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RÉCRÉATIONS

M ATHÈM ATIQUES

E T

PHYSIQUES.

TOME PREMIER.

RÉCRÉATIONS

MATH ÈM ATIQ UES

E T

PHYSIQUES,

Qui CONTiENNENT les Problémes Sr les Queftions les plus remarquables , amp; les plus propres a piquer la curiolité, tantnbsp;des Mathématlques que de la Phyfique; Ie tout traité d’unenbsp;maniere a la portee des Lefteurs qui ont feuleraent quelquesnbsp;connoiffances légeres de ces Sciences.

I

Par feu M. O Z A NA M, de 1'Académie regale des Sciences y «S’c.

Nouvelle Edition, totalement refondue Sc, confidérablement augmentée par M. de C G. F.

TOME PREMIER,

Contenant UArithmetique Sc la Géométrie.^

A PARIS, RUE Dauphine,

Didot, Librairepour les Mathéraatiques, * Artillerie et Ie Génie, gray, et fond. en caractéres.

M. DCC. XC.

P R É F A C E.

_^I^UOIQUE les Mathématiqües foient

amp; avec quelque raifon répu-tées les plus épineufes des connoiffances humaines, tous ceux qui y font même lé-géreinent initiés, ne fauroient difconvenirnbsp;qu elles préfentent un grand nombre denbsp;queftioi'sfur lesnombres, amp;fur l’étendue,nbsp;(fans parler des Mathématiqües mixtes,nbsp;j-ornine i’Optique, la Mécanique, l’Aftro-jiotnie, amp;c.) qui, fans êtred’un degré denbsp;dilficulté capable de beaucoup occuper,nbsp;un elprit cultivé, font propres k piquer fanbsp;curiofité, foit par leur foiution , fok parnbsp;les moyens dont on a pu y parvenir.nbsp;Nous ne prétendons pas que des efprits,nbsp;uniquement accoutumés k des leftures lé-gères OU frivoles, amp; qui n’ont pas mêmenbsp;les connoiffances élémentaires desfciencesnbsp;exaêfes, puiifent trouver dans ces quellionsnbsp;de quoi les intéreffer amp; les amufer. Mais,nbsp;comme il entre aujourd’hui, non-feule-ment dans toute education recherchée,nbsp;mais même dans l’éducation publique, denbsp;donner des idees au moins élémentaires amp;nbsp;fuperficielles des Mathématiqües amp; de lanbsp;Phyfique, il n’y a nul doute qu’il ne fenbsp;trouve en ce fiécle un grand nombre denbsp;Tome /,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fl

i] nbsp;nbsp;nbsp;P R É F A C E.

perfonnes capables de s’intérefler k un ou-vrage qui leur préfentera un choix bien fait de ce qu’il y a dans ces fciences denbsp;plus cufieux par fon ufage ou fa lingularité.nbsp;D’ailleurs, il eft des efprits de routes lesnbsp;trempes, comme des caraftères amp; desnbsp;vifages différents. Ce qu’un ordre d’hom-mes honore d’une profonde indifference,nbsp;d’autres en font leurs délices. C’eft ennbsp;cela que confifte Fharmonie de l’uni-vers.

Nous ajouterons que jamais les Mathé-inatiquesamp; laPhylique ne furentplus cul-tlvées qu’elles Ie font aftuellemem. Or,il y a deux claffes de perfonnes qui les culti-vent: les unes par état, ou par Ie délir denbsp;s’illuftrer en reculant leurs limites; les au-tres par pur amufement, ou par un goutnbsp;naturel qui les potte vers ce genre de nosnbsp;connoiffances. Ce fera, ü Ton veut, k cettenbsp;dernière claffe de Mathématiciens amp; denbsp;Phyficiens que eet ouvrage fera deftiné ;nbsp;quoique nous ne renoncions pas k intéref-fer en quelques endroits ceux de la première. Enfin, il peut fervir k aiguillonnernbsp;l’efprit de ceux qui commencent k étudiernbsp;ces fciences j amp; c’eft-lk la raifon pournbsp;laquelle, dans la plupart des livres élémen-taires, on tache d’envelopper les queftionsnbsp;propofées pour exercer les cominen^ans.

P R É F A C E. . ilj

d’un énoncé moins abftrait que celui des Mathématiquespures, Scquipuiffe intéref-feramp; piquer la curiolité. Si, par exemple,nbsp;on propofoit fimplement de divifer unnbsp;triangle en 3,4 ou 5 parties égales, par desnbsp;lignes tirées d’un point déterminé au de^nbsp;dans de ce triangle, il n y a guère que ceuxnbsp;qui font vraiment doués du goüt de lanbsp;Geometrie qui y priffent intérêt. Mais fi ,nbsp;SU lieu de propofer Ie problême de cettenbsp;luanière abftraite , on difoit: U?i père dcnbsp;familie laijje en mourant è fes trois jils, unnbsp;champ triangulaire a fe partager entre eiixnbsp;également; ü y a dans ce champ un puits quinbsp;doit être commun aux trois co-héritiers ^ cenbsp;qui nécejjite que les lignes de divijion partentnbsp;de ce point .* comment feront-ils pour fe con-former d la volonté du tefiateur? eet expolénbsp;fera fans doute défirer a la plupart desnbsp;efprits de connoitre la manière d’y parve-nir; amp; pour peu qu’on foit doué du goütnbsp;des fciences exadies , on fera renté d’exer-cer fes forces a la trouver.

Nous ne croyons pas qu’il foit befoiii de montrer avec M. Ozanam, par desnbsp;exemples, qu un Géomètre peut fans bontenbsp;defcendre quelquefois de l’abrtraöion denbsp;fes calculs amp; de fes méditations, pour fenbsp;leplier fur des queilions de fon art plusnbsp;curieufes amp; faciles, qu’utiles amp; épineufes,

a ij

ÏV nbsp;nbsp;nbsp;PREFACE.

Telles font en effet quelques - unes , amp; même la plupart de celles de eet ouvrage.nbsp;Mais les exemples cités par M. Ozanartinbsp;font, il faut Tavouer, alfez mal choifis.nbsp;Quel rapport ont avec ce fujet les énigmesnbsp;que fe propofoient, dit-on, les rois denbsp;Syrië ou d’Egypte; ou les calculs d’éclip-fes amp; de phénomènes cèleftes que s’en-voyoient, k ce qu’il ajoute, entre amis,nbsp;les Babyloniens amp; les Egyptiens ? Je nenbsp;f^ais d’ailleurs oü M. Ozanam a puifénbsp;cette anecdote. II étoit plus naturel denbsp;dire, que l’efprit ne peut pas être toujoursnbsp;tendu; qu’après avoir approfondiunfujet,nbsp;il y a quelquefois du plaifir a voler légé-rement fur fa furface ; enfin, s’il efl: dansnbsp;eet ouvrage plufieurs queftions frivoles,nbsp;on peut dire pour les juftifier, que la Sa--geile a befoin quelquefois de fe fauvernbsp;dans les bras de la Folie.

Les Grecs nous ont donné Ie premier exemple de ces jeux mathématiques. Carnbsp;on trouve dans l’Anthologie grecque, unnbsp;grand nombre d’épigrammes qui ne fontnbsp;que des quefiions arithmétiques; tellesnbsp;font la fameufe queftion de Y^ne amp; dunbsp;Mulct i celle de YAmour remplijfant ennbsp;differens temps , par divers canaux, la ca*nbsp;pacité d’un bajjin , ^c. qu’on y lit énon-cées en vers. On trouvera les plus remar-

PRÊFACE. nbsp;nbsp;nbsp;V

i^uables dans Ie premier volume de eet ouvrage.

Ce font, k ce qu il paroit, ces queftions amp; les confidérations précédentes, qui en-gagèrent M. Bachet de Méziriac , d ail-leurs célèbre algébrifte , ainfi qu’on Ienbsp;voit par commentaires fur Diophante,

^ recueillir un grand nombre de queftions fur les nombres, qu’il publi'a en 162,6 , amp;nbsp;^U il intitula Prohlêmes plaifans amp; delecla^-bles fur les Nombres. Ce livre eft, aprèsnbsp;les problêmes de TAnthologie grecque,nbsp;Ie premier germe de routes les Recreationsnbsp;Nlathématiques qui ont paru dans la fuite,nbsp;plus OU moins augmentées, amp; en diffé-rentes langues. Mais nous nous borneronsnbsp;k parler des ouvrages 6:^0901$ qui ont eunbsp;eet objet.

Les premières Recreations Mathématl-¦ques parurent en 1627, in-8®, fous Ie titre de Récréation Mathématique f compofée denbsp;plufeurs Problêmes plaifans amp; facetieux^nbsp;par H. van Etten. Cétoit, il faut en con-venir, une pitoyable rapfodie. Audi ex-cita-t-ellè la bile de Mydorge, géomètrenbsp;célèbre de ce temps , qui en releva dure-^ent les fottifes. Mais, malgré cela, lesnbsp;editions poftérieures qui en rorent fades,nbsp;valent guère mieux que la première.nbsp;Cell un fatras de queftions dont grand

v) nbsp;nbsp;nbsp;P R É F A C E.

rtombre font fottes amp; puériles, un défor-dre amp; un langage barbares qui devoient dès'iors rebuter tout efprit un peu raifon-nable.

Cela engagea fans doute, vers la fin du fiècle dernier, M. Ozanam k faire un re-cueil plus choifi de ces queftions mathé-matiques amp; phydques , amp; il l’exécuta ennbsp;1692, en donnant fes nouvellesnbsp;i/ons Mathématiques amp; Phyfques, en deuxnbsp;volumes in - 8°, qui, par diverfes additions, fc'font accrues jufqu’a quatre volumes in-80. Comme les changemens, lesnbsp;additions amp; les retranchemens que nousnbsp;y avons faits font très-confidérables, nousnbsp;devons rendre compte au Ledfeur desnbsp;motifs qui nousyiDnt engages. II eft auflinbsp;a propos de donner ici une idéé de lanbsp;manière dont l’ouvrage fe préfente aunbsp;monde favant dans ceite nouvelle Edition.

Si Ie grand nombre des editions d’un ouvrage eft une preuve inconteftable denbsp;fa bonté amp; de fon utilité, \qs Récréatio7isnbsp;Mathématiques amp; Phyjiques de feu M.nbsp;Ozanam devroient être regardées commenbsp;un des livres les meiUeurs amp; les plusnbsp;utiles qui aient été faits. On ne peutnbsp;difconvenir cependant que ce livre nenbsp;fbit en lui-même trés fautif amp; très-incom-

P R Ê F A C E. nbsp;nbsp;nbsp;vij

plet. Mals il y a lieu de croire que fon auteur l’auroit rendu beaucoup plus inté-reffant, amp; qu’ü l’auroit porté a un plusnbsp;haut point de perfection , s’il eüt vécunbsp;dans un fiècle plus favant, amp; plus inftruitnbsp;fur ce qui regarde les Mathématiques amp;nbsp;la Phyfique expérimentale. En effet, de-puis la mort de ce Mathématicien, lesnbsp;iciences amp; les arts ont éprouvé de ünbsp;grands accroiffemens, que ce qui pquvoitnbsp;^lors paffer pour médiocre, ne feroit pasnbsp;même fupportable aujourd’hui. Combiennbsp;de nouvelles découvertes dans laPhylique,nbsp;tant ordinaire amp; commune , que célefte lnbsp;combien de nouveauX phénomènes obfer-vés , dont quelques-uns ont même donnénbsp;naiflance k desbranchesfécondesdelaPhy-Eque! Nous nous bornerons k citer YEIec-tricité ^ fource intariffable de réflexionsnbsp;profondes amp; d’expériences finguliérementnbsp;amufantes. La Chimie eft auffi une fciencenbsp;dont M. Ozanam ne foup^onnoit pasnbsp;même les principes les plus connus amp; lesnbsp;plus triviaux. Enfin, nous ne craindronsnbsp;point de Ie dire , on y trouve une multitude de matières traitées avec une appa-tence de crédulité amp; une prolixité telles,nbsp;^lu’il femble que rauteur,ouplutót fes con-tinuateurs, n’ont eu en vue que de muld-puer les volumes.

a iV

vlij ^ ^ P R È F A C E.

11 étoit done néteflaire, pour rendre eet ouvrage plus digne du fiècle éclairé oünbsp;nous vivons, d’y faire des correftions, amp;nbsp;des additions nombreufes amp; confidérables-C’eft ce qu’on a taché de faire. Nousnbsp;allons rendre compte ici de ces améliora-tions.

Le premier volume comprend VArith-métique amp; la Géométrie, ces deux branches des Mathématiques que Platon appeloitnbsp;k li jufte titre les alles du Mathématicien,nbsp;Dans la première, on expofe la nature desnbsp;diverfes efpèces d’arithmétique , quantiténbsp;de propriétés fingulières des nombres,nbsp;dont plufieurs étoientprobablementincón-nues k M. Ozanam ¦, celles des trianglesnbsp;leöangles en nombre amp; des nombres po-lygones, mais réduites k ce qu’elles pré-fentent d’intéreffant amp; de facile: on donnenbsp;enfuite les principes de la doftrine desnbsp;combinaifons, mis dans un jour fort clair,nbsp;amp; un affez grand nombre de problêmesnbsp;curieux, dont plufieurs nouveaux ^ fur lesnbsp;jeux. On paffe dedi aux différentes elpè-ces de progreffions, amp; on réfout diversnbsp;problêmes qu’elles préfentent: on propofenbsp;Sc l’on explique plufieurs tours de fubtilité,nbsp;fondés fur des combinaifons arithméti-ques, fuivis d’iin grand nombre de pro-blêroes curieux , amp; très-propres k exerccj:

PRÉFACE. nbsp;nbsp;nbsp;«

les jeunes Mathématiciens. On nnit par ce que préfente de plus curieux I’anthme-tique politique, fur la population amp; 1^nbsp;durée de la vie des hommes, amp;c.

La feconde partie de ce volume elt deftinée a la Géométrie. Elle contient environ foixante-quinze problêmes, quonnbsp;croit pour la plupart affez heureufementnbsp;choifis, foit pat l’énoncé qu^on ^ a tachenbsp;de rendre intéreffant, foit par 1 elégancenbsp;OU la fimplicité de la folution. On y trouvenbsp;même quelques théorêmes élégans amp; fin-guliers , delquels téfulte la généralifa-tion de certains théorêmes fameux, parnbsp;exemple, celui de la quarante - feptièmenbsp;d’Euclide, qu’ony démontre aufll par di-verfes tranfpofitions de parties, qui fontnbsp;aflez ingénieufes. Nous donnons auffi quelques tranfmutations d’efpaces reftilignes,nbsp;en autres de formes différentes, du quarre,nbsp;par exemple, en reftangles, par firnplenbsp;décompoiition amp; tranfpofition de parties ,nbsp;ce qui, quoique élémentaire amp; peu difficile, eft nouveau. II y a dans cette mêmenbsp;partie une digreftion curieufe amp; hiftoriquenbsp;fur la quadrature du eerde; un grandnbsp;nombre de problêmes remarquables furnbsp;Ls lunules d’Hippocrate, amp; autres (or-i^ées a leur imitation. Enfin ce volume eltnbsp;terminé par une centaine de problemes

s nbsp;nbsp;nbsp;P R É F A C E.

affez curieux ^ dpnt on donne feulement J’énoncé, amp; qu’on propofe aux jeunesnbsp;Arithméticiens ou Géomètres , pour ynbsp;éprouver leurs forces. En général ils fontnbsp;plus éiégans que difficiles. II en eft cepen-dant quelques-uns quine font pas indignesnbsp;d’un Géomètre ou d’un Analyfte exercé.

Le fecond volume commence par la Mécanique. On y préfente un grand njm-bre de problêmes intéreffans, amp; en général d’un meilleur choix que dans les édi-tions précédentes. On y voit 1'analyfe denbsp;plufieurs tentatives du mouvement perpé-tuel, amp; divers traits curieux fur ce fujet.nbsp;On termine le tout par une hiftoire fom-maire des machines les plus renommées,nbsp;tant anciennes que modernes, commenbsp;font, parmi ces dernières, les fameufesnbsp;horloges de Strasbourg amp; de Lyon j lesnbsp;machines inventées par Truchet, Camus,nbsp;Vaucanfon ; la machine de Marly, lesnbsp;machines k feu. On dit fur tous ces objetsnbsp;des chofes auffi intéreffantes que nou-velles.

Le même volume contient ïOptique, Nous pouvons affurer qu’elle eft beaucoupnbsp;perfeöionnée, tant par l’ordre, que par lanbsp;précifton amp; la nouveauté des matières.nbsp;On finit 1’Optique par un précis de toutnbsp;ee qu’ii y a, dans les obfervations microf-

P R Ê F A C E. . xj copiques, de plus neuf amp; de plus dignenbsp;d’être connu,

Acoujlique, amp; la Mujique qui en dé-rive, terminent ce volume. Les principes de la formation amp; de la propagation dunbsp;fon , leurs pbénomènes , Ie développe-ment de la mufique ancienne amp; moderne,nbsp;¦divers traits fort curieux fur les effets denbsp;Tune amp; de l’autre , plufieurs queftions furnbsp;Je mécanifme de Tharmonie ,lespropriétésnbsp;de divers inftrumens, quelques paradoxesnbsp;mufcaux, font les principaux objets quinbsp;compofent cette partie, amp; terminent Ienbsp;fecond volume.

Le fuivant ou troifème comprend XAf-tronomie, la Geographic en ce qu’elle tient a cette fcience , le Calendrier, la Gnomo-nique,hL Navigationy VArchitcBure, amp; lanbsp;Pyrotechnic ou Tart des feux d’artifice. 11nbsp;feroit trop long d’entrer dans les détailsnbsp;des correélions amp; des augmentations con-fidérables faites è. ces différens traites dunbsp;livre de M. Ozanam. En général on l’anbsp;abrégé amp; fimplifiéj onacorrigéleserreursnbsp;qu’il a pu commettre; car il faut avouernbsp;que M. Ozanam ayant peu cultivé l’Aftro-ï^omie n’avoit prefque aucune connoif-^nce des vérités phyfico - aftronomiquesnbsp;démontrées de fon temps : auffi dennbsp;de fi fuperfi.ciel que ce qu’il dit fur le

xij _ PREFACE.

fyftêmede lunivers. On y a fubftitué uil' tableau de ce fyftême, amp; des divers corpsnbsp;qui Ie compofent. Selon les apparences,nbsp;on Ie trouvera piquant, foit par Texpofi-lion des phénomènes , foit par quelquesnbsp;comparaifons affez fingulières pour don-ner une idéé de fon immenfité.

Nous ne difons qu’un mot du Calendrier: c’eft, k quelques introduélions prés, l’ou-vrage de M. Ozanam j on n’a pas cru devoir y faire beaucoup de changemens. Lanbsp;Gnomonique eft prefque toute nouvelle,nbsp;amp; contientplufieursproblêmes nouveaux,nbsp;amp; beaucoup mieux choifis que dans Ienbsp;livre de eet auteur. La partie fuivante eftnbsp;toute neuve , amp; préfente plufieurs pro-blêmes curieux, tant fur Tart du pilotagenbsp;que fur la manoeuvre. On y lit une hiftoirenbsp;affez détaillée du fameux problême desnbsp;longitudes. II en eft de même de 1’Archt-teélure, ob nous avons trouvé matière knbsp;plufieurs queftions curieufes, relatives foitnbsp;a la conftruftion, foit au toifé, foit k Tartnbsp;envifagé comme art de goüt.

La Pyrotechnie termine Ie volume. M. Ozanam y eft abrégé en plufteurs en-droits, amp; enrichi dans d’autres.

Enfin, Ie quatrième volume eft entière-ment confacré k la Phyjique, La première divifion de ce, volume, qui eft la ouzième

P R É F A C E. xüf tie l’oiivrage, eft une efjjèce de Mifcella^nbsp;nea de Phyfique, oü Ton a eu pour objetnbsp;de faire entrer routes les queftions les plusnbsp;curieufes. Elle commence par une intro*nbsp;duftion néceflaire, qui contient avec beau-coup de précifion tout ce qu’on connoitnbsp;de mieux prouvé fur les propriétés du Feu,nbsp;de l’Air, de l’Eau amp; de la Terre. On par-court enfuite routes les branches de lanbsp;Phyfique générale; expériences fur l’Air ,nbsp;jeux d’hydraulique amp; d’hydroftatique |nbsp;hiftoire amp; conftruélion des thermomètres,nbsp;baromètres amp;• hygromètres j problêmesnbsp;finguliers d’Aftronomie phyfique, réfolusnbsp;d’après leurs véritables principes j obfer-vations curieufes fur la divifibilité de lanbsp;matière, fur la ténuité des odeurs, fur cellenbsp;de la lumière, amp;c. queftions fur les co-mètes 5 expofition amp; examen de quelquesnbsp;opinions fingulières amp; brillantes fur cenbsp;fujet; explication amp; hiftoire des fontainesnbsp;intermittentes; phénornènes de la glace,nbsp;du jeu manière de la produire •, analyfenbsp;du cerf-volant, amp;c; telles font k peu présnbsp;les matières de cette onzième partie. Onnbsp;n’en peut prendre une idéé jufte qu’ennbsp;parcourant Ia Table*-

On ne pouvoit terminer plus heureufe-*pent ce qui regarde la Phyfique fyftéma-tique amp; expérimentale, quepar un Traité

xir P R É F A C E.

particulier fur ÏAimanu Tout ce quily a-de plus curieux amp; de plus neuf fur les phénomènes de cette étrange produélionnbsp;de la nature , les diverles proprietes, lesnbsp;utilités qu’on en retire , les jeux amp; lesnbsp;tours principaux qu’on opère par leurnbsp;combinaifon , les aimans artificiels, amp;c.nbsp;forment la matière de ce Traité.

\JEle3:ricité tient parmi les phénomènes de la nature un rang trop remarquable ,nbsp;pour ne pas trouver ici une place. On ennbsp;traite fort au long , li Ton conlidère lanbsp;multitude de faits amp; d’expériences qu’onnbsp;fait connoitre ¦, amp; avec beaucoup denbsp;précilion, li Ton fait attention k la ma-nière dont ils font expofés. Un objet inté-relTant de ce petit traité , ell ce qu’onnbsp;rapporte fur I’analogie de la foudre avecnbsp;le feu éleèlrique. On n’a pas négligé lesnbsp;divers jeux qu’on opère au moyen denbsp;cette propriété fingulière des corps; amp;nbsp;Ton y dit auffi un mot fur les guérifonsnbsp;opérées par l’Eleèlricité.

La Chimie^ fource de tant de phénomènes curieux , fuccède a l’Eleélricité. On a commencé par en développer fuccinte-ment les principes, 'en donnant une idéénbsp;précife des diverfes fubllances dont le jeunbsp;amp;l’a6lion mutuelle des unes furies autres,nbsp;opèrent les principaux phénomènes de

P R É F A C E- XV ¦ €ette fcience. Après cette introduftion,nbsp;on parcourt les expériences les plus fim-ples amp; les plus curieufes de la Chirnie ynbsp;qu on explique d’après les principes pofésnbsp;précédemment. Les encres fympathiques,nbsp;amp; les jeux qu on peut exécuter par leurnbsp;moyen, n’y font pas oubliés, non plusnbsp;que les végétations métalliques. On finitnbsp;par une digreffion fur la pierre philofo-phale , Tor potable amp;; la palingénéfie;nbsp;problêmes chimiques dont on donne unenbsp;forte d’hiftoire curieufe, inftruftive amp; phi-lofophique.

Deux Supplémens terminent ce volume; 1’un traite des Phofphores, tant naturelsnbsp;qu’artificiels j 1’autre , des Lampes pré-tendues perpétudles, Mais on n’a pas éténbsp;aufli prolixe que M. Ozanam, ou plutótnbsp;l’auteur de la pitoyable compilation qu’otinbsp;lit dans Ie quatrième volume de fon ou-vrage. On croit, ou plutót on aflure avecnbsp;confiance, que fous un volume incompa-rablement moindre, on rapporte fur lesnbsp;Phofphores, tant naturels qu’artificiels,nbsp;beaucoup plus de chofes amp; pluS'Cxafte-ment que ne fait l’auteur de ce traité, in-féré dans f édition des Récréations Mathé--maticpues faite après la mort de l’auteur.nbsp;Quant aux Lampes perpétuelles, aprèsnbsp;avoir donné rhiiloire, on fait voir en

ÏV] P R É F A C E. affez peu de pages, amp; d’après les principes de la faine phyfique, que c’eft unenbsp;chimère digne d’etre mife dans la mêmenbsp;clafle que la Palingénélie amp; la Baguettenbsp;divinatoire.

Nous ne devons point paffer fous fi-lence un mérite particulier que préfentera eet Ouvrage aux Mathématiciens amp; auxnbsp;Phyficiens. Ce font diverfes Tables affeznbsp;étendues, amp; qui font d’un ufage fréquentnbsp;dans les Mathématiques amp; dans la Phy-lique. Chaque jour les calculateurs fontnbsp;arrêtés fame de favoir oü les trouver. Cesnbsp;Tables font:

Volume I. Celle du rapport du pied des différens pays, comparé avec celuinbsp;de Paris.

La Table du rapport des mefures anciennes de contenue,avec Ie pied cubique de Paris.

Volume II. La Table des pefanteurs fpécifiques des matières les plus ufuelles.nbsp;Elle eff k divers égards plus confidérablenbsp;que celle de Mufchenbroeck, amp; certai-nement. plus exaéfe.

LaTable du rapport des différens poids tant anciens que modernes, amp; étrangers,nbsp;avec notre livre.

Volume III. La Table des longitudes Sc latitudes des principaux lieux de la

Terre,

PREFACE. xvi; 1 erre , plus étendue qu aucune de cellesnbsp;qui aient encore été données.

Celle du rapport des mefures itinéraires anciennes amp;; rnodernes.

Celle des éclipfes vifibles fur I’horizon de Paris jufqu’en 1800.

Volume IV. Une Table des degres de chaleur ou de froid auxquels différentesnbsp;matières fe fondent ou fe glacent.

Une autre des différens degrés de chaleur OU de froid obfervés en différens lieux de la Terre, ou nécelTaires pour certainesnbsp;opérations.

Une de la dilatation des métaux.

Une des hauteurs de divers lieux amp; de plufieurs montagnes, tant de ce continentnbsp;que de 1’Aniérique, au deflus du niveaunbsp;de la mer.

Tel eft Ie plan de cetfe nouvelle edition des Recreations Mathématiques. On peutnbsp;dire avec certitude, amp; Ie Cenfeur de eetnbsp;Ouvrage l’attefte par fon approbation,nbsp;que dans l’état oü il efl aujourd’hui, il n’efinbsp;point indigne des regards des Mathéma-ticiens amp; des Phyficiens les plus inflruits jnbsp;amp; ceux de routes les claffes pourront éga-lement, en Ie lifant, s’amufer, s’inftruire,nbsp;^ même s’exercer , par Ie choix désnbsp;^'leftions quiy fontréfolues oupropofées»nbsp;Rome /.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b

Quant h la partie typographique , elle a été traitée avec tout Ie foin qu’exigeoitnbsp;un Ouvrage auffi intéreflant, tant par Ienbsp;choix du papier, que par la netteté du ca-raftère. Les planches, au nombre de qua-tre-vingt-dix, très-bien gravées par M. denbsp;Ia Gardette, artifte connu , réuniflent anbsp;tous ces avantages celui de fortir entiè-rement hors du livre , ce qui manquoitnbsp;aux précédentes éditions.

APPROBATION.

J’ai lu, par ordre de Monfeigneur le Garde des Sceaux , les Recreations Mathématiques amp; Phyjiqutsnbsp;de feuM. OzANAM, corrigées amp; confidérablementnbsp;augmentées: il m’a paru que eet Ouvrage , fortnbsp;imparfait dans fes éditions antérieures, a acquisnbsp;dans celle-ci un degré d’ainélioration confidéra-ble, qui peut lui mériter place parmi les bons livresnbsp;fur ces matières. Fait a Paris le 5 aoüt 1775*

MONTU CLA, Cenfeur Royal.

PRIVILEGE DU ROL

LOUIS, par U Grace de Dieu, Roi de France amp; de Navarre:

A nos amés amp; féaux Confelllers, les Gens tenans nos Cours de Parlement, Maitres des Requêtes ordinaires de notre Hotel, Grand-Confeil ^ Prevót de Paris, Bailüfs, Sénéchaux, leurs Lieutenans ci-Vïls, cc autres nos Jufticiers qu’il appariienclra: Salut. Notre aménbsp;ie “CUï JoMBERT , Ills ainé, notre Libraire a Paris, nousa faitexpo-ler qu il deftteroit faire imprimer amp; donnet au Public Les (Suvres de.nbsp;Alathcmatiques de iVfM. O'^anam ^ Clermont, s’il nous plaifoit luinbsp;Recorder nos Lettres de Privilege pour ce néceffaires. A CES causes , voulant favorablement traiter TExpofant, novis lui avons permisnbsp;Êc permettons par ces Préfentes, de faire imprimer ledits ouvragesnbsp;fois que bon lui femblera, amp; de les vendre, faire vendrenbsp;oc debitor par tout notre royaume, pendant le temps de lixannéesnbsp;confecutives, a compter du jour de la date des Préfentes., Faisonsnbsp;cetenles a tous Imprimeurs , Libraires amp; autres perfonnes, denbsp;que^ue qiialité amp; condition qrOelles foient, d*en introduire d’im-pr^ion étrangere dans avicun Ueu de notre obéiffance. Commenbsp;d’imprimer ou faire imprimer, vendre, faire vendre, debitor,nbsp;contrefaire lefdits Ouvrages, ni d’en faire aucuns extraits, fousnbsp;quelque prétexte que ce puiift être , fans Ia permiflion exprefle ÖC pacnbsp;'crit dudit Expofant, ou de ceux qui auront droit de lui, a peine denbsp;^nftfeation des Exemplaires contrefaits, de trois mille livres d’a-contre cbacun des contrevenants, dontiin tiers a Nous, unnbsp;l’Hotel-Dieude Paris, amp; Paiitre tiers audit Expofant, ou 2nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;droit de lui, 8c de tous dépens, dommages amp; interets.

ge que ces Préfetites feront enregiftrées tout au long far le dansnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Commimauté des Imprimeurs amp; Libraires de Paris gt;

fera nbsp;nbsp;nbsp;la date d’icelles; que rimprefllon defdits ouvrages

bciüXc’^ ^ns notre Royaume amp; non ailleurs, en bon papier amp; ^r»fteres, coofermément aux Réglements de la Librairie,

Scnotammêftt k ce!ui du is Avril lylj j a jgt;eitie de dechéancê dj préfent Privilege; qu’avant de les expofer en vente, les manufcritsnbsp;qui auront fervi de copie a I’impreflion defdits Ouvrages, feront remitnbsp;dans Ie même état ou les approbations y auront été données , èsnbsp;inaihs de notre trés - cher amp; féal Chevalier Garde des Sceaux denbsp;France, Ie deur Hue deMiromÉnil; qu’il en fera enfuite remitnbsp;deux exemplaires dans notre Bibliotheque publique, un dans cellenbsp;de notre Chateau du Louvre, un dans celle de notre très-cher 8cnbsp;féal Chevalier Chancelier de France, Ie fieiir de MaUpEOU , 8c unnbsp;dans celle dudit fleur Hue de Miroménil , Ie tout a peine denbsp;nullité des Préfentes. Du content! defquelles vous MANDONS 8cnbsp;enjoignons de faire jouir ledit Expofant, 8c fes ayans caufe, plei-nement 8c paifiblement, fans fouftrir qu’il leut foit fait aucun trouble OU empêchement. Voulons que Ia'copie des Préfentes , quinbsp;fera imprimée tout au long au commencement ou a la fin defditsnbsp;Ouvrages, foit tenue pour duement fignifiée, 8c qu’aux copies colia-tionnées par 1’un de nos amés 8c féaux Confeillers-Secrétaires , foinbsp;foit ajoutée comme a 1’original. Commandons au premier notrenbsp;Huiflier ou Sergent fur ce requis, de faire pour l’exécution d’icellesnbsp;tous aéles requis 8c néceflaires, fans demander autre permilfion , 8cnbsp;nonobftant clameur de Haro, Charte Normande, Sc Lettres a cenbsp;contraires : Car tel eft notre plaifir. DonnÉ a Paris Ie trentiemenbsp;jour du inois d’Aoöt 1’an mil fept cent foixante-quinze, 8c de notrenbsp;regne Ie deuxieme. Par Ie Roi en fon Confeil.

Signé LE BEGUE.

Rcgifiré Jur Ie Regiftrc XX de la Chamhre Royale amp; Syndicale des Libra ires amp; Imprimeurs de Paris, t dy, fol. 6, conformément aunbsp;Reglement de tycj. A Paris ce ^ Septembre lyjp,

Signé SAILLANT, Syndic,

RECRÉATIONS

' ! '

S]

RECREATIONS

mathèmatiques

E T

PHYSIQUES.

PREMIERE PARTIE,

CoNTENANT IcsProblêmes les plus curieux amp; les Vérités les plus intérejfantes denbsp;U Amhmétique.

Les deiix alles du Mathématicien, difort Pla* ton, font rArithmétique amp; la Géoraétrle. Eanbsp;cffet, toutes les queftions des Matliematiques fenbsp;^éduifent a des determinations ¦ de rappoTts denbsp;«ombres ou de grandeur. On pourrolt mêroe dirc *nbsp;continuant la comparalfon del’ancien philofo-^ 1’Arltlimétique eft Taile droite du Ma-^uérnaticien ; car il eft inconteftable qus les deter-ininations géomérriques n’offriroient Ie plus fou-den de fatisfaifant d l’efprit, ft les rapportsnbsp;ainh déterminés ne pouvoient fe rédmre a des rap-lomenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A

s Récréations KÏATHÉMATIQUES. ports de nombre a nombre. Ceci jufiifie Tufagenbsp;OU 1’on eft, amp; que nous fuivons ici, de commen-cer par Tarithmetique.

Cette fcience ofFre un grand nombre de fpécu-lations amp; de recherches curieufes: dans la moiffon c]ue nous en avons faite, Sc que nous préfentonsnbsp;^u Lefteur Mathématicien , nous nous fommesnbsp;hornes a ce qui eft Ie plus propre a piquer la curio-fité de ceux qui ont Ie gout des mathéinatiques.

CHAPITRE PREMIER.

De notre Syjléme numérique, amp; des diverjes efpeces d’Arithmétiques.

IL n’eft perfonne qui n’ait reinarqué que toutes les nations connues comptent par périodes denbsp;dix, c’eft-a-dire, qu’après avoir compté les unitesnbsp;depuis I Jufqu’a dix, on recommence par ajouternbsp;des unites a une dixaine; que, parvenu a deuxnbsp;dixaines ou 20, on recommence a ajouter desnbsp;unites jufqu’a trente ou trok dixaines, Sc ainii denbsp;fuite jufqu’a cent ou dix dixaines ; que de dix foisnbsp;cent on a forme les mille, Scc. Cela eft-il nécef-faire , ou a-t-il été occafionné par quelque caufenbsp;phyfique, ou eft-ce fimplement un elFet du hafard ?

Pour peu qu’on réfléchifle fur eet accord una-nime, 1’on ne penfera point que ce foit 1’ouvrage du hafard. H eft non-feulement probable, maisnbsp;comme démontré, que ce fyftême tire fon originenbsp;de notre conformation phyfique. Tous les hommes ont dix doigts aux mains , a quelques-unsnbsp;prés, Seen très-petit nombre, qui, parun jeu denbsp;ia nature, font fexdigitaires, Or, les premiers homlt;

ARitH MitiQÜÉ. Chap. ï. ^ ïfïies om commence par compter fur leurs dolgtsvnbsp;Après les avoir épuifés en comptant les unites ,nbsp;il leur falloit en former un premier total, amp; re-commencer a compter paf les mêmes doigts , jul-qu’a ce qu’ils fuffent épuifés une feconde fois; puisnbsp;line troifieme, Scc, De-la l’orlgine des dixaines ,nbsp;qui, retenues elles-mêmes fur les doigts , n’ontnbsp;pas du aller au-dela de dix , fans obliger d’en former un nouveau total appellé centaine, amp;c; denbsp;dix centaines, Ie mille, amp;tc; amp; ainfi de fuite.

n fuit de-la une conféquence curieufe; c^eft que fi, au lieu de lo doigts, nous en avlons eu douze ,nbsp;notre fyftême de numeration auroit été différent.nbsp;Eneffet, au lieu de dire après lo, dix plus imnbsp;OU onze , dix plus deux ou douze , nous aurionsnbsp;monté par des noms fimples )ufqu’a douze; enfuitenbsp;noüs aurions compté par douze plus un, douze plusnbsp;deux , amp;:c , jufqu’a deux douzalnes; Ie cent eütnbsp;éte douze douzaines, Ie mille eüt été douZe foisnbsp;douze douzaines, amp;:c. Un peuple fexdigitaire au-»nbsp;roit sürement une arithmétique de cette efpecenbsp;amp; n’enferoit pas plus.mal, ou, pour mieux dire,nbsp;il jouirolt de divers avantages dont notre fyffêmenbsp;numérique eft privé.

Cela a engagé des philofophes a examiner les proprlétés de quelques autres fyftêmes de numeration. Le célebre Leibnitz a confidéré celui oü

'^11- ce qu'll appelle i aruiimcuquc uiucill... nbsp;nbsp;nbsp;ce

fyfiême arithmétique, on n*auroit que deux chif» , Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o; amp; les nombres s’y marqueroient ainfi:

Un. nbsp;nbsp;nbsp;t

lO

. nbsp;nbsp;nbsp;. lï

fiuatre. •••••*•**

A ij

4 Récréations Mathématiqües.

Cinq, ........... lOt

Six............no

Sept............in

Huir........ looo

Neuf............looi

Dix............loio

Onze. ...........ion

Oouze. ..... nbsp;nbsp;nbsp;..... noo

Treize. ..........noi

Quatorze. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nio

Quinze...........nn

Seize............loooo

Trente-deux........looooo

Soixante-quatre........loooooo

Deux mille trois cents foixante-

dix-neuf......looioiooion

Comme M. Leibnitz trouvoit, dans cette ma-niere d’exprimer les nombres, quelques avantages particuliers, il a donné, dans les Mémoires denbsp;JBcrün , Idioms i des anciens Mémoires) les regies pour pratiquer, dans cette efpece d’arithmé-tique , les operations ordinaires de Tarithmetiquenbsp;vulgaire. Mais il efl: aifé de voir que ce nouveaunbsp;fyftême a, quant a 1’ufage ordinaire, l’inconvé-nient d’exiger un trop grand nombre de carac-teres: ilen faudroit vingt pour exprimerun nombrenbsp;d’environ un million ; ce qui feroit extrêmementnbsp;incommode dans la pratique.

II ne faut pas, au refte, omettre iciune chofe cu-rieufe au tiijet de cette arithmétique binaire ; c’eft cju’elle donne l’explication d’un fymbole Chinois,nbsp;qui avoit fort tourmenté les fqavants en antiquitésnbsp;Chinoifes. II étoit queftion de certains caraéferesnbsp;révérés par les Chinois, amp; confiftants dans les dif-férenies combinaifons d’une petite Ugng entiere amp;c

ARITHMÉTIQUE. Chap. I. 5 d’une brlfée; caraéleres attribués a leur ancien em-pereurFohi. Le P. Bouvet, Jéfuite, célebre miffion-naire de la Chine , ayant été informé des idees denbsp;M. Leibnitz, remarqua que , li la ligne entiere re-préfente notre i, amp; la ligne brifée notre o, ces ca-rafteres ne font autre chofe que la fuite des nombresnbsp;exprimés par l’arithmétique binaire. II feroit fortnbsp;lingulier qu’une énigine Chinoife n’eüt trouvé fonnbsp;(Edipe qu’en Europe. Mais peut-être tout celaeft-il plus ingénieux que folide.

Mais fi Ton a bien fait de laiffer au nombre des fpéculations curieufes I’arithmétique binairenbsp;de Leibnitz, il n’en eft pas de même de l’arithmétique duodénaire ; de cette arithmétique qui, ainlinbsp;que nous l’avons dit plus haut, auroit eu lieu, ünbsp;nous euflions été fexdigitaires. En effet, elle eütnbsp;été tout auffi expéditive , amp; même un peu plus ,nbsp;que l’arithmétique aéfuelle : le nombre de carac-teres, qui n’eut été augmenté que de deux pournbsp;exprimer dix amp; onze , n’eut pas plus furchargé lanbsp;mémoire que celui des caraéferes aftuels; amp; il ennbsp;réfulteroit des avantages qui doivent faire regretternbsp;qu’elle n’ait pas été primitivement mife en ufage.

Cela feroit probablement arrivé , fi la philofo-phle eüt préfidé a eet établifiement. Car on eut d’abord vu que le nombre ciou^e eft, de tous lesnbsp;nombres, depuis i jufqu’a 2,0 , celui qui jouit denbsp;1’avantage d’etre a-la-fois le plus petit, amp; d’avoirnbsp;le plus grand nombre de divifeurs; car 12 a 4 di-vifeurs qui le partagent fans fraiftion , fqavoir 2 ,nbsp;3 , 4 amp; 6. Le nombre 18 a auffi a la vérité 4 divifeurs : mais , étant plus grand que 12, celui-cinbsp;niéritoit la préférence pour mefurer les périodes denbsp;numeration. Elles euffent eu alors l’avantagenbsp;de pouvoir être divifées, la premiere, d’un a dort»

Aüi

6 Recreations MathexMAtiques. ze, par 2 , 3,4, 6 ; la feconde, d’un a cent qita-rante-quatre , par 2,3, 4,6,1^, 9, 12, 16,nbsp;24, 36, 48 , 72; tandis que, dans l’ufage ordinaire, la premiere période d’un a 10 n’a quenbsp;deux divifeurs, 2 8c 5 ; la feconde n’a que 2,4,nbsp;5 , 10 , 20 , 25 , 50. On renc mtreroit par con-1’équent, dans la défignation des nombres, plusnbsp;rarement des fraftions.

Mais, ce qu’il y eüt eu fur-tout d’avantageux dans cette forte de numeration, c’eft qu’elle eutnbsp;introduit dans l’ufage les divifions 8c les fous-di-vifions des melures quelconques en progreffionnbsp;duodécimale. Ainfi, de même que, par hafard\nbsp;Ie pled fe divife en 12 poucés, Ie pouce en 12 li-gnes, la ligne en 12 points; la livre fe feroit di-vifée en 12 onces, l’once en 12 gros, Ie gros ennbsp;12 fcrupules OU autres parties dénommées commenbsp;on voudra; Ie jour eut été divifé en 12 portionsnbsp;appellees heures, fi l’on veut; l’heure en 12 autres parties qui auroient valu 10 minutes; chacunenbsp;de ces parties en 12 autres, 8c ainfi fucceffive-»nbsp;ment. II en eut été de même des mefures de con-tenance, amp;c, 8cc.

On demandera quels avantages 11 y eiit eu dans cette divifion ? Le voici. On fqait que tous lesnbsp;jours, quand 11 efl: quefiion de partager une me-fure en 3 , en 4 parties , en 6 , on ne trouve pasnbsp;un ilombre entier de mefures de 1’efpece inférieure , OU c’efl: uniquement par hafard. Ainfi, unnbsp;tiers , un 6® de livre ne donrte pas un nombrenbsp;jufte d’onces; un tiers de livre numéraire ne donnenbsp;pas un nombre entier de fous. II en eft de mêmenbsp;du muid 8c de la plupart des autres mefures desnbsp;liquides, 8cc ; on pourrolt en trouver bien d’au-tres exemples, Ces inconvénients, qui compU-»

Arithmétique. Chap, L 7 iquent Ie calcul, n’auroient point lieu, fi l’on eütnbsp;fuivi par-tout la progreffion duodécimale.

Le fecond avantage réfulteroit de la combi-naifon de l’arithmétique duodénaire avec cette progreffion duodécimale. Un nombre de livres,nbsp;de fous, de deniers ; un nombre de pieds, denbsp;pouces, de lignes ; ou bien de livres, d’onces, amp;c ,nbsp;étant donné , feroit exprimé comme le font, dansnbsp;l’arithmétique ufuelle, les nombres entiers amp; denbsp;même efpece. Par exemple , en fuppofant que lanbsp;toife fut de 12 pieds , comme il faudroit dans cenbsp;fyftême de numeration; fi l’on avoit 9 toifes 5 piedsnbsp;3 pouces 8 lignes a exprimer , il ne faudroit pasnbsp;écrire 9' / 3’’ 8‘, mais fimplement 9538 ;nbsp;toutes les fois qu’on auroit un nombre femblable,nbsp;exprimant une dimenfion en toifes, pieds, pouces, amp;c , le premier chiffre a droite exprimeroitnbsp;des lignes, le fecond des pouces , le troifiemenbsp;des pieds , le quatrieme des toifes, le cinquiemenbsp;des douzaines de toifes , qu’on pourroit expriraernbsp;par un nom fimple, par exemple, par le nom denbsp;corde, amp;c. Enfin, lorfqu’il feroit queftion d’a-jouter , de fouftraire, de multiplier ou divifernbsp;de femblables grandeurs entr’elles, on opéreroitnbsp;comme fur des nombres entiers ; amp; ce qui ennbsp;réfulteroit défigneroit de même, par .l’ordre desnbsp;chiffres , des lignes , pouces , pieds , amp;c.

II efi aifé de fentir combien cela feroit commode dans la pratique. Auffi un Mathématicien Hollandois (Stévin) avoit-il propofé d’adapternbsp;les divifions amp; fubdivifions des mefures a notrenbsp;fyftême de numération aékiel, en les faifant dé-croitre en progreffion décimale. Ainfi , la toifenbsp;®öt été de 10 pieds , le pied de 10 pouces, lenbsp;Pouce de I o lignes, amp;cc. Mais il ne faifoit pas atten«^

-A iv ¦

'S RêCRÉATIONS MaTHÉMATIQÜES.

tion a 1’inconvénient de fe priver de la commo-dité de pouvoir divifer ces inefures par 3,4,6, fans fraftion; amp; c’en eft un confidérable.

Dans Ie fyftême de l’arithmétique duodéci-malc , il eft évident que les 9 premiers nombres .pourroient s’exprimer, comme a l’ordinaire , parnbsp;les 9 carafteres/connus, i, 1, 3, amp;c ; mais,nbsp;comme la période ne doit fe terminer qu’a douze ,nbsp;il eft néceflaire d’exprimer dix amp; onze par desnbsp;carafteres fimples. Nous choifirons ceux-ci o pournbsp;exprimer dix , amp; pour exprimer onze; alors Unbsp;eft évident que 10 exprimera douze,nbsp;iJ r défignera treize.

quatorze. quinze.nbsp;feize.nbsp;dix-fept.nbsp;dix-huit.nbsp;dix-neuf.nbsp;vlngt.nbsp;vingt-un.nbsp;vingt-deux,nbsp;vingt-trois.nbsp;vlngt-quatre.nbsp;trente-fix.nbsp;quarante-huit,nbsp;foixante-douze.nbsp;feront cent quarante-quatre.'

deux cents quatre-vingt-huit. quatre cents trente-deux.nbsp;mil fept cents vingt-huit.nbsp;trois mille quatre cents cinquante-lix.nbsp;vingt mille fept cents trente-fix.nbsp;deux cents quarante-huit mille huitnbsp;»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cents trente-deux.

ArITHM ÊTIQUE. Chap. 1: nbsp;nbsp;nbsp;9

Ainfi, le nombre défigné par ces chifFres lt;p945 feroit dix-huit mille fix cents vingt-fept; car ipOOOnbsp;eft dix-fept mille deux cents quatre-vingts , 900nbsp;eft douze cents quatre-vingt-leize40 eft qua-rante-liuit, amp; 3 , trois; nombres qui, joints en-femble , font celui ci-delTus,

II feroit facile de. tracer les regies de cette nou^' veile arithmétique, a Vinflar de notre arithmé-tique vulgaire; mais, comme il n’jr a pas d’ap-parence que ce nouveau calcul folt jamais admisnbsp;dans la fociété , nous nous bornerons ici a ce quenbsp;nous en avons déja dit. Nous ajouterons feule-inent que nous avons vu un livre imprime en Al-lemagne, ou les 4 regies ordinaires de I’arithme-tique vulgaire étoient expliquées dans tons lesnbsp;fyftdmes d’arithmetique binaire , ternaire, qua-ternaire , amp;c , jufqu’a la duodecimale inclufi-vement.

C H A P I T R E IL

Dc quelques Manures ahrégées de faire les operations arithmétiques.

Manure de foujlraire a-la-fois plujieurs nomhres de plufturs autres nombres donnés , fansnbsp;faire les additions partielles.

UN example fuffira pour faire concevoir cette operation. On propofe d’öter toutes les fom-au-deftbus de la ligne en B , de toutes cellesnbsp;aU'defPys en A. Pour cet effet,on commenceranbsp;fgt;ar ajouter les nombres de la premiere colonne

10 nbsp;nbsp;nbsp;Récréations Mathématiqües.nbsp;d’en-bas a droite, comme a l’ordinaire; ils fontnbsp;14, qu’on ótera de la plus prochalne dixaine au-

deffus , fqavoir, de lo. Le refte eft 6 que vous ajouterez a la colonnenbsp;correfpondante de deffus en A; lanbsp;fomme totale fera 13 : vous écri-rez 3 au-deflbus; amp;, paree qu’ily anbsp;ici deux dixaines, comme aupara-vant, il n’y a rien a retenir. Ajou-tez de la méme faqon les nombresnbsp;de la colonne fuivante d’en-bas :nbsp;leur fomme eft 9 , qui, étant ótéenbsp;de la plus proche dixaine fupérieu-re , laifte r. Ajoutez done i a la feconde colonnenbsp;des nombres d’en-haut, dont la fomme eft 20 ;nbsp;laquelle étant ótée de 20 , le reftant eft o, Ainli

11 nbsp;nbsp;nbsp;faudra écrire o au-defldus ; amp;, paree qu’il y anbsp;ici deux dixaines, tandis que, dans la colonnenbsp;d’en-bas, il n’y en avoit qu’une, il faut retenirnbsp;la difference i , qu’on ótera de la colonne fuivante d’en-bas, paree qu’il y avoit plus de dixaines dans la colonne des nombres A, que dans cellenbsp;des nombres B ; car il faudroit l’ajouter ft c’étoitnbsp;le contraire. Enfin, quand iParrivera que cettenbsp;difference ne pourra être ótée de la colonne d’en-bas, pour n’y avoir plus de figures fignificatives,nbsp;comme il arrive ici a la 3® colonne, on l’ajouteranbsp;a la colonne d’en haut , amp; l’on écrira toute lanbsp;fomme au-deflbus de la Hgne; enforte que, dansnbsp;eet exemple , on aura 162003 pour le refte de lanbsp;fouftraélion.

§. 11.

Multiplication par Us doigts.

Pour multiplier, par exemple, 9 par 8; prenes

Arithmétique; Chap. IT, tl'

d’abord la dilFérence de 9 a 10, qui eft I ; amp; ayant levé les 10 doigts des deux mains, abaif-fez I doigf d’une main, par example, la gauche.nbsp;Prenez auffi la difference de 8 a 10, qui eft 2,nbsp;abaiffez 2 doigts de la main droite.

Prefentement, ajoutez les doigts leves , qui font ici 7 ; ce fera le nombre des dixaines du produit,nbsp;Multipliez le nombre des doigts baiffes d’une mainnbsp;par celui des doigts baiffes del’autre; ce produit,nbsp;qui eft 2 , fera le nombre des unites du produit.nbsp;Ainfi , on trouvera que 9 par 8 fait 72.

On voit par-la qu’il faut prendre la difference de I o a chacun des nombres donnés ; que le produit de ces différences défignées par les doigtsnbsp;baiffes de chaquemain, donne les unites du produit ; amp; que la fomme des doigts qui reftent le-vés, eft celle des dixaines de ce même produit.

II eft aifé de voir que ceci eft plus curieux qu’u-tlle ; car on ne peut multiplier de cette maniere que des nombres au-deffus de dix; amp; tout le mondenbsp;a dans la mémoire ces premiers prodults, fansnbsp;lefquels on feroit arrêté a chaque multiplicationnbsp;complexe.

§. in-

Dc quelques Multiplications amp; Divijions abrégèes.

I. II n’eft perfonne qui ne fqache que, pour multiplier un nombre par 10, 11 fuffit de lui ajou-ter un zéro; pour le multiplier par 100, de luinbsp;eii ajouter deux , 8tc.

D’oii il fuit que , pour multiplier par y, il n’y

qu’a le divifer par deux, en fuppofant un zero ^jouté ala fin. Ainfi, pour multiplier 127 par ^ ,nbsp;fuppofera un zéro ajouté ^ ce qui donneroit

12 Récréations Mathématiques.

3270, qu’on divifera par 2 : Ie quotient Ó35; (era Ie produit cherché.

De méme, pour multiplier un nombre par 25 il faudroit Ie concevoir multiplié par 100, ounbsp;augmenté de deux zéro, amp; Ie divifer par 4. Ainfinbsp;1^7, multiplié par 25, feroit 3173 ; carnbsp;augmenté de deux zéro, donne 12700.nbsp;vifépar4, produit 3175.

Pareillement, pour multiplier par 125, il fufB-roit d’ajouter ou concevoir ajoutés trois zéro aa nombre a multiplier, amp; de divifer par 8, Les rai-fons de ces opérations font fi aifées a apperce-voir, que ce feroit témoigner au lefteur bien peunbsp;de confiance en fon intelligence , que de lesnbsp;expofer.

II. nbsp;nbsp;nbsp;La multiplication d’im nombre par n fenbsp;réduit a une fimple addition; car il eft aifé denbsp;voir que multiplier un nombre par 11, ce n’eftnbsp;autre chofe que l’ajouter a fon décuple, c’eft-a-dire a lui-même , fuivi d'un zéro.

Soit, par exemple, Ie nombre . . 7 i 67585

Pour Ie multiplier par 11, on dira 3 8st; o ---

font 3 : on écrira 3 au rang des unités ; nbsp;nbsp;nbsp;7434^5'

enfuite 8 amp; 3 font 11 ; on écrira i au rang des dixaines, en retenant i; puis 5 amp; 8 , amp; i de re-tenu font 14: on écrira 4 au 3® rang , en retenant I. Ce qu’on vient de dire fuffit pour indi-quer la fuite de l’opération qui donnera 743413.

On pourroit pareillement multiplier Ie nombre ci-defllis par n i, en prenant d’abord Ie premiernbsp;chiffre des unités 3 , enfuite la fomme de 8 amp; 3 ,nbsp;après cela celle de 5, 8 amp; 3 , puis celle de 7 , 5nbsp;amp; 8 , amp; ainfi de fuite.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Nous nous bornons a remarquer encorenbsp;que, pour multiplier un nombre quelconque par 9,,

Arithmétique. Chap. II. ïj'

peut employer la limple fouftraftion. Prenons pour exemple Ie même nombre que ci-deffus.nbsp;Pour Ie multiplier par 9 , on n’a qü’a ^ onbsp;ajouter par la penfée un zéro a la fin dunbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Rombre a multiplier, amp; enfuite fouf- 608x47 traire chaque chifFre de celui qui Ie pré- 'nbsp;cede, en commenqant paria droite; ainfi, l’onnbsp;otera 3 de zéro ou 10 , ce qui donnera 7; enfuitenbsp;8 de 2 OU 12, ce qui donnera 4; on continueranbsp;ainli de fuite , en ayant attention aux unites em-pruntées pour augmenter de 10 la valeur des cbif-fres trop petits pour que la fouftraftion puiffe fenbsp;faire , amp; l’on trouvera 608247.

II eft aifé d’appercevoir la raifon de ces operations. Car il eft évident que , dans la premiere, on ne fait qu’ajouter Ie nombre lui-même a fonnbsp;décuple; amp; , clans celle-ci, on 1’óte de ce mêmenbsp;décuple. II fuffit enfin de faire 1’opération d’unenbsp;maniere développée, pour en con.cevoir Ie procédénbsp;amp; la raifon.

On peut employer des artifices femblables pour certains cas de divifion, par exemple, pour di-vifer un nombre par telle puifl'ance qu’on voudranbsp;de 5. Car fuppofons qu’on veuille divilèr 128nbsp;par ^ , il faut Ie doubler, ce qui donnera 256;nbsp;puis retrancher Ie dernier chiffre qui repréfenteranbsp;des décimales : ainfi , l’on aura pour quotientnbsp;23,6 , ou 25 Pour divifer Ie même nombre parnbsp;25 , il faudra Ie cpiadrupler, ce qui donnera 512,nbsp;amp; retrancher les deux derniers chilFres qui ferontnbsp;des décimales; vous aurez ^ amp; fsi. Pour divifernbsp;par 125 , il faudra oftupler Ie dividende, amp; re-5''ancher enfuite 3 chiffres, amp; ainfi de fuite. Mais,nbsp;d faut l’avouer, de pareils abrégés de calcul nenbsp;•^suent pas loin.

B-ÉCREATIONS MATHÉMATlQÜESi

Multiplication 6- Divifion abrégées par les batons arithmétiqucs de Neper.

Quaiid on a de grands nombres a multiplier les uns par les autres , il efl: aifé de voir que l’onnbsp;opéreroit avec beaucoup de rapidité, li l’on avoitnbsp;préliminairement une efpece de tarif du nombrenbsp;a multiplier, doublé, triple , quadruple , amp; aindnbsp;jul'qu’au noncuple inclufivement. Or , il efl: biennbsp;aifé de fe procurer ce tarif par la Ample addition,nbsp;puifqu’il n’y a qu’a ajouterle nombre a multipliernbsp;a lui-même , amp; on aura Ie double; puis l’ajouternbsp;de nouveau a ce double, amp; l’on aura Ie triple ,nbsp;amp; ainfi de fuite. Mais, a moins que ce nombrenbsp;a multiplier ne revint bien fréquemment, ce fe-roit fe procurer un abrégé de calcul par une operation beaucoup plus longue que celle qu’on au-roit cherché a abréger.

Le fameux Neper, dont routes les recherches paroiflent avoir eu pour objet d’abréger les operations de l’arithmétlque amp; de la trigonometrie,nbsp;ce qui nous a valu l’ingénieufe amp; a jamais memorable invention des logarithmes , a imaginenbsp;un moyen de fe former au befoin ce tarif dansnbsp;le moment , par le moyen de certaines baguettesnbsp;qu’il a décrites dans fon ouvrage intitule Rhab^nbsp;dologia , imprimé a Edimboitrg en 1617. Ennbsp;voici la conflriiftion.

¦ On préparera plufleurs bandes de carton , ou de cuivre, qui aient en longueur environ 9 foisnbsp;leur largeur, amp; que l’on divifera en 9 quarrésnbsp;PI. i.égaux {Planche 1 , fig. ' ). On infcrira en tête,nbsp;% !• c’eft-a-dire dans le premier quarré de chacune ,nbsp;un des nombres de la fuite naturelle, 1,2,3,

AaiTHMiTIQUE. Chap. II.

4 , See , jufqu’a 9 inclufivement. II faudra divifer enfuite chacun des quarrés inférieurs en deux, pacnbsp;une diagonale tirée de l’angle fupérieur a droite,nbsp;d Tangle inférieur a gauche ; après quoi, Tonnbsp;inferira dans chacune de ces cafes par ordre ennbsp;defcendant, Ie double , Ie triple , Ie quadruple dunbsp;nombre porté en tête, avec cette attention que ,nbsp;quand ce multiple ne fera que d’un chifFre, il faudra Ie placer dans Ie triangle Inférieur; amp;, quandnbsp;il fera compofé de deux, on placera celuides uni-tés dans Ie triangle inférieur, amp;C celui des dixainesnbsp;dans Ie fupérieur , alnfi qu’on voit dans lanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;PI. r,

premiere. II faudra avoir une de ces bandes dontfig. i-les cafes nefoient point divifées, amp; dans lefquelles feront inferits fimplement les nombres naturels,nbsp;depuis I jufqu’a 9. 11 fera auffi a propös d’avoirnbsp;plufieurs de ces bandes pour cliaque chiffre.

Cette préparation faite , fuppofons qu’on alt a multiplier Ie nombre 6785399; on arrangera Tunenbsp;a cöté de Tautre les 7 bandes portant en tête lesnbsp;nombres 6,7, 8, amp;c. amp; a cóté d’elles en premier rang celles qui portent les clilfFres llmples,nbsp;comme on voit dans la figure feconde ; au moyen fig. 2,nbsp;de quoi, Ton aura Ie tarif de tous les multiplesnbsp;du nombre a multiplier; amp; il ne reftera prefquenbsp;que la pelne de les tranferire. Par exemple , onnbsp;aura celui de 6, en écrivant d’abord a gauche Ienbsp;chiffre 4 qui eft celui des unites, amp; ajoutant enfuite les chiffres 5 Sc 4, places, Ie premier dans Ienbsp;triangle fupérieur de la cafe 54, Ie fecond dansnbsp;Tinférieur de la cafe a cóté , en reculant vers lanbsp;gauche, Sc ainfi fucceffivement, fuivant les regies ordinaires de Taddition. Ce multiple fe trou-quot;'^era 001^40712394.

Le relde de Topération fera Ie même que dans

la multiplication ordinaire. Le multiplicateur amp; le nombre anbsp;multiplier étant écrits I’un fousnbsp;l’autre,comme on a coutume denbsp;faire ; comme le premier chifFrenbsp;du multiplicateur eft 8, onpren-dra le nombre qui eft dans lenbsp;rang horizontal a cote de 8nbsp;qu’on trouve, par la Ample addition , être 54283 191; on ^7°93 ^44^5^^^nbsp;I’ecrira. On prendra enfuite celui qui eft a cóténbsp;de 3 , amp; on I’ecrira en retrogradant d’une place ;nbsp;amp; ainfi des autres. jQn ajoutera enfuite tons cesnbsp;produits partiaux comme a 1’ordinaire, amp;c Tonnbsp;aura le produit total qu’on yoit ci-contre.

On peut employer ce rneme artifice pour abré-ger la divifion, fur-tout lorfqu’on a de grands nom-bres a clivifer frequemmentparun rneme divifeur. Qu’on ait, par exemple , le nombre 1492991 4nbsp;diviler par 432, amp; que, dans une fuite d’opera-tions, ce rneme divifeur doive fe prefenter fou-vent, on commencera a fe former, par le moyennbsp;decrit plus haut, le tarif des multiples de 432 ; cenbsp;qui n’exigera prefque qu’une fimple tranfcription ,nbsp;comme on voit ci-deflbus a gauche.

1491991

1296

1969 1728nbsp;2419nbsp;2160

2592 2^92

ARITttMÉTIQUE. Chap. II. I7 Cela fait , on verra d’abord qüe, puifcjue 432.nbsp;Heft point compris dans les trois premiers chiffresnbsp;du dividende, ce doit être un multiple de ce nom-bre qui fera compris dans les quatre premiers,nbsp;fqavoir, 1491. Pour Ie trouver, il fuffira de jetternbsp;les yeux fnr la table, amp; Pon verra que Ie multiplenbsp;de 43 z Ie plus procbainement moindre, eft 1296:nbsp;on écrira done 3 au quotient, amp; liqó fous 1492;nbsp;on fera la fouftraidion, amp;c il reftera 196 ; on abaif-fera Ie chltfre fuivant du dividende , ce qui don-Hera 1969. L’infpeftion feule de la table feranbsp;encore connoitre que 1728 eft Ie plus grand multiple ck 432 qui foit contenu dans 1969. Ainftnbsp;Pon écrira 4 au quotient, amp; Pon fera la fouftraftionnbsp;comme-ci-deffus. On continuera ainfi Popération,nbsp;amp; P bn trouvera pour les chiffres fuivants du quotient , 3 amp; lt;5; amp; comme Ie dernier multiple nenbsp;laifte aucun refte , la divifion fera exadie amp; par-faite.

ü JE M ^ n lt;2 js,

On ne s’eft pas borné a taclier de fiinplilier les operations de Parithmétique par ces voies; on anbsp;tenté cpielque chofe de plus, amp; de réduire a unenbsp;pure méchanique routes les operations de Parithmétique, Le célebre Pafcal a Ie premier imaginenbsp;«ne machine de cette efpece , dont on volt !anbsp;defcription dans le Recueil des Machines préfentéesnbsp;aPAcadémie,T.IV. Le chevalier Morland, fansnbsp;fqavoir probahlement ce que Pafcal avoit fait anbsp;Oet égard , publia en 1-673nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;machines

atithmétiques, Pime pour Paddition amp; la fouftrac-tion, amp; Pautre pour la multiplication, fans néan-’tiolns dévoiler la conftruétion intérieiire. Le ce-lehre Leibnitz s’occupa du même objet vers le

Tome J. nbsp;nbsp;nbsp;B

Kecuéations Mathématiques.

mcme temps , amp; enfulte Ie marquis Poleni. On volt la defcription de leurs machines arithméti-ques dans Ie Thcatrum arithm. de M. Leupold,nbsp;jmprimé en 172.7, avec celle de M. Leupold lui-même, amp; dans les Mifcdl. Berol. de 1709. Onnbsp;a auffi VAbaqiie rabdologiqui de M. Perrault,nbsp;dans Ie recueil de fes machines, donné en 1700.nbsp;II fert pour i’addition , la fouftraftion Sc la multiplication. Le Recueil des Machines préfentées anbsp;i’Académieroyale des Sciences, offreencore unenbsp;machine arithmétique de M. Lefpine , Sc troisnbsp;de M. de Boiftiffandeau. Enfin M. Gerften ,profef-feur de mathématiques de Gieffen , a donné ennbsp;1735, a la Société royale de Londres, Ia defcription trés - détaillée de fa machine propre. Nousnbsp;nous bornerons ici a ces indications. Cependantnbsp;nous croyons faire plaifir aux curieux d’indiquer ,nbsp;dans le paragraphe qui fuit , une arithmétiquenbsp;ingénieufe , inventée par M. Saunderfon , célebrenbsp;ïuathématlcien, aveugle dés fon enfance.

§. V.

Arithmétique palpable , ou mariiere de pratlquer rArihniitique d Viifage des aveugles, ou dansnbsp;ïobfcurité.

Ceci paroitra fans doute au premier abord un paradoxe, mais ce n’en eft pas moins une réalité;nbsp;amp; cette arithmétique étoit pratiquée par le fameuxnbsp;dofteur Saunderfon, devenu aveugle a 1’age d’unnbsp;au; ce c[ui ne 1’empêcha pas de faire des progrèsnbsp;profonds dans les mathématiques , Sc de remplirnbsp;avec 1’admiration de tout le monde une chairenbsp;PI. 1. bis, dans l’univerfité de Cambridge,nbsp;rig. I. Soit un quarré A B C D, divifé en quatre autres

ARITHMÉTIQUE, Chap. 11. nbsp;nbsp;nbsp;19

^uarr^s par deux lignes paralleles aux cótés, lef-quelles s’entrecoupent au centre. Ces deux lignes donnent encore, avec les cötés du quarré , quatrenbsp;interfeftions; ce qui , joint aux quatre angles dunbsp;quarré primitif, donne neuf points. Que chacuiinbsp;de ces points préfente un trou dans lequel onnbsp;puiffe ficher ou une épingle, ou une cheville: ilnbsp;eft évident qu’on aura neuf places diftinftes pournbsp;ies neuf chiffres fimples amp; fignificatifs de notre ari-thinétique, amp; il n’y aura qu’a convenir d’un ordrenbsp;dans lequel on comptera ces points ou places denbsp;1’épingle ou cheville mobile. Ainfi, pour marquernbsp;ï , on la placera au centre ; pour lignifier 1, on lanbsp;mettra immédiatement au deffus du centre en mon-tant; a Tangle rupérieur a droite, pour fignifier 3 ;nbsp;Sc ainfi de fuite , comme Ie marquent les nombresnbsp;appofés a chacun de ces points.

Mais il y a un caraftere qui joue un très-grand role dans notre arithmétique, fqavoir, Ie zéro. IInbsp;y auroit un parti fort fimple a prendre, celui denbsp;laifler toutes les places vuides, Ie zéro feroit figni-fié par-la; toutefois Saunderfon préféroit de placernbsp;dans la cafe du milieu une épingle a grofietête:nbsp;ilTylaifibif même, a moins qu’ayant Tunité a ex-primer , il ne fut oblige de la remplacer par unenbsp;épingle a petite tête. II en réfultoit pour lui Ta-vantage de mieux guider fes mains, amp; de reconnoitre plus facilement, par la pofition des épinglesnbsp;a petite tête a Tégard de la grofle épingle centrale,nbsp;ce que ces premieres fignifioient. On dolt s’y tenir,nbsp;car Saunderfon avoit sürement choifi Ie moyen Ienbsp;plus fignificatif a fes doigts.

Nousvenons de voir comment on peut exprimer un nombre fimple ; rien de fi facile. II ne Tefi: pasnbsp;Juoius d’èxprimer un nombre compofé ; car , fup-

Bij

2,0 Récréations Mathématiques.

pofons plufieiirs qiiarrés tets que Ie precedent, rangés fiir une même Hgne, amp; féparés par un petit intervalle, pour pouvoir les diftinguer facilementnbsp;par Ie taél: il ne faiit qu’étre au fait de l’arithmé-tique vulgaire , pour voir que Ie premier quarré anbsp;droite fervira a exprimer les unites ; Ie fuivant,nbsp;en reculant vers la gauche, fervira aux dixaiiies; Ienbsp;PI. 1 bis ttoifieme aux centaines , tkc. Ainfi , dans la fig. 2,nbsp;tig. 2.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' les cint[ quarrés garnis comme Ton voit, repréfen-

teront Ie noinbre 54023.

Ayez enfin une tablette divifée en pliifieurs bandes'horizon tales , dont chacune portera fept oii hult puarrés feinblables , fuivant Ie befoin ; quenbsp;ces bandes foient féparées par un intervalle con-venable pour les mieux diftinguer; enfin, que tousnbsp;ies •('[uarrés du même ordre, dans chacune de cesnbsp;bandes , foient tellement efpacés qu’ils fe répon-4ent perpehdiculairement les uns aux autres; vousnbsp;pourrez , par Ie moyen de cette machine, fairenbsp;les diverfes operations d’arithmétique. On s’eftnbsp;borné ici a repréfenter une addition de quatrenbsp;sombres, êc leur fomme, fuivant les deux mail ieres.

Cette machine ingénieufe ne fervoit pas feule-ment a Saunderfon pour les operations de l’arith-métique ; il s’en ferv'oit auffi a repréfenter des ¦figures de geometrie, en placant lès épingles, Scnbsp;tendant des hlets de 1’une a 1’autre. Maïs en vollanbsp;afl’ez fur ce lujet. Ceux a qui ceci ne fuffiroit pas,nbsp;n’ont qu’a confulter l’Algebra de Saunderfon , tra-duite par M. de Joncourt en 1756 , Sc qui fe dé-bite chez Jombert; ou la traduftion des Elementsnbsp;abrégés de Wolf , oü cette arithmétique palpablenbsp;eft expliquée au long , amp; peut-étre pas plus clai-' rement qu’ici.

ArïTHMÉTIQUE, Chap. 11. zi

P R o B L Ê M E.

Miilïipliir lil. n f. tl den. par n l, n f. // lt;/.

3’ai vu propofer ce problème par un arithuiéti-cien jure. C’étoit Tépreuve a laquelle il mettoit la capacité d’un jeune hoinme qu’on lui annonqoltnbsp;comme pofledant bien raruhmétique. II avoir rai-fon , quoique peut-être il n’en fcatit pas la diffi-culté : car ce problême , indépendamment denbsp;l’erabarras qui réfiilte de la multiplication denbsp;quantités de diverfes efpeces amp; de leurs reductions , eft propre a éprouver 1’intelligence d’unnbsp;arithméticien.

On eüt pu en elFet peut-être embarrafler, par line queftion.fort fimple, celui qui propofoit cettenbsp;operation : c’eüt été en demandant quelle naturenbsp;de produit étoit celle de livres , fous amp; deniers ,nbsp;multiplies par des livres , fous amp; deniers. Nousnbsp;fqavons que celui d’une toife par une toife eft re-préfenté par une toife quarrée , parcequ’on eftnbsp;convenu en géométrie'd’appeller toife quarrée, lanbsp;furface quarrée ayant une toife de hauteur fur unenbsp;toife de bafe; amp; 6 toifes par 4 donnent 24 toifesnbsp;quarrées, parceque la furface reftangle ayant fixnbsp;foifes fur quatre , contient 24 toifes quarréesnbsp;comme Ie produit de 4 par 6 contient 24 unites.nbsp;Mais qui dira ce que c’eft que Ie produit d’un founbsp;par un fou , d’un fou par une livre , amp;c ?

La queftion confidérée fous eet afpeél eft done abfurde ; ce que ne fent pas Ie vulgaire des aritbrnbsp;métlciens,

On peut néanmoins la eonftd'érer fous divers points de vue qui la rendent fufceptible de folu-tion. Le premier eft de faire attention que la livre

B iij

49

La feconde maniere d’envilager la queftion eft celle-ci. Tout produit eftle quatrieme tenue d’unenbsp;proportion dont Ie premier tenue eft 1’unité , Scnbsp;dont les deux quantités a multiplier lont les deu-xieme Sc troifieme termes. Ainfl il n’eft queftionnbsp;que de fixer Ie genre d’unité qui doit être Ie premier terme de la proportion.

On peut dire, par exemple , fi une Hvre employee dans telle entreprifie a produit 11 1. 11 f. j I deniers , combien produiront n 1. r I fi i I deniers ? Alors Ie produit lera Ie même que cl-defifus ,nbsp;fqavoir 134 1. 9 f. 3 d..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de denier,

Mais cette même unite poutroit être i fou: car qui empêcheroit de former cette queftion: Si unnbsp;fou a produit 11 1, 11 f. 11 deniers, combien doi-vent produire 11 1. 11 ft 11 deniers ? Alors Ienbsp;produit lera 2689 1. 5 ft 4 d. amp; de denier.

Enfin cette unite pourroit être i denier , Sc Ie produit feroit alors 32271 L 4 ft i denier.

C H A P I T R E III.

De quelques Propriétés des Nombres^

IL ne fera pas ici queftion des propriétés des nombres qui occuperent tant les anciens, Scnbsp;dans lefquelles ils trouvoient tant de vertus myf-térieufes. Pour peu qu’on ftoit doué d’un efpritnbsp;dégagé de créduUté 3 on ne peut s’empêcher de

Arithmétique. Chap. UT. 15 Tire en voyant Ie bon chanoine de Cézene ^nbsp;Pierre Bungo, raffembler dans un volume in-4° ,nbsp;intitule de Myjleriis Ntimerorumtoutes les fottifes-tjue Nicomaque , Ptolémée , Porpbyre, amp; divers^nbsp;autres anciens, avoient puérilement débitées fur les^nbsp;nombres. Comment a-t-il pu entrer dans des ef-prits raifonnables, d’attribuer une énergie phyfiquamp;nbsp;a des êtres purement métaphyfiques ? Car les nombres ne font que pures appréhenlions de t’efprit rnbsp;conféquemment ils ne fqauroient avoir aucunenbsp;influence dans la nature.

II ne peut done y avoir que des bonnes-femmes OU des fots qui puiflent croire aux vertus des nombres. Si, de treize perfonnes affifes a la mêmenbsp;table , on a vu fréquemment en périr une dansnbsp;1’année , il y a encore bien plus de probabiliténbsp;«ju’il enpérlraune 111’on eft vingt-quatre.

I.

Le nombre 9 a cette propriété , que les chiffres qui compofent fes multiples, ajoutés enfemble, fontnbsp;toujours auffi un multiple de 9; enforte que lesnbsp;additionnant , amp; rejettant 9 toutes les fois quenbsp;la fomme furpaffe ce nombre, le refte eft toujoursnbsp;zéro. Cela fe remarque facilement dans les multiples de 9 , comme 18 , 27,36, amp;c. 8tc. ^

Cette obfervation eft utile pour reconnoitre ft un nombre eft divifible par 9: car toutes les foisnbsp;que les chiffres qui 1’expriment, étant ajoutés ensemble , font 9 ou un de fes multiples, on peutnbsp;ttre affuré que le nombre eft diviftble pat 9 , amp;nbsp;conféquemment par 3.

Mais cette propriété eft-elle unique ou particuliere au nombre 9? Non. Le nombre 3 a une propriété tout-a-fait femblable, Qu’on ajoute les

B iv

'14 Recreations Mathématiques. chiffres qui expriment un multiple quelcouque clenbsp;3 , on verra que leur fomme efl: pareillement tou-^ours multiple cle 3 ; amp; quand le nombre propofénbsp;ne fera pas un pared multiple, ce qu’on trouveranbsp;en bus de ce multiple en aclditionnant les chiffres ,nbsp;fera auffi ce dont le nombre propofé eut du étrenbsp;diminué, pour être divifible par trois fans rede.

On peut employer cette remarque pour reconnoitre , pour alnfi dire au premier coup d’osil, fi une fomme propofee eft payable en ecus , fansnbsp;lefte ; car ft cette fomme eft telle, que les chiffresnbsp;qul 1’exprlment, ajoutes enfemble , faiTent 3 ounbsp;un multiple de 3 , elle fera payable fans refte ennbsp;ecus, fqavoir de fix livres ft elle eft paire , amp; denbsp;trois livres ft elle eft impaire. Si les nombres cjuinbsp;expriment la fomme enqueftion, forment par leurnbsp;addition un nombre qui excede 3 ou un multiplenbsp;de 3 , ce dont il excedera ce multiple fera le nombre cle livres en fus, qu’il faudra ajouter aux écus.nbsp;Par exemple , foit propofee la fomme de 1343 livres : la fomme des chiffres 1,3,4,35 faifant 11,nbsp;ce qui furpaffe cle a le plus prochain multiple clenbsp;3 , on pourra affurer que , pour payer cette fomme,nbsp;il faudra un certain nombre d’ecus de trois livresnbsp;2c quarante fous ; car, otant 2 , le refte eft; 1341 ,nbsp;qul eft payable en ecus cle trois livres, ainfi qu’ilnbsp;eft aifé de s’en affurer.

De mdme on trouvera que la fomme 1327 eft payable en ecus de fix livres avec vingt fous: carnbsp;ces quatre chiffres font 13 , qui excedent 12 de i ;nbsp;cir, ètant I cle 1327, reftent 1326, nombre quinbsp;eft pair, amp; dont les chiffres faifant 12., multiplenbsp;de.3 , indiquent que la fomme eft payable en ecusnbsp;de fix livres. En effet, 1316 livres font Z2i écusnbsp;de fix Uvres.

Arithmétique. Chap. III. ay Nous ne devons pas omettre ici une obfervationnbsp;très-ingénieufe de 1’auteiir de I’Hiftoire de FAca-démie des Sciences (année 172.6) ; c'eft que, finbsp;nous eullions adopte un fyfterne de numerationnbsp;different de celui qui eft en ufage , par exemple ,nbsp;celui de la progreffion duodecupie , nous verrionsnbsp;le nombre onze , ou en general i’avant-dernier denbsp;la période , )ouir de la même propriété dont jouitnbsp;le nombre neuf dans le {yfteme aftuel de numeration. Prenons en effet un multiple de on:^,nbsp;comme neuf cents cinquante-fept; exprimons-lesnbsp;en chiffres fuivant ce fyftdme; ce fera 7^5 ; ornbsp;7 amp; font dix-fept, amp; 5 font vingt-deux , qui

eft un multiple de onze.

Nous n’entreprendrons pas id de demontrer comment cette propriété eft , pour ainfi dire ,nbsp;attachee a Favant-dernier nombre de la periodenbsp;adoptee pour la numeration; cela nous engageroitnbsp;dans une analyfe un pen trop comphquee. Nousnbsp;laiflons le lefteur s’exercer, s’ii le juge a propos ,

fur ce fu)et.

II.

Tout nombre quarre finit neceflairement par un de ces cinq chiffres, i, 4, 5,6, 9 ; ou par desnbsp;zéro en nombre pair , precedes de 1’un de cesnbsp;chiffres, Cela eft aife a demontrer, amp; utile pournbsp;^¦econnoitre quand un nombre n’eft pas quarré.nbsp;Nous difons pour reconnoitre quand un nombrenbsp;^’eft pas quarre ; car, quoiqu’un nombre finiftenbsp;lt;^omme on vient de dire , il n’eft cependant pasnbsp;toujours un quarré parfait; mais du moins , quandnbsp;ft ne Unit pas de cette maniere, on eft sur qu’dnbsp;1’eft pas; ce qui évite des tentatives inutiles.nbsp;Quant aux nombxes cubes , Us peuvent fiuft PW

i6 Recreations Mathématiqués-

tous les nombres fans exception ; mars s’ils fe ter-minent par des zéro , il faut qu’ils foient au nom-bre de trois , ou fiic, ou neuf, amp;c.

111.

Tout nombre quarré ou eft divifible par trois , OU Ie devient étant dlminué de Turiite. li eft facilenbsp;d’en faire l’épreuve fur tel quarré qu’on voudra.nbsp;Ainfi 4 moins i, 16 moins i , 2.5 moins i , 49nbsp;moins ï , izi moins un, amp;c. font divifibles parnbsp;3; amp; ainfi des autres : ce qu’on peut démontrernbsp;direftement.

Tout quarré eft encore divifible par quatre » ovt Ie devient étant diminué de l’unité, II eft égale-ment facile de 1’éprouver.

Tout quarré eft auffi divifible par cinq, ou Ie devient étant aiigmenté ou diminué de l’unité; cenbsp;qtfon peut égalenient démontrer. Ainfi 36—1,49nbsp;-f-r, 64-j- I , 81 — 1, 6fc. font divifibles par 5.

Tout quarré impair eft un multiple de 8 , aug-menté de l’unité. On en a des exemples dans 9 , 25 , 49, 81, amp;c. defquels étant i, Ie refte eftnbsp;divifible par 8.

IV.

Tout nombre eft ou quarré, ou divifible en deux, ou trois, ou quatre quarrés. Ainfi 30 eftnbsp;égal ^ 15 -f- 4 I; 31 = 25 4-4 4-1 1 ; 33 =nbsp;16 4* i64~tjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 ^ ft*

25; 4- I 4-1. ^

J’ajouteral iel, par anticipation, quoiqu’on ne fgache pas encore ce que c’eft que nombre triangulaire , pentagone, amp;c. que

Tout nombre eft ou triangulaire, ou compofé de deux OU trois trianguUires,

Arithmétiqve, Chap. III. 2.7 II eft ou pentagoiie, ou compofé de deux ^ ounbsp;trols , ou quatre , ou cinq pentagones; amp; ainli desnbsp;autres.

J’ajouterai enfin que tout quarre pair, hors la premier i , eft refolubleau moins en quatre quarresnbsp;egaux ; amp; que tout quarre impair 1’eft au raoinsnbsp;^n trois, s’il ne I’eft en deux. Ainfi 81 — 364-36nbsp; 9 ; izi=8i-f 36-f 4; 169= i44 2'5; 615nbsp;400 4quot; Ï 44 4quot; 81.

V.

Toute puiffance de cinq ou de fix , finit ne'cef-fairement par cinq ou par fix.

VI.

Si on prend deux nombres quelconques, 1’un des deux, ou leur fomme, ou leur difference, eftnbsp;neceffairement divifible par trols. Soient prls lesnbsp;nombres 2.0 amp;c 17; aucun d’eux, ni leur fommenbsp;37, n’étant pas divifible par 3, leur difference I’eft,nbsp;car elle eft trois.

II eft aifé de demontrer que cela doit arriver neceflairement , quels que foient les nombresnbsp;qu’on prendra.

VII.

Si deux nombres font tels, que leurs quarres ^joutés enfemble faftent un quarre , le produit denbsp;deux nombres eft divifible par fix.

Tels font, pour en donner un exemple, les ïtombres 3 amp; 4 , dont les quarres 9 Sc 16 ajoutesnbsp;enfemble font le nombre quarre xj : leur produitnbsp;11 eft divifible par 6.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;., ,

Ta démonftration générale de cette propnete

a8 Recreations Mathématiques.

ne fi^auroit trouver place ici ; inais l’on peut tfter de ce qu’on vient de dire, un moyen de

Trouver deux nombrcs dont les quarrés ajoutcs enfetnble fajfent un nombre qiiarri. Pour eet efFet,nbsp;multipliez deux nombres quelcohques; !e do^lenbsp;de leur produit fera 1’un des deux nombres gt;cher-chés , amp; la difference de leurs quarrés feranbsp;i’autre.

Coinme fi Ton multiplie I’un par I’autre ces deux nombres 1,3, dont les quarrés font 4,9, leur-produit fera 6 , dont Ie doulDle i a, amp; la differencenbsp;de leurs quarrés 5 , font deux nombres tels que lanbsp;fomme de leurs quarrés eft égale a un autre nom-bre quarré : car ces quarrés font 144 amp; 25 , quinbsp;font 169, ejuarré de 13.

Vin.

Lorfqiie deux nombres font tels, que la difference de leurs quarrés eft un nombre quarré, la fomme amp; la difference de ces nombres font elles-mêmes un nombre quarré , ou Ie double,

Tels font, par exemple , les nombres 13 Sc ra, dont les quarrés font 169 , 144, dont la difference eft qui eft aufti un quarré ; la fomme denbsp;ces nombres eft 2^ , nombre quarré.

Les nombres 6 amp; 10 ayant pour quarrés 36 6c 100, dont la différence eft 64, nombre quarré,nbsp;on trouve que leur fomme eft 16 , qui eft aufti unnbsp;nombre quarré , ainft que leur différence 4,

Les nombres 8 amp; 10 ayant des quarrés dont I3 différence eft: 3Ó , on voit aufti que la fomme denbsp;ces nombres eft 18 , qui eft double de 9 , nombrenbsp;quarré; amp; leur différence 2 eft Ie double de i gt;nbsp;nombre quarré, 6cc»

ARITHMiTIQUE, Chap. UI. ^9

1 X.

Si on multiplie deux nombres dont Ia difference «ft ^ , leur produit augmenté de Tunité fera Ienbsp;lt;]uarré du nombre intermédiaire.

Ainfi Ie produit de i ^ par 14 eft 168 , qui, aug-nienté de i , donne 169, quarré de 13 , nombre wioyen entre 12 amp; 14.

Kien n’eft plus aifé que de démontrer que cela doit toujours arriveramp; 1’on verra qu’en generalnbsp;Ie produit de deux nombres, augmenté du quarrénbsp;de la deini-différence , donne Ie quarré du nombrenbsp;nioyen.

X.

On appelle nombre premier, celui qui n’a d’au-tre divifeur que l’unité. Les nombres de cette «fpece ne peuvent done être pairs, a rexceptionnbsp;du nombre deux ; ni être terminés par cinq , ex*nbsp;Ceptë Ie nombre cinq lui-même : d’oü il fuit qu’inbsp;l’exception de ceux qui font renfermés dans lanbsp;premiere dixaine, ils doivent néceffairement fenbsp;terminer par un, ou trois, ou fept, ou neuf.

N. B. Void une propriété curieufe des nombres pre-rniers. Tout nombre premier (hors 2 amp; 3) étant augmenté ou ^imiruiè de Vunite, efi divifible par Jix. II efl; aife de Ie voirnbsp;par i’exempie de tous ceux qu’on voudra ^ comme 5,7 jnbsp;tl, 13, 17, 19, 23, 29, 31, amp;c.; maisje necroispasnbsp;perfonne Tait démontré a prior/.

Mais Imverfe.n’eft pas vraie, c’eft-a-dire tout nombre qui, augmenté ou diminué de l’unité, efl; divifible par fix,nbsp;tl eft pas pour cela un nombre premier.

K efl: fouvent utile de connoitre , fansrecourir 3u calcul, fi un nombre efl premier ou non: c’eftnbsp;pour cela que nous donnerons ici une Table de tousnbsp;les nombres premiers clepuis un jufqu’a loooo.

30 Recreations Mathématiques,

table

T)t$ Nombns premiers entre i 6* toooo.

31 RiCRÉAtfONS MATHÉMATIQtJES. Table des Nombrespremiers entre i amp; loooo.

Voici une autre efpece de nombres qui jouiflent d’une proprieté finguliere amp; curieufe : ce font !esnbsp;nombres parfaits. On donne ce nom a un nom'nbsp;bre dont les parties aliquotes ajoutées enfemble?

forrnent

Arithmétique. Chap. III. ?? formetit précifément ce nombre même. On en anbsp;ün exemple clans Ie nombre 6 ; car fes parties ali-quotes font i, i, 3 , qui font enfemble 6. Lenbsp;nombre 28 jouit de Ia même propriété; car fesnbsp;parties alic[uotes font i , 2, 4, 7? ^4» dont lanbsp;fomme eft 28.

Pour trouver tousles nombres parfaits de lapro-greflion numérique , prenez la progreffion double 4,8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,nbsp;^048, 4096, 8192 , amp;c. amp; examinez tous ceuxnbsp;de ces termes qui, étant dimmués de 1 unite, fontnbsp;des nombres premiers. Ceux a qui convient cettenbsp;Propriëté font 4, 8, 32 , 128, 8192; car cesnbsp;nombres diminués de l’unité , font 3 , 7, 31 ,nbsp;Ï27, 8191. Multipliez done chacun de ces nom-par celui de la progreffion géométrique c{uinbsp;Précédoit celui dont il derive, par exemple , 3 parnbsp;^5 7 par 4, 31 par 16, 127 par 64, SipV parnbsp;4396, amp;c. amp;c vous aurez 6, 28 , 49^7 8128,nbsp;33550336, qui feront des nombres parfaits.

Ces nombres au refte ne font pas a beaucoup prés auffi nombreux que font cru divers auteurs (a).nbsp;Void, d’après un mémoire de M. Krafft, c[u’onnbsp;dans le TomeVII des Mémoires de Pétersbourg,nbsp;'Ine fuite des nombres tant parfaits, que reputesnbsp;Parfaits par ces auteurs, faute d’attention fuffi-Cnte. Ceux a qui convient veritablement cettenbsp;Pfopriété, font marqués d’une etoile.

(4) La regie que donneM.Ozanam eftfauffe, 8c produit multitude de nombres, comme 130816, 2096128,nbsp;qui ne font point des nombres parfaits cela vient denbsp;que M. Ozanam n’a pas fait attention qu’il fallolt quenbsp;Un des multiplicateurs fut un nombre premier. Or 5' ^nbsp;sx 2047 ne le font pas.

Toim /, nbsp;nbsp;nbsp;Q

34 Recreations Mathématiqces.

* 6.

* 2.8.

* nbsp;nbsp;nbsp;496.

* nbsp;nbsp;nbsp;8128.

130816.

2096128.

* nbsp;nbsp;nbsp;33550336.

536834518.

* nbsp;nbsp;nbsp;8589869056.

* nbsp;nbsp;nbsp;137438691328.

2199022206976.

35184367894518.

562949936644096.

9007199187632128.

144115187807420416,

* nbsp;nbsp;nbsp;2305843008139952128.

¦36893488143124135936.

Ainfi Ton voit que de i a lo il n’y a qu’un nombre parfait, un depuis 10 jufqu’a 100, unnbsp;depuis 100 jufqu’a 1000, un depuis looo juf-qu’a 10000 ; mais on fe tromperoit fi on en con-cluoit qu’il Y en a pareillement un depuis dixnbsp;mille jufqu a cent mille, un depuis cent millenbsp;jufqu’a un million , amp;c.; car depuis dix millenbsp;jufqu’a huit cents millions il ne s’en trouve plusnbsp;qu’un. La rareté des nombres parfaits, dit un auteur , eft un fymbole 'de celle de la perfeiftion.

Tous les nombres partaits font terminés par 6 OU 28 , mais non alternativement.

X H.

Il y a des nombres qu’on nomme amiables en-tr’eux , a caufe d’une propriété qui leur donne nns forte d’affinité. Elle confifte en ce que les parties

AriTHMÉTIQÜE. Chap. Ill, siiquotes cle fun font enfemble egales a 1’autre, Scnbsp;que celles cle celui-ci forment a leur tour unenbsp;fomme égale au premier : tels font les nombresnbsp;2.10 Sc 284 ; car k premier 210, eft egal a lanbsp;fomme des parties aliquotes de 184, fqavoir,!, 2 ,nbsp;4, 71, 142; Sc reciproquement 184 eft egal a lanbsp;fomme des parties aliquotes i, 2,4, 5, 10, ii,nbsp;20, 22,44, ^5 , 110 du premier 220.

On trouvera des nombres amiables par la méthode fuivante. Ecrivez , comme on le voit ci-après , les tennes de la progreflion géométrique double, en commenqant par 2; triplez chacun denbsp;ces termes, Sc placez ces nombres triples chacunnbsp;fous celui dont il eft formé ; ces mémes nombresnbsp;diminués de l’unité , 5 , 11,23,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ places

chacun au deftus de fon correfpondant de la progreflion géométrique , formeront une troifieme fuite au defliis de cette derniere. Enfin on auranbsp;les nombres de la fuite inférieure , 71 , 287 , Scc.nbsp;en multipliant chacun des termes de Ia fuite 6 ,nbsp;12, 24, Scc. par fon précédent, Sc diminuant lenbsp;produit de l’unité.

383.

128.

384. 73727.

Prenez a préfent un nombre de la fuite infé-ïieure , par exemple 71, dont le nombre correl-pondant dans la fuite fupérieure , fqavoir 11, amp; celui qui précede ce dernier, fqavoir 5 , font,nbsp;amfi que 71, des nombres premiers; multipliez 5'nbsp;11 j le produit 3 5 par 4 , terme correfpondant de la fuite géométricpie , vous aurez 220nbsp;pour 1 un des nombres cherchés: le fecond fe trou-

Cu

3Ó Récréations Mathématiques.

vera en miiltipliant Ie nombre 71 par Ie méme nombre 4, ce qui clonnera 284.

Pareillement avec H51 , 47 amp; 23 , quI font des nombres premiers, on trouveroit deux autresnbsp;nombres amiables, 17256 amp; 18416; mais 4607nbsp;n’en donneroit pas , paree que , des deux autresnbsp;nombres correfpondants 47 amp; 5^ , celui-ci 95nbsp;n’efl: pas premier. II en eft de même du nombrenbsp;18431 , paree que Ie nombre 95 fe trouve parminbsp;fes correfpondants; mais Ie fuivant 73727 donne,nbsp;avec 383 amp;C191, deux nouveaux nombres amia-bles„ 9363584 amp; 9437056.

On voit par-la que fi les nombres parfaits font rates , les couples de nombres amiables Ie fontnbsp;bien davantage, ce dont il efl: au refte bien aifénbsp;d’appercevoir la raifon.

XIII.

Si on prend la fulte des quarrés des nombres naturels , fqavoir ,1,4, 9 , 16, 25, 36, 49 , amp;c. qu’on prenne la difference de chacun avec Ie fuivant , amp; enfuite les differences de ces differences,nbsp;ces dernieres feront égales a 2 ,, ainli qu’on Ienbsp;voit par l’exemple ci-deffous,

I 4 9 nbsp;nbsp;nbsp;16nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;25nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;36nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;49

1quot;^ Diffl 3 nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9 II 13

2222 nbsp;nbsp;nbsp;2

Ainfi 1’on voit que les nombres cjuarrés font formes par l’addition contlnuelle des nombres impairs 1,3,5, S^c. qui fe furpaffent de 2.

Dans la fuite des cubes des nombres naturels, fqavoir, 1,8,27, S^c. ce ne font plus les fecondesnbsp;differences qui font égales , mais feulement les

ArITHMÉTIQUE. Chap. III. 37 ïfolfiemes, qui font toujours 6. L’exemple ci-def-fous le met fous les yeux,

^uhes. I 8 nbsp;nbsp;nbsp;27nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;64 115 216

7 nbsp;nbsp;nbsp;19nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;37nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9^

12 nbsp;nbsp;nbsp;18nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24 30

6 6 6

S’il eft qiieftion de la fuite des qiiatriemes puif-fances, ou quatré-quarrés des nombres naturels, ce feront les quatriemes differences feuleinent quinbsp;feront egales, amp; elles feront 24. Dans le cas denbsp;cinquiemes puiffances, les cinquiemes differencesnbsp;feulement feront egales, amp; feront conftammentnbsp;120.

On trouve ces nombres 2, 624 , 120, amp;c. en multipliant cle fuite les nombres i, 2 , 3, 4, 5 ,nbsp;6, amp;c. Pour la deuxieme puiftance, on multiplienbsp;les deux premiers ; pour la trolfieme, les trois pre

XIV.

La progreflron des cubes i , 8 , 17, 64, 125 Sec. des nombres naturels i, 2, 3,4? 5? 6, amp;c.nbsp;3 Cette propriété remarquable , qu’en ajoutant telnbsp;’aombre qu’on voudra de fes termes, en cqmmen-Saiit par le premier , ,cette fomme fera toujours unnbsp;HUarre. Ainfi i amp; 8 font 9: ajoutez-y encore 27,nbsp;^ous aurez 36, nombre quarre; amp; en y ajoutantnbsp;5 vous aurez 100; Sc ainfi de fuite.

XV.

Le nombre 120 a la propriété d’etre égal a la moitié de la fomme de fes parties aliquotes ou

mvifeurs, fqavoir, i, 2, 3,4, 5,6, 8, lO, 12„

C iij

3? Recreations Mathématiques.

15 , 10,24, 30, 40, 60, qui font enfemble 24OJ Le nombre 672 eft pareillement la moitie de lanbsp;fomme 1344 de fes parties aliquotes. On pourroitnbsp;en frouver plufieurs aiitres qui joulflent dela meinenbsp;propriété ; on pourroit même en trouver qui nenbsp;feroient que le tiers ou le quart de la fomme denbsp;leurs parties aliquotes; enfin qui en fuflent le double, le triple, le quadruple. Voila de la matierenbsp;aux recherches de ceux c[ui voudront s’exercer.

CHAPITRE IV.

Des Nomhres figures.

SI Ton a une progreffion arithmetique, la plus, fimple de routes, par exemple, comme cellenbsp;des nombres naturels 1,2, 3,4, 5, 6, 7, amp;c.nbsp;qu’on prenne le premier terme, la fomme des deuxnbsp;premiers, celle ^es trois premiers, amp; ainfi de fuite,nbsp;il en reftiltera une nouvelle fuite de nombres, i ,nbsp;3,6, 10, I ^ , 21, 28 , amp;c. auxquels on a donnenbsp;le noin dc triangulairzs , paree quhls peuvent tou-jours ctre rangés en triangle equilateral, commenbsp;ftl- Ton voit Planche J.

3- Les nombres quarres, comme 1,4,9,16,25, 36, amp;;c. naiftent d’une pareille addition des premiers termes de la progreflion arithmetique i, 3 tnbsp;5 , 7? 95nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dont la difterence des termes

eft 2. Ces nombres fe peuvent pareillement ranger cn figures quarrees, comme tout le monde fqait.

De pareille fommation des termes de la pro-greftion arithmetique, dont la difference eft 3 ? comme I, 4} 7, 10,13, amp;c. naiftent les norn*quot;

bres i, 5,12, 22, amp;c, qu’onappellepentagonesj

Arithmétique. Chap. IF. 39 paree qu’ils repréfentent Ie nombre des points quinbsp;peuvent s’arranger fur les cótés Sc dans l’intérieurnbsp;d’un pentagone régulier, comme on Ié voit dans

oü font trois pentagones dans un angle pi, r. commun, repréfentant Ie nombre des points qui lig. 5,nbsp;croit arithmétiquement, Sc dont Ie premier anbsp;deux points fur chaque cóté, Ie fecond trois, Ienbsp;troifieme quatre, ce qui pourroit étre continué.

C’eft dans ce fens Sc de cette maniere qu’on doit concevoir arranges les nombres figures.

II eft prefque inutile de dire que de la progref-fion 1,5,9,13,17, Sec. dont la difference eft 4) naiflent, par une pareille fommation , les nombres exagones, qui font 1,6, 15, 28,45 , amp;c ; Scnbsp;ainfi de fuite pour les eptagones, oftogones. Sec.

II y a une autre forte de nombres polygones, qui réfultent du nombre des points qu’on peut rangernbsp;au centre Sc fur les cótés d’un ou de plufieuts polygones femblables, ayant un centre commun: ilsnbsp;different des precedents , car la fuite des triangu-laires de cette efpece eft 1,4, 10,19, 31, amp;;c.nbsp;qui font formés par l’addition fucceffive des nombres i, 3 , 6, 9, 12.

Les nombres quarrés centraux font i, 5, 13,

2.5,41,61, Sec. formés pareillement par l’ad-dition fucceffive des nombres 1, 4, 8, 12,16,

20, amp;c.

Les pentagones centraux font 1,6,16, 31, ^ ,

76, Sfc. formés par l’addition des nombres 1,5,

1 5 , 20 , Scc.

Mais nous n’en dirons pas davantage fur cette efpece de nombres polygones, paree que ce ne fontnbsp;pas ceux que les mathématiciens entendent com-inunément par ce nom, Revenons aux nombresnbsp;polygones ordinaires.

C iv

40 RéCréations Mathémattques.

On appelle la racine d’un noinbre polygone, Ié nombre des termes de la progreffion qii’il a fallunbsp;fommer pour avoir ce nombre. Ainfi la racine dunbsp;nombre triangulaire ii eft 6, paree que ce nombre réfulte de l’addition fucceffive des fix nombresnbsp;1, 2., 3,4, 5,6. De même 4 efi la racine du nombre quarré i6, confidéré comme nombre figure,nbsp;paree que ce nombre réfulte de l’addition des quatrenbsp;termes i, 3 , 5,7, de Ia progreffion des nombresnbsp;impairs.

Après cette expofition , void quelejues problc-mes fur les nombres polygones.

PROBLÊME I.

Un nombre étant propofé , trouver s'il ejl triangu-^ lain, quarré , pentagom, amp;c.

L A.maniere de trouver fi un nombre eft quarré,’ efi: connue de tont Ie monde, amp; fert de bafe pournbsp;reconnoitre les autres nombres figures. Cela fup-pofé, pour determiner fi un nombre propofé eftnbsp;un nombre polygone, voici la regie générale.

Multiplk:{_ par 8 h nombre des angles du polygone diminué de z , amp; par ce premier produit multiplier^ Ie nombre propofé , amp; enfin , d ce nouveau produit ajouter Ic quarré du nombre égal a celui desnbsp;angles du polygone diminué de g; Ji la fiomme ejlnbsp;un quarré parfait, Ie nombre propofé efi un polygone de Vefpece déterminée,

II eft aifé de voir que Ie nombre des angles étant 3 pour Ie triangle , 4 pour Ie quarré, 5 dans Ienbsp;pentagone , amp;c. on aura pour Ie multipllcateur dunbsp;nombre propofé, dans Ie cas du nombre triangulaire , 8 ; pour Ie nombre quadrangulaire, 16;nbsp;pour Ie pentagone, 24; pour rexagone,32.

AriTHMÉTÏQUÊ. Chap. IV. 41 Pateillement Ie nombre des angles, diminué denbsp;4j étant pour Ie triangle — t, pour Ie quarré o,nbsp;pour Ie pentagone i , pour l’ejiagone %, amp;c. lesnbsp;«ombres a ajouter au produitci-deffus feront ,pournbsp;triangle, i, (car Ie quarré de —i efti);pourlenbsp;quarré, o; pour Ie pentagone, i; pour l’exagone, 4;nbsp;pourl’eptagone, 9 , amp;c, : d’oü dérivent les regiesnbsp;luivantes, que nous éclaircirons en même tempsnbsp;par des exemples.

On demande fi 21 eft un nombre triangulaire, Multipliez 21 par 8 ,au produit ajoutez i; la fommenbsp;eft 169, qui eft un quarré parfait: conféquem-ment 21 eft un nombre triangulaire,

Voulez-vous reconnoitre fi 35 eft un pentagone ? Multipliez 3 ^ par 24 , Ie produit eft 840 ; a quoi ajoutant i, on a 841 qui eft un quarré:nbsp;done on peut aflurer que 35 eft un nombre pentagone.

PROBLÊME II.

Vn nombre triangulaire ou figure quelconque kant donné^ trouver fa racine, ou Ie nombre de terrnesnbsp;de la progrefifion arithmkique dont il ejl lafomme.

Il faut d’abord faire 1’opération indiquée dans Ie problême précédent; Sc après avoir trouve lanbsp;racine cjuarrée , dont la poffibilité indique ft Ienbsp;nombre eft figure ou non, ajouteq^ d cette racinenbsp;Un nombre igal a celui des angles du polygone pro-pofié , moins 4 , amp; divifeq^ cette fomme par Ie doublenbsp;du même nombre des angles diminué de z ; Ie quotiënt qui en proviendra fcra la racine du polygone.

Le nombre a ajouter eft done pour Ie triangle — I, e’eft-a-ftire i a óter; ii eft o pout le quarre,nbsp;Ï pour le pentagone, 2 pour I’exagoue, See,

Recreations Mathématiques.

Quant au divifeur, il eft aifé de voir quil eff i pour Ie triangle , (car Ie double de 5 diminue denbsp;i, eft a); pour Ie quarré e’eft 4, pour Ie penta-gone 6, pour Texagone 8, amp;c.

Soit done demandé la racine du nombre triangulaire 3 6. Après avoir fait l’opération développée par Ie problêine précédent, amp; avoir trouvé Ienbsp;produit z8^, dont la racine quarrée eft 17, óteznbsp;de ce nombre l’unité, 6c divifez Ie reftant par a ;nbsp;Ie quotient 8 fera la racine ou Ie cóté du nombrenbsp;triangulaire égal 336.

On demande maintenant quelle efl Ia racine du pentagone 35. Ayanttrouvé, comme ci-deffus,nbsp;la racine 29, ajoutez-y i, ce qui donne 30, amp;cnbsp;divifez par 6 ; Ie quotient ^ fera la racine de cenbsp;nombre pentagone, c’eft-a-dire qu’ileft formé patnbsp;1’addition des 5 nombres 1,4, 7, 10,13.

PROBLÊME III.

La racine d'un nombre polygone étant donnie ^ trouver ce nombre.

L A regie eft fort fimpte. Prene:^ ’Ie quarré de Ice racine donnie , 6teq-en Ie produit de cette même racine , par Ic nombre égal a celui des angles diminuérnbsp;de 4 ; la moitié du rejiant fera Ie polygone cherché.

Donnons quelques exemples de cette regie. Quel eft , demande-t-on, le nombre triangulairenbsp;dont la racine eft 12 ? Le quarré de 12 eft 144;nbsp;le nombre égal a celui des angles inolns 4, eft —i,nbsp;qui multipliant 12, donne—12: or il faudroit,nbsp;fuivant la regie, óter —12 , ce qui eft la mêmenbsp;chofe qu’ajouter 12; on aura done 156, qui étantnbsp;partagé par la moitié, donne 78.

Arithmétique. Chap. IK 4? Quel eft le nombre eptagone dont la racine eftnbsp;Pour le trouver, je prends le quarre de lO ynbsp;^lui eft 400; je multiplie enfuite 20 par 3 , qui eftnbsp;nombre des angles diminue de 4 ; )’ai 60, quenbsp;i’dte de 400; le refte eft 340, que je divife par 2 ;nbsp;le quotient 170 eft le nombre cherche, ou 1’epta-gone dont la racine eft 20.

Remarquons ici, avant de finir, que le méme nombre peut être polygone ou figure dedifferentesnbsp;manieres. Et d’abord tout nombre plus grand quenbsp;3 , eft polygone d’un nombre de cotes ou d’anglesnbsp;egal a celui de fes unites.

Ainfi 36 eft un polygone de 36 cotes, dont la racine eft 2; car les deux premiers termes de lanbsp;progreffion font 1,35. Le même nombre 36 eftnbsp;quarre ; enfin il eft triangulaire, ayant pour ra-cine 8.

Pareillement 21 eft a la fois polygone de 21 cotes ; il eft aufll triangulaire ; 8gt;t il eft enfin ofto^nbsp;gone.

PROBLÊME IV.

Trouver la fomme de tant de nombres triangulalres , ou de tant de nombres quarres, ou de tant dcnbsp;nombres pentagones quon voudra.

D E méme qu’en ajoutant fucceflivement les termes de differentes progreflions arlthinetiques ,nbsp;ft en eft réfulté de nouvelles progreflions de nombres qu’on a nommes triangulaires, quarres, pentagones, amp;c. on peut auflTi fommer ces dernieresnbsp;ptogrelftons; ce qui donne naiflance a des nom-fires figures d’lm ordre fuperieur, qu’on appeftenbsp;pyramidaux. On donne le nom de pyramidaux dunbsp;premier ordre, ^ ceux quiviennent de la progreffion

44 RÉCRiATIONS MatHématiqües. des nombres triangulaires : les pyramidaux danbsp;deuxieme of dn font ceux qui viennent de la fom-jnation des nombres quarrés : ceux du troifiemenbsp;ordre proviennent de la progreffion des pentago-¦nes. On peut enfin faire Ia même fpéculation fornbsp;les nombres pyramidaux; ce qui engendre lespy~nbsp;ramido - pyramidaux. Maïs Ie peu d’utilité de cesnbsp;nombres, qui peuvent tout au plus donnet lieu anbsp;des recherches propres a exercer amp; développer l’efi-prit analytique, ne nous permet pas de nous éten-dre davantage fur ce fujet. Nous nous bornerons anbsp;donnet une regie générale pour fommer tant denbsp;nombres figures qu’on voudra.

Prenez Ie cube du nombre de termes a fommer, amp; multipliez-le par Ie nombre des angles du po-lygone diminué de 2; ajoutez a Ia fomme trois foisnbsp;Ie quarré du même nombre de termes a fommer ;nbsp;fouftraifez enfin Ie prodult de ce même nombre ,nbsp;par celui des angles diminué de ^ ; vous aureznbsp;une fomme qui, étanttoujours diviiee par 6, donrnbsp;nera celle des termes de la progreffion.

Soient les buit premiers nombres triangulaires dont on demandela fomme. Le cube de 8 ell; ^ 12.;nbsp;ce qui, multiplié par le nombre des angles du poly-gone diminué de 2, ou par i , donne encore 512;nbsp;ajoutez-y le triple du quarré de 8 ou 192 ; enfin ,nbsp;comme Ie nombre des angles moins 5 donne —2nbsp;qui doit multiplier le cóté 8 , ce qui donne—16,nbsp;ajoutez a la fomme ci-delTus 704 ce nombre 16;nbsp;vous aurez 720 , qui, divifé par 6, donnera 120nbsp;pour la fomme des huit premiers nombres trian-gulaires.

On la trouvera au refte plus facilement, en multipliant de foire le nombre 8 des termes de-mandés, par 9, Scle produit par 10; ce qui donnera

Arithmétique, Chap. F. 4J‘ ^alementyio, qu’il faudra divifer par 6, Scl’onnbsp;sura iio, comme ci-defTus.

Dans Ie cas d’une fuite de quarrés, que ie fup-Pofe au nombre de i o , il n’y aura qu’a faire Ie produit du nombre de termes , fqavoir i o , de cenbsp;inénie nombre augment^ de l’unité ou 11 , Scnbsp;^nfin du double du même nombre, plus i, c’eft-S'l'dire ii ; Ie produit de ces trois nombres 2.3 lo,nbsp;divifé par 6, donne 385 , qui eft la fomme desnbsp;premiers nombres quarrés 1,4,9,16, Stc.

CHAPITRE V.

Des Triangles reBangles en nombres.

ON appelle triangle reftangle en nombres,' trois nombres tels que la fomme des quarrésnbsp;de deux eft égale au quarré du troifieme. Telsnbsp;font, pat exemple, les trois nombres 3,4, 5 , quinbsp;'expriment Ie triangle reélangle Ie plus fimple denbsp;tous; car Ie cjiiarré de 3 qui eft 9 , étant .ajouténbsp;a celui de 4 qui eft 16, la fomme eft 25 qui eftnbsp;Ie quarré de ^. Les nombres 3,4, 5, exprimentnbsp;done les trois cótés d’un triangle reftangle.

^ Ces nombres au refte doivent néceftairement ctre inégaux ; car ft deux de ces nombres etoientnbsp;dgaux, ce feroient les deux cötés d’un trianglenbsp;’¦^öangle ifofcele : or il eft démontré que, dansnbsp;Cas ^ Thypothénufe ne fqauroit étre expriméenbsp;P^r un nombre rationnel, entier ou fraftionnaire,nbsp;Puifqu’un pareil triangle eft la moitié d’un quarrénbsp;dont les deux cótés égaux font les cótés, amp; Ianbsp;bafe ou l’hypothénufe eft la diagonale ; or la diagonale eft incommenfurable au cóté.

4*? Recreations Mathématiqües.

li eft encore neceftaife que les trois nombfCS qui forment le triangle foient rationaux, foit enquot;'nbsp;tiers, foit fractions ; car fans cela il n’y auroitnbsp;aucun art a trouver tant de nombres de cette ef-pece qu’on voudroit, puifqu’il n’y auroitqu’aprendre deux nombres quelconques, comme z amp; 6,nbsp;dont la fomme des quarrés eft 40, amp; 1’hypothé-nufe feroit y/40; mais 40 ne fignifie rien denbsp;précis , Sc ce n’eft qu’un figne de l’extraétion de lanbsp;racine de 40, qui eft impoflible.

Après ces details, nous allons propofer fur les triangles rectangles en nombres, quelques-uns desnbsp;problemes les plus curieux 5c les moins épineux.

PROBLEME I.

Trouver tant de Triangles reBangles en nombres quon voudra.

pRENEÏ deux nombres a volonte , que nous nommerons générateurs, par exemple , i Sc z ?nbsp;multipliez-les enfemble, amp; doublez le produit: cenbsp;double , qui eft ici 4, fera un des cotes du triangle. Fakes enfuite les quarrés des deux nombresnbsp;générateurs, qui feront, dans I’exemple aCtuel, 4nbsp;5c I. Leur différence donnera le fecond cóté 3 dunbsp;triangle , amp; leur fomme 5 fera 1’hypothénufe.nbsp;Ainfi le triangle dont les nombres générateurs fontnbsp;I Sc 2., eft 3 , 4, 5.

Si 1’on avoit pris pour nombres générateurs ^ Sc 3 , on auroit trouvé 5 , i z Sc 13 ; les nombresnbsp;I amp; 3 euftent donné 6,8 Sc 10.

Autre maniere. Prenez une progreflion de nom-bres entiers Sc fraCtlonnaires, comme ij, if»

AritHMÉTIQUE. Chap. V. 47 3 7, 4f, amp;c. dont la proprlété eft celle-ci:nbsp;1° Les nombresentiers outpour difference 1’unité,nbsp;amp; font ceux de la fuite naturelle. Les numéra-teurs des fraélions jointes aux entiers, fontaufllnbsp;les nombres naturels. 3° Les dénominateurs denbsp;ces mêmes fractions font les nombres impairs 3,nbsp;5,7, amp;c. Expofons maintenant l’ufage de cettenbsp;progrelfion.

Prenez un terme quelconque, par exemple, 31 amp; réduifez-le en forme de fraction , en multi-pliant rentier 3 par 7, amp; ajoutant au produit 21nbsp;Ie numérateur 3 ; vous aurez 1’expreffion fous lanbsp;forme fraclionnaire Les nombres 7 amp; 14 fe-ront les cótés d’un triangle reétangle, dont l’hy-pothénufe fe trouvera en ajoutant 49 amp; 576; cenbsp;qui donne 625 , dont la racine quarrée 25 eft 1’hy-pothénufe cherchée. Ainfi Ie triangle donné par cenbsp;terme de la progreffion génératrice, eft 7, 24, 25.

Le premier terme donne Ie triangle re£fan-

gle 3,4 , 5 ;

Le deuxieme 2j, donne 5, 12, 13 ;

Le trolfieme 47, donne 9,40,41, tous triangles de rapports differents entre les cótés, amp; qui ont tous cette propriété, que leplus grand cóté Scnbsp;1’hypothénufe ne different que de 1’unité.

Voici une autre progreffion de même nature tjiie la précédente , f^avoir, 11,2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

amp;c. Le premier terme donne le triangle redangle 8, i^, 17; le deuxierne produit 12, 35, 37;nbsp;du troifieme dérive le triangle 16 , 63,65 , amp;c.nbsp;Ils font , comme l’on voit auffi , tous de proportions differentes, Sc ont la propriété particuliere,nbsp;que leur plus grand cóté Si 1’hypothénufe ne different jamais que de 2.

48 Récréations Mathématiqües. PROBLÊME IL

Trouvcr tant qu'on voudra de Triangles rectangles en nombres, dont les cótés ne different que denbsp;Vunité.

po u R rcfoiiclre ce problême , il faut chercher des nombres tels, que Ie double de leur quarré, plusnbsp;OU moins 1’unité , falte encore un nombre quarré :nbsp;tels font.les nombres 1,2,5, 12,2c), 70, amp;c ;nbsp;car deux fois Ie' quarré de i font 2 , qui, dimi-nué de Tunité, laiffe i qui eft un nombre quarré.nbsp;De même Ie double du quarré de 2 eft 8 , a quoinbsp;ajoutant i, la fomme 9 eft un nombre quarré ; amp;c.

Ceia étant trouvé , prenez deux de ces nombres quelconquesqui fefuivent immédiatement, commenbsp;I amp; 2 , OU 2 amp; 5, OU 12 amp;; 29, pour nombres 2,é-nérateurs; les triangles reélangles qui en naitrontnbsp;auront la propriété c[ue leurs deux cótés ne difte-reront que de 1’unité. Voiciune table de ces triangles , avec leurs nombres générateurs.

Mais ft 1’on vouloit trouvcr unc fidte de triangles tels^ que dans chacun rhypothénufe ne furpaffat unnbsp;des cótés que de funité, on y parviendroit plusnbsp;facilement: il fuffiroit de prendre pour nombresnbsp;générateurs du triangle cherché , deux nombresnbsp;quelconques c[ul fe lurpaftTaftTent l’un l’autre de 1’unité, Voici une table femblable a la précédente,

des

Arithmétique, Chap. K 49 des fix premiers triangles reftangles que donnentnbsp;premiers nombres de la progreffion naturelle.

Si Ton prenoit pour nombres générateurs les cótés refpeftifs de la luite des triangles précé*-dents , on auroit une nouvelle fuite de trianglesnbsp;rectangles, dont 1’hypothénufe feroit toigours unnbsp;rrombre quarré, comme on Ie voit dans la tablenbsp;fiiivante.

On peut remarquer lei, que les racines des hy~ Potbénufes font toujours Ie plus grand des nombresnbsp;générateurs , augmenté de l’unité.

Mais fi, pour nombres générateurs, vous pre-''‘lea Ie fecond cóté amp; Thypothénufe de la même table, qui ne different entr’eux que de l’unité,nbsp;^ous auriez une fuite de triangles leftangles, dontnbsp;Ie moindre cóté feroittoujours un quarré. En voleinbsp;quelques-iins.

Tornt I,

Voulez-vous enfin avoir nne fuite de triangles Teftangles, dont un des cótés foit conftainmentnbsp;un cube , il n’y a qu’a prendre pour générateursnbsp;deux notnbres qui fe fuivent dans la progreffion desnbsp;triangulaires, comme i, 3,6, 10, 15, 21, amp;c.nbsp;Nous nous bornons a donner les quatre premiersnbsp;de ces triangles.

Trowver trots différents Triangles rectangles , dont les aires foient égales.

Vo,c I trois triangles reftangles qui joulfifent de cette proprlété. Le premier eft celui dont lesnbsp;cètés font, 40,42,48 ; le fecond a pour cótés ,nbsp;'JO , 24, 74 ; ceux enfin du troifieme font, ,nbsp;312 amp; 113.

La méthode par laquelle on les a trouvés, eft celie-ci:

Si on ajoute le produit de deux nombres quelcon-* ^ties d la fomme de leurs quarrés, on aura le premijtnbsp;nomhrc'i In dfférenci de Uurs quarrés fera le fecond i

Arithmétique. Chap. F. 51 S' It double de la fomrne de hurproduit amp; du quarrinbsp;du plus petit, [era le troijiemc,

Ces trois nombres trouvés, formeX_ tfois triangles reclangles , fgavoir, fun des deux premiers , commenbsp;g^nirateurs ; h deuxieme ^ des deux extremes; amp; lenbsp;^roijicme, du premier amp; de la fomme des deux autres,nbsp;Ces trois triangles reclangles feront igaux entr eux.nbsp;On ne peut trouver plus de trois triangles rectangles , en entiers , qui foient egaux entr’eux;nbsp;Riais on peut en trouver tant qu’on voudra ennbsp;Hombres rompus , par le moyen de la formulenbsp;fuivante.

Faites, de Chypothênufe d'un des triangles ci~ dejj’us, amp; du quadruple de fon cure, un autre triangle rebiangle, que vous divifere:^ par le double dunbsp;produit qui viendra ^ en multipliant Vhypothinufenbsp;du triangle choiji , par la difference des quarres desnbsp;deux autres cotes; amp; le triangle qui en proviendra^nbsp;fera le triangle propofe.

PROBLÊME IV.

Trouver un Triangle reBangle, dont les cotes foient en proportion arithmetique,

PRENEZ deux nombres générateurs, qui foient ^ un a 1’autre dans le rapport d’un a deux ; le trian-E^e reftangle qui en proviendra, aura fes cötés ennbsp;ptogreffion arithmétlque.

Le plus fimple de ces triangles eft celul-cl, 3, 4, 5, qui provient des nombres i amp; 2 pris pournbsp;Eénérateurs, Mais il faut obferver que tous lesnbsp;autres triangles, qui ont la ineine propriété , fontnbsp;femblables a ce premier, amp; n’en font que desnbsp;inultiples. II eft aifé de démontrer de blen des ma-uieres, qu’il ne fqauroit y en avoir d’autre.

5i Recreations Mathématiques.

Remarque.

SI Ton demandoit un triangle reftangle en nom-bres , dont les trois c6tes fuffent en proportion géométrique, nous repondrions qu’il n’y en a au-cun en nombres entiers ; car les deux nombresnbsp;générateurs devroient étre dans le rapport de i a

PROBLÊME V.

Trouverun Triangle nclangk, dont Caire , expriméz en nombre , foil egak au contour; ou ennbsp;raifon donnèe ayec lui,

Fo R M E 2,, d’un noinbre quarre quelconque , 8c de ce inêine quarre augmente dc 2 ^ un trianglenbsp;reftangle, dont vous diviferez les cotes par cenbsp;nombre'quarre: les quotients donneront les cotesnbsp;d’un nouveau triangle reftangle , dont I’aire, ex-primee numeriquement, fera égale au contour.

Ainfi , en prenant pour nombres générateurs i ^ 3, vous aurez le triangle 6,8, 10, dont lesnbsp;cotés , divifés par l’unité , font 6,8, 10 , amp; for-ment le triangle qui a la propriété demandée; carnbsp;I’aire eft 24, amp; le contour eft aufli 24. De même,nbsp;prenant pour générateurs 2 amp; 6 , vous aurez pournbsp;, triangle cherché 5 , 12, 13, ou la propriété de-luandée fe verifie encore.

Cos deux triangles font les fouls, en nombres entiers, fufceptibles de cette propriété ; mais onnbsp;en trouvera une infinité d’autres en nombres rom-pus, par le moyen des quarrés 9, 16, amp;c • telsnbsp;font ceux Cl.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

inoindres tenues, '

Arithmétique. Chap. FL 55 Si vous voulez que 1’aire du triangle cherchenbsp;foit feulement en raifon donnée avec Ie contour Jnbsp;par exemple , les |, prenei pour nombres generd-tiurs un quarré, amp; cc mêmc quarré augmcntl denbsp;^ formc:^, comme ci-de^us ^ par leur moyeni,..UJtnbsp;tnangle rectangle: ce triangle }ouira de la propriéténbsp;demandée. Tels font , en nombres entiers , lesnbsp;deux triangles 8,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^4,i5^;6gt;c une

infinite d’autres en fraftions, nbsp;nbsp;nbsp;ƒgt;

Nous croyons devoir terminer ici ces queftions fur les triangles en nombres, amp; être plus fobresnbsp;fur c© fujet que feu M. Ozanam ; car rien de plusnbsp;fee que ces problêmes; amp; probablement M, Ozanam n’eii auroit pas tant entaffé, s’il n’eüt voulunbsp;profiter, pour fes Recreations Mathérnatiques, d’uncnbsp;befogne toute faite dans fon Algebre , oü il s’ennbsp;propofe jufqu’a fatiété.

CHAPITRE VI.

QuelquesProhlêmes Curieux furlesNomh'res quarrés amp; cubes.' quot;

P R O B L Ê M E I. nbsp;nbsp;nbsp;' '

Un nombre quarré étant donné , Ie divifer en deux autres quarrés.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;r;;

ON trouvera, de la maniere füivante,uneinfi-nité de folutions de ce problême. Soit, par exemple, Ie quarré 16, dont la racine eft 4,,»nbsp;divifer en deux autres nombres cluarrés, qui npnbsp;peuvent être que des fradions, comme il eft aifénbsp;de voir,

D iij

54 Recreations Mathématiques.

Prenez deux nombres quelconques , comme ^ amp;: 2 ; multipliez-les enfemble ; amp; , par leur pro-duit, multipliez encore le double de la racine 4nbsp;du quarre propofé: ce produit, qui fera ici 48 ,nbsp;fera-le denominateur d’une fraftion, dont le nu-jnerateur fe trouvera en prenant la fomme 13 desnbsp;quarres des nombres ci-deffus: cette fraólion f~,nbsp;fera le cote du premier quarre cherché, qui feranbsp;conréquemment

¦ Pour avoir le fecond , on multipliera le quarre donne par le denominateur ci-deffus, 169; amp;, dunbsp;produit qui eft 2704, on otera le numerateurnbsp;2,~304 : le refte ( qui fera toujours un quarre ) feranbsp;4'oo, dont la racine 20 étant prife pournumera-teur , amp; 13 pour denominateur, donnera la fraction pour le cote du fecond quarré.

Ainfi , les deux cotes des quarres cherches fe-ront yj amp; — , dont les quarrés nbsp;nbsp;nbsp;~, font

cffeftivement enfemble le nombre quarre 16.

Si on eiit pris pour nombres primitifs 2 amp; i, on auroit eu les racinesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dont les quarrés

font ^ amp; ~; ce qui fait ou 16.

Les nombres 4 amp; 3 auroient donne les racines Iy amp; H, dont les quarrés amp; —, font encorenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ou 16.

Ainfi, 1’on voit qu’en variant ces fuppofitions des deux premiers nombres arbitraires, on varieranbsp;anfli a 1’infini fes folutions.

. T nbsp;nbsp;nbsp;Remarque.

iMAIS peut-on egalement divifer un cube donne 'en deux autres cubes ? Nous repondrons , fur la parole d’un grand analyfte, fqavoir M. de Fermat,nbsp;¦lt;iue cela n’eft pas poff ble. II ne 1’eft pas non plusnbsp;de divifer aueune puiffance au deffus du quarre,

Arithmétiqxje. Chap, FI. 55 en deux parties qui foient des puiffances de mémenbsp;efpece; par exemple, un quarré-quarré, en deuxnbsp;fiuarrés-quarrés.

PROBLÊME IL

Uivifer un Nombrc qui ejl la. fomme di deux quarreSj, en dmx autres quarrés,

Soit propofé Ie nombre 13 , qui eft compofé des deux quarrés 9 amp; 4 : on demande de Ie divifetnbsp;en deux autres quarrés.

Prenez deux nombres quelconques, par exemple, 4 amp; 3; multipliez par Ie premier 4, Ie double 6 de la racine 3 d’un des quarrés ci-delTus, amp; par Ie fecond 3, Ie double de la racine 2 de l’autrenbsp;quarré, les produits feroht 24 amp; 12. Otez-les l’uanbsp;de l’autre , la difference 12 fera Ie numérateurnbsp;d’une fraéfion, dont Ie dénominateur fera 25, lanbsp;fomme des quarrés des nombres choifis. Cettenbsp;fraélion fera done multipliez-la par chacunnbsp;des nombres pris a volonté, vous aurez d’un cöténbsp;^amp; de l’autre Le plus grand de ces nombresnbsp;etant óté de la racine du plus grand quarré con-tenu en 13, fqavoir 3 , le reliant fera ly ; l’autre , étant ajouté au cóté du plus petit quarré 2nbsp;donnera Les deux fraélions amp; rf 5 Ibront les.nbsp;cötés des deux quarrés cherchés amp; ^2^ j quinbsp;enfemble font 13 , comme il eft aife de s’ertnbsp;aflurer.

D’autres fuppofitions de nombres auroient donne d’autres quarrés; mals nous laiflbns au lefteur lenbsp;plalfir de s’exercer en les cherebant.

Remarque.

Pour qu’un nombre foit divifible d’une infinite

D iv

56 RiCRÉATlONS MATHÉMATTQUES.

de manieres en deux quarrés , il faut qu’il foit OU quarré, ou compofé de deux quarrés : tets font,nbsp;par ordre, les nombres 1,2,4,5,8,9,10,13.^nbsp;16, 17» 2-5, 26, 29, 32,34, 36,37, amp;c. Nousnbsp;ne. connoifions pas, ni ne croyons pollible denbsp;trouver Ie moyen de divifer en deux quarrés , unnbsp;üombre qui n’efl; pas quarré ou la foinme denbsp;deux quarrés; amp; nous croyons qu’on peut avan-cer comme une regie, que tout nombre entk'r ,nbsp;qui n’eft pas quarré ou compofé de deux quarrésnbsp;en nombres entiers, ne fqauroit être divifé d’au-cune maniere en deux quarrés. C’eft ce dont 11nbsp;feroit curieux de trouver une démonftration.

Mals tout nombre eft divifible d’une infinite de manieres , au moins en quatre cjuarrés; car il n’ennbsp;eft point qui ne foit ou quarré, ou la fomme denbsp;deux , OU trois, ou quatre quarrés. Bachet de Mé-ziriac avoit avancé cette propofition , de lanbsp;vérité de laquelle il s’étoit affuré autant qu’on Ienbsp;peut faire, en effayant tous les nombres depuis inbsp;jufqifa 325. M. de Fermat (3) ajoute qu’il peutnbsp;démontrer cette propriété générale amp; curieufe desnbsp;nombres , fcavoir, que

Tom nombre eji ou triangulaire, ou compofé de dtux ou trois nombres triangulaires.

Tom nombre ejl ou quarré, ou compofé de deux ^ OU trois-, OU quatre nombres quarrés.

Tout nombre ef ou pentagone, ou compofé de deux , ou trois , OU quatre, ou cinq pentagones;nbsp;^ ainli de fuite.

(a) nbsp;nbsp;nbsp;Diophanti Ahxandrini Arithmeticorum llh. 6; cuninbsp;(omm. C. G. Bacheti, amp;c. Tolofe, 16/0, infol, pag. lt;7^^

(b) nbsp;nbsp;nbsp;Ibidem , pag.

Arithmétique Chap. VI. 57

I-a démonftration de cette propriété des nom-, fi elle eft réelle, feroit vraiment curieufe.

PROBLÊME III.

I^nuvzr quatrt Cubes , dont deux , pris enfemhle , foient égaux d la fomme des deux autres,

^ N les trouvera par la méthode fuivante , qui fort fimple. Prenez deux nombres tels que Ienbsp;double du cube du plus petit furpafl'e Ie cube dunbsp;plus grand; enfuite , du double du plus grandnbsp;cube, 6tez Ie moindre; amp; multipliez ce reliant,nbsp;sulfi-bien que la fomme des cubes, par Ie moindrenbsp;des nombres choifis: les deux produits feront lesnbsp;cotési^es deux premiers cubes cherchés.

Pareillement ótez Ie plus grand des cubes des nombres choifis, du double du moindre ; amp;: quenbsp;Ie reliant, ainfi que la fomme des mêmes cubes,nbsp;foit multiplié par Ie plus grand des nombres choifis : les deux nouveaux produits feront les deuxnbsp;cótés des deux autres cubes.

Par exemple , qu’on prenne les nombres 4 amp; 5, ont la condition requife ci-delTus, on trouveranbsp;pour les cótés des deux premiers cubes , 744 ,nbsp;756 ; amp; pour les deux autres, 945 amp; 15 , qui ,nbsp;ctant divifés par 5 , donnent, pour les deux pre-niiers , 248, 252; amp; pour les deux derniers,nbsp;315, 5.

Si vous prenez 5 amp; 6, vous aurez 1535 amp; 1705 pour les cótés des deux premiers cubes, amp; 2046,nbsp;^04 pour les cótés des feconds.

R E M A R dU E.

Iz N nombre compofé de deux cubes étant

58 Recreations Mathématiques.

^onné, 11 eft pofEble de trouver deux autres cubes , dont Ia fomme foit égale a celle des deux premiers. Viete avoit penfé Ie contraire ; raaisnbsp;M. de Fermat indique Ie moyen d’y parvenir,nbsp;dans fes obfer vat ions fur les Quejiions arithmkiquesnbsp;dc Diophante, commentées par M. Bachet de Mé-zinac. II eft vrai que Ie calcul conduit a des nombresnbsp;extremement compliqués , amp; capables d’effrayernbsp;I’arithméticien Ie plus intrépide: on en jugera parnbsp;1’exemple fuivant. C’eft celui ou 11 eft queftion denbsp;divifer Ia fomme dés deux cubes 8 Sc i, en deuxnbsp;autres. En fuivant la méthode indiquée par M. denbsp;Fermat, Ie P. de Billy a trouvé que les cotés des-deux nouveaux cubes étolent les nombres fuivants ,,

12436177753990097836481 6096 23,83 5 66 I 37 297449

8c 4872671717143 5 2336560 60962383566137297449

II en faut croire Ie P. de Billy; car je ne fqais ff jamais il fe trouvera quelqu’un qui ofe examinernbsp;s’il s’eft trompé.

Maïs on peut, fans beaucoup de peine , réfou-dre cette autre queftion analogue aux précédentes t Troicver trois cubes qui, pris enfemblé, foicnt égauxnbsp;a un quatrhme. D’après la méthode Indiquée dansnbsp;Ie livre cité ci-deflus, on trouvera que les moin-dres nombres entiers qui réfolvent la queftion ,nbsp;font 3, 4 amp; 5 ; car leurs cubes ajoutés enfemblernbsp;font 216, qui eft Ie cube de 6.

Nous nous fommes bornés a quelques-unes des queftions de cette efpece, qu’on peut multiplier a

AritHMÉTIQUE. Chap. Fl. 59 Elies ont un genre particulier de difficulténbsp;tjui les rend intéreffantes. Auffi divers analyftesnbsp;s’en font fort occupés; tels font, parmi les anciens ,nbsp;^iophante d’Alexandrie , qui avoit écrit treizenbsp;^'vres de Queftions arithmétiques , dont les fixnbsp;premiers feulement nous font parvenus ', avec unnbsp;sutre fur les Nombres polygones. M. Viete s’exerqanbsp;frir ce genre de queftions , ainfi que M, Bachet denbsp;^éziriac, qui a commenté l’ouvrage de 1’arithmé-ticien Grec. Le célebre M. de Fermat porta plusnbsp;loin que perfonne avant lui cette efpece d’analyfe.nbsp;te P. de Billy donna, vers le rnetne temps , desnbsp;preuves de fa fubtilité en ce genre, par fon ou-Vrage intitule Diophantus redivivus , oil il lalflbitnbsp;bien loin derriere lui 1’analyfte ancien. Enfin,nbsp;Ozanam a'voit donne des preuves d’une très-grande force en ce genre, par la folution de quel-rjues queftions qu’on avoit jugees infolubles, IInbsp;avoit écrit fur cette matiere; mais fon ouvrage anbsp;refté manufcrit, amp; eft tombé, après fa mort,nbsp;entre les mains de feu M. DaguelTeau. C’eft cenbsp;que nous apprend I’hiftorien lt;le I’Academie.

CHAPITRE VII.

Des ProgreJJions arithmétiques amp; géomê-triques j amp; de quelques Problêmes qui en dependent.

SI l’on aune fuite de nombres coutinuellement croiffants ou décroiffants , tels que la difFé-rence du premier au fecond foit égale a celle dunbsp;fecond au troifieme, du troifieme au quatrieme ,nbsp;amp;c. amp; ainfi de fuite, ces nombres feront en pro-greffion aritllmétique.

Ces fuites de nombres ,i,2,3,4,5,6, Scc.

©U I, 5, 9,13 , amp;C. OU 20 , 18 , 16, 14 , 12 , amp;CC. •OU 15, 12, 9,6,.3, font done des progreffionsnbsp;arithmétiques; car , dans la premiere,la differencenbsp;du fecond terme au fuivant qui Ie furpalTe, eftnbsp;toujours 1 ; dans la feconde elle eff 2: elle elfnbsp;pareillement toujours 2 dans la troifieme qui vanbsp;en décroiffant, amp; trok dans la quatrieme.

11 efl aifé de voir au premier coup d’oeil, que la progreffion arithmétique croifTante peut êtrenbsp;continuée a l’infini ; mais elle ne peut pas l’êtrenbsp;de rnême, en un certain fens, lorfqu’elle décroit;nbsp;car on arrivera toujours néceffairement a un termenbsp;dont la difference commune étant ótée , Ie reftantnbsp;fera zéro ou un nombre négatif. Ainfi la progreffion 19? 15, 11, 7,3 , ne fqauroit aller plus loin gt;

ARITHMiTIQUE. Chap. Vil. 5*

nombres pofitifs du moins ; car on ne peut oter 4 de 3 ; OU fi on l’óte, on a, en langage analy-tique, —I {a). On auroit, en continuant la fouf-tradlon —5 ,—9, amp;c.

Les principaks propriétés des progreffions arith-^^«tiques fuivent facilement de la definition que nous venons d’énoncer amp; de développer; car onnbsp;¦Verra d’abord, en y faifant attention ,

ï° Que chaque terme n’eft autre chofe que Ie premier, plus ou moins la difference commune,nbsp;rriultipiiée par Ie nombre des intervaUes entre cenbsp;terme amp; Ie premier. Ainfi , dans la progreffion 2 ,nbsp;5,8, II, 14,17, amp;c. dont la différence eft 3, ilynbsp;a, entre Ie fixieme terme amp; Ie premier, cinq inter-valles; c’efl: pourquoi ce fixieme terme eft égal aunbsp;premier, plus Ie produit 15 de la différence commune 3 par 5. Or, comme ce nombre d’intervallesnbsp;eft toujours moindre de 1’unité que Ie nombre desnbsp;termes , il fuit qu’on aura chaque terme dont onnbsp;connoitra Ie rang , en multipliant la differencenbsp;commune par Ie nombre qui exprime ce rang ,nbsp;diminué de Tunité. Ainfi Ie centieme terme d’unenbsp;progreffion croiffante fiera égal au premier, plusnbsp;99 fois la différence commune. Si elk eft décroif-fante, ce fera k premier terme, diminué de c^nbsp;même produit.

Pour avoir done , dans une progreffion arithiné-

(a) Comme les quantités appellées negatives ne font que des quantités réelles , prifes dans un fens contraire anbsp;Celui des quantités appellées pofitives, il eft évident que ,nbsp;dans la rigueur mathématique amp; analytique, la progreffionnbsp;arithmétique fe continue a I’inflni, autant en décroiffantnbsp;qu en croifi'ant; mals nous nous énon^ons ici comme on Ienbsp;£ait vulgairement.

€x Recreations Mathématiques.

tique dont on connoit la difference commune , utt terme quelconque dont la place eft connue, mul-tipliez cette difference par Ie nombre cjui indiquenbsp;cette place , diminué de 1’unité , amp; ajoutez Ienbsp;produit au premier terme ff la progreffion va ennbsp;croiflant, amp; 6tez-le ff elle va en décroiffant;nbsp;vous aurez Ie terme cherché.

2,® Dans route progreffion arithmétique, Ie premier amp; Ie dernier termes font une fomme égale a celle du fecond amp; de 1’avant-dernier, a celle dunbsp;troiffeme amp; de I’antepenultleme, amp;c, enfin égalenbsp;a la fomme des termes moyens , ff Ie nombre desnbsp;termes eft pair, ou au double du moyen , ff cenbsp;nombre de termes eft impair.

Cela eft aifé a démontrer d’après ce qu’on vient de dire : car nommons Ie premier terme A , Scnbsp;fuppofons, par exemple, vingt termes a la progreffion ; Ie vingtieme, ff elle eft croiffante , feranbsp;done égal a A plus dix-neuf fois la differencenbsp;commune, amp; leur fomme fera deux fois Ie premiernbsp;terme plus dix-neuf fois cette difference. Or Ienbsp;fecond terme eft égal au premier plus la differencenbsp;commune; amp; Ie dix-neuvieme terme, ou l’avant-dernler dans notre fuppofition , eft égal au premier plus dix-huit fois la difference, Auffi la fommenbsp;du deuxieme amp; de l’avant-dernier eft deux fois Ienbsp;premier terme plus dix - neuf fois la differencenbsp;commune ; amp; ainfi du troiffeme amp; de l’antépé-nultieme.

3° Cette dernlere propriété fert a démontrer aifément comment on peut trouver la fomme denbsp;tous los termes d’une progreffion arithmétique;nbsp;car, puifque Ie premier amp; Ie dernier termes fontnbsp;une niême fomme que Ie deuxieme 5c Ie pénulr

AritHMÉTïQUE. Chap. FII. ^5 tieme, Ie troïfieme amp;rantépénultieme , amp;c, enfinnbsp;ïjiie les deux inoyens , fi Ie nombre des termes eftnbsp;pair; il fuit que la progreflion contient en totalnbsp;aiitant de fois la fomme du premier amp; du derniernbsp;termes, qu’on peut faire de pareils couples. Orcenbsp;nombre de couples eft égal a la moitié du nombrenbsp;des termes ; conféquemmentla fomme de toute lanbsp;progreflion eft égale au produit de la fomme desnbsp;premier amp; dernier termes , multipllée par la moi-tié du nombre des termes-, ou , ce qui revient aunbsp;tnême, a la moitié du produit de la fomme desnbsp;premier amp; dernier termes, par Ie nombre de ceuxnbsp;de la progreflion.

Si ie nombre des termes eft impair , par exem-ple, c), il eft aifé de voir que Ie terme moyen eft la moitié de la fomme des deux qui l’avoifinent,nbsp;^ par conféquent de la fomme du premier amp; dunbsp;dernier. Or la fomme de tous les termes, Ie moyennbsp;excepté, eft égale au produit de la derniere fommenbsp;des premier amp; dernier par Ie nombre des termesnbsp;diminué de l’unité, par exemple par 8, dans Ienbsp;cas propofé oii il y a neuf termes; conféquem-ment, en y ajoutant Ie terme moyen qui complet-tera la fomme de la progreflion , amp; qui eft égal anbsp;Ia demi-fomme des premier amp; dernier termes,nbsp;on aura, pour la fomme totale de la progreflion,nbsp;autant de fois la demi-fomme ci-deflTus , qu’il y anbsp;de termes dans la progreflion ; ce qui eft la inêmenbsp;chofe que Ie produit de la demi-fomme des premier amp;; dernier termes par Ie nombre de ces termes , OU Ie produit de cette fomme pat la moitiénbsp;du nombre,des termes.

Lorfqu’on aura bien connu les regies précé-dentes , ft fgra aifé de réfoudre les queftions qui fiiivent.

é4 RiCRÉATlONS Matüématiquè^. PROBLÊME I,

II y a un panier amp; cent caillotix rangés en ligne droite amp; d des effaces égaux d'une toife. Onnbsp;propofe de les ramaffer amp; les rapponer dans Ienbsp;panier un d un , en allant d'abord chercher Ienbsp;premier , enfuite le fecond, amp; ainf de fuitejuf-quau dernier. Combien deloifesdoit faire celuinbsp;qui entreprendra eet ouvrage ?

Il eft bien clair que pour Ie premier caillou 11 faut faire deux toifes, une pour aller , amp; l’autrenbsp;pour revenlr ; que pour Ie fecond il faut faire qua-tre toifes, deux pour aller, deux pour revenir; Sinbsp;ainfi de fuite, en augmentant de deux jufqu’aunbsp;centieme, qui exigera deux cents toifes de chemin,nbsp;cent pour aller, cent pour revenir. II eft d’ailleursnbsp;facile d’appercevoir que ces nombres forment unenbsp;progreflion arithmétique, dont Ie nombre des ter-mes eft loo; Ie premier 2, Sc Ie centieme 200.nbsp;.Ainfi la fomme totale fera Ie produit de 202 parnbsp;50, OU loioo toifes; ce qui fait plus de quatrenbsp;lieues moyennes de France, ou cinq petites lieues.

Remarque.

IL n’eft done pas étonnant que ceux qui n’ont pas de connoiftances mathématiques ne fe perfua-dent pas qu’une pareille entreprife exige tant denbsp;chemin. On a vu , il y a quelques années, aunbsp;Luxembourg , une perfonne parler qu’elle iroit denbsp;ce palais au chateau de Meudon toucher la grillenbsp;d’entrée , Sc reviendroit au Luxembourg , avantnbsp;qu'une autre eüt ramafte cent pierres efpacées

comme

ArïTHMÉTIQÜE. Chap. vil. lt;^5 Comrne ci-cleffus, amp; fous les mêines conditions,nbsp;i-a derniefe ne pouvoit fe Ie perfuader, amp; gageanbsp;wne fomme aflea forte; mais elle perdit. Et ennbsp;®det elle devoit perdre ; car ]e doute qu’il y aitnbsp;Luxembourg a Meudon 5050 toifes, ce qui ennbsp;poyr aller amp; revenir loioo. Or celui qui alloitnbsp;Meudon avoit, fur celui qui ramaffoit les pierres ,nbsp;^ ^-Vantage de n’avoir pas a fe baifler cent fois denbsp;^Liite amp; fe relever autant de fois; ce qui devoitnbsp;^^trémement ralentir fon operation. Aufll la pre-ïïiiere fut-elle de retour , a ce qu’on m’a raconté,nbsp;*ïue l’autre étoit a peine a la quatre-vingt-cin-^I^teme pierre.

PROBLÊME II.

Proprlkaire cjl convenu avec ün Magon qui doit i-ui creufer un puits , de lui donner trois livresnbsp;pour la premiere toife de profondeuf, cinq pournbsp;la feconde ,fept pour la troijicme^ amp; ainfi jufquanbsp;la viugtieme toife inclujivement, ou il doit ren~nbsp;contrer 1 eau. On demande combien il fera dü aunbsp;Magon quaiid il aura fini fon ouvrage gt;

L A réponfe efl: facile, au moyen des regies don-^ées plus haut: car la difference des termés eft ici ^ 5 Ie nombre des termes efl: 20; conféquemment,nbsp;Pour avoir Ie vingtieme terme, il faut multipliernbsp;^ par 19 , amp; ajouter Ie produit 3833, premiernbsp;terme; ce qui donnera 41 pour Ie vingtieme terme.

Ajoutez enfuite Ie premier amp; dernier termes, Ceft-a-dire 3 amp; 41, ce qui donne 44, amp; multi-PÜez cette fomme par lo , moitié du nombre desnbsp;termes; vous aurez 440 pour la fomme de tous lesnbsp;termes de la progrelflon, Sc pour Ie prix total denbsp;t’ouvrage.

Tome I, nbsp;nbsp;nbsp;E

6(S Récréations Mathématiques,

PROBLÊME III.

Z/n Propriétaire étant convenu avec un Ma.-qon , pour creufer un puits de vingt toifes de profondeur, de lui payer une fomme degoo livres,nbsp;ce Magon tombe malade d la huitieme toifc , amp;nbsp;ne peut continuer l’ouvrage. On demande comrnbsp;bien il lui ejl dii?

C E feroit afTurément fe tromper, que de préten-dre qu’il fut du a eet ouvrier les deux cinquiemes du prix total., paree que 8 toifes font les deuxnbsp;cinquiemes de la profondeur eonvenue : ear 11 eftnbsp;alfé de voir que la peine augmente a mefure qu’onnbsp;parvient a une plus grande profondeur. On fup-pofe au refte, car il leroit difficile de Ie determiner précifément, que la difficulté croit arithmé-tiquement comme la profondeur, enforte que Ienbsp;prix doive croitre de même.

II faut done , pour réfoudre ce problême, dif-tribuer la fomme de 400 livres en vingt termes qui foient en progreffion arithmétique : la fomme desnbsp;buit premiers donnera ce qui eft dü au maqonnbsp;pour fon ouvrage.

Mais la fomme de 400 livres peut être diftribuée en vingt tennes arithmétiquement proportionnelsnbsp;de bien, des manieres différentes , fulvant qu’onnbsp;détermlnera Ie premier terme qui eft ici indéter-nviné : car li on Ie fuppofoit, par exemple , d’unenbsp;livre, la progreffion feroit t, 3, 5? 7i dontnbsp;39 feroit Ie dernier terme ; ce qui donneroit pournbsp;les hult premiers termes la fomme de 64 livres. Annbsp;contraire , ft on Ie fuppofoit, par exemple, 10^»

ia fuite des termes feroit 10 A, II i2.|, 13d»

14 i, amp;c : ce qui donneroit pour les hult premiers ia fomme de uó livres.

Aritmétique, Chap. VII. Cj Alnfi, pour réfoudre Ie problême convenable-, Sr affigner avec équité ce qui eft dü, dansnbsp;Ie cas propofé, a 1’ouvrier pour ce commencementnbsp;d’ouvrage, il faudroit commencer par determinernbsp;que vaut équitablement line toife d’ouvragenbsp;lemblable a la premiere , amp; prendre ce prix pournbsp;ptemier terme de la progreffion. Je fuppofe quenbsp;prix foit la fomme de 5 livres: alors on auranbsp;Pour la progreffion cherchée

'lernier terme 3 5.

Pourtrouver done la fomme des buit premiers kermes, il faut d’abord trouver Ie huitieme terme ,nbsp;^ pour eet effet multiplier la difference commune, OU par 7, ce qui donne n l’ajouternbsp;9u premier terme 5, ce qui donne pour ce huitiemenbsp;ïetme lö-^t ajoutez-y encore Ie premier terme ,nbsp;^ multlpUez la fomme 21 —¦ pat 4 ; ie produitnbsp;ffi fomme des buit premiers termes , ounbsp;qui eft dü a 1’ouvrier pour la portion d’ouvragenbsp;ftu’il afaite.

PROBLÊME IV.

homme dolt 18 Co livres a un criancur qui veut Vien lui fadliter Ie moyen de s’acquiiter en unnbsp;nn, fous les conditions fuivantes ; fgavoir, denbsp;lui payer Ie premier mois la fomme de 100 , amp;nbsp;^nfuite chaque mois une fomme de plus que Ienbsp;précédent, jufqii au doufieme qui complettera Ienbsp;paiement, On demande quelle tf cette fommenbsp;dont Ie paiemerit de chaque mois doit être aug~nbsp;menté }

ce probldme, lies paieroents a faire de *bojs en mois doivent augmenter en progreffion

Eij

lt;58 Recreations Mathématiques.

arithmétlque , amp; 1’on a la fomme des termes ^ fqavoir, ladite fomme totale due : on connoitnbsp;aufll four nombre , qui efl: i z. Mals la differencenbsp;ties termes eft inconnue ; car c’eft celle dont lesnbsp;paiements doivent croitre de mois en mois.

Pourlalrouver, ótez d’abord de la fomme totale Ie premier paiement multiplié par Ie nombre des termes , c’eft-a-dire ici i zoo livres, il refteranbsp;660 ; multipliez enftiite Ie nombre des termesnbsp;dimlnué de runité ou 11 , par la moltié dunbsp;nombre des termes ou 6, vous aurez Ie nombrenbsp;66, par lequel vous dlviferez Ie refte 660 : Ienbsp;quotient fera i o , amp; fera la difference cherchée.nbsp;Ainff Ie premier paiement étant loo, Ie fecondnbsp;fera 110 , Ie troifieme i zo, enfin Ie dernier zio.

s. 11.

Des Progrt^ons gèamétriques : expojition de leuri principaks Proprikis.

Lorfqu’on a une fuite de termes dont chacun eft Ie produit du précédent par un même nombre, ou,nbsp;ce qui eft la même chofe , dont chacun eft au précédent dans Ie même rapport, ils forment ce qii’ounbsp;appelle une progreftion géométrique: ainfi i, 2 gt;nbsp;4, 8, ï6, amp;c. forment une progreftion géométrique; car le fecond eft Ie double du premier, fonbsp;troifieme Ie double du fecond, amp; ainfi de fuite.nbsp;Les termes 1,3,9, ^7»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, amp;c. forment auffi une

progreftion géométrique , chaque terme étant tri' ple de celui qui Ie précede.

I. La principale proprièté de la progreftTioR géométrique eft que, fi l’on prend de fuite troi*nbsp;termes quelconques, comme 3,9,27 , Ie produitnbsp;SI des extremes eft égal au quarré du terme moyeit

Arïthmétique. Chap. VIL

5 • de mêine fi I’on en prend quatre de fulte, comme 5,9, 27, 81, Ie produit des extremesnbsp;^43 5 eft égal au produit des deux moyens 9 amp; 27.

Enfin, li l’on prend un nombre quelconque de ^uite, comine 2, 4,8, 16, 32, 64, Ie produitnbsp;des extremes 2 amp; 64, eft égal au produit des deuxnbsp;Sui en font également éloignés , l^qavoir 4 amp; 32 ,nbsp;pu bien 8 amp; 16. Si Ie nombre des termes étoitnbsp;^'^pair, il eft évident qu’il y auroit un terme unique également éloigné des deux extrêmes.; amp;nbsp;^lors Ie quarré de ce terme feroit égal au produitnbsp;des extrêmes, ou de deux autres quelconques,'nbsp;également éloignés d’eux ou du moyeii.

II. II y a entre la progreffion géométrique amp; A Progreffion arithmétique une analogie qui doitnbsp;otre remarquée ici, amp; qui confifte en ce que cenbsp;convient a la derniere en employant ^additionnbsp;di la fouftraftion , convient i l’autre en y employant la multiplication amp; la divifion. Lorfquenbsp;dans la derniere on prend la moitié ou Ie tiers,nbsp;dans la premiere on empioie l’extraftian de lanbsp;racine quarrée, ou cubique , 8tc.

Ainfi, pour trouver un nombre moyen arithmé-*ique entre deux autres, par exemple 3 , 12, on ^Joute les deux extremes donnés, amp; l’on prend lanbsp;“rioitié 7 ^ de la fomme 15, qui eft Ie nombre cher-: mais pour trouver un moyen géométriquenbsp;^ritre deux nombres , on multiplie les extrêmesnbsp;donnés, amp; l’on tire la racine quarrée du produit.nbsp;^oient, par exemple, ces nombres 3, 12; leurnbsp;Ptoduit eft 36 , dont la racine quarrée 6 eft Ienbsp;Nombre cherché.

Si l’on a une progreffion géométrique quelcon-» comme 1,2,4, nbsp;nbsp;nbsp;16, 32, 64, amp;c. amp;

on écrive, comme on voit dans l’exemple ei-

E iij

7Ö Recreations Mathématiques.

cleffous, les termes cl’une progreffion arlthmétiquÉf par ordie au defius de ceux de la progreffion géo-métricpie,

01234 nbsp;nbsp;nbsp;56nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10

, I 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

on remarquera les propriétés fuivantes dans cette t'Ombinaifon,

1° Qu’on prenne deux termes quekonques de la' progreffion arithmetiquepar exemple 4 amp; 64,nbsp;amp; qu’on les multiplie, leur produit eft 256. Qu’oiinbsp;prenne pareillement les deux termes de la progreffion géomëtrique répondants a 4 amp; 64, quinbsp;font 2‘ amp; 6 , amp; qü’on les ajoute , la fomme 8nbsp;fépondra au produit ci-deffus 256.

2» Prenez dans la progreffion inférieure quatre termes en proportion géomëtrique,, par exemplenbsp;2, 16,; 64, 512 ; les nombres de la progreffionnbsp;fuperie.ure correfpondants feront 1,4, 6, 9 , quinbsp;font en proportion arithmetique, car la différencenbsp;dê 4 a I eft la merne que celle de 9 a 6.

3° Si I’on prend dans la fuite inférieure un nombre quarre , 64 par exemple , amp; dans la fuitenbsp;fuperieure le terme cpii lui repond, fqavoir 6 , lanbsp;moitie de ce dernier, 3, fe trouvera répondre a lanbsp;racine quarrée de 641 fqavoir 8.

En prenant dans la iuite inférieure un cube, par exemple ^12, Se dans la fuperieure le nombrenbsp;correfpo.nclant 9, il fe trouve que le tiers de cenbsp;d.erhier, qui eft 3 , eft auffi correfpondant a lanbsp;racine cubique 8 du premier.

Ainli 1’on voit que_ ce qui, dans la progreffion géométrique, eft multiplication, eft addition dansnbsp;raritliinstique; ce qui eft divifion dans la prc'

Arithmétique, Chap. FII. 7^

iRiere, eft fouftraftion dans la derniere ; ce qui eft enfin extraftion de racine quarrée, cubique, amp;c.nbsp;dans la progrefiion géométrique, eft fimple d'wl-fton par % , par 3 , amp;c. dans rarithmétique.

Cette analogie remarquable eft Ie fondement de la théorie vulgaire des logarithmes; amp; nous anbsp;paru par cette raifon mériter que nous entraffionsnbsp;ici dans quelques détails a fon ftijet.

III. nbsp;nbsp;nbsp;II eft évident que toutes les puififances parnbsp;ordre d’un même nombre, forment une progref-fion géométrique ; telle eft; la fuivante , qui eftnbsp;Celle des puififances du nombre 2,

2 4 8 nbsp;nbsp;nbsp;16nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;32 64nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;128nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;c,

II en eft de même des puiftfances du nombre 3 , qui forment la fuite

3 nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;81nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;243nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;729nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;c.

La premiere de ces fuites a une propriété particuliere , fqavoir , que ft Ton prend les premier deuxieme, quatrieme, huitieme, feizieme , trente-deuxiemq termes, qu’on y ajoute Tunité, 11 ennbsp;refultera des nombres premiers.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;On appelle I’expofant d’une progreflionnbsp;géométrique, le nombre qui réfulte de la divilionnbsp;d’un terme quelconque par celui qui le précede^:nbsp;ainfi , dans la progrefifion géométrique 2,8,32,nbsp;128, 512 , I’expofant eft 4; car, en divifant 128nbsp;par 32 , ou 32 par 8 , ou 8 par 2 , le quotient eftnbsp;toujours 4. Ainfi I’expofant joue dans la progref-fion géométrique, le même rólè que la différencenbsp;dans la progreflion arithmétique, c’eft-a-dire qu’ilnbsp;eft toujours conftant.

Pour trouver done, dans une progreflion geo-ntetrique dont le premier terme amp; I’expofant font

E iv

Recreations Mathématiques, connus, un terme quelconque , par exetnple Ienbsp;huitieme , multipliez eet expofant par lui - mêmenbsp;lept fois de fulte, ou autant de fois qu’il y a d’u-nités dans fon rang, moins un ; ou, ce qui eft lanbsp;même chofe, élevez eet expofant a la feptiemenbsp;puiffance; enfin multipliez Ie premier terme par Ienbsp;produit: Ie nouveau produit fera Ie huitieme termenbsp;cherehé. Soit, par exemple, Ie premier terme 3 ,nbsp;amp; 1’expofant de la progreffion 2 : pour avoir Ienbsp;huitieme terme, on prendra la feptieme puiffancenbsp;ffe 2 , qui eft 128; multipliez enfuite par 128 Ienbsp;premier terme 3; Ie produit, qui fera 384, don-nera Ie huitieme terme cherché de la progreffion.

Remarquons ici que s’il eüt été cfueftion d’une progreffion arithmétique dont Ie premier termenbsp;eüt été donné ainfi que la difference, amp; qu’oneütnbsp;voulu avoir Ie huitieme terme, on eüt multipliénbsp;cette difference par 7, amp; on eüt ajouté Ie produitnbsp;lau premier terme. On voit par conféquent icinbsp;une fuite de 1’analogie remarquée dans Ie para-graphe III.

V. On trouve la fomme des termes d’une progreffion géométrique déterminée, de la maniere fuivante.

Multiplu\ h premier terme par lul-même , amp; Ie dernier par Ie fecond, amp; prenet^ la diff'érence de cesnbsp;deux produits,

Divife^ enfuite cette difference par celle des deux premiers termes, Ie quotient fera la fomme de tousnbsp;les termes.

Soit, par exemple , la progreffion 3,6, 12, 14, amp;c. dont Ie huitieme terme eft 384, amp; qu’onnbsp;demande la fomme de ces huit termes; Ie produitnbsp;du premier par Ufi-même eft 9, celui du derniernbsp;par Ie fecond eft 2304, la différence eft 2,295:

Arithmétique. Chap. FIL 7J ^^vlfez done 2,195 P^’quot; 3» difference des premiernbsp;p Pecond termes , amp; vous aurez pour quotientnbsp;Ie nombre 765 , qui fera la fomme de ces huitnbsp;termes,

Une progreflion géométrique peut décroï-a l’infini, fans qu’on parvienne jamais a zéro ; il eft évident qu’une partie quelconque d’unenbsp;H'^antité qui eft plus grande que zéro, ne peutnbsp;l3mais être zéro, Ainfi une progreflion géométri-*lue décroiflante peut fe prolonger a l’infini: il n’ynbsp;^ qu’a divifer Ie dernier terme par 1’expofant de lanbsp;progreflion , amp; l’on aura Ie terme fuivant. Voidnbsp;riuelques exemples de progreflions géométriquesnbsp;décroiffantes:

I i i- i- _L ¦*3 23 43 83 14

1 nbsp;nbsp;nbsp;- i —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;-C

^3 nbsp;nbsp;nbsp;3gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;17Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8i3

VII, La fomme d’une progreflion géométrique croiflante amp; continuée a l’infini, eft évidemmentnbsp;infinie: mais celle d’une progreflion géométriquenbsp;décroiffante, quelque nombre de termes qu’on ennbsp;prenne , eft toujours finie, Ainfi la fomme de tousnbsp;^es termes a l’infini de cette progreflion i,

^c. n’eft que 2 ; celle de la progreflion i , j, ^, ^c. a l’infini, n’eft que i ~, amp;c. Cela fuit nécef-Pairement de la méthode donnée plus haut pournbsp;trouvef la fomme de tant de termes qu’on voudranbsp;d’une progrelfion géométrique; car fi nous la fup-Pofons prolongée a l’infini amp; décroilTante, Ie der-raier terme fera infiniment petit ou zéro : ainfi Ienbsp;produit du fecond terme par Ie dernier fera zéro ;nbsp;di conféquemment il n’y aura qu’a divifer Ie quarrénbsp;du premier terme , par la différence du premiernbsp;èt du fecond. C’eft ainfi qu’on a trouvé que l ,

74 Recreations Mathématiques.

^ gt; i ? i 5 amp;c. a 1’infini, eft egal a 2 , amp; que I f y, y,=i:|ou ly; car le quarre de i eft i, la difference de I amp; I i eft : enfin l’unité divlfée par ^nbsp;donne 2 ; de même i , étant dlvifé par y, qui eltnbsp;la différence de i amp; de j , donne y.

Remarque.

Lorsqu’on dit qu’une progreffion continue'e a I’infini peut ctre égale a une quantite finie, onnbsp;ne pretend pas , a I’exemple de M. de Fontenelle ,nbsp;dire que I’infini puifie avoir une exiftence reelle.nbsp;Ce qu’on entend fieulement par-la, amp; a quoil’onnbsp;doit reduire toutesles expreffions femblables , c’eft;nbsp;que, quelque nombre de termes qu’on prenne denbsp;la progreffion, leur fomme ne fqauroit égaler lanbsp;quantite finie détermince , quoiqu’elle en appro-che de maniere, que leur difference peut devenirnbsp;plus petite qu’aucune quantite affignable.

PROBLEMS I.

Achilh va dix fois plus vite quune tortm qui A une Jladc d'avance. On dcmande s'll ejl pojfjiblcnbsp;qu it Vatteigne^ amp; a quelle dijlance il 1'atteindra?

Cette queftion n’a de la célébrité que paree que Zenon, chef des Stoiciens, pretendoit, par unnbsp;fiophifme , prouver qu’Achille n’atteindroit jamaisnbsp;la tortue : car , difoit-il , pendant qu’Achille feranbsp;une ftade , la tortue en aura fait une dixieme ; amp;nbsp;pendant qu’il fera cette dixieme , la tortue ennbsp;fera une centieme qu’elle aura encore d’avance;nbsp;6c ainfi a I’infini: par confequent il s’ecoulera unnbsp;nombre infini d’inftants avant que le héros ahnbsp;atteint le reptile : done il ne 1’atteindra jamais.

, Il ne faut cependant qu’avoir le fens commu»

ArITHMÉTIQUE. Chap. FlI. 7J pour voir qu’Achille atteindra bientot la tortue ,nbsp;puifqu’il la dépaffera. D’oii vient done Ie fo-phifme ? Le voici.

Achille n’atteindrolt en effet jamais la tortue, ^ les intervalles de temps pendant lefquels on fup-Pofe qu’il a fait la premiere ftade , amp; enfuite lesnbsp;^ixieme, centieme, millieme de flades que la torque a eus fucceffivement d’avance fur lui, etoientnbsp;®gaux; mais en fuppofant qu’il ait fait la premierenbsp;fiade dans lo minutes de temps, il ne mettranbsp;qu’une minute a parcourir une dixieme de ftade ,nbsp;enfuite de minute pour parcourir une centieme,nbsp;amp;c : ainfi les intervalles de temps qu’Achille em-ploiera a parcourir 1’avance que la tortue a gagnéenbsp;pendant le temps précédent, iront en décroiflantnbsp;de cette maniere , lo, i,-7^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, 77^ , amp;c.

ce qui forme une progreffion géométrique fous-decuple, dont la fomme eft égale a 11 C’eft I’intervalle de temps après leejuel Achilie auranbsp;atteint la tortue?

P R O B L E M E II.

Ces deux aiguilles d’une pendule d minutes partent enfemhle du point de midi. On demande quelsnbsp;feront les points du cadran oii elles fe rencontre-ront fuccejjivement , pendarit unc revolutionnbsp;entiere de celle des heures ?

Ce probleme, confidéré d’une certaine maniere, ne differe pas du précédent. L’aiguille des minutesnbsp;joue ici le róle que faifoit Achille dans le premier ;nbsp;amp; celle des heures, qui va douze fois moins vite ,nbsp;celui de la tortue. Enfin, li 1’on confidere 1’aiguillenbsp;lt;ies heures comme commenlt;^ant une feconde révo-

76 Recreations Mathématiqe’Es. lution, amp; celle des minutes comme commenqantnbsp;la premiere, I’avance de I’line fur I’autre fera unnbsp;tour entier du cadran. Lorfque celle des minutesnbsp;aura fait une revolution , celle des heures en auranbsp;fait une douzieme ; amp; ainfi progreffivement. Hnbsp;n’eft done queftion , pour refoudre ce probleme ,nbsp;que d’appliquer a fes donnees la méthode employeenbsp;pour celui de la tortue , Sc.l’oR trouvera que 1’in-tervalle, depuis midi jufqu’au point ou fe rencon-treront de nouveau les deux aiguilles, fera de lanbsp;revolution entiere ; ou , ce qui revient au mdme,nbsp;celui d’une heure amp; ~ d’heure. Elies fe rencon-treront enfuite a i heures amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, a 3 heures amp; -;V»

a 4 heures amp; enfin an heures amp; jy, e’eft-^ dire an heures.

On peut auffi refoudre le probleme fans conlT-deration de la progreffion géométrique; car, puif-que I’aiguiHe des minutes va douze fois auffi vite que celle des heures, la premiere parcourra , dansnbsp;le temps écoulé depuis leur depart du point denbsp;midi jufqu’a leur nouvelle rencontre, un efpacenbsp;egal a douze fois le chemin de la feconde depuisnbsp;ce merne point de midi; par confequent ce chemin fera de la revolution entiere , ainfi qu’it eftnbsp;aife de fe le demontrer.

PROBLEME III.

l/n homme ay ant fait quelquc chofe de fort agréahle d un fouverain , celui-ci veut le récompenfer, ërnbsp;ltd ordonne de faire la demande quil voudra, luinbsp;promettant quelle lui fera accordee. Cet hommenbsp;qui if infruit dans la fcience des nomhres, fe-home d fuppHer le monarque de lui faire donnednbsp;la quantké de bled qui proyiendroit en commen-

Arïthmetique. Chap. vu. 77

^ant par un grain ^ amp; m doublant foixantc~ trois fois de fuite. On demande quelle ejl lanbsp;yaleur de cette récompenfe ?

Un auteur Arabe, Al-Sephadi, raconte l’ori-gine de ce problême d’une maniere aflez curieufe pour trouver place ici. Un rol de Perfe , dit-ii,nbsp;^yant imagine Ie jeu de Trie - true , en étoit toutnbsp;glorieux. Mais il y avoit dans les Etats d’un roinbsp;tie 1’Inde un mathématicien nommé SejJ’a , Illsnbsp;de Daher, qui inventa Ie jeu AUchecs. II Ie pré-fenta a fon maitre, qui en fut fi fatisfait, qu’ilnbsp;Voulut lui en donner une marque digne de fa magnificence , amp; lui ordonna de demander la récompenfe qu’il voudroif, lui promettant qu’elle luinbsp;leroit accordée. Le mathématicien fe borna a de-®^ander un grain de bied pour la premiere cafe denbsp;fon échiquier, deux pour la feconde, quatre pournbsp;la trolfieme, amp; ainfi de fuite, jufqu’a la dernierenbsp;OU la foixante-quatrieme. Le prince s’indigna pref-que d’une demande qu’il jugeoit répondre mal anbsp;fa libéralité, amp; ordonna a fon vifir de fatisfairenbsp;Seffa. Mais quel fut 1’étonnement de ce miniftre,nbsp;lorfqu’ayant fait calculer la quaiitité de bied né-oeffaire pour remplir 1’ordre du prince , il vit qiienbsp;iion-feulement il n’y avoit pas aflez de grains dansnbsp;fes greniers , mais même dans tous ceux de fesnbsp;fujets amp; dans toute l’Afie ! II en rendit compte aunbsp;toi, qui fit appeller le mathématicien , amp; lui ditnbsp;qu’il reconnolffolt n’étre pas affez rkhe pour rem-phr fa demande, dont la fubtilité 1’étonnoit encorenbsp;plus que l’invention du jeu qu’il lui avoit préfenté.

Telle eft, pour le remarquer en paffant, 1’origine du jeu des Echecs, du moins au rapport de 1’hido-rien Arabe Al-Sephadi, Mais ce n’eft pas lei notre

yS Recreations Mathématiques.

objet de difcuter ce qul en eft :'occupons-nous du calcul des grains demandés par Ie mathématiciennbsp;Seffa.

On trouve, en faifant ce calcul, que Ie foixante-quatrieme ferme de la progreffion double en com-nienqant par Tunité , eft Ie nombre 9x1337205 lt;5854775808. Or , dans la progreffion doublenbsp;commenqant par Tunité , la fomme de tons lesnbsp;termes fe trouve en doublant Ie dernier amp; en ótantnbsp;Funité. Ainfi Ie nombre des grains de bied nécef-faire pour remplir la demande de Sefla , étoit Ienbsp;fuivant, 1844674407370955 1615. Or 1’on trouvenbsp;qu’une livré de bied de médiocre grofleur amp; mé-diocrement fee contient environ 11800 grains,nbsp;amp;: conféquemment Ie fetier de bied , qui eft denbsp;140 livres poids moyen, en contiendroit environnbsp;3071000; je le fuppofe de 3100000: divifantnbsp;done le nombre des grains trouvés ci-deffus par cenbsp;dernier nombre , 11 en réfulteroit 59505620044nbsp;412 fetiers , qu’il eüt fallu pour acquitter Ia pro-mefte du roi Indien. En fuppofant encore qu’unnbsp;arpent de terre enfemencé rendit cinq fetiers , ilnbsp;faudroit, pour produire en une année la quantiténbsp;de fetiers ci-deffiis, la quantité de 1190111408nbsp;884arpents; ce qui faxt prés de buit fois la iur-face entiere du globe de la terre : car la circonfé-rence de la terre , étant fuppofée de 9000 lieuesnbsp;moyeitnes , c’eft-a-dire de 1280 toifes au degré ,nbsp;fa furface entiere, y comprife celle des eaux denbsp;toute efpece, fe trouve de 148882176000 arpents.

M. Wallis envifage la chofe un peu autrement , amp; trouve dans fon Arithmétique , que la quantiténbsp;de bied néceftTaire pour remplir Ia promeffe faitenbsp;a Sefla , formeroit une pyramide de 9 milles an-glois dc longueur, de largeur amp; de hauteur ; ce

ArithMètique. Chap. FIT. jq lt;iui revient a urte pareille pyramide qui auroit 3 denbsp;lieues (d’environ 3000 toifes ) en tout fens denbsp;^^fe, amp; trois lieues de hauteur , ou a une malTenbsp;parallelipipede de 9 lieues quarrees de bafe , furnbsp;hauteur uniforme d’une lieue. Or 3000 toifesnbsp;hauteur font 18000 pieds; ainfi ce folide efl;nbsp;^équivalent d’un autre de 162000 lieues quarreesnbsp;^ur un pied de hauteur: d’ou il fuit que la quantitenbsp;bled ci-delTus couvriroit 162000 lieues quar-, a la hauteur d’un pled ; ce qui fait au moinsnbsp;^^ois fois la furface de la France, qui ne contient,nbsp;32 penfe , toute reduftion faite , guere plus denbsp;50000 lieues quarrees.

En fuppofant le fetier de bled a une piftole, la quantite de bled ci-deffus vaudroit 595056260nbsp;444^^0 livres , ce qui fait 5950562 milliards ,nbsp;fomme qui excede probablement toutes les ri-^hamp;ffes exiftantes fur la terre.

On propofe le même problême d’vxne autre ma-niere que voici. Un maquignon pojjede un trhs-i’^au chzval dont un hornme a envie; mais cct ache-,pcti difpofi a y mcttrc k prix convenabk, ejl f-ndicis. Le maquignon , pour k determiner par Vap-parence d'un prix mediocre , lui offre de fe contenternbsp;dll prix du vingt-quatrieme clou des fers du cheval ^nbsp;Payé d raifon d'un denier pour k premier clou , denbsp;deux pour k deuxieme, quaere pour le troijieme, amp;c.nbsp;Jiifqu’aii vingt - quatriemc. L'acheteur, croyant knbsp;Marche fort avantageux pour lui , I'accepte. Onnbsp;demande k prix du cheval?

Ce cheval couteroit fort cher; car, en falfant calcul, on trouve que le vingt-quatrieme termenbsp;Cette progreffion i, 2, 4,8 , amp;c. eft 8388608 ;nbsp;3infi ce lerolt ce nombre de deniers que devroitnbsp;donner I’acheteur, ce qui revient a trente - quatre

2ö RÉCRÉA-rtONS Mathématiques. mille neuf cents cinquante-deux livres dix foiiSnbsp;huit deniers. Aucun cheval Arabe de la plus noblenbsp;race ne fe vendit jamais ce prix.

Si Ie prix convenu du cheval eut été la valeur de tous les clous, en payant Ie premier un denier,nbsp;Ie fecond deux, Ie troilieme quatre , amp;c. il feroitnbsp;du double , moins Ie premier terme, c’eft-a-direnbsp;de 69908 liv. I f. 3 den.

Nous allons terminer ce chapitre par quelques remarques phyfico - mathématiques fur la prodi-gieufe fécondité , amp; la multiplication progreffivenbsp;des animaux amp; des végétaux , qui auroit lieu linbsp;les forces de la nature n’éprouvoient pas conti-iniellement des obftacles.

I. On ne fera point étonné que la race d’A-braham, après 260 ans de féjour en Egypte, ait pu former une nation capable de donner de 1’in-quiétude aux fouverains du pays. En effet, TEcri-tiire raconte que Jacob s’établit dans cette contréenbsp;avec foixante-dix perfonnes: je fuppofe que denbsp;ces foixante - dix perfonnes il y en eüt vingt, ounbsp;trop avancées en age, ou trop jeunes pour êtrenbsp;propres a la generation; que des cinquante au-tres reftantes il y en eut vingt-cinq males amp; vingt-cinq femelles, formant vingt-cinq mariages ; quenbsp;chaque couple enfin eüt produit dans la durée denbsp;vingt-cinq ans, huit enfants l’un portant 1’autre,nbsp;ce qui ne paroit pas difficile a croire dans un paysnbsp;renommé par la fécondité de fes habitants; onnbsp;trouvera qu’au bout de 25 ans ce nombre- denbsp;foixante-dix a pu s’accroitre jufqu’a deux centsnbsp;foixante-dix , dont ótant les morts, il n’y a peut-être pas d’exagération a Ie porter a deux cents dix:.nbsp;ainli la race de Jacob a pu être triplée après vingt-cinq ans de féjour en Egyp*-^’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;même raifon

ces

Arithmetique. Chap. Fit. 8£ deux cents dix perfonnes, après vingt-cinqnbsp;3titres ahnees, ont pu s’augfflenter jufqu’a fix centsnbsp;ïiente, amp; ainfi de fuite en progreffion géométri-triple; d’oii il fuit qu’après deux cents vingt-^inq ans, la population a pu monter anbsp;perfonnes, parmi lefquelles il a pu aifément y ennbsp;^voir ^ a 600 mille adultes amp; en état de porter'nbsp;^es armes.

II. nbsp;nbsp;nbsp;En fuppofant quela race du premier homme,nbsp;Joute deduftion faite des morts, eüt double tousnbsp;*es vingt ans, ce qui n’efl: affurement pas contraire

forces de la nature , le nombre des hommes , ^près cinq fiecles, a pu monter a 1048^76. Ainfi ,nbsp;Adam ayant vécu environ 900 ans, il a pu voirnbsp;au milieu de fa vie , c’eft-a-dire vers 1’an 500 denbsp;Ion age , une poftérité de 1048576 perfonnes.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Quelle ne feroit pas la multiplication denbsp;plufieurs animaux, fi la difficulté de la fubfiftance,nbsp;u la guerre que les uns font aux autres , ou la con-foinmation qu’en font les hommes, ne mettoientnbsp;pas des bornes a leur propagation? Il eft aifé denbsp;fiémontrer que la race d’une truie qui auroit mis

fix petits, dont deux males amp; quatre femelles , fuppofant enfuite cbaque femelle mettre hasnbsp;Pareillement cbaque année fix petits^ dont quatrenbsp;I^nielles amp; deux males , monteroit, après douzenbsp;a 33^^4230.

Plufieurs autres animaux , comme les lapins , chats, amp;c. qui ne portent que pendant quel-^ues femalnes, multiplleroient encore avec bien,nbsp;plus de rapidite : la furface de la terre ne fufSroitnbsp;P^s, après un demi-fiecle feulement, pour leurnbsp;donner la fubfiftance , ou mêine pour les contenir.

Il ne faudroit qu’un bien petit nombre d’annees pour qu’un hareng remplit I’Ocean de fa poftérité j.nbsp;Tome I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F

Sz Recreations Mathématiques. fi tons fes oeufs étoient fécondés; car il n’eft guerenbsp;de poiffon ovipare qui ne contienne plufieurs mil-'nbsp;liers d’oeufs qu’il jette dans Ie temps du frii. Sup-pofons que ce nombre monte feulement a 2000 ,nbsp;qui donnent naiffance a autant de poiffons, moitiénbsp;males , moitié femelles : dans la feconde année ilnbsp;y en auroit plus de 200000 ; dans la troifieme ,nbsp;plus de 200000000; amp; dans la huitieme annéenbsp;ce nombre furpafferoit celui qui eft exprimé par 2nbsp;fuivi de 24 zéro. Or la folidité de la terre con-tient a peine autant de pouces cubes. Ainfi l’O-céan , quand même il occuperoit toute la furfacenbsp;du globe terreftre Sc toute fa profondeur , ne fuffi-roit pas pour contenir tous ces poiffons.

IV. Plufieurs végétaux couvriroient en très-peu d’années toute la furface du globe, fi toutes leursnbsp;femences étoient mifes en terre ; il ne faudroit pournbsp;cela que quatre ans a la jiifquiaine , qui eft peut-étre , de toutes les plantes connues , celle quinbsp;donne la plus grande cjuantité de femences. D’a-près quelques experiences, on a trouvé qu’une tigenbsp;de jufquiame donne quelquefois plus de 50000nbsp;grains ; réduifons ce nombre a lOOOO; a la qua-trieme generation il monteroit a i fuivi de 16nbsp;zéro. Or la furface de la terre ne contient pas plusnbsp;de 53597585 36000000 pieds quarrés. Ainft , ennbsp;allouant a chaque tige un pied quarré feulement,nbsp;Pon voit que la furface entiere de la terre ne fuffi-roit pas pour toutes les plantes provenantes d’unenbsp;feule de cette efpece a la fin de la quatrieme année.

Nous ne poufferons pas cette énumération plus loin, de crainte de tomber dans Ie défaut qu’onnbsp;peut juftement reprocher al’ancien auteur des/?é-criations Mathémdtlquis, II n’eft auciin leéleur anbsp;qui ce que nous venons de dire ne fuffife.

ARITHMÉTIQUE. Chap. VIL 8| IIL

Lit qudquts autres Progreiffions , amp; tntr mtrtS damp; la ProgrtJIJion harrnoniqut.

La proportion harmonique regne entre trois nombres, lorfque Ie premier eft au dernier, coinmenbsp;la difference du premier avec Ie fecond eft a cellenbsp;ftu fecond avec Ie troifieme. Ainft les nombres 6 ,nbsp;3)2,, font en proportion harmonique; car 6 eft;nbsp;a i, comme 3 , difference des deux premiers nom-tres , eft i I , différence des deux derniers. Cettenbsp;efpece de rapport eft appellé harmonique, par lanbsp;raifon qu’on verra plus bas.

I. Deux nombres étant donnés, on trouve Ie troifieme qui forme avec eux la proportion har-inonique, en multipliant ces deux nombres, Scnbsp;divifant leur produit par 1’excès du double du premier fur Ie fecond. Ainfi , étant donnés 6 Sc 3 ,nbsp;on a trouvé Ie troifieme en multipliant 6 par 3 , Scnbsp;divifant Ie produit 18 , par 9 qui eft l’excès de 12 ,nbsp;double de 6 , fur 3 Ie fecond des nombres donnés.nbsp;Ainfi ce quotient eft 2.

II eft aifé de voir par-la qu’il n’eft pas toujours , ^tl un fens , poflible de trouver un troifieme nom-Igt;te en proportion harmonique avec deux autres ;nbsp;^2r lorfque Ie premier eft Ie plus petit, fi fonnbsp;double eft égal ou moindre que Ie fecond , onnbsp;^’oncontrera un nombre infini, ou négatif. Ainfi Ienbsp;^’¦oifieme harmonique a 2 Sc 4, eft infini; car onnbsp;trouve que Ie nombre cherché eft égal i 8 divifénbsp;par ^ OU zéro. Or, pour peu qu’on foit arith-meticien, on fqait que plus Ie dénominateur d’unenbsp;fraftion eft au deffous -de 1’imité, plus la fraélionnbsp;eft grande. Conféquemment une fraéfion dont Ienbsp;denominateur eft p, eft infinie.

F ij

$4 Récréatïons Mathémattquës.

Si Ie double du premier nombre étoit moindre quele fecond , (comma il arriveroit, li 1’on pro-pofoit de trouver un troifieme harmonique a inbsp;^6') alors Ie divifeur cberché ièroit un nombrenbsp;négatif: c’eft, dans l’exemple propofé, —2: c’eftnbsp;pourquoi Ie troifieme harmonique cherché feroitnbsp;ki 12 divifé par — x , c’eft-a-dire —6 (lt;z).

Mais eet inconvenient, fi c’en eft un, n’eft pas a cralndre lorfque Ie plus grand nombre efl: Ie premier de Ia proportion ; car fi Ie premier furpalTenbsp;Ie fecond, a plus forte raifon fon double Ie furpaf-fera-t-il. Ainfi Ie troifieme harmonique fera tou-jours, clans ce cas, un nombre fini amp; pofitif.

IL Lorfqu’on a trols nombres en proportion h3rmonic[ue décroiffante, par exemple 6, 3,2,nbsp;il efl: aifé d’en trouver un quatrieme ; il n’y a qu’anbsp;chercher un troifieme harmonique aux deux der-niers, ce fera Ie quatrieme : pareillement Ie troifieme amp; Ie quatrieme ferviront a trouver Ie cin-quleme , amp; ainfi de fuite; ce qui formera ce qu’onnbsp;appelle une progrelfion harmonique , laquelle ,nbsp;par les raifons ci-deflTus, pourra toujours fe pro-longer en décroiflant. Dans l’exemple préfent,nbsp;cette fuite fe trouvera 6,3,x,A,|,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;c.

Si les deux premiers nombres euflent été 2 amp; i, on auroit eu la progrelTion harraonique

-1 A — Stc

7quot; 3 8’ nbsp;nbsp;nbsp;*

Ainfi c’efl; une propriété remarquable de la fuite des fraftions dont Ie numérateur efl: l’iinité, amp;nbsp;dont les dénominateurs font les nombres de Ia

(a) Voyez ce qu’on a dit plus haut lur les quantités negatives, a l’occafion de la progreflion arithmétique.

Arithmétique. Chap. VIL 8y

progreffion naturelle , d’etre en progreffion har** inonique.

En effet , indépendamment du rapport numé-J'ique défini ci-delTus, on trouve dans la fuite de ces nombres toutes les confonnances muficalesnbsp;poffibles : car Ie rapport de i a ^ donne l’oftave ;nbsp;celui de ^ a y, OU de 3 a 2 , donne la quinte; celuinbsp;y a y, OU de 4 a 3 , donne la quarte ; celui de

7 nbsp;nbsp;nbsp;a y , la tierce majeure; celui de y a y, ou de 6nbsp;a 5 , la tierce mineuve celui de | a y, ou de 9 a

8 nbsp;nbsp;nbsp;, Ie ton majeur enfin celui de y a -jfy ou de lOnbsp;a 9, Ie ton mineur. Mais ceci fera expliqué plusnbsp;au long dans la partie de eet ouvrage relative anbsp;la mufique.

P R O B L Ê M E.

QiielU cjl la fomme de la fuite infinie des nomhres en progreffion harmonique i,y,y,y,y,y,amp;c?

On a vu que la fuite des nombres en progreffion géométrique , füt-elle prolongée a I’infini , eft toujours égale a un noinbre fini qu’il eft aifé denbsp;ftéterminer. En eft - il de même dans Ie cas dunbsp;ptoblême que nous propolons ?

Nous difons que non , quoique dans Ie Journal ftc Trévoux (année 17nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;) un auteur fe fok donné

fieaucoup de peine a-prouverque la fomme de ces fraftions eft finie. Mais fes raifonnements fontnbsp;de vrais paralogifmes qu’il n’eüt pas bafardés s’ilnbsp;cut été plus géonietre (^) ; car il eft bien démontré

(a) L’infinité de la fomme de la progreffion 75T» fuit néceffairement d’une propriété connue denbsp;1 hyperbole entte les afymptotes, f^avoir, que faire com-prife entre la courbe amp; l’afymptote, eft plus grande qu’au-cune aire finie, ou qu’elle eft, enlangage vulgaire,infinie,

F lij

8ó Récréations Mathématiques.

xque la fuite i? ï 5 j? 7, f, amp;c. peut toujours êtrè prolongée de maniere a furpafler tout nombrenbsp;fini, quel qu’il foit.

S- IV-

T)c divcrfes Progre£ions décroiffantes a tinfini ^ dont ori connoit la fomme^

I. On peut former, fulvant des loix différentes , lune infinite de progreffions décroiffantes fur lef-quelles les mathématiciens fe font exercés. Le nu-mérateur, par exemple, étant conftamment l’u-nitë, les dénominateurs peuvent croitre felon lenbsp;rapport des nombres triangulaires i, 3, 6, lOjnbsp;.15, zi , amp;c. Telle eft la progreffion fuivante:

L nbsp;nbsp;nbsp;L ¦ i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

i5 3gt; é» loJ Iigt; 21»

Sa fomme eft ftnie, amp; précifément égale a De même Ia fomme de la progreffion dont, lesnbsp;numérateurs étant conftamment 1’unité, les déno-minateurs font les nombres pyramidaux, comme

ï ~ nbsp;nbsp;nbsp;-X- J- 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' /Vr

’ nbsp;nbsp;nbsp;4» iqj 20»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;35»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;56»

eft: égale a if.

Celle OU les dénominateurs font les pyramidaux du fecond ordre, comme celle-ci,

T i- nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O

^gt;5»'n'j 3 5’'»'7EJ 126 »

eft égale a if.

Celle OU ils font les pyramidaux du troifiemc ordre, comme

^ ’ 6» 21» 56» 146» 'ÏT?»

T

'• I

Arithmétique. Chap. FII. 87

Ainfi la lol que fuivent ces fommes eft appa-rente; amp; 1’on demandoit, par exemple, quelle ^eroit la fomme de la progreffion femblable , dontnbsp;les dénominateurs feroient les nombres pyrami-daux du dixieme ordre , il ferolt aifé de répondrenbsp;qu’elle eft égale a I7V.

II. Suppofons préfentement cette progreffion,

49 nbsp;nbsp;nbsp;99nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I6gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a59nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-56

dans laquelle les dénominateurs font les quarrés des nombres de la progreffion naturelle ;

Si 1’on eft curieux de fqavoir quelle eft fa fomme, nous répondrons, avec M. Jean Bernoullinbsp;qui 1’a trouVée Ie premier, qu’elle eft finie,nbsp;égale au quarré de la circonférence du eerde di-¦vifé par 6 , ou a 3.14152.*

l nbsp;nbsp;nbsp;'

Quant a celle ou les dénominateurs font les cubes des nombres naturels , Ie même M. Bernoulli convient ne 1’avoir pu encore découvrlr.

Le Ledeur curieux de ces recherches peut re-courir a 1’ouvrage de M. Jacques Bernoulli, inti-tulé Tra^atus di Seriebus infinitis, qui eft a la fuite de celui publié en 1713, a Bale, fous le tlfrenbsp;de Ars conjeclandi; il y trouvera amplement denbsp;quoi fe fatisfaire. II doit auffi voir divers Me-Rioires , tant de M. Jean Bernoulli, qui fe trou-¦Vent dans le recueil de fes oeuvres, que de M„nbsp;Euler , qui font inférés dans les Mémoires denbsp;Eétersboürg.

F iv

88 Recreations Mathéjviatiques.

CHAPITRE VIII.

J)es Combinaifons amp; Changements d’ordre,

AV A N T d’entrer en matiere, 11 ell necelTaire de deyelopper la conllruftion d’une tablenbsp;qui ell d’un grand ufage pour abréger les calculs :nbsp;'C’ell Ie triangle arithmétique de M. Pafcal.nbsp;Volei comment 11 ell formé, amp; quelques-unes denbsp;fes propriétés.

Formez d’abord une bande AB de dix quarrés égaux ; au delTous de cette bande, en vous retl-rant d’un quarré de gauche a droite , formez unenbsp;bande femblable C D, qui aura conféquemment

Arithmétique. Ckap. Fill. lt;?9 quarré de moins; amp; continuez ainfi, en vousnbsp;ïetiraut toujours d’unquarré, amp;c : vous aurezunenbsp;fuite de quarrés difpofés par bandes verticales 6cnbsp;^wizontales, amp; finiffant par un feul, ce qui for-iin triangle divifé par compartiments égaux jnbsp;ceft ce qui lui a fait donner Ie nom de trianglenbsp;^ï'dhmétique.

On y difpofera les nombres dont il doit être *'2mpli, de la maniere fuivante.

Dans chacune des cafes de la premiere bande infcrira 1’unité, ainfi que dans chacune desnbsp;^^fes qui font fur la diagonale A E.

Enfuite on ajoutera Ie nombre de la premiere Cafe de la bande C qui eft 1’unité, avec celui cjuLnbsp;cft dans la cafe immédiatement au delfus, amp; onnbsp;infcrira la fomme 2 dans la cafe fuivante. On ajou-fcra pareillement ce nombre avec celui de la calènbsp;deffus, ce qui donnera 3 qu’on infcrira dans lanbsp;Cafe fuivante. On aura par ce moyen ia fuite desnbsp;Sombres naturels r, 2, 3,4, 5, amp;:c.

Ea maniere de rempür les autres bandes horl-^ontales eft toujours la inême ; chaque cafe doit ioujours contenir la fomme du nombre qui eftnbsp;'^sns la cafe précédente du même rang , amp; denbsp;^clui qui eft immédiatement au defliis de cettenbsp;Café précédente. Ainfi Ie nombre 15, qui remplitnbsp;7 cinquieme cafe de la troifieme bande, eft égalnbsp;\ 'a fomme de 10 qui eft dans la cafe précédente ,nbsp;^ de j qui eft dans la cafe au deffus de celle-ci. IInbsp;eft de même de 21, qui eft la fomme de i ^nbsp;p de 6; de 3 5, dans la quatrieme ligne, qui eftnbsp;fomme de 13 amp; de 20; amp;c. amp;:c.

La premiere propriété de cette table eft de donner dans fes bandes horizontales les différents

ipo RiCRiATIONS Mathématiques. nombres naturels, triangulaires, pyramidaux, amp;C?nbsp;car dans la deuxierne on a les nombres naturelsnbsp;1, 2,3,4, amp;c ; dans la troifieme , les nombresnbsp;triangulaires i, 3, 6, 10, amp;c; dans la qua-trieme, les nombres pyramidaux du premier ordre,nbsp;ï , 4, 10, 20, 35, amp;c ; dans la cinquieme, lesnbsp;pyramidaux du deuxierne ordre, i, 5, 15, 35»nbsp;70, amp;CC. C’eft une luite néceffaire de la manierenbsp;dont la table eft formée ; car il eft facile de voirnbsp;que Ie nombre qui remplit chaque cafe , eft tou-jours la fonime de ceux qui rempliffent les cafésnbsp;précédentes a gauche dans la bande immédiate-jnent au deflus.

Onretrouve les mêmes nombres dans les bandes paralleles a la diagonale , ou rhypothénufe dunbsp;triangle.

Mais une propriété bien plus remarquable, amp; que concevront feulement ceux de ,nos lefteurs anbsp;qui 1’algebre n’eft pas inconnue ,v c’eft que lesnbsp;bandes perpendiculaires préfentent les coefficientsnbsp;Pu les nombres qui affecfent les difterentes partiesnbsp;d’une puiflance quelconquc, a laquelle un binome ,nbsp;comme a-pé ,peut être élevé; la troifieme bande,nbsp;ceux des trois membres d’un quarré; la quatrieme,nbsp;celle des quatre membres d’un cube; la cinquieme ,nbsp;celle des cinq membres d’un quarré-quarré. Maisnbsp;nous nous bornons a cette indication, amp;£ nousnbsp;paffons a expliquer ce qu’on entend par combiquot;nbsp;naifons.

On appelle combinaifons les différents choi^^ qu’on peut faire de plufieurs chofes dont Ie noifquot;nbsp;bre eft connu, en les prenant une a une , ou detu^nbsp;a deux, ou trois a trois, amp;c. fans avoir égard a leU*’nbsp;ordre. Soient, par exemple, les quatre lettr^

Arithmétique. Chap. Fill. 9» ®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^, c, i/, amp; qu’on propofe de fqavoir de com-

oien de manieres on peut prendre deux de ces J^ttres , on verra fans peine qu’on peut en fairenbsp;combinaifons fuivantes,ab ,ac, ad^ be^ bd, cd;

quatre chofes fe combinent deux a deux de fix manieres. Trois de ces lettres fe combine-*^®gt;ent de quatre manieres, abc, abd, acd, bed;

pourquoi les combinaifons de quatre cbofes **¦015 a trois, ne font qu’au nombre de quatre.nbsp;Dans les combinaifons proprement dites, onnbsp;fait point attention a I’ordre des chofes ; voilanbsp;raifon pour laquelle nous n’avons fait aucunenbsp;*^ention des combinaifons fuivantes , ba , ca , da ^nbsp;, db, dc. Si, par exemple, on avoit mis dansnbsp;^ chapeau les quatre billets marques a ,b ,c, d,nbsp;^ que quelqu’un pariat d’amener les billets a in d^nbsp;en en prenant deux a la fois, foit en les pre-^3nt 1’un après 1’autre, il n’importeroit en aucunenbsp;j^aniere que a vmt le premier ou le dernier: ainlinbsp;combinaifons ad ou da, ne doivent être icinbsp;^^gardees que comme une combinaifon unique.

^ais fi quelqu’un parioit d’amener a au premier Coup ^ au fecond , alors le cas feroit bien diffe-, Sc il faudroit faire attention a I’ordre fui-^nt lequel ces quatre lettres peuvent étre prifesnbsp;arrangees enfemble deux a deux : 1’on verranbsp;J-dernent que ces manieres font, ah, ha ,ac , ca^nbsp;da, be ,cb, bd, db ,cd, dc. Pareillement cesnbsp;^‘latre lettres pourroient fe combiner amp; s’arrangernbsp;a trois de ces vingt-quafre faqons, abe, achy

acd nbsp;nbsp;nbsp;*

, dca , cad, eda, bed, dbc, cbdy

, ^ gt; cdb , deb ; amp; 1’on ne fqauroit en trouver ^Vantage. C’eft ce qu’on appelle permutations amp;Cnbsp;^^angements d’ordre.

Recreations Mathématiqoïs. PROBLÊME I.

ILtant donné un nombre quelconque de chofes, détef-rtiiner de combien de manieres elles fe peuven^ combiner deux d deux, trois d trois , amp;c. J'anSnbsp;égard d l’ordre.

La folution de ce probléttie eft facile en faifant ufage du triangle arithmétique. Si vous avez huitnbsp;chofes a combiner trois a trois, par exemple; pre-nez la neuvietne bande verticale, (c’eft-a-dircnbsp;toujours celle dont Ie quantieme eft exprimé pafnbsp;un nombre excédant de Tunité celui des chofes anbsp;combiner); prenez enfuite la quatrieme bandsnbsp;horizontale , (c’eft-a-dire celle dont Ie quantietnsnbsp;eft d’une unité plus grand que Ie nombre des chofe*nbsp;a prendre enfemble ) ; vous trouverez dans la cafénbsp;commune Ie nombre de combinaifons cberché : ^nbsp;eft, dans l’exemple préfent, égal 356.

Mais 1’on peut ne pas avoir fous fa main ut* triangle arithmétique , ou bien Ie nombre desnbsp;chofes a combiner peut étre trop conlidérablenbsp;pour fe trouver dans cette table ; voici, dans c®nbsp;cas , une autre méthode très-fimple.

Le nombre des chofes a combiner étant donné» ainfi que la maniere dont elles doivent être prifes»nbsp;fqavoir, ou deux a deux , ou trois a trois, ScC'nbsp;I ° Formei^ deux progrejjions arithmétiques, l’une»nbsp;dont les termes aillent en décroijfant de Vunité, ^nbsp;comtnencer par le nombre donné des chofes d coif^'nbsp;biner, Vautre, celle des nombres naturels 1,

3gt; nbsp;nbsp;nbsp;gt;

Aprïs cela ,premi de chacune amant de tertn^^ qiiily a de chofes d prendre enfemble dans lanbsp;binaifw propofée j

Arithmétique. Chap. vin. 9?

B'* Multiplier enfcmble les termes de la premiere P^ogreJJion, amp; faites-en autant de ceux de la fe-^onde ;

4° Divifer nbsp;nbsp;nbsp;premier produit par Ie fecond:

^ ‘juotient Jera Ie nombre des combinaifons de--^utidé,

Ceue regie a été trouvée par une inclusion des les plus fimples aux plus compliqués. Maïs ilnbsp;^roit trop long d’entrer ici dans ce détail; onnbsp;peut recourir aux livres qui traitent Ipécialementnbsp;ces matieres: nous nous bornerons a donnetnbsp;Sliielques exemples de 1’appllcation de la méthode.

. §• I.

comblen de manures fe peuvent prendre CjO nombres combines deux d deux ?

Suivant la regie ci-deffus, 11 faut multiplier 90 par 89, divifer Ie produit 8010 par Ie produitnbsp;1 amp; 1, c’eft-a-dire par 2 ; Ie quotient 4005nbsp;Ie nombre des combinaifons deux a deux quinbsp;peuvent réfulter de 90 nombres.

Si l'on demandoit de combien de manieres les *^lt;^mes nombres peuvent être combinés trois anbsp;^''ois, la réponfe feroit auffi facile: il n’y auroitnbsp;H^’a multiplier enfemble 90,89,88 , amp; divifernbsp;^ produit, qui efl: 704880, par celui des troisnbsp;Sombres i, 2, 3 i Ie quotient 117480 eft Ie nombrenbsp;eherché.

On trouvera de même que 90 nombres fe peu-''ent combiner quatre a quatre de 2555190 ma-^'eres , fqavoir, en divifant Ie produit de 90,89, 8,87, par produit de l, 2,3,4.

Enfin , fi l’on cherchoit quel feroit Ie nombre

54 RÉcRéATTONs Mathématïques.

des combinaifons cinq a cinq dont feroient fufcep-* tibles les inêmes 50 nombres, on trouveroit, ennbsp;fuivant la même regie, qu’il y en a 43549268.

Remarlt;iue.

On verra , dans Ie Chapitre fuivant, l’appli-cation de cetfe queftion a l’analyfe de la loterie connue aujourd’hui fous Ie nom de VRcole Royalenbsp;Militaire.

$.11.

Si 1’on demandoit combien les fept planetes peuvent former entr\lles de diffirentes conjonclionSnbsp;deux a deux , il ferolt aifé de répondre 21 ; car ,nbsp;fuivant la regie générale, il faut multiplier7 par 6,nbsp;ce qui donne 42, amp; divifer ce nombre par Ie pro-duit de I amp; 2 , c’eft-a-dire par 2 : Ie quotient eftnbsp;done 21.

Si Ton vouloit abfolument fqavoir quel eft le nombre de conionftions poflibles de ces fept pla-netes, deux a deux, trois a trois, quatre a quatre,nbsp;Sec. on en trouveroit 120, en cherchant féparé-ment le nombre des conjonctions deux a deux,nbsp;celui des conjonftions trois a trois, amp;c. amp; lesnbsp;additionnant enfemble.

On pourroit encore y parvenir en ajoutant les fept termes de la progreffion géométricjue double ,nbsp;i6,32, 64;ce cjui donne 127. Maisnbsp;de ce nombre on doit oter 7, a caufe que, quandnbsp;on parle de conjonéiion de planete, il faut evi'nbsp;demment qu’elles foient reunies enfemble au moin*nbsp;deux ; car le nombre 127 comprend abfolumentnbsp;toutes les manieres dont fept chofes peuvent etrsnbsp;prifes une a une, deux a deux, trois a trois,

ArITHM ÉTIQUE. Chap. Fill. 95 de ce nombre U faut óter, dans la queftiotinbsp;Prefente , celui OÜ les chofes font prifes une anbsp;5 puifqu’une planete ifolee ne fait pas une

conjondfion.

PROBLÊME II.

Cn nombre quelconque de chofes etant donne, trou-ver de combien de manures elks peuvent êtrc arrangées.

L A folutlon de ce probleme eft facile en fo fer-''ant de la voie d’indudlion. En effet,

1° Une chofe a ne peut être arrangée qüe d’une Rianiere ; Ie nombre des arrangements eft done ,nbsp;dans ce cas, =1.

3-° Deux chofes peuvent dtre arrangées entre ^des de deux manieres ; ainfi , avec les lettresnbsp;, on peut faire les arrangements ab Sc banbsp;nombre des arrangements eft done égaia 2, ounbsp;au produit de I amp; 2.

3° Les arrangements de trois chofes , ab, c, Lgt;nt au nombre de fix; car ab peut en former,nbsp;la troifleme c, trois différents,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, acb, cab ;

^ ba en formera auffi trois différents, bac , bca, ^ba:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;q jie fqauroit y en avoir davantage. Le

'^ombre cherché eft done évidemment égal au P'^écédent multiplié par 3 , ou égal au produit denbsp;* j 2 Sc 3.

4° Ajoutons line quatrieme chofe , défignée par d: il eft évident que chacun des arrangementsnbsp;Precedents fe combinant de qnatre faqons avecnbsp;chofe, ce nombre doit être inul-*‘plié par 4, pour avoir celui des arrangements

96 Récréations Mathématiques,

réfultants de quatre chofes; c’eft-a-dire qu’il fera 24, OU Ie produit de i, 2, 3,4.

II eft inutile d’aller plus avant; amp; rien n’efi plus facile que d’appercevoir qu’un nombre quel-conque de chofes étant donné, on aura Ie nombrenbsp;d’arrangements dont elles font fufceptibles, en mul-tipliant enfemble autant de tenues de la progref-fion géométrique quil y a de chofes propofées.

Re MA Rlt;IU E,

1° II peut fe faire que, parmi les chofes pro-pofées, la mêine fe trouve répétée plufieiirs fois; comme fi l’on demandoit de combien de manieresnbsp;ces quatre lettres a,a,b, c, peuvent etre arran-gées enfemble : alors on trouve que quatre chofesnbsp;oü deux font les meines, ne font plus fufceptiblesnbsp;que de 12 arrangements au lieu de 24 ; q.ue cinqnbsp;OU deux font répétées, n’en peuvent plus fairenbsp;que 60 au lieu de 120.

Mais fi , dans quatre chofes, la même y étoit répétée trois fois , il n’y auroit plus que 4 combi-naifons au lieu de 24 ; cinq chofes ou la menienbsp;feroit répétée trois fois, n’en donnerolent plusnbsp;que 20 au lieu de 120, ou la fixieme partie.

Or Ie nombre 2 eft celui des arrangements dont font fufceptibles deux chofes différentes , Ie nom-bre 6 ,eft celui des arrangements de trois chofesnbsp;diiférentes; d’oü fuit la regie fuivante :

Lorfque, dans un nombre de chofes dont ott cherche les arrangements différents , la même s’ynbsp;trouve répétée plujieurs fois, divife^ Ie nombre dcsnbsp;arrangements que donne la regie générale , par l^nbsp;nombre d'arrangements que donnerolent les chofes

répéteer

Arithmétique. Chap. VIII. 97 ftpetées Ji elles hount différentes ; h quotient ferunbsp;^e nombre ckerché.

2.° Si, dans Ie nombre des chofes dont on de-*^ande les arrangements différents, il s’ep trouve plufieurs qui foient répëtées plufieiirs fois , unenbsp;fois, par exemple , amp; l’autretrois, il n’y auranbsp;chercher Ie nombre des arrangements fuivantnbsp;la regie générale, amp; Ie divifer par Ie produit desnbsp;^'Ombres qui exprimeroient les arrangements dontnbsp;^^roit fufceptible chacune des chofes répétées , fi ,nbsp;lieu d’être la même, elles étoient différentes.nbsp;Ainfi , dans Ie cas préfent, les chofes répétéesnbsp;^eux fois étant fufceptibles de deux arrangementsnbsp;elles étoient différentes , Sc celles qui Ie fontnbsp;ïtois fois pouvant donnet fix arrangements fi ellesnbsp;etoieht point répétées, on multipliera 6 par z ,nbsp;^ Ie produit iz donnera Ie nombre par lequel ilnbsp;faut divifer celui qu’on trouve paf la regie générale. Ces cinq lettres, par exemple, a,a,b,b,b^nbsp;Peuvent s’arranger de lo manieres feulement; car,nbsp;fi elles étoient différentes , elles donneroient i zonbsp;Arrangements ; mais 1’une étant répétée deux fois ,nbsp;^ 1’autre trois, il faut divifer i zo par Ie produitnbsp;2 amp; 3 , OU par iz , ce qui donne lo.

^ On peut , d’après la folution de ce problême , ''^foudre les queftions fuivantes.

§. I.

^^pt perfonnes devant diner enfemble, il s’élevei ^ntr'elles un combat de polite^e fur les places (a);nbsp;quelqu’un voulant terminer la contejlationy

{a) C’eft probablement dans quelque ville de provinc® «oignee de la capitate.

Tome ƒ, nbsp;nbsp;nbsp;G

^8 Recreations Mathématiques. propofe de fe metire a table comme Con Je trouvc fnbsp;fauf d dtner enfemhle Ie lendemain amp; les jout^nbsp;J'uivants^ jufqu'd ce quon ait épuifé tons Uinbsp;arrangements pojfibles, On demande combien dinbsp;diners devront être donnés pour eet effet ?

II eft airé de répondre qu’il en faudroit 5040^ ce qui exigeroit 13 ans amp; plus de 9 mois

§. n.

Si Ton a un mot quelconque , par exempli AMOR, amp; qu’on veuille fqavoir combien de motsnbsp;différents on peut former de fes quatre lettres, cenbsp;lt;jui donne tous les anagrammes poflibles du motnbsp;AMOK, on trouve qu’ils font au nombre de 24»nbsp;fqavoir, Ié produit fucceflif de i, a , 3, 4. LeSnbsp;volei par ordre.

Ainfi les anagrammes latlnes du mot amor foR^ iau nombre défept, fqavoir, Roma, mora, fnaro^nbsp;oram, ramo ^ armo, orma. Maïs fi, dans Ie roojnbsp;propofé, il y avoit une ou plufieurs lettres rép^'nbsp;tées , il faudroit faire ufage de la remarquenbsp;fuit la folution du problême ci-deffus, Ainfi Ienbsp;jUopoldus^ oü la lettre /eft deux fois, 5c la lettre ^

Arithmétique. Chap. FIIL 99 pareilleixient deux fois , n’eft fufceptible que denbsp;90720 avrangements ou anagrammes différents,nbsp;lieu de 361880 qui s’y trouveroient fi aucunenbsp;n’étoit répétée ; car, par la regie donnéenbsp;la remarque ci-deffus, il faut divifer ce nom-par Ie produit de 1 par 2, ou par 4 ? ce quinbsp;®onne 90720.

Le mot jliidiofus^ oü Vti eft fépété deux fois, ^ !’ƒ trois, n’eft fufceptible que de 30240 arrangements ; car il faut divifer le nombre des arran-§strgt;ents de 9 lettres, qui eft 362880, par lenbsp;Pfoduit de 2 amp; 6, OU 12, amp; le quotient eft

30240.

On trouveroit ainfi le nombre de tous les anagrammes poffibles d’un mot quelconque; mais il |aut convenir que, pour peu nombreufes que foientnbsp;res lettres d’un mot, le nombre des arrangementsnbsp;tfui en réfulte eft li coniidérable , que le travail denbsp;les parcourir tous abforberoit la vie d’un homme.nbsp;Au refte, fi 1’art des anagramines ne tire pas de lanbsp;''n grand fecours , c’eft un art fi futile qu’il n’y anbsp;pas grand mal.

§. III.

comhun dc manieres peut~on, en confervant la mefure, variër ce vers :

Tot tibi funt dotes ^ Virgoquot Jidera coelo ?

Oevers, ouvrage d’un dévot Jéfulte de Lou-, nommé le P. Bauhuys, eft célebre par le §rand nombre d’arrangements dont il eft fufeep-*'ble fans enfreindre les loix de la mefure ; 8cnbsp;divers mathématiciens fe font exercés ou amufés b.nbsp;rechercher le nombre, Erycius Puteanus a pris

Grj

100 Récréations Mathématiqües.

la peine d’en faire une enumeration en 48 pages, dans lefquelles il en a compris lOii, en les éga-lant au nombre des étoiles comprifes dans les catalogues anciens des aftronomes , amp; en rertiarquantnbsp;très-dévotement que les arrangements de ces motsnbsp;i’emportent même fur ce nombre, comme lesper-feftions de la Vierge l’emportent fur Ie nombrenbsp;des étoiles. Voyez auffi Voflius, de Scient,,Mach,nbsp;cap, y.

Le P. Preftet, dans la premiere edition de fes Elements de Mathématiqües, dit que ce vers eAnbsp;fufceptible de 2196 variations, mais dans la fe-conde édition il 1’étend jufqu’a 32.76.

Wallis, dans l’édition de fon algebre, falte a Oxford en 1693 , en avoit compté 3096.

Mais aucun d’eux n’a précifément touché au but, ainfi que le remarque M. Jacques Bernoullinbsp;dans fony^rs conjeciandi: il y dit que les différentesnbsp;combinaifons de ce vers, en en retranchant lesnbsp;fpondaïques, amp;; en admettaht d’ailleurs ceux qiiinbsp;n’ont point de céfures , montent précifément anbsp;3 3 12. On peut voir dans 1’ouvrage citéla méthodenbsp;par laquelle il en a fait rénumération.

On cite encore ce vers de Thomas Lanfius:

Mars,, mors, fors, lis, vis,fiyx,pus, nox,fex, mala, crux , fraus.

II n’eft pas difficile de trouver qu’en confervant le mot mala a 1’antépénultieme place, pour fe con-former a la mefure, il eft fufceptible de 3 991680Onbsp;arrangements différents.

ArITHM ÉTIQUE. Chap. Fill. lOI PROBLÊME III.

combinaifons dc quarreaux mi-partis dt deux coulcurs par la diagonale.

Le P. Sebaftien Truchet, de I’Academie royalè Sciences, raconte dans un memoire impriménbsp;Parmi ceux de I’annee 1704, qu’etant allé fairenbsp;voyage au canal d’Orléans, il rencontra, dansnbsp;'in chateau voifin , des carreaux de fai'ance quarresnbsp;amp; mi-partis de deux couleurs par une diagonale :nbsp;ds étoient deftinés a carreler une chapelle amp; quel-ques appartements. Cela lui donna occafion d’exa-miner de combien de manieres deux de ces carreaux pouvoient fe joindre enfemble par le cotenbsp;pour en former différents deffins.

On voit d’abord cjue , fuivant la fituation qu’un PI. feul carreau peut prendre , 11 forme quatre deffinsnbsp;différents , qui peuvent neanmoins fe reduire anbsp;deux , n’y ayant entre le premier amp; le troifieme ,nbsp;comme entre le deuxieine amp; le quatrieme , d’autrenbsp;difference que dans la tranfpofition du triangle lenbsp;plus ombré a la place du plus clair.

Maintenant , fi Ton combine deux de ces car-*’Saux enfemble, il en réfultera 64 manieres diffe-'¦^ntes de les ranger; car, dans 1’arrangemerit de deux carreaux , 1’un des deux peut prendre cjuatrenbsp;^quot;uations différentes , dans cbacune defquellesnbsp;1 autre carreau peut changer 16 fois. Ainfi il ennbsp;'ufulte 64 combinaifons qu’on peut voir dans lanbsp;'quot;erne planche.

On doit neanmoins remarquer encore, avec le Sebaftien, que de ces 64 combinaifons , il y ennbsp;® une moitié précifément qui ne fait que répéter

G iii

^o^ Récréations Mathématiques.

1’autre abiblnment dans Ie même fens; ce qui les réduita 32.. On les réduiroit a 10, fi l’on ne failoitnbsp;point d’attention a la fituation.

On pourFoit femblablernent combiner trois ^ quatre, cinq carreaux, amp;c. les uns avec les aufres;nbsp;on trouveroit que trois carreaux peuvent formernbsp;entr’eux 12,8 deffins; quatre en forment 2,^6 ^ Scc.

II eft furprenant de voir la prodigieufp variété de compartiments qui naiffent dam auffi petitnbsp;noinbre -d’éléments. Le P. Sébaftien en donne ,nbsp;dans les Mémoires de i’Acadéinie de 1704, trentenbsp;différents, clioids parmi cent autres qui ne fontnbsp;qu’une petite partie de ceux qu’on peut former.nbsp;Nous en donnons dans la planche deuxleme quel-qiies-uns des plus remarquables.

Le mémoire du P. Sébaffien a donné a un de fes confreres , le P. Douat, l’occafion de cultivernbsp;davantage cette matiere. II donna en 1722 unnbsp;traité in-4°, ou ce fujet eft envifagé d’une ma-nlere différente. On y voit que quatre carreauxnbsp;mi-partis, pris quatre a quatre, répétés amp; permu-tés de toutes les manieres poftibles, forment 25^nbsp;figures différentes, qui, prifes elles - mêmes deuxnbsp;a deux, trois a trois, amp; ainfi de fuite, formentnbsp;uneprodlgieufe multitude de compartiments, dontnbsp;les exemples rempliftent la plus grande partie denbsp;fon livre (a^.. '

() II eft intitule: Methode pour faire une infinite de dejfins différents , avec des carreaux mi-partis de deux couleursnbsp;par une lipte diagonale; ou, Olfervations du P. D. Douat,nbsp;religieux Carme de la P. de T. fur un Mémoire inféré dansnbsp;l’liff de Pydcad. royale des Sciences de Paris, annéenbsp;par k P.S,Truchet,re%ie«x du mémeQrdre. Paris. »

Arithmétique. Chap. VUL loj J’ai toujours été furpris de ce qu’on n’a pasnbsp;fait en architefture plus d’ufage de cette idee ; ilnbsp;roe femble qu’il en eiit pu réfuher dans Ie carre-lage amp; Ie parquet une variété très-agréable, Scnbsp;pour ainfi dire intariffable.

On en a fait du moins l’objet d’un petit jeu ap-pellé Ie Jiu du Parquet, dont on trouve l’inftru-roentchez les tabletiers. C’efl: une petite table gar-nie d’un rebord, amp; capable de recevoir 64 ou 100 petits quarrés mi-partis, dont on cherche a fairenbsp;des combinaifons agréables. Ceux qui fontcurieuxnbsp;de eet amufement, ne peuvent mieux faire que denbsp;fe procurer l’ouvrage cité plus haut du P. Douat,nbsp;qui leur fournira une foule de deffins plus agréables.nbsp;les uns que les autres,.

G iv

104 Recreations Mathewatiques.

CHAPITRE IX.

Application de la do^rine des Combinaifons aiix Jeux de ha'^ards amp; aux Probabilités.

IU o IQUE rien ne paroilTe, au premier coup cl’oeil, moins clu reffort des mathematiquesnbsp;qu^le hafard, I’efprit d’analyfe n’a pas laiffe d’en-chainer pour ainfi dire ce Protee, amp; de le fou-mettre au calcul. II eft venu a bout de mefurer lesnbsp;différents degrés de probabilité de certains évé™nbsp;nements ; ce qul a donné naiftance a une branchenbsp;cuneufe des mathematiques, dont nous allons dé-voiler les principes.

Lorfqu’un événement peut arriver de plufieurs manieres difFérentes, il eft évident que la probabilité qu’il arrive d’une certaine maniere détermi-née eft d’autant plus grande, que, furla totalité denbsp;ces manieres dont il peut arriver , il y en a un plusnbsp;grand nombre qui Ie déterminent tel. Dans unenbsp;loterie , par exemple, il n’eft perftonne qui nenbsp;fente que la probabilité ou 1’efpérance d’amenernbsp;un bon billet eft d’autant plus grande d’un cóté ,nbsp;que Ie nombre des bons billets eft plus grand, amp;nbsp;d’un autre, que Ie nombre total des billets eftnbsp;moindre. La probabilité d’un événement eft donenbsp;en raifoii compofée de la direéle du nombre desnbsp;cas qul peuvent lui donner lieu , amp; de I’inverfe dunbsp;nombre total de ceux fulvant lefquels il peut fenbsp;varier: par coriféquent, elle peut s’exprimer parnbsp;une fraction dont Ie nombre des cas favorables eftnbsp;Ie niunérateur, amp;; celui de la totalité des cas eftnbsp;Ie dénominateur.

Arithmétique. Chap. IX. lOJ Ainfi , dans une loterie oü 11 y a mille billetsnbsp;^*^lquels 25 feulement font bons, la probabiliténbsp;^’atnener un de ces derniers feta repréfentée parnbsp;» OU ^; amp; cette probabilité feroit doublenbsp;*il y avoit 50 bons billets, car alors elle feroitnbsp;^gale a ^ ; au contraire elle ne feroit que la mol-_tié de celle ci-deffus , fi , au lieu de 1000 billets,nbsp;y en avoit deux mille. Elle feroit infinimentnbsp;petite, OU nulle , fi, Ie nombre de bons billetsnbsp;defiant Ie méme , Ie nombre total étoit infinimentnbsp;grand; comme au contraire elle dégénéreroit ennbsp;Certitude , amp; feroit, dans ce cas , exprimée parnbsp;1’unité, fi Ie nombre des bons billets égaloit ccuxnbsp;de la loterie.

Un autre principe de cette théorie néceffalre a cxpliquer ici, eft Ie fulvant, dont 1’énonciationnbsp;fuffit pour en faire appercevoir la vérlté.

On joue a jeu égal, lorfque les mifes qu’on dé-pofe font en proportion direéte des probabilités 5iu’ll y a de gagner 1’argent mis au jeu : car jóuer anbsp;jeu égal n’efl: autre chofe que dépofer une mifenbsp;telleuient proportionnée avec la probabilité qu’onnbsp;® de gagner , qu’après un très-grand nombre denbsp;Coups on fe trouve a peu prés au pair : or il fautnbsp;pour cela que les mifes fofent proportionnelles aunbsp;degré de probabilité que chacun des joueurs a ennbsp;faveur. Suppofons , par exemple, que Pierrenbsp;Psrie contre Jacques pour un coup de dés, amp; qu’ilnbsp;y ait pour lui deux événements amp; un pour Jacques ;nbsp;leu fera égal fi, après un grand nombre de coups,nbsp;fe retirent a peu prés fans perte. Or, y ayantnbsp;^Ux cas pour Pierre amp;c un pour Jacques , aprèsnbsp;^ois cents coups Pierre en aura gagné a peu présnbsp;cents, amp; Jacques une centaine. II faut donenbsp;qae Pierre dépofe 2, amp; Jacques i feulement: car

ïo6 Récréations Mathématiques. par-la Pierre, gagnant deux cents coups, gagneranbsp;aoo; amp; Jacques , gagnant cent coups, gagneranbsp;auffi aoo. Auffi s’exprime-t-on, en pared cas, or-dinairement en difant qu’il y a deux contre un anbsp;parier pour Pierre.

PROBLÊME r.

Dans Ie jeu de Croix ou Pile, quelle prohabrlitêy a-t-il dl amener plujieurs fois de fuite Croix, ounbsp;pLuJietlrs fois de fuite Pik ; ou bien, en jouantnbsp;avee plufieurs pieces , quelle probabilitLy a-t-ilnbsp;quelles fe trouveront toutes Croix ou toutesPik?

TTout Ie monde connoit Ie jeu de croix oU pik, ainfi il eft fuperflu d’en donner ici 1’explica-tion ; nous paflbns tout de fuite a 1’analyfe dunbsp;problême.

II eft évident, i° que n’y ayant aucune raifon pour que croix arrive plutót que pde, ou pile quenbsp;croix, la probabilité que l’un des deux arriveranbsp;eft égale a ou qu’il y a égaleraent a parier pournbsp;OU contre.

Mais fi Ton jouoit deux coups, amp; que quelqu’uia pariat d’amener les deux fois croix , pour fqavoirnbsp;ce qu’il devroit mettre au jeu, il faudroit fairenbsp;attention que toutes les combinaifons de croix ounbsp;pile, qiü peuvent arriver dans deux jets confécu'nbsp;tifs de la même piece, font croix , croix • croix ,nbsp;pik ; pik, croix; pik,pik; dont une feule donnenbsp;croix , croix, II n’y a done qu’un cas fur 4 qiünbsp;fit gagner celui qui parieroit d’amener deux foisnbsp;de fuite croix : la probabilité de eet événementnbsp;ne feroit conféquemment que celui qui pa'*

Arithmétique. Chap. IX. 107 neroit pour, ne clevroit mettre au jeu qu’un écu ,nbsp;psr exemple, pendant que 1’autre en mettrolt trois;

ce dernier auroit trois cas pour gagner, pen-^3nt que Ie premier n’en a qu’un. Ainfi leurs mifes, pour jouer a jeu égal, doivent être dans cettenbsp;proportion.

On trouverolt de même que celui qui parie-roit d’amener trois fois de fuite croix, par exemple , auroit feulement pour lui une feule des huit combinaifons de croix ou pile qui peuvent réfulternbsp;de trois jets fucceffifs de la même piece. La pro-babilité de eet événement feroit conféquemment

pendant que celle qu’auroit fon adverfaire fe-roit l-, II ne devroit, pour jouer au pair, mettre au jeu que i contre 7.

11 eft inutile de parcourir d’autres cas ; il eft aifé de voir que la probabilité d’amener croix quatrenbsp;fois de fuite , eft ; cinq fois de fuite,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; amp;c.

II n’eft pas , au refte , nécefiaire d’entrer dans Pénumération des différentes combinaifons réful-tantes des croix ou pik; inais l’on peut fe lèrvirnbsp;d’une regie aifée a démontrer, Sc que voici:

Connoijfant hs prohabilitis de deux ou plujleurs evénements ifolés, la probabilité quils auront lieunbsp;tous enfembk fe trouve tout fniplement, en multi~nbsp;pliant les probabilités de ces événements confidérésnbsp;comme ifolés. Ainfi la probabilité d’amener croixnbsp;confidéré comme ifolé étant exprimée a chaque jetnbsp;par celle de l’amener deux fois de fuite fera ^ xnbsp;Ou ^; celle de l’amener trois fois dans trois coupsnbsp;confécutifs fera ^XïX7,ou|^; Scc,

1° Le problême de determiner quelle eft la probabilité d’amener, avec deux, trois, quatrenbsp;pieces j tout croix ou tout pile j fe réfout par les

ïo8 Récréations Mathématiques. mémes voies. Dans deux pieces jettées, il y a 4nbsp;combinaifdns de croix amp; pile, dont une feule eftnbsp;toiite croix: dans trois pieces jettées a la fois il ynbsp;en a 8, dont une fetile donne tout croix; amp;cc.nbsp;Ainfi les probabilités de chacun de ces cas font lesnbsp;mêmes que celles des cas analogues examines ci-delTus.

II paroit même d’abord fans analyfe que ces deux queftions font abfolument les mêmes; amp;nbsp;voici Ie raifonnement qu’on peut faire poür Ienbsp;prouver. letter les deux pieces A amp; B enfemble ,nbsp;OU les jetter Tune après 1’autre après avoir donnénbsp;a la premiere A Ie temps de fe fixer, c’eft affuré-ment la même chofe. Suppofons done que, Ianbsp;premiere A étant fixée , au lieu de jetter la fecondenbsp;B, on releve la premiere A pour la jetter une feconde fois, ce feta la même chofe que fi, pournbsp;ce fecond jet, on avoit employé la piece B: car ,nbsp;par la fuppofition, elles font toutes deux égalesnbsp;amp;£ feniblables, du moins quant a l’indifFérencenbsp;parfaite qu’il arrive croix ou pile. Ainfi jetter a lanbsp;fois les deux pieces A, B, ou jetter deux fois denbsp;fuite la piece A, font la même chofe. Done, amp;c.

3 o On demande maintenant combien on peut parier d’amener au moins une fois croix en deuxnbsp;coups? Par la méthode ci-deffus, on trouvera qu’ilnbsp;y a 3 contre 1. En effet, il y a dans deux coupsnbsp;quatre combinaifons , dont trois donnent au moinsnbsp;une fois croix dans les deux coups , amp; une feulenbsp;qui donne toujours pile; d’oii il fuit qu’il y a troisnbsp;combinaifons en faveur de celui qui parie d’amener une fois croix en deux coups, amp; une feulsnbsp;contre lui*

Arithmétique. Chap. IX. 109

PROBLÊME II.

nomhre quelconque di dés étant donné , ditcr~ fniner qutlli probahilité il y a qidon amencra unnbsp;nomhre de points ajjigné.

N^Ous fuppoferons d’abord des dés ordinaires , c’eft-a-dire a fix faces, amp; marqués des nombresnbsp;*52,3,4,5,6; amp; nous aliens analyfer quel-ques-uns des premiers cas du probléme, pour nousnbsp;élever par degré i des cas plus coinpofés.

I nbsp;nbsp;nbsp;o On propofe dé amener un point determine , Cnbsp;por exemple, avec un dé.

II nbsp;nbsp;nbsp;eft évident qu’y ayant au dé fix faces dontnbsp;wne feule eft marquée de 6 , amp; chacune ayantnbsp;autant de facilité a fe trouver en delTus qu’aucunenbsp;autre, 11 y a 5 hafards contre celui qui propofenbsp;d’amener 6 en un coup , amp; i feul pour lui. II doitnbsp;done , pour n’être pas dupe , parier feulement inbsp;contre 5.

Quil foit provo fé dé amener Ie même point € deux dés.

Pour analyfer ce cas, il faut d’abord obferver que deux dés donnent 36 combinaifons diffé-quot;¦entes ; car chacune des faces du dé A , par exem-ple, peut fe combiner avec chacune de celles dunbsp;dé B; ce qui produit 36 combinaifons. II fautnbsp;cnfuite voir de combien de manieres Ie point 6nbsp;peut être amené avec deux dés. Or on trouve qu’ilnbsp;peut être d’abord amené par 3 amp; 3 :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en ame-

ïïant z avec Ie dé A amp; 4 avec Ie dé B, ou 4 avec Ie dé A 6c 2 avec Ie dé B i ce qui fait / comme il

iio Recreations Mathématiqués. eft aifé de voir , deux cas diftinfts: 3° en ame-nant i du dé A amp; 5 du dé Ë, ou i du dé B amp; 5nbsp;du dé A ; ce qui donne encore deux cas : on n’ennbsp;fqauroit évidemment trouver d’autres. Ainft il y anbsp;^ cas favorables fur 36 : conféquemment la pro-babilité d’amener 6 avec deux dés cft ^ , amp; lanbsp;probabilité de ne Ie pas amener eft ; amp; c’eft Ienbsp;rapport dans lequel doivent être les mifes desnbsp;joueurs.

En analyfant les autres cas, on trouve qu’il y a , pour ainener deux avec deux dés, i cas furnbsp;36, z pour amener trois, 3 pour amener quatre ,nbsp;4 pour amener cinq , 5 pour amener fix , 6 pournbsp;amener fept, 5 pour buit, 4 pour neuf, 3 pournbsp;dix, 2 pour onze’, amp; i pour douze ou fonnez.

Si 1’on propofoit trois dés , avec lefquels il eft évident que Ie moindre point feroit trois, amp; Ienbsp;plus grand dix-huit, on trouveroit, au moyennbsp;d’ime femblable analyfe, que fur 216 coups différents polfibles avec trois dés, il y en a 1 poufnbsp;pour amener trois, 3 pour amener quatre, 6 pournbsp;amener cinq, amp;c. fuivant la Table ci-jointe, dontnbsp;voici l’ufage.

Voulez-vous trouver, par exemple, de com-hien de manieres 13 peut s’amener avec trois dés; cherchez, dans la premiere colonne verticale knbsp;gauche, Ie nombre 13 , amp; au haut de la Table Ienbsp;chiffre romain qui indique Ie nombre de dés; lanbsp;cafe commune a la bande horizontale vis-i-vis 13,nbsp;amp; a la colonne verticale qui répond a III, donneranbsp;2.1 pour Ie nombre des manieres dont 13 peut êtrenbsp;amené avec trois dés. On trouveroit femblable-ment qu’il^ut être amené, avec quatre dés, denbsp;Ï40 faqons'; avec cinq dés, de 42,0; amp;cc.

Arithmétique. Chap. IX. ut

quot;CABLE des nombres de manieres differentes dont un point quelconque peut être amenè avec un ,nbsp;deux trois , ou plus de dés.

ttl RicRÉATIONS Mathématiquês,

Lorfqu’on connoit une fois de combien de ma-nieres on peut amener un point avec im certain nombre de dés, il eft aifé de trouver quelle proba-bilité il y a de 1’amener : il n’y a qu’a former unenbsp;fraftion dont Ie numérateur foit Ie nombre de ma-nieres dont peut arriver ce point, amp; Ie dénomi-nateur Ie nombre 6 élevé a une puiflance défignéenbsp;par Ie nombre des dés, comme Ie cube de 6 ounbsp;II6 pour trois dés, Ie quarré-quarré ou 1296nbsp;pourquatre, amp;c.

Ainlr, pour amener 13 avec trois dés , la pro-babilité eft pour l’amener avec quatre, elle

eft

12.96 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

On peut encore propofer fur Ie ]eu des des plu-fieiirs autres queftions dont nous allons analyfer quelques-unes,

1 ° Determiner entre deux joueurs qiiel ejl l'avan-tage OU Ie défavantage de celui qui entreprend dla-mener une face déterminie, par exemple €^ en un certain nombre de coups.

Suppofons qu’on l’entreprenne en un feul coup: pour fqavoir quelle eft la probabilité d’y réuffir ,nbsp;on confidérera que celui qui tient Ie dé n’a qu’unnbsp;hafard pour gagner, amp; cinq pour perdre; parnbsp;conféquent, pour 1’entreprendre en un feul coup,nbsp;il ne doit mettre que i contre 5. Ainfi il y a unnbsp;grand défavantage a entreprendre au pair d’amener

en un feul coup de dé.

Pour fqavoir quelle eft la probabilité d’amener au moins une face marquée 6, en deux coups ,nbsp;avec un même dé , on confidérera que c’eft lanbsp;inême chofe, ainfi qu’on l’a obfervé plus haut aunbsp;fujet du jeu de croix ou pile, que d’entreprendre ,nbsp;en jettant deux dés a-la-fois , d’en trouver unnbsp;marqué 6. Alors celui qui tient Ie dé n’a que 11

, nbsp;nbsp;nbsp;hafards

Arithmétiqüe. Chap. /X I15 hafards ou combinaifons pour gagner : car il peutnbsp;amener 6 avec Ie premier dé,amp;i,2,3,4ou5nbsp;avec Ie fecond; ou bien 6 avec Ie fecond dé , amp;Cnbsp;1, 2, 3 , 4 OU 5 avec Ie premier ; ou 6 avecnbsp;chaque dé. Mais il y a 26 combinaifons ou hafardsnbsp;pour ne point gagner, comme on voit dans lanbsp;table ci-delTous.

D’oü il eft aifé de conclure que celui qui entre-prend d’amener un 6 avec deux dés, ne doit mettre ^ue 11 contre 25 , amp;c conféquemment qu’il a dunbsp;défavantage a 1’entreprendre au pair,

On doit remarquer que la fomme 36 de tous les hafards ou combinaifons poffibles en deux coupsnbsp;de dés , eft Ie quarré du nombre donné 6 , qui eftnbsp;celui des faces d’un dé; amp; que Ie nömbre 2 5 desnbsp;hafards contraires a celui qui parie d’amener unenbsp;face déterminée , eft Ie quarré du méme nombrenbsp;donné 6 diminué de l’unité , ou de 5 : c’eft pour-tjuoi Ie nombre des hafards favorables eft , dans cenbsp;cas, la difference des quarrés de 36 amp; de 25 , ounbsp;du quarré du nombre des faces du dé, de celuinbsp;des 4ces de ce même dé moins un.

Pour entreprendre d’amener 6 en trois coups de dé , on conlidérera femblablement que c’eft lanbsp;même chofe que d’entrepreildre , en iettant troisnbsp;dés, d’amener au moins un 6 : or, des 21 ó combinaifons différentes que donnent trois dés, il y ennbsp;a 125 Ou il n’y a aucun 6, amp; gi oü il y a au moinsnbsp;Tome I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H

tï4 RIcréations Mathématiquès.

iin 6; conféquemment celui qui parie d’amenef un 6 OU en tfois coups de dés, ou en un feul coupnbsp;avec trois dés,ne doit parier que 91 contre 115, amp;nbsp;il y auroit du défavantage a 1’entreprendre au pair,

Vous obferverez ici que Ie nombre 91 eft la difference du cube du nombre des faces d’un dé ,nbsp;figavoir 216, amp; du cube 115 de ce même nombrenbsp;diminué de 1’unité, ou de 5. Ainfi Ton voit qu’ennbsp;general, pour trouver la probabilité d’amener unenbsp;face déterminée en un certain nombre de coups,nbsp;OU en un coup avec un certain nombre de dés, ilnbsp;faut élever 6 gt; Ie nombre des faces d’un dé , a lanbsp;puiffance défignée par Ie nombre des coups anbsp;jouer, ou des dés a jetter une fois; faire enfuite lanbsp;femblable puiffance de 6 moins Tunité, ou de 5 ,nbsp;êc 1’oter de la premiere : Ie reftant amp;c cette der-niere puiffance de 5 feront les nombres de hafardsnbsp;refpeéfifs pour gagner ou perdre.

Par exemple, ff on parie d’amener au moins un 3 avec quatre dés, on fera la quatrieme puiffance ou Ie quarré-quarré de 6, qui eft 1296; onnbsp;en ótera Ie quarré-quarré de 5, ou 6zy, Ie reftantnbsp;6ji fera Ie nombre des hafards favorables pournbsp;gagner, amp; Ie nombre 625 celui des hafards pournbsp;perdre : conféquemment il y aura de 1’avantage ènbsp;parier au pair.

II y en aura encore davantage a entreprendre au pair d’amener un point déterminé, par exemplenbsp;3 j en cinq coups ou avec cinq dés ; car ff de lanbsp;cinquieme puiflTance de 6, qui eft 7776 , on ète lanbsp;cinquieme puilTance de 5 , ou 312 5 , Ie refte 4651nbsp;fera Ie nombre des hafards favorables, Sc 3125nbsp;celui des hafards contraires. Conféquemment,nbsp;pour jouer a jeu égal, celui qui parie pour devroitnbsp;mettre 4Ó51 contre 3125, ou prés de 3 contre 2.

AillTHMÉTIQUE. Chap. IX. ÏI5

3° En combicn dz coups peut - on parier avtC ^galité quon amenera un doublet ditenniné , pafnbsp;^xemple fonne^ , avec deux dés ?

On f(^ait déja que la probabilité de ne point srnener un fonnez avec deux dés eft exprimée pafnbsp;3^: conféquemment la probabilité de ne les pointnbsp;amener en deux coups fera comme Ie quarré denbsp;lt;;ette fraélion ; en trois coups, comme lê cube ;nbsp;^Ci Or, de même qu’une puiffance d’un nombrenbsp;tant foit peu au defl’us de 1’unité va toujours ennbsp;Sugmentant, celle d’un nombre tant foit peu aunbsp;delTous va toujours en diminuant: par conféquentnbsp;les puiflances confécutives de iront toujours ennbsp;diminuant. Qu’on Conqoive done élevée a unenbsp;puiffance telle qu’elle foit égale a j; on trouve quenbsp;la vingt-quatrieme puiffance de ^ eft un peu plusnbsp;grande que amp; que la vlngt-cinquieme eft unnbsp;peu moindre ( u) : d’oü il fuit qü’on peut pariernbsp;avec quelque avantage au pair, qu’en ^4 coups onnbsp;n’amenera pas un fonnez avec deux dés; mais qu’ilnbsp;y a du défavantage a parier au pair qu’on ne l’a-*nenera pas en 15 : conféquemment il y a pournbsp;^elui qui parie de l’amener en 24 coups du défa^

( a ) Soit n f expofant de la puiffance de || qui eft égale

**ï) c’eft-a-dire que foit égal a t-, Comme la quantité

•uconnue n fe trouve dans l’expofant, il faut feu dégager J

qu’on fait par Ie moyen des logarithmes. Car fi iL —

36quot;

prenant les logarithmes on aura n log. 3 5 , —*• ;z log. 3^ ^ Ivg. -t-, OU =: — log. 2.; car log. -j =: — log. i. Donenbsp;”nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;35 — n log. 36nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— log. 2, OU log. 1. zx.n log. 3Ó

log. 35. nbsp;nbsp;nbsp;_ Ihs:.!—^- Qq donne « ^

log.jSS';* nbsp;nbsp;nbsp;u

T j 0*

Hij

ïi6 Recreations Mathématiques, vantage, amp; il y a de l’avantage a pariet au pairnbsp;qu’il l’amenera en 25.

40 Qiielk eji la probabilité d’amener m un coup, avcc deux OU plujicurs dés, un doublet determine ,nbsp;par exemple terne ?

Pour ledécouvrir, on confidérera qu’a l’entre-prendre avec deux dés, il y a un leul hafard favorable fur les 36 hafards ou combinaifons que donnent deux dés; d’oü il fuit qu’on ne doitmettrenbsp;que I contre 35,

S’il étoit queftion de trois dés , on trouveroit qu’il faut mettre feulement 16 contre 200; car Ienbsp;nombre des hafards ou combinaifons poffibles avecnbsp;trois dés eft 216. Mais quand il eft queftion d’a-niener terne avec trois dés, on peut l’amener denbsp;16 faqons différentes: car, des 36 combinaifonsnbsp;des dés A amp; B , toutes celles oü entre un 3 feule-ment, comme 1,3; 35^1 ftui ^orit au nombre de lO, fe combinant avec la face marquée 3nbsp;du dé C , donnent un terne. De plus, la combi-naifon 3,3, des dés A, B, fe combinant avecnbsp;une des fix faces du troifieme dé C, donnera unnbsp;terne. Ainfi voila lófaqons d’amener terne avecnbsp;trois dés ; ce qui donne 16 hafards favorables furnbsp;216. Conféquemment la probabilité d’amener unnbsp;terne avec trois dés eft amp; 1’on ne devroitnbsp;parier pour la réuffite que 16 contre 200 , ou %nbsp;contre 2^.

Si l’on demande quelle probabilité il y a d’a-mener un terne avec quatre dés , on trouvera qu’elle eft exprimée par ; car, fur les 129Ónbsp;combinaifons des faces de quatre dés, il y en 3nbsp;1^0 qui donnent un terne, 20 qui donnent trois 3gt;nbsp;Sc I qui en donne 4, en tout 171 coups ou il y 3nbsp;deux, OU trois , ou quat,re 3, Conféquemmen*

Arithmétique. Chap. IX, 117

ne faudroit parier que 19 contre 144, ou environ I contre 7^, qu’on amenera au moins un terne avec quatre dés.

Enfin fi vous voulez fqavoir quelle probahilite it y a dl amener du premier coup un doublet quelconquenbsp;deux dés ou davantage , il fera aifié de la dé-terininer au moyen du calcul précédent; car,nbsp;^orfqu’il eft queftion d’im doublet indéterminé , ilnbsp;cft évident que la probabilité efi: fix fois auffinbsp;grande que lorfqu’il s’agit d’un doublet affigné :nbsp;ainfi il n’y a qu’a multiplier par 6 les probabilitésnbsp;trouvées ci-defifus. Elles font done, pour deuxnbsp;dés, 3^ OU i; pour trois dés , ~ ou f; pour quatrenbsp;dés , -d— : enforte qu’il y a de l’avantage a pariernbsp;au pair qu’avec quatre dés on amenera au moinsnbsp;un doublet.

P R O B L Ê M E I 1.1.

Deux joueurs jouent enfe/nble en un certain nombre de parties tiées , par exemple trois : Vun des deuxnbsp;a X parties, Vautre une: ne pouvant ou ne vou~

. lant point continuer Ie jeu, ils conviennent de Ie cejjer, amp; de partager la mife. On demande de.nbsp;quelle maniere cela dolt ctre faxt}

C E problême eft un des premiers dont s’occupa M. Pafcal, lorfqu’il commenqa a traiter Ie calculnbsp;des probabilités. II Ie propofa a M. de Fermat,nbsp;célebre géometre de fon temps, qui Ie réfolut aufti-par une méthode différente, fqavoir celle des com-binaifons. Nous allons faire connoitre Tune Sfnbsp;l’autre.

II eft évident que chacun des joueurs, en met-tant fon argent au jeu , en a abdiqué la propriete mais qu en revanche ils ont droit d’attendre ce que

Hii;

ii8 Recreations Mathématiquës.

Ie hafard peut leur en donner: ainfi, ceffant de )ouer, ils doivent partager Targent de la mife ennbsp;rapport de la prolDabilité que chacun auroit euenbsp;de gagner tout i’argent-

/quot; Cifs, On trouvera ce rapport par Ie raifonnement fuivant. Puifqu’il manque au premier joueur unenbsp;partie pour achever , amp; deux au fecond , on re-connoitra aifément ques’llscontinuoientde jouer,nbsp;amp; que Ie fecond gagnat une partie , il lui man-queroit comme au premier une partie pour achever ; amp; que dans ce cas, les deux joueurs étantnbsp;également avancés, leurs efpérances ou forts pournbsp;gagner Ie tout feroient égales. Ainfi, dans cettenbsp;iuppodtion, ils auroient un égal drok a Fenjeu;nbsp;amp; conféquemment ils devroient Ie partager également.

II eft done certain que fi Ie premier gagne la partie qui va 'fé jouer , tout Fargent qui eft au jeunbsp;lui appartiendra, amp; cjue s’il la perd , il ne lui ennbsp;appartienclra que la moitié. Ainfi , Fun étant auffinbsp;probable que Fautre, Ie premier a droit a la moitiénbsp;de ces deux fommes prifes enfemble. Or, prifesnbsp;enfemble , elles font ~: done la moitié eft Tellenbsp;eft la portion de la mife qui appartient au premiernbsp;joueur; par confécjuent la portion qui revient aunbsp;fecond n’eft que

Cas.

Arithmétique. Chap. IX. I19

précédent. C’efl: pourquoi, l’un amp; 1’aufre de ces deux événements étant également probable, ilnbsp;dolt appartenir au premier la moitié des deuxnbsp;fommes prifes enfemble, ou la moitié de ^, c’eft-a-dire Ie refte fera ce qui reviendra au fecondnbsp;joueur.

On trouvera, par un raifonnement femblable , 3^ que fi 1’on fuppofoit deux parties manquer au premier joueur Sc trois au fecond, ils devroient, ennbsp;ceflant de jouer, partager la mife de forte que Ienbsp;premier eiit fi-, Sc Ie fecond de la mife,

S’ils jouoient en quatre parties , Sc qu’il man-quat au premier deux parties feulement Sc quatré au fecond, la mife devroit être diftribuée de ma-niere que Ie premier en eut les H, amp; Ie fecond

D’après ces raifonnements , on a établi cette regie générale qui difpenfe du raifonnement employe ci-deffus , Sc qui procédé au moyen dunbsp;triangle arithmétique.

Prenez la fomme des parties qui manquent aivx deux joueurs; je la fuppofe 3,, corame dans Ienbsp;premier cas propofé ci- deffus : ainfi Ton prendranbsp;Ia troifieme diagonale du triangle, arithmétique ;nbsp;Sc comme il ne manque qu’une partie au premiernbsp;joueur, on ne prendra que Ie premier nombre denbsp;cette diagonale ; Sc attendu qu’il en manque deuxnbsp;au fecond , on prendra la fomme des deux premiers nombres i , 2, c? qui donnera3, Ces deuxnbsp;itombres i Sc 3 indiqueront que la mife doit êtrenbsp;partagée dans Ie même rapport: ainli Ie premiernbsp;joueur devra en avoir les | , Sc Ie fecond le^.

L’application de cette regie aux autres cas quel-conques eft aifée a faire

no Recreations Mathématiques. d’abréger, nous ne nous etendrons pas davantagenbsp;fur ce fujet.

Nous avons dit plus haut que nous ferions con-noirre la feconde méthode de réfoudre ces fortes de problemes , qui eft celle des combinaifbns; lanbsp;voici.

Pour réfoudre, par exemple, lequatrieme cas, oü 1’on fuppofe qü’jl manque deux parties au premier joueur pour achever amp; quatre au fecond ,nbsp;enforte qu’il leur manque enfemble fix parties ,nbsp;ótez 1’unité de cette fomme; amp;, parcequ’il reftenbsp;5 , on fuppofera ces cinq lettres femblables aaaaa.nbsp;fayorables aü premier joueur , amp; ces cinq autresnbsp;bbbbb favorables’ au fecond : on les combineranbsp;enfemble comme voüs Ie voyez dans la Table ci-deffousj OU, des 3a combinaifons^ les 26 premieres vers la gauche, ou fe rencontre au moinsnbsp;dgux fois,lt;j, indiquent Ie nombrè des hafards quinbsp;pepvent faire gagner Ie premier, amp; les 6 derniersnbsp;persrila droite, oü ^ ne fe trouve qu’une fois, indiquent Ie nombre des hafards cjui feront gagner 1?nbsp;fecond.

Arithmétique. Chap. IX. lit PaTeillement, pour réfoudre Ie cas oü Ton lup-Pofe un des joueurs ayant trois parties Sc Ie fecondnbsp;en ayant aucune, celui-la devant gagner qui auranbsp;piutot quatre parties, on aura Ie même nombre denbsp;P^’^ties manquantes ^, qu’il faut diminuer de Tii-pour avoir 4, II faudra enfuite examiner denbsp;^otnbien de manieres on peut combiner les lettresnbsp;® Sc ^ quatre a quatre, Sc Ton trouvera qu’il y ennbsp;^16, fqavoir:

aaaa aabb albh aaab abab babbnbsp;aaba baab bbabnbsp;abaa abba bbbanbsp;haaa babanbsp;bhaa

, de ces 16, il efl: évident qu’il y en a 15 dans lelquelles a fe trouve au moins une fois, ce qui dé-figne I 5 cqmbinaifons ou hafards favorables pournbsp;prémier joueur, Sc un feul pour Ie fecond. Cón-Péquemment ils devront partager la mife en raifonnbsp;i-; a I, ou bien Ie premier en devra avoir lesnbsp;Tg j amp; Ie ftcond

PROBLÊME IV.

Sur la Lottrie, di VÈcoh Royale Militaire^

T^Out Ie monde connoit aujourd’hul ce jeu, ^®puis qu’il a été tranfplanté d’Italie en France (a).

^ (.) Ce jeu a pris nalfTance a Genes oh cha^ejnée depuis tres long-temps , on tire par la voie r ^nbsp;membres du fénat , qui eft compofe de 9° P , gjnbsp;pour en former un confeil particulier. F)e-la q ^ •nbsp;gens oififs prirent occafion de parier que Ie fort tom

Ill Recreations Matbématiques.

Son analyse reduit a la folution de ee problems' c\z Etant donnésnombres dont 6 font extraitinbsp;au hafard, determiner quelk ejl la probahilité que^nbsp;partni ces cinq nombres ,fe trouveront un, on deux^nbsp;ou trois, ou quatre , on cinq nombres quon a priinbsp;furies 0)0.

Or il eft aifé de voir que s’il n’etoit queftioti que d’un nombre determine, amp; qu’on ne tirat denbsp;la roue qu’un feul nombre, il n’y auroit pour lenbsp;joueur qu’un feul hafard favorable fur 90; maisnbsp;comme on tire cinq nombres de la roue, celanbsp;quintuple le fort favorable au joueur , de fortenbsp;qu’il y a pour lui cinq hafards favorables fur lesnbsp;quatre-vingt-dix. Ainfi la probahilité de gagnernbsp;eft St, pour jouer abfolument a jeu egal , lesnbsp;jnifes devroient être dans le même rapport, ou»nbsp;ce qui revient au même , le tenant de la loterienbsp;devroit rembourfer la mife dix-huit fois.

Pour fqavoir quelle probahilité il y a que deux nombres pris fortiront tous deux, ce qu’on ap-

ftir tels ou tels fenateurs. Le gouvernement, voyant en-fuite avec quelle vivacité on s’intéreflbit dans ces paris, en prit l’idée d’établir une loterie fur le même principe.nbsp;Elle eut un tel fuccès, que routes les villes d’ltalie s’ynbsp;intereffoient, amp; envoyoient a Genes beaucoup d’argent.nbsp;Ce motif, amp; fans doiite celui de fe former un revenu,nbsp;engagea le pape a en établir une femblable a Rome. Sesnbsp;habitants font ft paffionnés pour ce jeu, qu’on voit coffl'nbsp;munement des malheureux s’épargner amp; a leur familie le*nbsp;chofes les plus néceffalres a la vie , pour s’y intereffer. Onnbsp;les voit encore donner, pour fe procurer des nombresnbsp;heureux, dans mille extravagances infpirées par la crédu'nbsp;lire ou la fuperllition. La raifon qui regne plus générale'nbsp;ment fur le peuple Francois , amp; fur-tout fes occupations,nbsp;Font préfervé de cette ardeur exceffive amp; de toutes ce*nbsp;tolies.

AriTHMÉTIQUE. Chap. IX. J2J' pelle ']|ouer par amhes ^ il faut determiner com-tien cl’ambes ou de combinaifons deux a deuxnbsp;^onnent 90 nombres. Or on a montré, en parlantnbsp;‘ies combinaifons, qu’il y en a 4005. Mais commanbsp;on tire cinq nombres de la roue , amp; que ces cinqnbsp;Sombres combines enfemble deux a deux font dixnbsp;_3inbes, il en réfulte que , fur ces 4005 hafards,nbsp;n’y en a que 10 qui foient favorables au joueur.nbsp;Ainfi la probabilité que les deux nombres choifisnbsp;feront parmi ceux tirés de la roue, fera exprimée

T^oT OU nbsp;nbsp;nbsp;C’eft pourquoi Ie tenant de la

loterie devroit cïonner au joueur, en cas de gain, 400^ fois fa mife.

Lorfqu’on joue par terne, c’eft-a-dire fous Ia Condition lt;|ue les trois nombres c’noilis fe trouve-tont parmi les cinq tirés de la roue , pour trouvernbsp;quelle eft la probabilité de eet événement, il fautnbsp;determiner de combien de manieres 90 nombresnbsp;Peuvent fe combiner trois a trois, ou combien denbsp;ternes ils font: on trouve qu’ils montent a 117480.

comme les cinq nombres extraits de la roue forment lo ternes, il y a pour lè joueur dix casnbsp;Worables fur 117480 ; amp; la probabilité en faveur du‘joueur eft de ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O'-’ tt^- Ainli, pour

Inuer a jeu égal, la loterie devroit rembourfer joueur 11748 fois fa mife.

Enfin 1’on trouve qu’il n’y a fur 511038 hafards ^quot;’un feul favorable pour celui qui parieroit quenbsp;quatre nombres déterminés fortiront de la roue ;nbsp;^ I fur 43949a68 , en faveur de celui qui parie-*’Oit que cinq nombres déterminés feront précifé-J^ent les cinq fortants de la roue. II faudroit con-Jequemment , dans ce dernier cas, pour jouer anbsp;jeu mathématiqueinentégal, payer au joueur, en

ti4 Recreations Mathématiques. cas d’événement heureux, prés de quarante-qaatrCnbsp;millions de fois fa inife.

Je finirai eet article en obfervant que quoique ce jeu, a ne Ie confidérer que mathématiquement,nbsp;préfente au premier coup d’ceil un grand avantagenbsp;pour celui ou ceux qui Ie tiennent, on doit néan-moins, pour en juger avec équité, avoir égard anbsp;qwelques confidérations particulieres. II eft certainnbsp;que fi toute Ia ioterie étoit pleine a chaque tirage ^nbsp;Ie gain feroit sur , amp; li confidérable, qu’il mérite-roit 1’animadverfion du gouvernement; car ily au-roit de gain, toute diftribution des lots faite, plusnbsp;de la moitié de la mife des joueurs. Mais il s’ennbsp;faut bien qu’il en foit ainfi, amp; même il feroit im-praticable d’attendre que cette Ioterie fut pleinenbsp;pour la tirer. On la tire done a des époques fixes ,nbsp;telle qu’elle fe trouve. Or il peut arriver qu’on aitnbsp;mis confidérablement fur un terne, ou même furnbsp;plufieurs, tandis qu’a peine on aura mis fur lesnbsp;autres. Si done ces premiers venoient a fortir, lanbsp;fomme a payer feroit immenfe. Car fuppofons unnbsp;feul terne chargé de 150 liv. qui eft la fomme anbsp;laquelle on a fixé en France la mife fur ce hafard ,nbsp;amp; que ce terne forte, il en couteroit a la Ioterienbsp;780000 livres; amp; comme il en fort dix a chaquenbsp;extraélion , fi chacun étoit chargé d’une pareillenbsp;fomme, il faudroit pour payer les joueurs cellenbsp;de 7800000 livres.

Ón voit par-la que, quoique les entrepreneurs de la Ioterie aient un grand avantage, cependantnbsp;ce jeu eft fort dangereux pour eux: il ne faut,nbsp;après dix ans de bonheur , qu’un revers inalheureuXnbsp;pour les ruiner , ou pour leur enlever tout Ie gainnbsp;qu’ils auroient fait, amp; beaucoup au-dela; amp; c’eftnbsp;en compenfation de ce danger qu’il parolt équi'

ArITH M ÉTIQUE. Chap. IX, 1x5 table de leur accorder un avantage. On n’entre-prendra pas de Ie determiner, car cette determination eft impoffible ; mais il eft aifé de voir quenbsp;^uoique , mathëmatiquement parlant, ce foit !anbsp;•néme chofe de ]ouer un million contre cent millenbsp;ftvres, que 1000 liv. contre 100 livres, ce n’eftnbsp;point la même chofe moralement parlant; la pertenbsp;la premiere fomme entrainant la ruine abfoluenbsp;de celui qui la fait, amp; cette derniere étant pournbsp;ainfi dire fans conféquence , du moins pour ceuxnbsp;qui jouiftent d’une fortune médiocrci. Or il eftnbsp;Certain que Ie public ne joue contre les entrepreneurs de la loterie dont il s’agit que des fommesnbsp;limitées , amp; ordinairement aftez petltes, au lieanbsp;qu’ils jouent une fomme pour alnfi dire illimitée.nbsp;Au refte ces hafards malheureux dont nous pardons , quoique fort éloignés , ne Ie font pas telle-nient qu’üs n’arrivent quelquefois: auffi n’y a-t-ilnbsp;cn Italië aucune de ces loteries qui n’ait été dé-banquée.

PROBLÊME V.

Pkrre a un certain nomhre de cartes , dont aucune n'ejl répètée : il les tire fuccejjivement en appellant , fuivant Vordre des cartes, as, deux ,nbsp;trois , amp;c. jufqu'au roi qui ejl la derniere ; amp; ilnbsp;parie qu il arrivera au moins une fois qu en tirantnbsp;une carte il la nommera. On demande quelle ejènbsp;la probabilitè quil a en fa faveur?

Ön appellece *eu Ie Jeu de Treit^e., parcequ’on k joue ordinairement ou avec un livret de treizenbsp;cartes, ou qu’après treize cartes paflees on recommence par un ou as.

II feroit trop long d’entrer ici dans Ie détail de

'liö Recreations MAtHÉMATiQCËS. l’analyfe de ce jeu : il nous fuffira de dire qüéinbsp;M. de Montmort trouve que fi Pierre ne tient quénbsp;deux cartes, Ia probability qu’il a de gagner eüj',nbsp;que s’il y en a trois, elle eft que s’il y en anbsp;quatre, elle eft ; enfin que s’il y en a treize, ellénbsp;• enforte que, pour joüer a jeu égal,nbsp;Pierre doit parier un peu moins de 11 contre 6.

PROBLÊME VI.

Pierre amp; Paul jouent au Piquet: Pierre ejl premier en cartes amp; na point d'as; quelU probabilitéynbsp;a-t-il qu il lui en rentrera ou un, ou deux, ounbsp;trois, OU les quatre ?

O N trouve que Ie fort de Pierre, pour avoir urt as quelconque, eft

pour en avoir deux

pour en avoir trois

pour en avoir quatre.......

D’ou il fuit que la probability qu’il en aura quel-* qu’un dans les cinq cartes qu’il a a prendre, eftnbsp;jif : enforte qu’il y a a parier X3X contre 91nbsp;qu’il rentrera quelque as a Pierre.

Suppofons aftuellement que c’eft Paul qui eft dernier en cartes; on demande ee qu’il y a a parier qu’il prendra au moins un as dans fes troisnbsp;cartes ?

Le fort de Paul, pour prendre un as dans trois cartes, eft .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;......* . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-i;

pour en prendre deux, il eft . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

pour en prendre trois......

Par confequent la probabilité qu’il en prendra o«

ARlTHMéxiQUE. Chap. JX. IVJ ün , OU deux , ou trois indéterminëment, eft égalenbsp;3 fy: ainfi. Paul peut pariet but a but avec avan-*age qu’il lui en rentrera quelqu’un; car Ie juöenbsp;rapport des mifes feroit de 2.9 a a8.

PROBLÊME VII.

•^u jeu de Whisk, quelle probabilité y a-t-il que les quatre honneurs ne fe trouveront pas entrtnbsp;deux parteners quelconques?

. DE Moivre , dans Ton traité intitule The lioUrine of Chances, montre qu’il y a bien présnbsp;óe ly contre 2 a parier, que les partners dont 1’unnbsp;donne n’ont pas les quatre honneurs;

Qu’il y a ^ parier 23 environ contre i, que les deux autres partners ne les ont pas;

Qu’il y a 8 bien prés contre ï k parier qu’ils ne fe trouvent d’aucun cóté ;

Qu’on peut parier fans défavantage 13 environ r^ontre 7 , que les partners oü eft la main ne comp-teront pas des honneurs;

Qu’on peut mettre environ 2o contre/, que ^es deux autres ne les compteront pas;

Enfin, qu’il y a 15 contre ï6 k parier que 1’un deux cótés comptera des honneurs, ou qu’ilsnbsp;feront pas partagés également.

PROBLÊME VIII.

Sur Ie Jeu des Sauvages,

T

¦LiE baron de la Hontan rapporte, dans fes Voyages Canada, que les Indiens jou'ent au jeu fuivant.nbsp;Ils ont 8 noyaux noirs d’un cóté, amp; blancs denbsp;I autre: on les jette en l’air : alors, s’il fe trouve

ïa8 Mcréations Mathématiques.

que les noirs foient impairs, Ie joueur a gagné l’enjeu convenu ; amp; s’ils fe trouvent ou tous noirs fnbsp;OU tous blancs, il gagne Ie double ; mais s’ils ftnbsp;trouvent répartis en noinbres, pairs , il a perdu ftnbsp;jniftquot;

M. de Montmort examine ce jeu, amp; trouve que celui qui jette les noyaux a un avantage quinbsp;peut être évalué a ; amp; que, pour que Ie jeunbsp;fut égal, il faudroit qu’il mit zi quand fon adver-faire met 21.

PROBLÊME IX.

Sur h Jeu de Triclrac.

XjE jeu de triftrac eft un de ceux oü l’efprit de combinaifon fe manifefte davantage , amp; ou il eftnbsp;plus utile de connoitre, a chaque coup qu’on vanbsp;jouer, ce qu’on peut efpérer ou craindre des coupsnbsp;de dés fuivants, foit des flens, foit de ceux de founbsp;adverfaire. II faut jouer fes dames de telle manierenbsp;que fi l’on a en vue, par exemple, de fe mettre ennbsp;état de remplir, ou de battre Ie coin de fon ad'nbsp;verfaire ou telles autres dames qui font expofées;nbsp;il faut, dis-je, jouer de maniere qu’on fe ménagenbsp;Ie plus grand nombre de coups de dés favorables.nbsp;L’efpérance enfin qu’on a a chaque coup qu’on vanbsp;jouer, eft toujours fufceptible d’etre appréciéenbsp;mathématiquement. Parmi les exemples nombreuXnbsp;qu’on en pourroit donner , on fe bornera a unnbsp;petit nombre des plus cuneux amp; des moins diftiquot;nbsp;ciles.

I, Pierre amp; Paul jouent enfemble au triclruC’ Pierre entreprend de prendre fon grand coin en deU^nbsp;coups. Combien Paul peut-ilparier contre lui ?

Arithmétique. CAd/7./Z',

tiropofer fur ce jeu; car il efl: aife de remarquer ’flue Ton ne peut prendre fon grand coin en deuxnbsp;^oups qu’en amenant ou deux fois de fuite fonnez,nbsp;deux fois de fuite fix cinq , ou quines la pre-*^icre fois amp; fonnez. la feconde, ou enfin la pre-*^iere fois fonnez amp; la feconde quines. Or Ia pro-^abilité d’amener deux fois de fuite fonnez eftnbsp;; celle d’amener deux fois de fuite fix cinq onnbsp;'^'nq Sc fix, eft ¦ car, comme on peut amenernbsp;fte deux faqons fix cinq avec deux dés, la probabi-ftté de 1’amener au premier coup eft 3^; amp; confé-quemrnent celle de l’amener deux fois de fuite eft:nbsp;37 X 3%, ou 7~. Pareillement la probabilité d’a-inener quines au premier coup amp; fonnez au fe-cond, eft —'tj » ^ enfin celle d’amener fonnez aunbsp;premier coup amp; quines au fecond, eft encore

il fuit que Ia fomme de toutes ces fraéfions rrTê ¦gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;probabilité d’amener une de ces

quatre combinaifons de coups, ou de prendre fon grand coin en deux coups. Ainfi Pierre ne doitnbsp;Parier, pour jouer au pair , que 7 contre 12.89,nbsp;icontreiSqy.

II faüt fuppofer ici que Pierre eft premier a jouer, ce a quoi M. de Montmort ne paroit pasnbsp;avoir fait attention,; car fi Paul avoit pris lui-Rtême fon coin en deux coups, il eft évident quenbsp;Ia combinaifon de deux fois de fuite fonnez feroitnbsp;Inutile , parceque Pierre ne fqauroit prendre fonnbsp;grand coin par deux fois lonnez, qu’autant quenbsp;Pierre ne 1’aura pas déja.

Suppofons done , pour réfoudre Ie problême plus complettement, que Pierre eft fecond a jouer;nbsp;il eft évident qu’il aura également pour lui les ba-fards ci-deffus, a 1’exception de celui de deux foisnbsp;fonnez, car ce dernier ne lui fervira cm’autantnbsp;Tomé I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I

Ï30 Recreations MathématiqVes. que fon adverfaire n’aura pas deja pris fon coin*nbsp;D’oi'i il iidt que I’avantage de ce hafard pournbsp;Pierre fera d’ai^tant moindre , qu’il fera plus probable que fon adverfaire ait pris fon coin en deuxnbsp;coups. Si la probabilite que Paul y reuffira etoit ^nbsp;par exemple, j , il faudroit multiplier —V? »nbsp;valeur du hafard d’amener deux fois de fuite fon-nez, par f. Ainfi il faudra ici multiplier 7^^nbsp;par , qui eft la probabilite que Paul ne pren-

1289

prime pour le fecond en jeu la valeur du hafard d’amener deux fois fonnez, pour prendre fon coin.nbsp;Ajoutant done les trois autres hafards , exprimesnbsp;P^r ) on aura, pour revaluation de la proba-bilité que le fecond prendra en deux coups fonnbsp;coin , TïVé nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j ounbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; ce qui eft un

peu moindre que 7—

II. jeu de triBrac, Vun des joueurs d fon jetl dlfpofe de cette maniere : 4 datnes fur la premierenbsp;f-eehe dont elks partent, j fur la feconde , z fur lanbsp;troifeme , j fur la quatrieme , 2 fur la cinquieme ,nbsp;amp; I fur la fixieme. On demande ce qiiily a apariefnbsp;qu’il remplira amp; fera fon petit jan ?

Il eft facile de voir que je remplirai par toutes les combinaifons de dés dans lefquelles il y auranbsp;un cinq, ou un deux, ou un quatre, ou dans lefquelles les dés feront enfemble cinq, quatre oUnbsp;deux. Or, des 36 combinaifons que peuvent former deux dés, il y en a d’abord onze ou il y a aunbsp;moins un cinq: il y en a pareillement onze oii ilnbsp;y a au moins un quatre ; mais les combinaifonsnbsp;quatre-cinq amp; cinq-quatre ayant deja été em-ployées parmi les précédentes, nous n’en comp'

ArITHMÉTIQUE. Chap. iX. 131 terons que neuf. On compte auffi onze combinai-fons de dés oü il fe trouve au moins un x -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'¦

comme les combinaifons deux-cinq amp; cinq-deux , deux-quatre amp; quatre-deux ont déja été employees , on n’en dolt compter que fept. On^anbsp;enfin les coups ambefas , un amp; trois , trois amp; un,nbsp;qui font favorables pour remplir. Ainfi, fur lesnbsp;trente-fix combinaifons des deux dés, il y en anbsp;trente avec lefquelles on remplira. Par conféquentnbsp;d y a 5 contre i a parier que , dans pareille pofi-tion de dames , on fera fon petit jan.

Si Ton fuppofolt que la dame qui eft quatrieme fur la premiere fleche fut fur la troifieme, alors ilnbsp;feroit aifé de voir qu’il n’y auroit abfolument quenbsp;fonnez pour ne pas remplir; ainfi l’on pourroitnbsp;parier 35 contre i qu’on feroit fon petit jan.

Nous nous bornons a cette efquifie de Tutilité de la doélrine des combinaifons dans Ie jeu denbsp;triélrac. Il y a d’autres queftions plus difficiles furnbsp;ce jeu, que M. de Montmort a examinées dans fonnbsp;EJfai d’analyfe fur les Jeux de hafard. Mais nousnbsp;invitons Ie leóleur a recourir a eet ouvrage.

PROBLÊME X.

fi-z charlatan tcnolt dans une folre Ie Jeu fuivant .* il avoit C dés dont chacun nétoit marqué quenbsp;fur une face, amp;c. l’un de Vas , rautre de deux,nbsp;jufquau fixieme qui Vetoit de fix: on lui donnoitnbsp;une fomme quelconque, 6quot; il ojfroit de rembourfernbsp;cent fois la mifc ^ Ji, en jettant ces C dis, onnbsp;amenoit en vingt fois les ó' faces marquees.nbsp;Lorfqu' 'on avoit perdu , il offroit la revanchenbsp;fous cette condition , quon mit une nouvelle

I ij

ïji, Recreations Mathématiques. fomme égale a la premiere; amp; il s'engageoit anbsp;rendre Ie tout, ji on amenoit trois coups de. fuitenbsp;toutes faces blanches. On demande quel itoit Ienbsp;fort des joueurs?

Ceux qui ne connoiflent point Ia route qu’il faut tenir pour rélbudre les problêmes cje cette nature , font fiijets a faire fur cette efpece de dés unenbsp;raifonnement fort erroné; car, remarquant qu’ilnbsp;y a cinq fois autant de faces blanches que de facesnbsp;marquees, ils en concluent qu’il y a 5 a pariernbsp;contre i , qu’en les jettant on n’amenera aucunnbsp;point. Ils font néanmoins dans 1’erreur ; amp; il y anbsp;au contraire pres de 2 contre i a parier qu’on n’a-menera pas tout blanc : ce qu’on démontre ainfi.

Prenons un feul dé, il efl. évident qu’il y a 5 contre i a parier qu’on amenera blanc. Mais flnbsp;nous y joignons un fecond dé, il eft aifé de voirnbsp;que la face marquee du premier peut fe combinernbsp;avec chacune des faces blanches du fecond, amp; lanbsp;face marquée du fecond avec chacune des blanches du premier, enfin la face marquée de 1’unenbsp;avec la face marquée del’autre. Conféquemment,nbsp;fur les 36 combinaifons des faces de ces deux dés,nbsp;il y en a 11 oü il y a au moins une face marquée.nbsp;Or nous avons déja remarqué c[ue ce nombre r lnbsp;efl la différence du quarré du nombre 6 des facesnbsp;d’un dé , avec Ie quarré de ce même nombre di-minué de 1’unite, ou de

Joignons un troifieme dé, nous trouverons, par une femblable analyfe , que, fur les 216 combinaifons des faces de trois dés, il y en a 91 oü il ynbsp;a au moins une face marquée; amp; ce nombre 91nbsp;efl; la dlflérence du cube de 6 ou 216, avec lonbsp;cul:gt;e de 5 OU 12 5, Et ainfi de fuite pour les cas plus

AriTHMÉTIQUE. Chap. IX. 135 cotnpofés. D’oü Ton conclut que , fiir les 466')6nbsp;combinaifons des faces des 6 dés en queftion , il ynbsp;a 3 1031 oil il y a au moins une face inarquée ,nbsp;^ 15615 oil toutes les faces font blanches. Con-^équemment il y a prés de deux contre un a pariernbsp;lt;lH’on amenera au moins quelque point ; tandisnbsp;tjue , fuivant Ie raifonnement ci-delTus, on trou-Voit qu’il y avoit 5 contre i a paner pour Ie casnbsp;Contraire.

Cet exemple eft un de ceux qui peuvent fervir a luontrer combien , dans ces matieres , on doit fenbsp;détier de ces demi-lueurs qui fe préfentent du premier abord. Je puis ajouter que l’expérience eftnbsp;conforme au raifonnement; car m’étant amufé,nbsp;un foir de défceuvrement, a voir jouer a la ferme ,nbsp;amp; ayant compté pendant plufieurs heures tousnbsp;les coups marqués de quelque point, amp; tous lesnbsp;choux - blancs , (on appelle ainfi dans ce jeu lesnbsp;coups OU il n’y a aucune face marcpée , ) ]e trou-vai Ie nombre de ces derniers beaucoup moindrenbsp;que celui des premiers, amp; dans un rapport qui nenbsp;s’éloignoit guere de celui de un a deux. Mais reve-nons a notre charlatan.

II eft clair que , fur les 46656 combinalfons des faces des 6 dés dont il eft queftion, il n’y en anbsp;qu’une qui donne tout es les faces marquees ennbsp;deffus; ainfi la probabilité de les amener en unnbsp;Coup eft exprimée par xëTTï ’ ^ ’ comme on avoitnbsp;lo coups a )oueï pout les amener, la probabiliténbsp;d’y réuffir étoit denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ce qui fe réduit aun peu

plus qu’une 1331^. Ainfi , pour jouer au pair, 1’homme en queftion auroit dü rembourfer 1332nbsp;fois la mife. Or il n’offroit que 100 fois cette mife ;nbsp;confequemment il n’offroit qu’environ la vingt-troifieme partie de ce qu’il auroit du offrir pour

I iij

134 Récréations Mathématiques,

jouer a jeu égal, amp; il jouoit conféquemment aved iin avantage de contre un.

La revanche qu’il ofFroit étoit une autre fuper-cherie, pour Ie fuccès de laquelle il profitoit ha-bilement de la propenfion oü eft tout homme qut n’a pas fuffifamment examine la matiere , de fairenbsp;Ie mauvais raifonnement dont nous avons parlénbsp;ci-delTus; amp; Ton devoit d’autant moins faire diffi-culté d’accepter cette revanche , qu’il femble qu’ilnbsp;y ait 5 contre i a parier qu’on amenera chou-blanc chaque coup, tandis qu’au contraire il y anbsp;¦X contre i a parier qu’on ne 1’amenera pas. Or lanbsp;probabilité de ne pas amener chou-blanc en unnbsp;coup , étant a celle de l’amener comme z a i, ilnbsp;fuit dela que la probabilité de ne pas l’amener trolsnbsp;fois de fuite ,'efl: a celle de l’amener comme 8 eftnbsp;a I. Ainfi notre charlatan auroit dü mettre 7nbsp;contre i pour jouer 4 jeu égal: conféquemment ilnbsp;donnoit la revanche d’un jeu oü il avoir un avantage de 21 contre un, a un autre oü il en avoitnbsp;encore un de 7 contre i.

PROBLEME XI.

JEn comhhn di coups peut-on pariet au pair , avee G des marqués fur routes leurs faces , quonnbsp;amenera 2,3, 4, 3, G?

N^OUS venons de voir qu’11 y auroit 466^5 a parier contre un qu’on n’ameneroit pas ces 6 pointsnbsp;avec des dés marqués feulement fur une de leursnbsp;faces: maïs Ie cas eft bien différent avec 6 désnbsp;marqués fur routes leurs faces ; amp; pour Ie fairenbsp;fentir, ü fuffit de faire obferver que Ie point i ,nbsp;par exemple , peut être également amené par

Arithmétique. Chap. IX. 135 chacun des dés, amp; ainfi de même Ie 2 , Ie 3, Stc ;nbsp;qui rend Ie hafard des 6 points i , 2, 3, 4 ,nbsp;inconaparablement plus facile.

Mais, pour analyfer Ie problême plus exaéle-^ent, nous reinarquons que pour amener 1,2^ 3vec deux dés, il y a deux manieres, fqavoir, inbsp;Ie dé A amp; 2 avec Ie dé B, ou i avec Ie dé Bnbsp;^ 2 avec Ie dé A. Pour amener 1,2,3,

^és, fur la totalité des combinaifons de faces de trois dés, il y en a fix qui donnent les pointsnbsp;1,2, 3: car on peut amener i avec Ie dé A, 2nbsp;3vec B , 3 avec C; ou i avec Ie dé A, 2 avec C ,nbsp;3 avec B ; OU I avec Ie dé B, 2 avec Ie dé A ,nbsp;Sc 3 avec C ; ou I avec Ie dé B, 2 avec Ie dé C ,nbsp;amp; 3 avec A ; OU I avec Ie dé C, 2 avec A, amp; 5nbsp;avec B; OU enfin i avec C, 2 avec B, amp; 3 avec A.

_ On volt done par-la que, pour trouver les ma-iiieres dont on peut amener 1,2,3, avec trois des, il faut multiplier les nombres i, 2,3. Denbsp;même, pour trouver Ie nombre de manieres d’a-mener 1,2,3,45 avec quatre dés , il faudra multiplier 1, 2, 3,4, enfemble; ce qui dbnnera 24.nbsp;Enfin , pour trouver de coinbien de manieres fix désnbsp;peuvent donner i,2,3,4,^,6,il faudra multiplier enfemble ces fix nombres, amp; 1’on aura 720.

Si 1’on divife done Ie nombre 46656, qui eft ^ëlui des combinaifons des faces de fix dés, parnbsp;720, on aura 64^ pour ce qu’il y aura a pariernbsp;‘^ontre i qu’on n’amenera pas ces points en unnbsp;t^oup , amp; conféquemment on pourra prefque pa-^ler au pair de les amener en foixante - quatrenbsp;^oups : amp; il y aura plus du double a parier contrenbsp;Un qu’on les amenera en cent trente coups. Enfin ,nbsp;connne on peut facilement tirer cent trente coupsnbsp;de des amp;c plus en un quart - d’heure, on pourra

liv

t^6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATfQUES. parier , avec 1’avantage cle plus de i contre i, denbsp;les amener dans eet intervalle de temps.

Celui qui faifoit la propofiiion de parier au paif rl’amener ces points en un quart d’heure , commenbsp;je l’ai ouï dire a quelques perfonnes cui avoientnbsp;parié contre , amp; quiy avoient perdu leur argent,nbsp;faifoit done un pari très-avantageux pour lui amp;nbsp;tres-défavantageux pour eux. Ne devoit-il pas ennbsp;confcience leur rendre leur argent ? La réponfenbsp;peut s’en déduire de ce que nous venons de dire.

PROBLÊME XII.

J?u Jeu des fept Dés.

ELQu'uN propofede jouer avec y dés marqués jur routes leurs faces , aux conditions fuivantes :nbsp;Celui qui tient Ie dé gagnera autant d’écus quitnbsp;amenera de C; mais s'il nen amene aucun, ilpaieranbsp;a celui qui parie contre., autant d’écus qu ity a denbsp;¦dés, c’ejl-d-dirc fept. On demande quel rapport ilnbsp;y a entre leurs chances ?

Pour réfoudre ce problême, 11 faut 1’analyfer avec ordre. Suppofons done qu’il n’y eüt qu’unnbsp;xlé; il efl; évident que , n’y ayant qu’un coupnbsp;pour celui qui tient Ie dé , amp; cinq contre lui, Ienbsp;rapport des mifes‘ devroit être celui de i a 5.nbsp;Ainli, fi Ie premier donnoit un écu toutes les foisnbsp;xju’ll n’ameneroit pas 6 , amp; n’en recevoit qu’unnbsp;lorfqu’il 1’aineneroit , il ioueroit a un jeu très-tnégal,

Suppofons maintenant deux dés. J’obferve que, dans les 36 combinaifons différentes dont fontnbsp;fufceptibles les faces de deux dés, il y en a 25 quinbsp;ne donnent point de 6 , qu’il y en a 10 qui ennbsp;clonncnt un, 5c une leule qui eu donne deux. Csquot;

Arithmêtique. Chap. IX. 137 qui tient Ie dé n’a done que 11 coups qui luinbsp;foient favorables, dont 10 lui feront gagner clia-un écu , amp; un lui en fera gagner deux : done

chance pour gagner fera fuivant la regie géné-^^I^TT IT’ ^ comme, chacun des 15 coups qui donnent point de 6 arrivant, il devra payernbsp;deux ecus, la chance de fon adverfaire feranbsp;Conféquemment la chance pour gagner fera a cellenbsp;pour perdre comme-ff a yl, ou 12 a 50,ouraomsnbsp;de I contre 4.

Pour déterminer , dans les cas plus compofés , les coups qui ne donnent point de 6, ceux qui ennbsp;donnent un, ceux qui en donnent deux, trois, amp;c ;nbsp;il faut faire attention qu’ils font toujours exprimésnbsp;par les termes différents de la puiffancede 5 1,nbsp;dont 1’expofant eft égal au nombre des dés. Ainfi,nbsp;lorfqu’il n’y a qu’un dé, Ie nombre 5 -f i exprimenbsp;par fon premier terme qu’il y a cinq coups fans 6 ,nbsp;amp; un qui donne un 6 : s’il y en a deux, Ie produitnbsp;de 5 1 par 5 15 ou Ie quarré de 5 i, étantnbsp;2-5 -f IO -f-1, Ie premier terme 25 indique qu’ll ynbsp;^ ^5 coups (fur les 36) qui ne donnent point de 6,nbsp;qui en préfentent un , amp; i qui en préfentenbsp;deux.

De même Ie cube de 5 i étant 125 75 ^5 1, défigne que, fur les 216 combinaifonsnbsp;des faces de fix dés, il y en a 125 ou il n’y a au-^un 6,75 oü il y en a'un , 15 oü il y en a deux,nbsp;^ une oü il y en a trois.

La quatrieme puiffance de 5 1 étant 625-f-500-P 1^0 20 1 , indique pareillement que, furies 1296 combinaifons des faces de quatredés,nbsp;d y en a 625 fans aucunö, 500 qui donnent un 6 ,nbsp;150 qui en donnent deux , 20 qui en donnentnbsp;trois, amp; une feule qui en donne quatre.

t3S Récréations Mathématiques.

Je paffe les cas intermécliaires , pour arrlver a celui oü il y a lept dés. Or on trouve , dans cenbsp;cas, quela feptieme puiffance de 5 1 eftySiiJnbsp; 109375 65625 Z1875 4375 525 35nbsp;4-1 — a 179936. II y a done , fur les 279930nbsp;combinaifons des faces de fept dés,78125 quinenbsp;donnent aucun 6, 109375 oü il s’en trouve un,nbsp;65625 oü il y en a deux, 21875 oü il y en anbsp;trois, amp;c. Or, chacun des 78125 premiers coupsnbsp;arrivant, celui qüi tient Ie dé doit payer 7 écus:nbsp;conféquemment il faut, fuivant la regie générale tnbsp;multiplier ce nombre par 7, amp; divifer Ie produitnbsp;par la fomme de tons les coups; amp; Ton aura la

w nbsp;nbsp;nbsp;^79936*

chance qui lui eft favorable,. multipliez chacun des autres termes par le nombre des 6 qu’il pré-fente, additionnez les différents produits , St di-vifez la fomme par la totalite des

pour gagner eft a fa chance pour perdre, comme 32559Z a 546875 ; e’eft-a-dire qu’il joue a unnbsp;jeu de dupe, ou ily a environ 54 contre 32, onnbsp;27 contre 16, ou plus de 3 contre 2 a pariernbsp;qu’il perdra.

Par un femblable procédé 1’on trouve que, s’il y a huit dés, la chance de celui qui tient le dé eftnbsp;encore a celle de fon adverfaire comme 2259488nbsp;a 3125000; ce qui eft a peu prés comme 3nbsp;contre 4.

S’il y avoit neuf dés, la chance pour celui qui tiendroit le dé feroit a celle de fon adverfairenbsp;comme 151 environ a 175.

S’il y a dix dés, la chance du premier fera a celle du fecondcomme 101176960 a 97656250#

ARITHMixiQUE. Chap. X. 139 ^'^ft-a-dire, a trés - peu de chofe prés, commenbsp;ïoi a 57 II commence done a y avoir de l’a-vantage pour Ie premier , feulement lorfque Ienbsp;^ombre des dés eft i o ; amp; il nej doit pas y en avoirnbsp;*iioins pour jouer ce jeu avec quelque égalité.

CHAPITRE X.

Quelques Jeux arithmétiques de Divination. OU de Combinaifons.

M . O ZANAM a été très-prolixe dans rexpU-cation des différentes méthodes qu’on peut employer pour ces efpeces de divination. Mais il faut convenir que Ie plus fouvent ou elles fontnbsp;ttop compliquées, ou ce font de ces adreffes qu’ennbsp;langage populaire on appelle des rufes coufues denbsp;fil blanc. Nous nous bornerons , par cette raifon ,nbsp;3 ceux de ces moyens oü Tartifice eft molns appa-rent; ce qui en réduira beaucoup Ie nombre.

PROBLÊME I.

Deviner Ic nombre que qiielquun aura penfé.

I.

Öites a celui qui a penfé un nombre de Ie ^ripler, amp; enfuite de prendre la moitié exafte denbsp;triple s’il eft pair, ou la plus grande moitié ft lanbsp;^ivifion ne peut pas fe faire exaftement, ( ce donenbsp;vous vous fouviendrez a pa*rt). Vous ferez encorenbsp;triplet cette moitié, amp; vous demanderez combiennbsp;de fois Ie nombre 9 s’y trouve compris. Le nombrenbsp;penfe fera le double, 11 la dlvilion ci-deffus par la

140 Récréations Mathématiques.

moitié a pu faire ; maïs fi cette divifion n’a pu avoir lieu , il faudra aj outer l’unité.

Qu’on ait penfé 5 , fon triple eft 15 quine peut fe divifer par 2. La plus grande moitié de 15 eft 8 :nbsp;11 on la multiplie encore par 3, on aura 24, oü 9nbsp;fe trouve deux fois. Le nombre penfé eft done 4nbsp;plus I , OU 5.

II. nbsp;nbsp;nbsp;'

Dites a celui qui a penfé un nombre de le multiplier par lui-même ; enfuite qu’il augrnente ce nombre de l’unité, amp; qu’il le multiplie encorenbsp;par lui-même : demandez-lui après cela la difference de ces deux nombres; ce fera certainemeiitnbsp;un noitibre impair , dont la petite moitié fera Ienbsp;nombre cherché.

Que le nombre penfé foit, par exemple ,10, fon quarré eft 100. Que 10 foit augmenté de i,nbsp;ce fera il, dontle quarré eft 121. La différencenbsp;des deux quarrés eft 21, dont la moindre moitiénbsp;10 eft le nombre cherché.

On pourra, pour varier 1’artifice , faire faire Ie fecond quarré du nombre penfé dimlnué d’unenbsp;unité : alors, demandant la différence des deuXnbsp;quarrés , la plus grande moitié fera le nombrenbsp;cherché.

Dans l’exemple précédent, le quarré du nom-bre penfé eft 100; celui de ce nombre diininue de l’unité ,'ou 9, eft 81; la différence eft 19»nbsp;dont la plus grande moitié eft to , nombrenbsp;cherghé.

III.

Faites ajouter au nombre penfé fa moitié exsCtc s’11 eft pair, ou fa plus grande moitié s’il eft iJRquot;

AritHmetique. Chap. X 14*' P'l’r } pour avoir une premiere fomme. Faites auffinbsp;sjouter a cette fomme fa raoitie exacle , ou la plusnbsp;grande moitie , felon qu’elle feta un nombre pairnbsp;impair, pour avoir une feconde fomme , dontnbsp;dont vous ferez óter le double du nombre penfe ;nbsp;^nfuite faites prendre la moitie du refle, ou fanbsp;plus petite moitie , au ca* que ce refte foit unnbsp;Sombre impair; continuez a faire prendre la moi-^'5 de la moitié, jufqu’a ce qu’on vienne a 1’u-Cela étant fait, remarquez combien de fous-divifions on aura faites , amp; pour la premiere division retenez z , pour la feconde 4 , pour la troi-Sleme 8, amp; ainfi des autres en proportion double.nbsp;Obfervez qu’il faut a] outer i pour chaque fois quenbsp;Vous aurez pris la plus petite moitié , parcequ’ennbsp;prenant cette plus petite moitie il refte toujours i,nbsp;^ qu’il faut feulement retenir i lorfqu’on n’auranbsp;pu faire aucune fous-divifton; car ainfi vous aureznbsp;le nombre dont on a pris les moities des moities:nbsp;alors le quadruple de ce nombre fera le nombrenbsp;penfé , au cas qu’il n’ait point fallu prendre aunbsp;commencement la plus grande moitié ; ce quinbsp;arrivera feulement lorfque le nombre penfé feranbsp;pairement pair, ou divifible par 4: autrement onnbsp;otera 3 de ce quadruple, fi a la premiere divifionnbsp;1 on a pris la plus grande moitié ; ou bien feule-^cnt 2 , fi a la feconde divifion 1’on a pris la plusnbsp;gtande moitié; ou bien enfin 5 , fi a chacune desnbsp;deux divifions on a pris la plus grande moitié : Scnbsp;^lors le refte fera le nombre penfé.

Comme, fi I’on a penfé 4, en lui ajoutant fa Moitié 2 , on a 6 , auquel fi 1’on ajoute pareille-’aient fa moitié 3, on a p, d’ou otant le double 8nbsp;du nombre penfé 4, il refte i, dont on ne fqauroitnbsp;prendre la moitié, parcequ’on eft parvenu a lu-

142. RicRÉATioNs MathéMatiques, nité ; c’eft pourquoi on retiendra i, dont Ie quadruple 4 eft Ie nombre penfé.

Si 1’on a penfé 5, en lui ajoutant fa plus grande moitié 3, on a 8 , auquel fi on ajoute fa moitié 4,nbsp;on a II , d’oü êtant Ie double 10 du nombrenbsp;penfé il refte 2, dont la moitié eft i : amp; commenbsp;l’on ne fqauroit plus prendre la moitié, parcequ’oiinbsp;eft parvenu a l’unité, on retiendra z , parcequ’il ynbsp;a une fous - divilion. Si de 8 , quadruple de cenbsp;nombre retenu z, on óte 3 , parceque dans la premiere divilion on a pris la plus grande moitié, Ienbsp;refte 5 eft Ie nombre penfé.

IV.

Faites óter 1 du nombre penfé , amp; enfulte doubler Ie refte; faites encore óter i de ce double, amp; qu’on lui ajoute Ie nombre penfé ; enfin deman-dez Ie nombre qui provient de cette addition.nbsp;Ajoutez-y 3 ; Ie tiers de cette fomme fera Ie nombre cherché.

Comme, 111’on a penfé 5 ? ^ qu’on en óte i, il reftera 4, dont Ie double 8 étant diminué de i,nbsp;amp; Ie refte 7 étant augmenté du nombre penfé 5 »nbsp;on a cette fomme i z , a laquelle ajoutant 3 , on anbsp;cette autre fomme 15, dont la troilieme partie 5nbsp;eft Ie nombre penfé.

Re M A R (IV E.

Cette maniere peut être variée de blen des faqons; car, au lieu de doubler Ie nombre penfénbsp;après en avoir fait óter l’unité, on pourroit Ie fairenbsp;tripler : alors, après avoir fait encore óter 1’iiniténbsp;de ce triple U ajouter Ie nombre penfé, il faudroit

ARITHMiÈTIQUE. Chap. X. 145 y a’) outer 4. Le -j de la fomme provenante de cesnbsp;operations feroit le nombre cherché.

Soit le nombre cherché x ; qu’on en dte 1’unité , le reftant fera x— 1: multipliez ce refte par unnbsp;nombre quelconque n, le produit fera nx — n:nbsp;otez-en encore l’unité , le refte fera nx—n—i :nbsp;aioutez-y le nombre penfé x, ia fomme fera xnbsp;'^n—i. Si done on ajoute le multiplicateur ci-deflus augmenté de 1’unlté, c’eft-a-dire 3 ft l’on anbsp;doublé , 4 ft Ton a triple, amp;c. le reftant feranbsp;n—1 X , qui étant divifé par le même nombre , lenbsp;quotient fera x ,le nombre cherché.

On pourroit, au lieu d’óter Tunité, i’ajouter au nombre penfé; alors, au lieu d’ajouter a la fin lenbsp;multiplicateur augmenté de l’unité , il faudroitnbsp;le fouftraire, amp; faire la divifton comme il eft in-diqué ci-deflus.

Que 7, par exemple , foit le nombre penfé : faites ajouter l’unité, la fomme fera 8 ; en lanbsp;triplant on aura 24 : qu’on ajoute encore i, il vien-dra 25 ; qu’on ajoute 7, il proviendra 32 , dontnbsp;ötant 4, parcequ’on a triplé, on aura 28 , dontnbsp;le quart fera le nombre chej^hé.

V.

Faites ajouter i au triple du nombre penfé , amp; ^nfuite multiplier la fomme par 3: qu’on ajoutenbsp;^ncore le nombre penfé, il en réfultera une fommenbsp;dont ótant 3 , le reftant fera le décuple du nombrenbsp;cherché. Ainfi , lorfqu’on vous aura dit cette der-niere fomme , ótez-en 3 , amp; du reftant le zéro anbsp;droite; l’autre chiffre indiquera le nombre cherché.

Soit 6 le nombre penfé: fon triple eft 18; ce qui, en y ajoutant l’unité, fait 19 : le triple eft 57ï

144 Recreations MathématIques. qu’on y ajoute 6, le produit eft 63 , dont otant 3 ^nbsp;le refte eft 60, dont coupant le zéro a droke,nbsp;1’autre chiffre eft d, nombre chefche.

Re M A R d U E.

Si on otoit i du nombre penfé, qu’on triplat le refte , qn’on y ajoutat de nouveau le nombrenbsp;penfé, il.faudroit,aprèss’êtrefait dire cettefommenbsp;qui fe terminera toujours par 7 , ajouter 3 annbsp;lieu de les en oter comme on a fait ci-deflus, amp;nbsp;la fomme fe trouveroit decuple du nombre penfé.

PROBLÊME 11.

Divimr deux ou plujieurs nombrcs que quelqidun aura, penfés.

LoRSQUE chacun des nombres penfés ne fera pas plus grand que 9, on les pourra trouver faci-lement par cette maniere.

Ayant fait ajouter i au double du premier nombre penfé , faites multiplier le tout par 5 , amp; ajouter au produit le fecond nombre. S’il y en anbsp;un troifieme, faites doubler cette premiere fommenbsp;amp; y ajouter i; amp; , après avoir fait multiplier cettenbsp;nouvelle fomme par 5, qu’on y ajoute le troifiemenbsp;nombre. S’il y en a un quatrieme, on procéderanbsp;de même , en faifant doubler la fomme précé-dente, ajouter 1’unlté, multiplier par 5, amp; ajouternbsp;le quatrieme nombre, amp;c.

Cela fait, demandez le nombre qui provicnt de 1’addition du dernier nombre pgnfé, amp; de cenbsp;nombre fouftraifez 5 s’il n’y a que deux nombres ,nbsp;5 5 s’11 y a trois ,555 s’il y en a quatre, amp; ainfi

de

ArITHMÉTIQUE. Chap. X. 145 Öe Tuïte i Ie reftant fera compofé de chiffres dontnbsp;k premier a gauche fera Ie premier nombre penfé jnbsp;lefecond Ie deuxieme, amp;c.

Qu’on ait penfé, par exemple y ces trois nom-Wes, 3 , 4, 6 : en ajoutant i au double 6 du premier , on aura 7, qu’on mültipliera par 5 , amp; on aura 3 5; a quoi ajoutant 4, Ie deuxieme nombrenbsp;penfé, cela donnera 39, qu’il faut doubler pournbsp;avoir 78, y ajoüter i, amp;c multiplier la fomme 79nbsp;par 5 , d’oü réfultera 3 9 5; a quoi il faudra enfinnbsp;ajouter lt;5, Ie troifieme nombre penfé, amp; l’on auranbsp;401, dontótant 55,1! reftera 346, dont les figuresnbsp;3 , 4, 6 f indiquent par ordre les trois nombresnbsp;penfés.

Nous omettons lei une autre maniêre, parce-qu’on 1’emploiera dans la folution d’un autre jeu de cette efpece, appellé de VAnneau.

Si un OU pluiieurs des nombres penfés font plus grands que 9, il faut diftinguer deux Cas; Ie premier oü la multitude des nombres penfés eft unnbsp;nombre impair , amp; celui ou elle eft un nombrenbsp;pair.

Dans Ie premier cas , demandez les fommes du premier amp; du fecond, du fecond amp; du troifieme,nbsp;du troifieme amp; du quatrieme , amp;c. jufqu’au der-ïiier, Sc enfin la fomme du premier amp; du dernier.nbsp;Ayant écrit toutes ces fommes par ordre, ajouteznbsp;nnfemble toutes celles qui font dans les lieux impairs , comme la premiere , la troifieme , la cin-quieme, pec : faiteS une autre fomme de toutesnbsp;celles qui font dans les lieux pairs, comme lanbsp;Tornt /,

146 Recreations Mathématiques.

deuxieme , la quatrigme, la fixieme, amp;c : otez cette feconde fomme de la premiere ; le reliantnbsp;fera le double du premier nombre.

Qu’on ait penle, par exemple,ces cinq nom-bres, 3,7, 13, 17, 20, les premieres fommes prifes comme on a dit font 10, 20, 30,37, 23;nbsp;la fomme des premiere , troilieme , cinquieme, ellnbsp;lt;^3 ; celle des deuxieme amp; quatrieme ell 57 : de 65nbsp;otez 57, le reliant ell6, double du premier nombre 3. Ayant done 3 , vous Toterez de la premierenbsp;des fommes i o; le reliant 7 fera le fecond nombre ; amp; ainli de fuite.

2^ Cas. Si la multitude des nombres penfes ell paire, 11 faut demander amp; ecrire par ordre, commenbsp;ci-delTus, les fommes du premier 8c du fecond,nbsp;du fecond 8c du troilieme, 8cc; mais au lieu denbsp;celle du premier amp; du dernier, on prendra cellenbsp;du fecond amp; du dernier : alors ajoutez enfemblenbsp;celles qui font dans les lieux pairs, 8c formez-ennbsp;une nouvelle fomme a part; ajoutez aulTi enfemblenbsp;celles qui font dans les lieux impairs, a 1’exceptionnbsp;de la premiere, 8c otez cette nouvelle fomme denbsp;la premiere : le reliant fera le double du fecondnbsp;des nombres: done, I’otant de la fomme des premier 8c fecond , on aura le premier; 8c en I’otantnbsp;de celle des lecond amp; troilieme, on aura le troi-fieme; amp;c ainli de fuite.

Soient, par exemple, les nombres penfes, 3, 7? ’^3» *7' fommes prifes comme on vient denbsp;dire font 10,20,30 , 24; la fomme des deuxieme amp;c quatrieme ell 44, dont otant la troi-fieine feulement, qui ell 30 , le reliant ell 14. Lenbsp;fecond nombre cherché ell done 7, 8c le premiernbsp;3, 8c le troifieme 13, amp;:c.

Arithmétiquë. Chap. X 147 PROBLÊME III.

tTne perfonne ay ant dans une main un nombre. pair d'écus ou dc jctons, 6* dans Pautre un nombrenbsp;impair, deviner en quelte main ejl le nombre pair.

Faites multiplier le nombre de la main droite par un nombre pair tel qu’il vous plaira , commenbsp;par 2, amp; le nombre de la main gauche par unnbsp;impair, 3 par example; faitès ajouter les deuxnbsp;fommes: fi le total eft impair, le nombre pair denbsp;pieces eft dans la main droite, amp; I’impair dans lanbsp;gauche; ft ce total eft pair , ce fera le contraire.

Qu’il y ait, par exemple , dans la main droite 8 pieces, amp; dans la gauche 7: en multipliant 8nbsp;par 2 on aura 16 , amp; le produit de 7 par 3 fera 21,nbsp;Lafomme eft 37, nombre impair.

Si au contraire il y eut eu q'dans la main droite, 5st 8 dans la gauche ; en multipliant 9 pkr 2 onnbsp;auroit eu 18, 6gt;c multipliant 8 par 3 on auroit eunbsp;2.4, qui, ajouté a 18 , donne 42, nombre pair.

PROBLÊME IV.

Vne perfonne tenant une piece d'or dans une main amp; une d^argent dans Vautre, trouver en quellenbsp;main ef I’or , amp; en quelle ef Vargent.

Il faut pour cet effet affigner a la piece d’or une ^aleur quelconque qui foit un nombre pair, parnbsp;«xemple 8, amp; a la piece d’argent une valeur quinbsp;ft^it un nombre impair, 3 par exemple; après quoinbsp;¦Vous procederez abfolument comme dans le pro-hlême précédent.

R E M A R (lU E S.

I. Pour laiflTer moins appercevoir 1’artifice, 11

Ki;

54^ RicRÉATiONs MathématiqueS. fuffira de demander fi Ie total des deux produltsnbsp;peut fe partager pat la moitié ; car, dans ce cas,nbsp;Ie total lera pair , Sc dans Ie cas contraire, impair.

n. On voit bien qu’au lieu des deux mains de la même perfonne , on peut fuppofer que deuxnbsp;perfonnes auront pris , 1’une Ie nombre pair, l’autrenbsp;i’impair, ou Tune la piece d’or, l’autre celle d’ar-gent. On fera done a l’égard de ces deux perfonnes ce que 1’on a fait a l’égard des deux mains ,nbsp;en défignant a part foi l’une par la droite , l’autrenbsp;par la gauche.

PROBLÈME V.

Ze Jeu de VAnneau.

Ce jeu, qui n’eft qu’une application d’urre des manieres de deviner plufieurs nombres penfés,nbsp;peut fe pratiquer dans une compagnie, dont Ienbsp;nombre des perfonnes ne doit pas furpafler 9. Onnbsp;propofe un anneau qui doit être pris par une denbsp;ces perfonnes, amp; mis a un doigt de telle main amp;nbsp;a telle jointure de ce doigt qu’elle voudra. II fautnbsp;deviner quelle perfonne a cet anneau, a quellenbsp;main, a quel doigt, a quelle jointure.

Pour cet effet on feravaloir i la premiere per-fpnne , 2 la deuxieme, 3 la troifieme, amp;c : on fera aulli valoir I la main droite , amp; 2 la gauche :nbsp;on donnera pareillement i au premier doigt de lanbsp;main , fqavoir le pouce, 2 au fecond, amp;c. juf-qu’au petit doigt: on appellera enfin i la premierenbsp;jointure ou celle de l’extrémité du doigt, 2 lanbsp;deuxieme , 3 la troifieme. Ainfi le probleme fenbsp;xedult a deviner quatre nombres pris au hafard »nbsp;dont aucun ne furpaffe 9 j ce qui fe fera par lanbsp;méthode fuivante.

ARITHMÊTïQUE. Chap. X Ï49

Snppofons que Ia cinquieme perfonne alt pris la bague, Sc 1’ait mile a la premiere jointure dunbsp;quatrieme doigt de fa main gauche : les nombresnbsp;a deviner feront 5 , 1,4,1.

Pour y parvenir, faites doubler Ie premier nom* bre 5 , vous aurez 10, dout vous ferez êter i ; Ienbsp;refte fera 9, que vous ferez multiplier par 5, ce quinbsp;Vous donnera 45, A ce produit faites ajouter Ienbsp;deuxieme nombre i, vous aurez 47; a quoi faifantnbsp;encore ajouter 5, il viendra 52 , qu’il faudra fairenbsp;doubler; ce double fera 104, dont vous ferez óternbsp;1 ; Ie refte fera 103 , que vous ferez multiplier parnbsp;5; vous aurez pour produit 51 ^. A ce produit faitesnbsp;ajouter Ie troifieme nombre , ou Ie quantieme dunbsp;doigt, 4, vous aurez 519 ; a quoi ajoutant encorenbsp;5 gt; vous aurez 524, qu’il faudra faire doubler, Scnbsp;du double 1048 óter 1 ; Ie reftant fera 1047, quenbsp;vous ferez encore multiplier par y, Ie produit feranbsp;5^35’ A ce produit faites ajouter Ie quatriemenbsp;nombre, ou Ie quantieme de la jointure, i , ilnbsp;viendra 5x36 ; a quoi faifant enfin ajouter 5, lanbsp;fommc fera 5141 , dont les chiffres marquent parnbsp;ordre les quantiemes de la perfonne , de la main ,nbsp;du doigt amp; de la jointure.

II eft; clair que toutes ces operations ne re-viennent, au fond, qu’a celle de multiplier Ie nombre qui exprime Ie quantieme de la perfonne par 10 , puis y ajouter celui qui exprime Ie quantiemenbsp;de la main, multiplier encore par 10, See. Maisnbsp;1’artifice fauteroit trop facilement aux yeux; Sc ilnbsp;faut encore convenir que, pour peu que celui qui faitnbsp;ce calculait d’attention, il eft difficile qu’il ne voienbsp;pas aufll-tüt que ces quatre chiffres repréfentent Ienbsp;quantieme de la perfonne, de la main, du doigt,nbsp;Scc. C eft pourquoi j’aimerois mieux y enaployer

K ii j

I Récréations Mathématiques. la maniere enfeignée au Probléme II, n® I , pournbsp;deviner tant de nombres donnés qu’on voudra ;nbsp;car, au moyen du nombre qu’il en faut fouftraire,nbsp;on pourra bien ne pas imaginer du tout I’artificenbsp;employé.

On pourroit propofer Ie probléme de la ma-niere fuivante, amp; on Ie réfoudroit de même.

Trois OU un plus grand nomhrc de perfonnes ayant pris chacune une carte ( dont Ie nombre, desnbsp;points nexcede pas trouver les points de cellenbsp;que chacun a prife.

Dites a la premiere d’ajouter i au double du nombre de points de fa carte , puis de multipliernbsp;la fomme par 5, amp; au produit d’ajouter les pointsnbsp;de la carte de la fecondé ; puls de doubler cettenbsp;fomme , d’y aj outer Tunité , de midtiplier Ie totalnbsp;par 5 , amp;. d’ajouter a ce produit les points de lanbsp;carte prife par la troifieine perfonne: en otant denbsp;ce produit 5 5 li le nombre des perfonnes eft 3,nbsp;ou 5 5 5 s’il eft 4, oil 5555 s’il y en a cinq, le ref-tant indlquera , par les chiffres qui le compofe-ront, les points des cartes prifes par chaque perfonne dans le même ordre.

Nous fupprimons I’exemple, afin d’abréger, 8c parcequ’on n’a qu’a recourir au premier exemplenbsp;du Probléme II.

PROBLÉME VI.

Deviner combien il y a de points dans une carte quc quelqiiun aura tirie d’un jeu de cartes,

Ayant pris un jeu entier de 52 cartes, pré-fentez-le a quelqu’un de la compagnie, qui ti-rera celle qu’il lui plaira, fans vous la montrer. Enfuite, en donnant a toutes les cartes leur va-

ArITHMÉTIQUE. Chap. X. 151 leur marquée, vous ferez valoir Ie valet 11 , Ianbsp;dame 12, amp; Ie roi 13 ; puls, comptant les pointsnbsp;de toutes les cartes, vous ajouterez les points denbsp;la premiere carte aux points de la feconde, ceux-ci aux points de la troifieme, amp; ainfi de fuite,nbsp;en rejetant toujours 13 , amp; gardant le refte pournbsp;1’ajouter a la carte fuivante. On voit qu’il eftnbsp;Inutile de compter les rois qui valent 13. Enfin,nbsp;s’il refte quelques points a la derniere carte , vousnbsp;oterez ces points de 13 , amp; le refte marquera lesnbsp;points de la carte qu’on aura tirée : enforte que , ftnbsp;le refte eft n, ce fera un valet qu’on aura tire; ftnbsp;le refte eft 12 , ce fera une dame , amp;c ; mais s’ilnbsp;ne refte rien , on aura tiré un roi. Vous connoi-trez quel eft ce roi, en regardant celui qui manquenbsp;dans les cartes que vous avez.

Si 1’on veut fe fervir d’un jeu compofe feule-ment de 3 2 cartes, dont on fe fert a préfent pour jouer au piquet, on ajoutera tons les points desnbsp;cartes comme on vient de dire , mals on rejetteranbsp;tous les lO qui fe trouveront en faifant cette addition. Enfin on ajoutera 4 au point de la dernierenbsp;carte pour avoir une fomme, laquelle étant ótéenbsp;de 10 ft elle eft molndre, ou de 20 ft elle furpaftenbsp;10 , le refte fera le nombre de la carte qu’on auranbsp;tirée: de forte que , s’il refte 2 , ce fera un valet ;nbsp;s’11 refte 3 , ce fera une dame; 5t ft le refte eft 4,nbsp;On aura tire un roi, amp;c.

Si le jeu de cartes eft imparfait, on do-it prendre garde aux cartes qui manquent, amp; ajouter a la derniere fomme le nombre des points de toutesnbsp;ces cartes manquantes, après qu’on aura óté denbsp;ce nombre autant de fols 10 qu’11 fera poflible : amp;nbsp;la fomme qui viendra de cette addition doitétre,nbsp;comme auparavant, ótée de lO, ou de20gt;felo!i

Klv

Recreations Mathêmatiqües.

qu’elle fera au deflbus ou au deflus de lO, ïl eft évident que fi l’on regarde encore une fois les cartes, on pourra nommer celle qui aura été tirée.

PROBLÊME VII.

Une- perfonne ayant dans chaque main un nombre egal de jetons ou d'écus , trouver combien il ynbsp;en a e,^ lout,

Dites- LUI d’en faire pafler, parexemple, 4 d’une main dans 1’autre; amp; demandez-lui enfuitenbsp;combien de fois Ie plus petit nombre eft contenunbsp;dans Ie plus grand. Suppofons qu’on réponde quenbsp;l’un eft triple de l’autre. Multipliez par 3 Ie nombre 4 des jetons pafles d’une main dans l’autre, 6cnbsp;y ajoutez ce même nombre, ce qui vous donneranbsp;16. Au contraire , de ce même nombre 3 oteznbsp;l’unité, refteront ?, , par quoi vous diviferez 16 :nbsp;Ie quotient 8 fera Ie nombre contenq dans chaquenbsp;conféquemment 16 en tout.

ArITHMÉTIQUE. Chap. X. Êomniencez par celle de deflbus, Sc mettez-lesnbsp;foin Tune fous I’autre ; puis dites - lui de fenbsp;Souvenir du nombre qui expriiue la quantleme qu’ilnbsp;penfée; fqavoir , de i , s’il a penfé la pre-’’’iere; de z, s’il a penfé la feconde; de 3 , s’il anbsp;P^i^fé la troifieme; Sec. Mais en même tempsnbsp;'^oinptez fecrétement celles que vöus montrez,nbsp;Ie nombre fera , par exemple, i z , Sc féparez-adroitement du refte du jeu. Aprés cela mette?nbsp;cartes , dont vous fqavez Ie nombre, dans unenbsp;miiation contraire , en commenqant a mettre furnbsp;refte du jeu la carte qui aura été mife la premiere fur la table, Sc en finiflant par celle qui auranbsp;^té montrée la derniere. Enfin, ayant demandé Ienbsp;Rombre de la carte penfée , que nous fuppoferonsnbsp;^tre la quatrieme , remettez a découvert vos cartesnbsp;fur la table 1’une après 1’autre , en commenqantnbsp;Par celle de deflus, a laquelle vous attribuerez Ienbsp;Uombre 4 de la carte penfée , en comptant 5 furnbsp;feconde carte fuivante, Sc pareillement 6 furnbsp;troifieme carte plus balTe, Sc ainfi de fuite ,nbsp;lufqu’a ce que vous foyez parvenu au nombre 12nbsp;cartes que vous aviez prifes au commencement ; car la carte fur laquelle tombera ce nombrenbsp;, fera celle qui aura été penfée.

PROBLÊME IX.

^^ujieurs cartes dlfflrentes étant propofées fuccejjiyt-rnent cl autant de perfonnes , pour en retenir une dans fa mémoire , deviner celle que chacune auranbsp;penfée,

^ y. P^r exemple, trois perfonnes, ijpon-trez trois cartes a la premiere perfonne , pour en tetenu une dans fa penfée, Sc mettez a part ces

154 RiCRÉATIONS Mathématiqües. trt)is cartes. Préfentez auffi trois autres cartes anbsp;la feconde perfonne , pour en penfer une a fanbsp;volonté, amp; mettez auffi a part ces trois cartes.nbsp;Enfin préfentez a la troifieme perfonne trois autresnbsp;cartes , pour lui faire penfer celle qu’elle voudra fnbsp;èc mettez pareillement a part ces trois derniereSnbsp;cartes. Cela étant fait, difpofez a découvert lesnbsp;trois premieres cartes en trois rangs, amp; metteznbsp;delTus les trois autres cartes , amp;r deflus celles-ci lesnbsp;trois dernieres, pour avoir ainfi toutes les cartesnbsp;difpofées en trois rangs, dont chacun fera com-pofé de trois cartes. Après quoi il faut demander*nbsp;chaque perfonne dans qu^l rang efl: la carte qu’ellenbsp;a penfée: alors il fera facile de connoitre cettenbsp;carte, parceque la carte de la premiere perfonnenbsp;fora la premiere de fon rang; de même la carte d®nbsp;la feconde perfonne fera la feconde de fon rang »nbsp;enfin Ia carte de la troifieme perfonne fera la troi*nbsp;fieme de fon rang.

PROBLÊME X.

Trois cartes ay ant ite prifcntées a trois per f onnes f deviner celle que chaciine aura prife.

On doit fqavoir quelles cartes auront été préquot; fontées; c’eft pourquoi nous nommerons 1’une A»nbsp;Pautre B, amp; la troifieme C: mais on laiffie Ia liquot;nbsp;berté aux trois perfonnes de choifir celle qu’il leutnbsp;plaira. Ce choix , qui efl: fufceptible de fix facoi'*®nbsp;différentes, étant fait, donnez a la premiere perquot;nbsp;fonne lijetons, Z4 a la feconde, amp; 3*^ a la troiquot;nbsp;£eme; dites enfuite a la premiere perfonne d’ajoü'nbsp;ter enfemble la moitié du nombre des jetons d®nbsp;celle qui a pris la carte A, Ie tiers des jetons d^nbsp;celle qui a la carte B, Sc Ie quart des jetons denbsp;celle qui a pris la carte Cj, Sc demandez-lui^*

ARITHMiTIQUE. Chap. X, I5«J foiïime, qui ne peut être que 23 , ou X4, Ou 15 ,nbsp;27 , OU 28, OU 29, comme vous voyez dansnbsp;** table fuivante.

Cette table montre que fi cette fomme eft 25 , par exemple , la premiere perfonne aura pris lanbsp;carte B, la feconde la carte A , amp; la trolfieme lanbsp;carte C; amp; que li cette fomme eft 28, la premiere perfonne aura pris la carte B , la deuxiemenbsp;la carte C, amp; la troifieme la carte A : 6c ainfi desnbsp;autres.

PROBLÊME XI.

•^yant pris , dans un jeu enticr de clnquante-deux cartes , une, deux, trois , ou quatre , ou plusnbsp;de cartes , deviner la totaliti de leurs points.

RENEZ unnombre quelconque, 15 par exemple, excede Ie nombre de points de la plus hautenbsp;Carte , en faifant valoir Ie valet 11 , la dame 12 ,nbsp;^le roi 13 ; 6c faites compter apart autant de caries reftantes du jeu qu’il en faut pour aller 315,nbsp;cn coinptant les points de la premiere carte: qu’onnbsp;en faffe autant pour la deuxieme , puis pour Ianbsp;troifieme, pour la quatrieme , 8cc : faites-vousnbsp;dire enfuite Ie nombre des cartes reftantes du jeu.nbsp;Ce nojjnbre 4tant connu, vous opérerez ainfi.

*ïy6 Récréations Mathématiques.

nombre ci-deffus, 15 (ou tel que vous aurez pris) par Ie nombre des carte*nbsp;prifes. Nous les Tuppofons ici } ; cela fera 4I'nbsp;A ce produit ajoutez Ie nombre de ces cartes ;nbsp;ibmme fera 48, que vous óterez de 51: Ie refte 4»nbsp;vous 1’óterez du nombre des cartes qui aurof*^nbsp;refte: celui des cartes reftantes après cette fouf'nbsp;tradlion, fera Ie nombre des points eberché,

Qu’on ait pris, par example, un 7,un 10, ^ un valet qui vaut 11 : pour accomplir 15 avec 7’nbsp;il faut 8 ; pour accomplir ce mêine nombre ave^^nbsp;10, il faut 5 ; amp; 4 pour aller a 15 avec Ie vale^nbsp;valant ii. La fomme de ces trois nombres aveCnbsp;les trois cartes, fait 20: par conféquent, cett^nbsp;epération faite, il reftera 32 cartes.

Pour deviuer la fomme des nombres 7, r o, 11 gt; vous multiplierez 15 par 3, ce cjui vous donneranbsp;45 ; amp; en y ajoutant Ie nombre des cartes prifes gt;nbsp;48dont Ie refte a 5 2 eft 4. Otez done 4 de 3 2 ; 1®nbsp;refte 28 eft la fomme des points des trois carte*nbsp;choifies, comme il eft aïfé dele verifier.

Autre Exemph^

On a pris deux cartes feulement, ( ce font le 4 amp; le roi I 3) avec lefquelles on fait accomplir 15 »nbsp;amp; Ton dit qu’il refte 37 cartes.

Multipliez i 5 par 2 , le produit fera 30; a quo* ¦vous ajouterez le nombre des cartes prifes, 2»nbsp;vous aurez 32, qui étant óté de 52, d refte ^0‘nbsp;Otez done 20 de 37, nombre des cartes reftantes»nbsp;le reftant 17 fera le nombre des points des def^nbsp;cartes prifes. En effet, 13 amp; 4 font 17.

R E M A R lt;IU E S.

I. Il pourra arriver, ft Ton prend 4 ou 5 cartes»

Arithmétique. Chap. X 157 dans Ie jeu de 51 cartes il n’y en aura mêmenbsp;pas affez pour accomplir Ie noiubre choifi ; mais lanbsp;^’’ethode ne manquera pas pour cela. Par example»nbsp;on ait pris 5 cartes dont les points foient i, x,nbsp;^54) 5 ; en faifant avec chacune de ces cartesnbsp;Compléter Ie nombre 15 , il en faudroit, avec les 5 ,nbsp;moins 68 , amp; il ne refteroit rien: mais il y ennbsp;^ leulement 51; ce font confëquemment ló denbsp;^oins. Celui qui compte Ie jeu dira done qu’il ennbsp;*gt;ianque 16.

D’un autre cóté , celui qui entreprend de devi-’'er multipliera i 5 par 5, ce qui fait 75 ; a quoi il ^joutera Ie nombre des cartes 5 , ce qui donneranbsp;, c’eft-a-dire 28 en fus des 52: de 28 ótez 16 ,nbsp;ïeöeront 12; amp; ce fera Ie nombre des points desnbsp;5 cartes.

Mais fuppofons qu’il reftk des cartes du jeu de ^ 2, par exemple 22, (ce qui feroit fi 1’on avoirnbsp;pris ces 5 cartes ,8,9, 10, valet 11, amp; dame 12)nbsp;alors il faudroit ajouter ces 22 a ce dont 5 fois 15nbsp;plus ^ excede 5 2 , c’eft-a-dire 28, amp; l’on aura toutnbsp;jufte 50 pour les points de ces 5 cartes; comraenbsp;lt;^ela eft en effet.

II. Si Ie jeu n’étolt pas de 52 cartes, mais de 40, par exemple , il n’y auroit encore aucunenbsp;difference ; Ie nombre des cartes reftantes de 40nbsp;devroit être óté du nombre produit par la multiplication du nombre des cartes choifies par Ienbsp;Nombre accompli , en ajoutant a ce produit Ienbsp;*iombre de ces cartes.

Soient, par exemple , ces points de cartes, 9 , *0, II , amp; qu’on faffe accomplir 12, Ie nombrenbsp;reftant des cartes du jeu fera 3 i. D’un autre cóté,nbsp;3 fois 12 font 36 ; amp; 3 en fus, a caufe des 3 car-39 j dont la difference a 40 eft i. Otez un de

tyS Recreations Mathématiques.

31, Ie refte 30 eft Ie nombre des points cherclié#*

III. nbsp;nbsp;nbsp;On pourroit prendre des nombres different^nbsp;pour .leS accomplir avec les points de chaqu®nbsp;carte choifie ; mais ce fera encore la même chofeJnbsp;il y aura feulement cette difference, qu’il faudranbsp;ajouter ces trois nombres avec celui des cartes tnbsp;au lieu de multiplier le même nombre par le norn-bre des cartes prifes, amp; 1’y ajouter, Cela n’a au-cune difficulté ; amp;, pour abréger, nous omettoflSnbsp;d’en donner un exemple.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Nos lefteurs, ou quelques-uns d’entr’eux f

deftreront probablement la demonftration de cette méthode. Elle eft fort limple: la void. Soit a Isnbsp;nombre des cartes du jeu, c le nombre a attein-dre en ajoutant des cartps aux points de chaquSnbsp;carte choifie , b \e reftant du jeu : que x »nbsp;expriment, par exemple , les points de 3 cartes ynbsp;(on n’en fuppofe que trois) on aura pour le nom'nbsp;bre des cartes tlrees,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—

ce qui , avec le refte des cartes b, doit en fairs la totalite. On a done 3c-{-3 — x—nbsp;ou x4-^-[-yr:=3c-|- 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ou b—a—3c—3 = ^

J {- Or x-fj-f.’ eft le nombre total des points, ^ eft le reftant des cartes du jeu , amp; 0—3*'nbsp;—3 eft le nombre total des cartes du jeu, moins Isnbsp;produit du nombre a completer par le nombrsnbsp;des cartes choiftes, moins ce nombre. Done, amp;c*

PROBLÊME XII.

Tivis chojes ayant etc feerhement dijlrlbuées a tToi^

perfonnes, devincr celk que chacune auraprife.

Que ces trois chofes foient une bague , uR écu amp; wn gant i vous vous reprefenterez la bagu®

AriTHMÉTIQUE. Chap, X 159 P3r ïa lettre A, l’écu par la lettre E, amp; Ie gantnbsp;par I. Que les trois perfonnes foient Pierre, Simonnbsp;^ Thomas ; vous les regarderez dans leur placenbsp;tellement rangés, que l’un, fomme Pierre, fera

^^enie, Ayant fait ces difpofitions en vous-même , ''ous prendrez vingt - quatre jetons , dont vousnbsp;^onnerez un a Pierre, deux a Simon, amp;C trois anbsp;quot;ï^omas; vous laifferez les dix-huit autres fur lanbsp;*able: enfuite vous vous retirerez de la compagnie , afin que les trois perfonnes fe diftribuent lesnbsp;*rois chofes propofées fans que vous Ie voyiez.nbsp;Cette diftribution étantfaite , vous direz que celuinbsp;'lui a pris la bague prenne, des dix-huit jetonsnbsp;'lui font reftés, autant de jetons que vous lui ennbsp;nvez donné; que celui qui a pris l’écu prenne , desnbsp;Jetons reftés, deux fois autant de jetons que vousnbsp;lui en avez donné; enfin , que celui qui a pris Ienbsp;gant prenne, fur Ie refte des jetons, quatre foisnbsp;uutant de jetons que vous lui en avez donné: (dansnbsp;Uotre fuppolition Pierre en aura pris un, Simonnbsp;^luatre, amp; Thomas douze; par conféquent il renbsp;fera refté qu’un j'eton fur la table). Cela étant fait,nbsp;Vous reviendrez, 6c vous connoitrez par ce quinbsp;fera refté de jetons la chofe que chacun aura prife,

faifant ufage de ce vers fran^ois:

11356 nbsp;nbsp;nbsp;7

Par fer Céfar jadis devint Ji grand prince.

Pour pouvoir fe fervlr des mots de ce vers, il faut fqavoir qu’il ne peut refter qu’un jeton, ou 2 ,nbsp;o'i 3 » OU j , ou 6 , OU 7, amp; jamais 4: il faut denbsp;plus faire attention que chaque fyllabe contientnbsp;une des voyelles que nous avons dit repréfenter

i6o Recreations MatHématiques. les trois chofes propofées : enfin il faut confidére^nbsp;ce vers comme n’étant eompofié que de fix mots ynbsp;amp; que la premiere fyllabe de chaque mot repte-fente la premiere perfonne qui eft Pierre, amp; 1*nbsp;feconde fyllabe repréfente la feconde perfonnenbsp;qui eft Simon. Celabien conqu, s’il ne refte qu’urtnbsp;jeton , comme dans notre fuppofition , vous vousnbsp;fervirez du premier mot, ou plutót des deux premieres fyllabes , Par ftr, dont la premiere , qu*nbsp;contient A , fait voir que la premiere perfonnenbsp;ou Pierre a la bague répréfentée par A ; amp; la fe-conde fyllabe, qui contient E , montre que la feconde perfonne ou Simon a 1’écu repréfente par Etnbsp;d’oü vous conclurez facilement que la troifienienbsp;perfonne ou Thomas a Ie gant,

S’il reftoit z jetons, vous confulteriez Ie fecond mot Céfar, dont la premiere fyllabe, qui contientnbsp;E, feroit connoitre que la premiere perfonne au^nbsp;roit 1’écu repréfente par E; amp; la feconde fyllabe,nbsp;qui contient A, montreroit que la feconde perfonne auroit la bague repréfentée par A : d’ou Ünbsp;feroit aifé de conclure que la troifieme perfonnenbsp;auroit Ie gant. En un mot, felon Ie nombre desnbsp;jetons qui refteront, vous emploierez Ie mot dunbsp;vers qui fera marqué du même nombre.

Remjrques.

Au lieu du vers franqois qu’on a rapporté, o» peut fervir de ce vers latin:

123 nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;67

Salve cerca animx femita vita qtiies.

Ce problême peut être exécuté un peu autré' ment qu on vient de Ie faire, amp;; on peut l’appliquef

Arithmétiqu^. CAj/. X i6i

3 plus de trois perfonnes: ceux qui voudront en ^tre plus particuliérement inftruits, peuvent con-Hilter Backet , dans Ie vingt-cinquieme de fes Pro^nbsp;^linies plaifants amp; déleBables.

PROBLÊME Xlir.

. w

^lujieurs Hotnhres prh fuivant- leur fuite naturelle ctant difpofés m rond, deviner celui que qml-quun aura penfé.

On fe fervira commodément des dix premieres 'Cartes d’un jeu entier pour exécuter ce problême;nbsp;On les difpofera en rond , comme vous voyez lesnbsp;dix premiers nombres dans la figure. L’as fera re-préfenté par la lettre A jointe a i, amp; Ie dix feranbsp;•¦epréfenté par la lettre K jointe i lO.

ïoK

Ayant fait toucher un nombre, oü une catfe telle que voudra celui qui en aura penfé une,nbsp;3joutez au nombre de cette carte touchée Ie noin-des cartes que 1’on aura choifies, comme lo,nbsp;dans eet exemple : puis faites compter la fommenbsp;^ue vous aurez a celui qui a penfé la carte, par unnbsp;ordre contraire a la fuite naturelle des nombres,nbsp;en commenqant par la carte qu’il aura touchée,nbsp;amp; en attribuant ^ cette carte Ie nombre de cedenbsp;^u il aura penfée j car , en comptant de la forte ^ ilnbsp;Tome ƒ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;L

l6l RiCRÉATIONS Mathématiques. finira i compter cette fomme fur Ie nombre ou Tufnbsp;la carte qu’il aura penfée, amp; vous fera par confe-quent connoitre cette carte.

Comme, fi l’on a penfé 3 marqué par la lettre Cf qu’on ait touché 6 marqué par la lettre F, ajoU'nbsp;tez 10 a ce nombre 6 , vous aurez la fomme 16 •nbsp;puis fakes compter (a) cette fomme 16 clepuis Ienbsp;nombre touché F, versE,D,C,B,A, amp; ainfinbsp;de fuite par un ordre rétrograde , enforte que l’onnbsp;commence a compter Ie nombre penfé 3 fur F, 4nbsp;fur E, 5 fur D, 6 fur C, amp;; ainfi de fuite iufqu’anbsp;16; ce nombre 16 fe terminera en C, amp; fera con-noitre qu’on a penfé 3 qui répond a C.

Remarqu ES.

I, nbsp;nbsp;nbsp;On peut prendre un plus grand on un plusnbsp;petit nombre de cartes, felon qu’on Ie jugera anbsp;propos. S’il y avoit ou 8 cartes, il faudroUnbsp;ajouter 15 ou 8 au nombre de la carte touchée.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Pour mieux couvrir 1’artifice, il faut reU'nbsp;verfer les cartes , enforte que les points foietitnbsp;cachés, amp; bien retenir la fuite naturelle des cartes gt;

amp; en quel endroit eft Ie premier nombre ou 1’as» afin de fqavoir Ie nombre de la carte touchée gt;nbsp;pour trouver celui jufqu’ou il faut faire compter.

PROBLÊME XIV.

Deux perfonms conviennent de prentfre alternative' . ment des nombres moindres qiduTi nombre dontitf \nbsp;par exemple i i,amp; de les ajouter enfenible jufqti'd

^a) Obfervez qu’on ne dolt pas compter cette fonune haut, mais en foi-meine, §c feuleiu^nt par peof^^

AritHMÉTIQUE. Chap. X I65 lt;i fwe Vuti des deuxpuijfe. atuindre ,par exemple^nbsp;too; comment doit-on Jaire pour y arriver in-‘nbsp;failliblement le premier ?

L’artifice de ce problême Gonftfte a s’ein-parer tout de fuite de certains nombres que nous ®Uons faire connoitre, Retranchez pour cet eifetnbsp;ÏÏ , par exemple , de too qu’il eft queftion d’at-teindre , une fois , deux fois, trois fois, amp; autantnbsp;de fois que cela fe peut; il reftera 89, 78,67,nbsp;56,4^, 34, 23 , iz amp; I , qu’il faut retenir; carnbsp;^elui qui, en ajoutant fon nombre moindre que 11nbsp;a la foinme des precedents, comptera un de cesnbsp;nombres avant fon adverfaire , gagnera infailli-blement, St fans que 1’autre puifle Pen einpecher.

On trouvera encore plus facilement ces nom-fcres en divifant too par 11, amp; prenant le refte i, auquel on ajoutera continuellement ii pour avoirnbsp;1, i z ,13,34, amp;c.

Suppofons, par exemple, que le premier qui fqait le jeu prenne i; il eft evident que fon adver-faire devant compter moiris que 11 , pourra toutnbsp;au plus , en ajoutant fon nombre, 10 par exemple , atteindre 11: le premier prendra encore i ,nbsp;Ce qui fera 11: que le fecond prenne 8 , cela fcranbsp;^0: le premier prendra 3, amp; aura 13 : amp; ainft fuc-celftvement, 11 atteindra le premier a 34, 45,56 ,nbsp;C7,78,89. Arrivé la, le fecond ne pourra pasnbsp;I’empdcher d’atteindre 100 le premier; car,.quel-cjtte nombre qiie ptenne le fecond , il ne pourranbsp;atteindre qu’a 99 : le premier pourra done dire,nbsp;^ I font too. Si le fecond ne prenoit que i ennbsp;fus de 89,‘cela feroit 90, amp; fon adverfaire pren-droit 10, qui avec 90 font too.

Il eft clair que de deux perfonnes qui jouent

Lij

i64 Récréations Maïhematiques.

a ce jeu, toutes deux Ie fqavent, la premiere doit néceffairement gagner.

Maïs li 1’une Ie f^ait, l’autre non, celle-ci, quoique premiere, pourra foitbien ne pas gagner;nbsp;car elle croira trouver un grand avantage a prendrenbsp;Ie plus fort nombre qu’elle puiffe prendre , fqavoirnbsp;lo ; amp;: alors la feconde, qui fqait la finelfe dunbsp;jeu, prendra ^ , ce qui avec l o, fait iz , l’iin desnbsp;nombres dont il faut s’emparer. Elle pourra mêmenbsp;négliger eet avantage, Stneprendre que i pour fairenbsp;11; ,car la premiere prendra probablement encorenbsp;lo, ce qui fera il : la feconde pourra alors prendre 1, ce qui fera 13. Elle pourra enfin attendrenbsp;encore plus tard po’ur fe placer a quelqu’un desnbsp;nombres fuivants , 34 , 45 , ^6 , amp;c.

Si Ie premier veut gagner , il ne faut pas que !e plus petit nombre propofé mefure Ie plus grand;nbsp;car, dans ce cas , Ie premier n’auroit pas unsnbsp;regie infaillible pour gagner. Par exemple, fi aunbsp;lieu de 11 on avoit pris 10 qui mefure 100, ennbsp;ètant 10 de 100 autant de fois qu’on Ie peut, onnbsp;auroit ces nombres, 10, zo, 30, 40, 50, 60,nbsp;70, 80, 90, dont Ie premier 10 ne pourroit pasnbsp;étre pris par Ie premier ; ce qui fait qu’étant obligenbsp;de prendre un nombre moindre que 10, fi lefe-cond étoit auffi fin que lui, il pourroit prendre Ienbsp;refte ^ 10, amp; ainfi il auroit une regie infaillib'lönbsp;pour gagner.

PROBLÊME XV.

Sei^c jetons kant dijpofés en deux rangs, trouvef celui qui aura étépenfé.

Ces feize jetons étant difpofés en deux rangs égaux, comrae on voit dans la figure, on deman-

ArITHM ÉTIQUE. Chap. X. .165 dera a quelqu’un d’enpenfer ou choifir mentalementnbsp;, amp; de remarquer dans quel rang il fe trouve.

AB CBD EBF HBI

Suppofons qu’il foit dans le rang A,.onlevera tout ce rang dans le ineme ordre ou il fe trouve,nbsp;amp; on le difpofera en deux rangees C amp; D, anbsp;droite amp;c a gauche de la rangée B; mals, en lesnbsp;rangeant, faites enforte que le premier du rang Anbsp;foit le premier du rang C, le iecond du rang Anbsp;le premier du rang D, le troifieme clu rang A lenbsp;fecond du rang C , Sc ainfi de fuite : cela fait,nbsp;demandez de nouveau dans quelle rangée verticale C ou D fe trouve le jeton penfe. Nous fup-poferons que ce foit en C ; vous leverez ce rangnbsp;ainfi que le rang D, en mettant ce dernier der-riere le premier, Sc fans rien déranger a I’ordrenbsp;des jetons; vous en ferez deux autres rangees •,nbsp;comme 1’on voit en E Sc F, Sc vous demandereznbsp;encore dans quelle rangée verticale fe trouve lenbsp;jeton penfe. Suppofons que ce foit en E ; onnbsp;Prendra encore cette rangée Sc la rangéeF, commenbsp;delTus, Sc On en fera de nouveau deux rangees anbsp;droite Sc a gaiiche de B. Cette fois le jeton penfenbsp;doit fe trouver le premier cl’un des deux rangsnbsp;perpendiculaires H ScI, Si done on demande eji

L iij

i66 Recreations Mathematiq^es.

quel rang ü trouve, on le reconnoitra auflitotj amp;: comme on fuppofe qu’ils ont chacun qitelquSnbsp;figne diftinftif, on pourra dire de les meier lesnbsp;uns avec les autres, amp;C on le reconnoitra toujoutSnbsp;au figne qu’on aura remarque.

On voit aifeinent qu’au lieu de jetons le )eu peut fe faire avec feize cartes. Après avoir reconnunbsp;par le moyen ci-deflus celle qni aura été choifie,nbsp;on les fera meier, ce qui couvrira davantage I’ar-tifice.

R E M A S. (lU E.

Si 1’on fuppofoit un plus grand nombre de je-tons ( ou de cartes ) difpofes en deux rangees ver-ticales, le jeton oil la carte penfee ne fe trouvera pas neceffairement en tête de ion rang a la troifiemenbsp;tranfpofition : il en faudroit quatre s’il y avoitnbsp;3Z jetons ou cartes, cinq s’il y en avoit 64,, amp;c.nbsp;pour pouvoir dire avec affurance que le jetonnbsp;penfe (ou la carte) occupe la premiere place denbsp;fon rang ; car fi ce jeton (bu cette carte) fe trou-¦voit au plus bas de la rangée perpendiculaire A ,nbsp;ce ne feroit qu’après quatre tranfpofitions qu’ilnbsp;arriveroit a la premiere plage, s’il y en avoit lónbsp;A chaque rangée, ou 3 x en tout; amp; après cinq gt;nbsp;s’il y en avoit 64, ou 31 a chaque rangée, amp;c:nbsp;ce qui eft aifé a demontrer.

PROBLÊME XVI.

Miinkrc di devimr entre ptujieurs cartes edit qu'on aura perifee.

IE faut, pour faire ce Jeu, que le nombre de* cartes foit divifible par 3 , amp; , pour le faire plu®nbsp;commodément encore j qu’il foit impair.

Arithmêtique. Chap, X. l6j

premiere condition au moins étant fuppofée , on fera penfer une carte; puis, les tournant du cóténbsp;blanc , on les retournera par ordre, en les dif-pofant en trois tas, enforte que la premiere dunbsp;Jeu foit la premiere du premier tas, la deuxiemenbsp;la premiere du fecond tas, la troifieme la premierenbsp;du troifieme tas, puls la quatrieme la feconde dunbsp;premier tas, amp; sinfi de fuite. La perfonne qul anbsp;penfé une des cartes doit être attentive a les voirnbsp;Pafler; amp; on lui demandera , les tas étant aclie-Vés , dans lequel fe trouve la carte penfiée. Onenbsp;relevera done les tas en les mettant 1 un fur l’autre ,nbsp;en obfervant que celui oü eft la carte chercliéenbsp;doit être toujours au milieu; après quoi, retour-nant Ie jeu, on fera de nouveau Sc de la mêmenbsp;maniere trois tas, amp; Ton demandera encore dansnbsp;lequel eft la carte penfée. Ce tas étant connu, onnbsp;leplacera, comme ci-devant, entre les deux au-tres, amp; 1’on formera trois nouveaux tas; aprèsnbsp;quoi on demandera encore dans lequel eft la cartenbsp;penfée. Alors on relevera pour la troifieme amp; der-niere fois les tas , en mettant au milieu celui ounbsp;«ft la carte ; amp;, en tournant Ie jeu du cöté dunbsp;blanc , on retournera les cartes 'jufqu’au nombrenbsp;qui eft la moitié de celles du jeu, par exemple lanbsp;douzieme, s’il y en a 24: cette douzieme cartenbsp;fera , dans ce cas , la carte penfée.

Si Ie nombre des cartes eft a-la-fois impair Sc divifible par 3 , comme 15, zi, 27, amp;c. Ie jeunbsp;«n deviendra plus facile encore ; car la carte penfée fera toujours celle du milieu du tas ou elle fenbsp;trouvera la troifieme fois, de. maniere qu’il feranbsp;facile de la reconnoitre fans compter les cartes:nbsp;car en faifant pour la troifieme fois les tas, 11 lèranbsp;facile de fe fouvenir des trois cartes qui feropt au

Liv

i6S Recreations Mathémat^ques. milieu de chacun d’euXi Suppofons, parexemple»nbsp;que la carte du milieu du premier tas foit l’as denbsp;cceur, celle du fecond Ie roi de coeur , amp; cellenbsp;du milieu dn troifieme Ie valet de pique ; il eft 'nbsp;évident que , lorCqu’on wus dira que Ie tas oü eftnbsp;la carte cherchée eft Ie troifieme, vous fqaureZnbsp;auffi-tót que cette carte eft Ie valet de pique. Vousnbsp;pourrez done faire mêler les cartes fans y touchernbsp;davantage; amp; en les parcourant, pour la forme»nbsp;vous nommerez Ie valet de pique lorfqu’il fe pré-fentera,

PROBLÊME XVII.

Quln:(e Chrétiens amp; quïn^e. Tures fe trouvent fut mer dans un même vaifjeau. II furvient une fu-rieufe tempête. Aprles avoir jeté dans Veau touteSnbsp;les niarchandifes , Ie pilote annonce qiiil rdy itnbsp;de moyen de fe fauver, que de jeter encore a lanbsp;mer la moiüé desperfonnes, IL les fait ranger denbsp;fuite; amp; , en comptant de ^ en C) , on jette Ie neu-vieme d la mer, en recommengant d compter Ienbsp;premier du rang quand il ef fini: il fe trouvenbsp;qiiapres avoir jeté quince perfonnes, les quincenbsp;Chretiens font ref és. Comment a-t-il difpofé leSnbsp;trente perfonnes pour fauver les Chrétiens ?

La difpofitlon de ces.trente perfonnes fe tirera de ces deux vers franqois :

Mort, tu ne failtiras pas

En me livrant le tripas,

Ou de ce vers latin, moins mauvals dans foo

efpece:

fopuleam virgam maur iegina ferebat^

Arithmétique. Chap. X. 169 Pour s’en fervir, il faut faire artention auxnbsp;'^oyelles A , E , I, O , U, qul fe trouvent dans lesnbsp;fylUbes de ces vers, en obfervant que A vaiit i ,nbsp;2,1 vaut 3 , O vaut4, amp; U vaut 3. Onnbsp;^ommencera done par mettre 4 Chretiens , a caufenbsp;^ la voyelle O de la premiere fyllabe; puis 5nbsp;^urcs, a caufe de 1’U de la feconde ; amp; ainfi denbsp;fuite jufqu’a la fin; on trouvera que , prenant tou-Jours le neuvieme circulairement, e’eft-a-dire ennbsp;’quot;ecommenqant par le premier après avoir achevenbsp;rang , le fort ne tombera abfolument que furnbsp;des Turcs,

On peut aifément étendre davantage la folution de ce probleme. Qu’il faille , par exemple , fairenbsp;tomber le fort fur 10 perfonnes de 40, en comp-de 12 en 12 : on rangera a part circulairementnbsp;40 zéro , comme on voit ci - delTous; amp;, en

oooooooooooooo

commenqant par le premier, on marquerale dou-zieme d’une croix; 1’on continuera en comptant jufqu’a 12, 8z; Ton marquera pareillement d’unenbsp;Croix le zéro fur lequel on tombera en comptantnbsp;Sc ainfi de fuite en tournant, amp; en faifantnbsp;attention de pafler les places dëja croifées, attendunbsp;^ue ceux qui les occupoient font cenfes déja re-tranchés du nombre. On continuera ainfi, jufqu’anbsp;ce qu’on ait le nombre recpiis de places marquees;nbsp;OC alors, en comptant le rang qu’elles dccupent,

170 Recreations Mathématiqijes.

en commenlt;;ant par Ia premiere , on connoitf* facilement celles fur lerquelles doit néceffairementnbsp;tombernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de 11 en 11. On trouve, dans

Texeinple propofé, que ce font la feptieme, la liuitieme, la dixieme , la douzieme , la vingt-nnieme , la vingt-deiixieme, la vingt-quatrieme ,nbsp;la trente-qnatrieme, la trente-cinquieme, amp; lanbsp;trente-fixieme.

Un capitaine , oblige de faire décimer fa compagnie , pourroit ufer de eet expedient pour faire tomber Ie fort fur les fujets les plus coupables , eanbsp;les plaqant fans affeftation dans les places oü Ienbsp;fort tombera immanquablement.

On raconte que ce fut par ce moyen que Thif-lorien Jofephe fauva fa vie. II s’étoit réfugié avec quarante autres Juifs dans une caverne , après lanbsp;prife de Jotapat par les Romains. Ses compagnonsnbsp;Tcfolurent de s’entre-tuer plutót que de fe rendre,nbsp;Jofephe eflaya en vain de les diffuader de cettonbsp;horrible réfolution: enfin, n’en pouvant venir knbsp;hout, il feignit d’adhérer a leur volonté ; Sc, fs ¦nbsp;confervant 1’autorité qu’il avoit fur eux commenbsp;leur chef, il leur perfuada , pour éviter Ie défor-^re qui fuivrolt de cette cruelle execution s’ilsnbsp;s’entre-tuoient a la foule , de fe ranger par ordre ,nbsp;amp;, en commenqant de compter par un bout juf-qu’a un certain nombre , de maflacrer celui furnbsp;qui tomberoit ce nombre, jufqu’a ce qu’il n’ennbsp;demeurat qu’un lèul qui fe tueroit lui-même. Tousnbsp;en etant demeurés d’accord , Jofephe les difpofanbsp;de telle forte , Sc choifit pour lui-même une tellenbsp;place, que, la tuerie étant continuée jufqu’a lanbsp;fin ; il demeura feul avec un autre auquel il perfuada de vivre , ou qu’il tua s’il ne voulut pas ynbsp;confentir.

Arithmétique. Chap. X 171 Telle eft Thiftoire qu’Hégéfippe raconte de Jo-^phe , amp; que nous fbmmes bien éloignés de ga-ï'antir. Quoi qu’il en foit, en appliquant a ce casnbsp;moyen enfeigné ci-deffus, Sc en fuppofant quenbsp;cbaque troifieme dut êfre tué, on trouve que lesnbsp;deux dernieres places fur lefquelles le fort devoitnbsp;bomber étoient les feizieme amp; trente-unieme; en-ftirte que Jofephe dut fe mettre a Tune des deux,nbsp;^ placer a I’autre celui qu’il vouloit fauver, s’ilnbsp;eut eu un complice de fon artifice.

PROBLÊME XVIII.

^ur h bord d’um riviere fe trouvent un loup, une chevre amp; un ckou : il ny a quun bateau jipetit ^nbsp;que U batelier feul amp; Fun d'eux peuvent y tenir,nbsp;Il ejl quef ion de les pajfer de forte que le loupnbsp;ne faffe aucun mal d la chevre ni la chevre attnbsp;chou.

L E batelier commencera par pafter la cbevre J puis il retournera prendre le loup: après avoirnbsp;pafte le loup il ramenera la chevre, qu’il laifleranbsp;3 bord pour palTer le chou; enfin il retournera anbsp;Vuide chercher la chevre , qu’il paflTera. Ainfi lenbsp;^uiip ne fe trouvera jamais avec la chevre, ni lanbsp;chevre avec le chou, qu’en prefence du batelier.

P R O B L Ê M E XI X.

Troi's marts jaloux fe trouvent avec leurs femmes uu paffage dime riviere: Us rencontrent un bateaunbsp;fans batelier : ce bateau ef Ji petit, qu il ne peutnbsp;porter que deux perfonnes d-lafois. On demandenbsp;comment ces fix perfonnes pa^eront deux a deux

171 Rétcréations Mathématiques.

enforte quaucunt femme ne demeure en la cont‘ pagnie d'un ou de deux hommes , f fon martnbsp;n’efi pref ent}

La fölution de ce probléme eft contenue dans ces deux diftiques btins :

It duplex mullery redit una , vehitque manentemy Itque una ; ucuntur tune duo puppe viri.

Par vadit amp; redeunt bini, mulierque fororem Advehit; ad proprium fine markus abit.

Ce qui fignifie :

Deux femmes pafleront d’abord ; puis l’une ayant ramené Ie bateau, repaflera avec la trolfiemenbsp;femme. Enfuite Tune des trois femmes rameneranbsp;Ie bateau , amp;, fe mettant a terre, laifiera paffer lesnbsp;deux hommes dont les femmes font de l’autrenbsp;cóté. Alors un des hommes ramenera fa femme;nbsp;amp;, la mettant a terre , il prendra Ie troifiemenbsp;homme , amp; repaflera avec lui. Enfin la fem.me quinbsp;fe trouve palfée entrera dans Ie bateau, amp; ira ennbsp;deux fois chercher les deux autres femmes.

On propofe encore ce probléme fous Ie titre des trois maitres amp; trots valets. Les maitres s’ac-cordent bien enfemble amp; les valets auffi ; maisnbsp;lt;haque maitre ne peut fouffrir les valets des deusnbsp;autres, de maniere que s’il fe trouvolt avec un desnbsp;deux valets en l’abfence de fon maitre , ü Ie bat-,nbsp;troit infailliblement.

probléme XX.

\

Comment peut-on difpofer dans les huk cafés exté-térieuns d'un quarré divifé en neuf des jetons^

Arithmétique. Chap. Jt. 173 ‘fnforu qull y én ah toujours ^ dans chaqutnbsp;bande de l'enceinte, amp; qiie cependant cc nombrinbsp;puijfe Variër depuis 20 jiifqu^d 32 ?

Feu M. Ozanam propofe ce probléme d*une Rianiere affez indecente, amp; commence méme par-fes Recreations Mathématiques, apparemmentnbsp;poiir piquer la curiofité de fes lefteurs.

II y a, dit - il, un convent compofé de neuf Cellules, dont celle du milieu eft occupéé par unenbsp;^bbeffe aveugle, Sc les autres par fes religieufes.nbsp;La bonne abbeffe, pour s’affurer que fes nonnainsnbsp;Re violent point leur cloture, fait une premierenbsp;Ibis fa vifite; amp;. ,trouvant 3 religieufes dans chaquenbsp;celluie , ce qui fait 9 par bande, elle va fe cou-cher. Quatre religieufes fortent néanmoins: 1’ab-beffe revient au milieu de la nuit compter fes religieufes ; elle les trouve encore 9 par bande, amp; ellenbsp;tetourne fe repofer tranquille fur leur conduite.nbsp;Ces quatre religieufes rentrent chacune avec unnbsp;bonime : l’abbelTe fait une nouvelle vifite;nbsp;comptant 9 perfonnes par bande , elle eft encorenbsp;dans la fécurité. II s’introduit cependant encorenbsp;quatre hommes; amp; 1’abbefte, comptant toujours 9nbsp;dans chaque bande, eft dans la perfuafion quenbsp;Perfonne n’eft entré ni forti. On demande com-’Rent cela fe peut faire ?

La folution de ce probléme fe trouvera facile-^ent par l’infpeftion des quatre tableaux qui fui-''ent, dont Ie premier repréfente la difpofition primitive des jetons dans les cellules du quarré;nbsp;Ic fecond, celle des mêmes jetons lorfqu’on anbsp;dte 4 ; Ié troifieme , comment ils doivent êrrenbsp;ditpofés lorPqu’on en a fait rentrer 4 avec quatrenbsp;®Rtres ; Ie quatrieme enfin, celle des mêmes jetons

Ï74 Récréations Mathématiques.

lorfqu’on y ajoute encore 4. II eft clair qu’iï y en a toujours 9 dans chaque bande d’enceinte ;nbsp;amp; cependant, dans Ie premier cas, il y en a en toutnbsp;2.4, dans Ie fecond 20 , dans Ie troifieme 28 ,nbsp;dans Ie quatrieme 32.

M. Ozanam ne paroit pas s’étre apperqu qidort peut poufter la chofe plus loin ; qu’il eüt pu fairenbsp;entrer encore 4 hommes au couvent, fans quenbsp;fon abbefle s’en apperqut; amp; puis faire fortir tousnbsp;les hommes avec 6 religieufes, enforte quM n’ertnbsp;reftat plus que 18, au lieu de 24 qu’elles étoientnbsp;primitivement. Les deux tableaux fuivants eunbsp;montrent la poflibilité.

V.

11 eft fans döute aftez fuperflu de montrer d’oft provient rUlufion de la bonne abbefle. C’eft quenbsp;Iss noinbres qui font dans les cafes angulaires du

ARiTHMiriQUE. Chap. X. 17^ *juarré font comptés deux fois , ces cafes étantnbsp;Communes a deux bandes. Ainfi , plus on chargenbsp;Jes cafes angulaires, en vuidant celles du milieunbsp;de chaque bande, plus on fait de ces doubles em-plois; ce qui fait qu’il paroit y avoir toujoursnbsp;même nombre , tandis qu’il eft diminué. Le contraire arrive a mefure qu’on charge les cafes dunbsp;milieu, en vuidant les cafes angulaires; ce qui faitnbsp;qu’on eft oblige d’y ajouter quelques uiiités pournbsp;avoir 9 dans chaque bande.

PROBLÊME XXI.

f^uelquun ay ant une houtcillc de hult ptntes pleint d'un vin excellent, en veut faire prifent de lanbsp;moitié ou de quatre pintes d un ami; mais il rtanbsp;pour le tmfurer que deux autres vafes, Pun denbsp;cinq , r autre de trois pintes. Comment doit-ilnbsp;faire pour mettre quatre pintes dans le vafe denbsp;cinq ?

Pour cet effet appellons A la bouteille de 8 pintes, B celle de 5, amp; C celle de 3 ; en fuppofaritnbsp;qu’il y a 8 pintes de vin dans la bouteille A, amp; quenbsp;les deux autres B , C , foient vuides, comme vousnbsp;voyez en D. Ayant rempli lanbsp;853 bouteille B du vin de la bouteillenbsp;A B C A, ou il ne reftera plus que 5nbsp;tgt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pintes, comme vous voyez en E,

£3^0 rempliflez la bouteille C du vin £nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de la bouteille B, oiipar .confe-

G nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quent il ne reftera plus que 1 pin-

. 6 nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tes, comme vous voyez en F:

^152 après cela verfez le vin de la bou-^143 teille C dans la bouteille A, oii

1^6 Recréations Mathématiques.

par conféquent ii y aura 6 pintes, eomme voüs voyez en G ; amp; verfez les i pintes de la bouteillenbsp;B dans la bouteille C , ou il y aura z pintes,nbsp;comine vous voyez en H. Enfin, ayant rempli Ianbsp;bouteille B du vin de la bouteille A , oü il refteranbsp;feulement une pinte, comine vous voyez en I,nbsp;achevez de remplir la bouteille C du vin de lanbsp;bouteille B, ou il refiera 4 pintes, eomme vousnbsp;voyez en K; amp; ainfi la queftion fe trouveranbsp;réfolue.

Remarq^ue,

Si, au lieu de faire refter les 4 pintes de viri dans la bouteille B, vous voulez qü’elles reftentnbsp;dans la bouteille A , que nousnbsp;853 avons fuppofée remplie de 8 pin-*

abc tes, rempllflez la bouteille C du 800 vin qui eft dans la bouteille A,nbsp;Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oünbsp;nbsp;nbsp;nbsp;alors il ne refte plus que 5

E 530 pintes, comine vous voyez en D, Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Verfez les trois pintes de la

G nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bouteille C dans la bouteille B,

H nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oünbsp;nbsp;nbsp;nbsp;il y aura par conféquent 3

ï 710 pintes de vin, eomme vous voyez; Knbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E: puis, ayant rempli la bou

teille C du vin de Ia bouteille A, óüil ne reftera plus que z pintes, eomme vous voyez!nbsp;en F, achevez de remplir la bouteille B du vin quinbsp;eft dansla bouteille C, oü il ne reftera plus qu’unenbsp;pinte , eomme vous voyez en G. Enfin, ayantnbsp;verCé Ie vin de la bouteille B dans la bouteille A »nbsp;oü il fe trouvera 7 pintes, eomme vous voyez ennbsp;H, verfez la pinte de vin qui eft en C dans la bouteille B, oü il y aura par conféquent une pinte*nbsp;eomme vous voyez en I, amp; rempliflez la bouteille

Arithmétique. Chap. X. 177

^ du vin de la bouteille A, oü il ne reftera que 4 P'ntes , comme il étoit propofé , amp; comme vousnbsp;voyez en K.

P R O B L Ê M E XXII.

/

C'nc perfonne a une bouteille de dou^e pintespleine de vin : il en veut donner fix pintes au fiere quê-teur: il na , pour les mefiurer^ que deux autresnbsp;bouteilks, Vune de fiept pintes, amp; Vautre de cinq.nbsp;(fiue doit-il fiaire pour avoir les fix pintes dans lanbsp;bouteille de fiept pintes ?

Ce problême eft la même chofe que Ie précédent; ¦on l’exécutera auffi de la niême maniere. Soitnbsp;nominee D la bouteille de 12 f intes, S celle denbsp;lept pintes, amp; C celle de ^ pintes. La bouteille Dnbsp;cft pleine , amp; les deux autres S , C, font vuides ,nbsp;Comme on voit en G. Rempllffez la bouteille C dunbsp;vin qui eft en D , amp; la bouteille D ne contiendranbsp;plus que 7 pintes , comme on voit en H: puisnbsp;Verfez dans S Ie vin que contient la bouteille C ,nbsp;qui demeurera vuide, amp; la bouteille S contiendranbsp;lt; pintes, comme on voit eni:nbsp;DSCnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•gt; uyant rempli C avec Ie

f' nbsp;nbsp;nbsp;vin qui eft en D , la bouteille D

pj nbsp;nbsp;nbsp;ne contiendra plus que 2 pintes,

j nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la bouteille S en contiendra êc

7 nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la bouteille Cfera pleine, comme

^55 nbsp;nbsp;nbsp;on voit en K : après cela verfez

^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de la bouteille C du vin dans la

^ nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bouteille S, pour la remplir, amp;

Q nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la bouteille D ne contiendra en^

p 6 nbsp;nbsp;nbsp;6°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ pintes, la bouteille S

^ nbsp;nbsp;nbsp;° en contiendra 7, amp; la bouteille C

ti e^contiendra plus que 3 , comme on voit en L, Tome I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jvp

T78 Recreations Mathématiques.

Cela étant fait, vuidez S en D amp; C en S, 8c il y aura 9 pintes en D, 3 pintes en S , 8c C feranbsp;vulde , comme on le volt en M: enfuite rempliffeznbsp;C de la bouteille D , 8c de C verfez en S pour lanbsp;reinplir; alors 11 y aura 4 pintes en D, 7 pintesnbsp;en S, 8c une plnte en C, comme vous voyez en N.nbsp;Cela fait, remettez les 7 pintes de S dans D, 8cnbsp;la plnte de C dans S , 8c D contlendra 11 pintes fnbsp;S en contlendra i , 8c C fera vulde, comme onnbsp;le volt en O. Enfin , ayant rempll de la bouteillenbsp;D la bouteille C qul contient 5 pintes, 8c ayantnbsp;verfe-ces 5 pintes de C dans la bouteille S qul ennbsp;contient deja une , on trouvera cjue D contient ónbsp;pintes , 8c que S en contient auffi fix; ainfi on eftnbsp;parvenu a ce qu’on fouhaitoit.

PROBLÊME XXIII.

Faire parcourir au cavalier du jeu des Echecs touteS les cafes du dainier Vune apres Tautre, fansnbsp;paffer deux fois fur la même.

No T RE lefteurconnoit probablementlamarche du cavalier dans le jeu des échecs : dans le casnbsp;contraire , la void. Le cavalier étant placé fur lanbsp;cafe A, 11 ne peut aller anbsp;aucune de celles qui I’en-vironnent immédiateinent,nbsp;comme i,2,3,4, 5 , 6,nbsp;7, 8 , ni aux cafes 9,10»nbsp;II, 12, qui font direéle-ment au defifus , ou au def'nbsp;fous, ou a Cüté , ni aiUtnbsp;cafes 13 , 14, 15, 16, quinbsp;font dans les diagonals, raais leulement a une denbsp;celles qui, dans la figure, font vuides.

Arithmétique. Chap. X. Quelques hommes célebres fe font amufés denbsp;ce problême de combinaifons ; fjavoir , M. denbsp;^ontmort, M. de Moivre amp; M. de Mairan , 5cnbsp;en ont donné chacun une folution. Dans lesnbsp;premieres, on fuppofe Ie cavalier placé d’a-^ord fur une des cafes angulaires de 1’échiquier ;nbsp;^ans la troifieme , on Ie fuppofe partant de 1’unenbsp;quatre du centre: mais je crois que, jufqu’anbsp;fes dernieres années, on n’en connoiffoit aucunenbsp;^ui fut telle que, plaqant Ie cavalier fur une cafenbsp;quelconque, on put lui faire parcourir tout Ie da-mier ; 5c même enforte que , fans revenir fur fesnbsp;pas , il pöt continuer fa route , amp; parcourir encorenbsp;Une feconde fois Ie damier fous la même condition. Cette derniere folution eft due a M. denbsp;\y * *nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;capitaine au régiment de Kinski, dra

gons , au fervice de 1’Iinpératrice-Reine.

Nous allons donner les quatre tableaux de ces quatre folutions, avec une explication 6c quelquesnbsp;temarques.

M i)

i8o Recreations Mathématiques,

II. De. M. de Moivre.

III. De M. de Mairan.

ARitHMÉTIQUE, Chap, X, iBi

I

IV, Dc M. di W***.

De ces quatre manieres de réfoudre Ie probléme, Celle de M. de Moivre eft fans contredit la plusnbsp;facile a s’imprimer dans la mémoire ; car Ie principe de fa méthode confifte a remplir autant qif ilnbsp;cft polTible les deux bandes d’enceinte, amp; de nenbsp;fs jetter fur la troifieme que lorfqu’il n’y a nul autrenbsp;’tioyen de paffer, de la place oü l’on eft, fur Tunenbsp;ties deux premieres; regie qui néceffite la marchenbsp;tlu cavalier, depuis fon premier pas jufqu’au cin-^tiantieme, de la maniere la plus claire, amp; inêmenbsp;P^r-dela ; car , de la cafe marquee 50, il n’y a denbsp;^hoix pour fe placer, cjue fur celles qui font mar-ftuées 51 amp; 63 : mais la cafe 51, étant plus prochenbsp;la bande, doit être préférée, amp; alors la marchenbsp;néceffitée par 3i , 53, 54, 55, 56, 57,58,nbsp;591 60, 61. Arrivé la, il eft indifférent qu’on fenbsp;pofe fur celie marquee 64 ; car de-la on ira fur lanbsp;pénultieme 63 , on finira fur 6x; ou bien d’aller

M iij

ï8z Récréations Mathématiques.

a 6i pour paffer a 63 , finir a 64. Ainli l’oR peut dire qitö la marche du cavalier, dans cettenbsp;folution, eft prefque contrainte.

II n’en eft pas ainfi de la quatrieme: il eft difficile de la pratiquer autremeut que de memoir,e; mais elle a un avantage trés-grand; c’eft qu’onnbsp;peut commencer par la cafe que l’on voudra, ainfinbsp;que nous l’avons dit , parceque fon auteur a eunbsp;1’induftrie de ramener Ie cavalier, en finiftant,nbsp;dans une place d’ou il peut repafter dans la premiere. Ainfi fa marche eft en quelque forte circulaire amp; interminable, en rempliftant la conditionnbsp;de ne repafter fur la même cafe qu’après foixante-quatre coups.

II eft facile de voir que, pour exécuter cette marche fans confufion , il faut a chaque pas mar-quer la cafe que quitte Ie cavalier. On couvriranbsp;done toutes les cafes chaciine d’un jeton, amp; onnbsp;otera Ie jeton a mefure que Ie cavalier aura paftenbsp;fur la cafe : ou bien, au contraire, on mettra unnbsp;jeton fur chaque cafe a mefure que Ie cavaliernbsp;aura paffe deffus.

PROBLÊME XXIV,

jDiJlrihmr entre trois perfonnes vingt-un tonmaux, dom fept pkins , fept vuides amp; fept denn-pkins ,nbsp;enjone que chacune ait la méme quantité de yinnbsp;amp; de tonmaux.

Ce problême admet deux folutions,qui ne fqau* roiient être rendues plus clairement que par lesnbsp;deux tableaux qui fuivent.

Arithmétique. Chap. X. iSj Tonn. pldns. yuidts. demi-plüns,

quot;lere Pg^f. nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

* 1-®-- 2 nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3,

[3® — nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I

Tonn. plc'ins. 'lere perf.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3

l2.e-- nbsp;nbsp;nbsp;3

Ke ^ nbsp;nbsp;nbsp;I

II eft évident que, dans ces deux combinaifons, chaque perfonne aura 7 tonneaux, Sc 3 tonneauxnbsp;amp;c demi de vin.

II eft, au refte, facile de voir qu’il eft néceffaire c[ue Ie nombre total des tonneaux foit divifible parnbsp;Ie nombre des perfonnes; car, autrement, la chofenbsp;deinandée feroit impoffible.

On trouvera de la mêrae inaniere que, fi l’on avoit 24 tonneaux a partager a trois perfonnesnbsp;fous les conditions ci-deffus, on auroit trois fo-lutions différentes, fqavoir ;

3

Arithmétique. Chap. XI. i8j

CHAPITRE XL

Nontenant divers Problêmes arithmétiques ,

curieux.

PROBLEME I.

XJn pm de familie or dome , par fon tefament, que raini de fes enfants prendra fur tons fes biensnbsp;10000 livres amp; la feptieme panic de cequi rejiera;nbsp;le fecond zoooo livres , amp; la feptieme panic denbsp;ce quirejlera; le troijieme 2,0000 livres, amp; lanbsp;feptieme partie dii fuiplus ; amp; aiiif jufquau dernier, en augmentant toujours de 10000 livres.nbsp;Ses enfants ay ant fuivi la difpoftion du tefa-Ttient , il fe trouve qu ils ont etc egalement par-tageS. On demande combien ily avoit dlenfants,nbsp;quel itoit le hien de ce pere, amp; quelle a etc lanbsp;part de chacun des enfants ?

ON trouve, par I’analyfe , que le bien du pere etoit de 360000 livres; qu’il y avoit fixnbsp;, amp; qu’ils ont eu chacun 60000 livres.

Ell effet, le premier prenant 10000 , le ref-clu bien eft 350000 livres, dont la feptieme partie eft 50000, qui, avec 10000, font 60000nbsp;‘^tes. Le premier enfant ayant pris fa portion , 11nbsp;^^fte 300000 livres; fur laquelle fomme le fecondnbsp;P'^enant zoooo livres, le reftant eft: 280000, dontnbsp;3 feptieme partie eft: 40000, qui, avec les 20000nbsp;^I'deflTus , font encore 60000 livres; Sc ainfi denbsp;‘Uite.

lS6 RiCRÉATIONS Mathématiques.

PROBLÊME ir.

1//Z honimc rencontre, en fortant de fa ma'ifon, tin certain nombre de pauvres: il veut leur diftributfnbsp;l'argent qu il a fur lui. II trouve quen donnantnbsp;achacunneuf fous, il en a trente-deux de moininbsp;quil ne faut; mais quen en donnant d chacuttnbsp;fept, il lui en refe vingt-quatre. Quels étoientnbsp;nombre des pauvres , amp; la fomme que eet homm^nbsp;avoit dans fa bourfe ?

RÉponse. Il y avoit iS pauvres, amp; eet liomrus avoit dans fa bourfe 11 livres; car, en multipliantnbsp;28 par 9, on trouve 252 , dont otant 32 , puiiquot;quot;nbsp;qu’il manquoit 32 fous, Ie reftant eft 220 föus gt;nbsp;qui valent 11 livres: mais, en donnant a chacuRnbsp;des pauvres 7 fous, il n’en falloit que 196 oUnbsp;9 fois 16: par conféquent il reftoit i liv. 4 fous.

PROBLEME III.

Un particulier a acheté, pour la fomme de HO livHh un lot de bouteilles de vin, compofe de cent boU'nbsp;teilles de vin de Bourgogne , 6* quatre-vingts d(nbsp;vin de Champagne. Un autre a pareillemenlnbsp;acheté au méme prix^ pour la fomme denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;livres^

quatre-vingt-cinq bouteilles du premier , (S' foi' xante-dix du fecond. On demande combiennbsp;a coüté l'une amp; Pautre efpece de vin ?

O N trouvera que Ie vin de Bourgogne leur ^ coüté 10 fous la bouteille, amp;: celui de Champagn®nbsp;15. II eft aifé de Ie prouver.

Arithmétique. Chap. XL 187 PROBLÊME IV.

pere m mourant laijjt fa fwum tnctinu, II or-donne par fon tejlamcnt qiu yji clh accouche d'un male , il hcritera dcs deux tiers de fon lien , amp;nbsp;fa femme de Vautre tiers ; mats , fi elle accouchenbsp;dlune file, la mere hiritera des deux tiers amp; lanbsp;file d’un tiers. Cette femme accouche de deux en-fants, un garqon amp; une file. Quelle fera la partnbsp;de chacun ?

Ce probleme n’a cle clifficulte que celle de re-lt;^oniioitre la volonte du teftateur. Or on a cou-tume de I’interpreter ainfi : Puifque ce teftateiir a ordonne que, dans le cas ou fa femme accoiiche-’^oit d’un garqon, cet enfant aura les deux tiers denbsp;fon bien amp; la mere un tiers, il s’enfuit que fonnbsp;deffein a étd de faire a fon fils un avantage doublenbsp;de celui de la mere : amp; puifque , dans le cas ounbsp;celle-ci accouchera d’une file, il a voulu que lanbsp;tnere eut les deux tiers de fon bien amp; la file I’autrenbsp;tiers, on en doit conclure que fon defiein a éténbsp;que la part de la mere fut double de celle de lanbsp;file. Pour allier done ces deux epnditions, 11 fautnbsp;partager la fucceffion de maniere que le fils aitnbsp;deux fois autant que la mere, amp; la mere deux foisnbsp;3Want que la fille. Ainfi, en fuppofant le bien anbsp;partager de 3oooo ecus, la part du fils feroit denbsp;17141 liv. f; celle de la mere, de 8571 i; Scnbsp;Celle de la fille , de 428 5 y.

On propofe ordinairement a la fiiite de ce pro-bleme une autre difficulte. On fuppofe que cette mere accouche de deux garqons Sc d’lme fille , ^nbsp;1 on demande quel fera , dans ce cas , le partagenbsp;delafucceffion?

i8S Récréations Mathématiques.

Nous croyons n’avoir d’autre réponfe a faire quC celle que feroient les jurifconfultes, fqavoir, quenbsp;Ie teftament feroit nul dans ce cas; car, y ayatrtnbsp;un enfant d’omis dans Ie teftament , routes lesnbsp;loix connuesen prononceroient la nullité, attendunbsp;1° que la loi eft prëcife; i° qu’il efl; impoffiblenbsp;démêler quelles auroient été les difpofitions dunbsp;teftateur s’il avoir eu deux garqons, ou s’il avoitnbsp;prévu que fa femme en eüt mis deux au monde.

PROBLÊME V.

Vn liori de bronze, placé fur Ie bajjin déune fon-taine , peut jeter Teau par lagueule ,par les yeuX amp; par Ie pied droit. S'il jette Veau par la gueule ynbsp;il remplira Ie baffin en Jix luures ; s’il la jette pafnbsp;Voed droit, il Ie remplira en deux jours; lajetantnbsp;par Vail gauche, il Ie rempliroit en trois ; enfin ,nbsp;en la jetant par Ie pied , d Ie remplira en quatrenbsp;jours. En combien de temps Ie bajfin fera-t-ilnbsp;rempli, lorfque Veau fortira d la fiois par toutesnbsp;ces ouvertures ?

PoUR réfoudre ce problême, on obfervera que, puifque Ie lion, jetant l’eau par la gueule , remplitnbsp;Ie baffin dans 6 heures, il en remplira im fixiemenbsp;dans une heure; Sc puifque , la jetant par l’oeilnbsp;droit, il Ie remplit en deux jours, d4ns une heurenbsp;jl en remplira ~. On trouvera de même qu’il eirnbsp;remplira ~ dans une heure en jetant l’eau par 1’ceilnbsp;gauche, amp; 9^ en la jetant par Ie pied. Done , lanbsp;jetant par les quatre ouvertures a la fois, il en four-nira dans une heureplus ^-f ^ q, ^ ^ c’eft-a-dire, en ajoutant toutes ces fraftions, les ^V'nbsp;Qu’on falTe done cette proportion: Si les

Arithmétique. Chap. XI. i8^

ont été fournies en une heure ou 6o minutes, com-bien la totalité du balfin ou les |-|| exlgeront- elles de minutes ? amp; Ton trouvera 4 heures 43 minutesnbsp;*6 fecondes, Sc ff ou environ 41 tierces.

PROBLÊME VI.

t/n mulei amp; un dne faifant voyage enfembh, Pane fe plaignoit du fardeau dom il itoit chargé,nbsp;Le mulct lui dit: Animal parejjeux , de quoi tenbsp;plains-tu ? Si tu me donnois un des Jacs que tunbsp;portas , j'en aurois le double des tiens ; mais Ji jenbsp;Pen donnois un des miens , nous en aurions feu-lement amant Vun que F autre. On demande quelnbsp;itoit le nombre de facs dont Vun amp; l’autre etoientnbsp;chargés ?

Ce problême, un de ceux qu’on propofe ordi-nairement aux commenqants en algebre, eft tiré d’un recueil d’épigrammes grecques , connu fousnbsp;le nom dl Anthologie. On a ainfi traduit en latin ,nbsp;prefque littéralernent, le problême grec avec fanbsp;folution.

Ilnd cum mulo vinum portabat afella,

Atque fuo graviter fub pondera prejfa gemebat. 1'alibus at diclis mox increpat ipfe gementem :nbsp;^ater, quid luges , tenerce de more puellae ?

I^upla tuis , Ji des menfuram , pondera gejlo ;

Ji menfuram accipias , cequalia porto.

^ic mihi menjuras^ fapiens geometer^ if as ?

L’analyfe du problême a auffi été exprimée en affez mauvais vers latins j que nous donnerons

190 Récréations Mathématiques. feulement ici a caufe de la fingularité. Les voici J

Unam afina. accipiens, amittms mulus amp;unatnf SifianC tzqui, certe utriqm anth duobusnbsp;Dijlabant d Je. Accipiat Ji mulus at unam ynbsp;Amittatqui ajina unam , tune dijlantia Jietnbsp;Inter tos quatuor. MuU at cum pondera duplanbsp;Sint ajince, huic Jimplex, mulo ejl dijlantia dupla.nbsp;Ergo habet hcec quatuor tantum, mulufque habetoclo,nbsp;Unam ajineeji addas ,Ji reddat mulus amp; unam,nbsp;Menfuras quinque hete , amp; feptem mulus habebunt.

C’eft-a-clire :

Pulfque, Ie mulet donnant une de fes mefures a I’anelfe, ils fe trouvent également chargés , il eftnbsp;évident que la difference des mefures qu’ils portent eft égale a deux. Maintenant, fi Ie mulet ennbsp;reqoit une de celles de I’anelTe, la difference feranbsp;quatre ; mais alors Ie rnulet aura Ie double dunbsp;noinbre des mefures de Faneffe : conféquemmentnbsp;Ie mulet en aura buit, amp; I’aneffe quatre. Que Isnbsp;mulet en rende done une a I’aneffe, celle-ci ennbsp;aura cinq , amp; Ie premier en aura fept. Ce font lesnbsp;nombres de mefures dont ils étoient charges, amp; lunbsp;réponfe a la queftion,

On peut revêtir ce^probleme de bien des formes différentes ; mais il feroit puérile amp; fupsrflu dsnbsp;s’y artêter.

Ce probleme, au refte, n’eft pas Ie feul que nous préfente l’Anthologie grecque : en voidnbsp;quelques autres traduits en vers latlns par M. Bachetnbsp;de Méziriac, qui les a inférés dans une note fur unnbsp;des problêmes de Diophante.

ArITHMÉTIQUE. Chap. XI. I9Ï

I.

•^urta mala ferunt Charites , aqualia cuiqus Mala infunt calatho; Mufarum his obvia turbo.nbsp;Malapttunt, Charites cunclis czqualia donant;

quot;^unc (zqualia tres contingit habere , novemque.

^ic quantum dederint numerus jit ut omnibus idem ?

Cela fignifie : Les trois Graces portant des Oranges, dont elles ont chacune un egal nombre ,nbsp;font rencontrees par les neuf Mufes qui leur ennbsp;demandent: elles leur en donnent chacune lenbsp;”rême nombre; après cela chaque Mufe amp; chaquenbsp;f^race fe trouve egalement partagee. Combien ennbsp;^voient les premieres}

Le moindre nombre qui fatisfafle a la queftion oft ; car, en fuppofant que chaque Grace ennbsp;Cut donné une a chaque Mufe, elles fe trouverontnbsp;cn avoir chacune 3 , amp;; il en reftera 3 a chaque

Grace.

Les nombres 14, 36, amp;c. fatisferont egale-^ent a la queftion; amp;, après la cliftribution faite , -ohacune des Graces amp; des Mufes en eut eu 6, on 5} amp;c.

II.

, Heliconiadum decus, 0 fublime Sororutn ^ythagora ! tua quot tyrones tecta frequentent,

3 fub te , fophite fudant in agone magijlro ? ^icam ; tuque animo mea dicta , Poly crates, haurt.,nbsp;^imidia horum pars prceclara mathemata difeit,nbsp;Quarto imrjiortakm naturam nojfe laborat^

191 Recreations Mathématiques. Septima , fed tacitl , fedet atque audita rcvolvU inbsp;Trcs funt famincti fexus.

Dis - moi, illuftre Pythagore , combien cle difciples frequentent ton ecole ? Je vais te lenbsp;dire, repond le philofophe. Une moitié étudienbsp;les mathématiques, un quart la phyfique , unenbsp;feptieme garde le filence; amp; il y a de plus troisnbsp;femmes.

Ainli, il s’agit de trouver un nombre dont une moitié, un quart amp; un feptieme , en y ajoutant 3 gt;nbsp;faffent ce nombre lui-même. II eft aifé de répon-dre que ce nombre efl; 28.

III.

Die quota nunc hora ef ? Superef ta?itüm ecce diei Quantum bis gemini ex.aUd de luce trientes.

On demande quellekeure Heft; amp; 1’on répond que ce qui refte du jour eft les quatre tiers desnbsp;heures déja écoulées.

En divifant la durée du jour , comme faifoient les anciens, en 12 parties, il eft queftion de parta-ger ce nombre en deux parties, telles que les f de 1^nbsp;premiere foient enfemble égaux a la feconde ; cenbsp;qui donne, pour le nombre des heures écoulées ynbsp;5 k, amp; conféquemment, pour le refte du jourj

IV.

Die Diophantus hahet turtiulum , qui tempora vittS llLius mird denotat arte tibi.

Dgit fextantem juvenis, lanugine mala Fejiire hinc eoepit parte duodeeimd.

Septafdt

AniTÖMÉtiQUE. Chap. XL 193 ^^ptante uxori pojl hcec fodatur^ amp; annonbsp;Formofus quinto nafdtur inde puer.

Semijfem mtatis pojlquam attigit ille paternx^ Infelix fubitd morte peremptus ohit.

Qiiatuor cejiates genitor lugere fuperjics Cogitur , Iiinc annos illitis ajfeqiiere.

Cette epitaphe eft celle du celebre mathémati-cien Diophante, Elle.fignifie que Diophatite pafla la fixieme partie de I'a vie dans la jeunefte, amp; lanbsp;doiizieme dans 1’adolefcence; qu’apres un feptiemenbsp;de fa vie amp; cinq ans, il eut un fils qui moumtnbsp;après avoir atteint la moitié de 1’age de fon pere,nbsp;que ce dernier ne lui furvéquit que de quatrenbsp;ans.

II faut trouver pour cela un nombre dont la fixieme, la douzieine , la feptieme, la moitié,nbsp;jointes enfemble, en y ajoutant ^ amp; 4 , faflent Isnbsp;nombre lui-meme. Ce nombre eft 84.

V.

Qru jaculamur aquas tres hie adjlamus Amores ; Sed varil liquidas Euripo immittimus undas.nbsp;Dexter egofiimmis amp; quae mihi manat ah alisnbsp;Ipfuin lyrnpha replei folo fextante diei.

(^uatuor aft horis Ixvus versa inf.uit urnd; Dimidiatque diem medius dum fundit ah area.

Die , age , quam paucis Euripum impkbimus horis. Ex area Jiniul atque alis urndque jiumtes ?

II y a trois Amours qui verfent I’eau dans un balEn , mais inégalement, L’un le remplit en unnbsp;Tome I,

194 UicRÉAriONs Mathématiques.

fixieme de jour, 1’autre en quatre heures, 8c 1® troifieme en une demi-journée. On deinande com*nbsp;bien de temps il faudra pour Ie femplir, lorfqu’ilsnbsp;verferont tous trois de l’eau ?

Ce problême eft de la même nature que celui du lion de bronze , que nous avons réfolu préce-demment , amp; qui eft auffi tiré de 1’Anthologlenbsp;grecque. En fuppofant Ie jour divile en 11 heures,nbsp;on trouvera que les trois Amours rempliront Ienbsp;baftin en , ou un peu plus d’une heure.

PROBLÊME VIL

La fomme de So o llv. ayant été partagée entri quatre perfonnes , il fe trouve que les deux premieres enfemble ont eu x8S livres , la feconde amp;nbsp;la troijieme zzo livres , enfin la troifieme amp; l(tnbsp;quatrieme zió livres; de plus ^ Ie rapport de Irtnbsp;part de la premiere a celle de la derniere efi de 4nbsp;a j. On demande combien diacune a eu t

L A folution de ce problême eft des plus faclles.quot; La premiere a eu 160 livres, la feconde 125, lanbsp;troifieme 95 , amp; la quatrieme i2o.

II faut remarquer que, fans la derniere condition , ou une quatrieme quelconque , Ie problême feroit indéterminé , c’eft-a-dlre qu’on pourroit ynbsp;fatisfaire d’une infinite de manieres : c’eft cettenbsp;derniere condition qui limite la folution a unenbsp;feule.

problême VIII.

l/n ouvrier fie loue a ces conditions ^ quon lui doU'-Tiera 3 o fous par jour lorfqu'il travaillera, mais que chaque jour qu il chommera il rendra ló foUS*

ARiTHMÊTlQUE. Chap. XI. 195 Aprcs quaranU jours , fan décompte monte anbsp;3/ livres. On demandc combien dc jours il anbsp;travailU, combien il en a chommé ?

RÈPONSE.^i^ a travaillé vingt-hult jours des quarante, amp; il en a chomme douze.

PROBLÊME IX.

Une lettre de change de 2000 livres a hè payee en ecus de trois livtes, amp; en piajlres done la valeurnbsp;ejl de cinq livres ; amp; ily avoit précifément quatrenbsp;cents cinquante pieces de monnoie. Combien yennbsp;avoit-il de chaque ejpece ?

Repokse. Jl y avoit cent vingt-cinq ecus de trois livres , 8c trois cents vingt-cinq piaftres denbsp;cinq livres.

PROBLÊME X.

Un homrne a perdu fa bourfe, amp; ne fcah pas pre-cifement k compte de Vargent qiCil y avoit: il fe rappelle feulement quen U comptant deux d.nbsp;deux pieces , ou trois d trois , ou cinq a cinq,nbsp;il rejloit toujours un; mats, en les comptantnbsp;fept d fept, il ne refoit rien.

On volt aifément que , pour réfoudre ce pro-» bleme, il eft queftion de trouver un nombre qui,nbsp;divile par 7, ne laiffe aucun refte, amp; étant divifénbsp;par a, par}, par 5, laifle toujours i. Plufieursnbsp;méthodes plus ou moins fcavantes peuvent y con-duire; mais void la plus fimple.

Puifque, lenombre des pieces étant compté fept a fept il ne refte rien, ce nombre eft evidemment

N ij

1C)6 Récréations Mathématiques. quelque multiple de 7; amp; puifqu’en les comptantnbsp;deux a deux ü refle i, ce iiombre eft un multiplenbsp;impair : U eft done quelqu’un des nombres de lanbsp;fuitej, 2.I, 35gt;49,63,77, 9^» 105, amp;c.

De plus, ce nombre doit, étant divifé par 3 , laifler 1’unité: or, dans,la fuite des nombres ci-deflus , qe trouve que 7, 49, 91 , qui croiflentnbsp;arithmétiquement, amp; dont l4 difference eft 42,nbsp;ont la propriété demandée. Je trouve de plus,nbsp;que Ie nombre 91 étant divifé par 5 , il refte i :nbsp;d’oii je conclus que Ie premier nombre qui fatis-fait a la queftion eft 91 , car il eft multiple de 7 ;nbsp;St étant divifé par 2 , par 3 amp; par 5 , il refte tou-jours un.

Je dis que 91 eft Ie premier nombre qui fatisfalt a la queftion ; car il y en a plufieurs autres, qu’onnbsp;trouvera par Ie moyen fuivant: continuez Ia pro-greffion ci-deflus en cetteforte, 7, 49 , 91, 133 ,nbsp;175, 217, 259, 301, jufqu’a ce que vous trou-viez un autre terme divifible par 5 , en laiftTantnbsp;1’unité ; ce tenue fera 301, qui fatisfera encorenbsp;a la queftion. Or fa difference-avec 91 eft 210 :nbsp;d’oü je conclus que , formant cette progreffion,

91, 301, 5ii,72r,93i, 1141, amp;c.

tous ces nombres reinplilTent également les conditions du problême.

11 feroit done incertain quelle fomme étoit dans la bourfe perdue , a molns que fon maitre ne fqfttnbsp;a peu prés quelle fomme il y avoit. Ainfi , s’ilnbsp;difoit fqavoir qu’11 y avoit environ 500 pieces,nbsp;on lui répondroit que Ie nombre des pieces étoitnbsp;dé 5 11.

Suppofons préfentement que Thomme a qui

ArithMÉTIQUE. Chap. XI.

appartient la bourfe eüt dit que, comptant fon argent deux d deux pieces , il rejloit Vunite ; quennbsp;les comptant trots-d trots ^ il en rejloit deux; quenbsp;comptées quatre d qttatre , il rejloit trois ; que complies cinq 'd cinq , il rejloit qttatre ; que comptées fixnbsp;d Jix , il en rejloit cinq ; enjin, que les comptant feptnbsp;d fept, il ne refioit rien: on demande ce nombre.

II eft évident que ce nombre eft , comme ci-deflus, un multiple impair de 7, amp; conféquem-mentunde ceux de la fuite 7, 21, nbsp;nbsp;nbsp;s

77,91, 105, amp;c. Or, dans cette fuite, les nom-bres 35 amp; 77 fatisfont'a Ia condition d’avoir 2 pour refte quand on les divife par 3 ; leur difference eft d’ailleurs 42. C’eft pourquoi je formenbsp;cette nouvelle progreffion arithméRqu.e, dont lanbsp;difference eft 42 , fqavoir :

35,77, 119, 161, 203, 245, 287, amp;c.

J’y eberebe deux nombres qui, divifés par 4 ^ lailTent 3 pour refte, amp; je trouve que ce font 35,nbsp;119, 203, 287. C’eft pourquoi je forme cettenbsp;nouvelle progreflion, oü la difference des termesnbsp;eft 84:

35, 119, 203,287,371,455^

Je cherche encore ici deux termes ejui, divifés par 5, lailTent un refte égal a 4; amp; j’apperqorsnbsp;bientót que ces deux nombres font II9 amp; 539»nbsp;dont la difference eft 420. Ainfi la fuite des termes répondant k routes les conditions du pro-blême, hors une, eft

ï‘9» 539» 959» 1379» ï799»iii9» ^^39»

Or la derniere condition du problême eft qae, Ie nombre trouvé étant divifé par 6, il refte 5. Cette

N iij

t9S Recreations Mathématiques.

propriété convient a II9, 959» ^799»

ajoutant toujours 8 |o: conréquemment Ie nombre cherché eft vm cle ceux de cette progreffion. C’efl;nbsp;pourqiioi, auffitót qu’on fqaura dans quelles limi-tes a peu pres il ett contenu, on fera en état de Ienbsp;determiner.

Si done Ie maïtre de la bourfe perdue dit qu’il y avoit environ cent pieces, Ie nombre cherchénbsp;fera 119 ; s’il difoit qu’il y en avoit a peu présnbsp;mille , ce feroit 959 , amp;c.

Remarque.

Ce prohUmt feroit réfolti imparfaitement par la. méthode quenj^igne feu M, 0:^nam; car, ay antnbsp;trouvé Ie plus petit nombre iic), qui fatisfait auxnbsp;conditions du problême, il fe borneroit d dire que ^nbsp;pour avoir les autres nombres qui y fatisfont , il

faüt multiplier de fuite les nombres x , r 4 gt; nbsp;nbsp;nbsp;d',

y, amp; ajouter leur produit óoqo au premier nombre trouv'é iiC), amp; quon aura par-ld Ie nombre 6t6c)ynbsp;qui remplit auffi les conditions propofées. Or il ejlnbsp;aifé de voir quily a plj^eurs autres nombres entrenbsp;nc) amp; J/Jc) qui remplifent ces conditions yfgavoir,

$^9 j ‘799’ ^^39 ’ 3479 »_ 43 '9-

Nous donnerons, en traitant de la Chronologie , la folution d’un autre problême du même genre , fqavoir; de trouver l’année de la Périodenbsp;Julienne, dont Ie nombre d’or, Ie cycle folaire amp;:nbsp;Pindiélion font donnés.

problême XL

Une certaine fomme d'argent, placée d un certain intérêt, s'ejl accrue en huit mois jufqudgCiGnbsp;livres /J fous 4 deniers yamp;en deux ans amp; demi

Arithmétique. Chap. XI. 199 die a monte a p,^2,y livres 10 Jous. On iemandenbsp;quel koit h capital originaire , amp; d quel intirctnbsp;il a été placé ?

Nous nous bornerons encore lei, pour exciter Ja fagacite des jeunes algebrifles, a indiquer la fo-lution. Ils trouveront , en employant ’ I’analyfenbsp;convenable, que le capital placé étolt de 3500nbsp;livres , amp; jque l’intérêt étoit de cinq pour cent.

PRÖBLÊME XII.

I^ne femme a vendu lo perdrix au march!, une feconde en a vendu a.6, une troijieme en anbsp;vendu 30,6* totites au mime prix. Au fortirnbsp;du marchi ell'es fe quejlionnent fur 1'argentnbsp;qu'elles en rapportent, amp; il fe trouve que chacunenbsp;rapporte la nume fomme. On demande d quelnbsp;prix amp; comment elles ont vendu?

Il eft evident qu’afin que la chofe foit poffible, il faut que ces femmes vendent au moins a deuxnbsp;differentes fois amp; a différents prix , quoiqu’a cha-^ue fois elles vendent toutes enfemble au mêmenbsp;prix; car, ft celle qui avoit le moins de perdrixnbsp;en a vendu un très-petit nombre au prix le plusnbsp;lgt;as, amp; qu’elle ait vendu le furplus au plus hautnbsp;Ptix , tandis que celle qui en avoit le plus grandnbsp;Roinbre en avoit vendu la plus grande partie aunbsp;plus bas prix, amp; n’a pu en vendre qu’un petitnbsp;nombre au plus haut, il eft clair qu’elles auront punbsp;faire des fommes égales.

Il s’agit done de divifer chacun des nombres *0,2^, 30, en deux parties telles, que multi-pliant la premiere partie de chacun par le premiernbsp;prix , amp; la feconde par le fecond , la fomme desnbsp;deux produits foit par-tout la même.

N Iv

loo RéCRÉATïONS Mathématiques.

Ce problêirie efl. indéterminé, amp; fufceptible de dix folutions difFérentes. II eft d’abord nécelTairenbsp;que la difference des prix de la prerpiere amp; de lanbsp;ieconde vente foit un divifeur exaifl des differences 15» ao, 5, des trois nombres donnés: or Ienbsp;moindre divifeur de ces trois nombres eft ^ ; c’eftnbsp;pourquoi les prix doivent étre 6 amp; i , ou 7 8c l,nbsp;OU 8 8t 3 , amp;c. ¦

En fuppofant les deux prix être 6- 8c i, dn trouve fept folutions différentes , comme on Ienbsp;voit dans la Table fuivante.

T™ Vinu. nbsp;nbsp;nbsp;/T Vtriu. Prod, total.

ï^rePeiii, 4 Perd. a 6 f. 6 a i f. 30 f.

1®---I nbsp;nbsp;nbsp;14nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'?o

Ou bien , j Fem. 5;

Ou bien ,

j ere Fem. 6

---3

3e ___ nbsp;nbsp;nbsp;1

Ou bien ,

i®'^®Fein. 7 1®---^

Ou him , jcre Fem. 8nbsp;je---, 5.

3® -—4

SI 1’on fuppofe les deux prlx être 7 amp; 2 , on 3ura encore les trois folutions fuivantes.

P’’^ Vente. IP Vente. Ï®*'® Fern. 8 Perd. a 7 f. 2 a 2 f.