Athesis efl: fcientia, quse circa Quantita-tem feu Magnitudinem verfatur. t 1^1 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2. Porro nihil magnum eil, aut Quanti-

teft, amp; in quo partes quai'dam concipere licet; amp; viciffim, quidquid minui poteli:, vel ex parti-bus componitur, Qnantitas eft.

3. nbsp;nbsp;nbsp;Cum res quanta menti obverfatur, partes ex qui-bus componitur, vel �t diftin�lai St ab invicem feparatsenbsp;reprsci�ntantur; vel eas �t conjun�las, unicumque qualinbsp;totum quoddam extenfura conftituentes, concipimus.

4. nbsp;nbsp;nbsp;Ultimo hocce modo Quantitas a Geometris Ipec-tatur; prout autem partes ejus �t diftin�las amp; enume-*nbsp;rabiles conlideramus, Arithmaiccz obje�tum eli

5. nbsp;nbsp;nbsp;Cum partes in re quapiam mentis operatione di^nbsp;tincta's, in unam multitudinerh colligimuS, eas IStumt-rare dicimur : hanc autem multitudinem exprefluri, Numero utimur: porro qusclibet feorfum ex di�is partibusnbsp;una 'eft, amp; vulgato nomine Unitas audit.

6. nbsp;nbsp;nbsp;Unitates omnes, ex quibus numerus aliquis com-ponitur , tit scquales concipimus, aut faltem eodemnbsp;raodo denominamus; eft adeo Numerus : multitudo, quanbsp;cx tarumdem unitatum coUeSione oritur.

7. nbsp;nbsp;nbsp;Numerus, cujus unitas certam quamdam fpeciemnbsp;exprimit. Numerus mmeratus dici folet: quod ft veto ensnbsp;all quod in genere denotet, Numerus numerans appellatur.

8. nbsp;nbsp;nbsp;Cum plures numeri eamdem unitatis fpeciem ex-primunt, homogerei dicuntur; heterogenei verb funt, ftnbsp;ad diverfam unitatem referantur: fic tres Floreni amp; duonbsp;Floreni, numeri homogenei funt; at tres Floreni amp; duonbsp;Affes, heterogenei vocantur.

9. nbsp;nbsp;nbsp;Charadteres, quibus numeros exprimimusgt; quofquenbsp;Cyphras vocant, funt novem fequentes ; i, 2, 3, 4, 5,nbsp;6, 7, 8, 9. tias cyphrae generali Unitatum nomine in-figniuntur.

10. nbsp;nbsp;nbsp;Ut veto, non folum unitates, fed amp; Decades,nbsp;Centenarios,Millenarios amp;c. indigitare pollimus, valoremnbsp;ipfts tribuimus localem; ita ut folitari�, vel in loconbsp;dextimo pofitac, unitates fimplices, in fecundo decades,nbsp;in tertio centenarios, in quarto millenarios denotent.

11. nbsp;nbsp;nbsp;Ubi in numero quodam nullac dantur vel unitates vel decades amp;c., loca vacua replemus cyphra o, .Zero dida, quae per fe nihil fignificat, fed ad hoc unumnbsp;infervit,ut, qusc a dextra versus finiftram occurrunt cy-phrae fignificativa;, determinatum habeant locum valorinbsp;iuo convenientem.

12. nbsp;nbsp;nbsp;C5'-phrarum igitur valor localis, initio ducto i-dextris, lecundum hunc ordinem crefeit ;

13. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo unitas quxlibet decadem facit in ordinenbsp;proxim� a dextris; atque ita decem unitates in quovisnbsp;ordine, unitatem valent in ordine finifteriore.

14. nbsp;nbsp;nbsp;ScHOLioN. Si in numero compofuo cyphr� fecundiim valoremnbsp;luum localem fumancur, ea: omncs inter fe homogeneaz funt;nbsp;non veto, fi valor earum fimplex fpeftetur : nam ex. gr. cyphranbsp;a� loco pofua decadum,in 3� ordine centenariorum unitates fig-nificat, atque adeo ad diverfas unitates referuntur;ergo hetero-geneas fuut (^�. 8 ).

Numcrum fcriptiim enundarc, hoe efl, atilihet char ader i valorem competenttm ajjignare.

15. Rtsol�tio I. Numerus propofitus per commata dividatur in clafles, tres notas unicuique allignando,

A Sk

II. nbsp;nbsp;nbsp;Nota dextima claffis tertiac notetur lineolS tranfver-sa , apici adfcribenda; dextima clalEs quintse duabusjnbsp;Gextima feptimas tribus amp;:c.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Comma folitariura per millenarios; lineola tranPnbsp;verfa una per milliones; dusc per billiones; tres pernbsp;trilliones amp;c : nota vero iiniftima claffis uniufcujuf-que per centenarios, media per decades, dextima pernbsp;unitates enuncietur. (�12).

Ex. gr. Numerus fequens 3, 426quot;, 189, 315V826, 917nbsp;Ita enunciatur : tria millia, quadringenti amp; vigintinbsp;fex billiones; centum o�loginta novcm millia, tre-centi amp; quindecim milliones; o�lingenta viginti fexnbsp;millia, nongenta amp; feptemdecim.

� �6. Si � numero quovis unitates Iimplices refeces, leftantium 1� per unitates decadum; altera per decadesnbsp;decadum; fequens per ccntenariorum decades amp;c. enun-ciandrc erunt : Ilc fi a numero 4326 notam dexti-mam 6 fepares, reliquum per quadringentas trigintanbsp;duas decades enunciandum erit.

17. SciTOLiON. Uti locus, q,uem cyphra quselibet in miraero fcripto obdnet, cyphraj valorem indicac; ica quo^ue in numero enunciate cyphratum valor local is, cujufque cypbrae fcrihendae locum amp;nbsp;clalTem determinat. Sic ex. gr. numerus trecenta feptem : in e�nbsp;occurrunt tres cencenarii, nulla decas, amp; tres unitates fimplices ;nbsp;fcribe igitur prim� 3 pro centenariis, turn o. pro decadibus, tandem 7 pro unitatibus : erit adeo 307 numerus propofitus. Quodnbsp;fi ver� rhajor aliquis numerus feribendus fucrit; ad claffes imprimis attendatur in quas refolvi poteft, ecequc omnes in eadeninbsp;lerie continua,eo quo e.S�runtur ordine,a finiftra pergend.o versus dextram, in enartam conjiciantur �, in claffe autem qualibet,nbsp;prim� cencenarii, tum decades, tertio loco unitates fcribantur.

18. Quantitatis daun vel partes ad unam omnes enu-merat Afithmetica ; vel partibus datis novas luperaddit,

Mtexiirgat quantitas major; vel a�iquas ex datis aufert, ut reltantes feorfum conteinpletur : ergo prscter nitmera-tionem duplex potiffini�m circa numeros inftitui poteftnbsp;operacio ; jddditio amp; Subtraamp;io.

19. Additio eil ea operatio, qua ex duobus vel plu-ribus numeris datis, aliquis invenitur numerus, qui datis fimul fumtis ccqualis eft. Numeri dati dicunturnbsp;^ddendi; quaifitus autem Summa 3 vel etiam quandoquenbsp;^ggregatum.

CoitOLLARlUM I.

2.D. C�m in Additione ex 2 vel pluribus numeri$ fomponatur unus tamquam ex partibus totum, amp; numerus quilibet ex iifdem unitatibus colligatur ($. 6.)*nbsp;omnes �mnino addendi ad eamdem unitatem referri,nbsp;conlequenter homogenei effe debent.

21. Summa ex numeris addendis, tamquam ex partibus totum, componitur : ergo c�m numeri addendi ad eamdem unitatem referantur ( �. prscced.), etiaranbsp;fumma numeris addendis homogenea eft.

aa. ScHOUON. Additionis lignum eft , quod per plus efferri Iblet. Ita 3 4 denotat fummam ex 3 atque 4, amp; pronuncia-tur 3 plus 4.

.23. SitbtraSio eft operatio,qua invenitur exceflus, ad quem unus alterum luperat. Numerus qui fubduci-mr, fubtrahendus; alter, ex quo fubtra�lio lit, minuen-dus; qui denique invenitur, dijferentia item rejiduuntnbsp;dici confuevit.

24. nbsp;nbsp;nbsp;Eft igitur minuendusf fubtra�lo amp; refiduo fimulnbsp;fumtis aequalis; atque adeo eorum fumma eft.

25. nbsp;nbsp;nbsp;Sunt ergo minuendus , fubtradlus amp; refiduum ,nbsp;jRumeri inter fe homogenei (�. 20. amp; 21.),

s.6. ScHOLiON. Signum Subtraftionis eft �, quod per minus exprimicur : Ex. gr. 7 � 3 denotac diffurendam inter 3 amp;nbsp;pronunciatur ver� 7 minus 3,

27. C�m numeri unica conftant C3'�phr�i, facilis qui-dem eft circa eas operatic : fic quilibet prima fronte perfpicit, quod 4 amp; 6 ftmul faciant 10; quod 4 abla-ta ex 6,'relinquant 2 : at ubi pluribus conftant notis,nbsp;regulis quibufdam opus eft, quai per partes perficerenbsp;doceant, quod ftmul amp; femel ac unico velut obtutu,nbsp;propter ar�latos nimium, intelle�l�s human! limites, fieri vix poffet.

28. Resol. I. Numeri homogenei fub homogeneis fcri-bantur, hoe eft, ita ut unitates unitatibus, decades decadibus amp;c. refpondeant.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Sub iis ducatur linea redla, ne aggregatum cumnbsp;aggregandis confundatur.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Inchoetur additio a columna unitatum, amp; earumnbsp;fumma ipfis fubfcribatur.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Quod ft ea in fumma decades reperiantur, eae re-ferventur addenda; numerorum datorura decadibus :nbsp;decadum vero fumma fub decadibus collocanda.

V. nbsp;nbsp;nbsp;Quod ft rurfus in ea aliquot dentur centenarii, eosnbsp;cum columna centenariorum addere oportebit : at-que hac operatione per reliquas numerorum dato-rum feries continuata, habebitur fumma quaefita.

Ex. gr. fint numeri A amp; B addendi : nu- 927 A metis difpofitis �t in fchemate, dicatur 7 amp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;73.5: B

funt 6 (decades), ponantur 6 fub decadibus. Dcm

9^7 funt 16 : c�m autem nihil ampli�s in adden-dis fuperfit, fcribatur hoe totum infra lineara, ita tarnen, ut fola cyphra 6, columnac additsc correlpondeat; altera vero nota i , uno loco magis a finiltris colloce-tur. Ita prodit fumma qu3cfita l��i.

*9, Schol. Si multi fucrint numerorum addendorum ordines, tk-pediet in tres quatuo�ve eos clafles divideie , amp; ex fingulis clafsibus fingulas fummas colligcre, qu� deinde (imul addit3�gt;nbsp;fummam fummarum exhibeant. Ex. gr. fint addendi iiumeiiA,nbsp;Bgt; C', D, E, E, G, H, 1 ; eos in tres clafles feparai tresnbsp;prodibunt furamae partiales 500, 816, amp; lo�oinbsp;A 123nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;81nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;487

B 309 nbsp;nbsp;nbsp;Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;708nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;535

C 88 nbsp;nbsp;nbsp;Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;33

30. nbsp;nbsp;nbsp;C�m in fumma cujufvis columnsc decades reper-tas, ad columna�i proxim� a liniftris transferimus, to-ties colligimus valorem columnac a finiftris , qubtiesnbsp;fieri poteli;, amp; pro unoquoque refervamus unitatemnbsp;columnac linifteriori addendam.

31. nbsp;nbsp;nbsp;SciKiLioN I. Non abfimili ratione n�meri div�rfas fpeciesnbsp;exprimentes, fimul adduntur ; ex ferie nimirum fpeciei minorisnbsp;yaloris , toties colligatur valor fpeciei proxim� majoris, quotie�nbsp;id fieri poteli; amp; pro unoquoque unicas reponatur in fpecicnbsp;proxim� majore. Ex. gr. fint expenfe

C�ra enim 4 quadrantes aflem conficiant, in ierie quadrantum additis 3 amp; r; deinde 3 amp; ^ , valor afsis bis colligicur, ita utnbsp;fuperfit quadrans, quem fenbe fub ferie quadrantum. a autemnbsp;alTcs refervati addantur afsibus ; fimiliter, quoniam florenus exnbsp;ao afsibus cotnponiiur, ia ferie afsium fimui cuni a afsibus re^

fervatis , valor floreni bis colligitur, reliftis 4 afsibus. Quare denuo 4 fub ferie afsium fcribancur; a, veto floreni ad florenosnbsp;transferantur. Deinc�ps �t in problemace prseced.

3a. Schol. II. Si idem numerus fibi ipfi aliquoties addendus flc j operatione magls compendi�sa utimuf, quae nominadm M�lii-flicatio vocatur , de qua ( �. 43).

PROBLEMA �II.

33. Resol. Additio iteretur, fed divets�i ration�^ it'a ut una vice afcendendo, altera vero defeendendo, additio perficiatur. Si utroque cafu eadem inveniaturnbsp;fumma, additio rit� peracta colligitur.

34. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. I. Rarifsim� fiquidem c�ntihgere eft, ut, in raajori-bus prasfertim numeris, qui irrepfifset ante, idem rurfus errornbsp;commitcatur.

35. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. II. Alter quoque eft additionis examinandte modus: fci-Iket additorura alteruter pro libitu, vel fi 3 plurefve fuerint jnbsp;aggregatum ex omnibus, demto unico , ex fumma omnium au-fertur ; quod fi refiduum numero non fubtrafto tequalis inv6�nbsp;liiatur, additionem re�t� fuifle peta�tam colligitur.

PROBLEMA IV.

36. Resol. I. Numerus minor fic majori fubferibaturj ut homogenei homogeneis refpondeant, quemadmo-dum in additione prsccepimus.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Sub numeris ducatur linea re�la, ne refiduum curanbsp;fubtrahendo confundatur.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Subtrahantur 1� unitates ex unitatibus, turn decades ex decadibus, centenarii ex centenariis amp;c.; amp;nbsp;refidua fingula fic infra lineam fcribantur, ut etiamnbsp;hic homogenea homogeheis refpondeant, nemp� refiduum unitatum fub unitatibus, decadum fub decadibus amp;c. co�ocetun

�V- Quod fi. nota major ex minore fubtrahenda fit; ex ferie proxim� a finiilris in dexteriorem transferaturnbsp;unitas, quai hic valebit lo, ut fubtradlio fieri queat.nbsp;Cyphra ver� unitate minuta, pun�lo notetur, nenbsp;ipfam mulclatam effe oblivifcamur.

V. Si in loco finifteriore o reperiri contingat, unitas ^ cyphra fignificativa proxim� occurrente mutuetur :nbsp;unitas ver� illa in locum dexteriorem tranflata,nbsp;ibidem decadis habebit valorem : quamobrem, ubinbsp;plura o fefe inl�quuntur, omnia hac ratione in no-venarios mutentur, amp; nota minor, � qua fubtraonbsp;tio fieri debebat, decade augeatur.

Ita nimirum procedendum : i fublatft ex 3, manent 2 unitates, dire�l� fub unitatibus infra lineam fcriben-dx. 8 decades ex o auferri nequeunt : a centcnariisnbsp;itaque auferatur unitas, ad decades transferenda; haccnbsp;autem unitas valct 10 decades ; ablatis itaque 8 deca'*nbsp;dibus ex 10, remanent 2 decades,loco conveniente in*nbsp;fra lineam fcribenda;. Centeoarii 2 ex 3 relinquuncnbsp;I; 6 millcnarii ex o fubduci nequeunt : mutueturnbsp;igitur unitas a cyphra fignificativa proxim� occurrente,nbsp;in hoe cafu centenarius millenariorum : hsc unitasnbsp;in locum finifceriorem delata, zero in decadem millenariorum vertet: inde, fi unitatem in locum millenariorum transferas , habebis hic 10 millenarios, ibi 9 decades millenariorum. Subdu�lis jam 6 ex 10, refiduinbsp;fiunt 4 millenarii.^ Demtis dein 7 millenariorum de-cadibus ex 9, remanent 2. Quia porro unitas 6� loco mutuata fuit,amp; in praccedentes feries diftributa, locus centenariorum millenariorum jam vacuus eft, re-plendus proinde per unitatem ex cyphra 9 mutuandam:nbsp;fiocc autem unitas locum vacuum ad decadem eleva-',

lO nbsp;nbsp;nbsp;Elementa AR-ITHMETIC*

37- ScHOLiON. I. Si nuTTieri ex diverfis fpeciebus compoflu a fe in-vicem fub:rahendi fuerin:; unitas mucuata,non 10, fed tot uni-tates valet, quoc unitates fpeciei minoris confticuunt valorem mdcatis fpeciei majoiis.

nimirum cum 3 quadrantes ex 2 fubtrahi nequeant^ mutuo uni-tacem ex affibus; haec aucem unitas 4 quadrantes valet : fub-ductis ad�o 3 quadrantibus ex 6, r�ftanc 3 quadrantes. Similiter cum 9 affes ex refiduis 7 auferri nequeant, ex florenis unitatem accipio, quae 20 affes facie ; unde 9 tollo ex 27, amp;nbsp;reliduum eft i8- Tandem 6 ex 7 ablati relinquunt 1 florenum ;nbsp;3 verb fubduftis ex 4, remanet pariter i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

38. Schol. IT. Si numerus quifpiarii pluries ex eodem alio fubtrahi debeat, Ex. gr. 4 ex 24, prolixa nimis foret operacio, 11 au-ferrencur 4 primo ex 24, turn ex 20, dein rurfus 4 ex l�,nbsp;atque ita deinceps fubtraftio continuaretur : verum in hoc amp;nbsp;limilibus cafibus, ordinaris fubtraftionis loco, aliam operationsnbsp;fpeciem inftituimus, quam Divifionem appellant.

SubtraSionem examinare.

Ex- giquot;- �534	minuendus
j! nbsp;nbsp;nbsp;S75	fubtrahendus
1659	refiduum
� �534
Corolla	R 1 U M I.

^p. Resol. Refiduo addatur fubtra�tus : quod fi funi-ma minuendo tcqaalis, fubtractio rit� perada con*-jicitur. C5- 24).

40. Datis ergo fubtrado amp; refiduo, minuendus dc-terminabitur, fi dUQS jftos numeros ift unam fum? Hiam collegcris.,

41. nbsp;nbsp;nbsp;C�m data efi: fumma, item alteruter ex duo-tsus addendis; lubduc numerum notum ex fumma :nbsp;dabit refiduum, ipfum numerum incognitum,

42. nbsp;nbsp;nbsp;Quoniam igiair minuendus scqualis eft fumm�nbsp;ex fubtra�to amp; refiduo; fi reliduum ex minuendo fub-trahas, quod remanebit, erit ipfe numerus qui ex mi-'nbsp;nuendo mbtra�lus fuerat.

43. nbsp;nbsp;nbsp;Unum numerum per akerum multiplicart nihilnbsp;aliud eft, quam toties unum fumere f�u libi ipfi adhere, quot funt unitates in altero.

44. nbsp;nbsp;nbsp;Numeri dati per invicera multiplicandi, genera-Fa9ores dicuntur; nurnerus autem ex multiplica-

tione refultans,/flSr/7?2 vel produSum audit. Nominatim fackorum ille, qui aliquoties famitur, multiplicandi ;nbsp;alter vero, per quem prior multiplicatur, MultiplicatO'nbsp;ris nomine innotefcit.

4c Ergo quoties unitas in multiplicatore, toties multiplicandus in produdo continetur.

46. nbsp;nbsp;nbsp;ScHOLloN I. Perinde omnino eft, nter ex faftoribus in mul-tiplicatorem, aut in multiplicandum affumacur; idem fiquidemnbsp;prodic fa�tura 24, five 4 in 6 , five 6 in 4 ducantur ; praftacnbsp;tarnen minorem numerum in multiplicatorem ftacuere, c�m tunenbsp;produftorum partialium numerus minor reperiatur. '

47. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. II. Tres aut plures numeri in fe mutu� duci dicuntur, c�m duo ex illis prim�m pro libitu per invicera; deinnbsp;ver� fa�tum hoe per aliquem reftandum multiplicatur ; atquenbsp;ita deinceps fa�tum quodlibet pro novo fa�tore aflumitur. Ex.nbsp;gr. fint hi quatuoi numeri ; 2, 3, 4, 5 : due inprimis a in 3 ,nbsp;ia�lum 6 due in 4; hoe dein fa�tum 24 mukiplica per 5 ; pro-dk tandem fa�tum 120 ex fa'�toribus datis cornpofitum. Porro-idem plane refukat produ�lum, quovis ordine in fe invicetn

48; Pro mukiplicatione fingularum notarum per in-vicem , nulla poteft, nee ctiam debet proefcribi regula 1 videt enim quilibet perfacil�, fa�lum Ex. gr. a in 5nbsp;cfle lt;5; 3 per 4 producere 12 amp;c. : cscter�m frequen-tiori ulu, qu32 initio deeft, facilitas comparabitur, fin-gulaque numerorum fimplicium produ�la fenfim fm�nbsp;l�nlu memoriai infigentur : quamdiu vero infixa nonnbsp;funt, ad manus fit adjecta tabella, in qua produ�tanbsp;paull� majora exhibentur.

s	X3 =	1.6-	6x3 =	18
s	X4 =	20	6x4 =	24
5	X5=	^25	6x5 =	3^^
S	x6 =	30	6 x^ =	3�
.6	X7 =	3.5	6 X 7 =	42
5-	x8 =	40	6 x.8 =^^48
5	X9=	45	6x9 =	54

0x3 = 27 9x4=36nbsp;9x5=45nbsp;9x6 = 54nbsp;9X7 = 63nbsp;9x8 = 72nbsp;9x9=81

49. Schol. Multiplicationis numerorum ^ hoe deinceps cric fignum, ( X ) ? faftores duos medio loco poCtum. Hoe autem lijj-jio =, squalitatem indicamus.

50. Resol. I. Multiplicator fcribatur fub multiplican-do, ita ut unitates unitatibus, decades decadibus amp;c. refpondeant.

III. Turn nota dextima, feu illa quas unitates denotac, multiplicet unitates ipllus mukiplicandi, atque� pro^nbsp;du�tum dire�l� fub nota multiplicante infra linearanbsp;fcribatur : quod fi. tarnen produ�lum hoe decades aliquot contineat, hse prscduclo proxim� finifteriori an-numerentur.

�V. Dein eadem nota dextima multiplicatoris multi^-plicet 2*� notam mukiplicandi feu decades, amp; pro-du�tum infra lineam fub decadibus fcribatur; nifi. quod centenarii, fi quos contineat, fequenti produc-�nbsp;to addendi referventur : atque ita porro cacterjc nu-meri mukiplicandi notai, in eamdem multiplicatorisnbsp;notam ducantur.

V. nbsp;nbsp;nbsp;Hoe fado, reftantes fuccefiiv� multiplicatoris notas,nbsp;fimiliter mukiplicatorem agant, atque per has, i**nbsp;unitates, turn decades amp;c. numeri fuperioris multi-plicentur, e� lege, ut fingula vice decades, produc-to proxim� finifteriori, �t ante, annumerentur; amp;nbsp;produdum mukiplicandi per decades multiplicatoris, in loco decadum; produdum mukiplicandi pernbsp;centenarios multiplicatoris, in loco centenariorum amp;c,nbsp;fcribere incipiamus,

VI. nbsp;nbsp;nbsp;Produda partialia addantur ; fumma erit produdumnbsp;quasfitum. Vel unicum exemplum rem illuftrabit.nbsp;Ex. gr. fint fadores 638 amp; 52. Inpri-

mis' multiplicator debit� lub m�kiplican-do fcribatur : deinde primam mukiplicandi notam 8 multiplica per 2, c�m-que produdum fit 16, fcribe 6 fub 2,

amp; decadem annumera produdo 3 per 2, quod eft 6; addito ergo i ,prodeunt 7. Pone igitur 7nbsp;juxta' 6, versus finiftram ; ctimque nullae in ultimonbsp;produ(J|o fint decades, nihil refervetur. Dein due 6.nbsp;in 2, amp; produdum 12 integr� fcribatur; ita tarnen,nbsp;ut fola cyphra 2, centenariis correlpondeat. En prir-nium, produdvmi partiale

^4 nbsp;nbsp;nbsp;Elementa Arithmeticje

Eodem modo quscratur fadum ex numero multiplf-cando in finiftram multiplicatoris notam 5 : multiplica igitur 8 per 5, amp; fadum eft 40 ieu potius 400, cum hie unitates in decades ducas : feribe itaque o fubnbsp;nota multiplicantCj five fub decadibus, amp; 4 decades de-cadum feu centenaries annumera fequenti fado ex 3 amp;nbsp;5, quod eft 15; additis itaque 4 ad 15, prodeunt 19,nbsp;Pone 9 ad finiftram o, amp; referva i : turn 6 per ^nbsp;producunt 30,, amp; i refervatum funt 31 : fummam 31nbsp;in loco conveniente repone. En alterum produdumnbsp;partiale.

Demonst. Vi operationis, 1� bis, turn quinquagies fumuntur omnes unitates, oranes decades, amp; omnesnbsp;centenarii numeri multiplicandi, atque adeo quinquagies amp;c bis totus numerus multiplicandus : ergo vi ope-rationis toties accipitur multiplicandus, quot funt unitates in multiplicatore : eft igitur fadum ex multipli-cando in multiplicantem ( �. 43 ). Q^. e. d.

51. ScHouoN. Cum una nofa per alteram muldplicatur, femper colligitur valor column� fequends quantum fieri poteft, ifquenbsp;produfto proxim� a finiftris additur : eadem prorfus ratione pro-cedatur, fi multiplicandus diverfas fpecies exprimat : nimirumnbsp;primo multiplicentur finguls feorfum I'pecie? per multiplicato-lem �, deinde videatur queries in produdo minim� Ipeciei cop-tineatuT valor Ipeciei proxim� nrajoris�, ifque huic fpeciei adda-ruT : quod fi vero aliquid cx minima fpecie luperfit, quod adnbsp;valorem altcrius fpeciei non afeendit, hoc infra feribatur ; turnnbsp;rurfus perfpiciatur quoties in produdo fpeciei proximo majorisnbsp;limul cum refervatis, contineatur valor fpeciei finifterioris; om-jiiaque porro fiant ut ante.

Corollarium I.

52. Si numero cuipiam a dextris adjicias o, note om-nes uno loco magis promqventur versiis finiftram, at-, que adeo unitates in decades, decades in centenarios,nbsp;cactereque omnes in valorem decuplum vertuntur : er-

Et Alg�biLj!. nbsp;nbsp;nbsp;tg

go fl numerus aliquis per lo multiplicandus lit, unum ftdde o a dextris; habebis qua^litum.

53. Cum numerus aliquis multiplicatur per 20, ejui decaplum bis fumiturergo numerum duplicando, ip-llque a dextris adjiciendo o, habebis fadum ex numero illo in 20.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

COROLLARIUM II L g'q. C�m numerus aliquis quinquies fumitur, ijusnbsp;dimidium accipitur decies : quod fi ergo numerus ali-quis par per 5 multiplicandus proponatur, cape ejus di-midium, eique a dextris adde o; amp; habebis quaefitum.nbsp;Quod fi ver� numerus multiplicandus impar fuerit,nbsp;tolle i� unitatem, turn ejus dimidio adjiciatur a dex-*nbsp;tris cyphra 5.

�5. Schol. Generatim, fi fafloribus unum vel aliquot o a dextris adhsereant, his negleftis, reliquat not� per fe. invicem muleisnbsp;plicentur; amp; produfto invento eadera reftituantur.

5�. Resol. MultipJipandus multiplicatorem agat: iden* enim prodire debebit fadum. (J. 46^).

57. nbsp;nbsp;nbsp;C�m unum numerum per alterum dividimus ,nbsp;inquirimus quoties hic in illo concineatur. Numerusnbsp;qui per alterum dividitur, dividendus \ alter ver�, pernbsp;quem divifio fit, divifor ; qui denique indicat quotiesnbsp;divifor in dividendo contineatur, quotkns vel etianinbsp;quotas nuncupatur.

58. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo dividendus toties diviforem continet, quotnbsp;(unt unitates in quotiente : amp; viciliim, toties in quo-tiente coutinetur unitas, quoties divifor iu dividendo.

59. nbsp;nbsp;nbsp;Per divillonem quoque numerum in tot partc*nbsp;aiquales partimur, quot in divifore imitates continen-tur; porro unam ex iilis partibus quotas exhibet : ficnbsp;nbi ex. gr. 12 fioreni per 4 dividuncur, quotiens 3 fio-renos facit, clique quarta pars dividendi.

60. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo dividendus toties etiam quotum continet,nbsp;quot funt unitates in divifore ; amp; viciffim, toties in divifore elt unitas, quoties in dividendo quotus conti-netur; atque adeo divifor indicat, quoties in dividendonbsp;quotus contineatur.

61. nbsp;nbsp;nbsp;Ctim igitur dividendus per quotum dividitur, ip-fe divifor prodit.

�o. Schol. Cdm de rrtultiplicatione ac dvvifione agimus, ad nu-meros foliim, non ad eorum denominacionem attendimus ; an-de fi ex. gr. 4 pedum longitude, femel per 3 pedum latitudincm, amp; femel per 3 aliqua in geneie multiplicetur, utrimque. pro-duftum 12 efl� dicimus, quamvis produ�ta illa plurim�m internbsp;fe differant : 10 fiquidem cafu 12 pedes quadrati, five 12 pedum quadratorum l�perficies, altero autem la pedes fecunduainbsp;folain longitudinem, five tot pedum linea generacur.

i nbsp;nbsp;nbsp;THEOREMA I.

quot funt unitates in quotiente ( �. 58. ^ : ergo c�m toties divifor accipitur, quot funt unitates in quotiente, obtinetur dividendus : fed c�m divifor in quotientem ducitur, toties fumitur divifor, quot funt unitatesnbsp;in divifore CS* 430 � ci'go dum divifor per quotientemnbsp;mukiplicatur, prodit dividendus.- c. d.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

64. nbsp;nbsp;nbsp;Datis ergo divifore amp; quotiente; W duo nu-meri in fe invicera ducantur : emergec dividendus.

THEO-

65. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Fa�lorum quilibct toties in produ�tonbsp;continetur^ qnones eft unitas in altero (�. 45. amp; 46.);nbsp;ergo vici�im, numerus qui toties in produdo continetur,nbsp;quot funt unitates in faaorum uno, eft fa�t�rum alter -atqui li produ�tum per fadiorem quemlibet dividas,nbsp;toties in produclo fic divilb continetur quotiens, quotnbsp;funt unitates in fa�tore dividente (�. 60.) : ergo quo-tus ex divifione produ�li per fadorum quemlibet pro-diens, dat factorem alterum. Q^. e. d*

C o K-'O L L A R I U M.

66. nbsp;nbsp;nbsp;Datis ergo fado duorum numerorum, amp; eorunxnbsp;uno, obtinebis alterum, fi fadum per numerum datum dividas.

67. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. In divifionis lignum, dividendus, interpofita lineollnbsp;horizontal!, fupra diviforem fcribitur. Ex.gr. denotac lanbsp;per 3 dividi. AUi inter dividendum 1� loco pofitum amp; diviforem', duplex pundlum (^:) interponunt, quod amp; nos fubindenbsp;faciemus, pra�fertim, uhi unius fradtionis per alteram divilio fue-rit indicanda.

68. C�ra dividendus item divifor numeri fimplices funt, live, quod idem eft, ft unic� conftent nota; nonnbsp;majori negotio unius per .alterum divifio, quam multi-plicatio peragitur: at ubi numerus compofitus dividi debet, prEclertim ft etiam ipfe divifor plures notas complec-tatur, non levis nafcitur tironibus diflicultas. Bino pro-blemate, in hifce ca�bus operand! metliodum fubjiciemus.

te; ac inveftigetur, quoties divilbr in nota vel notis fuprafcriptis contineatur. Numerus hoe indicans,nbsp;ponatur ad dextram dividend!, acqualitatis figno inter utrumque conftituto.

JI. Quotiens hic per diviforem multiplicetur, amp; pro-du�lum ex divifionis membro fubtrahatur : fi quod fuerit refiduum, infra fcribatur.

ni. Refiduo, fi. quod fuerit, nota dividend! fequens adjiciatur; ac rurfus inveftigettir, quoties divilor innbsp;hoe altero divifionis membro contineatur : quotusnbsp;fcribatur ad dextram quotientis pri�s invent!. Re-liqua peragantur �t ante.

IV. Quod fi hacc operatic per fingulas dividend! notas continuetur, pro quovis membro unam notam innbsp;quotiente ponendo, quotus invenitur.

Ex. gr. fit dividendus 732 ; divifor 3. Dilpofitis numeris, lit in adjedto fchemate, qus-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;732 = 244

fique adjiciatur nota dividend! fe-quens. Quaere rurfus quoties 3 in 12; inveniuntur autem quater : fcribe ergo quotumnbsp;hunc 4 ad dextram praccedentis. Quod fi rurfus ul-timum huncee quotientem in multiplicatorem ducas,nbsp;produ�lumque ex ultimo operationis membro fubtra-

Demotstst. Vi operationis, omnes fucceffiv� dividen-di partes per eumdem diviforem dividuntur : fed partes omnes fimul fumtae ipfum dividcndum adscquant : ergo vi operationis, dividendus integer per diviforemnbsp;datum dividitur. Q^. e. d.

Sic in cafu exempli propofiti, 1� 6 centenarii, turn 13 decades, tandem 12 unitates in tres partes acqualesnbsp;dividuntur.

70. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. I. Cdtn omnes fucceffiv� dividend! panes per divifo-rem datum dividi debeant; tot quoti partiales inveniri daberent,nbsp;five tot notas continere deberet quotus integer, quot in divi-dendo funt cyphrarum ordines : at, quoniam inutilia forent onbsp;in parte quotientis finiftima; hinc pro i � operationis membronbsp;tot notae feparantur , donee ipfae , non babita rationenbsp;loei , quem in dividendo occupant, integrum diviforem con-tineant.

71. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. II. Si poft ultimam operationem quoddam fuperlitnbsp;refiduum, hoe ad dextram quotientis inventi lupra diviforem,nbsp;interjefta lineola , notatur ; Ex. gr. 71 per 4 dividenda lint ;nbsp;c�m , invento quotiente 17 , finaliter 3 remancant , eiit quotusnbsp;totalis I7|. Quod 11 divifor integer in integro dividendo nonnbsp;contineatur, five fi divifor dividendo major fit; tune pro quotiente , divifor , interje�la �t ante linea , fimpliciter dividendonbsp;fubfcribitur ; �t, fi 3 per 4 dividere oporteat; base exprellio,nbsp;quotientem defignat. Porro id genus divifionum refidua, aucnbsp;univerfim qutevis expreffio, qua numero alteri, interpofita linea , alter fubjicitur, fracliones vel iiumeri fracti dicuntur.

JSfumerum compositum per aliiim compojitumj fed minorem, dividere,

72. Resol. I. A finiftris dividend! tot f�parentur no-tac, donee diviforem contineant ; haeque primum operationis membrum conftftuent.

n. Siniftima diviforis nota a reliquis per comma fepare-tur, haecque fola diviforem agat ; quot vero nota

C 2

a dextris diviforis feparatsc fuerint, tot qEioque in quolibet divifionis membro a dextris feparentur.

UI. Per notam hanc diviforis finiftimam dividatur fi-niftima, vel duae finiftimae i* membri dividendi : quotus autem in diviforem integrum ducatur, Scnbsp;difpiciatur, an produ�lum ex.integro divifionis membro fubtrahi poffit nee ne.

�V. Si fubtra�lio fieri queat, fcribatur quotiens inven-. tus ad dextram dividendi, �t in prsccedente proble-mate, amp; fubtra�tio a�lu peragatur; refiduumque fub divifionis membro fcribatur, ipfique addatur nota fe-quens dividendi, pro novo divifionis membro.

V. Quod fi vero produ�lum in operationis membro, non contineatur, loco quotientis fumatur numerusnbsp;lanitate vel aliquot uiiitatibus minor, donce fa�lumnbsp;ejus in diviforem, ad membrum dividendura quaranbsp;proxim� accedat, amp; ex eo auferri queat.

,\fr. Refiduo, fi quod fuerit, adjiciatur ad dextram nota. fequens dividendi ^ �c in prEccedente Probl. :nbsp;haccque operatio continuetur , donee omnes divi-,nbsp;dendi cyphree divifionem fubiverint.

Ex. gr. fit dividendus 7038 , divifor 34. Primum divifioi�is membrum erit 70 ; fepa-rata igitur nota finiftima, turn di-�viforis,tum membri dividendi,quaere quoties 3 in 7 ; continentur autem bis multiplica igitur 34 per

2 nbsp;nbsp;nbsp;; amp; quia fadtum 68 cx 70 fub-trabi poteft, fcribe 2, pro quotien-te, amp; tolle 68 ex 70; refiduo autemnbsp;s, adjiciatur nota fequens dividendi

3 nbsp;nbsp;nbsp;; en alterum divifionis membrumnbsp;23 ; in quo c�m divifor non contineatur, loco quotientis fcribatur o ad dextram quo�

ti ante inventi. Huic numero 23, adjice notam ulti-mam 8 : fumma 238 dabit ultimum operationis mem-brum. C�m porro, praiter notam 3, unica in divifore nota fuperfit, -unica quoque nota a dextris hujus mem-bri feparetur, quacraturque quoties 3 in 23 continean-tur ; continentur autem fepties ; per liunc quotientemnbsp;7, multiplicetur integer divifor; amp; quoniam produdtumnbsp;hoe membro divifionis azquale eft , ad dextram quotinbsp;ha�tenus reperti fcribe 7. Dico numerum inventumnbsp;207 , effe quotientem qusefitum.

73. nbsp;nbsp;nbsp;C�m tollitur cyphra dextima cujufdam numeri,nbsp;pars ejus reliqua decades imporcat (�.i�-). Centenarios,nbsp;ft tollantur duae dextimte amp;c. ; ied dum numerus ali-quis dividitur per 10, 100 amp;c., inquiritur quot decades , centenarii amp;c. in dividendo contineantur : ergonbsp;ft una, duai amp;c. notae dextimaj refecentur, reliqutc da-bunt quotientem i'quot; cafu divifionis per 10, 2� per toonbsp;amp;c. : nifi. qu�d, fi nota refe�ia fignificativa fit, divi-ftone peracld remaneat, quantum per iiotam refeclamnbsp;importatur.

74. nbsp;nbsp;nbsp;C�m decas quadibet bis 5. faciat, numerus ali-quis totics bis 5 continebit, quot in ipfo dantur decades : ergo fi, refe�ta nota dextima dividendi, xeliquumnbsp;duplices; numerus ille, non computata notd rcl�dtd ,nbsp;per 5 divifus fuerit : atque adeo, fi nota' dividendi dex-tiraa fit 5, c�m haec femel infuper diviforem contineat,nbsp;reliquo duplicato adde i, habebis quotum divifionisnbsp;per 5 fm� ullo refiduo.

75. nbsp;nbsp;nbsp;Si turn dividendo, turn divifori ad dextram itnunsnbsp;Tel aliquot adhtcreant o; hifque xquali numero utrim-que negledtis, reliquum dividendi per reftantes divi-

foris notas dividatur, verus exurgct quotiens : denota-bit enim numerus ex divifione refultans, quoties vel decades diviforis in decadibus dividendi; vel centenar�nbsp;in centenariis amp;c. contineantur, (�. i6.)

^6. Schol. I. C�m produftum diviforis per quotiencem parcialem invencutn, poft fingularn operationem ex divifionis membro fub-trahitur, refiduum, fi quod fit, ad valorem not� fequentisnbsp;reducitur; atque turn circa hunc numerum nova operatio infti-tuicur. Non abfimili ratione proceditur , numerus diverfasnbsp;fpecies, ut fiorenos, affes 3r quadrances exprimens, per nume-lum numerarttem dividendus fit : nimirum floreni prim�m divi-dantur, divifionifque refiduum ad affes redudtum, affibus adda-tur; turn coca aflium fumma per diviforem dividatur j atque itanbsp;porro affiura refiduum in quadrantes refolvatur, amp; divifio adnbsp;finem ufque continuetur.

77. Schol. II. Dum pars finiftima cujufque membri, per finifti-mam diviforis notam dividitur , raro verus quotiens, prima ftatim vice, elicitur, e� qu�d fequentes diviforis not* non toties fem-per in reliquis membri notis contineancur, quoties nota ejufdemnbsp;finiftima in parte membri finifteriore , per quotum inventumnbsp;contineri oftenditur; quod tarnen omnino neceffe eft ; undenbsp;inexercitatis molefta eft, per diviforem compofitum, divifioni*nbsp;operatio. Porro tentamina inutilia �t plurimum evitabit , qui,nbsp;priufquam quotus fuo loco fcribatur atque pet eum totus divi-ibr mulciplicetur, mentalitcr, duas fakem notas finiftimas diviforis per quotiencem explotandum mukiplicaverit, fadlumquonbsp;ad coriefpondcntes dividendi notas comparaverit.

Divijionem examinan.

^8.,Resol. Quotiens per diviforem mulciplicetur; pro-du�lo addatur, fi quod a divifione refiduum fuerit : fi hac ratione prodeat dividendus, divifio ritc,perac-ta fuerit. (�. 63.)

jdlitcr

7r)- Ex dividendo tolle primo, fi quod remanferit, di-vifionis refiduum; reliquum divide per quotientem : quod fi numerus ex hac divifione refultans, divi-fori tcqualis fit, indicium eft, divifionem fuiffe legi-gitim� peratftam. (��

80. nbsp;nbsp;nbsp;Numerus aliquis , vel �t totum quoddam, innbsp;quo plures panes scquales concipimus, fpe�lari poteft;nbsp;vel ut alterius totius partes quafpiam exprimens : illenbsp;integer; hic fra^us vel fraamp;io nuncupatur. Sic numerus 3 fimplicitef pofitus, amp; ad nullum alium relatus,nbsp;integer eft : at fi quis dicat 3 quartas, is integrumnbsp;quodpiam in 4 panes scquales divifum concipit, cujusnbsp;3 panes enunciat.

81. nbsp;nbsp;nbsp;Porro numerus quilibet alium fe majorem, adnbsp;quem, tamquam pars ad totum, referri poteft; aliumnbsp;infuper minorem agnofcit, c�m numerus ex pluriumnbsp;unitatum colledione oriatur (S- 6.} : ergo numerusnbsp;quifcumque fub certo relpe�lu integer; fub alio frac-tus dici poteft : ftc Decas, numerus integer eft, com-parat� ad unitates, quas continet; at ver� fraftio erit,nbsp;fi ad centenarium, cujus aliquot partes exprimit, com-paretur.

8a. Unitas quoque, quamvis ipfa propri� numerus non fit, in plures partes aequales, mentis operatione,nbsp;divifibilis eft , quantumlibet demum exiguam quan-titatis portionem denotet. Ex. gr. pes unicus in variosnbsp;polliccs; pollex in varias lineas amp;c. a geometris divi-lus codcipitur : dum itaque pes pro unitate affumitur,nbsp;pollex ejus fradlio eft; linea ver�, fra�lionis tra�lio ulterior.

83. Fradli ergo ab integris numeris quoad rem non differunt : ea fola differentia eft, qu�d fra�li defignencnbsp;res, quac funt partes rerum ab integris numeris defigna-

tarum; ac proinde quod unitates fradi numeri fint relativa; ; integri ver� numeri unitates fint ablblutoc.

84. ScHOLiON. Ad hjec tirones advercere, mult�m intereft : cau-fa namque prjecipua, ob quam illis fra�torum numerorum trac-tatio diflicilis amp; obfcura videri foleac, ea eft, quod pri�s ad operationes fraftorum ac regulas addilcendas profilianc, quamnbsp;iliorum naturara pcrfpexerinc.

� 85. Fra�liones per duos numeros exprimuntur, quorum alter alteri, interje�la lineola , fuperfcribitur* Eorum fuperior, numerator dicitur; quia partium exnbsp;toto acceptarum indicat numerum : inferior vero, partes , in quas integrum feu unitas divifa eft, exprimit�nbsp;atque adeo partium acceptarum ipeciem defignat, ideo-que denominator audit. Ex. gr. duac tertise partes ali-cujus linea; , ita fcribuntur, | : ubi denominator 3,nbsp;indicat lineam elTe in tres partes a;quales divifam; numerator vero 2, duas iftiufmodi partes affignat.

86. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo fratftus nihil aliud eft, .quam ille partiumnbsp;numerus, quas acceptas elTe ex toto, numerator indicat.

87. nbsp;nbsp;nbsp;Fraclio propri� di�fa, unitate minor eft, atquenbsp;adeo per numeratorem, qui denominatore minor fit,nbsp;exprimitur : attamen omnes praccis�, vel -etiam plures,nbsp;quam ipfum contineat integrum, partes aliquando con-fiderandas fe offerunt : hoe porro cafu partes ilia;, linbsp;ad integrum comparentur, fta�lionis quoque nominenbsp;veniunt : hinc fra�tiones alia; unitate majores, aliasnbsp;unitati a;quales funt. Sic 4=i ; ver�m hacc fradtionbsp;unitatis valorem excedit.

88. nbsp;nbsp;nbsp;Omnis ergo numerus ad alium quemvis fibinbsp;homogeneum relatus, fradionis inftar fpedari poteft,nbsp;c�m aliquot alteriuS paltes enumeret : atque adeo omnis numerus integer fradlioni ccquivalet, cujus ipfe numerator

89. nbsp;nbsp;nbsp;Cum fradlionis numerator ipfa fra�lio fit C5-86.)�nbsp;denominator vero partes omnes totius, atque adeo ip-fum totum exprimat; confequens plan� eft, ut quo-ties numerator in denominatore, toties fra�lus in toto;nbsp;amp; viciilim, quoties denominator in numeratore, totiesnbsp;integrum feu unitas in fra�lo contineatur.

90. nbsp;nbsp;nbsp;Fra�lionum redu�tio eft qusedam earum trans-formatio, quam fubeunt, ut caetera; operationes com-mpdiiis circa illas inftitui poflint.

91. nbsp;nbsp;nbsp;ScHOLioN. Reduftio, u� amp; plures aliae circa fraftos opera-tioues , arttutn adeo nexum habenc cum Rationum gcometrica-rum theoria, uc illa; fin� his intelligi vix queanc : atque e�nbsp;eft ratio , cut varii primae nocae mathematici ad fra�tiones noanbsp;accedant, priufquam traftationem de Proponionibus prtemife-rinc. Quia tarnen rar� contingit, ut numerorum integrorumnbsp;divifio ita peragi queat, quin quotiens fraftus prodeat , circanbsp;quem nova; nonnumquam operationes inftituend* occurrunt; eanbsp;propter, ne quid hac in re tironem moretur, fatius nobisnbsp;vifura eft, modum circa fraftiones operand! fubjungere, dutunbsp;interim problcmatum demonftrationem tantifper differre ccginjuc,

92. nbsp;nbsp;nbsp;Resol. Multiplicetur numerus integer per deno�nbsp;minatorem datum : productum Icribatur loco nume^nbsp;ratoris. Ita reperies 3 = | = |z=^^ amp;c.

93. nbsp;nbsp;nbsp;Resol. Numerator fradlionis datsc per denomina-torem datum multiplicetur; faflumque dividatur pej;

Ex. gr. fraclio \ reducenda fit ad aliam, cujus de-jll nominator 12. �uc numeratorem 3 in �enominato-ir;;; rem 12; produ�lum 36 divide per denominatorem 4 : quotiens 9,erit numerator denominatoris dati 12. Eritnbsp;adeo fradio | =

, nbsp;nbsp;nbsp;94. Schol. Haec fraftionis data� ad alium denominatorem reduc

tie locum vix habec, nili c�m denominator unus, eft alterius mukiplus. Porro quantitas aliqua alterius minoris multipla.nbsp;dicicur , fi per hanc lin� refiduo dividi poffit : ica 8 eft mul-tiplum numeioium 4 amp; 2. Quantitas autem, cujus altera eftnbsp;multiplum, hujus rouliipli pars oLiquota vocatur; eft ita 4 parsnbsp;aliquota 8. Quod fi ver� numerus quifpiam per alcemm divilus,nbsp;aliquod relinquat refiduum; divifor dividend] pars aliquantanbsp;compellatur. Sic numerus 4 eft pars aliquanta 9.

P R O B L E M A X I I I.

FraWones plures ad eiimdem denominatorem reducere.

95. Resol. Mukiplicetur numerator, item denominator cujufvis fra�iionis per denominatores omnium reliquarum : habebis fra�tiones ad communem deno-minatorem redudlas, amp; prioribus refpe�tiv� aiquales.

Ex. gr. I amp; I reduci debeant ad communem deno-minatorera. Ducatur uterque terminus fractionis |, in 4; prodibunt | : tum etiam alterius tam numerator Quara denomhiator mukiplicetur per 2; fient f :nbsp;�.crunt itaque fradtionum reduciarum prior f, pofteriornbsp;vero f.

96. ScHOLiON. Si denominator unius fraaionis rit,aliorum deno-minatorum mukiplus'^�.94)-, afTumatur denominator hic pro de-nominatore communie amp; ad eum ca;ter� fraftiones reducantux (f- 93D, ex. gr. daise fint h� tres fraaiones f ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: quo-

niam 12 eft multiplum 3 amp; 4, reducantur du� priores ad de-nominatorera la C�.Sgt;3) : kabebis

PROBLEMA XIV.

FraSionem imitate majorem ad Integra reducere.

P7. Resol. Numerator per denominatorem dividatur: quotiens dabit qusefitum. Sic |= 3- *4- = 5- t ~ 3i�

PROBLEMA XV.

FraB^ionem datam, ad aliam minoribus terminis exprejpim^ reducere.

p8. Resol. Quseratur numerus aliquis, per quem tam numerator, quam denominator, exacl� diviui poffit;nbsp;atque per hunc uterque dividatur : prodibit fra�tionbsp;minoribus terminis exprefla. Porro expreffio eo eritnbsp;fimplicior, quo utriufque termini divifor major fue-rit ; fimplici�ima ver�, ii menfuram maximam, livenbsp;maximum diviforem adhibueris.

Ex. gr. fit fra�lio data ; uterque fra�Honis terminus dividatur per 4; quoti 6 amp; 10 exhibent frac-tionem quaifitam, f-. Si autem per 8 dividantur, prodit fra�tio |-.

99. ScHoLioN. Molefhi�s accidit inexercitatis communein menfu-ram maximam qusrere , quam, iteracd per menf'uras minores fponte animadverl�as divifione, fraftioncs ad terminps miniraosnbsp;reducere. Cascenim operationem hanc faciliorem experiecur, quinbsp;ad lequentes numerorum propriecates animum adverterit.

1� Quivis numerus par, eft muldplus binarii ; quando igitu� fraftionis termini funt numeri pares, Temper ad eorum dimidianbsp;red�ci poterunt. Ex. gr. baec fraftio reducitur ad | , con-tinua per binarium divifione; nempe 1^ = 33 = /V � |-

2� Quivis numerus terminatus in o, per 10 amp; per 5 divifibili* eft : itaque fra�tio reducitur ad |.

3� Quivis numerus, cujus nota dextima eft 5, eft multiplus 5. Hinc reduci poflunt ad | .

4� Quivis numerus eft multiplus 9, fi notas ejus omnes fim-plici additione in unam fummam colle�tae. dent numerum , qui exaft� per 9 diviftbilis fic ; fic 108, 12�, 043 funt raukipla 9.

P a

5� Si notarum valor fimplex, per 3, fin� re�duo, dividi poteft; ipfe quoque numerus exaft� per 3 divifibilis cft. Sicnbsp;Qr9 per 3 divifibilis effe cognofcitur, e� qu�d not� ejus fimulnbsp;addic�, conficianc la, qui eft multiplus 3.

100. Resol. I. Si frailiones datJC diveribs denomina-tores habuerint, reducantur ad eumdem (�� 95y H. Addantur numeratores; amp; funimai fubfcribatur denominator communis.

Aliud. I -b f nbsp;nbsp;nbsp; fa fa C �� 9.5 ) = W =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= '4

(�. 98amp;99).

jQi. SCHOUON. Si fraflis adfunt numeri iatcgri, bi in unam fummam coliigantur, iiiique adj�ngacur fumma fra�tionum. Sic

PROBLEMA XVI 1.

101. Resol. I. Si fra�tiones data; dlverfos habent de-nominatores, reducantur ad eumdem (�-95)-II. Numerator unius, ex numeratore alterius fubduca-tur; amp; refiduo denominator communis fubfcribatur.

(�� 95)

103. SoHOL. I. Si fraftionibus pr�fixi funt numeri integri exigui valoris, ii pri�s ad fraftionem adjunflam reducantur; cum-lt;que procedatur �t in problemate prscedence ( �. 102). Sic

a|�i-4 = �i CS-92) =v| �vKS-95^ = iquot;a-

Et Algebra. nbsp;nbsp;nbsp;29

J04- Schol. II. Quod ii ver� numerus aliquis integrorum ina jor fuerit, fraftioncs adjunfts ad communem denominatoremnbsp;reducantuT; tumque fraftio fubtrahendi auferatur ex fraftio-ne minuendi , muiuata unkate ex minuendo , fi neceffe fit,nbsp;�c alias fieri aflblec, c�m fpecies minuendi, earn, quae in fub-trahendo fibi refpondet , non continet ( �. 37 ) : intcgra por-ro ex integris , more folito , fubducantur. Ex. gr. fubtrahen-3| : erit ai3|5 �28'^ (.�. 95) ; fiat er-

105. Schol. III. In additione ac fubtraflione fraftorum , dum eumdem obtinuimus denominatorem, nullam amrii�s circa de-nominatores opcrationem inftituimus, ciim nihil aliud fmt,quamnbsp;nomina unitatum, ex quibus numeratores componuntur (�. 85^;nbsp;numeratores tantum addimus aut fubtrahimus. Quoniam ver6nbsp;nec addi nec fubtrahi pofiunt, nifi fuerint homogenei (�. ao);nbsp;ad cumdcm denominatorem funt reducendi; amp; infuper ad eam-dem unitates fpecicm rcferri dcbent: hinc ex. gr. | pedis cum |nbsp;pollicis addi nequcunt, nifi | pedis ad denominationeiK polU-cum primo redubtte fint.

PROBLEMA XVII L

XJnam fraSionem per alteram multiplicare.

106. Resol. ' Ducantur numeratores per invicem; fi-militer amp; denominatores : fadta conftituent fradio-ncm qua�fitam.

10^. Schol. I. Si f�a�lio per numerum integrum multiplicand* lit, folus fractionis numerator in numerum integrum datum du-catur. Sic faftum ex 4 in 4?= ?�.

merus mixtus eft, leu fraftionem integro adjuniftam habet; reducatuT 1� integrum ad fraftionem ejufdem denominationisnbsp;cum fraftione adjunifta : hoc fafto, perge ut in probl- pr^ceden-te(�. 10�). Ex. gr.a IX 11 =1 X| (� 92) =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C�- 98gt;

109. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. ill. Non mirura, quod, ubi fraftiones unitate mi-nores funt, faftum faftotibus minus refultet; cum revera divi-^nbsp;fio fit, qute multiplicatio vocatur. Ex. gr-1 multiplicare pernbsp;idem eft, ac dimidii dimidium invenire; quoniam fi r per uni-tatem integram multiplicaretur, ipfe multiplicandus femel pro-djiet (�, 89 amp; 107).

Fractionem per aliam fraBionem dividere.

110. Resol. I. Si fradiones datac diverfos denomina-tores habuerint, reducantur ad eumdem (�. 95).

II. Dein numerator dividend! dividatur per numerator lem diviforis : prodibit quotiens qua�litus.

Ex. gr. I dividendac ilnt per | ; quotiens = 2. Si 5 per ~ dividere oporteat; divide | per | ( �. 95), quotiens =

III. Schol. Neque veto mirum eft , qu�d fraftionum quori, numeri integti eiTe poffint : uiia enim fraftio alteram bis, ternbsp;amp;c. condnere poteft ; quod fi fiat, eric quodens cafu a, a*nbsp;cafu 3 amp;c.

Integrum per fraBionem dividere.

:II2. Resol. Integrum refolvatur in fradlionem ejuL dem denominationis cum divifore (�. 92) : deianbsp;procedatur ut fupra (�� no).

Ex.gr. lint 3 dividenda per |. Die, 3 = | (�.92): turn numeratorem 9 divide per numeratorem alterumnbsp;a : eric quotiens = |.

113. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. I. Endem modo integrum ad denominatorem fraftio-nis dividendse reducere oportcbic, fi fradns per integrum divi-dendus fuerit. Sic |- per a dividendte fint : divide | per |; ericnbsp;quotiens =:i feu -J- (�. 98).

merus mixeus eft ; integrum rcduc 1� ad fraftionem ejufdem denominatoris cum fradione adjunfta : reliqua porro fiant uc innbsp;probl. (�. no). Sic ai : 3 | = i^ (�.92) = f |;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(�.95)1

115. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. in. Hanc etilim pro fraftionum per invicem divifio-pe mechodura affignaie folcnt... Diviforis termini invcitaa-

tur ; quo faflo, numeri fuperiores per fe invicem; parker amp; inferiores per fe mucu� multiplicentur : eric faikum quotien�nbsp;qusficus. Sic � per | dividenda fic: fcribe |deinde vet�nbsp;iXf : eric quociens=: |-.

II6. Resol. Prior fra�lio dividatur per denominato-rem alterius (�. 113) ; quotiens multiplicetur per 2,* fra�tionis numeratorcm (�� 107) ; fadum dabitnbsp;ftadionem quscfitam.

Ex. gr. fra�lionis capiendae fint | : divide i� f 3 (�. 113); quotientemnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;multiplica per a;

Etenim | de | bis acdpienda eft ; atque adeo ^ dividendo per 3 , amp; quotum duccndo in 2 , fadumnbsp;eric quod petebatur.

117- Schol. Fraftionis datse fiaftio data facilivis obtinebituT , fi fraftiones illa; in fe mutu� ducantur ; c�m enim fradlio ali^nbsp;qua per akeratn multiplicatur, non nifi fraftionis fraftio fumUnbsp;tur (�. 109).

CAPUT III.

118. nbsp;nbsp;nbsp;Qui drca numeros integros operandi modumnbsp;attenti�s confideraverit, eumque cum fradorum ope~nbsp;rationibus contulerit, baud difficuker p�rlpidec, quanto facili�s in integris, quam in fradis numeris, ope-rationes inftituantur.

119. nbsp;nbsp;nbsp;Porro fradi'ones vulgares, atque adeo, quas innbsp;ipfis occurric, difScultatem evitare nos docuit prxcla*

121. nbsp;nbsp;nbsp;Earum ul�s potiffim�m elucet in divifione,nbsp;c�m aliquod fupereft rcfiduum, quod diviforcm nounbsp;continet : quod fi enim reliduum ill�d ad fra�tionemnbsp;reducatur, cujus denominator eft 10, 100, 1000, amp;c. ,nbsp;diviflo in fraaionc illa diutius continuari poterit, nonnbsp;fecus ac fi in integris numeris inititueretur, donee velnbsp;nullum ampli�s refiduum fuperfit, vel cert� nihil re-maneat, quod aliquam mereatur confiderationem; utinbsp;mox magis elucefcet.

32 nbsp;nbsp;nbsp;Elementa Aeithmetica:

rum fra�lionum Decimalhim inventum, quibus hodie-

dum,infigni prorlus compendio , ut�ntur Machematici.

120. Fra�iones autcm dedmales eas appellant, qu33 funt unita�s cujufpiam partes decima;, centellmaj, mil-lefima: amp;c.; �t A,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-r^ amp;c.

122. nbsp;nbsp;nbsp;Duplici porro ex capite per fra�liones decima-les nobis oritur operandi facilitas : primo quidem qua-tenus numerus quilibet nuUo prorlus negotio ad deci-mas, centelimas, miliefimas amp;c. reduci poteft; deindenbsp;vero qu�d earum denominatores omittere liceat : ipfenbsp;ftquidem, quem poft unitates integras locum occupant,nbsp;iplarum denominationem fponte commonftrat : licutinbsp;enim in numeris integrorum unitas quaevis decademnbsp;Facit in ordine proxim� dexteriore, atque adeo ordonbsp;quilibet refpe�tu ordinis finifterioris decimas valet; itanbsp;quoque primus poft unitates fimplices ordo-, decima-rum cft; alter centeftmarum; tertius millefimarum ikc.

123. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. Fraftidnes decimalas generatim fcrapula dicuncur :nbsp;in fpecie ver� fcrupula , li line dedm�; fcrupula 3� , (inbsp;centelimM; fi mitlefimte amp;c. Earum numerator fub formanbsp;numeri integri folitari� fcribitur, ac denominatoris loco fignumnbsp;aliquod, fcrupulorum qualitatem exprimens, cyphrarum apicinbsp;adjicitur. Ordinaric virgulae (') adhibentur ; una quidem pronbsp;fcrupulisprimis,dax pro fzcundh amp;c. Virgala: itaque noC!E dex-timte adjundse indicant, quot, prmter unitatem , zeris conftetnbsp;fraftionis denominator. Quod fi fraftio aliquot Integra condneat,nbsp;htec, mediante puniJto (.), a reliquis cyphris feparantur: ita loco fraftionis,|-|o^ fcribimus 3.2' �quot; q'quot;. Sufficiet tarnen, fi cy-

, phraa ultima;, fignum conveniens, casteris oraiflis , adferibatur; veluti in exemplo ftatim allegato, 3. a�q'quot;.'

PROBLE-

P R. O B L E ]M A XXII.

Si numerus integer per aliiim integrum exaae dividi nequeat, in quotiente fraclionem comma-'nbsp;nem evitare.

�^4. Resol. I. Refiduo divifionis adjiciatur o, amp; con�* tinuctur operacio �t ante : cyphra inde refultans�nbsp;fcrupula I* indicabit.

�I. Si poft hanc divifionem adhuc aliquid fuperflt, huic refiduo rurfus adjungatur o, amp; ita porro, donee nihil ampli�s remaneac.

�II. Divifione abfoluta, refpiciatur quot dentur fcrupu� lorum ordines, atque tot notarum dextimac, adferi-bantur virgulsc fcrupulorum indices.

Ex. gr. dividendus fit numerus 19; divifor 4. Di-vifione pera�l�i, remanebunt 3 : huic refiduo adde o� atque 30 per priorem diviforem 4 divide; prodibuntnbsp;7 fcrupula I* cuni refiduo 2. Hoe rurfus reliduum ,nbsp;adjun�lo o, five 20, divide per 4. Quotiens eritnbsp;ita ut nihil fuperfit. faciet adeo quotiens 4. 75quot;.

125. nbsp;nbsp;nbsp;Patet igitur, quomodo fra�tio communis adnbsp;fra�tionem dccimalem reduci poffit : nimirum numera-tori adjungatur o, tuneque per denominatorem divi-datur : quod fi aliquod remaneat refiduum, huic aliudnbsp;o addatur , atque ita porro divifio continuetur utnbsp;in problemate : cicterura quotienti tot adftribantur vir-gulac, quot zeros numeratori adjunxeris.

126. nbsp;nbsp;nbsp;ScHOLioN. Ci\m ad fcrupula tertia pervenimus, ordinari�nbsp;divifionem fiftimus ; quia, fi quid lemaneat, id i ^ q-- unicatisnbsp;non adsequat, atque adeo vix ullam meretur confideradoncniinbsp;Quod fi tarnen unitas maximi eflet valoris, etiara pet fcrupulinbsp;�lteriora divifio continuanda foret.

127. Resol. Tot a dextris refecentur notjc, quot frac-tio annexas habet virgulas fcr�pulorum indices :nbsp;quod rettabit a finiftris, integra defignabit.

Ex. gr. fit hsc fra�fio 24023quot;' : c�m tres ipfi ad-fcriptsc fint virgulac, fcrupula 3* indicantes; totidem cyphrac a dextris feparentur. Reliquum, 24 integranbsp;dabit : valebit itaque fira�tia propofita : 24. 023'quot;.

128. Operationes Arithmetics in fra�tionibus deci-malibus nihil diverfi habent ab iis, qus in numerisnbsp;integris inftituuntur, nifi qu�d, pera�ta operatione,nbsp;conveniens cyphrs dextrs fignuin fit adfcribendum.

129. Resol. I. Nots ejufdem ordinis fub fe invicemnbsp;fcrlbantur, id eft, unitates integrs fub unitatibusnbsp;integris, ut alias fieri folet; deinde fcrupula i� lubnbsp;fcrupulis i'% amp; ita porro.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Summs adjiciatur a dextris fignum fra�fionum ad-ditarum; refiduo autem fignum minuendi.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Quoad operationis modum, reguls alias prsfcriptanbsp;obl�rventur (�. 28 amp; 36).

Et Algebr*. nbsp;nbsp;nbsp;55

�30. Schol. Si minuendus amp; fubtrahendus non asqu� multos fcru-pulorum ordines concineant, irii,qiii fcrupulis minus fubdivifig conftac, toe adjiciantur o a dexttis, donee fcrupula ejufdemnbsp;denominationis contineat cum a.ltero, ex. gr. fi ex 29quot; fubcrahinbsp;debeant 183'quot;', mutencur 29quot; in 290'quot;, amp; ex his numerus 183quot;'nbsp;fubtrahatur.

PROBLEMA XXV.

Fraciiones Decimales per Je invicem midtiplicare.

131. Resol. Multiplicator, more ordinario, fub mul-tiplicando fcribatur : idem, qui in multiplicatione communi , inter produ�la partialia f�rvetur ordonbsp;(�� 50) : tandem produ�to totali adjiciatur fummanbsp;virgularum multiplicatoris amp; multiplicaiidi.

Demonst. Per iplam inprimis operationem, fra�lio-num numeratores in fe invicem ducuntur. Deinde c�m fra�lionis denominator femper fit unitas cum aliquot o, horuin fadlum etiam unitas eft, fed cum totnbsp;o, quot in fadtoribus firaul reperiuntur (�. 55) : at-qui virgularum numerus, fa�lorura cuilibet adjundlus,nbsp;indicat quot zeris conftet ejufdem denominator (�. 123):nbsp;ergo producto totali fuiHmam virgularum adjiciendo, fig-nificatur qualis fit denominator producli. Q,- e.. d.

132. Schol. C�m fractio decimalis plures fcrupulorum ordines continet, uti faepe in produfto fraftionum per invicem evenic',nbsp;una alterave nota a dextris, fin� fenfibili ejus diminutione, ne-gligi poterit. At, fi negledarum prima quinarium excedit, ultima earum, qute recinentur, unitace augenda cric. Sic in priori exemplo, ncglefta cyphra 8, nota altera i unitate augeatur:nbsp;etit 522quot; prodnftum prope verum. In altero autem exemplo ,nbsp;fi duos poftreraos fcrupulorum ordines negligere libuetit, ut

E 2,

cauciorcs fupcrfint, acque Me ratione facilior evadat 'opeiatio ^ loco 38', die 39', quoniaiti nocarum negleftarum ptima, quina*-lio major ell.

PROBLEMA XXVI.

133. Resol. Dividendus, more mtegrortm, per di-yiforem dividatur : fed quotienti adjiciatur exceflus virgularum dividendi fupra virgulas diviforis.

Ex. gr. fit dividendus 5. 44quot; : divifor i. 6', divide J544 per 16, quotienti 34 adjice virgulam unam ; ericnbsp;quotiens = 3. 4'.

�Demonst. Dividendus eft fadfum diviforis in quo-tientem ( �. 63 ), atque adeo virgulse dividendi, funt fumma virgularum diviforis amp; quotientis (�. 131) :nbsp;ergo virgulas divilbris ex virgulis dividendi fubtra-hendo, refiduura dat virgulas quotienti adferibendas.nbsp;Q,e.d.

134. Schol. Si dividendus pares aut pauciores, qiiam ipfe divi-foT , virgulas annexas habeat �, numero dividendo aliquot adji-ciantur o pro libitu, donee numerus decimalium in dividenda paullo major evadat, quam in divilore, ut amp; ipfe quotiensnbsp;dccimalibus conflate pofRc. Ex. gr. fi 44quot; dividenda per 8quot;';.nbsp;adjice duos zeros ad dextram dividendi, tuneque 4400quot;quot; divide per 8'quot; ; quotiens reperietur = 550' live 55. 0'.

13.4. Vari� occurrunt in Mathefi res, quae in 60 partes acquales dividi amp; fubdividi concipiuntur; fie gra-dus in 60 minutat quodlibet minutum in 60 minutanbsp;fecunda amp;c. dividitur. Similem plan� in horis divifi.o-nem ac fabdivifionem admiferunt Matliematici. Partes has, fractioncs fexogefmaks appellant.

336. Schol. Pars grad�s, uti S: horac fexagefima, mtnutam pri-mum dicicur; pars lexagefima minuti primi, minutum J�cundam^ amp; ica deinceps. Porro minutorum iidem func indices, q^ui fci�-pulorum in fraftionibus decimalibus.

137. Resol. I. Fraftiones ejufdem dcnominati�nis fit* pra fe inviceni Icribantur.

IL Dein, initio a parte dextima fa�lo, colligatur fumma' omnium fra�lionum ad iftum ordinera per-tinentium.

III. Quod ft fumma clenominatorem communem feu 60 excedat; dividatur per eum; refiduum infra co-lumnam fcribatur; quotiens ver� addatur ordininbsp;fcxagefimaliam proxim� fequenti.

Nimirum minuta 3� primo in unam colligantur furnmam , quae in cafu pofito eft 63quot;'; quibus openbsp;divifionis per lt;5o, ad ordinem finifteriorem redudtis, �nbsp;quotiens ell 1 cum refiduo 3 : igitur fub columnanbsp;additorum fcribantur 3quot;', amp; quotiens iquot; addatur ordi-ni proxim� fequenti. Hic autem ordo, fimul cum re-fervato, continet 88quot; : porro 88quot;= i' 28quot; : fcribaturnbsp;ergo rurfus refiduum hoe 28quot;, amp;c quotiens i' referve-tur ; atque Godem modo continuetur operatio, doneenbsp;ad Integra perventum fuerit.

*38. Resol. I. Subtrabendus ita infra minucnduni fcribatur, ut amp; ordines amp; notai homogeneae fibi cor-

38 nbsp;nbsp;nbsp;Elewenta Ar-ithmeticje

refpondeant : operatio porro, �t alias, inftituatur, fa�lo a dextris initio.

II. Si ordo aliquis minuendi, ordinem fibi refponden-tem non contineat; mutuetur unitas ex ordine fe-quente, qui inde unitate minor erit , alter ver� au�tus ad 60.

Ex. gr. fit minnendus fubtrahcndus

erit refiduum

139. ScHOLioN. Patet, nihil hic fieri aliiid, quam quod fupra (�. 37quot;), c�ra de additione ac fubtraftione in numeris diverfaanbsp;Ipecies exprimentibus ageremus , faciendum prceeepimus ; undenbsp;amp; necelTe haud fuilTet de hil'ce fra�lionibus quidquam fpeciali-ter dicere, nifi alia quaedam in fexagelitnalium rnultiplicadonenbsp;ac divilione per invicem, occurrcret difficultas �, lic�t amp; h�nbsp;operationcs magnam cum deciinali-bus affinitacera habeanc, udnbsp;jnanifeftum eric in exemplis.

'140. Resol. I. Numeris debit� fupra fe invicem fcrip-tis, quivis ordo multiplicandi in quemvis ordinem multiplicatoris ducatur; amp; fingulo produ�fo addatufnbsp;fumma virgularum utriufque ordinis per invicemnbsp;multiplicati.

11. Deinde ex Ipecie minore abjiciatur toties fexagena-rius, quoties fieri poteft, amp; tot fpeciei proxim� ma-jori addantur unitates, quoties fexagenarius abjec-tus fuit. Res patebit in exemplo.

�41. Resol. I. Tot a finiftris dividendi feparentur lpamp;* cies, quot fpeciebus conftat ipfe divifor.

�L Quod fi. fpecies maxima dividendi , Ipeciem maxi-mam diviforis non condneat, illa reducatur ad ipe^ ciem proxim� minorem, amp; una fpecies ampli�s pronbsp;1� operationis membro aflumatur.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Turn fpecies maxima dividendi dividatur per Ipeciem maximam diviforis, amp; quotienti affignetur pronbsp;indice, exceffus virgularum dividendi fupra virgulas diviforis, fi detur : alias quotiens hic integra continebic.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Quotiens inventus ducatur in integrum diviforem;nbsp;fa�tum ex parte dividendi feparata fubtrahatur ;refiduo,nbsp;li quod fuerit, adjiciatur fpecies dividendi fequens.

V. nbsp;nbsp;nbsp;Species rurfus maxima refidui dividatur per fpeciemnbsp;maximam diviforis; omniaque reliqua fiant �t ante.

i,quot; nbsp;nbsp;nbsp;38-

Quoniam fpecies Imiilima dividendi, fpeciem finifti** mam diviforis non concinct, i integrum refolve innbsp;ininuta , ipfifque adde minuta columna; fequen-tis, atque turn dehium divide 73' per 24' diviforis :nbsp;quotientem 3 fcribe in loco confueto; dein per huncnbsp;quotientem multiplica integrum diviforem, produ�tum-que 72' 15quot; tolle ex membro dividendo; erit refiduumnbsp;57quot;. Huic addatur or do fequens, 48quot;' : turn quaere ,nbsp;quoties 24 in 57 : continentur autem bis : amp; quianbsp;\drgularum excelTus eft ad unam, erit quotiens nacnbsp;vice = 2'. Per hunc porro quotientem multiplicatonbsp;divifore, exurgit fa�lum 48quot; 10quot;', quod fubdudum exnbsp;membro dividendo feu ex 57quot; 48quot;', relinquit 9quot; 38'quot;.nbsp;Cum ergo 9, rurfus 24 non contineant, ilia reducan-tur ad minuta 3*, amp; tandem 578'quot; dividantur per 24';nbsp;erit ultimus hie quotiens = 24quot; : eft igitur quotiensnbsp;totalis = 3. 2' 24quot;.

142. Schol. Fraftionum fexagelimaliura muldplicatio ac divillo locum habere vix poceft, nili cum de menfuris longicudinis amp;nbsp;Jaticudinis agitur : non enim concipimus ens aliquod determi-catce fpeciei generari, dum ex gr. minuta longicudinis per minuta temporis, vel ininuta temporis per fe invicem mulciplican-lUT aut dividuntur; at bene, cum minuta longicudinis in minuta laticudinis ducuntur; tunc fiquidem minuta in utramque hancnbsp;dimenfionem extenfa prodeunc.

I43. Cum cyphris quantitatem aliquam exprimimus, jam praivi� tot in ea partes diftindas concepimus,nbsp;qtiot fignificandis unitatibus cyphra; inftitut� funt; velnbsp;equidem ad tot diftindarum partium ideam nobis in-gerendam adhibentur : illis igitur folum uti licet, ctim,

quantitas

quantitas determinatum partium numerum continet. Quod fi quantitates omnimod� indeterminatae indicarinbsp;debeant, fignis indifferentibus amp; nil quidquam deter-minantibus esc exprimenda� erunt. Litteris porro Al-phabeti A, B, C, D amp;c. eafdem indigitamus.

144. Schol. Cyphrarum valor pender a loco , quem in numero ob�nent; undo dum quis in cyphris operacur , non ad cyphrasnbsp;tantum attendcre, fed curare infuper debet, ut eie locum va-lori fuo convenientem occupent. Hoe autem commodi habecnbsp;calculus licteralis, quem yUgcbram item ylrithmztlcam fpecio-fam vocant, ut ad litterarum locum attendi non debeat : nonnbsp;mutatur enim valor A B, etiamfi B primum , A ver� fecun-dum locum teneat ; igitur A B^B A. Interim tarnen utilenbsp;erit, ut idem femper inter litteras fervetur ordo ; is porro fit,nbsp;qui eft ipfius Alphabeti, ita ut A 1�, B �3� amp;c. loconbsp;collocetur.

145. C�m litteroc nihil detenninent, una eadetnque littera ad quamcumque quantitateni defignandam alha-mi poterit : attamen in eadem quacltione diverfsc quantitates diverlis litteris exprimenda� funt, nili c�m casnbsp;libi aiquales elTe conftiterit.

14�. Quantitas alia pofitiva dicitur, quai nihilo major eft, atque hoe figno afficitur : quai autem nihilo minor eft, hoe fignum � praefixum habet, amp; privati'nbsp;va audit.

14.7. Schol. Quantitas privativa debitorum inftar eft, quibus quis erga alium obftriftus manet : minus fiquidem is pofsidet, quamnbsp;qui nullum omnino debitum haberet. Eft itaque quantitas pri-vativa ; quautitatis ver^e defeftus i' coniequenter non quanuiasnbsp;vera.

Corollarium I.

148. Non tollitur quantitas privativa, nifi pcr quan-titatem pofitivam eujus eft defeclus; atque adeo c�m tollitur quantitas privativa, addicur quantitas politiva;nbsp;amp; vicil�m, in quant�m pofitivi quidpiam additur, innbsp;tantum quantitas privativa minuitur.

44 nbsp;nbsp;nbsp;Elementa Arithmeticj�

149. Ergo quantitates, quartim �na pofitiva, alt�* ra privativa eft, fe mutu� deftruunt pro ea parte, quae

� 7 3 = � 4- �.5 lt;5 = i.

141. Quantitas compkxa eft, quae ex pluribus quan-titatibus, figno 4- jundis vel figno' � feparatis, com-ponitur. Ex. gr. A 4-3; item A 4-3�C. Si quantitas aliqua nulli alteri five per lignum -P, live per lignum � connedatur, ea incomplcxa vocatur.

15a. Schol. Quantitas incomplcxa monomium; compkxa ver� generatim folymmium dicitur : in fpecie a�tem binomium vocatur , fi duobusj trinomium, fi tribus amp;c. terminis five partibusnbsp;conftec.

153. nbsp;nbsp;nbsp;Cyphfa termino cuipiam praifixa, termini hu-jus coefficiens audit : lie hxc quantitas, aA-PsB duosnbsp;.coeflicientes habet, niniirum 3 amp; 2, lignificantque Anbsp;bis, 3 vero ter fumi.

154. nbsp;nbsp;nbsp;SciiOLTON. Termini, quem nullus coefiEciens praecedic,eoef-iiciens eft unicas. V. gr. Ac=iA.

155. nbsp;nbsp;nbsp;Numerus alicui quantitati litterali fupern� ad-fcriptus, quantitatis illius exponens dicitur : Ex gr. innbsp;A^ exponens eft 3, lignificat ver� quantitatem A pernbsp;fe ipfam multiplicari amp; toties multiplicationem ingre-di, quot unitates exponens continet ; ingens igitur inter exponentem k. coeflicientem eft difcrimen ; namnbsp;3A ponitur loco A4-A4-A; at ver� A^ fubftituiturnbsp;pro A xAxA-,

156. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. Terminus qui nullo exponente afficitur, pro expo-nente habeC unicatem. Ex. gr. A = A'.

157. Termini quantitatis complexac iifdem conftan-tes litteris, J�miles dicuntur, quamvis amp; coefScientes

amp; figna diverfa habeant : fic quantitas aAB BC �aBC duos terminos fimiles continet, BC fcilicet5 amp; �2BC.

De nbsp;nbsp;nbsp;o PERATIONIBUS AlGEBRAICIS,

158. Resol. Esc omnes in eadem fcrie continua fcri-bantur; fed unicuique f�um praefigatur fignum.

159. ScHoLioN. C�m expreffio aliqua terminos fimiles continet, ea ad fimpliciorem formam reducenda eric; pro quo fequentesnbsp;ferventur regulae.

Prima. Termini fimiles eodem figno affeQi, femel tantumraodo fcrifaantur �, ipfis fuum ptnefigatur fignum; coefficiens vcr� fitnbsp;fumma ex coeflicientibus omnium horum terminorum : fic loconbsp;A-fB aB, fcribe A 3B. Loco A 3 A�aB � qB-j^C,nbsp;fit 4A��B-f C.

Secunda. Termini fimiles diverfis fignis affefti amp;habentes eoef-ficientes �qualcs, penicus omictantur (S. 149); ut fi fit aA B�^B, Icribatur fol�m aA.

Tertia. Si terminorum fimilium diverfis fignis aifeftorum eoef-ficientes insquales fuerint ; coefficiens minor ex majore fubtra-hatur, amp; difi�rentia cum figno majori praefigatur 149). Sic cx A�nB sB fit A B. ,Loco aA�4A �3B C B,nbsp;fcribe �a A�aB C.

PROBLEMA XXXII.

Quantitates,^ tam eodem qiiam diverjis Jigtiis aff�ciaSj a fe invicem fubtrahere.

�6o. Resol. In eadem ferie continua cum quantitate minuenda, fcribatur ea, qu� ex altera auferri de-

F 3

bet, mutato interim figno � in C�� 148^� amp; viciflim : quantitas qusc prodit, erit refiduum.

Differentia inter A � aB gC amp; � A4-3B �aC = A � aB 3C 4- A � 3B sC ; amp; fadla redudione,nbsp;= 2A�5B 5C (�. 159).

THEOREMA III

161. nbsp;nbsp;nbsp;Ex. gr. fit A amp; B : dico fadium cx A in B-efle quantitatem pofitivam.

Demonst. Cum A faciat plus quam nihil (�. 146), produdtum faciet aliquoties B (�. 43) : fed B etiaranbsp;quantitas pofitiva eft : ergo produ�lum nihilo majusnbsp;eft; atque adeo ex fa�to A in B, quantitas pofitivanbsp;prodit (5. 14�}. Q^.e.d.

162. nbsp;nbsp;nbsp;ScHOUiON. C�m quantitates per littetas de(ignatagt;., in fe in-vicem d�cendse funt, faftores fimp�citer j nullo interpofico lig-no, juxta fe invitem ponuntur. Sic AxB =AB.

Si faSorum iinus quantitas pofitiva cfl^ alter verb quantitas privativa; faaim quantitasnbsp;privativa efi.

163. Ex. gr. fit 4-A amp; �B : dico fadlum ex A in B elTe quantitatem privativam � AB.

Demoxst. C�m A fit major nihilo (�. 146), pro-dudlum faciet aliquoties B (�. 43) : fed ex hypothe-li, B quantitas privativa e/l; ergo produ�lum aliquo-

ties quantitatem privativam five defedum continet : proinde factum quantitatis pofitivas in privativam, quan-titas privativa eft (�. 146). c.d.

THEOREMA V.

Si qiiantitas privativa per privativam multiplicatur, productum pojitivum prodit.

164. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Sit A = 3, B ver� quantitas privativa : fi turn A per B multiplicetur, produ�tum fa-ciet�3B C5- 163) : fit dein A= � 3; erit jam Anbsp;6 minor quam ante (�. 160) : ergo prius produ�tumnbsp;diminuetur ad fexies B (�. 45) feu ad �6B : fed dumnbsp;� 6B ex �3B aufertur, refiduura eft: -f-gB (�. 160):nbsp;ergo fi quantitas privativa per privativam multiplicetur, produ�tum pofitivum prodit. e. d.

165. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo in multiplicatione, eadem figna efficiuntnbsp; ; diverfa vero �.

PROBE E MA XXXIII.

Quantitates complexas, tam eodem quam diverfis Jignis aJiSas, in Je invicem diicere.

166. Resol. Omnia hic fiant ut in multiplicationenbsp;per cyphras, nifi qu�d fervanda fit hsc regula :nbsp;eadem figna efficiunt , diverfa �. Nimirum qu�c-rantur primo produ�ta partialia fingulorum termino-rum multiplicatoris per terminos fingulos multipli-candi : dein ha:c in unam fummam coUigantur pronbsp;fa�to totali.

Ex. gr. A-t-B C4-D

4-AC-pBC AC 4-AD BC-f-BiJ

Exemplum aliud A � B C A B � D

167. ScHOLiON. Dum quantitaturn complcxarura multiplicatio in-flicanda folum eft j fadlores in eadem ferie ponuntur, inter ntrumque tamen interpnfito ligno X : amp; ne forte quantitas h*cnbsp;pro fuirnna fumauir ab iis, qui inter hoc nmitipikadonis amp; ad-ditionis fignum -p, difcrimcn non animadvertorunt, linca fu-

perducicur ; hunc in modum A BXaC�D indicat A-l-B debere duci in aC�D. Alii (ingulos fadtores parentheleos fig-?nbsp;nis includunt, ut (A-j-B) (aC�D).

168. Resoe. Multiplicentur coeffidentes per invicem ; produdtum erit cocfficiens quaefitus. Sic 3A2B =�AB,

Demon ST. 3A=A A A; ergo faclum ter A in B =3AB ; fed 2B = B B ; ergo fadtum 3A in 2Bnbsp;facit bis 3AB, feu 6AB. Q^. c. d.

Diverfos exponentes producii ad unicum reducere, fi exponentes illi eidem litterce affixi fuerint.

1�9. Resol. Littera femel tantum confervetur pro fadto, fed ipfi pto exponente detur fumma exponen-tium cjufdem litter� ; fic A:A? = A�.

170. Demonst. Dividendus eft fa�tum diviforis ia quocientem (�. 63) ; fed quantitas pofitiva non nilinbsp;per alteram politivam dat produdtum pofitivum (�. 163):nbsp;ergo cam divifor, ex hypothefi, fit quantitas pofitiva,nbsp;ipl� cciam quotiens quantitas pofitiva erit. Q^iod bratnbsp;primum.

Quantitas pofitiva per folam privativam generat quan-* titatem privativam (�. 161) : ergo fi divifor quantitasnbsp;pofitiva fuerit, auotiens privativus fit oportet. Ouodnbsp;trat alterum.

Quantitas privativa non nifi per pofitivam producit quantitatem privativam (�.164) : ergo fi divifor quantitas privativa fit, quantitas pofitiva pr�dit. Quod er at

171 Ergo quotiens ex duobus terminis eodem figno affe�is, femper pofitivus efi: : ex terminis vero con-traria figaa habentibus , privativus.

riotac quantitatem A-fB per A divifam efle; atque generatim I divifionis quoticntem indicat.

173. nbsp;nbsp;nbsp;Schol II. C�m quantitas incomplexa per aliam incomplexamnbsp;dividitur, fola operatio qute inflitui poteft, in eo fere confif-tic, ut cxprelfio ad fimpliciluroara formajn reducatur ; ea potru

reduftio circa coefficientes foKim amp; exponentes verfacur : qu� autem modo infticuenda, dicetur ftatim. Pro polynomiorumnbsp;divifione Ipeciales regul� prselcribentur poftea (�. 174).

174. Schol. III. Non loquimur de eo cafu, quo divifor amp; di-videndus penes folos coefficientes difcrepant; neque de dividen-do, quod fafttim lie , divifor autem fatlorum unus ; enimvero ex iis qute alias diximus (�. �5) , res adeo clara eft, ut fu-perfluum forec, diftis de cafibus quidquam fuperaddere : ficnbsp;3Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB ABC

PROBLEMA XXXV 1.

Duorum urmlnorum per invieem diviforum coefficientes^ in quantum, fieri potefij reducere.

175. Resol. Si alter per alterum exad� dividi po-teft , uterque omitcatur; amp; in loco majoris fubfti-tuatur quotiens inventus. Si divifto fine refiduo fieri nequeat, nulla circa coefficientes fiat mutatio.nbsp;Si tandem coefficientes tcquales fint, uterque de-leatur.

Aliud : quantitas 4ABC dividi debeat per 2 ABC

ent quotiens = -gg-

5ABC �

� 5AC �

PROBLEMA XXXVIL

Duorum terminorum per invieem diviforum , exponentes reducere.

i'j6. Resol. I. Si eadem littera tarn in dividendo, quam in divifore occurrat cum diverfis exponencibus,

Ex gr. fi quantitas 6AB dividenda fit per gB : divide 1� coefficientem dividendi per 3, amp; omiflb utro-que coefficiente , fubftitue in dividendo quotientemnbsp;inventum 2; tandem divide aAB per B ; crit quotiens = sA.

�a illic omittatur, ubi minorem habet exponentem; amp; fiquidem nulla alia in illo termino adlit littera,nbsp;ejus loco ponatur i : in altero vero termino, ma-joris exponentis loco, adfcribatur exponentium differentia.

II. Si ejufdem litterai exponentes utrimque equales fint, littera in utroque termino omittatur : fed, de-ficientibus aliis litteris, unitas fub�ituatur.

Ex. gr. fit quantitas AB^C dividenda per B�C^. 'Quoniam in divifore quantitas B minore exponentanbsp;affedla eft, quam in dividendo; contra ver� quantitas C minorem in dividendo, qumn in divifore exponentem habet ; relinquatur B in folo dividendo, Cnbsp;autem in divifore, cum fuorum refpedliv� exponentium

-g- = ^ (�. 154 amp; i56):igitur, retenta in folo dividendo littera B cum exponentium differentia, rema-nebit

pe dividenda A% = lA^ C �� 1.54) : omifs� ergo utrimque littera A cum fuo exponente, nil reftabit pratter 4-.

177. Schol. I. Caeter�m id obfervetur,ut,fi ambo divifionis termini eodcm figno affetti fuerin:, quotiens pqfitivus fit; priyativu* vero, fi diverlis. Porro li quotiens privacivus prodeat, fignum

178. Schol. II. H�c duo quidem poftrema problemata, ex ra-tionum geometricarum theoria, luculencer admodum demonftra' ri poflunt : fed les illa ndndum matura eft : quapropcer hafte-nus fufficiat modum, quo redudtiones faciend* lunc, fubindi-caffe.

179. Resol. I. Difppfitis terminis fccund�m ordinerti Alphabeticum, divitiatur primus terminus per 1��nbsp;terminum diviforis; quotiens ducatur in totum di-viforem; produ�tum auferatur ex integro dividendo;nbsp;refiduumque fubfcribatur.

II. Tum rurfus refiduorum terminus dividatur per 1�quot;� terminum diviforis : caetera porro fiant rit ianbsp;priore operatione.

Exempli gratia dividenda fit hxc quantitas : AA�AC 2 AD 2 A�BB BC� 2BD 2B�2C 4Dnbsp;per A�B 2.

l�ium terminum diviforis A, exurgat quotiens : repe-ritur autem A. Collocetur ergo a in loco quotien-tis, .ac per eumdem multiplicato divifore A � B a, fa�tum AA � AB aA aut�ratur ex dividendo ; refi-duum AB�AC aAD�BB BC�aBD aB�aC qDnbsp;fubfcribatur. Turn ro-lus primus hujus relidui terminus AB dividatur per A; prodibit altera quotientisnbsp;pars B. Per hunc pari ter quotum multiplicetur di-vifor A�B a, atque produdtum AB�BB aB tol-latur ex prccfato refiduo : fupererit �AC aAD BCnbsp;� aBD � aC 4D. Pariformiter hoe refiduum pernbsp;eumdem divilbrem dividatur, inquirendo quis ex �ACnbsp;per A exurgat quotiens ; hoe quotiente, �C, due-to in A � B a, fa�lum �AC BC�aC ex �AGnbsp; aAD BC�aBD � aC qD fubducatur : refiduumnbsp;porro a AD � aBD qD per A divifum, dabit poftre-mam quotientis partem aD, qua in diviforem duc-ta , atque faCto ex a AD�aBD qD fublato, nullumnbsp;amplius reperietur refiduum : ell igitur quotiens totalis ^ A B�C aD.

180. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. I. Igitur in polynomiorum divifione, eadem prorfusnbsp;eft procedendi ratio ac in numeris (�-72); at raro hie inveni-tur exaftus quotiens. Ipfam interim operationem inftituere ju-�vac, uc, fi non omnino exaiftus, faltem aliquis quotiens elicinbsp;poffic ; amp; non nifi pars aliqua dividendi per modum fraftionisnbsp;lupra diviforem feribenda fuperfit. Porro quandonam polyno-mium unura per akerum exatt� dividi queat, ipfe ufus doepbit.

181. nbsp;nbsp;nbsp;Schol II. Si dividendus oriatur ex quantitatibus integris innbsp;fe invicem duftistunc ipfe per unamquamque ex illis exaift�nbsp;dividi poterit. Hoc aucem cafu expeditior eric divifio fequentinbsp;modo inftituta. Inprimis quteratur quibus litteris, in diviforenbsp;non reperiendis, junfta fit prima littera dividendi, illscque cumnbsp;congruis coeincientibus, exponentibus amp; fignis ponantur pronbsp;quotiente. Deinde examinetur in quibus terminis dividendinbsp;junftus fit fecundus terminus diviforis cum iitteris, nec in divifore nec in quotiente iam invento occurrcncibus; ha;que litte-r� pro altera quotientis parte feribantur; atque ica deinceps.nbsp;Quotiens hac via inventus ducatur in diviforem , faftumquenbsp;fubducatur ex dividendo. Quod fi aliquid remancat, illud adnbsp;^iextram quotientes fub forma fraftionis more folito natetur.

G a

Sic in fuperiore exemplo (�. 179), primus terminus divifort� � A jungitur cum A ia 1� termino dividendi-, cum C in ,nbsp;ctim qD in 3� ; eatenus quotiens eft A � C-f-sD. Turn fecun-dus terminus diviforis �B jungitur cum B; unde quotiens eatenus eft -f- B : hac ratione quotus tandem totalis proditnbsp;A-|-B � C �D. Quod li ver� quotiens hic in dividenduntnbsp;ducatur, invenitur ipfe dividendus.

183. Resol, Dcnuo hic omnia fiant �t in Arithmetica communi ( �. 106 amp; no).

�S^ Schol. C�m quantitas frafta in incegram duccnda fncrit; vel irafta per incegram , aut viciffim, integra per fraftam dividenda vnbsp;eodem rurfus modo procedendum eric �t in Arichmetica nu-

185. nbsp;nbsp;nbsp;C�m numerus aliquis per feipfum multiplica-tur, fadum numerus qiiadratus; ipl� autem hujus in-tuitu radix quadrata audit. Sic numerus 4, quadratusnbsp;eft; ejus vero radix quadrata 2, quatenus hic in feip-lum du�lus, numerum 4 gignit.

186. nbsp;nbsp;nbsp;ScHOLiON. Numerus quilibet quadratus duas dimenfioucsnbsp;tcpr�efentac. in longum fcilicec amp; latum; ejus vcr� radix uni-cam , vel in longum tantum vel in latum tantum : htec igiturnbsp;liuete reftte tequiparatur; ille luperfidei quadratae , cujus lateranbsp;ipfi radici aequantur.

tiplicetur, produ�lum numerus ciibiciis feu cubits ; radix ver� ejus intuitu radix cubica nuncupatur. Ita fi numerus 2 in feipfum ducatur, prodit quadratum 4;nbsp;quod n dein quadratum hoe per 2 multiplices, ircne-ratur cubus 8:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n amp;

188. nbsp;nbsp;nbsp;ScHOLiON. Perfpicuum eft , iftiuftnodi multiplicationcm innbsp;infinitum continuari pofie. Porro fafta inde genita , general!nbsp;pountiarum aut dignitatum nomine inligniri folent. Ipla radixnbsp;dignitas prima; ejus quadratum fecunda; cubus tertia ; quadrtt-tum quadrati quarta potentia vocatur, atque ita confequenter.

189. Exponens dignitatis, eft numerus indicans quo-ta illa ftt. Ita, exponens quadrati eft 2, cubi 3 amp;c, Kadicis lateri dextro jungi folet. Ex. gr. ft A fueritnbsp;erunt potentiae ipfam fequentes, A% A^

cis partem mukiplicatur : quare produ�lum componi inprimis debet ex fa�lo partis i� in feipfam; id eft,nbsp;ex quadrato partis i� : 2� ex fa�io partis i* in 2�quot;�:nbsp;3� ex fafto partis 2� in : amp; 4� ex fa�lo partis 2*nbsp;in feipfam; hoe eft, ex quadrato partis 2� . Q^. e. d.

195. Schol. Res elucefcet in cafu fingulari. Sit ex. gr. radix bi-nomia A B. Erit quadrarum ejus AA AB AB BB, five AA �AB BB. Ec fi fiat quadracura ex A�illud fa-eiec AA�flAB BB.

196. Ergo quadra turn fummae ex duabus quantita-quot;bus quibuivis, fuperat aggregatura ex quadratis eorum-^ dem, ad bis produ�tum unius per alteram.

�97. C�m radix binomia numerus eft, pars ejus dextra inter unitates; finiftra inter decades locum ob-tinet ; ig^ur quadratum par.tis dextrac, in loco dexti-mo; faairn ex unius duplo in alteram, in 2�; quadratum denique partis finiftne, in 2� loco terminarlnbsp;debet.

J98. Schol. Scilicet partis dextr� quadratum, unitates continet; decades per unitates producunt decades; quadratum ver� deca-dum centenaries exhibet : porro unitates locum dextimum�, decades fecundum; centenarii tertium locumnbsp;obtinent_(�. 13^. ld patet in quadratonbsp;radicis binomi� 13, in quo quadratum no-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

o unitatibus in decadem, item decadis in o unitates, in loco a�; quadratum tandemnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J44

�fjp, Quadratum numeri cujulcamque ex quadratis iin^larum partium, amp; fa�lis ex duplo pards cujuflibetnbsp;in omnes ipsa finifteriores, componitur.

fiOO. Schol. ld pateficc in exemplo. Si: radix 1264 : nota dex-terior a reliquis feparetur : prodibit radix binomia, cujus pars una la�o, altera ver� 4. Hujus binomii (juadratum compone-tur ex quadratis lingularum partium, amp; bis produfto la� fiv�nbsp;1260 per 4 (�. 194). Sed quadratum 12�0 a;quatur quadratisnbsp;partium 1200 amp; 60, amp; infuper bis fafto unius in alteram ;nbsp;quadratum ergo numeri 12�4 facit haftenus quadratum 4 livenbsp;16; bis faftum 4 'in 1260 five 10080; quadratum 60, feu-3600; bis fiiftum 1200 in 60 five 144000, amp; infuper quadratum 1200 fed hoc aiquivalet quadraco aoo five 40000; bi*nbsp;fadto 1000 in aoo five 400G00, amp; practerca quadrato 1000 ;nbsp;ergo quadratum numeri 1264 componitur ex quadratis fingula-Tum partium amp; fadis cx duplo partis cujuflibet in omnes ips�nbsp;finifteriores.

16 Quadratum partis 4�.

l Facfta partis 4� in finifteriores.

5040

72,000 �? nbsp;nbsp;nbsp;finifteriores.

72000 3 nbsp;nbsp;nbsp;r o

^ Fa�la partis 2� in primam.

159769� Quadratum numeri 1264.

ao�- Schol. II. Interdum fatis eft, fi polynomium ad dignitatem quampiam elevatum elfe indicetur : hoe porro cafu, omnibus eius terminis linea continua luperducatur, illiufque extre-micati dexteriori exponens dignitatis datie adjungatur. Sic ut indicetur binomium AA-j-B ad quadratum elevari, fcribatur

292. Ex dioTiitate data radicem extrahere, eft quai� rere numeruni, qui aliquoties in feipfum dudus, da-iam potentiam generat. Sic cx numero p radicem qua-

dratam

dratatn extrahimus, c�m quccrimus numeram, qui per leipfum multiplicatus, numerum hunc 9 producit.

PROBLEMA XLII.

104. Resol. I. Numerus propolrtus diftinguatuf in claffes , binas notas claffi cuilibet affig�ando, initionbsp;� dextris fado. Quot ver� fuerint claffes in num��nbsp;ro propolito, tot notis conftabit radix.

II. nbsp;nbsp;nbsp;In tabula radicum quaeratur numerus quadratus ,nbsp;ei, qui claffem finiftimam occupat, vel Ecqualis velnbsp;eodem proximo minor, atque ex ipfo fubtrahatur.nbsp;Ejus ver� radix ad dextram, quotientis inftar, fcri-batur.

III. nbsp;nbsp;nbsp;Refiduo , fi quod fuerit, adjiciarur membrum fe-quens : hocque notamp; fud dextimd truncatum, pernbsp;radicis inventae duplum dividatur : quotiens per fe-ipfum item per diviforem multiplicetur, produdum-*nbsp;que ex integro operationis membro fubducatur; acnbsp;refiduo, fi quod fuerit, membrum fequens adjicia-tur. Quotiens interim ad dextram radicis antea irt*nbsp;vcntac collocetur.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Quod fi operatio in reliquis membris eadem ri-tione continuetur, prodibit radix quxfita.

Ex. gr. propofitus fit numerus 1156. Hic in duas inprimis claffes diflribuatur. Turn in tabula radicum

tima truncatum, five 25, divide per duplum radicis in-ventac, five per 6; amp; quotientem, turn per feipfum turn per diviforem, atque adeo per 64, multiplica; c�mquenbsp;produ�lum ipfum operationis membrum ada;quet, quo-tiens inventus legitimus eft, numerufque propofitusnbsp;perfed� quadratus; radix vero totalis 34.

Demonst. Quadratum numeri cujulcumque compo-nitur inprimis ex quadratis fingularum cypbrarum C�-199); porro quadratum unitatum in 1�, quadratum �ecadum in 3�, quadratum centenariorum in 5� loconbsp;terminatur amp;c. ; ergo ita numerus propofitus dividen-dus, ut in 1�, in 3�, in 5� amp;c. loco unum operationisnbsp;membrum terminetur. In membro autem finiftimonbsp;quadratum notae finiftimte radicis reperitur; illius proin-de radix quadrata quacrenda; c�mque numerus quadra-tus proxim� minor, in propofiti numeri membro finifi-timo contentus,fit 9, radix iftius membri cft 3, atquenbsp;refiduum 2 : roanent igitur ex numero propofito 256 :nbsp;hacc porro continent faclum ex duplo radicis inventa�nbsp;in cyphram alteram inveniendam, amp;c infuper quadratum partis inveniendsc ; fed fa�lum ex duplo radicisnbsp;invents: in cyphram inveniendam, in decadibus terminatur (�. i9p) : dividenda igitur 25 per 6, five 250nbsp;per 60. Quod fi porro quotiens inventus 4 per feipfum item per diviforem � fcu 60 mukiplicetur, patet

Et Algebra. nbsp;nbsp;nbsp;^

produiftum iftud amp; ukimsc hujus cyphrsc quadra turn, amp; fa�lum ex duplo cyphra� i* in 2*quot;' exhibere : c�mnbsp;ergo produdum hoe, operationis ultimum membruninbsp;adasquet, habetur radix quxfita 34. e. d.

205. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. I. Dtfficiiior evadit operatic, quo magis i membronbsp;finiltinio teceditur, queniam major continuo divifor fit, acquenbsp;adco inajora produaajprodeunc. Poiro, li numerum propofitumnbsp;perfeft� quadratum effe confticerit, operatlonem ultimam, quasnbsp;caeteroquin omnium difficillima fore:, evicare poteris, fi adnbsp;ultimam numeti quadrati notam animum adverteris : quadratum enira cyphrae ultimo loco inveniendai, ipfum numerumnbsp;quadratum terminat (�. 197) : ex numerorum autem fimplLciumnbsp;quadratis 203 ) conftat , in quara cyphram eujuflibet qua-dracum dennat : lie cyphrarum dumtaiac a amp; 8 quadratum ter-minatur in 4 : igitur, fi numeii cujufdara quadrati nota dextimanbsp;fuerit 4, ultima radicis nota a vei 8 elTe intelligitur. Cseter�tnnbsp;utra ex his duabui affumi debeat, nullo negotio detegitur.

206. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. U. C�m ex polynomio Algebraico radix quadrata ex-trahenda eft, eodem prorfus modo, tironi potiffimum , proce-dendum erit : at oppid� rar� contingit, ut ex eo perfe�la radi.xnbsp;haberi poffit. Hinc plerumque fatis eft, ft radicis extraftio in-dicetur. Eft autem lignum radicale lequcns (v/ ), cui in ver-

tice jungitur expqnens dignitatis : Ex gr. j/ A -b B denotac radicem fecandam 'live quadratam ex A-f*B. Idem porto faciendum eric, li quancicas qusecumque non fit reapfc potentianbsp;radicis qu� quauitur.

PROBLEMA XLIIL

Numtri, qui quadratus nor. ejt, radicem prope veram invenire.

407. ResoIi. Numero propofito, a, 4, 6 amp;c. dextror-liirn adjungantur o, amp; operatio continuetur. Ifta ratione prodibic radix in fradionibus decimalibusnbsp;prope vera.

Ex. gr. fit extrahenda radix quadrata ex numero 4 : ipfi. ad dextram adjiciantur quatuor o : prodibicnbsp;radix 1.41' qux a vera non deficiet uno fcrupulo a�

ao8. ScHOt.. Si radix quadrata fraftionis cujufpiam quserenda eft, ea ex flngulis fiaftionis terminis, numeiatore Icilic�t amp; deno-

'THEOREMA V I I f. '

C�k/s radkis binomice. componitur ex ciibo partis ex faSo tripli quadrati partis /�* in 2��; exnbsp;faSo tripli partis i* in quadratum 2* ; �

209. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. In exemplo fingulari. Sit radix bi-nomia A B ; quadratum ejus erit AA aAB EB

194) : ergo illius cubus eft fa�lum cx AA4-2AB 4-BB iu A B (�. 187) : l�d fa�lum hoe =A� 2A/V3nbsp; ABB AAB 2ABB B^ ; igitur, fada redudione ( �.nbsp;158), cubus binornii A B, =A^ 2AAB 2ABB Bh.nbsp;Q^.cd.

210. nbsp;nbsp;nbsp;Ciim radix binomia numerus eft, pars ejusnbsp;d.extra inter unitates; fiuiftra inter decades locum 'ob-tinet : igitur cubus partis dextrac in loco dextimo ;nbsp;fa�lum cx triplo partis llniftrai in quadrarara dextrsc,nbsp;in 2�; fa�lum ex triplo quadrati partis finiftrac in dex-tram , in 3�; cubus tindem partis finiftrac, ih 4� loco terminatur.

P R O B L E M A X L I V.

�II. .Resol'. I. Numerus propofttus diftinguatur in daft fes, tres notas unicuique ai�ignando, inido a dextrisnbsp;fafto. Quot ver� fuerint dalles m' numero propo-fito, tot notis conftare debebit radix.

II. In tabula radicum qusratur numerus cubicus, ei, qui claOem finiftimam occupat, vel tequalis vel eo-

flem proxim� minor, atque ex ipfo.fubtrahatur. Ejus vero radix ad dextram, quocientis more, fcribatur.

m. Refiduo, fi quod fuerit, adjiciarur claffis fequens pro novo operationis membro. Turn accipiatur tri-plum quadrati radicis inventa;, atque per hoe divi-datur pra�fatum membrum duabus cyphris dextimisnbsp;truncatum ; quotus erit pars a* radicis.

�V. Divifor ducamr in quotum, produflumque alicubi feparatim notetur. Intra hoe, uno loco magis a dex-tris , terminetur fuClum radicis in quadratum tripluranbsp;quotientis jam inventi : tandem fiat hnjus quotien-tis cubus, ifque fub facftis prtccedentibus ita fcribatur, ut uno loco magis a dextris terminetur (�. 210):nbsp;porro tria hxc fa�ta in unam fummam colligantur,nbsp;eaque cx operationis membro f�bducatur.

V. Quod fi. operatio per ^eliqua^s clafibs juxta regu-lam tertiam amp;: quartam continuetur, prohibit radix fiusefita.

�Ex. gr. extrahen.da fit radix cubica ex 7408?. DI-''ifo boe numero in duas clafles, poft tres primas cy-phras mterpofitft lineola, quscratur radix cubica primi membri a finiftris; eft auteirinbsp;proxim� 4 ; fcribatur itaque 4nbsp;a latere, amp; ejus cubus 64 fub-trahatur � 74; erit refiduumnbsp;lo. Huic refiduo ad dextramnbsp;adferibatur membrum alterumnbsp;iiumeri dati; hab�bitur numerus 10088 pro 2� operationisnbsp;luembro. Accipiatur radicis in-Ventai quadratum triplum, at-*iue per 48 dividatur 100; eritnbsp;^uotiens 2. Quotus hic priorinbsp;radicis parti jungatur, fimulque in divilbrem clucatur :nbsp;^tiadratum etiam triplum hujus quotientis per radiccra

4 multiplicetur : hacc 2 produda fimul cura quotien-tis cubo, eo raodo quo in fchemate, fibi invicem fub-fcripta, in unam fummam colligantur; quac cum azqua-lis fit operationis membro, nee alia in numero propofi.-to fuperfit clallis, eric radix cubica ex 74088 accurate 42.

aii. Schol. I. Quoniam cubus partis dex�imae in loco dextimo numcri cubici terminatur ( �. aio)�, cubus veto ex. gr. 3 in 7,-cubus 4 iu 4, cubus 5 in 5 definic amp;c. : pacet, ultiraam nu-meri cubici cyphrara , dexcimam ladicis notam decerminare.

813. Schol. II. Si numerus aliquis cubicus non eft, ex eo perfefta radix haberi nequit: radix tarnen prope vera obiinebitur, fi numero propofuo aliquot zetotum ternaria a dextris adferibantur , atquonbsp;operatio concinuetur. Ex. gr. Tic extrahenda radix cubica ex numero 6 : ipli ad dextram adjiciancur duo zerorum ternaria, itanbsp;ut fiat 6.000000quot;quot;quot; : ex hoe demum numero invenietur radixnbsp;cubica 1.81quot;, quse a vera non deficiec uno fcmpulo 2� five

214. Schol. III. Radix cubica fraftionis eujufdam cubicae ex fingulis fraiili�nis terminis educenda eft. Quod (i cubica nonnbsp;fit, folummodo indicanda erit ( �. ao6 ). Idem faciendum , finbsp;*x quantitate algebra�ea non cubica, radix extrahenda fuerit.

215- Resol. I. Singularum litterarura exponentes di-vidantur per exponenten! dignitatis, cujus radix quac-ritur : fi quotiens numerus integer eft, extra�tio ra-dicis perfeda erit'. Quod fi ver� fradio fuerit, ra-dicis extraclio folummodo indicanda erit.

II. Si monomio coefficiens aliquis praefixus fit, ex hefc quoque juxta regulas pro numeris prasferiptas radix petita extrahatur.

^ : turn divide utrumque exponenten quantitatis pro-pofitai per exponentem dignitatis cujus radix qusritur,

Demonst. Exponens, quo litterse quantitatis cujuf-piam ad certam dignitatem elevatsc afficiuntur, compo-�iitur ex exponente litterarum radicis du�lo in expo-Hentem dignitatis, ad quam monomium eve�him eft (�. 193) : igitur exponentes litterarum quantitatis pro-politac dividendo per exponentem dignitatis, cujus radix quacritur, quotiens exponentem litterarum radicisnbsp;exhibebit. Qnoi erat iinum.

Deinde, c�m quantitas aliqua ad dignitatem quam-piam evehitur, ad eamdem quoque elevatur coefficiens quantitatis datac (�. 192); atque adeo coeiBciens quan-titatis, ad certam dignitatem elevatse, eft ejufdem potentie cum quantitate', cujus eft coefficiens : ergo exnbsp;coefficiente monomii dati radicem petitam extrahendo ,nbsp;radicis coefficientem obcinebis. Qliod erat alttrum.

216. Ergo ex quantitate aliqua, cujus exponens eft 5, vel 7, vel II amp;c.; amp; generaliter talis , qui neenbsp;refpe�lu 2, nee refpe�hi 3 eft multiplus; neque radixnbsp;quadrata neque cubica extrahi poteft.

017. ScHOLiON. Radii quinta , feptima , undecima amp;c. cx quantitate aliqua nuinerica ad talem dignitatem elevaca fimili modo extrahieurquo quadratam amp; cubicam inquifivimus ; eam ta-men operationem magis magifque difficilem evadere, quo radixnbsp;altior extrahenda eft, nemo non videt. Sed quoniam rar� ad-mod�m tironi obtingit radices illas extrahendi neceflitas, ideonbsp;theorias ipfarum non immorabimur : qui ad fublimioris mathe-leos Icientiam pedem promovere ciipit, is inter alia confulerenbsp;poterit Elemencorum Mathematicoruni viri fummi Chriilianinbsp;Tom. Lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

218. nbsp;nbsp;nbsp;Dum, pofitis quibufdam conditionibus, quan-titatis cujufpiam incognitac valor determinari petitur,nbsp;Probkma feu Q^icejlio proponi dicitur : �t, ciim qusri-txir qualem a�tatem pater habeat, li bic 24 annis fe-nior fit filio; attas ver o utriufque fimul 64 aimos adac-quet.

219. nbsp;nbsp;nbsp;In Omni problemate quantitas aliqua cuidamnbsp;alteri asqualis occurrit ; quod fi autem quantitates ilia:nbsp;terminis algebra�cis exprimantur, Mqua�o conjirui dicitur.

� nbsp;nbsp;nbsp;COR-OLLAEIUM I.

220 Efi; igitur aequatio : duarum quantitatum a:qua-lium fub diverfis terminis exprellio. Ex. gr. a x�b�c.

221. Omnis xquatio conditionem exprimit, fub qua tma quantitas alteri aiqualis pronunciatur.

022. Schol. Qu*vis aequacio ex duobus merabris componitur. Termini, qui a finiftta parte ligni acqualicatis politi funt, pri-tnum ; qui ver� dextram partem occupant, fccundum mquatio-nis membrum conftkuunt.

223. nbsp;nbsp;nbsp;Probkma folvere^ efi invenire valorem fingula-rum quantitatum incognitarura, quas problema com-pleditur; aut oftendere, conditiones ejus contradi�fio-nem involvcrc.

224. nbsp;nbsp;nbsp;Quoniam quantitatis incognitn valor determi-nari ncquit, nifi aliqua ejus ad quantitatem quam-piam cognitam relatio innotefcat; manifeftum omninonbsp;eft, problema deternfioari non polTe, nifi quantitates

225. Schol. Quantitates datae, prirais alphabet! litteris a, d amp;c.; incognitte poftremis, x, y, ii defignari folent, ut exnbsp;asquationis infpe�ione , qute quantitates inquiri debeant, illi-co difcerni polut. Quantitates tequales, utl amp; aqualium partes , eadem littera, indigitantur. Prima: litrerie denominatlonis.nbsp;quantitatum datarum, uciliter quandoque adhiberi poterun;. 'lt;

226. nbsp;nbsp;nbsp;TEquatio dicitur Jimpkx, fi quantitas incognita fueric unius dimenfionis, five, fi inter quantitatesnbsp;incognitas nulla ad dignitatem quampiam eve�fa fit-Ex. gr. a-\-b � x.

227. nbsp;nbsp;nbsp;Analyfis eft ars ita acquationes datas inverten-di ac immutandi , ut nova prodeat jcquatio, cujusnbsp;unum membrum folis quantitatibus cognitis, alterumnbsp;verb unic� quantitate incognitd conftet

228. nbsp;nbsp;nbsp;Schol, Cum acquationes, q�se ad pToblematis propolitioneninbsp;fiunt, conditiouera contineant, quapofiti, amp; non ahis^ quap-titas incognita detegenda eft Qaj)'� patet, primam operattv

, in eo ponendam effe , ut, quam poceft accuratinim� atque niti-diffim�, acquationes conftruantur.

229. iEquationum refolutio, fubjiitutione atque ope-ratiqnum Arithmeticarum ope perfieitur. Porro reduc-Lionis modi fcquentibus niruntur principiis.

231. nbsp;nbsp;nbsp;Qusc xqualia funt, ca fibi mutuo, falvS quantitate, fubftitui polFunt.

232. nbsp;nbsp;nbsp;Sint igitur hai duae tcquationes ; 6 = a4-x, amp;nbsp;y~xy-b ; non mutabitur xqualitas, II loco b in 2^

Ciim quantitas qusdam privativa tollitur, tune fldditur quantitas pofitiva eujus eft defeclus (�. 148) :nbsp;ergo fi in uno jcquacionis membro quantitas aliquanbsp;privativa deleatur, illaque in altero membro cum lig-no fcribatur, non mutabitur acqualitas.

236. nbsp;nbsp;nbsp;Sit igitur lucc sequatio ; a�hx=.x : erlt quo�nbsp;que a � b-^xgt;

237. nbsp;nbsp;nbsp;Si ex jcqualibus idem .tertium auferas, refiduanbsp;.erunt acqualia.

238. nbsp;nbsp;nbsp;Si ergo in uno acquationis membro quantitasnbsp;aliqua pofitiva deleatur, illaque in altero membro cumnbsp;figno � fcribatur, non tollitur a;qualitas.,

a40. ScHOU Reduftio duobus hifce modis inftituta, per tranf-quot; pofaionem fieri diciuir. Utroque enim cafu terminus ex un* sequationis membro in aliud transfercur.

242. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo c�m duas aut plures acquationes firaulnbsp;adduntur, fubfiftere pergit xqualitas.

243. nbsp;nbsp;nbsp;Igitur ex his duab�s xquationibus, r 2y=2o;nbsp;amp; ax _y=2.a; formari poteft ha;c nova aequatio :nbsp;3a; 3j' = 42. Similiter ha; : x j � ;5;=io,

CS- 159)� 2y=30.

245. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo c�m una scquatio ex altera aufertur ,nbsp;non mutatur a;qualitas.

246. nbsp;nbsp;nbsp;Sint igitur ha; xquationes : x-i-2y = 4g, amp;nbsp;^^ 33'�75 � eric etiam 2^ 33/ � x � 2y=y5^45,'nbsp;feu 2: jy = 3o (�. 159}; amp; hanc deinde ex prima lub-,nbsp;trahendo, fit y=is-

247. nbsp;nbsp;nbsp;Si a:qualia per idem tertium multiplices, fa�lanbsp;prodeunt a;qualia.

248. nbsp;nbsp;nbsp;Quod fi. igitur utrumque a;quationis membrumnbsp;eamdem quantitatem multiplicetur, sequalitas non

mroque membro per i:,erit a = 6x. Item fi fl ' formari poterit hsc cquatio: ax b=.dxx.

050. Schol. In hoe axiomate fundatur, qu�d, li tres aut pliire* quantitates per fe mutu� muitiplicentur , idem plan� refultetnbsp;produ�tum,quovis oidine in fe invicem dueantur faftores(�.47).nbsp;Sint enim ex. gr. tres fa�tores A, B amp; C. Quoniam AB=jBAnbsp;(�. 4�); erit CxAB=!CxBA, amp; ABxC^BAxC (�. 247).nbsp;Porro eft CxAB=ABxC ( �. 47) : ergo CAB=CBA=ABCnbsp;s=BAC (�. 162 amp; ajo) : Sed qiiia CB = BCv eft A X CUnbsp;=AxBC, item BCxA=CBx A (nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;247) : igitur CAB=:CBA

= ABC=BAC=ABC = BCA, hoe eft, fattum idem produ-citut, quocumque otdine fa�tores in fe invicem dueantur.

251. nbsp;nbsp;nbsp;Si scqualia per idem tertium dividas, quotinbsp;Kquales erunt.

252. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo fi utrumqne sequationis membrom pernbsp;eam'dem quantitatem dividatur, inter quotientes xqua-litas non mutatur.

253. nbsp;nbsp;nbsp;Sit igitur bate icquatio : ax�bc=.ad c : utmm-que ejus membrum dividendo ex. gr. per a, prodibit

n54' ScHOi.. Cum ex problematis condidonibus una vel plures jequationes eonftru�tffi funt; ea; modis propemodiun infinitis in-veni atque immutari poffLmt, ita ut novae femper ac novaenbsp;aequationes prodeant : ex illis autem aliquE ad problematis re-folutionem neudquam j alia: plus , alias minus conducunt. Innbsp;quas porro acquationcs , ex omnibus pofiifailibus, asquatio prima refolvi debcat, ipfe quaeftionis ftatus potius , quam regulaenbsp;ullae fpeciales, operantem edocebitmaxim� fi longior ufus amp;nbsp;excrcitatio accelTcriiu. Nos igitur exemplis foliira nonnulli�nbsp;rem ipfam declarabimus.

Et Algebk-js, nbsp;nbsp;nbsp;69

PROBLEMA XLVI.

Datd Jhmmd duarum quantitatum x amp; yxxioo ; daid infiiper inter ipfas differentia �jo^Jic ut xnbsp;major ~y; x item y invenire.

255. Resol. Ex problematis conditionibus haj primo sequationes conftruantur : x y = 100. Et x=:_y 30,nbsp;Hoe fadlo, quantitati x in primanbsp;a'quatione fubftituatur 3^ 30 :nbsp;obdnebitur hscc sequatio, y ynbsp;-f30, five 2^ 30= 100 (�.

230 ). Deinde tollatur utrim-que numerus 30; prodibic tandem per tranjpojitionem haec sequatio : 2J

que dividendo per 2, erit j = 35 (�. 252) : fed x=3' 30 ex hypothefl; ergo :i;= 354-30 feu =65.

rint, eft major inter illos sequalis medietati fummsc auftae ad dimidium differentise; minor vero, fumm�nbsp;dimidisc dempta medietate diirerentiae.

207. Schol. I. En alium refolutionis modum. Qnoniam eri: x�ioo�y (� 237) : igitur c�m jr=rgt;'-f.30, fier Pf*�nbsp;jiuutionem , loo�Deinde per tranfpofiiiontm ^nbsp;ioo=:2y-f-30 (�-235) : tollendo ieaque utrimque 30, fiejnbsp;tandem �t ante, 100�30 �iy (�-237), adeoque 2y=:jo.

358. Schol. II. Magis expedite videtur, ut in inido quantitates dat.-e per numeros potius, quam per litceras indicentur : c�m enim numeri inag�s diftinftam quantitatis ideam raenti in*nbsp;genereiic, quam litters tiro Arithmcticus anaiyfin inftitnta-

lus, quantitates data* ab incognitis melius difcernet, atoue ade* quancicatum quae�tarum ad dacas comparationem faciii�s ab-iblvet.

Invenire niimenim, ciijus panes aliquom, qnakfcum-que 6* quotcumque Jimiil Jumptce j ipjlim fiiperant numero dato.

259. Resol. Partes iliac, cum ad communem deno-jninatorem redu�la: fuerins (�. 95), in unam fum' mam colligantur; atque ex ea auferatur numerusnbsp;quacfitus. Reliduum acquivalebic numero dato.

Ex. gr. fit hacc acquatio : f x .�-a: |a: = x 55�. Erit ^ X feu f|x =x 55 : ergo f-fx�x,leunbsp;C5- 237) : proinde utrumque scquationis membrumnbsp;dividendo per ii, erit five A =-r 2�:i') : igi-tur x=i2x5 feu =60 (^. 63 amp; 247;.

260. Ex his facile eft colligere, quomodo proceden-dum fit, fi diverfarum alicujus numeri fradtionum fumma, unam vel plures alias ejufdem numeri partesnbsp;aliquotas fimul fumptas, numero dato fuperet; fit finbsp;�|x4-|x=|x ix 26 : nimirum fiat inprimis x

amp; 96) : tum^z=|^x 2^ (�. loo) : ergo ^^.^x=26 (�, 237), five \lx = 'z6nbsp;igitur^o: five ^=:f|nbsp;z=6ox2 5 five 120.

PROBLEMA XLVII I.

Paid furratd diiorum numerorum x amp; jy = 72; datd infuper fumma ex | ^ f J = 45; xnbsp;item y invenire.

a6i. Resol. Per conditiones problematis fiant prim� h� du� �quationes : x j = 72; Sc fx4-|j=4^�

Ris ita conllitutis, utrumque fecundsc ffiquationis membrum ducatur in fa�tum ex fra�tionum deno-ininatoribus;prodibit novaa;quationbsp;(�. 107 amp; 248), five lox pj�'�'/g (�. 97gt; Deinde prima Ecquatio multiplicetur per 10 : erit 10 3:nbsp;q-ioy �720 : ex hac tandem xquatione pracceden-tem fubtrahe; habebis y=45 (�� 244) : led x�i^�ynbsp;lt;5. 238) ergo ;r = 72 �45 Ci 230� adeoque

16a. Schol. En mechodum gencralem, asquacionem quamvis a ftaftionibus liberandi : attamen non minus prona quandoque eftnbsp;-problematis lefoiutio, fi utrumque ajqoationis membrum pernbsp;uniiis folummodo fradionis denominatorera multiplicetur. Sic innbsp;exemplo mox pofito , fecunda squatio |x-b|j'=:45 ducaturnbsp;in 3 , nafcecur htec squacio; fv fy live aar lycr: 135 :nbsp;qupd fi turn primam aequationem x jrrje per o. multiplices,nbsp;prodit ax4quot;2y=i44; ex qua pracc^ens ablata relinquic nauc;nbsp;iy feu-| = 9, ergo y=9x5, atque adeo = 45.

P R O B L E M A X L I X.

Dum |x auferiintur ex rejiduiim ejl ir;,j_y verd jiiptrant ^x ad : numerffs x amp; y invenire.

2�3. R�sol. Ex problematis conditionibus, eft | r ==tj � ii; amp;|j = ^a: i8; ergo =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;18:

Cs- 238) turn multiplicetur i� aquatio per 3, l�-cunda vero per 8; vertetur prima in hanc : | z live 2x = ^y � 33 ; fecunda au tem in hanc : |z feu � H4 C 5- 248 ) : ergo ^y � 33 = ^f ynbsp;~ 144 ( 5. 230) : igitur f j j, _ 111 ftve ^ jrnbsp;= j 111 (5- 235) : ergo j _ i j, fivenbsp;= III; funt adeo |iv= m ; igitnr fivenbsp;= ^ feu = 3, proinde y= 12x3 fetij' = 36; ita-que Ijp = 81 : fed 2z = ^y � 33 ; ergo az = 8xnbsp;� 33 live 2z = 48.

264. iEquatio quadratica dicitur, fi quantitas incog-Bka ad duas dimenfiones aflurgic. Ut � a' b^. Cubica^ fi ad tres; �t =. d^ b amp;c.

�65. Schol. De sequatione cubica aet dignitatum foperiorum ia his elementis non agemus, quoniam ca pro tironibus fol�ra con-fcribere fufcepimus.

Si A major B, quadratum A fuperat quadratum B ad produclum diffcraiticz inter A amp; Bnbsp;per aggregamm ex A amp; B.

266. Demonst. Cum A fit major B ex hypothefi, A componitur ex B amp; parte alia, qusc vocetur P; ericnbsp;'adeo A=B P : itaque AA = BB 2BP PP (�-'i04);nbsp;unde AA � BB=2BP PP : fed A B=2B-t-P; ergonbsp;2BP PP = AP BP : igitur AA �BB = AP BP.

P R o B L E M A L.

jDatd fummd duariim qiiantitatum-, item diff�rentid quadrata earumdem , invenirc name ros.

s.6j. Resol. Differentia inter quadrata dividatur per fummam datam; quotiens dabit differentiam internbsp;numeros : c�m itaque eorum infuper fumma inno-tefcat ex hypothefi, facil� uterque numerus deter-minabitur (�� 256 j).

Ex. gr. Sit x y= quot;O ;amp;c o:��_y�^= 80 : erit x�y �4 : ergo x=zi2 C�-

PROBLEMA LI.

JJatd diffircntid inter duos numeros, item dat� di^� rentia inter quadrata eorumdem; ipfosnbsp;nitmeros invenire.

fi68. R.bsoi,. Differentia inter quadrata dividatur per differentiam inter numerus , quotiens dabit eorum-dem fummam; atque ita lacili negotip ipli, numerinbsp;deteguntur.

Ex. gr. fit r��_y�= 8o; amp; z � y=4 : erit x y .=:2o; atque adco jy = 8 (�. 256).

Si A Jit major B; quadratum A cum qmdrato B � fuperat quadratum differentm inter A 6quot; B,nbsp;ad bis fa3um ex A in B.

269. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Sit A=B P ; erit AA=BB 2BPnbsp; PP (�. 193), atque adeo AAH-BB= 2B'*H-2BP PPinbsp;ergo AA BB �PP=2B� 2BP, five =:2BxB P snbsp;fed A=B4-P ex hypoth. ; ergo AA BB�PP=:2AB*nbsp;(l.e.d.

Quadratum Jiimmce ex 2 numeris inaqualibus, facit qu(h ter produ�iim unius per alterum^ 6� injiiper qua-'nbsp;dratum differentiae inter eofdem.

270. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Quadratum fummsc ex duobus nu-meris facit quadratum cujufque amp; infuper bis produc-tum unius per akerum (�. 193) : fed, fi numeri insc�nbsp;quales fint, quadratum unius cum quadrato akerius-

dratum dilferentisc inter illos (�. 266) : ergo quadra-tum fumma; ex 2 numeris inacqualibus facit quater produ�tum unius per aiterum , amp;: infuper quadratumnbsp;differential inter eofdem. O. e. d. �

271. Quoniam faclum ex f in f = quadratumnbsp;medietatis fummai ex duobus numeris inacqualibus,nbsp;fuperat produ�tum unius per aiterum ad quadratumnbsp;femidifferentiac.

272. Resol. Fadum quadruplicetur, atque ex qua-drato fummac fubducatur ; reliduum dabit quadratum differentiae (�. 270) : hujus porro radix ipfamnbsp;differentiara inter numeros exhibebit.

Ex. gr. fit x4-j=2o; amp; xy=.^6 : erit x y�=4oo, amp; 4x7 = 384 : ergo quadratum differentiae inter x amp;;nbsp;7y=i6, atque adeo differentia 4; igitur unus =8, al-� ter =12.

273. Aliter : fumatur quadratum fummae dimidiae,nbsp;atque ex boe auferatur fa�tum unius in aiterum; re-fiduum dabit quadratum femidifferentiae (�. 271^

Data fimmd duorum numeronm, item fimmd quadrato-rum eorumdem^ ipfos numeros invenire.

274. Resol. Summa quadratorum ex quadrato fum-msc auferatur, refiduum dabit bis produ�tum uniusnbsp;iiumeri per aiterum (�� IP4)- Quod fi ergo refi-

duum hoc duplicatum ex quadrate fumma; auferas: quod remanet, erit quadratum differentisc inter nu-meros quaifitos (�.270).

= 192, ergo 4xy=384 : fed x-f3^�=400 ; igitur quadratum difterentias inter x amp;jr=i�.

275. Resol. Fado unius numeri per alterum qua-druplicato addatur quadratum diiferentiac ; prodibit quadratum fummac ex numeris qusefitis ( �. 270 );nbsp;ex quo proinde fi radicem extrahas, habebis fum-mam ex numeris qutefitis.

Ex. gr. fit X�y�^l amp; xy=96 : erit 4x3^=384, amp; X�y�^z=zi6 : itaque x y =400 : igitur x jy=2o.

Data differentia inter duos numeros, item Jiimmd qua-dratorum eorumdem; ipfos numeros invtnire,

�76. Resol. Quadratum dilferentiai ex fumma qua-dratorum tollatur; refiduum erit bis fa�tum unius numeri in alterum (�. 269) : dein refiduum hoenbsp;fummai quadratorura addatur, obtinebitur quater pro-dudum unius per alterum amp; infuper quadratum dit-ferentias ( �. eod.) ; atque adeo quadratum fummsonbsp;ex numeris quaefitis ( �. 270).

K 3,

7^ nbsp;nbsp;nbsp;Elementa Arithmeticje

. Dato faffo unius mimcri in alteriim, amp; injltptr fumm� qiiadratorum eorumdcm ,� ipfosnbsp;niimeros invcnire.

1177. Resol- Fa�lutn duplicetur, atque auferatur ex fumma quadratorum : refiduum dabit quadratumnbsp;dilferentiai inter numeros quajficos 269), Porro,nbsp;invento hujus radice, procedacur �t in probl. 54�.

Ex. gr. fit ary = 9o, amp; :c� y�=26i : erit quadratum differentia; inter x �: y= 81 : ergo ^xy quadrate differentia;, five i j�=:441, confequenter x y = 21.

S78. Resol. Sit numerus quatfitus x; numerus da-tus 156 : erit per conditionem problematis xx-^x five xxx l � l^� : ergo nbsp;nbsp;nbsp;: fed

Q79. Schol. Si in hac Kquadone x^-^x=i^6, fecundum ter-minum x feu ix pro bis fafto i in X fpeftes , erit at�

r:=Jir-bf� (�� 194) : ergo fi cuilibet a?quaaonis membro addas i , quodlibet quadratum erit. Generatim , li unum a.�quacionisnbsp;membrum quantitaiem quamdam quadratam incognitarn conci-neat, cum fafto infuper radicis ejufdem in quanticatem aliquamnbsp;eognicam �, tune quadratum dimidii^ quantitads cognita: utri-que a�qiiationis membro adjiciatur ; ita compleri dkic�r quadratum mombri, quod pri�s quadratum non erat.

280. nbsp;nbsp;nbsp;QuEvis duE quantitates hoinogcneE ita com-paratE funt,^ut una alteram ejufve partem aliquotiesnbsp;contineat. Ea porro homogcneorum relatio, eft idnbsp;quod rationem appellant.

281. nbsp;nbsp;nbsp;In fra�lione numerator amp; denominator ad eara-dem unitatem rcferuntur ; funtque adeo quantitatesnbsp;homogencE (g. 8) : ergo numcratorcm inter amp; de-nominatorem ratio interccdit.

282. nbsp;nbsp;nbsp;Quoties fradlionis numerator in denominatore,nbsp;toties fraclus in integro eontinetur (�. 89) : ergo eftnbsp;fradtus ad integrum feu ad unitatem, ut numeratornbsp;ad denominate rem.

283. nbsp;nbsp;nbsp;Quoties unitas in multiplicatore, toties multi-plicandus in produdlo eontinetur (�. 45) ; eft igiturnbsp;multiplicandus ad produdlum, �t unitas ad multiplica-torem.

284. nbsp;nbsp;nbsp;Quoniam dividendus eft fadtum diviforis innbsp;quotientem; erit divifor ad dividendum, �t unitas adnbsp;quotientem C �� prEced.).

a86. Numerus exprimens quoties confequens in an-tecedente uontineacur, rationis ezponens audit. Eft igitur exponens rationis : quotiens qui ex divifionenbsp;antecedentis per conlequentem emergic.

287. Eft fradus ad integrum, �t numerator ad de-nominatorem (�. 282) : fit ergo numerator antece-dens, denominator ver� confequens rationis : erit ex-pofita ratio fradi ad integrum. Sic fi A = f B , erit A ad B, �t 2 ad 3.

fi88. Schol. Divilionis Cgnuni eft duplex punftum (^:) inter di-videndum amp; diviforem collocacum (V�7) ; ratio igitur com-rnod� indicabitur, li fignum illud inter antecedentem amp; confe-quetitem llatuatur medium ; fic fi rationis antfecedens A, confequens B; ratio ipfius A ad B commod� indicator per A.B.

289. Si terminus minor fit pars aliquota majoris C �� 94)5 ratio majoris ad minorem multiplex; minorisnbsp;ver� ad majorem fubmultipkx dicitur. Speciatim in.nbsp;1� cafu diipla vocatur, fi exponens 2; triplu^ fi exponens 3 amp;c. In altero fubdupla, fi exponens |; fub-tripla, fi I amp;c. ; ex. gr. 6 ad 2 habet rationem tri-plam; contra ver� 2 ad 6, eft in ratione fubtripla ;nbsp;facit enim binarius tertiam l�narii partem.

Bpo. Schol. C�m numerus minor eft pars aliquanta majoris (� 94), nee rationi majoris ad minorem, nee minoris ^d majorem ipeciale nomen tribuemus; veriti ne nominum varietas, dif-tinftionis loco, coufufionem paiiat.

291, nbsp;nbsp;nbsp;Rationes ecedem func , quarum antecedentes adnbsp;fuos confequentes eamdem relationcm habent , fivenbsp;quarum antecedentes per fuos confequentes divifi, dantnbsp;quotientes feu exponentes arquales. Rationes eacdemnbsp;etiam fimiles dicuntur.

292. nbsp;nbsp;nbsp;Rationum duarum identitas, proportio audit :nbsp;amp; hinc 4 duarum rationum aiqualium termini, pro-portionales vocantur.

593. Schol. C�m proportio nihil aliud fit, quam rationum iden-titas feu aequalitas { �. piasced.); illa commod� indicabitur, fi inter utrumque ejus membrum, asqualitacis fignum =: interpo-nacur. Sit ex. gr. A ad B, �t C ad D : exprimecur ea proportio h�e modo : A:B = C;D.

294. nbsp;nbsp;nbsp;Proportio contimia eft, �i confequens i� ratio-nis idem fit cum antecedente 2*; �t fi A:B = B:C.nbsp;Dijcreta ver� ea eft, in qua eonfequeas i� diverfussnbsp;eft: ab antecedente a�; qualis eft in numeris 3, 6, 4,nbsp;S; vel edam fi A:B = C:D.

295. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. In proportione continua terminus qui confequentisnbsp;primse amp; antecedentis fecimdte rationis vices gerit, medius pro-'portionalh i in difcreta vero primus amp; quartus excremi i fe-cundus autem amp; tertius mamp;dii proportionaks dicuntur.

296. nbsp;nbsp;nbsp;Ratio compofita dicitur, quam habet produc-tum ex duarum vel plurium rationum antccedentibus,nbsp;ad produ�lum ex earumdem confequentibus : ita 24nbsp;ad 48 eft in ratione compofita 2 ad 8 amp; 6_sA i2. lanbsp;Ipecie daplicata vocatur, quaj ex duabus; triplicata,nbsp;quac ex tribus amp;c. rationibus fimilibus componitur :nbsp;ita 48:3 eft ratio duplicata 4:1 amp; 12:3.

297. nbsp;nbsp;nbsp;Panes Jimiles dicuntur ec, qusc ad fua relpec-tiv� tota eamdem rationem habent : fic ^ A amp; i Bnbsp;funt partes fimiles quantitatum A amp; B.

299. Demonst. Rationes fimiles fuot, quarum ex-ponentes aiquales funt 291) : ergo fi dusc rationesnbsp;�idem 3* fimiles, earum exponentes hujus exponent!nbsp;�quales ; fed quae a;qualia eidem 3�, ea funt aiqualianbsp;�iter fe ; igicur � duse rationes eidem 3� fimiles, ea,-

rutn exponentes aqualcs funt ; arque adeo rationes fi-

C o R o L L A B. I U M.

300. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo rationes funilibus fimiles, funt etiam in-�ter fc fimiles.

301. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Sit A=B -: dico efle A:C=B:C.nbsp;Nam A amp; B divifa per idem 3quot;� C, dant quotientesnbsp;aiqualesC�- 251) �� fed rationes, quarum antecedentesnbsp;per luos confequentes divifi, dant quotientes aequales,nbsp;c�cdem funt 291) : etgo ell A:C=B:C. Q^. e. d.

302. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo ajqualium ad sequalia eadem efi: ratio?nbsp;atque adeo fi A = B, amp; C=:D, erit A:C=B;D.

303. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Aper B amp; C per D divifa,dant quotientes xquales ex hypothefi ; fit igitur quotiens Q� :nbsp;erit B:A=I:Q; amp;: D;C=1:Q (�. 284) : ergo ratic-nes B ad A amp; D ad C funt iimiles eidem 3*; funtnbsp;itaque fimiles inter fe (�. 299) igitur B:A = D;C.nbsp;Q^. e. d.

304. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Quoties totum majus T continetnbsp;- totum minus r, toties parsquasiibet quantitatis T con-

V nbsp;nbsp;nbsp;�QCt

imet pancm fimilem i-pfius t : fic amp;c. : ergo partes firniles font inter fe, ut tota quorumnbsp;font partes. Q. e. d.

THEOREMA X V L

30�. Demonst. Si antecedentes A amp; C, confequen-tibus B amp; D minores fucrint, eorum partes fimiles font (�. 297) : erunt igitur �t tota (�. 304}, atquu-adeo �t coniequentes ; ergo A:C = B:Di

. Si ver� antecedentes A amp; C, conl�qucntibus B amp; E) majores fuerint; A amp; C tota font, B vero amp; D.'nbsp;partes llmiles eorum : fed tota font inter fe, �t partes fimiles eorumdem (S* 305) : ergo A:C=:B:D,

Q,. e. d.

307- Eft multiplicandus ad produ�lum, �t unitas ad multiplicatorem 2S3) : ergo elt ctiam multiplican-dus ad unitatem, �t produdtum ad multiplicatorem (^�.nbsp;pra;ced. ),. amp; produ�lum ad multiplicatorem, ut- mul�nbsp;tiplicandus ad unitatem CS- 2,97 ).

308. nbsp;nbsp;nbsp;Quoniam divifor ad dividendum , �t unitasnbsp;^d quotientem (�. 284} : erit quoque divifor ad uni-^nbsp;tatem, �t dividendus ad quotientem (5-3�^^ 5 itaquenbsp;invertendo : quotiens ad dividendum, �t unitas ad di-Viforem (�. 303).

309. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. Cutn quis anrecedentem prim� ad antecedentenjnbsp;fecuad^e, amp; confequentem pritrice ad canfequentem Ibcunds; rs*

tionis cofflparac, terminos alttrnat : atque hinc noVK hocce� raodo ex racionibus datis proportionis deduftio, altermndo fiSquot;nbsp;ri dieicur.

510. Demonst. Sit.A:C=:B;C : dico elTe A = B, Nam A:B = C:C C�. 306^ : fed C=C

311. nbsp;nbsp;nbsp;Si A:B = A;C, erit quoque A;A=B;C (�.nbsp;306^ ; atque adeo B = C.

312. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo, qu�c ad-asqualia eamdem rationem ha-bent, ajqualia font : amp; vici�im, ad qua; jcqualia eamdem rationem habent, ea itidem a;qui�ia font.

313. nbsp;nbsp;nbsp;Fra�iionis denominator integrum exprimit (J.nbsp;85) : ergo ejufdem integri fradtiones, quarum nume-ratores ad foos relpe�iiv� denominatores eamdem rationem habent, inter fe aequales font.

Si quantitates qaafcumque, ex. gr. A amp; B, per eamdem 0 mul�plices; facia AC amp; BC fintnbsp;inter f �t A B.

374. Demonst. Eft AC:A==C:I, amp; BC:B = C:I (�. 307) : igitur rationes AC;A amp; BC:B ea;dem ei-dem 3�, adeoque arquales inter fe ( �. 297) ; fivenbsp;AC:A=EC:B ; ergo etiam alternando AC;BC=Av�nbsp;C�. 306). Q^- e. d.

515'. Ergo, c�m uterque fi^i�lionis data) terminus per eamdem 3�� quantitatem mukiplicatur, eadem manet ratio numeratoris produ�ti ad ejufdem denomina-torem, qua� eft numeratorem inter amp; denominatoremnbsp;fra�tionis multiplicata:,

tores ad fuos refpedtiv� denominatores eanidem ratio-tionem habent,_mmr^^^ua]|^unt (�. 313) ; igi~ tur, dumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g�� quantitatem

317. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. I. En tandem demonftrationem problematis de re-duftione plurium fradtionum ad eumdcm denominatorem (�. 95).

318. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. II. Ciim numerus quilibet integer fraftioni tequiva-leat. cujus ipfe numerator eft, unitas ver� denominatorem agitnbsp;( �. 88) : patet quoque ratio problematis de reduftione nume-Xi integri ad fraftionem denominatoris dati (�.93).

D:E = A:B. Erit enim CD=A, amp; CE=B (�. 63) : ergo CD:CE=A:B ( �. 302) : fedCD:CE = D:Enbsp;CS- 314) : ergo etiam D:E=;:A:B (�.299). Q^.e.d.

320. Igitur, fi numeratorem item denominatorem fraeftionis per eumdem 3�� numerum dividas, erit quo-tus, qui prodit, priori fra�lioni acqualis.

331. Schol. I. Habes bic itaque demonftratura problema de re-duftione fraftionis datee ad aliara minoribus terminis expreflaiti (�.98gt;

322. Schol. II. Modus duorum terminorum Algebraicorum pe? invicem diviforum coeflScientes amp; exponentes reducendi (�,nbsp;175 amp; 176), JD praeced. quoque problemate fundatur : ill�nbsp;enim in eo confiftit, uc uteique tetroinus per earodem teniamnbsp;quantitacem utrique communem dividatur ; pacec porto, quotes in ea direft� efle radone, quas inter dividendum amp; divifo-rom incerccdit (�. 319) ; quad fi igitur quodcntem quandcatisnbsp;dividendae , per eum, qui ex divifione diviforis per illam tcrdamnbsp;emergit,dividas',ptodit quotus qusefito sequalis (�.291). Ex. gr.nbsp;dividenda fit quandcas 4ABC per aBD : divisa quantitate utraquenbsp;per 3, cric primus quotiens = 2ABC, aker = BD ; ell autent

Paricet fit AB*C five ABBBC dividenda per B^C* feu per BBCCC : fi utramque dividas per B^C five per BBC , communem menfuram maximam; erit primus quodens =AB, fecundusnbsp;ver� = CC five C� (�. 65 amp; 160) : eft porto AB3C:B*C*

Si radcmim Jlmilium A:B=C:D antecedentes per idem 3�� dividas; enint quotientesnbsp;F;G = B;D.

3�3. Demonst. Quia A;B=C:D ex hypothejl, erit quoque eiternando, A;C=B;D (�. 306) ; fed F:Qnbsp;= A:C (�. 319) : ergo etiam F;G=B:l3 ( �. 299).nbsp;O- e. d.

324. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo, fi rationum fimilium A:B=C:D confe-quentes per idem 3'�quot; dividas, erunt quotientes F:Q

A � 0.

325. nbsp;nbsp;nbsp;Igitur, fi rationum fimilium A;B=C:D ante-cedentes per idem E, amp; confequentes per idem F dividas, quoti eamdem inter fe rationem habebunt.

THEOREMA XXL

Si rationum Jimilium A:B==C;D antecedentes per idem E multipliccs; crit AE;CE = B:D.

326. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Nam AE:CE=.A:C (�. 314) :nbsp;fed quoniam A:B = C:D ex hypothefi, eft quoque al-ternando, A:C=B-.D lC�. 306) ; ergo AE;CE=x:B;Dnbsp;( �� ''-99 )� Q,-

327. nbsp;nbsp;nbsp;Similiter, fi rationum xqualium A:B = C:Dnbsp;conlbquentes per idem E raukiplices, erunt facka BE;nbsp;DE=A:C.

328. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo, fi. rationum fimilium A:B=C;D an.tc-cedentes per idem E, conf�quentes ver� per idem Fnbsp;multipliccs, erunt fa�la AE;BF=CE:DF. Erit fiqui-dem AE;CE=B:D (�� 326) ; fed 'BiD^BFiDF (Co-roll. prxced.) : ergo AE:CE==BF:DF (�. 299).

Si fuerint quotcumque rationes Jlmilcs; erit aggre-gatim ex antccedentibus ad aggregatum ex confequentibus, ut antecedens cujujvis

330. nbsp;nbsp;nbsp;C�m A:B = C:D; eft etiam alternando, A:Cnbsp;^B:D; ergo A B ; C4-D=A;C, five aggregatum

S5 nbsp;nbsp;nbsp;EtEMEIJTA Ae�THMETIC^

ex terminis i� radoais ad aggregatum ex terminis 2*, ijt antecedens i� ad antecedentem 2�.

C0B.0LLAE-IUM 11.

331. nbsp;nbsp;nbsp;Quoniam A B:C D=A:C (�. pracced.); erltnbsp;etiam alternando, A B:A=C D:C; five aggregatumnbsp;ex terminis i� rationis ad antecedentem i�, �t aggregatum ex terminis 2� ad antecedentem 2�.

COK-OLLAK-IUM II 1.

332. nbsp;nbsp;nbsp;Quia A C:B D=A:B (�. 329) erit quoquenbsp;A C:A = B D:B; live uti aggregatum ex antece-dentibus ad antecedentem i� rationis, ita aggregatumnbsp;ex confequentibus ad eonfequentem 1�.

333. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. C�ra quis ex rationibus fimilibus, ex. gr. A:B=:C:D,nbsp;uno ex hilce modis novam proportionem eruit, componcnd�nbsp;concludere dicitur.

Si fuerit �t totum A C ad totum B D, ka ahlatum. C ad ablatitm D; erit etiam reliquum A ad reli-quiim B, �t totum A C �d totum B D,

334. Ex. gr. Sit A C duplum B D, amp; C duplum D : dico effe A duplum ipfius B, five A = 2B.

Demonst. Ex hypotheji eft A C = 2B 2D : fed A C � C = A, Sc 2B 2D�2D = 2B; ergoA=:2B.

ArB-=C:D (�.

In rationibus Jimilibus, differentia terminorurri /* ratiO� nis ejl ad differentiam terminorum s* , �� iquot;nbsp;antecedens ad 2�� antecedentcm.

Demonst. C�m A major B ex hypothefi; faciet A ip-fum B amp; partem aliam,quT vocetur P;fimiliter C faciet D amp; partem aliam, quae dicatur Q: erit adeo A=B-kP,nbsp;amp; C=D Q : ergo c�m A:B = C;D, ex hypothefinbsp;erit B P:B=D Q:D; igitur alternando, B P:D4-Q?nbsp;= B:D : ergo etiam B P:D Q = P:Q (j. 334.),nbsp;confequenter P;Q=B P:D Q, atque adeo P;Q five A�B:C�D=A:C. Q.e.d^

viti differentia inter terminos 1� rationis ad ante-cedentem, ita ^differentia inter-terminos 2* rati�nis ad 2�� antecedentem..

338. Si A:B=C:D, eft etiam alternando, A:C^ B:D : ergo, c�m P differentia inter A amp; B, fit ad Qnbsp;�ifferentiam inter C amp; D, �t A ad C f 336); efinbsp;differentia antecedentium ad differentiam confequen-tium, �t antecedens quilibet ad fuum confequentem.

339- nbsp;nbsp;nbsp;Schol. I. Quotiercumque ex pioporcione data, pet theorema pr:ecedens, novae rationes aequales deducuntur, conelufionbsp;dividendo fieri dicitur.

340- nbsp;nbsp;nbsp;Schol. II. Ex iis, quae jam difta funt, perfpicuum eft, exnbsp;4 �luantita�bus propoxtiTOalibus datis, ex. gr, AlBssCfP�

fola tefminorum invarfane atque dlternatione, 7 alia rationuir*! sequalium paria deduci pofl� ; irimirum

A�K:A=:C �D:C A �B:B = C--D:D A�C:A = B-^D;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A~C:C=:B^D;D

Ofto porro poftremaa alternari rurfus amp; inverti, atque deia nova denuo ratione coroponi ac dividi poterunt, adeo ut facil�nbsp;quifque perfpexcrit, ex unica proportione infinicas propemodumnbsp;lationes sequaks deduci poffe.

Si fiierint 4 quantitates proportionaks, faSum extremor-Tum aquivakt faBo mediamm.

341. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Sit-A:B=C:D; erit AD:BC=:nbsp;CD: DC (�. 328) ; fed CD = DC (5-46:) = ergonbsp;AD = BC C�. 312). Qge.d.

DA feu AD=BC ex hypotheft ; ergo CA feu AC:BC =C:D : igitur, cuiii etiam AC:BC=A:B CS-SH)�nbsp;eritquQ^ue A;B=C:Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

343. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo, fi idem numerus A per duos alios B amp;nbsp;C dividatur, erit �t divifor B ad 2�� C, ita 2�*nbsp;quotiensjy ad x : eft enim Bx = A item Cy=:Anbsp;(�. 63), atque adeo Bx=Cy, ergo B;C=j':r.

344. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. Ciim 4 numeri eo ordine proportionem conftituunc,nbsp;quo eos efFerre folemus aut quo naturaliter fefe ofFerunt, tunenbsp;dired� proportionales dicuntur : fic,fiA:B=C;D, eft C adnbsp;D in latione dire�a A ad B. At, fi A;B = D; C, erit C adnbsp;D in rationa inver/a. feu reciproca A ad B; atque ita, dumnbsp;idem numerus per duos aiios dividitur, funt quotiences in ra*nbsp;tione reciproca diviforum.

345. Resol. Secundus 6 ducatur in 3�� 3; produc5lum 18 dividatur per primum 2 ; quotus p erit quartusnbsp;quaafitus.

Demonst. Faflum ex 2� in tertium jcquivalct pro-du�lo primi per quartum (�. 341) : ergo fa�lum 18 dividendo per primum 2, quotus 9 eft terminus 4�*nbsp;CS-65gt; Q^.e.d.

346. Eadem ratione, datis duobus terminis extre* mis proportionis cujufpiam, item uno ex mediis, ref.nbsp;tantem inveuies : due nimirum extremos in invicem,nbsp;atque produ�tum divide per medium datum : quotusnbsp;terminum quicfitum exhibebir.

347- Duarum fra�tionum tequalium numeratores �amdem ad fuos denominatores rationem habent C�*

313) : dividendo igitur fa�tum ex numeratore i denominatorem a�, per denominatoremnbsp;tor a* prodit (�. 93).

C0E.0LLAE.1UM III.

348. Data igitur ratione inter A amp; x, dato infuper valore A; due valorem A in exponentem v, fe�lum ve-ro divide per exponentem A : erit quotus inde prodiensnbsp;valor ipfius x. Ex. gr. fit A:3:=3:2, amp; A=a4 flor.:nbsp;jnultiplica 24 per 2, produdlumque 48 divide per 3 ;nbsp;quotiens 16 flor- dabit valorem quantitatis x.

etiam 04 flor. ad 3, ut valor ipfius x defideratus ad 2 (^�. 30�); ergo 24 floreni divifl per 3, amp; valor x per 2 , dant quotien-tes requales (�. 291) ; cum igitur divifor in quotientem ductus producat dividendum (�. 63 ); divide 24 flor. per 3 , amp;nbsp;dein quotum 8 flor. multiplica per quantitatis x exponentemnbsp;fli prodibunt rurfus 16 floreni, valor ipfius x. Quoniam veto operatic hsec in minoribus numeris exercetur, faciiior eft,nbsp;atque adeo praicedenti baud raro prtefetenda.

350. Schol. II. Refolutio hujus probleraatis, vulgo regula tfium appellatur, quia ex tribus numeris invenitur quattus. Porro obnbsp;fummara, quam in vita coramuni prieftat, utilitatem, etiam re-%ula, aurea vocatur. Facil� autem apparet, hac regula nufquamnbsp;effe utendum, nifi dum de numerorum datorum proportions coa-ftiterit.

PROBLEMA LIX.

T)atis Jitmmis^ ex. gr. 1000 amp; 1^00 floren.^ collar tis d Joanne amp; Petro in focktate; dato infurnbsp;per communi liicro joo floren.; invenire lucrum cujiijque.

351. Resol. amp; Demonst. Joannes lucratns fuerit 200, Petrus 300 florenos. Sunt enim lucra in ratione di-reda collatorum, five eft ut fumma Joannis ad fum-mam Petri, ita lucrum Joannis ad lucrum Petri :nbsp;ergo aggregatum ex fummis ad fummam Joannis, nt

Et AtGEBS.*. nbsp;nbsp;nbsp;91

aggregatum ex lucris ad lucrum Joannis (�. 33O : fed aggregatum ex fummis = 2500, amp; aggregatumnbsp;ex lucris = 500 ex hypotheil; erit ergo hxc pro-portio :

352. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. I. Regula, qua: hocce cafu applicatur, regula focis-tatis vocari confuevit.

353. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. II. Infigni fubinde compendio locus datur. Nimi-rum, c�m prsefercim numeri dan majores fuut, ii per commu-nem menfuram maximam dividantur; amp; quoci, qui etiam ratio-nis inter numeios datos exponentes funt, in ipforum loca fur-rogentur. Sic in fuperiori problemate, eft fumma Joannis adnbsp;fummam Petri ut 2:3; ergo aggregatum ex fummis ad fummamnbsp;Joannis �t 5: a; fed ut illud ad hanc, ita aggregatum ex lucrisnbsp;ad lucrum Joannis (�� 33T ) : ergo erit 5:2 = 500 floreni ; lucrum Joannis. Item 5; 3 = 500 floreni : lucrum Petri.

354. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. III. Methodus hsec practica Italica, vel etiam ra-gala faljiz poptionis audit. Docet autem ex numeris quibufdamnbsp;fidlis, attamen qui ipfls defideratis proportionales fint, veramnbsp;nuraerorum quaefitorum quantitatem invenire. Numerorum fic-torura unitates, Juppofita vocabimus, ut eas a veris diftingua-nius. Sic , quia lucrum Joannis ( fch. pra:c.) eft ad lucrum Petri �t 2:3, lucra ipforum fimul fumpta 5 fuppojita facere di-cimus : cum igitur fimul faciant 500 florenos; 5 fuppofitanbsp;� 500 florenis ; atque adeo i fuppo�tum= 100 florenis ; fednbsp;lucrum Joannis duobus, lucrum Petri tribus fuppofitis ^qualenbsp;efti ergo Joannes aoo, Petrus ver� 300 florenos lucratus fueric.

355. Pv-ESOL. Antecedentes rationum dataram in fe in-vicem ducantur; pariter amp; confequentes : fada da-bunt rationem ex rationibus datis compofitam ( 2,96).

35�. Schol. Quantitas aliqua in ratione compofita aliarum efie cognofcitur, fi illa e� major evadat, quo aliae majores fuerinc;nbsp;amp; 'quot;viciffim e� minor, qu� aliae mindrcs : acque hoe unicumnbsp;eft rationis compofitae criterion. Ex. gr., quoniam qu� plureinbsp;funt operarii, qu� tempus laboris longius, qu� celeritas ipfo-rum major, e� quoque majus abfolvunc opus; ideo opera quae-libet in ratione compofita funt operaiiorum, temporis, celeii-tatis amp;c.

6i jd operarii tempore 20 dieriim abfblvunt opus quod-piam : quanto tempore , catcris paribus, idem opus perfecijj�nt ij operarii.

357. Resol. amp; Demokst. 48 dicbiis. Sunt: enim opera in ratione compofita operariorum amp; tetnporum : c�m igitur idem fit utrobique opus, eft factumnbsp;ex prioribus operariis amp; eorum tempore, a^qualenbsp;lli�lo ex pofterioribus operariis amp; tempore qusefttonbsp;C�- 355) �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;primum fadum dividas per pof-

358. Ergo, fi diveffl operarii idem aliquod opus vel opera aiqualia ablblvant; funt iili, fl caitera paria elTenbsp;ponas, in ratione reciproca temporum, quae impenduntnbsp;(5.342 amp; 344

DatA ratione inter jiimmas collatas in fbcietate, item inter tempora quibus illce manent expojitce; inve-nire rationem inter liicra.

359. nbsp;nbsp;nbsp;Resol. amp; Demonst. MukipHcetur fumma (mac-libet per fuum tempus; quai eit ratio inter facta ,nbsp;talis quoque erit inter lucra. Sunt etenim lucra ianbsp;ratione compofita fummarum amp; tcmporum.

Ex. gr. fit fumma Joannis ad fummam Petri �t 3:2; maneat fumma Joannis 4, fumma Petri 5 annis in focietate ; erit lucrum Joannis ad lucrum Petri �t 12:10,nbsp;live ut 6 : 5.

360. nbsp;nbsp;nbsp;Resol. Ducatur lucrum primi in fummam 2',nbsp;amp; lucrum 2� in fummam primi ; �t primum fa�tumnbsp;ad 2�quot;, ita tempus primi ad tcn)pus fccundi.

Ex. gr. fit fumma Joannis ad fummam Pctri �t 3:2; lucrum ejus ad lucrum Petri �tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3:2

Demo�jst. Dicatur fumma Joannis A, fumma Petri B; tempus Joannis x, tempus Petri ; erit lucrumnbsp;Joannis ad lucuni Petri �t Ax-.By ( �. pracc.) : ergonbsp;fa�fum ex lucro Joannis in fummam Petri = ABx;nbsp;ladlum ver� ex lucro Petri in fummam Joannis'=: ABj:nbsp;�^tqui ABr; ABy =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(�. 314) ; ergo, fi lucrum

primi ducatur in fummam fecundi, amp; lucrum fecundi In fummam primi, erunt fa�la in ratione dire�la tein-porum. e. d.

361. Ergo, data ratione inter tempora item inter lucra Joannis amp; Petri, due lucrum Joannis in tempusnbsp;Petri, amp; lucrum Petri in tempus Joannis ; erit ut pri-mum fadtuna ad lecundum, ita fumma Joannis ad fum-mam Petri : erit fiquidem primum fa�dum = Ary,nbsp;fecundum autem = Bjr ; fed Axy : Bvr = A: B C 5*nbsp;314) : proinde primum fadlum ad fecundum, ut fum-jna Joannis ad fummam Petri.

ao Operarii tempore 18 dieruni, fingidis diebus 8 horis laborantes, abfolvunt opus qiiodpiam : quot diebusynbsp;ceeteris paribus, | ejufdem operis perficerent iGnbsp;operarii, qudvis die 12 horis laborantes ?

36a. Resol, amp; Demonst. 10 diebus. Sunt enim opera dire�l� in ratione compofita antecedentium amp; confequentium, (�. 356), live eft primum opus adnbsp;lecundum, ut fa�ium ex antecedencibus ad fadtumnbsp;ex confequentibus : fed priores operarii ad pofterio-res ut 5:4, diaetjc ad diactas ut 2:3; ergo, cumnbsp;dies priorum fint 18 , erit fadtum ex antecedenti-bus = i8o;� atque adeo, cum primum opus adnbsp;2�� ut 3:2, erit fadtum ex confequentibus = i ao;nbsp;dividantur itaque 120 per 4x3 five per 12; quotusnbsp;JO dabit numerum dierum, qui quacritur.

3 -Jl

353. ScHOl- Per hanc procedendi methodum tres tandem numeri piodeunt, ex quibus per regulam trium quartus proporciona-'nbsp;lis eruitur.

Si 10 hommes tempore 4 annorum conjiimunt 120 m�n.-Juras tritici : quot menfuris indigebunt i ^ ho^ mines tempore j annorum?

364. Resol. amp; Demonst. 135 Menfuris. pe annonae confumptse in rationenbsp;compofita confumentium amp; tem-porum (�. 356) : fed confumen-tes funt �t 2:3, tempora verdnbsp;�t 4:3; ergo annona data adnbsp;quscfitam �t 8 : p : fed data = 120nbsp;menfuris: igitur per regulam triumnbsp;invenitur quaefita = 135.

Datd quantitate vini generoji amp; vini vilioris: dato in'� Jiiper pretio unius poculi vini cujuflibet; deter-minare pretium poculi mixti.

565. Resol. Multiplicetur quantitas qualibet per pretium unius poculi : fa�lorum fumma dividatur per aggregatum ex quantitatibus commixtis ; quotus dibit pretium poculi mixti.

1 afleg pret. poe. mixH�

Dato prctio argenti purioris� item pretio argenti minus puri; invenirc in qua proportione mijceri debeant,nbsp;ut obtineatur argentum pretii cujufdamnbsp;medii dati.

g66. Resol. Quxratur differentia inter pretium fum-mum amp;; pretium medium; item differentia inter hoc amp; pretium iniimum : erit uti prior differentia adnbsp;l�cundam, ita quantitas defumenda ex argento minus puro, ad quantitatem argenti purioris.

- Ex. gr. valeat una uncia argenti purioris 42 fiore-nos, uncia alterius 37 florenos; uncia autera milcelai 40 florenos : erit argentum purius ad minus purum,nbsp;ut 3:2.

Demonst. Quantitas capienda ex argento puriori vo-cetur X, minus purum dicaturj; erit mifcela =x-|-y. Pretium medium fit a, fummum vocetur c p, infi-mum ver� a � q : erit pretium totale �ax^ay (�.nbsp;565) ; fed pretium argenti purioris admixti =:ax px,nbsp;alterius autem =ay�qy: ergo ax ay=ax ay pa:�qy:nbsp;igiturpx � qy = o, atque adeo px = qy : eft itaquenbsp;x:y = q:p (�. 342). (O. c. d.

367. Dato itaque pretio ex. gr. unius menfurac vi-ni, tacil� invenies quantitatem aquas commiicendai , ut una menfura mifcelas, dato alio pretio min ore, ven-di queat : c�m enim aqua; pretium nullum fit, eritnbsp;vinum ad aquam, �t pretium unius menfura: mixta:nbsp;ad differentiam inter pretium vini puri amp; pretium mifinbsp;ceicc.

36R. Scnoi.. I. Docet igitur haec regula res divcrfi preiii ita commilcere, ut rnilcela prodeac prctii medii pro arbitrio aSig-nati; amp; vulg� TCgula altigatiotiu audit.

369. Schol. II. C�m plura quim duo dantuT pretia prxter pre-dum mifcel�e; tune qmelibet l�pecies majoris prccii.eo, quo dictum eft, modo (�. 36�), fucceffiv� comparetur pro arbitrio ad fpeciem aliquam , viliorem, donce fingulaa faltcm alligcntur femel. Ex. gr. unum poculum vini A conftet 4, unum ex B B,nbsp;ex C II , ex D 14 aflibus ; ex quaruor ibis fp�ciehus confl-cienda fit raifcela , eujus unum poculum valeac 10 affes. Hisnbsp;pnfitis , comparetur unum pretium majua amp; unum minus ciimnbsp;pretio mifcelte, v. g. B. amp; C; turn fiat comparacio pretio-rum A amp; D cum eodem- ; rnvenfentur pro A 4, B i, C a,nbsp;D 6 ; ergo quatuor illa; fpecies fimul fiidunt 13 fuppofita : pro-dibit igitur raifcela qutefica, fi /j ejufdera capiaiuur ex A, -ex B, ex C amp; A ex I �-

370. Schol. III. Quamdiu fola diverfarnm fpecierum pretia amp; pretium mifcelae innotefcunt, amp; praterea nihil; problcma indi-terminatum ett, five plures fulutiones adrnitdt : fic in exemplonbsp;mox pofito, qnoniara miftela� pretium =4A4'8B-|-nC-j'i4D ,nbsp;item = loA loB-t-loC4-loD; mifcela debit� fbfta erit,nbsp;quodefcumque 4B-j-pC-|-loD =:�A-|-6B-)~6C-j-�D ; atque;nbsp;adeo dum C-^-4D =6A-f-aB. ld porr� modis innumeris pof-fibilccffe, facil� perfpicitur. Quod fi ergo prohletna decermi�nbsp;natum cupias, alia gutepiara conditio adjiciatur neceffe eft, qsnbsp;in lubjuncio cafu.

P R O B L E M A L X V I I I.

Sint viriy miilieres amp; infantes in toto /j, fimul expen.-' dentes 1^6 afies. Vir quilibet expendit 18, midiernbsp;1^3 infans 10 afies. Determinate qiiot d�nturnbsp;viri, quot mitlkres amp; quot infantes ,nbsp;pofito quod numerus infantiumnbsp;viros fiuperet ad j-

S71. Resol. amp; Demonst. Viri ci, mulieres 2, ,in�in-tes o. Numcj-us virorum dicatur ar, mulierura v,

infantium Erunt expenfb virorum = i8x ex by-pothefi, mulierum = igy , infantium = lo:^ ; igitur i8x i5j io^= 156 : fed, cum a; _y :^= 13; ericnbsp;io;t: ioy-fio^= 130; ergo 8x gj=26 ($.245);nbsp;fed gx sy si��s ^ five 82: 5^4-5^ = 3^ 65nbsp;(�. 233) : ergo 5?=3^ 39; itaque, c�m SZ�5^ 3Snbsp;ex hypotheli, erit 30: 39 = 5^ 35; atque adeo

C A P � T XL

372. nbsp;nbsp;nbsp;ProgFcj^o geometrica eft feries quantitatum Jux-ta eamd^Tt '�ationem crefcentium vel decrefcentium.nbsp;Ex. gr. l.�-2.'\4. 8. 16 : vel 81. 27. 9. 3. i. Eft adeonbsp;.progrefEo geoitietrica nihil aliud, quam proporcio con-tinua (�. 294).

373. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. C�m progreffionem geomctricam indigitare volueri-mus, terminos omnes conlecutiv� fcrihemus, folo inter quof-vis duos pundto (.) interpofito; atque feriei hoe fignura (��)nbsp;prasponemq^. Ex. gr. ~ A. B. C. D. E F. amp;c.

Mk- Denominator progrel��onis, eft quotus ex divi-'Ci'�l^r termini major is per immediat� minorem emergens.

37g�^j,Major ergo terminus prodit, minore in deno-minat�Tem dudo (�� 63) : minor ver� habetur, majo-re per denominatorem divifo C�- 65).

376. Ergo in progreffione geometrica crefcente, eft facftum primi termini per denominatorem unitate mulc-tatnm, acquale exceffui fecundi termini fupra primum;nbsp;atque adeo eft excelTus fecundi termini fupra primum

C0�R.0LLARIUM III.

377. nbsp;nbsp;nbsp;Quod fi. denominator vocetur q; poterit pro-greliio quaclibec, cujus terminus minimus eft a, redu-ci ad hanc : a. aq. aqq. aqqq. aqqqq. amp;c. five aq�. aq^.nbsp;aq\ aqK aq\ amp;c. (�. i55gt;

378. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. Progreffionis tcrminum minimum deinceps vocabi-mus primum , amp; ab eo loca terminorum numerabimus.

THEOREMA XXVII.

fa�o mediorum, ab extremis eequaliter dijlantium; itemqiie quadrato medii, Ji numerus termi-'nbsp;norum fit impar.

379. nbsp;nbsp;nbsp;Ex. gr. fit fr a. b. c. d. e.f.g.: dico efle ag =:nbsp;�� = ce = dd,

Demonst. Quoniam omnes funt continu� proportio-nales, manifcftum fit, effe a:b=f:g�, ergo ag = bf (��34*)- Pari ratione,ctim b:c � e:f; eft ^�=ce^^igi-tur ag � ce. Sic etiam, quia e:d=d:c, t�ce = ddfnbsp;proinde ag � dd. Q^. e. d.

380. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. ld manifeftum evadic in exemplo oculari : fit v. g.nbsp;haec progreflio :

patet produftum extremorutn aaq^ eflc �quale produfto fecupdi aq^ per penukimum aqS, item aquale fatSo tertii aj� irj ante-penukimum aq* j uti amp; quadrato medii aq^.

381. Resol. amp; Demonst. Ducatur datorum unus in alterum : ex produ�to 64 excrahatur radix quadrata:nbsp;dabit hccc medium proportionalem quaifitum : eftnbsp;enim fa�tum extremorum acquale quadrato medii

Si fuerint .5 quantitates continue proportionalcs A, B, C, erit prima A ad tertiam C, �t quadratiimnbsp;1� A ad quadratiim 2� B.

38a. Demonst. Eft AA:AC = xA:C (�. 314) : fed, c�m A:B=B:C ex hypothefi, eft AC=BB (��379):nbsp;ergo eft AA:BB=x\;C, five A:C=AA;BB. Q. .e d.

Si fuerint quatuor quantitates continue proportionates, A, B, C, D; erit prima A ad quartam D, �t cu-biis A ad ciibum 2* B.

383. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Eft A^:A�D==A:D (�. 314) : fed,nbsp;quoniam A:B::=C;D ex hypothefi., erit etiam alter-nando A:C = B:D : ergo, cum A:C=A�:B� (�. praj-ced.); erit A�:Bquot; = B:D : igitur A�D=B� C�. 379);nbsp;ergo A^; B^ = A: D ( g. 230 ), five A: D = AD B^

a i-

384. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. Eodem^ nwdo demouftrari poteric, q�od lit primanbsp;A ad quintam K, �t ad B ; amp; geiieratim, quod in quacum-que quamitatum continu� proponionalium ferie , fit prima adnbsp;wltimam, in racione tantuplicata prirax ad fecundam , quantusnbsp;eft numerum terminorum diminutus ad unitatem.

THEOREMA XXX.

Terminus quilihet progrejj�onis geomctrlcce aquatur faSo cx primo termino in denominatorem ad cam dignitatem elevato, quantus efl numerus ter-minonim ipfum prcecedcntium.

385. Demonst. Pofito quod primus progreffionis terminus fit denominator ver� q, progreiTo hoe mo-do exprimi poterit : a. aq\ aq^. aq'^. aq^, aq^ amp;c. (nbsp;377) : atqui in hoe exemplo patet fextum terminumnbsp;Gq^ efle rcqualem fa�io ex primo a in denominatoremnbsp;q ad quintam dignitatem eve�tum : amp; ita dc omnibusnbsp;aliis : ergo terminus quilibet aequatur fadto amp;c. c. d.

I^ato primo termino, item progrejj�onis denominatore, . invenire qiiemlibet terminum.

3^5. Resol. Denominator ad tantam dignitatem ele-vetur, quantus ell numerus terminorum, qui ter-minum qusefitum praecedunt ; turn multiplicetur per primum terminum datum : fadum dabit terminumnbsp;defideratum.

Ex. gr. fi ponas Joannem 1� die lucrari 1 afles, 2.� 4, amp; ita confequenter in ratione dupla, amp;: quotas quantum 6� die lucretur ? Eleva denominatoremnbsp;^ ad quintam dignitatem, quae faciet 32 : due deinnbsp;32. in lum terminum 2; dabit fadum 64 iucrum fex-diei petitum.

387- Pormetur progreffio dat� fimilis, cujus primus 2rminus fit unitas; eaque ufque ad locum datum con-tinuetur : turn ultimus hujus progreffionis terminus

102 Elementa Aaithmetica: ducatur in primum prioris; produ�lum dabit terminumnbsp;qua�fitum. Erit liquidem primus terminus in una adnbsp;�ltimum ejufdem, ut primus alterius, ad ejus termi-�ium ultimum.

388. Schol. C�m dads primo termino amp; denominatore,� terminus aliquis remodor petitur, ex. gr. vigelimus ; inquiratur i� quintus : ejus quadratum divifutn per ptimum , dabic nouum ;nbsp;�ujus quadratum rurfus dividatur per primum; quotus squiva-lebit decimoleptimo : ab hoe porto continuetur progrefEo ufquenbsp;ad vigefimura qui quteritur.

In progrejjione geometrica, �t exeejfus termini Jiipra fe habet ad primum , ha excejjus ultimi J�i~nbsp;pra primum ad Jitmmam omnium termino-rum ultimum prcecedentium.

Demonst. Poterit namque progreffio ifta refolvi in fequentes proportiones : A : B = B ; C = C:D; fed eftnbsp;A:B = A B C:B C D (�. 329); ergo invertendonbsp;eft B:A = B C D:A B C; igitur dividendo eftnbsp;B�A:A=:B C D�A�B�C:A B C (�. 337):nbsp;fed B C-l-D � A�B�C=D�A : ergo B�A:Anbsp;rgt;�A:A B C. Qjc.d.

390. nbsp;nbsp;nbsp;Exceffus fecundi fnpra primum fe habet ad primum , �t denominator unitate muldtatus ad unitatemnbsp;(�.376); igitur ut denominator unitate mui�latusnbsp;ad unitatem , ita exceffus ultimi fupra primum adnbsp;fummam terminorum ultimum prxcedentium.

391. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo exceffus ultimi fupra primum acquatur facto ex denominatore unitate muldato in fummam terminorum ultimum prKcedentium (�. 341).

592. Igitur denominator per fummam terminorum iikimum prxcedentium producit fummam progreffionis,nbsp;dempto termino minimo.

393. In progreiBone in infinitum decrefcente, mini-tnus terminus eft infinit� parvus : ergo in illa, �t denominator unitate mul�tatus eft ad unitatem, ita maxi-mus ad reliquam infinitorum fummam.

PROBLEMA LXXI.

Da�s diiobus extremis terminis progreJ]ionis ge(h metrics, item denominatore; invenire firn-mam progrejjionis.

394- Resol. Tollatur primus ex ultimo; refiduum dividatur per denominatorem unitate mul�latum :nbsp;quotus dabit fummam terminorum prxcedentiumnbsp;ultimum ( �. 391). Quod fi ergo huic ipfum ulti-mum addas, exurgit totalis fumma progreifionis.

Ex. gr. fit progreffio tripla, cujus primus terminus 2, ultimus autem 4374. Divide 4372 per 2; quotusnbsp;2186 dabit fummam terminorum ultimum prxcedentium; atque adeo tota progreffionis fumma eft 6560-

PROBLEMA LXXIL

^atis minimo termino, denominatore, item numero ter~gt; minorum; invenire fummam progrcjjionis.

39.^- Resou. Quxre 1� terminum ultimum per pro-blema 70�'quot;; turn perge �t in ptoblemate prxcs-dcQte.

Ex. gr. fit progreffio tripla 11 terminorum, cujus primus terrninus elt i : invenietur ultimus terminusnbsp;= 59049 (�. 386) : turn divide 59048 per 2; quotusnbsp;29524 addatur termino ultimo : numerus ex additio-ne rciultans 88573 integram progreffionis fum-mam.

Dato denominatore, fimmd progrcjjlonis, item maxima termino t invenire terminum minimum.

396. nbsp;nbsp;nbsp;Resol. Tollatur terminus maximus ex fummanbsp;progreffionis; refiduum multiplicetur per denomina-

� torem unitate muldatum;' produdum auferatur ex termino maximo : prodibit tandem terminus minimus.

Ex. gr. fit denominator 3;ultimus terminus 2pi6; fumma autem progreffionis 43,68. Auferantur 2916 exnbsp;, 4368; refiduum 1452 multiplicetur per 2;fadum 2904nbsp;auferatur ex ultimo termino 29 l� : reftabit terminusnbsp;minimus 12.

Demonst. Dum maximus terminus aufertur ex fum.-ma progredionis, remanet fumma terminomm ulti-mum prsccedentium : fed fumma haic per denominato-rem unitate muldatum producit exceffum ultimi fupra primum (�. 391) : ergo produdum hoe tollendo exnbsp;termino maximo, emerge t terminus minimus. c. d.

Dads minima termino, denominatore amp;� Jitmmd progreJ~ fionis; invenire terminum maximum.

397. nbsp;nbsp;nbsp;Resol. Tollatur terminus minimus ex fummanbsp;progreffionis j refiduum dividatur per denominatorem:

dabit quotus fummam terrninorum pfsccedentium ul-timum : quod li ergo fummam hanc ex l�mma to-tali auferas; prodit terminus maximus.

Ex. ^r. fit primus terminus 3, denominator 4, fumma ver� progreffionis 4095. 1�olle ex hac fummanbsp;primum terminum 3; refiduum 4092 divide per 4;nbsp;quotum 1023 aufer ex 4095 : quac reftabunt 307anbsp;dabunt terminum maximum.

Demonst- Summa progreffionis, demto minimo ter-mino, squatur fado denominatoris in fummam ter-minorum ultimum praccedcntium (�. 39a) : quod � ergo minimum terminum ex fumma progreffionis auferas , amp; refiduum per denominatorem dividas , proditnbsp;fumma terrninorum ultimum prscedentium ; hunc igi-tur quotientem ex totali fumma auferendo^ relinquiturnbsp;terminus maximus. Q^. e. d.

PROBLEMA. LXXV.

Datis primo 6* ultimo terminis, item fiimmd pro-' grejjionis; invenire denominatorem.

398. Resol. Auferatur primus terminus ex ultimo; ultimus ver� ex fumma progreffionis : primum refiduum dividacur per fccundum : dabit quotiens denominatorem unitate mul�latum.

Ex. gr. fit primus terminus 3, ultimus 2187; progreffionis autem fumma 3279. Aufer inprimis 3 ex 2187; turn 2187 ex 3279 : primum refiduum 2184nbsp;divide per fecundum 1092 : quotiens 2 erit denomi-�iator unitate mulctatus, atque adeo denominator efi: 3.

pEMONST. Eli: quippe primum refiduum squale facto denominatoris unitate muldati per fummam ter-^inorum ultimum priccedentium (�� 39^) �. ergo re-fi-duum hoe dividendo per fummam terrninorum, dera-

io5 Eleme�tta AurTHMETica to maximo, prodit denominator unitate muld�atuS ?nbsp;fed, li. terminus maximus auferatur ex fumma progref-fionis, reraanet fumma terminorum ultimum prscce-dentium : ergo primum refiduum dividendo per fe-cundum , . emergic denominator unitate mul�tatus.

Datis numero terminorum, denominatore, amp; fummd progrejjionis; invenire primum tcrminum.

3,99. Resol. Formetur progrcffio fimilis, cujus primus terminus fit i , eaque ufque ad tcrminum datumnbsp;continuetur : quacratur hujus progreffionis fummanbsp;(�� 394) = �Ft, utihsec fumma ad fummam datam,nbsp;ita primus hujus progreiiionis terminus i ad primum terminum progreiiionis propo�ta: ; igitur fum-mara progreffionis propoiitsc dividendo per fummamnbsp;progreffionis formatai, quotus dabit primum terminum quaifitum.

Ex. gr. fit progreffio 6 terminorum, ejus fumma 1456, denominator ver� 3. Divide 145� per fummamnbsp;progreiiionis fimiJem fex terminorum, cujus primusnbsp;terminus fit unitas, five per 364 : amp; quoniam quotusnbsp;ell 4; dico primum terminum quxfituin elTe 4.

Datis maximo termino, numero terminorum amp; denomlnof; tore; invenire minimum terminum.

400. Resol. Elevetur denominator ad eam dignitatem, quantus eft numerus terminorum maximum pr^cedendum ; per denominatorcm ita elevatum di-vidatur terminus maximus : erit quotus, ipfius progreiiionis dat�c terminus minimus ( �. 384^),

Ex. gr. fit progreflio feptem terminorum dupla,cu-jus ulcimus terminus fit ipa. Elevetur denominator 2. ad fextam potentiam, atque per 64 dividatur ultimusnbsp;terminus 192 ; quociens 3 erit minimus terminus pro-greffionis propofitae.

401. Schol. Si formetur progreffio fimilis, cujus ptimus terminus fit unitas , atque ad ultimum ulque terminum continuecur :nbsp;erit, �t ultimus hujus progreflionis terminus ad ultimum pro-grei�onis daca�, ica primus ejufdem terminus unitas, ad primurnnbsp;terminum qutefitum : ergo ultimum progreiiionis data: termi-num dividcndo per alterius terminum maximum , quotus dabitnbsp;terminum minimum progrelSonis quxfitum (�. 344).

T)atis primo amp; ultimo terminis, item numero termino^ rum; invenire denominatorem.

402. Resol. Dividatur maximus terminus per minimum : ex quotiente extrahatur radix ejufdem ordi-nis cum dignitate exponentis termini raaximi : ea dabit denominatorem qutcfitum.

Ex. gr. fit primus terminus 3, ultimus 81, numerus vero terminorum 4. Divide 81 per 3; quotieu-tis radix ter da, feu cubica, dabit denominatorem 3.

Demonst. Terminus maximus exurgit ex primo ter-mino multiplicato per denominatorem ad earn dignitatem elevatum, quantus eft numerus terminorum ultimum prrccedentium (�� 384), in cafu pofito per de-uominatoris cubum : ergo maximum dividendo per mi-tiimum, prodit denominatoris cubus; cujus proinds tadix cubica denominatorem exhibet.

403. Schol. Quoniam radicum fuperiorum extradlio operofiffima amp; tsdii plena; plurim�m paflim facefleret negotii, problemati*nbsp;hujus rerolucio ; at veto operacionem levem reddidit felixnbsp;Sarichraorum invencum, quorum ufum brevi expoaemus,

0 a

CAPUT XII.

404. nbsp;nbsp;nbsp;Cum quatuor quantitates hujufmodi funt, utnbsp;eadem inter duas primas, quaj inter duas fequentes,nbsp;detur differentia; eae aquidifferentes atque Arithmeticsnbsp;proportionaks audiunt.

405. nbsp;nbsp;nbsp;'Continu� ctquidiffcrentes vocantur, fi fecundanbsp;ad eumdem exceffum primam fuperet, ad quern tertianbsp;excedit fecundam; vel etiam, fi prima fecundam, amp;nbsp;fecunda tertiam ad eamdem differentiam excedat. Sicnbsp;continu� sequidifferentes funt numeri 2, 4, 6, amp;e.;nbsp;fmiliter numeri ii, 7, 3. Numeri vero 2, 5, 7, 10,nbsp;dijcrctim aquidiffcrentcs nuncupantur.

406. nbsp;nbsp;nbsp;Progrejjio Arithmetica eft ftries quantitatumnbsp;fecundum eamdem differentiam crcfcentium vel decref-centium. Ita progreffionem crcjcentem conftituunt numeri I, 3, 6, 9, 12, 15, amp;c.; decrejccntem vero numeri 23, 19, 15, 11,7,3.

407. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. Quantitates continu� tequidifFerentes, progreffionisnbsp;termini compellantur. Porro terminus qiiilibet refpeftu fequen-tis, antecedens i refpeflu prascedends, confequcm dicitur ; quinbsp;vei� a duobus aliis aequaliter diftat, medius proportionalis ap-pellatur.

408. nbsp;nbsp;nbsp;In progreffione crefeente terminus quilibet eftnbsp;aggregatum ex praccedente amp; differentia : in decrefeen-te vero, eft aggregatum ex fequente amp; differentia.

409. nbsp;nbsp;nbsp;Quod fi ergo differentia vocetur d, primus veto terminus dicatur a; poterit progreffio qutevis Arith-

metica generatim exprimi hoe modo. -t-�. a tf. a-ji^d. fl�3d. a 4d. a 5d amp;c.

410. Schol. Signum ( quot;), inter quofvis duos feriei terminos poficum,pte vd minus lignificat, acque adeo ptogreffioni gene-ratim indigitandEe accommodum eft : quod autem feriei pitefigi-turnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pro progreffionis arichmecica; figno adhibetur.

THEOREMA XXX 11.

Si fuerint quatuor qiicn�tates arithmetk� propor-tionaks i aggregatiim ex extremis aquatur Jitmmt� ex mediis.

Demonst. Si termini crefcant, eft b~a d^^y=-x-\4 CS- 408) : ergo proportio data reducibilis ad hanc :nbsp;a.a-\-d:x.x-\-d: atqui in hac, aggregatum ex extremis a-\-x d manifclt� scquale eft aggregate ex mediisnbsp;� dq-x ; igitur,fi quatuor quantitates lecund�m pro-portionera arithmeticam crefcant, aggregatum ex extremis a;quatur fummx ex mediis. c. d.

Eodem modo procedit demonftratio, fi confequentes termini, fuerint antecedentibus minores.

412. nbsp;nbsp;nbsp;Si a, b, c fuerint continu� proportionales, eftnbsp;a, bib.c : ergo a-^cz=zib; live aggregatum ex extremisnbsp;eft duplum medii proportionalis.

THEOREMA XXXII L

413. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Sit inprimis a major b; erit 0=^4.^;nbsp;*rit igitur hxc aquatio, b y d=b^x : ergo, fi utrim-Sue ipfum b auferas, prodibit j lt;^==x.

Sit jam a minor b; erit b = a d : habcbitur ergo hscc ECquatio; a y=a-\-x-{-d : quod fi. igitur utrim-que iplum a tollas, rcraanebit jy =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ergo omni

414. Si duas quantitates inaiquales a amp;c b ex eademnbsp;tertia c auferantur; exit a. b: c � b. c � a : eft ctenimnbsp;��a a, item c � b-\-b=c; igitur c � a a = c�b bnbsp;( �. 230), atque adeo c � b.c � a: a. b , proinde a.b:nbsp;c � b.c � a.

II. Ex furama 20 auferatur primus numerus 4 : rcfi-duum 16, erit quartus quaefitus (�.411).

In Omni progrejjione arithmedca crefeente, terminus qui-libet primuni ad toties differentiam fuperat, quot termini ipfum preecedunt.

417. Demonst. Progreffio quaevis arithmetica cref-cens exprimi poteft hoc modo ; -~a.a-\-d.ay-id.a id.

amp;c. (�. 409} : atqui in illa manifeftum eit, terminum quemvis facere primum amp; toties diffe-rentiam, quot funt termini ipfo minores : ergo in om-ni progreliione arithractica crefcente , terminus quilibetnbsp;primum ad toties differentiam fuperat, quot termininbsp;ipfum praecedunt. e. d.

ergo in progreliione decrefcente terminus quilibet uj-, timum ad toties differentiam fuperat , quot termininbsp;ipfum fcquuntur.

419. nbsp;nbsp;nbsp;Gencratim in quavis progrei��one arithmeticanbsp;terminus quilibet componitur ex minimo amp; totiesnbsp;differentia, quot funt termini ipfo minores.

420. nbsp;nbsp;nbsp;Igit�r terminus maximus facit minimum, amp;�nbsp;infuper fa�lunt ex differentia in numerum terminorumnbsp;unitate fflul�latum.

Dato primo progrejj�onls crefcentis termlno^ datd infuper differentia progrejjlonis; quemlibetnbsp;terminum invenire.

421. Res�l. I. Differentia rnukiplicetur per numerumnbsp;terminorum terminum petitum praecedentium.

Ex. gr. fit primus terminus 7, differentia 6 : quo-^lam nonum terminum praiecdunt odto ipfo minores,

nonum terminum obtinebis , fi differentiam 6 per 8 multiplices, atque produ�to 48 addas primum termi-num 7.

II. Refiduum dividatur per numerum inferendorum au�lum ad unitatera. Erit quotus, ditFerentia pro-greflionis quaclitai.

Ex. gr. inferendi fint quatuor medii proportionales inter numeros 6 amp; 21. Sublatis 6 ex 21, atque refi-duo 15 divifo per 5; quotiens 3 dabit ditFerentiamnbsp;progrelfionis formands. Numeri ergo inferendi eruntnbsp;p, 12, 15 amp; 18.

Demonst. Infertis inter utrumque numerum da-turn aliquot mediis proportionalibus pro arbitrio, exur-git progreffio, cujus terminus maximus ille, qui inter numeros datos eft major : hic igitur tot habebit innbsp;progreflione formanda terminos minores, quantus eftnbsp;numerus' inferendorum au�tus ad nnitatem : fed innbsp;progreflione arithmetica maximus minimum fuperat adnbsp;toties differentiam , quot funt termini ipfo minoresnbsp;420) : ergo differentia inter numeros datos divisanbsp;p�r numerum terminorum inferendorum audtum adnbsp;unitatem, prodit differentia progr�flionis formandaxnbsp;Q,e.d.

THEOREMA

Tn progrejjione arithmetical (Umma termini primi amp; ultimi aqualis efi fummee quorumlibet mediorum ab extremis aqiiidiflantium; item medii duplo, Ji numerus terminorum Jit impar.

CS- ^�9gt;

in hac porro progreffione patet, futnmam ex primo termino a amp; quinto a 4^� efi�c acqualem fummai exnbsp;fecundo amp; quarto; item acquivalere duplo terrqini ter-tii, qui medius eft : ergo patet propofitum. Q^. e. d.

C�m numerus terminorum efi par, fumma progrejjionis eequatur faclo aggregati ex terminis extremis ianbsp;numeri terminorum dimidium.

424. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Summa extremorum sequivalet aggregate ex quibuflibet mediis ab extremis tcqualiternbsp;�iiftantibus (theor. prtcced.) : ergo, c�m numerus ter-�iinorum eft par, progreffio ex tot aggregatis extremo-rum lumma� acqualibus componitur, quot unitatesnbsp;'Continet numeri terminorum dimidium; atque adeo ag-gtegatum ex extremis per numeri terminorum dimi-

425. nbsp;nbsp;nbsp;Produ�lum numeri terminorum per dimidiumnbsp;*Sgregati ex primo amp; ultimo, a�|uivalet ia�lo ex fum-

ma extremorum in numeri terminorum dimidiuir� C �. 341) : ergo fumma progreflionis quoque obtine-tur, fi dimidium fumm� ex 1� amp; ultimo per nume-rum terminorum multiplicetur.

426. nbsp;nbsp;nbsp;Si numerus terminorum fit impar, medius pro-portionalis squivalet dimidio aggregati ex terminis extremis (�. 423} : ergo, fi numerus terminorum impar fuerit, fumma progrellionis sequatur fa�lo ex numero terminorum per medium proportionalem.

427. nbsp;nbsp;nbsp;Ergo, fi fumma progreffionis dividatur pernbsp;numerum terminorum, quoti duplum dabit aggrega-tum ex 1� amp; ultimo. Si vero per dimidium numerinbsp;terminoruiu dividatur, aggregatum ex extremis prodit.

428. nbsp;nbsp;nbsp;E contrario, fi fummam progreffionis per medium proportionalem, vel per medietatem aggregati exnbsp;1� amp; ultimo, dividas; numerus terminorum obtinebi-tur. Hujus ver� numeri dimidium; fi progreffionisnbsp;fumma per aggregatum ex extremis dividatur.

Si minimus terminus fit unites, amp; differentia progrej^ fiionis '3.; efi fiimma proffefilonis aqualis qua-dratfi numeri terminorum.

429. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Minimus terminus dicatur a, maxi-mus y, numerus terminorum n, fumma progreffionis s. Quoniam differentia 2; eft _y = 2/i �24-a (^5.nbsp;420), ergo_y lt;z = 2� � 24-20 : fed �^az=z^ ex hyl^o-

PROBLEM A LXXXIIL

Datis minimo termino, differentia. amp; numero termino^ rum; invenire terimnum maximum.

430. nbsp;nbsp;nbsp;Resol. I. M�ltiplicewr numerus terminorumnbsp;unitate mul�tatus per difFerentiam.

Ex.^gr. fit progreffio 12 terminorum, cujus ter-^ minus minimus 5, amp; differentia 3 : erit terminus maxi-mus =33 5, atque adeo aequalis 58.

Tiatis termino maximadifferentia amp; numero termino-^ rum; invenire terminum minimum.

431. nbsp;nbsp;nbsp;Resol. I. Numerus terminorum unitate minu-tus ducatur in difterentiam.

Ex. gr. fit progreffio 10 terminorum, cujus terminus maximus 74, amp; differentia 8. Erit terminus minimus =74� 9x8, live =2.

Datis primo amp; ultimo terminis, item numero terminorum; invenire differentiam progrejjlonis.

II. Refiduum dividatur per numerum terminorum unitate mul�tatum : erit quotiens differentia qu�fita CS' 420\

P a

Ex. gr. fit primus terminus 6, ultimus 34; numerus veto terminorum 8. Tolle 6 ex 34; refiduum aS divide per 7; quotiens 4 dat progreffionis dilFerentiam.

Dads primo amp; ultimo terminis, item dif�rentid; invenire numeTum terminorum.

�L Refiduum divide per differentiam : quoto adde uni-tatem : habcbis numerum terminorum quscfituni

Ex. gr. fit primus terminus 12, ultimus iio, differentia ver� 7. Aufer 12 ex iio; refiduum 98nbsp;divide per 7, quotus au�tus ad unitatem, five 15, da-bit numerum terminorum.

Vatis minima amp; maximo terminis, amp; infuper fummi progrejjionis; invenire numerum terminorum.

434- Resol. I. Dividatur fumma- progreflionis per ag-gregatum ex minimo amp; maximo.

Ex. gr- fit primus terminus 8, ultimus 99, amp; fumma progreffionis 428. Divide 428 per fummamnbsp;cxtremorum 107 : quotiens 4 erit medietas numerinbsp;terminorum, atque ita numerus terminorum quajfitusnbsp;eft 8.

jllius dimiciium , atc|ue pet htic divide riimmam progreflionis ; quotus dabit numerum cer.minoTum (�. 428}.

Datis duobus terminis extremis, item numero termino-rum ; invenire Jiimmam progrejjionis.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Summa ducatur in dimidium numeri terminorum,nbsp;fi hie fuerit par; vel medietas aggregati ex primonbsp;amp; ultimo multiplicetur per integrum numerum ter-minorum : prodibit utroque calu fumma progreffio-nis C5- 424 amp; 42.5).

Ex. gr. fi primus terminus 7, ultimus 52., amp; numerus terminorum� 10 : fumma ex extremis 59 multiplicetur per 5 : produ�lum 295 erjt fumma progrei-fionis quaslita.

437. jDatis differentia, numero terminorum, amp; uno ex extremis ; quicratur extremorum alter (�. 430 amp;nbsp;431): ita tandem, datis dift'erentia, numero terminorum amp; uno ex extremis, inveniri poterit fumma pro-grcllionis.

Bata fumma. progrejjionis, numero terminorum, amp; injuper minima vel maxima termino;nbsp;invenire differentiam.

43^- Resol. I. Summa progreffionis dividaatr per numerum terminorum ; amp; quotiens duplieatus dabit aggregatum ex minimo amp; maximo C^- 427}-

Ex. gr. fit numerus terminorum 15, primus ter-ininus 17, amp; fumma progreffionis 1515. Divide per 15; quotum duplica; ex 202 tolle 17; prodit terminus maximus 185 : differentiam porro hunc internbsp;amp; primum, l�u i�8, divide per 14 : quotus 12 dabicnbsp;tandem differentiam progreffionis.

Datd Jiimmd progrejj�onis, numero terminorum amp; diff�rcntid; inPcnirc amp; maximum amp; minimum terminum.

439. Resol. I. Summa progreffionis dividatur per nu-merum terminorum ; quoti duplutn dabit aggrega-tum ex primo amp; ultimo C�. 427).

n. Quacratur exceflus maximi fupra minimum (�. 420). III. Exceffus hic auferatur ex aggregate ex duobus terminis extremis : refiduum dabit termini minimi du-plum.

Ex. gr. fit fumma progreffionis 231, numerus ter-minorum 7, amp; differentia 8. Divide primo 231 per 7; quotiens 33 duplicatus dabit aggregatum ex primonbsp;amp; ultimo : diamp;rentiam inter extremos, five 48, tollenbsp;ex 66, refiduum 18 erit duplum termini minimi, at-que adeo minimus 9; ergo maximus 57.

440. Schol. Cum numerus terminorum ell par, refolutio amp; fa-cilior amp; brevior erit, fi fumma progreffionis per numeri terminorum dimidium dividatur : ica fiquidem unica operatione , ea-qiie per diviforem minorem inflicuta, ftatim ad fummam ex-tremorum devenitur (�. 4S17 ).

Datis minimo termino j, differentid 2 , item fummd progrejjionis 224; maximum terminum^ itemnbsp;^ numerum terminorum invenire.

441. Resol. amp; Demonst. Numerus terminorum di-catur n : quoniara differentia progreffionis 2 ex hy-

potheii;erit exceffas maximi fupra minimum �in�2 (5.417); ergo,c�m terminus minimus 3, erit terminus maximus = an 1; atque adeo aggregaturanbsp;ex primo amp; ultimo =2n 4 ; quoniam igitur pro-greifionis fumma 224 ex hypothefi; eft n4-2xn=224nbsp;( �. 425 ). Ergo n I * = 225 ( 5. 275 ) , proindenbsp;n 4-1 = ^ 225, feu =15 : eft adeo numerus ter-miaorum 14, amp; maximus terminus 29.

Vatis maximo terrnno 36', differenti� 3, item fumm� progrejjionis 22j; invenire terminum minimumnbsp;amp; numtrum terminorum.

442. Resol. amp; Demonst. Sit numerus terminorum n, minimus terminus x, maximus a : quoniam differentia progreliionis 3 ex hypothefi;erit azxz^n�3-f-xnbsp;(�. 420) : ergo, c�m terminus maximus =36, eftnbsp;3n4-a:=:39; atque adeo �-l-x-|-3n = 75 : fed, cumnbsp;progreffionis fumma =225 ex hypothcli, efta4-xx|nnbsp;= 225 (g. 424): ergo u xx3n=i35o; proinde

4a 4xx3n = 5400 ; fed �-t-x4-3n =5625 : ergo differentia inter a x amp; ^n=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^quot;^5 1 five =

(5- 273) : igitur n4-x = 3o vel 45 : fed a = 3� ex hypothefi, ergo x = 9, n ver� = 10.

443- Quoniam progreffio qusevis geometrica hoe mo-exprimi poteft : a, Cf % nbsp;nbsp;nbsp;aqquot;, aq\ amp;c. Q �.

277 ) j perlpicuum omnino eft, exponentes dignitatura ipfius denominatoris, tequidifferentium fcriem live pro-�fe�ionera arichmeticam conftituere.

444. Porro exponentes illi funt id, quod termino-rura Logarithmos vocant. Quia ver� primus progref-fionis geometries terminus ex denominatore non com-ponitur, ideo logarithmus ejus efb o. Hsc patent in fequenti fchemate.

445. Schol. Logarichmi hanc infignem praeftant utilitatem, uc ipfos in Tabula inventos addendo, vel ab invicem fubtrahendo,nbsp;fadli prorfus negocio numerorum quorumvis, quorum funt Logarithm! , facta amp; quoti decegantur ; �t deinceps manifeftun�nbsp;fict.

Iti progrejji�ne geometrka ciijiis primus terminus eji unitas, efl logarithmus fiiSi quorumvis -ter-minorum aqiialis aggregato ex loga-rithmis factorum.

446.,Dem:onst. Si primus terminus fit unitas, hoe modo exprimi poterit progreflio : i.q^. q^. q^. qquot;*. q^.q^.c^nbsp;amp;c. : porro exponens ta�h quorumvis ex hilce terminis efl; squale aggregato ex exponentibus fa�torumnbsp;C�- 169) : atqui exponentes dignitatum ipfius deno-Hiinatoris funt ipfi terminorum Jogarithmi C.?- 444) :nbsp;ergo logarithmus efl acqualis aggregato ex logarithmisnbsp;fa�torum. e. d.

447. Ergo aggregatum ex logarithmis duorum vel plurium terminorum progreilionis geometries cifiui-cumque ab unitate incipientis, dat logarithmum fii�tinbsp;iftorum terminorum in fc invicem du�torum. �

PROBLEMA

PROBLEMA XCIIL

XJnum urminum progrejjlonis geomctriccz ab imitate incipientis, logarithmorum ope, per altc-Turti multiplicare.

448. Resol. I. Logarithm! fadorum flmul addantur: erit fumma logarithm us fadti (J. prazeed.)

H. Inter terminos progreffionis geometric� dat� quagt; ratur ille, cui correlpondet logarithmus inventus :nbsp;habebis fadtum quod qusritur.

Quoniam numeri 27 logarithmus eft 3, numeri ver� 81 logarithmus 4, atque adeo fimul lumti faciunt 7;nbsp;pr�fati numeri 27 amp; 81, in fe invicem du�ti, producentnbsp;2187, quod ex hujus numeri logarithmo 7 colligitur.

THEOREMA XXXVII L

In progrejjione geometrica cujus primus terminus efi uni-tas , ejl logarithmus quoii uniiis termini per alte-rum minorem diviji,cequalis differ entice inter logarithmos diviforis amp; dividendi.

449. Demonst. Sit primus terminus i ; erit H 1. q^. (ff. ff. q^. q^. q^ amp;c. : porro in hac progreffione, quo-tus termini cujullibet per alterum minorem divifi, pronbsp;exponente habet exponentium differentiam (�. 176) :nbsp;cum igitur exponentes fint ipfi ternainorum logarith-mi (�. 444), erit logarithmus quoti squalis differentnbsp;tiac inter logarithmos diviforis amp; dividendi. Q^. e. d.

450. Ergo, fi primus progreffionis terminus fit uni-tas, differentia inter logarithmos duorum termmorum dabit loganthmum quoti ex divilione majoris per mi-norem emergentis.

Logarithmorum adminiculo invenin quotum ex di-pijione unius termini progrejjionis geome-tricce ab imitate incipkntis, per al-ttrum minorem emergentem.

451. Resol. L Auferatur logarithmus diviibris ex lo-garithmo dividend! : dabit refiduum logarithmum quoti CS- praeced.)

II. Quasratur terminus progreffionis datac, cui loga-ritnmus inventus correlpondet : erit ille quotus de-iideratus.

Ex. gr. in fuperiore progreffione (S- 448 differentia inter logarithmos numerorum a43 amp; 2,187 eft 2 : quia igitur inter progreffionis datae terminos,nbsp;logarithmo 2 refpondet numerus 9; erit hic, quotusnbsp;ex divilione 2187 per 243 refukans.

452. Schol. Logarithmi ufum non habent, nifi cum per invicem rauluiplicandi vel dividend! funt progreffionis cujufpiam geotne-tricje termini : ut igitur quorumcumque numerotum, etiam in-termediorum , multiplicationi ac divilioni iacilitandse infervirenbsp;poffen t, oportuit progrefiionem quamdam condere, inter cujusnbsp;terminos numeti quivis cenferi queant. Talis porro eft, quamnbsp;in logarithmorum tabuHs reperire eft , cujus primus terminusnbsp;unitas logarithmum habet 9. 0000000; numeri ver� lo logarith-inus 1.0000000contenarii logarithmus a.ooooooo. amp;c. : c�nxnbsp;eni.m progreffio illa geometrica quam lendffim� progrediatur,nbsp;utpotc in qua inter unitatem amp; decadem funt 9999999 mediinbsp;proportionales, uulla erit fenfibilis inter quofvis duos illius terminus contiguos differentia, atque adeo omnes numeri inter ex-tremos iftius progreffionis terminos intercepd , tamquam ipliusnbsp;termini haberi poterunt : ff quae ver� detur differentia, ea eritnbsp;adeo exigaa, ut citra uUura erroris periculum negligi queat.

n. Ab aggregato fubtrahatur logarithmus primi, Re^ fiduum erit logarithmus quarti quaefiti.

Demonst. C�m produ�lum extremorum sequale fit produ�to mediorum (5- 341) , erit aggregatum ex lo-garithmis mediorum aequale aggregato ex logarithmisnbsp;extremorum (g. 447) : ergo, fi logarithmus fecundinbsp;addatur logarithmo tertii, atque ex fumma fubtrahatur logarithmus primi, reftabit logarithmus quarti.

� e- d.

454; Resol. Quacratur in tabula logarithmus numeri dati, ifque multiplicetur per exponentem dignitatis datae ; prodibit logarithmus numeri ad dignitatem datam elevati.

Q a

Demonst, Numerus aliquis ad dignitatem datam evehitur, c�m toties fa�torcm agit, quot unitatibusnbsp;conflat exponens dignitatis datac : fed logarithmus fac-ti eft sequalis logarithmis fadorum fimul fumtis C �,nbsp;44�) : ergo logarithmum numeri dati per exponen~nbsp;tem dignitatis datac multiplicando, prodit logarithmusnbsp;numeri ad dignitatem datam elevati, e. d.

455. Quoniam ultimus progreffionis geometrie� terminus componitur ex primo termino amp; denominatore ad earn dignitatem elevato, quantus eft numerus ter-minorum ipfum pr�cedentium ( �. 386), atque adeonbsp;cujus exponens eft �qualis numero terminorum uni-tate muldato; logarithmus ultimi termini obtinebitur,nbsp;fi logarithmus denominatoris ducatur in numerum ter-ininorum unitate mul�tatum, amp; fa�lo addatur logarith-mus primi termini.

Ex. gr. fit primus progreffionis terminus 3, denominator autem fit 5 : ut inveniatur fextus terminus, logarithmum numeri g, five 0.6989700 multiplica pernbsp;gi produdo 3-4948.600 adde logarithmum primi termini 3, five 0.4771213 ; fumma 3-9719713 dabit logarithmum fexti termini, cui in tabulis refpondet numerus 9375.

PROBLEM A XCVII.

456. Resol. Logarithmus numeri dati dividatur per exponentem radicis quaefita; : erit quotiens logarith-mus radicis.

Ex. gr. extrahenda fit ex 8192 : hujus logarithmus 3-9133899 dividatur per 13 , quotiens o.3010299 erit radicis logarithmus, cui in tabulisnbsp;quam proxim� correfpondet numerus 2; eft adeo

Demonst. Numerus datus eft ipfa dignitas intuitu radicis quaefitae : ergo logarithmus numeri dati eftnbsp;produ�lum logarithmi radicis per ejus exponentemnbsp;C�- 454) igitur logarithmum numeri dati dividendonbsp;per exponentem radicis, erit quotiens logarithmus ip-fius radicis. Q^. e. d.

4.57- Logarithmus cujufvis termini progreflionis geometrie^, eft sequalis aggregato ex logarithmo primi termini amp; fa�to iogarith^mi denominatoris per nume-rum terminorum unitate muldlatura (�. 455) : ergonbsp;logarithmum primi termini auferendo ex logarithmonbsp;termini dati, amp; refiduum dividendo per numerum terminorum unitate mul�ktum, prodit logarithmus denominatoris, atque adeo ipfe denominator.

_ Ex. gr. fit progreffio, cujus primus terminus eft 2, joptimus ver� 8144: erit hujus logarithmus 3.9108378,nbsp;mgarithmus autem numeri 2 eft 0.3010300 : hic exnbsp;m.0 auferatur; refiduum 3.6098078 dividatur per 6;nbsp;ftootiens 0.6016346 erit logarithmus denominatoris,nbsp;in tabulis quam proxim� refpondet numerus 4;nbsp;^de denominator eft 4.

458. nbsp;nbsp;nbsp;Quoniam produ�tum extremorum aiquivalctnbsp;quadrato medii geometric� proportionalis (�. 378);nbsp;crit logarithmus quadrati medii proportionalis, idemnbsp;cum logarithmo produ�ti extremorum, five aiqualisnbsp;fumma� ex logarithmis extremorum (�� 44�) : ergonbsp;logarithmus medii proportionalis squatur dimiuio fum~nbsp;jnae ex logarithmis extremorum.

459. nbsp;nbsp;nbsp;Schol. Ex haftenus diftis haud diificuker intelJigitur, quamp;nbsp;xatione ac mechodo logarithraorum tabula conftrufta fueric : linbsp;�nim , uti ab aliquibus fa�lum eft, unicati tribuacur logarich-jnus o-ooooocx), decadi ver� i.0000000 �, eric inprimis mediinbsp;proportionalis inter unitatem amp; decadem logarithmus o. 5000000nbsp;(�. prseced.) : quod fi dein novi continuo inter quofvis duosnbsp;terminos medii proportionales quserantur, atque ipfis affigneturnbsp;pro logarithmo dimidium fummae ex logarithmis terminorum, inter quos funt medii: tandem logarithraorum canon conftruftusnbsp;eric.

CAPUT ULTIMUM.

Hoe capite, quod ad progreffiones quaedam quafi appendix eft, Arithmeticam concludemus.

460. Combinado eft modus inveniendi quot diverfi ex. gr. litterarum binarii, ternarii, quaternarii amp;c.,nbsp;fub dato litterarum numero contineantur.

Binarii fub certo numero contend, cequantur fimmct ex numero proyim� minore, 6* binariis fubnbsp;eo comprehenfis.

461. Demonst. Quivis V. g, litterarum numerus continet inprimis hinarios omnes, qui comprehendun-

tur fub litterarum numero proxim� minore, �t per fe pater : fed nova littera, quam numerus datus com-ple�titur, combinari infuper poteft cum qualibet pras-cedentium, �t etiam manifeftum eft; atque adeonbsp;ratione tot novi accedunt binarii, quot litteras continet numerus proxim� minor : ergo binarii fub certonbsp;numero content!, acquantur fummac ex numero proxim� minore, amp; binariis fub eo comprehenfis. Q^.e.lt;L

Dato quopiam ex. gr. litterarum numero, invenire quot dlvcrji litterarum binarii fub numeronbsp;dato contineantur.

lt;462. Resol. I. Addatur binarius unicus in duabu� litteris contentus, ipfi. binario litterarum numero.

UI. Quod fi hanc additionem fic porro continues ujF-que ad numerum datum; prodibunt tandem,omnes binarii quaefiti.

Ex. gr. fint 8 littera? diverfa? binarium unicum : tres contine-bunt 2 1, five 3 binaries; 4 litteras facient 3 3, five binaries 6 :nbsp;pro determinandis binariis fub nu-r�ero 5 contentis, adde 4 amp; 6; pronbsp;fiinariis 6 litterarum, addantur 5 amp;nbsp;�o : pro 7 litteris fiat 6 15 = 21;nbsp;tandem 8 littera? inveniuntur con-tmere 7 21, five 28 litterarum bi-barios.

THEOREMA XL.

Tcrnarii fub certo numero contend, cequantur fummat ex binariis amp; ternar�s comprchenjis Jub numero proxime minore.

463. nbsp;nbsp;nbsp;Demonst. Quivis litterarum ex. gr. numerusnbsp;omnes inprimis continet ternarios numeri proxim� mi-noris ; fed infuper littera adjefla, combinata cumnbsp;omnibus binariis numeri praicedentis, tot novos ternarios conftituit, quot fub numero prxcedente funcnbsp;binarii : ergo quivis litterarum aliarumve rerum numerus tot continet ternarios, quot funt binarii amp; ter-narii fimul fub numero minore comprchenfi. Q^. e. d.

464. nbsp;nbsp;nbsp;SCHOLTON. Facil� quifque jam perfpiciet, eadem racionenbsp;^ demonftrari poffe, qua;ernaiios cujurque numeri conftare ex

ternar�s amp; quaternariis j quinarios ex quaternariis amp; quinariis; fenarios ex quinariis amp; fenariis numeri proxim� minoris, atquenbsp;ita de caeteris. Tabella fequens exhibet omnes binarios, ternarios amp;c. fub 10 V. g. litceris comprehenfos.

Dato quopiam ex. gr. litterarum numero, invenire quot diverji tcrnarii fub co contineantur.

465. Resol. I. Addatur inprimis trium litterarum ter-narius unicus cum binariis lub tribus litteris com-prehenlis.

n. Et

�I. Et ita porro binarii amp; ternarii cujufquc numeri ad-dantur pro ternariis numeri unitate majoris, donee ad numerum datum perveniatur.

466. nbsp;nbsp;nbsp;Permutatb, eft modus inveniendi omnes di-verfas combinationes poffibiles, quas res aliquae acci-pere poflunt, non mutato earutri numero.

Res queelibet tot permutationes fubire pojfunty quantum, ejl factum permutationiim pojpbiliitm in numero proxi-m� minore, per reru/n numerum datum.

467. nbsp;nbsp;nbsp;Ex gr. lint quaedam littersc Alphabet! A,B, C,nbsp;D, E fee. : dico quafvis duas pofle permutari bis; tresnbsp;poiFe fexies; quatuor admittere permutationes 24;qtiin-que autem litteras permutationes fubire pofl� 120 amp;c.

Demonst. Perfpicuum inprimis eft, duas ex illis, ex.gr. A amp; B, bis pofle permutari, qualibet femel ul-timum, femel primum locum occupante : igitur, ftnbsp;tres dentur litterac, earum qualibet femel ultimum locum occupante, poterunr duae reliquaj bis permutari;nbsp;atque adeo tres litterai permutari poterunt fexies. Similiter, ft 4 fiant litterae, earum una ultimum tenentenbsp;� locum, poterunt tres reliquaj fexies mutare locum :nbsp;c�m igitur quselibet ex 4 litteris datis femel occuparenbsp;polBt locum ultimum, eaj admittere poterunt permu-tationes quater fex, feu 24. Porro eodem plan� mo-do oftendi poterit, 5 litteras 120; 6 litteras 720 amp;c.nbsp;permutationes fubire poflfe : atque proinde omni cafu per-mutationes quarumcumque rerum poffibiles, xquarenbsp;fa�lum permutationum poffibilium in numero proxini�nbsp;l�iinore, per rerum numerum datum. Q^- d.

468. nbsp;nbsp;nbsp;Produ�tum unitatis per binarium dat permutationes, quas du� res fubire poflTunt : fadum hoe in 3�

dat permutationes trium rerum , amp; ita conf�quenter ( �. pracced.) ; ergo, fi., quot funt res permutandsc ,nbsp;totidetn ponantur numeri ab unitate i, a, 3^4, 5 amp;c.;nbsp;hi inter l� multiplicati producunt numerum pennuta-tionum,quas res dat�c fubire poffunt. Ex. gr. 1x2=2.nbsp;cx3 = 6 6x4 = 24.24x5=120. 120x6 = 720 amp;c.

469. nbsp;nbsp;nbsp;Binarius rerum numerus duas, ternarius 6,nbsp;quaternarius 24 kc. permutationes fubire pol�unt (�.nbsp;467) ; ergo, fi binarios fub dato litterarum numeronbsp;contentos per 2, ternarios per 6, quaternaries pernbsp;24 amp;c. multiplices ; exhibebitur 1� cafu quot diverfanbsp;vocabula ex duabus, 2� cafu quot vocabula ex 3 amp;c.nbsp;inter litteras datas coraponi poflint.

470. nbsp;nbsp;nbsp;Schot- Si quis methodo haftenus tradita inveftigare volue-ric combinationes omnes eaTumqiie permutationes, quK circanbsp;24 Alphabed litteras inftitui poffunt; deprehendet numerumnbsp;vocabulorum, qute ex 24 Alphabed litteris effotmari poffunt,nbsp;omnem imaginationis vim excedere, atque effe propemodiira infinitum.

jji numerus quivis, ex. gr. litterarum., in alium unitate minorem ducatiir ^ prodeiint omnes binar� fub numero dato contend, ficundiim. omnes eorumnbsp;permutationes pojjibiles.

471. Demonst. Si primam litteram fucceffiv� combines cum fingula fequentium ; turn 2^� cum fequen-tium fingula, amp; ita deinceps, donee penultiina�cum ultima corabinetur; progreffio Arithmetica formatur totnbsp;terminorum , quot funt littertc datae, demta unica :nbsp;ejus porro terminus maximus tot binarios valet, quotnbsp;numerus datus unitate mulftatus continet litteras; minimus autem terminus binarium unicum facit : igiturnbsp;�ggregatum ex terminis extremis, ipfum numerum da-

Uun adscquat : fed aggregatum - ex extremis per nu-merum terminorum producit fumma: progreflionis du-plum ( �� 42.4)^ atque adeo binarios omnes fecund�m duplkem immutationem, quam quifque fubire poteft :nbsp;ergo, fi numerus quivis litterarum, aliarumve return,nbsp;in alium unitate minorem ducatur, prodeunt omnesnbsp;binarii fub numero dato'contend , fecund�m omnesnbsp;eorum permutationes poffibiles. e. d.

47a. Ergo, fi datus rerum numerus in alium unitate minorem ducatur, amp; factum diVidatur per 2; quotusnbsp;exprimet omnes binarios fub numero dato compre-benfos.

miiltiplicetiir, atque faSum koe ducatur in alium duabus unitatibus minorem; prodeunt omnesnbsp;ternarii fub numero dato contenti, fe-cundum omnes eorum permutatio-rnbsp;nes pqjjibiles.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i

473. Demonst. Si binarii omnes quovis modo pof-fibili permutad, cum finguia ex rebus reftantibus com-binetur, prodeunt omnes ternarii fub numero dato content! , cum omnibus eorum permutationibus poffibili-bus, �t paull� attenti�s meditanti manifeftum fit : ergo, c�m numerus binarioruni fecund�m omnes eorum permutationes polSbiles fit .scqualis produ�io nu-meri dati per alium unitate minorem (�.471)5 amp;nbsp;rerum poft binarium reftantium numerus, duabus unitatibus a numero dato deficiat; obtinebis ternarios om-ties fecund�m quamvis eorum permutationem poffibi-, ft nuraerum datum primo muldplices per aliumnbsp;tmitate minorem, amp; dein fa�lum lioc ducas in nume-rum duabus unitatibus a numero dato dcficientem. Q^- e. A

474. Quoniam fex funt permutationes poffibiles iti quolibet ternario (�.467); fi fadum numeri dati in,nbsp;alium unitate minorem, ducas in tertium numerumnbsp;duabus unitatibus minorem, atque ultimum hoe pro-4ud;um per 6 dividas; cmergit numerus temariorumnbsp;fub numero dato contentorum.

ij75. Schol. Quse jam difta funt, demonflracipnem exhibenc ro-gul�, fecund�m quam fequens problema refolvi debet.

Dato certo rerum numero, invenire qiiot biharios, ter-^ narios , quaternarios amp;c. contineat, non con-'nbsp;JlruSd combinationum Tabula.

j^l6. Resol. I. Fiant du3c progreffiones arithmeticas decrefcentes ad unitatem , tot terminorum, quotnbsp;unitatibus conftat numerus gt; Ibeund�m quem combi-natio facienda proponitur.

II. nbsp;nbsp;nbsp;Terminus maximus unius progreffionis fit numerusnbsp;rerum datus; alterius vero fit numerus, fecundumnbsp;quem res datee combinandac funt.

IV. nbsp;nbsp;nbsp;Fadum terminorum progreffionis majoris dividaturnbsp;per fadum terminorum alterius.

Ex. gr. fint 10 litterae combinandac in ternarios. Formatis duabus progreffionibus, �t in adjedo fche-mate; fadum 720 dividatur ynvnvS_

Demonst. Primum fa�tum dat omnes temarios fub 10 litteris comprehenfos, fecund�m omnem eorum per-rnutationem poliibilem ( �. 473) : alterum au tem pro-d�dtum exhibet immutationes omnes, quas ternari�snbsp;litterarum numems fubire valet (�. 468} : ergo, pri-mum fa�tum dividendo per fecundum, prodeunt omnes litterarum ternarii fub 10 comprehenfi (�. 474)-

FINIS.

Franc. Jacques die Jacobi S. T. L. Ap. Reg. Lib. pernbsp;Germ. Infer. Vif. Cenfor,

pag. %

ELEMENTA ARITHMETICiE

ALGEBRA

C A P U T 1.

A

A Sk

CoitOLLARlUM I.

funt 6 (decades), ponantur 6 fub decadibus. Dcm

PROBLEMA �II.

PROBLEMA IV.

lO nbsp;nbsp;nbsp;Elementa AR-ITHMETIC*

SubtraSionem examinare.

^4 nbsp;nbsp;nbsp;Elementa Arithmeticje

Corollarium I.

Et Alg�biLj!. nbsp;nbsp;nbsp;tg

i nbsp;nbsp;nbsp;THEOREMA I.

THEO-

C o K-'O L L A R I U M.

JSfumerum compositum per aliiim compojitumj fed minorem, dividere,

C 2

Divijionem examinan.

jdlitcr

P R O B L E M A X I I I.

FraWones plures ad eiimdem denominatorem reducere.

PROBLEMA XIV.

FraSionem imitate majorem ad Integra reducere.

PROBLEMA XV.

FraB^ionem datam, ad aliam minoribus terminis exprejpim^ reducere.

P a

(�. 98amp;99).

PROBLEMA XVI 1.

(�� 95)

a|�i-4 = �i CS-92) =v| �vKS-95^ = iquot;a-

PROBLEMA XVII L

XJnam fraSionem per alteram multiplicare.

Fractionem per aliam fraBionem dividere.

Integrum per fraBionem dividere.

CAPUT III.

PROBLE-

P R. O B L E ]M A XXII.

Et Algebr*. nbsp;nbsp;nbsp;55

PROBLEMA XXV.

Fraciiones Decimales per Je invicem midtiplicare.

E 2,

PROBLEMA XXVI.

i,quot; nbsp;nbsp;nbsp;38-

quantitas

Corollarium I.

44 nbsp;nbsp;nbsp;Elementa Arithmeticj�

� 7 3 = � 4- �.5 lt;5 = i.

De nbsp;nbsp;nbsp;o PERATIONIBUS AlGEBRAICIS,

PROBLEMA XXXII.

F 3

THEOREMA III

THEOREMA V.

PROBE E MA XXXIII.

Ex. gr. A-t-B C4-D

4-AC-pBC AC 4-AD BC-f-BiJ

Exemplum aliud A � B C A B � D

PROBLEMA XXXV 1.

G a

�fjp, Quadratum numeri cujulcamque ex quadratis iin^larum partium, amp; fa�lis ex duplo pards cujuflibetnbsp;in omnes ipsa finifteriores, componitur.

16 Quadratum partis 4�.

l Facfta partis 4� in finifteriores.

5040

72,000 �? nbsp;nbsp;nbsp;finifteriores.

72000 3 nbsp;nbsp;nbsp;r o

^ Fa�la partis 2� in primam.

159769� Quadratum numeri 1264.

292. Ex dioTiitate data radicem extrahere, eft quai� rere numeruni, qui aliquoties in feipfum dudus, da-iam potentiam generat. Sic cx numero p radicem qua-

dratam

PROBLEMA XLII.

Et Algebra. nbsp;nbsp;nbsp;^

PROBLEMA XLIIL

Numtri, qui quadratus nor. ejt, radicem prope veram invenire.

'THEOREMA V I I f. '

P R O B L E M A X L I V.

� nbsp;nbsp;nbsp;COR-OLLAEIUM I.

CS- 159)� 2y=30.

PROBLEMA XLVII I.