tBritniis maccessiLin ijut^per tot scccufa 2gt;crtmt tEruit è tstT'is lon^co ca/tginis uni/óris,

sagax, Aatiira ,-tiLtLs, sic ccrnilni^ Or^i Qartesnts. Jtoftnirsacr^os tn imagine vn^Liisnbsp;,^un^ere onctiiro’ artifïcü pia afextei^a ^anicc.nbsp;Omnia utquot;appicerent piem sacu/a imffa tace^nnt:

CoxSTAffTIKI Hvüznii Ft^' ¦

GEOMETRIA,

i

RENATO DES CARTES

Anno 1^3 7 Gallicè edita; poftea au tem-Vna. cum N o x i s

FLORIMONTgt;.I DE BE AVNE.

In CurkBrefenfi Confiliarii Regii, Gallicè confcriptis ia Latinam linguam verfa, amp; Coramentariisilluftrata,

Opera atque ftadio

FRANC IS Cl A SCHOOT EN,

In Acad. Lugd. BatavaMathefcos FrofelToris.

OMSTEL O rD A M ly Ex Typograpbia B l a v i A n A, M DC LXXXiri;nbsp;Sumptibus Societatis. p, .,

C A T A L O G V S

eorutn,

Quae hoe Opere continentur.

RENATI DES CARTES Geometria, tribus libris comprehenfa.

FLORIMONDI DE BEAVNE in illam Not^e

Breves.

FRANCISCI a SCHOOTEN in eandem Gommen-tarii recogniti amp; aufti.

—— Ejufdem Appendix, de Cubicamm ^Equatio-num Refolutione.

—item Additamentvm, in quo continetur fo-lutio artificiofiffima difficilis eujufdam Probleina-tis; amp; Generalis Regula de extrahcndis quibufeun-que RadicibusEinomiis.

JOHANNIS HVDDENII Epiftolïdu*, quarum altera de jE'quationum Reduciione, altera de Maximis amp;Mi-' nimis agit.

HENRICI VAN HEVRAET Epiftola , de Curva-rumLinearum in Redtas transmutationc.

FRANCISCI a SCHOOTEN Principia M'athefcos Vniverfalis, feu Introduftio ad C A r t e s i an jE Geo-M E T RInbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Methodum.

FLORIMONDI DE BEAVNE duo Traftatuspolt-humi. Alter deNatura amp; Conftitutione, alter de Limitibus aEquationum.

JOHANNIS DE quot;WITT deElementis CurvarumLi-nearunalibriduo.

FRANCISCI a SCHOOTEN Traftatusdeconcin--

nandis Deraotiftratioiiibiis Geomctricis ex Calculo Alge-

braïeo. nbsp;nbsp;nbsp;I

Sere^

Serenissim^ Principi

E L I S A B E T H iE.

friderici boheml* regis,

Comitis Palatini, amp; Eleótoris Sacri Romani Imperii, Filix natu maxima^.

SERENISSIMA TRINCETS,

Vm eaCelfitudinis tuae fit claritas, ut maximo^nbsp;rum hominum monu-menta , tanti nominisnbsp;fplendore illuftrata, iunbsp;lucem jam pridem prodierint j quidnbsp;mirum, fi Scegolucubrationeshaf-ce Celfitudini tax canfècrandas eC-fe duxerim gt; Nam, ut reliquas vir-tutes, qu2E in Te eximi^ funt, ta-ceam , tanti cum prudentii fingu-bris ingenii tui perfpicacb conj^un-

% 3

E PI S T O L A éka eft , ut, fpretis illis artibus amp;nbsp;fcientiis, qu^ inanis potiüs glorise,nbsp;altercandiquc ftudio 5 quam veriin-quifitionis causa addifcuntur ^ easnbsp;folas amplexa fueris , qu^ placidenbsp;philofophantes, nihilque nifi evi-dens admittentes , continua fim-plicium rationum ferie ad abftrufif-fimarum rerum cognitionem per-ducunt. Vnde fieri non potuit, quinnbsp;ad fublimem illam fapientiam, quamnbsp;in Te fuipicimus ac veneramur ^ fe-liciffime tempore breviffimo per veneris. Singularem tuum in Mathe-maticis profeétum non eft qubd hicnbsp;commemorem j cum majorum tuo-rum exemplo, laudatiflim^eque memorise Principum , qui fanguinisnbsp;vinculo tibi fuére jundi, atque ex

harum

P E D I C A T o R I A. liarum artium cultura immortalemnbsp;fibi gloriam reportarunt, eas nonnbsp;minus colas , quam h^reditatis jure in iifdem excellas. Quippe quxnbsp;in earum adyta ita penetrafti, utnbsp;Artem Analyticam, ipfam in Ma-thematicis inveniendi viam, in quanbsp;ingenii prasfertim acumen requiri-tur, optime cognoveris, eaque rationa, quantum incomparabilis ingenii tui induftria pr^eftare valeat,nbsp;fatis fuperqueoftenderis. Quce.cumnbsp;ita fint, atque infuper in me ipfonbsp;compertum habeam, quanto favo-re Mathefeos cultores profequaris 5nbsp;jure meritiffimo effecére, ut publicum hoc tanti beneficii, tantorum-que meritorum tuorum teftimo-tiium extare vellem, atque hoe qua-

lecun-

Epistola Dedicatoria. lecunquc, live grati animi monu-mentum, five obfervantise in Cel-' fitudinem tuam mcx pignus, ofFer-^ rem. Quod, ut folito favore exci-piat 3 fubmifsb rogo,

Serenissim^ Celsitvdinis Tvm

DabaniLeyda , xii Cal. Julii ¦ Anai cla loc xlix.

Devotijfimtu dient Fr. a ScHooTEN.

F RAN-

W ¦

Franciscvs a Schooten

LECTORI

Ovennium efi , ^ quod excurrit, Benevolo Leüor j cum Geometria h^c Nohtli^imi atque incomfarabilünbsp;Vtri R E N A TI DES Car t.e s , quam vernacu-• la lingua anno t6^j inter Phtlofophta jua jpeciminainnbsp;lucem edidit, è Gallica a me tn Latinam linguamnbsp;verfa commentarihque illufirata pri'müm prodiit. Interea autemnbsp;temporis cum operam, quam hoe in negotio collocdram, Ftris lite-ratis ^ ingeniofis plurtbus, quos flupenda Authoris noflri eruditionbsp;latere non potmt, baud ingratam futjfe coxt)pererim non potui non,nbsp;dijlrablis exemplaribus , cum novam editionem Tjpographus ador-ftaret, quin honefla ipfius petitioni locum darem , eaque fiagitantinbsp;concederem, qua ad O peris hujus commendationem illuftrare vel adder e valebam. ^uidhic autem nunc demum prajltterim, Jicandtdonbsp;LePlorisjudicio relinquam, facile-ex utriufque editionis inter fe eol-latione dignofcet. Cujus etiam laboris nunquam mepoenituit, turnnbsp;quod regtam hic ad poenitiora univerfa, Afathejèos adjta viam,nbsp;quam cuique ingredt heet, patere fcieham, turn qu 'odhanc fumminbsp;Fin Geometriam publici intereffe, S' 'e reeorumfore, quiMathe-maticis operam dant , in me ipfo cum aliis firenuis Adethodi no-fira cultoribus, non fine vuluptate indtes experiebar. Ferum enim-vero cum illim utilitastanta ft ut, f earn velpauds dejertberem, pagina, qua prafationi hic infervtent, deficerent , indtcajfe fuffecerit,nbsp;vtx quicquam tn univerfa Adathefi tta difficile aut arduum occur-rere paffe, qub non inoffenfo pedeper hanc Adethodum penetrareli-ceat, quodv 'e Cf eometrta hujus legibmnon Jubjici [olviquepofit, Ac-cedit, quod nullis Problematum finibus aut numero coéreeatur, fednbsp;fruEium , qui vel d Feterum Analyft vel d Recentiorum Algebranbsp;exfffedandm er at, omnem in je continent , nee quicquam htc dep-ekrari poffe videatur ; atque ade'o frujira fit, quod de alia pbi quisnbsp;exoptandd Adethodo , ad Adathefeos culturam perfeblionemque in

pofie-

Pr^efa tio

foflemtn cogitet. Qjfippe hac ilia efi , CHjm exercitio Author men-tem excolendo , non mod'o in Adathematicis Scientm fummas dijp-culcates adolefcens adhuc fuperavit, altiscjue in inveniendo palmam praripmt-, fedtantam ^uoijueingenti promptitudinem factlitatemijiuenbsp;ftbi detnceps conctliavtt, ut primus cLivem , qua mjfieria Kni-verji referanda funt, iA cujus ope natura natura ac lux orhi ma-gis magisqueredditur, tnvenertt: ade'out eorum, qua lumine natu-ralt cognofit queunt, mhdtam abdttum, denjisque tmmerfumfutjfenbsp;tenebris, putandum Jn, quod tngenii fm felicitate eruere tpfe dejpe.nbsp;rajfet. rerfionemquod attmet, cumfdelifsimus ubique verborumin-terpres, falvo rerumpondere, ejfefiuduerim, vix efi, quod cenfuramnbsp;aUquorum metuam \ prafertim uhi illam ab Authore, eusprojuretn-tegrumfuit fuumubtque fenfum vel interpret arivel clarioremredde-re ,pofiea recognitam futjfe fciverint. Ferum cum hac Geometria dnbsp;paucis, cum proptereruditam brevitatem, turn propter quafiionum,nbsp;qua intbi pertrabiantur, dijficultatem , non fine abfirufk attentionsnbsp;ac indefejfo fiudio per fie fint elligi potuerit , periculum erat, ne labarum impatientes Leblores, cum metam vel tpfi ignorarent, vel tm-probi negarent, arenam defererent. Confctus itaque ego illam non innbsp;eum finem ab Authore confcriptam eJfe, quafi ipfius Aiethodum ex

ea

ad Lectorem.

fimul Introdu£iionem noflram, quam Vir Clari^imus gt; mihicjue a-mtci^imwgt; D.Erasmius Bartholinus, nuncMedi-ctna ^ Mathefeos tn Academia Hafnienji Profejfor Regtm, in eum finem olim confcrtpftt ac anno 165 1 publtct juris fecit, front tl-lam titerijue jam denrnm recognovimiu , ediüont hntc adjunge-rem. Qp» ejtttdem negotio futurum Jpero, ut, ejuod propriü condi-mus horreü, ex aliena non opus ft mejfe emendware, heet Authornbsp;rtntehac, turn ad fuam Geometriam intelltgendam LeSiorem in altisnbsp;Geometrkltbrisjamverfatumprafppofuertt, nequa mtbi diBa funtnbsp;^ demonftrata repetere cogeretur ; turn etiam ad fuam Methodumnbsp;addifcendam levtorem vulgaris élgebra cognitionem reqmfivertt.nbsp;lAec enim video, quid ijnprafentiarum, poji mediocrem tn Arithmetics Geometris elementis exercitationem , calcuUque , ed-dem Introdu£lione explicati , notitiam , Leblori moram tnjicerenbsp;pofsit , quo minus inof 'enfi pede ad hanc Geometriam accedat. Etnbsp;quanquam optandum futjfet , hsc omnia ab Authore ipjo futjfenbsp;prsflita ; quippe qui tantum regulas fus Methods maxime necejfa-rias htc expofutt; attamen quia animadvertil Jaborem atque indu-flrtam , quam Leblor in invefligandü reliquis , demonfirandisquenbsp;tts , qus tantum tnterito digit o tndicavit , impenderet, prscipuumnbsp;ejfe in hac Scientia , quo cujufque ingemum excolatur : d fe-metipfo impetrare non potuit, ut ea fufiüs pertraElaret. Hinc cumnbsp;fuccefu temporis inter eos , quihus hanc Geometriam fedul'o ver-fare ejusque arcana penitifime rimari cordifuit, non pauci repertinbsp;fint , qui , Amhorii vefligiis arbl'e inffientes , prscUra multa,nbsp;ad excellentiam illtus Jl/ïethodt plurimum factenïta , tnvenerint,nbsp;omnesque inter , prs copia inventorum eorumque dignitate, fub-tilifsimus ac prsfiantifsmus D. Iohannes Hvddenivs,nbsp;oyAmfielodamenfs , amiem mem integerrimus , primas facilenbsp;obtineat; vifum fuit ea , qus ah ipfo de z/Equationum ReduSlio-ne ac de Maximis ^ Minimis, maximum partem ’Relgicè con-fcripta i inter alia per literru mihi funt communicata, pofiquamnbsp;a me Latinè effent reddita, Geometris huk pariter fithjungere.nbsp;Quibus tanquam colophonem addere placuit Epiftolam, quam acu-ttjsimus , mthtque »?Hvddenio nofiro conjunétifsimus,nbsp;D.H ENRicvs VAN HeVraet, Harkmenfs , Salmu-rio nuper ad me tranjmift. In qua cum brevem exponat Methodum , inter peregrinandum a fe novifsmé excogitatam , tranfmu-

Pr^fatio

tttndi complufes cuyvm lineds in TcBas j t^uod ipptw d nemine (quantum novi ) tn hunc usijue diem oflenfatn ejl , ^uin itno dnbsp;tnultis ut injolfthile hdhittttn : id tnihi agendum putavi, ne exi-tnium adeo tnventum occultaretUT , ut x impetrato ad id ejuinbsp;confenju , tllud hic loet tn lucem producerem. Eadem ratione du-ÜU6 X f^tarta , quam Vtr Amphpimus , nmc pia memoria,nbsp;D. DE B E A V N E in excoknda propagandaque hujue Geometrie Methodo fufeeperat , precipiti e jus fat o interiret ; ex officionbsp;atjue publica Mathejin amanttum utilttate fore exifhmavi , Jinbsp;Clariftmum Virum D. Erasmivm Bartholi-N V M tioflro rogatu adigerem , ut, que de Natura , Conflitu-tione , ac Limitibm lt;iy£quationum D. rfE B e a v N e verna-culd fud lingua in lucem dare conftituerat , cum in manus ip/iusnbsp;incidiffient , publtco non invideret. Mee frufira in eo fui, nabluonbsp;enim fum , ut , qua ex ejus adverfarik j non fine indefeffo labo-re ac dtffictlt fortuna , ad umbiltcum perduxerat , Lattnè red-deret , nobisque , quo una cum his a me tjpis mandarentur , con-cederet. Caterum ad Artü Analjüce prèfiantiam uberius exhi-bendam y amp; ad meum rei literaria inferviendi ftudium comproban- ¦nbsp;dum , non ahs re fore judicavi , fi Ceometriam hane non modanbsp;fcetu Ulo poflhumo ac advend, fed alio etiam primogenito eoque in-digena adaugere fatagerem ; nifi forte hunc alium qHoque pojlhu-mum ac advenam dixeris , eo nomine atque intuitu , quod parentnbsp;jam totui Reipublice vivat , nobisque 0* fludiis nofiris civtliternbsp;mortuus , amp; quafi peregrinm fablus fit. Etenim cum altquot ab-hinc menfibus occafio mthi data fuerit , ut in eum quern de Lo-corum Planorum amp; SoUdorum per Artem Analjticam inveu-tione traBatum Nobtlffiimus atque Amplifiimm Vir D. I o h a n-N e s D E quot;W ITT, Confiliarius ^ T‘enfionarim, Jive mini-fier primarius Hollandia E'l'^efi-Frtfiaque , concinnaverat , oppor-iunus inciderim : non potui non , cum Authork permiffiu injpicien-di potefias mihifaBa effiet , quin fententiam , quid de illo videre-tur X rogatm , coram lubens exponerem. Hunc itaque quia ad-modum fubltmem , tantoque Hiro dignd ingeniofitate conferiptum,nbsp;ac infuper ad penitiorem hujus Geometrie tntelleBum baud parumnbsp;facere poffie deprehenderamy {quippe qui fubtilifiimam illam de Lock materiam , in fecundo Geometrie libro paul'o fuccinBius per-traÜatam j de mtegro refumit, altoque paao componit:) conful-

tum

ad Lectorem,

turn duxi , ut in fublicum emolumentum editionis adornandii author ejfem. At ver 'o facile pravtdebam , faltem fuprema , quihm funqitur , Retpuhlica munera , gravesque hominis curas , impedimenta fore, quo minus tam Jplendida proles , qua jam ante decennium formata in conceptu hue ufque delituerat , abfque ohfietricisnbsp;auxtlio , in lucem unquam produceretur. Quocirca cum earn meinbsp;juris facere non dedignatus fuerit , neque etiam copiam eorum,nbsp;qua de Elementis Curvarum Line arum jam pridem confer ip ft,nbsp;mthi facere recufaverit : rem ubique gratam me fabturum credi-di, Ji tarn hunc quam ilium traclatmn ab ulteriori oblivione vin-dicandi operam darem ; prafertim cum id Us , qui Mathefin firionbsp;excolunt , acceptum fore perjpexerim , quod curvarum primi generis ortum longe fimplictus generaliusque ab ipfo quam d veteri-bus , abfque trila folidi conjideratione , tn/peSum fuijfe , reperturinbsp;Jint, Quits itaque curvas ed ratione pertrabiavit, ut non folum inde dimanet ortus fecundi generis curvarum (quas quidem omnes Jt-mili methodo in piano delineavit ac per Jfecies diftinxit,) verismnbsp;etiam ulteriorum graduum curva fponti quafi. ex eodem fontenbsp;fiuant atque deriventur. Futurum (perans , ut Ji primitia hujusnbsp;foetus ad illas viam fiernentes opera med in lucem emitterentur,nbsp;Usque extrema imponerelur manus , quilibet judicaturm fit ,nbsp;Literatorum commodo , hujus Virt otio in abfolvendis, qua denbsp;Super-folidis Locis adinvenit , omni nifu a me fmffe confultum acnbsp;profpebium. Denique ut ALethodi hujus Georhetria dignitas Jplen-dorque omni ex parte in aperto ejfet , amp; cuique etiam pateret ojuf.nbsp;dem calculo demonfirationes quoque Geometricas inniti aut ex eonbsp;elici pojfe , quales d Vtterihus introdubla adhuc apud Recen-tiores pafim in ufu funt, atque longd propefitionum ferie ac lem-matum permixtione ajferri folent, continus, fchematum animad-verfioni obnoxis : placutt coronidis loco Cs? in operis complemen-tum fubneblere trablatum , in quo artem , iifdem F’eteribus innbsp;difiiciliorum hujufmodi demonfirationum compofitione ufitatam,nbsp;occafione diverfarum qusfitonum , exponerem. ut, fciltcet , his fi-milibufque exemplis viam prseundo , n^n tantum ejufmodi de-monfirationes alias ex calculo facile depromi ofienderem ; verism-etiam hoc pablo inventionis modum , quern in majorem admi-rationem fuerum inventorum artificios'e fupprefferant , indica-vem , atque Mathefeos fiudtofos ad hujus Adethodi calculum ceu

3 nbsp;nbsp;nbsp;demon-

PRyEFATIO AD LeCTÓREM. demonfiratiotium amufiim , omni ambage ac ingenii defatigatknenbsp;evitatd, ablegarem. Quibm quidem omnibus, Ji fingults fatisfacerenbsp;non heet, habeo faltem de quo abund'e mthigratuler, quad noflros innbsp;hoe ftudiorum genere labores rerum afiimatonbus haud dtjplicuifnbsp;fe nee dtjplicere fciam. Fale. Scripfi Leida, anno reparatx, falutisnbsp;cIoIocLIX.

I N-

INDEX MATERIARVM,

IN H A C

G.EOMETRIA

contentarvm.

I N D E X.

RENA-

RENATI DESCARTES

GEOMETRIC

LIBER PRIMVS.

'Tie Troblematibus, qua confirm pojfunt, adhi-bendo tantumreBas lineas amp; circuhs.

’Mnia Geometriae Problemata facile ad hujufmoditerminos reducipoflunc,

* ut deinde ad illorum conftniftionem,

I opus tantum fitreftarum quarun.dam I linearum longitudinem cognofcere.

' Et quemadmodum Aritnmetica to- ^moi* taexquatuor autquinque folummodonbsp;operationibus conltat.quae funt Additio,Subtractio,Mul ¦ thmeticanbsp;tiplicatio , Divifio Radicum Extraélio, (quae pro qua- rej^amrnbsp;dam Divifionis fpecie haberi poteft:) Ita fimilitcr innbsp;Geometria, quod fpeftat ad lineas, quas quasruntur, prae- tnetricas.nbsp;parandas, ut cognits fiant, aliud faciendum non eft, anbsp;quam ut vel ipfis addantiir, vel ab iifdem fubtrahanturnbsp;aliae; vel etiam ft una fit, (qux vocetur unitas , ut eb com-modius ad numeros referatur, quamque communiter pronbsp;libitu.aftumere licet) atquepraeter banc adhuc aliae diue,nbsp;ut ad ipfas inveniatur quarta, quae fit ad alterutram,nbsp;ut eft altera ad unitatem, quodidemeft, atque Multi-plicatio; vel utper ipfas inveniatur quarta, quae fit adnbsp;unam exillis duabus, ut unitas ad. alteram, quod con-venit cum Divifione; veldenique, ut inter unitatem amp;nbsp;aliam quandam reftam invenianturuna, autduae, plu-

A nbsp;nbsp;nbsp;refve

Vel ft dividenda ftt B E perB D, jumftis punftis E amp; D, duco A C parallelam ipft D E, eritque B C quo-tiens hujus Diviftonis.

Vel denique ft ex G H extrahere oporteat radiceninbsp;Quadratam , adjungo ipftnbsp;in direftum lineam redtamnbsp;F G, qux unitas eft; divi-saque F H bifariam in pun-lt;fto K , centre K intervahnbsp;lo FK feu KH defcribocirowlum. quofadlo, eritGI,nbsp;quae ex pundto G perpendicularis duciturfuper FH uf-que ad I, radix quaeftta.

. Nihil hiede radice Cubica , neede aliisdico, quod de iis in lequentibus commodius ftm adlurus.

At verb fepe non eft opus, hafee lineas ita in charta ducere, fed lufficit illas litteris quibufdam deftgna-re, ftngulas ftngulis. Vt ad addendam lineam BD li-neae GH, vocounam a amp; alteram^, feriboque 4-^; Et ^, ad fubtrahendam ^ ex ^; Et alt, ad mul-

tipli-

LiberPrimvs^ nbsp;nbsp;nbsp;5

tiplicandam unam per alteram ; Et-|, ad dividendam

per b\ ^x. a a , feu ^ ad muldplicandam a in fe;

Et agt; ^ ad eandem adhuc femel multiplicandam per atque ita in infinitum; Et ^ o' b'^, ad extrahendamnbsp;radicem Quadratamex;Ety C.a^ — b'^ abb,nbsp;ad extrahendam radicem Cubicamex — b^-\-abb^nbsp;amp;ficdecxteris.

Vbi notandum eft , qubd per ^2*vel b^ gt; fimilefve , communiter, non nifi lineas omnino fimplices conci-piam, licètillas, utnominibus in Algebra ufitatisutar,nbsp;Quadrata aut Cubos, amp;c. appellem.

Deinde etiam notandum , qubd omnes ejufdem li-neae partes, quando unitas in quaeltione non eft deter-minata , sque-multis femper dimenfionibus exprimi debeant, uthic a} tot habetdimenfiones, quot abb,nbsp;aut^3^ exquibus compofita eftlinea, quam nominavinbsp;yC.agt;—¦b^-{-abb-, Sedhocnoneftnecefle, cüm unitas determinata exiftit. quoniam illa ubique fubintelliginbsp;poteft, ubi vel nimis multse, vel nimis paucae dimenfiones reperiuntur. Vt fi radix Cubica fit extrahenda ex pnbsp;aabb—^b, cogitandum eft, qiiantitatem a abb femelnbsp;divlfam efle per unitatem, atque alteram quantitatemnbsp;é»bis per eandem efle multiplicatam.

Caeterüm ut quis faciiè linearum nominum recorde-tur, oportet femper illa in catalogum referte, proutfup-ponuntur vel mutantur, fcribendo exempli caus^

AB 00 I, hoe eft, AB aequalis eft i, feuunitati.

G H 30 d:

B D 30 ^, amp;c. nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Q

Refoluturus igitur aliquod Problema , confiderabit illud prima fronte, utjamfaélum, nominaque iftipo-net lineis omnibus, quae ad conftrudionem ipfius ne-

A % nbsp;nbsp;nbsp;cefta-^»»»

4 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric.

fit^cjuan- cefl^ise videbyntur , tarn iis , quas incognita funt ^pnhit^ quam quae cognitae. Deinde nullo inter lineas hafce co-matis. in- gnitas amp; incognitas fafto difcrimine, evolvenda ell: Pro-fervmnt. blematis difficultas, eo ordine, quo omnium naturalillT-mè pateat, qui ratione diftae lineae a feinvicem depen-deant, donee inventi fuerit via eandem quantitatemnbsp;duobus modis exprimendi, id quod iEquatio vocatur;nbsp;{tquales enim funt termini modi unius terminis modi al-terius. lam vero tot hujufmodi ^quationes invenirenbsp;oportebit , quot fuppofitae fuerunt incognitae lineae,nbsp;GG Vel fi totidem non invoniantut, nec tarnen quidquamnbsp;eorum, quae in quaeftione defiderantur, omittatur, ar-gumentum eft , illam non penitus efte determinatam.nbsp;Tunc enim'ad arbitrium afliimi poftunt lineae cognitaenbsp;pro incognitis, quibus non relpondet aliqua ,^quatio.nbsp;ggg Pofteaverb fi plures adhuc fuperfmt, ordine quoque U'-tendum- erit unaqu^ue ^Tquationumreliquarum, fivenbsp;illam confiderando feparatim, five ipfam comparandonbsp;cum aliis, ad explicandam unamquamque ex incognitisnbsp;H lineis; atque ita, reducendo illas, efficere oportet,ut tantum una remaneat, aequalis alteri cognitae, aut cujus qua-dratum, fivecubus, fivequadrato-quadratum ,fivefur-de-folidunv, five quadrato-cubus, amp;c. aequalis fit ei,nbsp;quod provenit ex additione vel fubtraftione diiarum,nbsp;pluriumve aliarum quantitatum , quarum una quidemnbsp;cognita fit, reliquae autem compofitae ex quibufdam me-diis proportionalibus inter unitatem amp; diiftum quadra-turn , fivecubum, fivequadrato-quadratum,amp;c. multf-plicatis per alias cognitas. Quod hoc palt;fto defigno,nbsp;zzoif, autnbsp;zquot; GO —^az-\-b^, aut

GO -\-az?--\’b^z — f^aut

GQ nbsp;nbsp;nbsp;_ ^3 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^4 ^

Hoc

Liber Primvs.

Hoc eft, 25, quam pro quantitate incognita fumo, eft jequalis ipfi b ; aut quadratum a 25^quale eft quadra-to ex ^ , minus produdlo ex /z in 25; aut cubus a z,nbsp;aequalis eft produfto ex a in quadratum ipfius «, plusnbsp;quadrato ex b dufto in z , minus cubo ex c. amp; fic denbsp;cseteris.

Poflunt autem Temper quantitates incognitje ita ad unam foiam reduci, atque turn Problema conftrui pernbsp;reclas lineas amp; circulos, aut per fecftiones Conicas, autnbsp;deniquc per aliam quandarn lineam , quae nonnifiunonbsp;duobufve gradibus magis fit compofita.

Sed nolo hie prolixus efte, ut hoc magis particularim explicem, eo quod vobis voluptatem praeriperem difeen-di id ipfum veftro marre , amp; utilitatem ingenium ve-ftrum excolendi, dum vos ineo exercetis, quae, meonbsp;quidemjudicio, praecipuaeft, quamexhaefeientiaper-cipere licet. Deinde etiam, quod nihil hie adeb difficile deprehendam, ut ab illis, qui utcunque in Gcometrianbsp;communi atque Algebra verfati funt , amp; obfervaturinbsp;porrofunt, quae trabtatu hoc continentur, invenirinonnbsp;poffit.

Atque ideo fufficiet’, Vos monere, ft quis in reducen- i dis hifee ffi.quationibus non omiferit uti diviftonibusnbsp;omnibus qux fieri pofiTunt, ipfum quoque infallibiliternbsp;habiturum ftmpliciffimos terminos, ad quos quxftio reduci poffit.

lara verb ft ilia per Geometriam comraunem refoh vi poteft, hoc eft, utendo tantum reeftis lineis amp;cir--cularibus-, in plana aliqua fuperficie deferiptis ,*poft-p/«k«-quam ultima .^quatio omuino fuerit redufta , relin-quetur nil praSter quadratum aliquod incognitum , le-quale ei , quod provenit ex additione vel fubtrablio-ne ejus radicis , multiplicatae per quantitatem ali-

A 3 nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quam.

6 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

quam cognitam , amp; alterius cujufdam quantitatis co-^^modo gnitSS. nbsp;nbsp;nbsp;^

ipfarefol- Xuiicquc tadix ilia, fivc incogtiita littca, facile inve-

vantw. . x? • r nbsp;nbsp;nbsp;-a P ,

mtur. Nam li, exempli gratia, habeatur

4S2; 00 a z-\- bb, facio triangulum re-ftangulum N L M,nbsp;cujus unum latus L Mnbsp;fit sequale b , radi-ci videlicet quadrats:nbsp;quantitatis cognitsenbsp;bb , alterum autemnbsp;latus LN squalcy^,nbsp;femifli nimirum reli-qux quantitatis co-gnitae, quae multiplicata eft pers;, quam fuppono lineamnbsp;efte incognitam. Deinde produfti M N, bafe ejufdemnbsp;K trianguli, ufque ad O, ita ut N O fit squalis N L; eritnbsp;tota O M aequalis z, lineae quaefitae. (^ae quidem ficnbsp;exprimitur

z 00 nbsp;nbsp;nbsp;\(ia-gt;r bb.

Qi^ibd ftvero habeaturxgt; — ay-\-bb, atque^lit quantitas, quam invenire oportet , facio rurfus idemnbsp;triangulum N L M , amp; a bafe ejus M N auferc N P, aequi-L lem NL, eritque reliqua P M, gqualisjy, radici *quae-M fitae. Itautfiatjyoo—\aa-\rd}b. Necaliterfit,nbsp;ft proponatur oo — ax^ -\-b^. PM enimelTet jc*, amp;

haberetur x zo nbsp;nbsp;nbsp;atque ita de

aliis.

Deni-

LiberPrimvs. nbsp;nbsp;nbsp;7

Deniquefi habeatur \[r.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zzzoaz—amp;if:

fado NLsqualemitf, amp; LM ïEqualem è, ut ante. Deinde nonnbsp;duco lineam per punéla M amp; N,nbsp;ut in duobus aliis caübus, fednbsp;duco M Q^R parallelam ipfinbsp;L N; centroque N defcripto pernbsp;L circulo, fccantc M Q R innbsp;pundis R, erit M Q_velnbsp;M R ajqualis linese quaefitse 53.

Hoe enim cafu illa duobus mo-disexprimitur , nimirum is :rgt; ja y — vei etiam 53 co ~a-~y \aa^hb.

C^öd fi circulus centrum fuumhabens in pundoN, n tranfienfque per pundum L , non fecet nee tangat lineam redam MQR, nullamitidem diquatio radicemnbsp;admittet, itautindeafferereliceat conftrudioflemPro-blematis propofiti efle impoffibilem.

Caeterum polTunthje ipfae radices infinitis fermè aliié modis inveniri; fed prsedidos.tantum in medium afïèrrenbsp;volui, velut admodum fimplices, ut hk ratione pateat,nbsp;Problemata omnia Geometrie communis conftruipof-fe^ faciendo tantum ea pauca , quae qnatuor prxcedeii-tibus figuris expofui. C^od quidem non credo a Ve-teribus fuilTe animadverfum, cum alias laborem ei de renbsp;tantos libros conferibendi non fufcepiflent, in quibus veinbsp;folus ordopropofitionum fatis nobis oftendit , qu6dipfisnbsp;non conditerit vera ratio inveniendi omnes, fedquod:nbsp;folummodo coUegerint illasdn quas forte inciderunt.

Quod etiam ex iis, qus Pappus initio fui feptimi libri fcribit, evidentiffimè liquet. Vbipodquam aliquamdiunbsp;in recenfendis illis omnibus,quse ab anteceflbribus fuis in

Geo^

8 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

Geometria Icripta flint, occupatus fuit, tandem de qu^e-ftione quadam loquitur, quam nec Euclides, nec Apollo-- nius, nec quifquam alius penitusrefolverepotuerat, his verbis:

autem dick {^A^oUonius)in tertio libro locum ad tres, amp; cjuatmr tineasab EuclideperfeStimnon ejje, ne-que ipfeperficerefoterat, neque aiiquis alius: fed nequenbsp;faululum quid addere iis, qua Euclides fcripjit ,,per eanbsp;tantum Eonica, qua ufque ad Euclidis temporaframon-firata fimt,^c.

Paulo autem poft explicat , quaeftionem illam efie hanc fequentem.

At locus ad tres quatuo'r tineas, in quo {Apollonius') magnificè fe jaPlat,^ oflent at,nulla habitdgratia ei,quinbsp;prius fcripferat, eji hujufmodi. Sipoftione datis tribusnbsp;veil is tineis ab uno amp; eodem punBo, ad tres tineas in datis angulis rebta line a due ant ur,^ data ft froportio re-amp;angulucontenti duabus duAis ad q^ladratum reliqua :nbsp;punAum contingitpoftione datumfolidum locum, hoc ejf,nbsp;imam ex tribus conicis feBionibus. Etfiadquatuorre-.B as line as pofit'ione datas in datis angulis tinea due an-tur y amp; reBanguli duabus duBis contenti ad contentumnbsp;duabus reliquisproper tio datafit fm'tliterpunBum datum coni feBionempofitionecont'inget. Siquidemigiturnbsp;ad duas tantum, locusplanus oftenfiis eft. ^bdfi adplu-resqudm qiiatuor,punBum continget locos nonadhuc co-gnitos, fed tineas tantum diBas ; quales autem fint, velnbsp;quam habeantproprietatem, non conftat: earum imam,nbsp;nequeprimam, qua manifeftiftlma videtur, compofue-rtint,oftendentes utiiem eftfe ,propoJittones autem ipfarumnbsp;ha fimt.

Si abaliquo punBo, ad poftione datas reBas lineas, quinque ducantur reBa linea in datis angulis, IS data

fit

LiberPrimvs. nbsp;nbsp;nbsp;f

Jïtproportïo folidiparallelepïpedï reBanguli, quod tribus AuBis tineis continetur, ad folidump ar alle lef if e~ dum reBangulum, quod continetur reliquis duabus, amp;nbsp;data qudfiam lined, funBum fojitione dat am lineamnbsp;continget. Siautem ad fex ^ ^data Jitfrofortio folidinbsp;tribus Lineis contenti ad folidum, qiiod tribus reliquisnbsp;continetur y riirfus funBum continget fojitione datamnbsp;lineam.^ ^ubd Ji ad f lures qudm fex, non adhuc habentnbsp;dicere, an datajitfrofortio cujujfiamcontentiquatuornbsp;lineis, ad id, quod reliquis continetur: quoniamnon ejinbsp;aliquid contentum fluribus qudm tribus dimenjionibus.

Vbi velim ut ex occafione notetis, Veteres Mathema-ticos, ex eo, quod vocabulis in Arithnieticaufitatis, ad operationcs Geometricas fignificandas , libetè uti no-luerint, fsepe in modos eas explicandi valde intricatos amp;nbsp;obfcuros' incidifle, cujus rei non alia potuit caufa ellè,nbsp;quam quod non fatis accuratè perceperinc, qusnam litnbsp;inter illas duas fcientias affiniras. Pergit enini Pappusnbsp;hoe modo.

Ac quiefount aiitem his, qui faulo ante talia int erf re-tati fünt, neque unum aliquo faBo comfrehenfibile fi-gnificantes, quod his continetur. Licebit autem fer con-jmiBas froportiones hac, ^ dicere, amp; demonftrare ttni-‘versè in diBn frofortionibus, atque his in hunc modum-Si ab aliquo punBo ad pofitione dat as reBas lineas du-cantur reBee line£ in dat is angulis, é' datafit frofort io conjunBa ex ea, quam habet una duBarum ad unam, @nbsp;altera ad alteram, alia ad, aliam, ^ reliqua ad datam lineam ,fifint feftem y fi ver o oBo, ^ reliqua adre-liquam : funBum continget fofitione datas lineas. Etnbsp;fimiliter quotcunque fmt mfares velpares muititudine,nbsp;cum hac, utdixi, loco ad quatuor lineas refpondeant,nbsp;‘uiillumifiturpofuerünt fitaut linea nota fit amp;c.

B

10 nbsp;nbsp;nbsp;GEOMETRIiE

Quïeftio italt;j[ue quam Euclides refolvcre inceperatat-que Apollonius continuaverar.fed qusea neminefuit per-fe(5la, erat hujufmodi.

Datis pofitione tribus, quaruorve , aur pluribus re(ftis liiieis; quaeritur primo punftum, a quo totidem aliae re-(ïxlinex, fingulae ad fmgulas datarum dud poffint, quaenbsp;cum ipfis datos officiant angulos, amp; quarum redangu-lum, fub duabus contentum, datam habeat rationem adnbsp;quadrarum tertiae, fi fint tres; vel ad reftangulum reli-quarum duarum, fi fint quatuor'; Aut fi quiiique fint, utnbsp;parallelepipedum, quod fub tribus ex illis comprehen-ditur , datam habeat rationem ad parallelepipedum,nbsp;quod fub duabus reliquis comprehenditur amp; alia quadamnbsp;data ; Aut fi fex fint, ut parallelepipedum fub tribusnbsp;contentum datam habeat rationem ad parallelepipedum fub tribus reliquis comprehenfum ; Aut fi fintnbsp;feptem, ut hoe, quod producitur ex multiplicatione quatuor duftarum in fe invicem, datam habeat rationem adnbsp;illud, quod exmutua multiplicatione reliquarumtriunrnbsp;amp;alia quadam data producitur; Aut fi fint ofto, ut id,nbsp;quod ex quatuor du Ais inter fe niultiplicatis producitur,nbsp;datam habeat rationem ad produftum ex reliquis quatuor. Atque ita porrö quasftionem hanc , ad omnem.nbsp;alium linearum numerum, extendere licet.

Deinde, quiafemper infinita fuut puiifta, quas fatisfa-cere poffiintiis, quxhkquaeruntur, requiritur infuper, ut cognofcatur atque defcribatur linea, in qui illa omnianbsp;reperiantur.

Dicit autem Pappus , (i tantum 3 autqlineae dentur, lineam illam tune aliquam ex fe(frionibus Conicis exille-re. Verüm non fufeipit ipfam determinate neque defcri-bere, non magis quam explicate lineas illas, in quibusnbsp;quetfita pun(d:a inveniri debent, quando quseftio propofi-

ta

LiBIR Primvs. nbsp;nbsp;nbsp;ie

ta cft in pluribus lineis. Tantum addit, quod Veteres unam exillis Tibi imaginatifuerint, quam ibidem utiiemnbsp;effe monftrarunt, fed qus manifeftiffima videretur, neenbsp;tarnen prima exifteret. Qiiod occafionem mihi prsbuitnbsp;tentandi, num illa, qua utor, methodo, sequèlongè,nbsp;quam illi pervenerunt, progredi liccrct.

Primo autem inveni, quód, dumh^c quxftio intri-bus, quatuorve, autquinque duntaxat lineis ptoponi-fimad tur, piinfta qusefitaper fimplicem femper Geometriamnbsp;inveniri queant; hoe eft, ut non nifi regula atque circi- pi.nbsp;noutamur; necaliud quidquam, quam quod jamtradi-tum eft, faciarnus. Prseterquam fi quinque lines dantur,nbsp;qus omnes inter fe parallels fuerint. Quo cafu, ut amp;nbsp;quum qusftio in 6,7,8, aut 9 lineis proponitur, qusfttanbsp;punefta per Solidorum Geometriam inveniri poflunt;nbsp;boe eft, adhibendo , ad conftruftionem, aliquam ex tribus Conicis fedlionibus. Excepto tantum, ft novem lines dats fuerint, qus omnes inter fe parallels exiftaiit.nbsp;Quo cafu, ut amp; quum qusftio in 10,11 , ix, aut 13 lineisnbsp;propoftta eft, qusftta punftaper curvamlineam, qus .nbsp;uno tantum gradu magis compoftta eft, quamfeftionesnbsp;Conics, inveniri poflunt. Excepto in 13, qus omnes inter fe fint parallels, quo cafu, ut amp; in 14,15-, 16, amp; 17 lineis, linea curva adhiberi debet, qus uno gradu fupranbsp;prscedentem compoftta eft. Atque ita in infinitum.

Deinde inveni quoque, ft tantum tres aut quatuor lines dats fuerint, qusftta pundta, nonmodo inaliqua trium Conicarnm fedionum, fed interdum etiam in cir-culi circumferentia, aut in refta linea reperiri. Etftnbsp;6,7, aut 8 lines dats fuerint, turn pumfla illa incidere innbsp;aliquam ex lineis, uno gradu magis compofttis, quamnbsp;feftiones Conics. Quarum quidem nullam , qus adnbsp;liane qusftionem non fit utilis, imaginari licet, Sed pof-^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B ?

iz nbsp;nbsp;nbsp;Geometri.e

funtrurfus illa etiam in feélione Conica, aur in Circulo, aut linea refta reperiri. Similiter fi 9,10, ii, aut r2li-neae datx fuerint, reperientur hgec piinéla in aliqua linea,nbsp;quae non nifi uno gradu fupra praecedentes poterit eflenbsp;compofita: quemadmodum etiam nullam earum ima-ginari licet, quae ibidem utilis elle non poffit. Atque itanbsp;porto in infinitum.

Denique prima amp; poft; Conicas fecftiones fimplicifii-ma, ea eft, quae per Parabolae amp; retftae lineae interfecftio-nem defcribi poteft, quemadmodum poft explicabitur. Adeo ut exiftimem, me prorfus fatisfecifie iis, quae Pappus nobis commemorat hic a Veteribus^fuilTe quaefita.nbsp;quorum quidem demonftrationfem paucis fubjicere co-nabor, Quippe me taedet jam multa hacdere fcripfifle.

Liber Pr i MTS. a quo fi ducaiitur totidem aliae ad pofitione datas , utnbsp;CB,CD,CF,amp;CH,in datis angulis C B A, C D A,

C F E, C F1G, amp;c. ut hoe, quod producitur ex multi-plicatione certarum quarundam harum linearum , (it ïequale illi , quod producitur ex multiplicatione reli-quarum; vel etiamut unum ad alterum datani habeatnbsp;rationem. id enim qua:ftionem difficiliorem nonreddit.

Primo itaque rem ut jam faftam fuppono, atque utlJquot;'quot;^* ex harum omnium linearum confufione meexpediam, ƒnbsp;confidcro unam ex datis, atque vmam ex quaefitis, exem-pligratig, ABamp;CB, velut prjecipuas, amp;adquasre-^^„^„^^‘nbsp;liquas omnes referre conor. Poiiendo nimirum fegmen- adMqua-tum lines AB, quod intrapunfta A amp; B contiuetur,nbsp;vocari at. B C autem vocari y. aliafque lineas datasnbsp;omnes produftas efle, donee fecent hafce duas, etiamnbsp;produftas , ü opus fuerit, amp; iphs non fint parallels. quemadimodum hïc apparet illas fecare, lineam qui-dem A B in punélis A, E, amp; G; B C veto in punG:is R,

S,amp;T. Deindequiaomnes angulitrianguli ARB dati funt, data quoque erit ratio, qus eft inter ejus lateranbsp;A B amp; B R, quam pono ut ad ^, ita ut, cum A B fit a? ,

R Bfuturafit —, CRautemj)/-4-^: fiquidem punólum B cadit inter punöa C amp; R ; nam fi R caderet inter Cnbsp;amp;B , C R efletjy —; fmvero C caderet inter B amp; R,

C R foret —y Similiter, dantur quoque tres an* guli trianguli D R C, unde amp; ratio, qus eft inter lateranbsp;C R amp; C D, quam pono ut 25 ad f: ita ut, cum C R fit

y ~ gt; CD futura fit ^ nbsp;nbsp;nbsp;Poftea, quia lines

A B, AD , amp; E F pofitionedats funt, data quoque erit diftantia punfti A a punfto E: qus fi nominetur k, ha*nbsp;bebitur EB squalis k x-, foret autem ipfa k — x-,

B 3, nbsp;nbsp;nbsp;fi RtJn--

14 nbsp;nbsp;nbsp;G E o M E T R I iS

ft puiKflum B caderec inter E amp; A; at verb — k-\-x, fi E caderet inter A amp; B. Rurfus, quoniam anguli trian-guli E S B omnes dantur, dabitiir quoque ratio laterisnbsp;BE ad B S : quant fi ponam elle ut 2; ad ^, BS

fiet —, C S verb nbsp;nbsp;nbsp;quidem foret

, fi punftum S caderet inter B amp; C; at verb fi C caderet inter Bamp;S. Porró dantur

X,

tres anguli trianguli F S C, amp; confequenter ratio ipfius CS ad C F, quae fit ut ^ ad ^, unde tota C F eritnbsp;• Eodemmodo, dataeftAG, quantvo-

co /, unde B G erit /— a: , amp; quia in triangulo B G T ratio ipfius BG ad BT dataeft, quae fit ut a ad/', erit

B T CQ nbsp;nbsp;nbsp;amp; C T 00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— • Rurfus , propter

trianguluntTC H,data eft ratio ipfius CT ad CHiquam fi ponantus ut ;z ad^Jtabebitur C H 00

Atqueita videreeft, qubd, pofitionedatisquotcun-quelineis, expunfto C feinper totident aliae ad illas du-ci poffint in datis angulis, (juxta quaeftionis tenorem;) qus fmgulae exprimantur ad funtmum per tres terminos ;nbsp;quorum quidem unus compofitus fit ex quantitate incognita y , multiplicata aut divis^ per aliant quandamnbsp;cogititant ; fecundus verb ex incognita quantitate x,nbsp;etiam multiplicata aut divisiper aliant quandam cogni-tant ; ac rertius deitique ex quantitate aliqua omninonbsp;cognita. Excepto tantum, fi datae liiteae fint omnes parallels , vel lines A B , (quo cafu terminus ex quantitate ac compofitus evanefcet;) vel etiam lines C B , (quonbsp;cafu terminus ex quantitatejy compofitus evanefcet; )nbsp;quemadmodum id plus fatisperfe manifeftumeft, neenbsp;prolixiori explicatione eget. Qiiodautem fpedatadft-

gna

Liber Primvs. nbsp;nbsp;nbsp;if

gna amp;_, quibus hi termini conjunguntur, ipfa qui-dem variari poilunt modis omnibus , quos imagina-ri licet.

Deinde videre etiam licet, quod multipl'icando ita bafee lineas in fe invicem, quantitates x Scy, quse in pro-du6lo reperiuntur, finguls non plures dimenfiones habere poiTint, quam extiterintlineae, ( quarum explica-tioni inferviunt,) quae ita font multiplicatae. Adeo utnbsp;nunquam plures duabus habiturae Tint dimenfiones, ubinbsp;produflum illud ex duarum tantum linearum multipli-catione nafeitur; necplures tribus; cumproduftumillud extrium tanturahnearum muitiplicatione genitumnbsp;fuerit, amp; fic in infinitum.

Caetertim quia ad determinandum punftum C unag«« duntaxat conditio adimplenda eft, nimirum ut hoc quodnbsp;cx muitiplicatione certi numeriharum linearum produ- bleniahocnbsp;citur fitaequale, vel (quodnihilo difficilius) datamha-^^^**'nbsp;beat rationem ad illud quod provenit ex reliquarum mul- ofuando it'nbsp;tiplicatione; pofiumus ad libitum aflumere alterutramnbsp;quantitatem incognitam x\c\y, atque alteram inveni- Vmuimnbsp;re per hanc Aiquationem. Vbi liquet, fi quseftio in quin-que tantum lineis propofita fuerit, quantitatem A?,nbsp;quidem expreffioniprimae lineas noninfervit, pollefem-pernon plures quam duasdimenfiones recipere. Itaut,nbsp;fiprojy iumatur quantitas aliqua cognita , relinquaturnbsp;tantum a’ jc oo *-!- vel —ax-f- vel—bb. Et turn quideijinbsp;quantitatem x invenire poterimus regulje atque circini:nbsp;•beneficio , quemadmodum fuperius explicatum fuit.nbsp;Adeoque fi in infinitum alia atque alia magnitude fu-maturprolinea j, invenietur quoque in infinitum alianbsp;atque alia pro linea A , atque ita obtinebiturinfinitus numerus pundlorum, cujufmodi eftpundumC, quorumnbsp;©pe quasfita curva linea deferibetur.

Fieri

ï6 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

Fieri etiam poteft, quum quxftio infexautpluribus lineis proponitur, fi inter datas fuerint, quaeipfi A B velnbsp;B C parallels exiftant, ut una duarum quantitatum ,x,y,nbsp;duas tantum aut etiam unam in iEquatione dimenfio-nes habeat, adeb ut punólum C reguls ac circini benefi-cio inveniri poffit. Sed contra, fiomnes lint parallels,nbsp;etiamfi qusllioin quinque tantum lineis pfopofita fue-rit; non poterit tarnen pundlum C didta ratione inveniri : quia, dum quantitas x nufquam in ^quatfone repe-ritur, permilTum non erit amplius pro ilia, qusjy vo-cata fuit, quantitatem cognitam aflumere, cum hsc eanbsp;ipfa futurafit, quam qusrere oportet. Et quandoqui-dem ilia tres dimenfiones habebit, non poterit ipfanbsp;nili radicem ex Cubica diquatione eliciendo inveniri.nbsp;Quod quidem in genere , nifi ad id aliqua ad minimum Conica feftio adhibeatur, fieri nequit. Rurfus,nbsp;licet lineae ad novem ufque dats fint, dummodo nonnbsp;fint omnes parallels , Temper fieri poteft , ut diqua-tio non altius quam ad quadrato-quadratum afcendat.nbsp;quare ipfa per Conicas feftiones refolvi quoque Tempernbsp;poterit, eomodo, quern pofteafum explicaturus. Acnbsp;denique, licèt habeantur ufque ad 13 lineas , efficerenbsp;Temper poflumus, ut jEquatio quadrato-cubum non ex-cedat. Ita ut illam deinde refolvere queamus beneficionbsp;lines , qus uno duntaxat gradu fupra fecftiones Coni-cas eft compofita, quemadmodum etiam poft explicarnbsp;titur. Atque hocprimum eft , quod hic eram demon-ftrarurus; fed antequam ad fecundum progrediar, opusnbsp;eft ut in genere aliquid de curvarum linearum naturanbsp;dicam.

GEO-

17

geometric

liber secvndvs.

natura line arum cwrvarum.

VEteres optimè confider^runt, quod Geometn'aeg«^„^ Problematum alia fint Plana ; alia Solida ;nbsp;denique Linearia; hoc eft, quodqujedam eommnbsp;conftrüi poffint, ducendo tantum reftas lineas amp; cir- tnamre-culos; cum alia conftrui nequeant , nifi ad minimumjl^'^f'’^nbsp;adhibeatur Conica aliqua feftio ; ac reliqua denique,nbsp;quin ad conftruftionem eorum aftumatur aliaquaedamnbsp;lineamagis compofita.

Verum fatis mirari non poftum, quod non ulterius progreffi lineas hafce magis compofitas in certos di-ftinxerint gradus; neque etiam planè capio , cur illasnbsp;potius Mechanicas, quam Geometricas nominaverint.nbsp;Etenim, ftdicatur, ideoidfuiflefadtum, quod inftru-mento quodam, ad illas in piano defcribendas, uti opusnbsp;fit, circuli quoque amp; reftae linex ob eandem rationemnbsp;rejiciendx eflent; cum abfque circino amp; regula , quxnbsp;non minus inftrumentadicendafunt, in charta defcribinbsp;non poffint. Neque etiam ideo, quod inftrumenta, quxnbsp;defcribendis illis inferviunc , utpote m^is compofitanbsp;quam regula amp; circinus , nequeant efle tarn exafta;nbsp;quandoquidem ob hanc rationem potiiis repudiandxnbsp;forent ex Mechanica, ubi tantum accurata operis con-venieutia, quxamanuproficifcitur, defideratur, quamnbsp;ex Geometria, ubifolum fpeftatur exafta ratiocinatio.nbsp;quippe qux proculdubio , tarn hafce lineas quam illasnbsp;concernens, xque perfedla efle poteft. Neque tandem

C

I

Geometri amp;

ea de caufTa, quod numerum poftulatorum fuorum air-gere noluerinf ; quodque contend fuerint , modo lice-ret, data duo pundta redla conjungere linea, atque ex dato centro circulum defcdbere, transeuntem per datum pundum; cum ulterius, ut de Conicis fedlionibusnbsp;tradlarent , fupponere veriti non fuerint, datum Co-num dato piano fecare. Vbi fanè ad defcribendum li-neas omnes curvas, quas hic introducere inftituo, nihilnbsp;aliud fupponere ellopus: quam ut duarum pluriumvenbsp;linearum una per alteram moveri poffit, itautillarumnbsp;interfeddones alias defignent; fiquidem id nihilo diffi-cilius mihi videtur. Verum equidem eft:, quod fedlio-nes Conicas nonomnino inGeometriam fuam recepe-rint; nequee-tiamnomina, quasufuapprobatafunt,im-mutare volo ; veruntamen evidens admodum eft , utnbsp;mea fert opinio, quod, fi Geometricum cenfeamus il-lud, (ut fierifolet) quodomnino perfedlum atque exa-dtum eft, amp; Mechanicum quod ejufmodi non exiftitnbsp;atque Geometriamconfideremusutfcientiam, quae generaliter menfuras omnium corporum cognofeere do-cet, non magis ex ea excludendas eruntlinese maximenbsp;compofitae , quam omnium fimpliciflimae : fiquidemnbsp;illas, per motum aliquem continuum, aut per plures ,nbsp;qui^fe mutub confequantur , quorumque pofteriores anbsp;prioribus regantur, imaginaripoiTumus/Hacenimra-tione exadtam femper iilarum menfurae cognitionemnbsp;habere licet. Verum enimvero fieri poteft, ut fcrupu-lus, quern fibi Vereres Geometraeinrecipiendis lineis,nbsp;magis quam fedliones Conicas compofitis, injecerunt,nbsp;fuerit, quod primae, quas confiderarunt, fortè extiterintnbsp;Spiralis, Quadratrix ^ atque fimiles; quas revera non ni-fi ad Mechanicas pertinent, nec ex iilarum numero funt,nbsp;quas hk recipiendais autumo: quandoquidem illas duo-

bus

¦ Liber Secvndvs. nbsp;nbsp;nbsp;19

bus motibus defcribi imaginamur, qui a fc invicem funt diyerfi, neciillam inter ferelationemhabent, quaeexa-menfurari pofTit. Nam licèt poftea examinaverintnbsp;quoque Conchoïdem, Cifloïdem , amp; alias quafdam; tarnen , quia fortè illarum proprietates non fads perfpe-ftas habuerunt , neque etiam majorem earum quamnbsp;prxcedentium rationem habuêre. Vel etiam videntes,nbsp;quod nondum nifi pauca, qux ad Conicas feftiones per-tinerent cognofcerent, amp;qubd multaillorum, qusre-gulae ac circini ope perfici poffimt, qux ignorarent, fu-perelTent, crediderunt, nonoportere, utmateriamali-quam difficiliorem aggrederentur. Sed quoniam fpero ^nbsp;quod, qui in utendo calculo Geometrico , hie propofi-to, exercitati erunt, non facile quid in poftefum repet-turi fmt, in quo hxreant, quod ad Plana, A Solida Pro-blemata attinet: confido, non abs re fore, fiillosadalianbsp;inveftiganda, ubi ipfis nunquam materia fe exercendi de-futura fit, invirem.

Sunto lines AB, AD, AF, amp; fimiles, quas fup-pono deferiptas eBe ope inftrumenti X Y Z , quod comppfitum eftexpluribus regulis, itajunftis, ut, cumnbsp;ilia , qus defignatur per Y Z , fuper lineam A N im-mota manet , angulus X YZ aperiri claudique poflit;nbsp;amp;, illo omnino claufo exiftente, punfta B, C, D, E,nbsp;F, G, H omnia in punftum A cadant ; Sed proutnbsp;aperitur, ut regula B C, qus ipfi X Y in pundlo B normaliter adfixa eft , propellat versus 2 regylam C D,nbsp;qus fuper Y Z incedit, faciens continuo cum ilia an-gulos reftos; amp; rurfus , ut C D propellat D E , qusnbsp;fimiliter fuper Y X incedit, parallela manens ipfi B C;nbsp;deinde ut D E propellat EF; E F veroipfam F G; hxc-que denuo ipfam GH. Atque itain inhnitum, conci'nbsp;piendo femper alias atque alias, quarum fuccefllve una

^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;altc—

X

Geometrije

alreram eoddii modo propellit, amp; quarum alix eofdem perpetub angulos faciunt cum Y X, atque alix cum Y Z.

lam vero dum fic aperitur angulus X Y Z, punbtum B defcribit lineam A B, qux circulus eft; punda au-tem D,F,H, ubi cxcerarum regularum interfedionesnbsp;fiunt, defcribuntaliascurvas AD, AF, AH,quarumnbsp;pofteriores ordine magis compofitx fuut quam prima, hxcque magis quam circulus. Verüm non videonbsp;quid impedire poffit , quo minus accurate atque di-llinftè hujus prirax defcriptionem concipiamus quamnbsp;circuli, aut Conicarum faltem feftionum; neque etiamnbsp;quid impedire queat, cur non fecundam, tertiam , cx-terafque omnes , qux fic defcribi poflunt, xquè benenbsp;concipiamus atque primam ; nee per confequens curnbsp;non omnes recipiantur , ut Geometrix contemplatio-nibus inferviant.

Ratio di- Poflèm hue adferre plures alios modos defcribendi pnguendt^ atque concipieiidi lineas curvas , qux magis magifque

gra-

Liber Secvndvs. nbsp;nbsp;nbsp;it

gradatim in infinitum eflent compofitse; verum ut has ta gne-omnes, qux in rerum nacura funt, fimul comprehen-''^y^quot;' •dam, eafque in certa genera ordine diftinguam: aptius SX” *nbsp;quidquam aiferrenefcio, quamutdicam, quodpunfta”^’quot;’?»'»'»nbsp;omnia illarum, quae Geometries appellari pofilmt, hoc^XX^^'nbsp;eft, qus lub menfuram aliquamcertam amp; exalt;flamca-/’«»^‘|''»nbsp;dunt, necefiarib ad punbla omnia lines rebts, certam

j nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* 1 Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;puncta It-

quanaam relationem nabeant , qus per squationem nearum aliquam, omnia punfta refpicientem , exprimi poffit.

Et quod, cum squatio hsc non ultra reftangulum dua-rum quantitatum indeterminatarum , aut non ultra quadratum unius ex illis afeendit , linea curva tuncnbsp;primi amp; fimpliciflimi fit generis; (fub quo tantum Cir-culus, Parabola, Hyperbola, amp; Ellipfis funt compre-henfs :) fed quod , poftquam squatio ad tertiam autnbsp;quartam dimenfionem duarum , aut unius è duabusnbsp;quantitatibus indeterminatis afeendit , (fiquidem lifenbsp;dus ad relationem unius ad alterum punlt;ftum explican-dam requiruntur) linea ilia tunc fecundi fit generis; amp;nbsp;quod, prout squatio ad quincamautiextam dimenfio-nem afeendit, ilia tunc fit tertii generis; amp;fic in infinitum dealiis.

Vt fifeire cupiam cujus generis fit linea E C, quam fuppono deferiptam efte per interfeftionem reguls G Lnbsp;amp; plani reftilinei C N K L; cujuslatus KNindefinitènbsp;produfium eft versus C; quodque , dum movetur fu-pra planum deorfum in refta linea, (hoc eft, ut diameter ejus K L perpetuo applicata reperiatur alicubi lines B A, utrinque indefinite continuats,) facit, utre-gula G L rotetur circa purnftum G, quoniam ipfi continuo fic admovetur, ut fimul quoque femper tranfeatnbsp;, perpuneftum L : eligo redam aliquam iineara , velutinbsp;AB, ut ad diverfa ejus punda referam omnia punda

C 3 nbsp;nbsp;nbsp;luijus

Geometric hujus curvae lineae CE ; deinde eligo etiam punftumnbsp;aliquod in AB , veluti A , ad ordiendum abeo calcu-lum. Dicoautem, me utrumque eligere, quoniam li-

berum ell: , ilia aflumere , prouc volumus. Nam licèt plurimi referat, quo pafto ilia eligam, ut aequatio pof-fit reddibrevior amp; facilior; tarnen . quocunque tandemnbsp;modo fumantur , fieri poteft , ut linea ejufdem generis efie appareat. Qiiemadmodum facilè demonftrarinbsp;poteft.

lam verbad libitumfumensalquod punélum in cur-va, ut C, fuper quod fuppono inftrumentum , quod defcriptioni ejus infervit, efte adplicatum, duco ex Cnbsp;lineam C B parallelam ipfi G A. Deinde quia C B amp;nbsp;B A dux funt quantitates indeterminatse amp; incogni-tje, voco unamjv, amp; alteram x. Porroutinveniamre-lationem unius ad alteram, confidero etiam quantita--tes cognitas, qus hujus curVcE lilies defcriptionem.de-terminant,utG A,quamvocoa-,KL,quamvocob; amp;

NLpa-

: acproinde BL-^ —1gt;, 8c AL X ^ —if. Denique vit G B eft ad B L, veljy ad ^, ita eftnbsp;G A , vel A , ad L A, vel x -f- — — b. adeo ut , ftnbsp;mukiplicem fecundam lineani per tertiam , produca-tur ^ — ab, quodsqualeeiitAjy ^ —'by, eifcili-

cet, quod producitut multiplicando primam lineam per ultimam. Atque ita sequatio, quge invenienda erat, eft

hujufmodijy^ ':d cy — ^ nbsp;nbsp;nbsp;ay — a c. Ex qua cogno-

fcitur, lineam E C elTe primi generis, quemadmodum A ilia re ipsa nulla alia eft quam Hyperbola.

C^bd ft in inftrumento, quod ipft defcribendae in-lervit, loco reftae lines C N K fumatur inventa hsc Hyperbola , aut alia quspiam primi generis curva linea,. qus planum terminer C N K L ; interfeblio hujus lines amp;reguls GL, loco Hyperbolae EC , aliam cur-vam defcribet, quae fecundi erit generis. Vt ft C N Knbsp;fuerit Circulus , ciijus centrum L , defcribetur prima

Eutocium in com-nsentariis

a4 nbsp;nbsp;nbsp;G E o M E T R 1 iÉ.

rit fèmper itiveniri sqnatio, qua omnia ejuspuiiAaMc

ratione determinentur.

Caeterüm lineas curvas, quae faciunt utsequatio hxc ad Quadrato-quadratum adfcendat , ejufdem generis- eflènbsp;pono cum illis , quas ipfam tantum ad Cubum perdu-cunt. Atque illas , quarum aequatio ad Quadrato-cu-bum adfcendit, ejufdem generis cum illis, qus ipfamnbsp;tantum ad Surdefolidum perducunt. Et fic de cxteris.

Cujus rei ratio eft , quód generalis regula habeatur re-ducendi ad Cubum difficultates omnes, quae afcendunt ad Qiiadrato-quadratum; amp;ad Surdefolidum omnes illas , qu£ afcendunt ad Quadrato-cubum, ita ut magisnbsp;compofitae cenferi non dcbeant.

Notandumautemeft, qubd inter lineas cujufque generis , licèt major pars sequaliter fit compofita, ita ut ad eorundem punftorum determinationem fervire pof-fmt, atque ad eadem Problemataconftruenda; tarnennbsp;qujedam illarum fint, qux fimpliciores exiftant, qu2-que non tantam in fua potentia extenfionem babeant.nbsp;Vt, inter lineas primi generis, praeter Ellipfm, Hyper-bolam, Sc Parabolam, qiiaï aequalitet fiint compofitie,nbsp;etiam Circulus eft comprehenfus, qui manifeftó fimpli-cior eft. Et inter illas fecundi generis, numeratur quo-que Conchoïdes vulgaris, quaefuamoriginem exCircu-lo ducit; quemadmodum amp; alise praeterea reperiuntur,nbsp;qux, etiamfi non tantam extenfionem babeant, quan-tam maxima illarum pars , quae ejufdem generis funt, tarnen inter lineas primi generis poni non poftlint.nbsp;thexfii- Redudis igitLir CLirvis lineis ad certa genera , facilenbsp;quot;Tirit progredi in demonftratione refponfi , quod paulbnbsp;ante dedi ad quaeftionem Pappi. Primüm enim , cumnbsp;fr^cédenü fupta oftendetim, quód, quando tantum 3 autqlineaenbsp;' quot; reól'^ dantur, xquatio, quae ad quaefita punéfa determi-

nanda

Liber S e c v n d v s. nbsp;nbsp;nbsp;i?

nanda infervit, non ultra quadratum afcendat: evidens eft, lineam curvam, inquahscpunilarepenuntur, ne-cef^rio aliquam eflè pritni generis ; quandoquidem nsecnbsp;sequatio relationem, quam omnialinearum primigeneris punlt;fla habenc ad puinfta linesereftas, explicat. Etnbsp;quod , cum non plures quam 8 linex rectx datx funt,nbsp;sequatio base turn ad fummum non ultra Quadrato-quadratum afcendat, ac per confequens quaefira lineanbsp;¦Hon nifi fecundi aut inferioris generis effenbsp;qubd, cum non plures quam ixlineasreft^dats lunt,nbsp;sequatio turn non ultra ^adrato-cubum afcendat, acnbsp;per confequens, qujefita linea folummodo tertii aut inferioris generis exiftat. Atque ita de reliquis.nbsp;etiam, quoniam datarum reblarum pofitio omnifariamnbsp;•variari poteft, amp; per confequens mutate tarn quantitates cognitas, quam figna- - amp;—^ ipfius aequatiqnis, mo-dis omnibus, quos fibi quis imaginari queat: evidens eft,nbsp;nullam primi generis curvam lineam reperici, adnbsp;hanc qujeftionem non fit utilis, quando ilia in 4 Hneis enbsp;propofita; neque uUam fecundi, quas ibidem non infer-viat, quando ilia in 8 lineis eft propoftta; naque etiam ul-iam tertii, cjuando ilia in iz Üiieiseftpïopouta. Etucnbsp;de reliquis.

Adeo ut nulla curva linea, qusefub calculumcadit, atque in Geometriamrecipi poteft, reperiatur, qux ibidem ad aliquem linearum nunierum non fit utilis.

Sed oportet ut de his fpecialiüs again, atque rationem sohth inveniendi lineam quxfitam, cuilibet cafui infervientem,nbsp;exhibeam, quando tantum 3 autq linexdatx lunt; atque turnnbsp;eadem operSi videbitur, quod priniura linearum curva-rum Venus alias nullas, prxter tres Sectiones Conicas oc imeu

S nbsp;nbsp;nbsp;10nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eJlprafB-

Girculum, compleaatiir. nbsp;nbsp;nbsp;tv ttp

Repetamus itaquequatuorlineas A B, AD, E

2i6 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric/

G H , fuperiüs datas , oporteatque aliam invenire ü-^ neam, inquiinfinita reperiantiTrpunfta, qualeeftC,nbsp;undeüducantur quatuor lineaeCB,CD,CF,amp;CH,nbsp;iiidatis angulis ad pofitione datas; utC B multiplicatanbsp;per CF taiitundem producat ac CD multiplicata per

CH. hoeeft,pofitiCB CDjv,CD coCF üo amp; CH ODnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;erit

® Saltern fi fuppotiamus quantitatem e^z majorem quam? j5 B ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;minor foret, mutanda eflènt omiiia figna

amp; —i Vnde fi in hac ccquatione quantitasjy nulla fit, aut minor quam nihil, poftquam punftum C fuppofuimus innbsp;angulo DAG, oporceret amp; illud fupponere in angulo»

DAE„.

Liber, Secvndys.

DAE, aut EAR , aut etiam RAG, mutando figna •4- amp; ¦—, prout ad effc(5Vum hunc requireretur. Quodnbsp;fi vero in quatuor hifce pofitionibus valor ipfius jy nullus reperiretur, indicio elTet, quxRionem cafupropofi-to eilè impoffibilem. Scd fupponamus illam bic poffi-bilem elie , amp; ad abbreviandum ejus tcrmiiios , loco

cf_g lx. —_d ekz_z. nbsp;nbsp;nbsp;^ m ¦, amp; loCO

•cgzz

lgt; cf e I X

yy CO ’i^my—~ xy-—— iiis radix eft

y zom—~ Ymm-

Rurfus autem abbreviandi causa , pro

— fcribamus -

efle debet linese B C, relinquendo A B , feu a; , inde-terminatam.

Vbipatct, fiqu3jftio in tribus aut quatuor tantum li-neis eft propofita, femper ejufmodi terminos inveniri pofte; praeterquam quod quidam ex illis interdum ab-efte poftint, fignaque amp; — diverfimodè mutari.

His peraclis , duco KI parallelam amp; ^qualem ipft A B, ita ut ex B C fegmentum auferat B K, squale ipfi rmnbsp;quandoquidem hie babetur -4- m ; quod .quidem aliasnbsp;addidiftem ipft B C , ducendo banc lineam I K ad alteram partem, ft illic fuiffet — m; eamque nullo mo-do duxiftem , ft quantitas m prorfus defuiftet. Deindenbsp;duco IL, ita ut iinea IK. fit adKL, ficut^ ad«. hoc

D 2 nbsp;nbsp;nbsp;eft,

2.8 nbsp;nbsp;nbsp;GE0METRI.3a

ell;, ut, cum IK eft a; , K L fit nbsp;nbsp;nbsp;Atque hac ratione in-

notefcit etiam ratio , quae eft inter K L amp; I L, quam pono eandem, quse eft inter;/ amp; lt;2; ita ut, cum K L eft

,ï Lfit^ : amp;facioutpuii£lum K cadat inter Lamp; C; fiquidem hic habetur —ubi alias L fumpfiflèm inter K amp; C ^ fi habuillèm Neque omnino duxiflèninbsp;liane lineam IL, fi — deftiiftèt,

Z

Hinc nihil mihi ampliüs reftare video pro linea L C prxter hofce terminos :LC od Ymm o pc ¦—- pc pc •

Vilde cognofco, qubd, linullifuilIent,pun(ftumC re-pertum fuiflèt in linea refta IL; amp; fi tales extitiftent, ut

inde radix extralii potuilTet, hoe eft, nï, mm 8i^xx

figno

Liber Secvndvs. 2,9 figno notatis, 00 fuiflet jequalis 4 ƒ w , five etiamnbsp;termini mmScox,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xx nihilo fuiffent xqua-

les, pun(5lum hocce C in aliam reélamlineam cecidifTet, qu3ï quidem inventu difficilior non fuiflèt quam I L.

Sed fi hoe non fiat, punftum C reperietur femper in ali-qua trium Coiiicarum feftionum, aut in Circulo , cujus una ex diametris fit in linea ÏL, amp; linea L C una exnbsp;iis, quse ad hane diametrum ordinatim adplicantur;nbsp;vel contra, LC erit parallela diametro, ad quamilla,nbsp;qux eftin linea IL , ordinatim adplicatur. Nimirum,

fi terminus ^xx non reperiatur , erit Conica lixc fe-^io Parabola ; at veró fi denotetur figno , erit Hyperbola ; ac denique fi figno —, erit Ellipfis. Excepto tantum , cüm quantitas aam eik. xqualis quantitatinbsp;angulus ILC redus: quocafu, loco Ellipfisnbsp;Circulus obtinebitur.

Qubd fi haec feflio Parabola exiftit, latus reftum x-quale erit ^, diameterque femper in linea IL. atque ad inveniendum pundtum N , quod illius vertex eft,nbsp;oportebit IN aequalcm fumere ita ut punftum I

cadat inter Lamp;N, fiterminifuerintaut etiam , ut punftum L cadat inter I amp; N , fi illi fue-ïint m m — o at ; aiit denique ut N cadat inter I amp; L,nbsp;fi habeatur —mm ox. Sed nunquam illichaberipo-teft —mm^eo modo ,quo termini hic funt pofiti. Poftre-mö verb punbtum N erit idem quod punélum I, fi quantitas»?»/ nulla fit. Qu^ quidem ratione inde facile eft ccc.nbsp;invenire liane Parabolam per Problema i^^primi librinbsp;Conicorum Apollonii.

Qtibd fi quxfita linea eft Circulus, aut Ellipfis, aut denique Hyperbola , oportet primb invenire pun-

^lum M, quod illius centrum eft, qubdque Temper in linea refta IL cadir, ubi invenitur, fumendo pro

cuius

pun^ti L Tumeiidum , reTpeftu punfti I , Ti habeatur at Ti habeatur —ox, Tumendum erit illud ex altera parte. Sed contra in Hyperbola, Ti habeatur — ox,nbsp;centrum illud Tumi debebit versus L ; amp; ft habeaturnbsp;•irox, debebit illud Tumi versus alteram partem. Poft-

ea figure return latus Tumendum erit-)/ nbsp;nbsp;nbsp;^

cum habetur m m, 8c quando quxTitalinea eftCir-culus , aut EllipTis ; vel etiam cum habetur — mm, amp; quando quxTita linea eft Hyperbola. Vel denique

Y nbsp;nbsp;nbsp;quando qu^fita linea eft Circulus,

aut

Ltber SecvndvS. 31 atir Ellipfis, amp; habetur — m; vel ctiam quando Hyperbola, amp; quantitas 00 major eftquam , amp;cümnbsp;habetur -^ m m. Quöd fi vero quantitas m m non re-

periatur, latus hocce return erit amp; fi 0 at nulla fit,

id ipfum erit y nbsp;nbsp;nbsp;Deinde ad inveniendum latus

tranfverfum, debet inveniri linea, quae fit ad hoe latus reélum , ut a anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z z , nimirum fi latus hocce Jgt;

reftum ftatuatur y nbsp;nbsp;nbsp;tranfverfum erit

y nbsp;nbsp;nbsp;. Atque in omnibus hifce cafibus

' ppzz nbsp;nbsp;nbsp;pz,znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•»

feftionis diameter erit in linea IM, eritque L C una ea-rum, quse ad ipfam ordinatira adplicantur. Ita ut, fi fecerimus MN aequalem dimidio lateris tranfverfi , atque illam ex eadem parte punfti M lumpferimus quinbsp;punftum L , habebitur pun^lum N pro vertice ipfiusnbsp;diametri. Vnde porró facile efl: diflam fe^ionem inve-nire , pernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Problema i™ Libri Conicorum

Apollonii.

Sedfi,feeftioneHyperbol^exifl:ente,habeatur-\-mm% e amp; quidem quantitas o ö nulla fit, aut minor quam 4 ƒ ;nbsp;Gportebir ex centro M lineam ducere MOP paralle-lamipfi LG, necnonCPipfiLM, atqueMO squa-

lèm facere y mm —~ ; autetiam xquzlemm, ft non

reperiatur quantitas ox. Deinde confiderare oportebit punctum O tanquam verticem Hyperbolx, cujus diameter fit O P, amp; linea C P, qux ad illam fit ordiiiatirri

adplicata, cujufque latus redum fit y tranfverfum verb y ji^m m — —

, amp; tranfverfum x m. Ita ut inde facile fit il-lam invenire per 5*^» Problema i»»' libri Conicorum Apollonii.

Quorum quidem demonflrationes perlpicus funr. Etenim, fi componatur fpatium aliquod exquantitati-bus , quas reélo amp; tranfverfo laceri aflignavi , atquenbsp;foiHtmis. etiam fegmento diametri NL, velOP, juxta fenfumnbsp;iimi, iTjni, ^ i3'« Theorematum primi libri Conicorum Apollonii, invenientur iidem omnes termini, exnbsp;quibus compofitum eft quadratum linex. CP, vel C L,nbsp;qux huic diametro ordinatim eft adplicata. Vt in hoc

‘ exemplo, auferendo IM, quxeft^^, abNM, qux eft—3/ 00 ^ mp, relinquitur I N ; cui fi addaturnbsp;I L , qux eft A ^ fit fumma N L ; qux ideo erit

—X —

Liber Secvndvs. 33

-i- rp^ Vlt;’lt;’ 4 I^sec autein multipli-cata per oo ^mp, quae eft figurae latus relt;ftumgt;

provenit x y 00 4 mp—^ y 00 nbsp;nbsp;nbsp;^ mp ¦“

-\-%mm, pro reftangulo. A quo auferendum eft fpa-tium, quod fit ad quadratum ex NL, utlatus reftum ad latus tranfverfum. Hinc cum* quadratum exNL

aaom . aam / nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, aaoomm ,

'TIT nbsp;nbsp;nbsp;

pzz zppzi V00 4imp, oportebit id ipfum divide re per a a m.Bf. multiplicare per pzz, propterea quod hi termini rationem.quae eft inter latus tranfverfum amp; re-

lt;ftum,explicent,fietque~xx—^x^x y 0o-4r 4‘gt;np4r

^ nbsp;nbsp;nbsp;Hoc ergo ft auferatur ex

reélangulo prajcedenti, invenietur mm¦4’ox — ^x:x^ pro quadratolineae CL: quaeproindeunaeftexordina-tim adplicatis in Ellipfi, aut Circulo , ad fegmentum dia-metri N L.

lam veto fidatasomnes quantitates numeris vclimus explicare, ponendo, exempli gratia, EAoo3,AGco5',nbsp;ABc» BR, BSgo 1 BE, GBcd BT, CDcoiCR,nbsp;C F 00 ^ CS , CH GO I CT ; amp; quod angulus ABRnbsp;fit lt;3 0graduum; acdenique quod retftangulum fubdua-bus lineis C B amp; C F, fit xquale recftangulo fub duabusnbsp;reliquis CD amp; CH-, (quandoquidem hxc omnia datanbsp;requiruntur , ut quaeftio fit penitus determinata ; ) amp;nbsp;quodpraetereaAB{itGOA;,amp;CBoo^: inveniemuspernbsp;modum, fupra explicarum ^yy CD^ƒ—xx',nbsp;dc GO 1 — Ï AT y 1 4 AT ^ sc I Ita ut B K fieri de-

E nbsp;nbsp;nbsp;beat

3*4 nbsp;nbsp;nbsp;Geometrie

beat I, amp; K L femillis ipfius KI vel A B. Cumque angu-lus IK L fit 6a graduutn , angulus I L K erin reftus. Qiioiiiam autem IK feu A B vocata efl;ar, K Lerit ix,

IL verb a* y |amp; quaiititas,quaï pauló ante nominabatur Sj, erit r; qux autem a, erit YI; ^tiae m, erit i; quae o, eritnbsp;4; amp; qux appellabatur ƒ, erit ^ : ita ut habeattir Y j pronbsp;IM, amp; y'f pto NM. Etquia^^;», quaseftl, liïcsE'nbsp;quaturpzzgt;, atqueangulusILC eftreftus, lineacur-va N C invenitur efïè circulus. Eodem modo reliqui ca-fus omnes facilè examinari pofTunt.

Caeterüm, quia squationes, quae ultra Quadratum non afcendunt, omnes in eo funt comprelienfae, quodnbsp;jam explicavi; non folum Veteram Problema in 3 amp;nbsp;yiineis hic penitus ad finem perdudum eft; fedetiamnbsp;Et ratio iilud, quod ad id, quod Solidorum Locorum Compo-vocabant, pertine^; adeoque eriam locorumnbsp;F Planorum , cum illa in Solidis contineantur. Qiiippenbsp;h^c loca nihil aliud funt, quam cumin quxftione ali-qua eft inveniendum punftum, in qua una deficit conditio , ut ipfa prorfus fit determinata. Quemadmodumnbsp;in hoe exemplo, ubi omnia ejufdemline^pumftapro eonbsp;accipi pofiunt, quod eft quaefitum. Etenim linea illanbsp;exiftente reéla aut circulari, locus vocatur Planus. Atnbsp;fi illa eft Parabola, vel Hyperbola, vel Ellipfis, turn locus ille nominatur Solidus. Quotiefcunque autem idnbsp;evenit, poteft perveniri ad cBquationem, qux duas quantitates incognitas continet , quseque alicui ex illis ,nbsp;quas jam refolvi, fimilis exiftit. Quod fi verb linea,nbsp;quae fic quaefitum puneftum determinat, uno gradu ma-gis quamfetftiones Conicaefitcompofita, ipfam eodemnbsp;modo locum Surfolidum appellate Jicebit , atque itanbsp;G de CKteris. At verb duabüs conditionibus deficienti-bus adhujus pundideterminationem, locus, inquoil-

lud

Liber S e c v n d v nbsp;nbsp;nbsp;35

lud reperimr, ftiperficies eft, quse fimiliter aut plana, auc fphserica, aut magis compofira efie poteft. Verumfum-mus fcopus, quern fibi in hac materia V eteres prasfixere,nbsp;fuit, ut ad Solidorum Locorum compofitionem pervc-nirent; Etverifimile eft, omneillud, quod Apolloniusnbsp;de Conicis feftionibus fcripfit, eb tantum, ut illam inda-garet, refpexifle.

Prseterea apparet etiam , illud , quod pro primo li-nearum curvarum genere fumpfi, non pofte alias ullas prxter Circulum,Parabolam,Hyperbolam,amp;Èllipfininbsp;compleéli. Qrrod quidem id omne eft, quod demonftra-re fufceperam.

Quod ft Veterum qujeftio in j lineis eft propofita quae omnesfunt parellelae; evidens eft , quaelitum pun-^^’^^^*nbsp;lt;ftum Temper in linea redta fore. Sedft in 5 lineis affimaU-pofita fuerit, ita utq illarum Tint parallelae, amp; quaenbsp;quinta ad angulos reftos fecentur; turn etiam, ut lineae rum,Ve*

f6 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

Pono C B 00 jv, CM oo AT, AI vel A E vel G E oo a^; ita ut,exiftente punfto C inter lïneas A B amp; D E, habeamnbsp;C F 00 xtf—jy,CD oo lt;2—jy,amp;CH oo^ ^; amp;mul-tiplicando bafce tres in fe invicem, habeam jy’—

— aajy ^a^, aequale produdo trium reliquarum, quod cft^ATjy.

Poft hjec conftdero lineam curvam C E G , quara

imaginot defcriptam eiïè per interfecftionem Parabol^ C K N, interea dum movebatur in ünea re^a A B, at-que fecabatur a regula G L, rotatacirca punftum G-,nbsp;jfemperque tranfeunte per punftum L, in plano Para^

bol».

eritiz-

ftem'B K, quae diametri Parabolje eft fegmentum, fe ha-bet ad B C, qux ipfi ordinatim eft adplicata, ut B C fe habet ad latus redum, quod eft a: calculus monftrat,nbsp;qu6djy3 — z ayy— a ay^zagt; aequabitur ax y, Sc pernbsp;confequens, quód pundum C erit illud, quod qujere-batur. Quod quidem , ubicunque libuerit, in lineanbsp;C E G aflumi poteft *, vel etiam in ejus adjunda c E G c,nbsp;qux eodem modo defcribitur, pricterquam quód Parabolae vertex versus alteram partem vergat; vel deniquenbsp;in earundem oppofitis NI ö , IO, quae per interfedio-nem , quam linea GC facit in akero Parabolae laterenbsp;K N, defcribuntur.

lam verb etiamft datae parallelae A B , I H, E D, amp; G F non acqualiter inter fe diftantes eflènt , nee G Anbsp;ipfas ad redos angulos fecaret , neque etiam lineae anbsp;pundo C ad eafdem dudae.; tarnen non minus hoccenbsp;pundum C reperiretur femper in linea curva, quteejuf”nbsp;dem^flèt naturae. Quemadmodum id etiam aliquandonbsp;contingere poteft, licèt nullae ex datis lineis fint parallelae. Sed quando ita quatuor parallelae funt , amp; quinta eafdem fecans; amp; quidem parallelepipedum ex tribus, a quaefito pundo dudis, quarum una fuper quin-tam cadat, amp; aliae duae fuper duas ex parallelis, aeque-tiir parallelepipedo fub duabus ad duas reliquas parai-lelas, amp; tertiaquadam data linea ; pundum quxfitum

E 3 nbsp;nbsp;nbsp;repe-

38 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

reperietur inlinea curva, quseakeriuserit naturae, fcili-cetinuna, cujusomnes ordinatim adplicatse addiame-trum aequales func ordinatim adplicatis ad diarnetrum fedtionis Conicae , cujufque fegrhenta diametri internbsp;verticem amp; ordinatim adplicatas interjefta , eandemra-tionem habent ad datam aliquant lineam, quam hsc ipfanbsp;ad (imilia diametri fegmenta fedionis Conicx, quibusnbsp;illae linese ordinatim liint adplicatje. Neque aifeverarenbsp;aufim, banc lineam nonfimplidorem elTe prscedenti;nbsp;quam tarnen pro prima fumendam putavi: proptereanbsp;quod defcriptio ejus ac calculus aliquo modo fint faci-liores.

Qiiod ad lineas attinet , quae reliquis cafibus inier-viunt, nonimmorabor iis per fpecies diftinguendis, neque enim omnia dicere fufcepi: Sed quia modum inve-• iiiendiinfinitapunda, per qu^tranfire debent , expli-cui, fimul modum, quo defcribendsfunt, mefatis often-difle puto.

proinde non è re fuerit , hic confiderare , ma-gnum efle difcrimen, inter hunc modum inveniendi plu-^^quot;^quot;'^^^rapunda, addefcribendam aliquam curvam lineam , at-reclpim- que illum, quo utimur in defcriptione Spiralis amp; fimi-da, ojua lium. Qiiandoquidem hoc pofleriore modo, non in-firdw”- differenter omnia quaefitae linese punda inveniuntur, mendo fed tantum ea, quaver menfuram aliquam fimplicio-determinari poflunt, quam eft ea , qus ad*illamnbsp;componendam requiritur. Atque ita propriè loquendonbsp;nullum ex ejus pimdis inveiiitur, hoc eft, nullum corum, quae ipfi ita propria funt, utnon nifiperillamin-veniri poflint. Sed è Contra nullum habetur pundum innbsp;lineis , quae qusftioni propofitae inferviunt, quod nonnbsp;inter ilia, quae modo fupra explicato determinantur, in-veoiri queat. Cum autem mod,us defcribendi lineam

curvam,

Liber S e c v n d v s. nbsp;nbsp;nbsp;39

curvam, indifferenter plura ejus punfta inveniendo, • ad illas tantum fe extcndat , quae itidem per motum ali-quem ordinatum amp; continuum defcribi poflunt , nonnbsp;erit is omnino a Geometria rejiciendus-

Quemadmodum non magis etiam ex ea rejiciendus ^ eft modus, in quofilo feu chordacomplicata utimur ^nbsp;ad determinandam fummam vel difFerentiam duarumnbsp;pluriumve linearum reftarum , quaeaquolibetquKiritae^^*{^”'^nbsp;curvae pu»fto duci poiTunt ad certa quaedam alia punda, ibidem revel lineas incertisangulis, ficutin Dioptrica fecitnus,^^'^®/’nbsp;ad explicandam Ellipfin amp; Hyperbolam. Nam licèt innbsp;Geometria nullae lineae, quaechordis fimiles videntur,nbsp;hoc eft, quae modo refts , modb curvae funt, recipi pof-Fmt; (cum ratio, quae inter reftas amp; curvas exiftit, nonnbsp;cognita fit, nec etiam ab hominibus (ut arbitror) co-•. gnofci queat; nihilque inde, quod exaftum atque cerium eft , concludere poflimus:) Tarnen, quia non aliternbsp;chordis illis in diftis conftrudtionibus utimur, quam utnbsp;carum beneficio lineas rebtas determinemus, quarumnbsp;longitudo exaélè cognofcirtir, efficere hoc non debet utnbsp;rejiciantur.

lam verb ex hoc folo , quod fcitur relatio , quam h omnia linecC curvae punbla habent ad punfta omnia li-neae reftae, modo illo, quernfupra explicavi; facile quo- dtm om-que eft invenire relationem, quam habent ad omnia alianbsp;pun(Sa amp; datas lineas: atque exinde cognofcere diame- curnjarumnbsp;tros, axes, centra, aliasque lineas,amp; punfta, ad qusuna-quaeque curva linea relationem habebic fpecialiorem ciat fcirenbsp;vel fimpliciorem quam ad alia; atque ita imaginari di-verfos modes illas deferibendi , ex quibus facilioresnbsp;eligi poflunt. Immo verb; poteft quoque ex hoc folonbsp;inveniri propemodum omne id, quod determinari po quot; habent ad

^ nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 __________1. .. j.,..*. nbsp;nbsp;nbsp;________

40 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

nem fpe^lat: ita ut non opus fit de his agere apertius, imeasre- dcniquc quantuHi ad omnes reliquas proprietates.nbsp;Has, ^ult;equ3iS lincis cutvis attribuerepoflumus, ipfse tantummo-fJ^tin' ‘lo angulorum, quos cum certis quibufdam aliis li-neis efficiunt, amplitudine dependent. Sed filineaere-Six ducipoflint, quae illas in pundis, ubi aliae, cum qui-bus angulos faciunt, quos menfurare volumus, ipfis oc-currunt, fecent ad angulos reftos, vel, quod hi'c pronbsp;eodem haberi volo , quae earum contingents fecent:nbsp;magnitude horum angulorum non erit inventu diffici-lior, quamfiaduabus teftislineis comprehenfi client.^nbsp;Atque ideo confidam , me expofuifle hie omnia ilia,nbsp;quse pro curvarum linearum dementis requiruntur ,nbsp;poftquam generalem modum ducendi redas lineas,nbsp;quae eas ad redos angulos in quibufvis ipfarum pundisnbsp;fecent, oftendero. Nec verebordicere, Problemahoc,nbsp;non modo eorum, quae fcio, utiliffimum amp; generaliHi-mum die fed etiam eorum , quae in Geometria feirenbsp;unquam defidcravec im.

Sit C E linca cur-va, oporteatque per pundum C redamnbsp;lineam ducere , fa-cientem cum ipfa angulos redos,

Suppono rem tanquam jam fadam, lineamquequae-ficam ellc CP, quam produce ufque ad pundum P, ut occurrat redae G A, quam fuppono illam elle, ad cu-jus punda referenda funt punda omnia lineae CE; itanbsp;ut faciendo M A feu CB ODjy,amp; CMfeuBAcD^c*,nbsp;Iiabeam sequationem aliquam , quae mihi felationem,nbsp;quae ell inter x 8cy, explicet. Deinde facio PC conbsp;amp;PAoo‘i^,feuPMcD v—jy. Vnde propter triangu-

lum

Liber. SecvndvS. nbsp;nbsp;nbsp;4t

lum reftangulum PMC invenio ss, quod eft quadra-rum bafts , jequale xx-{-vv—i^jy jyjy, quadratis duorum laterum , hoc eft, invenio x odYss- — vv-i^nbsp;zvy—yy,autjy od-z;—yss—xx. Cujus aequationisnbsp;ope aufero ex aequatione altera, (qiise mihi rclationemnbsp;explicat, quampunftacurvae C Ehabent ad pun6ba re-G A) alterutram è duabus quantitatibus indeter-minatis x vel jy. Quod quidem facile eft, ft ubique pronbsp;arponamusy'j'j — vv-h zvy—yy, amp;quadratumhu-

jus fummae pro xx, amp;ejus cubumproJ^’^

amp;ita porro; ft fuerit X', quam tollere ve-limus; aut ft fueritnbsp;ponendo ejus loconbsp;v— Yss — XX , Benbsp;quadratum, cubum-ve, Bee. hujus fum-m£e,Iocojy;y, autjy%

Bee. Ita ut inde fem-per reftet aequatio, in qua non nift unanbsp;habeatur quantitas

indeterminata x, vel y.

Quemadmodum ft C E eft Ellipfis , in qua MA ^ ftt fegmentum diametri ad quam C M ftt ordinatimnbsp;adplicata , quodque pro latere refto habeat r; pro opi-tranfverfo autem q : fiet per Theorema i®» H-

bri Conicorum Apollonii -.xx-xtry—~yy. Vnde toi-kndo;VA:,reftabitJj--

iequale nihilo. F

41 nbsp;nbsp;nbsp;Geometrie

Prgeftat enim hoe loco ica totam fummam confidcra-rc, quam unam ejus partem alteriparti adaequare.

Eodem modo , fi C E fit curva linea,nbsp;per motum Parabolaenbsp;defcripta, ut fuperiüsnbsp;fuit explicatum , amp;nbsp;pro G A ponatur b,nbsp;pro K L, r ;amp;i/pro latere refto, pertinentenbsp;ad Parabol^ diame-trum K L : aequationbsp;explicans relationem,nbsp;quaeeft inter atnbsp;ritjyJ — byy—cay-\-bcd-^-dxyzD o.Equaauferendox,habebiturjy^ — byynbsp;— cdy-\-bcd dy yss — vv zvy—yy.Hoe eft,nbsp;ordinando sequationem ope multiplicationis , prodibic

^ nbsp;nbsp;nbsp;—zhbetf^

¦¥dd) nbsp;nbsp;nbsp;) ^ddvvj

Atque ita de aliis.

, nbsp;nbsp;nbsp;Quinetiam , licèt punfta lineae curvas ad pun£la li-

neae reftaï fefe eo, quo dixi, modo non haberent; fed alio quolibet, quern fibi quis imaginari pollet : potericnbsp;tarnen nihilominus femper aequatio ejufmodi inveniri.nbsp;Tfrtiwn Quemadmodum fi C E eft linea , habens ejufmodinbsp;e^cempiim relationem ad tria punfta F , G, amp; A, ut lines reft^, anbsp;/w'e? quolibet ejus pundlo, utC, ad punftum F dufts , ex-upfifeem- cedant lineam F A, quantitate aliqna, qusdatam habeatnbsp;rationem ad quantitatem , qui GA excedit lineam,nbsp;qus ab eodem punfto C ducitur ad pumftum G : fa-cio G A 30 ^, A F 30 r, fumcndoque punftum C‘ad libitum

Liber Secvndvs. 4j

bitumin cur-va, fuppono, Mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quantitatem,

quiC F fupe-rat F A, efle ad illam, quanbsp;G A fuperat

G C, ficut d2iAe: itaut fi prior illa quantitas indeter-minata vocetur z, , FCfitfH-^;, GC veró b —

Deinde ponendo MA co jy, GM erit b —y, amp; FM c y: amp; quandoquidem rriangulum C M G reftangu-lum eft, fi auferam quadratum ex GM aquadratoex

GC, relinqueturquadratum exCM,^^;2; —

X by —yy, Non fecus , fi a quadrato ex F C auferam quadratum ex F M, relinquetur itidem quadratum exnbsp;G M in aliis terminis, videlicet zz xc z — xfjy —yy.nbsp;Vnde cum hi termini prsecedentibus fint aequales, often-

dunt ^ feu M A fore nbsp;nbsp;nbsp;Ac

proinde, fubftituendo hanc fummam loco y in quadrato ex C M, invenietur, illud exprimendum effe hifce termi-

. bddzz-\-ceexz,-\-ibcddz.— ibcdez

«IS ---bU TTd---JVy-

Porró fuppono, lineam reftam P C occurrere curvae C E ad angulos reftos in punfto C, faciendoque P Cnbsp;ooj-,amp;PAco‘y,ut ante, P Merit; habebiturquenbsp;propter triangulum reftangulum PGM, ss — w nbsp;% V y — yy ipj:o quadrato ex CM. Vbi fi rurfus projynbsp;fubftituamus fummam ipfi aequalem, exurget

^ l6cddz-—X bed ex. — xedd^x—xbde'vx — bddss -{-bddvy —

¦’ nbsp;nbsp;nbsp;——nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ydd-^cec'^- eev — ddv

’^t eddw -o o, proaequatione,quamquacrebamus.

rv _ /I nbsp;nbsp;nbsp;. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.1

44 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric®

hkdataeflint, quia pundum Ceft datum, fed ad inve-niendam quantitatem vel j- , quae quaefitum pundum P. determinant. In quern finem confiderari debet: fipun-ftum P tale eft, quale defideratur, quod circulus , cu-jusidipfum eft centrum , quique per punélum C tranfit,nbsp;tangat ibidem curvam lineam C E, nec ipfam fecet. Sednbsp;quod, fiidem puniftumPpropiusautremotius fumaturnbsp;a puncfto A, quam oportet, circulus hie non folum innbsp;punfto C, fed etiam neceftario in alio quodam pundonbsp;curvam C E fit fefturus.

Deinde confiderandum quoque eft, quod , quando hie circulus lineam curvam C Efecat, aequatio, per quamnbsp;quantitas A* veljy, vel quaedam alia fimilis quaeritur, fup-ponendo P A amp; P C efle cognitas , neceftario duas conti-neat radices , qux funt inaequales. Nam ft , exemplinbsp;gratia, circulus hie fecet curvam C E, in punftis C amp; E,nbsp;ac ducatur EQ^parallela ipfi C M : nomina quantita-tum indeterminatarum x amp; jy aequè bene convenientnbsp;lineis E Q_A, atque ipfts C M amp; M A, exiftentenbsp;P E aequali P C, propter circulum. Adeo, ut quaerendo

lineas E amp; Qj\, per

alterius ejufmodi quantitatis , quam fuppofuerimus, valorem , in hac xquatione fore duplicem, hoc eft, xqua-tionem duas admiftTuram radices , qux funt inxquales; quarum quidem una futura eft C M, amp; altera E Q^, ft

fue-

L I B E a S E C V N D V s. nbsp;nbsp;nbsp;45-

fuerit X, quam qucCrimus ; aut quarum iina futura efl Ma, amp; altera QA, fi fuerit jy, quae qujeritur. Verumnbsp;equidem eft, quód, cüm punftum E non adeandem cur-vaepartem reperitur cum punfto C, una tantumduarumnbsp;harum radicum fit vera, amp; altera inverfa feu minor quamnbsp;nihil: fed quo hsec punéia Qamp;E fibiinvicemfuntpro-piora, eo quoque differentia inter radices hafce crit minor, qu^edenique omnino inter fesquales futursefunt,nbsp;fibinahaec punftain unumpunftumcadant; hoe eft , ftnbsp;circulus, qui per C tranfit, curvam C E ibidem tangat,nbsp;nee omninó fecet.

Praeterea confiderandum eft, quód aequatio, in qua dujE funt radices aequales, neceflario eandem formam ha-beat, ac ft in fe ipfam multiplicetur quantitas, quam vc-lut incognitam fupponimus, multata quantitate cogni-ta ftbi xquali : amp; deinde hxc ultima fumma , ft nonnbsp;tot dimenfiones habet, quot prxcedens, rurfus per aliamnbsp;fummam multiplicetur , totidem , quot alteri defunt,nbsp;dimenfiones habenteni , ftc ut feparatim aequatio inter fingulos unius atque ftngulos alterius terminos ha-beri poffit.

Vt, exempli caus^, dico, primamjEquationemfupra inventam, nimirum: jyjy -112—

dem formam habituram» quam illa, quae producitur,

facie ndo e tequalem jy, atque multiplicandonbsp;jy — £¦ in fe, unde exfur-gitjyjy — X Ê-jy -j- ^ (f; ita'nbsp;ut feparatim fingulosnbsp;earum terminos internbsp;fe compararc poflimus,ac diccre: qu6d,poftquam primusnbsp;terminus, qui eftjyjy, inutraqueaequationeplane idem

F 3 nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eft.

46 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

eft, fecutidus, qui in una eft ^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;fit aequalis ftcun-

do altenus,qui eft—x e y.Y nde quaerendo quantitatem v, qu3E quantitatem lineae P A defignat.invenietur vooie—

j r, velquia^aequalemfuppofuimusipfi)', liabe-

bitur V zoy — “JV i nbsp;nbsp;nbsp;Npn fecus inveniri quoque pof-

let j- per tertium terminum 00 nbsp;nbsp;nbsp;fed quia

quantitas v fads determinat puncftum P, quod folum quasrebamus, nccelle non erit ulterius progredi.

Eidem ratione fecunda aequatio fuperiüs inventa ; nempe,

ikied^

zddv

J -i-ddvvj

eandem debet habere formam, quam fumma, quae pro-ducitur multiplicando jyjy — zey-i-ee p©r y‘^ fy^ ggyy -{-h^y k*, qyjeefl;

J nbsp;nbsp;nbsp;-reegé)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

ita ut ex binis hifce aequationibus alias fex eliciam.quae ad inveniendas fex quantitates f, g ,b ,k,v,8gt;cs inferviunt.

Vnde facilè eft intelligere , quod, cujufcunque generis lineacurva propofitaefTe poffit, totfemperhoc pro-cedendi modo aequationes refultent , quot quantitates incognitas fupponerecoaftifuerimus. Verum utordinenbsp;aequationes hafce disjungamus , tandemque quantira-tem V (quae quidem ea fola eft, qua indigemus, amp; cujusnbsp;occafione caeterae quaeruntur) inveniamus: oportet primo per fecundum terminum quaerere/, primam quan-titatum incognitarum ultimae fummae, invenieturquenbsp;fODze'—zb. ^

Dein-

Liber Secvndvs. 47 Deinde per uldmum qiiserenda eft k, ultima qiian-titatum incognitarum ejufdem hmmx , fitque ao

bbccdd

eodem ordine ufquead ultimam progrediendum eflet, fi plures ejufmodi quantitates in eadem fumma ha-berentur; fiquidem hoc eodem femper modo fieri po-teft.

PrjEterea per terminum, qui in hoc ipfo ordine fequi-tur, atque me quartuseft, oportet inveftigare -i^, amp;fit

48 nbsp;nbsp;nbsp;Geometr.1^

Similiter quoque tertia aequatio, quae efl:

-^-^bcddz,— rbcdex. — zcddvz.— T-bdeiit, — bddss-^hddw-

Vnde cognofciturquan-

cdd bde — eez-i-ddx.

Ideoque fi componamusnbsp;lineamAPexnbsp;Iiac fumma ,nbsp;ipfi %gt; xquali ,nbsp;s cujus quantitates omnes

funt cognits, atque a pundlo fic inveiito P reftam li-neam ducamus versus C , fecabit ipfa ibidem curvam C E ad angulos reftos. Qtiod faciendum erat. Nee video quid impedire poffit, quo minus Problema hoe eo-dem modo ad omnes lineas curvas, quae fub calculumnbsp;aliquem Geometricum cadunt, extendatur.

Et quidem quod ad uldmam fummam attinet, quae pro libitu fumpta eft ad implendum dimenfionum nu-merum alterius fummae, quandoin illaquaedam dimen-fiones defunt, quemadmodum paulö ante fumphmus

operae pretium eft ut ad' vertamus, figna amp; — talia ibi fupponi pofte, qualianbsp;quis voluerit, hec propterea lineam v, feu A P diverfamnbsp;inveniri, ut facile experienti conftabit. Si enim de-monftrandis Theorematis omnibus, quorum hic men-tionem aliquam facio, immorarer, conferibendus mihinbsp;r eftèc iiber multö major, quam quidem mihi eflèt animus,

Nigt;ï

R SecVNDVS. 49 mus. Attamen obiter vos monerevolo, qubd inventionbsp;lisc fupponendi duas ejufdem formje sequationes , adnbsp;comparandum fèparatiin omnes terminos unius cumnbsp;omnibus terminis alterius, ut inde ex una fola nafcan-turplures ali$, (cujus liic exempla vidiftis,) iufinitis aliisnbsp;Problematis infervire poffit, ncque una ex minimis,nbsp;methodi, qua utor, exiftat.

Non adjungo conftruftiones, fecundümqüascontin-gentes, five perpendiculares qujefita;, poft calculum, queni jamexplicavi, funtducendac: quandoquidem iltenbsp;Temper facilèinveniripoflunt; etiamfi aliquafaspe indu-ftria, ut breves atque fimplices teddantur, opus fit.

Vt, exempli causa, fi C E eft prima JConchoïdes Ve-terum, cujus G fit Polus, amp; A B regula, cujus ope dufta n

• nbsp;nbsp;nbsp;Exem~

plimcon-JlruBionis hujusPn-

hlematis

in Cm-chiide.

*\o ip •

cft; adeb ut lineae omnes remise, quae tendunt versus G, atque intra curvam C E, amp; reftam A B continentur,

G nbsp;nbsp;nbsp;(ut

Geometric

(utEAamp;CL) fibi invicem fmt aequales; Velimufque reftam lineam ducere C F, quxfecet hanc Conchoïdemnbsp;in dato pundo C adangulos redos : Quserendojuxtanbsp;methodum, a nobis expofitam, inlinea AB pundum,nbsp;per quod dida linea C F tranfire debet, incidemus innbsp;caiculum , nullo praecedentium breviorem ; amp; nihilo-minus conilrudio inde elicienda valde brevis eft. Opor-o tet enim duntaxat in linea rcda C G fumere C D aequa-leni C B, quae perpendiculariter cadit in B A, amp; deindenbsp;ex pundo D ducpre D F, parallelam G A, ac aequalemnbsp;L G: qua ratione habebitur pundum F, per quodquae-fita linea C P eft ducenda.

^ Caeterüm ut fciatis , confiderationem curvarum li-gene- ncarum, bic propofitarum, non carere ufu, amp; quod il-wa^o tiiverfas habeani: proprietates, qux null^ ratione ce-wL'l dunt proprietatibus fedionum Conicarum , libet prae-ogüu terea bic fubjicere explicationem certarum quarundam Ovalium, quas ad Catoptricae amp; Dioptrics Tbeoriamnbsp;utiliffimas eamp; videbitis. Modus autem quo illas defcri-bo,tabs eft.

L I B E R S E C V N D V S. nbsp;nbsp;nbsp;5'!

fecantibus in pundo A, ad quoslibet angulos, fumo ad ^rbitrium in una ex ipfis punélum F, hoe eft, propihsnbsp;aut remotiüs ab A pundo, prout Ovaies hafce majo-res aut minores defcribere animus eft ; atque ex pun-lt;ftoF, ceu centro, defcribo circulum, tranfeuntem ali-quantulum ultra A, ut per puneftum 5. Deinde ex hoenbsp;punfto 5- dueo lineam reiftamy, 6, feeantem alteram innbsp;punftoó; itaut A 6 minor fit quam juxta qüam-libgf rationem datam, nimirum earn, quae refraftionesnbsp;•menfurat, fi ei in Dioptrica uti velimus. Qiio fafto,nbsp;ad libitum quoque fumo punélum G in linea F A, exnbsp;eadem parte, qua puneftum j eft fumptum, hoe eft, fa-ciendo, utlineae A F amp; G A earn inter Ic rationem ha-beant, quam volumus. Poftea pofita R A aequali G Anbsp;in linea A 6, deferibo alium eireulum ex eentro G, eu-jusradiussqualisfttlineaeRó, priorem ab utraque parte lineae F G in punfto i feeantem; quod quidem unumnbsp;eftexillis, perquae prima quaefitarum Ovalium tranfirenbsp;debet. Similiter, deferibofurfuseireulum ex centro F,nbsp;qui tranleat aliquantulum ultra citrave puneftum 5-, utnbsp;per punftum 7; dueftique linei refta 7,8,parallela ipfinbsp;5-, 6, ex centro G defcribo alium circulum intervallo lineae R 8,priorem, quiperpunftum7tranfit, feeantemnbsp;in pundo i, quod aliud praeterea punctum eft ejufdemnbsp;Ovalis. Atque ita invenire heet tot alia punda, quotnbsp;voluerimus , ducendo femper alias atque alias ^neasnbsp;ipft 7,8 parallelas, nee non alios aliofque circulos ex cen-tris F amp; G.

Quod ad fecundae Ovalis defcriptionem attinet , ibi nulla quidem alia differentia advertenda occurrit, quamnbsp;quod loco A R fumere oporteat A S ipfi A G aequalem,nbsp;ex altera parte pundi A, amp;qu6d radius circuli, ex centro G defcripti*, ad fecandum eum, qui ex centro F per

G z nbsp;nbsp;nbsp;pun-

Geometrije

punftum j defcriptus eft , aequalis fumendus fit line* S óquot;; aut etiam aequalis line* S 8 , fi ilium, qui per punctum 7 tranfit , fecare debeat. Atque ita de aliis. QuInbsp;quidem ratione hi circuli in pundis %, t felè interfeca-bunt, per quae fecunda haec Oyalis erit ducenda.

Porró quod fpeftat ad tertiam amp; quartam, loco line* A G fumenda erit A H ex altera parte pundli A, nimirum exeadem parte, quapundumFellfumptum.nbsp;Vbi ^ipliüs obfervandum venit, lineam hanc A H ex-cedere debcre ipfam A F, qu* quoque nulla efle po-teft, ita ut punftum F idem fit, quod punftum A, in de-fcriptione omnium harum Ovalium. Deinde poftquamnbsp;line* AR amp; AS fic ipfi AH funt *quales fafl* , adnbsp;defcribendam tertiam Ovalem A 5 Y, defcribo circu-lum ex centio H, cujus radius fit *qualis line* S 6, cir-culum ex centro F, defcriptum per punftum ^, fècan-

tem

teminpunéto 3; fimiliterquealium ex centre H, inter-vallo lineae S 8 , qui circulum ex centre F, deferiptum per punftumy, fecet in punfto itidem notate 3. atquenbsp;ita de aliis. Denique pro ultima, deferibo circulos CX

^4 nbsp;nbsp;nbsp;G E o M E T R I .E

centfoH, quorum radii fintaequales lineis amp;R8, atque fimilibus, qui reliquos circulos fecent in pundisnbsp;notaris 4.

Poficnt praïterea infiniti alii modi excogitari ad de-fcribendas liafce Ovales. Vt, exempli causa, ad defcri-bendam primam A V, quando lineje F A amp; A G ponun-tur «equates: divido totam F G in punfto L; ita ut F L fit

ad L G, ficut A 5- ad A 6. hoc eft, ut ipfae inter fe ratio-nem ièfvent, quae refraftiones metitur. Deinde felt;fti A L bifariam in K, facio rotate regulam aliquam , utnbsp;F E, circa punflum F, interea dum juxta ipfam velutnbsp;agglutinatatenetur chorda EC , quae, uno extreme an-nexa extremitati regulae versus E, fe fleftit a C versus K,nbsp;atque deinde rurfus a K versus C, ac denuo a C versusnbsp;G, ubialterumejus extremum eftalligatum; ficut longitude ipfius compofita fit ex longitudine line«e G A plusnbsp;A L, plus F E , minus A F, amp; motus punfti C Ovalemnbsp;hanc defcribat: ad imitationem ejus, quod in Dioptricanbsp;de Ellipfi amp; Hyperbola didum fuit. Sed nolo huic argu-jnento diuciüs immorari.

Ad haec , etiamfi h» Ovales ejufdem ferme naturx

viden-

Liber Secvndvs.

videntur, ipfae nihilominus quatuor diverforum funt ge nerum, quorum tinumquodque fub fe infinita alia genera continet, amp; tinumquodque rurfus tot diverfas fpecies,nbsp;quot facit Ellipfium aut Hyperbolarum genus. Etenimnbsp;proiit ratio, quaeinterlineas A ^ amp; A 6, fimileTve, con-fiftit, diverfa eft, genus quoque fubalternum harum Ova-lium fitdiverfum. Deinde prout ratio inter lineas A Fnbsp;amp; A G vel A H mutatur, Ovales quoque cujufquefubal-rerni generis mutantur fpecie. Prout autem A G vel A Hnbsp;major vel minor eft, ipfemagnitudine quoque difterunt.nbsp;Quod ft verb lineae A 5- amp; A 6quot; squales fumantur, loconbsp;Ovalium primi aut tertii generis, defcribentur tantumnbsp;lines reftae; fed loco fecundi, omnes Hyperbols ; amp; loco ultimi, omnes Ellipfes.

Vlterius in qualibet harum Ovalium confiderands Proprk-funt etiam dus partes , qus diverfas proprietates ha-bent; quippein prima pars ilia, quseft versus A, facit ut radii, qui in acre exiftentes ex pundo F prodeunt,nbsp;detorqueantur omnes versus G pundum, poftquam in flextonesnbsp;eonvexam vitri fuperficiem inciderunt , qualis hie eftnbsp;I A I. Et in quo vitro refradiones ftc fiunt, Ut juxtaea,

qus

56 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

qujB in Dioptricis difta funt, illaj omnes per rationem, qux inter lineas A f amp; A 6', aut fimiles , quarum ope hxcnbsp;Ovalis defcripta eft, obtinetur, mcnfurari poflinc,

Verum pars illa, quae eflversüs V, facit ut radii, qui ex pundfo G prodeunt, omnes versus F refleétantur, {inbsp;in mperficiem concavam fpeculi inciderint, cujus figu-rafit I VI; amp;quodex tali materia conftet, ut vim ho-rum radiorum, fecundüm rationem, qu£ inter lineas A pnbsp;amp; A ^ reperitur, diminuat. Quandoquidem ex co.quodnbsp;in Dioptricademonftravimus, liquet, hocpofito, futurum , ut etiam reflexionum anguli non fecus ac refra^tio^nbsp;num inaequalesexiftant, atque eodem modo menfurarinbsp;poflïnt.

In fecunda Ovali, pars z A ^ fimiliter reflexionibusin-fervit, quarum anguli inasquales fupponuntur. Si enim illa fuperficienifpeculi, exeadem materia, qua praece-dens, confeéli, rcferret, faceret ut radii omnes, qui exnbsp;punélo G venirent, fic reflefterentur, perindeac (ipoftnbsp;reflexionem illam viderentur procedere ex punfto F.nbsp;Etnotandumeft, quód, filinea AGmultbmajorfltaf-fumpta quam A F, Ipeculum hoe in medio versus A con-cavum fit futurum, atque concavum in extremitatibus.nbsp;Quippe hujus lineae figura talis exiftit, ut potiüs cornbsp;quafn Ovalcm reprasfentet.

At verb altera ejus pars x X x refraftionibus inlèrvit, facitqueut radii, qui in aëre funt, ac tendunt versus F, fenbsp;omnes incurvent versus G, tranfeundo fuperficiem vitri,nbsp;quod figuram illam habet.

Tertia Ovalis tota refradionibus infervit , facitqüe ut radii, qui in aëre exiftentes versus F tendunt, in vitro fe omnes versus H recipiant, poftquam fuperficiemnbsp;ejus tranfiêrunt, cujus figura eft A 3 Y 3 , qnx undiquenbsp;eftconvexa; praeterquam versus A, ubipaululüm con-

cava

Liber Se'cvndvs. cava exiftit, ita ut ipfa pariter atque praecedens cordinbsp;haud fit abfimilis. Differentia autem, quae eft inter duasnbsp;ejuspartes, ineo confiftit, quodpunftumFiini exillisnbsp;propius fit, quam punftum H quodque ab altera remo-rius quam idem punftum H exiftat.

Eodem modo ultima Ovalis omnino reflexionibus in-fervit, facitque, ut radii, quiexpuniftoHveniunt, at-que in fuperficiem concavam alicujus fpeculi ejufdcm cum praecedentibus materiae incidunt, cujufque figuranbsp;eft A 4 Z» 4, reflfftantur omnes versus F.

Ita ut pundla F, amp; G feu H Focos harum Ovalium appellate liceat, ad exemplum eorum, quae in Ellipfi-bus amp; Hyperbolis habentur , atque in Dioptrica ira no-minatafunt.

Omitto multas alias refratftiones amp; reflexiones, quae harum Ovalium ope diriguntur: cum enim harum fo-Jummodo converfie aut contrariae fint, ex iis facile deducinbsp;poterunt.

AMP

Veriim non omittenda eft demonftratio ejus, quodn^»;.»: dixi. In quern fii^em fiimamus, exempli causal, pun--^'quot;^*'^'’''’nbsp;ftum C pro libitu in priore parte primae harum Ova-^r/Vr*!'nbsp;lium: deinde ducamus lineam reftam C P, quae fecetnbsp;hanc curvam in C , ad angulos reftos. Quod quidemnbsp;facile eft , per Problema praecedens. Etenim, fumen-do ^ pro AG, c pro AF, £• 2; pro F C; fupponen-doque , quod ratio , quae eft inter dke, (quam hfc

H nbsp;nbsp;nbsp;^ fem-

Geometric

femper pro ea fumam , quae propoftti vitri refra^oites metirur) illatn quoque, quae eft inter lineas A 5-, amp; A 6quot;,nbsp;fimilesve, quibus inOvalishulusdefcriptioneufi fumus,

defigiiet: ipfi G C atcribuit b — '-j , inveniturque

„earn A P effe nbsp;nbsp;nbsp;ut fupra eft

oftenfum.

Porrb expunfto P deduM fuper redani F C perpen-diculariP Q^, nec non P N perpendiculari fuper GC, confiderandum eft , num P Q^^^fit ad P N, ficut^/ad^,nbsp;hoc eft, ut iineae, quae vitri convexi A C refradioncs me-tiuntur: hoc enim ft fiat, radius, qui a punfto F venitnbsp;adpuniftumC, itafe ibidem incurvare debebit, intran-do hocce vitrum, ut inde versus G tendat. Quemad-modum ex iis, quae in Dioptrica tradidi , manifeftifti-mum eft. Atque eapropter per calculum exploremus,nbsp;num verum fit, P C^efle ad P N. ficut d ad e. Vt ie-quitur.

Triangula recftangula PQ.F amp;CMF fimiliafunt,^ unde liquet, C F cfle ad C M, ut F P ad P Qj ac proin-

de F P multiplicatam per CM atque divifamper CF, cfle aequalem ipfi P Eodem modo , triangula re-ftangula P N G amp; CMG fimilia funt; unde fequitur,nbsp;G P multiplicatam per C M amp; divifam per CG , eflenbsp;aequalem ipfi P N. Deinde , quia multiplicationcs velnbsp;divifiones duarum quantitatum per eandem ratio-

neni.

LiberSecvndvs. nbsp;nbsp;nbsp;5’9

nem , qnae inter ipfas eft, non mutant: fi F P multiplica-ta per C M, amp; divifa por C F, eü; ad G P, etiam multi-plicatam per C M» amp; divifam per C G, ficut da-de-, di-videndo utramquefummam per CM, amp; deinde multi-plicando utramque per C F, ac denuo per C G : relin-quitur, F P multiplieatam per C G , in eadem ratione effe ad G P multiplieatam per C F, ut eft lt;/ad e. At vero

per conftruaionem FP

five FP cr, nbsp;nbsp;nbsp;amp; CG

V nde fi multiplicemus F P per C G, proveniet

bbedd-^- b ecdd-^bbddx-^bcddx,—bedex. — cedez— bdezz — edezz

¦ edd ddz-

G P CD nbsp;nbsp;nbsp;amp; cFeft e 21.

Ideo fi multiplicemus G P per C F, exurget

bbcde-J^bccde — bceez — cceez bbdez bcdez — btezz — c eer.z .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bde c dd ddz—eez

Et quia prima harum fummarum divifa per d, eadem cft quae, fecunda divifa per e: manifeftum eft, qubd F Pnbsp;multiplicataper C G fit ad G P, multiplieatam per C F,nbsp;hoe eft, qubd P Qfit ad P N, ficut d ad e. Qiiod demon-ftrandum erat.

Vbi fciendum, demonftrationem hanc fe extendere ad omne illud, quod de aliis refraftionibus aut reflexio-nibus, quae in expofitis Ovalibus fiunt, diflum eft. Praï-terquam qubdaliud nihil quam figna amp;—incalculonbsp;fitmutandum. Quae ideo unulquifque proprio marteexa-minarepoterit, itaut huicrei diutiüs imniorari non fitnbsp;opus.

Sed oportet, ut nunc id praeftem, quod in Dioptri-caomifi, cümibi oftenfum eft, plurium diyerfarumfi-gurarum vitra haberi pofte, quae fingula. faciunt, ut rail z ' nbsp;nbsp;nbsp;dü.

6o EOMETRIiE

dii, ab eodcm objefti punfto venientes , coëantrurfus omnes in aliud pundum, poftquam per illa tranfiêrunt;nbsp;ik qubd liorum vitrorum illa, qus ab una paree admo-dum convexafunt, dcconcava ab altera, majorem effi-caciam ad combiirendum habeant, quam illa, qua; abnbsp;utraque parte iequaliter funt convexa; cum haec pofte-riora contra pro perfpicillis fint meliora : Contentusnbsp;enim ibifui explicate tantum illa, qua; ad praxin exifti-mavi fore optima , habendo priecipuè rationem diffi-cultatis , qu£e artificibus in iis expoliendis occurrerenbsp;poflit. Adeoque ne quid, quod ad ejiis fcientiac Theo-riamfpeftat, defiderariqueat, explicanda hiemihifu-pereft vitrorum figura, qua; unam ex fuperficiebus fuisnbsp;tam convexam aut coiicavam habeant, quam quis vo-luerit, amp; nihilominus efficiant, ut radii omnes, quiabnbsp;uno puntfto efÏLinduntur, aut paralleli funt, colliganturnbsp;rurfus in alio punfto : Quemadmqdum etiam figuranbsp;vitrorum , qua; idem praeftant, amp; aequaliterab.utraquenbsp;parte funt convexa; aut in quibus convexitas unius fu-perficiei datam habet rationem ad convexitatem al-lerius.

e^odi) Ponamus igitur pro primo cafii, qubd, cum dantur pttnfta G, Y, C, amp; F, radii omnes, qui ex punbto G ve-/u,cujas niunt, aut ipfi GA funt paralleli , colligi debeant innbsp;Terfiaêt ptinftoF, poftquam vitrum tranfierint, ita concavum,nbsp;tam cm- ut, Y in medio ejusfuperficiei interioris exiftente, extre-vexaantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j^itas

LiBEk Secvndvs. 6i micas fit in punfto C; ita ut chorda C M C, amp; fagitta comgvanbsp;YM, arcus CYC data: fint. Quaeftio eo recidit ,nbsp;primo confideranduni fit , cujufnam ex Ovalibus jamnbsp;explicatis fuperficies vitri Y C figuram requirat,nbsp;faciendum^ ut radii omnes, qui intra iiiud exiftentes *nbsp;versus idempunftum , utH, quod nondum eft cogni-P»»^»nbsp;turn, tendunt, egrediendofe versus aliudpunftumnbsp;cipianc , ut F. Quippe nullus effèélus eft , rationem,r«)-gt; innbsp;qui hi radii reflexione aut refradione detorquentur ,nbsp;concernens, qui per aliquam harum Ovalium producinbsp;non poflit. Atque facilè cognofcitur , hunc producinbsp;polleper tertiae Ovalis partem , paulb ante vocatamnbsp;3 A 3 ; aut etiamper ejufdem partem, nominatam 3 Y 3 ;nbsp;aut denique per fecundae partem gt; appellatam x X z. Etnbsp;quia haetres fubeundem hiccalculum cadunt , prounanbsp;pariter atque pro altera pumftum Y fumendum crit pronbsp;ipfarum vertice; C autem pro uno ex punftis, quae innbsp;ipfarum funt circumferentia ; amp; F pro uno ex focis;nbsp;poft quae tantum puiuftum H quierendum reftat, quodnbsp;alter focus efiè debet. Illud autem invenitur , confi-derando, quod difierentia, quae eft inter lineas F Y amp;

F C, fe habere debeat ad dilTerentiam, quae eft inter lineas H Y amp; H C, ficut ^ eft ad ^, hoe eft, ut major li-nearum, quae vitri propofiti refradiones metiuntur, ad minorem. Quemadmodum ex harum Ovalium de-fcriptione perfpicere licet. Et quoniam lineae F Y amp;

F C datae funt , datur quoque ipfarum differentia , amp; per confequens etiam illa, quae eft inter lineas H Y amp;

H C : quandoquidem ratio , qus inter duas hafce dif-ferentias confiftit data eft. Ampliüs, quia Y M eft data, datur quoque differentia, quae eft inter MH amp; HC; amp;nbsp;tandem, quia C M eft data, fupereft tantum inveniendum M H, lacus trianguli reélanguli C M H, cujus la-

H 3 nbsp;nbsp;nbsp;tus

6i nbsp;nbsp;nbsp;Geometrie

tus C M datum eft, quetnadmodum etiam differentia, quaeeflinter C Hbafin, amp; MH lams quxfitum. Vndcnbsp;illud facilè inveniri poteft. Si enim fumamr k pro ex-cefTu, quo C H excedit M H, amp; ^ pro longitudine linex

C M, habebitur ^i ^ pro M H.

Poflquam igitur fic inventum eft pundlum H, fi illud longiüs rcperiaturdiffitum a punao Y, quam inde diftat punctum F, linea C Y debet elTe prima pars Ova-

lis tertii generis,qux ante nominata fuit ^ A 3 ; fed Ti H Y minoreftquamF Y, aut in tantum H F fuperat, ut differentia ipfarum, rationetotius F Y, major fit, quamnbsp;eft e, minor lineamm, qux refraftiones metiuniur, com-parata cumc/majore, hoe eft, utfaciendoHF exj c, dcnbsp;HY zo c-^h, dh ftt major qqam Î eh , ^ tunenbsp;CY debet eftefecunda pars ejufdemtertix Ovalis, quxnbsp;pauloantè vocatafuit 3 Y 3 ; fed erit fecunda pars Ovalis fecundi generis , qux fupra nominata fuit zXx, ftnbsp;dh xqualis vel minor eft quam Î-\-eh. Et deniquenbsp;ft punftum H illud ipfum eft, quod pundlum F, quodnbsp;quidem non contingit, nift cüm F Y amp; F C funt xquales,nbsp;turn diifta linea Y C erit Circulus.

Poft hxc quxrenda eft C A C altera hujus vitri fu-perficies, qux debet efle Ellipfis, cujus focus H, ft radii incidentes paralleli fupponantur. Quo etiam cafu facile eft illam invenire. Sed ft fupponantur a pundo

G veni-

Liber Secvndvs. nbsp;nbsp;nbsp;6^

Gvenire, tumquidem fuperficies ilia debet ef?e prima parsOvalis primi generis, cujus bini foci lint Gamp;H,nbsp;qu^que rranfeat per punftum C. unde porro inveniturnbsp;punftum A , vertex ipfius Ovalis; confiderandofcilicet,nbsp;quod G C excedere debeat G A, quantitate aliqui, qusenbsp;fit ad illam, qui H A fuperat H C, ficuti/ad^. Etenim,nbsp;fumpti pro differentia, quiE eft inter CH amp; HM; ftnbsp;pro A M fupponatur x, habebitur x—/é,pro differehtiajnbsp;.quaj eft inter A H amp; CH. Deinde ft fumatur g pronbsp;differentia, qu2B eft inter G C amp; G M, qus datae funt,nbsp;liabebitur g x pro ilia , qux eft inter G C amp; G A.

Et quandoquidem haec ultima^ -hx eft ad alteram a;—k, ftcut ^ ad ^, habebitur ge-{-ex zo dx — dk, hoc eft,pojjit,quod

pro linea at vel AM , per (juam determinatur/fr4»^'

pundfum A, quod quaerebatur. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wxtTs

Ponamus jam pro cafli altero, quod tantum dcntur»«w/«-punfta G , C, amp; F , ut amp; ratio, quae eft inter lineas A amp; M Y, amp; quod invenienda fit figura vitri A C Y, quae thwmnbsp;faciat ut radii om nes, a punfto G venientes, coeant rur-fiis in punGum F.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tatem vd

Hic autem rurfus duabus Ovalibus uti poflumus, quarum una A C pro focis habeat pun(fta G amp; H, altera S’*'

autem C Y punfta F amp; H. Qui igitur ut inveniantur, fupponendo primum puniftum H , quod utrique eft

com-

04 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

commune, cfïè cognitum, qusero A M per tria pun^a G, C, amp; H, ratione modo explicate; nimirum fumendonbsp;^ pro difïèrentia, quae eft inter C H amp; H M, amp; ^ pronbsp;e^i, quae eft inter GC amp; GM. Vndecum A C eft prima pars Ovalisprimi generis, invenionbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pro A M.

Deinde quaero etiam M Y per tria pundla F, C, amp; H, ita ut C Y fit prima pars Ovalis tertii generis; fumendo-quejy pro M Y, amp;/pro difïèrentia, quae eft inter CFamp;nbsp;FM, habebo ƒ jy pro ea, quae eft inter CF amp; FT:-hinc cumhabeam } pro ilia, quae eft inter CHamp;HM,nbsp;habebo jk -4-jy proea, quae eft inter CHamp;FdY, quamnbsp;fcio efie debcre ad ƒ jy, ficut ddid, propter Ovalem

¦ -dk ita ut addendo fimul quantitates inventas pro A M amp;nbsp;M Y , habeam pro tota A Y. E quibus mani-

feftum fit, quod, ad quamcunque partem punèïum^ Fi fuppofitum fuerit, dièïa linea A Y feniper compofitanbsp;fit ex quantitate aliqua, qux fit ad difFerentiam, quinbsp;G C amp; C F fimul fumptae fuperant G F, ut eft minornbsp;duarum linearum , quae dimetiendis refraèïionibus vi-tri propofiti inferviunt, ad ^ — e, difFerentiam, qua major minorem excedit. Qiiod quidem fatis fcitum eftnbsp;Theorema.

Poftquam igitur fic inventa eft tota linea A Y, fe-canda eftipfa juxta rationem, quam inter fefervare debent ejus partes A M amp; M Y ; quibus mediantibus, (quia jam habetur pundtum M ) invenientur quoquenbsp;pundaAamp;Y; amp;perconfequenspun(ftum H, perPro-blema praecedens. Verum confiderandum eft prius,

num linea A M fic inventa, fit major quam , an minor, an vero ipfi aequalis. Nam fi major fuerit, cogno-

fcitur

lt;3

Liber Secvndys.

fcitur inde , quod curva A C efiè debeat prima pars Ovalis primi generis , amp; CY prima tcrtiae, quemad-modum hie fiippofitjefuere: cum alias, fi minor fuerit,nbsp;idindicet, quod C Y debeat elle prima pars Ovalis primi generis , amp; A C prima pars tertiae. Et denique 11

A M sequalis fuerit ipfi nbsp;nbsp;nbsp;, quod duae hat curvae A C

amp; C Y debeant elTe duae Hyperbolae.

Poflent extendi liacc duo Problemata ad infiniros alios cafus , quibus quidem deducendis fuperfedeo,nbsp;quod nullum eoruni uhim in Dioptricis deprehende-rim.

Poflem quoque ulterius progredi , amp; dicere , cum una ex vitri fuperficiebus data eft, modb ilia ftt aut plana , aut a4e(ftionibus Conicis, aut Circulo eftèè:a, quo-modo altera ejus fuperficies confici debeat , utradiosnbsp;omnes ab uno dato punfto venientes tranfmittat adnbsp;aliud punftum etiani datum. Neque enim hoc ullonbsp;modo difttcilius eft , quam quod modb explicavi; im-mo verb res mulcb facilior eft, quoniam via illuc per-veniendi jam aperta eft. Verum malo alios id quaere-re, ut, ft inter inveftigandum negotiiadhuc aliquid re-pererint, eo pluris inventionem rerum hie demonftra-tarum sftiment.

• Csterum in toto hoc libro locutus fum tantum deljwwolt;amp;

. I nbsp;nbsp;nbsp;lineis'^quot;''*”quot;’

66 Geometrï\/ë Liber Secvndvs. liiieiscurvisqusein fuperficie aliqua plana defcribi pof-flint; verum facile eft, qus de iis dixi, etiam ad omnesnbsp;alias referre , quas imaginari poftiimiis formatas eftè,nbsp;motu aliquo ordinato pundtorum alicujus corporis innbsp;fpatio trium dimenfionum. Nimirumdeinittendoduasnbsp;perpendiculares a quolibet pundlo lineaecurvae, qiiamnbsp;confiderarevolumus, ad duo plana-, ad angulos redlosnbsp;le invicem fecantia, unam adunum, amp; alteram ad alte-rum : quippe perpendicularium harum extremitatesnbsp;fingulae duas alias curvas lineas defcribunt, unam innbsp;uno, amp; alteram in altero piano, quarum piindla omnianbsp;modo fuperius explicate determinari ac referri pof-funt ad pundta lineas redlas, quae utrique piano eft communis, uthac ratione pundla curvae, tres dimenfionesnbsp;habentis , omnino fmt determinata. Ita etiam ft re-dlamlineam ducerevelimus, quaehanc curvamin datonbsp;pundto ad angulos redtos fecet, opus tantum eft duasnbsp;alias redlas lineas ducere, unam in uno, amp; alteram innbsp;altero piano , quarum ft'ngulx ftngulas curvas ibidemnbsp;fecent in pundlis, ubi cadunt perpendiculares , quae anbsp;dato punfto ad utrumque planum funt dcdudlae. Ete-nim poftquam duo alia plana , unumfuper unam, amp; afnbsp;terum luper alteram, eredlaftmt, quae ad utrumque planum, inquibuslineaeillae funt, refta exiftant, erit ho-rum duorum planorum communis interfedtio linea re-dla quaefita. Atque ita arbirror me omnia tradidiftènbsp;Elementa , quae ad curvarum linearuni cognitionemnbsp;funt; neceftaria,

GEO-

GEOMETRIiE

LIBER T E R T I U S.

‘De ConJlruBione Vroblematum Solidorum, ^ Solida excedentmn.

Ametfi oinfies lines curv£E, qus motu aliquo ordinato defcribi poflunt, in Geometriam lunt

. , nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.rrnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n • adht^

recipicndsE , non ideo tarnen permilium elt indifïèrenter qualibet, qus primüm occurrat, adnbsp;Problematis cujufque conftruftionem; fed cura femper{^“^'J^^pnbsp;adhibenda efl:, utfimpliciiEmam, cujus opeidipfum fol-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p«-

viqueat, eligamus. Vbiquidem obfervandum efl, per fimpliciflimas non folüm inteliigendas efie illas , qusnbsp;omnium facillimè defcribi poflunt; neque qus propo-fiti Problematis conflruftionem vel demonflrationemnbsp;faciliorem reddunt; fed prsfêrtim , qus flmpliciflimïnbsp;funt generis , quod ad quantitatem qusfltam determi-nandam infervire queat.

Quemadmodum , exempli caufsi , ad inveniendas tot medias proportionales, quot libuerit , non opinor 'nbsp;modum ullum faciliorem dari, nee cujus demonflratio inventio-evidentior fit, quam fi curvs lines adhibeantur,nbsp;per inflrumentum X Y Z (fupra explicatum) defcribun- diammnbsp;tur. Etenim fi inter Y A amp; Y E duas medias mopor-tionales invenire libeat, oportet tantum circulum de-”**nbsp;fcribere, cujus diameter fit Y E, qui curvam A D fecetnbsp;inpunélo D, erirque YD una ex quj^fitis mediis pro-portionalibus. Cujus rei demonflratio ex fola irtflru-menti hujus ad iineam Y D adplicatione perfpicua efl.

I z nbsp;nbsp;nbsp;Nam

Geometric

Nam ficut Y A feu Y B, quas ipfi eftaequalis, fe habet ad Y C -jfic Y C fe habet ad Y D; amp; Y D ad Y E. ,nbsp;Eodem modo ad iaveniendas 4 medias proportio-nales inter Y A amp; Y Gaut ad inveniendas 6 inter Y Anbsp;amp; Y N, defcribendus eft tantum circulus Y F G , quinbsp;fecans curvam A F in punfto F determinat üneam re-¦ftam Y F, quse una eft ex quatuor qu^efitis proportio-nalibus; autcirculusIHN, qui fecans curvam AH innbsp;punflo H determinat ipfam Y H, qux una cft ex fexnbsp;quaefitis proportionalibus. Et fic decjeteris.

Verum quia lineacurva AD fecundiefl: generis, amp; du3E mediae proportionales inveniri pofllint per feftio-iies Conicas, quaefunt primi generis; turn etiam , quo-niam 4 amp; 6 mediae proportionales inveniri queunt be-iieficio linearum , gcnerum non adeö compofitorumnbsp;atque A F amp; A H: peccatum elTet in Geometria , finbsp;ills life adhiberehtur. Quemadmodum etiam ex alteranbsp;parte pro peccato reputandiim eflet, fi quis inutiliter in

|:i; i

Liber T e r t i v s, 6^ Gottftruendo Problemate aliquo per genus linearum fim-plicius, quam natura ejus perniittit, defudaret. ^

Quocirca ut life adducere poffim regulas quafdam, Demtw*. quibus utrumquepeccatum evitetur, opus eft, ut in ge-Here atiquiddicam de natura ^quationum; hoc eft, denbsp;fummis, quae ex pjuribus terminis funt compofitae, par-tim cognitis, partim verb incognitis, quorum aHi aliisnbsp;funt aequales, vel potiüs, qui omnes ftmul confideratinbsp;nihilo funt aequales. Quippe faepe praeftar ilios It^c ra-tione confiderare.

Sciendum itaque , quod incognita quantitas in qua-^»^^^* libet iEquatione , tot diverfas radices feu diverfosnbsp;lores habere poflit, quot ipfa habetdimenfiones. Nam ces in qtm*nbsp;ft, exempli gratia, x fupponatur aequalis x, feu x —nbsp;aequalis nihilo; amp; rurflis at dd 3, feu at— 3 00 o; amp; mul- ^nbsp;tipliceturx —'^^^operAa — 3 coo:habebkurxx — ^xnbsp;H- 6 CO o, feu XX ZD ^x—6. qu^ jEquatio eft, in quanbsp;quantitas a; valet X, amp; praeterea eti'am 3. Qubdfirur-fus fiat a; CO 4, atque x —¦ 4 co o multiplicetur per xx —.

5 A?-4-6 00 o , producetur x^—9 xx-\-x6x—14 co o. qua: alia eft ^quatio, in qua x habens tres dimenfioncs,nbsp;tres quoque habet valores, qui funt i, 3, amp; 4.

Vemm fepe accidit, quod qusdamhaatm radicum ƒ fintfalfa:, feu minores quam nihil: ut , ft fupponaturnbsp;defignare qucTque defeftum alicujus quantitatis , ut-puta 5, ita ut habeatur a;4- 5- co o, quae multiplicatapernbsp;X^ — 9A:x4-x6Ar — xqcoo-,faciat x‘^ —^4a;’^—¦ i ^xxnbsp;-i-io6x — ixocoo, pro iEquatione, in qua quatuornbsp;funt radices, nimirum tres verae, quae funt x, 3, amp; 4, atquenbsp;u na falfa, quae eft 5-.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g

Vnde liquidb conftat , quod ^quationis fumma, qiue plures'radices continet, dividi femper poifitnbsp;binomium , quod compofitum eft ex quantitate inco- mmfio-

70 nbsp;nbsp;nbsp;Geometri^b

eujmM- giiita, minus valore alicujus ex veris radidbus , quae-quaüonis, cunquc illa tandem fit, aut plus valore alicujus exfal-lllfiiiur' cujusdivifionisope dimenfiones ejus in tantum di-

aliquaex millUUlltUr.

vicifltm fi ^quationis fumma dividi non pofiit c perbinomium, conflans ex quantitate incognita velnbsp;quadam quantitate; indicio eft, quantita-dagari tem hanc non efle valorem alicujus ex ejus radicibus.nbsp;queat, QijgniaJniodum li£Ec ultima — ax'^ — loxAr-f-106 x

numdata ^ nbsp;nbsp;nbsp;i* • i. . inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

qumtitas ~ïzo DD O, dividi quidcm potelt per x — z,per a:— 3, fit’valor pej. ^perA' J; fed nullo modo per x velnbsp;— quacunque alia quantitate. Id quod oftendit, ipfamnbsp;non pofte admittere alias radices prseter hafce qüatuor

® Ex quibus etiam cognofcitur, quot verje amp; quot falfae feTipof radices in unaquaque ^quatione haberi poftint. Ni-jintyera mitum , tot ill eavcras haberi pofte, quot variationes re-periuntur fignorum -t- amp; —; dctotfalfas, quotvicibusnbsp;Mquatio- ibidem deprehendunrurduo figna4-, velduo figna —,nbsp;quaefeinvicemfeqnuntur. Vtin ultima, quia poftnbsp;habetur—4^5, quae eft una var^^cio figni in —, amp;nbsp;poft — qArUiabetur — i^xx, quae funtduo figna fimi-lia; amp; poft— \ ()XX habetur 106x-, amp; poft 106a;nbsp;liabetur— no, quae’funt adhuc duse aliae variationes;nbsp;cognofcitur quod ilia tres admittat veras radices , .amp;nbsp;unam falfam, propter duo figua — terminoruni 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

x^xx, quaefeinvicemfequuntur,

. Porro facile eft efficere, utinuna eademque -dEqua-/^^w^/«w2tioneradicesomnes, quxmix erant, evadancverge; amp; fit, ut eMem oiiera omnes illae, qux verx erant, falfae fiant.

- 4'lt;’'6quot;’' aliifve locis reperiuntur, qui per numeros pares ^efignantur ; reliquis i»*» jfquot;'-fimiliumque loco--

rum,

rum,

tatis. ,

Vtfiloco 4-a:‘^—4^’’-fcribatur

4-a’‘^4-4^’ — i9lt;va;—106a*—izo oo o, habebituriEquatio, in qui ana tantum eft vera radix ,nbsp;qux eft f; amp; tres falfse, quae funt x, 3, amp; 4.

Quod fi verb non cognito radicum alicujus Mqu^-^omodf tionis valore, ipfas augere vel diminuere velimus quan-^^quot;'J^^nbsp;titate aliqua cognita , oportet tantum in locum inco-poffmtnbsp;gniti termini fubftituere alium, qui eaJem hac quanti-tate major fit vel minor , eumque ubique primi loco iffts nonnbsp;fubrogare.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;agnitif.-

• Vr fi augere velimus 3”*quot;* radicem hujus uEquatio-nis nbsp;nbsp;nbsp;—x^xx — ic6 x — ixo oo o, fumenda

eftjylocoA’, amp;cogftandum, quantitatem hancjy majo-rem efte quam a?, exceflu 3 , ita utjy.— 3 ipfi x fit aequa-lis; loco autem x x fcribendum eft quadratum ex_y— 3, quod eft jjy — 67 4- p ; amp; loco x'^ fumendus'eft ejus cu-bus, qui eftjy’——xj; amp; denique loco*Ar*nbsp;ponendum eft ejus quadrato-quadratum , quod eftnbsp;jj;4—11nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;yy—loSjv-p-Si. Vudefi fcribamus Fi

fummam prscedentem , fubftituendo ubique jy pro a* , invenietur •

ƒ*—• I xjy^4-5'4^jy—ro8jy4- 8r

4_ 4jy3 ^ (^yy _|_ Jo3^ j Qg

— i9jy^4-ii4_7—17 Ï — I06^jy4- 31^

— 1X0

y— — ijyjy4-8gt;'*00 o.veljy^ — Sjvjy—rjy4-8 00 o;. ubi vera radix, quae erat 5', jam eft 8, propter ternariumnbsp;ipfi additum.

Siiï'

lt;jEOMETRI^

Siti vero contra ternario radicem ejufdem j^qua-tionis diminuere velimus, facienda eftjy 3 nbsp;nbsp;nbsp;^ amp;

jyjy 6jy 9 oqata;. Acqueitaporrb. Itautloco — x~ 106X—1%0 xgt; o.

fcribatur

jy^ ixjy’ 5-4^^ io8jy 81 -jh 4jy^ 36jjy io8jy 108nbsp;^i9jvjy--ii4jy—171nbsp;—106 jy—318nbsp;— 120

jy’'-4- lójy^ /ijyjy—' 4JV—'4^0 ^ O-Vbi notandum eft., dum verse radices alicujus quationis augentur , falfas eadem quantitate diminui;nbsp;amp; contra , dum verse diminuuntur, falfas augeri: Etnbsp;¦ quidem turn bas turn illas prorfus evanefcere, fi quantitate ipfis sequali diminuantur ; fi veró quantitatenbsp;ipfas fuperante, tum ex veris falfas êvadere, amp;exfairisnbsp;veras. Vthfc, augendo ternario veram radicem , quaenbsp;erat^, diminuitur ternario quselibet ex falfis; itautilla,nbsp;quae erat 4 , non valeatplus quami; amp;quse erat 3 , fitnbsp;cyphra feu o; amp; qux erat 2, fafta fit vera, fitque i (cumnbsp;— 2 3 faciat Hr !• ) Adeó ut in hac iEquationenbsp;jy3 — 8jyjy—^ijy-4-8 oo o, non plures quamtres fint radices , inter quas dux verse exiftunt, utpote i amp; 8 ; amp;nbsp;una falfa, qus etiam eft i: Et in hac alterajy‘^

71 yy — 4JV — 42.0 cx) o, una tantum vera, quae eft 2, (quia ^ ' 3 facit - • 2.;) amp; tres falfse, quse funt 5,6quot;,

amp;7.

lam verb beneficie modi hujus mutandi valorem ra-dicum, ipfis non cognitis, duo fieri poflunt, qux in fe-quentibus ufum aliquem habebunt. Vnumeft , qubd femper fccundus terminus ^diquationis , quam exami-namus, tolli poftit: Nimirum , diminuendo veras radices.

L I B E -R T E R T I V S. 73 dices, quantitate cognitafecundi termini divisi per nu-merum dimenfionum primi , fi unus ex hifce duobusnbsp;terminis notatus fuerit figno , amp; alter figno —; autnbsp;augendo illas e^dem quantitate, fi uterque eodem fignonbsp;fiieritadfedus.

Vt ad tollendum fecundum terminum ultimae M-quationis

y 16^’ 7'i~ nbsp;nbsp;nbsp;' 4X0 00 o,

divifis ilt;3 per 4 , propter 4“’' dimenfiones termini y, proveniet rurfus 4: hinc facio z — 4 oojy, amp; fcribo,nbsp;z*—i6z^ ^6zz — x^6z

4-16^^—19x55^3 7682;—1014 nbsp;nbsp;nbsp;•

71 zz — 5'6853 ii36 — 4 ^ quot;H ï ^

__— 4x0

z* ^ nbsp;nbsp;nbsp;'— z^zz— 6053—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;36000.

übi vera radix , quae erat x, eft 6, curnipfa quaternario'fit aiKJta; amp;falfï, qu2E er^nt j,.6,amp;7 , tantummodo fontnbsp;ï, 2-,amp; 3, cumillaequaternario fingulcefintdiminutJe.

Eodem modo fi tollere velimus fecundum terminum iEquationis

x^—zax^'^^^xx—za\x a*a:i O:

quoniam divifis i/z per 4, quotiensfiti ^z, faciendum eft 00 x.acfcribendum

z'^-hzaz^ ^aazz-i-i a^z Z^a^

— zaz^—3 aazz—j a^z — ^ a*

¦ z aazz za^z i a*

— f czzi—acfz—ï aacc —zdgt; z—

z? * {aazz— nbsp;nbsp;nbsp;ZD o .

^ c c ¦ — acc — i aacc

K

74 nbsp;nbsp;nbsp;Geometri^e

ubi poftquam innotuit valor ipfius z, addendoipfii^atj

habebitur valor radicis x.

^ ^aB» Akerum, quod hïc poftea ufum aliquem habebit, eft*

verarumradicum, quantitate dices M- majore aliqua ex faliïs, radices omnes veras femper fierinbsp;(jmtioms poffint , ita ut non habeantur duofigna , aut duonbsp;verlt;e,nec iigoa — , quas 16 inviceui lequantur ; amp; inluper, utnbsp;/«wf»w-quantitascognitatertii termini quadrato femiffis fecun-rafiantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ enjamfi falfas radices in-

Gognitae fint; tarnen facile eft de illarum magnitudine prasterpropter judicare, atque quantitatem aliquam afiu-mere, tjuae ipfas in tantum vel plus fuperet, quantumnbsp;ad effèdum hunc requiritiH-.

Vtfihabeatur

540««). nbsp;nbsp;nbsp;—

n (¦’ '— 50«»Lj^ 3éon’ •—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6n»\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- i44«’

nbsp;nbsp;nbsp;36 «3

y* — 3ƒ »jy' 4- ƒ04«» y* — 37Som' 7’ 4“ if i201» yy —- 2721ÓM' y * 00 o.

Vbi manifeftum eft’, quód ^04%/? (quantitas cognita tertiitermini) major fit quadrato a V»(femifle quanti-tatis cognitae fecundi termini.) Neque ullus alius eft ca-fus, in quo quantitas, qua veras radices augentur ,ad hoenbsp;efficiendum, ratione earum quas datas funt, major requi-ritur.

Quoniam autem ultimus terminus Iiïc nullus reperi-tur, fi id quidem non defideretur, augendus eft adliuc ali-quantillo valor radicum, quod fanè tam parum efie non poteft, quin id ad efïè(ftum hunc fit fatis,

Eodem modo fi augere velimus dimenfionum nume-7!/,«//waEUmalicujus iEquationis facere ut loca omnia ter« ¦quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mino*

76 nbsp;nbsp;nbsp;G E o M E T R 1 M

Deinde fi hujus loco adliuc alia requiratur , in qua quantitates omnes cognitse folis integris numcris expri^nbsp;mantuc; fupponendo « co 3jy, amp; multiplicando 3 pernbsp;I 3 ,quot;?per9,amp;|per27 , fiet^quatio

^3* —9 «25 zó 2:—'co o, Vbi » cum radices finr2lt;,3,amp;4,/equitur akerius radices eflef, i, amp;t; amp;nbsp;priorisiEquationis§y 3 ,})/ 3 ,Sct'/ 3-§iu0paBi Qyjg operatio fervire quoque potell: ad faciendara

quantitas nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i- •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^

cognita a- quantitatcm cognitam alicujus termini m ^quatione ïmus aequalem alicui alteri datae. Vt fi habeaturnbsp;*^Zth- ^ ^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;20 oamp; ipfius loco alia fit invenietir

ms aqua- da ^.quatio , in qua quantitas cognita tertii termini, niniirumea,quasbicekbb,üt ^aa,nonautembb;fup-

**^'^'*' ponendum eftjy co x Y^—, deinde verb-fcribendum*,

jj,3 *_ 3 aay-\r^-^^ -j/ 3 co o.

^aSdra- C^tcrüm radices tam verie quani falfe non femper jiw.wwkintrealcs, fedaliquando tantum imaginarise: boe eft,nbsp;quidem. in qualibet^quationctot radices quotnbsp;f‘e,pof- dixi, imaginari licet;,verüm nulla interdum eft quan-ifdZlnieinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;illis, quas iiiiaginamur, relpondet. Quem-

hnagim- admodum , tametfi tres iraaginari poffimus in bac, rt^, ^3 —.6xx 13 Ar—10 co o; tarnen unatantum eftrea-lis; nempe i; amp; quod ad reliquas duas attinet, quamvisnbsp;illasaugeantur j diminuantur, aut multiplicentur, ficutnbsp;jam expofui ; tamen non nifi imaginarise fieri poflünt.nbsp;KeduBio lana verb, poftquam ad inveniendam conftruftio^nbsp;uE^iuatio- nem alicujus Problematispervenimus ad ^quationem,nbsp;7Zgt;Tum, in qua incognita quantitas tres habet dimenfiones:nbsp;tKwPM- Primüm fi quantitates cognitie, quse in ea reperiuntur,nbsp;numeros fraélos continent, ipfi ad integros , beneficienbsp;multiplicationis, modb explicatie, reducendi funt; Arnbsp;fi furdos continentturn quantum fieripoteft, fimilitet

ad.

L r B E K T E R T I y s. nbsp;nbsp;nbsp;77

ad rarionales funt reducendi , tam per eandèm hanc mulriplicationem, quam per diverfbs alios modos, in-ventu fatis faciles. Deinde exaininando ordine quanci-tates omnes, qu^ abfque fraftione ultimurri terminuninbsp;dividere poflunt, videndum eft , num aliqua ex ipfis,nbsp;juncfta cum quantitate incognita per fignum -f- vel—,nbsp;eomponere poffit binoraium, quod dividat totam fum-mam ; ld enim fi contingat , Problema erit Planum,nbsp;hoc eft, conftrui poterit regul^ atque circino. Etenimnbsp;aut quantitas cognita hujus binomii erit radix quxfita ;nbsp;aut^quatio, peripfumdivifa, ad duas dimenfioues eritnbsp;redüfta; ita ut deinde radix ejus, per ea , quse primonbsp;¦libro funtoftenfa, inveniri queat.

Exempli gratii, fi habeatur

^ gjy4 — i 2 4 jyjy—ó 4 co o ; ultimus terminus, qui eft 64, dividi poteft abfque fraftione per i, x.q, 8,16,nbsp;3 2,, amp; 64. Quare ordine examinando hanc Jiquatio*nbsp;nem , num dividi poflït per aliquod ex binomiis 7JV‘— inbsp;autjj» 4-1 ,yy — X autjy x,yy —¦ 4 mutyy ¦ ¦ 4, amp;c. in-rnbsp;venitur dividi pofte perjyj/— 16, hoe modo:

y—8 y^^ 12-4jyjy—64 X o — ly —.8 y— 4 jjy —, 1,(5

i'i.^yy

16

y' - oyy-ir 4x0.

Incijpio ab ultimo termino, amp; divido — (5'4 per —16, Modus M-quod facit 4- 4, qu$ repono in quotiente; deinde mul-tiplico 4 per -\^yy^ Si ftt 4- ¦^yy, quare infumma

eft fignum 4- vel-^planè contrarium illi, quod produ-citur per mulriplicationem. Addendo autem —• i 2 4 yy radkew, adnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;invenio — ixSjyjy, quod riirfus divido^per

Kk ^ nbsp;nbsp;nbsp;»— I

78 nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

— ii^, amp; provenit 8jyjy, reponendum in quotientc, Multiplicando verb hoc ipfum per yy, exfurgit — 8 jy^,nbsp;addendum termino dividendo » qui etiam eft — SjV* ,nbsp;quae quidem fimul conficiunt — 16jy‘‘, quod per — 16 dr-vido, amp; fit ijy^ pro quoriente, amp; —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;addendum ipfi

17*, id quod facit o, monftratque divifionem elle ad finemperdiuftam. Qiibd fiverb quantitas aliqua fuper-fuiflet, vel aliquis praecedentiuiji terminorum abfquenbsp;fraftione dividi non potuiftet, manifeftum fuiftet,divifio-nem nullo modo fieri potuifle.

Similiter fi habeaturjy® nbsp;nbsp;nbsp; c XV

ultimus terminus abfque fraftione dividi poteft per aa,aa-{-cc,a^-\-acc, amp;fimiles. Sedduas fufficitexnbsp;illis confiderare, nempe aa.amp;Laa-^c c aliae enim, cumnbsp;in quotiente plures pauciorefve dimenfiones exhibeant,nbsp;quam quidem in quantitate cognita penultimi termininbsp;reperiuntur , impedirent, ut divifio fieri poflet. Vbinbsp;notandum, me ipfiusy dimenfiones tantum pro tribusnbsp;dimenfionibus habere, cum non reperiatury, nec jy’,nbsp;nec jy in tota fumma. Examinando igitur binomiuninbsp;yy-^aa — c c, invenitur,divifionem per illud fieri pofTe,nbsp;hoc modo:

/_;ccjv

•ICLA

--

O —— it lt;2 —— C C

Id quod monftrat radicem quaefitam efTe aa cc. Quemadmodum facile per multiplicationem probarinbsp;poteft.

A.t

Liber T e r t r v s. 79

At verb fi nullqm inveniatur binomium , quod ita totam iEquationis propofitcE fummam dividere poffit, pnhie-eertum eft,Problema quodab eadependet, efleSolidum.

Nec minus vitium eft, conftruftionem ejus poftea per Mofuafu^ reftas lineas amp; circulos tentare , quam ad conftruftio-”^^*'/^''”;nbsp;nem illorum, in quibus non nift circulis eft opus, feftio-nes Conicas adhibere: fiquidem quicquid ignorantiamnbsp;aliquam teftatur, peccatum did meretur.

Porrb fi habeatur ^quatio, in qua incognita quan- KeduBio titas quatuor habeat dimen fiones: eodem modo, fubla-tis primum furdis amp; fradtis numeris; ( fi qui funt) viden- tuorlu^nbsp;dum eft, num inwniri poffitbinomium, compofitumnbsp;ex incognita quantitate vel — quantitate aliqua, quaenbsp;abfque rradione ultimumterminum dividit, quod divi- ‘fi Fia-dat totam fummam. Hoc enim fi inveniatur; yel quan-titas cognita hujus binomiierit radix quaeftca; vel faltem ilia fmt,nbsp;poft divifionem banc relinquentur tantum in iEquatio-ne tres dimenfiones , ita ut ilia deinde rurlus eodem dicenda,nbsp;modo fit examinanda. Qiibd ft verb tale binomiumnbsp;non inveniatur , oportebit augendo aut diminuendonbsp;valorem radicis , fecundum furnmae terminum tolle-

re, modo paulb ante explicato:amp; deinde ipfam ad aliam , reduccre, qua: tres duntaxat dimenfiones contineat. Id quot;nbsp;quod hoc modo fit:

loco x‘^*. pxx .qx . r nbsp;nbsp;nbsp;3D 0-,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ReduBio

. fcribendum eft. nbsp;nbsp;nbsp;Mlt;juauo.

nts gka-

y. i/y nbsp;nbsp;nbsp;Jx,

Et quod ad figna-1-amp; — attinet, quicomifi , fi beatur -4-/' in ^Equatione praecedente , in hac ponen-dum eft 2-/»; aut fi habeatur —p, ponendum eft —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

amp; contra, fi habeatur ihi r, ponendum hk eft — 4 r; aut fi habeatur ibi—r, ponendum hik eft 4 r. h five

illic

feribendum eft

-xa.‘^cc DO 0.

^ nbsp;nbsp;nbsp;-~aac*

quippe ƒ eftr -i^^—re,

amp;4reft—^^a^-\-aacc , ac tandem—eft —a^-^ ‘j.a'^cc—aa(y.

Poftquam igitur u^quatio ftc ad tres dimenftones eft redufta , quaerendus eft valor ipftus jv_y, methodonbsp;jam explicate. Quod ft verb ita inveniri nequeat, nonnbsp;opus erit ulterius progredi. Infallibiliter enim indefe-quitur, Problema eftè Solidum. Sin autem invenia-tur, poterit ejus beneficio ^quatio praecedens in duasnbsp;alias dividi, in quarum utr^ue incognita quantitas duasnbsp;tantum dimenftones habeat, quarumque radices abil-

lius

Liber Tertivs. 8i lius radicibus non differant. Nimirum loco ^qua-tionis

* .p X X . q X . r ZD o ^ fcribendae funt du£e aiis

ATX—jyx ijyjy. nbsp;nbsp;nbsp;00 O , amp;

Xx-^yx ^_yy. nbsp;nbsp;nbsp;o.

Et quod actinet ad figna amp; —quaj omifi, fi in ^quatione prsecedente habeatur -f-p , ponendutn eritnbsp;in utraque harum duarumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, fiinpdore

habeatur—/». Ponendumver6eft -2- inuna,ubiha-

j. nbsp;nbsp;nbsp;1 ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

betur ~y jc; amp; — ^ in altera, ubi habctur 4-jy x; pront haberur q in prima. Et contra, fi liabetur ibi—^, ponendum eft i- in ilia, ubi habctur— y .v; amp; -f- -2-

2 jy nbsp;nbsp;nbsp;^

in altera, ubi habetur -i-y x. Vnde confequenter facile eft omnes ^tquationis propofitae radices cognofcere,nbsp;atque hinc Problema, cujus folutionem continet, con-ftruere, adhibendo tantum circulos, amp; lineas reftas.

Exempli gratia,quia pro *— lyxx — xcx—6 OOO ponendoy _ 34^4 313 jyjy _ 400 oo o inveniturnbsp;yy effe 16 : hinc loCo iEquationis ^ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—

xo X ^6000 fcribendaefunt hx éxix-\-xx-~^x—'^ 00 odc ATAf 4-4x4’1 00 o. Nam_j/ eft 4, '^yy eft 8,nbsp;/eft 17, amp;^eftzo; itaut-f-ljvjy—i/— ^faciat — 3,

^ ¦ * 4JVjy — nbsp;nbsp;nbsp;~^~y fsciat 4quot; 2- E quibus binis amp;-

quationibus ft extrahantur radices, invenienturesedem omnes , qux eliciuntur ex ea , in qua haberur x‘^. Nimirum una vera, qux eft y 7 4- z, amp; tres falfx, qux funtnbsp;Yy — z, z4'V’2,,amp;z —|/z.

Similiter cum habetur x'^* —qxx — 8x4-35'

L nbsp;nbsp;nbsp;quo-

8x Geonbsp;M E T K Inbsp;jE

quoiliam radix exjy'* — 8 jV'*'-eil i6 jliincfcribere oportet

XX — 4x ^ 00 o,amp;A;A; 4Ar 7 co o.

Hïc cnim — —facit jr, amp; i JVJV —i/ -f-facit 7. Et qiiandoquidem nulla in utraque harum quationum invenitur radix, five vera, five falfa, liquidonbsp;conftat, quatuor radices ^quationis, ex qua deduftaenbsp;funt, imaginarias efïê , amp; Problema, cujus gratianbsp;quatio inventa efl, natura fua efle Planum; fed null^nbsp;ratione conllrui polTe, cum datae quantitates conjunginbsp;nequeant.

Sic etiam cüm liabetur

CC—acc —\aacc

quia projVjy invenitur a a-4-cc, fcribendum efl

ZZ — z y nbsp;nbsp;nbsp; ï lt;2 lt;2— \a y a acc oo o, amp;

zz-^zy cia-\-c c-4-\a a-\-'^ay a a-\rc c oo o.

Nam jv tï^y aa-ycc nbsp;nbsp;nbsp; Ijyj eff | ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ efl

© \ay aa-4- cc. Vnde cognofcitur,valorem ipfius ^5eflè ^ y a a-4-c c-4-y—\aa-4-\ cc-^^'^ay aa-4-c c, vel ¦

\y a a-\~ cc —y—{aa-4-'-^c c-^-'-^ay au-4-cc.

I’ Et quandoquidem fupra feceramus;sHh2^ to at, inno-tefcit, quantitatem x, ad quam cognofcendam omnes hafce operationes inflituimus, effe_

-\-{a y\aa ^c c — y\c c — 'iaa 'iay aa cc.

Verum enimverb ut utilitas hujus reguls meliüs co-gnofci poffit, opersE pretium eft, ut illam Problemati alicui refolvendo applicemus.

Emw- Datis quadrato A D, amp; refla linea B N; oporteat IftZdens producere latus A C ufque ad E, itaut E F, dufta ab E

ufamha- nbsp;nbsp;nbsp;VersÜS

versus B , fit sqiialis ipfi NB. Docet Pappus, quod,^.^^^^ poflquam primum latus B D produftum eft ufque in G,nbsp;ita ut D G aequetur D N, circulufque defcriptus eft, cu-jus diameter BG, producendum deinde tantum fit latus A C, donee circumferentise hujus circuli occurratnbsp;in pundo E, quod requirebatur. (^lae fanè conftruftionbsp;inveftigatu iis, quos lateret, difficilis fatis forct: Ete-nim quaerendo illam per methodum hie propofitam,nbsp;nuiiquam certè cogitarent afTumendam e0e D G pronbsp;quantitate incognita, fed potius C F vel F D vel C E ;nbsp;cum has tales fint, quae facillimè omnium nos ad jEqua-tioiiem perducant; fed ad ^quationem qu[E non itafa-cilè abfque regula, quamjam expofui, explicaripolTet.nbsp;Quippe ponendo a pro B D vel C D, r pro E F, amp; x prqnbsp;DF,fitCF OD a — a; ; Et ut C F feunbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eft ad F E feu c,

fic F D feu AT eft ad B F, quae proinde erit . Deinde

propter triangulum recftangulum B D F , cujus uiium latus eft; x, amp; alterum a, quadrata ipforum, utpote x

,aequalia funt quadrato bafts,quod eft nbsp;nbsp;nbsp;•

Vnde multiplicando totum per xx --xax-\-aa, in-Venietur jEquatio a”* — raX^-^raaxx — nbsp;nbsp;nbsp;xX^a‘’

'¦Xi ccx X, vel a''-—X — zagt;x a'^ CD o,

L z nbsp;nbsp;nbsp;Vbi

84 nbsp;nbsp;nbsp;G E o M E T R I yE

V Vbi per prxcedentes regulas cognofcitur, radieem ejus, quae eft longitudo linese D F, eflè

1^ -/\aa-\~\cc—c—\aa-ir\ay' aa-\’CC.

Qubd fi verb B F vel B E poneretur pro quantitate incognita, perveniremus rurfus ad iEquationem, in quanbsp;quatuor dimenfiones eflent, fed quas faciiiüs reduci pof-fet; amp; ad quam etiam fatis facilè perveniretur. Cumnbsp;alias, fi pro ea fupponeretur D G, multb difEciliüs adnbsp;iEquationem, fed quas fimplichTima foret , perveniremus. Quod quidem hk refero, ut vobis indicem, quód,nbsp;cüm Problema propofirum non eftSolidum, fiquaeren-doillud imavii ad^Equationem deveniatur valde com-pofitam, turn communiter alid via ad fimplicioremnbsp;quationemperveniri poffit.

PofTem praeterea hk diverfas regulas adjungere, re-dücendi iEquationes , quse ad Cubum vel C^iadrato-quadratum adfeendunt, verüm fuperfluas forent: quan-doquidem conftruftionem eorum Problernatum, qu£E Plana funt, femperperliafce invenire licet.

Poflèm quoque alias affèrre pro jEquationibus, quae Surdefolidum, vel Quadrato-cubum, aut altiüs af-jEquatio- lurgunt; fed malo omnes fub una comprehendere, di-cendo in genere: qubd, poftquam aliquis illas ad ean-demformam , quam habent ills, qus squè multis di-^uadra- nienfionibus conftant , amp; ex multiplicatione duarumnbsp;dmit. aliarum, pauciorum dimenfionum, producuntur, lEdu-cere conatus fuerit, atque modos omnes, quibus hsecnbsp;multiplicatio fieri poflit, enumeraverit, nee juxta ali-quem ex ipfis fuccedere compererit, afleverandum fit,nbsp;illas ad fimpliciorcs redüei non polle. Ita ut, fi incognitanbsp;quantitas 3 vel 4 dimenfiones habeat, Problema, in cu-jusgratiam uEquatioquseritur, Solidum exiftat; amp; fi y

vel

V

Liber Terti

vel é dimenfioiies habeat, uno gradumagis flrcompo- * fitum. Etficde caereris.

Caeterum omifi hïc demonllrationes plurimorum, quaï dixi : quoniam ita faciles mihi v’ifae funt , ut, finbsp;modóoperam.methodicèexaminandi, num erraverim,nbsp;impcnderitis, illaefui fpontevobis fint occurfur®. quinnbsp;etiam utiliüs erir ipfas hac ratione, quam fi legantur,nbsp;addifcere.

lam veto poftquam compertum efl Problema pro- s pofitum elTe Solidum •, five jEquatio , per quam iHudnbsp;quaeritur, ad Qijadrato-quadratum adfcendat; five non miiiruen-altiüs quam ad Cubum alTurgat : poteft femper radixnbsp;ejus inveniri per aliquam trium Conicarum Seiftionum, mata so-

ticulam aliquam, quantumlibet exiguam , nee utendo ijnatimem nifi reftis lineis amp; circulis. Verüm fufFecerit rcgulamnbsp;generalem hic adducere, inveniendi radices omnesope^f^^^^JsTnbsp;Parabolx, quandoquidem hxc aliquo modo efi: fimpli-«»?»•nbsp;cifiima.

Primo igitur tollendus eftlecundus ^quationispro-pofitx terminus, modo jam non abfuerit, atqueitaTE-quatio reducenda ad banc formam nbsp;nbsp;nbsp;7D* ap z. aa q, ^'

fiincognita quantitas tres tantumdimenfiones habeat; aut ad hanc : x *. apzz. a a qz. a^r, fi quatuornbsp;obtineat dimenfiones ; Seu fumendo lt;2 pro imitate, adnbsp;hanc: z^,üD *. p z.q-^ aut ad hanc z‘‘ zo*, p zz. qz. r.

Deinde fupponendo Parabolam F A G jam defcri- ^ ptam efie, amp; axem ejus eilè A C D K L, latufque redlumnbsp;/^feu r , cujus AC fitdimidium, amp; denique punftumnbsp;Ceficintra hanc Parabolam, cujus vertex fit A: Opor-tet facere C D x {p, eamquefumerein linea AC, con-tinuata versus C, fi in AEquatione habeatur /'; fednbsp;versus alteram partem, fi habeatur — p. Porrö è pun-

L 3 nbsp;nbsp;nbsp;ao

D, aut ex pundlo C, fi non habeatur quantitas p, erigendo ad axem perpendicularem D E aeqnalem ' q,nbsp;oportct ex centro E circulum defcribere F G, cujus fe-midiameter fit AE , fi ^quatio tantum Cubica fue-boe eft, fi non babeatur quantitas r. Aft fi babea-tur r, amp; quidem figno adfefta, oportet ulteriüs innbsp;bac linea AE. produdautrinque, exuna partefumerenbsp;AR 30 r, amp; ex altera parte AS ïequalem lateri refto

Para-

Liber T

Parabok, quod eft i, defcriptoque circulo cujus diameter RS, erigere AH perpendicularemad AE, quse occurrat huic circulo R H S in punfto H , quod illudnbsp;ipfum eft, per quod alter circulus F H G tranfire debet. Quod fi verb habeatur — r , oportct infuper innbsp;alio circulo , cujus diameter eft A E, infcribere AI,nbsp;arqualem inventae A H: inventumque erit punftum I,nbsp;per quod primus circulus quaefitus FIG tranfire debet.

Vbi fciendum, quod circulus hie F G fecareveltan-gere poftit Parabolam in i, x, 3, aut 4 punftis, a quibus fi ad axem demittantur perpendiculares , habebuntur

omnes

omnes ^quationis radices, tarn verse, quam falfe. Ni-mirum fi quantitas q fit adfecT:a figno , verse radices erunt illaeharum perpendicularium, quse ex eadeni Parabolae parte, qua eft E circulicentrum, reperientur,nbsp;ut F L; amp; reliquae, ut G K, erunt falfae. Sed contra, finbsp;liaecquantitas q notatafuerit figno — , veraeerunt illse,nbsp;quse ex altera funt parte; amp; falfae, feu minores quam nihil, quae ex parte ilia, ubi eft centrum circuli E. Etde-nique fi hie circulus non fecat, nec tangit Parabolam innbsp;aliquo punfto, indicio eft , iEquationem nullam ad-mittere radicem five veram, five falfam , fed tantumnbsp;imaginarias. Adeb ut haec regula omnium, quas quisnbsp;exoptare queat, generaliffima fit amp; perfeélifiima.

Quorum quidem demonftratio admodum facilis eft.

Etenim

Liber T e r t i v S.’ nbsp;nbsp;nbsp;89

Etenim fi linea G K, per conflruftionem hanc inventa, vocetur 2;, A K erit z z, propter Parabolam , in quanbsp;G K debet eflè media proportionalis inter A K amp; latusnbsp;return, quod eft i.Deinde, fi ab AK auferam AC,nbsp;quae eft ^, ut amp; C D, quae eft |nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, relinquetur D K feu

ÊM252;—i/—i, cujus quadratum eft

z^—pzz—Et quia DE feu KM eft tota GMfit25 1^, cujus quadratum eftnbsp;additilque hifce duobus quadratis,nbsp;habebitur z^^-^zz-i^qz^ iq q i ƒ/ i/ ?.

Ai--

pro

50 nbsp;nbsp;nbsp;G E o M E T R I yE

pro quadrato linex G E ^ quippe quae bafis efl: trianguK

redlanguli E M G,

Sed quia base eadem linea GE eftfemidiameter cir-ciili FG, poteritipfa aliisadhucterminis explicari. Ni-mirum fi E D fuerit , amp; ADï/ |, EA erit

% q q \f nbsp;nbsp;nbsp;\ y propter angulum reftum

ADE. Deinde cum AH fit media proportionalisinter A S, qu3ï eft I, amp; A R, quae eft r, erit ipfay r. Ac de-nique, propter angulum reftum E A H, quadratum ex HE feu EG eft:j’^^-4-^/'/'-F-i/’ :? ^: adeo ut ha-beatur ^quatio inter banc fummam amp; praecedentem.nbsp;Eadem quippe quas co *-4- pzz, — qz r. Vndenbsp;confequenter liquet, inventam lineam G K, quae nomi-natafuits;, Aiquationis bujus eflè radicem. Quoderatnbsp;demonftrandum. Et ft calculum hunc ad omnes aliosnbsp;bujus regulae cafus applicueritis, mutando ftgna amp; —,nbsp;prout opus exiget, eodem modo ad quaefttum pervenie-tis; ita ut illis diutius immorari non fit opus.

Si

Liber T e r t i v s. nbsp;nbsp;nbsp;91

Si itaque juxta hanc regulam inter Iineas/2amp;^duas iibeat medias propörtionales invenire, nemo ignorat,

poneiido ;^pro una, eiTe ut lt;2 ad fic ;^ad ^^ ad

ita ut habeatur ^Equatio inter,utpote, 00 **^quot;*’^‘

a a q. Deinde defcript^ Parabola FAG, una cum fegmento fuiaxis A C, quod eft , feiniftis nempe la-teris redi, erigenda eft ex punfto C perpendicularisnbsp;C E , acqualis j q, atque ex cejitro E per A defcriben-dus circulus AF, utobtineantur FL amp; L A, du^me-dijE quiefitse.

SimUiter ft dividcre velimus angulum NOP , five arcum, portionemve circuli N Q T P in tres squales Zlgukr*nbsp;partes; fi fumatur N O oo i pro radio circuli, amp; N P OD ^ fretnbsp;pro fubtenfa arcus dati, ac N Q_oo ;^pro fubtenfa trien-tis hujus arcus, exfurget AEquatio 7^ co * 3 7— q. Ete-nimdu(ftis lineis N (1, OQ^, amp; OT ; fi Q^S paral-lela fiat ipfi T O, patet, quod, ficut NO eft ad N Q^,nbsp;fic N fit ad QJl, amp; (^R ad R S; adeb ut, cum N Onbsp;fit I, amp; N CL;^ , (LR futura fir amp; R S Et quianbsp;tantum R S feu impedit, qub minus linea N P, qusenbsp;eft q, tripia fit lines N Q^, qus eft;^, habebiturnbsp;q CO 3:^—;g,vel;g 00 *3

Deinde defcripta Parabola FAG, in qua C A fit sequalis femifli lateris redi principalis, fi fumatur C Dnbsp;CO I, amp; perpendicularis D E oo i ^ ; fecabit circulusnbsp;F A^G, centre Eper Adeferiptus, hanc Parabolaminnbsp;tribus puneftis F,_^, amp;G, non numeratepumfto A, quodnbsp;eft ejus vertex. Id quod indicat in hac Alquatione tresnbsp;haberi radices, nimirum duas G K k, qus versfunt,

amp; tertiam, nempe F L, qus eft falfa ; Atque ex hifee duabus veris minorem g k illam efle, quam pro qusfitanbsp;linea N Q^fumere oportet. Altera enim G K, squalis

M X nbsp;nbsp;nbsp;eft

ffii'

eft ipfi N V,fubtenf£e trientis arcus N V P, qui cum reli-X quo arcu N QJP totum circulum complet. Falfaautem F L sequalis eft duabus hifce C^N amp; N V ftmulfumptis,nbsp;quemadmodum ex calculo facile eft vidcre.

§iuoioTn- Superfluum foret ft inftfterem liic aliis exemplis in ’prolfe'^ medium affèrendis, cum Problemataomnia, quae nonnbsp;natare- nift SoUdafont, eoreducipoflint, ut hacregufo adcon-duciftf- ftruftionemipforumnonaliter indigeamus , quam qua-h”fee daas tcuus iiifetvit ad i tiveniendas duas medias proportiona-sonjhH- les, aut ad dividendum angulum in tres aequales partes.nbsp;mom. Qyod cognofcetis, confiderando, ipforum difficultatesnbsp;femper ^quationibus , quae ultra Quadrato-quadra-tumnonadfeendunt, comprehendi pofte; Etomnesil-las , quae ad Quadrato-quadratum afcendunt, reducinbsp;pofTe ad Quadratum , ope quarundam aliarum, quae tantum ad: Cubum adfeendunt; Et tandem, harum fecun-dum terminum toUi pofte. Ita ut nulla earnmfic, quamnbsp;ad aliquaniex hifce tribus formis reducere non liceat.

CO

Liber Tertivs.

00 *—pz-\-q.

X? ao*-\-fz q. z^oo*~\-pz—q.

Si autem liabeatur z^ oo *—pz q, regula, cujus y inventionem Cardanus cuidam^, Scipioni Ferreo, tribuit , nos docet, radicem clle

ZOdVC. {q Yiqq^i^f-~y~C,—iq^y ^qY-^-

Quemadmoduoi etiam,fi habeatur^;^ go * pz^q,

amp; Quadratum femiffis ultimi termini majus fit Cubo trientis, quaiititatis cognitse penultimi ; fimilis fermenbsp;regula nos docet, radicem efïè

zosoy/ Q.-gt;r\q'\-V kqq—iif nbsp;nbsp;nbsp;~^qq—hf.

Vnde apparet, quod Problemata omnia , quorum difficultates ad JEquationem uni us ex hifce duabus for-mis reducuntur, conftrui Temper poflint, ut Conicasnbsp;feftiones adhibere non fit opus, nifi ad extrahendas radices Cubicas ex quibufdam quantitatibus cfatis , liocnbsp;eft , ad inveniendas duas medias proportionales internbsp;bafce quantitates amp; unitatem.

Deinde fi habeatur z^ co * Z q , Qliadra-tum femiffis ultimi termini non fit majus Cubo trientis , quantitatis cognits penultimi termini; fupponen-do CircLiIum N Q^P V,cujus femidiameter N O fit y hoc eft , media proportionalis inter trientem quantitatis datte ƒ amp; unitatem; tumetianifupponcndo lineam

N P iuiic Circulo efie infcriptam, quie fit , hoc eft,

qu2 fit ad alteram quantitatem datam^, uteft unitas ad trientem ipfius p; dividendus tantum eft uterque arcus N QJP, N V P in tres aequales partes; eritqiie N Q_,nbsp;fubtenfa trientis unius arcus, una cum N V, fubtensanbsp;trientis alterius, sequalisradici quxfitie.

M 3 nbsp;nbsp;nbsp;Deni-

Deniquefi habeatur x nbsp;nbsp;nbsp;—q, fupponendo

rurfus Circulum N Q^P V, cujus radius NO fitY^p, amp; in quo infcripta N P fit : erit N Q, fubtendens

trientem arcus N P, una ex radicibus qusfitis : amp; N V, fubtendens trientem arcus N V P, radix altera.nbsp;Saltern fi Quadratum femiflis ultimi termini non ex-cedat Cubum è triente quantitatis cognitae penultiminbsp;termini. Etenim fi majus eflet, non poflèt linea N Pnbsp;huic Circulo inferibi, quippe quas diametro ejus majornbsp;foret. ld quod oflenderet , duas veras radices Iiujusnbsp;JEquationis nonnifi imaginarias efiè, nee nllam realemnbsp;extare praït-er falfam, quxjuxta Cardani regulam foret

quam habent ad fubtenfas certorum arcuum, feu Cir-bkarum-. culi portionum, quarum triplum eft datum, ItautCu-quot;*'^^''quot;”'nbsp;bicarum ,iEquationum radices illae omnes , quaenbsp;Cardani regulas exprimi nequeunt , jequè clarè ÜUtnbsp;etiam clarius per modum hie propofitum exprimi pof-

filTt. nbsp;nbsp;nbsp;quadra-

Si enim, exempli caufs^ , radicem cognofeere tremur hujus iEquationis zo*-\-^z q: quia ipfamnbsp;compofitam eftè feimus ex duabus lineis; quarum unanbsp;eft latus Cubi, cujus contentumeftfumma, quaecon-flatur ex I amp; ex latete Quadrati, cujus contentumnbsp;eft ^ qq—; amp; altera latus alterius Cubi, cujus contentum eft differentia, quae eft inter i ^amp; latus Qiia-drati, cujus contentum eft ^ 9'^ — {-jf- , (quod illudnbsp;omne eft, quod ex Cardani regula addifeimus ); Dubi-tandum non eft, quin aequè diftinftè aut etiam diftin-ftius radix hujus 2’ co * ^,2;“-^cognofcatur , ft eanbsp;confideretur inferipta Circulo , cujus femidiameter fitnbsp;y Tp , in quo profubtenfa arcus intelligatur , cujus tri-pli fubtenfa fit . Quin etiam hi termini prioribus illis

multo minus funt intricati, amp; qui etiam multbbrevio-res reddentur, fi peculiari aliqua nota adexprimendas hafee fubtenfas, quemadmodum fit nota y C. ad expri-mendum latus Cubicum, uti velimus.

PofiTunt quoque per regulas hie fupra explicatas dein-ceps exprimi radices ^quationum omnium , quas ad Quadrato-quadratum afeendunt; ita ut nefeiam , quidnbsp;in hac materia defiderari ampiius poffit. Neque enimnbsp;natura harum radicum permittit, ut terminis exprimantur fimplicioribus, necut per conftruftionem aliquam,nbsp;qu£E una amp; generalior amp; fimplicior fit, .determinentur.

Verum

9lt;j nbsp;nbsp;nbsp;Geometric

c»fPro- Verum quidem eft, menondum dixille, quibusra-tionibus nicar, qubd affirmare audeam , utrüm res ali-cmjfmi qua fieri poffit nee ne. Ac veró fi confideretur, quo-nonpejjint modo per methodum qua utor , id omne , quod fub Geometricam contemplationem cadir, adunumidem-Cmuis, que genus Problcmatum reducatur, quod eft, ut quas-quot;^atur valor radicum alieujus diquationis, fatis judica-compoftta bitur, non difficile efieita enumerare vias omnes, qui-’^alrJir inveniri poftunt: ut hoe fufficiitad oftendendum,nbsp;««gt;, generaliffimam amp; ftmpliciffimam fuiftè fcleftam. Etnbsp;giscom- fpeciatim , quod fpectat ad Solida Problemata , quodnbsp;pojms.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ lineam aliquam magis compo-

fitam quam circularem conftrui non poffint, vel inde evidens efle poteft, qubd illa omnia ad duas conftru-ftiones reducantur ; in quarum un^ duo fmiul punblanbsp;requiruntur , qux inter duas datas lineas duas mediasnbsp;proportionales determinent; amp; in altera duo pundla,nbsp;quae datum arcumintressequales partesdividant. Ete-nim cum Circuli curvatura tantum dependeat a fim-plici relatione omnium partium ad pundum unum,nbsp;quod eft ipfius centrum; inde fit, uteo quoque non niftnbsp;ad unum folummodo punbtum inter duas extremas de-terminandum uti poffimus , utputa ad inveniendamnbsp;unam mediamproportionalem inter duas datas, auc adnbsp;datum ar cum in duas ffi.quales partes dividendum. Atnbsp;verb curvatura Conicarum Seftionum , qux femper anbsp;duabus diverfis rebus dependec, ad duo diverfa pundlanbsp;dererminandainfervire poteft.

Ob eandem rationem fieri nequit , ut aliquod eo-rum Problcmatum , quse uno gradu magis quam Solida fu it compofita , amp; inventionem 4 mediarum pro-portionalium , aut anguli in 5 aequales partes divifio-nem, prsefupponunt, ope alieujus Conicaefeftionis conftrui

Liber T e r t i v s. 97 ftrui poffit. Qiiare nihil melius Me a me fieri pofle confide , quam fi regnlam generalem tradam conftruendinbsp;ilia ope lineae curvsc , qus deferibitur per interfedtio-nem Parabolae Sc lineae redlae , quemadmodum fupranbsp;fuit explicatum. Affirmare énim audeo , nullam, quaenbsp;huic effedtui infervire queat, fimpliciorem in rerumnbsp;natura inveniri. Atque etiam vidiftis , quomodo haecnbsp;linea immediatè fedbiones Conicas fequatur in quae-flione tantopere a Veteribus qusfina, cujus folutio or-dine omnes curvas lineas, in Geometriam recipieiidas,nbsp;exhibet.

lam noftis, cum inveftigantur quantitates , quae ad Uedusge-conftrudlionem horum Problematum requiruntur, qua ratione femper ad iEquationem aliquam reduci pof- di PnbU-fint, quae non nifi ad (^ladrato-cubum , aut Surdefo-^'^^nbsp;lidum adfeendat. Deinde etiam noftis, quomodo, au- duffa adnbsp;gendo valorem radicum hujus-^Equationis , fierinbsp;per poftit, ut radices hae omnes veraeevadant, ac fimul d/wiu/a.nbsp;ut quantitas coenita tertii termini excedat quadratum

\ nbsp;nbsp;nbsp;• /T'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a» j

a lemiue quantitatis cognits lecundi termini. Jit ae- tem. nique, quo padlo, fi tantum ad Surdelblidum adfeendat,nbsp;ipfa ad Qiiadrato-cubum attolli poftit, fierique ut nullusnbsp;terminorum defit.

Quocirca ut difficultates omnes , quae quidem Me occurrunt, per eandem regulam refolvi queant, defide-ro ut hzc omn ia fiant, amp; hac ratione rediicantur fempernbsp;ad iEquationemliujus fiarmac

y——ty-{-vco o.

in qua quantitas vocata c[, major fit quadrate a lèniiftè ejus, qux nominatur/.

Poft

98

Pojft haïc dufta linèaredla BK, utrinque indefinite, ercéieque ad eandem ex pundlo B perpendiculari A B ^nbsp;cujus longitude fitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;defcribenda eft in plano aliquo

feparato Parabola, ut C D F , cujus latus redum principale fit y ^ q—quod brevitatis cause vo-

cabo zj. Turn ponendo planum , in quo Parabola exi-fl:it, fupra planum in quo funt line» A B amp; B K, ita ut axis ejus DE omnino congruat cum liijea reeïta BK;

fum-

Liber Tertivs. 99 fumptoque fegmento hujus axis, quod interpuiufta Enbsp;amp; D intercipitur, squali , adplicandaeftlonga re-

gula ad puiiiflum E, ita ut, poflquani ad punfl:um A plani interioris quoque eft adplicata , Temper piaiieatnbsp;adjunfta hifce duobus punétis , irit^rqa dum Parabolanbsp;fecundum liiieam B K , ad quam ejus axis eft adplica-tus, vel elevatur vel deprimirur. qu^ quidem rationenbsp;Parabolae atque regulae interfeftio, quae fit in pundo C,nbsp;lineamcurvam ACN defignabit, illamquippe qu^adnbsp;propofiti Problematis conftruflionem indigebimus.nbsp;Etenim ea fic defcript^, fi fiat B L aequalis D E, hoc eft,

, ita ut puri(ftum L cadat in lineam B K, versus partem , quam refpicit Parabolae vertex , Turn verb inea-dem linea a punlt;fto L versus B fumatur L H xqualis

, Et expunfto H , fic invento, ad partem curvae ACN ducatur ad angulos re^os ipfi B K, linea HI,nbsp;ïEqualisnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quam abbreviandi causa

nominabo ^ , Ac, poftqi^am/Cqnjunftafuntpunfta L amp;I, circulo LPI, cujus diameter^IL , infcribatur linea L P, squalis ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, 'ïandem^üe ex centro I per

punftum P, fic inventum, circulus defcribatur P C N: lecabit hie circulus vel tanget lineam icurvam A C N',nbsp;in tot pundhs, quot ^quatio admittet radices. Ita utnbsp;perpendiculares, quae ex hifce pundlis ad lineam B Knbsp;deducentur, .^quationis hujus future fint radices , amp;nbsp;nullam hsec regula patiatur exceptionem neque defe-dhim. Etenim fi quantitas f adeb magna eilet relpediunbsp;aliarum, /, ^, r, amp; z;, ut linea L P major invenireturnbsp;diametro circuli IL., fic.ut ei^em infgribi non pqfiet,nbsp;nulla itidem foret tadix in ^Êduatione propofita. quae

N z nbsp;nbsp;nbsp;' non

lOO nbsp;nbsp;nbsp;Ge o mëtri^e

non efTet imaginaria; nee etiam ulla foret radix, fi cir-culus IP adebparvus efTet, utcurvam ACN in nulio prorfus pundo fecaret. Hanc autem curvam in 6diver-lis pundis fecare poteft, ita ut hïc fex diverfe radicesnbsp;in iEquatione haberi queant. Atque cümillam inpau-cipribus fecat, hoe indicio efi, quafdam ex hifce radi-cibus inter fe aequalcs eflè, aut ipfarum aliquas efïè tantum imaginarias.

Qpbd j[i verb ratio hjec dofcribendi lineam ACN

per

Liber Tertivs. nbsp;nbsp;nbsp;ioi

per motum Parabolae vobis vicleatur incommoda , facile eft plures alios modos in eundem finem excogitate. Vt, manentibuseifdem quantitatibus pro AB amp; B L, nec non eadem pro B K, quae pro latere refto prin-cipali Parabolae fupponebatur; defcribendus eft tantumnbsp;femicirculus KST, centro ejus ad libitum in linea BKnbsp;aflumpto, itatarnenut lineam AB alicubi fecet, utinnbsp;puncfto S. Nam poftquam apunéloT, ubiterminatur,nbsp;versus K aflumpta fuerit linéa T V, aequalis B L, junga-turquc S V, atque a puncfto A junftae S V paralleladuca-tur A C, quae redae S C, duflae per puiiélum S, ipfi B Knbsp;parallelae, occurrat in pundo C: Erit punctum C, ubi baenbsp;duae parallelae ftbi mutuo occurrunt, unum ex pundisnbsp;per quod quaefita curva tranfire debet. Eodem modo in-veniri poftunt tot alia punfta, quotquis voluerit.

Quorum omnium demonftratio fads facilis eft.

Si enim regula A E una earn Parabola F D adplice-tur ad punftum C, (eodemmodo, quoconftateas ad puiuftum C in curva A C N mutu^ interfecftione deft-gnandum elTe adplicandas)amp; quidem C G voceturjy -.erit

G D , cum latus reiftum, quod eft n ^ fit ad C G ficut C G ad G D. Auferendo autem D E,quae eft a G D,

lox nbsp;nbsp;nbsp;Ge OMETRIiE

quas B L, lioc eft, nbsp;nbsp;nbsp;, B V erit ^. Sicut autem

SBeftadB V,fic ABeftadBE.quasideoeft ^—,1^ ,

ut ante. Vnde apparet, unam eandemque lineameflè, qu£e utroque hoe modo defcribitur.

Porto , quoniam B L amp; D E fibi invicem sequales funt, «quales quoque interfeerunt DLamp;BE; itaut,nbsp;addendoLH,quK, adD L, qujeeft ^ —

habeatur tota DH, nempe ^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, è qua

auferendo G D, quae eftquot;^ , relinquetur G H , videlicet H ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'-?•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^cribo, hoepa^

ao.GHoo -y i/’JVJ rif,—i/v

Poftea

loj

1/ _

cumLPfity nbsp;nbsp;nbsp;, IP vel IC eric

y ^ J1--^ nbsp;nbsp;nbsp;, (propter angulum return

IP L). Dein dufta C M perpendicular! ad I H , erit

IM differentia, qus eft inter IH amp; H M vel C G, hoc

eft

nnyy

-yr gt;{_ qy — ? ƒƒ pro n ny, amp; ry^

! ƒ, amp; multiplicando u-tramque ilimmam per n nyy exfurget ^^py^-L.) ^xyv) —fVv^

fjy’. pt [y'.SL gt;yy—ty ‘v, ?ƒ/) rv^ 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 4v 3

sequale

) nbsp;nbsp;nbsp;—fV^)

T: J

y —Py'^'^^yquot;'—ry^ syy—ty v o::» o.

Vnde apparet,lmeas CG, NR, Q^O, amp; fimileseftè hujus ^quationis radices. Quod era» demonftrandum.nbsp;inventïonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;invenirc velimus y medias proportionales

quatmr inter lineas a Si b poftta x pro prima ¦, prodibit jEquatio

mlittm. (ftaquejy—00 a;, invenietur

f~6ay iSaay~zoa?y iSa^yyZifi,\yXtn‘^^

Vnde pro linea A B fumendum eft 3 lt;2, amp;

^ Yaa ab nbsp;nbsp;nbsp;pro BK, vel latere relt;fto Parabo

lae,

’Liber Tertivs,

circulus, qui centrumfuumliabetinpunftoI, tranfitu-rus per punftum fic inventum P, fecabit curvam in duo-bus punftis C amp; N, a quibus ft ad reftam B K demit-tanrur perpendicularesN Ramp;C G, amp;minor N R ama-jore C G auferatur erit reliqua x , prima ex quatuor mediis proportionalibus quaefttis.

Eodem modo facile eft datum angulum in quinque aequales partes dividere, amp; Circillo figuram infcriberenbsp;II aut 13 squalium laterum , atque infinita alia hujusnbsp;regulae cxempla reperire.

Verum notandum eft in plurimis horum exemplo-rum , quod Qrculus hie ita oblique hanc Paraboiam iecundi generis fecare pofftc, ut interfeftionis puiuftumnbsp;cognitu fit difficile, atque adeo hsec conftruftio adPra-xin non fit idonea. Cui quidemrei facilè remedium af-ferri poftet, componendo alias regulas ad imitationemnbsp;hujus,

Sed inftitutum meum non eft prolixumlibrumcon-feribere, fed potius multa paucis compreliendere: quod fortè judicabunt me fecifle , qui confideraturi funt,nbsp;quod, reduftis ad eandem conftruftionem Problematisnbsp;omnibus ejufdem generis, modum ftmul, quo ad infi-nitas alias diverfas reduci, atque ita omnia infinitismo-dis rcfolvi poffint, oftenderini. Prsterea etiam , quodnbsp;conftruftis iis omnibus, qux Plana funt, interfeftionenbsp;Circuli amp; linesc reélae, Et iis omnibus, qu£t Solida funt,

O nbsp;nbsp;nbsp;inter-

iö6 Geometric Liber Tertivs. interfedlione Circuli amp; Parabolic, Ac tandem iis omnibus , qux uno gradu magis funt compofita, interfedlionenbsp;fimiliter Circuli amp; lineae, uno gradu magis quam Parabola compofitJE, eandem tantum viam in conftruendisnbsp;reliquis omnibus , qu95 magis magifque in infinitumnbsp;funt compofita , fequi oporteat. Etenim cognitis, innbsp;materia MathematicarumprogrefiTionum , duobus autnbsp;tribus prioribus terminis, reliquos invenire nonefi:difficile. Adeb ut fperem a pofteris miliigratias habitumnbsp;iri, non folum pro iis, qusehic explicui; fedetiam pronbsp;iis, qux confultb omifi, quo ipfis voluptatem ilia inve-niendi relinquerem.

FINIS.

FLO*

107

FLORIMONDI DE BEAVNE

I N

GEOMETRIAM

RENATI DES CARTES

NOT^ BREVES.

L G E B R A fpeciofa,hoc eft, quse exerce-quot; turperlpeciesrerum, quse literis Alpha-beti, aiiifve fimilibus defignantur , eftnbsp;Scientia, inveftigandis , inveniendisquenbsp;Theorcmatis amp; Problematis infcrviens,nbsp;ac res homogeneas, quarum rationes velnbsp;propordones confiderantur, concernens.nbsp;Dicimus autcm rationem inter fehaberenbsp;duasres, cuna homogeneae feu ejufdem naturae exiftentes, autte-qualeslunt, autinaequales, amp; minorperfuiipüuscontinuamad-ditionem, tandem major evadit, majoremque fuperans. Adeóutnbsp;hxc Scientia non folüm Algebram numerofam atque Veterumnbsp;Analyfin Geometricam comprehendat; fed ctiam omne id, quodnbsp;relationcm quandam habet aut proportionem, ut refert D. desnbsp;Cartes , in luadeMethodo diflèrtatione.

Optimum veróeft, adttabiliendahujus Scientiae praeceptaSe ad cognitionem ejus affequendam, ut generaliter rationes hafce innbsp;lineis confideremus: cum limplicillimï fint, amp; hoe fibi vendi-cent, quód rationes omnes, qua: inter quafcunque alias res confi-derari poffuntjexprimant. ld quod numeri non efficiunr,qui rela-tiones,qu3E inter incommenfurabiles quantitates reperiuntur, ex-primere nequeunt. Accedit,quod iis ad omnes alias res, rationemnbsp;Vel proportionem quandam inter (e habentes, uti poffimus. Ete-nim licèt linea nullam cum luperficie, aut cum alieujus motus vc-locitate rationem habe3t(atque ita de aliis alterius naturae rebus;)nbsp;poflumus tarnen rationem, qu* inter duas fuperficies, aut internbsp;duas differentes velocitates, amp; id genus alia, quje inter fe relatio-,

O 2 nbsp;nbsp;nbsp;nem

lo8 Ft o RIM ON Dl DE BeAVNE ncmaliquamhabereftatuimusjieperitur, cxprimcreper duasli-»nbsp;iieas. Id tantum cavendum eft, nc permutata ratione utamur.

Opcrationesomnes, quasinhacScientiaoccurrunt, adquin-que reducuntur, qiis eaedem funt, quas Arithmetics vulgaris, ni-nvirum, Additio, Subtracftio, Multiplicatio, Divilio, atque Radi-cum Extracftio j hoc prstcrea commodi habentes , quod ilfe (ficut notavimus) circa incommenfurabiles quantitates, non minus quam circa alias, verfentur. Vt,cum proponuntur das linesnbsp;incommenfurabiles, live longitudinc, five longitudine amp; poten-tia, poflunt ipfs fimul addi, una ab altera ^uferri, per fe invicemnbsp;multiplicari, una per alteram dividi, amp; ex utraque radix extrahi,nbsp;perinde ac fi longitudine eflent commenfurabiles.

Neque veto docebimus, quo pafto hs operationes per Hte-* ras Alphabeticas, vel alias linearum aliarumvc reruin fpccies,nbsp;quas defignant, fint faciends; cum hoc ab aliis jam fit pertra-ótatum. Turn etiamquoniam hscGeometria, qua ratione Ad-lt;'nbsp;dido, Subtradio, Multiplicatio, Divifio, atque RadicumEx-traélio, tam in numeris, quam in lineis inftituends fint, brevi‘*nbsp;ter exjionit. Verumobfervari volumus, quod per hafcefpecics,nbsp;quas norainamusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bd^ b^d^b'' d\ primam videli

cet b , numerum aut lineam fimplicem ; fecundam^% quadra-turn ipfius bf feu b quadratum; tertiam ^’feu ^cubumj quar-tam^^'feu^quadrato-quadratum, amp;c. nonullsalis res, quam lines omnino fimplices concipiantur; nifi qusftio fuerit dc veris Quadratis, Cubis, Planis, amp;Solidis, aut, perhafee fpeciesnbsp;alias res fignificemus, fimilem inter fe relationem, quam linesnbsp;ipfis defignats, habentes. Attamen confcntancum eft, nominanbsp;ufitata retinerc, quandoquidem lines, fpeciebus hifeedefignats , eandem inter le rationcm, quam vers fuperficics, amp; verafo-lida, qusperipfasdenotantur, fervant. Ethoequidem adimi—nbsp;tationem Arithmetics communis, ubi alios numeros appellaniusnbsp;Quadrates, alios Cubos , alios Pianos, alios Solidos amp;c. quippe.nbsp;qui talem inter fe relationem obfervanl, quatenusfunt numcrinbsp;fimplices, qiialem inter fc obtinent Quadrati, Cubi,amp;c. quosnbsp;reprsfentant.

Oportet itaque oftendere, fpatia amp; corpora, fpeciebushifee defignata, eandem inter fe rationem habere, quam lines fim-pliccs, quas per ipfas concipimus. Exempli gratia, b^ eandem

ratio-

Not^ Breves. nbsp;nbsp;nbsp;109

rationem habere ad ^lt;3!, amp; ad lt;:/*, quatenus fpatia fignificant, quam quatenus lineas referunt. Sic etiam rclationem ipfiusnbsp;adnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aliasque fimilcs, eandem inter hsec Solida exi-

fterc, quam ea, quas cft inter lineas, per has fpecies defignatas. Quod ipfura facile erit, fipro arbitrio lineam aliquam accipia-mus , quam appellemus unitatem , amp; ad eam reliquas omnesnbsp;referamus. lila vocetur fic ut hx tres linese a, amp;. ^»pro-portionales exiftant , juxta id quod de mnltiplicatione in hacnbsp;Geometria diöum eft. Idem de lineis a , d , Sc d^ e{\. intelli-gendum. Sic etiam linea a eft ad lineam ir, ficut linea dc^ adnbsp;lineam aut, ut linea 4 cft ad lineamnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ita linea eft ad eandem lineam igt;d. Quod cum ita fit, lineal erit ad lineamnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ficut

linea d ad lineam l^d; cumeademutrobique fit ratio, nimirum eadem, quas linc£e a ad lineam Vndepermutandoerit, ut lineal ad lineam ita lineaad lineam Eodemmodo linealnbsp;erit ad lineam ^ ut linea ad lineamnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cumutraque ratio ea

dem fit, qu2 lines a ad lineam lt;5/. quemadmodum eftoftenfum. Vndepermutandoerit, ut lineal ad lineam ita linea ^ isi ad lineam Patetitaque, b efleadlt;a(, ficut ad bd, itemque ^eflènbsp;ad^i!, ficut^ö/adis?^, amp; confequenter, rationem lines ad lineamnbsp;d^ efl’e duplicatam lines b ad lineam d-, lincamque bd efle me-diam proportionalem inter lineas d^- ld quod unufquifqu»nbsp;novit ab Euclide efle oftenfum,nimirum: rationem,quara habet b'-ad d^, quatenus defignant fuperficies feu quadrata,duplicatam ef-fcrationis, quam habetlatus ^adlatusöJ: itemque^lt;3/redangii-lum efle medium proportionale inter hsc ipfa quadrata. aepernbsp;confequens, hsc fpatia eandem inter fe relationcm habere, quamnbsp;lines iifdem fpeciebus defignats. Idemoftendipoteftdc Cubisnbsp;vclSolidis, adimitationem prscedentis demonftrationis. Vndenbsp;haud parvum emolumentumcolligerclicet, cumcomplurcsrationes, quasEuclidesaliique Geometrs, inter duas fuperficies,nbsp;atque inter duo corpora, reperiri,demonftrarunt, nospro lineis,nbsp;aliisve rebus, iifdem fpeciebus defignatis , ufurpare poflflmus,nbsp;prout eandem quam di^fta fpatia feu corpora inter fe relationenvnbsp;habent.

Exhibeamus allquod excmplum: Detur triangulum redlan-gulum A D E, cujus angulus D AE fitredtus. Manifeftumeft cx dementis, quod latcrum quadrata fimul fumpta quadrato bafis

O j nbsp;nbsp;nbsp;fint

no Florimondide Beavne

fint xqualia; hoc eft, fi ponamus ADoo^jAHooc, amp;DE 00 d, quodnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;squctur d'^, quateaus deiignan: vera qua-

drata. Quod quoque veruin eft, quatenus delignantlineas, mo-do eandem inter le relationem obcineant, quam hxc ipfa qua-drata j ut demonftratum eft a nobis , atque etiamnum in hoc excmplo palam facereconabimur.

AHumatur pro lubitu linea aliqua major vel minor ( perinde enim eft ) quam D E , quse quidem lit unitas, amp; ad quam reliquxnbsp;omnes referantur: ipiaauteniefto B C,parallela exiftensipfiD E,.nbsp;ducaturque perpendicularis A F, ipfam, ft opus eft, producendo.nbsp;Deinde fiat, ut B C ad D E,ita D E ad H M, fietq ,ie H M oo

lamvero, ficuchxlines BC, DE, HMfuntcontinuepro-portionales, itaquoque lines BC, AE, NM, necnonlinex B C , DA, H N. Compofita enim eft ratio B C ad A E, ex ra-tione B C ad A C, amp; ex ratione AC ad A E. Eft auiem rationbsp;AE adNM compofita ex iifdem rationibus, nimirumex ratio-nc A E ad F E, qus eadem eft rationi B C ad A C ( propter fi-militudinem triangulorumredtangulorum AEFamp;BCA,) amp;nbsp;ex ratione FE ad NM, hoc eft, A E ad AM, qus eadem eftnbsp;rationi AC adAE (perconftruétionem. ) Id quod codcm mo-do paret de B C, A D, FI N. Erit igitur N M xgt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp; Fd N CD

qus quidem (imul fumpts squantur ipfi H M, hoc eft, d^. Quod crat demonftrandum.

Cernitur prsterea ilia in hac Methodo facilitas, quod etiam lineam aliquam hoc modo,,aliifvefimilibus, exprimerepofli-

mus; aut quod eoitem modo fraftionem aliquam Arithmetics communis, uti,-|., amp;c. denotare valcamus; hoc fane compen-dio, quodliteris fradio cxprimi poffit, cujus numerator adde-

nomi-

Not^ Breves. nbsp;nbsp;nbsp;ïii

nominatorcm nonhabeat rationem commenfurabilem; fed qua: •fimilis fitlinea: adlineam, quammunavicem gerat numeratoris,nbsp;amp; altera vicem denominatoris ejufdemfradionis. Idquodnonnbsp;exigtisc eft utilitatis, quemadmodum poftea videbitur.

lam autem explicandum cft, cur seque-multae dimenfioncs fin-gulis iEquationis terminis fint tribuendar. Quod lanè per fe liquet, quando fubhifce terminis fuperficies aut corpora intelli-guntur: cum nulla ratio inter duas quantitates heterogeneas con-fifliat, fpatiaque illa aut corpora eodem femper linearum atque di-menfionum numero defignentur.

Verumexpedit utidemfaciamus, quando per hofce terminos non nifi linez defignantur, utMethodus eóunivcrfalior atquenbsp;ctiam commodior reddatur : Quandoquidem id praeftare tene-mur, cum linea, qua: pro unitate fumenda eft, indeterminata exi-ftit, feu, cum requiritur, ut liberum fitafllimere pro unitate li-neamqualcmvolumus. Idquodfacilè concipipoteft, quoniamnbsp;fiimendo lineam aliquam, ut4, pro unitate, line:e, vcrbigratia,nbsp;denominationcshafceaccipiunt, proutreferuntur adlineam a. At verb ftatuendo aliam quandam lineam pro unitatenbsp;quamlt;i, licèt^amp; isl ejedem maneant, nihilominus tarnen Sc d’-a praecedentibus erunt diverfae. Ac proinde, ficomparare veli-mus lineam b cum linea quoniam (S?* diverfa eft, proutaddi-verfas lineas rcfertur, quas pro unitate accipere pofliimus, ipsa linea b eadem femper manentc ; patet lineam^ ad lineamnonnbsp;femper eandem rationem fervare; fed contra, diverfasadillamnbsp;fortiri relationes, pro diverfis lineis, qusepro unitate afllimun-tur. Etficdealiis. Aft quscunque tandem linea pro unitate fu-matur, linea tarnen indeterminata, amp; quse per b^ concipitur, eandem femper habet rationem ad d’-, quam quadratum lines b adnbsp;quadra turn lines d. Atque ita de aliis omnibus, ut fupra eft often-fum. Et quidem generalius eft atque etiam commodius, relin-quereita unitatemindeterminatam amp;adcujufque arbitrium, utnbsp;deinde proipfa talis linea afl'umipoifit, qualis videbitur , quam.nbsp;eandemab initioopcrationisdeterminate, fumendóproipfacer-tam aliquam lineam. Prsterquam quodid plurimüm conducatnbsp;ad confufionem evitandam; addirigendum calculumj atque adnbsp;prscavenda vitia , qus ibidem committi poflent. Verum cum'nbsp;unitas determinat» exiftit , tum quidem non amplius fingulis

.^qua-

lïX Florimondi de Beavne

iEquationis terminis £equè multas literas tribuere tenemur: cutn unitas illas ubique fupplere poffit, ubi numero paiiciores ha-bentur , amp; ipfa bas fpecies multiplicans aut dividens eafdetnnbsp;non mutet. Si vcro ibidem non fit expreffa, poterit turn quidemnbsp;fubintelligi. Qua de re plura exempla in hac Geometria repe-riuntur.

Ad Paginas (? amp; 7, De Radicvm

ExTR ACTIONE.

^Vandoquidem linea M prims figurasnbsp;tangit circulum L O P,nbsp;reétangulum O M P s-quatur quadrato ex L M.nbsp;Sunt autcm bina reöan-gala MOPamp;OMPs-qualia quadrato ex O M.nbsp;^quale igitur erit reólan-gulum MOP, una cumnbsp;quadrato ex L M , quadrato ex O Mi hoe eft, eritnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ac per confequens

z OO nbsp;nbsp;nbsp; PTcum O N squeturi(ï, amp; quadratum ex

NM tantundemvaleat atqueduo quadratacx NL amp;LM, hoe ld quodprimo eratdemonftrandum.

Deinde redtangulum O P M amp; quadratum ex P M squalia fi-mul funt redlangulo O MP. Eftautemrediangulum O MP x-quale quadrato ex LM. Quadratum itaque ex PM squale eft quadrato ex LM, minus reólanguloO PM: hoceft, erit7^30nbsp; ac proindejy ZO — i lt;* quot;/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quia,cüni

NM squatury h’-, nx. fupra, ac ex ipfaaufertur NP feu relinquitur M P ïmy.

In Sec VN dam Figvram De Radicvm ExtractionE. Pag. 7.

Educemnshanefiguramadfequentem, in qua ND amp; HO fuut parallels amp; squales ipfi L M. Quibws pofitis, quoniam

LM

Not^ Breves, nbsp;nbsp;nbsp;113

LM tangit circulum HRQ_^L in pundto L, eritquadratumex LM xquale rcótangulo RMQ^ Deinde, quia MD ajqualisefl:

D O, amp; Qp ipfi D R, erit amp; M Q^ae-qualis R O. Vnde addita communi Q^R, fietquoqueMR a:qualis Q_0.nbsp;Ac proinde fi a. eélangulo O M R au-feramr rcdangulum RMp, hoceft,nbsp;quadratum ex L M , erit reliqiuimnbsp;aaquale quadrato ex Q^O feu M R.nbsp;Hinc cum R M fit GO c, HL feunbsp;MO ZDd, amp;LMGO^:entJL'*CO^a.nbsp;— bh. -

Similiter fi a rcftangulo O M Q^au-feratur reflangulum R M Q_, hoe cft, quadratum ex LM, erit reliquumse-quale quadrato ex R O feu M Q. Acnbsp;proinde fi QMfumaturpros:, habe-• bitur GO — bh. .

Tam autem cum linca R Q^divifa fit bifariaminD, ac ipfi in direélum ad-jeéla pM, erit rediangulum R M p, hoe eft, quadratum ex L M,nbsp;una cum quadrato ex D pfeu RD, «equalequadrato.ex DM,nbsp;hoe eft , exfemifte ipfius a\ ac proinde quadratum ex D Q^feunbsp;DR squale quadrato ex DM, minus quadrato ex LM, hoceft,nbsp;xqualeilt;j(i—bb. Vnde fi addamus 3/— bquot;-, hoceft, D Q.nbsp;Tea D R ad D Mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;habebimus M R pro z.-, fi veró illam

cx.eademD M auferamus, obtinebimus quoque (LMprox,. E quibus patet,primo cafii fieri M R,hoc t^,z.ZD Y — b^ynbsp;fecundo autem M Q_,hoc eft, go|lt;«—Y

JEquatio nbsp;nbsp;nbsp;— bb duashabeatradices, nimirum, MR amp;

MQ, qu£E, ficut jamdiximus, exprimuntur. Idquod fecundó erat demonftrandum.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Poffunt quoque hjEc omnia, quat de radicibus didafunt, per Algebrain demonftrari. Si enim in primo exemplo, ficut feci-mus, ponaturg, X Yauferendo utrinque i lt;»,nbsp;habebitur nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x-—Ac proinde, fi fumanturho-

ÏI4 Florimondi de Beavne

utrinque ^ nbsp;nbsp;nbsp;, atque transferendo — lt;is. in alteram squationis

partem: zJ-ZDiiz. nbsp;nbsp;nbsp;__

Infecundocxemplo, cum jjequatur— V proindeƒ-4-jlt;i3G) yquot;eruntamp;horum quadratasequa-lia, hoe eft, ƒ ‘ lt;j ƒ i OD i lt;** nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp; per confequens

7*00—ay-^-bb.

In tertio exemplo, cum primo löcohabeatur_

?.C0 ylt;ï V', ideoque —^^lt;*00 Y —^%eruntamp; horum quadrata aequalia, hoe eft,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ZD laa—bb^

linde 8c z.^ 02 a z.—bb.

In ultimo cxemplojcumfecundo locohabeatur _

z.ZD.\‘i — y' -aa — bby ac idcirco | A—z.ZdY erunt amp; horum quadrata sequalia, hoenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

— bb, 8c ^ropterea00 «xt.— bb. Qiisequidemdemon-firare oportebat.

In Compositionem Locorvm Pla-norvm ET Solidor.vm P ag. zf?, amp; fequent.

Viequid in primo libro reftat, nee non in feeundo ufque ad ^ Loeorum Planorum amp; Solidorum compofitionem reperi-tur, intelleöu fatisfacile eft; quaread paginam 2damp; fequentesnbsp;progrediemur. Vbi primo notanduin, quód, habentes in xqua^nbsp;tione duas quantitates indeterminatas, quarum una licet pro ar-bitrio fumatur, altera tarnen per eandemxquationem invenirinbsp;pollit, ita ipfam ordinare oporteat: ut,fi una, puta x, ad libitumnbsp;fumatur, altera, qux eft;', denomination! terminorum ejus infer-viat, fie, ut7^unamconftituatsquationis partem, amp; altera ejusnbsp;pars ordiatur a termino, inquo7folafinexreperitHr, quemfe-quatur7 cum x, amp; pofteax fine7, amp; tandem terminus, in quonbsp;nequex nequey reperiatur. Atque impoffibile quidemeft aliosnbsp;caius invenire, quando qiftntitates indeterminatxj amp; x duas tantum dimenfiones habent: quanquam fxpiffimè contingat exhisnbsp;terminis aliquos r^eriri nihilo squales.

Deinde obfervandum quöqueeft, fiterminiillipluresliteras vel dimenfiones contineant, modd quantitates indeterminatX7 gt;nbsp;amp; X duas dinjenfiones non excedant, facile efle, dividendo totam

xqu»-

N o T ^ Breves. nbsp;nbsp;nbsp;ïij

«quationem per literas nbsp;nbsp;nbsp;adhïrentes, efficere, ntj/ fola

unam partem aequationis conftituat amp; reliqux alteram partem, ad inftar fraélionis, pro denominatore habentem literas, qua: an-¦tea cumjj jungebantur. Vbi nemo exiftimare debet, fradlio-¦nem pluribusdimenfionibus conftare, quam numero relinquim-tur Hterae in numeratore, poftquam exipfo numerus literarumnbsp;denominatoris eft fubduótus, quemadmodum inexemplo, ea-dem hujus Geometriae pagina propofito, apparet.

Qiiod vero de dimenfionibus jam diximus, eodcm fenfuin-telligendum eft, quo antea advertimus, utile efle, uc fingulis tequa-tionis terminis sequè multa: tribuantur literae. Nam ficut^* fjgiii-

h h

ficarepoteftlineamaliquam, ficetiam j ^ ^ 'ji i qua: tarnen Tic

xifurpari non debent, nificumlineaquadampro unitate eftde-terminata: ob rationem fupra allatam, ubi utilitatem atque com-moditatem oftendimus, qu£E fequitur, cum fingulis aequationis terminis arquè multa; literse vel dimenfiones tribuuntur, etiamfinbsp;illis nil nifi linea: alia:vè res fimiles defignentur,

Porrö notandum eft, quodiiihac Gcometria generaliter pro unoeodemve loco vel termino habeantiir illi omnes, qui canderanbsp;quantitatis, quam invenire volumus, amp; radicem sequationis ap-pcllamus, denominationemfortiuntur. Nimirum, quod omnesnbsp;illi pro uno termino liabeantur, inquibus reperitur^^j amp;proa-lio , inquibus reperiturjrj amp; rurfus pro alio omnes, inquibus ƒnbsp;non reperitur. Atque ita ulteriüs, fi radix plures dimenfiones ha-bucrit. Eft autem hoe (ut diximus) generale; fpeciatim vero hxcnbsp;methodus requirit, ut ex termino, in quo ƒ reperitur, duos cafusnbsp;faciamusj in quorum unoj reperiatur fine ar; amp; in altcro,ubi cumnbsp;X fit conjundta: cum ƒ amp; x du2E indeterminatse quantitates fint amp;nbsp;utravis a:quationis radix efle poflfit. Neque difficile eft ad unumnbsp;terminnm reducere omnes illos, qui eodem raodo ab ^quationisnbsp;radice denominantur. Etenim reliquis literis cognitis exiftenti-bus, facile eft, taks afl'umere, qute fupponantur xquales iis omnibus , qux eandcra habent radicis denominationem j vel etiam ei,nbsp;quod defignatur per fraclionem, quam termini efficere ponantur.nbsp;Atquehinc fit, quod loco terminorum, ubijc reperitur fine a?, fo-Itimmodo ponaiur 1 »?ƒ, quippequod fupponitur aequale omnibus firaul terminis cjuidem denominationis. Loco autem eorum

P 2, nbsp;nbsp;nbsp;omnium,

bcjglx-h cfg X*

a: nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' ets —cgK'-

Deindefumenda eft pro omnibus terminis in vinculo, in qui-bus X non repcritur, cujus qiiantitas m eadem cft in aequatione propofita cum ea, qus eft extra vinculum; fed alias potefteflenbsp;diverfa, quo cafu loco m extra vinculum prjeftatquodammodonbsp;aliam litcram afiumere. Pqftqujeprsetcrterminos, inquibus arnbsp;abfquejr reperitur, nihil reducendum reftat. Poffunt autemhinbsp;duobus modis fe habere: pront nimirum habebitu-r vel, velxnbsp;fimpliciter. Vnde fit, ut etiam, loco terminorum omnium, innbsp;quibus X fimpliciter reperitur, fcribendum fit o x. Qtio loconbsp;notandum quoque venit, literam o quantitatem aliquam hïc de-fignare, nonautemcyphram: quandoquidemsequalis eft ac loconbsp;illorum omnium fcribitur, qua: cum x junguntur; alias enimnbsp;D. des Cartes ea ordinariè ad cyphram feu nihil denotandumuti.-tur: itaut quodammodo hk, ad confufionein evitandam, pra-ftare videatur, pro aaliamquandam literam fubllituere. Sedhaecnbsp;monuifle fufficiat. Denique reducendas funt etiam liters , quS'nbsp;eumjunguntur,. qusque nilprster fraiftionem defignarepoffunt : cum x^duas habeat dimenfiones , boe videlicet modor

“ x^. Vbiconfiderareoportetj.quö41itera»gt;fraöionis^eademquot;

quan--

Not^ Breves. nbsp;nbsp;nbsp;117

tjuantitas exiftat, quae in in vinculo. Qiiaquidem methodo

nulla laabebitur aequatio, cujus radix ad duas tantum dimenfio-

nes afeendit, qu^, pront cx ilia edadta eft, non reducatur ad banc

• — , . ---.

formivlam:j CD /» — nbsp;nbsp;nbsp;Ita ut hsec ipfa

quibuflibet LocisPlanis amp; Solidis conftruendis inlervirequeat: cumomnes locos fiveterminos, quiineorum tequationibus re-periripoflunt, comprehendat; adeoquenon nififignorum-j-amp;

¦—variaiionem, atque loca amp; terminos, quiin propofitistequa-tionibusdeprehendinequeunt, confiderareoporteat. Quse qui-dem omnia a D. des Cartes funt animadverfa. Nos vero ea dun-taxat, qua; difficultatem aliquam- afferre poflent, illuftrare co^ nabimur.

Observatio Prima.

quot;P Oftquam zquatio ad fupradiflam formulam eft reduda, amp;' ilb,fivearquemultos,fivepauciorcsterminos habens,etiami

fradionibusnumericiseftaffecla : ut exempli gratia, fi loco — x.

habeatur lx, poteftoperatio mftituiperhafee fraftioncs, lup-ponendo, numeratorem 3 eflesequalem numeratori n . Sc deno-minatorem 4 atqualem denominatori s,. Idem intellige dealiis fraclionibus numericis,quararquales funt, amp;adliteras fuperio-ris formuljE referuntur. Vnde cumhabetur fradio denotata hoc

pafto X y ^ loco — X; erit litera » atqualis y 8c z Jequalis

atqueitadealiis. Eft autembene obfervandiim,. quoddi-ximus: nimirum, fi in aequatione reperiatur , denominatorem

m Ecadionis ar* turn effe aequalem ipfi m quantitatis to*. id

quod facile eft, etiamfi aliafradio haberetur, modo fuppona-mus,.»? efle adp, ficut denominator hujus fradionis ad fuum numeratorem: quandoquiderahoc modo fradiones fiuntxqua-les. Quod fi autem id per numcros fieri non poffit, operandumnbsp;erit per literas, quod fiepe eft commodiffimum. Porroobler-vandum eft, quod ex terminis, qui inveniendis, centro, lateri redo, amp; tranfverfo inrerviunt,non aliae litera» ufurpandae fint,quamnbsp;qus inaequationereperiunturj amp;qubdreliqux literae eorundem?

P 3 nbsp;nbsp;nbsp;ter-

Il8 F LORI MON Dl DE BÉAVNB terminorum non magis fint confiderandx, quam fi non haberen-»nbsp;tur. Cujus ratio eft, quód D. des Cartes, ut univerfaliter b®cnbsp;traétaret, terminos hofce ejufmodi conftitutionis efFecerit , innbsp;qua locaomnia forentrepleta. Adeóque liters locorum, qiis ianbsp;propofita squatione non reperiunuir , non annumerands funtnbsp;terminis, qui centris, lateribusredis, amp; tranfvcrfis exprimen-dis inferviunt.

Observatio Secvnda.

PAg.27. cafus, cuminsquationenonhabetur »*, difficulta-temaffèrrepoffet, quareadilium intelligendum cogitandura eft,quód, quandoin squatione nonbabetur/», ducendaitidemnbsp;nonfitlinea IKinfiguraejufdempagins. Acproinde, utinve-*

niatur LI, poftquam babetur*'-^x, non referenda eft illa ad IK

fed ad AB, eodem modo, quo D. des Cartes ipfam comparat ipfi IK. Qiiandoquidem faccre oportet, ut A B lit ad B L, ficut

z. ad », boe eft, ut A B exiftente at , B L fit ar, atque ut pun-(ftum L cadat parte pundiC , fibabeatur—at ex altera parte versus R , fireperiatur -^ a;. Quo fado, ducenda eft ' linea A L, per punéh A amp; L, qu£E eadem erit qus LI, boe eft,nbsp;eodem munere fungetur, quo LI in exemplo D“ des Cartes. Etnbsp;quidem cognita entlinea AL, cum lines AB, BL, anguluf-que ABL cognofcantun Atque itapro A L accipere poflumus

~ arj eritque a nota.

Sed rem fortaffis planiüsperexemplum aliquod explicabimus. Sit, in expofita figura, reda linea A Y, curva autem A X, cujusnbsp;vertexpundumA, cujufquehscritproprietas: ut,aflumptóinnbsp;ea quolibet pundo , ut X, a quo ad reótam A Y normaliter du-caturXY, lumptaqueutcunquereda AB, bscipfaunacumlinea A Y fit ad lineam A Y, ficut linea A Y ad lineam X Y.

Efto A B 00 ^, A Y 007, amp; A K squalis ac parallela ipfi X Y 00 at. Hinc cuen b 7fitad7, ficut7ads, erit77ZO xy-{-xb,8c

conftat, lineam hanc eflè Hyperbolati Ad quam conftruendara , cum A K fit at , linea KL crit q a:,

quan-

N o T ^ Breve s.

quafidoquidem hsec fradlio sequalis efl: ac nbsp;nbsp;nbsp;x rcfpondet. Por--

ró, quoniatn redlus eft angulus A KL, erit quadratumex AL acquale quadratis cx AK amp; KL fimul fumptis. Hinccumquadratumex A K fit amp;quadratum exnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ALerity'

{evtxY^i idquodjequalefupponimus ipfi^

itauty' 5 fitlt;?, amp; 1/4 fitx.., amp; I fitp, amp;4fitwï. Qiubus pofitis,

terminus ^, qui ïnveniendo centro infervit, erity' ^ nbsp;nbsp;nbsp;cum •

rtwhoceft, f, valeaty'80; amp; 2/)a:,hoceft, 2 Y4/’» va-

leaty” i6-, amp; ofitsequalis ipfi^j amp; nbsp;nbsp;nbsp;^ valcatynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hoe

eft, Y ’^bb. Quod quidem centrum fumendum eft a pundo A versus M, quandoquidem Hyperbola eft, amp; habetur i a;, hoe

eft, ö X, juxtapag. 3 o. Latus redum hïc eft ^, hoe eft, ^ y' |. feu -j/1 ^ h. Vnde lams tranfverfum fit : quoniam oportet,,nbsp;utp x:,*fit adlt;*^7», ficut ad latus tranfverfum,quod idcirco, (ut

prpinde

110 Florimondi de Beavne

proinde cum diftanciapunfti A a centrofit-j/ ’^hb, qucefemilEs eftlateris tranfverfi (qiioniam , cuinduorumquadratorumunumnbsp;altertus eft quadrupluna, latus tantum lateris fit duplum ); mani-tcftum eft, pundiimA verticem fore diametri AL. Ideoquefinbsp;fiatMAcD'V^ ^obb, erit ipfa iatus tranfverfum, amp; latus reöumnbsp;erit, (ut diximns,) Y ~bb. Qiiorum demonftratio faciliseft.nbsp;Namperprop. 21. lib. i^'Conicorum Apollonii, utlatustranf-verfum M A 00 y 20 ^^eftadktusredtum-j/icaeftreétan-gulum ML A ad quadratum ex LX. Eft autem AL oo y'ijeLnbsp;Hinc fi multiplicetur y 20 bb-\~Y|A;*per y±x^, habebitur

rctftangulum M L A, quod proinde erit y bh -‘rY . Multiplicando vero idipfum per latus reólum y ^b by exfurgitnbsp;_j. y'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bbx'^y quod divifum per latus tranfverfum

y 20 bb, exbibet y bb x^ y nbsp;nbsp;nbsp;fioc eft, Y bbx^ -\-

yfeu proquadrato cxLX, undeipfa LXfit y b X ^x^. Jam fi ad lineam L X addatur linea L K OO | a:^nbsp;obtinebiturlinea XK, hoe eft, j oo^ar y' bx~\-!^x^ y aepernbsp;confequens y ^A.- yv^0O/ — \x. Vnde duda utraque aequa^nbsp;litatis parte in fe, fiet bx q-yv^OO/J—xj ix^, feunbsp;yyzobx-k-xy. Hinc ut^ ^fehabetad^, ita^fehabebitad.v.nbsp;Quod erat demonftrandum.

Proponatur adhuc aliud exemplum, referens eum cafum in quo non reperiaturat in tequatione. Habeamus itaquesequa-tionem banejj oo^—z Aj-\-bxy cujus radix eft^ OO — lt;a? nbsp;y J[- b X y quam conftruere-oporteat. Supponaturinfiguranbsp;léquente A B 00 a,-, amp; angulus A B C ad libitum, B C autem , indefinite continuata versus B, oo ƒ; fiatque B K oo ^.quï hic idemnbsp;prjeftat quod »z in fuperiori formula, quoniamhabetur—d. Du-öaautem NK indefinite parallela ipfi AB, fumaturKI tequa-lis AB, proutoftenfumfuitpag. 27 amp; 28. Quo faclo,relinqueturnbsp;tantum-y -J-^ at , amp; pagina fequens docet lineam qutefitam ef-fe Parabolam, qubniam non habetur ar*. Prsterea pundfo N

exiftenie vertice, linea IN efte debet hoe eft,. -r-, in hoe

OX . nbsp;nbsp;nbsp;o

exemplo. Terminus denique, quiexplicatlatus redtum,erit~ *

idem

N o T -lt;£ B R B V E s. nbsp;nbsp;nbsp;Ill

idem h!e exiftens quod^, amp;fitK Cof-dtnatim adplicata adnbsp;diatnecrum. Quorumnbsp;demonftratio nee dif-

ficilis.Namjfccundüm

II propa^'Libri Cq«' n.icorum ApoIIonii,nbsp;reöangulum compre-henfum fub latere re-6:0 ^ amp; lineaN K 00

^ X , utpote , dd

4- ^ AT j eft squale qua-gt; drato linca: K C- Eft veró linea K C aequalis ipfis B C GQ/, amp; BKnbsp;^^/jfimulfumptis.EricicaquelineaK C CD/ lt;^gt;amp;qu2dratumnbsp;ejus ODJJ z dy dd.Ac ^roiadcy^-{-z dj dd3^dd ^x,S€nbsp;per coniequensj»^ 00-— z lt;;!;(' ar. ^loddemonftrare oportebat.

Obseuyatiq Tek,tïa.

PAgina zp, circa medium, didiumeft, lineam qusefitam efl© Circuhim,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cumangulus eftretlus. Vc-

rum hoe intelligendum edam eft, cum anguluseft reftus, ijec omnino habeiur^i««?, neepzj-: autcumin aequatione literseu-nius terminisquales funtliteris termini alterius. Adplenipremnbsp;autem horum intelleftum fequentia. conftruaraus exempla.

HZ FlorimondideBeavne

linea B C v el B D ODjf- Manifeftum au tem eft, lineam conftruen-damefle Ellipfln aut Circulum, quoniam habetur—x‘. Non re-

peritur autem w, aut -^x. Et fufficit pro x fumere A B,atque centrum ab A versus B, cümbabeatur o^, hoe eft, inhocexem-plo, -t-^x- Itautpro illofumendumfit ,boe eft, ^divifum per ijfeu cum non habeatura, neque w,nequep, neque z- La-

hoc

quadrato ex B C vel B D,hoc eft, erit^j CO ^X'— x\ Qiioderat demonftrandum.

Qubd fi aequatio haberctur 00 ^ ^ ar*, quaefita finea eflèt Hyperbole: amp; fi velBC, velBDfumatur pro ƒ, hoe eft, fivenbsp;angulus fit rebtus , five obliquus ; erit conftrubtio prxcedentinbsp;omnino fimilis; nifi quod centrum amp; latus tranfverfum fit fu-mendum a punbto A versus alteram partem, nempe versusH.nbsp;AtqueitafaciendoAG oO fietpunblum G centrum, eritquenbsp;'tamlatustranfverfum, quamrebtumOO A Demonftratio praece-denti erit fimilis, obfervatis tantum fignis amp; —.

Obamp;ervatio Q^varta.

ANimadvertendum prjeterea eft,. fiin aequatione non habeas tur frabtio ipiiAr* adhaerens, amp;nihilominus tarnen adfit w*,

hoe eft,habeatur, verbi gratia , -j/ nbsp;nbsp;nbsp;ar*loco^ x^t

qubd

Not^ Breves. 1x3

quod turn quidem fraftio, (utfupranotavimus) fi alia quam £-

fuerit, tranfmutanda fit in fractionemubi habeatur-£ . fuppo-

nendo fcilicet m efl'e ad p, ficut denominator alteriusfradtionis adejiifdem numeratorem: quoniaminhac Methodo requiritur,nbsp;utwipfius»?^ fit denominator fradionis ipfi adhserentis. Vbinbsp;quidem, in cafu, quo haberi ponimus , non autcm fradionem,nbsp;qu£E ipfi x'- adhxreat, fupponere oportct p x , ita ut habeamus

non alius valoris quama;\ Quod cognofcendiscentris, la-

teribufque redis atque tranfverfis infervire poterit.

Adplenioremveiointelledum, deturin fequentefigura linea AB, amp; pun£ta in ea A amp; B; oportcatquc invenire pundum j

utD, a quo fi ducantur linea: A D, D B, ut ipfa: datam inter fe obtineant rationem, hoc eft, utADfitadDB, ficut linea PHnbsp;ad lineam M N; quarum quidem P H fit major quam M N.

Demittatur a pundo D fuper AB perpendicularis D G, amp; fupponatur ABx^,AGxa:,GD X/j M N X ƒ• Quoniamnbsp;igitur redus eft angulus A G D , erit quadratum ex A D xqualenbsp;quad satis ex A G, G D , fimul fumptis, hoc eft, X a;' ƒJ. Eo-dem modo, cum GB fit^—a:, erit quadratum ex DB squalenbsp;quadrctisexBGjG D, hoc eft, ZDjry bb—zbx-^ x^. lam verb , cum A D fit ad D B, ficut P H ad M N, erit quoque quadratum ex AD ad quadratum ex DB, ficut quadratum ex PH adnbsp;quadratum ex M N. Porrb fiat, ut P H ad M N, fic L N ad P H,

z nbsp;nbsp;nbsp;erit-

adeb ut relinquaturj X Y—j---ld quod nos

doeetjlocum e{rePlanum,eumque Circulum exiftere;cuinhabea-tur — X*, angiilufque AGDlitredus, nbsp;nbsp;nbsp;COfz^-, neque

enim hichabeturi?, nequèa:; atquew^ipfiptequalis fupponitur j. cum nulla ipfix^fraétioadhaereat. Qiübus ita conftitutisGireu-lum hoe modo inveniemus.

Terminus, qui centrum nobis exhibére debet, eft^^, eamp; quo nobis prster ~ nihiHnfervit: cum ipfi p fit tequalis j hoenbsp;éft, pro eó tantünihabebimusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;idcirco,poftquamlinea:

L M jequatur r—/,fi fiat ut linea L Mxe —ƒ ad lincam'L N xcy italinea A B x ^adlineam A Cjerit lihea A C x ,amp;pün—nbsp;öum C centrum Circuli. Surnèndum atltem id erit ab A ver-sw B , quoniam habetur i-f- ,refpondens ipfi o x. Praeterea,.

quoniam iri Circulo latus reéftim amp; tranfverlum fibi invicem fiinfe aqualia, alterutto tantdm erit öpus. Formula autem lateris redti-

hiccfty -- nbsp;nbsp;nbsp;*—¦^ï^-l^^^ .Vndequidem illud,quod nobis in hoe

«xertiglo inferyit j, non aliud erit quam y o o —4»?*, hoe eft,,

quodj.

N o t yfi B R É È s. ii5'

quod, aufercndo quadfatum a quadrato ex —relifiqua-tar quadratum kteris irefti. Eft autem pauló ante inventa linea

E.

A C CO idcoquè ejus dupla A Q_^co }~jr- Hihc Jnvenirè adhuc oportet gt; quod reprasfentatur per 4 w*. Inyenitur

autemponendo efle, utr —fa.dc, itaHad^^. atutc—ƒ eftadcj fic AB 30^ eft ad AC. Quapröpterferitüt^ adlirteath

A C,ficégt;égt; ad ~zrf- Qvtoniam autem ratio düorum quadratorum. adinvieem duplicataeft rationis, quam inter fe liabent ipforum^nbsp;latera: hinc, fi pohamus lineam A E raediam ptoportionalem inter h amp; lineam A C j erit b ad linéam A Ijficut ^ ad ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;per

€onfeqiiensIinéaA E 3D yquot; Vndc fi AR fiat dupla ipfias A E , érit ea xqllalis y • Adêóqüé fi cónftituatiius triangu-

ium A R Q., cujus latus A Qfit jequale (ut didlum eft), cu*^ jüfqüë angulus A R Q^fit redtus; erit latus R Q^qd y — q.nbsp;q.uandoquiderti quadratum ejus aequatur quadratalineanbsp;Iius quadrato^ . AtqueitaRCLfitamp; latus reftum amp; diameter Cireuli, Etii ex centfo C ducatur linea C E parallela ipfï

0.3; nbsp;nbsp;nbsp;RQ„

1x6 Florimondi de Beavnb

RQ^, erit ipfa K^ualis radio Circuli, utpote aecjualis femilïï.Ii-nea: RQ;

Et hsc quidem r^uantum ad conftrudionem juxta hanc Mc-thodum, qu£e, poftquam jarneft inventa, brevior reddipoteft. Nam cum angulas AE Cfureftus , amp;AE mediaproportiona-lis inter A C amp; A B, fimilia erunt triangula A E C, A B E, amp;nbsp;E B C; ac proinde A C ad C E, ut C E ad C B. Vt autem A Bnbsp;eft ad A C , ita eft L M ad L N. Quare per converfionem ra-Jtionts erit A C ad B C, ut L N ad N M. At veró ut ratio A Cnbsp;ad C B duplicata eft rationis A C ad C E ( propterea quod C Enbsp;media eft proportionalis inter A C amp; C B ), ita eciam, cum lineanbsp;P H media ftt proportionalis inter L N amp; N M ( per conftru-cEonem'): erit ratio L N ad N M, hoe eft, A C ad C B, duplicata rationis LN ad P H. Quapropter erit utLNadPH, feunbsp;PH ad MN, ita AC adCE; quae quidem Circuli radius eft.nbsp;Demonftratio liujus conftrudlionis ad imitationem praeceden-tium inveniri poteft, quam hic omittimus: cum illa ab Eutocionbsp;initio commentariorum cjus in Apollonii Conica (It oftenfa.

Observatio CLvinta.

PAg. 21 hujiis Geometrise dicium eft: qubd , poftquam hsc sequatio non afcendit ultra redangulum duariim quantitaturanbsp;indeterminatarum, aut etiam ultra quadratum unius ex illis, lineanbsp;curva Temper fit primi amp; fimplicifllmi generis, Tub quo tantumnbsp;Circulus, Parabola, Hyperbola, amp; Eliipfis funt comprehenftc.nbsp;Quod ita intelligendum eft , duas quantitates indeterminatasnbsp;xScj, cum Teparatimin ^quationis terminis reperiuntur, nonnbsp;ultra fua quadrata afeendere debere; fed in terminis, ubifimulnbsp;reperiuntur, fingulas non nifi unam dimenfionem habere debere,nbsp;ita ut fimul tantum reciangulum aliquod duafve dimenfiones effi-ciant.

Similiter, fi in ^quationtreperiretur terminus aliquis, in quo haberetur^’, velar^; autjquot;*, vel x'*', autdenique xy^, vel x^ y,nbsp;velx'^yj: linea curva elTet fecundi generis. Etfic de cteteris. Innbsp;quibus omnibus folum indeterminatarum quantitatum ratio ha-bendaeft, non autem quantitatum cognitarura, quibufeumjun-guntur.

Quod

Not^ Breves. nbsp;nbsp;nbsp;\%j

Quod fi quantitates indeterminate fingalsfcparatim adduas dimenfiones non afcendant, neque etiam limul, höc eft, fi nullusnbsp;terminorum ad , autad x y afliirgatj linea itidem erit priminbsp;generis, amp; quidem rcéta, non curva: adeoque locus talem equa-tionem prebens Planus erit, amp;: ad lineam reöam.

Et quidem, cumlocus eft ad reéiam lineam, Geometriahec non minus ipfumcomponeredocet, quam cum locus eftadcur-vamlineam, que fit primi generis, amp; cuminequatione habeturnbsp;jy : ficutubique in equatione hujus Geometrie pro Pappi que-Itione, ex qua fuperior formula deduda fuit, cerncre licet. Quodnbsp;fi verb, habeatur a:* in equatione , non autem ƒƒ, immutandanbsp;tantum erunt nomina quantitatum indeterminatarum, ita ut ap-pellcturj, que dida fuitar, amp;a;, quediftafuitjy: inbunc mo-dum. Efto in fequenti figura A B 30 a-,amp; B C ooƒ, atque equationbsp;inventa x^zohy^ quam ad didam formulam reducere oportet.

Dudaigitur AD parallela ifSiB C, amp; D C parallela ipfi A B, mutatif-que nominibus quantitatum indeterminatarum, nimirum appellandonbsp;ADjCuiequaliseftB CjXjamp;D C,nbsp;que equaliseftAB, ƒ j quefitae-

quatioeritj^ 00 ^at. cujusradix eft^ oo I'x. Atque ita reduda erit ad formulam, que nos docet pundum C fore in Parabola.

At verb II inequatione nonhabeaturA;*,necjj,fedA;j; qui quidem cafus, quoniam nee in equationequeftionis Pappi rc-peritur, neque ad formulam ex eadedudamrefertur j difficulta-tem aliquam afferre poflet, quam propterea eaodabimus.

uEquatio autemhec adfiimmumplures quam quatuor termi-nos non comprehendit: unumnimirum, ubia;reperitur finej;, alterum, ubi ƒ reperitur fine xj tertium, ubi reperitur Xy, acnbsp;quartum denique, ubi neque .v nèquej/reperitur. Adeb ut va^nbsp;rietas omnis reducatur ad 17 formulas equationum aeconftru^nbsp;dionum,que fequenti pag. 129 exbibentur. Quarum quidem openbsp;videre licet, quonam pado locusTemper ad Hypcrbolam exiftat,,nbsp;lineaeque indeterminatje fint Afymptoti, aut ipfis parallela..

Detur enimpofitione lineaBH, pundumaatemineadatunv fit A : deinde afiumpta linea AX prox, dudaque linea X Ygt;nbsp;quam proyfumemus, facientem cum A X talem angulum , qua-

kmi

X2.8

kin libuerit, eique indefinite produöi : ducantur Hnex PK, L P, QT parallel? ipfi B H; ica ut D K cadat infra B H j LPnbsp;autein fïipra BH , inter punöa X amp; Y; Q^T veró ultra pun-»nbsp;éluin Y. Eodcm modp ducantur line? QD , R A E, S F, T Knbsp;parallel? ipfi X Y'feu ZG ; ita ut linea Q^D tranfeat per li-neam X A , produftana versus A; amp; S F per eandem inter pun-fta A amp; X j nee non linea T K per eandem A X, produ(£tam versus X. Qiiibusitaconftitutis, li per 4'®quot;’Prop“quot;'a^’libri Coni-corum Apollonii defcribatur Hyperbola , qu2E tranfeat per pun-élum Y, Gujufque Afymptoti fint linese, quas refert qu?libetnbsp;conftrudio i manifertum eft, per 12 Propquot;™ ejufdem libri re-élangula onania, qii? ad eafdem lineas fimiliter fumuntur, fibi in-viceraefre?qualia. Ideoque demonftrandumfolümreftatjAfytn-ptotos, atque redangulum uniufcujufque ?quationis, rite eflènbsp;conftruéia.

Efto igitur fecundum ultimam ?quationem Hyperbola con-ftruéta, tranfiens per punéluna Y, cujufque Afymptoti fint D Q^, amp; D G 5 amp; reftangulum, contentum fub lineis DG, G Y, fitnbsp;?quale reétangulo dato df êgt;c. Hincfi juxta conftruélionemnbsp;fecerimus lineas A X GO X Y 30 A B 30, c.B D vel X G x ^;nbsp;manifeftum eft, BX vel D G fore x c; G Y autena jnbsp;atque multiplicando unam per alteram proditurum nbsp;cj. xjy pro tecSangulo linearumD G, G Y. quod aliunde qtio-que ?quatur d f b c. Ac proinde, fi utrinque commune aurera-tur reétanguhim bc, relinquetur xj cy bx:^ df. qu? eftnbsp;?quatio propofita. Eodem mod.o reliquarum omnium ?quatio-laum amp; conltrufliionum denaonftratio oftendetur.

Ijo F 1/o R I M o N D I DE BeayNE

Prxterea evidens eft , in ii”*, 12“*, amp; ï6^“ sequatione exi-ftente reétangulo df squali h c-, fi hoe ipfum in locum df fubfti-tuatur, undecimam quidem tune fore divifibilem per x e, duo-decimam per^ nbsp;nbsp;nbsp;amp; decimam fextam per c—x; Vtramque

autem 1ló''™ pofl'e reduci a.dj cxgt; ^ i aft i 2quot;’“*ad;r 30 r. Adeóut tune tantum locum ad lineam relt;ftam exhibemt, quan-dohabeturyzoh, amp;X YipG^fit2qualis,atqueperpunö;um Ynbsp;reóta linea ducitur ipG A X parallela, ut habeatur qua:fita; Autnbsp;quando habetur x 00 e, amp; X A ipfi c fit tequalisj erit parallela A Rnbsp;linea retfta' quatfita.

Caecerüm potuimus quidem jequationum harum varietatem ad minorem numerum reducere, tranfmucando nempc unam in-determinatarum quantitatum in alteram (ficut in eum finem illas,nbsp;qute mutationem hanc recipere poffunt, ordine difpofuimus ) jnbsp;tum etiam conftruéiioncs illarum, in quibus quatuor termini nonnbsp;reperiüntur , comprehendere fub iis, quae omnes habent comple-tos;fedquoniam multo prolixiori indiguifl'emusfermone, amp; re$nbsp;jpfa minus fuilfec dilucida, ratione oftensa uti malaimus.

Ad paginam 40 et seqventes, de Modo Inveniendi Contingentes Lin.ea-

RVM CvRVARVM.

Otandum htc eft, modum inveniendi tangentes linearum ^ curvarum, hoe loco cxpofitum , confiftere in inveniendanbsp;sequatione, in qualineaj vocatafumi poteftpro duabus quanti-tatibus diyerfis, cümlinca qujevocatur v adtangeatem non re*.

ferturj,.

NOTi£ BrëVES. nbsp;nbsp;nbsp;131

fertur/atverocüm adipfamrefermr, quódtunc dux illje quantitates diverfae intelligantur arquales ieu in unam cöalefcere, Quod fit comparando «quationem inventam cum aequationcnbsp;jy— J oaliavcex hac compofita. Ejusrei propona-mus fequens exemplum.

Eftolinea redlaA N, curvaau-tem A M, iujus vertex punétum A, cojnrquehsec fitproprietas : ut, af-fumpto in ea quolibet pun6to,utM,nbsp;a quo ad redam AN ducatur per-pendicularis M L, redla B C, ad ar-bitrium fumpta,una cum A L.fit adnbsp;A L, ficut linca A L ad L M. Opor-tet reftam lineam invcnire P M,nbsp;tangentem hanc curvam A M innbsp;pundlo M. Supponatur linea N Mnbsp;perpendicularis ad tangentem P Mnbsp;in pundo M,amp; B C 00 A L 30/,nbsp;amp; L M 00 a:.Hinc cum b -4-7 fit ad^nbsp;utjadar, fietsquatio talis \bx-\~yx 30j[7,acproindea:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•

lam veró pro eo, quód in hoe exemplo imaginamur curvam A M tangiacirculo cujusradiusMN, fatiuseft imaginari, quódipfanbsp;tangatur a refta linea M P : quandoquidem hoc modo fuperfluam.nbsp;multiplicationem evitamus. Quocirca ftatuendo AP OO t/ amp;nbsp;P K 3D r efle parallelam ipfi L M, atque ab A K, quse parallela eft

ipfi P M, fecari in K; eritutt/adr, Cicy—ad LM feu

Qua? quidem cum fupra inventa fit 30 —^ ,habebitur nbsp;nbsp;nbsp;33

ys — VS nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hs~vs •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hvsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

— , Yclyy 30 nbsp;nbsp;nbsp;iny —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, comparandum cum

yyOD 2 ey—Vnde primo invenimus nbsp;nbsp;nbsp;33 z ^ ^ vel

^ DD1—.Deinde 30 e%vel s 30 nbsp;nbsp;nbsp;, ac per confe-

¦y~ ,amp; P L ZDy-~v CO 7^^ .Cscterum quoniam L M media

132,

cftproportionalisinterP L amp;: L gt;J,erit L N 00 ^3

Quodcratfaciendum. Veletiam fic, imaginando curvam AM tangiacirculo, cojusradius eftMN. Omnino ut inhujus Geometrie Methodo fupponiturfadum.

Igitur (juoniam habemus^-^Xarjac proinde .5^*00

fapponamus,quemadmodum hec Geometria requirit, A N 30 t/, amp;MN 03 j,amp;eritquadratumexLM,hoceft,,v%30rr—vv

^vy^yy,^.z idcirco^^ nbsp;nbsp;nbsp;OOxr — t' t/ -H 2 vy~jy. Vn-

de equatione opc multiplicationis ordinatajdivisaque tota fumma per 2, exurget equatio talis:

y'^ by^ nbsp;nbsp;nbsp;i V vyynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h v vy -j[- \b bvv CO o.

,—-y j^i^bb —bbv —\bbss '— 2 bV -— bSSnbsp;—ixr

lam veró multiplicando yy—2^^-4-feCQo per^j ut alteri reddatur fimilis, proveniet hec equatio:nbsp;yquot;quot; -\-fy^ igyy—^ «ggy «^gg ^

— ze — zef -\-eef ee

Qia* fi compareturcumprecedente, quantitates fecundi termini prebebunt/ 00^ -H 2 e—z'jultimi^^ CO nbsp;nbsp;nbsp;j amp; tertii

b' vgt; — t’ nbsp;nbsp;nbsp;„ 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

----2 be—zee z ev ZO^w-^

2. nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

Ac proinde fi multiplicemus totum per 2 ee,producetur-\-bbvv —~bbss~—'^be^ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CO wee-^b bee^—/^bv ee —

ssecy five bbvv —— 6e*-^ 42/—wee—bbee-kr-^bveezobbss — eerr, amp;perconfequcns

— 6 e'^-\-^v e^ — vvee-\-bbvvZDss.

—4^ -j-ybv — bbnbsp;bh — ee

Quartus terminus dabit

----— '^bee—OD-^bvv^bbv-

Vnde multiplicando totum per e, fiet ^bbvv-^bbss'^be^'~ve^ ‘!‘e‘'ZD bvv e-bbve^

• j be'' 8 bbequot;* 4 b^ e^ — ^b^vee-— V '•—4^t' —6bb b^

Quam squationem fi dividamus per e e ^ e, orietur bbee—3 bbv e—‘b^ v ZDo:

— V —•'^bv b^ acperconfequens

2 e'^ be^ bbee b^ eCD b^ v ^ bbev ^ beev e^ V* aedemum ¦ /..Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-7

6» 4-3 b'e j-fcec eS

Vbi liin locum elubftituaturjy, atqueex hac fumma deinde au-feratur linea A Loogt;,relinquetur L NX) g--- ^bj-^/byy ^yl.

ut fupra. Vbi notandum lineam hanc curvam non aliam ellc quam Hyperbolam, fupra a nobis conftruftam.

Ad p a g I n a m 75 amp; 7lt;f.

DEmonftranda bk eft operatic, quam hjec Gcometria nos docet, cümradicem incognitam aliciijus tequationismulti-plicare volumus percertam aliquam, quantitatem autniimerumnbsp;cognitum. Proponatur squatiox’ —cx^-i-ddx—b^co.o, cu-jus radicein incognitam x per lineam h multiplicare oporteat.

Supponatur;^ 30 fiet^ X a;,ideoque x ar%necnon|J-X Ar^.Proindeflfubftituamusinsequationeprxcedente ^ Iocoat,.

amp; ^loco;rS itemque-^ Iocoa;’, erlt fcquenssequatio

R 3

Florimondi deBeavnb

lt;/* y

Evidens autem eft, idem produéium inveniri, fiin xquatione propofita ponamusj, amp; quadratum ejus ƒƒ, cubumquep'^, lo-coa;, x’-fX^: atque deinde fecundum terminum multiplicemusnbsp;perA, tertiumper , amp;quartum per h'. omninout hxc Geo-

metriadocet. Vbijpoftquamfubftituimus^ , nbsp;nbsp;nbsp;amp; ^loco;*',

x^,amp;c x^, ad multiplicandum totum per fufficit auferre deno-minatorem, qui ab h denominatur, atque tantum reliquiimfe-cundi termini multiplicareper/),reliquumtertiiper/;^, amp; reli-quum quartiper/gt;5; quandoquidema terminis, fecundo amp; tertio, auferendo denominatores hhamp;ih y ipli eatenus funt multipli-cati. Adeb ut fufïiciat multiplicarc reliquum fecundi termini per/j, amp; reliquumtertii ipcïhh, atipfumquartumper/;’, cumnbsp;hic denominatorem ab^denominatum, perquem fic auferendonbsp;fuill'et muldplicatus, non admittat. non aliter quamhaec Geo-metria docet. Qua: demonftratio amp; methodus in altioribus quo-que squationibus locum obtinent, inquibus radixarplures di-menfiones, quam in xquationepropofita, admittit.

Notandum autem eft, cümtermini xquationis hujusficpro-dudtx non finguli squè multas literas feu dimenfiones habent, lineam, quam pro unitate ad libitum fumpfimus, amp; cujus ratione

fuppofuimus ^ 30ar,toties in terminis,qui pauciöres dimenfiones

feu literas habent , fubintelligendam efle, quoties fucrit opus. Adeó utejufdem lineï beneficiotermini abbreviaripofifint, ficnbsp;ut finguli non nifi tres literas feu dimenfiones admittant, acpra;-»nbsp;tereautilliusopc, poftquamradix unap'fueritcognica,mediantc

aequatione-=^ OO a;, cognofcaturquoque radix altera ar.

Ad liSECfupponerc quoque polTumusp'p'CD itaut habea

cy^

h‘ nbsp;nbsp;nbsp;h

de multiplicando totum per h\ fiet— chy'^ -f- ddhhyy — b^ ZOO- V nde perfpicuum fit, quod fubftituendo, juxta pra:-

fcriptumhujus Geometrie, j ƒ pro AT, quadratumejus pro ar*,

amp; ipfius

NoTi£ Breves. nbsp;nbsp;nbsp;ijj-

•amp; ipfius cubumpro , atque mukiplicando fccundum termi-numper^jtertiumper^^, amp; c^uartumper , eandcmconfecu-turifimus aquationem. utex demonftrationcfuperioii facile eft colligere; amp;omnes quidem termini jequè multas habebuntlite-ras feu dimenfiones. Et tantum de operatione per literas.

Quod au tem fpeflat ad operationcm, qus fit, cum radix incognita per numerum aliquem eft multiplicanda ; ipfa eidera de-monftrationi innititur.

Efto eadem,qu£efupra,jequatio:Ar’'—cxx dd x — CO o; amp;oportcat radicemincognitam multiplicare per 3. Suppona-

turjj- zo 3 Ar,eritque ^ zO Xy8c ~Z0x^, nee non ~ ZO x\ Qui-

bus, utfupra, fubftitutis, fiet ———è^COo.Ac proindemultiplicato toto per 27, exfurget^^— 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ddj

'—'27 b^zo o. QucE jequatio etiam invenitur, fi in squatione propofita fubftituamus^, quadratum ejusjj, amp; ipfius cubumj*,nbsp;Iocoa:, quadrati;e*, amp;c x^cubi; atque deinde fecundum termi-num per 3 multiplicemus, tertium per 9 , amp; quartum per 27, exnbsp;pra:fcripto hujus Geoinetrix. Qua quidem operatione termininbsp;omnes, ob rationes fupra allatas, sequè multas dimenfiones ac-quirent.

Idem intelligendum eft de excmplo in hac Geometria pro-pofito, x^—XX Y 3 -^—x—^Y 3x0. Etenimfiippofito

jgt; COxY 3, erit ^zox^^ zo x\nec non x at’. Vnde fi in squatione propofita fubftituamus , quadratum ejus ^ ,nbsp;amp;c ipfius cubumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;locum ar,quadratix^amp;cubix’jinvenie-

iV 3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' ¦‘¦iV 3 ^iV 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ g

multiplicemus per 3 Y 3, habebitur/’ — 3 J/HH quot;^7— ^ ^ o*

Eadem nempe xquatio , qu$ obtinetur operando juxta hujus Geometria: methodum, quemadmodumluprafuit oftenfum,nbsp;Non fccus fiet demonftratio, fideradice incognita per quan-tltatem aüqnam cogaitam dividenda agatur. Proponatur namquenbsp;xquatió x^ — cxx-^ddx—^* X o» fitquexdividend» per h,

Sup-

1^6 F L o RIMONDI DEBeAVNE

Supponatur^ oo ^ gt; eritquej h x x,8cfh^ x at*, nee nony^h^

Xat’. Quaefiin aequatione propofitafubftituanmr,fietyA?—, ch^y^J^d^hy—X o. Aeproinde fitotum dividaturper^’

orietur/--^ fo-;' nbsp;nbsp;nbsp;CO o.

Manifeftum autem eft, idemnosobtenturos, fiinsquatlone propofitafiibrogemus^, quadratumejus^^, amp; ipfius cubum^J,nbsp;inlocumAT, quadratia:*, amp;cubiA;’, atquebc deinde fecundumnbsp;terminum dividamus per h, tertium per ^ ^, amp; quartumper :nbsp;quoniam infuperiori operatione, \xhihh in fecundo termino,amp; hnbsp;in tertio reperitur, perfpicuum eft, quód, ad dividendum omnesnbsp;terminos per h\ auferendo toties^, quotiesin ipfis reperitur,nbsp;opus tantum fit dividere reliquum fecundi termini per hy reli-quum tertii pethh, ipfum autem quartum terminum per quip-pe qui quantitatem h non comprehendit. Omnino uthascGeo-metria requirit.

Quia veró squationis liujus fieprodufl:* termini finguli non xquè multas habent literas feu dimenfiones; igitur ut sequalesnbsp;numero reddantur, oportebitin illis, qui pauciores dimenfionesnbsp;habent quam requiritur, toties literam aliquam fubinteliigere,nbsp;quoties erit opus, quselineam prounitate ad libitum fumptam

defignet,amp; ciijus ratione fuppofuimus^ X ¦ velpotius benefi-

ciobujuslineas, quam pro imitate aflumpfimus, amp;lincaramco-gnitarum, efficere, utlinguli aequationis termini tres literas feu dimenfionesbabcant. ld quod facile eft.Etenim cognita,v.g. line^

-f , prounitateaccepta, poffumusadeandemdenotandamloco

fumere p. atqueita de csteris. Adeout, cognita radice^, ejuf-dem unitatis ope cognofcatur quoqucA:, per squationem hanc

7 00 velj hcox,

Nee aliter in numeris verltatem hujus Geometrise Methodi oftendemus. Proponaturenimeademxquatio, quaEfupra,Ar^—•nbsp;cx^-^ddx — ^^Xo, amp; oporteat radicem incognitam a;dividere per 3 .Suppofita igiturj x ~ ,fiet 3/00 Xy8c ^'yy x at*, nec

non ay/^XA;’. Quae fi fubftituantur in squatione propofita, habebituray/’—9cyy ‘^ ddy—^’xo.Acproindedividendo

totum

Not^ Breves. nbsp;nbsp;nbsp;137

totum per iy, orietury^ — i cyy-^-^^ddy—OD o. Qusc ïquatio quoqueinvenietur, fiproccdamus juxtahujusGeome-tria: Mechodum: fubrogandonitnirumyin jequationepropofita,nbsp;qiiadratum ejusyy, amp; iplius cubumj*, in locum x, quadrati x\8cnbsp;cubia:’: amp; dividendo deindefecundumterminum per 3 , tcrtiumnbsp;per hujus quadratum 9, amp; quartum per ipfius cubum 27. Eademnbsp;demonftraïio locum obtinet, ü in asquatione radix incognita plu-rcs dimenfioncs habuerit.

Ad Paginam yp, amp; fequentcs.

'I)RoponaturA^* pA:*-f-yA’—roo o, amp;fupponaturjiixta; prsefcriptum hujus Gcometrije ~^y x if -i- iP —

03 Ojcritque a;* jyy ip 03 ~—y af,ac proinde quadra-turn unius partis asquale quadrato partis altcrius, hoceft, arquot;* - • jy A-a: !ƒipyy ipp CO ~ —qx yyx^, amp;nbsp;confequentcr x^ ly* p ï p y y ? p p 7 —nbsp;^~C0 o. Exqua3equationelItollaturprimaaf‘^*-f-pa:ar y*nbsp;— r OD o, rclinquetur4y‘* lpy*-l-»l^pp gt;''—CO o. Vn-de multiplicando totum per qp-y, exfurgetp*-f. 2py^ 'j'f* yy—.nbsp;qqOOO, Quoderat demonftrandum.

Eadem ratione demonftratio fietfecundumomnesvariationes fignorum-f- amp;—, atque obfervationes in hac Geometria expo-htas. Incujus reicxemplum duornm adhucfequentiumcafuuninbsp;demonftrationem fubjiciemus.

Sittequatiopropofita a’‘‘*—p at* -f- y ar — r 03 o. Si ergo juxtahanc Geometriarafuppofuerimus a;*-f-y ar ^7*—\p —

~03 0y habebimusar*-f.ijj—ipCO ^—y^- Vnde amp;qua-dratum unius partis xqualeeritquadratoalterius partis, hoc eft, ^* yyx^-{~^y^--px^-~^pyy ippü3-^—-^x-^yyxx.nbsp;Et per confequens x'* -hiy*—p^^—ipj'7quot;iquot;ipp’i-^^—

^03 0. Equafiaufccaturpritnaar^*—pafac ya;—-rcoo-

S nbsp;nbsp;nbsp;rclin-

138 FlORIMONDI DiB BbATNE

q X

relinquetur i nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^30 o. Quare fi to-

tum mukiplicemus per 477» inventemus^®— % ff 77

— qq'ZOo. Quoddcmonftrareoportebat.

latnverbfiponamus x* ^ p nbsp;nbsp;nbsp;—• qx -\~r DOo, fuppo-

nendo fecundum hanc Geometriam x^—jx 47J nbsp;nbsp;nbsp;—‘

X o; erit ^^ 177 -{-ip 30 ^ 7-'^- Vnde qiiadratum prioris partis squale erit quadrato pokerioris,hoc eft,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 77 a;*

-{-i7^-{-px»-{-ip;7-hippX77A;»4-^Af-h Ac per

q q

Conk({uens,x*-\-^y‘^ px^-^\pyy-^^pp—X 0.. E qua fi tollatur prirtia xquot;^*-^px‘'—qx-^rzo o, remanebitnbsp;’7-»_f-ipj7-{-ipp'—y— fyy'^°'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ideofitotum mul-

tiplicetur per 477, invenietur7^ 2py*^^* yyr—qqZOo^ Qiiod erat demonftrandum.

Non fecus demonftrabuntur omnes reliqui cafus fecundum Utramlibet harum fuppofitionum : nimirum, x^— y x {77.

ï/- nbsp;nbsp;nbsp;30 ogt; aut a:*4-yx ^77. |p. ^ X o, obfervando^

tantum figna -f- amp; —gt; quemadmodum hic Geometria docet. Cujus operatipnis ope in genere aequationes omnes, in quibusnbsp;radix incognita 4™ habet dimenfiones, adformam, inhacGciO-tnetria propofitam , reduci poflunt : nimirum, 4-7'^. 2^7quot;*nbsp;quot;tilnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;figna 4- amp; ^ quseprffcipic, obibrvandg,

ficut demonftravimus. Qiiofit, ut.fi divifionisbeneficioasqua-tionem propofitam ad earn formam rcducere poffimus, ita ut poft divifionem radix ejus7 pluresquam duas dimenfionesnonnbsp;admittat, ipfa per Geometriam communem, juxtapraeferiptanbsp;pagins 6 Sc y bujus Geonietrise tnveniri polïit. Qua inyenta

mediantibus asquationibus ac* —yx \f. ip. X x o, amp; x’- 4-

7'*^4“l77- ip- — X o, (obfervando figna -{- Sc—, ppnenda locis, ubifuntomiOa) invenieturquoque radix at, cujuslocoinnbsp;altera «equation* pro radice fiippofiieramus7. A..t verb fi ^quatio

fupra^

NoTiE Breves. nbsp;nbsp;nbsp;139

fiipra inventa, denominata a radice^, fic dividi nequeat, tune confiderare illam poterimus, veluttres duntaxat dimenfiones ha-bentem, fupponcndofcilicetiï, ipfamque fubfticuendo in

«quatione ; adeo ut habeatnus — zpz'’ z.—ff CO o.

Qns, obfervatis iifdemfignis amp; —, qux in altera squatione reperiuntur, amp; fublatofecundo termino, per id, quodpag.73 di-dlumeft, reducctur ad formam aliquam illarum trimn, qu^ ha-bentur pagina 93 , ad inveniendam deinde radicem ejus pernbsp;Geometnam Solidoriim, juxtapag. 85 , amp; fequentes. Quar cer-tc èadem futura cft apixyy, qiucognita innotelcetamp;^. Cujiisnbsp;ope atque duarutn fuperiorum aequationem tandem invenietur x.

Verum enimveró obfervandum eft , in omnibus praeceden-tibus operationibus utendum efl'e eademlinca, quae pro imitate eft accepta, ft illam determinamus, amp; ufurpamus ad aequatio-nem propofttam reducendam ad fuperioris formam , nempc:nbsp;x‘^*px^.ipx.röD o. obfervandofigna amp; —.

Vemm equidem eft ,quod , pottquam asquatlonem hanc ad pra:cedentis formam reduximus, qiisea radice^ ftt denominata,

nimirum ad arquationem z py'^ nbsp;nbsp;nbsp;yy — ff 30 o, quarque

dividifeureducinonpolftt, ita utradixejus ƒ pluresquamduas dimenfiones habcat, non teneamur ulterius progredi: (fiquidemnbsp;illo cafu Problerna non Planum , fed Solidum exiftit , juxtanbsp;pag. 80 ) atque tune contenti e'fle poffimus jequatione primanbsp;x^* px^.tjx.rüD o (cum per illam invenirepoffimus radicemArnbsp;mediante Geometria Solidorum, fecundüm paginam 85 amp; fequentes) : Attamennihilominusoperatioreprafoedente, quamnbsp;cxplicavimus, uti poflumus, faltem ut oftendatur veritas ejus,nbsp;quod habetur pag. 93 amp; 94 , ubi dicitur , qiiod Problematanbsp;Omnia, quorumdifficultatesadsequationem, quse ultra quadra-to-quadratum non afcendit, reducuntur, femper ad formam aliquam earum, qux pagina 9 3 proponuntur, reduci queant.

Ad paginam 93.

Vandoquidem ex co, quod in bac Geometria oftenfum at-que fupra adnotaiumeft , liquet, aquationes omnes, qua-rum difficultates ultra Quadrato-quadratum aut Cubum non

S z nbsp;nbsp;nbsp;afcen-

140 FlORIMONDI DB Beavne afcendunt, reducipoflead aliquamformameamm, cjushacpagina proponuntur; exhibenda tantum reftat dcmonüratio radi-cum, c^use ex ipfis, fecundutn Cardani regulas, quas fuper hac renbsp;in medium affert Capite fccundo libri ejus, queni de Arte Magnanbsp;feu Regulis Algebraïcisinfcripfit, educuniur. Cumhocipluinnbsp;difficultatem forte non exiguamparerepoflet tis, quiineundemnbsp;locum aliquando inciderent, quippe qui a Speciofa: Algebra, amp;nbsp;mutus inter Arithmeticam amp; Geometriam relationis atque conveniently ignaris, non facile percipiatur. Quocirca ut veritasnbsp;extradionis harum radicum expendatur, demonftrabimusprt-müm fequens

Lemma.

SEdautcunquelinea A C

_in B, ottendendum eftr

Cubum liney A B , una cuna cubo lines B C , amp; triplonbsp;produdo linearum .AC,nbsp;BC, AB, fimulsquari cubo lines AC.

SitAB30lt;*j BCgo^, eritque A C ao Produdum linearum A C , B C, AB, ^t\x.baci-\-bb a.y cujus triplum T^baa. 3 ^ ^4.Huicfiaddanturcubilinearum A B,B C,fiet4’4- 3 baa

nbsp;nbsp;nbsp;Et manifeftmn eftgt; furamamlianesqualemeffe

cubo lines A C.

Demonftrato itaque boe Lemmate , habebitur primo loco

a-CO-/ nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l/C.—i^ ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

Hinc in figura adjeda fupponendo binomium

l/C.4-1-7 1/ nbsp;nbsp;nbsp; squak lines A C, amp; refiduum

y c. — nbsp;nbsp;nbsp;squale lines BC , erit eorum

differentia y C. nbsp;nbsp;nbsp;

~.y C. — i f y ï?'? 17 /*’ sequalis lines A B. lam vero ftatuendo AB 3D;c, erit differentia Cuborum ex bis radicibusnbsp;(nimirum differentia inter cubum “tquot; ^ f y f “fquot;^nbsp;cubum—i5^ y nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(auterendobuncab illo) squa

lls q. Qu3c propterea squalis erit differentis inter cubum IL-

nese

N o T Breves. nbsp;nbsp;nbsp;141

neeBC. Atqui eubus line* AB, amp; triplum produftum linea-rum A C, B C, A B fimul, squantur eidem differenti*^', (fiqui-dcmcumcuboline* BC componuntcubumline* A C). Êrit itaque s.’, cubus videlicet line* A B, una cum triplo produélo li-nearum A C, B C» A B, aequalis ij.

Vt autem habeatur hoe produótiim ^ multiplicandum efl; bino-

mium y nbsp;nbsp;nbsp; y nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gquatur line* A C,

per refiduum ^ C. — i ^ V i ^ ijp^r ^uod *quale cft line* BC. Hinccum Y p’bife multiplkatum faciatnbsp;? ^ f ïVnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;produda

fimul addita faciunt ( fiquidem ^ nbsp;nbsp;nbsp;i ^ ^ addendo

evanefcunt): amp; porröprodudta, qu*fiuntex nbsp;nbsp;nbsp;i^in

Y nbsp;nbsp;nbsp;\ ^ cj -Ij p^y fe mutuo deftruant: Erit totum produöuni

Y nbsp;nbsp;nbsp;C. (eajp, radix fcilicet cubica ex Ap?. quandoquidemnbsp;quïftio eratde multiplicandis radicibus cubicis. Vnde triplumnbsp;produftum eritp, quod fi multiplicetur per A B, hoe eft, per z,nbsp;fietp z, *quale triplo produfto linearum A C, B C , A B. Et pernbsp;confequens z} pz.ZDq y vel CO —pz.-^-q. Quod erat de-monflrandum.

Sitjamfecundo l9co

3c fupponatur prima radix c ubica (ejux binomium eft ). in figura pr*cedente squalis line* AB j fecunda autem ( qu* refiduumnbsp;eft ) *qualis line* B C j eritque fumraa cuborum utriufque line*nbsp;zqualis q. Porró fupponendo liileam A C co 2:, auferendoque cxnbsp;ejufdem cubo , triplum produftum linearum A B, B C, amp; ^,nbsp;relinquentur cubi linearum A B amp; B C, qui quidem fimul fumptinbsp;ipfi q funt *quales. Eft autem produöum ex A B, B C, hoe cft ynbsp;quod fit ex binomio in refiduum, Y C. ijp^ y fenjp. Nam eumnbsp;multiplicando Y \nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— V \‘!‘1 — ijp^ (una

radice exiftente figno q- adfeöa, altera veró figno —) produ-catur utriufvis quadratum affedum figno—, nimirum—'\qq:

amp; utramque radicem per multiplicando , produ-da evanefcant; reftat tantum in fe multiplieandum. Qua-re cumprodudum illud fit nbsp;nbsp;nbsp;amp; alterum produdum in-

r€nUira fit — i !?/’’gt; enttotum prodiidum Y C. ^ p’

S. j, nbsp;nbsp;nbsp;jfci»

Ï4X Fl. d'e Beavne NOT^iE Breves.

feu ij», ficut diximus j ac proinde ejiis triplum jo. Quod fi rurfiïs multiplicettir per tv producetur^) t, sequaic triplo produ6toli-hearurd A B, B C, A C ; amp; per confequens t ‘ t 00 5-, hocnbsp;eft, 3Ö. * -Ji.jo t -4quot; ‘j- Quod erat dèmónftrandum.

Adduxi autem demonftratiottern èxCraétionis harum radicum, quod cohterhplatio earumitque itiventiópulchcrrimïemihifincnbsp;vife. Veruni quantum ad praxin , cum Geometrice sequatio-num hoc loco propofitarum radices funt extrahends; ejus fanenbsp;methodus, qu* genaralis atque faciliseft, quaiii optime inhacnbsp;Geómetria demonftirata cerniiur. Si veto Arithmctice illasex-trahere lubueritv ihulto id facilius fièt juxta ntethoduma Vieta innbsp;tradatu dè Numerofa Pateftatum Refolutiohe traditam, quanainbsp;per hafccregulas Cardaih.

FRAN«

ARGVMENTVM PRIMI LIBRI

Rimo hbro Autor viam ^uodammcdo aperit ad fuam Methodum^eppia Ik refolvendis ^ cofijbruendis Geome-% trm Problematisnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quamquetribm hifce libris eji

S complexHs. Qmefi, utcertmnmnotarpimfivechara-blerum beneficia, quibus turn data turn quafita Imea de-fignantur, dijficultates omnes, qua in iifdem Problematiscnadanda ve~ niunt, ad ejufmoditermmos reducantur, ut deinde ad tllorum confiru-biionem non nifi reblarum quarundam linearum longitudtnem quamp;rerenbsp;fit opus. Adquas inveniendas, docet, operationes omnes, qua circa li-neas hafce, ut cognitafiant,funt inflttuenda,ad 4 vel ^ dtverfas, quern-admodumin Arithmetica, revocartpojfe: qsi£ funt., Additto, Subtra-Hio,J\Pultiplicatio, Divifio, ^ Radicum Extrablio. Qua qua ratio-ne Ceometricefiant, deinceps explicat. JAhiporr'o obfervandum venit,nbsp;quad., pofiquam hi Arithmetices termini in Gcometriam fiunt intro-_nbsp;duEii, ad operationes hafce in tineis aque mfiituendas atque innume-ris, confentaneumfit reEiam lineam, qua unitatis vicemgerat, afiume-re, ^ ad eandemreliquasreferre. Idquod communiter Itberumefl,nbsp;cum quamhbet Itneampro eaaccipere liceat.

Quibus explicatis,ofiendit,quopaEio notis atque Ikeris in Geometria fit utendum adpradiElas lineas breviter defignandas, earamque operationes factie indicandas: ut hdc ratione diverfa earum relationes con-fptcmfint, atque dtfiicultas amnis., verborum tnvolucris exuta, qu 'amnbsp;fimpltciffme oh ocuiospómpofiit. Et quia hac Methodus in refolvendisnbsp;Geometria Problematis requirit,ut dijficultates omnes,qua in illisevol-vendaoccurrunt,adunumgenus Problematum reducantur, nernpe,utnbsp;quaratur tantummodo valor quarundam linearum reBarum, qua alt-cujus aquationisfint radices: idcirco docet,quopaElo Problemaaltquodnbsp;propofitumperducatur ad aquationem, fupponendo illud ipfum ut jamnbsp;faBum. Ac deinde, cum lt;fi/£quatio certumfit medium qm Problemanbsp;folvitur, refert totidem aquation es inveniendas ejfe, quot in eo fuppofi-ta fuerint incognita linea. Cum autem hac Methodus nullis Problematum finibus co’erceatur ,ipfaque nontantumad Problemata, in quibusnbsp;de inveniendis quibufdam reBis tineis,aut etiam planis,folidifve quafiienbsp;efl{qm fuidemfacHe ad taks tertninos reduci queunt^ ut non mfireBa

T

f40 F RANG IS Cl a ScHOOTEN

quiidam line£. inveniend^Jini) adplicaripojjit •,fed etiam ad Froblema-ta,in quibus certianguUdantur^ vel angularnm inter fefe comparatio ‘ faciendaefi', atqne ad Problemata in qmbtis qPtadampHnEla amltneanbsp;data pint, (p aliapmbla inveniri debent,fe extendat {pquidem in his k -qmjitispmEiis ad data, aut datamm reBarum terminos, aat etiam in '¦nbsp;ddtis angulk adpojttiane datas reBa Imea dncipojfmt, qttx quxjitorumnbsp;pmBarum kca determinant •, inillis auteni qnx diBorum angukrumnbsp;vices gerant, ficut pofl exemplis planumfiet) -.facile confidt, illam nonnbsp;modh Veterum Ana,lyfin atque Recentiorum Algebram comprehende-re; fed etiam ad id omne, ubi de quantitatum xqualitate velproportio-ne inquiritur, adhiberipojfe, atque adeo tam generalem ejfe y utnul^nbsp;lum nonfua art is per univerfam Aiathejin fpecimen edat.

lam verb pofiquam ‘Froblema aliqnad ad aquationem efiperdu^ Bum yipfaquexquatio adJimpliciJfmos terminos redxBa, Jiqutdemid :nbsp;ipfumper Geometriam communem confirmpoteft, hoe efi, utadcon-firuBionem ejus non nifi reBis lineis atque circuits utamur, prout in fii~nbsp;perfide altquaplana defcribuntur y dccet, qualis tune debeat ejfe aqua-tioy (S qua ratione radix ejus tam inveniri quam exprimipojfit. Atquenbsp;ita breviter , quidquid ad planorum Problematum confiruBionem- •nbsp;fpeBat ,abfolvit.

Vt autem tumpramp;ceptionum harum ufui keusfity turn verb ejufdem Methodifacilitasin refolvendo ac confiruendo nobilt aliquo Problema-H eluceaty inquirendam fibi tandemproponit rationem componendi loei •nbsp;ad tres, quatuor, velp.lures lineas: ad quam, velut fcientia culmen, ,nbsp;Feteres utpervenirent, fummd curd elaborarunt.

Et hoe quidemprimi Libri Argumentum afièrre vifum fuit. Cate-rum kca dijficiltora, qua in eo illufiranda ejfe duximus, fiere junp,. fequentia-,

COM-

f47

C O M M E N T A R11

I N

L I B R V M P R I M V M.

T!radicumextraamp;io,quafroDivi- a \ Jmnïs quadam fpeciehaberi ^oteji. ]nbsp;Quandoquidem eadetn ferme proportienbsp;utriqiie operationi convenit. Eft enim innbsp;Diviüone, ut quoiiens ad unitatem, fic di-videndus ad diviforem. In extradione ve~nbsp;ró radicis quadratx,ut radix,ceu quotiens,nbsp;ad unitatem; ita datiis numerus, ceu divi-dendus,adradicem, ceu diviforem. Adcó ut radicis ex tradiodi-'vifionisfpecies fit cenfenda, in qua divifor quotient! eft squalis;nbsp;vel etiam, in qua radix inter datum numerum amp; unitatem eft media proportionalis.

VeletiamfimaJït,qu£voceturumtas.'\ Per unitatem b intellige lineam quandam determinatam, qux ad quamvis reliqua-; rum linearum talem relationem habeat, qualem unitas ad certumnbsp;aliquem numerum.

Vteb comntodiüs ad mmeros referatur.quamque com- C mimiter ^rolibitu afftimere Ik et. ] Sit enim, exempli gratia,nbsp;datura aliquod redangulum tranfmutandum in quadraturn: ft pronbsp;unitate lumatur latus unum, quod libuerit, amp; inter ipfum amp; reli^nbsp;quum inveniatur media proportionaiis j erit ea latus quadrati, da-toxqualis. Atquehacratione latusalterumvicem geritalicujusnbsp;numeri, c quo radix quadrata eft extrahenda. Adeo ut manifcftumnbsp;fit, Problema propofitum, necnonmedix proportionaiis internbsp;duas datas lineas inventionem, nihil aliuddie, quamfi unalineanbsp;afllimpta pro unitate , ex reliqua lined tanqiiam numero extraha-tur radix quadrata.

Vt ad ip fas itpveniatur quarta^quafit ad alterutram, ttt eft altera ad unitatem., quod idem eft atque multipli-•vatio. ] In multiplicatione cnimeft: ut produdum ad multipli-

T z nbsp;nbsp;nbsp;can-

148 FrANCISCI a ScHOOTEN candum,itamuItipUcansadunitatern. Vclpcr'mutando, utpro-duclum admukiplicaiitem, fic multiplicandus ad unicatem.

F'e/ Ut per ipfas inveniatur quarta, qua fit ad tmam ex illis duabus, ut unit as ad alteram, quod convenit cumnbsp;’Divifione. ] Eft namque in Dividone, ut fupra annotavimus, utnbsp;quotiens ad unitatetn, ficdividendus ad diviforem. Acproindenbsp;permutando, ut quotiens ad divcndum, fic unitas ad diviforem.

Vtfi radix' cubic afit extrahenda ex aabb —b, cogi-tandumefi', quantitatem a a b b femel div'ifamejfe per unit at êm, atque alteram quantitatem b hts per eandemnbsp;ejfe multiplicatam . ] Puta unitatem, quae Hic fubintclligitur,nbsp;elfec. Vndefiquaiititas4lt;ï^^,quaeunaabundat dimenfione.,femel dividatur per c,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; at verb altera quantitas ^^quat dua-

bus deficit dimenfionibus, utaequales numero habeantur, bis multiplketurperc, hoceft, percc,fietser: adebuttotaquan-

. nbsp;nbsp;nbsp;- aahbi j

titas lit -—-—'— bcc,

Refioluturus igitur aliquodRroblema, confiderabit ilr lud prima fr onteut jam faElum-, tiominaqueimponet linteis omnibus, qua ad conflruBionem ipfius necejfiarianbsp;wdebuntur, tam iis qua incognita funt, qudm qua cogni-talDeinde,nullo inter lineas hafce cognitas incognitasnbsp;faBo dificrimine, evohenda eft Troblematis difficultas,nbsp;eo or dine, quo omnium naturalijfimè patet, qua rationenbsp;diBa line a d fie invicem dependent, donee indent a fueritnbsp;via eandem quantitatem duobus modis exprimendi, idnbsp;quode_xRquatio vocatur: aquales enim,fiunt termini modi unius, terminis modi alterius. lam verb tot hujufinodinbsp;tyEquationes invenire oportebit ,quot fuppofiita fueruntnbsp;incognita linea. ] Quje verba ut reélèpercipiantur, unum at?nbsp;que alterum Problema proponamus..

P R Or

COMME NTARTI IM LiBRVM

Tgt;ROBLEMA i’

Atam reftam lineam A B, utcunque feftam in C, ita producere ad D , ut reftangulum ilib A D, D Bnbsp;comprehenfum, sqnetur quadrate reftasC D.

Confidero rem velut jam fa-ftam, hoe eft, fuppono redangu-lum A D E F a’qiiari quadrato C D G H, quod faciendum pro-ponitur. Deinde , cum omnisnbsp;quasftio Geometrica eó reducinbsp;poffir, ut non nifi longitudo ali-eujus vel aliquarum redarumexnbsp;aliisredis fitqusrenda, amp;nemonbsp;non videat, ad ejus conftrudionem tantummodo qusrendam eflenbsp;lineam B D, omnemque difficultatem inea invenienda efle fitam;nbsp;nomina impono lineis tam datis AC, C B”, qiiam qua?fit£e B D.nbsp;Proinde, pro linea A C pono quantitatem cognitam pro CB,nbsp;ir; at pro B D quantitatem incognitam x, fietque A D lt;j ^ x,nbsp;C D autem lgt; x. Quibus peradis, ut ad ^quationem perve-niatur , amp; habeam redangulumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D E F, duco AD, hoe eft,

«^ a: in D E feu D B, hoe eft, a;, quod proinde erit ax-f-hx-k-xx. Similiter utinvehiatur quadratum CDGH, multi-plicoCD, hoe eft, ^-HArinfe, ^ctQ^ncbh-\-ibx xx. Ita ut habeatursquatioax-^bx-]rXxzobb-{-zbx^xx. Adquamnbsp;reducendara tollatur htrinquenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp; ar ar, fic ut ex una parte rema-

neat^JAT, amp;ex altera tumtranflato ^ar ad alteram partem fub contrario figno,erit xquatio ax — bxzo bh. Güjus utra-

que parte divisa per a — b, provenit x oo ^ . E quibus patet,,

lineam quscfitamBDinveniri per divifionem quadrati linex C B per exceffum, quo linea A C fuperat ipfam C B, vel etiam pe55gt;nbsp;huncexceflum, tanquamprimam, amp; lineam ^B, tanquamfe-*^nbsp;cundam,,invcniendotertiamproportionalenv B D..

T j..

I jo F R A N C I s c I a S C H O O T E N

•dttnu

DAta refta linei terminal AB, ex terminis ejus A amp;B duas redlaslineas itifledere AC, CB, conti-nentes angulum A C B, aequalem dato D , ut quae abnbsp;ipfis fiunt quadrata, habeant ad triangulum A C B ra-tionem datam, ut 4 (i/ad

Tacaum fit quod quaeritur, 8éex punao C dcmittatur fuper re-aam AB perpendicularis CH. Quoniam igiturdata funtpun-da A amp; B; amp;quidemad triumpundorum fitum determinan-dum nihil fimpliamp;ius haberi potcft, quam fi nofcantur tres linez ,A H, H C , amp; HB :iacilè conftat,, quseftionem propofitaranbsp;eó reduci, ut inveniendaetantumfintduasHnesAH, HC, feu.

BH, H C; atque adeo duas fupponendaseflelineas incognitas. Quiavcró, fedalinea AB bifariam in E, datum eftpundumE,nbsp;atque ideo ipfa AE vel EB, quam vocolt;?, atqueoperatioali-quantb brcvior.evadit, filoco didarum AH, HC, feu BH,nbsp;H C, quseramus duas lineas HE , H C: Idcirco pro HEpo-tioquantitatem incognitamvv, amp; proH C quantitatem incogni-tam^. Unde pn) AH invenitur^ï — ar, amp;proHB(i Ar. Jatnnbsp;•inter lineas notas amp; ignotas nullo fado difcrimine, diredèper-currenda eft Problematis difficultas, amp; videndum, quomodo unanbsp;ex aliisfit deducenda , donee tandem ad jïquationem devenia-;tur. Primo i^itur quadratum ex A

qUQ-

CommentARii in Librvm I. i5’i' qaoniam componitur ex duobus quadratis linearumA H amp; A C.nbsp;Eodem modo quadratum ImexCBentaa iax xx-f-jj:nbsp;quiaxquale eftbinis quadratis ex BHamp;HC. Atqueadebfum-ma quadratorum cx A C, C B erit z aa - ¦ zxx -t- z yy. Qiisenbsp;cum earn rationem habeat ad triangulum ABC, quod eft ay.,nbsp;(utpote sequale femiffi ejus, quodproduciturex baft A B amp;per-pendiculo C H , ) quam habet ^ d ad a : erit produtlum exnbsp;2 aa zxx 2jjin4 3equaleei,qiiodprovenitexlt;*^in4ii,hocnbsp;eft, habebitur ^quatio inter za^ zaxx z ayy amp; 4 dy. Sednbsp;quandoquidem dwx fuppoftts funt incognitae lineae xamp;c y, alianbsp;adhucfupereft^quatioinvenienda. Quam ut inveniamus, con-fiderandus infuper eftangulusD, cuiaequalis fupponitur angu-•lus A C B; quiftobtufusfuerit,producolineamBG, donee exnbsp;pundlo A in ipfam cadat perpendicularis AI, omnino ut fadtutnnbsp;eft circa angulumD. Turn, quoniamdatus eftangulusD, dan-tur quoque rzamp;x D F amp; T G. Ac proinde ft pro D F ponaturnbsp;amp; pro F G c, gerent ipfse vicem dati anguli D, fientque triangulanbsp;A CI amp; G D F fimilia. Eadem ratione ftmilia erunt triangulanbsp;HCBamp;ABI. UndeeritutCBadABjficCHadAI, amp;BHnbsp;ad B I.Quarefi pro qaadrato ex C B CD z ax xx yy hre-vitatis causa feribatur ee,h. e.,pro C B coY aa-{-zax-i-xx yynbsp;ponatur e; fiatque ut e ad 2 ^ , fie C H feu ƒ ad AI: erit AI

CD . Similiterutead2lt;*,ficBH,^leult;«-Kx,adBI: eritBI 30nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.TurnfubdudaB C feu eex BI feunbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.g.

linquitur CI —-. Jam cum CI fit ad A I, hoc eft,,

zax~ee nbsp;nbsp;nbsp;feu 2 «d 4-2 lt;* AT—eeadz ay, ficutDF

adF G,hoc eft, bade', erit zaac-\-zacx-— cee,produdumfub extremis, tequale zaby,si\, quod fit fub mediis. QiKe altera eftnbsp;iEquatio. Atque ad hsec facienda manuduxerunt nos prseceptanbsp;jamtradita, itaut nulls partes Problematis fint omiftae. Etqui-cunque omnia penitius infpexerit, fe fuo marte propofits qus-ftionis folutionem ex illis hue ufque perducere potuiflejudica-*nbsp;bit. Difficultas enim tota jam a figuris ad numeros feu termi-nosAnalyticos efttraduda, itaut, qus fuperfunt, cuilibetob-via effe poffint, etiamfi de lineis, pundis, angulifque amplitis-

non j

F R A N c I s c I a Schoot

non cogitct. Invends ergo tot iEquationitus, quot fuppofita: fuerunt incognitae linex; quoniam in utraquc binx reperiunturnbsp;quantitates incqgnitxj hinctalis reduilio fieri debet, utexunanbsp;parte tantum habeatur xx, utfeqi*gt;tu.r. Qttocircacum primütnnbsp;za^ zaxx z ajj xqaetar ^ a dj, dividatur utraquepars pernbsp;2 lt;«, amp; fit xquatio intern a xx jj8c i dj; 8c a a^jj in alteraranbsp;partem tranflatis, inter X X amp; 2 dj'—yj—aa. Eteinde cum z a a cnbsp;•^zacx—^re^xquetur zahj, reftituto valore quantitatis af-fumptxe^, ipfoque duótoin — £-,prodibit xquatio44r — cxx

— nbsp;nbsp;nbsp;cjj ZO ^ ahj. In qua fi fiat porrb terminorum tranfpofitio, utnbsp;cxx unamteneat jEquationis partem fub fignoq-amp; reliquipartem alteram, atqueutraquepars per cdividatur, proveniet ^qua-

tioxxzoaa—-yj'— ^^j,feuxx CO aa—yj — 2/7,(fcriben-

do nempe 2 ƒ pro nbsp;nbsp;nbsp;: quandoquidem liberum cft quolibet no

mine datas quantitates infignire ).

Redufta ergo utraque iEquationc inventaad eandem quanti-tatemxx, adxquandxfuntreliquxquantitates interfe, utinve-niatur inde quantitas incognita ƒ. Qiiare cum zdj—jj—.aa ^ojzzxxiKaa—jj—• 2j^y,additisutrinquej^ amp;^^,erit zdjoo^aa

— nbsp;nbsp;nbsp;zfj ,kn,djzo aa —fj: amp; tranflato zfjzd alteram partem,nbsp;fadaquc utrobiqiie divifione per lt;5^-f-y^fietƒ co j^|.Inventa au-tem quantitateƒ, non eft difficile alteram quantitatem incognitamnbsp;X invenire.Si enim in prxcedenti^equatione xxCO^ dj~-jj—aa,

pro

CoMMENTARlI IN LiBRVM I. pro ƒ fubftituaturfumma jam inventanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ejufdem

iiimras quadratum, nempe jr

— a'f‘

Falt;5to angulo K A B squali dato D , erigatur ex A ipfi K A perpendicularis A L, occurre ns perpendicula-ri E L in L, centroque L intervallo ret^ae d circulus de-fcribatur,fecansK A, EL in Kamp;M. Deindeaflumptanbsp;EN aequali K A , jungatur M A, amp; ex N agatur huicnbsp;parallela NH, quae ipfi AB occurrat inH. Pofteade-fcripto ex L intervallo L A circuli fegmeato A C B, du-¦catur ex H ipfi A B perpendicularis H C, occurrens cir-

V nbsp;nbsp;nbsp;cum-

15*4 F R A N C I S C I a S C H o o T E N cumferentiaein C, ac jungantur AC, C B. Faélumquenbsp;erit, quod requirebatur.

Vel fi totidem non inveniantur, nee tarnen quidquam eorum, qu£ in qiiaflione dejïderantur, omittatur, argu-mentumejl, illam nonpenitus ejfe determinatam. Tunenbsp;enim ad arbitrturn ajfumi poffunt linea cognita proin-cognitis , quibus non refpondet aliqua lt;iyEquatto. ]nbsp;Quocuivishxcobviafint, placuiteaperunum autalterumPro-blema facile illuftrare.

I P o B L E M A.

DAtis pofitione duabus reftis lineis concurrentibus A B , A C, punftum invenire intra ipfas D, a quo finbsp;ducantur duaereftxDC, DBipfisAB, ACparallelajjnbsp;ut furama ipfarum DC, D B fit datae redat a aequalis.

Ponatur fadum quod qucEritur hoe eft, fuppofitis redis D C, D Bnbsp;ipfis A B, AC parallelis, ftatuan-tur amp; D C , DB fimul fiimptaenbsp;jpfi datóE4efle aequales. Hinccumnbsp;ad determinandutn pundutn Dnbsp;quaerenda fit longitudo utriufquot;nbsp;que reftae AC, CD feu uiriuf-queA B, BD, ponopro una A Cnbsp;vel B D quantitatem incognitam ar,nbsp;amp; pro altera C D vel A B quan-dtatem incognitamQuibusitapofitis, uthabeatur ^quatio»nbsp;addendaerunttantumdua:red$BD,DC,hoceft,a:amp;^: erit-que fumma ar4-jJEqualislt;», Koe eft , erit^ooa—Quoniamnbsp;autem ad alteram iEquationem pro x inveniendam nulla fupereftnbsp;materia ,,cum conditiones in qusftione prïftand* jam omnes fintnbsp;implctse: argumentumefty illamnon penitus elTe determinatam.nbsp;Quocirca cum in ipsa una defit conditio, ut prorfus determinatanbsp;exiftat, poterimus adarbitrium pro quantitate incognita ar, cuinbsp;jiulla refpondet iEquatio y affumere lineam aliquam cognitamnbsp;ipsa A minorem gt; atquetot inde invenire punda D, quot ipfi;»^

diver-

COMMENTARII InLiBRVmT. Iff diverfos tribuerimus valores. Vbinotandum, quöd, poftquamnbsp;afliimpts fuerint reftje A E, A F ipfi datJE n sequales, ac jungaturnbsp;E F, punda haec omnia in redam cadant lineam E F , adeoquenbsp;punéium quodlibet in ca pro libitufumptum qusefito fatisfacere *:nbsp;cum, propter fimilia triangula A E F, amp; C D F, redte C D, C Fnbsp;( pundo D ubicunque in E F aflumpto ) baud aliter atque A E,nbsp;A F femper fint sequales , ac proindc B D, D C fimul Ccederanbsp;qusAC, CF fimul, hoceft, eadem qus A F vel lt;i.

Haud diflïmilis erit quseftio, fi pundum D inveniendum fit,ita ut ipfarum D C , D B differentia fit datse redse a sequalis.

II Problem A.

T N circulo ABCF ere^la fuper diametrum B F per-pendiculari G D , circumferentiam hinc inde fecan-te in C amp; A, amp; a B ad earn duftis B C , B D, quarum hsec circumferentiam fecet in E, dantur B E 20nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, amp; B C

20 'b: oporteatque invenire E D oo .s?.

Qiioniam ad quffiftionem hanc folvendam, fupponendo eans^ tit jam fadam, necefl'arise videntur linese B G ae diameter B F:nbsp;hinc pro B G pono^, amp; pro B F ponox; eritque G F x -—ƒ •nbsp;Deinde utpcrveniatur adiEquationem, confidero lineam GDnbsp;ipfi B F eflc perpendicularem, hoe eft, triangulum B G C eflenbsp;rcdangulum. Undefit,ut,fiquadratumexBGX/j'auferamènbsp;quadrato ex B C 20 reliquum bh-—yy fit aequale quadra tonbsp;ex G C. Quod idem amp; aiio modo invenin uoteft, confiderando

V z nbsp;nbsp;nbsp;per*’

1^6 Francisci a Schooten perpendicularem G D fecare hinc inde circumferentiam in Cnbsp;amp; A. Quia enim hinc per 3 5 Tertii Elementorum reétangulumnbsp;fub B G, G F eft squale reftangulo fub A G, G C, hoe eft, qua-dratoexGC: fit ut fi multiplicavero G F 30 —^jyperBGco^nbsp;produöum z,j — Jy fit denuo quadrato ex G C sequale. Ha-betur ergo ^Equatio inter b b —y y amp; z. y —y y , hoe eft ,nbsp;addendo utrobique^j, inter bb Sc z.y. Porró cumin hacquï-ftione tresfuppofitas lint incognita: line2E;e, ƒ, amp; ze., fuperelt utnbsp;duas adhuc alias iïquationes inveniamus. Hinc, duélaF E , quo-niam, onfiderando lineam BD lecare circumferentiam in E',nbsp;fimilia funt iriangula BGD amp; BEF, eritut BGadBD, hoenbsp;eft, ƒ ad 4itaBEadBF, hoceft, ^ad'?,. Ac proinde, cumnbsp;produflaim fub extremis fit squale produdo lub mediis , eritnbsp;z,y 3:) aa ax. Quse altera eft^quatio. In qua fi in locum z. ynbsp;fubrogetur ejits valor ante inventus b b^ habebitur bb ZDci a-^aXynbsp;hoceft, transferendo lt;*,«. in alteram partem, atque deinde utro-