C^A T A L O G V S

eorum,

in hdcfecmddparte cmtinentur.

FRANCISCI a SCHOOTEN Principia Mathefëos Vniverfalis, feu Introduélio- ad CartesianjE Geometrie Methodum. Confcri^taabERAsMio Barth on No.

FLORIMONDI DE BEAVNE duotraöatuspofthu-* mi. Alter de Natura amp; Conftitutione, alter de Limitibusnbsp;.£(juationutn.

lOHANNIS DE WITT de Elementis Curvarum li-nearumlibriduo.

FRANCISCI a SCHOOTEN Tra^atus de con-cinnandis Demonftrationibua Geometricis ex Calculo Alge-braïco.

LECTORI BENEVOLO

I. H V D D E S. P.

INGalliiseramcumcpiflralse meae imprimerentur, ideoque domumredux, onus in me fufcepi omnia de integro revidendi amp; ad calculum revocandi,nbsp;ut probe mihi conftaret, num quaedam nimis obfcurè expreflaciTent, velnbsp;etiam errata irrepfiflent; Qusecunque inveni, ilia funt quas fequuntur.

Ad clarioretn fenfum.

p.4141.1 ƒ. Kucipto 8cc. Cum x—a 00 o, multiplicatur per b — c, refultat ix—cx—lt;ié-4-/»c00o,feua:0Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_*¦;fi ponasjam c00o,non fequitur

valorem a: per hancaequationem non poiTe inveniri, quandoquidem Nominator tt b — « f per i —• c, dividi poteft, fed turn fequitur cum Nominator per Deno-minatorem non dividi poteft,vel cum ambo pereandera quantitatem indivifibi-lesfunt: Notandum ergo eft Denominatorem hie confiderari iine relatione adnbsp;Kominatoremgt; veluti patet ex iequentibus , i°. Obfervandum nenit nmnejuf-tnodi (fuantitates in aqmtitne reperiantur amp;c. zo, y? reperimtur, num utra-mque tequa-tionem dmidant. Sedhatc omnia fortaflis clarius ficintelligentur. Excepto tantum fi sequationis primus terminus non afFediusquantitate cognita iit ab unanbsp;parte, reliqui, qui ab altera funt, faciant fraftionem , cujus Denominator, velnbsp;Denominatorisdiviforaliquis, Nominatorem dividat, quod licontingat, vi-dendum eft, priufquam concludatur non dari duarum tequationum communemnbsp;aliquem diviforem, num etiam altera aequatio per hunc Denominatorem , velnbsp;Denominatoris diviforem aliquem, divifibilis fit. p. 4j'9.1.1 o. vel fic lege, aequa-tio ilia Temper indivifibilis erit per a;,xa,gcc., ^ » vel per x x,«?,«lt;!,amp;c.,nbsp;fc-—quantitatequaviscognita atquerationali. 0.461,1.19. ^roomnesifuantitatesnbsp;pone omnia membra. p.49i, I.i j. pronbsp;nbsp;nbsp;nbsp;feribeMethodo. p.4fi 8c45'6,l.i.

lege, nullus terminus eft oo o. p. ƒ00, in medio, pro Gltmiam tme Y C. ex l r

y^ln— -‘y f extrahipotirit j feribe, extrahendo |/ C.ex ir Y^rr_

Zx.’pto, fed cum YC ire., ufquead, liceat é'cy, pone, fedcum-j/C. ex bino-mionumeraliopeRegulsep.jS? ,yel perfeftèextrahi queat, velvulgariraodo praeterpropter, quod lufficit, poterit etiam ejufdem beneficio radix ex sequationenbsp;Propofita five numerali, fire literali fit, inveniri, cum pro literis numeros, vel o,nbsp;adarbitriumalTumere liceat. p. ƒ01,1.31. amp; p. ƒoƒ,1.17. rfflf»«hicfumiturpronbsp;xedigi ad duas alias, exquarummultiplicatione Propofita sequatio producipo-;teft. Errata, quae irrepferunt, inveniuntur inter errata primse partis.

Nec tacerefas eft me, non fine admiratione, in Epiliolis meis, qux tam fedu-bm typothetarum operam requirebant, tam paucos errores oftendifle, nifi cogv-tarem D. Elzevirios amp; Clariflimum Schotenium totis viribus huic operae incu-builTe, quapropter nullus dubito quin reliquum totum opusaccuratiusimpref-lum fit, quam quisfortaftlsexfpedaijret.

A R M E

IN L A V D E M

S C H O O T E N,

Mathematicorum ocelli.

^Cotenl cum firipta legis , fe promit ubique ^ Ingenii mira dexteritate vigor.

^um vitam ac mores fpeEias, fe prabet ubique SpeBandam integritas, ac fine fraude mantis.nbsp;Sic qu£ perraro concurrunt corpore in uno,nbsp;Hicjungi ingenium cum probitate vides.

Ad de quod, ingenium cum fit Juperabile paucis, Vix tarnen invenies in probitate parem.

n E p I'

4gt;PArKl'sKOT SKnTH'NOr,

«TO fAetKAglTH f

MetB-hffïcos, E'ucrtCttctff

1

P R I N C I P I A

MATHESEOS

VNI VERS ALLS,

S E V

ÏNTRODVCTIO

A D

geometri^e methodvm

RENATI DES CARTES,

Confcripta ab

Er. Bartholino, Casp, Fil.

Editio tertLty prtore correSlior,

SSTJS

t/tMSTELODAMlf

ExTypographia Blaviana.mdclxxXiiï.

Sumpibus Societatis.

Generis ^ ‘virtutmn Nohilitate Perilhfiri ^ Generofo Heroï,

D.CHRISTIANO THOMA,

TOPARCHi£ IN STAVGARD, Equiti Aurato, Sereniffimge Regiae Majeftatisnbsp;Cancellario Magno , Regni Daniae Senatorinbsp;primario, Regiae Academias Hafnienfis Con-fervatori fummo, Patuono incomparabili.

On minus verb quam ele^ ganter Cicero lib. i. Tufc.nbsp;quazft. Magni, inquit, efinbsp;ingenii re^ocare mentem aJen-^nbsp;Jïhm, ^ cogitationem a conjue--tudine ahducere. Cum enim mens noftra,nbsp;quam in nobis conclufam circumferi-mus, divinaquasdamparticulahabea-tur, nihil lane illi gratius accidere po-teft, quam, chm contemplando a cor-poreis rebus laxatur , originique fuaenbsp;quam fimillima redditur. Senfuum

* 2 nbsp;nbsp;nbsp;quippe

E P I S T o L A

quippe ufura non minus fruuntur bru-ta animantia, qukn homines, imo, qu^edamlongè nobis pr^eftant j mentenbsp;verb quia non gaudent, univerfamnbsp;hanc mundi machinam , quafi tabu-lam piólam afpiciunt, nee cogitantnbsp;qua de causa quóve modo tot varie-tates rerum fint ordinatse. Quicun-que igitur hominum non cupiunt fe-metipfos private bono, quo reliquanbsp;animantia excedunt, non temerènbsp;permittent fefe fenfuum judicio itanbsp;mancipari-, ut ea fufficere putent,nbsp;quae manibus quafi palpare pofllmt,nbsp;ac pauca velint fi non oculis omniumnbsp;obvia 5 pauciora credant quee fenfusnbsp;non approbant, amp; pauciffima eligant,nbsp;nifi ab experientia firmentur. Nonnbsp;equidem diffiteri poffumus, hoe pro-pofitum utile efle atque necelTarium,nbsp;ut initio juvetur cogitatio noftra amp;c

intel-

DeDICATORIA.

intelledlus ; unde faótum eft ^ quöd Geometrie figuras, Arithmetici nu-merorum chara(fteres , aliique alianbsp;fubftdia invenerint 5 Sed experimen-tis ejufmodi vix acquiefcere debentnbsp;magna ingenia, nee poteft is, qui fa-pientise Famam affeeftat. Communisnbsp;enim experientia docet, multa facilenbsp;mereri mentis alTenfum , amp; efle ve-rilTimaj etiamfi fenfiium judicio pronbsp;veris non agnoftantur : Sc vice versa , fenfus xjuaedam approbare 5 quae,nbsp;quia falfa , ratio nullo modo admit-tere poteft. Atque hxc licèt omnibus in confeffo unt, non defunt tarnen, qui nihil nifi Praxin amant es,nbsp;Theoriam amp;: fpeculationes omnes o-dio profequuntur, atque ut inutilianbsp;eliminant; quos pertinaci^e fuas ferönbsp;nimis poenitebit, cum aliorum impe-rio ita fubjedi efle coguntur, ut ne

3 nbsp;nbsp;nbsp;in

E P I S T o L A

in Praxi quidem folita obftacula re-movere fciant, nee unquani novi quiequam addifcant , niii quod velnbsp;cafus ipfis, vel aliorum humanitas fup-peditaverit. At alii, quorum animusnbsp;longius exfpatiatur, amp; demonftra-tiones caufasque inquirit, utilia mul-ta inveniunt , quae ab aliis ignoran-turj adeoque in Praxi multa excogi-tantes compendia ^ allaborant ut tag-dia amp; impedimenta obvia tollantur jnbsp;quorum tarnen inventa non effentnbsp;repudianda , etiamli humani ingeniinbsp;imbecillitas ^ aut ufus raritas ^ ea fta-tim ad praxin revocare prohiberet,nbsp;Hinc non contenti do6tiores iis, qusenbsp;a Geometris aut Arithmeticis demon-ftrata atque inventa funt, quasquenbsp;ufus dudum confirmavit, nifi velnbsp;ipfas demonftrationes penetrate ^ eaf-demque invenire poffint j adeoque

^ fuper-=

Dedicatoria.

fuperfl.ua refcindere, defèótus fupple-re , amp;: deperdita rettiüuere queant. Neque enim exiftimandum eft , ma-jores noftros omnem poftcris pracri-puifle materiem, qua excolatur inge-nium ; cum contra focordise meritönbsp;nos, incufarent, fi plus temporis innbsp;fcriptis luis etiamnum intelligendisnbsp;irnpendi, quam ipfl in incognitis in-veniendis pofuère ^ viderent. Ad quaenbsp;invenieiida cüm non alia via, (quantum conftat) quam quae per compo-fltionem 6c refolutionem procedit^nbsp;uterentur , quaeque naturalis potiusnbsp;ingenii facultas aut induftria ^ ufu 6cnbsp;exercitatione potita, quam ars certisnbsp;legibus 6c pr^ceptis contenta, dicinbsp;meretur j Recentiores artem quan-dam excogitarunt, quam vocant A-nalyticam, cujus principia tradit hoenbsp;opufculum. quae poftquam innotuit.

Ion-

E P I S T OLA

cam

fcientias manaverint emolumenta. Nihil enim fani antehac de vifu novi-mus 5 cum omnia hie , heut in aliisnbsp;artibus, quai materia immerfas, nonnbsp;abftrahuntur a fenfibus, ad diredtio-nem mentis, dilputationibus hue il-luc trahebantur 5 jam omnia deter-minata , omnia demonftrationibusnbsp;munita. Qni enim in Opticis non plane hofpites funt, fat feiunt, quam in-certa , quamque defeduofa fuerintnbsp;ea ^ quas de Refradtionum legibus an-tea novimus, amp; quam falfa ilia deter-minatio figuras vitrorum, (de quibus

Dio-

DeDICATORIA.

Dioptrica agit) qua nihil jam nabis optaripoteftperfedius, nihil certius.nbsp;fed de his forfan alias. ld mihi in prx-fens fufficit, hanc artem hbi proprionbsp;jure vendicare non foliim ea, qu^ denbsp;Mathefeos utilitate, deque Arithme-ticse, Geometrias, Aftronomi^, amp;nbsp;Muficae prieftantia , tot rationibus,nbsp;totvoluminibus, totque feculis dióiranbsp;funt, fed multb plura 5 quod facilenbsp;demonftrare poffem , nih plurimis,nbsp;qui hajc penitius introfpicere dignan-tur^ notum id fore fcirein. Nee opusnbsp;mihi eft, multa coram Te, Heros Per-illuftris ^ de hujus artis totiusque Mathefeos utilitate dicere : quoniam,nbsp;dum animus tuus magna lemper 6cnbsp;excelfa meditatur^ Mathematicas et-iam fcientias coluifti 6c amplexus es,nbsp;nihilque Tibi ad fapienti^ comple-mentum deeffe voluifti. Sed malo de

# nbsp;nbsp;nbsp;He-

Ep I STOLA

Heroicis amp; eximiis tuis virtutibus tacendo, publicum omnium teftimo-nium implorare , quam in prsefensnbsp;pauca dicere. Ars fane Analytica per-fpedtum habet, cujus viri prsefidiumnbsp;expeélat j cum implorat tuum : neenbsp;enim Daniae unquam, quamdiu Ma-thefis aliaeque artes, liberales tales in-venerint Patronos, vel virtus vel fa-pientia deficiet. Patere igitur, Herosnbsp;Perilluftris, nomini tuo Principia hxcnbsp;inferibi, amp;c fruótum inceptse peregri-nationis fereila fronte accipe. Tui e-nim nominis clypeo munita, frontemnbsp;audent obvertere hoftibus , quibusnbsp;feculum hóe abundat, quiquè varianbsp;tela in obvios effundere non veren-tur 5 prout affedus malevoli ipfis di-dtaverint. Solent plerique, qui roderenbsp;amant, objicere ^ pervulgata omnianbsp;effe 5c ex aliis defumpta 5 qua eenfura

quam-

Dedicatoria.

quamquatn fciam hoe fcriptum non polTenotarij tarnen pr^fagit animus,nbsp;fore, ut hxc tanquaminutilia amp;: nimisnbsp;curiofa rejiciant. Si enim intellexe-rint 5 hoe ambitu, etiam Algebramnbsp;compleóiii, faftidio commoti ^ fubtili-tates ejus cane pejus amp;: angue fu-gient. Sed vix metuet fibi Ars Ana-lytica a talibus hoftibus, nam, cumnbsp;aoóliffimis quibusque Mathematicis,nbsp;quibus feeulum hoe quad fuperbit,nbsp;probetur, de reliquis ipfi minus eftla-borandum: nee ulla alia hu jus Me-thodi defendo requiritur, nid quamnbsp;experientia, amp; ipdus rei intelledsenbsp;ufus attulerit. Et, ut verba in paueanbsp;conferam, d tuo exaftifdmo limatif-dmoque judicio probentur , nulliusnbsp;in pofterum cenfuram aut notam per-timefcent. Neque ego exilitate ope-ris deterritus, fed contra utilitatepo-

^^2 nbsp;nbsp;nbsp;dus

Epistola Dedicato'ria.

tius inftigatus, Tibi hxc confecra-re fiim verims : amp; quidem tanta ma-jorefiducia, amp; fpe certiore, quanto certius mihi conftat Te omnibus m,nbsp;qui inter bonas artes etiam Mathe-maticis incumbunt, favere ; quemnbsp;favorem quotidie familia nofhra fen-tit , amp; grato animo femper recolit.nbsp;Vale regni Danix decus , èc xqai bo-nique confule hoe grati animi monu-mentum, quod humillimè offert

DevotifTimus amp; obfêquen-tiffimus diens

Erasmius Bartholinus.

lectori s.

^ Vm omnes fapientes audire velint, amp; nihil tarn temerarium tamque indignum fapientü gravitate atque conftantia fit, qudmautfialfiumfien-tire, aut quod non fiat is exploratumJitfime ullanbsp;duhitatione defender e: neficio quofatofiat, quodnbsp;non operam dent ejufinodifiudiorim viam ingredi,qud mensnbsp;adfiieficat uerum dfaljis ^ dubiis diflinguere. fifiiandoqui-dem enim d teneris adfiieficere multum efi, egregiè fibi con-jiderent, fi ad Mathefiin excolendam ab ineunte atate ani-mum appellerent. Mathematicas autem dificiplinas hancnbsp;pra aliis habereprarogativam, vix dubitaripot efi, modbnbsp;confideretur, quicquidIn iis concluditur amp; determinatur,nbsp;idomne expramijjis necejjitate quadamfiequi, vel verum,nbsp;veldubium, velfalfium, prout priemijf£ variis modisfie fienbsp;babuerint: Adeo ut, etfinon aliis ujlbrn infierviret Mathe-fis , tarnen vel hoc nomine, ad fiui cognitionem trahere deberet etiameos, quibm nullum aliud ex eajperaretur emolu-mentum. ^uod cum abundè obfiervatum amp; uju comprobatumnbsp;fit d Veteribus, quos plerique nofir a at ate it a fufipiciunt ^nbsp;venerantur, ut majm quoddam animo complexi, plus mul-to etiam vidifie videantur, qudm quantum nofirorum inge-niorum acies intueri pot efi y inter alia mirari fiubit, omnesnbsp;fere, exemplum illonm hac in re deferuijfe. ^ippe comper-tumefi , antiquosThilofiophos nonpermififfe,nbsp;ficholasjuas ingredi, ut ad Sapientiafiudiumadmitteren-tur, quique ante non haberent hccQdi lt;ptMi^(picts. ^odnbsp;fanepropofitum, non rationeprudentius, qudm eventufie-licius fiuit: cum hancfiuijfie caufam, quod ad illampertige-rint jcientiam, quampofieritnstantoperemiratur, IS quonbsp;virtute fiua nonnulli eniti fie pojfe defiperant, conjiciam.nbsp;Frufira enim fipeliatur firullus dificiplinarum, ab eo, quinbsp;earum altitudinem non metitur; nec in cacumen evadere

Ptefi,

Pr^fatio

potejl, qui non folerter rimatur viam, ^ aditiis, qui eo ferunt, negligit. Mat he fa autem, cum ex notionibmfim-plicijjimis, cognituqtie facïÜimis, ad dïfficiliora, atquere-motijjima qiiteqiie cognojcenda far ducat juniores, qui faa-concefais opintonihm vacui non impediuntur varietate re~nbsp;rum, qu£ animüfaovehfiorum iiiharent y non dubito, quinnbsp;fitaa tener is imbuatur mens, ad aliarum quoque rerum,nbsp;maximè comfafaarum atque ohfcuriorum, cognitionem fanbsp;fenetratura.Et quoniam Mathefa variis fartibm confiat,nbsp;qu£ omnes circa quamitatem verfantur y res d 7tDjirijeculinbsp;Ltminibm eb redaamp;a eji, ut generaliter ill£ omnes trail art , amp; quantitas h£C in univerfali amp; abflraÜo far lite~nbsp;ras Alphabeti concipi pojjit. Ita enim,fa£ld ad omnes quan-tit at is fpecies afalicatione, intelleitm ratiocinando adva-rias res inveniendas diftinSlè progredi fatefl. Toflquam autem Methodus illa diu latuit, teiia verborum involucris,nbsp;cum quibm prim luBandumerat qudmfruUm ullus fpe-raripoterat; opportune nobis Nobilifamm Tgt;. Bdes-cartes,nbsp;infaperabilis ingenii Vir (qui, reclusd d fe, baBenm inco-gnitd, ad ver am fapientiam vid ,poJt tot feculorum fxdif-Jimam fervitutem, omnibm imitando exemplo, ita natur£nbsp;myfteriapandit, ut ver£ fapienti£fludium, hiimanarum-quefcientiarum encycloptedia dr perfeBio, immaturd ejusnbsp;ac deplorabili morte, majorem nunquam jaituramfacerenbsp;potuerit) earn ad hanc facilitatemperduxit, ut, quoddifficult at is reliquum efl, nonalidratione qudmjiudiolèdili-gentiaevincipojjit. Taceo hic perfeBionem, adquamresnbsp;Mathematic as hujm Methodi fubjidio redegit: cum ipfa-rum tejlimonia tion tantum invit os laudumque fuarumde-trailoresinillispalmam ei dare cogant, fedetiamquouf-que, hunianummgenitm in iifdemprogrediquidvepr£jia-revaleat determinent. Vcrüm enimvero cum omnium ma-gnarum rerum faut arborum altitudenosdeleBet, ^radices

Ad L E C T o R E M.

dices Jlirfefque non item : Jic multi ad Jumma pervenire oftarent, nifi in elementis har ere opus haberent. atqui,nbsp;quemadmodum illa altitudo fine radicibm ,ftirpibufque ejfienbsp;non poteji; it a ilU fruftra fe in idfafligium recipi fperant,nbsp;quibus cordi non eji fundamenta jideliter jacere. Et cumnbsp;antehac non edit afint ulla principia, qua ad adita hujusnbsp;Methodi ducerent; quidmirum ?Jimuiti in ipfio limine ha-fiitaverint ^plurefiqiie, qiios, re inexpertd, defiperatio infiu^nbsp;gum averterit. Etemim nee hujus Methodi Aublor, nee Tgt;o-^ijfimi ejus Comment at or es d fiemetipfisimpetrarepotue-f'unt, nt bonos horos, quos fiubtiiioribus, invent is dicave-^ant, in edendis, qua ^pm ad hanc Methodum fternerent,nbsp;impenderent. Cumitaque nihil hac in re , omnibus votis,nbsp;tam d me ipfio olim, qudm d muit is hodie expetita , prafti-tum ejfe repererim: diu multumqne inter fipem metumnbsp;harens, dolui, tamdiu inter tot Mathematicoriim monument a ea deftderari,qua adficientiarum increment a emun-Ctioris naris homines necefiarib requiri jampridem cenfiue-ruttt. Ego fianè opportunitate mira, ante aliquot annosnbsp;voti campos faBus,poftquam ad hafice or as Academiam 11-luftrem, qua Leida ejl accejfifi'ir Celeberrimus atque E)o-Bijfimus Francificus d Schooien, Mathefieos ibidemFro-fejfior publicus , me Artem Analytic am, haneque Methodum , tam eximiia fide docuit, ut adperfeölionem nihil mi-hi prater ingenium proprium induftriam defuijfie cre-diderim. fiftpocirca fepofitdprivati commodi a (lima t tone utnbsp;plures felicitatis hujusparticipesfiacerem, amp; quapropriisnbsp;ufibus deftinaveram , publici juris redderem, de elementis hïfice, quibus inter alia imbutus er am, evulgandis, co-gitareeoepi. Etlicètvererer ne amicitia jura, quainternbsp;nos cumfido fiemper fiervari opt al am, hac ratione viola-nem ; tarnen facilem mthi veniam fiperabam , fi non ni-Ji ojficiofia fraude fallerem qua gloria ejus, qui fie bono

publico

fublico ml devovit, ceder e, nee alias magis an'mum meum gratum tejiari jgojfet.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;neprimas quidem fpesfortuna

defiituit: quippe abipfo, qui nullum erga me beuevolenti£ pignrnatqueindiciumomittit, nonmodo veniamhiijmzeilnbsp;impetravi, fed ^ eamhumanitatem, ut omnia perlegerenbsp;amp; examinare baud gravatus fuerit, lucemque ingenii ^nbsp;eonfiUiJuiporrigere. Operis brevitatemquod attinet, nonnbsp;ejt, quam difplicere cuipiam putem: fquidem copiam exem-plorum, quibus ad dijcendum nihil aptius, nullus (ut opi-nor) hk defderabit s in quibus apferendis ejujmodi dele~nbsp;Plus eji obfervatut, ut, quoad fieri potuit, in mediumad-ducerentur ea, quavelinipfo AifijMre, vel in ejus Com-mentatoribm reperiuntur: qua ideofpar firn ita Junt difipo-fita , ut, meo judicio, nonaliol' comeliüsintelligi, fmul-quepradiSiis lock illuflrandk infervirepotuerint, in quemnbsp;finem, in margine paginartm citationem additam ejfe ap~nbsp;parebit. ^yddeb ut, quicunque tantum Arithmetica Species , cum in integris, turn in fraPlkperdidicerit, leviquenbsp;numerorum irrationalium notitid inflruplus , in allatisnbsp;exemplk accurate examinandk fefe exercuerit, fie non in~nbsp;utiliter tempus, ubi ad Geometriam’D’'‘ 'Des-Cartes ac-eejferit, confumpfiijfe experturus fit. ^immb vtdehit ja-nuam referaat am omni ei, quod ab Algebra ep Anaptfi Geometrie a ex fpePlari pot efi: ideoque fé MathefeosVniver-falk confiitutionem animo comprehendifie. neque enim exi-Jiimo, hifice int e lie Elk, operapretiumfore, Algebra vul-gark cognitionem amplius exoptare , licèt leviorem ejusnbsp;notitiam, velipfe T). 'Tgt;es-Cartes, antehac, adfua Geo-metria Methodumintelligendam , requifiverit. Vale.

PRIN-

Celeberrimi de Centro Ofcillationis proble-matis folutio.

Viro Sapientifllmo falutcm dat

STEPHANVSGILLET,

Nulla in re tarn irrito conatu laborarunt Viri Clarifflmi, quam in centre ofcillationis invefiigando ; licet enimnbsp;quadraginta abhinc annis mathematictis Celebris nus~nbsp;quam gentium extiterit uUm, qui huic indagationi ac-curatijfme baud incubuerit, quin etiampluriminbsp;audadier exclamarint y nullos tarnen in error es inciditnbsp;nullus. Na ego aliena infelicitate minim exterritm,nbsp;viam adeo exfeditam invent, ut adfcofum opatum reBenbsp;prvenerim. §^o circa arbitror tibi rebus mathematic Is gaudenti non ingrafum fore, fi hoc arcanum taii~nbsp;topre invefligatum exhibuero-

Centri ofcillationis dcmonftratio.

I. nbsp;nbsp;nbsp;‘Definitio.

' Scillatio eft ipfa agitatio’penduli ftia I gravitate circa axem horizonti pa- ^nbsp;irallelummoti. V. G. Si pendulum, ^

^Ajfuam agitationemvigravitatis in-cipiatinpundio jW. inhibeatque inpundto v. ipfa agitatio hujuspcn-duli totum arcum (av. percurrentis vocatur ofcillatio.

II. nbsp;nbsp;nbsp;‘Definitio.

(^orum pcndulorum centra gravitatis arcus nbsp;nbsp;nbsp;'y

fimiles percurrunt, eademfuas ofcillationes,

fimUesfaciunt, licutpendulaAamp;^. nbsp;nbsp;nbsp;......

III. nbsp;nbsp;nbsp;TdSefinitio.

Centrum ofcillationis eft punftum, quod in pendulo compofito sgitato perinde movetur, ac ft nuilo modo ftipatum foret: ac proinde

^ nbsp;nbsp;nbsp;fiin

fiin extremo pendali fimplicis reflderet, ofcillatiönes fuaseodem tempore conficeret,atque pendulum compofitum datum. Itaque totanbsp;difKculcasIiuc recidit,ut inveniatur longitudo penduli fimplicisjquodnbsp;fuas ofcillationes fimiles eodem tempore conficiat, atque pendulum compofitum datum: nam longitudo hujus penduli fimplicis ea-dem eft, atque diftantia centriofcillationispendulicompofitiab axc.nbsp;Qiia in inveftigatione ut mens dirigatur, aliquid de gravitate, fpatio-quc decurfo prjemittendum eft.

I. nbsp;nbsp;nbsp;Lemma.

Gravia gravitatem habcnta levioribus, qu£e taatumd^mafcen.^ dunt, quantum graviora defcendunt.

ï. Coroll-

Hinc colligas mobili fecundumhorizontemraoto gravitatem ac-* quiri nullam: Quia nullalevioraafccndunt.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Coroll.

Hincanimadvertismobili circa c^trum moto gravitatem acquiri nullam: ideo qüod mobile baud magis deprimitur, quam extollitur»,

III. nbsp;nbsp;nbsp;Coroll.

Hinc vides gravitatem- acquiri per folam defcenfionem centri: quippequi aliimotus pronihilo liabeantuc; ac proinde incidentiananbsp;gravis femper efle fpedtandam ex altitudinc defcenfionis centri.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Coroll.

Hinc perfpicis duorumgravium exeadem altitudine cadentium, quorum unum perpendiculariter, alterumnbsp;vero oblique decidit; utriufque velocitatem eandem eflenbsp;in liorizontCjfive in plano horizonti parallelo: proptereanbsp;qnod gravitas per motum vel circa centrum,vel horizonti parallelum, neque intenditur, neque remittitur.

V. Coroll.

Hinc manifeftumeft velocitatem gravis penfilis, fi-* ve penduli eandem efle, atque gravis ex eadem altitudi-dineperp. decidentis: penfileenim nihil aliud eft, quamnbsp;grave oblique dccidsns.

VI . Cö-

VI. CoroU.

Hinc clarum eft eandem effe velocitatem in omnibus pendulis quorum centra gravitatis sque diftant ab axibus, quandoquidemnbsp;ïcqualiter defcendunt.

VIL CoroU.

Hinc liquet eandem efle velocitatem ejufdem plani turn in planum, turn inlaiusmoti: utpotequodcentrum utroque modotequedepri-matur.

• nbsp;nbsp;nbsp;II. Lemma.

Duobus gravibus ex cadem altitudine cadentibus, quorum unum perp. altcrum vere oblique fecundum reétam lineam detidit j Tempora utriusque incidentitefunt inter feficututraquelineafecundumnbsp;quas inciduntj quandoquidem eadem eft velocitas in utroque mobilinbsp;tequalitcr defcendente.

CoroU.

Hinefequitur ut duobus gravibus ex eadem altitudine fecundum. fingulas lineas redtas oblique cadentibus j Tempora utriufque inci-dentiaeinter fereferantur, ficututraquelineaobliqua, velficutfpa-tiadccurfa, fi gravia fint asqualia.

III. Lemma.

Si planum indefinite dividatur in panes aliquotas. Summa produ-«ftorum fingularum partium per fuam ab axe diftantiam multiplicata-rum, ïqualis eftprodufto totius plani per fuicentriab eodemaxc diftantiam multiplicati.

Sit planum (AB) indefinite $-divifum in partes aliquotas {aa), ex quibus fingulis dimittanturnbsp;fingulas lines inter fe parallels,nbsp;esqueadaxem 0^ extrapofitumnbsp;perpendiculares, qus vocenturnbsp;j; linea c plani centro ad eundcra

axenj

axem perp. du(Sa appclletur x : dico fummatn omnium produdo-rum, a aj/, efle aequalem p roduélo a lgt;x.

Namque plani ita divifi fingulï partcs perindc fpeótari poffunt, ac fiforent lingula pondera: at ex geoftatica fumma produdorum lin-gulorum ponderum per fuam ab axe diftantiam multiplicatorum, ae-qualis eftprodudo omnium ponderum per centri communis abco-dcm axe diftantiam multiplicatorum j Ergo amp;c.

I Coramp;ll

Hinc perfpicuumeft fummam prodmftorura fingularum partium ejufdem plani multiplicatarum per fingulas periplierias, quarumfe-midiametri funt ipf* perpend, ad axem, cfle aequalem produdo totiusnbsp;plani multiplicati perperipheria m , cujusferaidiametereftipfadi-ftantia centri ab axe.

II. nbsp;nbsp;nbsp;CoroU.

Hinc patet fpatium a plano in planum circa axem extra pofitum moto decurfum, aequari produdo iplius plani multiplicati per peri-pheriam, cujus femidiaraeter eft diftantia centri ipfius plani ab axe.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Coroll.

Hincultro emergitinvcftigatio omnium folidorum aplaniscirca axes motis defcriptorum j fed ifticc alibi.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Coroll.

Hinc deduces fpatium a plano in planum circa axem extra pofitum moto decurfum, £Equarialteri fpatio, quod percurreretur fifingulanbsp;pun6ia,vel fingulae panes aliquotse plani tantumdem ab axe diftarent;,,nbsp;quantum ipfius centrum gravitatis.

V. nbsp;nbsp;nbsp;Coroll.

Hinc apparet fpatia a planis aequalibus decurfa, efl'e in eadem ratio-ne, atque eorumdem planorum diftantias centrorum gravitatis ab axe,

V r. Coroll.

Hinc nullo negptio reperias fpatium a plano in latus moto de-curfum:

Si

Si'enim planum A indefinite dividatur per fuperficies cylindra-ceasparallelas, quarum omnium fit idem axis 6 ^: conficiatur planum , by cujus fin-guls lines axi parallels squentur fingulis feftionibus B-cylindraceis , qusnbsp;tantumdem ab axenbsp;diftantjV. G. lineanbsp;redaMN.squeturnbsp;feftioni. ^ ficquenbsp;decsteris jexhu/iisnbsp;plani ^Centrolinea

ad axem Ö § perp. duéla vocetur Z : ex plani A centro linea perpend. duSa ad eundem axem appelletur , x. Spatium a piano A in planumnbsp;eft adfpatium ab eodem piano in latus moto decurfum, ficutar. x..nbsp;nam fpatium a piano A in latus moto decurfiam, squatur fpatio pernbsp;planum b in planum motum decurfo.

lam vero centrum ofcillationis colluftrctur.

I. Troblem.

Invenire centrum ofcillationis plani in planum circa axem extra pofimm moti.

Centrum ofcillationis idem eft, atque centrum gravitatis ipfius plani.

Cum enim, ex 6'°corollarioprimi lemmatis, amp; ex 4'’coron. 3'“ lemmatis, planum A eadem velocitatc , idem fpatium pcrcurrat,nbsp;quod percurreret fi ipfius omnia punfta tantumdem ab axe diftarent,.nbsp;quantum centrum gravitatis j necefie eftutofcillationes fuas eodemnbsp;tempore perficiat, atque pcrficerct fifingula punda tantumdem abnbsp;axe diftarent; atqui fifingulapunda tantumdem ab axe diftarent,nbsp;ofcillationes fuas eodem tempore conficeret, atque pendulum fim-plex , cujus longitudo eft ipfa diftantia ceatri gravitatis ab axe.nbsp;Ergo amp;c.

T nbsp;nbsp;nbsp;I. O-

I. nbsp;nbsp;nbsp;QorolL

Htnc novcris omnium planorura, quorum centra gravitatis algt; axe aeque diftant, idf m cfl'c centrum ofcillationis in planum.

\\. Coroll.

Hincintelligis cujullibet lineae in planum circa axem extra pofi-tum motae, centrum ofcillationisidem cfle, atquecentrum gravita-tis; Quandoquidem quaelibet linea fpcdari poteft., ficutplanum mi-nimse latitudinis.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Trobl.

Invcnirc durationem ofcillationis plani in latus circa axem extra politum moti.

Tempora ofeillationum plani turn in planum, turn in latus moti, funt inter fe, ficut fpatia utroque motudecurfaj propterea quodu-triufque ofcillationis tempora perinde fpedanda funt, atque tempora incidcntiarum duorum gravium xqualium ex eadem altitudinenbsp;oblique decidentium.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Trobl.

Invenirc centrum ofcillationis plani in latus circa axem extra po-fitum moti.

Si centri plani ab axe diftantia vocetur x. tempusque ofcillationis in planum, fit ad tempus ofcillationis in latus, ficut x. z.-. hujus

relationis x^. nbsp;nbsp;nbsp;: at. -5 . ultimus terminus defignabit diftantiam cen-

tri ofcillationis ab axe, fivelongitudinem pendulifimplicis, quod fuasofcillationesfimileseodcm tempore conficit, atque pendulumnbsp;in latus motumj propterea quod longitudines pendulorum fimpli-cium funt inter fc, ficut quadrata temporum ofeillationum.

IV. Trobl.

Invcnirc durationem ofcillationis folidi.

Si folidum A , indefinite dividatur per fuperficies cylindraceas pa-rallelas, quarura omnium idem fit axis, atque ofcillationis j coin-

pona-

ponatur planum ^,cu-* jus fingulas linear axinbsp;parallelar , fint internbsp;le,ficutfingul3E fectio-nes cylindraccje, quxnbsp;lantumdem ab axe di-ftant.. Diftantia cenr-tri hujus plani ab axe

vocetur z.. diftantiac^ue centrl folidi ab eodem axe appclletur Xi. Tempus ofcillationisiblidi, eft ad tempus ofcillationis pendtili fim-plicisjcujus long!tudo fit x. Iicut2,.x. quandocjuidem folidum fpe-(ftari debet ficut planum in latus motum.

V. nbsp;nbsp;nbsp;Trobl.

I'nvenire centrum ofcillationis folidi.

Hoc problema perinde folvitur , atque 3. prob. fupra.,

VI. nbsp;nbsp;nbsp;'^robl.

In venire centrum ofcillationis peripherise in latus circa tangen-tcm motsE.

Diftantia centri ofcillationis ab axe, five longitudo penduli fimpli-CIS ofcillationes fuas eodem tempore coiificientis,refertiir ad radium, ficut quadratoquadratum diametri ad producftum circuli per fe ipfumnbsp;multiplicati j (^andoquidem fpatium ofcillatione in planum eft adnbsp;Ipacium ofcillatione in latus decurfum, ficut circulus ad quadratumnbsp;diametri, ut ex infinitorum geometria demonftratur.

VII. nbsp;nbsp;nbsp;Trobl.

Componere pendulum quod ofcillationes fuas eodem tempore conficiat ,atque pendulum ft mplex datum.

Longitudo penduli fimplicis dati fit diameter peripheriae, quam axisnbsp;tangit in pundlo O. fi hac in peri-pheria bina punda A amp; Bapundonbsp;fufpenfionis teque diftantia ad libitum fumantur; liaec duo punda component pendulum,quod fuas ofcillationes in latus eodem tempore con-ficict, atque pendulum fimplex. adnbsp;quodprobandunv

3

f gt;

Wxc duo punöa llnea diametrum perp. fecante in punéto D. jun^ gantur, fcótio diametri D O, vocaturx. linea A O fiveBO appel-letur^-

£x fupra diöis tempus ofcillationis in planum,eft ad tempus ofcil-lationis in latus ficut x.Tiy ac proinde hujus relationis nbsp;nbsp;nbsp;~ .

ultimus terminus five diameter defignabit longitudinem penduli fim-plicis, quod ofcillationes fuas eodem tempore conficit, atque pendulum ex iftis binis punÖis compofitum, in latus motum.

CorolL

Hinc tibi confeftim occurrunt infinitapendulacompofita, qu» fuasquodque ofcillationes eodem tempore conficiunt: verumhaudnbsp;fcioanobitiipefcasquodperipheria fuas ofcillationes breviore tempore perficiat, quam pendulum firaplex, cujuslongitudo eft ipfanbsp;diameter , cum peripheria integra refolvi polïitin pendula fimpli-ciora componentia, quorum fingula fuam quodque ofcillationemnbsp;eodem tempore feorfim conficiant; mirari tarnen defines fi perfpexc-ris majorem elTe gravitatem in peripheria conglutinata , quam innbsp;omnibus ipfiuspartibus disjundim motis.

VIII. Trobl.

Invenire durationem ofcillationis cujuflibet penduli circa axera intrapofitummoti.

Si pendulum A, cu-jus diftantia ab axe voce-tur X. indefinite divi-

daturper fuperficiescylindraceasparallelas, quarum omnium idem fit axis, atque ofcillationis: componatur planum B, cujus fingulas li-neasaxi parallela: fint inter fe , ficut fingute feóiiones cylindracese,nbsp;qu3E tantumdemabaxe diftant; diftantiaque centri planiBab axeap-pelletur z.-. Tempus ofcillationis penduli A, erit ad tempus ofcillationis penduli fimplicis, cujuslongitudo fit ar, ficut 2:. ar.

FINIS.

P R I N C I P I A

MAT HES EOS

VNIVERSALIS, •

s E F

INTRODVCTIO

A D

GEOMETRIiE METHODVM

RENATI DESCARTES.

LOGISTICA OVANTITATFUsimplicifm.

• nbsp;nbsp;nbsp;V M in omniScientia, ad difficiliorum rc-rumcognitionem, uüle fit a fimpliciffimisnbsp;amp; cognkufacillimis órdiri; baud inconfiil-

• nbsp;nbsp;nbsp;tum t’ucrit, ad generalem atque facilemnbsp;comprehenfionumMathematicarum Scien-

; ciarutn, quje omnes circa quantitatém ver-fantur, ad ea primum attendere, quae noti ^é, aliquam ejus fpeciem excludere, fed eas,nbsp;quocunque fe habeant modo , fub certis notis cuique ob-viis reprsfentarc poflint. Vnde cum in univerfanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vide np

Scientiarumconftitutione, licèt diverfaobjcftarefpiciant, non nifi relationes five proportioncs quxdam , quae in iis reperiun-^^’^'^j^^®'nbsp;tur, confiderentur ; confentaneum eft rationes atque propor-ficunda.nbsp;tiones illas fcorfim ipeöare , easque literis Alphabet! , utpo-te notis fimpliciflicnis nobisque cognitiffimis , infignire. Ne-que enim ratio ullacft, quo minus per a, byC, amp;c. concipian-tur magnitudinesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c, amp;c. quam pondera aut numeri iif-

dem characleribus defignati. Attamen quia tum phantafiae tum fcnfibus ipfis, nihil fimplicius nee diftinftius exhiberi poflè oc-currit, quam reöa; linete, qu^que relationes amp; proportiones,nbsp;quae inter omnesalias res inveniuntur, exprimere valent: prae-PmlI.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦ fiat

j nbsp;nbsp;nbsp;Principia

ftat per praediiflas literas folummodo lineas rcflas conclperc. Hinc li du3e fuerint quantitates defignatse per lt;3 amp; ^, inteliigenturnbsp;peripfas duae difFerentes lincae reöïe, diverfasfcilicet longitudi-nis: itautper^intelligatur longitudo feuquantitas unius, amp; pernbsp;b longitudo feu quantitas alterius. Non fccus atque perlt;ïamp;lt;ï,nbsp;aut per b ^ b duas intelliguntur linea: aequalesj nifi indicaverisnbsp;fuppofuerifve^Jeircaequalem ipfi^, vel4amp; ^ejufdemeffe valoris,nbsp;idquodficdenotaturlt;3 GO Et fic de aliis.

Cum autem non raró occurrat, ut linea aliqua fit aliquoties fu-menda, oportet tantum numerumconvenientemipfi literseprx-figere: Vtaddefignandum, lineamlt;3eflebisfumendam, fcribo 2 a. Sic amp; ad defignandum duplum, triplum, quadruplum amp;c.nbsp;ipfius^, fcribo 2^, 3 ^,4^amp;c. Nee aliter fitfi ad defignandumnbsp;femiffera, tertiam aut aliam quamcunquepartem linea:fcri-

baturi^ï,amp;c. idquodetiamhocpadlofierifolet jamp;c. fic amp;duastertias,tresquartas,amp;c. ipfius^,itadefignaveris\b^\b\nbsp;vel fic, ^~ gt; atque ita de aliis.

lam cum in univerfa Mathefi operationes omnes ad quinque diverfas ( vulgó Species didias ) reduci pofifint, qu£E funt Additio,nbsp;Subtraéiio, Multiplicatio, Divifio, amp;: Radicum extradio; confe-quens eft ut oftendatur, qua ratione did«e operationes per literasnbsp;fint inftituendse.

T)e AMitïone quantitatum

Gitur ad addendum lineam a ad lineam fcribo pro fumma 2 ^: fic amp; ad addendum 2 ^ ad 3 fcribo 5 b. Lines enim eif-demliterisfidenotantur, oportet tantum numerosprsfixos ad-dere, amp; fummam eidem liters prsfigere. Si veró diverfs fuerint,nbsp;additio fiet interpofitofignoq-, quod denotat plus. Vtfi ad lineam ü fit addenda linea fcribo lt;* , hoe eft, ^ plus ^, quo in-dicatur b eflc additam ipCia, vel adhuceife addendam. Vbipa-tetdidumfignumfemperefle referendum adfequentem literam,nbsp;feu qus priori addi debet.

Nee aliter fit, fiplures in unam fummam funt colligends. Vt ad addendum 2 b,b, 8c ^ b, fcribo Sic amp; ad addendum a,b,8c c,nbsp;fcribo ^ c.

jExm*

Matheseos' Vniversalts.

Exem^la additionis fmplicium.

T iilt;jicmuuiii,in auditione literarumfi amp; 3 4, cogitandumel-feliteram d fibipr$fixam habere unitatem; idcjiiodetiaminfe-cjuenti exemplo amp;fimiUbus eft obfervandum; utamp;, cumpUi-rcs adduntur diverfe literse, perinde effec^uo ordine fcribaiitur, ^, vel ^

T)e SuhtraBione quantitMum Jïtn^licium.

T Am Verb ad fubtrahendum lineam 2 ^ a linea 5 a, fcrlbendum 3 fiquidem lines, cjus iifdem Ikecis hint defignats, fub-ducuntur, fubtrahendo tantum a feinvicem numcros pisfixos.nbsp;Sic ëcÜ2 auferantur a 3 reliquum erit i ^ feu b. Similiterfub-lato d de 4 d, relinquitur 3d: Kt a Ac a manet o feu nihil.

Quod fi verb lines diverfis literis notats fuerint, fubduAio fiet interpofito figno —, quod denotat minus. Vt fiab a fubtra-hendafit^, fcribo4'—^, Koe eft, 4 minus ^, quo indicator ^ effenbsp;fublatamex4,yeladhuceflfefubducendam. Vbipatet diöumfi-gnum femper efl'é referendum ad fequentem literam, hoe eft, qusnbsp;cx priori eft fubtrahenda.

Eodemmodo, fublatis 4 d ex 3 c, reliquum erit 3 c—4^.

Exempla JubtraBionis

Ex f 4. 3 A 4 d. a. Ex 4. nbsp;nbsp;nbsp;3 c. 4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 c.

fubtr. 2 4. xb. d. a. fubtr. A qd. 4 A d.

teliq. 3.4. A 3d. o. reliq. 4—A 3^—qd, Oi—j^b. ic—d.

Vnde notandum, in ejufmodi quantitatum fubtradione, opor-tere quantitatem illam, qus cx alia fubtrahi debet, eftc minorem:

A 2 nbsp;nbsp;nbsp;hoc

4 nbsp;nbsp;nbsp;PRINCIPIA

hoceft,adfubtrahendum^exrf, (utinfuperiorlexemplo) opus cffe, ut ^ fit minor qakma. Quödfiautem non proponacur aucnbsp;conftet, utra quantitas fit major aut minor, amp; tarnen fubdudionbsp;fieri debeat j differentia earum denotari poterit hoc modo:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ,

hoceftjA—b yó.h—at.

De AlMj^licatione quantitatPtm fimplicium.

POrro admultiplicandumlineam^perlineam^ , fcribolt;i^ vel ba. Sic amp; ad multiplicandum a per a, hoc eft, in fe, fcribonbsp;a a feu ^:Sgt;caaa feu a^ ad pracdidlum produétum a a adhuc femelnbsp;multiplicandum per a. Adeo ut liters immediate fefe coiifequen-tes, multiplicationem earum per invicemfaébam, vel adhuc fa-ciendamefle, indicent. Nonfecus, fi multiplicare velima,bdi cnbsp;per invicem, fcribo4vel vel amp;c: amp; a bb[eaab^ velnbsp;b’- a, ad multiplicandum 4, b, amp;c b. Hic enim, ut in additione, nonnbsp;refert, quo ordinefcribantur.

Quemadmodum veroexdudualicujusnumeriinfe, idquod producitiir vocatiir Quadratura ejufdcm numeri,amp;: fi produduranbsp;illtid adhuc femel per eundem numerum multiplicetur, produ-dus numerus appellatur ipfius Cubus, atqueita deinceps^ itanbsp;quoque fi 4 multiplicetur per 4, produdum aa feu4‘appcllarinbsp;confuevit 4 quadratum, feu a duarum dimenfionum j amp; fi4 4 rur-fusmultipliceturper4,producetur444feu4t, quodideo appct-laripoteric4cubus, feu4crium dimenfionum: atqueita a‘*, 4%nbsp;a^,8ic. dici poterunt a quadrato-quadratum, 4 furdefolidum,nbsp;4 quadrato-cubus, amp;c. feu, 4habens 4, 5, aut 6,amp;c.dimenfiones.

Sicuti autem numerusaliquisjfi in fe ducatur, dicitur radix qua-drataiftius produdi feuquadrati: amp;fi adhuc femel per hoe pro-duclum multiplicetur,turn radix Cubicahujus pofterioris produ-di appellatur, amp;cjficamp; 4 dicitur radix Qiiadrata ex 4 4 feu 4* ,amp; radix Cubica ex4^, amp; radix Quadrato-Quadrataex4“*, amp; radixnbsp;Surfolida ex a’’, amp; radix Quadrato-Cubica ex a'^, atque ita por-ró. Idemde reliquiseftintelligendum.

Ex quibus conftat diligenter elfe notandum, quod magnum fit difcrimen inter aliquam quantitatem, cui numerus aliquis prasfi-xus eft, amp; inter eandem quantitatem, ubi idem numerus a tergonbsp;cft adferiptus. Vtinter 2 4 amp; 4% 3 4 amp; 4*, 44 amp; 4^*, amp;c. fiquidena

per

6 nbsp;nbsp;nbsp;Principia

tarnen additioncm atquc lubtraftioncm non aliter fieri atque prxcedentium. Vtadaddendum 2lt;*^ad 3 «ï/ijfcribitur 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;

ad addendum (? lt;1^ ad 2 ^ c, fcribitur 6^ ^ 2 ^ c. Non fecus, ad fubtrahendum zahAc^ab., fcribitur lt;3^: amp; ad fubtrahendutnnbsp;2 b cèQ6ab y fcribitur 6a b— 2 Et fic dealiis.

De Di’vifione c^uantitatum jtm^licium.

Voniam vero divifio refolvit id, quod multiplicatio compo-* ^nit: facile apparet, ad dividendain quanticatem lt;ï^-fcu banbsp;per a, opus tantum effe ex quantitate dividenda a b tollere quan-titatem a, qus divifor eft, amp; pro quotiente fcriberc reliquaranbsp;quantitatemEodemmodo,fidividatur^^per^,orieturlt;3; amp;nbsp;^(3iïfeu^ï’per^, orietur«2lt;i. Nonfccusdivisa^^cper^j, fiet^c:nbsp;at per fiet a c: amp; per c, fiet 4 b.

Quód fi veró quantitates dividendje occurrant, quibus numeri fint praefixii oportet, fadladivifione quantitatum, utjaniofteii-fum eft,fimilitcr diflos numeros dividere, ut in Arithmctica vul-gari, amp; quod oritiir invento quotienti quantitatum prsfigere.

Matheseos Vniversalis. 7

BELOGISTICA QVANTITATFM COMPOSITARVM.

¦p* Xplicata Simplicium quantitatum opcratione , qijoniam ex ¦*^illarum additione amp; fubtradione oriunturquantitates, pernbsp;fignuniH-compofitse, autperfignum —disjuncts, (quaeconi-muniter generali nomine Compolitse dicuntur); confequens eft,nbsp;ut harum quoque operationem deinceps oftendamus,

uddditione quantitatum com'^ojttarum.

T Gitur ad addendum quantitates Compofitas, iifdemliterisno-.tatas, oportet confiderare figna amp; —, quibus afficiuntur, 8c notare, fi cadem fuerint, additionem fieri ut in fimplicibus, amp; ea-rum fumma: prsfigi idem fignum. Vt ad addendum a 3 ^ ad lt;*nbsp; 2^: additislt;*ad^, amp; 3 ^ad 2 fummaerit 2 lt;« 5 égt;. Eodemnbsp;modo za’—^^additumad 3 ^— 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;facitfummamnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 4^.

Quód fi verb figna diverfa fuerint, fubtrahendae erunt quantitates eifdem literis denotatae , ficut in fubtraflione fimplicium, amp; ei quod rclinquitur prxfigendum eft fignum, quo major quanti-tas afficitur. Vt fi addendum fit 3^ 54 ad 2^ — za: additisnbsp;3 ^ ad 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp; fubtraöis 2 ^ex ^ a, fumma erit 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 Simi

liter fi lt;ï ai addatur ad — q.4, fiet fumma za^—^ d. Vbipate: fi 2 4-lt;1 addatur ad 3 /gt;¦—a, fummam fore 5 quantitates enim a 8c — lt;*, cum propter diverfa figna fint fubtrahendte, fenbsp;mutuó tollunt.

lam ad addendum quantitates diverfis literis denotatas, oportet tantum eas fuis fignis connedere. Vtad addendum a-^bzA c—d, fcribo a b c— d: fiquidera quantitas c, 8c omnis alianbsp;cui nullum praeponitur fignum , intelligitur fibiprsfixum haberenbsp;fignum

Exempla additionis compojitarum.

lt;ib-\~ibb — iabc aa-^za — 3-

fumma 2lt;«4-5 nbsp;nbsp;nbsp;5^—4^- lt;*^4- bb. \a^—ZAbc. 2lt;ï(ï4-3lt;j—

J3^4-5i« lt;j4- d. zb A AA—zAb ^A^—~aab aa—5 lt;ï4-6'. \ zb ZA A J^d, 3^ A AA-^ ab lA^’^-lAAb 4^4“ A—6.

aggr. 5^4-3«i. ZA—z^d. 5^. ^aa—^ Ab. quot;^A^ ^Ab.zAA—

Add.

Principia

2aa-\~T^ab—bb ahc a^-^2ahb-aab abc'. •^ab—T^aa a^'—abc a^ aab—'^abb—b'.nbsp;feu aggr. «4-^ c—d.^ab—aa—bb. a* 2abc.ia^—abb-\-abc—b*.

E quibus manifeftum fit, ( cum ad addendum 3^ 54 ad 2 b •—2lt;*,fcnbipoffit3 b lt;^a 2b — 2(J,hoceft, 5^ 34: fi-quidem 3 bamp;c z ^faciunt 5 ^, amp; 5 a — 2 lt;ifacmnt 3 a)nbsp;quantitates eifdem literis denotatas, quando diverfa habentfi-gna, fiibtrahendas efle, amp; fummseafcribendumeflefignum ma-,nbsp;joris quantitatis.

De SuhtraBiofje quantitatum com-^ofitarum',

POrrbadfubtrabendum quantitates compofitas, qua: eifdem literis funtdenotat£E , fciendumeft: fi figna eadem fuerint, 8cnbsp;quantitasèqua fubtradlio fieri debet, major fit quantitate fiibdu-cenda; turn fubtradtionem fieri ut in fimplicibus , amp;eiquodre-linquiturprïfigendum efle idem fignum. Vt fifubtrahaturlt;ï 26nbsp;ex 2lt;« j ^ : (fubtraftis^ex 2 lt;1,8lt;: 2 ^ex 5 ^,) remanet^ 3 b.nbsp;Non fecus fi fubtrahatur 3 a— 3 ^ex 5 a — 4^, reliquum ericnbsp;2 4—b.

Si verb figna eadem fuerint, amp; quantitas a qua fubtraftio fieri debet quantitate fubducenda minor fit; oportet, fubtrafla mino-rc ex majore , refiduo fignum contrariiim prseponere. Vt fi fub-trahendum fit 44- 3 ^ab 3 4 2 fubtraótis 4 ex 3 4, 8c 2 ^ exnbsp;3 refiduumerit 24—b. Similiter,fublatis4—3^ex 24—b ^nbsp;relinquitur 4 4-2

Quód fi quantitates iifdem literis defignatse, atqueadfubtra-* bendumpropofitte, diverfa figna habeantj eruntipfe addenda,nbsp;ut in fimplicibus, 8c fummseprxfigendum fignum quantitatis, anbsp;qua fubduflio fieri debet. Vt fi velimusfubtrahere4—b ex 2 4nbsp;4- ^: fubtraftis 4 ex 2 4, additisque^ad^, refiduumerit4 4- 2 b.nbsp;Eodemmodo, 244-5 «^fubduöuma 3 4—2c/,relinquet4—7 d.

Cacterüm ad fubtraliendum quantitates divcrfis literis denotatas, oportet quantitates fubducendas, variatisfignisconncöere cum üs, a quibus fubduöio fieri debet. Vt fifubtrahi debeat e—dnbsp;ab 4-3-^ ; erit differentia feu refiduum 44-^ ¦—c4-cf: variatisnbsp;nempe fignis quantitatum camp;cd.

Matheseos Vniversalts.

Exempla fubtraBionis com^ojitarum.

Ex* 24 5;^ 54—4^-14^ 1^^ 4’—iabc-^M-h^ 244 34-9. Subtr. 4 2^. 34—3^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|4^—]abc M-b^ 44 24-3.

Relicj. 4 3^ nbsp;nbsp;nbsp;24— ~b. ^ab-^\bb. |4*—{abc.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44 4-d.

Ex 34 2^ nbsp;nbsp;nbsp;24-b 244- ab nbsp;nbsp;nbsp;54^ 544^-3^^ nbsp;nbsp;nbsp;24 6^quot;

Subcr. 4 3^ nbsp;nbsp;nbsp;4-3^ 44-24^ nbsp;nbsp;nbsp;24^ |44^- 4^^ nbsp;nbsp;nbsp;244'-34 9.

Refid. 24—b.a-^zb, 44 4^. 34’—{aab-\-{abb. 44 4—3.

Ex 24 ^ 34—ld «—44 343—\aah \abb-b^ 344-24 ^. Subtr. 4—bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tm-T^ab-2a^ \aabnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44 4—^3.

DifF. a-\-ib. a—quot;jd. iiab—^aa. 54^—mb \abb-h^. 244-34 9.

Ex nbsp;nbsp;nbsp;4 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;244-44 i^abc a'-'^-aab-abb-b^.

Subtr. nbsp;nbsp;nbsp;c—dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44 4—6 a^-abc. aab-id^ c'^-abb.

Rel.refid.feudifif.4 ^'C a!. 44-54 5. ^al;c-agt;. ^a^-b^—

E quibus perfpicuüm fit (cum ad fiibtrabendum 4 3 ^ ex 3 4 2 ^fcribipoffit 34 2^ — 4 —'3 hoe eft,2 4—b, fubtraöisnbsp;nempc 4 ex a amp;c z bcx:} b) : quantitates eifdem literisdenota-tas, quando eademhabent figna, fed quantitates fubducenda: aliisnbsp;funtmajores, fubtrahendasefl'e, dcrclidto prsponendumelTefi-gnum contrarium.

Similiter quoniam ad fubtrahendum 4 — bcKZ a b, feribere polfum 24 ^ — 4 ^, hoc eft, 4 2 ^, ( fubtrahendo videlicetnbsp;aiza^amp;c addendo ^ ad ^) patet, qua ratione, quantitates eifdemnbsp;literisdefignatas, cumdiverfahabuerintfigna, fint addenda, amp;nbsp;fummae praefigendum fit fignum ejus, a qua fubtradio fieri debet.nbsp;Quod autem fubtrahendo 4—b cxia b^ feribendum fit 2 4 ^nbsp;'— lt;* ^,variatis nempe fignis quantitatum fubducendarum, indenbsp;manifeftum fit; quod ad fubtrahendum a qxz a b differentianbsp;denotetur per 24 ^—4, utpote fubducendo quantitatem 4, prae-penendo ei fignum ¦—, ut in fubtradione fimplicium eft didum tnbsp;at quoniam fubducendo quantitatem acxza b, plusjuftotol-litur, fiquidem non 4 abfolute tollendumproponitur, feddimi-nuta quantitated; hinc fit, ut 24 d — a minor fit quamjuftanbsp;differentia, quantitate b\ adeoque ad veram differentiam obti-l^endam, oportet addere quantitatem d, amp; feribere 24 d—4 d,,nbsp;fioc eft, 4 2 d, Et fic de aliis

^ars II. . ^ nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ds

PRINCIPIA

T)eMuhiplicaüone qumtttatum comfofitarum,

TJOfthxc, admultiplicandumquantitatescompofiusj Bpera-tioinftiiuipoteft ad modum Arkhmeticje vulgaris: oportet enim earumpartes mulciplicareinfeinviccm, ut in fimplicibusnbsp;eilüftenfum, atque produdla Gmul adderc. Quod autem ad fignanbsp; amp; ¦—¦ attinet iifdem prsefigenda, fciendum eft: cadem fignanbsp;(hoe eft pcr-f-,vel — per — ) facere fignum , diverfaverónbsp;(hoeeft per —, vel—per ) facere —. Vtad multipÜcan-dum a -{-b per c: multiplicatis a per e, amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ per -f- r,

fiunt-4-lt;ï c, amp; nbsp;nbsp;nbsp;quibusadditis, fit produéirum lt;* e -\-bc,

imac-^bc. Sic fi mtiltiplicandum fit a — ^perc, producetur a c — b c.

Nee alkcr fit,fi*ad imilliplicandum proponatur is ^ per c-k-d: multiplicatis enim lt;*-4-^ per c, ut ante; amp; rurfus 4 ^ per ii! ( fi-quidem^-4- ^ non tantum per c, fed etiam per aïmultiplicari debet) :fiec ftnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Nonfecus ad multiplicanduin

(t—b per c—d fcribitur ac — ad —¦ b c-\-^b d: multiplicatis nera-pc primèm a—b per -f-c,fic dc—be: deinde a — ^ per — d, fit—ad ¦4quot; bd. quippe -f» a per — d, producit —ad: at—bnbsp;per—d producitjuxta regulam. Etfic dealiis. Nee re-ferc utrum a dextra an verb a finiftra initium fiat, ficut fequenti-bus exemplis manifeftum fiet.

Exempla multiplicationü compofitarum.

Malt.lt;ï-f-iamp; a—b a-^b nbsp;nbsp;nbsp;a — bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a-^b

per c nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c-\-dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c — dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a-\-b

prod. ae-\-bc, ac—cb. ac-\-bc

•^ad-Arbd

MatHESEOS VnIVERSALIS. ÏI '^dd—• eenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\ab—±ati

^d‘^-\-lzd'’e-\‘Z^ddee — 5 ddee—^de^—e*nbsp;produft. $d^ 1 idfe—^de'*—e\

Multipl. 44’-4*-per

produft. 44^-

Catterum advertendum hic eft, non raro utile efie, multiplica-tionem hoemodo non inftituere, (ed tantummodo eaminnuerc interferendo voculamw velM. Vtadtnultiplicandum4^^‘4'3^'*nbsp;— 244-1 per 44— 444-6’, feribo 44^ 4-34^— ^ H** ^nbsp;in 44—544.(J, vel44gt;4- 3 44 — 244- i M44 — 5 44-6.

Quod autetn 4“P^gt;^—gt; vel'—per 4-f^ciat—,{icpatct. Efto 4 — ^muhiplicandumpere, amp;fit4—bzDe: bine fiucrobiquenbsp;addatur b, fiet 4 CQ ^ e. lam quoniam xqualcs quantitates pernbsp;eaiidem quantitatem multiplicatx producunt asquales ; ideo ftnbsp;utrinquemultipliceturperr,eritaeZD b£-\-er,hoceft,auferen-doutrinquc^c,erit4r—bezo ec. Quocirca cum ftatuatur 4 — b-30 e, amp; utraque parte dufla in r, producatur 4 c—b cZDec j per-jfpicuum fit, — b dudtum in 4“ r, producerc — be.

Nec aliter oftendetur — per ¦—multiplicatum producere4quot;» Etenimfid—^multiplicandumfitper r — d: ponendo, ut ante,4.— ^OQ fjcritproduftum ex4.— ^in c — d ïequale produftonbsp;ex einc — «slvele —lt;!iine:ideft,ce —o!e. Sedre, ut lupra, x-quatur4c—i^c: unde4e — be —dexquabiturprodudoex 4—^nbsp;in e—d. Porro cum 4—^ xqualis fit poftta ipfi e, amp; utraque parte duöa in lt;^, produ0:um4lt;i—^ jequetur produélo e: bine ftnbsp;ex4c—i’cfubtrabatur a d — bd\oco de, eisquale; eritjuxtanbsp;regulam fubtraftionis ae — b e—ad-^bd produöum qusfitum.nbsp;E quibus liquet—b multiplicatum per — lt;5producere ^lt;3i.

Principia

De Dïvijtone quantitatum comfojttarum.

PRjeterea, ad divideadum quantitates compofitas, operatio non abfimilis eritei, qua in Arithmctica vulgariduo integrinbsp;numeri perfe invicem dividuntur. Quod autem (igna4-!amp; —nbsp;conceniit, fciendumeft, fidividatur-4-per , aut — per—,nbsp;femper oriri ; atfi per—, vel'— per dividatur, fem-peroriri —. omninoutinmultiplicatione. Operationetn autemnbsp;live adextra fiveafiniftra incipias perinde erit. Vtad dividcn-dumrff ^cperc; divifis «i£-per (7, amp; pcr c,fiun£nbsp;utinrimplicibuseftoftenfum lt;ïamp; ^, unde quotiens qusfi-tuserit^ - -A Similiter fi dividatur 4 lt;r—perc,orietur4 —nbsp;divifisenira 4fper-4-lt;r, fit 4, amp;—per fit—b.nbsp;Non diffimili raiione dividitur acnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c-^bd perc iaf,

amp; fit 4 é». Cujus operatio talis eft.

Divid. • ac•^Ad•^bc-^-bd per c ”4”nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4£'-4“^^quot;4”^r-4quot;^^

o o Q o Quotiens -i-a-i-b.

Divifo a c per c, (ut in fimplicibus) fit 4, fcribendum fub lines in quotiente. hinc multiplicato diviforc c ^1 per quotientem in-ventum a, produftum ac-{-adcs dividcndo auferatur, feriben-do partes ejufdcm denominationis fub invicem, amp; reliquum fubnbsp;lineainfra dufta, Vndecum fubdu(5to4c ex4c, amp; 4ö^ex^^^^ma-neat nihil, fcribitur fub linea dufta o. Deinde divifo -\-bc pernbsp;-^.c, fit ^gt; afcribendumprioriquotienti. undemultiplicatonbsp;divifore c per hunc quotientem ^,fit prodiidum ^ c -f- ^ d.nbsp;id quod fi fcribatur, ut ante, fub dividendo, 8c fiat fabduótio j eritnbsp;pro reliquo fub linea fcribendum o. Et peraéla erit divifio.nbsp;Eodem modo ad dividendum ac—ad—bc-^-bdnbsp;perc~d;) ac—ad—bc-^bd

— b

Erit quotiens nbsp;nbsp;nbsp; 4—b.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-4*

Divido primum 4cperc, amp; fit 4, fcribendum fub linea in quo-* ticntc. lam multiplicato divifore c—per 4, fitprodudutn

ac-

Matheseos Vniversalis. 13

—ady fubducendumex dividendo, amp; relinquituro. Deinde divido—^ e per c,amp; oritur — ^jfub lineafcribendum in quo-tiente. Quoniam autemmultiplicato diviforec—«(per—b, fitnbsp;produöum — bc-\-hd, amp;eoex reliquo dividendi ablato, re-manet nihil; patetdivifionem efleadfinemperdudam, amp;quo-tientem efle

Sic etiam ad dividendum na—lab-^-bb nbsp;nbsp;nbsp;aa 4

per 4—b\')aA— ab nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a

o — Ab nbsp;nbsp;nbsp;—^b —b

— ab^bb nbsp;nbsp;nbsp;-4“ 4

o o

fit quotiens 4—b.

Divido primüm 44per4, amp;oritur4, fcribendunafublinea in quotiente. Vnde miïltiplicato divifore 4—b per 4, amp; ablatonbsp;produólo 44—abtsi dividendo, fcribendum erit reliquum—abnbsp;iublinea dult;9:a infra — zab. Deinde divido—4^per 4,amp; fitnbsp;•—b, fcribendum fub linea in quotiente. Turn dudo diviforenbsp;a — ^ in — by fit produöum — ab^bb, quod fublatum a reliquo dividendi relinquit o. Et erit operatio finita, ac quotiensnbsp;qu«efitus4 — b.

Eademrationc fi dividendum fit 4 4—^'^per4 ^.

Divid. nbsp;nbsp;nbsp;44—bb

Divif.4 ^) 44—bb o o

Qiiotiens

Incipiendo rurfusaprimo termino, divido 44 per 4, amp; habebitur 4, fcribendum fub linea in quotiente. Vnde multiplicato diviforenbsp;4 ^ perquotientem inventum4, producetur 44 4^, quodnbsp;lublatum ex dividendo rclinquet—4^: amp; quoniamhic terminusnbsp;prater fuperftitem — ^ ^ ad dividendum hue accelïit, ideo poft li-neameiadferibitur. Deinde divido—ab (nempe id quod modónbsp;ad dividendum acceffit) per 4, amp;habetur — b in quotientenbsp;fub linea fcribendum. Qiio fado, fi multiplicetur divifor 4 ^nbsp;per hunc quotieniem — ^,exfurget—ab — ^^ad fubtrahendumnbsp;exeo, quod rclinquitur in dividendo: quod cum poft fubtradbo-

B 3 nbsp;nbsp;nbsp;nem

Principia

nemrclinquato,quot; liquetabfolutamefTeoperationem, amp;qaotic!v tem fore 4 — h.

Necaliterferesbabetficlividaturlt;ï’ ^^per4 ^, amp; inci-piatur ab ultimo termino.

Etenim divifo -4- b^ per b, fit-f-b b, fcribendum in quotiente. tumdudodivifore4 ^m ^^gt;producitur 4^^ ^* : ld

quod fi fubtrahatur ex dividendo , relinquetur — aéb. Deinde divifo — a bb per -f- ^, oritur — ah ^ fcribendum in quotiente,nbsp;quo multiplicatoper diviforem4 ^exfurgit — aab'— abb^zAnbsp;lubtrahendum ex reliquo dividendi, eritque refiduum-4-44^.nbsp;Denique divifo 44/^per4.i, prodibit '*^fcribendum innbsp;quotiente. undefimuItipliccturdivifor4 ^per 44, amp; pro-dudèum 4^ 44^ auferatur ex refiduo dividendi, eritreli-quumo. Idquodoftendit, divifo 4’ per 4 -4-^ , oriri4 4 —nbsp;ab-\-bbf quoderatfaciendum.

Sequuntur adhuc nonnulla exentplaad uberiorept exercitationem divijionis com^ojitarum.

Dividend. nbsp;nbsp;nbsp;4^—^aab-^^'^abb—b^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«—

DiYifor4 — b.) nbsp;nbsp;nbsp;-f- abb—¦—b\

•\-zabb o nbsp;nbsp;nbsp;quot;4- labb —‘lak-

*¦^244^-4^24^^ nbsp;nbsp;nbsp;b

•—aab nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—aab 44.

45— aab nbsp;nbsp;nbsp;— b

o o

Qiiotiens -4-44—zab bk

Divi-

Matheseos Vniyersalis.

Dividend. nbsp;nbsp;nbsp;^d^-{-izd^e—.^de^—e‘'

lyivi{.:^dd—ee)9a(‘*-4-i nbsp;nbsp;nbsp;—^de^—

o nbsp;nbsp;nbsp;o o o

—bblt;^-\~^^lt;ihb.

'—'-^AA I

Dividend. nbsp;nbsp;nbsp;—^quot;^Ayy—^4

Divifor^^—I (?) T*’ 8 nbsp;nbsp;nbsp;4jj—54

o——\%%jy nbsp;nbsp;nbsp;o

¦— 16y'^—1284^

o o__

Q^uottens -4“ i7‘*-4-8/j4-4*

Divi-

ïö nbsp;nbsp;nbsp;PRINCIPIA

Dividend.

Fag.~%. jyiy.yy-aa-cc)-^y^—aay^-ccy^-iayyyr(^yy-(i^- a^cc-aac'

-A^CC o —a'^cc

Pag. 5 So.D ividend. nbsp;nbsp;nbsp; \y-^y PHuy-fKuq-y.fa'^f yfiu‘*y]^fmf

Im.ï 5. Dïy.^-^-jfm pm) \y-yflt;yy-pmq-f(iuy-yPM‘^q-\-ypu^y\ jfuHij

4-f.

Quód fi quantitates dividendae occurrant, quae prajcedenti modo dividi nequeunt, fubfcribendus erit divifor ipfi^ividendo,,nbsp;interjeda lineola, llcut in fradlionibus vulgaribus. Vtaddivi-

dendumlt;i^—deperis?4-e, fcriboproquotiente^^j^^^. quo

indicaturi3^—(jedivifumeffeper^i4-e, veladhuc efledividen-dum. Sicamp; fi^^4-^«/4-ccdividaturper^ 4-ö!jfitquotiens feu

fradlio^i^t^^idf, hoceft, b nbsp;nbsp;nbsp;. Quippefaepeconducit,,

utin Arithmeticavulgari, divifionem, quantum fieri poteft, in-ftituere, amp; quod fiipereft inftar fraftionis quotienti adfcribere.. Et tantum de divifione.

De EXTRACTIO NE RADICES.

^Voniam autemde Radicis Extraclione , quae pro divifionis '^fpeciehaberipoteft,agendumreftat, fciendumeft, ejusope-rationem non efle diverfam ab illa, qua in Arithmetica vulgari ra-^nbsp;dix ex dato aliquo numero elicitur.

Etenim

Matheseos VniVeusalts. 17 Etenim ut a mulciplicatum per a facit a a^ feu a quadratum,cu-jus radix feu latusdicimr^j fic amp; radice quadrataextraöa ex«*lt;«nbsp;provenietrurfus^. Similitercumlt;ïlt;t,hoeeft, 4quadratummul-tiplicatum per a producatlt;j’ feucubum ex 4; ita etiam extradanbsp;radicccubicaexlt;*b fieti*. Et ficdecsteris radicibus.

Nee alitcr fit fi ex quantitatibus compofiüs radix fit extrahen-da. Siciuenimex quantitatibus flraplicibus radicis extradlio non fccusfchabetatqueextraéiioradicisexaliquonumero, quxtantum unius üt charafterij: ita radix, quantitas exiftens compofita,nbsp;non aliter extrahetur, ac fi ex aliquo numero radix, quae pluribusnbsp;conftet charadleribus, eliceretur.

Vtadextrahendam radicem quadratam ex AA-^iAb-^-bb' extraho primum radicem ex aa,Sgt;c fit ^,qu£e in fe multiplicata amp; abnbsp;ablata rclinquit o. Deinde multiplicato lt;« per 2, di vido ZAb

Xi^uadratum aa-^ 1 ab -^b b aa-^i ab-^b^nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00

Radix a-\-b Divifornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 a

per 2 4, amp; fit ^: quod adferibo priori radici inventse a. Hinc fiducatur2 lt;ïin h,(it-^zab^ quodfublatumex 2 i*^relinquito.nbsp;Similiter fimultipliceturè in fe, fiet ^^j quaitidem ex^nbsp;ablata, reraanebit o. Et operatio eric ad finem perdudta , eritquenbsp;radix qujEfita^ ^. Etficdealiis.

Exem^la extraBïonis radïcnm ex compfith.

Quadratum — z aabb~^h^

Radix

Divifor

Qiudratum C^xx—iffox ioo Radix Sx — 10nbsp;Divifor 16 X

Pars IJ. nbsp;nbsp;nbsp;C.

Cubus nbsp;nbsp;nbsp;4^^ 4.^3

Radix a-\~b Divifor 3 lt;ïlt;i

Cub. 27X®—54x5 171^?“*—i88Ar’4-2 85A:;e—i5o;v i2 5 Cub-^T^* %']x^—54^;^ gö’.v'*—¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8x^4- 60XX—15; 0x4-12 5 Rad. 3 xx_

o nbsp;nbsp;nbsp;o4-i3 5x‘‘—i8ox^4-i2 5xxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Q o 3XX

-t-i3^x''—180X34-225XX nbsp;nbsp;nbsp;3XX

9 o nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9x^.

Radix nbsp;nbsp;nbsp;3xx^—^ax-i-^.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;per 3

27X'* i.div.

-2xquot. primus.

.2 X

Matheseos Vniversalis. 19

~6x^ ^xx -6 x^

^¦^(Sx‘*. ' nbsp;nbsp;nbsp;^']x‘'—3(JA-^ i2^^.Secand.div’.

5 nbsp;nbsp;nbsp; 5

5 quotus fecund. f nbsp;nbsp;nbsp;^

zj

3 XX— 2 X ^

Z7Ar^—-^Cx^ ïixx 4-75XX—50A: Hhii5-

_ nbsp;nbsp;nbsp;4-___5 nbsp;nbsp;nbsp;^___

i:}'^x*—iSox^ 6oxx. nbsp;nbsp;nbsp;¦ -zz'^xx—i'^ox.

Cxterutn fi quantitates, exquibusradix extcahidebet, taks fucrint, ut radix prjedilt;9:o modo invenirinon poffit, delignabitutnbsp;ipfaprxfigendoquantitatibus propofitis fignum'y/. Vtadextra-hcndum radketn quadratam cna fcribo y' ^; quo indicatucnbsp;radiccm quadratam ex 4 lt;7 eik extraftam, vel adhuc eflc extra-hendam. Sic amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dcfignabit radicem quadratam ex

aa-^hb.

Similiter ad extrabendum radicem cubicam ex aaq^ fcribo Y C.a.aq. Vtamp;y^ C. agt; •—h' oFbl ad extrabendam radicemnbsp;cubicam ex 4’ — b^-^-abb. Quae quidem radices vocantur quantitates Surds feu Irrationales, admodum numerorum furdorumnbsp;feu irrationalium, dequibus Aritbmeticiagunt.

Vbi notandum, fignum |/, vocariSignum Radicale, atque In geilere ufurpari ad denotandam quamcunque radicem, five Quadratam , five Cubicam, five QuadratO'quadratam,amp;c; fed ad il-lam diftinguendam, communiter fcribi Y Qjt etiam fimplici-ter ad denotandam radicem Quadratam; amp; y^ C, ad denotandam radicem Cubicam: amp; Ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V gt; denotandam ra

dicem Quadrato-quadratam, amp;c. qus radices etiamfic defignan-

tur;-j/@,y0,y0^g^c; atque ab alüs, hoe qu oque pado;

3(3i,amp;c.

DE

Principta

Tgt;E log 1ST IC a fractionvm.

Vandoquidem cx divifione quantkatum fimpliciumSi: com-pofitarum ollenfumeftoririFracliones, ficut in Arithmeti-caviilgari, quarum operatio eafdena leges fequkuratquenume-rorum fradorumvulgarium; fatis erit, ii luppofitis horum regu-lis, illarum operationem exemplis exponamus.

Hinc, cumper fradionem quamlibet defignetur femper divi-fionem aliquam cfl'e faciendam, iitpote illarum quantitaturaquat numeratoris vicem gerunt, per quantitates, quse pro denomina-tore habentur, facile conftat, li numerator denominatori fue-ritsequalis, tune per fradionem illam defignari unitatem. Vt

fï ’ ^1 ^’ amp;fimiles. Vndepatet, quanam ratione unitas dc-

notari poflit in formam fradionis,cujus denominator fit is, qui rcquirltur.

QnödfiYci-aa^,aa-~l’i’, amp;c. in formam fradionis defignare

Yctimus, opor.tettantum,afliimptoamp;(«lt;*¦—I'é’, amp;c. tanquam numeratore fradionis, fubfcribere pro denominatore unitatem,

hoe pado: nbsp;nbsp;nbsp;^, amp;c.

Porró fi quantitas aliqua , ut 4 , defignanda fit in formam fradionis, cujusdenominator eafit, quaepr3efcribitur,ut(!/,autnbsp;amp;c;oportetmultiplicat04per^ ,autperlt;i ^, fcriberenbsp;adnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aa~\~ah a

7 ’ nbsp;nbsp;nbsp;-a b ’

Non aliterfit, filt;i fit redigendura ad formam unius fradionis. Etenim, multip]icatolt;«per denominatorem^i, addatur produdo^ïnumeratoramp; (amm^ad-^aaiab^chbatur denominator d, habebiturquenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. Sic amp;, —^4 in formam

Matheseos Vniversalis. ¦ m

produÖo fcribendum effc numeratorem aa. Nonfccusfi multiplicctur pefis—produftumerit ^Vndepatetadmui-tiplicandum per iah‘, quoniatnmultiplicato per z b,pro-

duÖum eft a; fupereft tantum ut hoe produdum adhuc multipli-cetur per a, uthabeatur qushtum produftuuii^. Similiterad multiplicandum iper zah: cum multiplicato iper 2, fiat i; hincnbsp;mukiplicandum tantum reftat i per^^, amp;fitprodu61;umqu2efi-tum I « ^ feu Etficdealiis.

¦Dé’ ReduBkne fraBionum ad pmflkiorss.

J Am ad reducendum fradlionem nbsp;nbsp;nbsp;ad fimplicioremjelisa com-

niuniliterac-, quse tam innumeratore quam in denominator

reperiturjfiet . Sic amp; ad abbreviandum : elifis literis 4,

hh

ducit44c—a ad; hinc

n nbsp;nbsp;nbsp;. aa

ctum , ent ~ .

a

Pari ratione ad reducendum nbsp;nbsp;nbsp;; quia ( ut

fupra)divifo4lt;ïlt;'peroritur id quod multiplicatumper

cd — nbsp;nbsp;nbsp;producit4 4C'—aad; amp; rurfus — bbc divifo per cd,

bh nbsp;nbsp;nbsp;^

oritur— quod per nbsp;nbsp;nbsp;multiplicatum producic —bbc

J^bbd; hinc ~~abbreviatum,facit nbsp;nbsp;nbsp;.

c d-dd nbsp;nbsp;nbsp;lt;J

„ai ccoomm-^Aa‘cc m^ptf ¦ nbsp;nbsp;nbsp;r •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cc mm

Sicamp;-abbreviatum, tacit

/» n ft f» r* -1. 4 w h? -y* nbsp;nbsp;nbsp;*

//».! 5..

Principia

^ Nam aac—aadi'mhm^ercd—dd, facit ; $c — acd-^adddmCam^ct: c d—dd,^tcit—lt;*.

Similiterfifaerit -f TaJ'^b ' nbsp;nbsp;nbsp;'=*'*

2 ah-\-hl?, 5c relinquiiurpoft divifionem ^ ^^^ a i-Xnul-la hïc quoüentis a—ib habita ratione) . Deindedivido44

1 a b-\-b b per reliquum 4-1 ^ é z amp; fit quotiens ~

Hinc cumpcraöa fitdivifio, amp; nihil remaneat, dividenduserit nuraerator—ab b Sc denominator 4lt;* z a b-^b ^per labb

z^’, Invcnieturque nbsp;nbsp;nbsp;, pro numeratore,

amp; nbsp;nbsp;nbsp;, pro denominatore.

hoe eft, multiplicando ubique per z b è,habebimr nbsp;nbsp;nbsp;•

Nee aliter fit ad abbreviandum

per 4 —bb, relinquitur a b P: dein a a — bb^ziAbb — é’, fitqaotiens^~ p amp;perada eft divifio abfque reliquo. Qixa-re fidividatur 4^ — b^ Sc a a—bb^cïabb —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

fiet ^ I, pro numeratore.

amp; nbsp;nbsp;nbsp;_p. i , pro denominatore.,

Ideoque fi ubique multiplicetur per b b, fiet fractio reduda

A d d h h h

d 1,

... nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—aah^dbh_6? nbsp;nbsp;nbsp;•-

Sïtïiili operationc rcducitur nbsp;nbsp;nbsp;' ^ ----—• VC

3c4-5

Oftensa igitur ratione, quafraöiones adfimpliciores reduci poflunt, fupereft ut expUcemus, quo paddo datis duabus aut pln-ribus quamitatibus, five fimplicibiis,live compofitis, inveniaturnbsp;minima quanticas, qus per ipfas fine reliquo dividi poteft. idnbsp;quod in fequentibus ufumhabere patebit. Eftautemoperatiofi-milis ei, quafecLindumprop. lib. 7. Elemcntorum Euclidis,nbsp;datis duobus numeris, minimus invenitur numerus, qui per ipfosnbsp;fine reliquo dividitijr.

Matheseos Vniversalis. x3 Vt, ad inveniendum minimam quantiutem, qux dividi poteftnbsp;per duas datas aac Be cd;conftitutis aac amp; cd in formam fraétionis,

hoe paélo: nbsp;nbsp;nbsp;reduco fradionem hanc ad cjus primitiyam, feu

(Impliciorem^-j.Quibus juxta fe poficisjhoc modo:

11 multiplicatio inftituatur per crueem , procreabitiir eadem quantitas ex aac md, atque ex cd \aaa'. hetenim utrobiquenbsp;aacd, minimaquippe quantitas, qujEllnc reliquo dividi poteftnbsp;fcvaacamp;c cd.

Sic amp; ad inveniendam minimam qiiantitatcm, qus dividi poteft nbsp;nbsp;nbsp;aac^aadSc cd—ddi reduco(utante) tra-

ö.ioncm nbsp;nbsp;nbsp;ad ejus primitiyam : Turn multiplicato

anc — aad^cï d,n\t c d—d d per a nbsp;nbsp;nbsp;quantitas quïfita a a cd

'—ei^dd. minimafcilicet, quxdivifibilis eftper aac — aadSc cd — dd.

fl4 - h*

di poteft per a a—abSca-^è‘. quoniam ïes terminos reduci nequit,multiplico 4^ — ^ per ^, ( cum

fecundumprscedentiafcribendumforet

amp; fit qusfita quantitas a^ — abb.

Catterüm datis tribus aut pluribus quantitatibus, invenietur minima quantitas qu$ per ipfas abfque reliquo dividi poteft, hoenbsp;modo; Vt ad inveniendam minimam quantitatem, quaedividinbsp;poteft peri*^—abb,aa-{-'i-ab-\-bbyBi aa—bb: quaero pri-mum, ut ante, minimam quantitatem, quae dividi poteft per

Matheseos Vniversalis. 2.7

—^reducipofl'untadlt;* — bamp;c i jhinc multiplicatis4 4—ab

-f.^^per4 — hySca^zY i .ptovenit

plicabitur ‘-jpp per44'—hbydc producetur^’

cumenim44—é éfiatex4H-^in4 — nbsp;nbsp;nbsp;— - . ,

tumper4 ^producat4 4 — a,b, fupereft tantum multiplican-dum44 — ab per4—uthabeatur4’ — z aab abb.

Denique fi multiplicandum fit “jj per c—d, fiet, divifis cd — dd^ttc — d, produ61:umnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•

De Di'vijtone fraBionum.

J^Ddividendum^ per : omifib coramuni denominatorc £',divido4p per^lgt;, fietque quotiens ab. Pari ratione finbsp;¦^rf-dividatur pernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, onetur

4a —

Quód fi denominatores fuerint diverfi, redudio adeandem denominationcm fiet, fi multiplicatio inftituatur per crucem, ut

invulgaribus.Vtaddividendum nbsp;nbsp;nbsp;—fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, quo-

niam multiplicato prioris numeratore 4^ ¦—¦ b^ per pofterioris de-nominatoremc, amp; hujus numeratore 44 — ab bb perillius denominatorem A fiunt a’ c*—c amp; 4^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; hinc quotiens

ai c — bi c

D J, nbsp;nbsp;nbsp;Ad-

MaTHESEOS VnIVERS ALIS, dixquadrata-ex44^'^eft/i égt;,8c radix quadracaex tceftc, fcribo

pto radice quaefita

Eodera modo, fi extrahatur radix quadrata ex

’ nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aa-i-^ab ^l,!,^

öionis facit nbsp;nbsp;nbsp;^ quadrata ex 100—160 x

ö'4JrA;cftio — 8x, amp; radix quadrata ex a 5 eft 5 j erit radix

quïfita quot;quot;

5XX-

-9XX4-17X—17 nbsp;nbsp;nbsp;X }

Quod fi quxdta radix praidido modo ex numeratore atquc denominatore extrahi nequic, prxponiturdatcE fraótioni fignumnbsp;radicale V-Vt ad extrahendam radicem quadratam ex —ac^

fcribo-y/ nbsp;nbsp;nbsp;velquia — lt;1 £¦ in formam fraftionis

. ccxx-^abbc o ,

'» amp; ex denominatore 4 ^^extrahi poteftra-dix , qua;clt 2 h: ideo quxfita radix fic quoque fcribi poterit

^-. Similiter radix quadrata ex erit-----.

Tj ^ j ....... M-ybb yaaybb

dem de reliquis radicibus eft intelligendum.

logistic A QVANTITATVM SVSIDARFM.

^^Vemadmodum fraéiiones oriuntur ex divifione imperfeéla quantitatum, quarumuna per alteram fine reliquodividine-quit. ex extraöioneradicis quantitatum radicem non haben-tmmex utgunt quantitates Surdaj, quarum operationem fequen-tibus exemplis cxponere vifum fuit.

T)e ReduB^ïone cj^uantitMum fitrdaYutn.

^Cicndumitaque, quod, ficutadoperationeSifraaionumdi-vcrfe denominaiionis oportet priüs ipfas ad eundem denomi-

D 3 nbsp;nbsp;nbsp;nato-

30 nbsp;nbsp;nbsp;Principia

natorem reducere, ita amp; opus fit, quantitates furdas, fi diverfa fi-gna radicalia habuerint,reducere ad idem fignum radicale. Quod fit, fi adnumeros, a quibus radices denominantur, minimus in-veniaturnumerus, quiperipfosfine reliquodividipoffit. Vt adnbsp;reducendum Ylt;* ffieu ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sc Y|/0 ^ lt;2 .j' ad idem

fignum radicale: quaero ad 2 amp; 3 (numeros a quibus YY^ denominantur) minimum numerum, qui per ipfos line reliquonbsp;dividi poteft, qui eft 6. lam cum 6 divifo per 2 oriatur 3 , amp; pernbsp;3 divifo oriatur 2 j hinc aq multiplicandum erit infecubicè, Scnbsp;aaq quadratèjfientque fub eodem figno Ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Y ®

SiY nbsp;nbsp;nbsp;q qïcwY® q q.Sïc Sc Y

eodem figno radicalierunty' Y(tabbScY Y ^‘‘b abK

Hue refer cum quantitas aliqua rationalis per multiplicatio-* nem in fe reducitur a^ aliquod fignum radicale. Exempli gratia:nbsp;ad reducendum 1* ^ ad idem fignum radicis cum Y aa bbnbsp;oportet multiplicare4 ^infequadratè,amp;; fitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z ab-^-bb,

Non fecus fi multiplicetur ^ in fe cubicè, fiet

¦j/C.lt;ï5 344^ 3lt;i^^ /'*fub eodem figno cum y'C.a^—b^ abb.

Etficdealiis. nbsp;nbsp;nbsp;•

Deinde fciendum, quantitates furdas non raro ad fimpliciores reduci pofle, -tollendo ex figno radicaliquiequid eft rationale:nbsp;nimirum, dividendo quantitates fub eodem figno Y comprehen-fas per aliquod Quadratum,vel Cubum,amp;c. per quod multiplica-tionc fuerintproducftge.Vt 3/75 -^reduci poteft ad 5 lt;*-1/3 : namnbsp;75 4^producitur ex multiplicatione 25 4lt;jper 3 , quarum radices funt ^ a ScY 3 i adeout, fiy^ lt;2lt;ïdividatur perquadratutnnbsp;2^ aa, fub figno radicali tantum feribendum fit 3 , hoe modo:nbsp;lt;^(iY 3. Idquodmonftrat 5 hoceft, y 25; multiplicatumnbsp;efiepery' 3.

Eodem modo cum a^b-\-aabb dividi poflKtper quadratutn aa, amp;oriatur ab-\~bb-, fit utpro Y b-{-aa.bb fcribiqueatnbsp;(lY cl b-\-bb.

Similiter quoniam ti' b — aabb-^iaabc-\-abcc — bbee—zb^ c-^b* dividi poteft per quadratum aa-^z ac-^nbsp;cc—lab—2^c4^^,cu;us radix eft lt;i c—quotiens eftlt;?^ ^^i

hinc

MaTHESEO S VnI VERSALIS. nbsp;nbsp;nbsp;3I

hinc loco nbsp;nbsp;nbsp;—aabb-^-iaabc-^-abcc-

fcribi poteft a-^c — b -j/^ b-^-bb.

Nonfccuspro-j/-^^-,— ..........y

redudo enim ultimo termino ad eandem denominationem cum priori, poteft utriufque numerator dividi per a amm,c\i\\is radixnbsp;cft Am, oriturque 00 4mp. Denominator auterti cum fit ratio-nalis, liberabitur a figno -|/, extrahendo radicem G'amp;ppz.z..

Eadem ratione loco

y C. nbsp;nbsp;nbsp;—^x^-\~i'jx'^-—15 — io8 XX 324 a:—324

icribipoteftAT — 3-j/ C. at’ iz. Etficdealiis.

Verum enimveró quoniam fspenumero difficile eftinvenire Quadratum, Cubum, amp;c. per quod divifio, ad hanc reduétionemnbsp;necelTaria, inftituipoflit; non inutile fuerit, fi hoe loco oftenda-nius, qua ratione datarum quarumlibet quantitatum diviforesnbsp;omnes inveniantiir, perindeatquein numeris eftoftenfum. videnbsp;p. 300.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;...

Dividantur data: quantitates per quantitatemaliquam primiti- 'Ratiom-vam (hoceft, quxnon nili per unitatem autfe ipfam dividi po-teft ), amp; rurfus quotiens per hanc eandem five aliam primitivam, idque fiat donee perveniatur ad quantitatem aliquam primitivam, quarum-quse per fe ipfam eft dividenda. Vt ad inveniendum diviforesnbsp;omnes quantitatis^H -^-aabb: divido^i^ ba a b b ^cr a,8cnbsp;aab-\-ab b, id quod rurfus per a divifum dat ab-^bb. lam quianbsp;quotiens hicper 4ampliusdividinequit, divide4pernbsp;amp;provenit a-yb, quecquantkas eft primitiva, ideoque per fenbsp;ipfam dividenda. Quibus peradis relerventur divifores a,(i,bynbsp;a-yb.

lam ut ex hifce diviforibus inveniantur divifores omnes quanti-tatis4’ ^“tquot;^lt;ï^^,multiplicoprimumlt;aper^, amp;fitiï^. Deinde ^per i,a,Scaa, fiuntque b,ab,8i lt;r;lt;^^.Deniquemultiplico4 ^nbsp;per i,a,aa,bya b, Si a ab, amp; dam a-y b, a a a b, o' -J^aabynbsp;Abb by AH b“fquot; Ab bfSc b-4*AAbb-

RINC IPIA

a.

a a.

aégt;- a a b.

Atcjue ita divilores omnes erunt i ,a,aa, b,ab,aab, a-^b, aa-^ab, AAb,a,b-^bb, aababb, amp; b-^a abb.

Sic amp; ad invcaiendum omnes divifores quanticatis^*'—¦% a'^ bb ^zaab^ b^: divido— i aquot;'bb — i aab'^ perquanti-tatem primitivam aa-{-bb, amp; fit lt;»¦*— 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; id quod

rurfus divilumper quantitatemprimitivam aa-^-ab—bb dat aa—ab — bb, quaequantitas etiam primitivaeft, adeoque pernbsp;fe ipfam dividenda. Eruntque divifores refervandi aa bbynbsp; a b — b b,amp;c a a — a b — b b.

~zaab‘^-\-b^Y‘'—'h ‘*‘^bb-{-b‘'

aa..^~bl^ aa^^ab—bo Ex quibus ut inveniantur divifores omnes quantitatis-*®—2 a!^ bbnbsp;¦—’Z aab'^-^-b^: multiplico primum aa-^bb^exaa-\~ab—bb,nbsp;amp; fit a‘^a^ bab^—Deinde i,aa-^bb, aa-^ab—bb,nbsp;amp; a^-^ a^ b-\-ab^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a a—ab—ab—bb, fiuntque^lt;j—ab—bb,

a‘^-—• a^ b'—ab^'—b^, a^— ^aabb-^bquot;^, Sc a^ •— 2 a'^bb—¦ 2aab‘'-^-b^.

, nbsp;nbsp;nbsp;I-

OA'^^bb. nbsp;nbsp;nbsp;aa-.^^Ab—bb.

A‘‘-\-a'^b-{-ab^—b'^.

aa—ab— bb. a‘^—a^b—ab^--b*.a*— 3aabb b‘*.A^— za'bb—taab''' b^. Ita ut divifores omnesfint i,aa-\- b b,aa-\~ ab — bb, aquot;'-\-a^ bnbsp;-j- a b^—b^, a a—ab—b b,a‘^a^ b — ab^ — b'^,a'^— ^ aab b^bquot;*.nbsp;Sc a^ — 2 a^bb — 2 aab*- -^b^.

Eodem modo ut inveniantur divifores dmnes quantitatis a^ 2 a'*cc aac*: divido a^-f-ia^'cc -f-aac* per lt;«, amp; fitnbsp;a^ -i-2 a^c c d c^qiiod rurfus per a divifum, dat a‘*-^zaaoc- -c‘*.nbsp;lam cum hie quotiens dividi amplius non poffit perlt;! autefimi-Icmvequantitatem, divido a''-l-zaacc-i-c'*peraa-f-cc,vel,nbsp;quod hic idem eft, ex a‘*-^-2aacc-t-c^ extrahoradicemqua-

dratam

Matheseos Vniversalis. 33

dratamlt;ilt;ï-l-CÉ-, quadenuopcrfeipfamdivisa, provcnitr.Vn-decumdiviforesrekrvati fint a,a,aa-{~cc,di aa-^cc; ïieo ut ex lis inveniantur diviforcs omnes quantitatislt;*® z a^c c-^aac*:nbsp;multiplico pritnum per a, amp;fit ^ deinde I , a, 8c aa pernbsp;aa-\-cCi üaat({i\t aa-\^ c c, a c c y Sc ^ a a c c: acdeni-({ue a a ~j~ c -i-a c c, amp; a'^-^aafcpevaa-j-cc, amp; fiunt4'' nbsp;2aacc-i-(;\a^ 2 cc-t-^ic\ amp; lt;*^ ^ c-^aac‘‘ ,• erunt-que divilores omnes \ya.yAa,aa,-\-cCyA'^-\‘^cCyafgt;-\-Acicc ^

^ nbsp;nbsp;nbsp;2 AAC C -J- o'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 A^ C C -J* Ac'^y8iA^ -{- 2 A^^ C C —J- A A c'*.

“* ~^'^‘^*''^~^I^AC‘'\a'-\‘2A^CC-\-AC'^ j lt;I^-\‘2AACC-\^C'^

^1 nbsp;nbsp;nbsp;a\,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aA-\~CC

I.

a a.

Similiter ad inveniendum divifores omnes quantiiads b — AAbb-\-2 aah c-\;-Ab c c — Ah^ bb cc— 2 b^c-\-b‘*’. quia, la-6ta divifione per by oritur — alt;»é 2 aa c-\-acc^—Abb-\-b CC'— 2 b bc-\-b^ y 8c hu jus quotientis per a b, oritur lt;« lt;3'—nbsp;2Ab-\- 1 AC'—'2 bc-\-cc~^bb,8c radix quadrataex a a— lab

2 AC--2 b C “h cc-\-bbt^ta-J^c — by\xoczïk,AA'—2 Ab —

2 AC—2bc-\-cc-\-bb divilumper4 e'—b, dat A-^C-b-y

divido demum a-\-C'—^^perrf C'— nbsp;nbsp;nbsp;amp; fit i. Vndecum di-

vdores refer vati fint^, lt;?- ¦/', c—by8cA-{-C'— b-, multiplico b per lt;j-f- !gt;, amp; fitlt;ï^ turn lybyA^bySiAb.-^-bb per c— iquot;,fiuntqueI* c—b,Ab-\-bc — bbyAA 4- a c -j- b cnbsp;- b b,8i AA bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Abc -\-bb c — b^: ac denique «i-j- c— by a f-

hc—'h by aa-\~ac -gt;rbc — bby 8i AAh-^Abc-\-bbc'—^^per A-{-c—by fiuntquelt;ïlt;«—^ 2 4Ó zac— 2 b ccc-\-bb,Aab-\-

2 Ab c-^bc c — zabb'— 2 b b c-{-b^, nbsp;nbsp;nbsp; 2 a ac A C C-A A b

•— ab b-\-b c c—2 b b c-\~b'lt;,8c nbsp;nbsp;nbsp;b-\-A Ab b-\-2 AAb c~^A bcc

—Ab'^ -\-bbcc—-2b^ c-\-h‘^. Atque ita divifores omnes erunt i, bya-{-b,Ab-^bb,a-i-c— b, Ab-\-bc'—bb^AA-^A c-\-bcnbsp;'—b byAAb -\-Abc-\-bbc—b^yAa—2ab-^2Ac—zbc-^-cc

bbyAA h 4quot; 2. Ah C’^b c c—'Zabb'— 2 b b c-\-b^yA^ -^2 aac Ars II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp; rfcc

34 nbsp;nbsp;nbsp;P R I N C I P I A

• -acc'—iitaêgt;—ab b-^b c c—i bhc-k-b^-,^ a^b—ciabb-^-iaabc

• -abcc—-ab^-^bbcc—zé’c équot;*.

Non fecus fi proponatur^’ hc—ab'^ c, invenientur ex divifo-ribus refervatis 4, b, c.,a—• b, Sc a-\- bèWiiorcs feqHentes: i,a, by a b, c,a c,b c, a b c^a — b^a a¦— a b,a b —¦ b b,aab — a b bya c b Cynbsp;(tac—ahc,abC'—bbc,aabc—a bbCya-\-b,aa ab, ab b bynbsp;aab-{-abb,a c-\-bc,aac-\-abc, abc bbc, aabc-\-abbcynbsp;aa‘—bbyO^ •— abb,aab — b^ ,a^ b — ab'^yaac — bb c,a^ c—ynbsp;abb c, a abc.'—Cyèc a^ b c—ab^ c.

Neque praetereundum hoe loco videtiir, quopaöo horumdi-viforum ope du» plurefve quantitates datasalia ratione, quam ex fuperioribns facile fuit colligere, ad firapliciffimos terminosnbsp;reduciqueant. Vtadreducenduna^ï^'—abb^aab —nbsp;aab — abb—^b^ ad terminos finapliciffimos, eandem cumipfixnbsp;rationem habentes ; quaero primo ( ut ante ) omnes cujufquenbsp;quanticatis dacae divifores : eruntque ipdus —a b b divifores i,nbsp;a,a — b,aa—ab, a,-\~byaa-^abyaa — bbySc a,^—abb: ipfiusnbsp;autena aab — P divifores erunt 1, by a — b, ab—'bb, a-\-bynbsp;a bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b b,a a — bb,Sgt;c aab—b^: at verb ipfius aab—abb

— b^ divifores erunt i,lt;ï—•bya-\-b,aa—bb,aa-\-iab-{-b by èca}^aab — abb — b^. lamcuminter ipfostres fint, quilibinbsp;invicem refpondeant ,ut —bya-\- b,amp;i aa — bh, quorum openbsp;datse quantitates ad firapliciores reduci poffunt ; hinc ad inveniendum terminos fimpliciffimos.divido a^—abbyaab,aab—amp;nbsp;a^ aab—abb — b^'^eraa —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(utpote diviforem pluribus

dimenfionibus conftantcm),fiuntque nbsp;nbsp;nbsp;Vbinotan-

dum, quantitates propofitas fore inter fe primas , finullicx divi-foribus libi mntuó refpondeant.

Qus ratio inveniendt divifores non ineptè quoqtte adhiberi poteft ad fraöionum abbreviationem. Vt ad abbreviandum

rdefu^a. ^ Tab b 1' nbsp;nbsp;nbsp;numerator quam denominator dividt

poteft per a-i-b, potent pro nbsp;nbsp;nbsp;fcribinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. Et fic

de exteris.

Inventis autem omnibus diviforibus, videndum eft numaliqui ex ipfis fint quadrati, velcubi, amp;G., qui fireperiantur, adhiberinbsp;potenint ad prxdiftum moduraliberandi quantitates ex figno radical!.

cc

ab^ -{-b bcc — z b'' cAr b'^

_bb. Similiter cum numerus 7 5 inter di-

viforesguoquehabeat quadratum numerum25, reducipoteric

quot;Y']') aazA'^ ay Ita amp;,quia 1200 dividi poteft per numeros quadratos4, is^ z^ , 100, amp;400; poterit pro 3/ izoo aa bbnbsp;lcribi2 4^|/^Qo vd^aby vel ^ aby 48, vel 104^3/12,

veldeniquc2o4^y'3.

Quod fi inter divifores pratter unitatem quadratum nullum autcubus amp;c. reperiatur, non poterit data quantitasprscedentinbsp;modo reduci, niliveliseam infbrmamfraftionis defignare. Vtnbsp;quia 10 praeter unitatem quadratum nullum inter divifores ad-mittit, poterit 3/104 a., dividendo 10 per aliquod quadratum,nbsp;utlubet, ut4,25 , loo, amp;c. denotarihoc paéto: 243/1, velnbsp;5 43/f, vel 1043/^, amp;;c.

Sciendum denique, quod, licèt ha:quantitates omnesperfc confideratx furdïe exiftaht, tarnen inter fc collate duorumfintnbsp;generum: aliac enim diciintur Commenfurabiles feu Communi-cantes; alise verb Incommenfurabiles feu non Communicantes.

Communicantes funt, qus affinitatem habentcs cumquanti-tatibus rationalibus, aut etiam numeris, inter fe funt ut quantiias rationalis ad quantitatem raüonalem, feuficut numerus ad nu-merum.

Non Communicantes verb funt, quarum unius ad alteram rc-lationon eft ut quantitatis rationalis ad quantitatem rationalem, aut numeri adnumerum.

Ratio autem dignofcendi communicantes a non communican-tibuseft, fi, pottquamadfimpliciffimos terminosfuntredudse, reperiantur inter fe efle ut quantitas rationalis ad quantitatem ra-tionalem,aut numerus ad numerum.Vt 3/ 75448.: yzyaafiintnbsp;communicantes, quia divifione per 3/ 3 , maximum earwm com-

E z nbsp;nbsp;nbsp;ma-

Principia

munem diviforettijredLicuntur ady 2^^ aaamp;Y9 ««lt;*,hoc eft, ad

5 nbsp;nbsp;nbsp;3 4; adeout pro-y^ 75nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp; -y^ 17^4 Icribt poffit 5 lt;«)/ 3

6 nbsp;nbsp;nbsp;3 («-j/ 3, qu2E inter Ie flint ut 5 lt;2 ad 3 4, vel 3 ad 3.nbsp;Eodemmodo communicantes erunt-y/-y/mbb-\-h*^

quia utraque divisa per aa,-irb ^,oriuntiir -y/amp; -y/y ^,fcu 4 amp; ideoque reducunturad»? quot;y/ aa-^bo amp; ^ 3/^ -f-^quse inter fenbsp;funtut(«ad^.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_

Similiter communicantes funtl/-J- nbsp;nbsp;nbsp;amp;

r ^ tl •

y

y/ o ö 4 mp, quarum unius ad alteram ratio eft,ut ^ ad — , feUj» ad

Haud aliter communicantes erimti/.v‘* öar* 2 ia;-v 7 2 ar ioS

amp; y/xquot;*—^10 x54-3 7 X X-

qas eft ipftus ar 3 ad 5 — x. Et fic de aliis.

De AMtüone amp; SuhtraBione quantkatum furdarum.

Ad addendum vel fubtralicndum quantitates furdas, oportet primüm explorare utrum fint communicantes nee ne ; finbsp;enim communicantes fuerint, adduntur tantum vel fubtrahunturnbsp;quantitates velnumeri,quiextra fignum radicale reperiuntur. Vtnbsp;ad addendum y/ aa Scy/ z'] aa , hoe eft,54y/'3amp;3lt;?y/ 3,nbsp;fcribo, additis 5 amp; 3 pro fumma 8lt;«'y/3;amp;2«y/3, pro ea-

rundemdifferentia, utpote fubl.itis 3 4 ex j ___

Eodem modofifuerint y/ a‘^ aab b êi yaabb b‘',hoe eft, ay aa bbamp;b y/ Ta Tb • addendo amp; fiibtrahendo^ amp; b, eritnbsp;fammza by tn* ¦\-bb,ic differentiae:—by

lt;er ö p„pona.ur yi?;

'.yooJ^ji^mp amp; — y/oo qtwp, erit fumma£55i^ yoo-^-^mp^

amp;dif-

Y b b — XX amp; Y bgt;b-

funama —'j//'^^—Y^ bb xx. Pari

rationeadditis'l/ at'* é’ a i -v a-{- 72 x-\- to8 amp;_

Y — IQ :^7 XX — izo a; 300, hoc eft, ar -{- 3 Yxx izSc JZITxYVj^ 12,eritrumi-n3 8|/ A-Ar 12, eif-demque fubtraöis, erit differentia 2 x.— iY •*¦ a 12..

Quod fi vero non communicantesfuerint, non poteruntaddi velfubtrahiitautunam radicem conftituant, quocircaaddendacnbsp;vel fubtrahendx fuht mediantibus fignis amp; —. unde Btnomianbsp;amp;Miiltinomia exfurgunt.Vt (i addendum UtV aa-^bb3.AY —bb^nbsp;feribo profumma Y^^•\-bb-\’Y^é jamp; adfubtrahendumnbsp;1/4(j—b b de Y^‘^^bbt feribo pro reliquo Ya^ bb—Ynbsp;Non fecus fi addatur a-^ b 3.d Ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp; b b, erit fumma

a~h b-i-Y aa -\r b b \ at fi fubducatur Y a a,b h do. a -j- b, erit reliquum (i-\~b — Y aA~\~b b. Cum enim^s ^fit quantitas rationale, amp;lY^ '*-f-^^quantitasfurda,non magiscomipunicantesnbsp;effepoffunt, quamomnes quantitatesfurdae, quse diverfisfignisnbsp;radicalibus defignantujr. Haud diffimili ratione concludes lum-mamt'gt;^aa-\'bb-^AYaa-\-bbamp;iaa — b b —bY^^ bbeffenbsp;144 ^—bYaa bb, amp; differentiameffc zbb’Y‘^~YbyaA-^bb.

De i^Multiflicatione quantitatum fitrdarum.

quantitates dat3eluntcommunicantes,oportet, multiplica-tis quantitatibus vel numeris extra fignum radicale pofuis,

produftum multiplicare perquancitatem velnumerumfubfigno

radicalt contentum, ut habeatur produdlum quxfitum. Vt ad niultiplicandum YTÏ lt;»4 per-j/ 27 44,hoc eft,5 ^Y3 3 3»nbsp;multiplico primum 5 a per 34, amp; fit 1544: turn 15 44 per 3,

critqueprodudtumqi’£Efitum45 44. nbsp;nbsp;nbsp;__

Eodemmodoad gt;^n1tiplicandumy a aa b b^er YAahb b*, boc eft:, aY44 É'^’per^y44 ^^: mukiplicato 4per^ , amp;

£ 3 nbsp;nbsp;nbsp;p’^o:

38 nbsp;nbsp;nbsp;Principia

prodult;?rO(ï^perlt;?4-j-fiet: produdum qu^fitum et^b ab^. Nee alitcr fït li ad multiplicandum proponaturnbsp;y x^-{.6 x’a I a; .V 7 2 A' 108 pernbsp;y.x^—iox’-j-37xA;— 120 A 3 00,hoc eft,x 3|/.VX I2,nbsp;per 5 —xYXX 12 : Multiplicatisenimx 3 per 5—^x, fitnbsp;15 2 X—XX,quodmultiplicatu!nperxx 12 ,produótumnbsp;facit 180 24X 3 XX 2 X^-x'*.

Qiiod fi datx quantitates nonfuerintcommunicantes, opor-tet tantum multiplicare quantitates fubfignis radicalibus com-prehenfas, amp; produdo prtefigere commune fignum radicale. Si verb fignaradicalia diverfafuerint, reducenda prins funt ad idemnbsp;fignum, ficutfuperiüs eft oftenfum, amp; deinde operandum, ut jamnbsp;diöumeft. Vt,admultiplicandumperquot;i/ Cis(: multiplicatisnbsp;ab'^zïcd, prsfigatur produólo ah cd fignumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fit produftum

qusefitum Y i^bcd. Sic amp; ad multiplicandum Y bh per Yaa—b tgt;-. multiplicatis^lt;ï ^^perlt;«,«—bb, fiet produólumnbsp;Y«*'*¦—Similiterfimultiplicaridebeat YdA-^bb^zxa-^bynbsp;rcduco prius ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ad idem fignum radicale, amp; fit YAa^\¦^ab^\¦hb\

turnmultiplicatis nbsp;nbsp;nbsp;ah-^bb'^zxaa-\-bb, fitprodu(5i:um

Ya^-\-z a} b-^^x aabh-Af-z ab^ -if-bquot;quot;vel etiamferibendohoe pado: a b Yaa-\^bb. Nee aliter fit fi multiplicandum fitnbsp;a~\-Y ^cperlt;i y^ ^£',hoc eG:,a-j-Y ^cin fe : multiplicopri-mum a-^Ybc,^zra,8c fitlt;t^ lt;ï|/^c: turnper Y^^ynbsp;fitque 4|/bc-\-h c.quae produéta fi addantur,fiet produdum qusc'-fitumaa-^hc-\-z aYbc. Nonfecus fi multiplicandum propo-natur y aa,-\-bb-if- Ya a—b ^ per a-^b b—Yaa—: quianbsp;multiplicando Yaa-\-bb pery'aa-^bb.,ècnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—^^pcr

— Yaa — bb (omilfisfcilicet tantum fignisradicalibus) fiunt aa-\~hbSi — aa-\-bh', at verb multiplicando 4/ aa-^bb pernbsp;—Y a a—bb)amp;cY aa-^bb per-|-j/ a a—^^produdaeva’*nbsp;nefeunt: hinc produdum quasfi turn zntibb.

De Divijtotie quantitatumfurdarum.

iO I datae quantitates funt communicantes, oportet tantum divi-*-'dcrc quantitates , velnumeros , extra fignum,radicale pofitos,

amp; quod

Matheseos Vniversalts. 39 amp; quod oritur erit quotien? qu^fitus. Vt ad dividendum Y7 5

plico primum a -y b iufe, vn fiat fub eodemfigno radicali y aa-\- 2 ab-\-bb.^c\^\o faö;o,fidividatury—xa^b-per y aa-\~x ab-\- b b, fiet quotiens qusfitus y a a — bb.

Non alia rationc nbsp;nbsp;nbsp;divifum per yaa-^-bb-^ivLcit y aa-Ybb.

quippe divifo quadrato per fuum latus , oritur latus. Vnde fi -4-^^^dividaturpery lt;«4 ^^,orietjjr^y 4^-)-Porró fi dividendum fit 4^ -Yabh^ab Y^t^ bh per aYaa-\~hbynbsp;divido primumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h b per4 y44 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fit,ut ante, y44 ^i^j

^'^^noYYAa bbper 4y aa bb,8i fit ^,unde quotiens qnsfitus erit Y^‘^ bb b.'i^oa fecus fi dividatury'lt;2‘'-H24’^—24^*—44 ^i5nbsp;per 4-4- ^jOrietur Y—bb—4 b. Similiter fi dividendum pro-ponatur ab-\- bY bc per 4 y ^ c •. quoniam 4 b divisa per 4, ea-dem exoritur quantitas ^,qus provenit dividendo bY bc per y hc\

hinc quotiens quxfitus erit h. Eodem modo nbsp;nbsp;nbsp;—hbc—4^ ^

igt; Jgt; c

y bc divifumper4 — Y nbsp;nbsp;nbsp;facit4^— ~V~ ¦

Pofteaad dividendum 44 — ^cper4 y be divido 44 per 4,

amp; fit

40 nbsp;nbsp;nbsp;Principia

amp; fit lt;ï,quod multiplicatum per |/ é^rproducit^'y/ ^ f,eritquere-liquum dividend! — «y' bc—‘bc. divifojam — ^fperlt;«,fic y , quodmultiplicatumper facit—bc: hocigiturfinbsp;auferatur a rcliquodividendi — bc, relinqueturo , amp; abfolutanbsp;crit divifio, eritquequotiens quatfitus^ — y bc. Eodemmodonbsp;ab — cd diviiam per yab—yc dydityab-\-ycd: amp;c a^ bcybcnbsp;divifiimper4 '^ b c,ddXAA-\-bc — ay b C'. ^ aab b — ccddnbsp;divifumperquot;^ ab — y c d, dit a b cdy ab a b cdy cd: 8cnbsp;a} b—divifum perlt;iiï4-lt;«y^ bc, dit ab—by ut amp; 4-abc aa — ^cy^ ^cdivilum perlt;»—y b c,dit a a-^b c-\-z aybc.

Denique ad dividendum y 4-per c¦—d: quia^/ a^-^-b* pcrc — dCm ycc—2cdi4-4lt;idividinequit, fcriboproquoticnte

yclY¦^ nbsp;nbsp;nbsp;, veletiam hoe paflo:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l/a‘* b‘^.

Eodem modo fi dividatur a •/lt;2^*4-^ ^ per 4- fict quotiens y aa bb. Similiter«lt;i4-^i’divifumper y^lt;?4—/’exhibetquo-

ad-\-y'ahccl

I 8o4-14!i4- nbsp;nbsp;nbsp;-3C4

syxx ii

qiüa 180 4- 24x4-3 xx z x’—x‘‘produciturcx i 5 -3-2 x—xx inxx i2, quadratum nempeipfiusy xx-4-12, fitutferibinbsp;^ 15 4- i X'—X X inx x-f- 12.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,, .V I lt; 4- 2 X — XX

quoque point--y__:==-- , vclbrevius

yxx-3- 12, utpotedividendo xx4-i2per y xx4-i2. Non aiitcr fi 180 -4-24 x 3 XX 2 x^ —x‘* fit dividendum per

- -^- _ nbsp;nbsp;nbsp;I 8o4*i4x4-’1xx4-2x3—x

X 4- 3 yx X -3-12 , Icribo pro quotiencc —— nbsp;nbsp;nbsp;^—-

X4-3 y XX4-12

^ nbsp;nbsp;nbsp;60--¦TIX4-3XX-Xi nbsp;nbsp;nbsp;n .

feu-,---^ nbsp;nbsp;nbsp;. nam iöo 24x-t-2xx 2x’—x^

yxx-3-ii nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 I a I

dividipoteftperx-|-3,amp;fit6’o — i2X 5 OC ' oc ^ vclquo-

niam60— I2X 5 xx^—x^produciturex 5-2-xinxx i2,fir

De

Matheseos Vnivers alis.

De ExtraBioneRadicis G^adrat^ exBinomiis.

Modus j quo ex quantitatibus biuomus radix quadrata ex-trahttur, non differt ab eo, qui in numeris adhiberifolet ad inventionem radicis quadrata: ex Binoniiis, clique tails:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;exirahcitdi

^ nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r J ¦

SftbdfiElis ^aadratis farÜHW- dati Binomii a fi mvicem, ji radix quadrata reltqui adpartem majorem addatur, ?£ ab eadem aufera- tamexBi-tur ; emnt radices qmdraU ex [emtjfe fumma amp; differentie, per ft-gnum vel-— dats Binomii connexa-, btnapartes radicis qmfita.

Vt ad extrahendum radiccm quadratam exaa-\rbc % aff b Cy fubtraho i^aahc,quadratum minoris partis ex a'* zaab c b bcenbsp;quadrato partismajoris,amp; relinquitur^'*-—z aabc bbc r, cujusnbsp;radix quadrata ^—^caddita admajorcm partem4 amp;nbsp;ab eademablata facitfummam 2 lt;*lt;«, amp; differentiam zbc, qua-rum fjmiflesfunt^/ï amp; bc ; unde radicesquadratsfunt^ amp; ffbcynbsp;quaeficonnciSantur per fignum-|-,eritradixquxfitaa-^-ff bc.

Sic radix quadrata ex nbsp;nbsp;nbsp; a; «zerit ¦y'£,

Eodetn modo fi extrabenda fit radix quadrata ex a bffab-\-zab\ fubdutSo qzïzi é^,quadrato partis minoris,ex adb-Sfi aab b-^a b^,nbsp;quadrato majoris partis, eritrcliqui agt; b—z aabb ah^t^èlvc.nbsp;quadrata,*—bff ab. qu3E fi addatur amp; auferatur ex majori partenbsp;a-\- by ahy^tt fumma zaff ab,amp;i difterentia zbff a b, unde fe-miffium radices qiiadratse conftituunt radicem qusefitam.

y ay ab-\-y hy Ab{^\xyy h-k-y y ay^.

Nccaliterfiicum extrahitur radix quadrata ex a d y.bc-{-

1 y abcd: eteniinfubtra(5lo44^clt;^,quadratominorispartis,cx aabc-\rzabcd-,\-bcdd,siM2idva.to majoris partis,relinquetur aabc —

2 4c ^ 4-cujus radix quadrata eftzï — dy bc'. hscergo fi addatur amp; fubtrahatu r ex majori parte zi-H 4 •y/ bc, crit fummanbsp;z ay bc, amp; differentia z dy bci Rx quarum dimidiis fi radicesnbsp;quadrats extrahantur,fiet radix qusfitay/zjy/ïc-J-y'dy/ bc welnbsp;y y aabec^y y ddb c.

Bars II. nbsp;nbsp;nbsp;Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Qubd

41 nbsp;nbsp;nbsp;PRINCIPIA

Quod fi, fiibduciis quadratis partium-dati binomnafe invi-cetn, reliqui radix quadrata amp; major pars binomii communican-tes non fuerint: fatiuserit ipfi binomio fignum univerfale radi-cis quadratas prsfigere. Vtadextrahendam radicem quadratam

Pag. 6. ex — nbsp;nbsp;nbsp; ifï^ ^^fcribo-p^—aquxradi

ces vulgó appellantur Vniverfales.

©£ T^EDrCTIONE ^QVATIONFM.

(^Voniam ad refolvendum aliquod Problema, idipfum fup-^ponendum eft ut jam fadum , atque nomina imponenda funtquantitatibus tumdatis, turn qusefitis; amp; quidem pro datisnbsp;a D. Des-Cartes ordinariè ponuntur priores literas Alphabetinbsp;ayb^c^ècc. proqu3efitisautempofteriores;c,,j,ar,amp;c ifitutper-currendo Problematis difficultatem, eo ordine, quo omnium na-turalifïimè pater, qua rationediólae quantitates, nullointerco-gnitas amp; incognitas fado difcrimine, afeinvicem depen(ient,nbsp;tandem invcniacur via quantitatem aliquam duobus modis expri-mendi. idquod JEquatio vocatur. Vndecumasquatio nihil aliudnbsp;fit, quam mutua comparatio duarum rerum jequalium, quse variènbsp;d.enominantur: facile conftat, quantitates hafce cognitas amp; incognitas, proutdiverfimodefuntaffeds atque difpoiitae, diver-fasefficerepoflej£quationum formulas, quse tarnen per fequen-tes regulas reduci queunt ad hafce fimilefve fpecies:

z.ZDb, aut Z.Z.ZD —

z? ZD az.z.-\-bbz. — c’,aut

¦\-bbz.z. — nbsp;nbsp;nbsp;, amp;c.

Dlt;? ReduBione per Additionem.

^^Tfihabeaturtequatiointern:, —3 amp; 12, hoe eft, fi fuerit ^ z. — 3 CD 12: quoniam fisqualibus acqualia vel idem addas,nbsp;ea quae fiunt funt sequalia; hinc fi utrinque addatur -f- 3 , fietnbsp;4 CO ï 5. nam —¦ 3 amp; 3 addita faciunt o.

Sic amp; fi fuerit;?:—b 00 o, addendo utrinque b, fietx. zob- Aut

fiba-

Matheseos Vniversal IS. 43

fi habeatur b—zZOo, fiet,addendo utrobique z:., ^ CO c- Et fi ha-beaiurcz,—00o,ent?. t GO aq: \xtSgt;c dk? — lt;z«i^aequetur o, fictz,* 00 aaqy amp;c.

Nonfecusiihabeatur —nzj — bbz.z.ZDd'^ — c’ z:,adden-do utrique parti-\-b b z.z-,fietzf‘ZD‘^zJ-\^bbz.z.—c’ z. d\

Exqiiibusconftat, quantitates figno¦—^adkdas addi utrique parti, li eximantur ab una parte, amp; in alteram partem iransfe-rantur fub figno -j-.

De ReduBionefer SuhtraBionem.

'P\Eindefifueritz,4-3 00 la; q,uia{iabatqualibussqualiavel idem auferas, illa quat relinquuntur iuntsequalia, fit ut, fiib-trahendo utrinquc 3, habeatur s, 00 9-

Eodem modo fi habeatur z.?. lt;it00H, fubtrado utrinque lt;«c,fietz:z;, X — az. bb.

Similiter z.^ ic^ ZDn z.z.-¥bbz,-¥c^ rcducetur ad nbsp;nbsp;nbsp;^ s. c

•\-bbz. — c’, fubtrahendo utrinque z cK

Vnde colligitur quantitates figno adfeöas ab utraque parte fubtrahi, eximendo ipfas ex una parte amp; transferendo in alteramnbsp;partem fub fignoatqueadeó quicquidvel additione vel fub-trailione transfertur, adfici figno contrario.

De ReduBione jper Adultiplicationem,

^ Orrófiad reducendumproponatur 5 : quoniam atqua-

lia per jequalia vel idem multiplicata , producunt jequalia; fiet multiplicando utrinque per 3 , z:X 15. Sicamp; fi habeatur

^ gt; invenietur,multiplicandoutrinqueper?,,z.x,X^'j’jamp;c. Eodem modo fi fuerit coa: quoniam, delendo denomina-

torem z.—b prioris partis^^, ipfa pars multiplicatur per x. — b:

hinc oportet etiamalteram partem a multiplicarepers,— b, ut habeatur sequatio inter ^ amp; 4 z,—ab.

Similiter fi fit^^OO nbsp;nbsp;nbsp;^ quoniam, fublato denomina-

tore

4(5 nbsp;nbsp;nbsp;Principia

veniat^iOOy. Sic amp; fifuerit^’ OOi2 5.,ent,extraöautrinque radi-ce cubica,?. 33 5. Eadem ratione,fi habcatur z.z.ZDlt;i^-\-iab~\~bh; extraöa utrobicjue radice quadrata,fiei z. coa~\-b. Nee aliter fit finbsp;iacntz.z.odM-^bc iaybc,tntzn\mz.ZDA ybc. Non fecusfi ata:

Fag. 6. squetur —\a-\-y^a-{-bb,cnt x CO y—y y ^aa-j-bb.

His lubjunge fequens exemplum, in quo oaines prsecedentes

modi reduéfionis fimul occurrunt.Proponaturv'— --y—~

CO y : quia igitur eorum,qu2 squalia funt, sequalia quoque

fiint quadrata,fiet,multiplicando utramque partem in fe quadrate,

\z.z.—y—~^---- ZD^- Addatur jamutrinque-j/ nbsp;nbsp;nbsp;^ , amp; fiib-

40 nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;trahatur Ip , transferendo fcilicct ipfas in alteram partem fub

contrariofignOjUthabeatur^^—folaex una parte, fietque

Qlio fado, multiplicetur rurfus utraque

parsxquationisin fe quadrate, ut evanefcatfignum radicale; ha-

bebiturque^s.**—• Vbifi utrinquedematur

i ac rcliqute partes omnes addendo ac fubtrabendo ex una parte in alteram transferantur,quod fit mutatis tantum fignis, erit

--^4^ CD • Porröutdeleanturfradiones, reducantur

b nbsp;nbsp;nbsp;DOnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

omnes termini ad communem denominatorem ^bb: quopera-do fi utrinque per eundem multiplicetur, ipfum nempc deno-rainatorem omittendojobtinebiturqd^it,'*—4 nbsp;nbsp;nbsp;CD9 bb-

Dividatur jam ubique per^, hoe eft, a, ubique deleatur fitque 4^^^*—CD 9 bh' quo fado, dividatur utraque pars pefnbsp;4 ^—4lt;« ut habcatur quantitas zy ex una parte fola , eritque

CO ^ ¦ Vbi fi utrobique extrahatur radix quadrata, habe-bitur z.z.CD\^by ¦ amp; fi denuo utrinque extrahatur radix

quadrata, invenietur z: CD yquot; nbsp;nbsp;nbsp;•

E quibus patet, redudionem per additionem amp; fubtradio-

nem

Matheseos Vniversalis. 47 nem inftitui tam ad diminuendam multitudiriem terminorum,nbsp;quam ad jequationem rite ordinandam; reduétionem veró pernbsp;mukiplicationem ad evitandas tum fratSiones tum quantitatesnbsp;furdasj amp; redudionemperdivifionem, tam ad deprimendas di-menfiones, quam ad reducendam squationem addebitamfor-niam amp; fimpliciffimos terminos j ac denique rcduótionem pernbsp;extradlionem radicis , ad obtinendam sequationetn cx minimisnbsp;terminis conftantem j pr£Etcrquam quód omnes hx redudtionesnbsp;etiam ad quantitatem quasfitam ex data xqiiatione inveniendamnbsp;utiles efle poffint. Atque hxc quidem ad introdudionemMetho-Geometria» Renati Des- Cartes dida fufEciant.

FINIS.

FRAN-

48

FRANCISCVS i SCHOOTEN

AD L E C T O R E M.

/^^terüm ne locus fuperftes hujus pagrna: vacuus rclinquere-vifum fuit hoe loco fimul indicare fphalmata, qusein Exercitationibus noftrisMathematicis, qnas anno i^57 in lucemnbsp;emifiniusjfaeirunt commifla,ac poftmodum a nobis recognita: ur,nbsp;iisfequenti modo correftis, Leftoris ftudium in confimiliargu-mento abfque mora octuparetur.

Pag-óquot;. 1.2 \e^cpretmm.'p.’].\.% lege7»(C/?w.p.i(S^3.1.penult. lege lt;^Hlt;tJtverim:lt;p.\^ 3 .l.iz.lege milhz omntno.'^. 2 28.1.3 lege fit?.?,—zaa.nbsp;ibid. 1.penult, lege incircHmferentia.^. 295.1. 28 \egedefiriptio.nbsp;p. 3 17.1.2 2 legenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;efire£t/4hf. p.3 27.1.4 lege Ofienfo.'ï\)l(\.\.z.n-

tep. \egeipfactrca.^. 3 29.1. 10 pro E G IcgeE C. p. 347.1. 5 pro E C,E F lege ^ C,s F.p.3 6'i.l. i.lege ad E-^ttautA Efit aejuahs A'E.nbsp;p. 372.1. antep. poUj^od, amp; p. 393.1. 9 poft ^uodeo tollcvir-gulas. p. 423. 1.13 pro 6'9 lege ^39. p. 432. 1. 7 lege 1534.nbsp;p.434. Lult. amp; p.4d2.1.3 o, ut amp; p. 480.1. 24. legeabsre. p. 471.nbsp;1.2 2 lege in locum ar a.-, p. 5 2 5. linex 6', 7,8,9, i o in locum linea-rum2,3,4, j funtfubftituend^, Seviceversl p. 527.I.21 legenbsp;Ha autem.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~~

Natura, Conjlituüone, ^ Liwitibus

Opufcula Duo.

Jncepa a ¦

ELORIMONDO DE BEAVNE,

InQuria BkfenJïConfiUario Regio ; Abfoluta ver o, ^pji mortem ejm edita

ab

ERASMIO BARTHOLIN O,

Medicinae amp; Mathematum in Regia Academia Hafnienfi Profeflbre publico.

fA M S T E L O D A M I,

ExTypographia Blaviana, mdc lxxxiii. Sumpibus Societatis,

S VMMO MVSARVM

M.^CENATI

IlLVSTRISSIM o ET E X CE L LE NT I S SI M amp;

DOMINO,

rOACHIMO GERSDORPH

TOPARCH^ IN TVNDBYHOLM, amp;c. EQ.VITI AVRATO,

REGNï DANI^ SVMMQAVLjE MAGISTRO,

PRÏNCIPI SENATOR!,

REGIME MAIESTATIS PR^SIDI BORINGHOLMENSI

HOC

SPECIMEN ANALYTICES NOVO ARGVMENTOnbsp;€ ON S E C R A T

OBSEQVIVM.

Quod

I Vod jam pridem in votis erat.ftudii amp; pietatis measnbsp;experimentum Tibi pro-^ ban, id recentiffima Mu-Tarum Algebra interpre-tabitur, Etli enim, beneficia maxima,nbsp;^uibus me totamque domum noilramnbsp;^nerafti,qu^m grato animo exceperim,nbsp;lï^ihi ipfe fim teftisj tarnen miferam earnnbsp;vitamputavi, cuieiTe gratam probarenbsp;antea non licuit: id aliquo obfequio ^nbsp;turn ipfi Tibi, turn casteris omnibus imnbsp;dicatum, maximeque perlpicuum eflenbsp;defideravi. Neque sequum eft, virtutisnbsp;depr^edicationem privatis tantum pa-rietibus claudi. Inter ingratos etiamnbsp;annumerantur ii, qui beneficia acceptanbsp;paucis commemorant ; totus Orbis,nbsp;adhibendus eft,pietatis noftr^ teftis amp;nbsp;confcius. Quoniam verb monimen-tum Tuarum virtu turn nulla unquamnbsp;obfcurabit oblivio j nullum erit talinbsp;Heroi dignius genus obfequii, quam

G X nbsp;nbsp;nbsp;lt;juod

quod nulla temporis circumfcriptione terminatur. Quocirca hoc opufculumnbsp;Algebraicum opportuniflimum exifti-mavi, quod meae perpetuse obfervan-tlx teftem fempiternum confbituerem •nbsp;in quod baud obfcurb conjicio, nihilnbsp;fenedtuti, nihil fucceflbribus licere.nbsp;Mirandam Algebrse vim multis verbisnbsp;exponere fupervacuum eft, quippe fe-cura demonftrationis fuas, Temper amp;nbsp;pacis amp; belli ferviit artibus; in qua hocnbsp;eximium eft, quod abundantiasdefe-dlusque pari momento ^ftimet, nequenbsp;illi, quae plus habent, magis neceftarianbsp;flint, quam quae minus; atque hocfuaenbsp;fcientise habet monimentum , quodnbsp;mortalesfaciunt Virtutis. Verum, ar-tium amp; fcientiarumincrementa, non innbsp;ipfarummodo ingenio, fed etiam in fu-periorum dementia fita funt; ^eftiman-tur quoque pleraque mortalium pre-tio, quod libido calumniandi confti-tuit 5 amp; quis neget, eximium decus,fae-

pius

pius favoris, quam virtutis eJTe beneficium ? unde patrono ¦amp; defenfore iis opus eft, fubcujus aufpiciis floreant.nbsp;Algebrie nihil adaugendumfaftigiumnbsp;fiupereft,hoc tarnen uno modo crefcerenbsp;poteft. Te ergo praefertim invocat,cu-jus cepimus amp; affedus amp; judiciiexpe-rimentum, quantum maximum Mufenbsp;oapere potuerunt. Indulgentie Tuenbsp;propinquum exemplum eft Aftrono-mia, quam in Tuo gremio fufcepifti,nbsp;cum naufragium illud obfervationumnbsp;Tychonicarum, quas invidiosa tran-quillitate provedas improvifus turbonbsp;abftulerat, Tuabenignitaterefarcires.nbsp;Tuo beneficio patriam receperunt. T a-ceo literas Graecas,quas majoribus fuisnbsp;ita reddidiftijUt ille utrum plus Tibi,annbsp;Tu illis debeas ambigipoflit. Et ut ver-bo abfolvam:,Tue benevolentie ufumnbsp;nec litteris nec hominibus unquam de-negafti. Quare illud extremum oro, ut

eidem Generofitathcui tribuifti hoc.ut

G 3 nbsp;nbsp;nbsp;lite-

literas fufcipcres, attribuas, ut fufce-ptas tuearis ac foveas: atque hoe grati animi, non omnino quale velim, fednbsp;quale poflum hoc tempore monimen-tum, favore excipere digneris. Cele-bratum eftfama amp; acclamatione quantum Aftronomiam amplificaverit Da-nia^ Tibi verb renafcentis Aftronomiamnbsp;gratia debetur. Et fipropofito annue-ris, non tam patrise qu^m Tibi debito-rem conftitues etiam Algebram, hoenbsp;eft.Mathefin Vniverfalem. Ego floren-tem virtutis Tu^e gloriam aeternam o-pto, Tibique feliciflimos annos preca-tus,in clientelam Tuam receptum efte,nbsp;fupra humanum folatium recreabor.

Hüfnix, jimo cIdIdclvii.

Erasmivs Bartholinvs, Medicinse amp; Mathematum Profcf^nbsp;for Regius.

ErasmI Bartholtnï AdTr3fi:atumdeNaturaamp; Conftitutioncnbsp;itquationum

EPISTOLA PRjELIMINARIS

Clürïjjlmum Vïrum

CLAVDIVM HARDY,

Regis Galfiae Confiliavium.

; V(tm'üis fnifirahujm feculi judkiafarum I afud me 'valeant, tarnen d divulgandis e~

I jufmodi quemlihet jure abfierrerent, qudt diverfM hominum cenfaras •vitare ne~nbsp;yerümego alto faperctlio fpretis cdmnnm^nbsp;^quitatis amanüor ^-jgtthïtCie Mtilitatis, -profojitanbsp;dejtjlere nolui, tibique^ P^ir Qlarijjime, exponere con~nbsp;fittui^ea^q^fde adpr^efationem utilia ejfeputa'vi^ eo li~nbsp;bentiuSj quo cogntyverim amiciffimumtibtfuijfe, dumnbsp;invvvu eJJet,I).De Beaunedn Quvia Blefenfï Conji-tiarium Regium. Nam etjï^ir hufnerit perelegantinbsp;jngenio^amp;in tantum laudandus^n quantum intelli-gi virtuspotefi 5 tarnen hoe in eO'maximum fuit-, quodnbsp;^Nlathemata doBiffimm -, ut tempore aqualis Vironbsp;fummo Lgt;, Des-Cartesy ita ^naljtices fpeciofie perknbsp;tta proximus. G^uo momento impuljus, dum Blejïisnbsp;linguae Galtica. exercendre gratia degerem^amicitiamnbsp;tanti Niri colui, diligenterque ed famitiaritate ujmnbsp;fum, qua ipfe me comiter ampleBebatur. Interea denbsp;^ebm Mathematicis omnk ferè fermo, ÊT quoties

alter-

alterutri de Andyticis férmocmari 'volume, toües fiofira conferri colloquia necejje er at. nde non oh-^nbsp;fcurè intellexi, quantis fuerat ingemï dotïhus acftu-diorum emïnens, a quo, Jifublica negotiafermitte-rent , qgt;erfeBiO udlgehne maxime f^erari pojfet.nbsp;Qjiare variisprecibus hortatusfum.^ ut^^qua. medita-tus er at.) publicisdefiinaret u^bus. erum ille muLnbsp;tajïhi obfiare, occupationes tam publicas quampp-quot;vatas j ’valetudinem, operas amicorum, ea deniquenbsp;principia, qu^ ad intelleBum fuarum meditationumnbsp;necejjaria erant., dejiderari innuebat. 'Turn ego, ^nbsp;me am operam ipjipolliceriparatijjimam ccepi, '0^jï~nbsp;gntficare confcriptam effe a me Ifagogen Qartejta-nam, quorum neutrum propojito mor am ajferre diu-tius pojfet. ^mbus 'valde recreatm, de edendis ope-ribus fuis ferio cogitabat. Sed, cum Arthriticis do-loribus plus folito, leBo detineretur, omnem d Ala-thematicis.) ad corporis ualetudinemcuram trans-ferre cogebatur. Ego interim ad perlujirandas reli-quas Gallis proAncias avocatus , per aliquodnbsp;tempus fubfliti Flexie ‘ unde, cum 'varia negotianbsp;re'verti Lutetiam fuaderetit, placuit Cafirum Ble-fenfe tranfire., ut de fanitate amici certior jierem.nbsp;Qjiem in pradio fuo, cum doloribus Colicis acriternbsp;confliBantem, cum deprehendijfem, 0* ajfirman-tem parum projperd 'valetudme ex eo tempore fe u-furn fuijje; ?Jon mediocriter dolui, egregiis in'uentisnbsp;fortunam tam ejje adverfam: mea verb fiudia ite-

ratb

rato ohtulij jproftiittens^me honofuUkOy ejufque gratia , quafüis fuUturum moleftias. Sedfof^quara re-laxationis morbi nulla affulgeretffes, fujfh ans 'va-ledixi, iterque fufieftum ingrejjus, Lutetiam rean. Vtxibi confuetafiudm revocaveram, mm liters mt-hi redderentur ah hofpte meo, Viro humaJitifmOynbsp;D. Antonio Mar chats, inurhe Blefenje tune linguanbsp;Gallier Profejfore, tmnenjero Serentjjinn Prmctpsnbsp;Gaftonis, Ducis Aurelianenfium ¦, Mathemaüco^nbsp;quibus nunttahatur, agrum nojlrmn, oedorum ufunbsp;privatum fuijfe, temporihus folfiitii Brumalis, abnbsp;acrimonia defi'uxionis Arthritic^ ; exoptajje ’veronbsp;meam pr^fentiam tanto dejiderio, ut de edtüone co-gitationum fuarum defperaret, wji me a opera uitnbsp;pojjet j adeoque rogajje, niji grave nimis ejjet, ope-ram quam pollicitm er am accommodarem. Exarfe-rat ea tempefiate helium civile inter Regent Galli^^ •nbsp;Principes confanguineos , fedefque exercitusnbsp;Principum er at Stampa , quam ohjidione aggredte-hatur Dux exercitus Regü. Hac cum tranfeundemnbsp;ejfetiis, qui ad Comitatum Blefenfem per gunt; an-cipiti cura difiraBm, conflitueram tarnen longiffimisnbsp;viarum ambagibm, per Normanniam Eucatumnbsp;^Mndegavenfèm potiusiter moliri, quam fpes ann~nbsp;ci defer ere. Gquippe ea pars territoriï Parifienfis,nbsp;Rothomagum versus, tantum militibus vacavit.nbsp;Gum inexfpeBato , propter adventum exercitusnbsp;Lotharingici, folutd obfidione Stampa , ager Gafunbsp;Pars 11,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nenfisy

nenfis^milite utriufcjne fartis Uheraretur quot;pradonu hm tarnen infeftari was jignijicatum efi. Gluare ar^^nbsp;reft a occajione^diffuadentihus amutsdtïneYÏ me com^nbsp;mtfijfar'vi aftimans^unoferkuloy^ amicofrodejje,nbsp;Qf f radar a invent a r e dimer e. Neqne primas fpesnbsp;for tuna defiituit j quippe emenfo periculojijjimo itine-^nbsp;re jfalvus revijt amicum^corporefdtis fanum, niji lmnbsp;men oculorumrapuijfet agritudo. Sed duhiumitine-ris eventum deteriorfortuna excepit 5 cum inprimor--dio nofirorum operum-,forfan qmd diligentim^quamnbsp;permitteret anni tempus ¦, yllgebraïcis fubtilitatihusnbsp;incumherem^ aftate media,Jummkcaloribm,/ub Ca-^nbsp;niculam^ ingravijjimum morbum exfebriJ^nocho in-ciderem. Et jam de me a falute defter antibus Aledunbsp;cis , inopinatü animam effavit JEir Amplijfimmnbsp;D. De Beaune. Nam^ cum amico aliquoquileBonbsp;ejm ajfiderat., de rebus Analjticis dijferentem, fubitonbsp;defiituit vox, deinde totum corpus vitalis calor re^nbsp;liquit, atque evafit perpetuam valetudinem dienbsp;19 udugufii.^ u4nno lóji, natm Anno 1601 dienbsp;17 Sept. Sic pracipitantibus fati^ , fefellit Jpesnbsp;omnium mor talk as. Ego^ cummihi indicariincon'nbsp;fultum ducerent noflriy dum morbus nondum declina^nbsp;ret j ne agritudinem aggravarent, non niji pof mul'nbsp;turn tempus id refcivi. Eum nihil cunBatus., opera0nbsp;dedi, utfidei me a committer entur , qua reliBa fuC'nbsp;rant adverfaria, nullam curam mortuo detreBan^tnbsp;quam vivo definaveram ^ publica utilitatis ratiO'

nemhahitarm. ReluBantihus njero h^redihus ^ cum alius pecunia JblicitaJfet animos eorum-, ^arumah-^nbsp;fuit, quin idem fcripta, qui auBorem, ca/us traxif-fet. Ergoomni fiudio demonfirare occcep ^ periturosnbsp;omnes defunBi conatus nifi mihi traderentur; fpar-^nbsp;fas chart AS-, fine or dine yjtne numero, Jïne explicationnbsp;ne, notisnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;charaBerthus exaratas fopputationeSy

non ah alio intelligi poffe, quam qui aliquo tempore cum ipfo familiariter 'vixifet. Gpuihus perpenfis,nbsp;tandem obtinuipropojitum, fed majori laborCy quamnbsp;Juccejfu. Gpuippe omnia diligentius infpiciens, animquot;nbsp;advertiplura affeBata quameffeBa. Inter tot ad-quot;verfaria folummodo abfolutum in^veniopus de Angulo Solido, quod jam pridem in publicum edidijfemynbsp;nifiJumptus, propter copiam figurarum, Bibliopolenbsp;fafiidiviJfent.EraBatus de Natura 0^ Co?jflitutio-ne yEjquationum ne liter a quidem extabat, mentinbsp;tarnen D.de Beaune pier aque conformia ejfe differ en-do dum licuit cummuo comperi. Ex ik, que de Li-mitihus jEquationmn confcripf, quedam repertanbsp;funt in adnjerfariis, qmbus, cnm multa defideraren-tur y ultimam manum imponere neceffe habui. Pre-fationem denique , quam Author huic operi pre-mittendam duxit y nereligio ejfet omittere, addidi.nbsp;Non ignora/s, Vir Clariffime, me rogatu Authorisnbsp;omnia G alike prius confcripJiJfeytibiqueQf aliisper-legenda dedijje Qf corrigenda j tarnen nunc Latinènbsp;cdere coaBusfum, ne diutius laterent, Nam etji tihi

H 1 nbsp;nbsp;nbsp;dum

dum in Italia degerem, adeh cordifrerit horum fcru ftorum d me tibi reliBomm editio , utfumptihus pro-priis excudi -^arares ¦, quo nomine multum tihidebe-^nbsp;buntpofieri j tarnen ne in Gallia quidem 'votum ajfe-cutm es. GgHocirca, cum Am^elodami iteratopr^^nbsp;lo fubjiceretur Geometria Renati Des-Cartes , idnbsp;operam dedi , ut h^c und imprimerentur. Cow-fentiente •verb quot;Tjpographo modo Latinè exta--rent, placuit Latinam interpretationem in co?tJt^nbsp;Hum adhihere , 0^ potius authoris precibm inobe^nbsp;diens , quam publici negligentior reputari. Gpuodnbsp;perpendendum relinquo iis , qui me •violate fideinbsp;tacitè accufabunt. Subjunxijfem alia , quorum ue-ftigia adhuc fuperfunt in adverfariis, fid quidamnbsp;tanti indigent laboris y ut de reflitutione quafidejpe^nbsp;rem , alia remoratur multitudo figurarum : cun^nbsp;Ba tarnen brez!i Adebit beneuolm LeBor, fiTy-pographi obedierint. Interea hifiefruere^ tuque Firnbsp;Clartjfime y judica quid ex meiscurisy ^ difjicillunbsp;mis itineribus , fruBus colligi pojjit, tuum namquenbsp;judicium erit injiar omnium. Qmd fi tarnen 0* aliïnbsp;confiteantur , him non exiguum emolumentum adnbsp;omnes redundarey rogo ut id Adanibus yiri Cla-riffimi Florimondi de Beaune acccptum refer ant;nbsp;err ores quot;verb fi offenderint, benigne corrigant, me^c-que humamtati aCcribant. Vde..

FLO

FLORÏMONDI DE BEAVNE

P R iE F A T I O.

Ecreveram in publicum edere hofce traótatus , multb prolixiores atquenbsp;perfeéliores, proximo infèquente anno. Verüm anni hujus initio confli-^tatus cum gravifïïmo ad oculos defluxu, ocu-lorum ufu privatus fui. Vndepropofito planenbsp;deftitiffem, nifiL D-Erafmius Bartholinus opc-ram mihi fuam, ne mea circa hanc artem in-venta oblivione fepulta jacerent, obtulilTet.nbsp;Ejus igitur auxilio hoe opus compofui, ad quodnbsp;intelligendum luppono Le6tores jam in Geo-metria Renati Des-Cartes verfatos, additisquenbsp;in earn Notis, a nobis olim (non quidem animo illas in publicum edendi) concinnatis 5 ut 8cnbsp;doctilTimis Francifci è Schooten Commenta-riis j nee non Principiis Mathefeos Vniverfalis,nbsp;feu Introduótione ad Methodum Geometria:nbsp;Renati Des-Cartes, ab eodem Bartholino edita.

TRIOR

^3

NATVRA AQVATIONVM.

C A P V T I.

Vltó faciliüs inveniemus Naturam amp; Con-ftitutionem iEquationum ex earum gene-ratione amp; comparationecum fimilibusfeu ejufdetn forms, quam conferendo carumnbsp;radices cum certis mediis Geometricè pro-portionalibus ,utprsftititViëta.

jïquationes autem facilitatis gratia ita difponere libet, ut omnes termini abunanbsp;parte reperiantur squalesnihilo, ponendo ipfos ordine, proutnbsp;gradatim per incognits quantitatis dimenfiones defcendunt. Pri-mum enimterminum vocabimuSjipfam quantitatemincognitam,nbsp;qusplurimarum dimenfionumexiftens nullis aliisquantitatibusnbsp;adficitur j fecundum verb, in quo incognita quantitas una dimen-fione minor eftjtertiumin quoduabus; amp; fic deinceps,ufqueadnbsp;terminumomnino cognitum , quem pro ultimo habcmus. Deinde, loca, ubiterminorum aliqui deficiunt, afterifco complebi-mus, qus tum fub numero terminorum comprehendentur, Hscnbsp;omnia beneficio tranfpofitionis facileperaguntur.

Ex iis, qus fcripta amp; commentatafunt in GeometriamRenati des Cartes, nota eft methoduscognofcendi, quothaberi portintnbsp;radices in qualibet ^quatione: nimirum, pofle ^Equationem totnbsp;habere veras radices, quot mutationes fignorum continus adfue-rint,^amp; quoties eademfignafeinvicemfequuntur immutata, totnbsp;pofle reperiri falfas radices: modb in numerum terminortinaiinbsp;numerentur, qui deficiunt.

Porró, duas iEquationes fimiles efle dicimus feu ejufdem forms , quando in utraque idem eft primus terminus, amp; reliqui termini in utraque fimiliter funt affefti; amp;fi in una terminus ali-quis abfuerit, ut is quoque abfit in altera. Nam cum fimiles funt iEquationes, eandem habebunt conftitutioneni amp; naturam, Scnbsp;fieri potcrit comparatio feu collatio fingulorum terminorum u-nius cum fingulis terminis correfpondentibus aiterius,

C A-

De Nat

C A P V T II.

natura amp; conflitutione (^_/^o[iiationtm ^adra^ tarum, feu duarum dïmenjiomm.

Vando ÈEquationes hs fant afFedï , reducuntur omnes ad ^ tres formas fequentcs:

XX lx—mmCO o XX—lx — mmCDonbsp;XX-'lx mm zo o.

I '^ropojitio.

Ad intelligendam naturam amp; conftitutionem prioris scquatlo-nis, formeturper multiplicationemharum duarum x~- hzDoZc X 4- c 30 o fequens aequatio: xx — bx — bc ZO o- Supponendo

c

igltur c majorem quam b, eandcmhabebit formam atque prima proporuarum;^ AT 4-/;»; —mm 30£3. amp; per confequens, bin£E Hjenbsp;grquationes eruntejufdem naiur$ amp; conftitutionis. Fiatcollationbsp;unius cum altera; amp;per comparationem terminorumfecundo-rtimhabebirnus c—'bzo l- Vnde difcimus, /cfle differentiam inter falfam radicem £•amp; veram amp; , cognita hlsac, yeram^elTenbsp;sequalcm ipfi c—/; amp;, cognita yera ^ , talfamt-effeaequalemipfinbsp;h-\rl-

Prseterea, ex comparatione poftremorum terminorumhabe-bimus mm atqualem bc. Vndefequitur mm effexquale reftan-gulo fub vera amp; falfa radicc; amp;, cognita falsa c, veram b xqualera

efle ; amp;, cognita vera b, falfam c tequalem efl'e nbsp;nbsp;nbsp;.

a ^rofofitio.

Pro fecunda aequatione propofita formetur rurfus per multipli-cationem duarum x—bzoo Sc a;4-£-30 o,sequatioxv—bx—bezo o.

¦^c

In quafifupponamus b majorem quamc, eritipfaejufdemfor-mse cum fecunda propofita xx—lx — mmZO o. Etperconfe-quens dua; illa: $quationes erunt ejufdem naturse amp; conftitutionis. Facftaergo colJatione unius cum altera, habebimusex col-

latio-

^ V A T ï o N V M. nbsp;nbsp;nbsp;65-

lationcfecundorumterminorumc—bzo —l,ve\lzoh~^c. Vn-de difcimus, quod /eft differentia inter veram radicem b amp; falfam c-, amp;ficognita fueritfalfac, eritvera^2Equalis/ t-j amp;fïfueritnbsp;cognitavera^,falfameritsequalis ^—l.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•

Porro, per compaKationem poftremorum terminorum , ha-bebimus mmZD bc. Vnde fequitur mm cffe squalerediangulo fub vera amp; falfa radice; amp;, cognita falsa c, veram b effe squalem

amp; gt; cognita vera b , falfam c effe CO

3 'Pro^ojiti’0.

Pro tertia fupra pofita a:quatione, formemus, per raultrplica-tionem duaruma?'— bzoo amp; x — ccoo, aïquationemfequentem XX—^a; ^cC0 O)amp; habebiteandcmformam atquepropofitanbsp;— c

tertiaar^V'—Ix-^-mmZDo^ amp; confequenter hsebinssquationcs erunt ejufdem nature amp; conftitutionis. Comparemus ergo unamnbsp;cumaltera, atqueex collatione fecundorum terminorumhabe-bimus ^ cOO /• Vnde difcimus, qüod/eftfummaduarum vera-rum radicum, amp; fi unaearum , exempli gratia, c, eft cognita, re-liqua è aequabitur ^—c.

Prseterea ex comparatione ultimorum terminorum habebi-musmm'Xtbc,hoe mmatqualereclangulofub duabus veris radicibus, quarum fi altera tra eft iiota, exempli gratia, c, altera bnbsp;lt; , m m

a^quabmir .

Quantum ad ïquationem quadratam xx •—wwCOo, qu$ non eft afFelt;fta ,ipfa oritur ex duabus fequentibus AT — ?wOD o , amp;nbsp;x-^mZDo. Vnde fequitur ipfamduaspoffidere radices, unamnbsp;Veram, alteram falfam, quarum utraque xquatur ipfi m.

C A P V T IIL

natura ^ eonflitutione (:_/Equationum Cubic arum feu tertia dimenjionisfecimdo terrmno carentium.

/^Mneshs xquationes reducuntur ad tres fequentes fprmas : x^^ -^mmx — CO o.

CO o.

11.

^6 nbsp;nbsp;nbsp;DeNatvra

I Tropjitio.

Ad cognofcendam naturam amp; conftitutioncm prioris arqua-tionis propofitk , formcmus per multiplicationem harum dua-rum xx^hx-^ccTDoècx — ^CDO hanc aequationem — bbx — bccTDo. Suppofitoautcra cc majori quam^

CC

ipfa eandem habebit formam atque prima propofita * «?«?ar —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00 o. amp; per confequens ejufdemerunt naturae amp; conftitu-

tionis. Fiat igitur illarutrt collatie, amp; per comparationem tertio-rumterminorum babebimus cc—bbTDmm. Vndeconftat, fi vera radix b cognofcitur, cc foreaequale wnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;confe-

quenter ara:-f-^ ar00 o. quaeaequatioduasreliquas radices refpicit, ac cumvera radice b concurritadformandatnnbsp;aequationem propofitam.

PrjEtcrea, faólacomparationcultimorumterminorum, habe-bimus»’ ZDbcc. Vnde fequiturccefleaEquale^ j amp; , cognita

vera radice^, hanc aequationem ara; ar oo ofirailiter

duasreliquas radices refpicere, amp; cum vera ^ concurrere ad for-» mationem propofitae aequationis.

z Tropojitio.

Pro fecunda aequatione propofita formetur rurfus per multiplicationem duarum xx-\-bx-\-ccZDoamp;cx—bzo o aequatio —bbx—bccZDo. Suppofitoautcm^^majoriquamccjba- cc

bebit lila eandem formam atque fecunda ar* ^ —m mx — »* 00 o» amp; per confequens babebunt eandem naturam amp; conftitutionem.nbsp;Fiat igitur collatio,amp; ex comparationc tertiorumterminorumba-bebiraus bb—ccoomm. Vnde conftatj c c effe jequale bb—mm; Ar,nbsp;cognita vera rad ice ^,tequationem banc ar ar ^ x-^h b —m mZOonbsp;duasreliquas radicesconcernere. Porro,excomparationeduo-:nbsp;rumpoftremoruinterminorum, babebimus»* ZO bcc, undcfc-

quitur cc efl'e aequalc ~ ; amp;, cognita veriradice b, banc squatio-

ncraxx bx-i-- funiliteradduasrcliquasrefpicere.

iEQ_VAT10NVM. nbsp;nbsp;nbsp;6j

3 Tro^ojïtio.

Ad invcnlendam naturam amp; conftitutioncm tcrtia: acquationis propofitXjfiatexduabushifceA-ar ^Ar'—cc ZO oamp;c x—bzDonbsp;«quatioAT^* — bbx-{-bccZO o, eaodemhabens formamcura

¦—'CC

tertia propofita — mmx n^ZDO. Vnde amp; ipfxeandctn habebunt naturam atque conftitutioncm. Fiat ergo collatio, amp;nbsp;per comparationem tertiorum terminorum habebimus bb-{-cc ZO mm. V nde conftat, c c squale efle mm — ^ ^, cogni-ta veraradice by xquationem banc xx-\-bx’^bb—mm ZO onbsp;ad duas reliquas radices refpicerc.

Prxterea, excomparationcpoftrcmorum terminorum, habebimus GQ amp; pcrconfequenscc CD ^ - Quarcjcognitave-

raradice^jhxcxquatioATAT ^A:—^ CD o fimiliterduas reli-quas radices concernet.

C A P V T IV.

2)e natura ^ conftitutione z_/Equatiomm Cubic arum feu trium dimenjiomm, tertio termino carentium.

HJS. xquationes reducunturad tres formas fequentes:

/xa:*'—CO o. x^ — Ixx^—CO o.

AT*—/a:a?* »^ CD O.

I Tropjïtio.

Pro natura amp; conftitutione primx propofitionis, fiat per mul-tiplicationem harumduarumAAr CAr ^c30 o amp; a; — bZDO bxc xquatioAT^'—bxx* ~bb czoo. Et fuppofiu c majorc

c

quam b , habebit ipfa eandem formam cum prima propofita aJ-^-Zatat* — «’co o,amp;:perconfequenserunt£jufdemnaturx.

Faftaergo collatione, babebimusex comparatione fecundorum terminorom c— bzo^, boe eft, cZDl-\-b. Vnde conftat, co-

1 z nbsp;nbsp;nbsp;gnita

6-8 nbsp;nbsp;nbsp;DeNatvra

gniu vera radice ^jsequationem nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;duas

reliquas radices refpicere.

Prseterea, ex comparatione duorum ultimorumterminorum, habcbitur/ï^GO^^c. undefequitur c ede sequalem amp; ,cognita

radioed,aequationemxx ^ AT CO o duas reliquas radices concernere.

z Tropojltio.

Pro feciinda propofitione fiat ex muldplicationeharum dua-rura X X cx bc co o 8c X — b CO o hsec atquatio —bxx^ — bbcCO o. Et fuppofita^majorequamceritejuf-

c

demformae cutn fecunda propofitarum x’ —Ixx*—co o y adeoque erunt ejufdem naturae amp; conftitutionis. Fadia igiturnbsp;coilacione, ex comparatione fecundorum terminorum habebi-mus^ — ccol- Vndeconftat, celleatqualem ^—/; amp;, cognitanbsp;vera radice ^jXquationemhanc xx-^bx-^bb — blCDo duas

— /

reliquas radices refpicere.

Porró per comparationem poftremorum terminorum habe-* bimus yigt; co bbc. Vnde fequitur c efl'e sequalem j-y-, 8c , fi vera

radix fuerit cognita, banc squationem xx x ^ CD o duas reliquas radices concernere.

3 Tropq/itio.

Protertia propofitione formemusex duabus xx—cx—bcCDo 8cx—bcoo hanc«quationem x^ — cxx *-f-^^cCD o, quae

— b

habebit candemformam atque tertia tequationum propofitarum — Ixxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CD O , amp; per confequens erunt ejufdem naturx

amp; conftitutionis. Quare fada collatione, per comparationem fecundorum terminoru m habebimus c ^ 00 /. Vnde difcimus,nbsp;quod esquetur /—b-, 8c, fi vera radix ^ fit cognita, quódaequa-tio XX —bx — bb'— ^/cooad duas reliquas radices inveftigau-

das referri debeat. nbsp;nbsp;nbsp;Pra:'*

iE Q_ V A T I o N V M. nbsp;nbsp;nbsp;^9

Praeterea, comparatisultimis terminis,habebimusw’ unde fequitur c jeqoarinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, cognira vera radicc b, hanc seqiia-

tionem^ar— nbsp;nbsp;nbsp;x —¦% CO o reliquisduabusinveniendis infer-

bh b

vire.

C A P V T V.

‘De natura conjlitutime t^yEquationnm Cuhicarum feu trium dimenjiomm, in quibus omnes termini extant.

po Quationes bat reducuntur ad feptem formas fequentes;,

—lxx-\~mm X — w’oo o. x^ Ixx — mmx —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00 o.

—Ixx —mmx — qq q. x^-^Ixx-\-mmx—»’0Oo.

^3-Ixx a; «3 3Q Q,

x^-\-lxx — mmx-^n^ 00 o.

— mmx-j^ngt;-:qo.

I quot;Propoftio.

Ad cognofcendam naturamamp; conftitutionem primae propo-fitionisjfiat ex multiplicationeara: — cx-{~ddo^o perx—b OOo, atquatio fequens x^ — bxx-^-dd x—b dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o.atque eandem ha-

—c bc

bebunt naturam amp; conftitutionem. Faöa ergocomparatione, cx collatione fecundorum terminorum habebimus ^ e 00 /, velnbsp;cOO I—b. Deinde ex collatione tertiorum terminorum habebimus dd-^bc zo mm, hoe eft, ddzomm bb — b /,quoniam enbsp;eft inveuta ïquari l—b. Vnde apparet, cognita vera radice b,nbsp;sequationem hanc xx—lx-\-mm-\-bb—blzoo duas reliquas radices

refpicere. Deniqueex collatione poftremorum terminorum habebimus bddzon^- unde conftat, d d squari ^ •, amp;,cognita vera

radice h,aequaiioncmhanc xx — ^ CO o duas reliquas ra-

•^b

dices concernere.

a VrQ-

De Natvra

^ Tropojiüo.

Pro fecunda propofitarum fiatexmultiplicatione xx-^-cx-y-per A-—b OOo EequatiohjEC^’ —bxx'—bcx—éddcoo,

c d d

amp; fuppofitaemajorequam by amp; ^ r naajorc qua-n nbsp;nbsp;nbsp;habebitean-

detn tormam , qiiatn propofitio lecunda x^-\rlxx — mmx — CD o , amp; conleqiicntereruntejufdemnatursc amp; conftitutionis.nbsp;Faéla ergo adaequatione , ex comparatione fecundorum termi-norumhabebimusiT—^ oo/^hoc eft,«-C0/ ^- Deinde excol-latione tertiorum terminorum habebimus dd—bcZD—nbsp;hoeeft,reftiento valoreipfiuscinvento,habebiturddzo bl-\-bbnbsp;—mm. Vndeconftat, cogniu vera radice^, hanc xquationemnbsp;xx lx b b-\-bl—m m'Xto duabus reliquis radicibus invefti-

^ nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n

gandis effe utilem. Denique , ex comparatione pouremorum terminorum,habebimus^ddX n'. Vndefequitur^lt;s(foresqua-

cognita vera radice i , xqaatianem hanc

^ 00 o reliquis duabusinfervituram.

— bcx'

-f- c nbsp;nbsp;nbsp;dd

EtjRippofita^majorequam e, amp; ^emajorequam dd, eritejuf-dem forms cum tertia propofitarum x’ —Ixx—mmx—w*0Oo, amp; confequenter ejufdem erunt naturx amp; conftitutionis. Faélanbsp;ergo adsquatione, ex collationefecundorum terminorum habebimus c— ^OO — /, hoe eft, cZDb — l. Deinde ex collationenbsp;tertiorum terminorum habebimus dd—^cOOw?»?, hoe cft,fub-ftituto valoreinvento ipCias€,er\tdd'CO bb — bl—mm. Vndenbsp;conftat,quod,cognita vera radice b, hsc squatio xx-^bx bbZQO

—• / ——

'—mm

ad duas inveftigandas reliquas adhiberi polTit. Denique, ex collatione

^Q_VATioNVM. nbsp;nbsp;nbsp;71

lationc poftrctnoram tertninoram, habcbitur nbsp;nbsp;nbsp;Vndc

fequimr,^xquari ^ ; amp;,cognitavcr5radice^,hancsEquatio-ncmA;;lt;' ^Ar !^ CD o ad duas rdiquas quxrendaseflc utilem.

4 Tropojitio.

Pro quarta propofitarum fiat ex multiplicatione per X — bzQ o eadetnstquaiiox^ — bxx~h cx—bddCD ogt; Et

4*c dd

fuppofitae majorequam^, Sc dd majore quam ^ £•, cruntejuf-demformsacquartapropofitio^t^ lxx »imx—CO o,amp; confequenter ejufdem nauirs amp; conltimtionis. Fadla ergo ad-squatione, ex collatione fecundorum terminorum habebimusnbsp;c—bcoli feu e CD / ^. Deinde , ex comparatione tertiorumnbsp;terminorum,habebimusdd — bcCO mm,hoe eft,rcftitutovalo'nbsp;reipfiuscinvento,critddcobb bl mm. Vndeconft.at,co-gnitaveraradices, hancsquationem xx-\-bx-\-bb-\rbl-\-mmCDO