchryft op B C *gt; �t ? B D E G 3 a 46. i en trekt AE , die fnyd BC in G , byt G c trekt^��*g�nbsp;G F Perpenp. op BC', die fnydt AC in F uyt'�'*nbsp;F 4 trekt F H Perpend, op A B, foo is G t H B, j ^nbsp;;� begeerde quadraac

derhalven C E, F G f -� D E, BG, maarCEfti.y I 00 DE is, en daarom FG* 00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en vervol g 29 def.i

gens GFHB een g ?, zynde in den A AI3Ch9.S i befchreven, dat te doen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i-twerk

Om dat de fcheefhoekige Triangelen zyn gp-lyk en ongelykzydig , ende de ongelykzydige fcherp en plomphoekig zyn , zoo zond men hiernbsp;�rie voorftelien van konnen maken. maar dewylenbsp;in alle defelve bewerkingc en Hemonftratie is, zoonbsp;zullen wy die alle in een betrecken, en feggen datnbsp;iH de gelykzydigc men �t quadraat kan ftellcn opnbsp;wat zyde men wil, en in een ongelykzydige fcherp-hockige op zulken zyde die met Perpendiculaernbsp;P Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;minft

2^ 3r Q E G I F T.

ininft verfchUt, � ende een plomphoekige kan het grootfte quadraat niet anders dan op de zyde overnbsp;den wijden hoek gemaakt worden.

HWerk. a Befchrijft op AB *t ? ABKI, en door C b trekt IVhD s== I A c trekt de Diago-e I beg. 1 jjggj I D , die ihyd A C in F uyt F b trekt F Gnbsp;c= A B , die Inyd B C in G gt; uyt G en F bnbsp;trekt GH . FE =s MD , foo fal EFGH �tnbsp;^ begeerde ? zijn.

dxy.i, Bevj. Om dat de ^ DFE d gelijkhoekig DIA is j en het d ongefchikt 4 hoek D F G H metnbsp;D I K B , en den A DIA 4 hoek DIK Bnbsp;er5.gem.= een ? maken, foo fal A D FE -f- 4hoek DFnbsp;I G H f ook een ? zyn, welk ? de zyden des gcrnbsp;E�t�weik geven A' 8 raakt, en daarom h in defelve befchre*nbsp;h I def. 4 ven, dat te doen was.

\4nders.

aiien3,i Iferk. * Stelt AI oo AB Perpend, op AB, c ibeg.ien b trekt C D Perpend, op A B dan c D Inbsp;d3i.i die fnyd A G in F, uyt F d trekt F G , FEnbsp;r�quot; AB, CD, die fnyden CB, ABinG ,Enbsp;uyt G d trekt G H 1=3 CD, foo is EFGH,nbsp;�t begeerde.

f�i'- 5 LC e :: DB,LG,daarom AD,FL(ED)f;; DB,LG, (DH) wydersisAI, FE�;:AD, ED::DB, DHnbsp;addeert D B, D H

00 de halve diagonaals 4- R-, B R amp;c en � trekt EMy LK, GF, foofal EMLKIHGFnbsp;de begeerde :acbthoek rijn.

',reft BL b g�'D'Fg00 AEScc.enfoogbei;^� iijn A M j 'A E , D FD G Sec. alle malkandernbsp;gelijk, �n daarotn de A� A E M, B LK, CHl,

D f recht en daarom b gelijk zijn , en overfulks d�andcre hoek�n yder � half recht, en hare Bafenkiige�,nbsp;ME, LK, IH, GF k gelijk.

2,^^ T O I F T.

Wederom, dewijle AD, BOj CD^ BA f 00 lijnende hoeken ABG, BCD, CDA, DAB,nbsp;f recht zijn. zoo zijn de hoeken OAM, OAE,nbsp;PDF, P D G i half recht, enQMA, OEA,nbsp;P F D , P G D zijn g half recht , en A E g osnbsp;A Mg00 DF amp;c. derhalven zijn MO, Iqo AOnbsp;IcoOEiooFPiooPDloo PGnbsp;ook isARgooRD

AOgooDPS��=

� relt OR eoo RP

vandeA�MRO, ERO, FRP, PRG is MO co OE co FPooPG en OR o� RP gemeen, de hoekennbsp;O en P recht, overzulks M R 00 E R k co F Rnbsp;RG en de hoek M RO koo O RE 00 FRPnbsp;k oc5 P R G ; en dewijle AR^OOAF is, lbo isnbsp;de hoek ARF mooAFR�co FRD-f*RDF

� * I. wijl� hoeken van gelijke zyden begrepen zijn, zoo zal ook E F o co F G zijn om gelijke redennbsp;ook gelijk G H en foo voorts, ook is hier uytnbsp;openbaar dat de hoek MEFcoEFGoo FGt^nbsp;is, om dat ydcr uyt twee gelijke hoeken beftaat, by-gevolg is EMLKIHGF een gelijkzydige ennbsp;gelijkhoekige achthoek , diens hoeken de zydennbsp;def.4 des quadraats d raken, en daarom m defelve p be�nbsp;fchre ven, dat te doen was.

uln-

TOEGIFT. %ij

And^Si

�ok is4 dED dAD - 40 ADE��dEF 7 . . T' ?zDRnozdEDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;coooADv'^��

derhalven ?EFoofnEMgt; en overXulfcs EF, � 00 E M, dat te bewijfen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� ' *

Wy hebben in �t 4 boek Propofitie ii. geleertg|^,.g, hoe men een vyf hoek in een Cirkel (M bcfchryven:i ^ * *nbsp;maar dewijle dat �er konftlievenden zijn, die des-felfs manier, wat befwaarlijk toe fcbynt, om datnbsp;op die manier�t zelve doende, eerft een gelijkbee�nbsp;nige Triangel, diens hoeken op de gront, elk dobbel tegen de tophoek zijn, gemaakt moet werden,nbsp;zullen derhalven hier een andere manier voordragen,nbsp;doch voor af laten gaan , d�fe z volgende Lemmata of Voorbewjj'f�n.

Lemma i.

De rechte linie A E van de tYamengefielde ziden D F des fishoeks en A B des tienhotks hejde

�38 t O � � I F T.

?�� (s/e uyterfte m middelfts reden ^ A E^ BE:: B E ^ A B), van welke het grootftenbsp;deel B E de zjyden des. feshoeks is.

DE.

Beu). Om dat d� boog A B b 00 boog ABC is , daarom de hoek BITC c 30 4 I3D A , ook isnbsp;de hoek BDCm^iDBA (DAB DBA)nbsp;ergo 4 BDA e c�i DBAnbsp;div. a �^--^------

lOf 2 BD A f m DBA do) BED 4. BDE-,

maar dewijl B D b x B E is, foo is de hoek BED g 00 B D E, derhalven DBA^xa BDE, bovennbsp;is D B A -l- a BDA, daarom BDE e^o BDAnbsp;yder �DBA, derhalven BDE BDA, datisnbsp;ADE e 00 DBA ofD A B , en alfoo denbsp;A DE, AD B gelijkhoekigzijn, en daarom AE,nbsp;AD (BE) : : AD (BE), AB, dat te bewij*nbsp;fen was.

Gevolg.

Hier van daan, zoo de zyden, van een zeshoek ih desi�lfs Cirkel gefnedcn wort in de uyterfte ennbsp;middclfte reden, zal het grootfte deeleen zyde vannbsp;een tienhoek inde zelve Cirkel zijn.

Lemma 2.

DE in den Cirkel AB CE hefchreven , is gtJyk. lgt;eyde de qmdraten AB. de ttyde des

tien-

T o E G I FT.

tienhoeks , ende F B de zjfde des feshoeks en den z.elven Cirkel,

Ber. a Trekt de diameter AFG, en fnyd deaibeg. boog A H in twe�n gelijk in K j en � trekt FK,^ 3� 5nbsp;FH, FB, BH, HA, HM.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;

foo reft de boogTD G e 00 G D f oo A~H CX3 H B 5 e J gem. i derhalven de boog BCG lt;� xBHK, en over-zulx de hoek BFGgx aBFK: maar de hoek 135:6.nbsp;BFGhaoaBAGis, ergo de hoek BFK,i ooB20:3nbsp;B A G, en alfo denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B F M, B A F k gelijkhoe- Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

kig ( want de hoek B A G is de zelfde als B A F eo B F M, zijnde de felfde als B F K, en A B F is bey-de^� gemeen, diesis BFAkso BMF) derhalven AB, BFl;; BF, BM, en daarom ? A B, 14:6nbsp;BMfflm-O BF.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m.i7;6

quot;Wederoni dehoek AFK quot;ooHFKis, enAF^^Jj^r oxgt; HF en LF gemeen , derhalven AL p 0Op4ii''*nbsp;LH, en dehoek FLApco FLH, en daaromqq 10dcf.rnbsp;recht, foo zijn dan weder vap de HL M, A LM,nbsp;de zyd HL 30 AL, LM gemeen ,endehoekHLMnbsp;ajALM, dies de hoek LHMp 00 LAM is, ook isnbsp;LAM�toHBA, derhalven de A� A HB.AMHnbsp;kgelijkhoekig zijn, en vervolgens AB , AHl : :

komt cn AB, AM -f C3 AB,BM t ao ? AH aBF,*,*'8quot;quot;*i maar CD AB,AM-j-CD AB,BM *00 p ABis,der-*quot;**nbsp;halven ? AB ao ? AH nFS,dat te bewijien was.

T o EG I F

Gevolg.

_ 4. Hier uyt, 200 een rechte linie F K die �yc �f Centr. F, de hooge A H in twee- en gelijk fnydt,nbsp;izal ookde rechte HA gt; die derielver boog ondertoo-gen t�, i� tvfecn gelijk rechthoekig geineden werden.

, 2. Des Cirkels Diameter AG , uyt A, een hoek des vyrhoeks ( welke men wil), getrockch,nbsp;deelt de booge C D gt; die de zyde van de vyf hoeknbsp;tegen over de geftelde hoek begrijpt , in twe�nnbsp;gelijk ; als ook de zyde CD rechthoekig en innbsp;twe�n gelijk.

hift* H igt; ftelt HA perpend, op GF, dan c deelt HF iii twe�n gelijk in I, en � trekt A 1, maak i K 00nbsp;IA �n getrobken A K, dat zal �en zyd� des vyf �nbsp;hoeks in den zelve Cirkel zijn.

Bewys.

reltaFK, KH ^zo oHAjanF) ^8eni.3.i(j�rhalvenKF, HFgt; :;HF, KH, en daarom (de-k*t gev- HF een k zyde des feshocks is) fal KH 1 een zydenbsp;*5-4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;des denhoeks zijn, en vervolgens (om dat ? AK g oo

O AH ? KH is) falA Keen m zyde des vyt-*� hoeks in den zelven Cirkel zijn, dat te bewijfen was.

. A A N H A N G..*

� . nbsp;nbsp;nbsp;� -V-iquot; inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,

de Meetkpnft willen oefenen,' dat �e hehben eenfpeaulative, ksnnis.ziande Propofttien-der boe- -ken J^uetiditf gn dat te weten die op �ndre te De- 'nbsp;monftreren: maar daar wertvereypiad^ een Pr^aSii-i ,nbsp;cale kennis om derjelvete'konnen in Hw�rig^gUeny |nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

ende diembehoren tegebruy^n^ Toi u^el^fsejf-d�'^'i'k.di�hjiiggeo�rd�eltioebbe'', dtt myh w�rk ie ,' vermeerderen met een aanhang jdienende op de zes .nbsp;eerfte boeken Euclidis ybefiaande in het.Tranforr -mer�n-t �f veranderen der figuren, alsmede de viernbsp;fpetiender-Arithmetica^ als Additie fiHbftra�kfnbsp;MHitiplicAtie en Divifie infigmren; fiVant, datnbsp;zelve^ niet alleen dienftigis,orn de Propofitien vannbsp;de feseerfie boeken , te pas te brengen na befioren ;nbsp;maar oqkjom dezelve tg beter, ende te v aft er te lee-ren Demonftreren: derhalven[uilen ity UE vannbsp;jder fpeiie,eenige Exempelen v o ordragenten de hare bewf-rkinge, mitsgaders desfelfs demonftratie ,nbsp;fodanig die ons nu te binnen kpmt ^ daar by doen :nbsp;niet dat wy willen [eggen dat het niet anders kan',nbsp;te wegegebracht werden:. want defe[toffe kan op.nbsp;verfcheyden manieren uytgewerky worden , maarnbsp;defe is ons nu zog ingevallen. Neemt dit dan aan y.nbsp;in z.odanige genegentheyt y als het IJE, voert medenbsp;ge deelt y vanmy�Eitoegenegene

P. WARIUS. ,

54-� Transformatie van Figuren,

I. EenflomphoekigeTriangeiABC^ tevera^e--ren in een recht hoe^gen jiDC ^ als mede in een ge�j0\'�nig�h it'E C.^

tji:i b'ftelt iA Egt; Perp. op A C die fnyd BE in Dgt; enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;trekt P'C ; vorders:lt;i.ikeh A.C in twee-en

dio. i' geHjk.in^p^^.en c^^,.F,E Pefgend. op AC j.die en. I fnjd.^^S in^E,, c^ireict �A�,^ C�, d^^^is ADCnbsp;een' r�cAcli�ekige ,/1eh A.Egt;C �een g�lijkbe�nigenbsp;Tfiang�E � �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

Wy,d�rs is, .van. de -i^�'Afi E,, G EFc xPijoek hiodef.1 AFEb gp,CFE,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A F / 00 C F en FE

i4.i 'getneen derhalven A E .1 co G E , en daarom k*4def.i A'A�C^�g^�iikamp;e�higv

de 3' A�, 'AB C, �AB Gj.�A EG een�i B3fis A G 137:1 hebben, daarom lijnf�'alle tnalkander i g�Hjk'j datnbsp;te doen was.

Ander smet de rechte hoek boven,

Fie XM *( Werk, Op de lapgfte zyde A C , � befchrijtt a 10 prop, den halve Cirkel ADC, en �yt B 1� trekt B Dnbsp;enjbeg. ;�- AC die fiiyd de'hklvc'Cirkel in D , dannbsp;bu:i ' A D, DC.

ci�bcg. I Bew. Soo is de A ADC ^ rechtho�fcig, �1 d}i-3 e 00 A ABC, dattedoenwas.

�37.�

2. Een

. Transformaikmamp;Bgnten.

gelijkzydige A ADC, uyt B , b trekt BE e==iMi* ' A C , fnydende A D iri E j dan c trekt E C: j. ? jnbsp;Vordersop A DiJg�trocken de halveCirk. AFDjdio./ennbsp;eri uyt E , Helt E F Perp. op A D , ftotende de^ ^nbsp;halve Cirk. in F, � trekt dart AF, en op defel-'^nbsp;ve � befchrijft den gelijkzydigen A AGF die falnbsp;00 A A li G zijn.

Bevj', Om dat AD, AF^ ;; AF, AE is,fgev.8,d daarom A A CD, A AFG g ;: ADj AEb ; .-ggw.iy.nbsp;A ACD, AAC�, dethalven A AFG �co Ahr.tfnbsp;AGE b-co A ABC, dattedoenwas. inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;59.5

5. Een�ngefchikte viertjoekjABCDyin eenParaU l�logram G 'HK 1 te veranderen.

't Werk. a Trekt d�n Diagonaal A C j op de/�gt;. 545 felye uyt. B, en D ^ b laat vallen de Perpendicula- *' beg. inbsp;ren BE, DF, defelve c deelt yder in twe�n gelijk in M ^*nbsp;enN,doordefepuntendtrektGH,IKt===� AC tot^ . *nbsp;daTe de � getrocken perpendicularen AG, A I en*� *nbsp;CH, CK onttnoeteninG,H,K,�,fooisGHKI*�'�*nbsp;een czi, etl 00 de 4 hoek A B C D.

Bevj. Om dat G H, IK f ==3 A C zijn , lbo.f lt; werk is ook G H g == I K, ook is G I b H K i?J� *nbsp;en daarom A H, A K, G K � �=7gt;nfnzijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

^4-4 � T^TamfoTtnatit *vah Figuten^ Andefs.

b�i r'f * rechthoekig door A en C, b ftelt IA E, K C h' dan cjiji door 13 en D e getrocken 1, IK = A C dienbsp;ontmoeten de rechtftandigen in E j F, Kj. 1: eyn-^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* delijk E I, F K in twecngeiijk �Jgedeeltin G en H,

Bew Volgens�tbovenftaandebewys, zijn AKj: A F, K, G F �::7�en.nbsp;s4i: I Verders is d AKePOlA^�ADC.

en z=:7 AFeapz A^ABC derhalven d EK^t� .W^erhoek A B C D :nbsp;f gcv. i6 maar EG g oo G l, daarom is �t d GK �� co d Gr.nbsp;S'lquot;-' ,_Dies'is d EK in twe�n gelijk gedeelt, enover-a gt;t wencnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^ ^ G E yder O) de vierhoek ABCD,

dat te doen was.

4. Een Rc^ulare Figuur AR CDE in een Parallelogram FG til te veranderen.

't Werk. Van�t centrum F, des Reguliers figuur, a trekt FC, FD, en b deelt DC in twe�ij gelijknbsp;in G, en � trekt FG. Dan � verlengt DC , ennbsp;maakt GH d co f GG, uyt H en F, etrekt Hl,nbsp;FT�-GF. GH. die ontmoeten malkander in 1.nbsp;makende�tzz7 G H IF ooden vyfhoek ABCDE,nbsp;Ber. Trekt CK c = G F.

Bew Om datHi , CK f = GF, en FI f�=GHi daaromzijn GK, GI, GIg^Z7s.nbsp;Vorders �17 GI, �17 G K h ; ; G H , G C,

maar

a I beg. 1 b lo: inbsp;c rbeg. Inbsp;d 10:6nbsp;c3!: Inbsp;f �t wetknbsp;cnbei.nbsp;a55dc�.inbsp;hi:6

Tfansfomatkmn Figuren. 24?

A 8 G D E � 00 5 A� DC , ergo A7 G i n 33 vythoek A8CDE, dar te doen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jz; �.of

Van Parallelograms in G^adr at en nbsp;nbsp;nbsp;^ '

te vet ander en,

�t IVerk. � Verlengt een 7,yde A D oneyndelijk, 547 dan k maakt AE co de breete des �n7s als, A 15nbsp;AI) en c befchrijt op � E de hal ve cirkel D F E: c 10: i ennbsp;UytA'lftel: A F perpendiculaar AD, op die'floot 3 keg.nbsp;de halve cirkel in F, op AF etnaakt�tQ AFGnbsp;dat is 30 \ ^ A B C D. ��

Ber. nbsp;nbsp;nbsp;e 'I�rektnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;L.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11 beg.

Bew. nbsp;nbsp;nbsp;�t zrrnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ABCDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? AL gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X� ? EL h oo ? g 5; �

reft�t ? A F G H k X) ^ A BCD, dat te doen leggen,, was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

Of aldus.

Om dat F A de diameter D E rechthoekig fnyd, foo is �t ? A F G H IX) CD A 13 C D , dat te doen 1 jen 3 lt;.5nbsp;Was.

Anders,

't IVerk. Uyt D a laat vallen de perpendiculaar Fig. jjo de , en b verlengt.BA oneyndelijk , dan maakt�

A Q 30 A 13 en G K X j D E , op 8 K c befchrij�t ^ de halve cirkel B F K, uyt G d recht G F perpendi- 3� beg.

culaar op B K ffo�cende de halve cirkel in F , op pGj PmaaktQ GHIF, datisoo� ABGD.nbsp;Bew. Eei� CJ, fijn langte gemukipliceert metnbsp;f I def ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoogte, f komt zijn inhoud, foo komt ook als

� *� tweemaal zijn lengte met de \ hoogte gemultipli-g -t weik. ceert werd, en alhier is B G-J tweemaal zijn lengte, en K G g fijn J hoogte ^ daarom tZD* B G, G Knbsp;00 ZI7 A B C D en als boven werd o B G, G Knbsp;bjgmf 00 aGHIF bewel�n� ergo ? Gti�F.nbsp;ABCP, dactedosawas.

OmTriangels in �iuadraten te �veranderen.

fig, jji V iFerk. a Trekt de peSpendiculaar B.D b ver -1 lengt A C tot dat CE co J BD isgt; op A E c be-en nbsp;nbsp;nbsp;Ichrijfi de halve Cirkel A HE, en uyc C de lt;1 per-

c 10. / cn pcn^^iculaar CH , op de felye c maakt�t ? CFGH, 3 feg. dat is 00 de ^ ABC.

^��1 Beiv. De A ABC foo o A C, � BO (CE) f byv! 4, g 00 ? C F G H is, dat te doen was.

gleo

rlt;S.- 351

a 12.1 bio. Inbsp;cibeg.nbsp;en 5. I

diO. I CD 3 beg. 'nbsp;e II. I

C-41.1

Anders.

'tWerk. ^ Getrockendeperpendic�laar BD, en de baiis A C in tween gelijk gedcelt in E gt; e verlengtnbsp;A G dat C I ao B D is ; en op EI de halve cirkelnbsp;EHI dbefchrevenj enuytC, dec pe^endiculaarnbsp;C H 5 tot aan de halve cirkel, het ? C H G F opnbsp;C H f gemaakt is X) A A B C.

7. nbsp;nbsp;nbsp;De ongefchikte vierhoeken ARCD tepfr^tide �nbsp;ren in Quadraten C LMN.

�ttFerL � GetrQcken de diagonaals ACj enuytF�^. jfj de hoeken B en D op dei�lve, dt dei�elfs y;erleng � ^ tgt;'g-de, .de 1gt; perpendicularen B�j P,F, eai. van ACbuinbsp;eniBE, * DFc gemaakt de oken AHGC, AlKC,c46.inbsp;en op voorgaande wijfe gemaakt p C N.M L 00 onbsp;GHIK 5 dat fal zijn oo �tongefchijtt y��rfcant A BC D.

derhalve4hoek ABCDeajc�GHIKfooQCNML, ^ dat te doen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iSdefes.

8. nbsp;nbsp;nbsp;De RegnUre vyfhoek^ ABCDE te veranderennbsp;in een Quadraat HNK L.

en�tn HNKL*gt;aoc3 GHIF, dat fal�t begeer-* 4 de^s. de �ijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

Bevj. In de 4 en lt;� defes, en de volgende is klaar genoeg getoont, �t begeerde alhier voldaan te zynnbsp;Op defelve wijfe kan men alle Regulare Figuren ,nbsp;ais 6j 7,8 amp;c. hoeken in quadraten veranderen.

En dewijl HN de zyde des Quadraats , * het^f ?r. j middel proportionaal is tuflehen G H de langte,nbsp;en HM de brecte, van de O) foo blijkt dat men

24.S Tramformathvan Figuren,

nietanders^heetctedoen: als een middel proportio* naai �te T�eket�. �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�' '

In Triaw^fy^K-tuflichen de bafisen halve hoogte, ot tuflchen de halve balls en geheele hoogte.

' In Regutare ftgufe� , tuflchen de helft haarde^ lyden, en de rechte uyt�t centrum tot rechthoekignbsp;op defelve: of tuflchen de langte aller zyden , ennbsp;de halve rechte uyt �t centrum rechthoekig op defelve ; op dit middel proportiohaal dan een quadraatnbsp;befchreven , dat is gelijk het vo�rgpftelde figuur.

Cirkels in ^adraten te veranderen.

jFig. 5J5 'tWerk. a Trekt den Diameter AB , op defel. a fbcg. ve b befchrijft het p A B�C D , ook deelt defelvenbsp;Diameter AB in gelijkedeelen, doorFhet i le.nbsp;deel van B, d trekt GFE r�=;' A D, ftotende de Cir-

kei in G, dan ^ trekt BG, �pdetelve b befchrijft �t ? B GIK , dat is nagenoeg gelijk den Cirkelnbsp;AG BH.

Beiv. Het ? A B C D, cirk. A GB He: : 14, 11 f: : AB, BFg :: ? ABC H, �BFECis,nbsp;ergo o BFECh o. Cirkel AGBH : Wydersnbsp;om dat AB, BG';: BG, BF is,daarom ? BGlKknbsp;'f�twetk 00 aBFEGjderhalven ? BGIK1 jocirk. AGBH,nbsp;dat te doen was.

igeV. 8. 6 Wy feggen Nagenoeg: om reden; dat de uyter* k,i7.6 die volkomenheyt i tot noch toe niet gevonden

E ' IS.

^fmifofmatk^MFigwm.- �4f

Gjuadraten in Regulate Figuren ie n) er ander �n.

. Dit kart niet gefchieden, of moet eerlteenyyf-hoek in een quadraat v�randert werden , ende als dan na de proportie van de zyde d�r vyf h�ek, ennbsp;des quadraats defelve veranderen ^ en dewjjle mennbsp;alsdan op die gevoriden 3afes een vyf hoek moetnbsp;befchrijven, zal het niet'ondienftig zijn , dat mennbsp;eerft leert op een gegeven linie een vyl hoek tenbsp;befchrij ven.

Laat dan zijn gegeven , eer? rechte linie A B , men begeert op de lelve te befchrijv�n een Regulare vyfhoek A B C DE.

V iFerk. � Befchrijtt uyt A en B, ydereen halve Fig. cirkel; nag�vall�n : alsACFj BEG; deezedeelt�3 tnbsp;in vyf gelijke deelen j en door het derde deel vannbsp;A en B �gt; trekt A E, B C � yder ao A 6 , en uyt

Bew. Uyt�t werk is openbaar dat het een figuur is van f gelij ke zydert, zoo moet dan alleen beweel�nnbsp;werden dat het een Regulare vyfhoek is, het welkenbsp;blijken fal j als wy t�onen , dat van een Regularenbsp;Vyf hoek de uytwendige hoeken tegen de inwendige (laan, als i tot 3, �t welk aldus gefchiet: Laatnbsp;H IK L M een Regulare vyfhoek zijn, die in eennbsp;cirkelbefchrevenis,doordc II des^Eucl; vandelel-f.v. �7nbsp;Q.Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ve ^ ^

2 5 p Tra�tf^pm0H Ftgurm,

vc verlengt de zyde HI na gevallen : Dewyle de zyden IK ,IC L,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;M,, gelyk zyndoor �t gegeven,

foozynook dedeelen der circumferentie, als IK, K L, L M d gelyk, en daarom de hoeken l H K,nbsp;KHL, LH Me gelyk: ook is de hoek IKHnbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f 30 IH K en dietwe t� famen g ao K IN, ergo de nyc-

wendige KIN h xiIHK, maar de inwendige h I g�m.t IHMisxsIHK bewefen. Weshalven de Re-i �t werk, gulare vythocken de uytwendige tegen de inwendige hoeken als a tot 3 i x de y hoek A B C D Enbsp;dat te doen was.

Anders,

UytB, �ftelt BF X AB Perp: op AB , dan a II-en b deelt A B in twe�n ^elyk in G , en c trektnbsp;bio.i GF, d maakt G H x GF, uyt A enB, met denbsp;e 1 beg.I wytte AH, e befchryft de boogen H D, I Dnbsp;j l�l,' j Ihydende malkander in D, wederom uyt A en Bnbsp;met de wytte AB , de c boogen BE, AC fnynbsp;dende de bogen HD, ID inCen�,c trektnbsp;dan BC, CD, DE, AE'jZoois ABCDE, denbsp;begeerde vyfhoek.

f6. len Bew. �t Is openbaar datde a A H H B f .-o ? 47.1en BF (g A B) is, daarom AH, ABb;:AB,HB,nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;foo blykt dan uyt ons laatfte in de Toegift, dat A B

Dit foo voor af tot een voorbereydinge geftelt hebbende,komenu om �tquadraat ABCD in eennbsp;Regulare vyfhoek A E F G H te veranderen.

Fis X69 Werk. Neemt de rechte IK na gevallen, en befchryft volgens de voorbereydinge defes, de y hoeknbsp;� SdeiM. IKLMN defelve � verandert in�t p|OPQR; o;

A B gemaakt den hoek A B V na gevallen gt; en )� maakt� BS oo OP �en zyde desnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Q-P^�b?. i

en S V ap IK een zyde des � hoeks IKLM'Nj dan trekt A S, en uyt V trekt V H S Aj ci beg^nbsp;die fnydc de verlengde B A iti H , op A H. maaktS'-*nbsp;volgens de voorbereydingedeles de y hoek AEFGHnbsp;die IS 00 ? A B G D. ^

Bew. Dewyle BS, S V = :: BA, A H is, tooei.6 is verwiffek BS, BAf::SV, AH, en daarom fig, 5nbsp;n op BS,Dop BA g:: yhoefcopSVjyhoekop AH, g�a. ^nbsp;dat is ? OPQR, ? ABCD :: y hoek 1KLMNnbsp;f hoek AEFGH en verwiflelt is Q O P Q R,nbsp;y hoek IKLMN f;Q ABCD, y hoelc AEFGH :nbsp;maat de y hoek tKLMNhooD�P QR is, der- h �tw�k.nbsp;halven de y hoek AEFGH* 00 ? A BC D, dati?, ynbsp;te doen was.

^ladratenin Cirkels te veranderen.

i I. Het Qaadraat ABCD^ te veranderen in een Cirkel E^GH.

�/ IVtrk. Neemt de rechte linie IE ha gevallen, �befchryftdaaropdencirk. EKl L , defelveb ver-a lo.iennbsp;andert in �t ? KIM N; dan c verlengt I K , fulks ^nbsp;dat KO 00 A B een xyde des ^geven p*nbsp;en uyt O 4 trekt OG c= KE die fnyd de ver- en3.1nbsp;lengde IE in G , op EG * befchryft den cirkelnbsp;EFGH, die is (als voren) na genoeg 30 ? ABCD.

Bew. Om dat O G e e=s=a K E is, daarom IK ,e quot;t werk, KO {IE, EG, derhalven pKIMN, popfj.^nbsp;KOfepABCDjs.*: cirkel E K 1 L , cirkelg�,^nbsp;EFGH,en vervolgens cirkel EFGH 1* 00 ? ABCD, h 14.5nbsp;dat te doen was,

C*gt;-

7ransformat^ van Figuren.

Cirkelen in halve ^ en halve in vierendee-�en, en vierendeelen in achtendeelen Cirkels te veranderen.

12, nbsp;nbsp;nbsp;Een gegeven Cirkel A B CD ^ ineen halvenbsp;Cirkel AEF te veranderen.

, gj 't IVerk. � Trekt de Diameter AC, enopdeiel-a 1 beg. I ** Perpendiculaar DGB, en�trekt de rechte AB, fcii.i die c verlengt, tot dat BFoaABis, op AF uytnbsp;c 2 beg B , befchryft de halve Cirkel AEF die is oo denbsp;dV^g!! Cirkel A B CD.

jBeju. Om dat den hoek G e recht is, daar-omA8EfooAGD-f*BGC ?omde felve re? /nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ is EBF00CGD BGA S add.__

13. nbsp;nbsp;nbsp;Een gegeven halve Cirkel ABC ^ te veranderen ineen vierendeel AG CB.

Hg.lCz 'tlFerk. a Deelt dep hal ven Cirkel in twe�n gelyk ip. B, en b trekt AB, BC: Uyt B met de wyttenbsp;e 3 bef. I A B c trekt de boog A G C , lbo is A G C B eennbsp;jcirk. codehalvecirk. ABC

B : is, daarom AG�Been 1 cirk.is: ookiyn AEB i j- CFB, AGC f gelykformige cirkelftpkken , epnbsp;�, daarom AGGgooAEB CFB

. transformatie van Figuren, jt.? 13

't tf^erk. * de rechte BC^ uyt C met de wytte CB, fa befchryte de boog BD, die de vernbsp;lengde C A-fnyd in D j foo is D G B een cirkel ^

Bew. Om dat AB dqo AC � �n hoek GA,B recht is, daarom hoek A CE fhalfrecHt, dat is denbsp;i van eeri cirkel, derhalven DBC een � cirkel.is.31.1 �nbsp;Vorders is van de A� A EC, AEBdehdekE ACgi/,}

S OC E A B de zyde A C 00, A B en A E.Edmcen: ' dies is CE h ao BE en hoek AEG fa ao TA'�B!�'*-*nbsp;i recht, derhalven, wegens de H gelykfonnigheyd'.jt^QV^*nbsp;B 1 03 cirkelftyk BF E � � C F �.l g�y, ii.

I J. EenTriangel AB C eenhalf Qui^raatz.yn-de te veranderen in een halve Maan C DA F.

V Werk. a Befchryft ona den di;B A C gt; den cirkel3(f4 A BC D , uyt B met de wytte AB fa befchryft de^5;4nbsp;boog A F C, foo is de halve maan C D A F,� A ^nbsp;ABC.

Bew. De halve cirkel ABC C.X) ADC, leur civdcf.i endecirkelitukA'JB BHCdT! AFf, Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dgcy.3i.

VaU

V�lgen noch ^ V^�mpelent waar �van ie waarhejt �fte desj�ifsbewys,door getal'

��h rechte �Unie AB , te veranderen in eeii , Qircftmd^erentiedes. Cirkels K^M.

^.^3% . �.Deelt dfi linie^^B in drie gelyke deelen , en �gt;'tna^t^CD o� eenderd�teJen, daaropcbefchrytcnbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,CHXE ) deelt twee zydenwan

di'oViquot;' deifeWe, dls-C� , )^er in twe�n gelyk in .F e f btg/i�n G , �hn e tlekt^DF, �'G diefnyden malltande-'f�n iti'^ �t cehtr�tn des A* gt; deelt GC innbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'We^^lykinij en-'S'trekt Hl, di� �deeltinvier

geifl^di^en gt; =o�kfll f verlengt tot dat IK co �snd�r'vrer�eetenvaTr'Hl is, �g befchryftdanuyt Hnbsp;� 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ij^tte H K-j de.n cirkel K1� M, lt;lefclve om*

� Trekt de diameters B C, D K malkander in �t beg. centrum A rechthoekig doorfnydende, dan *gt;deeltnbsp;lt;n u: I dehalvCdianleter AC in tween gelyk in E, door Ejnbsp;etrekr DEI, nyt I ^ trekt IH perpendicularnbsp;D K, dan � maakt E F co E A, zoo zal D E' eennbsp;zyde des tienho�ks zyn , in defrn cirkel, � maaktnbsp;BG ao D F, ene trekt GHrvoorrsfBL=s= GH,nbsp;totdatdie de verlengde A 1C ontmoet in L , maaktnbsp;M N 30 4 A L, diefal 00 de circumfcren�e B D G Knbsp;zyn.

i8. Een

i8. Een gegeven Cirkel A BCD te veranderen in een gelyk^ydige Triangel L MN.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

�Trekt de diameters A C j B D malkander recht-hoekig fhydcnde in E , neemt BF , 6G c� de**'^�' halve diameter lgt; trekt EF, EG, de boog BFnbsp;deelt in twe�n geJyk in H, ent treks de rechte B B, c 30V3nbsp;'en4 rie�mt Br do de rechte B H,'�yr'G trfe�ktdj.inbsp;d'^or I totide,cirkel in K � 'door K f'trekt LMejj.inbsp;e= A C, totdat wederzyds de v�rlengde E F, E Gnbsp;ontmoet in L;en M�, C(p L M f befchrylt delgelykG.inbsp;zydige A LM N, die is 00 decirkel ABC D.

a Trekt den pcrpendicujaar B D , die;b deelt in Fig..-pSt twe�ngelykinS, en^ookindrie�t^lykin K, CooaizAnbsp;is K�t centnim 4 tnaakt-E-D 30 IJS , en ' trekth*�!*nbsp;BE, daar in-4 ftdltiEF co^��j �ndaoDGdnbsp;HF �n G�I 4 a? BG , v��rts BL 4 i) be-eibeg.nbsp;�chtyft dan dyt K m�t'd� wytte IC L d�n qirk�lnbsp;Lj M N-, di� is do d�ngelykzyciigen A ^ B �.

Merkt: dat in de vier laatfte verdaan m�et worden nagenoeg, om redenal� �p de 9 de�cs gefeyd is.

Om Triangels in hoger of lager te �veranderen.

20. Een Triangel ABC te veranderen, in een THangel AEDjfebkende een gegeven hoogte E.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

��tWerk. * Verlengt of verkort AB tot de gege-aibeg. ven hoogte E, en trekt E C, uyt B, c trekt B D �

256 ^ramfwptati� van Figureft

Bew. Want A' A B D ra A B D gemeen f� fnb A B EDd ra A B D C jsnbsp;k�lnf en reft A A E'U e ra.A ABC, dat te doennbsp;was.'

' �0 allerieye, recljttmifche Figuren in een , a - Tr�ang�l t� veranderen.

Etgvo V a Trekt d�'r�c'hte B D � uy t C 5 Strekt ? �C E e== B D*� en ^ getogen B E, f�o^zyn de A*nbsp;^ ' A B E ra de 4 hoeken A B C D.

- 'fub. A BDF raA BDF gemeen ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,:, Veft A� L)FE dra a� BFC, ~~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

jgem.ij^ VtExemp. addt. tot beydede geme�ne4 hoek � A B F P, in�t ie addt. de y hoek A E F C B komtnbsp;�1 gem.i �'* beyde A A B E e oO 4 hoek A B C D , dat tenbsp;� doen was.

v.� 't�v'erk. a Trekt de rechte AC, EC en uyt B ^ enD , b trekt BF ,==z^CA , DG = CE.nbsp;tot dat de felve de verlengde AE optmoeten innbsp;F en G , danatrektCF, GG, fooisdcA CFGnbsp;a� vylhoek A B C D �.

25. Den vyfhoek^ AB CD E, t-e veranderen in %� 37-^ een Triangel ABG^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t

'tlVerk. �Trekt de rechte CE en�yt D, ^ r = C E dan de�rechte CF; voorts de rechte H F,nbsp;en uyt C , C G c�=3 B F , die de verlengde A E 'nbsp;Ontmoet in G , en �^ctroCken BG j foods de Anbsp;A15 G 00 de vyfho�k A B G D E.

de A DHCd X A F H E ? d 37.1 an de gemeene D HF ABC sqDHFABC S^^ - 5nbsp;komtvierhoek A 13CF c x vyfhoek ABCD�. eag�n-inbsp;Wederom dewy Ie GG c cSd� BF is, daaromnbsp;deAFlGdxABICnbsp;ABIF X ABIF

komt A AB G e X vierhoek A BC F f 00 vyf hoek f bewefea ABC DE, dat te doen was.

't U^erh �T rekt de rechte A C en uyt B, b B G j, oeg. t r*g= A C, dan de rechte CG. Voortsde�rech bjoinbsp;te C E , en uyt D j b D H aast C E, diedec ver- �,.' ;

jt 5quot; 8 Transformatie van Figuren.

lengde F E ontmoet in j dan de * rechte C F�. Eyndelyk de rechte GH, enuyt F,FI ^^ HG,nbsp;die de verlengde C G ontmoet in I, dan de rech*nbsp;teH I, fooisdcACI H oo de zeshoek ABCDEF.nbsp;d �t werk Beu/. Om dat G B d e=s A G is , daaromnbsp;e37. lennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deABKCexAAKG ?

f�gem.i k�mt vyAo�k G G � � F f oo feshoek ABCDEF, en om dat D H d .�r- C E is , daaromnbsp;ded^EHLeooADCL 7 ,nbsp;de gemene _G CLEF so GGLEFnbsp;komt vierhoek GCHF f co vyfhoek CiCDtE goonbsp;de feshoek ABCDEF.

Wederom^ omdat F'I d �-ae.H G is, daarom deAGlM, eooAHMF ? ,j.nbsp;de gemerie G C H M oo G C H M S

0/ korter aldus.

GB,AC7 \abkc=xaakg DH.CEVVAEHL^aoA DCL^ad.nbsp;F1,HG^ ^AGIMccoAHMFnbsp;degemen.8 hoekGKBCLNQMjoGKBCLNOMnbsp;f I gem. Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;komt A HIC f oo leshoek ABC.

Additie in Figuren. Additie in Figuren.

t. De gelyke hooge Triangels A�C ^ QD E yEig.%-^ EFGf GHF IKL, in een gelyk^b^cnigtnbsp;Triangel ANL te fomrneren.

U tVerk. �Deelt de B^fen^ 4 D in twe�a gelyk-in iwt M gt; uyt M , b ftelt de pe'rpendiculaar MN,nbsp;c trekt AN j LN, foo is de A A N L gelykhee-*^ *nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Dcwyle de A ABC^opA ANcO en ACDEdx A'CN�fnbsp;ook A�^FGdxAENGgt;addt.,nbsp;mfede A GHIX A G N1 (nbsp;feyhdelyk A^KLdoo AIN L Jisjlo

ikomt A ABC -J- CD� �F G _j. GHI -i-IKL � X A ANC � � CNE �f- ENG -t- GNI INL eigsm. xnbsp;fxAANL.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ti�gemii

� Votders is van de A N M j L N M , de zyde AM gxLM, en MN gemeen , bok de hoek I,�'

AM Nbx LMN, derhalven ANi xN L ,..^14:� �' daarom de A A N L k gelykbeenig , dat te goeii k i4lt;l�Gnbsp;was.

ITerk. � Trekt door een van de bovenhoeken* 5'quot;* des gegeven A* als door D , de rechte I Lnbsp;A G, en b maak de A Hl S.x A ABC, en A ELK b io.in d�

. 2 6o Additio in Figuren. . cibeg. I 00 A E F G, even hoog als de A GDE, dan �trektnbsp;KI, foo is de A H IK oo de drie gegeven A�nbsp;t�famen.

�J7-� nbsp;nbsp;nbsp;AC DE �do ACIE /ddd.

_A EFGd � A Ee^T. A EIK is ^

figem I komt A ABC CDE -fquot; EFu ^00 A HlC -f- CIE �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-J� E1K � 00 A H 1K, dat te doen was.

Tj-- g 3. De rechtlinifche Figuren ABCD^ DEF^ ' FG H1K in eenTriungel MGN te adderen.

azi zx 'tU^erk. * Verandert de vierhoek ABCD, en eti xonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vyf heek F G HI K , in de A� N O D . F G iVl

Bew Om dat alle de A� gelyke � hoog zyn, is vierhoek ABCD�oo A NOU^X ANGD �

enADEF nbsp;nbsp;nbsp;AOGFSadd;.

yhoek F�HlK �x _A FGM \

exgem�! komt AbCD -f-D�F-f-F(iHIK�xANGD t ijgem. ^ ^ QQp 4-AEGM^x) A^fGM, da: tedoennbsp;was.

Omgelykformige Figuren te adderen.

^�S- J774� ^ttadraten A en B te famen in een (jha* draat C te adderen.

Wy hebben defc zaak al aangewefen gt; op 47: t

�uc.

Additie in Figuren. 261

'tU�erk. � Verlengt een7ydevanheteene ? gt; ikf * neme B, tot dat�c vcrlengfel E F ^ co een zyde desh inbsp;?� A is , en � trekt D F , daar op d befchryf: �f� *nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

? C, dat feivc is co de Dten A en B t�iacnen. ^4^ t Bezv. Want om dat de hoek E e recht is, daar ej-eg.nbsp;otn ? C f 00 ? E F (A) ? DE ( Bj , dat te^47!rnbsp;doen was,

�/ tf erk. � Stelt G L 00 G F perp, op F en b trekt H L , wederom HM � oo H L perp.b ibeg inbsp;op FK, en b getrocken I M , �yndelyk I N * CDnbsp;1 M perp. op K F, en b getogen K N, daar opnbsp;c befchryft �t ? E , dat is oo de ?�� A, B, C,

Bew. Om dat de hoeken G� H, I �recht zyn,* daarom ? LH d oo ? LG dGH A-f-? Bl��47.r

en ? Mtdoo ? MH -4-D HI(nA4.a B qC) ook ?NK(nE)dooaNI nIK(aA DBnbsp;? G ? D ) , dat te doen was

6, De Cirkelen A ^ nbsp;nbsp;nbsp;C te [amen in een Cirkelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7?

'tlfWk. In de gegeven Cirkels � trekt hare dia ai beg, i meters, b maakt EF oo de diameter A , 'nbsp;daar op perpendiculaar E'G xi diameter 13 , en^.�jnbsp;* trekt G E, op defdve perpendiculaar c geftclt G tinbsp;00 diameter C, cn � getrockenHE, daaropdbc-dio�iennbsp;R 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fchryftzbeg i

Bevj. Om dat de hoeken F en G e recht zyn, diarora decirk�l op (i E f 00 cirkel op � F -f^ cir-kel op F G (A -Ir� 13 J cn cirkel op E H (D) f aonbsp;Cirkel op G E cirkel op G H (A -J- B 4- D),nbsp;' dat te doen was.

� � nbsp;nbsp;nbsp;. SubftraSiie in Figuren.

FiB 380^' De triangel B D E ^vandegel^kehoogetrian' �'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gel A BC te fubfiraheren datter reji den tridn'

4 3.1 V If�erk. a Snyd van ABaf,BF on BD,en b I bej. I b trektPij foois ^ A FC de reft,nbsp;� . , Bevj. 'Om dat de A� even c hqiog 2,yn, en de ba-e lis B F 4 on- B D is 3 daarom A B C F� 50 A B ED,nbsp;derhalvcn 'A^ F C de relt is 3 dat te doen was.

2. Stibdrahsert den triangel ABC van den vier-hoell3EFEF^datterrefl4envyfh9ek.DEFGH.

a 31.1 hlVerk cUyt C � trefei C G =s A D , Inydcn-^ J'd de B F-in g:gt; h maakt dan B H 00 A B, en c trekt * G H, foo is de vyf hoek � E F G H de r�ft-d �t werk Bevu. Om dat C G d == ADenBHlt;^ooABnbsp;is, daarom A BGH e ao A ACB,� enderbaivennbsp;reft de vyf hoek D E F G dat te doen was.

Sub ft. den �triangel ABC van den vierhoek B D E F datter overbljft den vierhoeks 1B EF.

�tH'erk. Uyt C, � trekt C I =3 AD, dan h 5'� b maakt 8G3tgt;AB3enc trekt IG, 1 D, dan uytnbsp;I�-� beg-�G, gHnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;} die fnyd DE in H , ? trekt

SubfiraBie in Figuren. nbsp;nbsp;nbsp;263

�m 1 H j die fnyd het begeerde ftuk van de gegeven vierhoek af.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

Ijlykt djt de vierhoek BDHI � oo ABIGfx) A| * AOB'is, derhalven refteert de vierhoek I HEF,fnbsp;dat te doen was.

A, Snbftr. den Triangel AB C 'van de fesboekjp.ig. jjj

B DEFG H datter reft den vjfhoel^ 2PFGH.

'tlVerk. � Trekt Cl r�=3 A D en k verlengt�?i-i B D oneyndelyk, c maakt B K ao A B, en d trekt ^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

IC I i die fny jt E F in M j d trekt M D , endibeg.i �L ��MD, dan d LM, I L, voorts uyt K,

� K. N ^ LI, tot dat defel ve de b verlengde L M 'fnydtin N, en d trekt IN, dan uyt N, � getroc-ken N P e=j I M die foydt E F in P, d trektnbsp;dan IP, die fnydt van de gegeven feshoek, devyf-hoek 1P F G H af, zynde de reft.

Bew. Om dat EL� = MD is, is A.EOMe 't wik f 30 A DO L en vierhoek IM LB g oo vyfhoek^l^-i �nnbsp;I M E D^B , en om dat K N � e= LI is, is A Jf eTm.inbsp;IMNfjoAEMK, en alfoo de vierhoek IN L Bnbsp;S A BIK; ook om dat N P e--�T M is, daar

om A 1 Q-N f .To A P Q.M en allbo de vyfhoek I PM L B gxi vierhoek I N L B baoA BI K Lt)Ahber.

S- Te.

2 � 4, nbsp;nbsp;nbsp;� Subjlra�iie in Figuren.

3*4y. Yemant wil van.eenjiakjant B �FG Hafn nemen ^ een ftugdai foQ groot is als het onge ~nbsp;fchiki vierkant A B CD: Vrage wat Vr reft ?nbsp;Antw. de vyfhoek^ L M FG G,

^tlF�rk, �Verandert de vierhoek A BCD in de A BCI, � tre!lt;t U L =:^ A h' eii c verlengt B�nbsp;jOneyndelyk, dmaakt BR 00 1Bgt; en ' trekt LK,nbsp;L 15 efi K iM == E L die fnydt E F in M jnbsp;f trekt dan L M, die i'nydt van�t gegeven lant af denbsp;vierhoek BE ML .to de vierhoek ABCD , ennbsp;daar blyft de vyfhoek L M F G H.nbsp;f'twetk.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Om dat KM f cs=: E L is, daarom ^

2 ;7.1 en R E) M g X A E O K , en overzulks de vierhoek ^ gemi. u E M L X A B L K i X A B C1 f xde vier-hoek ABC IJ , derhalven refteert npchdeyyfhocknbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� L M E G H, dat te doen was.

iir ^tlFerk. � Verandert den vierhoek A EGF , in den A A P F, uyt P, b trekt P I = F B, c ver-cz beg. I lengt A B oneyndelyk en d maakt AH x AF,nbsp;d 3.1 en e trekt H 1, ook B I, en b H K = BI, dienbsp;* fnydt de t verlengde, BC in K; dan ' trekt IC,nbsp;en uyt K , b K L �== Cl, die fnydt C D in L,nbsp;e trekt dan I L, die fnyd van den vierhoek ABCD,nbsp;de vyfhoek A B C L I af, die x de vierhoek A E G Fnbsp;� ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. is, en blyft noch over de A ID L.

g 37^ en Few. Om dat H K f == B 1 is, daarom is A 3 �tr.. iINKsxABNH: cn alfoo de vierhoeknbsp;- ..... ABKI

ABK I h ooA AIH; en om dac K L fasts Clhigem.i isj daaromisde A I Llt; M g cx5^ GK.M, enalfoonbsp;de vyf hoek A B C LI h op vierhoek A B KI � OO A}nbsp;AIHkob'^APFfoo vierhoek AEGF, en^^'*nbsp;dienvolgens refteerc �er de A ID L , dac te doennbsp;was,

7. nbsp;nbsp;nbsp;Subftraheert �/ i^mdraat B van V quadraat A Fig, js�nbsp;datter reft't quadraat C.

Die hebben wy op de 47; 1 Eucl.al aangewefen, doch fulJen het nu op een andere manier betoonen.

'tlf^erk. Opeen zyde des ?* A^befchrytrdenhalves 10,i �a cirk. EFD, in dezelve h brengt E F 00 een zyde|^nbsp;des ? R en c trekt D F, pp de zelve lt;1 bcfchrytc �t g, beg, ^nbsp;? C, datfaldeereftzyn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;446.1

Bew. Dewyle de hoek F � recht is , daarom ? ED (nA) foooEF-f-aDFnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'5'-?

8. nbsp;nbsp;nbsp;Sabftraheert den Cirkel B van den Cirkel Aj

datter reft den Cirkel C. nbsp;nbsp;nbsp;�S-1^7

en Bj dan ��neemt D F po de diam. B , en gt; trektbt.4 EF) opdeielve c befchryftdecirk.C. die is de reft c 10. i ennbsp;Bevj. Dewyle de hoek F 4 recht is, foo is de?begnbsp;cirk. op DE (A) e'oocirk.opD F-f-opFE 451,}nbsp;fub cirk. B fpocirk. opDFnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ft*werk.

~ relt cirk. AyTcirk. B g oo cirk. opFE foo cirk. Clt;^t te doen was;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8 5 r

200 Mul�pltcatieinEgunn.

Multiplicatie in Figuren.

die defelve ^orm. behoud : dat is.,^ maakt een triangel die 5 maaien gelykformigh A B C is.

i iien 3. 'i Werk. � Stek A F co A B perp op A B en ? -, b trekt B F, c verlengt A B oneyndelyk � fnyd daarnbsp;c l b?g. I af A G c� BF, en b trekt G F, eyndelyk A Dnbsp;d3,1 co G F 5 en op A D e befchryft de A A D � ge-�18.6 Jykformig A A BG,, die is 3 maai de gegevennbsp;ABC.

'de gelykiormig A* op A B , AF t�famen 00 de gelykforroig A op B F ? ook de gelykformig A opnbsp;A G op A F 00 A op G F : maar A F conbsp;A B is, daarom A �P B F (f A G J 00 tweemaalnbsp;den A A B G; wederom op A G, tweemaal , ennbsp;op A F eenmaal, komt op F G ( f A D) 3 maal dennbsp;A A B C; lynde alfo den A D ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3

Anders.

� Neemt A F oo 3 maal A B gt;� be�chrytt daar opdehalvecirk. AG F uyt B, crecht de perpen-diculaar BG, kotende de halve cirk in G dtrektnbsp;AG en � maakt AD co AG, e befchrytt daaropnbsp;de A A D E gelykformig de A A B C , die is denbsp;begeerde.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;

Bew- Dewyle AB, AGf;:AG, AF is, foo is gelykformig A op A li , A op A G g : ;nbsp;AB, AF. Maar AF ishoo3 AB, deihalvenA

Multifile atie in Figitren. nbsp;nbsp;nbsp;t6j

op AG (ii AD ) i CO 3^op A B: ]SIuis^ADE�^^'^' op A D en h gelykformig ^ A13 Ggt; dies dc begeerde,nbsp;4actedoen ws

N13, Indien �t evenveel is wat voor een form, dat de begeerde Triangel heeft, zoo fal men zyn bafis,nbsp;of hoogte foo veel maal nemen , als begeert wert,nbsp;en trekken een rechte uy t de hoek tot �t felve, foo bekomt men de vermeerderde triangel, door de i: 6nbsp;Eucl.

Ende foo �t veelhoeken zyn , kan men die, als voren, tot triangelen maken, dan is �t weder �cnbsp;felve.

't li^erk. f Stelt A H Perpend: Igt; op A B on-jn.i i eyndelyk en fnydt daar af AH oo AB, en c trektbj:!

en c getrocken K H eyndelyk b A E oo K H daar op ^ befchryft de 4 hoek A E F G gelykformige ii: inbsp;ABCO, die is de begeerde-Bew. Om dat de hoek B AH f recht en A Hf�twetknbsp;Tco AB is, daarom de gelykformig4hoekop HBnbsp;(f AI ) g 1 maal, op Hl (f AK ) g 3 maal, opgju^

H K (f AE) g 4 maal foo groot alsop A B: maar 4 hoek A E F G is op A E , en f gelykformignbsp;A B C D befchreven , derhalven f de begeerde,�*�'�'*nbsp;dat tedoenv/as.

3. Een

268 nbsp;nbsp;nbsp;Multip�icatie in Figuren.

3. Een qitadraat en een cirkel A E F G te fnaken: welk/^maaljoogroot is^ als��t qua-draat, en cirkel AB CD j/der bjfonder.

a It en j. IVerk. Uyt A dos Cirkels A B C D � fte!: 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A D .T) A B perp. op A B gelyk die �tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? foo is

b I bcg. nbsp;nbsp;nbsp;I in beyde b trekt D B , c ma kt A H conbsp;nbsp;nbsp;nbsp;U B. en

d 4^' gt; nbsp;nbsp;nbsp;DI, c neemt A � co DI gt; op defelve gt;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;befchryft

� L�' �c ? ais e ook de cirk. A � F � , die zyn 4 maal ^ foo groot als ABC O.

fgequot;. cn Beiv. Om dat de hoek A f rechten A D f jo A B werk. is , daarom de gelykf fig. op D B (g A H ) �gt; a maalnbsp;R �i wttk op DH (gAl)h 3 maal, en op DI ( � A � ) b ^nbsp;5'' maal aoo groot als op A B : maar ? en cirk zynnbsp;iigem.i^P 8 gelchreven, derhalven i ^maalibogrootnbsp;als A13 C D, dat te doen was.

Anders,

delyk, malkanderen rechthoekig fnydende in L gt; t,, bcg. dan b trekt de rechte D C en c maakt H L. co D C ,nbsp;cj.i b trekt D H , en � neemt LI oQ D H en b trektnbsp;Dl, eyndelyk c LG co Dl, van G ^ trekt *=*nbsp;mecdezyden des gegeven Q^en cirk. die 7.yn 4 maalnbsp;foo groot ABCD.

��iTverk Betv. De hoek is c recht en DL f co LG Mgrv. daarom de gelykf. fig. op D C f e L H ) g i maal opnbsp;jquot; D H ( e L1 ) g 3 maal, op DI (c L fi ^ g 4 maalnbsp;der. I ^foo groot als op L C : Maar L C is een j diani.nbsp;git- 6 van het ? en cirk ABCD, derhalven het n en

MultipUcatie in Figuren. 269

cirk. A E F G diens } diana. LG is , is ook 4I1 igem.i maal foo groot als A B G D, dat te doen was.

Manier i om een Figuur met eengrootge~ tal te multipliceer en.

4,. Muhipliceert dcngelyk^jdigen Friangel ABC ^'S- t9t met 16, komt den triangel F dl I.

D B 5 d verlengt A 8 , en 1� fnydt daar at A � oo d 2 beg! i DB en e trekt D E , maakt AF 00 D E e trektnbsp;DF, verders DG* perpend, op D F oneynde.nbsp;lyk , gt;gt; fnydt daar at D G no D F en c frekc G F gt;nbsp;wederom (oodanig G H oo G F en c getrocken HF,nbsp;daar op befchryft de gelyklydige ^ F H l, die is denbsp;begeerde.

Bew. Het � blykt datde ^ op DB, ( AE) 2,� op D E ( A' F ) ? , op D F 4 , op G F 8, en opnbsp;F H 16 maal den A A B C is, en ^ F HI, is opnbsp;FH ge.ykzydigh befchreven, derbalven i� maalnbsp;den A ABG, dattedoen was.

5. Multipliceert dengeljfkzydigenTriangel ABC594 met a I , dutter kpmt dengeljkz.ydigen G K L.

DE, ook c AF 30 DEen^ trekt DF, dan AGcj j,. co D F, en b getrocken D G, daar op * ftelc perp.

D H cn DG, en trekt H G: weder HI agt; H G perpend, op HG, en getogen 1 G i eyndelyk

i^o MultifUcdtie in Figuren.

IK 00 A B perpend, op I G en trekt K G , daar op d befchryft den gelykzydige A G K L die falnbsp;21 maal den A A BC zyn.nbsp;t �t werk. Bevj. Om dat de hoek B A D e recht , en A Dnbsp;e co A B is, daarom de gelykt; AopDB(eAE)nbsp;2, op DE ('AF) 3,opDF ('AG) 4, opnbsp;D G f f maal den A A B G gt; en om dat de hoeknbsp;G D H ' recht ,enDHeooDGis, daarom denbsp;gelykf. A op HG 10 maal den A A BC j omnbsp;defelve reden op GI 20 maal gt; en op IK 00 A Bnbsp;imaal, komtopGK21 maaU zyndeden aGKL^nbsp;21 maal den A A B C, dat te doen was.

'tlVerk. Maakt volgens de voorgaande dat �t ? a 10 d op D G ao 5 maal ? A B G D is, � flelc dannbsp;bnenj.�jj4 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;perpend, op D G en b trekt

c I beg. IH G : Vorders ' deelt A B fodanig dat AI 00 { d IC. I en A B is j en *1 befchryft op A B de halve cirkelnbsp;� A K B en e Helt uyt 1 , de perpend, 1 K ftotendenbsp;de halve cirk. in K en k trekt A K: � ftelt dan H Lnbsp;00 A K perpend, op H G , en �gt; rrekt L G j opnbsp;defelve f befchryft �t Q L M N G , dat is maal �cnbsp;? ABCD.

g �t weiU. 2cvj. Het g blykt dat Q op H G 9 maal �t ? �geVVs s A BC D is; ook is A B , A K h :; A K , A Inbsp;igc�o.6daaromgt; ? op AB, Qap AK (HL.) : AB,nbsp;k �I weik. ^ I it : ; 8 j y , dat is ? 9p H L de I ? op A B,nbsp;enopHG9korotnopGL, zynde�cQGLMNnbsp;9 J maal �t ? ABCD, dat te doen was.

't IVerk- Maakr a'.s voreai , engelyk genoegfaam uyt de figuur openbaar is , dat de cirk. om BInbsp;00 14 maal de cirk. A BCD is, dan * maakt A L * lo* 6nbsp;00 i A B en b trekt de perpend. LC tot de^ inbsp;cirk. in C en c trekt AC, dan d IK on AC per d n^ennbsp;pend. op 1 B cn = trekt B K , om delelve ,be-J inbsp;fchryft de citk. BIK N, die ia' 14I maal den cirk.nbsp;ABCD.

Bew. Want AB, AC,e:: AG , A Lis,daarom de* gev- 8.lt; cirk.op AB, cirk.op AC f;; AB, AL g ::nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gSe'-io�

derhal ven de cirk. op AC(g IK) or ^ cirk. ABC D ,g gt;t wetn� add, de cirk. op I ^ g co 14 cirk ABC D,h9.�

I, Men begeert defe Triangel ABC ftp denHg. jp; hoek^ B in drien gelj/k te deelen.

V IVerk. � Deelt den bafis AC in 3 gelj�kc dee-�*�- lt; lenin D en �, en b trekt B D, BE.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'beg.I

Men legeert van een vierhoek^ ABCD uytplg. jjs den hoek^D, de twee derde parten als ABGD^nbsp;af te fnyden.

^tlVerk. � Veranderteerftden vierhoek ABCDjj,(fj,j^ ia den ^ ADE , daa �gt; fnydt van den ba�s A �1,10.g

4/2 Divi(io in Figuren.

ei^g. afde|alsAFen�trekt DF,onBD,ookuytF5lt;�FG ^'tweik. == B D die fnyd B C in G , dan c getogen.nbsp;DG, die fnyd van de vierhoek A B C D | af.

Bevo. Om dat F G * c ��= B D is, daarom f j7.1 ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de ^ D H G * 00 A B H F ? ,,

3 8'�-* de gemene ABHD oamp;ABHD eigeiD.i komt A B G O gooA AOFhaj|;CiADEnbsp;� vierhoek ABC Dj dat te doen Was.

fig-�i99S' denrechthoek ABC D inreden als 3, 4, f, dat de de'dAinienperpendicnlaar op den'nbsp;Bafis A B vallen.

't Werk. � Deelt den bafis A B in reden a!s 3,-4, y, in de punten F. en F: Uyt de zelve b ftelc-de perpendicularen E Q j F H die deelen de Q ABC Dj nabegeeren.

Bew W ant de A Q gt; E H , F C iyn, � c als AEj EF, F B d als3,4j � '�gt; dat te doen was.

Big, 4004. Deelt den vierhoog A B CD , in reden als 2 tot j, dat de deel~linie op AB in DC kpntt,^

'tWerk. a Deelt A B en DC yder in reden als 2 tot 3 j komt in E en F, b trekt EFj defelve deelt denbsp;vierhoekna begeeren.

e-tweik. Bevj. WantA�, E6 c 2,3c ; ^ DF, FC d I. iJ d : : A E F D, E B C F, dat te doen was.

Fig. 401 j.. Deelt den Triangel AB C, uyt een punt F iii den Bafis BC, in twee gelyke deelen.

a 10.1 V Werk. � Deelt den bafis B C in twe�n gelyk b�bcg.gt;in JD ^ en �gt; trekt AD, AF, dan uyt D , DE

Divijio in. Figuren. nbsp;nbsp;nbsp;, 2 f$

Beiv. Om dat B D d 00 DC is , daarom ^ B A D e 00 ^ D A C:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ook om dat D E d 4=�= F A jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j

is, daarom ^ A G E nbsp;nbsp;nbsp;tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ E' G D tot elk. j gem. i

komt b F E A nbsp;nbsp;nbsp;gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ B A D b oo A D A C f,

6. nbsp;nbsp;nbsp;Deelt den Triangel ABC ^ uyt een punt F in Fig. 402,nbsp;den hafts B C, in driegelyke deelen.

'tWerk. a Deelt den bafis B C in drie gelyke�'�' ^ deelen in D en E 5 en b trekt de rechte A D. A E ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

ook AF, enuytD en E, DH, EG c^�FA,'^�^ en dan de b rechte F H, F' G ,die deelen de A A B C,nbsp;in drie gelyke deelen.

Bew. Om' dat B D, D E, E C alle d gdyk 7yn j daarom o�k de A� BADi D AE, E AC e ge 58.1�

lyk ; ook om dat D H, E G d j-c-a p a 7,yn, daarom de A A K H f 00 A F K D en A AI G ^3^. i ennbsp;f 00 A F IE waar uyt klaar blykt de A BH E'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

gooABADenACGFgooACAE, ock de vierhoek H F G A g oo A D A E te zyn, en g jnbsp;vervolgens is openbaar, dat de linten F H, FG,nbsp;de A A B C uyt �t punt F , in drie ep gelyk dee�nbsp;len, dat te doen was.

7. nbsp;nbsp;nbsp;Men heg eert den vierhoe^ A BCD^ uyt 't puntnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4oj

�f Werk. � Trekt de diagonalen AC, DB ook a i beg. x G D b deelt A G in twee en gelyk in E , uyt E,

274* quot;Divifio in Egnren,

eji. � ' trekt E F == D B, en uyt F , F H ==3 G D, dan de rechte G H , die deelt de vierhoek na bc-

Bew. Om dat A E d X E C is , daarom ^ �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de A ADE e oo A CDE ?

figem.i komt 4 hoek AD EB ( iri vierhoek C D E B,en ADIEgoo ABIF'is, yder in des anders plaatsnbsp;Iiquot;gefteltkomtAADF^oo vierhoek BGDF, ooknbsp;h i(cn 3 isADKHgsoAEKG, weder elk in ander*nbsp;gcm. I plaats, komt vierhoek A D H G h ao vierhoeknbsp;13 C H G , dat te doen was.

A C in twee-en gelyk in � , uyt E , c trekt E F ^ D B, dan de rechte * D F, die deelt de vier-hoeknabegeesren.

Ber. a Trekt de rechte DE, EB. j g letinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Het blykt dat de vierhoek ADEB d ro

agein.i vierhoek BGDE is, ende AD E G* jo A BFG, �37-1 en defe yder in anders plaats, komt A ADF f 00 vier-t len 3 ^ hoek B C D F, dat te doen was.nbsp;getn.

Vivif�o in Figuren. . i/f

Bew Dewyle DE, EF, FB d gelyk lyn, foo zynd �t wcik de vierhoeken GDAE, CEAF, CBAF, ooknbsp;e gelyk, wydersis A G lEfjo A d IGen^CK F'3?-1nbsp;f 00 A A K H , waar uyt blykt dat de A C D GM*� ' �nbsp;g 00 vierhoek C D A E , en vierhoek H C G A3 gem'. \nbsp;g 00 vierhoek CEAF, ook de A C BH gco deSnbsp;vierhoek* CBAF, en alfoo de vierhoek A B C D 3�^�'nbsp;doordelinien CG, CH in 3geiykedeelengedeelcnbsp;is, dat te doen was.

to. Deelt den vierhoek^ A B CD uyt de hoek D, tn drie deelen foodanig dat defiucken inredennbsp;zjyn tot malkander als ^

'tWerk. � Trekt de diagonaals A C, BD, tdeelri, be, j A C in reden als y, 4,3 in de punten E en F, yyt deb 10.6nbsp;felve , e trekt EG, F H c=f D B en * getogennbsp;dg , DH, die deelen de vierhoek A BCD na*^^^*^nbsp;begeeren.

Bevi. Omdat de^DlE lt;1 x A BIG en A DKF ?7. i es � A BKH is, fo is de A DAG �x 4 hoek DABE ,�nbsp;en 4 hoek D G B H = X de vierhoek D E B F, ook a gem, inbsp;A DHC e X vierhoek D C B F, en de vierhoekennbsp;DABE, DEBF, DCBF zyntotmalkanderfals^J-*nbsp;AE, EF, FCg:;y,4,3h;;D AG,

2/5 Divijlo in Figuren.

Frg. il. DenTriangel ABC^ uyt het funt D ^ binnen den [elven, in driengelykje deelen, da$ de eene deel- linie D B ^ hsmt tot de hoel^ B.

fcibcg.i'n�, F, en^trektBE) BFook DE, DF; dan c^j , e RG =3 DE, BH =s DF, voorts DG,nbsp;DB, DH, die deelen den ^ A B C na bcgeeren.nbsp;Bevj. De DEG, DEBcnDFHjDFlinbsp;d;7.1 2,yndgelyk, daarom ^BDG, GDH, BDHCnbsp;eIgem.i exi A BE, EBF, FBC yder foo i ABC, dat

Fig. 408 12. Deelt den Triangel ABC., ayt^tpuntD., binnen den felven-in drie gelyke deelen, dat denbsp;eene deel-linie DEkpmt op de zyde A B,

V Werk. Van AC� fnydt AF 00 j A C en 1 b trekt B F , E F , dan c B G === E F , dienbsp;fnydt de gegeven E D in G , !gt; trekt G F, Dl',nbsp;en uyt G, c G H �-�D F , die ontmoet de verlengde C A in H ; b trekt D H , D A en c H Inbsp;=~rr=i A D , dan trekt DI , foo is A E DI 00

Wederom van B C � gefneden B K x | B C, en b getrokken A K, EK, en uyt A , c A M =s=snbsp;E K die ontmoet de verlengde B C in M , trekt

fnyd A C in O , b trekt dan Q E , O O en uyt �, c EQ_== C) D en b getogen DQ_, loo isnbsp;QDEBG xiA ABC.

Divifio in Figuren. 277

reft A E �1 f co E GF A lt;1 c� A A 13 F g cof3 * ABC. Opdefelve wyfeisde vyfhoek E�QCK|

00 4hoekEOCKcoAEMKxiA EAK,totyderde gemene A EBK j komt de vyfhoek EDQCI3� m Anbsp;BAK gaoJAABCj en afoo vierhoek 1 D Q.Anbsp;de refterende -f A A B C, derhalven den A A B U,nbsp;na begeeren gedeelt is.

15. De 1/ieyhoe^ ABC D, f^yt 'tpiftit E binnen den [elven , in reden te deelen lt;�/r 3,4., � : datnbsp;de eene de el-linie EB komt in de hoek^ B.

V Werk. � Deelt eerft de vierhoek ABGD in�icdefis de ftukken A B H, H BI D, I B C, dat defelve in, , �nbsp;reden zyn als 3, 4, y. dan b trekt EH, EI, ennbsp;uyt B c trekt B K == E H , B L c=a E I, en'^^'�*nbsp;getogen E K j EL, die deelen den gegeven vierhoek na Begeeren.

Bew. �t ^ Is openbaar dat B E K A ao 13 AH,^ Ju,.^ en B E L C oo B CI , en overzulks L E K D ronbsp;HBID: mSar BAH,HBID, BGl, zyn totnbsp;malkander �als3,4,y;derhalvenBEKA, LEKD,e'twerk-BELG, ook malkander f als 3, 4, y, datce doenI'�-Lnbsp;was.

j78 Dwifio in Figuren.

Fig. 410 14. De vierhoek^ jf B C D, ujt het punt E, hm~ nen den [elven, in twee-en gelyl^n deelen datnbsp;de eene deel-linie E F, valt op de z.jde A B.

I be 'I nbsp;nbsp;nbsp;Werk a Trekt de diagonalen AC, B D,

\o: I ** A C in twee- en gelyk in G 3 uyt 63*: trekt

G H------ B D en � getogen BH en F H ; uyt

B c trekt B 1 == F H ontmoetende de verlengde A D in [ 3 � trekt F13 F D en uyt I, IK ===== D P, die fnydt D C in K 3 �trekt dan F K 3 F K 3nbsp;en uyt F 3 �quot;' B == E K 3 en getogen E L 3 die.

El/-4*1 Ij'. Men begeert den vierhoek ABCD., ujt �f punt E binnen den [elven., te deelen dat de jtukjnbsp;ken tot malkanderen in reden z.yn 5,4, f, e�nbsp;dat de eene deel-linie -E F valt op de z.)de AB.

aiodefe� 't Werk. � Deelt eerfl: de vierhoek ABCD in de ftukken A B1, 1 B K D, BC K 3 dat delelve innbsp;^ reden zyn als 3 , 43 y: brengt dan de ftukkennbsp;�tansfc A B 13 K B c tot de hoogte F, komt AFL, � 00nbsp;c xr-1 en A ^ QE BCcmKBCs a trekt dan � L,nbsp;i; 3 gem. E Q_3 en uyc F 3 e F M c== E L 3 F R �== E Q,

dan getogen a EM, ER, zynde de begeerde Icheyt-linien.3 zoo is AFEMdej�, BhEKCde,�, over-fulks iVlERD �e-,t, derhalven ftaan AFEM, M E R D 3 B F E R C 3 tot malkander als 3,4 gt; j ,

Divijto in Figuren. 27^

16. Den Triangel ji B E: entwet-engelyk^terig.^w dee�en, door eenlinieparallel melde zydeAE.

't HWk. � Deelt AB in twee-en gelyk in F jaioii uyt F *gt; befchrytt de halve cirkel AHB, c :rektlgt;5*��S'^nbsp;de perpeni. F H, en d getoogen B H, e maaktnbsp;dan B G 00 B H, en uyt G, i trekt GI e=a A Fjc 5. t '

Bevj. Om dat A B j B H g : ; B H , B F is�? daarom de gelykf. AopAB, AopBH(hBG)i;:| werk.nbsp;A B, BK; maar h BF is \ A B, fo is A BGI dieigev.19.6nbsp;gelykf. A B E op B G befchreren is , ook de k inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�'

17. Den Triangel A B in driegelyke deelen te f.ig. 41 j dee�en, dal de deel-Tmien parallel met B C zjn.

't Wtrli. � Befchryft op den bafis AC de halve*^*^ cirkel A F G C: ook b deelt de bafis A C in drie 1,0��g �nbsp;en gelyk in D en E, uyt defelve c fielt D F, E G e n. inbsp;perpend, op A C floten de de halve cirk. en Fnbsp;en G , d trekt AF, A G, en e maakt A H 00 �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

Bevt, Om dar AC, AF g AF, AD is.gger.r.* daarom A ABC , A op A F (hAH) i AC,b��wed�.nbsp;A D maar A D is ^ A C, foo is A op Anbsp;f A A H b ) ook k i A ABC: opgelyke wyfe is kn. jnbsp;S 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AAIK

'lo in tigMren. 'i8 �

, gens is'CO a'EBH /r . de gemene A DGH cioAPGHlt;^^ �nbsp;reit 4 noeK 1 K C u k xi 4 hoek E bCL) 1 co A j g^em,Tnbsp;EBLmo) �AABLnoo i vierhoek A B C D, m 38. inbsp;dat te doen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;7gem.^

ao. 'Denvierheek^ABCD t in Aie�n gelyl^tedee-Fig. ^16 len, dat de deeUlinienparallel A B z.jn.

�lt; Werk. a Verandert den vierhoek A B C D in a n den A A B K , en b deelt d�n bafrs A K in driennbsp;gelykinQ_en V. en c trekt BQ__, 13 V; lt;3 verlengt c/bc^ inbsp;A B, B C, rot datfe t�zamen komen in R, op A R d 1 beg. %nbsp;� befchryftde halve cirkel A O F R , uyt Q^en Vnbsp;fftelt de perp. QP, V O, en c trekt RF, RO;'��-*nbsp;dan g maakt R H 00 R P , RE oo RO , en uytt^i,;^j/nbsp;H en E h getrokken HG, E F c=^ A B , dieg3.1nbsp;deelen den vierhoek ABCD, in drie gelykedee bsr.inbsp;len.

isAABR, AHGRk;:AR,aRl: :;iquot;'w�k A ABR, AQBRdies A HGR^^oA Q B R kgev.,,.*;

-- �~-----^ nbsp;nbsp;nbsp;^ ra 9. 5

relt 4hoek HCxGD n 00 vierhoeK QBCDoX) AQBKP30 ; A ABKq001 vierhoekquot;3 gem.inbsp;ABCD.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;037.1e.

proportionaal 7yn, is E E' C D oo | vierh. A B C D, q 7 gem.x S fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en

ztz Divifio in Figuren.

en alfoo den vierhoek A B C L), met parallde te gen AB in dri�n gelyk gedeelt, dat te doen was.

lig. 417 2.1 � Jieelt den vierhoeks A BCD, in twee -en ge-Ijk, door een linie para Hel B C.

azt transf.nbsp;bio. Inbsp;c 1 beg Inbsp;d 10.1 ennbsp;J beg. Inbsp;en, Inbsp;i I beg. I

Viui

i 9- ?. k 38, t ennbsp;3 gem. Inbsp;1 7 gera, 1

rig. 418

��t Werk. a Verandert den vierhoek ABCD in den A DCK, en b deelt den bal�s KD in twee-en gelyk in E : dan = verlengt C B tot dat dienbsp;AD inydt in I, op I D d befchryft de halve cirk.nbsp;i f' D, uyt E e Helt E F perpend, op ID en f trektnbsp;D F 5 dan g neemt D H 00 D F nyt H 5 *gt; trektnbsp;H G c�:= B G die deelt de vierhoek ABCD nanbsp;begeeren.

Bew. Uyt het voorgetoonde blykt dat den ^HGD�ooaECD k goj A kg Dlaoj vierhoek ABCD isj dat te doen was.

22. Den Triangel ABC., in twee-en gelyk^te deelen, dat de deel-linie perpendicttlaar op dennbsp;hafts A C ftaat.

'tWe*k. Uyt B laat � vallen den perp BD, op ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�D C b befchryft de halve cirk D H C; c deelt den

ciofi' bafis A C in twee-en gelyk in G , en d trekt^BG d I beg, I uyt G e ftelt de perpend. G H , en d trekt G H,nbsp;en. I fmaakt CE go CH , uyt E e ftelt de perp. E F,nbsp;die deelt den A ABC in twee-en gelyk.nbsp;recv 8-4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Want DG . EC g : : EC , G C , is .

� gev. iVdies ADBG,AEFCh::DC, GCi::A f J gt; B i; gt; A G B C, daarom A EFCkooA ^ BCnbsp;k9. S ' ao 3 A A B C, dat tc doen was.nbsp;li.lt;

Divipo in Figuren.

a5. Tyen vierhoek^ A B C Din twee-engelykjepjg, 41 ^ deelen ^ door een linie ferfendiculaar op A D.

�f IV�rk. V erandert den vierhoek in den A f\.3K., en verle gtde7.yden A h), BC, datfe t�xamen komen , ook den balls A K in twe�n gelyk gcdeelcnbsp;aJi vooren, lbo � trektuyt B de perpend. B G : opa iz. rnbsp;GR*� befchryft de halve cirk. GOK, en �trektnbsp;de perp. PO, en de rechte O R en ER no k v) cn.^l�'nbsp;gemaakt, foo Belt E F perp, op A D , die deeltnbsp;den vierhoek A BCD na begeeren.

de AREFdooARPB van beydequot;^^�^ de gemeene aB-DC .toAB-DCgelubf,nbsp;reft 4 hoek D E F C � xgt; 4 hoek D P B C f �a e; jtem. inbsp;APSKgxi 1 ^ABK*rcx)i vierhoek A B C D ,f 17. i ennbsp;dat te doen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ P�5' *

24. Den Triangel ABC ^ in dt'iegeljke d'^elen te Fig. 4zo deelen.^ dat de deel-linien F G ^ LO perpendi-culaar op den bafis A C vallen.

'tWerk a Deelt den Bafis AC in drie engelykinj,o. EenK, en*gt; trekt BE, BR, enuytBde = perp bibeg. tnbsp;Bh, defelve valt alhier tuflehen dedeel-puntenE*�nbsp;en K, daarom d befchryft op A H en C H, ydernbsp;een halve cirkel, en uyt K en E de e perpend,

K I, E D en b getrokken A I, C � gt; en A E t� e n. i AI, CFnoCDf gemaakt, dan uyt L en F denbsp;e petp. L O, F G, die deelen de A A B C na be-^ F i �nbsp;geeren

aahb,

28.1, Divijio in Figuren.

Op defelve w)�fe is A CFGkooACEBloofA ABC, en daarom de A ABC door de perpendi-culaar LO, FG, in dri�n gelyk gedeelt, dac tenbsp;doen was.

NB. Indien de deelpunten E en K beyde aan cen 7.yde van de perpendiculaar vallen ; foo is �cnbsp;genoeg aan een halve cirkel , en �c bewys is hetnbsp;feilde.

Fig- 42125'. Dm Triangel ABC in dr��n gely^te deeien^ dat de eene deel-linie pp AC^ en d'*ander opnbsp;B C perpendiculaar valt.

*11.1 �tlTerk. Uyt B trekt � BD perpendiculaar op bill AC, en b B E perpendiculaar op B C , op DGnbsp;'J,�',�quot;quot;en EG c befchryfc de halve cirkel D HG, EIG :nbsp;dio.a ook d deelt A G in dri�n gelyk in F en G, ennbsp;11 beg. 1 e trekt B F , B G, dan b trekt de perpendiculaarnbsp;' F H , G I, en e getogen G H , GI, en uyt G denbsp;f} beg, if hogen HL, IK, dan b L N perpendiculaar opnbsp;AG, en a KM perpendiculaar op BC , die dee�nbsp;len den A A BG nabegeeren.nbsp;gi$dcf.I Bew. Omdat G L g oo GHis, daarom CD,nbsp;hgev.8,6QLh:: GL,GFenAGDB,ACLN i;:nbsp;k M? C D,GFk::^GDB,AGFB, dies A C L Nnbsp;l9-5 J CX3 A CF B m 00 y A A BC.nbsp;m�twerk Wederom , dewyl C K g 00 C I is, daaromnbsp;GE, GKh :: CK,GG,diesAGEB,AGKMnbsp;i;:CE,GG:;AGEB, ACGB, derhalven

A CKM

Divifio in Fig tiTin. nbsp;nbsp;nbsp;i 8 ^

26. Deelt denTriatigel A BC in reden,ah 3,4gt; 5, en dat de deel-linien parallel A C x/�.

't If^erk. � Deelt een der twee andere zyden, als��o. 6 B C in reden als 3 , 4 , f, komt in E en t�quot; gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

len den A A B C na den syfch.

jS.'w. Om de g proportionale BC, BK, BEg�twerk, isABKObcoABEA: en om de g proportiona-leBC,BI,BFisABIPbooABFAnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h�ge..i,

fubf. A B K O 00 A BE A nbsp;nbsp;nbsp;�en^.j-

uyt 2.yn overftaande hoek I� trekt A E , AF cio.?�n op B C c beichryft de halve cirkel B G H C, en 3 beg.nbsp;a trekt de perpendiculaar EG, F Hj en b trek:�*^'*� gt;nbsp;BG, BH, danBKooBG, BIooBH e gemaakt; flj'inbsp;K en 1 f trekt KO, IP *=� AC, die dee-

27. Deelt den �Triangel ABC^ in reden als ^,4., Fig. 415 5quot;, met perpendicftlaren op een der zyden AC.

V IVerk. � Deelt den bafis A C, in reden als 3, a 10.6 4 gt; y, in H en I, en �gt; trekt BH, BI: c trekt de b i beg. jnbsp;perpendiculaar B D, foekt op voorgaande wyfe dec ii. t

�m

f5 gem. I vierhoek OABP f xAlquot;'�iliC want defe met C O P � CI Bde A ABO uyrmaken ); maar A*nbsp;, CHB, IBH, lAB g :: CH,H l,lAh;: 3,4,ynbsp;i *::CGF3 G�PF, OABP, dat te doen was.

V JVerk. � Refchryft op eender zyden A B de halve cirkel A h B, en gt;gt; deelt A13 in vier gelykcnbsp;deelen in E, F, G, uyt delelvec trekt deperpen-diculaar ER, FS, GT, Strekt AR, AS,AT,nbsp;en A0,AL, AH met defelve x ^ gemaakt,nbsp;daar op yder een ? f befchreven,foo is �t ? A B C D,nbsp;in viergelyke deelen gedeelt.

Bew. Want AB , AO g AO, AE, daarom O A b C D, ? V W Q_h;; A B, A E i : I j 4 , ergo ? A O P 30 , ? A B C D, opge-lyke wyfe is q A L M N de ^ q A H I K de Jnbsp;van �t ? A13 C D , en alloo�ileive in vieren gelyknbsp;gedeelt, dat te doen was.

Anders.

Divifio in Figuren. 287

deden in F, G gt; H tuflchen de deelen en EB, foekt de middel-proportionalen EG, EN, E Mnbsp;als vooren uyt G, N, M � trekt parallel met alle�J'**nbsp;de zyden des gegeven , foo is�tfelve in vier ge-lyke deden gedeelt.

Bevj. Om dat E B , E G d :; E G, E F is, is^ �t werk, de gelykfortnige Figuur op E B , tot die op E Gnbsp;als � B tot E F ; en E E' is tl �- E B , daarom denbsp;Figuur op E G ook � J Figuer op EB ^ om de-�9*5nbsp;felve reden is de gelykformige Figuur op EN denbsp;, op E M i figuur op E B , en dewyle de li-nien uyt G, N, M == met alle de zyden desnbsp;Qs A B C D 2yn , foo zyn de gelvkformige figuren op �G, EN, EM mede fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;derhalven

Ofte aldus.

Dewyle O G g == A B is , foO zyn de A*egt;tweik E O G , E A B gelykformig , en de A E A B ,h z en 4.nbsp;^EOG!::EB, �F; maar E F g qo i � B,?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

derhalven ^ EOGkoo^A fa B , en A EAB��^^�4 1 00 3 o ABCD, en aFOGIooI aOGVRjk?-?*nbsp;ergo nOGVRinooi ? ABCD, op defd ve' �*' Snbsp;wyleis �t ? PNWSde -, en�tQ Q^M XTde�nbsp;i Q A B C D , dat te doen was.

G en H , fa ook op A B de halve cirkel AAB,bio.ie� en c getrokken de perpendicularen GI, H K, dan j beg. inbsp;uyt A de d bogen 1 M, KL, en op A M , A L'��'nbsp;�de feshoeken AMRSTV, ALNO PQ_ge-e|8.|��

288 ^ivifio in Figuren.

lykformig A B (J D � F, foo is defelvc na bcgeeren gedeek.

Bew. Dewyl AB, AMf::AMjAGis, loo is de feshoek op A B , leshoek op A M g : ;nbsp;AB, AG ; en A G is AB , daarom de fes rioeknbsp;.�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op A M j de j van de feshoek op A B; om defel-

h �tweik. ve reden is de feshoek op A L ao f feshoek op A B j * 9� 5 derhalven de feshoek A B G D t F in dri�n gelyknbsp;gedeek, dac te doen was,

Fig.4^7^0. Deelt denongefchikt�fevenhoek ABCDEFG in dri�ngelyk : dat dedeelenfarallel met allenbsp;de z.yden desgegeven fevenhoekj z.yn.

't lf''erk. N eemt een punt na gevallen binnen den aibeg-1gegeven levenhoek, als H; en � ttekt van defelv�

tot de hoeken de rechte AH, BH, CH amp;c. en eetj derfelver AH-, b deck indri�ii gelyk in 1, K :nbsp;foektals voren de middel-proportionale HO, HN,nbsp;uyt Isl en O , c trekt NP, O Q^== A B, dannbsp;uyt P, (^weder c=a B C , en loo voort met allenbsp;d� zyden des gegeven fevenhoeks, foo is die in dii�nnbsp;gelyk gedeek.

den des gegeven levenhoeks 2,yn, foozynde figuren czen4:6op HN , HO e gelyJdbrmig de figuur op HA:nbsp;en om de d proportionale H A , H O, Hl is denbsp;figuur op HA, figuur op H O f ; : H A, Hl , ennbsp;om dat H I d 30 A H A is, foo is de figuur op H Onbsp;g ao r figuur op HA: om de felve reden is de figuurnbsp;op H N ao f figuur op H A , en alfoo de gegevennbsp;fcvenboek na den eyfch gedeek.

Of aldus.

HAb,

Divijio in Figuren. 289

H AB, HOQ^bgelyktormigj en alzo de ^HOQ 'oo-jAHABj om dezelve reden de A H N P cgev. lo:nbsp;c� I A H A B: en op gelyke wyze zyn alle de A* �9' Snbsp;HBC, HCDamp;c, in drien gelykgedeelt, weikej,jg^.nbsp;alle te zamen de zevenhoek uytmaken, derhalven inbsp;defelve in drien gely k gedeelt, dat te doen was.

V Werk. Den Diameter in 4 gelyke deelen ge-declr , en de proportionale AG, Al, A' K ge-zogt als voren , en om de felve Cirkels � befchre- a i�:t eo ven, die deelen den gegeve-ti cirkel na begeeren. 3 rnbsp;Bew. Uyt de voorgaandens bcwyien is klaar,nbsp;dat de cirkel om A G 00^, de cirkel om A 100 de y,nbsp;en cirkel om A K O) de I cirk. A D B M is, ennbsp;derhalven dezelve in viereri gelyk gedeelt ; dat tenbsp;doen was.

52. Deelt den Cirkel AMST^, in i^geljke dee-Fi^. len , dat die up een Centrum ah de gegevennbsp;befchreven werden.

h Werk. � Deelt den halve diameter A C in 4 ge- a lo.-e lyke in 1, H, G, en Ibekt de proportionale GD,

CE, CF, als voren; en ^ trekt uyt C door D, E, b,1 8-de cirkelen H D O P , K E Q R , LFST, die deelen den gegeven cirkel na begeereu.

290 DiviJio'irtSi^urm.-CIC dc^j5 op CL dederlialven de gegeven Cirkel in 4 gely ke deelen gedeelt; dat te doen iamp;as.

'3. 4) 5'-

� 10. � 'tWerk � Deelt d.en Diameter, A B in reden als * 3 j 4 gt; f j komt in E en F , uyt E b trekt denbsp;r' t perpendiculaar E C , en c trekt AC, H (J : dannbsp;� a F G == � C ook op B C dui halve cirkelnbsp;B H C , en uyr G b den perpeodiculaar G H ,

3 beg. als diameter yder een cirkel� befchreven , die fullen i�famen foo groot zyn als de gegeven Cirkel A B C D,nbsp;en reden tot malkanderen lubben als 3, 4, 5.nbsp;fgev. g. 6 liew-, Dewy Ie AB, AC^:: AC,AEis,nbsp;foo is de cirkel A D B C, cirkel A1 C E g ; : A B,

de cirkel op B C, cirk. op R H g ; : R C , B G encirkelopBC, cirk opCHg: : BC ; CGnbsp;derhalven cirkel op BH, cirkel op C Hb ; : B G,nbsp;C G i ; : B F, F E, en cirkel op A C, cirkel opnbsp;'A B k ; ; A E , A 13 maar A E , E F, F B rynnbsp;1 als 3 , 4 gt; y , ergo de cirkelen op A C, C rl,nbsp;� B H ook b als 3, 4 , �: ook zynfc te zamcn lt;n qqnbsp;cirkel A D B C , dat te doen was.

. De�

Divijio in Signren.

54. tieti triakel ABC, begeert men in twee-en Tig. 451 gelyk^t� deetvn, d�(i de deel-linie komt van of.nbsp;door het gegeven punt E bujten of binnen dennbsp;gegeven triangel.

't U^erk. � Deelt den bafis A C in twe�n , gelyk a 'o. t in D , en b trekt B D : dan uyt E c getrokken^! *nbsp;E H == A C, die fnydt B Cin H , trekt H D gt;nbsp;en uyt B, c B K. tv �: �. H D, die fnydt AC in K gt;nbsp;voorts K.H, deelt dan KC in twe�n, gelyk in L,nbsp;uyt Len E ,c trekt L [gt; E N = BC, totdatzedenbsp;verlengde H E en AC ontmoet in ! en M ; d be- lt;5'�''nbsp;fchryft dan op L N de halve cirkel L M N , en e 5 ^nbsp;brengt daar in NMxNC, cnb trekt LM ; fneemtfj^rnbsp;dan L F 00 L M, en b getrokken F E G, die deeltnbsp;den A B C in twee gelyke deelen.

Bew. Dewyle H E g 00 G N b 00 N M , IE gg34-1 00 LN en Fl.hooLMis, zoozyndeAsHGE,^

10F, LOFdieigelykformigzyn, opdeALMNizy.i ei� diekregthoekigis befchreven, en daaromnbsp;ALGF -f- AHGEraooA lOEnbsp;fub. A H G E co A HGE

komt A F G C O co CJIH C L in�t 1'. fig. AGOF-t-AHGEcoAlOEnbsp;add.LOEHCa)LOEHC

PcoAK.HClt;icoAE)G�rooAAGB, datte^?'^�tl^ doen was.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en 1.6

192 Dhiflo in Ftguren.

N B, Indien�t punt F voorlw A quam te vallen; fbo handelt metdeiyde ABgt; bpdefelveina-niereals hier met AC gedaan is.

Hier uy t is openbaar gt; hoe men een vierhoek of andere veelzydige Figuuren uyt of door een punt 3 buy.' ten of binnen defelve, in twee-en gelyk, of andere gegeven reden deelen kan : want men heeft dennbsp;vier of veelhoek, maar te veranderen in een driehoek 3 gelyk wy in de Transformatie overvloedignbsp;aangewefen hebben, en handelen dan voort op ful*nbsp;kc, of diergelyke wyf� als wy hier nu getoont hebben , foo bekomt men het begeerde.

b 5. 1�	ene trekt CE.
e 1 bcg.
		I. Ste�l.
ilbsr.	Bew. Om dat AE d		X AC is ,	daarom dd
e 5. I f ;x. I	hoek A 0 E e	Efx i	BAC g X	DAC	1 der-
S �tgeg!	halven D A h c=	= CE	en overfulx	BA,	AE
n 17.1 i 1.6	(AC;�BO,	DG dat	te bewyfea was.
n 17.1 i 1.6				2,	Stelh