Qui CONTiENNENT les Probl�mes Sr les Queftions les plus remarquables , amp; les plus propres a piquer la curiolit�, tantnbsp;des Math�matlques que de la Phyfique; Ie tout trait� d�unenbsp;maniere a la portee des Lefteurs qui ont feuleraent quelquesnbsp;connoiffances l�geres de ces Sciences.

Nouvelle Edition, totalement refondue Sc, confid�rablement augment�e par M. de C G. F.

Didot, Librairepour les Math�raatiques, * Artillerie et Ie G�nie, gray, et fond. en caract�res.

M. DCC. XC.

P R � F A C E.

amp; avec quelque raifon r�pu-t�es les plus �pineufes des connoiffances humaines, tous ceux qui y font m�me l�-g�reinent initi�s, ne fauroient difconvenirnbsp;qu elles pr�fentent un grand nombre denbsp;queftioi'sfur lesnombres, amp;fur l��tendue,nbsp;(fans parler des Math�matiq�es mixtes,nbsp;j-ornine i�Optique, la M�canique, l�Aftro-jiotnie, amp;c.) qui, fans �tred�un degr� denbsp;dilficult� capable de beaucoup occuper,nbsp;un elprit cultiv�, font propres k piquer fanbsp;curiofit�, foit par leur foiution , fok parnbsp;les moyens dont on a pu y parvenir.nbsp;Nous ne pr�tendons pas que des efprits,nbsp;uniquement accoutum�s k des leftures l�-g�res OU frivoles, amp; qui n�ont pas m�menbsp;les connoiffances �l�mentaires desfciencesnbsp;exa�fes, puiifent trouver dans ces quellionsnbsp;de quoi les int�reffer amp; les amufer. Mais,nbsp;comme il entre aujourd�hui, non-feule-ment dans toute education recherch�e,nbsp;mais m�me dans l��ducation publique, denbsp;donner des idees au moins �l�mentaires amp;nbsp;fuperficielles des Math�matiq�es amp; de lanbsp;Phyfique, il n�y a nul doute qu�il ne fenbsp;trouve en ce fi�cle un grand nombre denbsp;Tome /,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fl

i] nbsp;nbsp;nbsp;P R � F A C E.

perfonnes capables de s�int�refler k un ou-vrage qui leur pr�fentera un choix bien fait de ce qu�il y a dans ces fciences denbsp;plus cufieux par fon ufage ou fa lingularit�.nbsp;D�ailleurs, il eft des efprits de routes lesnbsp;trempes, comme des caraft�res amp; desnbsp;vifages diff�rents. Ce qu�un ordre d�hom-mes honore d�une profonde indifference,nbsp;d�autres en font leurs d�lices. C�eft ennbsp;cela que confifte Fharmonie de l�uni-vers.

Nous ajouterons que jamais les Math�-inatiquesamp; laPhylique ne furentplus cul-tlv�es qu�elles Ie font aftuellemem. Or,il y a deux claffes de perfonnes qui les culti-vent: les unes par �tat, ou par Ie d�lir denbsp;s�illuftrer en reculant leurs limites; les au-tres par pur amufement, ou par un goutnbsp;naturel qui les potte vers ce genre de nosnbsp;connoiffances. Ce fera, � Ton veut, k cettenbsp;derni�re claffe de Math�maticiens amp; denbsp;Phyficiens que eet ouvrage fera deftin� ;nbsp;quoique nous ne renoncions pas k int�ref-fer en quelques endroits ceux de la premi�re. Enfin, il peut fervir k aiguillonnernbsp;l�efprit de ceux qui commencent k �tudiernbsp;ces fciences j amp; c�eft-lk la raifon pournbsp;laquelle, dans la plupart des livres �l�men-taires, on tache d�envelopper les queftionsnbsp;propof�es pour exercer les cominen^ans.

d�un �nonc� moins abftrait que celui des Math�matiquespures, Scquipuiffe int�ref-feramp; piquer la curiolit�. Si, par exemple,nbsp;on propofoit fimplement de divifer unnbsp;triangle en 3,4 ou 5 parties �gales, par desnbsp;lignes tir�es d�un point d�termin� au de^nbsp;dans de ce triangle, il n y a gu�re que ceuxnbsp;qui font vraiment dou�s du go�t de lanbsp;Geometrie qui y priffent int�r�t. Mais fi ,nbsp;SU lieu de propofer Ie probl�me de cettenbsp;luani�re abftraite , on difoit: U?i p�re dcnbsp;familie laijje en mourant � fes trois jils, unnbsp;champ triangulaire a fe partager entre eiixnbsp;�galement; � y a dans ce champ un puits quinbsp;doit �tre commun aux trois co-h�ritiers ^ cenbsp;qui n�cejjite que les lignes de divijion partentnbsp;de ce point .* comment feront-ils pour fe con-former d la volont� du tefiateur? eet expol�nbsp;fera fans doute d�firer a la plupart desnbsp;efprits de connoitre la mani�re d�y parve-nir; amp; pour peu qu�on foit dou� du go�tnbsp;des fciences exadies , on fera rent� d�exer-cer fes forces a la trouver.

Nous ne croyons pas qu�il foit befoiii de montrer avec M. Ozanam, par desnbsp;exemples, qu un G�om�tre peut fans bontenbsp;defcendre quelquefois de l�abrtra�ion denbsp;fes calculs amp; de fes m�ditations, pour fenbsp;leplier fur des queilions de fon art plusnbsp;curieufes amp; faciles, qu�utiles amp; �pineufes,

�V nbsp;nbsp;nbsp;PREFACE.

Telles font en effet quelques - unes , amp; m�me la plupart de celles de eet ouvrage.nbsp;Mais les exemples cit�s par M. Ozanartinbsp;font, il faut Tavouer, alfez mal choifis.nbsp;Quel rapport ont avec ce fujet les �nigmesnbsp;que fe propofoient, dit-on, les rois denbsp;Syri� ou d�Egypte; ou les calculs d��clip-fes amp; de ph�nom�nes c�leftes que s�en-voyoient, k ce qu�il ajoute, entre amis,nbsp;les Babyloniens amp; les Egyptiens ? Je nenbsp;f^ais d�ailleurs o� M. Ozanam a puif�nbsp;cette anecdote. II �toit plus naturel denbsp;dire, que l�efprit ne peut pas �tre toujoursnbsp;tendu; qu�apr�s avoir approfondiunfujet,nbsp;il y a quelquefois du plaifir a voler l�g�-rement fur fa furface ; enfin, s�il efl: dansnbsp;eet ouvrage plufieurs queftions frivoles,nbsp;on peut dire pour les juftifier, que la Sa--geile a befoin quelquefois de fe fauvernbsp;dans les bras de la Folie.

Les Grecs nous ont donn� Ie premier exemple de ces jeux math�matiques. Carnbsp;on trouve dans l�Anthologie grecque, unnbsp;grand nombre d��pigrammes qui ne fontnbsp;que des quefiions arithm�tiques; tellesnbsp;font la fameufe queftion de Y^ne amp; dunbsp;Mulct i celle de YAmour remplijfant ennbsp;differens temps , par divers canaux, la ca*nbsp;pacit� d�un bajjin , ^c. qu�on y lit �non-c�es en vers. On trouvera les plus remar-

Ce font, k ce qu il paroit, ces queftions amp; les confid�rations pr�c�dentes, qui en-gag�rent M. Bachet de M�ziriac , d ail-leurs c�l�bre alg�brifte , ainfi qu�on Ienbsp;voit par commentaires fur Diophante,

^ recueillir un grand nombre de queftions fur les nombres, qu�il publi'a en 162,6 , amp;nbsp;^U il intitula Prohl�mes plaifans amp; delecla^-bles fur les Nombres. Ce livre eft, apr�snbsp;les probl�mes de TAnthologie grecque,nbsp;Ie premier germe de routes les Recreationsnbsp;Nlath�matiques qui ont paru dans la fuite,nbsp;plus OU moins augment�es, amp; en diff�-rentes langues. Mais nous nous borneronsnbsp;k parler des ouvrages 6:^0901$ qui ont eunbsp;eet objet.

Les premi�res Recreations Math�matl-�ques parurent en 1627, in-8�, fous Ie titre de R�cr�ation Math�matique f compof�e denbsp;plufeurs Probl�mes plaifans amp; facetieux^nbsp;par H. van Etten. C�toit, il faut en con-venir, une pitoyable rapfodie. Audi ex-cita-t-ell� la bile de Mydorge, g�om�trenbsp;c�l�bre de ce temps , qui en releva dure-^ent les fottifes. Mais, malgr� cela, lesnbsp;editions poft�rieures qui en rorent fades,nbsp;valent gu�re mieux que la premi�re.nbsp;Cell un fatras de queftions dont grand

rtombre font fottes amp; pu�riles, un d�for-dre amp; un langage barbares qui devoient d�s'iors rebuter tout efprit un peu raifon-nable.

Cela engagea fans doute, vers la fin du fi�cle dernier, M. Ozanam k faire un re-cueil plus choifi de ces queftions math�-matiques amp; phydques , amp; il l�ex�cuta ennbsp;1692, en donnant fes nouvellesnbsp;i/ons Math�matiques amp; Phyfques, en deuxnbsp;volumes in - 8�, qui, par diverfes additions, fc'font accrues jufqu�a quatre volumes in-80. Comme les changemens, lesnbsp;additions amp; les retranchemens que nousnbsp;y avons faits font tr�s-confid�rables, nousnbsp;devons rendre compte au Ledfeur desnbsp;motifs qui nousyiDnt engages. II eft auflinbsp;a propos de donner ici une id�� de lanbsp;mani�re dont l�ouvrage fe pr�fente aunbsp;monde favant dans ceite nouvelle Edition.

Si Ie grand nombre des editions d�un ouvrage eft une preuve inconteftable denbsp;fa bont� amp; de fon utilit�, \qs R�cr�atio7isnbsp;Math�matiques amp; Phyjiques de feu M.nbsp;Ozanam devroient �tre regard�es commenbsp;un des livres les meiUeurs amp; les plusnbsp;utiles qui aient �t� faits. On ne peutnbsp;difconvenir cependant que ce livre nenbsp;fbit en lui-m�me tr�s fautif amp; tr�s-incom-

plet. Mals il y a lieu de croire que fon auteur l�auroit rendu beaucoup plus int�-reffant, amp; qu�� l�auroit port� a un plusnbsp;haut point de perfection , s�il e�t v�cunbsp;dans un fi�cle plus favant, amp; plus inftruitnbsp;fur ce qui regarde les Math�matiques amp;nbsp;la Phyfique exp�rimentale. En effet, de-puis la mort de ce Math�maticien, lesnbsp;iciences amp; les arts ont �prouv� de �nbsp;grands accroiffemens, que ce qui pquvoitnbsp;^lors paffer pour m�diocre, ne feroit pasnbsp;m�me fupportable aujourd�hui. Combiennbsp;de nouvelles d�couvertes dans laPhylique,nbsp;tant ordinaire amp; commune , que c�lefte lnbsp;combien de nouveauX ph�nom�nes obfer-v�s , dont quelques-uns ont m�me donn�nbsp;naiflance k desbranchesf�condesdelaPhy-Eque! Nous nous bornerons k citer YEIec-tricit� ^ fource intariffable de r�flexionsnbsp;profondes amp; d�exp�riences finguli�rementnbsp;amufantes. La Chimie eft auffi une fciencenbsp;dont M. Ozanam ne foup^onnoit pasnbsp;m�me les principes les plus connus amp; lesnbsp;plus triviaux. Enfin, nous ne craindronsnbsp;point de Ie dire , on y trouve une multitude de mati�res trait�es avec une appa-tence de cr�dulit� amp; une prolixit� telles,nbsp;^lu�il femble que rauteur,ouplut�t fes con-tinuateurs, n�ont eu en vue que de muld-puer les volumes.

vlij ^ ^ P R � F A C E.

11 �toit done n�teflaire, pour rendre eet ouvrage plus digne du fi�cle �clair� o�nbsp;nous vivons, d�y faire des correftions, amp;nbsp;des additions nombreufes amp; confid�rables-C�eft ce qu�on a tach� de faire. Nousnbsp;allons rendre compte ici de ces am�liora-tions.

Le premier volume comprend VArith-m�tique amp; la G�om�trie, ces deux branches des Math�matiques que Platon appeloitnbsp;k li jufte titre les alles du Math�maticien,nbsp;Dans la premi�re, on expofe la nature desnbsp;diverfes efp�ces d�arithm�tique , quantit�nbsp;de propri�t�s finguli�res des nombres,nbsp;dont plufieurs �toientprobablementinc�n-nues k M. Ozanam �, celles des trianglesnbsp;le�angles en nombre amp; des nombres po-lygones, mais r�duites k ce qu�elles pr�-fentent d�int�reffant amp; de facile: on donnenbsp;enfuite les principes de la doftrine desnbsp;combinaifons, mis dans un jour fort clair,nbsp;amp; un affez grand nombre de probl�mesnbsp;curieux, dont plufieurs nouveaux ^ fur lesnbsp;jeux. On paffe dedi aux diff�rentes elp�-ces de progreffions, amp; on r�fout diversnbsp;probl�mes qu�elles pr�fentent: on propofenbsp;Sc l�on explique plufieurs tours de fubtilit�,nbsp;fond�s fur des combinaifons arithm�ti-ques, fuivis d�iin grand nombre de pro-bl�roes curieux , amp; tr�s-propres k exerccj:

les jeunes Math�maticiens. On nnit par ce que pr�fente de plus curieux I�anthme-tique politique, fur la population amp; 1^nbsp;dur�e de la vie des hommes, amp;c.

La feconde partie de ce volume elt deftin�e a la G�om�trie. Elle contient environ foixante-quinze probl�mes, quonnbsp;croit pour la plupart affez heureufementnbsp;choifis, foit pat l��nonc� qu^on ^ a tachenbsp;de rendre int�reffant, foit par 1 el�gancenbsp;OU la fimplicit� de la folution. On y trouvenbsp;m�me quelques th�or�mes �l�gans amp; fin-guliers , delquels t�fulte la g�n�ralifa-tion de certains th�or�mes fameux, parnbsp;exemple, celui de la quarante - fepti�menbsp;d�Euclide, qu�ony d�montre aufll par di-verfes tranfpofitions de parties, qui fontnbsp;aflez ing�nieufes. Nous donnons auffi quelques tranfmutations d�efpaces reftilignes,nbsp;en autres de formes diff�rentes, du quarre,nbsp;par exemple, en reftangles, par firnplenbsp;d�compoiition amp; tranfpofition de parties ,nbsp;ce qui, quoique �l�mentaire amp; peu difficile, eft nouveau. II y a dans cette m�menbsp;partie une digreftion curieufe amp; hiftoriquenbsp;fur la quadrature du eerde; un grandnbsp;nombre de probl�mes remarquables furnbsp;Ls lunules d�Hippocrate, amp; autres (or-i^�es a leur imitation. Enfin ce volume eltnbsp;termin� par une centaine de problemes

affez curieux ^ dpnt on donne feulement J��nonc�, amp; qu�on propofe aux jeunesnbsp;Arithm�ticiens ou G�om�tres , pour ynbsp;�prouver leurs forces. En g�n�ral ils fontnbsp;plus �i�gans que difficiles. II en eft cepen-dant quelques-uns quine font pas indignesnbsp;d�un G�om�tre ou d�un Analyfte exerc�.

Le fecond volume commence par la M�canique. On y pr�fente un grand njm-bre de probl�mes int�reffans, amp; en g�n�ral d�un meilleur choix que dans les �di-tions pr�c�dentes. On y voit 1'analyfe denbsp;plufieurs tentatives du mouvement perp�-tuel, amp; divers traits curieux fur ce fujet.nbsp;On termine le tout par une hiftoire fom-maire des machines les plus renomm�es,nbsp;tant anciennes que modernes, commenbsp;font, parmi ces derni�res, les fameufesnbsp;horloges de Strasbourg amp; de Lyon j lesnbsp;machines invent�es par Truchet, Camus,nbsp;Vaucanfon ; la machine de Marly, lesnbsp;machines k feu. On dit fur tous ces objetsnbsp;des chofes auffi int�reffantes que nou-velles.

Le m�me volume contient �Optique, Nous pouvons affurer qu�elle eft beaucoupnbsp;perfe�ionn�e, tant par l�ordre, que par lanbsp;pr�cifton amp; la nouveaut� des mati�res.nbsp;On finit 1�Optique par un pr�cis de toutnbsp;ee qu�ii y a, dans les obfervations microf-

P R � F A C E. . xj copiques, de plus neuf amp; de plus dignenbsp;d��tre connu,

Acoujlique, amp; la Mujique qui en d�-rive, terminent ce volume. Les principes de la formation amp; de la propagation dunbsp;fon , leurs pb�nom�nes , Ie d�veloppe-ment de la mufique ancienne amp; moderne,nbsp;�divers traits fort curieux fur les effets denbsp;Tune amp; de l�autre , plufieurs queftions furnbsp;Je m�canifme de Tharmonie ,lespropri�t�snbsp;de divers inftrumens, quelques paradoxesnbsp;mufcaux, font les principaux objets quinbsp;compofent cette partie, amp; terminent Ienbsp;fecond volume.

Le fuivant ou troif�me comprend XAf-tronomie, la Geographic en ce qu�elle tient a cette fcience , le Calendrier, la Gnomo-nique,hL Navigationy VArchitcBure, amp; lanbsp;Pyrotechnic ou Tart des feux d�artifice. 11nbsp;feroit trop long d�entrer dans les d�tailsnbsp;des corre�lions amp; des augmentations con-fid�rables faites �. ces diff�rens traites dunbsp;livre de M. Ozanam. En g�n�ral on l�anbsp;abr�g� amp; fimplifi�j onacorrig�leserreursnbsp;qu�il a pu commettre; car il faut avouernbsp;que M. Ozanam ayant peu cultiv� l�Aftro-�^omie n�avoit prefque aucune connoif-^nce des v�rit�s phyfico - aftronomiquesnbsp;d�montr�es de fon temps : auffi dennbsp;de fi fuperfi.ciel que ce qu�il dit fur le

xij _ PREFACE.

fyft�mede lunivers. On y a fubftitu� uil' tableau de ce fyft�me, amp; des divers corpsnbsp;qui Ie compofent. Selon les apparences,nbsp;on Ie trouvera piquant, foit par Texpofi-lion des ph�nom�nes , foit par quelquesnbsp;comparaifons affez finguli�res pour don-ner une id�� de fon immenfit�.

Nous ne difons qu�un mot du Calendrier: c�eft, k quelques introdu�lions pr�s, l�ou-vrage de M. Ozanam j on n�a pas cru devoir y faire beaucoup de changemens. Lanbsp;Gnomonique eft prefque toute nouvelle,nbsp;amp; contientplufieursprobl�mes nouveaux,nbsp;amp; beaucoup mieux choifis que dans Ienbsp;livre de eet auteur. La partie fuivante eftnbsp;toute neuve , amp; pr�fente plufieurs pro-bl�mes curieux, tant fur Tart du pilotagenbsp;que fur la manoeuvre. On y lit une hiftoirenbsp;affez d�taill�e du fameux probl�me desnbsp;longitudes. II en eft de m�me de 1�Archt-te�lure, ob nous avons trouv� mati�re knbsp;plufieurs queftions curieufes, relatives foitnbsp;a la conftruftion, foit au toif�, foit k Tartnbsp;envifag� comme art de go�t.

La Pyrotechnie termine Ie volume. M. Ozanam y eft abr�g� en plufteurs en-droits, amp; enrichi dans d�autres.

Enfin, Ie quatri�me volume eft enti�re-ment confacr� k la Phyjique, La premi�re divifion de ce, volume, qui eft la ouzi�me

P R � F A C E. x�f tie l�oiivrage, eft une efjj�ce de Mifcella^nbsp;nea de Phyfique, o� Ton a eu pour objetnbsp;de faire entrer routes les queftions les plusnbsp;curieufes. Elle commence par une intro*nbsp;duftion n�ceflaire, qui contient avec beau-coup de pr�cifion tout ce qu�on connoitnbsp;de mieux prouv� fur les propri�t�s du Feu,nbsp;de l�Air, de l�Eau amp; de la Terre. On par-court enfuite routes les branches de lanbsp;Phyfique g�n�rale; exp�riences fur l�Air ,nbsp;jeux d�hydraulique amp; d�hydroftatique |nbsp;hiftoire amp; conftru�lion des thermom�tres,nbsp;barom�tres amp;� hygrom�tres j probl�mesnbsp;finguliers d�Aftronomie phyfique, r�folusnbsp;d�apr�s leurs v�ritables principes j obfer-vations curieufes fur la divifibilit� de lanbsp;mati�re, fur la t�nuit� des odeurs, fur cellenbsp;de la lumi�re, amp;c. queftions fur les co-m�tes 5 expofition amp; examen de quelquesnbsp;opinions finguli�res amp; brillantes fur cenbsp;fujet; explication amp; hiftoire des fontainesnbsp;intermittentes; ph�norn�nes de la glace,nbsp;du jeu mani�re de la produire �, analyfenbsp;du cerf-volant, amp;c; telles font k peu pr�snbsp;les mati�res de cette onzi�me partie. Onnbsp;n�en peut prendre une id�� jufte qu�ennbsp;parcourant Ia Table*-

On ne pouvoit terminer plus heureufe-*pent ce qui regarde la Phyfique fyft�ma-tique amp; exp�rimentale, quepar un Trait�

xir P R � F A C E.

particulier fur �Aimanu Tout ce quily a-de plus curieux amp; de plus neuf fur les ph�nom�nes de cette �trange produ�lionnbsp;de la nature , les diverles proprietes, lesnbsp;utilit�s qu�on en retire , les jeux amp; lesnbsp;tours principaux qu�on op�re par leurnbsp;combinaifon , les aimans artificiels, amp;c.nbsp;forment la mati�re de ce Trait�.

\JEle3:ricit� tient parmi les ph�nom�nes de la nature un rang trop remarquable ,nbsp;pour ne pas trouver ici une place. On ennbsp;traite fort au long , li Ton conlid�re lanbsp;multitude de faits amp; d�exp�riences qu�onnbsp;fait connoitre �, amp; avec beaucoup denbsp;pr�cilion, li Ton fait attention k la ma-ni�re dont ils font expof�s. Un objet int�-relTant de ce petit trait� , ell ce qu�onnbsp;rapporte fur I�analogie de la foudre avecnbsp;le feu �le�lrique. On n�a pas n�glig� lesnbsp;divers jeux qu�on op�re au moyen denbsp;cette propri�t� finguli�re des corps; amp;nbsp;Ton y dit auffi un mot fur les gu�rifonsnbsp;op�r�es par l�Ele�lricit�.

La Chimie^ fource de tant de ph�nom�nes curieux , fucc�de a l�Ele�lricit�. On a commenc� par en d�velopper fuccinte-ment les principes, 'en donnant une id��nbsp;pr�cife des diverfes fubllances dont le jeunbsp;amp;l�a6lion mutuelle des unes furies autres,nbsp;op�rent les principaux ph�nom�nes de

P R � F A C E- XV � �ette fcience. Apr�s cette introduftion,nbsp;on parcourt les exp�riences les plus fim-ples amp; les plus curieufes de la Chirnie ynbsp;qu on explique d�apr�s les principes pof�snbsp;pr�c�demment. Les encres fympathiques,nbsp;amp; les jeux qu on peut ex�cuter par leurnbsp;moyen, n�y font pas oubli�s, non plusnbsp;que les v�g�tations m�talliques. On finitnbsp;par une digreffion fur la pierre philofo-phale , Tor potable amp;; la paling�n�fie;nbsp;probl�mes chimiques dont on donne unenbsp;forte d�hiftoire curieufe, inftruftive amp; phi-lofophique.

Deux Suppl�mens terminent ce volume; 1�un traite des Phofphores, tant naturelsnbsp;qu�artificiels j 1�autre , des Lampes pr�-tendues perp�tudles, Mais on n�a pas �t�nbsp;aufli prolixe que M. Ozanam, ou plut�tnbsp;l�auteur de la pitoyable compilation qu�otinbsp;lit dans Ie quatri�me volume de fon ou-vrage. On croit, ou plut�t on aflure avecnbsp;confiance, que fous un volume incompa-rablement moindre, on rapporte fur lesnbsp;Phofphores, tant naturels qu�artificiels,nbsp;beaucoup plus de chofes amp; pluS'Cxafte-ment que ne fait l�auteur de ce trait�, in-f�r� dans f �dition des R�cr�ations Math�--maticpues faite apr�s la mort de l�auteur.nbsp;Quant aux Lampes perp�tuelles, apr�snbsp;avoir donn� rhiiloire, on fait voir en

�V] P R � F A C E. affez peu de pages, amp; d�apr�s les principes de la faine phyfique, que c�eft unenbsp;chim�re digne d�etre mife dans la m�menbsp;clafle que la Paling�n�lie amp; la Baguettenbsp;divinatoire.

Nous ne devons point paffer fous fi-lence un m�rite particulier que pr�fentera eet Ouvrage aux Math�maticiens amp; auxnbsp;Phyficiens. Ce font diverfes Tables affeznbsp;�tendues, amp; qui font d�un ufage fr�quentnbsp;dans les Math�matiques amp; dans la Phy-lique. Chaque jour les calculateurs fontnbsp;arr�t�s fame de favoir o� les trouver. Cesnbsp;Tables font:

Volume I. Celle du rapport du pied des diff�rens pays, compar� avec celuinbsp;de Paris.

La Table du rapport des mefures anciennes de contenue,avec Ie pied cubique de Paris.

Volume II. La Table des pefanteurs fp�cifiques des mati�res les plus ufuelles.nbsp;Elle eff k divers �gards plus confid�rablenbsp;que celle de Mufchenbroeck, amp; certai-nement. plus exa�fe.

LaTable du rapport des diff�rens poids tant anciens que modernes, amp; �trangers,nbsp;avec notre livre.

PREFACE. xvi; 1 erre , plus �tendue qu aucune de cellesnbsp;qui aient encore �t� donn�es.

Volume IV. Une Table des degres de chaleur ou de froid auxquels diff�rentesnbsp;mati�res fe fondent ou fe glacent.

Une autre des diff�rens degr�s de chaleur OU de froid obferv�s en diff�rens lieux de la Terre, ou n�celTaires pour certainesnbsp;op�rations.

Une des hauteurs de divers lieux amp; de plufieurs montagnes, tant de ce continentnbsp;que de 1�Ani�rique, au deflus du niveaunbsp;de la mer.

Tel eft Ie plan de cetfe nouvelle edition des Recreations Math�matiques. On peutnbsp;dire avec certitude, amp; Ie Cenfeur de eetnbsp;Ouvrage l�attefte par fon approbation,nbsp;que dans l��tat o� il efl aujourd�hui, il n�efinbsp;point indigne des regards des Math�ma-ticiens amp; des Phyficiens les plus inflruits jnbsp;amp; ceux de routes les claffes pourront �ga-lement, en Ie lifant, s�amufer, s�inftruire,nbsp;^ m�me s�exercer , par Ie choix d�snbsp;^'leftions quiy fontr�folues oupropof�es�nbsp;Rome /.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b

Quant h la partie typographique , elle a �t� trait�e avec tout Ie foin qu�exigeoitnbsp;un Ouvrage auffi int�reflant, tant par Ienbsp;choix du papier, que par la nettet� du ca-raft�re. Les planches, au nombre de qua-tre-vingt-dix, tr�s-bien grav�es par M. denbsp;Ia Gardette, artifte connu , r�uniflent anbsp;tous ces avantages celui de fortir enti�-rement hors du livre , ce qui manquoitnbsp;aux pr�c�dentes �ditions.

APPROBATION.

J�ai lu, par ordre de Monfeigneur le Garde des Sceaux , les Recreations Math�matiques amp; Phyjiqutsnbsp;de feuM. OzANAM, corrig�es amp; confid�rablementnbsp;augment�es: il m�a paru que eet Ouvrage , fortnbsp;imparfait dans fes �ditions ant�rieures, a acquisnbsp;dans celle-ci un degr� d�ain�lioration confid�ra-ble, qui peut lui m�riter place parmi les bons livresnbsp;fur ces mati�res. Fait a Paris le 5 ao�t 1775*

PRIVILEGE DU ROL

A nos am�s amp; f�aux Confelllers, les Gens tenans nos Cours de Parlement, Maitres des Requ�tes ordinaires de notre Hotel, Grand-Confeil ^ Prev�t de Paris, Bail�fs, S�n�chaux, leurs Lieutenans ci-V�ls, cc autres nos Jufticiers qu�il appariienclra: Salut. Notre am�nbsp;ie �CU� JoMBERT , Ills ain�, notre Libraire a Paris, nousa faitexpo-ler qu il deftteroit faire imprimer amp; donnet au Public Les (Suvres de.nbsp;Alathcmatiques de iVfM. O'^anam ^ Clermont, s�il nous plaifoit luinbsp;Recorder nos Lettres de Privilege pour ce n�ceffaires. A CES causes , voulant favorablement traiter TExpofant, novis lui avons permisnbsp;�c permettons par ces Pr�fentes, de faire imprimer ledits ouvragesnbsp;fois que bon lui femblera, amp; de les vendre, faire vendrenbsp;oc debitor par tout notre royaume, pendant le temps de lixann�esnbsp;confecutives, a compter du jour de la date des Pr�fentes., Faisonsnbsp;cetenles a tous Imprimeurs , Libraires amp; autres perfonnes, denbsp;que^ue qiialit� amp; condition qrOelles foient, d*en introduire d�im-pr^ion �trangere dans avicun Ueu de notre ob�iffance. Commenbsp;d�imprimer ou faire imprimer, vendre, faire vendre, debitor,nbsp;contrefaire lefdits Ouvrages, ni d�en faire aucuns extraits, fousnbsp;quelque pr�texte que ce puiift �tre , fans Ia permiflion exprefle �C pacnbsp;'crit dudit Expofant, ou de ceux qui auront droit de lui, a peine denbsp;^nftfeation des Exemplaires contrefaits, de trois mille livres d�a-contre cbacun des contrevenants, dontiin tiers a Nous, unnbsp;l�Hotel-Dieude Paris, amp; Paiitre tiers audit Expofant, ou 2nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;droit de lui, 8c de tous d�pens, dommages amp; interets.

ge que ces Pr�fetites feront enregiftr�es tout au long far le dansnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Commimaut� des Imprimeurs amp; Libraires de Paris gt;

bci�Xc�^ ^ns notre Royaume amp; non ailleurs, en bon papier amp; ^r�fteres, cooferm�ment aux R�glements de la Librairie,

Scnotamm�ftt k ce!ui du is Avril lylj j a jgt;eitie de dech�anc� dj pr�fent Privilege; qu�avant de les expofer en vente, les manufcritsnbsp;qui auront fervi de copie a I�impreflion defdits Ouvrages, feront remitnbsp;dans Ie m�me �tat ou les approbations y auront �t� donn�es , �snbsp;inaihs de notre tr�s - cher amp; f�al Chevalier Garde des Sceaux denbsp;France, Ie deur Hue deMirom�nil; qu�il en fera enfuite remitnbsp;deux exemplaires dans notre Bibliotheque publique, un dans cellenbsp;de notre Chateau du Louvre, un dans celle de notre tr�s-cher 8cnbsp;f�al Chevalier Chancelier de France, Ie fieiir de MaUpEOU , 8c unnbsp;dans celle dudit fleur Hue de Mirom�nil , Ie tout a peine denbsp;nullit� des Pr�fentes. Du content! defquelles vous MANDONS 8cnbsp;enjoignons de faire jouir ledit Expofant, 8c fes ayans caufe, plei-nement 8c paifiblement, fans fouftrir qu�il leut foit fait aucun trouble OU emp�chement. Voulons que Ia'copie des Pr�fentes , quinbsp;fera imprim�e tout au long au commencement ou a la fin defditsnbsp;Ouvrages, foit tenue pour duement fignifi�e, 8c qu�aux copies colia-tionn�es par 1�un de nos am�s 8c f�aux Confeillers-Secr�taires , foinbsp;foit ajout�e comme a 1�original. Commandons au premier notrenbsp;Huiflier ou Sergent fur ce requis, de faire pour l�ex�cution d�icellesnbsp;tous a�les requis 8c n�ceflaires, fans demander autre permilfion , 8cnbsp;nonobftant clameur de Haro, Charte Normande, Sc Lettres a cenbsp;contraires : Car tel eft notre plaifir. Donn� a Paris Ie trentiemenbsp;jour du inois d�Ao�t 1�an mil fept cent foixante-quinze, 8c de notrenbsp;regne Ie deuxieme. Par Ie Roi en fon Confeil.

Rcgifir� Jur Ie Regiftrc XX de la Chamhre Royale amp; Syndicale des Libra ires amp; Imprimeurs de Paris, t dy, fol. 6, conform�ment aunbsp;Reglement de tycj. A Paris ce ^ Septembre lyjp,

RECR�ATIONS

RECREATIONS

math�matiques

PHYSIQUES.

PREMIERE PARTIE,

CoNTENANT IcsProbl�mes les plus curieux amp; les V�rit�s les plus int�rejfantes denbsp;U Amhm�tique.

Les deiix alles du Math�maticien, difort Pla* ton, font rArithm�tique amp; la G�ora�trle. Eanbsp;cffet, toutes les queftions des Matliematiques fenbsp;^�duifent a des determinations � de rappoTts denbsp;�ombres ou de grandeur. On pourrolt m�roe dirc *nbsp;continuant la comparalfon del�ancien philofo-^ 1�Arltlim�tique eft Taile droite du Ma-^u�rnaticien ; car il eft inconteftable qus les deter-ininations g�om�rriques n�offriroient Ie plus fou-den de fatisfaifant d l�efprit, ft les rapportsnbsp;ainh d�termin�s ne pouvoient fe r�dmre a des rap-lomenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A

s R�cr�ations K�ATH�MATIQUES. ports de nombre a nombre. Ceci jufiifie Tufagenbsp;OU 1�on eft, amp; que nous fuivons ici, de commen-cer par Tarithmetique.

Cette fcience ofFre un grand nombre de fp�cu-lations amp; de recherches curieufes: dans la moiffon c]ue nous en avons faite, Sc que nous pr�fentonsnbsp;^u Lefteur Math�maticien , nous nous fommesnbsp;hornes a ce qui eft Ie plus propre a piquer la curio-fit� de ceux qui ont Ie gout des math�inatiques.

CHAPITRE PREMIER.

De notre Syjl�me num�rique, amp; des diverjes efpeces d�Arithm�tiques.

IL n�eft perfonne qui n�ait reinarqu� que toutes les nations connues comptent par p�riodes denbsp;dix, c�eft-a-dire, qu�apr�s avoir compt� les unitesnbsp;depuis I Jufqu�a dix, on recommence par ajouternbsp;des unites a une dixaine; que, parvenu a deuxnbsp;dixaines ou 20, on recommence a ajouter desnbsp;unites jufqu�a trente ou trok dixaines, Sc ainii denbsp;fuite jufqu�a cent ou dix dixaines ; que de dix foisnbsp;cent on a forme les mille, Scc. Cela eft-il n�cef-faire , ou a-t-il �t� occafionn� par quelque caufenbsp;phyfique, ou eft-ce fimplement un elFet du hafard ?

Pour peu qu�on r�fl�chifle fur eet accord una-nime, 1�on ne penfera point que ce foit 1�ouvrage du hafard. H eft non-feulement probable, maisnbsp;comme d�montr�, que ce fyft�me tire fon originenbsp;de notre conformation phyfique. Tous les hommes ont dix doigts aux mains , a quelques-unsnbsp;pr�s, Seen tr�s-petit nombre, qui, parun jeu denbsp;ia nature, font fexdigitaires, Or, les premiers homlt;

ARitH MitiQ��. Chap. �. ^ �f�ies om commence par compter fur leurs dolgtsvnbsp;Apr�s les avoir �puif�s en comptant les unites ,nbsp;il leur falloit en former un premier total, amp; re-commencer a compter paf les m�mes doigts , jul-qu�a ce qu�ils fuffent �puif�s une feconde fois; puisnbsp;line troifieme, Scc, De-la l�orlgine des dixaines ,nbsp;qui, retenues elles-m�mes fur les doigts , n�ontnbsp;pas du aller au-dela de dix , fans obliger d�en former un nouveau total appell� centaine, amp;c; denbsp;dix centaines, Ie mille, amp;tc; amp; ainfi de fuite.

n fuit de-la une conf�quence curieufe; c^eft que fi, au lieu de lo doigts, nous en avlons eu douze ,nbsp;notre fyft�me de numeration auroit �t� diff�rent.nbsp;Eneffet, au lieu de dire apr�s lo, dix plus imnbsp;OU onze , dix plus deux ou douze , nous aurionsnbsp;mont� par des noms fimples )ufqu�a douze; enfuitenbsp;no�s aurions compt� par douze plus un, douze plusnbsp;deux , amp;:c , jufqu�a deux douzalnes; Ie cent e�tnbsp;�te douze douzaines, Ie mille e�t �t� douZe foisnbsp;douze douzaines, amp;:c. Un peuple fexdigitaire au-�nbsp;roit s�rement une arithm�tique de cette efpecenbsp;amp; n�enferoit pas plus.mal, ou, pour mieux dire,nbsp;il jouirolt de divers avantages dont notre fyff�menbsp;num�rique eft priv�.

Cela a engag� des philofophes a examiner les proprl�t�s de quelques autres fyft�mes de numeration. Le c�lebre Leibnitz a confid�r� celui o�

fyfi�me arithm�tique, on n*auroit que deux chif� , Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o; amp; les nombres s�y marqueroient ainfi:

fiuatre. ��*�**

Comme M. Leibnitz trouvoit, dans cette ma-niere d�exprimer les nombres, quelques avantages particuliers, il a donn�, dans les M�moires denbsp;JBcr�n , Idioms i des anciens M�moires) les regies pour pratiquer, dans cette efpece d�arithm�-tique , les operations ordinaires de Tarithmetiquenbsp;vulgaire. Mais il efl: aif� de voir que ce nouveaunbsp;fyft�me a, quant a 1�ufage ordinaire, l�inconv�-nient d�exiger un trop grand nombre de carac-teres: ilen faudroit vingt pour exprimerun nombrenbsp;d�environ un million ; ce qui feroit extr�mementnbsp;incommode dans la pratique.

II ne faut pas, au refte, omettre iciune chofe cu-rieufe au tiijet de cette arithm�tique binaire ; c�eft cju�elle donne l�explication d�un fymbole Chinois,nbsp;qui avoit fort tourment� les fqavants en antiquit�snbsp;Chinoifes. II �toit queftion de certains cara�feresnbsp;r�v�r�s par les Chinois, amp; confiftants dans les dif-f�renies combinaifons d�une petite Ugng entiere amp;c

ARITHM�TIQUE. Chap. I. 5 d�une brlf�e; cara�leres attribu�s a leur ancien em-pereurFohi. Le P. Bouvet, J�fuite, c�lebre miffion-naire de la Chine , ayant �t� inform� des idees denbsp;M. Leibnitz, remarqua que , li la ligne entiere re-pr�fente notre i, amp; la ligne brif�e notre o, ces ca-rafteres ne font autre chofe que la fuite des nombresnbsp;exprim�s par l�arithm�tique binaire. II feroit fortnbsp;lingulier qu�une �nigine Chinoife n�e�t trouv� fonnbsp;(Edipe qu�en Europe. Mais peut-�tre tout celaeft-il plus ing�nieux que folide.

Mais fi Ton a bien fait de laiffer au nombre des fp�culations curieufes I�arithm�tique binairenbsp;de Leibnitz, il n�en eft pas de m�me de l�arithm�tique duod�naire ; de cette arithm�tique qui, ainlinbsp;que nous l�avons dit plus haut, auroit eu lieu, �nbsp;nous euflions �t� fexdigitaires. En effet, elle e�tnbsp;�t� tout auffi exp�ditive , amp; m�me un peu plus ,nbsp;que l�arithm�tique a�fuelle : le nombre de carac-teres, qui n�eut �t� augment� que de deux pournbsp;exprimer dix amp; onze , n�eut pas plus furcharg� lanbsp;m�moire que celui des cara�feres aftuels; amp; il ennbsp;r�fulteroit des avantages qui doivent faire regretternbsp;qu�elle n�ait pas �t� primitivement mife en ufage.

Cela feroit probablement arriv� , fi la philofo-phle e�t pr�fid� a eet �tablifiement. Car on eut d�abord vu que le nombre ciou^e eft, de tous lesnbsp;nombres, depuis i jufqu�a 2,0 , celui qui jouit denbsp;1�avantage d�etre a-la-fois le plus petit, amp; d�avoirnbsp;le plus grand nombre de divifeurs; car 12 a 4 di-vifeurs qui le partagent fans fraiftion , fqavoir 2 ,nbsp;3 , 4 amp; 6. Le nombre 18 a auffi a la v�rit� 4 divifeurs : mais , �tant plus grand que 12, celui-cinbsp;ni�ritoit la pr�f�rence pour mefurer les p�riodes denbsp;numeration. Elles euffent eu alors l�avantagenbsp;de pouvoir �tre divif�es, la premiere, d�un a dort�

6 Recreations MathexMAtiques. ze, par 2 , 3,4, 6 ; la feconde, d�un a cent qita-rante-quatre , par 2,3, 4,6,1^, 9, 12, 16,nbsp;24, 36, 48 , 72; tandis que, dans l�ufage ordinaire, la premiere p�riode d�un a 10 n�a quenbsp;deux divifeurs, 2 8c 5 ; la feconde n�a que 2,4,nbsp;5 , 10 , 20 , 25 , 50. On renc mtreroit par con-1��quent, dans la d�fignation des nombres, plusnbsp;rarement des fraftions.

Mais, ce qu�il y e�t eu fur-tout d�avantageux dans cette forte de numeration, c�eft qu�elle eutnbsp;introduit dans l�ufage les divifions 8c les fous-di-vifions des melures quelconques en progreffionnbsp;duod�cimale. Ainfi, de m�me que, par hafard\nbsp;Ie pled fe divife en 12 pouc�s, Ie pouce en 12 li-gnes, la ligne en 12 points; la livre fe feroit di-vif�e en 12 onces, l�once en 12 gros, Ie gros ennbsp;12 fcrupules OU autres parties d�nomm�es commenbsp;on voudra; Ie jour eut �t� divif� en 12 portionsnbsp;appellees heures, fi l�on veut; l�heure en 12 autres parties qui auroient valu 10 minutes; chacunenbsp;de ces parties en 12 autres, 8c ainfi fucceffive-�nbsp;ment. II en eut �t� de m�me des mefures de con-tenance, amp;c, 8cc.

On demandera quels avantages 11 y eiit eu dans cette divifion ? Le voici. On fqait que tous lesnbsp;jours, quand 11 efl: quefiion de partager une me-fure en 3 , en 4 parties , en 6 , on ne trouve pasnbsp;un ilombre entier de mefures de 1�efpece inf�rieure , OU c�efl: uniquement par hafard. Ainfi, unnbsp;tiers , un 6� de livre ne donrte pas un nombrenbsp;jufte d�onces; un tiers de livre num�raire ne donnenbsp;pas un nombre entier de fous. II en eft de m�menbsp;du muid 8c de la plupart des autres mefures desnbsp;liquides, 8cc ; on pourrolt en trouver bien d�au-tres exemples, Ces inconv�nients, qui compU-�

Arithm�tique. Chap, L 7 iquent Ie calcul, n�auroient point lieu, fi l�on e�tnbsp;fuivi par-tout la progreffion duod�cimale.

Le fecond avantage r�fulteroit de la combi-naifon de l�arithm�tique duod�naire avec cette progreffion duod�cimale. Un nombre de livres,nbsp;de fous, de deniers ; un nombre de pieds, denbsp;pouces, de lignes ; ou bien de livres, d�onces, amp;c ,nbsp;�tant donn� , feroit exprim� comme le font, dansnbsp;l�arithm�tique ufuelle, les nombres entiers amp; denbsp;m�me efpece. Par exemple , en fuppofant que lanbsp;toife fut de 12 pieds , comme il faudroit dans cenbsp;fyft�me de numeration; fi l�on avoit 9 toifes 5 piedsnbsp;3 pouces 8 lignes a exprimer , il ne faudroit pasnbsp;�crire 9' / 3�� 8�, mais fimplement 9538 ;nbsp;toutes les fois qu�on auroit un nombre femblable,nbsp;exprimant une dimenfion en toifes, pieds, pouces, amp;c , le premier chiffre a droite exprimeroitnbsp;des lignes, le fecond des pouces , le troifiemenbsp;des pieds , le quatrieme des toifes, le cinquiemenbsp;des douzaines de toifes , qu�on pourroit expriraernbsp;par un nom fimple, par exemple, par le nom denbsp;corde, amp;c. Enfin, lorfqu�il feroit queftion d�a-jouter , de fouftraire, de multiplier ou divifernbsp;de femblables grandeurs entr�elles, on op�reroitnbsp;comme fur des nombres entiers ; amp; ce qui ennbsp;r�fulteroit d�figneroit de m�me, par .l�ordre desnbsp;chiffres , des lignes , pouces , pieds , amp;c.

II efi aif� de fentir combien cela feroit commode dans la pratique. Auffi un Math�maticien Hollandois (St�vin) avoit-il propof� d�adapternbsp;les divifions amp; fubdivifions des mefures a notrenbsp;fyft�me de num�ration a�kiel, en les faifant d�-croitre en progreffion d�cimale. Ainfi , la toifenbsp;��t �t� de 10 pieds , le pied de 10 pouces, lenbsp;Pouce de I o lignes, amp;cc. Mais il ne faifoit pas atten�^

tion a 1�inconv�nient de fe priver de la commo-dit� de pouvoir divifer ces inefures par 3,4,6, fans fraftion; amp; c�en eft un confid�rable.

Dans Ie fyft�me de l�arithm�tique duod�ci-malc , il eft �vident que les 9 premiers nombres .pourroient s�exprimer, comme a l�ordinaire , parnbsp;les 9 carafteres/connus, i, 1, 3, amp;c ; mais,nbsp;comme la p�riode ne doit fe terminer qu�a douze ,nbsp;il eft n�ceflaire d�exprimer dix amp; onze par desnbsp;carafteres fimples. Nous choifirons ceux-ci o pournbsp;exprimer dix , amp; pour exprimer onze; alors Unbsp;eft �vident que 10 exprimera douze,nbsp;iJ r d�fignera treize.

quatorze. quinze.nbsp;feize.nbsp;dix-fept.nbsp;dix-huit.nbsp;dix-neuf.nbsp;vlngt.nbsp;vingt-un.nbsp;vingt-deux,nbsp;vingt-trois.nbsp;vlngt-quatre.nbsp;trente-fix.nbsp;quarante-huit,nbsp;foixante-douze.nbsp;feront cent quarante-quatre.'

deux cents quatre-vingt-huit. quatre cents trente-deux.nbsp;mil fept cents vingt-huit.nbsp;trois mille quatre cents cinquante-lix.nbsp;vingt mille fept cents trente-fix.nbsp;deux cents quarante-huit mille huitnbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cents trente-deux.

Ainfi, le nombre d�fign� par ces chifFres lt;p945 feroit dix-huit mille fix cents vingt-fept; car ipOOOnbsp;eft dix-fept mille deux cents quatre-vingts , 900nbsp;eft douze cents quatre-vingt-leize40 eft qua-rante-liuit, amp; 3 , trois; nombres qui, joints en-femble , font celui ci-delTus,

II feroit facile de. tracer les regies de cette nou^' veile arithm�tique, a Vinflar de notre arithm�-tique vulgaire; mais, comme il n�jr a pas d�ap-parence que ce nouveau calcul folt jamais admisnbsp;dans la foci�t� , nous nous bornerons ici a ce quenbsp;nous en avons d�ja dit. Nous ajouterons feule-inent que nous avons vu un livre imprime en Al-lemagne, ou les 4 regies ordinaires de I�arithme-tique vulgaire �toient expliqu�es dans tons lesnbsp;fyftdmes d�arithmetique binaire , ternaire, qua-ternaire , amp;c , jufqu�a la duodecimale inclufi-vement.

C H A P I T R E IL

Dc quelques Manures ahr�g�es de faire les operations arithm�tiques.

Manure de foujlraire a-la-fois plujieurs nomhres de plufturs autres nombres donn�s , fansnbsp;faire les additions partielles.

UN example fuffira pour faire concevoir cette operation. On propofe d��ter toutes les fom-au-deftbus de la ligne en B , de toutes cellesnbsp;aU'defPys en A. Pour cet effet,on commenceranbsp;fgt;ar ajouter les nombres de la premiere colonne

10 nbsp;nbsp;nbsp;R�cr�ations Math�matiq�es.nbsp;d�en-bas a droite, comme a l�ordinaire; ils fontnbsp;14, qu�on �tera de la plus prochalne dixaine au-

deffus , fqavoir, de lo. Le refte eft 6 que vous ajouterez a la colonnenbsp;correfpondante de deffus en A; lanbsp;fomme totale fera 13 : vous �cri-rez 3 au-deflbus; amp;, paree qu�ily anbsp;ici deux dixaines, comme aupara-vant, il n�y a rien a retenir. Ajou-tez de la m�me faqon les nombresnbsp;de la colonne fuivante d�en-bas :nbsp;leur fomme eft 9 , qui, �tant �t�enbsp;de la plus proche dixaine fup�rieu-re , laifte r. Ajoutez done i a la feconde colonnenbsp;des nombres d�en-haut, dont la fomme eft 20 ;nbsp;laquelle �tant �t�e de 20 , le reftant eft o, Ainli

11 nbsp;nbsp;nbsp;faudra �crire o au-defldus ; amp;, paree qu�il y anbsp;ici deux dixaines, tandis que, dans la colonnenbsp;d�en-bas, il n�y en avoit qu�une, il faut retenirnbsp;la difference i , qu�on �tera de la colonne fuivante d�en-bas, paree qu�il y avoit plus de dixaines dans la colonne des nombres A, que dans cellenbsp;des nombres B ; car il faudroit l�ajouter ft c��toitnbsp;le contraire. Enfin, quand iParrivera que cettenbsp;difference ne pourra �tre �t�e de la colonne d�en-bas, pour n�y avoir plus de figures fignificatives,nbsp;comme il arrive ici a la 3� colonne, on l�ajouteranbsp;a la colonne d�en haut , amp; l�on �crira toute lanbsp;fomme au-deflbus de la Hgne; enforte que, dansnbsp;eet exemple , on aura 162003 pour le refte de lanbsp;fouftra�lion.

�. 11.

Arithm�tique; Chap. IT, tl'

d�abord la dilF�rence de 9 a 10, qui eft I ; amp; ayant lev� les 10 doigts des deux mains, abaif-fez I doigf d�une main, par example, la gauche.nbsp;Prenez auffi la difference de 8 a 10, qui eft 2,nbsp;abaiffez 2 doigts de la main droite.

Prefentement, ajoutez les doigts leves , qui font ici 7 ; ce fera le nombre des dixaines du produit,nbsp;Multipliez le nombre des doigts baiffes d�une mainnbsp;par celui des doigts baiffes del�autre; ce produit,nbsp;qui eft 2 , fera le nombre des unites du produit.nbsp;Ainfi , on trouvera que 9 par 8 fait 72.

On voit par-la qu�il faut prendre la difference de I o a chacun des nombres donn�s ; que le produit de ces diff�rences d�fign�es par les doigtsnbsp;baiffes de chaquemain, donne les unites du produit ; amp; que la fomme des doigts qui reftent le-v�s, eft celle des dixaines de ce m�me produit.

II eft aif� de voir que ceci eft plus curieux qu�u-tlle ; car on ne peut multiplier de cette maniere que des nombres au-deffus de dix; amp; tout le mondenbsp;a dans la m�moire ces premiers prodults, fansnbsp;lefquels on feroit arr�t� a chaque multiplicationnbsp;complexe.

�. in-

Dc quelques Multiplications amp; Divijions abr�g�es.

I. II n�eft perfonne qui ne fqache que, pour multiplier un nombre par 10, 11 fuffit de lui ajou-ter un z�ro; pour le multiplier par 100, de luinbsp;eii ajouter deux , 8tc.

qu�a le divifer par deux, en fuppofant un zero ^jout� ala fin. Ainfi, pour multiplier 127 par ^ ,nbsp;fuppofera un z�ro ajout� ^ ce qui donneroit

De m�me, pour multiplier un nombre par 25 il faudroit Ie concevoir multipli� par 100, ounbsp;augment� de deux z�ro, amp; Ie divifer par 4. Ainfinbsp;1^7, multipli� par 25, feroit 3173 ; carnbsp;augment� de deux z�ro, donne 12700.nbsp;vif�par4, produit 3175.

Pareillement, pour multiplier par 125, il fufB-roit d�ajouter ou concevoir ajout�s trois z�ro aa nombre a multiplier, amp; de divifer par 8, Les rai-fons de ces op�rations font fi aif�es a apperce-voir, que ce feroit t�moigner au lefteur bien peunbsp;de confiance en fon intelligence , que de lesnbsp;expofer.

II. nbsp;nbsp;nbsp;La multiplication d�im nombre par n fenbsp;r�duit a une fimple addition; car il eft aif� denbsp;voir que multiplier un nombre par 11, ce n�eftnbsp;autre chofe que l�ajouter a fon d�cuple, c�eft-a-dire a lui-m�me , fuivi d'un z�ro.

enfuite 8 amp; 3 font 11 ; on �crira i au rang des dixaines, en retenant i; puis 5 amp; 8 , amp; i de re-tenu font 14: on �crira 4 au 3� rang , en retenant I. Ce qu�on vient de dire fuffit pour indi-quer la fuite de l�op�ration qui donnera 743413.

On pourroit pareillement multiplier Ie nombre ci-defllis par n i, en prenant d�abord Ie premiernbsp;chiffre des unit�s 3 , enfuite la fomme de 8 amp; 3 ,nbsp;apr�s cela celle de 5, 8 amp; 3 , puis celle de 7 , 5nbsp;amp; 8 , amp; ainfi de fuite.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Nous nous bornons a remarquer encorenbsp;que, pour multiplier un nombre quelconque par 9,,

peut employer la limple fouftraftion. Prenons pour exemple Ie m�me nombre que ci-deffus.nbsp;Pour Ie multiplier par 9 , on n�a q��a ^ onbsp;ajouter par la penf�e un z�ro a la fin dunbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Rombre a multiplier, amp; enfuite fouf- 608x47 traire chaque chifFre de celui qui Ie pr�- 'nbsp;cede, en commenqant paria droite; ainfi, l�onnbsp;otera 3 de z�ro ou 10 , ce qui donnera 7; enfuitenbsp;8 de 2 OU 12, ce qui donnera 4; on continueranbsp;ainli de fuite , en ayant attention aux unites em-prunt�es pour augmenter de 10 la valeur des cbif-fres trop petits pour que la fouftraftion puiffe fenbsp;faire , amp; l�on trouvera 608247.

II eft aif� d�appercevoir la raifon de ces operations. Car il eft �vident que , dans la premiere, on ne fait qu�ajouter Ie nombre lui-m�me a fonnbsp;d�cuple; amp; , clans celle-ci, on 1��te de ce m�menbsp;d�cuple. II fuffit enfin de faire 1�op�ration d�unenbsp;maniere d�velopp�e, pour en con.cevoir Ie proc�d�nbsp;amp; la raifon.

On peut employer des artifices femblables pour certains cas de divifion, par exemple, pour di-vifer un nombre par telle puifl'ance qu�on voudranbsp;de 5. Car fuppofons qu�on veuille divil�r 128nbsp;par ^ , il faut Ie doubler, ce qui donnera 256;nbsp;puis retrancher Ie dernier chiffre qui repr�fenteranbsp;des d�cimales : ainfi , l�on aura pour quotientnbsp;23,6 , ou 25 Pour divifer Ie m�me nombre parnbsp;25 , il faudra Ie cpiadrupler, ce qui donnera 512,nbsp;amp; retrancher les deux derniers chilFres qui ferontnbsp;des d�cimales; vous aurez ^ amp; fsi. Pour divifernbsp;par 125 , il faudra oftupler Ie dividende, amp; re-5''ancher enfuite 3 chiffres, amp; ainfi de fuite. Mais,nbsp;d faut l�avouer, de pareils abr�g�s de calcul nenbsp;�^suent pas loin.

Multiplication 6- Divifion abr�g�es par les batons arithm�tiqucs de Neper.

Quaiid on a de grands nombres a multiplier les uns par les autres , il efl: aif� de voir que l�onnbsp;op�reroit avec beaucoup de rapidit�, li l�on avoitnbsp;pr�liminairement une efpece de tarif du nombrenbsp;a multiplier, doubl�, triple , quadruple , amp; aindnbsp;jul'qu�au noncuple inclufivement. Or , il efl: biennbsp;aif� de fe procurer ce tarif par la Ample addition,nbsp;puifqu�il n�y a qu�a ajouterle nombre a multipliernbsp;a lui-m�me , amp; on aura Ie double; puis l�ajouternbsp;de nouveau a ce double, amp; l�on aura Ie triple ,nbsp;amp; ainfi de fuite. Mais, a moins que ce nombrenbsp;a multiplier ne revint bien fr�quemment, ce fe-roit fe procurer un abr�g� de calcul par une operation beaucoup plus longue que celle qu�on au-roit cherch� a abr�ger.

Le fameux Neper, dont routes les recherches paroiflent avoir eu pour objet d�abr�ger les operations de l�arithm�tlque amp; de la trigonometrie,nbsp;ce qui nous a valu l�ing�nieufe amp; a jamais memorable invention des logarithmes , a imaginenbsp;un moyen de fe former au befoin ce tarif dansnbsp;le moment , par le moyen de certaines baguettesnbsp;qu�il a d�crites dans fon ouvrage intitule Rhab^nbsp;dologia , imprim� a Edimboitrg en 1617. Ennbsp;voici la conflriiftion.

� On pr�parera plufleurs bandes de carton , ou de cuivre, qui aient en longueur environ 9 foisnbsp;leur largeur, amp; que l�on divifera en 9 quarr�snbsp;PI. i.�gaux {Planche 1 , fig. ' ). On infcrira en t�te,nbsp;% !� c�eft-a-dire dans le premier quarr� de chacune ,nbsp;un des nombres de la fuite naturelle, 1,2,3,

4 , See , jufqu�a 9 inclufivement. II faudra divifer enfuite chacun des quarr�s inf�rieurs en deux, pacnbsp;une diagonale tir�e de l�angle fup�rieur a droite,nbsp;d Tangle inf�rieur a gauche ; apr�s quoi, Tonnbsp;inferira dans chacune de ces cafes par ordre ennbsp;defcendant, Ie double , Ie triple , Ie quadruple dunbsp;nombre port� en t�te, avec cette attention que ,nbsp;quand ce multiple ne fera que d�un chifFre, il faudra Ie placer dans Ie triangle Inf�rieur; amp;, quandnbsp;il fera compof� de deux, on placera celuides uni-t�s dans Ie triangle inf�rieur, amp;C celui des dixainesnbsp;dans Ie fup�rieur , alnfi qu�on voit dans lanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;PI. r,

premiere. II faudra avoir une de ces bandes dontfig. i-les cafes nefoient point divif�es, amp; dans lefquelles feront inferits fimplement les nombres naturels,nbsp;depuis I jufqu�a 9. 11 fera auffi a prop�s d�avoirnbsp;plufieurs de ces bandes pour cliaque chiffre.

Cette pr�paration faite , fuppofons qu�on alt a multiplier Ie nombre 6785399; on arrangera Tunenbsp;a c�t� de Tautre les 7 bandes portant en t�te lesnbsp;nombres 6,7, 8, amp;c. amp; a c�t� d�elles en premier rang celles qui portent les clilfFres llmples,nbsp;comme on voit dans la figure feconde ; au moyen fig. 2,nbsp;de quoi, Ton aura Ie tarif de tous les multiplesnbsp;du nombre a multiplier; amp; il ne reftera prefquenbsp;que la pelne de les tranferire. Par exemple , onnbsp;aura celui de 6, en �crivant d�abord a gauche Ienbsp;chiffre 4 qui eft celui des unites, amp; ajoutant enfuite les chiffres 5 Sc 4, places, Ie premier dans Ienbsp;triangle fup�rieur de la cafe 54, Ie fecond dansnbsp;Tinf�rieur de la cafe a c�t� , en reculant vers lanbsp;gauche, Sc ainfi fucceffivement, fuivant les regies ordinaires de Taddition. Ce multiple fe trou-quot;'^era 001^40712394.

la multiplication ordinaire. Le multiplicateur amp; le nombre anbsp;multiplier �tant �crits I�un fousnbsp;l�autre,comme on a coutume denbsp;faire ; comme le premier chifFrenbsp;du multiplicateur eft 8, onpren-dra le nombre qui eft dans lenbsp;rang horizontal a cote de 8nbsp;qu�on trouve, par la Ample addition , �tre 54283 191; on ^7�93 ^44^5^^^nbsp;I�ecrira. On prendra enfuite celui qui eft a c�t�nbsp;de 3 , amp; on I�ecrira en retrogradant d�une place ;nbsp;amp; ainfi des autres. jQn ajoutera enfuite tons cesnbsp;produits partiaux comme a 1�ordinaire, amp;c Tonnbsp;aura le produit total qu�on yoit ci-contre.

On peut employer ce rneme artifice pour abr�-ger la divifion, fur-tout lorfqu�on a de grands nom-bres a clivifer frequemmentparun rneme divifeur. Qu�on ait, par exemple , le nombre 1492991 4nbsp;diviler par 432, amp; que, dans une fuite d�opera-tions, ce rneme divifeur doive fe prefenter fou-vent, on commencera a fe former, par le moyennbsp;decrit plus haut, le tarif des multiples de 432 ; cenbsp;qui n�exigera prefque qu�une fimple tranfcription ,nbsp;comme on voit ci-deflbus a gauche.

ARITttM�TIQUE. Chap. II. I7 Cela fait , on verra d�abord q�e, puifcjue 432.nbsp;Heft point compris dans les trois premiers chiffresnbsp;du dividende, ce doit �tre un multiple de ce nom-bre qui fera compris dans les quatre premiers,nbsp;fqavoir, 1491. Pour Ie trouver, il fuffira de jetternbsp;les yeux fnr la table, amp; Pon verra que Ie multiplenbsp;de 43 z Ie plus procbainement moindre, eft 1296:nbsp;on �crira done 3 au quotient, amp; liq� fous 1492;nbsp;on fera la fouftraidion, amp;c il reftera 196 ; on abaif-fera Ie chltfre fuivant du dividende , ce qui don-Hera 1969. L�infpeftion feule de la table feranbsp;encore connoitre que 1728 eft Ie plus grand multiple ck 432 qui foit contenu dans 1969. Ainftnbsp;Pon �crira 4 au quotient, amp; Pon fera la fouftraftionnbsp;comme-ci-deffus. On continuera ainfi Pop�ration,nbsp;amp; P bn trouvera pour les chiffres fuivants du quotient , 3 amp; lt;5; amp; comme Ie dernier multiple nenbsp;laifte aucun refte , la divifion fera exadie amp; par-faite.

On ne s�eft pas born� a taclier de fiinplilier les operations de Parithm�tique par ces voies; on anbsp;tent� cpielque chofe de plus, amp; de r�duire a unenbsp;pure m�chanique routes les operations de Parithm�tique, Le c�lebre Pafcal a Ie premier imaginenbsp;�ne machine de cette efpece , dont on volt !anbsp;defcription dans le Recueil des Machines pr�fent�esnbsp;aPAcad�mie,T.IV. Le chevalier Morland, fansnbsp;fqavoir probahlement ce que Pafcal avoit fait anbsp;Oet �gard , publia en 1-673nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;machines

atithm�tiques, Pime pour Paddition amp; la fouftrac-tion, amp; Pautre pour la multiplication, fans n�an-�tiolns d�voiler la conftru�tion int�rieiire. Le ce-lehre Leibnitz s�occupa du m�me objet vers le

mcme temps , amp; enfulte Ie marquis Poleni. On volt la defcription de leurs machines arithm�ti-ques dans Ie Thcatrum arithm. de M. Leupold,nbsp;jmprim� en 172.7, avec celle de M. Leupold lui-m�me, amp; dans les Mifcdl. Berol. de 1709. Onnbsp;a auffi VAbaqiie rabdologiqui de M. Perrault,nbsp;dans Ie recueil de fes machines, donn� en 1700.nbsp;II fert pour i�addition , la fouftraftion Sc la multiplication. Le Recueil des Machines pr�fent�es anbsp;i�Acad�mieroyale des Sciences, offreencore unenbsp;machine arithm�tique de M. Lefpine , Sc troisnbsp;de M. de Boiftiffandeau. Enfin M. Gerften ,profef-feur de math�matiques de Gieffen , a donn� ennbsp;1735, a la Soci�t� royale de Londres, Ia defcription tr�s - d�taill�e de fa machine propre. Nousnbsp;nous bornerons ici a ces indications. Cependantnbsp;nous croyons faire plaifir aux curieux d�indiquer ,nbsp;dans le paragraphe qui fuit , une arithm�tiquenbsp;ing�nieufe , invent�e par M. Saunderfon , c�lebrenbsp;�uath�matlcien, aveugle d�s fon enfance.

�. V.

Arithm�tique palpable , ou mariiere de pratlquer rArihniitique d Viifage des aveugles, ou dansnbsp;�obfcurit�.

Ceci paroitra fans doute au premier abord un paradoxe, mais ce n�en eft pas moins une r�alit�;nbsp;amp; cette arithm�tique �toit pratiqu�e par le fameuxnbsp;dofteur Saunderfon, devenu aveugle a 1�age d�unnbsp;au; ce c[ui ne 1�emp�cha pas de faire des progr�snbsp;profonds dans les math�matiques , Sc de remplirnbsp;avec 1�admiration de tout le monde une chairenbsp;PI. 1. bis, dans l�univerfit� de Cambridge,nbsp;rig. I. Soit un quarr� A B C D, divif� en quatre autres

^uarr^s par deux lignes paralleles aux c�t�s, lef-quelles s�entrecoupent au centre. Ces deux lignes donnent encore, avec les c�t�s du quarr� , quatrenbsp;interfeftions; ce qui , joint aux quatre angles dunbsp;quarr� primitif, donne neuf points. Que chacuiinbsp;de ces points pr�fente un trou dans lequel onnbsp;puiffe ficher ou une �pingle, ou une cheville: ilnbsp;eft �vident qu�on aura neuf places diftinftes pournbsp;ies neuf chiffres fimples amp; fignificatifs de notre ari-thin�tique, amp; il n�y aura qu�a convenir d�un ordrenbsp;dans lequel on comptera ces points ou places denbsp;1��pingle ou cheville mobile. Ainfi, pour marquernbsp;� , on la placera au centre ; pour lignifier 1, on lanbsp;mettra imm�diatement au deffus du centre en mon-tant; a Tangle rup�rieur a droite, pour fignifier 3 ;nbsp;Sc ainfi de fuite , comme Ie marquent les nombresnbsp;appof�s a chacun de ces points.

Mais il y a un caraftere qui joue un tr�s-grand role dans notre arithm�tique, fqavoir, Ie z�ro. IInbsp;y auroit un parti fort fimple a prendre, celui denbsp;laifler toutes les places vuides, Ie z�ro feroit figni-fi� par-la; toutefois Saunderfon pr�f�roit de placernbsp;dans la cafe du milieu une �pingle a grofiet�te:nbsp;ilTylaifibif m�me, a moins qu�ayant Tunit� a ex-primer , il ne fut oblige de la remplacer par unenbsp;�pingle a petite t�te. II en r�fultoit pour lui Ta-vantage de mieux guider fes mains, amp; de reconnoitre plus facilement, par la pofition des �pinglesnbsp;a petite t�te a T�gard de la grofle �pingle centrale,nbsp;ce que ces premieres fignifioient. On dolt s�y tenir,nbsp;car Saunderfon avoit s�rement choifi Ie moyen Ienbsp;plus fignificatif a fes doigts.

Nousvenons de voir comment on peut exprimer un nombre fimple ; rien de fi facile. II ne Tefi: pasnbsp;Juoius d��xprimer un nombre compof� ; car , fup-

pofons plufieiirs qiiarr�s tets que Ie precedent, rang�s fiir une m�me Hgne, amp; f�par�s par un petit intervalle, pour pouvoir les diftinguer facilementnbsp;par Ie ta�l: il ne faiit qu��tre au fait de l�arithm�-tique vulgaire , pour voir que Ie premier quarr� anbsp;droite fervira a exprimer les unites ; Ie fuivant,nbsp;en reculant vers la gauche, fervira aux dixaiiies; Ienbsp;PI. 1 bis ttoifieme aux centaines , tkc. Ainfi , dans la fig. 2,nbsp;tig. 2.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' les cint[ quarr�s garnis comme Ton voit, repr�fen-

Ayez enfin une tablette divif�e en pliifieurs bandes'horizon tales , dont chacune portera fept oii hult puarr�s feinblables , fuivant Ie befoin ; quenbsp;ces bandes foient f�par�es par un intervalle con-venable pour les mieux diftinguer; enfin, que tousnbsp;ies �('[uarr�s du m�me ordre, dans chacune de cesnbsp;bandes , foient tellement efpac�s qu�ils fe r�pon-4ent perpehdiculairement les uns aux autres; vousnbsp;pourrez , par Ie moyen de cette machine, fairenbsp;les diverfes operations d�arithm�tique. On s�eftnbsp;born� ici a repr�fenter une addition de quatrenbsp;sombres, �c leur fomme, fuivant les deux mail ieres.

Cette machine ing�nieufe ne fervoit pas feule-ment a Saunderfon pour les operations de l�arith-m�tique ; il s�en ferv'oit auffi a repr�fenter des �figures de geometrie, en placant l�s �pingles, Scnbsp;tendant des hlets de 1�une a 1�autre. Ma�s en vollanbsp;afl�ez fur ce lujet. Ceux a qui ceci ne fuffiroit pas,nbsp;n�ont qu�a confulter l�Algebra de Saunderfon , tra-duite par M. de Joncourt en 1756 , Sc qui fe d�-bite chez Jombert; ou la traduftion des Elementsnbsp;abr�g�s de Wolf , o� cette arithm�tique palpablenbsp;eft expliqu�e au long , amp; peut-�tre pas plus clai-' rement qu�ici.

3�ai vu propofer ce probl�me par un arithui�ti-cien jure. C��toit T�preuve a laquelle il mettoit la capacit� d�un jeune hoinme qu�on lui annonqoltnbsp;comme pofledant bien raruhm�tique. II avoir rai-fon , quoique peut-�tre il n�en fcatit pas la diffi-cult� : car ce probl�me , ind�pendamment denbsp;l�erabarras qui r�fiilte de la multiplication denbsp;quantit�s de diverfes efpeces amp; de leurs reductions , eft propre a �prouver 1�intelligence d�unnbsp;arithm�ticien.

On e�t pu en elFet peut-�tre embarrafler, par line queftion.fort fimple, celui qui propofoit cettenbsp;operation : c�e�t �t� en demandant quelle naturenbsp;de produit �toit celle de livres , fous amp; deniers ,nbsp;multiplies par des livres , fous amp; deniers. Nousnbsp;fqavons que celui d�une toife par une toife eft re-pr�fent� par une toife quarr�e , parcequ�on eftnbsp;convenu en g�om�trie'd�appeller toife quarr�e, lanbsp;furface quarr�e ayant une toife de hauteur fur unenbsp;toife de bafe; amp; 6 toifes par 4 donnent 24 toifesnbsp;quarr�es, parceque la furface reftangle ayant fixnbsp;foifes fur quatre , contient 24 toifes quarr�esnbsp;comme Ie produit de 4 par 6 contient 24 unites.nbsp;Mais qui dira ce que c�eft que Ie produit d�un founbsp;par un fou , d�un fou par une livre , amp;c ?

La queftion confid�r�e fous eet afpe�l eft done abfurde ; ce que ne fent pas Ie vulgaire des aritbrnbsp;m�tlciens,

On peut n�anmoins la eonftd'�rer fous divers points de vue qui la rendent fufceptible de folu-tion. Le premier eft de faire attention que la livre

La feconde maniere d�envilager la queftion eft celle-ci. Tout produit eftle quatrieme tenue d�unenbsp;proportion dont Ie premier tenue eft 1�unit� , Scnbsp;dont les deux quantit�s a multiplier lont les deu-xieme Sc troifieme termes. Ainfl il n�eft queftionnbsp;que de fixer Ie genre d�unit� qui doit �tre Ie premier terme de la proportion.

On peut dire, par exemple , fi une Hvre employee dans telle entreprifie a produit 11 1. 11 f. j I deniers , combien produiront n 1. r I fi i I deniers ? Alors Ie produit lera Ie m�me que cl-defifus ,nbsp;fqavoir 134 1. 9 f. 3 d..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de denier,

Mais cette m�me unite poutroit �tre i fou: car qui emp�cheroit de former cette queftion: Si unnbsp;fou a produit 11 1, 11 f. 11 deniers, combien doi-vent produire 11 1. 11 ft 11 deniers ? Alors Ienbsp;produit lera 2689 1. 5 ft 4 d. amp; de denier.

Enfin cette unite pourroit �tre i denier , Sc Ie produit feroit alors 32271 L 4 ft i denier.

C H A P I T R E III.

IL ne fera pas ici queftion des propri�t�s des nombres qui occuperent tant les anciens, Scnbsp;dans lefquelles ils trouvoient tant de vertus myf-t�rieufes. Pour peu qu�on ftoit dou� d�un efpritnbsp;d�gag� de cr�duUt� 3 on ne peut s�emp�cher de

Arithm�tique. Chap. UT. 15 Tire en voyant Ie bon chanoine de C�zene ^nbsp;Pierre Bungo, raffembler dans un volume in-4� ,nbsp;intitule de Myjleriis Ntimerorumtoutes les fottifes-tjue Nicomaque , Ptol�m�e , Porpbyre, amp; divers^nbsp;autres anciens, avoient pu�rilement d�bit�es fur les^nbsp;nombres. Comment a-t-il pu entrer dans des ef-prits raifonnables, d�attribuer une �nergie phyfiquamp;nbsp;a des �tres purement m�taphyfiques ? Car les nombres ne font que pures appr�henlions de t�efprit rnbsp;conf�quemment ils ne fqauroient avoir aucunenbsp;influence dans la nature.

II ne peut done y avoir que des bonnes-femmes OU des fots qui puiflent croire aux vertus des nombres. Si, de treize perfonnes affifes a la m�menbsp;table , on a vu fr�quemment en p�rir une dansnbsp;1�ann�e , il y a encore bien plus de probabilit�nbsp;�ju�il enp�rlraune 111�on eft vingt-quatre.

Le nombre 9 a cette propri�t� , que les chiffres qui compofent fes multiples, ajout�s enfemble, fontnbsp;toujours auffi un multiple de 9; enforte que lesnbsp;additionnant , amp; rejettant 9 toutes les fois quenbsp;la fomme furpaffe ce nombre, le refte eft toujoursnbsp;z�ro. Cela fe remarque facilement dans les multiples de 9 , comme 18 , 27,36, amp;c. 8tc. ^

Cette obfervation eft utile pour reconnoitre ft un nombre eft divifible par 9: car toutes les foisnbsp;que les chiffres qui 1�expriment, �tant ajout�s ensemble , font 9 ou un de fes multiples, on peutnbsp;ttre affur� que le nombre eft diviftble pat 9 , amp;nbsp;conf�quemment par 3.

Mais cette propri�t� eft-elle unique ou particuliere au nombre 9? Non. Le nombre 3 a une propri�t� tout-a-fait femblable, Qu�on ajoute les

'14 Recreations Math�matiques. chiffres qui expriment un multiple quelcouque clenbsp;3 , on verra que leur fomme efl: pareillement tou-^ours multiple cle 3 ; amp; quand le nombre propof�nbsp;ne fera pas un pared multiple, ce qu�on trouveranbsp;en bus de ce multiple en aclditionnant les chiffres ,nbsp;fera auffi ce dont le nombre propof� eut du �trenbsp;diminu�, pour �tre divifible par trois fans rede.

On peut employer cette remarque pour reconnoitre , pour alnfi dire au premier coup d�osil, fi une fomme propofee eft payable en ecus , fansnbsp;lefte ; car ft cette fomme eft telle, que les chiffresnbsp;qul 1�exprlment, ajoutes enfemble , faiTent 3 ounbsp;un multiple de 3 , elle fera payable fans refte ennbsp;ecus, fqavoir de fix livres ft elle eft paire , amp; denbsp;trois livres ft elle eft impaire. Si les nombres cjuinbsp;expriment la fomme enqueftion, forment par leurnbsp;addition un nombre qui excede 3 ou un multiplenbsp;de 3 , ce dont il excedera ce multiple fera le nombre cle livres en fus, qu�il faudra ajouter aux �cus.nbsp;Par exemple , foit propofee la fomme de 1343 livres : la fomme des chiffres 1,3,4,35 faifant 11,nbsp;ce qui furpaffe cle a le plus prochain multiple clenbsp;3 , on pourra affurer que , pour payer cette fomme,nbsp;il faudra un certain nombre d�ecus de trois livresnbsp;2c quarante fous ; car, otant 2 , le refte eft; 1341 ,nbsp;qul eft payable en ecus cle trois livres, ainfi qu�ilnbsp;eft aif� de s�en affurer.

De mdme on trouvera que la fomme 1327 eft payable en ecus de fix livres avec vingt fous: carnbsp;ces quatre chiffres font 13 , qui excedent 12 de i ;nbsp;cir, �tant I cle 1327, reftent 1326, nombre quinbsp;eft pair, amp; dont les chiffres faifant 12., multiplenbsp;de.3 , indiquent que la fomme eft payable en ecusnbsp;de fix livres. En effet, 1316 livres font Z2i �cusnbsp;de fix Uvres.

Arithm�tique. Chap. III. ay Nous ne devons pas omettre ici une obfervationnbsp;tr�s-ing�nieufe de 1�auteiir de I�Hiftoire de FAca-d�mie des Sciences (ann�e 172.6) ; c'eft que, finbsp;nous eullions adopte un fyfterne de numerationnbsp;different de celui qui eft en ufage , par exemple ,nbsp;celui de la progreffion duodecupie , nous verrionsnbsp;le nombre onze , ou en general i�avant-dernier denbsp;la p�riode , )ouir de la m�me propri�t� dont jouitnbsp;le nombre neuf dans le {yfteme aftuel de numeration. Prenons en effet un multiple de on:^,nbsp;comme neuf cents cinquante-fept; exprimons-lesnbsp;en chiffres fuivant ce fyftdme; ce fera 7^5 ; ornbsp;7 amp; font dix-fept, amp; 5 font vingt-deux , qui

Nous n�entreprendrons pas id de demontrer comment cette propri�t� eft , pour ainfi dire ,nbsp;attachee a Favant-dernier nombre de la periodenbsp;adoptee pour la numeration; cela nous engageroitnbsp;dans une analyfe un pen trop comphquee. Nousnbsp;laiflons le lefteur s�exercer, s�ii le juge a propos ,

II.

Tout nombre quarre finit neceflairement par un de ces cinq chiffres, i, 4, 5,6, 9 ; ou par desnbsp;z�ro en nombre pair , precedes de 1�un de cesnbsp;chiffres, Cela eft aife a demontrer, amp; utile pournbsp;^�econnoitre quand un nombre n�eft pas quarr�.nbsp;Nous difons pour reconnoitre quand un nombrenbsp;^�eft pas quarre ; car, quoiqu�un nombre finiftenbsp;lt;^omme on vient de dire , il n�eft cependant pasnbsp;toujours un quarr� parfait; mais du moins , quandnbsp;ft ne Unit pas de cette maniere, on eft sur qu�dnbsp;1�eft pas; ce qui �vite des tentatives inutiles.nbsp;Quant aux nombxes cubes , Us peuvent fiuft PW

tous les nombres fans exception ; mars s�ils fe ter-minent par des z�ro , il faut qu�ils foient au nom-bre de trois , ou fiic, ou neuf, amp;c.

111.

Tout nombre quarr� ou eft divifible par trois , OU Ie devient �tant dlminu� de Turiite. li eft facilenbsp;d�en faire l��preuve fur tel quarr� qu�on voudra.nbsp;Ainfi 4 moins i, 16 moins i , 2.5 moins i , 49nbsp;moins � , izi moins un, amp;c. font divifibles parnbsp;3; amp; ainfi des autres : ce qu�on peut d�montrernbsp;direftement.

Tout quarr� eft encore divifible par quatre � ovt Ie devient �tant diminu� de l�unit�, II eft �gale-ment facile de 1��prouver.

Tout quarr� eft auffi divifible par cinq, ou Ie devient �tant aiigment� ou diminu� de l�unit�; cenbsp;qtfon peut �galenient d�montrer. Ainfi 36�1,49nbsp;-f-r, 64-j- I , 81 � 1, 6fc. font divifibles par 5.

Tout quarr� impair eft un multiple de 8 , aug-ment� de l�unit�. On en a des exemples dans 9 , 25 , 49, 81, amp;c. defquels �tant i, Ie refte eftnbsp;divifible par 8.

IV.

Tout nombre eft ou quarr�, ou divifible en deux, ou trois, ou quatre quarr�s. Ainfi 30 eftnbsp;�gal ^ 15 -f- 4 I; 31 = 25 4-4 4-1 1 ; 33 =nbsp;16 4* i64~tjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 ^ ft*

J�ajouteral iel, par anticipation, quoiqu�on ne fgache pas encore ce que c�eft que nombre triangulaire , pentagone, amp;c. que

Arithm�tiqve, Chap. III. 2.7 II eft ou pentagoiie, ou compof� de deux ^ ounbsp;trols , ou quatre , ou cinq pentagones; amp; ainli desnbsp;autres.

J�ajouterai enfin que tout quarre pair, hors la premier i , eft refolubleau moins en quatre quarresnbsp;egaux ; amp; que tout quarre impair 1�eft au raoinsnbsp;^n trois, s�il ne I�eft en deux. Ainfi 81 � 364-36nbsp; 9 ; izi=8i-f 36-f 4; 169= i44 2'5; 615nbsp;400 4quot; � 44 4quot; 81.

VI.

Si on prend deux nombres quelconques, 1�un des deux, ou leur fomme, ou leur difference, eftnbsp;neceffairement divifible par trols. Soient prls lesnbsp;nombres 2.0 amp;c 17; aucun d�eux, ni leur fommenbsp;37, n��tant pas divifible par 3, leur difference I�eft,nbsp;car elle eft trois.

II eft aif� de demontrer que cela doit arriver neceflairement , quels que foient les nombresnbsp;qu�on prendra.

Si deux nombres font tels, que leurs quarres ^jout�s enfemble faftent un quarre , le produit denbsp;deux nombres eft divifible par fix.

Tels font, pour en donner un exemple, les �tombres 3 amp; 4 , dont les quarres 9 Sc 16 ajoutesnbsp;enfemble font le nombre quarre xj : leur produitnbsp;11 eft divifible par 6.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;., ,

ne fi^auroit trouver place ici ; inais l�on peut tfter de ce qu�on vient de dire, un moyen de

Trouver deux nombrcs dont les quarr�s ajoutcs enfetnble fajfent un nombre qiiarri. Pour eet efFet,nbsp;multipliez deux nombres quelcohques; !e do^lenbsp;de leur produit fera 1�un des deux nombres gt;cher-ch�s , amp; la difference de leurs quarr�s feranbsp;i�autre.

Coinme fi Ton multiplie I�un par I�autre ces deux nombres 1,3, dont les quarr�s font 4,9, leur-produit fera 6 , dont Ie doulDle i a, amp; la differencenbsp;de leurs quarr�s 5 , font deux nombres tels que lanbsp;fomme de leurs quarr�s eft �gale a un autre nom-bre quarr� : car ces quarr�s font 144 amp; 25 , quinbsp;font 169, ejuarr� de 13.

Vin.

Lorfqiie deux nombres font tels, que la difference de leurs quarr�s eft un nombre quarr�, la fomme amp; la difference de ces nombres font elles-m�mes un nombre quarr� , ou Ie double,

Tels font, par exemple , les nombres 13 Sc ra, dont les quarr�s font 169 , 144, dont la difference eft qui eft aufti un quarr� ; la fomme denbsp;ces nombres eft 2^ , nombre quarr�.

Les nombres 6 amp; 10 ayant pour quarr�s 36 6c 100, dont la diff�rence eft 64, nombre quarr�,nbsp;on trouve que leur fomme eft 16 , qui eft aufti unnbsp;nombre quarr� , ainft que leur diff�rence 4,

Les nombres 8 amp; 10 ayant des quarr�s dont I3 diff�rence eft: 3� , on voit aufti que la fomme denbsp;ces nombres eft 18 , qui eft double de 9 , nombrenbsp;quarr�; amp; leur diff�rence 2 eft Ie double de i gt;nbsp;nombre quarr�, 6cc�

1 X.

Si on multiplie deux nombres dont Ia difference �ft ^ , leur produit augment� de Tunit� fera Ienbsp;lt;]uarr� du nombre interm�diaire.

Ainfi Ie produit de i ^ par 14 eft 168 , qui, aug-nient� de i , donne 169, quarr� de 13 , nombre wioyen entre 12 amp; 14.

Kien n�eft plus aif� que de d�montrer que cela doit toujours arriveramp; 1�on verra qu�en generalnbsp;Ie produit de deux nombres, augment� du quarr�nbsp;de la deini-diff�rence , donne Ie quarr� du nombrenbsp;nioyen.

On appelle nombre premier, celui qui n�a d�au-tre divifeur que l�unit�. Les nombres de cette �fpece ne peuvent done �tre pairs, a rexceptionnbsp;du nombre deux ; ni �tre termin�s par cinq , ex*nbsp;Cept� Ie nombre cinq lui-m�me : d�o� il fuit qu�inbsp;l�exception de ceux qui font renferm�s dans lanbsp;premiere dixaine, ils doivent n�ceffairement fenbsp;terminer par un, ou trois, ou fept, ou neuf.

N. B. Void une propri�t� curieufe des nombres pre-rniers. Tout nombre premier (hors 2 amp; 3) �tant augment� ou ^imirui� de Vunite, efi divifible par Jix. II efl; aife de Ie voirnbsp;par i�exempie de tous ceux qu�on voudra ^ comme 5,7 jnbsp;tl, 13, 17, 19, 23, 29, 31, amp;c.; maisje necroispasnbsp;perfonne Tait d�montr� a prior/.

Mais Imverfe.n�eft pas vraie, c�eft-a-dire tout nombre qui, augment� ou diminu� de l�unit�, efl; divifible par fix,nbsp;tl eft pas pour cela un nombre premier.

K efl: fouvent utile de connoitre , fansrecourir 3u calcul, fi un nombre efl premier ou non: c�eftnbsp;pour cela que nous donnerons ici une Table de tousnbsp;les nombres premiers clepuis un jufqu�a loooo.

table

31 RiCR�AtfONS MATH�MATIQtJES. Table des Nombrespremiers entre i amp; loooo.

Voici une autre efpece de nombres qui jouiflent d�une propriet� finguliere amp; curieufe : ce font !esnbsp;nombres parfaits. On donne ce nom a un nom'nbsp;bre dont les parties aliquotes ajout�es enfemble?

Arithm�tique. Chap. III. ?? formetit pr�cif�ment ce nombre m�me. On en anbsp;�n exemple clans Ie nombre 6 ; car fes parties ali-quotes font i, i, 3 , qui font enfemble 6. Lenbsp;nombre 28 jouit de Ia m�me propri�t�; car fesnbsp;parties alic[uotes font i , 2, 4, 7? ^4� dont lanbsp;fomme eft 28.

Pour trouver tousles nombres parfaits de lapro-greflion num�rique , prenez la progreffion double 4,8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,nbsp;^048, 4096, 8192 , amp;c. amp; examinez tous ceuxnbsp;de ces termes qui, �tant dimmu�s de 1 unite, fontnbsp;des nombres premiers. Ceux a qui convient cettenbsp;Propri�t� font 4, 8, 32 , 128, 8192; car cesnbsp;nombres diminu�s de l�unit� , font 3 , 7, 31 ,nbsp;�27, 8191. Multipliez done chacun de ces nom-par celui de la progreffion g�om�trique c{uinbsp;Pr�c�doit celui dont il derive, par exemple , 3 parnbsp;^5 7 par 4, 31 par 16, 127 par 64, SipV parnbsp;4396, amp;c. amp;c vous aurez 6, 28 , 49^7 8128,nbsp;33550336, qui feront des nombres parfaits.

Ces nombres au refte ne font pas a beaucoup pr�s auffi nombreux que font cru divers auteurs (a).nbsp;Void, d�apr�s un m�moire de M. Krafft, c[u�onnbsp;dans le TomeVII des M�moires de P�tersbourg,nbsp;'Ine fuite des nombres tant parfaits, que reputesnbsp;Parfaits par ces auteurs, faute d�attention fuffi-Cnte. Ceux a qui convient veritablement cettenbsp;Pfopri�t�, font marqu�s d�une etoile.

(4) La regie que donneM.Ozanam eftfauffe, 8c produit multitude de nombres, comme 130816, 2096128,nbsp;qui ne font point des nombres parfaits cela vient denbsp;que M. Ozanam n�a pas fait attention qu�il fallolt quenbsp;Un des multiplicateurs fut un nombre premier. Or 5' ^nbsp;sx 2047 ne le font pas.

Toim /, nbsp;nbsp;nbsp;Q

* 6.

* 2.8.

Ainfi Ton voit que de i a lo il n�y a qu�un nombre parfait, un depuis 10 jufqu�a 100, unnbsp;depuis 100 jufqu�a 1000, un depuis looo juf-qu�a 10000 ; mais on fe tromperoit fi on en con-cluoit qu�il Y en a pareillement un depuis dixnbsp;mille jufqu a cent mille, un depuis cent millenbsp;jufqu�a un million , amp;c.; car depuis dix millenbsp;jufqu�a huit cents millions il ne s�en trouve plusnbsp;qu�un. La raret� des nombres parfaits, dit un auteur , eft un fymbole 'de celle de la perfeiftion.

Tous les nombres partaits font termin�s par 6 OU 28 , mais non alternativement.

X H.

Il y a des nombres qu�on nomme amiables en-tr�eux , a caufe d�une propri�t� qui leur donne nns forte d�affinit�. Elle confifte en ce que les parties

AriTHM�TIQ�E. Chap. Ill, siiquotes cle fun font enfemble egales a 1�autre, Scnbsp;que celles cle celui-ci forment a leur tour unenbsp;fomme �gale au premier : tels font les nombresnbsp;2.10 Sc 284 ; car k premier 210, eft egal a lanbsp;fomme des parties aliquotes de 184, fqavoir,!, 2 ,nbsp;4, 71, 142; Sc reciproquement 184 eft egal a lanbsp;fomme des parties aliquotes i, 2,4, 5, 10, ii,nbsp;20, 22,44, ^5 , 110 du premier 220.

On trouvera des nombres amiables par la m�thode fuivante. Ecrivez , comme on le voit ci-apr�s , les tennes de la progreflion g�om�trique double, en commenqant par 2; triplez chacun denbsp;ces termes, Sc placez ces nombres triples chacunnbsp;fous celui dont il eft form� ; ces m�mes nombresnbsp;diminu�s de l�unit� , 5 , 11,23,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ places

chacun au deftus de fon correfpondant de la progreflion g�om�trique , formeront une troifieme fuite au defliis de cette derniere. Enfin on auranbsp;les nombres de la fuite inf�rieure , 71 , 287 , Scc.nbsp;en multipliant chacun des termes de Ia fuite 6 ,nbsp;12, 24, Scc. par fon pr�c�dent, Sc diminuant lenbsp;produit de l�unit�.

5	11	^5	47	95	191
2	4	8	16	32.	64
6	12		48	96	192
	71	287	1151	4607	18431

Prenez a pr�fent un nombre de la fuite inf�-�ieure , par exemple 71, dont le nombre correl-pondant dans la fuite fup�rieure , fqavoir 11, amp; celui qui pr�cede ce dernier, fqavoir 5 , font,nbsp;amfi que 71, des nombres premiers; multipliez 5'nbsp;11 j le produit 3 5 par 4 , terme correfpondant de la fuite g�om�tricpie , vous aurez 220nbsp;pour 1 un des nombres cherch�s: le fecond fe trou-

Pareillement avec H51 , 47 amp; 23 , quI font des nombres premiers, on trouveroit deux autresnbsp;nombres amiables, 17256 amp; 18416; mais 4607nbsp;n�en donneroit pas , paree que , des deux autresnbsp;nombres correfpondants 47 amp; 5^ , celui-ci 95nbsp;n�efl: pas premier. II en eft de m�me du nombrenbsp;18431 , paree que Ie nombre 95 fe trouve parminbsp;fes correfpondants; mais Ie fuivant 73727 donne,nbsp;avec 383 amp;C191, deux nouveaux nombres amia-bles� 9363584 amp; 9437056.

On voit par-la que fi les nombres parfaits font rates , les couples de nombres amiables Ie fontnbsp;bien davantage, ce dont il efl: au refte bien aif�nbsp;d�appercevoir la raifon.

Si on prend la fulte des quarr�s des nombres naturels , fqavoir ,1,4, 9 , 16, 25, 36, 49 , amp;c. qu�on prenne la difference de chacun avec Ie fuivant , amp; enfuite les differences de ces differences,nbsp;ces dernieres feront �gales a 2 ,, ainli qu�on Ienbsp;voit par l�exemple ci-deffous,

I 4 9 nbsp;nbsp;nbsp;16nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;25nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;36nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;49

1quot;^ Diffl 3 nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9 II 13

Ainfi 1�on voit que les nombres cjuarr�s font formes par l�addition contlnuelle des nombres impairs 1,3,5, S^c. qui fe furpaffent de 2.

Dans la fuite des cubes des nombres naturels, fqavoir, 1,8,27, S^c. ce ne font plus les fecondesnbsp;differences qui font �gales , mais feulement les

ArITHM�TIQUE. Chap. III. 37 �folfiemes, qui font toujours 6. L�exemple ci-def-fous le met fous les yeux,

7 nbsp;nbsp;nbsp;19nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;37nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9^

6 6 6

S�il eft qiieftion de la fuite des qiiatriemes puif-fances, ou quatr�-quarr�s des nombres naturels, ce feront les quatriemes differences feuleinent quinbsp;feront egales, amp; elles feront 24. Dans le cas denbsp;cinquiemes puiffances, les cinquiemes differencesnbsp;feulement feront egales, amp; feront conftammentnbsp;120.

On trouve ces nombres 2, 624 , 120, amp;c. en multipliant cle fuite les nombres i, 2 , 3, 4, 5 ,nbsp;6, amp;c. Pour la deuxieme puiftance, on multiplienbsp;les deux premiers ; pour la trolfieme, les trois pre

XIV.

La progreflron des cubes i , 8 , 17, 64, 125 Sec. des nombres naturels i, 2, 3,4? 5? 6, amp;c.nbsp;3 Cette propri�t� remarquable , qu�en ajoutant telnbsp;�aombre qu�on voudra de fes termes, en cqmmen-Saiit par le premier , ,cette fomme fera toujours unnbsp;HUarre. Ainfi i amp; 8 font 9: ajoutez-y encore 27,nbsp;^ous aurez 36, nombre quarre; amp; en y ajoutantnbsp;5 vous aurez 100; Sc ainfi de fuite.

XV.

Le nombre 120 a la propri�t� d�etre �gal a la moiti� de la fomme de fes parties aliquotes ou

15 , 10,24, 30, 40, 60, qui font enfemble 24OJ Le nombre 672 eft pareillement la moitie de lanbsp;fomme 1344 de fes parties aliquotes. On pourroitnbsp;en frouver plufieurs aiitres qui joulflent dela meinenbsp;propri�t� ; on pourroit m�me en trouver qui nenbsp;feroient que le tiers ou le quart de la fomme denbsp;leurs parties aliquotes; enfin qui en fuflent le double, le triple, le quadruple. Voila de la matierenbsp;aux recherches de ceux c[ui voudront s�exercer.

CHAPITRE IV.

SI Ton a une progreffion arithmetique, la plus, fimple de routes, par exemple, comme cellenbsp;des nombres naturels 1,2, 3,4, 5, 6, 7, amp;c.nbsp;qu�on prenne le premier terme, la fomme des deuxnbsp;premiers, celle ^es trois premiers, amp; ainfi de fuite,nbsp;il en reftiltera une nouvelle fuite de nombres, i ,nbsp;3,6, 10, I ^ , 21, 28 , amp;c. auxquels on a donnenbsp;le noin dc triangulairzs , paree quhls peuvent tou-jours ctre rang�s en triangle equilateral, commenbsp;ftl- Ton voit Planche J.

3- Les nombres quarres, comme 1,4,9,16,25, 36, amp;;c. naiftent d�une pareille addition des premiers termes de la progreflion arithmetique i, 3 tnbsp;5 , 7? 95nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dont la difterence des termes

eft 2. Ces nombres fe peuvent pareillement ranger cn figures quarrees, comme tout le monde fqait.

De pareille fommation des termes de la pro-greftion arithmetique, dont la difference eft 3 ? comme I, 4} 7, 10,13, amp;c. naiftent les norn*quot;

Arithm�tique. Chap. IF. 39 paree qu�ils repr�fentent Ie nombre des points quinbsp;peuvent s�arranger fur les c�t�s Sc dans l�int�rieurnbsp;d�un pentagone r�gulier, comme on I� voit dans

o� font trois pentagones dans un angle pi, r. commun, repr�fentant Ie nombre des points qui lig. 5,nbsp;croit arithm�tiquement, Sc dont Ie premier anbsp;deux points fur chaque c�t�, Ie fecond trois, Ienbsp;troifieme quatre, ce qui pourroit �tre continu�.

C�eft dans ce fens Sc de cette maniere qu�on doit concevoir arranges les nombres figures.

II eft prefque inutile de dire que de la progref-fion 1,5,9,13,17, Sec. dont la difference eft 4) naiflent, par une pareille fommation , les nombres exagones, qui font 1,6, 15, 28,45 , amp;c ; Scnbsp;ainfi de fuite pour les eptagones, oftogones. Sec.

II y a une autre forte de nombres polygones, qui r�fultent du nombre des points qu�on peut rangernbsp;au centre Sc fur les c�t�s d�un ou de plufieuts polygones femblables, ayant un centre commun: ilsnbsp;different des precedents , car la fuite des triangu-laires de cette efpece eft 1,4, 10,19, 31, amp;;c.nbsp;qui font form�s par l�addition fucceffive des nombres i, 3 , 6, 9, 12.

2.5,41,61, Sec. form�s pareillement par l�ad-dition fucceffive des nombres 1, 4, 8, 12,16,

Mais nous n�en dirons pas davantage fur cette efpece de nombres polygones, paree que ce ne fontnbsp;pas ceux que les math�maticiens entendent com-inun�ment par ce nom, Revenons aux nombresnbsp;polygones ordinaires.

C iv

On appelle la racine d�un noinbre polygone, I� nombre des termes de la progreffion qii�il a fallunbsp;fommer pour avoir ce nombre. Ainfi la racine dunbsp;nombre triangulaire ii eft 6, paree que ce nombre r�fulte de l�addition fucceffive des fix nombresnbsp;1, 2., 3,4, 5,6. De m�me 4 efi la racine du nombre quarr� i6, confid�r� comme nombre figure,nbsp;paree que ce nombre r�fulte de l�addition des quatrenbsp;termes i, 3 , 5,7, de Ia progreffion des nombresnbsp;impairs.

Un nombre �tant propof� , trouver s'il ejl triangu-^ lain, quarr� , pentagom, amp;c.

L A.maniere de trouver fi un nombre eft quarr�,� efi: connue de tont Ie monde, amp; fert de bafe pournbsp;reconnoitre les autres nombres figures. Cela fup-pof�, pour determiner fi un nombre propof� eftnbsp;un nombre polygone, voici la regie g�n�rale.

Multiplk:{_ par 8 h nombre des angles du polygone diminu� de z , amp; par ce premier produit multiplier^ Ie nombre propof� , amp; enfin , d ce nouveau produit ajouter Ic quarr� du nombre �gal a celui desnbsp;angles du polygone diminu� de g; Ji la fiomme ejlnbsp;un quarr� parfait, Ie nombre propof� efi un polygone de Vefpece d�termin�e,

II eft aif� de voir que Ie nombre des angles �tant 3 pour Ie triangle , 4 pour Ie quarr�, 5 dans Ienbsp;pentagone , amp;c. on aura pour Ie multipllcateur dunbsp;nombre propof�, dans Ie cas du nombre triangulaire , 8 ; pour Ie nombre quadrangulaire, 16;nbsp;pour Ie pentagone, 24; pour rexagone,32.

AriTHM�T�QU�. Chap. IV. 41 Pateillement Ie nombre des angles, diminu� denbsp;4j �tant pour Ie triangle � t, pour Ie quarr� o,nbsp;pour Ie pentagone i , pour l�ejiagone %, amp;c. lesnbsp;�ombres a ajouter au produitci-deffus feront ,pournbsp;triangle, i, (car Ie quarr� de �i efti);pourlenbsp;quarr�, o; pour Ie pentagone, i; pour l�exagone, 4;nbsp;pourl�eptagone, 9 , amp;c, : d�o� d�rivent les regiesnbsp;luivantes, que nous �claircirons en m�me tempsnbsp;par des exemples.

On demande fi 21 eft un nombre triangulaire, Multipliez 21 par 8 ,au produit ajoutez i; la fommenbsp;eft 169, qui eft un quarr� parfait: conf�quem-ment 21 eft un nombre triangulaire,

Voulez-vous reconnoitre fi 35 eft un pentagone ? Multipliez 3 ^ par 24 , Ie produit eft 840 ; a quoi ajoutant i, on a 841 qui eft un quarr�:nbsp;done on peut aflurer que 35 eft un nombre pentagone.

Vn nombre triangulaire ou figure quelconque kant donn�^ trouver fa racine, ou Ie nombre de terrnesnbsp;de la progrefifion arithmkique dont il ejl lafomme.

Il faut d�abord faire 1�op�ration indiqu�e dans Ie probl�me pr�c�dent; Sc apr�s avoir trouve lanbsp;racine cjuarr�e , dont la poffibilit� indique ft Ienbsp;nombre eft figure ou non, ajouteq^ d cette racinenbsp;Un nombre igal a celui des angles du polygone pro-pofi� , moins 4 , amp; divifeq^ cette fomme par Ie doublenbsp;du m�me nombre des angles diminu� de z ; Ie quoti�nt qui en proviendra fcra la racine du polygone.

Le nombre a ajouter eft done pour Ie triangle � I, e�eft-a-ftire i a �ter; ii eft o pout le quarre,nbsp;� pour le pentagone, 2 pour I�exagoue, See,

Quant au divifeur, il eft aif� de voir quil eff i pour Ie triangle , (car Ie double de 5 diminue denbsp;i, eft a); pour Ie quarr� e�eft 4, pour Ie penta-gone 6, pour Texagone 8, amp;c.

Soit done demand� la racine du nombre triangulaire 3 6. Apr�s avoir fait l�op�ration d�velopp�e par Ie probl�ine pr�c�dent, amp; avoir trouv� Ienbsp;produit z8^, dont la racine quarr�e eft 17, �teznbsp;de ce nombre l�unit�, 6c divifez Ie reftant par a ;nbsp;Ie quotient 8 fera la racine ou Ie c�t� du nombrenbsp;triangulaire �gal 336.

On demande maintenant quelle efl Ia racine du pentagone 35. Ayanttrouv�, comme ci-deffus,nbsp;la racine 29, ajoutez-y i, ce qui donne 30, amp;cnbsp;divifez par 6 ; Ie quotient ^ fera la racine de cenbsp;nombre pentagone, c�eft-a-dire qu�ileft form� patnbsp;1�addition des 5 nombres 1,4, 7, 10,13.

L A regie eft fort fimpte. Prene:^ �Ie quarr� de Ice racine donnie , 6teq-en Ie produit de cette m�me racine , par Ic nombre �gal a celui des angles diminu�rnbsp;de 4 ; la moiti� du rejiant fera Ie polygone cherch�.

Donnons quelques exemples de cette regie. Quel eft , demande-t-on, le nombre triangulairenbsp;dont la racine eft 12 ? Le quarr� de 12 eft 144;nbsp;le nombre �gal a celui des angles inolns 4, eft �i,nbsp;qui multipliant 12, donne�12: or il faudroit,nbsp;fuivant la regie, �ter �12 , ce qui eft la m�menbsp;chofe qu�ajouter 12; on aura done 156, qui �tantnbsp;partag� par la moiti�, donne 78.

Arithm�tique. Chap. IK 4? Quel eft le nombre eptagone dont la racine eftnbsp;Pour le trouver, je prends le quarre de lO ynbsp;^lui eft 400; je multiplie enfuite 20 par 3 , qui eftnbsp;nombre des angles diminue de 4 ; )�ai 60, quenbsp;i�dte de 400; le refte eft 340, que je divife par 2 ;nbsp;le quotient 170 eft le nombre cherche, ou 1�epta-gone dont la racine eft 20.

Remarquons ici, avant de finir, que le m�me nombre peut �tre polygone ou figure dedifferentesnbsp;manieres. Et d�abord tout nombre plus grand quenbsp;3 , eft polygone d�un nombre de cotes ou d�anglesnbsp;egal a celui de fes unites.

Ainfi 36 eft un polygone de 36 cotes, dont la racine eft 2; car les deux premiers termes de lanbsp;progreffion font 1,35. Le m�me nombre 36 eftnbsp;quarre ; enfin il eft triangulaire, ayant pour ra-cine 8.

Pareillement 21 eft a la fois polygone de 21 cotes ; il eft aufll triangulaire ; 8gt;t il eft enfin ofto^nbsp;gone.

PROBL�ME IV.

Trouver la fomme de tant de nombres triangulalres , ou de tant de nombres quarres, ou de tant dcnbsp;nombres pentagones quon voudra.

D E m�me qu�en ajoutant fucceflivement les termes de differentes progreflions arlthinetiques ,nbsp;ft en eft r�fult� de nouvelles progreflions de nombres qu�on a nommes triangulaires, quarres, pentagones, amp;c. on peut auflTi fommer ces dernieresnbsp;ptogrelftons; ce qui donne naiflance a des nom-fires figures d�lm ordre fuperieur, qu�on appeftenbsp;pyramidaux. On donne le nom de pyramidaux dunbsp;premier ordre, ^ ceux quiviennent de la progreffion

44 R�CRiATIONS MatH�matiq�es. des nombres triangulaires : les pyramidaux danbsp;deuxieme of dn font ceux qui viennent de la fom-jnation des nombres quarr�s : ceux du troifiemenbsp;ordre proviennent de la progreffion des pentago-�nes. On peut enfin faire Ia m�me fp�culation fornbsp;les nombres pyramidaux; ce qui engendre lespy~nbsp;ramido - pyramidaux. Ma�s Ie peu d�utilit� de cesnbsp;nombres, qui peuvent tout au plus donnet lieu anbsp;des recherches propres a exercer amp; d�velopper l�efi-prit analytique, ne nous permet pas de nous �ten-dre davantage fur ce fujet. Nous nous bornerons anbsp;donnet une regie g�n�rale pour fommer tant denbsp;nombres figures qu�on voudra.

Prenez Ie cube du nombre de termes a fommer, amp; multipliez-le par Ie nombre des angles du po-lygone diminu� de 2; ajoutez a Ia fomme trois foisnbsp;Ie quarr� du m�me nombre de termes a fommer ;nbsp;fouftraifez enfin Ie prodult de ce m�me nombre ,nbsp;par celui des angles diminu� de ^ ; vous aureznbsp;une fomme qui, �tanttoujours diviiee par 6, donrnbsp;nera celle des termes de la progreffion.

Soient les buit premiers nombres triangulaires dont on demandela fomme. Le cube de 8 ell; ^ 12.;nbsp;ce qui, multipli� par le nombre des angles du poly-gone diminu� de 2, ou par i , donne encore 512;nbsp;ajoutez-y le triple du quarr� de 8 ou 192 ; enfin ,nbsp;comme Ie nombre des angles moins 5 donne �2nbsp;qui doit multiplier le c�t� 8 , ce qui donne�16,nbsp;ajoutez a la fomme ci-delTus 704 ce nombre 16;nbsp;vous aurez 720 , qui, divif� par 6, donnera 120nbsp;pour la fomme des huit premiers nombres trian-gulaires.

On la trouvera au refte plus facilement, en multipliant de foire le nombre 8 des termes de-mand�s, par 9, Scle produit par 10; ce qui donnera

Arithm�tique, Chap. F. 4J� ^alementyio, qu�il faudra divifer par 6, Scl�onnbsp;sura iio, comme ci-defTus.

Dans Ie cas d�une fuite de quarr�s, que ie fup-Pofe au nombre de i o , il n�y aura qu�a faire Ie produit du nombre de termes , fqavoir i o , de cenbsp;in�nie nombre augment^ de l�unit� ou 11 , Scnbsp;^nfin du double du m�me nombre, plus i, c�eft-S'l'dire ii ; Ie produit de ces trois nombres 2.3 lo,nbsp;divif� par 6, donne 385 , qui eft la fomme desnbsp;premiers nombres quarr�s 1,4,9,16, Stc.

Des Triangles reBangles en nombres.

ON appelle triangle reftangle en nombres,' trois nombres tels que la fomme des quarr�snbsp;de deux eft �gale au quarr� du troifieme. Telsnbsp;font, pat exemple, les trois nombres 3,4, 5 , quinbsp;'expriment Ie triangle re�langle Ie plus fimple denbsp;tous; car Ie cjiiarr� de 3 qui eft 9 , �tant .ajout�nbsp;a celui de 4 qui eft 16, la fomme eft 25 qui eftnbsp;Ie quarr� de ^. Les nombres 3,4, 5, exprimentnbsp;done les trois c�t�s d�un triangle reftangle.

^ Ces nombres au refte doivent n�ceftairement ctre in�gaux ; car ft deux de ces nombres etoientnbsp;dgaux, ce feroient les deux c�t�s d�un trianglenbsp;��^�angle ifofcele : or il eft d�montr� que, dansnbsp;Cas ^ Thypoth�nufe ne fqauroit �tre exprim�enbsp;P^r un nombre rationnel, entier ou fraftionnaire,nbsp;Puifqu�un pareil triangle eft la moiti� d�un quarr�nbsp;dont les deux c�t�s �gaux font les c�t�s, amp; Ianbsp;bafe ou l�hypoth�nufe eft la diagonale ; or la diagonale eft incommenfurable au c�t�.

li eft encore neceftaife que les trois nombfCS qui forment le triangle foient rationaux, foit enquot;'nbsp;tiers, foit fractions ; car fans cela il n�y auroitnbsp;aucun art a trouver tant de nombres de cette ef-pece qu�on voudroit, puifqu�il n�y auroitqu�aprendre deux nombres quelconques, comme z amp; 6,nbsp;dont la fomme des quarr�s eft 40, amp; 1�hypoth�-nufe feroit y/40; mais 40 ne fignifie rien denbsp;pr�cis , Sc ce n�eft qu�un figne de l�extra�tion de lanbsp;racine de 40, qui eft impoflible.

Apr�s ces details, nous allons propofer fur les triangles rectangles en nombres, quelques-uns desnbsp;problemes les plus curieux 5c les moins �pineux.

PROBLEME I.

pRENE� deux nombres a volonte , que nous nommerons g�n�rateurs, par exemple , i Sc z ?nbsp;multipliez-les enfemble, amp; doublez le produit: cenbsp;double , qui eft ici 4, fera un des cotes du triangle. Fakes enfuite les quarr�s des deux nombresnbsp;g�n�rateurs, qui feront, dans I�exemple aCtuel, 4nbsp;5c I. Leur diff�rence donnera le fecond c�t� 3 dunbsp;triangle , amp; leur fomme 5 fera 1�hypoth�nufe.nbsp;Ainfi le triangle dont les nombres g�n�rateurs fontnbsp;I Sc 2., eft 3 , 4, 5.

Si 1�on avoit pris pour nombres g�n�rateurs ^ Sc 3 , on auroit trouv� 5 , i z Sc 13 ; les nombresnbsp;I amp; 3 euftent donn� 6,8 Sc 10.

Autre maniere. Prenez une progreflion de nom-bres entiers Sc fraCtlonnaires, comme ij, if�

AritHM�TIQUE. Chap. V. 47 3 7, 4f, amp;c. dont la proprl�t� eft celle-ci:nbsp;1� Les nombresentiers outpour difference 1�unit�,nbsp;amp; font ceux de la fuite naturelle. Les num�ra-teurs des fra�lions jointes aux entiers, fontaufllnbsp;les nombres naturels. 3� Les d�nominateurs denbsp;ces m�mes fractions font les nombres impairs 3,nbsp;5,7, amp;c. Expofons maintenant l�ufage de cettenbsp;progrelfion.

Prenez un terme quelconque, par exemple, 31 amp; r�duifez-le en forme de fraction , en multi-pliant rentier 3 par 7, amp; ajoutant au produit 21nbsp;Ie num�rateur 3 ; vous aurez 1�expreffion fous lanbsp;forme fraclionnaire Les nombres 7 amp; 14 fe-ront les c�t�s d�un triangle re�tangle, dont l�hy-poth�nufe fe trouvera en ajoutant 49 amp; 576; cenbsp;qui donne 625 , dont la racine quarr�e 25 eft 1�hy-poth�nufe cherch�e. Ainfi Ie triangle donn� par cenbsp;terme de la progreffion g�n�ratrice, eft 7, 24, 25.

gle 3,4 , 5 ;

Le trolfieme 47, donne 9,40,41, tous triangles de rapports differents entre les c�t�s, amp; qui ont tous cette propri�t�, que leplus grand c�t� Scnbsp;1�hypoth�nufe ne different que de 1�unit�.

Voici une autre progreffion de m�me nature tjiie la pr�c�dente , f^avoir, 11,2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

amp;c. Le premier terme donne le triangle redangle 8, i^, 17; le deuxierne produit 12, 35, 37;nbsp;du troifieme d�rive le triangle 16 , 63,65 , amp;c.nbsp;Ils font , comme l�on voit auffi , tous de proportions differentes, Sc ont la propri�t� particuliere,nbsp;que leur plus grand c�t� Si 1�hypoth�nufe ne different jamais que de 2.

Trouvcr tant qu'on voudra de Triangles rectangles en nombres, dont les c�t�s ne different que denbsp;Vunit�.

po u R rcfoiiclre ce probl�me , il faut chercher des nombres tels, que Ie double de leur quarr�, plusnbsp;OU moins 1�unit� , falte encore un nombre quarr� :nbsp;tels font.les nombres 1,2,5, 12,2c), 70, amp;c ;nbsp;car deux fois Ie' quarr� de i font 2 , qui, dimi-nu� de Tunit�, laiffe i qui eft un nombre quarr�.nbsp;De m�me Ie double du quarr� de 2 eft 8 , a quoinbsp;ajoutant i, la fomme 9 eft un nombre quarr� ; amp;c.

Ceia �tant trouv� , prenez deux de ces nombres quelconquesqui fefuivent imm�diatement, commenbsp;I amp; 2 , OU 2 amp; 5, OU 12 amp;; 29, pour nombres 2,�-n�rateurs; les triangles re�langles qui en naitrontnbsp;auront la propri�t� c[ue leurs deux c�t�s ne difte-reront que de 1�unit�. Voiciune table de ces triangles , avec leurs nombres g�n�rateurs.

Mais ft 1�on vouloit trouvcr unc fidte de triangles tels^ que dans chacun rhypoth�nufe ne furpaffat unnbsp;des c�t�s que de funit�, on y parviendroit plusnbsp;facilement: il fuffiroit de prendre pour nombresnbsp;g�n�rateurs du triangle cherch� , deux nombresnbsp;quelconques c[ul fe lurpaftTaftTent l�un l�autre de 1�unit�, Voici une table femblable a la pr�c�dente,

des

Arithm�tique, Chap. K 49 des fix premiers triangles reftangles que donnentnbsp;premiers nombres de la progreffion naturelle.

Si Ton prenoit pour nombres g�n�rateurs les c�t�s refpeftifs de la luite des triangles pr�c�*-dents , on auroit une nouvelle fuite de trianglesnbsp;rectangles, dont 1�hypoth�nufe feroit toigours unnbsp;rrombre quarr�, comme on Ie voit dans la tablenbsp;fiiivante.

On peut remarquer lei, que les racines des hy~ Potb�nufes font toujours Ie plus grand des nombresnbsp;g�n�rateurs , augment� de l�unit�.

Mais fi, pour nombres g�n�rateurs, vous pre-''�lea Ie fecond c�t� amp; Thypoth�nufe de la m�me table, qui ne different entr�eux que de l�unit�,nbsp;^ous auriez une fuite de triangles leftangles, dontnbsp;Ie moindre c�t� feroittoujours un quarr�. En voleinbsp;quelques-iins.

Voulez-vous enfin avoir nne fuite de triangles Teftangles, dont un des c�t�s foit conftainmentnbsp;un cube , il n�y a qu�a prendre pour g�n�rateursnbsp;deux notnbres qui fe fuivent dans la progreffion desnbsp;triangulaires, comme i, 3,6, 10, 15, 21, amp;c.nbsp;Nous nous bornons a donner les quatre premiersnbsp;de ces triangles.

Trowver trots diff�rents Triangles rectangles , dont les aires foient �gales.

Vo,c I trois triangles reftangles qui joulfifent de cette proprl�t�. Le premier eft celui dont lesnbsp;c�t�s font, 40,42,48 ; le fecond a pour c�t�s ,nbsp;'JO , 24, 74 ; ceux enfin du troifieme font, ,nbsp;312 amp; 113.

Si on ajoute le produit de deux nombres quelcon-* ^ties d la fomme de leurs quarr�s, on aura le premijtnbsp;nomhrc'i In dff�renci de Uurs quarr�s fera le fecond i

Arithm�tique. Chap. F. 51 S' It double de la fomrne de hurproduit amp; du quarrinbsp;du plus petit, [era le troijiemc,

Ces trois nombres trouv�s, formeX_ tfois triangles reclangles , fgavoir, fun des deux premiers , commenbsp;g^nirateurs ; h deuxieme ^ des deux extremes; amp; lenbsp;^roijicme, du premier amp; de la fomme des deux autres,nbsp;Ces trois triangles reclangles feront igaux entr eux.nbsp;On ne peut trouver plus de trois triangles rectangles , en entiers , qui foient egaux entr�eux;nbsp;Riais on peut en trouver tant qu�on voudra ennbsp;Hombres rompus , par le moyen de la formulenbsp;fuivante.

Faites, de Chypoth�nufe d'un des triangles ci~ dejj�us, amp; du quadruple de fon cure, un autre triangle rebiangle, que vous divifere:^ par le double dunbsp;produit qui viendra ^ en multipliant Vhypothinufenbsp;du triangle choiji , par la difference des quarres desnbsp;deux autres cotes; amp; le triangle qui en proviendra^nbsp;fera le triangle propofe.

PROBL�ME IV.

PRENEZ deux nombres g�n�rateurs, qui foient ^ un a 1�autre dans le rapport d�un a deux ; le trian-E^e reftangle qui en proviendra, aura fes c�t�s ennbsp;ptogreffion arithm�tlque.

Le plus fimple de ces triangles eft celul-cl, 3, 4, 5, qui provient des nombres i amp; 2 pris pournbsp;E�n�rateurs, Mais il faut obferver que tous lesnbsp;autres triangles, qui ont la ineine propri�t� , fontnbsp;femblables a ce premier, amp; n�en font que desnbsp;inultiples. II eft aif� de d�montrer de blen des ma-uieres, qu�il ne fqauroit y en avoir d�autre.

SI Ton demandoit un triangle reftangle en nom-bres , dont les trois c6tes fuffent en proportion g�om�trique, nous repondrions qu�il n�y en a au-cun en nombres entiers ; car les deux nombresnbsp;g�n�rateurs devroient �tre dans le rapport de i a

PROBL�ME V.

Trouverun Triangle nclangk, dont Caire , exprim�z en nombre , foil egak au contour; ou ennbsp;raifon donn�e ayec lui,

Fo R M E 2,, d�un noinbre quarre quelconque , 8c de ce in�ine quarre augmente dc 2 ^ un trianglenbsp;reftangle, dont vous diviferez les cotes par cenbsp;nombre'quarre: les quotients donneront les cotesnbsp;d�un nouveau triangle reftangle , dont I�aire, ex-primee numeriquement, fera �gale au contour.

Ainfi , en prenant pour nombres g�n�rateurs i ^ 3, vous aurez le triangle 6,8, 10, dont lesnbsp;cot�s , divif�s par l�unit� , font 6,8, 10 , amp; for-ment le triangle qui a la propri�t� demand�e; carnbsp;I�aire eft 24, amp; le contour eft aufli 24. De m�me,nbsp;prenant pour g�n�rateurs 2 amp; 6 , vous aurez pournbsp;, triangle cherch� 5 , 12, 13, ou la propri�t� de-luand�e fe verifie encore.

Cos deux triangles font les fouls, en nombres entiers, fufceptibles de cette propri�t� ; mais onnbsp;en trouvera une infinit� d�autres en nombres rom-pus, par le moyen des quarr�s 9, 16, amp;c � telsnbsp;font ceux Cl.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Arithm�tique. Chap. FL 55 Si vous voulez que 1�aire du triangle cherchenbsp;foit feulement en raifon donn�e avec Ie contour Jnbsp;par exemple , les |, prenei pour nombres generd-tiurs un quarr�, amp; cc m�mc quarr� augmcntl denbsp;^ formc:^, comme ci-de^us ^ par leur moyeni,..UJtnbsp;tnangle rectangle: ce triangle }ouira de la propri�t�nbsp;demand�e. Tels font , en nombres entiers , lesnbsp;deux triangles 8,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^4,i5^;6gt;c une

Nous croyons devoir terminer ici ces queftions fur les triangles en nombres, amp; �tre plus fobresnbsp;fur c� fujet que feu M. Ozanam ; car rien de plusnbsp;fee que ces probl�mes; amp; probablement M, Ozanam n�eii auroit pas tant entaff�, s�il n�e�t voulunbsp;profiter, pour fes Recreations Math�rnatiques, d�uncnbsp;befogne toute faite dans fon Algebre , o� il s�ennbsp;propofe jufqu�a fati�t�.

CHAPITRE VI.

QuelquesProhl�mes Curieux furlesNomh'res quarr�s amp; cubes.' quot;

Un nombre quarr� �tant donn� , Ie divifer en deux autres quarr�s.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;r;;

ON trouvera, de la maniere f�ivante,uneinfi-nit� de folutions de ce probl�me. Soit, par exemple, Ie quarr� 16, dont la racine eft 4,,�nbsp;divifer en deux autres nombres cluarr�s, qui npnbsp;peuvent �tre que des fradions, comme il eft aif�nbsp;de voir,

Prenez deux nombres quelconques , comme ^ amp;: 2 ; multipliez-les enfemble ; amp; , par leur pro-duit, multipliez encore le double de la racine 4nbsp;du quarre propof�: ce produit, qui fera ici 48 ,nbsp;fera-le denominateur d�une fraftion, dont le nu-jnerateur fe trouvera en prenant la fomme 13 desnbsp;quarres des nombres ci-deffus: cette fra�lion f~,nbsp;fera le cote du premier quarre cherch�, qui feranbsp;conr�quemment

� Pour avoir le fecond , on multipliera le quarre donne par le denominateur ci-deffus, 169; amp;, dunbsp;produit qui eft 2704, on otera le numerateurnbsp;2,~304 : le refte ( qui fera toujours un quarre ) feranbsp;4'oo, dont la racine 20 �tant prife pournumera-teur , amp; 13 pour denominateur, donnera la fraction pour le cote du fecond quarr�.

Ainfi , les deux cotes des quarres cherches fe-ront yj amp; � , dont les quarr�s nbsp;nbsp;nbsp;~, font

Si on eiit pris pour nombres primitifs 2 amp; i, on auroit eu les racinesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dont les quarr�s

Les nombres 4 amp; 3 auroient donne les racines Iy amp; H, dont les quarr�s amp; �, font encorenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ou 16.

Ainfi, 1�on voit qu�en variant ces fuppofitions des deux premiers nombres arbitraires, on varieranbsp;anfli a 1�infini fes folutions.

iMAIS peut-on egalement divifer un cube donne 'en deux autres cubes ? Nous repondrons , fur la parole d�un grand analyfte, fqavoir M. de Fermat,nbsp;�lt;iue cela n�eft pas poff ble. II ne 1�eft pas non plusnbsp;de divifer aueune puiffance au deffus du quarre,

Arithm�tiqxje. Chap, FI. 55 en deux parties qui foient des puiffances de m�menbsp;efpece; par exemple, un quarr�-quarr�, en deuxnbsp;fiuarr�s-quarr�s.

Soit propof� Ie nombre 13 , qui eft compof� des deux quarr�s 9 amp; 4 : on demande de Ie divifetnbsp;en deux autres quarr�s.

Prenez deux nombres quelconques, par exemple, 4 amp; 3; multipliez par Ie premier 4, Ie double 6 de la racine 3 d�un des quarr�s ci-delTus, amp; par Ie fecond 3, Ie double de la racine 2 de l�autrenbsp;quarr�, les produits feroht 24 amp; 12. Otez-les l�uanbsp;de l�autre , la difference 12 fera Ie num�rateurnbsp;d�une fra�fion, dont Ie d�nominateur fera 25, lanbsp;fomme des quarr�s des nombres choifis. Cettenbsp;fra�lion fera done multipliez-la par chacunnbsp;des nombres pris a volont�, vous aurez d�un c�t�nbsp;^amp; de l�autre Le plus grand de ces nombresnbsp;etant �t� de la racine du plus grand quarr� con-tenu en 13, fqavoir 3 , le reliant fera ly ; l�autre , �tant ajout� au c�t� du plus petit quarr� 2nbsp;donnera Les deux fra�lions amp; rf 5 Ibront les.nbsp;c�t�s des deux quarr�s cherch�s amp; ^2^ j quinbsp;enfemble font 13 , comme il eft aife de s�ertnbsp;aflurer.

D�autres fuppofitions de nombres auroient donne d�autres quarr�s; mals nous laiflbns au lefteur lenbsp;plalfir de s�exercer en les cherebant.

D iv

de manieres en deux quarr�s , il faut qu�il foit OU quarr�, ou compof� de deux quarr�s : tets font,nbsp;par ordre, les nombres 1,2,4,5,8,9,10,13.^nbsp;16, 17� 2-5, 26, 29, 32,34, 36,37, amp;c. Nousnbsp;ne. connoifions pas, ni ne croyons pollible denbsp;trouver Ie moyen de divifer en deux quarr�s , unnbsp;�ombre qui n�efl; pas quarr� ou la foinme denbsp;deux quarr�s; amp; nous croyons qu�on peut avan-cer comme une regie, que tout nombre entk'r ,nbsp;qui n�eft pas quarr� ou compof� de deux quarr�snbsp;en nombres entiers, ne fqauroit �tre divif� d�au-cune maniere en deux quarr�s. C�eft ce dont 11nbsp;feroit curieux de trouver une d�monftration.

Mals tout nombre eft divifible d�une infinite de manieres , au moins en quatre cjuarr�s; car il n�ennbsp;eft point qui ne foit ou quarr�, ou la fomme denbsp;deux , OU trois, ou quatre quarr�s. Bachet de M�-ziriac avoit avanc� cette propofition , de lanbsp;v�rit� de laquelle il s��toit affur� autant qu�on Ienbsp;peut faire, en effayant tous les nombres depuis inbsp;jufqifa 325. M. de Fermat (3) ajoute qu�il peutnbsp;d�montrer cette propri�t� g�n�rale amp; curieufe desnbsp;nombres , fcavoir, que

Tom nombre eji ou triangulaire, ou compof� de dtux ou trois nombres triangulaires.

Tom nombre ejl ou quarr�, ou compof� de deux ^ OU trois-, OU quatre nombres quarr�s.

Tout nombre ef ou pentagone, ou compof� de deux , ou trois , OU quatre, ou cinq pentagones;nbsp;^ ainli de fuite.

(a) nbsp;nbsp;nbsp;Diophanti Ahxandrini Arithmeticorum llh. 6; cuninbsp;(omm. C. G. Bacheti, amp;c. Tolofe, 16/0, infol, pag. lt;7^^

I-a d�monftration de cette propri�t� des nom-, fi elle eft r�elle, feroit vraiment curieufe.

I^nuvzr quatrt Cubes , dont deux , pris enfemhle , foient �gaux d la fomme des deux autres,

^ N les trouvera par la m�thode fuivante , qui fort fimple. Prenez deux nombres tels que Ienbsp;double du cube du plus petit furpafl'e Ie cube dunbsp;plus grand; enfuite , du double du plus grandnbsp;cube, 6tez Ie moindre; amp; multipliez ce reliant,nbsp;sulfi-bien que la fomme des cubes, par Ie moindrenbsp;des nombres choifis: les deux produits feront lesnbsp;cot�si^es deux premiers cubes cherch�s.

Pareillement �tez Ie plus grand des cubes des nombres choifis, du double du moindre ; amp;: quenbsp;Ie reliant, ainfi que la fomme des m�mes cubes,nbsp;foit multipli� par Ie plus grand des nombres choifis : les deux nouveaux produits feront les deuxnbsp;c�t�s des deux autres cubes.

Par exemple , qu�on prenne les nombres 4 amp; 5, ont la condition requife ci-delTus, on trouveranbsp;pour les c�t�s des deux premiers cubes , 744 ,nbsp;756 ; amp; pour les deux autres, 945 amp; 15 , qui ,nbsp;ctant divif�s par 5 , donnent, pour les deux pre-niiers , 248, 252; amp; pour les deux derniers,nbsp;315, 5.

Si vous prenez 5 amp; 6, vous aurez 1535 amp; 1705 pour les c�t�s des deux premiers cubes, amp; 2046,nbsp;^04 pour les c�t�s des feconds.

R E M A R dU E.

^onn�, 11 eft pofEble de trouver deux autres cubes , dont Ia fomme foit �gale a celle des deux premiers. Viete avoit penf� Ie contraire ; raaisnbsp;M. de Fermat indique Ie moyen d�y parvenir,nbsp;dans fes obfer vat ions fur les Quejiions arithmkiquesnbsp;dc Diophante, comment�es par M. Bachet de M�-zinac. II eft vrai que Ie calcul conduit a des nombresnbsp;extremement compliqu�s , amp; capables d�effrayernbsp;I�arithm�ticien Ie plus intr�pide: on en jugera parnbsp;1�exemple fuivant. C�eft celui ou 11 eft queftion denbsp;divifer Ia fomme d�s deux cubes 8 Sc i, en deuxnbsp;autres. En fuivant la m�thode indiqu�e par M. denbsp;Fermat, Ie P. de Billy a trouv� que les cot�s des-deux nouveaux cubes �tolent les nombres fuivants ,,

II en faut croire Ie P. de Billy; car je ne fqais ff jamais il fe trouvera quelqu�un qui ofe examinernbsp;s�il s�eft tromp�.

Ma�s on peut, fans beaucoup de peine , r�fou-dre cette autre queftion analogue aux pr�c�dentes t Troicver trois cubes qui, pris enfembl�, foicnt �gauxnbsp;a un quatrhme. D�apr�s la m�thode Indiqu�e dansnbsp;Ie livre cit� ci-deflus, on trouvera que les moin-dres nombres entiers qui r�folvent la queftion ,nbsp;font 3, 4 amp; 5 ; car leurs cubes ajout�s enfemblernbsp;font 216, qui eft Ie cube de 6.

Nous nous fommes born�s a quelques-unes des queftions de cette efpece, qu�on peut multiplier a

AritHM�TIQUE. Chap. Fl. 59 Elies ont un genre particulier de difficult�nbsp;tjui les rend int�reffantes. Auffi divers analyftesnbsp;s�en font fort occup�s; tels font, parmi les anciens ,nbsp;^iophante d�Alexandrie , qui avoit �crit treizenbsp;^'vres de Queftions arithm�tiques , dont les fixnbsp;premiers feulement nous font parvenus ', avec unnbsp;sutre fur les Nombres polygones. M. Viete s�exerqanbsp;frir ce genre de queftions , ainfi que M, Bachet denbsp;^�ziriac, qui a comment� l�ouvrage de 1�arithm�-ticien Grec. Le c�lebre M. de Fermat porta plusnbsp;loin que perfonne avant lui cette efpece d�analyfe.nbsp;te P. de Billy donna, vers le rnetne temps , desnbsp;preuves de fa fubtilit� en ce genre, par fon ou-Vrage intitule Diophantus redivivus , oil il lalflbitnbsp;bien loin derriere lui 1�analyfte ancien. Enfin,nbsp;Ozanam a'voit donne des preuves d�une tr�s-grande force en ce genre, par la folution de quel-rjues queftions qu�on avoit jugees infolubles, IInbsp;avoit �crit fur cette matiere; mais fon ouvrage anbsp;reft� manufcrit, amp; eft tomb�, apr�s fa mort,nbsp;entre les mains de feu M. DaguelTeau. C�eft cenbsp;que nous apprend I�hiftorien lt;le I�Academie.

CHAPITRE VII.

Des ProgreJJions arithm�tiques amp; g�om�-triques j amp; de quelques Probl�mes qui en dependent.

SI l�on aune fuite de nombres coutinuellement croiffants ou d�croiffants , tels que la difF�-rence du premier au fecond foit �gale a celle dunbsp;fecond au troifieme, du troifieme au quatrieme ,nbsp;amp;c. amp; ainfi de fuite, ces nombres feront en pro-greffion aritllm�tique.

�U I, 5, 9,13 , amp;C. OU 20 , 18 , 16, 14 , 12 , amp;CC. �OU 15, 12, 9,6,.3, font done des progreffionsnbsp;arithm�tiques; car , dans la premiere,la differencenbsp;du fecond terme au fuivant qui Ie furpalTe, eftnbsp;toujours 1 ; dans la feconde elle eff 2: elle elfnbsp;pareillement toujours 2 dans la troifieme qui vanbsp;en d�croiffant, amp; trok dans la quatrieme.

11 efl aif� de voir au premier coup d�oeil, que la progreffion arithm�tique croifTante peut �trenbsp;continu�e a l�infini ; mais elle ne peut pas l��trenbsp;de rn�me, en un certain fens, lorfqu�elle d�croit;nbsp;car on arrivera toujours n�ceffairement a un termenbsp;dont la difference commune �tant �t�e , Ie reftantnbsp;fera z�ro ou un nombre n�gatif. Ainfi la progreffion 19? 15, 11, 7,3 , ne fqauroit aller plus loin gt;

nombres pofitifs du moins ; car on ne peut oter 4 de 3 ; OU fi on l��te, on a, en langage analy-tique, �I {a). On auroit, en continuant la fouf-tradlon �5 ,�9, amp;c.

Les principaks propri�t�s des progreffions arith-^^�tiques fuivent facilement de la definition que nous venons d��noncer amp; de d�velopper; car onnbsp;�Verra d�abord, en y faifant attention ,

� Que chaque terme n�eft autre chofe que Ie premier, plus ou moins la difference commune,nbsp;rriultipii�e par Ie nombre des intervaUes entre cenbsp;terme amp; Ie premier. Ainfi , dans la progreffion 2 ,nbsp;5,8, II, 14,17, amp;c. dont la diff�rence eft 3, ilynbsp;a, entre Ie fixieme terme amp; Ie premier, cinq inter-valles; c�efl: pourquoi ce fixieme terme eft �gal aunbsp;premier, plus Ie produit 15 de la diff�rence commune 3 par 5. Or, comme ce nombre d�intervallesnbsp;eft toujours moindre de 1�unit� que Ie nombre desnbsp;termes , il fuit qu�on aura chaque terme dont onnbsp;connoitra Ie rang , en multipliant la differencenbsp;commune par Ie nombre qui exprime ce rang ,nbsp;diminu� de Tunit�. Ainfi Ie centieme terme d�unenbsp;progreffion croiffante fiera �gal au premier, plusnbsp;99 fois la diff�rence commune. Si elk eft d�croif-fante, ce fera k premier terme, diminu� de c^nbsp;m�me produit.

(a) Comme les quantit�s appell�es negatives ne font que des quantit�s r�elles , prifes dans un fens contraire anbsp;Celui des quantit�s appell�es pofitives, il eft �vident que ,nbsp;dans la rigueur math�matique amp; analytique, la progreffionnbsp;arithm�tique fe continue a I�inflni, autant en d�croiffantnbsp;qu en croifi'ant; mals nous nous �non^ons ici comme on Ienbsp;�ait vulgairement.

tique dont on connoit la difference commune , utt terme quelconque dont la place eft connue, mul-tipliez cette difference par Ie nombre cjui indiquenbsp;cette place , diminu� de 1�unit� , amp; ajoutez Ienbsp;produit au premier terme ff la progreffion va ennbsp;croiflant, amp; 6tez-le ff elle va en d�croiffant;nbsp;vous aurez Ie terme cherch�.

2,� Dans route progreffion arithm�tique, Ie premier amp; Ie dernier termes font une fomme �gale a celle du fecond amp; de 1�avant-dernier, a celle dunbsp;troiffeme amp; de I�antepenultleme, amp;c, enfin �galenbsp;a la fomme des termes moyens , ff Ie nombre desnbsp;termes eft pair, ou au double du moyen , ff cenbsp;nombre de termes eft impair.

Cela eft aif� a d�montrer d�apr�s ce qu�on vient de dire : car nommons Ie premier terme A , Scnbsp;fuppofons, par exemple, vingt termes a la progreffion ; Ie vingtieme, ff elle eft croiffante , feranbsp;done �gal a A plus dix-neuf fois la differencenbsp;commune, amp; leur fomme fera deux fois Ie premiernbsp;terme plus dix-neuf fois cette difference. Or Ienbsp;fecond terme eft �gal au premier plus la differencenbsp;commune; amp; Ie dix-neuvieme terme, ou l�avant-dernler dans notre fuppofition , eft �gal au premier plus dix-huit fois la difference, Auffi la fommenbsp;du deuxieme amp; de l�avant-dernier eft deux fois Ienbsp;premier terme plus dix - neuf fois la differencenbsp;commune ; amp; ainfi du troiffeme amp; de l�ant�p�-nultieme.

3� Cette dernlere propri�t� fert a d�montrer aif�ment comment on peut trouver la fomme denbsp;tous los termes d�une progreffion arithm�tique;nbsp;car, puifque Ie premier amp; Ie dernier termes fontnbsp;une ni�me fomme que Ie deuxieme 5c Ie p�nulr

AritHM�T�QUE. Chap. FII. ^5 tieme, Ie tro�fieme amp;rant�p�nultieme , amp;c, enfinnbsp;�jiie les deux inoyens , fi Ie nombre des termes eftnbsp;pair; il fuit que la progreflion contient en totalnbsp;aiitant de fois la fomme du premier amp; du derniernbsp;termes, qu�on peut faire de pareils couples. Orcenbsp;nombre de couples eft �gal a la moiti� du nombrenbsp;des termes ; conf�quemmentla fomme de toute lanbsp;progreflion eft �gale au produit de la fomme desnbsp;premier amp; dernier termes , multipll�e par la moi-ti� du nombre des termes-, ou , ce qui revient aunbsp;tn�me, a la moiti� du produit de la fomme desnbsp;premier amp; dernier termes, par Ie nombre de ceuxnbsp;de la progreflion.

Si ie nombre des termes eft impair , par exem-ple, c), il eft aif� de voir que Ie terme moyen eft la moiti� de la fomme des deux qui l�avoifinent,nbsp;^ par conf�quent de la fomme du premier amp; dunbsp;dernier. Or la fomme de tous les termes, Ie moyennbsp;except�, eft �gale au produit de la derniere fommenbsp;des premier amp; dernier par Ie nombre des termesnbsp;diminu� de l�unit�, par exemple par 8, dans Ienbsp;cas propof� oii il y a neuf termes; conf�quem-ment, en y ajoutant Ie terme moyen qui complet-tera la fomme de la progreflion , amp; qui eft �gal anbsp;Ia demi-fomme des premier amp; dernier termes,nbsp;on aura, pour la fomme totale de la progreflion,nbsp;autant de fois la demi-fomme ci-deflTus , qu�il y anbsp;de termes dans la progreflion ; ce qui eft la in�menbsp;chofe que Ie produit de la demi-fomme des premier amp;; dernier termes par Ie nombre de ces termes , OU Ie produit de cette fomme pat la moiti�nbsp;du nombre,des termes.

Lorfqu�on aura bien connu les regies pr�c�-dentes , ft fgra aif� de r�foudre les queftions qui fiiivent.

II y a un panier amp; cent caillotix rang�s en ligne droite amp; d des effaces �gaux d'une toife. Onnbsp;propofe de les ramaffer amp; les rapponer dans Ienbsp;panier un d un , en allant d'abord chercher Ienbsp;premier , enfuite le fecond, amp; ainf de fuitejuf-quau dernier. Combien deloifesdoit faire celuinbsp;qui entreprendra eet ouvrage ?

Il eft bien clair que pour Ie premier caillou 11 faut faire deux toifes, une pour aller , amp; l�autrenbsp;pour revenlr ; que pour Ie fecond il faut faire qua-tre toifes, deux pour aller, deux pour revenir; Sinbsp;ainfi de fuite, en augmentant de deux jufqu�aunbsp;centieme, qui exigera deux cents toifes de chemin,nbsp;cent pour aller, cent pour revenir. II eft d�ailleursnbsp;facile d�appercevoir que ces nombres forment unenbsp;progreflion arithm�tique, dont Ie nombre des ter-mes eft loo; Ie premier 2, Sc Ie centieme 200.nbsp;.Ainfi la fomme totale fera Ie produit de 202 parnbsp;50, OU loioo toifes; ce qui fait plus de quatrenbsp;lieues moyennes de France, ou cinq petites lieues.

IL n�eft done pas �tonnant que ceux qui n�ont pas de connoiftances math�matiques ne fe perfua-dent pas qu�une pareille entreprife exige tant denbsp;chemin. On a vu , il y a quelques ann�es, aunbsp;Luxembourg , une perfonne parler qu�elle iroit denbsp;ce palais au chateau de Meudon toucher la grillenbsp;d�entr�e , Sc reviendroit au Luxembourg , avantnbsp;qu'une autre e�t ramafte cent pierres efpac�es

Ar�THM�TIQ�E. Chap. vil. lt;^5 Comrne ci-cleffus, amp; fous les m�ines conditions,nbsp;i-a derniefe ne pouvoit fe Ie perfuader, amp; gageanbsp;wne fomme aflea forte; mais elle perdit. Et ennbsp;�det elle devoit perdre ; car ]e doute qu�il y aitnbsp;Luxembourg a Meudon 5050 toifes, ce qui ennbsp;poyr aller amp; revenir loioo. Or celui qui alloitnbsp;Meudon avoit, fur celui qui ramaffoit les pierres ,nbsp;^ ^-Vantage de n�avoir pas a fe baifler cent fois denbsp;^Liite amp; fe relever autant de fois; ce qui devoitnbsp;^^tr�mement ralentir fon operation. Aufll la pre-��iiere fut-elle de retour , a ce qu�on m�a racont�,nbsp;*�ue l�autre �toit a peine a la quatre-vingt-cin-^I^teme pierre.

PROBL�ME II.

Proprlkaire cjl convenu avec �n Magon qui doit i-ui creufer un puits , de lui donner trois livresnbsp;pour la premiere toife de profondeuf, cinq pournbsp;la feconde ,fept pour la troijicme^ amp; ainfi jufquanbsp;la viugtieme toife inclujivement, ou il doit ren~nbsp;contrer 1 eau. On demande combien il fera d� aunbsp;Magon quaiid il aura fini fon ouvrage gt;

L A r�ponfe efl: facile, au moyen des regies don-^�es plus haut: car la difference des term�s eft ici ^ 5 Ie nombre des termes efl: 20; conf�quemment,nbsp;Pour avoir Ie vingtieme terme, il faut multipliernbsp;^ par 19 , amp; ajouter Ie produit 3833, premiernbsp;terme; ce qui donnera 41 pour Ie vingtieme terme.

Ajoutez enfuite Ie premier amp; dernier termes, Ceft-a-dire 3 amp; 41, ce qui donne 44, amp; multi-P�ez cette fomme par lo , moiti� du nombre desnbsp;termes; vous aurez 440 pour la fomme de tous lesnbsp;termes de la progrelflon, Sc pour Ie prix total denbsp;t�ouvrage.

Z/n Propri�taire �tant convenu avec un Ma.-qon , pour creufer un puits de vingt toifes de profondeur, de lui payer une fomme degoo livres,nbsp;ce Magon tombe malade d la huitieme toifc , amp;nbsp;ne peut continuer l�ouvrage. On demande comrnbsp;bien il lui ejl dii?

C E feroit afTur�ment fe tromper, que de pr�ten-dre qu�il fut du a eet ouvrier les deux cinquiemes du prix total., paree que 8 toifes font les deuxnbsp;cinquiemes de la profondeur eonvenue : ear 11 eftnbsp;alf� de voir que la peine augmente a mefure qu�onnbsp;parvient a une plus grande profondeur. On fup-pofe au refte, car il leroit difficile de Ie determiner pr�cif�ment, que la difficult� croit arithm�-tiquement comme la profondeur, enforte que Ienbsp;prix doive croitre de m�me.

II faut done , pour r�foudre ce probl�me, dif-tribuer la fomme de 400 livres en vingt termes qui foient en progreffion arithm�tique : la fomme desnbsp;buit premiers donnera ce qui eft d� au maqonnbsp;pour fon ouvrage.

Mais la fomme de 400 livres peut �tre diftribu�e en vingt tennes arithm�tiquement proportionnelsnbsp;de bien, des manieres diff�rentes , fulvant qu�onnbsp;d�termlnera Ie premier terme qui eft ici ind�ter-nvin� : car li on Ie fuppofoit, par exemple , d�unenbsp;livre, la progreffion feroit t, 3, 5? 7i dontnbsp;39 feroit Ie dernier terme ; ce qui donneroit pournbsp;les hult premiers termes la fomme de 64 livres. Annbsp;contraire , ft on Ie fuppofoit, par exemple, 10^�

Aritm�tique, Chap. VII. Cj Alnfi, pour r�foudre Ie probl�me convenable-, Sr affigner avec �quit� ce qui eft d�, dansnbsp;Ie cas propof�, a 1�ouvrier pour ce commencementnbsp;d�ouvrage, il faudroit commencer par determinernbsp;que vaut �quitablement line toife d�ouvragenbsp;lemblable a la premiere , amp; prendre ce prix pournbsp;ptemier terme de la progreffion. Je fuppofe quenbsp;prix foit la fomme de 5 livres: alors on auranbsp;Pour la progreffion cherch�e

Pourtrouver done la fomme des buit premiers kermes, il faut d�abord trouver Ie huitieme terme ,nbsp;^ pour eet effet multiplier la difference commune, OU par 7, ce qui donne n l�ajouternbsp;9u premier terme 5, ce qui donne pour ce huitiemenbsp;�etme l�-^t ajoutez-y encore Ie premier terme ,nbsp;^ multlpUez la fomme 21 �� pat 4 ; ie produitnbsp;ffi fomme des buit premiers termes , ounbsp;qui eft d� a 1�ouvrier pour la portion d�ouvragenbsp;ftu�il afaite.

homme dolt 18 Co livres a un criancur qui veut Vien lui fadliter Ie moyen de s�acquiiter en unnbsp;nn, fous les conditions fuivantes ; fgavoir, denbsp;lui payer Ie premier mois la fomme de 100 , amp;nbsp;^nfuite chaque mois une fomme de plus que Ienbsp;pr�c�dent, jufqii au doufieme qui complettera Ienbsp;paiement, On demande quelle tf cette fommenbsp;dont Ie paiemerit de chaque mois doit �tre aug~nbsp;ment� }

ce probldme, lies paieroents a faire de *bojs en mois doivent augmenter en progreffion

Eij

arithm�tlque , amp; 1�on a la fomme des termes ^ fqavoir, ladite fomme totale due : on connoitnbsp;aufll four nombre , qui efl: i z. Mals la differencenbsp;ties termes eft inconnue ; car c�eft celle dont lesnbsp;paiements doivent croitre de mois en mois.

Pourlalrouver, �tez d�abord de la fomme totale Ie premier paiement multipli� par Ie nombre des termes , c�eft-a-dire ici i zoo livres, il refteranbsp;660 ; multipliez enftiite Ie nombre des termesnbsp;dimlnu� de runit� ou 11 , par la molti� dunbsp;nombre des termes ou 6, vous aurez Ie nombrenbsp;66, par lequel vous dlviferez Ie refte 660 : Ienbsp;quotient fera i o , amp; fera la difference cherch�e.nbsp;Ainff Ie premier paiement �tant loo, Ie fecondnbsp;fera 110 , Ie troifieme i zo, enfin Ie dernier zio.

Lorfqu�on a une fuite de termes dont chacun eft Ie produit du pr�c�dent par un m�me nombre, ou,nbsp;ce qui eft la m�me chofe , dont chacun eft au pr�c�dent dans Ie m�me rapport, ils forment ce qii�ounbsp;appelle une progreftion g�om�trique: ainfi i, 2 gt;nbsp;4, 8, �6, amp;c. forment une progreftion g�om�trique; car le fecond eft Ie double du premier, fonbsp;troifieme Ie double du fecond, amp; ainfi de fuite.nbsp;Les termes 1,3,9, ^7�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, amp;c. forment auffi une

progreftion g�om�trique , chaque terme �tant tri' ple de celui qui Ie pr�cede.

I. La principale propri�t� de la progreftTioR g�om�trique eft que, fi l�on prend de fuite troi*nbsp;termes quelconques, comme 3,9,27 , Ie produitnbsp;SI des extremes eft �gal au quarr� du terme moyeit

Ar�thm�tique. Chap. VIL

5 � de m�ine fi I�on en prend quatre de fulte, comme 5,9, 27, 81, Ie produit des extremesnbsp;^43 5 eft �gal au produit des deux moyens 9 amp; 27.

Enfin, li l�on prend un nombre quelconque de ^uite, comine 2, 4,8, 16, 32, 64, Ie produitnbsp;des extremes 2 amp; 64, eft �gal au produit des deuxnbsp;Sui en font �galement �loign�s , l^qavoir 4 amp; 32 ,nbsp;pu bien 8 amp; 16. Si Ie nombre des termes �toitnbsp;^'^pair, il eft �vident qu�il y auroit un terme unique �galement �loign� des deux extr�mes.; amp;nbsp;^lors Ie quarr� de ce terme feroit �gal au produitnbsp;des extr�mes, ou de deux autres quelconques,'nbsp;�galement �loign�s d�eux ou du moyeii.

II. II y a entre la progreffion g�om�trique amp; A Progreffion arithm�tique une analogie qui doitnbsp;otre remarqu�e ici, amp; qui confifte en ce que cenbsp;convient a la derniere en employant ^additionnbsp;di la fouftraftion , convient i l�autre en y employant la multiplication amp; la divifion. Lorfquenbsp;dans la derniere on prend la moiti� ou Ie tiers,nbsp;dans la premiere on empioie l�extraftian de lanbsp;racine quarr�e, ou cubique , 8tc.

Ainfi, pour trouver un nombre moyen arithm�-*ique entre deux autres, par exemple 3 , 12, on ^Joute les deux extremes donn�s, amp; l�on prend lanbsp;�rioiti� 7 ^ de la fomme 15, qui eft Ie nombre cher-: mais pour trouver un moyen g�om�triquenbsp;^ritre deux nombres , on multiplie les extr�mesnbsp;donn�s, amp; l�on tire la racine quarr�e du produit.nbsp;^oient, par exemple, ces nombres 3, 12; leurnbsp;Ptoduit eft 36 , dont la racine quarr�e 6 eft Ienbsp;Nombre cherch�.

Si l�on a une progreffion g�om�trique quelcon-� comme 1,2,4, nbsp;nbsp;nbsp;16, 32, 64, amp;c. amp;

cleffous, les termes cl�une progreffion arlthm�tiqu�f par ordie au defius de ceux de la progreffion g�o-m�tricpie,

01234 nbsp;nbsp;nbsp;56nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10

, I 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

1� Qu�on prenne deux termes quekonques de la' progreffion arithmetiquepar exemple 4 amp; 64,nbsp;amp; qu�on les multiplie, leur produit eft 256. Qu�oiinbsp;prenne pareillement les deux termes de la progreffion g�om�trique r�pondants a 4 amp; 64, quinbsp;font 2� amp; 6 , amp; q��on les ajoute , la fomme 8nbsp;f�pondra au produit ci-deffus 256.

2� Prenez dans la progreffion inf�rieure quatre termes en proportion g�om�trique,, par exemplenbsp;2, 16,; 64, 512 ; les nombres de la progreffionnbsp;fuperie.ure correfpondants feront 1,4, 6, 9 , quinbsp;font en proportion arithmetique, car la diff�rencenbsp;d� 4 a I eft la merne que celle de 9 a 6.

3� Si I�on prend dans la fuite inf�rieure un nombre quarre , 64 par exemple , amp; dans la fuitenbsp;fuperieure le terme cpii lui repond, fqavoir 6 , lanbsp;moitie de ce dernier, 3, fe trouvera r�pondre a lanbsp;racine quarr�e de 641 fqavoir 8.

En prenant dans la iuite inf�rieure un cube, par exemple ^12, Se dans la fuperieure le nombrenbsp;correfpo.nclant 9, il fe trouve que le tiers de cenbsp;d.erhier, qui eft 3 , eft auffi correfpondant a lanbsp;racine cubique 8 du premier.

Ainli 1�on voit que_ ce qui, dans la progreffion g�om�trique, eft multiplication, eft addition dansnbsp;raritliinstique; ce qui eft divifion dans la prc'

iRiere, eft fouftraftion dans la derniere ; ce qui eft enfin extraftion de racine quarr�e, cubique, amp;c.nbsp;dans la progrefiion g�om�trique, eft fimple d'wl-fton par % , par 3 , amp;c. dans rarithm�tique.

Cette analogie remarquable eft Ie fondement de la th�orie vulgaire des logarithmes; amp; nous anbsp;paru par cette raifon m�riter que nous entraffionsnbsp;ici dans quelques d�tails a fon ftijet.

III. nbsp;nbsp;nbsp;II eft �vident que toutes les puififances parnbsp;ordre d�un m�me nombre, forment une progref-fion g�om�trique ; telle eft; la fuivante , qui eftnbsp;Celle des puififances du nombre 2,

2 4 8 nbsp;nbsp;nbsp;16nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;32 64nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;128nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;c,

3 nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;81nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;243nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;729nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;c.

La premiere de ces fuites a une propri�t� particuliere , fqavoir , que ft Ton prend les premier deuxieme, quatrieme, huitieme, feizieme , trente-deuxiemq termes, qu�on y ajoute Tunit�, 11 ennbsp;refultera des nombres premiers.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;On appelle I�expofant d�une progreflionnbsp;g�om�trique, le nombre qui r�fulte de la divilionnbsp;d�un terme quelconque par celui qui le pr�cede^:nbsp;ainfi , dans la progrefifion g�om�trique 2,8,32,nbsp;128, 512 , I�expofant eft 4; car, en divifant 128nbsp;par 32 , ou 32 par 8 , ou 8 par 2 , le quotient eftnbsp;toujours 4. Ainfi I�expofant joue dans la progref-fion g�om�trique, le m�me r�l� que la diff�rencenbsp;dans la progreflion arithm�tique, c�eft-a-dire qu�ilnbsp;eft toujours conftant.

Pour trouver done, dans une progreflion geo-ntetrique dont le premier terme amp; I�expofant font

Recreations Math�matiques, connus, un terme quelconque , par exetnple Ienbsp;huitieme , multipliez eet expofant par lui - m�menbsp;lept fois de fulte, ou autant de fois qu�il y a d�u-nit�s dans fon rang, moins un ; ou, ce qui eft lanbsp;m�me chofe, �levez eet expofant a la feptiemenbsp;puiffance; enfin multipliez Ie premier terme par Ienbsp;produit: Ie nouveau produit fera Ie huitieme termenbsp;chereh�. Soit, par exemple, Ie premier terme 3 ,nbsp;amp; 1�expofant de la progreffion 2 : pour avoir Ienbsp;huitieme terme, on prendra la feptieme puiffancenbsp;ffe 2 , qui eft 128; multipliez enfuite par 128 Ienbsp;premier terme 3; Ie produit, qui fera 384, don-nera Ie huitieme terme cherch� de la progreffion.

Remarquons ici que s�il e�t �t� cfueftion d�une progreffion arithm�tique dont Ie premier termenbsp;e�t �t� donn� ainfi que la difference, amp; qu�one�tnbsp;voulu avoir Ie huitieme terme, on e�t multipli�nbsp;cette difference par 7, amp; on e�t ajout� Ie produitnbsp;lau premier terme. On voit par conf�quent icinbsp;une fuite de 1�analogie remarqu�e dans Ie para-graphe III.

V. On trouve la fomme des termes d�une progreffion g�om�trique d�termin�e, de la maniere fuivante.

Multiplu\ h premier terme par lul-m�me , amp; Ie dernier par Ie fecond, amp; prenet^ la diff'�rence de cesnbsp;deux produits,

Divife^ enfuite cette difference par celle des deux premiers termes, Ie quotient fera la fomme de tousnbsp;les termes.

Soit, par exemple , la progreffion 3,6, 12, 14, amp;c. dont Ie huitieme terme eft 384, amp; qu�onnbsp;demande la fomme de ces huit termes; Ie produitnbsp;du premier par Ufi-m�me eft 9, celui du derniernbsp;par Ie fecond eft 2304, la diff�rence eft 2,295:

Arithm�tique. Chap. FIL 7J ^^vlfez done 2,195 P^�quot; 3� difference des premiernbsp;p Pecond termes , amp; vous aurez pour quotientnbsp;Ie nombre 765 , qui fera la fomme de ces huitnbsp;termes,

Une progreflion g�om�trique peut d�cro�-a l�infini, fans qu�on parvienne jamais a z�ro ; il eft �vident qu�une partie quelconque d�unenbsp;H'^antit� qui eft plus grande que z�ro, ne peutnbsp;l3mais �tre z�ro, Ainfi une progreflion g�om�tri-*lue d�croiflante peut fe prolonger a l�infini: il n�ynbsp;^ qu�a divifer Ie dernier terme par 1�expofant de lanbsp;progreflion , amp; l�on aura Ie terme fuivant. Voidnbsp;riuelques exemples de progreflions g�om�triquesnbsp;d�croiffantes:

VII, La fomme d�une progreflion g�om�trique croiflante amp; continu�e a l�infini, eft �videmmentnbsp;infinie: mais celle d�une progreflion g�om�triquenbsp;d�croiffante, quelque nombre de termes qu�on ennbsp;prenne , eft toujours finie, Ainfi la fomme de tousnbsp;^es termes a l�infini de cette progreflion i,

^c. n�eft que 2 ; celle de la progreflion i , j, ^, ^c. a l�infini, n�eft que i ~, amp;c. Cela fuit n�cef-Pairement de la m�thode donn�e plus haut pournbsp;trouvef la fomme de tant de termes qu�on voudranbsp;d�une progrelfion g�om�trique; car fi nous la fup-Pofons prolong�e a l�infini amp; d�croilTante, Ie der-raier terme fera infiniment petit ou z�ro : ainfi Ienbsp;produit du fecond terme par Ie dernier fera z�ro ;nbsp;di conf�quemment il n�y aura qu�a divifer Ie quarr�nbsp;du premier terme , par la diff�rence du premiernbsp;�t du fecond. C�eft ainfi qu�on a trouv� que l ,

^ gt; i ? i 5 amp;c. a 1�infini, eft egal a 2 , amp; que I f y, y,=i:|ou ly; car le quarre de i eft i, la difference de I amp; I i eft : enfin l�unit� divlf�e par ^nbsp;donne 2 ; de m�me i , �tant dlvif� par y, qui eltnbsp;la diff�rence de i amp; de j , donne y.

Lorsqu�on dit qu�une progreffion continue'e a I�infini peut ctre �gale a une quantite finie, onnbsp;ne pretend pas , a I�exemple de M. de Fontenelle ,nbsp;dire que I�infini puifie avoir une exiftence reelle.nbsp;Ce qu�on entend fieulement par-la, amp; a quoil�onnbsp;doit reduire toutesles expreffions femblables , c�eft;nbsp;que, quelque nombre de termes qu�on prenne denbsp;la progreffion, leur fomme ne fqauroit �galer lanbsp;quantite finie d�termince , quoiqu�elle en appro-che de maniere, que leur difference peut devenirnbsp;plus petite qu�aucune quantite affignable.

Achilh va dix fois plus vite quune tortm qui A une Jladc d'avance. On dcmande s'll ejl pojfjiblcnbsp;qu it Vatteigne^ amp; a quelle dijlance il 1'atteindra?

Cette queftion n�a de la c�l�brit� que paree que Zenon, chef des Stoiciens, pretendoit, par unnbsp;fiophifme , prouver qu�Achille n�atteindroit jamaisnbsp;la tortue : car , difoit-il , pendant qu�Achille feranbsp;une ftade , la tortue en aura fait une dixieme ; amp;nbsp;pendant qu�il fera cette dixieme , la tortue ennbsp;fera une centieme qu�elle aura encore d�avance;nbsp;6c ainfi a I�infini: par confequent il s�ecoulera unnbsp;nombre infini d�inftants avant que le h�ros ahnbsp;atteint le reptile : done il ne 1�atteindra jamais.

ArITHM�TIQUE. Chap. FlI. 7J pour voir qu�Achille atteindra bientot la tortue ,nbsp;puifqu�il la d�paffera. D�oii vient done Ie fo-phifme ? Le voici.

Achille n�atteindrolt en effet jamais la tortue, ^ les intervalles de temps pendant lefquels on fup-Pofe qu�il a fait la premiere ftade , amp; enfuite lesnbsp;^ixieme, centieme, millieme de flades que la torque a eus fucceffivement d�avance fur lui, etoientnbsp;�gaux; mais en fuppofant qu�il ait fait la premierenbsp;fiade dans lo minutes de temps, il ne mettranbsp;qu�une minute a parcourir une dixieme de ftade ,nbsp;enfuite de minute pour parcourir une centieme,nbsp;amp;c : ainfi les intervalles de temps qu�Achille em-ploiera a parcourir 1�avance que la tortue a gagn�enbsp;pendant le temps pr�c�dent, iront en d�croiflantnbsp;de cette maniere , lo, i,-7^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, 77^ , amp;c.

ce qui forme une progreffion g�om�trique fous-decuple, dont la fomme eft �gale a 11 C�eft I�intervalle de temps apr�s leejuel Achilie auranbsp;atteint la tortue?

Ces deux aiguilles d�une pendule d minutes partent enfemhle du point de midi. On demande quelsnbsp;feront les points du cadran oii elles fe rencontre-ront fuccejjivement , pendarit unc revolutionnbsp;entiere de celle des heures ?

Ce probleme, confid�r� d�une certaine maniere, ne differe pas du pr�c�dent. L�aiguille des minutesnbsp;joue ici le r�le que faifoit Achille dans le premier ;nbsp;amp; celle des heures, qui va douze fois moins vite ,nbsp;celui de la tortue. Enfin, li 1�on confidere 1�aiguillenbsp;lt;ies heures comme commenlt;^ant une feconde r�vo-

76 Recreations Math�matiqe�Es. lution, amp; celle des minutes comme commenqantnbsp;la premiere, I�avance de I�line fur I�autre fera unnbsp;tour entier du cadran. Lorfque celle des minutesnbsp;aura fait une revolution , celle des heures en auranbsp;fait une douzieme ; amp; ainfi progreffivement. Hnbsp;n�eft done queftion , pour refoudre ce probleme ,nbsp;que d�appliquer a fes donnees la m�thode employeenbsp;pour celui de la tortue , Sc.l�oR trouvera que 1�in-tervalle, depuis midi jufqu�au point ou fe rencon-treront de nouveau les deux aiguilles, fera de lanbsp;revolution entiere ; ou , ce qui revient au mdme,nbsp;celui d�une heure amp; ~ d�heure. Elies fe rencon-treront enfuite a i heures amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, a 3 heures amp; -;V�

On peut auffi refoudre le probleme fans conlT-deration de la progreffion g�om�trique; car, puif-que I�aiguiHe des minutes va douze fois auffi vite que celle des heures, la premiere parcourra , dansnbsp;le temps �coul� depuis leur depart du point denbsp;midi jufqu�a leur nouvelle rencontre, un efpacenbsp;egal a douze fois le chemin de la feconde depuisnbsp;ce merne point de midi; par confequent ce chemin fera de la revolution entiere , ainfi qu�it eftnbsp;aife de fe le demontrer.

PROBLEME III.

l/n homme ay ant fait quelquc chofe de fort agr�ahle d un fouverain , celui-ci veut le r�compenfer, �rnbsp;ltd ordonne de faire la demande quil voudra, luinbsp;promettant quelle lui fera accordee. Cet hommenbsp;qui if infruit dans la fcience des nomhres, fe-home d fuppHer le monarque de lui faire donnednbsp;la quantk� de bled qui proyiendroit en commen-

^ant par un grain ^ amp; m doublant foixantc~ trois fois de fuite. On demande quelle ejl lanbsp;yaleur de cette r�compenfe ?

Un auteur Arabe, Al-Sephadi, raconte l�ori-gine de ce probl�me d�une maniere aflez curieufe pour trouver place ici. Un rol de Perfe , dit-ii,nbsp;^yant imagine Ie jeu de Trie - true , en �toit toutnbsp;glorieux. Mais il y avoit dans les Etats d�un roinbsp;tie 1�Inde un math�maticien nomm� SejJ�a , Illsnbsp;de Daher, qui inventa Ie jeu AUchecs. II Ie pr�-fenta a fon maitre, qui en fut fi fatisfait, qu�ilnbsp;Voulut lui en donner une marque digne de fa magnificence , amp; lui ordonna de demander la r�compenfe qu�il voudroif, lui promettant qu�elle luinbsp;leroit accord�e. Le math�maticien fe borna a de-�^ander un grain de bied pour la premiere cafe denbsp;fon �chiquier, deux pour la feconde, quatre pournbsp;la trolfieme, amp; ainfi de fuite, jufqu�a la dernierenbsp;OU la foixante-quatrieme. Le prince s�indigna pref-que d�une demande qu�il jugeoit r�pondre mal anbsp;fa lib�ralit�, amp; ordonna a fon vifir de fatisfairenbsp;Seffa. Mais quel fut 1��tonnement de ce miniftre,nbsp;lorfqu�ayant fait calculer la quaiitit� de bied n�-oeffaire pour remplir 1�ordre du prince , il vit qiienbsp;iion-feulement il n�y avoit pas aflez de grains dansnbsp;fes greniers , mais m�me dans tous ceux de fesnbsp;fujets amp; dans toute l�Afie ! II en rendit compte aunbsp;toi, qui fit appeller le math�maticien , amp; lui ditnbsp;qu�il reconnolffolt n��tre pas affez rkhe pour rem-phr fa demande, dont la fubtilit� 1��tonnoit encorenbsp;plus que l�invention du jeu qu�il lui avoit pr�fent�.

Telle eft, pour le remarquer en paffant, 1�origine du jeu des Echecs, du moins au rapport de 1�hido-rien Arabe Al-Sephadi, Mais ce n�eft pas lei notre

objet de difcuter ce qul en eft :'occupons-nous du calcul des grains demand�s par Ie math�maticiennbsp;Seffa.

On trouve, en faifant ce calcul, que Ie foixante-quatrieme ferme de la progreffion double en com-nienqant par Tunit� , eft Ie nombre 9x1337205 lt;5854775808. Or , dans la progreffion doublenbsp;commenqant par Tunit� , la fomme de tons lesnbsp;termes fe trouve en doublant Ie dernier amp; en �tantnbsp;Funit�. Ainfi Ie nombre des grains de bied n�cef-faire pour remplir la demande de Sefla , �toit Ienbsp;fuivant, 1844674407370955 1615. Or 1�on trouvenbsp;qu�une livr� de bied de m�diocre grofleur amp; m�-diocrement fee contient environ 11800 grains,nbsp;amp;: conf�quemment Ie fetier de bied , qui eft denbsp;140 livres poids moyen, en contiendroit environnbsp;3071000; je le fuppofe de 3100000: divifantnbsp;done le nombre des grains trouv�s ci-deffus par cenbsp;dernier nombre , 11 en r�fulteroit 59505620044nbsp;412 fetiers , qu�il e�t fallu pour acquitter Ia pro-mefte du roi Indien. En fuppofant encore qu�unnbsp;arpent de terre enfemenc� rendit cinq fetiers , ilnbsp;faudroit, pour produire en une ann�e la quantit�nbsp;de fetiers ci-deffiis, la quantit� de 1190111408nbsp;884arpents; ce qui faxt pr�s de buit fois la iur-face entiere du globe de la terre : car la circonf�-rence de la terre , �tant fuppof�e de 9000 lieuesnbsp;moyeitnes , c�eft-a-dire de 1280 toifes au degr� ,nbsp;fa furface entiere, y comprife celle des eaux denbsp;toute efpece, fe trouve de 148882176000 arpents.

M. Wallis envifage la chofe un peu autrement , amp; trouve dans fon Arithm�tique , que la quantit�nbsp;de bied n�ceftTaire pour remplir Ia promeffe faitenbsp;a Sefla , formeroit une pyramide de 9 milles an-glois dc longueur, de largeur amp; de hauteur ; ce

ArithM�tique. Chap. FIT. jq lt;iui revient a urte pareille pyramide qui auroit 3 denbsp;lieues (d�environ 3000 toifes ) en tout fens denbsp;^^fe, amp; trois lieues de hauteur , ou a une malTenbsp;parallelipipede de 9 lieues quarrees de bafe , furnbsp;hauteur uniforme d�une lieue. Or 3000 toifesnbsp;hauteur font 18000 pieds; ainfi ce folide efl;nbsp;^�quivalent d�un autre de 162000 lieues quarreesnbsp;^ur un pied de hauteur: d�ou il fuit que la quantitenbsp;bled ci-delTus couvriroit 162000 lieues quar-, a la hauteur d�un pled ; ce qui fait au moinsnbsp;^^ois fois la furface de la France, qui ne contient,nbsp;32 penfe , toute reduftion faite , guere plus denbsp;50000 lieues quarrees.

En fuppofant le fetier de bled a une piftole, la quantite de bled ci-deffus vaudroit 595056260nbsp;444^^0 livres , ce qui fait 5950562 milliards ,nbsp;fomme qui excede probablement toutes les ri-^hamp;ffes exiftantes fur la terre.

On propofe le m�me probl�me d�vxne autre ma-niere que voici. Un maquignon pojjede un trhs-i�^au chzval dont un hornme a envie; mais cct ache-,pcti difpofi a y mcttrc k prix convenabk, ejl f-ndicis. Le maquignon , pour k determiner par Vap-parence d'un prix mediocre , lui offre de fe contenternbsp;dll prix du vingt-quatrieme clou des fers du cheval ^nbsp;Pay� d raifon d'un denier pour k premier clou , denbsp;deux pour k deuxieme, quaere pour le troijieme, amp;c.nbsp;Jiifqu�aii vingt - quatriemc. L'acheteur, croyant knbsp;Marche fort avantageux pour lui , I'accepte. Onnbsp;demande k prix du cheval?

Ce cheval couteroit fort cher; car, en falfant calcul, on trouve que le vingt-quatrieme termenbsp;Cette progreffion i, 2, 4,8 , amp;c. eft 8388608 ;nbsp;3infi ce lerolt ce nombre de deniers que devroitnbsp;donner I�acheteur, ce qui revient a trente - quatre

2� R�CR�A-rtONS Math�matiques. mille neuf cents cinquante-deux livres dix foiiSnbsp;huit deniers. Aucun cheval Arabe de la plus noblenbsp;race ne fe vendit jamais ce prix.

Si Ie prix convenu du cheval eut �t� la valeur de tous les clous, en payant Ie premier un denier,nbsp;Ie fecond deux, Ie troilieme quatre , amp;c. il feroitnbsp;du double , moins Ie premier terme, c�eft-a-direnbsp;de 69908 liv. I f. 3 den.

Nous allons terminer ce chapitre par quelques remarques phyfico - math�matiques fur la prodi-gieufe f�condit� , amp; la multiplication progreffivenbsp;des animaux amp; des v�g�taux , qui auroit lieu linbsp;les forces de la nature n��prouvoient pas conti-iniellement des obftacles.

I. On ne fera point �tonn� que la race d�A-braham, apr�s 260 ans de f�jour en Egypte, ait pu former une nation capable de donner de 1�in-qui�tude aux fouverains du pays. En effet, TEcri-tiire raconte que Jacob s��tablit dans cette contr�enbsp;avec foixante-dix perfonnes: je fuppofe que denbsp;ces foixante - dix perfonnes il y en e�t vingt, ounbsp;trop avanc�es en age, ou trop jeunes pour �trenbsp;propres a la generation; que des cinquante au-tres reftantes il y en eut vingt-cinq males amp; vingt-cinq femelles, formant vingt-cinq mariages ; quenbsp;chaque couple enfin e�t produit dans la dur�e denbsp;vingt-cinq ans, huit enfants l�un portant 1�autre,nbsp;ce qui ne paroit pas difficile a croire dans un paysnbsp;renomm� par la f�condit� de fes habitants; onnbsp;trouvera qu�au bout de 25 ans ce nombre- denbsp;foixante-dix a pu s�accroitre jufqu�a deux centsnbsp;foixante-dix , dont �tant les morts, il n�y a peut-�tre pas d�exag�ration a Ie porter a deux cents dix:.nbsp;ainli la race de Jacob a pu �tre tripl�e apr�s vingt-cinq ans de f�jour en Egyp*-^�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m�me raifon

Arithmetique. Chap. Fit. 8� deux cents dix perfonnes, apr�s vingt-cinqnbsp;3titres ahnees, ont pu s�augfflenter jufqu�a fix centsnbsp;�iente, amp; ainfi de fuite en progreffion g�om�tri-triple; d�oii il fuit qu�apr�s deux cents vingt-^inq ans, la population a pu monter anbsp;perfonnes, parmi lefquelles il a pu aif�ment y ennbsp;^voir ^ a 600 mille adultes amp; en �tat de porter'nbsp;^es armes.

II. nbsp;nbsp;nbsp;En fuppofant quela race du premier homme,nbsp;Joute deduftion faite des morts, e�t double tousnbsp;*es vingt ans, ce qui n�efl: affurement pas contraire

forces de la nature , le nombre des hommes , ^pr�s cinq fiecles, a pu monter a 1048^76. Ainfi ,nbsp;Adam ayant v�cu environ 900 ans, il a pu voirnbsp;au milieu de fa vie , c�eft-a-dire vers 1�an 500 denbsp;Ion age , une poft�rit� de 1048576 perfonnes.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Quelle ne feroit pas la multiplication denbsp;plufieurs animaux, fi la difficult� de la fubfiftance,nbsp;u la guerre que les uns font aux autres , ou la con-foinmation qu�en font les hommes, ne mettoientnbsp;pas des bornes a leur propagation? Il eft aif� denbsp;fi�montrer que la race d�une truie qui auroit mis

fix petits, dont deux males amp; quatre femelles , fuppofant enfuite cbaque femelle mettre hasnbsp;Pareillement cbaque ann�e fix petits^ dont quatrenbsp;I^nielles amp; deux males , monteroit, apr�s douzenbsp;a 33^^4230.

Plufieurs autres animaux , comme les lapins , chats, amp;c. qui ne portent que pendant quel-^ues femalnes, multiplleroient encore avec bien,nbsp;plus de rapidite : la furface de la terre ne fufSroitnbsp;P^s, apr�s un demi-fiecle feulement, pour leurnbsp;donner la fubfiftance , ou m�ine pour les contenir.

Il ne faudroit qu�un bien petit nombre d�annees pour qu�un hareng remplit I�Ocean de fa poft�rit� j.nbsp;Tome I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F

Sz Recreations Math�matiques. fi tons fes oeufs �toient f�cond�s; car il n�eft guerenbsp;de poiffon ovipare qui ne contienne plufieurs mil-'nbsp;liers d�oeufs qu�il jette dans Ie temps du frii. Sup-pofons que ce nombre monte feulement a 2000 ,nbsp;qui donnent naiffance a autant de poiffons, moiti�nbsp;males , moiti� femelles : dans la feconde ann�e ilnbsp;y en auroit plus de 200000 ; dans la troifieme ,nbsp;plus de 200000000; amp; dans la huitieme ann�enbsp;ce nombre furpafferoit celui qui eft exprim� par 2nbsp;fuivi de 24 z�ro. Or la folidit� de la terre con-tient a peine autant de pouces cubes. Ainfi l�O-c�an , quand m�me il occuperoit toute la furfacenbsp;du globe terreftre Sc toute fa profondeur , ne fuffi-roit pas pour contenir tous ces poiffons.

IV. Plufieurs v�g�taux couvriroient en tr�s-peu d�ann�es toute la furface du globe, fi toutes leursnbsp;femences �toient mifes en terre ; il ne faudroit pournbsp;cela que quatre ans a la jiifquiaine , qui eft peut-�tre , de toutes les plantes connues , celle quinbsp;donne la plus grande cjuantit� de femences. D�a-pr�s quelques experiences, on a trouv� qu�une tigenbsp;de jufquiame donne quelquefois plus de 50000nbsp;grains ; r�duifons ce nombre a lOOOO; a la qua-trieme generation il monteroit a i fuivi de 16nbsp;z�ro. Or la furface de la terre ne contient pas plusnbsp;de 53597585 36000000 pieds quarr�s. Ainft , ennbsp;allouant a chaque tige un pied quarr� feulement,nbsp;Pon voit que la furface entiere de la terre ne fuffi-roit pas pour toutes les plantes provenantes d�unenbsp;feule de cette efpece a la fin de la quatrieme ann�e.

Nous ne poufferons pas cette �num�ration plus loin, de crainte de tomber dans Ie d�faut qu�onnbsp;peut juftement reprocher al�ancien auteur des/?�-criations Math�mdtlquis, II n�eft auciin le�leur anbsp;qui ce que nous venons de dire ne fuffife.

Lit qudquts autres Progreiffions , amp; tntr mtrtS damp; la ProgrtJIJion harrnoniqut.

La proportion harmonique regne entre trois nombres, lorfque Ie premier eft au dernier, coinmenbsp;la difference du premier avec Ie fecond eft a cellenbsp;ftu fecond avec Ie troifieme. Ainft les nombres 6 ,nbsp;3)2,, font en proportion harmonique; car 6 eft;nbsp;a i, comme 3 , difference des deux premiers nom-tres , eft i I , diff�rence des deux derniers. Cettenbsp;efpece de rapport eft appell� harmonique, par lanbsp;raifon qu�on verra plus bas.

I. Deux nombres �tant donn�s, on trouve Ie troifieme qui forme avec eux la proportion har-inonique, en multipliant ces deux nombres, Scnbsp;divifant leur produit par 1�exc�s du double du premier fur Ie fecond. Ainfi , �tant donn�s 6 Sc 3 ,nbsp;on a trouv� Ie troifieme en multipliant 6 par 3 , Scnbsp;divifant Ie produit 18 , par 9 qui eft l�exc�s de 12 ,nbsp;double de 6 , fur 3 Ie fecond des nombres donn�s.nbsp;Ainfi ce quotient eft 2.

II eft aif� de voir par-la qu�il n�eft pas toujours , ^tl un fens , poflible de trouver un troifieme nom-Igt;te en proportion harmonique avec deux autres ;nbsp;^2r lorfque Ie premier eft Ie plus petit, fi fonnbsp;double eft �gal ou moindre que Ie fecond , onnbsp;^�oncontrera un nombre infini, ou n�gatif. Ainfi Ienbsp;^��oifieme harmonique a 2 Sc 4, eft infini; car onnbsp;trouve que Ie nombre cherch� eft �gal i 8 divif�nbsp;par ^ OU z�ro. Or, pour peu qu�on foit arith-meticien, on fqait que plus Ie d�nominateur d�unenbsp;fraftion eft au deffous -de 1�imit�, plus la fra�lionnbsp;eft grande. Conf�quemment une fra�fion dont Ienbsp;denominateur eft p, eft infinie.

F ij

Si Ie double du premier nombre �toit moindre quele fecond , (comma il arriveroit, li 1�on pro-pofoit de trouver un troifieme harmonique a inbsp;^6') alors Ie divifeur cberch� i�roit un nombrenbsp;n�gatif: c�eft, dans l�exemple propof�, �2: c�eftnbsp;pourquoi Ie troifieme harmonique cherch� feroitnbsp;ki 12 divif� par � x , c�eft-a-dire �6 (lt;z).

Mais eet inconvenient, fi c�en eft un, n�eft pas a cralndre lorfque Ie plus grand nombre efl: Ie premier de Ia proportion ; car fi Ie premier furpalTenbsp;Ie fecond, a plus forte raifon fon double Ie furpaf-fera-t-il. Ainfi Ie troifieme harmonique fera tou-jours, clans ce cas, un nombre fini amp; pofitif.

IL Lorfqu�on a trols nombres en proportion h3rmonic[ue d�croiffante, par exemple 6, 3,2,nbsp;il efl: aif� d�en trouver un quatrieme ; il n�y a qu�anbsp;chercher un troifieme harmonique aux deux der-niers, ce fera Ie quatrieme : pareillement Ie troifieme amp; Ie quatrieme ferviront a trouver Ie cin-quleme , amp; ainfi de fuite; ce qui formera ce qu�onnbsp;appelle une progrelfion harmonique , laquelle ,nbsp;par les raifons ci-deflTus, pourra toujours fe pro-longer en d�croiflant. Dans l�exemple pr�fent,nbsp;cette fuite fe trouvera 6,3,x,A,|,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;c.

Si les deux premiers nombres euflent �t� 2 amp; i, on auroit eu la progrelTion harraonique

Ainfi c�efl; une propri�t� remarquable de la fuite des fraftions dont Ie num�rateur efl: l�iinit�, amp;nbsp;dont les d�nominateurs font les nombres de Ia

(a) Voyez ce qu�on a dit plus haut lur les quantit�s negatives, a l�occafion de la progreflion arithm�tique.

Arithm�tique. Chap. VIL 8y

En effet , ind�pendamment du rapport num�-J'ique d�fini ci-delTus, on trouve dans la fuite de ces nombres toutes les confonnances muficalesnbsp;poffibles : car Ie rapport de i a ^ donne l�oftave ;nbsp;celui de ^ a y, OU de 3 a 2 , donne la quinte; celuinbsp;y a y, OU de 4 a 3 , donne la quarte ; celui de

7 nbsp;nbsp;nbsp;a y , la tierce majeure; celui de y a y, ou de 6nbsp;a 5 , la tierce mineuve celui de | a y, ou de 9 a

8 nbsp;nbsp;nbsp;, Ie ton majeur enfin celui de y a -jfy ou de lOnbsp;a 9, Ie ton mineur. Mais ceci fera expliqu� plusnbsp;au long dans la partie de eet ouvrage relative anbsp;la mufique.

QiielU cjl la fomme de la fuite infinie des nomhres en progreffion harmonique i,y,y,y,y,y,amp;c?

On a vu que la fuite des nombres en progreffion g�om�trique , f�t-elle prolong�e a I�infini , eft toujours �gale a un noinbre fini qu�il eft aif� denbsp;ft�terminer. En eft - il de m�me dans Ie cas dunbsp;ptobl�me que nous propolons ?

Nous difons que non , quoique dans Ie Journal ftc Tr�voux (ann�e 17nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;) un auteur fe fok donn�

fieaucoup de peine a-prouverque la fomme de ces fraftions eft finie. Mais fes raifonnements fontnbsp;de vrais paralogifmes qu�il n�e�t pas bafard�s s�ilnbsp;cut �t� plus g�onietre (^) ; car il eft bien d�montr�

(a) L�infinit� de la fomme de la progreffion 75T� fuit n�ceffairement d�une propri�t� connue denbsp;1 hyperbole entte les afymptotes, f^avoir, que faire com-prife entre la courbe amp; l�afymptote, eft plus grande qu�au-cune aire finie, ou qu�elle eft, enlangage vulgaire,infinie,

xque la fuite i? � 5 j? 7, f, amp;c. peut toujours �tr� prolong�e de maniere a furpafler tout nombrenbsp;fini, quel qu�il foit.

S- IV-

T)c divcrfes Progre�ions d�croiffantes a tinfini ^ dont ori connoit la fomme^

I. On peut former, fulvant des loix diff�rentes , lune infinite de progreffions d�croiffantes fur lef-quelles les math�maticiens fe font exerc�s. Le nu-m�rateur, par exemple, �tant conftamment l�u-nit�, les d�nominateurs peuvent croitre felon lenbsp;rapport des nombres triangulaires i, 3, 6, lOjnbsp;.15, zi , amp;c. Telle eft la progreffion fuivante:

Sa fomme eft ftnie, amp; pr�cif�ment �gale a De m�me Ia fomme de la progreffion dont, lesnbsp;num�rateurs �tant conftamment 1�unit�, les d�no-minateurs font les nombres pyramidaux, comme

Celle OU les d�nominateurs font les pyramidaux du fecond ordre, comme celle-ci,

Ainfi la lol que fuivent ces fommes eft appa-rente; amp; 1�on demandoit, par exemple, quelle ^eroit la fomme de la progreffion femblable , dontnbsp;les d�nominateurs feroient les nombres pyrami-daux du dixieme ordre , il ferolt aif� de r�pondrenbsp;qu�elle eft �gale a I7V.

49 nbsp;nbsp;nbsp;99nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I6gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a59nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-56

dans laquelle les d�nominateurs font les quarr�s des nombres de la progreffion naturelle ;

Si 1�on eft curieux de fqavoir quelle eft fa fomme, nous r�pondrons, avec M. Jean Bernoullinbsp;qui 1�a trouV�e Ie premier, qu�elle eft finie,nbsp;�gale au quarr� de la circonf�rence du eerde di-�vif� par 6 , ou a 3.14152.*

Quant a celle ou les d�nominateurs font les cubes des nombres naturels , Ie m�me M. Bernoulli convient ne 1�avoir pu encore d�couvrlr.

Le Ledeur curieux de ces recherches peut re-courir a 1�ouvrage de M. Jacques Bernoulli, inti-tul� Tra^atus di Seriebus infinitis, qui eft a la fuite de celui publi� en 1713, a Bale, fous le tlfrenbsp;de Ars conjeclandi; il y trouvera amplement denbsp;quoi fe fatisfaire. II doit auffi voir divers Me-Rioires , tant de M. Jean Bernoulli, qui fe trou-�Vent dans le recueil de fes oeuvres, que de M�nbsp;Euler , qui font inf�r�s dans les M�moires denbsp;E�tersbo�rg.

F iv

CHAPITRE VIII.

J)es Combinaifons amp; Changements d�ordre,

AV A N T d�entrer en matiere, 11 ell necelTaire de deyelopper la conllruftion d�une tablenbsp;qui ell d�un grand ufage pour abr�ger les calculs :nbsp;'C�ell Ie triangle arithm�tique de M. Pafcal.nbsp;Volei comment 11 ell form�, amp; quelques-unes denbsp;fes propri�t�s.

Formez d�abord une bande AB de dix quarr�s �gaux ; au delTous de cette bande, en vous retl-rant d�un quarr� de gauche a droite , formez unenbsp;bande femblable C D, qui aura conf�quemment

Arithm�tique. Ckap. Fill. lt;?9 quarr� de moins; amp; continuez ainfi, en vousnbsp;�etiraut toujours d�unquarr�, amp;c : vous aurezunenbsp;fuite de quarr�s difpof�s par bandes verticales 6cnbsp;^wizontales, amp; finiffant par un feul, ce qui for-iin triangle divif� par compartiments �gaux jnbsp;ceft ce qui lui a fait donner Ie nom de trianglenbsp;^�'dhm�tique.

Dans chacune des cafes de la premiere bande infcrira 1�unit�, ainfi que dans chacune desnbsp;^^fes qui font fur la diagonale A E.

Enfuite on ajoutera Ie nombre de la premiere Cafe de la bande C qui eft 1�unit�, avec celui cjuLnbsp;cft dans la cafe imm�diatement au delfus, amp; onnbsp;infcrira la fomme 2 dans la cafe fuivante. On ajou-fcra pareillement ce nombre avec celui de la cal�nbsp;deffus, ce qui donnera 3 qu�on infcrira dans lanbsp;Cafe fuivante. On aura par ce moyen ia fuite desnbsp;Sombres naturels r, 2, 3,4, 5, amp;:c.

Ea maniere de remp�r les autres bandes horl-^ontales eft toujours la in�me ; chaque cafe doit ioujours contenir la fomme du nombre qui eftnbsp;'^sns la cafe pr�c�dente du m�me rang , amp; denbsp;^clui qui eft imm�diatement au defliis de cettenbsp;Caf� pr�c�dente. Ainfi Ie nombre 15, qui remplitnbsp;7 cinquieme cafe de la troifieme bande, eft �galnbsp;\ 'a fomme de 10 qui eft dans la cafe pr�c�dente ,nbsp;^ de j qui eft dans la cafe au deffus de celle-ci. IInbsp;eft de m�me de 21, qui eft la fomme de i ^nbsp;p de 6; de 3 5, dans la quatrieme ligne, qui eftnbsp;fomme de 13 amp; de 20; amp;c. amp;:c.

La premiere propri�t� de cette table eft de donner dans fes bandes horizontales les diff�rents

ipo RiCRiATIONS Math�matiques. nombres naturels, triangulaires, pyramidaux, amp;C?nbsp;car dans la deuxierne on a les nombres naturelsnbsp;1, 2,3,4, amp;c ; dans la troifieme , les nombresnbsp;triangulaires i, 3, 6, 10, amp;c; dans la qua-trieme, les nombres pyramidaux du premier ordre,nbsp;� , 4, 10, 20, 35, amp;c ; dans la cinquieme, lesnbsp;pyramidaux du deuxierne ordre, i, 5, 15, 35�nbsp;70, amp;CC. C�eft une luite n�ceffaire de la manierenbsp;dont la table eft form�e ; car il eft facile de voirnbsp;que Ie nombre qui remplit chaque cafe , eft tou-jours la fonime de ceux qui rempliffent les caf�snbsp;pr�c�dentes a gauche dans la bande imm�diate-jnent au deflus.

Onretrouve les m�mes nombres dans les bandes paralleles a la diagonale , ou rhypoth�nufe dunbsp;triangle.

Mais une propri�t� bien plus remarquable, amp; que concevront feulement ceux de ,nos lefteurs anbsp;qui 1�algebre n�eft pas inconnue ,v c�eft que lesnbsp;bandes perpendiculaires pr�fentent les coefficientsnbsp;Pu les nombres qui affecfent les difterentes partiesnbsp;d�une puiflance quelconquc, a laquelle un binome ,nbsp;comme a-p� ,peut �tre �lev�; la troifieme bande,nbsp;ceux des trois membres d�un quarr�; la quatrieme,nbsp;celle des quatre membres d�un cube; la cinquieme ,nbsp;celle des cinq membres d�un quarr�-quarr�. Maisnbsp;nous nous bornons a cette indication, amp;� nousnbsp;paffons a expliquer ce qu�on entend par combiquot;nbsp;naifons.

On appelle combinaifons les diff�rents choi^^ qu�on peut faire de plufieurs chofes dont Ie noifquot;nbsp;bre eft connu, en les prenant une a une , ou detu^nbsp;a deux, ou trois a trois, amp;c. fans avoir �gard a leU*�nbsp;ordre. Soient, par exemple, les quatre lettr^

Arithm�tique. Chap. Fill. 9� �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^, c, i/, amp; qu�on propofe de fqavoir de com-

oien de manieres on peut prendre deux de ces J^ttres , on verra fans peine qu�on peut en fairenbsp;combinaifons fuivantes,ab ,ac, ad^ be^ bd, cd;

quatre chofes fe combinent deux a deux de fix manieres. Trois de ces lettres fe combine-*^�gt;ent de quatre manieres, abc, abd, acd, bed;

pourquoi les combinaifons de quatre cbofes **�015 a trois, ne font qu�au nombre de quatre.nbsp;Dans les combinaifons proprement dites, onnbsp;fait point attention a I�ordre des chofes ; voilanbsp;raifon pour laquelle nous n�avons fait aucunenbsp;*^ention des combinaifons fuivantes , ba , ca , da ^nbsp;, db, dc. Si, par exemple, on avoit mis dansnbsp;^ chapeau les quatre billets marques a ,b ,c, d,nbsp;^ que quelqu�un pariat d�amener les billets a in d^nbsp;en en prenant deux a la fois, foit en les pre-^3nt 1�un apr�s 1�autre, il n�importeroit en aucunenbsp;j^aniere que a vmt le premier ou le dernier: ainlinbsp;combinaifons ad ou da, ne doivent �tre icinbsp;^^gardees que comme une combinaifon unique.

^ais fi quelqu�un parioit d�amener a au premier Coup ^ au fecond , alors le cas feroit bien diffe-, Sc il faudroit faire attention a I�ordre fui-^nt lequel ces quatre lettres peuvent �tre prifesnbsp;arrangees enfemble deux a deux : 1�on verranbsp;J-dernent que ces manieres font, ah, ha ,ac , ca^nbsp;da, be ,cb, bd, db ,cd, dc. Pareillement cesnbsp;^�latre lettres pourroient fe combiner amp; s�arrangernbsp;a trois de ces vingt-quafre faqons, abe, achy

, ^ gt; cdb , deb ; amp; 1�on ne fqauroit en trouver ^Vantage. C�eft ce qu�on appelle permutations amp;Cnbsp;^^angements d�ordre.

ILtant donn� un nombre quelconque de chofes, d�tef-rtiiner de combien de manieres elles fe peuven^ combiner deux d deux, trois d trois , amp;c. J'anSnbsp;�gard d l�ordre.

La folution de ce probl�ttie eft facile en faifant ufage du triangle arithm�tique. Si vous avez huitnbsp;chofes a combiner trois a trois, par exemple; pre-nez la neuvietne bande verticale, (c�eft-a-dircnbsp;toujours celle dont Ie quantieme eft exprim� pafnbsp;un nombre exc�dant de Tunit� celui des chofes anbsp;combiner); prenez enfuite la quatrieme bandsnbsp;horizontale , (c�eft-a-dire celle dont Ie quantietnsnbsp;eft d�une unit� plus grand que Ie nombre des chofe*nbsp;a prendre enfemble ) ; vous trouverez dans la caf�nbsp;commune Ie nombre de combinaifons cberch� : ^nbsp;eft, dans l�exemple pr�fent, �gal 356.

Mais 1�on peut ne pas avoir fous fa main ut* triangle arithm�tique , ou bien Ie nombre desnbsp;chofes a combiner peut �tre trop conlid�rablenbsp;pour fe trouver dans cette table ; voici, dans c�nbsp;cas , une autre m�thode tr�s-fimple.

Le nombre des chofes a combiner �tant donn� ainfi que la maniere dont elles doivent �tre prifes�nbsp;fqavoir, ou deux a deux , ou trois a trois, ScC'nbsp;I � Formei^ deux progrejjions arithm�tiques, l�une�nbsp;dont les termes aillent en d�croijfant de Vunit�, ^nbsp;comtnencer par le nombre donn� des chofes d coif^'nbsp;biner, Vautre, celle des nombres naturels 1,

Apr�s cela ,premi de chacune amant de tertn^^ qiiily a de chofes d prendre enfemble dans lanbsp;binaifw propof�e j

B'* Multiplier enfcmble les termes de la premiere P^ogreJJion, amp; faites-en autant de ceux de la fe-^onde ;

Ceue regie a �t� trouv�e par une inclusion des les plus fimples aux plus compliqu�s. Ma�s ilnbsp;^roit trop long d�entrer ici dans ce d�tail; onnbsp;peut recourir aux livres qui traitent Ip�cialementnbsp;ces matieres: nous nous bornerons a donnetnbsp;Sliielques exemples de 1�appllcation de la m�thode.

. �� I.

Suivant la regie ci-deffus, 11 faut multiplier 90 par 89, divifer Ie produit 8010 par Ie produitnbsp;1 amp; 1, c�eft-a-dire par 2 ; Ie quotient 4005nbsp;Ie nombre des combinaifons deux a deux quinbsp;peuvent r�fulter de 90 nombres.

Si l'on demandoit de combien de manieres les *^lt;^mes nombres peuvent �tre combin�s trois anbsp;^''ois, la r�ponfe feroit auffi facile: il n�y auroitnbsp;H^�a multiplier enfemble 90,89,88 , amp; divifernbsp;^ produit, qui efl: 704880, par celui des troisnbsp;Sombres i, 2, 3 i Ie quotient 117480 eft Ie nombrenbsp;eherch�.

On trouvera de m�me que 90 nombres fe peu-''ent combiner quatre a quatre de 2555190 ma-^'eres , fqavoir, en divifant Ie produit de 90,89, 8,87, par produit de l, 2,3,4.

des combinaifons cinq a cinq dont feroient fufcep-* tibles les in�mes 50 nombres, on trouveroit, ennbsp;fuivant la m�me regie, qu�il y en a 43549268.

On verra , dans Ie Chapitre fuivant, l�appli-cation de cetfe queftion a l�analyfe de la loterie connue aujourd�hui fous Ie nom de VRcole Royalenbsp;Militaire.

$.11.

Si 1�on demandoit combien les fept planetes peuvent former entr\lles de diffirentes conjonclionSnbsp;deux a deux , il ferolt aif� de r�pondre 21 ; car ,nbsp;fuivant la regie g�n�rale, il faut multiplier7 par 6,nbsp;ce qui donne 42, amp; divifer ce nombre par Ie pro-duit de I amp; 2 , c�eft-a-dire par 2 : Ie quotient eftnbsp;done 21.

Si Ton vouloit abfolument fqavoir quel eft le nombre de conionftions poflibles de ces fept pla-netes, deux a deux, trois a trois, quatre a quatre,nbsp;Sec. on en trouveroit 120, en cherchant f�par�-ment le nombre des conjonctions deux a deux,nbsp;celui des conjonftions trois a trois, amp;c. amp; lesnbsp;additionnant enfemble.

On pourroit encore y parvenir en ajoutant les fept termes de la progreffion g�om�tricjue double ,nbsp;i6,32, 64;ce cjui donne 127. Maisnbsp;de ce nombre on doit oter 7, a caufe que, quandnbsp;on parle de conjon�iion de planete, il faut evi'nbsp;demment qu�elles foient reunies enfemble au moin*nbsp;deux ; car le nombre 127 comprend abfolumentnbsp;toutes les manieres dont fept chofes peuvent etrsnbsp;prifes une a une, deux a deux, trois a trois,

ArITHM �TIQUE. Chap. Fill. 95 de ce nombre U faut �ter, dans la queftiotinbsp;Prefente , celui O� les chofes font prifes une anbsp;5 puifqu�une planete ifolee ne fait pas une

Cn nombre quelconque de chofes etant donne, trou-ver de combien de manures elks peuvent �trc arrang�es.

L A folutlon de ce probleme eft facile en fo fer-''ant de la voie d�indudlion. En effet,

1� Une chofe a ne peut �tre arrang�e q�e d�une Rianiere ; Ie nombre des arrangements eft done ,nbsp;dans ce cas, =1.

3-� Deux chofes peuvent dtre arrang�es entre ^des de deux manieres ; ainfi , avec les lettresnbsp;, on peut faire les arrangements ab Sc banbsp;nombre des arrangements eft done �gaia 2, ounbsp;au produit de I amp; 2.

3� Les arrangements de trois chofes , ab, c, Lgt;nt au nombre de fix; car ab peut en former,nbsp;la troifleme c, trois diff�rents,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, acb, cab ;

^ ba en formera auffi trois diff�rents, bac , bca, ^ba:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;q jie fqauroit y en avoir davantage. Le

'^ombre cherch� eft done �videmment �gal au P'^�c�dent multipli� par 3 , ou �gal au produit denbsp;* j 2 Sc 3.

4� Ajoutons line quatrieme chofe , d�fign�e par d: il eft �vident que chacun des arrangementsnbsp;Precedents fe combinant de qnatre faqons avecnbsp;chofe, ce nombre doit �tre inul-*�pli� par 4, pour avoir celui des arrangements

r�fultants de quatre chofes; c�eft-a-dire qu�il fera 24, OU Ie produit de i, 2, 3,4.

II eft inutile d�aller plus avant; amp; rien n�efi plus facile que d�appercevoir qu�un nombre quel-conque de chofes �tant donn�, on aura Ie nombrenbsp;d�arrangements dont elles font fufceptibles, en mul-tipliant enfemble autant de tenues de la progref-fion g�om�trique quil y a de chofes propof�es.

1� II peut fe faire que, parmi les chofes pro-pof�es, la m�ine fe trouve r�p�t�e plufieiirs fois; comme fi l�on demandoit de combien de manieresnbsp;ces quatre lettres a,a,b, c, peuvent etre arran-g�es enfemble : alors on trouve que quatre chofesnbsp;o� deux font les meines, ne font plus fufceptiblesnbsp;que de 12 arrangements au lieu de 24 ; q.ue cinqnbsp;OU deux font r�p�t�es, n�en peuvent plus fairenbsp;que 60 au lieu de 120.

Mais fi , dans quatre chofes, la m�me y �toit r�p�t�e trois fois , il n�y auroit plus que 4 combi-naifons au lieu de 24 ; cinq chofes ou la menienbsp;feroit r�p�t�e trois fois, n�en donnerolent plusnbsp;que 20 au lieu de 120, ou la fixieme partie.

Or Ie nombre 2 eft celui des arrangements dont font fufceptibles deux chofes diff�rentes , Ie nom-bre 6 ,eft celui des arrangements de trois chofesnbsp;diif�rentes; d�o� fuit la regie fuivante :

Lorfque, dans un nombre de chofes dont ott cherche les arrangements diff�rents , la m�me s�ynbsp;trouve r�p�t�e plujieurs fois, divife^ Ie nombre dcsnbsp;arrangements que donne la regie g�n�rale , par l^nbsp;nombre d'arrangements que donnerolent les chofes

Arithm�tique. Chap. VIII. 97 ftpet�es Ji elles hount diff�rentes ; h quotient ferunbsp;^e nombre ckerch�.

2.� Si, dans Ie nombre des chofes dont on de-*^ande les arrangements diff�rents, il s�ep trouve plufieurs qui foient r�p�t�es plufieiirs fois , unenbsp;fois, par exemple , amp; l�autretrois, il n�y auranbsp;chercher Ie nombre des arrangements fuivantnbsp;la regie g�n�rale, amp; Ie divifer par Ie produit desnbsp;^'Ombres qui exprimeroient les arrangements dontnbsp;^^roit fufceptible chacune des chofes r�p�t�es , fi ,nbsp;lieu d��tre la m�me, elles �toient diff�rentes.nbsp;Ainfi , dans Ie cas pr�fent, les chofes r�p�t�esnbsp;^eux fois �tant fufceptibles de deux arrangementsnbsp;elles �toient diff�rentes , Sc celles qui Ie fontnbsp;�tois fois pouvant donnet fix arrangements fi ellesnbsp;etoieht point r�p�t�es, on multipliera 6 par z ,nbsp;^ Ie produit iz donnera Ie nombre par lequel ilnbsp;faut divifer celui qu�on trouve paf la regie g�n�rale. Ces cinq lettres, par exemple, a,a,b,b,b^nbsp;Peuvent s�arranger de lo manieres feulement; car,nbsp;fi elles �toient diff�rentes , elles donneroient i zonbsp;Arrangements ; mais 1�une �tant r�p�t�e deux fois ,nbsp;^ 1�autre trois, il faut divifer i zo par Ie produitnbsp;2 amp; 3 , OU par iz , ce qui donne lo.

^ On peut , d�apr�s la folution de ce probl�me , ''^foudre les queftions fuivantes.

�. I.

^^pt perfonnes devant diner enfemble, il s��levei ^ntr'elles un combat de polite^e fur les places (a);nbsp;quelqu�un voulant terminer la contejlationy

{a) C�eft probablement dans quelque ville de provinc� �oignee de la capitate.

^8 Recreations Math�matiques. propofe de fe metire a table comme Con Je trouvc fnbsp;fauf d dtner enfemhle Ie lendemain amp; les jout^nbsp;J'uivants^ jufqu'd ce quon ait �puif� tons Uinbsp;arrangements pojfibles, On demande combien dinbsp;diners devront �tre donn�s pour eet effet ?

II eft air� de r�pondre qu�il en faudroit 5040^ ce qui exigeroit 13 ans amp; plus de 9 mois

�. n.

Si Ton a un mot quelconque , par exempli AMOR, amp; qu�on veuille fqavoir combien de motsnbsp;diff�rents on peut former de fes quatre lettres, cenbsp;lt;jui donne tous les anagrammes poflibles du motnbsp;AMOK, on trouve qu�ils font au nombre de 24�nbsp;fqavoir, I� produit fucceflif de i, a , 3, 4. LeSnbsp;volei par ordre.

Ainfi les anagrammes latlnes du mot amor foR^ iau nombre d�fept, fqavoir, Roma, mora, fnaro^nbsp;oram, ramo ^ armo, orma. Ma�s fi, dans Ie roojnbsp;propof�, il y avoit une ou plufieurs lettres r�p^'nbsp;t�es , il faudroit faire ufage de la remarquenbsp;fuit la folution du probl�me ci-deffus, Ainfi Ienbsp;jUopoldus^ o� la lettre /eft deux fois, 5c la lettre ^

Arithm�tique. Chap. FIIL 99 pareilleixient deux fois , n�eft fufceptible que denbsp;90720 avrangements ou anagrammes diff�rents,nbsp;lieu de 361880 qui s�y trouveroient fi aucunenbsp;n��toit r�p�t�e ; car, par la regie donn�enbsp;la remarque ci-deffus, il faut divifer ce nom-par Ie produit de 1 par 2, ou par 4 ? ce quinbsp;�onne 90720.

Le mot jliidiofus^ o� Vti eft f�p�t� deux fois, ^ !�� trois, n�eft fufceptible que de 30240 arrangements ; car il faut divifer le nombre des arran-�strgt;ents de 9 lettres, qui eft 362880, par lenbsp;Pfoduit de 2 amp; 6, OU 12, amp; le quotient eft

On trouveroit ainfi le nombre de tous les anagrammes poffibles d�un mot quelconque; mais il |aut convenir que, pour peu nombreufes que foientnbsp;res lettres d�un mot, le nombre des arrangementsnbsp;tfui en r�fulte eft li coniid�rable , que le travail denbsp;les parcourir tous abforberoit la vie d�un homme.nbsp;Au refte, fi 1�art des anagramines ne tire pas de lanbsp;''n grand fecours , c�eft un art fi futile qu�il n�y anbsp;pas grand mal.

�. III.

Oevers, ouvrage d�un d�vot J�fulte de Lou-, nomm� le P. Bauhuys, eft c�lebre par le �rand nombre d�arrangements dont il eft fufeep-*'ble fans enfreindre les loix de la mefure ; 8cnbsp;divers math�maticiens fe font exerc�s ou amuf�s b.nbsp;rechercher le nombre, Erycius Puteanus a pris

Grj

la peine d�en faire une enumeration en 48 pages, dans lefquelles il en a compris lOii, en les �ga-lant au nombre des �toiles comprifes dans les catalogues anciens des aftronomes , amp; en rertiarquantnbsp;tr�s-d�votement que les arrangements de ces motsnbsp;i�emportent m�me fur ce nombre, comme lesper-feftions de la Vierge l�emportent fur Ie nombrenbsp;des �toiles. Voyez auffi Voflius, de Scient,,Mach,nbsp;cap, y.

Le P. Preftet, dans la premiere edition de fes Elements de Math�matiq�es, dit que ce vers eAnbsp;fufceptible de 2196 variations, mais dans la fe-conde �dition il 1��tend jufqu�a 32.76.

Wallis, dans l��dition de fon algebre, falte a Oxford en 1693 , en avoit compt� 3096.

Mais aucun d�eux n�a pr�cif�ment touch� au but, ainfi que le remarque M. Jacques Bernoullinbsp;dans fony^rs conjeciandi: il y dit que les diff�rentesnbsp;combinaifons de ce vers, en en retranchant lesnbsp;fponda�ques, amp;; en admettaht d�ailleurs ceux qiiinbsp;n�ont point de c�fures , montent pr�cif�ment anbsp;3 3 12. On peut voir dans 1�ouvrage cit�la m�thodenbsp;par laquelle il en a fait r�num�ration.

II n�eft pas difficile de trouver qu�en confervant le mot mala a 1�ant�p�nultieme place, pour fe con-former a la mefure, il eft fufceptible de 3 991680Onbsp;arrangements diff�rents.

Le P. Sebaftien Truchet, de I�Academie royal� Sciences, raconte dans un memoire imprim�nbsp;Parmi ceux de I�annee 1704, qu�etant all� fairenbsp;voyage au canal d�Orl�ans, il rencontra, dansnbsp;'in chateau voifin , des carreaux de fai'ance quarresnbsp;amp; mi-partis de deux couleurs par une diagonale :nbsp;ds �toient deftin�s a carreler une chapelle amp; quel-ques appartements. Cela lui donna occafion d�exa-miner de combien de manieres deux de ces carreaux pouvoient fe joindre enfemble par le cotenbsp;pour en former diff�rents deffins.

On voit d�abord cjue , fuivant la fituation qu�un PI. feul carreau peut prendre , 11 forme quatre deffinsnbsp;diff�rents , qui peuvent neanmoins fe reduire anbsp;deux , n�y ayant entre le premier amp; le troifieme ,nbsp;comme entre le deuxieine amp; le quatrieme , d�autrenbsp;difference que dans la tranfpofition du triangle lenbsp;plus ombr� a la place du plus clair.

Maintenant , fi Ton combine deux de ces car-*�Saux enfemble, il en r�fultera 64 manieres diffe-'�^ntes de les ranger; car, dans 1�arrangemerit de deux carreaux , 1�un des deux peut prendre cjuatrenbsp;^quot;uations diff�rentes , dans cbacune defquellesnbsp;1 autre carreau peut changer 16 fois. Ainfi il ennbsp;'ufulte 64 combinaifons qu�on peut voir dans lanbsp;'quot;erne planche.

On doit neanmoins remarquer encore, avec le Sebaftien, que de ces 64 combinaifons , il y ennbsp;� une moiti� pr�cif�ment qui ne fait que r�p�ter

1�autre abiblnment dans Ie m�me fens; ce qui les r�duita 32.. On les r�duiroit a 10, fi l�on ne failoitnbsp;point d�attention a la fituation.

On pourFoit femblablernent combiner trois ^ quatre, cinq carreaux, amp;c. les uns avec les aufres;nbsp;on trouveroit que trois carreaux peuvent formernbsp;entr�eux 12,8 deffins; quatre en forment 2,^6 ^ Scc.

II eft furprenant de voir la prodigieufp vari�t� de compartiments qui naiffent dam auffi petitnbsp;noinbre -d��l�ments. Le P. S�baftien en donne ,nbsp;dans les M�moires de i�Acad�inie de 1704, trentenbsp;diff�rents, clioids parmi cent autres qui ne fontnbsp;qu�une petite partie de ceux qu�on peut former.nbsp;Nous en donnons dans la planche deuxleme quel-qiies-uns des plus remarquables.

Le m�moire du P. S�baffien a donn� a un de fes confreres , le P. Douat, l�occafion de cultivernbsp;davantage cette matiere. II donna en 1722 unnbsp;trait� in-4�, ou ce fujet eft envifag� d�une ma-nlere diff�rente. On y voit que quatre carreauxnbsp;mi-partis, pris quatre a quatre, r�p�t�s amp; permu-t�s de toutes les manieres poftibles, forment 25^nbsp;figures diff�rentes, qui, prifes elles - m�mes deuxnbsp;a deux, trois a trois, amp; ainfi de fuite, formentnbsp;uneprodlgieufe multitude de compartiments, dontnbsp;les exemples rempliftent la plus grande partie denbsp;fon livre (a^.. '

() II eft intitule: Methode pour faire une infinite de dejfins diff�rents , avec des carreaux mi-partis de deux couleursnbsp;par une lipte diagonale; ou, Olfervations du P. D. Douat,nbsp;religieux Carme de la P. de T. fur un M�moire inf�r� dansnbsp;l�liff de Pydcad. royale des Sciences de Paris, ann�enbsp;par k P.S,Truchet,re%ie�x du m�meQrdre. Paris. �

Arithm�tique. Chap. VUL loj J�ai toujours �t� furpris de ce qu�on n�a pasnbsp;fait en architefture plus d�ufage de cette idee ; ilnbsp;roe femble qu�il en eiit pu r�fuher dans Ie carre-lage amp; Ie parquet une vari�t� tr�s-agr�able, Scnbsp;pour ainfi dire intariffable.

On en a fait du moins l�objet d�un petit jeu ap-pell� Ie Jiu du Parquet, dont on trouve l�inftru-roentchez les tabletiers. C�efl: une petite table gar-nie d�un rebord, amp; capable de recevoir 64 ou 100 petits quarr�s mi-partis, dont on cherche a fairenbsp;des combinaifons agr�ables. Ceux qui fontcurieuxnbsp;de eet amufement, ne peuvent mieux faire que denbsp;fe procurer l�ouvrage cit� plus haut du P. Douat,nbsp;qui leur fournira une foule de deffins plus agr�ables.nbsp;les uns que les autres,.

G iv

CHAPITRE IX.

Application de la do^rine des Combinaifons aiix Jeux de ha'^ards amp; aux Probabilit�s.

IU o IQUE rien ne paroilTe, au premier coup cl�oeil, moins clu reffort des mathematiquesnbsp;qu^le hafard, I�efprit d�analyfe n�a pas laiffe d�en-chainer pour ainfi dire ce Protee, amp; de le fou-mettre au calcul. II eft venu a bout de mefurer lesnbsp;diff�rents degr�s de probabilit� de certains �v�nbsp;nements ; ce qul a donn� naiftance a une branchenbsp;cuneufe des mathematiques, dont nous allons d�-voiler les principes.

Lorfqu�un �v�nement peut arriver de plufieurs manieres difF�rentes, il eft �vident que la probabilit� qu�il arrive d�une certaine maniere d�termi-n�e eft d�autant plus grande, que, furla totalit� denbsp;ces manieres dont il peut arriver , il y en a un plusnbsp;grand nombre qui Ie d�terminent tel. Dans unenbsp;loterie , par exemple, il n�eft perftonne qui nenbsp;fente que la probabilit� ou 1�efp�rance d�amenernbsp;un bon billet eft d�autant plus grande d�un c�t� ,nbsp;que Ie nombre des bons billets eft plus grand, amp;nbsp;d�un autre, que Ie nombre total des billets eftnbsp;moindre. La probabilit� d�un �v�nement eft donenbsp;en raifoii compof�e de la dire�le du nombre desnbsp;cas qul peuvent lui donner lieu , amp; de I�inverfe dunbsp;nombre total de ceux fulvant lefquels il peut fenbsp;varier: par corif�quent, elle peut s�exprimer parnbsp;une fraction dont Ie nombre des cas favorables eftnbsp;Ie niun�rateur, amp;; celui de la totalit� des cas eftnbsp;Ie d�nominateur.

Arithm�tique. Chap. IX. lOJ Ainfi , dans une loterie o� 11 y a mille billetsnbsp;^*^lquels 25 feulement font bons, la probabilit�nbsp;^�atnener un de ces derniers feta repr�fent�e parnbsp;� OU ^; amp; cette probabilit� feroit doublenbsp;*il y avoit 50 bons billets, car alors elle feroitnbsp;^gale a ^ ; au contraire elle ne feroit que la mol-_ti� de celle ci-deffus , fi , au lieu de 1000 billets,nbsp;y en avoit deux mille. Elle feroit infinimentnbsp;petite, OU nulle , fi, Ie nombre de bons billetsnbsp;defiant Ie m�me , Ie nombre total �toit infinimentnbsp;grand; comme au contraire elle d�g�n�reroit ennbsp;Certitude , amp; feroit, dans ce cas , exprim�e parnbsp;1�unit�, fi Ie nombre des bons billets �galoit ccuxnbsp;de la loterie.

Un autre principe de cette th�orie n�ceffalre a cxpliquer ici, eft Ie fulvant, dont 1��nonciationnbsp;fuffit pour en faire appercevoir la v�rlt�.

On joue a jeu �gal, lorfque les mifes qu�on d�-pofe font en proportion dire�te des probabilit�s 5iu�ll y a de gagner 1�argent mis au jeu : car j�uer anbsp;jeu �gal n�efl: autre chofe que d�pofer une mifenbsp;telleuient proportionn�e avec la probabilit� qu�onnbsp;� de gagner , qu�apr�s un tr�s-grand nombre denbsp;Coups on fe trouve a peu pr�s au pair : or il fautnbsp;pour cela que les mifes fofent proportionnelles aunbsp;degr� de probabilit� que chacun des joueurs a ennbsp;faveur. Suppofons , par exemple, que Pierrenbsp;Psrie contre Jacques pour un coup de d�s, amp; qu�ilnbsp;y ait pour lui deux �v�nements amp; un pour Jacques ;nbsp;leu fera �gal fi, apr�s un grand nombre de coups,nbsp;fe retirent a peu pr�s fans perte. Or, y ayantnbsp;^Ux cas pour Pierre amp;c un pour Jacques , apr�snbsp;^ois cents coups Pierre en aura gagn� a peu pr�snbsp;cents, amp; Jacques une centaine. II faut donenbsp;qae Pierre d�pofe 2, amp; Jacques i feulement: car

�o6 R�cr�ations Math�matiques. par-la Pierre, gagnant deux cents coups, gagneranbsp;aoo; amp; Jacques , gagnant cent coups, gagneranbsp;auffi aoo. Auffi s�exprime-t-on, en pared cas, or-dinairement en difant qu�il y a deux contre un anbsp;parier pour Pierre.

PROBL�ME r.

Dans Ie jeu de Croix ou Pile, quelle prohabrlit�y a-t-il dl amener plujieurs fois de fuite Croix, ounbsp;pLuJietlrs fois de fuite Pik ; ou bien, en jouantnbsp;avee plufieurs pieces , quelle probabilitLy a-t-ilnbsp;quelles fe trouveront toutes Croix ou toutesPik?

TTout Ie monde connoit Ie jeu de croix oU pik, ainfi il eft fuperflu d�en donner ici 1�explica-tion ; nous paflbns tout de fuite a 1�analyfe dunbsp;probl�me.

II eft �vident, i� que n�y ayant aucune raifon pour que croix arrive plut�t que pde, ou pile quenbsp;croix, la probabilit� que l�un des deux arriveranbsp;eft �gale a ou qu�il y a �galeraent a parier pournbsp;OU contre.

Mais fi Ton jouoit deux coups, amp; que quelqu�uia pariat d�amener les deux fois croix , pour fqavoirnbsp;ce qu�il devroit mettre au jeu, il faudroit fairenbsp;attention que toutes les combinaifons de croix ounbsp;pile, qi� peuvent arriver dans deux jets conf�cu'nbsp;tifs de la m�me piece, font croix , croix � croix ,nbsp;pik ; pik, croix; pik,pik; dont une feule donnenbsp;croix , croix, II n�y a done qu�un cas fur 4 qi�nbsp;fit gagner celui qui parieroit d�amener deux foisnbsp;de fuite croix : la probabilit� de eet �v�nementnbsp;ne feroit conf�quemment que celui qui pa'*

Arithm�tique. Chap. IX. 107 neroit pour, ne clevroit mettre au jeu qu�un �cu ,nbsp;psr exemple, pendant que 1�autre en mettrolt trois;

ce dernier auroit trois cas pour gagner, pen-^3nt que Ie premier n�en a qu�un. Ainfi leurs mifes, pour jouer a jeu �gal, doivent �tre dans cettenbsp;proportion.

On trouverolt de m�me que celui qui parie-roit d�amener trois fois de fuite croix, par exemple , auroit feulement pour lui une feule des huit combinaifons de croix ou pile qui peuvent r�fulternbsp;de trois jets fucceffifs de la m�me piece. La pro-babilit� de eet �v�nement feroit conf�quemment

pendant que celle qu�auroit fon adverfaire fe-roit l-, II ne devroit, pour jouer au pair, mettre au jeu que i contre 7.

11 eft inutile de parcourir d�autres cas ; il eft aif� de voir que la probabilit� d�amener croix quatrenbsp;fois de fuite , eft ; cinq fois de fuite,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; amp;c.

II n�eft pas , au refte , n�cefiaire d�entrer dans P�num�ration des diff�rentes combinaifons r�ful-tantes des croix ou pik; inais l�on peut fe l�rvirnbsp;d�une regie aif�e a d�montrer, Sc que voici:

Connoijfant hs prohabilitis de deux ou plujleurs ev�nements ifol�s, la probabilit� quils auront lieunbsp;tous enfembk fe trouve tout fniplement, en multi~nbsp;pliant les probabilit�s de ces �v�nements confid�r�snbsp;comme ifol�s. Ainfi la probabilit� d�amener croixnbsp;confid�r� comme ifol� �tant exprim�e a chaque jetnbsp;par celle de l�amener deux fois de fuite fera ^ xnbsp;Ou ^; celle de l�amener trois fois dans trois coupsnbsp;conf�cutifs fera ^X�X7,ou|^; Scc,

1� Le probl�me de determiner quelle eft la probabilit� d�amener, avec deux, trois, quatrenbsp;pieces j tout croix ou tout pile j fe r�fout par les

�o8 R�cr�ations Math�matiques. m�mes voies. Dans deux pieces jett�es, il y a 4nbsp;combinaifdns de croix amp; pile, dont une feule eftnbsp;toiite croix: dans trois pieces jett�es a la fois il ynbsp;en a 8, dont une fetile donne tout croix; amp;cc.nbsp;Ainfi les probabilit�s de chacun de ces cas font lesnbsp;m�mes que celles des cas analogues examines ci-delTus.

II paroit m�me d�abord fans analyfe que ces deux queftions font abfolument les m�mes; amp;nbsp;voici Ie raifonnement qu�on peut faire po�r Ienbsp;prouver. letter les deux pieces A amp; B enfemble ,nbsp;OU les jetter Tune apr�s 1�autre apr�s avoir donn�nbsp;a la premiere A Ie temps de fe fixer, c�eft affur�-ment la m�me chofe. Suppofons done que, Ianbsp;premiere A �tant fix�e , au lieu de jetter la fecondenbsp;B, on releve la premiere A pour la jetter une feconde fois, ce feta la m�me chofe que fi, pournbsp;ce fecond jet, on avoit employ� la piece B: car ,nbsp;par la fuppofition, elles font toutes deux �galesnbsp;amp;� feniblables, du moins quant a l�indifF�rencenbsp;parfaite qu�il arrive croix ou pile. Ainfi jetter a lanbsp;fois les deux pieces A, B, ou jetter deux fois denbsp;fuite la piece A, font la m�me chofe. Done, amp;c.

3 o On demande maintenant combien on peut parier d�amener au moins une fois croix en deuxnbsp;coups? Par la m�thode ci-deffus, on trouvera qu�ilnbsp;y a 3 contre 1. En effet, il y a dans deux coupsnbsp;quatre combinaifons , dont trois donnent au moinsnbsp;une fois croix dans les deux coups , amp; une feulenbsp;qui donne toujours pile; d�oii il fuit qu�il y a troisnbsp;combinaifons en faveur de celui qui parie d�amener une fois croix en deux coups, amp; une feulsnbsp;contre lui*

Arithm�tique. Chap. IX. 109

PROBL�ME II.

nomhre quelconque di d�s �tant donn� , ditcr~ fniner qutlli probahilit� il y a qidon amencra unnbsp;nomhre de points ajjign�.

N^Ous fuppoferons d�abord des d�s ordinaires , c�eft-a-dire a fix faces, amp; marqu�s des nombresnbsp;*52,3,4,5,6; amp; nous aliens analyfer quel-ques-uns des premiers cas du probl�me, pour nousnbsp;�lever par degr� i des cas plus coinpof�s.

I nbsp;nbsp;nbsp;o On propofe d� amener un point determine , Cnbsp;por exemple, avec un d�.

II nbsp;nbsp;nbsp;eft �vident qu�y ayant au d� fix faces dontnbsp;wne feule eft marqu�e de 6 , amp; chacune ayantnbsp;autant de facilit� a fe trouver en delTus qu�aucunenbsp;autre, 11 y a 5 hafards contre celui qui propofenbsp;d�amener 6 en un coup , amp; i feul pour lui. II doitnbsp;done , pour n��tre pas dupe , parier feulement inbsp;contre 5.

Pour analyfer ce cas, il faut d�abord obferver que deux d�s donnent 36 combinaifons diff�-quot;�entes ; car chacune des faces du d� A , par exem-ple, peut fe combiner avec chacune de celles dunbsp;d� B; ce qui produit 36 combinaifons. II fautnbsp;cnfuite voir de combien de manieres Ie point 6nbsp;peut �tre amen� avec deux d�s. Or on trouve qu�ilnbsp;peut �tre d�abord amen� par 3 amp; 3 :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en ame-

��ant z avec Ie d� A amp; 4 avec Ie d� B, ou 4 avec Ie d� A 6c 2 avec Ie d� B i ce qui fait / comme il

iio Recreations Math�matiqu�s. eft aif� de voir , deux cas diftinfts: 3� en ame-nant i du d� A amp; 5 du d� �, ou i du d� B amp; 5nbsp;du d� A ; ce qui donne encore deux cas : on n�ennbsp;fqauroit �videmment trouver d�autres. Ainft il y anbsp;^ cas favorables fur 36 : conf�quemment la pro-babilit� d�amener 6 avec deux d�s cft ^ , amp; lanbsp;probabilit� de ne Ie pas amener eft ; amp; c�eft Ienbsp;rapport dans lequel doivent �tre les mifes desnbsp;joueurs.

En analyfant les autres cas, on trouve qu�il y a , pour ainener deux avec deux d�s, i cas furnbsp;36, z pour amener trois, 3 pour amener quatre ,nbsp;4 pour amener cinq , 5 pour amener fix , 6 pournbsp;amener fept, 5 pour buit, 4 pour neuf, 3 pournbsp;dix, 2 pour onze�, amp; i pour douze ou fonnez.

Si 1�on propofoit trois d�s , avec lefquels il eft �vident que Ie moindre point feroit trois, amp; Ienbsp;plus grand dix-huit, on trouveroit, au moyennbsp;d�ime femblable analyfe, que fur 216 coups diff�rents polfibles avec trois d�s, il y en a 1 poufnbsp;pour amener trois, 3 pour amener quatre, 6 pournbsp;amener cinq, amp;c. fuivant la Table ci-jointe, dontnbsp;voici l�ufage.

Voulez-vous trouver, par exemple, de com-hien de manieres 13 peut s�amener avec trois d�s; cherchez, dans la premiere colonne verticale knbsp;gauche, Ie nombre 13 , amp; au haut de la Table Ienbsp;chiffre romain qui indique Ie nombre de d�s; lanbsp;cafe commune a la bande horizontale vis-i-vis 13,nbsp;amp; a la colonne verticale qui r�pond a III, donneranbsp;2.1 pour Ie nombre des manieres dont 13 peut �trenbsp;amen� avec trois d�s. On trouveroit femblable-ment qu�il^ut �tre amen�, avec quatre d�s, denbsp;�40 faqons'; avec cinq d�s, de 42,0; amp;cc.

quot;CABLE des nombres de manieres differentes dont un point quelconque peut �tre amen� avec un ,nbsp;deux trois , ou plus de d�s.

Lorfqu�on connoit une fois de combien de ma-nieres on peut amener un point avec im certain nombre de d�s, il eft aif� de trouver quelle proba-bilit� il y a de 1�amener : il n�y a qu�a former unenbsp;fraftion dont Ie num�rateur foit Ie nombre de ma-nieres dont peut arriver ce point, amp; Ie d�nomi-nateur Ie nombre 6 �lev� a une puiflance d�fign�enbsp;par Ie nombre des d�s, comme Ie cube de 6 ounbsp;II6 pour trois d�s, Ie quarr�-quarr� ou 1296nbsp;pourquatre, amp;c.

Ainlr, pour amener 13 avec trois d�s , la pro-babilit� eft pour l�amener avec quatre, elle

On peut encore propofer fur Ie ]eu des des plu-fieiirs autres queftions dont nous allons analyfer quelques-unes,

1 � Determiner entre deux joueurs qiiel ejl l'avan-tage OU Ie d�favantage de celui qui entreprend dla-mener une face d�terminie, par exemple �^ en un certain nombre de coups.

Suppofons qu�on l�entreprenne en un feul coup: pour fqavoir quelle eft la probabilit� d�y r�uffir ,nbsp;on confid�rera que celui qui tient Ie d� n�a qu�unnbsp;hafard pour gagner, amp; cinq pour perdre; parnbsp;conf�quent, pour 1�entreprendre en un feul coup,nbsp;il ne doit mettre que i contre 5. Ainfi il y a unnbsp;grand d�favantage a entreprendre au pair d�amener

Pour fqavoir quelle eft la probabilit� d�amener au moins une face marqu�e 6, en deux coups ,nbsp;avec un m�me d� , on confid�rera que c�eft lanbsp;in�me chofe, ainfi qu�on l�a obferv� plus haut aunbsp;fujet du jeu de croix ou pile, que d�entreprendre ,nbsp;en jettant deux d�s a-la-fois , d�en trouver unnbsp;marqu� 6. Alors celui qui tient Ie d� n�a que 11

Arithm�tiq�e. Chap. /X I15 hafards ou combinaifons pour gagner : car il peutnbsp;amener 6 avec Ie premier d�,amp;i,2,3,4ou5nbsp;avec Ie fecond; ou bien 6 avec Ie fecond d� , amp;Cnbsp;1, 2, 3 , 4 OU 5 avec Ie premier ; ou 6 avecnbsp;chaque d�. Mais il y a 26 combinaifons ou hafardsnbsp;pour ne point gagner, comme on voit dans lanbsp;table ci-delTous.

D�o� il eft aif� de conclure que celui qui entre-prend d�amener un 6 avec deux d�s, ne doit mettre ^ue 11 contre 25 , amp;c conf�quemment qu�il a dunbsp;d�favantage a 1�entreprendre au pair,

On doit remarquer que la fomme 36 de tous les hafards ou combinaifons poffibles en deux coupsnbsp;de d�s , eft Ie quarr� du nombre donn� 6 , qui eftnbsp;celui des faces d�un d�; amp; que Ie n�mbre 2 5 desnbsp;hafards contraires a celui qui parie d�amener unenbsp;face d�termin�e , eft Ie quarr� du m�me nombrenbsp;donn� 6 diminu� de l�unit� , ou de 5 : c�eft pour-tjuoi Ie nombre des hafards favorables eft , dans cenbsp;cas, la difference des quarr�s de 36 amp; de 25 , ounbsp;du quarr� du nombre des faces du d�, de celuinbsp;des 4ces de ce m�me d� moins un.

Pour entreprendre d�amener 6 en trois coups de d� , on conlid�rera femblablement que c�eft lanbsp;m�me chofe que d�entrepreildre , en iettant troisnbsp;d�s, d�amener au moins un 6 : or, des 21 � combinaifons diff�rentes que donnent trois d�s, il y ennbsp;a 125 Ou il n�y a aucun 6, amp; gi o� il y a au moinsnbsp;Tome I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H

iin 6; conf�quemment celui qui parie d�amenef un 6 OU en tfois coups de d�s, ou en un feul coupnbsp;avec trois d�s,ne doit parier que 91 contre 115, amp;nbsp;il y auroit du d�favantage a 1�entreprendre au pair,

Vous obferverez ici que Ie nombre 91 eft la difference du cube du nombre des faces d�un d� ,nbsp;figavoir 216, amp; du cube 115 de ce m�me nombrenbsp;diminu� de 1�unit�, ou de 5. Ainfi Ton voit qu�ennbsp;general, pour trouver la probabilit� d�amener unenbsp;face d�termin�e en un certain nombre de coups,nbsp;OU en un coup avec un certain nombre de d�s, ilnbsp;faut �lever 6 gt; Ie nombre des faces d�un d� , a lanbsp;puiffance d�fign�e par Ie nombre des coups anbsp;jouer, ou des d�s a jetter une fois; faire enfuite lanbsp;femblable puiffance de 6 moins Tunit�, ou de 5 ,nbsp;�c 1�oter de la premiere : Ie reftant amp;c cette der-niere puiffance de 5 feront les nombres de hafardsnbsp;refpe�fifs pour gagner ou perdre.

Par exemple, ff on parie d�amener au moins un 3 avec quatre d�s, on fera la quatrieme puiffance ou Ie quarr�-quarr� de 6, qui eft 1296; onnbsp;en �tera Ie quarr�-quarr� de 5, ou 6zy, Ie reftantnbsp;6ji fera Ie nombre des hafards favorables pournbsp;gagner, amp; Ie nombre 625 celui des hafards pournbsp;perdre : conf�quemment il y aura de 1�avantage �nbsp;parier au pair.

II y en aura encore davantage a entreprendre au pair d�amener un point d�termin�, par exemplenbsp;3 j en cinq coups ou avec cinq d�s ; car ff de lanbsp;cinquieme puiflTance de 6, qui eft 7776 , on �te lanbsp;cinquieme puilTance de 5 , ou 312 5 , Ie refte 4651nbsp;fera Ie nombre des hafards favorables, Sc 3125nbsp;celui des hafards contraires. Conf�quemment,nbsp;pour jouer a jeu �gal, celui qui parie pour devroitnbsp;mettre 4�51 contre 3125, ou pr�s de 3 contre 2.

3� En combicn dz coups peut - on parier avtC ^galit� quon amenera un doublet ditennin� , pafnbsp;^xemple fonne^ , avec deux d�s ?

On f(^ait d�ja que la probabilit� de ne point srnener un fonnez avec deux d�s eft exprim�e pafnbsp;3^: conf�quemment la probabilit� de ne les pointnbsp;amener en deux coups fera comme Ie quarr� denbsp;lt;;ette fra�lion ; en trois coups, comme l� cube ;nbsp;^Ci Or, de m�me qu�une puiffance d�un nombrenbsp;tant foit peu au defl�us de 1�unit� va toujours ennbsp;Sugmentant, celle d�un nombre tant foit peu aunbsp;delTous va toujours en diminuant: par conf�quentnbsp;les puiflances conf�cutives de iront toujours ennbsp;diminuant. Qu�on Conqoive done �lev�e a unenbsp;puiffance telle qu�elle foit �gale a j; on trouve quenbsp;la vingt-quatrieme puiffance de ^ eft un peu plusnbsp;grande que amp; que la vlngt-cinquieme eft unnbsp;peu moindre ( u) : d�o� il fuit q��on peut pariernbsp;avec quelque avantage au pair, qu�en ^4 coups onnbsp;n�amenera pas un fonnez avec deux d�s; mais qu�ilnbsp;y a du d�favantage a parier au pair qu�on ne l�a-*nenera pas en 15 : conf�quemment il y a pournbsp;^elui qui parie de l�amener en 24 coups du d�fa^

prenant les logarithmes on aura n log. 3 5 , �*� ;z log. 3^ ^ Ivg. -t-, OU =: � log. 2.; car log. -j =: � log. i. Donenbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;35 � n log. 36nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� log. 2, OU log. 1. zx.n log. 3�

Hij

�i6 Recreations Math�matiques, vantage, amp; il y a de l�avantage a pariet au pairnbsp;qu�il l�amenera en 25.

40 Qiielk eji la probabilit� d�amener m un coup, avcc deux OU plujicurs d�s, un doublet determine ,nbsp;par exemple terne ?

Pour led�couvrir, on confid�rera qu�a l�entre-prendre avec deux d�s, il y a un leul hafard favorable fur les 36 hafards ou combinaifons que donnent deux d�s; d�o� il fuit qu�on ne doitmettrenbsp;que I contre 35,

S�il �toit queftion de trois d�s , on trouveroit qu�il faut mettre feulement 16 contre 200; car Ienbsp;nombre des hafards ou combinaifons poffibles avecnbsp;trois d�s eft 216. Mais quand il eft queftion d�a-niener terne avec trois d�s, on peut l�amener denbsp;16 faqons diff�rentes: car, des 36 combinaifonsnbsp;des d�s A amp; B , toutes celles o� entre un 3 feule-ment, comme 1,3; 35^1 ftui ^orit au nombre de lO, fe combinant avec la face marqu�e 3nbsp;du d� C , donnent un terne. De plus, la combi-naifon 3,3, des d�s A, B, fe combinant avecnbsp;une des fix faces du troifieme d� C, donnera unnbsp;terne. Ainfi voila l�faqons d�amener terne avecnbsp;trois d�s ; ce qui donne 16 hafards favorables furnbsp;216. Conf�quemment la probabilit� d�amener unnbsp;terne avec trois d�s eft amp; 1�on ne devroitnbsp;parier pour la r�uffite que 16 contre 200 , ou %nbsp;contre 2^.

Si l�on demande quelle probabilit� il y a d�a-mener un terne avec quatre d�s , on trouvera qu�elle eft exprim�e par ; car, fur les 129�nbsp;combinaifons des faces de quatre d�s, il y en 3nbsp;1^0 qui donnent un terne, 20 qui donnent trois 3gt;nbsp;Sc I qui en donne 4, en tout 171 coups ou il y 3nbsp;deux, OU trois , ou quat,re 3, Conf�quemmen*

ne faudroit parier que 19 contre 144, ou environ I contre 7^, qu�on amenera au moins un terne avec quatre d�s.

Enfin fi vous voulez fqavoir quelle probahilite it y a dl amener du premier coup un doublet quelconquenbsp;deux d�s ou davantage , il fera aifi� de la d�-terininer au moyen du calcul pr�c�dent; car,nbsp;^orfqu�il eft queftion d�im doublet ind�termin� , ilnbsp;cft �vident que la probabilit� efi: fix fois auffinbsp;grande que lorfqu�il s�agit d�un doublet affign� :nbsp;ainfi il n�y a qu�a multiplier par 6 les probabilit�snbsp;trouv�es ci-defifus. Elles font done, pour deuxnbsp;d�s, 3^ OU i; pour trois d�s , ~ ou f; pour quatrenbsp;d�s , -d� : enforte qu�il y a de l�avantage a pariernbsp;au pair qu�avec quatre d�s on amenera au moinsnbsp;un doublet.

P R O B L � M E I 1.1.

Deux joueurs jouent enfe/nble en un certain nombre de parties ti�es , par exemple trois : Vun des deuxnbsp;a X parties, Vautre une: ne pouvant ou ne vou~

. lant point continuer Ie jeu, ils conviennent de Ie cejjer, amp; de partager la mife. On demande de.nbsp;quelle maniere cela dolt ctre faxt}

C E probl�me eft un des premiers dont s�occupa M. Pafcal, lorfqu�il commenqa a traiter Ie calculnbsp;des probabilit�s. II Ie propofa a M. de Fermat,nbsp;c�lebre g�ometre de fon temps, qui Ie r�folut aufti-par une m�thode diff�rente, fqavoir celle des com-binaifons. Nous allons faire connoitre Tune Sfnbsp;l�autre.

II eft �vident que chacun des joueurs, en met-tant fon argent au jeu , en a abdiqu� la propriete mais qu en revanche ils ont droit d�attendre ce que

Hii;

Ie hafard peut leur en donner: ainfi, ceffant de )ouer, ils doivent partager Targent de la mife ennbsp;rapport de la prolDabilit� que chacun auroit euenbsp;de gagner tout i�argent-

/quot; Cifs, On trouvera ce rapport par Ie raifonnement fuivant. Puifqu�il manque au premier joueur unenbsp;partie pour achever , amp; deux au fecond , on re-connoitra aif�ment ques�llscontinuoientde jouer,nbsp;amp; que Ie fecond gagnat une partie , il lui man-queroit comme au premier une partie pour achever ; amp; que dans ce cas, les deux joueurs �tantnbsp;�galement avanc�s, leurs efp�rances ou forts pournbsp;gagner Ie tout feroient �gales. Ainfi, dans cettenbsp;iuppodtion, ils auroient un �gal drok a Fenjeu;nbsp;amp; conf�quemment ils devroient Ie partager �galement.

II eft done certain que fi Ie premier gagne la partie qui va 'f� jouer , tout Fargent qui eft au jeunbsp;lui appartiendra, amp; cjue s�il la perd , il ne lui ennbsp;appartienclra que la moiti�. Ainfi , Fun �tant auffinbsp;probable que Fautre, Ie premier a droit a la moiti�nbsp;de ces deux fommes prifes enfemble. Or, prifesnbsp;enfemble , elles font ~: done la moiti� eft Tellenbsp;eft la portion de la mife qui appartient au premiernbsp;joueur; par conf�cjuent la portion qui revient aunbsp;fecond n�eft que

Arithm�tique. Chap. IX. I19

pr�c�dent. C�efl: pourquoi, l�un amp; 1�aufre de ces deux �v�nements �tant �galement probable, ilnbsp;dolt appartenir au premier la moiti� des deuxnbsp;fommes prifes enfemble, ou la moiti� de ^, c�eft-a-dire Ie refte fera ce qui reviendra au fecondnbsp;joueur.

On trouvera, par un raifonnement femblable , 3^ que fi 1�on fuppofoit deux parties manquer au premier joueur Sc trois au fecond, ils devroient, ennbsp;ceflant de jouer, partager la mife de forte que Ienbsp;premier eiit fi-, Sc Ie fecond de la mife,

S�ils jouoient en quatre parties , Sc qu�il man-quat au premier deux parties feulement Sc quatr� au fecond, la mife devroit �tre diftribu�e de ma-niere que Ie premier en eut les H, amp; Ie fecond

D�apr�s ces raifonnements , on a �tabli cette regie g�n�rale qui difpenfe du raifonnement employe ci-deffus , Sc qui proc�d� au moyen dunbsp;triangle arithm�tique.

Prenez la fomme des parties qui manquent aivx deux joueurs; je la fuppofe 3,, corame dans Ienbsp;premier cas propof� ci- deffus : ainfi Ton prendranbsp;Ia troifieme diagonale du triangle, arithm�tique ;nbsp;Sc comme il ne manque qu�une partie au premiernbsp;joueur, on ne prendra que Ie premier nombre denbsp;cette diagonale ; Sc attendu qu�il en manque deuxnbsp;au fecond , on prendra la fomme des deux premiers nombres i , 2, c? qui donnera3, Ces deuxnbsp;itombres i Sc 3 indiqueront que la mife doit �trenbsp;partag�e dans Ie m�me rapport: ainli Ie premiernbsp;joueur devra en avoir les | , Sc Ie fecond le^.

no Recreations Math�matiques. d�abr�ger, nous ne nous etendrons pas davantagenbsp;fur ce fujet.

Nous avons dit plus haut que nous ferions con-noirre la feconde m�thode de r�foudre ces fortes de problemes , qui eft celle des combinaifbns; lanbsp;voici.

Pour r�foudre, par exemple, lequatrieme cas, o� 1�on fuppofe q��jl manque deux parties au premier joueur pour achever amp; quatre au fecond ,nbsp;enforte qu�il leur manque enfemble fix parties ,nbsp;�tez 1�unit� de cette fomme; amp;, parcequ�il reftenbsp;5 , on fuppofera ces cinq lettres femblables aaaaa.nbsp;fayorables a� premier joueur , amp; ces cinq autresnbsp;bbbbb favorables� au fecond : on les combineranbsp;enfemble comme vo�s Ie voyez dans la Table ci-deffousj OU, des 3a combinaifons^ les 26 premieres vers la gauche, ou fe rencontre au moinsnbsp;dgux fois,lt;j, indiquent Ie nombr� des hafards quinbsp;pepvent faire gagner Ie premier, amp; les 6 derniersnbsp;persrila droite, o� ^ ne fe trouve qu�une fois, indiquent Ie nombre des hafards cjui feront gagner 1?nbsp;fecond.

Arithm�tique. Chap. IX. lit PaTeillement, pour r�foudre Ie cas o� Ton lup-Pofe un des joueurs ayant trois parties Sc Ie fecondnbsp;en ayant aucune, celui-la devant gagner qui auranbsp;piutot quatre parties, on aura Ie m�me nombre denbsp;P^�^ties manquantes ^, qu�il faut diminuer de Tii-pour avoir 4, II faudra enfuite examiner denbsp;^otnbien de manieres on peut combiner les lettresnbsp;� Sc ^ quatre a quatre, Sc Ton trouvera qu�il y ennbsp;^16, fqavoir:

aaaa aabb albh aaab abab babbnbsp;aaba baab bbabnbsp;abaa abba bbbanbsp;haaa babanbsp;bhaa

, de ces 16, il efl: �vident qu�il y en a 15 dans lelquelles a fe trouve au moins une fois, ce qui d�-figne I 5 cqmbinaifons ou hafards favorables pournbsp;pr�mier joueur, Sc un feul pour Ie fecond. C�n-P�quemment ils devront partager la mife en raifonnbsp;i-; a I, ou bien Ie premier en devra avoir lesnbsp;Tg j amp; Ie ftcond

PROBL�ME IV.

T^Out Ie monde connoit aujourd�hul ce jeu, ^�puis qu�il a �t� tranfplant� d�Italie en France (a).

^ (.) Ce jeu a pris nalfTance a Genes oh cha^ejn�e depuis tres long-temps , on tire par la voie r ^nbsp;membres du f�nat , qui eft compofe de 9� P , gjnbsp;pour en former un confeil particulier. F)e-la q ^ �nbsp;gens oififs prirent occafion de parier que Ie fort tom

Ill Recreations Matb�matiques.

Son analyse reduit a la folution de ee problems' c\z Etant donn�snombres dont 6 font extraitinbsp;au hafard, determiner quelk ejl la probahilit� que^nbsp;partni ces cinq nombres ,fe trouveront un, on deux^nbsp;ou trois, ou quatre , on cinq nombres quon a priinbsp;furies 0)0.

Or il eft aif� de voir que s�il n�etoit queftioti que d�un nombre determine, amp; qu�on ne tirat denbsp;la roue qu�un feul nombre, il n�y auroit pour lenbsp;joueur qu�un feul hafard favorable fur 90; maisnbsp;comme on tire cinq nombres de la roue, celanbsp;quintuple le fort favorable au joueur , de fortenbsp;qu�il y a pour lui cinq hafards favorables fur lesnbsp;quatre-vingt-dix. Ainfi la probahilit� de gagnernbsp;eft St, pour jouer abfolument a jeu egal , lesnbsp;jnifes devroient �tre dans le m�me rapport, ou�nbsp;ce qui revient au m�me , le tenant de la loterienbsp;devroit rembourfer la mife dix-huit fois.

Pour fqavoir quelle probahilit� il y a que deux nombres pris fortiront tous deux, ce qu�on ap-

ftir tels ou tels fenateurs. Le gouvernement, voyant en-fuite avec quelle vivacit� on s�int�reflbit dans ces paris, en prit l�id�e d��tablir une loterie fur le m�me principe.nbsp;Elle eut un tel fucc�s, que routes les villes d�ltalie s�ynbsp;intereffoient, amp; envoyoient a Genes beaucoup d�argent.nbsp;Ce motif, amp; fans doiite celui de fe former un revenu,nbsp;engagea le pape a en �tablir une femblable a Rome. Sesnbsp;habitants font ft paffionn�s pour ce jeu, qu�on voit coffl'nbsp;munement des malheureux s��pargner amp; a leur familie le*nbsp;chofes les plus n�ceffalres a la vie , pour s�y intereffer. Onnbsp;les voit encore donner, pour fe procurer des nombresnbsp;heureux, dans mille extravagances infpir�es par la cr�du'nbsp;lire ou la fuperllition. La raifon qui regne plus g�n�rale'nbsp;ment fur le peuple Francois , amp; fur-tout fes occupations,nbsp;Font pr�ferv� de cette ardeur exceffive amp; de toutes ce*nbsp;tolies.

AriTHM�TIQUE. Chap. IX. J2J' pelle ']|ouer par amhes ^ il faut determiner com-tien cl�ambes ou de combinaifons deux a deuxnbsp;^onnent 90 nombres. Or on a montr�, en parlantnbsp;�ies combinaifons, qu�il y en a 4005. Mais commanbsp;on tire cinq nombres de la roue , amp; que ces cinqnbsp;Sombres combines enfemble deux a deux font dixnbsp;_3inbes, il en r�fulte que , fur ces 4005 hafards,nbsp;n�y en a que 10 qui foient favorables au joueur.nbsp;Ainfi la probabilit� que les deux nombres choifisnbsp;feront parmi ceux tir�s de la roue, fera exprim�e

Lorfqu�on joue par terne, c�eft-a-dire fous Ia Condition lt;|ue les trois nombres c�noilis fe trouve-tont parmi les cinq tir�s de la roue , pour trouvernbsp;quelle eft la probabilit� de eet �v�nement, il fautnbsp;determiner de combien de manieres 90 nombresnbsp;Peuvent fe combiner trois a trois, ou combien denbsp;ternes ils font: on trouve qu�ils montent a 117480.

comme les cinq nombres extraits de la roue forment lo ternes, il y a pour l� joueur dix casnbsp;Worables fur 117480 ; amp; la probabilit� en faveur du�joueur eft de ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O'-� tt^- Ainli, pour

Enfin 1�on trouve qu�il n�y a fur 511038 hafards ^quot;�un feul favorable pour celui qui parieroit quenbsp;quatre nombres d�termin�s fortiront de la roue ;nbsp;^ I fur 43949a68 , en faveur de celui qui parie-*�Oit que cinq nombres d�termin�s feront pr�cif�-J^ent les cinq fortants de la roue. II faudroit con-Jequemment , dans ce dernier cas, pour jouer anbsp;jeu math�matiqueinent�gal, payer au joueur, en

ti4 Recreations Math�matiques. cas d��v�nement heureux, pr�s de quarante-qaatrCnbsp;millions de fois fa inife.

Je finirai eet article en obfervant que quoique ce jeu, a ne Ie confid�rer que math�matiquement,nbsp;pr�fente au premier coup d�ceil un grand avantagenbsp;pour celui ou ceux qui Ie tiennent, on doit n�an-moins, pour en juger avec �quit�, avoir �gard anbsp;qwelques confid�rations particulieres. II eft certainnbsp;que fi toute Ia ioterie �toit pleine a chaque tirage ^nbsp;Ie gain feroit sur , amp; li confid�rable, qu�il m�rite-roit 1�animadverfion du gouvernement; car ily au-roit de gain, toute diftribution des lots faite, plusnbsp;de la moiti� de la mife des joueurs. Mais il s�ennbsp;faut bien qu�il en foit ainfi, amp; m�me il feroit im-praticable d�attendre que cette Ioterie fut pleinenbsp;pour la tirer. On la tire done a des �poques fixes ,nbsp;telle qu�elle fe trouve. Or il peut arriver qu�on aitnbsp;mis confid�rablement fur un terne, ou m�me furnbsp;plufieurs, tandis qu�a peine on aura mis fur lesnbsp;autres. Si done ces premiers venoient a fortir, lanbsp;fomme a payer feroit immenfe. Car fuppofons unnbsp;feul terne charg� de 150 liv. qui eft la fomme anbsp;laquelle on a fix� en France la mife fur ce hafard ,nbsp;amp; que ce terne forte, il en couteroit a la Ioterienbsp;780000 livres; amp; comme il en fort dix a chaquenbsp;extra�lion , fi chacun �toit charg� d�une pareillenbsp;fomme, il faudroit pour payer les joueurs cellenbsp;de 7800000 livres.

�n voit par-la que, quoique les entrepreneurs de la Ioterie aient un grand avantage, cependantnbsp;ce jeu eft fort dangereux pour eux: il ne faut,nbsp;apr�s dix ans de bonheur , qu�un revers inalheureuXnbsp;pour les ruiner , ou pour leur enlever tout Ie gainnbsp;qu�ils auroient fait, amp; beaucoup au-dela; amp; c�eftnbsp;en compenfation de ce danger qu�il parolt �qui'

ArITH M �TIQUE. Chap. IX, 1x5 table de leur accorder un avantage. On n�entre-prendra pas de Ie determiner, car cette determination eft impoffible ; mais il eft aif� de voir quenbsp;^uoique , math�matiquement parlant, ce foit !anbsp;�n�me chofe de ]ouer un million contre cent millenbsp;ftvres, que 1000 liv. contre 100 livres, ce n�eftnbsp;point la m�me chofe moralement parlant; la pertenbsp;la premiere fomme entrainant la ruine abfoluenbsp;de celui qui la fait, amp; cette derniere �tant pournbsp;ainfi dire fans conf�quence , du moins pour ceuxnbsp;qui jouiftent d�une fortune m�diocrci. Or il eftnbsp;Certain que Ie public ne joue contre les entrepreneurs de la loterie dont il s�agit que des fommesnbsp;limit�es , amp; ordinairement aftez petltes, au lieanbsp;qu�ils jouent une fomme pour alnfi dire illimit�e.nbsp;Au refte ces hafards malheureux dont nous pardons , quoique fort �loign�s , ne Ie font pas telle-nient qu��s n�arrivent quelquefois: auffi n�y a-t-ilnbsp;cn Itali� aucune de ces loteries qui n�ait �t� d�-banqu�e.

PROBL�ME V.

Pkrre a un certain nomhre de cartes , dont aucune n'ejl r�p�t�e : il les tire fuccejjivement en appellant , fuivant Vordre des cartes, as, deux ,nbsp;trois , amp;c. jufqu'au roi qui ejl la derniere ; amp; ilnbsp;parie qu il arrivera au moins une fois qu en tirantnbsp;une carte il la nommera. On demande quelle ej�nbsp;la probabilit� quil a en fa faveur?

�n appellece *eu Ie Jeu de Treit^e., parcequ�on k joue ordinairement ou avec un livret de treizenbsp;cartes, ou qu�apr�s treize cartes paflees on recommence par un ou as.

'li� Recreations MAtH�MATiQC�S. l�analyfe de ce jeu : il nous fuffira de dire q��inbsp;M. de Montmort trouve que fi Pierre ne tient qu�nbsp;deux cartes, Ia probability qu�il a de gagner e�j',nbsp;que s�il y en a trois, elle eft que s�il y en anbsp;quatre, elle eft ; enfin que s�il y en a treize, ell�nbsp;� enforte que, pour jo�er a jeu �gal,nbsp;Pierre doit parier un peu moins de 11 contre 6.

Pierre amp; Paul jouent au Piquet: Pierre ejl premier en cartes amp; na point d'as; quelU probabilit�ynbsp;a-t-il qu il lui en rentrera ou un, ou deux, ounbsp;trois, OU les quatre ?

D�ou il fuit que la probability qu�il en aura quel-* qu�un dans les cinq cartes qu�il a a prendre, eftnbsp;jif : enforte qu�il y a a parier X3X contre 91nbsp;qu�il rentrera quelque as a Pierre.

Suppofons aftuellement que c�eft Paul qui eft dernier en cartes; on demande ee qu�il y a a parier qu�il prendra au moins un as dans fes troisnbsp;cartes ?

Le fort de Paul, pour prendre un as dans trois cartes, eft .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;......* . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-i;

pour en prendre deux, il eft . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

ARlTHM�xiQUE. Chap. JX. IVJ �n , OU deux , ou trois ind�termin�ment, eft �galenbsp;3 fy: ainfi. Paul peut pariet but a but avec avan-*age qu�il lui en rentrera quelqu�un; car Ie ju�enbsp;rapport des mifes feroit de 2.9 a a8.

�^u jeu de Whisk, quelle probabilit� y a-t-il que les quatre honneurs ne fe trouveront pas entrtnbsp;deux parteners quelconques?

. DE Moivre , dans Ton trait� intitule The lioUrine of Chances, montre qu�il y a bien pr�snbsp;�e ly contre 2 a parier, que les partners dont 1�unnbsp;donne n�ont pas les quatre honneurs;

Qu�il y a ^ parier 23 environ contre i, que les deux autres partners ne les ont pas;

Qu�il y a 8 bien pr�s contre � k parier qu�ils ne fe trouvent d�aucun c�t� ;

Qu�on peut parier fans d�favantage 13 environ r^ontre 7 , que les partners o� eft la main ne comp-teront pas des honneurs;

Qu�on peut mettre environ 2o contre/, que ^es deux autres ne les compteront pas;

Enfin, qu�il y a 15 contre �6 k parier que 1�un deux c�t�s comptera des honneurs, ou qu�ilsnbsp;feront pas partag�s �galement.

�LiE baron de la Hontan rapporte, dans fes Voyages Canada, que les Indiens jou'ent au jeu fuivant.nbsp;Ils ont 8 noyaux noirs d�un c�t�, amp; blancs denbsp;I autre: on les jette en l�air : alors, s�il fe trouve

que les noirs foient impairs, Ie joueur a gagn� l�enjeu convenu ; amp; s�ils fe trouvent ou tous noirs fnbsp;OU tous blancs, il gagne Ie double ; mais s�ils ftnbsp;trouvent r�partis en noinbres, pairs , il a perdu ftnbsp;jniftquot;

M. de Montmort examine ce jeu, amp; trouve que celui qui jette les noyaux a un avantage quinbsp;peut �tre �valu� a ; amp; que, pour que Ie jeunbsp;fut �gal, il faudroit qu�il mit zi quand fon adver-faire met 21.

XjE jeu de triftrac eft un de ceux o� l�efprit de combinaifon fe manifefte davantage , amp; ou il eftnbsp;plus utile de connoitre, a chaque coup qu�on vanbsp;jouer, ce qu�on peut efp�rer ou craindre des coupsnbsp;de d�s fuivants, foit des flens, foit de ceux de founbsp;adverfaire. II faut jouer fes dames de telle manierenbsp;que fi l�on a en vue, par exemple, de fe mettre ennbsp;�tat de remplir, ou de battre Ie coin de fon ad'nbsp;verfaire ou telles autres dames qui font expof�es;nbsp;il faut, dis-je, jouer de maniere qu�on fe m�nagenbsp;Ie plus grand nombre de coups de d�s favorables.nbsp;L�efp�rance enfin qu�on a a chaque coup qu�on vanbsp;jouer, eft toujours fufceptible d�etre appr�ci�enbsp;math�matiquement. Parmi les exemples nombreuXnbsp;qu�on en pourroit donner , on fe bornera a unnbsp;petit nombre des plus cuneux amp; des moins diftiquot;nbsp;ciles.

I, Pierre amp; Paul jouent enfemble au triclruC� Pierre entreprend de prendre fon grand coin en deU^nbsp;coups. Combien Paul peut-ilparier contre lui ?

Arithm�tique. CAd/7./Z',

tiropofer fur ce jeu; car il efl: aife de remarquer �flue Ton ne peut prendre fon grand coin en deuxnbsp;^oups qu�en amenant ou deux fois de fuite fonnez,nbsp;deux fois de fuite fix cinq , ou quines la pre-*^icre fois amp; fonnez. la feconde, ou enfin la pre-*^iere fois fonnez amp; la feconde quines. Or Ia pro-^abilit� d�amener deux fois de fuite fonnez eftnbsp;; celle d�amener deux fois de fuite fix cinq onnbsp;'^'nq Sc fix, eft � car, comme on peut amenernbsp;fte deux faqons fix cinq avec deux d�s, la probabi-ftt� de 1�amener au premier coup eft 3^; amp; conf�-quemrnent celle de l�amener deux fois de fuite eft:nbsp;37 X 3%, ou 7~. Pareillement la probabilit� d�a-inener quines au premier coup amp; fonnez au fe-cond, eft �'tj � ^ enfin celle d�amener fonnez aunbsp;premier coup amp; quines au fecond, eft encore

il fuit que Ia fomme de toutes ces fra�fions rrT� �gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;probabilit� d�amener une de ces

quatre combinaifons de coups, ou de prendre fon grand coin en deux coups. Ainfi Pierre ne doitnbsp;Parier, pour jouer au pair , que 7 contre 12.89,nbsp;icontreiSqy.

II fa�t fuppofer ici que Pierre eft premier a jouer, ce a quoi M. de Montmort ne paroit pasnbsp;avoir fait attention,; car fi Paul avoit pris lui-Rt�me fon coin en deux coups, il eft �vident quenbsp;Ia combinaifon de deux fois de fuite fonnez feroitnbsp;Inutile , parceque Pierre ne fqauroit prendre fonnbsp;grand coin par deux fois lonnez, qu�autant quenbsp;Pierre ne 1�aura pas d�ja.

Suppofons done , pour r�foudre Ie probl�me plus complettement, que Pierre eft fecond a jouer;nbsp;il eft �vident qu�il aura �galement pour lui les ba-fards ci-deffus, a 1�exception de celui de deux foisnbsp;fonnez, car ce dernier ne lui fervira cm�autantnbsp;Tom� I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I

�30 Recreations Math�matiqVes. que fon adverfaire n�aura pas deja pris fon coin*nbsp;D�oi'i il iidt que I�avantage de ce hafard pournbsp;Pierre fera d�ai^tant moindre , qu�il fera plus probable que fon adverfaire ait pris fon coin en deuxnbsp;coups. Si la probabilite que Paul y reuffira etoit ^nbsp;par exemple, j , il faudroit multiplier �V? �nbsp;valeur du hafard d�amener deux fois de fuite fon-nez, par f. Ainfi il faudra ici multiplier 7^^nbsp;par , qui eft la probabilite que Paul ne pren-

prime pour le fecond en jeu la valeur du hafard d�amener deux fois fonnez, pour prendre fon coin.nbsp;Ajoutant done les trois autres hafards , exprimesnbsp;P^r ) on aura, pour revaluation de la proba-bilit� que le fecond prendra en deux coups fonnbsp;coin , T�V� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j ounbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; ce qui eft un

II. jeu de triBrac, Vun des joueurs d fon jetl dlfpofe de cette maniere : 4 datnes fur la premierenbsp;f-eehe dont elks partent, j fur la feconde , z fur lanbsp;troifeme , j fur la quatrieme , 2 fur la cinquieme ,nbsp;amp; I fur la fixieme. On demande ce qiiily a apariefnbsp;qu�il remplira amp; fera fon petit jan ?

Il eft facile de voir que je remplirai par toutes les combinaifons de d�s dans lefquelles il y auranbsp;un cinq, ou un deux, ou un quatre, ou dans lefquelles les d�s feront enfemble cinq, quatre oUnbsp;deux. Or, des 36 combinaifons que peuvent former deux d�s, il y en a d�abord onze ou il y a aunbsp;moins un cinq: il y en a pareillement onze oii ilnbsp;y a au moins un quatre ; mais les combinaifonsnbsp;quatre-cinq amp; cinq-quatre ayant deja �t� em-ploy�es parmi les pr�c�dentes, nous n�en comp'

ArITHM�TIQUE. Chap. iX. 131 terons que neuf. On compte auffi onze combinai-fons de d�s o� il fe trouve au moins un x -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'�

comme les combinaifons deux-cinq amp; cinq-deux , deux-quatre amp; quatre-deux ont d�ja �t� employees , on n�en dolt compter que fept. On^anbsp;enfin les coups ambefas , un amp; trois , trois amp; un,nbsp;qui font favorables pour remplir. Ainfi, fur lesnbsp;trente-fix combinaifons des deux d�s, il y en anbsp;trente avec lefquelles on remplira. Par conf�quentnbsp;d y a 5 contre i a parier que , dans pareille pofi-tion de dames , on fera fon petit jan.

Si Ton fuppofolt que la dame qui eft quatrieme fur la premiere fleche fut fur la troifieme, alors ilnbsp;feroit aif� de voir qu�il n�y auroit abfolument quenbsp;fonnez pour ne pas remplir; ainfi l�on pourroitnbsp;parier 35 contre i qu�on feroit fon petit jan.

Nous nous bornons a cette efquifie de Tutilit� de la do�lrine des combinaifons dans Ie jeu denbsp;tri�lrac. Il y a d�autres queftions plus difficiles furnbsp;ce jeu, que M. de Montmort a examin�es dans fonnbsp;EJfai d�analyfe fur les Jeux de hafard. Mais nousnbsp;invitons Ie le�leur a recourir a eet ouvrage.

fi-z charlatan tcnolt dans une folre Ie Jeu fuivant .* il avoit C d�s dont chacun n�toit marqu� quenbsp;fur une face, amp;c. l�un de Vas , rautre de deux,nbsp;jufquau fixieme qui Vetoit de fix: on lui donnoitnbsp;une fomme quelconque, 6quot; il ojfroit de rembourfernbsp;cent fois la mifc ^ Ji, en jettant ces C dis, onnbsp;amenoit en vingt fois les �' faces marquees.nbsp;Lorfqu' 'on avoit perdu , il offroit la revanchenbsp;fous cette condition , quon mit une nouvelle

�ji, Recreations Math�matiques. fomme �gale a la premiere; amp; il s'engageoit anbsp;rendre Ie tout, ji on amenoit trois coups de. fuitenbsp;toutes faces blanches. On demande quel itoit Ienbsp;fort des joueurs?

Ceux qui ne connoiflent point Ia route qu�il faut tenir pour r�lbudre les probl�mes cje cette nature , font fiijets a faire fur cette efpece de d�s unenbsp;raifonnement fort erron�; car, remarquant qu�ilnbsp;y a cinq fois autant de faces blanches que de facesnbsp;marquees, ils en concluent qu�il y a 5 a pariernbsp;contre i , qu�en les jettant on n�amenera aucunnbsp;point. Ils font n�anmoins dans 1�erreur ; amp; il y anbsp;au contraire pres de 2 contre i a parier qu�on n�a-menera pas tout blanc : ce qu�on d�montre ainfi.

Prenons un feul d�, il efl. �vident qu�il y a 5 contre i a parier qu�on amenera blanc. Mais flnbsp;nous y joignons un fecond d�, il eft aif� de voirnbsp;que la face marquee du premier peut fe combinernbsp;avec chacune des faces blanches du fecond, amp; lanbsp;face marqu�e du fecond avec chacune des blanches du premier, enfin la face marqu�e de 1�unenbsp;avec la face marqu�e del�autre. Conf�quemment,nbsp;fur les 36 combinaifons des faces de ces deux d�s,nbsp;il y en a 11 o� il y a au moins une face marqu�e.nbsp;Or nous avons d�ja remarqu� c[ue ce nombre r lnbsp;efl la diff�rence du quarr� du nombre 6 des facesnbsp;d�un d� , avec Ie quarr� de ce m�me nombre di-minu� de 1�unite, ou de

Joignons un troifieme d�, nous trouverons, par une femblable analyfe , que, fur les 216 combinaifons des faces de trois d�s, il y en a 91 o� il ynbsp;a au moins une face marqu�e; amp; ce nombre 91nbsp;efl; la dlfl�rence du cube de 6 ou 216, avec lonbsp;cul:gt;e de 5 OU 12 5, Et ainfi de fuite pour les cas plus

AriTHM�TIQUE. Chap. IX. 135 cotnpof�s. D�o� Ton conclut que , fiir les 466')6nbsp;combinaifons des faces des 6 d�s en queftion , il ynbsp;a 3 1031 oil il y a au moins une face inarqu�e ,nbsp;^ 15615 oil toutes les faces font blanches. Con-^�quemment il y a pr�s de deux contre un a pariernbsp;lt;lH�on amenera au moins quelque point ; tandisnbsp;tjue , fuivant Ie raifonnement ci-delTus, on trou-Voit qu�il y avoit 5 contre i a paner pour Ie casnbsp;Contraire.

Cet exemple eft un de ceux qui peuvent fervir a luontrer combien , dans ces matieres , on doit fenbsp;d�tier de ces demi-lueurs qui fe pr�fentent du premier abord. Je puis ajouter que l�exp�rience eftnbsp;conforme au raifonnement; car m��tant amuf�,nbsp;un foir de d�fceuvrement, a voir jouer a la ferme ,nbsp;amp; ayant compt� pendant plufieurs heures tousnbsp;les coups marqu�s de quelque point, amp; tous lesnbsp;choux - blancs , (on appelle ainfi dans ce jeu lesnbsp;coups OU il n�y a aucune face marcp�e , ) ]e trou-vai Ie nombre de ces derniers beaucoup moindrenbsp;que celui des premiers, amp; dans un rapport qui nenbsp;s��loignoit guere de celui de un a deux. Mais reve-nons a notre charlatan.

II eft clair que , fur les 46656 combinalfons des faces des 6 d�s dont il eft queftion, il n�y en anbsp;qu�une qui donne tout es les faces marquees ennbsp;deffus; ainfi la probabilit� de les amener en unnbsp;Coup eft exprim�e par x�TT� � ^ � comme on avoitnbsp;lo coups a )oue� pout les amener, la probabilit�nbsp;d�y r�uffir �toit denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ce qui fe r�duit aun peu

plus qu�une 1331^. Ainfi , pour jouer au pair, 1�homme en queftion auroit d� rembourfer 1332nbsp;fois la mife. Or il n�offroit que 100 fois cette mife ;nbsp;confequemment il n�offroit qu�environ la vingt-troifieme partie de ce qu�il auroit du offrir pour

jouer a jeu �gal, amp; il jouoit conf�quemment aved iin avantage de contre un.

La revanche qu�il ofFroit �toit une autre fuper-cherie, pour Ie fucc�s de laquelle il profitoit ha-bilement de la propenfion o� eft tout homme qut n�a pas fuffifamment examine la matiere , de fairenbsp;Ie mauvais raifonnement dont nous avons parl�nbsp;ci-delTus; amp; Ton devoit d�autant moins faire diffi-cult� d�accepter cette revanche , qu�il femble qu�ilnbsp;y ait 5 contre i a parier qu�on amenera chou-blanc chaque coup, tandis qu�au contraire il y anbsp;�X contre i a parier qu�on ne 1�amenera pas. Or lanbsp;probabilit� de ne pas amener chou-blanc en unnbsp;coup , �tant a celle de l�amener comme z a i, ilnbsp;fuit dela que la probabilit� de ne pas l�amener trolsnbsp;fois de fuite ,'efl: a celle de l�amener comme 8 eftnbsp;a I. Ainfi notre charlatan auroit d� mettre 7nbsp;contre i pour jouer 4 jeu �gal: conf�quemment ilnbsp;donnoit la revanche d�un jeu o� il avoir un avantage de 21 contre un, a un autre o� il en avoitnbsp;encore un de 7 contre i.

JEn comhhn di coups peut-on pariet au pair , avee G des marqu�s fur routes leurs faces , quonnbsp;amenera 2,3, 4, 3, G?

N^OUS venons de voir qu�11 y auroit 466^5 a parier contre un qu�on n�ameneroit pas ces 6 pointsnbsp;avec des d�s marqu�s feulement fur une de leursnbsp;faces: ma�s Ie cas eft bien diff�rent avec 6 d�snbsp;marqu�s fur routes leurs faces ; amp; pour Ie fairenbsp;fentir, � fuffit de faire obferver que Ie point i ,nbsp;par exemple , peut �tre �galement amen� par

Arithm�tique. Chap. IX. 135 chacun des d�s, amp; ainfi de m�me Ie 2 , Ie 3, Stc ;nbsp;qui rend Ie hafard des 6 points i , 2, 3, 4 ,nbsp;inconaparablement plus facile.

Mais, pour analyfer Ie probl�me plus exa�le-^ent, nous reinarquons que pour amener 1,2^ 3vec deux d�s, il y a deux manieres, fqavoir, inbsp;Ie d� A amp; 2 avec Ie d� B, ou i avec Ie d� Bnbsp;^ 2 avec Ie d� A. Pour amener 1,2,3,

^�s, fur la totalit� des combinaifons de faces de trois d�s, il y en a fix qui donnent les pointsnbsp;1,2, 3: car on peut amener i avec Ie d� A, 2nbsp;3vec B , 3 avec C; ou i avec Ie d� A, 2 avec C ,nbsp;3 avec B ; OU I avec Ie d� B, 2 avec Ie d� A ,nbsp;Sc 3 avec C ; ou I avec Ie d� B, 2 avec Ie d� C ,nbsp;amp; 3 avec A ; OU I avec Ie d� C, 2 avec A, amp; 5nbsp;avec B; OU enfin i avec C, 2 avec B, amp; 3 avec A.

_ On volt done par-la que, pour trouver les ma-iiieres dont on peut amener 1,2,3, avec trois des, il faut multiplier les nombres i, 2,3. Denbsp;m�me, pour trouver Ie nombre de manieres d�a-mener 1,2,3,45 avec quatre d�s , il faudra multiplier 1, 2, 3,4, enfemble; ce qui dbnnera 24.nbsp;Enfin , pour trouver de coinbien de manieres fix d�snbsp;peuvent donner i,2,3,4,^,6,il faudra multiplier enfemble ces fix nombres, amp; 1�on aura 720.

Si 1�on divife done Ie nombre 46656, qui eft ^�lui des combinaifons des faces de fix d�s, parnbsp;720, on aura 64^ pour ce qu�il y aura a pariernbsp;�^ontre i qu�on n�amenera pas ces points en unnbsp;t^oup , amp; conf�quemment on pourra prefque pa-^ler au pair de les amener en foixante - quatrenbsp;^oups : amp; il y aura plus du double a parier contrenbsp;Un qu�on les amenera en cent trente coups. Enfin ,nbsp;connne on peut facilement tirer cent trente coupsnbsp;de des amp;c plus en un quart - d�heure, on pourra

t^6 R�CR�ATIONS MATH�MATfQUES. parier , avec 1�avantage cle plus de i contre i, denbsp;les amener dans eet intervalle de temps.

Celui qui faifoit la propofiiion de parier au paif rl�amener ces points en un quart d�heure , commenbsp;je l�ai ou� dire a quelques perfonnes cui avoientnbsp;pari� contre , amp; quiy avoient perdu leur argent,nbsp;faifoit done un pari tr�s-avantageux pour lui amp;nbsp;tres-d�favantageux pour eux. Ne devoit-il pas ennbsp;confcience leur rendre leur argent ? La r�ponfenbsp;peut s�en d�duire de ce que nous venons de dire.

PROBL�ME XII.

ELQu'uN propofede jouer avec y d�s marqu�s jur routes leurs faces , aux conditions fuivantes :nbsp;Celui qui tient Ie d� gagnera autant d��cus quitnbsp;amenera de C; mais s'il nen amene aucun, ilpaieranbsp;a celui qui parie contre., autant d��cus qu ity a denbsp;�d�s, c�ejl-d-dirc fept. On demande quel rapport ilnbsp;y a entre leurs chances ?

Pour r�foudre ce probl�me, 11 faut 1�analyfer avec ordre. Suppofons done qu�il n�y e�t qu�unnbsp;xl�; il efl; �vident que , n�y ayant qu�un coupnbsp;pour celui qui tient Ie d� , amp; cinq contre lui, Ienbsp;rapport des mifes� devroit �tre celui de i a 5.nbsp;Ainli, fi Ie premier donnoit un �cu toutes les foisnbsp;xju�ll n�ameneroit pas 6 , amp; n�en recevoit qu�unnbsp;lorfqu�il 1�aineneroit , il ioueroit a un jeu tr�s-tn�gal,

Suppofons maintenant deux d�s. J�obferve que, dans les 36 combinaifons diff�rentes dont fontnbsp;fufceptibles les faces de deux d�s, il y en a 25 quinbsp;ne donnent point de 6 , qu�il y en a 10 qui ennbsp;clonncnt un, 5c une leule qui eu donne deux. Csquot;

Arithm�tique. Chap. IX. 137 qui tient Ie d� n�a done que 11 coups qui luinbsp;foient favorables, dont 10 lui feront gagner clia-un �cu , amp; un lui en fera gagner deux : done

chance pour gagner fera fuivant la regie g�n�-^^I^TT IT� ^ comme, chacun des 15 coups qui donnent point de 6 arrivant, il devra payernbsp;deux ecus, la chance de fon adverfaire feranbsp;Conf�quemment la chance pour gagner fera a cellenbsp;pour perdre comme-ff a yl, ou 12 a 50,ouraomsnbsp;de I contre 4.

Pour d�terminer , dans les cas plus compof�s , les coups qui ne donnent point de 6, ceux qui ennbsp;donnent un, ceux qui en donnent deux, trois, amp;c ;nbsp;il faut faire attention qu�ils font toujours exprim�snbsp;par les termes diff�rents de la puiffancede 5 1,nbsp;dont 1�expofant eft �gal au nombre des d�s. Ainfi,nbsp;lorfqu�il n�y a qu�un d�, Ie nombre 5 -f i exprimenbsp;par fon premier terme qu�il y a cinq coups fans 6 ,nbsp;amp; un qui donne un 6 : s�il y en a deux, Ie produitnbsp;de 5 1 par 5 15 ou Ie quarr� de 5 i, �tantnbsp;2-5 -f IO -f-1, Ie premier terme 25 indique qu�ll ynbsp;^ ^5 coups (fur les 36) qui ne donnent point de 6,nbsp;qui en pr�fentent un , amp; i qui en pr�fentenbsp;deux.

De m�me Ie cube de 5 i �tant 125 75 ^5 1, d�figne que, fur les 216 combinaifonsnbsp;des faces de fix d�s, il y en a 125 ou il n�y a au-^un 6,75 o� il y en a'un , 15 o� il y en a deux,nbsp;^ une o� il y en a trois.

La quatrieme puiffance de 5 1 �tant 625-f-500-P 1^0 20 1 , indique pareillement que, furies 1296 combinaifons des faces de quatred�s,nbsp;d y en a 625 fans aucun�, 500 qui donnent un 6 ,nbsp;150 qui en donnent deux , 20 qui en donnentnbsp;trois, amp; une feule qui en donne quatre.

Je paffe les cas interm�cliaires , pour arrlver a celui o� il y a lept d�s. Or on trouve , dans cenbsp;cas, quela feptieme puiffance de 5 1 eftySiiJnbsp; 109375 65625 Z1875 4375 525 35nbsp;4-1 � a 179936. II y a done , fur les 279930nbsp;combinaifons des faces de fept d�s,78125 quinenbsp;donnent aucun 6, 109375 o� il s�en trouve un,nbsp;65625 o� il y en a deux, 21875 o� il y en anbsp;trois, amp;c. Or, chacun des 78125 premiers coupsnbsp;arrivant, celui q�i tient Ie d� doit payer 7 �cus:nbsp;conf�quemment il faut, fuivant la regie g�n�rale tnbsp;multiplier ce nombre par 7, amp; divifer Ie produitnbsp;par la fomme de tons les coups; amp; Ton aura la

chance qui lui eft favorable,. multipliez chacun des autres termes par le nombre des 6 qu�il pr�-fente, additionnez les diff�rents produits , St di-vifez la fomme par la totalite des

pour gagner eft a fa chance pour perdre, comme 32559Z a 546875 ; e�eft-a-dire qu�il joue a unnbsp;jeu de dupe, ou ily a environ 54 contre 32, onnbsp;27 contre 16, ou plus de 3 contre 2 a pariernbsp;qu�il perdra.

Par un femblable proc�d� 1�on trouve que, s�il y a huit d�s, la chance de celui qui tient le d� eftnbsp;encore a celle de fon adverfaire comme 2259488nbsp;a 3125000; ce qui eft a peu pr�s comme 3nbsp;contre 4.

S�il y avoit neuf d�s, la chance pour celui qui tiendroit le d� feroit a celle de fon adverfairenbsp;comme 151 environ a 175.

S�il y a dix d�s, la chance du premier fera a celle du fecondcomme 101176960 a 97656250#

ARITHMixiQUE. Chap. X. 139 ^'^ft-a-dire, a tr�s - peu de chofe pr�s, commenbsp;�oi a 57 II commence done a y avoir de l�a-vantage pour Ie premier , feulement lorfque Ienbsp;^ombre des d�s eft i o ; amp; il nej doit pas y en avoirnbsp;*iioins pour jouer ce jeu avec quelque �galit�.

CHAPITRE X.

M . O ZANAM a �t� tr�s-prolixe dans rexpU-cation des diff�rentes m�thodes qu�on peut employer pour ces efpeces de divination. Mais il faut convenir que Ie plus fouvent ou elles fontnbsp;ttop compliqu�es, ou ce font de ces adreffes qu�ennbsp;langage populaire on appelle des rufes coufues denbsp;fil blanc. Nous nous bornerons , par cette raifon ,nbsp;3 ceux de ces moyens o� Tartifice eft molns appa-rent; ce qui en r�duira beaucoup Ie nombre.

�ites a celui qui a penf� un nombre de Ie ^ripler, amp; enfuite de prendre la moiti� exafte denbsp;triple s�il eft pair, ou la plus grande moiti� ft lanbsp;^ivifion ne peut pas fe faire exaftement, ( ce donenbsp;vous vous fouviendrez a pa*rt). Vous ferez encorenbsp;triplet cette moiti�, amp; vous demanderez combiennbsp;de fois Ie nombre 9 s�y trouve compris. Le nombrenbsp;penfe fera le double, 11 la dlvilion ci-deffus par la

moiti� a pu faire ; ma�s fi cette divifion n�a pu avoir lieu , il faudra aj outer l�unit�.

Qu�on ait penf� 5 , fon triple eft 15 quine peut fe divifer par 2. La plus grande moiti� de 15 eft 8 :nbsp;11 on la multiplie encore par 3, on aura 24, o� 9nbsp;fe trouve deux fois. Le nombre penf� eft done 4nbsp;plus I , OU 5.

Dites a celui qui a penf� un nombre de le multiplier par lui-m�me ; enfuite qu�il augrnente ce nombre de l�unit�, amp; qu�il le multiplie encorenbsp;par lui-m�me : demandez-lui apr�s cela la difference de ces deux nombres; ce fera certainemeiitnbsp;un noitibre impair , dont la petite moiti� fera Ienbsp;nombre cherch�.

Que le nombre penf� foit, par exemple ,10, fon quarr� eft 100. Que 10 foit augment� de i,nbsp;ce fera il, dontle quarr� eft 121. La diff�rencenbsp;des deux quarr�s eft 21, dont la moindre moiti�nbsp;10 eft le nombre cherch�.

On pourra, pour varier 1�artifice , faire faire Ie fecond quarr� du nombre penf� dimlnu� d�unenbsp;unit� : alors, demandant la diff�rence des deuXnbsp;quarr�s , la plus grande moiti� fera le nombrenbsp;cherch�.

Dans l�exemple pr�c�dent, le quarr� du nom-bre penf� eft 100; celui de ce nombre diininue de l�unit� ,'ou 9, eft 81; la diff�rence eft 19�nbsp;dont la plus grande moiti� eft to , nombrenbsp;chergh�.

Faites ajouter au nombre penf� fa moiti� exsCtc s�11 eft pair, ou fa plus grande moiti� s�il eft iJRquot;

AritHmetique. Chap. X 14*' P'l�r } pour avoir une premiere fomme. Faites auffinbsp;sjouter a cette fomme fa raoitie exacle , ou la plusnbsp;grande moitie , felon qu�elle feta un nombre pairnbsp;impair, pour avoir une feconde fomme , dontnbsp;dont vous ferez �ter le double du nombre penfe ;nbsp;^nfuite faites prendre la moitie du refle, ou fanbsp;plus petite moitie , au ca* que ce refte foit unnbsp;Sombre impair; continuez a faire prendre la moi-^'5 de la moiti�, jufqu�a ce qu�on vienne a 1�u-Cela �tant fait, remarquez combien de fous-divifions on aura faites , amp; pour la premiere division retenez z , pour la feconde 4 , pour la troi-Sleme 8, amp; ainfi des autres en proportion double.nbsp;Obfervez qu�il faut a] outer i pour chaque fois quenbsp;Vous aurez pris la plus petite moiti� , parcequ�ennbsp;prenant cette plus petite moitie il refte toujours i,nbsp;^ qu�il faut feulement retenir i lorfqu�on n�auranbsp;pu faire aucune fous-divifton; car ainfi vous aureznbsp;le nombre dont on a pris les moities des moities:nbsp;alors le quadruple de ce nombre fera le nombrenbsp;penf� , au cas qu�il n�ait point fallu prendre aunbsp;commencement la plus grande moiti� ; ce quinbsp;arrivera feulement lorfque le nombre penf� feranbsp;pairement pair, ou divifible par 4: autrement onnbsp;otera 3 de ce quadruple, fi a la premiere divifionnbsp;1 on a pris la plus grande moiti� ; ou bien feule-^cnt 2 , fi a la feconde divifion 1�on a pris la plusnbsp;gtande moiti�; ou bien enfin 5 , fi a chacune desnbsp;deux divifions on a pris la plus grande moiti� : Scnbsp;^lors le refte fera le nombre penf�.

Comme, fi I�on a penf� 4, en lui ajoutant fa Moiti� 2 , on a 6 , auquel fi 1�on ajoute pareille-�aient fa moiti� 3, on a p, d�ou otant le double 8nbsp;du nombre penf� 4, il refte i, dont on ne fqauroitnbsp;prendre la moiti�, parcequ�on eft parvenu a lu-

142. RicR�ATioNs Math�Matiques, nit� ; c�eft pourquoi on retiendra i, dont Ie quadruple 4 eft Ie nombre penf�.

Si 1�on a penf� 5, en lui ajoutant fa plus grande moiti� 3, on a 8 , auquel fi on ajoute fa moiti� 4,nbsp;on a II , d�o� �tant Ie double 10 du nombrenbsp;penf� il refte 2, dont la moiti� eft i : amp; commenbsp;l�on ne fqauroit plus prendre la moiti�, parcequ�oiinbsp;eft parvenu a l�unit�, on retiendra z , parcequ�il ynbsp;a une fous - divilion. Si de 8 , quadruple de cenbsp;nombre retenu z, on �te 3 , parceque dans la premiere divilion on a pris la plus grande moiti�, Ienbsp;refte 5 eft Ie nombre penf�.

IV.

Faites �ter 1 du nombre penf� , amp; enfulte doubler Ie refte; faites encore �ter i de ce double, amp; qu�on lui ajoute Ie nombre penf� ; enfin deman-dez Ie nombre qui provient de cette addition.nbsp;Ajoutez-y 3 ; Ie tiers de cette fomme fera Ie nombre cherch�.

Comme, 111�on a penf� 5 ? ^ qu�on en �te i, il reftera 4, dont Ie double 8 �tant diminu� de i,nbsp;amp; Ie refte 7 �tant augment� du nombre penf� 5 �nbsp;on a cette fomme i z , a laquelle ajoutant 3 , on anbsp;cette autre fomme 15, dont la troilieme partie 5nbsp;eft Ie nombre penf�.

Cette maniere peut �tre vari�e de blen des faqons; car, au lieu de doubler Ie nombre penf�nbsp;apr�s en avoir fait �ter l�unit�, on pourroit Ie fairenbsp;tripler : alors, apr�s avoir fait encore �ter 1�iinit�nbsp;de ce triple U ajouter Ie nombre penf�, il faudroit

ARITHMi�TIQUE. Chap. X. 145 y a�) outer 4. Le -j de la fomme provenante de cesnbsp;operations feroit le nombre cherch�.

Soit le nombre cherch� x ; qu�on en dte 1�unit� , le reftant fera x� 1: multipliez ce refte par unnbsp;nombre quelconque n, le produit fera nx � n:nbsp;otez-en encore l�unit� , le refte fera nx�n�i :nbsp;aioutez-y le nombre penf� x, ia fomme fera xnbsp;'^n�i. Si done on ajoute le multiplicateur ci-deflus augment� de 1�unlt�, c�eft-a-dire 3 ft l�on anbsp;doubl� , 4 ft Ton a triple, amp;c. le reftant feranbsp;n�1 X , qui �tant divif� par le m�me nombre , lenbsp;quotient fera x ,le nombre cherch�.

On pourroit, au lieu d��ter Tunit�, i�ajouter au nombre penf�; alors, au lieu d�ajouter a la fin lenbsp;multiplicateur augment� de l�unit� , il faudroitnbsp;le fouftraire, amp; faire la divifton comme il eft in-diqu� ci-deflus.

Que 7, par exemple , foit le nombre penf� : faites ajouter l�unit�, la fomme fera 8 ; en lanbsp;triplant on aura 24 : qu�on ajoute encore i, il vien-dra 25 ; qu�on ajoute 7, il proviendra 32 , dontnbsp;�tant 4, parcequ�on a tripl�, on aura 28 , dontnbsp;le quart fera le nombre chej^h�.

Faites ajouter i au triple du nombre penf� , amp; ^nfuite multiplier la fomme par 3: qu�on ajoutenbsp;^ncore le nombre penf�, il en r�fultera une fommenbsp;dont �tant 3 , le reftant fera le d�cuple du nombrenbsp;cherch�. Ainfi , lorfqu�on vous aura dit cette der-niere fomme , �tez-en 3 , amp; du reftant le z�ro anbsp;droite; l�autre chiffre indiquera le nombre cherch�.

Soit 6 le nombre penf�: fon triple eft 18; ce qui, en y ajoutant l�unit�, fait 19 : le triple eft 57�

144 Recreations Math�matIques. qu�on y ajoute 6, le produit eft 63 , dont otant 3 ^nbsp;le refte eft 60, dont coupant le z�ro a droke,nbsp;1�autre chiffre eft d, nombre chefche.

Si on otoit i du nombre penf�, qu�on triplat le refte , qn�on y ajoutat de nouveau le nombrenbsp;penf�, il.faudroit,apr�ss��trefait dire cettefommenbsp;qui fe terminera toujours par 7 , ajouter 3 annbsp;lieu de les en oter comme on a fait ci-deflus, amp;nbsp;la fomme fe trouveroit decuple du nombre penf�.

PROBL�ME 11.

LoRSQUE chacun des nombres penf�s ne fera pas plus grand que 9, on les pourra trouver faci-lement par cette maniere.

Ayant fait ajouter i au double du premier nombre penf� , faites multiplier le tout par 5 , amp; ajouter au produit le fecond nombre. S�il y en anbsp;un troifieme, faites doubler cette premiere fommenbsp;amp; y ajouter i; amp; , apr�s avoir fait multiplier cettenbsp;nouvelle fomme par 5, qu�on y ajoute le troifiemenbsp;nombre. S�il y en a un quatrieme, on proc�deranbsp;de m�me , en faifant doubler la fomme pr�c�-dente, ajouter 1�unlt�, multiplier par 5, amp; ajouternbsp;le quatrieme nombre, amp;c.

Cela fait, demandez le nombre qui provicnt de 1�addition du dernier nombre pgnf�, amp; de cenbsp;nombre fouftraifez 5 s�il n�y a que deux nombres ,nbsp;5 5 s�11 y a trois ,555 s�il y en a quatre, amp; ainfi

ArITHM�TIQUE. Chap. X. 145 �e Tu�te i Ie reftant fera compof� de chiffres dontnbsp;k premier a gauche fera Ie premier nombre penf� jnbsp;lefecond Ie deuxieme, amp;c.

Qu�on ait penf�, par exemple y ces trois nom-Wes, 3 , 4, 6 : en ajoutant i au double 6 du premier , on aura 7, qu�on m�ltipliera par 5 , amp; on aura 3 5; a quoi ajoutant 4, Ie deuxieme nombrenbsp;penf�, cela donnera 39, qu�il faut doubler pournbsp;avoir 78, y ajo�ter i, amp;c multiplier la fomme 79nbsp;par 5 , d�o� r�fultera 3 9 5; a quoi il faudra enfinnbsp;ajouter lt;5, Ie troifieme nombre penf�, amp; l�on auranbsp;401, dont�tant 55,1! reftera 346, dont les figuresnbsp;3 , 4, 6 f indiquent par ordre les trois nombresnbsp;penf�s.

Nous omettons lei une autre mani�re, parce-qu�on 1�emploiera dans la folution d�un autre jeu de cette efpece, appell� de VAnneau.

Si un OU pluiieurs des nombres penf�s font plus grands que 9, il faut diftinguer deux Cas; Ie premier o� la multitude des nombres penf�s eft unnbsp;nombre impair , amp; celui ou elle eft un nombrenbsp;pair.

Dans Ie premier cas , demandez les fommes du premier amp; du fecond, du fecond amp; du troifieme,nbsp;du troifieme amp; du quatrieme , amp;c. jufqu�au der-�iier, Sc enfin la fomme du premier amp; du dernier.nbsp;Ayant �crit toutes ces fommes par ordre, ajouteznbsp;nnfemble toutes celles qui font dans les lieux impairs , comme la premiere , la troifieme , la cin-quieme, pec : faiteS une autre fomme de toutesnbsp;celles qui font dans les lieux pairs, comme lanbsp;Tornt /,

deuxieme , la quatrigme, la fixieme, amp;c : otez cette feconde fomme de la premiere ; le reliantnbsp;fera le double du premier nombre.

Qu�on ait penle, par exemple,ces cinq nom-bres, 3,7, 13, 17, 20, les premieres fommes prifes comme on a dit font 10, 20, 30,37, 23;nbsp;la fomme des premiere , troilieme , cinquieme, ellnbsp;lt;^3 ; celle des deuxieme amp; quatrieme ell 57 : de 65nbsp;otez 57, le reliant ell6, double du premier nombre 3. Ayant done 3 , vous Toterez de la premierenbsp;des fommes i o; le reliant 7 fera le fecond nombre ; amp; ainli de fuite.

2^ Cas. Si la multitude des nombres penfes ell paire, 11 faut demander amp; ecrire par ordre, commenbsp;ci-delTus, les fommes du premier 8c du fecond,nbsp;du fecond 8c du troilieme, 8cc; mais au lieu denbsp;celle du premier amp; du dernier, on prendra cellenbsp;du fecond amp; du dernier : alors ajoutez enfemblenbsp;celles qui font dans les lieux pairs, 8c formez-ennbsp;une nouvelle fomme a part; ajoutez aulTi enfemblenbsp;celles qui font dans les lieux impairs, a 1�exceptionnbsp;de la premiere, 8c otez cette nouvelle fomme denbsp;la premiere : le reliant fera le double du fecondnbsp;des nombres: done, I�otant de la fomme des premier 8c fecond , on aura le premier; 8c en I�otantnbsp;de celle des lecond amp; troilieme, on aura le troi-fieme; amp;c ainli de fuite.

Soient, par exemple, les nombres penfes, 3, 7? �^3� *7' fommes prifes comme on vient denbsp;dire font 10,20,30 , 24; la fomme des deuxieme amp;c quatrieme ell 44, dont otant la troi-fieine feulement, qui ell 30 , le reliant ell 14. Lenbsp;fecond nombre cherch� ell done 7, 8c le premiernbsp;3, 8c le troifieme 13, amp;:c.

tTne perfonne ay ant dans une main un nombre. pair d'�cus ou dc jctons, 6* dans Pautre un nombrenbsp;impair, deviner en quelte main ejl le nombre pair.

Faites multiplier le nombre de la main droite par un nombre pair tel qu�il vous plaira , commenbsp;par 2, amp; le nombre de la main gauche par unnbsp;impair, 3 par example; fait�s ajouter les deuxnbsp;fommes: fi le total eft impair, le nombre pair denbsp;pieces eft dans la main droite, amp; I�impair dans lanbsp;gauche; ft ce total eft pair , ce fera le contraire.

Qu�il y ait, par exemple , dans la main droite 8 pieces, amp; dans la gauche 7: en multipliant 8nbsp;par 2 on aura 16 , amp; le produit de 7 par 3 fera 21,nbsp;Lafomme eft 37, nombre impair.

Si au contraire il y eut eu q'dans la main droite, 5st 8 dans la gauche ; en multipliant 9 pkr 2 onnbsp;auroit eu 18, 6gt;c multipliant 8 par 3 on auroit eunbsp;2.4, qui, ajout� a 18 , donne 42, nombre pair.

Vne perfonne tenant une piece d'or dans une main amp; une d^argent dans Vautre, trouver en quellenbsp;main ef I�or , amp; en quelle ef Vargent.

Il faut pour cet effet affigner a la piece d�or une ^aleur quelconque qui foit un nombre pair, parnbsp;�xemple 8, amp; a la piece d�argent une valeur quinbsp;ft^it un nombre impair, 3 par exemple; apr�s quoinbsp;�Vous procederez abfolument comme dans le pro-hl�me pr�c�dent.

R E M A R (lU E S.

54^ RicR�ATiONs Math�matiqueS. fuffira de demander fi Ie total des deux produltsnbsp;peut fe partager pat la moiti� ; car, dans ce cas,nbsp;Ie total lera pair , Sc dans Ie cas contraire, impair.

n. On voit bien qu�au lieu des deux mains de la m�me perfonne , on peut fuppofer que deuxnbsp;perfonnes auront pris , 1�une Ie nombre pair, l�autrenbsp;i�impair, ou Tune la piece d�or, l�autre celle d�ar-gent. On fera done a l��gard de ces deux perfonnes ce que 1�on a fait a l��gard des deux mains ,nbsp;en d�fignant a part foi l�une par la droite , l�autrenbsp;par la gauche.

PROBL�ME V.

Ce jeu, qui n�eft qu�une application d�urre des manieres de deviner plufieurs nombres penf�s,nbsp;peut fe pratiquer dans une compagnie, dont Ienbsp;nombre des perfonnes ne doit pas furpafler 9. Onnbsp;propofe un anneau qui doit �tre pris par une denbsp;ces perfonnes, amp; mis a un doigt de telle main amp;nbsp;a telle jointure de ce doigt qu�elle voudra. II fautnbsp;deviner quelle perfonne a cet anneau, a quellenbsp;main, a quel doigt, a quelle jointure.

Pour cet effet on feravaloir i la premiere per-fpnne , 2 la deuxieme, 3 la troifieme, amp;c : on fera aulli valoir I la main droite , amp; 2 la gauche :nbsp;on donnera pareillement i au premier doigt de lanbsp;main , fqavoir le pouce, 2 au fecond, amp;c. juf-qu�au petit doigt: on appellera enfin i la premierenbsp;jointure ou celle de l�extr�mit� du doigt, 2 lanbsp;deuxieme , 3 la troifieme. Ainfi le probleme fenbsp;xedult a deviner quatre nombres pris au hafard �nbsp;dont aucun ne furpaffe 9 j ce qui fe fera par lanbsp;m�thode fuivante.

Snppofons que Ia cinquieme perfonne alt pris la bague, Sc 1�ait mile a la premiere jointure dunbsp;quatrieme doigt de fa main gauche : les nombresnbsp;a deviner feront 5 , 1,4,1.

Pour y parvenir, faites doubler Ie premier nom* bre 5 , vous aurez 10, dout vous ferez �ter i ; Ienbsp;refte fera 9, que vous ferez multiplier par 5, ce quinbsp;Vous donnera 45, A ce produit faites ajouter Ienbsp;deuxieme nombre i, vous aurez 47; a quoi faifantnbsp;encore ajouter 5, il viendra 52 , qu�il faudra fairenbsp;doubler; ce double fera 104, dont vous ferez �ternbsp;1 ; Ie refte fera 103 , que vous ferez multiplier parnbsp;5; vous aurez pour produit 51 ^. A ce produit faitesnbsp;ajouter Ie troifieme nombre , ou Ie quantieme dunbsp;doigt, 4, vous aurez 519 ; a quoi ajoutant encorenbsp;5 gt; vous aurez 524, qu�il faudra faire doubler, Scnbsp;du double 1048 �ter 1 ; Ie reftant fera 1047, quenbsp;vous ferez encore multiplier par y, Ie produit feranbsp;5^35� A ce produit faites ajouter Ie quatriemenbsp;nombre, ou Ie quantieme de la jointure, i , ilnbsp;viendra 5x36 ; a quoi faifant enfin ajouter 5, lanbsp;fommc fera 5141 , dont les chiffres marquent parnbsp;ordre les quantiemes de la perfonne , de la main ,nbsp;du doigt amp; de la jointure.

II eft; clair que toutes ces operations ne re-viennent, au fond, qu�a celle de multiplier Ie nombre qui exprime Ie quantieme de la perfonne par 10 , puis y ajouter celui qui exprime Ie quantiemenbsp;de la main, multiplier encore par 10, See. Maisnbsp;1�artifice fauteroit trop facilement aux yeux; Sc ilnbsp;faut encore convenir que, pour peu que celui qui faitnbsp;ce calculait d�attention, il eft difficile qu�il ne voienbsp;pas aufll-t�t que ces quatre chiffres repr�fentent Ienbsp;quantieme de la perfonne, de la main, du doigt,nbsp;Scc. C eft pourquoi j�aimerois mieux y enaployer

I R�cr�ations Math�matiques. la maniere enfeign�e au Probl�me II, n� I , pournbsp;deviner tant de nombres donn�s qu�on voudra ;nbsp;car, au moyen du nombre qu�il en faut fouftraire,nbsp;on pourra bien ne pas imaginer du tout I�artificenbsp;employ�.

On pourroit propofer Ie probl�me de la ma-niere fuivante, amp; on Ie r�foudroit de m�me.

Trois OU un plus grand nomhrc de perfonnes ayant pris chacune une carte ( dont Ie nombre, desnbsp;points nexcede pas trouver les points de cellenbsp;que chacun a prife.

Dites a la premiere d�ajouter i au double du nombre de points de fa carte , puis de multipliernbsp;la fomme par 5, amp; au produit d�ajouter les pointsnbsp;de la carte de la fecond� ; puls de doubler cettenbsp;fomme , d�y aj outer Tunit� , de midtiplier Ie totalnbsp;par 5 , amp;. d�ajouter a ce produit les points de lanbsp;carte prife par la troifieine perfonne: en otant denbsp;ce produit 5 5 li le nombre des perfonnes eft 3,nbsp;ou 5 5 5 s�il eft 4, oil 5555 s�il y en a cinq, le ref-tant indlquera , par les chiffres qui le compofe-ront, les points des cartes prifes par chaque perfonne dans le m�me ordre.

Nous fupprimons I�exemple, afin d�abr�ger, 8c parcequ�on n�a qu�a recourir au premier exemplenbsp;du Probl�me II.

Deviner combien il y a de points dans une carte quc quelqiiun aura tirie d�un jeu de cartes,

Ayant pris un jeu entier de 52 cartes, pr�-fentez-le a quelqu�un de la compagnie, qui ti-rera celle qu�il lui plaira, fans vous la montrer. Enfuite, en donnant a toutes les cartes leur va-

ArITHM�TIQUE. Chap. X. 151 leur marqu�e, vous ferez valoir Ie valet 11 , Ianbsp;dame 12, amp; Ie roi 13 ; puls, comptant les pointsnbsp;de toutes les cartes, vous ajouterez les points denbsp;la premiere carte aux points de la feconde, ceux-ci aux points de la troifieme, amp; ainfi de fuite,nbsp;en rejetant toujours 13 , amp; gardant le refte pournbsp;1�ajouter a la carte fuivante. On voit qu�il eftnbsp;Inutile de compter les rois qui valent 13. Enfin,nbsp;s�il refte quelques points a la derniere carte , vousnbsp;oterez ces points de 13 , amp; le refte marquera lesnbsp;points de la carte qu�on aura tir�e : enforte que , ftnbsp;le refte eft n, ce fera un valet qu�on aura tire; ftnbsp;le refte eft 12 , ce fera une dame , amp;c ; mais s�ilnbsp;ne refte rien , on aura tir� un roi. Vous connoi-trez quel eft ce roi, en regardant celui qui manquenbsp;dans les cartes que vous avez.

Si 1�on veut fe fervir d�un jeu compofe feule-ment de 3 2 cartes, dont on fe fert a pr�fent pour jouer au piquet, on ajoutera tons les points desnbsp;cartes comme on vient de dire , mals on rejetteranbsp;tous les lO qui fe trouveront en faifant cette addition. Enfin on ajoutera 4 au point de la dernierenbsp;carte pour avoir une fomme, laquelle �tant �t�enbsp;de 10 ft elle eft molndre, ou de 20 ft elle furpaftenbsp;10 , le refte fera le nombre de la carte qu�on auranbsp;tir�e: de forte que , s�il refte 2 , ce fera un valet ;nbsp;s�11 refte 3 , ce fera une dame; 5t ft le refte eft 4,nbsp;On aura tire un roi, amp;c.

Si le jeu de cartes eft imparfait, on do-it prendre garde aux cartes qui manquent, amp; ajouter a la derniere fomme le nombre des points de toutesnbsp;ces cartes manquantes, apr�s qu�on aura �t� denbsp;ce nombre autant de fols 10 qu�11 fera poflible : amp;nbsp;la fomme qui viendra de cette addition doit�tre,nbsp;comme auparavant, �t�e de lO, ou de20gt;felo!i

qu�elle fera au deflbus ou au deflus de lO, �l eft �vident que fi l�on regarde encore une fois les cartes, on pourra nommer celle qui aura �t� tir�e.

Une- perfonne ayant dans chaque main un nombre egal de jetons ou d'�cus , trouver combien il ynbsp;en a e,^ lout,

Suppofons maintenant qu�en en faifant pafter 4 , on trouvdt Ie plus petit nombre contenu 2. fois amp; jnbsp;dans Ie grand, on multiplieroit �galement 4 parnbsp;aamp;f, ce qui donneroit pj , a quoi ajoutant 4 ,nbsp;on aura 13y ou D�un autre c�t� , �tant l�unit�nbsp;de ij , on aura ij ou 4 tiers, par quoi on diviferanbsp;amp; Ie quotient 10 fera Ie nombre de jetons denbsp;chaque main , comme il eft aif� de Ie verifier.

PROBL�ME VIII.

�)eylner entre plujieurs cartes celle que ^uelqipjin aura penf�e.

^YA N T pris a volont� , dans un jeu de cartes, un certain nombre de cartes, montrez-les parnbsp;ordre fur une table a celui qui en veut penfer une gt;

Dites- LUI d�en faire pafler, parexemple, 4 d�une main dans 1�autre; amp; demandez-lui enfuitenbsp;combien de fois Ie plus petit nombre eft contenunbsp;dans Ie plus grand. Suppofons qu�on r�ponde quenbsp;l�un eft triple de l�autre. Multipliez par 3 Ie nombre 4 des jetons pafles d�une main dans l�autre, 6cnbsp;y ajoutez ce m�me nombre, ce qui vous donneranbsp;16. Au contraire , de ce m�me nombre 3 oteznbsp;l�unit�, refteront ?, , par quoi vous diviferez 16 :nbsp;Ie quotient 8 fera Ie nombre contenq dans chaquenbsp;conf�quemment 16 en tout.

ArITHM�TIQUE. Chap. X. �omniencez par celle de deflbus, Sc mettez-lesnbsp;foin Tune fous I�autre ; puis dites - lui de fenbsp;Souvenir du nombre qui expriiue la quantleme qu�ilnbsp;penf�e; fqavoir , de i , s�il a penf� la pre-��iere; de z, s�il a penf� la feconde; de 3 , s�il anbsp;P^i^f� la troifieme; Sec. Mais en m�me tempsnbsp;'^oinptez fecr�tement celles que v�us montrez,nbsp;Ie nombre fera , par exemple, i z , Sc f�parez-adroitement du refte du jeu. Apr�s cela mette?nbsp;cartes , dont vous fqavez Ie nombre, dans unenbsp;miiation contraire , en commenqant a mettre furnbsp;refte du jeu la carte qui aura �t� mife la premiere fur la table, Sc en finiflant par celle qui auranbsp;^t� montr�e la derniere. Enfin, ayant demand� Ienbsp;Rombre de la carte penf�e , que nous fuppoferonsnbsp;^tre la quatrieme , remettez a d�couvert vos cartesnbsp;fur la table 1�une apr�s 1�autre , en commenqantnbsp;Par celle de deflus, a laquelle vous attribuerez Ienbsp;Uombre 4 de la carte penf�e , en comptant 5 furnbsp;feconde carte fuivante, Sc pareillement 6 furnbsp;troifieme carte plus balTe, Sc ainfi de fuite ,nbsp;lufqu�a ce que vous foyez parvenu au nombre 12nbsp;cartes que vous aviez prifes au commencement ; car la carte fur laquelle tombera ce nombrenbsp;, fera celle qui aura �t� penf�e.

^^ujieurs cartes dlfflrentes �tant propof�es fuccejjiyt-rnent cl autant de perfonnes , pour en retenir une dans fa m�moire , deviner celle que chacune auranbsp;penf�e,

^ y. P^r exemple, trois perfonnes, ijpon-trez trois cartes a la premiere perfonne , pour en tetenu une dans fa penf�e, Sc mettez a part ces

154 RiCR�ATIONS Math�matiq�es. trt)is cartes. Pr�fentez auffi trois autres cartes anbsp;la feconde perfonne , pour en penfer une a fanbsp;volont�, amp; mettez auffi a part ces trois cartes.nbsp;Enfin pr�fentez a la troifieme perfonne trois autresnbsp;cartes , pour lui faire penfer celle qu�elle voudra fnbsp;�c mettez pareillement a part ces trois derniereSnbsp;cartes. Cela �tant fait, difpofez a d�couvert lesnbsp;trois premieres cartes en trois rangs, amp; metteznbsp;delTus les trois autres cartes , amp;r deflus celles-ci lesnbsp;trois dernieres, pour avoir ainfi toutes les cartesnbsp;difpof�es en trois rangs, dont chacun fera com-pof� de trois cartes. Apr�s quoi il faut demander*nbsp;chaque perfonne dans qu^l rang efl: la carte qu�ellenbsp;a penf�e: alors il fera facile de connoitre cettenbsp;carte, parceque la carte de la premiere perfonnenbsp;fora la premiere de fon rang; de m�me la carte d�nbsp;la feconde perfonne fera la feconde de fon rang �nbsp;enfin Ia carte de la troifieme perfonne fera la troi*nbsp;fieme de fon rang.

Trois cartes ay ant ite prifcnt�es a trois per f onnes f deviner celle que chaciine aura prife.

On doit fqavoir quelles cartes auront �t� pr�quot; font�es; c�eft pourquoi nous nommerons 1�une A�nbsp;Pautre B, amp; la troifieme C: mais on laiffie Ia liquot;nbsp;bert� aux trois perfonnes de choifir celle qu�il leutnbsp;plaira. Ce choix , qui efl: fufceptible de fix facoi'*�nbsp;diff�rentes, �tant fait, donnez a la premiere perquot;nbsp;fonne lijetons, Z4 a la feconde, amp; 3*^ a la troiquot;nbsp;�eme; dites enfuite a la premiere perfonne d�ajo�'nbsp;ter enfemble la moiti� du nombre des jetons d�nbsp;celle qui a pris la carte A, Ie tiers des jetons d^nbsp;celle qui a la carte B, Sc Ie quart des jetons denbsp;celle qui a pris la carte Cj, Sc demandez-lui^*

ARITHMiTIQUE. Chap. X, I5�J foi�ime, qui ne peut �tre que 23 , ou X4, Ou 15 ,nbsp;27 , OU 28, OU 29, comme vous voyez dansnbsp;** table fuivante.

Cette table montre que fi cette fomme eft 25 , par exemple , la premiere perfonne aura pris lanbsp;carte B, la feconde la carte A , amp; la trolfieme lanbsp;carte C; amp; que li cette fomme eft 28, la premiere perfonne aura pris la carte B , la deuxiemenbsp;la carte C, amp; la troifieme la carte A : 6c ainfi desnbsp;autres.

PROBL�ME XI.

�^yant pris , dans un jeu enticr de clnquante-deux cartes , une, deux, trois , ou quatre , ou plusnbsp;de cartes , deviner la totaliti de leurs points.

RENEZ unnombre quelconque, 15 par exemple, excede Ie nombre de points de la plus hautenbsp;Carte , en faifant valoir Ie valet 11 , la dame 12 ,nbsp;^le roi 13 ; 6c faites compter apart autant de caries reftantes du jeu qu�il en faut pour aller 315,nbsp;cn coinptant les points de la premiere carte: qu�onnbsp;en faffe autant pour la deuxieme , puis pour Ianbsp;troifieme, pour la quatrieme , 8cc : faites-vousnbsp;dire enfuite Ie nombre des cartes reftantes du jeu.nbsp;Ce nojjnbre 4tant connu, vous op�rerez ainfi.

nombre ci-deffus, 15 (ou tel que vous aurez pris) par Ie nombre des carte*nbsp;prifes. Nous les Tuppofons ici } ; cela fera 4I'nbsp;A ce produit ajoutez Ie nombre de ces cartes ;nbsp;ibmme fera 48, que vous �terez de 51: Ie refte 4�nbsp;vous 1��terez du nombre des cartes qui aurof*^nbsp;refte: celui des cartes reftantes apr�s cette fouf'nbsp;tradlion, fera Ie nombre des points eberch�,

Qu�on ait pris, par example, un 7,un 10, ^ un valet qui vaut 11 : pour accomplir 15 avec 7�nbsp;il faut 8 ; pour accomplir ce m�ine nombre ave^^nbsp;10, il faut 5 ; amp; 4 pour aller a 15 avec Ie vale^nbsp;valant ii. La fomme de ces trois nombres aveCnbsp;les trois cartes, fait 20: par conf�quent, cett^nbsp;ep�ration faite, il reftera 32 cartes.

Pour deviuer la fomme des nombres 7, r o, 11 gt; vous multiplierez 15 par 3, ce cjui vous donneranbsp;45 ; amp; en y ajoutant Ie nombre des cartes prifes gt;nbsp;48dont Ie refte a 5 2 eft 4. Otez done 4 de 3 2 ; 1�nbsp;refte 28 eft la fomme des points des trois carte*nbsp;choifies, comme il eft a�f� dele verifier.

On a pris deux cartes feulement, ( ce font le 4 amp; le roi I 3) avec lefquelles on fait accomplir 15 �nbsp;amp; Ton dit qu�il refte 37 cartes.

Multipliez i 5 par 2 , le produit fera 30; a quo* �vous ajouterez le nombre des cartes prifes, 2�nbsp;vous aurez 32, qui �tant �t� de 52, d refte ^0�nbsp;Otez done 20 de 37, nombre des cartes reftantes�nbsp;le reftant 17 fera le nombre des points des def^nbsp;cartes prifes. En effet, 13 amp; 4 font 17.

I. Il pourra arriver, ft Ton prend 4 ou 5 cartes�

Arithm�tique. Chap. X 157 dans Ie jeu de 51 cartes il n�y en aura m�menbsp;pas affez pour accomplir Ie noiubre choifi ; mais lanbsp;^��ethode ne manquera pas pour cela. Par example�nbsp;on ait pris 5 cartes dont les points foient i, x,nbsp;^54) 5 ; en faifant avec chacune de ces cartesnbsp;Compl�ter Ie nombre 15 , il en faudroit, avec les 5 ,nbsp;moins 68 , amp; il ne refteroit rien: mais il y ennbsp;^ leulement 51; ce font conf�quemment l� denbsp;^oins. Celui qui compte Ie jeu dira done qu�il ennbsp;*gt;ianque 16.

D�un autre c�t� , celui qui entreprend de devi-�'er multipliera i 5 par 5, ce qui fait 75 ; a quoi il ^joutera Ie nombre des cartes 5 , ce qui donneranbsp;, c�eft-a-dire 28 en fus des 52: de 28 �tez 16 ,nbsp;�e�eront 12; amp; ce fera Ie nombre des points desnbsp;5 cartes.

Mais fuppofons qu�il reftk des cartes du jeu de ^ 2, par exemple 22, (ce qui feroit fi 1�on avoirnbsp;pris ces 5 cartes ,8,9, 10, valet 11, amp; dame 12)nbsp;alors il faudroit ajouter ces 22 a ce dont 5 fois 15nbsp;plus ^ excede 5 2 , c�eft-a-dire 28, amp; l�on aura toutnbsp;jufte 50 pour les points de ces 5 cartes; comraenbsp;lt;^ela eft en effet.

II. Si Ie jeu n��tolt pas de 52 cartes, mais de 40, par exemple , il n�y auroit encore aucunenbsp;difference ; Ie nombre des cartes reftantes de 40nbsp;devroit �tre �t� du nombre produit par la multiplication du nombre des cartes choifies par Ienbsp;Nombre accompli , en ajoutant a ce produit Ienbsp;*iombre de ces cartes.

Soient, par exemple , ces points de cartes, 9 , *0, II , amp; qu�on faffe accomplir 12, Ie nombrenbsp;reftant des cartes du jeu fera 3 i. D�un autre c�t�,nbsp;3 fois 12 font 36 ; amp; 3 en fus, a caufe des 3 car-39 j dont la difference a 40 eft i. Otez un de

III. nbsp;nbsp;nbsp;On pourroit prendre des nombres different^nbsp;pour .leS accomplir avec les points de chaqu�nbsp;carte choifie ; mais ce fera encore la m�me chofeJnbsp;il y aura feulement cette difference, qu�il faudranbsp;ajouter ces trois nombres avec celui des cartes tnbsp;au lieu de multiplier le m�me nombre par le norn-bre des cartes prifes, amp; 1�y ajouter, Cela n�a au-cune difficult� ; amp;, pour abr�ger, nous omettoflSnbsp;d�en donner un exemple.

deftreront probablement la demonftration de cette m�thode. Elle eft fort limple: la void. Soit a Isnbsp;nombre des cartes du jeu, c le nombre a attein-dre en ajoutant des cartps aux points de chaquSnbsp;carte choifie , b \e reftant du jeu : que x �nbsp;expriment, par exemple , les points de 3 cartes ynbsp;(on n�en fuppofe que trois) on aura pour le nom'nbsp;bre des cartes tlrees,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

ce qui , avec le refte des cartes b, doit en fairs la totalite. On a done 3c-{-3 � x�nbsp;ou x4-^-[-yr:=3c-|- 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ou b�a�3c�3 = ^

J {- Or x-fj-f.� eft le nombre total des points, ^ eft le reftant des cartes du jeu , amp; 0�3*'nbsp;�3 eft le nombre total des cartes du jeu, moins Isnbsp;produit du nombre a completer par le nombrsnbsp;des cartes choiftes, moins ce nombre. Done, amp;c*

Que ces trois chofes foient une bague , uR �cu amp; wn gant i vous vous reprefenterez la bagu�

AriTHM�TIQUE. Chap, X 159 P3r �a lettre A, l��cu par la lettre E, amp; Ie gantnbsp;par I. Que les trois perfonnes foient Pierre, Simonnbsp;^ Thomas ; vous les regarderez dans leur placenbsp;tellement rang�s, que l�un, fomme Pierre, fera

^^enie, Ayant fait ces difpofitions en vous-m�me , ''ous prendrez vingt - quatre jetons , dont vousnbsp;^onnerez un a Pierre, deux a Simon, amp;C trois anbsp;quot;�^omas; vous laifferez les dix-huit autres fur lanbsp;*able: enfuite vous vous retirerez de la compagnie , afin que les trois perfonnes fe diftribuent lesnbsp;*rois chofes propof�es fans que vous Ie voyiez.nbsp;Cette diftribution �tantfaite , vous direz que celuinbsp;'lui a pris la bague prenne, des dix-huit jetonsnbsp;'lui font reft�s, autant de jetons que vous lui ennbsp;nvez donn�; que celui qui a pris l��cu prenne , desnbsp;Jetons reft�s, deux fois autant de jetons que vousnbsp;lui en avez donn�; enfin , que celui qui a pris Ienbsp;gant prenne, fur Ie refte des jetons, quatre foisnbsp;uutant de jetons que vous lui en avez donn�: (dansnbsp;Uotre fuppolition Pierre en aura pris un, Simonnbsp;^luatre, amp; Thomas douze; par conf�quent il renbsp;fera reft� qu�un j'eton fur la table). Cela �tant fait,nbsp;Vous reviendrez, 6c vous connoitrez par ce quinbsp;fera reft� de jetons la chofe que chacun aura prife,

Pour pouvoir fe fervlr des mots de ce vers, il faut fqavoir qu�il ne peut refter qu�un jeton, ou 2 ,nbsp;o'i 3 � OU j , ou 6 , OU 7, amp; jamais 4: il faut denbsp;plus faire attention que chaque fyllabe contientnbsp;une des voyelles que nous avons dit repr�fenter

i6o Recreations MatH�matiques. les trois chofes propof�es : enfin il faut confid�re^nbsp;ce vers comme n��tant eompofi� que de fix mots ynbsp;amp; que la premiere fyllabe de chaque mot repte-fente la premiere perfonne qui eft Pierre, amp; 1*nbsp;feconde fyllabe repr�fente la feconde perfonnenbsp;qui eft Simon. Celabien conqu, s�il ne refte qu�urtnbsp;jeton , comme dans notre fuppofition , vous vousnbsp;fervirez du premier mot, ou plut�t des deux premieres fyllabes , Par ftr, dont la premiere , qu*nbsp;contient A , fait voir que la premiere perfonnenbsp;ou Pierre a la bague r�pr�fent�e par A ; amp; la fe-conde fyllabe, qui contient E , montre que la feconde perfonne ou Simon a 1��cu repr�fente par Etnbsp;d�o� vous conclurez facilement que la troifienienbsp;perfonne ou Thomas a Ie gant,

S�il reftoit z jetons, vous confulteriez Ie fecond mot C�far, dont la premiere fyllabe, qui contientnbsp;E, feroit connoitre que la premiere perfonne au^nbsp;roit 1��cu repr�fente par E; amp; la feconde fyllabe,nbsp;qui contient A, montreroit que la feconde perfonne auroit la bague repr�fent�e par A : d�ou �nbsp;feroit aif� de conclure que la troifieme perfonnenbsp;auroit Ie gant. En un mot, felon Ie nombre desnbsp;jetons qui refteront, vous emploierez Ie mot dunbsp;vers qui fera marqu� du m�me nombre.

Au lieu du vers franqois qu�on a rapport�, o� peut fervir de ce vers latin:

Ce probl�me peut �tre ex�cut� un peu autr�' ment qu on vient de Ie faire, amp;; on peut l�appliquef

3 plus de trois perfonnes: ceux qui voudront en ^tre plus particuli�rement inftruits, peuvent con-Hilter Backet , dans Ie vingt-cinquieme de fes Pro^nbsp;^linies plaifants amp; d�leBables.

^lujieurs Hotnhres prh fuivant- leur fuite naturelle ctant difpof�s m rond, deviner celui que qml-quun aura penf�.

On fe fervira commod�ment des dix premieres 'Cartes d�un jeu entier pour ex�cuter ce probl�me;nbsp;On les difpofera en rond , comme vous voyez lesnbsp;dix premiers nombres dans la figure. L�as fera re-pr�fent� par la lettre A jointe a i, amp; Ie dix feranbsp;��epr�fent� par la lettre K jointe i lO.

�oK

Ayant fait toucher un nombre, o� une catfe telle que voudra celui qui en aura penf� une,nbsp;3joutez au nombre de cette carte touch�e Ie noin-des cartes que 1�on aura choifies, comme lo,nbsp;dans eet exemple : puis faites compter la fommenbsp;^ue vous aurez a celui qui a penf� la carte, par unnbsp;ordre contraire a la fuite naturelle des nombres,nbsp;en commenqant par la carte qu�il aura touch�e,nbsp;amp; en attribuant ^ cette carte Ie nombre de cedenbsp;^u il aura penf�e j car , en comptant de la forte ^ ilnbsp;Tome �,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;L

l6l RiCR�ATIONS Math�matiques. finira i compter cette fomme fur Ie nombre ou Tufnbsp;la carte qu�il aura penf�e, amp; vous fera par confe-quent connoitre cette carte.

Comme, fi l�on a penf� 3 marqu� par la lettre Cf qu�on ait touch� 6 marqu� par la lettre F, ajoU'nbsp;tez 10 a ce nombre 6 , vous aurez la fomme 16 �nbsp;puis fakes compter (a) cette fomme 16 clepuis Ienbsp;nombre touch� F, versE,D,C,B,A, amp; ainfinbsp;de fuite par un ordre r�trograde , enforte que l�onnbsp;commence a compter Ie nombre penf� 3 fur F, 4nbsp;fur E, 5 fur D, 6 fur C, amp;; ainfi de fuite iufqu�anbsp;16; ce nombre 16 fe terminera en C, amp; fera con-noitre qu�on a penf� 3 qui r�pond a C.

I, nbsp;nbsp;nbsp;On peut prendre un plus grand on un plusnbsp;petit nombre de cartes, felon qu�on Ie jugera anbsp;propos. S�il y avoit ou 8 cartes, il faudroUnbsp;ajouter 15 ou 8 au nombre de la carte touch�e.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Pour mieux couvrir 1�artifice, il faut reU'nbsp;verfer les cartes , enforte que les points foietitnbsp;cach�s, amp; bien retenir la fuite naturelle des cartes gt;

amp; en quel endroit eft Ie premier nombre ou 1�as� afin de fqavoir Ie nombre de la carte touch�e gt;nbsp;pour trouver celui jufqu�ou il faut faire compter.

Deux perfonms conviennent de prentfre alternative' . ment des nombres moindres qiduTi nombre dontitf \nbsp;par exemple i i,amp; de les ajouter enfenible jufqti'd

^a) Obfervez qu�on ne dolt pas compter cette fonune haut, mais en foi-meine, �c feuleiu^nt par peof^^

AritHM�TIQUE. Chap. X I65 lt;i fwe Vuti des deuxpuijfe. atuindre ,par exemple^nbsp;too; comment doit-on Jaire pour y arriver in-�nbsp;failliblement le premier ?

L�artifice de ce probl�me Gonftfte a s�ein-parer tout de fuite de certains nombres que nous �Uons faire connoitre, Retranchez pour cet eifetnbsp;�� , par exemple , de too qu�il eft queftion d�at-teindre , une fois , deux fois, trois fois, amp; autantnbsp;de fois que cela fe peut; il reftera 89, 78,67,nbsp;56,4^, 34, 23 , iz amp; I , qu�il faut retenir; carnbsp;^elui qui, en ajoutant fon nombre moindre que 11nbsp;a la foinme des precedents, comptera un de cesnbsp;nombres avant fon adverfaire , gagnera infailli-blement, St fans que 1�autre puifle Pen einpecher.

On trouvera encore plus facilement ces nom-fcres en divifant too par 11, amp; prenant le refte i, auquel on ajoutera continuellement ii pour avoirnbsp;1, i z ,13,34, amp;c.

Suppofons, par exemple, que le premier qui fqait le jeu prenne i; il eft evident que fon adver-faire devant compter moiris que 11 , pourra toutnbsp;au plus , en ajoutant fon nombre, 10 par exemple , atteindre 11: le premier prendra encore i ,nbsp;Ce qui fera 11: que le fecond prenne 8 , cela fcranbsp;^0: le premier prendra 3, amp; aura 13 : amp; ainft fuc-celftvement, 11 atteindra le premier a 34, 45,56 ,nbsp;C7,78,89. Arriv� la, le fecond ne pourra pasnbsp;I�empdcher d�atteindre 100 le premier; car,.quel-cjtte nombre qiie ptenne le fecond , il ne pourranbsp;atteindre qu�a 99 : le premier pourra done dire,nbsp;^ I font too. Si le fecond ne prenoit que i ennbsp;fus de 89,�cela feroit 90, amp; fon adverfaire pren-droit 10, qui avec 90 font too.

Ma�s li 1�une Ie f^ait, l�autre non, celle-ci, quoique premiere, pourra foitbien ne pas gagner;nbsp;car elle croira trouver un grand avantage a prendrenbsp;Ie plus fort nombre qu�elle puiffe prendre , fqavoirnbsp;lo ; amp;: alors la feconde, qui fqait la finelfe dunbsp;jeu, prendra ^ , ce qui avec l o, fait iz , l�iin desnbsp;nombres dont il faut s�emparer. Elle pourra m�menbsp;n�gliger eet avantage, Stneprendre que i pour fairenbsp;11; ,car la premiere prendra probablement encorenbsp;lo, ce qui fera il : la feconde pourra alors prendre 1, ce qui fera 13. Elle pourra enfin attendrenbsp;encore plus tard po�ur fe placer a quelqu�un desnbsp;nombres fuivants , 34 , 45 , ^6 , amp;c.

Si Ie premier veut gagner , il ne faut pas que !e plus petit nombre propof� mefure Ie plus grand;nbsp;car, dans ce cas , Ie premier n�auroit pas unsnbsp;regie infaillible pour gagner. Par exemple, fi aunbsp;lieu de 11 on avoit pris 10 qui mefure 100, ennbsp;�tant 10 de 100 autant de fois qu�on Ie peut, onnbsp;auroit ces nombres, 10, zo, 30, 40, 50, 60,nbsp;70, 80, 90, dont Ie premier 10 ne pourroit pasnbsp;�tre pris par Ie premier ; ce qui fait qu��tant obligenbsp;de prendre un nombre moindre que 10, fi lefe-cond �toit auffi fin que lui, il pourroit prendre Ienbsp;refte ^ 10, amp; ainfi il auroit une regie infaillib'l�nbsp;pour gagner.

Sei^c jetons kant dijpof�s en deux rangs, trouvef celui qui aura �t�penf�.

Ces feize jetons �tant difpof�s en deux rangs �gaux, comrae on voit dans la figure, on deman-

ArITHM �TIQUE. Chap. X. .165 dera a quelqu�un d�enpenfer ou choifir mentalementnbsp;, amp; de remarquer dans quel rang il fe trouve.

AB CBD EBF HBI

Suppofons qu�il foit dans le rang A,.onlevera tout ce rang dans le ineme ordre ou il fe trouve,nbsp;amp; on le difpofera en deux rangees C amp; D, anbsp;droite amp;c a gauche de la rang�e B; mals, en lesnbsp;rangeant, faites enforte que le premier du rang Anbsp;foit le premier du rang C, le iecond du rang Anbsp;le premier du rang D, le troifieme clu rang A lenbsp;fecond du rang C , Sc ainfi de fuite : cela fait,nbsp;demandez de nouveau dans quelle rang�e verticale C ou D fe trouve le jeton penfe. Nous fup-poferons que ce foit en C ; vous leverez ce rangnbsp;ainfi que le rang D, en mettant ce dernier der-riere le premier, Sc fans rien d�ranger a I�ordrenbsp;des jetons; vous en ferez deux autres rangees �,nbsp;comme 1�on voit en E Sc F, Sc vous demandereznbsp;encore dans quelle rang�e verticale fe trouve lenbsp;jeton penfe. Suppofons que ce foit en E ; onnbsp;Prendra encore cette rang�e Sc la rang�eF, commenbsp;delTus, Sc On en fera de nouveau deux rangees anbsp;droite Sc a gaiiche de B. Cette fois le jeton penfenbsp;doit fe trouver le premier cl�un des deux rangsnbsp;perpendiculaires H ScI, Si done on demande eji

quel rang � trouve, on le reconnoitra auflitotj amp;: comme on fuppofe qu�ils ont chacun qitelquSnbsp;figne diftinftif, on pourra dire de les meier lesnbsp;uns avec les autres, amp;C on le reconnoitra toujoutSnbsp;au figne qu�on aura remarque.

On voit aifeinent qu�au lieu de jetons le )eu peut fe faire avec feize cartes. Apr�s avoir reconnunbsp;par le moyen ci-deflus celle qni aura �t� choifie,nbsp;on les fera meier, ce qui couvrira davantage I�ar-tifice.

R E M A S. (lU E.

Si 1�on fuppofoit un plus grand nombre de je-tons ( ou de cartes ) difpofes en deux rangees ver-ticales, le jeton oil la carte penfee ne fe trouvera pas neceffairement en t�te de ion rang a la troifiemenbsp;tranfpofition : il en faudroit quatre s�il y avoitnbsp;3Z jetons ou cartes, cinq s�il y en avoit 64,, amp;c.nbsp;pour pouvoir dire avec affurance que le jetonnbsp;penfe (ou la carte) occupe la premiere place denbsp;fon rang ; car fi ce jeton (bu cette carte) fe trou-�voit au plus bas de la rang�e perpendiculaire A ,nbsp;ce ne feroit qu�apr�s quatre tranfpofitions qu�ilnbsp;arriveroit a la premiere plage, s�il y en avoit l�nbsp;A chaque rang�e, ou 3 x en tout; amp; apr�s cinq gt;nbsp;s�il y en avoit 64, ou 31 a chaque rang�e, amp;c:nbsp;ce qui eft aif� a demontrer.

IE faut, pour faire ce Jeu, que le nombre de* cartes foit divifible par 3 , amp; , pour le faire plu�nbsp;commod�ment encore j qu�il foit impair.

Arithm�tique. Chap, X. l6j

premiere condition au moins �tant fuppof�e , on fera penfer une carte; puis, les tournant du c�t�nbsp;blanc , on les retournera par ordre, en les dif-pofant en trois tas, enforte que la premiere dunbsp;Jeu foit la premiere du premier tas, la deuxiemenbsp;la premiere du fecond tas, la troifieme la premierenbsp;du troifieme tas, puls la quatrieme la feconde dunbsp;premier tas, amp; sinfi de fuite. La perfonne qul anbsp;penf� une des cartes doit �tre attentive a les voirnbsp;Pafler; amp; on lui demandera , les tas �tant aclie-V�s , dans lequel fe trouve la carte penfi�e. Onenbsp;relevera done les tas en les mettant 1 un fur l�autre ,nbsp;en obfervant que celui o� eft la carte chercli�enbsp;doit �tre toujours au milieu; apr�s quoi, retour-nant Ie jeu, on fera de nouveau Sc de la m�menbsp;maniere trois tas, amp; Ton demandera encore dansnbsp;lequel eft la carte penf�e. Ce tas �tant connu, onnbsp;leplacera, comme ci-devant, entre les deux au-tres, amp; 1�on formera trois nouveaux tas; apr�snbsp;quoi on demandera encore dans lequel eft la cartenbsp;penf�e. Alors on relevera pour la troifieme amp; der-niere fois les tas , en mettant au milieu celui ounbsp;�ft la carte ; amp;, en tournant Ie jeu du c�t� dunbsp;blanc , on retournera les cartes 'jufqu�au nombrenbsp;qui eft la moiti� de celles du jeu, par exemple lanbsp;douzieme, s�il y en a 24: cette douzieme cartenbsp;fera , dans ce cas , la carte penf�e.

Si Ie nombre des cartes eft a-la-fois impair Sc divifible par 3 , comme 15, zi, 27, amp;c. Ie jeunbsp;�n deviendra plus facile encore ; car la carte penf�e fera toujours celle du milieu du tas ou elle fenbsp;trouvera la troifieme fois, de. maniere qu�il feranbsp;facile de la reconnoitre fans compter les cartes:nbsp;car en faifant pour la troifieme fois les tas, 11 l�ranbsp;facile de fe fouvenir des trois cartes qui feropt au

i6S Recreations Math�mat^ques. milieu de chacun d�euXi Suppofons, parexemple�nbsp;que la carte du milieu du premier tas foit l�as denbsp;cceur, celle du fecond Ie roi de coeur , amp; cellenbsp;du milieu dn troifieme Ie valet de pique ; il eft 'nbsp;�vident que , lorCqu�on wus dira que Ie tas o� eftnbsp;la carte cherch�e eft Ie troifieme, vous fqaureZnbsp;auffi-t�t que cette carte eft Ie valet de pique. Vousnbsp;pourrez done faire m�ler les cartes fans y touchernbsp;davantage; amp; en les parcourant, pour la forme�nbsp;vous nommerez Ie valet de pique lorfqu�il fe pr�-fentera,

Quln:(e Chr�tiens amp; qu�n^e. Tures fe trouvent fut mer dans un m�me vaifjeau. II furvient une fu-rieufe temp�te. Aprles avoir jet� dans Veau touteSnbsp;les niarchandifes , Ie pilote annonce qiiil rdy itnbsp;de moyen de fe fauver, que de jeter encore a lanbsp;mer la moi�� desperfonnes, IL les fait ranger denbsp;fuite; amp; , en comptant de ^ en C) , on jette Ie neu-vieme d la mer, en recommengant d compter Ienbsp;premier du rang quand il ef fini: il fe trouvenbsp;qiiapres avoir jet� quince perfonnes, les quincenbsp;Chretiens font ref �s. Comment a-t-il difpof� leSnbsp;trente perfonnes pour fauver les Chr�tiens ?

efpece:

Arithm�tique. Chap. X. 169 Pour s�en fervir, il faut faire artention auxnbsp;'^oyelles A , E , I, O , U, qul fe trouvent dans lesnbsp;fylUbes de ces vers, en obfervant que A vaiit i ,nbsp;2,1 vaut 3 , O vaut4, amp; U vaut 3. Onnbsp;^ommencera done par mettre 4 Chretiens , a caufenbsp;^ la voyelle O de la premiere fyllabe; puis 5nbsp;^urcs, a caufe de 1�U de la feconde ; amp; ainfi denbsp;fuite jufqu�a la fin; on trouvera que , prenant tou-Jours le neuvieme circulairement, e�eft-a-dire ennbsp;�quot;ecommenqant par le premier apr�s avoir achevenbsp;rang , le fort ne tombera abfolument que furnbsp;des Turcs,

On peut aif�ment �tendre davantage la folution de ce probleme. Qu�il faille , par exemple , fairenbsp;tomber le fort fur 10 perfonnes de 40, en comp-de 12 en 12 : on rangera a part circulairementnbsp;40 z�ro , comme on voit ci - delTous; amp;, en

oooooooooooooo

commenqant par le premier, on marquerale dou-zieme d�une croix; 1�on continuera en comptant jufqu�a 12, 8z; Ton marquera pareillement d�unenbsp;Croix le z�ro fur lequel on tombera en comptantnbsp;Sc ainfi de fuite en tournant, amp; en faifantnbsp;attention de pafler les places d�ja croif�es, attendunbsp;^ue ceux qui les occupoient font cenfes d�ja re-tranch�s du nombre. On continuera ainfi, jufqu�anbsp;ce qu�on ait le nombre recpiis de places marquees;nbsp;OC alors, en comptant le rang qu�elles dccupent,

en commenlt;;ant par Ia premiere , on connoitf* facilement celles fur lerquelles doit n�ceffairementnbsp;tombernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de 11 en 11. On trouve, dans

Texeinple propof�, que ce font la feptieme, la liuitieme, la dixieme , la douzieme , la vingt-nnieme , la vingt-deiixieme, la vingt-quatrieme ,nbsp;la trente-qnatrieme, la trente-cinquieme, amp; lanbsp;trente-fixieme.

Un capitaine , oblige de faire d�cimer fa compagnie , pourroit ufer de eet expedient pour faire tomber Ie fort fur les fujets les plus coupables , eanbsp;les plaqant fans affeftation dans les places o� Ienbsp;fort tombera immanquablement.

On raconte que ce fut par ce moyen que Thif-lorien Jofephe fauva fa vie. II s��toit r�fugi� avec quarante autres Juifs dans une caverne , apr�s lanbsp;prife de Jotapat par les Romains. Ses compagnonsnbsp;Tcfolurent de s�entre-tuer plut�t que de fe rendre,nbsp;Jofephe eflaya en vain de les diffuader de cettonbsp;horrible r�folution: enfin, n�en pouvant venir knbsp;hout, il feignit d�adh�rer a leur volont� ; Sc, fs �nbsp;confervant 1�autorit� qu�il avoit fur eux commenbsp;leur chef, il leur perfuada , pour �viter Ie d�for-^re qui fuivrolt de cette cruelle execution s�ilsnbsp;s�entre-tuoient a la foule , de fe ranger par ordre ,nbsp;amp;, en commenqant de compter par un bout juf-qu�a un certain nombre , de maflacrer celui furnbsp;qui tomberoit ce nombre, jufqu�a ce qu�il n�ennbsp;demeurat qu�un l�ul qui fe tueroit lui-m�me. Tousnbsp;en etant demeur�s d�accord , Jofephe les difpofanbsp;de telle forte , Sc choifit pour lui-m�me une tellenbsp;place, que, la tuerie �tant continu�e jufqu�a lanbsp;fin ; il demeura feul avec un autre auquel il perfuada de vivre , ou qu�il tua s�il ne voulut pas ynbsp;confentir.

Arithm�tique. Chap. X 171 Telle eft Thiftoire qu�H�g�fippe raconte de Jo-^phe , amp; que nous fbmmes bien �loign�s de ga-�'antir. Quoi qu�il en foit, en appliquant a ce casnbsp;moyen enfeign� ci-deffus, Sc en fuppofant quenbsp;cbaque troifieme dut �fre tu�, on trouve que lesnbsp;deux dernieres places fur lefquelles le fort devoitnbsp;bomber �toient les feizieme amp; trente-unieme; en-ftirte que Jofephe dut fe mettre a Tune des deux,nbsp;^ placer a I�autre celui qu�il vouloit fauver, s�ilnbsp;eut eu un complice de fon artifice.

^ur h bord d�um riviere fe trouvent un loup, une chevre amp; un ckou : il ny a quun bateau jipetit ^nbsp;que U batelier feul amp; Fun d'eux peuvent y tenir,nbsp;Il ejl quef ion de les pajfer de forte que le loupnbsp;ne faffe aucun mal d la chevre ni la chevre attnbsp;chou.

L E batelier commencera par pafter la cbevre J puis il retournera prendre le loup: apr�s avoirnbsp;pafte le loup il ramenera la chevre, qu�il laifleranbsp;3 bord pour palTer le chou; enfin il retournera anbsp;Vuide chercher la chevre , qu�il paflTera. Ainfi lenbsp;^uiip ne fe trouvera jamais avec la chevre, ni lanbsp;chevre avec le chou, qu�en prefence du batelier.

Troi's marts jaloux fe trouvent avec leurs femmes uu paffage dime riviere: Us rencontrent un bateaunbsp;fans batelier : ce bateau ef Ji petit, qu il ne peutnbsp;porter que deux perfonnes d-lafois. On demandenbsp;comment ces fix perfonnes pa^eront deux a deux

enforte quaucunt femme ne demeure en la cont� pagnie d'un ou de deux hommes , f fon martnbsp;n�efi pref ent}

It duplex mullery redit una , vehitque manentemy Itque una ; ucuntur tune duo puppe viri.

Par vadit amp; redeunt bini, mulierque fororem Advehit; ad proprium fine markus abit.

Deux femmes pafleront d�abord ; puis l�une ayant ramen� Ie bateau, repaflera avec la trolfiemenbsp;femme. Enfuite Tune des trois femmes rameneranbsp;Ie bateau , amp;, fe mettant a terre, laifiera paffer lesnbsp;deux hommes dont les femmes font de l�autrenbsp;c�t�. Alors un des hommes ramenera fa femme;nbsp;amp;, la mettant a terre , il prendra Ie troifiemenbsp;homme , amp; repaflera avec lui. Enfin la fem.me quinbsp;fe trouve palf�e entrera dans Ie bateau, amp; ira ennbsp;deux fois chercher les deux autres femmes.

On propofe encore ce probl�me fous Ie titre des trois maitres amp; trots valets. Les maitres s�ac-cordent bien enfemble amp; les valets auffi ; maisnbsp;lt;haque maitre ne peut fouffrir les valets des deusnbsp;autres, de maniere que s�il fe trouvolt avec un desnbsp;deux valets en l�abfence de fon maitre , � Ie bat-,nbsp;troit infailliblement.

Comment peut-on difpofer dans les huk caf�s ext�-t�rieuns d'un quarr� divif� en neuf des jetons^

Arithm�tique. Chap. Jt. 173 �fnforu qull y �n ah toujours ^ dans chaqutnbsp;bande de l'enceinte, amp; qiie cependant cc nombrinbsp;puijfe Vari�r depuis 20 jiifqu^d 32 ?

Feu M. Ozanam propofe ce probl�me d*une Rianiere affez indecente, amp; commence m�me par-fes Recreations Math�matiques, apparemmentnbsp;poiir piquer la curiofit� de fes lefteurs.

II y a, dit - il, un convent compof� de neuf Cellules, dont celle du milieu eft occup�� par unenbsp;^bbeffe aveugle, Sc les autres par fes religieufes.nbsp;La bonne abbeffe, pour s�affurer que fes nonnainsnbsp;Re violent point leur cloture, fait une premierenbsp;Ibis fa vifite; amp;. ,trouvant 3 religieufes dans chaquenbsp;celluie , ce qui fait 9 par bande, elle va fe cou-cher. Quatre religieufes fortent n�anmoins: 1�ab-beffe revient au milieu de la nuit compter fes religieufes ; elle les trouve encore 9 par bande, amp; ellenbsp;tetourne fe repofer tranquille fur leur conduite.nbsp;Ces quatre religieufes rentrent chacune avec unnbsp;bonime : l�abbelTe fait une nouvelle vifite;nbsp;comptant 9 perfonnes par bande , elle eft encorenbsp;dans la f�curit�. II s�introduit cependant encorenbsp;quatre hommes; amp; 1�abbefte, comptant toujours 9nbsp;dans chaque bande, eft dans la perfuafion quenbsp;Perfonne n�eft entr� ni forti. On demande com-�Rent cela fe peut faire ?

La folution de ce probl�me fe trouvera facile-^ent par l�infpeftion des quatre tableaux qui fui-''ent, dont Ie premier repr�fente la difpofition primitive des jetons dans les cellules du quarr�;nbsp;Ic fecond, celle des m�mes jetons lorfqu�on anbsp;dte 4 ; I� troifieme , comment ils doivent �rrenbsp;ditpof�s lorPqu�on en a fait rentrer 4 avec quatrenbsp;�Rtres ; Ie quatrieme enfin, celle des m�mes jetons

lorfqu�on y ajoute encore 4. II eft clair qu�i� y en a toujours 9 dans chaque bande d�enceinte ;nbsp;amp; cependant, dans Ie premier cas, il y en a en toutnbsp;2.4, dans Ie fecond 20 , dans Ie troifieme 28 ,nbsp;dans Ie quatrieme 32.

M. Ozanam ne paroit pas s��tre apperqu qidort peut poufter la chofe plus loin ; qu�il e�t pu fairenbsp;entrer encore 4 hommes au couvent, fans quenbsp;fon abbefle s�en apperqut; amp; puis faire fortir tousnbsp;les hommes avec 6 religieufes, enforte quM n�ertnbsp;reftat plus que 18, au lieu de 24 qu�elles �toientnbsp;primitivement. Les deux tableaux fuivants eunbsp;montrent la poflibilit�.

11 eft fans d�ute aftez fuperflu de montrer d�oft provient rUlufion de la bonne abbefle. C�eft quenbsp;Iss noinbres qui font dans les cafes angulaires du

ARiTHMiriQUE. Chap. X. 17^ *juarr� font compt�s deux fois , ces cafes �tantnbsp;Communes a deux bandes. Ainfi , plus on chargenbsp;Jes cafes angulaires, en vuidant celles du milieunbsp;de chaque bande, plus on fait de ces doubles em-plois; ce qui fait qu�il paroit y avoir toujoursnbsp;m�me nombre , tandis qu�il eft diminu�. Le contraire arrive a mefure qu�on charge les cafes dunbsp;milieu, en vuidant les cafes angulaires; ce qui faitnbsp;qu�on eft oblige d�y ajouter quelques uiiit�s pournbsp;avoir 9 dans chaque bande.

f^uelquun ay ant une houtcillc de hult ptntes pleint d'un vin excellent, en veut faire prifent de lanbsp;moiti� ou de quatre pintes d un ami; mais il rtanbsp;pour le tmfurer que deux autres vafes, Pun denbsp;cinq , r autre de trois pintes. Comment doit-ilnbsp;faire pour mettre quatre pintes dans le vafe denbsp;cinq ?

Pour cet effet appellons A la bouteille de 8 pintes, B celle de 5, amp; C celle de 3 ; en fuppofaritnbsp;qu�il y a 8 pintes de vin dans la bouteille A, amp; quenbsp;les deux autres B , C , foient vuides, comme vousnbsp;voyez en D. Ayant rempli lanbsp;853 bouteille B du vin de la bouteillenbsp;A B C A, ou il ne reftera plus que 5nbsp;tgt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pintes, comme vous voyez en E,

�3^0 rempliflez la bouteille C du vin �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de la bouteille B, oiipar .confe-

G nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quent il ne reftera plus que 1 pin-

. 6 nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tes, comme vous voyez en F:

^152 apr�s cela verfez le vin de la bou-^143 teille C dans la bouteille A, oii

par conf�quent ii y aura 6 pintes, eomme vo�s voyez en G ; amp; verfez les i pintes de la bouteillenbsp;B dans la bouteille C , ou il y aura z pintes,nbsp;comine vous voyez en H. Enfin, ayant rempli Ianbsp;bouteille B du vin de la bouteille A , o� il refteranbsp;feulement une pinte, comine vous voyez en I,nbsp;achevez de remplir la bouteille C du vin de lanbsp;bouteille B, ou il refiera 4 pintes, eomme vousnbsp;voyez en K; amp; ainfi la queftion fe trouveranbsp;r�folue.

Si, au lieu de faire refter les 4 pintes de viri dans la bouteille B, vous voulez q��elles reftentnbsp;dans la bouteille A , que nousnbsp;853 avons fuppof�e remplie de 8 pin-*

abc tes, rempllflez la bouteille C du 800 vin qui eft dans la bouteille A,nbsp;Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;alors il ne refte plus que 5

E 530 pintes, comine vous voyez en D, Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Verfez les trois pintes de la

G nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bouteille C dans la bouteille B,

H nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;il y aura par conf�quent 3

� 710 pintes de vin, eomme vous voyez; Knbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E: puis, ayant rempli la bou

teille C du vin de Ia bouteille A, ��il ne reftera plus que z pintes, eomme vous voyez!nbsp;en F, achevez de remplir la bouteille B du vin quinbsp;eft dansla bouteille C, o� il ne reftera plus qu�unenbsp;pinte , eomme vous voyez en G. Enfin, ayantnbsp;verC� Ie vin de la bouteille B dans la bouteille A �nbsp;o� il fe trouvera 7 pintes, eomme vous voyez ennbsp;H, verfez la pinte de vin qui eft en C dans la bouteille B, o� il y aura par conf�quent une pinte*nbsp;eomme vous voyez en I, amp; rempliflez la bouteille

^ du vin de la bouteille A, o� il ne reftera que 4 P'ntes , comme il �toit propof� , amp; comme vousnbsp;voyez en K.

P R O B L � M E XXII.

C'nc perfonne a une bouteille de dou^e pintespleine de vin : il en veut donner fix pintes au fiere qu�-teur: il na , pour les mefiurer^ que deux autresnbsp;bouteilks, Vune de fiept pintes, amp; Vautre de cinq.nbsp;(fiue doit-il fiaire pour avoir les fix pintes dans lanbsp;bouteille de fiept pintes ?

Ce probl�me eft la m�me chofe que Ie pr�c�dent; �on l�ex�cutera auffi de la ni�me maniere. Soitnbsp;nominee D la bouteille de 12 f intes, S celle denbsp;lept pintes, amp; C celle de ^ pintes. La bouteille Dnbsp;cft pleine , amp; les deux autres S , C, font vuides ,nbsp;Comme on voit en G. Rempllffez la bouteille C dunbsp;vin qui eft en D , amp; la bouteille D ne contiendranbsp;plus que 7 pintes , comme on voit en H: puisnbsp;Verfez dans S Ie vin que contient la bouteille C ,nbsp;qui demeurera vuide, amp; la bouteille S contiendranbsp;lt; pintes, comme on voit eni:nbsp;DSCnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�gt; uyant rempli C avec Ie

j nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la bouteille S en contiendra �c

7 nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la bouteille Cfera pleine, comme

^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de la bouteille C du vin dans la

Q nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la bouteille D ne contiendra en^

Cela �tant fait, vuidez S en D amp; C en S, 8c il y aura 9 pintes en D, 3 pintes en S , 8c C feranbsp;vulde , comme on le volt en M: enfuite rempliffeznbsp;C de la bouteille D , 8c de C verfez en S pour lanbsp;reinplir; alors 11 y aura 4 pintes en D, 7 pintesnbsp;en S, 8c une plnte en C, comme vous voyez en N.nbsp;Cela fait, remettez les 7 pintes de S dans D, 8cnbsp;la plnte de C dans S , 8c D contlendra 11 pintes fnbsp;S en contlendra i , 8c C fera vulde, comme onnbsp;le volt en O. Enfin , ayant rempll de la bouteillenbsp;D la bouteille C qul contient 5 pintes, 8c ayantnbsp;verfe-ces 5 pintes de C dans la bouteille S qul ennbsp;contient deja une , on trouvera cjue D contient �nbsp;pintes , 8c que S en contient auffi fix; ainfi on eftnbsp;parvenu a ce qu�on fouhaitoit.

Faire parcourir au cavalier du jeu des Echecs touteS les cafes du dainier Vune apres Tautre, fansnbsp;paffer deux fois fur la m�me.

13		10		14
	I	2	3
9	8	A	4	11
	7	6	5
i6		12

No T RE lefteurconnoit probablementlamarche du cavalier dans le jeu des �checs : dans le casnbsp;contraire , la void. Le cavalier �tant plac� fur lanbsp;cafe A, 11 ne peut aller anbsp;aucune de celles qui I�en-vironnent imm�diateinent,nbsp;comme i,2,3,4, 5 , 6,nbsp;7, 8 , ni aux cafes 9,10�nbsp;II, 12, qui font dire�le-ment au defifus , ou au def'nbsp;fous, ou a C�t� , ni aiUtnbsp;cafes 13 , 14, 15, 16, quinbsp;font dans les diagonals, raais leulement a une denbsp;celles qui, dans la figure, font vuides.

Arithm�tique. Chap. X. Quelques hommes c�lebres fe font amuf�s denbsp;ce probl�me de combinaifons ; fjavoir , M. denbsp;^ontmort, M. de Moivre amp; M. de Mairan , 5cnbsp;en ont donn� chacun une folution. Dans lesnbsp;premieres, on fuppofe Ie cavalier plac� d�a-^ord fur une des cafes angulaires de 1��chiquier ;nbsp;^ans la troifieme , on Ie fuppofe partant de 1�unenbsp;quatre du centre: mais je crois que, jufqu�anbsp;fes dernieres ann�es, on n�en connoiffoit aucunenbsp;^ui fut telle que, plaqant Ie cavalier fur une cafenbsp;quelconque, on put lui faire parcourir tout Ie da-mier ; 5c m�me enforte que , fans revenir fur fesnbsp;pas , il p�t continuer fa route , amp; parcourir encorenbsp;Une feconde fois Ie damier fous la m�me condition. Cette derniere folution eft due a M. denbsp;\y * *nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;capitaine au r�giment de Kinski, dra

Nous allons donner les quatre tableaux de ces quatre folutions, avec une explication 6c quelquesnbsp;temarques.

M i)

II. De. M. de Moivre.

III. De M. de Mairan.

ARitHM�TIQUE, Chap, X, iBi

IV, Dc M. di W***.

De ces quatre manieres de r�foudre Ie probl�me, Celle de M. de Moivre eft fans contredit la plusnbsp;facile a s�imprimer dans la m�moire ; car Ie principe de fa m�thode confifte a remplir autant qif ilnbsp;cft polTible les deux bandes d�enceinte, amp; de nenbsp;fs jetter fur la troifieme que lorfqu�il n�y a nul autrenbsp;�tioyen de paffer, de la place o� l�on eft, fur Tunenbsp;ties deux premieres; regie qui n�ceffite la marchenbsp;tlu cavalier, depuis fon premier pas jufqu�au cin-^tiantieme, de la maniere la plus claire, amp; in�menbsp;P^r-dela ; car , de la cafe marquee 50, il n�y a denbsp;^hoix pour fe placer, cjue fur celles qui font mar-ftu�es 51 amp; 63 : mais la cafe 51, �tant plus prochenbsp;la bande, doit �tre pr�f�r�e, amp; alors la marchenbsp;n�ceffit�e par 3i , 53, 54, 55, 56, 57,58,nbsp;591 60, 61. Arriv� la, il eft indiff�rent qu�on fenbsp;pofe fur celie marquee 64 ; car de-la on ira fur lanbsp;p�nultieme 63 , on finira fur 6x; ou bien d�aller

a 6i pour paffer a 63 , finir a 64. Ainli l�oR peut dire qit� la marche du cavalier, dans cettenbsp;folution, eft prefque contrainte.

II n�en eft pas ainfi de la quatrieme: il eft difficile de la pratiquer autremeut que de memoir,e; mais elle a un avantage tr�s-grand; c�eft qu�onnbsp;peut commencer par la cafe que l�on voudra, ainfinbsp;que nous l�avons dit , parceque fon auteur a eunbsp;1�induftrie de ramener Ie cavalier, en finiftant,nbsp;dans une place d�ou il peut repafter dans la premiere. Ainfi fa marche eft en quelque forte circulaire amp; interminable, en rempliftant la conditionnbsp;de ne repafter fur la m�me cafe qu�apr�s foixante-quatre coups.

II eft facile de voir que, pour ex�cuter cette marche fans confufion , il faut a chaque pas mar-quer la cafe que quitte Ie cavalier. On couvriranbsp;done toutes les cafes chaciine d�un jeton, amp; onnbsp;otera Ie jeton a mefure que Ie cavalier aura paftenbsp;fur la cafe : ou bien, au contraire, on mettra unnbsp;jeton fur chaque cafe a mefure que Ie cavaliernbsp;aura paffe deffus.

jDiJlrihmr entre trois perfonnes vingt-un tonmaux, dom fept pkins , fept vuides amp; fept denn-pkins ,nbsp;enjone que chacune ait la m�me quantit� de yinnbsp;amp; de tonmaux.

Ce probl�me admet deux folutions,qui ne fqau* roiient �tre rendues plus clairement que par lesnbsp;deux tableaux qui fuivent.

II eft �vident que, dans ces deux combinaifons, chaque perfonne aura 7 tonneaux, Sc 3 tonneauxnbsp;amp;c demi de vin.

II eft, au refte, facile de voir qu�il eft n�ceffaire c[ue Ie nombre total des tonneaux foit divifible parnbsp;Ie nombre des perfonnes; car, autrement, la chofenbsp;deinand�e feroit impoffible.

On trouvera de la m�rae inaniere que, fi l�on avoit 24 tonneaux a partager a trois perfonnesnbsp;fous les conditions ci-deffus, on auroit trois fo-lutions diff�rentes, fqavoir ;

CHAPITRE XL

PROBLEME I.

XJn pm de familie or dome , par fon tefament, que raini de fes enfants prendra fur tons fes biensnbsp;10000 livres amp; la feptieme panic de cequi rejiera;nbsp;le fecond zoooo livres , amp; la feptieme panic denbsp;ce quirejlera; le troijieme 2,0000 livres, amp; lanbsp;feptieme partie dii fuiplus ; amp; aiiif jufquau dernier, en augmentant toujours de 10000 livres.nbsp;Ses enfants ay ant fuivi la difpoftion du tefa-Ttient , il fe trouve qu ils ont etc egalement par-tageS. On demande combien ily avoit dlenfants,nbsp;quel itoit le hien de ce pere, amp; quelle a etc lanbsp;part de chacun des enfants ?

ON trouve, par I�analyfe , que le bien du pere etoit de 360000 livres; qu�il y avoit fixnbsp;, amp; qu�ils ont eu chacun 60000 livres.

Ell effet, le premier prenant 10000 , le ref-clu bien eft 350000 livres, dont la feptieme partie eft 50000, qui, avec 10000, font 60000nbsp;�^tes. Le premier enfant ayant pris fa portion , 11nbsp;^^fte 300000 livres; fur laquelle fomme le fecondnbsp;P'^enant zoooo livres, le reftant eft: 280000, dontnbsp;3 feptieme partie eft: 40000, qui, avec les 20000nbsp;^I'deflTus , font encore 60000 livres; Sc ainfi denbsp;�Uite.

PROBL�ME ir.

1//Z honimc rencontre, en fortant de fa ma'ifon, tin certain nombre de pauvres: il veut leur diftributfnbsp;l'argent qu il a fur lui. II trouve quen donnantnbsp;achacunneuf fous, il en a trente-deux de moininbsp;quil ne faut; mais quen en donnant d chacuttnbsp;fept, il lui en refe vingt-quatre. Quels �toientnbsp;nombre des pauvres , amp; la fomme que eet homm^nbsp;avoit dans fa bourfe ?

R�ponse. Il y avoit iS pauvres, amp; eet liomrus avoit dans fa bourfe 11 livres; car, en multipliantnbsp;28 par 9, on trouve 252 , dont otant 32 , puiiquot;quot;nbsp;qu�il manquoit 32 fous, Ie reftant eft 220 f�us gt;nbsp;qui valent 11 livres: mais, en donnant a chacuRnbsp;des pauvres 7 fous, il n�en falloit que 196 oUnbsp;9 fois 16: par conf�quent il reftoit i liv. 4 fous.

PROBLEME III.

Un particulier a achet�, pour la fomme de HO livHh un lot de bouteilles de vin, compofe de cent boU'nbsp;teilles de vin de Bourgogne , 6* quatre-vingts d(nbsp;vin de Champagne. Un autre a pareillemenlnbsp;achet� au m�me prix^ pour la fomme denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;livres^

quatre-vingt-cinq bouteilles du premier , (S' foi' xante-dix du fecond. On demande combiennbsp;a co�t� l'une amp; Pautre efpece de vin ?

O N trouvera que Ie vin de Bourgogne leur ^ co�t� 10 fous la bouteille, amp;: celui de Champagn�nbsp;15. II eft aif� de Ie prouver.

pere m mourant laijjt fa fwum tnctinu, II or-donne par fon tejlamcnt qiu yji clh accouche d'un male , il hcritera dcs deux tiers de fon lien , amp;nbsp;fa femme de Vautre tiers ; mats , fi elle accouchenbsp;dlune file, la mere hiritera des deux tiers amp; lanbsp;file d�un tiers. Cette femme accouche de deux en-fants, un garqon amp; une file. Quelle fera la partnbsp;de chacun ?

Ce probleme n�a cle clifficulte que celle de re-lt;^oniioitre la volonte du teftateur. Or on a cou-tume de I�interpreter ainfi : Puifque ce teftateiir a ordonne que, dans le cas ou fa femme accoiiche-�^oit d�un garqon, cet enfant aura les deux tiers denbsp;fon bien amp; la mere un tiers, il s�enfuit que fonnbsp;deffein a �td de faire a fon fils un avantage doublenbsp;de celui de la mere : amp; puifque , dans le cas ounbsp;celle-ci accouchera d�une file, il a voulu que lanbsp;tnere eut les deux tiers de fon bien amp; la file I�autrenbsp;tiers, on en doit conclure que fon defiein a �t�nbsp;que la part de la mere fut double de celle de lanbsp;file. Pour allier done ces deux epnditions, 11 fautnbsp;partager la fucceffion de maniere que le fils aitnbsp;deux fois autant que la mere, amp; la mere deux foisnbsp;3Want que la fille. Ainfi, en fuppofant le bien anbsp;partager de 3oooo ecus, la part du fils feroit denbsp;17141 liv. f; celle de la mere, de 8571 i; Scnbsp;Celle de la fille , de 428 5 y.

On propofe ordinairement a la fiiite de ce pro-bleme une autre difficulte. On fuppofe que cette mere accouche de deux garqons Sc d�lme fille , ^nbsp;1 on demande quel fera , dans ce cas , le partagenbsp;delafucceffion?

Nous croyons n�avoir d�autre r�ponfe a faire quC celle que feroient les jurifconfultes, fqavoir, quenbsp;Ie teftament feroit nul dans ce cas; car, y ayatrtnbsp;un enfant d�omis dans Ie teftament , routes lesnbsp;loix connuesen prononceroient la nullit�, attendunbsp;1� que la loi eft pr�cife; i� qu�il efl; impoffiblenbsp;d�m�ler quelles auroient �t� les difpofitions dunbsp;teftateur s�il avoir eu deux garqons, ou s�il avoitnbsp;pr�vu que fa femme en e�t mis deux au monde.

PROBL�ME V.

Vn liori de bronze, plac� fur Ie bajjin d�une fon-taine , peut jeter Teau par lagueule ,par les yeuX amp; par Ie pied droit. S'il jette Veau par la gueule ynbsp;il remplira Ie baffin en Jix luures ; s�il la jette pafnbsp;Voed droit, il Ie remplira en deux jours; lajetantnbsp;par Vail gauche, il Ie rempliroit en trois ; enfin ,nbsp;en la jetant par Ie pied , d Ie remplira en quatrenbsp;jours. En combien de temps Ie bajfin fera-t-ilnbsp;rempli, lorfque Veau fortira d la fiois par toutesnbsp;ces ouvertures ?

PoUR r�foudre ce probl�me, on obfervera que, puifque Ie lion, jetant l�eau par la gueule , remplitnbsp;Ie baffin dans 6 heures, il en remplira im fixiemenbsp;dans une heure; Sc puifque , la jetant par l�oeilnbsp;droit, il Ie remplit en deux jours, d4ns une heurenbsp;jl en remplira ~. On trouvera de m�me qu�il eirnbsp;remplira ~ dans une heure en jetant l�eau par 1�ceilnbsp;gauche, amp; 9^ en la jetant par Ie pied. Done , lanbsp;jetant par les quatre ouvertures a la fois, il en four-nira dans une heureplus ^-f ^ q, ^ ^ c�eft-a-dire, en ajoutant toutes ces fraftions, les ^V'nbsp;Qu�on falTe done cette proportion: Si les

Arithm�tique. Chap. XI. i8^

ont �t� fournies en une heure ou 6o minutes, com-bien la totalit� du balfin ou les |-|| exlgeront- elles de minutes ? amp; Ton trouvera 4 heures 43 minutesnbsp;*6 fecondes, Sc ff ou environ 41 tierces.

t/n mulei amp; un dne faifant voyage enfembh, Pane fe plaignoit du fardeau dom il itoit charg�,nbsp;Le mulct lui dit: Animal parejjeux , de quoi tenbsp;plains-tu ? Si tu me donnois un des Jacs que tunbsp;portas , j'en aurois le double des tiens ; mais Ji jenbsp;Pen donnois un des miens , nous en aurions feu-lement amant Vun que F autre. On demande quelnbsp;itoit le nombre de facs dont Vun amp; l�autre etoientnbsp;charg�s ?

Ce probl�me, un de ceux qu�on propofe ordi-nairement aux commenqants en algebre, eft tir� d�un recueil d��pigrammes grecques , connu fousnbsp;le nom dl Anthologie. On a ainfi traduit en latin ,nbsp;prefque litt�ralernent, le probl�me grec avec fanbsp;folution.

Atque fuo graviter fub pondera prejfa gemebat. 1'alibus at diclis mox increpat ipfe gementem :nbsp;^ater, quid luges , tenerce de more puellae ?

L�analyfe du probl�me a auffi �t� exprim�e en affez mauvais vers latins j que nous donnerons

190 R�cr�ations Math�matiques. feulement ici a caufe de la fingularit�. Les voici J

Unam afina. accipiens, amittms mulus amp;unatnf SifianC tzqui, certe utriqm anth duobusnbsp;Dijlabant d Je. Accipiat Ji mulus at unam ynbsp;Amittatqui ajina unam , tune dijlantia Jietnbsp;Inter tos quatuor. MuU at cum pondera duplanbsp;Sint ajince, huic Jimplex, mulo ejl dijlantia dupla.nbsp;Ergo habet hcec quatuor tantum, mulufque habetoclo,nbsp;Unam ajineeji addas ,Ji reddat mulus amp; unam,nbsp;Menfuras quinque hete , amp; feptem mulus habebunt.

Pulfque, Ie mulet donnant une de fes mefures a I�anelfe, ils fe trouvent �galement charg�s , il eftnbsp;�vident que la difference des mefures qu�ils portent eft �gale a deux. Maintenant, fi Ie mulet ennbsp;reqoit une de celles de I�anelTe, la difference feranbsp;quatre ; mais alors Ie rnulet aura Ie double dunbsp;noinbre des mefures de Faneffe : conf�quemmentnbsp;Ie mulet en aura buit, amp; I�aneffe quatre. Que Isnbsp;mulet en rende done une a I�aneffe, celle-ci ennbsp;aura cinq , amp; Ie premier en aura fept. Ce font lesnbsp;nombres de mefures dont ils �toient charges, amp; lunbsp;r�ponfe a la queftion,

On peut rev�tir ce^probleme de bien des formes diff�rentes ; mais il feroit pu�rile amp; fupsrflu dsnbsp;s�y art�ter.

Ce probleme, au refte, n�eft pas Ie feul que nous pr�fente l�Anthologie grecque : en voidnbsp;quelques autres traduits en vers latlns par M. Bachetnbsp;de M�ziriac, qui les a inf�r�s dans une note fur unnbsp;des probl�mes de Diophante.

�^urta mala ferunt Charites , aqualia cuiqus Mala infunt calatho; Mufarum his obvia turbo.nbsp;Malapttunt, Charites cunclis czqualia donant;

Cela fignifie : Les trois Graces portant des Oranges, dont elles ont chacune un egal nombre ,nbsp;font rencontrees par les neuf Mufes qui leur ennbsp;demandent: elles leur en donnent chacune lenbsp;�r�me nombre; apr�s cela chaque Mufe amp; chaquenbsp;f^race fe trouve egalement partagee. Combien ennbsp;^voient les premieres}

Le moindre nombre qui fatisfafle a la queftion oft ; car, en fuppofant que chaque Grace ennbsp;Cut donn� une a chaque Mufe, elles fe trouverontnbsp;cn avoir chacune 3 , amp;; il en reftera 3 a chaque

Grace.

Les nombres 14, 36, amp;c. fatisferont egale-^ent a la queftion; amp;, apr�s la cliftribution faite , -ohacune des Graces amp; des Mufes en eut eu 6, on 5} amp;c.

II.

, Heliconiadum decus, 0 fublime Sororutn ^ythagora ! tua quot tyrones tecta frequentent,

3 fub te , fophite fudant in agone magijlro ? ^icam ; tuque animo mea dicta , Poly crates, haurt.,nbsp;^imidia horum pars prceclara mathemata difeit,nbsp;Quarto imrjiortakm naturam nojfe laborat^

191 Recreations Math�matiques. Septima , fed tacitl , fedet atque audita rcvolvU inbsp;Trcs funt famincti fexus.

Dis - moi, illuftre Pythagore , combien cle difciples frequentent ton ecole ? Je vais te lenbsp;dire, repond le philofophe. Une moiti� �tudienbsp;les math�matiques, un quart la phyfique , unenbsp;feptieme garde le filence; amp; il y a de plus troisnbsp;femmes.

Ainli, il s�agit de trouver un nombre dont une moiti�, un quart amp; un feptieme , en y ajoutant 3 gt;nbsp;faffent ce nombre lui-m�me. II eft aif� de r�pon-dre que ce nombre efl; 28.

III.

Die quota nunc hora ef ? Superef ta?it�m ecce diei Quantum bis gemini ex.aUd de luce trientes.

On demande quellekeure Heft; amp; 1�on r�pond que ce qui refte du jour eft les quatre tiers desnbsp;heures d�ja �coul�es.

En divifant la dur�e du jour , comme faifoient les anciens, en 12 parties, il eft queftion de parta-ger ce nombre en deux parties, telles que les f de 1^nbsp;premiere foient enfemble �gaux a la feconde ; cenbsp;qui donne, pour le nombre des heures �coul�es ynbsp;5 k, amp; conf�quemment, pour le refte du jourj

IV.

Die Diophantus hahet turtiulum , qui tempora vittS llLius mird denotat arte tibi.

AniT�M�tiQUE. Chap. XL 193 ^^ptante uxori pojl hcec fodatur^ amp; annonbsp;Formofus quinto nafdtur inde puer.

Semijfem mtatis pojlquam attigit ille paternx^ Infelix fubitd morte peremptus ohit.

Qiiatuor cejiates genitor lugere fuperjics Cogitur , Iiinc annos illitis ajfeqiiere.

Cette epitaphe eft celle du celebre math�mati-cien Diophante, Elle.fignifie que Diophatite pafla la fixieme partie de I'a vie dans la jeunefte, amp; lanbsp;doiizieme dans 1�adolefcence; qu�apres un feptiemenbsp;de fa vie amp; cinq ans, il eut un fils qui moumtnbsp;apr�s avoir atteint la moiti� de 1�age de fon pere,nbsp;que ce dernier ne lui furv�quit que de quatrenbsp;ans.

II faut trouver pour cela un nombre dont la fixieme, la douzieine , la feptieme, la moiti�,nbsp;jointes enfemble, en y ajoutant ^ amp; 4 , faflent Isnbsp;nombre lui-meme. Ce nombre eft 84.

Qru jaculamur aquas tres hie adjlamus Amores ; Sed varil liquidas Euripo immittimus undas.nbsp;Dexter egofiimmis amp; quae mihi manat ah alisnbsp;Ipfuin lyrnpha replei folo fextante diei.

(^uatuor aft horis Ixvus versa inf.uit urnd; Dimidiatque diem medius dum fundit ah area.

Die , age , quam paucis Euripum impkbimus horis. Ex area Jiniul atque alis urndque jiumtes ?

II y a trois Amours qui verfent I�eau dans un balEn , mais in�galement, L�un le remplit en unnbsp;Tome I,

fixieme de jour, 1�autre en quatre heures, 8c 1� troifieme en une demi-journ�e. On deinande com*nbsp;bien de temps il faudra pour Ie femplir, lorfqu�ilsnbsp;verferont tous trois de l�eau ?

Ce probl�me eft de la m�me nature que celui du lion de bronze , que nous avons r�folu pr�ce-demment , amp; qui eft auffi tir� de 1�Anthologlenbsp;grecque. En fuppofant Ie jour divile en 11 heures,nbsp;on trouvera que les trois Amours rempliront Ienbsp;baftin en , ou un peu plus d�une heure.

La fomme de So o llv. ayant �t� partag�e entri quatre perfonnes , il fe trouve que les deux premieres enfemble ont eu x8S livres , la feconde amp;nbsp;la troijieme zzo livres , enfin la troifieme amp; l(tnbsp;quatrieme zi� livres; de plus ^ Ie rapport de Irtnbsp;part de la premiere a celle de la derniere efi de 4nbsp;a j. On demande combien diacune a eu t

L A folution de ce probl�me eft des plus faclles.quot; La premiere a eu 160 livres, la feconde 125, lanbsp;troifieme 95 , amp; la quatrieme i2o.

II faut remarquer que, fans la derniere condition , ou une quatrieme quelconque , Ie probl�me feroit ind�termin� , c�eft-a-dlre qu�on pourroit ynbsp;fatisfaire d�une infinite de manieres : c�eft cettenbsp;derniere condition qui limite la folution a unenbsp;feule.

l/n ouvrier fie loue a ces conditions ^ quon lui doU'-Tiera 3 o fous par jour lorfqu'il travaillera, mais que chaque jour qu il chommera il rendra l� foUS*

ARiTHM�TlQUE. Chap. XI. 195 Aprcs quaranU jours , fan d�compte monte anbsp;3/ livres. On demandc combien dc jours il anbsp;travailU, combien il en a chomm� ?

R�PONSE.^i^ a travaill� vingt-hult jours des quarante, amp; il en a chomme douze.

PROBL�ME IX.

Une lettre de change de 2000 livres a h� payee en ecus de trois livtes, amp; en piajlres done la valeurnbsp;ejl de cinq livres ; amp; ily avoit pr�cif�ment quatrenbsp;cents cinquante pieces de monnoie. Combien yennbsp;avoit-il de chaque ejpece ?

Repokse. Jl y avoit cent vingt-cinq ecus de trois livres , 8c trois cents vingt-cinq piaftres denbsp;cinq livres.

PROBL�ME X.

Un homrne a perdu fa bourfe, amp; ne fcah pas pre-cifement k compte de Vargent qiCil y avoit: il fe rappelle feulement quen U comptant deux d.nbsp;deux pieces , ou trois d trois , ou cinq a cinq,nbsp;il rejloit toujours un; mats, en les comptantnbsp;fept d fept, il ne refoit rien.

On volt aif�ment que , pour r�foudre ce pro-� bleme, il eft queftion de trouver un nombre qui,nbsp;divile par 7, ne laiffe aucun refte, amp; �tant divif�nbsp;par a, par}, par 5, laifle toujours i. Plufieursnbsp;m�thodes plus ou moins fcavantes peuvent y con-duire; mais void la plus fimple.

Puifque, lenombre des pieces �tant compt� fept a fept il ne refte rien, ce nombre eft evidemment

1C)6 R�cr�ations Math�matiques. quelque multiple de 7; amp; puifqu�en les comptantnbsp;deux a deux � refle i, ce iiombre eft un multiplenbsp;impair : U eft done quelqu�un des nombres de lanbsp;fuitej, 2.I, 35gt;49,63,77, 9^� 105, amp;c.

De plus, ce nombre doit, �tant divif� par 3 , laifler 1�unit�: or, dans,la fuite des nombres ci-deflus , qe trouve que 7, 49, 91 , qui croiflentnbsp;arithm�tiquement, amp; dont l4 difference eft 42,nbsp;ont la propri�t� demand�e. Je trouve de plus,nbsp;que Ie nombre 91 �tant divif� par 5 , il refte i :nbsp;d�oii je conclus que Ie premier nombre qui fatis-fait a la queftion eft 91 , car il eft multiple de 7 ;nbsp;St �tant divif� par 2 , par 3 amp; par 5 , il refte tou-jours un.

Je dis que 91 eft Ie premier nombre qui fatisfalt a la queftion ; car il y en a plufieurs autres, qu�onnbsp;trouvera par Ie moyen fuivant: continuez Ia pro-greffion ci-deflus en cetteforte, 7, 49 , 91, 133 ,nbsp;175, 217, 259, 301, jufqu�a ce que vous trou-viez un autre terme divifible par 5 , en laiftTantnbsp;1�unit� ; ce tenue fera 301, qui fatisfera encorenbsp;a la queftion. Or fa difference-avec 91 eft 210 :nbsp;d�o� je conclus que , formant cette progreffion,

11 feroit done incertain quelle fomme �toit dans la bourfe perdue , a molns que fon maitre ne fqfttnbsp;a peu pr�s quelle fomme il y avoit. Ainfi , s�ilnbsp;difoit fqavoir qu�11 y avoit environ 500 pieces,nbsp;on lui r�pondroit que Ie nombre des pieces �toitnbsp;d� 5 11.

appartient la bourfe e�t dit que, comptant fon argent deux d deux pieces , il rejloit Vunite ; quennbsp;les comptant trots-d trots ^ il en rejloit deux; quenbsp;compt�es quatre d qttatre , il rejloit trois ; que complies cinq 'd cinq , il rejloit qttatre ; que compt�es fixnbsp;d Jix , il en rejloit cinq ; enjin, que les comptant feptnbsp;d fept, il ne refioit rien: on demande ce nombre.

II eft �vident que ce nombre eft , comme ci-deflus, un multiple impair de 7, amp; conf�quem-mentunde ceux de la fuite 7, 21, nbsp;nbsp;nbsp;s

77,91, 105, amp;c. Or, dans cette fuite, les nom-bres 35 amp; 77 fatisfont'a Ia condition d�avoir 2 pour refte quand on les divife par 3 ; leur difference eft d�ailleurs 42. C�eft pourquoi je formenbsp;cette nouvelle progreffion arithm�Rqu.e, dont lanbsp;difference eft 42 , fqavoir :

J�y eberebe deux nombres qui, divif�s par 4 ^ lailTent 3 pour refte, amp; je trouve que ce font 35,nbsp;119, 203, 287. C�eft pourquoi je forme cettenbsp;nouvelle progreflion, o� la difference des termesnbsp;eft 84:

Je cherche encore ici deux termes ejui, divif�s par 5, lailTent un refte �gal a 4; amp; j�apperqorsnbsp;bient�t que ces deux nombres font II9 amp; 539�nbsp;dont la difference eft 420. Ainfi la fuite des termes r�pondant k routes les conditions du pro-bl�me, hors une, eft

Or la derniere condition du probl�me eft qae, Ie nombre trouv� �tant divif� par 6, il refte 5. Cette

ajoutant toujours 8 |o: conr�quemment Ie nombre cherch� eft vm cle ceux de cette progreffion. C�efl;nbsp;pourqiioi, auffit�t qu�on fqaura dans quelles limi-tes a peu pres il ett contenu, on fera en �tat de Ienbsp;determiner.

Si done Ie ma�tre de la bourfe perdue dit qu�il y avoit environ cent pieces, Ie nombre cherch�nbsp;fera 119 ; s�il difoit qu�il y en avoit a peu pr�snbsp;mille , ce feroit 959 , amp;c.

Ce prohUmt feroit r�folti imparfaitement par la. m�thode quenj^igne feu M, 0:^nam; car, ay antnbsp;trouv� Ie plus petit nombre iic), qui fatisfait auxnbsp;conditions du probl�me, il fe borneroit d dire que ^nbsp;pour avoir les autres nombres qui y fatisfont , il

y, amp; ajouter leur produit �oqo au premier nombre trouv'� iiC), amp; quon aura par-ld Ie nombre 6t6c)ynbsp;qui remplit auffi les conditions propof�es. Or il ejlnbsp;aif� de voir quily a plj^eurs autres nombres entrenbsp;nc) amp; J/Jc) qui remplifent ces conditions yfgavoir,

Nous donnerons, en traitant de la Chronologie , la folution d�un autre probl�me du m�me genre , fqavoir; de trouver l�ann�e de la P�riodenbsp;Julienne, dont Ie nombre d�or, Ie cycle folaire amp;:nbsp;Pindi�lion font donn�s.

probl�me XL

Une certaine fomme d'argent, plac�e d un certain int�r�t, s'ejl accrue en huit mois jufqudgCiGnbsp;livres /J fous 4 deniers yamp;en deux ans amp; demi

Arithm�tique. Chap. XI. 199 die a monte a p,^2,y livres 10 Jous. On iemandenbsp;quel koit h capital originaire , amp; d quel intirctnbsp;il a �t� plac� ?

Nous nous bornerons encore lei, pour exciter Ja fagacite des jeunes algebrifles, a indiquer la fo-lution. Ils trouveront , en employant � I�analyfenbsp;convenable, que le capital plac� �tolt de 3500nbsp;livres , amp; jque l�int�r�t �toit de cinq pour cent.

PR�BL�ME XII.

I^ne femme a vendu lo perdrix au march!, une feconde en a vendu a.6, une troijieme en anbsp;vendu 30,6* totites au mime prix. Au fortirnbsp;du marchi ell'es fe quejlionnent fur 1'argentnbsp;qu'elles en rapportent, amp; il fe trouve que chacunenbsp;rapporte la nume fomme. On demande d quelnbsp;prix amp; comment elles ont vendu?

Il eft evident qu�afin que la chofe foit poffible, il faut que ces femmes vendent au moins a deuxnbsp;differentes fois amp; a diff�rents prix , quoiqu�a cha-^ue fois elles vendent toutes enfemble au m�menbsp;prix; car, ft celle qui avoit le moins de perdrixnbsp;en a vendu un tr�s-petit nombre au prix le plusnbsp;lgt;as, amp; qu�elle ait vendu le furplus au plus hautnbsp;Ptix , tandis que celle qui en avoit le plus grandnbsp;Roinbre en avoit vendu la plus grande partie aunbsp;plus bas prix, amp; n�a pu en vendre qu�un petitnbsp;nombre au plus haut, il eft clair qu�elles auront punbsp;faire des fommes �gales.

Il s�agit done de divifer chacun des nombres *0,2^, 30, en deux parties telles, que multi-pliant la premiere partie de chacun par le premiernbsp;prix , amp; la feconde par le fecond , la fomme desnbsp;deux produits foit par-tout la m�me.

Ce probl�irie efl. ind�termin�, amp; fufceptible de dix folutions difF�rentes. II eft d�abord n�celTairenbsp;que la difference des prix de la prerpiere amp; de lanbsp;ieconde vente foit un divifeur exaifl des differences 15� ao, 5, des trois nombres donn�s: or Ienbsp;moindre divifeur de ces trois nombres eft ^ ; c�eftnbsp;pourquoi les prix doivent �tre 6 amp; i , ou 7 8c l,nbsp;OU 8 8t 3 , amp;c. �

En fuppofant les deux prix �tre 6- 8c i, dn trouve fept folutions diff�rentes , comme on Ienbsp;voit dans la Table fuivante.

---3

Arithm�tiqxje. CAajp. XT. aoi Iquot;� Vente. Il� Vmtt. Prod, total.

Ouhien,

Fern.	9 Perd. a 6 f.	I nbsp;nbsp;nbsp;f.	51^'
2e___	6	19	55
3quot;---	5	^5	55
Ou bien
	10	0	60
le	7	18	60
3�	6	24	60

SI 1�on fuppofe les deux prlx �tre 7 amp; 2 , on 3ura encore les trois folutions fuivantes.

II feroit inutile d�effayer 8 amp; 3 , amp; tout autre ��Ombre ; on n�en pourroit tirer aucune folution,,nbsp;far les raifons qu�on verra plus bas.

On lit dans la fecond� partle de VArithm�n^tit �iniverfdU de M. de Lagny, page 456 , que cettenbsp;queftion n�a que fix folutions; en quol eet auteurnbsp;s�eft tromp�, car nous venons d�en indiquer lO*nbsp;Nous croyons devoir enfeigner ici la m�thodenbsp;que 1�on a employee, efp�rant que cela fera plaifirnbsp;a ceux qui apprennent l�algebre.

J�appelle u Ie prix auquel les trois femmes ont vendu la premiere fois, amp; / celui auquel elles ontnbsp;vendu la feconde.

Que X foit Ie nombre des perdrix vendues paf la premiere femme au prix u; conf�quemment Ienbsp;nombre de celles vendues au prix p fera 1 o�x 'nbsp;l�argent retire de la premiere vente fera xu, celu*nbsp;de la feconde fera i op�px ; amp; la fomme totale 9nbsp;3(u-\-iop�px- .

Que { foit Ie nombre des perdrix vendues paf la feconde femme a la premi�re vente , on auranbsp;pour l�argent retire a la premiere vente, Sc x�^p�ptnbsp;pour l�argent retir� a la feconde; en tout y ^

De m�me , nommant y Ie nombre de perdro^ vendues la premiere fois par la troifieme femme �nbsp;on aura uy pour Targent retir� a la premiere vente 9nbsp;3 ^P~Py eslui retir� a la feconde ; enfin�nbsp;pour Ie total des deux ventes, Kj 3 o�py.

Mals, par la fuppofition, ces trois fommes doi' vent �tre �gales. Ainfi l�on a xu-\-iop~px-x^�P^nbsp;�^�i-')P~Pl, =uy-\--^op�py i d�o� je tire ces troi*nbsp;nouvelles equations;

xu-px=iu-pi ilt;^p^

1�on conclut d�abord que u�p doit �tre un j^'jifeur de 15 , de 20 amp; de 5 ; car autrement

ce qui eft neceflaire. Or le feul nombre qui a la fois 15, 20 Sc 5 , eft 5 ; ce qui montrenbsp;les prix des deux ventes ne peuvenf �tre que 5nbsp;6 Sc 1,7 Sc 1, 5 Sc 3 , Sec.

On volt d�abord que la fuppofition de 5 Sc o ne fervir puifqu�il n�y auroit eu qu�uhe vente.

�Jue,

En faifant^=5 , on aura la lixieme-En faifant j=6 , on aura la feptieme. nbsp;nbsp;nbsp;.,

On ne peut pas fuppofer y plus grand qu^ car , li on Ie fuppofoit, on.auroit a;=io ; ce ^nbsp;eft impoffible, puifque Ia premiere femme n�anbsp;lO perdrix a vendre., .

II faut done paffer a Ia fuppolition fuivaR^^' fi^avoir, de. w = 7 amp; /= i; ce qui donne

Si done'Ton fait ici d�abord^=:o , on aura ' i�x ; ee qui donne la buitieme fplution.

Mais on ne peut faire jk plus grand; car on veroit x plus grand quen (?', ce qui ell impolfi^'nbsp;On elTayeroit auffi ih�tilement pour u amp; p'nbsp;valeurs 8 amp; 3, car elles donneroient n�cefla*^^nbsp;inent pour x une valeur plus grande que lOjnbsp;qui ne.peut �tre. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Aind l�on peut a/Turer que Ie probl�me .n�^ ^ les dix'folutions ci-deffus!

ARlTHM�TlQUE. Chap. XI. 2O5 elle eft immenfe, il y a un ordr* a fulvre,nbsp;lequel on n� s�en d�m�leroit jamais. C�eft cenbsp;^ � nous avons tach� de faire, N�anmoins,nbsp;nitue Ie d�tail de cette m�thode nous meneroitnbsp;^^�*^coup trop loin , nous nous bornerons a ennbsp;les r�fultats principaux. Nous avons done

^ On peut payer 6 fous en monnoies de cui-� feulement de 15 5 faqons; 11 fous, de r 292 ; ^^fous, de 5104; 24 fous, de i4i47faqons;nbsp;fous, de 31841; 36 fous, de 62400; 42nbsp;de 111182 ; 48 fous, de 183999; 54 fons?nbsp;^^7777 gt; infill 60 fous, de 430264.

Q En combinant les monnoies de cuivre avec ^ ^ d�argent, j�ai trouv� que cette m�me fommenbsp;fous peut �tre pay�e de 1383622 manieres.

. '-onf�quemment, en ajoutant ces trols fommes, fa 133 4302.64amp; 1383622, on aura 1813899nbsp;de payer une fomme de 60 fous.

paroitra fans doute �tonnant qu�avec buit ^Hoies feulement il y ait autant de manieresnbsp;j^ P^yer une fi modique fomme ; mais, quoiquenbsp;qiief abfolument affurer n�avoir pas commisnbsp;erreur dans mon calcul, parceque j�en ainbsp;Cqu ^ 1��chaffaudage , amp; que je n�ai ni Ienbsp;ni Ie loifir de Ie refaire, je fuis affur�nbsp;nombre n�eft guere inf�rieur.

PROBL�M� XIV.

Trouver h nomhn amp; h rapport des poids avtlt;^ ({uels on peut pefer de la maniere la plusnbsp;un nombre quelconque de livres, depuisnbsp;jufqu'd un nomhrc donn�.

Qu o IQ u E ce probl�me paroiffe d�abord tenir a la ni�chanique , il eft cependant fac�^nbsp;voir que ce n�eft qu�un probl�me arithm�tique;nbsp;il fe r�dult a trouver une fiiite de nombresnbsp;menqants par 1�unit�, Sc qui, ajout�s ounbsp;les uns des autres de toutes les manieres poflibl^^ �nbsp;forment tous les nombres depuis 1�unlt� ^nbsp;plus grand propof�.

Ce probl�me peut fe r�foudre de deux res, b^avoir, par la feule addition, du par l�^j^nbsp;dition combin�e avec la fouftraftion. Dansnbsp;premier cas , la fuite des poids qui fatisfait au pquot;^ ^nbsp;bl�me, eft celle des poids croiflants ennbsp;fton double ; Sc dans Ie fecond, c�eft la progreln'�nbsp;triple.

Qu�on ait en effet ces poids , i livre, 2 4 livres, 8 livres, l� livres, on pourra pefet 3'^,^nbsp;eux quelque nombre de livres que ce foitnbsp;31; car on formera trois livres avec 2 Sc i,nbsp;livres avec 4 6c i, fix avec 4 Sc 2, fept aveCnbsp;2 amp; I, Scc. Avec encore un poids denbsp;peferoit jufqu�a foixante-trois livres; Sc ainnnbsp;liiice en doublant Ie dernier poids , Sc retrancb^nbsp;de ce double 1��nit�.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

Mais qu�on emploie des poids en progf^n*'^^ triple, I, 3, 9, 27, 81, on pourra pefernbsp;eux tout poids depuis une livre jufqu�a 121;.nbsp;avec Ie fecond moins Ie premier, c�eft-a-dif^

ArITHM�TIQUE. Chap. XI. 107 Riettant Ie premier dans Ie baffin de la balance amp;nbsp;fecond dans 1�autre , on fera deux livres ; en lesnbsp;*nettant tous les deux dans Ie m�me baffin, onnbsp;formera quatre livres; cinq fe formeront en met-*ant q d�un c�t�, amp; 3 amp; i de 1�autre; avec 9 d�unnbsp;c�t� amp; 3 de l�autre, on aura fix ; on fera fept li-''res avec 9 amp; i il�un c�t�, amp; 3 de l�autre; Sc ainfinbsp;de fuite.

Au refte, il efl: �vident que la dernlere faqon eft plus fimple, �tant celle qui exige Ie moins denbsp;Poids diff�rents.

L�une Sc 1�autre' de ces progreffions font enfin plus avantageufes qu�aucune des progreffions arith-fn�tiques qu�on pourroit eflayer; car, avec desnbsp;poids arithm�tiquement croilTants, i, 2, 3, 4,nbsp;amp;c. il en faudroit i ^ pour pel�r 120 livres; pournbsp;pefer 121 avec des poids dans la progreffion i,nbsp;3 , ^ , 7, Scc. il en faudroit onze. Toute autre pro-Sreffion ne rempliroit pas tous les nombres poffi-tles , depuis Ie poids d�une livre jufqu�au plusnbsp;Srand qui r�fulte de la totalit� des poids, Ainfi lanbsp;P'^oportion triple efl: de toutes la plus favorable.

II eft, au refte, �vident que la folution de ce Ptobl�me a fon utilit� dans l�ufage ordinaire denbsp;U vie 8c du commerce, puifqu�elle offre Ie moyennbsp;faire toute forte de pef�e avec Ie moindre nom*nbsp;poffible de poids diff�rents,

PROBL�ME XV.

famp;mmt de campagne porte des ceufs au march� dans une ville de guerre oii il y a trois corps-de-garde d pajjer. Au premierelle laiffe lamoiti�nbsp;de fes aufs amp; la moiti� d'un ; au fecond, lanbsp;'^oitie de ce qui lui rejloit amp; la moiti� d'v~ �

troifeme, la. moiti� de ce qui lui rejloit amp; l^ rnoiti� d'un : enfin elk arrive au marche avi^nbsp;trois dou^aines. Comment cela fie peut-il fiaiknbsp;fans rompre aucun ceufi?

Il femble , du premier abord , que ce probi�me foit impoffible ; car comment donner une moitienbsp;d�oeuf fans en caffer aucun ? Cependant on ennbsp;verra la poflibilit�, quand on confid�rera que,nbsp;lorfqu�on prend la grande moiti� d�un nombre im'nbsp;pair , on en prend la moiti� exa�le plus^. Ainbnbsp;on trouvera qu�avant Ie paffage du dernier gui-chet, il reftoit a la femme 73 c�ufs; car, en ayantnbsp;donn� 37, qui eft la moiti� plus la moiti� d�im,nbsp;il lui en reftera 36. De m�me, avant Ie deuxiernenbsp;giiichet, elle en avoit 147 ; amp; a-C'ant Ie premier,nbsp;295.

On peut propofer Ie problcme autrement. honime efi famp;rti de lui avec une certaine qua'ntitinbsp;de louis pour faire des emplettcs. A la premiere , rfnbsp;dlpenfc la moit i� de fes louis 6* la moiti� d'un ; �t lanbsp;feconde , il d�p en fe auffi la.moiti� de fes louis amp; lanbsp;moiti� o�uil'; �t la troifieme ^ pareillement;, amp;nbsp;rentte clie^ lui ayant d�penf� tout fon argent^ ^nbsp;fans avoir jamais change de l'or pour de dargent.

!1 avoit 7 louis, amp; a la premiere emplette en a d�penf� 4 ; a la feconde , 2 ; a la troifieme �

1 ; car 4 ed la moiti� de 7 , amp; de plus il y a ut* demi. Le reftant �tant 3 , fa moiti� eft � i amp; con'nbsp;fequemment 2 excede cette moiti� de -j. Le reftan*nbsp;eft enfin i: or la moiti� d�un plus f font �gales a *�nbsp;conf�cjuemment il ne refte plus rien.

Re MARqv E,

Si le nombre d�emplettes apr�s lefquelles notf�

Arithm�tique. Chap. XL aog hotnme a d�penf� tout fon argent etoit plus grand,nbsp;d n�y auroit qu�a faire une puilTance de x, dontnbsp;1�expofant fut egal au nombre des emplettes , amp; lanbsp;diminuer de I�unite. Ainfi, s�il y en avoit 4, lanbsp;tjuatrieme puilTance de 2 �tant 16 , le nombrenbsp;'^nerch� feroit 15; s�il y en avoit 5 , la cinquiemenbsp;PuilTance de 2 �tant 3 2, l� nombre cherch� Te-�^oit 31.

PROBL�ME XVII.

Lrois perfonnes ont un certain nombre d'�cus cha-cune, II ejl tel que, la premiere en donnant aux deux autres autant qu�elles en ont chacune, lanbsp;feconde pareillement en dormant a. chacune deS.nbsp;deux autres autant qu�elle en a y enfin la troi-Jieme faifant la merne chofe, elles fe trouventnbsp;en avoir autant Vune que Vautre, fgavoir 8*nbsp;Quelle ejl la fomme qua chacune de ces per-,nbsp;fonnes d

premiere en avoit 13 , la feconde 7, la troifieme 4; ce qui eft aif� a demontrer ,nbsp;diftribuant les ecus de chaque perfonne fuivantnbsp;'�nonce du pr�bl�me,

PROBL�ME XVII I.

marchand de vin ria que de deux fortes de I'm, quil vend I�une 1 o , Iautre 6 fans la hou-^tille. On lul demande du vin a 8 fous. Combiennbsp;faut-il de bouteilles de chaque efpece, pour ennbsp;formetr un qui lui revienne d 8 fous la bouuille f

La. difterence du plus haut prix , to lous, au prix moyen demande. eft2: amp; celle denbsp;Tome I, ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.0

110 R�cr�ations Math�matiques. ce prix moyen au prix Ie plus bas, eft 3 : ce qu*nbsp;montre qu�il fauf qu�il prenne trois bouteilles dunbsp;vin du plus baut prix amp; deux du moindre. Avecnbsp;ce m�lange il fera cinq bouteilles, qui l�i revieu'nbsp;dront a 8 fous chacune.

En general, dans ces fortes de regies d�alliage f comme la dilF�rence du plus haut prix avec Ie pt'^nbsp;inoyen, eft a Ia difference du moyen avec Ie plu*nbsp;bas, ainft Ie nombre des mefures du plus bas prix�nbsp;eft a celui des mefures du plus haut, qu�il faut me-langer enfemble pour avoir une pareille mefurenbsp;prix moyen.

X7n homrm veut placer che:^ un banquier une ccf' taine fomme , par exemple 100000 livres.nbsp;veut de plus avoir mange en vingt ans capitt^^nbsp;amp; int�r�ts^ amp; avoir chaque ann�e la m�me fomrn^nbsp;d d�penfer. Quelle fera la fomme que Ie banqu^nbsp;devra lui donner annuellement, en fuppofanlnbsp;quil lui en paie l�int�r�t d raifon de cinq poUfnbsp;cent ?

La fomme que lui devra donner Ie banquier, de 8014 liv. 19 fous, amp;c une fradi�n de denie*^nbsp;dgale anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_

S�il n��toit queftlon que d�un petit nombre d�a�' n�es, par exemple cinq, on pourra r�foudrenbsp;probl�me fans algebre , par la voie retrogradenbsp;par une fauffe pofition; car , fuppofons que 1^nbsp;fomme qui �puife a la derniere ann�e Capital ^nbsp;int�r�ts eft de 10000 livres, on trouvera quenbsp;capital feul �toit, au commencement de cetf�nbsp;�nn�e, de 9523 liv, : ajoutez-y 10000 1'^*nbsp;qui ont �t� payees a la fin de l�avant - dernie^�

ARITHM�TIQUE. Chap. XI. 2it 8nn�e, la fomme 1952.3 Hv. ~ �toit Ie capitalnbsp;3ccru des ir^t�r�ts de la quatrieme ahn�e; conf�-tluemment Ie capita! n��toit que de 18594 liv'.nbsp;�^7 au commencement de cette quatrieme ann�e :nbsp;d�o� il fuit qu�avant Ie paiement de la fin de la troi-fieme ann�e, la fomme �toit de 2,8594 liv.nbsp;'luirepr�fentoit un capital accru des int�r�ts denbsp;la troifieme ann�e. L�on remontera ainfi jufqu�aunbsp;commencement de la premiere ann�e, amp; l�on trou-Vera pour capital primitifla fomme de 43194 liv.nbsp;*5 f. 4 d. On fera enfin cette proportion , commenbsp;Ce capital, a la fomme de 10000 livres ; ainfi lanbsp;fomme propof�e �. placer fous la condition ci-delTus, a la'fomme a retirer chaque ann�e.

ejl l'int�r�t dont feroit accru au bout dc I'annlc un capital qudconque ji, d chaquc inflantnbsp;la dur�e dc Vanncc, Vinteret cchu devtnoit capi-^nbsp;tal ^ amp; portoit lui-m�me int�rh ?

. (�z) On trouve en effet que fi a eft Ie capital, m Ie de-de Tint�r�t,� Ie nombre des ann�es, la fomme a reti-

Cas de ao ann�es, amp; d�un int�r�t a cinq pour cent [m �tant ftlors =jo),fe trcuve jfnlfa-

Oi;

211 Recreations Math�matiques. eer foil argent fous cette condition; que I�interetnbsp;echu au bout d�un mois, ce qui feroit, a cinq pournbsp;cent par an, un foixantieme du capital, fe join-dr�it a ce capital, amp;: porteroit int�r�t le nioisnbsp;fuivant a ce m�me denier ; que ce mois expire,nbsp;l�int�r�t de cette foinme, qui feroit un foixantieme, plus un trois mille fix centieme du capitalnbsp;primitif, accroltroit encore au capital, accru denbsp;1�int�r�t du premier mois, amp; porteroit int�r�t 1�nbsp;mois fuivant, amp;c. jufqu�a la fin de I�annee.

Ce qu�il fait ici pour un mois, il pourroit 1� faire pour un jour, pour une heure , pour une minute , pour une feconde , qu�on peut regardefnbsp;comme une partie infiniment petite de I�annee: dnbsp;eft queftion de fqavoir quel feroit fur ce pied 1�int�r�t produit par le capital au bout de I�annee ynbsp;l�int�r�t du premier inftant �tant a cinq pour cent ^nbsp;ou a ^, ce que ce premier inftant eft a l�ann�enbsp;entiere.

II fembleroit d�abord que cet int�r�t compof� Sc furcompof� devroit beaucoup accroitre les cinqnbsp;pour cent: cependant on trouve qu�il en r�iulte ^nbsp;peine un accroiflement fenfible; car, ft le capitalnbsp;eft I, le m�me capital, accru de l�int�r�t fimpl^nbsp;a cinq pour cent, fera i r?, ou i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ta�quot;

jomfndiir infidcle, a chaqiie fois qii il ya d cave , vole une pinte dlun tonneau panicul^^^nbsp;qui contient cent pintes, 6* la remplace parnbsp;c^ale quantiti d'eau, Aprli un certain temps t.

par cxempk trcnte jours, on s''appergoit de fa friponnerie ; on Ie chajfe. Mais on demande quellenbsp;ejt la quantit� de vin quil a prife , 6* celle quinbsp;rejle dans Ie tonneau ?

Il eft aif� de voir qu�il n�a pas pris 30 p�ntes ; car, d�s la feconde fois qu�il puife dans Ie tonneau , amp; qu�il prend un centieme de ce qu�il con-tient, il y avoit d�ja une pinte d�eau; amp; commenbsp;chaque jour il fubftitue a ce qu�il prend une pintenbsp;d�eau , chaque jour auffi il vole moins d�une pintenbsp;de vin. II eft done queftion, pour r�foudre Ie pro-bl�me, de determiner dans quelle progreffion d�-croit Ie vin qu�il vole a chaque fois.

Pour y parvenir , je remarque qu�apr�s l�ex-traiftion de la premiere pinte de vin , il n�en refte dans Ie tonneau que 99, amp; la pinte d�eau qui y anbsp;�t� verf�e ; done , lorfqu�on tire une pinte du m�lange , on ne tire ''en effet que les d�une pintenbsp;de vin ; mals il j aveit auparavant 99 pintes denbsp;vin ; done , apres cette extraftion , il| ne refteranbsp;que 99 pintes moins , c�eft-a-dire , ounbsp;98 pintes plus A la troifieme extra�tion, lanbsp;quantit� de vin conteniie dans la pinte tir�e, l�ranbsp;feulementnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; ce qui, �tant dt� de la

quantit� de vin qu�il y avoit, fqavoir 98 � feranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ou 97 pintes amp;

114 R�CR�ATibNS M-^TH�MATIQUIS. traftion, la quantit� de vin reftante Tera Ia tren-tieme puiflTance de qp, divif�e par lavingt-neu-vierr.e de loo. O'r on troiive, par Ie moyen des lo'nbsp;garithmes, que cette quantit� eft 73 ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: conf�-

IIy a trols otivricrs que j'appelle Jacques , Jean, amp; Pierre. Les deux premiers, travaillant enfemble ^nbsp;om fait un certain ouvrage en huit jours, Jacques amp; Pierre nont pu Ie faire qilen neuf jours.,nbsp;amp; lel deux derniers n^en ont fait un femblablcnbsp;qu'en dix jours. II ejl quefion de determiner com-hien chacun d'eux mettroit de jours d faire knbsp;m�me ouvrage.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

R�pONSE. Le premier Ie fera en 14 jours Ie fecond en 17 amp; ^ amp; le troifieme en 23 jours

Un Efpagnol dok a un Frangois 3/ livres ; mals il n apour dacquitter ^ que des piafres qui valent .6 livres.^ amp; le Frangois n'a que des ecus denbsp;6� livres. Comment s'arrangeront-ils , cefi-d-dire

(d) En faifant le calcu] a la maniere ordinaire, 11 faudroit calc^er la trentieme piiiffance de pp, qui n�auroit pasnbsp;0ioins de chiffres , amp; la divifer par l�unit� fujvie de 58nbsp;z�ro; au lieu qu�en op�rant par le moyen des logarithmes,nbsp;il fulUt de multiplier le logarithme de pp par ; ce quinbsp;donne 5p86p056o, amp;d�en retrancher le prodiiit du logarithme de 100 multipli� par jp, qui eft 5800�OO00. Lenbsp;reftant iS�po^�o eft le logarithme de Ia quantit� cherch�e,nbsp;qu�on trouve, dans la table des logarithmes, �tre 73,nbsp;abienpaade chofepr�s.

Arithm�t�que. Chap. XI. 115 comhien I'Efpagnol donnera-t-il au Frangois denbsp;piajlresy amp; combicn celui-ci lui rendra-t-il d'�~nbsp;cus, pour que la difference foit �gale a g 1 liyres ,nbsp;enforte que cette dette foit acquitt�e ?

R�ponse. Les nombres les plus fimples qul fa-tisfont a la queftion , font onze piaftres Sc quatre ecus; car 11 piaftres font 5 5 livres, Sc les quatrenbsp;ecus font 24 livres ; conf�cjuemment leur difference , dont Ie Franqois eft avantag� dans cettenbsp;efpece d��change , eft de 3 i livres.

Ce probl�me eft, au refte, fufceptlble d�une infinite de folutions; car on trouve qu�on fatisferanbsp;encore au probl�me avec dix-fept piaftres Sc neufnbsp;ecus de 6 livres , avec vingt-trois piaftres Sc qua-torze ecus; en augmentant toujours Ie nombre desnbsp;piaftres de fix, Sc celui des ecus de cinq.

R E M A K lt;IV E.

VOICI la folution de ce probl�me, en faveur des jeunes ana|yftes. Je nomme a- Ie nombre desnbsp;piaftres, Sc y celui des �cus; done fera lanbsp;Ibmme donn�e par I�Efpagnol, Sc celle que Ienbsp;Franqois donnera de fon c�t� �(ry. Leur difference doit�tre�gale 33:; donenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ litres;

livres. Or x doit �tre un nombre entier ; d�ou il fuit que 6 en �tant un , i 6y doit �tre aulft de la

tti�me nature. Je Ie fuppofe �gal a u; done 5?/ =:i-p6y, Scnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�r. Orjyeft, par lafuppofition,

un. II faut done que u foit tel que, Ton quintuple �tant diminue de 1�unit�, Ie reliant foit divifiblenbsp;par 6 : or Ie premier nombre qui a cette propri�tenbsp;eft 5 ; car fon quintuple 15 , diminu� de l�unit� ^nbsp;ell 14� ^ui eft divifible par 6 ; amp; ce quotient, quinbsp;ell 4 gt; la valeur m�me de y. On trouvera en-fuite Xy en faifant attention que x�; ce

La feconde valeur de u qui remplitla condition require, eft 11 ; car cinq fois 11 font 5 5 , qui,nbsp;diminu�s de Tunit�, donnent 54, lequel nombrenbsp;divif� par 6 , donne 9. Ainfi 9 eft la feconde va-leur de y, Sc Ton trouve 17 pour la valeur cor-lefpondante de x.

La troifieine valeur de u qui r�fout la queftion,� eft 17 ; ce qui donne pour les valeurs correfpon-dantes de_y amp; x, les nombres 14 amp; 23. Ainfi lesnbsp;nombres d��cus qui r�folvent la queftion a 1�infininbsp;font, 4, 9, 14, 19, 24, amp;c; amp; les nombresnbsp;correfpondants de piaftres font,Ti, 17, 23�nbsp;}}�)gt; amp;c.

C-HAPITRE XII.

ON appelle quarr� magique, un quarr� di-vif� en piufieurs autres petits quarr�s �gaux cellules, qu�on remplit des termos d�une pro-greffion quelconque de nombres, ordinairementnbsp;^tithm�tique , en telle forte que ceux de chaquenbsp;fcande, foit horizontale, foit verticale, foit diagonale , fafl'ent toujours lam�me fomme,

II y a aufli des quarr�s dans lefquels Ie produit tous les termes, dans chaque bande horizontale, verticale ou diagonale , refte toujours Ienbsp;th�me. Onenparlera auffi, quoique l�g�rement,nbsp;Parcequ�ils n�ont point de difficult� plus grandenbsp;^Ue celle des premiers.

On a donn� i ces quarr�s Ie nom de maglqueSy Parceque les anciens leur attribuoient de grandesnbsp;'^ertus, amp; que cette difpofition de nombres for-*^oit la bafe St Ie principe de piufieurs de leursnbsp;*�lifmans.

Suivant eux, Ie quarr� d�une cafe rempll par ^ tinit� , �toit Ie fymbole de la divinit�, a caufenbsp;1�unit� de Dieti amp;c de fon immutabilit�; car ilsnbsp;^^marquoient que ce quarr� �t�it unique Sc ini-*thJable par fa nature, Ie produit de 1�unit� par.nbsp;^lle-m�me �tant toujours l�unit� m�me, Le quarr�nbsp;la racine z �toit le fymbole de la matiere im-Parfaite , tant a caufe des quatre �l�ments, quenbsp;s rimpoffibilit� d�arranger ce quarr� magique-�hent, ainfi qu�on le verra plus bas.

Le quarr� deneuf caf�s �toit attribu� ou confa* cr� a Saturne; celui de feize , a Jupiter; on avoi|'nbsp;d�di� a Mars celui de vingt-cinq ; au Soleil celu�nbsp;de trente-lix ; a Venus, celui de quaraVite- neuf�nbsp;a Mercure celui de foixante-quatre; amp; enfin a 1*nbsp;Lune, celui de quatre-vingt-un, ou de neuf de c�ts*

II falloit fans doute avoir l�efprit bien encbi� aux vifions , pour trouver aucune relation entr^nbsp;les planetes amp; ces difpolitions de nombres; ma'*nbsp;tel �toit le ton de la philofophie myft�rieufe de*nbsp;Jambliques, des Porphires, amp; de leurs difciple^*nbsp;Les math�maticiens modernes, en s�amufant denbsp;ces arrangements, qui exigent un efprit de combi'nbsp;naifon alTez �tendu, ne leur donnent que l�irO'nbsp;portance qu�ils m�ritent.

On divife les quarr�s magtques en pairs amp; irH' pairs. Les premiers font ceux dont la racine eftnbsp;nombre pair , comme 2 , 4, 6,8 , amp;c: les aW'nbsp;tres font ceux qui ont une racine impaire, amp;, pa^nbsp;une fuite n�ceflaire , un nombre impair de cafe*nbsp;OU cellules; tels font les quarr�s de 3 , 5,7, 9,

La difpofition de ces derniers eft bien plus facd� que celle des premiers; c�eft pourquoi nous coni'nbsp;inencerons par-la.

II y a plufieurs regies pour la conftru�lion de ces quarr�s; mais de toutes la plus fimple amp; 1*nbsp;plus commode , me paroit �tre celle que M. denbsp;la Loubere nous a rapport�e d�apr�s les Indiens denbsp;Surate, aupr�s defquels les quarr�s magiquesnbsp;roiflent n�avoir pas eu moins de cr�dit que parn�*nbsp;les r�veurs anciens dont nous avons parl�nbsp;haut.

17	Z4	I	8	15
2-3	5	7	14	16
4	6	13	zo
10	IZ	19	ZI	3
11	18	^5	z	9

, Le quarr� �tant impair, par exemple celui de ^ ��acine 5 , qu'il eft queftion de remplir des vingt-^�iiq premiers nombres naturels , on commence a pla-^�^51�unit� dans la cafe dunbsp;de la bande horizontale d�en baut; puis onnbsp;de gauche a droite ennbsp;|?tOntant; amp; , comme onnbsp;du quarr� , on tranf-Porte Ie z a la plus bafle cafenbsp;o la bande verticale oii il

� trouveroit: on continue en montant de gaucliea ^��oite ; amp; Ie 4 fortant du quarr� , on Ie tranfportenbsp;celluie la plus �loign�e de la bande horizontalenbsp;il fe trouveroit; on infcrit 5 dans la celluie fui-j ante, en montant de gauche a droite; amp;, commenbsp;a Cafe fuivante, o� tomberoit ie 6, fe trouve d�janbsp;t^'npliepar I, on place Ie 6 imm�diatement au def-t*0s de ^ : on va de-la en montant, fuivant la regienbsp;^^n�rale , Si on infcrit les nombres 7 amp; 8 dans lesnbsp;^afes o� on les voit; puls, en vertu de la premierenbsp;de tranfpofition, 9 au bas de la dernierenbsp;t'ande verticale ; enfuite lO , en vertu de la deu-, a la cafe la plus a gauche de la deuxiemenbsp;Znde horizontale; eniliite 11 au deffbus, par lanbsp;j'^oifieme regie: apr�s quoi 1�on continue a remplirnbsp;j? diagonale des nombres ii, iz, 13, 14,

^� comme il n�y a plus moyen de monter, amp; ^t'on fortiroit du quarr� dans tous les fens, onnbsp;�'tet Ie nombr� fuivant, 16, au deffous de 15:nbsp;^'^ntlnuant enfin, felon Ie m�me proc�d�, onnbsp;quot;Rplit fans nouvelle difficult� Ie reliant des cafesnbsp;'^ quarr�, comme on Ie voit plus haut,

110 RiCRiATIONS Math�matiquex.

fuivant cette m�thode. Ces exemples pourro^^*-fervir a exercer ceux de nos lec-teurs a qui ce genre d�amufement plaira. Voici maintenant quelquesnbsp;remarques g�n�rales fur les pro-pri�t�s du quarr� arrang� fuivantnbsp;ce principe.

1� Suivant cette difpofition, la plus r�guliere routes, Ie nombre moyen de la progreffion occupynbsp;Ie centre, comme 5 dans Ie quarr� de neuf cafe^^nbsp;13 dans celui de vingt-cinq, 15 dans celui 0^nbsp;quarante-neuf ; mais cela n�eft pas n�cefiaire dat'*nbsp;routes les difpofitions magiques.

1� Dans chacune des diagonales, les nomb'^* qui remplilTent les cafes �galement �loign�esnbsp;centre , forment Ie double de celle du centf^'nbsp;ainfi3o 2o=47 3=:r84-ix=i4 ilt;5, amp;c. fo�nbsp;toujours Ie double du nombre central 2^.

3� II en eft de m�me des caf�s centralern^�' oppof�es. J�appelle ainfi celles qui font femblab'^nbsp;ment fitu�es a l��gard du centre , mais en fens op'nbsp;pof�, tant de c�t� que pour la hauteur: ainfi 3*nbsp;5c 15 font des cafes centraleraent oppof�es i

Arithm�tique. Chap, XIL an� � de m�me de 48 6c i, de 13 8c 37, de 14 Scnbsp;36, de 3Z amp; 18. Or il arrive, fuivant cette dif-Pofition magique , que ces cafes ainfi oppof�esnbsp;torment toujours Ie double du nombre central,nbsp;Ou 50 , comme on Ie peut �prouver,

40II eft aif� de voir qu�il n�eft pas n�ceflaire que U progreffion a arranger magiquement foit cellenbsp;des nombres naturels 1,2, 3,4, amp;cc ; quelque pro-greflion arithm�tique que ce foit, 3, 6,9, 12 , amp;c.nbsp;4, 7, 10,13, 16, amp;CC. s�arrangera de la m�menbsp;*Uaniere.

I	2	3	4	5
7	H	9	10	11
13	H	�5	16	�17
19	20	21	22	^3
	x6	^7	28	29

5� II y a plus : il n�efl pas neceffalre que la progreffion foit continue ; elle peut �tre difcontiniie , ^ voici la regie g�n�rale. Si les nombres de lanbsp;progreffion , rang�s felon leur ordre naturel dansnbsp;les cafes du quarre, prefentent dans tous les fens,nbsp;Vertical, horizontal, une progreffion arithm�ti-^ue, ils font fufceptibles d��tre rang�s magique-Uient dans le m�me quar-r�, Si par le m�me proc�d�. Soit prife, par exem-ple , k fuite de nombre

�O, II ; I

20	28	� 1	9	17
^7	5		16	19
4	7		^3	26
11	\|i4	2.2.	^5	3
13	[21	29	2	10

^lle pr�fente par-tout une progreffion arithm�tique,nbsp;peut la ranger magi-lt;Iiiement ; 8c en effet ,nbsp;ffiivant la regie precedents , on formera avec ellenbsp;�e quarr� magique ci-joint.

9	20 I		12 23
	11 7 18 4
16	2	13	24	lO
22	8	19 5		II
3	14		6	17

ment, conarr.e on Ie voit ci-a-c�t� ; ce qui donnenbsp;im quarr� de 25 tout diff�rent. Onparlera ailleursnbsp;des variations du m�me quarr�,

II y a encore la regie de Mofcopule, auteU** Grec moderne; amp; celle deM. Bachet de M�firiaC�nbsp;qui, ne connoiffant ni Tune ni l�autre, en a im^quot;nbsp;gin� une. Nous croyoas devoir aufli les fait�nbsp;connoitre.

11	24	7	120	1 l
4	I 2	M	8
17	5	n	21	9
10	18	1	14	22
23	6	'9	2

Mofcopule place l�unit� imm�diatement au deA fous de la cafe centrale, puis infcrit les nombre�nbsp;fuivants, en defcendant de gauche a 'dtoite; ^nbsp;quand un nombre fort du quarr�, il Ie tranfpott�nbsp;au plus haut de Ia bande verticale qui lui convieu^^'nbsp;de-ta il continue en defcendant obliquement denbsp;gauche a droite; amp; quandnbsp;un nombre fort a la droite ,nbsp;il Ie tranfporte dans lanbsp;cafe la plus �loign�e a gauche , d�o� il continue fui-vant la pr�rniere regie : s�dnbsp;rencontre une cafe d�janbsp;remplie, il potte fon chif-fre deux cafes au deflbus de celui derni�rerneu^nbsp;infcrit: arriv� au bout de la diagonale , il potte Isnbsp;nombre fuivant Ie plus haut qu�il fe peut dans 1^

w�me verticale. Enfin , quand un notnbre qui de-yroit �tre port� deux cafes plus bas que Ie dernier Jnfcrit fort du quarr�, il Ie porte tout au haut denbsp;la m�me bande. Cette defcription de fa m�thode,nbsp;Jointe a l�exemple , fuffit pour la bien entendre ;nbsp;Riais elle eft un peu plus compliqu�e que l�In-dienne. Voici enfin la regie de Bachet.

Elevez fur chaque c6t� du quarr� donn� , des Cafes en �chelons, comme on voit ci-deffous;

, commenqant p^ la cafe la plus �lev�e, inf-Crlvez tous les noinbres de la progreflxon en def-^cndant diagonalement, comme on voit de i en 5, de 6 en lO ,

Cela fait , tranfpofez dans la cafe la plus '^oifine Sc au deffous du centre , Ie nombre Ie plusnbsp;clev�; tranfpofez pareillement 25 en ^ , Ie plusnbsp;pr�s au'deffus du centre j que 5 foit, par la m�mc

raifon, tranfpof� en c amp; zi en puis 6 en � S� Z4 en �, 2.0 en m amp; z en /, amp;tc : vous aurez enfinnbsp;Ie quarr� magique ci-apr�s, dans lequel la fommenbsp;cle chaque bande, tant verticale, qu�horizontalenbsp;amp; diagonale, fera�j.

Cette regie , quoique diff�rente de celle Mofcopule, donne abfolument Ie m�me r�fultat*

Mais ces diff�rentes m�thodes Ie cedent a 1* fuivante, qul a pour auteur M. Poignard , cha-noine de Bruxelles, amp; M. de la Hire, qui 1�aper-feftionn�e Sc amplifi�e ; car les pr�c�dentes fontnbsp;tout-a-fait particulieres , au lieu que celle-ci v3nbsp;nous donner une multitude de comblnaifons prefi*nbsp;que illimit�e.

�	3	!	2	... 4
5		4	I	3
4		3	5	2
3	5	z	4	1
z	4	I	3	5^.

Soit, par example, un quarr� de racine im' paire , comme 5 : ayant conftruit ce quarr�, vousnbsp;placerez dans Ie premiernbsp;rang horizontal d�en hautnbsp;les cinq pretniers nombresnbsp;de la progreffion dans 1�or-dre que vous voudrez:nbsp;prenons i, 3, 3 , x, 4 ;nbsp;choifilTez enfuite un nom-bre premier avec cctte racine 5 } ^ qui , diminu�

Arithm�tique* Chap. XIL 225. '^el�unit� , ne Ie mefure point non plus: nous fup-^oferons 3 ; c�efl: pourquoi vous prendrez Ie troi-^gt;eme chifFre de cette fuite, d�o� vous compterez ,nbsp;Pour rempllr la leconde bande horizontale ,5,2,nbsp;4, � , 3 ; puis vous recommencerez encore par Ienbsp;hoifieme, apr�s amp; y compris 5 , c�eft-a-dire par 4,nbsp;�^e tjiii donnera, pour la troifieme bande, 4, i, 3, 5,nbsp;^; vous aurez en fuivant Ie in�me proc�d� la luitenbsp;^es nombres 3, 5, 2, 4, i, dont vous remplireznbsp;quatrieme bande ; amp; ainfi en continuant amp; re-Ptenant toujours du troifieme chiffre, y compris Ienbsp;pr�c�dent, jufqu�a ce que tout Ie quarr� foit rempltnbsp;^omme l�on voit ici. Ce quarr� 1�era un des com-Pofants du quarr� cherch� , amp; fcra magique ; carnbsp;fomme de chaque bande , foit horizontale, foitnbsp;Verticale, foit diagonale, eft la m�tne, puifquenbsp;cinq nombres de la progrelfion font dans cha-^une fans r�p�titlon.

5	�	^5	10	20
10	20	5	0	M
0	M	10	10	5
20	5	0	�5	10
15	10	20	5	0

Faites pr�fentcment un deuxieme quarr� g�om�* ^fique de 25 cafes, dans la premiere bande duquelnbsp;''rrus infcrirez les multiples de la racine 5 , en com-^enqant parz�ro, fqavoir, o, 5, 10, 15, 20,nbsp;^ dans l�ordre qu�il vousnbsp;Pjaira, par exemple celui-5, 0, 15, 10, 20:

'^*^Us finirez de remplir Ie 'l^arr� fuivant Ie m�menbsp;principe que ci-deffus, ennbsp;^yaiit n�anmoins attentionnbsp;rie pas prendre Ie m�menbsp;^r'antieme pour recom-Jpencer continuellement,nbsp;l^n a prls ^ par exemple , pour Ie premier quarr�,nbsp;e troifieme chiffre 3 il faudra prendre ici Ie qua-Tonii I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p

trieme , amp; 1�on aura Ie quarr� des multiples form� comme on Ie voit ici. C�efl: Ie fecond compofan*^nbsp;du quarr� magique cherch�, amp; il eft lui-m�in�nbsp;jnagique, puifque la fomme de chaque bande ^nbsp;de chaque diagonale eft la m�me.

6	3	2o\| 12 j 24
	22	9 1 I 118
4	16	13		7^
23 10		2	19	II
17 14 2l			8	T

Maintenant, pour avoir Ie quarr� magique chef' ch�, il n�y a qu�a infcrire dans un troifieme quarr�nbsp;de 25 cellules, la fomme des nombres qui fe troU'nbsp;vent dans les cellules cor-refpondantes des deux pr�-c�dents, par exemple 5 ,

OU 6 dans la premiere a gauche amp; en haut dunbsp;quarr� cherch�; 0-P3 ounbsp;3 dansla deuxieme, amp;c:nbsp;vous aurez , par ce proc�d�, Ie quarr� de 25 cafesnbsp;ci-joint , qui fcra n�cef-fairement magique.

On peut, par ce moyen, faire tomber tel noifl' bre qu�on voudra dans telle cafe qu�on voU'nbsp;dra, par exemple, i dans lanbsp;cafe centrale : il n�y a qu�anbsp;remplir la bande du milieunbsp;par la fuite des nombres,nbsp;enforte que i foit au milieu , comme 1�on voit ici;

amp; on c�ntinuera de rem' plir Ie quarr� fuivant Ienbsp;principe ci-deffus, en re-commenqant par la bandenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Pour former Ie fecond quarr�, on placera

117

20	5	Io\| 0 115
0		2o\| 5 1 10
5	10	0	15	20
gt;5	20	5	10	0
10	0	15	20	5

'3u centre, comme on voit ci ^ c�t� , amp; on Ie rem-plira de lam�me maniere,

amp; avec l�attention de ne pas prendre, pour recom-rnencer les bandes , Ie menie quantieme que pour Ienbsp;premier.

22	6	13	4	20
3	19	M	7	11
10	12	I	18	24
16	23	9		2
*4	5	17	21	8

Enfin Ton additionnera, dans un troifieme quarr� ,nbsp;les cales femblables, amp;

I, �L eft a propos de remarquer que, lorfque I� bombre de la racine n�eft pas premier, comme lorf-^u�il eft 9, 15 , 21 , amp;c. il eft impofllble de fairenbsp;^'tforte qu�il n�y ait aucun nombre r�p�t�, au moinsnbsp;Tune des diagonales; mais, dans ce cas, ilnbsp;j^'it s�arranger de maniere que Ie nombre r�p�t�nbsp;^^ns cett� diagonale foit Ie moyen de la progref-par exemple , 5 ft la racine du quarr� eft 9,'nbsp;� d elle eft 15 ; amp;, comme Ie quarr� des multi-fera fujet au m�me accident, il faudra auflinbsp;enforte, en Ie rempliflfant, que ce foit la dia*nbsp;Banale oppof�e qui foit remplie du multiple moyennbsp;^ntre z�ro amp; Ie plus grand, par exemple, 36 ft lanbsp;^scineeft 9^ ft elle eft 15.

1x8 RiCR�ATlONS Math�matiques. quarr�s dont la racine eft premiere. Nous forme*nbsp;Tons , par exemple , un quarre maeique de cesnbsp;deux quarr�s,

dans le premier defquels 3 eft r�p�t� dans la dia* gonale de droite a gauche en defcendant, amp; dansnbsp;le fecond defquels 10 I�eft dans la diagonale d�nbsp;gauche a droite en defcendant. Cela n�empechenbsp;pas que le quarr� provenant de leur addition nenbsp;foit magique.

�. n.

La conftruftion de ces quarr�s n�eft pas aufli die que celle des impairs; ils ont meine diff�rentsnbsp;degr�s de difficult�, fuivant qu�ils font paireroei^*

AritHM�tique. Chap. XII. l�g-Ou impairement pairs : c�eft pourquoi- il faut en faire deux clafles.

Les quarr�s pairement pairs font ceux dont la racine partag�e par la moiti� efl: paire ; tels fontnbsp;les quarr�s de 4 , 8, la , amp;c. Les impairementnbsp;pairs font ceux dont la racine, partag�e par la moiti�, donne un nombre impair; comme ceux de 6 ,nbsp;10, 14, amp;c.

Les anciens ne nous ont tranfmis aucune regie g�n�rale , mais feulement quelques exemples denbsp;quarr�s pairs rang�s magiquement, comme ceuxnbsp;de 16 , de 36, de 64 cafes. Volei ce que les mo-dernes qui s�y font exerc�s ont trouv� de mieux.nbsp;Commen^ons par les quarr�s pairement pairs.

On peut d�abord s�aflfurer facllement que I'on ne fqauroit remplir magiquement Ie quarr� de la racine 1: Ie premier qu�on puifle ainfi ranger magiquement, eft celui de 16 cafes. 11 y a une regienbsp;g�n�rale amp; fort limple pour y parvenir.

Soit done Ie quarr� ABCD, qu�il faut remplir magiquement des 16 premiers nombres naturels:nbsp;On remplira d�abord les diagonales; amp;, pour eetnbsp;effet, on commencera a compter les nombres naturels par ordre 51,1,3,4, amp;c. fur les cafes denbsp;la premiere bande horizontale de gauche a droi-te ; puis on pafl�ra a la

qu�on tombera fur les cafes appartenantes aux diagonales, on y inferira les Rombres compt�sentom-fgt;ant fur elles : vous aurez

P iij

I	15	14	4
12	6	7	9
	10		5
	5		16

les cafes qui ont reft� vuicles, il faut recommen* eer a comptar les m�mes nombres, en partant Henbsp;Tangle D , amp; de drolte a gauche , fur les cafesnbsp;de la bande inf�rieure C D, amp; enfuite fur cell�nbsp;qui ta fuit en inontant; amp; quand vous rencon-trerez des cafes vuides, vousnbsp;les remplirez du nombre quinbsp;leur compete : vous aurez denbsp;cette maniere Ie quarr� 16 rem-pli magiquement, comme onnbsp;Ie voit ici, amp; la fomme denbsp;chaque bande Sc de chaquenbsp;diagonale fera 34.

I. nbsp;nbsp;nbsp;II en eft ici comme dans les quarr�s impairs �nbsp;toute progreffion de nombres qui , rang�e parnbsp;ordre dans Ie quarr� g�om�trlque, pr�fentera ennbsp;tous les fens, horizontalement 6c verticalement,nbsp;tine progreffion arithm�tique, fera fufceptible d�ernbsp;tre rang�e magiquement dans Ie m�me quarr�.

II, nbsp;nbsp;nbsp;II y a plus ; il n^eft pas n�ceffaire que la proquot;nbsp;portion arithm�tique dans Ie fens vertical fok continue ; elle peut �tre difcontinue : par exemple�nbsp;foient les nombres 1,2,3, 4,5, 6, 7, 8; 57gt;nbsp;58,59,60, 61, 6z , 63, 64, qui, rang�s fut'nbsp;vant leur ordre naturel dans Ie

quarr� de 16 cafes , pr�fentent i z 3 feuletnent dans Ie lens vertical eg Snbsp;les proportions arithm�tiques i,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

5, 57,61; 2, 6, 58,62, 6cc. 57 58 59 60 ils pourront �tre rang�s magi- r r rnbsp;quement dans Ie m�me quarr�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Nous fuppoferons Ie quarr� de 8 a remplir 'des �4 premiers nombre^ de Ia progreffion naturelle.

II faut d�abord �crire ces 64 nombres comme On voit dans les deux lignes inf�rieures des quatranbsp;periodes ci-deffous.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	lO	I�
	3		.61

les cafes qui ont reft� vuicles, il faut recomfflen* eer a compter les m�mes noinbres, an partant denbsp;Tangle D , amp; de droite a gauche , fur ks cafesnbsp;de la bande inf�rieure C D, amp; enfuite fur cell�nbsp;qui la fuit en montant; amp; quand vous rencon-trerez des cafes vuides, vousnbsp;les remplirez du nombre quinbsp;leur compete : vous aurez denbsp;cette maniere Ie quarr� 16 rem-pli rnagiquemeht, comme onnbsp;Ie voit ici, amp; la fomme denbsp;chaque bande amp;C de chaquenbsp;diagonale fera 34.

I. II en eft ici comme dans les quarr�s impairs i toute progreffion de nombres qui , rang�e parnbsp;ordre dans Ie quarr� g�om�trique, pr�fentera ennbsp;tous les fens, horizontalement amp; verticalement,nbsp;une progreffion arithm�tique, fera fufceptible d��rnbsp;tre rang�e magiquement dans Ie m�me quarr�.

U. II y a plus; il n�eft pas n�ceffaire que la proportion arithm�tique dans Ie fens vertical fort continue ; elle peut �tre difcontinue : par exemple, foient les nombres 1,2,3,4,5,6,75 8; 57,nbsp;58,59,60, 61, 62, 63, 64, cjui, rang�s ffii-vant leur ordre naturel dans Ienbsp;quarr� de 16 cafes , pr�fentent 1234nbsp;feulernent dans Ie fens verticalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o

5, 57,61; 2,^6, 58,62, amp;c. ils pourront �tre rang�s magiquement dans Ie m�me quarr�.

Si 1�on a bien faifi l�efprit de cette m�thode, on a d� voir que, par fon moyen , la premiere amp; lanbsp;derniere ba'ndes font n�ceflairement remplies desnbsp;16 nombres de la premiere p�riode , amp; en tellenbsp;forte que les cafes centralement oppof�es font tou*nbsp;jours 65. II en efl: de me me des deuxieme amp; p�-nultieme bandes; elles font remplies des nombresnbsp;de la deuxieme p�riode, amp; de la m�me maniere.nbsp;II en efl: ainfi destroifieme amp; fixiemegt;bandes; denbsp;la quatrieme Sc la cinquieme. Or il fuit de-la quenbsp;les diagonales doivent aufll �tre jufles,

Ayant donn�, d�apr�s M. de la Hire, pour les quarr�s impairs, une regie tr�s-g�n�rale, amp; proprenbsp;a produire un grand nombre de variations, nousnbsp;croyons devoir en faire autant pour les quarr�snbsp;pairs, Sc d�autant plus qu�elle fert �galement pournbsp;les quarr�s magiques pairement pairs Sc pour lesnbsp;�mpairement pairs. La voici.

magiquement. Pour cet effet, il faut commence!* par arranger dans la premiere bande horizontalenbsp;d�un quarr� de 8 de c�t�, les 8 premiers nombresnbsp;de la progreffion arithm�tique; mais enforte quenbsp;ceux qui feront �galement �loign�s du milieunbsp;faffent la m�me fomme, fqavoir celle de la racinenbsp;augment�e de l�unit�, comme ici 9: la fecondenbsp;bande fera 1�inverfe de la premiere, la troifiemenbsp;comme la premiere, la quatrieme comme la deu-xieme ; amp; ainfi de fuite alternativement, jufqu�inbsp;Ia moiti� du quarr�: apr�s quoi 1�autre moiti� fenbsp;formera en renverfant fimplement la premiere,nbsp;comme l�on peut voir ici. Ce fera Ie premiernbsp;quarr� primitif.

II faut enfuite former Ie fecond; ce qui fe fera cn Ie rempliffant, fuivant Ie m�me principe , desnbsp;multiples de la racine , en commenqant par z�ra�nbsp;fqavoir,o,8, 16, Z4, 32,40,48, 56, amp; fai-fant enforte que les extremes faflent toujours 56-mais au lieu d�arranger ces nombres dans Ie feiisnbsp;horizontal, vous les arrangerez dans Ie fens vertical, comme l�on voit dans l�exemple ci-delTous.,

Arithm�tique. Chap. XU. 255 Cela fait, ajoutez les cafes femblables de vosnbsp;^eux quarres, vous aurez votre quarre de 8 conf�nbsp;truit comme on le voit ici.

Nous nous bornons a cet exemple des quarres Pairement pairs , amp; nous allons donner , commenbsp;plus Ample, la m�thode qui s�en d�duit pour 1^nbsp;^onftruAion des quarres impairement pairs.

5	6	3	4	I	2
2	I	4	3	6	5
5	6	3	4	I	2
5	6	3	4	1	2
2	I	4	3	6	3
5		3	4	I	2

Nous allons prendre pour exemple le quarre de racine 6. Nous cofn-^encerons a le rem-, fuivant le proce-enfeign� plus haut,nbsp;fix premiers nom-�''fs de la progreffionnbsp;^tithm�tique, 1,2,,

24	6	24 24	6	24
0	30	0 nbsp;nbsp;nbsp;0	30	0
12	18	12 12	18	12
18 12		18 18	12 18
30	0	30 30	0	30
6	24 6 6		24 6

136 RicR�ATIONS Math�matiques On formera Ie fe-cond , en Ie remplif-Tant, dans Ie fens vertical amp; fuivant Ie m�-ine principe, des multiples de la racine, ennbsp;commenqant par z�ro,nbsp;fijavoir: o,6, iz, 18,

On ajoutera enfuite les caf�s femblables des deux quarr�s; ce qui en donnera un troilieme�nbsp;qui n�aura plus befoin que de quelques correftionsnbsp;pour �tre magique. Ce troifieme quarr� eft celuinbsp;ci-deffous.

Pour rendre ce dernier quarr� magique, il en laiflfant les angles fixes, tranfpofer lesnbsp;nombres de la bande horizontale fup�rieure ,nbsp;de la premiere verticale a gauche. Cette tranfp^'nbsp;lition confifte a renverfer tout Ie reftant d�nbsp;bande , en �crivant 7,28, 27 , 12 ^ au Hewnbsp;12, 2.7? amp;c; 8c dans la verticale , 32 , 23 rnbsp;�gt;c 2, de haut tn bas, au lieu de 2,17, Sec,

Zq 7 [28			9 112]26
32 31		3	4 \|36\| 5
23 18			16119 j 20
14	24	21	22 13		�7
2	I	34	33	6	35
I 1		10	^7	30	8

Vous �changerezaufli les nombres des deuxnbsp;Cafes du milieu de lanbsp;deuxieme horizontalenbsp;d�en haut St de la plusnbsp;taffe , de la deuxiemenbsp;Verticale a gauche 8cnbsp;de la derniere a droite:nbsp;enfin vous �changereznbsp;les nombres des eafesnbsp;A 5c B, ainfi que ceux de C 8c D; vous aureznbsp;Votre quarr� corrig� , 8c difpof� magiquement.

�. ni.

Voici une nouvelle difficult� que les arithm�ti-ciens modernes ont ajout�e a la queftion des quar-t�s magiques. II s�agit non-feulement de ranger Une progreffion de nombres magiquement dans unnbsp;quarr�, mais on demande encore que ce quarr� ,nbsp;en Ie d�pouillant tout a 1�entour d�une bande , ounbsp;deux, ou de trois, 8cc. refte magique; ou aunbsp;Contraire , ce qui eft 1�inverfe, un quarr� �tantnbsp;*�iagique , il faut lui ajouter une enceinte d�une ounbsp;Plufieurs bandes, telles qu�il foit encore difpof�nbsp;*^agiquement.

Soit, pour donner un exemple de cette conf-^��Rftion , Ie quarr� de la racine 6 a difpofer ma-8'quement, en Ie remplilTant des nombres naturels ^epuis I jufqu�a 36. Le premier quarr� magiquenbsp;pair poffible �tant celui de 4 de c�t� , nous com-^ttencerons par le difpofer magiquement, en lenbsp;rempliffant des tenues moyens de la progreffion ,nbsp;au nombre de i $ ^ en r�fervant les i o premiers 8c

45� R�CR�AT�ONS MATH�MATlQ��S'i les lO derniers pour l�enceinte. Nous prendr�flSnbsp;done pour Ie quarr� int�rieur, les nombres 11�nbsp;12, amp;c. jufqu�a 26 inclufivement, amp; nous leurnbsp;donnerons une difpolkion magique quelconque: i^nbsp;nous reftera les nombres 1,2, amp;c. jufqu�a lOfnbsp;amp; 2.7 jufqu�a 36, pour l�enceinte.

I	35	34	5	30	6
33	11		M	14	4_
28	22	16	17	'9	9_
8	18	20	21		i9_
10	^3	13	12	26	^7
31	%	3	3^	7	36

Pour difpofer ces nombres dans l�enceinte , oR peut d�abord placer auxnbsp;quatre angles les nombres I, 6,31, 36, en-forte que diagonale-ment ils faffent 37.

Chaque bande devant faire 111 , il faudranbsp;done dans la premierenbsp;bande quatre nombres,nbsp;tels qu�ils faffent 104;

amp;, comme leurs complements a 37 doivent fe trouver dans la pb�* balTe , oil il y a d�ja 67^ il faudra qu�ils falTentnbsp;enfemble 44 : or il y a plufieurs combinaifonsnbsp;ces nombres quatre a quatre, qui peuvent fair^nbsp;104, amp; leurs complements 44; mais il faut qu e*'nbsp;m�me temps quatre des reftants puilTent faire 79/nbsp;pour remplir la premiere bande verticale , tandi�nbsp;que leurs complements feron't 69 pour coiRquot;nbsp;pl�ter la derniere. Cette double condition lim^^nbsp;la premiere combinaifon 335, 3453055?nbsp;placera dans la premiere bande felon l�ordf�nbsp;qu�on voudra , pourvu qu�on mette au delTous d^nbsp;chacun , dans la derniere bande , leurs coinpl^'�nbsp;ments; amp; les quatre nombres qui doivent reiR'nbsp;plir la premiere bande verticale feront 33 ,nbsp;10,8, qu�on y pourra arranger comme 1�on voU'nbsp;dra, pourvu qu�on oppofe a chacun fon comp'^

2136		31	^7	8	7
34		^5	2-4	14	3
V	22	16	17	19	5
9	18	20	21	15	28
4	23	13	I 2	26	33
30	I	6	10	29	35

32,9,4. Les premiers �tant rang�s commenbsp;on voudra dans lesnbsp;quatre cafes vuides denbsp;la premiere bande, 8cnbsp;leurs compl�ments aunbsp;delTous, on rangera lesnbsp;feconds dans les cafesnbsp;de la premiere bande verticale, 8c leurs compl�-ments chacun a l�extr�mit� de la m�me bande horizontale , 8c Ton aura Ie nouveau quarr� a en-lt;^eintes qu�on volt ici.

Si 1�on vouloit former un quarr� a enceinte de racine 8 , il faudroit r�ferver pour Ie quarr� int�rieur de 36 cafes, les 36 nombres moyens de lanbsp;Ptogreffion, 8c 1�on en formeroit, fi 1 on vouloit,nbsp;quarr� a enceinte, a l�entour du quarr� magi-de 16 cafes: enfuite, avec les 28 nombresnbsp;t^ftants, on formeroit 1�enceinte du quarr� de 36nbsp;t^afes, amp;CC.

Ainfi l�on volt comment on pourroit former un ^luarr� magique qui, d�pouill� fucceffivement denbsp;*ine, deux, trois enceintes, reftat touiours ma-Sique.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

�. IV.

II eft queftion ici d�un autre artifice dont Ia plupart des quarr�s magiques font fufceptibles Jnbsp;c�ell; d�etre non-feulement magiques dans leur to-talit� , mais encore d��tre tels que , les divifantnbsp;dans les quarr�s dans lefquels ils font r�folubles,nbsp;ces parties du premier quarr� foient elles-m�mesnbsp;magiques. Le quarr� de 8 de c�t� eft ^ par exem-ple, form� de quatre quarr�s, ayant 4 pour racine:nbsp;on peut demander que non-feulement le c[uarr� 64nbsp;foit difpof� magiquement , mais encore chacunnbsp;de ceux de 16; amp; m�me que ces derniers, arranges comme l�on voudra, compofent toujours uRnbsp;quarr� magique.

La chofe eft facile , amp; m�me c�eft le moyen plus fimple de tous , de conftruire les cparr�s pai'nbsp;lement pairs , comme on va le voir.

Pour conftruire /fe cette maniere le quarr� 64 gt; prenez les 8 premiers nombres de la progreftioRnbsp;naturelle de i a 64, amp; les 8 derniers; arrangez-les magiquement dans un quarr� de 16 cafes; fai'nbsp;tes-en autant des 8 termes qui fuivent les 8 premiers, joints aux 8 qui precedent les 8 derniers ^nbsp;vous aurez un fecond quarr� magique: faites-ei�nbsp;im femblable avec les 8 fuivants, joints a leur*nbsp;correfpondants, enfin avec les 16 moyens; ^nbsp;en r�fultera quatre quarr�s de 16 cafes, tous �gaU^nbsp;en fommes, foit dans les bandes, foit dans les diaquot;*nbsp;gonales; car on trouve par-tout 130. II eft doUlt;^nbsp;�vident que , rangeant ces quarr�s a c�t� 1�uonbsp;l�autre dans l�ordre quelconcjue cju�on voudra,

ARITHM�TIQUE. Chap, XII. 141 ^'Jarr� qui en r�fultera iera magique, amp; la fommenbsp;tons les lens lera 260.

arranger ainfi Ie quarr� de 9, divifez la j^'^greffion de i a8i inclufivement, en neufau-comine I, 10, 19,.....73; 2, �r,

5 � � V . . 74; 3 gt; li, 2.1, . . . . 75

��angez magiquement chacune de ces pfogreffions ordre dans un quarr� de 9 cafes: celui qui re-la premiere fera intitul� I, celui de la fe-II, 8cc. Or vous obferverez que dans cesnbsp;quarr�s, les fommes des bandes amp;; cellesnbsp;�f'^'agonales feront elles-m�mes en progreflionnbsp;jj �^ctique , fqavoir : dans Ie quarr� I elle feranbsp;dans Ie quarr� II elle fera 114 ; ainfi denbsp;�nfin rangez ces 9 quarr�s magiquement ^ ilnbsp;de voir que Ie total fera encore magique:nbsp;quarr�s partiaux ne pourront pas�tre tranfi.nbsp;cotnnie dans Ie pr�c�dent de 64,

Aome I, nbsp;nbsp;nbsp;Q

203 ; amp;c. ces quarres auront fuccefli''^^ ment amp; par ordre , pour les fommes denbsp;bandes Sc celles de leurs diagonales, 303 , 3^*^'nbsp;305 , amp;c. jufqu�au dernier, qui aura 375 da^*nbsp;chacune de (es bandfes Sc de ies diagonales. Aigt;d' �

pofant le premier I, le deuxieme II, le troifie'�^ III , Sc le dernier XXV, on aura un quarrenbsp;gique; amp;, autant qu�il y a de variations dont �nbsp;quarr� de 25 cafes eft fufceptible, autant il ynbsp;aura que le quarr� de 15 pourra recevoir �ts ^nbsp;magique a la fois, Sc les quarres dont il eft c0gt;*'nbsp;pof� l��tant auffi, ^

�. V.

____� . �,.,1------�I..

quelque arrangement qu�on donne aux nont de la progreffion depuis i jufqu�a 9, on voit^�nbsp;jours renaitre le m�me quarr� , ft ce n�eft qu��nbsp;renverf�, ou tourn� de gauche a droite; ce �nbsp;n�eft pas une variation.

Mais il n�en eft pas ainfi de celui de 4 dc cine ou de 16 cafes; il eft fufceptible aunbsp;880 variations , que M. Frenicle a donn�es*^nbsp;fon Trait� des Quarr�s magiques.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_

Le quarr� de 5 eft fufceptible au moilt;�* ^7600 combinaifons differentes; car , fuiva*| .5nbsp;proc�d� de M. de la Hire, les 5 premiersnbsp;peuvent �tre difpof�s de 120 faqons diftdrc'\pnbsp;dans la premiere bande du premier quarr� p��*nbsp;tifi 6c comme on peut enfuite ks ranger

ARITHM�TIQUE. Chap. XII. 145 tgt;andes inf�rieures , en recommenqant par deuxnbsp;^uantiemes diff�rents , cela fait 240 variations aunbsp;*^oins dans Ie premier quarr� primitif, lefquelles,nbsp;Combin�es avec les 140 du fecond, fermentnbsp;57600 variations du quarr� de 5. Mais il y en anbsp;^^ns doute encore bien plus ; car la quarr� de 5 knbsp;^�tceinte ne fe r�duit pas a la m�thode de M. de lanbsp;^ite ; or un feul quarr� de ^ a enceinte, les an-S^es reftant fixes , ainfi que Ie quarr� int�rieur

^jiangeant Ie quarr� int�rieur amp; les angles, com-��en d�autres variations doivent en naitre ?

l^n fimple quarr� de 6 i enceinte , une fels ^Onftruit, peut �tre vari� , les angles reliant fixes,nbsp;^ Ie cpiarr� int�rieur �tant compof� des m�mesnbsp;^^mbres, de 40^5040 manieres ; car Ie quarr�nbsp;�^ferieur .peut �tre vari� amp; diff�remment tranf-?o(� dans Ie centre de 7040 manieres: enfuite cha-'^^ne des bandes horizontales , haute amp; bafTe ,nbsp;VfiUi, les extr�mit�s reliant fixes , �tre vari�e denbsp;H manieres; car il y a quatre paires de nombresnbsp;�J^fcepribles d�etre chang�s de place , qui peuventnbsp;� combiner de 14 fatjons; amp; il en eft de m�menbsp;quatre paires qui fe trouvent dans les bandesnbsp;^��ficales entre les angles. Ainli Ie nombre desnbsp;��hbinaifons eft Ie produit de 7040 par ^76 ,nbsp;^arr� de 14; ce qui donne 4055040 variations,nbsp;les angles peuvent varier , ainli que les nom-qu�on prendra pour fermer Ie quarr� int�-; d�o� il fuit que Ie nombre des variationsnbsp;^^fales du quarr� de 6, fans ceffer d��tre a encein-

Qit�lcjue nombreufes que foient ces variations f �lies ne doivent pas furprendre , car Ie nomb''�nbsp;des difpolitions , magiques ou non magiquesnbsp;49 nombres , par exeinple, en forme un denbsp;chiiFres , dorit Ie pr�c�dent n�eft �videminentnbsp;qu�une partie, pour ainfi dire, infinimept petite*

Nous avons dit, au commencement de ce cliS' pitre, qu�on peut arranger dans les cellules d�nonbsp;quarr� des nombres en progreflion g�om�trique gt;nbsp;6c de telle forte que Ie produit de ces nombre�nbsp;dans chaque bande, foit horizontale , foit vert*'nbsp;cale, foit diagonale , fut toujo�rs Ie m�me.

Ce font pr�cif�ment les m�mes principes qn�'^ faut fuivre pour cette conftruftion; Sc ilefl: aif�nbsp;Ie d�montrer par la propri�t� des logarithmes �nbsp;ainfi nous ne nous y arr�t�rons pas. Nous noH*nbsp;bornerons a un exemple: c�efi: celui des 9 premie'*nbsp;termes de la progreflion g�om�trique double, * gt;nbsp;2., 4, 8, See. arrang�s dans Ie quarr� de 3nbsp;c�t�. Le produit efi; �videminent Ie m�me d?''*nbsp;tous les fens, fqavoir 4096.

C H A P I T R E XIIL

�Epuis que la politique s�eft �clair�e fur ce qui conftitue la vraie force des Etats , on anbsp;f*it beaucoup de recherches fur le nombre desnbsp;^otnmes de chaque pays, pour reconnoitre fa population. D�ailleurs , prefque tous les gouverne-^ents s��tant trouv� contrahits a faire de fortsnbsp;^uiprunts, pour la plupart en rente viagere, on anbsp;ut� naturellement conduit a examiner fuivantnbsp;*luelle progrefllon s��teignoit la race humaine, afir*nbsp;'le proportionner les int�r�ts de ces emprunts a lanbsp;probabilit� de l�extin�lion de la rente. Ce fontnbsp;ees calculs auxquels on a donn� le nom SArith-^�tique politiqui ; amp; comme ils pr�fentent plu-^^eurs faits curieux , foit qu�on les confidere dnnbsp;politique , foit qu�on les envifage du c�t�nbsp;PVfique, nous avons cru devoir les inf�rer ici,nbsp;P�Ur amufer amp; inftruirc nos lefteurs.

: ��

Seaucoup de gens font dans la perfuafion que le ^oitibre des fiUes qui nailTent excede le nombrenbsp;naiffances de garqortS :1e contraire eftdemon-depuis bien long-temps. 11 nait annuellementnbsp;Plus degarqons que de fiHes ; amp;� , depuis 163x,nbsp;^u a une petite lacune pr�s on a le nombre desnbsp;^^^ilTances arriv�es a Londres, avec diftinftion de

fexe, on n�a pas pu obferver une feule fois que cetu* desfiUes �galat in�me celui des garcons. On trouv�nbsp;enfin , en prenant un tenne moyen, par Ie calcR^nbsp;d�un grand nombre d�ann�es, que Ie nombre dejnbsp;garqons naifTants eft a celui des filles, commenbsp;a 17. Ce rapport eft auffi celui qui regne dans ^3-g�n�ralit� de la france; mais, quelle qu�en foitnbsp;la raifon, 11 femble �tre,a Paris, comme de ay a

Ce n�eft pas feulement en Angleterre Sc France qu�on obferve cette efpece depb�nomeneinbsp;mais c�eft encore par-tout ailleurs. On peut s�eRnbsp;convaincre par la lefture des gazettes, qui noR*nbsp;communiquent au commencement de chaque aR'nbsp;nee Ie nombre des naiftances arriv�es dans la plR'nbsp;part des capitales de 1�Europe: on y verra Ie nofR'nbsp;bre des males naiffants ex c�der toujours celui dfi*nbsp;filles; Sc, conf�quemment, on peut regardernbsp;comme une lol g�n�rale de la nature.

On doitjn�me reconnoitre iel une fage viie la Providence ou de la Divinit�, qui a pourvu ^nbsp;confervation de la race humaine. Les hommes�nbsp;par la vie aftive a laquelle la nature les a deftincs�nbsp;en leur donnant d�s forces Sc un courage dontnbsp;a en g�n�ral priv� les femelles , font expof�s ^nbsp;beaucoup plus de dangers: les guerres, les longi'^?nbsp;navigations, les m�tiers 'dangereux ou nuifibles ^nbsp;lafant�, les d�bauches, moiffonnent un nomb^�nbsp;confid�rable d�hommes : d�o� il r�fulte que , d .nbsp;nombre des garqons naiffants n�exc�doit pas cd|'*nbsp;des filles , la race des males diminueroit affeznbsp;dement ^ 6c s�etelndroit bientdt.

Arithm�tique. Chap, Xni. 147 �. II.

Il y a a eet �gard une difference affez confid�-'�aUe , en apparence , entre les villes amp; les campagnes : inais cela vient de ce que les femmes des J^'Iles Hourriffentrarement; amp; , conf�quemment,nbsp;� plus grande partie des enfants �tant nourris a lanbsp;^^mpagne, comme c�eft dans les premieres ann�esnbsp;la vie qu�ell: la plus grande mortalit�, c�eft lanbsp;nu�eUe fe manifefte Ie plus. II faudroit done pou-^'oir faire cette reparation, ou accoupler les lieuxnbsp;1�on ne nourrit guere, avec ceux o� 1�on envoienbsp;enfants a nourrir ; amp; c�eft ce que M. Dupr� denbsp;^aint-Maur a tach� de faire , en compulfant lesnbsp;jegiftres de trois paroifles de Paris amp; de douze denbsp;campagne.

, Suivant ces obfervations, fur 23994 f�pultures , s�en eft trouv� 64'54 d�enfants n�ayant pas en-^ote un an; amp; comme Ie nombre des naiffancesnbsp;P^tidant Ie m�me temps balance affez bien Ie nom-��6 des morts, il s�en enfuit que de 14000 enfantsnbsp;, il en arrive feulement

96� . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . . . . , . . i3 gt;

Telle eft done la condition de l�efpece h�-maine, quede 14000 enfants qu^nalflent, a pe�� une iRoiti� atteint fa neuvieoie ann�e j les deu�

ARnnmiTiQv^. Chaj}. XJII. 149 tiers font au tombeau avant 40 ans; � n�en reftenbsp;qu�un flxieme apr�s 61 ans, un dixieme apr�s 70nbsp;ans, un centieme apr�s 86 ans; iin millieme environ arrive a 96 ans, amp; bx ou fept a 100 ans.

Nous devons cependant obferver qu�il y a a eet �gard des differences entre les auteurs qui ont trait�nbsp;ces matieres, amp; nous devons en obferver la caufe.nbsp;Sulvant la table deM. de Parcieux,parexeinple,,nbsp;la moiti� des enfants n�s ne p�rit pas avant 3 i ansnbsp;accomplis, tandls que, fuivant celle de M. Dupr�nbsp;de Saint-Maur, elle efl: moilTonn�e avant Ie commencement de la neuvieme ann�e. Cela vient de cenbsp;que la table de M. de Parcieux a �t� form�e d�apr�snbsp;des liftes de rentiers, qui font toujours des fujetsnbsp;choifis. En effet, un pere ne s�avife pas de mettrenbsp;rente viagere fur la t�te d�un enfant mal confti-tu� OU cacochyme. La loi de la mortalit� eft done,nbsp;dans ce cas, diff�rente; Sc fi Tune eft la loi g�n�rale Sc commune, l�autre eft celle que les admi-niftrateurs qui cr�ent des rentes viageres doiventnbsp;confulter aveC attention , pour ne pas faire desnbsp;*mprunts trop on�reux.

�� III.

la Vital'it� dt l'efpece humainc felon les diff�rents ages y OU de la Vie moyenne.

Un enfant vient denaitre; a quel agepeut-on P^tier au pair qu�il arrivera? Ou bien, eet enfantnbsp;d�ja arriv� a un certain age ; combien d�ann�esnbsp;^ft-il probable qu�il a encore a vivre? Voila deuxnbsp;^.weftions dont la folution eft non-feulement cu-^leufe , inais encore importante.

Nous accouplerons ici les deux tables , Tune (ie � Dupre de Salnt-Maur, I�autre deM. de Par-

ArITHM�TIQUE. Chap. XIII. IJi

Deux obfervations fe pr�fentent a faire a la fuite de cette double table. La premiere con-cerne la difference qu�il y a dans 1�une amp; dansnbsp;1�autre, On voit en effet celle de M. de Par-cieux pr�fenter toujours, pour chaque age, unnbsp;temps plus confid�rable. Nous en avons dit plusnbsp;baut la raifon. Nous avons m�me fupprim� de lanbsp;table de M, de Parcieuxla premiere ann�e, commenbsp;pr�fentant une difference trop �norme ; ce quinbsp;vient, je penfe, de ce que 1�on ne s�avife denbsp;conftituer une rente viagere fur un enfant qui eftnbsp;dans fa premiere ann�e, qu�apr�s s��tre parfaite-tuent affur� de Ia bont� de fa conftitution, amp; 2�nbsp;que ce n�eft pas au moment de la nailfance d�unnbsp;enfant, mais dans Ie courant, comme vers Ie milieu OU la fin de la premiere ann�e, que l�on ha-farde une pareille conftitution; car, les rentes via-geres reliant quelquefois plulieurs mois 8c m�menbsp;jufqu�a une ann�e a remplir, on a d�ordinaire Ienbsp;temps de ne faire Ie placement fur une t�te aufllnbsp;jeune, qu�apr�s avoir eu la commodit� de lailfernbsp;^couler quelques mois, amp;c s��tre aflut� de la conftitution du fujet. Ainfl je penfe que les 34ans denbsp;quot;''italit�, donn�s par M. de Parcieux a un fujet quinbsp;^lent de naitre , doiveiit �tre regard�s commenbsp;d�un enfant qui a 6 ou 9 mois 8c plus: ornbsp;^�eft dans les premiers mois de la premiere ann�enbsp;'l'ie la vie d�un enfant eft la plus fr�le , Sc qu�il ennbsp;�tieurt davantage.

La feconde obfervation efl: celle-ci, 8c elle eft �^oinmune aux deux tables: c�eft que la vitalit�,nbsp;qui eft fort foible au moment de la nailfance , vanbsp;^n augmentant paffe ce terme , jufqu�a un autrenbsp;�u elle eft la plus grande ; car il y a moins de 3nbsp;^ontre I a parier que l�enfant qui vient de naitre

154 R�CRiATI�NS Math�matiques. atteindra la fin de fa premiere ann�e (a); amp;, a pa-rler au pair, il n�a que 8 ans a vivre : ma�s, Ie commencement de la feconde une fois atteint, il y anbsp;6 contre i a parier qn�il arrivera a la troifieme ; amp;nbsp;Ton peut parier au pair qu�il vivra 33 ans. Enfinnbsp;Ton voit que, fuivant la table de M, Dupr� denbsp;Saint-Maur, c�eft vers l�age de 10 ans accomplis,nbsp;amp; entre 10 amp; 15 ans, que la vie eft plus afliir�e.nbsp;A cette �poque on peut parier au pair que Ie fiijetnbsp;vivra encore 43 ans ; amp; il y a 125 contre i a parier qu�il vivra encore un an, 00^25 contre rnbsp;qu�il en vivra cinq. Pafte ceterme, la probabilit�nbsp;de vivre encore un an diminue. Ili/y a, par exem-ple, a 20 ans, qu�un peu moins de 16 contre lnbsp;a parier qu�on ne mourra pas dans les cinq ann�esnbsp;fuivantes. Lorfqu�on a atteint fa foixantieme ann�e , il n�y a plus que 3 } a parier contre i qu�onnbsp;atteindra Ie commencement de la foixante-cin-quieme.

(a) Suivant les principes qu�on a d�velopp�s en traitan� des probabilit�s , celle qu�il y a qu�un enfant qui vientnbsp;naltre fera en vie au bout de l�ann�e, eft a celle qu�ilnbsp;mort, comme Ie nombre des enfants reftants au bout dsnbsp;cette annee a celui des enfants morts, c�eft-a-dire comtn�nbsp;�7540 a 6560; ce qui eft un peu moins que ie rapport d�nbsp;331. Le calcul eft femblable pour les autres cas. Pren�^nbsp;Ie nombre des fujets morts dans le courant de l�ann�enbsp;amp; divifezpar ce nombre celui des fujets reftants ;ce fer�'nbsp;Fexpreftion de ce qu�on peut parier contre i, que 1�nbsp;fujet qui a atteint cette ann�e atteindra la fuivante*

Ainfi, dans un pays peuple d�un million d�ha-, il s�en trouve entre I�age de 15 ans ac-amp; de 60, environ 571^00, dont un peu ^^�oins de la moiti� font des hommes. C�efl: pour-H^oi cette quantite d�habitants pourroit fournir, ^nbsp;rigueur, Z50 mille hommes en �tat d� porternbsp;armes , en ayant m�me �gard aux malades ,nbsp;P^^Sjus, amp;:c. qu�on peut fuppofer fur cette quan-d�hommes�

�. V.

Comme il feroit bien difficile de faire r�num^' ration des habitants d�an pays, f�r-tout s�il falloitnbsp;la r�it�rer aufanf de fois que des int�r�ts politique*nbsp;peuvent exiger qu�on connoiffe fa population, oonbsp;a tach� d�y fuppl�er , en determinant Ie rapportnbsp;des naiffahces o� des morts avec Ie nombre totalnbsp;des habitants de ce payscar, comme dans tou*nbsp;les pays de l�Europe civilif�s on tient des regiftresnbsp;des naiffanceS amp; des morts, on peut, en les coiU'nbsp;pulfant, juger de la population , voir fi elle aug'nbsp;mente ou dimimie , amp; examiner , dans Ie dernietnbsp;cas, les caufes qui produifent cette diminution.

On d�duit, par exemple, des tables de M. Hal' ley, qui pr�fentent l��tat de la population de Bref'nbsp;law vers i�ann�e l�qo, que fur 34000 habitantsnbsp;il y arrivoit annuellement, calcul moyen , 1x3^nbsp;naiffarices ; ce qui donne Ie rapport des premier*nbsp;aux fecondes , de 17 A a i. Pour des villes tellednbsp;que Brcflaw, o� il n�y a pas un grand abord d��'nbsp;trangers , on peut done prendre pour regie, dsnbsp;multiplier les naiffances par 27^, amp; 1�on aur^nbsp;le nombre des habitants.

Ilaparu il y a quelques anne'es, e�efl-a-dit^ en ijGS, un ouvrage tr�s-int�reffant en ce genre�nbsp;intitule Recherches fur La Population des G�n�rd^'nbsp;tis dAuvergne, de Lyon, de Rouen , amp; denbsp;ques Provinces 6* Villes du Royaume , amp;c. vdnbsp;M. Meffance (^). Par des denombrements f^it*

Arithmetiq�e. Chap. XIII. 155

t�te par t�te , des habitants de dix-fept petites villes, bourgs ou villages de la g�n�ralit� d�Auvergne , compares aii nombre moyen des naif-faiices'dans les m�mes lieux , il montre que Ienbsp;nombre des naiffances eft a celui des habitants,nbsp;comme t a 14 ^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: un femblable d�nombre-

ment de vingt-huit petites villes , bourgs ou villages de la g�n�ralit� de Lyon , donne ce rapport de I a 23 enfin, par celui de cent cinq petitesnbsp;villes , bourgs amp; paroiflfes de la g�n�ralit� denbsp;Rouen, il atrouv� que ce rapport �toit de lazy ^nbsp;amp;c Or , comme ces trois g�n�ralit�s compren-nent un pays tr�s - montagneux , comme 1�Auvergne ; un qui I�eft m�diocrement, comme Ianbsp;g�n�ralit� de Lyon ; un qui eft prefq�e tout plainesnbsp;ou collines cultiv�es , comme la g�n�ralit� denbsp;Rouen , on peut conclure que leur reunion repr�-fente afifez bien 1��tat moyen du royaume; c�eftnbsp;pourquoi, fondant enfemble les rapports ci-defiTus,nbsp;ce qui donne celui de i a 25 ce fera , pour lanbsp;totalit� du royaume, ( les grandes villes non com-prifes,) Ie rapport des naiflances au nombre desnbsp;habitants , enforte que pour deux naiflances onnbsp;aura 51 habitants.

Mais comme, dans les villes un peu confid�ra-bles, il y a plufieurs claftes de citoyens qui palTent leur vie dans Ie c�libat, amp; qui ne contribuent quenbsp;peu ou point la population, il eft �vident quenbsp;ce rapport entre les naiffances amp; les habitants ef-

principalement fon exiftence a M. de la Michodiere, fuc-ceffivement intendant d�Auvergne, de Lyon amp; de Rouen, aftuellement prev�t des marchands de la ville de Paris.nbsp;C�eft ce magiftrat qui a fait faire les d�nombrements dontnbsp;on parle, amp; a fourni par-la a M. Meffance tousnbsp;tnents de fon cjlcuJ,

�5^ R�cr�atiONs Math�matiqueS. feftifs doit y �tre plus confid�rable. M. MeflancCnbsp;dit s��tre aflur�, par plufieurs comparaifons , quenbsp;Ie rapport Ie plus approchant *de la v�rit� , dansnbsp;ce cas, efl; de I a 28, amp; que c�eft celui qii�en doitnbsp;prendre pour d�duire , par Ie nombre des nailTan-ces, Ie nombre des habitants d�une ville du fecondnbsp;ordre, comme Rouen, Lyon, amp;c ; ce qui quadrenbsp;affez bien avec ce qu�a trouv� M. Halley pour lanbsp;ville de Breflaw.

Enfin il ,efl; tr�s-vraifemblable que , pour des villes du premier rang, ou des capitales d�Etats,nbsp;comme Paris, Londres , Amfterdam , amp;c. o�nbsp;viennent fondre une foule d��trangers attir�s parnbsp;les plaifirs ou par les affaires , o� regne un luxenbsp;confid�rable qui multiplie les c�libataires volontaires ; il efl;, dis-je, plus que vraiiemblable qu�ilnbsp;faut hauffer encore Ie rapport ci - deffus , amp; Ienbsp;porter au moins a 30 ou 31.

M. Kerfeboom s�eft efforc� d��tablir , dans fon livre Intitule EJfai de Calculpolitique, coilcernantnbsp;la quantit� des habitants des provinces de Hollandenbsp;amp; de Weftfriefland, amp;c. imprim� a La Haye ennbsp;1748, qu�il falloit multiplier par 35 Ie nombrenbsp;des naiffancesen Hollande , pour avoir Ie nombrenbsp;de fes habitants. Si cela efl:, on doit en conclurenbsp;que les mariages font moins f�conds ou moinsnbsp;nombreux en Hollande qu�en France, ce qui pour-roit bien �tre fond� fur des raifons phyliques,

Sil�on applique ces calculs � la determination de la population des grandes'villes, on verra qu�onnbsp;efl , en g'�n�ral, dans l�erreut a leur �gard; car onnbsp;dit vulgairement que Paris contient un millionnbsp;d�habitants : mais Ie nombre des naiffances n�ynbsp;�xcede pas , ann�e commune, 19500; ce qui�nbsp;multiplie par 30, doniie 585000 habitants. Si

Arithmetiq�e. Chap. XIII. 257^ ^�emploie pour multiplicateur Ie nombre 315 oitnbsp;'�ura 604500. C�efl: surement tout au plus ce qu�ilnbsp;y a d�habitants a Paris.

�. VI.

Nous aliens pr�fenter rei, eh abreg�, q�elques ^utres confid�rations fur la population. Le livrenbsp;nolis avons cite dans le paragraphe pr�c�dent,nbsp;*ious fervira encore ici de principal guide.

1� Que le nombre des habitants d�un pays eft a *^elul des families comme 1000 a 122 enfortenbsp;^ue 2000 habitants donnent commun�ment 445nbsp;families, amp; conf�quemment pour chacune, Tunenbsp;Portant 1�autre , 4 t�tes^; ou 9 perfonnes pournbsp;'leux families. A eet �gard, celles de 1�Auvergnenbsp;font les plus nombreufes , enfuite celles du Lyon-*lois; celles de la g�n�ralit� de Rouen le fontnbsp;moins. Par un calcul moyen , on trouve encorenbsp;She, fur vingt-cinq families, il y en a une dansnbsp;^aquelle on compte fix enfants, ou plus.

2� Le nombre des enfants males naiftants ex-^ede , comme oh 1�a dit, celui d�s lilies nailTantes , ^ cet exc�s fe foutient jufqu�^ un certain age: patnbsp;^�^Cmple , le nombre des garqons de 14 ans amp; aunbsp;'^^ftbus, eft aufli plus grand que celui des lilies dunbsp;^fme age , amp; dans le rapport de 30 a 29; toute-fois le norhbre total des femelles excede celui desnbsp;hiales dans le rapport�d�environ 18 a 19. On voitnbsp;1�elfet de la confommation conlid�rable d�hom-**ies qu�occafionnent la guerre , la navigation , lesnbsp;hieoers de fatigue la d�bauche,

3� On trouve qu�il fe fait annuellement tfoi* mariages fur 337 habitants, enforte que 111nbsp;produifent un.

4� Le rapport des hommes marles ou veufs au nombre des femmes mari�es ou veuves, ^nbsp;tr�s-peu pr�s comme 115 a 140, Sc le nombr�nbsp;total de. cette clalTe de la foci�t� eft a la totalitynbsp;des habitants , comme 165 a 631, ou 53 a

5� Sulvant MM. King Sc Kerfeboom, le noiR' bre des veufs eft � celui des femmes veuves, *nbsp;peu pr�s comme 133; enforte qu�il y a trois veU'nbsp;ves pourun veuf. Cela fe d�duit au moins des de'nbsp;nombrements faits en Hollande Sc en Angleteft^'nbsp;Mals eneft-il de m�me en France? C�eft ce qigt;�^nbsp;ent �t� a defirer que 1�auteur cite ci-defliis eut recherch�. Je crois, au refte, que ce rapport 3?��nbsp;proche alTez de la v�rit�; Sc 1��n ne s�en �tonner^nbsp;pas, ft 1�on confidere que la plupart des hommes 1^nbsp;marient tard , en comparaifon des filles.

6� En admettant le rapport ci-deftiis entre 1^* veufs Sc les veuves, il s�enfuivroit que, fur 63*nbsp;habitants, il y a 118 mariages fubfiftants , 7 3 ,nbsp;veufs, Sc zi OU 11 veuves; le refte eft compr�ynbsp;d�enfants , de c�libataires, de domefticpies ,nbsp;paffagers,

70 On d�duit encore de-la, que 1870 mar;?g^^ fubfiftants donnent annuellement 357 enfants; c*�-une ville de 10000 habitants contiendroit ce no��'nbsp;bre de couples mari�s, Sc donn�roit 357 naid^'^'nbsp;ces annuelles. Ainfi cinq couples mari�s, denbsp;age , produifent annuellement une naiflance.

8� Le nombre des domeftiques eft au total de* habitants, a peu pr�s comme 136 a 1535; ce

Au refte , Ie noinbre des domeftiques males eft flftez �gal a celui des femelles, �tant dans Ie rapportnbsp;'*^e 67 a 69 ; nrais il eft tr�s-vraifemblable q�e ,nbsp;dans les grandes villes , o� regne beaucoup denbsp;luxe , la proportion doit �tre diff�rente.

9� Le nonribre des eccl�fiaftique^des deux fexes, t�eft-a-dlre tant f�culiers que r�guliers , y copi-prenant aufli les religieufes , eft a peu pr�s, aunbsp;nombre des habitants de ces trois g�n�ralit�s, dansnbsp;le rapport de i a 11 z ; ce qui eft affez contraire a.nbsp;1�opinion commune, qui fuppofe ce rapport beaucoup plus fort.

10� En r�partiftant le terrain des trois g�n�rali-tes entre tous leurs habitants , on trouve que la lieue quarr�e de 1400 toifes en contiendroit 864 :nbsp;or la lieue quarr�e de 2400 toifes contient 6400nbsp;arpents de 18 pieds la perche : ainfi chaque hom-lue , Tun portant l�autre, auroit 7 arpents ; Scnbsp;chaque familie, ou feu, �tant compof�e, Tune portam l�autre,de 4 t�tes -^,11 en reviendroit a chaquenbsp;familie 33 arpents Mais il faut obferver que lanbsp;E�n�ralit� de Rouen, conlid�r�e fe�le , eft beaucoup plus peupl�e; car on y trouve 1264 habitantsnbsp;par lieue quarr�e ; ce qui ne donne pour chaquenbsp;tcte que 5 arpents.

11� Les mcmes d�nombrements ont fait recon-tioitre , depuis le commencement de ce fiecle, un ^ccroiflement aflez fenfible dans la population,nbsp;f^n trouve en effet, g�n�ralement, le nombre desnbsp;ttaiffances annuelles augment�; Sc enfin , de Ianbsp;comparaifon de celui qu�on obferve a�fuellenientnbsp;svec celui qui avoit lieu au commencement du

fiecle , on eft fond� a conclure que Ie nombre aC* tuel des habitants eft accru, depuis Ie commencement du fiecle, dans Ie rapport dei456a i35^.�nbsp;ce qui fait inoins d�un douzieme Sc plus d�un trei-zieme d�augmentation. On la doit fans doute a uoenbsp;agriculture pips �tendue , � un commerce pin*nbsp;aftif, amp; a la ceftation des guerres qui ont ft long'nbsp;temps d�fol� l�int�rieur de la France. La plai�nbsp;faite au royaume par la revocation de l�Edit denbsp;Nantes, paroiF ferm�e, Sc au-dela; mais, fan*nbsp;eet �v�nement, la France feroit probablementnbsp;plus peupl�e d�un fixieme qu�elle ne 1��toit annbsp;commencement du fiecle; car l�expatriation occa-fionn�e par cette r�vocation va probablement nnbsp;un douzieme.

�. VII.

Quelques quejlions d�pendaiius des obfctyatiot^^ pr�cedmtes.

?ue les confid�rations ci-defliis fervent a r�foudre* )n ne d�veloppera pas la folution de chacune ; onnbsp;fe bornera a l�indiquer quelquefois , amp; on laifleranbsp;en general au le�feur Ie plaifir de s�exercer, d�a'nbsp;pr�s les principes expof�s ci-deffus.

I. Udge d�un homme �tant donn� ^ par po ans, quelle prohahilit�y a-i-il quil feraen'^^^nbsp;aprh un nombre d'ann�es determine ,par exempU i-^ �

Cherchez dans la table du �. II. l�age donn� df la perfonne , fqavoir ans, amp; Ie nombre qidnbsp;trouve a c�t� , qui eft 11405 ; prenez enfuite da^nbsp;la m�me table Ie nombre qui fe trouve a c�t� denbsp;4 j , qui eft 7008 ; faites enfin de ce dernier noin'nbsp;bre Ie num�rateur d�une fra�tion , dont

Arithm�tique, Chap: xni. iSr premier fera Ie d�noniinateur ; ce fera Ie nombre

La d�monllration de cette regie fe pr�fente d�elle-m�me a quiconque entend la th�orie desnbsp;probabilit�s,

2. Un homme dg� de 20 ans emprunte 1000 li-vres , d condition de payer feulement capital amp; int�r�ts lorfqtdil aura 26 ans ; amp; dans Ie cas ou it siendroit d mourir avant ce temps , la dette e^ perdue. Quelle fomme doit-il s'engager d payer s'ilnbsp;atteint les 2J ans ?

II eft �vident que s�il y avoit aflurance qu�il ne mour�t pas avant 25 ans, la fomme a rendre feroitnbsp;Ie capital accru de fes int�r�ts pendant ^ ann�esnbsp;(nous fuppofons l�int�r�t limple); ainfi ce fe-roient 1250 livres qu�� devroit s�engager a payernbsp;a ce terme. Mais cette fomme doit �tre augment�enbsp;a raifon du danger qu�il y a que Ie d�biteur meurenbsp;dans ces cinq ans, ou en ralfoit inverfe de la pro-babillt� qu�il y a qu�il foit en vie. Or cette proba-tilit� eft ejcprim�e par la fra�lion ; c�eft pour-^Uoi il faut multiplier la fomme ci-defliis par cettenbsp;^ra�lion renverf�e , ou par ; ce qui donnenbsp;^3^9 liv. 3 f. I denier, c�eft-a-dire 79 liv. 3 f. i d.nbsp;Pour Ie rifque de perdre la dette, ce qui, je crois ,

3gt; Ua Etat ou un particulier cjl dans te cas ^tmprunter en. rente viagere. Quel denier doit-ilnbsp;^ peut-il domier pour les diff�rents ages, Vint�r�tnbsp;^tgal �tant, comme il ejl en France, d S pour too ?

Le vulgaire , qui eft accoutum� a voir faire des cmpruius on�reux , ne doute nullement que Ie tauxnbsp;de 10 pour loo ne foit du bien avant l�age de 50

am, amp; qu�une pareille maniere cVemprunter nC foit avantageufe pour la liberation cle 1�Etat; inaisnbsp;il eft dans une �norme erreur : calcul fait d�apr�snbsp;les donn�es ci-defl'us, on ne peut allouer, fuivantnbsp;la table de M. de Parcieux, les lo pour looavantnbsp;Page de ^6 ans; amp; c�eft celle qu�on doit fuivre,nbsp;attendu qu�on ne conftitue guere de rentes viage-res que fur des fujets de bonne fante. Suivant donenbsp;cette table , on ne peut donner a 20 ans que 6 fnbsp;pour 100 ; a a 5 ans, 6 ^; a 3 o ans, 6 A; a 40 ans,nbsp;7 j ; a 50 ans, 8y; a 56 ans, 10; a 60ans, 11 7Vgt;nbsp;a 70 ans, 16 f; a 80 ans, 27 ; a 8^ ans, 39 iiV*nbsp;C�eft auffi une erreur tr�s - grande que de penfernbsp;qu�a caufe du grand nombre de perfonnes qui pla-cent des fonds dans ces emprunts viagers faitsparnbsp;\m gouvernement, il eft aflez promptement lib�r�nbsp;d�une partie de la rente , par la mort d�une partienbsp;des rentiers. La lenteur des accroiflements desnbsp;rentes en tontines montre aftez la fauftete de cettenbsp;id�� : d�ailleurs , cette multitude de perfonnes eftnbsp;pr�cif�ment la caufe pour laquelle 1�extinftion desnbsp;rentiers fe fait plus conform�ment a la loi de 1^nbsp;probabilit�'expof�e ci-deflus. Un heureux hafardnbsp;peut lib�rer au bout de quelques ann�es Ie d�bi'nbsp;teur d�une rente viagere qui vient d��tre conftitu�enbsp;fur la t�te d�un homme de 30 ans; mais , fi cettenbsp;rente eft r�partie fur 300 t�tes diff�rentes, d�envi'nbsp;ron eet age , il eft bien certain qu�il ne fera pa*nbsp;lib�r� avant environ 65 ans, amp; qu�apr�s 32 ou 3 Jnbsp;il y aura encore la inoiti� des rentiers vivants*nbsp;C�eft ce que M. de Parcieux a fait,voir clairemen*^nbsp;par Ie d�pouillement des liftes de tontines.

4. L' quot;int�r�t legal kant a 6 pour too , � denier peut-on conjliuier line rente fur deux t�tk

ARITHM�TIQUE. Chap. XIIl. iGj ^ont les ages font donn�s ^ amp; payable juf quid lanbsp;tnort du dernier vivant ?

5. nbsp;nbsp;nbsp;Quel denier pourroit- on donner d�un capitalnbsp;^onfitu� en rente fur deux t�tes dl ages donn�s , 6*nbsp;Payable feulement tam que les deux rentiers feront

6. nbsp;nbsp;nbsp;Paul jouit fur les fonds publics dlune rente denbsp;'Ooo liv. enviager; il a befoin dlun capital., amp;nbsp;^ffre de yendre fa rente. Son age ef donn�. On de-^ande ce qu'on peut acheter cette rente ?

7. nbsp;nbsp;nbsp;Deux paniculiers, Jean , dg� de 20 ans , amp;nbsp;Pierre de So, conyiennent enfemble de fe faire conf-dituer fur lews t�tes r�unies, une rente de too o li-'^�tes, d partager �galement entreux pendant leur

, 6' qui refera toute entiere au dernier yiyant. Oji demande ce que chacun doit contribuer pour fanbsp;part dans Ie capital d fournir?

8. nbsp;nbsp;nbsp;Qtie deyroit y contribuer chacun , s'il �toitnbsp;fiipul� entreux que Pierre , Ie plus dg�, en jouiranbsp;feul jufqud fa mort ?

5. On demande l^Vint�r�t l�gal �tant d S pour *0o ) ce que yaut une rente yiagere de 100 livres ,nbsp;^l^afitu�e fur trois t�tes dl ages donn�s, 6* payablenbsp;^^fqu d Vextinction de la derniere ?

lo. On place fur la t�te dlun enfant de ^ ans^ Par exemple , un capital en rente yiagere ffous lanbsp;''^nditiofi de ne point toucher la rente, qui accrottra

la fin de chaque ann�e , jufqu'd ce que cette rente ^gale Ie capital. A quel age une pareille rente fera-^'elle due ^ Vint�r�t l�sal �tant d S pour too P

Bien des gens font dans l�id�e qu�on peut plaCS^ fut la banque de Venife iin capita! a cette cofld^nbsp;tion; fqavoir , qu�on ne retirera tien pendant di*nbsp;ans, apr�s quoi 1�on recevra une rente �gale at*nbsp;capita! in�me. Mals il n�y a rien de li mal fond�nbsp;comme Ie montre M. de Parcieux dans fon Addi^nbsp;tion d l�E^ai fur ks Prohabilit�s de la dur�e de tdnbsp;Vie buma�ne, publi�e en 1760; ear on y voit�nbsp;par iin calcul qui porte avec lui fa d�monftration^nbsp;qu�en plaqant, par exemple , une fomme de l oQnbsp;liv. fur la t�te d�un enfant de 3 ans , ce ne feroi�nbsp;qu�i 4 ^ OU 46 ans qu�il pourroit eonunencer a joui*nbsp;de 100 liv. de rente.

La table de M. de Parcieux pr�fente f�r ce fujet des chofes afTez curieufes. Par exemple , dans 1*nbsp;fuppofition ci-delTus , fi l�on n�arr�tok l�accr�iffe-ment de la rente qu�4 34 ans, on devroit jouir Ienbsp;refte de fes jours d�ime rente de 205: livres; fi ottnbsp;ne I�arretoit qu�a 58 ans, on devroit avoir jufqu�^nbsp;fa mort 300 Hvres ; en Tarretant a 75 ans feule'nbsp;ment, on devroit avoir enfuite 2900 livres paXnbsp;an; enfin, fi l�on continuoit a replacer les arr�lt;nbsp;rages �chus chaque ann�e en rente viagere, juf'nbsp;qu�a la quatre-vingtrquatorzienie ann�e, ce**�nbsp;rente devroit �tre , pour Ie refte de la vie, d^!

Mais on peut amp; l�on dolt s��tonner de ce qu^ de Parcieux n�a commence fes calculs quenbsp;1�age de 3 ans. II eft bien vrai que^ce n�eft gu^t�nbsp;a la nailTance d�un enfant qu�on hafarde un capi*^*nbsp;pour lui cr��r une rente; mais fi l��tablilTemeut'nbsp;de Venife a eu lieu, il eft �vident que ce n�a p**nbsp;dtre que dans la fuppofition que Ie placement eft*nbsp;�t� f^it (ur Ir t�tq d�un enfant qui vient de naitrlt;?�

Arithm�tique. Chap. XIII. 165 �ttendu la grande mortalit� de la premiere ann�e.nbsp;Mous avons, par cette raifon, examine ce quinbsp;r�fulteroit de cette fuppofition , amp; nous avonsnbsp;*rouv� que, platjant, fous la condition �nonc�anbsp;ci-delTus , une fomme de 100 livres fur la t�tenbsp;d�un enfant qui vient de naitre , on devroit, d�a-Pr�s la table de vitalit� de M. Dupr� de Saint-Maur, lui conflituer une rente viagere de 10 livresnbsp;15 fous ; que cette fomme, plac�e a 8 pour 100 inbsp;la fin de la premiere ann�e , lui donneroit, en ynbsp;ajoutant la premiere rente , a la fin de la deuxiemenbsp;ann�e, l j livres 11 fous 7 deniers. Ces 11 livresnbsp;11 fous 7 deniers, plac�s a � pour 100 , quinbsp;�ft Ie denier qu�on peut d.onner au commence^nbsp;�nent de la troifieme ann�? , feroient a la fin �denbsp;la troifieme, ou au commencement de la qua-*'nbsp;trieme , n livres 5 fous i denier. En faifantnbsp;enfin un calcul femblable celui de M. de Par-cieux , on trouveroit que la rente fe feroit accruenbsp;lufqu�i 100 livres vers 1�age de 36 ans; ce qui eftnbsp;encore �norm�ment �loign� de ce que l�on croitnbsp;Vulgairement.

Si l�on fuppofoit l�int�r�t l�gal a 10 pour 100, *^1 qu�il �toit dans Ie feizieme fiecle , on trouve-*oit que ce feroit feulement vers les 26 ans qu�onnbsp;Pourroit toucher une rente �gale au capital misnbsp;fa t�te au moment de la nailTance.

Nous paflbns fous filence nombre d�autres 'l^eftions curieufes fur cette matiere. On. peutnbsp;^onfulter l�ouvrage de M. de Moivre , intitulenbsp;Effay upon annuius on LiviS, ou EJJai furiesnbsp;^ntes viageres, qui m�riteroit d��tre traduit ennbsp;ranc^ois, amp; qui pourroit faire un fuppl�ment ounbsp;'tne fuite a fon livre intitul� a Treatife of Chan-? dont il ell furprenant que la langue franqoife

ne foit pas encore enrichie. On doit auffi voif f fur cette tnatiere, Ie trait� de M. de ParcieiiXrnbsp;intitulenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fur les Probabilit�s de, la dur�e de

y~ie hurnaine. Les autres auteurs qui ont traites ces matieres math�matiquement, font, parmi Is�nbsp;Anglois, MM. Halley, Ie chevalier Petty, Ie ma'nbsp;jor Graunt, King, Davenant j Simpfon ; 8c parminbsp;les Hollandois, amp; avant tous, Ie c�lebre Jean denbsp;Witt, grand-penfionnaire de Hollande, M. Kef-feboom, M. Struyk , 8rc.

MATH�MATIQUES

PHYSIQUES.

Nontenant une fuite de Probl�mes amp; de Quejlions g�om�tri^ues , les pluspropresnbsp;a arnufer amp; exercer.

Pextr�rnit� d'um llgne droite donnci , �lever uns perpendiculaire fans prolonger la ligne amp; m�me ^

COiT la ligne donn�e AB , qu�il n�eft paspj. permis de prolonger du cot� A, amp; fur l�ex- fig. irnbsp;A de laquelle ii eft queftion d��lever unenbsp;gt;gne perpendiculaire.

168 RiCR�ATIONS Math�matiques. l�nt� ; pu'�s , du poiftt A a l�ouverture de trois �snbsp;ces parties, tracez un are de cercle; enfuite f �snbsp;I�extr�mit� ^ de Ia quatrierae parti�, tracesrennbsp;autre avec une ouverture �gaje aux cinq parties:nbsp;ces deux arcs fe couperont neceffakement en u*'nbsp;point tel que C ; dkquel tirant une droite au poi^tnbsp;A, on aura CA perpendiculaire a AB,

Car Ie quarr� de CA qui eft 9,, plus Ie quarry de A3 qui eft 16 , font enfemble �gaux au quarrenbsp;25 de C3: Ie triangle CA3 eft done reftangle en A.

On pourroit �galement prendre pour rayon dc Fare a tracer du point A, une ligne �gale a cinftnbsp;parties, pour�la bafe A3, 12, 8c pour I�autrenbsp;rayon 3C , 13; car 5,12,13, forment un triangle reftangle. Enfin, tous les triangles re�langle*nbsp;en nombres , amp; ilj y en a pne infinite, peuvcfitnbsp;fervir a la refolution du probl�me.

%� 2.propofee , decrivezun triangle ifofcele quelconqu� ACB, enforte que les cotes AC, CB, foient �gatix inbsp;protongez enfuite AC en D , enforte que CEgt;foknbsp;�gale a CB : la ligne tir�e de D en B fera, perpendiculaire a AB ; ce dont la demonftratlon eft ^nbsp;aiiee, que nous la lailTons chercher au lecleurnbsp;ne Fappercevrok pas tout de. fuite,

en cinq parties egales. Faites- en la bafe d�un triangle equilateral ABC ; puis, du point C fur, le CB, prolong� s�il le faut, portez cinq parties

��s quelconques , que nous fuppofons fe terminer D : faltes CE �gale a CD i enfin prenez , parnbsp;^xemple, DF �gale ^ une de ces cinq parties denbsp;^D, amp; tir�z CF, qui coupera AB en G: il efl: �vi-*^ent que BG fera la cinquieme partie de AB.

Si D/�toit �gale aux ^ de CD, on auroit, en *'rant Cf, Ie point d�interfe�lion g de Cf avec AB,nbsp;^gt;11 donneroit Bg �gale aux \ de AB.

aucun infrument que qmlqiies piquets amp; ufi baton, ex�cuter fur Ie terrain la plupart desnbsp;operations g�om�triques,

On fqait que la plupart des operations g�om�-*fiques s�ex�cutent fur Ie terrain au moyen du gra-pliometre ; il femble m�me que eet inftrument eft ^�iine n�ceffit� indifpenfable dans la geometrienbsp;Pratique.

On peut n�anmoins concevolr un g�ometre 'ians de telles circonftances qu�il fera abfolumentnbsp;^�pourvu de tout inftrument, m�me priv� dunbsp;*�^oyen de s�en procurer. Nous Ie fuppofons , parnbsp;^�reinple, dans les for�ts del�Am�rique, o� il nenbsp;�* eft pofllble de fe procurer avec fon couteau quenbsp;a^elques jalons , Sc un baton pour lui fervir denbsp;*�'�fure ; il fe pr�fente diverfes operations g�om�-^'^�^ues a faire, des grandeurs m�me inacceffibles anbsp;^^fttrer ; on demande comment il s�y prendra.

^ous fuppofons d�abord que 1�on fqalt de quelle ^^niere on trace fur Ie terrain une ligne drolte,nbsp;'^rrt 1�alignement eft donn� par deux points; com-^^6nt on la prolonge ind�finiment de c�t� amp;nbsp;sutre, amp;c. Cela �tant, voici quelques-uns desnbsp;Ffobl�mes de g�om�trie �l�mentaire, qu�il s�ag't

de refoudre fans employer d�autre ligne que droite, amp; in�me ea excluant I�ufage du cordeau�nbsp;avec lequel onpourroit tracer un arc de cercle. ,nbsp;I. Par un point donnc , mcner uni paralld^ ^nbsp;une ligm donuee.

Soit la ligne donnee AB , amp; C le point duqu^^ fig- 4* doit �tre trac� la parallele; par ce point

une ligne quelconque a un point B de AB, amp; par' tagez CB en deux egalement en D ; a ce poinfnbsp;placez un jalon ; amp;, d�un point quelconque A d�nbsp;la ligne donnee , menez par le point D une ligf*�nbsp;ind�finie ADE , fur laquelle on prendra DE egal^nbsp;a AD : la ligne tracee par les points C amp; Enbsp;parallele a AB.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

CB egales; amp; , du point C, menez comme voU* voudrez la ligne C^/, fur laquelle vous prendrez la-portion CD �gale a CA ; tirez la ligne DA/r,nbsp;laquelle faites AE �gale a AC, amp; AF �gale a AD 'nbsp;par les points EF tirez la ligne FEG , fur laquelle �gt;nbsp;li vous prenez EG �gale a FE, vous aurez le po*�*'nbsp;G, qui, avec le point A, d�terminera la pofidr)gt;rnbsp;tie la perpendiculaire AG.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

Car, dans le triangle CAD , les cot�s A0� AC, �tarit refpe�liveinent �gaux a AF amp; AEnbsp;le triangle EAF, ces deux triangles font �ga'^'nbsp;^ , dans le triangle D C A , les cot�s ^ q !nbsp;CA, �tant �gaux , on aura aulli dans I�autrsnbsp;cotes^ EA , �F , �gaux : done Tangle EFAnbsp;�gal a EAF , amp; conf�quemment a CAD.nbsp;dans le triangle FGA , le c�t� FG eft dg^l ^nbsp;AB , puifque FG eft double d�e FE par lanbsp;trudion, 6c que FE ou AE eft �gal a AC qR� �

la moiti� de AB : done les triangles FAG, ADB, font �gaux, puifcjue les c�t�s FG, FA, font �gauxnbsp;aux c�t�s AB, AD , amp; que les angles comprisnbsp;font �gaux : done Tangle FAG fera �gal a ADB.

CD, Ca , �tant �gales, Ie point D eft dans la cireonf�rence d�un demi-eerele trae� fur Ie diame-tre AB: done Tangle FAG eft droit, amp; GA eftnbsp;perpendiculaire fur AB.

3. nbsp;nbsp;nbsp;D'un point donne mcner fur um Ugnenbsp;donn�c une perpendiculaire.

Prenez un point quelconque B dans la ligne PI, r, indefinie BC , amp; mefurez BA; faites enfuite BC fig. 6.nbsp;�gale a BA, amp; tirez AC , que vous mefurereznbsp;pareillement; enfin faites cette proportion: com-me BC eft a la moiti� de AC, ainfi AC eft a unenbsp;quatrieme proportionnelle, qui fera CE : il n�ynbsp;3 qu�a prendre CE �gale a cette quatrieme proportionnelle , ,amp; Ton aura le point E, duquelnbsp;Rienant par A la ligne AE, elle fera la perpendiculaire cherch�e.

4. nbsp;nbsp;nbsp;Mefurerune dijlance AB , accejjibk feukmentnbsp;par une de fes extr�mit�s , comme la largeur d'unenbsp;riviere , d'un fojfe, amp;c.

On commencera par planter un jalon en A ; Fig. 7, Pfiis, ayant pris un point quelconque C , ou Tonnbsp;planter? pareillement un, on en fixera un troi-�crue en D, dans Talignement des points B amp; C ;

prolongera ind�finiment les lignes CA , DA, ^*^'dela de A, amp; Ton fera les lignes AE, AFnbsp;^�ales refpe�livement a AC, AD; enfin Ton plan-un jalon en G, de maniere qu�il foit a la foisnbsp;ligne droite avec A amp; B amp; avec F, E: on auranbsp;^ diftance AG �gale a AB.

271 Recreations Math�matiqu�s. dans railgnement AB, 1�on pourroit ne pfen-dre fur AE, AF, que la moiti� �u Ie tiers de AC inbsp;AD, par exemple Ae^ Af: alors, plantant en g unnbsp;jalon qlii fut a la fois dans les deux alignementsnbsp;BA Sc ef^ on auroit Ag , la moiti� ou le tiers d�nbsp;AB.

5. Soit maintenant la diftance AB inacceflibls parfes deux extr�mit�s. La folution du cas prece^nbsp;1, dent donnera aif�ment celle de celui-ci; car , foitnbsp;8. plant� un jalon en C, amp; ayant prolonge par unenbsp;/like de jalons les alignements BC, AC , qu�ortnbsp;prenne, par le moyen ci-deflus, fur ces lignes fnbsp;les parties CE, CF, refpeftivement egales a BC ^nbsp;CA , ou la moiti� ou le tiers de ces m�mes lignes ^nbsp;il ell facile de voir que la ligne qui joindranbsp;points E, F, fera �gale , ou bien la moiti� ou 1�nbsp;tiers de la ligne cherch�e, amp; que, dans 1�un 8�nbsp;I�autre cas, elle lui fera parallele ; ce qui r�foud I�nbsp;probleme de tinr um paralUk a une ligne inac-�nbsp;cejjlbk^

Ces exemples fuffifent pOur montret comment gt; avec un peu de connoiflance de g�om�trie, of*nbsp;pourroit, fans I�aide d�aucun autre inllrument q�^nbsp;de ceux qu�on peut fe procurer aVec fon couteafinbsp;amp; au milieu d�un bois, ex�cuter une grande parti�snbsp;des operations g�om�triques. On doit n�anmoif**nbsp;convenir qu�on ne peut que par un cas tr�s-^*^'nbsp;traordinaire fe trouver dans des circonftanc^nbsp;femblables ; mais, quelqu��loign�e qu�elle fok�nbsp;quand on eft doii� de I�efprit g�om�trique,nbsp;goute une certaine fatisfaftion a voir comio*^^*'nbsp;on pourroit s�y prendre.

Une chofe linguliere , c�eft qu�il n�eft peut-�tf� pas poffible de r�foudre de cette maniere, c�eft'**nbsp;dire fans employer un ai:c de cei cle, le probl^n^,^

tr�s fimple, Sc l�un des premiers de la geometrie �l�-*^entaire, f(javoir, de iracer un triangle equilateral, l�ai du moins cherch� en vain , m��tant amuf�nbsp;� voir jufqu�o� l�on pourroit parvenir dans la g�o-^fl�trie, au moyen de fimples lignes droites.

I'racer un eerde ou un are de eerde determine^ fitns en eonnohre Ie centre amp; fans compas,

Ce Cl paroitra d�abord , aux yeux de ceux k qui geometrie eft peu familiere , une forte de para-*loxe ; ma�s la propolition o� i�on d�montre qije,nbsp;'lans tout fegment de eerde, les angles dont Ienbsp;fommet eft appuy� fur la circonf�rence, Sc dontnbsp;l^s c�t�s paffent par les extr�mit�s de la corde ,nbsp;l^rmt �gaux , cette propofition, dis-je , donne lanbsp;^dution du probl�me.

� Soient done les trois points du eerde ou de^' larc de eerele ehereh�, A, C , B ; les lignes AC , ^nbsp;Cb , �tant tir�es, faites un angle �gal a ACB , quenbsp;''ous couperez dans qudque matiere folide , Scnbsp;Plantez en A amp; B deux arrdts ou pointes: alors,nbsp;faifant eouler les c�t�s de l�angle d�termin�nbsp;�ntre ces arr�ts, Ie fommet d�crira la circonf�-^^iice du eerde, enforte que fi eet angle C eftnbsp;^^tni d�une pointe ou d�un crayon, il tracera , ennbsp;^^'trnant entre les points A Sc B , l�arc cherch�.

l�on faifoir un autre angle pared , qui fut Ie p^ant de Tangle ACB a deux droits, amp; qiTon I�nbsp;tourner en touchant touiours de fes c�t�s iesnbsp;^dnts A, B , mais de maniere que fon fommet futnbsp;|,^ cot� oppof� a celui du point C , il d�criroitnbsp;^iJtre fegment de eerde , qui, avec Tarc ACB �nbsp;^^plette Ie eerd� entier,

174 R�cr�ations Math�matiques.

II pourroit arriver que Ton fut oblige de traced par deux points donn�s un are de cercle d�ter'nbsp;min�, dont Ie centre eft extr�mement �loign^�nbsp;OU inaccefllble par des caufes particulieres. Si t�oOnbsp;avoit , par exemple , a tracer fur Ie terrain unnbsp;cercle ou un are de cercle dont Ie rayon futnbsp;2 , 3 OU 4 cents toifes, il eft aif� de voir flu�ftnbsp;PI. I,^eroit impraticable de Ie d�crire au inoyen aunnbsp;fig. 10. cordeau: il faudroit alors op�rer ainfi. Plantez de*nbsp;jalons en A amp; B , extr�mic�s de la ligne quenbsp;fuppofe �tre la coirde de 1�arc cherch�, dont onnbsp;connoit Tamplitude ou 1�angle qu�il foutend�nbsp;cherchez enfuite, avec Ie graphometre ou la plaO'nbsp;chette, un point tel que c, d�oii mirant en A ^nbsp;B, 1�angle AcB foit �gal a Tangle donn�, amp;c plan-tez-y un jalon; cherchez pareillement un autt�nbsp;point uf, d�o� mirant aiix points A amp; B, onnbsp;. encore Tangle AdB �gal au premier; que 1^*nbsp;points e, f, foient trouv�s de la m�me maniere �'nbsp;il eft �vident que les points c ,d,e, f, feront daU*nbsp;un are de cercle capable de Tangle donn�.nbsp;vous cherchez enfuite de Tautre cot� de AB,nbsp;points g,h,i,k, d�a� mirant aux points A amp; B gt;nbsp;Tangle AgB ou A/rB foit Ie fuppl�ment du pf^''nbsp;mier , les points c, d, e, f, k, i, k,nbsp;�videmment dans un cercle.

PROBL�ME V.

Trois points kant donn�s , qui m foient pas une mime ligne droite, tracer un cercle qui pt^jP'nbsp;par ces trois points.

PI. 2, Q U E ces trois points foient ceux qu�

i� comme centre, avec un rayon quelconque , p], foit d�crit un eerde ; enfuite, d�un des deux au- fig.nbsp;tres points pris pour centre , par exemple I, foientnbsp;faites avec le m�me rayon deftx inter/edionsnbsp;avec la circonference du premier cercle , commenbsp;A amp; B, amp; foit tir�e la ligne AB ; enfin , prenantnbsp;le troifieme point 3 pour centre , foient faitesnbsp;avec le m�me rayon deux interfedions avec lanbsp;circonference du premier cercle, lefquelles foient.nbsp;0,E, amp;foit inenee DE: elle fe coupera avecnbsp;la premiere AB , dans lur point C qui fera le centrenbsp;du cercle cherche. Prenant done ce point pournbsp;Centre, amp; d�crivant un cercle par Tun des pointsnbsp;donn�s , fa circonference paffera par les deuxnbsp;autres.

ll eft facile de voir que cette conftrudion eft fond la m�me que la vulgaire, enfeign�e parnbsp;Euclide amp;c tous les auteurs �lementaires; car il eftnbsp;evident que, par la conftrudion qu�on vient denbsp;Voir , on a les lignes lA, xA , iB , iB , egalesnbsp;Cntr�elles; conf�quemment la ligne AB eft perpendiculaire a celle qu�on doit concevoir joindre lesnbsp;Points 1, 2, ou a la corde i, 1, du cercle cherche:nbsp;d O� 11 ftilt que le centre de ce cercle eft dans lanbsp;hgne AB: par la m�me raifon ce centre eft dans la.nbsp;�gne De , Sc par conf�quent il eft dans leur in-^^ffedion

Si les trois points donn�s �toient dans uneligne ^''cite , alors les lignes AB , DE , deviendroientnbsp;P^talleles; conf�quemment il n�y auroit pointnbsp;'nterfedion , ou elle feroit infiniment �loign�e.

I'^S^nieur, en levant une carte y a obferv� ePun ^irtain point les. trois angles fous lefqiiels ilvolt

hs dijlances dc trois autres objets dont il ct d�jd d�tennim l^s pofitions : on demandc la pojitionnbsp;de ce point, fans autre operation.

L E probl�me , r�duit a l��nonc� purement geO-� in�trique, fe propoferoit ainfi : Etant donni unnbsp;triangle dont les c�t�s tS' les angles font connus ynbsp;determiner Ie point duquel les trois lignes menieinbsp;aux trois angles feront entr'elles des angles donnes.

II y a un aflez grand nombre de cas dans ce probl�me; car, o� les trois angles Ibus lefquelsnbsp;cn apperqoit les diftances des trois points donn�snbsp;occupent toute 1��tendue de 1�horizon oii les qua-tre angles droits , ou bien feulement la moiti� , ounbsp;moins de la moiti�. Dans Ie premier cas , il eftnbsp;�vident que Ie point cherch� eft fitii� au dedansnbsp;du triangle donn�; dans Ie fecond , il eft fitu�nbsp;jfur un des c�t�s ; amp; dans Ie troifieme , il eft dehors. Mais, pour abr�ger, onfe bornera au premier cas, indiqu� par la Figure 11.

Soit done a determiner entre les points A, B, C , dont les diftances font donn�es, Ie point D ,nbsp;tel que Tangle ADB foit �gal k i6o degr�s, Tanglenbsp;CDB �gal a 130�, amp; CDA �gal a 70�. Sur Ie c�tenbsp;AB , d�crivez un are de eerde capable d�un angl^nbsp;de 160� ; amp; fur Ie c�t� BC, un autre capable d�uRnbsp;angle de 130�: leur interfeftion donnerale poiutnbsp;cherch�.

Car il eft �vident que ce point eft fur Ia cit' conf�rence de Tarc d�crit fur Ie c�t� BA, amp; capable de Tangle de 160�, piiifque , de tous 1^*nbsp;points de eet are Sc de nul autre , la diftance ABnbsp;eft vue fous un angle de 110�. De m�me Ie poquot;''*^nbsp;D tloit fe trouver fur Tarc d�crit fur Ie cot� AC,nbsp;amp; capable de Tangle de : conf�quemiRCquot;*^

G M � T R I E. nbsp;nbsp;nbsp;177

On peut, d�apr�s cette conftruftion, �tablir �ne folution trigonom�trique , pour determinernbsp;en nombres la diftance du point D aux points A,

Deux iignes concourant en un point inacctfjibh, ou quon ne peut m�me ap^eruvoir on propofe denbsp;mener d'un point donne une ligne qui tende aunbsp;mime point.

SoIENT les Iignes AO Sc BO , qui concourent pi. enun point inconnu amp; inaccefllble O, amp; que Ie fig. 13.nbsp;point E foit celui duquel il faut diriger au point Onbsp;Une ligne droite.

Par Ie point E tirez la droite quelconque EC, qui coupe AO amp; BO dans les points D amp; C , amp;nbsp;par un point F, pris a volont�, foit tir�e fa paral-leleFG; foit faite enfuite cette proportion: cominenbsp;CD eft a DE, ainfi FG a GH; enfin , par lesnbsp;points E, H , tirez la ligne ind�finie HE j ce feranbsp;^a ligne cherch�e.

Ou bien , fi c�eft Ie point e qui eft donn�, foit fait, comme CD a Ce, ainft FG a FH, la ligne eh,nbsp;celle qu�on demande.

La d�monftration en fera facile pour tous ceux qui fqavent que ft dans un triangle on tire des pa-l^alleles a la bafe, routes celles qui feront tir�es dunbsp;^mmet du triangle les diviferont proportionneU

S iij

M�me fuppojition faiu que ci-dejfus , on demandc retranchcr des lignes BO, AO,.deux portionsnbsp;�gales.

PI- 2,) Po u R eet effet, foit abalff�e du point A fur fg- 14' BO la perpendiculaire AC , amp; fur le m�me pointnbsp;A foit �lev�e, perpendlculairement a AO, la lignenbsp;AD, rencontrant la ligne BO en D ; divifez enfuitenbsp;en deux egalement Tangle CAD par la ligne AE :nbsp;cette ligne , en rencontrant BO en E, determineranbsp;' les lignes AO , EO, �gales.

Heft facile de ledemontrer, enfaifant voir que, par cette conftni�lion Tangle OAE devient egalnbsp;� OEA. En effet Tangle OAE eft �gal a Tanglenbsp;OAC plus CAE , amp; Tangle OEA eft �gal a ODAnbsp;ou OAC plus EAD oil EAC, fon �gal: donenbsp;Tangle OAE eft �gal a OEA, amp; le triangle OAEnbsp;eft ifofcele: done, 6tc.

M�me fuppojition encore que ci-deffus ^ diviferrati� gle A OE en deux parties �gales.

Faiths la m�me conftruftion que dans le pro-bl�me pr�c�dent; puis, a la ligne AE, tirez une parallele quelconque FG entre les deux lignes don-n�es ; apr�s cela divifez les lignes AE, FG, ei�nbsp;deux �galement en H amp; I : la ligne HI divifff*nbsp;Tangle AOE en deux �galement; ce qui eft tropnbsp;facile a d�montrer pour s�y arr�ter.

Ces op�rations font, comme Ton volt, operations de g�om.�trle pratique affez utiles da^^�

certains cas; par exemple, s�il s�aglffoit de percer des routes dans une for�t, ou bien fi Ton vouloitnbsp;qu�elles circulaflent a l�entour d�un centre coin-itiun extr�mement �loign�, ou qu�elles aboutiffentnbsp;4 ce centre.

I^cux c�t�s d'un triangle reBiligne kant donn�s^ amp; rangle compris, trouyer Jon aire.

^ULTIPLIEZ un de ces c�t�s par la moiti� de l�autre , amp; Ie produit par Ie finus de Tanglenbsp;coinpris; ce nouveau produit fera Taire,

On d�montre en effet aif�ment que Taire de , tout triangle reftiligne eft �gale a la moiti� dunbsp;reftangle de deux de fes c�t�s quelconques, raul-tipli� par Ie finus de Tangle compris.

Car, foit Ie triangle ABC , dont Tangle A eft PI, a, ^igu ; qu�on convolve le triangle AFC, dont Tan- %� r j*nbsp;gle FAC foit droit, amp; AF �gale a AB : foit unnbsp;lt;]uart de cercle d�crit du centre A par F amp; B ;

II eft �vident que les deux triangles FAC, BAC , font entr�eux comme AF a BD , c�eft-a-dire dans lanbsp;'�aifon du finus total au finus de Tangle BAC , ounbsp;de Tunit� au nombre qui exprime ce finus: done,

triangle FAC �tant �gal au demi-reftangle de .^A par AC , le fecond fera �gal a ,ce demi-reftan-multipli� par le finus de Tangle BAC.

Cette propri�t� �vlte un circuit, qu�on eft tgt;blig� de prendre pour trouver d�abord la grandeur de la perpendiculaire abaifif�e de Textr�init�nbsp;d un des c�t�s connus fur Tautre , afin de multipb^cnbsp;enfuite ce dernier c�t� par cette perpendiculaire�

Soient, par exemple, les deux c�t�s AB , AC gt; refpeftivement de 24 amp; 63*, amp; Tangle compn*nbsp;de 450. Le produit de 63 par 12^ eft 756 ;nbsp;ftnus de 4lt;;o eft o, 70710: multipliez done 75^nbsp;par o, 70710 fuivant la m�thode des fraftions de'nbsp;cimalesj le produit fera 534

Mefurer la furface d'iin quadrilatere ou trape:(e qild' conque ^fans la connoljfana de fes c�t�s.

pj j folution de ce probl�me eft une fuite di' �2 1(5�P*'^c�dent. Un trapeze ABCD �tant donn� , me-' furez les dlagonales AC , BD , ainfi que Tanglenbsp;qiTelles font a leur interfe�tion en E ; mulriplieZ'nbsp;les enfemble , amp; la molti� du produit par Ie ftniisnbsp;cV Tangle ci-defTus: ce produit fera Taire; ce qtiinbsp;eft incomparablement plus court, que ft on le r�-:nbsp;duifoit en triangles pour mefurer chacun d�eux.

On ure de-la un th�or�me aftTez curieux, ^ qui n�a, je crois, point encore �t� remarque*nbsp;C�eft que , Si deux quadrilateres ont des diagon�'nbsp;les �gales amp; faifant le m�me angle, quelle que fo^^nbsp;d'ailleurs la maniere done elks fc coupentnbsp;F autre, ils font egaux entreux.

Ainfi, le quadrilatere ABCD , fig. i6, eft �g^'^ au parall�logramme aled, fig. ly, n� i, qui a 1^�nbsp;m�mes diagonales, amp; �galement incHn�es Tun�nbsp;a Tautre.

Pig_ 2� Ce m�me quadrilatere ABCD eft �gal 3�* 2. triangle EAC , fig. ly ng z, form� par les delis'^

3� Ce m�me quadrilatere eft encore �gal au pi 3^ triangle ABC , fig. ly, 0� 3 , fi les lignes AQ, DB, fig. 17,nbsp;de ce triangle font �gales aux diagonales du qua- n� 3.nbsp;*^tilatere , amp; �galement inclin�es.

q 4� Enfin ce quadrilatere AECD, fig. tC, eft Fig. 17, ^gal au quadrilaterenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;17,0� 4, dont les

PROBL�ME XII.

^eux cercles qui m fiont pas enti�rement comprls l�iin dans Vautn, hant donn�s, trouver k point )nbsp;d'oii tirant une tangtnu d l'un , dk foil anjjinbsp;tangenu a Cautrt.

R les deux centres A amp; B des deux cercles, pj. ^enez la droite ind�finie ABI; puis, du centre A, fig. 18,nbsp;rayon quelconque AC, amp; par Ie centre B Ie rrquot;nbsp;J.^yon BD, parallele au premier amp; dans Ie m�menbsp;^'15. Les points C amp; D �tant }oints par la lignenbsp;^ O, elle rencontrera AB dans un point I quinbsp;j^fa Ie point cherch� ; c�eft-a-dire que fi du pointnbsp;tire une tangente IE a Tun des cercles , ellenbsp;tangen te a Tautre.

point l., fig. ld, n� 2 , pourroit fe trouver Fig. 18, ^tte les deux cercles , lorfqu�ils ne fe coupentnbsp;Tun Tautre. Pour Ie trouver, il n�y a qu�anbsp;''erIe rayon BD parallele a AC, en fens con-3ire a celui de la fig. 18, n� i ; Tinterfe�lion denbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;donnera un point I, qui jouira de

Novs ne pouvons nous emp�clier d�obCetvSf ici que fi l�on tire du point I, a travers les deU*nbsp;PI. 3, cercles, une f�cante quelconque , comme IV^nbsp;fig' 18, OU Idh, Ie reftangle de ID par IH, ou Xd par Xhrnbsp;fera toujours Ie m�me , fqavoir , ��gal a celui de*nbsp;deux tangentes IE, IF. Pareillement Ie re�lang!^nbsp;de IC par IG^ ou \g par Ic, fera �gal au redlang!^nbsp;des ni�mes tangentes: ce qui eft une extenfio'^nbsp;tr�s-remarquable de la propri�t� � connuenbsp;eerde, par laquelle Ie reftangle des deuxnbsp;ments ID, IG, eft �gal au quarr� de la tangente 1^^

PROBL�ME XIII.

I/n pere de familie laijfc en mourant , d deux fants, un champ triangulaire , 6* ordonnenbsp;leur fera partag� �gakment. IIy a un puits d0^nbsp;ce champ^qui jert d l�arrofer; il faut conf�qtietl^'nbsp;ment que la Ligne de divijion pafe par Jonnbsp;tre, afin qu^il foit cornmun aux deux h�riti^^^Jnbsp;On demande la manicre de mener par ce po�nl *nbsp;ligne qui partage ce champ en deux igaleinenl-

V\.Solution, ^on Ie triangle propof� %. 19. amp; E Ie point donn�. Tirez du point E les

ED, ER, paralleles a la bafe AC amp; au c�t^p, xefpe�livement, jufqu�a leur rencontre en R ^nbsp;que Ia bafe CA foit divif�e en deux �galeiu^^*' gnbsp;M ; amp; , ayant du point D tir� la ligne DM ?

BN lui foit inen�e parall�lement, amp; la ligu^ divif�e �galement en 1; fur IR foit d�crit Ienbsp;eerde IK.R , dans lequel appliquez RK=^^nbsp;tirez IK, a laquelle vous ferez IF �gale: co p�

II eft �vident qu�il faut que Cl foit au moins Rouble de CR ; car, autrement, CR ne pourroitnbsp;adapt�e dans Ie demi-cercle d�crit fur RI;nbsp;qui r�ndrolt dans ce cas Ie probl�me impofllble.

En nombres. Soit BA = nbsp;nbsp;nbsp;BC = 4^gt;

CA=3o, cd=18, amp; DE ouCRr=6 ; conf�-^^^emment CM fera=:i Or CD: CM;; CB; CN, ^eft-a-dire que 18 ; 15: ;4Z : 3 5 ; d�oii il fuit^ quenbsp;ggt;c Cl~i�y~: conf�quemment CR etant

^gale ^ 6, on aura lR=i i t* ^r Ie triangle IKR ^tant reftangle, on aura IK = p/ i R � � R Kquot;quot;�

La d�monftration de cette conftruclion eft trop P^olixe pour trouver place ici: il y a mcine uneinbsp;''''iltitude de cas qu�il feroit trop long de d�velop-En voici feulement un des plus fiinples ; fqa-j celui ou Ie point E eft fur un des Cot�s,

^ La conftruflion eft dans cecas tr�s-fimple; car, PI. 3, ^.yant divif� AC en deux �galement en M , amp; %*nbsp;EM, puis fa parallele BN , fi Ie point Nnbsp;�nihe au dedans du triangle, en tirant la lignenbsp;j Ie probl�me fera r�folu : ma�s 11 Ie point Nnbsp;�^be au dehors , il faudra tirer la ligne AE , amp;nbsp;^^bilte par Ie point N fa parallele NO; enfinnbsp;Ir ^ point O la ligne OE : cette ligne r�foudra

M ^ caufe des paralleles EM, BN,letrian-j MBE=:MNE ; done, ajoutant a cbacun Ie LiME, on aura les triangles GBM , CENnbsp;De plus j a caufe des paralleles EA amp; NO j

iS4 RiCR�ATIONS Math�mAtiques. on a les triangles ANE, AOE �gaux: conf�quei^'nbsp;ment, �tant de part amp; d�autre Ie triangle coiR'nbsp;mun AGE , Ie triangle ANG=:iGOE : d�o� ilnbsp;qu�ajoutant a l�efpace GAGE ce triangle GOE�nbsp;on aura l�efpace CAOEzuau triangle CEN, qu�o^nbsp;a d�ja vu �tre �gal a la moiti� de CBA.

Mats fuppofons que k m�me particulier e�t mfants, amp; qu il fall�t leur divifer entr euxnbsp;ment Ie menie champ, en faifant partir toutesnbsp;lignes du point donn� E ^ amp; en fuppofant d�janbsp;ligne de divijion EB.

fig. nbsp;nbsp;nbsp;^ gr

que les points de divifion foient ^ �amp; G ; foit tir�e la ligne ED amp; fa parallele B**�nbsp;amp; du point E la ligne EF: fi Ie point F n�eftnbsp;hors du triangle , Ie trapeze BEFAB fera unnbsp;tiers cherch�s,

Mais fi Ie point F tombe hors du triangle , op�rera comine on a vu plus haut, c�eA-a-B'quot;^nbsp;qu�on tirera a Tangle A la ligne EA, amp; du poigt;�^/nbsp;El parallele F O, jufqu�au c�t� BA, que je fupp^ ^nbsp;ctre rencontr� en O: la ligne EO donnera Ie tri^��nbsp;gle BOE �gal au tiers du triangle propof�.

On trouvera de la m�me maniere Tautre du triangle propof� BEICB ; amp; , conC�q^j^^,nbsp;ment, Ie reliant de la figure en fera auffi Ienbsp;amp; les trois lignes EO , EI, EB , partant du p�!^jnbsp;E , diviferont Ie triangle propof� en troisnbsp;�gales.

On pourra , par la m�me m�thode , Ie di'^' ^^4 5 5?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;parties �gales, par des

points kant donnis, 6' um lignc droitt qui tiz pa�e point entr eux , trouver unieerde quinbsp;touche la ligne droite , amp; qui pajfe par les deuxnbsp;points donnis,

\ , .

� n eft aif� de voir que ft la ligne donn�e pafibit un des points donn�s, Ie centre du eerdenbsp;1. �tcli� feroit dans 1�interfedion K de la perpen- p;nbsp;^'d^iaire CK fur AB , 8t de la perpendiculairenbsp;la ligne CD , coup�e en deux �galement

riStj Recreations Math�matiques. �enfin, par les points C, D , L, traqant nn cerd^�nbsp;il r�fouclroit Ie probl�ine. Mais cette folutionnbsp;roit einbarraflante lorfque Ie point M fe trouveto'*-fort �loign�, au lieu que cela eft indiff�rentnbsp;la premiere,

Daix lignes AB , CD, �tant donnics, amp; un E entn deux, tracer un eerde pajfantpar cepo^^^nbsp;amp; touchant ces deux lignes.

PI- 3, Si les deux lignes concourent enfemble , coH'quot;�� %� -4- en F, tirez la ligne FH, qui partage en deux

lement 1�angle BFD, ou , fi elles font parallel^� � celle qui, comme FH, eft �galement �loign�enbsp;lig. 25' Funs ^ de 1�autre ; enfu'rte tirez du point E la

pendiculaire EGI a FH ; faites GI �gale a GE: 1^* points I amp; E feront tels que, traqant par ces de^�'nbsp;points un eerde qui touche 1�une des lignesnbsp;n�es, il touchera auffi 1�autre : ce cjui r�dui^nbsp;probl�me au pr�c�dent.

TH�OR�ME I.

Diverfes d�monjlrations de la quarante-feptlcn^^ premier livre d'Euclide, par deJimples tranfp^^'nbsp;Jitions de parties.

premier coup d�oell, que le quarr� de 1�hypoth�-nufe eft compof� des m�mes parties que les quarr�s ^es deux c�t�s, a cela pr�s qu�elles font diff�rem-^ent arrang�es. En voici quelques-unes.

I. Soit le triangle re�langle ABC , fur les deux p]_ '^�t�s duquel, AC , CB , foient conftruits les quar- fig. �6.nbsp;CG, CD ; fur la bafe AB foient �lev�es lesnbsp;perpendiculaires AI, BH, la premiere ter-^in�e a la rencontre de GF prolong�e , 1�autre anbsp;^^Ile de ED; 8c foit tir�e la ligne IH. On d�mon-d�abord aif�ment que AI 8c BH font �gales anbsp;, enforte que AIHB eft le quarr� de la bafe AB.

^ar il eft aif� de voir que le triangle BHD eft ^gal 8c feriiblable au triangle BAC, ainfi que lenbsp;^iangle IGA au m�me triangle, BAC; enforte quenbsp;Bh amp; AI font chacunes �gales a AB.

On fait voir auffi facilement, que le petit triangle KEH eft �gal alFO ; enfin, cjue le triangle IKL �ft �gal � AOC.

Or les parties compofantes des deux quarr�s jont le quadrilatere CBHK, le triangle BDH ,

� triangle KHE , le quadrilatere GAOF, 6c le ^tiangle ACO , qu�on va voir �tre les m�mes quenbsp;qui compofent le quarr� ABHI; car le qua-rilatere CBHK eft commun: le triangle BHDnbsp;�ft �gal a BCA, 8c peut �tre fubftitu� 8c tranfpof�nbsp;^ place. Concevez pareillement le triangle ACOnbsp;Port� en IKL ; il reftera dans le quarr� de 1�hypo-ft^nufe le vuide ILA, 8c nous aurons pour lenbsp;j5?�plir le quadrilatere FOAG, avec le trianglenbsp;. H : que ce triangle KEH foit port� en OFI,nbsp;ftjJt lui eft �gal, il complettera le triangle lAG, quinbsp;^gal 8c femblable a lAL : d�o� il fuit que lenbsp;i^arr� de 1�hypoth�nufe eft compof� des m�mesnbsp;^rties qui compofent les deux quarr�s des c�t�s�

�enfin, par les points C, D , L, trawant iin cercJ^gt; il r�fouclroit Ie probl�me. Mais cette folutionnbsp;roit einbarralTante lorfque Ie point M fe trouveroi*^nbsp;fort �ioign�, au lieu que cela eft indiff�rentnbsp;Ia premiere.

Dctix lignes AB , CD, �tant donn�cs, amp; un E entre deux, tracer un eerde pajjantpar cenbsp;amp; touchant ces deux lignes,

PI. 3, Si les deux lignes concourent enfemble , coin'�� %� '4- en F, tirez la ligne FH, qui partage en deux

lement 1�angle BFD, ou , fi elles font parallel^^ � celle qui, comine FH, eft �galement �loign�enbsp;1�une amp; de 1�autre ; enfuite tirez du point � lanbsp;pendiculaire EGI a FH ; faites GI �gale a GE-'nbsp;points I amp; E feront tels que, traqant par ces d^a^nbsp;points un cercle qui touche Tune des lignes do�?nbsp;n�es, il touchera auffi 1�autrenbsp;probl�me au pr�c�dent.

TH�OR�ME I.

Diverfes dimonjlratlons de la qxiarante-feptient^^^ premier livre d'Euclide,, par deJirnples tranfp^^'nbsp;Jidons de partus.

quot;ED, EGN , NFA , qui, pris enfemble , font ^gaux anx deux reftangles ci-deffus , puifque cba-de ces triangles eft la moiti� d�un des reftan-Sles. L�exc�s du quarr� FD fur les deux quarr�snbsp;c�t�s du triangle reftangle ACB , eft done Ienbsp;^�me que fur Ie quarr� de 1�hypoth�nufe; donenbsp;quarr�s celui de l�hypoth�nufe font �gaux ;nbsp;des quantit�s qu�une troifietne excede �gale~

Voici maintenant quelques propofitions qui ne ^pnt que des g�n�ralifations de la quarante-fep-^gt;eme d�Euclide amp; d�ou cette propofition fa-*^eufe fe d�duit comme un fimple corollaire.

TH�OR�ME II.

fur chacun des c�t�s d'un triangle ABC, decrit un quarr� ; que d�un des angles , comme B, fig, j8. aj�nbsp;on abaifje une perpendiculaire BD , fur Ie c�t�nbsp;oppof� AC; quon tire enfuite les ligrtcs BE, BF^nbsp;de manitre que les angles AEB , CFB, foientnbsp;^gaux a rangle B ; enfin, que des points Famp; Enbsp;paralleles EI, EL, au c�t� CG dunbsp;quarr�, on aura Ie quarr� fur AB �gal au reclan^nbsp;gle Af G Ie quarr� fur BC �gal au rectangle CL:

Wangle EL fi l�angle B efl obtus , amp; plus ce m�me Rectangle Ji l'angle B eji aigu,

fgt;ai)gie abc , puifque 1�angle A eft coinmun , Sc 1�angle AEB eft �gal a l�angle ABC : conf�-d^^mment on a cette proportion entre les c�t�s ^

ic)0 Recreations Math�matiques. que Ie reftangle de AC X AE, ou de AEx AHnbsp;eft Ie m� me, puifque AH=AC, eft �gal au quarr�nbsp;de AE.

Af ais il eft aif� de voir que ft Eangle B eft obw^� la ligne BE tombe entre les points A amp; D , amp;nbsp;ligne BF entre C amp; D; que c�eft Ie contraire s'nbsp;eft aigu, amp; que ces deux lignes fe confondent ave^-la perpendiculaire BD, lorfque l�angle B eft droif-Done, dans Ie premier cas , il eft �videntnbsp;la fomme des quarr�s des cot�s eft moindre qtisnbsp;Ie quarr� de la bafe , fcavoir de la quantit� du reC'nbsp;tangle EL;

Enfin que, dans }e cas du triangle re�tangl^ en B , Ie re�langle EL devenant nul , Ianbsp;des quarr�s des cot�s eft �gale a celui de la baft �nbsp;ce qui eft une g�n�ralifation tr�s - ing�nieuftnbsp;fameu.x th�or�ine de Pythagore.

fig. 30. AC fait dccrit U parall�logramme quekoti^^t CE , amp; fur k c�t� AD Ie parall�logrammenbsp;quelcojique BF; que les cot�s DE , KF,nbsp;prolong�s jufqud leur concours en H,nbsp;point j'oit tir�e la ligne HAL , amp; prifa LMnbsp;ft Ha ; qu oji finiJJe enfin Ie parAl�logramrne C ^nbsp;fiur lu baj'e BC amp; dans l�angle CLM: ce fanbsp;rall�logramme fera �gal aux deux CE ,

Prolongez NC amp; OB iufqii�a leur renconf'^ enR �c P, avec les c6t�s KF DE des pagt;^

Cela fait, puifquc CR amp; HA font paralleles Sc �^omprifes entre m�mes paralleles, fqavoir CA Scnbsp;Bh , elles font �gales : conf�quemment CR eftnbsp;^gale a LM: de m�me on prouvera que BP eftnbsp;%ale a LM : done CR Sc BP font �gales, Sc lanbsp;%ure CRPB eft un parall�logramme �gal a BN.

Maintenant il eft �vident que Ie parall�lo-painme RL, fur la bafe RC , eft �gal au parall�-j^gramme RCAH, comme �tant fur m�me bafe ^ entre m�mes paralleles: de. m�me Ie parall�lo-S^amme AGDE=ACRH, comme �tant furnbsp;�^�nre bafe entre m�mes paralleles: done Ie pa-^^ll�logramine ACDE=;RCLG.

On prouvera de m�me que Ie parall�logramme gt;vFA=:PGLB : conf�quemment les deux paral-�logrammes CE, BF, font �gaux enfemble anbsp;^PRC , OU fon �gal CNOB.

C O R O L L A I R F..

fera alf� a tout ledleur un peu g�ometre, de que cette propofition affez ing�nieufe n�eftnbsp;g�n�ralifation de la fameufe propofitionnbsp;quan�s des deux cot�s du triangle recfan-� compar�s au quarr� de 1�hypoth�nufe. Ennbsp;fiippofons Ie triangle BAC re�langle en A,nbsp;^ les deux parall�logrammes CE, BF, foientnbsp;; on trouvera bien aif�ment que Ienbsp;f� ' parall�logramme BN fera aufli un quarr�,nbsp;5 celui de l�hypoth�nufe : done , en vertunbsp;*'^iei-^ '^�^quot;'onftration pr�c�dente , ces deux pre-

TH�OR�ME IV.

Dans tont paralUlo^ramim, la fommz des qnaTtt^ des quatre c�t�s ejt �gale d celle des quarr�snbsp;des diagonaks.

IL n�y a aucune difficult� a Ie prouver pour !f* parall�logrammes reftangles ; c�eft une fuite eviquot;nbsp;dente de la fameufe propri�t� du triangle rectangle.

PI ^ Soit done Ie parall�logramme oblique ABCP � fig. 31�dont les diagonales font AD, BC; d�un angle

abaiffez fur la diagonale CB Ia perpendiculair^ AF, vous aurez par la 1propofition du Livre *nbsp;d�Euclide, Ie quarr� de AB �gal au quarr� de �nbsp;plus Ie quarr� de BE, plus deux fois Ie reftang^^nbsp;de FE par EB ; on a aufli Ie quarr� de AC �gal anbsp;fomme des quarr�s de AE, EC , moins deuxnbsp;Ie re�langle de FE par EC, qui eft �gal a celui onbsp;FE par EB, a caufe que EB eft �gale a EC : dof^nbsp;la fomme des quarr�s de AC , AB, eft �galenbsp;d�ux fois Ie quarr� de AE, plus celui de EB ,nbsp;celui de EC , ou deux fois Ie quarr� de AE, Pnbsp;deux fois celui de BE.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Mais les quarr�s de BD, DC, font ceux de AB, AC, a caufe de 1��galit� desnbsp;CD , BD a AB , AC refpe�livement : ain^

4 quarr�s des quatre cot�s feront �gaux a fois Ie quarr� de BE , plus quatre fois celui de lt;nbsp;Or quatre fois Ie quarr� de BE forment Ienbsp;de BC, amp; quatre fois Ie quarr� de AEnbsp;celui de AD : done, amp;c.

Nous aliens terminer cette fuite de th�or�in^^'^ analogues a celui de Ia fameufe propofttio^

I^ans tout quadrllatcrc , quel quit foitla. fommc des quarris des c�t�s ejl �gale d cellc des diagona-les, plus quatrefois Ie quarr� de la ligne qui jointnbsp;les milieux de ces diagonales.

Soit Ie quadrilatere ABCD, dont les deux dia- pi. gonales font AC , BD ; qu�on les fiippofe cmip�es fig. 32.

deux �galement en E amp;,F, amp; qu�on tire la ligne EF : on fait voir que les quarr�s des quatre c�t�s,nbsp;pris enfeinble, font �gaux aux deux quarr�s desnbsp;diagonales, plus quatre fois Ie quarr� de EF.

On fe borne ici a 1��nonc� de ce th�or�me, b'�s-�l�gant amp; tr�s-curieux, qu�on dok, je crois,nbsp;au c�lebre M. Euler. On en trouve la d�inonftra-tion dans les nouveaux M�moires de P�tersbourg ,

T. V; mais elle feroit trop prolixe pour ce lieu-ci, Remarquons feulement que quand Ie quadnla-*ere ABCD devient un parall�logramme , alors lesnbsp;deux diagonales fe coupent en deux �galement;

qui fait que les points E Sc F tombent 1�un fur iautre, amp; Ja ligne EF s�an�antit, Ainfi Ie th�o-^eine pr�c�dent n�efl: qu�un cas de celui-ci.

trois c�t�s d'uri triangle recliligne �tant donn�s^ cn mefurer la. furface , fans rechercher la perpendiculaire abaijf�e d'un des angles furie c�t� oppof�.

PreNEZ la demi-fomme des trois c�t�s du hiangle , retranchez de cette demi - fommenbsp;lt;^bacun des trois c�t�s: cela donnera trois reftes,

qui, �tant multiplies enfemble , amp; le prodult p�*quot; cette demi-fomme, formeront un nouveau pi�'nbsp;duit, dont la racine quarree fera 1�aire cherchee*nbsp;Que les trois cotes foient, par exemple , 5��nbsp;jxo , 150 toifes; la demi-fomine eft 160, la pt^'nbsp;miete difference eft 110 , la feconde 40, la troi'nbsp;Heme 10; le produit de ces quatre nombres eftnbsp;7040000, dont la racine quarree eft 2653 , amp; piequot;*nbsp;de-;^.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

II eft aif� d��prouver que , ft 1�on procedoit p^i les voies ordinaires, e�eft-a-dire en cherchant la-perpendiculaire tir�e cl�un angle fur le cote oppofe gt;nbsp;on auroit eu beaucoup plus de calculs a faire.

Cette m�tbode fournit un moyen facile dc troU' ver le rayon du cercle iriferit dans un triangle doutnbsp;les trois cotes font donn�s: il n�y a qu�a fairenbsp;produit des trois differences de chaque c�t� avecnbsp;la demi-foinme , puis divifer ce produit par cettenbsp;demi-fomine , amp; du quotient extraire la racingnbsp;quarree ; elle fera le rayon cherche,

Ainft , dans Texemple ci-deffus, le produit des ' differences eft 44000 ; ce qui, divife par 160?nbsp;donnenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d��t la racine quarree eft 16-ra?'

P R O B L � M E XVII,

Lorf(Juon arpente un terrain incline, doit~on furer fa furface redk , ou feulcment cellonbsp;occupe dans fa projeciion hori:^ontak ?

Il y a de tr�s-fortes raifons pour ne mefutcr 1* furface d�un terrain que dans fa projedion hot�'

determiner la quantite des produdlons que peut �tonner un terrain, ou des conftruftions qu�on peutnbsp;�lever deflTus. Or il efl evident que les arbres, lesnbsp;plantes, s�elevant toujours perpendiculairement anbsp;^�horizon , il n�cn tiendra pas davantage fur unnbsp;plan inclin� que fur le plan horizontal qui lui r�-Pond perpendiculairement au deffous. De inemenbsp;On n�elevera pas plus de batiments fur un terrainnbsp;incline que fur celui de fa projeftion horizontale,nbsp;Pareeque les murs d�un edifice ne peuvent s�elevernbsp;que verticalementil y a feulement un pen plusnbsp;de fujetion a batir �fur un pareil terrain que fur unnbsp;terrain horizonfal.

Une autre raifon, e�eft qu�en general les terrains luclinesont, proportion gard�e avee leurs voifinsnbsp;horizontaux , moins de terre v�g�tale, puifque lesnbsp;pluies en entrainent toujours une partic , pour lanbsp;depofer fur les terrains qui font au deflbus; amp; ilsnbsp;figt;nt conf�quemment hors d�etat de nourrir unenbsp;^ufli grande quantite de produftions que les autres.

Ces deux raifons ne permettent pas de fe refufef � reconnoitre que , dans ces cas-la, on devroitnbsp;ttrefurer feulement la furface horizontale., amp; nonnbsp;^afurface reelle ou inclinee, a moins que ces con-^derations n�entrent enfuite dans I�eftimation dunbsp;Prix; ce dont je doute fort.

C�est prlhcipalement dans les defcriptlons to-^�graphiques de pays montagneux qifil faut avoir attention a reduire tout au plan horizontal; car,nbsp;^ttppofons qu�on alt lev� les details d�un pays , amp;nbsp;dans le penchant d�une montagne un pen

19^ Recreations Math�matiques. roide on ait pris les diftances r�elles, Sc non cell^nbsp;reduites a 1�horizon entre les divers lieiix qu�on �nbsp;voulu placer fur fa carte, il fera impoffible , loyquot;nbsp;qu�on voudra les placer fur cette carte, de fait�nbsp;accorder fes inefures. En efFet, c�eft comirie nnbsp;I'on vouloit rapporter, fur le plan ou la bafe d�vi^nbsp;pyramide, les triangles que forment fes cotes i'quot;*'nbsp;clin�s. Cela eft impoffible : amp; , ft on commentsnbsp;par y coucher un des triangles de fes faces, tou*nbsp;les autres ne peuvent �tre que faufteinent rept^'nbsp;fentes.

Je ne fqais ft les ing�nieurs g�ographes font d oC' dinaire attention a cela. J�ai lieu de croire qu�nbsp;non; car j�ai vu des livres de ce genre, oii ilnbsp;paroitpas qu�on fe doutat feuleinent de la neceflit^^nbsp;d�une pareille r�du�fion. Elle n�a pourtant p3*nbsp;�chapp� a M. I�abbe de la Grive, qui donnenbsp;maniere de la faire, en einployant la trigonoin^'nbsp;trie recliligne; inais fa m�thode , qui fe pr�feii^nbsp;au refte du premier coup d�oeil, exige la connoif'nbsp;fance des c�t�s inclin�s, Sc emploie plufieurs aria'nbsp;logies : c�eft pourquoi M. Mauduit a donn�, dati*nbsp;fes Legons de G�omitrie iliior�que amp; pratique., d ^nbsp;fage des Eleves de VAcad�mie d'Architecltire, t'f*nbsp;moyen beaucoup plus fimple Sc plus ing�nieux'-En elfet , au moyen de cjuelques conful�ratio*'*!nbsp;de trigonom�trie fph�rique, il r�duit tout le caRt�nbsp;a une feule analogie, Sc n�a befoin que de lanbsp;noilfance des angles de pofition Sc de ceirfnbsp;hauteur. Nous invitons a recourir a ce livre,nbsp;cellent a-la-fois pour la th�orie Sc la pratique �nbsp;qui contient beaucoup plus qu�on ne trouve daR�nbsp;les livres ordinairqs d��l�ments.

�iviSEZun c�t� clechacun des quatre quarr�s, PI- 15, A,B,C,D, en deux �galement, amp;tirez , d�un fig. 123,nbsp;angles contigus au c�t� oppof� , une lignenbsp;^roite a ce point de divifion ; coupez enfuite cesnbsp;^[Uatre quarr�s par cette ligne, ce qui les partageranbsp;'^Itacun en un trapeze amp; un triangle, commel�onnbsp;''oit dans la fig. izj, n� i.

Arrangez enfin ces quatre trapezes amp; ces quatre ^'�langles autour du quarr� entier E , comine vousnbsp;voyez dans la fig. i2j, n� a; vous aurez unnbsp;^�arr� cvideinment �gal aux cinq quarr�s donn�s.

�^ri pourra former un feul amp; unique quarr� de ^3nt de quarr�s que 1�on voudra. Car, de tant denbsp;[l^iarr�s qu�on voudra , on peut former un quarr�nbsp;; or on va enfeigner dans Ie probl�me quinbsp;comment �n quarr� long quelconque peutnbsp;r�folu en plufieurs parties qui foicnt fufcep-fibles d��tre arrang�es de maniere a former un

reclangU quelconque �tant donn�, k transformer , par une fimpk tranfpofition de partus , en un quarr�.

^ OiT Ie re�langle ABCD donn�. Pour Ie 'iper en plufieurs patties qui puiflTent s�arrangernbsp;quarr� parfait, clierchez d�abord la moyenne

proportionnelle g�om�trique entre les cAt�s BA� AD de ce reftangle ; faites A E �gale 4 cettsnbsp;moyenne proportionnelle, amp; tirez EF perpendi'nbsp;culaire a AE ; cette ligne EF coupera AD ennbsp;point F, lequel tombera 011 au-dela de D, a 1^'nbsp;gard du point A, ou fur Ie point D m�me,nbsp;entre D amp; A: ce qui forme trois cas, dont Ie det'nbsp;nier m�me fe fubdivife en deux ; mais l�un d�ct!^nbsp;�tant bien compris, ne laifle plus aucune dilBcub^^-pour les autres,

P). 15, Premier Cas. Soit done premi�rement Ie point t* %� 1^4 j au-dela de D, commel�on voit dans laA�g. ;24,n��^nbsp;nquot; I amp; 2.]jgne EF coupera CD en un point L : faites

�gale a DL , amp; tirez GH perpendiculaire a AE� elle rctranchera du triangle ABE Ie petit triang^^nbsp;AGH.: coupez enfin Ie re�fangle donn� ACnbsp;quatre parties, fuivant les lignes AE, EL Sc GH �nbsp;il en r�fultera quatre parties , fqavoir , Ie trape^^^nbsp;AELD, Ie triangle ECL, Ie trapeze GBEH, ^nbsp;petit triangle AGH, que nousmommerons refpe^'nbsp;tivement ^ , c , arrange?, enfin ces quatr�nbsp;morceaux comme vous voyez dans la fig. 1^4�nbsp;n� z, amp; vous aurcz un quarr� parfait.

La d�monftratlon eft facile a trouver , en cof' Ed�rant, dans ;24, n� i , Ie quarr� faitnbsp;AE, fqavoir; AEKI; mais, avanf tont, il fautnbsp;montrer que li Ton tire AI parallele a EF, amp; P�Enbsp;Ie point D la piarallele KI a AE, Ie re�langlenbsp;eh r�fultera , AEKI, fcra un quarr�. Or c�cBnbsp;qui efi: tr�s-facile ; car, prolongeant IK jufqu�*nbsp;rencontre en P avec BC prolong�e , on a �vide^t^nbsp;ment Ie reftangle AEKI �gal au parall�lograi^�^^

AB par AD; d�o� 11 fuit qu� AE par Al eft AB X AD : mais Ie quarr� de AE eft �gal a A

^ LM parallele a AE; puis , des points M amp; G, f'tez a AD amp; AE les perpendiculaires MN ScGH:

eft �vident que Ie triangle AMN eft �gal amp; fem-^^abie a ELC : de m�me Ie triangle AGH eft �gal ^ Temblable a DLK.: enfin Ie trapeze BEHG eftnbsp;��al amp; feinblablc a NDIM; car BE eft parallelenbsp;�gale A DN, BG a MN , Dl a EH , amp; MI anbsp;Les qiiatre parties AELD , ECL, BEHG,

7LK , qui compofent Ie quarr� AEKI, ou fon �gal, celui de la m�me figure, n� a: done , Stc.

. Second Cas. Si Ie point F tomboit fur Ie point ^ �gt; la folution du probl�me ferdit extr�mementnbsp;5cile ; car alors Ie triangle d deviendroit nul, pj_nbsp;�*^ifque DL ferolt nulle; ainft Ie quarr� �gal au fig. 124.nbsp;quot;�'ftangle feroit compof� du triangle AED ree- nquot; 3.nbsp;^'^�tgle amp; ifofcele , amp; de deux autves trianglesnbsp;reftangles amp; ifofcelcs , ABE , CDE, �gauxnbsp;^''^f�eiix amp; a la moiti� du premier: ce qui nenbsp;l''^�fente auciine difficult� pour ctre arrange ennbsp;'1'^arr�. Ce cas en eftet ne peut avoir lieu, quenbsp;l^^ud Ie cot� AB eft pr�cif�ment la moitie denbsp;�� Ie rectangle AC eft done alors compof� denbsp;quarr�s �gaux. Or on fqait comment de deuxnbsp;^^arr�s �gaux on en forme un feul.

jj quot;^roifame Cas.S'jppo(om pr�fentement Ie point ,2j, p^mber entre A amp; D , mais en telle forte quo nA.nbsp;� moindre que EB. Faites, dans ce cas, EGnbsp;^Me a FD , amp; tirez GH perpendiculaire a AE ;nbsp;aurez Ie re�tangle AC partag� en quatre patquot;

Ie trapeze ABGH, amp; enfin Ie triangle EGH, nous nommerons encore refpeiflivementnbsp;PI. 15, Le reftangle �tant d�coup� en ces quatre parties?

n� 2 , amp;c l�on aura un quarr� parfait: ce qiu ei�-encpre facile a d�montrer.

Si FD �toit pr�cif�ment �gale a EB., il eft �vi' dent qu�au lieu du trapeze ABGH, on auroit ut*nbsp;triangle AB/t; enforte que le quarr� a compofe*^nbsp;feroit form� de trois triangles amp; d�un trapeZ�nbsp;ECDF, comme on voit dans \^fig. 126, n� 2.

Si FD exc�doitEB , amp; �toit pr�cif�ment �gal^ a AF, alors il faudroit tirer DM parallele a EF; ^nbsp;le reftangle �tant coup� felon les lignes AE , Elquot;nbsp;amp; MD , qui formeroient trois triangles amp; un pZ'nbsp;rall�logramme ED , on les arrangeroit comin^

Pl. 16, On peut fuppofer enfin que la hauteur AD fig- r2.6. reftangle propof� , foit telle qu�ayant fait la coni'nbsp;truftion g�n�rale enfeign�e au commencement denbsp;lafolution, laligne FD excede la ligne AF, tquot;*nbsp;en foit multiple tant de fois qu�on voudra, ave^nbsp;OU fans refte. Dans ce cas, pour r�foudre le prf'nbsp;hl�me , prenez autant de fois que vous le pourreZ�nbsp;Ja ligne AF fur FD. Pour fimplifier, nous fiippe*'nbsp;ferons ici que la premiere n�eft contenue dansnbsp;feconde qu�une fois avec le refte LD. Tireznbsp;parall�lement a EF; vous aurez le parall�lograim^�nbsp;LMEF, que vous pourrez ranger en FANO : falt�^nbsp;enfuite EG �gale i DL , amp; tirez GH perpendic'''nbsp;laire a AE; coupez enfin le re�fangle ABCD P^''nbsp;les lignes AE , EF, ML , GH, dans ces cinq

c e: ces cinq parties s�arrangeront en un PL if, Starre parfait, ainfi qu�on Ie volt dans Ie quarr�fig- 1^5�nbsp;�AIKE , form� du triangle , du parall�logramme 3*nbsp;des trapezes c amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp; du petit triangle e. ,

II faudroit fix parties, dont deux parall�logram-^es,comme b, � AF �toit coutenu deux fols en

On pourra , vice versa, amp; par une forte de Piarche retrograde, r�foudre Ie probl�me fuivant.

quarr� kant donn�, Ie couper en q ^6^ 6*, amp;c. parties dijfemblables entr elles , amp; qui puijfentnbsp;par leur arrangement former un rectangle.

C^u�iL s�agilTe d�abord de divifer ce quarr�, par PI. i?, exeiiiple {fig. iz6,n� 1) AEKI , en quatre par-fig-ties fufceptibles d�un pareil arran,gement. Pour eetnbsp;^ffet, fur Ie COt� EK de ce quarr�, prenez EF plusnbsp;grande que la moiti� du c�t� EK , amp; tirez AF ;

Paites AO �gale a EF, amp; tirez OM parallele' a �^F ; enfin, du point o� OM rencontre IK , tireznbsp;perpendiculaire a AF; les quatre parties cher-t^h�es feront les triangles AEF, OMI, amp; les deuxnbsp;trapezes AOMN, MNFK, qui s�arrangeront, fi onnbsp;veut, demaniere a former Ie re�fangle ABCDjnbsp;qui fera �vident a quiconque aura compris lanbsp;Solution du probl�me pr�c�dent.

Si vous voulez cinq parties, prenez EF telle ^tr�elle foit contenue dans EK deux fois , avec unnbsp;tefte quelconque ; que ces parties de la ligne EKnbsp;foient EF, FO, amp; Ie refte OK ; tirez AF; ^nbsp;prenant AN, NP , �gales cbacune aEF, tirez NO, %� ia6,

PQ, paralleles a AF , dont la derniere rencontrer^ le cote K1 en Q; de ce point menez la perpend*'nbsp;culaire QR fur NO: vous aurez deux triangl^^ tnbsp;un psrallelogramme amp; deux trapezes, qui ferontnbsp;�videmment fufceptibles de former un quarre longnbsp;tel que AECD , pmfque ce font Ics memes partiesnbsp;dans iefquelles on pourroit partager ce quartonbsp;long, pour en former , par leur tranfpofition ,nbsp;quarre A^EKI: done, Sic.

Tranfpojition dc laquzlk fembk refultcr que Ic tout peut �tre �guL d la panie.

% 127, les longs cotes foient de onze parties, amp; ies petits de trois , amp; vous le diviferez en quarr�s �gaux pafnbsp;des paralleles tir�es par chaqiie point de divifion�nbsp;'v � comme on voit dans la fig. t2p,n^ i; ce qui don'nbsp;nera 3 3 quarr�s �gaux amp; femblables.

Menez enfuite , par les angles diagonalement oppof�s, la diagonale AB ; enfin coupez ce paral'nbsp;l�logramme felon les lignes EF, GH , amp; la diagO'nbsp;nale BA : vous aurez quatre pieces, qui, aflein'nbsp;blees comme dans Idfig. i2p, nquot; i, donnerontnbsp;quarr�s.

Fig. 127, Mais fi voits les affembtez de forte que la lign� �� 2amp;; 3. ah joigiie la ligne BF, amp; que les deux triangle�nbsp;BHG, EFA, forment un re�langle, yous aureznbsp;quarr�s au lieu de 33.

Mais non; rillufion eft aif�e k d�coiivrir; nar 11 eft facile de voir que tous les quarr�s traverlquot;'^*nbsp;par les lignes de r�union obliques AH , AB,nbsp;moindres cbacun de -77 en hauteur que les autres-

Or il y en a 11 qui font ainfi traverf�s ; par con-f�quent il n�eft pas forprenant que Ton en trouve de plus.

Cette fopercherie , il faut en convenir, eft aflez puerile aux yeux d�un g�ometre ; mais eneore eft-^lle plus adroite que celle de M. G***;car, ennbsp;faifant avec lui les longs cotes du reftangle de dixnbsp;parties, les quarr�s traverf�s par les lignes de reu-*iion fe trouvent manquer en hauteur d�un cin-^uieme jufte de leur largeur; ce qui ne permetnbsp;plus, merne a I�ceil le moins exerc�, de les prentte pour des quarr�s parfaits femblables aux au-ftes; mais quand il ne leur manque qu�un onziemenbsp;^ans une de leurs dimenlions , il eft difficile denbsp;'gt;en apperceyoir.

C�est, a ce que je crois, par une femblable �ubtilit� qu�un certain M. Liger pretendoit d�mon-que deux fois 144 ou a88 �galoient 289,nbsp;^Uarr� de 17 gt; d�o� il concluoit que le quarr� denbsp;^7 �toit �gal a deux fois le quarr� de ii, amp;c quenbsp;^7 �toit la valeur pr�cife de la diagonale du quarr�nbsp;. �yant 12 de c�t�. On ne peut fe perfuader qu�llnbsp;7 ait des cerveaux fufceptibles de pareilles abfur-

^f^E ligne eft divif�e en moyenne amp; extr�me 1^�lon, lorfque la ligne entiere eft a un des feg-^'ats de fa divifion , comme ce fegment eft aunbsp;^ lant de la ligne. Un grand nombre de probl�mesnbsp;luinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;le r�duifent a cette divifion; ce qui

zieme fiecle, le nom cle fcBion divine. Sans adopquot;* ter vine denomination auffi emphatiqiie, voicinbsp;folution du probldme.-

PI. 4, Soit la ligne AB a divifer en moyenne amp; fig. 33. treme raifon. Faites BC perpendiculaire a fon

tr�mit� , amp; �gale a la moitie de AB ; tirez Atgt;� amp; prenez CD �gale a CB; faites enfuite AE �gal^nbsp;au reliant AD : la ligne AB fera divif�e coniR^�nbsp;on le demande, amp; on aura ce rapport, AB a AEgt;nbsp;comme AE a EB.

PI. 6, i. ah �tant divif�e en moyenne amp; extr�me rai^ %� 345 fon, 11 on lui ajoute fon grand fegment, alors oRnbsp;a une ligne be pareillement divif�e en,moyenne ^nbsp;extr�me raifon en enforte que bc ell '^ ba comiR�nbsp;ha a ac.

2. Si, �rr �tant divif�, comme on 1�a dit, en Fig. 34, on fait cd �gale au petit fegment bc, alors on aur^nbsp;ca divif�e de la m�me maniere, c�ell-a-direnbsp;ca fera a cd comme cd a da.

Sur uhe bafe donnie , d�crire un triangle reBan$^^ tel que les trois c�t�s foient en proportionnbsp;continue.

PI. 5,^UR la bafe AB foit d�crit un dcmi-cerd^� fig. 35.puisfoit AB divif�e en moyenne amp; extr�me raif^'.'nbsp;en C foit �lev�e la petpendiculaire CD ?nbsp;qu�a fa rencontre avec le eerde en D; qu�onnbsp;enfin les lignes AD amp; DB: le triangle ABD der*nbsp;celui qu�on cherche ; amp; il y aura m�me rappr^Jifnbsp;de AB a AD, quade AD a DB, Ce qui eftnbsp;a d�montrer.

PROBLEM^

^tux hommes qtii courent �galement bien , parient CL qui arrivera Ic premier de A en B, aprls avoirnbsp;�t� toucher Ie mur CD, On demande quelle routenbsp;on doit tenir pour gagner Ie pari.

�l eft aif� de Voir qu�il faut pour cela trouver la PI. 5� Pofition des lignes AE, EB, telles que leur fomme %� 3^�nbsp;�it moindre que celles de toutes autres, commenbsp;e B, Or on d�montre que cette fomme eft lanbsp;iJ'oindre poflible, lorfque l�angle AEG eft �gal anbsp;^ngle BED.

Car concevez la perpendiculaire AC men�e fur , amp; prolong�e enforte que CF foit �gale anbsp;^c, amp; tirez EF,EB; les angles AEC, CEF,

'^font �gaux. Mais AEC eft �gal a BED par la '^Ppofition: done les angles C�F Si BED Ie fe-*�nt auffi : d�o� il fuit que CD �tant une lignenbsp;j��nite, FEB en fera a�fli une. Mals BEF eft �galenbsp;� �EjEAjprifes enfemble, comme Be amp; cF Ie fontnbsp;'* Si e A : Ie chemin BEA fera done plus courtnbsp;tout autre B^A, par la m�me raifon que BFnbsp;plus courte que les lignes Be, �F.

1 Pour trouver done Ie point E , 11 faudra tirer perpendiculaires AC , BD , a la ligne CD;nbsp;divifer CD en E, de forte que CE foit k

point, un eerde amp; iine ligne droite �tant donnes pojition , d�crire un eerde pajfant par Ie pointnbsp;Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(S* tangent au eerde amp; dia ligne droite,

centre du eerde donn� foit tir�e la per- Fig. 'culaire BE a la ligne donn�e ^ Si qu�ellenbsp;Tom� I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V

coupe Ie eerde en B amp; F; foit encore tir�e BA point donn� A; qu�on prenne enfuite BG ,nbsp;trieine proportionnelle a BA, BE, BF: parnbsp;points A Sc G, foit d�crit un eerde qui touchenbsp;ligne CD: il touchera auffi Ie eerde donn�.

PI. 5, La conftrudion fera la m�me, fi Ie point A fig. 38. au dedans du eerde; dans lequel cas il eft �vi�^'?*'nbsp;que la ligne qui doit �tre touch�e par Ie cerej�nbsp;cherch�, doit auffi entrer dans Ie eerde dont'*^.'nbsp;il y aura m�me, dans ce cas, deux cerclesnbsp;r�ioudront Ie probl�me , comme on Ie voitnbsp;la figure 38.

Deux eertks amp; unt ligne droite �tant donnis, un ce.rclc qui les touche tous.

C E probl�me eft �videmment fufceptible de fieurs cas , car Ie eerde tangent a la ligne dro^*^^nbsp;Fig. 39. peut renfermer les deux cercles, ou un feul, oU ^nbsp;laiffier tous deux dehors; mais, pour abr�ger,nbsp;nous bornerons au dernier cas , laiflant les

a la fagacit� de nos ledeurs , qui *iauivy.-heaucoup de pelne a les r�foudre f apr�s aV bien conqu la folution du dernier.

Soient done les deux cercles, dont les font CA, ca, donn�s, ainfi que la lignenbsp;pofition. Prenez, dans Ie cas que nous traitofs ^nbsp;fur Ie rayon CA, la portion AO �gale a r ^nbsp;tracez du rayon CO un nouveau cerclei^c^nbsp;aulft au-dela de DE une ligne de parallele inbsp;amp; qui en foit �loign�e d�une quantit� �gale a ^nbsp;tracez enfuite par Ie probl�me ci-deffus unnbsp;qui pafte par c, amp;: qui tguche Ie eerde au

Sc la ligne droite de; que Ie centre de ce �^ercle foit B; diminuez fon rayon de la quantit�nbsp;OU ca: Ie eerde d�crit avec ce nouveau rayonnbsp;^�ra �videmment tangent.aux cercles donn�s,nbsp;qu�4 Ia droite DE.

quot;�^Ue , une m�thode g�n�rale pour l�infcription fig. 40. ps polygones r�guliers au eerde, que void. Surnbsp;� diametre AB du eerde donn�, d�crivez unnbsp;^'angle �quilat�ral, amp; partagez ce m�me diame-. � en autant de parties �gales que Ie polygone de-5nd� doit avoir de c�t�s; enfuite, du fommet Enbsp;triangle par 1�extr�mit� c de la feconde divi-, tirez la ligne Ec , que vous prolongereznbsp;^jqu�a la circonf�rence du eerde en D : la cordCfnbsp;fera, difent-ils, Ie c�t� cherch� du polygonenbsp;'�tferire.

ne parle ici de cette pr�tendue m�thode , pi^^.^Pour dire qu�elle eft d�fedueufe, amp; n�a jamaisnbsp;Ca ^1�ouvrage que d�un ignorant en g�om�trie ;

'1 eft aif� de d�montrer qu�elle eft fauffe, k lorfqu�on 1�applique ^ la recherche des po-pjSories igj plusfimples, de l�odogone , par exem-tfj ' En effet, on trouve aif�ment, par Ie calculnbsp;^^Sonom�trique, que l�angle DCA , qui devroitnbsp;45�, eft de 48� 14'; d�oh il fuit que lanbsp;n�eft pas Ie c�t� de l�oftogone inferir.

y a de polygones r�guliers infcriptibles g�o-'^�ftuement amp;: fans tatonnement, au moyen de

I nbsp;nbsp;nbsp;Vq

la regie amp; du compas, que Ie triangle, amp; les poiy' gones riui en d�rivent en doublant Ie noinbre de*nbsp;c�t�s , comme l�exagonejle dod�cagone,

Le quarr� , amp; les polygones qui en d�riveiil ^ Ia m�me maniere, comme l�oftogone , le f�de^^nbsp;gone, amp;c.

Le pentagone, amp; ceux qui en d�rivent, le d�cagone , le 20-gone , amp;c.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

Les autres, tels que l�eptagone , renn�agon^� l�end�cagone , amp;Cc. ne f(^auroient �tre d�critsnbsp;, le moyen feul du compas 6c de la regie , faR*nbsp;tonnement; 6c tous ceux qui ont cherche anbsp;faire y ont �cliou� , ou n�ont enfant� que des Pnbsp;ralogifmes ridicules.

Void en peu de mots la maniere de d�ef*^^ g�om�triquement dans le eerde les cinq po^X^^nbsp;nes primitifs qu�on peut y inferire avec laregl*^nbsp;le compas.

Pt. 5, Soit le eerde ABDE , partag� en quatrepa^^^ %� 41- �gales par les deux diametres perpendiculairesnbsp;DE; foit partag� le rayon CD en deuxnbsp;ment en F , amp;c foit tir�e OG parallele a dgnbsp;ligne EG fera le c�t� du triangle inferit, aif*'*

Sr 1 on fait EH egale au rayon, on que ce fera le c�t� de 1�exagone.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^0^

Partagcz en deux �galement au point 1 CA , 6c tirez EI; faites IK �gale a IC, ��-^rnbsp;EL �gale au reftant EK : ce fera le c�t� du � ^nbsp;gone; 6c en prenant 1�arc LM �gal a l�arcnbsp;aura EM pour le c�t� du pentagone.

Divirez enfin en deux �galemcnt en N l�arc Om , qui eft la dilF�rence de l�arc du pentagonenbsp;^vec celui du triangle, amp; tirez la droite ON ; cenbsp;Ie c�t� du pent�d�cagone ou du polygone denbsp;*5 c�t�s.

L�EptAGONE eft fufceptible d�une conftruftion �'On-g�om�trique, mais approxiin�e , qui eft afieznbsp;^eureufe , amp; qui m�rite par cette raifon d�etrenbsp;'^onnue : la voici. Pour inferire dans un eerdenbsp;'^onn� un eptagone , d�crivez d�abord un trianglenbsp;Equilateral, ou du moins d�terminez-en un c�t� :nbsp;moiti� de ce c�t� fera a tr�s-peu de chofe pr�snbsp;c�t� de l�eptagone infcriptible. On trouve ennbsp;^_ffet, par Ie calcul, Ie c�t� du triangle , Ie rayonnbsp;^tant l�unit�, �gal a o, 86601, dont la moiti� eftnbsp;Ee o, 43301, amp; Ie c�t� del�eptagone eft 0,43387;

qui ne dlffere de la moiti� du c�t� du triangle que de moins qu�un 1000*=. Toutes les fois donenbsp;q^�un millieme du rayon du eerde donn� fera unenbsp;q^antit� infenfible, la conftru�tion ci-defllis diff�-^^�a infenfiblement de la v�rit�.

11 feroit a fouhaiter qu�on trouvat, pour tous les ^'^tres polygones, des conftrudions-aufli fimplesnbsp;. aufli approchantes de la v�rit�. Cela n eft pasnbsp;^'^poffible.

PROBL�ME XXVIII.

^^^noijj�ant Ie c�t� d'un polygone d'un nombre de ^^t�s donn� , trouver Ic centre du eerde qui luinbsp;ejl circonfcriptihle.

probl�me eft en quelque forte l�inverfe du Pr�c�dent, Sc eft facile a r�foudre pour les m�mes

V lij

Nous paffons fous filence le triangle, le amp; 1�exagone, paree que les premiers elements onbsp;geometrie fuffifent pour fqavoir comment trouv^'^nbsp;le centre d�un triangle equilateral, d�un quarr^�nbsp;amp; que le cote de 1�exagone eft egal au rayon rn�H'�nbsp;du eerde qui lui eft circonfcriptible.

Ainfi nous commencerons par le pentagofi^' Soit done A B le cote du pentagone cherc^'nbsp;A 1�extr�mit� de AB elevez la perpendiculaire A^gt;nbsp;�gale a j AB ; puis tirez BC , dont vous otei^*nbsp;CE=:A(]; faites enfuite BF=BE; apr�s cela ,nbsp;centre A au rayon AF, decrivez un arc de cercle,nbsp;du point B au rayon BA , un autre arc qui coupd^nbsp;le premier en G : la ligne BG fera la pofttionnbsp;lecond cote du pentagone , amp; les deux perpend^nbsp;culaires fur les milieux de ces c�t�s , donnetof*nbsp;par leur interfedion la pofttion du centre k. ,nbsp;PI. 6, Pour VoBogont. Soit AB , fig. 43 , lenbsp;fig- 43- donne. Decrivez fur cette ligne un demi-cerd^^'nbsp;amp; elevez le rayon CG perpendiculaire amp;nbsp;niment prolonge; tirez le cote du quarr� BG,nbsp;faites CF �gale a la moitie de BG ; tirez lanbsp;pendiculaire FE au diametre; amp; par le point E, ^^nbsp;die coupera le deml-cercle , tirez AE, quinbsp;contrera CG prolong�e en D : ce point Dnbsp;le centre du cercle cherche.

fig� 41. cherchez , comme ft vous aviez a conftrin*�^ j. pentagone, la ligne BF, amp;, des points A amp; B ^ u ;nbsp;le rayon AF, decrivez le triangle ifofcelenbsp;le point h fera le centre du decagone. quot; w,nbsp;PI. 6, Pour k dodicagone amp; les polygones qudeoM^.nbsp;fig- 44-Soit la ligne AB donnee pour le c�t� du p�^^nbsp;gone. Avec un rayon quelconque CDnbsp;cercle, dans leejuel vous decrirez le dodecaj,

Ou Ie polygone demand� : fuppofons que DE en ^oit Ie c�t�; prolongez D E en F, ( fi AB excedenbsp;�E) enforte que DF foit �gale a AB ; tirez CEnbsp;^ fa parallele FG : Ie point o� cette derniere ren-Contrera Ie diametre DHprolong�, fera �videm-jnent Ie eerde , auquel Ie polygone cherch� eftnbsp;infcriptible.

Quoique nous ayons donn� des m�thodes par-hculieres pour Ie pentagone , l�oftogone amp; Ie d�-Cagone, il eft fuffifamment clair que ce dernier ttioyen leur eft �galement applicable.

Terminons eet article des polygones par deux tables utiles; 1�une, qui donne les cotes des polygones , Ie rayon du eerde �tant donn�; 1�autre ,nbsp;qui pr�fente la longueur du rayon, Ie c�t� m�menbsp;du polygone �tant connu. Soit done Ie rayon dunbsp;eerde exprim� par looooo, Ie c�t� du trianglenbsp;inferit fera , a une unit� pr�s, de .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;173205,

du d�cagone . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;61803 ,

Au contraire , que Ie c�t� du polygone foit � 00000 , Ie rayon du eerde fera ,

du pentagone nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;85065,

dans Ie cas de I�exagone . de I�eptagonenbsp;de I�oftogonenbsp;de l�enn�agonenbsp;du d�cagone .nbsp;de 1�end�cagonenbsp;du dod�cagonenbsp;du tr�d�cagonenbsp;du 14-gone .nbsp;du quind�cagone

I L y a long-temps qu�on a d�montr� en g�orne' trie, qu�il ne peut y avoir que cinq corps tenni'nbsp;n�s par des figures r�gulieres, toutes �galesnbsp;elles, amp; forrnant enfeinble des angles �gaux. C�nbsp;font;

Le t�tra'�dre , qui eft form� par quatre triangle� �quilat�raux;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Le dod�ca�dre, form� de douze pentagon^* �gaux ;

On peut fe prendre de deux manieres pour fo��quot; mer un de ces corps r�guliers quelconcpies.nbsp;premiere eft de former d�abord une fphere ^ ^nbsp;d�en retrancber les parties exc�dentes, enforte qW�nbsp;le reftant forme le corps r�gulier chercb�:

^ont Ie proc�d� reffemble a celui qul eft ufit� dans la Coupe des Pierres, confifte a tracer d�abord ,

Itir un plan fait au hafard , une des faces du corps ^lu�on veut former; enfuite a adapter fous desnbsp;Angles determines les faces adjacentes.

1� Le diametre d'une fphere �tant donn� , trouwer les c�t�s des faces de chacun des corps r�-Euliers.

Trouver les diametres des petits cercles de '^ette fphere , ou font infcriptibles les faces denbsp;'�hacun de ces corps.

3� Determiner l�ouverture de compas dont ^hactm de ces cercles peut �tre d�crit fur la fur-l^ce de la m�me fphere.

4� Determiner les angles que font entr�elles es faces contigu�s dans leur commune inter-feftion.

I. Une J'phere �tant donn�e , trouver les c�t�s des ^^ces de chacun des cinq corps r�guliers.

Soit ABC la moiti� du grand eerde de la PI. 6, Pnere donn�e , amp; AC iin de fes diametres. Di- %� 45*nbsp;^'fez le en trois parties �gales , amp; que AI en foit

deux tiers; que IE foit perpendiculaire a ce ^'ainetre , Sc coupe le eerde en E : la ligne AEnbsp;'-quot;ta le eot� d�une des faces du t�tra��dre , 6c 1�onnbsp;pour celui du cube ou de l�exaedre la ligne EC,

* itez enfuite par le centre F le rayon FB , ^^^Pendiculaire a A C , qui coupe le eerde ennbsp;1�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la ligne AB ; ce fera le c�t� de

extr�me raifon , amp; en prenant pour Ie c6t� �u docl�ca�dre Ie grand fegment CK.

Enfin foit tir�e a 1�extr�mit� A du diametre perpendiculaire AG , �gale a AC , amp; menez �unbsp;centre F la ligne FG, qui coupera Ie eerde en H ?nbsp;la ligne AH feta Ie c�t� de 1�icofa�dre.

Le rayon de la fphere �tant loooo, on trouve� par le calcul, le cot� du t�tra'�dre �gal a 16319�nbsp;celui de Texa�die ou du cube, �gal a 11546; cd^inbsp;de l�o�la�dre, I4I4X; du dod�ca�dre, 7713^^nbsp;de l�icofa�dre, 10514.

1. Trouver h rayon du pait eerde de la fpher^ r auquel la face du corps regulier propof� ejl infcrip'nbsp;tible.

On a d�ja enfeign� la maniere de trouver layon du eerde circonfcriptible au triangle ,nbsp;quarr� amp; au pentagone, qui font les feulesnbsp;des corps r�guliers: ainfi le probl�me eft r�foliinbsp;par-la.

Pour les exprimer en nombres, on fqait que * c�t� du triangle �quilat�ral �tant 10000, le rayo'^nbsp;du eerde circonfcriptible eft 5773 ainfi le cot^nbsp;du t�tra�dre �tant 16319 , il ny aura qu�anbsp;oomme 10000 eft a 5773, ainfi 16329 anbsp;quatrieme proportionnelle, qui fera 9416.

On trouvera de m�me, que le rayon du eerde ou eft infcriptible la face de l�o�laedre �gt; ^nbsp;8164.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Enfin un calcul femblable montrera que du eerde de la face de l�icofa�dre eft .6070,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

Le rayon du eerde circonfcriptible autout^^� quarr� dont le c�t� eft 10000 , eft , comm^ 1��nbsp;fqait, 7071; ce qui donnera pour le rayon denbsp;face del�exa�dre, 8164.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x

Enfin,Ie c�t� d�unpentagone �tant lOOOO, on a pour Ie rayon du eerde circonfcriptible , 8^06;nbsp;ce qui donne pour Ie rayon de la face du dod�-ca�dre, 6070.

3. nbsp;nbsp;nbsp;Trouver 1'ouverture de campus dont doit �trenbsp;d�crit fur la, fphere Ie eerde capable de recevoir lanbsp;face du corps r�gulier.

Cela eft encore facile ; car , EF �tant Ie rayon PI- 6, du petit eerde de la fphere capable de recevoir %* 4^*nbsp;cette face , il eft �vident que F D eft 1�ouverturenbsp;du compas propre a d�crire ce eerde fur la furfacenbsp;de la fphere. Or FE eft Ie finus de Tangle FCD ,nbsp;qui fera conf�quemment donn� , amp; FD eft Ienbsp;double du finus de la moiti� de ce premier angle;nbsp;ainfi Ton trouvera FD, en cherchant d�abord dansnbsp;les tables Tangle FCD , Ie partageant par la moiti� , cherchant Ie finus de cette moiti�, amp; dou-blant ce finus.

Ce proc�d� donnera la valeur de FD ; pour Ie cas du t�tra�dre , 11742;'pour ceux de Texa�drenbsp;^ deToda�dre, 9192; pour ceux du dod�ca�drenbsp;amp; de Ticofa�dre, 6408.

Tracez un eerde auffi grand que vous pourrez, Fig. 47. ^ d�terminez dans ce eerde Ie cot� du corps r�gulier demand� ; abaiflez enfuite du centre la perpendiculaire fur ce c�t�: ce fera Ie diametre d�unnbsp;l�cond eerde que vous d�crirez. Je fuppofe quenbsp;ee diametre foit AB.

D�crlvez apr�s cela, fur Ie c�t� du corps regulier trouv� , Ie polygone convenable , ou du *gt;ioins cherchez Ie centre du eerde circonfcriptible

a ce polygone, amp;, de ce centre, abaiflez fur Ie c�t� trouv� une perpendiculaire; faites , dans 1�nbsp;fecond eerde ci-deffus, les lignes AD , AC, �gale*nbsp;a cette perpendiculaire : vous aurez Tangle DACnbsp;�gal a Tangle dierch�.

On trouve au refte, par Ie calcul, que eet angle eft pour Ie t�tra�dre, de 70� 31'; pour Texa�dre�nbsp;de 90 ; ( ce qu�on fqavoit d�ja, car les faces dunbsp;cube font perpendiculaires les unes fur les autres)nbsp;pour Tofta�dre , de 109� 28'; pour Ie dod�cae-dre, de 116quot; 34'; pour Ticofa�dre , de 138� iz'-

R�uniflbns toutes ces dimenllons dans une table, o� nous fuppofons Ie rayon de la fphere de 10000 parties.

II eft maintenant facile de tracer, de Tune ou de Tautre maniere, un corps r�gulier quelconquenbsp;demand�.

Premiere Manien. Qu�on ait, par exemple, unS fphere dont on veut former un dod�ca�dre. D�-crivez un eerde dont Ie diametre foit �gal a celuinbsp;de la fphere , amp; d�terminez-y Ie c�t� du dod�ca�dre , OU Ie c�t� du pentagone qui eft une dunbsp;fes faces; Ie rayon du eerde circonferit a ce pu�^'nbsp;tagone, ScTouverture du compas propre a Ie de-

cr'ire fur la fphere. Cela eft facile, par les determinations g�om�triques ci-deflus.

Ou bien, fuppofant Ie rayon de la fphere pro-pof�e de 10000 parties, prenez, fur une �chelle, 6408 de ces parties , qui feront 1�ouverture dunbsp;compas avec lequel vous d�crirez fur la furfacenbsp;de la fphere un eerde, fur la circonf�rence du-quel vous d�terminerez les cinq angles du penta-gone infcriptible; de deux points voifins, avec }anbsp;m�me ouverture de compas que ci-deflus , d�cri-vez deux arcs, dont l�interfedion fera Ie pole d�unnbsp;nouveau eerde �gal au premier; faites-en ainfi denbsp;deux en deux points; amp; vous aurez les cinq p�lesnbsp;des cinq faces qui s�appuient fur la premiere. Vousnbsp;d�terminerez de m�me facilement les autres poles,nbsp;dont Ie dernier, fi l�op�ration eft exade, doit �trenbsp;diam�tralement oppof� au premier. Enfin, de cesnbsp;douze poles, d�crivez deux cerdes �gaux, qui fenbsp;trouveront tous coup�s en cinq parties �gales; ilsnbsp;d�termineront douze fegments de la fphere , qui,nbsp;�tant abattus, laifleront a d�couvert les douzenbsp;faces du dod�ca�dre cherch�.

Seconde Manierc. Pour op�rer de cette feconde maniere , il faut coramencer a d�couvrir dans Ienbsp;bloc propof� une face plane , fur laquelle on d�-crira Ie polygone qui convient au corps r�guliernbsp;demand�; on abattra enfuite fur chaque c�t� denbsp;ce polygone un nouveau plan , inclin� fuivantnbsp;1�angle d�termin� dans la table ci-deflus, ou quinbsp;aura �t� trac� par Ie moyen de la conftrudionnbsp;g�om�trique qu�on a aufli donn�e plus haut: onnbsp;aura autant de faces planes , fur lefquelles on d�-crira de nouveaux polygones, qui auront avec Ienbsp;premier un c�t� commun. Faifant la m�me chofenbsp;fur ces polygones, vous arriverez enfin

^i8 Recreations Mathematiques. nier, qui dolt �tre parfaitement �gal au premier#nbsp;fi Ton a op�r� avec exaftitude.

Obfervons n�anmoins que la premiere m�thod� eft celle qui conduira plus f�rement a la parfaitenbsp;exaflitude.

Si r 'on vouloit former ces corps avec du cartoR OU du papier fort, il faudroit s�y prendre de 1*nbsp;maniere fuivante, qui eft la plus commode.

Tracezd�abord furie carton toutes les faces du corps demand�, fqavoir, les quatre triangles pournbsp;PI. 6,1e t�tra�dre,comme dans la ^8^pl. 6 ; les fixnbsp;%� 48,quarr�s du cube , comme dans la fig, gcj; les buitnbsp;49� triangles �quilat�raux de l�ofta�dre, comme dansnbsp;So; les douze pentagones du dod�ca�dre,nbsp;PI. comme dans la fig. 6i,pl.y ; les douze trianglesnbsp;%� 5ij 52. �quilat�raux enfin, comme dans la fig. vousnbsp;en d�couperez enfuite les bords ; apr�s quoi il feranbsp;aif� de plier les faces dansJeurs cot�s communs,nbsp;de maniere qu�elles fe r�uniflTent toutes : enfin , ennbsp;collant avec du papier fin les cot�s qui fe touchentnbsp;fans fe tenir , vous aurez un corps r�gulier ex�cut�-

Les anciens g�ometres avoient entalT� beau-coup de fp�culations g�om�triques fur ces corps: les derniers livres des Elements d'Euclide n�ontnbsp;prefque que cetobjet. Uncommentateur modernenbsp;d�Euclide (M. de Foix Candalle) a m�me encorenbsp;ench�ri fur ces fp�culations , en infcrivant cesnbsp;corps les uns dans les autres , amp; en les comparantnbsp;fous divers afpe�fs; mais tout cela n�eft plus re-gard� aujourd�hui que comme de vaines recher'nbsp;ches. Elles furent iugger�es aux anciens, par lanbsp;perfuafion ou ils �toient que ces corps avoient desnbsp;propri�t�s myft�rieufes , de, la d�couverte

�luelles d�pendoit rexplication des ph�nomenes les plus caches de la nature. Ils comparoient avecnbsp;ces corps les cl�ments , les orbes c�leftes, quenbsp;fqais-je encore ? Ma�s depuis que la faine phyfiquenbsp;.a pris Ie deffus, l��nergie pr�tendue des nombres ,nbsp;amp; celle des corps r�guliers dans la nature, ontnbsp;�t� rel�gu�es parmi les vifions creufes de 1�enfancenbsp;de la philofophie amp; du platonlfme. Nous pafle-rons, par ces raifons, fous lilence ces Ip�culatiops;nbsp;amp;c nous nous bornerons a un probl�me affez cu-rieux fur Ie cube ou l�exaedre.

Perur un cubamp; d'une ouverture , par laquelle peut pajfer un autre cube �gal au premier.

SI l�on conqolt un cube �lev� fur un de les PI. 7, angles, de forte que la diagonale palTant par cet%- 53-angle foit perpendiculaire au plan qu�il touche,

On conqoive une perpendiculaire abaiff�e fur ce plan , la projeftion qui en r�fultera fera un exa-gone r�gulier, dont chaque c�t� amp; chaque rayonnbsp;fe trouvera ainfi.

Sur une ligne verticale AB , fig, ij , �gale a la diagonale du cube, ou dont Ie quarr� foit triplenbsp;de celui du cube , foit d�crit un demi-cercle , dansnbsp;^equel foit faite AC �gale au c�t� du cube, 8cnbsp;^t) �gale a la diagonale d�une de fes faces; amp;,nbsp;point C, foit abaiflee fur 1�horizontale tangentenbsp;eerde en B , la perpendiculaire CE , qui pafferanbsp;P'Hquot; Ie point D : vous aurez BE pour Ie c�t� amp; Ienbsp;^�ayon de 1�exagone cherch� a bed, fig. 54.

PL 7, exagonale, amp; autour du m�me centre , le quarre %� 54* qui eft la projedion du cube propofe mis fur unenbsp;de fes bafes , enforte que fes dotes foient I�un p^quot;nbsp;rallele amp; 1�autre perpendiculaire au diametrenbsp;on peut d�montrer que ce quarre fera contenu dansnbsp;1�exagone, de maniere a ne toucher par fes angl^�nbsp;aucun des cotes : done on peut percer dansnbsp;cube, amp;. dans le fens parallele a une de fes dwi'nbsp;gonales , un trou quarre egal a une des bafes dunbsp;cube , amp; cela fans folution de continuite d�aucuUnbsp;c�t�; amp; par confequent on pourra faire palletnbsp;dans ce cube un autre cube egal, pourvu qu�il 1^nbsp;meuve dans le fens de la diagonale du premier.

D un trait de compas ^ amp; fans en changer I'ouvit'� tun ni varier U centre , dccrirc une ovale.

Cette efpece de probleme n�eft qu�une fur-prife, car on ne fpecifie point fur quel genre de furface on doit tracer la courbe cherchee. Cebunbsp;a qui 1�on propofe le probl�me fonge a une fiif'nbsp;face plane , amp; le juge impoflible, comme il I�eftnbsp;en effet; tandls qu�il eft queftion d�une furfac�nbsp;courbe, fur laquelle il eft aif� a executer.

En effet, qu�on �tende fur une furface cylindri' que une feuille de papier, amp; qu�appuyant fur uUnbsp;point quelconque le compas, on trace fur cettenbsp;furface une efpece de cercle; qu�on d�ploie en'nbsp;fuite en plan cette feuille : il eft �vident qu�oUnbsp;aura une figure allong�e , dont le plus court dia'nbsp;metre fera dans le fens qui r�pondoit a celui denbsp;I�axe du cylindre.

Mais on fe tromperoit, ft 1�on prenoit cetta

Gi o M�TR IE. nbsp;nbsp;nbsp;5H

PROBL�ME XXXir.

L�ovale g�om�trique eft une courbe qui a deux axes in�gaux , Sc qui a fur fon grand axe deuxnbsp;points tellement places, queli, de chaque pointnbsp;de la circonf�rence, on tire deux lignesa ces deuxnbsp;Points, la fomme de ces deux lignes eft toujours lanbsp;*R�me.

Soit done AB Ie grand axe de 1�ellipfe i d�crire; PI. 7� bE , qui Ie coupe a angles droits amp; en deux paf- % 51�nbsp;^ies �gales, Ie petit axe, qui eft auffi coup� en deuxnbsp;parties �gales en C : du point D , comine centre ,

^Vec un rayon �gal a CA, d�crivez un are de eerde 'lui coupe Ie grand axe en F Sc �: ces deux pointsnbsp;ftint ce qu�on nomme les foyers : plantez a chacimnbsp;pointe, ou , ft vous op�rez fur Ie terrain j unnbsp;piquet bien droit; puis prenez un fil, ou, ft c�eftnbsp;|ur Ie terrain , un cordeau dont les deux boutsnbsp;^oient nou�s, Sc qui ait en longueur la ligne AB ,

Pius la dlftance F/} paflez ce fil ou ce cordeau k ^utour des piquets F, f de maniere qu�ils foientnbsp;dans l�int�rieur de 1�anneau, Sc tendez-le, commenbsp;^'*Us voyez en FG/^ avec un crayon ou une pointenbsp;vous ferez tourner de B par D en A, amp; reve-par Ie en B, en appliquant toujours la pointenbsp;Ie crayon avec la m�me force: la courbe quenbsp;^dcrira cette pointe fur Ie papier ou fur Ie terrain

Eoffie I, nbsp;nbsp;nbsp;X

parceque, lorfqu�ils ont a d�crire une ellipre, s�y prennent de cette maniere.

On voit par-la que 1�ellipfe ou 1�ovale g�om^quot; trique eft, pour ainfi dire, un eerde a deux ceOquot;nbsp;tres; car, dans Ie eerde, Tall�e du centre anbsp;point quelconque de la circonf�rence, amp; Ienbsp;tour de ce point au centre, font toujours lanbsp;fomme , fqavoir, Ie diametre. Dans 1�ellipfe o� �nbsp;y a deux centres, 1�all�e d�un d�eux a un poin^nbsp;tjuelconque , Ie retour de ce point a l�autr�nbsp;centre, font auffi conftamment la m�me foiiint�nbsp;ou fon grand diametre.

Auffi un eerde n�eft-il encore qu�une ellipfe dot'*' les deux foyers, en fe rapprochant Tun de I�autrs�nbsp;le font enfin confondus.

Void une autre maniere de d�crire I�eUiplquot;^^ qui peut avoir quelquefois Ion application.

P]_ Soit ABC une equerre , amp; BH, BI, les deut^ {ig. 56. demi-axes de 1�ellipfe a d�crire. Ayez une regl^�nbsp;comine DE, �gale a la fomme de ces deux ligne*�nbsp;amp;, ayant pris EF �gale a BH, foit fix�e (parnbsp;jn�chanifme qu�il eft aif� d�imaginer) au pointquot;nbsp;une pointe ou crayon propre a laifler une trat^^nbsp;fur le papier ou le terrain; faites enfuite tourn^'�nbsp;cette regie dans I�angle droit donn�, de maniot^nbsp;que fes deux extr�mit�s s�appliquent toujoursnbsp;c�t�s de cet angle: la pointe fix�e en F d�cr't*nbsp;dans ce mouvement une ellipfe veritable amp;nbsp;m�trique.

B eft aif� de voir que fi la pointe ou le cray�^ e�t �t� fix� au point G, qui coupe DE en d^fnbsp;�galement, la courbe d�crite eut �t� un eerde.

iLy a une autre ovale fort employee par les afquot;*

GiOM�TRl�. nbsp;nbsp;nbsp;315

chlte�les Sc les ing�nieurs, lorfqu�ils ont ^ former des arcs furbaiff�s ou furhauff�s , qu�on appellenbsp;anfes dcpanier. Elle eft compof�e de plufieurs arcsnbsp;de eerde de diff�rents rayons, qui fe touchentnbsp;niutuellement, Sc qui repr�fentent aflez bien l�el-lipfe g�om�trique : mais elle a un d�faut , quinbsp;confifte en ce que, quelque bien que fe touchentnbsp;ces arcs de eerde, un oeil un peu d�licat apperqoitnbsp;toujours 4 leur jondion un jarret, qui eft Teffetnbsp;du paflage fubit d�une courbure a une autre plusnbsp;grande. C�eft pour cela qu�un are qudconque quinbsp;monte fur fon pied-droit fans impofte, paroit ynbsp;faire un jarret, -quoique 1�arc , a fa r�union avec Ienbsp;pied-droit, lui foit exa�fement tangent.

Cet inconv�nient n�anmoins eft compenf� par la commodit� de n�avoir befoin, pour les vouffoirsnbsp;de l�arc , que de deux panneaux ft Ie quart de l�o-'^ale eft form� de deux arcs , ou de trois s�il eft:nbsp;fqrm� de trois; au lieu que , s�il �toit form� en v�-dtable ellipfe , il faudroit autant de panneaux quenbsp;devouflbirs. Si cependant quelqu�un avoit l� cou-�'age ( Sc il n�en faudroit pas beaucoup) pour fur-jiionter cette difficult� , nous ne doutons point que

probl�me XXXIIr.

r ,

j E n�eft qu�un corollaire du probl�me pr�c�- PI-7, Car, fur la bafe donn�e , foit d�crite une �� 53�nbsp;�pfe dont les deux extr�init�s de cette bafe foient

Xij

les foyers; tous les points de Tellipfe feront les fommets cl�autant de triangles fur la bale doRH�*^nbsp;FG/, Pgf, 6c la fomme de leurs c�t�s feranbsp;m�me: ils auront conf�quemment tous Ie m�menbsp;contour; amp; Ie plus grand fera celui qui aura 1^*nbsp;deux c�t�s �gaux, car c�eft celui dont Ie fomnts*^nbsp;eft au point Ie plus �lev� de 1�ellipfe.

TH�OR�ME VI.

JDe touus les figures ifiop�rimetres ou de m�me coW touVy amp; ayant un nombre de c�t�s determine ,nbsp;plus grande efi celle qui a tous fes c�t�s amp;nbsp;angles �gaux.

PI. 7, O N commencera a d�montrer ce th�or�me ^ 57- l��gard des triangles. Soit done d�abord fur la bal*^nbsp;AB Ie triangle ACB , dont les c�t�s AC, CB, fo��*-in�gaux, On a fait voir plus haut que li 1�on con^quot;nbsp;truit Ie triangle AFB, dont les c�t�s �gauxnbsp;FB, Ie foient enfemble a AC, CB , ce triang^^nbsp;AFB fera plus grand que ACB.

Par la m�me raifon, fi, fur AF, comme bafs� on fait Ie triangle A^F, dont les c�t�s kb , bP-tnbsp;�gaux entr�eux, foient �gaux enfemble a AB , B?�nbsp;ce triangle AbY fera plus grand que AFB. Pats*�'nbsp;lement, en fuppofant Va , aV, �gaux , amp; 1^^^nbsp;fomme �gale a FA , AB , ce dernier trianglenbsp;fera encore plus grand que AFB , qui a Ie m�nt�nbsp;contour, amp;c. Or il eft aif� de voir, parnbsp;op�ration, que les trois c�t�s du triangle fenbsp;prochent toujours^ de 1��galit�; amp; qu�en lanbsp;cevant continu�e a 1�infini, Ie triangle deviendt^'^nbsp;enfin �quUat�ral, amp; , conf�quemment ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Par exemple, fi les trois c�t�s du premier triangle �toient 12, 13, 5, les c�t�s du fecond feroient 12 ,

xiemejioi^-fj, 9-;^; dufeptieme , 9f|, io-~, io^;amp; ainfi de fuite: par o� l�onvoit que la difference d�croit toujours, de forte qu�� la fin lesnbsp;trois c�t�s deviendront 10, 10, io;6iC alors Ienbsp;triangle fera Ie plus grand de tous.

' Qu�on prenne a pr�fent un polygone re�filigne, PI. 7-, tel que ABCDEF, dont tous les c�t�s font in�^fig- 58.nbsp;gaux ;tlrez les lignes AC, CE , EA : paree que l�onnbsp;a monrr� plus haut, on verra que , fi fur AC l�onnbsp;fait Ie triangle ifofcele AbC, tel que Ab, bCynbsp;foient �gaux enfemble a AB , BC, Ie polygone;;nbsp;quoique de m�me contour , deviendra pdus grandnbsp;de 1�exc�s du triangle AbC fur ABC. En faifantnbsp;la m�me chofe tout a 1�entour, Ie polygone aug-mentera cominuellement en furface, tous fes c�t�snbsp;^ fes angles approcheront de plus eij plus de 1��-galit�; conf�quemment Ie plus grand de tous feranbsp;Celui o� tous les c�t�s amp; les angles feront �gaux.

Nous allons maintenant d�montrer que, de deux Fig. 59, polygones r�guliers de m�me contour, Ie plus grandnbsp;cft celui qui a Ie plus de c�t�s. Pour eet effet, foitnbsp;Un polygone , par exemple Ie triangle �quilateralnbsp;circonferit au eerde , amp; que KFHI foit l�exagonenbsp;circonferit au m�me eerde; il eft �vident que fonnbsp;Contour fera moindre que celui du triangle , carnbsp;parties FE, GH , IK, font communes, amp; Ienbsp;c�t� GF eft moindre que FB plus BG , amp;c: 1�exa-Sone concentrique au premier, amp; d��gal contournbsp;avec Ie triangle, que }e fuppofe MNO , fera donenbsp;exterieur a l�exagone KFH; conf�quemment la

Ie triangle ayant m�me contour que 1�exagone MNO, leurs aires feront comme les perpendicu-laires CL � C/, abaiflees du centre du eerde ; con*nbsp;f�quewnient l�exagone ifop�rimetre avec Ie triafl'nbsp;gle fera Ie plus grand.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

Ce qu�on vient de d�montrer a 1��gard du triangle amp; de l�exagone ifop�rimetres, ell: �vident*nbsp;ment applicable a tout autre polygone dont I�un *nbsp;un nombre de cotes double de I�autre ; par conle-quent plus un polygone d�un contour d�termin� anbsp;de cotes, plus fon aire eft grande.

I. Ceci nous conduit a une confequence cele-* bre dans la g�oni�trie : e�eft que , de toutes Us figures de m�me contour, le cercle efi abfolument Idnbsp;'plus grande. Car le cercle n�eft qu�un polygonsnbsp;d�un nombre infini de cotes, ou, pour s�exprimefnbsp;plus g�om�triquement, il eft le dernier des poly-gones qui refultent du doublement contlnuel denbsp;leurs cotes ; confequemment il eft le plus grandnbsp;de tous.

i. Remarquons encore id que ft , fur une hafs d�termin�e, amp; avec un contour auffi d�termin� �nbsp;font d�crites plufieurs figures , la plus grande fer*nbsp;encore celle dont le contour, la bafe except�e�nbsp;fera form� du plus grand nombre de cot�s, amp;nbsp;plus approchant de la r�gularit� : d�ou il fuit qn�nbsp;jfi , avec une longueur d�termin�e, il eft queftioitnbsp;de decrire fur une bafe donn�e la plus grande figure, certe figure fera un fegment de cercle, fq3-voir, celui dont cette bafe eft la corde, amp; dontnbsp;I�arc eft �gal a la longueur donn�e.

Toutes ces chofes peuvent �tre d�montr�es une confideration m�chanique. Car, fuppold*^

�n vafe dont les parois foient parfaiteinent flexi-bles, amp; qu�on y verfe dedans une liqueur; il eft certain qu�elles s�arrangeront de maniere a en con-tenir la plus grande quantit� poflible : d�un autrenbsp;c6t�, on fqait que ce vafe prendra la figure cylin-drique, c�eft-a-dire dont la bafe 8c les coupes pa-ralleles a la bafe feront circulaires : d�o� il fuit quenbsp;Ie eerde eft, de toutes les figures d��gal contour,nbsp;celle qui comprend la plus grande aire.

D�apr�s les confid�rations ci-deflus , il eft aif� de r�foudre les queftions fuivantes.

Caius a un champ damp; S00 toifes de contour^ qui tjlquarr�; Sempronius en a un de m�me contour,nbsp;^ui ejl un quarr� long , amp; propofe d Caius un,nbsp;(change. Celui-ci doit-il Vaccepter ?

II eft aif� de r�pondre que non; 5c Ca�us ferolt d�autant plus l�f�, que Ie champ de Sempronius au-roit des c�t�s plus in�gaux : ils pourroient m�menbsp;�tre tels que ce dernier champ ne fut que la moiti� ,nbsp;^e quart, Ie dixieme de celui de Caius. Car, fuppo-fons que celui de Ca�us e�t lOO toifes dans cha-cune de fes dimenfions , amp;c que celui de Sempronius fut un re�hangle dont un des c�tes eutnbsp;I90 toifes amp;c l�autre 10 , il feroit ifop�rimetre aunbsp;premier; mais fa furface ne feroit que de 1900 toifesnbsp;H^iarr�es , tandis que celle du premier feroit denbsp;*0000 toifes. Si des deux dimenfions du champnbsp;Sempronius, 1�une �toit de 19 5 toifes 8c l�autrenbsp;5 � ce qui donneroit encore 400 toifes de contour , fa furface ne feroit que de 950 toifes; cenbsp;qui n�eft pas m�me la dixieme de celle du champnbsp;Pe Ca�us.

II.

Un particulier a emprunt� un fac ide grain ,did pieds de haut 6* de fix pieds de tour; VempruntcUfnbsp;cnvoic au pr�teur deux facs de m�me hauteur^ amp;

^ pieds de contour chacun. On demande s�il a rendt^ la mime quantit� de grain.

On repondra qu�il n�en rend que la moitle; cat deux cercles �gaux qui ont m� me contour qu�vit'nbsp;troifieme , ne lui font pas �gaux; ils n�en font qu�nbsp;la moitie , chacun d�eux n en �tant que le quart.

III.

Un maitre*dlhotel a achete, pour une certain^ fomme , la quantit� d'afperges que pouvoit content^nbsp;tin cor dealt d'un pied; le lendemain , voulant ei^nbsp;avoir le double, il retourne au march� avtc un lit^nbsp;double, amp; offre un prix double. Son ofire efi-dl^nbsp;raifonnable ?

Non. Get homme eft dans 1�erreur de penfC qu�avec un lien double, il ne renfermera que 1^nbsp;double de ce qu�il a eu la veille : il en auroit 1^nbsp;quadruple; car un cercle d�un contour double , ^nbsp;un diametre double. Or un cercle d�un diaineff^nbsp;double de celui d�un autre, eft quadruple de cC*^nbsp;autre,

Il nous refte a obferver id que tout coinme f parmi les figures d��gal contour, le cercle eftnbsp;plus grande , de m�me , parmi les folides d��gal^nbsp;furface,lafphere eft celle qui contientle plus grandnbsp;volume. Ainfi, ft quelqu�un fe propofoit de fai�^^nbsp;un vafe d�une capacite d�termin�e, en menageant

matiere autant qu�il fe pourroit, il faudroit qu�il fiit fph�rique. Mais voici un autre probl�me denbsp;lt;^2 genre.

paniculur veut faire une cuvette d'argent, de forme cylindrique amp; ouverte en deffus, qui con-tienne un pied cube de liqueur; mais, defrantnbsp;�pargner autant qu�ilfepourra la matiefe, ils�a-drefj�e d un giometre pour avoir les dimenflons denbsp;ce vafe. On demande quelles font ces dirnenfons,

^ N fuppofant que ce vafe doive avoir, par exem-Ple, une ligne d��pailTeur , il eft �vident que la �Juantit� de matlere fera proportionnelle a la fur-^3ce. II s�agit done de determiner , entre tous lesnbsp;j^ylindres d�un pied cube de capacit�, celui dontnbsp;5 furface, une des bafes except�e, fera la moindre.

Or nous trouvons que Ie diainetre de la bafe ^oit �tre de 16 pouces 4 lignes, amp; la hauteur denbsp;j polices 2 lignes , c�eft-a-dire fenfiblement dansnbsp;^ Rapport de 2 a I entre Ie diametre amp; la hauteur*nbsp;1�on vouloit que Ie vafe , en forme de ton-, fut clos des deux c�t�s, la queftion fe r�-Uiroit a trouver Ie cylindre dont la furface, lesnbsp;bafes comprifes , fut plus grande que dansnbsp;autre de m�me capacit� : il faudrolt alors quenbsp;� diametre de la bafe fut de 13 pouc'es, 8c la hau-de I z pouces 5 lignes

quoientque, de toutes les figures r�gulieres qu* peuvent s�adapter fans laiffer aucun vuide, Texa'nbsp;gone eft Celle qui appro che Ie plus du cercle , ^nbsp;qui, avec m�ine capacit� , a Ie moins de contoin' *nbsp;d�o� ils inf�roient en eet infedde une forte d�io*-tinft qui lui avoit fait choifir cette figure, cotn^jsnbsp;celle qui, en contenant la m�ine quantit� denbsp;exigeoit Ie moins de cire pour en former les p^'nbsp;Tois, Car il paroit que les abeilles ne travaift^^*�nbsp;pas la cire pour elle-meme, mais uniquementnbsp;en former leurs alveoles, qui doivent �trenbsp;magafins de miel, Sc les nids des petits vers de*'nbsp;tin�s a devenir un jour abeilles.

II s�en faut cependant bien que ce foit la *^ principale merveille du travail des abeilles; fi l�^fnbsp;peut appeller merveille , un travail qu�une orgaf�'nbsp;iation particuliere determine aveugl�ment.nbsp;on pourroit d�abord remarquer qu�il n�eft pas abfo'nbsp;lument merveilleux que de petits animaux,nbsp;dou�s de la meme force , de la m�me alt;divi*^^nbsp;preflants de dedans en dehors de petites loges afnbsp;rang�es les unes a c�t� des autres, du refte �ga*

6 nbsp;nbsp;nbsp;�galement flexlbles, leur donnent, parnbsp;forte de n�ceffit� m�chanique, la forme exago*�^*nbsp;En effet, ft 1�on fuppofolt une multitude denbsp;des OU de petits cylindres infiniment flexible� ^nbsp;un peu extenfibles , a c�t� les uns des autres gt;nbsp;que des forces agiflantes int�rieurement, �etod ^nbsp;egales, tendiflent a appliquer leurs parois, ennbsp;pliffant les vuldes qu�ils lalffent entr�eux, la ,nbsp;miere forme qu�ils prendrolentferoientl�exagpf*^^nbsp;apr�s quoi, toutes ces forces reftant en �quili^''^^nbsp;rien ne tendroit a changer cette forme.

On pourroit cependant, pour r�int�gref^^^^^ abeilles dans la poffellion o� elles font de

^^Imir�es a ce fujet, remarquer que ce n�efl: pas *gt;nfi qu�elles travaillent. On ne les volt pas cona-�iencer a faire des alveoles circulaires, puis, a forcenbsp;les p�trir amp;; de les �tendre en travaillant enfem*nbsp;les transformer en exagones. Les alveoles quinbsp;^^fniinent un gateau imparfait font �galement knbsp;, inclines a peu de chofe pr�s fous 1�angle quenbsp;^^tiande la forme exagone. Mais palTons a l�autrenbsp;�^'^gularlt� plus merveilleufe du travail des abeilles.

. Cette lingularit� confifte dans la maniere dont � fond de leurs alveoles eft forme. En effet, on nenbsp;pas s�imaginer qu�ils foient tout uniment ter-�^in�s par un plan perpendiculaire k l�axe : il ynbsp;^'^oit une maniere de les terminer qui employoitnbsp;^oins de cire, amp; qui en employoit Ie moins qu�ilnbsp;^toit poflible, en laiflant toujours a l�alv�ole lanbsp;**'vrne capacit�; amp;, Ie croiroit-on ? c�eft celle quenbsp;infeftes ont adopt�e , amp; ex�cutent avec unenbsp;�Wez grande pr�cifion.

Pour ex�cuter cette difpofition, il falloit, 1� PI. les deux rangs d�alv�oles qu�on fqait former fig. 6o�nbsp;gateaux de miel, amp; qui font adoff�s les unsnbsp;j ^ autres, ne fuflentpas arrang�s de maniere quenbsp;axes fe r�pondiftent, mais enforte que l�axenbsp;s�alignat avec la jointure commune desnbsp;j,^is poft�rieurs. Comme l�on voit, dans lafig. 6�o,

�^^gone en Hgne pleine r�pondre aux trois exa-en lignes pon�lu�es, qui repr�fentent Ie plan ^esnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;poft�rieures, c�eft ainfi que les cellules

abeilles font arrang�es pour donner lieu a la P�fition de leurs fonds communs.

Pour donner une idee de cette difpofition, PJ- 8, fo/opr�fente un prifme exagone, dont lafiS-^i.nbsp;'dan Y^P^''*^ure foit l�exagone ABCDEF, avec Ienbsp;infcrit AEG; que l�axe GO foit prolong�

3 31 R�cr�ations Math�matiques. en S, amp; que, par ce point S 6sc Ie c6t� AC , onnbsp;niene un plan qui abattra dans Ie prifme 1�angio Hfnbsp;en formant une face rhombo�dale ASCT; tel elnbsp;un des fonds'de 1�alv�ole; amp; deux autres plan* gt;nbsp;femblablement men�s par S amp; les c�t�s AE,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

formant les deux autres, enforte que Ie fond termin� en une pyramide triangulaire.

PI. 8, II eft aif� de voir que, quel que foit Ie point � %. 6i � comme la pyramide ACOS eft toujours �gaj^^nbsp;ACBT, amp; ainfi des deux autres , la capacite d�nbsp;1�alv�ole ne variera point, quelle que. foit l�in'- JTnbsp;naifon du fond tournant fur AC. Mais il n�ennbsp;pas ainfi de la furface; il y a une inclinaifon t^dnbsp;que la furface totale du prifme amp; de fes fondsnbsp;plus petite que dans toute autre inclinaifon.nbsp;geometres l�ontrecherch�e , amp;C onttrouv� qu�ill^nbsp;loit pont cela que 1�angle form� par ce fondnbsp;1�axe, fut de 54� 44'; d�o� r�fulte Ie petit an^^^nbsp;du rhombe, ATC ou ASC, de 70� 32.', amp; 1�autf^tnbsp;SAT OU SCT, de 109� 28'.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ,

Or telle eft pr�cif�ment I�inclinalfon des cotf* du parall�logramme que forme chacun des tfOnbsp;plans inclines des fonds des cellules des abeiH^^ �nbsp;c�eft ce qui r�fulte des dimenfions prifes futnbsp;multitude de ces alveoles. D�ou l�on doit conc^'J'^nbsp;que les abeilles forment les fonds de leurs cefinnbsp;de la maniere la plus avantageufe pour qu�ellesnbsp;Ie moins de furface poffible, d�une maniere �nbsp;que la g�om�trie moderne feule e�t pu d�terrninf __nbsp;lt;2ui peut avoir donn� a des infe�les auffi m�pt'nbsp;bles , non aux yeux du phllofophe, qui ne fnbsp;prlfe point les plus petits ouvrages de la Divin'*^^^nbsp;mais aux yeux du vulgaire ; qui peut, difons-nO^|lnbsp;avoir donn� a ces infe�fes rinftiii�l; admirablenbsp;les dirige dans un ouvrage auffi parfait, ftnon

G�om�trie. nbsp;nbsp;nbsp;3J5

foiiverain G�ometre, la Divinit� , de qul Platon ^ dit, par un fentiment qui fe v�rifie de plus ennbsp;plus, a mefure qu�on p�netre plus avant dans lesnbsp;'^Uvrages de la nature, qu�il fait tout numero^pon-dere 6quot; menfurd ?

^�poNSE. On d�montre que Ie plus grand po-Vgone qu�on puiffe former avec des lignes don-*��es, eft celui qui eft tel qu�on puiffe lui circonff ^fire un eerde.

Mais on pourroit encore demander s�il y a quel-'lu�ordre, entre fes c�t�s, qui puiffe donner un plus Stand polygone que tout autre arrangement. Nousnbsp;^epondons que non ; amp; que, quel que foit eet ar-^'atigement, fi Ie polygone eft infcriptible a un cer-^�e, il fera toujours Ie m�me ; car il eft aif� de fenbsp;dsmontrer que, quel que foit eet ordre , la grandeur du eerde ne variera point: Ie polygone feranbsp;^t^ujours compof� des m�mes triangles ayant leursnbsp;l^mmets a fon centre ; ils ne feront que diff�rem-^ent arranges.

Q�e/ ejl Ie plus grand triangle inj'criptible d un eerde^ 6* cpiel ejl Ie moindre des circonfcriptibles gt;

en eft de m�me des autres polygones. Le plus Stand des quadrilateres infcriptibles au eerde, eftnbsp;quarr�: cette figure eft auffi la moindre des cir-'^onfcriptibles.

Le pentagone r�gulier, infcrit au eerde, auffi la plus grande de toutes les figures a cinq cotesnbsp;qu�on peut lui inferire ; amp;cla m�me figure circod'nbsp;crite eft la moindre de tous les pentagones citquot;nbsp;confcriptibles, amp;c.

PROBL�ME XXXVIII.

H- 6i. AGB, qui ejl d'un fable mauvant, on un chcy�^^ vigoureux peut feulement faire une lieuenbsp;hiure; Cautre eft une belle peloufe , ou lenbsp;cheval peut faire, fans fe fatiguer davantag^*nbsp;cette lieue en une demi-heure: les deux lieux C ^nbsp;D font donn�s de pofition^ cef-a-dire qu�o^nbsp;connott tant les dif antes CA , DB, ou ilsnbsp;de la limite AB, que la pofition amp; la grande^Jlnbsp;de AB: enfin un voyageur doit aller de D ennbsp;On demande quelle route il tiendra pour y metH^nbsp;le mains de temps poffible.

X L eft peu de perfonnes qui, jugeant de cette tion par les linnieres ordinaires, ne pensalTentnbsp;le cheminque doit tenirle voyageur enqueftionC*nbsp;la ligne droite. Elies fe tromperoient neanmoidgt;nbsp;amp; il eft aif� de le faire fentir; car, en tirant lanbsp;droite CED, on concevra facilement qu�il doit �nbsp;avoir davantage a gagner, de faire dans la pdnbsp;miere plaine, ou Ton marche plus difficilernedt

un chemin CF un peu rnoindre que CE , amp; d faire au contraire dans la feconde, ou Tonnbsp;aller le plus vite , un tel que FD, plus longnbsp;DE, e�eft-a-dire que celui qu�on auroit fait enaldl*nbsp;diredement de C en D ; enforte qu�on einp^t^'^nbsp;r�ellement moins de temps a aller de C en D

C�eft efFeftivement ce que d�montre Ie calcul: trouve, par fon moyen, que 1�on ira de C en Dnbsp;^ans Ie moins de temps poffible, quand, ayantnbsp;par Ie point F la perpendiculaire HG a AB, lesnbsp;��nus des angles CFG, DFH , feront entr�eux ref-Peftivement en rayon inverfe des viteflTes avecnbsp;l^lquelles Ie voyageur en queftion peut aller dansnbsp;plaines CAB , ABD ; c�eft-a-dire , dans Ie casnbsp;Pr�fent, comme i a i. Ainll il faudra, dans Ie casnbsp;particulier, que Ie finus de l�angle CFG, foit lanbsp;**'oiti� de celui de Tangle DFH.

^ur lint bafed�nn�e, d�crirt une infinite detrian-glts, ttls qut la fiommt des quarr�s des c�t�s foit ^onfiammtnt la ni�mt, amp; �gale a un quarr� donn�,

�eux �galement en C; puis, des points A amp; B,fig. 63,64. ^'^ec un rayon �gal a la moiti� de la diagonale dunbsp;^Uarr� donn�, d�crivez un triangle ifofcele dontnbsp;Ibmmet foit F ; tirez CF , amp; du point C avecnbsp;rayon CF d�crivez un demi-cercle fur AB pro-Ongee s�il eneftbefoin : tous les triangles ayant ABnbsp;Pour bafe, leurs fommets F, ^ (p, dans la cir-^Pnference de ce demi-cercle, auront la fommenbsp;quarr�s de leurs c�t�s �gale au quarr� donn�.

, �I'oxjT Ie monde fqait que , lorfque la fomme quarr�s des c�t�s eft �gale a celui de la bafe ,nbsp;iriangle eft re�langle, amp; a fon fommet dans lanbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;du demi-cercle d�crit fur cette bafe.

33lt;5 Recreations Math�matiqueS. t�s eft plus grande ou moindre que Ie quarr� denbsp;bafe, les fommets des triangles , qui dans Ie pr^'nbsp;mier cas font acutangles, amp; dans Ie fecond obtu-fangles, font auffi toujours dans un demi-cerclsnbsp;ayaiit Ie m�me centre , mais fur un diametre pb�?nbsp;grand ou moindre que la bafe du triangle ; cenbsp;eft une g�n�ralifation fort ing�nieufe de lanbsp;pri�t� ft connue du triangle redlangle.

Sur unz bafe donn�e , d�crire une infinite de gles , tels que Ie rapport des deux c�t�s furnbsp;bafe foit confiarnment Ie m�me.

^5� maniere que AD foit a DB dans Ie rapport donf^' Suppofons-le ici de 2. a i. Fakes enfuite comrne 1^nbsp;difference de AD amp; DB eft a DB, ainfi Aftnbsp;aBE, laquelle BE fe prendra dans Ie fens ABE, Anbsp;AD excede DB ; partagez enfin DE en deux �g�'nbsp;lement en C, amp;r, du centre C, d�crivez avecnbsp;rayon CD ou CE, un demi-cercle fur Ie diametr�nbsp;DE: tous les triangles, comme AFB, A/B , A^ft�nbsp;amp;c. ayant la m�me bafe AB , amp; leurs fommetsnbsp;/ (p, dans la circonf�rence de ce demi-cercle,nbsp;ront leurs c�t�s AF, FB; Af, FB; Alt;p, (pB ,

Mais on trouvera plus facilement Ie centra par la conftru�fion fuivante. Sur AD d�crivez /nbsp;triangle �qullat�ral AGD , amp; fur DB Ie triang��nbsp;pareillero^^f equilateral DAB: par leurs foinlt;�^^^^nbsp;G, H, menez une ligne droite, qui, �tantprol^^quot;'nbsp;g�e , coupera la prolongation de AB en unnbsp;C j qui fera ce centre cherch�.

^afts tin cerclt ,fiitux totdes AB, CD,fi coupeni pl. 8, d angks droits, la fomme des quarr�s de /ez/rifig- 66.nbsp;Segments C�, AE , ED, EB, fera tonjours egalenbsp;au quarr� du diametre.

^ A d�monftration de ce th�or�me, qu� eft affez J-urieux amp;c �l�gant, eft n�anmoinsfort facile; carnbsp;eft aif� de voir, en tirant les lignes BD, AC^nbsp;que leurs deux quarr�s font enfemble �gaux auxnbsp;H^arr�s des quatrefeginents dont 11 s�agit. De plus,nbsp;prenant 1�arc FC �gal a AD, on aura l�arc FDnbsp;^gal a AC , amp; conr�quemment Tangle FDC �galnbsp;^ ACE , qui eft lui-m�me �gal a ABD : done 1�an-FDB fera droit, puifqu�il eft �gal a EDB Scnbsp;PBE, qui enfemble font un dfoit: par conf�quentnbsp;quarr�s de FD, DB , font �gaux au quarr� denbsp;�hypoth�nufe, qui eft Ie diametre: done , amp;c.

II faut remarquer qu�il en feroit de m�me, fi Ton l'^ppofoit Ie point de rencontre e des deux cordesnbsp;^Ors du eerde : on auroit, dis-je, �galement, dansnbsp;cas, les quatre quarr�s de ea, eb ,ec, ed, �gauxnbsp;j'^femble au quarr� du diametre ; ce que nous nenbsp;Y'^ontrons pas ici, pour laifler a nos le�teurs Ie.

R E M A R Q V Egt;

,.l.ES cercles �tant comme les quarr�s de leurs ^'ainetres, il eft �vident que fi , fur EA, EB , EC ,

� plus, ces quatre cercles feront proportionnels; on fqait que BE eft a EC , comme ED a EA-fi quatre grandeurs font en proportion, leursnbsp;*'gt;me �,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y

quarr�s Ie fontauffi. De plus, il eft �vident qu2� quelle que foit la pofition de ces deux cordes,nbsp;leur ibmme fera toujours tout au plus �gale a deu?tnbsp;diametres, fqavoir, fi elles palTent toutes deux p**-Ie centre ; amp; au moins �gale a un, f^avoir, linbsp;pafl�e par Ie centre , amp; 1�autre prefque a la diftancenbsp;d�un rayon. On pourra done , au moyen du theOquot;nbsp;reine ci-deffus, r�foudre facilement Ie probldn^�nbsp;fuivant.

Trouver quatre cercles proportionnels qui, pris femble, fount �gaux a un ctreh donn�, amp;nbsp;foient uls que la fomme de leurs diametresnbsp;�gale d une l�gne donn�e.

IL eft �vident, par les raifons ci-deffus , qu�il que la ligne donn�e foit moindre que deux foisnbsp;diainetre du eerde donn�, amp; plus grande quenbsp;diainetre; ou, ce qui eft la m�ine chofe , quenbsp;moiti� de cette ligne foit moindre que Ie cliametr�nbsp;du eerde donn�, amp; plus grande que fon rayon.

PI. 8, Cela pof� , que la ligne donn�e , ou la fomff� �g. 67. des diametres des cercles cherch�s, foit ab,

la moiti� foit acj que ABDE foit Ie eerde dono^� dont AB , DE , font deux diametres perpendi^^^'�quot;nbsp;laires 1�un a 1�autre ; prenez fur les rayons CA�nbsp;CE,prolong�s, les lignes CF, CG, �gales anbsp;amp;tirezFG, qui coupera n�ceffairement Ie q^att^nbsp;CH du rayon du eerde; fur la partie IK de ced^nbsp;ligne comprife dans ce quarr� , foit pris unnbsp;quelconque L, duquel foient men�es lesnbsp;LMq, LNr, 1�une parallele, 1�autre perpendici�'nbsp;laire au diametre AB; par les points M amp; N dnbsp;terfedion avec la circonf�rence du eerde, ft**�

tir�es MR, NQjl�une perpendiculaire amp; 1�autre parallele a AB ; les cordes NS , MT, fer�nt lesnbsp;deux cordes cherch�es.

Car il eft clair que NQ amp; MR font �^ales a amp; Lr, qul font enfeinble �gales a CG ounbsp;Cf, OU a la moiti� de ah: done les cordes entieresnbsp;font enfemble �gales a ah: done , par la pr�c�-dente, elles r�folvent Ie probl�ine; amp; les quatrenbsp;cercles d�crits fur les diametres NO , OM, OS ,

La ligne FG peut feulement toucher Ie eerde ; dans lequel cas , tout autre point que Ie point denbsp;Contad r�foudra �galement Ie probl�me.

Mais fi FG coupoit Ie eerde , comme on Ie PI. 8, Voit dans la 6quot;^, il ne faudra prendre Ie point %gt; 68.nbsp;L que dans la partie de la ligne IK qui eft horsnbsp;du eerde, comme on Ie voit dans cette m�me fi-Sure.

Cette folution vaut inieux que celle que donrte Fig. 6j. Ozanam , qui eft fujette a un tatonnement d�-fedueux; car il ordonne de prendre fur ac unenbsp;Portion moindre que Ie rayon , amp; de la porternbsp;^omme de C en enfuite-de tirer les lignes ^M,

*�iais il faut que Ie point r tombe au - dela de R , quoi les deux demi - cordes ne fe couperontnbsp;fIl y a enfin, fuivant la grandeur de ac rela-^'Vement au rayon, une certaine grandeur qu�ilnbsp;faut pas exc�der, amp; que M. Ozanam ne d�-**^i�niine point; ce qui rend fa folution vicieufe.

Yij

C E probl�me eft c�lebre par les efforts infruc-* tueux faits dans tons les temps pour Ie r�foudf�nbsp;g�om�triquement, a 1�aide de la regie amp; du coin'nbsp;pas, 8c par les paraloglfmes amp;c fauffes conftruC'nbsp;tions donn�es par de pr�tendus g�ometres. Ma'*nbsp;il eft aujourd�hui d�inontr� que fa folution dependnbsp;d�une geometrie fup�tieure a la geometrie �l�men'nbsp;taire , amp;c qu�aucune conftruftion o� l�on n�eni'nbsp;ploiera que la regie 8c Ie compas, ou Ie eerde ^nbsp;ia ligne droite, ne fqauroit Ie r�foudre , 11 ce n�ennbsp;dans un petit nombre de cas, comme ceux onnbsp;1�arc qui mefure 1�angle propof� eft Ie eerde entier�nbsp;OU fa moiti�, OU fon quart, ou fa cinquieme partie*nbsp;11 n�y a plus, en eonf�quence, que des ignorantsnbsp;qui cherchent aujourd�hui la Iblution g�n�rale denbsp;ce probl�me par la g�om�trie ordinaire.

Mais quoique l�on ne puiffe , par la regie 8c compas feuls, r�foudre ce probl�me fans tatonne'nbsp;ment, il y a n�anmoins quelques conftru�lioi^nbsp;m�chaniques ou de tatonnement qui m�ritent d�e'nbsp;tre connues, a caufe de leur fimplicit�: les voic'*nbsp;PI. 8^ Soit l�angle ABC, qu�on propofe de partag^��nbsp;fig. 69. en trois parties �gales. Du point A, abailfez b��nbsp;1�autre c�t� de Tangle la perpendiculaire AC ,nbsp;par Ie m�me point A, tirez a BC la parallelenbsp;ind�finie ; enfuite , du point B , menez a AE un�nbsp;ligne BE, telle que fa partie FE, intercept�e entt�nbsp;les lignes AC 8c AE , foit �gale a deux fois **nbsp;ligne AB; ce qui peut fe faire par un tatonneinen''nbsp;fort ftmple, 8c tr�s facile a executer; vous ant�^nbsp;Tangle FBC �gal au tiers de ABC.

^ tirez AD ; Ie triangle FAE �tant re�langle, D fera Ie centre du eerde palTant pa'r les points F,

A , E: conf�quemment DA , DE, DF , feront cgales entr�elles amp; a la ligne AB : done Ie trianglenbsp;ADE fera ifofcele, amp; les angles DAE, DEA , feront �gaux; 1�angle ADF ext�rieur, qui efl; �gal auxnbsp;deux interieurs DAE , DEA, fera done double denbsp;chacun. Or, Ie triaftgle BAD �tant ifofcele, 1�anglenbsp;ABD efl: �gal a ADB : done l�angle AED, ou fonnbsp;�gal FBC, efl la moiti� de Tangle ABD: conf�-quemment Tangle ABC efl divif� par BE, de ma-niere que Tangle EBC en efl Ie tiers.

Autre Manure. Soit Tangle ACB, du fommet 9� duquel on d�crira un eerde ; on prolongera en- quot;S*nbsp;fuite Ie rayon BC ind�finiment enE; puis on tireranbsp;la ligne AE, de maniere que la partie DE, inter-cept�e entre BE amp; la circonf�rence de ce eerde,nbsp;foit egale au rayon BC; par Ie centre C, tireznbsp;CH parallele a AE : Tangle BCH fera Ie tiers denbsp;1�angle donn� BCA.

Pour Ie d�montrer, tirez Ie rayon CD; cela lait, il efl aif� de voir que Tangle HCA efl �galnbsp;(a caufe des paralleles) a CAD ou CDA. Or cenbsp;dernier eft �gal aux angles DCE , DEC, ou double de Tun d�eux, puifque CD amp; DE font �galesnbsp;Par la conftruftion : de plus Tangle HCB efl �galnbsp;^ DCE OU DEC : conf�quemment Tangle ACHnbsp;double de HCB , amp; ACB triple de HCB.

�e eft aif� de doubler une furface re�liligoc ou ^ourbe quelconque, comme un eerde, un quarre,

un triangle, amp;c; c�eft-i-clire, �tant donn�e tins ces figures, il eft aif� cl�en conftruire une fembla^^^�nbsp;qui en i'oitlq double, ou un multiple quelconqu^�nbsp;OU dans une raifon donn�e telle qu�on Ie voudra *nbsp;il n�eft queftion pour cela , que de trouver 1*nbsp;moyenne proportionnelle g�om�trique entre u**nbsp;des c�t�s de la figure donn�e, amp; la ligne quinbsp;a ce c�t� dans la raifon demand�e: cette moyenH^nbsp;fera Ie c�t� homologue a celui 'de la figure donnet*nbsp;Ainfi , pour d�crire un eerde double d�un autregt;nbsp;il faut prendre une moyenne proportionnelle entrcnbsp;Ie diametre du premier amp; Ie double de ce diamS'nbsp;tre ; ce fera celui du eerde double , 8cc. Il ennbsp;de m�me de toute autre raifon. Tout cela apparquot;nbsp;tient a la g�om�trie la plus �l�mentaire.

Mais , conftruire une figure fo�cle double, Oi* en raifon donn�e dame autre femblable, eft n**nbsp;probl�me bien plus difficile, amp; qui ne peut �trenbsp;r�folu par Ie tnoyen du eerde Sc de la ligne droitcrnbsp;OU de la regie Sc du compas, a moips qu�on n�ent'nbsp;ploie un tatonnement que la g�om�trie r�prouve'nbsp;c�eft ce qui eft aujourd�hui d�montr�; mais la de'nbsp;jnonftration n�eft pas fufceptible d��tre fentie d�nbsp;tout Ie monde.

On fait une hiftoire affez comlque fur I�origi'�f de ce probl�me : on dit que la pefte r�gnant �nbsp;Atbenes , Sc y faifant beaucoup de ravage,nbsp;envoya a Delphes confulter Apollon, qui proif^*'nbsp;de faire celTer Ie fl�au, qiiand on lui aurolt faitnbsp;autel double de celui qu�il avoit. Aufli-tdt des �'1'quot;nbsp;trepreneurs furent envoy�s pour doubler l�aut� 'nbsp;IIs crurent n�avoir qu�a doubler routes fes diiR^t^'nbsp;ftons pourremplir la demande de 1�oracle , amp;nbsp;la Ie firent o�iuple; mais Ie dieu, plus g�onrerr^�nbsp;ne Ie vouloit que double. La pefte ne cefta

On envoya de nouveaux deputes, qui requrent pour reponfe, que I�autel �toit plus que double. IInbsp;^allut alors recourir aux g�ometres , qui s�ever-^Uerent a cherclier la folution du probl�nie. II ynbsp;� appareuce que le dieu fe contenta d�une approximation ou d�une folution mechanique. Les peu-pies d�Athenes auroient �t� a plaindre, s�il avoitnbsp;ct� plus exigeant.

II n�etoit rien moins que n�cei�aire d�immifcer line divinite dans cette affaire. Quoi de plus natu-*�61 aux g�ometres, que de chercher a doubler imnbsp;folide, amp; le cube en oarticulier, apr�s avoir trouvenbsp;la maniere de doubler le quarre amp; les autres fur-faces quelconques ? C�efl: la la marche de I�efpritnbsp;�mnain dans la g�om�trie.

Les g�ometres apperqurent bientot que, tout Comme la duplication d�une furface quelconque fenbsp;feduit a trouver une moyenne g�om�trique entrenbsp;deux lignes, dont 1�une eft douUe de 1�autre , denbsp;^tl�ine la duplication du cube, ou d�un folide quel-^onque, fe reduit a trouver la premiere des deuxnbsp;�doyennesproportionnelles continues entre ces md-lignes. On dolt cette remarque a Hippocratenbsp;de Chio , qui, de marchand de vin min� par unnbsp;^aufrage, ou par les commis des aides d�Athenes,nbsp;devintgeometre. Depuisce temps, tons les effortsnbsp;des g�ometres fe font reduits d trouver deuxnbsp;doyennes proportionnelles g�ometriques, 8c continues entre deux lignes donnees ; amp;c ces deuxnbsp;pi'obl�mes, fqavoir, celui de la duplication dunbsp;^nbe , ou , plus g�n�ralement, de la conflruftionnbsp;� Un cube en raifon donn�e avec un centre , 8cnbsp;celui des deux moyennes proportionnelles continues, font devenus fynonymes.

344 R�CR�ATIONS MATH�MATTQUESJi bl�ine, les unes qui exigent un tatonnement ^nbsp;autres qui emploient un inftrument autre qu� **nbsp;regie amp; Ie compas.

PI. 9, I. Soient les deux lignes AB, AC, entre le^*quot; %� 7^- quelles il s�agit de trouver deux moyennes

portionnelles continues. FormCz-en Ie reftang^� BACD , amp; prolongez ind�finiment les c�t�s AB�nbsp;AC ; tirez les deux diagonales du reftangle qujnbsp;coupent en E: vous aurez la folution du problems �nbsp;� , tirant par Tangle D la ligne FDG , tennin��nbsp;entre les c�t�s de Tangle droit FAG , les points Gnbsp;amp; F font �galement �loign�s*du point E. Car alof*nbsp;les lignes AB, CG, BF, AC, feront en propofquot;nbsp;tion continue.

Ou bien, Tracez du centre E un are de cerd� tel que FIG, qui foit tel qu�en tirant FG , cett�nbsp;ligne paffe par Tangle D; vous aurez encorenbsp;folution du probl�me.

Ou Hen encore , Circonferivez au re�langi� BACD , un eerde ; enfuite , par Tangle D ,nbsp;la ligne FG, de forte que les fegments FD , GH *nbsp;foient �gaux: vous aurez encore �cs lignas CG �nbsp;BF, moyennes proportionnelles continues entt�

Fig. 2.. Autre Solution. Faites un angle droit av�^ les deux lignes AB, BC, donn�es; amp; ayant in^^^quot;nbsp;finiment prolong� BC amp; AB, du point B comquot;)?nbsp;centre, d�crivez Ie demi-cercle DEA; tirez aun*nbsp;la ligne AC, amp; , fur fa prolongation, trouveznbsp;point G , tel que, tirant la ligne DGHI, lesnbsp;inents GH, Hl, foient �gaux entr�eux : lanbsp;BH fera la premiere des deux moyennes.

Fig. 73. Soit CA la premiere des donn�es ; du po�^^ C d�crivez un eerde avec Ie rayon CB, dgal �

Ja moltt� de CA; prenez dans ce eerde la corde BD �gale a la feconde des donn�es, que vous pro-longerez ind�finiment ; tirez la ligne ADE ind�-finie; enfin, du point C, tirez la ligne CEF, denbsp;maniere que la partie EF, intercept�e dans Tanglenbsp;EDF, foit �gale a CB : alors la ligne DF fera lanbsp;premiere des moyennes proportionnelles cher-ch�es , amp; CE fera la feconde. Cette conftrudionnbsp;eft de Newton.

�fn angle qui n�ejl point une portion exacle de la circonf�rence �tant donn�, trouver avec une grandenbsp;exactitude , au moyen du compas feul, quelle ejlnbsp;fa valeur.

Soit d�crit du fommet de eet angle, avec Ie plus grand rayon qu�il fe pourra, un eerde , furnbsp;Jequel vous marquerez les points principaux denbsp;divifion, comme les demi, les tiers, les quarts,nbsp;Jes cinquiemes, les fixiemes, les huitiemes, lesnbsp;douziemes, les quinziemes de la circonf�rence ;nbsp;ptenez enfuite avec Ie compas la corde de Tarcnbsp;donn�, amp; tranfportez-la Ie long de la circonf�-J^ence, a commencer d�un point d�termin� , ennbsp;faifant un tour , deux tours , trois tours , amp;c. Scnbsp;'^omptant en m�me temps Ie nombre de fois quenbsp;'^ous portez cette corde fur la circonf�rence , )uf-Bn�a ce que vous ayiez tomb� jufte fur un pointnbsp;de divifion, ce qui ne fqauroit manquer d�arrivernbsp;^Pr�s un certain nombre de r�volutions, k nioinsnbsp;Tarc donn� ne foit incommenfurable avec lanbsp;^irconf�rence ; alors examinez quel eft ce point denbsp;�^iflon, c�eft-a-dire, de combien Sc de quelles

546 RicR�ATTONS MATHeMATIQUES. aliquotes de la circonf�rence il eft �loign� du pf�quot;nbsp;mier point ; vous ajouterez Ie nombre de degresnbsp;qu�il donne au produk de 360�, multipli� par 1^nbsp;nombre des tours complets cju�on a faits avec Isnbsp;compas, amp; vous diviferez la fomme par Ie nombrffnbsp;de fois que Ie compas a �t� port� fur la circonfequot;nbsp;rence: Ie quotient fera Ie nombre de degr�s, lUiquot;nbsp;nutes amp; fecondes cherch�s.

Suppofons, par exemple, que Ie compas, OOquot; vert a la grandeur de la corde de l�arc donn�, a'*-�t� port� dix-fept fois fur la circonf�rence, ^nbsp;qu�il foit enfin tomb� jufte , apr�s quatre r�volu'nbsp;tions complettes, fur la deuxieme divifion du eerde en cinq parties �gales. La cinquieme partie denbsp;la circonf�rence eft 72�, Sc les deux cinquieme*^nbsp;144�; ajoutez done 144 au produit de 360� pafnbsp;4 , qui eft Ie nombre des r�volutions complettes�nbsp;�t vous aurez 1584�; divifez ce nombre par 17�nbsp;Ie quotient fera 93� 10' 35'^, grandeur de l�afCnbsp;cherch�.

[/he �gnc droite kant donnie , trouver ^ par vaf operation facile amp; fans �chelle, fan rapport avt^nbsp;une autre , d des /oooquot;, /ooooquot;, toooo^nbsp;prh , amp;c.

Q, u E la premiere de ces lignes amp; la foit nominee A , 8c la feconde B.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

portez-la , autant de fois que cela el^ poflible , la ligne B: je fuppofe qu�elle y foit contenuenbsp;fois avec un refte.

Prenez ce refte avec Ie compas, 8c tranlj^o''*^^*, Ie de m�me fur la ligne B, autant que cela fe

Prenez ce refle, amp;; faites la m�me op�ration: ie fuppol� qu�il foit contenu 13 fois dans la lignenbsp;B , avec un refte ; enfin , que ce refte foit contenunbsp;14 fois exaftement dans la li^ne B.

j-y , 3 amp;c r�duifez-les en fraftions d�cimales, qui font, 0.333333, 0.047619, 0.003663,nbsp;0.00015 a. Je dis que la ligne donn�eeft, en fractions d�cimajes, �gale a la premiere de ces fractions , moins la ieconde , plus la troifieme , moinsnbsp;la quatrieme; ce qui donnenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, fans erreur

II eft aif� de volr qu�aucune �chelle ne fqauroit donner un rapport auffi approch� , quelque fineflenbsp;de divifion qu�on lui fupposat; amp; que , quandnbsp;tn�me on fuppoferoit une �chelle femblable , ilnbsp;tefterolt l�incertitude de la divifion fur laquellenbsp;tomberoit l�extr�mit� de la ligne donn�e : au lieunbsp;qti�une ligne tranfport�e avec Ie compas Ie longnbsp;d�une plus grande, ne ftjauroit jamais laiffer au-lt;^une Incertitude fur Ie nombre de fois qu�elle y eftnbsp;Comprife , avec ou fans refte.

Si 1�on avoit voulu fommer les fraflions ci-def-ftis, fous la forme odinaire , on auroit trouv� la ligne cherch�e �toit �gale a de la fe-*-onde.

^ N ne donne iel ce pr�tendu problcme , que P^tcequ�il fe trouve dans toutes les Recreations

348 RiCR�ATIONS Math�matiques. Math�matiques imprim�es jufqu�a pr�/�nfnbsp;rien au monde n�eft fi fimple amp; plus facile a trou'nbsp;ver, pour peu qu�on connoifle les corps les pl**�nbsp;fimples de la geometrie,

Ayez en effet un cylindre droit, amp; imaginez-I� coup� par l�axe; cette feftion fera un quarr� o'*nbsp;un reftangle: coupez-le par un plan perpendicquot;'nbsp;laire a l�axe ; la feftion fera un eerde: enfin cooquot;nbsp;cevez-le coup� obliquement a eet axe; la feflJOUnbsp;fera une ellipfe. Conf�quemment, fi vous perceznbsp;dans un carton, une planche , amp;c. trois troU*nbsp;�gaux, l�un a ce redangle, 1�autre au eerde,nbsp;troifieme a l�ellipfe, il eft �vident qu�on fera palTefnbsp;Ie cylindre par Ie premier de ces trous, en Ie moU'nbsp;vant dans Ie fens perpendiculaire a fon axe; on 1�nbsp;fera pafier par Ie trou circulaire , en Ie pr�fentan*-dans Ie fens de fon axe; enfin il palTera par Ie troUnbsp;elliptique, en Ie faifant paffer fous l�obliquit� con-venable ; amp; il effleurera dans tous les cas les bord�nbsp;du trou, enforte que fi ce trou �toit plus petit, ortnbsp;ne fqauroit 1�y faire paffer,

On pourroit r�foudre Ie probl�me au moyojj d�autres corps; mais cela eft fi fimple amp; m�me �nbsp;pu�ril, qu�il feroit ridicule de s��tendre plus �o^'�i'nbsp;temps fur un pared objet.

PROBL�ME XLVII.

Meftirer h cercU, ou trouver un ejpace igal au eerde ; ou , plus g�n�ralernent,nbsp;une ligne droite �gale a la circonference du cetd^ �nbsp;OU Cl un are donn� de cette cireonf�reme^

Nous fomines bien �loign�s de pr�tendredoR^ ner ici la folution exade amp; parfaite de ce pf^nbsp;bl�me : il eft plus que probable qu�il �chapper*

G�OMiXRIE. nbsp;nbsp;nbsp;349

jamais aux eflforts de 1�efprit humain; mals il eft tonvenu en g�om�trie que , lorfqu�un probl�menbsp;n*eft pas r�foluble dans fa perfeftion, c�eft un m�rite d�en approcher ; amp; il y en a d�autant plus ,nbsp;que I�on circonfcrit Ia quantit� inconnue dans desnbsp;limites plus voillnes. Or, a eet �gard, les g�o-metres d�fefp�rant de trouver jamais la grandeurnbsp;pr�ci/� du cercle, ou.de fa circonf�rence, ounbsp;d�un are queleonque , ont fait des ehofes tr�s-dignes de remarque ; ear ils ont trouv� desnbsp;tuoyens d�approeher de 11 pr�s de la grandeurnbsp;de cette figure , que , quand m�me un eerelenbsp;auroit pour rayon la diftanee du foleil aux pre-ruieres �toiles fix?s, on feroit f�r de ne pas fe trom*nbsp;per, fur fa eirconf�rence, du diametre d�un ehe-Veu. II n�en faut affur�ment pas tant pour fatisfairenbsp;aux befoins les plus reeherch�s des arts; eepen-dant , il faut en eonvenir, 1�efprit g�om�triquenbsp;go�teroit un plaillr vif a eonnoitre pr�eif�ment lanbsp;grandeur du cercle, a la eonnoitre, dis-je, avecnbsp;Cette pr�cillon avec laquelle on fqait, par exemple ,nbsp;qu�un fegment parabolique eft les deux tiers dunbsp;Parall�logramme de m�me bafe amp; m�me hauteur.

Nousallons commencer a donner des approxi-tUations arithm�tiques; enfuite nous enfeignerons des conftru�lions g�om�triques aflTez curieufes 8cnbsp;^flez approchantes ; enfin nous donnerons un pr�cis hiftorique des recherches qui ont eu la quadra-^itre du cercle pourobjet.

�. I.

donn� h diametn d'un ccrch, trouver en nomhres approch�s la circonf�rence, ou aunbsp;contraire,

3yo Recreations Math�matiques. diocre , fervez-vous du rapport d�Archimede,nbsp;a cl�montr� que Ie diametre �toit a la circonfe-rence a tr�s-peu pr�s comme i a 3^, ou comme 7nbsp;a 12.

Faites done cette proportion, comme 7 a 12'� ainfi Ie diametre donn� eft a un quatrieme tertR^ gt;nbsp;OU bien triplez Ie diametre, amp; ajoutez-y un Ibp'nbsp;tieme: vous aurez a peu de chofe pr�s la circoH'nbsp;f�rence.

On trouveroit ainfi la circonf�rence d�un cercls du diamette de 100 pieds, �gale a 314 pieds Jnbsp;pouces 5 lignes amp; \ : Terreur feroit d�environ Inbsp;pouce 6 lignes.

Voulez-vous approcher davantage de la v�rite� fervez'vous du rapport de M�tius, fqavoir, de cequot;nbsp;lui de 113 a 3 5 5 j c�eft a-dire, faites comme 11Jnbsp;335^, ainfi Ie diametre donn� a la circonf�reflC^nbsp;cherch�e.

M�me fuppofition que ci-defTus, on trouveroit la circonf�rence de 314 pieds i pouce lolig�^*nbsp;amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dont la difference avec la veritable cit'

Si Ton veut une exaftitude encore plus grande t il n�y a qu�a fe fervir du rapport de i ooooooooo^nbsp;d 31415916535; Terreur, fur la clrconf�renc^^nbsp;d�un eerde grand comme T�quateur de la terre fnbsp;feroit au plus d�une demi-ligne,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

S�il s�agit de trouver Ie diametre , la clrcouf^quot; rence �tant donn�e , il eft clair qu�il faut prendt�nbsp;la proportion inverfe ; ainfi Ton fera cette propo*^'nbsp;tion, comme 22 eft a 7, OU comme 3 5 5 a 113 5nbsp;comme 314159 a 100000,ou comme 314159^�'nbsp;535 a 10000000000 , ainfi la circonf�rence doO'nbsp;n�e a un quatrieme terme, qui fera Ie diametr�nbsp;cherch�.

�� II-

Archimede a d�montr� que Ie eerde �toit �gal au redangle de la moiti� du rayon par la circon-f�rence. Cherchez done , par Ie paragraphe pr�c�dent, la grandeur de la eireonf�renee; multi-pliez-la par la moiti� du rayon ou Ie quart du dia-metre : Ie produit fera l�aire du eerele, d�autantnbsp;plus exafte que vous aurez pris pour eireonf�reneenbsp;^n nombre plus exad-

En employant Ie rapport d�Arehimede, Terreur, fiir un eerele de 100 pleds de diametre, feroitnbsp;d�environ 3 pieds quarr�s -1.

Celui de M�tius ne donneroit qu�une erreur �noindre que 25 pouces quarr�s , ou environ unnbsp;fixieme de pied quarr�. Or ee eerele feroit d�environ 7854 pieds quarr�s; Terreur feroit done,nbsp;iu plus , d�une 47114s de Taire totale.

Si Ton fe fervoit du rapport de 1000,0000000 ^3141591653^, Terreur feroit-a peine 'd�un 50�nbsp;�lt;^2 ligne quarr�e.

Mais on peut, fans reehereher la eireonf�renee, trouver la grandeur du eerele : ear, du rapportnbsp;d�Arehimede , il fuit que Ie quarr� du diametre eftnbsp;^ Taire du eerele eomme 14 a ii ; de celui denbsp;M�tius, que ce quarr� eft au eerele eomme 45^ ^nbsp;353;de eelui de 100000 a 314159, que ee m�menbsp;^tiarr� eft au eerele eomme 100000 a 78539,

faifant cette proportion, eomme 14 a 11, ou ��^mme 451 a 35 5,ou eomme 100000051785398,

552. RicRiATIONS Math�matiqu�s. ainfi Ie quarr� du diametre donn� a une quatneiTiSnbsp;proportionnelle, qui fera la grandeur tr�s-apprO'nbsp;ch�e du eerde, fi l�on s�eft fervi du dernier rap'nbsp;port.

�. III.

Conjlruclions g�om�triques fort approchies quarr� �gal a un ctreU , ou d'unamp; �gm droitenbsp;�gale d la circonf�rence circulaire,

Quoique l�on vlenne de voir Ie moyen de trou-ver num�riquement Ie rapport approch� d�un cefquot; cle avec Ie quarr� de fon diametre, il y a cepeU'nbsp;dant quelques conftrudions g�om�triques alTe^nbsp;ing�nieufes , Sc remarquables par leur llmplicitegt;nbsp;pour parvenir au m�me but : nous avons crilnbsp;qu�elles ne pouvoient �tre mieux plac�es qu�ici.

fig. 74! tre, Sc AB un quart de eerde; que AE, ED, DC� foient des cordes �gales au rayon, Sc que du poiatnbsp;B on tire aux points E, D, les lignes BE , BD gt;nbsp;qui couperont Ie diametre en F Sc G: la fomrncnbsp;des lignes BF , FG , fera �gale au quart de eerde�nbsp;a une 5000� pr�s.

centre C , Sc CB Ie rayon perpendiculaire a ce di^' metre. Soit prife dans la prolongation de AD,^fnbsp;ligne DE �gale au rayon; foit enfuite tir�e BE, ^nbsp;laquelle on fera , dans la prolongation de AE,J*nbsp;ligne EF �gale ; enfin ajoutez a cette ligne fanbsp;quieme partie FG: la ligne AG fera, a moins d�un�nbsp;17000� pr�s, �gale a la circonf�rence du eet'nbsp;cle d�crit du rayon'CA.

Car, en fuppofant DA �gale a 100000, P*� trouve cette ligne �gale anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;avec moif*

�i�une unite d�erreur : or la circonf�rence r�pon-dante a ce diametre eft, a moins d�une unit� pr�s ,

3. nbsp;nbsp;nbsp;Le demi-eerde ABC �tant propof�; aiix p],nbsp;�xtr�mit�s A amp; C de fon diametre foient �lev�es fig. 76',nbsp;deux perpendiculaires ; Tune CE , �gale a la tan-gente de 30�; Tautre AG , �gale a trois fois lenbsp;layon; enhn, qu�oii tire la ligne GE: die fera �gale

Car on trouve , au moyen de eette conftruc-lion, le rayon �tant fuppof� 100000, la ligne Eg �gale, a moins d�une unite pr�s, a 314162 ;nbsp;la demi-eirconf�renee feroit, a moins d�une unit�nbsp;pr�s, 3 14159 : Terreur eft d�environ --�-A.� dunbsp;rayon, ou moins d�une eent millieme de la circonf�rence.

4. nbsp;nbsp;nbsp;Soit le cercle , dont le centre eft A , avec fes Fig. 77,nbsp;deux diametres perpendiculaires Tun a Tautre. Sur

fin rayon tel que AD, prenez AF �gale a la moiti� du c�t� EC du quarr� inferit; tirez BFI ind�finie ;

�fienez FH au point H, qui coupe AC en moyenne ^ extreme raifon , AH �tant le moindre fegment inbsp;Par le point C , Idit men�e Cl parallele a FH : lenbsp;'luarr� BLKl, conftruit fur BI, fera a tr�s-peu denbsp;fiEofe pr�s �gal au cercle dont BC eft le diametre.

Car on trouve, par le calcul,'que BF amp; BH E^nt�gales a 69098 amp; 61237 refpedlvement, lenbsp;�^^.yon �tant 100000: done BI fe trouve de 88623,nbsp;dont le quarr� eft 78540, le quarr� du diametrenbsp;�rant looooo, tandisque le cercle eft 78539.

^, a trois fois le diametre, ajoutez un cinquieme fi c�t� du quarr�: vous aurez encore une lignenbsp;T�ome /,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z

554 RiCR�ATIONS Math�matiques. qul ne diff�rera de' la circonf�rence que d�un�nbsp;17000� environ.

�. IV.

Qiielques manures trh-approch�es de determiner � fait numcriquement, foit g�om�triquement, tinenbsp;ligne droite �gale a un are de cercle donn�.

PI. 9, I. Soit l�arc BG, partie du demi-cercle, qu� % 78. doit n�anmoins ne guere exc�der 30�. Pour ennbsp;avoir la longueur approch�e en une ligne droite�nbsp;foit BH , perpendiculaire au diametre AB, amp; foitnbsp;ce diametre prolongc en AD, de forte que ADfo^tnbsp;�gale au rayon : fi 1�on tire DG, elle retrancheranbsp;de BH la ligne BE un peu moindre , mais tr�s-ap'nbsp;prochante de la grandeur de l�arc BG.

' Mais fi 1�on tiroitla ligne dfGe, enforte que lo feginent df \ intercept� entre Ie cercle amp; Ie dia'nbsp;metre prolong� , fut �gal au rayon, alors la droit^nbsp;Be feroit un peu plus grande que l�arc BG, maisnbsp;extr�mement approchante, quand eet are n�exce'nbsp;de ra guere 30�.

Ce th�oreme eft d� a Snellius, mals M. Hu/' gens eft Ie premier qui l�ait d�montr� : nous et*nbsp;verrons plus loin un ufage fort commode pour Ianbsp;Irigonom�trie.

X. On d�montr� encore , d�apr�s M. Huygen* � que deux fois la corde de la moiti� d�un are ,

Ie tiers de la diff�rence de cette fomme avec la c�rde de l�arc entier, �galent a tr�s-peu pr�s l�at^^nbsp;iiti-m�me, quand iln�excede pas 30�.

- Car, fuppofons eet are de 30�; H corde eft X58amp;X parties, dont Ie diametre eft 100000nbsp;de la moiti� de eet are, ou de i 5�, eft de 1305?�nbsp;dont Ie double.eft 16106 : �tez-en 25882, la ^'1'nbsp;��rence eft 224,. dont Ie fiers eft 74} ; a�)outez c^nbsp;nornBre a x�iod , vous aurez z�iSof pour

30�. En efFet, Ie duod�cuple de eet are dok donner la circont�rence entiere. Or ee duod�eu-ple eft 3 14168 , amp; la circonf�rence eft 3 141 59 ;nbsp;la difference n�eft done que de neuf cent milliemesnbsp;du rayon.

Nous avons promis plus haut de donner une klftoire abr�g�e des recherches fur la Quadrature,nbsp;du Cerek : nous acquittons ici notre promeffe. Cenbsp;que nous aliens dire eft Ie precis d�un ouvragenbsp;fortcurieux, imprime chez Jombert en 1754.

II eft d�abord � propos de faire deux clanes des hommes qui fe font occup�s de ce probl�me. Lesnbsp;tms, habiies g�ometres, ne fe font pas fait illu-fion. Reconnoilfant la difficult� ou Fimpoffibilit�nbsp;du probl�me , ils fe font born�s a trouver desnbsp;trioyens d�approximatlon de plus en plus exafts.nbsp;�-eurs recherches ont eu fouvent I�avantage d�a-houtir a des d�couvertes fur toutes les parties denbsp;la geometrie.

Les autres, font ces bonnes-gens qui, quelque-l^ois a peine initi�s dans la geometrie , a peine fqachant a quoi tient Ie probl�me, font tous leursnbsp;efforts pour Ie r�foudre, amp; entaffent paralogifmesnbsp;fttr paralogifmes. Semblables au malheureux Ixion,nbsp;^Ondamn� a rouler �ternellement un fardeau, fansnbsp;PQuvoir l�amener a fon terme , on les voit tournernbsp;^ retourner Ie eerde de tous les c�t�s, fans ennbsp;plus avanc�s. Un g�ometre les a-t-il con-^aincus d�une erreur dans leur pr�tendue d�monf-^'^^tion; on les voit revenir , peu de jours apr�s ,nbsp;^ecla m�me d�monftration reprifeen fous-oeuvre,nbsp;^ iufli pitoyable. Bien fouvent ils ne tardent pas

geometrie ; amp; d�ordinaire, reconnoifTant la bleffe de leurs connoiffances dans ce genre , ilsnbsp;regardent comma illumines fpecialement par 1^nbsp;Ciel pour reveler aux hommes des v�rlt�s dont �nbsp;a voulu refufer la d�couverte aux fqavants, pou*quot;nbsp;l�accorder aux idiots. Tel efl; Ie tableau plaifant SCnbsp;tout-a-fait veritable de ce genre d�hommes.nbsp;fent aif�ment que , dans l�hiftoire abr�g�enbsp;nous allons tracer de la quadrature du c�rcle, nousnbsp;ne ferons pas aux grands g�ometres Ie tort de Ie*nbsp;accoler avec ces derniers. Les �carts finguliers denbsp;quelques-uns de ceux-ci nous fourniront, feule-ment a la fin , la matiere d�un morceau propre anbsp;amufer.

La g�om�trie nai/Toit a peine parmi les GrecSf que la quadrature ou la mefure du eerde y exerlt;j3nbsp;les efprits. On dit qu�Anaxagore s�en occupa dart*nbsp;fa prifon; mais on ne li^ait point avec quel fucc�s-La queftion �toit d�ja c�lebre d�s Ie temps d�A'nbsp;rifiophane, amp; peut-�tre avoit d�ja fait tournetnbsp;t� te a quelque g�ometre ; car , voulant ridiculi^quot;^^nbsp;Ie c�lebre M�ton , il i�introduilit fur la fcene, pr^'nbsp;mettant de quarter Ie eerde.

Le g�ometre Hippocrate de Chio s�en occupy certainement; ,car ce ne peut �tre qu�en cherchs�^'quot;nbsp;a quarter le eerde qu�il trouva fes fameufesnbsp;nulles. On lui attribue m�ine une certainenbsp;naifon de lunuUes , dont on pr�tend qu�il d�dudp'*'nbsp;la quadrature du eerde; mais c�ed, a mon avt*�nbsp;avec peu de fondem�nt; amp; eet homme, qui d��*'nbsp;un rang diftlngu� parmi les g�ometres de Aquot;��nbsp;temps, ne pouvoit �tre dupe d�un paralogifme d�^'nbsp;colier : fon objet n��toit que de niontrer q^e, ^nbsp;roa pouvoit �galer a un efpace re�iiligne la lurtdnbsp;d�crite fur le cot� de l�exagone inlcrit, on en

H efl: tr�s-probable qu�on n�a pas ignore long-temps que Ie eerde eft �gal au reftangle de la clemi-eireonf�renee par Ie rayon. La g�om�trie,nbsp;d�s avant Platon, s��toit d�ja enrichie de d�cou-vertes plus diffieiles. C�eft n�anmoins dans lesnbsp;�erits d�Arehimede qu�on trouve pour la premierenbsp;fois eette v�rit�. Mais cela ne fuffifoit pas; il ref-toit a fqavoir quel rapport r�gnoit entre la eircon-f�renee 6sc Ie diametre ou Ie rayon. Cette reeher-che eaufa fans doute quelques infomnies a ce pro-fond g�ometre. Ne pouvant y parvenir dan,lt;nbsp;l�exaditude g�oin�trique, il fe retourna du c�t�nbsp;de 1�approximation ; Sc il trouva , en ealeulant lanbsp;longueur d�un polygone inferit de 96 e�t�s, amp;nbsp;celle du polygone circonferlt femblable, que Ienbsp;diametre �tant i, la eirconf�rence eft plus grandenbsp;que 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, amp; moindre que 3 yf oti 3 f. Car il fait

voir que Ie polygone inferit eft un peu plus grand que 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp; que Ie circonferlt eft un peu moindre

Depuis ce temps, quand on ne recherche pas une grande exaditude, on prend, pour Ie rapportnbsp;du diametre a la eirconf�rence, ce rapport de inbsp;a 3 y , OU de 7 a 22.; c�eft-a-dire , on triple Ie dia-Jnetre, amp;c l�on y ajoiite un feptleme: il n�y a w�menbsp;plus que les plus groffiers des ouvriers qui n�gli-gent cette feptieme.

On fqait que qudques autres g�ometres de 1�an-tlquit� s�occuperent du m�me objet: tels furent Apollonius, Scun certain Philon de Gadare ; maisnbsp;les approximations plus exa�les qu�ils donnerentnbsp;ne nous font point parvenues.

Le premier des g�ometres modernes qui ait ajout� quelque chol� a ce que les anciens nous

3 5^ R�cr�ations Math�matiques. avoient tranfniis fur la mefure du eerde, eft Pien'�nbsp;M�tius, g�ometre des Pays-Bas, qui vivott vers lanbsp;flti du feizieme fiede. Occup� a r�futer la pf^'nbsp;tendue quadrature d�un certain Simon a Qiiercu ,nbsp;il trouva cette proportion tr�s - remarquable , ^nbsp;finguU�rement approch�e entre Ie diametre amp; lanbsp;circonf�rence , fqavoir, de 113 a 3^5. L�erreur eftnbsp;a peine d�un dix-millionieine de la circonf�rence*nbsp;Apr�s lui, ou dans Ie m�me temps, Viete 1nbsp;c�lebre analyfte amp; g�ometre Franqois , expriinanbsp;Ie rapport de la circonf�rence au rayon par celuinbsp;de 10000000000 a 31415926535 , amp; fit voirnbsp;que ce dernier nombre �toit moindre qu�il ne fal-loit, amp; qu�augmentant d�une feule unite fon dernier chiffre , il �toit trop grand. Vers Ie m�menbsp;temps encore , Adrianus Romanus , g�ometrenbsp;des Pays-Bas , pouffa cette approximation jufcju�anbsp;16 diiffres. Mais ils furent laiff�s fort en arrierenbsp;par Ludolph van Geulen , auffi des Pays-Bas, quinbsp;pouffa ce rapport approch� jufqu�a 35 chiffres. Unbsp;fit voir que , Ie diametre �tant 1�unit� fuivie denbsp;35 z�ro, la circonf�rence eft plus grande quenbsp;314159 26535897932384626433832.7950288 ,nbsp;moindre que 3 141 592653 589793238462643-8327950289. II feiqut fi bon gr� de ce travail gt;nbsp;qui au fond exigeoit plus de patience que de fa-gacit� , qu�il voulut, a Texemple d�Archimede,nbsp;que fon tombeau en fut orn�: ce qui a �t� execute; amp; l�onvoit, dit-on, encore ce fmgulier mO'nbsp;nument dans une ville de Flandres.

Willebrord Snellius, autre coinpatriote de M�tius, ajouta diverfes chofes int�reffantes a cette mat-ere , dans fon livre intitul� Cyclonictria. Hnbsp;trouva la maniere d�exprinier , par un rapportnbsp;tr�s-approch� amp;: par un calcul tr�s-fimple, l3

grandeur d�un are quelconque; amp; 11 s�en fervit pour verifier Ie calcul de van Ceiileii, qu�zl trouvanbsp;exaifl. II calcula auffi la fuite des polygones, tantnbsp;inferits que circonferits au cercle, en doublant tou-]ours Ie nombre des cot�s, depuis Ie d�cagoneynbsp;jufqu�a celui de 5242880 cot�s; enforte que ,nbsp;lorfqu�on p'ropofe un pr�tendu rapport exa�t dunbsp;diametre a la clrconf�rence, on peut, par eettenbsp;table , Ie r�futer, amp; montrer quel ett Ie polygonenbsp;circonferit au deffous duquel tombe la pr�tenduenbsp;Valeur de la circonf�rence, ou quel polygone circonferit elle furpaffe: ce qui, dans 1�un amp; l�autrenbsp;cas, fert �galenient a montrer la fauffet� de la pr�tendue re�tificatlon de la circonf�rence circulaire,nbsp;Le c�lebre Huygens, encore fort jeune, cnri-chit la th�orie de la mefure du cercle de nombre,nbsp;de nouveaux th�or�mes. II combattit auffi la' pr�tendue quadrature du cercle, que le pere Gr�goirenbsp;de Saint-Vincent , Jefuite des Pays-Bas, avoitnbsp;annonc�e comme trouv�e, amp;: n�exigeant plus quenbsp;^uelques calculs qu�il avoit habilement n�glig� denbsp;taire. Gr�goire de Saint-Vincent �toit d�ailleurs unnbsp;grand g�ometre: il r�pondit a Huygens: celui-cinbsp;��cpliqna : quelques difciples de Gr�goire entrerentnbsp;dans la lice : Leotaud, autre g�ometre J�fuite , lenbsp;Combattit encore. 11 a reft� pour conftant, quoinbsp;qu�en ait dit le pere Caftel, que Gr�goire s��toitnbsp;tromp�, amp; que fon gros ouvrage, rempli d�ailleursnbsp;de tr�s-belles chofes, aboutifldit a une erreur, ounbsp;^ quelque chofe d�inintelligible. Car, puifqu�ilnbsp;Pf�tendoit avoir trouv� la quadrature du cercle,nbsp;Sue ne faifoit-il le calcul qui Ia devoit exprimernbsp;'t�m�riquement ? Or c�eft ce que, ni lui, ni quel-Sues-uns de fes difciples qui mirent beaucoupnbsp;daigreur dans cette querelle, ne firent jamais,

Z iv

Jacques Gr�gori, g�ometre Ecofl'ois, eUtrepTiG en 1668 , de d�montrer l�abfolue Impoffibilite d�nbsp;la quadrature du eerde. II Ie fit par un rairou�^quot;nbsp;ment tres-ingenieux , amp; qiu menteroit peut-en'=-d�etre plus approfondi. Quoi qu�il en folt, il n�ert*^nbsp;pas 1�approbation d�Huygens , Sc ce fut 1�occafioi^nbsp;d�une querelle affez vive entre ces deux g�oinetreS'nbsp;Au refte, Gr�gori donnoit plufieurs pratiques ing^^�nbsp;nieufes pour approcher de plus en plus de la mddr^nbsp;du eerde , Sc m�me de celle de 1�hyperbole.

La haute geometrie fournit un grand notubt^ de manieres diff�rentes de trouver par approxiifnbsp;tion la grandeur du eerde, Sc la plupart beaucoupnbsp;plus faciles que les pr�c�dentes. Mais ce n�eft p''*nbsp;iel Ie lieu d�entrer dans leur explication. II nocSnbsp;fuffira de dire que ces moyens ont permis de poiif'nbsp;fer 1�approxiraation de Ludolph van Geulen , jiil'''nbsp;qu�a layichiffres ou d�cimales, Sharp, g�ometr�nbsp;Anglois, la pouffa d�abord jufqu�a 74 chiffres;nbsp;enfuite M. Machin la prolongea jufqu�a cent; egt;�'nbsp;fin M. de Lagny la continua jufqu�a 127. La voici*nbsp;Le diametre �tant l�unit� fuivie de lij z�ro ,nbsp;circonf�rence eft plus grande que 3141592653')^

34825342117067982148086 51327230664709' 38446, Semoindre ejue le m�me nombre, en aug'nbsp;mentant feulenient le dernier chiffre de rungt;*^^�nbsp;Ainfi 1�erreur eft moindre qu�une portion du diaquot;nbsp;metre qu�exprimeroit l�unit� , divif�e par I�litid^nbsp;ftuvie de 1272610. En fuppofant un eerde d�u�^nbsp;diametre mille millions de fois plus grand qu^nbsp;diftance de la terre au foleil , Terreur, fur la citquot;nbsp;conf�rence, feroit mille millions de fois moindr^nbsp;que T�paifteur d�un cheveu,

Tl Teroit m�me poffible d�aller encore plus loin.� Euler en a montr� Ie moyen clans les M�moiresnbsp;de P�tersbourg ; ma�s ce (eroit, il faut l�avouer,nbsp;Une peine affez fuperflue.

Nous croyons ne pouvoir mieux terminer ce pr�cis des recherches lur la quadrature du eerde ,nbsp;'lue par 1�hiftoire affez amufante de quelques-unsnbsp;de ceux qui ont ridiculement �chou� dans la recherche de ce probl�me , ou qui ont donn� dansnbsp;des travers particuliers a cette occafion.

Le premier de ceux qui ont ainfi pr�tendu, parmi �esmodern�s, avoir trouv� la quadrature du eerde , eft le Cardinal de Cufa. Une de fes m�thodes,nbsp;Ctoit de faire rouler un eerde ou un cylindre furnbsp;plan, jufqu�a ce que le point qui l�avoit touch�nbsp;d�abord retournat s�y appliquer ; enfuite , par desnbsp;yaifonnements qui n�avoient rien de g�om�trique ,nbsp;d cherchoit a d�terminer la longueur de la lignenbsp;dnfi parcourue. II fut r�fut� par R�giomontanus,nbsp;1464 amp; 1465.

Apr�s lui, c�eft-a-dire vers le milieu du feizieme ^ede, Oronce Fin�e , quoique profeffeur royalnbsp;des math�matiques, s�illuftra encore par fes para-�ogilmes, non-feulement fur la c[uadrature du eerde , mais encore fur la tfifedion de 1�angle amp; furnbsp;d duplication du cube; mais il trouva dans Pierrenbsp;Nonius , g�ometre Portugais, amp; J. Borel, fonnbsp;�^cien difciple, des contradifteurs qui d�voilerentnbsp;'^lairement fes faux raifonnements. Je n�ai jamaisnbsp;�^^ncu la r�putation de eet Oronce Fin�e, dontnbsp;a auffi une Gnomonique qui n�eft qu�un tiffu denbsp;P^talogifmes.

On eff �tonn� de voir peu apr�s le fameitx Jo-''ph Scaliger donner dans le m�me travers. Comme

il eftimoit peu les g�ometres , 11 voulut leuf rnon-trer la fup�riorit� d�un fcjavant comme lui, en folvant, par maniere de d�laflement, ce quinbsp;embarraffoit depuis fi long-temps ; il cherchanbsp;quadrature du eerde , crut bonnement l�avonnbsp;trouv�e, en donnant pour mefure du eerde, nosnbsp;quantit� qui fe trouve feulement un peu mo.indienbsp;que Ie dod�cagone inferit. II ne fut pas difficile anbsp;Viete , Clavius amp; d�autres , de Ie r�futer ; ce qn^nbsp;Ie mit fort en colere, amp; attira, fuivant 1�ufagenbsp;fiecle , au dernier fur-tout, bea�coup d��pithetesnbsp;honn�tes, amp; Ie confirma de plus en plus que Ie*nbsp;g�ometres n�avoient pas Ie fens commun.

Je fuis fach� de trouver ici Longomontanu* gt; Taftronome Danois, qui pr�fendit prouver que 1�nbsp;diametre eft k la circonf�rence , pr�cif�meU*^nbsp;comme looooo a 314185. Peu de temps apr�s, 1^^nbsp;fameux Hobbes crut auffi avoir trouv� la quadra'nbsp;ture du eerde; amp;, ayant �t� r�fut� par Wallis, 1*nbsp;entreprit de prouver que tonte la geometrie tradquot;nbsp;m'ife jufqu�alors, n��toit qu�un tiffu de paralogy'nbsp;mes. C�eft l�objet d�un ouvrage intitule : DeratiO'nbsp;ciniis amp; fajlu Gcometrarum.

L�agriculteur Olivier de Serres crut avoir troi�quot; v� , en pefant un eerde amp; un trianglenbsp;triangle equilateral inferit, que Ie eerde ennbsp;pr�cif�ment Ie double. Le bon-homme ne \o)�^nbsp;pas que ce double eft pr�cif�ment 1�exagone 1�^^quot;nbsp;ent au m�me eerde.

Un M. Detblef Cluver pr�tendoit, en quarrer le eerde : il r�duifoit le probl�me unbsp;autre incomparablement plus aif� , qu�il �nonq'^��^nbsp;ainfi : Inv^nin mundum Mcnti divince analoff''^.'nbsp;II d�quarroit la parabole, amp; prouvoit qu�Arcb'quot;nbsp;mede s��toit tromp� dans Ia mefure de cette figrirS'

ne tint pas a M. Leibnitz de Ie mettre aux prifes 3vecM. Nieuwentyt, qui entaffoit aufll alors'beau-^oup de mauvaifes difficult�s contre les nouveauxnbsp;�alculs; mais eek ne r�uffit pas.

Quoique ces ridicules euffent d�, ce femble, en Pt�venir d�autres, on n�a pas laiff� de voir, Scnbsp;^on voit encore chaque jour, des hommes donnernbsp;^ans des travers �quivalents. On a vu , par exem-P-e , il y a une vingtaine d�ann�es, un M. Liger,nbsp;^ui trouvoit la quadrature du eerde, en d�mon-^��ant que la racine quarr�e de 14 �toit la m�menbsp;^ttecelle dez5 ; celle de 50, la m�me que cellenbsp;49 : ce qu�il d�montrolt, fuivant fes termes,nbsp;par des raifonnements g�om�triques qu�il ab-^Orroit, mais par Ie m�chanifme en plein des figures.

Le fieur T. de N. , notaire a ,., ., a trouy� ^Uelque chofe de bien plus curieux: c�eft qu�on nenbsp;^oit pas mefurer les courbes en les comparant auxnbsp;^foltes , mais les droites en les comparant auxnbsp;'^%rbes. Cela d�montr�, la quadrature du eerdenbsp;plus qu�un jeu d�enfant.

M. Clerget a fait une autre d�couverte non *''oins int�relTante: c�eft que le eerde eft un polyline d�un nombre de cot�s determine; Sc de-lanbsp;d�duifoit, ce qui eft tr�s-curieux, la grandeurnbsp;point OU fe touchent deux fpheres in�gales. IInbsp;j ifttontroit auffi rimpofiibilit� du mouvement denbsp;? terre. On n�avoit pas entrevu avant lui la moin-affinit� entre ces queftions.

Que dirai-je des calculs compliqu�s de feu ^aftelin, profefl�ur de I�univerfit�, qui trouva,nbsp;prefque autant de travail que Ludolph , unnbsp;j^Pport du diametre a la clrconf�rence, qui �toitnbsp;1 inie hors des limites d�Archimede? Ce bon^nbsp;qui avoir trouv� fi heureufement la qua�

364 Recreations Math�matiques. drature du eerde, ignora, jufqu�a quelques jouf�nbsp;avant fa mort, qu�Archimede e�t quarr� la Pj''tnbsp;bole. II fe propofoit bien auffi , s�il revenoit afnbsp;nialadie , d�examiner Ie proc�d� d�ArchiwsaS gt;nbsp;bien convaincu qu�il �toit que Ie g�ometre SyracRnbsp;fain s��toit tromp�.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

Mais fi cesbommes n�ont encouru que Ie *quot;' . cule, amp; un ridicule renferm� dans Ie cercle etrnbsp;d�un petit nombre de g�ometres, en void un anbsp;I�ambition de quarrer Ie cercle coiita plusnbsp;C��toit un beur Mathulon, qui, de fabriqiiant 0nbsp;toffes a Lyon, pr�tendit fe faire g�ometre amp;nbsp;chanicien ; mais il eut moins de fucc�s qu�HipPnbsp;crate de Chio, qui, demareband de vin a Atheo^^�nbsp;devint un g�ometre illuftre. Le beur Mathui*^nbsp;d�pofa, il y a une quarantaine d�ann�es, a Lyo�;nbsp;une fomme de 1000 ecus, annonqant auxnbsp;metres amp; aux m�chaniciens la d�couverte de ^nbsp;quadrature du cercle Sc du mouvementnbsp;amp; confentant que cette fomme fut remife anbsp;qui lui d�montreroit fon erreur. M. Nicolenbsp;l�acad�mie des fciences , lui prouva que fanbsp;m�trie �toit fort born�e ; que fa pr�tenduenbsp;drature n��toit qu�un paralogifme ; amp; il dem^^__nbsp;que les 1000 ecus lui t�ilfent adjug�s. Lebeur^ ij*

W ; enfin configner, par forme de d�fi, loooo liv. Ponr �tre adjug�es a celui qui lui d�montreroitnbsp;^u�il s��toit tromp�. On ne peut voir qu�en g�mif-fant fur la foibleffe de l�efprit humain, cette grandenbsp;�J�couverte fe r�duire a partager un eerde en quaere parties �gales par des diametres perpendiculai-gt;�6$ , retourner ces quatre quarts de eerde leursnbsp;^luatre angles en dehors, pour en faire un quarr�,nbsp;^ pr�tendre que ce quarr� �toit �gal au eerde,nbsp;t^ans fes principes, il n�eft pas n�ceflaire, pournbsp;^�e deux figures fuflent �gales, qu�elles fe tou-^haflent dans toute leur �tendue: il fuffit qu�ellesnbsp;touchent o� dies peuvent fe toucher. Ainfi Ienbsp;Quarr� eft non-feulement �gal au eerde inferit,nbsp;^ais encore a une figure renferm�e dans Ie eerde,nbsp;^ dont les angles faillants s�appuient fur la cir-conf�rence : d�ou r�fulte , fuivant Ie fens de 1�au-leur, une explication palpable de la Trinit� ; carnbsp;d eft �vident que Ie quarr� eft Ie Pere, Ie eerde Ienbsp;^'ils, amp; la troifieme figure eft Ie S. Efprit. Dirai-jenbsp;^ncore que 1�auteur expliquoit avec la m�me faga-^�t� Ie p�ch� originel, la figure de la terre, la d�cli-�^aifon de 1�aiguille aimant�e, les longitudes , amp;c }nbsp;II n��toit pas difficile de montrer a tout autrenbsp;'i��a 1�auteur , qu�il n�y avoit pas Ie fens commimnbsp;tout cela, Auffi trois perfonnes, dont �toit unenbsp;%iime, fe mirent fur les rangs pour avoir les lOooonbsp;dv. confign�es, L�affaire fut plaid�e au Chatelet;nbsp;^ais ce tribunal jugea que la fortune d�un hommenbsp;devolt pas fouffrir des erreurs de fon efprit,nbsp;S'^and ils ne font point nuifibles a la foci�t�. D�unnbsp;^^tre c�t�, Ie Roi ordonna que les paris fulTentnbsp;'�^gard�s comme non avenus; Sc chacun retira fonnbsp;^�^geiit. L�auteur extorqua a 1�acad�mie un juge-*^�nt qui Ie renvoya aux premieres notions de la

366 Recreations Math�matiques. geometrie , amp; n�en refta pas moins perfuad� qn�nbsp;les fiecles a venir rougivont pour Ie n�tre de Tiii'nbsp;juftice qui lui a �t� faite.

PROBL�ME XLVIII.

No� S 'venons de parler affez au long de la cii' conf�rence circulaire, dont la determinationnbsp;cife en longueur donneroit la quadrature du cef'nbsp;cle; mais nous ne connoiffons aucun auteur qi^�nbsp;ait dit quelque chofe de faiisfaifant amp; d�utile anbsp;pratique fur la circonf�rence de I�eHipfe. IInbsp;cependant n�ceffaire dans bien des cas , amp; m�n�^nbsp;dans la pratique de la g�om�trie , de connoitre 1*nbsp;longueur de cette courbe : il y a auffi, dans la haut�nbsp;g�om�trie,bien des probl�mes dont la folution d^'nbsp;pend de cette m�me connoiffance. Nous croyoii*nbsp;done faire ici quelque chofe d�utile, que de traite^nbsp;de eet objet.

II y a eu des auteurs de g�ometrie pratique, qtd ont penf� que la circonf�rence d�une ellipfe �toitnbsp;moyenne arithm�tique entre les circonf�renc�^nbsp;des cercles d�crits fur fes deux axes comme dia'nbsp;metres: mais ils �toient dans Terreur; amp; s�ils eufquot;nbsp;fent �t� un peu plus dou�s de Tefprit g�om�tric[ue�nbsp;ils s�en feroient apperqu facilement ; car ilnbsp;bien aif� de fe d�montrer que cela eft faux dat��nbsp;une ellipfe tr�s-allong�e, comme celle dont 1�nbsp;grand axe feroit 20, amp; Ie petit axe 2. En eftet,nbsp;circonference de cette ellipfe feroit bien aflutt^'nbsp;ment plus grande que 40, tandis que la moyen��nbsp;proportionnelle entre les circonf�rences des eet'nbsp;des d�crits fur ces axes comme diametres, ne fe'nbsp;roitguere que 343-.

Au refte, la reftification de la circonf�rence ^Hiptique eft un probl�me qui cft prefque, a 1��gardnbsp;la quadrature du eerde , ce que celle-ci eft anbsp;Regard d�un probl�me de geometrie ordinaire. M.nbsp;^ean Bernouilli eft Ie feul qui ait donn� une m�thode fufceptible d��tre r�duite en pratique, pournbsp;�Refurer la longueur de la ligne elliptique. II en-feigne en effet, dans un M�moire excellent qu�onnbsp;^�t parmi fes ouvrages , il enfeigne ^ dis-je, a determiner des circonf�rences circulaires, qui fontnbsp;des limites alternativement moindres amp; plus granges que la circonf�rence d�une ellipfe donn�e.nbsp;C�eft d�apr�s cette m�thode que nous avons cal-t^ul� la table qui fuit. Nous y avons fuppof�nbsp;�ne fuite d�ellipfes dont Ie demi-grand axe com-ttiun eft de 10 parties, amp; dont Ie demi-petit axenbsp;devient fucceffivement i, 2 , 3 , amp;c. jufqu�a 10 ,nbsp;derniere valeur qui donne un eerde ; amp; nousnbsp;3Vons trouv� que la longueur de ces circonf�ren-t^es d�ellipfe �toient comme 1�on voit ci-deflbus.

On voit par-la que la circonference clu cercis moyen entre ceux du grand amp; du petit axe, �**�nbsp;toujours inoindre que la ligne elliptique, amp;nbsp;tant plus fenliblement, que I�ellipfe difFere davaUquot;nbsp;tage du cercle : Terreur eft d�un 7� dans lanbsp;niiere des ellipfes ci-deftiis.

On poiirra au refte, par le moyen de cette laquot; ble , calculer routes les longueurs d�ellipfe moy^�^'nbsp;nes entre les pr�c�dentes: il n�y aura qu�a pren^f�nbsp;des parties proportionnelles.

Siippofons, par exeinple, que le grand axe d�uO� demi-ellipfe fiit de ao pieds, amp; que la hauteurnbsp;fa mont�e ou fon deini-petit axe fut de 7 pieds ^nbsp;demi; il eft �vident que le petit axe entier feroilnbsp;de 15 pieds. Cette ellipfe tiendroit done le mili^^nbsp;entre celle dont le demi-petit axe eft lesnbsp;grand , amp;: celle dont le petit axe en eft les Of�nbsp;en partageant en deux la difference entre les lof*'nbsp;gueurs de ces deux ellipfes, on trouvera , fans er-reur confid�rable, que la longueur de la circoU'nbsp;f�rence de cette ellipfe moyenne fera de 5 5 � 2-7') 5.nbsp;parties, dont Taxe eft 20 : par conf�quent la tnO^nbsp;ti� de Tellipfe propof�e , de 20 pieds d�ouverturenbsp;de 72 de mont�e, aura 27 pieds 6 pouces 8 ligu^^ gt;nbsp;amp; Terreur ira a peine a une ligne.

D�crire g�om�triquement un eerde, dont la c'ircogt;^' f�rejice foit tr�s-approdiante de celle d'une eliipfinbsp;donn�e.

OeST encore M. Jean Bernouilli qui a gn� ce moyen fimple amp; ing�nieux de d�crirenbsp;eerde ifop�rimetre a une ellipfe donn�e. Com��^nbsp;il peut fervir de fuppl�ment a ce que nous venot^^

Soit done une ellipfe dont les deux axes font PI. 16, donn�s. Faites-en une feuleligne droite, cominefig. 130*nbsp;AD, dans laquelle AB eft �gale au grand axe , amp;

BD au petit; que cette ligne A D foit Ie diametre d�un deini-cercle AED , tjue vous diviferez en 4 ,

O� 8, OU 16, OU 31 parties, amp;cc. comme vous Voudrez, amp; felon que vous afpirerez a une plusnbsp;grande pr�cifion. Nous fuppofons ici ce nombrenbsp;de parties �gal a 16. Menez du point B a chaquenbsp;point de divifion , des lignes droites; prenez en-*uite la feizieme partie de la fomme de toutes cesnbsp;Ijgnes, BA , Bi, Bz, B3, amp;c. jufqu�d BD inclu-J'vement; enfin , avec la ligne qui en proviendranbsp;Comme rayon , d�crivant un eerde, vous aureznbsp;dne circonf�rence circulaire tellement approchantenbsp;de celle de l�ellipfe donn�e, qifelle n�en diff�reranbsp;Pas d�une cent millieme partie dans les cas m�menbsp;les plus d�favorables , comme fi Ie rapport desnbsp;^Xes de cette ellipfe �toit de 10 a i.

II eft aif� de voir que, fi 1�on n�avoit divif� Ie detni-cercle qu�en 8 parties, il ne faudroit prendrenbsp;SUe la huitieine partie de la fomme de toutes lesnbsp;*'gnes tir�es aux points de divifion, y compris lesnbsp;Points B amp; A.

Si 1�on ex�cutoit cette operation fur un cercle j On pied de rayon , on parviendroit d un degr�nbsp;j o pr�cifion tr�s approchant de la v�rit� ; amp; , parnbsp;o Uioyen d�un� �chelle g�om�trique fubtilementnbsp;^quot;'if�e , on trouveroit fans calcul des approxima-'ons num�riques tr�s-fatisfaifantes.

jyiterminer un� ligne droiu a tris-peu prhs ^ un are ie Ligne courhe quelconque.

No U S fuppofons que 1�amplitude de 1�arc doR'^� eft peu confid�rable, amp; tont au plus d�unenbsp;taine de degr�s ; c�eft-a-dire que , fi l�on tirenbsp;tangentes aux extr�mit�s de eet are , amp; end�*^^nbsp;des perpendieulaires a ees tangentes, Tangle coi^'nbsp;pris par ces perpendieulaires fera au plus d�i^'�^nbsp;vingtaine de degr�s.

Cela fuppof� , tirez la corde de eet are ; nez enfuite , foit au moyen du calcul, foitnbsp;moyen du compas , Ie tiers des tangentes comp*^*,nbsp;fes entre leur rencontre amp; les points de conta'^^�nbsp;ajoutez-y les deux tiers de la corde: vous aiif^nbsp;une'ligne droite fi approcliante de la grandeurnbsp;Tarc , que, dans Ie cas ci-delTus, elle n�en diff�f^^jnbsp;pas d�un dix-millieme, Mais li Tamplitudenbsp;que de environ , Terreur n�iroit pas a unenbsp;lioneme, comme M. Lambert, de TAcad�m'^ jnbsp;Berlin, Ie fait voir dans un ouvrage allenifquot;nbsp;tr�s - int�relTant , amp; qui m�riteroit fortnbsp;traduit.

Si Tamplitude de Tarc donn� �toit plusgrauuj.� par exemple,'d�environ 50�, il n�y auroit qu�nbsp;vifer eet are en trojs parties a peu pres egales ?nbsp;mener des tangentes aux extr�mit�s de Tarcnbsp;deux points de fe�fion ; ce qui donneroit une P^ jjnbsp;tion de polygone circonferit a la courbe :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jg

, donneront une ligne approchante a un cent-pr�s de la longueur de 1�arc donn�.

donn� ^n eerde dans lequel ejl inferit un lt;iua.rr�, trouver Ie diametre du, eerde, o� l�onnbsp;puijj'e inferire un ociogone d��gai eontour ayte eenbsp;lt;luarr�.

j OIT AB Ie diametre du cercle donn�, amp; AD PI- ro, 5 c�t� du quarr� inferit. Divifez AD en deux %�nbsp;^Salement en E, amp; �levez la perpendiculaire EFnbsp;� ad , rencontrant Ie cercle donn� en F; tirez AF:nbsp;lera Ie diametre du cercle o� l�oftogone inferitnbsp;�gal en contour au quarr� donn�.

. Car 11 eft �vident que Ie cercle d�crit fur Ie 'ametre AF paflera par Ie point E, puifque 1�anglenbsp;^vF eft droit. II eft de plus �vident que la ligne me-du centre I d� fecond cercle au point E, fera pa-f^llele a DF. Or Tangle AFD eft dem^droit, �tantnbsp;I* l�iolti� de Tangle DCA qui eft droit, puifquenbsp;^ corde du quarr� inferit foutend un are de 90�:nbsp;^'^nf�quemment Tangle AIE eft de 45� : d�o� ilnbsp;que AE eft Ie c�t� de Toftogone inferit dansnbsp;Cercle du diametre AF, Or il eft �vident quenbsp;fois AE �galent quatre fois AD.

^ I Ton partage de m�me AE en deux �gale-^�at en G; qu�on �leve au poipt G la perpendi-'aire GH, jufqu�a la rencontre du fecond cercle; qu�on mene AH ; cette ligne AH fera Ie dia-d�un troifieme cercle; o�, fi Ton inferit un

polygone de i6 c�t�s , il fera ifop�rimetre quarr� o� a l�oftogone ci-deflus.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

D�o� il fuit que, (\ 1�on continuoit cette tion a rinfini, on parviendroit a un eerde ^ ^nbsp;polygone d�une infinite decot�s, ifop�rimetrenbsp;quarr� donn�. Ainfi la circonf�rence de ce' cefCnbsp;feroit �gale au contour de ce quarr�, 8c 1�on aarnbsp;la quadrature du cercle.

J�ai vu une tentative ing�nieufe de la qiiap' ture du cercle , au moyen de cette confid�ratio^*nbsp;L�auteur, qui �toit un profefifeur de l�Ecole ^nbsp;Militaire, nomm� M. Janot, r�duifoit Ie probl^'��nbsp;a une �quation affez compliqu�e , mais exat gt;nbsp;dont la r�folution devoit lui donner ce det�^� ^nbsp;diainetre,; mais, lorfqu�il en tenta f�rieufe��^nbsp;la r�folution , il trouva les deux membres de �nbsp;�quation compof�s des m�mes termes; ce qir* ^nbsp;lui donnoit aucune folutlon.

Les trois c�t�s d�un triangle rectangle �tant doriT�-^^ � trouver fans table trigonom�trique la valetirnbsp;fes angles.

O N fuppofe d�abord que Ie rapport de th�nufe au plus petit c�t� eft plus grand ou ^nbsp;guere moindre que de z a i, afin que l�angl^nbsp;pof� a ce c�t� foit au plus d�environ 30� ; carnbsp;reur fera d�autant moindre , que eet angle ftranbsp;vantage au delTous de 30�.

Cela fuppof� ,'fuppofons, par exemple, tli�nufe du triangle �gale a 13 , Ie plus graii�nbsp;c�t�s autour de Tangle droit 11, amp; Ie plusnbsp;Faites cette proportion, comme deux foisThyP

GiOM�TRIE, nbsp;nbsp;nbsp;375

*^�nufe , plus Ie grand cot� ou 38 , au petit cot� 5, ainfi 3 fois l�unit� ou 3 , a une quatriemenbsp;Proportionnelle Or y|- , r�duits en fraftionnbsp;decimale , font 0.39473 : divifez ce nombre parnbsp;*^�1745 ; Ie quotient fera Ie nombre des degr�s amp;nbsp;p3rties de degr�s de l�angle oppof� au petit cot�:

Si les c�t�s du triangle approchoient de l��ga- Pb iogt; lgt;f�, par exemple, s�ils �toient 3, 4, 5, il faudroit%-itUaginer une ligne CD dans Ie triangle , parta-8^ant �galement l�angle oppof� au c�te AB ou 3 �

^r on fqait que ^ dans ce cas, Ie c�t� oppof� AB , lera partag� dans la m�me raifon que les c�t�snbsp;^djacents; par conf�quent on trouvera Ie fegmentnbsp;Bd en faifant cette analogie.

Comme la fomme des deux autres c�t�s ou 9 eft au troifieme 3 , ainfi CB ou 4 efi: a BD , quinbsp;fera-!~; ajoutez enfuite les quarr�s de ^ St de 4 ,nbsp;de CD amp; BD ; amp; tirant Ia racine quarr�e denbsp;fomme qui eft en fra�lions d�citnales 17777,nbsp;aura pour cette racine 4.21637, qui fera la va-*6ur de CD. En appliquant enfin la regie ci-deffusnbsp;triangle BCD, on trouvera Tangle BCD de 18�

^6' 'jquot;^ Sc conf�quemment fon double, ou l�angle ��-CB , de 36quot; 52' 14quot;. Les tables trigonom�tri-Teuffent donu� de 36� 52' enforte quenbsp;difference n�eft que d�une feconde.

Aa �}

feeondes, trouver, fans table trigonoin�triepi^ � grandeur du Jinus qui lui r�pond.

La folution que nous allons donner de ce p��^ bl�me n�eft pas tout-a-fait auffi fiinple amp;nbsp;courte que celle du pr�c�denf; mais c�eft, )uCq^nbsp;ce moment, ce que je connots de mieux ,nbsp;qu�elle efl: facile, amp; propte a s�imprimer dai^nbsp;m�moire , au moyen d�une obfervation quenbsp;ferons a la fin, amp; qui en d�couvrira la fourcenbsp;la d�monftration.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

II y a dans ce probl�me trois cas qui exig�, des proc�d�s differents. L�arc donn� peutnbsp;der 6o�, ou �tre au deffous ou tout au plus de 3� �nbsp;enfin il peut �tre plus grand que 30�, amp; moit�^''nbsp;que 60�.

I. Suppofons d�abord que l�arc excede � amp; que vous veu�liez avoir fon finus. Preneznbsp;compl�ment a 90�, puis r�duifez eet are ennbsp;du rayon , que nous fuppofons 100000;nbsp;eft facile en multipllant les degr�s qu�il contJ^ ^nbsp;par 1745nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp; les minutes par 29.09 , amp; 3]^?^

tant les produits. Faites enfuite Ie quarr� ^ quatrieme puiffance de eet are ainfi r�duit;

Ie quarr� par 2, amp; �tez Ie quotient de l�unit^ ^ du rayon; divifez la quatrieme puiflTance pafnbsp;^ ajoutez Ie quotient au reftant ci-defTus : Ienbsp;bre en r�fultant, fera a tr�s-peu pr�s Ie fii�i'�nbsp;l�arc donn�.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Soit, par exemple, l�arc donn� de yO� 3�� fon compl�ment a 90�, fera 190 30', qui,nbsp;duits en parties du rayon , comme nous l�as^oi^nbsp;dit ci-delTus, donneront 34025. Le quarr� �e ^

�'ORibre , en en retranchant les cinq derniers chif-, qui font inutiles , paree que nous n�avons ~sfoin que des looooo�^ du rayon, eft 11583 ,nbsp;^ fa inoiti� 5792., qu�il faut �ter de rooooo: Ienbsp;^^ftant eft 94x08. Faites encore Ie quarr� denbsp;^^583, ce qui fera la quatrieme puiffance denbsp;3403 5 , Sc retranchez - en cinq chlffres, commenbsp;^utiles par la m�me raifon que ci-deflus: vousnbsp;1341 , que vous diviferez par 24. Le quo-eft a bien peu pr�s 56, que vous ajouterez anbsp;54208 : la fomme 94264 donnera le finus de 70�nbsp;3o'. En effet, on le trouve pr�cif�ment tel dans lesnbsp;^*bles des liniis.

2. Maintenant nous fuppoferons quel�arc donn� tout au plus de 30�. Faites le cube Sc la cin-^uieme puiffance de eet are r�duit en parties dunbsp;quot;^^yon ; divifez le cube par 6 , Sc la cinquiemenbsp;P�iftance par 120; retranchez le premier quotientnbsp;1�arc , Sc au reftant ajoutez le fecond : vous au-fez, a une tr�s-petite erreur pr�s , Ia valeur du

Que Fare donn� foit, par exemple, de 30�. En �t�duifant en 100000� du rayon, on trouveranbsp;Four fa valeur 52362, dont le cube, en retran-^fiant les dix derniers chiffres , eft 14354. Lanbsp;gt;xieme partie de ce nombre eft 2392, qui,retran-'n�e 4e Fare 52362 , laiffe 49970. La cinquiemenbsp;Fniffance du m�me nombre 52362 , en retran.-^fiant les vingt derniers chiffres, eft 3935 , qui,nbsp;.��vif�e par 120 , donne 32: ajoutez 32 au reftantnbsp;o*'^offus, vous aurez 50002 pour le finus de 30^� :nbsp;^ on effet il eft, comme tout le monde fqait, denbsp;50000; l�erreur n�eft conf�quemment que d�unenbsp;^^uple d�unit�s dans le dernier chiffre.

�17(5 Recreations Math�matiques. de 4^�, prenez la difference de cet arc avec 0 !nbsp;elle eft 15�, que vous ajouterez a 60� :nbsp;vous donnera 7^�, dont vous cherchereznbsp;par la premiere regie.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Cherchez aiiffi celui de 15� par la feconde, �tez le de celui de 75 ; le reftant fera celui de 45'nbsp;car c�eft un th�or�me �l�mentaire de la trigoo�nbsp;iTi�trie , que les finus de deux arcs �galement eldnbsp;gn�s de 60�, ont pour diff�rence le finus denbsp;dont chacun de ces deux arcs differe de celui unbsp;60�.

Si, au lieu du finus d�un arc, on a befoif� . celui de fon compl�ment, les m�mes regies fer'^�nbsp;ront; car le finus de compl�ment de �,nbsp;exemple , eft le finus droit de 70�; 6c, au coUnbsp;traire, le finus de compl�ment de 70� eft le fi^�'^*nbsp;droit de 10� : d�o� il eft aif� de voir que ,nbsp;trouver le finus de compl�ment d�un arc, il n�/ *nbsp;qu�a chercher le finus droit du compl�mentnbsp;Tare.

Lorfqu�on a le finus droit amp; le finus de coinp�^^ Jnent d�un arc, on a facilement la tangente en fa'*�nbsp;cette proportion ; comme le finus de compl�m� ^nbsp;eft au finus droit, ainfi le finus total eft a lanbsp;gente: il n�y a , conr�queinment, qu�a divifCnbsp;finus droit, augmente de tant de z�ro qu�onnbsp;dra, par le finus de compl�ment.

Nous venons de donner ici un moyen pafler des tables de finus, fi n�cefTaires dans lanbsp;tique de la trigonom�trie , ou de fe les former f� ^nbsp;jn�me aflez expeditivement, dans des circonn�^^nbsp;ces O� Ton n�en auroit point, 6c ou 1�on fenbsp;ywoit �loign� de tout moyen de s�en procurer.

We fuis trouv� moi-m�me dans ce cas, ayant �t� de pofte a Ofwego en Canada, amp; ayant perdunbsp;Wes effets, qui avoient �t� pill�s par un parti d�I-roquois Anglois. Dans ce trifte f�jour je cherchoisnbsp;3 calmer mon ennui par l��tude amp; la g�om�trie: ilnbsp;ft pr�fenta quelques op�rations trigonom�triques anbsp;faire. Comment m�y prendre ? Je me reftbuvinsnbsp;heureufement du th�or�me de Snellius, qui fertnbsp;de bafe a la folution du probl�me pr�c�dent; enfin , pour comble de bonheur, je me rappellai lesnbsp;deux expreffions en fuite infinie, qui donnent lanbsp;Valeur du finus du co-finus ( ou finus de compl�ment), 1�arc �tant donn�. La premiere eft,nbsp;comme l�cn fqait, a exprimant l�arc ; la premiere

eft,dis-je,�-^-l-�-~. Sec; Selafeconde eft 1 � � nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;---amp;c. Mals lorfque l�arc a

eft fort au delToiis de la valeur du rayon ou de 1�unit�, il eft aif� de voir que 1�on peut fe conten-ter des trois premiers termes de chacune ; car tousnbsp;fts termes qui fuivenQdeviennent excefllvementnbsp;petits. La d�monftratlon des regies ci-defius eftnbsp;Wanifefte d�apr�s cela.

circle, �tant donn� amp; deux points , tracer un autre eerde pajfant par ces deux points'y amp; quinbsp;touche Ie premier.

�l eft �vident qu�il faut que ces deux points ftient tous deux au dedans, ou tous deux au dehors du eerde donn�,

Comme dans les deux fig. 81 amp; 83.. Joignez-les fig. 81,8z

^j8 R�cr�ations Math�matiques. par une ligne droite AB. Par 1�un de ces points�nbsp;par exempTe A, amp; Ie centre du cercle donn�, tireznbsp;la droite AIH qui Ie coupe dans les deux point*nbsp;H, I; prenez enfuite AD quatrieme proportionneܮnbsp;a AB , AH, AI; du point'D tirez les deux tan'nbsp;gentes DE , D e; enfin , du point A, menez patnbsp;les deux points de contaftles deux lignesEAF, �A/�nbsp;qui couperont Ie cercle en F Sc �: Ie cercle trac^nbsp;par les deux points A Sc B Sc par F, touchera 1�nbsp;cercle donn� en F; Sc fi vous en tracez un par 1^*nbsp;points A, B ^ il touchera Ie m�me cercle donn�nbsp;en f.

Deux Circles itant donnis 6* un point, en tracer ufl troijieme , pajfant par Ie point donn�, amp; tou-chant les deux premiers.

PI. lo, Que les deux cercles donn�s aient pour centre* fig. 83. les points A S'C C, amp; les rayons AB, CD. Sur lanbsp;ligne qui joint les centres A, C, prolong�e, chet'nbsp;chez Ie point F, qui eft celui d�ou la tangente anbsp;Fun des deux feroit tan^Ate a 1�autre, ( par 1�nbsp;Probl�me XII. ) Sc joignez Ie point F avec 1�nbsp;point E donn�; faites enfuite FG quatrieme pm'nbsp;portionnelle a FE , FB , FD ; enfin , par Ie prn'nbsp;bl�me pr�c�dent, tracez par les points G Sc E n**nbsp;cercle qui touche 1�un des deux cercles AB ou CV -ce troifieme cercle touchera �galement l�autre.

PROBL�ME LVI.

Fig. 84. Il eft facile de voir que ce probl�me eft fufc�P' tible d�un grand nombre de cas Sc de foiutio*^

diff�rentes, car Ie eerde demand� peut renfermer les trois cercles donn�s, ou deux feulement, ouunnbsp;leul, OU enfin les laififer tons au dehors. Mals, afinnbsp;d�abr�ger, nous nous bornerons a un de ces cas ,nbsp;celui o� Ie eerde a d�crire doit laiffer en dehorsnbsp;les trois au tres.

Soient done les trois cercles donn�s d�fign�s Pb lo, par A, B, C, amp; que leurs rayons foient ka, B %� ^4'nbsp;C' c ; que A (bit Ie plus grand, B Ie moyen , amp; Cnbsp;Ie plus petit. Sur Ie rayon ka prenez ad �gale anbsp;Cc, OU au rayon du plus petit cercle , amp;c dunbsp;centre A au rayon A d d�crivez un nouveaunbsp;Cercle. Sur Ie rayon prenez i�c �gales a Cc,

Sc du centre B au rayon Be d�crivez un autre cercle ; enfuite , par la propofition pr�c�dente,nbsp;tracez par Ie centr� de C un cercle qui touche lesnbsp;deux nouveaux cercles ci-deffus; que fon centrenbsp;lolt E, amp; fon rayon EG; diminuez ce rayon dunbsp;rayon Cc, amp; du m�me centre E d�crivez un nou-quot;Veau cercle : il eft �vident qu�il touchera les troisnbsp;premiers cercles donn�s.

Car puifque Ie cercle d�crit du centre A au gt;�3yon kd eft en dedans du cercle propof� A, denbsp;la quantit� a d ou Cc, il eft �vident que , ft 1�onnbsp;dirninue Ie rayon EG de cette m�me quantit�, Ienbsp;Cercle d�crit de ce nouveau rayon touchera, aunbsp;1'eu du cercle int�rieur au rayon kd, Ie cerclenbsp;propof� dont A ct eft Ie rayon.

Il eft �galement facile de voir que ce m�me ^crcle d�crit du rayon EG moins C c , toucheranbsp;^xt�rieurement Ie cercle au rayon B^. Enfin ilnbsp;touchera ext�rieurement Ie cercle au rayon Cc:nbsp;done il les touchera ext�rieurement tous trois.

Ce probl�me a eu de la c�l�brlt� parmi les dens , Sc ne laiffe pas d�avoir en effet un certaiiinbsp;degr� de difficulte. II terminoit un trait� d�Apo^'nbsp;lonius, intitule dc Contaclibus, quine nous eft P**nbsp;parvenu , mais que M. Viete, celebrenbsp;de la fin du feizieme fiecle, a retabli ^ amp; que I�o�nbsp;trouve dans fes (Euvres imprimees en latin gt; *nbsp;Leyde en 1646 , in-fol. II 1�a intitule : Apollorii^^nbsp;Gallus, fe-u exfufcitata Apollonii Pergcei denbsp;tionlbus Geometria.

M, Newton a donn� une belle Sc tout-f^ait genieufe fokition de ce probl�me; mais celle 0�nbsp;Viete nous a paru preferable pour ce lieu cl, �tatt^nbsp;fond�e fur une geometrie plus �l�mentaire.nbsp;croi^ pouvoir ajouter que ce petit morceaunbsp;geometrie de Viete eftun des plus �l�gants mof'nbsp;ceaux de geometrie trait�e a la maniere des ao'nbsp;dens.

Quels font, les corps dont Ics furfaces out tntr'ell^^ mime rapport que tears folidites t

Quels font les corps dont les furfaces Sont en mime rapport que leurs folidit�s ?

Je ne vois pas que M. d�Alembert ait daign�,''^' pondre a cette interpellation3car, pourpeuq'^��

foit g�ometre, on voit d�abord deux corps Connus, fphere 8c Ie cylindre circonfcrit, qui r�folventnbsp;Ie probl�me. Archimede a d�montr� , il y a long-temps , que la fphere eft les deux tiers de ce cylindre, tant en folidit� qu�en furface, pourvu quenbsp;dans la fiarface du cylindre on coinprenne les deuxnbsp;kafes ; 8c c�eft Ie mot de l��nigme , donn� dans Ienbsp;Mercure fuivant.

Mais on peut aller plus loin, 8c dire qu�il y a ttne infinite de corps qui, compares entr�eux Sc anbsp;la fphere , donnent auiTi la folution de ce pro-kl�me ; tels font tous les folides de circonvolutionnbsp;circonfcrits a une m�me fphere, 8c m�me tousnbsp;les folides a faces planes, r�guliers ou irr�guliers ,nbsp;qui font circonfcriptibles a la m�me fphere: carnbsp;la folidit� de tous ces corps eft Ie produit de leursnbsp;fttrfaces par Ie tiers du rayon de la fphere inf-crite, tandis que la folidit� de la fphere eft Ie produit de fa furface par Ie tiers de fon rayon.

Ainfi Ie c�ne �quilat�ral eft a la fphere inf-^rite, tant en furface qu�en folidit�, comme 9^4. La m�me chofe aura lieu entre la fphere 8c Ienbsp;ifofcele circonfcrit, ft ce n�eft qu�au lieu denbsp;4 a 9, ce fera un rapport diff�rent, felon 1�allon-�cment ou rapplatiffement du cone.

Si la fphere 6c Ie cylindre circonfcrit jouiffent de cette propri�t�, c�eft que ce cylindre n�eft lui-*ti�me que Ie corps produit par la circonvolutionnbsp;du quarr� circonfcrit au grand eerde de la fphere,nbsp;Idr un.axe perpendiculaire a deux des c�t�s paral-

Si ce quarr� 8c Ie eerde inferit tournoient a entour de la diagonale du quarr�, la furface Scnbsp;folidit� des corps ainfi engendr�s, feroient en-^t�elles comme y/i eft a i.

Quelles font ks figures planes dont les furfacts 5� les contours font dans un m�me rapport ?

La r�ponfe eft facile; c�eft Ie eerde, Sc tous 1^* polygones, foit r�guliers , foit irr�guliers, quinbsp;font circonfcriptibles.

Le dod�cagone inferit au eerde efi les ^ du quarr� diametre , ou �gal au quarr� du c�t� dunbsp;triangle inferit,

PI. lo, th�or�me, qui eft aflez curieux, a �t� remaf' qu� pour la premiere fois par Snellius , g�orne^f�nbsp;Hollandois.

Soit AC le rayon d�un eerde o� foit inferit cot� AB de 1�exagone; que AD , DB, foient 1^*nbsp;c�t�s du dod�cagone r�gulier: d�o� il fuit que , tgt;'nbsp;rant le rayon DC, il coupera en deux �galemednbsp;Sc perpendiculaircinent le c�t� AB. Or il eft aif*^nbsp;de voir quOl�aire du dod�cagone eft �gale a douZ^nbsp;fois l�un des triangles ADC ou DCB, Matsnbsp;triangle ADC eft �gal au produit du rayon patnbsp;inoiti� de AF ou par le quart du rayon , c�eft'^'nbsp;dire �gal a un quart du quarr� du rayon : done 1^^nbsp;douze feront �gaux a trois fois le quarr� du rayot*�nbsp;OU aux trois quarts du quarr� du diametre.

D�un autre part , le c�t� du triangle �quilatet� inferit au eerde , le diametre �tant 1�unit� ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

�gal a : conf�quemment fon quarr� eft �gal a � du quarr� du diametre, ou au dod�cagone.

Ie quarr� amp; Ie dod�cagone qui aient cette pro-Pri�t� d�avoir un rapport num�rique avec Ie quarr� du diametre, car Ie quarr� infcrit en eft pr�cif�-�Tient la moiti� ; ma�s, parmi les polygones r�guliers circonfcrits , il n�y a que Ie quarr� lui-m�me.

On pourroit au refte infcrlre dans un eerde donn�,des polygones irr�guliers, amp; m�me une infinite , qui feroient commenfurables avec Ie quarr�nbsp;du rayon.

Soient, par exemple, un eerde d�un diametre fgal a I , amp; que les quatre c�t�s du quadrilaterenbsp;infcrit foient ^, -^4,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; fa furface fera ratio-'

Le diamttrt AB d'un demi-cercle ACB kant dlvif� PI. lo, en deux parties quelconques AD , DB , fur ces fig*nbsp;parties , comme diametres , foient d�crits deuxnbsp;demi-cercles AED, DFB. On demande un eerdenbsp;�gal au rejlant du premier demi-cercle.

�'Levez au point D la perpendiculaire DC a , jufqu�a la rencontre du demi-cercle ACB;

^ue DC foit Ie diametre d�un eerde : ce fera celui ^ine l�on cherche.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I

On en tire la d�monftration, de cette propofi-*ionfi connue du Livre des El�ments d�Euclide, fij^voir, que Ie quarr� de AB eft �gal aux, quarr�snbsp;de ad Sc de DB , plus deux fois Ie re�langle denbsp;par DB ; re�langle auquel eft �gal, par lanbsp;Ptopri�t� du eerde , Ie quarr� de DC. A ces quar-*^es fubftituez des demi-cercles qui font dans Ienbsp;kl�ine rapport, Sc la propofttioa fera d�rnontr�e.

Un qiiarr� Atant dotin�, tn recouper les angles maniere qu'il foit transforms en un ociogoncnbsp;r�gulier,

PI. 10, Soit Ie quarr� donn�ABCD. Prettezfuries deu* %� ^7' c�t�s DC , DA , qui fe rencontrent en D ,

fegments quelconques �gaux. Dl, DK, amp; tire^i la diagonale IK ; faites enfuite DL �gale a dei��^nbsp;fois DK, plus une fois la diagonale IK , amp; tire^nbsp;LI; enfin, par Ie point C, menez CM parallels *nbsp;LI: cette ligne recoupera fur Ie cot� du quarr�nbsp;une quantit� DM telle que, lui faifant DN �gak�nbsp;la ligne NM fera Ie c�t� de 1�oftogone cherch�.

Prenant done AE, AF, BG, BH, CN, CO� amp;c. �gales a DM, amp; tirant EF, GH, ON, oOnbsp;aura l�o�logone demand�.

PI. II, triangle ABC �tant donn�, lui inferire un rtC' �g. 88. tangle , tel que FH ou GI, �gal d un quarr�

Faites d�abord fur la bafe BC Ie re�langle �gal au quarr� donn�, amp; que E foit Ie pointnbsp;AC eft coup� par Ie c�t� de ce re�langle paraB^^^nbsp;a CB ; fur AC d�crivez un demi-cercle; amp;, ays��*'nbsp;�lev� la perpendiculaire EL jufqu�a la renconf�nbsp;de fa circonf�rence, tirez CL : fur KC �gale *nbsp;la moitl� de AC d�crivez auffi un demi-cercle�nbsp;dans lequel vous prendrez CM �gale a CL ; faitesnbsp;enfin KF �gale a KM , ainfi que KG: vous aure^nbsp;les points F 6i G , defquels inenant les parallel'll

a la bafe jufqu�a la rencontre de AB, amp; de ces points de rencontre les perpendiculaires a la bafe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

on aura les reclangles FH , GI, �gaux entr�eux , ainfi qu�au reftangle DB qui �toit �gal au quarr�nbsp;donn� : done , amp;c.

PROBL�M� LXL

t)ans un dngie BAC, par un point donn� tlrer PI. i t, une ligne Hl, tilU quamp; U triangle IHA Joit dg. 89.nbsp;�gal a un. quarr� donn�.

P AR Ie point donn� D, tirez la parallele LE a un des c�t�s AC de l�angle propof�, amp; faites Ie rhombenbsp;LEGA �gal au quarr� donn�; puis, fur la lignenbsp;De d�crivez un derai-cercle, dans lequel vousnbsp;ferez DF �gale a DL , amp; vous tirerez EF; enfinnbsp;prenez GH �gale a EF , amp; par Ie point H tireznbsp;HDI : ce fera la ligne cherch�e.

P�.OBL�ME LXII.

V^UOIQUE la quadrature du cefcle foit pfo-Bablement impoflible , on n'a pas laiff� de trouver des portions de eerde qu�on d�m�ntre �gales k desnbsp;^Ipaces fedilignes. Le plus ancien exeinple denbsp;Portion circulaire ainfi quarrable , eft celui des lu-b�lles d�Hippocratc de Chio : en void la conf-^tu�ion;

Soit le triangle redangle ABC, fiar riiypoth�-Hg- 90. duquel foit d�crit le demi-cerde ABC, quinbsp;Paffera par Fangle droit B fur les cot�s AB , BC,nbsp;foient auffi d�crits des demi-cercles; les efpacesnbsp;�n forme de croifiTant, AEBH A, EDCGB, fefontnbsp;^nfemble �gaux au triangle ABC.

Car il eft aife de voir que Ie demi-cercle fur 1* bafe AC eft �gal a la fomme des demi-cerclesnbsp;AEB, BDC: done, ft l�on retranche de part 6^nbsp;d�autre les fegments AHB , BGC, il reftera d�uonbsp;c�t� Ie triangle, ABC, amp; de l�autre les deux efpacesnbsp;en croiffant AEBH , BDCG, amp; ces reftants feron*^nbsp;egaux : done, amp;c.

PL II, Si les c�t�s ab ,bc, font egaux , comme dans Is 9^�fig' les deux lunulles feront �videmmentnbsp;les, amp; Ie feront chacune a la moiti� du triangi�nbsp;abc, c�eft-a-direau triangle b/a ou b/c.

lunulle d�Hippocrate. Que ABCfoitun demi-cercle fur Ie diametre AC , amp; AFC Ie triangle ifofcelenbsp;reftangle. Sur cette bafe AC , du point F coiniR�nbsp;centre , foit d�crit par A amp; C l�arc de eerdenbsp;ADC ; la lunulle ABCD fera'�gale au triangi�nbsp;CAF.

En effet, puifque Ie quarr� de FC eft double du quarr� de EC , Ie cercle d�crit du rayon FC fet^nbsp;double du cercle d�crit du rayon E C : confe'nbsp;queminent un quart du premier , ou Ie quart denbsp;cercle FADC, fera �gal a la moiti� du fecond�nbsp;OU au demi-cercle ABC, Otant done Ie fegmeuj-commun ADCA , les reftants, fqavoir, d�un c�tenbsp;Ie triangle AFC, amp; de l�autre la lunulle ABCD-A?nbsp;feront �gaux.

C�ESt iel Ie lieu de faire connoitre diverfe* remarques curieufes, ajout�es par les g�ometre*nbsp;modernes a la d�couverte d�Hippocrate.

G � o M i T R i E. nbsp;nbsp;nbsp;\%J

AEGA, cette portion fera encore quarrable, amp;� �gale au triangle reftiligne AHE reftangle en H.

Car il eft facile de d�montrer que Ie fegment A� fera �gal au demi-fegment AGH.

2. nbsp;nbsp;nbsp;Si du point E on abaiffe fur AC la perpendiculaire EI, amp; qu�on tire -FI amp; FE, la in�me portion de lunulle AEGA fera �gale au triangle AFl.

3. nbsp;nbsp;nbsp;On peut done divifer la lunulle en raifotlnbsp;donn�e, par une ligne tir�e du centre F: il n�y anbsp;qu�a partager Ie diainetre AC de maniere que AInbsp;foit a Cl dans cette raifon , �lever la perpendiculaire EI a AC, amp; mener la ligne FE: les deuxnbsp;fegments de la lunulle AGE, GEC, feront dans lanbsp;taifon de AI a IC.

Toutes ces chofes ont �t� remarqu�es pour la premiere fois par un pr�lat g�ometre , M. Artu$nbsp;de Lionne , �v�que de Gap, dans fon livre intitul�nbsp;^urvilinamp;orum amoinior Contcmplado, in-4�, 1654;

4. nbsp;nbsp;nbsp;Si les deux cercles qui forment la lunullenbsp;d'Hippocrate font achev�s, il en t�fultera une au-^re lunulle qu�on pourroit appeller conjugu�e , amp;nbsp;ti� 1�on pourra trouver des efpaces mixtilignes ab-foluinent quarrables.

Soit tir�e en effet du point F un rayon quelcon- Pl. ii, q�e FM, coupant les deux cercles en R amp; M ; on fig- 93�nbsp;�ura Fefpace mixtiligne RAMR �gal au trianglenbsp;fefliligne LAR : ce qui eft aif� a d�montrer ; carnbsp;tl eft facile de faire voir que ie fegment AR du pe-ftt eerde, eft �gal au demi-fegment LAM d�

Stand,

Et de-la il luit que fi Ie diametre m O touche en F Ie petit eerde , 1�efpace triangulaire mixtenbsp;ARFwzA lera �gal au triangle ASF redaqgle en S,nbsp;OU a la demi-lunulle AGCBA.

PI. II, 5. Void enfin quelques portions abfolumeut fig* 94' quarrables de la lunulle d�Hippocrate , que je nenbsp;crois pas qu�on ait encore remarqu�es.

Soit cette lunulle, amp; que AB foit tangente a 1�arc int�rieur. Tirez les lignes EA, eA, faifautnbsp;avec AB des angles �gaux; du point B tirez Ie*nbsp;cordes BE, B e, qui feront �gales : vous aurez 1�el'nbsp;pace mixtiligne termin� par les deux arcs de eerdenbsp;EB e, AGF, amp; par les droites A e , FE, �gal a 1^*nbsp;figure reftiligne cAEBe.

Cela feroit m�me encore vrai quand la figure ABGFA ne feroit pas abfolument quarrable, c�eft'nbsp;a-dire que ABC ne feroit pas un demi-eerde�nbsp;pourvu que les deux cerdes fuffent toujours dan*nbsp;ie rapport de i a i.

Fig. L A lunulle d�Hippoerate eft abfolument quarrable , parceque les cordes AB, BC amp; AC, fout telles que Ie quarr� de cette derniere eft �gal au^nbsp;quarr�s des deux premieres; enforte que , d�cri-vant fur la derniere un are de eerde feinblable anbsp;ceux foutendus par AB amp; BC , les deux fegmeUt*nbsp;AB , BC , font �gaux a ADC.

Cette maniere de confid�rer la lunulle d�Hip' poe rate, conduit a des vues plus g�n�rales. Eunbsp;effet, on peut concevoir dans un eerde tant

cordes � gales qu�on voudra, quatre, par exemple, comme AB , BC , CD, DE, telles que, tirant Pl. u,nbsp;la corde AE, fon quarr� foit quadruple de Tune fig. 95.nbsp;d�elles; ou, plus g�n�ralement, Ie nombre de cesnbsp;cordes �tant �, Ie quarr� de AE peut �tre a celuinbsp;de 1�une AB, comme � a i. Ainfi, d�crivant Air AEnbsp;qn are femblable a ceux que foutendent ces cordesnbsp;AB, amp;c. Ie fegment AE fera �gal aux fegmentsnbsp;AB , BC, amp;c. enfemble : done , �tant de la figurenbsp;te�biligne ABCDE Ie fegment AE, amp;luiajoutantnbsp;les fegments AB , BC, amp;c. il en r�fultera une lu-nulle fonn�e des arcs ACE amp; AE , qui fera �galenbsp;au polygone reftiligne ABCDE.

II eft done queftion de r�foudre ce probl�me de geometrie: Dans un czreU donnl, inferin umnbsp;fuite de cordes �gahs, AB , BC , CD, amp;c. tellc qmnbsp;�e quarr� de la corde AE , qui les foutend toutes ynbsp;foit au quarr� de Vune d�elles comme leur nombre d.nbsp;dunite ; triple s'lly en a trois, quadruple s'il y ennbsp;� quatre, amp;c. Ma�s nous nous bornerons aux casnbsp;conftru�ilbles par la geometrie �l�mentaire ; cenbsp;*Iui nous donnera encore deux lunulles femblablesnbsp;a celle d�Hippocrate, Tune form�e par des cer-cles dans Ie rapport de i a 3 , amp; 1�autre par deuxnbsp;t^ercles dans celui de i a 3 , ind�pendamment denbsp;deux autres lunulles form�es par des cercles dansnbsp;Ie rapport de z a 3 Sc de 3 a 5.

Soit AB la diametre du plus petit des cercles dont la lunulle doit �tre conftruite. Soit prolon-g�e AB en D 4^ la longueur du rayon, amp; d�crit Fig. 96.nbsp;fur AD , comme diametre, Ie demi-cercle AED ,nbsp;tlui coupe en E la perpendiculaire BE a AD; tirsz

DE, amp; faites-lui DF �gale; fur AF d�crivez en-core^un demi-cercle AHF, qui coupe en H Ie rayo� CG perpendiculaire a AB ; menez AH, amp; faitesnbsp;dans Ie eerde donn� la corde Al �gale a AH gt;nbsp;ainfi que les cordes IK amp; KL ; tirez enfin AL, amp;nbsp;fur cette corde, avec un rayon �gal a DE, tra-cez un are de eerde AL : vous aurez la lunuU^nbsp;AGBLA �gale a la figure rediligne AIKLA.

fig. 97, Ie plus petit de la quantit� PD �gale a un demi' rayon, amp; que DE ind�finie f�it perpendiculailquot;�nbsp;a AD ; puis , du point S qui coupe Ie rayon AC ef*nbsp;deux �galement, avec un rayon �gal a 3 AC , foilnbsp;trac� un are de eerde coupant la perpendiculairenbsp;ci-deffus en E; faites EF �gale a -j- AC, amp; DHnbsp;�gale au rayon; partagez HF en deux �galemenfnbsp;en G , duquel point, comme centre, amp; avec t'i^nbsp;rayon �gal a GH, foit d�crit un are de cerclenbsp;coupant en I la droite AD; foit faite enfuite Dl^nbsp;�gale a Hl, amp; men�e la perpendiculaire KR a^nbsp;diametre, qui coupe en L Ie demi - eerde d�cri^nbsp;fur AC ; enfin foit tir�e AL, amp; que les corddnbsp;AM, MN , NO, OP, PQ, lui foient faites �ga'nbsp;les; fur la corde AQ foit, d�un rayon �gal a DE�nbsp;d�crit un are de eerde : la lunulle ANPQA fot^nbsp;�gale a la figure redliligne AMNOPQA.

On peut done former des lunulles abfolumeri^ quarrables, avec des cercles qui font entr�eux dafonbsp;ces rapports, de i a z ^ de i a 3, amp; de i ^ 5- |nbsp;n�y en a pas d�autres form�es'par des cercles en ra�'nbsp;fan multiples ou fous-multipfos fimples, qui

G � o M � T R r E. nbsp;nbsp;nbsp;591

conftruftlbles uniquement par la regie amp; Ie com-Pas: celles qu�on formeroit par des cercles en rai-Ibn de I a 4, de I a 6 , a 7, amp;c. exigent une g�o-in�trie plus relev�e; c�eft un probleme de Ia m�me nature amp; du m�me degr� que celui de la trife�lionnbsp;de l�angle ou des deux moyennes proportionnelles,

Mais il y en a encore deux conftruftib-les au moyen de la g�om�trie fimple, amp; form�es par des cerclesnbsp;en railon de 233 amp; de 33^. Nous nous bornons,nbsp;pour abr�ger, a en indiquer la conftru�lion.

Pour la /��. Soit un cercl� quelconque , dont Ie rayon foit fuppof� i; infcrivez-y une corde AB PI-

__ ^ nbsp;nbsp;nbsp;fig. 98.

�gale al/i _ j/11 � cette corde �tant portee encore deux fois en BC amp; CD, qu�on tire la corde qu�on d�crive fur AB un are femblable a l�arcnbsp;ABC ; qu�on tire enfin les deux cordes �gales AE ,

portez-la cinq fois; tirez la corde de l�arc quintuple , amp; d�crivez fur elle un are avec lin rayon = y/y; dans eet are inferivez les trois cordes denbsp;fes trois parties �gales; ce qui fera toujours poffiblenbsp;par la g�om�trie ordinaire, parceque chacun denbsp;ces tiers eft femblable a un cinquieme du premiernbsp;are qui eft d�]a donn� : vous aurez une lunullenbsp;�gale a la figure reftiligne, form�e par les cinqnbsp;cordes du petit cercle amp;; les trois du plus grand.

B b iv

l7/ie luntdlc itant donn�i, y trouver des por�o^^ abfohirtient quarrables , pourvu n�anmoinsnbsp;les cercles qui la forment foient entdeux dans ccfquot;nbsp;tains rapports de nombre d nombre.

?1. II, S O IT la lunulle ABCDA , form�e de deux cef' %� 99 � des dans un rapport qiielconque de ceux ci-deflus�nbsp;'ABC �tant portion du moindre eerde , amp; AD^nbsp;du plus grand. Tirez la tangente AE a l�arc ADC %nbsp;enfuite menez une ligne AF, telle qiie l�angle EACnbsp;foit a Tangle FAC dans Ie rapport du petit cerd�nbsp;au grand : alors il arrivera une de ces trois chofes;nbsp;OU AF fera tangente au eerde ABC,ounbsp;clle Ie coupera comme en F, 100, ou comtu^:nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot.

^ Dans Ie premier cas , la lunulle fera abfolument quarrable , amp; �gale a la figure rccliligne KALC.

, Dans Ie fecond, cette lunulle , inoins Ie feg' ment circulaire Kf, fera �gale a Ia figure rediligf�nbsp;A /KCLA, ou a Tefpace AKCL, plus Ie triangi�nbsp;AKf.

Dans Ie troifieme , la m�me lunulle, plus fegrnent circulaire A ip , fera �gale a Tefpace refti'nbsp;ligne a qil^cla , ou a Tefpace aYgt;^cl, moins. 1^nbsp;triangle a: K 9.

Nous en fupprimons la d�monfiration , ta^*-pour abrpger, que parcequ�elle eft affez facile d�a-pr�s les principes ci-delTus.

Fig' 9,9� II done alf� de voir que, fi les cercles donn�s font dans certains rapports qui permettent de cofllquot;'nbsp;truire, avec la regie Sc Ie compas. Tangle FAC�nbsp;qui foit a Tangle EAC dans Ie rapport r�ciproqi^�nbsp;de ces cercles, on pourra tirer Ia ligne FA,

*'etranchera de la limulle la portion ADCB/A ^gale a un efpace reftiligne affignable. Or celanbsp;3rtivera routes les fois que Ie petit cercle fera aunbsp;Stand dans Ie rapport de i a a , ou a 3 , ou a 4,nbsp;tgt;u a 5, amp;c, car alors Tangle FAC devra �tre, ounbsp;tlouble , ou triple, ou quadruple , ou quintuplenbsp;tie EGA; ce qui n�a aucune difficulte. II en feroitnbsp;de m�rne fi le petit cercle etoit au grand dans lenbsp;tapport de 2 a 3 , ou 2 a 5 , ou 2 a 7, amp;c. ou linbsp;1�arc ADC, �tant lufceptible de trifeftion g�om�-^tique, coinme il y en a plufieurs, le grand cerclenbsp;^toit au petit comme 3a4,ou3a5,ou3a7, amp;c.

Autre Manure. Que AF foit tangente au cercle ABC en A, amp; AE tangente a Tare ADC dans lenbsp;tti�me point. Tirez laligne AG, enforte que Tan- PI. iZj,

Sle FAG foit a Tangle EAG comme le grand cer-^^g* tie eft au petit, e�eft-a-dire , que Tangle FAEnbsp;foit a EAG comme le grand cercle moins le petitnbsp;tft k ce dernier ; alors , ou la ligne AG tomberanbsp;fur AC , ou au deftiis comme en AG, ou en def-fous comme en kg.

Or , dans le premier cas , 11 eft aife de demon-fter que la lunulle eft abfolument quarrable.

Dans le fecond , on peut aufli faire voir que la ^�me lunulle, moins le triangle mixtiligne MGnbsp;, eft �gale a un efpace refliligne aftignable.

Dans le troifieme, enfin, on fera voir aufli que I? m�ine lunulle, ft �!! y ajoute le triangle mixti-'S'le C rn g, fera �gale a cet efpace reftiligne.

Enfin, foit tiree dans chacune des figures pr�c�-nentes , entre AC , AE , une ligne quelconque , formant avec la tangente AE un angle quel-tonque NAE ; puis foit tir�e dans Tangle FAE une Fig. 99,nbsp;^utre ligne kn, telle que Tangle tzAE foit a EAN 100, loi jnbsp;FAE a CAE. On peut encore d�montrer ^9^'.

que la figure mixtiligne form�e des deux arcs AP , amp; des deux lignes AN , PN , fera �gale a ui^nbsp;efpace reftiligne, efpace qiii fe trouvera en pa^�'nbsp;geant I�arc N/z en autant de parties femblalrles fnbsp;I�arc AP, que Ie petit eerde eft contenu de fo**nbsp;dans Ie grand ; ce qui fera tou�jours fufceptibl^nbsp;d�ex�cution g�otn�trique, fi la raifon d�un cercl�nbsp;a 1�autre eft coinme de i a i, ou a 3 , ou a 4, amp;c.nbsp;La fuppofant, par exemple, ici de i a 3 , on auranbsp;les trois cordes �gales �o , oE, EN, amp; la portiounbsp;de lunulle en queftion fera �gale a la figure re�li'nbsp;ligne A/zoENA , puifque les trois fegments furnbsp;noy oE, amp;c. font �gaux enfemble au fegment AP-

R E M A R qu E.

Nous nous fommesauffi propof� amp;nous avoU* r�folu ce probl�me : l/ne hinulh non quarrahk ynbsp;mais n�anmains form�e par deux Circles qui fortfnbsp;dans Ie rapport de 1 a i , kant donn�e, la coup^^nbsp;parune ligne parallele d fa bafe, qui en retranch^nbsp;une portion alfolument quarrable. Mais nous noU*nbsp;bornerons a Ie propofer a nos ledeurs.

PI. �iji.SoiENT deux cercles concentriques , au tra' g' *�3'vers defquels foit tir�e la ligne , tangente oUnbsp;fecante au eerde int�rieur. Que 1�on tire CA,nbsp;faifant 1�angle ACD; qu�on fafle enfuite Pare D*nbsp;a l�arc DA , comme Ie quarr� de CD a la diff^'nbsp;rence des quarr�s de CB 6c CD, Sc qu�on tire CE �nbsp;on aura Pefpace mixtiligne ABFE �gal au triaug'^nbsp;lediligne ACB.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

determinable au moyen de la geometrie ordinaire, il faut que la raifon entre les arcs AD , DF, foit celle de certains nombres, comme de l a i j.nbsp;� a z , 133, amp;c. 011 2 a 1,233, amp;c. II faut,nbsp;par conf�quent, que la difference des quarr�s denbsp;layons des deux cercles foit au quarr� du moin-dre , comme iai,ou2ai,ou3ai, amp;c. Alorsnbsp;les fefteurs de diff�rents cercles �tant en raifonnbsp;compof�e des quarr�s de leurs rayons , amp; denbsp;leurs amplitudes, on aura Ie fe�feur BCE �gal anbsp;ACF : done , �tant Ie fefteur commun DCF, amp;cnbsp;ajoutant de part amp; d�autre 1�efpace ADB , on auranbsp;Ie triangle re�tiligne ACB �gal a 1�efpace AFEB.

2. Soit un fe�feur quelconque, comme ACB- PI. 12, Ga dont la corde eft AB. Dans un eerde double,fig*

Ou quadruple, ou oduple, prenez un fedeur acbga dont 1�angle foit la moiti�, ou Ie quart, ou la hui-tieme partie de 1�angle ACB , ce qui eft toujoursnbsp;poflible avec la regie amp; Ie compas ; que ce feepndnbsp;iefteur foit difpof� comme 1�on voit dans la figure , c�eft-a-dire de maniere que 1�arc agb portenbsp;fiir la corde AB : vous aurez 1�efpace kagb BGAnbsp;�gal a la figure rediligne ECFc, moins les deuxnbsp;triangles Ka, E^BF.

Cela eft prefque �vident; car, paria conftruc-tion ci-deflus , Ie fedeur ACBG eft �gal kacbg: done , �tant ce qui leur eft commun , il. y duranbsp;�galit� entre ce qui refte d�un cot�, fqavoir , l�ef-pece de lunulle AGB^g'^z, plus les deux trianglesnbsp;A cE, B ^ F , amp; ce qui refte de l�autre ou la figurenbsp;tediligne EcFC : done cette efpece de lunuUe eftnbsp;�gale 4 la figure rediligne ci-deflus, diminuee des

3. Si deux cercles �gaux fe coupent en A amp; B, Fig. 105. ^ qu�on inene une ligne quelconque AC, coupant

l�arc int�rieur en E amp; l�ext�rieur en C , il eft �vi' dent que l�arc EB fera �gal a l�arc BC , conf^'nbsp;quemtnent Ie fegment EB au fegment BC: d�o�nbsp;s�enfuit que Ie triangle forme des deux arcs EB�nbsp;BC, amp; de EC, fera �gal au triangle reftiligi��nbsp;EBC ; enfin , que fi AD eft tangente en A a 1�a''^nbsp;AEB , Ie mixtiligne AEBCDA fera �gal au triaf*'nbsp;gle reftiligne A DB.

fig. io6. que par Ie point de conta�l on mene un troilients eerde �gal aux premiers, l�efpace courbe A F C Enbsp;DBA fera �gal au quadrilatere re�filigne ABDC*nbsp;Car, menez la tangente CB aux deux cercles-On a fait vair plus haut que l�efpace comprisnbsp;les arcs CA, AB, amp; la droite CB, eft �gal au triaH'nbsp;gle re�liligne CAB. II en eft de m�me del�efpacSnbsp;mixtiligne CEDB , eu �gard au triangle CDB*nbsp;done, amp;c.

5. M. Lambert a fait, dans les^c^

T. III, la remarque ci-deflus; mais on peut encot^ trouver d�autres efpaces de la m�me forme, �gau^^nbsp;a des figures reftilignes, quoique born�s par de*nbsp;arcs de cercles dont deux feulement font �gaux. ,nbsp;Soit ABCD Ie eerde duquel doit �tre retraneb^nbsp;par deux autres arcs de cercles un efpace abfolu'nbsp;ment quarrable de 1�efpece ci-deflfus. Prenez ib��nbsp;une droite ind�finie les parties CE,EF, FH, �g^*nbsp;les chacune au c�t� du quarr� inferit dans Ie eet'nbsp;Fig. 107.de donn�, amp; que la troifieme FH foit divif�e ej'nbsp;deux �galement en G; fur 1�extr�mit� de CE fo^nbsp;�lev�e la perpendiculaire EI, laquelle foit coup�nbsp;en I par Ie eerde d�crit du centre Gau rayon gc;nbsp;tirez Cl, amp; que CK lui foit �gale ; enfin foitnbsp;FG un demi-cercle coupant en L la perpendicH'nbsp;laire KL a FG i qu�on tire la ligne HL , amp;

GiOM�TRIE. nbsp;nbsp;nbsp;397

AD, �gales. Si voiis tracez avec un rayon �gala Ce, les arcs paflant par les points A amp; B, A amp;nbsp;�, tournant leur convexit� vers C , vous aureznbsp;l�efpace born� par les arcs AB , AD 6sc BCD, �gal PI- ra,nbsp;^ l�efpace re�liligne fonn� des cordes AB, AD,

^ des quatre cordes DM, MCCN , NB , des ^uatre portions �gales de l�arc BCD.

Mais en voila aflez fur eet objet. Nous nous bor-Rerons a y ajouter une reflexion; c�eft qu�on ne doit point regarder ces quadratures comme de v�-�'itables quadratures d�un efpace curviligne. Ennbsp;effet, comme Ie remarque fort bien quelque partnbsp;Al. cle Fontenelle, tout Ie merveilleux de ceci nenbsp;confifte que dans une efpece de tour de pafle-paffenbsp;g�om�trique, au moyen duquel on ajoute adroi-*ement d�un c�t� a un efpace reftiligne , autantnbsp;rju�on lui en �te de 1�autre. Ce n�eft pas ainfi qu�Ar-^himede a Ie premier quarr� la parabole , amp; quenbsp;g�ometres modernes ont donn� la quadratuTrenbsp;tant d�autres courbes, Toutes ces chofes n�an-^ttoins nous ont paru affez curieufes, amp; ne pouvpirnbsp;�^tre mieux plac�es que dans un ouvrage de lanbsp;��aturede celui-ci.

On d�montre facilementqiierellipfe,/^^./05),efl PI-reftangle de fes axes AB, DE, comme Ie eerde S* ^'e�langle des flens, ou au quarr� de fon dianaetrenbsp;AB , puifque chaque axe efi �gal au diametre.

598 Recreations Math�matiques. pr�s, du quarr� de fon diametre, l�ellipfe eftnbsp;les ~ du re�angle de fes axes.

II n�y a done qu�a multiplier Ie rectangle axes de l�ellipfe donn�e par ii, amp; divifer Ienbsp;duit par 14, Ie quotient donnera 1�aire,

Ajoutons que chaque fegment ou fefteur d�el' llpfe, eft toujouTs en raifon donn�e avec un fefte^^nbsp;OU fegment de cercle facile a determiner. Eta'�^nbsp;PI' donn� , par exemple, Ie fe�teur elliptique �CG�nbsp;fig. HO. Qu Ie fegment FBG , fur l�axe AB foit d�crit

cercle du centre C; en prolongeant GF en D amp; E� on aura Ie fe�teur elliptique FCGB au fedeur cR'nbsp;culaire DCEB , comme FG a DE , ou comnie 1�nbsp;petit ax� de l�ellipfe au grand: Ie fegment ell�P'nbsp;tique BFG fera auffi au fegment circulaire DBE �nbsp;comme FG a DE , ou comme Ie petit axe denbsp;lipfe au grand axe.

Soit encore dans l�ellipfe un fegment ciuelcoJ'quot; que, comme nop. Soient abailT�es de n amp; p den^nbsp;pSrpendicglaires a l�axe , qui foient prolonged*nbsp;jufqu�au cercle en N amp; P , amp; qu�on tire N f gt;nbsp;on aura Ie fegment n o p zu fegment circulaif�nbsp;NOP, dans la m�me raifon du petit axe au gra^^nbsp;axe.

� par exemple, Ie fedeur d�ellipfe DCBgt; a divifer en deux �galement par une ligne, comi��

Fk. III. D�crivez fur Ie diametre AB un cercle, amp; ap^f*^ tir� Dl perpendiculaire a AB , prolongez-la

circulaire ECB; divifez en deux �galement I�arc Eb en F, amp; tirez FH perpendiculaire a l�axe AB ;nbsp;tirez enfin du centre C au point G, o� cette perpendiculaire coupe 1�ellipfe, la ligne GC: on^anbsp;Ie fefteur elliptique BCG �gal a GCD, cofflinenbsp;Ie fefteur circulaire BCF 1�eft a FCE,

Ce feroit la m�ine chofe fi Ie fefteur �toit �gal au quart d�ellipfe, ou plus grand; comme auffi finbsp;c��toit un fe�leur compris entre deux demi-dia-t�ietres quelconques de rellipfe, comme DC ,dCi.

Alors, des points D amp; lt;/, abaiflez fur l�axe les perpendiculaires Dl. di, qui, prolong�es, cou-pent Ie demi-cercle AEB en E amp; e; divifez 1�arcnbsp;Ee en deux �galement en/, amp; menez la perpendiculaire � A a AB , qui coupe 1�ellipfe en ^: lanbsp;ligne Cg diviferale fefteur DC^/ en deux �gale-*nent,

amp; , voulant en tirer Ie meilkur parti po�ible , il cherche Ie moyen d�y couper la plus grande tablenbsp;quadrang�laire rectangle quil fepuijfe. Commentnbsp;doit-il s�y prendre ?

^OIT ABC Ie triangle donn�. Divifez les deux PI, 13, ^dt�s BA, BC , en deux �galement en F amp; G, Sc fig. na.nbsp;*irez FG ; puis des points F, G, menez les perpen-^iculaires a fa bafe FH, GI: Ie reftangle FI feranbsp;Ic plus grand poflible qu�bn puiffe infcrire dans Ienbsp;*^iangle\ amp; en fera pr�cif�ment la moiti�.

Si Ie triangle eft reftangle en A , il y aura deux �^anieres de fatisfaire a la queftion, amp; I�on pourranbsp;^'�oir les deux tables rectangles Fi Sc EI gt; quiFig. 113.

font chacune les plus grancles infcriptibles dans triangle donne, amp; toutes deux egales.

Si le triangle a tous fes angles aigus, fuivabf %� **4� qy�on prenclra pour bafe un des cotes, on auraun^nbsp;folution diff�rente. II y en aura conf�q�eminef*^nbsp;trois, amp; chacune donnera une table plus ou moin^nbsp;allongee, amp; toujours de m�me �tendue ,nbsp;quoi la plus grande r�foudroit le probleme anbsp;clufion des autres, tels font les reftangles FI, GL ?nbsp;KM.

Mais notre charpentier ayant confulte un g�o' metre, celui-ci lui obferve qu�il y aura encorenbsp;plus grand avantage a tailler dans fa piece de boi^nbsp;line table ovale. On d^mandi en conj'iquence com'quot;nbsp;ment il faudra s'y prendre pour y tracer la p^^^nbsp;grande ovale pojjible.

che de bois propofee. Divifez d�abord chaque edt^ en deux egalement en F, D, �; ces trois poinf^nbsp;feront les points de contaft de 1�eliipfe avecnbsp;c�t�s du triangle : tirez auffi les lignes AE , CFrnbsp;BD, qui fe coupent en G ; ce fera le centrenbsp;1�ellipfe.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Faites enfuite GL �gale a G�, amp; tirez pat ^ la parallele GO a BC, amp; par le point D lanbsp;rallele DQ a AE; prenez enfin GP moyennenbsp;m�trique entre GQ amp;G!0 : les lignes GL, G� �nbsp;feront les demi-axes de I�ellipfe, li le triangle BAnbsp;eft ifofcele. Or on a vu plus haut commentnbsp;peut d�crire une ellipfe dont les deux axes fo�nbsp;donn�s.

Mais fi 1 angle LGP eft algu ou obtus, on encore d�crire 1�ellipfe par un mouvementnbsp;tinu, au moyen de 1�inftrument que nous a^o'^*nbsp;d�crit au Probl�me XXXI [: ear il importe

tjue Tangle des deux diametres donn�s fok droit Ou non. Le moyen d�crit r�uffit toujours �gale-inent, avec cette feule difference que , lorfque eetnbsp;angle n�eft pas droit, les portions d�ellipCe d�cri-tes dans les angles de fuite LGP, LGR, ne fontnbsp;pas �gales 8sC femblables.

On peut auffi determiner dire�lement les deux axes; on en trouve la m�thode dans les trait�s desnbsp;feclions coniques; mais la nature de eet ouvragenbsp;ne permet que d�effleurer la matiere , amp; de ren-Voyer tout au plus aux fources.

ies points B amp; C font les ajutoirs des deux bajjins Tl-16 � d�un jardin, amp; A ejl le point qui donne entree d %nbsp;une conduite qui dolt fe pdrtager en deux pournbsp;mener Veau en B amp; C, On demande oti doit �trenbsp;le point de partage, pour que la fomme des troisnbsp;conduites AD, DB, DC, amp; c07if�queTnment lanbsp;depenfe en tuyaux, fok la moindre pofibte,

probl�me, qui appartient a Tart du foiitai-, �tant r�duit en langage g�om�tnque, fe r�-duit a celui-ci: Dans un triangle ABC, trouver h Pfint duquel menant aux trois angles autant denbsp;^^gnes , la fomme de ces lignes fok la moindre pof-fible. Or il eft vilible qu�il peut y avoir un parednbsp;Point, amp; que, fa polition �tant trouv�e , la d�-P^nfe en tuyaux fcra moindre qu�en �tabliffant lenbsp;point de partage a tout autre point quelconoue.

Il feroit long de d�velopper ici le raifonnement rnoyen duquel on refoud ce probleme, auqnelnbsp;^ feroit difficile d�appliquer le calcul, fans tombernbsp;�ns une prolixite extr�me. II nous fuffira de direnbsp;*�n On demoiitre cme le point D cherch� doit etrenbsp;'^ome /,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C c

401 Recreations Math�matiques. tel que les angles ADC, BDC, CDA,nbsp;�gaux entr�eux , amp;c conf�quemment chacunnbsp;I 2.0�.

Pour conftruire done ce probl�me, d�criveZ fvr Ie cdt� AC, comine corde, un are de eerdenbsp;comme ADC, capable d�un angle de i io�,nbsp;qui fok Ie tiers du eerde dont il fera partie ; faite�nbsp;ia m�ine ehofe fur un autre des e�t�s, comme BC�nbsp;I�interfedion de ces deux arcs de eerde d�term*'nbsp;nera Ie point D que 1�on cherche : c�eft a ce poidnbsp;que la conduite dok fe partager, pour aller de-l*nbsp;en B amp; C.

Tdle feroit du molns la folution du probldme * fi les trois tuyaux AD , DC , DB, devoient �tr�nbsp;tous les trois du ni�me calibre. Mais un fontaim^'^nbsp;intelligent fe gardera bien de faire ces trois tuyai'�^nbsp;�gaux : il fentira que , pour la plus grande hauteU'^nbsp;du jet, il convient que les tuyaux DB , DC , n�at*'nbsp;jnettent pas enfemble une plus grande quantitynbsp;d�eau que Ie tuyau AD ; car autrement, l�eaunbsp;toit dans ces tuyaux comme ftagnante apr�s �tf�nbsp;fortie du tuyau AD, amp; ne recevroit pas ton^^nbsp;i�impreffion dont elle a befoin pourjaillir a fanbsp;grande hauteur.

Void done encore la folution du probleiR^ � dans ce nouveau cas. Nous fuppoferons qi-�^nbsp;calibre du tuyau AD, ou la capacite , eft pr�cd^nbsp;ment double de celui de chacun des deux autre^�nbsp;c�eft-a-dire que les diametres font dans Ie rapp^^nbsp;de lo a 7 ; car , par ce moyen, l�eau (era toujo�'^nbsp;�galenient preff�e dans Ie premier amp; dans lesnbsp;derniers. Nous fuppofons auffi que les prix ds ^nbsp;toife de chaque efpece de ces tuyaux font da*�^nbsp;Ie in�me rapport; car, dans cette forte de p*^^^nbsp;tl�me �conomique, c�eft principalement let*?nbsp;port des prix qu�il faut conftd�rer.

Cela �tant done ainfi fuppof� , nous trouvons que Ie point de f�paration des tuyaux de conduitenbsp;doit �tre en im point tel que les angles C d A ,

B^/A, foient �gaux, amp; foient tels q�e , dans cha-cun , fon finus foit au finus total comme 10 eft a 14, OU, plus g�n�ralement, comme Ie prix denbsp;la toife du gros tuyau eft au double de celui dunbsp;plus �troit. D�apr�s cela, il eft facile, dans notrenbsp;hypothefe , de determiner eet angle. On Ie trou-vera de 132� 56', OU 1330.

Si done l�on d�crit fur les c�t�s CA , BA , du triangle ABC , les deux arcs de eerde capablesnbsp;d�un angle de 133� chacun , leur point de feftionnbsp;donnera Ie point i, o� la principale conduite doitnbsp;fe partager pour mener l�eau en B amp; C , en faifantnbsp;la moindre d�penfe poflible en tuyaux.

On peut, en �tendant Ie probl�meci-deftus, fup- pi. 16, pofer que la conduite principale doit porter l�eau %. i*9-a trois points donn�s, B, C, E. Dans ce cas, onnbsp;d�montre que ft les quatre tuyaux de conduitenbsp;�toient �gaux, Ie point de partage ne fqauroit �trenbsp;plac� plus avantageufement, au moins pour di-tninuer la quantit� de tuyaux, que dans Pinterfec-tion m�ine des lignes AE , BC; mais ce ne feroitnbsp;probablement pas la difpofition la plus avanta-geufe pour que l�eau jaillit avec Ie plus de force.

2ue fur la premiere folution du probl�me pr�c�-ent. II conviendra, pour la force du jet, que Ie Calibre du principal tuyau foit a peu pr�s triple denbsp;Celui de chacun des autres. Suppofons de plus que

Ie prix de la toife du premier foit a celui de toife des autres, comme w a n; Sc enfin, pournbsp;fimplifier Ie probl�me , dont la folution feroit au-trement fort compliqu�e , nous fuppoferons quenbsp;les lignes AE, BC, fe coupent a angles droits: celanbsp;�tant, ]e trouve que l�angle EFC doit �tre tel que

fon finus de compl�ment foit ^ n\/4,1/1�f Ie finus total �tant l�unit�; ou , ce qui revient aunbsp;m�me, il faut que Ie finus de Tangle DCF foitnbsp;�gal a la quantit� ci-deffus.

Si done onfuppofe, par exemple,TO a n comme 5 a 3 , on aura Texpreffion ci - deffus �gale anbsp;0.7149� ; 'ce qui efl; Ie finus d�un angle de 45�nbsp;38'. Faites done Tangle DCF de 45 a 46�,nbsp;vous aurez, dans cette fuppofition , Ie point F oUnbsp;conduite principale doit Ie partager.

Si m �toit a n comme 1 a ij^Texpreflion ci-def-fus deviendroit �gale a 0.86600; ce qui efl: Ie finus cie Tangle de 60� : c�eft pourquoi il faudroit, dansnbsp;ce cas , faire Tangle DCF de 60�, ou chacun desnbsp;angles DFC , DFB , de 30�.

II efl �vident qu�afin que Ie probl�me foit fulquot;' ceptible de folution, il faut que m Si n foientnbsp;iels que Texpreffion ci-deffus ne foit ni imagi'nbsp;iiaire , ni plus grande que Tunit�. Dans Tunnbsp;Tautre cas , il n�y auroit aucune folution ; amp; celanbsp;indiqueroit tout au plus que la divifion devroitnbsp;fe faire au point A m�me, ou Ie plus loin poffibl�nbsp;de la ligu� BC. II faut auifi que cette expreffioRnbsp;ne foit pas �gale a z�ro; ou fi cela arrivoit, on de'nbsp;�yroit en concliRS que la divifion doit �trenbsp;au point D.

P R O B L � M E L X X.

Paradoxe, g�om�trique des llgnes qui s�approchent fans cefe Vune de F autre , fans n�anmoins pou-voir jamais fe rencontrer amp; concotirir enfemblc,

IL n�eft aiicun commenqant dans la geometrie, fjul ne Iqache que fi deux llgnes drokes dans unnbsp;in�me plan s�approchent Tune de l�autre , ellesnbsp;concourront n�ceffairement dans un point d'inter-feiflion commune. Nous difons dans tin mimenbsp;plan, car fi elles �tolent dans des plans diff�rents,nbsp;il eft clair qu�elles pourroient s�approcher jufqu�anbsp;un certain terme fans fe couper, amp; que de-la ellesnbsp;s��carteroient de plus en plus Tune de l�autre. Sup-pofons en effet deux plans paralleles amp; verticaux,nbsp;par exemple , amp; que dans 1�un foit trac�e unenbsp;ligne horizontale, amp; dans l�autre une inclin�e anbsp;l�horizon ; il eft �vident qu�elles ne feroient pasnbsp;paralleles, amp;c n�anmoins qu�elles ne fqauroientnbsp;jamais fe couper 1�une l�autre, leur moindre �lol-gnement �tant de n�ceffit� la dlftance de deuxnbsp;plans. Ainfi voila deux lignes non paralleles, amp;:nbsp;cependant qui ne concourent point. Mals ce n�eftnbsp;pas dans ce fens que nous 1�entendons.

II y a en effet, amp; dans Ie m�me plan , plufiaurs lignes qu�on d�montre s�approcher fans ceffe runenbsp;de l�autre , fans n�anmoins pouvoir jamais fe rencontrer. Ce ne font pas a la v�rit� des lignesnbsp;droites , mais une courbe combin�e avec unenbsp;ligne droite , ou deux lignes courbes enfeinbleinbsp;Rien n�eft phis familier a ceux cjui font verf�s dansnbsp;une g�om�trie un peu relev�e: en voici quelques,nbsp;exemples.

PI. 13, Sur une ligne droite AG ind�finie , prenez deS fig. I l�, parties �gales AB, BC, CD, amp;c ; amp; fur les pointsnbsp;B , C, D� amp;c. foient �lev�es des perpendiculai-res Cc, �d^ Ee, amp;c. qui d�croiflent fuivantnbsp;une progreffion dont aucun terme ne puiffe devenirnbsp;z�ro, quoiqu�il puiffe devenir auffi petit qu�on vou-dra : que ces termes, par exemple, d�croiffent fui

ed: �vident que lacourbe,paffantparlefominetdes lignes d�croiffantes fuivant cette progreffion , nenbsp;fqauroit 'jamais rencontrer la ligne AG, quelquenbsp;prolong�e qu�elle foit, puifque jamais fa diftancenbsp;a cette ligne ne peut devenir z�ro: elle s�en appro-chera n�anmoins de plus en plus, amp; de maniere^'nbsp;a en �tre plus pr�s qu�aucune quantit�, quelquenbsp;petite quece foit. Cette courbeeft, dans ce cas-ci,nbsp;celle fi connue des g�ometres fous Ie nom ^hyper-~nbsp;bok, qui a la propri�t� d�etre renferm�e entre lesnbsp;branches des deux angles reftilignes oppof�s parnbsp;Ie fommet, vers lefquelles elle s�approche de plusnbsp;en plus fans jamais les atteindre.

Si la progreffion fuivant laquelle d�croiffent ces lignes B�, Cc, D^/, amp;c. �toit celle-ci, i, ^

TT5 la ligne paffant par les points � , c, ^, c, amp;c. s�approcheroit encore de plus en plusnbsp;de la droite AG , fans jamais la rencontrer , puif-fjuc , quelqu��loign� que foit un terme quelconquenbsp;de cette progreffion, il ne peut jamais �tre �galnbsp;a z�ro.

Fig. 117, , -Aiitre Exempk. Hors de la ligne AF ind�finie, foit pris un point P, duquel foit tir�e PA perpendiculaire a AF, amp; tant d�autres lignes que 1�onnbsp;voudra, PB , PC, PD, amp;c. de plus en plus in-elin�es , fur la prolongation defqueltes on prendranbsp;les lignes Alt;z, j Cc, amp;;c. toujours �gales j il eli

dak que la ligne paffant par les points amp;c. ne Tcjauroit jamais rencontrer la ligne AF:nbsp;cependant elle s�en approchera de plus en plus,

amp;; de plus pr�s qu�aucune quantit� d�termin�e, piiifque F� s�incline de plus en plus. Cette courbenbsp;eft celle qui eft eonnue des g�oinetres fous Ie nomnbsp;de Concho�de, amp; qu�inventa un g�ometre Grecnbsp;noinm� Nicomede , pour fervir a la folution dunbsp;probl�me des deux moyennes proportionnelles.

Nous n�en donnerons pas d�autre exemple , at-tendu qu�il y en a une infinite dans la geometrie un peu relev�e.

II y avo 'it dans Vijle dc Dclos un umph confacri Pl. 14� a la Giomhrh, II �coit �lev� fur une bafe circa- tig-lairc, amp; furmont� d�an dome hcmifph�rique ^ perc�nbsp;de quaere fen�tres dans fon contour amp; d'unenbsp;ouverture circulaire au fommet , teUement combi-nks, que Ie reflant de la furface h�mifph�rique denbsp;la voute kok egal d une figure recliligne. Quantnbsp;au tamhour du temple, il hok perc� d'une portinbsp;qui elle - m�rne kok abfolument quarrable , oUnbsp;�gale d un efipace recliligne. On demande corn-ment s'y Itok pris l'archkecle g�ometre qui avoitnbsp;�lev� ce monument.

Tout Ie monde, du moins g�ometre, r(jak que la mefure de la furface d�un h�mifphere depend de la mefure du eerde , cette furface �tantnbsp;�gale a celle d�un cylindre de m�me amp;nbsp;m�me hauteur. L�artifice de cette confirudionnbsp;�toit done 1� d�avoir retraneb� du d�me, par lesnbsp;ouvertures ci-deflus d�crites, des portions fphen-

ques telles que Ie reliant fut �gal a une figure pure-ment reftiligne, amp; 2� cl�avoir d�crit fur le taiU' boiir ou mvlr circulaire dii temple, une autre fi'nbsp;gure qui elle-meme fut auffi quarrable. Or voicinbsp;comment on a pu s�y prendre.

Soit d�abord un quart de la voute h�mifph�ri-j que du temple , dont la bafe foit le quart de cercle ACB. Soit pris Fare BD �gal a un quart de Farenbsp;AB , pour la largueur de Fare doubleau qui doitnbsp;feparer les fen�tres; tirez la corde du reliant AD Jnbsp;Maintenant que SCE foit une coupe quelconquenbsp;par Faxe SC du dome, dont Finterfedlion avecnbsp;AD foit F ; faites CE, CF, CG , continuellementnbsp;proportionnelles ; prenez dans Faxe CS la lignenbsp;CH �gale a EG, 6c tirez HI parallele a CE , quinbsp;coupera en I le quart de cercle SE : le point I feranbsp;un de ceux de la fen�tre cherch�e. Ainfi la fuitenbsp;des points I d�termin�s de cette maniere , don-nera le contour de cette fen�tre , dont la furfacenbsp;fera �gale a deux fois le fegment AED, tandisnbsp;que la portion fpherique SAIDS fera �gale anbsp;deux fois le triangle redllligne CAD.

La furface entiere de ce quart de voute fern done �gale a deux fois ce triangle , plus le fecleutnbsp;fpherique SDB , lequel eft �gal a deux fois le lec-teur circulaire CDB, ou au quart du fe�leur fpli�-rique SAEB : done , fi cle qe fefteur on retranchenbsp;le quart SLM par un plan parallele a la bafe gt;nbsp;eloign� du fommet S d�un quart du rayon SC , Dnbsp;reliant de ce quart d�hemifphere , e�eft-a-dire lanbsp;lurface AIDBMLA , reftera �gale au double dunbsp;triangle reftiligne CAD. Faifant enfin chaque autre quart de la voute h�mifph�rique femblable anbsp;eelui-ci, on aura toute la voute , les ouvertures

6t�es, �gale a hult fcis le triangle ACD.

Pour Touverture a faire clans Ie miir circulaire du temple, amp; qui doit �tre elle-m�me �gale anbsp;Un efpace reftiligne , rien n�eft plus facile , quoi-�jue cette ouverture foit partie d�une furface cy- pi.nbsp;Pndrique, Pour ceteffet, queABDEF repr�fentefig. lao,nbsp;Uue moiti� de cette furface. Prenez pour la largeurnbsp;de la porte a former , la corde GH parallcle aunbsp;diametre AD ; faites HK, GI , qui font perpen-diculaires a la bafe, de la grandeur convenablenbsp;pour que cette porte ait la proportion qu�exigentnbsp;Ic bon gout amp; Ie caraftere de l�ouvrage ; faitesnbsp;enfin palTer par les points I amp; K , amp; par la lignenbsp;AD , un plan qui d�tenninera , par fon interfec-lion avec la furface cylindrique , la courbe ILK :

Vous aurez l�ouverture cylindrique un peu cintr�e par Ie haul GBHKI, qui fera au reftangle de CBnbsp;par GH, comme !e finus de l�angle LCB au finusnbsp;de l�angle demi-clroit.

On pourroit varier ce probl�me de beaucoup de manieres; amp;: pendant Ie trifte f�jour que j�ainbsp;fait, en 1758 , dans un pofte du Canada , je menbsp;fuis amuf� a varier la c[ueftion de bien des manie-Je 1�ai r�folue en faifant la totalit� de la fur-face du temple abfokiment quarrable. Je ne perqoisnbsp;dome que d�un trou au fommet, comme celuinbsp;du Panth�on, amp; je prenois les cjnatre fen�tres furnbsp;^a furface cylindricpie du temple , amp;c. Tout celanbsp;au refte, facile pour cjui eft un peu g�ometre.

R E M A R qu E S.

!� Ce probl�me eft, a peu de chofe pr�s, celui ^ue Viviani propofa en l�qz , fous Ie titre denbsp;�^nigma Geometricum. II fut facilement r�folu parnbsp;Leibnitz, les Bernoulli, les 1�H�pital, On en

410 Recreations Math�matiques. peut voir I�hiftoire dans celle des Math�matiques,nbsp;Tome II, Liv. I. La folution de Viviani lui-m�nienbsp;eft tout-a-fait ingenieufe amp; �l�gante; inais comme,nbsp;fuivant cette folution, la voute ne feroit pas fuf-ceptible de conftruftion , patcequ�elle portcroitnbsp;fur quatre points, ce qui eft abfurde en architecture, nous avons fait quelques changements a l��-iionc�, en ajoutant I�ouverture circulaire du fom-met; au moyen de quoi notre voute porteroit futnbsp;des parties ayant quelque folidit�, chaque fen�trenbsp;�tant f�par�e de fa voifine par un are qui eft unnbsp;feizieme de la circonf�rence totale.

2. Le pere Guido - Grand! a remarqu� que ft 1�on a un cone droit fur fa bafe circulaire; qu�oRnbsp;inferive un polygone dans cette bafe,par exemplc�nbsp;' PL 14�un triangle ABC; que l�on �leve fur chaque c�tenbsp;%� de ce polygone un plan perpendiculaire a la bafe�nbsp;la portion de la furface conique, retranch�e dunbsp;cot� de l�axe , eft �gale a un efpace recfiligne : cafnbsp;il eft aif� de d�montrer que cette furface eft a cell^nbsp;du polygone reftiligne ABC qui lui r�pond p^t'nbsp;pendiculairement au deflbus , comme la furfac^nbsp;du c�ne au eerde de fa bafe, c�eft-a-dire, comn�^nbsp;le c�t� incline du c�ne SD au rayon ED de cett^nbsp;bafe.

Les portions de c�ne retranch�es par les pla*^* ci-deftus vers la bafe , font auffi vifiblement daU�nbsp;le m�me rapport avec les fegments de cercle ft�'^nbsp;lefquels lis appuient. Enfin , quelque figure qunbsp;d�crive dans la bafe, ft fur la circonf�rencenbsp;cette figurO' on conqolt �lev�e une furface cyb'1nbsp;drique drolte , elle retranchera de la furface coiigt;'nbsp;que une portion qui lui fera dans le m�me rappo*''^'nbsp;Ce g�ometre Italien , qui �toit de l�ordrenbsp;Camaldulesj s�eft avif� de nommer cette

tOnique abfolument quarrable, Vdum Camaldu-i^nfe, II eut pu fe difpenfer de lui donner cette denomination de mauvais go�t. C�eft ainfi qu�unnbsp;bon religieux Francifcain s�eft avif� de faire unnbsp;cadran folaire fur un corps alTez reffemblant a unenbsp;fandale, amp; d�en faire imprimer la defcriptionnbsp;fous Ie titre de Sandalion Gnomonicum.

tdn polygone quelconqiie irr�gulier A BCD E A �tant Pf *4� donn�, quon divifechacun de fes c�t�s en deux^?gt;'nbsp;�galement, cornme e�a,b,c,d,ej �S' qtionnbsp;joigne les points de divifion des c�t�s contigus :nbsp;il en r�fultera un nouveau polygone a b c d e a.

Quon fajfe m�me op�ration fur ce polygone , puis fur celui qui en r�fultera, amp; ainf d Vinfini,

Ce probl�me, linpoffible peut-�tte a r�foudre par des confid�rations purement g�om�triques, eftnbsp;Pufceptible d�une folution fort fimple , tir�e d�unenbsp;autre confid�ration. Nous la donnerons dans Ienbsp;''olume fuivant. Nos le(fteurs pourront exercernbsp;fagacit� fur cette queftion. Je me bornerai anbsp;ajouter qu�elle me fut propof�e en 1750^ par M.

De la longueur du Pied, ou autre mefuramp; longitudinale qui en dent lieu, che:^ les-principales Nations amp; dans lesprincipalesnbsp;Ndles de I�Europe,

NO u s avons plus d�une fois �prouv� combiet^ 1�on eftembarraffe, dans certaines recherches,nbsp;a fe procurer la connoiffance des mefiires des diff�rents pays: c�eft pourquoi, routes les fois qu2nbsp;nous en avons eu I�occafion , nous avons recueilbnbsp;avec foin les rapports des mefures etrangeres , foi^nbsp;anciennes, foit modernes , avec les notres;nbsp;nous croyons que nos lefteurs verront ici avecnbsp;plailir une table de ces mefures , la plus ampl^nbsp;qui fe trouve aucune autre part. Nous les compa'nbsp;rons toutes au pied de Paris, qui eft de iipouce*nbsp;divifes chacun en lilignes, amp; chaque ligne dPnbsp;vifee en lo parties; ce qui donne, pour le piednbsp;Paris, 1440 de ces parties. Nous en prefentoO^nbsp;une double comparaifon , fqavoir , 1�une en partiednbsp;de cette efpece, amp; 1�autre en pieds, pouces,nbsp;gnes, amp; dixienies de lignes.

TIEDs anciens et MODERNESf^

;i372,o�o�II-	-�5-�
��2io8�1......5--	....6-8
��1013� 0......8-	....5.-?
��1219-�0'� 10quot;	....I--9
.�1520.�i......0quot;	....8.-0
� i......0-	....8-J
	.. lO-quot;'^
�1220�o�12-
�1496�1......Oquot;	,...5....�
�1418�-o�-II �	...9....8
......0-	..8-6
�157?--i......I-	...1..-5
�i58o--i......Iquot;	...2-0
� 1247-�0-�lo--
�1392 -o-II-	...7-2

� I4I5�0-II �	...9.-5
� 1042�0......8�	...8-J
�1485 � 1......0-	...4-5
�I779�-1 2 �	...9-9
i345-o--it-	...2..-5
�1260�o--IO--	...6.-0
�1583 � 1......1-.	...2--5
�1098�0......9�
�2592;--i......$-�	,..7-2
1511�I......o-	-7--�
I320-�O�-IIquot;-
12.67 �0 � I0--	-6.-1
126o.quot;.0.�10 ��	..6-�
�I220.-..0--IO.-	�z-o
1488��! 0�quot;	..4.-8

Vicence, ...........		..�O-.	��9 -
Wefel,...............		....8..	....8-
Ulm, .................
Urbino , .............	.............I570..-I.		I ...
Utrecht,.............		..�8..	-��4 �
Zurich, .............		-II �	...�O �

TABLE

De quelques autres Mefure^ tant anciennes que modernes , amp; de leurs rapports.

La co�cl�e �tolt ordinairement un pied Sc demi. Les H�breux n�anmoins en avoientnbsp;trois, f^avoir; la coud�e ordinaire, qui �toit d�unnbsp;pied Sr demi hebreu, ou de 2455 parties, dontnbsp;Ie pied de Paris eft 144�.

La coud�e facr�e ou moderne �tolt d\ni pied babylonique Sc trois quarts , ou de 2705 ou 2684nbsp;parties du pied de Paris.

La grande coud�e g�om�trique �toit de 9 pieds h�breux , ou de 6 petites coud�es.

Le nniid de liqueur (mefure de Paris) eft de 8 pieds cubes, ou 13824 pouces cubes.

La quarte de Londres contient 57 ^ pouces cU' biques de Londres, ou 47 pouces cubiques denbsp;Paris.

Le galon contient 4 cjiiartes, ou 231 pouces cubes anglois, ou 190�� pouces cubes de Paris-

Ainfi la quarte de Londres eft tant foit peU moindre que la pinte de Paris, la pinte de Lon-dres un peu moindre que la chopine de Paris.

WW		Jk	iwi
		Wij	iwi

�r ik^ kik	kj

/vlt;/. I.

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�Ji

SUPPL�MENT

ADDITIONS

PAGE , ligne z5, on dit: II eji clair que toutes ces operations ne reviennent au fondsnbsp;qu'd, amp;c. C�ell ce qu�on croit devoir d�montrer ,nbsp;pour la (atisfaciion amp; Tiriftruflioii du lefteur.

Que les quatr� nombres a cleviner foient, par exemple , x, y, i, u, Selon Ie proc�d� indiqu�,nbsp;il faur doubler x, ce qui donnera z x; de-la �ter i ,nbsp;on aura done zx�i ; multiplier par ^ , il viendranbsp;lox�On pr�ferit d�ajouter enfuite Ie fecondnbsp;nombrejK� cela donnera lox�puis d�ajou-ter 5 , ainfi 1�on aura iox-f_y, qu�il faut doubler,nbsp;amp; on aura zox-f-zj; d�o� �tant i , il re/ieranbsp;zox iy�i. Ce refte �tant multipli� par 5, Ienbsp;produit lera i OOX-|-1 oj � 5. A ce produit ajou-tons Ie troifieme noinbre amp; Ie nombre 5 , lanbsp;fomme fera loox-fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;laquell� �tant dou-

bl�e, amp; de ce double �tant 1�unk�, il viendra zoox-f-ZOJP z^ �I ; amp; cela multipli� par 5,nbsp;produira iooox-l~ioo_y i 0:^�5. Ajoutons 5 amp; Ienbsp;dernier nombre �, la fomme fera iooox-}-ioqy nbsp;iO{d-�. Done � X, y, i, �, repr�fentent desnbsp;nombres au deffbus de 10, coinme ^,2,4, i,nbsp;la foinme fera jooo zoo do i , ou 5Z41. Si

Dd ij

ces nombres �toient 9 , 6, 5,4, cette fomme fe-roit, paria m�me raifon,9654. Ce qui d�montre Ie proc�d� indiqu� dans la page 149.

Le lecond proc�d� pour Ie m�me ob]et (^Page , /3o) ne fe d�montre pas moins facilement; car ,nbsp;qiie les nombres a deviner moindres que 10, foientnbsp;encore x, y, {, (nous nous bornons a trois, pournbsp;abr�ger) il faut ajouter i au double du premiernbsp;nombre , ce qui donnera xx-\-i ; le multipliernbsp;par ^ , on aura lOar-f-^ ; y ajouter le fecond nom-bre , cela donnera 1 oar-f 5-j-j; doubler cettenbsp;fomme amp; y ajouter 1, on aura lOx-j-io ijK i �nbsp;multiplier par 5, le produit fera xoox-\-'^o-\-ajouter le troifieme nombre^, on auranbsp;done enfin looxq-ou ioox nbsp;ioj' { 5 5 �� done X , y,:^ font, par exemple ,nbsp;5,6,7, cette expreffion fera 567 5 5 ou 611. Sinbsp;done de cette derniere foinme on �te 55 , il vien-dra 567, qui d�figne par l�ordre de fes chiffres lesnbsp;trois nombres a deviner.

Page i5o , Probl�nu PI. On croit devoir auffi donner la d�moriftration de la regie enfeign�enbsp;pour r�foudre ce pr�bl�me; la voici.

Puifqu�il y a dans iin jeu de cartes complet 15 cartes de chaque couleur, dontla valeur efl: i , 2.,nbsp;3 , amp;c. jufqu�a 13 , la fomme de tous les points denbsp;chaque couleur eft fept fois 13 ; ce qui eft un multiple de 13 : conf�quemment le quadruple eft auflinbsp;un multiple de 13 : done, fi on compte les pointsnbsp;de toutes les cartes en rejetant toujours 13,00 doitnbsp;a la fintrouver z�ro. 11 eft done �vident que ft onnbsp;dte une carte dont les points foient moindres cjuenbsp;13, la difference de ces points a 13 fera ce qui

manquera pour compl�ter ce nombre: done fi, � la fin , au lieu d�arriver a 13 , on n�arrive qu�a 10,nbsp;par example, il eft clair que la carte manquantenbsp;eft un trois: amp; ft , ayant �t� une carte, on arrivenbsp;4 13 , il eft �galement �vident que cette cartenbsp;manquante eft une de celles qui valent 13 ou unnbsp;roi.

Si 1�on avoit pris deux cartes, on pourroit dire aufli combien leurs points font enfemble ; ce fe-roit , OU ce qui manque pour arriver a 13 , ou cenbsp;deficit augment� de 13 : amp; pour fqavoir lequel desnbsp;deux, il fuffiroit de coinpter tacitement combiennbsp;de fois on a compl�t� 13 ; car, dans la totalit�nbsp;des cartes, on devroit Ie trouver xl:! fois: fi donenbsp;on ne Tavoit que 27 fois plus un refte , par example 7, les deux cartes tir�es feroient enfemble 6 :nbsp;li on n�avoit compt� 13 que 16 fois avec Ie m�menbsp;refte 7, on en concluroit que les deux cartes for-meroient enfemble 13 plus 6 , ou 19.

La d�monftration de Ia regie enfeign�e pour Ie cas o� l�on fe ferviroit d�un jeu de piquet, en fai-fant valoir Tas i, Ie valet 2 , la dame 3 , Ie roi 4 ,nbsp;amp; les autres cartes Ie nombre de leurs points, n�eftnbsp;pas beaucoup plus difficile ; car , dans cbaquenbsp;couleur, il y aura 44 points , Sc dans la tofalit�nbsp;175; ce qui eft un multiple de 11, ainfi que 44.nbsp;On pourroit done toujours compter jufqu�a 11 ,,nbsp;rejeter 11, Sc Ie deficit pour atteindre i i feroit lanbsp;valeur de la carte fouftraite.

Mais ce m�me nombre 176 feroit un multiple de 10 ou de 20, ff on lui ajoutoit 4. D�o� fuitnbsp;encore la d�monftration de la maniere qu�on en~nbsp;feigne.

Depuis que j�ai �crit eet article, il m�eft parvenu dans ma province plufieurs annonces de la quadrature du cercle. Telles font celles d�un bonnbsp;cure de Normandie, qui e�t mieux fait de s�atta-cher a inftruire fes paroiffiens; celle de M. de lanbsp;Frainaye, valet-de-chambre de S. A, S. Monfei-gneur Ie Due d�Orl�ans ; amp; diverfes autres qui nenbsp;m�ritent pas la peine de la difculfion, parcequ�ilnbsp;n�y a pas m�me veilige de raifonnement g�ome-trique. Nous nous bornons a parler encore d�unnbsp;�crit fur ce fujet, par M. .Ie Rohberger de Vau-fenville , qui eft intitule, Confultation fur la Quadrature du Czreh, in-8�, 15 pp.

M. Ie R. de V, demande aux g�ometres li, troiivant Ie moyeii de determiner dans un fefteurnbsp;de cercle fon centre de gravit� en parties communes du rayon 6* de la circonf�rence du m�me cercle^nbsp;on aura trouv� la quadrature du cercle. Nousnbsp;n�entendons pas trop ce qu�il veut dire par partiesnbsp;communes du rayon amp; de la circonf�rence : peut-�tre entend-il par - la des parties du rayon dansnbsp;lefquelles il ell d�ufage d�exprimer la circonf�rence , comme lorfqu�on dit que Ie rayon ^�tantnbsp;100 , la circonf�rence ell 3 14.

Dans ce cas , nous pouvons lui r�pondre au nom de tons les g�ometres , qu�il auroit fans doutenbsp;trouv� la quadrature du cercle. Nous ne crai-gnons point non plus de lui dire que, de quelquenbsp;maniere qu�il determine fur l�axe d�un fetleur, ounbsp;d�un fegment, 011 d�un are de cercle , fon centrenbsp;de gravit�, pourvu c|ue dans cette d�tennination

eet are lui-m�tne n�y entre pas cotnme clonn�, il aurar�foUi ce fameux probl�me. Car qui nefqaitnbsp;que Ie centre de gravit� de la demi-circonf�rence,nbsp;par exemple, eft a une diftance du centre cjui eftnbsp;troifieme proportionnelle au quart de eerde amp; aunbsp;rayon? Mais c�eft a cette determination du centrenbsp;de gravit� du fefteur ou de l�arc de eerde quenbsp;M. de V. nous permettra de l�attendre.

II n��toit au furplus pas n�ceflaire de provoquer pour cela , foit nomm�ment amp; en particulier,nbsp;foit en general, tous les g�ometres de 1�Europe ,nbsp;m�me ceux de la Turquie amp; de I�Afrique , o�nbsp;surement on ne fcait pas ce que c�eft que Ie centrenbsp;de gravit� : encore inoins �toit-il n�ceflaire denbsp;les pr�venir que, faute par eux de Ie contredire,nbsp;il les tiendra pour vaincus , amp; fa quadraturenbsp;avou�e pour bonne. Cette bravade n�excitera surement ni les Eulers, ni les d�Alemberts, ni lesnbsp;BernouUls, amp;c. amp;c. a attacjuer Ta quadrature, Ounbsp;M. de Vaufenville aura raifon , amp; ces Meffieursnbsp;donneront les mains a fa d�couverte, la c�l�bre-ront m�me, j�ofe lui en r�pondre ; ou fa pr�ten-due quadrature fera un paralogifme, dans lequelnbsp;cas on ne s�en occupera pas davantage que denbsp;celle de 1�illumin� Henry Sullamar, vrai �chapp�nbsp;de Bedlam (lt;�) , qui 1�a trouv�e dans Ie nombrenbsp;666 du front de la b�te de 1�Apocalypfe, ou denbsp;de celle du bon cur� Normand dont on a parl�nbsp;plus haut, OU de tant d�autres aufli dignes dunbsp;profond oubli o� elles tombent aufli-t�t.

En effet , que M, de V. nous cite quelque exemple de v�rit� g�om�triqiie rejet�e par lesnbsp;contemporains de fon inventeur , trait�e par eux

de paralogifme , amp; depuis �lev�e au rang de d�-couverte g�ome'trique. Que rifque-t-il done de publier fa d�couverte? Si elle eft jufte, 1��clatnbsp;d�une v�rit� g�om�trique eft tel qu�il eft impofli-bie de la m�coiino�fre; ft ellene l�eft pas, en vainnbsp;feroit-il fommer, par un exploit en forine, chacunnbsp;des g�oinetres de l�Europe en fon domicile ; ennbsp;vain les feroit-il m�ine condamner par d�faut aunbsp;Cliatelet de Paris, il n'en fera pas plus avanc�.nbsp;Les g�ometres riront de tout leur cceur; amp; il ennbsp;fera de fa quadrature, comnie de celles de tantnbsp;de maiheiireux afpirants a l�honneur de quarter Ienbsp;eerde , qui font dans Timbecille perfuafion qu�ilnbsp;y a line ligue entre tous les g�ometres, depuis Ianbsp;Neva jufqu�au Guadalquivir , pour �touffer leurnbsp;d�couverte d�s fa naiflance.

J ai connu, dans un voyage que je fis a Pans il y a quelque temps , un de ces hommes , jadis n�-gociant a Cadix, qui �toit dansla ferme perfua-lion que s�il avoit 20000 livres a donner a lanbsp;femme d�un fecr�taire d�une acad�mie, il feroitnbsp;d�clarer bonne une pr�tendue quadrature qu�il anbsp;trouv�e il y a qiielques ann�es , amp; o� il n�y a pasnbsp;Ie f�ns commun.

O tribus Anticyris (y) caput Infanabiht

(lt;2) Mes de la Hier Eg�e, qui fourniffoient FeU�boro employ� par les m�decins Grecs pour la folie.

B, E C U E I L

De divers Prohl�mes , tant arithrn�nques que g�oTti�triques , dom on propofe lanbsp;folution aux LeUeurs G�ometres.

ON ne fqauroit trop t�t, en geometrie ^ exercer fes forces dans la r�folution desnbsp;probl�mes que pr�fente cette fcience ; car c�eftnbsp;par eet exercice que fe d�veloppe amp; fe fortifie lanbsp;facult� inventrice. C�eft pour cette raifon quenbsp;nous avons cru devoir terminer cette partie desnbsp;Recreations Math�matiques , par un choix de probl�mes ptopres a cxercer amufer les jeunes ma-th�maticiens. On en trouvera m�me de diff�rentsnbsp;degr�s de dif�icult� , pour fe conformer aux diff�rents degr�s de force de ceux qui liront eet ou-vrage. On y a inf�r� auffi quelques tb�or�mesnbsp;curieux, dont la d�monftration qu�il s�agit denbsp;trouver pourra exercer leur fagacit�.

Nous ferons au refte ici une remarque; c�eft que la plupart de ces probl�mes n��tant rien moinsnbsp;que difficiles lorfqu�on y emploiera les relTourcesnbsp;du calcul alg�brique , on propofe de trouver leiirsnbsp;folutions par la geometrie pure. Car il eft fuffi-famment connu que l�analyfe alg�brique donne Ienbsp;plus fouvent des folutions compliqu�es; tandisnbsp;que celles qui d�coulent de l�analyfe purementnbsp;g�om�triqu�, font incomparablement plus fim-ples amp; plus �l�gantes. On en a fur-tout des exem-

PROBL�MES ET TH�OR�MES Arithm�tiques amp; Gamp;om�triqucs.

PRobl�ME premier. Dans un triangle reftili-gne on connoit la bafe , la fomme ou la difference des deux autres cdt�s, amp; l�aire. On de-mande de determiner ce triangle.

Prob. II. Etant donn�s la bafe d�un triangle, Ie rapport des deux autres cot�s, amp; l�aire, determiner ce triangle.

Pros. III. ConnoilTant dans un triangle les meines chofes, fi ce n�eft qu�au lieu du rapport des deux autres c�t�s, c�efi 1�angle qu�ils compren-

Prob. IV. Trois lignes �tant donn�es de pofition fur un plan , en tirer une entr�elles qui en fortnbsp;coup�e en deux parties qui foient en raifonnbsp;donn�e.

Prob. V. Quatre lignes �tant donn�es de pofition fiir un plan , en tirer une entr�elles qui en foitnbsp;coup�e en trois parties dont la raifon eft donn�e,

Prob. VI. Au jeu de Piquet, quelle probabilit� y a-t-il qu�on aura carte blanche ?

Prob. VlI. Au m�me jeu, Pierre eft Ie premier en carte; il n�a pas d�as. Quelle probabilit� ynbsp;a-t-il qu�il en prendra dans Ie talon, un, ounbsp;deux, ou trois, ou quatre ?

Prob. VIII. Au jeu de Brelan a trois , quelle probabilit� y a-t-il qu�il y aura un brelan entre

les mains d�un des joueurs, amp; quelle probabilit� y a-t-il que ce brelan fera lt;{uatrieme ?

pROB. IX. Un fubd�l�gu� d�intendance doit faire tlrer a la milice; 11 veut favorifer un des tireurs.nbsp;Y a-t-il une place dans laquelle on coure moinsnbsp;de rifque que dans une autre ?

Pros. X. Un homme a dans Ia main une certaine quantit� de pieces de monnoie , par exemplenbsp;12. Combien y a-t-il a parier contre un qu�erinbsp;les jetant toiites a Ia fois, (ou f�par�ment) , ilnbsp;y aura autant de croix que de pihs ?

Prob. XI, Quatre lignes �tant donn�es, amp; �tant telles que trois quelconques foient plus grandesnbsp;que la quatrieme, en conftruire un quadnlaterenbsp;infcriptible au eerde, ou qui lui foit circonf-crlptible.

Th�or�me premier. Si des trois angles d�un triangle reftiligne quelconque , on mene troisnbsp;perpendiculaires fur les c�t�s oppof�s, elles fenbsp;couperontau m�ine point.

Th�or. II. Si de ces angles on mene des lignes qui les coupent en deux �galement, ou quinbsp;coupent en deux �galement les c�t�s oppof�s,nbsp;ces trois lignes fe rencontreront encore dans Icnbsp;m�me point.

Prob, XII. Un trapeze �tant donn�,le couper en deux �galement ou en raifon donn�e, parnbsp;une ligne paflant par un point donn� , foit furnbsp;un des c�t�s, foit au dedans, foit au dehors.

Prob, XIII. Dans un eerde donn�, inferire u:i triangle ifpfcele d�une grandeur donn�e.

Nota. ll ejl �vident qiiil fatit que ce trian'^Je foit moindre que Ie triangle equilateral inferit

dans Ie eerde donne, car ce triangle rji Ie plus grand de tous lts infcriptibles.

Prob. XIV. A un eerde donn� , circonferire un triangle ifofcele de grandeur donn�e.

Nota, II faut que ce triangle foil plus grand que Vequilateral circonferit , puifque ce dernitrnbsp;ejl Ie plus petit de tous les circonfcrtptihles.

pROB. XV. Dans un triangle ifofcele, d�crire trois cercles dont chacun touche deux c�tes,nbsp;6c qui fe touchent tous trois.

Nota. Je ripons quelle eji 2. H eji quef-tion dc It d�montrer. De rn�me la valeur de

Prob. XVIII. On aune pyramide a quatre faces triangulaires; les c�t�s de ces quatre trianglesnbsp;font donn�s. On demande les angles que fontnbsp;les faces de cette pyramide, Ia perpendiculairenbsp;abaiflee d�un angle quelconque fur la bafe, amp;Cnbsp;la folidit� de la pyramide.

Prob. XIX. Couper un trapeze donn� en quatre parties �gales, par deux lignes qui fe coupentnbsp;elles-in�iTies a angles droits.

Prob. XX. Un particulier a un emplacement quadrangulaire amp; irr�gulier; il veut en recou-per, pour en faire un part�rre, un quarr� longnbsp;qui foit Ie plus grand poflible , amp; dont les. an-

gl�s foient appuy�s furies cotes du quadrilatere. Comment faut-il qu�il s�y prenne ?

Pros. XXI. On connoit dans un triangle 1�aire amp; la fomme des trois c6t�s; d�terminer Ienbsp;triangle.

Plob. XXII. Au jeu de Reverfis, Tun des joueurs a Ie quinola quatrieme. Quelle probabilit� y a-t-il que quelqu�un des joueurs aura quatre coeursnbsp;au moins , enforte que Ie quinola coure rifquenbsp;d�etre forc�.

Prob. XXIII. A un eerde donn�, circonferire un triangle de contour donn�, pourvu que cenbsp;contour foit plus grand que celui du trianglenbsp;equilateral circonferit.

PrOB, XXIV. Dans un triangle non equilateral, trouver un point duquel les trois perpendicu-laires tir�es fur les trois cot�s, foient enfeniblenbsp;�gales a une ligne donn�e.

Nota. On a exclu k triangle �quilat�ral y parceque Von peut facilement fe d�montrer que ^nbsp;de quelque point de Vintirieur quon abaijfe desnbsp;perpendiculaires fur les c�t�s d'unpareiltriangle,nbsp;leur fomme fera toujours la m�me.

II en ef de m�me de tout poly gone r�gulier 6� m�me irr�gulier, pourvu que les c�t�s en foientnbsp;Igaux.

Prob. XXV. Dans un eerde donn�, inferire un triangle ifofcele , ou lui en circonferire un d�unnbsp;contour donn�.

Nota. Ce prohUme n�tant pas toujours po(ji~ hle, comme il efl aif� de voir i Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quefion

Prob, XXVI. Dans un eerde donn�, inferire OU lui circonferire un triangle quelconque denbsp;contour determine.

Prob. XXVII. Dans un quadrilatere donn� , jnferire une ellipfe, c�eft-a-dire y d�crire unenbsp;ellipfe qui en touche les quatre c�t�s,

Prob. XXVIII, Un jouaillier a une table d�agate pr�cieufe, en forme de trapeze irr�gulier; ilnbsp;defireen tirer la plus grande table ovale pofli-ble, pour en former Ie deffus d�une boite. Comment doit-il s�y prendre ?

Nota. II ejl clair que h probl�me , �nonce g�o-m�triquement^ejl celui-ci: Dans un quadrilatere donn� , inferire la plus grande de toutes lesnbsp;ellipfes qui lui font infcriptibles; probl�me quinbsp;neji urtaimmem point facile. Ceux de nos lec-teurs qui Ie tenteront, doivent �tre pr�venus quitnbsp;exige une grande connoijfance de Vanalyfe.

On pourroit aujji propofer celui-ci : Autour d�un quadrilatere donn� , circonferire une ellipfe qui foit la moindre de toutes les circonf-criptibles.

Prob. XXIX. Un point amp; une ligne droite �tant donn�s , on demande quelle efl: la trace ou la ligne fur laquelle fe trouvent les centres de tousnbsp;les cercles qui, paflant par Ie point donn�, tou'nbsp;chent la ligne donn�e,

Prob. XXX. On demande la m�me chofe, c�ell-a-dire la trace de tous les cercles tangents a ua eerde amp; a une ligne droite donn�e.

Pros. XXXI. Deux cercles quelconques �tant donn�s, quelle eft la trace, on la ligne ftjr la-quelle fe trouvent les centres de tous les cerclesnbsp;qui touchent les deux cercles donn�s, foit quenbsp;Ie eerde tangent les comprenne tous deux aunbsp;dedans de lui, foit qu�il les touche 1�un en dehors , l�autre en dedans ?

Prob. XXXII, La bafe d�un triangle eft donn�e ; on connoit aufli la fomme des deux a�tres c�-t�s, ainfi que la ligne tir�e du fommet au milieu de la bafe. On demande de d�terminer Ienbsp;triangle.

Prob. XXXIII. On connoit dans un triangle les trois lignes tir�es des angles au milieu des c�t�snbsp;oppof�s; trouver ce triangle.

Prob. XXXIV. Dans un triangle , la bafe eft connue; on y connoit aufli la fomme amp; la dif-f�rence des quarr�s des c�t�s: 11 s�agit de determiner ce triangle.

Nota. Ce prohl�me ejl fufeeptibk cTune conf-tniclion fort J�mplc amp; fort �l�gante; car Ie fom-met de u triangle ejl dans la e�reonf�rmee d�un certain eerde, amp; il ef aujji dans une certainenbsp;ligne drotte.

Prob. XXXV. On demande la m�me chofe, c�eft-a-dire Ie triangle dont on connoit les troisnbsp;lignes tir�es des angles a la bafe , amp;C qui partagent ees angles en deux �galement.

Prob. XXXVI. Unnombre quelconque de points �tant donn� , tirer a travers une ligne droite,nbsp;telle que, abailTant de chacun de ces points furnbsp;elle une perpendiculaire , la fomme des perpen-diculaires d�un c�t� foit �gale a celle de l�autre.

Prob. XXXVII. M�me fuppofition faite, on de-* mande que la fomme des quarr�s de ces perpen-diculaires tir�es d�un c6t� , foit �gale a lanbsp;fomme des quarr�s des autres; ou m�me quenbsp;la fomme de ces perpendiculaires �lev�es a linenbsp;puiffance quelconque n, fok �gale de part amp;nbsp;d�aiur�.

PpfoB. XXXVIII. Dansun trapeze quelconc[ue , on connoit les quatre c�t�s amp;; l�aire ; d�termi-ner Ie trapeze.

Prob. XXXIX. Un angle �tant donn�, trouvear un point duquel abaiflant fur fes c�t�s deux perpendiculaires , Ie quadrilatere qu�elles forme-ront avec les c�t�s de l�angle, foit �gal a unnbsp;quarr� donn�.

Prob. XL. Comme il y a une infinite de points c[Ui fatisfont a ce probl�me, trouver leur trace

- OU Ia courbe qu�ils fonnent.

Prob. XLI. Trouver quatre nombres qui foient en progreffion arithm�tique , amp; auxquels ajou-tant quatre autres nombres donn�s , comme 2 ,nbsp;4, 7, 15, les fommes foient en progreffionnbsp;g�om�trique.

Prob. XLII. Deux courrlers partent en m�me temps, 1�un A de Paris pour Orl�ans, dont Ianbsp;diftance eft 60 millesjl�autre B d�Orl�ans pournbsp;Paris, 6c ils marchent tellement que A arrive anbsp;Orl�ans quatre heures apr�s avoir rencontr� B ,nbsp;amp; B arrive a Paris fix heures apr�s avoir rencontr� A. On demande combien chacun faifoitnbsp;de milles par heures.

Prob. XLIII. Une certaine fomme ayant �t� plac�e a. int�r�t, elle monte au bout d�un an a

t lO� liv., amp; au bout de dix-huit mois a mol. On demande quelle �toit la fomme amp; quelnbsp;�toit l�int�r�ti

Prob. XLIV. Deux lettres de change , Ia premiere de I ioo liv., payable dans iix mois, amp; Ia 1'ecortde de 1000 liv. ^ payable dans neuf,nbsp;ont �t� efcompt�es enfemble au m�me int�-r�t, pour une fomme de i lo liv. On demandenbsp;quel eft eet int�r�t.

Prob. XLV. Comment pourroit-on faire 120 liv� en 120 pieces de trois efpeces feulement, fqa-Voir, des pieces de 12 fo�s, de 24 fous, amp;: desnbsp;ecus de 3 liv. ou de 6o fous ?

Prob. XLVI. Un angle �tant donn� , amp;; un point a� dedans, m�ner par ce point une ligne droitenbsp;Coupant les deux c�t�s d� Tangle, enforte quenbsp;Ie re�langle de leurs fegments }ufqu�au fommet

Nota. C� quarr� donn� ne, doit pas �tn moin-^ dre quun certain quarr�; ce qui donne lieu allnbsp;probUni� fuivant,

Prob, XLVII. M�me fuppofition faite que dans Ie pr�c�dent, on demande la polition de lanbsp;ligne paffant par Ie point donn� , lorfque Ienbsp;reftangle des cot�s de 1�angle , retranch�s versnbsp;Ie fommet, fera Ie plus petit polTible.

Prob. XLVIl�. Trpis lignes �tant donn�es de polition , trouver un point duquel les trois per-pendiculaires a ces lignes , foient dans un rapport donn�.

Nota. Nous nous bornons d dire que ce pro-bl�me ejl fufccptible d�une foltuion tr�s-Jimple amp; tr�s-�l�gante , funs calcul.

Prob, XLIX. Deux cercles �tant donn�s, lef-quels font entr�eux dans un rapport de nombre a nombre, de i ai, par example, amp; qui fenbsp;coupent Tun I�autre, tnais de telle forte qu�ilsnbsp;ne font pas une lunulle quarrable, tirer a travers ces cercles une ligne parallele a celle c]uinbsp;joint les points d�interfeftion, enforte qne lanbsp;partie de la lunulle retranchee fup�rieurement,nbsp;ibit �gale a un efpace reftiligne.

Prob. L. M�me fuppofition faite que la pr�c�-dente , couper les deux arcs de cercle par un troifieme, qui foit tel que le triangle concavo-convexe, forme par ces trois arcs de cercle,nbsp;foit egal a un efpace reftiligne.

Nota. yWoKe ne fgavoirJi cda ejlpoffible. Jc n ai pas cu temps de tenter ce probleme , quenbsp;j'abandonne d qui voudra en rechercher La jo-

Prob. LI. Trois perfonnes ont enfemble too liv. dans leur bourfe ; 1�on fcjait de plus que neufnbsp;fois ce qu�a la premiere , plus quinze fois cenbsp;qu�a la feconde , plus vingt fois ce qu�a la troifieme , formeroient une fomme de 1500 liv.nbsp;On demande quelle eft la fomme qu�avchacune.

Nota. II ejl d propos d�ohferver que ce pro-hleme , ainji que le quarante -Jixieme , ejl Juf~ ceptible de plujieurs folutions g amp;, pour le r�fou-dre complettement, il faut determiner routes cesnbsp;Solutions ^ 6' montrer quil ne peut y en avoirnbsp;davantage. Car il ne feroit pas bien difficile ennbsp;tdtonnant, d'en rencontrer quelquune.

Prob. LII. On a achet� i lo pieces de gibier pout ao liv.; il y a des lievres qui ont cout� 2 liv, ,nbsp;des faifans qui ont cout� 3 liv, amp; des cailles

qui ont co�t� 10 fous. Quel eft Ie nombre des lievres, des faifans amp; des cailles

Prob. LIII. Trois n�gociants ont fait foci�t� , Sc font convenus de mettre 10000 liv. chacunnbsp;dans une entreprif�; il y en a deux qui ont fa-tisfalt a cette condition ; Ie troifieme n�a fourn�nbsp;que 5000 liv. L�entreprife ayant manqu� , ilsnbsp;ont non-feuleinent perdu leurs fonds, niais encore 5fo pour looenfus. On demande cequ�ilsnbsp;doivent contribuer chacun pour faire face anbsp;cette cr�ance.

Prob. LIV, Dansun triangle reftiligne, oncon-noit la bafe, Ie reftangle des deux autres cot�s, Sc 1�angle compris. II s�agit de determiner Scnbsp;conftruire ce triangle.

Prob. LV. Un are de cercle �tant donn� , Ie di-vifer en deux parties dont les linus foient en raifon donn�e.

Prob. LVI. Dansun jeu de 3 2 cartes, quelqu��n prend ou reqoit au hafard 4 cartes. Quelle pro-babilit� y a-t-il, ou que peut-on parier contrenbsp;un, que dans ces quatre cartes il y en aura unenbsp;de chaque couleur ?

Prob. LVII. De combien de inanieres peut-on payer 24livres, en demi-louis, ecus de 6 liv.nbsp;Sc ecus de 3 livres}

Nota. Ce probl�me ejl incomparablement plus facile que celui que nous Ovons r�folu amp; ou Con.nbsp;demandoitde combien de faqons on peut payernbsp;un �cu en monnoies inf�rieures. Eri void un peunbsp;plus compliqu� que Ie pr�c�dent.

436� nbsp;nbsp;nbsp;Suppl�ment.

payer 14 livres , en demi-louis , ecus de 6 liv,� ecus de 3 liv., pieces de 24, de 12 amp; de� �ous?nbsp;Prob. LIX. Trouver un nombre tel qu�en luinbsp;ajoutant iznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fucceffivement, les fommes

Prob. LX. Trouver trois nombres dont les quarr�s foient en progreffion arithm�tique.

Prob. LXI. Etant donn� un nombre quelconque de points, en trouver un autre tel que , menantnbsp;a chacun des autres une ligne droite , la fommenbsp;de ces lignes foit �gale a une ligne donn�e.nbsp;Prob. LXIl. M�me fuppofition que ci-deffus �tantnbsp;faite, il faut que ce Ibit la fomme des quarr�snbsp;des lignes tir�es du point cherch� aux pointsnbsp;donn�s, qui foit �gale a un quarr� donn�.

II efl: affez fingulier que ce dernier probl�ine foit fuf-ceptible d�une conftru�ion bien plus facile que Ie pr�c�dent. Nous remarquons eneffet, uniquetnent pour piquet ia curiofit� du lefteur g�onietre, que ( dans Ie dernier )nbsp;Ie point cherch� amp; tous ceux qui r�folvent la queftion,nbsp;(car il y ena une infinit�), font fitu�s dansla circonf�rencenbsp;o un certain eerde; amp;, ce qui efl; tr�s-remarquable, c�eftnbsp;que Ie centre de ce eerde efl Ie centre de gravit� desnbsp;points donn�s, en les fuppofant chacun charg� d�un m�menbsp;poids.

Remarquons encore que ^fi Ton demandolt que Ie quarr� d�une des lignes tir�es , plus Ie double de la feconde, plusnbsp;Ie triple de la troifieme, amp;c. hffent la m�me fomme, ilnbsp;faudroit concevoir Ie premier point charg� d�un poids Ample , Ie fecond d�un poids double, Ie troifieme d�un poidsnbsp;triple 5 Stc. amp; leur centre de gravit� feroit encore Ie centre du eerde cherch�.

La folution de ce probl�me ne fut pas inconnue aux anciens g�ometres. C�toit un de ceux desZuc^plana d�Ap-pollonius ; ce qui eft propre a donner de leur analyfe xyienbsp;idee plus avantageufe qu�on ne l�a ordinairement.

I'm du Tome Premur,

2DJ�.S

PREMIERE PARTIES.

PrOB. II. nombre triangulaire ou figure quel-conque �tant donn� ^ trouver fa. racine , ou le nom-hre de termes de la progrefjion arithmetique dont il efi la fomme,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;41

Prob . III. Trouver trois diff�rents Triangles rectangles en nombres, dont les aires foient �gales ^

Prob. IV. Trouver un Triangle rectangle , dont les trois cotes foient en progreffon arithm�tique ^ 51

439

^, I, Expoftion des principals Propri�t�s de la Progrejjion arithm�tique ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' ibid.

Prob. l.Ilya un patiier amp; cent cailloux rang�s en ligne droite amp; d une wife Vun de Vautre. Onnbsp;propofe de les ramaffer amp; de les rapporter dans Ienbsp;panier un d un , eti allant d�ahord chercher Ienbsp;premier, enfuite Ie fecand, amp;c, jufquau dernier. Combien de toifes doit faire celui qui Ven-treprend ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;64

Prob. II. Un Propri�taire ef convenu, avec un Magon qui doit lui creufer un puits, de lui don-ner trois livres pour la premiere wife de profon-deur, cinq pour la feconde, fept pour la troifieme ,nbsp;6* ainf jufqu�d la yingtieme wife inclufivement,nbsp;OU il doit rencontrer Veau. On demande combiennbsp;il fera du au Magon quand il aura fini fon

Pros. III. Un /tutu Proprikaire. kant convtnu avcc un Magon, pour crzufer un puits de vingt toifes dinbsp;profondeur, de luipayerunefomme de^oo livres,nbsp;ce Magon tombe malade a la huitieme toife , amp;nbsp;ne peut continuer Vouvrage. On dcmande com-hien il lui ejl dii?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;66

pROB. IV. Un homme doit iSGo liv. a un creander qui vent bien lui faciliter le moyeri de s�acquilternbsp;en un an , fous les conditions fuivantes ; fgavoir^nbsp;de lui payer h premier mois la fomme de too liv.ynbsp;amp; enfuite chaque mois une fomme de plus que lenbsp;precedent ^ jufqu au doufieme qui complettera lenbsp;paiemejit. On demande quelle ef cette fommenbsp;done le paiement de chaque mois doit kre aug-rnent� ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;67

II. Des Progrefjions geomkriques : expofition de lews principales proprikes ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;68

Pros. I. AchUle va dixfois plus vtu quune tortue qui a une fade dlavance. On demande a quellenbsp;difance il Vatteindra ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�74

pROB. 11. Les deux aiguilles A une pendule d mi~ nutes partem enfemble du point de midi. Onnbsp;demande quels feront les points du cadran ounbsp;tiles fe rencontreront facetffivement , pendantnbsp;une revolution entiere de celle des heures y ^nbsp;ProB. III. Le nombre des grains de bled doublenbsp;continuellement depuis 1 jufqud 64 fois. Origine amp; hifoire du jeu des Echecs. Autres Pro-blemes analogues. Remarques fur la multiplication des v�gkaux amp; animaux ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y6

�. Ill, De quelqii^s autres Progrefjions ^ amp; entre autres de la Progreffon harmonique ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;83

Pros. Quelle ef la fomme de la fuite infiniedes nomhres en progreffan harmaniqui

DES M A TI ere S. 441

�. IV. Di diverfes Progrtjfions d�croijfances d Vin-fini, dont on connoit la fomme , nbsp;nbsp;nbsp;86

CHAP. VIII. Des Combinaifons amp; Changemcnts d'ordn. Expojition du Triangle arithmk�qw denbsp;M. Paf cal amp;r de fes ufages. Principes de la doctrine des combinaifons amp; permutations,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;88

Pros. I. Etant donn� un nombre quelconque de chofes, determiner de combien de manieres ellesnbsp;fe peuvent combiner deux d deux, trois d trois ,nbsp;amp;c. fans �gard d l�ordre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9Z

entr elles un combat de politefjd fur les places: enfin, quelqifun voulant terminer la contefiatioriynbsp;propofe de femettre d table comme l'on fe trouvCynbsp;faufi d diner enfemble Ie lendemain 6quot; les joursnbsp;fuivants, jufqud ce quon ait �puif� tous lesnbsp;arrangements poffibles. On demande combien denbsp;diners devront �tre donn�s pour eet effet ?

�. II. Les diverfes anagrammes du mot ^oma., 98 �. III. De combien de manieres peut-on, en con-fervant la mej'ure, varier ce vers , Tot tibi Tuntnbsp;dotes , Virgo, quot lidera coelo , amp; quelquesnbsp;autres ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;99

Prob. IJI. Des combinaifons de quarreaux mi-par-tis de deux couleurs , 6* des compartiments qui en r�fuUent,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lOi;

441 nbsp;nbsp;nbsp;TABLE

CHAP. IX. Application de la doclrim des comhi-naifons aux jeux dc hafard amp; aux prohabilitis ,

Prob. I. Dans h jcu dc Croix ou Pile, quelle probabilite y a-t-il d�amener plujieurs fois denbsp;fuite Croix, ou plujieurs fois de fuite Pile; ounbsp;hien , en jouant avec plujieurs pieces , quellenbsp;probabilite y a-t-il quelles fe trouveront toutesnbsp;Croix on toutes Pile ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;106

Prob. II. Un nombre quelconque de d�s �tant donn�, determiner quelle probabilite il y a qu'onnbsp;amenera un nombre de points ajjigne. 109nbsp;Table amp; divers exemples ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;111

Prob. III. Deux joueurs jouent enfemble en un certain nombre de parties liees^ par exemple trois :nbsp;run dcs deux a 2 parties , Vautre une : ne pou-vant ou ne voulam point continuer le jeu^ ilsnbsp;conviennent de le cejfer, amp; de partager la mife.nbsp;On demande de quelle maniere cela doit �tre fait^

Prob, V, Pierre a un certain nombre de cartes , done aucune deft r�p�t�e : il les tire fuccejjivement ennbsp;appellant, fuivant I'ordre des cartes , as ^ deux,nbsp;trois , amp;c. jufqu�au rot qui ejl la derniere ; amp; ilnbsp;parie quil arrivera au moins une fois quen tirantnbsp;une carte il la nommera. On demande quelle ejlnbsp;la- probabilite qu il a en fa faveur Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;115

PrOB.VI. Quelle probabilite il y a au Piquet^ day ant point d'as, dlen tirer au talon ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;116

Prob. VII, Quelleprobabilite, au jeu de Whisky il y a que les quatre honneurs foient r�partis ,

ProB. X. Uu charlatan tmoit dans unc foire h jeu fuivant: il avoit 6 d�s dont chacun n�toit mar~nbsp;qu� que fur une face , Vun de Cas, Uautre de deuXynbsp;amp;c, jufquau fxieme qui P�toit de Jix : on luinbsp;donnoit une fomme quelconque, 6* il offroit denbsp;rembourfer cent fois la mife ,Ji, en jettant ces 6quot;nbsp;d�s, on amenoit en vingt fois les 6quot; faces mar-qu�es. Lorfqu�on avoit perdu, il offroit la revanchenbsp;fous cette condition , qu�on mit une nouvellenbsp;fomme �gale d la premiere; amp; il s�engageoit anbsp;rendre Ie tout ^ f on amenoit trois coups de fuitenbsp;toutes faces blanches. On demande quel �toit Ie

Prob. HI. Une perfonne ayant dans une main un nombre pair d'�cus ou de jetons, amp; dans l'autrenbsp;un nombre impair, deviner en quelle main efi Ienbsp;nombre pair,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;147

Prob, IV. Une perfonne tenant une piece d'or dans une main amp; une dl argent dans t autre, trouvernbsp;en quelle main ef Por , amp; en quelle ef Pargent,

Pros. IX. Plujieurs cartes diffirentes �tantpropo-fees fuccejjivement d autant de perfonnes, pour en retenir une dans fa mlmoire , deviner celle quenbsp;chacunc aura penfee ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;155

Pros. X. Trois cartes ayant �t� pr�fent�es d trois perfonnes , deviner celle que chacunc aura prife ,

Prob. XL Ayant pris dans un jeu entierde cin-quante-deux cartes , une , deux, trois , ou qua~ tre , ou plus de cartes , deviner la totalite de lewsnbsp;points ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I ^ ^

Pros. XII. Trois chafes ayant �t� fecr�tement dijl~ tribu�es d trois perfonnes , deviner celle que cha~nbsp;cuneaura prife,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15;8

Prob. XIIL Plufeurs nombres pris fuivant leur fuite naturelle �tant difpof�s en rond, devinernbsp;celui que quelqu'un aura penf�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;161

Prob . XIV. Deux perfinnes conviennent de prendre alternativement des nombres moindres qiiun nombre donn�^ par exemple n, amp; de les ajouter en-femble Jtifqu'd ce que Vun des deux puiffe attein-rnbsp;�dre, par exemple, too; comment doit-on fairenbsp;pour y arriver infailliblement le premier I 162nbsp;Prob. XV. Sei^ jetons �tant difpof�s en deuxnbsp;rangs, trouver celui qui aura �t� penf�,ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;164

PROB. XVI. Manure- de deviner entfe' plujieurs cartes celle quon aura penf�e,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;166

PrOB, XVII. Qiiinqe Chretiens amp; qiiinqe Tures fc trouvent fur mer dans un tn�me vaijfeau. II fur^nbsp;vient une furieufe temp�te. Apres avoir jeti dansnbsp;l'eau toutes les marchandifis , Ie pilote annoncenbsp;qu il rdy a de moyen de fe fauver, que de jettr encore a la mer la moiti� des perfonnes, II les faitnbsp;ranger de fuite; amp; , en comptant de ^ en c), onnbsp;jette Ie neuvieme a la mer, en recommenqant dnbsp;compter Ie premier du rang quand il ejl fini; ilnbsp;fe trouve qa apr�s avoir jet� quinqe perfonnes , lesnbsp;quinqe Chretiens font refl�s. Comment a-t-il dif-pofi les trente perfonnes pour fauver les Chr�tiensgt;

Prob. XVIII. Leloup, la chevre amp; Ie chou, ProB. XIX. Les trois maris jaloux ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

jetons, enforte qii il y en 'ait toujours C) dans chaque bande de Venceinte , amp; que cependant ctnbsp;nomhre puijfe varier depuis 20 jufqua jz? ijznbsp;Prob. XXI. Quelquun ayant une bouteille de huitnbsp;pinus pleine d'un vin excellent, ert yeut fairenbsp;pr�fent de la moiti� ou de quatre pintes d un ami ;nbsp;maisil na. pour Ie mefurer que deux autres vafeSynbsp;Vim de cinq , Vautre de trois pintes. Commentnbsp;doit-il faire pour mettre quatre pintes dans Ienbsp;vafe de cinq?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lyj

Prob. XXII. Uneperfonne a une bouteille de douqe pintes pleine de vin : il en veut donner fix pintesnbsp;au frere qu�teur: il na\ pour les mefurer., quenbsp;deux autres bouteilles, Vune de fept pintes, amp;nbsp;Vautre de cinq. Que doit-il faire pour avoir les fixnbsp;pintes dans la bouteille de fept pintesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;17^

44^ nbsp;nbsp;nbsp;Table

Pros. XXIII. .Faire parcourir au cavalier du jeu des Echecs toutes les cafes du damier Pune aprisnbsp;Vautre, fanspaffer deux fois fur la m�me, 178nbsp;Pros. XXIV. Difribuer entre trois perfonnesnbsp;vingt-un tonneaux, dom fept pleins , fept vuidesnbsp;amp; fept demi-pleins, enforte que chacune ait la.nbsp;m�me quantitlde vin 6� de tonneauxnbsp;CHAP. XI. Contenant divers Probl�mes arithm�-tiques, curieux,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;185

PrOB.I. Un pere de familie ordonney par fon tef-tament, que Paine de fes enfants prendra fur tous fes biens !0000 livres amp; la feptieme partienbsp;de ce qui refera; Ie fecond zoooo livres, amp; lanbsp;feptieme partie de ce qui refera; Ie troifemenbsp;30000 livres, amp; la feptieme partie du furplus;nbsp;amp; ainfi jufquau dernier, en augmentant tou-jours de loooo livres. Ses enfants ayant fuivinbsp;la difpofition du tefam.ent , il fe trouve qu ilsnbsp;ont �t� Igalement partag�s. On demande comhiennbsp;ily avoit d'enfants, quel �toit Ie bien de ce pere ,nbsp;amp; quelle a �t� la part de chacun des enfants?

ibid.

Pros. II. Un homme rencontre, en fortant de fa maifon, un certain nombre de pauvres : il veutnbsp;leur difribuer P argent quil a fur lui. II trouvenbsp;qtierc donnant d chacun neuffous , il en a trente-deux de moins quil ne faut; mais quen en don~nbsp;nant d chacun fept, il lui en refe vingt-quatre.nbsp;Quels �toient Ie nombre des pauvres, amp; la fommenbsp;' que eet komme avoit dans fa hour je ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;185

PrOB. III. Un particulier a achet�, pour la fomme de 110 llVtes , un lot de houteilles de vin , com~nbsp;pof� de cent houteilles de vin de Bourgogne , amp;nbsp;quatre-vingts de vin de Champagne. Un autre anbsp;pareillement achet� au m�me prix, pour la fomme

DES MATIERES. 447

l�vres, quatre-v 'mgt-cinq boutellks du pn~ mitr ^ amp; foixante~dix du fecond. On demands,nbsp;combien leur a cout� Vune amp; Cautre efpeee de vin?

ProB. IV. Un pere en mourant lalff� fa f^nme enceinte. II ordonne par fon tefament que, Ji elh accouche d'un male, il h�ritera des deux tiers dsnbsp;fon bien,amp; fa femme de 1�autre tiers; mais,Jinbsp;clle accouche d'une file , la mere h�ritera des deuxnbsp;tiers amp; la file d�un tiers. Cette femme accouchenbsp;de deux enfants , un garqon amp; une fille. Quellenbsp;fera la part de chacun ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;187

PrOB. V. Un lion de bron:^e , plac� fur Ie bafjin d�une fontaine, peut Jeter 1�eau par la gueule ,nbsp;par les yeux amp; par Ie pied droit. S�il jette Veau.nbsp;par la gueule, il rempUra Ie bajjtn en Jix heures;nbsp;s�il la jette par l�oeil droit, il h rimpUra en deuxnbsp;jours ; la jetant par Vail gauche, il Ie rempliroitnbsp;en trots; enfin , en la jetant par Ie pied , il Isnbsp;remplira en quatre jours. En combien de tempsnbsp;Ie baffin fera-t-il rempli, lorfque l�eau fortira d~nbsp;la-fois par toutes ces ouvertures ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;188

ProB. VI. Un mulet amp; un dne faifant voyage enj'emble , 1�dne fe plaignoit du fardeau dont ilnbsp;�toit charg�. Le mulet lui dit : Animal paref-feux , de quoi te plains-tu ? Si -tu me donnoisnbsp;un des jacs que tu portes , j�en aurois le doublenbsp;des tiens ; mais f je t�en donnois un des miens ,nbsp;nous en auri�ns feulement autant l�un que 1�autre. On demande quel �toit le nombre de facs dontnbsp;l�un amp; l'autre �toient charg�s ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;189

PrOB. VII. La fomme de 600 Hv. ayant �t�par-, tag�esntre quatre perfonwsgt; H fe trouve que les

448 nbsp;nbsp;nbsp;TABLE

deux premieres ensemble �nt eu x86 livres, la. _/��* conde amp; Ire troijieme xio livres, enfin la troi-fieme amp; lu quatneme xi6 livres ; de plus , le rapport de la part de la premiere a celle de la dernierenbsp;efide^ dOn demande combien chacune a eu?

PROB. VIII. t/n ouvrier fie loue a ces conditions, quon lui donnera jo fious par jour lorfiquil tra-vaillera, mais que chaquC jour qu il chommera ilnbsp;rendra 16 fious. Aprls quarante jours , fion de-compte monte a ^ 1 livres. On demande combiennbsp;de jours il a travailU, combien il en a chommi ?

ibid,

pROB, IX. Une lettre de change de 2000 livres a Iti payee en leus de trois livres , amp; en piafilresnbsp;dont la valeur efil de cinq livres ; amp; H y avoitnbsp;prlcifilment quatre cents cinquante pieces de mon-nole. Combien y en avoit-il de chaque efipece?

pROB. X. Un homme a perdu fa bourfie, amp; ne fig ait pas prlcifilment le compte de I'argent quilnbsp;y avoit : il fie rappelle fieulement quen le comp-tant deux a deux pieces , ou trots a trots , ounbsp;cinq a cinq, il refiloit toujouts un ; mais, en IcSnbsp;comptant fiept a fiept, il ne refiloit rien , ibid.

Prob. XI, Une certaine fiomme d�argent, placle d un certain intlret, s'efil accrue en huit motsnbsp;jufiqud gCiff livres ij fious q. deniers , amp; ennbsp;deux ans amp; demi elk a montl a 35)37 livres tonbsp;fious. On demande quel Itoit le capitaloriginaire ,nbsp;amp; a quel int�r�t il a Itl placl?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;198

Prob. XII. Une fiemme a vendu to perdrix au marchl, une fieconde en a v�ndu 26 ,amp; une troi-fiieme en a vendu 3 o ^ 6* toutes au nilme prix. Au

DES MATIERES. 449

Jortir du march� elks fe quejlionnent fur �argent quelks en rapportent , amp; ilfe trouve que chacunenbsp;rapporte la m�me fomme. On demande d quelnbsp;prix amp; comment elks ont vendu?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15^

ProB. XIII. lE-n comhien de mankres peut-on payer 60 fous, en employant toutes les monnoicsnbsp;d'ufage^ comme �cu de ^ livres , pieces de 24 , denbsp;lt;2^ de 6', de 2 fous amp; de 18 deniers, fous^ piecesnbsp;de 2 Hards amp; Hards?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,04

Prob. XIV. Trouver Ie nombre amp; Ie rapport-des poids avec kfquels on peut pefer de la manierenbsp;la plus Jimple un tiombre quelconque de livres,nbsp;depuis Hunit� jufqud. un nombre donn�, 2o6gt;nbsp;Prob. XV. l/ne femme de campagne porte desnbsp;ceufs au march� dans une vilk de guerre ou il y anbsp;trots corps-de-garde d pajfer. Au premier, elknbsp;iaife la moiti� de fes Otufs amp; la moitil d�un ; aunbsp;fecond , la moitl� de ce qui tui refoit amp; la moiti�nbsp;d'un; au troifieme, la moiti� de ce qui lui refoitnbsp;amp; la moiti� d'un: enfin elk arrive au march� avecnbsp;trots dou^yilnes. Comment cela fe peut-il fairenbsp;fans rompre aucun mif?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;loj

Prob. XVII. Trois perfonnes ont un certain nom~ bre d'�cus chacune. II ef tel que, la premiere ennbsp;donnant aux deux autres autant quelks en ontnbsp;chacune , la feconde pareilkment en donnant dnbsp;chacune des deux autres autant quelle en a, enfinnbsp;la troifieme faifant la m�me chofe , elks fe trou-vent en avoir autant l une que 1'autre , fqavoir 8.nbsp;Quelk ef la fomme qua chacune de ces perfonnes ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;20^

Prob. XVIII. Un marchand de vin na que de deux fortes de vin , qu'il vend Vune 10 , l'autrenbsp;^ fous la bouteilk, On lui demande du vin d 8nbsp;Tome I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ff

4^0 nbsp;nbsp;nbsp;TABLE

Jous. Cotnbien faut-il de boutdlles de chaque ef-pece, pour tn former un qui lui revienne d 8 fous la bouteille ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.09

Prob. XIX. Un homme Vtut placer che:^unban� quier tine certaine fomme , par exemple looooonbsp;livres. II veut de plus avoir mang� en vingt ansnbsp;capital amp; int�r�ts^ amp; avoir chaque ann�e la m�menbsp;fomme a dlpenfer. Quelle fera la fomme que lenbsp;banquier devra lui donner annuellement, en fup-pofant qiCil lui en paie l'int�r�t d raifon de cinqnbsp;pour cent?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iio

Prob. XX. Quel eji rint�r�t dont feroit accru au bout de Cann�e un capital quelconque, ft, u chaque infant de la durie de 8ann�e , 8 int�r�t �chunbsp;devenoit c^ipital ^ amp; portoit lui-mime int�r�t?

Prob. XXI. Un fommelUr infidde , d chaque fois qu it va a la cave, vole une pinte d'un tonneaunbsp;particulier qui contient centpintes ,amp; la rernplacenbsp;par une �gale quantit� d'eau, Apr�s un certainnbsp;temps, par exemple trente jours , on s'appergoitnbsp;de fa friponnerie ; on le chaffe, Mais on demandenbsp;quelle ejl la quantit� de vin qu'il a ptife , amp; cellenbsp;qui rejte dans le tonneau ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;112

Prob. XXII. IIy a. trois ouvriers que fappelle Jacques , Jean , 6* Pierre. Les deux premiers, tra-vaillant enfemb.le, ont fait un certain ouvrage en huit jours ^ Jacques amp; Pierre n'ont pu le fairenbsp;qden neuf jours, amp; les deux demurs nen ontnbsp;fait un femhlabte qu'en dix jours. II ef quefionnbsp;de determiner combien chacun d'eux mettroit denbsp;jours d faire le mime ouvrage.,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;214

Prob. XXIII. Un Efpagnol doit d un Frangois jj livres ; mais il na, pour Jacquitter^ que des

D�S MATIERES. 451

p�ajlresqui valent6 livres, amp; Ie Frangois n'a que des leus de 6 livfes. Comment s'arrangeront-ils,nbsp;c�ejl-d-dire combien VEfpagnol d�nnera-t-il aunbsp;Frangois de piajlres, 6* combien celui-ci lui ren-dra-t-il d'�cus , pour que la difference foil �galenbsp;d j I livres, enforte que cette dette foit acquittk ?

�. III. De la Vitaliti de Vefpece humaine felon les diff�rents ages , ou de la Vie moyenne, 249nbsp;�. IV. Du nombre d'hommes de chaque dge, furnbsp;une quantit� dotinie,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;254

Ff ij

SECONDE PARTIE.

PRobL�ME premier, a Pextr�mit� d�um li~ gne droite donncamp; , clever une perpendiculairenbsp;fans prolonger la ligne , amp; m�me , Ji Von veut ,nbsp;fans changer d'ouverture de compas.

Nota. nbsp;nbsp;nbsp;Cettenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;folutionnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eft plus ftmple, a certains

pROB. VI. Un Ing�nieur , en levant une carte , a obferve (Tun certain point les trois angles fousnbsp;lefqtiels il volt les diflances de trois autres objetsnbsp;dont il a. d�ja dkermin� les pojitions : on de-mande la poftion de ce point , fans autre op�-ration,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;275

Prob. VII. Deux lignes concourant en un point inacceffible , ou quon ne peut mime appercevoir.

on propofe, de mener d'un point donn� une ligne qui tende au m�me pointynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i.�j'j

Prob. X, Deux c�t�s �un triangle recliligne �tant donn�s^ amp; Vangle compris, trouver fon aire, Z79nbsp;Prob. XI. Mefurer la furface ditm quadrilatere ounbsp;trapeze quelconque , fans La connoiffance de fesnbsp;cdt�s,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;280

Propri�t� des quadrilateres, qui na , d cequon croit, pas encore �t� appercue ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

mcnt compris 1'u.rt A^rts Vautre , �tant donnes y trouver Ie point dioit tirant une tangente d dun,nbsp;elle foit aujf tangentenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d Tautre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;281

Prob. XIII. Unpere de familie laifje en mourant, d deux enfants , un champ triangulaire , amp;nbsp;ordonne qu il leur fera partag� egalement. lly anbsp;un puits dans ce champ , qui fert d Varrofer; ilnbsp;faut conf�quemment que la ligne de divifion paffenbsp;par fon centre , afin quil foit commun aux deuxnbsp;h�ritiers. On demande la maniere de mener par cenbsp;point la ligne qui partage ce champ en deux �ga^nbsp;lement ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zSz

Diverfes Quef ions analogues d celle-ld y ^83 Prob., XIV. Deux points kant donn�s , amp; unenbsp;ligne droite qui ne paffe point entreux, trouvernbsp;un eerde qui touche la ligne droite , 6* qui paffenbsp;par les deux points donn�s ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;285

Ffiij

454 nbsp;nbsp;nbsp;TABLE

Prob. XV. Diux lignes AB, CD, kant don-n�cs , amp; un point E entrc deux , tracer un eerde pajjant par ce point amp; touchant ces deux lignes ,

Th�OR�me Premier. Dherfes d�monjlrations de la quarante-feptieme dti premier Livre d'Eu-clide, par de Jimples tranfpojitions de parties ,

ibid.

Th�OR. If. Si, fur chacun des cotes dlun triangle A BC, on decrit itn quarre ; que d'un des angles ^nbsp;comme B , on ahaiffe une perpendiculaire BD ,nbsp;fur le cote oppofe AC; quon tire enfuite les lignesnbsp;BE, BE, de maniere que les angles AEB , CEB,nbsp;foient �gaux a I'angle B ; enfin, que des pointsnbsp;E Sr E on mcne les paralleles El, FL, au c�t�nbsp;CG du quarr�, on aura le quarre fur AB egatnbsp;au rectangle AI, 6* Ic quarr� fur BC �gal au rectangle CL : par confequent la fomme des quarresnbsp;fur AB amp; BC fera �gale au quarre de la bafe ,nbsp;moins le rectangle EL fi 1'angle B efi obtus, amp;nbsp;plus ce m�me rectangle fi Vangle B efiaigu, 289

Nota. Nous avons oublief de dire que ce th�or�me , qui eft fort ing�nieux, amp; duquel derive la fameufenbsp;pr.o^fition du triangle reftangle, eft due a M. Clairaultnbsp;le jeune, qui la donna dans un petit ouvrage qu�il pu-blia, a I�age de feizeans, eni73i. II eut surementnbsp;march� fur les traces de fon frere, ft une mort pr�ma-tur�e ne l�e�t enlev�.

TiIEOr. ni. Soit un triangle quelconque ABC, amp; fur k c�t� AC fait decrit le parall�logramme quelconque CE, amp; fur le c�t� AD le parall�logrammenbsp;au(ji quelconque BF; que les c�t�s DE, KF, foientnbsp;prolong�s jufqud leur concours en H, duquelnbsp;point foit tir�e la ligne HAL, amp; prife LM �galenbsp;�, HA ; quonfinijfe enfin le parall�logramme CPj,

fur la bafe BC amp; dans Wangle CLM :� ce pa~ rall�logramme fera �gal aux deux CE, BF, 290

Nota. C�eft encore une g�n�ralifation de la quarante-feptieme du premier Livre d�Euclide. Nous l�avons tir�e de Pappus d�Alexandrie.

Th�OR. IV. Dans toutparalUlogramme^ la fomme des quarr�s des quatre c�t�s ejl �gale d celle desnbsp;quarr�s des diagonahs ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;291

Th�OR. V. Dans tout quadrilatere, quel qu'it foit, la fomme des quarr�s des c�t�s ejl �gale dnbsp;celle des diagonates , plus quatre fois Ie quarr� denbsp;la ligne qui joint les milieux de ces diagonales ,

Prob. XVI. Les trots c�t�s d'un triangle nciilignt �tant donn�s , en mefurer la furface , fans re-chercher la perpendiculaire ahaifj��e d'un des an~

pROB. XVII. Lorfquon arpente un terrain incline , doit - on mefurer fa furface reelle , ou feulementnbsp;celle quelle occiipe dans fa projection horit^ontale ?

Prob. XX. Un quarr� �tant donn�, Ie couperen 4,6, G, amp;c. parties diffemhlahles entr elles , amp;nbsp;qui puiffent par leur arrangement former un rectangle ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J05

F f iv

45^ nbsp;nbsp;nbsp;T ABLE

Pros. XXIV. Deux hommes nbsp;nbsp;nbsp;quinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;courentnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�gale-

ment bien , parient a qui arrivera le premier de A en B, apr�s avoir hi toucher le mur CD. Onnbsp;demande quelle route on doit tenir pour gagner lenbsp;pari,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;305

Pros. XXV. Un point, un cercle amp; une ligne droite itant donn�s de pojition , dicrire un cerclenbsp;pajfant par le point donni, amp; tangent au cerclenbsp;amp; ala ligne droite ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

Pros. XXVI. Deux cercles amp; une ligne droite itant donn�s, tracer un cercle qui les touche tous ,

�Autre des rayons du cercle circonfcrit, le c�t� du poly gone itant fuppofi lt;00000,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ibid.

Th�OR. VI. De routes les figures ifop�rimetres ou de m�me contour, Sr ayant un nombre de c�t�snbsp;d�termin�, la plus grande ejl celle qui a tous fesnbsp;c�t�s amp; fes angles �gaux ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;324

458 nbsp;nbsp;nbsp;TABLE

Dc deux pofygones r�guliers de mime contoury le plus grand ejl celui qui a le plus de cotes ,

3^5

Prob. XXXIV. Un particulier veut faire une cuvette d'argent, de forme cylindrique amp; ouvertenbsp;en deffus, qui contienne un pied cube de liqueur^nbsp;mats, defrant ipargner autant qu it fe pourra 1lt;lnbsp;matiere ^ il s'adreffe a un geometre pour avoir lesnbsp;dimenfions de ce vafe. On demande quelles fontnbsp;ces dimenfions,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;329

Examen de deux fingularitls de ces alveoles , fi* fur-tout de la difpofition de leurs fonds, omnbsp;elles femblent avoir rifolti un prohlime denbsp;maximis amp; minimis,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

Nota. Ceil au refte a tort qiie M. I�abbe Delifle 5h,dansfaTraduftion des G�orgiques, Notes fur le 4�^nbsp;Livre, que M. de R�aumur ayant propofe ce problemenbsp;a M. Kceriig , celui - ci, apr�s beaucoup de calculs ,nbsp;trouva enfin Tangle d�inclinaifon des plans qui formentnbsp;les fonds de ces loges; car rien au monde n�efl plusnbsp;facile que la folution de ce probleme , au moyen dunbsp;calcul diff�rentiel; deux lignes de calcul fuffifent; amp; lanbsp;folution n�eft pas mime inaceeffible en fe paffant de cenbsp;fecours.

pROB. XXXVI. Quel efi le plus grandpolygone quon peut former avec des lignes donn�es?' 333

Prob. XXXVII. Quel efi le plus grand triangle infcriptible a un cercle^ ^ quel efi lemoindre desnbsp;circonfcriptibkslnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

DES MATIERES.

Pros, XXXVIII, La Hgm AB ejl la f�paration de deux plaines , 1'une ACB, qui eji d�un fablenbsp;mouvant, ou un cheval vigoureux peut feidementnbsp;faire une lieue par heure; Vautre ef une bellenbsp;peloufe, o� Ie m�me cheval peut faire, fans fenbsp;fatiguer davantage, cette lieue en une demi-heure:nbsp;les deux lieux C amp; D font donn�s de pojition ,nbsp;c�ejl-d~dire quon connoit tam les dijlances CA,nbsp;DB, OU ils font de la limite AB, que la pojition amp; la grandeur de AB : enfin un voyageurnbsp;doit aller de D en C. On demande quelle routenbsp;il tiendrapoury mettre Ie moins de temps pofiiblcy

ProB, XXXIX. Sur une bafe donn�e , d�crire une infinite de triangles , tels que la fomme desnbsp;quarr�s des c�t�s J'oit confiamment la m�me , amp;nbsp;�gale d un quarr� donn�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;335

Nota. C�eft une g�n�ralifation fort curieufe d�une propri�t� du demi-cercle.

pROB. XL. Sur une bafe donn�e, d�crire une in-finit� de triangles , tels que Ie rapport des deux c�t�s fur cette bafe foit confiamment Ie m�me ,

Th�OR. VII. Dans un eerde, fi deux cordes AB , CD, fe coup ent d angles droits, la fomme desnbsp;quarr�s de leurs fegments CE , AE, ED, EB,nbsp;fera loujours �gale au quarr� du diametre,

PrOB. XLI. Trouver quatre cercles proportionnels qui, pris enfemble , foknt �gaux d un eerdenbsp;donn�, 6quot; qui foient tels que la fomme de leursnbsp;diametres foit �gale d une ligne donnee ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;338

4^0 nbsp;nbsp;nbsp;TABLE

Pros. XLIII. Dt la Duplication du Cube. Son hijioire ajfe:^ curieufe. Diverfes folutions tellesnbsp;que les comporte la g�om�trie ordinaire341nbsp;Pros. XLIV. Un angle qui nejl point une por~nbsp;tion exacte de la circonf�rence �tant donn�.^ trou-ver avec une grande exactitude , au moyen du.nbsp;compas feul, quelle ejl fa valeur,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;345

Prob. XLV. Une Ugne droite �tant donn�e , trou-ver, par une operation facile amp; fans �chelle^ fon rapport avec une autre , a des 1000�^ ,nbsp;10000^^ , 100000pr�s , amp;c.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;346

Prob. XLVI. Faire pafferun m�me corps parun trou quarr�, rond amp; elliptique.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;347

Prob. XLVII. Mefurer Ie eerde, ou trouver un efpace recliligne �gal au eerde ; ou , plus genera-lenient, trouver une Ugne droite �gale d la circonf�rence du eerde, ou d un are donne de cettenbsp;circonf�rence,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;348

udques manures tr�s-approch�es de d�ter-miner, foit num�riquement , foit g�om�trique-ment ^ une Ugne droite �gale d un are de eerde donn� ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3^4

Hifoire curieufe des recherches fur la Quadrature du Cercle , 6* des vijions de qudques bonnes-gens, nbsp;nbsp;nbsp;355

Prob. L. Determiner une ligne droite a trh-peu pr�s �gale d un are de ligne courbe quelconque ,

Prob. LI. Etant donnl un eerde dans lequd eji inferit un quarr�, trouver Ie diametre du eerele ynbsp;OU Pon puijje inferire un oclogone d'�gal eontournbsp;avee ee quarr�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;371

Remarque fur une tentative ing�nieufe de la quadrature du eerele , au moyen de la folution denbsp;ee prohl�me; amp; sur de fon ijfue ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

Prob. LIL Les trois e�t�s d'un triangle rectangle �tant donn�s, trouver fansnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;table trigonom�trique

Prob. LIII. Un are de eerele �tant donn� en degr�s , minutes amp; feeondes, trouver, fans table trigono-m�trique , la grandeur du fnus qui lui r�pond ,

Nota. Ces deux problemes fournilTent Ie moyen de fe paffer de tables trigonom�triques , ou d�y fuppl�ernbsp;comme j�ai �t� oblig� de Ie faire en Am�rique.

TABLE

fur ce joli probleme , qui m�ritoit plus Je d�velop^e* ment: ma�s j�ai voulu �tre court, amp; je fuis tomb� dansnbsp;l�obfcurit�. Cela m�efl; arriv� ici plus d�une fois. Je re-grette auffi de ne 1�avoir pas envifag� d�une manierenbsp;diff�rente, c�eft-a-dire plus g�n�rale, enforte que tousnbsp;les probl�mes analogues n�en euffent �t� que des casnbsp;particuliers.

PROB. LVII. Quels font Us corps dontles furfaceS ont entrelks m�mc rapport que Icurs folidit�s ?

TheOR. vul Le dod�cagonc inferit au eerde ejl les du quarr� du diametre , ou �gal au quarr�nbsp;du c�t� du triangle inferit ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;382

ProB. LVIII. Le diametre A B d'un demi - eerde ACB etant divif� en deux parties queleonqueSnbsp;, DB , fur ces parties , comme diametres ynbsp;foient d�crits deux demi-eerdes AED, DFB,nbsp;On demande un eerde �gal au reflant du premiernbsp;demi-cereli ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;383

PrOB, LIX. Un quarr� �tant donn�, en recouper les angles de maniere qu il foit transform� en unnbsp;oclogone r�gulier ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;384

Nota. La folution qu�on donne ici, eft un exemple de ce qul arrive fouvent en employant le calcul alg�-brique; car il y a une folution bien plus fimple, amp; quinbsp;eft de nature a fe d�montrer a l�efpit m�me d�un com-inenlt;;ant.

PrOB, lx, Un triangle ABC �tant donn�, lui inferire un rectangle y tel que FH ou GI, �gal anbsp;un quarr� donn�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

PrOB. LXI. Dans un angle BAC, par un point donn� D, tirer uneligne Hl, tdle que le trianglenbsp;IHA foit �gal a un quarr� donn�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;38^

ibid.

ver des portions abfolument quarrables, pourvu neanmoins que les cercles qui la forment foientnbsp;entr eux dans certains rapports de nombre d nom-bre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;392

PrOB. LXVIII. Un charpentier a itne piece de bois triangulaire ; amp;, voulant en tirer Ie meilleurnbsp;para pofjible , il cherche Ie moyen d'y couper lanbsp;plus grande table quadrangulaire rectangle qu�ilnbsp;fepuijfe. Comment doit-il iyprendre?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;399

On demande auff d�y recouper la plus grande table ovale pofible,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;400

PrOB. LXIX. IIy a dansun jardin deux baffns, dont les ajutoirs font B amp; C, amp; A ef Ie pointnbsp;qui donne entr�e d une conduite qui doit fe par-tager en deux pour mener Veau en B amp; C. Onnbsp;demande ou. doit �tre Ie point de partage, pournbsp;que la fomme des trois conduites AD, DB , DC,nbsp;amp; conf�quemment la d�penfe en tuyaux, foit lanbsp;moindre pofible,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;40 E

464 nbsp;nbsp;nbsp;TABLE

Pros. LXX. Paradoxe g�om�trique des tignes qui s'approchent fans cejfe l'une de Vautre , fansnbsp;n�anmoins pouvoir jamais fe rencontrer amp; con-courir enfemble,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^.05

PrOB. LXXI. .//_y avoit dans l'ijle de D�los un temple confacr� a la Glom�trie. II �toit �lev� furnbsp;une bafe circulaire, amp; furmont� d�un dome h�mi-fph�rique, perc� de quatre fen�tres dans fon contour amp; dlune ouverture circulaire au fommet,nbsp;tellement combinees, que Ie refant de lafurfacenbsp;h�mifpherique de la voute �toit �gal a une figurenbsp;recliligne. Quant au tambour du temple, il �toitnbsp;perc� dl une porte qui elle - meme �toit abfolumentnbsp;quarrable, ou �gale d un efpace recliligne. On de-mande comment s\y �toit pris 1'architecle g�ometrenbsp;qui avoit �lev� ce monument,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;407

Remarques furies portions de furfaccs coniques abfolument quarrables,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;409

PrOB. LXXII. .ABCDE.A ef un polygone irr�^ guller, amp;c.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;411

Table de la longueur du Pied, ou autre, mefure longitudinale qui en tient lieu, cheq^ les princi-pales Nations amp; dans les principales Villes denbsp;l'Europe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;412.

i I nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 1 I		I	I nbsp;nbsp;nbsp;I		I	I	I
C I i	3	4	5 nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7			8 1 9
I	3	6	10		xi\|28 36
	I 4 lo xo 3 5156} 84
		I	5	*5	35l7olix6
			I	6	XI156\|116
				I	7 \|2.8\| 84
					I	8 1 36
						I	9
						I

aaaaa	aaabb	aahhb	abhbh
aaaab	aabba	abbba	bbbba
aaaba	abbaa	bhhaa	habbb
aabaa	hbaaa	ababb	hbabb
abaaa	aahab	abbab	hbbab
laaaa	abaab	bbaab	bbbbb
	baaab	baabb
	baaba	babba
	babaa	hhaba	!
	ahaba	bah ah

40	9 26 53 42 7 164)29
^�5	52 41	8 27I30I43I 6
iol39iM		57 54I63I28	31
23\|56\|5i\|6o1 I j44\| 5			�2
5olii\|38l55\|58\|6i 32			45
37 22j59\|48ji9\| 2 ji5j 4
i2\|49l2o]35li4 i7\|4lt;5\|33
2il36\|i3		18 47 34) 3	16

30I39I48I �			l� 19 28
38I47I 7 1 9			18	^7	^9
461 6	8	17	^6\|35\|37
5 I14 16		^5	34I36I45
13 15	4 33 4i\|44\| 4
21 23	3^	41 45 3			12
22 31	40	49	2	11	20

I	6	5	1	7	4	3	8
8	3	4	7	2	5	6	I
I	6	5	2	7 4		3 8
8	3	47x56					I
8 3		4	7	2	5	6	I
I	6 5		2	7	4	3	8
8	3	4	7	2	5	6	I
1651				7 nbsp;nbsp;nbsp;4 i 3 1 8

No mb.	g�n�r.	C�t�s.		Hypoth,
I	2	3	4	5
2	5	20	21	29
5	12	119	120	169
12	29	696	697	985
29	70	4059	4060	5741
70	169	23�60	23661	33461

Nomb.	g�n�r^	C�t�s.		Hypoth.
�	i	3	4	S
2	3	5	12	I?
3	4	7		2-5
4	5	9	40	41
5	6	11	6o	6i
6	7	0	H	85

Nomb. g�n�r.	C�t�s.		Hypotk,
I nbsp;nbsp;nbsp;3	6	8	IO
3 nbsp;nbsp;nbsp;^	36	^7	45
6 nbsp;nbsp;nbsp;10	120	64.	136
io nbsp;nbsp;nbsp;15	300	125	320
P R 0 B	L � M E		IIL

			Nombre des D�s.
		1.	II.	m.	IV.	V.	VI.
	(' I	I
	2	1	1
	3	I	2	1
	4	I	3	3	�
	j	1	4	6	4	I
	6	I	S	10	10	5	I
	7		6	15	20	15	6
	8		5	21	35	35	21
	9		4	2-5	56	70	56
	10		3	^7	So	126	126
oquot;	11		2	^7	104	205	252
3	12		1	^5	iij	305	456
i	13			21	140	426	756
	14			ly	146	540	ii6i
	ly			10	140	651	1666
	16			6	I2J	733	2247
	�7			3	104	780	2856
	18			I	So	780	3431 1
	19				56	735	3906
	20				35	651	4221
	21				20	540	4332
	22				10	420	4221
	^3				4	305	3906
	^4				I	205	343'
\		1			1 nbsp;nbsp;nbsp;126		1856

I� I	2, I	3� �	4, I
I, 2	2, 2	3, i	4, 2
� 3	3	3, 3	4, 3
�? 4	4	3, 4	4, 4
5	2-, 5	3, 5	4gt; 5

^^emiere.	Seconde.	Troifieme.	Sommes.
12	24	36
A	B	C	^3
A	C	B	^4
B	A	C
C	A	B	27
B	C	A	28
C	B	A	29

34	49	22	II136139 24 I
21	10 35		50I23I12 37	40
48	33	62	57I38I25 2 13
9	^�l5il54llt;53!lt;5o 41			26
32	47l58\|6ij56\|53ji4			3
19I 8 55 5^159^41^7				22
46I311 6 17 441^91 4 15
7 h8[45\|3o 5 16 43 28

^5	21	37	8	35	20	47	6
38	9	7 \|34\|i9
^3	26	11I36I59I48I 5 I46
10 39		6ij5i\|56t53\|i8\|33
^7h^\|55l58\|49l6o						45	4
4o\|63 j 5o\|6i j 54I 57 V- ^7
131181 I			4i\|M 30			3	44
64I41		14	29	2	43	16	31

48	8 (48I 8	8 I48		8	48
16	40116[40	40 1	16	40	16
32-	24 31 [2.4	24 1	32	24	3^
	56\| 0 [56I56I			50
56\| 0 I56I 0		0 [56			156
24	32-j2.4\|32-			32	24
40	16 j 40[16	i6\|	40	16	40
8	48\|8\|48\|48\|		8.	48	8

49	14	53	10	*5	5^	11I56
24	43	20	47	42	21	46	^7
33	30	37	%6	31	36	^7	40
	59	4	6,1,8		5	62	1
64	3	60	7		61	6	57
	38\|29		34	39	28	35	3i
48	19	44	^3	IZ	45	22	41
9	54h3		50	55	12	51	16

21113			4
31415			2
5	2	I 3
I 3 4			5
4	5 ^ h

I	35	34	5	30	6
33	11		M	14	4_
28	22	16	17	'9	9_
8	18	20	21		i9_
10	^3	13	12	26	^7
31	%	3	3^	7	36

I j63\|62 4		9 55		54 11
6o\| 6 j 7 I57		5^	14	15	49
8 \|58\|59! 5		16	50	51^3
�i	3 ! 2 !d4	53	11	10I56
17	47j46j20	^5	39	38 [28
44	22 [23141	36	3o\|3i\|33
24	42 43\|zi	3^	34 35		29
45 19 18I48		37	27	26	^40

Longueur commune du grand' Axe Long. de la.		� � � 2.0* Long. de la circonf�rence
Petit	circonf�rence	moyenne des
Axe,	elliptique.	eer des des gr. amp; pet. Axe.
2 lt; .	. 40.63243 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.	' 34-5579
4 � �	. 42.01968 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.	. 37-lt;5990
6 . .	. 43.68526 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.	. 40.8406
8 . .	. 46.02506 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.	. 43.9822
lo . nbsp;nbsp;nbsp;.	. 48.44215 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,	. 47-1^38
I2 . nbsp;nbsp;nbsp;.	� 5�-�5407 � �	. 50.2654
H . .	. 53.82377 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.	. 53.4070
16 . .	� 50-7^739 � �	. 56.5486
i8 . nbsp;nbsp;nbsp;.	. 59.81022 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.	. 59.6902
. .	. 62.83185 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.	62.83185

F A nbsp;nbsp;nbsp;1gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� Fu/ � a, A.	1 7.
A ^	\
p nbsp;nbsp;nbsp;\	\ quot;
\ ^	/
c nbsp;nbsp;nbsp;V- Alt;	/

R�CR�ATIONS

R�CR�ATIONS

MATH �M ATIQ UES

E T

PHYSIQUES,

M. DCC. XC.

P R � F A C E.

i] nbsp;nbsp;nbsp;P R � F A C E.

�V nbsp;nbsp;nbsp;PREFACE.

vlij ^ ^ P R � F A C E.

fT

xij _ PREFACE.

xir P R � F A C E.

APPROBATION.

PRIVILEGE DU ROL

RECR�ATIONS

RECREATIONS

math�matiques

PHYSIQUES.

PREMIERE PARTIE,

CoNTENANT IcsProbl�mes les plus curieux amp; les V�rit�s les plus int�rejfantes denbsp;U Amhm�tique.

CHAPITRE PREMIER.

De notre Syjl�me num�rique, amp; des diverjes efpeces d�Arithm�tiques.

fiuatre. �����*�**

C H A P I T R E IL

Dc quelques Manures ahr�g�es de faire les operations arithm�tiques.

�. 11.

Arithm�tique; Chap. IT, tl'

�. in-

Dc quelques Multiplications amp; Divijions abr�g�es.

�. V.

C H A P I T R E III.

I.

II.

111.

IV.

V.

VI.

Vin.

1 X.

X.

table

Toim /, nbsp;nbsp;nbsp;Q

* 6.

* 2.8.

X H.

Cu

7 nbsp;nbsp;nbsp;19nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;37nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9^

6 6 6

XIV.

XV.

CHAPITRE IV.

C iv

PROBL�ME IV.

Des Triangles reBangles en nombres.

PROBLEME I.

gle 3,4 , 5 ;

des

Arithm�tique. Chap. F. 51 S' It double de la fomrne de hurproduit amp; du quarrinbsp;du plus petit, [era le troijiemc,

PROBL�ME IV.

PROBL�ME V.

CHAPITRE VI.

QuelquesProhl�mes Curieux furlesNomh'res quarr�s amp; cubes.' quot;

D iv

R E M A R dU E.

CHAPITRE VII.

Des ProgreJJions arithm�tiques amp; g�om�-triques j amp; de quelques Probl�mes qui en dependent.

PROBL�ME II.

Eij

Ar�thm�tique. Chap. VIL

01234 nbsp;nbsp;nbsp;56nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10

, I 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Achilh va dix fois plus vite quune tortm qui A une Jladc d'avance. On dcmande s'll ejl pojfjiblcnbsp;qu it Vatteigne^ amp; a quelle dijlance il 1'atteindra?

PROBLEME III.

F ij

Arithm�tique. Chap. VIL 8y

S- IV-

F iv

CHAPITRE VIII.

J)es Combinaifons amp; Changements d�ordre,

fiuatre. ��*�**

I	35	34	5	30	6
33	11		M	14	4_
28	22	16	17	'9	9_
8	18	20	21		i9_
10	^3	13	12	26	^7
31	%	3	3^	7	36