OVER •

HOLOMORFE FUNCTIES

AAN WELKER WAARDENVOORRAAD ZEKERE BEPERKINGEN ZIJN OPGELEGD

OVER HOLOMORFE FUNCTIES, AAN WELKER WAARDENVOORRAAD ZEKERE BEPERKINGENnbsp;ZIJN OPGELEGD.

K 2597

OVER

HOLOMORFE FUNCTIES

AAN WELKER WAARDENVOORRAAD ZEKERE BEPERKINGEN ZIJN OPGELEGD

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDEnbsp;AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT,

OP GEZAG VAN DEN WAARNEMEND RECTOR MAGNIFICUS, L. VAN VUUREN, HOOGLEE-RAAR IN DE FACULTEIT DER LETTERENnbsp;EN WIJSBEGEERTE, VOLGENS BESLUITnbsp;VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT INnbsp;HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN OPnbsp;MAANDAG 6 OCTOBER 1941 TE 15 UUR.

DOOR

BASTIAAN HEIJNA

GEBOREN TE ARNHEM

P. NOORDHOFFN. V. — 1941

Promotor: Prof. Dr. J. A. BARRAU

INHOUD

biz.

Inleiding....................... 1

§ 1. Functies, welker waardenvoorraad een gebied, dat tot

de eenheidscirkel behoort, uitsluiten......... 6

§ 2. Functies, die een gegeven waarde slechts éénmaal

aannemen.......... 12

§ 3. Functies met gelijke randwaarden in verschillende

punten...................... 13

§ 4. nbsp;nbsp;nbsp;Functies met vertakkingspunten.......... 16

§ 5. nbsp;nbsp;nbsp;Even en oneven functies.............. 18

§ 6. nbsp;nbsp;nbsp;Uitbreiding van het Lemma van Schwarz......20

§ 7. nbsp;nbsp;nbsp;Nader onderzoek van w'(z), als w'(z)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F......22

§ 8. nbsp;nbsp;nbsp;Gevolgtrekkingen uit § 6 en § 7..........29

§ 9. nbsp;nbsp;nbsp;Over de lengte van beeldkrommen.........30

INLEIDING.

Dit proefschrift heeft zijn ontstaan te danken aan de opmerking van Prof. Dr. J. Wolff dat de meeste bewijzen in de dissertatienbsp;van H. Unkelbach aanzienlijk verkort kunnen worden door gebruik te maken van de eigenschappen van holomorfe functies, dienbsp;een positief reëel deel bezitten in het rechterhalfvlak, en dat ernbsp;tevens een aantal nieuwe stellingen ontstaat, door de voorwaardenbsp;die Unkelbach stelt, te variëren.

Wanneer nl. een holomorfe functie f(z) een pos. reëel deel heeft in het halfvlak H(i?zgt;0), dan gelden de volgende eigenschappen,nbsp;afkomstig van Prof. Wolff :

(A) lf'(z)| -

constant is) met de limiet X ^ 0 voor Rz^ ^ oo, onafhankelijk van c.

(C) nbsp;nbsp;nbsp;Het getal X uit (B) is gelijk aan de hoekafgeleide van f(z)

f(z)

in oo, X = lim ang f'(z)= lim ang-.

Z—gt;-CO nbsp;nbsp;nbsp;Z—^OOnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z

¦ •Kf(z)

(D) nbsp;nbsp;nbsp;Voor iedere z m H is:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^X.

R{z)

,T,, nbsp;nbsp;nbsp;-Kf^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,, , i?f(a) ,

(E) nbsp;nbsp;nbsp;hm ang—— = hm angf (z) ^--^^X, als agt;0.

z—gt;0 nbsp;nbsp;nbsp;z—gt;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Opm. Het = teken geldt bij (A) slechts, als;

Bij (D) en (E) geldt het = teken slechts voor de functies az-fbi, a en b zijn reële constanten, a ^0.

Hieronder nu zullen enige stellingen van Unkelbach op de boven aangegeven manier bewezen worden:

') H. Unkelbach, Ueber beschrankte Funktionen, deren Wertevorral gewisse Lücken aufweist. Mathem. Annalen 115, p. 205.

‘) Comptes Rendus. tome 183, 1926.

1. „Satz ï” van Unkelbach luidt:

Geg. w=f(z) is holomorf en |f(z)i lt; 1 voor |zj lt; 1, f(0)=0, a=re'^ hoort niet tot de waarden voorraad van f(z) in de eenheidscirkel,nbsp;0lt;rlt;I, 0^(plt;27c.

2r log r-i

1 — r2

ties die hieruit door draaiing van het w- of z-vlak om de oorsprong verkregen worden.

Bewijs „door middel van het halfvlak”. i)

l-f-z nbsp;nbsp;nbsp;Sf(z)—1

Zij ^=-;-, danisdoorlt;I)(Q= log—-- een holomorfe functie

1' z nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ffz)

met pos. reëel deel bepaald in het halfvlak gt; 0, want —^-

1 —af (z)

is lt; 1 en nergens = 0 in de eenheidscirkel, dus de log. kan langs iedere weg in de eenheidscirkel voortgezet worden.

2rlogr'quot;^

(A) geeft: |f(0)|

Het = teken geldt alleen als |lt;E)'(l)|=i?0(l), dus volgens blz.

J_£2

opm.: 0(!^)=a. nbsp;nbsp;nbsp;;--ib, |el=l.

Zien we af van draaiingen om O, dan mogen we sz door z en

1 1

—af(z) door rHrjz) vervangen. Uit lt;l)(l)=log- volgt: a=log—, b = 9. Er komt dan:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

waarin °fr(z) een functie is (Jie ^—r en waarvoor het = teken geldt. Men ziet gemakkelijk dat °fr(z) de gevraagde vorm heeft.

') 1^1 ^ 1 correspondeert met het halfvlak nbsp;nbsp;nbsp;De keuze van

vindt zijn oorsprong in de stelling van Lindelof:

Ond. gCQ beeldt nbsp;nbsp;nbsp;af op een deel van het Riem. opp. R, liggend

over het rechterhalfvlak, met 00 -voudig vertakkingspunt y. h(^) beeldt R(Q gt; 0 af op het gehele opp. R; g(l)=h(l) = l.

Gest. I g^( 1) I ^ I h'(1) |. = teken alleen als g=h, op ,,rotaties’’ na.

2. Geg. w=f(z) is holomorf en heeft pos. reëel deel voor R(z)gt;0. f(l) = l, i(z):^x, Rcf.=a, |l a|=p|l—a|, |arg(l a)—arg(l—(x)| =

Volgens (D): nbsp;nbsp;nbsp;sOT(l), of: X ^

Transformatie naar de eenheidscirkel levert Satz II van Un-KELBACH:

Opm. In het halfvlak blijkt Satz II een eenvoudiger gedaante te hebben dan in de cirkel.

3, Ook in de eenheidscirkel kan men Satz I en II een eenvoudiger vorm geven door een lineaire transformatie, n.1.

Geg. w=f(z) is holomorf en |f(z)| lt; 1 in |z| lt; 1. f(z) is nergens nul in |z| lt; l,f(0)=c.e'^, jyl c lt; l,limangf(z) = l,limangf'(z)=f'(l).

1 nbsp;nbsp;nbsp;losf^ c-f-y^

Te bew. |f'(0)| ^2clog— en f'(l) ^ nbsp;nbsp;nbsp;--

c nbsp;nbsp;nbsp;2 log c-^

1 z nbsp;nbsp;nbsp;1

Bew. Zij X,=- dan is 0(0= log— holomorf en i?Ogt;0 in

1—z nbsp;nbsp;nbsp;w

RZgt;0. Dus |0'(1)| ^i?0(l) of—|f'(0)| ^log —q.e.d.

2c nbsp;nbsp;nbsp;c

Verder is:

i|;(0=(—log w)~i holomorf en nbsp;nbsp;nbsp;in R^gt;0.

Uit X^^i?tj;(l) volgt de tweede te bewijzen formule.

Opm. De grenzen voor |f'(0)| en f'(l) kunnen niet verbeterd worden:

(1—2:)(1os'^o4-Yquot;)

Oj(z)—ezdoKc iyl iogc—iy voMoet aan de voorwaarden, terwijl voor deze functie het = teken geldt.

4. Uit 3 kunnen nog enige grenzen voor |f'(0)| en f'(l) worden afgeleid, die onafhankelijk van c of van y zijn:

1°. De functie hj^(x)=x log— heeft op het vak (0,1) een absoluut

maximum van de grootte e“i, dus:

|f'(0)1 ^-=0,7357.... e

1 1

2°. Wegens y2 ^0 is: f'(l) ^— log ~.

x^ y^

3°. De functie h2(x)=—^— heeft een absoluut minimum voor x=:y op het vak 0^x:^oo, dus:

Y^ Y^

2y

5. Geg. w=f(z) is holomorf en Rvf gt;0 in Rz gt; 0. f(l) = 1, lim angf(z)=:oo. Boog B {Rz=0, /zlt;p) wordt door f(z) glad af-

Z-^CxD

geheeld op een boog B^ (i?w=0, —cx5lt;/wlt;pj^).

cx— 1 nbsp;nbsp;nbsp;I

|!^| lt;1 , terwijl |w(C)| lt; 1 in |^| lt; 1. nbsp;nbsp;nbsp;--geeft m=log de boog

a 1 nbsp;nbsp;nbsp;r

van de Q|^l = l, die door co(!^) op een gladde boog van lwl=l wordt afgebeeld, voldoet aan;

(Xr ^ 4 arctg

Satz VII, VIII en XII van Unkelbach, waarin de voorwaarde f(z):^x vervangen is door: f(z)=a alleen in vertakkingspuntennbsp;van de n® orde, kunnen op overeenkomstige manier korter bewezen worden.

§ I. Functies welker waardenvoorraad een gebied, dat tot de eenheids-cirkel behoort, uitsluiten.

a. Stelling 1,

1

Geg. w=f(z) is holomorf, lw| lt; 1 enP:;—voor |zllt;l.

e-“lt;(a(=p, 0lt;plt;], f(0)=0. Te èe®. |w'(0)| ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Bew. Kies tp zó, dat a=pe*'P. De functie 0(Q, bepaald door;

0((^) = log-0(1)= log-^—im, is holomorf en heeft

a—w nbsp;nbsp;nbsp;1 —znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p

pos. reëel deel in BX, gt; O, terwijl O lt; i?0(Q lt; m. Dus nbsp;nbsp;nbsp;=—^iem

ligt in het rechterhalfvlak waaruit volgt;

- ¦ / ^ 1 ' e sin 1 — log

m

¦p^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/ TCnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

'w'(O) I ^ e ™ sin — log — \ mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p

waaruit volgt hetgeen te bewijzen was.

Opm. Voor m oo komt er Satz I van Unkelbach. b. Functies waarvoor het = teken geldt:

Neem 9=0, a==p. Het = teken geldt als (p(Q=A^—Bi, Agt;0,

— log 1 nbsp;nbsp;nbsp;lo -

B reëel. Nu moet 4'(1)=—zijn, of Ai B=em dus

, TC nbsp;nbsp;nbsp;I

B = cos I — log -

.m nbsp;nbsp;nbsp;p y

Hierin is A gt; 0 wegens m gt; log p ^ gt; 0. De extremale functie is nu bepaald door:

1—pw

=Ai^ B of:

p—w

De log. zijn bepaald door de voorwaarde: beide leden reëel als z=0.

C_Q2,

Doorloopt z de rand |z| = l, dan doorloopt - de gehele

1—z

reële as, waarbij de punten en 1 van |z| = l corresponderen met de punten 0 resp. 00 van de reële as. Als z de Q|z| = l in pos. zin

van tot 1 doorloopt, dan doorloopt h(z)=—log^—^ de ima-

tcI nbsp;nbsp;nbsp;1—z

ginaire as van —ooi tot ooi, dus w doorloopt de 0|w| = l oneindig

Q_£2

vaak. Doorloopt z de andere boog van 0|z| = l, dan is--lt;0,

1—z

dus h(z) doorloopt een lijn //de imaginaire as en op afstand m daar-

w—p

van gelegen, dus w doorloopt oneindig vaak de O:

c. Stelling 2.

Geg. w=f (z) is holomorf en Rw gt; 0 voor Rz gt; 0. lim ang f (z)=00,

2—gt;00

lim ang f(z)=0, lim ang i'{z)=X, lim ang f'(z)=f'(0).

2—gt;0

lt;e™, mgt;0, arg lt;z= — — lt;j^, nbsp;nbsp;nbsp;, i?(a)=a.

m^X nbsp;nbsp;nbsp;7:^

— . , , sh^ —, 7ï^ sin^ 9 m

Bew. 0(z)=——em nbsp;nbsp;nbsp;w—aj is holomorf en heeft pos. reëel

deel in i?zgt; 0. X^ is de hoekafgeleide van lt;£) in z=cx3.

O mX

X$= hm ang — = -—.

z—gt;00 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2713.

-.SèA ^ -.2tli Tii 2a

= ish-.fi, ïhiïü.f.,0)

2m m a

Wegens (E): lim ang lt;l)'(z) ^X^, waaruit volgt h.t.b.w.

z-gt;0

d. Opm.

Als m^cxo komt er de stelling :

Als w=f(z) een holomorf e functie met pos. reëel deel is in D (i?zgt;0), met de lim ang. =0, resp. oo voor z^O, resp. z^oo, ennbsp;de waarden voorraad van f(z) bevat niet de gehele halfrechte:

7Ü nbsp;nbsp;nbsp;7Z

|w|gt;0, — gt;argw= — —dan geldt voor de hoekafgeleide f'(0) in nul, resp. X in co, de volgende ongelijkheid;

sin^ ijl

e. Extremaaljunctie bij c;

We vinden op dezelfde manier als bij b, dat voor 02(z), bepaald door:

het = teken geldt, en dat deze functie het halfvlak Rzgt; O afbeeldt op een oneindig-bladig Riem. oppervlak, liggend op de ,,ring”

$2 S

O,

’) Prof. J. WoLFF, Sur les fonctions holomorphes dont l’ensemble des valeurs est soumis a certaines restrictions. Proceedings Vol. XLIII, No. 8,nbsp;1940.

We bekijken deze afbeelding wat nader en voeren ze daarom in étappen uit:

i nbsp;nbsp;nbsp;mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;w a

^2= ~ nbsp;nbsp;nbsp;Z3=e^”; -=H'gt; w=lt;lgt;2(z).

Az B nbsp;nbsp;nbsp;7rinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;w—a

g nbsp;nbsp;nbsp;_j_g

De cirkels door de punten — — = D en —-— =E (fig. 1) gaan

A nbsp;nbsp;nbsp;A

achtereenvolgens over in de lijnen: arg Zj = const.; Rz^ = const.; [zgl = const.; cirkels

De cirkels van Apollonius t.o.v. de punten D en E gaan achtereenvolgens over in de krommen:

Opgemerkt zij, dat men niet de gehele cirkels krijgt, doch slechts de bogen tussen imaginaire as en cirkel F (fig. 2).

Als z loopt van D naar E langs een cirkel door D en E, dan doorloopt w oneindig vaak een cirkel |w a| : |w—a|= const.nbsp;Met het stuk der imag. as in het z-vlak buiten D en E correspondeertnbsp;de o.v. (oneindig vaak) doorlopen imag. w-as, met het stuk dernbsp;imaginaire z-as tussen D en E correspondeert de o.v. doorlopen cirkel F. Als z van een punt van ED naar een punt van het verlengdenbsp;van ED loopt langs een cirkel van Apollonius, F^, dan loopt w vannbsp;E tot i?w=0 langs een boog Fg van een cirkel arg(w a)—nbsp;arg (w—a) = const. Als F^ zich samentrekt tot E, dan draait Fgnbsp;o.v. om a.

10

f. Stelling 3. (fig. 3)

Geg. w(z) holomorf, |w(z)| lt; I en iw a| gt; 1—a in |z| lt;1, w(0)=0, 1—a

|lt;alt;l, k=n.-, lim ang w(z) = l, lim ang w'(z)=w'(l).

Te bew. (w'(O)j ^

r nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i

hm ang — = hm ang-—

; z-gt;l nbsp;nbsp;nbsp;i ilg'^^TTw.

1—z

Riil)==R^=-^^: ' ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e^*^—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2—2 cos k

dan zal voor lt;lgt;3(z) in de hier bewezen formules het = teken gelden.

De gevonden grenzen kunnen dus niet verbeterd worden.

Opm. 2. Als a loopt van 4 tot 1, dan loopt k van tc tot 0, dus

sin k nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;k

—;— van 0 tot 1 en — tg — van oo tot 1. knbsp;nbsp;nbsp;nbsp;knbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2

Opm. 3. De waarde b=l—2a wordt door w(z) niet aangenomen,

volgens Unkelbach is dus |w'(0)| lt;9K(b) (biz. 2) en w'(l) ^M(b,7r).

Men ziet gemakkelijk in, dat voor corresponderende k en b;

_ sin k nbsp;nbsp;nbsp;2 k

?lli(b) ^ —— en M(b,7T) ^--tg — is. knbsp;nbsp;nbsp;nbsp;k 2

g. Stelling 4.

Geg. Als bij f, i.p.v. w(0)=0, ^lt;alt;l echter:

0lt; 1 lt;a, lim ang w'(z)=w'(—1), lim ang w(z) = l—2a.

z—gt;—1 nbsp;nbsp;nbsp;z—gt; 1

4a^

Te bew. w'(—l).w'(l)^—.

Bew. Zij f(^) en k als bij f, dan is Wi=tc voor z=—1, dus

lim ang f(Q=—

^-^?0 2

_4 nbsp;nbsp;nbsp;Tz

lim ang f'(0=-^-¦---• w'(—1) = —

;:-^o nbsp;nbsp;nbsp;(e™—1)2 (2—2a)2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4

Bij f is afgeleid:

Ttw'{-1)

7r(l—a)w'(l) nbsp;nbsp;nbsp;4a(l—a)

teken geldt hier voor dezelfde functie 03(z) als bij f,

nl. k vervangen door tt

23gt; nbsp;nbsp;nbsp;k

^3(—0= limangO^(z)=—(1—a)cotg —

z-gt;—1 nbsp;nbsp;nbsp;“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

2a nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;k

(i)'(i)= nbsp;nbsp;nbsp;_.tg-

1—a 71 nbsp;nbsp;nbsp;2

Ook hier kan de gevonden grens dus niet verbeterd worden.

Opm. Op het eerste gezicht zou men een dalende functie voor de grens verwachten. Immers, een grotere a geeft een kleinere cirkelnbsp;van waarden die w niet aan mag nemen, wat een minder sterke beperking lijkt. Toch blijkt dit, tezamen met w(—1) = 1—2a, een sterkere beperking voor w(z) te zijn, want er hoort een grotere grens bij.

12

Stelt men a= 1, dan gaat het geg. over in:

w(z) holomorf en lw(z)| lt; 1 voor lz|lt;l, lim ang w(z)=l,

2—

lim ang w(z)=—1, lim ang w'(z)=w'(^—1), lim ang w'(z)=w'(l).

2—gt; 1 nbsp;nbsp;nbsp;2—^ 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z—^1

Zoals bekend is, geldt nu; w'(I).w'(—1) ^1.

4a^ nbsp;nbsp;nbsp;4

De grens is dus discontinu bij a= 1, want lim — = — lt; I.

a-^1 nbsp;nbsp;nbsp;”

§ 2. Functies die een geg. waarde slechts één maal aannemen.

a. Stelling 5.

Geg. w(z) is holomorf en |w(z)|lt;l voor |z|lt;l, w(0)=0. w{z) — y.=^0 als en alleen als z=p,

2|«| log

l-k-P

Bew. Volgens een uitbreiding van het theorema van Schwarz

is f(z) =-- holomorf en |f(z)jlt;l voor |z|lt;l, terwijl

aw—1 z—p

i(z)^0 in |z| lt; 1 (volgt uit het geg.).

1 nbsp;nbsp;nbsp;1 z

-, dan is g(C) holomorf en heeft pos.

f(z) nbsp;nbsp;nbsp;1—z

reëel deel in RZ gt; 0.

2p

cz -f c

. nbsp;nbsp;nbsp;- -e c= log -.

afl)4(z)—1 nbsp;nbsp;nbsp;pz—1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p

Voor 04(z) wordt (1) dus een gelijkheid, terwijl 04(z) aan de geg. voorwaarden voldoet. De gevonden grens kan dus niet verbeterdnbsp;worden.

13

Ofm. I. Als bovendien gegeven is dat w „schlicht” is, dan volgt uit de bewijsvoering;

Ofm. 2. Neemt men a=p=0, dan komt er: I w''(0)

w'(0)

Uit f'(0) ^X( volgt het gestelde.

§ 3. Functies met gelijke randwaarden in verschillende punten.

a. Stelling 7.

Geg. w(z) holomorf met pos. reëel deel in Rzgt; 0, w(z):^a=a4-bi, lim angw(z) = lim angw(z) = oo, lim angw'(z)=X, limang z.w(z) = (j..

Z~^00 nbsp;nbsp;nbsp;z—gt;0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z-^CXDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z—^0

Het beeld van de pos. reële as loopt n maal om a.

Te bew. X;a ^

nTT

14

= A(,.

2n7r \

f-(0). lim ang nbsp;nbsp;nbsp;= lim a„gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,

z-a^o nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z_gt;o ^ 2n ^ z(w—a)

(E) geeft;

welke functie aan de geg. voorwaarden voldoet.

b. Stelling 8.

Geg. w(z) holomorf, |w(z)|lt;l en w#a=re*'P in |z|lt;l. lim ang w(z) = lim ang w(z)=I, lim ang w'(z)=w'(Pj),

lim angw'(z)= w'(p2), 27rgt;arg gt;arg ^ 0, |pi| = |p2j = l. De

cirkelboog die |z| = l loodrecht snijdt in Pj en Pg en binnen |z| = l ligt, wordt afgebeeld op een kromme, die n maal om a loopt.

Te beu). |w'(Pi).w'(P2)(^(-^^

\|Pi—P2I 1—lal'

lim ang co . nbsp;nbsp;nbsp;= lim ang

^—gt;¦0 nbsp;nbsp;nbsp;z—gt;-^1

l re‘'P nbsp;nbsp;nbsp;1—r^ ii....)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1—|aP

co nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^—;;-, dus dc a Van stelling 7 is:

Daar stelling 8 een transformatie is van stelling 7, kan de hier gevonden grens evenmin verbeterd worden als bij stelling 7.nbsp;c. Stelling 9.

Geg. |w(z)|lt;l en w(z) holomorf voor |z|lt;l, w(z)=0 als en alleen als z=0, w'(0)^0. lim ang w(z) = l= lim ang w(z),

Z—gt;1 nbsp;nbsp;nbsp;Z—gt; 1

lim ang w'(z)—w'(—1), lim ang w'(z)=w'(l).

Te bew. {w'(l)—1}{—w'(—1)—1}^-

Bew. f(z) = z ^.W7^:0, f(z) holomorf en |f(z)|lt;l als |z|lt;l, w

f'(z)=---, lim angf'(z)=w'(I)—1, limangf'(z)=—w'(—1)—1.

z z^ z^l nbsp;nbsp;nbsp;z-^—1

Volgens de stelling uit § 1, d is dus:

’) Omdat lim ang — ^0, mogen we hiervoor lim ang !^-^oonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^-^oo

zetten.

16

Het = teken geldt voor de functie lt;I)g(z)=z.e(i i)z i—i.

Men ziet; ^)g(l)=Og(—1) = 1, Og(z)=0 alleen als z=0 en [Og(z)( lt;1 Tc(z-1)

want R-^; heeft het teken van:

(l i)z l—1

R{z—1){(1—i)z l i}=i?{|z|2—l (z—^z) i(z z)}lt;0 als |z| lt; 1 $g(z) voldoet dus aan de gestelde voorwaarden, terwijl:

27rCgt;6(z)

{(l i)z l—iP

27U nbsp;nbsp;nbsp;-27t

(2i)^

§ 4. Functies met vertakkingspunten.

a. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling 10.

Geg. w(z) is holomorf en |w| lt; 1 voor |z|lt;l, w(0)=w'(0) = = .... =w^“~^*(0)= 0, lim ang w(z) = l, lim ang w'(z)=w'(l).

Z—Z—gt;-1

Te bew. w'(l) ^n.

w(z)

Bew. g{z) = -^zzi holomorf en |g(z)|lt;l in |z(lt;l (herhaalde toepassing van Schwarz) g(0)=0.

lim ang g(z)=w'(l)—(n—l)w(l) ^ l-gt;w'(l) ^n q.e.d.

Z—gt;1

Het = teken geldt voor w=zquot;.

b. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling 11.

Geg. w(z)=az“ bzquot; i ..., |z|lt;I, a^O, n is een natuurlijk getal, |w(z) lt; 1 als |z|lt;l, wjzj^^O als z#0.

Te bew. — ^2 log—, anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ lal

17

Bew. Stel f(z)=a bz ... .=z-i'.w(z), dan is: f(z) holomorf en f(z)^0 in |z|lt;l, en |f(z)|lt;l in |z|lt;l. Volgensnbsp;3 (inleiding) is dan:

jjV„fjb|^2|a|loglq.e.d.

Ofm. I. Voorn=l komt hetzelfde resultaat als in stelling 5, opm. 2, want in dit geval is a=w'(0) en b=Jwquot;(0).

Ofm. 2. Het = teken geldt voor 07(z)=zquot;0i(z) (zie 3, inleiding).

c. Stelling 12.

Geg. w(z)=a^z“ an_,_iz“ ^ ..|w(z)|lt;l voor |z| lt;1, ajj=ce‘7, w(z):^0 als z^O, lim ang w(z) = l, lim ang w'(z)=w'(l).

Z^l nbsp;nbsp;nbsp;Z—^1

log^ C Y^

Te bew. w'(l)^n-|--.

2 log

Bew. Stel g(z) =z-quot;.w(z), dan is g(z) holomorf, g(z)7^0 en |g(z)|lt;l voor |z|lt;l. g(0)=ce‘t, dus volgens 3 (inl.)

log^ c Y^

q.e.d.

d. Stelling 13.

Geg. |f(z)| lt; 1, f(z) holomorf en 7^0als|z|lt;l, f'(a)=0, f(a) = ce‘t, 0lt;clt;l, —Tclt;Y^7r, limangf(z) = l, lim ang f'(z)=f'(l).

z—gt;-l nbsp;nbsp;nbsp;z—gt;-l

log^ c Y^ 1—|a|^

Te bew. f(l)^-A_±L.^L logC“^ |1—«p

Bew. w=—log f(z) is holom. en heeft pos. reëel deel in |z|lt;l. w(l)=0 (zo is de log. gekozen), w(a)=—loge—i(Y 2k7r)=p,

w'(a)=0. Stel nbsp;nbsp;nbsp;dan voldoet g(i;)

aan de voorwaarden van stelling 10, dus lim ang g'(z)^2

z—gt;1

1 nbsp;nbsp;nbsp;P P 3 f'(z) dz

dus hm angd-—— ^2, of:

pp ¦ 1—|a|2 nbsp;nbsp;nbsp;log2c (Y 2k7T:)2'1—|a|^

waaruit het gestelde volgt wegens (Y 2k7i:)^ ^ Y^-

^2

18

Het = teken geldt als g{z)=z^, dus voor de functie ^g(z) bepaald door:

w(z) p P

lt;Igt;8(z) voldoet aan het geg., dus kan de gevonden grens niet verbeterd worden.

§5. Even en oneven functies.

a. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling 14.

Geg. w(z) is holom. en even, |w| lt; 1 voor |z| lt; 1; w(0)=0, lim ang w(z) = I.

Z—gt;1

Te bew. lim ang w'(z) ^ 2.

z-^1

Bew. Aangezien w'(0)=0, volgt het gestelde uit stelling 10. De grens kan niet verbeterd worden: Wo=z^ voldoet aan de voorwaarden, terwijl lim ang Wo'(z)=2. Merkwaardig is dat de veel ster-

z—gt;-l

kere voorwaarde ,,w even” toch geen scherpere grens geeft dan de voorwaarde w'(0)=0.

b. nbsp;nbsp;nbsp;Toepassing van stelling 14 op niet-even functies.

Stelling 15,

Geg. f(z) is holomorf en (f(z)|lt;l voor |z|lt;l, f(0)=0. lim ang f'(z)=f'(l), lim ang f'(z)—f(—I), lim ang f(z) =

z--gt;l nbsp;nbsp;nbsp;z—gt; 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z—^l

= lim ang f(z) = l. —1

Te bew. f'(l)—f'(_])^4.

Bew. Stel f(z)-t-f(—z)=2w(z), dan voldoet w(z) aan de premissen van stelling 14, dus lim ang w'(z) ^ 2.

Z~^l

Hieruit volgt:-^--'^2^ q.e.d.

c. nbsp;nbsp;nbsp;Stelling 16.

Geg. w(z) is holom. en even, |w| lt;1 als |z| lt;1; w(z)—0 alléén als Z=0, w''(0):5^0.

Te bew. nbsp;nbsp;nbsp;^24 |w”(0)|lognbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- .

|W

„ nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;w''(0)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;w^^’^ho)

Bew. Stel a=z^ 0((t)=w(z)= —a H--7;—- nbsp;nbsp;nbsp;...

4!

19

Uit stelling 11 volgt: |Oquot;(0)| ^4|lt;t'(0)l log 1^)'(0)|-^ waaruit;

1‘Igt;9(0)I

zodat voor ^9(2) het = teken geldt.

d. Stelling 17.

Geg. w(z) is holomorf en even, |w|lt;l en w^O voor |z|lt;l; w(0)=ce*7, IyI ^7T, lim ang w(z) = l, lim ang w'(z)=w'(l).

Z--gt;1 nbsp;nbsp;nbsp;2-^1

log^ C Y^ nbsp;nbsp;nbsp;1

Te bew. w'(l)^—-|w''(0)|^4c log—.

log nbsp;nbsp;nbsp;c

Bew. 0(a) als boven, dan is w'(z)=2zO'((t). Het gestelde volgt

uit 3 (inleiding) door in te vullen: 2lt;l)'(0)=wquot;(0), 2 lim ang 0'(lt;t) =

2—gt;1

=w'(1). Daar de grenzen voor w'(l) en |w''(0)| gelijk zijn aan 20j(l) resp. 2|Oj(0)| (zie 3, ink), wordt de grens hier dus bereikt voornbsp;O,o(z)=lt;l),(z2), want dan is lt;!);„(l)=20j(l2) en |0jp(0)|=2|0;(0)|.nbsp;Ofm. Is geg. w(0) lt;0 i.p.v. w(0)=ce‘t, dan is:

w'(l) ^ 2-71

want dan is

log2 C 7t2 nbsp;nbsp;nbsp;7t2-|-7t2

W'(l)^ nbsp;nbsp;nbsp;^ ^-——=271.

e. Stelling 18.

Geg. w(z) holomorf en oneven, |w|lt;l voor |z|lt;l, w(z)^0 als z^érO, w'(0)=ce'^, lim ang w(z) = l, lim ang w'(z)=w'(l).

2—gt;1 nbsp;nbsp;nbsp;Z—gt;1

T, Uw. :w'quot;(0)i^l2clogi; nbsp;nbsp;nbsp;^ iSg’°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

c nbsp;nbsp;nbsp;— log c

Bew. w(0)=0. Stel w(z)=z.f(z), dan is f(z) een even functie, die aan de premissen van stelling 17 voldoet, dus:

1 nbsp;nbsp;nbsp;log2 C Y^

|i''(0)l ^4clog— en f'(l)=limang f'(z) gt;-^-

c nbsp;nbsp;nbsp;z-gt;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— log c

Hieruit volgt het gestelde wegens f ” (0) =|^w'quot; (0) en f' (1)=w' (1)— 1. Het = teken geldt als f(z) =lt;l)io(z), dus als w(z) =z.Oio(z).

20

f. Stelling 19.

Geg. w(z) is holomorf, oneven en in |z| lt; 1; |w| lt; 1; |a|=r lt; 1.

Te bew. lw'(0)| ^ 2r ]/—r^^O.

r nbsp;nbsp;nbsp;1—r*

Bew. Als w(z) ^a. oneven is, dan is ook w(z) ^ — a, dus ^ a^. is een holomorfe functie van z^ = u. Zij w(z) = ajZ

a3Z®d-a5Z® . . . dan is ¦w^{z)^i{a)=Si\ci 2d.-^ai^rs^ ____^

Volgens Unkelbach, Satz 1:

, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2r2 log r-2

Uit |f'(0)| = |aip=|w'(0)|^ volgt het gestelde.

Opm. De hier gevonden grens is kleiner dan die bij Unkelbach (er is ook een voorwaarde meer) nl.;

, nbsp;nbsp;nbsp;1 /log r-^ 2r log r-^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4r^ log r-^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4x^ log* r-^

te bew. 2r -lt;-2- of ---lt;-2-

1 1—r« nbsp;nbsp;nbsp;1—r*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1—r*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(1—r*)*

, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1—r*

dus moet log — gt;-, wat door Unkelbach is bewezen.

r 1 r*

§ 6. Uitbreiding van het Lemma van Schwarz.

Zij F de verzameling der functies, die aan de voorwaarden van het Lemma van Schwarz voldoen.

a. Stelling 20.

Geg. w(z) e F, w(p) = a, |a|v^lp|7^0.

waardoor een holom. functie w(z) bepaald is, die aan het geg. voldoet.

21

b. nbsp;nbsp;nbsp;Bij gefixeerde z is door (1) een cirkelomtrek F bepaald, waarbinnen of waarop w moet liggen. Uit (2)nbsp;volgt nl., dat Wj tot een cirkel F' metnbsp;niet-euclidisctimiddelpt. y t.o.v. E behoort.

Uit F' wordt F verkregen, door de gehele figuur uit O met z te vermenigvuldigen, w ligt dan in het gearceerde gebied. Dezenbsp;grens is dus scherper dan „Schwarz”,nbsp;want F ligt geheel binnen de O |w| ^ |z|.

Opgemerkt dient echter te worden, dat hier gebruik is gemaakt van de functie-waarde in (3, wat bij Schwarz niet hetnbsp;geval is.

c. nbsp;nbsp;nbsp;De punten van F met extreme afstand tot O liggen op de lijn door O ennbsp;zy. Voor de maximale afstand B geldtnbsp;dus:

-P

1—|3z

of

De kleinste afstand A nemen we gt; 0 als O buiten F, en lt;0 als O binnen F ligt. Dan geldt:

Hierdoor is |w(z)| dus niet alleen naar boven, maar ook naar beneden begrensd. Intussen is het linkerlid neg. voor |«|lt;p|p|.

, en in dit geval is de eerste ongelijk-

22

d. Grens voor w(z) onafhankelijk van arg z.

pIPI W 1 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

T' r I'ifti = TT ~ '^TLTar stijgend voor stijgende p p|a| |pl ja) \ plal lPi;

(p^O), dus bij vaste |z| is B maximaal, als p max. is, en dit is weer het geval (bij vaste |zj) als arg (z)=arg (—(3), dus

-1,1 IPI(N IPI) l«H-i«N

(7)

z-p

§ 7. Nader onderzoek van w'{z), als w{z) e F.

a. Stelling 22.

Wanneer w(z) s F en w(P)=a, dan is

Pw'(O)—a P—aw'(O)

Bew. Dit volgt meteen uit (1), door in te vullen z=0.

Bekend is reeds: |w'(0)|^l, dus w'(0) ligt in de eenheidscirkel. Door (8) is een kleinere O. T, bepaald waarbinnen w'(0) moetnbsp;liggen. We kunnen (8) schrijven:

ï=p

dus r is weer een cirkel met niet-euclidisch middelpt y t.o.v. E. b. Zij weer B de maximale en A de minimale afstand van F tot

23

De eerste ongelijkheid van (11) is triviaal als |allt;|p|^.

Optn. (11) kan ook meteen nit (6) worden afgeleid, door alle leden door |z| te delen en dan z-gt;0 (dus p-gt; |j3|).

Uit (9) en (10) zijn het middelpt M en de straal van F te vinden:

Hieruit volgt:

Laat men |a|-gt; |p| in (12), dan komt er |w'(0)| = l, een bekende stelling.

c. Grens voor arg w'{0).

Als |a[ gt; ipl®, dan ligt O buiten F, en dan is:

d. =tekens. z=0 geeft in (3):

w'(0)—Y

1—Yw'(O)

Hieruit zien we, dat in (8) het =teken bereikt kan worden. Zelfs kan w'(0) in ieder randpunt van F liggen, wegens de vrijenbsp;keuze van e.

24

Uit dit laatste volgt dan weer, dat (II), (12) en (13) de scherpste grenzen zijn.

e. Stelling 23.

Als w(z)£F en w(P)=a, dan is (voor iedere p met jp|lt;l):

Bew. (1) (zie § 6, a) kan men schrijven:

Laat men hierin z p, dan komt er (14).

w'(p) behoort dus tot een cirkel met middelpt. y en straal

ipi(i-ipn

cirkel liggen. (Zie f.)

f. Als A en B weer dezelfde betekenis hebben als in § 6, c, dan is:

of:

lal IPl^ l-Ial'

1-IPP ¦ IN nbsp;nbsp;nbsp;MNquot; IN

Als |a|gt;|p|^ dan is weer Agt;0, dus O buiten F, dus

g. We zijn nu in staat volgende vragen te beantwoordennbsp;(w(z) e F):

1°. is w'(z) begrensd?

2°. waar kan w'(z)=l zijn?

3°. waar kan w'(z)=0 zijn?

4°. bestaat er verband tussen w'(0) en w'(l)?

25

ad 1°.

Het antwoord op deze vraag luidt ontkennend, want als

w(z)=l—Vl—z, dan is w'(z)=-= en dit is niet begrensd

2VI—z

in |z|lt;l. Zoals men gemakkelijk ziet, is w(z) holomorf voor |z| lt; 1 en w(0)=0 (bij goede keuze van de wortel). Doornbsp;Wj='\/l—z wordt de eenheidscirkel afgebeeld op een gebied, datnbsp;deel is van jz l|^l en dus is |w(z)llt;l, dus w(z)eF.

Wel is w'(z) begrensd in iedere Q |z|^plt;l, zelfs is er een grens die voor alle functies uit F geldt, bij geg. plt;l.

Bew. h(a) =—|a|^ (1—jpp) |a| |p|^ is maximaal als |a| =i( 1—|PP), dus:

4iPi(iHPP) 2|pi ' 1-ipp/ ' b

een stijgende functie van |p| als 0lt;blt;l, dus als |p|lt;l en 2|p|gt; 1—|p|2 of |p|gt; ¦\/2—1. Voor p=V2—1 is deze functie (hetnbsp;rechterlid van (17)) gelijk aan 1.

Voor plt;'v/2—1 echter, kan h(a) zijn max. niet bereiken wegens |a|^|(B|, want de waarde van |a|, waarvoor het max.nbsp;bereikt zou worden, |(1—|pp), is gt; |p| voor |p|lt;-v/2—1. In ditnbsp;geval is h(a) stijgend voor 0^|a|:^|p|, dus

h(«)^-|pP (l-lPP)lPl IPP=IPl(l-|PP)-

Hieruit volgt:

De grens voor |w'((3)l heeft dus een horizontale grafiek voor

26

0^|z|^'v/2 — 1 en een monotoon stijgende voor y/l — 1 lt; |z| lt; 1 (fig. 6).

Men rekent gemakkelijk na, dat de grafiek van (!7) een horizontale raaklijn heeft in 1^1 = y/2—1.

We hebben nu de volgende stelling.

Stelling 24.

Als w{z) £ F, dan is:

!w'(z)|^l voor |z|^V2-l

en:

, 2\2

777-^r als lzl^plt;l. 4p(l—p )

Als voor w=lt;lgt;(z) in één punt Zq met |z0| = p gt; \^2 — 1, (18) een gelijkheid wordt, dan is (behoudens draaiing van w- en z-vlak):

(p p®)z2 (l—3p2)z

(l-3p2)z (p p«) en geldt in alle andere punten van |z| lt; 1: lw'(z)i lt;

4p(l—p2)

Vullen we in (14) in (w'(P)| = l, dan komt er, als

21PI

—|PIquot; 1lt;2|(3|, |P|2 2|P!—1gt;0, |(3|gt;V2-1.

Gecombineerd met stelling 24:

Stelling 25.

Als w(z)eF, dan is |!:«''(z)l^l voor \z\^y/2—l. Als |i:e''(2:o)|= I in één punt Zg met \zg\^\/2—1, dan is w{z)=sz, |£i = l-Hiermee is dan tegelijk de 2e vraag (blz. 24) beantwoord.nbsp;ad 3°.

Substitueert men w'(^)=0 in (14), dan komt er;

We zien dus: als w'(zo)=0, dan is |w(zo)|^|zo[2.

27

Zq kan willekeurig zijn (mits jz^l lt; 1), bij iedere Zq zijn er functies,

w(Zo) is echter een beperking opgelegd.

Vult men in (8) in w'(0)=0, dan komt er

|a|^|Pl^, echter nu met een andere betekenis dan boven, want nu geldt het voor iedere (3 met ||3l lt; 1, dus: Als w(z) 2 F en w'(0)==0,nbsp;dan is jw(z)|^|z|^ voor iedere z met |z|lt;l. Intussen kan ditnbsp;resultaat ook gevonden worden door toepassing van ,,Schwarz”nbsp;op z-^.w(z).

ad 4°.

Volgende overweging doet een verband tussen w'(0) en w'(l) = = lim ang w'(z) vermoeden. Als w(z) sF en w(l)= lim ang w(z)= 1,

Z—gt;-1 nbsp;nbsp;nbsp;7.—gt;-1

dan is |w'(0)|=l als w'(l)=l en |w'(0)| lt; 1 als w'(l)gt;l. Het lijkt er dus op, of |w'(0)| .w'(l)=l. Inderdaad blijkt er een verband te bestaan, zij het dan niet zo eenvoudig als bovengenoemd.

Stelling 26.

Als wjzjsF en lim ang w(z)= 1, dan is

Bew. Uit (12) (blz. 23) volgt voor iedere z met |z| lt; 1:

Laat men hierin z-gt;l (ang.) dan komt er (19), want:

', welke cirkel E dus raakt in het punt 1.

dus:

Stelling 27.

Als w{z) zF en w{i) = i, dan is

|l w'(0)|

(20) is minder scherp dan (19) als w'(0) niet reëel is, maar heeft d.e.t. een prettiger vorm. We zien hieruit:

als w'(0)=0, dan is w'(l)^2 (stelling 10 voor n=2),

als w'(l)=l, dan is |l w'(0)j^2, dus |w'(0)|=l (ook al bekend),

als w'(0) dicht bij —1 ligt, dan is w'(l) erg groot.

Uit (20) volgt een grens voor w'(l), onafhankelijk van arg w'(0), en tevens een grens voor |w'(0)|:

De bij (19) gevonden grens kan niet verbeterd worden. Bij geg. w'(l)gt; 1 kan men nl. een functie construeren, zodat w'(0) in eennbsp;willekeurig randpunt van F ligt. (Het punt 1 maakt een uitzondering, want als w'(0)=--l was, dan zou w'(l) = l, in strijd metnbsp;w'(l)gt;l.) Uit (3) volgt nl. voor w(z)=z.w^jz):

, ^ SjZ^-fSoZ ^ w(z)= -=-=—, Sj en §2 const.

822-1-81

w(z)eF als jS2|^|8i|. Wegens w(l)=l moet 81-1-82=82 81, dus 81—81=82—82- Stel 8i=a ic en 82=b—ic, dan is:

30

Uit (9) volgt nl. wegens |w'(0)|^B,

|w(z)| |z|2^!z|(l |w(z)|) |w'(0)|

waaruit (22) meteen volgt.

Uit lw'(0)l^A (zie (10), blz. 23) volgt;

|z|(l—!w(z)l). |w'(0)|^|w(z)l—|z2| of;

|z|2 |w'(0)||z|

l |w'(0)||z|

Als |w'(0)|y^:1 en 0lt;|z|lt;l, dan is (23) sterker dan |w|^|z|, want;

|z|2 |w'(0)|. |z| nbsp;nbsp;nbsp;(|z|—|z|2)(l—|w'(0)|)

- |z|--:-- lt; Z

Door (22) en (23) is )w(z)| tussen twee grenzen ,.gekneld”. Vergelijk ook (6), blz. 21.

§ 9. Over de lengte van heeldkrommen.

a. Stelling 30.

Geg. f(z) is holomorf en heeft pos. reëel deel in Rz gt; 0. f(a)=a. r is het rechte lijnstuk tussen (z p en a q, qgt;p^0.nbsp;r' is het beeld van F. i?a=a gt; 0.

Te hew. lengte F'lt; lengte F.

Bew. De lengte van F is q—p. Wegens (B) is i?w=u^x op de hoi'izontale rechte door a(x^a).

lengte F'= / |f'(z)| . |dz|

a p nbsp;nbsp;nbsp;a p

Het =teken geldt voor f(z) =z.

b. Stelling 31.

Geg. w=f(z) is holomorf met pos. reëel deel in Rzgt;0. Zi=g(t) is de parametervoorstelling van een kromme F, waarvan het stuk Fa tussen de punten t=0 en t=a de lengte 1(a)

heeft. Verder is voor tgt;to; [arg g(t)|^——fx, [i.gt;0 en vast.

7?g(t) gt; 0 voor t^O, g(t)- oo voor t-gt;oo. Fa wordt door w=f(z) op een kromme F' met lengte l'(a) afgebeeld.

STELLINGEN

Wanneer tussen de stralen van 2 lineaire congruenties, waarvan elk kruisende dragers bezit, een algebraïsche (1,1) verwantschapnbsp;zonder singulariteiten bestaat, dan is er minstens één projectiviteitnbsp;tussen de twee Rg, die elk één van de congruenties bevatten, zodanignbsp;dat toegevoegde stralen der congruenties toegevoegd zijn in de projectiviteit.

II

Wanneer tussen de stralen van 2 lineaire congruenties — liggend in dezelfde Rg ¦— een algemene (1,1) verwantschap zonder singulariteiten bestaat, dan is de ni. pl. der punten waardoor twee toegevoegde stralen gaan, een biquadratische ruimtekromme, die elk dernbsp;dragers 2 x snijdt.

III

Een birationale quadratische verwantschap tussen de punten van een vlak heeft i.h.a. 4 dekpunten.

IV

Het tangentenoppervlak O® van een algemene biquadratische ruimtekromme heeft een viervoudig punt in de top van elk der 4 kegels, die door de kromme gaan. Dit O® is invariant voor de groep dernbsp;4 centraal involutorische collineaties waarvan het centrum in één dernbsp;toppen ligt en het dekvlak door de drie overige gaat, en snijdt eennbsp;vlak door drie der kegeltoppen in een dubbeltellende 4e graads-kromme met dubbelpunten in de drie in dat vlak gelegen toppen.

V

Als w = f(z) een holomorfe functie is, met f(0) = 0 en |w| lt; 1

2r log r“i

voor |z| lt;1, terwijl |f'(0)| gt; —-— dan neemt f(z) alle waarden

uit |w| lt; r minstens éénmaal aan.

K2597

; â– 

1.; A^'.

' i-'T

Sfe-'