I nbsp;nbsp;nbsp;t iio
WISKUNDIGE
DER
EN, ONDER ANDEREN, DE THEORIE DER LOGJRITHMëN, de COMBINJrORlSCHEnbsp;JNJLTSIS, EN DE MEEST MERKWAARDIGE REEKSEN
DOOR
\
Profesfur in de Wiskunst,, Vestingbouw en Artillerie,, aan het Hotel van de Pages van Z. M. dennbsp;Ivouing van Holland.
IN DEN HAA G,
Bij de Gebroeders van GLEE F
E N
i'J
V
-ocr page 8- -ocr page 9-Bij de uitgave van het eerfte deel van dit werk., genoeg van deszelfs aanleiding., aard en inrigtingnbsp;gezegd hebbende, zou het overbodig zijn, daarovernbsp;verder uittewetden.
Deze tweede Curfus bevat eene volledige handleiding tot Algebra of Stelkunst, tot welke, in hei laatfte gedeelte van den eerften Curfus, de noodigenbsp;gronden gelegd waren; bijzonderlijk hebben wij onsnbsp;toe gelegd, om de vierkants en hoogere magts vergelijkingen met juistheid te behandelen, en in derzel-ver waren aard te leeren kennen. Doch hetgeen ditnbsp;Leerboek in zijne foort nieuw maakt, zijn de Leerwijzen van Büdan en Lagrange, welke nog maar, innbsp;weinige Leerboeken, fchaarsch en oppervlakkig behandeld zijn; gewigtige aanmerkingen op de benaderingsnbsp;Leerwijze van Newton , op de eliminatie van tweenbsp;en meer onbekenden, enz,
VI
VOORREDE.
Wij hehhen verkozen de oplosjingen der cuhifche en vierde magts vergelijkingen tot aan het einde van ditnbsp;deel te verfchuiven; eensdeels..omdat zij., na de verbeterde aannaderings Leerwijzen, van minder belangnbsp;in de werkdadige berekening geworden zijn; en anderdeels, omdat eene volledige behandeling dezer flof-fe, niet, dan nadat men met de flelkundige bewerkingen meer gemeenzaam geworden is, verflaan, metnbsp;belang gelezen en met wezenlijke vrucht kan^ beoefend worden.
Voorts zal men, onder de geheele nieuwe dingen, welke in dezen tweeden Curfus voorkomen, een geheelnbsp;boek vinden over de zoogenaamde Combinatorifche Ana-lyfis van Hindenburg,, welke ongetwijfeld onder denbsp;hulp - middelen, die de flelkundige berekeningen ge-makkelijk maken, en met meer zekerheids befiurennbsp;kunnen, gerekend moeten worden, en bijzonderlijk ge-fchikt zijn, om den jongen beoefenaar aan eene zekere orde en netheid in de aanëénfchakeling Zijnernbsp;denkbeelden te gewennen.
Het zal misfchien bevreemden: dat wij geïn woord over de onbepaalde analyfis gezegd hehhen. Zulks isnbsp;niet gefchied, omdat wij dit vak voor eencn Wishingt;nbsp;digen van minder aangelegenheid aanmerken: mdarnbsp;wij befchouwcn hetzelve niet van de eerfle noodzakelijk-
-ocr page 11-VII
F o o R R E D E.
lijkheid^ en hebben daarom liever^ in de behandeling van die ftcff'en^ waarover onze Hotlandfche Schrijversnbsp;of bijna niets gezegd^ of zeer onvolledig en oppervlak-kig gefproken hebben^ en welke echter voor anderenbsp;vakken van .meer algemeen belang zijn, zooveel tenbsp;vollediger en te uitvoeriger willen zijn; en wij hebben zooveel'te gereder kunnen he fluiten, om dit vaknbsp;geheel achter wege te laten, daar toch het grootjienbsp;gedeelte van de Algehra van den beroemden Euler ^nbsp;welke in elks handen behoorde te z.ijn, zich met ditnbsp;onderwerp bezig houdt, en als eene inleiding dienennbsp;kan, om de fchriften van Legendre e;? Gauss, welkenbsp;de beste zijn, te keren verjlaan,
De Wiskundige oefeningen, tot deze twee ftukken be-hoorende, zullen zoo fpoedig mogelijk in het licht ver-fchijnen,^ en wij zullen met onze Meetkundige .Lesfen den meesten fpoed maken.
Wij meenen eene zeer naauwkeurige lijst der inge-fopene drukfeilen gegeven te hebben. Wij zijn dezelve aan den ijver van onzen vriend, den Heer J. J. Krantz, J®'. verfchuldigd. Gelijk wij ook van.nbsp;een ander vriend, den Heer J. Florijn, de naauwkeurige lijst der in het eerfte deel nog overgeblevenenbsp;drukfeilen ontvangen hebben.
De
-ocr page 12- -ocr page 13-DER
VAN DEN
T JV E E n E N CURSUS.
(NE. Ds Nommers der Boeien en Lesfen loepen, van den eerften tot den tweeden Curfiis, als een geheel snaiende , door. De peragruphen vannbsp;den tweeden Curfas zijn echter op nieuw van één afgeteld, ofinbsp;het gemak in het nazoeken te bevorderen.')
¦P^g.
Additie of Zamenvoeging der flelkiindige uitdrukkingen.
Subtraiflie of Affcheiding der flelkundige uitdrukkingen van
XLII. LES. Over de Multiplicatie der flelkundige uitdrukkingen. §. 30.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 23
— Multiplicatie der ééj}ledige §, 31, — Die der éénledige ex~ ponentiale 34. — Die der veelledige met éénledige §. 35. —
Die der veelledige met veelledige §. 39. — Die der veelle-9 nbsp;nbsp;nbsp;naar de magten van zekere letters geordend
zijn §*44* ’^igemeenheid der flelkundige producten en meest merkwaardige predulden 45.
? 5 nbsp;nbsp;nbsp;XLiir,
‘ nbsp;nbsp;nbsp;li*«l
-ocr page 14-XLIII. LES, Over de Divifie der ftelkundige uitdrukkingen. §. -^6. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pag. 30
— nbsp;nbsp;nbsp;Divifie der éénledige door elkander §. 48. — Divifie vannbsp;een veelledige door eene éénledige §. 54. — Divifie van veelledige door veelledige §. 57* — Tvfee ge'wigtige theorematanbsp;§. 60. — Divifien die niet opgaan en ontwikkeling van der-'zelver quotiënten in wedorkeerige reekfien §. (Jl. — Eigen-fchap dezer reekfien §. 71,
XLIV. LES. Over de fleïkundige breuken in het gemeen. 74.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 46
— nbsp;nbsp;nbsp;Herleidingen §. 76. en vcrv. — Additie en Subtractienbsp;§. 83. — Bdultiplicatie §. 85. — Divifie 86.
TIENDE BOEK.
Over de vierkants-vergelijkingen, derzelver oplosfing en de oplosfing van eenige vraagftukken, die tot de tweedenbsp;raagt opklimmen.
pag. 55
XLV. LES. Over de vierkants - vergelijkingen in het gemeen en derzelver oplosfing. §. 87.
pag. ,70
Oplosfing eener vierkants-vergelijking tot eene onbekende §. 92. Algemeene regel %. 97. Eigen-genfehappen §, 98. Zij kan maar tvee wortels hebben §, 104. . Beftaanbare of onbefiaanbarenbsp;§. 116. Voorbeelden iiS.
Oplosfing van eén fieljel van vergelijkingen, tot twee., drie en meer onbekenden., in hetwelk de finale vergelijking tot de tweede magt opklimt.
pag. 72
§. 121. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•
XLVI. LES. Oplosfing van Vraagfiukken tot de
tweede magt. §-123. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 74
— Algemeene aanmerkingen. §,124. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pag. 88
XI
100
XL VIL LES. Over het vinden van de deelers der fielkundige uitdrukkingen. §.137.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pag-
I, nbsp;nbsp;nbsp;Onderzoek van de tweeledige deelers van den vorm x -^p
pag. 103
§ 146- nbsp;nbsp;nbsp;......
— nbsp;nbsp;nbsp;Handelwijze van Harriot §. 146. Van Newton §. 147. —
Van BezOUT en LacROIX §. 150. — Aanmerkingen §. 158. —•
He gelijke deelers kunnen eoor de laatfie ook gevonden worden §. i6o. — Men kan ook door dezelve de deelers vinden, wanneer de coëfficiënten letters, of van eenen flelkundigennbsp;vorm zijn §- IÖ7.
II. nbsp;nbsp;nbsp;Over het vinden van de drieledige of tweede magts dee-
lers. §. 175. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 123
— nbsp;nbsp;nbsp;Volgens den regel van ?.'ewton §. 175. — Langs andere we-gen §. l8o.
XLVIII. LES. Het gebruik der fielkundige Beelers, in de oplosfing der hoogere magts Vergelijkingen ; en over derzelver oplosfing door benadering. §.187. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 130
Ferklaring van de voornaamfle Hoofd-eigenfekappen der hoo-
ge magts vergelijkingen. §. 190. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;png. 131
Benadering van de wortels der Vergelijkingen, ro/g-eKS Newton, DE CouRTRivoN en Simpson. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 145
— nbsp;nbsp;nbsp;Volgens Newton §. 212. — Volgens de Courtrivon §. 214.
— t'olgens Simpson §. 220.
XLIX. LES. O ver de oplosfing der vergelijkingen door benadering, volgens de Leerwijzen van dunbsp;Heeren Budan en Lagrange. §. 2114.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 155
Bijzondere Algorithmus van Budan. §. 235. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 156
— nbsp;nbsp;nbsp;Bigenfekap^en dtr verg, 'waarop dien Algorithmus fteuntnbsp;§.220. — Regel zelve §. 230. — Bijzonderheden des Regelsnbsp;§. 232. BSeszelfs voortreffelijkheid §, 237. §. 238 en 239.—
Toepasfing van dien Regel op de negatieve wortels §. 240 cn 241. etc.
-
-ocr page 16-XII
Verdere merkwaardige eigenfchappen der vergelijkingen,
— nbsp;nbsp;nbsp;Vermenigvuldiging en deeling der wortels §. 247. — Hoenbsp;Buoan van deze eigenfchap gebruik maakp §. 252. — Daar-fielling van de-vergelijking tot de omgekeerde wortels §. 257.
Over de Limieten van de grootfie en kleinjle pofitieve en
negatieve wortels der vergelijkingen. §. 259. nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 173
— nbsp;nbsp;nbsp;Gewigtige grondregels §. 266. — Deze gelden ook voor denbsp;negntieye wortels 267, — Nuttig gebruik dezer Regelsnbsp;in de Leerwijze van Budan §. 271. — Nog bijzondere ei-getifchnppen der verg. g. 273.
Merkwaardige Regel van Descartes voor het verkennen
der pofitieve en negatieve wortch, §. 275. nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 182
Gebruik van Descartes Regel in de Leerwijze van Budan.
Over de Verkennings-Vergelijkingen en derzelver gebruik,
Over het beoordeelen van de wortels eener Vergelijking,
Voorbeelden §. 297. pag. 194.
Verdere aannadering der wortels, naar twee onderfcheidene
Eirfie handelwijze §, 299. — Tweede 301. — Aanmerkingen op heide g. 302,
Annnaderings leerwijze door de gedurige breuken van den
//eer, Lagrange. §. 303, nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 206
—. Voorbedden §, 314. •— De voortrejpelijkheid dezer Leerwijze g. 315-
Merkwaardige eigenfchap der tweede magts vergelijkingen.
— nbsp;nbsp;nbsp;Formulcn van den Heer Utënhove g. 322. — Derzelvernbsp;gebruik §. 323.
Nader onderzoek van de aannaderingswijze van Newton.
— nbsp;nbsp;nbsp;Gewigtige aanmerking ^ welke aan LagRANGE fchijnt out-fnapt te zijn §. 329.
L. LES. Over het vinden van de gemeene deelers
der ftelhindige uitdrukkingen. §. 332. nbsp;nbsp;nbsp;. P8g. 229
-ocr page 17-/Jlgenieene regel §. 339. — Voorbeelden §. 340. — Zoeken der getneene deelers als de uitdrukkingen van twee of meernbsp;letters afhangen §. 341. — Voorbeelden §. 348. — Gewonenbsp;regel om de gelijke wortels te vinden §. 355.
LI. LES. Over de oplosfing der vergelijkingen van
twee en meer onbekenden, tot eerfte magt. §. 357. pag. 247 LIL LES. Over de oplosfing van een flelfel van vergelijkingen ^ van twee en meer onbekenden^ tot denbsp;tweede^ derde, en hoogere magten. §. 374. pag. 257
Bijzondere handgrepen, welke in fotnmige gevallen kunnen
te pas gebrast worden. §. 384. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. psg. 260
— Verfeksidene gevallen en voorbeelden,
Oplosfing der hoogere magts vergelijkingen, door de hoogere magten van dezelfde onbekende trapswijze te doen verdwijnen. §. 390.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.... pag. 264
Oplosfing door middel van de geineene deelers, §. 398. pag. i6j Handelwijze van Euler. §. 402.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 271
Zwarigheden, welke men in de toepasfing dezer leerwijze,
¦ op een grooter aantal vergelijkwgen ontmoet. §. 405. pag. 274 Handelwijze van Bezout. §. 406.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 275
Over de behandeling der Wortel-uitdrukkingen, ZOO der beftaanbare, ais der onbeftaanbare.
277
LUI. LES. Over de behandeling der Wortel-uitdrukkingen. §. 408. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;... pag.
Herleiding of omzetting der exponentiale of wortel-uitdruk-kingen §. 411. — Additie en SubtraSlie der wortel-uitdrukkingen §. 425. — MultipUcatie §. 431. Divifie §. 440-
LI\'
-ocr page 18-XIV
LIV. LES. Over de onbeflaanbare uitdrukkingen.
§. 456. nbsp;nbsp;nbsp;..... pag. 291.
— Additie en Subtraêlie §. 4Ö5. — Multiplicalie en Divi-jie §. 4.66, — Magtiverkeffing §. 468.
LV. LES. Over het trekken der t^reede en hoogere magts-worteh uit tweeledige uitdrukkingen vannbsp;den vorm a-\-bVc. §. 472.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 296
Over de magts verheffingen der tweeledige uitdrukkingen en over de worteltrekkingen uit dezelve.
LVI. LES. Over het verheffen van eene tweeledige uitdrukking tot eene geheele, gebrokene, pofitievenbsp;of negatieve magt. Of over de uitvinding van hetnbsp;Binomium van Newton. §. 4S9.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 306
LVII. LES. Over de bijzondere eigenfchappen der
Bimmial-coefficienten. §. 51a. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 320
— nbsp;nbsp;nbsp;De Binomial-coefficienten als Figuurlijke getallen overwogen §. 529.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..... pag. 329
LVin. LES. Het Binomium van Newton wordt onder verfchillende vormen ' voorgefield. Gebruiknbsp;van fommigen derzelven in de worteltrekkingen.
§• 539- nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• pas- 331
LIX. LES. Over het gebruik, der onbepaalde coëfficiënten. §. 5^‘h nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• pag- 44°
— nbsp;nbsp;nbsp;In hot herleiden van eene fielkundige breuk in eene we-derketrige reeks §. 565. — In het verdeden der fielkuii-dige breuken §. 567. — Over de omkeering der Reekfennbsp;§• 573-
XV
I. Om de Logarithmus van zeker getal te vinden? §. 577.
— II. Het getal te vinden dat tot eenen gegevencn Logarithmus behoort? §. 582. — Afleidingen van andere Logarithmifche reekfen_ §. 593.
LXf. LES, Over dereekfen, waardoor de Goniome-trifche lijnen, in funSlien van derzeher cirkelhoo-gen, worden uitgedrukt. §. 614. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 353
LXII. LES. Over het Theorema van de Moivre, en daaruit volgende'L'heoetma. vanCoTtLS. §.630. pag. 373
XLIIL LES. Over de combinatiën in het algemeen,
en de wijze om dezelve daarteflellen. §. 642, pag. 383 — Verklaring van teekens, woorden en zaken §. 643. —
Lijst der combinatorifche teekens en dérzclver verklaring ^
§. 660. — Over de ontwikkeling der verfchillende combinatiën §. 686. nbsp;nbsp;nbsp;..... pag. 390
LXIV. LES. Toepasjing van de leer der combinatiën op het vinden van dé produBen, quotiënten en magten der veelledige uitdrukkingen. §. 711. pag. 402
I. nbsp;nbsp;nbsp;Over de formatie van de produBen van uitdrukkingen
van den vorm fa è c enz.j §.712. nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 403
II. nbsp;nbsp;nbsp;Over de magten van eene veelledige uitdrukking van
van den vorm a b-\-c-\-d enz. §.716. nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 404
III. nbsp;nbsp;nbsp;Over de formatie van de produBen der veelledige uitdrukkingen, welke naar de opklimmende magten van eeni-
ge letter geordend zijn. §.722. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 407
IV. nbsp;nbsp;nbsp;Over de magts verheffing der veelledige uitdrukkingen, -welke naar de magten van eenige letter geordend zijn.
Vraag-
-ocr page 20-XVI
I N H O U D-
— Vraagftultlien §. 730. — Omktering èer Reehfsn §. 742. —»
Atgstneené formule voor de omheering der Reekfen §. 743.
LXV’'. LES. Het betoog van het Theorema van Albert Girard , over de fommen van de magten van de wortelen eener vergelijking ^ gemeenlijk hetnbsp;Theorema van Newton genoemd. §. 750.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pag. 423
Befchouwing van de meest merkwaardige Reekfen.
LXVI. LES. Over de rekenkunflige Reekfen van de tweede en volgende orden. §.761.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 433
LXVfl. LES. Over de rvederkeertge Reekfen.
LXVllI. LES. Bijzondere befchouwing van de fommen van de magten der natuurlijke getallen, en over de fjernouilliaanfclie coefRcienten. §. 830. pag. 459nbsp;j.XlX. LES. Iets over de Interpolatie der reekfen.
§. 851. nbsp;nbsp;nbsp;..... pag. 469
VerHag van vorderingen, welke men in het Helkundig oplosfen der hoogere magts vergelijkingen gemaakt heeft.
LXX. LES. Over de oplosfing van de cubifche of derde magts vergelijkingen. §. 870.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. pag. 479
Oplosfing van Cardanus §. 874. — 'Volledigheid van zijne fmonule §. 876. — Ontwikkeling van zijne formule innbsp;reekfen §. 888. — Toepasfmg op voorbeelden §. 892. — '
Oplosfing van Tschirnhaüsen §. 895. — Vergelijking van zijne oplosfing met die van Cardanus §. 897, — Handelwijze van Bezoüt §. 903.
LXXr. LES. Over de oplosfing der quadraats-qua-
draats of vierde magts vergelijkingen. §. 906. pag. 502
Han-
-ocr page 21-V,
V,
XVII
Handelwijze van Ferrari §. 906. -r- Fan Descartes §. 912.
— Fan Thomas Simpson §. 916. — Andere oplosfing, naar de handelwijze van Cardanus §. 918. — Fan Bezoutnbsp;§.920. — Toepasjing van de oplosjing, naar de handelwijze van Cardanus §. 922. — Betoog, dat alle onbejlaan-hare evene magts vergelijkingen tweede magts faölorennbsp;hebben §. 930.
Andere wijze om de vergelijkingen optelosfen §. 933* —
Deze is niet meer toepasfeUjk op de vijfde magts vergelijkingen §. 936. — IFaarom andere bekende handelwijzen niet voldoen §. 937. — Wederkeerige vergelijkingen §. 944. — Ontleding in onmeetbare faamp;oren §. 953.
I. nbsp;nbsp;nbsp;BIJLAGE. Betoog van den Regel van Descartes. §. 960.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.... pag. 53S
VER-
11. Cursus.
-ocr page 22- -ocr page 23-VAN ZAKEN EN OVER HET HOOFD GEZIENE
NB. De meeste dezer kunnen in elk exemplaar zeer netjes veranderd worden, door, wanneer ’er een in plaats v.an — ftaat, hetnbsp;dwarsftreepje van de met een penncmesje wegtcfchrappen, ennbsp;met de pen een dwarsftreepje te maken, wanneer ’er een — innbsp;plaats van een ftaan moet.
Pag. =2. regel 14 van bov. ftaat: — a min — h~-\-a -1- b. Lee.s: — a min — b ~ — a-\-b.
Tabelle N” I. 'l’egenzijde, in de merkwaardige produdlen, N° 10. ftaat:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xquot; 31»—3 lees:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y^—s
Pag. 42. nbsp;nbsp;nbsp;onderfte regel noot,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaat: o,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(9) lees:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o, (i).
Pag. 43. op het einde van §. 68. moeten de termen--^
--L bijgevoegd worden.
Pag. 38. §. 60. 4 regel ftaat: geüjkpachtige lees: gelijk' namige.
45‘ regel 8 van onder ftaat: q——3, lees: ^= 3.
Pag. 49. 10 regel van boven ftaat: XL Vil Xer, lees: L Les.
Pag- 5°- nbsp;nbsp;nbsp;laatfte regel van de noot,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;moetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftaannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y^z^.
Pag. 75* nbsp;nbsp;nbsp;eerfte regel van denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;opl.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 vraagft.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op het
einde ftaat: dat is het lees: dan is het.
Pag. 78. in formule (Q ftaat: 2x^31, lees: zx-y^.
Pag. 79, Oplo-sfing Vr. 9. regel 7 ftaat: —zaxy, lees: — zxy, — en twee regels lager —8x31, lees: —3x3?.
Pag. 87. Vraagftuk 18, is het teeken 1/ voor de waarde van X uitgevallen.
P^g- 91- regel 3 van ond. moeten de wortel-uitdrukkingen met den coefficient § aangedaan en gelezen worden
**2 nbsp;nbsp;nbsp;Pag.
-ocr page 24-VERBETERINGEN van DPvUKFEILEN.
Pag. 92. laatlle regel van §. T27. in de waarde van j moet de cutfficient van h, onder het wortel-teeken, | zijn.
Pag. 93. 21 Vr. 15 regel Raat; x-= — a«Va, J^^s: — ö .'/1/2, — en onderRe regel der pag. Raat: t/a, lees:nbsp;V'5-
Pag. 94. 12 regel van boven Raat: O, lees; C.
Pag. 95. 12 regel van boven Raat: nbsp;nbsp;nbsp;lees;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
in regel 24 is het teeken r::: o vergeten, — en in regel 29 Raat:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lees: -lx.
lees ;
Pag. 105. eerfie regel na het tafeltje Raat: verkrijt, lees: verkrijgt., — en in de twee laatRe regels van noot 29 Raat:nbsp;/gt; -{- I, /I en /) — r, lees: p — i, p en /gt; i.
5 vergelijkingen
Pag. 110. nbsp;nbsp;nbsp;156. tweede en vierde regel van onder Raat:
lees: a -j- i.
regel 4 van boven Raat: nbsp;nbsp;nbsp;lees: 2^^.
regel 9 van boven Raat: nbsp;nbsp;nbsp;t, lees: igt;lt;2.
regel 7 van ond. Raat; («.v OS locs:
P/g. 220. regel 5 Raat: nbsp;nbsp;nbsp;kes:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, a^.
in de noot, regel 12, van ouder Raat onder het wortel-teeken a'^b, lees: a^b'^.
Pag. 225. §. 327. regel 2 Raat; p — 2, lees: p z.
Pag. 228. regel lo van onder Raat; dez.eflemmen delees: deze ftetnmen, in de enz.
232. regel 15 en 16 Raat; A'x:gt;—'^ en^ïG-quot;—i, lees: A’x’^ en a'x”.
Pag. 234. regel 14 Raat: §. 238. lees: §. 338.
Pag, 235. regel 14 Raat; groote, lees; groot/h, regel 22 10 X, lees: — 10 x^.
Pag. 236. regel 12 en 14 Raat: -h 9, lees: —9.
Pag. 237. regel 14 van onder Raat: nbsp;nbsp;nbsp;j^es;
9 p X-’ (v,— i), — en onderRe regel Raat; a h {b — c), lees: 2gt;ab(b—2c).
Pag. 240. regel 12, 15 en 16, lees in plaats T de letter 5. Pag. 243. §. 350. regel ii in den coefficient van y Raat:nbsp;— 9, lees : -j- 9-
Pag. 245. regel 8 van onder het teeken vergeten.
Pag. 253. regel 14 Raat: cquot; = mc, lees; cquot;-=-nc.
Pag. 256. noot 70, regel 7 Raat: 4 uren, moet weg. Pag. 259. regel 9 van onder Raat: gewone eerjie magtsnbsp;vergelijking, lees: gewone k* magts vergelijking van éénenbsp;onbekende,
Pag. 261. regel 2 van onder Raat; —a en —3, lees: ~ 3 en — 4-
Pag. 263. regel 15 Raat: Vs, lees: V15.
Pag.
-ocr page 25-VERBETERINGEN van DRUKFEILEN. xxi
P^g‘ 269. regel lö ftaat: 333’, lees: 33», — regel 23 Haat: 2’’^, lees: —27-, cii regel 2 van ouder Haat:nbsp; 7Sy, lees: — 753.
Pag. 272. regel 8 Haat: R en S, lees: R' en S'.
P^g. 274. regel 8 van onder Haat: nbsp;nbsp;nbsp;weede en eerfte,
lees: tweede en derde,
Pag. 288. §. 442. regel 4 Haat, in het begin, p in het V, moet q zijn, en op het einde in den exponent pr moet zijn ps.
Pag- 297. regel 6 Haat: tot de , lees: tot de magt.
Pag. 299. regel 3 Haat: -{-qx/r^ lees: q\/c, — en regel 23 Haat: 15 L, lees: 15ilf.
Pag. 301. regel 5 van onder Haat: §. 473. lees: §, 478.
Pag. 302. regel 8 Haat: )/— 3, moet zijn i l/—3.
Pag. 303. §. 482. regel 5 moet de exponent 3 in het derde V Haan.
Pag, 304. regel 5 van onder, begint: nbsp;nbsp;nbsp;zal men het pro
duct van enz.
Pag. 305. regel 5 en 6 Haat: — 2at’, lees: ^Vac en 2^e, lees: —^Vbc.
Pag. 316. regel 10 moet de coefficient van het teeken ¦— hebben.
Pag. 321. laatfie regel van g. 512. moeten de n in den noemer m zijn..
Pag. 329. de laatfte vergelijking van §. 527. twiede term
I ;;—ü nbsp;nbsp;nbsp;I n—I
Haat: (;gt;) (q'), lees: (p) Qq}.
Pag. 33Ó. regel 3 Haat ii, lees 10.
. . nbsp;nbsp;nbsp;3
Pag. 340. 3 Voorb. Haat: V voor de breuk, moet in den noemer Haan.
Pag. 348. regel 6 van onder Haat: nbsp;nbsp;nbsp;lees:
Pag, 351. regel 2 van onder in den laatHen term”van den noemer moet de exponent 4 zijn.
Pag. 352. in form. log. a moet expon. tweeden term des noemers 2 zijn.
Pag. 354. in §. 584. in de waarde van y moet in den laat-flen terra in plaats van Haan.
Pag. 358. eerHe regel van de noot Haat: ^ z*, lees:
J.
4. nbsp;nbsp;nbsp;•
Pag. 361.. S. 611. regel 5 Haat: 17, 18, 19, 21 en 22, lees; 19, 18 en 17, 21, 23.
Pag. 366. regel 13 Haat: eerfle. lees: tweede.
Pag. 370. regel 18 Haat: s = _ 2x en 2=L.23-, lees: 2 = j ü- en 2 = 4^ X.
Pag- V-- §• 629. regel 6 op het einde Haat: 2j/—i, lees: \/— j.
Pag.
-ocr page 26-XXII VERBETERINGEN van DRUKFEILEN.
Pag. 382. §. 640. regel i Haat: y» — Az=. o., moet zijn Xquot; — A~o, en regel 5 ftaat: yquot; moet zijn x».
383. §. 642. eerfle regel ftaat: van be- lees: van de
he- enz.
Pag. 389. §. 6§o. regel i ftaat; §. 653. lees: §. 658,
Pag. 389. regel 26 ftaat: dan de Join, lees: dan zal de forn
Pag. 395. regel 13, 15, 18, en in noot 106 moet in plaats van den exponent n gelezen worden p.
Pag. 416. §. 736. regel a ftaat: =zp, lees: —i:p.
Pag. 418. nbsp;nbsp;nbsp;471. regel 2 ftaat; Sin. x en Cot. x, lees:
Sin. X en Cojquot;. x.
Pag. ^20. §. 743- regel 10 in de verg. ftaat: (^r^—p lees:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— i)*
Pag. 421. regel i ftaat: zzxzx^, lees z~x,
Pag. 421. §. 745. regel 3 ftaat: Sin. x = x nbsp;nbsp;nbsp;~— enz.
lees: Are. Sin. x = enz.
Pag. 421- §• 747- regel 6 ftaat: nbsp;nbsp;nbsp;Nep. Log.(j.-gt;ry').^
lees : u — Nep. Log. (i 3').
Pag, 422. §. 749. moeten de noemers van den coefficient zijn ii. 13. i6- 49- 125. 729.
Pag. 426. regel 17 ftaat: Cs«—2, lees: Cs»_3, — regel 19 ftaat: Z)s«—3, lees: jDs«—4,
Pag. 428. regel 6 ftaat: 30, lees: 50, — en regel 10 ftaat: 5752 moet zijn 5742.
WIS-
-ocr page 27-wiskundige
belangrijke herinnering.
I. In de vier laatfte boeken van den eerden curfus, hebben wij ons met eene voorloopige verklaring van den waren aard der Stelkunst bezig gehouden, en door hare voortrefFe-lijkheid, in de oplosfing van het onbekende, aantewijzen,nbsp;de eerde grondflagen gelegd, waarop wij, uit de reeds verzamelde bouwfloffen, een geregeld en volledig zameiiftel vannbsp;de aigemeene regelen en bijzondere handgrepen dezer voor-trefFolijke leerwijze zullen kunnen vestigen. Reeds moet denbsp;minstgevorderde met de grondteekens zijn bekend geworden,nbsp;en deze kunst als een hulpmiddel hebben leeren befchouwen,nbsp;waardoor men de betrekkingen der grootheden tot en derzel-ver onderlinge afhankelijkheid van elkander op eene beknopte wijze kan uitdrukken, en aan het oog des verftands opnbsp;eene zinnelijke wijze voordellen: bijna elke bladzijde moetnbsp;hem eene nieuwe proef gegeven hebben van den graad vannbsp;zekerheid, en van het helder licht der zelfs - overtuiging,nbsp;waarmede die blijvende teekens ons over den aard en de gevolgen der uitgedrukte betrekkingen leeren redeneren en oor-deeien.
§. 2. ’Er wordt flecbts eene geringe bedrevenheid in dc gefchiedenis der Wiskunst vereischt, om het ondetTcheid tus-fchen haren tegenwoordigen toedand met dien van hare eerde kindsheid optemerken. Ten allen tijde waren de begin-felen, waaruit zij hare hulpmiddeleu ontleende, dezelfde;nbsp;want het zijn onveranderlijke waarheden, waaraan niemand
11. Cujtsüs. nbsp;nbsp;nbsp;A.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’ van
-ocr page 28-1 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
van een gezond denkvermogen zijne toeftemming weigeren kan; maar om deze waarheden te vergelijken, om alzoo andere en fteeds verder van dien oorfprong afgelegene waarheden te ontdekken, is een gewrocht van die werking onzesnbsp;denkvermogens, die wij oordeelen noemen: tot dit oordeelennbsp;wordt nu eene zekere infpanning van geest, eene kracht vannbsp;voorftellen vereischt, welke door de zinnelijke afleiding doorgaans verzwakt en ligteüjk vernietigd vyordt, waardoor hetnbsp;gedachte in eenen nevel van onzekerheid verdwijnt. Hoezeer nu deze zinnelijke afleidingen in gemeenzame zaken vannbsp;minder gewigt zijn, hebben echter de eerlle Wiskundigen,nbsp;die zich met diepzinnige befchouwingen, (bij voorbeeld,nbsp;met die der meetkunllige figuren,) bezig hielden, moetennbsp;ondervinden, dat men, om daarin wel te Hagen, hulpmiddelen behoefde, om zich het reeds gedachte, ten allen tijde,nbsp;en, zoo dikwijls men goedvond, te kunnen herinneren, opnbsp;dat men alzoo zou kunnen overzien, of men wel gedacht,nbsp;en zijne fluitredenen, naar de beginfelen eener gezonde rede,nbsp;had opgemaakt.
§. 3. De gewone fpraak beftaat vit klanken, waardoor men, als in hoorbare teekens, elkander zijne gedachten mededeelt: maar deze zijn, hoe volkomen zij voor het overigenbsp;zijn mogten, geene blijvende teekens: -zij worden al fpoedignbsp;uit het geheugen van den fpreker en hoorder uitgewischt,nbsp;en kunnen daarom tot het bedoelde oogmerk niet flrekken.nbsp;Men nam dan zijnen toevlugt tot het gewone fchrift, hetwelk, op eene zeer omllagtige wijze (i), de klanken van denbsp;woorden onzer taal afteekeiit, en daarom niet dezelve allenbsp;volmaaktheden en gebreken gemeen heeft: nogtans hebbennbsp;de oude meetkunllenaars zich ten mintten van dit hulpmiddel
be-
CO mogelijkheid, om zijne gedachten veel fpoediger, dan doorbet getvons fchrift, en bijna zoo fpoedig als men fpreekt, zonder in denbsp;duidelijkheid iets te verliezen, uittedrukken, wordt door de Stenegra-jihie , Tncbygrnphie , Okygraphie, en andere kunst-fchriften, voldoendenbsp;bewezen. ’Er wordt fleclits eene meer algemeene wijsgeerige wijze vannbsp;denken gevorderd, om zich ernilig op die iioodzakelijke verbetering vannbsp;ons al te oir.nagiig fchrift toeteleggen.
-ocr page 29-TWEEDE CUPvStrS. nbsp;nbsp;nbsp;3
bediend, om, hetgeen zij dachten en uitvonden, tot eene latere nakomelingfchap overtebfengen, en, indien zLi geenenbsp;andere dan dit hulpmiddel gebad hebben, hetwelk evenwelnbsp;niet waarfchijnlijk is, dan kunnen wij niet genoeg het vermogen hunner denk en voorfteilingskracht bewonderen (a).nbsp;De ongefchiktheid van het gewone fchrift in wiskunftigenbsp;nafporingen wordt door het genoegzaam onvruchtbare tijdvak, dat federt den leeftijd der ouden tot op den tijd vannbsp;Disscautes, welke het eerst de wiskundige teekens aan denbsp;Meetkunst dienstbaar maakte, proefondervindelijk bevestigd.
§. 4. Dxophantos van Alexandrkn, welke, volgens het getuigenis van AbULPHARAGE, ten tijde van Keizer JuLIANUS , omtrent den jare 360 onzer tijdrekening leefde, is, onder denbsp;bekende oude fchriivers, de eerde, die eene, van de onzenbsp;zeer veel verfcbillende, foort van teekens gebruikte (3),
wel-
(a) De ouden meetkundigen waren in !iet bezit; van eene anaij'tifdie leerwijze, welke men uit de fchriften van Appollonius Pkrga;us het béstnbsp;kan leeren kennen. Nogtans vindt men in de oudheid nergens een Meet-kunftenaar, dio zich ter bekorting van de redenering, (wanneer mende,nbsp;getallen uitzondert,) van eenig teelten bediend heeft. Het blijkt hieruit:nbsp;dat de analytifche leerwijze niet, zoo als vele eerstbeginnende verkeerdelijk meenen, daarom an.alytisch is, omdat men ftelkundige teekens gebruikt: want deze teekens kunnen, in de analytifche zoo wel als fynthe-tifche leerwijze, ter bekorting en duidelijkheid van de redenering, gebruikt worden.
(S) OtopnANTus drukte het onbekende en gezochte getal uit door het tee-ken e, zjjnde de Griekfche nbsp;nbsp;nbsp;,* deszelfs vierkant of tweedc-magt door
ƒ of*!®, eerde letter van het woord Smu/xtt, dat magt, vierkant, betce-kent; deszelfs derde-magt door of de eerde letter van kuCo,; des-zelfs vierde-magt door J of ƒƒ—; de vijfde-magt door ; de zesde-magt door » of kk (f'ide Dioph. Alex. Arithm. AuStore B.acHETO Lih. I. Dif. IX.) De teekens -{-en —. waren, indien men het teekennbsp;¦f., eene omgekeerde 4'gt; welke hij gebruikte om een negatief getal aan-tewijzen, uitzondert, hem onbekend. Vieta, aan wiens licht de op hemnbsp;volgende Wiskundigen hunnen fakkel ontdoken hebben, gebruikte, behalve de teekens en —, voor de magten der getallen teekens, welke,nbsp;wel is waar, van die van Diophantüs verfchilden, m.aar toch in dennbsp;grond dezelfde waren: hetgeen Diophantüs met Griekfche letters fchreef,nbsp;drukte hij in Latijnfche letters uit. In zijne emendatione £qnationum wasnbsp;iV bij hem eenig getal, hetgeen wij door A’a, Ni, , enz. uitdriik-
A 2 nbsp;nbsp;nbsp;Xen.
-ocr page 30-welke, hoe onvolkomen deze op zich zelven waren, hem nogtatis in (laat (lelden, om moeijelijke en ingewikkelde vragen, de getallen betreffende, optelosfen. Offchoon nu, fe-dert den leeftijd van dien beroemden man, deszelfs leerwijze, eerst onder de ^irabieren, en naderhand, tegen het einde van de vijftiende Eeuw, in Europa beoefend werd, onderging zij tot op den tijd van Viëta, een Fransch wis-kimftenaar, welke op het einde van de zestiende Eeuw leefde , geene verbeteringen : tot dus verre had men de bekendenbsp;getallen op de gewone wijze uitgedrukt; doch Vieta druktenbsp;deze, even als de onbekende, door letters uit en gebruiktenbsp;de teekens -f- 'Cn — benevens het teeken van divifie, waardoor de uitkomften zijner redeneringen algemeener werden,nbsp;en aantoonden: hoe de onbekende van de bekende getallennbsp;afhingen. [Uergelijk I. C. §. 536. i voorh. met de 2 en 3nbsp;voorbeehlen , pag. 298 en 299.] Voor het overige bleef hetnbsp;Helkundig fchrift van Vieta aan dezelfde gebreken als datnbsp;van Öioi’HANTUS onderhevig. Korten tijd daarna, (cn nanbsp;dat Uarkiot het gebruik der kleine letters van het Alpha-beth had ingevoerd, en de magten der getallen door herhaling van den wortel, als xx voor de tweede, xxx voor denbsp;derde-magt, enz. had ingevoerd,) kwam de beroemde Des-
cak-
keti, drukte hij uit door £, C, nbsp;nbsp;nbsp;¦'2.^', enz. (de eerfte letters van
de woorden quadraat, cubus, quadraats-quadraat, enz.) dan, deze teekens gebruikte hij nog maar alleen in hoogere niagts-vergeljjkingen, welker coëfficiënten bepaalde getallen zyn; anders is, in .alle zijne fchriften, A qua-th-atam hetzelfde nis bü ons i A cubus hetzelfde als bij ons A'i , enz.nbsp;In plaats van e A fchreef hij: A bis; voor 3 A fchreef hij: A ter. iA^^ Enbsp;word bij hem aldus uitgedrukt A quadr-quadrattim in E enz. Men kannbsp;hieruit beoordeelen, hoe gebrekkig zijn zamenftet van teekens moest zijn.nbsp;Ook moet men deze fchriften lezende, zich tevens verwonderen, dat nochnbsp;DIOPHANTUS noch Vieta, niet op het'denkbeeld der exponenten gevallen zijn, daar elke bewerking, waarin zij hun ontwerp van teekens ge-bniiluen, hen daartoe aanleiding moest geven. Maar zulks leert ons; datnbsp;de gehechtheid aan oude gebruiken voor de grootfte verhanden den wegnbsp;Kit .lieutvc ontdekkingen .affluit. Te nikcloos beoordieelt men meestal,nbsp;tot wezenlijk nadeel der wetenfehappen , een nieuw begrip eene nieuwenbsp;leerwijze, waarin men, omdat men zich geene moeite geeft dezelve tenbsp;keren verdaan, natuurlijk ook niets nieuws of beters vinden kan.
-ocr page 31-TWEEDE CURSUS.
CARTES, die in 1596 geboren werd, ten toneele, en was de uitvinder der exponenten, welke aan het ftelkundig fchriftnbsp;zulk eenen aanmerkelijken graad van klaarheid en algemeenheid gaven, dat men daaraan deszelfs verdere volmaking ennbsp;de kennis der diepe geheimen van de betrekkingen der grootheden, federt dien tijd ontdekt, te danken heeft. Wallisnbsp;volmaakte de leerwijze der exponenten door de invoering dernbsp;negatieve en gebrokene, terwijl de uitbreiding dezer leerwijzenbsp;aan Newton en Leibnitz de middelen verfchafte, om,nbsp;hoezeer langs onderfcheidene leidingen van gedachten, eenenbsp;nieuwe foort van teekens daarteftellen, waardoor men de betrekkingen van de veranderingen, welke de waardijen dernbsp;ftelkuiidige uitdrukkingen ondergaan, zoo juist en duidelijknbsp;kan voorltellen, dat men thans in (laat is, om de diepzinnig-fte nafporingen regelmatig en met volkomene zekerheid tenbsp;kunnen befturen (4). Voegen wij hierbij: dat het tegenwoordige tijdvak fchijnt zwanger te gaan van groote ontdekkingen, die een natuurlijk gevolg van de verbetering ennbsp;verëe'nvoudiging der teekens moeten zijn. Het leerftuk dernbsp;combinatiën, hetwelk Ozanam onder de wiskundige vermakelijkheden ftelde, is ten onzen tijde een vermogend hulpmiddel ter ontdekking van de diepzinnigfte geheimen geworden : het ontbrak aan Leibnitz, de Moivre, Boscovischnbsp;en Euler, aan eene gefchikte teekenfpraak, om hunne in-zigten verder te ontwikkelen. Hindenburg heeft de eerdenbsp;proef van deze teekenfpraak gegeven, en het leerftelfel dernbsp;comhinatorifche amlyfis is, onder zijne banden en die van zijne medewerkers, reeds tot een aanmerkelijk geheel aangegroeid , het is eene nieuwe fyrabologie, een nieuw werktuig, dat flechts een grooter aantal gefchikte handen behoeft,nbsp;om door hetzelve den fchat der wiskundige waarheden, metnbsp;gewigtige ontdekkingen te verrijken.
S. 5. De aandachtige Lezer zal hebben moeten beiperken: dat wij, in den eerden curfus, bedendiglijk van het bijzon-
de-
(4) wij bedoelen hier de zoogenaamde Bljjercntirial en Integrnal-Reke-«i»g, welke Newton Fluxie en Fluent-Kekeniug genoemd heeft.
A 3
-ocr page 32-dere tot hst algemeene befloten hebben, (zie, wat men door zulke befliiiten verftaat, §. 56. I. C.) en dat deze algemeenenbsp;befluiten aitiid van de bijzondere waarde der getallen onathan-kelijk waren, (zie §§. 76, 87, 115, 118, 132, 139, 260,nbsp;267, 299, 328, 349, enz. I, C.) en daarom zeer gefchikt,nbsp;om in het Helkundig fchrift te worden uitgedrukt, zoo atenbsp;bijzonderlijk uit §. 320-§. 325, uit §. 342—§. 350. 1. C.nbsp;en uit vele andere plaatfen blijkt. De belchouwing der bepaalde getallen gaf alzoo aanleiding tot de uitvinding vannbsp;het Helkundig fchrift: deze gronden eens wel gevestigd ennbsp;de grondteekens van het Helkundig fchrift vastgeHeld zijnde,nbsp;viel het ten uiterHe gemakkelijk om velerlei foorten van Helkundige uitdrukkingen te conHrueren (5), aan eene bijzondere befchouwing te onderwerpen, en, daar men in dezenbsp;teekens de uitgedrukte grootheid heHendig voor oogen heeft,nbsp;gaf zulks gelegenheid, om in deze uitgedrukte betrekkii'gennbsp;eigenfchappen optemerken, welke, zonder het hij/onder hulpmiddel der teekens, voor altijd onbekend zouden geblevennbsp;zijn.
§, 6. Men kan de wiskundige teekens in twee hoofdfoor-ten onderfcheiden: in teekens, welke de bepaalde waardijen der hoeveelheden uitdrukken, (zie §. 31. I. C.) Deze zijnnbsp;de cijfers: alles, wat nu tot de kennis en de behandelingnbsp;dezer teekens betrekking heeft, noemt men: yirithmetica, datnbsp;zooveel zegt, als kunst om de getallen te meten; in het Ne-derduitsch Rekenkunst, hoezeer anders het min gebruikelijkenbsp;woord Cijferkunst dit eerHe gedeelte der wiskundige tee-kenfpraak duidelijker en eigenaardiger voorHelt. Eene tweede foort van teekens flrekken, om de wijze, waarop de getallen, of de grootheden, die zij uitdrukken, van elkandernbsp;afhangen, op eene beknopte en zinnelijke wijze voorteHel-len: men noemt deze teekens, (zie §. 433. I. C.) flelkun-dige uitdrukkingen, fielkundige teekens. Dit tweede en meernbsp;verheven gedeelte der Wiskunst, hetwelk, met de Cijferkunst,
(5) Zie, wat wij door conftriieren verltaan, §. Jo. I. C. Men moet dit .anijkel met ons gezegde in den text iiaauwkeurig vergelijken.
-ocr page 33-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;7
kunst, in de algemeene bepaling van §. 1. I. C. begrepen is, is het meest onder den naam van Algebra of Stelkunstnbsp;bekend : beide deze deelen van hetzelfde geheel, hoezeer zij,nbsp;bij eene oppervlakkige befchouwing, van elkander onderfchei-den fchijnen te zijn, berusten op dezelfde beginfelen : hetnbsp;laatfte is uit het eerlle geboren, en zou zonder deszelfs hulp-zame hand een onbruikbaar werktuig zijn.
§. 7. De Stelkunst heeft in allen tijden verfchiliende hamen gedragen. Het fchoone werk van Diophantus , waarvan ons flechts een gedeelte is overgebleven, draagt den tijtel: AiooANTor aaehanapeos APieMETiKfiN, dat wil zeggen: Diophantus van Alexandrien, óver die dingen,nbsp;welke de-getallen aangaan', en bij zegt, in zijnen opdragtnbsp;aan Dionysius, dat hij vraagftukken verklaren zal, die totnbsp;de getallen betrekking hebben, zonder aan de kunstgrepen,nbsp;w'aarvan bij zich bedient, eene bijzondere benaming te geven. De Arabieren, welke het werk van Diophantus totnbsp;ons hebben overgebragt, noemden de Stelkunst in hunne taalnbsp;Algehra^y ahnucabala, welk woord Lucas de Burgo, innbsp;zijn Italiaansch werk, getijteld: Summa di Arith. è Geom.nbsp;proportioni è proportionalitd. Fenet. 1494, het eerfte wiskundig werk, dat gedrukt werd, aldus verklaart: reflauratio etnbsp;bppojitio. Golius zegt: dat het Arabisch woord gebera ofnbsp;giabera zooveel beteekent, als religavit of confolidavit, (verbinden, te zamen verëénigen,') en mocabalat zooveel als com-paratio of oppofitio, dat is: vergelijking, of tegenfleJling:nbsp;volgens deze verklaring zou de Arabifche benaming in harenbsp;beteekenis te kennen geven, de kunst van verbinden en vergelijken, hetgeen niet veel van Part de comparer et de réfou-dre van Descartes verfchilt (6). Lucas de Burgo noemde, als eerlle Europefche Schrijver, deze kunst Arte Mag-giore, (Lat. Ars Magna,j dat is: de groote kunst, oi de
kunst
(6) Gewaagd, en zonder oordeelkunde, is dus het gevoelen der genen , welke het woord Algthra van eenen zekeren Arabier GeBer. willen afleiden; want het blijkt nergens, dat Geber de Stelkunst beoefende: bovendien ftrookt de gegevene oorfprong genoeg met den aard der zake.
A 4
-ocr page 34-8 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
hunst hij uitnemendheid: doch, korten tijd daarna, gaven de Italianen, welke, nadat hun landgenoot Leonardo di Pisanbsp;deze kunst uit Arabien in Italien had overgebragt, het eerstnbsp;de Stelkunst beoefenden, aan dezelve den naain van Artenbsp;della cofa^ hetgeen, zoo als het daar (laat, letterlijk betee-kent: de kunst van de zaak, doch welke uitdrukking ver-ftaanbaar wordt, wanneer men ’er bijvoegt, dat zij, in d£nbsp;Helkundige oplosfingen, het onbekende ding la cofa noemden (7). Vieta gaf aan de Stelkunst dén naam van Logis-ticen fpeciofam^ hetgeen men kan overzetten door blijkbarenbsp;Redeneerkunst, benaming, welke lang in zwang geweest is.nbsp;Newton no mde deze kunst: Arithmetica univerfalis, dat is:nbsp;Algemeene Rekenkunst, onze beroemde landgenoot ’s Gra-vensande noemde haar Algemeene Wiskunst. Vele Fran-
1'che
(j') ha cofa .... ^rte della cofa. Onze Nedei'duitfclie Lezer zal on-getwijfcUl met genoegen den oorfprong van liet woord Cos, benevens die der barbaarfche woorden, waarvan wü in noot 67, pag. 413. I. C.nbsp;cene uitvoerige naamlijst gegeven hebben, bij deze gelegenheid, vindennbsp;aangewezen. Nog in de Uuufte helft der voorgaande Eeuw, vindt men,nbsp;(onder anderen Halciten , Zinuen-ConfiSt de benamingen: Regel-Cos,nbsp;qundraat-Cos, cubtek-Cos, enz.; ora daarmede de oplosfing der vergelij-Uingen van de cerfte, tweede en derde-magt aaiiteduiden. Het woordnbsp;Cos is van het Italiaanfdie la Cofa antomftig, gelijk ook v.an het Italiaanschnbsp;afllammcn de verbasterde woorden, in de noot 67 opgegeven: wantnbsp;de Italiaiion noemden het vierkant of de tweede-magt; il cenfo, ooknbsp;wel, tl zenzo. van tvaar de benaming Zenzus ^ zij noemden de derde-magt: il cubo; de vierde-magt: 11 cenfo di cenfo; de vijfde-magt: ilnbsp;primo faperfalido; enz. tvaaniit de oorfpiong dezer bastaard,,-woordc:inbsp;genoeg blijkhaar is. Het is niet gemakkelijk nategaan, hoe deze woorden in onze taal zijn vermengd geworden. Beter kan men verklaren,nbsp;waarom zij zoo lang in Hand gebleven zijn. Het is, omdat men te vorennbsp;niets ter inlichting onzer landgenootcn deed: in den geest van dien tijd,nbsp;(toen men een wiskunftenaar, die de wiskunst in de Latijnfche taal onderwees , als een man van hooger rang befchouwde , even als of de kennis der geleerde talen eene bijzondere gefchiktheid, om wiskunftenaarnbsp;te worden, konde aanbrengen,) deed men alles voor de geleerden, bijna niets voor het algemeen. Geen wonder dan, dat onder de beoefenaars der Wiskunst, welke in ons land altijd in groot aantal gevondennbsp;tverden, die oude en barbaarfche benamingen zoo lang zijn in ftam-1 gebleven.
-ocr page 35-fche Schrijvers van later tijd geven haar de benaming van Analyfe mathématique, (zie VAlghhre Je Cousin ,) anderennbsp;eenvoudig Analyfe: en laatstelijk, in 1799, is ’er een nagelaten werk van den beroemden Condillac uitgekomen,nbsp;waarin hij deze kunst Langus des calculs, dat is, Taal dernbsp;berekeningen, noemt.
§. 8. Velen der beroerodfte Wiskundigen van onzen leef-tiid (tellen een bepaald onderfcheid tusfchen Algebra én Ana-lyps; de Duitfche Wiskundigen zijn mij toegelchentn dit on-' derfcheid het omltandigst omfchreven te hebben. De beroemde en duidelijk Tprekende Ki.ügfx zegt: (in zijne Be-merkungen üher den Polynomifchen Lehrfatz, te vinden in denbsp;Erfle Sanmlung Combinatorisch - Analytifcker Mhandlungennbsp;von Prof. Hindenburg, pag- 4^^-) „ De Analyfis der ein-„ dige grootheden,” (hetzelfde dat velen Algebra noemen,)nbsp;„ beftaat nit twee hoofddeelen, welke nogtans door de we-„ derzijdfche hulp, die zij elkander bewijzen, ten naauwflenbsp;„ aan elkander verknocht zijn. Het zijn twee, elk op hun-5, nen eigenen grondflag rustende gebouwen, welker ver-5, trekken met elkander- gemeenfchap hebben , en , om denbsp;,, vergelijking te voltonijen, kan men ’er bijvoegen, dat denbsp;„ letterrekening [de bewerking der (telkundige uitdriikkin-,, gen,] hun gemeenfchappelijk voorhof is. Deze deden zijnnbsp;}, de Algebra en Analyfis: de eerde houdt zich met'de ei-,, genfchappen, zamendelling , verbinding en oplosfing dernbsp;,, vergelijkingen bezig; de tweede bepaalt zich tot de be-,, fchouwing van de formen der uitdrukkingen, hare ge-,, daante verwisfelingen, enz.” Anderen zouden misfchiennbsp;de zaak wederom op ecne andere wijze verklaren, en dit ver-fchil in het gebruik der woorden zou het gezegde van Condillac : l'Algèbre eft une langue qui manque encore d'unenbsp;Gratnmaire, billijken. Zeker gaat liet: dat deze verfchillendenbsp;deden, onder welk eenen tijtel dan ook, niet kunnen ge-fcheiden worden; want, wanneer men, bij voorbeeld, bijnbsp;de omfchrijving van Kuügel blijft, dan behooren de Additie, Subltradie, Multiplicatie, Divifie, enz. der ftelkundigenbsp;uitdrukkingen , welke nogtans de algemeene oplosfing der
A 5 nbsp;nbsp;nbsp;ver-
-ocr page 36-10
WISKUNDIGE LESSEN.
vergelijkingen moeten voorafgaan , tot de Analyfis, omdat die bewerkingen niet anders dan gedaante-verwisfelingen vannbsp;gegevene uitdrukkingen zijn.
9. Welke is nu, kan men vragen, de oorzaak van deze onderfchéidene benamingen? Voorzeker moet zij niet aan denbsp;duisterheid der zaak worden toegefchreven : maar zij is gelegen , vooreerst in de trapswijze ontdekking van de ontelbare oorden van haar onbegrensd gebied; want naar matenbsp;men deze kunst meer in den uitgellrekten rijkdom van harenbsp;menigvuldige hulpmiddelen leerde kennen, befpeurde men denbsp;ongepastheid der aangenomene benamingen, en men trachttenbsp;aan deze kunst eenen meer gepasten naam te geven: ten anderen is het niet mogelijk eenen naam uittedenken, welke,nbsp;buiten eene zakelijke omfclirijving, hoedauige wij, §. i,I. C.nbsp;gegeven hebben, den aard, de bedoeling en de voortreffelijkheid eener kunst kan uitdrukken, welke het groote werktuignbsp;des denkens is, waardoor wij uit de onuitputtelijke mijn dernbsp;eeuwige en onveranderlijke waarheden, de meest verborgenenbsp;fchatten opdeiven : en daar dus geene der uitgedachte benamingen volkomen zijn (8), kan men gevoegelijk het woordnbsp;Jlgebra of Stelkunst blijven gebruiken: ten minften (trektnbsp;die naam, op eene billijke wijze, ter nagedachtenis der vroegere Arabieren, welke de meeste fchatten der oude wiskundigen tot ons hebben ovcrgebragt.
§. 10. Wij hebben gemeend, in deze korte, doch belangrijke herinnering, eene korte fchets van de gefchiedenis der wiskundige teekens en de benamingen , welke men aan denbsp;kunst, om die teekens te leeren gebruiken, gegeven heeft,nbsp;ter inlichting van den lezer, te moeten opgeven: eensdeels,
om-
(8) Eene der beste benamingen is die van Neivton : inaer Lagrange merkt met het grootfte regt aan, dat de benaming van Jllgcmeene Rekenkunst niet genoeg het ondcrfcheid tusfehen de Reken- en Stelkunstnbsp;bepaalt; hetzelfde kan bijna op de benaming van ’s Gravesande aangemerkt worden. De naam van Taal der herekeningen van Condill.ac bevat zeer veel goeds; maar hij is da;irom niet juist, omdat, zie de volpende §, meer dan de bloote kennis der teekens tot de beoefening dernbsp;Wiskunst gevorderd wordt.
-ocr page 37-II
TWEEDE CURSUS.
omdat deze gefchiedkundige kennis hem, in zijne verdere oefeningen, ter opheldering zijner denkbeelden, nuttig kannbsp;zijn; ten anderen omdat hij, oudere Schrijvers raadplegende , de beteekenis van fommige vreemde woorden, welkenbsp;thans voor het grooter getal lezers hunne beteekenis verlorennbsp;hebben, zou leeren verrtaan: bovendien kan deze fchets denbsp;benaming Van Wiskunst, in §. i, I. C. aan het geheel gegeven, regtvaardigen. Men oordeele zelfs of onze bepaling,nbsp;(zie aangehaalde plaats,) niet in allen opzigte aan den in-houd der zake voldoet (9),
§. II. Uit hetgeen wij §. 6. gezegd hebben, volgt derhalve: dat de Cüferkunst de grondflag van de Stelkunst is, en dat men in de laatfte, zonder eene grondige kennis dernbsp;eerfte, geene vorderingen maken kan; daarom hebben wij ooknbsp;in onzen eerften curfus getracht de Cijfer of Rekenkunstnbsp;met zooveel juistheid te behandelen, den lezer al vroeg metnbsp;het gebruik der voornaamlte teekens bekend gemaakt, omnbsp;alzoo een ongevoelige overgang van de Cijfer tot de Stelkunst te maken: terwijl wij in de vier laatfte boeken eenigenbsp;ftaaltjes van de voortrelfelijke uitwerkingen dezer kunst hebben opgegeven. De Lezer is nu alzoo tot het -ontvangennbsp;van het onderwijs in verhevener zaken toegerust, en kan nunbsp;veilig voortgaan: nogtans lette hp beftendig op de naauw-keiirige betrachting dezer drie dingen, i® Hii gaa niet tenbsp;fpoedig voort, maar overdenke naarftig elke biizondere zaak.nbsp;a” Hij oefene zich zorgvuldig in de voorgefchrevene rege-
(9) Het is hier te lande vrij algemeen, om bejaarde lieden te ontmoeten, welke onder niathefis, dat zij door Wiskunst overzetten, hetzelfde verftaan, v/]i Meetkunst, (Geome/fie) noemen. Doch, daar de Meetkunst hare eigene beginfelen heeft, welke uit de begrippen van ruimtenbsp;en uitgebreidheid voortvloeijen, is de Meetkunst eene kunst, welke opnbsp;hare eigene gronden fteunt, en waarop, voor zoo verre dc voorwerpennbsp;die zij leert befchemwen, hoegrootheid hebben, die kunst, welke wij,nbsp;§. I, I- C, Wiskunst noemen, wordt toegepast. De Wiskunst is dus hetnbsp;eerfte beginfe] en het eenige werktuig der Meetkunst: zij behoort, hoenbsp;zeer anders deze twee kunften elkander onderling toelichten, in dat op-zigt, in de eerfte rangorde geplaatst te worden.
-ocr page 38-55
len; want de ondervinding leert dagelijks, dat men in het wiskundige eene zaak volmaakt wel kan begrijpen , maarnbsp;handen aan het werk flaande, in de uitvoering vele zwarigheden ontmoet: de teekens en woorden, die men moet lee-ren gebruiken, zijn vreemd, en het vereisclit eenigen tijd ennbsp;genoegzame oefening, eer men met dezelve zoo gemeenzaamnbsp;als met onze natuurlijke taal geworden is; want in den beginne wordt een gedeelte van het geheugen en het oordeelnbsp;vcnietigd, door de onophoudelijke herinnering van de waarde der teekens. 3° moet de lezer zich alle de bijzonderheden. welke hij door het gebruik der teekens leert kennen,nbsp;in het geheugen prenten en onderling vergelijken: dit doendenbsp;zal hij eindelek in alles eene oneindige verfcheidenheid, gepaard met eene volmaakte overëénlteraming, ontwaren, hetwelk hem eindelijk in het verheven gezigtpunt plaatfen zal,nbsp;uit hetwelk hij alle de deelen van het fchoone geheel dernbsp;wiskundige kennis, welke hij door het gebruik der teekensnbsp;opgezameld heeft, zal leeren overzien en omvatten. „ Denbsp;5, menfchelijke ziel,” zegt Uurman in zijn Esfai du Cal-cul fonamp;ionnaire, „ onderfcheidt, door het algemeen makennbsp;der zamenvoegingen en het verëénvoudigen van derzelvernbsp;teekens, de deelen van een onmetelijk geheel: door zulk
een fteun aan het geheugen te geven, befchikt de verbeel
dingskracht over alle hare vermogens, en de roensch ver-ëénigt, als ’t ware, het Heelal in het brandpunt van zij-
„ nen geest.
(lo) Verclienftelijke Geleerden, die wij om hunne talenten hoogfchat-ten, nbsp;nbsp;nbsp;men kan aan vermetele Receiifenten, die do bewijzen met
zich medebrengen, dat zij zich zelven niet verdaan, niet kwalijk nemen, dat zij eens anders meening verkeerd uitleggen,) hebben gemeend zwarigheid te vinden in het gebruik van hot woord uitdrukking, in plaatsnbsp;van het woord grootheid, hetwelk meestal bij alle Schrijvers daar gebruikt wordt, tvaar wij het woord atbezigen. De bepaling vannbsp;§. I. I. C. jieeft ons, zouden wij op eene regelmatige wijze fpreken,nbsp;daartoe genoodzaakt, en ook is deze fpreekwijs niet zonder voorbeeld,nbsp;zoo als uit LA Grange, la Pi.ace, en andere beroemde Wiskundigen vannbsp;dezen tijd zou kunnen a.angetoond tvorden. W.anneer men de gefteld-heid der zaak wei overweegt, d.an zijn het niet de grootheden zelve;nbsp;maar wel de teekens, wa.ardoor zij worden uitgedrukt, door welke mennbsp;dezelve onderling vergelijkt. De fterrekundige, welke de afmetingennbsp;van den loopkring eencr Comeet met den afftand van de Aarde tot denbsp;Zon vergelijkt, past die grootheden, welke voor hem ontoegankelijk zijn,nbsp;niet als met eenen pasfer af; het zyn de teekens, waardoor hij dezelvenbsp;uitdrukt, waarmede hij werkt en tvaardoor hij hetzelfde doet, Ijetgeennbsp;hy zou kunnen doen, indien ’er geen oiioverkoraenlijke hinderpalen innbsp;den weg gefield waren, om die grootheden, zoo gemakkelijk te meten,nbsp;als men de lengte van eene kamer met die van eeiien meter vergelijkt.nbsp;Wij geloovcn : dat deze opheldering genoeg zal zijn, om ten minllenbsp;aantetoonen, dat W'ij het woord uitdrukking niet zonder genoegzamennbsp;grond in pl.aats van dat van grootheid gebruikt hebben. De figuren dernbsp;Rhetorica hebben in de Wiskunst geen bijzonder voorregt. Voor hetnbsp;«v overige heb ik tegen het gebruik van het woord grootheid niets, iudieunbsp;men Hechts wel verftaat, wat men zegt.
-ocr page 40-14-
dan in de gewone Cijferkunst opgenomen; in geene andeic derhalve, dan in die, welke wij in 48, 109, 58, 129,nbsp;I. C. aan dezelve gegeven hebben. In geiallen zijn hetnbsp;kunstbewerkingen, waardoor een getal, hetwelk op de eenenbsp;of andere wijze uitgedrukt is, met de fchaal van het talllel-lel vergeleken, door deszelfs termen afgemeten, en in éénheden van die termen welgeordend wordt uitgedrukt. Dienbsp;grondregels zijn dus, in den grond der zake, herleidingennbsp;of overzettingen van meer omflagtige en min bekende tee-kens tot teekens, die eenvoudiger en meer algemeen bekendnbsp;zijn. Het teeken 23 x 7 ftelt, bij voorbeeld, een zeker bepaald getal voor: maar de miiltiplicatie leert dit teeken in hetnbsp;meer eenvoudige i6i overzetten.
§. 13. De vier hoofdbewerkingen in Helkundige teekens moeten ook uit dit oogpunt befchouwd worden : elke min ofnbsp;meer zamengtlielde Helkundige uitdrukking Helt, zie § 431nbsp;en §• 453» C, een getal voor, hetwelk naar de wijze,nbsp;waarop de zamenllellende deden dezer uitdrukking van elkander afhangen, en volgi-ns de waarde, welke men aan dezelve geeft, bepaald is, en, door de kunstbewerkingen dernbsp;Cijferkunst, in het Hdfel onzer gewone telling kan wordennbsp;overgezet: nu kunnen twee of meer getallen, door zulkenbsp;Helkundige uitdrukkingen voorgeHeld, tot één getal verëénigd,nbsp;het ééne van het andere afgetrokken, het ééne met het andere vermenigvuldigd, het ééne door het andere gedeeld moeten worden : wanneer nu deze Helkundige uitdrukkingen zulknbsp;eene toevallige overéénkomst met elkander hebben, (en ditnbsp;gebeurt dikwijls,) dat fommige van derzelver termen nietnbsp;vcrcénigd en op eene beknoptere wijze kunnen worden uitgedrukt, dan kunnen de bedoelde Addirien, SubHraélien,nbsp;Multiplicatien en Divifien , niet anders dan door derzelvernbsp;teekens worden aangewezen; doch, ’er kunnen, en wij hebben daarvan reeds voorbeelden gezien, zulke overëénkom-Hen tusfcben de termen dezer uitdrukkingen plaats grijpen,nbsp;dat de uitkomHen dezer bewerkingen, op eene beknopterenbsp;wijze, dan door de bloote teekens, kunnen worden uitgedrukt : waar nu dit geval plaats heeft, moet men deze nieuwe
-ocr page 41-we uitdrukkingen trachten te bepalen: i® Omdat men daardoor veeltijds op eenvoudiger uitdrukkingen komt: 2® omdat. Wanneer de uitdrukking door eenige herleiding verkregen^ za-mengefielder dan de gegevene is, dezelve altijd zekere betrekkingen tusfchtn de zamenjlellende deelen aan den dag brengt,nbsp;welke de eerst gegevene uitdrukking, hoezeer zij voor het overige eenvoudiger dan de herleide mogt zijn, niet zigtbaarnbsp;maakt. Door deze herleidingen worden zamengefielde uir-drukkingen''^eenvoudiger, wanneer men, in plaats van 7.vynbsp; ?I ^ y i X y, door additie, io§ vindt, (zie §. 459,nbsp;I. C-)) voor 3 xyxyx^y^, door multiplicatie, 21 x^y^, etinbsp;voor x^ — y^:x-]-y, door divifie, x—y, enz.: deze herleidingen geven meer zamengefielde uitdrukkingen, wanneer
men, bij voorbeeld, voor nbsp;nbsp;nbsp;^
multiplicatie, vindt a b a x ^ h x-^ ~ X —, . .
s
(zie §. 337, I. C.), en, door magts-verheffing, voor (lt;?-f-b cy de meer zamengefielde uitdrukking, (^o.a b) .b ¦k- (1 a 2 b c) . c. (zie §. 756, I. C.) (ii).
§, 14. Hoezeer dan de Additien, Subftradien, Multipli-catien en Divifien in getallen het vinden van eenvoudiger uitdrukkingen bedoelen, en men als een algemeen voorfchriftnbsp;in acht moet nemen: ,, Om, ook in fielkundige redenerin-,, gen, de uitdrukkingen, indien het mogelijk is, tot harennbsp;„ eenvoudigjien vorm te brengen,” zou men daaruit verkeerdelijk befluiten: dat de meer zamengefielde vormen, welke men bij het herleiden en omzetten der Helkundige uitdrukkingen verkrijgt, als nutteloos zouden moeten verworpen worden: deze zamengeltelde uitdrukkingen leeren nieuwenbsp;hulpmiddelen kennen, om moeijelijke zaken te ontknopen,
en
(ii) De opzameliiig van alle 'die mogelijke gedaante-verwisfelingen der ftelkundige uitdrukkingen maakt de groote voorraadkamer uit van ailenbsp;hulpmiddelen en fijne kunstgrepen, waardoor men de ingewikkeldfte zaken ontknopen kan. Het verdrietige, hetwelk die herleidingen voor eenennbsp;eerstbeginnenden mogt hebben, wordt rijkelijk vergoed, door het voor-uitzigt op eenen rijken oogst van wezenlijke kennis.
-ocr page 42-1()
en vele dezer formen hebben, nadat zij, als eene onhandelbare uitdrukking, verworpen waren geworden, dikwijls nieuwe en gewigtige zaken openbaar gemaakt. Ten opzigte van de quadraats- en cubiek-worteltrekkingen, geven de ontwikkelingen van §. 7Ó0 en §. 789, I. C. voorbeelden, 'welkenbsp;onze meening verftaanbaar maken en derzelver wezenlijkheidnbsp;proefkundig bevestigen.
§, 15. Het is dan blijkbaar: dat de herfeidingen, omzettingen en transformatien der Helkundige uitdrukkingen, een zeer gewigtig gedeelte der Wiskunst uitmaken. De leerling moet dus, zal hij verltandig te werk gaan, deze regels,nbsp;niet, naar veler gewoonte, als onbeduidende zaken, waarvan men het doel met inziet, te los behandelen: hij moetnbsp;naarftig alle aanmerkingen, die wij zullen opzamelen, betrachten, en zich met de bijzondere uitkomftetl dezer herleidingennbsp;gemeenzaam maken.
§. 16. Als eenen algemeenen regel moet men, hier en in het^ vervolg, aannemen: „ dat in alle uitdrukkingen^ welkenbsp;,, met elkander op eenigerlei wijze vergeleken worden, dezelf-,, de letter, in de eene uitdrukking gehouden moet worden,nbsp;„ altijd dezelfde waarde als in alle de anderen te hebbend''
Additie of Zamenvoeging der flelkundige uitdrukkingen.
§. 17. De Helkundige uitdrukkingen, welker waardijen tot één geheel moeten verëénigd worden, zijn of éénledig ofnbsp;veelledig. Zie, wat men onder deze benamingen verltaat,nbsp;§. 141-S. 443. I- C.pag. 267.
§. t8. Indien de uitdrukking-n éénledig zijn, kunnen zij. 1° jllle ongelijkjlachtig; 2quot; alle gelijkfiachtig; of fommige
derzelver gelijkftachtig en fommige ongelijkjlachtig zijn. -
Raadpleeg § 455 §• 459- I- C. pag. 272.
§. 19. ft IVanneer de uitdrukkingen, ^vell'er waardijen ,, tot één geheel moeten ver'èénigd worden , ongelijkjlachtignbsp;„ zijn, dan kan dte ver'ééniging niet anders worden aange-wez^n, dan door die gegevene uitdrukkingen rnet harenbsp;,, eigene teekens aati elkander' te verbinden.quot; Aldus zal de
groot-
-ocr page 43-ï?
IJrootbeid, welke uit de verëéuiging van de grootheden i?, b, c tn d geboren wordt, op.geene andere wijze, dan doornbsp;het teeken a nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; c kunnen worden voorgelteld. Ver
gelijk 48, I. C..
§. 20. Wij zeggen: met hunne eigene teekens. Voor de pofitieve grootheden is zulks buiten allen twijfel, en, wat denbsp;negdtieve grootheden aangaat, wij hebben, in §.468 611469.nbsp;I- C., betoogd: ,, dat eene negatieve groatheid bij eene po-,, Jitieve optetelkn, {fjaar den aard en de beteekenis van ne-,, gatiefP) niet anders kan uitgehgd worden ^ dan deze gr oot-,, heid^ (lts pofïtief genomen, van de eerfle aftetrekkcni’’^ hetgeen op hetzelfde uitkomt, als of men de bijgevoegde negatieve grootheid, met haar eigen negatief teeken, verbindt aannbsp;die grootheid, met welke zij'moet worden opgeteld.
Aldus wordt, indien -k- a, — b, ~.c en -k- d moeten verëcnigd worden, de fom, uit deze verèeniging ontftaande, door a— b — c-\- dnbsp;voorgefleld. Insgelijks zal de fom, welke uit de verèeniging vannbsp;— a, — b Qn — c, geboren wordt, door — a — b ~ c, of dat, zienbsp;§. 474, I. C., hetzelfde is, door — {a -j- b e) kunnen wordennbsp;uitgedrukt, t Het fpreekt van zelfs, dat de termen der fom in eenenbsp;willekeurige rangorde kunnen gefield worden.
§. 21. tt Deze eenvoudige regel is algemeen: zij ftrekt zich derhalve ook uit tot de ver'ééniging van veelledige ult~nbsp;drukkingen tot één geheel.
Om dus de grootheden, uitgedrukt door a — b, door — c -k- d, en door —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, te verëénigen, zal men fchrijven:
a — b~c-k-d—(x — '^') welke uitdrukking ook door het teeken:
a~b — c-k-d — x-k-y kan worden voorgefleld. Raadpleeg §. 474, I. C.
§. 22. tt Indien de gegevene uitdrukkingen gelijkjlachtig zijn, dan kan men derzelver fom op eene eenvoudiger wijzenbsp;uitdrukken., dan, wanneer men dezelve met kunne eigene tee~nbsp;hens verbindt.
Immers, kan men, in plaats van a -k- a -j- a, fchrijven 3^7; in plaats van jab-k- 2 n b-k-1\. a b, kan men flellen 1445: cn men zal, innbsp;plaats van o.axy-k-'^bxy fchrijven kunnen {2 a -k-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ J’- Ver
gelijk §. 459, I. C.
II. Cuiisus. nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;§. 23.
-ocr page 44-i8
§. 23. ft ,, In het algemeen^ zal men, ten einde gelijk-,, flaehtige uitdrukkingen met elkander te ver'éénigen, alle die ,, gelijkflachtige uitdrukkingen , elk in het bijzonder , doornbsp;5, haren gemeenfchappeliiken deekr deelen; de komende quo-,, tienten, volgens hunne eigene teekens, {zie §. 19 en lo.jnbsp;,, verbinden en deze fom met den gemeenfchappelijken deeler
,j vermenigvuldigend^
Gevolgeüjk zal men de uitdrukking nbsp;nbsp;nbsp;-\acx-
welker termen alle door xj deelbaar zijn, aldus kunnen herleiden. Men deele eiken term der uitdrukking door x j j dan vindt men, voornbsp;de quotiënten: -iabj, — i^acx, b'^ x-^; men zal derhalve, innbsp;plaats van de gegevene uitdrukking, Hellen kunnen:
{'^ab'^j — Acacx-lfb'^x'f) X xj
welke, hoezeer zij, wel is waar, niet onder eene eenvoudiger gedaante dan de gegevene fchijnt voortekomen, aan dezelve nogtans eenen vorm geeft, die in vele opzichten zijne nuttigheid hebben kan. Mennbsp;kan dezelve ook nog onder de twee volgende vormen voorftellen.
X (3 ^ J*® — 4t) y-
b X {ga nbsp;nbsp;nbsp;b x'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c x^y
ja zelfs, onder nog meer anderen.
§. 24. ff ,, Indien fommige dezer quotiënten,quot; (welke men als facloren, ten opzigte van die bewerking coëfficiënten genoemd, zie §. 456, I. C., kan aanmerken,) ,, gelijkjlach-,, tige uitdrukkingen zijn, dan wordt de gegevene uitdruk~nbsp;,, king door deze herleiding onder eenen eenvoudiger vorm ge~nbsp;„ hragt.quot;
Men zal derhalve, voor de uitdrukking,
3 a b xy z -f-ye^x^yz--f-ydbxys Hellen kunnen, de meer eenvoudige:
y c~ xz) X atyj!
en voor
10 x^ — by~ -{• II b^ x^ de meer eenvoudige:
9| nbsp;nbsp;nbsp;-j- lo by’^.
§. 25. ff Nog eenvoudiger zal de uitdrukking der fom worden, wanneer alle de coëfficiënten bepaalde getallen zijn;nbsp;„ want, in dit geval, zal men dezelve, door Additie en Sub-
y, Jirac-
-ocr page 45-TWEEDE C U 11 S U vS . nbsp;nbsp;nbsp;19
,, ftraBie, volgens de grondregels van §. 4Ó8—§. 471, /. C., ,, in één getal kunnen veréénigen.
7 X® ~ 8 X® -f- 11 X* — X-— 3 x'j — 10x3? — 17x7— — 30x3^
i-J xj — 173® — 7 X31 — I ’ 312 z= I X31 - i8|3®.
§. 26. Alle de gevallen der Additie, zelfs die der veelledige uitdrukkingen niet uitgezonderd, zijn in deze voorfclirif-ten begrepen; alleenliik moet men, ten einde geene der termen over het hoofd te zien, zich fliptelijlc aan den volgenden regel houden. „ Plaatst de gelijkflachtige termen der ge-„ gevene uitdrukkingen^ met de teekens, (-P of —), waar-„ mede zij zijn aangedaan, in afzonderlijke kolommen : de ter-,, men^ welke onderling en met de termen dezer kolommen on~ 5, gelijkflachtig zijn , worden afzonderlijk^ zonder dat hetnbsp;,, noodzakelijk zij, daaromtrent eenige orde in acht te ne~nbsp;,, men, uitgefchreven. Alle deze bijzondere kolommen wor-,, den, volgens §. 25, opgeteld, en deze partieele fommen metnbsp;„ de teekens, die zij in de optelling herkrijgen, als ook metnbsp;„ de ongelijkflachtige termen, volgens §. 19 en 20, tot éénnbsp;„ geheel, welke de totale fom is, veréénigdd' Deze regelnbsp;Beunt gedeeltelijk op het reeds verklaarde, en gedeeltelijk opnbsp;het beginfel, dat men de termen eener uitdrukking naar welgevallen kan verplaatfen, zonder dat deze verplaatfing op denbsp;waarde dezer uitdrukking eenigen invloed kan hebben. Wijnbsp;zullen de toepasfmg van dezen regel, door de volgendenbsp;voorbeelden, ophelderen.
I. Voorbeeld. De fom te vinden van de volgende uitdrukkingen: I van quot;j, b — y anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X j •,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2“ van 2 xj — ab^—a-b; . . .
3“ van nbsp;nbsp;nbsp;tf van 2/?»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^b^ ~ xy 'i a^ b;.....
5'^ van ^ab^—‘jb'^—xy; en 6“ van — 7 x 3 - x® -j- 2 3® ?
Men ftelle de gejijkflnchtige rcrmen, in de gegevene lütdrukkinsen voor-konieucie, onder elkander; clan zal men hebben;
-ocr page 46-ao
......h — quot;j a .. ...... nbsp;nbsp;nbsp;^
...... a'^ b — ab'^........-f- 7 xj . . . •
'X a’^ nbsp;nbsp;nbsp;7, b , , . . 4*-^^ .ï.. — x'j ....
.........quot;ba h'^ — “2 b'^ .... — xy ... .
Nu telle men de termen van elke kolom bij elkander; dan vindt men, voor de Tom der eerlle kolom: — «3 -J. o «3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«3 ; voor die der tweede kolom: 3 «quot; * -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* — «3. ^ — 4 «a 3, enz. alles volgens §. 2,s:
wanneer men nn deze partieele fommen, met hunne eigene teckeus, veriëénigt, dan vindt men voor de totale-fom, de uitdrukking:
-f-b — 5^^°' — Sb'^~x^—xy
fom: xy a Vb — i Vxy — (5X — iol)Vy n V3
3
ie ver cent gen: 7 Vxy, •
i'^ aV^x^ -\-y^')-\-bV{x'^— nbsp;nbsp;nbsp;—
3
5 Vxy'^ ¦k'ibVix'^—y‘^')\ 4“ I'S — 9 X
¦ V xyquot;^
3
«v/(x^-l-3,'^)-f hV\x^--k-ybVix'^--}t!V (x^ i-y'^).....
-3’^) oVxy-— 7 Vxy
~y^)— iVxy^
3
3
iVxy^- .... —9x-f 73: 3
cJeze
Cl3) Men moet niet vergeten, dat, wanneer de termen eener uitdriik-ding met geen coefficient zijn aangedaan, dezelve moeten gehouden worden de éénheid tot coefficient te hebben.
-ocr page 47-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;ai
deze optellende, vindt men, voor de fom, de uitdrukking:
I a nbsp;nbsp;nbsp; 3'®) (4 Z; — I) .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~~
4i Vxy — zx /) y.
Deze voorbeelden zullen genoegzaam zijn, om de Additie der ftelkundige uitdrukkingen , zelfs ook in de moeijelijkftenbsp;gevallen, te leeren behandelen.
-Subllratfiiie of Aflcheiding der flelkundige uitdrukkingen van elkander.
§• 27. ft De riib[lraifi;ie wordt door den volgenden eenvou-digeii regel ten iiitvoer gebragt: ,, keer het teeken van de één ,, ledige uitdrukkingof de teekens van de termen der veelledigenbsp;,, uitdrukkingwelke moet afgetrokken worden, om, (dat wilnbsp;,, zeggen, verande'r in —, en — \xi -[¦ fj en tel die uit-,, drukking met haar omgekeerd teeken, indien zij éénledignbsp;,, is, of met hare omgekeerde teekens, indien zij veelledig is,nbsp;,, bij de uitdrukking .waarvan zij moet afgetrokken worden: innbsp;„ acht nemende alk de gevallen en omjlandigheden, welke tennbsp;,, opzigte der Additie, van §. 19 tot §. 26, verklaard zijn:nbsp;,, deze fom zal dan het begeerde verfchil zijn.quot; —¦ Immers,nbsp;blijkt het uit den V. GiiONnREGEL, 472, I. C: dat,nbsp;wanneer-een pofiiief getal van een pofitief getal wordt afgetrokken, dit aftrekken een eigenlijk aftrekken is: maar dat,nbsp;wanneer een negatief getal van een pofitief wordt afgetrokken , ,die aftrekking in eene eigenlijke optelling verandert:nbsp;derhalve fchrijft men, in plaats van -f a min b, de uitdrukking a — b; en. in plaats van a min — b, de uitdrukking a plus dat is, a b: zie het bewijs opnbsp;de aangebaalde plaats. Hieruit blijkt derhalve de waarheidnbsp;van den algemeenet) regel voor het geval der dénledige uitdrukkingen. De verdere uitftrekking van dien regel op veelledige uitdrukkingen is blijkbaar, uit'§. 4769 I. C: maar wilnbsp;men deszelfs waarheid , langs eenen ¦ anderen weg, evennbsp;overtuigend gevoelen, zoo merke men aan: dat eene veelledige uitdrukking in eens aftetrekken, op hetzelfde iiiikomtjnbsp;als of men alle hare termen één .voor één afuckr; want op
B 3 nbsp;nbsp;nbsp;dil
-ocr page 48-23 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
dit beginfel fteunt immers, zie §. na, I. C, de aftrekking der bepaalde getallen: gevolgelijk zal eene veelledige uitdrukking van eene andere aftetrekken, niets anders zijn dan der-zelver termen, volgens het beloop derteekens, waarmede zijnbsp;aangedaan zijn, één voor één aftetrekken, dat is, (volgensnbsp;het zoo even betoogde,) met hunne tegengeltelde teekens,nbsp;aan de uitdrukking, waarvan men dezelve aftrekt, te verbinden. Om nu dezen regel in de beoefening vaardig te leerennbsp;iiitvoeren, zal het noodig zijn het volgende tafeltje in hetnbsp;geheugen te prenten.
nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;minnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Jg.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b
— nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;minnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b
— nbsp;nbsp;nbsp;a min — ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
de grootheden a h kunnen alle waardijen hebben; derhalve zal, indien men a ~o Helt,
o min ¦\‘b— o — bz:=.~b (13) en o min ~ b — o b — b zijn.
Voor veelledige uitdrukkingen zal men hebben:
a nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;minnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d — e
a nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;minnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e
o min x-~y-^z~ — x-\-y — z. .
Past men nu deze beginfelen op gelijkflachtige uitdrukkiugian toe; dan zal men verkrijgen:
^ab-\-Zb^niin üb-\-h^— y ab'ib'^ — nb — b^ zzz Cab'^-zb^ — 6x31 7^^ min--xy—yz~—Cgt;xy-\-jyz X31 ja =—5x7 4. 8jsnbsp;en op dezelfde wijze voor alle andere gevallen.
§. a8. tt Het is dan, zoo als wij §. £7, gefteld hebben, uit dit alles blijkbaar: ff dat eene één- of veelledige uitdrukking van eene andere zal worden afgetrokken , indien mennbsp;derzelver teekens omkeert en de uitdrukking, welke men op
de-
(13) Men moet O — b niet lezen, ah of— b va» O moet afgetroi-leen ivordcn, zoo als foiiiraige cerstbeginnendcn zich daarin vergisten.
Nul uiin b of o _h moet vcrftaan worden, dat de grootheid b, ais
poötief genomen, van o moet worden afgetrokken. Immers, als men fchrijft: 7 — 4, meent men, -f- 4 van -f- 7 aftetrekken? Het moet opnbsp;dezelfde wijze verftaan worden, wammecr in plaats van 7 een c komt.
-ocr page 49-as
êeze wijze verkrijgt, optelt bij die, waarvan zij moet worden afgetrokken. Zie hier eenige voorbeelden, om dezen regel verder te beoefenen.
1. nbsp;nbsp;nbsp;VooBBERLD. Van a* —¦ j a'^ b ^. anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O) af*
tetrekken a'^ a^ b -k- i a b^ — zb'^
bij 3«^—ja^b-k-^ab^ — 3^?* iel —-f- k—zab^ 2nbsp;komt —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 6a^igt; 2«Z'® — b'^ voor het verfchil.
2. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. Fan 7 x Vy quot;k 9 y Vy — n \dx y aftetrekken
- 2 1/^7 '2 X V/j. j/y 12 nbsp;nbsp;nbsp;?
bij kr7^^y-\- 9yVy — 11 Vxy
tel — zx\/y yVy 2 \/xy -r lo.a'^
komt -b 5 -v Vy 103' Vy - 9 Vxy- 12 nbsp;nbsp;nbsp;voor het
begeerde verfchil.
3. nbsp;nbsp;nbsp;VooRBEFXD. Van 13 önbsp;nbsp;nbsp;nbsp;17 h 31®)- ö
aftetrekken 17 b ]/(x^ - 3^) bxy - x^ nbsp;nbsp;nbsp;3 ?
bj 13 n v/(x2 —312} — \y b VCx^ 3“) — axy
iel — \j b V— y^j..........—bxyk-^'^~^^y
komt (13 ö — 17 bj .\/{x^ “3’0 — 17 ^ l/(:v® -}¦ nbsp;nbsp;nbsp; ^gt;^3'
•4- x^ — y, voor het begeerde verfchil.
• §. 29. Wi) moeten opmerken: dat het eigenlijk niet noo-dig is de teekeris der uitdrukkingen, die men aftrekt, om-tekeeren, indien men, zoo als vele, ja wel de meeste Schrijvers doen, en hetwelk wij ook in het vervolg kortheidshalve volgen zullen, de teekem in de gedachte omkeert, en met dienbsp;omgekeerde tcekens bij de gelijkjlachtige termen optelt.
Over de Multiplicatie der fieJhmdige ititdrnkkingen.
§. 30. ft Ook deze bewerking is in allen opzigte gegrond op het denkbeeld, dat wij van de multiplicatie, in §. 57. etnbsp;feq. l. C. gegeven hebben en op de regels voor de vermenigvuldiging der geta-ilen, welke wij uit hetzelve hebben afgeleid. In deze bewerking komen drie hoofdgevalkn voor:
C 4 nbsp;nbsp;nbsp;1° tli
-ocr page 50-34
lquot; de vermenigvuldiging van twee of meer éénledlge uit druk-kingen met elkander-, de vermenigvuldiging van eene veelledige uitdrukking met eene éénledlge’, en 3° die van eens veelledige met eene veelledige uitdrukking.
' §. 31. I. Gr VAL- In de eerde plaats moet men, en dit voorl'chrift (trekt zich tot alle gevallen uit, acht geven opnbsp;de teekens of —, welke aan liet prodiicT; toekomen. Hoenbsp;nu de teekens der producten van die der faétoren afhangen,nbsp;is, in den eeifit-n curfus, van §. 477 tot §.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pag. 282,
op twee onderfcheidene w'ijzen betoogd De regels dien aanaangaande zijn begrepen in de vier volgende gevallen ¦\-aX’\-lgt;~-kabnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—aX-\-b:eei—ab
— a X — b ~ a b -{-ax—b = —ab waarbij men, in bet algemeen, voegen kan: ,, dat het teekennbsp;,, van een gedurig produSt, (zie in het bijzonder §. 482,nbsp;,, 1. C.,) pojitief of negatief zal zijn, 7iaarmate het aantalnbsp;,, der negatieve fadtoren even of oneven is.” Voorts geldt,nbsp;met betrekking tot de multiplicatie, de aanmerking van §. 13:nbsp;indien ’er namelijk geen bijzondere overéénkomst tiisfchen denbsp;factoren beltaat, dan kan derzelver produdt niet anders, dannbsp;volgens het teeken van multiplicatie, (zie §. 437, 1. C.)nbsp;worden aangewezen. Het produdt van a, h, .x en y, zalnbsp;men gevolgelijk door ahxy aanwijzen.
§. 32- Maar de biftorcn kunnen: s° met bepaalde getallen, als coëfficiënten, zijn aangedaan; 2° fominige derzelven kunnen gelijkflachtig zijn, en 3° de faLT:oren kunnen of alle,nbsp;of, voor een gedeelte, gelijkflachtige exponentiale uitdrukkingen ziin. Voorts kunnen alle deze drie omltandigheden geheel of gedeeltelijk vercénigd zijn.
S- 33* Zijn de facT:oren met coëfficiënten aangedaan, gelijk wanneer, bij voorbeeld, 70 met moet vermenigvuldigdnbsp;worden; dan kan men voor het produdt fchrijven ~ ax 3nbsp;maar y a is, zie §. I- C, gelijk 7 x a, en — ^xh;nbsp;derhalve k 7 a X 3^~7XflX3X^ = 7X3XöXi',nbsp;zie §. 62-§. 65, 1, C: maar nu is 7 x 3 = ar; ge volgelijknbsp;'7 a X 3 b = 2.1 ah. „ff Men verkrijgt dan, door de eoef-,, fcienien met elkander‘te vermenigvuldigen, en de letters ach-
„ ter
-ocr page 51-TWEEDE CU R S U S. nbsp;nbsp;nbsp;25
55 ter het produSl dezer coëfficiënten te plaatfen^ altijd eene uitdrukking ^ welk'e beknopter is.” Nogtans moet mennbsp;hier, als een bijzonder gebruik, waarvan de iecriing vooreerst niet mag afgaan, in acht nemen: ,, de voorkomende let-5, ters in hunne alphahetifche rangorde te plaatfen;” want,nbsp;hoezeer uit 65, I. C. blijkt: dat die plaatfing geenen invloed op de wezenlijke waarde der uitdrukking hebben kan,nbsp;is het, om redenen, welke in het vervolg nader blijken zullen, noodzakelijk, zich vroegtijdig aan dit voorfchrift te gewennen. -- Men zal dan volgens den voorgefchreven re
gel vinden:
-7^X 8x = -56ö.r,- 3«X-4^X-5^'X-73' = -42o«^^3'
— nbsp;nbsp;nbsp;-k ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X.~ X ~\ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b xy
§. 34, De tweede en derde onderdeelingen van het eerfle geval lleunen op de leer der exponential uitdrukkingen, welke wij in de XXXV Les I. C. zoo uitvoerig verklaard hebben, dat ’er niets meer bij te voegen is: want, zijn de expo-ncntiale uitdrukkingen gelijknamig 5 dan hebben wij, zienbsp;S. 713, I. C,
X X nbsp;nbsp;nbsp;b r)3 5 a” x X tc’’ =.([a b x')»
-h 7 X - P - lt;53 (ö by ; I a’! X -1 x-‘ = - J Qa x)» Zijn zij gelijkOachtig, dat is; hebben zij^enzelfden wortel;nbsp;,, dan is hun produSt eene medegelijkjlachtige exponentiale uit-,, drukking, welkers exponent de 'foin van de exponenten dernbsp;,, faBoren is,” Hetgeen zoowel voor de negatieve en ge-brokene exponenten, als, voor dé gcheele en politieve , geldt.nbsp;Zie g. 715, 734 en 735, I. C. Alzoo isnbsp;1. J. ^
ö2 X ^ = lt;73 ; a'^ X nbsp;nbsp;nbsp;o’ X nquot; = 0” quot; ^ em.
wanneer men dan in de vermenigvuldiging der édnledige uitdrukkingen onder het oog houdt: ,; dat dezelfde letters,, wel-5, ke in de gegevene uitdiukkingen, als derzelver bijzondere faamp;oren, voorkomen,, volgens dezen laatflen regef door op-„ telling der exponenten., tot ééne eenvoudige magt kunnennbsp;„ ver'éénigd worden;” dan zal men vinden:
-ocr page 52-aö
— jabxyX ¦\-^bxyz':=. — 2i a nbsp;nbsp;nbsp;z
b X ~ ^ c'^ y a b x y nbsp;nbsp;nbsp;^ a'^ b^ y*-
\ax^ X -\bxy X — «y- X ~^leyzx=. — -^a^b^cx^y*z. §. 35. 11. Geval. Mtn herleze hier hetgeen, in den eer-ften curfus §. 67 en 68, betoogd en verklaard is, en dannbsp;zal het blijken, dat voor
(a-\-b c d-\re-{- enz.') X p kan gefchreven worden :
ap-\-bp-\-cp-{-dp ep-\- enz. en zelfs ook, wanneer men het vermenigvuldigtal met dennbsp;vermenigvuldiger verwisfelc. Hieruit volgt dan : ,, dnt,nbsp;„ wanneer eene veelledige uitdrukking met eene éénledige moetnbsp;„ vcrmenigMildigd worden, men alle de leden van het verme-,, nigvuldtgtal met den vermenigvuldiger moet vermenigvuldi-,, gen, en deze partieele producten tot één geheel ver'éénigen,nbsp;5, hetwelk dan gelijk aan het totale produSl zal zijn.”
§. 36. Men muet in de uitvoering van dit voorfchrift nog-taiis onder het oog houden: „ dat men, in deze bijzondere ,, muhiplicatien , vooreerst de regels van de vermenigvuldigingnbsp;,, der éénledige uitdrukkingen volge, en 2quot; dat men de voor-,, fchriften voor het bepalen derteekens, zie § 31, 0/ de-5, zelfde wijze ah in het eerfte geval hlijve in acht nemen”
§. 37. Wanneer men nu omtrent dit laatlle gedeelte nog eenige zwarigheid maken mogt, zoo laten wij Hellen: datnbsp;a — b met c moet vermenigvuldigd worden: (lellen wij a —nbsp;b = p; dan is, zie §. 498, I. C. a ¦=. b -{¦ p: vermenigvuldigen wij dan beide leden dezer vej-gelijkitig met c: dannbsp;zal a C'=bc.\-pc zijn, waaruit, indien bc uit het achterdenbsp;in het voorde lid wordt overgebragt, volgen zal: a c— bcnbsp;— p Cl maar nu zegt men, volgens 31, -{¦ a x -k- c ~nbsp;c, en — b X -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— b c; gevolgelijk verandert de
gelijk
reg.l der teekens niet, wanneer de termen eener uitdrukking met een politief getal vermenigvuldigd worden. Moet «—bnbsp;met — c worden vermenigvuldigd; dan zal men, a — bzzipnbsp;ft.'iiende, a z=z b -k- p hebben, hetwelk met .— c vermenigvuldigd zijüde, geven zal: —ac — — bc — cpi, gevol-tfc-j- b cz=. — c p: maar nu is wederom -j- a x
— c
-ocr page 53-27
— c~-—öc; en — nbsp;nbsp;nbsp;— cz=. b c-, waaruit bl'iikt:
ook, in dit geval, de regel der teekens geeue verandering ondergaat.
§. 38. De volgende voorbeelden Itrekken tot oefening en opheldering van dit tweede geval.
(3 nbsp;nbsp;nbsp;— 9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 7 X 2 « è 6 c® è — 18nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; i's^alA
2“ nbsp;nbsp;nbsp;— x3' 27“)X — §0 = —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;b ~a X y — a y'^
3® nbsp;nbsp;nbsp;— bxy^^ X ~^ab\/xy— — yia^bx^\/xy{-‘i^b^xy'^\/xy.
§. 39. III. Geval. Het is in §. 70, I. C. ontegcnzeg-¦ gelijk bewezen: ,, nbsp;nbsp;nbsp;procluB van eene reellcdi-
,, ge uitdfukking met eene veelledige vindt, indien men elheti „ term van het vermenigvuldigtal met eiken term van dennbsp;g, vermenigvuldiger in hel bijzonder vermenigvuldigt, en denbsp;„ partieeie producten, welke uit deze bijzondere multiplkatiennbsp;5, ontftaan, tot één geheel vefèénigt. Het produél:
fö -f- ^ nbsp;nbsp;nbsp;c -{- £? -j- ejy X (^p -j- ^ -f- r -j- r -{-
zal gevolgelijk worden uitgedrukt door:
(^a b -f- c d -f* d) ye, p (ja ^b c d ejixc!nbsp;¦k-(,a-\-b'k'C-\-d~\-e^xrnbsp;“fquot; (ja -p* b -{- c d e j X rnbsp;(pi quot;b quot;f*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“4quot; quot;b O TC r
of, wanneer men deze produéten volgens het IL Geval ont-wikkeldt, door:
“b tl p nbsp;nbsp;nbsp;b pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;l*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;€ pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e p
a d nbsp;nbsp;nbsp;b ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d tjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e ^
ar.^br-{-cr-{-dr-\-er a rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—b snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c’ snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—|—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—{—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e s
a t nbsp;nbsp;nbsp;“bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-|—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e t
§, 40. Het blijkt hieruit, om zulks in het voorbijgaan aan-temerken: dat, wanneer.’er in den eerlten fadtor m leden en in den tweeden factor n leden voorkomen, het aantal dernbsp;partieeie produften, uit welker verëdniging bet totale pro-du(5t ontfiaat, door mn zal worden uitgedrukt.
§. 41. Het zou overtollig zijn te bewijzen, dat ook in dit geval, even als in de twee eerde, de regels voor de bepaling van de teekens der partieeie produften, onder dezelfde
cm-
-ocr page 54-28
omftandiglieden, op dezelfde wijze blijven gelden: het verklaarde in §. 37, is ten dien opzigte genoeg voldoende. Ten aanzien nu van dit derde geval, moet men de twee volgende dingen onder het oog houden: iquot; ,, Dat alle de partieelenbsp;5, produamp;en^ volgens de regels van het /. Geval^ zie §. 31^nbsp;„ §. 35, gevormd worden.’’'quot; z° ,, Dat, even als voor de Ad~nbsp;„ ditie, zienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de gelijkf.achtige partieele producten, in
„ den loop der bewerking, in afzonderlijke kolommen ge-,, plaatst, elk dezer kolommen afzonderlijk op geteld, en deze fommen, met elkander, en met de enkelde overgeblevene par-,, tieele producten, over'éénkoniflig hunne eigene teekens, moe-,, ten ver'éénigd worden, zullende als dan deze fom het totalenbsp;„ produbl te voorfchijn brengen.’’’’
§. 42. Deze twee zaken ftriktelijk in acht nemende, zal men de produélen van alle veelledige uitdrukkingen gemakke-lijk vinden kunnen, terwijl de uitgewerkte voorbeelden, opnbsp;bet hier tegen overllaande uitflaande blad geplaatst, den leerling overvloedige gelegenheid zullen geven, zich ih de toe-pa.sfing van dezen regel te oefenen. Tot meer gemak en regelmatigheid in de bewerking, moet men nogtans de tweenbsp;volgende dingen in acht nemen.
,, Dat men, even als: in de multiplicatie der getallen ,, gefchiedt, den vermenigvuldiger onder het vermenigvuldig-,, tal plaatfe.”
sA „ Dat men, zooveel mogelijk, de termen van de fadto-,, ren naar de alphabetifche orde rangfchikke.”
Deze omftandiiheden behoorlijk in acht nemende, komen in den loop der bewerking de gelijkflachtige termen meestalnbsp;van zelve, in hunne natuiiilijke rangorde, onder elkander. •nbsp;§. 43. liet is om het even,.of men de vermenigvuldiging van voren dan wel, gelijk in de getallen meest gebruikelijk is, van achterennbsp;begint: tvij hebben dezelve in de uitgewerkte voorbeelden, echter,nbsp;zonder daartoe de minfie reden te hebben, van voren begonnen. Denbsp;verklaring van een enkel voorbeeld zal genoeg zijn om alle de deelennbsp;der geheele bewerking optehelderen. Nemen wij daartoe het ii. Voorbeeld. Hier moet a Jf b c met a .{¦ b — c vermenigvuldigdnbsp;worden. Men plaatfe deze f floren ouder elkander en multiplicere:
A alle
-ocr page 55-[Tegen over bladz. 2d.]
16. Voord. 10
— ia^b nbsp;nbsp;nbsp;|ö3^4— 2^2;,5
6 a^b'^ •\- 8 nbsp;nbsp;nbsp;—4 a^h^-\-^ah^
a?——loifptb^ J^\d^b*—^ffqprj^f6zz^7
4-21x“ ... -}-I2X®— 3x^4- Öxquot;^ —3CX3
— 14x7 nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 8x3 2X1-— 4X3 20X2.
4-28X® ... 4-i6x - 4x34- 8x=—40X
4-T4x3 ... 4- 8x3— o.v='4- 4.quot;- —20
T4x'^4-21x3— 6x34-38x'''4- 7x^4- 4x‘*-—30x34-26x^ — 36x—20
|
N°. L Uitgewerkte Multiplicatien , nbsp;nbsp;nbsp;ter opheldering en beoefening van §• 4] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8. Voord. verm. tal nbsp;nbsp;nbsp;¦— ^7 4- 7» vermenigv. x -4-7 |
9. Voord. x'^ -4 X7 -4 7®-X —7 |
10. Voord. X”—x’‘ 174.X”—— enz. -|-x^7’t—2'4-x7”—4-4-7” -t-.y nbsp;nbsp;nbsp;~~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ |
|
x3—x=7 4-x7= 4- x-y — xigt;- 4-3® |
y nbsp;nbsp;nbsp;Xy'^ — Xquot;-y~xy^—y-^ |
x’! 4- i —x’7 4- x-''~'7^ — ^tiz. 4- x37''—2 x'-^y'‘ 1 x-y» -4 X 7 — Xquot; quot; 47^ -b e?2Z. 47^3 nbsp;nbsp;nbsp;—2 _4 x^ 7» I ' X7quot; 4-7” 4- 4 |
|
produB nbsp;nbsp;nbsp;x3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;73 |
X3 nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;73 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15. Voord. |
NB. De Lezer moet, ten einde in de bewerking van de multiplicatio der ftclkiindige uitdrukkingen, welke in het eerst vrij moeijclijk v'alt, cene genoegzame bedrevenheid t.e verkrijgen, na vooraf de verklaarde gronden beda-irdelijk overwogen te hebben, de hier bovenftaande voorbeelden met die gronden, dén voornbsp;¦jén, vergelijken, en dezelve daarna op eene lei of een fluk papier nawerken: indien hij misllagen begaan heeft, zal hij het vergelijken van zijn werk met dezenbsp;afcl hem doen zien, waar de niisfiag ontdaan is, en waaruit hij voorkomt. Hierna zal hij de voorbeelden, welke op de tegenzijde van deze tabello opgegeveunbsp;zijn, uitvvcrken.
-ocr page 56-Voorbeelden ter beoefening van de Mqltiplicatie der ficlkundige uitdrukkingen.
I.
MiiJtipl. 5 ^ — gb met — « 3 komt: — 5 «* 24 0 ^ — 27 b'.
Multipl. 5 (7’ — a b — b^- met 3 'h 9 ^’? komt: . 15 ^4 — j'as -j- 42 nbsp;nbsp;nbsp;— 9 0 èi-— 9
Muhipl. ah-fac-k-bc met zich zelve? komt: a^ b^ -k- 0. b c a'^ nbsp;nbsp;nbsp; z a b- c -{¦ p a b -f h- c\
Multipl. x‘gt; — y y^ — X yi -f j4 jfjgt x'* 4- J' x= y^ x 3)^ 4- y“gt; ? komt: x^ 4- x'^ y^ x^ 31 4quot; nbsp;nbsp;nbsp;3'quot; y‘‘
Multipl. x5 4- ^ 3 4- nbsp;nbsp;nbsp;3” X’ 3;3 x 34 _j_ 315 ifiet x —¦ ypnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— ƒ,
Multipl. I 4- X 4- x= 4- x! . x-i met zich zelve? komt: i nbsp;nbsp;nbsp;4- 2 x 4- 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^ 4- 4 x^ 4- 5 x^ 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 xsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2 x? 4* x*.
Multipl. 7 x= — 9x4-15 met — 7x4-9? komt: — 49 x^ 4- 126 x- — iSó x 4- 135.
Multipl. tl x^ — 3x4- I met x^ 4- ^ x 4- 3? komt: 2 x» nbsp;nbsp;nbsp;.4. 4- xquot;quot;_ 7x4-3.
Multipl. — 3 X- 4- too X — ] 7 met — nbsp;nbsp;nbsp;4- x*? komt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 3 jf4 4, jqq -{¦ 40 x* — 1900nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x 4~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3-3-
Multipl. x3 4- 17 — II X met x^ 4- U ? komt: 4- 17 x’ — 121 x 4- 187.
Multipl. — 13 X 4- x3 — 10 4- 3 X- I — 3 X 4- x=? komt: x? — 21 x^ 4- 32 x’ 4- 17 x — 10. nbsp;nbsp;nbsp;•
Mlultipl. x^ -f- X — 11 met nbsp;nbsp;nbsp;—— X -f-1 ? komt: X‘ —x® 4- 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*—¦ 11 x^ —— x^ 4“ 12 x —• 11.
IMultipl X 3 ,met x 5 met x 7 x- — I ? komt: x* — xi — 42 x^ 4- 106 x^ 4- 4i x — 105.
Mult'pl. X- 17 met x= x -f- 5 met x= —— 7x4-1? komt: x'* — 3 x^ — 4 xquot;* 4- 100 x^ — ai5 x^ -j- 612 x 85. Multipl. 5 x'quot; 4-4 ^ X y IP met P) ¦—(yax-\-2h^^ komt: 15x1—33^7x1—^ (36 iï“ 4quot; n x“-H 71 ^ x—i:} b'^.
IFclke in de oplosfng van vele vracigjiitkkeu van zeer veel dienst zijn. om dezeh.
of tot eene legere magt te brengen.
(x 4- 31)» — x“ -f- 2 X 3’ 4-(x — 3gt;)- 2= xquot; — 2x34- 3'**
(x 4- 3)) (x — 3O — Xquot;- — y\
(x 4- 3')i = x3 4. 3 X* 3; 4- 3 X }•'- 4- 3'3 = x5 4- 33 4- 3 X 31 (x 4- jy^.
(x — 3)® = x3 — 3 X- 3) 4- 3 X 3“ — 3.3 — x3 — ƒ — 3 X 3gt; (x —- y).
{a^ — bf X (ö — hj) — nbsp;nbsp;nbsp;— a'quot; b —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Zlt;quot; 4- b\
(x^ — X y 3'0 X (x 4- y) = x^ yt.
(x- 4- X 3- 4- 3quot;) X (x —- 3; =: x3 — 3,3,
(x»-i -f xquot;—2 3gt; 4_ Xquot;-3 3gt;* nbsp;nbsp;nbsp;xquot;~4 3'3 4- enz. -f x- y”
4- X yn—1 4- 3^»—i) X, (x —3) = X'*
(x»-
X® ' 3 x^^s y- — X' 4 33 4- enz. 4- x“3»'~3 4- x 3»—2 -f 3''.quot;quot;i) X (x '-j- 3) = x» 3''.
(x» 4- X 3 -f- yf X (x' — X 3 -f- y-) = x4 4- x= 3“ 4- y*. (x3 4. x“ 3 4- X -f- 73) X (x’ — x^ 3 4- X 3* — 3’3) mnbsp;(x-i 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 4- x= y- -i- X 33 4- 3'') X (x^ — X» 3 4- x= 3quot;' -
x^ 4- xi X- —
- X 33 4- yf
X'- 34 —
~ X* -f
3quot; 4- X» 34 4- Xquot; f' 4- 3*
29
1° nlle de teniirn ven a b c eerst met a, komt: nbsp;nbsp;nbsp;4*
4- welker termen op de rij a geplaatst wórden; 2'^ alle de termen van a b c met 4* b; komt a b •{- b’^ -h bc, welkernbsp;termen men op de rij,/S plaatst, en eindelijk 3® alle dé termen vannbsp;a b ^ c met — c, komt —ac — bc — cquot;^, welke op de rij ynbsp;geplaatst worden: men ziet nu: dat deze rijen zoodanig geplaatst zijn,nbsp;dat de gelijkHachtige termen in afzonderlijke kolommen onder elkandernbsp;komen, (fchoon npgtans in de derde kolom de ongelijkflachtige temnbsp;b'gt;- voorkomt, waarvoor men cene nieuwe kolom zou hebben kunnennbsp;arnleggen,) zoodat men deze kolommen volgens §. ad, flechts behoeftnbsp;opietellen, om het totale produfi: te verkrijgen.
¦§. 44. MultipHcatien, hoedanige in de 14, 15 en 16, voorbeelden voorkomen , zijn in de analyti che bewerkingen van veel gevvigt: de gegevene uitdrukkingen zijn in dezelve, naarnbsp;de afdalcnde magten van dezelfde letter geordend: in de 14nbsp;en 16 voorb. naar de afdalende magten van de letter ar, innbsp;het 15 ï iissr clis van de letter a. * Eene uitdrukking kannbsp;nu op tweeërlei wijze, naar de magten van eene letter x geordend zijn : I ” volgens de rangorde der af dalende magten,nbsp;gelijk in 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-{- 4 ar -}- 2 : 2“ volgens dis
der opklimmende magten, gelijk, wanneer men de termen der laatjle uitdrukking omzettende , verkrijgt: 2 4- 4 ar — 2 ar-4- enz- ,, Men moet alvorens de multiplicatien te beginnennbsp;,, de termen der faüoren naar de magten van eenige letternbsp;,, rangfehikken, waartoe, men de afdalende of opklimmende ex-,, ponenten naar welgevallen verkiezen kan ; mits alle de za-,, menjlellende faStoren in dezelfde rangorde genomen wor-„ den.quot; Dan , hierover nader , wanneer wij de leer dernbsp;combinatiën op de multiplicatien en magts-verhefTingen zullen toepasfen.
§. 45. Een enkel voorbeeld zal genoeg zijn, om de algemeenheid van de produften der Helkundige uitdrukkingen boven die der bepaalde getallen te doen opmerken. Nemennbsp;wij bet product (x 4- jO X —' j) ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 3’^ • producl,
leert ons: dat, de fom van twee getalkn m t derz Iver ver-fchil vermenigvuldigd zijnde, het product zooveel waard is als het verfchil van de tweede magten dezer getailen.. Zulks
zegt;u
-ocr page 58-30
WISKUNDIGE LESSEN.
zou de multiplicatie der getallen niet kenbaar gemaakt hebben: indien niet anders gegeven ware dan (a--j-j') X —y} en X ~ 10 en y =: 7 was, zou men 17 met 3 hebben vermenigvuldigd, en men zou voor het prodiiét 51 verkregennbsp;hebben, zonder dat men zou geweten hebben, dat dit pro-duft ook gelijk is aan — y^ ~ 100 — 49 = 5i- Mennbsp;zal derhalve op gelijke wijze, voor elke Helkundige multiplicatie, het produft der getallen, welke de waarde van de za-nienltellende fadoren, (naar zekere waardijen, welke mennbsp;aan de daarin voorkomende letters gegeven heeft,) verkrijgen, op tweederlei wijze vinden kunnen; 1° door de waardijen der zamenftellende fadloren met elkander te vermenigvuldigen; z° door de waarde van het Helkundig produft,nbsp;volgens de aangenomene waarde der daarin voorkomende letters, te berekenen, hetwelk dan ook eenigermate tot eenenbsp;proef van de juistheid der Helkundige multiplicatie verftrek-ken kan, Hoe nuttig nu die algemeenheid der Helkundigenbsp;produften zl), zal men bij voorraad uit de vergelijking vannbsp;de merkwaardige produSlen, op het uitflaande blad geplaatst,nbsp;met de oplosfingen van 'de 37, 38, 39, 40, 41 en 42,nbsp;vraagHukkeu I. C. pag. 3 4. et feq. kunnen beoordeelen.
DRIE- EN- VEERTIGSTE LES.
Over de Divifie der JleJkundige uitdrukkingen.
g. 46. Het woord divifie heeft hier geene andere bcteeke-nis dan die, welke in §. 129, §. 140, en op meer andere plaatfen van den eerHen curfus aan hetzelve gegeven is. Indien de grootheden nu, die op elkander gedeeld moeten worden, niet anders dan door eene enkele letter zijn aangewezen, dan moet men eenvoudig bij de aanwijzing van die di-vifie blijven; indlen dus a het deeltal en b de deeler is, kan
men het quotient de.zer divifie flechis door het teeken
(ook door a : b,') hetwelk men ook als eene Helkundige breuk kan aanmerken, worden voörgeHeld, blaar ’er zijn
-ocr page 59-¦ /
gevallen, waarin men het quotient op eene andere, en veeltijds meer eenvoudige, wijze kan uitdrukken.
47. Oiiderfcheiden wij wederom drie gevallen; nbsp;nbsp;nbsp;Het
deelen van eene éénledige door eene éinl-'dige uitdrukking. 2° Het deelen van eene veelledige door eene éénkdige uitdrukking. 3° Het deelen van eene veelledige uitdrukking door eenenbsp;veelledige.
a b is,
broken ^ door b deelende, — = — bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ h 1
§• 48. I. Geval. Om eene éénledige uitdrukking door eene éénledige te deelen. Beginnen wij met te onderllellen i datnbsp;de deeler een Helkundige fadlor van het deeltal is. Dit geval is eenvoudig: want, indien a b door b moet gedeeld worden, dan is het klaar; dat — a zaï zyn: 1“ omds-t b^anbsp;en 2° omdat men, teller en noemer van het ge-
a verkrijgen zal,
zie §. 285 en 275, I. C.
S- 49. Om alle de bijzonderheden van dit geval in één ge_ zigtpunt te verëénigen, kullen wij aantoonen: ff dat het quotient van twee gedurige produSten kati gehouden worden gelijknbsp;te zijn aan het produSt der quotiënten, die men verkrijgt,nbsp;wanneer men de faStoren des deeltals genomen in zulk eenenbsp;rangorde, ah men goedvindt, één voor één, door de faElnrennbsp;des deelers, almede in eene willekeurige orde gerangfchikt,nbsp;deelt. Dat is, bij voorbeeld :
abc nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,
-T-lr=-~T X — X
dep nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e
X -j- = enz.
c _a h
d '' y — T nbsp;nbsp;nbsp;~
op zoo vele verfchillende wijzen, als de tellers a, b ttx\ c; alsmede de noemers d, e en ƒ, in eene andere rangorde kunnen gerangfchikt worden.
Hoezeer deze waarheid uit de multiplicatie der breuken, zie §. 323, I. C., blijkbaar genoeg is, zoo laat ons, om dezelve nog op eene
andere wijze te bevestigen, ^ =ip; ^~q; nbsp;nbsp;nbsp;~r ftellen ; dan
zal a s=:.dp-, b z=i e q; en c — r f zijn; vermenigvuldigen wij ini deze drie laatfte vergelijkingen met elkander, dan zullen wij vinden:nbsp;ah ctzs-i e fp qr, en deze laatfte door clcf deelende, zal men verkrijg
-ocr page 60-32
krijgen:
abc
def'
^ X — X-r 5 alles volgens §§. 554 en . e ]¦
505, I. C. Hetzelfde zal 'gevonden worden, indien men
¦p;
-T ~ q en =z r ftelt; Een grooter aantal factoren dn den dee-
Ier of het deeltal zal geen invloed op de algemeenheid'dezer , ftèlling^ hebben. Stellen wij nu, bij voorbeeld, «=1:15; ^ = 49; e=8o;
dbc __ 15 X 49 X 80
d ef
5.60 zijn: maar men vindt ook:
ff. Indian ’er een minder aantal
factoren, of letters in den deeler dan in het deeltal voorkornen', blijft het gefielde evenwel waarheid; want, men kan, in plaats der ontbrekende faftoren, dénbeden Itellcn. Aldus zal:
ahc pq ¦
§. 50. Deze betoogde waarheid heeft nu vooreerst eene nuttige toepasfing, wanneer de deeler en het deeltal met coëfficiënten zijn aangedaan: ,, want men zal deze coëfficiëntennbsp;„ of dadelijk deelen kunnen, of ah eene afzonderlijke breuk,nbsp;,, die ah coefficient zal voorkomen^ kunnen affeheiden.quot; Al-zoo zal:
3x7x5
. X —X -^=^x d e f 3
ahc -- X — X —
p q I
c b
— X— X ai P A
enz.
iKa nbsp;nbsp;nbsp;a
-2.- = S X -7-3 b nbsp;nbsp;nbsp;b
a gab gab
: 3 a zijn.
§. 51. ,, Wanneer de deeler en het deeltal eener Jielkundige „ divifie gemeenfchappelfke factoren hebben, zal men door denbsp;„ toepasfing van het zoo even betoogde heginfel, of, zoo mennbsp;„ will door §. 25S, 1. C. deze gemeenfehappelijke faamp;oren kun-„ nen wegnemen, hetwelk dan ook natuurlijk tot de gelijk-„ flachtigc exponentiale uitdrukkingen, welke in den teller ennbsp;„ noemer, of in het deeltal en den deeler, kunnen voorkomen ,nbsp;„ moet worden uitgefirekt, in welk geval de regel a»' : rrquot; :r=:nbsp;,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zal moeten worden toegepast, zie §. 716, /. C.”
15
-ocr page 61-33
'¦5^
= 13
p ah X 21 ah X z
= I2,a b X
-I I -2
b XZ
2, a b^ x^
3 JC 17^5’»
(ji a- b X ;
7 a'^ z'i ¦ nbsp;nbsp;nbsp;«èa*
§. 52. Men kan niet ontkennen: dat deze herleidingen kunnen aangemerkt worden, als te behooren tot de herleiding der breuken onder eenen eenvoudiger vorm: maar mennbsp;moet hierbij in aanmerking nemen; dat ’er, wegens de alge-meenneid van de beteekenis der letters, volflirekt geen on-derfcheid tusfchen de uitgedrukte divifien en de gebrokens
beftaat, waarom dan ook vergelijk §. 272, 1. C. dan
eens een geheel, dan wederom een gebruikelijk gebroken kan uitdrukken, naar dat b een evenmatig deel van a, of dlt;Z' is.
§• 53* 11 Wat nu ds teekens -f of— aanbelangt, welke ,, aan het quotient moeten gegeven worden: deze zijn, raad-„ pleeg §. 485, /. C. dezelfde, ah voor de miiUipltcatien, ennbsp;5j zijn in de volgende vergelijkingen vervat.’’’’
5;
- 15
15
:-5;
-15,
3 nbsp;nbsp;nbsp;‘quot;quot;—3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— d quot;^’ 3
§. 54. IL Geval. Om eene veelledige uitdrukking door eene éénledige te deelen. ff Wanneer men §§. 131 en 132,nbsp;I. C, raadpleegt; dan zal men daaruit duidelijk zien:nbsp;5, dat ook, voor flelkundige uitdrukkingen, het quotient,. datnbsp;,, men verkrijgt, wanneer men eene veelledige uitdrukkingnbsp;,, door eene éénledige deelt, gelijk zal zijn aan de fotn dernbsp;,, partieele quotiënten , welke ontflaan, indien men eikennbsp;,, term des deeltals door den deeler deelt: het woord fom, metnbsp;„ betrekking tot de teekens der termen, in de beteekenis vannbsp;,, §. 19. nemende,’’’
§• 55-, Hoezeer men daaraan weinig twijfelen zal, zullen wij nog-tans, deze waarheid uit de eigenfchappen der vergelijkingen betoogen, ten einde wederom eene nieuwe proef van de volmaakte overetlnllem-öing der beginfelen te geven. Stellen wij dan: dat a b — c ~ d
door n moet gedeeld worden, en dat — nbsp;nbsp;nbsp;~ —
— r, en - = — s zij; dnn zs
¦d
---—~p q
zijl). Want, uit deze aangenomene vergelijkingen volgt, zie §. 503, I. C. dat a n p, b^nq,—c~-.nr, en — d = — n s zalnbsp;zijn, welke vergelijkingen, indien zij worden opgeteld, geven zullen:
a -^h — c — d~np -{-nq — nr — ns zie §. 502, I. C., of wel:
a-\-b-~c — dz=n Cp ^ q~r~7-s) en, doelende deze laatfte vergelijking door n,nbsp;a 4- b — c ~ d .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
—1--~p nbsp;nbsp;nbsp;^ —
n
Laat, bij voorbeeld, « = 15; b~ i/i c — 3; d — S'i en « = 4;
j nbsp;nbsp;nbsp;jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a4r^ — '^~d
genomen worden; nbsp;nbsp;nbsp;dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a-^-hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— c — d —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e.\ en —----=
24
abc
~=:6\ maar p 4- q — r — s~--H'---
4 nbsp;nbsp;nbsp;rilnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n n n n
— 1—11 = 6 zijnde, wordt hieruit, als eene bijzondere proef, het gefielde opgehelderd en deszelfs waarheid bevestigd,
56. De toepasfing van dezen regel is vervat is de voL-geiide voorbeelden;
jo a'^ 4-a
\a'^h . $a~h~
5'ï-
5' a % ^ ^ 4“ b'^*
5^ nbsp;nbsp;nbsp;^ -j- .1,--
¦' a
ys
2: 13 X 313 — J ar- 2 S . —.
.T
Zac-
9 X31 3
iiidien^het deeltal a
S* 57’ in. Geval. Om eene veelledige uitdrukking door eene veelledige te deelen. Gelijk in getallen een zeker getalnbsp;161 niet door een- ander getal 7 deelbaar is, indien niet hetnbsp;deeltal lói ontftaan is, door den deeler 7 met een zeker heelnbsp;getal 23 te vermenigvuldigen, zoo kan ook eene veelledigenbsp;üclkundige uitdrukking a' —lt;iah4-h^ niet volkomen, zonder t)Vi:rrchot, door eene veelledige a — b gedeeld worden,nbsp;¦ 2 a b 4- b~ niet kan begrepen worden
-ocr page 63-35
den ontftaan te zijn uit de verraenigvuidiging van den deeler rt — b met eenige veelledige uitdrukking a — b, ’Er komen dan, even, als in het deelen der getallen, twee gevallennbsp;voor: 1° de deeler is. Helkundig genomen, een evenmatignbsp;deel, of 2° hij is een onevenmatig deel van liet deeltal Cr4'),nbsp;of, met andere woorden, de deeling gaat op, of 2quot; zij
gaat
C*4i) Stelkundig dtelbaar. Offehoon cie fpreekwijzen: een getal is door een getal deelbaar ^ cn, eene fielknndige uitdrukking is door eenenbsp;Jlelktindige uitdrukking deelbaar, van dezelfde grondbegrippen afl:oniftignbsp;zijn , en, in de uitgeftrektfte algemeenheid van het gebruik der woordennbsp;vermenigvuldigen en deelen, geiyk unan, beftaat’er nogtans in de bijzondere beteekenis dezer uitdrukkingen een aanmerkelijk vorfchii.
I® Een getal I5 is door een getal 3 deelbaar, wanneer het tweedes een evenmatig deel van het eerde 15 is. Zie §. 159, I. C.
Ecne Helkundige uitdrukking «2 _ ^2 is door eene andere a — b, deelbaar, wanneer de eerde ontdaan is uit de vermenigvuldiging van dennbsp;deeler a — b met eenige uitdrukking a b: doch het is klaarblijkelijk,nbsp;dat hier het woord deelbaar in eene uitgeftrekterc, en met de bijzonderenbsp;cigenfthappen der getallen niets gemeens hebbende, beteekenis genomennbsp;wordt. Dit zal blijkbaar worden, wanneernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wijnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aan a cn h eenige waard.jcn
en fl — b =: i — \ zrz nu kan men nbsp;nbsp;nbsp;in den zin v.an §. 159,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C.
J — JX f — f — welke uitkomst met het delkundig quotient f 6 — 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ =1^ indemt.
3° Nog blijkbaarder wordt dit onderfcheid: wanneer, bij hetzelfde voorbeeld blijvende, de deeler eene onmeetbare grootheid iiitdrukt. Nemen wij a 3 en è 3::: ^^3 ? dan is «2 __nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3:^^ p 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6 cn a b azr: 3 ^—¦
I/'s; hier is zelfs eene deeling in getallen volftrekt ónmogelijk: het is de ftelkunde, die ons leert: dat het quotient doors -p j/3 kan uitge-drtikt worden: en men kan, door eene Heeds meer begrensde bcnadcrirg,nbsp;de-waarheid van deze ftelkundige deeling proefkunriig bevestigen; wantnbsp;iiidien 3 — i,73203 genomen wordt, zal 3 — ^^3 ~ 1,26795 zijn, ennbsp;ao. — bttnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6
men zal vinden : —--j- =¦ “= 4:73205 = 3 Vs- tt Alles
wat derhalve Helkundig deelbaar is, is daarom in getallen niet deelbaar.
4° De ftelkundige uitdrukkingen zijn niet altijd deelbaar , ivannter derzelver waardijen, in den zin van §. 159, I. C. deelbaar zijn, zoo
a -p b
als uit nbsp;nbsp;nbsp;-— blijkt, wanneer a ~ i, i — isenc—a genomen
wordt.
-ocr page 64-gaat niet op. Men moet deze twee gevallen, elk in het bijzonder, wel opzettelijk in overweging nemen; omdat zij, gelijk weldra blijken zal, met de gevvigiiglle leerltukken van de analyfis in een naauw verband (taan. IVanneer men iHtnbsp;in aanmerking neemt: dat de Helkundige vermenigvuldigingnbsp;ons betoogd heeft: dat het produeH, gelijk eik der zamenftel-lende fadtoren, naar de'opklimmende of afdalende magten vannbsp;eenige letter als van zelfs geordend is; dan blijkt al ten eer-ften de onmogelijkheid der Helkundige deeling, wanneer dezenbsp;omflandigheid tiisfcbeii den deeler en het deeltal geen plaatsnbsp;heeft, gelijk vvauneer x -f _y door a ¦\-h moest gedeeld worden (15): raaar zijn deeler en deeltal beide naar de magtennbsp;van eenige letter geordend, dan ontHaat het vermoeden: datnbsp;de deeler. Helkundiger wijze, een evenmatig deel van het deeltal kan zijn: de regel, w'elke wij zoo dadelijk zullen voordragen, beflist de deelbaar of niet deelbaarheid, en ontwikkelt, in het laatHe geval, de Helkundige deeling in eene oneindig voortloopende reeks, welke in meer verhevener be-fchouwingen van een zeer uitgeHrekt gebruik is.
§. 58. ,, In heide gevallen moeten de deeler en het deeltal ,, naar de opklimmende of af dalende magten van dezelfde let-,, ter geordend worden. Zie de uitgewerkte voorheelden op denbsp;,, hier tegen overftaande tahelle N*^ II. Men bepaalt zich bijnbsp;,, de eerfle termen van den deeler en het deeltal, en deelt, vnl-
„ gens
(is) Mm zaly niet doer «-J- i kunnen deeltn: dat wil zeggen: niet in dien zin, in W'eikc eene ftelkundigc deeling bedoeld wordt: nogtans zalnbsp;men , om zoö te Opreken , van het quotient alles kunnen maken, wat men wil.
Stellen wij, bij voorbeeld, nbsp;nbsp;nbsp;—p ?, daii zal men voor^ kun-
¦ a b
nen aamiemen zulk eene waarde ais men goedvindt, terwijl alsdan door deze waarde, en die van x, y, a en i, zal bepaald zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
li -J“ b nbsp;nbsp;nbsp;tl “b b
gcvolgclijk kunnen fteücn :
X -b y — p “b y — f X ^)
“b nbsp;nbsp;nbsp;-p z»
deze herleiding is nu wel geene divific, hoedanige thans bedoeld wor,dt: noatans kan dezelve als zoodanig worden aangemerkt.
-ocr page 65-N . II. UiTGEXVEKKTE T)i\isiR'^ ^ firekkende ter opheldering en beoefening van §• 5^’
deeler nbsp;nbsp;nbsp;deeltalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quotient
a — 32'lt; nbsp;nbsp;nbsp;— 6 a hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b'^S a — •^b
^ nbsp;nbsp;nbsp;— o.abnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i-
lab^ -f \o.abc
4lt;7Zgt;^— SZ»® 4- 3/7®c—izabc—274'® i^nh'^— 8Zgt;®—_iib^ c
— 6öZ’C^4-I2Zgt;-c 9(76-* — 27c®
_ ~-i^^nbc -f- Jéb^c -j- 18 bc^ '
rest
1° Divideer 9 a 2° Divideer
3quot; Divideer' —'v® — a 4” Divideer lt;5 x 31
— 11 a b
Voorbeelden, ter beoefening van de Divosje der ftelkundige uitdrukkingen.
RJen vrage: hoe menigmaal is a begrepen op aS ? komt «2, voor het eerfte gedeelte des quotients:, nunbsp;vermenigvuldige men den deeler a — ib — ^c met ditnbsp;eerfte gedeelte «2, komt voor het product «3 —aaainbsp;ia^c, dit ftelle men onder het deeltal, om hetzelve daarvan aftetrckken. Men houdt, na de aftrckkine,nbsp;-- 4«2 b -|-i2lt;ji2-f-3a2 e—giS —o/cS over. - Bdennbsp;drage zorg, om altijd de termen van elk nieuw ovcr-ichot, naar' de afdalende magten van den eerften termnbsp;«, des deelers, te ordenen.
.Men vrage: hoeveclmaal is a op —4«2J. begrepen? kpmt -^^ab maal: Men-nniltiplicere den deeler metnbsp;dit tweede gedeelte des quotients’, en men trekke hetnbsp;prodttcr —4 «2 i-j-8 a ^2 4-12 « i e van de eerfte restnbsp;af, komt 4^k^^8b3^^aZc~^i2abc —.27 c3.
Men ga, om de overige deeleu van het quotient tc Vinden j op dezelfde wijze te werk.
4 b^
¦ 3 b 6 X z —
door
X 4quot; nbsp;nbsp;nbsp;•— 310 door X
sa —¦ 2 b X? komt: 3 rz —¦ 2 Zgt; _ x.
xquot;- 7 -t- X 31^ -f 3®? komt: nbsp;nbsp;nbsp;— x^ y X — v®.
.q nbsp;nbsp;nbsp;3’ -f « 4- Z-.c* kewt —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; a y b y ~ a'^ — lt;gt; a b — ID
8 3 2 4- 9 3- p ^2 __ nbsp;nbsp;nbsp;— i2 — 3z si X? komt x sy — S^ i-.
NB. Behalve de uitwerking dezer voorbeelden, zal nien 7irh in Hivio-i ir.,. n n j-- nbsp;nbsp;nbsp;- gt; i».
14? IS en cier uiegewerkte voorbeelden van dc tabellc rs’® i door den nbsp;nbsp;nbsp;uitdrukking oefenen kunnen, door de produélen van, de i'’, 13
de tegenzijde dezer tabelie geplaatst, op dezelfde wv'ze, te belmndelen nbsp;nbsp;nbsp;vermen.gvudtger te deelen, en door de 9 laatfte der op|cgevene voorbeelden , op
Ontwikkeling van flelkundige Breuken in oneindig voortloopende wederkeerige Reekfen,
rr I — jc nbsp;nbsp;nbsp;-k-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— xquot;^ 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— enz.
(i 4- xy 1 a *•
= i — 2. X nbsp;nbsp;nbsp;— 4^’ 5^'^ — 6 5;^ 4-7^® — enz.
= I — 3 X 6 nbsp;nbsp;nbsp;— 10 x3 15nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 21 X* 28 X® — enz.
1 3x4- 3_x^
— = I 2 X 3 nbsp;nbsp;nbsp; 3 x'quot; -1- 7 -f 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 15nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-t- 31 -f 17 ar» enz.
t6 — 67 X
= 16 -f- 13 •*¦ -f' 49 nbsp;nbsp;nbsp;232 x5 ijii x^ 5323 X® enz.
= I 3 2 4 nbsp;nbsp;nbsp; 7 2^ II 2^ -f 18 2* 29 2« 47 27' enz.
3 = 1 2-1-2 2^^ 2 2® 4-3 z''- -1-3 2* -4-4^® 4 2^-1- enz.
— 2 —— 2- 2
-^ 3 ^ - ’^. _.— 2= I 2 X 2 X® 4 X® 4 x'*' 8 x^ 8 xquot; 16 x7 16 X® enz.
I X - 2 X® —— 2 X^
Deze ontwikkelingen kunnen, in de eerde plaats, ter verdere beoefening der deeling ftrekken, en zullen in het vervolg dienen, om proefkundig aantetoonen, hoe de bijzondere leerwijze der wederkeerige reekfen, op eene eenvoudige wijze, dezelfde uitkomften als denbsp;dadelijke deeling oplevert. Men raadplege hetgeen, wegens deze reekfen, in de LXVII hts,pag. 447, en verv. zal gezegd worden.
j, gens het eerfte geval, den eerflen term van het deeltal door ,, den eerflen term van den deelcr: het komende quotient merktnbsp;,, men aan ah een gedeelte van het gezogte, vermenigvuldigtnbsp;,, den deeler met hetzelve, en trekt het komende produamp; vannbsp;„ van het deeltal af, wel in acht nemende, de termen vannbsp;,, het verfchil, naar de magten van dezelfde letter, en op de-,, zelfde wijze, als het deeltal, te rangfchikken. Het verfchilnbsp;,, merkt men aan ah een nieuw deeltal, hetwelk men vcrvol-„ gcns op dezelfde wijze behandelt d’’
§• 59- Volgens dezen regel, -j-j- is de Helkundige deeling ecne trapswijze omwikkeling van het quotient, gelijk de divi- ,nbsp;{ie der gebeele getallen in ecne trapswijze benadering van hetnbsp;quotient beflaat. Wij hebben de voorbeelden, ter toepasfingnbsp;van dezen regel {trekkende, op de voorlte zijde van Tabcllenbsp;II. geplaatst: het inzien dezer uitwerkingen, gevoegd bij denbsp;volgende verklaring, zal den lezer in Haat Pcellen, onvdezenbsp;bewerking zich eigen te maken.
Verklaring. In het i. ^-oorbeeld, moet «2- — hs. door a — i gedeeld worden. Men fehrijft, even als of men .getallen deelde; den doe-ler vooraan, en achter hetzelve het deeltal, ecne plaats voor het quotient latende: deeler en deeltal zijn beide, zie §, 44, naar de al'daleiide rnagten van a geordend, hlen vrage mi: hoe menigmaal is de eerfte terranbsp;a des dcelers op den eerflen terra des deeltals begrepen ? racii vindtnbsp;volgens §. 51, n maal: deze a wordt als de eerfte terra des quotientsnbsp;riangezien, en in de plaats, voor het quotient beftemd, gefchreven: mennbsp;vennenigvuldige nu den deeler n — b met den eerften term des quotients a, en trekt het komende produdt —a b, (in de bewerkingnbsp;niet * gctcckcnd,) af van het deeltal 02 — ^2, en de rest is«^' — b^ :nbsp;dit is de eerfte benadering: het is uit dezelve blijkbaar, dat men fehrij-ven kan:
n‘2- — ^2 nbsp;nbsp;nbsp;n h —
¦ -¦¦' --- a U-----7
a — b nbsp;nbsp;nbsp;n — b
Men bcfcliouwc nu ah — b- als een nieuw deeltal en vrage: hoe menigmaal is de eerfte terra a des declcrs op den cerllen terra a b des dccl-tals begrepen? (jr.cv moet zich namelijk bij elke nieuive tieeling bij de eeyfie termen yan den deeler en het deeltal bepalen ,) men vindt b malen :nbsp;deze b is nu de tweede terra v:m het quotient, en d:tar n ¦ . h vermenigvuldigd met b gelijk is aan ah —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, blijkt hieruit: dat do deeling
iiüst opg;iat en het begeerde quotient volkon.eö .aan « -{- i gelijk i.s.
Op dezelfde wijze zal het blijken: d..i ook, in de andere voorbeelden, de d.celing ^ene trapswijze ontwikkeling v.in het quotient is. Aldus isnbsp;ill het tvveede voorbeeld:
WISKUNDIGE LESSEN.
it h ^ 9 nbsp;nbsp;nbsp;y 3 ^ ^ “t* ^
cn in het derde voorbeeld,
ö3 -f- nbsp;nbsp;nbsp;- ,
a’\-b nbsp;nbsp;nbsp;”
^ab -
-— nbsp;nbsp;nbsp;b'o
a b nbsp;nbsp;nbsp;a b
§. 6o. Wij kunnen niet voorbij, om den leerling bij deze gelegenheid te doen opmerken: dat de Helkundige divifie ons,nbsp;onder anderen, deze twee gewigtige waarheden leert:
1° ff De fom van twee gelijkjlachtige onevene magten jcin i -}-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(n een zeker geheel getal zijnde^) is altijd
door de fom van derzeher wortelen deelbaar: en het quotient, dat uit 2H I termen heflaat^ is van den vorm x-’gt; —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y
— nbsp;nbsp;nbsp;- 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz. — xy^»-x -(- ji2» ; zijnde de laatfte term
altijd pojitief, en op één na de laatfle negatief, het zij n een even of oneven getal is. De fom van twee gelijkflachtige eve-ne magten is, op deze wijze, door de fom van derzclvernbsp;wortels niet deelbaar.
2^ ff Het verfchil van twee gelijkfachtige magten, het zij evene of onevene, is altijd door het verfchil der wortels deelbaar, aldus is:
----1— z=z X”—'V 4- xquot;— X»—3 72 4- enz, -1- x'^y’‘—3 -l-
X—y
xy»—2 -f- jiB—I
welke waarheden van een nuttig en uitgeftrekt gebruik zijn.
§. 61. Wanneer de dcelingen niet opgaan, dan maakt men, even als in getallen, zie §. 141, I. C. het overfchot tot dennbsp;teller van eene breuk, waarvan de deeler de noemer is, bijnbsp;voorbeeld;
x^^ — 3 quot;V 3_^_ j _j__£_
X— 2 nbsp;nbsp;nbsp;X— 2
aquot;- bv_ ^^ nbsp;nbsp;nbsp;2Zgt;2
a-l- b nbsp;nbsp;nbsp;a — b
5. 62. ft Men kan echter de gebrokens, uit de laatfle, overfchotten der deeling ontflaande, [* een overfchot is nunbsp;het laatfle, wanneer alle de termen van het deeltal in rekening gekomen zijn,] op eene wijze, welke in allen opzigtenbsp;aan de ontwikkeling van eene gewone in eene tiendeligenbsp;breuk gelijkvormig is, (zie §. 378 en §. 381, I. C.) in eene
on-
-ocr page 69-39
TWEEDE CURSUS.
onbepaalde voortloopende reeks van rennen ontwikkelen. Stellen wij, bij voorbeeld, dat — 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 5^* — 19 x 18
door — X 1 moet gedeeld worden? dan zullen wij, deze deeling uitwerkende,
decler nbsp;nbsp;nbsp;deeltalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quotient
-x I (-3x3 5xa-19x4.isf 3x^-2x I7 4----
1-3x3 3x=^ nbsp;nbsp;nbsp;(.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-xfi
2X^-I9X 2X® — 2X
— nbsp;nbsp;nbsp;I7X 18
— nbsp;nbsp;nbsp;I7X 17
I. laatfte overfchot der deeling.
voor het , ware quotient 3 x'
dC-f- I
2X 17, als het geheel, en ¦
gen, in hetwelk 3 x^
als het gebroken moet aangemerkt worden; maar men zal de deeling verder kunnen voortzetten, en daardoor het gebroken I : — X I in de termen eener onbepaald voortloopende reeks kunnen ontwikkelen , en deze ontwikkelingnbsp;zal op twee onderfcheidene wijzen kunnen worden uitgevoerd: want, vragen wij, altijd dezelfde bewerking herhalende, hoeveelmaal is — x op i begrepen? dan verkrijgen wy —~ voor het quotient; vermenigvuldigen wij dannbsp;den deeler — x i met dit quotient, en trekken wij het
produft I — J_ van het deeltal i af, dan zal de rest dezer nieu-X
we deeling .1. zijn: men zal dus voor het totale of naauw-keurige quotient Hellen kunnen:
OC nbsp;nbsp;nbsp;• X I
wederom, vragende: hoeveelmaal is — x op begrepen ?
zal men, zie §. I. C., voor het quotient vinden
en,
C 4
-ocr page 70-40 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
en, wanneer men den deeler —a; r met dit quotient ver-menigvuldigr, en het komende produdl van het deeltal aftrekt, zal de rest der dealing q—L zijn, en het totale naamvkeurige quotient zal door
I nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ï ¦¦
3*2 — 2a;-t-I7----r-l----
” nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— X l
1 I I . nbsp;nbsp;nbsp;l:*3nbsp;* *2
welke laatfle, op nieuw ontwikkeld zijnde, geven zal:
„ nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I I I 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i:x‘^
3*2 _ 2 *4- IJ-------------f -----
* nbsp;nbsp;nbsp;*2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*'*¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— X l
§. 63. Men zal zich door voor * eene zekere waarde aan-tenemen, proefmatig kunnen overtuigen, dat alle deze voor het quotient verkregene uitdrukkingen naauwkeurig zijn.nbsp;II Het blijkt intusfchen uit den regelmatigen voortgang dernbsp;ontwikkeling: 1“ dat elke nieuwe term van het quotient van
den vorm ^ zal zijn; a® dat overal het quotient en de rest
der deeling, op de teekens na, gelijk zal zijn; en 3“ dat, vermits het produét altijd eenen term meer dan het deeltalnbsp;bevat: die deeling, hoe onbegrijpelijk ver zij OOk mogtönbsp;worden voortgezet, nimmer zal opgaan.
64. A'Vij verkrijgen dan, voor het quotient de oneindig yoortloopende reeks:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
-f 3^2 _ 2* 17-^-^
I , I : *«
— --
X» — X -f- I
omtrent, welke moet aangemerkt worden: 1° dat zij, wanneer men het laatfte gebroken, waar voor men ook 1’chrijven
x-(i — x)’ ....................... .
het quotient uitdrukt; 2° dat de termen dezer reeks fleeds kleiner zullen worden, wanneer x gt; i js, en, fleeds groo-
kan --7—--\ 5 niederekent, naauwkeurig de waarde van
-ocr page 71-41
ter, wanneer x lt; i is. * De reeks wordt gezegd: in het eerde geval, te convergeren of zamenteloopen: dat wil zeggen: dat de fom van een grooter aantal van derzelver termen nader komt aan de waarde van de breuk, waaruit zijnbsp;is afgeleid; en in het tweede geval te divergeren: dat wilnbsp;zeggen, dat de fom van een grooter aantal termen deedsnbsp;verder van de waarde der breuk zal afwijken.
kan nog op eene an
ar -b I
S- 65. Maar het gebroken
dere wijze ontwikkeld worden. Men weet: dat de yerplaat-ling van de termen eener uitdrukking in derzelver waarde geene verandering maakt.- men zal gevolgelijk in plaats vannbsp;— X I dellen kunnen I — zulks Uoende zal men voor
de ontwikkeling van het gebroken ¦:--, vinden:
1----^
A nbsp;nbsp;nbsp;vv
: I -1-
I - -v nbsp;nbsp;nbsp;l ~ X
en, in het algemeen :
1
1 -x'
X»t1
I -{- X -j- x^ -j- x^ -b xquot;! enz, -b x» -b
- uit het
(16) Uit deze uitdrukking volgt, wanneer men den term
aehterlle in hot voorde lid overbrenet:
I 4- A' -b n - 4- -b
I — X I —. X nbsp;nbsp;nbsp;I xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x I
en deze vergelijking met a vermenigvuldigende of, in plaats van » ¦f' * Hellende « , de vergelijking
x”_I
a X ---^ — nbsp;nbsp;nbsp;4quot;'tA2 -j-a.vs -f- enz. 4quot; « x'‘ — *
Deze is dezelfde vergelijking of-formule, tVelke wij §. 83S, pag. 44S, I. C. voor dc fom van » termen der meetkundige reeks *, u x, a xx ^nbsp;uit andere beginfclen hebben afgeleid.
Stellen wij x kleiner dan !gt; en gelijk -E, (r altijd een geheel getal
r
^rcoter dan één zijnde;) dan zal
I _ ï _ r
— .V quot; nbsp;nbsp;nbsp;1 — 1 I J' - ~ r — I
-ocr page 72-42
AVISKUNDIGE LESSEN.
§. 66. Dit quotient verfchilt in deszelfs vorm aanmerkelijk van het eerfte, namelijk van
I nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
--—--- — e»z. ¦
X nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^
I : xn
• a: I nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^ * — X I
dan, hoezeer deze vormen onderfcheiden zijn, hebben nog-tans deze uitdrukkingen dezelfde waarde, hetgeen bij de proef blijken zal, indien men voor ar eene zekere waarde, bij voorbeeld, x = 4 aanneemt; want dan zal men vinden:
ï nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l:x2
¦ar-j- I
— ar -h r
4 nbsp;nbsp;nbsp;ld'*' - 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
¦-= I - • ar -b ar^ -j--— j 4 -|- 16 -j--=--—
l-x ^ nbsp;nbsp;nbsp;gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘ i-xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
en diezelfde gelijkheid van waarde zal, voor elke waarde van X, en elke bijzondere meer of mindere ontwikkeling, welke
men in de eene of andere onderllelling aan —^; zal gege
ven hebben, beftendig blijven bettaan.
§. 67.
¦ nbsp;nbsp;nbsp;-j- ——nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— -f- —- -t- enz,
r * nbsp;nbsp;nbsp;• rS ‘ r4 ‘nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
worden: het laatfte
r” (r — l)
gebroken zal alzoo fteeds kleiner zijn, naar mate « grooter wordt en verdwijnen, wanneer gt;( oneindig groot wordt: men zal gevoigelijk hebben :
1,1,
—— -4- - -4-
,•3 ^ r4 ‘
en aan beide zijden i aftrekkende
_i_ -L-b .1. 4. JL j.
r — 1 r * rZ * nbsp;nbsp;nbsp;^
4- enz.
Hoeveel termen men nit van de reeks-L -bneme, derzelver fom zal
r '
altijd minder dan
zijn; doch hoe meer genomen worden, des te
nader zal derzelver fom aai
komen: men zal dus
als de li
miet van de fom van de termen der afdalende meetkunftigc reeks kunnen aanmerken, en het is in dezen zin, dat deze en foortgelijke vergelijkingen moeten verftaan worden.
..tellen wij r 10, dan is:
I
— e=-l-4._i_4.-JL4-_i.4-
9 nbsp;nbsp;nbsp;10 ~ 102nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘ Io3 ‘nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I04nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘
»2.
0,fO
vergelijk §. 385, I. c.
TWEEDE CURSUS.
S. 67. Ten opzigte van de laatfte ontwikkeling, moet men aanmerken ; dat, wanneer jc lt; i is de reeks convergeert;nbsp;maar integendeel divergeert, wanneer ar gt; i is, juist hetnbsp;genftelde van hetgeen in de eerfte reeks plaats heeft. ^
§. ö8. Men kan .alle Helkundige breuken, welker tellers cn noemers, naar de opklimmende of afdalende magten van eenige grootheid X, (die men als veranderlijk kan aanmerken,) geordend zijn, door divifie, in eene onbepaald voortloopende reeks herleiden, ennbsp;deze herleiding kan op twee onderfcheidene wijzen plaats hebben.
ztjn.
Xquot;
1 -}- 3 X
Wanneer men den deeler en het deeltal, (teller en noemer,) naar de opkümmcnde magten van de veranderlijke grootheid x ordent: innbsp;dit geval, zullen ook de termen der reeks naar de opklimmende magten van de veranderlijke grootheid x geordend en van den vorm px'‘nbsp;zijn, (n een geheel getal zijnde.) 2quot; Zal men den deeler'en het deeltal beide naar de afdalende magten der veranderlijke grootheid x kunnennbsp;rangfehikken: in dit geval, zal de ontwikkelde reeks naar de opklimmende negatieve magten, hetgeen men ook noemen kan, naar de afdalende magten van x, geordend en van den vorm — of px ”
Stellen wij, bij voorbeeld, het gebroken
r -|- 2 X - - 2 nbsp;nbsp;nbsp; x^*
Indien men het gebroken, zoo als de termen van deszelfs teller en noemer, naar de opklimmende magten van x, geordend zijn, ontwikkelt, vindt men:
I -f- X -
X9 -f Xl°
3 X~ 3 X® — x^ ~ X^ -f-
......(^'0
I -f- 3 X -|- x^
I -j- 2 X 2X=^ -f- x3
3 x» 3
I 2 X -j- 2 X^ X^
maar, wanneer men hetzelve naar de afdalende magten van x órdent, en in dien to eiland, door divifie, in eene reeks ontwikkelt, zal mcunbsp;vinden:
x= 3 ^ i__
x“ x'^ 2 x^ -f- 2 X -f I §. Deze ontwikkeling der Helkundige breuken in onbcpaalddnbsp;voortloopende reekfen, is vooral in de Integraal Rekening, van zeernbsp;veel gewigt, en hoezeer dezelve door andere, cn in zeker opzigt ge-fehiktere, handelwijzen kunnen worden daargefleld, hebben wij nog-
tans
-ocr page 74-44
tans op de tegenzijde van Tabcllc N** II. daarvan een goed aantai voorbeelden gegeven, De tweeledige ontwiltkeling, waarvoor elknbsp;gebroken vatbaar is, maakt, dat men dien vorm kan uitltiezen, welkenbsp;de ontwikkelde reeks het meest doet convergeren.
§. 70. Het is bekend: dat in getallen de deeler, met het quotient eener divide vermenigvuldigd, en bij dit produft dc rest der deeliiignbsp;opgeteld zijnde, deze fom het deeltal moet voortbrengen: in de deelingnbsp;der fteikundige uitdrukkingen is de zaak op dezelfde wijze gelegen.nbsp;Pasfen wij nu dit beginfel toe op de reeks (^) van §.’ 68 , en vermenigvuldigen wij het quotient i x — snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. met den dee-
ler, dan zal men, zie onderftaande bewerking,
1 X-— 3x-3x^ — X'* —
I 4 2 V-{quot; 2 nbsp;nbsp;nbsp;-{• X®
x —
6x‘^ —2.x'-
I X —3X- 3x3 ¦
-j- 2X7 nbsp;nbsp;nbsp;;
2 X “I” 2 .X^ nbsp;nbsp;nbsp;^
ex^ 2x3 — nbsp;nbsp;nbsp;-j. dx3 — 2X® — 2X-7 2x3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2X^
x3 nbsp;nbsp;nbsp;X — 3x3 3X0—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^7— x® x^^ xt®
reit der laatjle-deeling........— 3x® — 3x^ —x^‘’
1 3 X x^ prodüB gelijk het deeltal. nbsp;nbsp;nbsp;^
vinden: dat door deze multiplicatie het deeltal of den teller weder wordt, voortgebragt: maar zulks kan nu niet gefchieden, ten zij allenbsp;dc verticale kolommen, (in ons geval, van de vierde kolom af en medenbsp;gerekend,) zoodanige termen bevatten, welker fom overal gelijk nutnbsp;is; zoo als men dan ook iucledaacl zal bevinden plaats te hebben,nbsp;zelfs al ware de reeks door divifie tot verfcheidenc milliocnen termennbsp;voortgezet geworden. Ji iar hoe zijn nu de termen van elke verticanbsp;Ié kolom in de multiplicatie gevormd geworden? Beginnen wij, omnbsp;zulks te verklaren, bij de vierde. De eerde term 3x2 is het pro-diia: van den vierden term der reeks met den eerften van den deeler; denbsp;tweede term — 6 x® is het produét van den derden term der reeks metnbsp;den tweeden term des deeiers; de derde terra 2 x^ is het produétnbsp;van den tweeden term der reeks met den .derden term des deelers; cnnbsp;de vierde term is het produft van den eerften terra der reeks metnbsp;den vierden term des deelers. Hieruit blijkt dan ten klaarfte: jf dat,nbsp;wanneer men de vier eerfte termen der reeks in rangorde uitfchrijft,nbsp;en onder dezelve de termen des deelers, in eene omgekeerde orde,nbsp;en Yoords de onder ellcandcr ftaande termen vermenigvuldigt, de pro-duclcn de termen der vierde kolom geven zuilen:
ter-
-ocr page 75-termen der reeks i . . . -j- x termen des deelers x'^ . .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
¦produSlen ... nbsp;nbsp;nbsp;2 x^ . . — (j x^ . . . 3x3
welker fom, zoo als wij bij de proef gezien hebben, en hetgeen ook noodzakelijk zoo zijn moet, gelijk nul is. Voor de vijfde, zesde ennbsp;volgende kolommen zal hetzelfde plaats hebben. Hieruit volgt dus:
S- 71. ff Dat eene reeks ^ welke uit de ontwikkeling van een Jielkundig gebroken door divijie geboren wordt, de merkwaardige eigenfchap hebben moet, dat, wanneer men, van dennbsp;eerflen term afterekenest, en voorts de geheele reeks door, tot innbsp;het oneindige, even zoo vele op elkander volgende termen innbsp;rangorde neemt, als er termen in den noemer der ontwikkeldenbsp;breuk voorkomen, en men voorts alle deze termen, in hunnenbsp;natuurlijke rangorde met de termen van den noemer der gege-vene breuk, maar in eene omgekeerde rangorde genomen, vermenigvuldigt , daarbij op de teekens behoorlijk acht gevende,nbsp;de fom dezer produSien altijd gelijk nul zal moeten zijn.
%. 72. ff En hierdoor zal men, wanneer een genoegzaam aantal termen der reeks door divifie is bekend geworden,nbsp;de volgende zeer gemakkelijk kunnen vinden. Laten wij, daarnbsp;alles op het vinden der coëfficiënten aankomt, de coefficientnbsp;van gelijk p (lellen, dan zal men:
— I, I, I, 7gt;
respetflievelijk met
- I, -j* 2,
moeten vermenigvuldigen, en de fom der produdten gelijk o Hellen, en wij zullen alzoo verkrijgen de vergelijking:
tw p — — 3: wederom de coefficient van zzz q (lellende, zal 1 2 nbsp;nbsp;nbsp;6 -^ = oen^r::-j-3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;» ^tiz.,
en men zal alzoo gemakkelijker, dan door de deeling, de volgende termen der reeks kunnen vinden.
S- 73. * Reekfen, welke, gelijk die van (^) en (Jf), de eigen fchap hebben: dat een zeker aantal van derzelver op elkander volgende termen , elk in het bijzonder, met zekerenbsp;grootheden vermenigvuldigd zijnde, de fom van derzelver producten altijd gelijk nul is, worden wederkeerige reekfen,
(fe-
-ocr page 76-40
WISKUNDIGE LESSEN.
(feries recurrentes,) genoemd. * De grootheden waarmede die op elkander volgende termen vermenigvuldigd worden., noemtnbsp;men de fchaal van de onderlinge overéénkomst der termen,nbsp;(fcala relationis). ff De meetkundige reekfen zijn onder denbsp;wederkeerige reekfen die van de eenvoudigde foort. In hetnbsp;vervolg zal de befchouwing van de eigenfchappen dezer reekfen verder worden voortgezet.
VIER- EN- VEERTIGSTE LES.
Over de flelkundige Breuken in het gemeen.
74. Door flelkundige breuken verflaat men alle uit~
dntkkingen van den vorm het zij a en b éénledige of
b
veelledige uitdrukkingen zijn. ff Elke uitgedrukte divide ’ kan, zie §. 52, als eene delkundige breuk worden aangemerkt.
75-
Omdat in eene delkundige uitdrukking de let-
b
ters a b alle waarden hebben kunnen, zijn in deze delkundige breuk, gelijk in alle andere, hoe zaïnengefteld der-zelver teller en noemer zijn moge, alle die bijzondere foor-tcn van breuken begrepen, welke §. 273—§. 279!» L C. zijn opgeteld, en moeten dus gehouden worden alle de hoofdei-genfchappen der breuken, in de XIX. Les, §. 281, et feq.nbsp;1. C., verklaard, met elkander gemeen te hebben.
§. 76. De voornaamfte dezer hoofdeigenfchappen zijn in §. 284 en §. 285, I. C., omdandig genoeg verklaard en betoogd: zij zijn begrepen in de volgende vergelijking:
a an a: n
b nbsp;nbsp;nbsp;b nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b •. H
welke, omdat wij daar ter plaatfe gezien hebben: dat zij voor alle waardijen van a, b tn n geldt, ook gelden zal voornbsp;alle iborten van Helkundige uitdrukkingen , welke men innbsp;plaats van a,. b en n zou willen dellen, daar deze altijd zekere getallen uitdrukken.
77. * Alle één- en veelledige uitdrukkingep van den
vorm
-ocr page 77-47
vorm a X y, %b y^, 9 a — 6 b, i|rt® — % n b worden, al is het ook, dat foinmige van derzelver coëfficiënten gebro-
kene getallen zijn, in vergelijking van de uitdrukkingen
2 nbsp;nbsp;nbsp;X
— , enz., welke Helkundige gebrokens heeten, flelkundige
3 nbsp;nbsp;nbsp;y
geheelen genoemd, ff Nogtans moet men aanmerken: dat, wegens de algemeenheid van de waarde der zamenftellendenbsp;grootheden, de waarde van zulk eene geheele Helkundige uitdrukking een eigenlijk gezegd gebroken zijn kan, terwijl denbsp;waarde van eene Helkundige breuk, (gelijk, bij voorbeeld,
wanneer in de teller a — 6, en de noemer ^ = a is,) b
7y
enz.
een geheel getal kan zijn. * ZamengefleUe of gemengde uitdrukkingen zijn zoodanige, welker termen gedeeltelijk geheele, gedeeltelijk Helkundige breuken zijn; zoo als, bij voor-b
beeld, a nbsp;nbsp;nbsp;— 3 x
§. 78. Volgen wij nu de herleidingen, welke in §. 2S7, et feq. I. C. zijn opgegeven, dan zal het blijken:
1quot; ,, Dat, zie §. 287, elke geheele flelkundige uitdriik-„ king onder den vorm van een gebroken zal kunnen worden 5, voorgefleld, door de éénheid voor den noemer aantenemen.quot;nbsp;Aldus zal
a .. nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a'^ — nabnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a a\h ..
quot; = — zijn; nbsp;nbsp;nbsp;— o.ahr=.--en ~ =- zijn.
aquot; „ Dat men elk geheel tot een gebroken zal kunnen her-,, leiden, dat eenen gegevenen noemer heeft, door dit geheel „ met dien noemer te vermenigvuldigen, en het produEt voornbsp;„ den teller der breuk aantenemend' Raadpleeg §. 288^ l. c.nbsp;Aldus zal
ar .. nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0. ah— b- ..
a— — zijn, en 3a — b ¦=. --!——---zijn.
r nbsp;nbsp;nbsp;a b
3* ,, Dat men elk gebroken, indien het mogelijk is, tot „ eene gemengde uitdrukking zal kunnen herleiden?quot; Vergelijk §. 61. Aldus zal
-ocr page 78-:x
7 b^
a -i- 2 b -i-
X — Z' ^¦-ab b'-
a — %b nbsp;nbsp;nbsp;^ a — 2) b
4® ,, Dat men elke zamtngefielde uitdrukking, uit een ge-
j, heel en gebroken beftaande ^ tot eene Jlelkundige breuk zal
„ kannen herleiden, door het geheel met den noemer der hteuk
„ te. vermenigvuldigen, en bij het product den teller opt et el-
,, Icn.” Vergelijk 5- 290. I. C. Alzoo zal
, b 6 a C -k- b .. nbsp;nbsp;nbsp;21X7-2(7-
2 a 4- — —--‘— zilt), en 7 x--=--———
en al verder,
, ¦ 10ab 2b^ nbsp;nbsp;nbsp;-ab ^b^
^a-2b nbsp;nbsp;nbsp;,en..
79, Het is, even als in bepaalde getallen, van veel belang, de Helkundige'gebrokens tot hunnen eenvoudigflen vorm re herleiden: ff zulks kan nu, wanneer de tellers'en noemers éénledige en daarenboven gelijkflachtige uitdrukkingen,nbsp;zijn, altijd plaats hebben: ,, men'deelt teller en noemer doornbsp;,, de gemeenfchappelijke faamp;oren, welke in dezelve voorkomen,nbsp;„ en, in de éénledige Jlelkundige uitdrukkingen, van zelfs innbsp;,, het oog hopend'’ Vergelijk g. 291, I. C. met §. 51, hiernbsp;boven. Aldus is
W~~bquot;‘ 6irxdf^~~ ibxf e^lt;)a'^bxy‘^ nbsp;nbsp;nbsp;7 ayquot;^ '
een-
§. 80. Somtiids zijn, of de teller of de noemer, ofwel beide veelledige uitdrukkingen, welker termen onderling gelijk-flachtig zijn: ,, 'm dit geval kan men beide door den gemeen-„ fchappelijken factor deelen, en het gebroken tot eenen ,, voudiger vorm herleidend’’ Bij voorbeeld:
o^ax-
1 a bv
— 80 b^ -f 96 nbsp;nbsp;nbsp;b‘^
17 « (x yf — ip b- (x -j- ji)
' e^b^ — yab*-p Ca-b^
____ __i7^(x-b3.')- 194^
3 è (x gt;•)-p 4(^ 3’)^ nbsp;nbsp;nbsp;3^-|-4('V 3')
§. 81. Zoo gemakkelijk gaat het niet, wanneer de .tellers en noemers veelledige uitdrukkingen van den vorm rz x«-p
h xo—'i
-ocr page 79-b x”—! ^ c x^—-d x”—quot;^enz. zijn: het is mogelijk, dat dezelve eenen genieenrcbappelijken fador van den vorm px’quot;nbsp; t] x’—^ s x'--- enz. hebben, (« gt;¦ gt;' zijnde,) ennbsp;zulks brengt ons tot het vraagftuk: om te onderzoeken, of tweenbsp;fielkundige uitdrukkingen van dien vorm eenen gemeenen dee~nbsp;Ier of gemeenfchappelijken faüor hebben ? welks oplosfing,nbsp;behalve in het verkleinen der Helkundige breuken, in allenbsp;de detlen der wiskunde van het srootlle gewigt is, en hetwelk , daar wij deszelfs oplosfing voor het tegenwoordigenbsp;onderftellen, in de XLVII Les opzettelijk, in alle deszelfs bijzonderheden, zal opgelost worden. Intusfchen kunnen denbsp;volgende voorbeelden dit geval ophelderen.
^2- _ nbsp;nbsp;nbsp;a — bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-jquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— n b h ' _
~ J T’ ~7‘LZrh^ nbsp;nbsp;nbsp;a- b
zx^ — l o x — ro _ 2X-j-8
2 x~ — 62 X— 9 nbsp;nbsp;nbsp;2 X l
In het laatfle voorbeeld is x — 9 de gemeene deekr.
S' 82. f| Men kan geene breuken bij elkander optellen of van elkander aftrekken, ten zij, wanneer derzelver noemersnbsp;verfchillen, die breuken vooraf tot denzelfden noemer zijnnbsp;herleid geworden. Om zulks nu op de gefchiktlle wijze tenbsp;doen, moet men, zie §. 296, I. C, het kleinfte gemeenenbsp;veelvoud van de noemers der gegevene breuken vinden. Zienbsp;§. 26Ö, I. C. ft Dit kleinfte gemeene veelvoud is eigenlijknbsp;een getal, waarvan alle de noemers evenmatige deelen zijn,nbsp;onder die bepaling, dat dit getal het minst mogelijk aantalnbsp;ondeelbare faéloren hebbe. Voor de Helkundige breuken isnbsp;het geval hetzelfde: nemen wij, tot een voorbeeld, de breuken :
2a b \2‘*bc nbsp;nbsp;nbsp;3 a^ c \2ab^c
7X-31’ 28x73’ nbsp;nbsp;nbsp;21x7^3^’
dan zal men, elke letter, x, 3', 2, als een ondeelbaar getal, (hoedanig het altijd met betrekking tot de algemeenheid dernbsp;letters is,) aanmerkende, den regel van §. 267, I. C. toe-pasfende, door de volgende bewerking het kleinfte gemeenenbsp;veelvoud vinden:
-ocr page 80-|
2 n 7 |
t X2 3, |
i4 i |
X y |
2, |
% 4 |
x3 32, |
di X y^ 3 |
|
X |
x^y. |
X y |
2, |
4 |
X3 32^ |
3 X 32 22 | |
|
X |
xy. |
y. |
2, |
4 |
X2 32^ |
3 7^ 22 | |
|
y |
ygt; |
y |
2, |
4 |
X 32 , |
3 32 ~x | |
|
y |
I, |
Z |
4 |
y , |
372= | ||
|
z |
I. |
z |
9 |
4 |
X nbsp;nbsp;nbsp;5 |
3 2- | |
|
I, |
I |
9 |
4 |
X nbsp;nbsp;nbsp;, |
3 2 |
zal (17). - „ 3Ien neeme nu, gelijk bekend is, het klein-
„ fle gemeene veelvoud 336 x'^ nbsp;nbsp;nbsp;z'^ voor den algemeenen
,, noemer aan, deele denzelven door den sicemer van elke breuk „ en vermenigvuldige den teller van die breuk met dit quo-
yab
7 y
17 abc_o-oi^abcx^yz
28 xyz 3a^c
-.7x'^ nbsp;nbsp;nbsp;zijnde,
16x^7^
\7abquot;^ c
0.1 xy^
336x331^22
Zijn
(17) Hoe algemeen'cr een regel is, des te meer gevallen beftaan ’cr, waarin men, door bijzondere kunstgrepen, van de toevallige omftandighe-den, waarin zich de gegevens bevinden, langs eenen veel eenvoudiger weg,nbsp;dan door van dien algemeenen regel regtflreeks gebruik te maken, hetnbsp;begeerde vinden kan. Zulks is, bij voorbeeld, hier het geval. Men zalnbsp;het kleinfte gemeene veelvoud van de noemers der gegevene breuken gemakkelijker vinden, wanneer men, 1'' „ het iltinfte gemeene vtelyeudnbsp;„ van de cnefficienten 7, 28, 16 en 2t , zoekt;” dit is het getal 336,nbsp;hetwelk natuurlijk de coefficient van het kleinfte gemeene veelvoud zijnnbsp;moet; en 2* ,, wanneer men die coefficient vermenigvuldigt met de hoogflenbsp;,, der magten van elke letter, die in de gegevene noemers voorkomen.'quot;nbsp;In de gegevene noemers komen de letters x, y en z, voor. De hoogftenbsp;magt van x is xS ; de hoogfte magt van y is 72 ; en die van z is 22 ;nbsp;derhalve zal het kleinfte gemeene veelvoud 336nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijn-
51
TWEEDE CURSUS.
men zal in plaats van de gegevene breuken andere gevonden hebben, welke eenen gemeenfchappeiijken noemer hebben, en tevens dezelfde waarde uitdrukken.
Additie en Snbflraftie der flelku'ndige breuken (18).
§. 83. Indien men Helkundige breuken tot eenen geinecn-fchappeiijken noemer herleiden kan, zal men de regelen voor het optellen en het aftrekken der breuken in bepaalde getallen, in de XX Les^ §. 296, et feq. I. C., opgegeven, op dezelve kunnen toepasfen; want
n n n n nbsp;nbsp;nbsp;n
zijnde, zie §. 297, I. C., ,, zal men^ na alvorens^ indien ,, het modig is, de gegevene breuken onder denzelfden noe-,, mer gebragt te hebben, de tellers dezer herleide hr'euken,nbsp;,, volgens den regel van §. 2Ö, tot één geheel ver'éénigen, ennbsp;,, de foin zal de teller der breuk zijn, welke de fom van denbsp;,, gegevene breuken uitdruktd’’ (19) Indien men dus de
breu-
(iS) wij nemen hier deze twee bewerkingen bij elkander, omdat zij, §. 17, voor zoo verre de ftelkundige uitdrukkingen aangaat, alleennbsp;door de teekens -f- en — ondcrrcheideti zijn, en voor het overige de regels dezelfde blijven.
C19) Hoezeer de gevolgtrekking uit de breuken in bepaalde getallen tot de meer algemeene ftelkundige juist en duidelijk is, zullen wij nog-tans, en wel voornamelijk om aantetoonen: dat de regel van het III. Geval van de oplosQng der vergelijkingen, §. S^ö, I. C. onder andere woorden , die v.in de additie der breuken voorftelt, deze zaak nog uit eennbsp;ander oogpunt befchouwen. zy gegeven de uitdrukking :
d.___L 4- -L _ ^
b nbsp;nbsp;nbsp;i ^ f h
htut derzelver w.aarde door x worden uitged'rukt, dan is: vermenigvuldigen wij nu beide leden van deze vergelijking met zulk cenenbsp;uitdrukking, dat de produélen v.an alle termen gehoele getallen worden,nbsp;dat is, in ons geval, met b d fh; dan zal men verkrijgen:
bdfhx — adfh — bcfhJfbdeh—hifs wanneer men door den coefficient van x deelt,
D 2 nbsp;nbsp;nbsp;* =
-ocr page 82-breuken, welke in §. 82, onder eenen geineenfcbappelijken noemer beriep zijn^ optelt, zal men voor de fom vinden:
144 « ^ xy 2» 204 a h c x'gt;- y z (gt;3 a'^ c%'^ 272 a c x'^
336x3 zi
of, fomraige van de termen des tellers die gelijkflachtig zijn, volgens §. 235 verëcnigende,
4 a bxyz X ($63 51 ex) lt;? r X (6'^a nbsp;nbsp;nbsp;272 b'^x-'^
0,2,6 x-y~z=-
men zal op dezelfde wijze vinden:
3x nbsp;nbsp;nbsp;IJ 3^x 'O. ay
a b nbsp;nbsp;nbsp;a b
2x nbsp;nbsp;nbsp;33' 2b X — 3 f V
ab nbsp;nbsp;nbsp;a'o- b
jx 2v 8 _ i.2b^x—^ahy 3 s
§. 84. Somtijds zijn de breuken, welke men moet optellen, zamengefleld: in dit geval is het veilig van den vorm der bewerking, welke in 298, pag. 190, I. C. is opge-geven, gebruik te maken. Stellen wij, bij voorbeeld, datnbsp;gegeven is:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
X— I nbsp;nbsp;nbsp;4x4-3 x-fl
en dat deze fom tot eenc breuk moet herleid worden.
b cl fh
Dit is dezelfde uitkomst, welke men door de Additie der gebrokens zou gevonden hebben: men ziet intusfclien, dat tot het wegmaken der breuken uit de vergelijking ileciits zulk een getal vereischt wordt, hetwelknbsp;door de noemers der gegevene breuken deelbaar is: daar nu het kleiiiftenbsp;Semeene veelvoud der noemers, onder alle mogclijke getallen, welke daaraan voldoen kunnen, het eenvoudigftc is,'ziet men: waarom in den regelnbsp;van het Ilf. Geval is voorgefclireven, om de termen der vergelijking metnbsp;het kleirifte gemeene veelvoud der voorkomende noemers te vermenigvuldigen , en de overeenkomst tiisfchcn dien regel en de Additie dernbsp;breuken is duidelijk.
-ocr page 83-gi^iucene noemer 9x4—6x3 — 12^^ nbsp;nbsp;nbsp; 9 herleide breuken
tellen der herleide breuken, welke moetennbsp;worden opgeteld.
12 X® P X^ — 12 X p 32 x3 8 X^ — 60 X — 3Ö
— nbsp;nbsp;nbsp;8x3 14x^4- 3x— p
komt :
32 x3 37 nbsp;nbsp;nbsp;— 65 X — 60 voor de fom der
tellers van de herleide breuken.
Verklaring, Diinr de noemers der gegevene breuken geene gemeen-fchappelijkcn deeler hebben, moeten dezelve vermenigvuldigd worden om den geraecnen noemer 8 x4 — 6x3 -— 17.vit 4- 0 * 4. 9 te vinden.nbsp;i^den deelt dezen gemeenen noemer door den noemer 2 x — 3 der eerdenbsp;breuk, en vermenigvuldigt het komende quotient 4.rS 4-3 x2-~4X — 3 ,nbsp;met den teller s, en dan verkrijgt men, voor den teller der herleide breuk,nbsp;12 v3 9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 12 X—g, enz. t)e fom der gegeveile breuken is alzoo :
32 x® 37 x^ — 65 .V — 60 8 x4 — 6 x3 — 17 x'^ 6 X p
Multiplicatie der ftelkundige breuken.
fio) Men kan dezen regel nog .ildiis bewogen. Stel — — p en .’. cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
; dan zal X ~ — P J zyn ; nu ts « = /; p en c — d j,
§. 503, I. C. Wanneer men nu deze vergelijkingen met elkander vermenigvuldigt, verkrijgt ment a c quot; b d y. ]gt; q, en deze laatfte vergelijking door i d deelende, zal, zie §. 303, I. C.
c nbsp;nbsp;nbsp;a c
bd'
-ocr page 84-54 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
daar nu alle Helkundige breuken getallen uitdrukken, zal die regel ook gelden voor zulke Helkundige breuken, welker tellers en noemers uit faftoren zamengeHeld, of wel veelledigenbsp;uitdrukkingen zijn: men zal dus hebben;
y a xz 4 f
12
4^7
ax
- X--X -
37
a nbsp;nbsp;nbsp;b
x~ —{a — c)x-
x-i- 3 _ 17
5 ^
- X —i—
17 X
x^—9 5x 5X-1S
Het zal niet noodig zijn dezen regel door een grooter aantal voorbeelden optehelderen. .
Divifie der flelkmdige breuken.
§. 86. Het is in §. 349, I. C., gebleken: dat, in het algemeen :
a c _ a d _ad
T ‘lï Tquot; — bc
is (21) , welke regel op alle meer zamengeHelde Helkundige uitdrukkingen kan worden toegepast. Aldus zal:
3d bz^
x'^ y X y y x^ y zijn, en daar men in alle andere gevallen de divifie, door om-keering van het deeltal, tot eene multiplicatie brengt, kannbsp;deze bewerking, indien men die 'der multiplicatie wel yer-llaat, geene zwarigheden hebben.
Cu) Deze regel kan op, eene gelijkvorinige wijze, als de regel der multiplicatie in de voorgaande noot, betoogd worden. Zij ~ zxzp en . . .
b
- zxz ~ zijn, en daar nu a 22: h p en c ~ d q
b ~ nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
is, zal — — 2— zijn; vermenigvuldigen wij deze laatfte met d, dan Iteeft c d i
men:
d d b p
— q; dan zal —- : —-d nbsp;nbsp;nbsp;b d
en deelcn wij de l.aatfte door Zgt;, dan zal men verkrijgen: d d _ _f_y-£ _ 2— — JL ¦
WIS-
b c h ^ c nbsp;nbsp;nbsp;fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i ' i'
-ocr page 85-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;55
X. BOEK.
Over de vierkants-vergslijkingen, derzelver oplosjing en df oplosfing van eenige vraagflukken, die tot de tweedenbsp;magt opklimmen.
V IJ F- EN- veertigste LES.
Over de vierkants-vergelijkingen in het gemeen^ en derzelver oplosfing.
K. 87. oor eenige oogenblikken den draad van ons begonnen onderwerp afbrekende, zullen wij ons voor het tegenwoordige opzettelijk bezig houden, om den aard en de hoedanigheid der vierkants of tweede magts-vergelijkingen te verklaren. Wij hebben dezen uitllap noodig geoordeeld: 1° om den Lezer, door eene aangename afvvisfeling, niet te langdurig met deze eenigzins afgetrokkene befchouwingen der ftelrnbsp;kundige uitdrukkingen bezig te houden, en 2.° omdat denbsp;kennis van den aard en de oplosfing der vierkants-vergelijkingen ons in onze verdere befchouwingen fteeds behulpzaamnbsp;zal moeten zijn.
§. 88. Wij hebben, §. 522, I. C. reeds met een woord van de tweede en hoogere magts-vergelijkingen gev/ag gemaakt, en in de XXX Les de oplosfing van die der eerftenbsp;magt verklaard. * Eene vergelijking wordt gezegd eene vier-kants-vergelijking te zijn, wanneer de onbekende grootheid innbsp;dezelve tot de tweede magt, of het vierkant, opklimt. Alzoonbsp;zijn rt a-2 — h z=z o en a x^-\-hx^c-=zo vierkants of
tweede magts-vergelijkingen. - * Op dezelfde wijze,zal
eene derde, vierde, en, in het algemeen, magts-vergelijking zulk eene vergelijking zijn, in-welke de onhcketide tot
D 4 nbsp;nbsp;nbsp;dé
-ocr page 86-WISKUNDIGE LESSEN.
in het algemeen^ tot de magt op
56
en.
de derde, vierde, hlimt.
§. 89, Maar alle deze tweede en hoogere magts-vergelijkingen onderfcheiden zich in twee groote hoofdfoorten: te weten, in eenvoudige en meer of min volkomene. * Eenenbsp;eenvoudige tweede , of hoogere magts- vergelijking , is zulknbsp;eene, waarin de onbekende, in alle de termen, waarin zij voorkomt, tot dezelfde magt opklimt, en diensvolgens tot den vormnbsp;ax'‘ b kan gebragt werden. De oplosfing van zulke vergelijkingen hangt, zie §, 530, 1. C. van de magts-wor-
teltrekking af, en men zal hebben : x^:]/
a a
Zie §. 800, I. C. noot (74). nbsp;nbsp;nbsp;* Eene volkomene hoogere
magts-vergelijking is zulk eene, in welke, behalve de hoogde magt der onbekende, ook alle de daarop volgende pofitieve lagere magt en der onbekende, tot en met de eerfle magt ingefloten, met eenen geheel bekenden term voorkomen. Alzoo is:
a x~ b X c — o eene volkomene vierkants-vergelijking,
a -\-hx^-\-cx-{-d = o
eene volkomene derde magts-vergelijking, enz. * Eene hoogere magts-vergelijking i's onvolkomen, wanneer één of meer lagere magten der onbekende ontbreken. Alzoo is xquot;- —nbsp;17 jc = 100 eene onvoikomene derde magts of cubilc.'ienbsp;vergelijking, jj- De eenvoudige hoogere magts-vergclijkingennbsp;zijn in deze klasfe van onvolkomene vergelijkingen begrepen.
§. 90. j-f De onvolkomene en eenvoudige vergelijkingen kunnen begrepen worden uit de volkomene te ontdaan, wanneer fommige van de coëfficiënten der volkomene vergelijkingnbsp;gelijk nul worden aangenomen. Alzoo ontdaat uit de volkomene vergelijking, x^ — a x- -j- b — cx -h d=: o, denbsp;onvolkomene x^^ b — c x -f. d= o, door « = 0 te dellen, en de eenvoudige -f- J — o, wanneer a — o, h — c,nbsp;en' c =: o wordt, ff Hieruit volgt: ff dat, wanneer eenenbsp;volkomene magts-vergelijking algemeen ware opgelost, allenbsp;onvolkomene vergelijkingen, tot die zelfde magt behoorende,nbsp;in deze oplosfng zouden begrepen zijn.
§• 91-
-ocr page 87-57
S' 91. * Door de oplospng der vergelijkingen verflaat tnetiy
het algemeen^ vergelijk §. 521, I. C., die redenering, Vaar door men, uit de bekende en gegevene grootheden, welkenbsp;in de vergelijking voorkomen, en uit de wijze, waarop dezenbsp;met de onbekende zijn zamengefteld en aan elkander verbonden, zulk eene bekende en bepaalde waarde voor de onbekendenbsp;vindt, welke in de gegevene vergelijking, in plaats van denbsp;onbekende, gefield zijnde, aan dezelve voldoet, of zoo ah mennbsp;dit noemt, dezelve tot identiteit brengt. Aldus zal de vergelijking xs -— la -I-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ — 60 = o zijn opgelost, wanr
neer voor x gevonden hebbende ééne der drie waarden 3, 4 of 5? ééne dezer waarden, in de gegevene vergelijking innbsp;plaats van de onbekende x gefield zijnde, deze vergelijkingnbsp;0 = 0 maakt. De oplosfing der vergelijkingen in het algemeen moet uit dit algemeen oogpunt befchouwd worden;nbsp;ïan, hoe klaarblijkelijk het zij, dat die oplosfing, op de nl-genieenfie wijze genomen, in de vervulling van die voorwaarde befiaari moet, valt die oplosfing in alle gevallen zoonbsp;gemakkelijk niet, en gaat, wanneer de vergelijkingen hoogernbsp;dan de vierde magt loopen, boven de tegenwoordige krachten der anaiyfis.
Oplosfing eener vierkants-vergelijklng tot ééne onbekende.'
§. 92. Stellen wij: dat gegeven zij de volkomene vierkants-vergelijking a x^ h x c txz o, in welke a, b c, alie pofiitleve en negatieve geheele en gebrokene waarden kunnennbsp;hebben, en dat men de waarde van de onbekende begeere tenbsp;vinden P
De oplosfing dezer vergelijking is op de gewone wijze niet mogelijk; want, indien men alle de termen, in welke de onbekende voorkomt, in het voorfie lid afzondert, verkrijgtnbsp;men wel;
a x^ b X ~ — c . nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[i]
maar men zal het voorfie lid niet, gelijk in de oplosfing van de eerfte magis-vergelijkingen plaats heeft, in twee faefioretinbsp;kunnen vcrdecicn, waarvan de eene fadtor alleen de onbe-
D 5 nbsp;nbsp;nbsp;ken-
-ocr page 88-53
WISKUNDIGE LESSEN.
kende en da tweede alleen bekende termen inhoud; want het eerfte lid is op geene andere wijze ontleedbaar, dan in denbsp;fadloren a x b en j;, en men zou kunnen fchrijven:
(^a X b') X X z=z — c waar uit niets anders kan gehaald worden, dan
a X b ~--; ofjc = —
waardoor de waarde van de onbekende x geenzins kan bekend worden.
Maar de oplosfing wordt langs eenen anderen weg mogelijk. Deelen wij alle de termen van vergelijking [i], door den coefficient a, welke de hoogfte magt van x vermenigvuldigt , dan hebben wij:
Wanneer wij nu in aanmerking nemen: dat het vierkant Van eene tweeledige uitdrukking van den vorm x p gelijk x^ -fnbsp;a /) X is, dat de laatfte term van dit vierkant gelijk isnbsp;aan het vierkant van den halven coefficient van den tweedennbsp;term ipx-, zoo volgt hieruit: dat, wanneer men de helftnbsp;b . b
van —5 dat is ; —, of den halven coefficient van den twée-a nbsp;nbsp;nbsp;2a
is, aan beide zijden van de vergelijking optelt, het eerfte lid der komende vergelijking een volkomen ftelkundig vierkant zal zijn. Men zal namelijk hebben:
x^ — X —
waarvoor men ook fchrijven kan: zie §. gg,
, b nbsp;nbsp;nbsp;b'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b^—4a c
-I--a: -j--^ nbsp;nbsp;nbsp;^—
a nbsp;nbsp;nbsp;4a-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
flet eerfte lid dezer nieuwe vergelijking [3I is een volkomen
vierkant, welks wortel geliik is aan .v -f —, hetgeen blijkt,
2 a
-ocr page 89-59
TWEEDE CURSUS.
indien men deze uitdrukking, met zich zelve vermenigvuldigt; .en het tweede lid is eene uitdrukking, welke geheel Van de bekende getallen a, b m c, afhangt: indien men dannbsp;uit beide leden dezer vergelijking dén vierkants-wortel trekt,nbsp;zal men, aangezien den vierkants-wortel uit een getal, zienbsp;§. 484, I. C., zoowel pofitief als negatief kan genomennbsp;Worden, vinden:
, /¦ nbsp;nbsp;nbsp;quot;Nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,rb' — 4 /j cquot;
waarvoor men ook fchrijven kan:
.1 nbsp;nbsp;nbsp;^ t- —__, nbsp;nbsp;nbsp;—4 ^ cj)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
Daar ’er nu geene reden is, waarom men liever het eene dan het andere teeken nemen, en het pofitieve met het negatieve niet zou kunnen verbinden, bevat de zoo even uitge-bragte vergelijking, de vier volgende:
|
V(b'^ |
- 4 |
a |
0 |
|
2 a | |||
|
V(h^ |
- 4 |
a |
0 |
|
2 a | |||
|
- 4 |
a |
0 | |
|
2 a | |||
|
Vib'^ |
~ 4 |
a |
r) |
I® -i- X —
‘ sa
a'» X —
‘ sa
3'^
b
X--
sa b
4'gt; nbsp;nbsp;nbsp;— ;
sa ¦ nbsp;nbsp;nbsp;sa
wanneer men nu de teekens van de termen der eerfte vergelijking omkeert, verkrijgt men de vierde vergelijking, en de teekens van de tweede vergelijking omkeerende, verkrijgtnbsp;men de derde: de vierde vergelijking zegt bijgevolg, zienbsp;51a, I. C., niets meer dan de eerfte, en de derde nietsnbsp;meer dan de tweede: en men heeft aleoo flechts deze tweenbsp;vergelijkingen:
* 4- i__J nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o
sa nbsp;nbsp;nbsp;sa
a c)
^ _ V(h^ — ^
sa
welke, volgens 524, I. C. opgelost zijnde, geven zuilen: zie §.83.
de
-ocr page 90-6o nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
de ee?-fie
a a nbsp;nbsp;nbsp;2 a
de tweede
— 4 a c')_—b~ 1/(1^^ — 40e)
2 a
^ VQ)^ — 4 Ö c) —h. —40'c) p * ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' zanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
. [lt;5]
2a nbsp;nbsp;nbsp;2 a
Deze twee waarden van x zijn zeer onderfcheiden: doch, daar de eene zoowel als de andere uit de geftelde vergelijkingnbsp;volgt, zullen zij ook beide aan de gegevene vergelijking moeten voldoen. Laat ons dit beproeven.
S' 93. Nemen wij eerst x ^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;--dan
hebben wij;
^ [-^4. V(J)'^ — \ac')Y 2h'^—6,ac — ^hV{b^—^ae)
^ nbsp;nbsp;nbsp;40^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4'*quot;
en hieruit verkrijgt men voor a x^ de vergelijking:
h'^ ~ 2 a c — b \/(b- — K a c)
a nbsp;nbsp;nbsp;-----
• nbsp;nbsp;nbsp;2 a
voorts zal
_ — nbsp;nbsp;nbsp; b VCb^ — 4 c)
zijn, en men zal voor c kunnen fchrijven:
' nbsp;nbsp;nbsp;_ -{• 2 a c
2 a
Telt men nu deze waarden van nbsp;nbsp;nbsp;en c bij elkander,
dan zal men vinden: nbsp;nbsp;nbsp;•
. , nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b~—2ae—b)/(b^~4ac)-b^^bl/(bquot;—4.ae')-i-2a(
ax^ 4-bx cz=:---gt;-——-=-
2a
maar alle de gelijkflachtige termen van den teller vernietigen elkander, en men vindt derhalve:
o
dan zal
§. 94. Nemen wij a =
men, de waarde van de leden der gegevene vergelijking berekenende, vinden:
- — 2a c -{- b \/(h - — 4^0
a X-
IX
-ocr page 91-6i
tweede C U Pv s u s.
h x~
en
h V{h^ — 4 « c)
a a 2. a c
en, wanneer men deze vergelijkingen optelt, zal men voor de fom 0 = 0 vinden* tt Het blijkt derhalve: dat de tweenbsp;waardijen, welke wij voor de onbekende x gevonden hebben , aan de gegevene vergelijking voldoen , en daar dezenbsp;twee waardijen door het twijfelaclitige teeken -f van . * . .nbsp;V(b^ ¦— 4 fl cj) ontftaan, volgt hieruit: |f dat eem tweedenbsp;magts-vergeljking altijd twee oplosfingen zal moeten hebbentnbsp;dat wil zeggen : dat er twee waarden voor de onbekende grootheid zullen beftaan, welke^ elk in het bijzonder, aan de gegevene vergelijking zullen voldoen.
§• 95- Wij -hebben gezien: dat de dubbelde teekens voor, de leden van vergel'^king [4] geplaatst, door derzelver viernbsp;mogelijke zamenvoegingen, vier vergelijkingen van de eerllenbsp;magt gegeven hebben, welke Hechts twee onderfcheidene eer-fle magts-vergelijkingen geven. Nu zal men deze twee vergelijkingen verkrijgen, wanneer men het dubbelde teeken uitnbsp;het eerfte lid van vergelijking [4] weglaat, en eenvoudignbsp;fchrijft:
2a -t- nbsp;nbsp;nbsp;2 a
want, indien men zich beurtelings van het teeken en het teeken ¦— bedient, zullen de vergelijkingen [5] en [6] te voor-fchijn komen. Men pleeg daarom ook, in de oplosfing der vierkants-vergelijkingen, het dubbelde teeken in het voorllenbsp;lid, als overtollig, weg te laten; gelijk men dan ook denbsp;twee waardijen der onbekende, * die men de wortels der vergelijking noemt, op de volgende wijze uitdrukt:
— i nbsp;nbsp;nbsp;4 tt O
J. 96. Wanneer men nu de oplosfing der vierkants-verge-lijking aandachtig nagaat, dan blijkt het: dat men, door eene kundige herleiding, die oplosfing, welke door de bekendenbsp;regelen onmogelijk fcheen, gebragt heeft tot de oplosfing van
eene
-ocr page 92-eene vergelijking van de eerfte magt. Wij zullen in het vervolg zien: dat, door foortgelijke kunstgrepen, de oplosfing van de cubifche vergelijking tot de oplosfing van eene tweedenbsp;magts, en die der vierde magts-vergelijkingen tot die vannbsp;eene derde magts gebragt worden.
§. 97. Men zal nu de oplosfing eener vierkants-vergelij-king, tot ééne onbekende, in dit algemeene voorfchrift begrijpen kunnen.
i” „ Ereng alle de termen, waarin de onbekende voorho-,, men, in het voorfle lid der vergelijking, en rangfchik de-5, zelve\taar de afdalende magten der onbekende: de bekende ,, termen komen dan van zelven in het achterfle lidd'
2° Indien de tweede magt der onbekende met eenen coef-,, ficient is aangedaan, deelt men alk de termen der vergelij-,, king door dien coefficientd'
3^ ,, Ilfen telle hij elk lid dezer nieuwe vergelijking het ,, vierkant van den kalven coefficient van de eerjle magt dernbsp;,, onbekende. * Men noemt zulks het vierkant volkomennbsp;5, maken. Het voorfle lid is dan een fldkundig vierkant, ennbsp;,, het achterfle lid der komende vergelijking heftaat uit geheelnbsp;,, bekende termen.”
4“ ,, Men trekke uit beide leden dezer vergelijking den ,, vierkants-wortel, en ftelle de pofltieve wortel van het voorflenbsp;„ lid gelijk met den pojitieven wortel van het achterfle lid,nbsp;„ en daarna nog eens gelijk met den negatieven wortel vannbsp;,, dat zelfde achterfle lid. Men verkrijgt alzoo twee eerflenbsp;„ magts-vergelijkingen, welke, elk in het bijzonder, opgelostnbsp;,, zijnde , de wortels der gegevene vergelijking zullen doennbsp;„ bekend worden.”
§. pk. * Eene vierkants-vergelijking wordt gezegd welgeordend te zijn, wanneer alle hare termen in het voorlte lid gebragt ^ en, naar de afdalende magten van de onbekende, geordend zijn: gelijk in de vergelijking x'^ nbsp;nbsp;nbsp;~ x -k- ~ o,
^ nbsp;nbsp;nbsp;A
en daarenboven de coefficient van de hoogfie magt de één-beid is.
§. pp. Stellen wij, om te bekorten, de wortels der verge-
lij-
-ocr page 93-63
TWEEDE CURSUS.
gelijk aan p en dan hebben wij: —- 4 a o')
... [8]
^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^{b^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 a c)
^ nbsp;nbsp;nbsp;2.anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 rt
Indien wij nu deze twee wortels bij elkander optellen, dan zullen wij vinden:
^ nbsp;nbsp;nbsp;2rtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a
en dit leert ons: -(-f dat de /om van de wortels eener vierkants-vergelijking gelijk is aan den coefficient van den tweeden term, met het tegengeftelde teeken genomen: wel verfiaan-de, wanneer de coefficient van den eerjien term de éénheid is. Stelt men 0=1; dan verandert de gegevene vergelijking innbsp;x^-j-bx-4-c=:o, en de fom der wortels is, ook in ditnbsp;geval, gelijk — b.
§. 100. Vermenigvuldigen wij de twee vergelijkingen [8] in §. 99; dan zal men vinden:
bV(b~—4ac) nbsp;nbsp;nbsp;by(b^—4a c)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—4ac
'
4a^ nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4a'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;40quot;quot;
maar de fom der tweede en derde termen van het tweede lid
V
dezer vergelijking gelijk nul zijnde, verandert dezelve in:
_ nbsp;nbsp;nbsp;^ __nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4ac _ 4ac _ _c_
quot;^41*“ nbsp;nbsp;nbsp;4n!“ “k 4«2^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;40^ a
en het blijkt dus: -ff dat het produEl van de wortelen eener welgeordende vierkants-vergelijking gelijk is aan den bekenden term, met zijn eigen teeken genomen.
§. loi. Men kan deze twee eigenfchappen nog op eene andere wijze betoogen. Indien /gt; en 5- de wortels van de vergelijking X' -i--X = o zijn; dan moet, zie §. 91.
— o
zijn.
Trekken wij nu deze vergelijkingen van elkander af,
dan
-ocr page 94-64 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
dan zal men vinden ;
en alles doorp — q deelende, dan zal men hebben:
wederom de eerde vergelijking met en de tweede met p
vermenigvuldigende, verkrijgt men :
~ p q-\-~ q = o '' anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ö
en, de tweede van de eerde dezer vergelijkingen aftrekkende, vindt men:nbsp;welke, door p — q gedeeld zijnde, geven zal;
a nbsp;nbsp;nbsp;^ I. j.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
§, loa. Indien men nu/ en q als de wortels der vergelijking
b c nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
5,-^4. — ;r4- nbsp;nbsp;nbsp;° aanneemt; dan zal x—p en x = qzijn,
of, X — /“O en X — ^ = 0; indien wij nu deze laatde vergelijkingen met elkander vermenigvuldigen; dan verkrijgen wij
(x — /) X — q) — nbsp;nbsp;nbsp;— (p -{- q) X -i- p q = o
daar, nu §. 99, 100 en lot, bewezen is: dat —p — ^ =
is, zal de uitdrukking x'^ — (/’ ?) ^
-f- p q dezelfde ziin met de uitdrukking --x --,
. nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a
Hieruit blijkt dan: ff dat het voorfle lid eener vierkanis-ver~ gelijking kan aan gemerkt worden als beflaands uit het product van twee tweeledige Jlelkundige fadoren, in eiken vannbsp;welke^ de eerfle term de onbekende grootheid is, en de tweedenbsp;term ééne der wortelen, met een tegengefleld teeken genomen. -- Deze waarheid wordt nog op eene andere wijze
' nbsp;nbsp;nbsp;' be-
-ocr page 95--- — = 0
door ééne der twee uitdrukkins-en:
2« nbsp;nbsp;nbsp;O. a
deelt; want, men zal, door de eerfte uitdrukking dealende, de tweede; en, door de tweede deelende, de eerfte tot quotient verkregen.
§. 103. Het voorde lid eener vierkants-vergelijking is dan, onafhankelijk van eenige bijzondere waarde van x, altijd innbsp;twee fadtoren onleedbaar Qzzquot;)* ¦j'-j* l^anneer men dethalve denbsp;deelers van het eerfte lid^ op de eene of andere wijze, vindennbsp;han, zal de vergelijking worden opgelost, indien men elk dezernbsp;faSloren gelijk nul fielt, en de daaruit voortkomende eerftenbsp;magts-vergelijkingen oplost. Want, het eerfte lid der vergelijking zal dan uit twee faftoren bedaan, welker produdt
nul
(ï2) Onafhmkelijk van eenige bijzondere waarde van x. Het is van belang dit gezegde een weinig nader optehelderen. Stellen wij de uit-'irukking x~ — 23 at -1* 120, welke x — 8 en'at— 15 tot faéloren heeft.nbsp;Deze uitdrukking zal nu onderfcheidene waardijen verkrijgen, naarmatenbsp;4an at andere en andere waardijen gegeven worden. Stellen wij, in het genteen, de waarde dezer uitdrukking gelijk y; dan zal;
ati 23 X 120 ::z: y
aijn. Wanneer wij nu fuccesflvelijk ,v o::: 4, 3,2, 1,0, — i, — a, enz. ftellen, zullen de waarden yVan y in rangorde zijn, -^44, 60,nbsp;78, 98, 120, 144, 170, enz.: maar dan zullen de deelers x — 8, ennbsp;at — 15 waardijen verkrijgen, welke daarmede overëdnkomftig zijn, gelijknbsp;uit het volgend tafeltje blijkt:
Waard, van x ... . nbsp;nbsp;nbsp;4,-f- 3,-f- 2,-J- i, 4quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^5—¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0.^enz.
Waard, va» y . . • ¦ nbsp;nbsp;nbsp; 44) 6°, 78,-1-98,-f-120,-j.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;144,170, ««z.
Waard, van X — 8 .. nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4,— 5,— 6,— 7,—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g,—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j,,—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\o,enz,
tt'aard.vanx—15 •• nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tl,— 12, — 13, — 14,—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15^_ — nbsp;nbsp;nbsp;17,«kz.
Nu zijn X — S en at -- 15 ftêlkundige faétoren van xz — 23 x 120, en lt;^t blijven zij altijd, welke bijzondere waardijen men ook voor »nbsp;mogte ftellen; want Hellen wij, bij voorbeeld: xz=:4i dan 157 — 44;nbsp;•V—8 = —4 en X — 15 = — II, en —11 X — 4=x 44, ennbsp;het is met alle andere waarden van x even cens gelegen. Deze opheldering zal ftrekken kunnen, om hetgeen in den text volgt, duidelijker tenbsp;bevatten.
H. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;E
-ocr page 96-65
WISKUNDIGE LESSEN.
nul is: dan, aan deze voorwaarde kan niet voldaan worden , indien niet één der faftoren gelijk nul wordt aangenomen. Stellen wij, bij voorbeeld, de vergelijking: x'^ —13^? 42 = o: indien men nu ontdekt, (en de wijze waaropnbsp;deze faétoren gevonden worden, zal in het volgende boeknbsp;worden verklaard,) dat
ix — 6')gt;(.{.x — 7) = nbsp;nbsp;nbsp;— 13 a; 42
is, zal, vermits x zoodanig moet genomen worden, dat xquot; — 13 X 42 = o is, ook
(x — 6) X (ar — 7) = o
moeten zijn: gevolgelijk moet men ééne dezer twee onderitel-lingen aannemen: 1quot; x — 6 — o; of 2°, x —gt;¦7 = 0: nu geven deze onderftellingen :x~6enx“7, voor de wortels- der gegevene vergelijking, welke men ook vinden zal,nbsp;indien men de gegevene vergelijking, volgens den regel §. 97.nbsp;oplost.
, 104. ff Eene vierkants-vergelijking kan maar twee wortels hebben. Stellen wij, om dit te bewijzen, de wortels van x~ A X 5 = 0, gelijk p en q; dan. zal;
(x —p') X (x — q')‘=x^-f-Ax.\.B~o moeten zijn. 'Nu zeg ik: dat geene andere waarde van x,nbsp;dan X = /gt;, of X = ^, aan de vergelijking zal voldoen.
Want, nemen wij: dat ’er eene derde wortel r beftaan kan.
en dat p de grootfte en q de kleinlle wortel zij, die door de gewone oplosling gevonden is, dan zal:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r grooter dan 7)
en q zijn, of a° r zal tusfehen p en q vallen, of 3'’ r zal kleiner zijn dan p en q. Stellen wij nu, in het eerfle geval, r in plaats van x; dan zal
{r — /) X (gt;• — ?') = o
ingieten zijn; maar, omdat r'pgt; p en is, zullen de factoren r—p en ;* — q beide pofiticf zijn, welker produci nooit nul kan zijn. —- In het tweede geval, zal r — pnbsp;negatief en r — q pofitief zijn, en het produef zal negatiefnbsp;en niet nul zijn. — In het derde geval is r —- p negatiefnbsp;en r — q negatief, het produél der faéforen is dan wederom pofitief en niet gelijk nul. - Geene andere derhalve
dan
-ocr page 97-dan de getallen p m q kunnen aan de gegevene vergelijking Voldoen.
§. 105. Overwegen wij nog eenige oogenblikken de vergelijking [7] van §. 95. namelijk
_— ^ i U— 40 c)
als bevattende de wortels van de vergelijking x'^
— o, in welke aan , h en c, in getallen, alle waardijen,
zoo wel pofitieve als nega-uitgcnomen dat door de
zoo wel geheele als gebrokene, tieve, kunnen gegeven worden;nbsp;teekens behoorlijk interigten, altijd als pofuief behoort te moeten voorkom/n : dan zal men het volgende kunnen opmerken.
«1:1
§•. 106. 1° De grootheid is altijd politief, het zij^pofi-tief of negatief is.
§. 107. 2®'Indien men c pofiiief neemt, blijft de term 4 a c zijn negatief teeken behouden : maar wordt c negatief,nbsp;dan verandert de wortel-uitdrukking in nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(23).
§. 108. 3® In het eerfte dezer gevallen, kan — 4öcgt;o dat is pofuief; of b- — 4rt’clt;o of negatief zijn. Heeft hetnbsp;eerde plaats; dan is V(Jgt;- —4 O altijd eene roogelijke uitdrukking; omdat men uit een pofuief getal altijd den wortelnbsp;trekken kan : maar, in het tweede geval, is — 4 « e)nbsp;eene onbeftaanbare uitdrukking; omdat ’er geeiie negatievenbsp;tweede magt bedaan kan (24).
S- 109*
(23) nbsp;nbsp;nbsp;De uitdrukkingen \/Q,^ _ 4 en \/{b^ 4 « c) mw wortel-uitdrukkingen, in eenen fteikundigen zin; omdat ’er geen ftelkundige uitdrukking, een bepaald getal termen hebbende, bcftaat, welke, met zichnbsp;zelve gemultipliceerd zijnde, ~a c of i’Z .p 4 c kan vóórtbrengen : niet te min, kunnen de waarden van a, h en c, zoodanig gegeven zijn , dat — 4 « r of ^2 -J. 4 a r een volkomen vierkant getalnbsp;geeft! iti dit geval, zijn de waarden dezer wortel-uitdrukkingcn gcene wor-tel-uitdrukkingen meer: maar meetbare grootheden, die door een geheelnbsp;of een gebroken getal kunnen wordMi uitgedriikt. Het blijkt innisfclien.nbsp;hieruit: dat de wortels eoner vierkants-vergelijking meetbaar of onmeetbaar zullen zijn, naar dat de waarde van b^ — ), a c of 42 -|. 4 « cnbsp;een volkomen of niet volkomen vierkant getal is.
(24) nbsp;nbsp;nbsp;Uij de Lieftliouwing van de vergelijkingen van de tweede magt,
E 2 nbsp;nbsp;nbsp;«nt-
-ocr page 98-68
WISKUNDIGE LESSEN.
§. 109. 4'’ Maar is c negatief, dan is nbsp;nbsp;nbsp;welke,
ia dit geval, in -f-4 « c verandert, altijd pofitief; en de uitdrukking /^ac) is, voor alle waarden van a, hnbsp;c, beftaanbaar. Hieruit volgt;
§. Iio. 5° ff Dat, wanneer de laatfle term der vierkants-vergelijkin^ negatief is, die vergelijking altij d hejiaanbaar zijn, en twee heftaanbare wortels zal kebben.
§. III. 6^ \\ Maar dat, wanneer die laatfle term pofitief is, de vergelijking onheflaanhaar zal worden, zoodra het viervoudige product van den coefficient des eerflen terms tnet den laat-flen term grooter is dan het vierkant van den coefficient desnbsp;tweeden terms.
ftellen wij nu deze waarde van c in de alge-
b nbsp;nbsp;nbsp;.
a nbsp;nbsp;nbsp;' 4^®-
tot b
IS c
§. IT2. 7“’ Indian c derhalve pofitief is, dan beflist het po« fitief of negatief zijn van b'^ — 4 c over de befiaanbaar-»nbsp;of onbcftaanbaarheid der vergelijking-: maar de uitdrukkingnbsp;— 4 « c gaat niet van den pofitieven tot den negatievennbsp;toefiand over, ten zij b^ — 4 0 c = o worde: in dit gevalnbsp;h~
41*
meene vergelijking, dan verkrijgen wij: nbsp;nbsp;nbsp;x -\-, waarvan bet eerfie lid een volkomen vierkant is.
wortel hebbende x -i--=0. In dit geval, worden de twee
2'ö
wortels der vergelijking gelijk, en men zegt: * dat de vergelijking als dan twee gelijke wortels heeft. Men kan hier dan uit opmaken: ff dat, wanneer men de coëfficiënten a, h en cnbsp;aanneemt, als alle mogelijke waardijen te kunnen hebben, denbsp;toeftand der vergelijking, welke twee gelijke wortels heeft, de
juis-
ontmoeten wij het ecrfte voorbeeld van eigenlijk gezegde onbeftaanbare vergelijkingen, (want de onbeftaanbare vergelijkingen, waarvan wij §. 533,nbsp;I. C., voorbeelden gegeven hebben, zijn van eenen anderen aard en al'nbsp;leen onbeftaanbaar, omdat zij niet tot den vorm a x h kunnen gebragtnbsp;ivorden). Deze onbeftaanbaarheid is kenbaar aan de uitdrukkingen vannbsp;den vorm ^ -J- ? j/— I, welke de wortels bij de oplosfing verkrijgen,nbsp;en die men meestal denkbeeldige grootheden, (^quantitates imaginarix)nbsp;noemt; aan welke wij nogtans den naam vaS onheftaanhare uitdrukkingennbsp;zullen geven, welke iii het vervolg opzettelijk zullen behandeld worden.
-ocr page 99-69
luiste limiet tusfchen hare heftaanbaar- en onheftaanbanrheid is.
113. 8° Nemen wij altijd c pofitief en nbsp;nbsp;nbsp;dan
zal VCbquot;- — 4 ö £•) lt; ^ zijn; en — b ^(b^ — 4 « c) is negatief, ff Indien dan^ in eene mogelijke vierkants-vergelij~nbsp;king, de tweede en derde termen pofitief zijn, zijn belde denbsp;‘Wortels negatief.
S- 114. 9“ Is, alle overige omftandigheden dezelfde blijvende, b negatief; dan verandert [7] in
X = k± V(h^ — 4^0 2 a
en, omdat h gt; V{b'^ — 4 ^ c) is, zullen beide de wortelen pofitief zijn. Men kan hieruit en uit de voorgaande § afleiden, ff dal in de vergelijking:
„ , b nbsp;nbsp;nbsp;, c __
X“ —x-1--— O
quot; nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' a
b^-gt;4«c zijnde, heide wortelen negatief zullen zijn, wanneer in den tweeden term het hovenfle teeken plaats heeft, en beidenbsp;wortelen pofitief, indien den tweeden term met het negatievenbsp;teeken is aangedaan (25).
§. II5. lo'^ Stellen wij c negatief; dan is V(b'^ -j- 4/j c) gt; b: wanneer dan b pofitief is zal de kleinfie wortel metnbsp;het pofitieve en de grootfte met het negatieve teeken zijnnbsp;aangedaan: het tegengeftelde zal plaats hebben, indien b negatief is.
S- iii5. Alle deze omfiandigheden zijn in de volgende fchets verëénigd.
X®-
CiS) Langen tijd heeft men, in navolging van Descartes , aan de negatieve wortelen eeirer vergelijking den naam van valfche 'wortelen gegeven. Deze benaming moet eenen eerstbeginnenden doen denken: dat deze wortelen aan de vergelijking niet voldoen, en diensvolgens moeten verworpen worden. Het is waar, en wü zullen zulks in de volgende lesnbsp;doen «.pmerken, dat fomtijds de negatieve wortelen met de bijzonderenbsp;omft.mdigheden van een vraagftuk, dat tot eene vergelijking van de tweedenbsp;of tot die van eene hoogere magt opkiimt, ftrijdig zijn, en om die reden moeten verworpen worden: het is waar, dat deze omftandigheden aanleiding tot deze verkeerde benaming hebben gegeven: maar het is ooknbsp;aan den anderen kant waar: dat Descartes die benaming, in welker keuze hij zeker niet gelukkig w.as, nooit gemeend heeft in dien verkeerde nnbsp;zin, welke vele daaraan toegefehreven hebben.
E 3
-ocr page 100-j^2 lix C~0 Indien in deze vergelijking nbsp;nbsp;nbsp;is, dan is
de vergelijking onbeftaanbaar, dat is: gcene politie-ve of negatieve waarde, welke men voor .r zon mogen aannemen, zal aan dezelve voldoen kunnen; maar is ^ 4 c, dan is de vergelijking be-ftaanbaar, en zij zal, in de onderftelling van -J- i x,nbsp;tivee negatieve, en in de onderftelling van — i xnbsp;twee jiofiticve wortelen hebben. Is — 4 cnbsp;dan heeft de vergelijking twee gelijke wortelen.nbsp;x~ -i-hx—c—O Deze vergelijking is altijd beftaanbaar: doch denbsp;eeiie wortel zal pofitief cn de andere negatief zijn.nbsp;In het geval van b x zal de klcinftc wortel metnbsp;het poQtieve en de grootfte met het negatieve toeken zijn aangedaan; het tegengeftelde zal in denbsp;onderftelling van ¦— b x plaats hebben.
-{¦ a y -h b — o-
en dezelve oplosfende, zal men verkrijgen:
_ — a nbsp;nbsp;nbsp;— 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_
I
x=[—
X •= [— § '3' i I — 4 ^)]^. .,
§. n8. Geven wij nu eenige voorbeelden van de oplosfing der vicr-kants-vergelijkuig.
1. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB. Gegeven zijnde: x- — 16a: -J- 63 — o, de waarde van
X te vinden ? Antw. nbsp;nbsp;nbsp;en
2. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB. Gegeven zynde: *2 ^ 25 x -j- 156 =0, de waarde vannbsp;X te vinden? Antw. x=:r — 12 en x = — 13.
3. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB. Gegeven zijnde: x^--2 x-f- 145 ~ o, de waarde vannbsp;X te vinden? Antw. x = i 12 V— i en x=;-[-i —12I/—inbsp;icn bewijze, dat de vergelijking onbellaanbar.r is.
¦ 4. VoORB.
-ocr page 101-71
4- VooRH. Gegeven zijnde: nbsp;nbsp;nbsp;— 6 a; 3 = ° gt; waarde van x
Ie vinden ? Antw. x — 3 j/ö en x — 3 — 1/6; of nagenoeg x = 5,4494Rp74 en x ~ 0,55051026.
5. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB. Gegeven zijnde: x^ — 2 x — 143 =: o, de waarde vannbsp;X te vinden? Autw. x= i3 en x = —ii.
6. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB. Gegeven zijnde: x^ 3^—54 = 05 de waarde vannbsp;X te vinden? Antw. x=: 6 en x — — 9.
“• VooRB. Gegeven zijnde: 5x:r:i óx“, de waarde van x te vinden P Antw. x — 1 en x —
8. VooRB. Gegeven zijnde: I 24x=::^, de waarde van x te vinden ? Antw. x ~ g. en a; _ 7
O. VooRB. Gegeven zijnde: ,x — 7^de waarde
O — X
van X te vinden? Antw. x — ISJ ^ i!•
10. nbsp;nbsp;nbsp;Voord. Gegeven zijnde: x X C^' 3) = 5-7C^3^I quot;lquot; 17^)5nbsp;de waarde van x te vinden? Antw. x—RiS: en x = — 61
^ I y nbsp;nbsp;nbsp;3 •
11. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB. Gegeven zijnde: x looozr; 14x^5 de waarde vannbsp;X te vinden? Antw. x —1/56001.
12. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB. Gegeven zijnde: 17 j/x = x —p, de waarde vannbsp;X te vinden? Antw. x =;261 11/105.
§. iip. Ill de zes laatfle voorbeelden moeten de vergelijkingen, volgens §. p8. door herleiding wel geordend worden. Men zal dezelve dan vervolgens, naar het voorfchrift van §. 97. regtftreeks kunnen oplosfen, of de vergelijkingnbsp;[7] §• 955 pag. 61, daarop kunnen toepasfen.
§. 120. Somtiids zijn de coëfficiënten en bekende termen der vergelijking Helkundige uitdrukkingen: men moet, in ditnbsp;geval, de oplosfing op dezelfde wijze behandelen.
“p
1. nbsp;nbsp;nbsp;VooRE. Gegeven zijnde:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— px—— = 0, de waarde van
X te vinden? Men vindt:
x=-f I p J-l/j^i
:o, de waar-
2. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB. Gegeven zijnde: x^ — (0. a bj xa^-d: van X te vinden ? Antw.
x= -f -b 1/7) Vlb xQa l 7’)]
7® nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN,
Oplosjïng van een ft el fel van vergelijkingen, tot twee^ drie en meer onbekenden, in hetwelk de finale vergelijking tot de tweede magt opklimt. Vergelijk §• 561, I. C.
§. 121. Hoe vele vergelijkingen, voor zoo vele onbekenden, mpgten gegeven zijn, zal alcyd de laatfte afgeleide vergelijking tot de eerde magt behooren, indien maar geene der onbekenden in de gegevene vergelijkingen hooger dan tot denbsp;¦ eerde magt opklimmen, of met elkander in ééne of meernbsp;vergelijkingen vermenigvuldigd zijn. De befchouwing van denbsp;opJosfing der vergelijkingen, tot twee en meer onbekenden,nbsp;in welke de onbekenden tot hoogere magten opklimmen, ofnbsp;met elkander vermenigvuldigd zijn, maakt een bijzontkr ennbsp;uitgedrekt gedeelte der Stelkunst uit, waarover Bezout eennbsp;voortreffelijk werk, onder den tijtel van Equations Algébri-ques gefclireven heeft. Daar wij ons thans met die algemee-ne befchouwingen niet kunnen ophouden, zullen wij ons metnbsp;de opgave van eenige voorbeelden vergenoegen.
I. VooRB. Gegeven zijnde de vergelijkingen: xyi x—j’=r83 en i X -f-y'= Io, de waarden van x en y te vinden?
Wamieer het protiud der onbekenden in ééne der gegevene vergelijkingen voorkomt, zal de finale vergelijking tot de tweede magt moeten opkltmmeo. De tweede vergelijking peefe ons y = 10 — -r, en tlczenbsp;waarde van y in de eerfte overgebragt zijnde en de komende met drienbsp;vermenigvuldigd zijnde, zal men voor de finale vergelijking verkrijgen:
3 X (10 — g- ¦’¦O quot;fquot; 9 nbsp;nbsp;nbsp;— 30 quot;b tr ~ 249
welke, ontwikkeld en welgeordend zijnde, geven zal,.iri — 40.vrr:— 279;
waarmede y zxz
en y zz: 7 overcen-
waaruit * “ 31 en x ftemmen.
83
Mcn zou ook uit de eerfle vergelijking y
halen cn de
ze waarde van y met ji — 10 — lx vergelijken kunnen, en zulks zou dezelfde uitkomst geven..
2. VooRB. Gegeven zijnde de vergelijkingen: en X ipjr —xy — 154, de waarden van x en y te vinden?
Men kan elk der gegevene vergelijkingen met zulk getal vermenigvuldigen , dat de coëfficiënten van den term x y in beide uitkomften gelijk worden: men vermenigvuldige ten dien einde de tweede vergelijking metnbsp;3 en tclle het produet bij de eerlle; dan zal men, na door 4 gedeeld tenbsp;hebben, verkrijgen:
13
-ocr page 103-TWEEDE CURSUS.
134; hieruit y —
Ku kan men deze waarde van y, het zij in de eerlle, het zij in de tweede vergelijking, overbrengen: door beide handelwijzen, zal men, na ecne gefchikte herleiding, vinden :
a-a — lla^f-sozzto waaruit zal gevonden worden;
a r:r 6 en y “ 4 of a 5 en y
welke twee oplosfingen, elk in het byzonder, aan beide de gegevene vergelijkingen voldoen.
Of men zal, hetgeen in dit geval kan gefchieden, uit beide vergelijkingen de waarde van ,, of de waarde van a afzonderen, deze waardijen met elkander kunnen vergelijken, en men zal dezelfde uitkom-llen verkrijgen.
3. VooRB. Gegeven zijnde de vergelijkingen: 3 nbsp;nbsp;nbsp;-i- y — 116 z= o
cn s x^ — y X— 17Ü =¦ o, de waarden van x en y te vinden?
De fom der gegevene vergelijkingen Z nbsp;nbsp;nbsp;x ~ 294 zijnde, zal men,
deze vergelijking oplosfende , vinden :
^ izz: quot;J” ö en y :::z 8 of X = — 61 en y = 3§S
4- VooRB. Gegeven zijnde de vergelijkingen:
3.xy — y,% — xz — yz
en X — z zzz ^ dc waarden van x, y en z te vinden?
Indien men de twee laatfte vergelijkingen bij elkander optelt, dan ver-kry'gt men, na alles door a gedeeld te hebben:
2 a -}- y 7 en y :zx. 7 — a a nbsp;nbsp;nbsp;/
uit de tweede vergelijking haalt men : 2—9--ar — y , waarin de waar
de van y overgebragt zijnde, zal men vinden:
Z Zir o: -j- 2
ftellende nu deze waarden van y en 2 in de eerfte vergelijking, dan zal
men, na behoorlijke herleiding, verkrijgen:
a2 — 12 a -4- 18=0 snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?
waarvan 2 en i4 de wortels zyn. Men zal alzoo hebben;
S' 122. Het ziil niet noodig zijn deze leerwijze door meer voorbeelden optehelderen. Wij zullen, daar wij, in het vervolg de itelfcls van vergelijkingen, tot een zeker aantal onbekenden, nader zullen overwegen, ons thans alleenlijk bij denbsp;Volgende aaiiinetkingen bepalen.
wiskundige lessen.
i» Dat, wanneer in een ftelfel van vergelijkingen alleenlijk in ééne van dezelve ééne of meer der onbekenden flechtsnbsp;tot de tweede magt opklimmen, of twee dezer onbekendennbsp;met elkander vermenigvuldigd zijn, terwijl in alle de overigenbsp;de onbekenden in de eerfte magt voorkomen, de finale vergelij-kina altijd tot de tweede magt en nooit hooger zal opklimmen.nbsp;2° Maar dat, wanneer, bij voorbeeld, in twee vergelijkingen tot twee onbekenden, de onbekenden in elke vergelijkingnbsp;tot de tweede magt opklimmen,, de finale vergelijking in hetnbsp;algemeen tot de vierde magt zal opklimmen; ten ware, datnbsp;men, door eene kunllige zamenvoeging, uit de twee gegeve-ne vergelijkingen, eene vergelijking van de eerfte magt totnbsp;twee onbekefiden konde afleiden, welke met ééne der twee ge-gevene vergelijkingen verbonden zijnde, natuurlijk, gelijk innbsp;het tweede voorbeeld, eene vergelijking van de tweede magt,nbsp;tot ééne onbekende zou moeten opleveren.
ZES- EN- VEERTIGSTE LES.
Oplosfing van P^aagflukken tot de tweede magt (jaö).
§. 123. Bij de verzameling der werkftukken, welke wij in deze les zullen opgeven, gedeeltelijk oplosfen, en gedeeltelijknbsp;analyferen, herinneren wij flechts alles, wat wij in de XXXInbsp;Les I. C. van §. 566-578. gezegd hebben, en gaan dadelijknbsp;ter zake over.
I. Vraagstuk. Een getal onder die voorwaarde te bepalen, dat het vierkant van deszelfs helft, en het getal 216 te zamen genomen,nbsp;zooveel waard is als vijftienmaal dat zelve getal?
Het begeerde getal x noemende,'wordt de voorwaard? der vraag door de ^vergelijking:
i 216 — 15 ^
uitgedrukt, welke welgeordend zijnde, geven zal:
xx — nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;— 864-
(26) De 38, 39, 40, 41, 4quot; en 43 vraagftukken van den I. Curfus bc-lioorcn tot de vierkants-vergelijkingen; hér is alleen maar de bijzondere inrichting der oplosfing, weike maakt, dat de finale vergelijking geeucnbsp;voikoniene vierkants-vergelijkiug is.
-ocr page 105-* :=: nbsp;nbsp;nbsp;24,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;voornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waarde van hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbekendenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gevraagde getal,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;welke
fieide andwoorden. aan de vraag voldoen; want
Ci X 36)^ nbsp;nbsp;nbsp;216nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;36
C| X 24)^ nbsp;nbsp;nbsp;216 = 15nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24
2. nbsp;nbsp;nbsp;Vraagstuk. Twee getallen te vinden^ waarvan het cene eennbsp;vierkant is, welks wortel aan het verfchil der getallen gelijk is. en,nbsp;onder deze bepaling, dat het product der getallen tot de fom van der-zeher vierkanten in betrekking fiaat, ah het getal 20 tot het getal 61 ?.
Laat ons het getal, dat een vierkant is, door x x uitdrukken, datl is het verfchil der gevraagde getallen *.• nu wordt ’er geenc melding gemaaktnbsp;of het vierkante getal het grootfte van de gevraagde getallen, dan wel of.nbsp;het het klcinftc is: indien wjj het ais het kleinfle aannemen, dan zal hetnbsp;grootfte door xZ a:; maar als het grootfte, dan zal het kleinlie doOr
xz _X worden uitgedrukt.. In het cerftc geval, wordt het produJl- door
xü ^ nbsp;nbsp;nbsp;.r) en de foni der vierkanten door 2 a;4 -j- 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- .ia
uitgedrukt cn de tweede voorwaarde der vraag wordt aldus voorg^ltckl
X2. ^ X : 1 .t2 -{- 2 .v i = 30 : 61 en men verkrijgt na herleiding:
xZ X - 30
welker wortelen zijn 5 en — 6. In de tweede onderflelling zal men voor de herleide vergelijking verkrijgen:
xz — X — 30
welker wortelen 6 en —5 zijn.
Beide deze vergelijkingen geven dezelfde andu'oorden, ii.imelijk 30 en 25 voor de begeerde gerallen; of só cn 30.
3. nbsp;nbsp;nbsp;Vraagstuk. Het getal 120 in .drie deelen te verdeelcn, zoodanig, dat het tweede deel 14 minder zij dan het eerfte, en dat de fovinbsp;Van de vierkanten der deelen, te zamen genomen, 5Ö24 uiïmaakt?
Het eerfte der deelen x noemende , zal men het tweede deel door x— 14 moeten uitdrukken: de fom dezer deelen 2 x — 14 zijnde, z;il, vijlgeug
de vraag, het derde deel door 120 — fe, x __ 14) of door 134 — 2 *
tvorden uitgedrukt, eu volgens de laatfte voorwaardc der vraag zal:
A'2 4- (;a-_i492 4. fi34_2w92 r=r 5'624 moeten zijn, welke ¦ vergelijking, ontwikkeld cn tot den gewonen vórmnbsp;gebragt zijnde, geven zal:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
a.-2 — 94 a; -{- 2088 ~ o
welker wortels Zijn: x z::z 58 en 0:22236; men heeft dus twee oplos-lingen, de deelen zijn:
eerfie opUsjlng 58, 44 en 18 de legeerde deelen tweede oplesjtng 3d, 22 en Ce.nbsp;welke beide aan de voorwaarden zullen v'ohloen.
4. nbsp;nbsp;nbsp;Vraagstuk. Cajus vertrekt uit eeiie zekere fiad A naar eenenbsp;andere fiad B, dagelijks acht mijlen wegs afieggeude: na zeven- en-
twin-
-ocr page 106-76
H'intig mijlen van zijnen weg te hebben af gelegd, vertrekt Sempro-nius uit de ftad B naar de ftad A, en volbrengt dagelijks één-twin-tigjle gedeelte van den geheelen weg, en had, toen hij Cajus ontmoette, even zoo vele dagen op reis geweest, als mijlen daags afgelegd. Men vraagt naar den afjland dezer jleden?
Stel den afftand der fteden x; dan reist Sempronius daags a; mijlen; CU daar hij, bij de ontmoeting van Cajus , even zoo vele dagen gereisdnbsp;heeft, als hij mijlen daags heeft afgelegd, heeft hij, op het oogenblik dezer ontmoeting, _I_ a-2 van den geheelen tvcg afgelegd. Hieruit kan eenenbsp;uitdrukking bepaald worden van den weg dien Ca/as nog moet afleggen;nbsp;deze is klaarblijkelijk gelijk aan x — a/ — _i_ mijlen, en het a.antal dagen , welke hij noodig zal hebben, om dien weg te volbrengen, zal door
I (x — 2? — nbsp;nbsp;nbsp;x2_) worden uitgedrukt
voorwaarde der vraag:
I (t — 27 -welke herleid zijnde, geven zal
wy hebben dan, volgens de
X2.) =
400 nbsp;nbsp;nbsp;iiO
x® — 240 X 10800 = o
waaruit x ttzt 180 of 60 mijlen, gelijk den afftand der twee Ijeden.
5, Vraagstuk, Twee getallen te vinden, zoodanig, dat hunne font met het grootjle vermenigvuldigd zijnde, het product gelijk zij aannbsp;273; en dat hun verfchil met het kleinfte vermenigvuldigd zijnde,nbsp;het produ6l gelijk zij aan 40?
Stellende het grootfte getal x en het kleinfte ys dan zijn dc voorwaal'-den der vraag begrepen in de vergelijkingen:
(x 4 j-) . X = 273, en (x — 7) . 7 = 40
Uit do eerfto dezer vergelijkingen haalt men : y
-; deze wa.ar-
273 — xX
de van 7 in de tweede vergelijking overbrengende, zal men hebben: 273 — .i-e r273 — x2~l2
40
welke ontwikkeld en welgeordend zijnde, geven zal:
x4 — 389Ï. xtt 4 37264i — o 2- 2
waaruit volgen zal; xz — 169 en x-z 220J; en verder
:r=4 nbsp;nbsp;nbsp;13; Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ — 13; X— 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/'-’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/2
7=4 y ~ Si y =: -f nbsp;nbsp;nbsp;2.1. |/2;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;]/-•
6. Vraagstuk. De fom van twee getallen en de font van derzel-ver vierde magten gegeven zijnde, die getallen te bepalen?
Stellen wij de begeerde getallen x en 7, en laat derzelver fom door a, die der vierde magten door b worden voorgefteJd; dan heeft men:
3Wen zal uit de eerfte 7 kunnen afzonderen, en deze waarde van 7 in de tweede vergelijking overbrengen: maar dc finale vergelijking zal dan totnbsp;de vierde niagt opklimmen. Beter cn fraaijer is de volgende oplosflng.
He
-ocr page 107-77
eerfte vergelyking tot de vierde magt verheffende, verkrijgt men: zie 5' 740, I. c.
v4 4 xZ y é xe yz ^ X ^'3 .J. y4- nbsp;nbsp;nbsp;«4
of *v4 y4 4 nbsp;nbsp;nbsp;7^) t X y ö xZ- yZ —¦ a4
ïnaar nu is x4 .f- y4 — i,- en *2 312 a x y — (x y)z~gz-derhalve x® 72 — nbsp;nbsp;nbsp;— 2x7.- de laatfte vergelijking verandert dan,
door de in plaats ftelling dezer waarden, in de volgende :
i 4 nbsp;nbsp;nbsp;— 2 X 7) X * 7 ö x2 72 — a4
of, door ontwikkeling en verfchikking, in
6 xz yz __ g xz yz 4 «2 X 7 J nbsp;nbsp;nbsp;~ o
en eindelijk, na alles wel geordend te hebben, in deze nbsp;nbsp;nbsp;,
^quot;72 — z aZ X y Z=Z i. i — J. «4
welke tweede magts-vergelijking, met betrekking tot X 7 , opgelost zijnde , geven zal:
De fora en het produdl der onbekenden is alzoo bekend, en men zal, zie yraagfluk 38, I. C., de onbekenden vinden kunnen; want
(.X—7)2~C2^ 7)2 — 4x7z:::»2 — ^az 2j/(2«4 zh') zijnde, zal men hieruit den vierkants-wortel trekkende, vinden:
X —7= nbsp;nbsp;nbsp;1/[_3»2 If 2j/(2«4 zi)]
en nu zal men, de fom en het verfchil der onbekenden bekend zijnde, dezelve, volgens vraagftuk 37 gt; I. C. vinden kunnen; te weten:
X =: I 4 jf I ]/[—3 «22 j/(2 «4 -f 2 i)]
en 7 = 1» |l/C—3«2 4- 2|/(a«4 .f zi)]
Gegeven zijnde a'zz: 8,. en 4 2^:706; dan zal men vinden: x —5 of 3; en 7 — 3 of 5: ’er zijn nog twee onbeftaanbare waarden voor de onbekenden, welke uit de oplosfing volgen, te weten: x =2: 4 -f \/—97,nbsp;^ = 4 — 1/—97, en 7 2=4—^—97, 7 = 4 j/—975 die,nbsp;als uitdrukkingen, aan de voorwaarden der vraag voldoen.
•j, Vraagstuk. Van twee getallen gegeven zijnde de fom a, benevens de fom der vijfde magten h: deze getallen te vinden ?
Indien men de begeerde getallen x en 7 ftclt, dan zullen de Vergelijkingen:
X -f 7 nbsp;nbsp;nbsp;«,• en xs -]• 7® “ b
moeten worden opgelost. De eerfte dezer vergelijkingen tot de vijfde raagt verheffende , zal men, na behoorlijke fchikking der termen, vinden :
xS 4* i*'* nbsp;nbsp;nbsp;5 ^2-3 -f 73) X X7 4- 10 (x -f y) X xZyZ—aS
daar nu x3 4- 73 nbsp;nbsp;nbsp;(3; 4. 7)3 — 3 X7 (x 4- 7) = »^ — 3« X7 is, zal
men voor xs 4* 7* , voor .x3 -f 73 cn voor x -f 7 dcrzelver waarden in plaats ftellende, na behoerlijke herleiding, vinden;
x2 yZ ,
42 X 7 -f I, «4 .
welke, met betrekking tot het produft x y, eene tweede magts-vcrgciy-king is, die opgelost zijnde, g_even zal:
Men kent alzoo de fom en het produft, en men zal, even als in liet Voorgaande vraagftük, de getallen zelve kunnen bepalen, namelijk:
cn men zal in getallen twee beftaanbare en twee onfaeftaanbare waardetl vinden.
Vraagstuk. ^gt;1 twee getallen jiaan de [ommen der eer [ie, derde en vijfde magten tot elkander in dezelfde betrekking ah de getallen p, q en r: tnen begeert hieruit deze getallen te vinden ?
Stel de begeerde getallen x en y; dan zal, volgens de voorwaarde der vraag, de volgende evenredigheid moeten plaats hebben,
hieruit vindt men:
?
p X y wederom moet, volgens de vraag, de evenredigheidnbsp;X y : xS 4. yS — p rnbsp;plaats hebben; men zal derhalve hebben:
uit deze laatfte kan geformeerd worden;
x3 y 2 xa y'_ ,v y3 nbsp;nbsp;nbsp;y4 (C)
Het laatfte lid dezer vergelijking is ontleedbaar in de faéloren —xy -}- y2 en x2 y2. Deelende derhalve deze laatfte vergelijking (C)nbsp;door de vergelijking f^), dan zal men vinden :
fjl2L±j: — nbsp;nbsp;nbsp; ya = xy -1-
welke behoorlijk herleid zijnde, veranderen zal in de tweede magts-vergelijking
*2 y2
Xvelke opgclost zijnde , geven z.al:
lt;1
'‘tïL _
waaruit blijkt: dat tot de mogelijkheid der vraag vercischt xvordt: d.ic de getallen p, y en r zoodanig gegeven zijn: dat 5ï-^45gt;'Zii-Icn wij nu x y ¦=. a, en tellen wij bij vergelijking (jAj eerst 3 a-' ynbsp;3 » en trekken wij ’er x y — « af; dan zal men, na uit deze komende
ver-
-ocr page 109-79
''Êrgelijkingen den vierkants-wortel getrokken te hebben, vinden: a: 5r= ±y(Jf 3 en v _ J ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~
Waaruit volgen zal:
41» f
zijnde a —
1} nbsp;nbsp;nbsp;V 4^“
Stel, dat in getallen gegeven zijn; nbsp;nbsp;nbsp;qzzzi’) en r:
4/gt;2
Kecmt men a — 15; dan zijn de begeerde getallen 5 en 3; of— 3 en, —- 51 doch neemt men n — 45 dan vindt men voor de gevraagde getallen: I j/31 _|_ t \/i5 en i y'si — | K'51 of ook _ i 4/31 4*nbsp;i. 1/15 en _ I 4/31 _ 1 4/15; ivaaruit blijkt, dat ’er, voor de bijzondere waarden van p , q en r, twee antwoorden in pofitieve en twee innbsp;negatieve getallen beflnan..^^
9. Vraagstuk. £lt;-» gegeven getal a in twee deelen te verdeelen, zoodanig, dat de fom van de vierkanten der deelen met die der derde magten vermenigvuldigd zijnde, het product gelijk b zal zijn?
Stellende de begeerde' deelen a; en y, dan zullen de twee vergelijkingen :
X -j- y z= a, en (jx'^ -{¦ X C’-3 -ï- y3) — 3 moeten worden opgelost: deelende nu de tweede vergelijking door denbsp;serfte, zal men, omdat *3 yS door a;-f y deelbaar is, vinden:
(.vz jï) X (x^ — X y y-j) ~ nbsp;nbsp;nbsp;. (^Aj
a
(^4-^)2 — 1 xyzzza^ — 2 ¦ Xy; gevolgelijk ook x^ — xy X y: deze laatfte vergelijking QAj verandert dan in
Nu is ara,4 y2 — yx =z ax __
Indien men deze laatfte door vermenigvuldiging ontwikkelt, en ordent,, dan zal men hebben:
h
— 5 jïT V ^ lt;34 _ nbsp;nbsp;nbsp;Q
'lt;j nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6 a
tc-ne vierkants-vergelijking, welker oplosfmg geven zal:
= A“ rlvy;^j
'’aS 24 h''
de fora en het produél der onbekende getallen gegeven zijnde, zullen dezelve, gelijk bekend is, kunnen gevonden worden.
Stel
So
Stel de begeerde getallen x en y; dan moeten de vergelijkingen:
-J- yX tttie en .v y e .x* ¦|' 2 y
worden opgelost. Indien men het tweevoud van de tweede vergelijking bij de eerfte optelt, dan zal men vinden:
2 .V y nbsp;nbsp;nbsp;— fl 4 C-x- y)
of, na behoorlijke herleiding,
(^x 4- nbsp;nbsp;nbsp;— 4 Cx nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— a
xvclke opgelost zijnde, geven zal:
X y = 2. nbsp;nbsp;nbsp;^/(a 4)
Indien men deze laatfte vergelijking in het vierkant brengt, en ’er . . , 4 .T y 2= 8 (.V 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;16 8 l/(fl 4) van aftrekt, en uit het verfchil
den vicrkants-wortel trekt, dan zal men vinden:
X — y = 4^ |/[a — 8 4 |/C« 4)J welke, met do laatst voorgaande verëdnigd zijnde, geven zal:
X — I _ nbsp;nbsp;nbsp;ï. 4/(» 4) i. I l/t*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 8 4 ]/ C«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 4)J
y zr: I _ nbsp;nbsp;nbsp;i l/C'* 4) ~ l/C®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 8 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- 4)]
’er zijn derhalve op deze vraag twee antwoorden. Zij a, zoo als gezegd nbsp;nbsp;nbsp;isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;45; dan is, de bovenftc teekensnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nemende, xzrtö eny—3;
maar nbsp;nbsp;nbsp;indien mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dO benedenfte teekensnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;noemt, dan isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x =z —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
I 1/65 en y — 21 I y^65.
II. Vr.'vagstuk. Het getal a in twee deelen te deelen, zoodanig,, dat het product der deelen gelijk zij aan het verfchil van derzelvernbsp;vierkanten ?
Stel het grootfte deel x, het kleinfte y; dan tnoeten de vergelijkingen: opgelost worden. Deelende de txveede vergelijking door de eerfte, d.annbsp;zal men verkrijgen :
X ~ y — -1 of X y — « (x — y)
nu is (.V -{- y)^ —^ 4 x y — (x — y)®; men heeft gevolgelijk:
«2 — 4 « fx — y) zz: (x — y)2
vergelijking, welke met betrekking tot (x — y), eene vierkants-vergelijking is, waaruit men vindt: ¦
x-^yizz — 2«_ » |/3 vermits nu x -j- y a is, zal
xzz — iö la i/s
cn y — 1^4 i. » |/3 zijn Nemen wij a — o.-, dan is
terjle oplosfing .x — — i -|- |/5 y = 3 — ]/5nbsp;tvieiie cplosfni x — i — 4/5
y z= 3 -(¦ Ui
liet
-ocr page 111-W-t blijkt uit deze oplosfing: dat een gegeven getal op deze wijze in geene twee, onderling cii, met het gegeven getal, meetbare, deden k:innbsp;Verdeeld worden.
14. Vraagstuk. Indien de fommen van de cerfte en de t'iveede mag-ten van de termen eeiier mcetkunjiige reeks, uit drie termen bejiaan-de, gegeven zijn, begeert men deze reeks te vinden?
Stellen wij de mcctkunlHgc reeks x, xy, xy^. Voorts de fom barer Termen a cn die van dcrzelver vierkanten i; dan hebben wij deze tweenbsp;vcrgcljjli.ingcn :
I- (i j’ )'“¦) =« cn X2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^2 .j- -y4) h
deelende de tweede dezer vergelijkingen door de eerde, dan zal men, zie het II. der merkwaardige produaen op Tabelle M® 1, vinden.
X il — y Jr y^i) ze= ~
(»
en deelende deze laatfte door dc eerfie
I — y y^_ I
I nbsp;nbsp;nbsp;^ ..j.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;!-
welke behoorlijk herleid zijnde, geven zal;
-t- z»
(t ^ *4quot; ^
waaruit, -'— rz: c ftellcnde, volden zal:
^ nbsp;nbsp;nbsp;Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0
i UQ- — o
ftel a — 21; k z::z 189 ; dan zal
=: 2i zijnj waaruit ;y ~ 2 of
y ~ nemende y 122: 2; d.in is x — s: maar neemt men y — i ; •ian is x — 12; cn men vindt voor de meetkundige reeks:
3, 6 en 12 of 12, 6 en 3
welke twee andwoorden op hetzelfde uitkomen.
13. Vraagstuk. Itlen begeert twee meetkunfiige reekfen, elk van vier termen, te vinden, zoodanig, dat trekkende de overëénkomfligenbsp;termen van de tweede reeks van die van de eerjie, de verfehillcnnbsp;zullen zijn a, b, c, d; of 2, 16, 9'i en 544.?
Stellen wij de eerde reeks x , xy, xyx en xy's , en de tweede v, vt, V tx en v/3; dan moeten de volgende vergelijkingen worden opgelost;
X V --- 4
xy — V / ZZZ b
X y 2. V ƒ a nbsp;nbsp;nbsp;c
f,n xyo — V to zzr. d
Uit de eerflc vergelijking haalt men x zzz v a t ftelt men nu deze waarde van x in de drie volgende vcrgelgkingcnj dan zal men hebben;
11. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C gt;')
-ocr page 112-S2
|
b - |
— “y |
|
y |
- t |
|
C |
— nbsp;nbsp;nbsp;y*- |
|
y% |
— |
|
d ¦ |
- «ys |
|
— t3 |
C'* quot;J* nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ V (nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gevolgelijknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;v
(a -f- y) nbsp;nbsp;nbsp;. yz — y f2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y
uit deze drie waarden van v ontftaan de twee volgende vergelijkingen tusfdien y en e ¦
_ c — e! T-
........i ~ ay — --T——
b — ay
y~ ¦¥ y t
De eei'Ke dezer twee vergelijkingen geeft ons:
c — hy t z=. -—
h — ay
welke waarde van f, in de tweede overgebragt zijnde, geven zal:
a y3
i
welke alleenlijk de onbekende y bevat, en, na behoorlijke herleiding, tot de volgende vierkants-vergclijking
(^2 — a c') y^ -i- (_a d — b c') y ci — bd ZZZ o gebragt wordt. De wortels uit deze vergelijking zijn :
b c — ad ]/[— 4 (r2 — bd').Qb^ — a c') -}- (n — b ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— a cy
waardoor ook f, y dn ar zullen bekend worden; want wij hebben:
c ~ b y nbsp;nbsp;nbsp;b — a y
t yizz --; V ~ -; e» -T — » 4. y
b — a y nbsp;nbsp;nbsp;— fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
Eerfle oflospng | ] Tweede epïosjtsig
Tn getallen is « ~ e; ^ ~ i6; c nz: 9!); en — 544; derhalve is j —s of y z::zSi en men heeft deze twee opfosfingen:
5i 25, 125, 625 J , nbsp;nbsp;nbsp;. ’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,-
„ f «e meetk. reekfen,
3, 9, 27, 81 J
de meetk, reekfen.
ƒ — 3, — -9, —. 27, — 81 3 ( — S,—. 25, — 123, — 625nbsp;welke elk aan de voorwaarden der vraag voldoen.
14. Vraagstuk. Men 'begeert eene harmonifeke reeks van drie termen-, onder de volgende voorwaarden, te bepalen: 1“ dat de fom van derzelver termen 6sgt;, en het produEt van het verfchil der kleinfienbsp;n,et het verfclnl der grootfle termen gelijk 90 z/;.8nbsp;Stellen wij, (raadpleeg de oplosfing van vraagftuk 45, pag. 34*5,'I. C.}
¦'Oor dc termen der harraonffehe reeks ar , —L? en y , zijnde ar de
ar y
grootlla en y de kleinfie term, dan zal aan de twee volgende vergelij» hingen:
60
-ocr page 113-en ary
90
(x y)=
Welke de voorwMrden der vraag uitdrukken, moeten voldaan worden.
Vermenigvuldigen wij de eerfte vergelijking met .x y, dan verkrijgen wij:
C* y)® -j- SL X y — 6lt;) (x y)
waaruit volgt:
2 X y 69 (x y) — Cx
brengende nu deze waarde van 2xy in de tweede vergelijking (xgt;) over; dan zal nien na herleiding vinden:
Cx y)2 — :i5 (x 4- y) 3234 = ° uit welker oplosHng volgt:
^ y ~— 66 of X 4* y 49 — 99 of .V rr— 490nbsp;en men zal voor de harmonifche reeks vinden:
eerfie oplosfitig 33 -J- 3 nbsp;nbsp;nbsp;33 '—¦ 3
tweede oplosfing nbsp;nbsp;nbsp;35;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;20 j I4
beide aan de voorwaarden der' vraag voldoende.
15' Vraagstuk. Men begeert vijf getallen te vinden, wehter fom 285 moetende de drie eerfte in eene rekenkunftige, 'de drie mid-delfte in eene harmonifche, en de drie laatften in eene meetkunftigenbsp;reeks zijn, en voorts zoodanig bepaald ¦worden', dat het laatfie, metnbsp;het’ vierkant des eerften vermenigvuldigd en het produB door het mid-delfte gedeeld, voorts het komende quotient tot het twee- en- vijftig-voudige van deszelfs wortel vergaard ziende, de komende fom juist denbsp;fom der vijf begeerde getallen zal voortbrengen ?
Indien men voor de vijf getallen Helt:
(x y) (x 4 2y) Cx gJ') Cx 4 y)*
dan zijn de drie eerfte in eene rekenkunftige reeks, welker gemeene verfchil y is, de drie middelfte zijn in eene harmonifche reeks; want, volgens vraagftuk 45, pag. 34Ö, ï. C. is de derde harmonifche eveniedigenbsp;tot twee getallen gelijk aan het produft dezer twee getallen, gedeeld doornbsp;uveemaal hét eerfte getal met het tweede verminderd: daarna
C-x 4 y) X (x 4 nbsp;nbsp;nbsp;_ (x 4 y) X (x 4 ey)
X nbsp;nbsp;nbsp;2(x 4 3’),—(x 2y)
is, blijkt de hartnonifche evenredigheid der middelfte getallen, en het loopt van zelfs in het oog, dat de drie laatfte getallen in eene meetkundige reeks zyn ; welker reden of exponent —is: door dan deze
vijf uitdrukkingen voor de gevraagde getallen aanteneraen, is reeds aan drie onderfcheidene voorwaarden dér vraag voldaan.
(x-f-ey) X (xiv)2
Vermenigvuldigen wij nu het laatfte getal
^et vierk.TOt van he: eer'le, en dcelcn wij het produft door het raidde!-fee getal a- i.v; clan is (a: v)® het quotient, en wij hebben alzoo C-f -j- 3')°’ 32nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-{¦ y) —
svelke, opgeiost zijnde, .i- y of het tweede.getal zal doen bekend worden. IWen vincit:
of 2“ .ï -J- 31 ::3:
: 5 nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦
v -f. ey —5 ,r nbsp;nbsp;nbsp;* ajr —
elk dezer' twee uiekomften moet nader getoetst worden. Volgens de eerfte voorwaarde der vraag is:
S C-r .1’)
= 283 nbsp;nbsp;nbsp;(^)
5 deelende,
deze vergelijking, in de eerfte ondcrftelling, door .ï y; verkrijgt men, na herleiding:
wsaiin voor x en x 1 y respeftievelqk S — y cn .5 y» ihet de hy-pothefe van x y nbsp;nbsp;nbsp;3 overéénkomende, in phiats moet geftcid wor^
den, wanneer men, na herleiding, verkrijgen zal:
11 312 — J09 3r 4- eöo zr:; o
waaruit 7—4 cii 3'z:z:5|.?i de wortelen zijn. In tle/c ondcrftelling vindt men voor de begeerde getallen:
Tl nbsp;nbsp;nbsp;11
Neemt men .v v = — 57 i dan zal men, de vergelijking door, deze deelende, vinden:
•Tjf £3. (x -f . (j.r -{¦ y) _ _ g
.V nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X 2-
en fchrijvende in plaats van x en a- 4- a y derzelvcr wardijen 37 — y en — 57 -E 7; zal men, na behoorlijke herleiding, verkrijgen:
/ nbsp;nbsp;nbsp;7 72 4- 855 31 4- 32.490 ~ o
welke twee onbeftaanbare wortelen heeft, die als zoodanig aan de voorwaarden der vraag voldoen, en welke wij hier tot des Lezers oefening hebben achter wege gelaten.
16. ViihAGSTUk. LW getal in twee reekfen, elk van drie termen, te verdeelen; de eerfle eene rekenkunjligc en de tweede eene mcetkunflige, onder de voorwaarden: l “ dat het verfchil der reken-kenhinftige reeks gelijk zij aan de reden der nieetkunfiigc; 2“ «fe/ denbsp;grootjh term der rekenhmftige reeks gelijk zij aan den grootften termnbsp;der meetkunflige; 3? en dat, wanneer men alle de termen der re-kenkunflige reeks door alle de cver'êénkomftige termen der meetkun-jlige reeks deelt, (^dat is, den k'einfien door den kleinften, den mid-delften door den middelflcn, en den grootjlcn door den grootflen,') denbsp;cjuslitntcii op nieuw eene rekenkunflige reeks zullen uitmaken.
Stel
-ocr page 115-Stel de rekenkunftige reeks x — 2y , x — y en x; en de meetkundige'z.'xy en z yxdan voldoen deze reekfen reeds aan ééne van de Voorwaarden der vraag. Deelcnde voorts de termen der rekenkunftige
reeks door die der raeetkunftige, dan moeten de quotiënten nbsp;nbsp;nbsp;,
X — y X nbsp;nbsp;nbsp;•
--en - eene rekenkunftige . reeks uitmaken; men zal dan, vol-
zy nbsp;nbsp;nbsp;z jx
fiens de eigenfehap van die reeks, hebben:
.17 nbsp;nbsp;nbsp;X — ly _ lx — 2 y
Hieruit wordt afgeleid x —
y — I
waarden der vraag,, moet x ~ ^ yz _
maar, volgens ddne van de voorzijn; gcvolgelijk is . . •
])c lom van beide de rcckreii te zamen is 31? men heeft derhalve: 3,Gv — 3O -f 2 (i :y 3’2) = 31nbsp;ftellcnde nu in deze vergelijking in plaats van x dn 2nbsp;dijen, dan verkrijgt men:
• nJ
dcrzclver tvaar-
SI
y ~~ I ' y
vï^elkc herleid cn opgelost zijnde, geven zM : y zzz z cn y door men tot deze twee opiosfingen komt;
waar-
/7 nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;( 3? ö, 9, rekenkunfiigenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)
¦:rjte oplosjing / nbsp;nbsp;nbsp;^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\
( I, 3, 9, mcetknnjtigc reeks )
de rekeièknnfiige reeks )
tweeae opiosfng
' nbsp;nbsp;nbsp;I l^Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;R_i. .s de tnectkunfiiëe reek
'velkc beiden aan alle de voorwaarden der vr.aag voldoen.
17. Vraagstuk. Men begeert het getal 971 in drie reckfin, cenc rekenkunftige, mectkunftige en harmonifche, te verdeden, elke reeks uitnbsp;drie termen beftaande, en de volgende eigenfehappen hebbende: 1“ datnbsp;net klcinfte lid van de meetkunjlige reeks, vermenigvuldigd wet hetnbsp;r.liddeljle lid van de rekenkunftige, en voorts met het groot ft e lid vannbsp;de harmonifche reeks, het produSt gelijk zal zijn aan 21600; datnbsp;het gedurig product van het kleinfte lid van de harmonifche, het mul-delfte lid van de rekenkunftige cn het grootftte lid van de mcetkmjfti-ge reeks gelijk zij aan 64800.- en eindelijk ten s'-’, dat de leden f.ernbsp;harmonifche reeks, met de over'éénkoniftige reden der rekenkunftige reeksnbsp;vermenigvuldigd zijnde, (vel verpaande, het klcinfte snet het kleinfte,nbsp;het middelfte met het m.iddclfte, enz.j de produdten aan de leden dernbsp;meetkimftige reeks gelijk zullen zijn.
Stel voor de leden der rckcnknnftige reeks x r— y, x ep x y.
p 2 nbsp;nbsp;nbsp;Voor
86
Voor die der harmonifche reeks a,
cn y, waarin » de kleinfte
a 4- gt;'
en V de grootfte term is.
Vermenigvuldigende nu de overëénkoraftige leden dezer reekfen, daa verkrijgen wij:
2. u V
V Cv — f) ¦gt; nbsp;nbsp;nbsp;V Cv y')
welke zoodanig moeten bepaald worden, dat deze producften eene meet-kunllige reeks uitmaken.
Nu zijn volgens de eerfte en tweede voorwaarden der vraag: u V X (.v — ziz. eióoonbsp;n V Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y') rrr Ö4800
uit welke vergelijkingen volgt: x — 2 y. Door deze om'llandigheid worden de rekenkundige cn meetkunlftge reekfen eenvoudiger uitgedrukt. de Rekenkunflige dear ... y, ey en ^y
de Meetknnjiige......uy, -—;—- j nbsp;nbsp;nbsp;Zv y
» 'I'
Mtr.ir nu moet, uit de natuur der meetkundige reeks, volgen:
16
^ nbsp;nbsp;nbsp;(t/ yp
welke tot de meer eenvoudige vergelijking
3 (quot; '^0^ — nbsp;nbsp;nbsp;^
zn.1 gebragt worden. Stellen wij nu, in u v x — y^maióoo, in plaats van X derzelver waax'de, 2. dan woi'dc a yJ0800, en men verkrijgt ;
loBco nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;240
11 y zr: —¦ eff » 4- V — -
waaruit gemakkelijk gevonden wordt,
_ 120 nbsp;nbsp;nbsp;_ 180 _ nbsp;nbsp;nbsp;_ ^ en ^ nbsp;nbsp;nbsp;_22-
’’ nbsp;nbsp;nbsp;“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ y 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y ’’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y « vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y
IVij hebben derhalve , na aan alie deze voorwaarden voldaan te hebben , voor de rekenkundige reeks
y, ey en 3 y
voor de harmonifche
öo 90 nbsp;nbsp;nbsp;180
y ’ y ’ y
cn indien wij de overëénkomdige termen dezer reekfen met elkander vermenigvuldigen, liaan de prodiiélennbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;60, 180 en 540
. * nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- 180nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Co
111 Tenc meetkundige reeus, zijnde 60 X X — — 11600 cn — X
ey X 540 = 64800: liet blijkt hieruit: dat de meetkundige reeks van de grootheid y geheel onafhankelijk is. Men moet nu nog aan de eerdenbsp;voorwaarde der vraag voldoen: dat, namelijk de fom van de termen vannbsp;alle deze reekfen gelijk aan 971 moet zijn : deze voorwaardc brengt onsnbsp;tot dc vergelijking:
yx „
-ocr page 117-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;«r
y 55 — o
waaruit y — 30 of 31 = is, ’Er zijn dan op deze vraag de twee volgende antwoorden :
Rehenhunfti^e reeks . . . 50, 60, 90 of l5, S|, 5J Uarmonifche reeks ....nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6
Meetkunjlige reeks . . . 60, 180, 540 ... 60, nbsp;nbsp;nbsp;180,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;54°
welke, elk in het bijzonder, aan de vraag voldoen.
Vraagstuk. Fan eene rekenkunftige reeks van drie termen maakt het produSl van de twee eerfle termen, opgeteld met het vierkant des derden terms, a 9088; en het prodiiCl der twee laatfienbsp;termen b ¦= 4928.- mets vraagt, welke deze rekenkunflige reeks zij?
Stel het derde getal of den derden term X, dan is de tweede
en de eerfle nbsp;nbsp;nbsp;, en nu moet, volgens de eigenfehap der rekcn-
b
kundige reeks,,
, nbsp;nbsp;nbsp;' a X — x3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 b
-;- -k- X — ~
zijn, welke ons brengt tot
bquot;) x^ 2 bz \ O
=¦¦ = ±ll “ I ^ ill nbsp;nbsp;nbsp;4. 2 i _ 7 ü)]
en men vindt voor de begeerde reeks:
1?.......24, nbsp;nbsp;nbsp;Sö, ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;88
2“.......32 1/2, nbsp;nbsp;nbsp;44nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;56 a
5“.....— 24» nbsp;nbsp;nbsp;— 56,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 88
4®.....— 32 ]/2, — 44 nbsp;nbsp;nbsp;— 56, 1/2
lp- Vraagstuk. Fan zeven getallen, die in eene rekenkunflige reeks epklimmen, flaan de [ommen van de eèrfte, tweede en derde magtennbsp;van derzelver termen tot elkander, alsp, q en r, of, als 1, 5 e» 28;nbsp;men vraagt deze reeks te bepalen ?
Stel de reeks X_37, *_ay, x — y, x, at j, -v ejensc-J-sy,-
dan zal men tot de twee volgende vergelijkingen komen:
•ïB 4j2 — — en a;2 1272 = —
Waaruit volgen zal:
J-=,o nbsp;nbsp;nbsp;•
2p ‘ 2p
.T = 3 . — — 1/C9
4 p —WP
8Ö
Kierdoor vindt men twee antwoorden, in poütieve getallen, namelijk:
I 9 23 ? 4 5 5 5 6 nbsp;nbsp;nbsp;7
sj fl/quot;'-
De negatieve waardijen van y geven dezelfde getallen.
20. Vraagstuk. Fan vijf getallen, welke cene rekenhinflige reeks uit maken, ft aan, de fomtnen van de eerfte , derde eit vijfde magtennbsp;van derzclver tej'men tot elkander, ah p, tj eu r, of, als i, 15 ennbsp;2p5.- men begeert deze getallen te vinden?_
Stel voor de begeerde getallen x — ^y, x — 1 y, x, v -J- 2 en ¦V 4 3' 3 ti'iR zal men vinden
Fa t? 1/(00?=quot; —5o/’r)~|
en men zal voor de begeerde getallen verkrijgen. Eerfte oplosftng 1, a, 3,4 en 5 ; tweede oplosfing | j/i65 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|/35 , i ^/¦'ö5 — ^ )/oS , ¦ .
I I/1Ö5, 1 \/i65 nbsp;nbsp;nbsp;1/35 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/gt;Ö5 I 1/35- ^en zal nog twee ne-
gatieve oplosfingcn vinden. nbsp;nbsp;nbsp;»
§. 124. Daar cene tweede magts-vergelijking altijd twee wortels heeft , zal elk vraagftuk , welks finale vergelijkingnbsp;tot de tweede magt opklimt, ten mitifte, zooveel die finale vergelijking betrelt, ook twee oplosfingcn moeten hebben.nbsp;NogtaiiS zijn, met betrekking tot het vraaglluk, in zijn geheel genomen, deze nplosfingen fomtijds met omllandighedeiinbsp;verzeld, welker kennis van de grootlle aangelegenheid i.s.
§, 125. I. Aanmerkimo. ff Somtijds zijn de twee oplosftngen in den grond der zaak dezelfde, en doen de onbekenden ftechts in cenenbsp;andere rangorde voorkomen: dit verfchijnfel zal altoos plaats hebben,nbsp;wanneer de onbekende grootheden in alle de vergelijkingen, ten opzig-te van elkander, op dezelfde wijze voorkomen, en ^evolgclijk met ehnbsp;hander kunnen verwisfeld worden, zonder dat daardoor den vorm dernbsp;vergelijkingen Verandert. Stellen wij, bij voorb., dat gegeven zijn;
X quot;j ~ a, en rt- y- ^ b
dan zal men, zie vraagft. 39, png. 344, I. C., vinden:
X = i a ^21/(2 b - a-j c« ji nbsp;nbsp;nbsp;« 11/(2 b - a^')
in Vv'clkc de eerfte en tweede waardijen van x dezelfde zijn als de tweede en eerfie waardijen van f; ’er bellaat dan maar ééne oplosfing.
' nbsp;nbsp;nbsp;De
-ocr page 119-89
De twee oplosfingen, welke het vraagftuk in den eerden opflag Tchijiit te hebben, zijn in den aard der gegevene vergelijkingen gegrond, waarin niets te vinden is, waaruit volgen zou, dat de waardenbsp;van ééne der onbekende liever het grootfte dan het kleinfte der ombekende getallen zou zijn. Men kan daarom ook verwagtcn, dat,nbsp;wanneer men zich niet van de kunstgreep van 39 vraagfi. I. C. bedient, en uit de eerde vergelijking ééne der onbekende afzondert, ennbsp;dcrzelvcr waarde in de tweede vergelijking overbrengt, men tot eenenbsp;vierkants-vergelijking zal komen, welker wortelen de twee begeerdenbsp;getallen zullen zijn. Indien men y afzondert, zal men vinden:
^ nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(-1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ o
in welke, volgens §. 99, de fom vnn de wortels dezer vergelijkingen gelijk a is: daar nu X y — a is, hinkt het: dat de wortels vannbsp;de vergelijking in x geene andere dan de begeerde getallen kunnennbsp;zijn. Hetzelfde zal gebeuren, wanneer men x afzondert: nicn zal dannbsp;vinden:
3'^ -.^3- -f (I - ib')=zo welker wortelen insgelijks de onbekende getallen zullen zijn.
Hetzelfde verfchijnfel zal plaats hebben, wanneer de vergelijkingen en X y ~ b worden opgelost; gelijk ook, wanneer denbsp;vergelijkingen x -j- 3 — a en -1- 32^ r= b gegeven zijn. Nemen wij nog de vergelijkingen x y ~ a en x^ 4- 33 ~ b; dan
(l
zal y ~— zijn, en men verkrijgt voor de finale vergelijking:
in X .... x^ — h xquot;^ nbsp;nbsp;nbsp;— o
in y ... . y^ b y^ nbsp;nbsp;nbsp;~ o
derzelver wortelen Ice.ren de waardijen van x^ en 33 kennen:'maar uit §. 99 en 100 blijkt: dat de wortels van elke vergelijking de cu-ben der gevraagde getallen zijn; want x3 33 en x 3^ —^3.
§. 126. Nog zullen de oploslrngén der finale vergelijking op hetzelfde uickomen, al is het, dat de onbekenden in de gegevene vorfe-lijkingen niet op dezelve wijze fchijnen voortekomen: .lt;.leze bijzonderheid heeft plaats gehad in de oplosfmg van het 12 vraagfluk: pag. 81, zij bragt ons tot de vergelijkingen:
14-3' 3^)
a
x3 (i y^ -{- 34) — A uit welker zamenvoeging de finaie vergelijking:
h' 5
•3'' -
-ocr page 120-90
geboren wordt. Stellen wij nu: dat de ééne wortel dezer vergelijking r zij; dan zal de andere ^ moeten zijn, omdat, onder deze voorwaarde alleen, de achterfte term gelijk één kan zijn. Men heeft dusnbsp;wel twee waardijen voor maar, wanneer men xQi —31 31®)= —nbsp;van x (i 3^ 31®) — ^ aftrekt, dan verkrijgt men:
en het blijkt hieruit: i'' dat xy, of de tweede term der reeks, maar ééne bepaalde waarde kan hebben: 2,^ dat, 31 twee pofitieve waardennbsp;hebbende, x insgelijks twee pofitieve waardijen hebben moet, welkenbsp;met de twee pofitieve waardijen van 31 overëénftemmen: maar de tweenbsp;waardijen, welke men voor x verkrijgen zal, zullen dezelfde zijn, alsnbsp;die, welke de berekening voor x y^' zal geven; evenwel met dit on-derfcheid, dat de kleinfte waarde van x met de grootfte van x 3®nbsp;zal overëénftemmen, en vice verfd.
Om zulks buiten allen twijfel te ftellen, zoo merken wij aan: dat uit de laatst voorgaande vergelijking, in het algemeen, volgt:
_ nbsp;nbsp;nbsp;— b
23
ftcllcndc nu in plaats van y de waardijen voor y verkregen, namelijk
r en —; dan zullen de waarden van x, welke daarmede in rangorde r
ovcréenfteramcn, zijn:
a--b
--, en (--) X r
e!.ar nbsp;nbsp;nbsp;V 20
en indien wij deze met de vierkanten van de waarden van 3, dat is, met r® en gt;—®, vermenigvuldigen, dan zullen de waarden van «v3®,nbsp;welke met die van x overëénftemmen, zijn:
\_ 2 a y nbsp;nbsp;nbsp;2ar
hetwelk alles ten vollen overëénftemt met de finale vergelijkingen in X en xy-, welke men door eene ligte berekening zal kunnen verkrijgen, namelijk:
a^-]-b nbsp;nbsp;nbsp;/'a~~h'\2
X---— x (--) = o
2 « nbsp;nbsp;nbsp;V 2 ö ^
I?® — b'\2
x-y''
in
-ocr page 121-91
in welke vergelijkingen
(Zie hier boven de vergelijking in (^}) en voorts
ra'^-b~\ nbsp;nbsp;nbsp;ra^-b-\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ra^-b-\i
zijn, zoo als het, volgens §§. 99 en 100, behoort. Het blijkt waarom de twee oplosfingen van de vierkants-vergelijking in jnbsp;dezelfde oplosfingen op het voorltel geven: ook moest men, daar denbsp;termen eener meetUuniiige reeks, zoowel opklimmend als afdalend kunnen genomen worden, natuurlijk vcrwagten, dat ’er, onder de oplos-fmgen van dit vraagftuk, ten minlle twee zijn moesten, welke op denbsp;, rangorde na, waarin men de onbekende grootheden nemen kan, dezelfde moeten zijn. Voegen wij ’er nog bij: dat men, door het vraag-fiuk op eene andere wijze aantevatten, de vergelijkingen op eene fyme-tieke wijze zal zien te voorfchijn komen; want, flellen wij de termennbsp;der meetkundige reelts , xy en 31-; dan zullen de volgende vergelijkingen :
X 'S nbsp;nbsp;nbsp;Z= iï
X* -j- x'^ nbsp;nbsp;nbsp;-j- 3 — b
raoeten worden opgelost, en hoe zulks, onder anderen, gefchieden kan, is in de oplosfing van vraagftuk 42, I. C., aangetoond.
§. 127. 2. Aanwerkikg. ft JVanneer de vergelijkingen, die de voorwaarden van een vraagftuk uitdrukken, zoodanig gefield zijn, dat, *nbsp;wanneer de Icekem der onbekenden worden omgekeerd, de onbekenden,nbsp;in deze Vergelijkingen voorkomende, alleenlijk van plaats veranderen,nbsp;ofwel, op de plaatsverandering geen invloed hebben, zonder dat, doornbsp;de omkeering dezer tcckens, de vorm der vergelijking verandert, dannbsp;zal 'er ééne pofitieve en ééne negatieve oplosfing plaats hebben, welke, op de tcekens na, zullen gelijk zijn. Dit geval zal plaats hebbennbsp;in de vergelijkingen:
ar — 3’ = « en x3 — jgt;3 = ó
Welke, op de tvijze, als in vraagft. 41, pag. 345, I. C. behandeld zijnde, geven zullen:
¦ j/i
'¦i y-
V3«
in welke de eerde waarde van x gelijk is aan do tweede waarde van V, negatief genomen, en omgekeerd: maar nu znl ook dezo oiudaudig-
heid
-ocr page 122-heid bevestigd worden, wanneer men de vergelijkingen in x en y uitbrengt, deze- zullen geven ;
— b
x‘' — a X -f---=: o
Men ziet duidelijk: dat deze vergelijkingen zoodanig met elkander overëénfteminen, dat, wanneer men in ééne dezer vergelijkingen denbsp;wortels negatief Helt, de andere zal te voorfchijn komen; waaruit volgt:nbsp;dat x = — y, en — X == y moet zijn: wanneer men nu ook in denbsp;gegevene vergelijkingen x en y negatief fielt, zullen zij y — x — a,nbsp;en y^—x^~b worden, vergelijkingen, welke aan de gegevene volmaakt gelijkvormig zijn. Hetzelfde zal gebeuren, wanneer xy~a,nbsp;X — y — b gegeven zijn; want deze vergelijkingen zullen ons geven :
— b X — a o y^ -j- b y — /7 —¦ r,
en men zal vinden:
xx=:^b j- i/(a -f J en y = - i ö nbsp;nbsp;nbsp;-f- | b^')
§. 128. 3. Aanmerking, ff Wanneer de teekens der onbekenden «ingekeerd zijnde, de vergelijkingen daardoor van gedaante veranderen , dan houden ook de voorgaande omjlajidighedcn op plaats te hebben, en Vr zijn in allen opzigte twee oplosfingen. Dit geval zal plaatsnbsp;hebben, Wanneer de vergelijkingen x -{• •j, y ~ a x^ — y'^ — bnbsp;gegeven zijn; want dan zal men voor de vergelijkingen in :v en ynbsp;vinden:
4 nbsp;nbsp;nbsp;quot; V .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
welke in alles van elkander onderfcheiden zijn. Indien a — c) en 3 = 5 gegeven zijn; dan zal .v = 3 of 5|, en j = 2 of 4| zijn.
§. 129. 4. Aanmerking, ff Het gebeurt fomtijds, dat fommige van de, wortelen der finale vergelijking niet aan alle de voorwaarden der vraag voldoen. Descartes , en zijne navolgers, noemden dezenbsp;wortelen valfiche wortelen, welke benaming, ten onregte ook aan denbsp;negatieve wortelen eener tweede en hoogere inagts-vergelijking gegeven,nbsp;door derzelver onnaauwkeurigheid, den leerling in dc war moet brengen, waarom dan ook de voornaanifle Wiskundigen van onzen tijdnbsp;die ongefekikte benaming verworpen hebben, j- f ^iet is gevolgelijk van
be-
-ocr page 123-93
helang bij de oplosfing van een voorftel te onderzoeken i, of de gevondene wortels aan alle de voorWaarden der vraag voldoen, en die geens te verwerpen, die niet alle de uitgedruktc voorwaarden vervullen.nbsp;* Wij zullen Zulke wortels onvoldoende wortels noemen,
§. 130. ff De niet voldoende wortels ontftaan uit de volftrekte algemeenheid der Helkundige teekens, welke, wanneer zij meer uitdrukken dan in het vraagftuk gezegd wordt, niet Hechts de voorgeflelde vraagnbsp;oplosfen: maar ook tevens een vraagftuk, hetwelk met hetzelve zulknbsp;eene naauwe overéénkomst heeft, dat zij beide in een meer algemeennbsp;vraagftuk kunnen begrepen worden, aan hetwelk dan ook beide wortels voldoen. Deze ouiftandigheid verdient door voorbeelden te worden opgeheld erd.
21. nbsp;nbsp;nbsp;Vraagstuk. Dc zijde van een vierkant te vinden, vtanrieernbsp;het verfchil tusfehen deszeifs diagonaal en zijde gegeven is?
Stel de zijde van het vierkant dan moet V^2 nbsp;nbsp;nbsp;— xzzza zijn, en
men vindt:
X ZZZ a -j- ö
Wanneer men nu'deze twee oplosfingcn aandachtig inziet, blijkt het, dquot;t, daar de diagonaal min de zijde niet negatief kan zijn, de oplosfingnbsp;•vrriï—« j/z niet kan voldoen: Descartes zou daarom dezen wortelnbsp;eenen vtilfclien wortel genoemd hebben. De oplosfing x — «nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;» y'e vol
doet alleen. Maar vanwaar onfftaat, kan men vr.agen, deze onvoldoende Wortel? Zeer natuurlijk, omdat men, in de voorftelling der vraag, alleenlijk denkt op ecu vierkant, hetwelk eene poCtieve zijde heeft: maarnbsp;daar deze zijde in het algemeen zoowel pofitief als negatief kan gedachtnbsp;worden, zoo geldt de ongefehikte wortel x zn: it — « l/-; noodzakelijk negatief is, voor dit geval. Laten wij nu aan x eene negatievenbsp;xvaarde geven, dan verandert de vergelijking in |/a xx x —ctinbsp;^ — — o -j- fl j/i: nu is deze vergelijking de overzetting der vraag:nbsp;De gom vuK de diagonaal en de zijde van een vierkant a zijnde, denbsp;zijde te vinden? en, w.anneer men zich de zijde als pofitief voorftcit,
voldoet alleen de oplosfing x —_ «-pc l/c: maar neemt men de zij,
de negatief, dan geldt x — « — ay'z.
22, nbsp;nbsp;nbsp;Vraagstuk. Eene regte lijn zoodanig in twee deelen te verdee-len, düt het vierkant van het grootjie deel gelijk zij aan den rechthoek van de geheele lijn en het kleinfte deel?
Stel de geheele lijn zzs a, het grootfte deel gelijk x; dan is het klcin-fto deel — a — x, en
ZZZ a (^a e— x')
* = — 2« _|«l/S
de wijze nii, tvaarop de vraag is voorgedragen, laat ons niet toe -r ~ ¦— J. » — p ö te gebruiken, omdat 1°, het grootfte deel in dien zin
niet
-ocr page 124-94
niet negatief, en niet grooter dan de gegevene lijn kan zijn. Intusfehcn kan men x neg.itief nemen; maar dan heet het niet meer de iijn a tenbsp;verdeelen; m.aar wei, de lijn te verlengen ^ zoedat het vierkant van hetnbsp;verlengde Jiuk gelijk zij aan de geheele lijn^ en het verlengde fiuk te.nbsp;zamen genomen, met do geheele lijn vermenigvuldigd, een viaagftuk, hetwelk in vergelijking gebragt zijnde, geven zal; a-e = a Ca xj ennbsp;voorts
waarvan .* =i '» J «^5‘«lleen voldoet, terwijl -r ~ ,t a —i « y/s, voor X eene negatieve waarde geeft, welke de eerfte vraag oplost. Beidenbsp;deze vragen Zijn nu ill de algeineene vraag: eene onbepaalde regte lijnnbsp;met tvtee punten A ért’ J1 in dezelve gegeven zijnde, eene derde punt
te vinden zoodanig dat het vierkant van den affiand van A tot C gelijk zij atfn den rechthoek onder den affiand en van B tot C en dennbsp;affiand van A tot B? begrepen, W'elke twee oplosfingen beeft, in xnbsp;— ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-i- i « i/s begrepen.
Dit vraagftuk, waarvan Wolff, in zijne Elementa Mathefeos, eene zeer omflagtigo oplosHiig geeft, kan .aldus worden opgelost: deel de tweedenbsp;vergelijking door de cerfte, d.an heeft men; .v — y i, en men zalnbsp;vinden:
,r3 — 3.V -f I = o j .V — i|.jf I v/S ~ y— 1=0 y ~ i- ï
lt;!« tweede wa.arde van y is negatief; Wolff neemt dezen wortel voor valsch, tot reden gevende, dat, dezen wortel aannemende , y niet het klein-ftc getal zijn kan: maar zulks is eene dwaling, daaruit voortkomende, datnbsp;men de onbekende getallen zich natuurlijk in het begin der oplosfing alsnbsp;pofitief voorllelt, welke nogtans, overëénkomftig den aard der vergelij-kingen, eene negatieve waarde kunnen hebben, welke de oplosfing leennbsp;kennen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/
§. 131. tt Uit deze weinige voorbeelden blijkt het dan: dat de zoogenaamde valfche wortelen wel degelijk aan de voorwaarden der finale vergelijking, in de flriktlle.algemeenheid genomen, voldoen, en flechts,nbsp;met betrekking tot de bijzondere omftandighedeu der vraag, onvoldoende kunnen zijn, waarom dan ook de uitkomften der oplosfing altijdnbsp;aan dezelve moeten getoetst worden j ten einde die bijzondere wortels te leereii kennen, welke met deze omflandigheden inftemmen. Ditnbsp;zal in de oplosfing van de volgende vraagftukken nog duidelijker worden.
(lis het pond van die foort ftuivers kost; van de H'eede foort lö maal zoo veel ponden, als het pond van die foort ftuivers kost; nu verkoopt hij die beide foort en, door elkander, tegen één-derde zooveel ftuivers het pond, ah hij van de ee^fte foort meer ponden dan van denbsp;tweede foort heeft gekogt, en wint, dus doende, op de geheele parti]nbsp;quot;lt;gt;5 guldens li ftuiver: men begeert te •weten: hoeveel-ponden vennbsp;elke foort, en, tegen hoe vele ftuivers het pond, hij dezelve hebh^nbsp;ingekogt.
Stel, dat h(j van de eerfte foort koopt x ponden; dan bedraagt de tweede foort ti68 —x ponden: volgens de vraag befteedt hij voor hcnbsp;pond van de eerfte foort _l x ftuiv., en voor het pond van de twdeonbsp;ftuiv., en dan beloopt de eerfte foort „5. x'ftuivers; cii d.nbsp;tweede (llö8 —a;)e ftuivers, en hy heeft beide partijen gcvolgel;;''nbsp;ingekogt voor _i xz _t (1168 — xja ftuivers.
Om nu voor den verkoop eene uitdrukking te vinden, trekke n
H68 — X het getal ponden van de tweede partij van x het getal p-
den van de eerfte partij af, het verfchil is lx — 1168: één-derde V;
d,at verfchil, of | fe a: _ 1168), met 1168 verat, geeft i . (a x —'iiös:
X 11Ö8, en voor 200 vele ftuivers heeft hij beide partijen uitverkogt.
ïlu zegt de vraag: dat hij gewofinen heeft 285 gl. li ftuiv., dat is s7oii
ftuiv.: men zal derhalve de vergelijking: nbsp;nbsp;nbsp;^
I. (2 X — 1168) . 1168 — _i 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2-0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j.
hebben, welke herleid zijnde, geven zal;
x2 _ nbsp;nbsp;nbsp;^ 1^9000 _ ^
waaruit volgt: x — 7$79_7 en x — 640.
Hoewel nu deze vergelijking twee pofitieve wortels hoeft, die beide aan de vergelijking voldoen, is echter de grootfte wortel op de natuurnbsp;der vraag niet toepasfelijk: want, daar men twee foorten te zamen vannbsp;1168 ponden gekogt heeft, zal de eene foort geen 7579_7 pond kunnennbsp;bedragen: men verwerpt dus dezen wortel en behoudt Hechts den niet ftrjj-digen wortel 640, welke alleen op de natuur der vraag toepasfelijk kannbsp;zijn, en dan is ugg — ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ponden van de tweede foort en is de
eerfte foort tegen x nbsp;nbsp;nbsp;3a ftuivers, en de, tweede foort tegen
~5 (1^^^ — nbsp;nbsp;nbsp;^^33 ftuivers ingekogt.
25. Vraagstuk. Indien het door proeven bekend is, dat hot geluid in, den tijd van éène fecunde eenen weg van 337 meters aflegt, en eennbsp;vallend ligchaam, in de eerfte fecunde van zijnen val, 4,9044 metersnbsp;doorloopt, hoe diep zal dan een put zijn, wanneer de tijd, die fe-dert den val eens ligchaams, dat men in den put laat vallen, tot datnbsp;men den flag van den val hoort, verloopt, door waarnemingftrkendnbsp;gelijk 20 fecunden is. De tegenpand van de lucht niet in aanmerking nemende ?
Stel:
-ocr page 126-Stel: 4,9044 meters — a, 377 meters :=: b, en lo fecuntien — / , en de diepte van den put x meters.. In de Natuwrkunde wordt bewezen: dat de hoogten, door weike een ligchaam vrijelijk valt, aan hetnbsp;vierkant van den tijd, welke federt het begin van den val verloopen is,nbsp;evenredig moet zijn: men heeft alzoo de evenredigheid: a ftaat tot x,nbsp;gelijk éénmaal één tot het vierkant van het getal fecunden, noodig zijnde, om .door de diepte Van x meters te vallen; de vierde evenredige tot
X en I gelijk -i- zijnde, zal de tijd van den val door \/~ worden »nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a
nitgedriikt.
Wederom leert de Natuurkunde: dat het geluid regelmatig voortgaat: wü hebben derhalve
put, tot aan deszelfs opening, te doen opklimmen, is geliik Wij heb-
en de tijd, welke noodig is,, om het geluid, uit den bodem van den put, tot aan deszelfs openinbsp;ben dan de vergelijking:
welke , herleid zijnde, geven zal:
_ (a i r nbsp;nbsp;nbsp;^ ia rx = o
waaruit voor de diepte van den put volgen zal;
x=.b^‘T;‘--- \/(Aa nbsp;nbsp;nbsp;b fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b^:gt;
Hier heeft men nu twee waarden, welke aan de finale vergelijking voldoen: evenwel befiaat ’er maar eene waarde 5 die de vraag kan oplos-fen; want de put heeft maar tiehie diepte. Het loopt duidelijk in het oog, welke dezer twee Waarden aan de vraag voldoen zalj wam, vermits de tijd, in tveiken het geluid opklimt, minder is dan de waargenomennbsp;tijd, die, federt het begin van den val en het hooren van den flag, verloopt, zal X lt; i r moeten zijn: deze omllandigheid kan nu niet met
Z» / -j- — nbsp;nbsp;nbsp;— y/(b^. -jU 4:7 ^ r)
inftemmen : maar, omdat nbsp;nbsp;nbsp; 4 « ^ f)'gt; Z’ is, zal 4- — —- —
^ nbsp;nbsp;nbsp;ianbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ia
¦j/Ciz i^abt') negatief worden, en de ware bruikbare wortel zal gevolgelijk zijn :
Nu is — 4,9044 meters; nbsp;nbsp;nbsp;337 meterj; r ~ eo, en de bereke-
ning zal geven: x zm 1285,03 meters voor de diepte des puts.
9?
van desze/fs onheflaanbaarheid. [let volgend vraagfluk. za! daarvan een voorbeeld geven.
26. Vraagstuk. Het getal 30 in drie deelen te verdeden: zooda-tiig, dat het tweede deel driemaal grooter dan het eerfle, en de [om van de vierkanten der deelen, te zanten genemen, gelijk 300 zit?
Het eerde dee! gclyk x ftellcndc; d;ui is het tweede 3 x, eii het derde So — 4 .V, en men heeft:
j:2 9 xi (30 — 4.-.-)a — 300
weike geven zal: x ~ ö o .{. nbsp;nbsp;nbsp;„ 3 eene onbeftaanbare waarde,
welke de onbeilaanltaarheid der vraag bewijst.
§ 133- Dan, hoewel dit laatfte vraagftuk ónmogelijk is, volgt daarom niet; dat eene vraag van gelijke natuur, maar in andere getallen gegeven, onmogelijk zou zijn: want, wanneer ’er geene tegenftrijdig-lieid in gelegen is, een getal in drie deelen te deelen, zoodanig datnbsp;liet tweede deel driemaal het eerfte deel evenaart, en de fora vannbsp;de vierkanten der deelen altijd een bepaald getal uitmaakt, dan moetnbsp;de onbegaanbaarheid der vraag alleen in de betrekking der gegevene-getallen gelegen zijn; alleen daarin, dat van alle raogelijke wijzen,nbsp;waarop men aan de eerfte voorwnarde voldoen kan, geen geval be*nbsp;ftant, in hetwelke de fom der vierkanten 300 kan worden: men zietnbsp;gevolgelijk: dat ’ef eenen overgang van het mogelijke tot het ónmogelijke moet plaats hebben. Deze overgang ontdekt men, wanneer mennbsp;iti plaats van de gegevene getallen letters fielt. Zij 30 = « ennbsp;300 ~ b, dan zal
-f- 9A70 (zz — 4x)^ = b moeten zijn deze vergelijking oplosfende, wordt
De befiaanbar.rheid van de voorwaarden der vraag hangt nu flechts sf van de beftaanbaarheid der uitdrukking l/C^d ^ — 10 a^')^nbsp;want, indien 10nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;26 é is, is de grootheid onder het wortel-
teeken pofitief, en heeft eenen pofitieven en eenen negatieven wortel;'maar wordt nbsp;nbsp;nbsp;gt;26^, dan is deze grootheid negatief, en
kan geenen vierkants-wortel hebben: hieruit blijkt dan ten klaarfte, dat het mogelijke of ónmogelijke der vraag alleen van de betrekkingnbsp;der gegevene getallen a en b afhangt, en dat ’er een punt van overgang van het mogelijke tot het onmogelijke moet plaats hebben, hetwelk noodzakelijk kenbaar zal tvorden, indien men de grootheid onder het wortchseken gelijk nul fielt; want, dnn is n6 b — iq =zo
of 26 b — 10 a^ 11. Cursus.
en b
wanneer nu nbsp;nbsp;nbsp;is is ook
-ocr page 128-¦4*
¦4*
9S
l/C-ö f/ — ïo a^')~ Q, en X — a, 3 x =
lt;s a
Ï3
rf a, en nu is nbsp;nbsp;nbsp; (yf Gf «)*
3ö
Tlt;S5
-I nbsp;nbsp;nbsp;wan
•gt; yjrZ
T59 ^
neer nu nbsp;nbsp;nbsp;ö® genomen is, wordt n6b — ioa^ negatief, en de
vraag is ónmogelijk; maar zoodra ^ nbsp;nbsp;nbsp;lt;7® of grooter dan 0^
gegeven is, zijn de voorwaarden met elkander bellaanbaar, en het voor-ftel heeft twee oplosfmgen.
§. I34v * Het bepalen van de betrekking der gegevene grootheden, waaronder een bepaald vraaglluk mogelijk wordt, noemt men: het bepalen van de limieten van overgang van het mogelijke tot hetnbsp;onmogelijke, of van het beftaanbare tot het onbeflaanbare der vraag:nbsp;het maakt altijd een gedeelte van derzelver oplosfing uit: doch, kannbsp;nimmer algemeen beoordeeld worden, zoo men niet, in plaats van denbsp;gegevene getallen ,¦ algemeene letters fielt, en het vraagftuk zuiver liel-kunflig, dat is, zoo algemeen mogelijk is, oplost.
§. 135. Merken wij nog aan: dat het bepalen van de limiet der mogelijkheid in het voorgaande vraagftuk te gelijk eene andere vraagnbsp;oplost, te weten, deze: het getal a in drie dcckn te verdoelen, zijnde het tweede deel gelijk driemaal het eerjle, zoodanig dat de j'om vannbsp;^dë vierkanten der deden zoo klein valle ah mogelijk is; want, welknbsp;ook het getal a zijn moge, moet de fom van de vierkanten, zal denbsp;vraag mogelijk zijn, niet kleiner dan -j.! mogen genomen worden.nbsp;Dan zulks verder te overwegen, zou ons in de leerwijze der maximanbsp;en minima vervoeren, welke wij op zijnen tijd uit algemeener beginzelen zullen afleiden.
§. 13d. 6. Aanaierking. ft Men moet, (en deze aanmerking geldt in het algemeen voor alle vraagftukkenj) zorgen, dat in de oplosfingnbsp;de vraag tot geene hoogere magt opklimtne, dan bij eene beter ingerig-te oplosfing zou plaats hebben. Omdat, de oplosfing van eene hoogere magts-vergelijking moeijelijker dan die vaii eene lagere magts-ver-gelijking is. 2“ Omdat, wanneer eene vraag in de oplosfing tot eenenbsp;lagere magt kan gebragt worden, ’er in de finale vergelijking overtollige wortels zullen gevonden worden, die men met regt valfche wortelen zou kunnen noemen. Men moet dan wel aandachtig overwegen:nbsp;hoe de vraag in de oplosfing moet aangevat worden, en gelijk, in denbsp;gewone Cijferkunst, de kennis van de eigenfehappen der getallen, innbsp;elk geval, den eenvoudigften weg aanwijst, zoo ook hangt het gelukkig flagen der oplosfing van de grondige kennis van de eigenfehappennbsp;der ftelkuiidige uitdrukkiogen af. De oplosfing van de 5 en 7 vraagftuk-
-ocr page 129-99
•bkken, pag. 76 en 77, zouden, iudien men mt x y~a^ j~a- x afgeleid, en deze waarde in de tweede vergelijking had overgcbrngt,nbsp;in het 6 vraagftuk, eene vierde, en, in het 7 vraagftuk, eene vijfdenbsp;magts-vergelijking gegeven hebben: niet te min heeft men deze tweenbsp;vraagftukken, door van de bekende eigenfchappen der Helkundige uit*nbsp;drukkingen gebruüt te maken, tot de tweede magt kunnen brengen.
Zeer ligtelijk kan men ook tot eene hoogere magt vervallen, wanneer men zich door het eenvoudige, dat de inrigting van eene oplos-fing fchijnt te hebben, laat misleiden, en daarop voonwerkt. Dit zal het geval zijn, wanneer men het 13 vraagftuk pag. 81. op de volgende wijze aanvat. Stel de eerfte meetkundige reeks x, y, s en v; dannbsp;is de tweede x i, y 5^ ^ — 19 cn v — 05^ en men heeft denbsp;vergelijkingen
yv=.z^-, (x- l) C»-I9) = Ö'-5gt;i 0'-5)Cv-65) = Cs - 19)^
en men zal eindelijk tot
y^ — 10y^ — 11 y -j- 180 = o
komen, welker wortelen zijn: y = 9; y r=r 5 en y = — 4 Cnquot;])-Intiisfchen voldoen alleen maar de wortels p en —4; want,-in den loop der oplosfing, vindt men:
sy^-^y
2y - 5
2 wordt derhalve, in de onderdelling van 5=5, gelijk ip, ar = y® -4- 2 = 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, en y = 2- -f-y = ip^ : 5 = 72!. De wortel y = 5
geeft derhalve, voor de eerde meetkundige reeks de getallen ,
S gt; I p en 72|-, welke wel eene meetkundige reeks uitmaken; dan, wanneer men van deze getallen, in rangorde, i, 5, ip en 65 aftrekt,nbsp;zijn de verfchülen _5, o, o en 71 ver af van eene meetkundig’Cnbsp;'eeks uittemaken, zoo als, volgens de vraag, zou behooren plaats tünbsp;rebben. De wortel y =a= 5, kan derhalve, als vreemd aan de natuurnbsp;ier vraag, met regt eenen valfchen wortel genoemd woorden.
C17) Dit is de oplosfing, welke de Heer A. VRYza, een bekwaam llelkunftenaar, van dit vraagftuk gegeven heeft. Zie Tl'iikuncligs P'erlus-tiging yan het Genootfehap: Een onvermoeide arbeid kamt aUss te hoven,
JI. Utel, J^ajr. 24 J et Jej,
TOO
WISKUNDIGE LESSEN.
XI. B o E K.
Oper de dealers en ^emeene deelers der ftelkundige uitdrukkingen, en derzeher gebruik in de ophsfing der hoogere magis-vergelijkingen.
ZEVEN- EN- VEER.TIGSTE LES.
Over het vinden van de deelers der fielkundigc uitdrukkingen.
r. .Cjeliik
§. 137. .Vjrelijk een getal uit het produél; van twee of meer getallen kan ontftaan, even zoo kan ook eene Helkundigenbsp;uitdrukking uit het product van twee of meer ftelkundigenbsp;uitdrukkingen geboren worden. Bij voorbeeld, 49nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
laö -1- 186 X — 135 is het product van 7 nbsp;nbsp;nbsp;— 9 15
en 7x — 9, en deze laatfte zijn gevolgelijk ftelkundige deelers van de eerfte. ff Gelijk nu, in getallen, niet elk gegeven getal het product van andere getallen is, waarom de getallennbsp;in twee groote hoofdfoorten, deelbare en ondeelbare getallen, onderlcheiden worden; zoo is ook elke ftelkundige uitdrukking niet altijd liet produeft van twee of meer anderen.nbsp;De ftelkundige uitdrukkingen, welke in den loop der berekeningen kunnen voorkomen, zijn dan deelbaar of ondeelbaar.nbsp;En hieruit ontftaat het gewigtige vraagftuk: Eene Helkundigenbsp;uitdrukking gegeven zijnde, te onderzoeken, of zij deelbaar ofnbsp;ondeelbaar zij, en in het eerfie geval hare deelers te vinden?nbsp;VV'ij zullen ons in deze les met deszelfs oplosfing bezig houden.
S- 138. Wanneer wij deze vraag iii deszelfs geheele uitge-fl;rektheid zouden willen behandelen, zou zulks een geheel boekdeel vcreifchen: wij ztilleu ons daarom alleen met die gevallen ophouden, welke op de oplosüng’der hoogere raagts-
ver-
-ocr page 131-loi
Vergelijkingen en de theorie der kromme lijnen en oppervlakten onmiddelijk kunnen toegepast worden.
§. 139. Op dat wij nu onze denkbeelden op eene duidelijke en geregelde wijze zouden kunnen voordragen, zullen wij eene Helkundige uitdrukking, als 49nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 126nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
186 X— 135, welker deelers onderzogt worden, als veranderlijk befchouwen. ff Het is zeer klaarblijkelijk, dat, wanneer men de waarde van x verandert, die der uitdrukking ook noodzakelijk zal moeten veranderen. Stellen wij, bijnbsp;voorbeeld, a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz., dan zullen de waar--
den der uitdrukking, welke met die aangenomene waarden van X overeénlteiumen, in het ondergaande tafeltje gevonden worden.
.17 =: nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j 115
^ nbsp;nbsp;nbsp;o 49-r3-l267V2-|-l86x_l35r:t ~
.f' “ nbsp;nbsp;nbsp;\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 456
Het blijkt uit dit tafeltje: dat de waarde van 49x1 — i26x“ -t-iSüx—135 voornamelijk afhangt van de waarde, dienbsp;men aan x geeft, ff Deze uitdrukking ivordt dus in waardenbsp;veranderlijk, zoodra men x als ver ander Hik befchouwt. * Omdat nu de verandering van de v/aarde der uitdrukking vannbsp;die der grootheid x afhangt, zegt men: dat 49 x= — laóx^nbsp; 186 X — 135 eene uitdrukking van de veranderlijkenbsp;grootheid x is.
§. 140. 4 Wanneer men in eene Helkundige uitdrukking ödne of meer grootheden als veranderlijk, en de overige aisnbsp;Handvastig befchouwt, pleegt men de Handvastige door denbsp;eerHe, en de veranderlijke door de laatHe letters van het al-phabeth uittedrukken.
§. 141. * De uitdrukkingen aa -|-xx, nbsp;nbsp;nbsp;—x^), -i:'’
§¦ 142. * ’Er zijn ook uitdrukkingen van twee en meer veranderlijke grootheden. Alzoo is xquot; — a « x 3) -)- Z’ 3)“-e X -kr d jj — e eene uitdrukking van twéé veranderlijke
grootheden x en 3; b.
c, d en e Handvastig zijnde.)
G 3 nbsp;nbsp;nbsp;§. 143-
102
WISKUNDIGE LESSEN.
§. 143. * Hoezeer nu,’in het algemeen, zie §.453, I-C., de w.2arde eener ftelkundige uitdrukking gedeeltelijk van haren vorm en gedeeltelijk van de waardijen der grootheden,nbsp;welke in hare zameiiftelling voorkomen, afhangt, pleegt mennbsp;nogtans te zeggen: dat, in het bijzonder, de waarde eemr uitdrukking afhankelijk is van de waarde der grootheden, welke in dezelve als veranderlijk befchouwd worden; omdat denbsp;minfle verandering, welke de veranderlijke grootheden ondergaan, de waarde der geheele uitdrukking verandert.
§. 144. Wij zullen nu in de behandeling van ons onderwerp ons alleenlijk bepalen, iquot; tot de Helkundige uitdrukking tot ééne veranderlijke grootheid, tot uitdrukkingen van twee en meer veranderlijke grootheden. Het fpreekt vannbsp;zelfs: dat de uitdrukkingen, welker dealers men onderzoekt,nbsp;tot den rang der Helkundige geheelen, zie 77, moetennbsp;behooren; en —- het zij eens en vooral gezegd — * dat dienbsp;uitdrukkingen naar de opklimmende of afdalende magten dernbsp;veranderlijke grootheid, zie §. 44, moeten geordend zijn.nbsp;Omdat nu het aanwezen van de deelers eener Helkundigenbsp;uitdrukking, uit de wijze, waarop de produften ontftaan, zalnbsp;moeten beoordeeld worden, zal het vooraf noodig zijn, datnbsp;wij ter bekorting de volgende bepalingen van woorden ennbsp;zaken geven.
145. * Eene uitdrukking a x’^ -k- b xquot;~-{- enz. wordt gezegd tot de tnagt te behooren, wanneer de exponentnbsp;van de hoogHe magt der onbekende gelijk « is. ff Wanneer nu zulk eene uitdrukking deelbaar is, kunnen de factoren van de volgende vormen
tweeledig ^ nbsp;nbsp;nbsp; f
drieledig p nbsp;nbsp;nbsp;q x ^ r
vierledig p 4- ? nbsp;nbsp;nbsp;a; 4- »
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
zijn. * De term, waarin de hoogHe magt der veranderlijke grootheid x voorkomt, noemt men den hoogHen, en die,nbsp;welke geheel van de veranderlijke grootheid bevrüd is, dennbsp;laagHen term. * Deze benamingen gelden insgelijks voor denbsp;l'aéturen der uitdrukking, welke, zie §. 44 en 5S, op de-
zelH
-ocr page 133-103
TWEEDE CURSUS.
Zelfde wijze, naar de opklimtneride of afdalende magten der daarin voorkociende veranderlijke grootheid, moeten geordend zijn.
I. Onderzoek van de tweeledige deekrs van den vorm x p.
S. 146. Beginnen vvij met te Bellen: dat de uitdrukking — 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 29 X 105 gegeven zij, en dat men begeert
te bepalen, of dezelve uit de vermenigvuldiging van faétoren van den vorm x Sf. x q, x-j-z ontftaan zij? Voornbsp;zooveel men eenig duidelijk begrip van de multiplicatie ennbsp;de divifie der ftelkundige uitdrukkingen verkregen hebbe,nbsp;ziet men ten klaarfte : ft 5 wanneer een faJtor van dennbsp;vorm X -i-^ beftaat, het getal p een deeler van 105 zal moeten zijn. Nu vindt men, volgens de handelwijze van denbsp;XV Les, I. C. voor de deelers van 105, de getallen: 1,3,nbsp;5i 7? 15? 21,35 en 105, daar men nu, ingeval ’er een deelernbsp;beftaat, niet vooruit weten kan, .of bet getal p pofuief ofnbsp;negatief zal zijn, zal men moeten beproeven, of de gegevenenbsp;uitdrukking door ééne der volgende: x i, x pj -v Sjnbsp;^ 7? X -k- iSi x 21, X -f 35, X 105, of door x— i,nbsp;X'— 3, X—'5, enz., tot x— 105 ingeftoten, deelbaar zij?nbsp;want, indien ’er tweeledige fadloren in de gegevene uitdrukking beftaan, zullen zij noodzakelijk daar onder moeten be-hooren, en zii zullen alle door deze beproeving te voor-fchijn komen. Men zal ook in de daad bevinden: dat x—7,
— 3 sn X 4- 5 deelers der gegevene uitdrukking zijn. Beftaan ’er geene deelers, zullen alie deze beproevingennbsp;vruchteloos afloopen.
§, 147. Alhoewel tot deze wijze van onderzoek, waarvan Harriot (:28) het eerst gebruik gemaakt heeft, een bepaald
ge-
(28) Een Engelsch Wiskundige, te Oxford in 1560 geboren. Hij was de eerfte, die aiie de termen eener lioogere mngts-vergïlijking in het voor-ite lid overbragt. Voorzeker in den eerflen opflag eene geringe zaak:nbsp;doch die, in iiare gevolgen, de veriievenfte ontdekkingen heeft aan dennbsp;dag gebragt
G 4
-ocr page 134-104
getal beproevingen gevorderd wordt, en men alzno met ze-kerheid de voorhanden zpnde faftoren moet ontdekken, is zij, wegens de menigvuldige Helkundige deelingen , welke mennbsp;in dezelve moet uitwerken, ten uiterlle lastig. Nkwtonnbsp;beeft daarom, in zijne Jrithrn. Univ. Cap. V'IIl. Art. II. eenenbsp;andere handelwijze voorgedragen, welke geheel en alleennbsp;fteunt op bet beginfd, dat de Helkundige faftor (zie noot^nbsp;22, pag 65,) eener Hedkiindige uitdrukking altijd factor blijft,nbsp;w'elke waarde de letters ook m^gten verkrijgen; indien dannbsp;x‘* -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-}- £ C Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D doof X p deelbaar is, en
men aan x achrervolgens de waarden o, 1, 2, 3, 4, 5, enz. geeft, dan zal de gegevcne uitdrukking in getallen waardennbsp;verkrijgen, die wij kortheidshalve D. P, R, S, enz.nbsp;zullen noemen, terwijl de detler x p in /d-i, p 2,nbsp;f 3, enz. veranderen zal; en, nu zal, volgens bet zoonbsp;even aangeliaalde beginfel , D door p, P door /gt; i,nbsp;p door /gt; 2, R door/gt; 3, enz. moeten deelbaar zijn.nbsp;Hierop berust de volgende Regel, welke, met eenige verandering, dezelfde is , welke Newton op de aangehaaldenbsp;plaats heeft opgegeven.
§. 148. i” ,, Men fleUs voor de veranderlijke grootheid ,, eenige^ in eene rekenkunflige reeks opklimmende., waardijen,nbsp;„ah — 3, — 2, — I . o, 1,2.3, enz. en herekene denbsp;,, waarden, welke de gegevene uitdrukking. in deze onderjicl-j, lingen , verkrijgt: de overéénkomftige waarden van dennbsp;„ decler zullen dan p — 3,/—2, p—1i ,/gt; 2,nbsp;„ p 3, ^vorden, en men zal nu de waarde van p moeten he~nbsp;,, palend'
2“ „ Tot dat einde, zal men alle de deelers van den he-,, kenden term dtr gegevene uitdrukking zoeken., en, p (_zoo-,, wed pofiiief ah negatief,') aan deze deelers gelijk /lellende, ,, onderzoeken, of de waarden der gegevene uitdrukking, dienbsp;„ door p — 3,p—2, p—i,/gt;, /gt;-bi,/gt;-b2, p 3-, moe-„ ten deelbaar zijn, in de daad door dk deelers, zonder over-„ fchot. kunnen gedeeld worden-, zoo niet, dan moet men denbsp;„ waarde, welke voor p genomen is, ah onvoldoende verwer-
pon-, zoo ja, dan zal x p een factor der gegevene uit~
„ druk-
105
5, drukVing
§, 149, Nemen wij de uitdrukking x'*- — 4 x'^
-f- s~6o — j' tot een voorbeeld;
|
'Kaarden |
'ivaarden |
overeen- |
|
van .T |
van y |
korr.fi* d. |
|
— 3 |
3405 |
. nbsp;nbsp;nbsp;“ 3 |
|
— 1 |
4 4480 |
p — 2 |
|
*— I |
5263 |
p — I |
|
0 |
sröo |
P |
|
I |
4 5529 |
^4-1 |
|
2 |
5700 |
p ^ 2 |
|
3 |
5203 |
3 |
ftcllcnde X — nbsp;nbsp;nbsp;3?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 enz., dan vsrkrijc 3? dc wnnrdcn, v/e!ke in
de tweeds kolom vr.n het bovenftrande tafeltje voorkomen, nevens v.-elke,, in de derde kolom, de overëénkomüige deelers geplaatst zijn:nbsp;de deelers van den ftandv.nstigen terra der gegevene uitdrukking zijnnbsp;C 2) 3ï 4. 5gt; lt;5, enz. Men neme nu voor p éénen dezer deelers:nbsp;neemt men, bij voorbeeld, p -zx: 5, dan zijn de overéénkomlHgc deelers van de derde kolom 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; mr.ar 3465 is nietnbsp;door 2 deelbaar; de deeler kan dan niet ar 5 zijn: - maar nemen wijnbsp;P~6, dan veranderen jt- - 3, j» - 2, enz. in 3, 4, 5, 6, 7, 8,nbsp;9i en, daar alle de overëénkomftige waarden van 31 door deze getal,nbsp;len deelbaar zijn, is liet zeer waarfcliijnlijk, dat x -j- 6 een faftor vrranbsp;de gegevene uitdrukking zal zijn: gelijk ook door dadelijke deeling bevestigd wórdt. Men vindt nog x-f-io, x—12 en x—8 1^30}.
§• 150-
Deze regel verfchilt bijna niet van dien, welken onze Landgenoot, de Heer van Wassenaar, vroeger gevonden had, en welken van Scuoo-TKN tn Comm. Cartepi Geom. pa^. 307, ons leert kennen. Indien x pnbsp;een deeler der gegevene uitdrukking is, zal p een ladtor van dcrzclvernbsp;llandvastigen term moeten zijn: nu zal, volgens dc opmerking van vannbsp;Wassenaar, indien men de veranderlijke grootheid x met een zeker getal a vermeerdert of vermindert, de waarde der uitdrukking, welke metnbsp;deze onderftelüng overëénftemt, door x jgt; 4- tt of .V -j- ^ — a moeten deelbaar zijn; waaruit hij de gevolgtrekking opmaakt: dat, wanneernbsp;men in de uitdrukking x xxe — i, o of t ftelt, de overoenkomftiganbsp;waarden der gegevene uitdrukking door p i, p en ƒ -j- i deelbaarnbsp;zullen moeten zijn.
(30) Sommige oppervl.akkige befchouwérs hebben de zekerheid van Newtons regel in twijfel getrokken, en zich verbeeld: dat, wanneernbsp;de deeibaarheid in cenige waarden, welke niet x~o, 1, z, 3, enz.nbsp;overëénllerainen, plaats grijpt: men niet zeker is, of dezelve voor .die .an-
O 5
-ocr page 136-io6
WISKUNDIGE LESSEN.
150. Men kan de tweeledige deelers, welke eene gege-vene uitdrukking hebben kan, nogtans op eene beknoptere en niet minder fraaije wijze, waarvan wij ons ook in hetnbsp;vervolg (leeds bedienen zullen, opfpeuren en ter toetze brengen. Laatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J X* -i- £nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; , C x'^ D x E eene
gegevene uitdrukking zijn, in welke £, C, £gt; en E, onder alle pofitieve of negatieve waarden , in geheele getallen, kunnen voorkomen. Stellen wij: dat deze uitdrukking :t:-{-«nbsp;tot faélor bebbe; dan zal, wanneer men dezelve door diennbsp;faélor deelt, het quotient eene uitdrukking van den vormnbsp;X* E x^ Q^x^ Rx S moeten zijn, in welke P,nbsp;R, S, noodzakelijk geheele pofitieve of negatieve getallen zullen zijn. Indien wij nu dit quotient met den deelcrnbsp;X a vermenigvuldigen, dan zal men verkrijgen:
|
X4 4- nbsp;nbsp;nbsp;0. |
R |
|
-f- 1* /•' |
«2. |
-f- i? j Jr quot;1quot;
a R I
welke, gelijk bekend is, dezelfde zal zijn als de gegevene uitdrukking:
xs nbsp;nbsp;nbsp;-{¦ B x'^ -j-Cx® D X E
maar deze uitdrukking zal met de laatst voorgaande niet dezelfde zijn, indien de coeflicienten van de termen der gelijke magten van x niet aan elkander gelijk zijn : om dan cjezenbsp;coeflicienten gelijk te maken, zal men aan de volgende vergelijkingen moeten voldoen
a S = E; a R S~D; 3® R — C;.....
4® a P B en 5'^ a P z=z J.
Wij hebben hier even zoo vele vergelijkingen als ’er onbekende grootheden in dezelve voorkomen, en het zou, bij eene regtftreekfche oplosfing blijken ; dat, om de onbekende a tenbsp;vinden, ’er niets minder zou vereischt worden, dan de vergelijking :nbsp;(tere waarden van x Zal liand grijpen. Maar men kan » priori bewij.nbsp;zen: dat, wanneer de deelbaarheid ten niinfte voor zoo vele waardennbsp;befiaat, als ’er édnheden in den exponent van dc hoogtfte niagt der veranderlijke grootheid voorkomen, zij ook voor alle andere waarden vannbsp;X beltaan zal. Bij eene andere gelegenheid zullen wij dit bewijs medebeden.
-ocr page 137-107
TWEEDE CURSUS.
— A a'^ 4--®'*^ ~ nbsp;nbsp;nbsp;-\- D a — E z=z o
wptelosfen (31). Dan, men zal aan deze vergelijkingen, ia gelieele getallen, moeten voldoen.
E
De eerfte vergelijking geeft ons S — — waaruit volgt;
dat, gelyk reeds §. 146. gezegd is, het getal a een deeler van den bekenden en ftandvastigen term E moet zijn. Wanneer wij derhalve eene waarde voor a aannemen, die factornbsp;van E is, dan zal 6’’ een geheel getal zijn.
De tweede vergelijking geeft a R — D — S, waarvan het laatfte lid D 6, door de aangenomene waarde van a, alsnbsp;bekend kan aangemerkt worden, en daar R een geheel getalnbsp;moet zijn, zal men a zoodanig moeten nemen, dat i) —¦ Snbsp;door a deelbaar zij.
Wanneer dit laatde plaats heeft, dan zal R een geheel en bekend getal zijn, en de derde vergelijking geeft als dan;nbsp;^ Q^—C—R; en daar nu wederom een geheel getalnbsp;moet zijn, zal C — R door diezelfde aangenomene waardenbsp;Vin a moeten deelbaar zijn.
Indieti a ook aan die voorvvaarde voldoet, dan zal ^bekend zijn, en de vierde vergelijking zal geven: aP— l! — Q; 611 a zal, orn dezelfde reden als boven, een faélor van B —nbsp;moeten zijn.
Heeft dit wezenlijk plaats, dan zal eindelijk, volgens de vijlde vergelijking, a~ A—P moeten zijn, of dat hetzeif-
A-
(32gt;
de is, I =r
§• I51' tt Men zal dan voor a zulk eene waarde moeten nemen, dat men, in geheele getallen, aan de nevenltaande
vergelijkingen kan voldoen, eji dat bovendien i ~
a .
(3») Men verkrijgt deze vergelijking aldus. Uit de 5rvcrgelijkinge» volgt P tr:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deze waarde van P in de 4 vergelijking overbren-
gende, verkrijgt inen £ rz: P — .i « -{- n-s enz.
(3a) Dezelfde redenering zal voor elke lioogere of lagere niagti - uit-^'uklting, in het algemeen, gelden.
-ocr page 138-ic8
R = ~-
zij, waartoe in de eerfle plaats vereischt wordt, dat a een faftor van E zij: ff wanneer men nu alle deze voorwaarden kan vervullen , dan zal 'er noodzakelijk een tweeledigenbsp;factor X a heftaan; zoo niet, dan zal hetnbsp;tot een bewijs verjlrekken, dat de gegevene uitdrukking geenen zoodanigen faBor heeft.
152. Wanneer men door de negatieve waarde van a deelt, dan zullen R. O^en P, ook negatief worden, en D — S, C—R, £ — ^ en J— P, zullen in Z) 5, C -!- P, ZJ -f- ;0 en ^ 4- P veranderen; ennbsp;men zal, in plaats van de ftraks opgegeve-ne, de ncvenüaande vergelijkingen vinden,nbsp;waarbij de vergelijking — i -j- i = o nognbsp;kan gevoegd worden. Nu brengt dit ftel-fel van vergelijkingen ons tot den volgenden eenvoudigen
Regel. i° „ Zoek alle de deelers van ,, den bekenden term der gegevene uitdruk-
,, kingen onderflel - a gelijk aan éénen
dezer deelers poptief of negatief geno
men.
Deel den laagfen term der gegevene uitdrukking door dezen deeler., en tel hij het quotient den coefficient van dennbsp;,, term van de eerfe magt der veranderlijke grootheid.quot;
3° „ Deel deze fom door denzelfden aangenomen deeler, „ indien dan de deeling, opgaat, telt men bij het quotient dennbsp;„ coefficient van de tweede magt der veranderlijke.quot;
4” ,, Deze nieuwe fom deelt men op nieuw door den aan-„ genomen deeler, en, indien de deeling opgaat, telt men op „ nieuw hij dit quotient den coefficient van den volgendennbsp;5, term.quot;
de éénheid is, opgeield zijnde, de fan nul is, dan zal de
5'^ ,, Men gaat op dezelfde wijze voort, hoe groot het aan-5, tal der termen van de gegevene uitdrukking zij. IVati-,, neer dan alle deze dcclingen opgaan, en het iaatfe quo-,, tient met den coefficient van den hoogfen term, die altijd
53
zijnde,
„ ver-
-ocr page 139-109
3} veranderlijke grootheid, verUnigd met den aangenomen dee-,, Ier, met een tegengefleld teeken genomen, een tweeledige 5, deekr van de voor gefielde uitdrukking zijn: maar, indiennbsp;,, niet alle deze voorwaarden vervuld worden, zal de aange-,, nomen deeler niet voldoen : en wanneer geen der deelersnbsp;3 5 van den bekenden term, pofitief of negatief genomen, vol-53 doet, dan zal de voorgefielde uitdrukking geenen twceledi-33 gen faSlor x a hebbend'
§lt; 153- Indien men nu dezen regel op een voorbeeld in getallen wil toepasfen, dsn zal men de berekening op de volgende wijze (zienbsp;voorbeelden op de uitflaande tabelle N'-* III. en bijzonderlijk het i.nbsp;voorbeeld,) kunnen inrigten.
Men fchrijve op de eerde rij A alle de deelers van den bekenden term 105, van den grootften tot den kleinften ingefloten.
Op de tweede rij B plaatfe men, onder ellten deeler, het quotient dat ontftaat, indien men den bekenden term 105 door dien deelernbsp;deelt, op de teekens behoorlijk acht gevende.
Bij elk dezer quotiënten telle men den coeflicicnt van den terra der eerde inagt, namelijk — 29, en men plaatfe de fommen op de rijnbsp;C, elke foin in hare eigene kolom.
Nu beproeve men: of de ,getr.llen, in de rij C geplaatst, door de deelers van de rij A, welke boven dezelve liaan, deelbaar zijn; die.nbsp;Welke deelbaar zijn, deelt men werkelijk, en men plaatfe de quotiënten onder de deeltallen, op de rij D. De deelers, welke in danbsp;overëdnkomftige fommen niet volmaakt opgaan, kunnen de waarde vannbsp;a niet zijn, en worden om die reden verworpen.quot; Men fchrijft daarom, in dit geval, in de rij D niets, en het verdere gedeelte van hetnbsp;onderzoek bepaalt zich Heeds, naar mate men verder vordert, tot eennbsp;minder aantal deelers.
Men telle bij dc quotiënten, welke op de rij B ovcrblijvcn, den coefficient van den volgenden term van de tweede magt der veranderlijke grootheid, en men verkrijgt de getallen op de rij E.
Deze getallen op de rij E deelt men door de deelers van de rij Welke boven elk getal Haan, en men Helt de quotiënten met derzeivernbsp;teekens onder dezehw.
liij deze quotiënten telt men de éénheid, en daar de fom, voor de deelers p,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 en — 5, nul is, volgt hieruit: dat x — 7, .v — 3
5) deelers der gegevene uitdrukking zijn.
. S- 154-
-ocr page 140-WISKUNDIGE LESSEN.
154. ’Er beftaat in de'leer der hooge magts-’/ergelijkin-^geii een zeer gewigtige grondregel: ff dat, wanneer in eenc ¦geheele flelkundige uitdrukking, ah xquot;^ Ax^ Bx C,nbsp;welke van de geheele en pofitieve magten eener veranderlijkenbsp;grootheid x afhangt, eene zekere waarde a, welke men voor dienbsp;veranderlijke grootheid x aanneemt, de waarde dezer uitdrukking gelijk nul maakt, diezelfde uitdrukking alsdan door dienbsp;veranderlijke grootheid min die aangenomene waarde, dat is,nbsp;door X — a, ftelkundig zal deelbaar zijn.
Stellen wij, om zulks te bewijzen, de waarde der uitdrukking in het algemeen y; dan zal
x3 Ax^ Bx C=zy
inbeten zijn, en x — a llelleude, zal men, volgens de onderftelling, verkrijgen :
a^ A -i- B a C — o
trekken wij nu deze laatlle vergelijIcing van de eerlle af, dan zal ’er A (x^ — a-j) B Qx ~ aj =. ynbsp;overblijven. Nu hebben wij, §. 60, pag. 38, gezien: dat het ver-fchi! van twee gelijknamige magten door het verfchil van derzclvernbsp;wortels deelbaar is: gevolgelijk zullennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, A — a^) en
B (jx ~ «), elk in het bijzonder, door x — a deelbaar zijn, en het eerde lid der laatfte vergelijking zal, zie §. ip3, I. C. door x — anbsp;deelbaar zijn, dat is: 3/ of de gegevene uitdrukking zal in de onder-ftelling, dat x ~ a dezelve nul maakt, door x — a deelbaar zijn.
§. 155. Aangezien alle de magten van het getal één gelijk aan de éénheid zijn: ff zal men, door flechts de coëfficiënten der gegevenenbsp;uitdrukking optetellen, terllond kunnen zien, of de uitdrukking, doornbsp;a- — I deelbaar is, omdat, gelijk bewezen is, deze deelbaarheid plaatsnbsp;zal hebben, wanneer deze fom gelijk nul is: bij voorbeeld, w’ —
— 29 X 105 zal niet door x — \ deelbaar zijn, omdat I — 5 — 29 105 =: 72 niet o isnbsp;§, 156. En daar de onevene magten van een negatief getal negatief zijn, zal men, door de teekens der termen van de onevene magten der veranderlijke grootheid omtekeeren, en de coeJlidenten alsdannbsp;optetellen, uit de .komende fom kunnen beoordeelen, of de uitdr-ukkingnbsp;door X I deelbaar zij; want deze deelbaarheid zal plaats hebben,nbsp;indien de fom der coëfficiënten gelijk nul is. Dezelfde uitdrukkingnbsp;zal gevolgelijk niet door x 4* i deelbaar zijn, omdatnbsp;gt;- I — 5 29 -f- 105 = 128 is.
3. VooRB. De tweeledige deelers van nbsp;nbsp;nbsp;48X — 56 te onderzoeken,
56-f28 14 8 7 4 2— 2— 4— 7— 8 —14—28 —56 — 1— 2— 4— 7— 8— 14—28 28 4 14 8 7 4 2 Inbsp;— 48) — 49 — 50 — 52 — 55 — 5Ö —1^2 — 76 — 20 — 34 — 40 — 41 — 44 — 4Ö — 47
— 8 nbsp;nbsp;nbsp;38 lo
1) nbsp;nbsp;nbsp;— 7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 37 lx
1) nbsp;nbsp;nbsp;o
lt;
Het blijkt dan uit deze berekening, dat de gegevene uitdrukking llechts éénen tweeledigen deeler .r—7 heeft: indien men dezelve ook werkelijk door dien deeler deelt; dan zal men voor het quotient vindennbsp;g 8 j Waarin geen deelers meer voorhanden zijn.
2. VOQRB. X^ -9X^-{-q.6x-25
25 5— 5—25
— 1 — 5 5 1 4- 26) 4. 25 2ï -f 31nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27
1
— 9)— 8
Met blijkt hieruit, dat de gegevene uitdrukking geen tweeledige deelers heeft.
5x^ — 29 X 105.
- 7—15—21 — 35—105 -15— 7-•44—36-
I. VoouBEELD. Onderzoek van de deelers van
yi nbsp;nbsp;nbsp;- • 105 35 21 -f-15 7 5 3 i— i— 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5'
29)-t- nbsp;nbsp;nbsp;1 3 5 7 15 21 35 105—105—35—2i ¦
C nbsp;nbsp;nbsp;— 28 — 26 — 24 — 22—14— 8 64- 76 — 134 — 64 — 50-
D— 5) nbsp;nbsp;nbsp;— 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2 76-f134nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 10
E nbsp;nbsp;nbsp;—7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 3 71 129nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 5
iï' 4- i) nbsp;nbsp;nbsp;— Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 1 71 —129nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— I
G nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0 72—128nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o
Het blijkt uit deze berekening, dat x — y, x — 3 en » 5, dC’tweeledige deelers der gegevene uitdrukking a-s—Sa-a—, 29 .v4 105 zijn, welker produet de gegevene uitdrukking wederom zal voortbrengen.
1. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweeledigenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deelersnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^—-jx^ 36 zijn x*—6, x—3 en x 2.
2. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweeledigenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deelernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^ — gx^ -f 23X® — 20X 15 is x—3.
3. nbsp;nbsp;nbsp;VooRB.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweeledigenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deelersnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x'i Sx^—.i7iox'‘ — 5744•!r 659525 zijn x-
• 3i,x—23,x 25 en x 37.
Voor B. De deelers van 90 x — 267 nbsp;nbsp;nbsp;— 647 x^ 107 x 45 zijn 3 x 5, 2 x — 9, 5 x i cn 3 x •
VooRB. De deelers van x^ — öox^ — Sox^* 960x-f-2304 zijn (x 4)3 en (x—6)®.
VooRB. De deelers van 8 x® — 52x‘i 98x3 — 35x=‘ 25x—125 zijn (2x—5;^ en x- x i.
Voorbeelden tot het onderzoek van de tweeledige deelers der fïelkundige uitdrukkingen., wanneer de flandvasüge deelen en termen van zulk eene uitdrtikking in letters voorkomen. 4. VooRB. Geg. — (3 fl 3 c) X® «nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 9 c) ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 ^
tel hij ah 9 acj De gegevene uitdrukking heeft eenen deeler * — sr. Zie verder de verklaring §. 168. Indien men de gegevene uitdrukking door den gevonden deeler deelt; dan zal men, vo'or het quotient, x^ — Zax-^'ab vinden. 6. Voorbeeld. Gegeven 12 x=—(14 ^ — 9cjx®—Qi2.b^ 6bc—8c“)x (8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— i2b'^c — 4Ztc* óc3}; de deelers te vinden. Men zoekt, even als in de 4 en 5 voorbeelden, de deelers van 843 — iih^c — 44ca 6r3 : deze vindt men te zijn: 24 — 3c en 44a—ata. ]\'u zijn de deelers van lï de getallen i, a, 3, 4, 6, la: mennbsp;zal deze deelers met alle de deelers van den achterden term moeten combineren, ftellende eenen faftornbsp;van 8 4.3 — I24a£' — 44^2 ö c3 tot teller en eenen fadtor van la tot noemer: men zal dan alle gebrokenenbsp;en gehgele uitdrukkingen verkrijgen, onder welken de ftandvastige term van den deeler kan begrepen zijn. Na alle beproevingen blijkt het: dat ï--Ü alleen voldoet. Want, dien deeler aannemende, zal 8 43 4 -ia4ar-44ra fi fS, door dien deeler gedeeld, geven i6b^—8ca: hier — by tellende, zal men 44a_64r voor de fom vinden, tvelke wederom door 2-if gedeeld zijnde 4 geven zal 8 4, voor het quotient: bij dit laatfte quotient —144 pc, den coefficient van *2, optellende, vindt men voorde fom —6 /y 9 r , welke wederom door denzclfden deeler gedeeld zijnde —la voor bet quotient geeft; daar nu de coefficient van .ï3 hut getal 12 is, en 12—ia22o is, zalnbsp;4V — 24 3C een deeler der gegevene uitdrukking zijn: en daar geene andere deelers aan den regelnbsp;voldoen, bellaat ’er, behalve dezen, geen ander eerfte magts deeler. Dit voorbeeld is uit Nbvvton’snbsp;Arith. Vniv. §. LXXl. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Benadering van de '^vorteh der vergelijking, x'^ 2 xquot; — 47 nbsp;nbsp;nbsp;— 47 X 252 — o, volgens de handelwijze van Budan.
L Benadering der pefltieve wortelt, tn geheels getallen. Zie §. 242, png. 1Ö4.
1°)
2*’)
2 — 47 — 47 nbsp;nbsp;nbsp;(^)
I nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 44nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lór
“T nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;35
nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6
I
131 in (.r—i 28 — 159 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
8 — nbsp;nbsp;nbsp;20nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;179
1 nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;II
nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10
I
s'’)
I 10 — II — I II nbsp; I
179 nbsp;nbsp;nbsp;2
o — 179
12 ¦4- 12
in (x —
— 177
1 14 25 — iCj — 177 in (x — 1 15 40 — 127 — 304
I nbsp;nbsp;nbsp;16 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;56—71
3)
18 73 — 71 — 304 /« c^ —
1 19 92 21 283
I 20 II2
¦4)
133
!l 133
Vervolg in de volgende , of tweede kolom.
|
6quot;) I 22 4- 133 -h 133 — 283 in (x — 5) nbsp;nbsp;nbsp;! |
I ^ 10 — II — 181 — h in (— X — 3) |
|
nbsp;nbsp;nbsp;1 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;23 156 289 ¦ 6 |
1 11 nbsp;nbsp;nbsp;0 — 181nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- (84 I nbsp;nbsp;nbsp;12 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12 —-169 |
|
Verder behoeft men de bewerking niet voorttezetten; want |
nbsp;nbsp;nbsp;I -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;13 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;25 |
|
het blijkt uit dezelve genoegzaam: dat ’er édii wortel tus- |
I 14 |
|
fchen 2 en 3, één tusfchen 5 en 6, en verder geen groo- |
I |
|
tcr bfflaat. | |
|
5’) I 14 25 — 169 — 184 in (— X — 4) | |
|
n. Benadering der negatieve wortels, in geneele ge |
nbsp;nbsp;nbsp;1 15 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;40 — 129 — 313 |
|
tallen. |
1 ló 50 ^— 73 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 17 73 |
|
Men verandere volgens §, 241. de teekens van de eve- ‘ |
ï 18 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 |
|
ne termen der gegevene vergelijking, dan verkrijgt men: ^ | |
|
x'i — 2x3 — 47 j;* 47 X 252 = 0, waaruit de vol- ; |
6®) I 18 73 — 73 — 3Ï3 in (—x—5) -j- I 19 92 19 — 294 |
|
geilde vergelijkingen worden afgeleid. | |
|
!lt;¦’) I — 2 — 47 47 252 in (~xj |
nbsp;nbsp;nbsp;1 20 112 131 |
|
1 —. I — 48 — nbsp;nbsp;nbsp;1 251 |
-i- nbsp;nbsp;nbsp;1 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;21 135 |
|
nbsp;nbsp;nbsp;1 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0 — 48 — 49 |
1 22 |
|
nbsp;nbsp;nbsp;1 I — 47 |
i |
|
nbsp;nbsp;nbsp;1 2 | |
|
^ |
7®) I 22 133 131 — 294 in (—X—6) I aj 4. 156 287 — nbsp;nbsp;nbsp;7 |
|
2quot;) 1 2 — 47 — 49 251 in (—X—1) |
i 4- 24 i3o 467 |
|
I 3 — 44— 93 158 |
nbsp;nbsp;nbsp;1 25 205 |
|
I 4 — 40 — 133 |
nbsp;nbsp;nbsp;1 26 |
|
1 nbsp;nbsp;nbsp;5—35 |
nbsp;nbsp;nbsp;I |
|
I nbsp;nbsp;nbsp;6 | |
|
nbsp;nbsp;nbsp;1 |
8quot;) I 26 205 467— 7 in (—X—7) -i- 1 27 232 099 69a |
|
30) I 4. 6 _ 35 __ 133 158 /» (__x—2) | |
|
1 7— 28 — 161 — nbsp;nbsp;nbsp;3 |
Hier zijn de afleidingen ver genoeg voortgezet; want het : |
|
I . nbsp;nbsp;nbsp;— ao — 181 |
blijkt: dat ’er twee negatieve wortels, één tusfchen — 2 en |
|
I -f- nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11 |
— 3; en één, tusfchen — 7 en — 8 , beftaat. |
|
I nbsp;nbsp;nbsp;10 |
NB. Wij hebben de getallen eenigzins anders gclleld dan. |
|
-h I |
in den regel van §. 230, pag. 160, is opgegeven: deze fchikking is ons, voor de optelling, geraakkelijker voorge |
|
1 j nbsp;nbsp;nbsp;Vervolg in de volgende, of derde kolom. |
komen. |
III. Benadering van den wortel der vergelijking, welke tut-jchen 5 en 6 valt. Zie 252 en §. 253, pag. ió8 en 169.
Men vcrmcuigvuldige de vergelijking, in — 5), namelijkt
22 x® 133 x'^ 133 X 283 — o
met de reeks i, 10, 100, 1000 en 10000; dan verkrijgt men, voor de vergelijking, in (10x — 50), als volgt:
in (lox— 50) . (lox—50 ,nbsp;(lox— 52) .nbsp;(lox—53} .nbsp;(lox — 5'ó .
(lox—55) .
(lOX-5Ó) .
(lOX—57) . (10 X—58) .nbsp;(lox—59) .nbsp;(lOX-60) .
I 220
1 224 l 228 nbsp;1 ¦ ¦ 232 4-I 236 nbsp;I 240 nbsp;I 244 nbsp;I 4- 248 nbsp;I ¦ • 252 nbsp;1 - - 256 4-I 260
13300 I 306Ó nbsp;14644
15334
16036 16750 nbsp;1747Ó nbsp;18214 nbsp;18964
19726 20500
133000 — 160264 —nbsp;188872 —nbsp;218848 —nbsp;250216 —nbsp;2830Ü0 —nbsp;317224 —nbsp;352912 —nbsp;390088 —nbsp;428776 —nbsp;469000
28,50000
2683479
2509024
2305279
2070864
1804375
1504384
1(69439
79B064
388759
60000
Hieruit volgt, gt; 5, 9 en lt;6,0. De laatfte vergelijking geeft, bij de teruggaande afleidingen.
in (loox—600) i 26oo 205oooo 469oooooo-{-6oooooooo in (loox—599) i-}-25964-2o422o6-i-464907796-i-i330474oinbsp;in (loox—598) 1-1-2592-1-2034424-1-460831168—329820784
Men heeft derhalve x gt; 5, 98 en xlt;5,99: en, alzoo voortgaande, zalmen, bij elke nieuwe bewerking, ééa cijfer,nbsp;in de tiendeelige breuk, meer verkrijgen.
Ill
TWEEDE CURSUS.
§• 157' tt behulp van dit beginzel, kan raen dan , met eenen opflag van het oog, zien, of de gegevene uitdrukkingnbsp;door X — I of jc I deelbaar zij; en men zal alzoo, in denbsp;toepasfing van den regel van §. 152, de deelers i ennbsp;— I, welker behandeling doorgaans het lastigfte is, kunnen uitfluiten, gelijk in de volgende voorbeelden, op detabel-le, is in acht genomen.
§• 158. I. Aanmerking, -jt Wanneer het gebeurt, dat fnm-mige magten der veranderlijke grootheid in de gegevene uitdrukking ontbreken, moet men, ten einde den voorfchreve-nen regel te kunnen toepasfen, deze termen als aanwezig aanmerken: hetgeen altijd zal kunnen gefchieden, wanneernbsp;men derzelver coëfficiënten als nul befchouwt.
9 ars -j- 8 nbsp;nbsp;nbsp;— 72; dan
3 2-2-3
— nbsp;nbsp;nbsp;24 — 30 3Ö 24nbsp;. . — 24 —36 f 30 24
— nbsp;nbsp;nbsp;8— 18— iS— 8
Laat, bij voorbeeld, gegeven zijn zal men in plaats van deze uitdrukking kunnen nemen:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o —
10 — 10
de deelers -f- i en — i niet gelden, zullen wij, (alleenlijk de deelers -J- 3,
2, -2, -3, hiernevens plaat-Zende,) bij de tweede rij der quotiënten o moeten optellen, en dan de getallen van de derde rij, (die dezelfde als die van de tweede rij zijn,)nbsp;door de overëénkomftige deelers, naar den regel, moeten deelen; bijnbsp;de quotiënten voorts -p 8 moeten optellen, enz.: wanneer men denbsp;achcfte rij gevormd heeft, zal men wederom bij dezelve nul moetennbsp;optellen, en de getallen van de negende rij door de overëénkomlligenbsp;deelers deelen, wanneer men zal vinden; dat x — 3, -r -f- 2 en ^ -j- 3,nbsp;deelers der gegevene uitdrukking zijn (33).
§¦ I5P-
(33) Het blijkt ui: dit voorbeeld: dat eenige fom, voor het einde der beweriving, nul kan worden. Lacroix heeft zich, zie Eldm. d'Atgebrenbsp;pag, 177. Eii. de 1804, niet duidelijk uitgedrukt, waaneer hu zegt: ,, e»nbsp;obfervant que l^cn ne doit trouver zéro pour refultat qutS lorsqtdon feranbsp;Parvenu au premier terme de Vêquation propoféed^ Wanneer mcil 'nulnbsp;quot;'^oor de fom verkrijgt, dan is het naastvolgende quotient gelijk nul, mennbsp;gaat volgens den regel voort, en deze omftandigheid is zonder invloednbsp;dt algemeenheid van den regel*
-ocr page 144-II2
§. 159- 5? Men zal mgtnns, gelijk van zelfs hlijkt, het ,, hij lellen der nullen kunnen achterwege daten', mits men opnbsp;,, fiieuw zoo menigmaal door den deeler deele', als in de ge-,, gevene uitdrukking termen, van den eenen tot den anderennbsp;,, term, mogien ontbrekend’’
§. 160. II.' Aanmerking, ff Het kan gebeuren, dat eest deeler van den vorm x n meer dan éénmaal in de gegevensnbsp;uitdrukking nis factor kan verhouden zijn. ff Dit geval zalnbsp;r.u plaats kunnen hebben, wanneer 1» de regel van §. 152.nbsp;niiiider deders gegeven heeft dan ’er éénheden in den exponentnbsp;van de hooglle magt der veranderlijke grootheid voorkomen;
wanneer de tweede en volgende roagten van a onder de facforen des bekenden terms voorkomen. (Want indien denbsp;gegevene uitdrukking door (x «)quot; deelbaar is, wordt ver-eischt, dat de bekende teim door aquot; en de mindere mag-ten van a deelbaar is.) ,, Men moet dan, wanneer dezenbsp;,, twee omflandigheden te gelijk plaats hebben, onderzoeken:nbsp;„ of de - gevnnde deeler niet twee of meermalen in de gege-5, vene uitdrukking verhouden is, waartoe fechts eene enkel-„ de fielkundige deeling vereischt wordt.” (34).
Zij gegeven nbsp;nbsp;nbsp;— 21 a7 -j- 45 ? De deelers vnn 45 zijn: 45,
15’ 9) 5’ .3 en i; de deelers i en — i vervallen van zei ven. Men vindt verder, door de toepisling van den regel, x 5 en jr - 3:nbsp;daar ’er nu, wanneer ’er in eene derde mngts-uitdrukking twee tweeledige deelers beftaan, ’cr noodzr.kelijk ook een derde beftann moet.nbsp;Zoo zal ac 5, of X — 3, nog éénmaal moeten voorkomen (35):nbsp;die derde deeler zal noodzakelijk x — 3 moeten zijn, omdat de tweegt;nbsp;de magt van 3, en niet die van 5, onder de deelers van het getal 105nbsp;voorkomt. Men zal ook in de daad bevinden; dat x^ — x^—eixnbsp;4. 45 (x 5) . (x - 3)=^ zal zijn.
(34) nbsp;nbsp;nbsp;hiog niemand, zooveel mij bekend is, hoeft opgemerkt: dat men opnbsp;deze wijze de gelijke factoren ontdekken kan: de gev/one handel-,vijze,nbsp;Welke men tot dat einde gebruikt, cn die in de L Les zal verkla:irdnbsp;Mmrden, is veel oinllagrigcr.
(35) nbsp;nbsp;nbsp;Dit is zeer natuurlijk; want indien het bekende getal van dien derden deeler een ander dan -j- 5 of — 3 ware, zou men hetzelve, ondernbsp;de pofitievo of negatieve deelers van 43, ontdekt hebben.
-ocr page 145-Nemen wij, tot een tweede voorbeeld, de vergelijking —4 X* — 15nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 106 x'^ — ipó X 120
Welke Goüsin, in zijne TraUé Élémentaire de FAnalyfe Mathémati-que, pag. 112, opgeeft, en waarvan hij de gelijke fadoren, door het Zoeken van den gemeenen dealer, welke tusfchen de gegevene uitdrukking en deszelfs differentiaal bedann kan, bepaalt. Zie §. 356, pag. 245.
De dealers van 120 zijn 120, 60, 40, 30, 24, 20, 15, 12, 10, 5. 4, 3,. 2 en i. De dealers I en — I vervallen van zei*nbsp;ve. Zie hier een gedeelte van de geheele berekening.
40 nbsp;nbsp;nbsp;60nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;60nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;40nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;30nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—i
gt;5ö — J3(5 nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;250nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;23Ónbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 226nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
-j- io6)
- ^5)
52 — Ö8 nbsp;nbsp;nbsp;-4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;128........-j-
54 38 nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;234.......-f-
]8 19 nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;117........—
3 nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;132........-
2 nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;66........
2 nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;62.......
Het blijkt hieruit; dat x — 3, x—2 en x 5 deélers van de ge* gevene uitdrukking zijn: maar, daar ’er in onze vijfde magts-uitdruk-king, behalve deze drie faftoren, nog twee andere kunnen beftaaii,nbsp;welke aan de reeds gevondene faéloren kunnen gelijk zijn, en denbsp;tweede en hoogere magten van 3 en 5 niet onder de dealers Van i aonbsp;Voorkomen, maar wel 2^—4 en 23=8; zoo zullen, indien ’er meernbsp;faftoren beflaan, deze faftoren geene andere kunnen zijn, dan x—2nbsp;en X—2: men beproeve dan, of de gegevene Uitdrukking door x—2,nbsp;driemaal achter den anderen, deelbaar zij ? en daar men bevinden zal,nbsp;dat deze deelingen gelukken, zal de gegevene Uitdrukking gelijk zijnnbsp;aan (w — 2)3 x (x — 3) x (x 5).
Nemen wij nogmaals de uitdrukking:
x^ — 13 x‘1- nbsp;nbsp;nbsp;6/ xi — 171nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2ÏÖ X — 108 = ö
nbsp;nbsp;nbsp;öonbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8r
— nbsp;nbsp;nbsp;17O —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ 9°
— nbsp;nbsp;nbsp;37nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;45
nbsp;nbsp;nbsp;10nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ir
— nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ï
o o
welke Lacroix, in zijne Elémem dFAlgèhre ¦, art. 212. Ed. 1800. et art. 207, Ed. 1804.nbsp;opgeeft.
Het blijkt, uit de nevenftaande berekening: dat X — 3 en x — 2 deelers zijn: maar ’ernbsp;kunnen nog drie deelers in de-gegevene uitdrukking voorkomen, welke, indien zij werkelijk beflaan, geene andere, dan .r — 3 of
11. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;H
-ocr page 146-II4
WISKUNDIGE LESSEN.
X — 2, kunnen zijn. Onder de dealers van het getal i o8, komen de tweede en derde magten van drie, en de tweede magc van twee voor;nbsp;men beproeve derhalve de dealing, door x — 3 en x — 2, zoo langnbsp;mogelijk is, en men zal, met Lacroix, vinden: dat de gegevene uitdrukking gelijk aannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x (:c—2)^ is.
S- 161. III. Aanmerking, j-j- kan gebeuren, dat de hoogfie term der gegevene uitdrukking met eeneh coefficient isnbsp;aangedaan, en dan is zij, in dezen teeftand, niet gefchikt, omnbsp;den voorgefchreven regel, zoo als hij voorkomt, op het nafpeu-ren van hare tweeledige deelers, die van den vorm p x^nbsp;kunnen zijn, toetepasfen: men moet vooraf de gegevene uitdrukking tot deze toepasfing bekwaam maken, of aan dennbsp;voorgefchreven regel eene grootere algemeenheid geven.
Stellen wij, om zulks te ontvouwen, dat gegeven zij de uitdrukking:
AX*-k-B x^Cx^D XE~y . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(«)
indien wij dan deze vergelijking door A deelen; dan verkrijgen wij:
E y A^^A=iï
Stellen wij nu x — — \
in de
zal men, deze waarde van x
laatfle vergelijking overbrengende, verkrijgen:
z* , B nbsp;nbsp;nbsp;C z'
-r
E _ y
A* ' A ' At ' A '¦ A^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;' A ' ~A ~ ~A
en indien men eindelijk alle de termen dezer laatfte vergelijking met A^ vermenigvuldigt; dan verkrijgt men:
in welke zszzAx is. Wij hebben dan de gegevene uitdrukking («) in eene andere (,S) herleid, welker veranderlijke grootheid z gelijknbsp;is aan de veranderlijke grootheid x der gegevene. uitdrukking (a),nbsp;vermenigvuldigd met den coefficient, waarmede de hoogde term dernbsp;gegevene uitdrukking is aangedaan, terwijl de waarde dezer laatfte, te weten, de waarde van («), of y, daardoor vermenigvuldigd isnbsp;geworden met eene raagt van dienzelfden coefficient, welker exponent één minder is, dan de exponent van den hoogften term dezernbsp;uitdrukkmg. Stellen wij nu: dat s -f-« een faftor van de uitdrukking in 2 (namelijk van (/3)) zij; dan zal men, in plaats van 2 harenbsp;waarde A x ftellende, A x a voor dien faétor verkrijgen: maar nunbsp;is de waarde van de uitdrukking in 2 (namelijk (jS)) geworden At y;nbsp;en nu zal het kunnen gebeuren; dat A en a eenen gemeenen deeler
heb-
-ocr page 147-nebben: daar nu, voor elke bijzondere waarde van y, de grootheid y niet algemeen door het bepaalde getal, da: de gemeene deeler vannbsp;^ en a is, deelbaar kan zijn, moet die gemeene deeler noodzakeliiknbsp;in , en niet in y, begrepen zijn. fi'Ien zal daarom den gemeenennbsp;deeler van A en a, ia A x -j-a voorkomende, moeten wegwerpen,nbsp;en de uitdrul^king, welke daaruit geboren wordt, zal de gevraagdenbsp;faftor der gegevene uitdrukking, in x, moeten zijn.
der meetkunltige reeks
S- i6a. ff Het blijkt, uit het bloote inzien van de herleide uitdrukking (p), dat dezelve zal verkregen worden, door alle de termen der gegevene uitdrukking («), ééu voor één,nbsp;van den hoogften tot den laagftcn ingefloten, niet de termen
enz.
te vermenigvuldigen, en, in plaats van jf, eene andere veranderlijke grootheid z te Hellen. Hieruit volgt derhalve dezen Regel. i° ,, Indien de hoogjle term der gegevene uitdruk-„ king met eenen coefficient is aangedaan, verander datt x innbsp;,, 2, ofAx-, laat dezen coefficient weg, en vermenigvuldig allenbsp;„ de volgende termen met ééne opkimmende meetkunftigenbsp;„ reeks , die met de éénheid aanvangt, en met de magten vannbsp;„ den coefficient des hoogften terms opklimt. Het [preekt vannbsp;„ zelven, dat de ontbrekende termen, ah met den coefficientnbsp;,, nul aangedaan, wel degelijk in rekening moeten komen.'quot;
,, Zoek, volgens den regel van §. 152, de tweeledige „ deelers der nieuw verkregene uitdrukking in z.quot;
3° ,, Onderzoek, of de coëfficiënten A en a van den deeler ,, Ax-\-a, welke men in plaats van è-f-« verkrijgt, eenennbsp;„ gemeenen deeler hebben ? indien ’er zulk een bejiaat, zal dienbsp;j, uitdrukking door denzclven moeten gedeeld worden, om dennbsp;„ eigenlijken factor der gegevene tjitdrukking te verkrijgen.quot;
|
— 192-Iquot; 1344-j- 252 | |||||||||||
| |||||||||||
|
11 2 nbsp;nbsp;nbsp;quot; z 6 |
§. 163. Zij gegeven — ê^x^ — wjx~ isC). Men begint derzelver termen met de meetkunftige reeks, i, 12 en 144, tenbsp;vermenigvuldigen, en in plaats van x denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-[-42—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0—31
letter 2 te ftellen; men verkrijgt aldus :
2® — 4 nbsp;nbsp;nbsp;— 1404 2 — 8064
zijnde z—iix. Nu blijk: het, uit de neveaftnande berekening, dat 2 — 42,
-ocr page 148-II6
WISKUNDIGE LESSEN.
s 6 en 2 32 de deelers van de uitdrukking in 2 zijn: wanneer men dan, in plaats van z, hare waarde 12x Helt; dan zal men, na denbsp;verkleining, 2x — y, 2 x i ensx S voor de tweeledige deelers der gegevene uitdrukking vinden.
§. 164. IV. Aanmerking, -j-j- Maar het is, zoo als wij reeds zeiden, niet volftrekt noodzakelijk, de gegevene uitdrukking, vooraf te herleiden. Men kan aan den regel van §. 152.nbsp;eene grootere uitgeftrektheid geven.
Laat, om zulks aantetoonen, ax-fb een deeler van Ax»
C nbsp;nbsp;nbsp;enz,S zijnl dan moet, zie §. 146, a een deeler van
A, en b een deeler van S zijn. Nu kunnen wij de gegevene uitdrukking onder den vorm
-2 -f enz. -f j’
¦ X»-
en den deeler ax-l-b onder den vorm a X nbsp;nbsp;nbsp;brengen;
daar nu a een deeler van y/ is, zal ook .r een deeler van . • • ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a
X» -f- — X»—I -j- enz. moeten zijn. Om nu aan deze voorwaarde te
voldoen, zal de breuk — een faftor van de breuk ^ moeten zijn, on-a
der dien verftande, dat, zoo als gezegd is, a een faftor van A, en b een faélor van S zij. „ Men zal dan eene reeks van breuken maken,nbsp;„ welker noemers fabloren van A, en welker tellers faStoren van Snbsp;„ zijn, en men zal elk dezer breuken, volgens den regel van §. 152,
g
,, aan de uitdrukking x» -[- enz. -f- toetfen; wanneer 'er dan dee-b
„ Iers van den Vorm x -\--bejiaan, zal deze beproeving dezelve
„ kenbaar maken, en, wanneer men zulk een deeler gevonden heeft, „ zal men denzelven met a moeten vermenigvuldigen om den begeer-„ den deeler te verkrijgend'
§. 165. tt » ^den kan zelfs de uitdrukking onder den gegevenen „ vorm laten ft aan, en, nadett men de moge lijke breuken, die eennbsp;„ term des deelers kunnen uitmaken, gemaakt heeft, beginnen met
„ den laatften term door de breuk--^ deelen, terwijl men, vol-
„ gens den regel, zal blijven \verken: maar, daar de coefficient van
„ den
-ocr page 149-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;117
,, den hoogften term, in dit geval, een ander getal dan de éénheid „ U, zal men, tot aan den laatflen term gekomen zijnde, dcszelfs coef-„ ficient, in plaats van de éénheid, moeten optellen. IVanneer nu deze
„ laatjle' fom gelijk nul is, zal de gegevene uitdrukking jc-j--
a 9
„ of, dat op hetzelfde uitkomt, a xb tot faamp;or hebbenquot;
Stellen wij, om dit te betoogen, Ax‘^-\-Bx'^ nbsp;nbsp;nbsp; Z)ar £
voor de gegevene uitdrukking, en laat zij aan het produft van de faftorennbsp;nbsp;nbsp;nbsp; £ x .S' en a x-\-b gelijk zijn; dan zal de
gegevene uitdrukking door muliiplicatie worden aPx‘lt;'-\-{aQj^bPjx's.^(aK hQf)x^-^(aS-\-bRjx-^bSnbsp;en men heeft
A-aP-, B—aQj^hP-, C—aR-\-bQ^i D-z=,aS-\-bR cn E—b$
Nu is . . . . b S‘.--izzb S y. —^
en ..........ö j’ iiA — aS-zz.bR
wederom ^ nbsp;nbsp;nbsp;: — — — bR-gt;c. —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= — eiR
en..........a R-\- b ^— a Rzzb
voorts .... bQ\--zzbO-y.--—zz — a O
a nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~
en ..........ti Q.,-V h P — aQ^-zzb P
eindelijk ... bP-.-^-^ZzbP-y--^ ~ — a P
en..........a P — aP-zzo.
Het zal niet noodig zijn, de toepasfing van deze twee bijzondere gevallen des algemeenen regels, door voorbeelden, optehelderen.
§. 166. V. Aanmerking. Tot hiertoe onderftelden wij fti!zwijgend: ff dat, wanneer alle de coëfficiënten van de al-gemeene uitdrukking
x«-\-AX»—1 BX»—’'- Cx»—3 enz. -érUxf-F geheele getallen zijn, de fiandvastige term a van eenigen twee-ledigen faamp;or x -j- « een geheel getal zal moeten zijn. Het isnbsp;van het uiterfte belang, deze waarheid, door een bijzondernbsp;bewijs, te bevestigen.
Stellen wij, tot dat einde, dat x— een deeler der gegevene uitdrukking zij, zijnde /gt; en ^ onderling ondeelbare getallen. Wanneer men
H 3 nbsp;nbsp;nbsp;dan
-ocr page 150-IIS
moeten zijn, en, wanneer
dan ar — — ~o maakt; dan zal x:
men vooits deze waarde van x in'de gegevene uitdrukking overbrengt; dan zal men, daar derzelver faflor gelijk nul wordt, verkrijgen:
pn-
' C.
¦etiz. U.
r=o
/gt;»—3
qgt;i ’ nbsp;nbsp;nbsp;¦ qn—i ’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qn-^'znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qn—3 ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;q
welke, wanneer men dezelve met qn vermenigvuldigt, in
Ar q y. [Apn—'i B pn—quot;~ q CttZ. nbsp;nbsp;nbsp;2 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l] — Q
veranderen zal. Men zal deze laatfle nog onder de volgende gedaay-te kunnen ftellen:
— — — [//pn—1 -{- B /!»—2 q nbsp;nbsp;nbsp;enz. -^-Up q»—2 F qn—l]
waaruit blijkt: dat, ar.ngezien /gt;, q, A, -B, C, enz. U en F gelieele getallen zijn, tot de mogelijkheid der onderftelling gevorderd wordt,nbsp;dat pn door q deelbaar zij: maar, daar p oxi q onderling ondeelbaarnbsp;zijn, is q geen evenmatig deel vanp; derhalve zal, zie §. 767, I.C.,
ook q geen evenmatig deel van pn, en bijgevolg a: —— geen fiiclor
der gegevene uitdrukking kunnqi zijn.
§. 167. VI. AANMERKitsG. ff £)e algeineene regel is ook toepasfelijk op het vinden van de eerjie magts faEtoren vannbsp;elke flelkundige uitdrukking, welker coefjicienlen en fland-vastige term zelven flelkundige uitdrukkingen zijn, zondernbsp;dat men, met Newton eh Clairaut, tot het zoeken vannbsp;gemeene deelers zijnen toevlugt behoeve te nemen, of, datnbsp;het noodig zij, met .Newton, aan fommige voorkomendenbsp;grootheden eene bepaalde waarde te geven (36).
§. 168. Stellen wij: dat de uitdrukking — Cs^ sO'^^'b (ab-\-^ac)x —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gegeven zij; dan is het klaar, dat, wanneer
zij eenen deeler vim den vorm x -{-p heeft, p een deeler van —'ialx zal moeten zijn; nu zijn de deelers van — zah c in rangorde
(3lt;gt;) Bezout en Lacroix zijn, zooveel wij weten, de Schrijvers, wolken dezen regel hebben bekend gemaakt: noch de een noch de ander hebben opgemerkt: dat hij zich tot de ftelkundige coelScicnten en denbsp;gelijke faftoren uitttrekt. Sedert Eudan, (zie §. 238 en 239.) eenen anderen regel vond, zou men dezen geheel kunnen misfen, ware hetnbsp;niet, dat zij, in het geval der Helkundige coëfficiënten, van mit ware.
-ocr page 151-II9
¦^lahc, 3«^, ^Zac, 3if, Za, 3^5 3^'»
ih'’’ ~l~ nbsp;nbsp;nbsp; g; 3? !•
Deze deelers zullen, volgens den regel van §. 15a, één voor één, ter toetfe moeten gebragt worden. (Zie 4 Foorb. op de Tabelle N° III.)nbsp;Nemen wij 3 «, dan is — «c gedeeld door 3 »^ gelijk
— nbsp;nbsp;nbsp;hc; tel hierbij ab-\-9ac; dan verkrijgt men: abAr^ac — bc.nbsp;Welke, niet Helkundig door 30 deelbaar zijnde, bewijst: dat p nietnbsp;~ 3 « kan zijn. Neemt men 3 zal hetzelfde gebeuren. Hetzelfde zal ook gebeuren met andere deelers: maar de eenige deelernbsp;-f- 3 f zal aan de voorwaarden voldoen; want — '^abc\-\-Zc'^
— nbsp;nbsp;nbsp;ab zijnde, is ab ^ac — a b ~ g a c; wederom, 9 » c:nbsp; Zc =: 3a zijnde, heeft men: — 3 « _ 3 c j. 3 «=~—3 t ;nbsp;eindelijk — 3c:-{-3c = — l en — i-|-i=:o, hetwelk alles voldoet. In het 4 Foorb. op de Tabelle hebben wij, om plaats te winnen, alleen een gedeelte der bewerking geplaatst.
§. i6g. Laat nog, (zie 5 Foorb. op de Tabelle N® III.) gegeven zijn de uitdrukking — (2^—h')x^—^ab lt;^2.a=-b—ab^^xnbsp;A^ia^b'^'. onder de deelers van den laagften term zijn:
-f nbsp;nbsp;nbsp;¦\-a'^b'^., -^2a^b, 2lt;so5^, ¦^ab'^,
^2^, ^a, di^’ di^
Indien men de deelers -f- 2« en — b beproeft; dan zal men voor de tweeledige deelers vinden :. tv.— za, en x-^b.
§. 170. Vir. Aanmerking, ff Indien de flandvastige of bekende term eene zamengeflelde uitdrukking is, die van tweenbsp;algemeene letters afhangt, zal men eerst de flelkundige deelersnbsp;van dien term, op de gewone wijze, zoeken, en daarna, volgens den algemeenen regel, te werk gaan,
§. 171. Stellen wij, volt;w.C\.hw.hv-c,Elémen% cTAlgèhre, Art.IkJTTSW. de uitdrukking 2 -f 7 » — 3 i • • 5 a — zabx xnbsp; 10 a b^ 6 b^. Deze uitdrukking zullen wij, om derzelver des-lers te zoeken, onder de V9lgende gedaante Hellen.
2x^ nbsp;nbsp;nbsp;—3^)^;^ C5quot;^ — zab-\-^b^')x-\-C^oab^ — 6b^')
De eenvoudige of ondeelbare deelers van ïoab^ — 6b^ zijn, 2, b, b, — 3^i hieruit worden volgens §. 254, I. C., alle de deelersnbsp;gevonden, die men bevinden zal te zijn; t,e,h,zb,h^,zb^,nbsp;5a —zb, ïoa — 6b, Sab — 3^=-, loab — 6b-, 5ab^—zb^,
H 4 nbsp;nbsp;nbsp;10
-ocr page 152-120
loab*-—C373‘ mnnr, daar de hoogde term der uitdrukking tweo tot coefficient beeft, zal men, volgens §, 165, de deelers van diennbsp;coefficient tot de noemers, en de deelers van 10 a b^ — tot denbsp;tellers van cene breuk moeten maken, welke alle de geheele en ge-brokene getallen geven zullen, die voor de waarde van p, la den on-derftelden deeler x-\-p, kunnen aangenomen worden: nemen wij
p —— IfJIZAÈ; dan zal men bevinden: dat deze waarde voldoet;
want, men heeft:
ioab~ — 6 P — I (50: — 3‘^’) = — 4 tel hierbij den coefficient yan x, of 5»^ — 3lt;ï,amp; 4Zi^; dannbsp;verkrijgt men: 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 3 « Wederom is
5«=‘ — 3rt^; —1(5« — 3^)= —
tel hierbij den coefficient van , namelijk 7 « — nbsp;nbsp;nbsp;komt ’er
5 'ï — Z ^ • eindelijk is:
S'* — 3^: — § Cs « — 3/0 = — 2
daar nu — 2 2 — o is, zal x ^ (s^—3^), of 2x sa — sb, een fadlor der gegevene uitdrukking zijn: en, daar geen van de anderenbsp;deelers, die raogelijk zouden kunnen zijn, gelukken, zal men hieruitnbsp;met zekerheid mogen befluiten: dat ’er geen dan deze deeler bellaat,nbsp;Indien men werkelijk door dcnzelven deelt, zal men vinden: x* -j-ax 2 b'^ voor het quotient,
§. 172, Nemen wij nog, met Clairaüt, 8x4 — 2:7x3 — loix» —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— ^abx'^ — 12 ffb^ X^ a'^ b^.15^ b'^. ' Deze zal,
onder den meer gefchikten vorm
Sx'i — (stf ioZ’)x3 — (3lt;*^ 5ab')xquot; ~ i2ab^ X ^a'^b‘‘--j- 15 ab'^
moeten gebragt wofden: men zal de deelers van ^a'^b'^ ¦\-\$ab'^ en van 8 zoeken, uit dezelve eene reeks van een bepaald aantal breuken maken, onder welken zich ooknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bevinden zal, die.
aan
'C37) Na de uitvoerige verklaring, welke in de XV Les, I. C. van het vinden van de deelers van een deelbaar getal gegeven is, zal het nietnbsp;noodig zün, die van eene éénledigc ftclkundige uitdrukking te leerennbsp;vinden; te meer, daar derzelver eenvoudige deelers van zelven in hetnbsp;oog loepen, zoodat ’er gcene de minfte beproeving, gelijk in getallennbsp;moet plaats hebben, vereischt wordt, om dezelve te vinden. Voor hetnbsp;overige worden de zaniengefteldc deelers, op dezelfde wijze, als in §-254,nbsp;I. C. gevonden.
-ocr page 153-I2I
*an de voorwnarden van 152. voldoende, ons leerti dat 4X—S'* — Sb een deeler is. De gegeyene uitdrukking door denzelven dee-lende, vindt men voor het quotient: 2x3 -f-ax^ — 3^/51*.
§. 173. Men ga nog het 6 Foorb. op de Tabelle N® III. na. Ora niets achterwege te laten, dat men, in een der gewigtigfte Hukken,nbsp;hetwelk zulk eenen uitgeftrekten invloed op alle deelen der Wiskunstnbsp;heeft, verlangen kan, zoo zullen wij nog de deelers eener uitdrukking van twee veranderlijke grootheden x en y onderzoeken. * Eenenbsp;uitdrukking van twee veranderlijke grootheden kan naar de magtennbsp;van ééne derzelve geordend worden, en het is, onder deze gedaante,nbsp;dat zij bekwaam gewaakt wordt, om quot;'er den algemeenen regel opnbsp;toctepasfen, Nemen wij nu aan : dat zij naar de afdalende magten vannbsp;te geordend zij; dan zal zij onder den vorm
xn-\-P X«—1 g,XK—2 CtlZ. U voorkomen, en dan zullen de coëfficiënten P, Q^, R, enz. U Helkundige uitdrukkingen zijn, zamcngefteld uit de veranderlijke grootheid y,nbsp;en de ftandvastige termen, welke in hare zanienflelling voorkomen.nbsp;„ Men zal de termen, waaruit de coëfficiënten P, Q^, enz. zijn za-„ mengefteld, naar de afdalende magten van y ordenen: men zoekenbsp;„ dan, of U flelkundige deelen hehbe; indien 'er zoodanige niet be-„ flaan, dan h alk verder onderzoek overtollig', omdat, onder dezenbsp;,, voorwaarde alleen, een deeler be flaan kan: maar. Wanneer U eennbsp;5, deeler of deelers heeft, zullen deze deelers, één voer één, aan dennbsp;5gt; algemcenen regel getoetst zijnde, de deelers der gegevene uitdruk-„ king, indien 'er zoodanige befldan, kenbaar makenP
Zij gegeven de uitdrukking:
X — c^y^ —:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;abcy^
' a'^ b c y -f 6 tF ynbsp;
X* 3 c 7* f-\ah^y
-f
3«3^
—
men begeert te onderzoeken, of deze uitdrukking deelers hebbe? De achterfte of laatHe terra dezer uitdrukking is
— ^2^,3 — ah cy- nbsp;nbsp;nbsp;^ c -b 6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. 7 -J-
men begint met te onderzoeken of dezelve deelers hebbe? De deelers van 3 «3 ^2 2ijn, indien men, (zie hier onder §. 174.) die deelers, welke geen plaats kunnen hebben, uitzondert:
tn die van zijn -j-c, -f-c*. Men make dan, volgens §. JÓS- de
II 5 nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vol-
-ocr page 154-122
volgende breuken:
Indien men deze, éc’n voor één, ann den regel toetst, vindt men: dat
I— nbsp;nbsp;nbsp;alleen voldoet; ^ J 3 « é is bijgevolg een deeler, en de
deelcrs van den laagften term der gegevene uitdrukking zijn:
cy saè, en —cy^-\-lt;xahy-\-a'^b Nu moeten nog maar de deelers
en -j-
cy zalgt;
a nbsp;nbsp;nbsp;~~ b
Nemen wij ... . dan zal, indien men den laatften term der uitdrukr
aan denzelfden algemeeuen regel getoetst worden, cquot;j -{¦ 'gt;y ah
king door dezelve dgelt, het quotient
— b c 2. a 1quot;^-y b'^
geven: men telle hierbij den coefficient van^v, dan verkrijgt men:
2 b c 6 a b'^ quot;ja'^ c ya~^ b dezen door den aangenomen deeler deelende, verkrijgt men:
2 y a'^ b
wanneer men nu bij dit quotient wederom den coefficient van x'^ op-telc, dan vindt men :
— acy — 3 0-5
welke fora, op nieuw door den aangenomen deeler gedeeld zijnde,
— nbsp;nbsp;nbsp;ab tot quotient geven zal: daar nu — ah ab — o is; zal mennbsp;hieruit, met zekerheid, beHuiten kunnen: dat
hx — cy —
een deeler van de voorgeftelde uitdrukking is, welke, door denz^ilven werkelijk gedeeld zijnde, tot quotient ax'^ — 2bxy-\-cj'^—x
— nbsp;nbsp;nbsp;2 a by — a'^ b hebben zal.
dat wil zeggen:
ztjn
§. 174. De algemeene regel voldoet derhalve in de moeijelijkfie gevallen, en ontdekt bovendien de gelijke deelers, en dit is alles, watnbsp;men verlangen kan. De vlijtige Lezer zal meer ontdekken, dan wijnbsp;gezegd hebben: hij zal, bij voorbeeld zien: tt •gt; quot;Wanneer alle denbsp;termen eetier gegevene flelkundige uitdrukking van dezelfde.afmetingnbsp;wanneer de [ommen van de exponenten der
letters, die als faPtoven voorkomen, in alle termen dezelfde zijn, de gezogte deeler dezelfde eigenfehap zal moeten hebben: deZe opmerking zal een groot aantal nuttelooze beproevingen uitwinnen.
II.
-ocr page 155-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;123
II. Over het vinden van de drieledige of. tweede-magts deelers.
§• 175* tt Wanneer het, na een behoorlijk onderzoek, gebleken is: dat eene uitdrukking nbsp;nbsp;nbsp;/Ix^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cx
Z) geene eerfle-magts-deelers heeft, zal zij nogtans eenen tweede-magts-deeler van den vorm nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^ kunnen heb
ben: daar het nu van belang kan zijn, deze deelers te keren kennen, zuUen wij kortelijk de wegen aanwijzen, welke totnbsp;dat einde kunnen ingeflagen worden.
§. 176. Bepalen wij ons tot de vierde rnagts-uitdrukking -\-Bx^-\-Cx-fD, welker faaor wij -f-a x -i- /3 oiiderMlen tenbsp;zijn. Wanneer wij dan x achtervolgens gelijk — 2, — i, o, 4- i,nbsp; 2 enz. Hellen, en aannemen: dat de gegevene uitdrukking, in dezonbsp;onderdel ling, de waarden van de getallen /gt;, q, D, s, t, enz. ver-krijge; dan zal, volgens het bewezene, in §, 141).
P\ nbsp;nbsp;nbsp;( 4 2lt;Z /?
D j deelbaar moeten zijn door 1 nbsp;nbsp;nbsp;Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
s 1 nbsp;nbsp;nbsp;\ I -f « /3
t / nbsp;nbsp;nbsp;|4*i~2« /3
ft De uitdrukkingen, in de tweede kolom, 4—2«s /S, enz. zullen ¦dus deelers zijn van de getallen p, q, enz. der eerfle kolom, nevensnbsp;welke zij, in dit tafeltje, geplaatst zijn. Laten danq', d', s', t',nbsp;deelers van p, q, D, s, t, zijn, en Hellen wij:
— 4 — 2fl! /3; dan zal p' — 4 — — 2 « ,3 q'—i— x-\rP ..... q'—1=— « ƒ?
P..... d'=. nbsp;nbsp;nbsp; /3
d — nbsp;nbsp;nbsp;2 a P . ... . d — q. — a a -{¦ p zijn
waaruit blijkt: jf dat, wanneer 'er een faplor van den vorm -{¦ ax P bejlaat, 'er ook, onder de deelers der getallen p, q, D, s, t,nbsp;welke de waarde der gegevene uitdrukking, in de onderjlelling vannbsp;X — — 2, — I, o, 1, 2, zijn, getallen moeten gevonden wor- ‘nbsp;den, welke, met 4, I, o, l, 4, verminderd zijnde, eene rekenkun-flige reeks —^.a-fP, —x-{¦ P, P, « /3, 2a; /3 zullennbsp;vjoeten uitmaken.
§. 177. Hieruit volgt dezen fraaijen regel van Newton,
1° ,, Stei de veranderlijke grootheid x gelijk aan — a,
\
i gt;
-ocr page 156-12^ wiskundige lessen.
5, — I? o» nbsp;nbsp;nbsp; 2, c«2, (/« rekenkunftige reeks^
,, waarvan men doorgaans zoo vele ttrsnen neemt, ’er èénhe-„ den in den exponent der hoogfie magt zijnd) en bereken, 55 Welke waarden de gegevene uitdrukking, in deze onderftellin-55 gen, verkrijgt: dan heeft men de getallen p, q, Zgt;, s, t.’’’
üd 5, Schrijf nevens deze getallen derzelver deelers.quot;
3° ,, Trek van deze dealers, zoo wel pofitief als negatief ge-„ nomen, de tweede magt en van —2, —i, o, I5 „ 2? 0/5 in rangorde, 4, i, O5 i, 4, «/; fchrijf allenbsp;,5 deze resten op dezelfde rij, waarin de getallen p, q, D,nbsp;,, s en t, zich bevindend’’
4^^ 5, Zoek onder dezi resten, vanboven naar beneden gaan-,5 de, alle die geenen, welke in eene rekenkunftige reeks op-5, klimmen of af dalen. Deze reekfen, door — 2ct-\-ê,—«-ff, „ S,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;voor gefield zijnde, zal men ge-
55 makkelijk vinden kunnen, welke waarden van tc en Q, met 5, dezelve overeénflemmen ”
s'* 55 De waarden van de eoegjeienten a en S gevonden zijn-,, de, zal men beproeven, of de gegevene uitdrukking in de ,, daad door « x ff deelbaar zJj? ”
6quot; ,, JVanneet er, onder de bovengenoemde resten, geene „ rekenkunfiige reekfen voorkomen, zal men befluiten mogen:nbsp;55 dat ’’er geene tweede magts faStoren beflaan.”
§. Stellen wij: dat gegeven zij nbsp;nbsp;nbsp;—5x^ i2x —
6—y: men vraagt, of deze,uitdrukking tweede magts fiidoren hebbe?
|
deelers van y min -30 |
|
y \decUrs van
i(y \, 2 , 13 , 2Ö ii|i ,3, 7, 21nbsp;6|i , 2, 3, 6nbsp; II
4* 6|i , 2, 3, 6
22^ 99 “*^5 nbsp;nbsp;nbsp;^
20, 6, 2, o, —2, —4, —8,-22
o,—2
In de eerfte kolom liaan de aangenomene ,waarüeri van x; in de tweede die van yi in de derde de deelers; in de vierde de tweede magten vannbsp;de aangenomene waarden van x; in de vijfde de deelers 'van y, zoowelnbsp;pofitief als negatief genomen, min de vierkanten van x; onder deze deelers vindt men, van boven tot beneden gaande, de rekenkunftige reekfennbsp;in de kolommen M en N geplaatst, welke als de waarde van —2«-j-Cnbsp;c-nz. moeten aangemerkt worden. De reeks M geeft ff~ — 2 en a^-f-2;nbsp;de reeks N, C — -f- $ en « IZ: — 3: ’er kunnen dan twee faftoren bc-ftaan, namelijk:
X2
-ocr page 157-2 X — c en X® — 3* 3
'VElke, zoo als door dadelijke, decling blijken zal, indedaad faftoren zijn.
§. I7p. ft De hoogfle term der gegevene uitdrukking kan met eenen coefficient zijn aangedaan. Stellen wij: dat algemeen gegeven zij . .nbsp;A xn B X”—I C x»—2 enz, L X Mi indien dan deze uitdrukking eenen tweede-raagts faélor a x^ -kr b xc heeft, zal a eennbsp;deeler van //, en e een deeler van M moeten zijn: ftellen wij denbsp;waarde der gegevene uitdrukking gelijk U, die van haren fadlor gelijknbsp;V, dan zal, wanneer men de eerde door A, en den tweeden doornbsp;a deelt, verlcrijgen:
. B
X» -1 X»—I -4-
n
en
~ x«—2 nbsp;nbsp;nbsp;enz. -j--
llt; nbsp;nbsp;nbsp;V
a a
A
veranderen in
—i y/Cs»—--f-^«*-2/;s 4- nbsp;nbsp;nbsp;—1
lA^ X
V
en z
a
Nu is a een deeler van A', gevolgelijk zal ^. — z-^ A'^ x —
eene uitdrukking in geheele getallen zijn, welke beftaan zal, zoodra de faftor /* x^ -j-3 x-f-c in de gegevene uitdrukking ^x»-i-5x»—inbsp; enz. voorhanden is. „ bFanneer men dan de termen der gege-,, vene uitdrukking, in rangorde, door die der meetkunflige reeks
vgt; nbsp;nbsp;nbsp;A, A^ , A^ , enz. vermenigvuldigt, en de uitdrukking,
,, 2» nbsp;nbsp;nbsp;-S 2»—I -j- A Cz»—2 enz., welke men daardoor verkrijgt,
„ eenen tweede-magts faStor van den vorm z^ a z 13 heeft i bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c
„ zal men «=/f x —, en f — A^ x — moeten feilen, waaruit
„ — — — en — — nbsp;nbsp;nbsp;volgen zal, en de begeerde faStor zal ax^
a A a A^
„ -b *x 4- c worden.quot;
Wanneer men de uitdrukking gx^ — öx^-j-xa—8x“ — i4x-{-i^ Op deze wijze behandelt, dan zal men voor derzelver deeler 3x^nbsp; 7 vinden.
S. 180, Newtons regel is algemeen: nogtans kan men ’er andere
vin-
-ocr page 158-vinden, waarmede men hetzelfde oogmerk bereiken zal (38). Stellen wij, om met eefte vierde magts uitdrukking ce beginnen (35)), dat gegeven zijnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wanneer deze dan
door eenen tweede magts deeler x^ a x deelbaar is; dan zal deze deeling, zonder overfchot, moeten opgaan: men zal bijgevolgnbsp;de voorwaarden, onder welk zulk eene uitdrukkingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ct x
een deeler is, vinden kunnen, wanneer men de gegevene uitdrukking door dezelve deelt, en de rest der deeling gelijk nul ftelt. Nu geeftnbsp;deze deeling voor het quotient
x'^ (/ƒ — a; -f 5 ~ /3 — aQJ—x) en hetgeen voor de rest der deeling overblijft, is
Deze laatfte uitdrukking zal nul moeten zijn, en nul moeten blijven, v-oor alle waarden, die men aan x geven kan: daaraan kan nu, op geenenbsp;andere wijze, voldaan worden, dan door den coefficient van x, alsmedenbsp;den tweeden term gelijk nul te ftellen; dat is, door de vergelijkingennbsp;C •— /3 (^A — x) — x(^B — /3)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(/ƒ — x^ — o
aan-
(38) nbsp;nbsp;nbsp;Men kan tot dat einde verfchillende wegen intlaan. Stellen wij;nbsp;dat gegeven zij .t4a-s 5 ara-|-Zgt; , en nemen wij: dat dezelve uit het produdl der fadtoren xx ^ a xb en a-a-J-.^ x-f-j befta.nbsp;Wanneer men dan deze faétoren met elkander vermenigvuldigt, zal uitnbsp;liet produdl blijken: dat, wanneer ’er wezenlijk twee zulke faftoren be-llaan 5 men, in geheele getallen, aan de volgende vergelijkingen:
nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; i
sfi D’mhq ¦
zal moeten voldoen. Nu is het klaar: dat men b als een deeler van D zal moeten aannemen en, dat, in deze onderftelling, q als bekend zalnbsp;móeten aangemerkt worden: men zal de eerlle en derde vergelijkingennbsp;..i—p-j-tf en C~aq-\-bp als twee a'ergelijkingen, waarin twee onbekenden a en p voorkomen, kunnen oploslen: indien deze oplosfing, dienbsp;altijd bepaald zal zijn, aU maar b niet gelijk q is , voor a en p ge-ieele getallen geeft., vielke aan de vergelijkingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vol
doen; zullen 'er twee faStoren beftaan, welke door deze oplosfing zullen bekend worden. Deze handelwijze kan ook op hoogero na.agts vergelijkingen worden toegepast.
(39) nbsp;nbsp;nbsp;Wanneer het gebleken is, dat eene derde magts-uitdrukking geenen eerften m:igts-deeler heeft, zal het overtollig zijn, eenen tweede magts-doclcr te zoeken; omdat deze, zonder eenen eerften magts-deeler, nietnbsp;beftaan kan.
-ocr page 159-12?
aantenemen, welke vergelijkingen ontwikkeld eti naar de afdalende mag-len van a geordend zijnde, op de twee volgende uhkomen:
D
(2) . . . t . . , nbsp;nbsp;nbsp;— A X QB — B — N') ~ o
§. 181. Merken wij aan: dat indien 0 bekend ware, elk ééne dezer vergelijkingen zou kunnen dienen, om de waarde van a te vinden: maar eenige waarde van a, die aan de eerlle vergelijking voldoet, zalnbsp;ook klaarblijkelijk aan de tweede moeten voldoen; ’er zal derhalve,nbsp;voor eenige onderftelling van /?, geene waarde voor a beftaan, indiennbsp;elke dezer twee vergelijkingen niet door et—pQaz:zp zijnde) deelbaar zij: zie §. 153; beide deze uitdrukkingen zullen gevolgelijk«—pnbsp;tot gemeenen deeler moeten hebben. Aan aiie deze voorwaarden zalnbsp;men nu gemakkelijk kunnen voldoen, wanneer men aldus te werknbsp;gaat. Men vermenigvuldige de vergelijking (2) met « en trekke hetnbsp;produft van de vergelijking (ji), dan heeft men:
waaruit terftond volgen zal:
_AB-C nbsp;nbsp;nbsp;..
Vermenigvuldigen wij vergelijking (3) met «, en (2) met /? — TV, en trekken wij het laatfte produdl; van het eerde; dan zal men verkrijgen:
(C — ^ TV) «-f-(i? — TV) (/? — 5) (3 = o waaruit men insgelijks eene waarde voor « verkrijgen kan; doch welkenbsp;meer zamengefteld is: namelijk
_ _ (TV—5) . TV-f —/3) ,3 C—AN
deze waarde van « met de voorgaande vergeleken zijnde, zullen wij de vergelijking:
AB~C _m — B N-gt;r B B—N~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C—AN
Verkrijgen, in welke B alleen onbekend is. Deze vergelijking opgelost en naar de afdalende magten van B geordend zijnde, zal men, in plaatsnbsp;van TV fchrijvende DtB, verkrijgen:
B'^ — BB^ QAC-
B^ ACD
¦DjB‘^ — C-— A^D -f- zBD
donder ons nu, voor het tegenwoordige, met den aard dezer vergelijking
-ocr page 160-128
king intelaten en aantetoonen, dat dezelve tot' eene zesde magt moet opklimmen, zoo merken wij aan: dat, wanneer ’er een fadlor x* nbsp; beftaat, « en /3 geheele getallen moeten zijn, (in de onder-ftelling namelijk, dat A, B, C, D, geheele getallen zijn,) en dat ge-volgelijk /3ö—B enz. eenen eerfte magts-deeler van den vormnbsp;/S — q zal moeten hebben. Men onderzoeke dan dezen fr.éior, volgens den regel van §. 152. Beftaat ’er geen zoodanige faflor; dannbsp;heeft de gegevene uitdrukking geenen tweeden magts-faclor; in het te-gengeftelde geval, zal men de waarde van /3 in
/JI3 — C
overbrengen, en «¦ zal bekend worden.
§. 182. tt B^olgem deze handelwijze, wordt het zoeken der tweede-magts-deelers tot die van de eerfte magts-deelers gebragt; jammer is het, dat de vergelijkingen in welke, in het algemeen, voor eenenbsp;magts-uitdrukking, (zal de oplosfing algemeen zijn,) tot denbsp;X («—i) raagt zullen moeten opklimmen, zoo zamengeileldnbsp;worden, dat deze handelwijze op de dadelijke berekening bezwaarlijknbsp;kan' worden toegepast. Intusfchen bewijst deze analyfls de mogelijkheid, om het vraagftuk van het vinden der tweede magts-deelers vannbsp;dat der eerfte magts-deelert te doen afhangen, en des mods, op eenenbsp;voldoende wijze, optelosfen.
§. 183. Nogtans kan men van de vergelijking (4) een zeer ge-fchikt gebruik maken, om op eene ligte wijze, de tweede-magts-dee-lers te ontdekken. Want, aangezien B een deeler van D moet zijn, „ zal men, voor alk popticve en negatieve deelers van D, de waar-„ den van Af — C en B — -iV berekenen, en onderzoeken, welkenbsp;„ geheele getallen men voor «. verkrijgt ? geven deze waarden van »nbsp;,, gcene geheele getallen, zal 'er ook geenen tweede magts-deeler kun-„ nen beftaan: maar verkrijgt men voor cc geheele getallen, dan zalnbsp;„ de factor, welke deze uitkomst fchijnt aanteduiden i door dadelijkenbsp;„ deeling, moeten beproefd worden f want het is klaar, dat, daar dezenbsp;waarde van a, in eene willekeurige onderftelling voor /3, is aangenomen, zulk eene waarde van B voor oc een geheel getal geven kan,nbsp;zonder dat daarom deze bijzondere waarde eenen tweeden magts-fadlornbsp;bewijst.
I. VooRBEEUD. Zij gegeven de uitdrukking: x4 — nbsp;nbsp;nbsp;— 5 x®
12 X— 6-, dan is, A = — i; Bz=— 5; C— - - 12 en ö = — 6. Men fchrijve in de kolom B f-he de deelers van D; in de kolom iV
alle
-ocr page 161-|
129 | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
T W E EDE CURSUS.
alle de overëdnkomftige waarden van A',- in de derde en vierde kolomnbsp;eindelijk, de overëénkoinllige waardennbsp;van A — C en l3 —iV; men on-derzoeke dan, welke getallen nit denbsp;derde kolom door de overëénkom-flige uit de vierde deelbaar zijn?
Deze deelbaarheid, in de tweede en zesde rij, plaats hebbende : mag men vermoeden: dat — 3 -v 3nbsp;en -b 2 K — 2 deelers der gegevene lütdrnkking zijn, en dit vermoeden wordt ook, .door de dadelijke proef, bevestigd.
184- -• VooRiiEEUD. 2iJ nog gegeven de uitdrukking:
CC^ — 3 ^ nbsp;nbsp;nbsp;^^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8 tr^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ïB j
-|- c — tl c — 8 c I — ü
Uit het bloijte inzien van deze uitdrukking biijkt het; t’at 13 qene tweede magt of een produêl van twee faéloren zrd behoorea te zijn;nbsp;’er behoeven dus geene andere beproevingen, dan /3 ~ -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/3 — -j-
, in het werk gefteld re worden. Nemen wij /? = — 2 nbsp;nbsp;nbsp;, dan
is, aangezien A=:—sa-j-e, B=z — Za^ — ac, C—i8flS — en .V—4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 30c is, (3— N—o, ei c — 6 a- deeler; /ll3~6a^
deeltal
'.ei^c, CU Ji3 — C~6eAc—i:
— -J- 2 0, eene gcheele ftelk, nitdr.
B — N -^ac—00-het is dus vermoedoiijk: dat -{• ei a x — 20^ eene tweeledige dealer zij: tnen vindt, voor het quotient, nbsp;nbsp;nbsp;—(50—c)x-l-(40='—30c).
§. 185. Indieu -f- A-j- B -}- C.v^ -f D .v -f- £ gegeven gt;-sgt; zal het zeer vermoedalijk zijn, dat ’er ceu tvveede magts-deelernbsp;x~ -l-«x-}-/9 bellaat, indien men, in geheele getallen, vinden kannbsp;131 (A—C) -{:BE~DNnbsp;— i3-^'^l3--D) AE — N-
£
mits nbsp;nbsp;nbsp;en /3 een deeler van E zij. Voor hoogere magteii
worden deze vergelijkingen zamengeftelder, waarom men, in die gevallen , vüiliger van Newtons Leerwijze gebruik zal kunnen maken.
§. iSó.AVij zouden nu tot het onderzoek van de deelers van den vorm a x’i13X y moeten overgaan; maar aangezica zij vannbsp;minder nuttigheid zijn, en wij bovendien de gronden van deze wijzenbsp;van onderzoek verklaard hebben, is het ons raadzaam vóórgekomen,nbsp;dit minder belangrijk geval, met ffilzwijgen, voorbij te gaan.
II. Cl-rsus. nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ACHT-
-ocr page 162-130 nbsp;nbsp;nbsp;\v I S K U N D i G E L ESSE N.
A C II T- E N- 'V E E K T I G S '1' E L E S.
Ilet gt'hmik der flelkundige Deelers, in de vjdoipng der hoo-ge magts f-^ergelijkingen; en over derzelver oplos-fing door benadering.
187. Ter gelegenheid, dat wij, in de XLV Les, de tweede inagts vergelijkingen leerden oploslen , gaven wijnbsp;(zie §. 88.) een beknopt denkbeeld van de hoogere niagtsnbsp;vergelijkingen, welker aard en eigenfchappen, als gegrondnbsp;zijnde op de leer der ftelknndige deelers, thans overwogennbsp;zullen worden j ten einde wij daaiuit de regelen tot derzelver oplosfing zouden mogen afleiden.
§. 188. * PFij nemen, hier en in het vervolg, aan: dat men, door herleiding en verplaatfin'g der termen, eenige hoogenbsp;magts vergelijking onder den vorm
-p A x»—^ -f- B x'‘-—~ -j- C .T»—3 -p enz. -f- P x Qjzez 0 gehragt, en alzoo naar de af dalende magten der onbekendenbsp;geordend hebbe. (Zijnde de coëfficiënten B, C, D, enz.nbsp;P, Q^, bekende, geheele of gebrokene, pofuieve of negatieve, getallen.) * Ilfen noemt den exponent van de hoogflenbsp;magt der otrhekende grootheid den exponent van de magt der
vergelijking.--* Ëene hooge niagts vergelijking optelos-
[en, is voor de onbekende zulk eene waarde te vinden, welke, in plaats van die_ onbekende, ¦ in de gegevene vergelijking,nbsp;gefield zijnde, dezelve, wanneer zij als hoven geordend is, tolnbsp;de vergelijking, o ~ o zal brengen. * Ztilk eene waardenbsp;der onbekende wordt gezegd de vergelijking optelosfen, ennbsp;wordt wortel der vergelijking genoemd. Verge). ^^,pag.6i.
§. 189, Eer wij ter zake gaan, moeten wij doen opmerken: dat, wamieer men door het oplosfen eener hooge msgt-s vergelijking, .v»'-}-ylxquot;—gt; -}-cnz. — o, vevjlaat eene uitdrukking voor de onbekende tenbsp;vinden, welke te kennen geeft, hoe zij van de bekende eoeffeienten A,nbsp;B,C,enz. afhangt, (even zoo als, in -k-ax-fb—o, de onbekende X — — -fl/Q^a-—P) van de bekende getallen a en b afhangt,) men daarin niet verder, dan tot de oplosfing der vierde magtsnbsp;vergelijkingen, gevorderd is. (Zie de LXX, LXXI en LXXIII Les-
¦ fen.
-ocr page 163-131
fcn, pag, 479, cn ven’.') Maar wanneer men aanneemt, dat de coëfficiënten A, B, C, enz, in getallen gegeven zijn, * in 'welk geval, de vergelijking eene getallen vergelijking genoemd wordt; dan kan,nbsp;zoo als wij verder zien zullen, de waarde der onbekende, indien zijnbsp;meetbaar is, door middel der deekrs, en, is zij onmeetbaar, doornbsp;benadering, zoo naauwkeiirig men begeert, gevonden worden, zoodatnbsp;men in dien zin zeggen kan: dat alle hoogere magts vergelijkingen,nbsp;zonder onderfcheid, opgelost kunnen worden, 'Vergelijk §, 870 en 871.nbsp;kier onder.
Verklaring van de voornanmfle Hoofd-eigenfchappen der hooge magts Vergelijkingen,
$. 190. I. Hoofd-eigensciiap. -ft Wanneer men voor de onbekende eener vergelijking.
X nbsp;nbsp;nbsp;AX»—I B x«—z -4- Cx«—3 -4- enz. -f P x o
zulk een waarde a gevonden heeft, welke dezelve oplost, dan zal het voorfle lid der vergelijking, door het vourfie lid dernbsp;vergelijking, x —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deelbaar zijn.
De waarheid dezer Helling is, in §. 154, pag. iio, reeds bewezen.
§. 191. 11. Hoofd-eigenschap. tt Indien het mogelijk is, om het voorfte lid eener gegevene hooge magts vergelijking,nbsp;(geordend, zoo als in §. 188. is voorgefchreven,) in tweenbsp;of meer eerfle magts faSloren te ontleden; dan zal deze vergelijking even zooveel wortels hebben, als 'er eerjle magts faElorennbsp;in haar voorfle lid voorkomen; en de vergelijking zal, in hetnbsp;a gemeen, zooveel wortels kunnen hebben, als door den exponent.nbsp;van derzelver magt wordt uitgedrukt.
Stellen wij, om deze gewigtige waarheid te betoogen, dat het voorfte lid der algeraeene vergelijking
xn Jf- A xo—'s -[- B a -j- C x«—3 -4- enz. P x -}- ff— o de eerfte magts faétoren x — a, x — b, x — c, x — d, enz. hebbe,nbsp;en dat, wanneer hetzelve door het produift dezer fatftoren gedeeldnbsp;wordt, het quotient, dat altijd van den vorm xr a xr-—^ /?xr 2.nbsp;4-yx'-—3 4- enz. zijn zp.1, door P worde uitgedrukt; dan zal de gegevene vergelijking veranderen in de volgende:
(x — a) (.V — b) (x — e) (x — d) enz. X P —o
I 2 nbsp;nbsp;nbsp;Hu
-ocr page 164-13a
Nxi kan een gedurig prnduü niet gelijk nul worden, ten i-ij men één van dcszclfs faéiorcn gelijk mil flclle. Men zal dan aan deze, en dusnbsp;ook aan de gegevene vergelijking, die aan dezelve gelijk is, voldoen,nbsp;wanneer men cene van de volgende onderftellingen aanneemt:
1° X—ö—o; 2'^ X—*quot;05 30 X—cztto', 4® x—J=:o . . . enz, .... en eindelijk . . P — onbsp;in elke van welke, de gegevene vergelijking cjquot; o worden zal.
Deze vergelijkingen geven nu: xquot;a; x~b; xzzzc; x~d; enz. en deze zijn zoo vele onderfclieidene waarden, welke de gego-vene vergelijking oplosfen, en daarom wortels van dezelve genoemdnbsp;worden 5 en daar ’er nu geene reden is, waarom men liever de eennbsp;dan de ander dezer wortels zou doen gelden, komen ze alle gelijkelijk in aanmerking.
Het blijkt hieruit: dat, wanneer ket voorfle lid eener gegevene ve.r-getijking eenen eerfte magtx factor heeft, dezelve^ gelijk nul zal be-hoorei! gefield te worden, om den wortel der vergelijking te verkrijgen; daar zulks nu voor eiken eerde magts faflor geldt, zal de gegevene vergelijking even zoo vele wortels hebben, als ’er eerde magts fadoren in haar voorfle lid bedaan; vermits ’er nu even zoo vele eerdenbsp;inagLs fafloren in eenige vergelijking bedaan kunnen, als ’er dénhederinbsp;in den exponent van derzelver magt zijn, (omdaudigheid, welke vannbsp;de betrelcking der coefliciciiten afhangt,) kan eenige hooge magts vergelijking ook juist even zoo vele wortels hebben.
§. ip2. Jlet onpirdioiddijk verband, hetwelk tusfehen het vinden der delkundige deelers en de oplosöng der hoogere magts vergelijkingen bednat, is, uit dit betoogde, ten volle blijkbaar, en wanneernbsp;de wortels der gegevene vergelijkingen altijd meetbare -grootheden waren,- zouden zij, door het zoeken van de deelers van derzelvcr voordenbsp;leden, kunnen worden opgelost; dan, daar deze ornftandigheid wel hetnbsp;minde plaats heeft, moet men de eigenfdiappen der vergeiijkingen nader opfpeuren, ten einde dezelve, ook wanneer de wortels onmeetbaar zijn, te kunnen oplosfen. latusfehen oefene men zich iu de op-losfing van da Vraagdükken, op .de Tabelle A vóórkomende.
§. 193. Men mag het bewezene in de delling niet omkeeren, en het daar voor houden: dat eene vergelijking fiechts zooveel en geennbsp;meer wortels zou kunnen hebben, als 'er eerfte magts deelers in haarnbsp;voorfle lid voorkomen; want het ongerijmde daarvan zal, uit de proeven , welke de volgende aanmerkingen aan de hand zullen geven,nbsp;oveituigend blijken.
S* 154-
-ocr page 165-Ï33
194. I. Aanmeriung. ff TVanneer het voorfle lid eener vergelijking flechts eensn eerfle magts-deehr heeft, zou mennbsp;daaruit verkeerdelijk befluiten: dat zij niet meer dan éénennbsp;wortel zou hebben.
Die zal blijken, wanneer men kan aantoonen, dat ’er, in dit geval , nog onmeetbare wortels beftaaii kunnen. Laat gegeven zijn:
— 48 X — 56 ~ p
dan zal men, volgens den regel van §. 152, vinden: dat het voorfle hd dezer vergelijking door x — 7 deelbaar is, en dat gevolgelijk x=:7nbsp;een wortel z.-n zijn. Deden wij dan dit voorfle lid door dezen dee-ler; dan zal in?n, voor het quotient, vinden x^ -j- 8 x -j- 8 : en mennbsp;zal gevolgelijk kunnen nellen:
(x- -I- 8 X -}- 8) X (x — 7) =2 o
dat is X — 7~o, en -f-8 x-J-8 ~ o. Offehoon nu het voor-fte lid der laatfte vergelijking geenen eerfte magts dceler meer heeft, zal men dezelve vergelijking nogcans, naar §. 97, kunnen oplosfen,nbsp;en vinden: x quot; — 4 _[_ o en x 122: — 4 — 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 , welke insge
lijks wortels van de gegevene derde magts vergelijking zullen zijn; want, -wanneer men elk dezer waarden van x, in plaats van de onbekende, Heit, zal het voorfle lid der vergelijking, daardoor, in beide gevallen, nul worden. Indedaatl, x~ — 4-{-2-l-J^2 zijnde,nbsp;zal x“ 2m (j— 4 -}- 2 Jx2j) X (— 4 -f- 2 jy2} 2m -f- ió — iönbsp;2 1^2 X 2 ^''2 — -{• 16 — ló 1^2 -f- 8 22: 24 — 16 1/2 zijn; ennbsp;xrgt; 22: (24 — 36 X (— 4 -r 2 p‘'2j 222 — pö -|- 64 J/2 -f-48 p^2 — 32 X 2 22: — 160 -}- 112 p^2; en nu heeft mennbsp;x3 — — 160-|- 112 ^/2 ]
optetellen
X-~-r 24— i6J/'2 ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 48 X 22: -f- 102 — 96 p'2
— 5Ö =— s6
o =: ü
Indien men deze vergelijkingen optelt, w^ordt het voorfle lid der vergelijking, ten bewijze, dat —4-j-2^/2 een wortel is, gelijk nul. Hetzelfde zal ook van den tvortel xzz—4 — 2}/2 blijken (40).
§. 195. Indien gegeven is: x^ — 2 x-f-4 = o, zal men vinden:
X zr;
C40) Wanneer wij, in het vervolg, kortheidshalve, de deden eener 031-losflng niet uitwerken, moet zulks echter door den Lezer, tot wiens oefening wij de uitwerlting van die deeien hebbeu overjrclatcn, gcfchicden.
1 3
-ocr page 168-134
X — — 2, X— I -\-J/—I en *-“1—p''—I. De twee onbe-ftaanbare uitdrukkingen, welke men hier verkrijgt, voldoen aan de vergelijking, waaruit bij de proef blijkt: jf dai eene derde magtsnbsp;vergelijking ééne befiaanbare en twee onbeftaanbare wortels kan hebben,
§. 196. II. Aanmerking, ft mag men, wanneer quot;‘er, in het voorjie lid eener gegevene vergelijking, geen eerfte magtsnbsp;deelers mogten voorkomen, niet hefluiten: dat deze vergelijkingnbsp;daarom geen wortels zou hebben.
Zulks blijkt ten klaarde, wanneer men de vergelijking., x^ — x^ — S x^ 12:1: — 6-=: o,nbsp;welker eerfte lid geene fadloren van den vorm ji,—a heeft, naauw-keurig befchouwt. Want het zal, door den regel van §. 177, ofnbsp;183, blijken: dat de gegevene vergelijking in
2 X — 2) X — 3 X 3) :::::: o verandert. Men zal dus kunnen ftsllen:
2 X — 2,-0, en x^ — 3 X -}- 3 =2: o en men heeft alzoo twee vierkants-vergelijkingen, welke, elk in hetnbsp;bijzonder, opgelost zijnde, geven zullen:
, nbsp;nbsp;nbsp;. i X — I I/3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,7310508 enz.
üe eerfte { nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•
I .r r: — I — J^3 = nbsp;nbsp;nbsp;2,7320508 enz.
de t'sveede J nbsp;nbsp;nbsp;^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbeftaanbare 'wortsU
\x ZZ I'i ^ h y— 3 ƒ /
Men zal zich nu kunnen overtuigen, dat deze vier uitdrukkingen ware wortels, der gegevene vergelijking zijn, wanneer men elk derzelve innbsp;het voorfte lid overbrengt, als wanneer men, zoo als het behoort,nbsp;o ~ o zal vinden.
§. 197. Bij het onderzoek van de volgende vergelijkingen, (welker wortels met behulp der tweede magts-deelers, zie §. 177, kunnennbsp;gevonden worden)
— 2 x3 — 23X®-|-50 —o
waarvan —i y6, —i—J/ó, ,2 1/14 en 2 — de wortels zijn, en van
x'i 7 x.^ 2 X 30 22: o ¦
w'elker wortelen zijn: i y— 55 1 — y— 51 — 1
onbefiaanhare wortels zal kunnen hebben.
zal het blijken: ff dat een vierde magts vergelijking, offchoon zij, in geheele getallen, geen wortels heeft, nogtans vier befiaanbare, ofnbsp;vier
%. 198.
-ocr page 169-135
§. 198. in. Aanmerking. Uit, deze proeven ontdaat dan het vermoeden : ff dat eene hooge magts vergelijking even zoonbsp;vele wortels hebben kan, als ’er éénheden in den exponent vannbsp;de hoogfte magt der onbekende voorkomen-, onder deze wor--fels, zoowel de onbeftaanbare als de befiaanbare begrijpende,nbsp;’Er wordt een, voor het tegenwoordige, te diepzinnig bewijsnbsp;gevorderd, oin, zoo als in het vervolg gefchieden zal, denbsp;wezenlijkheid van dit vermoeden buiten twijfel te dellen.nbsp;Dit vermoeden dan, als eene bewezene waarheid, aannemende, zal het thans belangrijker en van meer gewigt zijn, opzettelijk te betoogen.
lli. HooFD-E;GEi\scrt/i'p. -|-j- Z)at, wanneer ^er, voor eene vergelijking, zoo vele befiaanbare wortels gevonden zijn, alsnbsp;’er éénheden in den exponent van hare magt voorkomen , ’ernbsp;geen meer dan deze wortels befiaan kunnen.
I^aat, ora deze iteiiing, die, op eeue meer algemeeiie wijze, hetzelfde bevat, wat wij in §. 104, pag. 66, van do vierkants-vergelij-king bewezen lubben, buiten twijfel te fielleii
x'^ -{- yi' -T -j- C a; Z) ~ o eene vierde magts-vergelijking zijn. Nemen wij aan: dat men, doornbsp;den regel der eerftc magts-deelers, §. 152, gevonden hebbe; dat a,nbsp;h, c, d de beftaaubare wortels der vergelijking zijn, of liever, datnbsp;dérzelver 'eerfte lid uit het produft der fadloren x—a, x—b, x—c,nbsp;X — d beftaat; dan zal
(x — aj (x — bj (x — cj Qx — dj— O
moeten zijn. Nemen wij nog, duidelijkshalve, dat a de grootfte wortel, en voorts ajgt;b; bjgt;c en r r/ zij: indien ’er dan eenige andere Wortel, behalveb, c en d, beftaat, zal hij, of grooter dan de grootfte wortel a, of 2» tusfclien a en b, of s'* tusfdiennbsp;Z en r, of 40 tusfehen c en d, moeten vallen, of 5^^ eindelijk kleiner dan de kleinfte wortel d moeten zijn. Onderzoeken wij elk éénnbsp;dezer gevallen.
1° Indien een wortel, die wij r zullen noemen, grooter dan a ware, dan zou hij, ora wezenlijk een wortel te kunnen zijn, in het voorftenbsp;lid der vergelijking, in plaats van x, gefteid zijnde, hetzelve gelijk nulnbsp;moeten maken; dan, of men deze waarde in x* /I B x- -j-Cx-f-7) ftelc, dan wel in (x—nj (x—bj (x — cj (x—dj, die,
I 4 nbsp;nbsp;nbsp;vol-
-ocr page 170-136
volgens de onderftelling, aan de ecrfte geli;!c is, zal zulks op hetzelfde moeten uitkomen. Wanneer dan r een wortel ware, zou
(r — lt;*)(?¦ — nbsp;nbsp;nbsp;^ O — d') — o . . . (/if)
moeten zijn. Maar daar, in ons geval, r jgt; is, zou (omdat ^ gt; £• en c'^d is,) r'^b, r'y-c, r'p-d zijn, en het voorftenbsp;lid der laatfte vergelijking zou uit het prodiiét van vier politieve getallen beftaan, en bijgevolg pofuief en niet gelijk nul kunnen zijn, zoonbsp;als, indien r een wortel ware, zou behooren plaats te hebben.
Stellen wij: r lt; ö’ en gt;^, of tiisfclien a en b', dan zal r—a negatief; maar ;• — b, r—c, en r—d zullen pofitief zijn. Het eerftenbsp;lid van de vergelijking (/^j), zal dan, volgens het leerftelfel der teekens,nbsp;negatief en niet gelijk nul zijn, ten bewijze, dat ’er geen wortel tus-fchen a en b befiaan kan.
3quot; Neemt men r lt;^b en r'^c; dan zullen r — a en r — b negatief zijn; r — c en r — d daarentegen pofitief: en het voorfte lid van de vergeUiking (H) zal pofitief en niet gelijk nul zijn. Wijnbsp;belluiten hieruit: dat ’er ook geen wortel tusfehen b en c bellaat.
4® Maar ’er zul ook geen wortel tusfehen c en d beftaan; omdat r — a, r—Z-, r—e, in dit geval, negatief, en r—d pofitief zijnde,nbsp;het eerfte lid van dc vergelijking (/Z) negatief en niet nul wordt.
5quot; Nu zou ’er iiog een wortel beftaan kunnen, die kleiner is dsn alle de gevondene wortels der vergelijking: maar, deze ondeiftellingnbsp;r.annemende, worden de factoren r — a, r — /gt;, r — c, r — d, allenbsp;negatief, cn derzelver produft pofitief wordt en niet gelijk nul.
S» 199. Uit het beloop van dit betoog ziet men:
IV. liooFU-EiGENSCHAP. I® ft Drr/, Wanneer men, in plaats van de onbekende ., eene groottteid fielt, groeier dan denbsp;grootfte wortel, cn eene andere grootheid, kleiner dan de groot-fie en grooter dan de tweede wortel zijnde, de waarde van hetnbsp;voorfie lid der vergelijking, in het eerfte geval, pofitief, en innbsp;het tweede negatief zal moeten zijn.
a” ff Dat, in het algemeen, wanneer p, q en r drie op elkander volgende wortels zijn, en men , voor de onbekende, tweenbsp;getallen m en n in plaats fielt, waarvan het eerfte tusfehen pnbsp;en q, en het tweede tusfehen q en r valt, de waarde van hetnbsp;eerfte lid in een dezer gevallen, pofitief, en, in het andere geval, negatief zal zijn.
Men wordt hierdoor op de gedachte gebragt, of niet, tvanneer’er,
voor
-ocr page 171-137
voor de onbekende grootheid, twee getallen a en b, in liet voorde lid der vergelijking, gefield worden, en de waarden, welke hetzelvenbsp;daardoor verkrijgt, de ééne pofitief en de andere negatief is, de ver-/ gelijking eenen wortel hebben zal, welke tusfehen die twee waardennbsp;valt? dan, daar men tot het omgekeerde eener ftelling, niet, zondernbsp;/ een wettig betoog van deszelfs waarheid, bef uiten mag, zullen wijnbsp;hetzelve, als zeer gewigtig en belangrijk zijnde, op eene van -hetnbsp;voorgaande betoog onafhankelijk zijnde wijze. Haven.
§. aoo. V. Hoofd-eigensciiai’* tt Wanneer in eene vergelijking
X ’- ^x«—I B = enz. P x O = o twee nrfchilknde waarden, die men aan de onbekende x geeft,nbsp;ah x—a en x=zb, de eerjïe waarde, xz=.a, de fom dernbsp;termen van het voorfle ltd pojïtief, en de andere waarde,nbsp;X ¦=. b, de fom dezer termen negatief maakt 5 dan zal 'er,nbsp;tusfehen deze waarden a en b, ten minfte ééne waarde moetennbsp;heftaan, welke de fom van dei termen dezer vergelijking niiinbsp;maakt, en bijgevolg een wortel,van dezelve zal zijn.
Om deze gev/igtige waarheid buiten allen twijfel te Mien, zuilen wij, duideiijkshalve, eene vergelijking van eene bepaalde raagt, alsnbsp;x^ — A — B C x^ — T) X A[- E~onbsp;aannemeii, in welke de coëfficiënten A, B, C, D en E, als wezenlijke en bellnnnbare grootheden, die eene bepaalde waarde hebben,nbsp;voorkomen; zijnde , Cen E termen ^ die altijd pofitief blijven,nbsp;zoo lang X pofitief blijft; terwijl —A, —B en —D x altijd,nbsp;in dezelfde onderftelling, negatief zijn: men zal dan, in de onderftel-liiig, dat de waarden a en b, welke men voor den wortel neemt,nbsp;pofitief zijn. Hellen kunnen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
(x5 C -{¦ E') ~ (^A -f D X- f- D xj = o cf, x5 -[- Cx^ -f E~P; en Ax^-f-Bx'^ -f-Px — .Q, makende,nbsp;p-a.=o.
Wanneer nu de onderfleliing van x —z? de fom van alle de termen van het voorfte lid pofitief, en die vr.n x ~ b deze fora negatiefnbsp;maakt, zal zulks om geene andere reden kunnen plaats hebben, dan,nbsp;omdat de eerHe onderftelling /* grooter dan 0_, en de tweede, in tegendeel, P kleiner dan zal maken. Stellen wij: dat a grooter dannbsp;b zij; (want zulks is hetzelfde,) dan is het klaar, dat, wanneer mennbsp;voor X. trapswijze alle waarden, fielt, die tusfehen a en b invallen,
WISKUNDIGE LESSEN.
P en O, trspswijze kleiner zullen worden: cn daar men eindelijk, door n trapswijze kleiner te nemen, tot b zal komen, in welk gevalnbsp;p kleiner dan O, is, zal natuurlijk, voor de volgende kleinere waarden van X, de term minder moeten afnemen dan P, en het ver-fchil tusfchen P en zal, hoezeer politief blijvende, fteeds kleinernbsp;worden, naar mate x kleiner genomen wordt: men zal gevolgclijk, tusfchen a en b, zulk cene waarde van x moeten vinden, welkenbsp;maakt, en gevolgelijk een wortel van de gegevene vergelijking zalnbsp;zijn. Het is nu met die afnemende waarden van x even eens gelegennbsp;als met twee ligchainen P en j9, (om zich van de opheldering vannbsp;Lagra.\ge, van wien dit bewijs is, zxq Ecole Normale, Vol. l\\. pag.nbsp;465, te bedienen,) welke in dezelfde rigting bewogen worden; want,nbsp;wanneer het ligchaain ^vooruit is, en P fneller dan Onbewogen wordt,nbsp;dan zal de afftand dezer ligchamen fleeds kleiner worden; het ligchaamnbsp;P zal het ligchaam 0_‘dralen, en op dit oogenblik zal de afftand nulnbsp;zijn, en omniddelijk daarna zal P vooruit gekomen en de afftand dernbsp;ligchamen negatief geworden zijn.
Wanneer de onderftelling van x — a het gerfte lid der vergelijking negatief, cn die van x~b het tweede lid pofuief maakte, zou hetnbsp;bewijs op dezelfde wijze afloopen.
Op gelijke wijze zal men, indien x — —n en x — — b het voor-fle lid der vergelijking jsofitief en negatief maken, bewijzen: dat ’er, tusfchen deze waarden, ééue beftaan zal, welke een wortel der vergelijking is.
Deze grond-
'ivaarden overeénk, van .V '^waardennbsp;\van hetnbsp;^¦eerfie lid
I
4- 8 I -f 1988
|
5 |
— |
|
-I- 4 |
— |
|
^ a |
d- |
|
I |
|
|
0 |
|
|
- I |
-L |
|
— 2 |
|
|
3 — 4 |
— |
|
— 6 — 7 |
— |
|
— 8 |
|
§. Qoi. I. Aanmerkikg. eigenfehap der vergelijkingen kan nu ftrek-ken, om aantetoonen: ff dat ‘‘er vergelijkingen bejlaan kunnen, yvelke,' hoezeer der-zelver eerfle lid geenen eerfle noch tweedenbsp;magis-deeler heeft, niet te min even zoo velenbsp;wezenlijke en beftaanbare wortels hebben kunnen , als 'er éénheden in den exponent van denbsp;magt dezer vergelijking voorkomen.
Nemen wij, bij voorbeeld, de vergelijking:
X* -\- 3 A'S -47 X^ -^ _j_ 2J2 — o
welke geen cerfte noch tweede magts-fafloren heeft, en gevolgelijk, door derzelver hulp, niet kannbsp;worden opgelost. Wanneer men mogtans de oiibe-ken-
-ocr page 173-139
kende x achtervoigens aan 8, 7, enz, tot — 8, ingefloten, gelijk ftelt; dan zal het voorfte lid de waarden verkrijgen, welke, innbsp;het nevenftaande tafeltje, nevens de waarden van x, ftaan aangeteekend ;nbsp;uit hetwelk blijken zal: dat ’er, volgens het bewezene in §. 200,nbsp;een wortel tusfehen 5 en 6; een tweede, tnsfehen 3 en 2; een derde, tusfehen —2 en —3; en een vierde, tusfehen —7 en —8, be-ftaan zal,
§. 202. II, Aanmerking. Wanneer ’’er in het voorfte lid eener hooge magts vergelijking geen eerfte magts deelers he-ftaan; dan zal zij ook geene meetbare wortels kunnen hebben.
Want wij hebben, §. 166, bewezen: dat, wanneer ’er in de uit-drukldng ac» nbsp;nbsp;nbsp;i -f- e»s.,. in welke alle de coëfficiënten ge-
heele getallen zijn, geen decler van den vorm x-\-p (^p een geheel getal zijnde,) beftaat, ’er ook geen dealer van den vorm x pi qnbsp;beflaan zal. Waaruit blijkt: ff dat, vanneer de wortel eener vergelijking geen geheel getal is, hij ook (wel verftaande als de coëfficiënten geheele getallen zijn,) geen gebroken zijn kan. Hij moet gevolgelijk in dit geval onmeetbaar zijn. En dit flrookt bijzonder welnbsp;met hetgeen de tweede magts-faaoren van het voorfte lid der vergelijkingen, van §. ip4—§. IP7- ons geleerd hebben, welke fadorennbsp;onmeetbare wortels hebben opgeleverd.
§. 203. Maar indien nu, gelijk in het bijgebragte voorbeeld van
201, de wortels onmeetbaar zijn, hoe moet men het dan v erft a an, wanneer men nogtans zegt: dat het voorfte lid der vergelijking doornbsp;de onbekende x min den wortel deelbaar is ? Hierop antwoorden wij:nbsp;op dezelfde wijze, als men het verftaan moet, dat 2 door I/2 deelbaar is-, dat wil zeggen: dat, hoe nader de waarde van den wortelnbsp;bekend wordt, x min dien wortel zooveel te naauwkeurlger een dee-ler zal worden, [dat wil zeggen, dat het overfchot der deeling vannbsp;X* -f- 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 47nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 47 a: -t- 252 door x~a, (a de wortel zijn
de,) zooveel te nader aan niets zal komen,] zonder dat zij immer een naauwkeurige deeler zal kunnen worden, die, als een bepaald-ennbsp;meetbaar getal, met het quotient vermenigvuldigd zijnde, het voorftenbsp;lid der vergelijking naauwkeurig zal te voorfchijii brengen.
§. 204. op dezelfde wijze moet de zaak van de tweeledige deelers verftaan worden; want hoezeer
-}- 2 .t3 — 47 ac- — 47 a: 252 r: o noodzakelijk zal moeten aangemerkt worden, als uk de ftfloreii x- -fnbsp;ux-k-b en -{-rdX-{¦ H beftaande, welke opgelost zijnde, de
-ocr page 174-140
vier wortels zullen doen bekend worden, zoo is het toch duidelijk: dnc de coëfficiënten a, b, a' z\\ b', met betrekking tot de éénheid,nbsp;onmeetbaar zullen moeten zijn. .
§. 205. El. Aanwerkikg. ff Men kan zich sen onnoemlijk aantal flelkundige vergelijkingen voorflellen, (als, bij voorbeeld,)
a X bj- ip X -]r qj'^ — o welke, ontwikkeld zijnde, eene vergelijking van den vorm
geven zal, waarvan het eerfte lid, voor alle pofitieve en negatieve waarden van x, altijd pofitief zal zijn (41), en welke gevolgelijk geenen bejiaanbaren wortel kan hebben (42). Indien men nu nogtans bewijzen kan: dat ’’er, in zulk eene vergelijking , faamp;ören van den vorm x- -j- «tvquot; ^ heft aan, zelfsnbsp;ook zoodanige, waarin a. en S onmeetbaar zijn, zal men ook bewijzen kunnen, dat ’er, in dit geval, even zoo vele onbeflaanbarenbsp;uitdrukkingen voor den wortel heft aan zullen, ah 'er éénhedennbsp;in den exponent van den hoogften term voorkomen. Zulks zalnbsp;mi in het vervolg bewezen en buiten twijfel gefield worden.
§. 206. IV. AANMEltKiNG. ff De wortels van alle vergelijkingen van dezelfde magt, worden, door de bijzondere betrekking van derzelver coëfficiënten, van meetbaar onmeetbaar, of van heftaanbaar onbeftaanbaar.
Zoo worden deze wortels in dc vergelijking, x‘^-[-2x^—47 — 47x 252~o meetbaar, wanneer de coefficient van —47-v,nbsp;van —47 in —48, verandert, terwijl alle de, wortels onbeftaanbaarnbsp;zullen worden, wanneer de term —47 in —53 verandert: denbsp;aigemeene oplosfing der vergelijkingen zal ons leeren: hoe alle deze
om-
C4O Dat is immers klaar. Want laten de waarden van xz-j-a.v-{-i cn p-v-jr‘0 pofitief of negatief zijn, zoo zijn toch derzelver tweede niag-ten pofitief en het voorfle lid der vergelijking blijft gevolgelijk, voornbsp;aüe waarden, die men aan' x geven kan, pofitief, zonder immer gelijknbsp;nul te kunnen worden.
(42) Eene vergelijking heeft nu gcene beftaanbare wortels, wanneer elke waarde, die men aan de onbekend? geeft, zoowel, pofitieve als negatieve , het voorfte lid der vergelijking altijd pofitief, en hetzelve nooitnbsp;negatief kan maken. Wij zullen op eene andere plaats zien, dat het aantal der oilbeftaanbar? wortels altijd even moet zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
-ocr page 175-i4t
oniftandiglieden van de bijzondere betrekking der coefEcienten af-iiangen. Zie §. 091 en §. 922.
§. 207. V. AANMERKl^(ï. ft fVanneer 'er onbeflaanhare wortels in eene vergelijking voorkomen, zal men, eenen diernbsp;onbeflaatibare wortels a noemende , wel niet, in den zin^nbsp;waarin een flelkundige deeler genomen wordt, maar in dennbsp;zin van het verklaarde in §. ^03, het voorfie lid dezer verge-lij King, door x—a kunnen deelen.
§. 20S. VI. AA^iMEUKI^'G. It De wortels eener vergelijking mogen dan meetbaar of onmeetbaar, beft aanbaar of on-beflaanbaar zijn, men zal derzelver voorfte lid altijd kunnen aanmerken, , ah ontflaan te zijn, uit het produSi van even zoonbsp;vele eerfte raagts vergelijkingen, x —-a — o, x —¦ b — o,
X — c — o, X — d — o, enz., ah 'er éénheden in den exponent van de hoogfte tnagt der onbekende grootheid voorkomen, (jzijiide a, h, c, d, enz. de wortels der vergelijking.) Hieru't blokt ten kiaarfte, op welk eene wijze, de hoogenbsp;nagts vergelijkingen kunnen begrepen worden, uit het pro-ducl; van een Zvkcr armtal eerlte magts vergelijkingen , za-nicngefleld te zijn.'
§. 209. VI. riooFD-liiGENSCHAP. |f Ifidien dan eenige hooge magts vergelijking
- x» -k- A1 -f ^ nbsp;nbsp;nbsp;2 -j- Cx'quot;-3 enz. N— o
kan gehouden worden , uit het gedurig produél der eerfte magts vergelijningen, x — öirro, x — bxxzo, x — ctxzo, . . .
^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;° ^ e == o, enz. 07rtflaan te zijn; dan zullen
de coeficieaten A, B, C, D, enz. de merkwaardige eigen-fchap hebbent dat de coejficient A van den tweedejt term der vergelijking, negatief genomen, gelijk zal zijn aan de fomnbsp;van derzelver'wortels. 2° Dat de coefficient B van den derden term, poftftef genomen, gelijk zal zijn aan de fom van denbsp;pro duel en der wortels, op alle mogelijke tv ij zen, twee aan twee,nbsp;zamengevoegd,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f Dat de coëfficiënt C van den vierden
term, negatief genomen, gelijk zal zijn aan de fom'van de produBcn der ¦ wortelen, op alle mogelijke wijzen , drie aannbsp;drie, zamengevoegd. 4° Dat de coefficient D van den vijfden term, pofttief genomen, gelijk zal zijn aan de fom van
de
-ocr page 176-t.\2
WISKUNDIGE LESSEN.
de producten der wortels^ op alle mogelijke wijzen, vier aan vier, met elkander verëénigd, enz. -— Ën dat, in het algemeen de coëfficiënten van de zesde, zevende, achtffe, enz,nbsp;termen beurtelings negatief, pofuief, negatief, enz, genomen,nbsp;aan dë fommen van de produEten der wortelen, vijf aan vijf,nbsp;zes aan zes, zeven aan zeven, enz. op alle mogelijke wijzen
zamengevoegd, zullen gelijk zijn.--Wel verflaande, dat
de coëfficiënten der termen, pofitief of negatief te nemen, hetzelfde beteekent, als die coëfficiënten te nemen, met denbsp;teekens, waarmede zij, in de gegevcne vergelijking, zijnnbsp;aangedaan.
A...B
X — a — o (i) X — b~Q (p.)nbsp;X — c ~ o (3)
V — d — o (4) X — e — o C?)
enz. tot n vergelijkingen.
Deze hoofd - eigenfchnp der hoogere niagts vergelijkingen is eene der gewigtigllen. Zij leert ons, op welk eene wijze, en, volgens welknbsp;eene wet, de coëfficiënten van de termen van zulk eene vergelijkingnbsp;van hare wortels afhangen, en, wanneer tnen in (laat was, om, uitnbsp;de vergelijkingen, welke deze afhankelijkheid bepalen, omgekeerd af-teleiden: hoedanig de wortels dezer vergelijkingen van de coëfficiënten van hare termen afhangen, dan zou het gewigtig vraaglluk vannbsp;de oplosfing der hoogere niagts vergelijkingen zijn opgelost. Om nunbsp;den zin van het geftelde wel te verdaan, moet men, min of meer, eennbsp;klaar begrip hebben van hetgeen men door de combinatiën van eenigenbsp;gegevene dingen, twee ann twee, drie aan drie, enz, genomen, ver-flnat, en hetgeen dien aangaande, in de oplosfing van het ófi Vraag-flik, pag, 349, I. C. verklaard is, zal tot dar einde genoegzaam voldoen kunnen. Het zal bovendien nuttig zijn, en zeer veel tot hetnbsp;Wel verdaan der Helling toebrengen, wanneer men twee, drie, vier,nbsp;of meer eerde magts vergelijkingen van den vorm x — a — o, . . .nbsp;X — b—o, X — czz:o, enz, met elkander vermenigvuldige, en denbsp;produften met de uitkomden der combinatiën , zoodanig als deze,nbsp;naar het voorfchrift van het meergemelde vraag'duk, gevormd worden, naauwkeurig vergelijke. Dit alles zal eennbsp;duidelijk denkbeeld van den zin der Helling geven,nbsp;en de waarheid van het gedelde, welke, door hetnbsp;volgend betoog, algemeen bewezen zal worden, zalnbsp;alzoo, langs deu weg van induftie, reeds eenenaan-merkelijlcen grond van zekerheid verkrijgen. ,
§• 210. Men Helle, om zulks te bewijzen, gelijk in het nevendaande tafeltje, de eerde magts-fac-
-ocr page 177-TWEEDE CURS ü S. nbsp;nbsp;nbsp;T43
fadoren onder elkander, en men neme derzelver aantal gelijk «. Wanneer men nu de verinenigviildiging wel verllaat; dan is het 200 klaar als de dag: tt het gedurig product dezer faBoren beft aan zalnbsp;tiit de fom van de bijzondere produBen, die men verkrijgt, wanneernbsp;'nen, uit het voorfte lid van elke vergelijking, éénen term als faBornbsp;Van dit bijzonder produB, meiuf, (bij voorbeeld: uit de (i) en (2)nbsp;vergelijking x en x-, en, uit de (3), (4) en (5), de termen —c,nbsp;— d, —e, enz. en, wanneer men voorts alle de prodtiBen, welke,nbsp;op deze wijze, kunnen gemaakt worden, in ééue fom ver'êénigt. Tetlnbsp;einde nu alle deze mogelijke produdten, zonder ’er dén over hetnbsp;hoofd te zien, te verkrijgen, zal men;
i^’ Het p;odu(5l van alle de termen .v, uit de eerde kolom A, nemen: dit product zal, daar ’er n vergelijkingen zijn, geven x».
2° Op zoo vele verfchillende wijzen, als mogelijk is, zal men «—r termen, uit de cerfte kolom J, met éénen term uit de tweede B vermenigvuldigen. Het is klaarblijkelijk: dat men op deze wijze zoo velenbsp;produdlen verkrijgen zal, als ’er vergelijkingen gegeven zijn, en dat denbsp;Ibm dezer produften gelijk zal zijn aan
— (jt b c d e f -f- cnz.'j xquot;—i daar nu deze fora kkarblijiéeiijk aan /] xlt;‘—s moet gelijk zijn, volgtnbsp;hieruit: dat
ah c cl-\r e f enz. ~ — A zijn: dat is: 11 de coejficient van den tweeden term der vergelijking , negatief gcHomen, zal gelijk zijn aan de fom van derzelvernbsp;Vortek.
B xn—2 ; ten
r*lle tnogelijke wijzi
3'' Men zal voorts aile de termen, uit de eerde kolom A, met uitzondering van twee van dezelve, (bij voorbeeld, van de twee eerde,) met elkander vermenigvuldigen, en dit produid met de twee termennbsp;uit de kolom B, weike niet behooren tot dc vergelijkingen, waaruit denbsp;x,x,x, enz. genomen zijn: men zal daardoor de produden abx»—quot;-,nbsp;(icx’‘—2, enz. verkrijgen; maar, daar nu deze foort van produélen.nbsp;Op zoo vele verfchillende wijzen kunnen gevormd worden, als mennbsp;de n gegevene vergelijkingen, op alle raogelijke wijzen, twee aannbsp;twee, kan'zamenvoegen, zal derzelver fom gelijk zijn aan de fom vannbsp;de produften der wortelen, op alle wogelijke wijzen, twee aan twee,nbsp;genomen, vermenigvuldigd met x”—-: maar nu is deze fom gelijk aannbsp;hieruit volgt dan: ft tfe coefficient van den dm-dennbsp;m gelijk zal zijn aan de fuiii van de produBen der wortelen, opnbsp;v.jzen, twee aan twee, genomen.
4® Men
-ocr page 178-144 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
4» Men zal al verder de termen, uit de eerfte kolom, met uitzondering van drie van dezelve, vermenigvuldigen, en het produft nogmaals met drie termen uit de tweede kolom: (altijd, zoo.als gezegd is, onder het oog houdende, dat men uit dezelfde vergelijking geene tvrcenbsp;termen neemt,) men zal alsdan de produflen: —abcx’’-—oy ....nbsp;— acdxi'—o, —adex»—'i, —enz., verkrijgen, welker fom geVol-gelijk aan Cx«—3 gelijk zal zijn; daar nu deze produften, op zoo velenbsp;wijden gemaakt kunnen worden, als men de n gegeveue vergelijkingen, drie aaij_drie, zal kunnen zaraeovoegeii, biijkt hieruit: ff datnbsp;de coefficient van den vierden term eener vergelijking, negatief genomen , gelijk zal zijn aan de fom van de prodiiücn der wortels, op alknbsp;mogelijke wijzen, drie aan drie, zaïnengevoegd.
5® Op dezelfde wijze voort redenerende, zal het blijken: jf dat de coefficient van den vijfden term gelijk zal zijn aan de fom van denbsp;producten der wortels, op alle mogelijke wijzen, vier aan vier, genomen. - Dat de coefficient van den zesden term, negatief geno
men, gelijk zal zijn aan de fom van de produdten der wortels, vijf aan
vijf, enz. - en dat de laatjle term gelijk zal zijn aan het produSt
van alle de wortels. nbsp;nbsp;nbsp;,
§. 211. Wat EU cle wijze, waarop, de teekens van de coëfficiënten der termen beurtelings negatief en pofitief moeten genomen worden, aangaat, zal de volgende opheldering allennbsp;twijfel, welke dien aangaande mogt overgebleven zijn, geheel wegnemen. In de meer aangehaalde vergelijking, -f-2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 42nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 47 X -f- 252 =2: o, is de fom ¦ der wortels ge
lijk — 2; want de coefficient van den tweeden term is-f, en moet dus, daar die coefficient negatief genomen moetnbsp;worden , van -f ia — veranderen. De fom van de producten der wortels, twee aan twee, genomen, zal — 47 zijn;nbsp;omdat de fom van die produften gelijk is aan den coefficientnbsp;des tweeden terms, pofitief genomen; dat is, genomen metnbsp;het teekeii, waarmede die coefficient is aangedaan: de fofflnbsp;van de produften der wortels, drie aan drie, genomen, zalnbsp;gelijk -j-475 cn het produft der wortels gelijk -j- 252 zij'’-Men raerke, ten aanzien van dit Leerfiuk, op: dat hetnbsp;woord fora in eene algemeene Helkundige beteekenis genomen wordt, en dat gcvolgelijk , wanneer - eenige der wortelen a, h, c, d, enz. anders, dan in de redenering aange-
110-
-ocr page 179-145
Benadering van de worteh der Vergelijkingen, volgens Newton, DE CoURTRlVON en SiMESON.
§. i2i2. Wanneer dan het voorde lid eeuer vergelijking eerde of tweede magts-deelers lieefc, zullen, of alle hare wortelen, of fommigenbsp;van dezelve, het zij door de oplosfing eener eerde, het zij door dienbsp;eener tweede magts vergelijking, bekend worden. Wanneer men nu,nbsp;na alle de eerde en tweede magts-deelers gevonden te hebben, hetnbsp;voorde lid der vergelijking door derzelver produift deelt, zal het quotient eene vergelijking van den vorm (44)
Bx C=:o
-f Bx^ Cx D=:o, enz. geven: waarin geene eerde of tweede magts-deelers meer zullen voorkomen , en welker onmeetbare wortels niet meer, op de voorfchre-vene wijze, zullen kunnen gevonden worden. Het is billijk, dat wijnbsp;thans overgaan, om aan des Lezers nieuwsgierigheid te voldoen, ennbsp;aantoonen: hoe de wortels van zulke vergelijkingen, wanneer Zij reedsnbsp;ten naaste bij bekend zijn, verder benaderd kunnen worden. Nemennbsp;wij tot dat einde de vergelijking:
-h 2 nbsp;nbsp;nbsp;— 47nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 47 a: -}- 252 ~ o
welke blijkens §. 201, éénen wortel tusfchcn 5 en 6; ééiien anderen lusfchen 2 en 3; éénen derden tusfcheu — 2 en — 3, en nog éénennbsp;tusfchen — 7 en — 8 heeft. In de volgende Les zullen w’ij verklaren;nbsp;hoe de wortels, tot op ééne éénheid na, kunnen gevonden worden.
§. 213- Stellen wij, om een denkbeeld van de wijze, waarop men de wortelen benaderen kan, te geven, in. het algemeen, de vergelijkingnbsp;X» nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xgt;‘—t =4- B X”—- C xgt;‘—3 -|- enz. — o
cn nemen wij, dat één der wortelen tusfchen ptnp i valle, (/. een
ge-
(43) nbsp;nbsp;nbsp;Daar dit verklaarde leerftuk, in de leer der vergelijkingen, van hetnbsp;hoogfte belang is, zal het nuttig zijn, dat de Lezer cleszelfs waarheid nader op de proef Helle. Hij zal, tot dat einde, de wortels van de vergelijkingen, die in §. 194. jjj. §, 19Ó. opgelost zijn, kunnen gebruiken.
(44) nbsp;nbsp;nbsp;Want, vergelijkingen van den tweeden graad komen hier niet innbsp;aanmerking, omdat hare oplosfing als bekend onderfteld wordt.
n. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;K
-ocr page 180-146
geheel getal zijnde,) of dat xp ai lt;[/gt; i ^ij; wanneer men dan ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2 ftek; dan zal 2 een gebroken getal zijn. Nu worden
de tweede, derde en hoogere magten van een gebroken zooveel te kleiner, naar mate dit gebroken zelve kleiner is, en men kan, zich metnbsp;eene geringe benadering vergenoegende, deze hoogere magten van znbsp;voor een oogenblik verwaarloozen, en zich alleenlijk bij de eerftenbsp;magt van z bepalen, en dan zal, volgens het theorema van de magten eener tweeledige grootheid, zie §. 741, I. C-, en 49^*nbsp;xn —p’~~\-n p«—1 z enz,
A xn—ï — Apn—l J-A(}l—l')pn—1 . -f enz.
B xn—quot;- — Bpn—% -{¦ B (ji — 2)pn—Z , s -}- enz. enz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz'.
zijn: wanneer men dan deze vergelijkingen optelt, en voorts.de komende vergelijking, met betrekking tot z, oplost, zal men voor eene benaderde waarde van 2 vinden:
_ nbsp;nbsp;nbsp;ƒgt;” Apquot;—'^ -j- B pn—'x Cpn—o -f D /gt;»—4 -}- enz.
n .pn—i--\- A~{n—l)pn—x-\-B (« —S-j- C(??—4-l-f«3. ft Deze vaarde van z kan, zonder al dien omfiag, uit de gegevctlenbsp;vergelijking gemakkelijk opgemaakt worden -, want de telltr van denbsp;waarde van z volgt uit bet voorfte lid der vergelijking, wanneer mennbsp;X met p verwisfeit: de termen van den noemer worden uit die vannbsp;den teiler afgeleid: „ door eiken term van den teller met den expo-„ nent van de magt van p te vermenigvuldigen en het product doornbsp;„ p te deelenB Alzoo wordt uit/'» afgeleid npn—i, en vat Ap’‘~inbsp;de uitdrukking («—i) Apo—x, enz, (45}.
Voor ons bijzonder geval, zal dan
— _ /gt;^ 2 nbsp;nbsp;nbsp;— 47 ^ — 47 /J n5-
-1-— 94/1 —47
zijn. Uit het tafeltje van §. 201. blijkt, dat de eerfte wortel, tusfehen 5 en 6, nader bij .6 dan bij 5 komt: nemen wij dan p = 6-, dan is
:--er-,— — o, 0128
469’
_ nbsp;nbsp;nbsp;1296-1-2.216 —47.35—47.64-252 _nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6
4.216 6.36 — 94.6 — 47 nbsp;nbsp;nbsp;¦
bijgevolg, x=zp Jr z~6 — o, 0128 =2: 5, 9872 nabij (46).
Wan-
(45) nbsp;nbsp;nbsp;Deze bewerking is niets anders dan hetgeen men, in de Differen-tiaal-Rekening, differentiëren noemt. Zij volgt uit de wettige fnblthw.ienbsp;«n het bewezene in §. 742) I- C. Zie vertier hier onder §, eiS-
(46) nbsp;nbsp;nbsp;Deze gchcele kunstbewerking is dus eene benadering, hoedanige denbsp;gewone decling in getallai en de worteltrekkiiigen zijn; eene benadering,
wel-
-ocr page 181-1/(7
Wanneer men nii de waarde des eerden wortels naaiiwkeuriger begeert te kennen, zal men /gt;=:5,9872 en a-rr/i-l-z ftellen, en op nieuw de waarde van z berekenen; deze zal geven:
2 _ _ C5i9°72)4-]-2 (5,9872)5-47 (5,9872)°— 47
. , nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— — o, 00006496, derhalve
-4- — nbsp;nbsp;nbsp;-f463,7047711nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
— 5,9873 — o, 00006496 = 5, 98713504
en men vindt: 2 —
4 • (5^9873)3 6 (5,9872)“ — 94 (5,9872) — 47 o, 0301183
__^ nbsp;nbsp;nbsp;.. welke tot het
zesde cijfer naauwkeurig is.
Om de andere wortels dezer vergelijking te berekenen, zal men gebruik moeten maken, van hetgeen hier onder in §. 330, pag. 388,nbsp;zal aangewezen worden: de wortels zijn.-
xzr-f nbsp;nbsp;nbsp;5,98713 459nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j x = —3,98340nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;843
,vr=-f nbsp;nbsp;nbsp;2,01116 560nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I x~ — 7,01489nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;175
Ten blijke, dat deze wortels, tot in het laatfte cijler, naauwkeurig zijn, zal derzelver fora (— 2) gelijk zijn aan den coefficient van dennbsp;tweeden term der vergelijking, negatief genomen; ook zal men doornbsp;middel der Logarithmen vinden, dat derzelver produél nagenoeg 252nbsp;is:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wanneer mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eindelijk elke’ wortel, in plaats vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x ftelt, zal bet
voorlle nbsp;nbsp;nbsp;lid, op eene zeer kleinenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;breuk ua, gelijk nulnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;worden.
§. 214. Dit is de .geest der leerwijze, welke Newton; in zijne Opuscula, Tom. I, pag. 10, heeft .voorgedragen. Zij heeft het nadeel, dat men, bij elke volgende benadering, in grooter getallen ver-vqjr, De Marquis de Courtrivon, heeft daarom, in de Mémoires denbsp;rAcadémie Royale des Sciences de Paris 1744. getracht deze leerwijze te verbeteren, en is tot eene uitkomst gekomen, welke met dienbsp;van den grooten Eutwu, in dit zelfde jaar aan dezelfde Academie,nbsp;doch zonder bewijs, ingebonden, pverëénkomt (47).
§. 2i5- Tot de handelwijze vaii de Courtrivon, even als'tot vele anderen (ook daar onder die van H.alley begrepen) wordt’ verèischt,nbsp;(lat men, op eene gemakkelijke wijze, eene vergelijking in x in eenenbsp;andere (in y-f/*, bij voorbeeld,) herleiden kunne, onder voorwaarden , dat alle de termen, i’iaar de magten van y of van p geordendnbsp;zijn: offchoon nu dit werk, door eene eenvoudige vermenigvuldiging,
of,
welke op den aard der zake gegrond is, en geheel daar op neder komt, dat men .uit eene gegevenc vergelijking eene andere adelde, welker wor-Ael minder dan één is.
(47) ’Er beftaat ook nog eene handelwijze van Halley, waar over wij in het vervolg gelegenheid vinden zullen iets te zeggen.
K 2
-ocr page 182-148
of, ZOO men wil, door magts-verheffingen kan volbragt worden, zoo zullen wij, daar deze foort van herleidingen in het vervolg onophou.nbsp;delijk voorkomen, aantoonen: hoe men, zonder deze lastige vermenigvuldigingen, de herleide vergelijking verkrijgen kan. Uit de behandeling van één bijzonder geval, zal het van zelfs in het oog loopen,nbsp;dat andere gevallen, op dezelfde wijze, moeten behandeld worden.
§. 216. Zij x^ Ax^ B -4- Cx 0=0 eene vergelijking, zij x=p ^i en laat gevraagd worden, deze vergelijking naar denbsp;opklimmeiïde magten van 2 te ordenen? Het is klaar; dat men volgens §. 740,, I. C,, of door eenvoudige vermenigvuldiging verkrijgen zal
x^,= p'*' -f- nbsp;nbsp;nbsp;4/gt;5 . 2 -{- 6
Ax^ = A I Ap^ .z Ap B = Bp'^ 2 Bp . z B ,z^
Cx =Cp nbsp;nbsp;nbsp;C.z
D =D
Wanneer men nu deze vergelijkingen optelt, zal men, (zie gegevene vergelijking,} tot de vergelijking
o=[_p'^ Ap^ Bp^ nbsp;nbsp;nbsp;[4p3 'iAp^ o.Bp C~\.z
eii welke.
-f 2rAp B'] ,z^ \jfp A'] .zquot;^ z^ komen, welke naar de afdalende magten van 2 geordend is,nbsp;wanneer men
-f Bp'^ Cp D=P T, Ap^ o. Bp Cnbsp; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; jSnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=R
4 p quot;1“ ^ nbsp;nbsp;nbsp;^
ftelt, in de volgende zal veranderen.
o ~ P -j- nbsp;nbsp;nbsp;2 -j- di 22 ¦? 23 2''-
ft De grootheden P, .0, R, S, welke als coëfficiënten van de vergelijking in 2 voorkomen, hangen alle, zonder uitzondering, van de grootheid p, en van de coëfficiënten A, B, C, O, enz. der gegevene vergelijking af; maar het is bijzonder opmerkelijk, dat
De 'grootheid P gelijk is aan het voorfte lid der gegevene vergelijking in X, wanneer men namelijk x in p verandert.
2° Dat de uitdrukking uit P wordt afgeleid, door eiken term van p met den exponent van p te vermenigvuldigen, cn het produêi
:4P3,-
door p te dcelen. Aldus volgt, uit p‘^, de uitdrukking:
‘lil-P
uit /Ip'^t de uitdrukking ^ Ap^ :p = ^ Ap'^ enz,: de term D kan
aan-
-ocr page 183-M9
aangemerkt worden ah gelijk aan Dp° te zijn, en men heeft dus: o X Dp’^ ‘.p — o.
3“^ Dat R uit Qj, op dezelfde wijze, wordt afgeleid, mits dat men de afgeleide uitdrukking door twee deele.
ff Dat S uit R, op dezelfde wijze, gemaakt wordt, mits men de afgeleide uitdrukking door drie deele, enz. (48),
Hieruit is de wet van voortgang blijkbaar, en deze regel is op alle hoogere vergelijkingen algemeen toepasfelijk.
§• 217. De CouRTRivoN gaat nu op deze wijze te werk. Wamieer hij de wortel eener vergelijking, op minder dan ééne éénheid na, bekend heeft, ftelt hij deze benaderde waarde gelijk^, en vrr/gt;-j-2;nbsp;dan is, even als te voren, z eene breuk, die kleiner dan één is: hijnbsp;maakt vervolgens de vergelijking in z namelijk
o —/“ nbsp;nbsp;nbsp; -^2^ '5'22 -f-.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(l)
verwaarloozende nn de tweede en volgende magten van z, lost hij de vergelijking p nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=: o op: deze geeft terftond,
p
« = -ö.........
Tot hiertoe is de handelwijze van de Courtrivon dezelfde als die van Newton. Maar, voor de tweede benadering, redeneert de Courtrivon ten naaste bij aldus. Stel, duidelijkheidshalve, de gevondenenbsp;waarde van 2; gelijk «, en nemen wij nu, in plaats van twee, drie
termen der vergelijking in a, namelijk: P -f- lt;2.^ -j- /ï 2^ = o;
dan is
het duidelijk: dat, wanneer men in plaats van z^ de benadeide waarde aO- Holt, en de vergelijking p O^zR — to met betrekking tot z oplost, men vinden zal:
of z — -\- a-
(3)
___P_
deze waarde van z zal nader bij de waarheid dan de eerfte komen.
Om,
(48) 0eze afleiding is wederom niets anders dan differentiëren; eene kunstbcivcrking, welke, hier met voordeel, in plaats van de lastige mui-tiplicatien en magts-verheflingen, gebruikt wordt. Men behandele éénmaalnbsp;eene vijfde, zesde, en magts-vergelijkiug op deze wijze, en men zalnbsp;zien, dat men de coeflicienten der afgeleide vergelijking door dezelfdenbsp;geregelde bewe^ldng vinden zal. Lang, voor de uitvinding der Differentiaal en Fluxie-Rekening, kende reeds onze landgenoot, Huude, dezenbsp;fraaije kunstbewerking. Raadpleeg F. a Scuooten, Exercitat. Matkem.nbsp;fag. 498. ’Er is ook'van dit boek eene Oud-Hollandfche vertaling.
K 3
-ocr page 184-Om tot ecne derde benadering te komen, bepaalt men zich tot vier termen, en neemt
Men ftelt voor en , in de termen Rz^ en S de laatfte be-
naderde waarde van z, namelijk: *'
ct.^, zich nogtans alleen
R
tot de derde magten van a bepalende, en, wanneer men dan deze vergelijking , met betrekking tot z, oplost, zal men voor de derde benadering vinden:
, R rzR^ —O nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(4)
CS)
Nog eenen term meer nemende, en, in plaats van z, in de termen Rz^, Sz^, Tz*, de laatst gevondene waarde van z overbrengende,nbsp;waarbij men zich wederom alleen tot de vierde magten van a zal bepalen, zal men verkrijgen:
en men zal op deze wijze tot in het oneindige kunnen voortgaan.
§. 2i8. Nemen wij tot een voorbeeld dezelfde vergelijking van §. 201, namelijk:
x‘^ nbsp;nbsp;nbsp;2 x'i — 4p — 47 V -f- 252 ~ o
dan is, volgens den regel van §. 216, P—p‘^-\r^P^ — A7P^—tiTp -f 252; 0 = 4p3 -d- 6p^ —94/’ — 47inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— ^P~ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;47; 5—
4^ 2; nbsp;nbsp;nbsp;1; U=zo-, enz. Nu is p nagenoeg 6; derhalve /gt; —
£—469; i? —205; 5—26; Jm. De eerfte benadering geeft, als in §, 213,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— o, 012793175972; men neme dus . . .
a. — — o,01279318; de tweede benadering geeft:
z—-\-a, — —a^ ~—o, 012065
hetgeen overeenkomt met de waarde, welke wij boven gevonden hebben. „ Men moet, bij het gebruik dezer handelwijze, in acht nemen: „ dat tnen de ontwikkeling van de eerfle. waarde van z of — « ittnbsp;„ eene decimale breuk tot één of twee cijfers verder voortzefte, dannbsp;„ men den wortel begeert te benaderen.” Men zal door dezelfdenbsp;forraulen, doch op eene meer gemakkelijke wijze, dan naar de leerwijze van Newton, de waarden van de drie andere wortels der ge-gevene vergelijking benaderen,
§• 219. f-j- De handelwijze van de Coürtrivon ftrekt dan, even als die van Newton , om de^ waarde van deu wortel eener vergelijking,
-ocr page 185-itri
king, trapswijze, te benaderen: maar tot beide wordt vereischt: dnt men den wortel, op minder dan ééne éénheid na, kenne. ïcn aanzien van de waarde van a, welke men door de vergelijking 2 = —nbsp;P: 0_ vindt, moet men zorgvuldig deze twee dingen in acht nemen.nbsp;1° Het teeken van et, dat van die van P en afhangt, behoorlijknbsp;te bepalen. 2“ Tgt;at men de vaarde van ct tot één of twee cijfersnbsp;verder, dan men de benadering venscht voorttezetten, ontwikkele.
§. 220. Behalve de handelwijze van de Courtrivon, verdient nog c;ie van den Engelfchen Wiskunllenaar, Thomas Simpson , gekend te worden (49). Deze is, fchoon zij weinig fchijnt bekend te zijn, (50)nbsp;nogtans ééne der fraaifte en vernuftiglle, die wij kennen: zij komtnbsp;hierop neder. Nadat, even gelijk in de handelwijze van Newton,nbsp;DE Courtrivon en Euler, de wortel, op'eene kleine grootheid na 5nbsp;bekend is, ftelt Simpson, (de gegeven» vergelijking in .v zijnde,) x —nbsp;P -fzi zijnde^ de nabij bekende ivanrde des wortels, en 2 de grootheid, welke ’er bij moet gevoegd worden, om den ivaren wortel tenbsp;verkrijgen, en hij komt eindelijk tot de herleide vergelijking:
° = •^' !2,s -f iï 2'» -f é’23 4- rs-t H- enz. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(ü)
welke in §. 217, gevonden is, en welker coëfficiënten P, R, 6', enz. uit de vergelijking in x, volgens het voorfchrift van §, 216. afgeleid worden. Tot hiertoe ftemt zijne handelwijze met die van Newton en DE Courtrivon overéén: maar, om nu de onnaauwkeurigheid,nbsp;Welke door het verwaarloozen van de tweede en volgende magten vannbsp;«j in de leerwijze van Newton, ontftaat, te ontgaan, en zich, des
noods
(49) nbsp;nbsp;nbsp;Deze handelwijze is door Thomas Simpson, fd'S men niet met zijnen tijdgenoot, den Schotfehen Robert Simson verwarren moet,) voorge-dragcii in een werkje getjjteld: Seleti Exercifes for young Proficients innbsp;the Uliithematicks. Men zie de uitgave van dit werkje, door Hutton,nbsp;die er den zonderlingen levensloop vait dien beroemden man voor geplaat.stnbsp;heeft, op’pag. 115, en vervolgens. De Nederduitfehe Lezer, die dit En-gelsch werkje niet bezit, kan, om zijne nieuwsgierigheid te voldoen, denbsp;Inleiding tot ie Mathematificha IVetenfichapfen , door deM Heer Strabbe ,nbsp;nalezen, waarin bijna woordelijk dit geheele fhik geplaatst is.
(50) nbsp;nbsp;nbsp;Ten minfte heb ik deze Leerwijze, behalve bij Simpson zelvcn ,nbsp;en het aangehaalde werk van Strabbe , nergens gevonden, uitgenomen h;jnbsp;KIiUgeu, in zijne Mathematifiches Wórterhuch , II Theil, pag. 49Ö, dienbsp;vermoedelijk het werk van Simpson niet kent, omdat hij zegt: due andere aUgemeine Methode, die noch nicht angewandt worden is, isfolgende:nbsp;amp;c. zonder van Simpson gewag te maken, fchoon hij anders zeer onpartijdig en naaiiwgezet aan elk zijn eigendom toewijst.
152 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
iiooüs, flechts met eene enkelde benadering te vergenoegen; neemt liij eene uitdrukking van den vorm
I «2-1- ^2®- 72® 5 2'’- S2S efiz, ann, in welke de coëfficiënten et, /3, 7, 5, enz onbepaalde getallennbsp;zijn, en vermenigvuldigt de vergelijking (U) met deze aaiigenomcnenbsp;uitdrukking, van welke hij flechts zoo vele termen neemt, als hij totnbsp;den voorgeflelden graad van benadering dienflig oordeelt. Bij dezenbsp;vermenigvuldiging verkrijgt het produft den vorm
o~P-{- S,? Rz^-h ^2^ Tz*enz.
«P 2 « nbsp;nbsp;nbsp; IXRZ^ « 524 -|_ f«2.
_[_ 7 /) 23 7 Oja^ enz.
J P 2“*- enz.
daar nu de aangenoraene uitdrukking onbepaalde coëfficiënten heeft, zal men over de onbepaalde getallen «, /3, 7, enz. zoodanig kunnennbsp;befchikken, dat, in de zoo even uitgebragte vergelijking, zoo velenbsp;coëfficiënten van 2^ , -zs, 24, enz. verdwijnen, als men goedvindt.nbsp;Nogtans zal men niet alle deze coëfficiënten kunnen weg maken: maarnbsp;aangezien 2 onderlleld wordt zeer klein te zijn, zullen de volgendenbsp;raagten van 2, welker coëfficiënten niet kunnen vernietigd worden,nbsp;ten opzigte van de eerfle magt van 2, zulk eene geringe waarde verkrijgen, dat de waarde van s zooveel te naauwkeuriger zal benaderd zijn, naar mate p minder vnn de eigenlijke waarde des gezog-ten wortels afwijkt, en meer coëfficiënten van de hoogere magten vannbsp;de vergelijking (A) nul worden.
De hoogere magtep vnn 2, welker coëfficiënten niet verdwijnen, verwaarloQzende, zal men, uit hoofde der verdwijnende termen, i‘4nbsp;alle gevallen, verkrijgen:
o = /^ («/^ a)2 waaruit terflond volgt:
_ /gt;
¦ '.....
het komt ’er nu op aan om « te vinden.
Wil men nu: dat alleenlijk de tweede magt van z geen’ invloed op de naauwkeurigheid der berekening hebbe, zal men in (A)
R aiO-i- PPquot;0
ftelicn, en men zal /?, 7, 3, enz. alle nul kunnen nemen, hetgeen even zoo goed is, als of men de vergelijking (D) alleenlijk mït I « 2 vermenigvuldigd hadde. ^ Door deze ondetflclling is
-ocr page 187-IS3
TWEEDE CURSUS.
en deze waarde van a in de vergelijking (0 overbrengende, wordt, voor eene eerfle benadering, waarop de verwaarloojing van geenen invloed hebben kan.
(3)
—Of.......
§. 221. Wil men de verwaarloozing van de derde raagt van s binten allen invloed Hellen, zoo make men:
-j- flc ^“1” i3 P o 'll « /i /3 g,-]- y P ~o
en dan zullen de termen, waarin en voorkomen, gelijk nul worden, en de verwaarloofing der'volgende termen, zal daardoor te minder invloed op de waarde van z hebben. Daar ’er nu drie onbekenden en flechts twee vergelijkingen zijn, zal men 7, J, e, enz. gelijk nul kunnen Hellen, en zulks zal hetzelfde zijn, als of men de vergelijking met I az ^ z^ vermenigvuldigd had. - IWen vermenig-
vuldige dan, in die onderftelling, de eerfle vergelijking met O^ en de tweede met P, en trekke de laatfle van de eerfle af, dan heeft men;
(R 0-6'P)-j-(.e-Pi?)« = o RQ — SP
CT . . .
welke waarde van ct in de vergelijking (0 overgebragt zijnde, geven 2al, voor de waarde van z, op welke de verwaarloofing van de tweede en derde magten van 2 geenen invloed kan hebben.
___ P (gf — PK)
§. 222. Men zal deze berekening zoo verre kunnen voortzetten, als men goedvindt: doch de waarden van 2 zullen Heeds zamengefteldernbsp;worden. Het is beter: dat men, op het voetfpoor van Simpson, denbsp;waarden van 2 niet regtHreeks berekene; maar. van de volgende fubfli-tutien, die men gemakkelijk zal kunnen verifiëren, gebruik make.
§. 223. Stel dat p de benaderde waarde van den wortel der gegevens vergelijking zij, welken wij door p z uitdrukken:
— ^ O 2 R 2=quot; 6quot; 23 4-724 f/2S 4. ^25 _|-= o zij de vergelijking in 2, welker coëfficiënten P, Q^, R, S, enz. opnbsp;de wijze in §. 216, opgegeven bepaald worden. C^ij geven in dezenbsp;aan P het negatieve teelten, om, op het voetfpoor van Simpson, dienbsp;berekening gemakkelijker te maken; de vergelijking (0 verandert nu in
K' 5 nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'2=
-ocr page 188-154
WISKUNDIGE LESSEN.
ven, de aangenomene faélor.
1» z:Q_: P......
»/ =: :/gt; . , . . mquot; ZZCQ,m'-\^Rm S): P .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
ZZ nbsp;nbsp;nbsp;: P
De funflie i a z 13 z- r\- enz. is, even als bo-Stel nu
B ~R:P n =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A') ; igt;
»quot; = (0.quot;' «« r) : P b'''=:Ci2.k'' «b' Sb4-C7) : Lgt;
dan zullen de volgende uitdrukkingen:
Pm nbsp;nbsp;nbsp;P m'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Pm”nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Pmquot;'
'Pn dm ’ Pn'-{.ny'’ nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; *”'¦
in rangorde, de waarden van z uitdrukken, welke men verkrijgen zrd, door achtervolgens i *“j i «3-1-i «s /3=,nbsp;enz. voor de faftoren, waarmede men de vergelijking (12) vermenigvuldigt, aantenemen; of zoo men wil, het zullen de waarden van snbsp;zijn, die men verkrijgen zal, door de tweede, derde, vierde magtennbsp;enz. van z mede in rekening te brengen (50).
I.nat ons, om deze fonnulen op een voorbeeld toetepasfen, nemen de vergelijking:
x4 -f- 2 nbsp;nbsp;nbsp;— 47nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 47 w “r 252 o
die wij reetls volgensY-Jewtons leerwijze hebben opgelost: Hellen wij in het gemeen de benaderde wortelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dau zal—P~/gt;* -}- ap'
— 47P=- —47P 4- 252s (Z=z 4p3 nbsp;nbsp;nbsp;— 94P — 47; R^6p-
-föp—--47; b't=4p-j-2; Tzzi-, Uzzo; enz, zijn. Voor den vi'oitel, die tusfehen ^ en 6 valt, nemen wij, omdat hij nader aan 6nbsp;dan aan 5 komt, p = 6i dan is Pz=z — 6i £=469; 22 = 205;nbsp;5 = 26; T=i-, U=zo-, enz. Met deze getallen waarden zal mennbsp;nu vinden:
469
n = R-.P = — ~°—
6 ....... ¦ 6
en dit zal, voor de eerfte benadering van z, geven: __Pfn _ 4^9 X 6
P» ¦¥ nbsp;nbsp;nbsp;6 X 205 — 4Ö9 X 469 '
Om de tweede benadering te verkrijgen, zal men berekenen:
95989
36
218.731
35
m’z=(Om Ry.P=z Hieruit zal volgen
C5o5 Simpson heeft in het aansehaaldc werk, van deze leerwijze ceiie
fraaije tocpasCng, op het trekken van de hoogere magts-wortels, S^nmkt.
-ocr page 189-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;155
Pm' nbsp;nbsp;nbsp;1312386nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0^.0
— o -j nbsp;nbsp;nbsp;— 0,01286528
Men zal alzoo kunnen
P}%' nbsp;nbsp;nbsp;102009905
hetgeen nader aan de waarheid komt. —
Voortgaan. Men heeft verder;
niquot;—(^OfH'^-Rm sy.P=i~ nbsp;nbsp;nbsp;?
—447^1^727
216
nbsp;nbsp;nbsp;4757357Ö083
nader.
De wortel is gevolgeüjk gelijk 55987134593, hetwelk met de Nemoniaahfche ienaderingswijze overeenkomt.
NEGEN- EN- VEERTIGSTE LES.
Over de oplosfing der vergelijkingen door benadering, volgens de Leerwijzen van de Heeren Budan en Lagrange.
§. 224. De oplosfing der hoogere magts-vergelijkingen door benadering, is bet belangrijkfle Leerfiuk der Wiskunst, ennbsp;men kan zeggen: dat het, tot op de gelukkige ontdekking vannbsp;lt;Iei\ Heer Buoan (51), het moeijelijkst geweest is. Wanneer men de fraaije maar werkzame leerwijze van den Heernbsp;Lagrakge, welke wij op het einde dezer Les verklaren zullen, uitzondert, kunnen geene der leerwijzen van Newton,nbsp;Euler, de Courtrivon, Simpson, enz., dan met omzigtig-heid gebruikt worden. Derzelver voornaamfte zwarighedennbsp;zijn: 1° het vinden van twee op elkander volgende gehcclc
ïte-
(51) Deze Heer is Doeior in de Medicijnen te Parijs. Het cerfte cé-deelto zijner Leerwijze verwierf in 1803 de goedkeuring van de cerlte klasfe van het Nationaal Iiiftituut van Frankrijk, welke dezelve als (^unr,nbsp;Méthode génerale direSte et fare,) cene algemeene regtftreekfche en zekere handelwijze erkende. Sedert heeft de uitvinder in een werkje, getü-(Oid: Nouvelle methode pour la réfilution des éqttations ntimériqties, innbsp;1807, zijne handelwijze nader ontwikkeld en meer volkomen gemaakt.nbsp;Het is uit dit werkje, dat wij, rnet die verandering van leerwijze en fchik-king van ftolFe, welke ons noodig toefcheen., dit artikel hebben opgemaakt.nbsp;Ih het werkje zelve, ontbreken de betoogeu der voornaamile gronden.
-ocr page 190-156
WISKUNDIGE lessen.
getallen, tusfcheri welke een wortel valt; 2quot; zich te verzekeren, dat tusfchen deze twee geheele getallen niet meer dan een wortel beüaat; want, offchoon de lubftitutie van p ennbsp;/gt; -h I voor den wortel verfchillende teekens aan de uit-komflen geven, en ’er diens volgens, zie §. 200, ten mindenbsp;ééne waarde tusfchen p en /-1-i beftaan moet, die de vergelijking 0 = 0 maakt, kan het nogtans gebeuren, dat, Wanneer men, bij voorbeeld, de éénheid in tieii-duizend deelennbsp;verdeelt, en in plaats van de onbekendenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;....
t T0I005 P Tölsö5 enz. fielt, ’er tusfchen ^ en 4- i jneermalen eene afvvisfeling van teekens zal plaats hebben,nbsp;ten bewijze, dat ’er tusfchen ^ en /gt; -}- i meer dan één wortel beftaan zal: men weet alleenlijk, dat, in dit geval, hetnbsp;aantal der wortels oneven moet zijn: in dit bijzonder geval,nbsp;dat zeer dikwijls kan plaats hebben, zljii de handelwijzennbsp;van Newton en anderen onzeker; 3° en eindelijk, latennbsp;alle de bekende handelwijzen, uitgenomen die van Lagrange, zonder eene lastige beproeving in het werk te ftellen,nbsp;ons aangaande den graad van benadering in het onzekere,nbsp;Alle deze zwarigheden zijn, door de leerwijze van Budan ,nbsp;vervallen: Dblambre zegt, in zijn verflag over de vorderingen der Wiskundige Wetenfehappen aan Keizer Napoleon :nbsp;dat men bezwaarlijk iets eenvoudigers vinden zal.
Bijzondere AlgorithffiUS van Budan.
§. 225, Onder de menigvuldige eigenfehappen der vergelijr kingen, tot welker ontdekking het zoeken van’derzelver al-gemeene oplosfing aanleiding heeft gegeven, is de volgende,nbsp;in de leerwijze van Budan, van het meeste gebruik.
§. 226. Zij beftaat hierin: ff dat men elke vergelijking herleiden kan tot eene andere^ welker wortelt gelijk zijn aannbsp;die der gegevene, vermeerderd of verminderd, met een getalenbsp;tiaar welgevallen genomen.
Zij gegeven de vergelijking
x'V A nbsp;nbsp;nbsp;B X- CX •k' D ~ o . . . •
Stellen wij x~y — a; dan zal men deze waarde van x in voor-Ite lid der vergelijking ovetbiengcnde vinden:
-ocr page 191-157
^ nbsp;nbsp;nbsp;5:4——4 i? 3|3 6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^a^y-\-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a4-
Ax^— nbsp;nbsp;nbsp;Ay'^ — 3^^?® 3
Bx^~ nbsp;nbsp;nbsp;By^ — 2Bay-^Ba^
Cx =: nbsp;nbsp;nbsp;Cy — Ca
'velke, opgeteUl zijnde, geven zullen:
3i4 — (4« — A') y^ ae. — zAa-]rB')y^ . . (^) —(403—ª^ -^zBa—C).3i C'3'4—Aa'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—Ca-\-D')~o
Uit de vergelijking x — y — a volgt: y—x-^d. De wortels van de vergelijking in y zullen derhalve aan die Van de vergelijking in 5;,nbsp;elk met « vermeerderd, gelijk zijn. Wanneer ’er eenigen twijfel ont.nbsp;ftaan mogt, of zulks van alle de wortels der vergelijking geldt, zal mennbsp;Zich op de volgende wijze daarvan kunnen overtuigen. Men ftelle denbsp;wortels der vergelijking in x, gelijk p, q, r en s; die der vergelijking in y zulien dnn zijn de wortels der vergelijking in x, elk metnbsp;a vermeerderd: namelijk /gt;-{- a, q -{- a,’r a en s lt;5'5 hU is vdl-gens §. 210,
? f nbsp;nbsp;nbsp;— A
//q-^pr-hps-j-qr-i-qs rs — -^-B p qr-^p q s p r s-^ qr s~ — Cnbsp;en p qr s-=z~\.D
Men zal nu, met behulp dezer vergelijkingen, de coëfficiënten van de vergelijking in y berekenen kunnen; want, de fom van de wortels dernbsp;vergelijking (g_) h-, p-r a q-^a-^r Jf.a-\-s-{• a — —nbsp;en deze, negatief genomen, geeft A — 4a voor den coefficient vannbsp;den tweeden term der vergelijking in y. Ontwikkelt men de. produc*nbsp;ten Cp ») X (_q-ha^, (^p-j-a) xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ O a), enz.
en telt men dezelve bij elkander, zal men vinden: 6a^—sAa B, vvelke de coefficient van den derden term der vergelijking (g,) is: ennbsp;men zal, ,op dezelfde wijze voortgaande, betoogen: dat de wortelsnbsp;van de vergelijking (0_) gelijk zijn aan die van de vergelijking (P),nbsp;met het getal a vermeerderd.
§. 227. Stellen wij, in de vergelijking van x, in plaats van x, de grootheid y-ha; dan zal men verkrijgen:
y‘'- (4a-^J)y^ C6a^ 2aA-4.B)y^ . . • (^) 4- (40a -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 5:? C)j/ -j- (_a^jj.Aa^ -j-Ba^-i-Ca-j~D)~o
in wmlke y=x—is. De wortels dezer vergelijking in y zijn gelijk aan die van de vergelijking in x, verminderd met het getal a. Men zal zulks, op dezelfde wijze, als boven, kunnen bevestigen.
§. 228.
-ocr page 192-ï5S
§, 228. ft De vergelijking (/?) is van de vergelijking (Q^') alleen in de teekens van de onevene magten van a, welkenbsp;in de coëfficiënten van de magten van y voorkomen, onder-Icheiden. Wij hebben reeds in §. 216. opgegeven: hoe mennbsp;zonder de lastige berekening, welke de fubffitutie medebrengt, dadelijk de herleide vergelijking in y, namelijk (iï)nbsp;vinden kan : nu merken wij aan : ttnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de vergelijking
,, vp dezelfde wijze zal gevonden worden^ wanneer men, inde gedachte, de teekens van de evene termen omkeert, en, voorts,nbsp;„ naar het voorfchrift van §. 216. te werk gaat.’’’’
Nemen wij, tot een voorbeeld, de vergelijking: nbsp;nbsp;nbsp;— 39x-
— 281 x-|-630 = 0; welker wortels zijn 5, 2, —7 en —9. Stellen wij: dat dezelve moet herleid worden in eene vergelijking, welker wortels 3 meer zijn dan die der gegevene; dan is, 3'=a;-l'3; ofnbsp;x~y — 3- bijgevolg a = ^: men keere nu. de teekens der onevenenbsp;magten van x om, en fchrijve, in plaats van x, het getal a; dan isnbsp;— 9^3 —39 lt;2- -b 281 a 6^0
het achterfte lid der vergelijking in y; waaruit volgens §. 216. volgt:
4 «3 — 27 a- — 78 a 2Si voor de coefficient van y; verder
¦6«=‘ —27« —39 voor de coefficient van ; eindelijk
4^7 — 9
de coefficient van , en Hellende nu rz 3, dan wordt de vergelij king in ;y ,
y* — 3 ji® — 663!® 88 y -h 96c zr o
welker wortels 8, 5, —4, en—6 zullen zijn, - „ j] Wanneer
„ men de wortels der vergelijking met de éénheid begeert te vermin-„ déren', dan zal 'men x—y’k'i fl ellen, en op dezelfde wijze de „ coëfficiënten van y uit de gegevene vergelijking afteidenP , Men zalnbsp;alsdan vinden:
«4 -fp ^3 — 390^ —- 281 « 630ZZ 320 4 «3 4, 27 lt;2^ —- pZ a — 281 zz — 328nbsp;6 «2 -}- 27 « — 39 = — 6nbsp;4«-f.9zz 13
tn voor de vergelijking in y
^,4 13 3,3 _ 5 J,a _ 328 y .j_ 320 zz o welker wortelen -{-4, 1, —8, en —10 zullen zijn.
§. 229.
-ocr page 193-159
T VV' E E D E CURSUS.
§. 129. It Wanneer men eene vi)fde, zesde en hoogere magts-vergelijking neemt, zal de fubHitutie van y-^a voornbsp;X tot dezelfde uitkomften brengen. Wij zullen derhalve onsnbsp;niet langer hiermede ophouden: maar nog eenige oogenblik-ken de vergelijking (ü) in overweging nemen. Men kan,nbsp;omdat yzrzx — a is, dezelve aanmerken ais de herleide vergelijking in jc —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* waardoor wij, om ons van de fpreek-
wijze van Budan te bedienen, verdaan; eene vergelijking ¦welker wortelen zijn x — a, of gelijk aan de wortelen der ge-gevene vergelijking met a verminderd. Nemen wij nu a~linbsp;dan zal de vergelijking in «, welke wij nu noemen zullen denbsp;vergelijking in (x— 1)5
6 quot;I
]j
4
tl De coëfficiënten dezer vergelijking hebben ¦ de eigenfchap, dat zij uit de gedurige optelling van de coëfficiënten der ge-gevene vergelijking in x ontfiaan.
|
p |
0. |
R |
S |
T |
|
1 |
I |
1 |
I |
I |
|
A- li C D |
A I nbsp;nbsp;nbsp;A E 1 nbsp;nbsp;nbsp;A-y B -j- C 1 nbsp;nbsp;nbsp;A ^ B -Y C -f*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D |
-pIJ 4-|-3 |
3-pA ó 4^ 3 -4-j-'iï |
4 -^ |
u
I
Piaatfen wij, om zulks zigtbaar te maken, de coëfficiënten der gegevene vergelijking in de eerde kolom P; en in denbsp;tweede kolomnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de fommen van de eerde, de twee eerde,
drie eerde, enz. termen van de eerde kolom; namelijk i, i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.: * dit noemen wij de eerjïe fom~
men. In de derde kolom R de fommen dezer eerde fommen, namelijlt i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 (i.p. (i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
tot op ééne na de laatdc ingefloteu; in de vierde kolom S de lommen van de tweede fommen, in dezelfde orde-genomen,nbsp;enz., tot men, in de zesde of laatde kolom, op de éénheidnbsp;komt: deze lommen der eerde, tweede en volgende ordennbsp;aldus gemaakt zijnde, ziet men ten duidelijke: dat, van dcnbsp;regte naar de litikehand gaande, de laatde termen der kolommen de coefdcienten van de termen der vergelijking innbsp;{x ~r- i) zijn. Indien men deze zelfde proef op de algemee-
ne
-ocr page 194-i6o
WISKUNDIGE LESSEN.
ne vijfde, zesde, en volgende lioogere magts-vergelijkingen toepast, zal men dezelfde ukkomften verkrijgen. Offchoonnbsp;nu deze proef voor geen ftrikt betoog, (hetwelk voor hetnbsp;tegenwoordige te moeijelijk zou zijn,) kan doorgaan, is zijnbsp;overtuigend, en, daar men ten klaarfte ziet: dat de wordingnbsp;dezer fommen van de bijzondere waarde der coefiicienten t,nbsp;A, B, C, enz. onafhankelijk is, en gevolgelijk op dezelfdenbsp;wijze zal plaats hebben, het zij die coëfficiënten pofitieve ofnbsp;negatieve, geheele of gebrokene getallen zijn, volgt hieruitnbsp;den ‘eenvoudigen regel van Bddan, om uit eene gegevenenbsp;vergelijking in x de herleide in x — i door eene eenvoudigenbsp;optelling van getallen te vinden.
§. !23o. Zij, bij voorbeeld, gegeven de vergelijking: x4 -f-— 39x^ — a8i X
630 = 0. nbsp;nbsp;nbsp;5, Dan fchrij-
gegev. coeff. I, 9 —39“28l ö30 rfie fomm, -|-10— 29nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;310quot;T 3^0
„ ve men, gelijk in het „ nevenflaande tafeltje ^
„ alle de coëfficiënten, met ,, derzelver teekens, in denbsp;,, eerjie rij: uit deze make \vijfae fomm. inbsp;„ men de eerfte fommen,
„ ah volgt:
„Men zegt: i-(-9=ro; lo—39 = — 29; —29 — 28X = — 310; — 310 630 = 320.
,, Uit deze rij der eerjie fommen make men de rij der tweede fommen, op dezelfde wijze, zeggende: i io = £i;
tweede fomin. nbsp;nbsp;nbsp; 11 — 18 — 323
derde fomm, nbsp;nbsp;nbsp; 12— 6
vierde fomm. i 13
18; — 18—^ 310 =
328;
verder gaat
„ II —29 = .
„ men niet.
,, Uit de rij der tweede fommen make men, op dezelfde ,, wijze, die der derde, zeggende: 1 11= 12; 12 —
„ i8 = -6_
,, Uit de rij der derde fommen die der vierde, enz. telkens ,, in elke volgende rij' eene fom minder nemende, tot dat meanbsp;3, eindelijk in de laatjla, rij f echts één getal verkrijgt.
„ De onderjle getallen van elke kolom in rangorde, van de
linke naar de regterhand: namelijk:
I» 13;
3283 320
zijn
5, zijn de coëfficiënten van de vergelijking in {x 55 men kan nu uit het gemaakte tafeltje dadelijk fchrijven.
(^x—1)'^ I3(^—ly —6(x—i)^ —3a3(a-—1) 320 = 0 welke, indien men x—itzzy ftelt, geven zal:
^ 133,3 — 63)“- — 32831 320 = 0
welke Vergelijking wij, in §. 228, door eene lastiger berekening, gevonden hebben.
§. 231. Deze kunstbewerking maakt bet eerde gedeelte Vdti de handelwijze van Budan uit. Hij noemt dezelve den algo-rithmus, om de getransformeerde vergelijking in \X— Onbsp;verkrijgen (52). ’Er wordt, gelijk gebleketi is, tot deze bewerking, niets meer dan optellen vereischt, en dat men in denbsp;optelling, behoorlijk op de teekens acht geve.
S. 232, ft Het is zelfs niet noodig, dat de coejfcient van den eer-flen term der gegevene vergelijking de éénheid zij. Men zal zich daarvan in het algemeen kunnen overtuigen, door de vergelijking:nbsp;Ax^ 5 x* C 3.-=^ Z) X £ = o, bij vooïbeeld , in eene vergelijking in (x — i) te herleiden.
Geg. coëfficiënten 2 — 3 5 — 3 eèrjie fommen 2—1 4 1nbsp;tiveede fommefinbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2 1 4-5
derde fommen
vierde fommen nbsp;nbsp;nbsp; 2
Laat, bij voorbeeld, gegeven zijn, de vergelijking:
2x3 — 3x^ 5x — 3 = 0; dan zal men, volgens den regel
Werkende, vinden, voor delierlei-______—,-—
de in (x— i}, de vergelijking:
2 (x— 1)3 3 (jx— i)^ 5C^— i)
§• 233. tt JfTanneer de gegevene vergelijking onvolkomen is, dat ¦wil zeggen, (_zie §. 90.) wanneer fommige van derzelver termen ontbreken, dan kan men de coejfcienten dezer ontbrekende termen alsnbsp;nul aannierken, en vervolgens, naar den voorgefchrevenen regef vannbsp;§. 230, te werk gaan. Laat, bij voorbeeld, gegeven zijn:
3 X — 100 ~ o
dan zal men, in plaats van deze vergelijking', kunnen Hellen:
x^
lt;52) Mg^rithmus, uit het Anthisch gellachtwoord, ril, en het Griek-fche atiS'Uos, Reta/, zamengevoegd, betcekentle,ten rode,dat het tientallig ftêlfel in Europa werd ingevoerd, de tientallige wijze van rekenen; mennbsp;fchreef ook. fomtijds Jllgoïismtis. * Iit het tegenwoordige fpraakgebruik,nbsp;heteekent Atgurishmus sent zektre rekenwijzt gt;» ^(toiUn of Jelttrs.
102
WISKUNDIGE LESSEN.
- 100 “O o, o-Iquot;3 —
I, o I 1 I I nbsp; 1 quot;iquot; 4 H“ 3 “hnbsp; I 3 nbsp;•quot;1^ 1
cn men zal, volgens de neveiiftaandc bewerking, voor de herleide vergelijking in (v — i) , verkrijgen:
(v~i)s-f5(:»;—0 -f loCx—1)3
Io(v—1)^ 8(ar—o — 96=20.
§. 234. tt Bij ‘ie herhaling van de- I ' nbsp;nbsp;nbsp; i
zelfde handelwijze, zal men,' door en---
kei optellen, de herleide vergelijkingen, in (x—2), (x—3), (x—4), enz. verkrijgen. Nemen wij, bij voorbeeld, de vergelijking x3 —nbsp;7 X 7— o; dan zullen de coëfficiënten der vergelijkingen
in X Zijn: in (* — i^) . .
I etiz
in (a.-—2) .... I 6
Zij nog gegeven de vergelijking:
x3 — i5x^ 74x—117=20;
dan zal men, door de tocpnsfmg van denzelfden regel, vinden voor de coëfficiënten vrm de vergelijkingen
. I — 15 74 — ”7
I — 12 47 — 57
I - 9 2i5 - 2i
I nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3, enz.
in (^x— i) . innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2) .
in Cx- — 3) .
in 0^ — 4? •
in (j.ï — 5) .
§. 235. Zien wij nu: welk voordeel men uit deze herleidingen zal kunnen trekken. Stellen wij, om hierin de verbeelding te gemoet te komen, eenige vergelijking X* Jxi Bx^ -i- Cx Z) = onbsp;en dat men uit dezelve de herleide in (x—i), (x~2),nbsp;(x — 3), enz. hebbe afgeleid: nemen wij dan drie of viernbsp;op elkander volgende vergelijkingen, in (x—•ƒ),_ (x—p—i)»nbsp;(x—p — 2), (x—p—3), enz.; dan zal men hebben:
(x—py nbsp;nbsp;nbsp;—py B'Cx—py C’(x—p) D'=o
(x'—p — i)'^ Aquot;{x— p — 1)5 Bquot;{x —p — i)^ - -Qquot; (x — p — i) Biquot; =: o
(x.— p — 2)“^ Aquot;'y—ƒ) _ 2)3 Bquot;'(x—P — 2)“ -H Cquot; (x —p — a) /)''•quot;— o enz.nbsp;welker coëfficiënten A\ B', enz. Aquot;, Bquot;, enz. bekend ziin.
Wan-
-ocr page 197-1Ö3
Wanneer men nu, in deze vergelijkingen, xz^ip; xrrzp-^-1; x=:p 2 Helt, zullen derzelver voorfte leden in Zgt;', ennbsp;D'quot; veranderen, en voorts ouder het oog houdt, hetgeen innbsp;§. 15/]. en 200, van de vergelijkingen betoogd is; dan zalnbsp;men overtuigend zien:
5. 237. i‘'‘ ,, ff Dat, wanneer de laatjie termen D' en Dquot; 1, van twee op elkander volgende afgeleide vergelijkingen, innbsp;,, Qxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en Qk—p — 1), tvece tegengeflelde teekens hebben,
„ er tmfchen p en p^ i noodzakelijk één wortel, of een on-„ even ‘'antal wortels, beftaan zal.quot;
230, 2 nbsp;nbsp;nbsp;5, ff Dat, wanneer de achterjie term Df eener
,, afgeleide vergelijking in (x — gelijk nul wordt, de ge-,gt; gevene vergelijking eenen geheelen en meetbaren wortel zal „ hebben, die gelijk aan p is,quot;
§• 239- 3” 55 ff Dat, wanneer verfcheidene coeffcientcn „ der achterfte termen B', C', D', eener afgeleide rergelij-,, king, in (jx —pj, nul worden, daaruit volgen zal: datnbsp;,, de gegevene vergelijking even zoo vele gelijke wortels hebbennbsp;,, zal, als 'er coëfficiënten gelijk nul geworden zijn,quot; AVaar-uit dan volgt: -dat de handelwijze van Bödan de geheele ennbsp;meetbare, benevens de gelijke.wortels, eener gegevene vergelijking doet kennen.
S. 240. Maar nu denkt misfchien iemand: op deze wijze worden alleen de pofitieve wortels en derzelver limietennbsp;ontdekt, en deze leerwijze zal dus niets van de negatievenbsp;wortelen leeren kennen? Maar men kan de handelwijze vannbsp;Budan orokeeren, en de afgeleide, in x-{-i, x-{-z, ar-f3,nbsp;enz. vinden, door, in plaats, van optetellen, aft^trekken. Mennbsp;zal zich daarvan kunnen overtuigen, door, ih de vergelijkingnbsp;C^) §• 226, pag. 157,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= i te (lellen, en uit de cotffi-
cienten \,A,B, C,D, door gedurig aftrekkeij, de ver-Ichilien van de eerde, tweede en volgende orden te vormen, : dan, dit onderzoek, dat zeer geroakkelijk is, voordennbsp;Lezer overiatende, merken wij aan: ff „ dat men de wortelsnbsp;eener vergeJijkjfjg , van pofitief in negatief, veranderen kan ,nbsp;„ door de teekens van de coeffcientcn der tweede, vierde, zes-99 de tinnen, en, in het gemeen, van de termen van éénen
5gt;
eve-
-ocr page 198-i64
,, evenen rang omtekeeren.''’ Op deze wijze zullen de wortels van de vergelijking x'^—— 21 x-|-45 =: o, van po-fitief in negatief, en van negatief in pofitief, veranderen , wanneer men fchrijft x^ .v® — ai x — 45 = o.
Om zulks te betoogen, neme men de vergelijking nbsp;nbsp;nbsp;J -j-
-fl ^-f-C ar: o : indien men nu xzz. — y fielt, verkrijgt men: y-gt; ^ Jyi — By Cz=:o-^ of, alle de tcekens-omzettende , y^—Jy^nbsp;_|. J]y — C=o. Voor cene evene magts-vergelijking, a:- -1- J-j-B CX D~o, zal men, door in plaats van x te fclirijvennbsp;— y, verkrijgen y* —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- By~ —Cy-j- D — o. Naderlwnd zul
len wij deze waarheid nog op cene andere wijze betoogen.
241. ff ,, Om dan de negatieve tvorteh eener gegevene ,, vergelijking^ door den algorithmus van Dudan , te vinden^nbsp;,, keere men de teekens van de evene termen der gegevene ver-,, gelijking om, en zoeke, uit deze nieuwe vergelijking, denbsp;„ afgeleide vergelijkingen, in (x— i), (x—2), enz,', dannbsp;5, zal men, op deze wijze, of de negatieve wortels, of derzsl-5, ver naaste grenzen, in geheele getallen vinden.” '
§. 242. Nemen wij, om van een en ander een ophelderend voorbeeld te 'geven, de vergelijking:
x't-j-2 atS—47 xquot;—47 X-p 25a m o . • • kO') dan is de vergelijking in — x, dat wil zeggen, de vergelijking, welkenbsp;dezelfde wortels als de gegevene, maar met tegeiigeftelde teekens,nbsp;heeft
x^ — 2 .x'3 — 47 X- -|- 47 X -}- 252 rr o , . . (E) Uit de eerfte vergelijking (Z)) haak men de afgeleide, in x—i, x—2,nbsp;enz. als volgt:
in X i
De vergelijkingen, in ( in Zr — Inbsp;X — cj'
X — 3 .1- — 4
.V — 5
X ^
¦i), (x —2), uit (£) afgeleid, zijn:
I -p nbsp;nbsp;nbsp;10 - II nbsp;nbsp;nbsp; lulnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
-ocr page 199-165
in X — 7 .... I 26 205 -f- 467 — 7 * — 8 .... I 30 289 959 692
5. 243. Wij hebben de berekening, welke tot het maken dezer s'ergelijldngen vereischt wordt, op de tegenzijde van de derde tabellenbsp;geplaatst, en tot de uitvoering van al dat werk behoeft geen cijfernbsp;meer gedacht of gefchreven te worden, dan die, welke in de drienbsp;eerfte kolommen voorkomen. Het blijkt nu, uit de afgeleide vergelijkingen, die men, door eenvoudig optellen, verkregen heeft, dat denbsp;gegevene vergelijking vier wortels heeft; öénen tusfchen 5 en 6,-éénen tusfchen 2 en 3; éénen tusfchen — 2 en — 3 ? en dénen tusfchen — 7 en — 8.
S* ^44* tt Wanneer de teekens van de termen van eenige afgeleide vergelijking alle pofitief zijn, gelijk als in de vergelijking, in (x-—6), plaats heeft', dan zal 'er in alle denbsp;daarop volgende afgeleide vergelijkingen, in (x—7), (x—8),nbsp;(x — 9), (x—10), enz. geene afvisfeling van teekens meernbsp;kunnen plaats hebben; want, de coeflicienten der volgendenbsp;vergelijkingen zullen fl:eed.s grooter worden, en de teekens vannbsp;derzeiver achterfte termen beftendig pofitief blijven.
§. 245. Hieruit volgt onmiddelijk: ff dat, wanneer'alle de termen eener vergelijking pofitief zijn, dezelve geenen pofi-tieven wortel zal kunnen hebben: want, de achterlte termennbsp;van de vergelijkingen in (x—i), (x — 2), (x—3), enz.nbsp;noodzakelijk pofitief zijnde, zal ’er geene afwisfeling van -j-tot — meer kunnen plaats hebben, ff De algorithmus vannbsp;Budan ontdekt derhalve de grenzen, tusfchen welken de po-jitieve en negatieve wortels eener vergelijking moeten begrepennbsp;zijn.
§. 216. Misfehien zal men tegen de Leerwijze vaii Rüdan inbrengen: dat, wanneer eene vergelijking groote wortelsnbsp;heeft, ’er een groot aantal vergelijkingen zal moeten afgeleid worden, eer men ontdekken zal, tusfchen welke ge-heele getallen de wortels invallen: en dar men dan nog nietnbsp;verder zal gevorderd zijn, dan toen wij de leerwijze vannbsp;Newton en anderen op de benadering van de wortels dernbsp;vergelijkingen toepasten? In het gemeen, moeten wij op dezenbsp;bedenking aanmerken: dat, wanneer men deze zwarigheidnbsp;niet konde wegnemen, Bun ai-’s leerwijze, in dit opzigt, met
L 2 nbsp;nbsp;nbsp;3fie
-ocr page 200-i66
wiskundige lessen.
alle anderen zou gelijk ftaan; doch, dat zij dan nog, wegens hare eenvoudigheid, boven alle anderen de voorkeur verdienen zou: dan, wij zullen dadelijk aantoonen, dat dezelfdenbsp;kunstgreep, waardoor Budan elke volgende vergelijking uitnbsp;de voorgaande afleidt, ook ftrekt, zoo, onj het moeijelijke vannbsp;dit werk te bekorten, als om tevens de* nadere grenzen vannbsp;de wortels der vergelijkingen te vinden: tot dat eiilde zal hetnbsp;noodig zijn, de volgende eigenfchappeii der vergelijkingen tenbsp;verklaren.
Verdere merkwaardige eigenfchappen der Vergelijkingen.
%. 247. ff Elke gegevene vergelijking kan veranderd worden in eene andere, welker wortels gelijke veelvouden-of gelijke onderveslvouden van die der gegevene zijn.
Laat,-om het eerfte te betoogen,
-f- nbsp;nbsp;nbsp;^ ^3 .j_ C-f- I) X -J- jE ~ o
eene vergelijking zijn, welker wortels p, q, r, s, t, zijir, dan zal men (n een zeker getal zijnde,) eene vergelijking moeten vinden, welkernbsp;wortels n p, nq, n r, n s, nt, zijn: (lel deze vergelijkingnbsp;3,5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J.4. .J. 0_3|3 /ï -J- -S'J -1- 7'= o
dan is, zie §. 210, fag. 143.
— A gelijk aan de fom der wortels p, q, r, s en t; -f- Z? gelijk aan de fora dezer wortels, twee aan twee genomen; —C gelijk aan de fom der wortels, drie aan drie genomen; gelijk aan denbsp;fom der wortels, vier aan vier; — E gelijk aan het produél der wortels, Dezelfde eigenfehap zal voor de vergelijking in y gelden. — Pnbsp;zal gelijk zijn aan de fom der wortels np, nq, nr, ns, nt; -k D.nbsp;gelijk aan de fom der produflen, twee aan twee genomen, enz. Hieruit is ligtelijk optemaken: dat
nA'ztzP; tp B~Cj; «a C~R; D~S en E — T zal zijn, en de vergelijking in y, welker wortelen np, nq, nr, ns,nbsp;n t zijn, zal gevolgeiijk worden:
3 Cy- D y nbsp;nbsp;nbsp;E zsz. o
wanneer de térmen eener verge-
f- n Ay‘^ -f- n- B y^ .
Het blijkt hieruit: ff ,, dat 55 dj king, den eerjlen af, tot den laatjien ingeflaten, ittnbsp;5, rangorde, met die der meetkunjiige reeks
I,
-ocr page 201-167
enz.
„ vermenigvuldigd worden, alk de wortels der komende ver~ gt;»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitgezonderd, ts malen groot er zullen zijn
55
dm die der gegevene,”
Men zal op dezelfde wijze betoogen: ff dat, wanneer de termen eener vergelijking, in rangorde, gedeeld worden doornbsp;de termen der meetkunjlige reeks
enz.
n,
zullen
de wortels der komende vergelijking één n^‘ gedeelte _zijn van die der gegevene.
§. 248. I. VoouBKELD. Laat gegeven zijn de vergelijking:
— 3y^ — 66}gt;- ‘gt;83' 9do = o, welker wortelen zijn 3, 5, —4 en —6; dan zal men uit dezelve tetflond eenenbsp;vergelijking in 2 kunnen afleiden, welker wortels gelijk zullen zijn aan driemaal de wortels der gegevene vergelijking,nbsp;namelijk aan 24, 15, — iz, — i3, ,, Men vermenigvuldi-51nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dat einde, derzelvcr termen met de meetkunjlige reeks
j4 —.3 ,3 — ö(5,y2 -f- ËSy -l- p6o ~ a 13nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;81
24 — P23 — JP422 nbsp;nbsp;nbsp;23762 -fquot; 777ÓO ~ O
5, en de komende vergelijking zal de begeerde zijn.quot;
§. 249. 2. Voorbeeld. Wil men, uit dezelfde vergelijking in 3», eene andere vergelijking in v afleiden, welker wortelsnbsp;dén-tiende van die der gegevene zijn; „ dan zal men derzel-„ ver termen, in rangorde, door die der meetkunjlige reeksnbsp;5, 1, 10, 100, looo, enz. deelcn
— nbsp;nbsp;nbsp;66“iquot; 88jy nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;960 z:: o
, nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IQnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;100nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lOOCO
v4 — o, 3 v3 — o, 66 nbsp;nbsp;nbsp; o, 088 V O5O9Ó ZZ. o
„ en de vergelijking, welke men op deze wijze verkrijgt, zal „ de begeerde zijn.quot;
§• 250. Men kan, met de meeste Schrijvers, deze eigenfehappen der vergelijkingen ook aldus, evenwel onzes oordeels minder duideiijk,nbsp;bewijzen. Stel y~nx; dan is x=zy :n, brengt men nu deze waarde van X in de vergelijking x^ x'*' -B quot;H C Z) x -j-£ 22 o over; dan verandert zij in
1-4 nbsp;nbsp;nbsp;^
-ocr page 202-i6S
WISKUNDIGE LESSEN.
welke, indien men nlle hare termen met vermenigvuldigt, in de vergelijkingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
s ^ji4 -{- nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cy^ »¦* -ö jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= o
die wij langs eenen anderen weg gevonden hebben, verandert.
Stellen wij wederom z — x-.n-, dan is x — r,z, en men zal dan op gelijke wijze vinden :
^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;_E __ o
«4 nbsp;nbsp;nbsp;«5
Het blijkt dan: ft nbsp;nbsp;nbsp;vlaau van den wortel x fechts x : n
of n X zal behoeven te feilen, om eene vergelijking te verkrijgen, welker wortelen het n-voud of het gedeelte van die der gegevensnbsp;vergelijking zullen zijn.
§. 251. * Eene vergelijking in «x zal zeggen: eene vergelijking , welker wortels het n - vond van eenige vergelijking in X zijn. üp dezelfde wijze, zal men door eene vergelijking in X : n verftaan, eene vergelijking, welker wortels hetnbsp;«ie gedeelte van de wortels van eenige vergelijking in x zij».
§. 252. ff Men kan deze eigenfehappen der vergelijkingen, op het voetfpoor van Budan, doen dienen, om.de wortels eenernbsp;•vergehjking, tot op minder dan één-tiende van de éénheid, tenbsp;benaderen.
Wij Imbben uit de vergelijking:
-f 2 x3 — 47 x^ — 47 * ¦j' 252 ~ o (zie §. 241. en de tegenzijde van tahclle N'* III.} gevonden, voornbsp;de vergelijkingen in (x — 5) en (x — 6)
I 4, 22 -f- 133 1.13 — 283 :r: o in O’-' —5)
I -f- 26 -j- 205 -j- 469 -f- nbsp;nbsp;nbsp;¦ 6 ~ o in (.V — 6}
en daaruit befloten: dat ’er, tusfehen x =2 5 en x — 6 een rvortel bellaan moet: indien wij nu elk dezer vergelijkingen met de reeks i,nbsp;lo, 10®, io3, enz. vermenigvuldigen; dni zullen wij voor de vergelijkingen in (10x^50) eu (10 X—5o) verkrijgen:
I -f- 220 -f* 13300 -f. 133000 — 2S30000 22 o I 4“ 260 4“ 20500 -b 469000 -|- óooco 22 onbsp;cn nu is het klaarblijkelijk: dat, wanneer men de eerde dezer vergelijkingen naar den regel van §. 230, behandelt, men door optelling
de
-ocr page 203-169
de vergelijkingen in (lox — 51), (lo^c—52) enz. verkrijgen zal, even zoo, sis dezelve in de laatfte kolom van de tegenzijde van ta-belle N® IIL voorkomen. Het blijkt nu, uit de opgave van dezenbsp;berekening; dat de wortel tusfehen 5 en 6, (zie §. 238.) begrepennbsp;zal zijn tusfehen -J. van 59 en _§ van do; of dat a: gt; 5, p ennbsp;X 6, o zijn.
§• 253. IMogtans hebben wij, in deze berekening, alles op den langen weg behandeld, en in dit geval kan men ten hoogfte negen afleidingen noodig hebben. liet blijkt uit de vergelijkingen in (*— s) en (x — 6): dat de wortel nader bij 6 dan bij 5 komt: men doet dannbsp;beter, wanneer men, gelijk hi §. 2^0. opgemerkt is, uit de vergelijking .:n (lox — 60), die in (lox—59) enz. afleidt, hetgeen doornbsp;aftrekken, in plaats van optellen, aldus afloopt-
I 260 nbsp;nbsp;nbsp;20500nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;469000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;öaaeonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fiox öo)
I quot;h 239 nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;20241nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-fquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;441^759nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;388759
I nbsp;nbsp;nbsp;-fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;25Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;19983nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;42877Ö
1 nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;257nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;19726
I -J™ nbsp;nbsp;nbsp;S56
1
komt voor de coëfficiënten van de vergelijking in (lox — 59)
I 256 nbsp;nbsp;nbsp;19726 -{• 428776 — 388759
en men komt alzoo, door ééne, in plaats van door negen afleidingen, tot de grenzen 5, 9 en 6, o, tusfehen welken de gezogte wortelnbsp;nioet begrepen zijn.
Wij hebben daarom, om dienzelfden wortel, op minder dan écn-honderdfte deel van het geheel, te vinden, van de teruggaande afleidingen gebruik gemaakt, Qzie het laatfte gedeelte van de laatfte kolom op de tegenz. van tab. N® lil.} en uit de vergelijking in (lox— 60),nbsp;na hare coëfficiënten op nieuw met de reeks, i, 10, 102, lo®, enz.nbsp;vermenigvuldigd te hebben, de coolïïcienten van de vergelijking innbsp;(loox — 600); en verder, uit deze laatfte, die van de vergelijkingennbsp;in (100X —599), (100X — 598), enz. afgeleid. Op deze wijzenbsp;worden ’er flechts twee afleidingen vereischt, om te vinden, dat denbsp;wortel tusfehen 5, 98 en 5, 99 begrepen is. De vergelijkingen.innbsp;(^100 X—'599} en (too—598} doen zien: dat de wöitel nadernbsp;aan 55 99 dan aan 5, 98 zal komen. Men leide dan, uit de vergelijking ia (lOQox—5990), die in (looox —SpS’S»)» (i°oox—5988)nbsp;enz. af: en men zal alzoo, in deze en in alle volgende afleidingen,nbsp;met de minfle moeite, do wortels knmien benaderen.
L 5 nbsp;nbsp;nbsp;§• =54*
-ocr page 204-I/O
§. ’254- tt Indien men deze wijze van afleiden volgt, zal, wanneer het volgend cijfer des wortels w)/is, het grootlle getal, namelijk vijf, afleidingen gevorderd worden, ff Gebruiktnbsp;men de afleiding bij optelling^ dan zal het aantal der afleidingen, noodig zijnde, om den ¦wortel te benaderen, gelijk zijnnbsp;aan het aantal cijfers, dat in den wortel voorkomt, vermeerderdnbsp;met de fom van die cijfers: maar, wanneer men zich beurtelings van de afleiding bij optelling en aftrekking bedient, zal,nbsp;in het ongunfligfle geval, wanneer de cijfers des wortels allenbsp;vijf zijn, het getal afleidingen gelijk zijn aan vijfmaal hetnbsp;getal cijfers, dat in den wortel voorkomt.
|
JfgêUide Vergelijkingsn. | |
|
in (^.v)..... | |
|
in (-V— O** |
• I-t- 3-1- nbsp;nbsp;nbsp;3—gt;744 |
|
in (a-— 2) . . |
.1-1- 6-1- 12—1737 |
|
in nbsp;nbsp;nbsp;3)•¦ |
- I 9 nbsp;nbsp;nbsp;—1718 |
|
in C-ï— 4) • • |
. I-I-Ï2- - 48-16S1 |
|
in nbsp;nbsp;nbsp;— 5).. |
. I-|-I5-f- 75—1620 |
|
in (.Y— 6) .. |
. 1 -p Iu-|- loS—1515) |
|
in — 7). . |
. I -j-2l -j- gt;47—gt;402 |
|
in {x— 8) .. |
. 1 -(-24-4-192—ngt;33 |
|
in (i— 9) .. |
. i-|-27-1-243—1010 |
|
in (.r—10}.. |
¦ 1-1-30-1-300— 743 |
|
in Qx—ll).. |
l-f-33-i-363— 4gt;4 |
|
in (o:—12) . . |
. nbsp;nbsp;nbsp;—' 17 |
|
in (_x—13) •• |
• I-[-.39-h507-1- 452 |
§. 255. ff Men kan, door het betoogde in §. 247, gemak-kelijk ontdekken: tusfehen welke tientallen, honderdtallen, enz. de wortels eener vergelijking invallen. Stellen wij, met Budan ,nbsp;de vergelijking —1745 = 0; dan zal men de vergelijkingen , welke in het nevenflaan-de tafeltje geplaatst zijn, moeten berekenen, om te vinden,nbsp;dat 'de cubiek-wortel uit het getal 1745 tusfehen 12 en 13nbsp;valt: dan, men kan dit werknbsp;aanmerkelijk bekorten, wanneernbsp;men de vergelijking —1745nbsp;= o, of, zoo men wil,
.T® -i-oxar^-f- oxat—1745 = 0 verandert in eene andere, welker wortels één-tiende van dienbsp;der gegevene zijn, of wanneernbsp;men de vergelijking in xnbsp;vormt: men zal tot. dat eindenbsp;de termen der vergelijking door die der reeksnbsp;I , 10, 10=^ , 10®
X
deelen, hetgeen, voor de vergelijking in —, geven zal;
.r® — 1, 745 “ o.
Hieruit zal men vinden voor de vergelijkingen
ni
-ocr page 205-171
amp;-0 o
* o o — I ,745 I 3 3 — ogt;745
I -J. 6 la *5) 255
En wanneer men de wortels der twee laatfte vergelijkingen,, door derzelver coëfficiënten met i, 10, 10^, lo-quot;, te vermenigvuldigen, tienmaal grooter maakt, zal men verkrijgen:
C^ —10) .... I 4- 30 -1- 300 — 745
in (o: — ao) .... I 4. 60 4- 1200 -p 0255
Men zal nu, uit de vergelijking in (x— lo), de coëfficiënten der vergelijkingen in (a:— ii), (ar— 12), Qx— 13), doornbsp;§. 230. onmiddclijk vinden kunnen (53).
§. 256. tt bekorting is nu niet flechts toepasfelijk op eene vergelijking van twee termen, maar op alle vetgelijkinnbsp;gen in het algemeen. Zoodra men, op het inzien van de coëfficiënten der gegevene vergelijking, reden heeft te denken; datnbsp;de grootfte wortel uit verfcheidene cijfers beftaan zal, zalnbsp;men uit dezelve vergelijkingen afleiden, welker wortels tien,nbsp;honderd, duizendmaal, enz. kleiner zijn, en men zal gevol-gelijk vinden: tusfehen welke honderdtallen, tientallen, éénheden, tiendeelen, enz. de wortel invalt.
Laat nog gegeven zijn de vergelijking:
4- 213 j;, —¦ 4384569 = o dan zal men vinden voor de coëfficiënten
tn r^ j.....1 o o ,oai3 — 4? 38456^
in ( ---1 ï . . . I 3 3,oai3 — 3,363169
JL — 2^ ... I 6 12,0213 3,655031 vioonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y
Het blijkt hieruit, dat ’er ten mitifte één wortel tusfehen loo en 200 valt: de vergelijkingen, in (a:— loo) en (x — 200)nbsp;zullen zijn:
ï
(53) Het blijkt hieruit: dat dc uittrekking van de woneU van alle Wiagten tevens met de oplosfing van de hoogere magts vergelykingen, innbsp;‘‘0 leerw^ze van Budan begrepen zijn. Peze oinftandigkcid is geen twg-^'elachtig bewijs van hare algemeenheid.
-ocr page 206-W^IS KUNDIGE LESSEN.
I 300 30213 — 3303209
I 600 I202I3 365Ö031
de vergelijking in —10) zal zijn
1 30 302, 13 — 3303,2(39
Uit deze zal men de coëfficiënten der vergelijkingen in . . . (t§^—ïO» Cï§(f—12)5 enz. vinden.
§. 257. ff Wanneer de wortels eener vergelijking
-^r AB x'^ nbsp;nbsp;nbsp; Z) ar E zz: o . . • («t)
door de letters p, r, s en t, worden uitgedrukt •, dan zul-len de wortels van de vergelijking:
dat is het omgekeerde van de wor-
.. I I 1 I 1
tels der gefielde vergelijking in x.
Want, volgens §. 210. zal—A—p-\-q-\-r-k-s-\-t; B—pq p r p s p t ^/* ^s ^r quot;k- r s r t s/ ^ — C m p qr
-\-pqs-{-pqt-\-prs-\~prt-^pSt-]Pqrs^qrt-\-qst-^rst; D —pqrs p qrt p qst prst-\-qrst-, — E—pqrstnbsp;zijn. Nu zal men vinden: dat
, D pqrs-irpqrt p qst -\-prst-\-qrst __I__
* ~E nbsp;nbsp;nbsp;—pqr~Ttnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
¦i- r— -------^ is. Het blijkt hieruit:
s r q p
dat ¦— gelijk is aan de ' D
negatieve fom der omgekeerde wortelen van (jd), en dat de breuk -g-
de coefficient moet zijn van den tweeden term der vergelijking {fi'),
I I I I nbsp;nbsp;nbsp;I
p ’’ q ’ r ’’ s nbsp;nbsp;nbsp;t
C_—p qr — p qs — enz.
— _____
C
welker wortelen 2° Voorts is
zijn.
— — enz.: pr
— pg r s t nbsp;nbsp;nbsp;P q i'
deze breuk — is derhalve, (als gelijk zijnde aan de fom vbn de prO'
düften der wortels, op aüe mogelijke wijzen, twee aan twee, genomen,) dé coefficient des tweeden terms van de vergelijking (^).
B _ 71 P r /»s enz. _ _\___
£ nbsp;nbsp;nbsp;— pqr stnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P q r
I
p q ^
3° Wederom is
TWEEDE CURSUS. 173
enz. — aan de foin van de produften der wortelen van de
I
pqs
Vergelijking (/3), drie aan drie, en negatief genomen..
enz. ~ aan
« nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—P—q—^—f .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
4° Verder is -p-—------— = ^--
E nbsp;nbsp;nbsp;—pqrstnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pqrs.
de fom van de produélen der wortelen, vier aan vier, genomen.
= aan het produft van alle de
5® Eindelijk is “
E ~ —pqrs i wortelen neg.atief genomen.
Men mag dan befluiten: dat — ,
P
van de vergelijking;
zullen zijn. Dit bewijs geldt voor alle hoogere magts vergelijkingen,
§. 258. ? Men noemt de vergelijking in y, welke, op deze wijze, uit de vergelijking in x wordt afgeleid, de vergelijking lot het omgekeerde van de wortels der gegevene.
§• 259. * Men verftaat door de limieten of de grenzen van de grootjie en kleinfle wortels eener vergelijking, getallen, welke of grootcr of kleiner dan de grootjie of kleinfle dezer wortelen zijn. Men heeft zich veel moeite gegeven, om de limieten van alle de wortels eener vergelijking te vinden: hetgeen men dien aangaande gedaan heeft, zal, in het vervolg,nbsp;beknopteVfik worden opsegeven. Wij bepalen ons thans alleen bij de volgende eivenfehappen der limieten, waarvan wijnbsp;het meeste gebruik zullen maken.
§. 260. ff IFanneer men in eene vergelijking X» P v'—I 4. Q^xo—- enz. Sx^ 'f x U= onbsp;in plaats van de onbekende x, de grootjie van de negatievenbsp;eoeffeienten, pojitief genomen, en met de éénheid vermeerderd,nbsp;aanneemt, zal deze waarde van x het voorjle lid der vergelijking altijd pofltief maken.
* Men
-ocr page 208-174
Men gevoelt al ten eerlle; dat men, in elke vergelijking, voor de onbekende, zulk een pofitief getal zal kunnen Hellen, hetwelk denhoogrnbsp;den term der vergelijking grooter maakt dan de fom van alle de negatieve termen; want, met een weinig opmerkzaamheid, moet mennbsp;hebben waargenomen; dat de hoogere magten van een getal zooveelnbsp;grooter dan de lagere magten worden, naar mate dit getal grooternbsp;genomen wordt. Het is nu klaarblijkelijk; dat het allerongunftigstnbsp;geval juist dat geene zijn zal, waarin men alle de coëfficiënten dernbsp;volgende termen negatief en gelijk aan den grootften negatieven coefficient der gegevene vergelijking maakt. Laat dan S de grootlle negatieve coefficient der vergelijking x'* -}- P x»—i enz. zz o zijn,nbsp;en nemen wij:
— óquot;xn—i — SX»—a — S xn-~i — enz. — S x — Szzo
dan zal men deze onder den vorm
x» — nbsp;nbsp;nbsp;(x»—inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a:»—2 -)- enz. -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l) =: o ... QA'}
kunnen Hellen; maar im is, volgens §. 838, I. C. of zoo men wil volgens §. 60.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
, nbsp;nbsp;nbsp;— I
x»~i 4- nbsp;nbsp;nbsp;2 4- enz, x 1 —--
a:— I
wij hebben derhalve in plaats van (/?) de vergelijking: vergelijking, welke men onder den vorm
« nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
X I X I
Hellen kan. Stellen wij nu, in plaats van.x, het getal N; dan zal men hebben:
4- -y
N— I nbsp;nbsp;nbsp;N— I ¦“ ®
Hot voorHe lid dezer vergelijking zal klaarblijkelijk pofitief zijn, in-dien men
/V» nbsp;nbsp;nbsp;-—
N—i
fielt; maar, wanneer men dan door deelt, zd
I nbsp;nbsp;nbsp;AT—I =r5',- QiN=zS J
zijn. Het blijkt düs: dat, wanneer.men nu in
.r« — 6quot; x”—t — x'i—2 — ef!z. t— S x — Szzo a? ~ ¦S’ 1 Helt, het voorfle lid dezer vergelijking pofitief zn! wor-?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;den,
-ocr page 209-175
den, en daar zulks in het ongunftigfte geval zal plaats hebben, mag men met regt bcfluiten: dat, wanneer men de onbekende gelijk.fteltnbsp;aan den grootften der negatieve coëfficiënten, pofitief genomen, eiinbsp;met één vermeerderd, de waarde van het voorde lid der vergelijkingnbsp;pofitief zal zijn.
§. 261. ft Deze uitkomst zal, (want zulks blijkt uit den geest van dit betoog ten klaarde,) pofitief blijv'cn, al neemt men de onbekendenbsp;nog.grooter dan deze limiet: men mag hieruit belluiten:. dat ’er, bovennbsp;die waarde van x, geene wortels der vergelijking kunnen gelegen zijn,nbsp;men kin gevolgelijk, tot eenen algemeenen Regel, dellen:
,, De limiet of grenspaal van den grootften der poftiieve „ wortelen is gelijk aan den grootften der negatieve coefficien-,, ten, pofitief genouien, en met de éénheid vermeerderd.'’'
161. .Daar het nu, uit §. 240. ge’oleken is: dat men door _ 3,-’ in plaats van .v te ftellen, de wortels, der ver-gelijkiiig in x negatief maakt, of de negatieve in pofitievenbsp;verandert, zoo zal, wanneer, na deze verandering van tee~nbsp;kens, R de grootfle negatieve coefficient is, i? i grooternbsp;dan de grootfle der pofitieve wortels in y zijn; gevolgelijk zalnbsp;— R — i grooter dan de grootfle der negatieve wortels vannbsp;de vergelijking in x zijn,
§. 263. Volgens deze beginfclen zal in de vergelijking: xS- -}- I — 47 x^ — 47 a: -S- — O'
'tl welke — 47 de grootde negatieve coefficient is, de grootde der pofitieve wortelen kleiner dan 47 i, en de kleinde der negatievenbsp;grooter dan —47— l zijn. Zoo als ook uit de oplosfing gebleken is.
§. 264. -j-j- Maar men kan, in de meeste gevallen, nadere limieten vinden. Deelen wij de wortels der vergelijking a:'! nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 47nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 47nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 252 tsetz o door ic; dail zal
volgens §. 240.
v^ o, 2v^ — 0,47 nbsp;nbsp;nbsp;— o, 047 V o, 025a = o
ziin : de grootde pofitieve wortel dezer vergelijking zal kleiner dan o,47-(- I, of kleiner dan 1,47 zijn^ gevolgelijk zal de grooifte wortel kleiner dan 14, 7 zijn.
§• 265. tt Men zal uit het betoogde in §. 257. gemakkelijk tene algemeene uitdrukking vinden, die altijd kleiner zal zijnnbsp;dan de kleinjh pofitieve wortel eener gegevene vergelijking.
Want,
-ocr page 210-I7Ö
Want, laten p, q, r, s, enz. t, u, in rangorde van grootte, de wortels der vergelijking
/* x»~i Q^xquot;—2 enz. nbsp;nbsp;nbsp;T x zz o
zijn, zoodanig dat p de grootfte en u de kleinile wortel zij; dan zal
uit §. 257. volgen: dat, in rangorde van grootte, nbsp;nbsp;nbsp;enz.-^^
-, de wortels van de vergelijking
r -ü zullen zijn; zijnde i :« de grootfte en i : p de kleinfle wortel.
Nemen wij nu: dat de grootfte negatieve coefficient dezer vergelij* king in j door —N tvorde uitgedrukt; dan zal uit §. 261. volgen:nbsp;dat iV I grooter dan de grootfte wortel, dat is, grooter dan i:«nbsp;zal zijn: indien wij nu de vergelijking, i:::: i, door iV i jgt; i :«nbsp;deelen; dan zal, omdat, wanneer dezelfde grootheid door een grooter getal gedeeld wordt, het quotient fteeds kleiner zal worden,
zijn, en het gebroken nbsp;nbsp;nbsp;is gevolgelijk altijd kleiner dan
de kleinfte pofitieve wortel der vergelijking in x.
Men zal nu gemakkelijk deze kleinfte limiet der pofitieve wortels van de vergelijking in x door de coëfficiënten van diezelfde vergelijking kunnen uitdrukken. Om dit oogmerk te bereiken, zal men —Nnbsp;of de grootfte negatieve coefficient van de vergelijking in , welkernbsp;coëfficiënten gebrokens zijn, die alle U tot gemecnfchnppelijken noemer hebben, moeten bepalen: hieruit vólgt dan: dat —iV, of de groot-Ile negatieve coefficient van de vergelijking in 7, van den grootfteunbsp;negatieven coefficient van de vergelijking in x, of van derzelver groot-ften pofitieven coefficient zal afhangen, naar dat de achterfte term Ünbsp;pofiticff of negatief is.
Indien U pofitief is; dan zal de grootfte negatieve coefficient van de vergelijking in x, gedeeld door den achterften term C/, gelijk zijnnbsp;aan den grootften negatieven coefficient van de vergelijking in ¦y.- laatnbsp;dan — S die grootfte negatieve coefficient in x zijn; dan zal, in ditnbsp;geval, N—S:U zijn, en de kleinfte pofitieve wortel in x, namelijknbsp;u, zal grooter zijn dan de breuk, i: (5:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i); dat is, de breuk
lt;7
177
Js kleiner dan de kleinfte pofitieve wortel van de vergelijking in x.
Is de achterfte term U negatief; dan zal de grootlle negatieve coef-.ficient der vergelijking in y ontllaan, wanneer de grootlle pofitieve coefficient der vergelijking in x door U gedeeld wordt. Zij M dienbsp;grootlle pofitieve coefficient; dan zal men vinden: datnbsp;£/:(M C/)
kleiner zal zijn dan de kleinfte pofitieve wortel.
§. 2.66. Men kan dan, volgens dit betoogde, als voorname en gewigtige grondregels aannemen :
,, Dat de grootfle negatieve coefficient eener vergelijking ^
pefitief genomen , en, ais zoodanig, met de éénheid vermeer-,, derd zijnde, de Jotn grooter dan de-grootfie pojiticve wor-5, tel dezer vergelijking zal zi/».”
„ Dat, wanneer men den achterjlen term eener verge-,, lijking deelt door dienzelfden achterfien term, vermeerderd „ met den grootflen negatieven coefficient, {pofitief genomen ,jnbsp;,, indien die achterfte term met het pofitieve teeken is aange~
,, daan; of, vermeerderd met den grootflen pofitieven coeffi„
,, cient, indien de achterfte term negatief is, het quotient al~ ,, tijd kleiner dan de kleinfte pofitieve wortel dezer ver geitj-55 king zal zijn.’’’’
S. a67. Deze twee regels geven, voor alle vergelijkingen, de grootlle en kleinfte limieten, tusfchen welke derzelvernbsp;pofitieve wortels begrepen zijn. ^Wij hebben §. 240. gezien:nbsp;dat men, door de verandering van de teekens der evene termen, de teekens van de wortelen eener vergelijking kan om- ¦nbsp;keeren. .ff Diezelfde regels zullen dan ook de grootfle ennbsp;kleinfte limieten der negatieve wortelen geven.
§. 268. Nemen wij, om den zin dezer i-egelen, door een paar voorbeelden, optehelderen, de vergelijkingen:
*4 — ixi —^ 23 a-2 nbsp;nbsp;nbsp;50 “ o......(O
(zie§.196 ep 197.) dan is,in de vergelijking (i), de grootfle pofitieve wortel kleiner dan 6 l “ 7, en de kleinfte pofitieve wortel grooter dan ïfnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Indedaad is de pofitieve wortel, zie §. i9lt;5, gelijk,
0,732 enz., en valt tusfchen 7 en 0,33. in de vergelijking (2), is de grootfle' pofitieve wortel kleiner dan 23 -f- i cZ 24; de kleinfte poiifie-’¦2 grooter dan 50 ; (50 -4. 23) tz. so. Keert men, in de gegevene ver-
II. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;Mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
-ocr page 212-i8o
5, éénheid is” Deze fom minder dan édn zijnde, zal ’er een wt)rtel kunnen beftaan. Dezelfde regel geldt voor elke twee op elkandernbsp;volgende afgeleide vergelijkingen.
Nu volgt, uit §. s.66, dat de kleinfte pofitieve wortel van de vergelijking in (x) grooter is dan _| of |; en uit §. 267. [in plaats van I — 2 — 3—8, nemende, in (—x'), i 2—3 8]: dat de klein-fte negatieve wortel (55) van de vergelijking in (x—i) grooter dartnbsp;zal moeten zijn: indien ’er nu een wortel tusfchen x — o ennbsp;x—i belfond, zou die wortel te gelijk meer dan | boven de nulnbsp;en meer dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;beneden de één, of | t| lt; i gt; moeten zijn: het
tegenftnjdige daarvan blijkt ten klaarlte, en doet ons wettig befluiten: dat ’er geen wortel tusfchen o en i beftaan kan.
De kleinfte pofltieve wortel der vergelijking in (ac— i) moet, volgens denzelfden regel, grooter dan |, en de kleinïfc negatieve wortel der vergelijking ia (x —• 2} grooter dan , of | zijn: maar § -j- |nbsp;is gt;¦ I: ’er beflaat dus ook geen wortel .tusfchen i en 2.
De kleinfte pofitieve wortel der vergelijking in (:v — 2) moet grooter dan i|, en de kleinfte negatieve wortel in (x — 3) grooter dan 5 zijn. ’Er kan dan ook geen wortel tusfchen 2 en 3 beftaan.
De limieten der kleinfte pofitieve en negatieve wortels van de vergelijkingen in (x — 3) en (x — 4) zijn Z en : hieruit is het dan ook zeker: dat ’er geen wortel tusfchen 3 en 4 beftaat.
liefchouwen wij nu nog den wortel, die tusfchen 4 en 5 valt. Ilij is, met betrekking tot de vergelijking, in (x—4), pofuief, en mindernbsp;dan nul, en ten opzigte van de vergelijking, in (x—5), negatief, ennbsp;valt tusfchen d en —i. Volgens den regel der limieten, moet hij,nbsp;met betrekking tot de vergelijking, in (x—4), grooter dan of |,nbsp;en, met opzigt tot de vergelijking, in (x — 5), meer dan i| beneden de nul zijn: hij valt gevolgelijk tusfchen 4| en 4|2, of, in tien-deeligen, tusfchen 4, 4 en 4, 72.
§. 272. Het blijkt hieruit: hoe men, 'met een’ opflag van het oog, (want deze uitfluitingen vereifchen niets meer dan 'nbsp;¦ een duidelijk begrip van de zaak,) meestal zal kunnen nagaan , of ’er worteis tusfchen twee op elkander volgendenbsp;tallen p en p 1 beftaan, (dat is, of eenige afgeleide verge-
lij-
(55) * Kleinjle negatieve wortel is, hier en in het vervolg» die negatieve Wortel, welke het na.ist aan nul komt.
-ocr page 213-i8i
lyking, in {x—/gt;), wortels tusfchen één en nul heeft,) en hoe bijgevolg de afleidingen van Budan, in zich zelven,nbsp;het hulpmiddel bevatten , om de grenzen der voorhandennbsp;zijnde wortels zeer nabij elkander te brengen.
§. 273. jf Elke onevene magts-vergelijktng heeft modza-kelijk éénen heflaanharen wortel ^ en deze zal poptief of negatief zijn, naar dat de achterfle term dezer vergelijking negatief of pqjitief is.
Laat wederom, gelijk in §. 260. in het algemeen,
Ox»-^ nbsp;nbsp;nbsp; enz. Sx'^ rsr f/= o
de vergelijking zijn. Nu hebben wij in §. 260. gezien: dat men, in plaats vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zulk een getal JV nemen kan, dat het teelten van de
uitdrukking:
p/n -j- p ]Sfn—ï 4- nbsp;nbsp;nbsp; enz. é -k-TN-fU
alleenlijk van den voorden term N» afhangt. Stellen wij nu: dat de exponent n oneven zij; dan zal iV» met N hetzelfde teeken of —nbsp;gemeen hebben. Dit alzoo gefteld zijnde, dan zal:
1° Wanneer U pofitief is, aan N zulk eene negatieve waarde kunnen gegeven worden, dat N», pofitief genomen, grooter dan de fora van alle de volgende pofitieve termen zal zijn: de onderftelling vannbsp;-v — — N zal dan het voorde. lid der vergelijking negatief, en dienbsp;v.ra tv “O, zal hetzelve pofitief maken; ’er zal dan, zie §. 200, eennbsp;negatieve wortel, tusfchen o en —N, beftaan.
2® Is U negatief; dan zal aan N zulk eene groote pofitieve waarde kunnen gegeven worden, dat N» grooter dan de fora van alle de volgende negatieve termen zal zijn: de onderflelling van a; “ -b zalnbsp;dan het voorfle lid pofitief, en x~o zal hetzelve negatief maken; ’ernbsp;zal bijgevolg een pofitieve wortel, tusfchen o en N, beftaan (56).
274. tl Wanneer de achterfte term eener evene magts-vergelijking negatief is, zal zij noodzakelijk éénen pofitieven en éénen negatieven wortel hehhen: maar, is die term pofitief,nbsp;dan zal men daaruit, met zekerheid, niets tot het heflaan vannbsp;heflaanbare wortels kunnen opmaken,
riet
fsöj Deze eigenfchap ftemt overëéii met die der eevftc niagts-vergelijkin-jien, welke tot den vorm x ^ ZZ o ^ of x — a zsz o, kunnen gebragt Worden: zij hebben cenen wortel a-— — « ('f .vrt-bo, welke poli-tief of negatief is, naar dat de achterfte term negatief of pofitief is.
M 3
IÖ2
WISKUNDIGE LESSEN.
Het zij men, in dit geval, TVpofitief of negatief neme, zal «en N, als getal, in het afgetrokkene, zoo groot nemen kunnen, dat N» groo-ter dan de fom van alle de volgende termen wordt, en, daar, in beidenbsp;gevallen, fV» pofuief zal zijn, zal men of —N zoo groot nemen kunnen, dat het voorfte lid der vergelijking pofitief wordt: wanneer nu U negatief is; dan zal de waarde van het voorfte lid, doornbsp;x—o, ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—iV te flellen, beurtelings pofitief, nega
tief, pofitief worAcn: de vergelijking zal dan noodzakelijk éénen po-fitieven wortel tusfehen -f /V eti o, en éénen negatieven tusfehen o en — /Vhebben: maar is U pofitief; dan zal men daaruit, met zekerheid,nbsp;niets tot het beflaan van beftaanbare wortels befluiten kunnen (57).
Merkwaardige Regel van Descartes voor het verkennen der pofitieve en negatieve wortels.
275. * Wanneer de termen eener hooge magts-vergelij-king naar de afdalende magten der onbekende grootheid welgeordend zijn, zegt men: dat twee op elkander volgende termen eene afwisfeling van teekens hebben, indien zij metnbsp;-H en — of met — en -f- zijn aangedaan; en eene permanentie of heflendigheid van teekens, wanneer zij beide met
hetzelfde teeken -p -j- of --zijn aangedaan.
§. 276. ff Stelling. ,, Wanneer alle de wortels mier ,, vergelijking heft aanhaar zijn; dan heeft zij even zoo velenbsp;pofitieve en even zoo vele negatieve wortels, als hr afwisfe-„ ling en permanentien van teekens, in de opvolging van der-,, zelver welgeordende termen, voorkomend''
§, 277. Opheldering. Deze is de vermaarde leerftelling van Descartes, welke fommigen, ten onregte, aan Harriot hebben toegeëigend (58). Wij zullen, daar het van veel belang is, den zin van
dien
(57) nbsp;nbsp;nbsp;Vergelijk-deze grondftelling met het bewezene in §. 110. en denbsp;tafel van §. 116.
(58) nbsp;nbsp;nbsp;Wolf, ih zijne EUm. Anal. Finit. §. 330, Saunderson, in zijn®nbsp;Algebra, §. 434- en anderen, waarlcliijnlijk, door de gefchiedkundige verhandeling der Algebra van Wallis , een werk, dat alleen fchijnt gefehre-ven te zijn, om den roem van Harriot, ten koste van dien van VieTA ennbsp;Descartes, te verhellen, misleid, febrijven de uitvinding van dien regelnbsp;aan Harriot toe : docli, daar ’er in Harriot’s fchriften niets van den-
zcl-
-ocr page 215-, nbsp;nbsp;nbsp;^3—— 29 ar 105 = 0
X* 2 x^ — 4-7^^ — 47 a; 252 = o De eerfle heeft éénen negatieven en twee pofitieve wortels; de tweede twee pofitieve en twee negatieve. Na brengen (dit is de zin vannbsp;den regel,) die wortels noodzakelijk mede: dat ’er, in de eerfte verge, ijking, twee afwisfelingen van teekens, te weten .(-j--)
C h), en ééne permanentie of blijving (--) moeten plaats lieb-
beu; en dat ’« insgelijks, in de tweede vergelijking, twee afwisfelin-
(--), zullen moeten voorkomen, ft Maar, men mag de ftetling
niet omkeeren, en, uit het aantal afwisfelingen en permanentien, 'Welke men in eenige vergelijking benm'kt, tot het aantal van der-zelver pofitieve en negatieve wortels bejluiten; want men zou, doornbsp;zulk een onbedachtzaam befluit, zich zeer vergisfen, gelijk blijken zal,nbsp;wanneer men de vergelijking x'^—w®—Sx’^ iax—ö=o, welke
zelven gevonden wordt, en een hodendaagsch Engelsch.Wiskundige, Horsley, onpartijdiger dan Wallis, in zijne aanmerkingen opNEWTOM^nrAw. Vniy. pag. löö, te regt zegt IJcriotus de numero radicum nil planenbsp;fani hahet. Fir mugtne quUhm diligently fed mediocris ingenii ea fet enbsp;sa Algebraicis intelhxit, quy d Cardano et Fieta acceperat, heeft men,nbsp;om deze en meer andere gewigtige oordeelkundige redenen, Descartesnbsp;in zijn regt van eigendom herfteld. Men is dus aan dien grooten man denbsp;ontdekking cener waarheid verlchuldigd, die, hoezeer zij lang onvruchtbaar bleef, in de handen van ISüdan, gelijk wij ftraks zien.zullen, eennbsp;?ruchtbaar hulpmiddel tot de oplosfing der vergelijkingen geworden is.nbsp;Descartes geeft dezen regel in zijne Geometrie, Cpag. 108. Ed. dc .Parisnbsp;1703.) zonder bewijs. Het heeft niet ontbroken aan bedenkingen, die mennbsp;tegen dezelve geopperd heeft: dan, deze zijn, door de bewijzen, welkenbsp;de GüA, in deMtm. de PAcad. des Sciences de Paris 1741, Segner, in denbsp;ilWffi de VActtd. des Sciences de Perlin 1756, (welk bewijs LacrOIX innbsp;zijne Traité du Calcul Difcrentiel Tom. l.pag., overgenomen heeft,)nbsp;en die van anderen, weggenomen, en men kan Descartes regel thans onder de zekerfte van alle waarheden hellen. Die beroemde mapnbsp;bP de .aangchaalde plaats, zijne helling aldus opgegeven: ,, On fonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘
„ eed combien il pent y avoir de racinis vrayes (pofitives) et combien „ de fausfes (négativesj) en cheque Equatie», a favoir, il en peut avoirnbsp;„ autant de vrayes que les fgnes rt - s’j ‘gt;-dlt;ve,n de fels ckan-„ gés, et autant de fausfes qu’il s'y tnusve de Jeis iietix fgstes 4“, eunbsp;„^deux fignts ~ j,,; Pensrefuivent, et:.''
M 4
-ocr page 216-182
Het zij men, in dit geval, A^pofitief of negatief neme, zal men N, als getal, in het afgetrokkene, zoo groot nemen kunnen, dat N» groo-ter dan de fom van alle de volgende termen wordt, en, daar, in beidenbsp;gevallen, N» pofitief zal zijn, zal men ZV of —N zoo groot nemen kunnen, dat het voorfte lid der vergelijking pofitief wordt: wanneer nu U negatief is; dan zal de waarde van het voorfte lid, doornbsp;xz=.-\-N, iv=o, en —A?'te ftellen, beurtelings pofitief, negatief, en pofitief worden: de vergelijking zal dan noodzakelijk éénen po-fitieven wortel tusfehea -j- iV en o, en éénen negatieven tusfehen o ennbsp;— Afhebben: maar is U pofitief; dan zal men daaruit, met zekerheid,nbsp;niets tot het beftaan van beftaanbnre wortels befluiten kunnen (57).
Merkwaardige Regel van Descartes voor het verkennen der pofitieve en negatieve wortels.
§. 275. * Wanneer de termen eener hooge magts-vergelijking naar de afdalende magten der onbekende grootheid welgeordend zijn, zegt men: dat twee op elkander volgende ¦termen eene afwisfeling van teekens hebben, indien zij metnbsp;-f- en — of met — en -f- zijn aangedaan; en eene permanentie of hejlendigheid van teekens, wanneer zij beide metnbsp;hetzelfde teeken -f of ---zijn aangedaan.
§. 276. f-j- Stelling. ,, Wanneer alle de wortels êener ,, vergelijking heftaanbaar zijn; dan heeft zij even zoo velenbsp;„pofitieve en even zoo vele negatieve wortels, als 'er afwisfe-,, Ung en permanentien van teekens, in de opvolging van der-,, zelver welgeordende termen, voorkomen.quot;
§. 277. Opheldering. Deze is de vermaarde leerftelling van Descartes, welke fommigen, ten onregte, aan Harriot hebben toegeëigend (58). Wij zullen, daar het van veel belang is, den zin van
dien
(57) nbsp;nbsp;nbsp;Vergelijk. deze grondftclling met het bewezene in §. iio. en denbsp;tafel van §. 116.
(58) nbsp;nbsp;nbsp;Wolf, ih zijne KUm. Anal. Fiait. §. 330, Saunderson, in zijn®nbsp;Algebra, §. 434. en anderen, w.aarfchijnlijk, door de gefchiedkundige verhandeling der Algebra van Wallis, een werk, dat alleen fchijnt gefthre-ven te zijn, om den roem van Harriot, ten koste van dien van Vieta ennbsp;Descartes, te verheffen, misleid, fchrijven de uitvinding van dien regelnbsp;aan Harriot toe : doch, daar ’er in Harriot’s fchriften niets van den-
zcl-
-ocr page 217-183
dien regel behoorlijk te verton, denzelven door een paar voorbeelden ophelderen. Nemen wij, tot dat einde, de vergelijkingen:
, nbsp;nbsp;nbsp;^3—5;^“ — 29 x-j-105 = 0
2 ^-3 _ 47 nbsp;nbsp;nbsp;_ 47 X -j- 252 = o
De eerlle heeft éénen negatieven en twee pofitieve wortels; de tweede twee pofitieve en twee negatieve. Nu brengen (dit is de zin van den regel,) die wortels noodzakelijk mede: dat ’er, in de eerfte vergelijking, twee afwisfelingen van teekens, te weten (d--) en
C--b), en 6éne permanentie of blijving (--) moeten plaats heb
ben; en dat ’et insgelijks, in de tweede vergelijking, twee afwisfelin-
gen (-| nbsp;nbsp;nbsp;) en (--P), benevens twee permanentien, (-j—b) so
(--), zullen moeten voorkomen, f-t Maar, men mag de ftelling
niet omkeeren, en, uit het aantal afmsfelingen en permanentien, welke men in eenige vergelijking bemerkt, tot het aantal van der-zelver pofitieve en negatieve wortels befluiten; want men zou, doornbsp;zulk een onbedachtzaam befluit, zich zeer vergisfen, gelijk blijken zal,nbsp;wanneer men de vergelijking x‘^—x'^—^x^-^\2x—6=0, welke
twee
zelven gevonden wordt, en een hedendaagsch EngclschWiskundige, Horsley, onpartijdiger dan Wallis, in zijne aanmerkingen opNEWTONi^rif/iw. Vniv. pag. 166, te regt zegt: ¦ Ileriotas de numero radictim nil planenbsp;fani hahet. Vir magiiie quidstn diligenthe fed mediocris ingenii en fei enbsp;in Algebraicis intelhxit, qua d Cardano et Vieta acceperat, heeft men,nbsp;om deze en meer andere gewigtige oordeelkundige redenen, Descartesnbsp;in zijn regt van eigendom herfteld. Men is dus aan dien grooten man denbsp;ontdekking cener ¦ waarheid vertchuldigd, die, hoezeer zij lang onvruchtnbsp;baar bleef, in de handen van JIUdan, gelijk wij ftraks zien.zullen, eennbsp;vruchtbaar hulpmiddel tot de oplosfing der vergelijkingen geworden is.nbsp;Descartes geeft dezen regel in zijne Geometrie, (_pag. 108. Ed. de Partsnbsp;1705O zonder bewijs. Het heeft niet ontbroken aan bedenkingen, die mennbsp;tegen dezelve geopperd heeft: dan, deze zijn, door de bewijzen, welkenbsp;de Gua , in denz^Hi. tie PAcad, des Sciences de Paris 1741, SegNER , ill dcnbsp;Ptlént de VAcad, des Sciences de Berlin 1756, fwelk bewijs Lacroix innbsp;zijne Traité du Calcul Diffcrentiel Tom. I. pag., overgenomen heeft,)nbsp;en die van anderen, weggenomen, en men kan Descartes regel thans onder de zekerfte van alle waarheden Hellen. Die beroemde map heeft,nbsp;op de aangehaalde phiats, zijne Helling aldus opgegeven: ,, Oquot; qonnoit denbsp;„ ceei comhien il q-.cnt y avoir de racines vrayes (polltives) et comhïennbsp;„ de fausfes (négativcs) en ehaque Equation , d fi-avoir, il en peut avoitnbsp;„ autant de vrayes que les figncs et -
», jcJ, et autant- de fausfes qu'il s'y trots-,-e de pols ueux fgaes , deux Jignts — qui s'tntrefuivent, etc.quot;
M 4
-ocr page 218-2ie
twee onbeftaanbare wortels, il lK-s en §. 196, lieeft, aandachtig overweegt; want, niet tegenftaande’er, innbsp;derzelver termen, drie afvvisfelingen en ééne permanentie voorkomen,nbsp;heeft zij flechts éénen pofitieven en éénen negatieven wortel, en geennbsp;drie pofitieve wortels met éénen negatieven, zoo als uit de teekens,nbsp;indien alle de wortels beftaanbaar waren, volgen zou. Men kan alleen zeggen: ff Eene vergelijking kan geen meer: maar wel mindernbsp;pofitieve en negatieve wortels hebben, dan 'er afwhfelingen. en perma-nentien van teekens in derzelver termen voorkomen. Wij zullen hetnbsp;bewijs van deze Helling, (jwaarvan men zich intusfchen door induélienbsp;kan overtuigen,) omdat deszelfs uitgeftrektheid ons thans te ver zounbsp;afleiden, in de biivoegfels opgeven.
§. 278. ff Wanneer de wortels eener vergelijking alle beftaanbaar zijn, en men die vergelijking met i o vermenigvuldigt; dannbsp;zal het produét eene vergelijking zijn, welker exponent één hoogernbsp;is, en die ook eenen negatieven wortel meer dan de gegevene zalnbsp;hebben: in dit produél zal bijgevolg ééne permanentie meer dan innbsp;de gegevene moeten voorkomen: heeft zulk geen plaats-, dan'zijnnbsp;ook alle de wortels der gefielde vergelijking niet hefiaanhaar. ]_):jnbsp;teekens van de termen der vergelijking .v^ — S p — ïox —nbsp;$Q — o toonen aan: dat ’er drie pofitieve wortels en één negatievenbsp;beftaan kunnen: maar, indien men deze vergelijking met x -j- i — o,nbsp;vermenigvuldigt; dan zal het produél x^ — 7 x't — x^ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 6ox
— nbsp;nbsp;nbsp;50“O, in die onderfteliing, drie pofitieve en twee negatieve wortels moeten hebben: maar, daar ’er nu in dit laatfte produél niet meernbsp;dan. éénen pofitieven wortel beftaan kan; mag men befiuiten: dat denbsp;gegevene vergelijking twee onbeftaanbare, met (zie §. 274.) éénen pu-fitieven en éénen negatieven wortel heeft. Dan, men zal, op dezenbsp;wijze, het beftaan der onbeftaanbare wortels niet altijd kunnen verkennen.
§. 279. Maar, hoe zal de regel van Descartes moeten yerftaan worden , indien de vergelijking onvolkomen is, en één of meer' van dcr-zelver termen ontbreken? In dit geval, kan de vergelijking (gelijk ia §. 158.en §. 255.) volkomen gemaakt worden, wanneer men voor denbsp;coëfficiënten der ontbrekende termen nul aaiineemt: maar nul, geenenbsp;waarde hebbende, kan aangemerkt worden, als met de teekens of
— nbsp;nbsp;nbsp;te zijn aangedaan, en men kan, in plaats van x^ -\-px
bij voorbeeld, fchrijven: x® ox^-l-px ^—o; en in plaats v.an x3 —p~o, wederom x3 -f- o -f- o x —p ~ o, enz.
§. 280.
-ocr page 219-§. 280. ft Maar, dit dubbelde teelten van de nul, in eenen ontbre^ kenden term, verklikt, in fommige gevallen, dat eene vergelijking onbe^nbsp;llaanbare wortels heeft; bij voorbeeld, innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
want, h§t fpreekt van zelfs: tt nbsp;nbsp;nbsp;wanneer alle da wortels van
zulk eene vergelijking bejiaanhaar zijn: de teekens altijd dezelfde uitkomst zullen moeten geven, het zij men zich van het bovenfte of benedenfle teeken becliene. In ons voorbeeld, geeft het bovenfte tee-ken drie negatieve, het benedenfte twee pofitieve en éénen negatievennbsp;wortel: dit tegenftrijdige bewijst nu klaarblijkelijk het onbeftaanbarenbsp;van twee wortels, en, wanneer men deze gevolgtrekking met het be-wezene in 273. vergelijkt, dan volgt hieruit: dat de vergelijking
-\-px -\-q — o flechts dénen negatieven beftaanbaren wortel heeft. Men zal, op dezelfde gronden, mogen befluiten: dat de vergelijkingnbsp;a:3 -{.px — q=o flechts ééneti beftaanbaren pofitieven wortel hebbennbsp;kan. In de vergelijking x'^ —p x — ^quot;o, waarvoor men fchrijvennbsp;kan:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—px—q—o, wordt geene tegenftrijdigheid tusfchen
de opvolging der teekens, het zij men zich van het bovenfte, of het benedenfte teeken , bedient, gevonden: alle hare wortels kunnen dusnbsp;beftaanbaar zijn; echter mag men, uit deze overëénftemming der teekens, wederom niet tot de beftaanbaarheid van alle hare wortels befluiten. Men kan hier bijvoegeu: 11 Dat, wanneer’’er in eene vergelii-king een term ontbreekt, en de termen, welken dien ontbrekenden on-wtddelijk voorgaan en volgen, niet hetzelfde teeken zijn aangedaan,,nbsp;deze vergelijking ten minjie twee onbcjlaanbare wortels moet hebben.
Gebruik van Desc.vrtes Regel in de Leerwijze van Budan.
§. 281. De regel van Descartes is, in de Leerwijze van Buüan, van eene zeer uitgeflrekte toepasfing. Bepalen wij,nbsp;oin deze toepasfing zigtbaar te maken, onzen aandacht bijnbsp;de afgeleide vergelijkingen, in (x—i), (x—-a), (x—3),nbsp;enz., welke op de tegenzijde van tabelle N° III. voorkoinen.nbsp;Men zal bemerken: dat de vergelijkingen, in (x—i), (^—2)nbsp;hetzelfde aantal van afwisfelingen en permanentien, als denbsp;vergelijking, in (x), hebben: maar,daar de vergelijking, welkenbsp;op die tafel geanalyfeerd is, éénen wortel tusfeben a en 3nbsp;heeft, zal de vergelijking, in (x—3), éénen pofitieven wortel minder, en éénen negatieven wortel meer dan de vergelii-
i86
WISKUNDIGE LESSEN.
king, in C-^—2) moeten hebben; nu heeft ’er ook, in (x—3), ééne afwisfeling minder eri ééne permanentie meer, dan innbsp;(.T—2), plaats. De vergelijkingen, in —4), (x—5),nbsp;blijven hetzelfde getal permanentien en afwisfelingen behouden als de vergelijking, in (x — 3); maar, daar de gegevenenbsp;nog éénen wortel tusfchen 5 en 6 heeft, zal de vergelijking,nbsp;in (x—6), ééne afwisfeling minder en ééne permanentie meer,nbsp;dan die in (x — 5), moeten hebben, zoo als ook dadelijknbsp;bevonden wordt. Men zal dan, metCuDAN, kunnen Hellen.
§. 282. ff „ nbsp;nbsp;nbsp;vergelijking, in (x), welker wortels^
,, alk zonder uitzondering, beftaanhaar zijn, zal even zoo „ vele wortels, tusfchen nul en p, hebben, als 'er permanen-„ tien van teekens in de vergelijking, in (x—pj, meer dannbsp;„ in de gegevene vetgelijking, in (x), voorkomen.quot;
§, 283. -j-f Doch, men mag deze (telling niet omkeeren, en zeggen: dat eene vergelijking, in (x), even zoo vele wortels tusfchen nul en p zal hebben, als 'er permanentien van teekensnbsp;meer in (x — p), dan in (x) voorkomen: want het ongerijmde daarvan kan, door vele voorbeelden, bevestigd worden:nbsp;men kan alleen vastftellen: ff „ Dat eene vergelijking zoonbsp;,, vele wortels, tusfchen nul en p, kan hebben, als 'er permanen-„ tien van teekens in (x—p') meer, dan in (x), voorkomen.quot;
284. Dit alles is een onmiddelijk gevolg van den regel van Descartes', gelijk ook uit denzelven volgt: ff ,, Datnbsp;„ eene vergelijking geen één, twee of n wortels, tusfchen nulnbsp;„ enp, zal kunnen hebben, indie.n de vergelijking, in (x—pj,nbsp;,, niet respeétievelijk één, twee of n permanentien van teekensnbsp;„ meer dan de vergelijking in (x) heeft.quot;
§. 285. ff PFanneer eenige vergelijking, /n(x), geenepoji-tieve wortels tusfchen nul en één heeft-, dan zal de vergelijking lot derzelver omgekeerde wortels, (zie hoe deze wordt opgemaakt §. 257.) ook geenepofitieve wortels kunnen hebben,nbsp;welke grooter dan één zijn.
¦\yant nemen wij de letters p, q, r, s, enz. voor de pofitieve wortels eener vergelijking, in (x), cn (tellen wij: dat zij alle grooter dan één zijn; dan zullen de wortels der vergelijking, in (i :x),
-ocr page 221-187
I I nbsp;nbsp;nbsp;I I
— , — j — j — , enz. p ’ qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r quot; s ’
en gevolgelijk alle minder dan de éénheid-, waaruit volgt: dat de wortels der vergelijking, in (j), of (i :*), tusfehen nul en één zullen vallen, en dat onder,dezelve geen zal gevonden worden, die grooternbsp;dan de éénheid, is.
Over de Verkenntngi-VergeVt'^Vingen en derzelver gebruik.
§. 286.^ Indien men dan uit eene vergelijking ^ in (-v), de vergelijking tot de omgekeerde wortels., in (i:x), opmaakt,nbsp;en, uit deze Iciatjle, eene vergelijking, in ix— ij, wel-'nbsp;ker wortels ‘met één verminderd zijn; dan zal, indien de tee-kens der coëfficiënten van de termen dezer laatjle vergelijkingnbsp;alle pojitief zijn, daaruit noodzakelijk volgen: dat de gefielde vergelijking, in (x), geene pofitieve wortels, tusfehen éénnbsp;en nul, zal hebben.
X . . . . I — nbsp;nbsp;nbsp;5— 29-i-ios •
105— 29— 5 I -j-tos-}- 76 71-f- 72nbsp;105 quot;T l'i ï -jquot; 252nbsp; 105 -p 286
105
Zij, om zulks optehelderen, | gegeven de vergelijking:
—29 x-j-105:1:0 welker wortels 3. 7 ennbsp;~-5 zijn; dan zal, zie §. 257,nbsp;de vergelijking, in i : jc, of 31nbsp;zijn:
105 •quot; nbsp;nbsp;nbsp;105-
of, met 105 vermenigvuldigende
105 33 _ 29 3^ — 5 3, 4. I — o Men heeft derhalve, voor de coelBcienten der vergelijkingnbsp;in (3) . . . • 105 — 29 — 5 - ¦ Inbsp;waaruit men, zie bovenftaande afleiding, voor de CoeiBdentcn dernbsp;vergelijking, welker' wortels één minder zijn
in (j — i) . . . . 105 -j- 286 252 nbsp;nbsp;nbsp;72
vindt: daar nu de teekens van de termen dezer vergelijking alle po-fitief zijn, zal men daaruit mogen befluiten: dat de gegevene vergelijking, x3 — 5 ^2_29 X 105 — o, geenen wortel tusfehen nul
en één heeft.
§. 287- VV^anneer men, volgens §. -3° nbsp;nbsp;nbsp;*^35?
gegevene vergelijking, de vergelijkingen, in (x—i), (x—2),
enz.
y
-ocr page 222-i88
WISKUNDIGE LESSEN.
enz. heeft afgeleid, zal men, uit dezen, de vergelijkingen tot de omgekeerde wortels, in (i:x), (i: C;r—i)), (i:(jc—2)),nbsp;enz. en, in het algemeen, de vergelijking, in (i : (x—/)),nbsp;kunnen afleiden: * die wij in het vervolg de vergelijkingen innbsp;y-gt; Jiinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz yp, zuilen noemen; uit deze laatfte we
derom de vergelijkingen, in (3;—i), (,yi — i)» öa — i), enz^ en algemeen, in — i)-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* Budan noemt deze ver
gelijkingen collaterale vergelijkingen. * Wij zullen dezelve, daar zij het afwezen van wortels, tusfchen nul en één, ken-kaar maken, verkennings-vergelijhingen noemen.
§. 288. ff Elk ééne der afgeleide vergelijkingen heeft hare eigene verkennings-vergelijking, welke, gelijk wij zoo evennbsp;zagen, naar aanleiding van §. 257. aldus gevormd wordt:nbsp;5, Men fchrijve de coëfficiënten van de vergelijking, welkernbsp;,, verkennings-vergelijking men opmaken wilt in eene omge-,, keerde orde, na dat merit indien de achterjie term negatiefnbsp;„ is, alle de: teekens der coëfficiënten heeft omgekeerd: mennbsp;5, heeft alsdan de vergelijking tot de omgekeerde wortels ^ nilnbsp;,, welke men^ naar den regel van §. 230, de verkennings-ver-5, gelijking opmaakt.
§. 289. Laat, gegeven zijn de vergelijking: izx^ — I20x*
326X—127=:o; dan za! men, door dezen regel, vinden:
yerkennintps-ver^elijkin^en.
Afgeleide yer^elijklKgeii,
......12 — 120-[-32Ö —127 .
-I ... 12— S4-J-i22-f- 91 . -2... 12— 48— io-i-141 .nbsp;-3... 12— 12— 70 95 .nbsp;-4 ... 12 24— 58 25 .nbsp;~5..,12 60 2Ó nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3.
127 55 — 151— 91 91-I-395 433 141nbsp;141 413 355 95nbsp;95 215 133 25nbsp;25 -17— 17 3nbsp;S 33 I2I lOI
¦ . C-0 ••
• nbsp;nbsp;nbsp;¦ 0-4-O
Uit dit tafeltje, in hetwelk de verkennings-vergelijkingen, nevens de afgeleide, tot welke zij behooren, geplaatst zijn, blijkt liet: datnbsp;de vergelijkingen, in (x—i), Qx — 2), (x — 3) , geene wortelsnbsp;tusfchen nul en één hebben kunnen, en dat gevolgelijk de gefieldenbsp;vergelijking ook gc-encu wortel tusfchen één en drie hebben kan.
§. 290. ff. Men mag evemvel wederom deze felling omkeereiit en, uit de afwisfeling van de teekens der verkennings-
-ocr page 223-189
ttings-vergeUjking, tot het hejiaan mn wortels lusfchen nul en één bejluiten-, omdat 'er in dezelve eene afwisfeling van tee-hens, zonder het heft aan van pofitieve wortels, kan plaatsnbsp;hebben.
§. 291. Het is van belang, dat wij aantoonen; lioe zulks kan plaats hebben. Indien de vergelijking, in x—p, geenen wortel tusfchen nulnbsp;en één heeft; dan zal de vergelijking, in 31^ geenen wortel hebben, dienbsp;grooter dan één is, en de vergelijking, in (jp — i), bijgevolg gecnenbsp;dan negatieve wortels; alle de faftoren van het eerfte lid dezer vergelijking zuilen derhalve van den vorm yp — i -1” ^ijn; wanneer'nbsp;nu deze tweeledige faéioren met geene andere drieledige, die onbe-ftaanbare wortels geven kunnen, dan die den vormnbsp;— 1) 2.
hebben, in de zamehftelling verbonden zijn; [de getallen A, P en Qj pofitief, A grooter dan één en i ^ zijnde,] dan zal el klaarblijkelijk, in de verkennings-vergelijking, geene verwisfeling van teekensnbsp;kunnen plaats hebben. Nu geeft de fador 7- 1)^ -P 0^ — i)nbsp;-j- j9, indien zij gelijk nul gefteld wordt, onbeftaanbare wortels, dienbsp;van den vorm
yp~i=-iP±yap^~o)
zijn; waaruit dan volgt: ft 'Wanneer het beflaanbaar gedeelte Van de onbefiaanbare wortels der vergelijking in yp — i negatief is ^nbsp;deze wortels geene afwisfeling van teekens kunnen te weeg brengen,
§. 2p2. j-f Het zijn alken de onbeftaanbare wortels van den vorm a-^JA— b; welke aanleiding tot de afwisfeling san teekens geven, en ons, wegens het bejlaan der pofitieve wortelen s waarvan diezelfde afwisfeling een gevolg is, in het onzekere kunnen laten, Denbsp;Onbeftaanbare wortels van die foort volden uit drieledige of tweedenbsp;magts-faéloren van den vorm
0;, — ly—P Qjp _ 19 o onder beding, dat (f^lP^ zij. Deze allen kunnen, met de faftorennbsp;van den vorm — 1 A verbonden, onder zekere bepalingen, dienbsp;nader verdienden onderzogt te worden, eene afwisfeling van teekensnbsp;te weeg brengen. Stellen wij nu: dat de vergelijking, in x—p^ eettnbsp;of meer twee-tallen van onbeftaanbare wortels van den vorm anbsp;y—b hebbe; dan zal men kunnen ftellên:
x—p=: a-i-y~
,__i___a y-b
’ ^^~'a y~b'~ a- b
en
-ocr page 224-WISKUNDIGE LESSEN.
V-
en y. — izz
en deze waarde van — i bevat den vorm van de onbeftaanbare wortels der verkennings-vergelijking, welke met die der vergelijking, waaruit zij volgt, in het teelten van het beflaanbare deel overëdnllemt.nbsp;Het beflaanbare deel van dien onbeftaanbaren wortel kan niet pofltiefnbsp;zijn, indien niet -gt;r h kleiner dan a is, en deze voorwaarde kartnbsp;wederom niet vervuld worden, indieu a en b beide geene breukennbsp;zijn, en b kleiner dan a —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, of ^ kleiner dan a x (r —a') zij;
waaruit volgt: dat è minder dan i. of 0,25 moet zijn; omdat, gelijk bekend is, het grootfle produfl: van ééne breuk, met zijn complement tot de éénheid, één-vievde is.
293. nbsp;nbsp;nbsp;Het zijn dan alleen de onbeftaanbare wortels dernbsp;verkennings-vergelijking, welker beftaanbaar deel pofitief, ennbsp;te gelijk minder dan édn is , en waarin het negatieve gebroken , onder het wortel-teeken, minder dan één-vierde is, dienbsp;eene twijfeling, door de afwisfeling van derzelver teekens,nbsp;tusfchen de pofitieve en onbeftaanbare wortels kan te weegnbsp;brengen: dan, deze twijfeling houdt op plaats te hebben,nbsp;wanneer men de afleidingen verder voortzet; want men zalnbsp;alsdan de wezenlijke wortels, die tusfchen en /gt; -h 1 vallen kunnen; ontdekken, of, de verkennings-vergelijkingen zullen ten laatfte het afwezen van pofitieve wortels tusfchen pnbsp;en / -f I bewijzen; in welk geval de afwisfeling der teekensnbsp;aan onbeftaanbare wortels van den vorm -^a -^V—b moetnbsp;toegefchreven worden.
294. nbsp;nbsp;nbsp;Men is alle deze leerftukken (van §. 281. tot§. 299.nbsp;ingeiloten) aan den Heer Bödan verfchuldigd: zij bevattennbsp;alle de gronden, waarop men, zflfs ook in de neteligfte gevallen , alle de beftaaubare wortels opfpeuren , derzelver grenzen met zekerheid daarftellen, en tevens het aantal der onbeftaanbare wortels, door hulp van diezelfde leerftukken,nbsp;met juistheid bepalen kan; en zulks was het voornaamfte ennbsp;gewigtigfte gedeelte van de oplosling der vergelijkingen, aannbsp;hetw'elk, door den grooten Lagrange, wel in zoo verrenbsp;voldaan was, als hij, door de vergelijking van de ver-fchillen der wortels te zoeken, eenen weg ter oplosling baande,
-ocr page 225-191
^e, welke echter voor hoogere vergelijkingen onbruikbaar Wordt.
§, 295. Wij onderfcheiden, na alle deze dingen voorgedragen te hebben, en thans tot den zamenhangenden voor-dragt van de oplosfing der vergelijkingen, in het algemeen, zullende overgaan, duidelijkshalve twee zaken: 1° He he-oordeeling van de wortels eener gegevene vergelijking, welkenbsp;ftrekken moet, om derzelver juiste grenzen, benevens het aantal, zoo van de heflaanhare , als van de onheftaanhare, optenia-ken. 2“ De benadering van elk dezer wortels zelve. Wijnbsp;gaan over, om elk dezer twee flukken, in het bijzonder, tenbsp;behandelen, en, door genoegzame voorbeelden, zooveel onsnbsp;mogelijk zal zijn, in het helderst licht te (tellen.
Over het heoordeelen van de wortels eener Vergelijking.
§. 296. Algemeen voorschrift. 1'^ ,, Men zie, hoe ,, vele verwisfelingen van teekens in de gegevene vergelijkingnbsp;„ voorkomen: men zal even zoo vele, geen meer, maar welnbsp;j, minder, pofitieve wortels kunnen verwachtend'
,, Indien de coëfficiënten der gegevene vergelijking zeer 55 groot zijn, dan zal mert ook groote wortels kunnen verwach-55 ten. (59) In dit geval, zal men de vergelijking, in (^: io«)5nbsp;55 volgens den regel van §, 249, kunnen opmaken, en, uit hetnbsp;55 teeken van den laatften term dezer vergelijking', verkennen,nbsp;,, tusfchen vvelke twee op elkander, volgeiide termen van denbsp;55 fihaal van het taljlelfel de grootjle wortel gelegen is. Blennbsp;„ zaI, op geiijhg ,f,ijze, ook de kleinere pojitieve wortels trach-„ ten te ontdekken.'quot;
3° ,, Men zal, door de herhaling van denzelfden regel, en 55 gebruik makende van alles, wat in §. 252, 253, enz. ge-
,, leerd
(59) Men zal, in de uitvoering van dit gedeelte des onderzoeks, met vrucht van de aanmerking van §. 264,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, gebruik kunnen maken,
om met eenen opllag van het oog den groottten limiet van den grootftcn politieven wortel te ontdekken: langs dien weg zal men in vele gevallen vele overtollige beproevingen kunnen uiiwinnen.
-ocr page 226-192
,, kerd is, vinden, tusfchen welke duizendtallen, bonderdtal-„ len, tientallen en éénheden, de wortels der gegevem vcr-
gelijking begrepen zijn', indien namelijk de naast aan el-,, kander grenzende wortels meer dan één verfchillen, waar~ ,, bij men moet aanmerken;
a, nbsp;nbsp;nbsp;„ Dat, wanneer de vergelijking eenen geheelen en meetbarennbsp;„ wortel heeft, die, bij voorbeeld, gelijk p is, de achterjie term vannbsp;„ de afgeleide, in (,x—pj, gelijk nul zal wordenP Zie §. 238.
b, nbsp;nbsp;nbsp;„ Dat, wanneer de gegevene vergelijking eenige gelijke wortelsnbsp;„ xzrsp, xztzp, enz, heeft, zulks kenbaar zal worden, door denbsp;„ afgeleide, in (x — pj, in welke, van achteren afterekenen, zoonbsp;„ vele coëfficiënten, {de achterfle terra daar onder begrepen,') ge-,, lijk nul zullen worden, als 'er gelijke wortels, xzzzp, in dezenbsp;„ vergelijking voorkomen (öo).” Zie §. 239.
De gelegde gronden bevatten, ter bekorting van dit werk, vele kunstgrepen, welker bijzondere befchrijving te wijdloopig, voor den fcliran-deren overtollig, en voor den geenen, die dezelve niet uit zich zel-ven bemerkt,'vruchteloos zou zijn.
4” ,, Daarna keere men de teekens van de evene termen der „ vergelijking om, ten einde de pojitieve en negatieve wortelsnbsp;,, zie §. 240., respeamp;ievelijk negatief en pojitief te maken, ennbsp;„ men behandete de komende vergelijking, even als boven, tennbsp;„ einde de negatieve wortels der gegevene te ontdekken.quot;
Men moet in acht nemen: dat, wanneer ’er, in de gegevene vergelijking , geene afwisfeling in de teekens van derzelver termen plaats grijpt, zij ook geene pofitieve wortels hebben zal, en geene negatieve,nbsp;wanneer ’er geene permanentien van teekens in dezelve voorkomen;nbsp;wel verftaande, indien alle de termen der vergelijking naar behoorennbsp;voltallig zijn. Zie §. 277.
(öo) Door deze twee voordeelen, welke aan de handelwijze van Bu-mN bijzonder eigen zjjn, kan men, ten minfte, wat de vergelijkingen in getallen aangaat, den regel van §. 152, en de II. Aanmerking §. 160, 01’nbsp;dien regel geheel misfen. Deze gimftige omftandigheid, waarin zich denbsp;Leerwijze van Budan opdoet, ftrekt behalve die, welke wij in denbsp;(53), fag, 171, aangewezen hebben, tot een nieuw bewijs van derze*''®'^nbsp;volftrekte algemeenheid; daar zij, behalve de limieten der onmeetbare wortels , ook tevens de meetbare, en de gelijke , van zelve ontdekt, gelijk zulksnbsp;door de 3- en 19. voorbeelden hieronder, nader zal bevestigd worden.
-ocr page 227-193
5® ,, Wanneer men nu, door de. verwisfeling der teehens 55 van de achterjle termen der afgeleide vergelijkingen, denbsp;55 grenzen van zoo vele 'worteh ontdekt heeft, ah de vergelij-55 king hij mogelijkheid hebben kan; dan is hiermede het ge-5j heek werk der heoordeeling afgeloopen, en ’’er blijft dannbsp;55 niets meer over, dan dat men, het zij door het reeds aan-5, gewezene, in §. 252, het zij, langs eenen anderen weg, denbsp;,, waarde dezer wortels verder benaderf'
6“ 5. Maar zijn 'er minder wortels ontdekt, dan 'er in de „ vergelijking heflaan kunnen-, dan zullen dé nog verborgenenbsp;„ wortels, in fommige gevallen , onhejlannbaar kunnen zijn-, ofnbsp;,, 'er zullen, in andere gevallen, een oneven aantal wortels, tm-„ fchen p ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[indien namelijk de achterjle termen van
55 de vergelijkingen, in (x—p') en (x—p—x), in teekens ,, afwisfelen,j\ vallen kunnen', of, zoo eindelijk deze teekensnbsp;,, dezelfde zijn, -zal 'er, tusfchen p enp-^r I5 even aantalnbsp;„ wortels heflaan kunnen. Deze gevallen moeten nu nog na-,, der onderfcheiden worden.quot;
7® ,, Tot dit nader onderzoek zal men, in het tweede ge-55 val, de vergelijkingen, in (10 x—top), (10 x—10 p—i), 55 enz. naar §. 252 en 230, afleiden: men zal dan, tot min~nbsp;55 der dan één-tiende deel van het geheel, tot den wortel, dienbsp;55 reeds ontdekt was, aannaderen, en de af.visfeling der tee-55 kens van de achterjle termen dezer nieuwe vergelijkingennbsp;,, zal heren, of 'er meer wortels, tusfchen p en p i , be~nbsp;„ flaan: blijft nu dit laatfle, na deze nieuwe afleidingen,nbsp;5, nog twijfelachtig, zal zulks op de wijze, waarop men hetnbsp;,, tweede geval behandelen moet, yvorden uitgemaaktquot;
,, Het vermoeden: dat 'er, tusfchen p en pa^x, [indien „ de achterjle termen van (x—pj en (x—p — i) dezelfdenbsp;5, teekens hebben,'] een even aantal wortels heflaan kan, zalnbsp;55 dan alleen, met eenigen grond van waarfchijnlijkheid, kun-55 plaats hebben, wanneer de achterjle termen (het teekennbsp;55 dat zij hebben hier niet in aanmerking nemende,') op zijnnbsp;55 kleinst vallen-, omdat, in dit geval alleen, tusfchen p ennbsp;55 /gt; -)- X 5 eenen overgang van tot — en van —— tot -f*nbsp;gt;5 zal kunnen plaats hebben. Op dit vermoeden nu, makenbsp;n. Cursus.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;55 men
-ocr page 228-194
,, men gebruik, het zij van den regel der limieten van §, 271, ,, het zij van de verkennings-vergelijkingen, dieivij in §.286.nbsp;,, hebben keren zamenfiellen (61).”
9” 55 Bewijzen deze: dat'er geen wortels ,tusfchenp enp-\-i, ,, heft aan', dan kan men het onderzoek voor afgeloopen heu-,, den; doch laten deze proeven nog eenig vermoeden over^nbsp;„ dat 'er wortels tusfehen deze grenzen beftaan kunnen, dannbsp;„ zal men de vergelijkingen,injpox—lo/)),(iox—10/—i),nbsp;,, enz. afleiden, en deze als boven ten toetze brengen. Mennbsp;,, zal, op denzelfden voet, zoo lang voort gaan, tot dat men, ofnbsp;35 de wortels, die 'er beftaan, ontdekt heeft, of tot zoo lang,nbsp;,, in het tegenovergeflelde geval, overtuigend is gebleken: datnbsp;,, 'ertgeene wortels, tusfehen p enp-^-i, beftaan kunnen, zdlsnbsp;„ wanneer men voor zeker weten zal: hoe vele heftaanbare en hoenbsp;„ vele onbeflaanbare wortels de gegevene vergelijking hebbetinbsp;„ zal? terwijl dan ook tevens de grenzen der heftaanbare wor-„ tels bekend, en duidelijk onderfcheiden zullen zijn.quot;
§. 297. Wij gaan thans over, om dezen algemeenen regel van beoordeeüng op zoo vele voorbeelden toetepasCen, als noodig zullen zijn, om alle de bijzondere omHandighedennbsp;nader te Jeeren kennen, en den Lezer, in dit eerlte en ge-wigtigfte fluk van de oplosfing der vergelijkingen, in allennbsp;opzigte, bekwaam te maken.
I — I r -f*3i — 21
J— nbsp;nbsp;nbsp;o
I— 5— 1 s
1 I— 9— 9
i-f 4— 4—
i-U 7.x. 7—i5 I-f IO 24-f o
tn X ...
iti (.V—i) in (x—l')nbsp;in C’-—3)nbsp;in C-ï—4)
in C-v—S)
in 6J)‘
in (-V—7)
I. Voorbeeld. De vergelijking — it 31 .V — 21 zz.0 op-telosfen ?
Daar ’er, in de gegevene vergelijking, geene peoiianeiuie van teekens plaats heeft, beUaan ’er geene ne-ga-
¦.eiquot;
(öi) Heer Budan heeft ’er, iii do nooten op zijne Nouvelle Méthode 9 nog een derde bijgevoegd. ,, ff Eene vergelijking zegt hij, ,, hcefp g^^nbsp;,, nen vovtel ^ tusfehen nul en èén^ indien de eerfle fommen van denbsp;35nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aoeflcientèn ^ van achter naar voren genomen ^ geene n
3, van teekens hehbenf Alzoo zal de vergelijking i—4-I-3—ó ¦vvorccl lusfchcn nul en hebben, omdat dc eerfle fommen? dezenbsp;wijze genomen, zijn —6 — 16—15 — 6. Deze regel is een onmiddeI;iknbsp;gevolg: vun ue eigenfehappen der verkennings-vergelijkingen.
-ocr page 229-11 nbsp;nbsp;nbsp; 2250 X -f 5S32
.....I—33I 22SO 5S82
......—328-1-1591 4’7752
tnz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
.....I—3or — 2854 31ÖO
.....I — 304—3465 nbsp;nbsp;nbsp;°
.....I—301—4070—3768
l^crgclijhij:gen in
• I —3,3J Oj225o o,co:83a
gRtieVe wortels. De achterfte termen cler afgeleide vergelijkingen, in (ar—i), (ar—3) en (ar—7), nul zijnde, blijkt hieruit: dat i, 3nbsp;en 7 de wortels der gegevene vergelijking zijn, en dat het voorftenbsp;lid der vergelijking, door (ar—i), (ar — 3) en (ar—7) deelbaar is
2. Voorbeeld. De vergelijking — 33 2= o optelosfen ?
in (.V—1) . in (.1-— 8)
in (;.ï— 9)
in (.T—lo)
viooy
rjL—j 1—0,31—3,3950—2,079103 ‘— 4,784168nbsp;3^.- i-H5,ö9 7,Sö50—2,109168
(lOT V
——30) l-flt;56,9 736,50 —2109,168
100 J
31^ 1 59,9 853,30—1314)768
('——3a') 1 62,9 976,10— 400,568 Vioo V
(.ï—320) .... 1-1-629 97610 — 400568 (.v—321) .... 1 632 98871—302528nbsp;(.1-—322) .... 1 635 100138 — 202824nbsp;(ï—313J .... 1 638 101411 — 102050nbsp;C-ï—324) .... 1 641 102690 , o
Het blijkt, uit het bloo-te inzien dezer vergcü]-king: dat ’er dén negatieve en twee poGtieve wortels berfaan kunnen. De afgeleide vergelijkingen,nbsp;tot (x—10) ingefloten,nbsp;doen zien: clat c) eennbsp;meetbare wortel is, en datnbsp;’er tevens een wortel, aanmerkelijk grootcr dan 9,nbsp;bcflann moet; hetgeen voornamelijk uit de teekensnbsp;van de coëfficiënten dernbsp;vergelijking, in (ar—10),nbsp;blijkbaar is. Men makenbsp;dan, volgens §, 249. denbsp;vergelijking, in (x:ioo);nbsp;en uit deze de vergelijkingen, in (ar: 100—i),enz.nbsp;welke kenbaar maken,nbsp;dat ’er een wortel, tus-fchen 300 en 400, be-ftaat. Men vermenigvul-dige dan, om dien wortelnbsp;nader te begrenzen, de
met 10, dan verkrijgt men de ver-wa.iruit dan wederom de vergelijkin
vergelijking, in (^“—3^
gclijking, in ^^_3o^,
worden afgeleid:
gen, in
uit
Welke blijkt: dat de gezogte wortel, tnsfehen 320 en 331^, valt. Men
N 2 nbsp;nbsp;nbsp;verlt;
Clox 100
-ocr page 230-vermenigvuldige dan, om denzelven nog nader te komen, de wortels
Cl O ^ —
100
32^ met 10; dan verkrijgt men
de vergelijking, in (jx — 320}; uit welke de vergelijkingen, in . . .
—321), (x—323), enz, afgeleid worden: waaruit het dan eindelijk blijkt: dat 324 de tweede pofitieve wortel der vergelijking is. Om den negatieven wortel te vinden, zal men, volgens het vierdenbsp;gedeelte van den aigemecnen regel, te werk gaan, en voor denzelven
— nbsp;nbsp;nbsp;2 vindon.
3. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld, Dé vergelijking — 31 x®-[-4amp;ix^ —2791 x't
-J- 11195 x3 — 25525 nbsp;nbsp;nbsp;29875 X — 13125 o optelosfen ?
Men vindt voor de afgeleide vergelijkingen: in C-V—O • • • I —24-I-03Ö —I2i6-f-3456 —o
in C-v—-2) . . . I —17-I-113— 36i-|- 507— nbsp;nbsp;nbsp;27— 621-^405
in (.ï—4) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I— 3—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7-|-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;29—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;21—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;17 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9
in C'V —5) nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t-f- 4 “*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4—*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lö-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e'k*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o-^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o
in C^- —6) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i-f-ii-1-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;41-1-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;59_f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ii_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;55—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;53—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15
in (.ï —7) . , . 1-1-18-1-128-1- 464-1- 912-I- 928-1- 384-1- o
Het blijkt hieruit: dat de gegevene vergelijking vier pofitieve wortels, elk gelijk 5, heeft; benevens nog de pofitieve wortels: 1,3 en 7.
4. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. Gegeven zijnde de vergelijking x^ — I5x^-l-74x
— nbsp;nbsp;nbsp;117 — o, dezelve optelosfen ?
Leze vergelijking, kan, naar den regel van Descartes, geenc negatieve wortels hebben. Uit §. 234, pag. i6a, blijkt het: dat zij eenen wortel, tusfchen 3 en 4, heeft. Maar, de vergelijking, in (x—5),nbsp;twee afwisfelingen in de teekens harer termen hebbende, die in denbsp;vergelijking,, in (x—6j, niet meer voorkomen, is het vermoedelijfc:nbsp;dat ’er twee wortels, tusfchen 5 en 6 vallen: doch dit vermoedennbsp;vervalt, wanneer men in aanmerking neemt, dat de kleinfte pofitieve wortel der vergelijking, in (x — 5), groóter dan en die,nbsp;welke het minst beneden één vallen kan, kleiner dan |. zijn moet,nbsp;hetgeen onmogelijk is: ’er beftaan dan geene befiaanbare wortels tus-Ichen 5 en 6, hetwelk boven dien, door de verkennings-vergelijking,nbsp;in (jj—i), welker coëfficiënten 3-h 8-j-73 zijn, bevestigdnbsp;wordt. De vergelijking heeft gevolgelijk flechts éénen beftaanbareunbsp;wortel, tusfchen 3 en 4.
5. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld, üe vergelijking x^ — 2x—5:^0 optelosfen?
Uit de afgeleide vergelijkingen blijkt-t dat ’er een wortel tuslchfn 2 cn 3 beftaat; en wel Hechts één wortel, omdat ’er, in de vergelijking,
-ocr page 231-197
TWEEDE CURSUS.
. . i o— 2— 5
. . 1 3 I— lt;5
. . 1 4-ó-t-io— I . • 1 9 -5 I6
;a r.ï) . . ïn gt;1)nbsp;:n (.ï—i)nbsp;in (.ï—3)
king, in Qx—2), ranar ééne nfwis ieling plaats heeft: de verkennings-vergelijkirgen, in (y—i) en . . .
en Hellende —x~z
in (jc)......i o— 2 s
in Cz—i) .... 1 3 1 4
(ji—0gt; nnmelijk:
leeren: dat ’er geen wortels tusfchen o en I, en tusfchen i en 2 beftaan:
de vergelijkingen, in (z) en —i), bewijzen, en de verkennings-vergelijking tot die in (z), namelijk 5 13 11 41 bevestigt het ook.: dat er geene negatieve wortels beftaan. Men befluit hieruit: datnbsp;de vergelijking flechts éénen pofitieven wortel heeft.
6. Voorbeeld. De vergelijking — 5^3 5.%!^ nbsp;nbsp;nbsp;— 12
” o optelosfen ?
12 42 49 25 5 5 15 19 14 4nbsp;4 18 31 21 3nbsp;3 3 — 23 — 50 — 28
De coefEcienten der vergelijkingen zijn:
in (.ï) .... I_ 5 5 6 —12 in {y—lj..
in C-v—i) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5—5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in
in C2-—2) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;s_ 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in Oa—I)..
in (.r—3.) • . I 7 144- 5— 3 i„ — in (z—4) . . 1 11 41 62 28nbsp;en ftellende voor de negatieve wortels — x — znbsp;/» (z) . .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6 — 12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(7—1) . . 12 54 85 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;51 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
in (z—i) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9 26 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;23— 7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(7j—l) ..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5 — 53 —102 — 52
gt;» (z—2) . . 1 13 59 106 52
Het blijkt, uit de afgeleide vergelijkingen, en derzelver tegenover-ftaande verkennings-vergelijkingen: dat flechts éénen pofitieven wortel tusfchen 3 en 4, en éénen negatieven, tusfchen — i en — 2, kan beftaan. Want de vergelijking, in (j^—ij), heeft flechts ééne afwisfe-ling, en kan derhalve flechts eenen pofitieven wortel hebben, en geennbsp;twee, zoo als ten niinfle zou vereischt worden.
7. Voorbeeld. De vergelijking x^i- — 12 nbsp;nbsp;nbsp; 58 x^ — 132 x
121 = 0 optclosfen P .De coëfficiënten der vergelijkingen zijn:
f^erlttnnittgs-yergelljïingen.
(yi~'ij 36 96 100 48 9 (72—1) 9 24 28 16 4nbsp;(7,-0 4 IÖ 28 24 9
in (.r) .... 1 — 12 58 —132 I21 in (i-—l)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8 28—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;48 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;36
in (x—2) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 'tO—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9
in (x—39 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0 4 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
in (x—4) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44.10 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9
De verkennings-vergelijkingen bewijzen de onbeftaanbaarheid van pofitieve wortelen; en vermits de gegevene geene permanentie vannbsp;teekeiis heeft, befluit men: dat alle hare wortels onbeuasnbaar zijn.
^ ., nbsp;nbsp;nbsp;8, Voor-
-ocr page 232-108
WISKUNDIGE LESSEN.
|
8. Voorbeeld. Gegeven zijnde de vergelijking 12x3—120x2 326 X ¦—127=20, dezelve optclosfen? De coëfficiënten der vergelijkingen zijn: | ||||||||||||||||||||||||
|
Het blijkt nu: dat ’er een pofitieve wortel, tusfehen nul en één, be-flaat; en, omdat de vergelijking, in Qy—1), flechts eene afwisfeling van teekens heeft, dat ’er maar één wortel tusfehen die grenzen beftaannbsp;kan. Men ziet: dat voorts de achrerfte termen van de volgende vergelijkingen, in (x—1), enz,, na eerst tot eene zekere hoogte te zijnnbsp;aangegrocid, verminderen, en daar de verkennings-vergelijking, innbsp;C}’4—i), twee afwisfelingen heeft, is het vermoedelijk, dat de vergelijking, in (x — 4), twee wortels tusfehen o en i kan hebben:nbsp;men moet dan, om zulks te beflisfen, het onderzoek verder voortzetten. Uit de vergelijking, in (x—4), volgt de vergelijking in:
(lox—40) ... 12 24Q — 5800 25000 waaruit verder de vergelijkingen in:
(lo.ï—47).. 12 492—676 270; rerkenniags-vcrgelijklttg van (^1°-x—4?) (lox—48) . . I2-4-528-i-344-i“lo4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 276 152—32 104
volgen. Deze berekening laat nog onzeker: of ’er twee wortels tusfehen 4,7 en 4,8 beftaan; want, de vcrkennings-vergelijking, welke tot (lox—47) behoort, heeft in hare teekens, nog twee afwisfe-litigen. Men make derhalve, uit de vergelijking, in (lox — 47),nbsp;dé vergelijking, in (loox — 470), namelijk:
12 4920 — 67600 276000 waaruit men de vergelijkingen
in (loo.v — 476) . . L2 3136 — /264 50112 in (tooj: —477) . . 12 5172 3044 4799Önbsp;afleidt: de verkennings-vergelijking, tot de eerfte van deze twee be-hoorende, is:
,50112 143072 140944 47990
welke, aangezien alle hare teekens pofitief zijn, volledig bewijst: dat ’er geene beftaanbare wortels, tusfehen 4, 76 en 4,77, in de vergelijking aanwezig zijn. De beoordeeling is hiermede volkomen afgelo*^nbsp;pen 5 en men mag met zekerheid belluiten: dat de gegevene vergelijking flechts éénen wortel, tusfehen nul en één, hebben kan.
p. Voor-
-ocr page 233-9' Voorbeeld. Qegcvcn zijnde de vergelijking loox^ 55° * .j75 a; — 349 =: o, dezelve optelo^fen ?
''¦* C*).....100—550 875—349
in C-T—O . . . 100 — 250 75 '70 in (a-—2) . , . 100 50—125 Inbsp;in (:l-—3) . . . 100 350 275 26nbsp;en de verkennings-vergclijking, innbsp;{y —O.....1 — 122 — 197 2Ö
Men vindt, voor de cocffi-cienten der vergelijkingen, in (x—i), em. en die der ver-kennings-vergelijking, (3I2—1)gt;nbsp;de gciallen, welke inlietneven-ftMnóe tafeltje voorkomen. Hetnbsp;blijkt uit deze: dat de gegeve-ne vergelijking, édnen wortel, tusfchen o en i, heeft. De verken-nings-vergeiijking doet vanfioeden: dat de vergelijking, in Qx — 2)»nbsp;twee wortels, tusfchen nul en één, hebben kan.
hieruit volgen, voor de coëfficiënten der veigelijitingen.
in (lo.v —21) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;100 800nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;II2O0 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;109GB
in flo.t — 28) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;100 2900nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14700 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15amp;0O
in ^I2:ir — 29) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;joo 32COnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;20800 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;19CO
waaruit blijkt: dat de gegevene vergelijking nog twee wortels heeit, ëénen, tusfchen 2, o en 2, i, en éénan anderen, tusfchen a, 8 en 2,nbsp;9. De gegevene vergelijking heeft dan drie pofitieve wortels.l
10. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De vergelijking x'^ — 200 .v 8 — 0 opisloifens
Men zal, zonder moeite, vinden: dat deze vergelijking éénen wortel, tusfchen o cn 1; éénen anderen, tusfchen 14 en 15, en éénen negatieven, tusfchen — 15 en — 14, heeft.
11. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De vergelijkingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 105nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ajj x
25922:0 optclosfen?
Wanneer men de vergelijkingen, in (a:—i) tot {x—6), ingglloten, opmaakt; dan zal men, met behulp der verkennings-vergelijkingen, ofnbsp;der limieten vinden: dat deze vergelijking Hechts twee wortels, ééuennbsp;tusfchen a en 3, cn éénen anderen, tusfchen 5 en 6, hebben zal.
12. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De vergelijking 35nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— x- — 100 .v — 2 = 0
IVIen zal, zonder moeite vinden; dat deze vergelijking ééuen pofi-tieven wortel heeft, tusfchen i en 2: en twee negatieve, éénen tus-fchen o en — i, en éénen anderen tusfchen — i en 2-
13. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De vergelijking ao:eS —optehifen?
Men zal vinden; dat zij Hechts éénen mogelijken wortel heeft, die
negatief is, en tusfchen o cn — i valt.
N 4 nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'14- Voor-
-ocr page 234-200
14. Voorbeeld. De veigelijking nbsp;nbsp;nbsp;— 5x2 i6=:o optekifen?
Men zal vinden: dat deze vergelijking éénen negatieven wortel heeft, welken tusfchen — i en — 2 valt. Dit is de vergelijking, welke denbsp;Abt Caluso, in de Mém. de Turin, Tom. VI. prrg. 171. heeft opgelost.
15- Voorbeeld. De vergelijking nbsp;nbsp;nbsp;— i—o optelosfen?
Deze vergelijking zal bevonden worden, Hechts éénen pofitievcn wortel , tusfchen o en l, te hebben.
16. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De vergelijking — p x't 4 atS 66nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
12 X — p9 quot; o optelosfen ?
De afgeleide vergelijkingen, van de gegevene af, tot in (a:—8) ingelloten, doen zien: dat ’er drie pofitieve beftaan; één, tusfchennbsp; I en 2, één, tusfchen 3 en 4, en één derde, tusfchen 7 en 8.nbsp;De permanentie' van de teekens der gegevene doet het beftaau van negatieve wortels, die twee in getal kunnen zijn, vermoeden. Stellendenbsp;derhalve —xt=.z; dan zijn de coëfficiënten der vergelijkingen:
in (zj.....1 nbsp;nbsp;nbsp;p-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4— 66—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i2-fp9
in {z~ O nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14 -fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;50 -f 10 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;91-1-35
in (z—2) nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;19 -hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I lö • ¦ 254 -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;140 -E 19
De verkennings-vergelijking, tot (z—i) doet zien: dat de vergelijking, in (z — i), twee wortels kan hebben. Indien men nu, gelijk in hetnbsp;9. voorbeeld, te werk gaat; zal men vinden: dat ’er twee negatievenbsp;wortels, één, tusfchen — i, 4 en — i, 5, en één ander, tusfchen
— nbsp;nbsp;nbsp;1, 7 en — 1,8 beftaan. De gegevene vergelijking heeft bijgevolg vijf betoanbare wortels,
17. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gegevennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijndenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 4 -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 — 2x^ —
— nbsp;nbsp;nbsp;4ZZ0, dezelve optelosfen?
Deze vergelijking kan twee negatieve en drie pofitieve wortels hebben. Nogtans heeft zij Hechts éénen pofitieven wortel, tusfchen 3 en 4. De coëfficiënten van de vergelijking, in — x~z,
I 4 4 2 — 5-t-4
zijnde; ziet men, uit derzelver teekens: dat de coëfficiënten der vergelijking, in z—I, pofitieve teekens zullen hebben: men kan dan nog een oogenblik vermoeden: dat ’er twee wortels tuffehen o ennbsp;-j- I zouden kunnen beftaan: maar, aangezien men, met eenen op-flag van het oog, befpeurt: dat de teekens van de termen der ver-kennings-vergelijking alle pofitief zullen moeten zijn, vervalt dit vermoeden oogenblikkelijk. Men vergelijke hiermede de langwijlige be-oordeeling, welke Cagnoli, (Trig. Ed. \^o^,pag. 240,) van dezenbsp;vergelijking gegeven heeft, en bij de vier bladzijden in quarto beflaat.
New-
-ocr page 235-Newton geeft {^Arithm. Univerj. Cap, II.) bij overhaasting »an deze vergelijking twee negatieve wortels.
18. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De vergelijking — 8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3^ ar'*' — 5°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
9 x^ 78 X 338 o opteloifen.?
Men zal bevinden: dat deze vergelijking geene beftaanbare wortels heeft.
19. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De vergelijking x^ — 7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10 x^ 38 x'^
t55 nbsp;nbsp;nbsp;4- 221 x^ — 144 K 36 = o optelosfen ?
Men zal vinden: dat deze vergelijking öénen negatieven en zes po-fitieve wortels heeft, welli;p men in een oogenblik vinden zal. Cagnou komt, zie het meer aangehaalde werk, pag. 244, door een zeer lang-wijlige beoordeeling, tot dezelfde uitkomst.
20. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De vergelijking x° — 16 x^ 4- 85 x-t — 144nbsp;— 57x=‘ I26x 54=::o optelosfen?
Dit is dezelfde vergelijking, w^elke Ruffini, in zijne Verhandeling, door het Italiaanfche Genoot [chap der Wetenj'chappen, in 1804, bekroond, onderzocht. Zij heeft zes wezenlijke wortels. Men zal, doornbsp;den regel van Newton, zie §. 177. ligtehjk ontdekken, dat de vergelijking kan ontleed worden in de faftoren x^ — 5x— 3 — 0, x^ —.nbsp;5x — 3 — o, enx^ — 6x4-lt;5 = o. De vergelijking heeft alzoo tweenbsp;tweetallen van gelijke en onmeetbare wortels: en dit is het moeijelijkftenbsp;geval, dat, in de Leerw'ijze van den Heer Budan, kan voorkomen.
fierdere aannadering der wortels, naar twee onderfcheidene Leerwijzen van BüDan.
§. 298. De Heer Budan heeft twee handelwijzen opgegeven, waardoor men, wanneer eenige wortel eener gegevene vergelijking, tot op minder dan ééne éénheid benaderd is,nbsp;denzelven nader bepalen kan. Bij de eerde wordt (gelijk bjjnbsp;de gewone worteltrekkingen,) elk der cijfers van de tiendee-lige breuk, door eene nieuwe, en deeds aan het voorig gedeelte des werks gelijk vormige, bewerking, verkregen, op eencnbsp;wijze, welke wij reeds, in §, 253. vootloopvg verklaard heb^nbsp;ben. Deze handelwijze, men kan zulks niet tegenfpreken,nbsp;gaat zeker, en is te gclijker tijd zeer eenvoudig, waarom dannbsp;ook Budan aan dezelve in dit opzigt den voorrang bovennbsp;gljne nieuwere, die in de nopten van bet meer aangehaaldcnbsp;Werk voorkomt, gegeven heeft.
202
§. 2pp. Oin nu, in een kort beflek, het g.wfche beloop dezer haa-delwijze voortedragcn, zoo laat
x» -j- A xlt;‘—I B xn—2 4- enz. 'zz o eeiie vergelijking zijn, die moet opgelost worden. Nadat men dannbsp;vooraf, naar §. apd. het aantal en de grenzen van derzelver wortelsnbsp;ontdekt heeft, zal men, om elk derzelven verder aantenaderen, aldusnbsp;te werk gaan:
„ Stel, dat men bevonden hebbe: dat er, tusfchen p en p-\-\, (jdz) „ fechts éénen wortel gelegen Is; dan zal men, om de naast kleinerenbsp;„ tiendedeclcn van dien wortel te vinden, de vergelijking, in (^x—-p),nbsp;,, volgens §. 247, met 10 vermenigvuldigen, hetgeen de vergelijking,nbsp;„ in lo (at—p), of Qiox—lop), die wij kortheidshalve de verge-„ lijking, in (x*), zullen noemen, geven zal: uit deze zalmen, vol-„ gens §. 230, de vergelijking, in (x^ — l), (x^—2), enz, aftei-,, den, tot zoo lang twee volgende vergelijkingen, in (x^—q') ennbsp;,, (x^—q—i'),^cne afwisfeling van teekens, in derzelver achtcrjienbsp;„ termen, ondergaan, als waaruit het blijken zal, dat de wortel dernbsp;,, vergelijking, in (at^), of 10 Qx—pj, tusfchen q en 4 1 valt, en,nbsp;„ dat die van de gegevene vergelijking grooter dan p -j- _1 ^, ennbsp;„ kleiner dan p j-J C-? i) zal zijnl'
„ De wortels van de vergelijking, in (t»:^—ef), of eigenlijk in ,, (i03c—lop — qj, met tim vermenigvuldigd hebbende, zal tncnnbsp;,, eene vergelijking, in (io“ ac — lo^p — \oq), verkrijgen, dienbsp;„ wij, bij verkorting, de vergelijking, in (at''), zullen noemen,nbsp;„ waaruit men op nieuw de vergelijkingen, in (a;“—i), (x“—2),nbsp;„ zal afleiden, tot dat de teekens der achterfie termen van twee opnbsp;,, elkander volgende vergelijkingen, innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—t'j en (ar^^—r—l),
„ afvisfekn, als wanneer wederom de wortel der vergelijking, in „nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;grooter dan r, en kleiner dan r i, en de wortel der
,, vergelijking, in (lo^ac—lo^p—104), op minder dan ééne één-„ heid na, bekend zal zijn geworden ,• zoadat, wanneer men de wor-,, tels dezer vergelijking, volgens §, 248. door 10^ deelt
xgt;p-f Tö q x?ö en ^lt;/gt; i§? T55 O' i)
,, zal zijn.
,, Op denzelfdcn voet voortgaande, zal men, (jt een geheel getal
„ zijnr
(ói) Want niet eer, voor dat men zeker is, dat ’er tusfchen deze twee waarden, Hechts één wortel gelottcn is, zal men deze handelwijze vei-iig kunnen ip het werk llelJen.
-ocr page 237-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;203
» zijnde,') ten laatfte uit de gegevene vergelijking eene afgeleide ver-» gelijking in
(^IQ”.X— lQ”-.p— iQf;—I — 10»—2,r—10»—3 .i—10»—At...—!')
„ verkrijgen, welker wwtel, tot op tuinder dan iéne éénheid na, zal 5, bekend ziju,quot;
5, Indien men dan de wortels dezer vergelijking door lo» deelt, zal
liïcn viudcfi '
-Z’ ib ¦r ¦
¦ nbsp;nbsp;nbsp;4- —1--H--7
~ io3 ' lO'l- ' 10* nbsp;nbsp;nbsp;10°
t
„ en men zal, op deze wijze voortgaandc, den wortel, zoo na men „ begeert, kunnen aantuideren”
§. 300. Wij zullen deze Leerwijze, welker werktuigclijke behandeling uit §. 252 en 253, als ook, uit de febets, op de tegenzijde van Tabelle N® III. genoegJKiam kan nagegaan worden, door geene verderenbsp;voorbeelden ophcidereii. Wij merken op dezelve aan: dat, hoe eenvoudig zij fchijnen moge, nogtans de getallen, die men, bij de afleidingen verkrijgt, al fpoedig zoo groot worden, dat zij, wanneer men denbsp;benadering tot zes of zeven cijfers wilde voortzetten,bijna onhandelbaarnbsp;worden, en de uitvoering, hoe eenvoudig op zich zelve, aanmerkelijknbsp;belemmeren zou: zoo zou men, wanneer men, bij voorbeeld, de wor-i^cls van de vergelijking —C} x‘*-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;66nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—I2X—pprrto
langs dien weg, tot in eene decimale breuk van zeven cijfers, wilde benaderen, in de afgeleide vergelijkingen, op het laatst getallen vannbsp;meer dan dertig cijfers verkrijgen, en alhoewel het niet onmogedjknbsp;zou zijn, middelen uittedenken, om dk werk te verligten, zoudennbsp;echter die kunstgrepen, wanneer men zich toch bij het eenvoudigenbsp;bepakn wil, in der onkundigen handen een gevaarlijk werktuig kunnennbsp;worden./
§. 301. De tweede handelwijze van Budan is gegrond op het leer-ftelfel van de limieten van den kleinften pofitieven wortel eener vergelijking, welke tusfehen nul en één valt. Nemen wij: om deze handelwijze te verklaren, de vergelijking —2x—5 —o; dan is:
in (_x — 2) ... I 6 10 — I in (x — 3) . . . 1 9 25 16nbsp;waaruit volgt: dat de wortel tusfehen 2 en 3 vak,N:n dat do vergelijking, in (x—2), eenen wortel tusfehen nul en één heeft. Volgens hetnbsp;'''erklaarde in §. 2t56 en §. 2;i,..blijkt het: dat deze wortel grooter
dan
-ocr page 238-S04
WISKUNDIGE LESSEN.
dnn
lo I ’
en kleiner dmi
—-—z of — (ds). 25 16nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;41
Zich dan bij de
naast kleinere benaderde waarden bepalende, zal de wortel der verge.-lijking grooter dan 2 y 1 zijn, of grooter dan 2,0909 enz.
Men moet, vervolgt Budan , door x — 2 te ftellen, van de vergelijking, in p, tot die in (/gt;—yi) overgaan. Men ftelle, tot datnbsp;einde, wp—q, en dan zal men, volgens §. 247, voor de coëfficiënten der vergelijking in q, verkrijgen:
*¦« (?).....I lt;J. II 10 . lU — I. lU
of........ 66 1210—1331
in Qi— i) . . r Ö9 1345— nbsp;nbsp;nbsp;54
en (lellende nu wederom voor q — i derzelver waarde 11 ^ — i of 11 (/gt; — y|), zal men de wortels dezer laatfte vergelijking door 11nbsp;moeten deden, en men zal voor de vergelijking in
verkrijgen. De kleinfte limiet van den wortel dezer vergelijking is
overéénkomende. De derde
„ nbsp;nbsp;nbsp;, het naast met — of--
14849 nbsp;nbsp;nbsp;275nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11x25
benaderde wortel zal dus grooter dan
2 yi 777^’ nbsp;nbsp;nbsp;. «ƒ¦ 2,094545 zii“-
De wortel van de vergelijking, in (p—y|), grooter dan ¦
zijn-
II .25
de, zoeke men de vergelijking, in — y| — ïT~253 ’
p—^\q is, (zie boven) de vergelijking, in ^y.i^—yj — 77-—)»
of in yy(^—I —yi): men vermenigvuldige ten dien einde de wortels van de vergelijking, in —i), met 25, en men verkrijgt, voor de coëfficiënten der vergelijking, in 25 (lt;/—i),
I
f63) En niet , zoo als de Heer Budan , fchoon hij anders den reed op fair. 24. van zijn meer aangehaaid werkje naar behooren voordraagt,nbsp;niet alieen hierj maar ook overal, verkeerdelijk ftclt, door, in plaatsnbsp;van den achterften term, den hoogllon coefficient, door de fom van dennbsp;hoogden coefficient, welke met den achterften term, een tegengdlddnbsp;teeken heeft, te deelen. Wtij hebben gemeend zulks tot narigt van denbsp;bezitters van zijn werkje te moeten opgcvcn,
I 6p . 25 1345.25^ — 54.253 of 1 1725 840625 — 843750nbsp;«1 hieruit voor de vergelijking, in 25(^ — i) — inbsp;I 1728 844078 — I3PP
om nu uit deze laatfce wederom de vergelijking, in C?— opcemaken, zal men de wortels van deze laatfte vergelijking doornbsp;II X e3 deelen: de coëfficiënten der komende vergelijking zullen zijn:nbsp;ii3. 253 4-1728 ^ „2 .25® 844078 . II .25 — 1399
of 20756875 4. 130680000 -j- 232I2I430 - 1399
De klemfte pofitieve wortel dezer vergelijking is kleiner dan:
1399 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
1399 quot;5^1^70’ nbsp;nbsp;nbsp;76^
waarvoor men, met Budan, zonder veel van de waarheid aftewijken, ftellen kan: i: 165925 I : 25 X 6637.
Budan belluit hieruit: dat de wortel der gegevene vergelijking nagenoeg gelijk zal zijn aan:
~—I---—1- ,
II 275 nbsp;nbsp;nbsp;165925
of 2,094551481364
I . nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. I
en wij zullen, in waarheid, zien: dat het tiende cijfer der tiendeelige breuk het eerde is, dat'van de waarheid afwijkt.
§. 302. Dit is hetzelfde voorbeeld, dat de Heer Budan, ter verklaring zijner tweede Leerwijze, opgeeft: hij fchijnt het, als met voordacht uitgekozen te hebben, om dezelve met die van Newton en Lagrange in vergelijking te brengen. Maar wij hebben veel reden,nbsp;om te twijfelen, of de Heer Budan deze nieuwe leerwijze wel opnbsp;een groot aantal voorbeelden hebbe toegepast; immers, indien het hem,nbsp;zoo als ons, gegaan is, zou hij geene reden gehad hebben, om veelnbsp;ter aanprijzing van deze zijne nieuwe Leerwijze te zeggen, welker al-gemeene befchrijving, met de berekeningen, die vereischt worden, omnbsp;te bepalen, tot welk eenen graad van naauwkeurigheid men gevorderdnbsp;zij, de nieuwsgierigen, in het aangehaalde werk, verder kunnen nagaan.nbsp;Van dezelve dan afftappende, merken wij alleen dit aan: dat het voorbeeld, door de Heer Budan gekozen, buitengemeen zeer gefchikt is,nbsp;om zijne Leerwijze van hare gunlligfte zijde te vertobnen, daar de limiet van den kleinllen pofitieven wortel der afgeleide vergelijking, innbsp;(x—2), zeer na aan den waren wortel komt, waardoor van zelve denbsp;breuken zeer klein worden: dan, daar men vooraf van deze gunftigenbsp;oiuftandigheid niet verzekerd, ja zelfs het verfchil tusfehen die limietnbsp;2*1 den wortel aanmerkelijk groot kau zijn, zullen de gevallen, waarin
deze
-ocr page 240-so6
WISKUNDIGE LESSEN.
deze proef zoo gunftig zal afloopen, niet menigvuldig zijn, en hoezeer wij niet ontkennen kunnen, dat een geoefend berekeilaar ’er langs diennbsp;weg altijd, evenwel dikwijls met veel omllags, wel komen zal, zoonbsp;vinden wij altoos geene reden, om deze Leerwijze, als eene adgcmee-ne, veel minder boven zijne eerde, aanteprijzen, en zijn van oordeel,nbsp;dat deze bijzondere proef van Budans leerwijze, als in de allervoor-deeligtle. omdandigheden genomen, niet tegen die van Lagrange , welke, voor dit zelfde geval, in merkelijk ongwiflige owdandigbedai voorkomt , zonder onbillijk te zijn, mag vergeleken worden.
Aannachrings Leerwijze, door de gedurige Breuken, van den lieer Lagrange.
§. 303. Wij kunnen niet ontveinzen: dat wij ons, bij het opzettelijk onderzoek van de fraaye Leerwijze van Budan,nbsp;eenigzins verwonderd hebben, dat die Schrijver in het geheel niet fchijnt te hebben opgemerkt: dat zijn algorithmnsnbsp;ook bijzonderlijk daartoe ftrekkcn kan, om de ontwikkelingnbsp;van de wortels eener vergelijking in eene gedurige breuk Aanmerkelijk te verligten, en alzoo deze natuurlijke en fierlijkenbsp;handelwijze van Lagrange te ontheffen van het omdagtige,nbsp;dat aan dezelve, ondanks hare voortreffelijkheid, niet in alles ren onregte, wordt te laste gelegd. De Heer Budannbsp;fchijnt zelfs (zie pag. 77. van zijn werkje,) eeuige vooringenomenheid tegen Lagrange’s Leerwijze te koesteren,nbsp;wanneer hij zegt: dat de ontwikkeling der wortels in gedurige breuken dan bijzonderlijk kan aanbevolen worden, wanneer men voor heeft de tvveede-magts faftoren eener vergelijking te ontdekken : maar dat, (zoo als hij al verder vervolgt,) wanneer het op de oplosling eener getallen-vergelij-king aankomt, de benadering in tiendeelige breuken, bovennbsp;die in gedurige, den voorrang fchijnt te verdienen: doch denbsp;redenen, welke deze kundige Schrijver, ter (laving van zijnnbsp;gevoelen, aanvoert, zal men, als gegrond zijnde op otn-(landigheden, welke met de ontwikkeling in eene gedu'iS^^nbsp;breuk, als zoodanig, niets gemeens hebben, bezwaarlik vannbsp;eenige eenzijdigheid kunnen vrijpleiten. Wij zullen dadelijknbsp;de handelwijze van Lagrange voordragen, en daarna, ten
OH-
-ocr page 241-207
TWEEDE CURSUS.
ónpartijdigfte, hare voordeelen boven de nieuwe benadering van den Heer Budan aanwijzen.
S. 304. Door den Algorithinus van Budan is de leerwijze van Lagrange ontheven geworden van eene foort-van tasting of rading, welke inen, bij elke nieuwe herhaling, ver-pligt was in het werk te Bellen, en die dezelve zeer omflag-tig maakte. Thans komt de' handelwijze van Lagrange,nbsp;na dat de beoordeeling der wortels naar die van Budan ,nbsp;volgens §. 296. heeft plaats gehad, op het volgende neder.nbsp;Wetende: dat eenige vergelijking, in (x) ofQx—p'), eenennbsp;wertel tusfchen nul en één heeft, dien wortel in eene gedurige breuk te ontwikkelen?
§. 305. Wij zullen, ten einde, in de verklaring van Lagrange’s handelwijze, zooveel te duidelijker zijn, eene al-gemeene vergelijking van eene bepaalde magt aannemen, hetwelk , 200 als men van zelven gevoelen zal, in het minfte niets aan hare algemeenheid zal te kort doen. Stellen wijnbsp;dan, dat de vergelijking
x^-\‘^x^-\-Bx'^-\-Cx-\-D’=zo . . . (P) of de gegevene, of ééne der afgeleiden zij, welke dénen wortel, tusfchen nul en één, heeft, en nemen wij zelfs aan: datnbsp;zy meer wortels grooter dan één, ja ook negatieve hebbe.nbsp;Omdat dan de wortel tusfchen nul en één valt, zal men dezelve = 1:2 kunnen Bellen, en dan zal z altijd grooter dannbsp;één zijn: wanneer wij derhalve deze waarde van x in de ge-gavene vergelijking overbrengen ; dan zullen wij, vergelijknbsp;het bewezene in §. 257. verkrijgen :
quot;f“ C . — -{- Z) “ o •gt; •
nende
2^ 2^ 2 of alles met z* vermenigvuldigende, en de leden van de komende vergelijking, naar de afdalende magten van z, orde
D2-^ C25 nbsp;nbsp;nbsp; t
Deze is (zie §, 257.) ge vergelijking tot de omgekeerde wortels van die der gegevene vergelijking, in Ctc), of van de Vergelijking (P), en daar de gegevene vergelijking ééuen wortel ,
-ocr page 242-2o8
WISKUNDIGE LESSEN.
tel, tusfdien nul en één, heeft, zal de vergelijking (Q^) ’er eenen hebben, die grooter dan één is.
§. 306. Merken wij op: 1° ff ,, dat de vergelijking (Qj ,, uit de vergelijking P, zonder eenige berekening, gemaaktnbsp;,, wordt, door de coëfficiënten der vergelijking (Pj, in eenenbsp;,, omgekeerde orde, van achteren naar voren, uittefchrijven:quot;nbsp;met die voorzorg echter, dat, wanneer de laatfle term D vannbsp;de vergelijking (Pj negatief is, men, om, bij de éénmaalnbsp;aangenomene gewoonte te blijven, om den eerflen term eenernbsp;vergelijking pofitief te maken, alle de teekens zal moeten om-keeren, hetgeen, zoo als bekend is, de wortels in hare waarde laat; 2” ff dat, wanneer de vergelijking {^P') jlechts éénennbsp;wortel, tusfchen nul en één, heeft, de vergelijking CQj) ’ernbsp;fechts éénen hoven de éénheid zal hebben', want, wat aangaatnbsp;de wortels, welke (P) boven de één kan hebben, deze zullennbsp;in de vergelijking (Qj), naar het duidelijk bewezene, in §. 257,nbsp;met wortels, tusfchen nul en één, inftemmen, en de negatievenbsp;wortels van (P), alleenlijk met negatieve in (Qj), en mennbsp;kan derhalve, in dit geval, met volkomene zekerheid, vast-ftellen: dat de oplosfing van den geheelen wortel der vergelijking (Qj) de eigenaardige van z zal bekend doen worden.nbsp;3quot; Men kan hier bijvoegen: ff dat, wanneer de vergelijkingnbsp;(P) een zeker aantal wortels, tusfchen nul en één, heeft, denbsp;vergelijking (Qj) noodzakelijk even zoo vele pofltieve wortelsnbsp;hoven de éénheid zal hebben; zoodat men, in dit geval, doornbsp;de afleiding van Budan, naar aanleiding van §§. 230, 235nbsp;en 281, noodzakelijk die wortels en bijgevolg het aantal dernbsp;wortels van (P), tusfchen nul en één vallende, ontdekkennbsp;zal, zonder dat men van het vijfde gedeelte van den regelnbsp;van §. 296. gebruik behoeft te maken.
§. 307. Men zal dan, uit de vergeiijking of de vergelijking in z, naar het voorfchrift van Budan, de vergelijkingen, iti (z—i), (z—2), enz. afleiden, tot dat men twee volgende vergelijkingen, in (z — a) en (z — a—i), verkregen hcbbe, welker achterlle termen van teekens verwisfelen,nbsp;in welk geval, a de naast kleinere waarde van 2 zijn zal, zullende a op haar kleinst genomen, gelijk één kunnen zijd'
\ nbsp;nbsp;nbsp;§. 308.
-ocr page 243-209
30S. Wanneer (Q^) een oneven aantal wortels tusfclien o en I heeft, zal men dezelve, of ten eerfle, of bij de volgendenbsp;bewerkingen, ontdekken. Dit alles zal zich van zelven wijzen. Wij onderftellen, om duidelijk te zijn, flechts dénennbsp;wortel, en dan is, door deze bewerking, die wij de eerdenbsp;benadering noemen, gebleken: dat z grooter dan a en kleiner dan « -h 1 is, en dat bijgevolg
•X lt; — en jc gt; —-— anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a -{¦ i
§• De vergelijking in (s — a'), door de eerde benadering gevonden, heeft nu wederom, omdat z tusfehen a en a 1 valt, éénen wortel tusfehen nul en één; wanneer men
derhalve z ~ 0 -1—— ftelt, zal (2 — a) — —, en, de eoef-
Zj-
ficienten der vergelijking in (2 — «) door de letters/gt;, r,seat, uitdrukkende, zal zij p . (z — a)'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^. (z — a)^
~i- r . (z — nbsp;nbsp;nbsp;-t-r. (2 —a) f = o worden: dat is
fOi
uit welke, even als in §. 305, volgens §. 257. volgen zal;
fzf-j-sz^-j-rzj-h^Zi Jgt; = o . . . (S) §. 310. Deze vergelijking zal nu wederom eenen wortelnbsp;hebben, die grooter dan dén is, en welker naast kleinere waarde, door uit dezelve de vergelijkingen in (z^ — i),nbsp;(Zi — 2), enz. afteleiden , zal gevonden worden. Stel: datnbsp;de vergelijkingen in (z^ — P) en (2^— P — i) in derzelvernbsp;achterfle termen eene verwisfeling van teekens ondergaan,nbsp;dan zal 2^ gt; ^ en 2i lt; ;amp; -i- i zijn, en, overeénkomftig dezenbsp;tweede benadering, zalnbsp;zyii. Zie §. 596, I. c.
zijn, en de coëfficiënten der vergelij-O nbsp;nbsp;nbsp;king
S' 311* Stellende dan wederom op nieuw, 2i dan zal (2^ —• lgt;) ~
n. Cursus.
-ocr page 244-aio
WISKUNDIGE LESSEN.
(lellende, zal uit —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.(Zi—b')
king ii) (zi — b) gelijk
(2, —by’r qi. (2^ nbsp;nbsp;nbsp;^ ,.i.
^ ^ nu o
cn
of -i nbsp;nbsp;nbsp; rU -L nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. i- iX = o
. 2J nbsp;nbsp;nbsp;2£nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Za,
even als boven, volgens $ 257,^ volgen:
r* 2Ï ?' 2:2 -j- /ix
zi 4-
O .. (U)
welker wortel, omdat de wortel der vergelijking in (z^—b') tusfeben één en nul valt, weder grooter dan één zijn, en, opnbsp;dezelfvle wijze als boven, zal gevonden worden.
312. Het zou zonder eenige nuttigheid zijn, deze be-fchouwingen verder voorttezetten. Men befpeurt reeds den regelmatigen en eenvouJigen gang van het werk. In de tweenbsp;eerde benaderingen heeft men de vergelijkingen (T) en {Rj,nbsp;door eenvoudig de coëfficiënten in eene omgekeerde rangordenbsp;te (lellen, op dezelfde wijze opgemaakt, als, bij de eerfte benadering, de vergelijking (QJ) uit de vergelijking (P) volgt,nbsp;terwijl, door ééne en dezelfde regelmatige leerwijze van Ku-DAN, (Pj uit (O^); (T) uit (5) wordt aflgeleid, door trapswijze van éénheid tot ééiihei i voorttegaan, tot zoo lang denbsp;afvvisfeling van de teekens der acbterfle termen aanwijzen,nbsp;waar men die afleidingen (taken moet, en te gelijk, welkenbsp;waarden men aan a, b, c, enz. moet toefchrijven; geldendenbsp;omtrent elk ééne dezer benaderingen dezellUe aanmerkingen,nbsp;welke in §. 306, met betrekking tot de eerde benadering, zynnbsp;opgegeven.
S* 313* nbsp;nbsp;nbsp;alzoo voortgaande, den wortel der ge-
gevene vergelijking, dien men aannadert, in eene gedurige breuk ontwikkelen, welker index (alleen de getallen van dennbsp;index nemende)
[t, /t, c, d, e, ƒ, g, /z, e.vz.] zie §. 596 en 597, I, C. zijn zal, en uit welken index men,nbsp;volgens den regel van §. 609, 1. C. eene reeks van breukennbsp;zal afleiden, welke beurtelings grooter en' kleiner dan denbsp;Ware wortel der vergelijking zijn zullen; terwijl de afwijkmgnbsp;van elk dezer breuken van de waarheid, volgens de eigen-fchappen der gedurige breuken, in §. 616 en 617,
^ nbsp;nbsp;nbsp;we-
-ocr page 245-au
TWEEDE CURSUS.
wezen, met eenen opflag van het oog, wprden opgemaakt, zonder dat men, zoo als fommigen., en, onder deze, mannennbsp;van groot aanzien en kennis, verkeerdelijk gemeend hebben,nbsp;dezelve vooraf in tiendeelige breuken behoeft te herleiden. —nbsp;Is nu de wortel der vergelijking onmeetbaar, dan zal denbsp;gedurige breuk, (§• 597» I- C-) nimmer ten einde loo-peii: maar elke nieuwe benadering zal (zie §. 614, I. C.)nbsp;den Wortel, met de meest mogelijke naauwkeurigheid, en innbsp;de kleinfte getallen, uitdrukken; is daarentegen de wortelnbsp;eene meetbare breuk, dan kan het niet misfen, of men zalnbsp;deze breuk ten naauwkeurigtte vinden. Helderen wij nunbsp;deze verklaarde Leerwijze door voorbeelden op.
§. 314. I. Voorbeeld. De vergelijking x'^ — nbsp;nbsp;nbsp;— 5 = 0 opie-
losfer, ?
Het vijfde voorbeeld der beoordeelingen, pag. 196. heeft ons geleerd ; dat deze vergelijking flechts éénen wortel tusfchen twee en drie heeft • de coëfficiënten der vergelijking in 52) zijn:
in (_x — 2) . . . J -|- 6 -b 10 — 1
ftellende derhalve x — 2 = dan zullen, volgens §. 306. de coëfficiënten der. vergelijkingen in z zijn:
(¦« z . . . 1 — 10 — Ö — I
uit welke men de vergelijkingen in (s— ij) enz. zal moeten afleiden. Lit het inzien dezer vergelijking blijkt het: dat de wortel vrij grootnbsp;zal zijn: men make dan, volgens §. 247. de vergelijldng in 25 dannbsp;heeft men:
-I z . I o
'« z-
.. I — I — 0,06 — 0,001 ¦i) . . . I -f- 2 -j- 0)94 — o, 061nbsp;. . I 20 -j- 94 — 61
of in (2—10)
Hieruit volgt; jgt; 10 en nbsp;nbsp;nbsp;Hellende dan 2 — a:
is, zie §. 309,
in C^j)......61 — 94 — 20 — I
in (Zj — l) . . . ól -b 89 — 25 — 54
dan
derhalve b ^ j
volgens den
en ilt;(2; Hel 2i—bzz-\--; dan is wederom,
^2
54 -f 25 -- 89 — ÖI 54 -f isz 123 — -rnbsp;O 2
Want,
212
Waaruit volgt: c gt; i en c 2; Hel daarom in C23) . . .
352 — nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I :
^3-303^ 7,
in C23 —I)
in (2_^) . . innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—'O
35a -fgt; 883 H- 407 — 195
Waaruit ^ gt; i en c lt; 2; ftel derhalve z^ — ezzï
in (Zj)
'S •gt;
dan is:
dan is;
... 19s — 407 — 883 — 352 i” Gj — l)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;195nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;178nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;III2 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1447
ia (2^—2) nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J95nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;763nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I7t —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2186
in (2^ — 3) nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;195nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J348nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;940 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1399
derhalve ƒgt;• 3 en ƒ lt;[ 4; ftei daarom Zj nbsp;nbsp;nbsp;—ƒ= i:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zg; dan
in (zg)...... 1399 nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;94°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;348nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;““nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;93
in (z^ — nbsp;nbsp;nbsp;l)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1399nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-]-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2257nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1031nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2084
Waaruit ^ gt; i ca ff lt; 2 i ftel wederom Sg — g—iiZy'-, dan is:
in CO7)......3084 nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1031nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2257nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1399
in (z^ — nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2084nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7283nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6057nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;541
derhalve /i ^ i en 2; Hel dan Zj — = i: Zg ; dan is: in z ......541 — Ö057 — 7283 — 2084
is:
Hier ziet men make dan:
in
uit de teekcnSj dat Zg aanmerkelijk groot zal zijn: men
.5
— nbsp;nbsp;nbsp;a, 084
— nbsp;nbsp;nbsp;1395014
— nbsp;nbsp;nbsp;139614
— nbsp;nbsp;nbsp;95023
— nbsp;nbsp;nbsp;20840
I:Zo; dan is:
S41 — 605,7 — 72.83 •
S41 1017,3 338, 77 541 10173 -!- 33377nbsp;541 ¦ ir'pd quot;iquot; 53846nbsp;541 13419 -f- 81061
6g -¦ 1 mtt 1 . lt;6g f
— i34'9 — nbsp;nbsp;nbsp;541
95021 — 63i8i 26840 4. 79979 —¦ 155S3 — 136903nbsp;-gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. 2Ó840 160499 224395 — 45667
45Ö67 — nbsp;nbsp;nbsp;224895nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1Ö0499nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;26840
456Ó7 — nbsp;nbsp;nbsp;87894nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;473288nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3Ó6567
45Ó67 -j- nbsp;nbsp;nbsp;49107nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;512075nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;882082
456Ó7 nbsp;nbsp;nbsp;186108nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;276860nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12993S3
45667 nbsp;nbsp;nbsp;323109nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;232357nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1344468
43667 nbsp;nbsp;nbsp;460110nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-|-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IQ15576nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;743S3S
en /C^ö; Hel daarom Zjo—/—i
in nbsp;nbsp;nbsp;...... 743335 — 1015576
I O „
— l)
10 8
in C^g — io) • in Czg —n) .nbsp;in (z„ — 12) .
Hieruit is 2 nbsp;nbsp;nbsp;12 en / lt;; 13; Hel dan Zg
in (Zp)......26S40 — 8l0(5l —
in (z„ nbsp;nbsp;nbsp;O ¦ • • 2Ö840 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;541 —
in (z in (zjj
I ¦gt;
460110 — 45667
tn \z
•O
743333 1214429 — 261257 — 778018
der-
213
tlerhal\?e m gt; I en m ¦^z'i ftel dan
dan is:
¦ m '¦
: I :z.
«¦» (z )
12''
(2.. -1) . . • 7780134-2595311 1642139
-n —
7780184. 261257 —1214429
/ ^3 •? O 5 - 918489nbsp;1:213; dan is:nbsp;778018
Waaruit voJ^'t »gt;. j en » lt;2; ftd dasrom z^.^. rr. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9'8489—1642139 — 2595311
Hieruit zal men Zj, gt; 2 en ^^3 lt;; 3 vinden.
Wij zullen hier de bewerking flaken. ' De index van de gedurige breuk, m welke de wortel der vergelijking is uitgedrukt, za! zijn (hetnbsp;ee e gedeelte des wortels onder denzelven begrijpende,)
ui: weften°’
men, volgens den regel van §. 600, I. C. vinden zal voor
de breuken, welke i-ie.,.. nbsp;nbsp;nbsp;^
, nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’ '•“^te'ujgs grooter en kleiner dan de eigenlijke
waarde van den tvortel zijnde zoo o. , • nbsp;nbsp;nbsp;,1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,, ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
, nbsp;nbsp;nbsp;1 zoo na, als in zulke kleine getallen
mogelijk IS, den wortel uitdrukken.
44 III ISS 57S nbsp;nbsp;nbsp;7.31nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I307j lfi4lS: '
21» Sï» nbsp;nbsp;nbsp;74» arï» 345»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5a‘4 »nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7U37»
-i--
T--ri75 nbsp;nbsp;nbsp;3.19727nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;588902
41,f» i2B4i2,5 iTstfiyj SSTTsv»
r 9.753 1 giiz 7 I49lt;?5 »
¦ -H — nbsp;nbsp;nbsp;-1-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
De laaifle dezer breuken zal, volgens §. 617, I. C. minder dan . . I : 714565=; of minder dan
o, 00000 00000 oip
var) de eigenlijke waarde des wortels verlchillen: indien men dezelve dan in eene tiendeelige breuk ontwikkelt; dan zal men vinden:nbsp;2,09455 14815 415
in welke allocnlijk het lariide cijf r 5 twijfclachdg is. Men ziet hieruit: dat Buuan, volgens zijne tweede leerwijze, (zie pag. 74. van zijn werk) de grenzen van dien ivortel kwalijk bepaald heeft.
2. Voorbeeld. De 'Morteh der vergelijking iooa'= — x~ 875=:—349—o, in gedurige breuken te ontwikkelen?
Het is, uit het 9. voorbeeld pag. 199. gebleken: dat deze vergelijking éénen wortel tusfehen nul en dén, en twee wortels tusfehen twee en drie heeft. Men vindt namelijk voor de coëfficiënten der vergelijkingen :
(.v)......100—350-{- 875 — 349
(a'—i) . . . 100—250 75 76 (4 — 2) . . . 100 50 — 125 ïnbsp;(a — 3) • • • 100 350 275
Wij beginnen eerst met den wortel tusfehen nui en één te ontwikkelen. De coëfficiënten van de vergelijking in (.v) zijn: too—550 S75—349
O 3
-ocr page 248-214
ftel nu X ~ I : 2 i dan zijn de coëfficiënten van de vergeüjkingea ......349 — 875 550 —100
in (2—i) ... S49 172—153— 76
enz» nbsp;nbsp;nbsp;enz*
bijgevolg ö I en lt; 2. Stellende dnn (s — ^7) = i : Zj; dan zijn de coëfficiënten der vergelijkingen
in ')......70 153 — gt;72 — 349
i„ nbsp;nbsp;nbsp;-I) • - • 76 381 3Ö2 — 292
waaruit blijkt: dat ^ i en ^ I is. Wanneer men nu op deze wijze voortgaat, dan zal men, met weinig moeite, voor den index vannbsp;den wortel, tusfehen nul en ée'n, vinden;
[l, I, I, I, 31, 1, I, I, 8, I, 1, 2, 2, 5, I,]
Om de wortels, welke tusfehen 2 en 3 vallen, te ontdekken, beginne men met de vergelijking in (jx—2): derzelver coëfficiënten zijn: (x — 2) . . . 100 50 —125 1
men make nu (x — 2') —ï :y; dan zal men verkrijgen voor de coëfficiënten
Ö).......I —125 nbsp;nbsp;nbsp;50 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;100
in (j-I) nbsp;nbsp;nbsp;....nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 — 122 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;197 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2Ó
in Cy-2) nbsp;nbsp;nbsp;....nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I — 119—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;438—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;292
in (j—1249 . . . 1 247 15178 — 907Ö waaruit blijkt: dat dc vergelijking in 3: twee wortek, éenen tusfehen
1 nbsp;nbsp;nbsp;en 2, en éénen anderen tusfehen 124 en 125 heeft, en dat mennbsp;bijgevolg voor de wortels der gegevene vergelijking, welke tusfehea
2 nbsp;nbsp;nbsp;en 3 vallen, ftelleu kan:
I nbsp;nbsp;nbsp;, I
X zzz 2 4- — • ï X :zz I quot;i* — , I 124 1-“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
elk dezer wortels moeten na, maar het voorgefchrevene in §. 306, op dezelfde wijze, als boven, uit de vergelijkingen
ü—gt;) • • • • t —122— 197 2Ö
en (j—124)'. .. I 247 15178 — 907Ö
verder ontwikkeld worden: zulks doende, zal men voor den index van den eerften
[2, I', 8, 6, 1, I, 2, I, I, 2, I, I, 4, 2, enz.]
cn voor dien van den tweeden
[j2, 124, t, 1,4, 1, 3, 5, 1, 1, enz,] vinden; welke indices meer dan voldoende zijn, om de wortels, totnbsp;in • tien of elf cijfers der tlendeeiigen, naauwkeurig te verkrijgen, gelijknbsp;men zich daarvan bij de proef zal kunnen overtuigen.
3. Voor-
215
x* — 11 nbsp;nbsp;nbsp;— 45 .'V2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m6x
— 77 — o oflclosfch .
In de tcek.ns vnn de termen dezer vergelijking komen drie afvvis-fclingen en ééné permanentie voor; zij kan derhalve drie pofuieve wortels en éénen negatiLven wortel hebben: men vindt, volgens de aG-leidings regelen, voor de coëfficiënten der vergelijitingen in
(i')......7-11 —49 nbsp;nbsp;nbsp;77
ix— i) nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7 17 - 40 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-3 -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
— 2) nbsp;nbsp;nbsp;• • •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7 45 53 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;22 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
danr nu^ de vergelijking in _ 1) drie afwisfelingen meer dan de vergelijking in (x— 2) heeft, is het wel moge'ijk: dat ’er drie wortels , tustchennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;één en twee.,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zullen vallen,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hetwelknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;doornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;afleidingen vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vergelijkingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: (x - i) vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zelfsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;moetennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;blijken.
3. Voorbeeld. De vergelijking 7 'fen ?
Stel dan (j: — ih — i
, dan is de vergelijking in:
.....4—23 40-17 — 7
O ... 4— 7— 5 10-3
2) nbsp;nbsp;nbsp;... 4 9 -- 2— 5 I
3) nbsp;nbsp;nbsp;. ¦ . 4 -j- 25 49 34 3
Het blijkt uit deze vergelijkingen: dat ’er vooreerst eenen wortel tus-fchen 2 en 3 beftaat: maar, daar ’er in de vergelijking in {z — 2) twee permaiicatien meer dan in de vergelijking (s — i) voorkomen,nbsp;is het mogelijk: dat de vergelijking in (2- i) twee wortels tusfehen
één en nul heeft. Men Helle dan (2 - 1)=: i en
mfike de veren men verkrijgt;
Selijkingen in (7 - i), (j - 2), (7 - 3), enz.,
t» O') •••••• nbsp;nbsp;nbsp;3 —10 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
in (y-3) nbsp;nbsp;nbsp;- . .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S -i-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;20 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;77 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;91 -1-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3.S
uit deze vergelijkingen blijkt het: dat de vergelijking in (j) éénen w'ortel tusfehen o en i, éénen tusfehen i en 2, en éépen derdennbsp;tusfehen 2 en 3 heeft: de wortel tusfehen nul en één flemt overéénnbsp;met dien van de vergelijking in (2—2), en wij zullen ons derhalvenbsp;met denzelven hier niet ophouden. Het blijkt nu: dat de vergelijkingnbsp;in (2 — 1) tveee wortels tusfehen één en nul heeft, welke door denbsp;oplosfing van de vergelijkingen in (7 — 1) en (y —2) nader zuliennbsp;bekend worden.
Stel, om den wortel van de vergelijking in (}'— O te ontwikkelen, 0' - O = I ip; dan is:
'» {pj......I— i_7 2 3
in Qp — l) . . . I 3— 4 — u— 2 nbsp;nbsp;nbsp;''
WISKUNDIGE LESSEN.
I 7 11 ö — 13 ï 11 33 4t o
men heeft dan voor éénen der worte-
in -
in (^p —
Waaruit blijkt: dat p~ len tusfchen i en 2
X zzr I -f-
Om den tweeden wortel tusfchen i en 2 te vinden, ontwikkele men de vergelijking in (y — 2) j en men zal voor den index van dien wortel, die onmeetbaar is, vinden: [i, 1, 2, 1, enz.]
. Om den derden wortel tusfchen i en 2 te vinden: zal de vergelijking in (2 — 2) verder moeten worden opgelost, waaruit blijken zal: dat de index van den derden pofitieven wortel is; [i, 2, i,nbsp;4, enz.]
Nu blijft nog over, dat wij den negatieven wortel, die, omdat ’er drie pofitieve wortels gevonden zijn, noodzakelijk beftaan moet, bepalen. Wanneer men de pofitieve wortels in negatieve verandert, ennbsp;op dezelfde wijze te werk gaat, dan zal men voor den index vannbsp;dien wortel vinden: [3, 20, 3, enz.]
¦ §. 315. Het zou overtollig zijn, deze leerwijze van Lagrange, door een grooter aantal voorbeelden, optehclde-reu. In eenvoudigheid en gemak behoeft zij geenzhis voor Budak’s handelwijze te wijken, en het is, na al het voorgaande aandachtig overwogen te,.hebben, van belang te doennbsp;opmerken; dat zij met veel minder werkzaamheid tot eenennbsp;veel grooteren graad van benadering brengt, dan' naar denbsp;leerwijze van Büdan of eenige andere; want, de grootfte getallen , die men in het eerfie voorbeeld in de afleidingen verkregen heeft, beilonden op het laatst Hechts uit zeven cijfers, en de verkregene wortel was tot in het dertiende cijlcrnbsp;naauwkeurig; daar men, naar Budan’s leerwijze, om tot den-zelfden graad van benadering te geraken, in de afgeleide vergelijkingen, door telkens de nieuwe vergelijkingen met denbsp;reeks i, 10, 100, looo, te vermenigvuldigen, getallen vannbsp;meer dan veertig cijfers zou verkriigen, terwijl in vergelijkii gennbsp;. van hoogere magten dit onderfcheid nog aanmerkelijker zounbsp;worden. Men zou ten onregte bier tegen in brengen: datnbsp;tlke nieuwe herhaling in de aaniradering van.BuDAN, doet
zien,
-ocr page 251-217
zien, tot hoe verre men gevorderd is; want, dit voordeel heeft ook, zoo als wij reeds hebben aangemerkt, de leerwijze van Laguai' Ge; gelijk men ook hier niet tegen in kannbsp;brengen het geval, dat vele termen van den index de één- ^nbsp;heid zijn; want alsdan zijn de afleidingen minder en de getallen blijven kleiner. De leerwijze van Lagrange heeltnbsp;daarenboven nog de nuttige eigenfehap, waarvan'die van Lu-DAN en alle anderen verltoken zijn, dat, wanneer de vergelijking breuken tot meetbare wortels heeft, dezelve regtflreeksnbsp;te voorfchijn komen, gelijk in het derde voorbeeld geblekennbsp;is, zonder dat men tot andere beginft'lcn zijnen toevlugt behoeft te nemen, gelijk zij ook, zoo als wij ilraks zien zulle::,nbsp;de-tweede-magts faftoren ^ener vergelijking ontdekt. Voegtnbsp;men nu alle deze voordeelen te zaïnen, en brengt men daarnbsp;bij in rekening de eigenfehap, dat zij de wortels op het iiaauw-keurigfle in de kleinlte breuken uitdrukt, dan zou men, ofnbsp;deze handelwijze niet genoeg kennen, of door berekening innbsp;getallen, geene genoegzame proeven genomen moeten hebben, om aan eenige andere, behalve aan die van Lagrange,nbsp;de voorkeur te geven. Wij houden liet zelfs geenzins vermetel te zeggen: dat, wanneer ’er eene kortere en gemakke-lijker handelwijze mogelijk is, dezelve in eenen algemecueunbsp;regel zal moeten beflaan, waardoor men, zoo verre men begeert, de termen v.an den index van eiken wortel op eeiienbsp;meer gemakkelijke wijze zal kunnen vinden.
Merkwaardige eigenfehap der tweede magts-vergelijklngen.
§. 316. * Eene gedurige breuk, welker termen uit de gedurige en onbepaalde voortgaande herhaling van dezelfde getallen, als:
[a, a, a, a, ««.]; nbsp;nbsp;nbsp;\a, b, a, b, a, b, a, b, enz.']
[_a, h, c, d, a, b, c, d, a, b, c, d, enz.] beflaan, noemt men wederkeerige of periodieke gedurige breuk. Zijnbsp;is zuiver of zamengeftekl, naar dat de breuk met de periode of hetnbsp;repetendiun annvangt, of eerst op fommige, van de periode veifchillcndnbsp;zijnde, termen volgt, en daarna zonder ophouden herhaald wordt.
§• 317' ti' k)e onmeetbare worteh eencr beflaanhare vierhints-vcr-
O 5 nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iT*?'
-ocr page 252-2Io
geHjking kunnen doir 'eene periodieke gedurige breuk worden uitge-drukt-
Stellen wij, om deze gewigtige waarheid te betoogen, a^x'^ — 2,bx — a =.0
ziende a^, b en a, gebeele getallen, dan zal, volgens §. 97.
_^ v/Cb^ 4~
X dz:z-----
zijn. Voor den kleinften wortel zal men het wortel-teeken met — moeten aandoen, en b^ -f-iZiZj zal grooter dan nul moeten zijn. Het zal geene moeite kosten, om uit deze vergelijking, in geheele getallen,nbsp;de naast kleinere waarde van x te vinden. Laat deze naast kleinerenbsp;waarde zijn, en ftellen wij x -j- 1 :.Vj, dan zal men, deze warn-'nbsp;de van x in de gegeveiie vergelijking overbrengende, vinden:
(« -{- 2 bp^ _ «j ƒ,2) nbsp;nbsp;nbsp;— 2 (z(i ;gt;i — O ^1 ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;°
flellende dan
dan zal zij veranderen in
a ^ x\ ~ 2.bi Xi — a-izez-o
welke aan de gegevene volmaakt gelijkvormig is, en tot groottei wortel hebben zal
X — nbsp;nbsp;nbsp;~I~ V^C^i ril ffa)
^2
Uit deze zal men insgelijks de naast kleinere Vv'carde van x-i in cen geheel getal bepalen kunnen; ftel deze naast kleinere waarde ennbsp;^2 -f I :;v-„ ~Xi; dan zal men, op dezelfde wijze te werk gaande.
: ^2 /'a — ftellende, de
en 0^5 = -f 2 nbsp;nbsp;nbsp;~ a;ip\, en l
vergelijking
«3 nbsp;nbsp;nbsp;~ 2 ^2^ X2 — «2 ” o
verkrijgen, welke de waarde van x^^ op dezelfde wijze, in het naast kleiner geheel getal zal doen bekend worden; terwijl men op gelijkenbsp;wijze, tot in het oneindige, zal kunnen voortvaren.
Het is bijzonder opmerkelijk: dat men
'b^ ¦\~aai —h\-\-ai ai.—b^-\-a^a^—h'^ a^aj^—enz.-=zN zr.1 kunnen ftellen. Immers volgt uit — Oipi — b'. dat h\—a\p\
zba-ipi is, en weder-
— 1 h a-ipi -]r b-'i oï b\ — bquot;^ ¦.
welke
om uit a — a -{¦ 'O. b Pi ~ a I Pi •, nbsp;nbsp;nbsp;— a~ibpi
met «j vermenigvuldigd zijnde, geeft Ui — a «i — -iba^Pi ~ alPl'i weshalve bl ~h^—a'hi —aia^i of eindelijk b'^ aai
atp
«i «a zal zijn: en op dezelfde wijze betoogt men de sn-dcre gelijkheden.
Stellende dan als volet:
b -^VN
«I
'Z3
*3 V/iV
Px ¦
tn een geheel getal de naastnbsp;kleinerenbsp;waardenbsp;Pi van . .
enmakende nbsp;nbsp;nbsp;— a„z=i-
. nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• h^’empt^a^ b^f a^ — -
i
¦ nbsp;nbsp;nbsp;• ^4-/^4^4“'^3 ? nbsp;nbsp;nbsp;-
enz.
-Pz
enz. is, dc ge-
x„
Xi
durige break:
de waarde van den grooilten wortel der vergelijking uitdrukken. Begeert men den kleinften w'ortel te vinden, zal men, in het betoog-.ie ftelfel \'an vergelijkingen, aan i/iV het negatieve teeken geven, en beide wortels zullen rdzoo, zonder van het gewone voorfchrift gebruiknbsp;te iïiaken, door dezelve, op eene min oinflagtige wijze, kannen gevonden worden.
§• 318. Om nu te betoogen: dat deze gedurige breuk noodzakelijic periodiek zal zijn, merken wij aan: dat, uit den aard der zaïte, denbsp;vergelijkingen in Xj, x., x^, enz. niet anders zijn dan de vergelijkingen, welke, in het aigemeene voorfchrift, de vergelijkingen in ,nbsp;^2 9 ®3 9 enz. genoemd zijn, en welke, hoedanig ook dc leckcns vannbsp;de gegevene vergelijking zijn mogen , alle, zonder uitzondering, totnbsp;den vorm
‘*« 1
-#• j — - - O
«TI
: er.-
“loeten zijn; daar ni nbsp;nbsp;nbsp;enz. aile herzelldc toeken heb
ben ,
-ocr page 254-ben, zijn de producten ün\ii '^« 1 ^« 2 pofitief, waaruit men ligtelijk kan opmaken: it* dat (^„)Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^„ 2)% elk kleiner dan N, gelijk ooknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. tot in het oneindige,,
elk kleiner dan VN zullen zijn-, 2“* dat ook, vermits de getallen a, , «a, lt;^2, enz. uit den aard der zake, geheele getallen zijn, a„,nbsp;kleiner dan N zullen zijn. Daar derhalve Nnbsp;gegeven is, is liet klaarblijkelijk: dat ’er Hechts een bepaald aantal getallen bellaan kunnen, die minder dan N en UNziin; de getallennbsp;, ^n\\inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^»ft’ ^”2. kunnen dan Hechts een zeker aan
tal verfchillende waarden hebben: wanneer dan elk dezer reekfen, tot in het oneindige worden voorgezet, zuilen dezelfde getallen, in dezelfdenbsp;rangorde, moeten wederkeeren, gelijk ook eene zekere rangorde vannbsp;• zamenvoeging ten laatfte eene gedurig wederkeerende periode zal uitmaken. Indien men dan, bij voorbeeld, heeft:
-K-l-rp,
of wel, « /¦“/) Hellende,
en è
omdat
N-
zal.
- j moeten'zijn: maar dan is
is, ook noodzakelijk Oük te gelijk
h, VN
en X.
derhalve zal x.
¦p-i-s
l nbsp;nbsp;nbsp;r ~r gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ s ^ I
j =2 zijn; en het zal op gelijke wijze blijken:
'/
dat dan ook Xp 1 ~ Xp^ j, enz. zal moeten zijn. Het blijkt dan uit dit alles overtuigend: dat de gedurige breuk, welke uit denbsp;ontwiklrcling van de wortels eener vierkants-vergelijking ontftaat, nood-zakelijk periodiek zal moeten zijn.
§• 319- tt Meit 2al, met Lagrakge, die de eerfte is, welke deze waarheid regtflreeks betoogd heeft (64), uit dezelfde beginfelen vóort-
Men had al laijg btmcrkt: dat elke periodieke gedurige breuk tot eene tweede fflagts-vergcljjkirig kan gebragt worden. Laat gegeven zijnnbsp;de gedurige breuk :
-r
ciiz., lot in het onsindise-
dan
I
-ocr page 255-aai
redenerende, betoogen : dat, wanneer de achterfte termen en .j, I van twee volgende afgeleide vergelijkingen beide negatief geworden zijn, ééne der twee termen of , reeds periodiek zalnbsp;zijn. Dan, wij kunnen ons met de verdere bijzonderheden van ditnbsp;belangrijk onderwerp, waarover zeer veel zou te zeggen vallen, nietnbsp;langer ophouden.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
§. 320. Laat, om'het betoogde op een voorbeeld toetepasfen, gegeven zijn, de vergelijking: 3 nbsp;nbsp;nbsp;^ x — 3 ¦”
= 2 en a = JV= ^ aa^ =9 4=13, en dan zal volgens de vergelijkingen van §. 317.
^ l/Ar nbsp;nbsp;nbsp;2 1/13 ..
-----zijn; derhalve /gt;i = i
dan zal a: = —?— ziin, of .va nbsp;nbsp;nbsp;•* = i, welke opgclost zijnde,
« .1; nbsp;nbsp;nbsp;’
geven zal i y'(a2 4. 4) —’0 —ar; of, j/C'’® 4) = “ deze formule zal men alle viérkants-wortels uit getallen berekenen kunnen, die vier racer dan een volkomen vierkant zijn, gelijk de getallennbsp;5, 13, 29, 53, ö3 , 85, 104, 125, enz.: alzoo zal, bij voorbeeld,
^29 = 5 2 X [(5), (5) , (5) , enz.]
Want 29 = 25 4 = 52 4 zijnde, zal men a ~ s moeten fteilei.
Stellen vvij nogmaals ar
I
* a enz.
zijn, bijgevolg 0 ar^ -l- . .
dan zal ar = — .
^ -i-
a b X — b nr o, welke vergelijking opgclost zijnde , geven zal:
e a
Waaruit men vervolgens halen zal:
Stelt men insgelijks x = [(«, i, r,), («, l', r,), enz.] dan zal men hieruit vinden:
' lt;^ab Oa;2 (flic fl — i c).i: — ic — 1 = 0 en verder
[(fl, i, cj , enz.]
Men zal, op deze wijze voong.iande, alle getallen kunnen vinden, welker wortels van cene periodieke breuk, welker periode uit dér.cn, twee, drie of meer gegevene termen beftaat, afhangen.
-ocr page 256-WISKUNDIGE LESSEN.
I en
N -h\
= 4, en gaat men op deze wijze voort, zal men voor den
O
grootllen wortel dezer vergelijking vinden:
[(l, I, 6, I, I,), (l, I, Ö, I, I,) enz-.']
De kleinfte wortel zal even gemakkelijk gevonden worden.
§. 321. Diezelfde leerwijze zad ook ftrekken kunnen, oin den vier. kants-wortel uit een wortelloos getal in eene gedurige breuk uitte-drvtkken. (Vergelijk §. 768, I. C.) Laat gevraagd worden: den vier-kancs-wortel uit 17 te trekken? dan hebben wij de vergelijking —nbsp;17 = o optelosfen, en dan is ~ i, b — o en a~ ij en iV=:nbsp;b'^ a ai ~ 17. De rdgemeene vergelijkingen van §. 317, gevennbsp;dan:
—^5 uerhalye pi
en bi —piGi ~h~6; X I —0=14,,en
bi VN__ 4 V17
Voorts
17—16
a 2 nbsp;nbsp;nbsp;¦ I
Hieruit blijkt: dat de periode met den tweeden term begint, en Hechts
I
; derhalve — 8 N-bl_
uit éénen term beftant: zoo dat j/17 == 4-f-i nbsp;nbsp;nbsp;zamp;l
^ T enz.
zijn, gelijk in §. 768, I. C. uit andere beginfelen gevonden is.
§. 322. Men kan uit dezelfde beginfelen gemakkelijk afleiden: dat, « een geheel getal zijnde,
iquot; VO'i^ -jr 1] nbsp;nbsp;nbsp;= [n, (2»}, (2»), (2»j), ws.]
3V Vi»quot;^ nbsp;nbsp;nbsp; n)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[n,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 a),nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 a),nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enzP]
—^ = [a, (tn, irf), (ra, 2a), enzP]
7» nbsp;nbsp;nbsp;= [a, (i, (r.-r),), (i, (a~i),),
3MB. De vijf eerfte dezer formu'en zijn in de zesde begrepen, cn kunnen, door m achtervolgens gelijk 2 a, «, 2, i en 4 te fteilen, uitnbsp;dezelve worden afgeleid,
§. 322.
-ocr page 257-223
TWEEDE CURSUS.
§• 323. Dit zijn de fonnulen, welke onze achtingswaardige en kundige Landgenoot, J. M. C. van Utenhove, gevonden heeft (65), en Waardoor men in vele gevallen den vierkants-wortel uit een vvorteioosnbsp;getal, zonder eenige berekening, zal kunnen ontwikkelen in ecne gedurige breuk, welke gewonelijk, en dan vooral, wanneer n een aan-®erkelijk groot getal is, eene fpoedige benadering zal geven. Indiennbsp;nien, bij voorbeeld, den vierkants-wortel uit het getal 1298 = 1296nbsp;-f- 2 — 36^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 trekken moet, dan zal men van de tweede for-
mulen kunnen gebruik maken, in welke n = 3^ nbsp;nbsp;nbsp;3 ™
U1298 =[36, C36, 72,) (36, 72,) enz.'] en volgens den regel van §. 768, I. C. zullen de naderende breuken zijn.
|
36 |
36 | |
|
I |
36 |
1297 |
|
o |
t |
3Ó |
|
|
-3- |
|
|
36 |
72 |
|
3364417 |
242331444 |
|
93384 |
6726241 |
|
|
— |
93420
2593
de laatfte dezer breuken, die iets te klein is, zal minder dan één, gedeeld d«or (6726241)^, van de waarheid vcrfchillen, cn, wanneer men dit gebroken ontwikkelt, zal de wortel tot in het veertiende cijfer der tiendeelige breuk nnauwkeurig zijn.
Volgens de eerde formule zal Us = U(i i) = [i, 2, 2, 2, enz.] zijn: men zal nogtans, in plaats van deze breuk, eene andere vinden kunnen, die fterker aannadert. Bij voorbeeld, de 1/5°nbsp;= 51/2 zijnde, zal ^2 = | I/50 = 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; O z'jni bijge
volg de
y2=i^y. [7, 14, 14, 14, 14, t;»2.]
Insgelijks ï/363 =2 tr P'2 zijnde, zal J/3 =: _i ^quot;363 nbsp;nbsp;nbsp;.
•jxUCoöt -b 2j=z,-i. 'yQi9'^ 2') zijn, en, volgens de tweede formule, zal
= X ['9, (193 38,), (193 38,), enz.] zijn. En op gelijke wijze met andere.
§. 324. Stek men, in de 4de en 7de fonnulen van den Heer Uten-uovË, n — n — 1; dan zullen zij in
Kp- —!)=:[(/’—O3 [I3 2p —2], [i, 2/» —2], enz.]
ver-
(63) Zie deszelfs fraage oplosSng van de nbsp;nbsp;nbsp;het^mthema-
in iwt tweede Deer van bet nbsp;nbsp;nbsp;/quot;“'f'
^isch Genootfehap , te .Amfierdarn^ oiuicr de i kytnt ulles to hoven. J'Og- 4^^*
-ocr page 258-22).
WISKUNDIGE LESSEN.
veranderen. Omdat nu, bij voorbeeld, J/^^oo rr 70 is, zal 1/2 = KCpSoi — i) =; _i LCpP- — O zijn, en
y^ — 7S X [98, (i, rpó), (i, ip6), e«2.] zijn. RIen zal op deze wijze vele verfchillendc rekenwijzen ontdekkennbsp;kunnen, om de vierkants-wortels uit wortelloofe getallen te vinden.
Men zal nu uit dit verklaarde ligtelijk kunnen opmaken; ff dat, wanneer eene lioogere magts-vergelijking tvveede-inagts faftoren heeft,nbsp;welker wortels beftaanbaar zijn, dezelve door de aannaderings leerwijze van den Heer Lagrange, alle kenbaar zullen worden, wanneernbsp;eenige vergelijking, welke in de ontwikkeling der termen was voorgekomen , op nieuw terugkeort: dan-, wij zullen, over de onbeftaanbarenbsp;wortels der vergelijkingen Ijprekende, nader op dit onderwerp terug-kceren.
§. 325. De zonderlinge eigenfehap der gedurige breuken, welke de wortels eener vierkants-vergelijking uitdrukken, doen vermoeden: datnbsp;de gedurige breuken, waardoor de wortels eener derde, vierde ennbsp;hoogere magts-vergelijking uitgedrukt worden, aanmerkclijlte eigenfehap-pen bezitten moeten, welker onderzoek waarfchijnlijk vele gewigtigenbsp;zaken zou ontdekken.
Nader onderzoek van de aannaderingswijze van NewtoN.
§. 32Ó. Wij hebben, §. 224, gezegd: dat de aannaderingswijze van Newton zeer onzeker is. Het is billijk, dat wij thans de waarheidnbsp;van dit gezegde door betvijzen fiaven. Wanneer, zie §. 213, gegeven is vergelijking:
x» -f- ^ nbsp;nbsp;nbsp;—r -|- B - -}- enz. 2:2 o
/gt; bijna de waarde van ééncii der wortelen is, dan zal, .r 222 nbsp;nbsp;nbsp;-f- ®
fiellènde:
_ nbsp;nbsp;nbsp;p»/Ipn~inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bp’gt;—/' A')
* nbsp;nbsp;nbsp;nplt;‘—'^-p JXpi—B(ji—2')pv—zenz.
zijn. Nemen wij nu: dat p eene benaderde waarde van cénen clef wortels zij; dan zal men, door de vergelijking (A), z berekenen: ftd'nbsp;lende dan in dezelfde vergelijking p z, in plaats van p; dan z.alnbsp;men eene tweede waarde van s vinden: men noemc, die z'; dan zal men,nbsp;op dcnzelfden voet voortgaande, p-\-z-\-z', p •{-zz'-pnbsp;plaats van p te ftellen voor den wortervindcnp-l-2-{-2''-l-*^^'^ quot;^^^'^nbsp;enz., en men zal alzoo, zoo m men begeert, tot den wortel kunne'i
na-
Kaderen (66). Indien men nu op deze aannadering zfd kunnen float ¦maken, moet men verzekerd zijn: dat, wanneer p eene eerst benaderde waarde der vergelijking is, de waarden van p-\-z^nbsp;enz., welke men bij de tweede, derde en volgende herhalingen verkrijgt, al meer en meer bij den gezogten wortel dor vergelijking zullen komen: kan men v.in deze voorwaarde, in alle gevallen, verzekerdnbsp;zijn, dan kan men Newton’s handelwijze, zonder fchroom, in hetnbsp;werk Hellen; doch, blijft deze voofwaarde twijfelachtig, ja kan mennbsp;zelfs bewijzen: dat ’er vele gevallen kunnen zijn, waarin het tegen-geltede zal moeten plaats hebben, dan kan men die handelwijze niet,nbsp;dan met omzigtigheid, gebruiken. Wij gaan thans over, om dit allesnbsp;behoorlijk te onderzoeken.
P nbsp;nbsp;nbsp;2^ -j- 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- enz, z:: o
en, volgens hot betoogde in §. 216. zal:
P~pn nbsp;nbsp;nbsp;^'Ipu—•! _j- ]} pn—3 4- enis.
Ozz.np»—i (ji—i) A pgt;i—^ -j- (fi—iquot;) B p»—i nbsp;nbsp;nbsp;enz.
moeten zijn. Stellen wij nu; dat de wortels van de vergelijking J-f e«2.zzro, zijn a, lgt;, c, d, enz.; dan zal de vergelijking in s even zoo vele wortels hebben rds de vergelijking innbsp;en men zou, door de vergelijking in s regtflreeks optelosfen, n onder-fcheidene waardijen van 2 vinden, welke, bij het getal p opgetcld zijnde, de wortels van de vergelijking in x geven Zouden. Nogtnns is,nbsp;in de leerwijze van Nêwton , 2 alleen betrekkelijk tot éénen bepaabnbsp;den wortel, en deze éöne bedenking moet al ten eerfle eenige twijfeling doen ontftaan, tot tv eiken wortel de verbetering 2 behoorenzal’?nbsp;Maar wij zullen ons nader verklaren. Volgens het bewezene in §.210.nbsp;is P gelijk aan het prodiiét van .alle de wortels van de vergelijking innbsp;= 5 eü ö, gelijk aan de fom van alle p;oduaeu van diezelfde wortels,nbsp;« — I aan n—i maal genomen: daar nu de wortels van de vergelijking (x), a,b,c,d, enz. zijn; zijn de wortels van de vergelijking in
als Rapiison dezelve, in zijne te London , gedrukt, heeft
(66) Deze is eigenlijk de leerwijze, zoo AnaJypsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;utriverfiiPs •, in 1690,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i.t.,!;;-...
opgegeven. Zij kan als eene vereenvoudiging van N™s handeUv^ze,
welke dezelve cenigzins anders behandelde, aaniemer t wot en.
II. CüHSUS.
-ocr page 260-220
(a), als volgt: (/gt; —ö), {p — b), (,p — c), enz., en wij hebben
derhalve:
/-’=(/'——b'). (/gt;—c).Qp—(T). enz.
lt;2.—C/*——b').Qp—e).eKs. (/)—b').(^p—c) .(/gt;—cP).enz. ( A—o). (/»—c) .’(p—dquot;) .enz,-\-Qp—a). (p—b'). (p—d'). enz.nbsp;en deelende nu de laatfte door de eerde vergelijking, dan zal:
p nbsp;nbsp;nbsp;f—anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p — bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p—cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p—d
moeten zijn, en daar ^ —--— is, zal men hebben:
, enz.
of z:
enz.
a—p nbsp;nbsp;nbsp;b—pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c—pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d—p
Nemen wij nu: dat a de wortel is, di^n men zoekt; dan zal, het zij p eene naast grootere of kleinere waarde van dien wortel zij, a — pnbsp;het onderfcheid tusfclien den waren en eerst gegisten wortel zijn, ennbsp;de deugdzaamheid der benadering zal vorderen, dat « — (p =) j ofnbsp;a — p — 2, kleiner dan a — p; of
I nbsp;nbsp;nbsp;, I
grooter dan
a —p — z Stellen wij dan, kortheidshalve
I nbsp;nbsp;nbsp;I
ZIJ.
enz
Nz
dan zal:
N(a—.p')
-p — 2:
zijn; bijgevolg
a—p — z nbsp;nbsp;nbsp;N (ji—p) a—pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(a—p)^ y. N
Hieruit volgt nu; 1“ dat, wanneer iVmet hetzelfde teelten als (a—p) is aangedaan, de waarde van a—p — z ook hetzelfde teeken heb-I ben zal, en dat, in dit geval, de vereischte voorwaarde zal plaats hebben. 2'‘ Dat, wanneer a—p en N verfchillende teekens hebben,nbsp;als dan
I
-ocr page 261-grooter dan
zal moeten zijn. Indien men nu de voorgar.nde vergelijking in net vierksnt brengt, den znl
^
Qa~-p~zy ¦ zijn: derhalve zal
__7)3 N ia—py grooter dan nul moeten zijn, of wel
2 (a —ƒgt;) gt;i: At -b I gt; o
Daar na de waarde van N van de andere wortels b, c, t/, e, enz. afhangt, is het moeijelijk (67) een kenmerk te vinden, waaruit hetnbsp;blijken kan, of de geftelde voorwaarde, bij eenige benadering, vervuldnbsp;zij? Voor het overige, zou het gemakkelijk zijn, om velt vooi eenbsp;bij te brengen, in welke men, deze voorwaarde niet ve.vuid zijn e,nbsp;in plaats van tot den gezogten wortel te naderen, integendeel vannbsp;denzelven zou afwijken.
§. 328. Het is dan alleenlijk in het eerfte gevrd, wanneer namelijk de gegiste waarde p of grooter of kleiner dan alle de wortels der ge-gevene vergelijking is, (jde grootfte negatieve wortel rds de kltinftenbsp;aanmerkende,) waarin men met veiligheid op de aannadering znl kunnen fiaat maken: ja, men kan ’er ook bijvoegen: dat ook zeds p onbsp;grooter of kleiner dan de beftaanbare deden der onbeftaanbare worte snbsp;moet zijn. Men kan alle deze verdere omftandigheden in het breede innbsp;Lagrange’s Ré Joint tons ties Equations numéiiques, pag. 1405 et je tj..nbsp;verklaard vinden; welke, zoo als zij aldaar voorkomen, de leerwijzenbsp;van Newton , zoo als zij gewonelljk wordt in het werk geftdd, naarnbsp;waarheid, als een onveilig hulpmiddel doet voorkomen.
§. 329' liven wel kunnen wij, tot genoegen van de voorftanders der Newtoniaanfehe benadering, verklaren: dat in de ichoone leerwijze vannbsp;Lagrange, zonder dat die groote man het doet opmerken, den wegnbsp;gebaand is, om, na eene kleine herleiding, de aannadering van Newton tot de benadering van alle de wortels eener vergelijking bruikba,.rnbsp;te maken, door de benadering van eiken wortel van de ben.^dering van
den
k
(67) Ja itibfchien wel onmogelijk, voegt ’er Lagrange bij. Dat men intusfcheii zulk een iiaclcr kenmerk misfen kan, cn echter N,..vroNSnbsp;leerwijze veilig gebruiken, zal ftraks buiten twijfel gefteld worden.
P 2
-ocr page 262-228
den grootften wortel eeiier vergelijking, die uit de gegevene afgeleid wordt, te doen afhangen; waardoor dan de betoogde voorwaarde innbsp;zoo verre vervuld wordt, dat men, met volkomene zekerheid, op denbsp;juiitheid der benadering zal kunnen flaat maken.
§• 33°* Laat, oin deze kunstgreep aantewijzen,
A x'^ B xquot;^ Af C -j-Z).T;-r/t = o eene vergelijking zijn. Stel: dat men,door den algorithnius vanBuDAN,nbsp;gevonden hebbe, dat, van den kleinlten tot den grootften wortel, denbsp;wortels tusfcben a en « i; b en ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15 c en c 15 en ^ i;
vallen, en bepalen wij ons tot het benaderen des wortels, die tusfelien h en ^-f- I valt; dan zal men, zie §. 304, den wortel der vergelijking
A'(:x—byAfB'(x~hyAfC'(^x-~by-\-T)'(ix—h)ArE’=o welken tusfchen dén en nul valt, (want deze heeft nog twee groo-tere die tusfchen c — h en c — b—i, d — h end—b—i vallen,)nbsp;moeten oplosfen; of wel, x — b=y ftellende, de vergelijkingnbsp;A'y^ B'y^ C'y^ Oy E'=ZOnbsp;Hellende dan y ~ i : s, dan zal de vergelijkingnbsp;)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-I-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- C'’a^ y B' z Af A^~ o
zie §. 305 en 30Ó, eenen wortel hebben die grooter dan één is, en de grenzen van dien wortel zullen, volgens Budan’s algoritbmus, fpoe-dig gevonden worden. Wij onderftcllen hier: dat ’er flechts dénennbsp;wortel tusfcben nul en den befta: zulks zoo zijnde, zal de vergelijking in (3) wei even zoo vele wortels hebben, als de vergelijking innbsp;(ar); maar de wortel van z, die hier in het bijzonder, om de waarde vannbsp;b te benaderen, moet gezoge worden, is juist de grootfte wortel dernbsp;vergelijking in (3); want, omdat 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ is, is de wortel a der ver
gelijking (.r) voorzeker in de vergelijking (y) negatief en Hemt met eenen negatieven wortel van de vergelijking in (3) overéén, en wat de wortels c en d aangaat, deze ftemmen de vergelijking in (s) met gebro-kene Wortels overeen, (raagpleeg §. 306.). De wortel z, die men,nbsp;naar de gewone ontwikkeling van Lagrange zoeken zon, is dus denbsp;grootfte en zal in alle omftandigheden de grootfte zijn. Wanneer dannbsp;z jgt; /gt; en lt;C/’ I is, en 3 voor eene eerfte benadering gelijk / -i- i,nbsp;als benaderende waarde, gefteld wordt; dan zal men, van deze onder-ftelling afgaande, den wortel der vergelijking in (3), als grootfte, ondernbsp;de vereischte verzekering, naar de leerwijze van Newton kunnen benaderen. Ook is het op deze wijze, d.at wij pag. 147. de wortelsnbsp;der vergelijking x'i- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 47 x» —• 47 .r 252 =: o gevonden
heb-
-ocr page 263-£29
TWEEDE CURSUS.
hebben. - Wanneer de vergelijking in (z) meer dan eenen Hortc
tusfchen nul cn één raogt hebben, die, bij voorbeeld, tusfchM ? ^ ? I, r en r I, s en s i, vallen, dan zou men in dit gevalnbsp;tot eene afleiding verder gaan, en de vergelijkingen in (snbsp;(2—r), (2—-s), enz. op denzelfden voet behandelen,^ Op deze wijze , en op geene andere, zal men derhalve, met veiligheid, zoo opnbsp;de leerwijze van Newton, als op die van de Courtri\on, en 05nbsp;die van Simpson, kunnen ftaat maken.
§• 331- Wij kunnen, uit al het verhandelde, in deze en de voorgaande Les, befluiten: iquot; dat de leerwijze van Budannbsp;de grenzen van alle wortels op eene voldoende wijze bepaalt. ^2° Dat de aannadering van Lagrange , wegens harenbsp;fraaiheid en algemeenheid, de beste is; en 3quot;, dat,die vannbsp;Newton, na eene behoorlijke voorbereiding, veilig kan ge-Viruikt worden. Indien ’er in het vervolg van tijd hetere ontduikt worden, zullen zij voorzeker op deze. gronden moetennbsp;berusten; met betrekking tot.de zekerheid der uitkomften,nbsp;is alles gedaan, wat men verlangen kan; ten opzigte van hetnbsp;min werkzame, zal men altijd verbetering blijven hopen:nbsp;dan, wanneer men in aanmerking neemt, dat de wortelsnbsp;eener vergelijking van alle hare coëfficiënten afhangen, gevoelt men ligtelijk, dat alle verbetering nogtans altijd zoo werkzaam blijven zal, als tot het in rekening brengen van alle dienbsp;bekenden, waarvan de wortels afhangen, zal noodig zyn.
Orer het vinden van de gemcenes deekr der flelkundige uitdrukking etf-
§. 332. In de XVI Les, I. C. ceti denkbeeld van de ge-meene dealers der getallen gegeven, en derzelver uitvinding geleerd hebbende, kunnen wij, daar de gemeene deelers dernbsp;Helkundige uitdrukkingen in aard cn eigenfehappen van dienbsp;der getallen niet onderfcheiden zijn, op deze bekende gronden, voortgaan, en ons thans met de navorfching vr.n de ge-weene deelers der Helkundige uitdrukkingen bezig houden.
p 3 nbsp;nbsp;nbsp;De
-ocr page 264-33°
WISKUNDIGE LESSEN.
De gronden, op welke de oplr.sfing v;in dit gewigtig vraag-ftuk berust, zijn meerendeels verklaard, en in het gemeen de twee volgende:
S- 333- 1° tt getal, hetwelh een dealer van twee andere getallen is, is ook te gelijk een deeler van derzelver veelvouden, gelijk ook. van de fom en het verfchil dezer veelvouden. Zie 193, 194¦gt; 195 en 196, I. C.
§• 334' nbsp;nbsp;nbsp;Ow den grootflen gemeenen deeler van een
zeker aantal getallen te vinden, is het genoeg, dat men den-zelven tusfehen twee getallen vinden kan. Zie §. 263, I. C.
§• 335‘ Wat nu het vinden van de gcineene deelers der ftelkundige uitdrukkingen belangt, deze uitdrukkingen moeten begrepen worden, ondèr de volgende vormen te kunnennbsp;voorkomen. 1° Wanneer heide de uitdrukkingen éénkdignbsp;zijn-, 2® Wanneer de eene éénkdig en de andere veelledig is;nbsp;3® Wanneer beide de uitdrukkingen veelledig zijn. Wanneernbsp;’er, in de twee eeriie gevalLn, getneene deelers beftaan, dannbsp;loopen deze van zei ven in het oog; want, vermits aan denbsp;letters, in de ftelkundige uitdrukkingen, alle waardijen kunnen gegeven worden, zoo zullen twee onderfcheidene lettersnbsp;nimmer kunnen gehouden worden, op eene algemeene Wijze,nbsp;onderling deelbaar te zijn; de gemeene deelers zullen derhalve moeten opgemaakt worden: 1° uit de gemeene dedersnbsp;der getallen coëfficiënten; en 2'^, uit de gelijke letters, welkenbsp;in beide uitdrukkingen, onder de eerfte, of onder eenehoogcrenbsp;magt, voorkomen, ff De gemeene deeler der twee gegevenenbsp;uitdrukkingen zal bijgevolg het produét van alle de bijzonderenbsp;gemeene deelers, zoo der getallen coëfficiënten, als der faStsren ,nbsp;zijn, welke men in de uvee gegevene uitdrukkingen zal ontdekt hebben, (zie §. 191, I. C.) Laten, om zulks opte-helderen, gegeven zijn de uitdrukkingen: wiabx^ff ennbsp;o,aobx y^z; dan hebben vooreerst de coëfficiënten het getal 3 tot gemeenen deeler. De letter a wordt in de tv/eedenbsp;uitdrukkinar niet gevonden, en zi) kan derhalve geen geinee-ne deeler zijn; de letter b, als deeler van elk der uitdrukkingen, is een gemeene deeler; op dezelve wijze, zijn ^n y'^nbsp;gerneene deekrs; de grpotfte gemeene deeler zal dan 3 x Z' x
x^ X
-ocr page 265-231
TWEEDE CURSUS.
Xy°-, of nbsp;nbsp;nbsp;zijn; en zulks voor alle waarden, wel
ke aan de letters b, at en y gegeven worden. Indien gegeven zijn: de dénledige uitdrukking: 18 b^x^, en de veelledige: nbsp;nbsp;nbsp;a-b^ X*_ nbsp;nbsp;nbsp;b^ x'^dan befpeurt
tnen: dat de gemeene deeler dezer twee uitdrukkingen tevens een gemeene deeler van de termen der tweede zal zijn: indien derhalve de termen dezer tweede geenen gemeenen deeler hebben, zullen de gegevene uitdrukkingen ’er insgelijksnbsp;geenen hebben; men zoeke diensvolgens den gemeenen deelernbsp;der termen nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x* vx—2gt;3‘^b^x^: deze is ‘^ab'^x*’,
voorts den gemeenen deeler tusfchen :^ab^x^ en ï8 b^ xquot;^ en 'deze is:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b^ x^, en nu zal de tweede uitdrukking
door 3deelbaar zijn. Men zoeke dan eindilnk den gemeenen deeler van de eerde uitdrukking \8 b^ ennbsp;den laatst gevonden deeler 3 0 Z»quot; x^ : deze ^ab'^x^ ztjiide,nbsp;zal ¦},ah'^x^ de gevraagde gemeene deeler zijn.
§.•336. In dit alles is, daar het zich van zelven wijst, niets möeijelijks gelegen: wij zullen daarom tot het onderzoek van de gemeene dealers der veelledige uitdrukkingennbsp;overgaan. Deze deelers kunnen nu éénledig of veelledig zijn.nbsp;Zijn zij édnledig, dan worden zij, even als in het tweede geval, bijna met éénen opflag van het oog gevonden. Wij moeten nogtans herinneren: dat men, alvorens het onderzoek dernbsp;veelledige deelers in het werk te Hellen, omtrent de éénledi-ge onderzoek doen moet, en dezelve, iiidien zij voorkomen,nbsp;verwerpen, omdat het onderzoek der veelledige gemeene deelers doorgaans gemakkelijker valt, na dat men de gegevenenbsp;iHtdrukkingfcn van de gemeenfchappeliike ééhledige gemeenenbsp;deelers, die dezelve kunnen hebben, gezuiverd heeft.
§• 337- In het onderzoek van de veelledige gemeene deelers , onderHellen wij; dat de uitdrukkingen naar de magten eener letter geordend zijn. Het is onnodig te doen opmerken:nbsp;dat de gemeene deeler ook in dezelfde rangordening zal moeten voorkomen. Laat die letter zijn, welke altijd als eenenbsp;veranderlijke grootheid kan aangemevkt worden; dan zullennbsp;de uitdrukkingen met derzelver gemeenen deeler van dennbsp;vorm
P 4
-ocr page 266-Gcgevene uitdrukkingen
A Xquot; B X»—I C X»—2 D x«—3 enz. nbsp;nbsp;nbsp;^ ö.
if xm i) xm—I -]_ c x»‘—- d X®—o 4- enz. p x q Getneene deeler
a xgt;' nbsp;nbsp;nbsp;(3 xr—'i y xr—- -|- enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jJ. x y
moeten zijn; zijnde de coëfficiënten, of bepaalde getallen, of uitdrukkingen, welke van ééne of meer veranderlijke grootheden y, zt Enz. benevens van cenige flandvastige kunnen afhangen. Het eerde dat dan zal beljooren gedaan te worden,nbsp;zal zijn te onderzoeken: of de coëfficiënten der gegevenenbsp;uitdrukkingen eenen gemeenen deeler hebben, en ingeval dezenbsp;werkelijk bellaat, zal men elke uitdrukking, in het bijzonder, eerst door denzelven déelen: en voorts den veelledigennbsp;gemeenen deeler der quotiënten, die nu van den vormnbsp;yj/ xn—I -j- ]j/ jfB—I -|_ enz. -f- 7*'' X -f- Ojnbsp;a' x”‘—ï 4- y X®—r 4~ enz. 4- p' x q'nbsp;zullen zijn, trachten te bepalen.
§. 338. Uit onderzoek is nu gegrond op het algcmecne beginfel: ff den de grootfle gemeene deeler van twee 'uitdrukkingen., noch van vorm., noch van waarde., veranderen zal.,nbsp;W'nnneer men, of ééne, of beide uitdrukkingen met cene één-ledige vermenigvuldigt of deelt, en de produElcn of quotiëntennbsp;optelt, aftrekt, of, op eenigerlei wijze, met elkander verbindtnbsp;of zamenvotgt.
Wanneer men het betoogde, in §. 1258, I. C. rvel verftaan heefi, zal men dit gefielde, bij een Weinig oplicldering, als een onmidde-lijlc gevolg van hetzelve aanmerken. Stellen wij, bij voorbeeld, datnbsp;x^ -p r X 4- r een gemeene deeler zij : noemen wij de' gegevene uitdrukkingen X en X': de quotiënten die ontdaan, wanneer elk derzel-ve, door den gemeenen deeler gedeeld wordt, R en K'; dan zal
X ~ (x“ -f- r X 4- s) X /i X' =: (x^ 4- X -p s) X R!
moeten zijn. Nu is het klaar; dat, W'aiineer men ééne dezer uitdrukkingen met eene éénledige uitdrukking U, ook zelfs met zulk cene, •waarin eenige magt van de letter x voorkomt, als Uxh, vermcnigvul-digt, dk pToduft met de andere uitdrukking den deeler x=^ -p ;-x4-snbsp;gemeen zal hebben; hetzelfde zal ook van de andere uitdrukking golden ,
-ocr page 267-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;s;:.!
ikn, wanneer zij met eenige uitdrukking /^vermenigvuldigd wordt: diensvolgcns beftaat in de produóten
U X -j- r X s) X R F x! X (x^ r X 5)
nog dezelfde onveranderde gemeene deeler; waaruit volgt: dat, wanneer men denzelven gevonden heeft, tevens die van de gegevene uitdrukkingen zal bekend geworden zijn. Men kan ’er bijvoegen: dat de uitdrukkingen U en F zelf veelledig, en van den vorm xgt;- -j-p xr—i- enz. kunnen zijn; en dat, indien men Hechts zorg draagt,nbsp;dat deze faftoren geenen onderlingen gemeenen deeler, en voorts Unbsp;met R' en F met R insgelijks geenen gemeenen deeler hebben, evenwel, het geftelde nog plaats zal hebben.
§. 339. Volgens dit beginfel, zal men den Regel van §. 260, I. C. gegrond op het bewezene in §. 258. met eenige, naar den aard der fielkundige uitdrukkingen gepaste,nbsp;.veranderingen, op bet onderzoek van eenen veelledigen ge-mcenen deeler kunnen toepasfen. Stellen wij: dat de gegevene uitdrukkingen (van derzelver dcnledige deelers gezuiverd zijnde,) zijn M en N; dan zal men dezen Regel volgennbsp;Algkmeene Reoee. „ Rangfchikt alk de termen dernbsp;„ twee gegevene uitdrukkingen^ naar de afdalende magtennbsp;5, der veranderlijke grootheid x', dan zullen deze uitdruk-hingen of tot dezelfde, of tot verfchillende magten npklim-,, mend’’
2.® „ In het eerfie preval, deelt men de ééne door de ande-,, re', {pm het even, welke voor deeler verftrektin het twee-,, de, de uitdrukking , waarin de hoogfle mr.gt van x voor-,, komt, door de andere, alles volgens den regel, voor de dl-,, vifte der fielkundige uitdrukkingen, in §, 58, voorgefekre-„ ven; en, daar men meestal, hij deze eerfie hewerkin?, ,, geen opgaand quotient vinden zal, zet men deze deelbignbsp;„ zoo ver voort, als in §. 62. is aangewezen. Zonder nu,nbsp;,, in deze decling, op het quotient te letten, zullen wij der-„ zelver rest door P uitdrukken.^’
3^ ,, Omtrent dit eerfie gedeelte der bewerking, gelijk ook ,, omtrent alk de volgende, moet men in het algemeen aan-,, merken; dat de hoogde termen meestal met onderfcheuiene
r 5 nbsp;nbsp;nbsp;55 g«'
-ocr page 268-„ getallen of letter¦ coëfficiënten zijn aangedaan^ en dat men ,, in dit geval natuurlijk gebrokene termen in het quotientnbsp;,, verkrijgen zal, welke omfiandigheid de uitvoering, vooralnbsp;,, voor die geenen, die niet gaarne met gebrokens te doennbsp;5 5 hebben, lastig maakt. In dit geval zal men:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;of alles
5, laten zoo als het is, en naar de regels, die voor de gebro-„ kens voorgefchreven zijn, de divifien volbrengen: of iquot; bei-„ de Uitdrukkingen, ten einde de gebrokens te vermijden,
,, vooraf vermenigvuldigen niet de quotiënten, die men vcr-}¦gt; hrijgt, ivanneer men het kleinfte gerneene veelvoud van de ,5 coëfficiënten van de hoogfle termen der gcgevene uitdrukkin-,, gen respeElievelij.k door die coëfficiënten deelt: hierdoor zalnbsp;,, wel eene verandering in het quotient der divifie geborennbsp;,, worden: doch, volgens het bewezene, in 23Ö, zal de ge-„ meene deeler onveranderd blijven.”
4” I^olgens den aard dor fielkundige deeling, zal de ver-,, ander lijke grootheid x, in de rest P dezer eer fte bewerking,
,, tot eene lagere magt dan in elk der gegevene uitdrukkingen
opklimmen: daar nu deze rest noodzakehjk denzeljden dee-,, Ier met de gegevene uitdrukkingen M en N gemeen heeft,
,, zal, indien N, hij voorbeeld, van eene lagere magt dan -„ M is, het onderzoek van den gemeenen deeler van M en ,, N gehragt zijn tot het zoeken van den gemeenen deelernbsp;,, van de uitdrukkingen N en F, welke van eene lagere magtnbsp;,, dan de gegevene zijnde, gevglgelijk minder termen bevatten,
,, en gemakkelijker te behandelen zullen zijn. Men deels dan „ N door F, alles behandelende, ah in het derde gedeeltenbsp;,, voorgefchreven is.”
5^ ,, Stel: dat de rest dezer tweede diviffe Q^zij: dan zal „ deze rest wederom van eene lagere magt zijn, en zal ffnbsp;,, met F, JV cn M denzelfden deeler wederom genietn hebben.
,, Zoadat, wanneer men dan den gemeenen deeler van F en ,, Cf gevonden heeft, die van de gegevene uitdrukkingen»
5, M en N, zal bekend zijn.”
6“ ,, Het fpreekt van zclven: dat,, wanneer men op deze • „ wijze voortgaat, de resten R, S, T, enz. der volgende
declingcn (^altijd den laaljim deeler door het laatst ve/krs-
-ocr page 269-jü gene overfchot deelendetelkens van eene lagere magt 5, len zijn.quot;
7quot; ,, Men moet wel acht geven: dat men elk overfchot van ,, de geheele of gehrokene factoren, die aan alle termen vannbsp;5, hetzelve gemeen zijn, zuivere; want, omdat hierdoor de ge-„ meene deeler onveranderd hlijft, zal men, het gezuiverde over-,, fchot, in plaats van het verkregene, gebruikende, met dennbsp;, minst mogelijken omflag, het onderzoek ten einde brengen.
S'* ,, Wanneer ’er een twee- of veelledige deeler beftaat, ,, zal dezelve daaraan kenbaar worden, wanneer het overfchotnbsp;, van eenige deeling den deeler van de laatst voorgaande di-vife volkomen deelt: dit overfchot, gezuiverd van den ge-meenen deeler, tvelke derzelver coëfficiënten hebben kunnen , zal noodzakelijk de groote gemeene deeler der gegevens uitdrukkingen zijn.quot;
9^ Komt men men op een overfchot, dat een bloot getal, of „ eene éénledige uitdrukking is, en dut gevolgelijk bevrijd isnbsp;„ van alle zamenftelUng der veranderlijke grootheid x , zalnbsp;„ zulks tot een bewijs verflrekken: dat 'er geen twee-of vecl-3» ledige gemeene deeler bejiaat.quot;
%. 340. I. Voorbeeld. Den gemeenen deeler van de uitdrukkingen 4x3 — 0. x'^ -k- ^ X — 7 en — lox-j-px — i te vinden ?
jNIen deele de eerfte uitdrukking door de tweede; dan vindt luen Voor het quotient 2, en voor de rest der deeling i8x^ — 13.V — 5.
deele men den deeler der eerfte deeling 2x3 — lox^ px—l door i8x- — 13X — 5: hetgeen regtftreeks aldus gefchiedt:
quotient
Deze deeling heef: uiets vreemds; uitgezonderd, dat men, in derr loop harcr bewerking, de behandeling der breuken verftaan moet. Bi]nbsp;de eerfte bewerking,' vraagt men: hoeveelmaal is 18 x^ op 2 x^ bivnbsp;grepen? komt ' x; als naar gewoonte, wordt de deeler 18 x- —nbsp;^3-v — 5 dit quotiënt lx vermenigvuldigd, en het rrodtiét
-ocr page 270-— nbsp;nbsp;nbsp;a-»- — i X van het deeltal afgetrokken. Wederom vraagt men;
hoeveelmaai is iSat^- .op —begrepen? komt —enz.
Men kan nu nit de rest der deeling den failor fjj, die aan derzei-ver termen gemeen is, weglaten, en den voorgaanden deeler, i8 x® — 13 X — 5, door x— I deelen. DezC'deeling gaat volmaakt op: mennbsp;mag dan’daaruit befluiten: dat x — i de gemeene deeler der gegevencnbsp;niturukkingen is, zoo als ook, bij de proef, blijken zal.
Wil men echter de gebrokens vermijden; dan zal men, na de eerfte deeling, aldus te werk gaan;
deeler . deeltal ,
I8x= —13X — 2 xS — 10 x^
18 X^-90 X® -|-
18 x^ — 13 x^-
5
9 X — I
81 X nbsp;nbsp;nbsp;9 — P maal het deeltal
5 X nbsp;nbsp;nbsp;~ X maal den de tier
— nbsp;nbsp;nbsp;77 X 18nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x=^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1548nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X — 162nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;::: 18 maal de rest
— nbsp;nbsp;nbsp;77 ^ 18nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;looinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X 385nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 77 maal den deeler
tweede rest . . . 547 x—547 =: 547 X (x—i)
In deze bewerking vermenigvuldigt men het deeltal met 9, om don coefficient van den hoogden term des deeltals door dien des deelersnbsp;deelbaar te maken. Men vraagt dan: hoeveelmaai is 18 x^ op l3x®nbsp;begrepen? komt x maal; mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;trekt xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;maal dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deeler van 9 maal het
deeltal nbsp;nbsp;nbsp;af,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rest — 77 x^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;86nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9. Deze rest vermenigvuldigt
men op nieuw met 18, om den coefficient van derzelver hoogden term door dien des deelers deelbaar te maken, en men vraagt: hoeveei-raaal is 18 x® op — 77 x 18 x® begrepen ? komt — 77 maal, ennbsp;men vindt, voor de tweede rest, 547 (x—i) enz.
2. Voorbeeld. Den gemeenen deeler van de uitdrukkingen 2x — 3 x^ —2Sx“ 75x—91 en lox^—41 x- 43X—77 tc vinden?nbsp;De eerde bewerking geeft:
deeler lox^— 41 x®-f- 43x deeltal 2x4—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 .va— 28X--I-
10x4— 15x3 — 140x2 af 10x4— 41x34. 43 x2 —
77
75X— 91
375X — 455=2:5 maal het deeltal 77Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—X maalden deeler
rest . . . 26x3 — 183x2 452X— 455 130x3—915x2 2260X—2275:nbsp;quot;ƒ • I303g^-533x2 559:;;—1001 =
rest der eerfle deeling —382x2 j^qix-ten geenen gemeenen deeler hebben,
¦1274,
25 maal deze rest 213 maal den deelernbsp;welker eoefficien-
In
=37
In de tweede bewerking heeft men: de.eler —382^^ i 70IJ1; —1274
deeltal
10X3-
ipiox-' 783 82i3x~r47o7—i91 maal het deeltal 4-ipiox3 8505x^ d370x . . ~— 5^ maal den deeler
ferfle reu . . 674x^ i843x—14707
a57468x^ nbsp;nbsp;nbsp;704026X—5618074=382®. ii?«een/7emf
‘tf 257468»^—1146474X 858676=—(^']efmaald.deeL . . . 1850500X—6476750
De geneeiie deeler van de termen dezer rest is 925250: men kan dan
in plaats van denzelven ftellen: 925250 x (2 x_7).
Nu moet nog den laatften deeler — 382 nbsp;nbsp;nbsp; 1701 x — ,1274 door
— 7 gedeeld worden. Het quotient is —ipix iSe en de deeling gaat juist op. Men befluit dan: dat 2 x — 7 de groofte ge-meene deeler der gegevene uitdrukkingen is.
3. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. De gemeene deekrs vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 18 a- —
27 a~ X 9 «2 j|;3 gfi 27 ^2 ^5 — p ^2 nbsp;nbsp;nbsp;— iS a^ te vinden ?
De grootfte gemeene deeler der getallen coëfficiënten is 9; voorts ziin alle de leden der twee gegevene uitdrukldugen nog deelbaar doornbsp;«3 x3; de geheele éénledige gemeene deeler is derhalve ()a^ x^. Denbsp;gegevene uitdrukkingen door denzelven deelende, verkrijgt men:
4x3 — 2 x~ — 3 X -j- I en .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 X® — 2 X — I
welker gemeene deeler zal bevonden worden te zijn x— i. Dc ge* meene deeler der gegevene uitkrukkiugen is alzoo 3 xs (jx— i}.
4. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. Den grootften gemeenen deeler van 21
1% a h* 9«3 3i2 -j-36rt^3 g — iS a^ è c — ^2 aquot; lgt;^ e, en iSai- c —¦ ^oa'^ b c 15-*^ Z)2 — ^ a b'^ te vinden ?
De gegevene uitdrukkingen zijn beide door b deelbaar, en de quo* tienten, naar de magten van de letter a ordenende, verkrijgt men:
(3 5 — 6 r) . nbsp;nbsp;nbsp;4. (^7 /;2 — 14/; c) 4“ (12 ^3 c — 6 ^3^
en (5^—ior)«-f (6 3c —3é^)
De gemeene deeler van de coëfficiënten der magten van a h b — z c: de gegevene uitdrukkingen door denzelven deelende, verkrijgt men:nbsp;30^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 b a —
en 5 a—2, b
deze twee uitdrukkingen geenen gemeenen deeler hebbende, zal de ge-tneene deeler der twee gegevene uitdrukkingen zab Qj — c) zijn.
5. Voor-
-ocr page 272-238 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
5. Voorbeeld. Den groolften gemeenen deeler van C’4 nbsp;nbsp;nbsp;c3-
^“èb^cd—c dlt;2.% c d'ya nbsp;nbsp;nbsp;(gxi b'^ c d—zied') . . .
en van
lifb^ cd — l^b c d — quot;J h- c cl dr- J c d
a-
(21 cd—84.b^cd-{- lo^bcd—/(.zcd) -{-„ nbsp;nbsp;nbsp;^ - 3.5J^ ^d 7 hed _7 c/
Men zal, om de breuken weg te maken, elk der twee gegevene uitdrukkingen met vermenigvuldigen: daarna, zal men bevinden: dat alle de coëfficiënten van de magten van a door quot;j c d deelbaar zijn;nbsp;dezelve dan door dien deeler deelende, zal het blijken: dat de coëfficiënten nogmaals alle door b — i deelbaar zijn; daarna zal men bevinden : dat — I nog een gemeene deeler is: men zal dan voornbsp;den gemeenen deeler der gegevene uitdrukking verkrijgen:
X C'5’—i) X («—i).
§. 341. Het is noodzakelijk: dat wij nog eenige oogen-blikken blijven ftilftaan bij de uitdrukkingen, die van twee en meer veranderlijke grootheden x, y, 2, enz. afhangen,nbsp;en bij het bepalen van d'erzelver gemeene deelers; want, of-fchoon de algemeene regel tot dat einde wel voldoende is,nbsp;zon bet nogtans gebeuren kunnen, dat een eerstbeginnendenbsp;daarin zwarigheden ontmoettede, welke, daar het vinden vannbsp;de gemeene deelers van die foort van uitdrukkingen met hetnbsp;verdrijven der onbekenden ten naauwlle verbonden is, welnbsp;degelijk behoolen opgeheven te worden.
§. 342. * Eene uitdrukking, welke van ééne, twee of meer veranderlijke .grootheden afhangt, wordt ttnt functienbsp;van dk veranderlijke grootheden genoemd. Alzoo zijn x»,nbsp;a x-‘ b xn—t funclien van x-, en a x^ — h x y eene funftienbsp;van A' en y.
%• 343- tt Gelijk elke funtflie van déne veranderlijke grootheid, volgens §. 53. naar de' opklimmende of afdalende magten van die veranderlijke grootheid, geordend kan worden; even zoo zal men nok eike functie van twee veranderliikenbsp;grootheden x en y, naar de opkliramende of afdalende magten van ééae dezer twee veranderlijke grootheden, ordenen
kun-
-ocr page 273-5lt;unoen. Eene fundie van x en 3» znl, naar de afdatende üiag-ten van x geordend zijnde, van den vorm
P *¦” nbsp;nbsp;nbsp;^ x”-—'^ enz, T X V
zijn, en dan zullen de coëfficiënten P, enz. als fundbien Van y moeten aangeinerkt worden. Ordent men diezelfde functie, naar de afdalende magten van 31, dan zal zij van den vorm
P 3” q y”~^ -f- r y»—^ enz, -|-zijn; terwijl de coëfficiënten p,ej,r,,t,v, in dit geval, func-tien van de veranderlijke grootheid x zullen zyn.
§. 344. Niets is eenvoudiger dan eene fundie van twee veranderlijke grootheden , naar déne der veranderlijke grootheden, te ordenen. ,, Men verzamelt tot dat einde alle de ter-„ men,, in welke dezelfde magten van dezelfde veranderlijkenbsp;55 grootheid voorkomen,, welke termen,, naar §. 449 en §. 474.nbsp;„ I. C. „ tot éénen term ver'éénigd worden, welker eoeffeien-,, ten mgtans , naar de opklimmende of afdalende magten ,nbsp;,, van de andere veranderlijke grootheid geordend worden.'”
§. 345. Laat, bij voorbeeld, gegeven zijn de uitdrukking; 5^5 —
-f- 7x^31 — 9x31^-— 33;^ — 13X — 113'^ 83 — 17 xy ~-t37; dan zal deze ongeordende uitdrukking, naar de afdalende magten van X geordend zijnde, den volgenden vorm verkrijgen:
C73—3) *^—(93^ 173 13)^—(33^ 113“—83 137)
5 X^ y' y } x^ — 9 3“ V
— 3 5 nbsp;nbsp;nbsp;—i?3 z —
— 13 J
Uitdrukking, welke fomtijds ook aldus gefchreven wordt:
3 3'^
113^
83
— 137
Meestal fchrijft men echter, bij verkorting;
P x'^ -k- Q^x^ -f- .V -j- gt;y
Zijnde alsdan, voor ons bijzonder geval: 7gt; —5; O “73 — 3 ; 7? —¦ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 173— 131 5' = —33^ — 113- -i-'dr —137- Ordent
Uien dezelve uitdrukking haar de atJalende magten van 3; dan zal zij onder dezen vorm ftaan:
— 33^ —C9z^ 11)3^ (7*'^~17a- 8)3 (5-v=—3-1^2 — 13 X— 137)
dit voorbeeld is genoeg, om aantewijzen; hoe men, in andere ge-'^'ihen, de rennen eener gegevene uitdrukking of fuiiiftie, naar den voor-L'hrevenen regel ordenen zal.
§• 346-
-ocr page 274-240
WISKUNDIGE LESSEN.
346. Uit dit verklaarde is ligtelijk .optemaken: boe eene funétie van drie en meer veranderlijke grootheden, naar denbsp;niagten van eene der veranderlijke grootheden, kan geordendnbsp;¦worden.
§. 347. Het ordenen der funftien, op deze wijze, is van veel dienst om dezelve, wanneer zij iiit twee of meer veranderlijke grootheden bellaan, opteteüen, aftetrekken, met elkander te multipliceren en te divideren; hetgeen, zonder dezelve vooraf alzoo geordend te hebben, niet zoo gemakkelijk,nbsp;immers met veel moeite, zou kannen uitgevoerd worden.nbsp;Want, laten gegeven zijn twee funélien vanareny, namelijk;nbsp;Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;R X T
en p xquot; X r
dan zal derzelver fom zijn:
(O -f /.) .v- ^R q^j X Cr r) derzelver verlchil:
ca eindelijk derzelver product: nbsp;nbsp;nbsp;'
p’g' -I- nbsp;nbsp;nbsp; Rqxquot; Sqx
_j_ p Ojx- -)-Prx 5'f De letters P, Q^-, P, .S', /), q e.a r, verbeelden fundtieiinbsp;van y, welke, naar de regels der additie, fubtraclie en mul-tiplicatie, kunnen opgeteld, afgetrokken en vermenigvuldigdnbsp;worden; waardoor de fom, het verfchil en 'het product dezetnbsp;twee fnnélien, in welgeregelde uitdrukkingen, te voorfchijonbsp;zullen komen.
§. 348. Na deze korte oplieldering, zul men de toepasfing van dea algcmecnen regel, op het vinden van^den gemeenen deeler, van twe®nbsp;funftien, van twee veranderlijke grootheden gemakkelijk bevattennbsp;ncn.
t. Voorbeeld. Den grootflen gemeenen deeler van de uitdriik^’quot; gen —iiiy — z')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (5 3’“' 6 31 — 3) -v — (33^ —
93 ¦— 9) gt; nbsp;nbsp;nbsp;— (173 — 17) -’^ (33^ — 6y-\r 3)
vinden ?
Men bchnndele de gegevenc uitdrukkingen, volgens den algenieencn
regel, even als of de coefUcienten van de mogten van -v bepaalde ge
tal'
-ocr page 275-241
rallen waren: men deelt derhalve de eerlle door de tweede. gt; o™ de breuken te vermijden, vermenigvuldige men de eerfte met 5 gt;nbsp;de tweede met 3; dan verkrijgt men:
deekr 30 a;* — (51 y — 51) x nbsp;nbsp;nbsp;— 18 7 9)
deelial 30.^3 —(553.—15) nbsp;nbsp;nbsp; (253!^ 30D'—¦ 15) a-— . .
—i5 3'^ 45 3’—45)
men vrage nu: hoe veelmaal 30 op 30 a'3 ? komt x; men ver-nienigvuldige den deeler met x, komt:
30x3 — (51^.— nbsp;nbsp;nbsp;CP'V'quot; — 183 9)^
dit product trekke men van het deeltal afdan is de rest:
— nbsp;nbsp;nbsp;(43'-!-36)xa (i6ja
dit overfchot moet op nieuw, (^aangezien ’er nog de tweede raagt van A' in voorkomt,) door den deeler, 30x^ — enz. gedeeld worden; dan,nbsp;om in deze deeling de gebrokens te vermijden, vermenigvuldige mennbsp;de laatst verkregene rest met 5; dan verkrijgt men:
— nbsp;nbsp;nbsp;Qzoy i8o)x^4-(8o3i34-240j—I2o)a—(753’3—75j2
22531—225)
en nu vrage men; hoe menigmaal is lox^ op —C2°1V i8oj) x» begrepen? komt: —maal: men vermenigvuldige dan 10 x- — (ivj—17) ^ (3 3'“ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;met'—(2y-fi8), tot bereiking
van welk oogmerk, men 10 met —(sj iS); —(177— 17) met
— nbsp;nbsp;nbsp;(231 -t- 18), en (3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 63’ -j- 3) met — (2 j -f 18) afzon
derlijk zal moeten vennenigvuldigen, om de coëfficiënten van
x° te verkrijgen. Het komende produft zal zijn:
— nbsp;nbsp;nbsp;(203 -f 180) x^ - - (3432nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;272 3 — 306) X — (63’ 423'quot;
— 1023-1-54)
hetwelk van de voorgaande rest afgetrokken zijnde, voor de laatfle of eigenlijke rest der eerfte bewerking geven zal:
(463^ — 323-t- i86)x—(693® —11732 -t-3273—279)
De deeler van de voorgaande deeling moet door deze rest gedeeld worden: maar men moet dezelve rest vooraf zuiveren van den gemee-nen deeler, welke aan derzelver termen gemeen kunnen zijn; deze ge-meene deeler zal onafhankelijk van x, en eene funflie van 3 moetennbsp;zijn. Men zoeke dan den gemeenen deeler van 4632 — 323-4-186nbsp;en 69 3.5 — 11732 -f 3273 —279. Deze is: 2332 — 163nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;93.
Wanneer men dan de laatst verkregene rest door denzelven deelt, dan verkrijgt, men: 2 x — 3 3 -f 3.
Men moet nu, volgens den regel, den voorgaanden deeler, 10 x2
— nbsp;nbsp;nbsp;(gt;7 3'—17) A-f (3 32—63-4-3), door 2x--(3 3—3) dee-
il. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;Qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;len:
-ocr page 276-242
len: dsar iiu deze deeling juist opgaat, blijkt het: dat ix — 33’ 3 de gemeene dealer der twee gegevene uitdrukkingen is.
Men moet opmerken: dat, wanneer deze deeling niet opgaat, het overfchot (indien men namelijk de deeling zoo ver voortgezet heeft,nbsp;als men dezelve voortzetten moet,) eene fundlie van 3 zal zijn.nbsp;Deze aanmerking zal ons welhaast te pas komen.
2. Voorbeeld. Den grootfteiz gemeenen deeler te vinden van **
— nbsp;nbsp;nbsp;(3 — 2)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 63 3)w3 (933 — 1432 -j- igy—25)x®
— nbsp;nbsp;nbsp;C9y‘^ — 3^^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 18 J 4o)'* C3j'® — 53'—25).
v'*'—(53'~8}w'gt;-f-(i232_i^l3_j_ nbsp;nbsp;nbsp;jji3_oo32-|-io3—22j)w
-1quot; (93''*' 33^ 123^^ 4“ 53—5) te vinden? Men vindt voor den gemeenen deeler: — (23 — 3) v (33^^ 5).
§. 349. ft Men kan de gemeene deelers van de funftien van twee en meer veranderlijke grootheden ook nog vinden, op eene wijze, dienbsp;wel op dezelve gronden fleunt; doch, indien het alleen te doen is,nbsp;om te weten, of deze fimétien eenen gemeenen deeleij hebben, in denbsp;uitvinding dikwijls veel gemakkelijker is. Laat eene fundtie van x ennbsp;3, te weten,
gegeven zijn; dan is het klaar: dat, wanneer zij eenen eerfte-magts deeler heeft, dezelve van den vorm x zal zijn, (zijnde ^eenenbsp;funélie van 7, even als de coëfficiënten P, 0_ en i? ,j) en dat voortsnbsp;een deeler van R zal moeten zijn. Laten voorts twee funélien vjnnbsp;X en 3, welke wij door
N x^ nbsp;nbsp;nbsp;Rx^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^
en . . . n x^ p x'^ q x^ nbsp;nbsp;nbsp;r X s
voordellen, zijn : indien dan deze fundtien eenen gemeenen deeler hebben; dan zal F eenen gemeenen deeler van T en s moeten zijn,nbsp;en, wanneer ’er zulk een gemeene deeler tusfehen J en s niet beftaat,nbsp;dan zullen de gegevene funftien ’er ook geenen kunnen hebben. Innbsp;het eerfte geval, zal men den term, welke van x afhangt, nog bepalen moeten. Om dezen nu, zonder eenige tasting, te vinden, zal mennbsp;de gegevene fimétien, naar de magten van 3, rangfehikken, en zij zullen dan onder den vorm
iV'js nbsp;nbsp;nbsp;-h 0'3S -l-ü'32 5'3-i-T'
en . . . n'-j- q' «quot;'3 s' voorkomen. De gemeene deeler, welken deze fimétien kunnen hebben,nbsp;onder den vorm 3 -\- V' gefteld zijnde, zal V', welke nu eene functie van X is, een gemeene deeler van T’ en s' moeten zijn. Wanneer
-ocr page 277-243
neer ’er nu, in het eerde geval, een geraeene deeler beftasn had, zouden, wanneer ’er in het tweede geen beftond, de gegevene fundticn ’er ook geenen hebben. , Maar beftaan ’er, in beide vormen, tusfchennbsp;de achterfte termen T en s, en T’ en s’ gemeene deelers; dan zal ’er,nbsp;indien de ftandvastige term van beide geraeene deelers, in waarde ennbsp;teekens, dezelfde is, een gemeene deeler tusfdien de gegevene func-tien beftaan, welke gelijk zal zijn aan den term van 7 uit den eerfiennbsp;deeler, met de term van x uit den tweeden, en met nog deuzelfdennbsp;ftandvastigen term, die in beide gemeene deelers voorkomt.
§. 350. Nemen wij, om dit verklaarde optehelderen, de funflicn of uitdrukkingen, welke, in het i. voorbeeld, §- 348. onderzogt zijn.nbsp;DrtU zal men, de funclien naar de inagtcn van x geordend hebbende,nbsp;vetkiijgen:
63-3 — (i 131—3) nbsp;nbsp;nbsp; (531--1-631 — 3)-v—(3313 — 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f pjr—9)
iQx'^—(173’—17)5; (33^ — 63 3) de achterfte termen (3 3^ — 33'=‘ 9? —9)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(3 3^ ~ lt;5 3-f3)
hebben, (gelijk men door den regel van §. 339. vinden zal,) ... . 3C3 — i) tot geineenen deeler Ordent men nu de uitdrukkingen,nbsp;naar de afmetingen van 31 ,• dan zal men verkrijgen:
—33* (5* 3)3^—9)3 C6^® 3*^—3* 9) en . . . 3y^-~(i7x 6')y {ïox^ 1JX 2)nbsp;de achterfte termen dezer uitdrukkingen hebben: - -(2a;-f 3) totnbsp;gemeenen deeler: nu zijn de gemeene deelers der funfticn, welke naarnbsp;X geordend zijn:
33 — 3,—33 3, 3—I en—3 1 en die van de achterfte termen der fundlien, naar 3 geordend:
— z X — 3, 2 x 3,
de gemeene deelers 33 — 3 en—zx — 3, gelijk ook—3 3 3 en sa: 4- 3, ftcmmen iii de teekens der ftandvastige termen overeen,nbsp;men mag dan befluiten; dat
(2 X — 3 3 3)
de gemeene deeler der gegevene uitdrukkingen is.
§¦ 351- tt Nogtans ftrekt deze handelwijze zich zoo gemakkelijk niet uit tot die gevallen, in welke de gemeene deelers tot eene tweedenbsp;of hoogere magt opklimmen. Deze zullen het best door den alge-meenen regel bepaald worden, ft Echter zal deze bijzondere handelwijze altijd een gefchikt middel zijn, om eenigzins over de waarfchijn-lijkheid van eenen gemeenen deeler te oordeelen; want, indien denbsp;achterfte termen der gegevene funftien ’er geenen hebben, is alle ver-
Q 2 nbsp;nbsp;nbsp;der
-ocr page 278-144
der onderzoek overtollig, omdat de gemeene deeler niet, dan onder deze voor waarde, beftaan kan.
§. 353- tt Het is genoegzaam op dezelfde gronden, dat Newton, in Arith. Univ. SeB.l. Cap. VllI. §. LXXI. en, na hem, uitvoeriger,nbsp;Clairaüt, in zijne Elémens d'Algèbre, §. XXIX. et feq, de deelersnbsp;van uitdrukkingen, die van verfcheidene letters afhangen, gezogt hebben. Hunne redeneerwijze komt bijna op het volgende uit. Nemennbsp;wij, met Newton , de uitdrukking :
— 4 * c» 6 ra)
dan redeneert men aldus: indien ’er een deeler in deze uitdrukking beftaat; dan zal zij beftaan, welke ook de waarden zijn, die men aannbsp;X, 3 en c geeft; derhalve ook, wanneer men achtervolgens x, b tta.nbsp;c gelijk nul ftelt. Stelt men .v gelijk nul; dan verandert de uitdrukking in:
8 ^5 nbsp;nbsp;nbsp;12 r — 4 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-|- d r®
en deze heeft 26—ic en 46 — 6 c rot deelers. Stelt men b — o, dan verandert zij in:
12 x3-j-9 rsr® 8 X 6
en deze heeft Cechts eenen deeler: 4 x -j- 3 r. Stelt men eindelijk o; dan verandert zij in
12 x3 — 14 nbsp;nbsp;nbsp;— 12 X -f- 8
en deze heeft de deelers z x — b en 4X — z b.
Men zoelte nii: welke, onder deze deelers, overêenfteramen, (wel verllaaiide de gevondene deelers met beiderlei teekens aandoende,) ennbsp;dan zal men vinden: dat ilechtj —2^-j-3r,'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^c; 4X — zb
overéénkomen; 4x — zb 3C zal gevolgelijk een deeler kunnen zijn; hetwelk ook, door dadelijke beproeving, bevestigd wordt.
§• 353- Op dezelfde gronden heeft Newton voor den deeler van 12 x^ — Qioa 9 b')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— (_z6a- — 12 a b — 6b‘^')x^ Qzt^a^ —
S b o a b^ — 24.;^^) x^ — (4 «s ^ — 6 b^ 12 a b^ —
18 ^'^) X (12 nbsp;nbsp;nbsp;^32nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 12 b^')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i
de uitdrukking 4X' (^z.a— 3 b') x—(_6a^ — 2^®) gevonden. Zoo als de lezer, door de toepasfing van het voorgefchrevene, ternbsp;zijner oefening, zal kunnen nazoeken.
§. 354. ft Wanneer men, op deze wijze, de deelers van ééne der gegevene uitdrukkingen zoekt, zal men daarna derzelver geraeenennbsp;deeler, door beproeving, ontdekken kunnen; want, beftaat ’er tusfehennbsp;dezelve een gemeene deeler, zal hij zich noodwendig onder deze deelers
-ocr page 279-245
Iers moeten bevinden; waaruit dus volgt: dat, bijaldien ééiie ef drukkingcn geenen deeler heeft, ’er ook gcenen gemeencn deeler e-liaan zal: heeft zij integendeel éénen of meer deelers, zal men de andere uitdrukking door elk derzelven deelen, om te beproeven, of denbsp;deeling met éénen derzelver opgaat. Bij deze beproevingen, zal denbsp;gemeene deeler, indien hij indedaad beSaai, kenbaar worden. Dit alnbsp;les komt overéén met hetgeen wij, in §. 264, I. C., van de gemeenbsp;ne deelers der getallen gezegd hebben.
§• 355- Vele der berocmdfte Schrijvers, als Lf.CR.oiX, in zijne d'Algèbre, §. 209. Eil. 1800. et Ed. de 1804, CoüsiN, in zijnenbsp;Traité Elém, de rAnal. Math, pag, 108. en anderen, hebben van denbsp;gemeene deelers der Helkundige uitdrukkingen gebruik gemaakt, omnbsp;de gelijke faftoren, en bijgevolg, door deze, tevens de gelijke wortels eer v'ergelijkingen, te vinden. Offehoon wij nu, §. lóo, et feq.,nbsp;hebben aangewezen: dat deze gelijke fadtoren en wortels, op eenenbsp;gefchiktere wijze, met minder omllags, dan door de gemeene deelers,nbsp;kunnen gevon.ien worden; en, ook bovendien, de leerwijze van Bu-DAN dezelve kenbaar maakt, zie §. 25:6, zullen wij nogtans, uitnbsp;eenigzins andere beginfelen, beknoptelijk aantoonen, waarin deze leerwijze beftaat, en op welke gronden zij fteunt.
§. 35d. Wij hebben in §. nié, reeds betoogd: hoe men, door eene eenvoudige bewerking, welke met den algorithmus der Dilferenti....!-Rekening inftemt, zonder magts-verbeffing, noch andere ftelkundige bewerkingen , daartoe anders vereischt wordende, eene vergelijking innbsp;(x) kan veranderen in eene, welker wortels zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en hoe
men tevens , in den loop dezer ontwikkeling, de komende vergelijking, naar de magten, het zij van p, het zij van 2, ordenen kan, Nemen wij eene vergelijking tot eene bepaalde magt:
A xs ^3 -irCx'^ nbsp;nbsp;nbsp; Ex-Jr F— o
dan zal, x -f. fteUende, en de herleide, naar de afdalende magten. van s, ordenende,
zö p.s _^Oa4-|.2i23 •4-d'2^7'2-i-t7=:o zijn, £11 men zal, volgens §. 216, hebben:
Cr= p«-i- Ap^-if £^44. C;)S-H Dp^ Ep F 6^5 5yi?p'i-4-4Öps-f-£
S—iSp‘^-\-loAp^-\-CBp^-\.2,Cp -t-enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
Stellen wij nu: dat de vergelijking in (jx) eenige gelijke wortels, bij voorbeeld, vier zulke x hebbe; dan zal de vergelijking in (x)
i
-ocr page 280-246
door —p')* deelbaar zijn: maar nu zal ook x—p~p-\-z—p—z zijn: men zal dan, in plaats van de vergelijking in (z), fchrijveu kunnen :
(ac—/i)6 4. pQx—py QX^—pY•{¦RQx—py -ysQx—py nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—p') -\-U~o
en de cgelEcienten U, T, S, enz., zullen worden:
U~'x’^ nbsp;nbsp;nbsp;B X*-]r Cx= Dx^-\-Ex-\-F
T=6x^ Jr nbsp;nbsp;nbsp;X- '^D X £
enz.
De laatfte vergelijking in (^x — /gt;) zal nu insgelijks door (x—py deelbaar zijn. Deze deeling zal geven:
^ ix—py ~ °
Deze laatfte vergelijking zal eene tweede raagts-vergelijking moeten zijn, welke zij nimmer worden kan, indieu R, S, T a\ U niet respedie-velijk door (x—(x—py, Qx—py, (x—py deelbaar zijn;nbsp;waaruit blijkt: dat, wanneer ’er vier gelijke deelers of wortels be-llaan, de gegevene vergelijking met derzelver eerde, tweede en derdenbsp;differentiaal, (want aldus noemt men de vergelijkingen, welke volgensnbsp;§. 216. worden afgeleid ,j) eenen gomeenen deeler x—p moeten hebben. De leerling make nu zelf de uitbreiding en toepasfing.
Over de oplos (ing der vergelijkingen van twee en meer onbekenden, lot alle magten, in het algemeen.
EEN- EN- V IJ F T I G S T E LES.
Over de cplosfing der vergelijkingen van twee en meer onbekenden, tot de eerfte magt.
357quot; An de XXX Les van den eerflen Curfus, is reeds alles gezegd, wat tot de volledige oplosfing der vergelijkingennbsp;van twee en meer onbekenden, tot de eerfte magt, noodignbsp;was; doch, daar ter plaatfe was ons oogmerk meer, om,nbsp;door vele voorbeelden, den leerling, op eene aangenamenbsp;wijze, in de behandeling van het ftelkundig fchrift, te oefenen, en wij hebben ons daarom van meer aigemeene be-fchouwingen onthouden, omdat zij hier ter plaatfe, bij de aigemeene oplosfingen der vergelijkingen, beter zouden te pasnbsp;komen. Wij hebben in deze Les gezien : dat, door behoorlijke herleidingen, alle vergelijkingen van ééne onbekea-de tot den vorm ax-=-h^ eoi a x b — o-, die van tweenbsp;onbekenden tot den vorm
lt;j X -p ^ 3* quot;tquot; ^ nbsp;nbsp;nbsp;^
a'X-0^ V'j-jr ^ die van drie onbekenden tot den vorm
-pZ-ji ^cz -^d =0 a'x -f b'y--}. r's d' =onbsp;a'^x h‘'y -f -p dquot; = °
kunnen gebragt, en dat daarna de regels, het zij van afzondering, ’t zij van fublUtutie, op dezelve toegepast zijn-
Q 4
243
WISKUNDIGE LESSEN.
de, alle de onbekende kunnen worden opgelost. Thans zullen wij deze vergelijkingen, aldus voorgefleld, algemeen op. losfen, hetwelk ons leeren zal; hoe elke onbekende van denbsp;bekende coëfficiënten, op eene regelmatige wijze, afhangt.
§. 358. Wij zullen ons met de vergelijking a x h ~ o niet ophouden; maar dadelijk de vergelijkingennbsp;a X ^3’ -f- c = 0nbsp;a' X -|-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- c'~ o
bij der hand nemen. Men zou, door het voorfchrift van §. 544, J. C. te volgen, uit elke vergelijking de waarde van y of vnbsp;kiinnen afzonderen, en deze met elkander vergelijken, enz.;nbsp;maar wij zullen hier eene leerwijze volgen, welke meer metnbsp;cene algemeene, die wij voor de vergelijkingen van twee ennbsp;meer onbekende, tot hoogere magcen, zullen gebruiken, over-eénifemt.
Men kan ééne der twee vergelijkingen met eenig onbepaald getal, bij voorbeeld, p vermenigvuldigen: indien men dannbsp;dit produft bij de andere vergelijking optelc, dan zal men
(ap nbsp;nbsp;nbsp;X (h p b') y cp c'
Ci*)
verkrijgen: daar mi het getal p onbepaald is, zal men hetzelve zoodanig nemen kunnen, dat de coefficient van eene. der onbekenden verdwijnt, of gelijk nul wordt: doen wijnbsp;zulks ten opzigte van den coefficient van dan zalnbsp;bp h'~ o; en {apnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a') xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cp -j- c' = o
zijn, en uit deze vergelijkingen volgt dan:
b'
en X
cp c'
ap a'
Wanneer men nu, in de waarde van x, voor p Eelt dan zal men vinden:
h' c
c b^ — b c’
a b' —• ba' a b' — a'b
Zie 5- 494» I* C*
Op dezelfde wijze zal men, in de vergelijking (P), den coefficient van x gelijk nul kunnen ftellen, en dan zal ;
^ / 4- nbsp;nbsp;nbsp;~ o; en (b p b') y c p c' z:x: o
zijn, waaruit, op gelijke wijze, volgen zal;
-ocr page 283-^49
a c'
C a'
ah' — ba' ah' — a' b
Men zou dezelfde uitkomften, door de gewone wijze van ^plosfen, gevonden hebben.
§¦ 359- Deze algemeene oplosfing brengt ons tot de volgende ana-lytifche aanmerkingen.
1° Men kan alle vergelijkingen tiisfcben twee ónbekeiiden tot de voorfclnrevene vonnen brengen; alsdan zullen a, b, c, a', b' en c'nbsp;gegeven, en pofitieve, negatieve, of gebrokene getallen zijn, welke innbsp;de algeireene waarden van x en gefteld zijnde, op de teekens behoorlijk^ acit gevende, de onbekende, in dit bijzonder geval, doornbsp;berekening in getallen, zullen doen bekend worden.
§. 360, 2® Het zal bij deze fubftitutie kunnen gebeuren: dat de noemer ai' — a'b~o is, terwijl de tellers bc' — b'c en a'c — ac'nbsp;beide, of pofuief, of negatief zijn. In dit geval, zijn x en 31 beidenbsp;gelijk aan een getal gedivideerd door nul. Laat ons nu zien, wat ditnbsp;betee.tent ? Wanneer men den noemer eener breuk kleiner maakt; dnnnbsp;wordt, zie §. 283, I. C., de breuk grooter, en zal fleeds, in dezelfde reden grooter worden, waarin men den noemer kleiner neemt.nbsp;Wordt dan de noemer eindelijk nul, dan zal men geen getal voor lietnbsp;quotient, groot genoeg, nemen kunnen, of het zal nog oneindig velenbsp;®‘-!en fe klein zijn; want a\bzx.c zijnde, is a — bY.c; fielt mennbsp;°^ zigt;l a—o X b moeten zijn, en dit is onmogelijk. * Omnbsp;^ reden, hebben de Wiskundigen zich van de fpreckvvijs: een getal,nbsp;r tiul gedivideerd, is oneindig groot, bediend, om daar mede te zeg-‘'quot;quot;quot;ent kan niet zoo groot genomen worden, of het is nog
t 9 quot;quot;eci te klei,,. en zij hebben, om-dit gezegde uittedrukken, zich van het teeken;
00
bediend, hetwelk altiiu •
nu, in de oplosfing tanquot; nbsp;nbsp;nbsp;verklaard worden, jf Wa.ar
fel plaats heeft, daar 2!;^^ bijzondere vergelijkingen, dit verfehijn-
de vergelijkingen onderling onbeftaanbaar.
gelijking ö b'~ a' b -1quot; vtVaanwijzen. De veiv g ^b'~ a' b, m a : a'— b : b'. Stellennbsp;an zal b'xxrnb zijn, en de gegevene vergdij.
Men kan de gronden van dit
wij nu: a'~ma bingen zullen in:
ver-
-ocr page 284-250
veranderen. Deelt men oe laatfte vergelijking door m, dan wordt zij
c'
a X b y ¦\--
m
en, wanneer men dit quotient van de eerfte aftrekt, dan zal ... •
c--~ o of c' zz c m moeten zijn, en dit is de voorwaardens-
vergelijking, onder welke de twee gegevene vergelijkingen niet met elkander ftrijdig zullen zijn. Is of dan c m, dan zullen zijnbsp;ftrijden. Stellen wij: cf c ni', dan zal h h c ni zijn; maarnbsp;hcmzzbmczzb'c zijnde, zal ook hc'yVc en bc' — b'c po-fitief zijn. Is e'quot;e ?«,• dan zal^r^—negatief zijn. Insgelijks»nbsp;c' of cm zijnde, zal zt c'' gt; of acm, of oï c zijn*nbsp;Uit dit alles volgt dan: dat de onderllelling van a b' — a' bzz o,nbsp;zullen de vergelijkingen niet onderling ftrijden, medebrengt: damp;x. a,bnbsp;en c tot elkander in dezelve verhouding ftaan, als a', b' en c'; maar,nbsp;dat, wanneer a-.a'zzb-.b'\s, en niet tevens c‘. c'~a\ a'~b-.b'¦gt;nbsp;de vergelijkingen ouderling ftrijdig zullen zijn, en dat deze ftrijdigheidnbsp;in de berekening kenbaar zal worden-, wanneer de noemers der breuken nul worden, en derzelver tellers eene pofitieve of negatieve waarde verkrijgen.
§• 361* 3° Maar nu blijkt het ook: dat, zullen de vergelijkingen met elkander beftaanbaar, en c' zzc m zijn; clan ook te gelijk de tellers van do breuken, die de waarden van x en 31 uitdrukken, 'nul zullen moeten worden: men zal derhalve hebben;
^ = § eny = o‘
Ziedaar eene nieuwe foort van uitdrukking, die nog niet is voorgekomen. * Zij beteekent: eene onbepaalde waarde, eene waarde, naaf welgevallen; want, daar zij uit eene uitgedrukte clivifie, welker dee'nbsp;Ier en deeltal, onder zekere omllandigheden, nul worden,. ontftaat,nbsp;kan men de uitkomst dezer deeling naar welgevallen ftellen; want nU'nbsp;men wij dit quotient n-, dan zal
5 mz « en o z= o X ??
zijn: en zulks zal altijd plaats hebben, welke waarde aan « gegeve’’ worde (68). Is nu, overëénkomftig dit alles, c'—cm-, dan zal denbsp;tweede vergelijking
atitx
(68) Het zal nogtans, in de Differentiaal-Rekening blijken: dat’er vallen zijn, in welke de uitdrukking ° een bepaalde waarde kan hebnbsp;ben, wanneer zij namelijk aan eene zekere wet van continuiteU 'orbonnbsp;den is. In abftradto genomen, heeft zij, iiidicn tellerennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gcenc®
geraeeneii decler hebben, eene onbepaalde waarde,
-ocr page 285-asï
a m X b m c m — o
Worden, welke, door m gedeeld zijnde, de eerfte vergelijking voortbrengt. ft Zoo dikwijls nu dit verfcbijnfel plaats heeft, zal het een bewijs zijn: dat de tweede van de eerfte vergelijking niet onderfchei-dea is, en het zal even zoo goed zijn, als of 'er f echts ééne verge-lijkmg gegeven ware, welke, zoo als rnen weet,, een oneindig .aantalnbsp;oplosfingcn heeft, hetgeen dan overëénftemc met de onbepaalde w.aai-den, wake men voor x of y overëénkomftig het teeken §, Hellennbsp;kan (6’f).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;
§. 302. 4° Stellen wij c := o en = o; dan worden
de onbekende x en j zullen, in dit geval, geene wezenlijke grootte hebben, en de vergelijkingen zullen nog onbeftaanbaar zijn: maar, neemt men ad a’ b~ o', dan wordt xrzg en y — en dit bewijst:nbsp;dat de waarden van x en 31, ook in dit geval, onbepaald zijn. Dan,nbsp;v«mus deze omftandigheid de vergelijking a b'- a'b o mede-icngt, an men deze als eene voorwaardens-vergelijking aanmerken,nbsp;tvelke de betrekiting van de coeflidenten der gegevene vergelijkingnbsp;zoodanig bepaalt, dat zij met elkander beilaanbaar sijn.
§• 3lt;Ï3- Inuien ’er, behalve de twee gegevene vergelijkingen, nog eene deroe
X -f- b^^y o
gegeven is; dan zal deze derde met de twee voorgaande niet, dan on-^ er zekere voorwaarden, beftaanbaar zijn; nu zullen deze voorwaardeii “mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'coëfficiënten gelegen kunnen zijn. Men zal dezelve gev
malAeUjk vmden, indien men de waarden van x en 3, die uit de ere vergelijkingen gehaald zijn, in de derde overbrengt; want dannbsp;zal men, na herleiding, verkrijgen:
^ a (Jjc' c) -j- hquot; (c a' — c' aj cquot; (a b' — a' bj~ o I-et is deze vergelijking, welke tusfehen de coëfficiënten der drie ver-genjkmgen zal moeten plaats hebben, opdat zij onderling beilaanbasrnbsp;vinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ër nog eene vierde, vijfde, en meer vergelijking gege-
waarde ¦ nbsp;nbsp;nbsp;even zoo vele vergelijkingen van voor-
’ nbsp;nbsp;nbsp;op dezelfde wijze bepalen kan, moeten plaats hebben,
§• 304-
(tfpj Wanneer men .i» nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. n ,
onlns -h nbsp;nbsp;nbsp;vergelijkingen met op deze algeniecne wijze
t, ver ijjgt men, tot kenmerk van die onderlinge aflunkelijklieid,
*^1;: JT of o UZ o. Zie
Zlt;2
WISKUxNDIGE LESSEN.
§. 3lt;^4- Wanneer drie vergelijkingen tot drie onbekenden ax lgt;y c24- d~Qnbsp;X}/y-{¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d z=z o
aquot; X bquot; y -j- cquot; z nbsp;nbsp;nbsp;dquot; zxzo
gegeven zyn; dan zal men twee van dezelve, bij voorbeeld, de eerfte en de tweede, elk respeiftievelyk met’/ en tweenbsp;onbepaalde getallen, vermenigvuldigen, en de produdlen bijnbsp;de derde vergelijking optellen ; men zal dan de vergelijkingnbsp;(ö/ -1- Cl'g -|- aquot;)x (hp-f- Vq-\-bquot;')y {cp -f- c'z
verkrijgen. Indien men nu de coëfficiënten van 3» en z, in deze vergelijking, gelijk nul ftelt, dan zal zij in
(ap -{¦a'q aquot;) x (^dp d'q dquot;) — o . . (QJ) veranderen, en men zal de waarden van p en q, door de tweenbsp;vei gelijk ingen
h p nbsp;nbsp;nbsp;b'q V' -xez o, en cpnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c'qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cquot; z=. o ^
uit welke p
ycquot;—hquot;c'
hquot;c
b c'*
volgt,
b c'-b'C nbsp;nbsp;nbsp;-pt
overëénkomflig deze voorwaarde, bepalen; zoodat men, in de vergelijking (^), flecht deze waarden van p en q zal behoeven overtebtengen, om te vinden :
^ nbsp;nbsp;nbsp;_ d(b'cquot;~ hquot;c') d'Cbquot;c — bcquot;) -f d'yhc'—h'c)
a Qgt;'cquot; — bquot;c') a'{hquot; c — bcquot;') aquot;(bc' — b' c) Wanneer men, op gelijke wijze, in de vergelijking (P), eerstnbsp;de coëfficiënten van x en z, en daarna die van x en 31 gelijknbsp;nul ftelt, dan zal men insgelijks de waarde van y en 2 vinden : nameliik
_ d(^a'cquot;—aquot;c'')d'{aquot;c — a cquot;') dquot;(a c'—a’c'^
h{a' cquot;—aquot;c')b\aquot;c-_ d(a’bquot; — a”b'')-\-dgt;lt;iaquot;b-
¦ a cquot;) -[- bquot; (ac' — a'
- nbsp;nbsp;nbsp;clquot; {a y—a' F)
a' c)
cyi'bquot;-^aquot; y^ nbsp;nbsp;nbsp;b — a bquot;) -f- cquot;{ab'—a'b)
g. 365. Hoezeer de noemers der breuken, die de waarden der onbekenden uitdrukkeii, van elkander fchijnen onderfcheiden te zijn, hebban zij nogtans dezelfde waarde; hetgeen blijken zal, indien men elkob noemer in het bijzonder ontwikkelt.
§• 3dö. ff De coëfficiënten h, F, 1quot; en c, cquot; kuuno'' zoodanig gefteld zün, dat, met betrekking tot d? vergelijkingen hp-^
hfq
zz-o en c p c' q cquot;zz.o, p~^ en § worden: Waar, vermits deze oinftandiglieid medebrengt, dat ¥—y'c'izzo.,nbsp;h'gt;c—bcquot;—o t’übc'—b' c^zo zij, zal, in dit geval ook, a,-=:°, ennbsp;gevolgelijk onbepaald zijn: doch, hieruit volgt niet: dat de tellers dernbsp;breuken van de waarden van j en ^ nul zullen worden: deze kunnennbsp;Pofitief of negatief zijn, en dan is 31 — oo en z — 00 , en de vergelijkingen zijn in dit geval onderling onbeftaanbaar. Opdat nu danbsp;teller van de breuk van j tevens nul worde, zal a' cquot; —
iK^quot;~o en a c' — a'c zz. o moeten zijn; maar dan heb-* ben wij:
b-.bgt; — c-.cgt;-, b'-.b^zzc'-.cquot; m h-.bquot;=c-.c'gt; tl ~c •. c' i a' : aquot; zz c' : cquot; en a\ aquot; — rilnbsp;Stellende dan: a' zzn a en a’' zzn a; dan zal b' — m h en b'’-=z nb',nbsp;c'~mc en c^zzmc zijn, en men zal voor de vergelijkingen dellennbsp;kunnen:
tix by-\-cz-^d—o\ amx-\-hmy-\-cmz-\-d'—o', anx-^-bnj -\-cnz-^dquot;~o
doch, deze. vergelijkingen zullen niet onderling bedaanbaar zijn, indien niet d’ — m d en dquot; —n d zij; in welk geval ook de teller van denbsp;breuk, die de waarde van z uitdrukt, nul zal worden.
§. 367, Indien d—o, d' ~ o en dquot;-zzo zijn; dan zal de voor-waarde, onder welke de vergelijkingen met elkander bedaanbaar zul-zijn, door de vergelijking:
a nbsp;nbsp;nbsp;bquot;td') -j- a^Qb^c — b d'') -j- a''(b d—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“ o
Worden uitgedrukt.
§. 368. ft Zijn ’er meer dan drie vergelijkingen tot drie onbekenden gegeven, dan zal men, op dat deze vergelijkingen met elkander bedaanbaar zijn, tusfchen de coëfficiënten der vergelijkingen aan evennbsp;zoo vele voorwaardens-vergelijkingen moeten voldoen, als ’er meernbsp;vergelijkingen dan onbekenden gegeven zijn. Zij zullen op dezelfdenbsp;wijze, als in §. 363, gevonden worden.
369. Mea kan de gevondene waarden van x, y en %, door de uitgedrukte produften te ontwikkelen, onder de volgende gedaantenbsp;voordellen.
ah’ci' — ac’b^-T ca'lquot; — baü^-\- bcUiquot;~ch'a^i ad'c''—ac'dquot; ca'dquot; — da'cquot; -jJquot;'—cd'aquot;nbsp;ac'W\- ca'bquot; — ka'qquot;^bc'cd'^dZcb'^'
^ nbsp;nbsp;nbsp;^cquot; — dc'b'' cdgt;hquot;~hd'cquot; -j- hc'd”~chgt;dquot;
-ocr page 288-254 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE
___ ah'd''—ad'bquot;-{-da'b''-^ nbsp;nbsp;nbsp;' ab'cquot; ¦
-db'a'^
-ba'd''-^bd'aquot;-.
¦ a c’y nbsp;nbsp;nbsp;ca'bquot; — ba'cquot; -^-bc'aquot; — cb'aquot;
§. 37°- Ds waarden van x en 5, uit de oplosfing der vergelijkingen ax~\-b']-\-c~ en a' x b'y nbsp;nbsp;nbsp;— o verkregen, zijn:
c b'— b c'
a c'
ab'—ba' ^ nbsp;nbsp;nbsp;ab'-
Nu merken wij op: 1“ dat de gemeenfchappelijke noemer dezer breuken alleen uit de coeHicienten van x en 3! is zamengeftekl, en dat men denzelven verkrijgen zal, door a en b op alle mogelijke wijzennbsp;te verplaatfen; mits dat men, wanneer b van plaats verandert, ooknbsp;aan de nieuwe rangfehikking van het produfl: een ander teelten geve.nbsp;Alzoo volgen uit a de rangfcliikkingen ab — ba: men teekene nu, innbsp;de termen van deze uitdrukking, de tweede letter met (Oi ‘I»'’ verkrijgt men den noemer ab' — h a'. 2“ Dat de teller van elke breuknbsp;gevonden wordt, door, uit den noemer van die breuk, de coëfficiëntennbsp;der onbekenden, die zij moet uitdrukken, met den bekenden term cnbsp;te verwisfelen, Alzoo vindt men uit ah' — ba', door a en a' me:nbsp;c en c' te verwisfelen, den teller cb'—b c', en, uit ah' — b a', doornbsp;b' en b met c' en c te verwisfelen, a c' — ca'.
§. 371. Op dezelve wijze zal men, zonder eenige berekening, alleen door het leerftuk der permutatien, de breuken vinden, welke de waarden van x, 5 en s, in de vergelijkingen tusfehen drie onbc-kenden, niidnikken.
Uit
¦ « ^ J volgen de ver- f abc — acb-j-cab}
— ba ( plaatjingen 1 — hac bc a — c ba I Men Helle namelijk, om deze verplantfingen te vinden, bij a b denbsp;letter e, door aan dezelve, van achter naar voren te rekenen, de ecr-ftc, tweede en derde plaats te geven, en bij elke plaats-veranderingnbsp;het teeken omtekeeren. Men tekene daarna, in de termen van de uitkomst, de tweede letter met en de derde metnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dan heeft
men den gemeenfehappelijken noemer
ab'cquot;—ac'bquot; -\- ca'bquot;—ba'cquot; he'aquot; — cb'aquot; en, om de tellers te vinden, verwisfeit men, in dezen gemeenfehappE'nbsp;lijken noemer, de coëfficiënten van x, 5 en s, met de bekende tcJquot;'nbsp;men, even als in het eerde geval.
§. 37a. Wanneer men de moeite neemt, om vier vergelijkingen tus-fchen vier onbekenden, vijf vergelijkingen tusfehen vijf onbekenden, enz., op de wijze in §. 358. en §. 364. optelosfen, zal men bevinden: dat de uitkomflen dezer oploslingcn, op gelijke wijz®»
gen-
-ocr page 289-255
getide uit de voorgaande, zullen kunnen afgeleid worden. Men zal
, zonder al het otnflagtige van de fubftitutien, welke deze op'os-fingen vorderen, dadelijk de tvaarden der onbeltenden, zonder eenigo berekening, enkel met behulp van het leerftuk der permutatien, (zienbsp;I. C., pag. 45, noof 14,) kunnen opmaken. Maar, tot dat einde.nbsp;Zal men de permutatien, eenigzins op eene andere wijze, dan iu dennbsp;eerden Curfus voorgefchreven is, uit elkander moeten afleiden. Laten a, b. c, d, e, enz. eemge grootheden zijn, welke op alle mo-gelijke wijzen van plaats moeten veranderen; dan ga men op de volgende wijze te werk:
lO Met het eerde ding a, verwisfele men dan heeft men flechts twee ranglchikkingen:
ah— ba
2® Met elk dezer twee rangfehikkingen, wordt c gerangfehikt, door aan dit derde ding c, van achter af te rekenen, alle uiogelijke plaac-fen te geven; dan volgen uit:
nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n-,,.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\-\-ahc — acb4-cah\
— ba\ nbsp;nbsp;nbsp;quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ö t—bac bca — cbai
en omdat nu, in elke rangfehikking van twee dingen, het derde drie verfchillende plaatfen verkrijgen kan, is het aantal der verplaatfingennbsp;van drie dingen gelijk 2 x 3, of 6,
3“ Op gelijke wijze, plaatfe men in elk eene van de rangfehikkingen t^er drie eerde letters a, b, c, de vierde letter d, van achter naarnbsp;Voren, in den eerden, tweeden, derden en vierden rang, en veraii-'iere, bij elke verfchikking van d, het teeken van de voorgaande rangschikking, dan heeft men:
(-h- a b c\ nbsp;nbsp;nbsp;{¦\- a h c d — abdc-\-adbe — d a b c\
1 — a c b\ nbsp;nbsp;nbsp;i — acbd-\-acdb — a d c b Ar d a c b\
Uir
1 fiMkk^ï f ^ b d — cadb-\-cdab — d c a b ^
V — bacd-\-badc — hdac-\-dbac 1 yA'bcad — bcda-\-bdca — dh c a f
4“ Op dezelfde wijze, zal men, uit de rangfehikkingen van vier dingen, die ó X 4 of 24 in getal zijn, die van vijf; uit de rangfehikkingen van vijf dingen, die van zes; enz. kunnen afleiden, en men Zal eens en vooral deze rangfehikkingen, tot zijn bijzonder gebruik,nbsp;bunnen opmaken.
Laten nu ƒgt;, r, s, ƒ, enz. e^igc onbekenden zijn, tusfehen quot;^eike de vergelijkingen:
a p
-ocr page 290-256
ap-\-hq-\-cr-\-ds-\- enz, h ~o a'p h'q c’r -f- d'i -t- enz. V~ onbsp;enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.
gegeven zijn, zijnde deze vergelijkingen even zooveel in getal, als ’ef onbekenden zijn; dan zal men
I® Uit de pennutatien-tafel de permutatien van de coëfficiënten der onbekenden, niet de teekcns nemen, en in rangfchikking de tweedenbsp;letter met CO» ^e derde met (quot;), de vierde met (^''Q, enz. reekenen, en dit zal den gemeenfchappelijken noemer der breuken, die denbsp;waarden der onbekenden uitdrukken, geven.
2'’ Om de tellers dezer breuken te bepalen, zal men, uit dezen gemeenfchappelijken noemer, de coëfficiënten a, a', enz. indien mennbsp;p wil vinden; b, b\ bquot;, indien men q wil vinden, enz. wegnemen,nbsp;en, in plaats van deze, de bekende termen h, h', hquot;^ enz. fchrijven.
§. 373. Wij moeten andere vormen, welke uit deze alzoo gevondene waarden der onbekenden afgeleid kunnen worden, met ftilzwij-gen voorbij gaan. ff Het blijkt intusfchen; dat, wanneer, in alle de gegevene vergelijkingen, de onbekende alle en op dezelfde wijze voorkomen, de oplosfing buiten het bereik van het menfchelijk vermogennbsp;valt (70). Wanneer ’er echter, in ééne of meer vergelijkingen, ééne ofnbsp;meer onbekenden niet voorkomen, dan worden verfcheidene termennbsp;van de waarden der onbekenden nul; en offchoon men, in die geval'nbsp;len, uit de algemeene uitdrukking, de bijzondere Zal kunnen afleiden,nbsp;zal het nogtans alsdan raadzamer zijn, de oplosfing op eene bijzonder^nbsp;wijze interigtcn; vooral, wanneer men eene zekere fymetrie in de gn-gevene vergelijkingen ontdekt. Ons beflek laat niet toe, in de verkln'
rinS
fllC”
eii
(ja) Stellen wij tien vergelijkingen tusfehen tien onbekenden, en elk dezer vergelijkingen alle de onbekenden inhoudt: dan zal men,nbsp;noot 14 pag. 45, I. C.) 3628800 prodiiiïben van tien getallen moetennbsp;ken, en dezelve, volgens hunne teekens, zamenvoegen; wanneer
nu elk dezer produflten, in den tijd van déne minuut, maken kan, en dagelijks le uren aan dit werk belteedde, zou, men 13 jaren 295 dagennbsp;4 uren tijds noodig hebben, om dezen arbeid te volbrengen, zondernbsp;optelling van 3628800 tonnen daaronder te begrijpen. Nogtans zalnbsp;wanneer deze v'crgelijkingen in getallen gegeven zijn, de oplosfiuftnbsp;de voorfchriften van de XXX Les I. C. zeer wel kunnen ten einde 1^^“^nbsp;gen. Men kan uit deze aanmerking leercn: dat de uitkoraUeii van . ..nbsp;meene oplosfingen fraai.cn merkwaardig zijn, en nogtans, weg'”®nbsp;fiagtigheid, die zij medebrengen, niet altijd kunnen worden toCoCpast-
-ocr page 291-=57
TWEEDE CURSUS.
vnn deze bijzonderheden, welke als een ftuk van nieuwsgkrig-=! , zonder eenigen wezenlijken invloed op het vervolg onzer lesfen, oeteii worden aangemerkt, te treden, ïn Halcken’s Zinnen-ConfeBynbsp;men vele vragen vinden, welke aanleiding tot die foort van bebouwingen geven kunnen; het Ainfterdamsch Genootfchap heeft velenbsp;^'“•1 dezelve opgelost.
twee- en- vijftigste les.
Oigt;er de itphsfuig van een ftelfel van vergelijkingen , van twee en meer onbekenden, tot de tweede, derde, en hoogere magten.
§. 374. * Wanneer ééne of meer der onbekenden in eene vergelijking hooger, dan tot de eerlle tnagt, opklitumen; ofnbsp;wel twee of meer dezer onbekenden, of derzelver magten,nbsp;met elkander vermenigvuldigd, voorkomen, noemt men dezenbsp;vergelijking eene hoogere magts-vergelijking, tot twee, drie,nbsp;en meer onbekenden.
§• 375- * Klke terra vaii zulk eene vergelijking heeft zijne bijzondere magt. Deze magt wordt bepaald door den exponent van de enkelde onbekende, welke in dien term voorkomt; of door de fom van de exponenten der onbekenden,nbsp;in zulk eenen term, met elkander vermenigvuldigdnbsp;Indien de bekende grootheden door letters worden uitgedrukt , komen de magten dezer letters, in de begrootirignbsp;van de magten der termen, niet in aanmerking. ? De bekende termen worden gerekend tot de magt nul te behooren.nbsp;Alzoo isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;een term van de derde magt; —axy een
term van de tweede; bxyz een van de derde; abx^y een van de vijfde magt; enz,
§, 376. * Wanneer de magt van eenigen term eener vergelijking hooger is dan de magten van alle de andere termen, dan wordt die term de hoogde term der vergelijking genoemd. Zijn ’er meer termen, die dezelfde magt als dienbsp;hoogde term hebben, kunnen alle die termen als de hoogdenbsp;''’orden aangemerkt.
CüRSüs
377. * -De termen eener vergelijking, welke tot dezelf-
de
-ocr page 292-2«;8
WISKUNDIGE LESSEN.
de magt beliooren, noemt men homogene termen, of termen van dezelfde orde. Aldus zijn ax^, 2,hxy'^, cyquot;^, termennbsp;van dezelfde orde.
§. 378. * De magt eener vergelijking is gelijk aan de tnagt van haren hoogden term of hoogde termen. Aldus is -j-
xy_zx_y — II = 0 eene derde-magts, ^x^yz — px*
1131^— 1000 = o eene vierde-magts vergelijking.
, nbsp;nbsp;nbsp;, X , i
, -x^y, xy, y
X- y^ , xyx , }
-ï
§. 37p. * Eene hoogere magts-vergelijking, van twee of meer onbekenden , is volkomen of onvolkomen. * Zij isnbsp;volkomen, wanneer alle de lagere magten der onbekendennbsp;afzonderlijk, en de produélen van de onbekenden en derzel-ver magten, op alle mogelijke wijzen, in die vergelijkingnbsp;voorkomen; met dien verdande, dat de fom van de exponenten der onbekenden, welke elkander vermenigvuldigen?nbsp;wel minder, maar niet meer dan de exponent van den hoogden term zij. Aldus zal eene vergelijking van twee onbekenden tot de vierde-magt volkomen zijn, wanneer alle denbsp;termen, in het nevendaande tafeltfe,
Öiet coëfficiënten en teekens aangedaan , in dezelve voorkomen. * De vergelijking zal daarentegen onvolkomen zijn, indien een of meer dezer termen ontbreken. In dit geval,nbsp;zullen zij ais eene volkomene vergelijking, waarin fommig®nbsp;termen met den coefficient nul zijn aangedaan , aaugemerk-kunnen worden. Vergelijk‘§. 89 en 90.
§. 380. Om dit tafeltje voor eene algemeene magt ?; zamenteü^^'' len, fchrijve men alle de afdalende magten van x, in eene horizoa'nbsp;tale rij, tot de éénheid, of de magt nul, ingefloten.
In eene tweede rij, de magten van de onbekende x, van x*—' één ingefloten, en men vennenigviildigo elke term van die rij 1 ’nbsp;dan heeft men:
xii—iy, xn—iy, enz. x^y, x^y, xy, y In de derde rij, de afdalende magten van x, van xquot;—2 tot mg^-floten, en men vermenigvuldige deze termen met 3®.nbsp;voorrgaande, komt men eindelijk tot de laatfte rij, i‘’ welke
-ocr page 293-téiien term 7» zal voorkomen. Het aantal der termen in de eerfte rij, is gelijk « I: vermits nu, in elke volgende rij, één term mindernbsp;dan in de voorgaande voorkomt, zal het aantal van alle de termen ge-, C” i) « (n — i) (« — 2) ««. 2 1 zijn; ge-/olgelijk zal, zie §. S23, I. C,, het aantal dezer termen gelijk aannbsp;-j- O C» 2') .
' nbsp;nbsp;nbsp;---- zijii. Worden deze termen gerangfchikt,' gelijk in
hetctafeltje, dan worden de termen van dezelfde orde in de diagonaal gevonden. * Pascal noemde dit tafeltje analt'^tifchen
• ' nbsp;nbsp;nbsp;geraakkelijk optemaken, welke, en hoe vele termen in eene volkomene vergeliikiiür vm a ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u 1 j
geiijKinj, van dne, vier en n onbekenden
zullen kunnen en moeten voorkomen.
§• sSi. Men brengt gevvoonlijk alle de termen eener hoo-gere magts-vergelijking, van twee en meer onbekenden, in het voorile lid der vergelijking, en ordent dezelve, naar denbsp;a ende magten van ééne der onbekenden, welke men daartoe, naar welgevallen, verkiest. Aldus wordtnbsp;^ X y X ~ cy^ — dy e
onder den vorm
— V) X— {cy~ — J3) e) = o gefield. Eene magts-vergelijking van twee onbekenden,nbsp;zal dan den vorm
, xn nbsp;nbsp;nbsp;hy) X»—I ^(c dy ey'-^} x”—-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.
(p ?y ry^ enz. -f- u y'—J) x (jgt;' q’y -f r'yquot;^ enz^ -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-— o
verk^gen. Gewoonlijk fielt men a by—P; c-fr/ji-f, •5.’ ^nz. en dan verkrijgt de vergelijking den vormnbsp;eener gewone eerde-magts-vergelijking
Xn Pxn-l.^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4. [ƒ ^ O
m welke de coëfficiënten P, iQ , enz. T en U funaien zijn van ééne, twee, of meer onbekenden.
§. 382. Alles, wat wij h, den I. C., van §. 538-544, van 548-553, en voorts van 55Ö-565, gezegd hebben,nbsp;zijn algemeene begmfelen, welke ook op de hoogere magts-vergelijkmgen, van twee en meer onbekenden, toepasfelijk zijn.nbsp;lot een bepaald vraagRuk, worden even zoo vele van el-
R 2 nbsp;nbsp;nbsp;kan-
-ocr page 294-;6o
WIS K U N D t G E LESSEN.
kaïider onafhankelijke, en niet oudeiling ftrijdig zijnde, vergelijkingen gevorderd, ais ’er onbekenden voorkomen. Zyn ’er minder vergelijkingen dan onbekenden, dan zyn de onbekenden onbepaald: dan, in dit geval, ftelt men zich gewonelijk voor, de onbekenden onder zekere conditiën te bepalen, welke wijze van oplosfen eene geheele nieuwe taknbsp;van de analyfis, onder den naam van onbepaalde analyfis,nbsp;beeft voortgebragt, waarover wij in het vervolg afzonderlijknbsp;Ipreken moeten.
§. 383. Alle de handelwijzen, welke wij, om de vergelijkingen , tot twee en meer onbekenden, optelosfen, zullen voordragen, komen hierop neder: dat men, uit de gegevene vergelijkingen, éém vergelijking afieide, welke Hechts ééne der onbekenden inhoüdt. ^ Men noemt die vergelijking, welkenbsp;ilitijd tot eene zekere magt opklimt, de finale vergelijking.nbsp;De Franfchen noemen dezelve /a résultante..
Bijzondere handgrepenwelke in fornmige gevallen kunnen worden te pas gehragt.
§. 384. I. Geval. Wanneer twee vergelijkingen tlbfchen twee onbekenden gegeven zijn, en déne dezer onbekenden, innbsp;elke vergelijking, flechts tot de eerfte magt opklimt, zal men,nbsp;naar den regel van §. 544, I. C., deze onbekende uit elkenbsp;vergelijking kunnen afzonderen.
I. Voorbeeld. Gegeven zijnde de vergelijkingen 3 y — jc®-j-33! — 401 =0, en 5 A'y — Z x ly — po “ o, de waarden van X en y te vinden?
iVIen vindt uit do eerfte vci'geüjldng y ZZ 3 a- -f- 90
CU uit de tweede
-{-401
5x 2 tinder vergelijkende.
men keefe daiirom, éezo twee waarden van y met el-
3x2-J-3'^ 5^ ^
en, de leden dezer vergelijking met (3x2-j--) x (5 x a) vermenigvuldigende, na herleiding, de dcrde-magts-vergelyking x.i -b 67 x2 — 499 X — 133 S o
volgens de leerwijze van Buuan, vindt men: dat x~ 7 is, en nu ral:
x3 -b
-ocr page 295-«61
xj 67x^-m=‘_^l^ _ .,.^^^.74,. ig-o
X *2
«ellende, en deze vierkants-vergelijking oplosfende, x~ — 37 i5U^ — — 0,2576339, en —37 —i5l/6= —73,7423461 zijn. Met elk dezernbsp;drie waarden van *, zal eene waarde van y overëénaemmen, welkenbsp;door ééne der gevondene waarden van y zal berekend worden. Mennbsp;zal vinden:
7 ~ 3, ovcrëënllemmende met x — 7 y =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.... met a; = — 37 15 U6
29
— 1813 — 7401^6 nbsp;nbsp;nbsp;,1//:
^ — nbsp;nbsp;nbsp;75—--- .... met -T — — 37 — i5 y9
welke drie ftelfels van waarden aan de gegevene vergelijUiogen voldoen.
§quot; 3^5quot; Geval. Deze oplo^ng, door afzondering, zal op een ftellêl van vergelijkingen, tot drie en meer onbekenden, niet toepasfeüjk zijn, dan in zoo verre de onbekenden,nbsp;tot op ééne na, in de eerfte magt voorkomen, en in de tus-fchen vergelijkingen niet tot eene tweede, derde, of hoogerenbsp;magt opklimmen.
2. Voorbeeld, Gegeven zijnde de vergelijkingen ¦
^ -t-Sajz-j-jz — 36 — 0 yz ^x^— s—392z;onbsp;Sx-f- z— ^ — onbsp;de waarde der onbekenden te vinden?
Men vindt uit de gegevene vergelijkingen:
7 3 4 4.,. ’
_ 39 — 9xx
13 — 3 *2 en ----- — 3
Men heeft derhalve tusfehen « en ^ de twee vergelijkingen v ie
• 'quot; I ¦ I nbsp;nbsp;nbsp;•—* 3
^y Zx y nbsp;nbsp;nbsp;jy —I
uit elk dezer vergelijkingen zal men 7 kunnen afzonderen, en dan vindt men:
34a — Qa:*4“12 nbsp;nbsp;nbsp;3.r2 —.r4*l6
quot; nbsp;nbsp;nbsp;y-*-l— en 7 —--i—^
— nbsp;nbsp;nbsp;—-v-t-o
waaruit volgt:
3 .va—gx ia __ —3xa—¦v-f'lö
— nbsp;nbsp;nbsp;xa-f-aar snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^^4.3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’
welke herleid zynde, geven zal:
3 x4 — 2x3 —45x2-j,ö8x i2 —°
Volgons den regel van BuuAN, vindt men: dat deze vergelijking twee poiitieve wortels x —2, xns; benevens twee negatieve; (iéneu tus'nbsp;fchen — I en — 2, en éénen tusfehen — a en 3 heeft. ’£r zijn ai-200 vier wezenlijke en beflaanbare oploslingen.
R 3 nbsp;nbsp;nbsp;§• 386.
-ocr page 296-202
§. 386. III. Geval. Doch in dc zeldzaamfte gevallen zal men, door eene geregelde afzondering, tot eene finale vergelijking komen. In een grooter aantal zal zulks echter doornbsp;fubftitutie, op de volgende wijze, kunnen gefchieden.
Indien men uit de eerde vergelijking x of y zou willen afzonderen, gelijk wij in de twee voorgaande voórbeeldci; gedaan hebben, dan zounbsp;men tweede en derde-magts-wortcl-uitdrukUingen in de waarde van x ofnbsp;y verkrijgen, en de finale vergelijking zou zoo zamcngefteld worden, datnbsp;derzelver oplosfing ondoenlijk, ten minde zeer moeijelijk zou zijn: maar,nbsp;aangezien de onbekenden in de tweede vergelijking flechts tot de eerdenbsp;magt opklimmen, zal men ééne derzelven kunnen afzonderen, en in de eerde vergelijking fubdituereu, waardoor dan alle wortcl-uitdrukkingen vermeden, en de finale vergelijking, onder den gewonen vorm, zal voorkomen.nbsp;Zonderen wij uit de tweede vergelijking y af, dan zal men hebben:
^ nbsp;nbsp;nbsp;2 X -1- I
Men delie nu deze waarde van y in de eerde vergelijking; dan heeft men:
¦54:
S X3 - 2 nbsp;nbsp;nbsp;4- Clip’ll 17 — gt;9 .V--
a X nbsp;nbsp;nbsp;I (a X -f- 1)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ I
welke, onder de volgende gedaante gedeld: 3 x3 -}- 17 ,v2 — 19 X — 54
(2xg-(-l) ¦ (2x4-il) . (2x-f.l)g—(;2x-pll)3_
(j2x-|-l)s nbsp;nbsp;nbsp;~
en verder ontwikkeld zijnde, geven zal:
24x0 -f-156 xS — 34x4 — 647 x3 —687x2 -j-337 x-p 1266220 INdcn zal, door den regel, van Bodan, vinden: dat deze vergelijking viernbsp;bedaanbare wortels heeft; édnen politieven, tusfehen i, i en i, 2; ddiiennbsp;pofitieven gelijk 2; éénen negatieven, tusfehen — i en —2; en nognbsp;dénen, tusfehen — 6 en — 7. ’Er zijn dus vier oplosfingen. Men zal ooknbsp;X kunnen afzonderen en eene ünalé vergelijking in y verkrijgen, welkenbsp;insgelijks vier bedaanbare wortels zal hebben.
§. 3S7. IV. Geval. Wanneer de termen van twee vergelijkingen tusfehen twee onbekenden van dezelfde orde zijn, zal men , door x — y z of y = x z te ftellen, twee vergelijkingen in 2 en 31, of in 2 en v verkrijgen, in elke vannbsp;welke flechts eene magt van y of x zal voorkomen; zoo-dat men, door magts - verheffing, uit elke herleide VergUiiquot;nbsp;Icing, dezelfde magt van y of van x zal kunnen afzondei'^'^»
tweede cursus.
waardoor men dan eene finale vergelijking in z zal.
VooRBEEi.n. Gegeven zijnde nbsp;nbsp;nbsp;— en 9 H
6^j=- = I5ö8, * -baarden van x en y te vinden (71)?
Deze vei-gelükingen, welke volgens het voorgaaiicie geval zonden kuti-nen cpgelost worden, zullen, omdat de lermgn der vergelijking van de welfde orde zjjn, ook aldus kunnen worden ópgelosi- Stel 7 p: 1 2, dannbsp;Veranderen de vergelijkingen in:
nbsp;nbsp;nbsp;en v3 (I—6s^ 9z2)=:i563
De tweede vergelijking door de derde magt van de eerfle deetende, zal men, na herleiding, verkrijgen-.
49 nbsp;nbsp;nbsp;' 3392^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 5 ***^0
Volgens den regel van Budan, en voorts, door oplosGng van eene vier-kants-vergelijking, zal men voor z drie pofitieve wortels vinden; ttame lijk 2=; _I . (47~ial/l5);nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I - i'av-4-iïl/5) ; Z~s. Hierdoo
263
.v=:8-Vi5i
a-u
vindt men: »
8 yi/is-, y
a;::: 2; j d 10.
5. Voorbeeld. Gegeven zijnde de vergelijkingen:
S y — 3xy^ 4.yi—6156 = 0 €H • . p5^y—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 117:2:^0
de waarden van x cn y te vinden ?
Deze vergelijkingen zouden, door de afzonderingen of fnbifiuitien, waarvan tnen zich,iii de voorgaande gevallen, bediend heeft, niet kunnen worden opgelost; maar, vermits, in elke vergelijking', de termen van dezelfde orde zijn, zal men jgt; z; .vz kunnen ftelleu, en dan verkrijgt men,
ih plaats van de gegeveue vergelijkingen,
*3(52—S za-1“ 4k3} —6150, en jr2(9 sz — za) —II7 Men verheffe de eerfle dezer vergelijkingen tot de tweede, en de tweedenbsp;de derde magt; dan zal men , uit elk dezer ukkoraften, -vS kunnennbsp;afzonderen, en men zal eene vergelijking in s vcrkrijgeit, welke, na behoorlijke herleiding, worden zal
87136*0 _ 832488 2S 4. aöoaSEs z4 ¦j- 747nTozs — 22402163
^''^tÖOSÓOZ - 37896336 S o
l»ez.„ vergeiijj,i„g h^eft dênen pofiiieven wortel 2^=4; w'
tieven, welke tusfehen o en i valt. Met den pofidevcn wortel vindt
Kien
-r» cï
• nbsp;nbsp;nbsp;’ 7-'nnen-Covfevf ?
(71) Hai.CKE\ wil, in zijn nbsp;nbsp;nbsp;^ -hebben: doch zulks is
vcrgelijkipg tot eene vierkants-vergelijking nbsp;nbsp;nbsp;men, naat den eis.ch
niet roogelijk. Ook verdienen de oplosGngen; nbsp;nbsp;nbsp;re hebben, den,
des Schrijvers, van deze vergelijkingen meem Wiskunst doen we!,, naam van oplosfing niet. De jongenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vetfpiUcn.
wairaeer vi bunnen tijd aan foortgelijke bcuzf‘i''5
R 4
-ocr page 298-264
¦ — I/9 22 -f- 3.
Hier kan eclner welke tevens aan . . .
alleen
117
g 5z — z2-
gelden, omdat alleen die waarde öisö
.t3 1:2: —---;- voldoet, 111 het ftelfel der eegevene vergeliildn-
5 z — zzz ^zi
gen, kan aangenomen worden.
§. 388. V. Geval. Somtijds gebeurt het, dat door eene kunftige zamenvoeging uit de gegevene vergelijkingen, eenenbsp;vergelijking van eene lagere magt kan afgeleid worden, welke, met eene der gegevene verëénigd zijnde, de oplosüngennbsp;door de toepasfing van een der voorgaande gevallen mogelijknbsp;maakt.
6. Voorbeeld. De vergelijkingen
3x5 331®—6xy-\- 3X 2 y — —o x® y® 2xy—lox—17 y — b—onbsp;optelosfen? (a en b bekende getallen zijnde.j
Wanneer men de eerftc vergelijking van diieinaal de tweede aftrekt, dan zal men vinden:
11X y — 3S-V—SjJ fl —
uit welke, «e eerfte magt van x of y in eene fundlie v.an y of» afgeleid, en, in eene der twee gegevene gefubftitueerd zijnde, eene finale vergelijking in ^ of * komen zal, welke men als naar gewoonte zal op-•losfen.
§. 383. De kortheid van ons betlek gedoogt niet, deze gevallen door meer voorbeelden optehelderen; noch ook de opgegeveiie in allenbsp;hare bijzonderheden uittewerken. In de wiskundige oefeningen zullennbsp;wij daartoe ruimer gelegenheid vinden. Wij merken, van deze kunstgrepen afflappende, aan: dat, hoezeer de befchrevene gevallen het minstnbsp;voorkomen; men echter, wanneer de gegevene vergelijkingen in eennbsp;van dezelve vallen, liever van de gegevene voorfchriften, dan vannbsp;algemeene leerwijzen, tot welker befchrijving wij nu overgaan, geUuiknbsp;moet maken, omdat men door dezelve meestal, langs eenen korterennbsp;weg, tot de oplosfing zal komen.
Oplosfing der hoogere niagts-vergelijkittgen, door de hoogere magten van dezelfde onbekende trapswijze te doennbsp;verdwijnen.
§. 35)0. Laat gegeven zijn, de vergelijkingen:
x'‘ P X o .V® 7-’'^ X ^'' “ o in welke de letters P, O,, P^, Qj, fundtien van y en van bekende
groot-
-ocr page 299- -ocr page 300-266
gebragt worden, welke, aangezien de termen Z' O/ en —O/el-kander vernietigen, de eenvoudige gedaante
X C^O'-P'O)
verkrijgt. De vergelijking (5) wordt dan;
Qiy Q^iP — P') (.P fi.' — -P' ö.) = o
welke, zoo als'van zelveu blijkt, door .O deelbaar is, en diensvolgens door O gedeeld zijnde, de finale vergelijking oplevert.
§• 3P5- Helderen wij nu deze handelwijze door een voorbeeld op. 7. 'Voorbeeld. Gegeven zijnde
x^ — lxy-\-sgt;y^ — iix— 31 132:20 x^-\-6xy—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3'^ par 4- II 31 — 262 = 0
Men zal dezelve onder de volgende vormen ftellen:
*2 — ('3j' ii)* (9^^~Z i3)22 0 a:2 (6y 9)-r—— 117z: onbsp;dan is; P22—37 — ii; jP’22 lt;57 9; P — P'zz — 97 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ö.22972 —
y 13; S.'quot; —y2-|-jIy_262; g,— iQ.'2: ioy2 — i2y-j-275. Men vindt, door multiplicacie:
, nbsp;nbsp;nbsp;(Q,—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I00j4 — 24073 5(S44y2 — óöooy 75Ó25
P nbsp;nbsp;nbsp;5y^—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2272.-1-.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6657nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-1-2382
i*'022 5473 757^ Ö97 nbsp;nbsp;nbsp;117
p Q^—P'0——Siy3 — 977^ 5967 2765 -Hieruit zal men voor de finale vergelijkingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;verkrijgen:
3595.4-4-16535.3 -4-22205“ — 43405 5 -4-'20325 — o welke twee bellaanbare pofltieve wortels, éénen, tusfclien nul en één, ennbsp;cenen anderen gelijk drie heeft. De waarde van x zal, met behulp van
gevonden worden: alzoo zal met 1
„ _ nbsp;nbsp;nbsp;-. 107^ — 1^7 ^75
P~P' nbsp;nbsp;nbsp;97 20
3 overëénllemmen xz:?.
§. 3p6. Wanneer in twee vergelijkingen dezelfde onbekende x tot eene hoogere, dan tot de tweede magt, opklimt, zoo als wanneer, bijnbsp;voorbeeld, gegeven ware, de vergelijkingen:
ar3 -j- p X- Q^x -j- /i 22 o x^P^ x~-f-Qf X-j-zz o
dan zou men de tweede van de eerfte aftrekken, en, het verfchil niet X vermenigvuldigd zijnde, verkrijgen
(P — P') X- (O — 2f) x^ CR~ R'j'x 22 o Mén zou vervolgens de eerfte en tweede der gegevene vergelijking®”nbsp;met (P — P'j vermenigvuldigen, en van de produften de laatst voor'nbsp;gaande aftrekken, wanneer men, na de resten door de coëfficiëntennbsp;eerfte termen gedeeld te hebben, zou verkrijgen
¦ P'
y der
Xquot;
-ocr page 301-267
TWEEDE CURSUS.
R QP — PQ
PQP—PO — CQ.— QD
R'CP — P'}
^QP-PQ-jR-RQ
X^ 4- Of(f-f0-(R-i?0 ^
Welke vergelijkingen, op dezelfde wijze, als in §. 39°» behandeld zijn-‘ïe, eene finale vergelijking tusfchen P, g_, R, P', £' “ P'
^3l, waardoor y zal bekend worden.
Indien de magten van a- nog hoogcr opklimmen, zal men ezel e handelwijze volgen. En zijn ’er drie vergedijkingen, tusfchennbsp;dne onbekenden, gegeven, dan zal men uit de eerfte en tweede, gelijk ook, tut de tweede en derde, twee vergelijkineen in 3- en a afleiden, mt welke, door de herhaling van dezelfde handelwijze, eindelijknbsp;eene finale vergelijking in 2 zr,l te voorfchijn komen. Niets is derhalve eenvoudiger, dan het begrip van deze trapswijze opklimming totnbsp;’^^rgelijkingen van een minder aantal onbekenden, en eindelijk tot eenenbsp;finale vergelijking van ééne onbekende. Maar de langwijligheid dernbsp;berekening oaarc affchrik, en bovendien is men a priori niet verzekerd,nbsp;dat de finale vergelijking niet hooger dan het behoort zal opklimmen-.nbsp;Want, wanneer men, zie §. 393, in het eenvoudigfte gev.al, ligtelijknbsp;tot eene hoogere magt, dan de aard der vergelijkingen medebrengt,nbsp;komen kan, hoeveel te gemakkelijker zal zulks gebéuren kunnen.nbsp;Wanneer de onbekenden tot hoogere magien opklimmen, en meer innbsp;Sttal zijn? hoezeer wij nu voor ons gelooven, dat men door de ge-Paste zamenvoegingen, even als in §. 394, de finale vergelijking wel allot hare behoorlijke magt zou kunnen brengen, zouden nogians.nbsp;Wegens de zame,rgeaeldheid der' uitdrukkingen, dezelve moeijelijk tenbsp;vinden znn, en het is, om die reden, dat Euler en Bezout dezenbsp;Wijze van oplosfen, als onvolkomen en onbruikbaar, verworpen iiebben.
Oplos/ing door muldel van de gemeens deekrs.
§• 39S. Veel fraayer en natuurlijker is het gebruik van
Van den getneenen deeler ir. a \ n nbsp;nbsp;nbsp;j- i-
, nbsp;nbsp;nbsp;de oplosfing van die foort van
gaïde voSbêeld^quot;’'’'quot;'quot; nbsp;nbsp;nbsp;van het voor-
^^^ (93’'quot; — 3 13) = °
^ Clt;gt;3 9)X-(j;= - 113, 062) = o
ftellen wij voor een oogenblik; dat y, overëénkotnlbig den
aard
-ocr page 302-268
WISKUNDIGE LESSEN.
aard der vergelijkingen bepaald, en gelijk drie zij; dan ver* anderen deze vergelijkingen, door de fubftitutie van y, innbsp;— 2oa: 91=0nbsp; 27 Jf—238 = 0
Het is duidelijk te zien; dat deze twee vergelijkingen TOSt elkander beftaanbaar moeten zijn; dat wiLzeggen, dat eeiienbsp;waarde van x zoo wel de eerde als de tweede vergelijkingnbsp;zal moeten oplosfen; want, zonder dit vereischte, zal ’er metnbsp;de waarde van y geene overëénkomdige van x beftaan, dienbsp;beide gegevene vergelijkingen zal oplosfen. Nu kan aan dezenbsp;voorwaarde niet voldaan worden, indien niet ten mindenbsp;de vergelijkingen x^ — 20a; 91 = o, en x^ 27x— 238nbsp;= o denzelfden wortel hebben: maar die zullen zij nietnbsp;hebben, indien ’er tusfchen derzelver voorde leden geeneiinbsp;gemeenen deeler beftaat. Men vindt voor deze vergelijkingen
(^ —7) C^—iS) = o (x—7) (x 34)= o
De getallen 7 en 13 zijn derhalve de wortels van de eerdegt; en de getallen 7 en — 34 de wortels van de tweede, ennbsp;x=7 is gevolgelijk de eenige waarde, welke, met 31= 3, aannbsp;beide de gegevene vergelijkingen voldoen Zal. Wat de WOf'nbsp;tels 13 en — 34 aangaat, deze behooren tot de eerde eUnbsp;tweede vergelijkingen in het bijzonder; maar niet tot beidenbsp;de vergelijkingen in haar geheel genomen.
§. 399. Men kan nu, zonder dat het noodig is de waaf' de van y vooraf te kennen, op dit beginfel voortredeneren»nbsp;en dellen : ff dat de twee gegevene vergelijkingen nietnbsp;elkander bejlaanbaar zullen zijn, indien 'er niet eene waardtnbsp;voor y kan gevonden worden^ welke^ in de gegevene verged]'nbsp;1’ingen gefiihjlitueerd zijnde, derzelver coëfficiënten zoodanignbsp;bepalen, dat zij eenen gemeenen deeler hebben. Maar hoenbsp;men nu de waarde van y, overëénkomdig deze voorwaarde»nbsp;vinden? Eenvoudig door de gegevene vergelijkingen té be*nbsp;handelen, als of zij eenen gemeenen deeler hadden.nbsp;handelwijze heeft het voordeel: dat, wanneer de gegeven^nbsp;vergelijkingen eenen gemeenen deeler hebben, (innbsp;val de vergelijkingen in een opzigt bepaald, eii in andet
oP'
-ocr page 303-269
CURSUS.
opzigt onbepaald zijn,) dezelve bekend wordt: doch^bben de gegevene vergelijkingen geenen gemeenen deeler, dan w''nbsp;wen tot eene rest komen die alleenlijk van y afhangt: om annbsp;de voorwaarde van het beftaan der gemeem deelers te vervu -ion, zal men deze rest gelijk nul moeten fiellen. Men zalnbsp;alzso de finale vergelijking in J verkrijgen, welkenbsp;hogere noch lagere magt zal Opklimmen, dan de aagt;anbsp;vergelijkingen mede brengt; terwijl men om de waas e vannbsp;X te vinden, den laatflen deeler, die de plaats van den onderfielden gemeenen deeler bekleedt, klaarblijkelijk gelijk nul zalnbsp;moeten fiellen.
§. 400. Pasfeii wij dezen regel toe op'de vergelijkingen van het
7. voorbeeld pag. 266. Indien tnen de tweede door de ecrfte vergenbsp;'lijking deelt, zal men voor het quotient i, en voor de rest der devnbsp;ling (9 31 20) X — (10 7^ — 12 j 275) verkrijgen. Men deel®nbsp;verder de laatstvoorgaande deelernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ïdrtS)
door deze rest, dan zal men voor de rest der dealing verkrijgen: gjp -p 1653 ys -p 22207^ —434°5 7 20325 , welke gelijk nulnbsp;gefteld Zijnde, de waarde van y zal doen bekend worden. Men ziet:nbsp;dat deze oplosfing volmaakt met de voorgaande overè’énftemt.
8. Voorbeeld, Gegeven zijnde de vergelijkingen
.v3 3 *2 -p 3 xy2 _ 98 — o
x» 4x7 27^'—10 = 0
de waarde van x en y te vinden ?
Den gemeenen deeler der voorfte leden zoekende, zal men, de tó-fte rest gelijk nul Hellende, verkrijgen:
43 f' 345 nbsp;nbsp;nbsp;— i960 f 750 y“ — 294° 7 — 4302 = o _
De laatfte deeler is; (9724-10)» — (27^ 4-loy-P 98), deze is de gemeene deeler van de voorde leden der vergelijkingen, in de onder-ftelling, dat de laatfte rest gelijk nul zij. De finale vergelijking in ynbsp;heeft dénen pofitieven wortel y—3, en éénen negatieven, tnsfebeu ^onbsp;en — I. Behandelt men de gegevene vergelijkingen, naar het voornbsp;fchïift van §. 387, dan zal men dezelfde vergelijking in y verkrijgen.
9. Voorbeeld. Gegeven zijnde de vergelijkingen
x3—4jx2 4.(472 — 37—25)x—(33,3 —97=- -1-757)=°
en . . . 2 x* — (77 -p- 2) X 4- Cs 7^ 4- 6 3’) =° de waarden van x en y te vinden ?
De voorde leden dezer vergelijkingen hebben x — 3 7 gemeenen
-ocr page 304-(x^~yx y^~3y — 25') X (ix — 3y') = o (2 X — 3- — 2) X (x — 3 y) = o
Men kan nu, omdat, wanneer een produft 'van twee of meer fatoren nuf is, noodzakelijk één van deszelfs fatoren nul moet zijn, de volgende llelfels aamiemen
lx~3y=zoi nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
ftelfel / nbsp;nbsp;nbsp;^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- 3'^ - =5 = o 1
t nbsp;nbsp;nbsp;2x — y — 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J
Derde I ~ nbsp;nbsp;nbsp;“ 3 gt; ~ =5 = o ?
l nbsp;nbsp;nbsp;X —33nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;}
Fierde JlelfA nbsp;nbsp;nbsp;— ^ =
l X — 3 5. = o f
Het eerde dezer fteifels, komt flechts op de enkelde vergelijking: X 3 3 =: o uit; dat is op x=: 3 y; men zal dan y naar welgevallen nemen, en x := 3 7 dellen kunnen, en alle deze waarden van x-en y zullen aan de twee gegevene vergelijkingen voldoen: doch denbsp;derde en vierde fteifels, hoewel zij voor x en 3 bepaalde waarden geven, zullen ook aan het eerde delfel, dat gevolgelijk de derde e»nbsp;vierde in zigh begrijpt, voldoen moeten. Het tweede delfel daat g^'nbsp;heel op zich zelve-, en geeft, als zoodanig, voor de onbekenden 1nbsp;X — 5inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en x~ — i enjquot; — welke in het geheel nici-
aan de vergelijking x — 3 y = o zullen voldoen, noch ook niet aa» de waarden, welke de onbekenden, in het derde en vierde delfel, flbnbsp;in de vergelijking x — 33 — 0 begrepen zijnde, verkrijgen zullen!nbsp;want het derde delfel zal geven;
= ii il Kfop; en y = nbsp;nbsp;nbsp;Kfop
en het vierde delfel x=:i|. en 31 —|. Men heeft alzoo drie o»' derfcheidene delfels van bepaalde oplosfingen, die elk in het bijzon'nbsp;der aan de gegevene vergelijkingen, zoo als zij liggen, voldoen:nbsp;zeggen; zoo als zij liggen; want, indien men eene der vergelijking^''nbsp;van eenen zijner faéloren bevrijd, voldoet dechts een delfel, en gt;n^quot;nbsp;heeft eene bijzondere oplosOng. Het hangt nu yan den aard vannbsp;vraagduk af, de wijze te bepalen, waarop men van die onderfcln^'^nn^nbsp;oplosfingen gebruik moet maken (72}.
. nbsp;nbsp;nbsp;§. 401.
dc
(71) Men zou mogclijk deuken: dat het yoordeelig zou dü»’
-ocr page 305-271
S* 401. Wanneer men de oplosfing, door het zoeken van den ge-itieenen deelet, aanvat, zal men, ten tninfte voor twee vergelijkingen van twee onbekenden den gemeenen deeler, indien hij werkelijk beftaat,nbsp;ontdekken, waardoor de oplosfing altijd tot de oplosfing van eenvoudigernbsp;vergdijkingen gebragt wordt, welke op de behoorlijke wijze veteénigdnbsp;zijnde, het geheele ftelfel van oplosfingen geven zal, en om deze redennbsp;is deze laatfte oplosfings-wijze boven de eerfte, (welke anders behoorlijk behandeld zijnde, op dezelfde gronden berpst,') veel verkiefelijker. •
Handelwijze van Euleb.
-j-T'-f O X-f-^ — o
ti' x -1- 5’-'= o
Ne-
de oplosfing van een fielfel van vergelijkingen, de gemeene deelcrs wegte-maken; om alzoo eenvoudiger vergelijkingen te verkrijgen : maar, hierdoor verliest de oplosfing ten minfte altijd hare algemeenheid, en men looptnbsp;daardoor gevaar, de bijzondere oplosfingen, welke in de vergelijkingennbsp;' opgefioten zijn, en welke dikwijis alleen met de bijzondere omilandig-heden van het werkftuk overéénkomen, te misfen. Maar, in het bijzon-, geldt ook deze waarfclmwing, wanneer de twee vergelijkingen welnbsp;geenen gemeenen deeler Ijebben; maar toch eene derzelve in twee fac-mren ontleedbaar is, in welk geval geenen der twee faéloren mogennbsp;Verwaarloosd worden. Laten gegeven zijn
3(2. — (5 31 a) Cd 3'=^ 5 y 1) = o
xZ — 2 51 3C 4- 3 -v —y — 40 = o
De eerfte nbsp;nbsp;nbsp;vergelijkingen is ontleedbaar in de faaoren ....
xz — 2 31 .T -j- 3 ‘V 'y 4° — ®
X CoJ-l-t) ct, — (2314-'1): men heeft alzoo Car_C3y l))X C-v—
on
. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- —3geheel optclosfen, de twee
Men zal nu, om deze vergelijkingen m
volgende ftelfcls afzonderlijk moeten oplos en nbsp;nbsp;nbsp;^
J nbsp;nbsp;nbsp;a(C:3)’ l
.ï a — 2 ï X3 a-— 3;4-0 — °
V nbsp;nbsp;nbsp;4rgt;’nO )
twee
de ftelfel x = u| en /=5i; welke waarin'men insgehjks verkregen ZOU hebben, indien men de deelers van de ceifte vergelijking niet enbsp;merkt hadde, en op de gewone wijze ware te werk gegaan.
^ x2—(aj —3)_.f —y-'-l nbsp;nbsp;nbsp;Qf_i7; en het
Het eerfte ftelfel geeft: yirre of—O,
-ocr page 306-Nemen wij, dat x — a een fador van beide de vergelijkingen zij; dan is het klaar: dat de quotiënten, welke ontftaan, indien men denbsp;voorfte leden door dien fadtor deelt, van den vorm -t-p x q,nbsp;en xip'q'Xr' zullen zijn; in welke, omdat de aangenomen fadtor onbekend is, q, p', q' en r' onbekend zullen zijn:nbsp;maar men zal nu, overèenkomftig die qnderftelling, frellen kunnen:nbsp;x^ Px^-{-Ox Rz=.(ix—a') X lt;ix=- px-\-q)
X* nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X Qx^p'x^q'xr'')
Nu zal men, uit elke dezer twee vergelijkingen, x — a afzonderen, en dezelve aan elkander kunnen gelijk (lellen, wanneer men, na behoorlijke herleiding, verkrijgen zal:
(x^ nbsp;nbsp;nbsp;P' x^ -i- Qf x^ -f- X S’') X (x^ -hpx -{-q)
Deze vergelijking moet bellaan, zonder aan x eene bijzondere waarde te geven; zulks kan nu geen plaats vinden, indien het eerfte produdlnbsp;ontwikkeld zijnde, deszelfs termen niet, één voor één, gelijk zijn aannbsp;die van het ontwikkelde produdi, hetwelk in het tweede lid der vergelijking voorkomt. Men voere dan deze multiplicatien uit, en vergelijke de coëfficiënten van dezelfde magten van x met elkander, da»nbsp;zal men de volgende vergelijkingen verkrijgen.
P p' = P^ p P p! q' z=iQP -p P' P -p q
R 2,? P q' r' — R’ -V XP nbsp;nbsp;nbsp;P' q
Rq/ ^O^r'=zS'p-\rPdq Rr'—S'q
Hier zijn zes vergelijkingen, en vijf onbepaalde grootheden p^ q, p‘, q' en r'. Men kal dezelve, daar zij niet hooger, dan tot de eerflenbsp;magt opklimmen, uit deze vergelijkingen kunnen doen verdwijnen, ennbsp;tot eene finale vergelijking komen, waarin geene andere dan de grootheden P, Qj, R, P', O', R' en S', die funftien van y zijn, voorkomen, en welke, bijgevolg de finale vergelijking in y zijn zal.
§. 403. Nemen wij, tot een voorbeeld, de vergelijkingen:
X- ƒ* jc -f- (9.=: o en x^- P' X nbsp;nbsp;nbsp;lt;y — o
dan zijn de faéioren, waarmede x — a moeten vermenigvuldigd worden, om de leden van de gegeveiie vergelijkingen te verkrijgen .v / ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp; p', en dan is voor dit geval
* = o, R' — p, y=:o; q — o, q'z=:o en r'—o en men heeft alleenlijk
P P'
-ocr page 307-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;.^73
} Qj^Pp'—Q^-\-P'p \waaruit volgt! P'p—Pp'~Q^ 01 \
Uic de twee eerfte dezer vergelijkingen bank men:
. _ nbsp;nbsp;nbsp;— PC. — ro — 00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;P-rP'^-P'—QQs-Qi')
P---P — nbsp;nbsp;nbsp;p — pt _ '
en, wanneer men nu, in de derde vergelijking Q^p ^P' — plaats van p en p'^ jjg gevondene waarden (lek; dan zal men, na benbsp;hoorlijke herleiding, voor de finale vergelijking verkrijgen:
CS.— S.0^ {P — -PO X CPQ!.~P'Ql) — °
dezelfde, als welke in §. 3po, gevonden is. Om nu de waarde van X te vinden, deelt men x'^ -{¦ P x door x p het quotient zalnbsp;X — a zijn, en de rest der dealing, welke de finale vergelijking in ynbsp;is, zal men als nul moeten annmerken: nu geeft de deeling van nbsp;P ^ S, ‘ioof X -^p tot quotient x P —p en 0^— (P —p) .pnbsp;tot rest der deeling, welke laatfte, indien men voor p hare waarde (lelt,nbsp;op de finale vergelijking nederkomt: nu is x P—p=x — » = o,nbsp;derhalve x—a—p — P^ ftek men nu voor p hare waarde, welkenbsp;boven gevonden is; dan zal men hebben:
_ Qj~Qi
S' 404, Laten nog gegeven zijn, de vergelijkingen:
x^ P x^ Qjx -f- ^ — o -t^- P' fi/ X o
dan zal, in de algemeene vergelijkingen boven, S'—O en r^ztzo zijn, en men zal voor de finale vergelijking in y verkrijgen;
P' (P — PP') X [(/gt; — P'-) 2,— (R _ R/)] _ Rf (g__g.0 X KS.— 0.0 a— (R—POP]—P'0 X KPfy—p'0)a.
— nbsp;nbsp;nbsp;^PR'~Pgt;K)P^(pR^-Q^Ry\-RCR~R') x [(R-POO'
- nbsp;nbsp;nbsp;(p- - PO] r(£- 00 X [(O - 00 a' - (p-po p']nbsp; P(P—PO X [(po^—P''o)o'—(PP'—P'P)P' ....nbsp;(OP—0'Rj] —o ~ ~
w'clke uitdrukking men ook, door trapswijze de magten van x uit de vergelijking uitteroeijen, verkrijgen zal. Men zal nu, door deze ver-gelijicing, de waarde van y, en gevolgelijk die van p en P', enz. ennbsp;door deze eindelijk de* waarde van x vinden. (733
Ztva-
(73) Wij bevelen den leerling, deze gelieele opgave uaterekenen. Hij zal ook dezelfde uitkomst vinden, door regtftrcehs den gemeenen dee-kr der gegevetie vergelijkingen te zoeken. Z'w §- SPö-II. Cursus.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S
-ocr page 308-274
, v/elke men, in de toepasfing dezer leenvijze, op een grooter aantal vergelijkingen, ontmoet,
§. 405, Stellen wij, tusfehen drie onbekenden x, y en a, drie vergelijkingen: Cp(x,y,z,jzzo-, (pi(x,y,z,) = o en (x,y,z,) = a (j4-j, dan zal men, deze vergelijkingen, naar de afdalende magten vannbsp;dezelfde letter, geordend hebbende, den gemeenen deeler van de tweenbsp;eerde bepalen, de eene door de andere deelende, tot zoo lang mennbsp;eene rest verkrijgt^ die alleen van 3; en 2 afhankelijk is, welke restnbsp;inen gelijk nul ftelt. Op dezelfde wijze zal men, den gemeenennbsp;deeler van de tweede en derde vergelijking bepalen, en men zal alzoonbsp;twee vergelijkingen in y en z vinden, die wij kortheidshalve doornbsp;(pQy, z,j — o en (pi(y, z,j=zo zullen uitdrukken. In de zamen-ftelling van deze vergelijkingen komt de tweede vergelijking tweemaal,nbsp;en de eerde en derde flechts éénmaal voor, en het is dus te verwachten, dat men, door den gemeenen deeler van (p (y, 2,) en vannbsp;Oi (3, 2,) te zoeken, eene vergelijking in 2 verkrijgen zal, welke,nbsp;met den aard van het gegeven ftelfel der vergelijkingen, vreemde wortels hebben zal. Om die reden, heeft dan ook Bezout deze handelwijze verworpen: dan, indien men de derde met de eerde der gege-vene vergelijkingen verëénigt, zal men, door derzelver gemeenen dee-Icr te bepalen, eene derde vergelijking (pz(y, Z,j~o verkrijgen»nbsp;Men verkrijgt dan:
G'j ^)—pl nbsp;nbsp;nbsp;r I en 2
lt; nbsp;nbsp;nbsp;(ygt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;}nit de zamenvoeging vani 2 en 3
icp„ (j, £) — o^ nbsp;nbsp;nbsp;C.3 en I
nu kan men de eerfte en tweede, de tweede en eerfte, en de derd^ 'en.ecrfte dezer vergelijkingen zamenvoegen: men zal dan drie finai^nbsp;vergelijkingen in 2 verkrijgen; namelijk:
^ (p (z)z=o~i nbsp;nbsp;nbsp;^ I, 2, 2, 3
lt; nbsp;nbsp;nbsp;(tdt de zamenvoeging van) 2, 3, 3, i
Elk dezer vergelijkingen, in 2, bevat de waarden van 2, welke n’*-’ liet gegeven ftelfel van vorgelijkiagen inllemmen; daar het nu
(74) Dit toeken 41 beteekent eigenlijk fumaie; men gebruikt daa'rw® ook nog tie teckens f', f, ,p, enz. de cijfertjes, aan den voet dernbsp;ters 4gt; geiüaatsr, dienen flechis, om een onderfcheid in den vorm dezernbsp;fumftien aantewijzen.
-ocr page 309-27
aik twijfel Haat, dat dit fteifel van vergelijkingen een bepaald aantal Van waarden voor z medebrengt, hetwelk alleenlijk, met de overeennbsp;komftige waarden van ar cn y, met uitfluitiug van alle anderen, ietnbsp;ftelfel der gegevene vergelijkingen oplost, zoo volgt hieruit; dat ernbsp;eene zekere finale vergelijking in * beftaan moet, welke dit ftelfel volmaakt oplost, welke vergelijking gevolgelijk van alle vrera e a orennbsp;bevrijd, en in elk ééne der drie vergelijkingen C®)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Y-
— o en cj), (a) — o begrepen zal zijn. Noemen wij deze vergelijking tp (js) — o; dan zal men de drie filiale vergelijkingen, onder de volgende gedaanten:
ƒ (2) X ij/ (s) = o ƒ, (2) X ii- C=) = o; nbsp;nbsp;nbsp;(s) X d- (2) = °
kunnen voordellen, en nu blijkt het ten duidelijUfte, dat, wanneer men den genieencn deeler van (s)»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^2 C^) zoekt, en
men denzelven gelijk nnl ftelt, deze alsdan de ware finale vergelijking zijn zal, welke alle de wortels van z (en geen meer of minder) inhoudt, die, met de overëéukomftige waarden van v en 3: verëenigd,nbsp;alle . de mogclijke, zoo beftaanbare als onbeftaaiibnre, oplosfingen gevennbsp;zullen CfS}- Wij kunnen thans in geene verdere bijzonderheden treden , en zullen de nadere uitbreiding dezer befchouwingen in een bijzonder gefchrift mededeelen.
§. 406. Bezout de zwarigheden, hier boven geopperd, (noch, wei-ke, zoo als wij gezien hebben, kunnen weggenomen worden,) inziende, beeft in zijn werk. Théorie Générale dn Equations Algébriqiies, eenen geheel anderen weg ingeflagen. Hij vermenigvuldigt elke dernbsp;gegevene vergelijkingen met eene veelledige uitdrukking, welke vannbsp;denzclfden vorm als de gegevene vergelijking iï? eti telt alsdan allenbsp;deze vergelijkingen bij elkander: de coëfficiënten dezer aangenomenenbsp;uitdrukkingen onbepaald zijnde , is men meester, om van de fom dezernbsp;produfteu alle de coeincienten, behalve die, welke de magten van dezelfde onbekenden vermenigvuldigen, gelijk nul te Hellen; waardoor dannbsp;msfehen die onbepaalde coëfficiënten een genoegzaam aantal vergelijkingen ontdaan, door welke de onbepaalde coëfficiënten van de termen dernbsp;finale vergelijking bekend worden. Wanneer men de oplosüng der ver-
, ge-
(73) Mogelijke oplosfingen zijn die, welken de aard der vraag mede-hrengt, beftaanbare en onbeftaanbare daar onder begrepen.
S 2
-ocr page 310-gelijkingen VRn deze zijde' aanvat, en zich tevens voordek, om tot eene finale vergelijking te komen, welke niet te hoog noch te laag op-kiimt, moet men geenc geringe zwarigheden overwinnen, waarvan denbsp;voornaamfte op deze tw'ee nederkomen. i° Weike zal, in elk bijzondernbsp;geval, de magt zijn, tot wïlke de finale vergelijking opklimt? en 2quot;,nbsp;Hoe zal men, uit de gegevene vergelijkingen, den vorm der aanteneme-ne faftoren kunnen beoordelen, op dat men, door deze handelwijze,nbsp;tot de ware en eigenlijke finale vergelijking gebrngt worde? Bezoütnbsp;heeft dit ftuk met zijne gewone fchranderheid behandeld. Ilij is denbsp;eerde geweest, die bewezen heeft: dat de magt cener finale vergelijking, fpruitende uit een ftelfel van volkomens vergelijkingen, zooveelnbsp;in aantal zijnde, als 'er onbekenden zijn, gelijk is aan het produll vannbsp;de . exponenten van de magten der bijzondere vergelijkingen , (jeenenbsp;waarheid, welke naderhand door Poisson, meer regtdreeks, bewezennbsp;is, zie 'Journal de FEcole Polytechnique, XI Cahier, pag, 199Onbsp;de middelen aan de hand gegeven, om, met zekerheid, den vorm dernbsp;aantenemene faftoren te bepalen, fileer kunnen wij ’er voor het tegenwoordige niet van zeggen: de ontwikkeling dezer befchouwingennbsp;onderdelt kundigheden, die nog niet geleerd zijn, en eene¦ bedrevenheid, die men, op de tegenwoordige hoogte, niet kan ondcrftellen.nbsp;Met een uittrekfel zouden wij, voor den onkundigen te weinig zeggen , cn deskundigen niets nieuws leeren: om welke redenen vvij dan,nbsp;daar ’er in deze, les genoeg gezegd is, om de oplosfmgen der hoo-gcre magts-vergelijkingen uit het ware gezigtpunt te befchouwen, ennbsp;ook dadelijk in die gevallen, welke in de gewone toegepaste wiskunde kunnen voorkomen, optelosfen, voor het tegenwoordige .van dezenbsp;Ilof aftoppen, en den meergevorderden Lezer de lezing van het aangehaalde werk van BitzouT aanbevelen.
§. 407. Wij zouden nu, het plan van den eerften Ciirfus volgende, eene menigte vraagftukken kunnen oplosfen, welke tot eene hoogerenbsp;dan de tweede magt opklimmen: maar wnj oordeelen, dat, wanneernbsp;de Lezer op deze hoogte gekomen is, hij alsdan den tijd aan nuttiger befchouwingen, dan de oplosfing van rekenkunftige vraagliultken,nbsp;welke, oflehoon zij tot ceue hoogere magt opklimmen, daarom nietnbsp;moeijelijker in vergelijking te brengen zijn, befteden kan; vooral, war'quot;nbsp;neer hij zicii, ia da XXXI Les van den eerllen Cuifus, en de voorgaande XLVI Les, daarin genoegzar.m geoefend heeft.
WIS'
-ocr page 311-277
TWEEDE CURSUS.
XIII. BOEK.
Over de behandeling der JdTortel-uitdrukMugen ^ zoo der beftaanbare ^ als der onheflaanbare.
DRIE- EN- vijftigste L E S.
Over de behandeling der Wertel-uitdrukkingen.
§. 408. D e worteltrekkingen, en de oplosfing der tweede en hoogere magts - vergelijkingen doen eene foort van uitdrukkingen ontftaan, die men wortel-uitdrukkingee noemt,
n nbsp;nbsp;nbsp;n
en tot de vormen Va en a bVc behooren. Wij zullen ons, in dit boek, met derzelver nadere befcliouwing bezignbsp;houden.
§. 409. De wortel-uitdrukkingen zijn van de exponentialc, in de XXXV Les, I. C. behandeld, niet in waarde en be-teekenis, maar alleen in vorm, onderfcheiden; want
Va
Voort
\kan mm fchrijvem
De wortel-uitdrukkingen zijn nog een overblijffel der verouderde teekens, welke men thans, na de volmaking van de Leer der exponenten, geheel zou kunnen ontbeeren.
§. 410. Reeds zijn, ia de XXXV Les, I. C., alle de gronden blootgelegd, waarop de beteekenis en het gebruiknbsp;der exponentiale uitdrukkingen berusten: deze gronden zijnnbsp;in de volgende grond-forraulen begrepen.
S ^ nbsp;nbsp;nbsp;A. Voor
-ocr page 312-ayS
WISKUNDIGE LESSEN.
to[
A. V-oor de gelijknamige er.ponentiale uitdrukkingen h •.
a” xb» xc” xenz. ^Qihc enz.ygt; S ^
a a a -r X ^ X “T Xnbsp;b b b
aquot;quot;
hbbh enz^
. nbsp;nbsp;nbsp;§• 714quot;
B. Voor de gelijkflachtige is:nbsp;¦ttPxtii==aP'\-inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
i nPX‘MXti’'Xu^X. enz. nbsp;nbsp;nbsp;J
a”‘
a’‘
— a”’—’’. Zie §. 7x6.
C. ^ör magts-verheffi'ngeti en worleltrekkingen.
Zie §. 727 en 728.
50 (««)»
en 6°
:«»»
üok is, in §. 722, en vervolgens, de beteekenis der negatieve exponenten verklaard, en het is geblekendat
a’‘
hm
z=: a» X b—”‘
«3!»:
a—»;
a»
,0 f a\n
\b) ~ \a) nbsp;nbsp;nbsp;’
(f)
Deze formulen zijn zeer gewigtig, en zij kunnen verder uitgebreid worden, gelijk de leerling in de uitflaande tabellenbsp;zien kan. Thans zullen wij, op deze gelegde gronden voortgaan, en den lezer, welke intusfehen de XXXV Les nognbsp;eens door mag loopen, de behandeling dezer uitdrukkingen,nbsp;welker kennis zoo nuttig is, nader leeren kennen.
Herleiding en omzetting der exponentiale of wortel-uitdrukkingen,
§. 411. ff Wanneer men een product of gedurig product tot eenige meigl moet verhef en, dan zal men eiken faElor totnbsp;die magt verheffen, en de magten der factoren met elkander
yemenigvuldigen. Dat is:
ia bede)” ~ a» h'-c'^ d quot; e» '
Want
-ocr page 313-279
Want (^abcde^ — ahcde^abcde-y^abcdexenz. tot zooveel malen, als ’er éénheden in n zijn: elk eene der letters a, h, c, enz. za dan, in dit produa, n maal voorkomen, en men zal hetzelve, ijgenbsp;volg, onder den vorm aaa enz. tot n'Abbb enz. M nccc% enz.
ftelkn kunnen: dat is nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
§. 4i2‘ tt Omdat = is, zie §. 7=7, I- O-, zal men, ingevolge het bewezene, flellen kunnen .
§• 4t3’ tt hVtinneer men eene breuk tot eene ze\eie nwgt moet verheffen, zat men den teder en den noemer, elk afzonderlijk, tot die magt verheffen, en de magt des tellers doOJnbsp;die des noemers deelen, dat is :
aaa Deze waarheid volgt onmiddelijk ttit
X enz.
,aaaa tot n
bbbh tot n b“
714, I. C. Wil men echter dezelve nog, op eene andere wijze, in verband met de negatieve exponenten, zien; zoo zal men a : b onder deze gedaante «I I (lellen, en'dan is, volgens §. 4i2' Cquot;* b—iff —a« b—nbsp;au: br.
' §. 414. tt Het zal op dezelfde wijze blijken: dat
aP h cgt;' “1 ~d‘ et
aP» hlquot; cquot;
(Isn £t!f
J. 415. tt nbsp;nbsp;nbsp;quot; altijd po fit ief,_
wortel van die magt pofitief of negatief zij: dat is, jt eeri geheel getal is; dan zal men hebben .
S- 416. T Elke onevene magt heeft hetzelfde teeken als haar wortel. Dat is, n een geheel getal zijnde, dan isnbsp;rz; -bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ff-dë. §•
§. 417. Indien eene 1/itdrukking, waaruit men eenigen wortel trekken zal, in fabioren ontleed is, zal de wortel uit die grootheid gelijk zijn aan het product van de wortels uit alsnbsp;hare afzonderlijke j'eiBoren.
Deze waarheid wordt door de formule
n
]/fabt Cl dl')'.
of, ZOO men wil, door
: Va X ybp % yci X yff S 4
aSo
^ nbsp;nbsp;nbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jgt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r
è? cl d’quot;) n ~ a n % b» Xf» Y. d”
uitgedrukt,, en is flechts eene verdere uitbreiding van hetgeen, in §.412. van de geheele exponenten gezegd is. Het is buiten twijfel: dat mennbsp;uit elk gegeven getal de raagt kan trekken, en dat men, voor dezennbsp;magts-wortel uit dit getal, een zeker getal verkrijgen zal. Laat
dan Ya — A-,’ nbsp;nbsp;nbsp;— S; Y^'^ =¦ C; Y^’’ = D zijn; dan zal
a — A”; Y — -S”; 0^ — C» en lt;/'' — Z)® zijn; gevolgelijk zal ook a bf c'i d''Aquot; B” C’\D'‘ — QABCD')’’z\]n. Hieruit den «*magts-
ABCD — Ya y- yb-
wortel trekkende, zal men YXflb^ ‘f')
n nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. L. P 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
X X Y‘^^ — a» Y hn Y c» Y dn Verkrijgen.
,§. 418. ff Het bewezene in §. 412 en 417. flrekt zich ook lot de gebrokene en negatieve magten uit', zoo als uit de volgende formulen blijken zal.
f» pm qm rm {jl^ iA c’quot;)n zzta» b» cnnbsp;m
7n nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pn
YiY Y nbsp;nbsp;nbsp;d? e'') '' T= (ö? b1 c'-'Y ¦=La'Y bm cm
_-iL nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
(af Z»quot;? £•^'1 n - ^ nbsp;nbsp;nbsp;- zr _-___
(a^ M e ') ” nbsp;nbsp;nbsp;VI ''Jt
pm qm rm
...... a ^ h ^ C
7n nbsp;nbsp;nbsp;^
§. 419. De formulen: nbsp;nbsp;nbsp;en V(a’‘') zcza’n zijn
ook voor eene verdere verheffing vatbaar. Om (ö»)« tot de magt p te verhelFen; dan zal men fchrijven:
Wil men deze laatde wederom tot de magt q verheflèn; dan zal men hebben:
(((«”)«)?)? — {fa”'’yy =: nbsp;nbsp;nbsp;enz.
ff Even eens is het met de worteltrckking gelegen. Om den wor-
m
tel p uit YY te trekken, zat men fchrijven;
p tn nbsp;nbsp;nbsp;pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ mp
Uit
Y .Y(ji’^—Yam —zai»i~ Yft’
-ocr page 315-// —
Wf* / nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• 3ü W^V T 'quot;‘S
zlja. Met deze formulen, gelijk ook met alles, wat in de
, is geleerd, alsmede met de formulen, op de uitllaande tabelle IN
moet de IceiVing, zoo veel mogelijk, zich gemeenzaam maken.
§. 420. Uit de verklaarde herleidingen volgt:
« »
1“ ft Dat de uitdrukking; a Vh—Vagt;gt;b is.
n nbsp;nbsp;nbsp;jjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nn
Want a is gelijk « ” , of gelijk }/a'^derhJve is a quot;l/b )/a X
¦'¦fcw n nbsp;nbsp;nbsp;n
'~^'yb — Wa’'b').
Volgens deze formule, zal 3 J/a —y(s ^ nbsp;nbsp;nbsp;Weaeroxn
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
7 J/3=J/(7quot; X 3)=Ki°29.
Insgelijks zal ^ a Vb = K(4 nbsp;nbsp;nbsp;, of = Va a- b. Insgen]ks
. nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
ial/jh—ynia^b. Nogmaals ia^hquot;-cyabc—y'iAª-''b'^'^c .
n
§. 421. 2“ ft Dat., wanneer de uitdrukking Va gegevet} is, en het getal, of de uitdrukking, a door eene yolkotnene n
magt deelbaar is, zoodtit zal zijn.
b” c is , alsdan Va 222 h Vc
Want a =. h”c zijnde 1 nbsp;nbsp;nbsp;ya—l/b’' y. pc— byc zijn. Zie
§.417. *.In eene uitdrukking, als. deze'wordt de grootheid, of letter, b gezegd onder het wortel- tecketi te ftaati, en de grootheidnbsp;a buiten hetzelve. * De laatfte wordt doorgaans als den coeflicient van
V
yb aangemerkt.
§. 422. Het is van veel belang, om zoo het mogelijk is, de wortels , het zij uit getallen, het zij uit flelkundige uitdrukkingen, volgens deze formulen te herleiden, ff Deze herleiding is nu aitijd hogelijk, wanneer het getal of de uitdrukking, waaruit de K‘i« magt moitnbsp;getrokken worden, door de magt van eenig getal deelbaar h. ,, Om
28a
„ nu daarvan zeker te zijn, zal men het gegeven getal, of de ge-„ gevene uitdrtikking, in factoren ontleden, om te zien, of onder de-„ zelve magten gevonden wordenquot; De volgende voorbeelden zullen deze handelwijze beter, dan eene meer omflagtige befchrijving» doen kennen.
Om te beHisfen ofp^iS tot den vorm ajyigt; herleidbaar zij, zal men onderzoeken: of i8 door een volkomen vierkant getal deelbaarnbsp;zij? Nu is i8=9 X 2 = 3=^ X 2; derhalve is yiZ=:y(^x 2) =nbsp;3 J/2. Op dezelfde wijze zal
1/242=21/121 X 2“II1/2; en yï622^y'èi X 2—9I/2 zijn. En zulks is op alle foort van wortel-uitdrukkingen tocpasfelijk.
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
1/54=221/27X2 = 31/2; I/i92 = I/lt;54 X 3 = 4^3-
1/144=^16x9 = 21X9; 1/640=^128 X 5 = 2^5-
§. 423. ft De Helkundige uitdrukkingen zijn ook voor deze herleidingen vatbaar.
Laat gegeven zijn yaa^a^h^c; dan is, vooreerst, 24 = 4 x 6 = '2^ X 6; voorts ztza'^ X a; men zal dan voor 24^® bquot;^ c kunnennbsp;fchrijven;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x6ac en y24.a^ b- c ~2 a byó a c.
Zij nog gegeven 1/(378000 nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6an zal men kunnen
3 nbsp;nbsp;nbsp;383
fchrijven: y Qs^Sooo nbsp;nbsp;nbsp;^ b^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z=.y Si’doOQ X y X yb^^
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
X yc^^', nu is, volgens §. 422, jJ/378ooo = I/27000 x 14 =
ya; yb^^:
3ojfXi4; opk is ya^^~a
— bs, en nbsp;nbsp;nbsp;—^.^5 —t4 l:=c4 x J/c,- men zal dan, alle de
vergelijkingen vermenigvuldigd hebbende, verkrijgen:
3 nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
1/(378000 nbsp;nbsp;nbsp;b^^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 30 a'^ b^ y(^i4-a e)
yMen zal zich in deze foort van herleidingen, door de volgende
voorbeelden, oefenen kunnen. nbsp;nbsp;nbsp;' ¦
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.1
1/(250 a‘* b^ C-) nbsp;nbsp;nbsp;b ^/(n a c^')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;$ a b (ji a b^ c^j3
yQgóa^b^e^^d^ y=:2abc^d^yy^ahquot;^ c')—2abc^d'^(i3ab'^c7^
y [81 öS j,4 X (« nbsp;nbsp;nbsp;-v)-*- X (« -fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•
3ab{a—A')x(«-r^)’‘ X y\3h\a — -v) X
•4'2-|
T W E E D E C U R S U S. nbsp;nbsp;nbsp;283
§• 424. -j-f 5)6 Wortels uit breuken zijn ook altijd voor eene foort-gelijke herleiding vatbaar. In kec algemeen zal, zie §. 800. I. C.
na__
.ip. Dl, b,gu,a k.r«. d.‘z«
den, en dan zal men vinden'.
lö i/li —
^ rgt; —lyt — nbsp;nbsp;nbsp;¦«
Vb
yh
quot; y‘£L — ~?/(aby
y[
25^ 49
o]=.
¦ J/Qin- -{¦n'^')
-aab-\-6a‘
¦Qn^-^n
n
gj ^V8^3Ji2 —i6t7^Z- 48,s,sx _ nbsp;nbsp;nbsp;.y^a
^ nbsp;nbsp;nbsp;9~3(« ^)^Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=C« *)
anneer deze herleidingen mogelijk zijn, moeten zij niet verzuimd worden; want zij brengen gemeenlijk de gegevene wortel-uitdrukkingen onder eene eenvoudiger gedaante, welke haar voor de berekening ge-whikter maken.
¦ddditie en Suhtraamp;te der wortel-uitdrukkingen.
§•425- ^'^ortcl-uvtdrukkingen worden, volgens de gewone
k SÏen” quot;hquot; u nbsp;nbsp;nbsp;der Helkundige dtdrulc-
AH ’ alkander opgeteld en van elkander afgetrokken. A dub zal i/^ opgeteM met Vb, en nog met Vc, aldus ge-fchreven worden:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^
V^ü Vb quot;kquot; Vc
e« men za a, met nbsp;nbsp;nbsp;verminderd, aldus uitdrukken:
V a •— )/^ _i V c
wortel nbsp;nbsp;nbsp;zal men met alle andere, en zoo vele
1 d quot;'^f T nbsp;nbsp;nbsp;bij elkander optelt, of van el
kander aftrekt, te werk gaan.
§. 4-6. Wortel-uitdrukkingen zijn gelijkllachrig, wanneer ZIJ, na behoorlijke herleiding, in §. 4^1 geleerd, tot ortel-grootheden, waarin hetzelfde getal, of dezelfde uitdruk-
-ocr page 318-284 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
tirukking, onder het wortel-teeken voorkomt, kunnen gèbragt worden. Alzoo zijn 2 1/3 en 7 V3 gelijkflachtig.
§. 427. ff Het is klaar: dat men, in plaats van V a
nVa,
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
Va ^Va, (lellen kan 3 Va-, voor 6v/« 7 i/^ en dat, op dezelfde wijze:
7 ya — 3 Ya 11 Ya — IsYa
zal zijn.
pYa qYa — r Ya r± (/gt; ^ — r) X Ya
§. 42S. ff Wanneer dan de leden van de uitdrukking » « « « «
Ya Y^ — Y‘^ — Y^ Y^
n nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n
zoodanig kunnen herleid worden, dat Va^a’ Vp', Vh-=.
n nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n
b'Vp; Vc — c'Vp'; Vd — d'Vp', V e ¦=. t'Vp “di)', dan zal men, in plaats van die uitdrukking, fchrijven kunnen:
{a'h'— c'— d' e'') %YP
§. 429. Wanneer eene foortgelijke herleiding mogelijk is, daquot; hangt de waarde der uitdrukking flechts van ééne wortel-trekking, in plaatsnbsp;van zoo vele, af, als ’er termen in deze uitdrukking Voorkomen.nbsp;Deze herleidingen worden nu, naar de voorfehriften van §. 421 —nbsp;§. 424, volbragt. Zie hier voorbeelden:
1° V18 1/5c—1/8zr31/2 51/2—21/2 = 61/2 = 1/72. V 1/45 1/80 —1/245=31/5 41/5 — 71/5=0.
3“ 1/27 1/48 — 1/98 1/32 = 71/3 — zVi.
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-3.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
4° 1/54 1/250—1/128=3 v'2 51/2 — 41/2=41/2.
5 l/f = 25-il/f = tl }/ó.
6° l/söb l/ii: V93j = |V| |Vf 5W=6||^2=
1/48 = 3|X 1/6.
§. 430. In helkundige uitdrukkingen, zal men, naar dezelfde f®' gelmaat, te werk gaan.
iquot; YC^5a'^b) Y(i44a^b) = saP''b i2aYb~i7aYb-
lt;* nbsp;nbsp;nbsp;3
2° zbYQ-a^ bV — 7abYVa'^ b-')-\-^aY(^'^a'^b^'):zz • • ' ‘
-ocr page 319-285
TWEEDE CUPvSUS.
Muitiplkatie.
§• 431* Men kan de vermenigvuldiging der éénledige wor-tel-uitdrukkingen tot twee gevallen brengen: 1'’ wanneer de wortel-teekens der gegevene uitdrukkingen gelijknamig zijn,nbsp;2* wanneer zij ongelijknaraig zijn.
§• 432. Betrekkelijk tot het eerfte geval, wanneer de ge-gevenc uitdrukkingen met hetzelfde wortel-teeken zijn aangedaan , „ zal men de grootheden, onder de wortel-teekens ftaan-„ de,’met elkander vermenigvuldigen, en het produamp; onder het-„ zelfde wortel-teeken plaatfen: men verkrijgt dan eenesvortel-3, uitdrukking, welke voorts met het produSt van de coefflcien-5, ten, of letters, welke luiten de gegevene wortel-uitdrukkin-53 gen flaan mogten, dis coefficient of factor ver'éènigd worden. 5, Terwijl tyi.en voorts altijd, indien het mogelifk is, de worrit'tel-uitdrukkingen volgens §. 422, tot de eenvoudigflen vormnbsp;„ krengen zalWant, volgens §. 412 en 417 is, welke
ook de waarde van
Va y. 1/1'= Val-, VayVby
^czcz/abc; enz. Alzoo zal *^2X1/3=1/6; i/2xy'S=V'2xS = /id=4^ 2/Qxnbsp;3^5 = 61/10; 1/5x1/10=1/50=51/2; 51/2Xnbsp;31/2=15x2 = 30; i/|xv/|=j/|=:|l/2; l/ax
1/3x1/8 = 41/3; |vx|x|i/| = ^x^j5. ^2x1/16 =
, 3ttybXza/ab = 6a’^/ab’‘ = 6a=‘h/a. 5^5ubXjai/abc~i^a]/3a^b^c=i^a’^b/2t^-2tti^C^^-i-b^)x6ab/(a-^ ab^)=i8a^bCa^-i-b^)x/a.
4a\'a b c X^abv/ a'^ bc^ x~ laa^ b^ c /acx.
S- 433- ^Panneer de wortel-uitdrukkingen, die men met elkander vermenigvuldigen moet, ongelijkvorniig zijn, zal men dezelve vooraf tot hetzelfde wortel-teeken moeten herleiden;nbsp;hetgeen altijd gefchieden kan, door de wortel-teekens in ge-brokene exponenten te herleiden, en deze gebrokene exponenten onder eenen gemeenfchappelijken noemer te brengen.
S- 434.
-ocr page 320-286
WISKUNDIGE LESSEN.
§. 434* Latfin gegeven zijn de wortel-uitdrukkingen: \/'a^ en , -
dan zal men, in derzelver plaats, de exponentiale uitdrukkingen
s
— nbsp;nbsp;nbsp;qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S
en b’’ kunnen ftellen: wanneer men nu de breuken — en — onder
q f nbsp;nbsp;nbsp;p S
denzelfden noemer brengt; dan zullen zij — en — worden; der-
pr nbsp;nbsp;nbsp;pr
pr
: ya^ , en b ’
- yb^’ zijn. Men zal
P nbsp;nbsp;nbsp;'¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P’’ ar P' «t f' ar St
ya^ X yb^ = yé x yb^ — yca^’^ b^'^
en, op dezelfde wijze, zal men te werk gaan, indien meer dan twee wortel-uitdrukkingen moeten vermenigvuldigd worden.
§. 435. Indien men aan de waarheid van de vergelijking aP zzaP' mogt twijfelen, zou men zich, op de volgende wijze, van dezelve kunnen
overtuigen. De uitdrukking aP beteekent:'dat men denmagts-wortel uit de lt;7* magt van a moet trekken. Laat nu tot de magt r verheven worden, dan zal men Qa'^Ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hebben; wanneer men
nu uit deze eerst dendaarna den nbsp;nbsp;nbsp;magts-wortel trekt, is zulks
hetzelfde als, in eens af, den ipprf^ magts-wortel te trekken: dus is
p nbsp;nbsp;nbsp;prnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
3
§. 436. Volgens deze betoogde formule, zal nu yz X
3' X 8^ =3'^ X 8'^ = (3* X 8^y=zyi~2S-, ^y a b %ya''-!,:=:¦ 2 ya^ h'^. enz.
§. 437. De gelijkflachtige wortel-, of exponentiale, uitdrukking^*’ worden, volgens den bekenden regel, door het optellen der exponenten vermenigvuldigd. Zie §. 735, I. C.. Aldus is
3 nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ï- i -rl *5
yó X yózz 6“ X 6^ = 6“ r=
_i nbsp;nbsp;nbsp;__i _I
1? c y- y a
15
: 1^1679616
_1 nbsp;nbsp;nbsp;i ^
P nbsp;nbsp;nbsp;z:z:2i V c .
§. 438. Dit alles is voldoende, om édnledige' wortel gen met elkander, te vermenigvuldigen. Men zal dau nu ook dc
p'O-
-ocr page 321-287
produften van de veelledige, volgens de gewone regels, kunnen bepalen. Alleenlijk pleegt men, in het produft, de termen, we e het wortel-teeken bevrijd zijn, en daarom als meetbaar ec ounnbsp;worden, te verëénigen, gelijk ook die, welke met wortel-teekens z^nnbsp;aangedaan; de verëéniging der eerfte maakt het rationale of meetbare, en die der laatfte het irrationale of onmeetbare gedeelte ^nbsp;drukking uit. Men zal, door de regels der ftelkundige mukiphcatienbsp;met de voorgaande te verëénigen, vinden:
[6 -V- 2 1/5]a = 56 -f 24 1/5
[lt;5 21/5] X [6—21/5]= 16
[2 1/2—Vó] X [2h^3—1/2]=:—4-7—61/2-fa 1/3 4 V o
.f |/Zi]® =12-f ^ 2 nbsp;nbsp;nbsp;¦
\ya-^Vb']xiVa — Vb'\=za — h
[y'a i/^ v/c] X [l/« nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^^
è -f — è®)] X [l/« ^ nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
ah
§. 439. Het is opmerkelijk: dat, ft wanneer eene uitdrukking van den vormnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot de tweede, derde en volgende magten ver
heven wordt, deze magten altijd van den vorm p q J/b zijn. In-dedaad zal men, door dadelijke vermenigvuldiging, vinden:
Qa yhy=a=- bj-2ayb
(^a-\~yby =za^ 3ab b')yb nbsp;nbsp;nbsp;^
Het prodnft van p ^y»' met p' q'y^^ gelijk ^/gt;' ? ^ ’ ipq' p'q^yr zijnde, ziet mèn, zonder dat het noodig is, dezenbsp;magts-vetheffing verder voorttezetten, if dat alle de volgende magtennbsp;van «-j-J/i fien vorm p -f qyb zullen zijn.
Divifie.
fi88
1/12:1/3= nbsp;nbsp;nbsp;1/4=2;
1/3 : 1/2 = l/| =: i • enz.
a d '\ .ad i ,,,
»/^ lt;5! nbsp;nbsp;nbsp;N »ad I »
ad ’‘p s ad ' bc^ qr bcqr
. Ö » /gt; c ” ^ ~h^~q ' d^ s
§. 441. Wanneer eene meetbare uitdrukking a, door eene onmeetbare l/b moet gedeeld worden; gaat men aldus te werk: a _ ay^Vb
Vb
Vb xVb (*nbsp;n
a X l/Z'«—I
a Vb'‘-
-Vbquot;-
Vb’gt;
düs zal, in getallen,
3 nbsp;nbsp;nbsp;3
3:1/2 = 11/2; 7 : 1/3 = I v/9 zijn.
§. 442. De divifie der gelijknamige wortel-uitdrukkingen kan altijd, nadat zij onder dezelfde wortel-teekens gebragt zijn, door dezelfdenbsp;regels worden uitgevoerd. Want men lieeft, in het algemeen:
Yal: VV = af :b’' = a^’’:bP’'—
q s nbsp;nbsp;nbsp;!?'*•*¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
— .V— “rT: nbsp;nbsp;nbsp;Paqr\~-
' V(ai’' b—^’'')-
§. 443. De gelijkflachtige wortel-, of exponefitiale uitdrukkingen wor-
dcu volgens §. 73d, I. C. gedeeld, bij voorbeeld: nbsp;nbsp;nbsp;—
i _ r 6 6^=6 '^=i:J/0.
§. 444. Wanneer de deeler uit onmeetbare en meetbare termen i* te zamen gefield, dan tracht men, deeler en deeltal beide, met zulknbsp;eene uitdrukking te vermenigvuldigen, dat de deeler der nieuwe dee-ling eene volmaakt meetbare uitdrukking worde : wanneer men nu dezenbsp;produften door elkander deelt; dan zal men, gelijk bekend is, hetnbsp;begeerde quotient verkrijgen. Zie §. 142, I. C.
445. Indien de deeler a Vb is, dan zal men deeler en de^l' tal met a — Vb vetraenigvuldigen; want Qa-^-Vb') X (a—Vb')nbsp;is gelijk — h’, en de deeler van de herleide deeiing zal altijd meetbaar zijn.
§. 446. Insgelijks zal, wanneer de deeler van den vorm Vb
-ocr page 323-i
TWEEDE C U E S U S. nbsp;nbsp;nbsp;289.
deeler en deekal met a V'l’ nbsp;nbsp;nbsp;vetmeuis!,vuldibd
§. 447. Is do deeler van den vorm J/a Vi? dan zal men den
deeler en het deeltal, elk in het bijzonder, met J/lt;ï V nbsp;nbsp;nbsp;^
nbsp;nbsp;nbsp;„ y(_a b -^) nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vermenigvuldigen,
en het produft a è zijn; mits « oneven is*
§. 448. Is de deeler van den vorm nbsp;nbsp;nbsp;eian
ya”-'^ -k-Via'—quot;y nbsp;nbsp;nbsp; enz. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
Voor vermenigtmldiger aannemen, en het produd zal a~I/
yamp;
zijn. Zie §. 60, pag, ^o.
n
§. 449. Is de deeler van den vorm a nbsp;nbsp;nbsp;gt; dan zal men —
a nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n
aquot; - yb nbsp;nbsp;nbsp;j/^2 — enz, yU'~^ als vermenigvuldiger, aan--
nemen, en dan zal 4. ^ het produdt zijn; mits n oneven is.
n
§. 450. En, voor a — Vb, den venuenigvuldiger aquot; ‘ -j- nbsp;nbsp;nbsp;^
» nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n
Vb nbsp;nbsp;nbsp;V enz, Vbquot;~^, en a” — b het produft. Al
hetwelk door eenvoudige inultiplicatie, bevestigd wordt. Zie §. 60.
S* 451. Is de deeler van den vorm l/^gt; of van den vorm
zijnde, voor
^ ; dan zal men, — =: — en —¦ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m mn n
I 7mn nbsp;nbsp;nbsp;ir.«
— ™nnen fchrijven V-¥ nbsp;nbsp;nbsp;b”', welke deeler, door deze
herleiding, klaarbüjhejjjij tot den vorm l/r-f-l/s gebragt, en als boven zal kunnen u , nbsp;nbsp;nbsp;k r o 0 ^
^ nbsp;nbsp;nbsp;ly 'behandeld worden.
V a ~ S/b ^Vc^ ^'* nbsp;nbsp;nbsp;do deeler is; dan zal men
, I , nbsp;nbsp;nbsp;'’o™enigvuldiger aannemen, cn het produft
l nbsp;nbsp;nbsp;daarna zal mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
niewldl^r!'^'^^ aannemen, het laatde produft daarmede verme-' S \~V ’ nbsp;nbsp;nbsp;meetbare uitdrukking verkrijgen zal.
vl-Vb V nbsp;nbsp;nbsp; Vd zal men eerst
“¦^'''ormenigvuldiger aannemen: het produft ^^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ dd) 'zVac — 2 yi) d zijn; dit zal men met
^ nbsp;nbsp;nbsp;^) 2l/^(r-f2i/ b ej vermenigvuldigen; het pro-
ii. Census. nbsp;nbsp;nbsp;T
-ocr page 324-ajjo
WISKUNDIGE lessen.
du(5t ZP.I C® — bc—d'Y'i^bd-^— b nbsp;nbsp;nbsp;c—d^\/
zijii, waarna men nogmaals met (a—b-\-c—dY (ji — b-\-c — d')'/ac zal vermenigvuldigen, hetwelk ten laatfte eeiienbsp;meetbare uitdrukking zal geven. Indien ’er meer wortel-teekens voorkomen, zal deze herleiding niet zoo gemakkelijk, ja meestal ondoenlijk zijn.
§. 454. Alle deze herleidingen ftrekken om eenen meetbaren dee-Ier te verkrijgen, door welken de quotiënten altijd eene gefchiktere en meer handelbare gedaante verkrijgen.
Io ^ nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6x(2 K2)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
2 nbsp;nbsp;nbsp;quot;
:(5 3K3
¦(s-fKO X (2—
56 HV5 _ (56-f 24^/5) X (ö—_96 32Ï/5 6 2K5 ~
6 2V5 588 i32L'2
12 21/2
C6 2I/5) X (6-—sKS)'
:48 3K2;
16
5'^
m—18-I-15Ï/2—i2^3-|-p^ó. Zie §. 4j2.
3 nbsp;nbsp;nbsp;3333
£0 5KS _ Cio 5F3)x (]/^~y6 Ko) _
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;***nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;”1^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;““ “nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 ~
Igt;2 1/3 nbsp;nbsp;nbsp;(K2 K3) X (K4_J/6 I/p)
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
«3 ^—ab-c_(a^ h—ab^ c') X (lt;*-—-^aybc)_
8“
(a--\-aybc) X («2—aybc')'
~,ab — bybc
a ~{~y bc
Men,zal alle deze voorbeelden, indien men alles, tvat van §. 444 tot §. 452. is opgegeven, behoorlijk raadpleegt, gemakkelijk kuin’^*’nbsp;uitwerken. Wij hebben geoordeeld, dat het overtollig zou zijr*'nbsp;eene nadere verklaring dezer beweikingeu te geven.
VIER'
VIER- E-N- VIJFTIGSTE LES.
Over de mheftaanbare uitdrukkingen.
§. 450. De oiibeflaanbare uitdrukkingen^ nbsp;nbsp;nbsp;bU-
’öe op osOng der vierkants-vergelijkingen, zie S- » 0 ken is, met de wortel-uitdrukkingen eeneilei oor pr ’nbsp;zij drukken eene bewerking uit, die onbeftaanbaar is, ‘ 'nbsp;om dan ook deze uitdrukkingen gehouden worden, als ernbsp;kennings- teekens van de onmogelijkheid, of het onbeltaanbai e,nbsp;van de voor waarden der vraag, welker oploamp;üng die fooitnbsp;van uitdrukkingen voortbrengt.
§. 457. De wortel-uitdrukkingen behooren tot vier klasien.
1*^ Onevene magts-worteh uit pojitisve grootheden, tt b ’ ¦gt;
van den vorm v^-P- «•’ derzelver wortels zijn altijd pofitieE ^ 2quot; Onevene magts-wortels uit negatieve grootheden, tt l)
zijn van den vorm V—a. Derzelver wortels zijn negatief. 30 Enne magü-worteh uit pofitieve grootheden, tt
van den vorm nbsp;nbsp;nbsp;derzelver wortels zijn poütief of ne-
4° Evene magts-worteh uit negatieve getallen. Zij zijn van
den vorm V~ a. Deze laatfte bevatten eene bijzondere klas-ftt van onbeftaanbare uitdrukkingen.
S- 458. nbsp;nbsp;nbsp;4 pofuief enT- « ««f “f
uit de leer der teekens. Zie §. 48^, L C. Er volgt uit. dat men (lellen kan;
«):
sw-pi
t 459- Dat het teeken i/L nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
als met het teeken _ / nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;200 wel met het teeken-j.
de beginfelen bekend nbsp;nbsp;nbsp;''^quot;gedaan worden, is uit dezelf-
te verzuimen ;« r ’ nbsp;nbsp;nbsp;noodzakelijkheid, om zulks niet
’ reeds door genoegzame voorbetiden bevestigd.
§. 460. De uitdrukking V—. a drukt eene grootheid nit,
^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;die
-ocr page 326-292 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
die niet beflaan kaïi; want bet getal, dat de waarde vafï dien wortel uitdrukt, moet of pofitief, of negatief, of nulnbsp;zijn; in de twee eerlle gevallen, zal de magt pofitief, en nietnbsp;negatief, en in het laatfie geval gelijk nul zijn.
§. 4.61. Soortgelijke uitdrukkingen zijn de uitkomst eener redekaveling over de grootheden, en fommige van derzelvernbsp;bijzondere betrekkingen: zij toonen het onbeftaanbare eenernbsp;gefielde betrekking, waarvan zij de ongerijmdheid te kennennbsp;geven. Offehoon nil deze uitdrukkingen gee'ne groothedennbsp;voorftellen, kunnen zij echter als zoodanige befchouwd, en,nbsp;even als alle andere uitdrukkingen, in rekening gebragt ennbsp;behandeld worden: ja, het zal ook zelfs blijken: dat men,nbsp;met behulp dezer uitdrukkingen, waarheden ontdekken kan,nbsp;tot welker kennis men, zonder de hulp dezer teekens, bezwaarlijk, geraken zou; waarom dan ook derzelver befchou-wing een van de aanmerkelijkfie leerftukken der Wiskunstnbsp;uitmaakt. Zie §. 108. en noot 24.
§. 462. M.ii kan in plaats van — a febrijven —ix '*5 zie §. 4S8, I. C. ff Bijgevolg is, volgens §. 417-ï/— a = V/ a X 1/— I
in
Nu is V-k-a altijd eene begaanbare uitdrukking; de (2»)* wortel uit een pofitief getal is altijd een pofitief of negatiefnbsp;getal, hetwelk men door eene eukelde letter/» kan uitdrukken : waaruit volgt: ff dat de onbeftaanbare uitdrukkingen,nbsp;welke van de evene magts-worteltrekkingen uit negatieve ge-
in
tallen afftammen, alle tot den vorm pV—i bebooren. f f D« ni‘ magt dezer uitdrukking /»« {/— i zijnde, behoort totnbsp;den vorm q V—i.
§. 463. Uit de oplosfing der tweede magts-vergelijkingen ontdaan de uitdrukkingen van den vorm p U— q- ff US'nbsp;ze kunnen altijd tot den vorm p-\-rV—i gebragt worden-Want V— q^^C q X — i) zijnde , zal V— q =nbsp;XV'— ,i zijn; nu kan y'q, die altijd beftaanbaar is, het zijnbsp;de grootheid, daardoor voOrgelleld, eenè meetbare of onmeetbare waarde hebbe, door eene enkcide letter r worden aan-
ge-
-ocr page 327-293
, nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__. En de uit-
gewezen, en, m ait geval, is V'—S' — nbsp;nbsp;nbsp;^
drukking /» V— q, verandert dan m p ^ V V
deze foort van uitdrukking /gt; ?* V— i» onderRher t nie
het beltaanhare deel p van het onbeftaanbare rV I5 o
V—q. * De uitdrukking rV— 1 wordt gelezen. ?
menigvuldigd met V— i’j V— ^ beteekent zoovee a
I X V— I. nbsp;nbsp;nbsp;, f ,1,
§. 464. td j)e onbeflasnbare uitdrukkingen zijn door c.e or y —q') met de wortel-uitdrakkingen verbonden, en kunnen .ernbsp;halve gerekend worden tot dezelfde hoofdfoorc te behooreiT, wantnbsp;deze algemeene uitdrukking geeft eene beftaanbare wortel-uitdrukking,nbsp;indieu 0'^'^rooter dan q, en eene onbegaanbare , indien p- kleinernbsp;dan q is; indien pquot;- — q is, dan heeft de overgang van het eerftenbsp;tot het tweede geval plaats. Uit dit alles \o!gt dan. tt dat de onbenbsp;ftaanbare uitdrukkingen even als de wortel-uitdtukkingen, en, vol-,ensnbsp;dezelfde regels, moeten behandeld worden.
§. 465. Additie en Subtractie. Indien onbeftaanbare uitdrukkingen bij elkander opgeteld, of van elkander afgetrokken moeten worden, moeten derzelver onbeftaanbare deelen, alle, volgens §. 463. tot den vorm ay—i gebragt worden: daarna telt men, naar het beloop der teekens, de grootheden 0, welke als coëfficiënten van |/ 1nbsp;voorkomen, bij elkander, en men vermenigvuldigt derzelver fom metnbsp;U— I: dit produét is dan de fom der onbeftaanbare deelen. de benbsp;ftaanbare worden, naar de bekende regels, volgens hunne teekens,nbsp;Verëénigd. Aldus is
1“ I *K—I ^K—i = C'5' ^ 0-K—I
.Q 3|/_8 5j/—2 J/—i8=6J/—2 5^/—a-ksK—^ ¦= 14JX~2
4quot;
Het blijkt, uit dit laatfte voorbeeld: tt dat de fom of het vcrfchll van twee of meer onbeftaanbare uitdrukkingen beftaanbasr kan wor-
A
3° nbsp;nbsp;nbsp;i) C—O:
7 K—i3-i-8 —3^/—2=15.
w.mneer namelijk derzelver onbeftaanbare deelen elkander, in
den,
de optelling of aftrekking, vernietigen.
§• 466. MULTIPLICATIE en Divisie. Deze bewerkingen fteunen o. dezelfde gronden. De bijzonderheden, tvelke hierbij innbsp;acit moeten genomen worden, zijn jn de volgende formiften begrepen.
I»
-ocr page 328-£94
lO nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;//(—I)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X J/(—l)“—I
2'' nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y(~a)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xyc—b^=:~y(ab)
3‘' .... i/( '»)xK-^)= K-«0 4’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F(—X K ^) = K—«onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
Wat aangaat de eerde dezer formulen; deze fchijnt, in den eerden opdag, drijdig te zijn met het bewezen beginfel, dat elke vierkantswortel met het dubbelde tecken moet aangedaan zijn; want daarnbsp;P(~ i) X LC— o = LC— I X ~ i) —1/( i), én ^( i)
— nbsp;nbsp;nbsp;4- I is, zou het fchijnen, als of men i voor het produft ne
men moest. Dan, wanneer men de zaak aandachtig overweegt, dan zal men zien: dat alleen het teeken — kan genomen worden, ennbsp;dat het teeken -j- valsch is; want, dellen wij è zr jy— i; dan zalnbsp;y =: LC— i) X Ix(—i) zijn; nemen wij nu, dat Lf— i) xnbsp;l'C— i) = -j- I konde zijn; dan zou ook ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i zijn, en
Zi 3= L( i) I; waaruit zou volgen: dat jy— i gelijk i; dat is, eene onbedaanbare grootheid gelijk aan een bedannbarenbsp;zou kunnen zijn; men kan niet anders dan het teeken — nemen,nbsp;zoo als ook bovendien, uit de bepaling vaiiL», (in welke die vannbsp;L—I begrepen is,) zie §. 440, I. C. van zelven volgt.
Met betrekking tot de tweede formule, is — a') ¦= x. K—l) en 'ƒ/(—h) =3 Vb X —l); gevolgelijk is J/(—«)nbsp;X P'Q—*9 = ya X X [jyQ— i) X x-'C— O] —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b') x
(— 1) — — V (ah'). En de derde heeft geene zwarjg'heid; want, omdat (•— d) X ( '^) —--ah en ( d) X (— Zgt;) = r; i, cn
— nbsp;nbsp;nbsp;ab — — h a zal men, uit beide den vierkants-wortel trekkende,nbsp;verkrijgen:
PC-^a) X p'( bj = 'y( a) X y(^—b) — V(^—ah)
§. 4Ö7. Volgens deze bcginfclen, zal nu ook, met betrekking tot de deeiing.
¦y
-\-a
yi-b)-
y(_-a)
V/ant, wat de eerde dezer forraufen belangt: heeft men
-ocr page 329-¦295
yi^ l?) nbsp;nbsp;nbsp;^ ybnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ b
Voor de tweede is
y^.=,^i £}__^_J_ ^yr ^\ .»» n.
^ lt;~b) K~0xK( /0 FC-0 V b J’
¦ = —ï) __jy_j . gevolgelijk zal ook
KC-OxUC-0
F^^ = -KC-o-lt; f)
Eindelijk voor de vierde is
y~i
--Ty r . ^ nbsp;nbsp;nbsp;moeten zi)n.
¦V nbsp;nbsp;nbsp;D J
vierde is
KC—^)_U'C—1) X yQ g-)
jyQ_p/Q_i^X^( Z')’ nbsp;nbsp;nbsp;teller en noemer beide
door y(—-i) deelbaar zijn, ofy(~i^ tot geiVeenfchappeiijkcn factor hebben, blijkt hieruit de waarheid der geftelde formule.
§. 463. Magts-verhefung. Wanneer men de uitdrukking y—a tot eenige magt n zal verheffen, dan heeft men y(— d)—....nbsp;yQ-\-^ X i^z^p'a X (y—i), en gevolgelijk [yQ—ay]» —nbsp;{yd)!» X (JX—i)»; waaiTiit blijkt: dat men yQ—O tot de ver-fchillende magten zal moeten verheffen.
Stellen wij x—y(^—i); dan is x^~y(^——0——
~ X x~ —j X y— i)——— i); x^~x'^ X x^—— I X ¦— 1 zm I; of x^^^x^ X x ~ — jV^(— i) X |/(— !):=•—
( nbsp;nbsp;nbsp;i)= I. Dit betoogd zijnde, zal men, vermits alle getallen,
2ie §. 168, I. C., door de formulen
O* een geheel getal zijnde,^ kunnen worden voorgefteld,’de'Volgende vergelijkingen hebben:
(KC—=:a:4« i —x^^” .X =: I X x=: -fKC”O
(K-0/“ ==cx'l« a_^4,_^^_4.l X _i=--i
(K—j ^_j/_i——j/(—i) Deze uitkomften zijn onafhankelijk van de waarde van n; hieruit volgtnbsp;dan. dat, van vier tot vier, de opklimmende magten van J/(nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1} in
dezelfde periodieke orde zullen terugkeeren, zoodat, in het algemeen,
(^C— i))«cn(l/(— nbsp;nbsp;nbsp;i))b-4-8 = C^(—i))'gt; 4?
zal zijn. Het blijkt hieruit: dat men, ten einde eene zékere gehee-le pofitieve magt van —1) te bepalen, den exponent van die
296
WISKUNDIGE LESSEN.
magt door vier zal moeten deelen, wnimecr met de resten o, i, a cn 3, als de begeerde msgtcn van jy'(— i), zullen overëénftemmen:
§. 469. Om dan jyQ—2) tot de vijftiende magt te verheffen, zal men 15 door 4 deelen: de rest is 3; cn met deze rest ftemt —L(—i)nbsp;overeen; nu is Q/—2)^*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x (jy—i)'s ——
xK—O- ¦ nbsp;nbsp;nbsp;.
§. 470. Voor de negatieve magten van L'(— i), zal het volgeiv
do plaats'hebben:
J__ IX?lt;—O _ I X L'C—i)
'K—0~K—OxLC—0~ nbsp;nbsp;nbsp;—I
=-K-0
(I/C-0}-- = ,-^--
3“ CK-0)-3=::
¦u
I _ I _ ,
Waaruit blijkt: dat, wanneer men den negatieven exponent door vier deelt, de resten o, t, 2, 3, met 1, —L'C——I eii . . .nbsp; L(—Otgt; negatieve magten van V—i, zullen overèenftemmen.
§.471. Deze gelegde gronden bevatten alle de omftandigheden, welke men in acht moet nemen, wanneer men de onbeftaanbare uit-;drukkingen met elkander vermenigvuldigt of deelt: en daar nu, voornbsp;het overige, alles, als bij de gewone wortel-uitdrukkingen, behandeldnbsp;wordt, zal het niet iioodig zijn, deze gelegde gronden door voorbeelden optehelderen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
V IJ F- . E N- V IJ F T I G S T E LES.
On»’ het trekken der tweede en hoogere-magts-wortelen uit tweeledige uitdrukkingen van den vorm a b]/c.
472. Wij hebben §. 439. reeds bewezen: dat, wanneer a, ^ en c meetbare getallen, politieve of negatieve, gchecle of gebrokonenbsp;Zijn, de uitdrnkking (« ^ )/e)» als dan noodzakelijk van den vormnbsp;p-\-qy'c zal zijn; en, wanneer men de tweede en volgeode mag-
teu
S97
teil van de onbeftaanbare uitdrukking a-\-^ (—0gt; vuldiging opmaakt, dan zal men vinden: dat {a b V 0quot;
Vorm p -\-q V—is. ft Het omgekeerde zal nogtans niet altijd kunnen pkiats hebben; want de magts-wortel uit p-\-lt;}plt;: zal in gceu ander geval den vorm ab pc habhea, dan, wanneer eene uitdruknbsp;king van den vorm a bpc, tot de verheven zijnde,nbsp;veue uitdrukking p qjyc kan vóórtbrengen. Wij zullen t ..iwnbsp;derzoeken, aan welke omllandigheden kan herkend worden, or . • •
n nbsp;nbsp;nbsp;,
VQci-p b ly'c') tot den worm p g j/c herleidbaar is, cn welke, ur l»et geval der herleidbaarheid, de waarden van p en q zijn.
§. 473- Wij nemen aan; dat n -f- bp-c tot den eenvoudigften vorm gebragt zij, zoo dat ’er in c geene vierkante getallen als fndioren voorkomen. Voorts merken wij aan: dat, wanneer c een gebroken getalnbsp;is, p'c, volgens §. 424. aitijd tot den vorm rps kan gebragt worden,nbsp;inet beding, dat s een geheel.getal zij. Wij hebben dan, in het rl-gemeenfte geval, a -pbp-c-^ zijnde c een geheel getal, en de gctaliennbsp;a en b gelieele of gebrokens.
§. 474. Laten nu « en è gebrokene getallen zijn; dan zal men altijd de gegevens uitdrukking _ met zulk een geheel getrd kunnen ver-rnenigvulcigen, dat, (noemende /a'clit geheel getal) h{a\hVc)—i-V(lVonbsp;zij: men zal dan hebben:
waaruit volgt:
y(a bpcy.
\/h
Het blijkt hieruit: dat, ingevalle a en b gebrokene getallen zijn, de gegevene uitdrukking met h, of het kleinfte gemeene veelvoud van denbsp;noemers der breuken, moet vermenigvuldigd worden, en dat daavdocfnbsp;de wortel-trekking gebragt wordt, tot die uit eene uitdrukking nbsp;q pc, in welke p en q en c geheele getallen zijn.
¦ q'yquot; gefteld zijnde,
§. 475. Hebben, in deze laatfte, p en q eeiien gemceiieu dcclci;, welke eene volkomen fi^ie magt iJ-, dan zal, dien gemeeneii declernbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V» en 9;
het onderzoek gebragt zijn tot het onderzoek
van
29 S
van den mogts-wortel uit a -^bl/c, en zich bepalen tot het geval, waarin i“ «r, nbsp;nbsp;nbsp;^ en e geheelenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;getallen zijn; 2° dat cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;door geen
volkomen vierkant nbsp;nbsp;nbsp;deelbaar is; ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3®,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dat a en /; geenenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;volkomene
magt tot gsineenen deeler hebben.
ft
§. 476. Stellen wij nu: nbsp;nbsp;nbsp; b J/c) —p g^c; dan zal, indieii
men kortheidshalve nbsp;nbsp;nbsp;de coëfficiënten vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de n^e magt vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eene tweeledige uitdrukking,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zie §• 74^5 Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C.,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftelt als volgt: n — A; . . ,
lt; (11—i) {n—2)
11 (n—i)
=zB-,
C; enz.
1.2 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3
a b J/c ~ pn -rj- Ap’t—I q J/c -j- B /)»—'2 q~ c Cp’gt;
' q^ cj/c
D p'gt;—4 4 c* £p®—5 q^ c^ J/c -f- /'/)»—6 q^ c^ enz.
Deze vergelijking kan, in de ondcrflelling dat p en q meetbare getallen zijn, niet beftaan, ten zij de meetbare en onmeetbare deelen der leden aan elkander gelijk gefield worden: men zal gevólgelijk hebben:nbsp;az=.p»-\-Bpn-^'q-c-{-Dp»—'i-q*c^ Fp’‘—^q’^c^-^-enz. . . (1)nbsp;bVc—Apn—^qJ/c-\-Cp»—lq'^ cJ/c-\-Ep»—5 q^ c^ J/C-jr enz. (2)nbsp;Msar nu is
—b^ c~ nbsp;nbsp;nbsp;Bp»—quot;^ cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Dp”—4 q'^ c^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.')^ —
(A/)«—I qj/c -{¦ Cp«~z q'i c J/c -\- E /»«—5 qS c- J/c -|- enz.')^ en, omdat het verfchil van twee vierkanten gelijk is aan de fom hunner Wortels, met derzelver verfchil vermenigvuldigd, is ook
-Y /ptt,—I qj/c-^Bpn—'^q-c-\-Cp’‘—iq^c]/c-\-efiz.'}
X [p» — Ap’‘~iqJ/c Bp»—2q^c—Cp»—Zq^cp’f enz.]
De tweede faclor van het laatfte lid dezer vergelijking, is van den ¦ eerllen, alleen in de teekens der evene termen, onderfeheiden, en kannbsp;uit deiizelven algeleid worden, wanneer men in dezen q negatiefnbsp;neemt: omdat dan
pn nbsp;nbsp;nbsp;A pn—I q J/'c -|- B p'‘—2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c enz. (j/gt; qj'cy^ is,
zal ook, door q negatief te nemen,
pn — nbsp;nbsp;nbsp;pn—I q J/c -j- B pn—2 qo. c — enz. 22: (p — q LO”nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
De zoo,even gevondene vergelijking verandert dan in: nbsp;nbsp;nbsp;/
a^~b^c = (^p^ — q'^cy
(lellende dan, kortheidshalve, a- — h- c — Pn, zal men, na den magts-wortel uit deze laatfte getrokken te hebben, verkrijgen:
p'^—q^ c cczy (js'^—b^c'^c^P ...» Aangezien nu /gt;, q en c geheele getallen moeten zijn,, zoo blijkt hieruit: dat, zal deze voorwaarde kunnen vervuld worden, Pnbsp;baar getal, en bijgevolgnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c eene volkomen nde nwgt
ten
-ocr page 333-299
TWEEDE CURSUS,
ten zijn; waaruit volgt; dat, wanneer de getallen a, 'b, gegeven zijn, dat deze voorwaarde niet vervuld wordt, de gegevei*enbsp;uitdrukking geenen magts-wortel van den vormp ^|^^nbsp;zal kunnen hebben.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
Uit de vergelijking — q'^ czzP volgt: q'^ o
zal men de tweede en volgende magten van ^ vinden^ nbsp;nbsp;nbsp;_
de evene magten van p zullen afhangen; alzoo zal q « —P _
,, p.‘= p. _ 3 f,4 3 pgt;/.* - f»¦
wanneer men nu deze waarden van q^ c, q'^ nbsp;nbsp;nbsp;¦gt;
vergelijking (jij) namelijk in
aquot;pn nbsp;nbsp;nbsp;c} Dplt;'—4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- Fpn—ö (jf-cy*. 4quot;
overbrengt, en de termen van dezelfde magte^ van p in éénen ver-ëénigt, dan zal men vinden:
jt pn — nbsp;nbsp;nbsp; C'prgt;~\—D'p^-(’ fi'/'”-® — enz.—a — o
Wij zullen, in het volgende Boek, zien; dat
I-j-i, 4-D F = de vergelijking zal dan in
2»;—1 ƒgt;*— B'pquot;—a O'^’»—4—D'p^—6-\-Jl'pn—8—enz. a — o (4) veranderen. Dit is eene vergelijking , welke alleen de onbekeiult p
bevat, en waarin
A’= 1 5 nbsp;nbsp;nbsp;5 F /5 otz. = 2«-i
J3'=:(S 2D 35 4^^ 5 51 ^
C' =: (D 3 F 6// 10 F 15 5 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
D'm(F 4/f iQ/f 2odf 35O enz.') X nbsp;nbsp;nbsp;is.
enz.
Omdat nu p, volgens de voorwaarde, eene meetbare waarde moot ler-ben, zal deze vergelijking, op eene ligte wijze, naar de Leerwijze van Büdan, kunnen worden opgelost.
Wanneer men eene waadde voor p gevonden heeft, dan moet met dezelve eene zekere waarde van q overëénftemmen; en deze wordt, opnbsp;bet ligtfte, door de vergelijking (3) gevonden: men heeft namelijk
nbsp;nbsp;nbsp;.... (5)
Met eenige waarde van p fchijnen dan twee onderfcheidene waardijen van q overëéntefteramen: dan, daar de waarde van q ook nog door denbsp;vergelijking (2) kan gevonden worden, namelijk doornbsp;o =r—^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 (i?) Cp«—3 c 3 4. Fp« ^5 (?) ^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(lt;5)
zal de waarde van q door vergelijking (5) gevonden, ook te gelijk aan de vergelijking (6) inoeten voldoen, weike vergelijking bijgevolg
zai
-ocr page 334-300
zal doen kunnen, welke, dózer twee teekc-ns of vergelijking (5) zullen moeten genomen worden.
§• 477- Deze formulen zijn algemeen; zij zijn zoo wel op onbeftaaii' bare als beftaanbare tweeledige wortel-uitdrukkingen toepasfelijk. Mennbsp;zal Hechts a =r 2, 3, 4, 55 enz. behoeven te (lellen, om de bijzondere vergelijkingen voor de tweede, derde, vierde, vijfde, enz. magts^nbsp;wortel-trekkingen te verkrijgen.
§. 478. Stellen wij « = 2; dan is nbsp;nbsp;nbsp;B — \\ C—O en
D — oi enz.; en nbsp;nbsp;nbsp;B'~f; Uzzo; D'—o'-, enz. en nu is:
2quot;.....2p---(P-f «)r=o
voor q in
; Foorw, verg. o =r — b 2p (jf)
\ ^
Volgens §, 422. is J/J200 — eo J/s. De gegevene uitdrukking wordt clan o7-j:'-ol^3, welke, met a-\^lgt;l/c vergeleken zijnde, geeft ffl~37,nbsp;li ZZ 20 en c ZZ 3. Nu is P “nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ej ZZ 1/(.37^ — X 3)
13- De tweede vergelijking wordt dan 2712 —50”o; hieruit volgt 7gt;“-j-*5
en y —^i| - j/4 nbsp;nbsp;nbsp;cc
c nbsp;nbsp;nbsp;ó
De voorwaardens-vergelijking o ~ — * 271 ? geeft nbsp;nbsp;nbsp;; neemt men
=; 5; dan is ï = aj = nbsp;nbsp;nbsp;i* =- 5; dan is . •
» ——^ = — 2. Men heeft gcvolgelijk twee wortels, namelijk 1/(37 —10
I/1200) n: 5 2 I/3 of :r: — 5 — 2 J/3-
Hier is er = 5; b ¦=. — 10. en c = — i; derhalve P — 13, en mch heeft, in plaats van a/--2 — (P «) — o, de vergelijking 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— i8=:o,»
hieruit ^ ” 3. Voorts vind: men g~ 2 de vergelijking o”— /¦
2 P (y) leert: dat q ZZ — 2 met 3 eny“ 2 met p zz—, qvcrëénftemt. Men heeft derhalve LCS — r- K—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 3 — 3 ld'~ *
of ir: — 3 2 J/— I.
m cn
Hier is fl ZZ — 93; b ZZ — 30', c zz 6', gcvolgelijk wordt P ZZ z: P -h a ZZ 57 —93ZZ —36; p^zz—iS en /zr 3//—2i
= 2iF-
om, nu te weten, w
eil^teeken hier moet genomen wor-
TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;3oi
'''órden, raadplege men de vei'kennings-vergelijWng o—
geeft •. q_~~zz. —~ nbsp;nbsp;nbsp;(indien men ^ r: 3 1/ “nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;of . • •
S— —— ai — -• Neenit men p~ 3 nbsp;nbsp;nbsp;aan
zal ? = _ ei'j/- . zijn Men vindt dan: dat de wortel p i pc := 3 y- 2 ai y~ a K (^ö) =± 3 V'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;®
§. 479. Op dezelfde wijze zal men vinden:
ï“ • • PC84 —I/69I2) = 6—41^3, nbsp;nbsp;nbsp;
aquot; . . l/C72 Fsino)= 2Fio 4l/2, of—21/10 nbsp;nbsp;nbsp;4^3
3« . „ y[a^ axyQa^~x^^-] — x J/(.a^—^''')-§. 480. Stellen wij » = 3; dan is A — ^h B — nbsp;nbsp;nbsp;Cquot;!! D —oj
E~q-, Fzz.0-, enz. yf'zri 3 = a^ =4 en s/*; C'z=.oi en nu heef: men:
i»......P— \/(a^—
2®......4^3—zPp — tl—o 3®
voar'Maardcni of verkonnings-vefS^FjMng
t. Voorbeeld, h het melijk dm cuhus-mrtel uit 2i5 V^393ö6
tot den vorm p-{- te biengen? nbsp;nbsp;nbsp;- 4. 81 V6 gebragt:
De gegevene viitdrnkkuig wordt tot den vorm -la
ïT\cn heeft derhalve: a ZI2.i5gt; ^ nbsp;nbsp;nbsp;—
]/6859=: 19- De vergeVijlting m Cigt;9 nbsp;nbsp;nbsp;wortels: ?= — =¦!
1quot;“'vquot;’' nbsp;nbsp;nbsp;= 5, ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wortels moet afzon-
y— 2, en p — _ ai — iW^’’
dcrlijk in vergel^king (33 cefubftitucerd worden.
^ nbsp;nbsp;nbsp;p-lil-ï/—=1^' = ’-
«) Voor j ^ 5 vindt men ? c: Vquot; ^ nbsp;nbsp;nbsp;” ó
moet genomen worden , zoo te weten, welke dezer twee waarden van ? mo®'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_o,
ftelle men dezelve in de voorwaardens-vergelUWnS J nbsp;nbsp;nbsp;nat
en dan blijkt het, dat ? —4. i en niet —i ® blijltt dan, dat 5 J/6 éön der wortels is-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__ ^3 „
lgt;-) Neemt men f - ai i| a; dan is ^.a-P = -i7l-7t V-®- en =: - a| -’ïnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a en ? = -
men, volgens de formulen van |. 477, 9 = S tot moer gemaks,
I. 4quot; ijfV'—-• nbsp;nbsp;nbsp;de voorwaardens-vcrgolijkingï ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_'’7“0 1
onder 1ie volgende gedaante kan gcftcld worden ?
ïiu j voor ^ —4 “* 2i “iquot;' nbsp;nbsp;nbsp;' a5 de uaarmede
4
-ocr page 336-302
WISKUNDIGE LESSEN.
van in de uitdrukking j J/r, dan vindt men voor den twecdeü wortel:
. nbsp;nbsp;nbsp;— •il — i J/6 lil/—2 2}l/—5
c') Stelt men eindelijk ƒ — — al — li l/— 2; dan zal men voor den derden wortel vinden:
— cl — ï Ld — it ly— 2 _ iy_ 3
Indien men eiken dezer wortels zoo wel als den eerden s 1^6 tot de derde magt verheft; dan zal men telkens 215nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;81 f/ö tot produdt ver
krijgen. Halcken verkrijgt, in zijn Zinnen-Ctii’feS, Jiag. 42, dezelfde getallen : maar hij heeft zich in de teekens vergist.
P ~ nbsp;nbsp;nbsp;l/(So^ 72a X 3) 2:: aS, en de vergelijking in /
wordt ƒ3 — 21 ƒ — 20 22 o, welk ‘drie beflaanbtire en meetbare wortels heeft, namelijk 7i22 5,7':22 — i en^~ — 4. Met behulp van de
p2 — P
vergelijking jz ::: J/---vindt men, dat
wrr p2Z 5; ƒ22 — i? ? — — 4 Bversénjlemmtn ^22 i; ^122 3; q '— 2nbsp;fielt men nu deze waarden van q in de verkennings - vergelijking fS —nbsp;ƒ2 . y 24 22 o, dan blijkt het, dat
met ƒ22 5; t — — 1; P — — 4 overëénjiemmen ^™ i; q — — 35 ^22 2nbsp;De wortels der gegevene uitdrukking zijn alzoo 5 V— 3; . . -— I — 3 J/— s; — 4 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—3. Ten blijke, dat deze wortels de ware
zijn, zal men elk van dezelve tot de derde magc verhefien , wanneer
men verkrijgen za! 80 72 nbsp;nbsp;nbsp;— 3-
§. 481. I. Aanmerking. Men kun het trekken van den cubus-wortel uit een getal ^ aanmerken als de óplosfing van de vergelijking 22:«=nbsp;vï x^ — O, wanneer namelijk de letter a den wortel beteekent:nbsp;nu is klaarklijkelijk x — a of x — lt;2220; maar —a^—(lx^-{-0 X X (x — a')=zo zijnde, kan ook «.v tj- 222-0 gefield worden, en, wanneer men deze vierkants-vergelijking oplost, dannbsp;zal men vinden: x=za X (—l i-U—3) 6“ x—a X C—2 —U—3)‘nbsp;ff Elk getal J heeft dan drie cubiek-wortelen, welke door
A'L (- i a y- 3) X nbsp;nbsp;nbsp;C- 2 - ^ K-3) X yj
worden uitgedrukt; offehoon nu de twee laatllen onbellaanbaar zijn. is nogtans derzelver derde raagt gelijk J. Deze formulen nu kunnennbsp;dienen, om, wanneer men den wortel, welke met yj overëénftemt,nbsp;gevonden quot;heeft, de beide anderen te vinden. Wij vonden, tgt;*j voorbeeld, in het i. voorbeeld; dat y(2i5 81 V’6'), welke met den
meet-
X
-ocr page 337-303
meetbaren wortel der vergelijking — 57^i — 215 —o overëén-ftemt, is 5 Uö; wanneer men nu dezen wortel, welke in de bo-3
venllaande formulen door ']/A is uitgedrukt, eerst met — J Ij/— 3 en daarna met —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 \/—3 vermenigvuldigt, dan zal men/Ie twee
onbegaanbare wortels, welke in den loop der oplosfing gevonden zijn, ook langs dezen weg verkrijgen.
§. 482. 2. Aanmerking. In de vergelijking Azz o, ontbreekt den tweeden term, of liever derzelver coefficient is gelijk nul: hieruit volgt: tt dat de fom der gevbndene wortels gelijk nul moet zijn,nbsp;zie §. 210. Ook is indedaad
VA (- I 2 V-3) VA Q-^-i y-3-) VAzzo.
Zulks kan dan tot eene proef verftrekken, dat de gevonde wortels naar behooren berekend zijn. — ft Omdat A gelijk is aan het productnbsp;der wortels, zie §. 210, zal men de gevondene wortels met elkandernbsp;Vermenigvuldigen , en het produCl zal gelijk aan het gegevene getal,nbsp;of aan de gegevene uitdrukking, moeten zijn.
§. 483. 3- Aanmerking. Het is opmerkelijk, dat, wanneer . . . 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
V(a ¦^bVi!)—P‘iVo is, ook te gelijk V{a — bVc)—p — ? Vc zal zijn. Want het zij pofitief of negatief zij, de letter Pnbsp;zal altijd dezelfde waarde hebben, en de vergelijking 4^3 ^ p~nbsp;^zzo zal niet veranderen: de waarde van p zal bijgevolg, in beide
*2-P
gevallen, dezelfde zijn, en, om die reden, zal ook qzz nbsp;nbsp;nbsp;—'
niet veranderen: het is alleen de vergelijking c nbsp;nbsp;nbsp;5—
b zzio, welker achterlle term b, in het tweede geval, een negatief tee-ken verkrijgen, en die gevolgelijk in nbsp;nbsp;nbsp;-f-(j^)-|-è=o veran
deren zal: maar, nu is het klaar: dat, wanneer, bij voorbeeld -|- q aan c Qqy ZP^ iq') - h = o voldaan heeft, - q aan c (?)3 -[- 3^2nbsp;• •^ = 0 voldoen zal, en vice verfd. Het dubbelde teelten in de
*2 _ P
A'ergelijking q zi nbsp;nbsp;nbsp;beide gevallen op, en het is
¦de verkeiinings-vergelijking, die beflist, tvelke dezer twee waarden, in elk bijzonder geval, moet genomen worden.
§. 484. Men zal Hechts, in de algemeene oplosfing van §. 47(5^ « = 4, 5, 6, 7, enz. behoeven te Hellen, om de bijzondere formulen voor het trekken der vierde, vijfde, zesde, zevende, enz. magts-Wortelen uit uitdrukkingen van den vormnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;te vinden; inaien
deze
-ocr page 338-WISKUNDIGE LESSEN^
deze vvortel-uittrekking mogelijk is, zal P altijd meetbaar zijn, eii de vergelijking in p zal altijd eenen meetbaren wortel hebben. Om nunbsp;uit dezen, door eene ligte bewerking, alle de overige te vinden, zoonbsp;merken wij aan, dat de vergélijking tv» — lt;?» = 0 altijd zoo vele wortels heeft, als ’er éénheden in n zijn. Bij de befchouwing van hetnbsp;Theorema van Cotes, zal zulks algemeen betoogd worden. Wij zullen ons daarom hiermede thans niet verder ophouden, en alleen totnbsp;oefening van den Lezer hier bijvoegen: dat, wanneer men «r-5 fielt,nbsp;zal gevonden wordennbsp;s
U(843 - 589 1/2) =3-1/2
en fielt men »= 7; dan zal men de formulen vinden, waaruit blijken zal, dat
V/(5ö8 -f 328 1/3) = 1 1/3 is*
§. 485. Somtijds fielt men zich voor den vierkants-wortel te trekken uit uitdrukkingen van den vorm a nbsp;nbsp;nbsp; Ue Vii enz.
en dan bedoelt men te onderzoeken, of deze uitdrukking, door de verheffing van eene geiijkfoortige tot de tweede magt, ontftaan zij?nbsp;Daar nu deze onderzoekingen meer een voorwerp van liefhebberijnbsp;zijn, dan een wezenlijk nut hebben, zullen wij ’er kortelijk alleen zooveel van zeggen, als noodig is, om den Lezer, die lust mogt gevoelen, dit onderwerp nader te doorgronden, op den Weg te helpen.
§. 486. Indien men eene drieledige uitdrukking -|- yh -[_ in het vierkant brengt, dan verkrijgt men:
« ^ C 2V ^ 2l/d:r 2 ]/ c en dit vierkant heeft dan de eigenfehap, ff dat twee van derzeiver wor-tel-iiitdrukkingen met elkander vermenigvuldigd, cn door de derde gedeeld zijnde, het quotient altijd meetbaar, en gelijk aan bet dubbeldnbsp;van eene der gegevene, onder het wortel-tecken, zal zijn: want 2 \/'abnbsp;X 2 V c : 2 \/Ij c — 1 a-, ab X o y/h f : 2 l/rt e = 2 ^ ennbsp;2 c X 2 Vb c: 2 bz=.ic-, de fom dezer quotiënten is dan gelijk aan het dubbeld van het meetbare deel der gegevene uitdrukking.
§.487. Wanneer derhalve gegeven is: 6 U8 — I/12 — L’euj dan zal men twee der wortel-uitdrukkiugen door de derde dcelen, eunbsp;hierin op de teekens behoorlijk acht geven; vindt men nu, in allenbsp;deze mogelijke deeliiigen, meetbare quotiënten, en is derzeiver fom gelijknbsp;aan het meetbare deel der gegevene uitdrukking, dan is de worteltrek-
king ftelkundiger wijze mogeüjk. Nu is
— E'24
— p'iz
van 2 4 6:
gevene uitdrukking: men kan dan a lgt;-\-c=:i 2 Sofa —i, b — z. en c == 3 ftellen. Nu is 2 ]/a b — ]/%, of l/a b = }/'z, ennbsp;dit ftemt met a — \ en b~z overeen. Insgelijks is iac~ — 2^/3nbsp;en 2, bc — —zJ/6‘, vermits nu de negatieve teekens daarin ov^-r-ëénfteminen, dat men negatief moet nemen, blijkt hieruit: datnbsp;^ P'2 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de vierkants-worte! uit de gegevene uitdrukking is.
§, 488. Wanneer men eenc uitdrukking van den vorm a ]yh 4-J/c nbsp;nbsp;nbsp;-hp^e -f- enz. in het vierkant brengt, zullen ’er, in het
wortel-uitdrukkingen in het vierkant kunnen voorkomen; doch, daar het produft van twee wortel-uitdrukkingen meetbaar kan worden, kannbsp;het aantal dezer wortel-uitdrukkingen aanmerkelijk verminderen, (zoonbsp;is, bij voorbeeld, het vierkant van—P'3-{• P'7-p P^^S ¦pp'dS ,nbsp;gelijk aan 60 S p'zi 8 p's^. Het is, door deze omftraidighedennbsp;in acht te nemen, en door de vormen der vierkanten, in voorkomende gevallen, te onderzoeken, dat men de regelen ter oplosfing vinden zal. Men zal bij de oudere Schrijvers, voornamelijk bij Reyneau,nbsp;/Inalyfe démontrée; Pretest, EIcmens de Mathématiques, en velenbsp;anderen, genoeg voorbeelden van deze foort van worte}trekkingen aan-treffen.
-ocr page 340-WISKUNDIGE LESSEN.
XIV. BOEK.
Over de magts-verheffingen der tweeledige uitdrukkingen en over de worteltrekkingen uit dezelve.
ZES- EN- VIJFTIGSTE LES.
Over het verheffen van eene tweeledige uitdrukking x y tot eene geheele, gehrokene^ pofitieve of negatieve magt.
Of over de uitvinding van het Binomium van Newton.
§. 489. * quot;W-anneer men eene tweeledige uitdrukking tot eenige magt (zie §. 738 en 739, I- C.) verheft,nbsp;dan noemt men de uitdrukking, welke men VOOr deze magtnbsp;verkrijgt, de ontwikkelde magt. Alzoo is 4. 3 y ^
,-fj:quot; de ontwikkelde derde magt van x y. * Derzelver termen x^, 3x^3», enz. noemt men de termen der ontwikkelde magt: * en de coëfficiënten, waarmede zij zijn aangedaan, noemt men hinomial-coefficienten.
490, Indien meii zijnen aandacht vestigt op de wijze, waarop de op elkander volgende magten van x-f-^’, doornbsp;eenvoudig vermenigvuldigen, verkregen wtarden, blijkt het:nbsp;dat de binomial-coëfficiënten van elke magt van den exponent dezer magt moeten afhangen; want, vooreerst, blijvennbsp;zij, in elke biizondere magt, voor de waarden, welke mennbsp;aan x en y geven kan, dezelfde, en ten anderen w'orden zij,nbsp;in de trapswijze ontwikkeling der op elkander volgende inag-ten, volgens dezelfde wet, uit de binomiai-coefficienten dernbsp;onmiddelijk voorgaande magt afgeleid: de coëfficiënten moeten dan fuiaéiien van den exponent der magt zijn, en als zoo-
da-
-ocr page 341-307
danig iii ftelkundige uitdrukkingen kunnen daargeftcld worden. Kan men nu dit doel bereiken, dan zal men elke tweeledige uitdrukking, zonder multiplicatie, door flechts ééne en-kelde fubftitutie, tot eene gegevene niagt kunnen verhelFen.
§. 4pi. Vroeger, dan bij Stifelius, in zijne Arithmetica Integra L. I. C. 5, (een boek dat in 1544. gedrukt is,) vindt men de binomial-coëfficiënten niet. Zij komen aldaar tot de zeventiende magtnbsp;voor: dan, Stifelius fchijnt niets van de wet, volgens weike zij vannbsp;elkander afhangen, geweten te hebben. Volgens Hutton, ontdektenbsp;Briggs de wijze, op welke de binomial-coëfficiënten van zekerenbsp;magt, onafhankelijk van die der voorgaande niagten, kunnen gevondennbsp;worden. Echter bleef hij bij de geheele pofitieve magten ftaan, ennbsp;de wijze, waarop die wet, in ftelkundige teekens, wordt uitgedtukt,nbsp;fchijnt hem onbekend geweest te zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Newton gaf niet flechts
die uitdrukkingen; maar toonde ook aan, dat deze wet niet alleen voor de geheele; maar ook tevens voor de gebrokene en negatieve magtennbsp;dezelfde is: het is dan ook om die reden, dat do ontwikkeling vannbsp;(,r y)”, dat is de vergelijking
(ar yygt; “ ar» -j--x'‘—' y -j- '
x»—2 y'^ -|- enz.
I nbsp;nbsp;nbsp;1.2
welkej voor alle waarden van », geldt, gemeenlijk het Bimmium van Newton genoemd wordt (77). Het is met liet betoog dezer gewig-cige waarheid, dat wij ons in deze Les zullen bezig houden.
§. 492. Wij zuilen vooraf de uitdrukking Qx-^-y)quot; onder eene ge-fchiktere, en, voor ons tegenwoordig onderzoek, eenvoudiger gedaante brengen. Men kan x-i-y eerst door x deelen, en, wanneer men
dan het komende quotient i -j- — met x vermenigvuldigt, dan zal de
Men kan dan
eerfte grootheid, x-j-31 weder te voorfehijn komen, fdirijven:
-i-y
(.76) JoA- Bernouilli fchrljft de uitvinding van die wet toe aan Pascal , en grondt waarfchijnüjk deze meening op den aritlmietifchcn driehoek,nbsp;waarvan Pascal voor den uitvinder gehouden wordt, offehoon die driehoek, reeds vroeger, aan Girard, en, volgens Kaistnek. en Hutton,nbsp;lang Voor den tijd van Stifelius bekend was.
(77) Igt;^7.e ontdekking, als eene der feliooiiftcn, en, in hare gevolgen , de helangrijkfte, is, op ’s mans graftombe, in de Abtdij van KunJScr, uitgchüuweu.
V 2
-ocr page 342-3o8
WISKUNDIGE LESSEN.
indien men de leden dezer vergelijking tot de magt verheft, dan zal
zijn. Stelt men nit verder ~ a; dan zal de laatfte vergelijking in
verandereh, en wanneer inen nu (i s)« ontwikkelen kan, dan zal
Uien 5 in deze ontwikkelde magt, in plaats van s moeten fckijven
en daarna alle de termen der uitdrukking, die men alsdan verkrijgt, met x’t moeten vermenigvuldigen, wanneer men tot dezelfde uitkomstnbsp;zal moeten komen, als of men regtftreeks de uitdrukking Qx j)»nbsp;ontwikkeld had.
I. Geval. Als n een geheel pofitkf getal is.
§. 4P3. Wanneer men de uitdrukking i s tot de tweede en volgende magten verheft, dan zal men door de multiplicatie vinden:
(i -j- 2)“ — 1 22 2®
(l -2)3 =:i 3® 3=quot;' ~^ enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.
Het is niet noodig, deze verhelHng verder voorttezetten, om, uit den trapswijzen voortgang van het werk, ten duidelijkfle te berpeuren:nbsp;dat, uit den aard der multiplicatie zelve, elke volgende magt van (1 2)nbsp;cénen term meer dan de voorgaande zal verkrijgen; en dat de termennbsp;van eenige magt van (1 2} de opkliramende magten van de grootheid 2
2° of I, 2, 2®, 23, nbsp;nbsp;nbsp;3*, 20, enz.
met zekere getallen vermenigvuldigd, moeten inhouden, cn, dat eindelijk de laatfte term dezer uitdrukking gelijk zal zijn aan 2 verheven tot dezelfde magt, als tot welke U 2) verheven is.
§. 494. Wanneer dan (i 2}» door multiplicatie ontwikkeld wordt, dan zal de laatfte uitkomst eene uitdrukking van den vormnbsp;i x^3 ^2® C23 Z)2'^ enz. 2^*nbsp;geven; cn de letters A, B, C, D, enz., zullen getallen zijn, welkenbsp;noodzakelijk van den exponent n afhangen, dat wil zeggen: A,
C, D, enz. moeten fmiftica van n zijn. Men kan nu ook vooraf inzien; dat, om de voorwaarde van het vraagftuk, welks oplosfmg wij
thans
-ocr page 343-309
thnns ondernemen, te vervullen, de vorm van de uitdrukkingen, die wij voor A, B, C, enz. verkrijgen moeten, ten minfie, wanneer nnbsp;een geheel getal is, zoo algemeen zal moeten zijn, dat men, in dezelve uitdrukkingen. Hechts nzzï, 2, 3, 4, enz. zal behoeven te Hellen, om de eerfte, tweede, derde en volgende raagten van i -fs,nbsp;die men anders door multiplicatie zou vinden, te verkrijgen. Het isnbsp;op dit ontwijfelbaar beginfel, dat de volgende redenering fieuut.
§. 495. Wanneer men dan n — o ftelt; dan moeten, aangezien (i 2)° zr I is, zie §. 718, I. C., de coëfficiënten J, B, C, D,nbsp;enz., door, in dezelve n~o te flellen, gelijk nul worden: dit kannbsp;nu op geene andere wijze plaats hebben, dan, wanneer n een geineen-fchnppelijke fador van alle de coëfficiënten A, B, C, D, enz. is.
Stelt men n—ï\ dan wordt Ci nbsp;nbsp;nbsp;= ï 2; en nu moeten,
door deze fubftitntie, alle de termen, waarin de tweede en volgende raagten van 2 voorkomen, verdwijnen; doch zulks kan nu, zie §. 154.nbsp;niet gefchieden, icn zij de coëfficiënten B, C, D, enz., door n—inbsp;deelbaar zijn.
De onderllelling n — z, moet in de algeineene uitdrukking de derde en hoogere magten van, s doen v'erdvvijnen, welker coëfficiënten, door deze fubftitntie, nul worden, en diensvolgens door n—2 deelbaar moeten zijn.
Op dezelfde wijze voort redenerende, zal het blijken: dat de on-derftelling' « = 3 de coëfficiënten D, E, F, enz. nul zal moeten maken : dat al verder, door de onderfteliing van « ~ 4, de coëfficiënten E, F, G, enz. nul zullen worden, en dat zulks, op dezelfde wijze,nbsp;voor de volgende waarden van n, zal moeten plaats hebben, zoodat,nbsp;in de rangorde der termen, elke volgende tc:rm eenen faftor meer dannbsp;de voorgaande hebben zal; gelijk in het onderl.laande tafeltje nadernbsp;kan gezien worden.
A, B, C, D, E, F, G, Fl enz. hebben alk n tot faltor B, C, D,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
C, D,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IInbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
E, nbsp;nbsp;nbsp;F,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
F, nbsp;nbsp;nbsp;G,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IInbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz,
liet blijkt hieruit; dat men, als eene nadere bepaling van den vorm der algemeeiie uitdrukking, ftellen kan:
V 3 nbsp;nbsp;nbsp;(! =/’*
-ocr page 344-310
Cl
s)».” I nA'z~\-n(j2——i) («—'S.')C'
-{¦ n(jt— i) —2) («—^3^ nbsp;nbsp;nbsp;C«— i) (n — 2) (ji—3)
(« — 4) nbsp;nbsp;nbsp; » (s — I) (n — 2) (ji — 3) (» — 4) (tl — 5)
jr/^6 enz. . nbsp;nbsp;nbsp;.............(£1)
Hier zijn de letters A', B', C', D', E', enz. factoren, welke nog nader moeten bepaald worden, en deze moeten, omdat aan alle de bijzondere waarden van n voldaan is, geheel ftandvastige getallen zijn (78), welke buiten alle invloed van de bijzondere waarden van » Haan, Mennbsp;zal dezelve door de volgende overweging gemakkelijk vinden.
§, 4pó- Wannéér men in de laatfte vergelijking (£!}, in pla.ats van », Helt « -|- I, dan zal zij in
Cl 2}« i =: I -j- (n -j- i) A'z (n ij) » B'z’^ nbsp;nbsp;nbsp;i}«
(n—i) C'zquot;^ nbsp;nbsp;nbsp;enz.
veranderen; en, wanneer men de vergelijking (£1} met i 2 verme-nigvuidigt, dan verkrijgt men:
I J nbsp;nbsp;nbsp;nA'inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n(n—ijB'i
enz.
Deze twee uitdrukkingen moeten, onafhankelijk van z, aan elkander gelijk zijn; waaraan alleen voldaan kan worden, indien men de eoet-ficienten van dezelfde inagten van s aan elkander gelijk fielt: mennbsp;heeft dan de vergelijkingen :
« /I' I = C» O • • • • heruit: nbsp;nbsp;nbsp;i
1.2.3
, enz, In het rdgemeen, zal men hebben:
(
n (ji — l) n A'~ («-f 1) » iJ' . • • hieruit: B'—\enz. üit de volgende vergelijkingen zal mm vinden; C'';
D'z
(78) Indien men hier aan twijfelen mogt, zal men zich, op de volgende wijze, daarvan kunnen ovcruügen. De terra, welke Ac magc van 2 vermenigvuldigt is.
P'b C« — i) (« — e) enz. (» — (71 — i)) zP-Indien wij nu « gelijk^ ilellert; dan is deze de laatfte term der ont. wikkelde magt, en de coefficient van zP is de édnheid: men heeft dan
P’zz
~l , 2 , 3 , 4, 5 , enz. f welke eene ftandvastige grootheid is. Het is deze redenering, welke ooknbsp;de waarden van a', B', c', enz. leert kennen.
-ocr page 345-311
« (« — i) (« — 2) enz. (k—(/gt;— i)) TSI'¦\-n {n— i) (n—e«2. (ö—(p—2))M''=(« Ok(«— i) («—2) enz.(n—(^—2)).nbsp;X TV''
well?e vergelijking door —i) («—2) enz. (n—(p—2)) deelbaar is: na door dien faftor gedeeld te hebben, zal men vinden:
— nbsp;nbsp;nbsp;M'=Cn 0^'
n W—p nbsp;nbsp;nbsp;n N' N'
M'
p N'—M'; dat is Ngt;z=s —
P
Nu blijkt het, uit de wet van voortgang, dat de^* faétor uit de uitdrukking (ft,) is, cn gelijk aan den (/gt;—faPtor,\ gedeeldnbsp;door p f zoo dat deze faétoren, volgens eene eenvoudige wet, vannbsp;elkander afhangen. Men heeft namelijk A'=zi-, B' — IA'; . . . .
¦ in/.
a = lB'; — nbsp;nbsp;nbsp;E':
§. 4P7. De waarden van A', B', C', D', enz. nu bepaald zijnde, verandert de laatfle uitdrukking (ft) in
enz.
(l -fs)® = I nbsp;nbsp;nbsp;
n (n — l) (» — 2) (r,
3
fiQi — i) nbsp;nbsp;nbsp;tiQi—i)C«—2)
z^
¦3.)
a't -j- enz.......(i)
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3 •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
en de algemeene term van deze uitdrukking zal zijn:
— i) C» — 2) enz, (tl — (/gt; — 2)) .(n — {p-
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3 • • • enz......(.P—Op nbsp;nbsp;nbsp;/
y
§.498. Stelt men nu, in deze uitdrukking, z~ — , en vermenigvuldigt men alle de termen met x”, zie §. 492, dan verkrijgt men:
n (« — 0 Qf — 2)
jc»—331a nbsp;nbsp;nbsp;enz.
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3
in welke men flechts «”2, 3^ 4gt; 5' behoeft te (lellen om, met een opdag van liet oog, de tweede en volgende volgende mag-ten van x y, zonder eene omflagtige multiplicatie, te verkrijgen.
§. 499. tt Stelt men in de vergelijkingen (i) en (2) van §. 497 en 498, z en y, negatief, dan zullen de teekens der termen, waarinnbsp;de onevene magten van s en y voorkomen negatief worden, en dpnbsp;uitdrukkingen van (i—2)» en (x—zullen alleen in de teekens der tweede, vierde en verdere termen van eenen evenen rang yer-fchillen.
V 4 nbsp;nbsp;nbsp;Af
312
Af.ciding van het hmmnium in dit geval vit de leer der combinatiën,
§. 500. Wanneer men het gedurig produft nbsp;nbsp;nbsp;x (a: ^) X
(x O X enz., tot n faStoren, door eene multiplicatie ontwikkelt, dan zal, raadpleeg §. 210, het laatfte produft van den vormnbsp;x'2 Ax’‘—t Bx»—^ Cx’‘—3 enz. iac Mnbsp;2iin ; de coelBcitnt A zal, gelijk zijn aan de fom van de groothedennbsp;p, q, r. enz.; B gelijk aan de fom der produften van deze zelfdenbsp;grootheden, op alle mogeli'ike wijzen, twee aan twee, genomen, enz.nbsp;M ¦=¦ pqr%t enz. Indicn wij rax pz=.q~r — s — t ¦=. enz. z=.ynbsp;Hellen; dan zal:
1“ A^ny zijn.
tA B't^p q p r ¦\- enz. ~ y'^ -j-31® -|- enz. ~ aan zooveel maat y-, als n grootheden, twee aan twee, kunnen worden zamengevoegd;nbsp;nu is dit getal'zamenvoegingen, zie vraagfluk 46, I. C. pag. 34P,
n X (n—ij) , nbsp;nbsp;nbsp;„ n (h—i) „
— —gevolgehjk is B~~---y^.
C:=::pqr-\-pqs-\-enz.-\-qrs-^enz.~y'^-iryquot;^enz. zooveel maal genomen, als n dingen, drie aan drie, kunnen zamengevoegd worden; daar nu, zie de ar.ngehaalde plaats, dit getal zamenvoegingennbsp;nQn — i) («¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
gelijk
¦2) . nbsp;nbsp;nbsp;«(»—i)(« —2) .
- IS, zal ----^2-:'--d v-gt;
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3
zijn.
liet zal, op dezelfde wijze, blijken; dat D
l)(n —2) (tl — 3) (» — 4) 3 •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
Stelt men nu de gevondene waarden van A, B, C, D, enz. in de uitdrukkingen (x f») x (x-j-^} x enz. en x» A enz.,nbsp;dan zal men:
(x -j- nbsp;nbsp;nbsp;~ x« ¦
-X»-
'5'
n Qn — I)
r2
Xquot;—333 -j- enz.
i(n — i') nbsp;nbsp;nbsp;— s')
_^___A.-y.__t, -vgt;« —
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3
verkrijgen, en het blijkt hieruit: dat het leerftelfel van Newton, ten miiifle voor het geval der geheele pofuieve inagten, uit dat der combinatiën kan worden afgeleid.
II. Geval. IB'anncer n een geheel negatief getal is.
§.'5°tgt; Aangezien de negatieve en gebrokene exponenten met de geli'celc, voor zoo verre de muliiplicatien, divifien, magtsverheffinge»
en
-ocr page 347-TWEE DE CURSUS.
en wortekrekkingen aangaat, aan dezelfde regels, als de geheele en pofitieve exponenten, onderworpen zijn, kan men vermoeden, dat ooknbsp;'Je ontwikkeling van de magt eener tweeledige uitdrukking, voor denbsp;negatieve en gebrokene exponenten, aan dezelfde regelmaat zal onderworpen zijn. Het is immers bekend, dat (i 3)'“” niet anders is,nbsp;dan de éénheid gedeeld door (i -t-?-)quot;, of de éénheid eerst gedeeldnbsp;door I -f- s ,• het komende quotient door ¦ i z; het tweede quotientnbsp;op nieuw door i -f- s, enz. tot zoo vele malen, als ’er éénheden innbsp;}2 zijn. Nu hebben wij, in de divifie der Helkundige uitdrukkingennbsp;zie §. 65, pag. 41, gezien, dat
(i z)—I
— 1 —z z- — 33-1-24— 35 ^-36 — enz.
is, en dat dit quotient uit een oneindig aantal termen zal beftaan, V/anneer men nu deze vergelijking op nieuw door i -h z deelt; dannbsp;Zal men verkrijgen:
(i s)-2 = —— I — 22-f 3SZ—4z5 5z^—óz^ enz,
zonder dat het nu noodig is, de wet, volgens welke de coëfficiënten der termen opklimmen, té kennen, zoo ziet men: dat, wanneer dezenbsp;deelingen onbepaaldelijk tot « malen worden voortgezet, de vorm vannbsp;(i 2)—« zal zijn
I — Az Bz'^ — Cz® -j- £gt;24 — £2? -|- £2tf — enz. doelen wij nu deze laatfte uitdrukking door i -f- z; dan zal men verkrijgen :
Ci 2)-C* 0 —.....
Cl 3)« I
— (r ^ -ff C) 23 -1- -f ^ -f- nbsp;nbsp;nbsp;-1- C -f /gt;) z-r — enz.
fjelt men s negatief, dan zullen de onevens magten van 2, in de ontwikkelde uitdrukking, fleclits van teekcn veranderen, en men zal hebben:
(i — zj)~” = I -f- Az -f- Bz^ -|- CzS enz.
(i — nbsp;nbsp;nbsp;=i (i A)z (ï A-l-B)z^
Het blijkt dan: hoe, eene magt bekend zijnde, alle de volgende kunnen gevonden worden: en het is, door de deeling, ontwijfelbaar bewezen: (en dit bewijs is meer dan eene induftie,) dat (i—z)—r = 1 2 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- 2.3 -f. -4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2? -j- enz. is. Men make dan de vol
gende
1
314
Tafel der Figuurlijke getallen (7P}.
|
^ . 5 6 7 8 9 10 |
|
§. 502. De horizontale rijen van deze tafel bevatten de coefEcicn-ten van de termen der negatieve magten van i 2, welker exponenten aan den voorften ingang, ter linkerhand, liaan: de getallen aan den bovenllen ingang geven de rangen der termen te kennen: om dus dennbsp;coefficient van den zevenden term der achtfte magt van i : (i s)nbsp;vinden, zoeke men in de rij 8 den term in de kolom 7: deze is 1716nbsp;en de zevende term van (1 -l-s)—s is gevolgelijk 1716 s®. Dit tafeltje irnu, volgens het zoo llraks betoogde, op de volgende.wijze,nbsp;door optellen, gemaakt: om, bij voorbeeld, de rij Nquot; 5, te formerennbsp;zegge i-f-o — i; dit getal (lelie men in de eerlle kolom: i-j-4~5;nbsp;5-f-ioquot;l5; l5-f-20“35: „ men telle namelijk eiken term, dienbsp;„ men verkregen heeft, bij den term van den volgenden rang dernbsp;„ naast voorgaande rij:quot; en men zal, op deze wijze, de eoefficien-tcn-tafel, tot in het oneindige, kunnen voortzetten.
§. 503. De zamenllelling van deze tafel lleunt derhalve op een algemeen beginfel, dat a priori, uit de ontwikkeling der negatieve magten, als eene algemeene wet, bew'ezen'ls. Nu kan men bewijzen: dat de vergelijking
»(»—I »C«—0C« —2)
- enz.
1.2 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
aan het geval van n~— i voldoet; want, indien men n — — i ftehj dan wordt n~-— i; n —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 2; n — 2 — — 3; « — 3 — —'4r
n — pTzz—(i -f igt;): men heeft dan
' nbsp;nbsp;nbsp;' nz~
(79) reden-van deze benaming zal naderhand blijken.
-ocr page 349-315
¦ = 1;
nQn — I) (« — 2) __
=: — I enz.
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3
-C/’ —O)
^'’5 in het algemeen, voor den term p p (« — 1) (n — 2) (« — 3) enz. (n -
I • 2 . nbsp;nbsp;nbsp;3 .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 , enz. . . p
— I X — 2X — 3 X enz. — p
---------1- — I
* • 2 • nbsp;nbsp;nbsp;3 . enz. p —
'^2 uitdrukking voor -^2^» gevonden, welke voor eenen gclicclen 2n pofitieven exponent voldoet, voldoet dan, wanneer n——i gefteldnbsp;quot;'ordt, en bevat bijgevolg, in zich de ontwikkeling van Cl 3)-'.nbsp;*^et is dan zeer waarfchijnlijk; dat zij ook aan alle negatieve exponenten voldoen zal. Wanneer men dus « n: — q ftelt; dan zal nnbsp;* = — C? O; M — 2 = — (? -f- 2) enz. worden, en, wanneer nunbsp;vermoeden gegrond is, dan zal de vergelijking:
gCi? OC‘? 2)
1.2. 3
(l z')—i=ll -qz-Jr
I . Si
g C? o C? 2) jq 3) nbsp;nbsp;nbsp;__
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3 .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
iiioetcn plaats hebben, welke voldoet, wanneer q~i genomen wordt, ^^anneer nu de rij van de coëfficiënten dezer uitdrukking voldoet aannbsp;^2 wet, welke, uit de trapswijze ontwikkeling der negatieve magten,nbsp;door divifie, ontllaat, zie §. 501, dan is zij algemeen, en dan zalnbsp;Wen zeker zijn, dat zij', zonder uitzondering, aan alle negatieve magten voldoen , en dat de uitdrukking der pofitieve magten gevolgelijknbsp;ook die van de negatieve zal influiten.
§. 504. De coëfficiënten van twee op elkander volgende termen Van de inagt —namelijk zr en «gt;' 1, zijn:
?C‘? 0C? 2)en2;.C^-|-r—I j . nbsp;nbsp;nbsp;«'(? O»«• (? 0
----------- . .. , ,,,,, quot; — --——
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2 cji2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
de twee coëfficiënten van de termen van dezelfde orde van de volgende magt verkrijgt men, wanneer men voor q fclirijft ^ -f i; deze zijn dan:
C'? 0C? 2)e«z.C.? c l)j
I . nbsp;nbsp;nbsp;2 . enz. r ...... i . nbsp;nbsp;nbsp;2 . enz. U' O
^ndien nu de vermoedde reeks, voor alle waarden van q, waarheid is;
coefficient van zr in de magt — (¦? i) de eoef-
fi-
-ocr page 350-!i6
ficient van s' i in de niagt — q gelijk zijn aan den coefficient van den term 2'' i in de magt —(^ i). Nu is
(jq i^tq tffjenz, (a rj gC^ OCg s) enz. (^ r) _
I • nbsp;nbsp;nbsp;2 , enz. rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2. enz, r(r i)
[¦- 1] X [G 0C? ggt;”^-C‘? 01 W X [(g 0Cg 2)c«3.(?4r^
1.2.3 enz.....rQrr\-i')
~ I . nbsp;nbsp;nbsp;2 enz,
Het blijkt dsrlialve: dat, indedaad, deze wet, voor de onderftelde uit' drukking, algemeen is, en, onafhankelijk van de bijzondere waardennbsp;van q en voldoet, dat is voor alle de magten q en alle de ter
men r dezer magten.
Daar het dan bewezen is: dat
¦ ene.
^ nbsp;nbsp;nbsp;jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1,2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I,2«3
voor q—i voldoet, zal deze uitdrukking ook aan alle volgende waarden vnn q moeten voldoen: en daar men dezelve verkrijgt, door, hl (i-f2)»=:i «2 enz. de letter k = — q te (lellen, is bewezen;nbsp;dat het Binomimn van Newton voor geheele negatieve magten geldt.
III. Geval, IFanncer n een gebroken pofiticf getal is.
P
5. 505. De uitdrukking nbsp;nbsp;nbsp;beteekent eene grootheid, wel
ke oiullaat, wanneer men de uitdrukking i s tot de p‘i‘ magt verheft, en uit deze magt, of uit i nbsp;nbsp;nbsp;--^ z- enz-den magts-wortel trekt. Voor zoo verre incn nu de worteltrck-kingen, uit de XXXVI en XXXVII Lesfen I. C. heeft loeren kennen, weet men: dat den q^en magts-wortel uit i ¦\-pz-\-^~tIL^—Jz'^
enz, van den vorm i -\- A z-\: B z^ enz. «ijn moet, en dat de coefHcientenyf, B, C, afhangen, in de eerde plaats, van de coeflicien-
5quot; enz, en van
ten van de uitdrukking i pz
P CP t) I nbsp;nbsp;nbsp;itin iron deU
I . 2
exponent q; dat is van p cn q beide (80), zonder dat ’er, in het al-
ge-
(80) Volgens de regels, in de XXXVI cn XXXVII Lesfen voorgefelgt;-‘^ ven, kan men de tweede, derde en volgende miigts-wortelcn uit uitdruk.nbsp;kingen van den vorm i-j-z en 122-f- enz. trekken: uükcbnbsp;ben daarvan geene bijzondere voorbeelden willen geven. Elk leermeester, desnoodig oordeeiende , zal dezelve ligtclijk kunnen opgeven. Voor
bet overige ziju ook deze bewerkingen geheel buiten gebruik geraakt.
-ocr page 351-3'7
gemeen, andere dan deze twee letters in derzelver zamenftelling kiin-voorkomen. Nu merken wij aan: dat, welke ook de gedaante of vorm van de coëfficiënten A, B, C, enz. zijn mogCj zij aan allenbsp;'Vaarden van p tn q moeten voldoen, en dat bijgevolg, in de eerde
Pfcats, wanneer nbsp;nbsp;nbsp;gefield wordt, (1 2)? —i-\-Az^Bz'^-\-
enz. in (i 2)^ = 1 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz. zal moeten veran
deren: dat men, al Verder, p als llandvastig, en q als veranderlijk; of omgekeerd, p als veranderlijk, en q als ftandvastig zal kunnen aanmerken, en voorts aan p en q alle zoodanige waarden geven, als mennbsp;goedvindt, zonder dat, in eenig geval, de fubditutie van die waardennbsp;ini-|-^2-|-5s^-]- enzi iets anders dan de wezenlijke waarde van
(i 2)? zal kunnen voortbrengen: immers is deze voorwaarde de gronddag, waarop alle Helkundige redeneringen Iteuiien, en zondernbsp;Welke het niet mogelijk zou zijn, om A, B, enz. van p en ^ te doennbsp;afhangen. Daar men dan aan p en q alle waarden' geven kan, zoonbsp;kan men q als llandvastig aannemen, en p fuccesfivelijk gelijk o, q,nbsp;3.q, 2,q, 4?, £«2.-Hellen. Zien wij nu: wat ’er in deze gevallennbsp;gebeuren zal?
P_
Is p~o\ dan verandert (i 2}? in (i -1-2}° =1: i. Door deze onderHelling, moet dan A, B, C, enz. gelijk nul worden, ennbsp;alle de coëfficiënten moeten gevolgelijk door p deelbaar zijn.
2° Stellen wij pz=.q; dan verandert ft 4-2}* in i -f-z; gevolgelijk moeten ook, door deze fubflitude, de coëfficiënten B, C, D, Ë, nul worden, en, gelijk bekend is, door p — q deelbaar zijn.
3° In het algemeen, zal het blijken: dat
A, B, C, D, E, F, G, H, enz, door p B, C, D,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p — q
C, D, nbsp;nbsp;nbsp;E,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p — anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
D, nbsp;nbsp;nbsp;E,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IJ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p — 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
E, nbsp;nbsp;nbsp;F,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p — 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
deelbaar zullen moeten zijn. De uitdrukking i-{-Az-\-Bz^-\- enz. zal gevolgelijk den vorm
-ocr page 352-?i8
WISKUNDIGE LESSEN.
I -VP i’ (.P — q) B'z^ ¦\-p(.P — nbsp;nbsp;nbsp;C/quot; — 2 C' =3
; i-
= (l 2)«..............(P)
moeten verkrijgen, en, wanneer men nu ds waarden van B', C', vinden kan, dan zal alles bepaald zijn.
§. 506. Om nu de waarden van A', B', c', enz. te verkrijgen, zoo merk ik aan, dat zij alleen van q en geenzins van p kunnen af-hangen: de waarheid hiervan zal blijken, wanneer men ^ ~ i fteltenbsp;als wanneer de vergelijking in i-\-p A'z p (p — i) B'z^^ enz.nbsp;= (i z')p veranderen, en i p A'z p (p — i) B^z^ ««2.=:
I P s H- --- 2^ e»z, zal worden, in welk geval A^zz i,
1.-2
B'zz:l enz. zal zijn. Indien nu A', B', enz van p afhingen, dan zouden, door de onderflelling van ^ = i, de waarden van A', B’, C’,nbsp;enz. nog funflien van p blijven, en geene llandvastige waarden i, |nbsp;enz. kunnen hebben (81).
Wanneer men, in plaats van /gt;, fielt p ??gt; dan zal de laatfte vergelijking in
e»2. =:(i s) 1 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;................
veranderen 5 en Agt;, B', C', enz. zullen dezelfde waarde als in de voorgaande vergelijking blijven behouden.
l-\-i nbsp;nbsp;nbsp;_
Nu is (i 4s) f =(1 42)^ ' . Indien men dan de vergelijking (P) met 142 vermenigvuldigt; dan zal men
PA'^ pip-q^B' IInbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A^p A' \
^4?
enz. =2: (i 4 2) t
2^4
pQp—q'){p—^q')C'
23 4
verkrijgen, en het voorfte lid dezer vergelijking zal, terra voor term, aan het voorfte lid van de vergelijking (,0) gelijk moeten zijn: mennbsp;zal dan hebben:
p A' i — Qp q) A^; gevolgelijk A'
P
(St) Stellen wy cene funétie Zxy-^-y- van twee veranderlijke grootheden; dan is het immers klaar: dat, wanneer men y gelijk één licit, de uitdrukking 3,v4i5 die men alsdan verkrijgt, in hare waarde, vannbsp;« zal afhangen,
319
P^P~-q)B' p/i'~{_p-\-q)pB'i gevolgelijk B'——x — in het algemeen:
enz. (/gt; — (« — 2) ^) nbsp;nbsp;nbsp;= (^ lt;?)/gt; (/gt; — ?) {p — 2 enz.
ip — (ji — Q.')q)N'
tvellce vergelijking door pQp — q) enz. (/gt; — (ji 2) 5) deelbaar is: ^en heeft dan, na de deeling:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
M' •\-(^p — (n — l) q') N' =.(^p q') N'
M' — n qN', dat is N'——. Waaruit de wet blijkt, volgens n q
'Velke B' van A’C' van enz. afhangen.
Alles is dan bepaald, en het blijkt: dat
\ J-ZJ — nbsp;nbsp;nbsp;' q q . 2qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘I • - Q •
is.
§. 507. Wanneer men nu in de vergelijking (i 2)»—! «2-]-^ 2^ enz. n~— ftelt, dan verkrijgt men de zoo even
1.2 nbsp;nbsp;nbsp;q
gevondene uitdrukking, jj Het leerftelfel van NEtvroN is dan ook op de gebrokene pofitieve exponenten toepasfelijk.
§. 508. Neemt men aan: dat p en q onderling ondeelbare getallen 2'jn; dan kan geen veelvoud van q gelijk p worden; ff geene dernbsp;ooefficienren van de magten van 2, zullen dan gelijk nul kunnen worden; om welke redenen dan ook de ontwikkelde magt uit een on-'nbsp;tnidig aantal termen beftaan zal.
IV. Geval. fVanncer n een negatief gebroken is.
P nbsp;nbsp;nbsp;p
§. 5op. De uitdrukking (i 3) nbsp;nbsp;nbsp;^ gelijk zijnde aan i :(i -{-2)?
enz. zal men, om de
Waarde van (i-fz) ? te verkrijgen, den qei^n magts-wortel uit deze vergelijking moeten trekken; en deze wortel zal van den vormnbsp;^ — A z qq gi2z, moeten zijn. Omdat nu, wanneer (i z)—pnbsp;I'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦« 2 -f- enz. tot de magt r verheven wordt, (i 2)~quot;j*''~
T nbsp;nbsp;nbsp;1 P ^ (p n -i- iZ
—p rz-\ ----!—f nbsp;nbsp;nbsp;—enz. zal moeten zijn, zoo zal om-
1*2
gekeerd, wanneer men den qlt;Un magts-wortel uit dezelfde uitdrukking
(l-fs;) “k
-ocr page 354-r-o nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
Cf O
P
s5 f;j2.
1.2- nbsp;nbsp;nbsp;3
moeten zijn, welke, na de coëfficiënten behoorlijk herleid te hebben, iigt;
nbsp;nbsp;nbsp;P(P ÓCP ^Ó,
^ nbsp;nbsp;nbsp;^ • 2 q
veranderen zal (82).
q 2q , iq
§. 510. Stelt men in de vergelijking (i 2)» = i -\-nz enz.
yfy
n zz. —dan zal men dezelfde uitdrukking verkrijgen, it lt;1
enz., voor den exponent n alle geheele gebrokens
en
blijkt dan: dat het binoftiium van Newton , voor alle exponenten algemeen is; dat wil zeggen: ff dat men, in (i 2}« ir: i z n(ji — i)
pofitieve en negatieve getallen nemen kan,
00
§. 511. Men MIe nu in plaats van 2 hare waarde —, en verme-
nigvuldige de komende uitdrukking met x», dan zal men voor de vier gevallen, de uitdrukkingen verlcrijgen, welke, met eenige anderen, tot des Lezers gebruik, op Tabelle N“ IV. geplaatst zijn.
Over de bijzondere eigenfchappen der Binomial-coefficienten.
§. 512. * De coëfficiënten, waarmede de termen van de ontwikkelde magt van eenige tweeledige uitdrukking zijn aangedaan, noemt men Binomial-coefficienten. * De Duitfchenbsp;Wiskundigen drukken bij verkorting de Binomial coëfficiënten
aldus uit; ’gt;%:
tl * (.yi [')
: n; »S3 — ——^--- enz., en de rang van
1.2
de
(82) Men kan nogtans dit geval op dezelfde wijze als het tweede be-toogen: wij hebben hier deze verandering van bewijstrant aangenomen, om den Lezer te doen zien: dat men, op meer dan eene wijz'^’nbsp;betoog komen kan. Wij moeten doen opmerken, dat echter dit bewi)*nbsp;zijn voornaaratte klem in de volgende Les verkrijgen zal.
-ocr page 355-TWEEDE C U R S U vS. nbsp;nbsp;nbsp;321
letter beteekent de hoeveellle coefficient in rang. Deze Wijze van uitdrukken is min of meer onvolkomen: want,nbsp;hoe zal men, daar ’er flechts 24 letters zijn, den loo^n coefficient uitdrukken? Wij zullen derhalve die coëfficiënten doornbsp;den exponent zelve, die wij tusfehen twee haakjes zullen (lellen, aanduiden, en boven denzelven een getal (lellen, welke den rang of hoeveelllen coefficient uitdrukt. Aldus zal
; (b);
« (« — i) {11 — 2)
I . nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' ' I . 2 .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
Zijn: men kan ook voor den coefficient van den eevften terra (lellen:
o o
(«}; («) is dan =2 l. In het algemeen, is:
{n)--
n {n nbsp;nbsp;nbsp;— 2) (« — 3) enz. lt;^n — lt;^p — ly)
enz.
enz.
n Qn — in) Qi — 2 m) Qi — 3;;; ) ens. (ji — (p — i]) ifi)
p tl
m , an . nbsp;nbsp;nbsp;3 » .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 « . en*. ¦
§, 513. Laten, in de algemeene reeks (i —i Az-\-Bz'^-\-enz. drie op elkander volgende termen ? s'- -|- nbsp;nbsp;nbsp;R ge
nomen worden, wanneer men dan beide leden dezer vergelijking met I s vermenigvuldigt, dan verkrijgt men:
(i -j- nbsp;nbsp;nbsp;=21 -j- (i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; -8)3^ -hC^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-{- enz.
QP -f- O,) 2' ‘ -f- C(2, nbsp;nbsp;nbsp;enz.
Nu kan men, volgens 512, (lellen:
12 nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r-f-i
Ci-(-2)« —I Qi')z-\-(in)z^ -^enz.-\-(ji)zr-\-(ii)z’' i enz.
^ nbsp;nbsp;nbsp;. V _Lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'¦ *
— 1 -j_ Qi-\-i)z-\-enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
Vergelijkt men deze twee uitdrukkingen met de voorgaande, dan zal men vinden: dat, iu het algemeen,
H-i nbsp;nbsp;nbsp;r '¦-(-I
(n i) — (ji)-\-(n)
zal zijn; dat wil zeggen: ff de coefficient van den (r-f-1)«» term van zekere magt ii gelijk aan den coefficient van dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;term
der naastvoorgaande magt, opgeteld met zijn ommiddelijk voorgaan-den van dezelfde magt. Het blijkt hieruit: hoe men de binomial-coefllcienten der magten, welke met de éénheid opklimmen, door eenvoudig optellen, vinden kan.
II. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;§-514
-ocr page 356-wiskundige LESSExN.
§. 514. Üit de laatst voorgaande vergelijking volgt:
r nbsp;nbsp;nbsp;r-j-inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ĥ !
waaruit blijkt: hoe de afdalende magten, door fubtraftie, kunnen gevonden worden, ff Deze formulen gelden ook voor de negatieve en gebrokene magten: maar men moet alsdan de teekeus in acht nemen.
r-l-I r '¦-f-i
§. 515. ff Wanneer men, in de vergelijking (« i) r: (») (»),
r-f-l nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f-f-I
in plaats van n, fchrijft «—i; dan zal men (?2) = («—i) C« —O verkrijgen, en, deze waarde van («)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eerdenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vergelijkingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fubfti-
r»^-I nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r-|-l
tuercnde, ,zal (ni) =: (’«) -f- (ji— i) («— O worden. Op gelijke wijze voortgaande, zal men vinden:
r i nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r
r nbsp;nbsp;nbsp;,-j-I
C« —i!gt;) C« —/gt;)
ff Deze vergelijking geldt voor alle gcheele en gebrokene waarden van n; en beftaat, indien n een geheel getal is, uit een bepaald aantalnbsp;termen.
\)enz.{ji — nbsp;nbsp;nbsp;(r—•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l))nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'jTj
i--— nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(«)
de vergelijking gedeeld zijnde, («) : («) — (n — f): nbsp;nbsp;nbsp; i) vvordt,
ook noodzakelijk
n — r nbsp;nbsp;nbsp;r ï
: —:— X’ (11) ... en .. . («) =--X («J
^ ^ n — r
worden, ff Zulks geldt voor alle waarden van ». Het blijkt hieruit: hoe elke coefficient van zijnen naast yoorgaanden of naast volgendennbsp;afhangt.
f' I 'ï OT __ «•
X («), 'genomen wordt n-r-, dan is (j2) = o: dellen wij, in diezelfde vergelijking-,
K nbsp;nbsp;nbsp;j H—I
^' I ?2, dan wordt (ji) — — («j); nu is, iudien n een geheel
n
getal isgt; nbsp;nbsp;nbsp;derhalve wordtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Op dezelfde wijze
znl
-ocr page 357-zal, in het algemeen, blijken: dat ~ cn (!)}“(?;) zal zijn. ff Voor de gekcck cn pofitieve magten, klimmen de binoinial-coe§l-cienten eerst op, at dalen daat'sta, in dezelfde orde cn tvaarde, af •
a)« ~ I — («) s -j-
§. 5ip. Maakt men, in de vergelijking
(«) 22- — enz., de waarde van z gelijk i; dan zal incn vinden:
(I — I j)” nbsp;nbsp;nbsp;OK — I — Qi') -1-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz. - -
§. 520. En deze vergelijking met die van §. 51R. optellcnde, zal men, nadat de fom door twee gedeeld is, verkrijgen:
2 nbsp;nbsp;nbsp;4 ó 8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10
2»—I — ! («) 00 00 00 ('0 ^”2'
Dit is de eigenfehap welke wij in het betoog van §. 47Ö. gebruikten.
§. 521. En trekt men dezelfde vergelijking v.an die v.an §. 518. af, dan zal men, de rest door twee deelende, verkrijgen:
2»—I — 00 (quot;}. 00 ('O 00 C»)
§• 523. ft Indien men n, ah een geheel getal aanneemt-, dan zal altijd, voor alle waarden van n, de volgende vergelijking
2B (2«-~i) (c n—ij Qin—f) .. enz... 0^ 3) (« 2) 0^ 0 = (2n-—i)(2ra—3)(2«~5)(2?2—7)ê;22,..7. 5. 3. I x (2gt;nbsp;plaats hebben.
Onderftellen wij voor een oogenblik, dat deze vergelijking w.nar zij; en vermenigvuldigen wij beide derzelver leden met 2(222 1); dan zalnbsp;men verkrijgen:
(222 2) (222 1) 222 (222—l) (212-2) (222—3)i?22«. 0'' 3X« 2)=:
Is nu de gefielde vergelijking beftaanbaar; dan zal ook deze la.atfte
X 2 nbsp;nbsp;nbsp;be-
-ocr page 358-3^4
beftaan: nu ontftaat de la-.tfte klaarblijkelijk uit de eerde, wanneer, in de eerde, « i plaats van n gedeldnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wordt. Uit deze tweede zal
men derhalve nbsp;nbsp;nbsp;eene derde; uit denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;derdenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eenenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vierde kunnen adeiden;
door telkens, nbsp;nbsp;nbsp;in pkats van n, tenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dellennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i; en alle deze vergelijkingen zullennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;met de eerde daannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;of vallen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Nemen wij nu «= 3;
dan wordt de eerde vergelijking 6x5 X4 = 5X3Xix = 120; zij is dus in dit geval bedaanbaar, en zal,, volgens het be-wezene, indien men ?ï=:4, 5, 6, enz. neemt, düt is, voor alle waarden van «, in het algemeen, bedaanbaar blijven.
§. 524. In de ontwikkeling van (a-j-is:
(2 «) ~
anQin—— a}(2« — 3) enz. («-j- 1}
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3 .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 . enz. n
fchrijft men nu voor den teller dezer breuk zijne waarde, in de voorgaande § gevonamp;en; dan verkrijgt men:
X 22»
I5 3) S. 7) 9i iL enz. Qin—i)
'2, 4, 6, 8, 10, 12, enz. 2n
i nbsp;nbsp;nbsp;in—I
Nu is, volgens het bewezene, in §. 517. (2«) = (2«); en algemeen,
r nbsp;nbsp;nbsp;^n—rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«—inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n^i
(2 «) = (2 nbsp;nbsp;nbsp;; dellende dan r — n — i; dan is (.2 ») = (2 «); de
n
term, welke hier tusfehen valt, is Qifi), en deze is klaarblijkelijk de
middelfte der coëfficiënten van den exponent of de magt in: tf de zoo even gevondene vergelijking geeft bijgevolg de waarde van dennbsp;middelden coefficient eener evene mngt. Deze vergelijking zal ons innbsp;het vervolg van dienst zijn.
§. 525. tt Wanneer, in derzelver natuurlijke rangorde, tviiee reek-fen van binomial-coefficienten
12345 nbsp;nbsp;nbsp;n—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n
CP)^ (P)’ Cp)gt; Cp)gt; enz. Cpj, {p), (p), enz. 12345nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»-(-t
D (?)» C?)» (s)-gt; (?)j (?)gt; enz. (r;), (4), (jij, enz. tot de exponenten of tnagten p en. q behoorende, gegeven zijn, ennbsp;men den eerjten met den eerjlen, den tweeden met den tweeden, dennbsp;derden met den derde:: term, enz. vermenigvuldigt •, dan zal de [omnbsp;dezer produSten, van het eerfte af tot het laatjle ingefoten (83); namelijk
(83) Zijn I, 3, 3, I, en I, 446, 4, I, de binomial-coeflicienten van de derde en vierde magt; dan heeft de eerlle reeks eenen coeffi^'‘^ntnbsp;minder dan de tweede; de coëfficiënten, die op i, 3, 3? i, volgen,
zijn
-ocr page 359-325
I I 2 nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
I X I 4- (;gt;) X (?) (?*) ^ (?) (?*) ^ (?) nbsp;nbsp;nbsp;^
(?) = (;* ?) nbsp;nbsp;nbsp;, .
««e/ verftaande, inaten p kleiner dan q ts.
Wij hebben, volgens he: bewezene in §.513 en 516, de vier vol*
gende vergelijkingen: nbsp;nbsp;nbsp;.
1° (;gt;) = (/gt;—i) (?--i) 3° «.(/gt;)=(/gt;—» O ^ (/gt;)
s'* (?) = (^—O (lt;?—!) nbsp;nbsp;nbsp;40 n.(_q') = Qq — n l')X{q')
Men vermenigvuldige van deze vergelijkingen de tweede met de derde, en de eerde met de vierde; dan verkrijgt men:
«.(/gt;) X (?)=(/gt;-« o•(^gt;) X (?-0 «•(/gt;) X (?-0 •••(«)
„ nbsp;nbsp;nbsp;„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»
«•(/’)x(-7) = (?—« l)-(?)X(/gt;—I) ?*.(?)X(/)—l) ... (j3) Men geve nu, in de vergelijking (*), aan n achtervolgens de waarden. I, 2, 3, 4, enz.; dan zal men verkrijgen:
II nbsp;nbsp;nbsp;00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i
1 nbsp;nbsp;nbsp;X (/)) X (?)=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?gt;X Cp) X C?—0 !•(/gt;) X c-?—i)
2 nbsp;nbsp;nbsp;X (/gt;) X (?)=(/gt;—O X (i)) X (^—i) 2 .(;gt;) X (f—i)
33 nbsp;nbsp;nbsp;22nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;33
3 nbsp;nbsp;nbsp;X (/gt;) X (?)=:(/gt;-2) X (/gt;) X C?-i) 3.(i') X (?—i)
. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. enz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.......
n n nbsp;nbsp;nbsp;w—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»—-Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n
n X (;gt;)x(^)=(/gt;—(»—!)).(;gt;)x(^—i) «.(/gt;)x(^—i)
Laat nu de fom van de voorde leden dezer vergelijkingen, van de eerde tot de ingefloten, gelijk 6' gedold worder;; wanneer mennbsp;dan deze vergelijkingen optelt; dan zal derzelver lom aldus wordennbsp;uitgedrukt;
O nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
5'=jamp;X[(/))X(?—!) (/’) X (?—!) (/gt;) X(^—
n—I nbsp;nbsp;nbsp;ö—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»
(ƒgt;) X (?— 0] ” • (rt X (?— O Behandelt men de vergelijking (/3) op dezelfde wijze, als de vergelijking («) behandeld is; dan zal men verkrijgen:
O nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
Szezqy. [(?—i) x (?) (/’—o X (?) (/gt;—o X {q')-S^ enz.
n-^l n—l nbsp;nbsp;nbsp;«
(/-—o X ('7)] «-(/’—0 X (lt;?)
Alle
zijn nul: de produften, die hier dan bedoeld worden, zijn i X i, 3X4, 3X6, 1X4, ox I. Het is in dien zin, dat de Helling moet verfiaannbsp;worden.
fiaö
Alle de vergelijkingen, welke wij, tot nog toe, in dit betoog, gemaakt hebben, gelden voor alle waarden van p en q. Thans bullen wij echter aanneraen: dat p cn q geheele getallen zijn, waarvan q het grootfle is; indien wij dan verder nz~p Hellen; dan wordt
n nbsp;nbsp;nbsp;ff
— 15 en (^p—l)—o: indien men dan, de waarden van S, in deze onderftelling, met elkander vergelijkt, dan zal men vinden:
= y X |0—'Ox (?) (/gt;—
Het laatfte lid dezer vergelijking bevat éénen term minder dan het voorfte lid; wanneer men dan, in dezelve, p=:p—i, en q—i—qnbsp;ftelt; dan wordt p—\~p—2 ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ook zal/gt;¦—i~n — i
zijn; en men zal verkrijgen:
00 nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»—I
(/gt;—O X iq) ri- {p—i') X (/gt;—i) X (jl) enz.-gt;r(ip—ï') (lt;7)=|— X j(p~2) X (q- l) (p—2) X Cq O e/Iz.
(p—2) X Cf I) }...........c^)
welker achterlle lid, in het nchterfle lid der naast voorgaande vergelijking, kan overgebragt worden, wanneer men verkrijgen Zal;
(rt (lt;7— 0 (?) Clt;z— o (/*) ('!—¦ o (?) c?—o =
X I (? —2) (? i) (?~2) (lt;? i) enz.
/gt;¦(?—O I
'I nbsp;nbsp;nbsp;»--Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
(?—2) X (?-f0 (
Helt men nu verder, in de vesgelijking P, in plaats van^—i, ^—2; en in plaats van q-\~\, ^-|-2, en gaat men op deze wijze voort,nbsp;met de achterlle leden der volgende vergelijkingen, achter elkander,nbsp;in de achterlle leden der Ir.atst voorgaande overtebrengeii; dan zal
men ten laatfle, in het algemeen, verkrijgen:
(?) X (-? —i) C?) X (lt;?—O C?) X (-7—X
r ” . V-C'T-f O •C'7-r2) .0/4-3) ¦C'7 4) nbsp;nbsp;nbsp;i)
^~'p. ip—i'). C?~2) . Ci»—3). (? - 4) enz. ip—r l)
/o nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
( (?—'¦) X nbsp;nbsp;nbsp;i)-[-(? — ?•) X (ry-fr—i) H- enz. -f
«—I
Wan-
ip-~r) X {q-Yr—ï')
-ocr page 361-327
Wanneer men nu r=r/gt; ftelt; dan wordt —r') — Q, en de tweede fadtor van het achterfte lid der laatfte vergelijking, wordt gelijk I % I; en nu heeft men:
iP) X Cf—O C/-) X (f—0 C/) X {q—ï^ enz.-\-{p) X ” s_f.Cf i)Cf 2~)Cf 3)Cf 4)^^^‘Cf nbsp;iX/gt;—2}(/gt;—3)C?—4)««. ... I
. p
Vl p—i). Zie §. 512.
en , wanneer men eindelijk, in deze laatfte, q, in plaats van q—i? ftelt; dan zal men verkrijgen:
00112a nbsp;nbsp;nbsp;PPnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P
(?) X (f) (?) X (^) Cp) X (^q) enz. (p) X (ji) =(^- -lt;7)
dat isde fora van de produften der overëénkomftige termen van twee reekfen van binomial-coefficienten is gelijk aan den binomial-coefficient van de magt.
§. 526. ft Stelt men p — q, dan is:
(I )'^ C?)“ C?)^ C?)“ (?)quot; ^«2. nbsp;nbsp;nbsp;=(2?)
dat is, vergelijk §. 524.
I nbsp;nbsp;nbsp;f
enz. {pY
i) ip
—r X 2 ^
I.3.5.7CT2.C2P-
Deze is de zonderlinge formule, welke Laguange, in de Mélanges de la Société de Twin, Tom, P'', door induélie, gevonden heeft.
§. 527. tT Indien men de twee vergelijkingen
O nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«
(1 -\-z)P=:.qp) nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.4.(^^23 4-^«2. (;pgt;»
01 nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n
(I 2)? r= (?) -f (?) S -f (?) 3^ (^3 33 4. ^.«2. (?)sB
met elkander vermenigvuldigt, dan is het produft van den volgenden vorm
30 nbsp;nbsp;nbsp;3 I
V nbsp;nbsp;nbsp; (?)(?)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
X i. nbsp;nbsp;nbsp;Men
-ocr page 362-328
RIen knn, uit dit produét, zonder moeite opmaken; dat de coefEcient van den term s» gelijk zal zijn aan de volgende uitdrukking:
on nbsp;nbsp;nbsp;1 n—I 1 n—anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 i n—i i » o
(?) ip' (?)((gt;) (?)(/) nbsp;nbsp;nbsp; (?/ ip) (?;(/gt;, '¦ ‘}yip)
zal zijn; nu is dit produift gelijk (i sj^ iz, en de coeflicient van de term s's in deze magt, is:
' P 'J (/gt; ?—O lt;'/’ ?—g) ciiz. (p i!~n i)
I . nbsp;nbsp;nbsp;2 •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 • eaz. . . . n
Beproeven wij nu; of het inogelijk zij, de waarde van den coeflicient van zquot; uit dezelfde.beginfeien, welke ons zoo firaks gediend hebben,nbsp;te bepalen? kunnen wij dit oogmerk bereiken, dan zal men daarinnbsp;eene nieuwe bevestiging van de waarheid van het reeds betoogde bi-nómiuin van Nëwton vinden.
m nbsp;nbsp;nbsp;in — Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»
Volgens §. $i6. is . (p)rz(j!gt; — w i) . (p) en n.(_q)~
H-1
Qq — 72 i) . (/?}: vermenigvuldigen wij nu de eerde dezer ver-
gclijkingen met (q), en de tweede met (pj; dan zullen wij voor de fü;n der produdten verkrijgen:
m n « nbsp;nbsp;nbsp;»,—I nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r,—r
(;«¦ ¦ n^-{.pj-(q) = (p—777 -f I).(/gt;)•(?) {q—n i)• (?)• (/•’)
¦ cn deze vergelijking is voor alle waarden van p, q, m en n algemeen.
INcmen wij, voor m en 72, de overcéiikomltigc waarden, in de twee volgende regels te vinden:
voorin..o, i, 2, nbsp;nbsp;nbsp;3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4, enz.n—4,72—3,72—2,72—i, «
voor 72 .. 72, 72-1, 72-2, 72-3, 72-\,enz. 4, nbsp;nbsp;nbsp;3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2, I) o
zoodanig, dat, als men m~o Helt, n~n; en als men m~ i Heit, 22=72—I genomen worde, enz.; dan zal men de volgende vergeiij-kingen verkrijgen:
o n nbsp;nbsp;nbsp;n—I o
«•(ƒ») x(‘7)=......
1 nbsp;nbsp;nbsp;-Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
72.(p) X (jl)— nbsp;nbsp;nbsp;p.fp) X (.?) (? —72 2). f^).(p)
2 nbsp;nbsp;nbsp;«—2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«-—2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
72.(P) X (^) = CP—I).(p) X (?) (? —72 3)-(?;• ip')
..........enz.........
B nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n— 1 O
72.(p)X(?) = (P~72 i).Cp).(4).......
- I nbsp;nbsp;nbsp;-l
Men houde onder het oog, dat (p) = o, cn (4) = o is.
Indien men nu alle deze vergelijkingen optelt, en derzelver fom door r. deelt; dan verkrijgt men:
o
(P)
-ocr page 363-329
(/) X (?) (/)) X CO (/’) ^ C4’) ^«2- C/') X (?)= . .
p¦\rq — 7^-\r
j nbsp;nbsp;nbsp;f O «—I I n—1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—I o 1
- X I (/)) X {pi j (/gt;) X (?) enz. (/gt;) X (?) (¦
Men (lelie nu, in deze laatfte vergelijking, n—i, »—2, »—3, enz. in plaats van r;,- dan zal men, elke volgende vergelijking in de voorgaande fubftituerende, in het algemeen, vinden:
(/*)gt;lt; CO (/gt;) X (?)-l- (/gt;) X (?) (’«s. -}-()gt;) X (?)=:.. .
^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;—«H-2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p-f-?—n 3 ,, /’ ?—?* 4
n nbsp;nbsp;nbsp;n—I
O nbsp;nbsp;nbsp;«—r
2—3
^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X c?) (
B—r nbsp;nbsp;nbsp;n—r—1
Stelt men verder n — v, dan is (?)~i; en (?)zzo, en men verkrijgt;
O » nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«-—2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o
(/gt;) X (?) 4- (p') X (?) (/gt;) X (?) -H «22. (/gt;) X (?)=.. .
n ’ nbsp;nbsp;nbsp;»— I 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«—2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot; I Ci®T?;.
§. 528. Deze vergelijking is, uit de bewezene eigenfehappen van de Binomial-coëfficiënten eener geheele en pofitieve magt, afgeleid.nbsp;L. Huillier heeft, in zijne Princip. Calc. Differ, et Integr, Expofitionbsp;Ekmentaris, pag. F. Intr. dezelfde (lelling op eene geheel andere,nbsp;doch, daar hij onze verkorte teekens niet gebruikte, meer omflagtigenbsp;¦wijze betoogd, en op deze eigenfehap het betoog van het leerftelfelnbsp;vf.n Neivton , in alle de bijzondere gevallen, gevestigd.
De Binotnial-coefficknten als Figuurlijke getallen overwogen.
§• 529. * Omdat de termen van de reeks der Binomial-coefficientcn van de negatieve raagt (1 2)“^’ weten:
I, 3, 6, nbsp;nbsp;nbsp;10,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15, 21,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;28, enz.
elk in het bijzonder, als zoo vele dé.nheden van punten aangemerkt zijnde, in eene driehoekige figuur kunnen gerangfehikt worden.
cuz.
o, 00, 000, 0000, 00 o o o, 136nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;15
noemt
-ocr page 364-noemr men deze getallen trigonale of driehoekige getallen. * Het aantal punten in elke zijde van eenen aldus gerangfchikten driehoek,nbsp;noemt men de zijde of'den wortel van het driehoekige getal (84).
(84) * Een figuurlijk getal is, in het algemeen, een getal, welks éénheden, als ZOQ vele punten aangemerkt, in zulk eene regelmatige orde kunnen gerangfehikt worden, dat daaruit eenc zekere regelmatige meet-kunftige figuur ontftaat. Van dien aard zijn alle veelhoekige of polygo-naai getallen, en anderen, welke, uit de verëéniging dezer laatflen,nbsp;kunnen gevormd worden.
De veelhoekige getallen zgn van twee foorten: iquot;* de gewone veelhoekige getallen , en 2°, de centrale veelhoekige getallen.
|
A | |
|
ÏS nbsp;nbsp;nbsp;T Cre, nbsp;nbsp;nbsp;^ |
I |
|
^ 1 |
1-J^r |
|
ét. O |
I -{- 2 r |
|
4 |
I 3 r |
|
~ 5 |
1 4'- |
|
S enz. |
enz. |
|
« n |
i c« —0 |
De eerllen worden voorgcfteld door de fom eener rekenkunllige reeks, welker eerfte termnbsp;met de éénheid begint, en nier een zeker getal r opklimt. Zij, in kolom A, zulk eenenbsp;reeks, welker gemeene verfchil r, en ^dcnbsp;term i C» — i)r is. Volgens §. 824, I. C. isnbsp;de fom dezer termen i « fi -j- i C« —
Zij wordt, na behoorlijke herleiding, door r «2 -— (r — 2) önbsp;2
¦ v.itgedrtikt. Meit ftclle nu p “»•-{-2, of — 2; dan wordt r — 2~ p—^4s ^n de gevondene fom verandert in
(p — a))-{-Ci 3 C? —2)) -(-«HZ.
Ct — 2) nbsp;nbsp;nbsp;— Cp — 4) «
DcEe formule bevat nu, in het tilgemeen ,alle tie veelhoeksgetallen: de letter p drukt, in dezelve, het aantnl der zijden, en n den wortel uit. Stelt mciinbsp;jp'izz, 4? 5) ö, 7, 8,9, 10; dan verkrijgt men, voorde drie, vier,nbsp;vijf, zes, zeven, acht, negen en cienhoekige getallen, ook wel in'go'nbsp;naaiteiragonaal^ pentagonaal ^ hexagonaal^ heptagonaal y odlogonaal,nbsp;enneagonaal y decagonaal getallen genoemd, de volgende algemcenc uitdrukkingen :
driehochige \ yierhoeklge ^nbsp;vijfhoekigs ^ C3«^ — «)nbsp;zeshoekige § (4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 2 11')
zevenlioekige
achthoekige- | nbsp;nbsp;nbsp;4#;)
negenhoekige \ (j tienhoekiege § (8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- 6 n')
Volgens de algcmeene formule, zal men eenig veelhoekig getal, dat keren gegeven wortel of zijde heeft, kunnen berekenen. Blen vraagt-inbsp;hij voorbeeld, het fw^lntig hoekig getale -wiens -wortel vijf zij?
„ , nbsp;nbsp;nbsp;f a~2)»2—cp—4)«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;18 X aSrrJf—
pZl-O en '! — 5: men heelt dus -2-----— --—o
= i85
-ocr page 365-331
530. * Stellen wij ons deze punten als kogeltjes voor; indien men dan deze driekoeken van kogeltjes op elkander ftapelt, verkrijgt mennbsp;eene figuur, die de gedaante eener pyramide heeft, in hare zijde even
zoo
i35 ~ het twintighoekig getal, vijf tot zijde hebbende. . Stellen wij het veelhoekig getal, in het algemeen, geljjk a; dan hebben wij:
“ — i Lip—2)'»^ — ip—4)”].......CO
c.ö 2;;^-—4« nbsp;nbsp;nbsp;f
P ¦— nbsp;nbsp;nbsp;fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;***.........
en «. = Cjgt; — nbsp;nbsp;nbsp;—2) — 4)^]nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . • (s)
Door de eeille vergelijking, vindt men het veelhoeks getal, uit zijnen naani en zijne zijde.) Door- de tweede, den naam uit den gegevenen veelhoek en de zijde. Door de derde, den wortel uit den veelhoek en des-zelfs naani.
Het zijn alleen de drie en vierhoekige get.illen, welke men, in eene eigenlijk gezegde regelmatige figuur, kan rangfehikken. Bij de vijfhoekigenbsp;en volgende veelhoekige getallen, houdt die regelmatigheid oi) plaats tenbsp;hebben. Wij zullen ons niet ophouden met de wijze optegeveu, op welke de figuren, in die gevallen, kunnen opgemaakt worden.
De veelhoekig getallen hebben Vele eigenfcliappen, welke men ligte-lijk ontdekken zal. Eene der voornaamfte is: dat de fom nree op elkander volgende trigonaal-getallen een volmaakt vierkant is. Want ftellen wij de wortels dezer trigonalen « en «-j-i; d.in is §nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . .
\ CC« 0^ C“ 0) — C« 0^' Ouze landgenoot, de Heer de Jok-couRT, heeft eene tafel dezer getallen, met de verklaring van dezclver eigenfehappen, uitgegeven.
De zoogenaamde polygonaal-centraal getallen, verdienen,, met regt, den naam van veelhoekige. Verbeelden wij ons cenen regclmatigen veelhoeknbsp;van p zijden, dc eenheid tot halve iniddclijn hebbende: laat, in het middelpunt v.an dezen veelhoek, ddn punt, en, op elk der hoekpunten,nbsp;insgelijks een ander punt gcplaalsc worden; dan zal men een centraalnbsp;p hoekig getal hebben, hetwelk i p ddnhcden bev.at: laten nu, om dezen eerften veelhoek, eene menigte van medemiddelpuntige veelhoekennbsp;geconftrueerd worden, welker.halve middellijnen a, 3, 4, 5, enz. zün ¦nbsp;dan zal men, in den omtrek van den tweeden, zp punten; in dien vannbsp;den derden %p punten; enz. kunnen pkaatfen, en men zal alzoo voortgaande, veelhoeken verkrijgen, welker zijden met ddn opklimmen, (zionbsp;zulks voor den zeshoek in fig. i.). Deze centrale veelhoeks-getallen ennbsp;derzelver zijden zijn, volgens deze conUriiftic, in dit , tafeltje bevat.
zijaen
veelh.
» (k — I)
Ij i ^j 1 3/, 1 6/, I-
Men heeft d:in, voor hc: ceiitra-al-vcelhoeld^' getal, dat wy a zullen iioc-, men, de vergelijkingen
-ocr page 366-zoo veis kogeltjes hebbende, als ’er in de zijde van den grootften der zaïnengevoegde driehoeken, welke als de balis der pyrainide kan aangemerkt worden, voorkomen: * men noemt daarom de getallen, welke, nit de gedurige opteljing der op elkander volgende driehoeks-getal-len, van het eerfte afcerekenen, ontHarm, pyramidaal-getallen Clls).
§• 531. * Offehoou men nu in de Meetkunst geene figuren voor de eerfte en volgende fommen der pyramidaal-gctallen aantreft, heeftnbsp;men nogtans aan dezelve den naam van figuurlijke getallen gegeven;nbsp;zij zijn van de driehoekige en pyramidale, door de benaming van der-zelver orders of geflachten, onderfcheiden.
§. 532. * Wij zullen de reeks i, i, i, enz. de eerfte in rang noemen; die, welke de r* in rang is, zal dan de binomial-coeflicicn-ten van de magt (i 3)—'' uitmaken. Volgens §. 503. zullen denbsp;termen van de reeks, tot de orde behoorende, in hunne natuurlijke rangfehikking
r(r i)(r-l-2) nbsp;nbsp;nbsp;rfr-J*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(?¦ ??—2)
1.2 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2. eiJz. (n—i)
!, 2, nbsp;nbsp;nbsp;3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ajz, .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
zijn,
,»(«—•!) -
« _ I -r ----Jgt;.........-CO
? = ............
« =: 1 LI nbsp;nbsp;nbsp; 11......Ca)
Door dc eerfte vindt men het centraal polygonaal getal uit den naam en de zijde of den wortel; uit dc tweede, de benaming uit het getal en denbsp;zijde; uit de derde, den wortel uit het getal en deszelfs benaming.
Vroeger Schrijvers hielden zich veel met deze foort van getallen op, en Helden woorden van twintig en meer lettergrepen zamen, waardoornbsp;zij hunne vraagftukken, die veeltijds, na van deze basta.ird namen ontkleednbsp;te zijn, zonder geest noch fmaak waren, onverftaanbaar maakten. Daarnbsp;dc fmaak voor dit wiskundig abracadabra bij yelen nog fchijnt te heer-fchen, zijn wij vcrpligc, den Leerling aantcradcii, zijnen tijd aan dezenbsp;foort v.an kwakzalverij en wind geleerdheid niet vruchteloos te verfpillcn.
(85) In de krijgsmagazijnen, worden dikwijls de kogels, in zulk eene driehoekige pyramidc, op dén geftapeld. Wanneer men nu Hechts telt,nbsp;hoe vele kogels in eene zijde van de bafis liggen, kan men, door de fof'nbsp;mule j (h) («-j-'i) (» -), in welke n het getal kogels, in de zijde vannbsp;de driehoekige bafis liggende, beteekent, het aantal kogels, in die Pgt;‘nbsp;rainide hegrcpcii, berekenen. Laat, bij voorbeeld, n~\o zijn; dan isnbsp;dit getal gelijk x 10 x n X 1222; 220 kogels.
-ocr page 367-333
zijn, waarbij men in aanmerking nemen moet, dat de nbsp;nbsp;nbsp;term
de coelEcient van s» is.
§• 533- * Vindt men goed, de tweede rij, i, 2, 3, enz, als de eerfte in rang te befchouwen; dan wordt de term van het figuurlijk getal van den rang /gt;, omdat nu rzzp 1 wordt, doornbsp;CP i) 2) enz. . . . (p n — i)
I . nbsp;nbsp;nbsp;2 . enz.....(n— i_)
uitgedrukt. Wij zullen ons echter aan de eerfte bepaling houden.
7». r
Squot; 534’ Drukken wij kortheidshalve den n^en term van de reeks der figuurlijke getallen, welke de r‘ie in rang is, door 7« .ujj; (jan zalnbsp;r (r i)(f -t-2) enz. Q' «—2)
1.2, nbsp;nbsp;nbsp;3 . enz. (« — 1)
zijn.
§• 535quot; quot;tt Volgens §. 501 en §. 496. hebben deze twee vergelijkingen plaats
7' .n ^lt;^ .n 73 ^ -j- 7^ . K *4“ nbsp;nbsp;nbsp;-f- '7^' , « *7'’ • c« 0
en .. nbsp;nbsp;nbsp;. Y-’i—T-Qi—i)-4-7''—
de laatfle dezer bevat de wet, volgens welke de reekfen der figuurlijke getallen, door gedurig optellen, gevormd worden.
§• 53^- tt De figuurlijke getallen hebben de eigenfchap, dat V ,r =?'¦.» is. Nemen wij, dat «gt;¦ r zij, en ftellen wij gevolgelijknbsp;n — r-\-pi dan is:
7’‘. r:
r nbsp;nbsp;nbsp;enz. (pxr—2} Qo.r—1} 2r (2 r-\-ïjenz. (jir-\-p—2)
'1.2. enz. (r—1}
¦ nbsp;nbsp;nbsp; /*) 0 /’—O-
I . nbsp;nbsp;nbsp;2.....
deelende nu de eerfte vergelijking door de tweede, dan verkrijgt men:
7“ . r r (/¦ -j- I) (f 2) enz— .(jir-\-p — 2.j_
' r (r -j- Ö 2) enz. ... (2 r -j-p — 2)
, n
Zie §. 532.
rgt;Xgt;' 0 0' 2) enz. (r-\-p—i) enz..., (^2 r ~\~p — 2)
enz.....r — i
T . n
dst is, rgt; .t~V §• 537- tt Indien derhalve de figuurlijke getallen, gelijk in §. 501,nbsp;in rijen onder elkander geplaatst worden; dan zal de horizontale rij,nbsp;welke de p* in rang is, volmaakt dezelfde zijn, als de verticale kolom van denzeJfden rang p.
§. 538. Stellen wij, in de vergelijking (JP) van §, 534. de waarde van r achtervolgens gelijk l, 2, 3, 4, enz. en la:e:i wij m^t dezenbsp;waarden, voor n, laten overëénfteimneu », u—i, »—2', enz.: dannbsp;traliën wij verkrijgen:
V‘ .1 ¦
-ocr page 368-I . 2.3 .. • enz. Qt—2) '
3.4.5.6 enz, (n—i) Qn—l) (w—2)
1.2. enz. («—^—ij wasruit blijkt: jf dat de getallen, welke, in de tafel van §. 501, innbsp;eenige diagonaal-lijn voorkomen, zoo als, bij voorbeeld: i, 4, 6,nbsp;4, I, van de regterhand van boven, tot beneden waards, naar de linkerhand , de binoraial-coelEcienten van eene geheele pofitieve magt bevatten, welker exponent één minder is, dan de rang van den term, welke,nbsp;als eerde term van die diagonaal, in de hovende horizontale rij voor-
I
I I
I 2 I
1331
kom;. Wanneer men deze diagonaalswijze rijen op de nevendaande wijze rangfehikt, dan verkrijgt men dennbsp;arithmetilchen driehoek van Pascal, welke onze beroemde landgenoot, Girard, reeds vroeger, onder dennbsp;naam van triangle d'extraction, had bekend gemaakt.
Het Binomium van Nhwton, wordt onder verfchilknde vormen voorgefteld. Gebruik van femmigen der-zelven in de worteltrekkingen.
S- 539' Vermits het binomium van Newton , volgens 504, 506, 507 en 510, voor alle waarden van den exponent algemeen is,
(l-f 2gt;
zoo volgt hieruit: dat,
wanneer men, in
, n . n (n ¦
I H--2-1-
t nbsp;nbsp;nbsp;I .
2^^ -f- enz., voor « en z
bijzondere waarden aanneemt, uit deze oorfproiikelijke vergelijking vele andere zullen kunnen afgeleid worden, welke, in zeer vele omdandigheden, van een bijzonder en nuttig gebruik kunnen zijn. Alle deze, ten minde de meest gebruike-
lijkde, vormen van het binomium, hebben wij, tot des l.ezers gebruik, op het tweede gedeelte van de IV Tabelle geplaatst.
335
TWEEDE CURSUS.
Wij zullen ons vergenoegen om met den vinger aantewijzen; hoe deze formuleii, de eene uit de andere, zijn afgeleid.
§. 540. De formule N'’ i. voor alle geheele en gebrokene, pofitieve en negatieve magten, geldende, zoo neme men n —
4-
£_en — dan zal men N° a, N'J 3 en N° 4,
de eerde voor eene geheele negatieve, de tweede voor eene gebrokene pofitieve, en de laatde voor eene gebrokene negatieve magt verkrijgen. De laatde termen van de achterdanbsp;leden dezer vergelijkingen, dellen den algemeenen term voor,nbsp;welke, de eerde medegerekend zijnde, de (r 4-igt; in rangnbsp;Is. Stelt men z negatiefj dan moeten de teekens der termen,nbsp;in welke de onevene magten van z voorkomen, (de termennbsp;2, 2^, 2^, 2IK I,) aangedaan worden met een teeken, hetwelk het tegengedelde is van de teekens, welke die termennbsp;N° I, 2, 3 en 4 hebben; en deze omdandigheid moet ook,nbsp;op dezelfde wijze, van alle de volgende formulen verdaannbsp;worden.
§. 541. Stelt men, in de eerde der formulen, 2 = -^; dan
Men
zal, zie §. 49a. (.v j)» = nbsp;nbsp;nbsp;^
delle dan in formule N° i, in plaats van 2, de aangeno-mene waarde y:x, en vermenigvuldige daarna de komende vergelijking met ar»; dan zal men Nquot; 5 verkrijgen.
§. 54a. Stelt men, in N° 5, voor n achtervolgens — py
^ en_dan zullen de formulen N° 6, 7 en 8, te
voorfchijn komen.
§• 543- Stellende, in N® 3 en 4, den teller /gt; rr i; dan verkrijgt men, N® 9 en 10, welke wij, daar deze de grond-flag van vele anderen uitmaken , met het dubbelde teekennbsp;hebben aangedaan.
S' 544. Stellen wij in deze twee laatfie z — h:a4; dan
verkrijgt men: N'* II en. 12.
S’ 545* En in N® 11, voor q de getallen a, 3, 4, 5 en lo Hellende, zal men de formulen 13, 14, 15, 16 en 17,
ver-
-ocr page 370-35lt;5
WISKUNDIGE LESSEN.
verkrijgen, welke ons (traks dienen zullen, om de wortels uit wortellooze getallen, door benadering, te vinden. Steltnbsp;mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7, 8, 9, ii, enz. dan zal men voor het trek
ken van de zesde, zevende, enz. magts-wortelen, foortgelij-ke formulen vinden, welke alle in N“ ii, algemeeneiijk begrepen zijn.
§. 546. Zij A een getal, waaruit den magts-wortel 'moet getrokken worden. Laat dan A met de q^^ magt vannbsp;eenig getal c vermenigvuldigd worden; dan zal men ci xA,nbsp;voor het.produd verkrijgen, en men zal, door eene ligte beproeving, den naast kleineren magts-wortel uit c-i x Anbsp;kunnen vinden. Stellen wij nu: clt;ixA=ai-^b^ en laat anbsp;den naast kleineren q‘f‘gt;‘ magts-wortel uit c? x ^ verbeelden,nbsp;indien men het hovende teeken -j- neemt, en den naastnbsp;grooteren voor het teeken —. Wanneer men dan uit dezenbsp;laatde vergelijking den magt trekt, en daarna alles doornbsp;c deelt; dan zal men de formule N° i8, verkrijgen.
547. nbsp;nbsp;nbsp;Stelt men in deze laatfte ^ = 2 en 3; dan verkrijgt men N® 19 en 20, welke voor de benadering der qua-draats- en cubus-wortelen uit wortellooze getallen zeer ge-fchikt zijn.
548. nbsp;nbsp;nbsp;Wanneer men in de formule 11, eerst bzrz i
fielt, en daarna, in die onderllelling, eerst de waarde van
q nbsp;nbsp;nbsp;?
en dan die van —i) neemt, en deze twee vergelijkingen bij elkander optelt en van elkander aftrekt, dannbsp;zal men, at —A ftöllende, na verfchikking der termen, denbsp;formulen et en 22 verkrijgen, waardoor men eene tafel vannbsp;de wortels der natuurlijke getallen zal kunnen berekenen,nbsp;terwijl de eene formule tot eene verificatie van de andere zalnbsp;kunnen Itrekken.
§. 549. Stellen wij in N'^ 5 voor —?— de letter ii; dan
X -j- 31
X U- nbsp;nbsp;nbsp;X
IS, y — ---, X -1- 31 = ^---: bijgevolg (x -l- 3»)» =: . •
Helle
x»(i-—— nbsp;nbsp;nbsp;men
nu
-ocr page 371-I ¦jia.uasu.u.M iiiiji—i
Nquot; IV.
A. Formulen voor de AIultiplicatie, Divisie, Magts-verheefingen en Magts-worteltr
M U L T I P L I c A T1 E.
a” a—t X nl—ni—P
3® w y~a—'^~a—('« «) 4“ x ^ nbsp;nbsp;nbsp;^
f nbsp;nbsp;nbsp;q mq—pn
50^ nbsp;nbsp;nbsp;gt;»y.a’’=anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a ® X lt;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;” =lt;3!nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“»
Divisie.
1“ (ipa—q^ap~Ti nbsp;nbsp;nbsp;s'*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^—?~d’? P
eriun’Gen, exponcntiale uitdrukkingen.
I nbsp;nbsp;nbsp;Magts-verheffing.
i nbsp;nbsp;nbsp;_ ^
I i’ Qa’^yx—anin nbsp;nbsp;nbsp;a® (a—py—
[Tegen over bladz. 336.I
3® a—p : aq ~
p q nbsp;nbsp;nbsp;pn-\-qm
5^ a~~:a'^zxa
p nbsp;nbsp;nbsp;pn—q--n
4® a”' -.a quot; —a
p nbsp;nbsp;nbsp;qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qm—pn
(JO a -.a nbsp;nbsp;nbsp;quot; =«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;”
3® {a~p''f~q—ap'i nbsp;nbsp;nbsp;4” (ap')—i—a—pq
/ m\A ^ nbsp;nbsp;nbsp;/ A.'\L. A1
5O nbsp;nbsp;nbsp;6® \«2
M A G Ï S - U' o R T E L T R E K K I K G.
I® =ap nbsp;nbsp;nbsp;2®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^-*)T=«”F
—T —^ nbsp;nbsp;nbsp;/ I \ Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
3® («») nbsp;nbsp;nbsp;^ =«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/ 4P
5® nbsp;nbsp;nbsp;6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C”'^)r=.r?7
B. Het Binomium van Newton, benevens de reekfen, welke 'er uit kunnen afgeleid worden. nbsp;nbsp;nbsp;(Zie LVIII Les, §. 539, et feq.')
. tl ,ti(n~i') nbsp;nbsp;nbsp;. «r«—I)C«—2)., , »C«~OC»—2)C»—3quot;) . .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11 (ti—i') («—g)jüü—agt;- enz..................Zie §. 497,
1.(1 ^;» nbsp;nbsp;nbsp;- Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;--^--z^ enz. :^^ nbsp;nbsp;nbsp;. rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i
C. Berekening van den cuhus-wortel uit 2, volgens Ae formulen van §. 558, pag. 339.
./-Cp 0 nbsp;nbsp;nbsp;;gt;.C^ O.C^ 2)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^M^ i).(/. 2).(p 3)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.. ,
--2 nbsp;nbsp;nbsp;gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x-i. 3.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3- enz....r
1. a
I. 2.
q q. 2q nbsp;nbsp;nbsp;q. 2q. ^qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d. 20.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S'?.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44
4. nbsp;nbsp;nbsp;24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3q.
p.{p -k-q')(lp-\-2q')enz....ip-k-^r—\)q')
. nbsp;nbsp;nbsp;, .-r~7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. P . , /’•(/’ D.,.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;egt;.C/- 4)-(i» 2 4).C/' 34)
4. (I D ^ = * - -^ 7-TT-^“-^TT^4 nbsp;nbsp;nbsp;24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3? 4f ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d-q. 24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3.7.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.....
2T -u ^;22S.
4. nbsp;nbsp;nbsp;24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4. 24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- 24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;34nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44
;,B-2X»-3 73 «?2. :i^i;^0- C»-2)e«g^(:«-rt0 y ,
o Cp-{-2').et7Z....Cp r—}f nbsp;nbsp;nbsp;enz...............Zie §. 542.
CiiZ» «
p^rq
Zie §. 541.
lquot; Volgens = ^ nbsp;nbsp;nbsp;--
Zie/»,. 00, nbsp;nbsp;nbsp;= ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;”5«o4.s»7Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)
I. 2.
I. 2.
c. nbsp;nbsp;nbsp;—x—p——X—(r Oji -|-^o 2)y!^—/’(/’-bOCp-b-)¦ _|_
^ nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I. 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I. 2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.
7. (a- D^ nbsp;nbsp;nbsp;-yLj'T..j.PjStll!lJ'~~ry^ 4. P-^bgt;-e')-kp—i£) .! q\i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_^7gt;.(^-4) .Cy- 2qyefiz....{p (r 1)4)^ q y,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..............2ie §. 542.
4 nbsp;nbsp;nbsp;¦'^4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ~ q. 2 q.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;34.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . -rq
B , , ,-4 nbsp;nbsp;nbsp;--7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ -— ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^.C/^ D.(/gt; 24) -quot;4^ , ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ^.r/A D.Ci^ 2D-^«-..-.C/- C--VM)
o. C* 7) e—X e —£—x e q -—e --—x e js f«s. nbsp;nbsp;nbsp;-
4 nbsp;nbsp;nbsp;24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r.„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_
I
4. nbsp;nbsp;nbsp;24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;34
— 4. 2?/. nbsp;nbsp;nbsp;34.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;««z.
¦ X e -{- enz..........Z;e §. 542.
0.»r,-i-aiT nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i.C?-0 „ , T.C4-t)-C24-i)„,_i¦(?-»)-C^^-O-Cs4-1) nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;............ Zie §. 543.
— ^ nbsp;nbsp;nbsp;“4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;34.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4. 2 4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;34. enz. ... ? 4
. B, 1.gt;“T—, 1 „ , I gt; (? 0 nbsp;nbsp;nbsp;-7-1 -(4 1) • C24 O I .Cv O .C24 0.(3? 0 ..iT.,,,.. 4, l’ C^ Oznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ar ...............Zie §. 543.
AITZ9 — nbsp;nbsp;nbsp;-—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;„„nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dl,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;77r~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— a. 2 a.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 a. enz.....rq
4 nbsp;nbsp;nbsp;' 4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦ 4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 4
* In N® 9. is 4 een geheel getal, grooter ilan de éénheid.
q- IIq, 34. nbsp;nbsp;nbsp;44nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 4* 24.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;34. ........'¦4
NB. //ér vervolg dezer formulen, vindt men op de tegenzijde dezer Tabelle.
Hier is a — 635; e~ go.f.; b — -f- 253 en — —
«3 nbsp;nbsp;nbsp;25604-875'
Men herleide, door divifie, h •. tot eene tiendeelige breuk, dan verkrijgt men: b-.a~^, kortheidshalve zzp Hellende.
prro, nbsp;nbsp;nbsp;coooonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;09880nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9646.4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;38190nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;51
BTen zoeke nu de magten van p, tot zoo lang zij kleiner worden, dan nul gevolgd van twee- en- twintig nullen, om tot op het twee- en- twintigfle cijfer zeker re zijn; dan vindt men;nbsp;p^~o,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00976nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;33462nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;29
p3:z:o, nbsp;nbsp;nbsp;oooconbsp;nbsp;nbsp;nbsp;coooonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00096nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;47
(Indien men, tor deze vermenigvuldigingen, de Neperinanfehe Staafjes gebruikt; dsn zal het werk zeker en fpoedig afioopcii.)nbsp;Nu is de reeks, N® 20, in ons geval,
K2 =: f|i X I I -{--L^_.Lp2 nbsp;nbsp;nbsp;j,
Men berekene dan eerst i-flp—Tp^ g|p3 _«za. als volgt; 1 ~ 1 , 00000 coooo 00000 coooo 00nbsp;-bjp— .... 3293 65488 12-30 17nbsp;1,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;03293nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;65488nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12730nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;17
— jp^ —.......108 nbsp;nbsp;nbsp;48162nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;47
I, nbsp;nbsp;nbsp;00000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;03293nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;65379nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;64567nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;70
afd==...........5 nbsp;nbsp;nbsp;95
I, nbsp;nbsp;nbsp;00000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;03293nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;65379nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;64573nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;65
253
II. nbsp;nbsp;nbsp;^
I
la. nbsp;nbsp;nbsp;1
Ij'
H.
15-
I -C?—O
• 1~T ~
Lr,‘jJ —q.
=«x j i i_ . TA
l —q L«?-
=''quot;{' 7'K] ,t^—'l-l
q. ^q L«ïJ—?. nbsp;nbsp;nbsp;=^'. Zq
i.c^ i) _ r ±1quot; x i-c? i).c2^ o
2 ^ nbsp;nbsp;nbsp;L'^i’ A ' q- 2q. 2q
I .rg—o ^ r Al^ i-Oz-o-Cg^/—o.C3-7-o.C4g—o _ r aT’_«„2. »
¦^. 2?. nbsp;nbsp;nbsp;3?*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;L'S’-i'J—'?. 2^7.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3^.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5^ ‘L«ïJ A
I .clt;? i)-cg? o.C3? o rè i4
q. 2lt;?.
3?.
4-7
‘ nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-i-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-‘inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— w
X i I -L. TAI nbsp;nbsp;nbsp;i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fAI A -inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r^T- A. rAT'. -Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f-T- —. fi ji_, TA]A_4£9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[1,7
l 2 L«“J nbsp;nbsp;nbsp;8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|_«aj — lónbsp;nbsp;nbsp;nbsp;128 ‘L'ï^J~25‘^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ï°-4 La a —2048 Lquot;'j 32703nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;La-J —
_^x}i4-A.fAl nbsp;nbsp;nbsp;I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FAA Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FAI’ I® r-^A-Ainbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fAlAAlf _FAT Alt. TA]
‘ ~3 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J 243 ’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~r2p ‘ L«0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;5561 LasJ—19683 Lö^j
_x rAT Aii
2048 La'^J
~a X i I -f A .
lt; —4
I nbsp;nbsp;nbsp;32 L'*^Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2048 La^J —
.«. nbsp;nbsp;nbsp;X;, 4. rAi_.i. r4T x. ri-j3_7i. m* ^ ¦ f^T
~ nbsp;nbsp;nbsp;t — 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;25 L'»A 125 LaO 625 LaSJ—15635 La^J
1463 r h -|6_j_ 4807 65536'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—202144'
¦ h nbsp;nbsp;nbsp;65i2
1596
4. nbsp;nbsp;nbsp;‘L.-.quot;-':.\^:‘—IZliil.—14 . ! IL j''_ê!)2. J, Zie §. 544.
S'?- nbsp;nbsp;nbsp;4'?-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5^' L.aïJ f
A'Ti±iAAi±AAA±OAi'?±o. F Al A«;2. j zie §. 544.
~q. 2q. sq. 4q. zq L'^‘-'J (
935 F ^ IA
- • ~r I enz.
59049 nbsp;nbsp;nbsp;—
b ~[7 nbsp;nbsp;nbsp;129789 r b
8388608 nbsp;nbsp;nbsp;L'^*J —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' f
I
enz. \^Zlc §. 545,.
28101
Men vermenigvuldige nu dit verkregene getal met 635, en deele het produft door 504, als hier onder, dan is;
sop
y2=2i, 25992 nbsp;nbsp;nbsp;10498 94873nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;16476 72
® nbsp;nbsp;nbsp;63nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;}
^ Volgens y2=:~x \ t----— '
50 i 2lt;:
17- nbsp;nbsp;nbsp;=
18. VA
78125 • \_asj — 390625 64467 F. ?gt; quot;]5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1052961
,axh -L. rJ-1 - A . F A_] A AL rA-1 A .A53. F A.1a . F-A] a nbsp;nbsp;nbsp;. FA-IA
( —10 nbsp;nbsp;nbsp;200nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—2ooo’l_a^°J 80000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—4000000 La‘°J 80000000nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
Lv f. I I r^l i-Cq—0 F^ I2, i.C‘7-i)-C2'7—O nbsp;nbsp;nbsp;I-C?—0-(2?--i).C39—o F^ A_i-i-C^—O-Cs?—0-(3-7—1).(4‘7—ï) rLquot;l=
. ^'i^±T’L^j~^'~2-r’i^J-qrn.—i—T^J nbsp;nbsp;nbsp;“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦
q. 2q.
4'?-
1 /linde cqAz=im4-b.
enz. X V c - .f —
i Zte §. 546.
|
50047 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Nu is de formule Nquot; 20, in het tegenwoordig geval, \nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9 3 nbsp;nbsp;nbsp;63 y2 — —x 50 -i^3__Lr4. 81 nbsp;nbsp;nbsp;243 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. nbsp;nbsp;nbsp;p'
22.
23- A-f7)“ nbsp;nbsp;nbsp;:
24. (x y)-^ :
25-
26. nbsp;nbsp;nbsp;y(ai—bj :
27. nbsp;nbsp;nbsp;(^7 ?'^/'—1)«:
28. nbsp;nbsp;nbsp;(a--hV—iy-.
128 ' La^J —256 ' L«'
A X |i A. rA]_A. rA]AA. r±y a . faia—. faia a4 . fa
e l —3 L.a'gt;J 9 L«^J —8l nbsp;nbsp;nbsp;243 L^'^J —729 L'^^J 65ÓI L'*^ —
z-yfA-ij nyCA) x h~ AAa) Ta 1 A i-r4-i).C2a-i).C3'ZxO FA1A A?rT. FA]A nbsp;nbsp;nbsp;(7^-0 f_i_'1 A2
lt; f- 2^’ 'L^J q. 2q. nbsp;nbsp;nbsp;3.7.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;47nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’L-^J q- 27-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;37-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;67 Lx?J 7. 27.« e«2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;87nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'[_AJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f
: y(A~i) 2yCA) X /A . FA] A^xACAzA
' lt;7 nbsp;nbsp;nbsp;LX?_(nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 7
:.v» X i I « . -A--
t nbsp;nbsp;nbsp;^ 3-’ I
' 7’ 1A _3_3
A]^— c«2. nbsp;nbsp;nbsp;zijnde Az=.a- b.
374 r^~v ¦ 19683
Zie §. 547.
j^—A—enz. I ; zijnde A b.
I .(7—i)fK2. f47—O F Ta- tA—iAaFAzA rAl^j. ¦if~o CA—o
7. nbsp;nbsp;nbsp;27. enz. 57nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot; LxfJ quot;^7.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27. enz. 77nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'7-
• [Agt; nbsp;nbsp;nbsp;• AJ
• A]• rA]'- AAA • A]^
2 7. enz. 9 7
— nbsp;nbsp;nbsp; f»2
I Zie §. 548.
opge-
X JI A. fAA] lAi A. F-A_]AAAAfHAAA. FA_]A nbsp;nbsp;nbsp;!
t 7 nbsp;nbsp;nbsp;La‘? ^J^7-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Lai bJ ^q.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 q,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;37nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\_ai-\-bJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A
:.xi.-j-.r-*-i iiO±j2.r-i-T-'-o o-c ii).r_*_T „.;
^ nbsp;nbsp;nbsp;_ LAzA an-^b-~ AAAA)^„-3 ^3 ?/_ 1 ^-AZiL) «„-4 ^4 .AlAxi)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I _ LuAxS) ^«-6 ^ci _ ,,,,
I nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I, 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,*.3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'i,,*4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,.,5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
n nbsp;nbsp;nbsp;n.(ft
za»--~n«—iby—I
I. 2
^ nbsp;nbsp;nbsp;i,*.3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,.*4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i..,5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1...6
AL)««_2b- 'AiCl-zA ««-3 ^3 j/_, A-AaA«,-4 Ó4 - AA!L-=4) nbsp;nbsp;nbsp;j/_ 1 _ AiT1-z5)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
Zie §. 552.
enz.
5°)
| ||||||||||||||||||
|
y2z=i, 25992 10498 94873 16476 72 hetgeen met de eer-fte berekening, tot in het twee- en- twintigftenbsp;cijfer, overëénftemt. |
337
nu, in deze, voor u hare waarde —^ —; dan verkrijgt men
de foriïiule Nquot; 23, welke, wanneer n een geheel getal is, uit een oneindig aantal termen beftaat.
§• 550. Stelt, men in deze laatlle, n — — q, dan verkrijgt men N° 24, welke een bepaald aantal termen heeft.
§. 551. Stellende eindelijk, in 23, x~ait nbsp;nbsp;nbsp;m.
« = —; dan verkrijgt men: nbsp;nbsp;nbsp;25: en in deze h negatief
ftellende, N“ 2(5.
§ 552. Stellende eindelijk in N-’ 5, x~a en en'3'= l V— i; dan verkrijgt men N« 27, en y = —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_x (tel
lende N'* 28. Deze zullen wij elders gebruiken.
§. 553. De leerling moet alle deze formulen, naar de gege-vene aanleiding, zelf berekenen, en zich met dezelve gemeenzaam maken.
§. 554. Wij gaan met flilzwijgen het gebruik voorbij, hetwelk wij in den eerden Curfus §. 744, en, in de XXXVI en XXXVII Lesfen,nbsp;van het Binomium van Newton gemaakt hebben, zoo, om op de ge-fchiktfte wijze, eene tweeledige Helkundige uitdrukking tot eenige po-liticve raagt te verhelFen, als om de klaarblijkelijkHe formulen te ontwikkelen, welke dienen kunnen, om de regelen voor de worreltrek-kingen der bijzondere magten te verkrijgen, en zullen ons alleen tot hetnbsp;gebruik der formulen N° n, 12, 13,, 14, 15, 16, 17, enz. 22 ennbsp;25 en 26 bepalen, om de wortels uit wortellooze getallen te berekenen.
den.
hare bruikbaarheid, v\r tweefoonen: in divergerende en
reelcien. * De eerde zijn zoodanig gedeld ,
deeds grooter dan de onmiddelijk voorgaande woi -eiy
2ijn daarentegen de volgende termen deeds kU
de, De eerde kunnen voor het berekenen v^n »
der gtootheden, welke zij uitdrukken, niet gebtui i woï en.
II. Cüitsus. nbsp;nbsp;nbsp;Y
§• 555' Om het gebruik der gegevens en de wijze, waarop zij moeten voorkomen, in dezen, wel te verdaan, zullen wij ons bij de formule N“ u , als alle de volgende in zich begrijpende, bepalen. Dezenbsp;formule bellaar uit eene onbepaald voortloopende reeks, omdat geenenbsp;der coëfficiënten, zoolang q een geheel getal blijft, gélijk nul kan wor-Men onderfcheidt deze foort van reekfen, met betrekking tot
-ocr page 374-333
de foort kau alleen tot dit oogmerk flrekken. Het vereischt dikwijls zeer veel omzigtigheid, om de convergentie eener reeks te beoordee-len, omdat ’er veel gevonden worden, welker eerde termen fchijnennbsp;te convergeren, en nogtans, verder voortgezet zijnde, ten laatfte divergeren, andere wederom fchijnen, in derzelver voorde termen, tenbsp;divergeren, en worden intusfehen convergent. Men moet dan welnbsp;verzekerd zijn: dat, i° de termen van eenige reeks deeds kleinernbsp;worden'; en 2'^, dat de fom der termen, die men verwaarloost, minder in waarde zal zijn, dan de laatde term, welke men in de berekening gebruikt heeft. In dit geval bevinden zich nu 11, benevens de reekfen, welke uit deze zijn afgeleid, wel te verdaan, wanneer m jgt; b is. Deze reekfen zuilen altijd zooveel te derker convergeren , naarmate b: ai een kleiner breuk is.
§. 556. De formulen N® ii, enz. tot 17, kunnen gebruikt worden, wanneer het getal, waaruit men eenigen wortel moet trekken, weinig van eenc volkomene magt onderfcheiden is. Bij voorbeeld, dennbsp;vierkants-wortel uit 50, Ö5, 82, loi, enz. en anderen. Nemen wijnbsp;den vierkants-wortel uit loi en 102; dan zal men -f- è =: loinbsp;of 102 dellen; in het eerde geval, zal «zrio en b—\-., in hetnbsp;tweede «“lo en b — i: men heeft dan, wanneer men deze waarden van a en b in de formule N® 13 overbrengt.
l^ioi — ro X [i nbsp;nbsp;nbsp;— -lyj X ^§5-4-§.-8 Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f Cx
T?-D X nbsp;nbsp;nbsp;X nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—quot;«•]
yt02=Z10 X [l |.5§—^ s-è X 55 —'fC X
S'O 12quot; ''50 nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14* ”50
en neemt men, in de achterfte leden dezer vergelijkingen, de evene termen negatief, dan zal men uitdrukkingen voor en yp8 verkrijgen. In de eerde reeks, is x? — i . B — \ A X' j~, enz.nbsp;Alzoo moet men ook de tweede verdaan.
§. 557. In geen ander, dan in dit geval, kunnen deze formuien, met een wezenlijk voordeel, gebruikt worden, ten ware men mogtnbsp;goedvinden, om vooraf den begeerden wortel, tot in de honderddenbsp;of duizendde dealen, te benaderen, in welk geval, deze reekfen altijd genoegzaam zullen convergeren.
§. 558. Om de wortels uit kleine getallen te vinden, zal men van N® 18, 19 en 20, met voordeel, gebruik kunnen maken. Wij zullen, ten aanzien van het gebruik dezer formulen, het volgende,nbsp;des Icerlings-overdenkiiig, ter nederdelicn.
1° Stellen wij in N® 19, het getal Azz2-, a zz 99; nbsp;nbsp;nbsp;— 7°!
239
is h^i, en men zal verkrijgen 70® x 2=rppa — i
2° Stellen wij, in N“ ip, wederom A—i \ ^ = 56; «rzp/; dan is b~i, en 56^ X 3 = p/^ — i, en
56 I 2 ‘9409 nbsp;nbsp;nbsp;8 'L9409Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i6’L9409jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' ï
3quot; Stellen wij in N® 20, het getal A~^'t «=r63S; e —5°4i dan is ^ = 253; 5043 x 2 = 6353 253, en men heeft
253
I ¦
— nbsp;nbsp;nbsp;i . I
5°4 I 3 ' 256047875 nbsp;nbsp;nbsp;quot; '
Men zal, door een weinig nazoeken, voor alle wortelloofe getallen aanmerkelijk convergerende uitdrukkingen vinden; ja zelfs meer danééne. Stellen wij,'bij voorbeeld: 50^ X2 = Ó33—47; dan zal ook
= nbsp;nbsp;nbsp;j.-i.
50 l 3
47
— enz.
zijn, welke tot eene bevestiging der voorgaande ftrekken kan. Men zie, over de wijze, .op welke deze uitdrukkingen berekend worden,nbsp;de uitlkande tabelle. Liitera C.
§• 559* De formulen, N® 21 en 22, kunnen dienen om eene tafel van de quadraat en cubiis-wortelen der naturlijke getallen te berekenen; zij onderftellen dat de wortels van twee op elkander volgendenbsp;getallen, A—i en A, bekend zijn, en zij loopen, zoodra A groo-ter dan 100 wordt, fterk zamen.
§. 560. De formulen, N“ 25 en 26, hebben wij gebruikt, om te vinden, dat
— i
(10)'^° = 1, 258P2 54117 94167 21042 is. De Lezer zal, bij het narekenen van dit voorbeeld, gewaar worden, waarom wij liever deze dan eene andere formule gebruikt hebban: ondertusfchen is het noodlg; dat men vooraf eenige cijfers, bij.nbsp;voorbeeld, 1,2589 zoeke, (en deze kunnen, zie §. 894, I. C., altijd door de gewone Logarithmen-tafel gevonden worden,) waarna mennbsp;'*~tj25op rtelr; de letter b zal alsdan eene kleine breuk worden,nbsp;en een klein aantal termen der reeks zal voldoende zijn, om den ge-vraagden wortel te vinden.
§. 5^1- Het zoo even verklaarde, bevat flechts de minst nuttige toepasling van het Binomiura van Newton. Het is bijzonder nuttignbsp;in vele andere herleidingen, welke, zonder deszelfs hulp, niet zouden
Y 2 nbsp;nbsp;nbsp;kun-
-ocr page 376-34°
kunnen plaats hebben. Wij geven de volgende voorbeelden tot 's Lazers oefening.
1. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. Gegeven zijnde Cof. z — l/Qi — Sin^.z) de Co-finus 2 in eene reeks, welke de evene magten van Sin, z inhoudt,nbsp;ie ontwikkelen ?
Vergelijkende deze uitdrukking met N'-’ p, dan is J, en Sia^, z ~2,. en men zal verkrijgen:
Cof.z-=sr.—lSin'^,z- nbsp;nbsp;nbsp;^
2. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. Met weet: dat Tang z — Sin,z%{\ — Sin'^,z) ¦“nbsp;;smen begeert Tang, ¦ z in eene reeks van Sin, z uittedmkken ?
Tangz~ Sin, 2 § Sin'i-, 2 § . | Sin^ ,z |. | • 1 SiM, z ^”2.
3. nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeeld. Het gebroken ¦ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-----in eene oneindig voort-
yQi,-hx=-y
kopende reeks te ontwikkelen?
In plaats van dit gebroken, kan men Mien: ax{\—b x^') a,
_2.
men ontwikkele dan (i—bx'^') ï, en vennenigvuldige de uitkomst met ax-, dan zal men verkrijgen:
§, 5(52. Vraagstuk. Gegeven zijnde x y — s, en begeert men eene algetncene ttitdnikktng voor xgt;‘ -f-J”’ eene functie van s en p, te vinden ?
Wij geven hier dit vraagftuk, waarvan wij naderhand een bijzonder gebruik maken zullen, om een voorbeeld van de toepasfmg van het Binomium van Newton, in de oplosfing van algemeene vraagftukken,nbsp;te geven. Men verheffe .v-|-ji=s tot de magt «,• dan verkrijgt men:
^ r f2—rj }
n(ji—I) (»—2)
X»—3 nbsp;nbsp;nbsp;-j- enz, -j-yquot; wy“'“ta:
n{n—i)
yn—2 nbsp;nbsp;nbsp;-j- enz.
en Hellende xy~p; dan zal deze vergelijking in
22 C f2~ Ij nbsp;nbsp;nbsp;-s
y»“(x» 3quot;0 quot;tquot;”/* nbsp;nbsp;nbsp;Hp^(jC‘‘~A -f-
flirt—ij(n—2) nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, nCti—iYn—aYn-'i').,,,
FTT. nbsp;nbsp;nbsp;(x«-6 r;-6)
(,T“—8 nbsp;nbsp;nbsp;s) -j- enz,
ver-
-ocr page 377-341
veranderen, welker laatfte lid noodzakelijk bij eenigen term zal afbre-ken; kunnen wij nu nbsp;nbsp;nbsp;2 3'»—2, x»—4 31»—4, enz. in funétien
van s en p vinden; dan zullen deze funélien in het voorfte lid der vergelijking moeten overgebragt worden, om de waarde van x» 3quot;*nbsp;te vinden.
Stellen wij, om dit oogmerk te bereiken, in de laatfte uitdrukking, « — 2 voor n; dan zal men verkrijgen:
I- 2 nbsp;nbsp;nbsp;I. 2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3-^
(x»—8 3'quot;—8) enz.
vermenigvuldigen wij deze vergelijking met np, en trekken wij het produéi: van de laatst voorgaande af; dan zal men verkiijgcn:
s» — np s»—2 =: (x« 3'«)—~P'^
Op deze wijze, zal men de fommen van nbsp;nbsp;nbsp;x»—6 31»—ö,
enz. kunnen wegmaken, hetgeen wij aan den Lezer overlaten. Men zal eindelijk vinden:
‘3
n-S n-6 n-7 , nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n~6 n~7 n-%
§¦ 5^3* Wij zouden nu tot de ontwikkeling van de magten der veelledige uitdrukkingen moeten overgaan: maar, daar wij het leerftel-fei der combinatiën daarin te hulp zuilen nemen, hetwelk ook te gelijk op andere onderwerpen deszelfs toepasfing heeft, zullen wij eerstnbsp;over de transcendentale uitdrukkingen fpreken, welke met elkandernbsp;en met het leerftelfel der magten ten naauwfte verwandfchapt zijn.
WIS-
-ocr page 378-WISKUNDIGE LESSEN.
XV. BOEK.
Over de Logarithmen en Cirkelbogen.
NEGEN- EN- y IJ F T I G S T E LES.
Over het gebruik der onbepaalde coëfficiënten,
§. 5Ö4. .A.lle wiskundige onderzoeldngen bedoelen het verkrijgen van zekere uitkomflen^ en alle bewerkingen, welke tot dat einde ftrekken, beftaan in eene reeks van herleidingen , welke de eene uit de andere volgen, en zoodanig moeten ingerigt zijn, dat men, door dezelve, eene voorgefteldenbsp;uitkomst verkrijgt. In deze herleidingen, ook fomtijks omwikkelingen genoemd, kan men veeltijds, a priori, bepalen, welknbsp;eenen vorm de herleide uitdrukking verkrijgen moet, en innbsp;dit geval, is'alles^op de coëfficiënten van de termen der herleide uitdrukking na, bekend. Men Helle dan voor dezenbsp;coëfficiënten onbepaalde letters, en onderzoeke aandachtig-tiglijk, of de aard der gegevene uitdrukking, niet zulke oin-Handigheden medebrengt, welke voldoende zijn, om een genoegzaam aantal vergelijkingen, tusfehen de onbepaalde coëfficiënten, uit dezelve afteleiden? kan men dit oogmerk bereiken; dan zal de oplosfing dezer vergeliikingen de gevraagdenbsp;ontv/ikkeling doen bekend worden. * Men noemt deze wijzenbsp;van oplosfen: ontwikkeling eener gegevene uitdrukking doornbsp;onbepaalde coëfficiënten. De volgende voorbeelden, zullennbsp;deze handelwijze nader leeren kennen.
Voorbeeld. Het gebroken
in eene
3 2 X
I —3x-|-2x“
derkeerige reeks te herleiden?
Vol-
-ocr page 379-343
TWEEDE CURSUS.
Volgens §. 68, kan deze reeks, door de gewone divifie, gevonden Worden: door de handelwijze der onbepaalde coëfficiënten aldus. Mennbsp;weet, a priori, dat de gevraagde reeks van den vormnbsp;C w* Z) -f- enz. zal moeten zijn: men ftelle dan:
-—— nbsp;nbsp;nbsp;— — A-\-Bx-\-Cx^ Dx'^ £x't4- enz.
I— nbsp;nbsp;nbsp;'
indien nu deze aangenomene uitdrukking het ware quotient zal voor-ftellen, dan moet hetzelve, met den deeler vermenigvuldigd zijnde, het deeltal voortbrengen. Nu vindt men voor het produfl:
A lix nbsp;nbsp;nbsp;Fx^ enz.
3 ^X nbsp;nbsp;nbsp;— 3 cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 3 Z)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 3 £nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz,
^ Ax^ 2^x3 _f. 2 CX* zD nbsp;nbsp;nbsp; enz.
Dit produft moet nu aan het deeltal 3 a a: gelijk zijn; en men heeft derhalve de vergelijkingen:
^ — 3......waaruii /f rr 3
B — 3A = 2.......B=z2 3^= nbsp;nbsp;nbsp;2 3X 3=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;II
C — 3-S4-2^=o. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C — ^B — zA—z Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;II—2X 3=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27
D — 3C 2^zz:o. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B =30 — zB-z-x.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27—2 x 11=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5p
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz,
waaruit blijkt: dat elke coefficient gelijk is aan driemaal den voor-gaanden, min tweemaal den naast voorgaanden. Men kan dan de ge-zogte reeks, zonder divifie, of zonder meer vergelijkingen optelosfen, zoo verre men goedvindt, voortzetten. Men heeft derhalve:
2= 3 n a; 27 nbsp;nbsp;nbsp; 59nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 123nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz.
hetzelfde, dat men, door de gewone divifie, zou gevonden hebben. Men zal de breuken, op de tegenzijde van Tabelle N“ II. geplaatstnbsp;op dezelfde wijze kunnen ontwikkelen.
ft
§‘ 566. 2. Voorbeeld. Wetende, dat (i 2)»= i 2
1 . nbsp;nbsp;nbsp;2
cene reeks te ontwikkelen?
enz. is, vraagt men de uitdrukking (i -j- in
of
Voor (ji nbsp;nbsp;nbsp;ija;j gefchreven worden
-f- enz.
men
-ocr page 380-344
men zou uu de begeerde uitdrukking, door dadelijke divifie, kunnen vinden: wanneer men nogtnns de handelwijze der onbepaalde coëfficiënten daartoe wil in het vverk Hellen, neme men voor de begeprdenbsp;uitdrukking:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.; dan zal
1 nz ¦ n(n— i) |
z^ -1- enz. |
zijn: men vermenigvuldige dan het aangenoltien quotient met den dealer, dan verkrijgt men voor het produél:
i-j- A z B z^ nbsp;nbsp;nbsp;.....
n z-‘r n Az^. . n B z'^. . , . nbsp;nbsp;nbsp;nCz^-\-
1.2 1.2 1.2
j- ”C«—i)C»—g)^3 , »C”—OC”—g) ^.4 ,
'i,g. nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i . a .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
24
JU»C«—0 (n—ü.) (« — 3)
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3 .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
dit produiil moet gelijk aan het deeltal, dat is, gelijk aan de éénheid zijn. Het biijkt: dat men, ten einde daaraan te voldoen, de coëfficiënten van de magten van z in het gevonden produél, gelijk nul zalnbsp;moeten Hellen, Men zal dan hebben;
I ^ . - . ¦ nbsp;nbsp;nbsp;-p- « o , derhalve ri zz; — n
2** B ¦\-n A
U(fi—i) nbsp;nbsp;nbsp;??(«—i)
—g--of B~ — nA----d
en Hellende voor A de waarde, uit de eerfte vergelijking afgeleid.
B:
•n X — n-
Op deze wijze voortgaande, zal men de waarde van de coëfficiënten C, Z), £, F, enz. bevinden dezelfde te zijn, als welke wij in §. 503nbsp;en 504. voor de ontwikkeling van (ji -f-2}—«, langs eenen geheel anderen weg, gevonden hebben.
Gebruik der onbepaalde coëfficiënten in het verdeelen der flelkiindige breuken.
U5
hulpmiddel, om eene Helkundige breuk in eenvoudiger breuken te verdeden.
§. 568. I. Voorbeeld. Laat, bij voorbeeld, gegeven zijn de breuk:
32 nbsp;nbsp;nbsp;37 X® — 65 ar — 60
8 nbsp;nbsp;nbsp;— 6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 17 x® -|- 6 ar -b 9
velke zoo gis uit §. 84. blijkt, de waarde van de uitdrukking
_A_ nbsp;nbsp;nbsp;___i___L- nbsp;nbsp;nbsp;¦
S-X — 3 X—I nbsp;nbsp;nbsp;4a:-|-3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ar-j-I
voorjlelt, en door de optelling dezer eeuvoudige breuken verkregen wordt: men begeert deze gegevene breuk wederom te verdeden, innbsp;de breuken, uit welker fom zij is voortgekomen ?
Men zal, het zij, door den regel van $. 152, het zij, door de leer-''wijze van Büdan, den noemer der gegevene breuk in de faaoren 2ar—3^x-^i,4x-1-3 en x 1 ontleden, en, voor de gevraagde breuken,
-i__L _i_ j__L__. _A-
2 X — 3 nbsp;nbsp;nbsp;X— I ' 4Je~t-3'-*-f-i
Hellen kunnen, welke, naar de regels van de gewone Additie der Helkundige breuken, opgeteld zijnde, voor de fom geven zai:
Aax'^-\- 3«*®— 4»x — 3“®
8éx3-l-2èx® — ï$ b x — 9 b nbsp;nbsp;nbsp;,
32 nbsp;nbsp;nbsp;37 x~ — 6$ X — 60
2 c xt — 3(;x® — 2 c X c 2dx^—— S d X ^ d
¦ 6 x^ — IJ -b örv -j- 9
Deze breuken gelijk zijnde, moeten, daar de noemers gelijk zijn, ook de tellers gelijk zijn: men zal dan de coëfficiënten van dezelfde mag-ten der grootheid x, aan elkander moeten gelijk Hellen, en daardoornbsp;zal men de volgende vergelijkingen verkrijgen:
4.a ^b 2C 8i=: nbsp;nbsp;nbsp;32
3^-f 2b — 3c—14^=: nbsp;nbsp;nbsp;37
— 40'—15^—2C—¦ zd——6s — Zd — 9^ 3“: 9 d— —60nbsp;welke even zooveel in getal zijn, als ’er onbekende grootheden voorkomen. Lost men dezelve op; dan zal men vinden: 0 rr 3 •, ^ “ 4;
c~ — 2 en d~.
men verkrijgt derhalve Y
L
-ocr page 382-34lt;5
WISKUNDIGE LESSEN.
en
voor de breuken, in vi^elke de gegeveue
4^* 3’ nbsp;nbsp;nbsp;^ I
breuk kan verdeeld worden.
§. 569. Zoo dikwijls de noemer der gegevene breuk in tweeledige faéloren van den vorm ax h kan ontleed worden, zal men die breuk in breuken van den vorm ¦—È.—nbsp;’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ax
kunnen verdeelen; mits de vergelijkingen, tusfchen de onbepaalde tellers der aangenomene breuken, onderling beftaan-baar, cn zooveel in aantal zijn, als het getal der breuken bedraagt, waarin de gegevene breuk verdeeld wordt.
§. 570. Zie hier meer voorbeelden.
5 -V I
I. Voorbeeld.
gebroken - •
in eenvoudiger breu
ken te verdeelen? Men vindt voor de breuken —— en —
x-t 5
2. Voorbeeld.
Het gebroken
len? Men zal vinden, dat deze 7ï
(i 5x) X (i —
breuk gelijk is, aan: 7
te verdee-
24 (i -|- 5 :v) nbsp;nbsp;nbsp;8 Cl -b ^3 ï2 Cl — *'3
§. 571. Somtijds heeft de noemer der gegevene breuk ondeelbare tweede-magts fadloren. In dit geval moet men, voor eene der zamengeftelde breuken, eene breuk aaunemeii, welkenbsp;dien ondeelbaren tweeden-magts faftor tot noemer heeft, eiinbsp;om aan den teller, welke tot die breuk behoort, de hoogst-mogelijke algemeenheid te geven, neemt men voor denzelvennbsp;eene tweeledige of eerfte-magts uitdrukking, met onbepaaldenbsp;coelRcienten, aan.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
3. Voorbeeld. Om de breuk
in eenvoudiger
(l—(i -f- x-j)
breuken te verdeelen ?
Men ftelle, na den noemer der gegevene breuk in deszelfs fa(5lo-ren ontleed tê hebben,
-fquot;
(l -X^)Cl-|-X^) nbsp;nbsp;nbsp;1 X I -X ' nbsp;nbsp;nbsp;1
dan zal men, na de aangenomene deolen, volgens den regel opgcteld, en den teller van de fom met dien der gegevene breuk vergeiegt;ten te
heb-
347
hebben; vinden Azz—i; B = l-, Cz=i§ en D=:iï: en de ge-gevene breuk wordt alzoo gelijk aan:
I . nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. , I a:
I ^e ' 2(1 —
4. Voorbeeld. Meu zal door de toepaspng van hetzelfde heginfcl quot;binden, dat:
_i )4-
Cl -(l
(i —x')^
§• 572. tt Een gebroken van den vorm......
n-\-hx-\- cx^ -j- enz. -j- px”—i . nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
¦----- ’ nbsp;nbsp;nbsp;verdeeld worden in
breuken, welker tellers bepaalde getallen, en welker noemers uit de afdalende magten van r -{- r x, van de tot de eevfte magt ingefloten, beftaan. Want, men zal altiidnbsp;voor den noemer der gegevene breuk den vorm a-\-bx-\-c x'^ -Y enz. p x’‘—i kunnen aannemen; en, wanneer men denbsp;onderftelde breuken optelt, even zoo vele verfchillende vergelijkingen verkrijgen, als ’er onbekende tellers zijn aangenomen.nbsp;De oplosfing dezer vergelijkingen zal de verdeelde breukennbsp;doen bekend worden.
5. Voorbeeld. De breuk o^telosfen ?
(i — x)3
Men Helle voor de eenvoudiger breuken:
in eenvoudiger breuken
(l -x)3 nbsp;nbsp;nbsp;(1 -
; dan zal men, na deze aangenomene breuken opgeteld, en
derzelver fom met de gegevene breuk vergeleken te hebben, de vergelijkingen A -{¦ B -ir C zz^-, B-^r 2 C—7 en C=3, verkrijgen, waaruit ^ — 4; Bzzi en C=:3; volgen zal; zoodat
-b ¦
(l—x')^ nbsp;nbsp;nbsp;1
^~7x 3x^ _ nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
(i—Cl—
Zal zijn. Men zal de breuken, welke in het voorgaande voorbeeld gevonden zijn, insgelijks nog verdoelen kunnen. Deze wijze om denbsp;breuken te verdeelen, heeft in de leer der wederkeerige rfeekfen, ennbsp;m de Integraal-lCekening eene uitgcllrekte toepasfing,
Cv er
-ocr page 384-1
Over de omkeering der Reekfen.
§ 573' * Wanneer eene veranderlijke grootheid y van eene andere X zoodanig afhangt, dat zij door de vergelijking
y ~ A X nbsp;nbsp;nbsp;B x~ C D E x^ -1- Fx^ enz.
wordt uitgedrukt, in welke de coëfficiënten- B, B, C, D, enz. bekende en ftandvastige waarden hebben 5 dan is het, zoo als dadelijk blijken zal, altijd mogelijk, om de veranderlijke grootheid x, in eenenbsp;reeks of funélie van y, uittecirukken, zoodanig dat
x~ay b *tquot; r nbsp;nbsp;nbsp;enz.
worde, en de bewerking, waardoor men deze uitdrukking verkrijgt, wordt omkeering der reekfen, (j'everfio feriernm') genoemd. Wij zullen, daar het thans genoeg is, de mogelijkheid der oplosfing te doennbsp;gevoelen, ons alleenlijk vergenoegen, met de handelwijze van Newton,nbsp;in zijnen laatften brief aan Oldensurg voorgedragen, (zie Newtoni,nbsp;Opuicula, Tom. I. pag. 352.) optegevén. Laat, zegt Newton, gegeven zijn:
z~x -}- I nbsp;nbsp;nbsp;I -r J -{- ï- x^ -j- enz.
indien men dan de leden dezer vergelijkingen door multiplicatie tot do tweede, derde en volgende magten verheft, dan zal men, met weinignbsp;moeite, vinden:
a- — nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-1- iinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e enz. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. (i j)
^ nbsp;nbsp;nbsp;. X® ^ x* znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^2^
.....x'1- 2 enz. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
2^ ~.......x^ enz. .' . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(4)
Nu trekke men van de gegevene vergelijking z~x-{-Tx^ enz. do helft van vergelijking (i), dat is ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ x^^ x^x*
-^enz.: dan zal men overhouden:
gt;12. * '
z — \z^—x — Jx3 — 2I — g-l enz.
Hier telle men een zesde van vergelijking (2), namelijk i x -1- -J x5^ enz. bij; dan zal men verkrijgen :
:x nbsp;nbsp;nbsp;xs -f enz.
van deze fom zal men voorts aftrekken, édn- vier- en- tvgt;;intigfi;e van
men zal dan
vergelijking (3), namelijk: nbsp;nbsp;nbsp;zs =
overhouden:
2 — I 2- -f J sa _ _i s4 — X — -I _ x5 enz.
Bij deze laatfle telle men wederom écn-hoiiderd- en- twintigfr*^ vergelijking (5), dan zal men hebben:
§• 574-
-ocr page 385-349
§• 574. Men ziet, uit deze zeer natuurlijke oplosfing, dat men de ®3gten van z door de gewone multiplicatie verder zou hebben moeten voortzetten, om de verdere termen van de waarde x, welke vannbsp;z7, enz. afhangen, te vinden, ft Wanneer de waarde vannbsp;®, uit een bepaald aantal termen beftond, welke van de magten van xnbsp;afhingen, zou nogtans x in eene oneindig voortloopende reeks, eenenbsp;funftie van 2 zijnde, worden ontwikkeld. Dit weinige zij voor hetnbsp;tegenwoordige genoeg, om een denkbeeld van deze leerwijze te geven.
zestigste les.
Over de Logarithmen. (Vervolg van de veertigUe Les.)
S* 575- Uit den inhoud van de XL Les, in den eerden Curfus, is genoeg gebleken: dat eenig ftelfel van Logarith-men, door de vergelijking y — a’‘, kan worden voorgefteld ,nbsp;zijnde a ftandvastig, en x en y veranderlijke getallen. ,Voornbsp;alle waarden, die men x geven kan, verkrijgt y eene over-ëénkomftige waarde, welke, indien x een geheel getal is,nbsp;door a tot eene zekere magt te verheiFen, en , indien x eennbsp;gebroken is, of alleen, door eene worteltrekking uit a; of,nbsp;door eene magt-verheffing van a, èn eene worteltrekking uitnbsp;die magt, verkregen wordt. In alle gevallen is, zie §. 869,nbsp;I. C., het getal x de logarithmus van bet getal y, en omgekeerd X het getal dat tot den logarithmus behoort. Denbsp;vergelijkingen
ö-v = y, en X — log. y
zijn dan Hechts twee verfcliiilende wijzen, om de?é!fde overeenkomst van getallen uittedrnkken: de laatde is echter minder volkomen dan de eerde, omdat daarbij het grondtal van het Itelfel van logarithmen, dat men gebruikt, niet wordtnbsp;uitgedrukt.
.§• 576. Wij hebben reeds, in §. 861, I. C., opgemerkt: dat ’er zoo vele delfels van logarithmen zijn, als men aannbsp;het getal a verfchillende waarden kan geven: alleenlijk behoudt het grondtal a, in hetzelfde ftelfel van logarithmen,
de-
-ocr page 386-350
dezelfde fiandvastige waarde. Men kan nu, met betrekking tot eenig ftelfel, twee vragen voorftellen. In eentg ftelfilnbsp;van Logarithmen, de Logarithmus van eenig getal te vinden'?nbsp;zquot; De Logarithmus van eenig ftelfel gegeven zijnde^ het ge~nbsp;tal te vinden, hetwelk met dien Logarithmus over'éénflemt ?nbsp;In de oplosfing van deze twee vragen beflaat alles, wat mennbsp;van de Logarithmen, of van de vergelijking — kan verlangen te weten.
I. Om de Logarithmus van zeker getal te vinden?
§. 577. Dit vraagftuk beftaat in het vinden van de waarde van wanneer in de vergelijking = y, de waarden van ö en y gegevennbsp;zijn. Wij hebben eldersnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eene volledige oplosfing van deze
vraag gegeven: thans zullen wij, ten einde te doen zien, dat de op-iosfing van dit vraagftuk uit het Binomium van Newton kan afgeleid worden, ons van de oplosfing van Lagrange, zie zijne Théorie desnbsp;fontlions analytiques, pag. co. bedienen.
§. 578. liet is klaar, dat, in plaats van a, kan gefchveven worden I -fi?— I, en, in plaats van y, op gelijke wijze kan gefield wordennbsp;I y — I: de vergelijking ax — y zal dan onder de gedaante
Cl 4- ö — nbsp;nbsp;nbsp;— 1 4-31 — 1
kunnen worden voorgelleld, en indien wij derzeiver leden tot eenige magt n verheffen, dan zal men hebben:
(i ‘ i)»-r zi(i -f y— O®
Houden wij nu onder het oog, dat de drieledige uitdrukking i -f-a — I, door a — i als één lid aantemerken, als eene tweeledige kan worden aangezien, dan zal men volgens het Binomium vannbsp;Newton hebben:
I
(8Ö) Zie onze Handleiding tot de befchouwende 'iverhdadige Meet~ kunst, §. 8n. et feq. Aldaar hebben wij, uit den aard der zake, eenennbsp;algemeenen vorm, namelijk log. (^1 iy —A z-\-B zt-ziD z‘^-^nbsp;enz. afgeleid, en op grond, dat de logarithmus van (i 4” gelüknbsp;a X/og. (i-j-z) moet zyn, de onbepaalde coëfficiënten A, B, C,nbsp;enz. bepaald. Deze onze handelwijze, welke reeds vroeger, inde Verhandelingen van het Bataasch Genootfehap, voorkomt, heeft met die vannbsp;n’HüiLLiER. veel overëénltomst.
-ocr page 387-TWEEDE CURSUS.
351
nx(j%x—l)(»2.r—2)
(^a-iy enz.= i ^(j~i^ *^-^ Qy~iy Jr • • -
nCn — i')(n—2), nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
I ;7T'~ 3--^ (y-!gt; ««¦
lodien men vnn elk lid dezer vergelijking de éénheid afirekc, en de kooiende vergelijking door n deelt, dan zal men verkrijgen:
1.2 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;''nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
efiz.=Qy~i^ nbsp;nbsp;nbsp;. Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~£2. i Qy—iy
-f- enz.
termen van het voorfte lid der vergelijking zijn alle door x deelbaar: men zal de vergelijking dan onder deze gedaante kunnen dellen: f/- s .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—I . ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. Otx—i') (nx—2.') ^
I . nbsp;nbsp;nbsp;2
¦ Cy—0“ • -
XX^Ca~i)-l--__ .1 ,(a:—l)^ -f h--^--^ I
(a—l)a y enz. | =z(j —1)
C«-i)C»—2)
--.3 Ö—1)3 enz.
I . nbsp;nbsp;nbsp;2
15e termen, welke de magten van x vermenigvuldigen, zegt Lagrange , oioeten, daar n eene geheel willekeurige, van x en y onafhankelijkenbsp;'Vaarde heeft, elkander vernietigen: hoezeer zulks waarheid zij, kannbsp;dit beginfel eenen eerstbeginnenden duister voorkomen: onze kundigenbsp;Landgenoot, Bangma, flaat eenen gemakkelijker weg in: „ Omdat nnbsp;,, alle 'ivaarden hebben kanzegt hij, ,, kan men n zzz o Jlellen : ”nbsp;zulks doende, verdwijnt n uit de voorgaande vergelijking, en nunbsp;Wordt nx — izr — i; nx — 2 — — 2; nx — 3 = — 3; insgelijksnbsp;o — I = — I; n — n— — 2; en nu zal uit deze onderdellingnbsp;Volgen:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;
a; X I {a—ij)— 1 {a—ij)a -|- J —ij)s — 1 {a—1)4 ij- enz. j =:
O—i) _ ; (y-iy -I- f (y—iy — ' (3—ly -f enz.
en, wanneer men deze vergelijking, met batrekking tot .r oplost, dan Zal men hebben:
a: — OirilLrj 0—0^ i (y—iy — 10—0^ nbsp;nbsp;nbsp;.
(a—i)——1^3—• yj ^0 deze vergelijking leert ons: hoe de Logariihraus van een getal van
het
-ocr page 388-352
het getal, waarvan hij logarithmus is, en van de bafis van het ftelfei, dat men heeft aangenomen, afhangt.
§• S79- Stelt men in deze gevondene vergelijking (os), de veranderlijke grootheid y—i, dan is x ~Log. i, en wij hebben:
(i—i) — i(i—i)^ g (i—1)3 — enz._ o _
I
Log. I —
• I Qa— r (^a—— enz. ' z a , dan wordt
¦ § (ö—I f -f l («—1)5 — ertz.
—1) — l(a—1}2 ;'(tf—
Hetgeen overëénftemt met §. 862, 1. C.
§. 580. De noemer der breuk in de vergelijking («), is ftandvas-tig, want hij hangt alleen van de bafis van het fielfel van logarith-men af: hij zal dus, van het eene tot het andere logarithmen-ftelfel, eene andere waarde verkrijgen: Hellen wij dan
' (.«—O — i C«—I 3 nbsp;nbsp;nbsp;¦
dan verandèrt de vergelijking («}, in
:M X I Cy—ï') — § (y—O'quot; s (j—O® ~
* Men noemt het getal M de Modulus van het logarithmen-Helfel, dat het getal a tot bafis heeft.
§. 581. Stellen wij nu in de vergelijking (/3), in plaats van y— i, de letter z; dan wordt j = i 2, en daar nu x =: iög'. J ttr . .
Log. (1 2) is, zal
Log. (i z)z=3f X 12— 12=quot; 3 2^ — 4 nbsp;nbsp;nbsp; i z^—enz. j- (O)
zijn. Deze is de voorname grandreeks, door welke de logarithmeii berekend, en uit welke alle andere reekfen, tot die berekening die-'nbsp;nende, worden afgeleid.
II. Lle^ getal te vinden, dat tot een zekeren gegevenen Logarithmus bekoort?
§. 582. Hier moet de exponentiale uitdrukking ax in eene reeks, welke naar de veranderlijke grootheid x geordend is, bepaald worden-Men zal wederom, in plaats van y=:ax Hellen kunnen: .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•
—i)^’: nu is het klaar: dat, in plaats van (1 0—
zal kunnen gefchreven worden: | halve:
: men der-
353
(0)
Tweede cursus.
gt;) is hier een willekeurig getal, hetwelk in de waarde van y van zelf Verdwijnen moet. De uitdrukking (i «— i)», volgens het bino-mium van Newton, ontwikkeld zijnde, vindt men voor derzelvernbsp;Waarde:
. r nbsp;nbsp;nbsp;^ 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—O ^
t n(^a—0
¦iy
n (j«—i) —2)
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3
Nu kan men de gedurige produften —i), «(« —l) (?«— s), enz. ontwikkelen, en dezelve niet de ontwikkelde inagten van —inbsp;vermenigvuldigen, en dan zal men, na dit alles, de verëénigde termennbsp;der produften naar de opklimmende magten van n kunnen ordenen,nbsp;en dan zal
(i « — i')» — i A nB C n'^ enz.
Worden, in welke A, B, C, D, enz. funflien van a zijn, zonder dat de grootheid n in derzelver zamenftelling voorkomt. Het is nietnbsp;noodig deze berekening in het werk te Hellen: alleenlijk merken wijnbsp;aan, dat
A—{a — ij) — iQa — 1)^ I — 0’ — zal moeten zijn. Dit is gcraakkelijk nategaan; want al de termen vannbsp;de uitdrukking (P) zijn, (de eerfte uitgezonderd,) door n deelbaar;nbsp;mdien men deze door n deelt, en de quotiënten ontwikkelt; dan zullen de termen, die van n bevrijd zijn, —J, -j- 3, — enz. zijn.
De gevondene wsaarde van A is, zie voorgaande §, het omgekeerde van den modulus : fubllituercn wij nu de gevondene waarde van (^i a— i)» in de vergelijking (C); dan hebben wij:
X
j' — 11 -f- An -j- 5 nbsp;nbsp;nbsp; Cn^ enz. |
Befchouwen wij nu voorts A n B enz. als eenen enkeldcn term; dan hebben wij:
j=i -{- iL . rj„ Bn^ enz.'] '’^'^.[A» Bn^ enz.']^ «nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n»2n
nbsp;nbsp;nbsp;enz.y enz.
Nu ziet men, met eenen opllag van het oog: dat de eerfte, tweede, en volgende magten van An-\- B enz., door n, n^, «3 ^nbsp;deelbaar zijn, en gevolgelijk tegen n, «a, «3 ^ enz., welke in de noe-
II. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mers
-ocr page 390-354 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
mers van de coëfficiënten der termen voorkomen, weggaan: men heeft alzoo
I . nbsp;nbsp;nbsp;2
. [^ 5 ?2 C?23.]3 enz.
Deze vergelijking zal nu, voor alle waarden vnn x en n beflaan; bijgevolg ook, wanneer men n — o ftelt; en dan heeft men :
y:=iax~i -\-xA-\---•4-~
I . 2 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3
enz.
.r’- A'^ , A^ . x'^
1.2.3.4
§. 5^3. Nu is, zie §. 580, M=i:A; gevolgelijk Jz=.i:M; men heeft dan:
(lt;Igt;)
. nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ *4“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•
M 1.2. M' 1. 2.3.71/3 '
§. 584. Stellen wij voorts x — Log,y; dan hebben wij:
Log.y QLog.yY {Log.yy
, X , nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^
^ :
('P)
ilf ^1.2 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.
en deze is de reeks, waardoor een getal door den Logarithmus, welke tot hetzelve behoort, kan berekend worden (87).
(87) Vergelijkt men deze eenvoudige forraulen met hetgeen in §. 872, I. C. verklaard is, dan ontdekt men het meerder voordeel van de nieu-rvere boven de oude handelwijze. De gcfcliiedenis van dc ontdekkingnbsp;der Logarithraen, en de trapswijze verbetering der handelwijzen om dezelve te berekenen, i^ zeer leerzaam. Archimedes verbond reed^ innbsp;zijn gefchrift :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^zandrekening') cene reken- en meetkunftige
reeks met elkander. Stifelius gaf de eigenfehappen dezer reckfen, welke in den eerden Curfus §. 850 tot 854. voorkomen, zonder echter op hetnbsp;denkbeeld der Logarithmen te komen. John Neper of Napif.r, eennbsp;Schotsch Edelman, in 1618 gedorven, ontwierp de Logarithmen, en grondde zijn zamendel op cene meetkundige befchouwing. Zijn medewerker,nbsp;Eriggs, Hoogleeraar te Lsndon, gaf, in 1618, de eerde proef eener lo-garithmen-tafel, welke in 1624 vervolgd, en door GellibPvANd, in 1633.nbsp;onder den tijtel van Trigsnametria Britannica, voltooid werd. Echternbsp;tvas Byrg, in Duitschland, met Neper, gelijktijdig op dezelfde gedachtenbsp;gekomen, en dcide Tafelen z.amen, welker inrigting nogtans min vol'nbsp;komen was. Gelijktijdig, en naderhand, hebben Kepler, Mercator.nbsp;Gregory, Newton, Leibnitz, Halley, en andere beroemde manoot'gt;nbsp;zich met dit belangrijk onderwerp bezig gehouden. Men raadplege overnbsp;dit alles Francis Maseres, Scriptores Lcgarithmici, een werk dat tenbsp;Londan uitgegeven en zeer omdagtig is, waarin nogtans vele oude ennbsp;üorfpronkelijke dukken niet gevonden worden.
-ocr page 391-§. 585. Aanmerking. Men znl vr.n deze gevondene reekfen geen gebruik kunnen maken, ten zij men vooraf den modulus van het ftel-fel van Logarithmen, dat men berekenen wil, bepaald hebbe. Daarnbsp;nu de uitdrukking, hier boven voor M gevonden, vermits zij in allenbsp;gevallen niet genoeg convergeert, daartoe niet zeer gefchikt is, zullen wij eenen anderen weg inOaan, om denzelven te vinden.
§. 586. Nemen wij a en c tot de grondtallen van twee verfchil-lende Logarithmen - ftelfels; dan zal men, in elk dezer twee ftelfels, den Logavithmus vru een zeker getal y kunnen bepalen: laten dienbsp;Logarithmen door ƒgt; en q worden uitgedrukt; dan heeft men:
y = a^,
en y=.ei; gevolgclijk ~
Deze laatfte vergelijking in Logarithmen van hetzelfde Com het even welk) ftelfel overgebragt zijnde, zal
p X Log. a~q y. Log. e p: q :::iLog. e: Log. a
zijn: dat is, ff de Logarithmen van hetzelfde getal, in twee onder-fcheidcne flclfek genomen, fiaan in de omgekeerde reden van de Logarithmen van de grondtallen dezer ftelfels.
§. 587. Laat, bij dezelfde ondcrflelling blijvende, M de modulus van het fteliel y — ap, en M' de modulus van het Mfel yzzei zijn;nbsp;dan is, volgens 580,
Log.y^M X nbsp;nbsp;nbsp;O —Ky—0^ -\-l{y--iy^enz.'^=p
cn in het tweede,
Log.y — M' X — i) — i(j— 1)^ \(j— i)s —enz. \—‘I
gevolgclijk is: p: q — BT-, M'; dat is: ff de Logarithmen van hetzelfde getal, in twee onderfcheidene ftelfels genomen, zijn tot elkander in dezelfde reden ah de modulen dezer ftelfels.
§. 588. Vergelijkt men deze grondllelling met de voorgaande, dan volgt daaruit: dat
Log. a: Log. e — Bf: B'I, en BI—
Log.e X BI'
Log. a
In de onderftelling namelijk, dat de Logarithmen van de grondtallen tt en e uit hetzelfde llelfel van Logarithmen genomen zijn.
§• 589. Nemen wij, voor het ftelfel y — eq, tot hetwelk de modulus BI' behoort, een ftelfel, welks modulus gelijk aan de éénheid is; dan wordt M' ~ i, en wij verkrijgen dat ftelfel van Logarithmen,nbsp;hetw'elk, door de gevondene formulen, het ligfte kan berekend wor-
Z 2 nbsp;nbsp;nbsp;den.
-ocr page 392-35Ö
(83) * Laten, fig, 2 en nbsp;nbsp;nbsp;twee onbepaalde regte lijnen
zijn, welke elkander, het zij, onder eencn regten hoek, gelijk in2, het zg onder eenen fcherpen of ftompen hoek, gelijk in fig. 3, door-liiijden. Indien wij nu onclerllellen: dat de lijn B C, eens evenwijdig aan
2, geplaatst zijnde, evenwijdig aan zich zelve bewogen worde, en dat, in deze bewegende lijn, een punt C zulk eene beweging hebbe, dat, overalnbsp;£ C wederkerig evenredig zij aan ^ £, dat is; dat overal A £ X P C,nbsp;ADXDE, ^ FX FG , AHXIII, eene ftandvastige waarde hebbe ; dannbsp;zal het punt C eene kromme lijn RCEGIS befchrijven, welke de gewone Hyperbola is, geplaatst tusfehen hare afymptoten AP en AQ_, * In-dien de hoek P A regt is, wordt de Hyperhola gelijkzijdig genoemd;nbsp;is de hoek PAd fcherp of ftomp, dan draagt zij den naam van ongelijkzijdig.
Men make hoek ü ^ C — hoek C.t/O • en A£~SC; nemen wij nu A B aan, als do lengte éénheid, voorts eene Ign A D naar welgevallen,nbsp;eii verder AF, AH, enz. met de twee eerfle lijnen AB on AD, innbsp;cene opklinimende mcctkmiftige reeks; dan zullen £C, DE,FG,HI,nbsp;enz., eene .afdalende meetkundige reeks uitmaken; indien wij nu A anbsp;ZZ A B nemen, en door het punt a eene lijn a. 0 y S t evenwijdig aannbsp;AP trekken, en daarna de ordinaten tot in dC punten II, y, J en t, verlengen; dan zal 1.®. het vierkant A B ^ et het vierkant yten de éénheidnbsp;zijn; en de regthoekennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ai li y et y AFSety Alltaty zullen, even
a?S hunne Jengten, cene opklinimende meetkunflige reeks uitmaken, IVu zee ik: ft de Hyperbola de eigenfehap heeft, dat, indien A B~i.nbsp;en AB, AD, AF, AH, in eene meetkunflige reeks ft aan , de hyper-holifche fttikken BCBD, DEGF, FGIH, eenen gelijken inhotid Zul-len hebben,
Onderdcllen wij, dat de lijnen BD, DF, FH, elk in een a.intal van 100 gelijke deelcn verdeeld .zijn; dat Bb, Dd, Ff, ééne van die dee-len zijn, zoodat 100 maal £ b~B D; 100 maal DdzzDF; 100 maalnbsp;FfZZFH zij, enz. laten dan, door de declpunten, de lijnen bc, de,nbsp;fg, evenwijdig aan Ad worden getrokken, en w'ederom Cc, Ee, Gg,nbsp;evenwijdig aan AP; dan zullen de regthoekjes BCcb, DEed, P'Ggf,nbsp;enz. ontftaan: nu zsg ik: tt dat deze regthoekjes gelijk van inhoudnbsp;zijn.
Het is zeer gcmaklijk, dit gefielde te betoogen; want AB-.ADzzAD'. A F zijnde , zalookzfH — AB, oü B D : A F — AD, of D FzzA B •. A Dnbsp;zijn; maar nu is B D:D Fquot; _-t _ B D :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ D F— B b ¦. D d, en diensvol-
gens AB ¦, AD ~Bb : D d;‘daar nu A B : A DzZ D E : B C is, zal 0°^ DE:BC — Bb ¦. Dd, en D E X D d—B CX B b zijn; dat is, regtho^-BCcbzz regtboek DÉed zijn. Men zal, op gelijke wijze, betoogen,nbsp;dat regthock D 11 e i gcljit rOgtlioek FGgf zal zijn.
Men
-ocr page 393-357
Men zal even gemakkeiijk betoogcn : dat b r c'b'zzd t c'il'g f dat, al verder, b' s cquot; bquot; — d' n equot; d''—f‘ iv gquot; fquot; enz. is.
Zoo wij nu, in het algemeen, het aantal gelijke deelen m,SD, DF en FH gelijk n ftellcii; dan zijn ’er n deelen in de lijn B tgt; i n deelennbsp;in de lijn D F; gevolgelijk ook » regthoeken in de hyperboliiclie ruimtenbsp;BCED; n regthoeken in de hyperbolifche ruimte DEGF, enz. Nunbsp;zal de fom van de inbonden der n regthoeken, in de eerfte liyperboli-fche ruimte B C B E geplaatst, gelijk zijn aan de fom van de inhoudennbsp;der n regthoeken, in de tweede hyperbolifche ruimte D F G F geplaatst,nbsp;gelijk aan de fom van de inhouden van de n regthoeken iii de derde hy.nbsp;perbolifclie ruimte FGIH ftaande.
Deze fonimen blijven altijd gelijk, hoe groot men ook het getal n ftclle. Uit de figuur blijkt het nu: dat de fom der regthoeken, in de eerllcnbsp;hyperbolifche ruimte B C E D , groüter is fian de hyperbolifche ruimte,nbsp;in welke zij geplaatst zijn, en wel zooveel grooter, als de fom van denbsp;kleine driehoekjes Ccr, re’s, enz. bedraagt, welke fom, indien wij denbsp;deeltjes Cr, rs, van de kromme lijn als regte lijntjes aanmerken, gelijknbsp;is aan (^B C — E E')'X, B b. Stellen wij dan de fom der regthoekjes, innbsp;elk der hyperbolifche ruimten ftaande, gelijk S; dan zullen wij de drienbsp;volgende vergelijkingen hebben.
Flyp. ruimte B C E nbsp;nbsp;nbsp;Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— D E) yi B h
Jlyp. ruimte D E G F~S— {E E —F O') yt. D d llyp. ruimte F G III—S-^^FG — HI} X Ffnbsp;In deze vergelijkingen, zijn de grootheden (jS C — D S') X B b , (D E—FC)nbsp;X D d, QFG — III) X Ff, zeer klein, en worden fteeds kleiner, naarmate n grooter wordt. Indien dan Bb, Dd, Ff, gelijk nul worden,nbsp;Worden de hyperbolifche ruimten aan S, en onderling aan elkander gelijk.
Het volgt nu; dat liyp. ruimte iS C£ Gfr— tweemaal hyp. rninite B c £iJ, en hyp. ruimte BCEGIHCZ driemaal hyp. ruimte BCEE is.
Met het vierkant van de c'énheid, nbsp;nbsp;nbsp;welke de eerfte term der
meetkunftige reeks is, begint de telling der hyperbolifche ruimten. JVlet de termen riEya, AFca., Allee,, der mectkunftise reeks, Hemmennbsp;o.vcrëCn de hyperbolifche ruimten BCED, BCEGF, en BCEGIH,nbsp;welke eene rekenkuiiftige reeks lütmaken. tt Elke hyperbolifche ruimtenbsp;BCEE, BCEGF, enz. is, dan de Logarithmus vti» den overéénkom^nbsp;fiigen regthoek A Eye, AFSe, enz.
MefvCator ontdekte het eerst deze eigenfehap der Hyperbola, evenwel ilechts voor de gelijkzijdige. Gregoky ontwikkelde, bijna gelijktij-dig, de gevolgen: dit gefchiedde in i66S: «o-h Newton had reeds, ia 1(565 , door zijne Fluxie-Rekening, dien inhoud gevonden.
ft Indien de hyperbola gelijkzijdig is, dan wordt C.B!B~i eriBEzzx ftsllencle,) de hyperbolifche ruimte door
Z 3 nbsp;nbsp;nbsp;3 -
-ocr page 394-358
neperiannfche zijn; dan is, vermits in elk ftelfel de Logarithrnus van het grondtal gelijk één is, A'i’/, Ztg'. ê ~ i; en daar nu ook M'' zz: inbsp;is, zal men verkrijgen;
Jllz
§. 5po. Stellen wij azzio; dnn heeft men het ftelfel der gewone Briggiaanfche Logarithinen, zie §. 863, I. C.; en nn zal: ff de Modulus der Briggiaanfche Logarithinen gelijk zijn aan één, gedeeld doornbsp;den Neperiaanfehen Logarithrnus van het grond-tal tien. Het zalnbsp;ftraks blijken: hoe men, op de beste wijze,, den Neperiaanfehen Lo-garithmus van het getal tien vinden kan. Men heeft:nbsp;iVêp.icg.io=2,30258 5oc)2C} 94045 68401 79914 '54lt;584- 36420 76nbsp;deelt men de éénheid door dit getrd; dan vindt men, voor den Modulus der Briggiaanfche Logarithmen,
M=o,43429 44819 03251 82765 11289 18916 05082 3
§. 59'. Omdat, voor de Neperiaanfche Logarithinen, welks grondtal e gjnoemd is, Mzzzi is, zal men, in de vergelijking (‘h), in
plaius
2 — I 22 -L. I. 23 .4-. nbsp;nbsp;nbsp;24 «4^ I 2? — enz,
o nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'5
iiitgedrukt: het ftelfel der Logarithmen, in de gelijkzijdige hyperbola begrepen, is derhalve liet Neperiaanfche. Om die reden heef: men dan ook langen tijd deze Logarithinen hypefbolifche genoemd.
Doch, de hypeibolifche ruimten eener ongeljikzijdige hyperbola, geven ook een ftelfel van Logarithmen, dat van het ftelfel, hetwelk de gelijkzijdige geeft, onderfcheiden is. Wanneer, in fig. i, A £ ZZ i ennbsp;BDzzz is, zal de hyperbolilche ruimte BÜËC, door
¦ t 24-4- snz.~\ 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-*
Sin. PAUX [s — ^ -f 4 23
worden uitgedrukt: nu is, voor de Briggiaanfche Logarithmen, de Modulus gelijk 0,43 enz., maakt men dan Sin. nbsp;nbsp;nbsp;—0,43 enz.; dan is
hoek P,212,22 25°44'esquot;,47298 fexagefimale verdeeling. \\ Be hyperboH-fehe ruimte van eene hyperbola, veelker afymptoten dien hoek maken, zullen dan het ftelfel der gewone Briggiaanfche Logarithmen voorftellen,nbsp;De Briggiaanfche Logarithmen zijn gevolgelijk zoowel hyperbolisch alsnbsp;de Neperiaanfche, gelijk ook alle Logarithmen, welker modulus gelijknbsp;of minder dan één is: maar een Logarithinen-ftelfel, welks modulusnbsp;grooter dan één is, kan door geene hyperbolilche ruimte worden voor-gelt'eJd. Tt -Alle Logarithmen zijn gevoJgclijk niet hyperbolisch.
-ocr page 395-359
plaats van a, moeten fchrijven e, en M—x fteüen, dan zal men verkrijgen:
*1“ CTiZ,
1,2 nbsp;nbsp;nbsp;I-2.3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4
door deze, vindt men het getal, dat tot eenen gegeven Neperiaanfehen Logarithmus behoort.
§. 5p2. Maakt men nu, in deze laatfte, ar~i; dan wordt
c — I t -4- — nbsp;nbsp;nbsp;-
I • 2 nbsp;nbsp;nbsp;12*3
enz.
I.2.3.4
deze reeks convergeert zeer fterk. Men zal, door eene ligte berekening, voor het grondtal van de Neperiaanfehe Logarithmen vinden:
« = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 d6249 8 Dit getal, hetwelk men niet met den Neperiaanfehe I.ogarithmus vannbsp;tien verwarren moet, is, in de hoogere Wiskunde, van eene uicge-llrekte nuttigheid.
Afleiding vr.n andere Logarithmifche reekfen.
§• 593. Wij hebben aan het hoofd van Tabelle Nquot; V. de reekfen (il) en welke aldaar onder de Numero’s (i) en (2) voorkomen, geplaatst. Uit dezelve worden alle de volgende afgeleid.
§. 594. Wanneer men, inN® (i_), de veranderlijke 2 negatief neemt; dan verkrijgt men N*’ (3), waaruit blijkt: dat de Logarithmus vannbsp;eene grootheid minder dan één, negatief is. Vergelijk §. 880, I. C.
§• 595. Trekt men N“ 3. van Nquot; i. af; dan verkrijgt men de formule Nquot; 4. Deze wordt, in de berekening van de Logarithmen der getallen, het meeste gebruikt.
I -f-3
§. 596. Stelt men, in N® 4, in plaats van
, de veranderlijke
grootheid j; dan verkrijgt men de reeks N‘^ 5.
§• 597. Maakt mieu, in N'^ i en 3, de letter 2 gelijk aan het gebroken y: X; dan verkrijgt men de reekfen 6 en 7.
§• 598* En in deze 31 = 1 ftellende, verkrijgt men de bijzondere reekfen N® 8 en 9, waardoor men den Logarithmus van eenig getalnbsp;zooveel te gemakkelijker uit dien van het ommiddelijk volgend ofnbsp;voorgaand getal vinden zal, narannate dit getal grooter is.
§• 599- De voorgaande reekfen N® 8 en 9, bij elltander- optellende, of van elkander aftrekkende, zal men N® 10 en ii verkrijgen, van welke de lantde met N° 4, overé'énftemt. Door de eerfte zal
men
-ocr page 396-36o
men den Logarithmus van een getal, uit die van de twee onmidde-lijk voorgaande getallen, vinden.
§. 600. Wanneer men uit N'' ii de grootheid 2 ilf afzondert, en de waarde, welke men voor dezelve verkrijgt, in de reeks N® 10,nbsp;overbrengt; dan zal men, na behoorlijke divifie, waarbij men van denbsp;onbepaalde coëfficiënten gebruik zal kunnen maken, de reeks N“ 12,nbsp;vinden,
§. 601. Stellen wij, in de reeks N“ 6, in plaats vanj’, het gebroken — ; dan zal men, na behoorlijke herleiding, de reeks N® 13,
U'-X nbsp;nbsp;nbsp;V
verkrijgen.
§. 602. En ftelt men, in de laatfte, x negatief; dan zal de reeks N“ 14. ontllaan.
§. Ó03. Wanneer men, in N®4, in plaats van-, ftelt i —;
1 quot;quot;3 nbsp;nbsp;nbsp;X
dan zal men de reeks N® 15, verkrijgen.
§. 604. En, in deze laatfte, y negatief Hellende, de reeks N® 16. §. 605. Indien men, in de reeks N® 15, voor x en y Helt, x —nbsp;(n 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 0 en I; dan zal meii, na behoorlijke herleiding,
N® 17, vinden.
i t
§. 6q6. Stelt men, in formule N® 4, in plaats van
gt; eerst
I —z
, dan zal men de twee formulen N® iJ
-------, en daarna--
z’i nbsp;nbsp;nbsp;a» — d
en 19 verkrijgen, waardoor men, wanneer Log. (z» nbsp;nbsp;nbsp;d') gegeven is,
den Logarithmus 3», en gevolgelijk Logarithmus z zal kunnen bero. kenen, en vice verfd.
§. 6of. Nemende verder, in N® 15, nbsp;nbsp;nbsp;......
X
dan zal men, na behoorlijke herlei-
(z—a).(z—b').Qz-^a-{-b')
(z-^a).(z-\-b'y.(z—a—b')' ding, de reeks N“ 20 vinden.
§. 608. Stellen wij, in deze laatfte, eerst a~i en bz:z2, en daarna i en i = I; dan zal men de reekfen N® 21 en 22 vinden.
. §. 609. Stellen wij, in N® 5, yzzu w, en verder u — x‘^ — 25nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“ X® (x^ — 25) en V = x* — 25 x^ -|- 144“ (x- — 9)
— ló); dan zal men, door ecne ligte berekening, de reeks N° s3 vinden.
§. 610, Laat ill de vergelijking (4gt;) vnn §• 583, namelijk
-ocr page 397-361
enz.
1.2.3. M}
r gefteld worden; dan is lt;jx —lt;*» )’: men zal dan kunnen
ftellen:
yS. nbsp;nbsp;nbsp;y3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-1
¦=a.x[i ^
ftellen wij nu: dat x en u benevens lt;?» gegeven zijn, dan zal men daar v — x — u is, de reeks i ^ ^«2. kunnen berekenen,
welke zooveel te meer zal convergeren, naarmate v een kleiner breuk is: vermenigvuldigt men dan het getal , met de waarde van dezenbsp;reeks, dan zal men de waarde van «.r vinden, ff Men zal derhalve,nbsp;door deze reeks, den Logarithmus van een getal vinden, wanneer denbsp;Lognrithmus van een getal, dat ’er zeer nabij komt, bekend is.
§. 611. Alle deze reekfen convergeren zooveel te fterker, naarmate
in N® 1, 3 en 4; de breuk —, in N® 8, 9, 10 en ii; de breuk
X
-—, in N® 6 en 7, benevens de breuken--
X nbsp;nbsp;nbsp;y
x’ u x’
2
en . .
2ac-7’ nbsp;nbsp;nbsp;2 3»-d’ 211^-l’ 3^-73’ 33-2
5?z:75^ 72’ nbsp;nbsp;nbsp;'3, 14, 15, 16, 17, 18,19,21, 22
en 23, kleiner zijn. De berekening van de waarde dezer reekfen kan, ha de verklaring, welke wij, in Tabelle IV, van het berekenen dernbsp;heekfen, welke de wortels uit een getal voorflellen, gegeven hebben,nbsp;geene zwarigheid maken, waarom wij ons dan ook daarmede, in hetnbsp;bijzonder, niet zullen ophouden.
§. 612. Gelijk wij, §. 872, I. C., reeds hebben opgemerkt, is het genoeg de Logarithmen der ondeelbare getallen te vinden. Het berekenen van de Logarithmen der kleine getallen maakt de meeste zwarigheid. Maakt men nogtans van de formule N® 4. gebruik, en fteltnbsp;men. Log. [(inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—3)] fuccesfivelijk gelijk aan de breuken:
ïlfs lif ||-§§5 nbsp;nbsp;nbsp;'’oor de eerfte breuk,
Voor de tweede, 2 — nbsp;nbsp;nbsp;_. yoor de derde, 3 n: ^; en voor de vrer-
~~4ï§t 2ijn, en volgens deze formule zal:
Iquot; nbsp;nbsp;nbsp;st = 2 ;)ƒ Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ïi7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^ Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz.];nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Su/= H
2® Log. nbsp;nbsp;nbsp;lil = 2 M Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; §nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. (nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.-]nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;....=!{
3® Log. nbsp;nbsp;nbsp;f|s = 2 M Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; i . (nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3*5)3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
e waarden van II, i{^ nbsp;nbsp;nbsp;worden gemakkelijk gevonden.
y- 5 nbsp;nbsp;nbsp;Nu
302
Nu beftaan ’er, in de tellers en noemers dezer breuken, geene andere factoren, dan de getallen 2, 3, 5 en 7, en derzelver magten: be-fchouwende dan de Logarithmen dezer getallen als onbekend, en denbsp;letters, H, K, L, N, als bekend; dan zal men vier eerllie-magts-ver-gelijkingen verkrijgen, welke opgelost zijnde, geven zullen:
j, 5 equot; 7-gt; en berekent
Log. \ = H ïo K ^7 l \ 12. N Log. 3 = 49/^ 16/f-j-43 Z, 19nbsp;¦ Log. 5 = 72 iZ 23 K 63 i 28 ZVnbsp;Log. 7 = %7 HK 76 L nbsp;waardoor men gemakkelijk de Logarithmen der getallen 2,nbsp;vinden zal. Neemt men in deze berekeningen M—ï,nbsp;men H, K, L, N, tot in- 37 cijfers, dan zal men. Nep. Log. 10nbsp;verkrijgen, door Nep. Log. 2 bij Nep. Log. 5 optetellen, waaruit men,nbsp;zie §. 590, den modulus der Briggiaanfche Logarithmen bepalen zal.
§. 613. Wanneer de Logarithmen der getallen 2, 3, 5 en 7, berekend zijn, zal men, alleen de formule, N® 4, gebruikende, door eene ligte beproeving, zeer convergerende reekfen voor de Logarithmennbsp;Van II, 13, 17, 19, enz. kunnen vinden. Men zoeke eene breuknbsp;van den vorm (a -j- i) ;a, in welker, teller en noemer geene anderenbsp;faftoren dan het ondeelbare getal, welks Logarithmus men zoekt, benevens de mindere ondeelbare getallen, welker Logarithmen reeds bekend zijn, voorkomen. Na eenige beproevingen, vindt men:
Log. II =Mx nbsp;nbsp;nbsp;-h| Ct9§öt)quot; ‘’««0 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 —
2 log. 3 /og. 35.
Log. i3 = Mx nbsp;nbsp;nbsp; I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
Log. 5 1 log. 77 — 3 log. 3
Log. 17 = 4 log. ^ I — Log. 105 — 2 ilf X nbsp;nbsp;nbsp; i . Gyf£ï) '
-j- enz.']
Log. 19 = f • log. 2 Log. 7 § • log. 5 — I Zlf X nbsp;nbsp;nbsp;
i- . nbsp;nbsp;nbsp; OnZ.]
Lol. 23 = X nbsp;nbsp;nbsp; i .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^«-3 3 Log. 2
¦ Log. 169 — 2 i!/ X
2 I.og. 3 1 log. 5 — log. 7
I.og. 29 = 4 IJ)g. 99 — log. 4°° — log. 49 ¦
Ctö2ïT52öX ‘^^'’^•3
Men zal, op gelijke wijze, foortgelijke uitdrukkingen voor de ondeelbare getallen, 31, 37, 4G 43. 47. 53. 59. lt;5r, 67, 71, 73. 79. 83, 89, 97, loi, enz. vinden. Voor getallen, grooter dan 100nbsp;zijnde, zal men vau alle formulen, van N® 8 tot N® 23.nbsp;kunnen maken.
EEN-
-ocr page 399-N'’ V.
Tabelle , bevattende de reekfen, tot het berekenen der Logarithmen behoorende. Zie LX Les ,$¦ nbsp;nbsp;nbsp;5, et feq.
[Tegen over bladz. 362.]
I, Log. (l nbsp;nbsp;nbsp;X
fs-i-sii i-sS-- nbsp;nbsp;nbsp;L28_{.ij,9_±2io^^„2l Zie§.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;19. Log. Qz»—d') — n . Log. z 2Afxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2ie
^ nbsp;nbsp;nbsp;°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.0. Log.(z—a^ Log.(z — b) -\-Log.{z a b') —Log.(z aquot;) —Log.{z b) —Log.(z-~a — l,-;)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
. nbsp;nbsp;nbsp;. Zie §.
6c6.
Log. y Log^.y
4 nbsp;nbsp;nbsp;¦ 5
Log^.y , Log\y__
Log^- y
_ ,1 nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘J Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__I ^'6 ‘J__1 nbsp;nbsp;nbsp;.2.—
M nbsp;nbsp;nbsp;quot;^1.2. 3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2. 3.4.i)/4 ^ i.2.3-4-5-^^^’
¦j enz.......Zie §. 5^4’
3-
4-
5-
6.
7'
8.
9‘
10,
11.
12.
13-
14.
15-
16.
17.
18.
xys nbsp;nbsp;nbsp;i-, xrxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l »nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xrxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1» .x,, if.»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* • - -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-
Log. (i-0 = -Mx[s y^quot; ¦!-quot;= nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Zie §• 594-
231 X lz j-z^ jzs y^^ ~z9 -^z^^ ijz^^ -^^z^^ jjz^^ e„^.j .
I s
i-. nbsp;nbsp;nbsp;• C-tt]' 7 ; C-tJT ^”quot;}
Log. ioc y^ = Log.. Mx { nbsp;nbsp;nbsp;[i J- |. [^ J--L. [i]^ [i]-y-[i J } Zi^ §*
Log. ix-y^ = Log.x-Mx{^ ^. [^J j. [tJ T M' f' [^l^ T* [t] nbsp;nbsp;nbsp;§'
Log. (x i) = Log. X 31 x\---•-tH--'“T--•“I 7r‘“7~7quot;*T nbsp;nbsp;nbsp;• •
|_ X 2 X® ' 3 x3 4 x4 5 X* 6 X® nbsp;nbsp;nbsp;J
=,«X JA A .¦ i. ¦ i.. ¦ i ' A.^ «.[
I
Log. (x ly— 2 Log. X — Log. Cx— O — Log. —x | —
X—I nbsp;nbsp;nbsp;i4x ' 24x8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;36ox^ ' 15120x7
Log. iu — x')—Log.u—31 x\~---L .r_£_quot;|%i_.r_iL_gt;--L r-^-1^ enz.] . .
t«—X nbsp;nbsp;nbsp;2 [_«— xjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 l_u—Xjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 |_»—xjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;
L.S. C« ,)=i..s. X = M X { j.. nbsp;nbsp;nbsp;1-. [-qr,]' “*•}......
Log. Cx—y^=:Zog.x— 2 31 X j r^— ~ . f —5'_’lV“ • F —......
t2x—y 3 \_2X—jJ nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
2 Log. n = Log. (« r) nbsp;nbsp;nbsp;(«- O 2 71/ X / -4— - • F-4— ? 4quot; ’ F77^, T enz. Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Zie §. 605.
l2«^ —I ' 3 l_2n^ — ij 5 L2»“—IJ nbsp;nbsp;nbsp;'
Log. (^z« d) =: » . Log. z-f~ 2 31X j—£_^_L T—£_*]®^JL,F—eB2. J . ..... Zie §. 6oö.
l22» rf nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;L22i«4-,7Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|_22»4-ffJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
f nbsp;nbsp;nbsp;b ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__^
— nbsp;nbsp;nbsp;^3 — (a^-Ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ab') z
3 Lz^ —
¦ (a^-\-l’- eb')z ' 3 ¦ nbsp;nbsp;nbsp;— (lt;ï^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ,ai);Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
21. nbsp;nbsp;nbsp;Log. (z — i) Log. (2 — 2) Log. (2 3) Log. (a i) — Log. (3-^2) — Log. (z — 3).....
= 2 M X { nbsp;nbsp;nbsp; y .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; J • [przyj ««. }........Zie §.
22. nbsp;nbsp;nbsp;2 Log. (2 — i) — 2 Log. (2 4' O Log. (2 2) — Log. (z — 2)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.............
= nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. [y:~]' y •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;]' nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• Zie s-
23. nbsp;nbsp;nbsp;Log. (x 5) — Log. (x 3) Log. (x — 3) Log. (x 4), Log. r^; — 4) — Log. (x — 5) — a Log. x .
x4-25'TïTry2 y • nbsp;nbsp;nbsp; ^«2. }........Zie §.
Exponentiate Reekfen. x^
-¦ _ .—:—^ enz.......Zie §.
. X . nbsp;nbsp;nbsp;X“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;v3
quot;A. ax —i -I---1-----U
-4. nbsp;nbsp;nbsp;- -i-^-hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, i.27r4LM
x3
I 1.2 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1. 2, 3.4 ~ I. 2. 3. 4. 5
enz.
26.
«4 y zzax X I I i_ -j--1--— -j--1
l 31 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.31-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.
y‘'
3. M3 ' 1.2. 3,4.
“f- enz.
Tafeltje van de negen eerfle veelvouden der getallen 31 en i ‘.31, dienende to. gemak der niultiplicatie
en divifie ^ met en door 31.
Veelvouden van het getal 71/.
Veelvouden van het getal —.
M
3
4
5
6
7
8
9
44819
8963 8
34457
79276
24095
68914
13733
58552'
03371
03251
06503
09755
13007
16259
19510
22762
26014
29266
82765
65530
48295
31060
13825
96590
79355
62120
44886
11289
22578
33868
45157
56446
67735
79024
90314
01603
1
2
3
4
5
6
7
30258 60517
90775
21034 51292
81551
11809 18,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;42068
20, 72326
50929
01859
52789
03719
54649
05579
56509
07439
58369
94045
88091 82137nbsp;76182nbsp;70228
64274
58319
52365
46411
68401
36803
05205
73607
42008
10410
78812
47214
15616
607
608.
6q8.
609.
79915
59829
39744
19658
99573
x'’9487
59402
39316
19231
5° Ofec. X = nbsp;nbsp;nbsp;Sec^. jc = i Tang^. x
7quot; Sin. (jx-]ri) — Sin, x. Cof. y Sin.y, Cof. x S ^ Cof. (x -{-y) — Cof. X. Cof y Sin. x. Sin. y
ylfgeleide Goniometrifche Forrnukn.
Tang. X Tang. y
5»“ Tang. Qx y') •=.—=:--=-
I -j- Tang. X X Tang. y
5” Nep. Log. Sin. X = Nep. Log. nbsp;nbsp;nbsp;. fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-lx*—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. r *
enz.
lo® Cof z —
g zl/—i g—zV—i
II® Sin. zz=-
Zie wegens deze laatfte formulen, §. 6\$, pag. z66 en 367.
Zie §. 845, pag. 4Ó(S. Zie S. 845, pag. 466.nbsp;Zie §. 845, pag. 46/.nbsp;Zie §. 845, pag. 457.nbsp;Zie §. 846. pag. 46J.
6® Nep. Log. Cof. X zz
lt;2^(2 — i)A r ~ ¦ nbsp;nbsp;nbsp;— j . , z7 (2^—OC
7® Nep. Log. Tang. x zz Nep. Log. x H------ * i, nbsp;nbsp;nbsp;i ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz.
Zijnde, in deze vijf laatfte reekfen, A, B, C, D, enz. de Bernouilliaanfche coëfficiënten, welker waarde men op pag. 4^5, vindt aangeteekend.
8® d'm.ar = :cx[i-g].[i-—.....Zk $. 623, pag. 370.
9® nbsp;nbsp;nbsp;.......Zie §.526,/^^. 371.
I. 2
1.2. 3.4
10® .é-c. Sin. xzzx f, ^
2.3 nbsp;nbsp;nbsp;2.4.5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4.6.7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4*°'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4.6.8,10.11
Zie §. 744, pag. 421.
a j T nbsp;nbsp;nbsp;vsr v9 *11
II® Are. lang.----------enz.
379 II '
Zie §. Ö20» pag. 367.
EEN- EN- ZESTIGSTE LES.
Over de reekfen, waardoor de Goniomet-ifche lijnen, in futtBien van derzelver cirkelbogen, worden uitgedrukt,
§• 614. Vermits wij in deze Les de kennis van de eerfte beginfelen Driehoeksmeting onderftellen, zoo merken wij de formulen, welkènbsp;°P de tegenzijde van Tabelle V. Littera A, voorkomen, als bewezennbsp;Men raadplege derwegens de Meetkunst van van SwindUN,nbsp;VllI Boek, onze meermalen aangehaalde Handleiding, en de eerdenbsp;afdeeling van ons kort begrip der Driehoeksmeting.
§. 015. Het eerde lid der vergelijking, Sin^. x tan in de onbeftaanbare faftoren, Cof. x Sin. x x — i, en Cof. xnbsp;~~ Sin. X X \/— I, ontleed worden. Offchoon'deze onbeftaanbarenbsp;•aéloren geene denkbare grootheden uitdrukken, kunnen zij nogtansnbsp;'oc de ontdekking der gewigtigde zaken drekken (89). Vermenigvuldigen wij Cof. X Sin. X X — I, met Cof. y -j- Sin. y x — i;nbsp;dan zal men voor het produfl vinden: QCof. x x Cof. y — Stigt;. x xnbsp;Sin. ;y) -j- (_Cof. x X Sin. y -)- Sin. x x Cof. yj X JA— l; Nu is Cof. xnbsp;gt;( Cof. y — Sin. x X Sin. y — Cof. (x -f-y), en Cof x X Sin.y -j- Sin. xnbsp;X Cof y — Sin. (x -j- 31); derhalve zal
¦ I I X I Cof y -1- Sin. y X }/— . ^
Cof X -f- Sin. X X JX-
]
• • . Cof. (x -j- 3} -j- Sin. (jx -j- 3) X — I . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
2‘in. Op dezelfde wijze zal men vinden: dat
j Cof. X — Sin. X X IA— * j ^ I ^ — Sin.y x K
^. . . Cof (x 4- nbsp;nbsp;nbsp;— Sin. (x 4' y) 'X y'— I .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
Vermenigvuldigt men de vergelijking (/') met Cof s -j- ,
(39) Het zal niisfchien vreemd fchijnen: darmen', door uitdrukkingen, die geene beilaanbare waarden hebben, wezenlijke dingen ontdekken kan.nbsp;I^och, daar de onbeftaanbare uitdrukkingen, (zie §. 464.) uit wettige besluiten volgen, en alleen, door de bijzondere waarden, welke Ibnnnigenbsp;Van de daarin voorkomende letters verkrijgen, onbeftaanbaar worden,nbsp;^ijn zij met de beftaanbare, door dc algemeenheid der ftelkundigc nitdruk-¦'ugen, verbonden, en daaruit volgt dan: dat, wanneer men deze in de.nbsp;Redenering met andere verbindt, derzelver uitkoraften even zoo zekernbsp;Rullen moeten zijn, als wanneer, in gelijke omftandigheden, beftaanb-uenbsp;R'ftdrukkingen de pl.rats der onbeftaanbare bekleed hadden.
-ocr page 402-3lt;54
y~u en de vergelijking (£), met Co/l z — Sin. z X V—ii zal men verkrijgen:
^ Co/ X -f- Sin, X y— I I X I Cof y -f- Sin. y y— ^ | ^ nbsp;nbsp;nbsp;‘ ‘
^ Ca/, z Sin, z y— ^ | ~ nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; Sin.(^x -\-y-\-^')
X y— ................(^)
j^Co/x— Sin.xy—i I X Co/, y ~ Sin. y y—j j X . . . •
j Co/, z ¦— Sin, zy— I ^ =zCo/. (* J’ ¦*) — Sin. (x- j 2)
X y— I............... (s)
§. 6i6. Stek men, in de vergelijkingen (/’} en (lt;2.) 5 x~y; e'*’ in de vergelijkingen (^) en (gt;y), x=zy — z; dan zal men verkrij'nbsp;gen:
I Co/. X Sin. X, X y— ^ I — nbsp;nbsp;nbsp;2 X -{¦ Sin. z x x ]/— i
I Co/. X Sin. X X y— I j Co/. 3x Sin. 3 x X y— i
/ Co/ X Sin. X X y-
§. 617. -Wanneer men de magten van Co/, x Sin. x y— i, door dadelijke vermenigvuldiging, en door van de formulen (7) en (8)nbsp;gebruik te maken, berekent, zal het, uit den regelmatigen voortgangnbsp;dezer magten, blijken; dat, in het algemeen.
: Co/, n X Sin. n x X y~
§. 6iS, Nemen wij, in deze vergelijking’, het boveiifte tecken, ca trekken wij uit beide leden den magts-worcel, dan verkrijgt men:
Co/. X -|- Sin. xy—I — I Co/, n x -\-Sin.nx y— ^ jquot; ” gt; •
en deze zal ons dienen, om, met behulp van bet Biuomium van Newton , de Sinus en de Coflnus van ceuen boog, in eene van diennbsp;boog afhangende reeks uittedrukken. Voor Sin. x kan gefteid wordennbsp;A X y B x^enz. (zijnde A, B, enz. onafhankelijk van -v,) omdat , onder dieit vorm alleen, de onderftelling van .r =r o, tevensnbsp;Sin. x~o maakt. Daar nu Co/. x=:y[i —Sin^.xJ is, zal noodzo-
kelijk Cof. x n — A- x- — % AB x’^ — nbsp;nbsp;nbsp;zzz i — ——
enz moeten zijn. Zonder dat het nu noodig is, de termen dezer reekfen, in de berekening, verder voorttezetten, zoo als dadelijk blijken zal, merken wij aan: dat, naar deze r.angenomene ondeifielling,
-ocr page 403-TWEEDE C U R S U Si nbsp;nbsp;nbsp;365
Sin. n X ¦=zn JX B x'^ nbsp;nbsp;nbsp;n'^ Cx’^ -{¦ enz.
x^
Cof. n xz:z 1--^--r
moeten zijn. Indien wij dan de eerfte dezer vergelijkingen met ^— I vermenigvuldigen, en bij het produft de tweede optellen, dannbsp;men, volgens de grond-vergelijking, QA^ verkrijgen;
I
^^f.x Sia.xi/—i:=:^ i nAxP'—ï-\-n^QBp'—i—lA^')x^ eiiz. j “ Stellen wij nu kortheidshalve
n A X — t (B \/— i — ^ A^') x~ enz. — nP . . C-®) dan zal de voorgaande vergelijking in deze volgende
Cof. X ‘5’/». X y— I = (i » Pj)»
Veranderen, en, volgens het Binomium van Newton, zal
I nbsp;nbsp;nbsp;I (i—n)
Cof. X Sin. X y— 1 = 1-1--.QnP') ¦]----—
' nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n . zn
1 I (l-») nbsp;nbsp;nbsp;,
----—--- (n Py -f- enz.
n . 2n . nbsp;nbsp;nbsp;3»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
Zijn; welke vergelijking onder de volgende gedaante zal kunnen gebeld worden:
* 12
Cof nbsp;nbsp;nbsp;¦ ¦ .............
(n py
^ nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I I /'nP'\ , I (i—n')ynP'\^
rrT“C’7j)
1(1-») Ci^_£i) rn_p-y 1.2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 K » y
dat op hetzelfde uitkomt, onder deze Cof X -pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X y— I = I -j- ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^^^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i .
I (l—«) (l — 2«) nbsp;nbsp;nbsp;(
¦ ----i P-gt; enz.........{^C)
1,2,
o
Nu is hot klaar, dat, in de vergelijking (yf), de waarde van de letter « naar welgevallen zal kunnen genomen worden. Men zal dan n gelijk nul mogen Hellen, en de vergelijking (C) zal in
Cof X nbsp;nbsp;nbsp;Sin. X y—.. — I _i_ P -f — P^ --1 pa -I- , .
^ nbsp;nbsp;nbsp;'1.2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3
¦ --- . Pquot;*' -j- enz, . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;........(D)
en, vergelijking (P), na dezelve door n gedeeld te hebben, in
P=Axy~i
Veranderen.
Stel-
-ocr page 404-WISKUNDIGE LESSEN.
Stellen wij nu deze waarde van P in de vergelijking (Ö); dan he*’quot; ben wij:
Cof. k Sin. X y— I = i-ir^xy~ r nbsp;nbsp;nbsp;i)=
--X y— nbsp;nbsp;nbsp; enz.
1.2.3
Men zal, op eene gelijke wijze, vinden: dat
Cof. X — Sin. X y—1 = 1 — ^ X y— I g nbsp;nbsp;nbsp;X y— i}*
.—^—¦ (A X y— iM enz.
1.2.3 nbsp;nbsp;nbsp;J '
zal zijn. De fom dezer vergelijkingen door 2 en de eerfle min de
tweede door iy—i deelende, zal men, na de magten van Axy—i»
Volgens §. 468, ontwikkeld te hebben, verkrijgen:
_ - nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ac* ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A'^ x‘gt;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A^ x'^
Col. X — 1------------- enz.
• - nbsp;nbsp;nbsp;' 1.2.3.4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4.5.6
. A^ a-3 nbsp;nbsp;nbsp;A^ xS
Stn. x — Ax--------enz.
1.2.3 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4.5
waarin alles, behalve de ftandvastige grootheid A, bekend is. Om nu de waarde van A te vinden, deele men de eerfte vergelijking doornbsp;x; dan verkrijgt men:
Sin. X_^ A^ x^ ^ A^ x* _
1.2.3 nbsp;nbsp;nbsp;¦ 1.2.3.4.5
ftellen wij nu ar =10; dan is in dit geval Sin. x~x; derhalve . , .
28
• enz
1.2 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4.5.6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2,3.45.6.7.8
«8 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aZnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«2
1,2.3 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4.5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,2.3.4.5.ó.7 '' 1.2.3.4.5.6.7.8.P
— enz. (90).
Deze zijn de reekfen, waardoor men de Sinus en de Coüniis van eenen boog, door zijne lengte, in deelen van de radius uitgedrukt»nbsp;berekenen kan. ft Deze reekfen heftaan, zoo als uit het beloop vannbsp;de voorgaande analyfis blijltt, uit een onnoemlijk aantal termen.
X
610. Wanneer men, in de reeks ^^'=21 ---j--
I I • 2
zie
(90) In de Verhandelingen van het Sat. Genootfehap j XII HeeU mijne llanAl, tot de Befchouw^ en Werkd, Meetk. §. loöö. dezenbsp;reekfen, op eene geheel nieuwe wijze, betoogd. Wij hebben, dezelve opnbsp;het voetfpoor van Lacrange juit hetBinomium van Newton willen afleideii*
-ocr page 405-3(57
§. 5pi, X eerst gelijk zy— i; en daarna gelijk —zj/— i ftelt, en de reekfen, welke men, (zie §. 468.) verkrijgt, optelt ennbsp;aftrekt; de fom door 2, en het verfchil door 2J/—i deeltj dannbsp;men:
_e zy—i e—zy—i _
- ; en. Sin. z —
e zj/—I — e—zy~
2 nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 y—I
Verkrijgen, waaruit terftond volgen zal:
i» fi zJ/—I = Cof. z Sin. zy— I 2® e—zy—i = Cof. z — Sin. z y— inbsp;In alle deze vergelijkingen, is e het grondtal van de Neperiaanfche
Logarithinen,
§. 620. Uit deze vergelijkingen volgt terftond:
s y~ I =: Nep. Log. (Cof. z Sin. z y— i)
_ ~ y— I — Nep. Log. (Cof. z — Sin. z y— i)
(rekkende de tweede dezer vergelijkingen van de eerfte af; dan zal ®en, na alles door zy-^i gedeeld te hebben, verkrijgen:
I nbsp;nbsp;nbsp;,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{ CoLzSin.zy—IJ
r 1 Cof. z Sin. z y-X ^ep.Lcg.
of wel, teller en noemer dezer breuk door Cof. z deelende, (omdat z : Cof. z =z Tang. z is,)
I Tang. z y-
¦ Tang. z y ^— I J
' ergelijkende nu deze uitdrukking met Nep. Log. ^ ^---— ^ z= . . f
2 I X 1 «3 I enz. I; en makende x — Tang. z y— i ; dan zal men, na alles behoorlijk herleid te hebben, vinden:
^ nbsp;nbsp;nbsp;Tang^.z . Tang^.z Tangz.z ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
z-Tang.z- nbsp;nbsp;nbsp;|---^ enz. (91).
tloor deze formule, wordt de waarde van eenen cirkel-boog, in deepen van de halve middellijn, bekend, wanneer de Tangens van dien boog in die zelfde deelen gegeven is.
§• 621. De Tangens van eenen halven regten hoek, of 45°, is gelijk één; ftellen wij nu de lengte van den halven omtrek des cirkels,
in
(91) Zie Handl. §. 1082. alwaar deze reeks, öp eene geheel nièiuvc Wijze, betoogd is. ook zal men dezelve met behulp van het binomium uitnbsp;de vergelijking Cof. n ;r Sin. n x y— i — (Cs/, x -j- Sin. x y— i)«nbsp;kunnen afleiden.
¦¦V-
368
in deden van de halve middelijn uitgedrukt, gelijk ir (letter, die, iquot; het vervolg, altijd dezelfde beteekeuis zal hebben,) dan zal
iT = I — ^ i — i i--i4-_i--1 4. enz.
zijn. Deze is de bekende reeks van Leibnitz, welke nogtans ong®quot; fchikt is, om de waarde van sr te vinden.
§. Ö22. Om deze reeks, tot het berekenen van z te gebruiken, heeft Machin, Hoogleeraar te London, in het begin der vorige Eeuw»nbsp;den boog van 45quot; kunlliglijk in boogen weten te verdeelen, welkernbsp;Tangenten, met betrekking tot de éénheid, of halve middellijn, meetbaar zijn. Men weet, dat
„ nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,, Tang. a Tang. h
^ i — Tang. a X Tang. ^
is: ftellen wij nu a nbsp;nbsp;nbsp;elan 's Tang.Qa 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en lost
men dan deze vergelijking, met betrekking tot Tang. b op; dan zal men vinden:
i — Tan!!, a Tang. b — —-7-777--—nbsp;i -f- lang. a
welk gebroken men nu voor Tang. a nemen moge, zal Tang. b altijd door eene meetbare breuk uitgedrukt worden.
§. 623. Men zal door deze formule gemakkelijk kunnen betoo-gen: dat
I Are. 45° = 4 ^ . Tang. — A Tang.
2° Are. 45° == 8 ^. Tang. — 4^• Tall ^ — A• Tang.-i- is. * De \ihó.mkkmgA.Tang.7c, beteekent eenen cirkel-boog, welks Tangens gelijk X is. De eerfte dezer uitdrukkingen is van Maciiin, ennbsp;de tweede van Buzengeiger. Men zal door dezelve zeer gemakkelijk het beruchte getal van Ludolpii van Geulen vinden:
n-=3,i4i5P 26535 8p7p3 23846 26433 83279 50288
§. 624. tt Tot elke Sinus behoort een onnoemelijk aantal bogen, welke. Wanneer x de halve omtrek, en n zeker geheel getal betce-kent, door
Sin.
f92) W.anneer men de zevende groud-formule door de r.clitde deelt 5 dan vindt men:
Sin, (x r) _ nbsp;nbsp;nbsp;Cv vD -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
Cof. (tv D — nbsp;nbsp;nbsp;“ Cof.x.COT’S —Sin.X .Siu.y
den teller en den noemer dezer breuk door Cof. .x x Caf-y doelende, en Sin. : Cof. “ Tang. ftellende, zal men de formule van den tekstnbsp;vinden.
-ocr page 407-3^9
Sin. è — Sin. [2 » 3- »] — Sin. [(2 « i') nbsp;nbsp;nbsp;— 2-] (PS)
^'orden üitgedrukt. tt Stelt men in deze s = o; dan is:
Sin. 0° — Sin. imr~ Sin. (2 » i) .%.
Men kan, in de eerfte dezer formulen, z zoowel negatief als pofuief Hellen.
§. 625. Overwegen wij nu in het bijzonder de reeks, welke de Sinus van 2 uitdrnkt, en die onder de volgende gedaante kan gefield worden:
z‘^ nbsp;nbsp;nbsp;aö , i
enz. gt;
a = a X j I--—
I l.2.a
.3 ¦ 1.2.34.5 nbsp;nbsp;nbsp;I.2.3.4.5.6.7
Wanneer nu 2—o gefield wordt, dan zal ook Sin. z gelijk nul worden, hetwelk overêcnftemt met de oinftrindigheid, dat Sin. o'* = o is: maar Sin. z wordt nog nul, wanneer men aan 2 de w.nardeii van t,nbsp;ZT, 3T, enz. geeft: daar nu de reeks, welke de Sin. z uitdruktjnbsp;Voor alle waarden van 2, hoe groot men dezelve neme (94), ten
laat-
C93) ZÜi óm deze formule te bétoogen, iii 4, de boog.i^-S —z,* S C ze. Sm. z: trek dan 1} D cvenvvydig aan .(iF. cn voorts D£ loodregcnbsp;opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dan zal D E ZZ H C — Sin. z zijn: maar D EzzSin. A B P D , en
A B P Dzzv — 2 zijnde; zal SOt. z~ 5/k. (a- — z') zijn: laat nu het punt A; door B, P, P),nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,1 verfcliciden malen den omtrèk doorloo-
pen; dan is .B C klaarblijkelijk de Sinus van A B plus den gelieelen onttrek , gelijk de Sinus van A B plus tweemaal den onttrek j enz.: insgelijks DE gfilijk de Sinus van-A B P D plus den onttrek ,,'v4n ABPD plus tweemaal den omtrek, enz. BC zal dus de Sinus van de bogen z,nbsp;2 »-i-z , 4T-i-z, 6?r-|-z, enz. en DE de Sinus van de bogen »¦ — z,nbsp;Ztt — z, Ser — z, 7zr—z, enz. zijn. Wa.truit dan ten kia.trlle bljjkt: datnbsp;Sin. z — Sin. (ZBfr-l-z) — Sin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— z)
zal zijn.
B K 'n de CoCnus van z; trekt men nu BG evenwijdig aan PQ, ca laat men G H loodregt op P 0^ Uie B regthoekig litijdt,) vallen; d;iunbsp;Is BKzzHG, en van hetzelfde teeken. Nu is G JI de Cofmus van ADnbsp;PD FdG zz Cof. (e 3- — z) , omdat A Gzz AB zr.z \s. tt Men heeft dan :nbsp;— zi)zzCof.z. Zie het gebruik dezer verjtelijking §. 635.
C94) tt Deze reeks, zoowel als dc reeks voor de Colinus, wordt op bet laatst altijd convergent, hoe groot men z ftellen moge, De algeineencnbsp;ternt, welke denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;niagt van z ir.'uouJc, is
_____’
m 2.3.4 nbsp;nbsp;nbsp;— 1) K («-j' O Cquot; 2)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot; — o ¦ 2 “
De noemer dezer breuk beSaat uit 2» faftoren: het aantal faftoren, van « tot in ingeUoten, namelijk k,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. is gelijk aan tt-j-i.
Het produft «(n-f-j) nbsp;nbsp;nbsp;enz.. .(Jin') is dus grooter dan ;/' ‘: men
370
laatfte convergeert, zoo dat men, door een genoegzaam aantal tarmen te berekenen, eindelijk de Sinus van eenea boog van vele duizendennbsp;van graden vinden zou. Men zal dan ook, z — mr Hellende, doornbsp;de berekening van diezelfde reeks, Sin. nTzmo moeten vinden: derhalve zal de reeks, door de ónderftelling van s = nr, volmaakt nul,nbsp;en, iu dit opzigt, als ecne hoogere magts-vergelijking kunnen aangemerkt worden. Om dezelfde reden, zullen, aangezien de Sinusfen vannbsp;— TT, — 2 T, — 33quot;, enz. alle gelijk nul zijn, ook de onderftellingennbsp;van z=z — T, 3 = —2 TT, enz,. Sin. zz=.o maken. Nu zal dit allesnbsp;geen plaats kunnen hebben, ten zij de reeks uit de twee rijen vannbsp;faftoren
1t-Z, 2 71-Z, 3^-Sj 4T — z, 53--S, 6 TT-Z, C!2Z.
JT-f-a, 2T-I-2, 33--1-2) 4iïquot; «5 5 ^ nbsp;nbsp;nbsp; 2, .enz,
of wel uit deze twee andere rijen van faéloren
|
I — |
/i |
* nbsp;nbsp;nbsp;2T ’ |
^ nbsp;nbsp;nbsp;3x’ |
^ nbsp;nbsp;nbsp;.4-^’ |
5 - ’ |
I — |
6-’ |
|
I |
z |
I nbsp;nbsp;nbsp;- |
I * |
I -j-- |
I “ ? |
I |
~2~~ gt; |
|
TT |
4T |
5^ |
0/T | ||||
|
enz. |
enz, - |
is te zamengelleld; (zie §. 154,) want, in ééne van deze twee on-derftellingen, zal de waarde van s — -j-air, nbsp;nbsp;nbsp;enz-, de
reeks gelijk nul maken. De eerfte kan niet voldoen: cie tweede ftrookt alleen met den aard der reeks; indien men dus de overednkomftige factoren der twee laatfte rijen vermenigvuldigt, den eerllen met den eer-llen, den tweeden met den tweeden, enz.; dan zal men verkrijgen;
z^ nbsp;nbsp;nbsp;z^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^
ï6a
wel-
kan derhalve aannemen, dat de noemer dezer breuk grootor is dan de raagt van n. Omdat nu de reckfen voor de Sinus en de Colinus onbepaald voortloopen, zal ’er ergens een terra in deze reckfen voorkomen, in welke, hoe grootnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijn moge, nogtans « grootcr dan 22 zaï.
zijn; in dezen term zal (22)quot; kleiner daii nbsp;nbsp;nbsp;e) enz. Ca«gt;
zijn, en die breuk zal gevolgelijk kleiner dan
I
I. 2. 3. 4. 5. 6. enz. n — I
cn, wegens de groote waarde van «, reeds onberekenbaar klein zijn; zoo dat de reeks, welke in hare eerlie termen fcheen te divergeren, in de iW'nbsp;bijheid van dezen terra reeds zoo aanmerkelijk zal convergeren, dat, voornbsp;dc berekening van de getallen - waarden, deze en alle de volgende termen, als onmerkbaar klein, kunnen verwaarloosd worden.
-ocr page 409-3?i
vVelke, met en behalves, de faftoreii zullen zijn van de reeks, welke de waarde van Sin. z uitdrukt, en, welker aantal ontelbaar groot zalnbsp;zijn. ff Wij hebben derhalve de merkwaardige vergelijking
§. 626, ff Omdat de reeks van Cof. z, even als die van Sin, z. Voor alle waarden vaii Sin. z, convergeert, en de Cofmusfen vannbsp;, en, in het algemeen, van
alle nul zijn, zal men, door eene gelijke redenering, als in de voorgaande §, vinden: dat
X enz.
zal zijn. Deze zijn de merkwaardige uitdrukkingen van Euler, uit welke zeer merkwaardige gevolgen kunnen afgeleid worden.
§. 627. Stellen wij, in de vergelijkingen R én S, s — — . —;
q 2
'X
(zijnde altijd x — 3,14159, enz.:
den lialven omtrek, welks radius
_
gelijk één is,) dan is — —— X •, 1 — ~ z=.i —
16 nbsp;nbsp;nbsp;—p'^
en men
4?' nbsp;nbsp;nbsp;45^“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\6q^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l5/?^
zal, in plaats van {K) en (.S'), verkrijgen:
P ___P-'^ rAq~—pquot;~~\ ri6q^—p^~\ V'iSq'^—p'^-
L 64
Cof.t., ^
-P2
49?^ J'L ^^A
Wxlke uitdrukkingen, vermits de teller van eiken frflor uit het ver-lehil van twee vierkanten beflaat, hetwelk wederom in twee Helkundige faéloren ontleedbaar is, zie §. 45, onder de volgende gedaanten Zullen kunnen voorgelleld worden.
37^
riizi£i \ix±i~] v^‘i—p~\ r4? /gt;i
2?¦ L 2f j ¦ L 2^ j * L 4? J' L 4? J ¦
ra •[-!?]¦»¦ • • .......
«f;-ra-ra-ra-ra- •¦•
rai-ra-”;.........
§. 628 Men zal, uit deze iiitcirukkingen, (welke de Siüus en de Cofinus van eenen boog, wiens betrekking tot den halven omtrek bekend is, in een gedurig produif):, uit eene oneindig aantal fafloreiinbsp;beftaande,' voordellen,) eene menigte anderen kunnen affeiden, welkenbsp;wij, met flilzwijgen, voorbijgaan, en ann het onderzoek van den Lezer overlaten. Alleenlijk voegen wij ’er bij: dat, uit de vergelijkingnbsp;(/^), de waarde van ^ tr kan afgezonderd worden: zulks doende,nbsp;zullen wij vinden:
e „ pttt ltrz=. — X Sin. — Xnbsp;^ P
r_^‘L
/gt;J ¦ Lé
Situ
fraL-l f——1. r~—1 L^q—P J ’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦ 14?—aJ
enz»
L4'? /gt;J L6q~-pj ' L^q pA
Deze uitdrukking heeft de zonderlinge eigenfehap, dat p en q, naar welgevallen , kunnen genomen worden. Neemt men p lt;? — 17 dan is
Sin.^—=-Sin.ltrz=.ï, en men verkrijgt: iqnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-
|a-=: I X f X ï X| X| X f XI X| X^i X i? X è|Xl-f nbsp;nbsp;nbsp;(?’)
Wallis heeft deze uitdrukking (2'’), in zijne Arithiiu Infinitormn, door interpolatie gevonden.
§. 629. Wanneer men, in de uitdrukkingen (/?) en (A), nbsp;nbsp;nbsp;—i
ftelt; dan zal ~ — i'^ worden: de uitdrukkingen (R) en (A) zullen dan de waarden van Sin. t ]/— i, en Cof. t /X— i geven; daar
I
nu
z}/—i ), en Sin. s — ¦
ny—i
—t —— —vL—'I) is, zie §. dtps Dyi /y i nz: .... I (ef 4- e—t) en Sin. t}/— i = § Qe—t — ^ 0:2 JX— i worden, ennbsp;wij verkrijgen alzoo de twee volgende Eureliaanfche uitdrukkinglen,
enz. zz t ¦
ts
1.2.3 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4.5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4.5.
373
- [' ^]-[^ ^}[^ nbsp;nbsp;nbsp; 4^^^-
j£in
SlT^J'
ft -j- nbsp;nbsp;nbsp;?
[¦
«?2.
/ö
_ nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2 ' I.2.3.4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3,4.5.6
uit welke men zeer gewigtige gevolgen, welke op zijnen tijd zullen opgegeven worden, knn afleiden.
TWEE- EN- ZESTIGSTE LES,
Over het Theorema van de Moivre, en het daaruit volgende Theorema van Cotes.
§. 630. Wanneer men de bekende vergelijkingen:
Cof. (x 31) Cof. X X Cof. y — Sin. x X Sin. y Cof. Qx — ji) = Cof. X X Cof. y Sin. x X Sin. ynbsp;optclt; dan zal men verkrijgen:
2 Cof. X X Cof. y — Cof. C* O') -t- Cof. (x — y')
In deze vergelijking, kan men voor en 31 alle waardijen, naar welgevallen , ftellen : men neme dan y — nx; dan zal x y —x -{• n x —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en X — y — x — nx~(i—n')x worden: de ver-
kregene vergelijking verandert gevolgelijk in deze:
2 Cof. X X Cof. n X — Cof. -f- I) ^ Cö/. (1 — n')x Nu is de Cofinits van eeneii boog gelijk is aan de Cofinus van diennbsp;zelfden boog, negatief genomen, zie noot 93; gevolgelijk is ... .nbsp;Cof. Cl —n^x — Cof. (tt — f) X : de laatfte vergelijking zal dan veranderen in
zCof.x y. Cof. n x = Cof. (« — i) a- Cof Qn i) . x . . (T) ia welke voor de letter «, van nul af tot in het oneindige, alle ge-heele getallen zullen kunnen aangenomen worden.
§. 631. Stellen wij, in deze vergelijking, nbsp;nbsp;nbsp;dan wordt, om
dat Cof. o® — I is,
2 Cof. X X Cof. x~ z Cof^. a: ~ I Cof. 2 x
Men zal 2 Cof. x—y-\-— kunnen ftellen; want, wanneer x ge-
y .
geven is, dan zal men y zoodanig kunnen bepalen, dat aan deze vergelijking voldarm tvorde: maar dan zal ook
4 Cop-. X ~ y^ z
moeten zijn, en door twee deelendc,
Aa 3 nbsp;nbsp;nbsp;2 Cofi.x
-ocr page 412-3?4
WISKUNDIGE LESSEN,
2 Cofi-. x~l nbsp;nbsp;nbsp;-j—^--}- I
Maar nu is 2 Cc/®, ar ~ i Cof. 2. x; derhalve is ook
Cof. 2x~\y^ -]---; of 2 Cof, 2 ar
Vermenigvuldigt men voorts deze laatfle vergelijking met 2Cofx—y-gt;r —nbsp;dan zal men voor het produdl verkrijgen:
4 Cof X X Cof 2.r~j3-[--y 3^ “ — nbsp;nbsp;nbsp; — 2 Cof X
Maar Helt men nu in (T), n — 2, dan zal men verkrijgen:
4 Cof X X Cof 2 x — z Cof rv 2 Cof 3 x welke, met de voorgaande vergeleken zijnde, geven zal:
2 Cof 3 X 2 Cof X =: nbsp;nbsp;nbsp;-f- ^ 2 Cof X
of, wanneer men aan beide zijden 2 Cof x aftrekt, eindelijk
2Cof3x=y^
I
y^
Iict zal, op dezelfde wijze, blijken: dat
2 Cof s X
zal zijn.
Stellen wij, in het algemeen: dat
y”
2 Cof n x~
zij, en vermenigvuldigen wij deze vergelijking met Cc/ix 2= y i, dan zal men, op gelijke wijze, vinden:
T
2 Cof (n i) X = 31» !
Uit dit alles blijkt het dan: ff daf, wanneer 2 Cof X m 3
gefleld wordt^ ook te gelijk, in het algemeen, 2 Cof « X 22:3» nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C95)
d3 =
zal moeten zijn.
C95) produfl; van y en —, is gelijk aan de édnheid: indien wjj ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;der-
-ocr page 413-375
§. 632. Herleidt men deze twee vergelijkingen; dnn zal men verkrijgen :
— 23.' Cof. w I o; en yquot;-” — 2 j’» Cof. nx i =2 o welke te gelijk moeten beftaan, en daarom ten minfte eenen gemeen-fchappelijken wortel zullen moeten hebben.
633. Stellen wij: dat p de gemeenfehappelijke wortel dezer twee ¦vergelijkingen zij; dan zal, aangezien deze vergelijkingen onveranderd
blijven, het zij men p of —, in plaats van v, Helle, ook — een ge-
meenfehappelijke wortel van dezelve moeten zijn. De grootheden p ^tjn dan de wortels, der vierkants-vcrgelijking —23 Co/\x-\~
I “ o, en daar zij ook wortels van de vergelijking ja» — 2 j» Cof nx 1 = 0 zijn, ff zal — 2 j Cof, ar -j- i, noodzakelijk eennbsp;factor van ja» — 2 j» Cof. n x i zzo moeten zijn.
Stellen wij nu n x =:cp; dan zal x ~~ zijn, en dan zal uit het
betoogde volgen: f f dat de uitdrukking ja» — 2 j» Cof. (p i, deuit-Cb
drukking — 27 Cof, -f-1 tot deeler zal moeten hebben, onder n
dit beding nogtans, wanneer n een geheel politief getal is.
§. 634. Wanneer dan de halve omtrek des cirkel door t wordt uitgedrukt; dan zal, vermits, in het algemeen,
Cof p = Cof. (p 2» tv')
cj3 -i- 2 H T in piaats van p kunnen gefield worden, en men zal voor n alle geheele getallen, van nul af tot n — i ingelloten, Hellennbsp;kunnen, zonder dat de uitdrukking ja» — 2 jquot; Cof, (_p 2 n r) jnbsp;in waarde zal veranderen: maar hoezeer de Cofinus van den hoeknbsp;P 2nTV, voor elke waarde van «, dezelfde blijft, het zij men p,,nbsp;P 27V, p i^T, P 6tv, enz. neemt, zoo zullen nogtans denbsp;iide deelcn van deze bogen onderfcheidene Cofinusfen hebben, en
men
‘1‘^'halve 2 Cof. ar Z2 j nbsp;nbsp;nbsp;als cene bekende grootheid, aannemen;
dan zal, volgens de oplosfing van het vraa.gfttik in §. sd®, 'voorkomende, 2 Cof. « * — (-J x-y — n.(i Cof.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(.2 Cof.
. ^ nbsp;nbsp;nbsp;3
^'ijn, en hierdoor kan de Cofinus van het veelvoud van eenen boog door d-szelfs Cofinus bereitend worden,
Aa 4
— (a Cof. -v)” d _p, g„~.
-ocr page 414-37Ö
ider
n zd cnnrom voor den fcélor y- — 2 y C^f. — i niet min
men
dan a onderfcheidene waarden verkrijgen, f f De uitdrukking yin — 2 y» Cof. ^ Inbsp;zal alzoo de volgende uitdrukkingen;
_ 2 y . C,»/: nbsp;nbsp;nbsp; r
_=,.c./;(f VO
•2y
y^ — 2 y . amp;/. nbsp;nbsp;nbsp; I
—2y .Cof. ( -i-H-----) I
tot faéloren hebben, welke alle van elkander ondcrfcheiden, en n üi aantal zijn: zoodat, wanneer men dezelve met elkander vermenigvuldigt , derzelver produfl y^” — 2 j» . Cof. (f) i zal zijn. Dit is betnbsp;Theorema van pe Moivre, uit hetwelk dat van Cotes, op de volgende wijze, wordt opgemaakt.
§. lt;gt;35. Stellen wij (p~o’, dan is Cof(p~Cofo~i. In deze
, „ . nbsp;nbsp;nbsp;. 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0 , 2T ZT 0 , 4-^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^
onderllellmg, wordt — o ; — nbsp;nbsp;nbsp;=— ; -3- ~ ~ — ; ge-
n nbsp;nbsp;nbsp;n n nnnn
volgelijk is Cof ~ quot; Cof 0° = i; Cof nbsp;nbsp;nbsp;^ = Cof ~ ;
° nbsp;nbsp;nbsp;n,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V ”nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;® _ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11
enz. tfDe fadloren van de uitdrukking yi» — 2 y« i, of (jy« — i):;,
zullen dan worden
y®- — 2 y I . . , . . eerde faftor
. 21C
— 2 y. Cö/. 3— -f I . nbsp;nbsp;nbsp;,
j2 __ 2 y. Cof I . nbsp;nbsp;nbsp;.
2«
j,2 — zy.Cof.---f-1 nbsp;nbsp;nbsp;. (k—i}«
fiC
Ver-
TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;377
Vermits nu, in het algemeen, Cof. z—Cof.Qz'z—s) is, noot 93, zal
2!r'\ nbsp;nbsp;nbsp;„ ^ 2!rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^,.2(k —2)n-
S.of. _h--i— — Cof. { 2T--) m Cof. — ; Co .--
n nbsp;nbsp;nbsp;V n J ^ n ' n
= Cof ^27r——^ — Cof~-, enz. Het blijkt hieruit: f f dat de
(»—i)f, (« — 2gt;, (n — 3)f, e«2. fadloren, in orde, gelijk zullen zijn aan de 2«, 3», 4^, 5«, e«2. faéloren, weshalre
0”' — i)^=r (gt;—i)^ X nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X . . . .
Qy^ — zy .Cof.^ -if. i'y X — 2 7 . Cö/. —-f
(8 ^ 'x ^
— zy . Cof. ff ^ J ^ nbsp;nbsp;nbsp;.......
Hier zijn nu twee gevallen te onderfcheiden. 1° Indien n oneven, en gelijk 2/gt; i is. In dit geval, zullen de fadoren van dc onder-Ilaande rangorden:
2/gt;-f-I, 2/gt;, nbsp;nbsp;nbsp;2p—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I, zp — 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . . p a, p 1, p
2, nbsp;nbsp;nbsp;3.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5 - •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• • P i^Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2,P nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
overëénftemmen en gelijk zijn, en wanneer men, in de voorgaande vergelijking, n = 2p i ftelt, dan zal men verkrijgen:
Q2/ i_ij)a_ nbsp;nbsp;nbsp;X ^72 —23-.Co/.i^'x
Q^ — zy.Cof^^^ i^ X enz. X......
Cy^ — zy .Cof. — .1 X X .......
()¦’- = J-CV.
of, uit derzelver leden den vierkants-wortel trekkende,
J.2/ I _ 1 — nbsp;nbsp;nbsp;_ i) X —2 3gt;.Co/^^-t- x ...
— 2y. Cof nbsp;nbsp;nbsp;X enz. X.......
2® W.anneer« even is; dan ftelle men n — zp, en, in dit geval, zal de 2pi‘nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweeden; de (2/—i)' fador met den der
den,- enz., en de (/gt;-|- i) met den (/i-j- fador ovei'ccnftem-®en: deze laatlle zal gevolgelijk op zich zelve Haan, en, daar n — zp ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Aasnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is
-ocr page 416-378 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
*ip 7t
is, door nbsp;nbsp;nbsp;— 2 3’- Cof.---[- i, of door — 2 y Cof- t i, wpr-
2p
den iiitgedrukt: dan, aangezien Cof. r — i is, verandert hij in y-, 2 y I of (y nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5 en de vergelijking (a) verandert voor
dit geval, in
C2 TT quot;*\ —
r — ^y.Cof — -\- ij X . . . ^3,2—23,. C«gt;/:^ X éte X ^y^—2y.Co/^^^—
X (y 1)2
of, trekt man hieruit den vierkaiits-wortel, in j.2^ — I = (y O X O— OX ^y^ — 2y.Cof~ ’‘3nbsp;^32 —.lt;2,y .Cof ^
enz. X ^y'^ — ly.Cof ——^
§. 636. Maar flellen rvij, in de uitdrukking van i)E Moivre , dat is, in y2» — 2 y» Cof. Cl) -f- i, den hoek (p~jr; dan wordt Cof (p~nbsp;Cof TT——I, en dan verandert deze uitdrukking in y2» 2y« 1 =
^ _
(jn 1)^5 terwijl, voc^r derzelver fatoren, Cof. — Cof
Cof. -— ; enz. 11
V « nbsp;nbsp;nbsp;» _ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n n _/
^\n nbsp;nbsp;nbsp;n Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n /
(c, p — I T
— Cof -— wordt. Men znl dan de vergelijking:
n
(2 «— i)a'_
n
verkrijgen. In deze is nu wederom: Cof.
Cff.(^2T—^'^ — Cof.-^-, voorts Cof. nbsp;nbsp;nbsp;Z2 •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•
Cof
-ocr page 417-TWEEDE CURSUS.
379
aan den eerden, de («— i)^ faftor aan den tweeden, enz. gelijk in plaats van deze vergelijking, kunnen dellen:
X enz. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^...........C“}
^V’anneer nu n oneven en gelijk 2/gt; i is, dan zal de nbsp;nbsp;nbsp;fac
tor, welke alsdan de middelde is, op zich zelven daau en zal door
1 , of — 2 3gt;. Cof. T -f- I, dat is,
y-iy .Cof.
(2p l) T 2p I
omdat Cof. s- — — i is, door -.j. ^ 3, -p, i ^ of 4. nbsp;nbsp;nbsp;, worden
uitgedrukt; en men zal dan, na den vierkants-wortel uit (««) getrokken te hebben, verkrijgen:
= nbsp;nbsp;nbsp;X----
^ 1 ^ X -23-. Cof. -I-1)
X enz.
(2P— i)a-
Is n even en gelijk 2.p, dan zal men vinden:
3'quot;^ i=r nbsp;nbsp;nbsp;2y.amp;/:^-fi^ Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;231.Cö/;1^-1-
z. X Qy-2y.Cof^^^p^ 1^^% . ... .
enz.
§. 637. In de formulen (/S), (?'), («quot;) en CO» Z'jn de vier gevallen van de Leerllelling van Cotes begrepen (96), welke, zoo als
ge-
C96) Die Theorema komt, in de Harmonia IVlenfuecitem van CoxF.s, op eene andere tvijze voor. Het ftaat aldaar met de eigenfehappen desnbsp;cirkels in een verband, merkwaardig genoeg, om zulks korcelijk optege-vcn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jjj Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(.(jn boog (o) fi) met de radius A (o) be-
fchreven, en uit eenig punt B (i) getrokken worden; ftel de boog (o) (i), welke den hoek (o') A (i) meet, gelijk, 9; de radius A (o) gelijk de édnheid; AB — x en .0(0—3-; tian is, in den driehoek ABnbsp;fOï volgens de bekende eigenfehappen des driehoeks,
[i' (i)]a ra ^ üa 4. nbsp;nbsp;nbsp;(0)=- — 0. A B -A A (\) Y. Cof. 9;
.....ra 22 *2 — a 1- CoC. 9 l
Ou-
CO
genoegzaam blijkt, een bijzonder geval van de meer algemeene ftelr ling van de Moivre is. Beide deze Leerftelfels leeren ons:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dat
Be-
Onderftellcn wij nu: dat den omtrek (o) (i) enz. in een aantal van 2 m deelcn verdeeld zij, en laten de lijnen B (pj, B (i), .B CD, enz.,nbsp;welke uit B tot de dcclpunten getrokken worden, door j’o , J'i, Ja , ys ,nbsp;enz. y,„ , Worden uitgedrukt; dan zal .men, tt gelijk aan den halven om
r, — a-, enz. ftcllende,
trek, en voor de waarden ~ tt , nbsp;nbsp;nbsp;3-,
m nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in
de twee reekfen van vergelijkingen verkrijgen:
|
voor de event verdeolingon- voor de oneviüe verdeeliugeii. |
STen merke nu op: i'' dat overednkomftig het verklaarde in §. 635 en §. 636, de vergelijkingen, welke betrekkelijk zijn tot den eerften kalvennbsp;omtrek, de dubbelde faftoren van x”‘ — i en ar“ -|- i geven, wanneernbsp;mien eerst de evene, en daarna de onevene verdeelingen neemt; datnbsp;de deelpunten, welke gelijklijk van de middellijn verwijderd zijn, voor denbsp;lijnen B CO,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(-)’ geliike waarden geven, zoodat y„,_iz:y„,^i
enz., is; waaruit dan volgt: dat
x’” — 1 — yo X y» X y4 X enz. y(^2tii—0 xquot;’ 1 niyi X ya X y5 X enz. y(_2in—j')
In deze twee vergelijkingen, beftaat eigenlijk het Theorema van Cotes; hetgeen, op de agngehaalde plaats, als eene eigenfehap van de regelmatigenbsp;veelhoeken, in den cirkel bcfchreven, is voorgedragen.
-ocr page 419-.131
bepalen wij ons, om zulks aantetoonen, tot de vergelijking: yzn — 2 31* Cof. £jb I — o
aan deze zal voldaan worden, wanneer men alle hare fiiélorcn gelijk **^1 fielt. Zie §. 191. Men zal dan de vergelijkingen
• nbsp;nbsp;nbsp;Cof.^ i=o
y- — 2 j. Cof. C— — quot;^ 1 = 0 \^n n y
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
elk in het bijzonder moeten oplosfen.
§. lt;538. Nemen wij, in het algemeen, — 2 y . Cof. /a, i — o; dan zal men, volgens ^ 07, verkrijgen:
y^Cof, ViCop.f~.^
maar Cof-. fj. — i — — i X (i —Cof^.iJ.') = — i X Sin^. fi-, gevolgelijk yQCof^. f/. — i) = Sin. jj. X }/—I: men liLcft derhalve: y — Cof ft 4- Sin. fi. X }/— i.
Stellen wij nu, in deze laatfte vergelijking, na elkander, de bogen
lt;P , ^ nbsp;nbsp;nbsp;(p 4T
— ¦gt;--1--;--h—• i[j plaats van a; dan zal men voor
n n n n n nbsp;nbsp;nbsp;^
de wortels der vergelijking y’tn — 2 nbsp;nbsp;nbsp;. Cof. i = o verkrijgen:
3’=r nbsp;nbsp;nbsp;Cof^ Sin.^X]/—i
y=c,r. 0 nbsp;nbsp;nbsp;(t X -
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
welke alle onbefiaanbaar en 2 n in aantal zijn, (97)-
§. 639. Wanneer men de vier vergelijkingen voor de vier gevallen van het Theorema van Cotes met elkander vergelijkt; dan zal het uitnbsp;dezelfde gronden blijken, dat in het algemeen, de wortels der vergelijking yn — I :=o, door
y = Cof—. 360'’ Sin. — . 360quot; X ]/— i nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11
zul-
C97) Omdat de Cofmus van eenen boog altijd kleiner dan de édnheid is, zal cene vierkants - vergelijking, welke onbeftaanbare wortels heeft,nbsp;vergelijk §. ui, door
z a X Cof. ^ *4^ nbsp;nbsp;nbsp;^ o
kunnen worden nitgedrnkt.
-ocr page 420-zullen worden uitgedrukt; wanneer men, namelijk aan h alle de waarden geeft, van één af tot n ingefloten.
§. 640. Laat nu gegeven zijn: ji« — A—o\ wanneer men dan de termen dezer vergelijking door de meetkunftige reeks.
I, yA, yA'^, yA'^, i/a^ .... vaquot; =. a
deelt; dan zullen, volgens §. 248, de wortels van de vergelijking •jti — i=Oj met yA moeten vermenigvuldigd worden, om die vannbsp;de vergelijking xn — A =: o, (iii welke A pofitief of negatief zijnnbsp;kan,) te vinden, ff Gevolgelijk zal
X» — A — o gegeven zijnde zijn; nemende h— i, 2, 3, enz. tot n ingefloten, en yA den be-ilaanbaren wortel, welke men, door de gewone worteltrekking, vindt.nbsp;Door deze formule zal men, met behulp der gewone Sinus-tafel, allenbsp;de wortels der vergelijking x» — A — o, welke ten hoogfte tweenbsp;beftaanbare hebben kan, kunnen vinden.
$. 641. * De uitdrukkingen, welke wij in deze drie laatfte Lesfcri behandeld hebben, en welke de Logarithmen en Goniometrifche lijnennbsp;betrelTen, noemt mw.Tramcendentak of Overklimmende uitdrukkingen,nbsp;övndac derzelver ontwikkelde Waarde in geene ftelkundige uitdrukking,nbsp;uit een bepaald aantal termen beftaande, kunnen worden voorgefleld.nbsp;Zij bekleeden, onder de ftelkundige uitdrukkingen, denzelfden rang,nbsp;als In de getallen de onmeetbare onder de meetbare grootheden. Der-zclver kennis is in de Differentiaal- en Integraal-Rekening van veel belang: deze is het, welke de wezenlijkheid van derzelver beftaan opnbsp;tmtwijfelbare gronden vestigt, om welke redenen wij dan pok daar ternbsp;plaatfe den eigenlijken aard dezer uitdrukkingen nader ontvouwennbsp;ïtilien.
WIS'
I
-ocr page 421- -ocr page 422- -ocr page 423-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;38;
XVI. BOE K.
de Leer der Combinatiën, en derzelvcr gebruik in de_ analytifche bewerkingen.
DRIE- EN- ZESTIGSTE LES.
Over de combinatiën in het algemeen, en de wijze om dezelve daarteflellen.
fl,
leii
§• 642. De Wiskunst bedoelt de eigenfcbappen van be-^¦ekkingen der grootheden te bepalen: de beginfelen, welke ^^artoe ftrekken, vloeijen alleen uit dit ééne voort: de grootsnbsp;J(an vermeerderd en verminderd worden. Op hetzelve
^Wien de vier grondbewerkingen, met welker behulp getal-uit andere getallen, grootheden uit andere groothedenj ^^niengefteld, en de betrekkingen van bet geheel tot de za-ll’^nftellende deelen overwogen worden. De uitkomlien dezernbsp;^fchouwingen, vermeerderen den fchat der wiskundige we-^Siifchap, welke van de leerwijze of methode, waardoor men'nbsp;uitkomfteii verkrijgt, offehoon ook deze laatfte door dc-2elf^e gronden gewijzigd en bepaald wordt, even zoo zeer,nbsp;^Is het gewrocht van de oorzaak, onderfcheiden is. Elkenbsp;derwijze is nu altijd zooveel te beter, en in hare toepasling'nbsp;^^oveel te vruchtbaarder, naarmate zij algenieener en klaar-^‘Jkelijker is, en, met meer zekerheid, tot de bedoelde uit-Omst brengt. Om deze reden, is de multiplicatie eene be-^re handelwijze dan de additie, fchoon men door de laatllenbsp;2ls door de eerlte verkrijgen kan; de algemeenenbsp;^'^tiTiuie van het Binomittm van Newton, hetwelk als eenenbsp;•^torte ftelkundige multiplicatie kan aangemerkt worden.
-ocr page 424-is daarom boven de multiplicatie, de divifie, en de gev^on® worteltreUking te [tellen, omdat men door dezelve, zondeknbsp;bijna eenige moeite, tiitkomften verkrijgt, welke niet, dannbsp;door eene langdurige en fomtijds onuitvoerbare bewerking»nbsp;zouden kunnen dnargeftcld worden. Hetzelfde kan gezegdnbsp;worden van de leerwijze, welke in dit boek zal worden voor-gedragen. Wij hebben in het XIV Boek geleerd: hoe de raagtnbsp;eener tweeledige uitdrukking kan ontwikkeld worden : thansnbsp;zullen wij de magten der veelledige uitdrukkingen Icerennbsp;daarftellcn. Voor dezen gefcbiedde zulks, door lastige raid'nbsp;tiplicaiien, divifien, wortel trekkingen, fomtijds door de onbepaalde coëfficiënten, en dikwijls ook door de Differeiitiaal-Rekening: dan, federt Hindendurg, door de fchriften vaünbsp;LeiknitZ, ue Moivre, Boscovisch en Euler, op de gedachten gebragt werd, om de leer der combinatiën op dezenbsp;bewerkingen toetepasfen, is ’er cene leerwijze geboren, waardoor een groot aantal moeijelijke analytifdie bewerkingesi»nbsp;door het leerftelfel der combinatiën, gemakkelijk en regelmatia;nbsp;kan worden uitgevoerd (98).
Ftr‘-
(98) In Duiischlattd draagt deze Leorivyze den iiaam van CombinatO' rifche Analyjls: elders is zij weinig bekend. Voor drie jaren, heeft nog-tans i.ALANDE hare lofrede in den Moniteiir geplaatst. Wij kenden reeilsnbsp;in 1796 de twe^’ eerde Latijnfchc fchriften van Profesfor TIindenbUivi =nbsp;maar het ging ons toen gelijk het Fisciier,gegaan was: wij werden,nbsp;de menigvuldige definitien .afgefchrikt, en leerden dezelve u.adcrhaiHlnbsp;Fischer’s verdedigings fchrift: Ueber den Urfpritng der Theorie dernbsp;Kienjionszcichen und ihr Verhdltnifz gegen die Combiaatirifche Aaah'“^'nbsp;kennen. Onzes oordeels, zijn ’er twee Zaken, welke cenen niciivvclgt;''lt;’nbsp;in dit'vak' affchrikken. i'* De menigvuldige definitien van woordO’nbsp;zaken, welke, zonder v.an het klaarblijkelijke te verliezen, andersnbsp;zouden kunnen worden. 2° De teekens zelve, welke, daar zy voor eennbsp;gedeelte uit het Hoogduitfdie Alplmbctli genomen zijn, degeeneu,nbsp;ke in deze taal niet bedreven zijn,, aflchrikkcn. Dit laatfte maakt de beoefening derllindenburgfehc handelwijze, voor iemand, die geen Duitfeher
is, mocijelijk; wij Hollanders zelfs, wier oude Nederduitlehc letters met de
Duitfche zooveel overéénkomst hebben, vinden deze teekens
om deze reden dan, en omdat de Hindenburglche feckenfpraak, op eene
Hollandfchc drukkerijbezwaarlijk ¦ zou kunnch worden uiegevoerd, heb-
'ben wij de Hindenburgfdie teekens veranderd: dan, deze vc
verandering beitelt
-ocr page 425-Ferklaring van teekens, woorden en zaken.
§. 643. * Het woord combinatie, van het Latijnfche woord hiriis afgeleid, beteekent de veréeiiiging van twee dingen, op eenigerleinbsp;Wijze, uit eenige andere genomen zijnde. Het gebruik heeft nogtanSnbsp;dit woord algemeen gemaakt: * het woord Combinatie beteekent elkenbsp;verëéniging van een bepaald aantal dingen uit eenige gegevene.
§. 644. * De dingen, welke op eenigerlei wijze verëénigd worden, pleegt men, in de Hindenburgfche leerwijze, tot meer gcraaks der be-fehouwiiig, door de natuurlijke getallen i, 2, 3,4, enz. uittedrukken,nbsp;dat is, wanneer de dingen, welke moeten verëénigd worden, doornbsp;de letters a, h, c, d, enz. zijn aangewezen, wordt het eerfle a doornbsp;I , het tweede h door 2, enz. uitgedrukt, waaruit dan een combi-natonfehe wijzer ontftaat, welke doorgaans aldus gefchreven wordt
r T nbsp;nbsp;nbsp;2, 3, 4, 5gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7 ¦)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r
la. b, c, d, e, ƒ, g, enz.»
In dezen Index, kunnen de letters alle lborten van dingen, alle grootheden , alle analytifche uitdrukkingen beteekeuen, en, in de combina-torifche befchouwingen, neemt men de getallen in plaats van de dingen, die zij beteekenen: wanneer men nu van de uitkomst eener combinatie wil gebruik maken, ftelt men wederom de letters in plaats vannbsp;de getallen, welke in dezelve voorkomen.
§. 645. * De wijzer ftelt de dingen voor, in de volgorde, waarin in eenig werkftuk, of in eenige befchouwing, gegeven zijn.
§. 646. * Men noemt de zamengevoegd wordende dingen elementen, cn eenige dezer dingen, op eene voorgeftelde Wijze, te zamen ver-èénigd zijnde, eene complcxie: men zou in het Hollandsch zeer wel denbsp;wroorden bejlaaudeelen en zamenvoeging daarvoor kunnen gebruiken.
§. 647. ft Wanneer men de getallen van den wijzer, als de cijfers van eenig talftelfel aanmerkt, (zoodat, wanneer die wijzer meer dannbsp;tien dingen bevat, de getallen 10, ii, enz. als cijfers op zich zelvenbsp;genomen worden,) dan zullen deze cijfers, als een welgeordend getalnbsp;kunnen aangemerkt worden, hetwelk, wanneer ’er n dingen zijn, tennbsp;minlle tot het {n i) tallig ftelfel behoort: * men neemt de zamen-voegingen der beftaandeelen in derzclver volgorde, en onderfelieidt de
la-
treft alleen het ftoiTelijke dezer teekens, en heeft geenen invloed op der-zelvcr algemeenheid. Wij vlcijen 'ons, dat wü daardoor aan de Hinden-^«rgfehe leerwijze eenen wezenlijken dienst zullen bewezen hebben.
II. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;B b
-ocr page 426-586 nbsp;nbsp;nbsp;WI^KUNDJGE LESSEN.
lagere van de hoogere, en zulks brengt, zoo als uit het ven’olg zal blijken, een aanmerkelijk gemak in die foort van bewerkingen aan.
§. 648. Een bepaald a,antal dingen gegeven zijnde:
f I, 2, 3gt; 4? 5» 6, 7, 8, enz. } t a, b, c, d, e, f, g, h, enz. f
dan kan men zich, aangaande deze, de volgende foorten van combi- . natiën voorftellen.
§. 649. nbsp;nbsp;nbsp;mogelijke plaats-verwisfelingen of
permutatien dezer dingen voorflellen. * Permuteren is van plaats of rangorde te veranderen. Somtijds zijn fonimige der gegevene^beftaan-deelen dezelfde, en dan maakt het, zoo als op zijn tijd blijken zal,nbsp;een bijzonder geval in de leer der permutatien uit.
§. 650. 2® Dezelfde index gegeven zijnde, kan men de dingen, welke daarin voorkomen, op alle mogelijke wijzen, twee aan twee,nbsp;drie aan drie, enz. zamenvoegen, zonder dat hetzelfde beftaandeelnbsp;meer dan éénmaal voorkomt. * Deze wijze van combinatie was voornbsp;dezen onder den eenvoudigenmaam van combinatie in gebruik. Thansnbsp;noemen wij dezelve eenvoudige combinatie zonder herhalingen.
§. 651. 3® * Wanneer nogtans, in deze combinatie, de bellaandeelen zooveelmaai als mogelijk is genomen worden, onderfcheidt men dezelve van de voorgaande combinatie door de benaming van conibina-tie met herhalingen, of herhalings combinatiën,
§, 652. * Deze twee foorten van combinatiën worden, gelijk ook de volgende, in klasfen onderfcheiden: tot de eerfle klasfe behoorennbsp;de dingen op zich zelven genomen, tot de tweede de zamenvoegin-gen van twee, tot de derde, de zaïuenvoegingen van drie beftaandee-len, enz.
§. 653. * Men kan in alle foorten van combinatiën, de bijzondere zamenvoegingen van elke klasfe, naar aanwijfing van §. 649. perrau-teren: daardoor zal men de verfchillende klasfen van gepermitteerdenbsp;herhalings combinatiën verkrijgen. Hindenuürg noemt dezelve vet'nbsp;riatien.
§. 654. Men kan eindelijk, denzelfden wijzer tot grondflag neros”' de, twee, drie, en in het algemeen een bepaald aantal bellaandeelen,nbsp;op alle mogelijke wijzen, zoodanig verêenigen, dat de fom van denbsp;rang-getallen des wijzers een bepaald en gegeven getal zij, zondernbsp;dat nogtans een wijzer-getal meer dan éénmaal voorkome. *nbsp;npenit deze foort van combinatiën, combinatiën tot bepaalde [ommennbsp;zonder herhalingen, ea men verdeelt dezelve in eerfte, tweede,
der-
-ocr page 427-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;387
derde klasfen, enz. naarmate van het getal der beftaandeclen, welke in elke bijzondere zameuvoeging of coinplexie voorkomt.
§. Ö55. * Verwisfeit men in de complexien van deze laatfte foort Van combinatie de beftaandeelen op alle mogelijke tvijzen, dan noemtnbsp;men dezelve gepermuteerde combinatiën tot eene bepaalde font, zonder herhalingen.
§. 656. * Wanneer men in de combinatiën tot bepaalde foramen de rang-gctallen der beHaandeelen bij herhaling doet voorkomen, noemtnbsp;^men dezelve herhalings combinatiën tot bepaalde fonnnen.
§. 657. * En de beftaandeelcn van de bijzondere complexien op alle mogelijke wijzen van rang veranderende, gepermuteerde herha-lings combinatiën tot eene heprMlde fotn.
§. 658. Somtijds zijn, gelijk in den volgenden index,
/I, 2, '3, 4, nbsp;nbsp;nbsp;5, (gt;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7, enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\
j a f by C y d y e y nbsp;nbsp;nbsp;fy g ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . . . p
J nbsp;nbsp;nbsp;Aynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cy üy Eynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Fynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CWZ.....
\ nbsp;nbsp;nbsp;a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ö,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C, b, e,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.....r
\ nbsp;nbsp;nbsp;21',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;25,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(£,©,€,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Jr,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^
eenige reekfen (/gt;, r, i,) van dingen gegeven: men zal dan deze dingen met elkrmder op alle mogelijke wijzen zoodanig kunnen ver-ëénigen, dat uit elke reeks van dingen één bijzonder ding genomennbsp;Wordt, en de zoo ftraks opgenoemde foorten van combinatiën zijn opnbsp;dezelve, zoo als nader blijken zal, onder die voprwaarde toepasfelijk.
§. 659. Alle deze verfchillende foorten van combinatiën, zelfs hetgeen men gevvoonlijk perinutatien noemt niet uitgezonderd, behooren tot eene algemeene hoofdfoort van bewerkingen, en kunnen bijgevolgnbsp;door één algemeen teeken uitgedrukt worden, waartoe rvij de letternbsp;c, de eerfte van het woord combinatie (pp), zullen gebruiken, wml-ke letter met de bijgevoegde punten en exponenten op de wijze,nbsp;welke hier volgt, de uitkomften van de verfchillende combinatorifchenbsp;bewerkingen uitdrukt.
Lijst der combinatorifche teekens cn derzelver verklaring.
§¦ 660, iv * De verê'éniging of de coinplexie van een zeker ongenoemd aantal dingen wordt uitgedrukt, door . nbsp;nbsp;nbsp;. c
§. 661.
C99) Even gelijlc men iii de DifFereniiaal-Rckeiiing de letter d voor dif-fereiuiaal, cn /, de cerfte letter van fom, gebruikt, om de Imegraal aan-tewyztn.
Bb 2
-ocr page 428-385
§. óói- 2^ * De verëéniging van een bepaald aantal van «
djngen, door........c’^
§. 662. 3quot; * Alle de verfcliillende permiitatien van een ongenoemd aantal dingen, door . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. c
§. 663, 4° * Alle Hiogelijke permutatien van « dingen, door c«
§. 664. 5® * Het aantal permutatien van p dingen, door nbsp;nbsp;nbsp;NCf
§. 66$. 6® * Alle onderfcheidene en mogelijite combinatiën zonder herhalingen van een onbepaald aantal dingen,
. . . . twee aan twee, door . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
. . . . drie aan drie, door . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
. nbsp;nbsp;nbsp;. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. n aan n, door .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. c»
§. 6(56. 7® *AIle de mogelijke combinatiën, zonder herha- „ lingen, tan n dingen, p aan p genomen, door .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. cp
n
§. 667. 8® * Derzelver aantal, door . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• c/
§. 668. 9® * Alle de gepermitteerde combinatiën van een ongenoemd aantal dingen, zonder herhalingen, n aan n genomen, door ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..... c»
§. 669. lo® * Alle de gepermitteerde combinatiën van « „ dingen, zonder herhalingen, p aan p genomen, doornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
S. 670. II® * Her aantal dezer laatfte, door . nbsp;nbsp;nbsp;•
§.671. nbsp;nbsp;nbsp;12®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* Alle mogelijke heilialings combinatiën
van een ongenoemd aantal dingen, n aan n genomen, door .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..... C«
§. 672. 13® * Dezelfde, uit n dingen, p aanp genomen, n door .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;... cp
§. 673. 14®. * Alle de gepermitteerde herliali'ngs combinatiën van een ongenoemd aantal dingen, n aan n, door . c«
§. 674. 15® * Alle de gepermitteerde herltalings combi-natienvan n dingen, p aan p genomen, door . nbsp;nbsp;nbsp;. ep
§. 675.. 16® * Alle de combinatiën tot eene bepaalde font van een ongenoemd aantal dingen, zonder lierlialingen, opnbsp;alle mogelijke wijzen, p aan p, genomen, en welke fora nnbsp;is, doornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;np
§. 676. 17® * Hetzelfde mits de combinatiën tot de bepaalde fommen gepermitteerd zijn, door . nbsp;nbsp;nbsp;. np
§. 677. i8® * Alle de combinatiën met herhalingen, tot eene bepaalde foin 'n, p aan p, genomen, door .
§. Ö78. 19® * Deze laatfte gepermuteerd, door .
-ocr page 429-3S9
pqr
pqrs
§. 679. Aanmerking. In deze vier laatfte kan men aan n en /gt;. alle waarden in geheele-^en pofitieve getallennbsp;geven, mits /gt; altijd kleiner dan n zij.
§. 680. Wanneer, gelijk in §. 653, eenige reekfen van beftaandeelen in eenen wijzer gegeven zijn, welke doorp,nbsp;q, s, t, enz. worden uitgedrukt, dan zullen:
I “ * Alle mogelijke combinatiën van een bellaandeel van de reeks p, met een bellaandeel van de reeks q, worden uitgedrukt, doornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
oo * ^^[[g mogelijke combinatiën van een bellaandeel van p, met een bellaandeel van q, en met een bellaandeel van r,nbsp;door .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
3quot; * Alle mogelijke combinatiën van een bellaandeel van p, met een van met een van r, met een van s, door .
§. 681. * Om aantewijzen, dat alle deze bijzondere combinatiën gepermuteerd zijn, zal zulks gefchieden, door een punt onder dezelve te Hellen; aldus
pa-,
pfir^ pqrs, pqrst, enz*
§. 682. * Wanneer uit dezelfde reekfen van bellaandeelen, op alle mogelijke wijzen, één bellaandeel uit /), en één uitnbsp;q genomen wordt, zoodanig, dat de fom van derzelver wij-zer-getallen, bij voorbeeld, zes zij, dan zal men de verëéni-ging van die alle uitdrukken, door ....
§. 683. * Neemt men, bij voorbeeld, drie bellaandeelen, uit elk der rijen p, q en r, één, onder die voorwaarde, datnbsp;de fom gelijk waalf zij; dan de fom van al die combinatiën worden voorgefteld, door ....
§. Ó84. * Wanneer in deze combinatiën, de complexien of samenvoegingen gepermuteerd worden, zal men zulks doornbsp;een punt aldus aanwijzen ....
en in het geval van §. 683, door . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. Pqr
§• (gt;85. Alle deze teekens, zamengevoegd met de téekens, welke wij, zie §. 512, voor de binoraial-coefficienten aangenomen hebben,’nbsp;maken het ganfche zamenflel der combinatorifclie teekens uit, welke,nbsp;wat het llolfelijke aangaat, van de Hindenburgfehe merkelijk onder-fcheiden zijn; doch, in het wezen der zaak, even volledig, en voor
Bb 3 nbsp;nbsp;nbsp;een
393
een vreemdeling ongetwijfeld verllaanbarer, en in het gebruik gemsk-kelijker zullen zijn (loo).
Over de ontiVikkehng der verfcMllende combinatiën.
§. 686. I. Vraagstuk. Een zeker aantal dingen gegeven zijnde, alle dezelver mogelijke pennutatien of rangfehikkingen te bepalen .?
Hoe zulks ¦ gefchieden kan, is in. noot 14, pag. 45, I. C., en §. 373, II. C. aangetoond. Thans zullen wij eene andere oplosfingnbsp;geven. Laat, Tabellc VI. fig. i. de index van vier dingen, a, b,nbsp;c en d, gegeven zijn; dan wórden, van dezen index afterekenen,nbsp;door den navolgenden regel, de volgende pennutatien uit de naastvoorgaande afgeleid.
1 ® Men zocke, in elke rangorde, van de regie naar de linke-„ hand, het eerst voorkomend lager beflaandcel, dat op een hooger „ volgt:'
2*^ ,, Men zoeke, van daar naar de regtehand gaande, het be-5, flaandeel, dat het naaste in rang aan dit lager komt:'
3° ,, Men felle dit naastvolgende hef aandeel in de plaats van het „ lagere, late de hefaandeelcn ter 'linkehand, indien deze voorhan-,, den zijn, op hare plaats, en rangfehikke alle de andere in kmenbsp;ncitlliii'lijke volgorde^''
4® „ De ordening, waarop men dezen regel niet meer kan toe-„ pasfen, is de laatfie; zij fielt de gegevene dingen in eene regel-matig afdalende rangordening voord' (loi).
Om alzoo nit de rangordening B of 2431, in fig. i, de nanstvol-gende afteleiden, neme men het eerfte kleiner ding 2, dat op een grooter 4 volgt. Het naast grootere, dat ter linkehand Haat, en opnbsp;2 volgt, is 3. ,Nu Helle men 3 in de plaats van 2, en daar ’er nu,nbsp;ter linkehand van 3, geene beflaandeelen Haan, Helle men achter 2nbsp;alle de overige in hunne natuurlijke volgorde i, 3, 4; en men zal
de
(100) nbsp;nbsp;nbsp;Daar wij ons alleen bij hot meest merkw.aarcligfte bepalen moeten,nbsp;zullen wij deze teekens niet alle gebruiken.
(101) nbsp;nbsp;nbsp;Dat men, volgens dien regel, alle de pennutatien vinden moet,nbsp;gt;s klaar: w.ant zoolang men niet tot 4331 gekomen is, zal men, rannbsp;achter naar voren gaande, na een hooger een lager beftaandeel vinden,nbsp;en gevolgclijk eene permutatie, waarop men den gegevenen regel kannbsp;foepaflen; men zal derhalve niet kunnen misfen , om ze .alle te vinden.
-ocr page 431-391
lt;^2 naastvolgende rangorde 3, i, 2, 4, verkrijgen. Gegeven zijnde 4325761, dan zal men, uit deze ordening, volgens den regel, vindennbsp;4326157. Het is kaarbiijkelijk, dat de regel op de rangordening 4321nbsp;niet kan worden toegepast (102).
S. 687. Aanmerking. Volgens denzelfden regel vindt men, ook de permutatien van een gegeven aantal dingen, wanneer onder dezelve eenige gelijke gevonden rvorden. Zie fig. 2, op Tabelle VI. (103)nbsp;§. 688. 2. Vraagstuk. Het aantal permutatien van n onderfchei-dene dingen te vinden?
Het blijkt uit noot 14, I. C. pag. 45, dat Nc’‘ = IX2X3X4X5X6X enz. x (n — 2') X Qn — \') X nnbsp;zal zijn.
§. 68p. 3. Vraagstuk. Het aantal der permutatien van n dingen te vinden, wanneer fommige dezer dingen dezelfde zijn?
Indien ’er n dingen gegeven zijn; dan geven de beftaandeelen a cn h twee ordeningen, in welke alle de andere in denzelfden rang voorkomen; deze zullen voor vier dingen a, b, c, d, bij voorbeeld, zijnnbsp;a b c d, b ac d. Zulks zal ook voor alle andere ordeningen, in welkenbsp;a en b op eenige wijze zullen voorkomen, moeten plaats hebben:nbsp;wanneer derhalve a~h wordt, komen die tweetallen van ordeningennbsp;op ééne en dezelfde uit, waardoor het aantal der verfchillende ordeningen op de helft verminderd wordt. Hieruit volgt: dat, wanneernbsp;’er, onder n dingen, twee dingen dezelfde zijn, het*aantal van de permutatien dezer dingen door
I . 2.3.4 . enz, (n — i) X n
zal worden uitgedrukt. Voorts, omdat drie dingen a, b en c op 6 of I X 2 X 3 verfchillende wijzen verplaatst kunnen worden, terwijlnbsp;alle de andere in dezelfde rangordening blijven, zal, indien a—bzrzcnbsp;is, het getal permutatien van n dingen door
(101) A.Ile de combinatorifche regels hebben het met alle andere gemeen, dat de enkelde lezing niet genoeg is, om met dezelve gemeenzaam te worden: om deze reden moet men dezen regel en alle de volgende op meer voorbeelden, dan de plaats ons in ftaat Helt, te geven,
toepasfen.
f103) IHen zal opmerken: dat, wanneer men de permutatien naar dezen regel ontwikkelt, de cijfers, welke de beftaandeelen uitdrukken in rangorde, van het grootfte tot het kleinfte , alle de getallen geven, welkenbsp;met die cjjfers kunnen gefchreven worden.
Bb 4
-ocr page 432-392
1.2.3
V,orden uitgedrukt, ff In het algemeen, zal men, zonder moeite, zien: dat, wanneer ’er ouder de n dingen p gelijke dingen gevondennbsp;worden, het aantal van derzelver peiinuunien gelijk zal zijn aannbsp;1.2. 3 • 4.5-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(» — i) X n
§. 690. In het algemeen, zal, wanneer ’er onder n dingen p din. gen alle gelijk a; q dingen alle gelijk b; r dingen alle gelijk c zijn,nbsp;het aantal van de permutatien dezer dingen door de formulenbsp;I . 2.3.4.5.6.7.8.9. enz. (n—2) («— i) «
1.2.3. P 1-2.3. ^'13- ? X 1.2.3. f uitgedrukc worden: hetwelk men, de opgegevene gronden meer opzettelijk nagaande, zonder moeite vinden zal.
§. 691. Laat ons de uitkomst van de oplosling van dit vraagftuk door een voorbeeld ophelderen. Zij gegeven het produftnbsp;Hetzelve kan aangemerkt worden als het produft aaa hbbb cc uit negen faóioren bellaande: indien men nu weten wil, op hoe vele ver-fdülleiide wijzen de fadloren van dit produft onderling verplaatst kuii-nen worden, zal men, volgens den regel, vinden:
IVc Qa- Z-t c-j) — L- 2 • 3 • 4 • 5 • 6 -.7 nbsp;nbsp;nbsp;= 1260
• nbsp;nbsp;nbsp;'^1.2.3.1.2.3.4.1.2
§. 69a. 4. VRAAGSTUK. Een zeker aa-.Hal dingen gegeven zijnde., dezelve op alle mogelijke wijzen, twee aan twee, drie aan drie, viernbsp;aan vier, enz. zoodanig zamenlevoegen, dat hetzelfde ding niet tweemaal in eenige zamenvoeging voorkome?
Zie de oplosfing 45 Vraagftuk, I. C. pag. 349. (104),
§• 693. 5. ViiAAGSTüK. In deze wijze van combineren te vinden, op hoe vele verfcltillende wijzen de gegevene dingen, twee aan twee,nbsp;drie aan drie, enz. kunnen gecombineerd worden ?
Behalve de oplosfing, op de aangehaalde plaats, van dit vraagftuk gegeven, kan men hetzelve nog aldus oplosfen. Stellen wij, dat ’ernbsp;n dingen a, b, c, d, e, enz. gegeven zijii, en dat men dezelve pnbsp;aan p zamenvoege. Laat het aantal dezer zamenvoegingen gelijk N ge-
fteld
(104) Men kan van deze vraag ondeiTcIieidcne oplosfingen geven, welke alle hier geen plaats kunnen vinden; wij hebben alleenlijk die gekozen, welke of de eenvoudigde zijn, of het meest tot ons oogmerk dienen. nbsp;nbsp;nbsp;.
-ocr page 433-393
field Worden; wanneer men dan de p eerfte dingen vooraan ftelt; dan men, terwijl deze in dezelfde rangorde blijven, de n—p anderenbsp;‘*'“gen zooveelmaal kunnen kunnen verwisfelen als het getalnbsp;I . 2.3.4.5 . enz. («—p—2) («—p— i) («—p')
^’edraagt. Nemen wij verder: dat alle de combinatiën p aan p ont-'vikkeld zijn, en dat men elk dezelver, welgeordend, vooraanftelle; ‘‘^’1 zal ineii, d^ voorgaande medegerekend, even zoo vele com-Plexien hebben, als ’er éénheden in het getal iVzijn, en daar mennbsp;de n—.p volgende
I .2.3.4. enz. (n —p')
maal zal kunnen verplaatfen, zal het getal permutatien, welker be-ftaandeelen met ééne der combinatiën p aan p beginnen, gelijk zijn aan
N % [l .2.3.4. nbsp;nbsp;nbsp;C'*—P— O •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—.?)]
Uit deze complexien, zal men nu aile de mogelijke permutatien vinden, indien men de p eerfte beftaandeelen van elke complexie zoo-veelmaal van plaats verandert als mogelijk is: nu is het getal der per-mutatien van de p eerfte beftaandeelen van elke complexie gelijk aan 1.2.3. ^«2. (/gt;—i) (/gt;). Het aantal der mogelijke permut.itien isnbsp;derhalve:
N 'A [1,2.3. nbsp;nbsp;nbsp;—P — O C”—P')\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[1.2.3. p\ ^
1.2.3 .CK2. (tl—p—i) (n—p) (n— 1) (n—p 2.') enz.
Uit Welke vergelijking dadelijk volgt:
zziNcp
_nQt—ij) — a) nbsp;nbsp;nbsp;— 3} e/?3. (j«—pl')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;”
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4. enz, p
Hetgeen met de aangehaalde oplosfing overéénkomt C105).
§• 694-
C‘os3 De regel, om, uit de eenvoudige deelers van een deelbaar getal , alle deelers, zoo^ wel dc ondeelbare als de deelbare te vinden, in §§. 254 en 255, I. C. voorgedragen, is niet anders dan eene toep.is-fing van het Leerftiik der eenvoudige combinatiën: doch, hierin komtnbsp;het geval in aanmerking, wanneer fommige der elementen by herhalingnbsp;voorkomen: gelijk, wanneer gegeven zijn denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aaaabbbcci in welk
geval men derzelver combinatiën vinden zal, door de magten, i, a, ni, , a'», met i, 4, 1,2^ ia, zamentettelleii, en deze uitkomst wederomnbsp;met de magten i , c, ca ; zoo als uit de aangehaaldc plaats bljjkt.
Wil men mi het aantal der deelers van een deelbaar getal uit dcrzel-ondeelbare facTroren lecreii kennen: dan moet men twee gevallen “bderfeheiden. r® Wanneer de ondeelbare fattoren alle ondericheideii
B b 5
-ocr page 434-394
6p . 6. Vraagstuk. Een zeker aantal dingen gegeven zijnde ¦gt; dezelve op alle mogelijkc vijzen, twee aan twee, drie aan drie, enz.nbsp;te comhineren, onder voorwaarde, dat in elke klasfe van combinatiën de gegevene beftaandeelen zooveelmaal herhaald worden als moge lijk zij?
Deze vraag kan op onderfclieidene wijzen worden opgelost: wij zullen ons nogtans bij de volgende bepalen. Laten, fig. 3. Tabellenbsp;VI, de vier dingen a, b, c, d, gegeven zijn. Men fchrijve in eenenbsp;verticale kolom eerst alle de gegevene beftaandeelen a, b, c, enz.nbsp;en men plaatfe het eerfte a voor alle deze: daarna alle de beftaandeelen , behalve het eerfte, en plaatfe voor alle deze b; voorts alle denbsp;beftnrmdeelen, bij het derde te beginnen, en men plaatfe het derdenbsp;voor elk van dezen: men gaat daarmede voort, tot dat het laatfte be-ftaandeel met het laatfte verëénigd is, alsdan heeft men in den winkelhaak van A tot B alle de enkelde dingen, en van A tot C allenbsp;de combinatiën twee aan twee. Om nu uit dezen de combinatiën, dnenbsp;•aan drie, afteleiden, fchrijve voor alle de combinatiën twee aan twee,nbsp;geene uitgezonderd, a; voor die, welke met b beginnen tot de laatfte ingefloten b; voor alle, welke met c beginnen tot de laatfte in-gefloten c: op deze wijze tot de laatfte voortgaande, verkrijgt mennbsp;van A tot D de combinatiën drie aan drie. Uit deze laatfte wordennbsp;de combinatiën, vier aan vier, op dezelfde wijze, als de combinatiën,nbsp;drie aan drie, uit de combinatiën, twee aan twee, afgeleid, en men zalnbsp;alzoo blijven voortgaan, tot dat men de laatfte combinatiën verkregennbsp;heeft. Al hetwelk uit de figuur ten vollen verftaanbaar is.
§• 6p5- 7‘ Vraagstuk. Indien n dingen gegeven zijn, het aantal van de herhalings combinatiën dezer dingen, p aan p genomen, te vinden?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
Men behoeft flechts depfg. 3, VI. Tabelle in té zien, en men zal terftond bemerken: dat de herhalings combinatiën Van n dingen p aan
p
zijn. 2quot; Wanneer fomtnige derzelve gelijk zijn. In het eerfte geval zal, vergelijk §. 518. §. 695. wanneer « liet getal der ondeelbare faélorennbsp;is, dit aantal door 2® worden uitgedrukt, iudien men namelijk de één*
heid en het getal zelve, ouder de dealers telt; deze niet niederekenen-de, wordt her aantal der deelers door 2” nbsp;nbsp;nbsp;* uitgedrukt, ft Wanneer
gegeven is a? hi e'quot; A, zal het aantal deelers dezer uitdrukkh’S (de éénheid, en de uitdrukking zelve daar onder begrepen,) doornbsp;(p-I-0 X Cï-fO X (r-l-i) X (J O X (t Dnbsp;worden uitgedrukt.
-ocr page 435-395
P Genomen, in de navolgende p ordeningen kunnen gerangfchikt wor-den. 1 o j[j ^ waarin het eerfte element a een aantal van p ma-,ien Voorkomt; deze ordening bevat Hechts ééne complexie. 2^' In , waarin datzelfde beftaandeel p — i malen voorkomt: deze ver-l^inding ^7/—1 (106) wordt met elk der n—i andere dingen ver-igt;onden, en geeft derhalve even zoo vele compiexien als «— i din-één aan één, kunnen genomen worden. 3° In ééne, waarinnbsp;*^“-2 voorkomt, en daar deze complexie verbonden wwdt met allenbsp;de herhalings combinatiën van de n — i andere dingen, twee aannbsp;twee genomen, zal deze ordening even zoo vele compiexien opleve-fen, als « — I dingen, twee aan txvee, met herhalingen, kunnen verbonden tvorden. De volgende ordeningen zullen met ap—i, ap—4,nbsp;enz, a'^, en a aanvangen. De ordening ««—3 wordt metnbsp;de herhalings combinatiën van de n—\ overige dingen, drie aan drie;nbsp;quot;”~'4 met de herhalings combinatiën dezer dingen, vier aan vier,nbsp;t'erbonden, en zoo vervolgens, tot de ordening, welke wet a begint,nbsp;en met elk der combinatiën vaa de «— i overige dingen, p—i aannbsp;P — I, genomen , verëénigd wordt. ’Er beftaan gevolgelijk — inbsp;ordeningen , in welke a voorkomt, en nog ééne daarenboven, innbsp;'velke a geheel ontbreekt, en de herhalings combinatiën van de «—inbsp;overige dingen,,op alle mogelijke wijzen, p aan p genomen bevatten zal: daar dan de herhalings combinatiën dezer n dingen, p nannbsp;-P genomen, aan de compiexien van alle deze onderfcheidene ordc-ttnigen gelijk zijn, heeft men, de vergelijking.
n nbsp;nbsp;nbsp;n—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—I
n—I nbsp;nbsp;nbsp;1!—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;W-—I
Ncp—z N cp—t N.CP
men, in deze vergelijking, p—i, in plaats vanp, en trekt men de komende vergelijking van dezelve af; dan zal men, na herleiding,nbsp;vinden:
Nep = Ncp—i Ncp
waaruit blijkt: dat, wanneer men de getallen van de herhalings combinatiën Van n — i dingen, één aan één, twee aan twee, drie aan
drie,
Cio6) Het teoken nbsp;nbsp;nbsp;hier zeggen: het beftaandeel ^, zoo iricnig-
, als ’er éénheden in « — i zijn. Op dezelfde wtjze moeten betoog a” -,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—3^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e?-z. verftaan worden.
-ocr page 436-drie, enz. kent, daaruit de getallen van de verfchillende klasfen van de herUalings combinatiën van n dingen, volgens dezelfde wet, waarnaar de figuurlijke getallen gevormd worden, zullen kunnen wordennbsp;opgemaakt, (vergelijk §. 502 en §. 535). Nu is het getal der coffl'nbsp;i.'iiiatien van n dingen, één aan één genomen, klaarblijkelijk gelijk aannbsp;!/; de tafel der figuurlijke getallen bevat dienvolgens het aantal dernbsp;lierhalings combinatiën in eene welgeregelde orde, en men zal, zal
volgens §. 534gt; l’ebben:
(107).
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3 .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4. enz. p
§. 6^6. 8. Vraagstuk. De gepennuteerde lierhalings combinatiefi van een zekei- aantal dingen, twee aan twee, drie aan drie, enz.nbsp;te vinden?
Laten, fig. 4, Tabelle VI, de bcftaandeelen a, h, c, d, gegeven zijn. Men fchrijve de beliaandeelen of dingen op zich zelve; dannbsp;heeft men de eeri’ce klasfe cquot;^. Voor elk ééne der coraplexien vannbsp;de eeifte klasfe fchrijve men eerst het eerfte beftaandeel, daarna hetnbsp;tweede, enz. tot het laatfte ingelloteii; dan verkrijgt men de coin-plexien van de gepermuteerde herhalings combinatiën, twee aan ttvee,nbsp;c®. Voor alle deze laatfte fchrijve men eerst het eerfte beftaandecl, a,nbsp;tiaarna bet tweede b, enz. tot het laatfte ingefloten, en dan verkrijgtnbsp;men de gepermuteerde lierhalings combinatiën, drie aan drie, of c^-Op dezelfde wijze zal men uit de gepermuteerde herhalings combinatiën, drie aan drie, c^, en uit deze wederom c^, enz. vinden (loS).
§. 657. Of men’ftelle, fig. 5, de gegeveue elementen n, b, c, in eene regt opllaande rij zoo menigmaal onder elkander als ’er be-ftaandeelen gegeven zijn, en ftelle voor elk der bcftaandeelen eerst
bét
(107) nbsp;nbsp;nbsp;Dc tafel der Figuurlijke getallen van pag. 314, bevat dannbsp;aantal der herlialings combinatiën; met dien verftande, dat men de genbsp;tallen van den boveuften ingang het aantal der gegevene dingen, en denbsp;getaiien van do voorften ingang met dén verminderd, het get.il der za
“ *
mengevoegde dingen Iaat beteekeiien. In het algemeen is N de p
coefEcient van nbsp;nbsp;nbsp;“ eu N c? de coefficient innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_
(108) nbsp;nbsp;nbsp;Een voorbeeld van de gepermuteerde herhalings coinbw^tien,nbsp;vindt meu in het gewone Talftelfel. In hetzelve geven de cijfers,nbsp;nul daar onder begrepen, op deze w'ijzc gecombineerd, in rangor..e ail-deiikbare getallen.
-ocr page 437-het eerde, daarna het tweede beftaandeel, enz. dus doende, zal men verkrijgen: deze klasfe van combinatiën, fchrijve men wederomnbsp;^00 menigmaal, als ’er bedaandeelen gegeven zijn, en ftelle voor elknbsp;complexien eerst a, dan b, dan c, enz.; dan zal men verkrii-en men ga op deze wijze voort, tot dat alle de klasfeii vannbsp;Combinatiën ontwikkeld zijn.
S- 698. 9. Vraagstuk. Het aantal der gepennuteerde herhaltngs ^nibinatien van n dingen, p aan p genomen, te vinden?
Het volgt, uit de befchouwing van de figuur, oinmiddelijk, dat
n nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n
No.^'ZZ.n^ nbsp;nbsp;nbsp;en /Ven — np
• • • •
Zal moeten zijn (109).
§. 699. 10. Vraagstuk. Gegeven zijnde de reekfen p, q, r, s, ‘nz. van afzonderlijke hejlaandeelen, de combinatiën van twee, drie,nbsp;meer dezer rijen te ontwikkelen?
Laat, fig. 6, Tab. VI, de Index gegeven zijn; men plaatfe voor de beflaandeelen van de rij p het eerde beftaandeel van de rij q, namelijk A ¦, daarna het tweede beftaandeel B, enz. tot het laatfte, ofnbsp;tot zoo verre men de combinatiën wil voortzetten; dan heeft men
®Ue de complexien der zamengeftelde combinatiën p q twee aan twee; voor de complexien van deze klasfe fchrijve men eerst 5ë, daarnanbsp;cnz. dan zal men p qr verkrijgen, en men zal op deze wijze voort-Saan, tot dat alle de combinatiën ontwikkeld zijn. — Men ziet, datnbsp;tJeze oplosfing dezelfde is, als van het 8 vraagftuk. RIen kan ooknbsp;gelijk uit fig. 7. blijkt, eene oplosfing geven, welke met de tweedenbsp;van datzelfde vraagftuk overëénftemt. Wegens die gelijkheid, is ooknbsp;het aantal van die foort van combinatiën in de onderfcheidene klas-fen dezelfde, als, wanneer de beflaandeelen van de gegevene rijen dezelfde zijn,
j I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, euz-l I a b c d e f g enz. ^
§• 700. n. Vraagstuk. De herha-ling% combinatiën van eenige gegevene dingen tot eene bepaalde en gegevenenbsp;fom te vinden ?
Hit vraagftuk is in de toepasfing één der gewigtigfte: het komt
hicr-
Ctoj) \V,anneer men de cijfers o,i,2,3,4,5.lt;ï,7,8 en 9, voor bedaandeelen aanneerat, dan ftemt deze uitkomst mot de bekendenbsp;^‘Eenfehappen van het Talftelfel overëén.
-ocr page 438-3!gt;8
hierop neder, om uit de wijzer-getallen i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, enz., op alle mogelijke wijzen, twee, drie, vier, enz. getallen.nbsp;vinden, welke eene gegeveiie fom maken, zoodanig echter, datnbsp;hetzelfde getal twee of meermalen nemen mag. Ook kan men hetnbsp;vraagftuk aldus verklaren. Eenig getal n, op alle mogelijke wijzen,nbsp;in twee, drie, vier, vijf, zes, en meer andere gelijke of ongelijkenbsp;getallen te verdeelen? Men kan van hetzelve onderfcheidene oplosfin-gen geven, waarvan de twee volgende de voornaamfte zijn.
§. 7ot. I. Oplossing. (z\t fig. 8, Tab. VI.) „ Men fckrijvc „ het gegevene getal 7 op zich zelvequot; Dit is hetgeen in de coin-binatorifche teekenfpraak 7^ genoemd wordt, of de combinatie totnbsp;eene bepaalde fom, één aan één, waarin altijd maar eene complexienbsp;kan voorkomen.
2° ,, Men zette voor dit getal 7 fuccesfievelijk de getallen 1,2, „ 3, enz. en vermindere het getal 7, met het getal, dat men voogt;'nbsp;.,, hetzelve geplaatst heeft; dan verkrijgt men alle de mogclijke her-,, halings combinatiën tot de^ fom 7, twee aan twee, welke zoo vernbsp;„ moeten worden voortgezet, tot dat het getal ter regterhand min-„ der dan het voorfie worden zouquot;
Men vindt aldus, voor de tweede klasfe dezer herhalings combinatiën tot de fom 7, de complexien 16, 25 en 34, welke, al te za-men genomen, door 7^ worden uitgedrukt.
3“ ,, Men fchrijvs voor elk ééne van de complexien dezer tweede ,, klasfe de éénheid, en vermindere het achterfte getal met één; voornbsp;„ alle de complexien, welke met twee beginnen, het getal twee, ennbsp;„ men vermindert het achterfte getal met twee. Men gaat op dezelfdenbsp;,, wijze voort; en ftelle voor alle de complexien, welke met 3, 4, 5»nbsp;„ enz. aanvangen, tot de laatfte complexie ingeftoten, de getallen 3,nbsp;„ 4, 5, enz. en vermindere de achterfte getallen met 3, 4, 5, enz.nbsp;„ onder het oog houdende, dat men de comp)lexien, in welke een la-„ ger op een hoger getal volgen zou, verwerpeT
Men zal, volgens dit gedeelte van den regel, uit de combinatiën, twee aan twee, de combinatiën, drie aan drie, namelijk 115, 124,nbsp;133 en 223, vinden, welke al te zaraen door 7^ worden uitgedrukt.
4*^ ,, Naar hetzelfde voorfchrift, wordt elke volgende klasfe van „ herhalings combinatiën tot eene gegevene fom, uit de ommiddeiijknbsp;„ voorgaande, tot de laatfte, opgemaaktquot;
Men vindt alle de klasfen voor de fom 7 in de fig. 8.
5*^ ,, Men Jlcllc in deze gevondene combinatiën in plaats van de
» ciJ-
-ocr page 439-” nbsp;nbsp;nbsp;, de letters , welke zij volgens den index beteekencn, dan zal
51 Wen alle klasfen van de combinatiën der gegevens dingen tot de 55 gegevene fom zeven verkrijgenquot; — Men vindt dezelve in fig. 9.
'702. Deze oplosfmg geeft in dezelfde tafel alle mogelijke klassen van herhalings combinatiën tot eene gegevene fom; dat is alle de '^afchillende wijzen om een gegeven getal in twee of meer gelijkenbsp;of ongelijke getallen te verdeelen. Het is noodzakelijk , dat men denbsp;combinatiën tot de fommen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, enz. za-®enftelle, en tot zijn bijzonder gebruik beware.
§. 703. II. Oplossing. Men kan alle de herhalings combinatiën tot eene gegevene fom, de volgende uit de voorgaande, dat is denbsp;combinatiën tot de fom n uit die tot de fom n — i, aldus ontwikkelen. Zie fig. 10, Tab. VI.
1° „ Men zette voor alle de zamcnvoegingen tot de fom n — i 55 de éénheidquot;
2” „ Men verwisfelc de getallen, welke in de voorfie kolom van 55 de zamcnvoegingen tot de fom n — l voorkomen, met het naast-„ volgend hooger getal, en behoude alleen die zamcnvoegingen, innbsp;5, 'Xeïke gelijke getallen op gelijke, of hogere op lagere getallen vol-55 gen. De zamenvoegingen tot de fom n, op deze wijze verkregen,nbsp;55 maken met die, welke het eerfle gedeelte van den regel gegevennbsp;55 heeft, alle de mogelijke zamenvoegingen lot de fom stquot;
Men fcheidt in deze bewerkingen de combinatiën tot eene volgen-fom van die tot de naastvoorgaande af door winkelhaken met * I, 2 — 2, 3—3, enz. geteekend. Om nu den gegevenen regel te verklaren, dient het volgende. Stel; dat men, uit de lierlia-lings combinatiën tot de fom 6, die tot de fom 7 zal afleiden: dannbsp;ftelle men eerst voorquot;elk der zamenvoegingen iiiiii j- 11112, 1113,nbsp;O22, 114, 123, 15, 222, 24, 33 en 6, de éénheid; lt;kn verkrijgtnbsp;men iimn^ 111112, 11113, 11122, 11145 1123, 115, 1222,nbsp;124, 133 en 16; daarna verwisfele men men de voorfte getallen vannbsp;Jillii, 11H2, 1113, enz. met de naast hogere, dan verkrijgt meanbsp;21112, 2113, 2122, 214, 223, 25, 322, 34, 43,/»nbsp;Waarvan alleen 223, 25, 34 en 7, aan de voorwaarde voldoen, datnbsp;geen lager getal op een hoger volgt, en daarom in de kolom ondernbsp;de complexien geplaatst worden, welke door het vooraan plaatfen vannbsp;et getal één verkregen zijn (no).
5. 704.
Beide deze oplosflngen zijn van lïrxDENHURG. De laatae heeft ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bo-
-ocr page 440-400
§, 704. Ia de laatfie oplosfing zijn de deelcii van de fora, naai ti* de volgorde der natuurlijke getallen, gerangfchikt; en, ftelt men denbsp;letters in plaats van de cijfers, naar de alphabetifche volgorde defnbsp;letters. * Men noemt de eerfle ecne Arithmetographifche, en denbsp;tweede eene LexicograpJiifche ordening. * De laatlle oplosfing draaginbsp;ook nog den naam van involutoriscli, omdat de verfchillende ordeningen als in elkander ingewonden zijn.
§. 7°5‘ nbsp;nbsp;nbsp;dezer twee oplosfingen, verkrijgt men alle mo-
gelijke verdeelingen van een gegeven getal (iii). In het vervolg
n
zrd S de fom van alle klasfen der mogelijke herhalings combinatiën tot de fom n voorftellen. Wij hebben dan, in het algemeen, de vergelijking :
S — nbsp;nbsp;nbsp; «3 enz. -f- ««—2 ««—i «»
§. 706. 12. Vraagstuk. De geperniiitecrde herhalings combinatiën van eenige gegevene dingen tot eene bepaalde en gegevene fotn te vinden?
Dit vraagftuk is van het voorgaande alleen daarin onderfcheiden, dat de beftaandeelen van elke complexie van de herhalings combinatiën tot eene gegevene fom, door de oplosfing van het voorgaandenbsp;vraagftuk gevonden, nog daarenboven, op alle mogelijke wijzen, moeten verzet of gepermuteerd worden. Men kan van dit vraagftuk ver-fcheidene oplosfingen geven, waarvan de twee volgende de voor-naamfte zijn.
1“ „ Schril f de gegevene fom 6 aan het hoofd; dan heeft men de ^ „ klasfe^ welke in de combinatorifche teekenfpraak 6‘ genoemd wordt,nbsp;en ftechts eene complexie bevat?'’
2“ „
boven dc eerfte het voordeel, dat men de tafel der combinatiën, welk^ zij geeft, naar welgevallen kan voortzetten.
(iii) Dit vraagftuk was bj de Moivre, Boscovisgii en Euler, bjn* in deze termen voorgedragen: een get'al gegeven zijnde , tc vinden Hnbsp;hoe vele verfchillende 'wijzen hetzelve in evenmatige en onevenmo^^t.nbsp;ieelen quot;kan verdeeld ivord'en ? en als zoodanig behoort het tot de oiibenbsp;paalde vraagllukkcn, waarop een bepaald getal antwoorden zijn- S®™™!nbsp;gen, en onder anderen Kramp , hebben hetzelve uit dit oogpunt mnbsp;fchouwd.
-ocr page 441-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;401
„ Men plaatfe, in de gedachten, voor dit getal 6 de getallen ”nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2, 3, 4, enz. dan verkrijgt incn; 16, 26, 36, 46, 56; en nu
vermindere men hetzelve getal 6, in elke complexie, met het ge-” tal, dat men vodr hetzelve geplaatst heeft, tot zoo lang, dat 'er 55 één overblijft-, dan heeft men 15, 24, 33, 42 en 51, en dezenbsp;5j zijn de gej. ermuteerde herkalingi combinatiën tot de fom 6, op allenbsp;55 mogelijke wijzen, twee aan twee, genomen. Men noemt deze klas-55 fc in de combinatorifche teekenfpraak 6*.”
3* „ Men felle voorts ter linkerhand van alle de complexien der 55 laatst verkregene klasfe, eerst de éénheid, dan heeft men: 1155nbsp;55 124, 133, 1423 15I5 en vermindere de acht erfe cijfers ter lin-,, këi hand met de éénheid J dan verkrijgt men: 114, 123, 132, i4igt;nbsp;5, daarna fchrijve men ter linkerhand van die zelfde complexien hetnbsp;55 getal 2, (aldm 215, 224, 233, enzd) en vermindere het achter-55./?? cijfer met het getal 2, dat men vooraan geplaatst heeft, ennbsp;55 men verkrijgt dan 213, 222, 231. Men gaat voort, en ftellinbsp;,, vervolgens voor elke complexie van de combinatiën, twee aan twee,nbsp;„ fnvcesfevelijk de getallen 3, 4, 5, enz. én vermindere de achter-55 getallen ter regterhand met de getallen, welke men voor denbsp;„ complexien geplaatst heeft. Indien tnen deze bewerking zoo vernbsp;55 mogelijk voortzet, dan verkrijgt men 63, alle de gepermuteer-53 de lierhalings combinatiën tot de fom 6, drie aan drie geno-53 ment'
4® 3, Men ga op dezefde wijze voort, en felle ter linkerhand van » alle de complexien van de laatst gevondene klasfe, eerst de éénheidnbsp;gt;5 Vermindere het laatfe of achterfe getal met éénj daarna innbsp;„ rangorde voor diezelfde complexien de getallen 2, 3, 43 enz. ennbsp;„ vermindere de achterfte getallen met de getallen 2, 3,4, enz.,nbsp;33 welke men voor elk der complexien geplaatst heeft.quot;
5“ „ Wanneer deze regel niet meer kan wórden toegepast, leti 53 deze toepasfing kan zoo lang plaats hebben, ah het achterfe ge-53 gotal één meer is dan het getal, dat voor de complexie gezetnbsp;53 wordt,j dan zijn alle de klasfen der gepermuteerde herhalings cem-33 binatien tot eene bepaalde fom gevondenquot;
Alle de gepermuteerde herhnlings combinatiën tot de fom 6 zijn, volgens dezen regel, in fig. ii, ontwikkeld. Men zal dezelve opnbsp;deze wijze voor elke andere fom, tot zijn bijzonder gebruik, behoo-ren te ontwikkelen.
§• 7°7‘ 2. Oplossing. Men zal ook alle de gepermuteerde her-R* Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;Ccnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ha-
-ocr page 442-402
halings combinatiën tot de fom n, uit die tot de fom n — i kunnen afleiden, wanneer men, zie fig. 12, op de VI Tahellc.
1° „ Ter linkerhand van elke complexie tot de fom n—i de „ éénheid fieltf
2° j, En daarna, de voarfle getallen van de compkxieti tot de „ fom n—I met één verhoogt. De compkxien, welke men door denbsp;„ twee bijzondere deelen van dezen regel verkrijgt, geven de com-,, plexien van de gepermitteerde herkalings combinatiën tot de fom
Volgens dezen regel zal men uit de complexien tot de fom 2 namelijk ^IL door het eerfte gedeelte van den regel jjj—gt; 6n, door
het tweede gedeelte, verkrijgen, enz.
§. 708. In de laatfte oplosfing, zijn de verfcliillende gepermuteer-de herhalings combinatiën, tot de op elkander volgende fommen, de voorgaande in de volgende, ingewikkeld, zoo als uit de winkelhakennbsp;in de tafel geteekend, duidelijk genoeg zigtbaar is.
§. 709. * In het vervolg zullen alle klasfen der mogelijke geper-
lf'
muteerde herhalings combinatiën tot de fom n door S worden uitgedrukt. Men heeft dan;
n ,, nbsp;nbsp;nbsp;,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,
S ~ nbsp;nbsp;nbsp;enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- n»—i -f-
§. 710. Aanmerking, ff In het algemeen kan men, alle foorten van gepermitteerde herhalings combinatiën, itit de herhalings combinatiën van dezelfde foort, afieidén, indien men de bijzondere complexien van de laatjie, op alk mogelijke wijzen,permuteert. Offchoonnbsp;nu deze laatfte wijzen van combineren, wanneer het op de ontwikke-liog der combinatiën zelve aankomt, de gefchikfte niet is, is nogtansnbsp;deze aanmerking van belang, omdat men, in de verdere toepasfingnbsp;van de leer der combinatiën, daardoor, zoo als op zijnen tijd blijken zal, het werk aanmerkelijk kan bekorten.
VIER- EN- ZESTIGSTE LES.
Toepasfing van de leer der combinatiën op het vinden van de producten, quotiënten en maglen der veelledige uitdrukkingen,
S* 711. Wij zullen thans aantoonen: ¦ hoe de leer der combinatiën firekken kan, om de produften, quotiënten en magten der veelledigenbsp;uitdrukkingen, op eene gemakkelijke en eenvoudige wijze» te ontwik-
ke-
-ocr page 443-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;403
^iSn. Wij zullen, tot dnt einde, twee hoofdgevallen ondeifdieiden.
Wanneer de termen der veelledige uitdrukkingen zonder eenig ''erbrnd en van den vorm « è e ziin. 2° Wanneer dienbsp;tonnen naar de magten van eenige letter geordend zijn.
I. Oivr de formatie van de joroduSen van uitdrukkingen randen vorm i f enz.
§. ~I2. ft Het produSl van H-ec of meer der volgende uitdrukkingen
pz=:a -krh c d lt;? ƒ nbsp;nbsp;nbsp;enz.
‘l — quot;h ^'2. “tquot; Oj nbsp;nbsp;nbsp;-enz.
r — a.^ ^3 f3 nbsp;nbsp;nbsp; ^3 /3 d-iS's
s — «4 ^4 lt;^4 ^^4 ^4 A S'4
keflaat uit da flelkundige [om van alle de'partieele produamp;cn, welke de afzonderlijke leden dezer uitdrukkingen zoodanig worden za-^uer.gcfleld, dat, tot elk partieel produél, uit elk der vermenigvuldigd wordende uitdrukkingen, éónen ter7n ah faamp;or worde aangenomen.
Want, wanneer men p en q, naar de gewone regels vermenigvuldigt, wordt elk afzonderlijk lid van de eerfte rij p, met elk afzonderlijk lid van de tweede rij q, tot één produét zamengefteld, en alle deze partieele prodiiéten worden, volgens het beloop der teekens, totnbsp;óéne fom verëénigd.
Iiidien men dit laatfte produef met de reeks r vermenigvuldigt, dan wordt elk partieel produft van p q met eiken term van r vermenigvuldigd, en de komende produften, welke elk uit drie fafloren,nbsp;één faélor uit de eerde, één uit de tweede, en één uit de derdenbsp;reeks zijn zamengelleld, worden, naar het beloop der teekens, in éénènbsp;fora verëénigd, welke fom alsdan gelijk aan p qr is.
Op dezelfde wijze zal het blijken: Aamp;t pqrs gelijk is aan de fom ^er partieele produften, welke ontdaan, wanneer men uit elk der viernbsp;fookfen éénen terra als faétor neemt, deze fiiétoren met elkander ver-menigvuldigt, en de partieele produélen, welke men, door zulks opnbsp;ahe mogelijke wijzen te doen, verkrijgt, ftelkundiger wijze bij elkaigt;nbsp;'der optelt.
En daar men duidelijk moet inzien, dat zulks ook alzoo voor vijf, zes of meer gegevene reekfen zal moeten plaats hebben, is het gebelde voldoende bewezen.
Cc 2 nbsp;nbsp;nbsp;§. 713-
-ocr page 444-4Ö4
§• 713' Vermits dan, in de formatie van deze prodinfleti, alle de termen van het multiplicandum met alle de termen van den multipli-cator, geene uitgezonderd, verëénigd worden, zoo volgt hieruit:nbsp;ft dat het product dezer rijen gelijk is aan de fotn der produdlen vannbsp;de termen dezer rijen op alle mogelijke wijzen, zoodanig met elkander gecombineerd, dat, tot elke cotnplexie dezer combinatie, één lidnbsp;uit elke rij genomen worde. Zie §. 680. en §. 699-§. 714. Wanneer men dan den ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Wijzer
enz. enz. pnbsp;enz. q
b, c, d.
nevenftaanden cömbinatorifchen wij- | ^2» nbsp;nbsp;nbsp;3 5 4. 5 ?
zer aaniieemt, dan zal, volgens 1 ’
§•712, nbsp;nbsp;nbsp;'f
pq —pq_ pqr
pqr s
pqr
'pqrs, enz.
moeten zijn, en men zal, door de ontwikkeling van de zaïneiigeftel-de combinatiën, de gezegde produélen vinden, in welker formatie men op de teekens naauwkeurig acht behoort te geven.
§. 715. Laat het getal nbsp;nbsp;nbsp;dernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;termen vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p tn q respefiievelijknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;door
a m b worden uitgedrukt, dan zal, zie nbsp;nbsp;nbsp;§.40, het aantal dernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;leden
van het produifl pq gelijk nbsp;nbsp;nbsp;abnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijn; zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’er e leden in n leden in
s; e leden in t; dan zal nbsp;nbsp;nbsp;hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aantal dernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;leden van het produdinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pqr
gelijk abc, van hec produft p q rs gelijk abcd zijn, enZ.
II. Over de mdgten van eene veelledige uitdrukking van den vorm a-\-b-\-c-\-d-\- enz.
%. 716. Laat, in de bovenftaande uitdrukkingen, a~a^—a^.
= enz., gefteld wor
a A ~ enz.; b~bn~bA
c — c.
den; dan zal ook p~qzz.r — s — enz. zijn; en pqitA in /gt;“; pqr in; pqrs in p^-, enz. veranderen. Volgens het bewezene innbsp;§. 712 en 713, zal dan:
iquot; tt tweede magt van p gelijk zijn aan de fom van alh de gepermitteerde herhalings combinatiën van de termen a. b, c, d,nbsp;enz., op alle mogelijke wijzen, twee aan twee, genomen.
tt E.n, in het algemeen zal de magt van p gelijk zijn
2° ff De derde magt van p zal gelijk zijn aan de fom van allf de gepermuteerde herhalings combinatiën van de termen a,b,Ofnbsp;enz., op alle mogelijke wijzen, drie aan drie, genomen.
aan
4
-ocr page 445-405
fom van alle de gcpermuteerde herhaling^ combinatiën van de te, men , b, c, enz., op alle mogelijke wijzen, n aan n genomen,nbsp;§• 7^7- tt Men zal dan, volgens §. 673, ftellen kunnen:
pt = C3
Index.
J I, 2, 3, 4, 5, 6, enz. 1 ^ Wijzer {nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Of
I a, b, c, d, c, ƒ, enz, 1
en deze combinatiën, naar het voorfchrift van §. dpö, flechts behoeven te ontwikkelen, om de magten van p te vinden. Men zal nog-tans de termen dezer magten in den loop der ontwikkeling, op de volgende wijze, naar de afmetingen van één der leden kunnen rang-fclnkken.
§. 718. Laat, in de vergelijking, -J-^ c «?-f-de ibm van alle de termen, behalve de eerfte, of 1 -j- -j- enz. gelijk 2 gefteld worden; dan is p tz:. a z, tvi, volgens het binomiumnbsp;van Newton, Zfil
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;s
po — a» ~i- (nj . ao—i % -}- (njj . a»—2 2® -f- (jif . ao—~z 23 -f- enz.
zijn; men zal derhalve de magten van z'z::b-\-c-\-d-\-cnz., volgens §. 716 en 717, ontwikkelen, en de waarden, welke men voor deze magten verkrijgt, in de gevondene vergelijking moeten overbrengen. Nu is, volgens §. 717,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^zzc^i enz.,
en s» =: c«. Men zal alzoo ftellen kunnen:
enz.
pn — an (nj an—l c* -f («3 nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(«) fl»—3 cS
t nbsp;nbsp;nbsp;'
-h (rij an—p Cp enz.
(I, 2, 3,4, 5, 6, enz. -k n , ,
Wtizer} , nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\ of Index.
\b, c, d, e, f, g, enz. J
§. 719. ff Deze uitdrukking, welke naar de afdalende magten van n geordend is, geldt voor alle geheale en gebrokene, pofitieve ennbsp;negatieve magten van n. Elke magt van p hangt in dezelve van denbsp;gepermuteerde herhnlings combinatiën van \b, c, d, e, enz7\ af, wel-^e men, naar het voorfchrift van §. 696, zal ontwikkelen. Het isnbsp;van belang optemerken: dat de gevondene vergelijking, als op, allenbsp;waarden van n toepasfelijk zijnde, boven die van §. 7^75 ®len voorrang verdient.
§. 720. Het zal nogtans eene gefebiktere uitkomst geven, wanneer men, in plaats van de gepermuteerde herhalings combinatiën van de
Cc 3 nbsp;nbsp;nbsp;ter-
-ocr page 446-4o6
termen b, c, d, enz., derzeiver herhalings combinatiën, volgens §. 694, bepaalt, en elk van derzeiver complexien met het permutatienbsp;getal, hetwelk, volgens §. 690, gevonden wordt, als coefScient vermenigvuldigt; want, indien men de beftaandeelen van elke complexienbsp;der herhalings combinatiën, op alle mogelijke wijzen verzet, dan verkrijgt men, zie §. 710, het geheele zamenllel der ijepermuteerde herhalings combinatiën; omdat nu, in de complexien, de beftaandeelen alsnbsp;fafloren vermenigvuldigd worden, en de gedurige producten, door denbsp;verzettingen van derzeiver'fatftoren, niet van waarde veranderen, zalnbsp;het genoeg zijn, elke complexie der herhalings combinatie met hetnbsp;permutatie getal te vermenigvuldigen, waardoor men, zonder dat.denbsp;uitdrukking, voor gevonden, verandert, veel fchrijvens uithalen ennbsp;de uitkomften der ontwikkeling eenvoudiger maken zal. Dit, alles zalnbsp;door de uitwerking van het volgend voorbeeld volkomen verftaannbsp;worden.
§. 721. Voorbeeld. De vleide, wagt van a-^h-\-c te vinden?
b I b b b
b u_
c c c C
Hier is z~b-\-c; voorts « = 4; («)=4;
= nbsp;nbsp;nbsp;345
(tj) == 6; («) r= 4; (v) trci; (v) = o enz.: de
formulen van §. 718, verandert derhalve in 4-4«®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-4/7 03 -|-c4
Nu is, volgens het nevenftaande tafeltje, waarin de herhalings Combinatiën van de termen b en c tot de combinatiën, vier aan vier, ontwikkeld zijn, zie §. 694.
ct b cC“ b'^ -f- b c -j-
want het is klaar, dat men, aangezien de beftaandeelen iii de complexien vermenigvuldigd worden, voor hhhb fchrijven kan b‘^, en dat men voor bh c c ftellen kan enz. ‘
Om nu , uit deze, de gepernuiteerde herhalings combinatiën af-teleiden, zal men elke complexie met haar permutatie getal moeten vermenigvuldigen, en dan is, volgens §. 690, Nc(bc)~2., Ncnbsp;(bquot;c')—'gt;gt;'i iVc = 3; iV'c(53f^—4; N c'(^b-c^') ~ Ci,nbsp;—4; derhalve zalnbsp;'c^-=zb-\-c;
c-j::
zijn:
3iac-}-35c2-(-f3; c*—b‘*--\- 4/53 c-{-6h-
men fubftituere nu deze w'aarden van cL enz. in de waar-
¦ nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de
-ocr page 447-407
TWEEDE CURSUS.
van dsn zal men vinden:
^ 6«^.è^ nbsp;nbsp;nbsp;-(-^4
4«3c-(- \%a^bc-^\^ab^c-\-lifb^c ^ a~ iiabc^^b'^ c'^
Welke uitkomst men ook door de gewone multiplicatie verkrijgen zal.
Wanneer men een weinig in deze teekens geoefend is, vereischt de ontwikkeling eener magt bijna geen meer moeite dan het formerennbsp;van de combinatie-tafel en het uitfchrijven der termen. Ook heeftnbsp;deze handelwijze het voordeel, dat men eiken term afzonderlijk ontwikkelen kan, zonder daartoe de voorgaande termen nopdig te hebben (112}.
m. Over de farmatie van de pniuBen der veelledige uitdrukkingen, welks naar de opklimmende magt en van eenige letter geordend zijn.
§• /’22. tl Stellen wij de veelledige uitdrukkingen: pztza b X -j-eac®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e x*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-k-enz.
qzr.a2. -j- X -j- nbsp;nbsp;nbsp;-{- ^2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; «'2 x‘1- /^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-}- etiz.
rztza^ -}- ^jX fg X® 1/3x3 £3 x4 ƒ3 x3 enz.
enz.
ent.
dtn beftnrt ook het produdl van twee of meer dezer rijen, nit de füni van alle de p.artieele produften van de termen dezer rijen, opnbsp;alle mogelijko wijzen zoodanig'genomen: dat, uit elke rij, édnen termnbsp;als faftor, in de zamenftelling dezer produften, aangenomen worde :nbsp;ihnnr, in het tegenwoordig geval, moeten de termen van het produftnbsp;naar de opklimmende magten van .r geordend zijn; en daarom moetnbsp;men alle de partieels produ^eii? welke tot dezelfde magt vnu x be-hooren, tot édnen term verëénigen; dat is: men moet de fom van denbsp;coëfficiënten der termen, waarin dezelfde magt van x, als faflor,nbsp;voorkomt, als den zamengeftelden coefficient van den term, tot dezelfde magt van * behoorende, aanmerken. Wanneer men zich nu
voor
(112) Deze omftandigheid 'geeft aan de leerwijze der combinatiën een meerderheid boven de Derivatie Reiening van Arbrogast, bij welkenbsp;de termen eener ontwikkelde magt uit de naast voorgaande afgeleid wor-tkn.
C c 4
-ocr page 448-voor den geest brengt, hoe, in den loop der vermenigvuldiging, de termen, welke ¦ tot dezelfde magt van x, (bij voorbeeld tot ar»,) be*nbsp;hooren, omftaan, dan zal men ten klaarfte zien: dat
I Het prodiift van p q uit de fom van alle de mogelijke producten van ééneii term van p, met éénen term van q ontllaat, en dat men, derhalve, om den coefficient van den term, in welke X” voorkomt, te verkrijgen, alle zoodanige termen van p, met alle zoodanige termen van q, in welke de fom vnn de exponenten van ic gelijknbsp;is aan den exponent van x»., vermenigvuldigen, en alle deze producten in ééne fom verëénigen moet; daar men nu, om, in het algemeen, het prodiKfl van pf te vin-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ro,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«na. v
den, volgens §. 712, de termen van nbsp;nbsp;nbsp;¦'«,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.\
p, met de termen van^, op alle mo- nbsp;nbsp;nbsp;h^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e„,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.)
gelijke wijzen, moet combineren, volgt hieruit: dat men, om den coefficient van x», tot het produdt van pq behoorende, te vinden,nbsp;uit den ncveullaandcn wijzer, de rang-getallen o, 1,2, 3, 4, enz.,nbsp;op zoo vele onderfcheidene wijzen als mogelijk is, tot de gegevenenbsp;fom n, twee aan twee, bij herhaling en met permutatie zal moetennbsp;combineren', en dat men, deze combinatiën geformeerd hebbende, innbsp;elke van derzelver complexien, in plaats vnn het eerfte en tweedenbsp;cijfer, respeftievelijk zal moeten ftdien, de coëfficiënten van p cn //,nbsp;welke in den wijzer met die cijfers overèeullemmen. Men zal Jcr-halve kunnen fteUen :
_o_ nbsp;nbsp;nbsp;_i_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»
pq~pq-\-pq.gt;X-j-pq,xz -Ypq.x^ eBZ,-\-pq.X'gt; enz.
2° Dat men,insgelijks, om het pro- nbsp;nbsp;nbsp;o,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;atz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
duel pqr le vinden, voor den eoeffi- nbsp;nbsp;nbsp;\a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|
cient van at», zal moeten nemen de fom nbsp;nbsp;nbsp;b^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C
van alle mogeiijke gepermuteerde her- nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cj,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c/3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
balings combinatiën van de rang-getallen o, i, 2, enz. tot de fom?:, in elke van welker complexien, in plaats van de eeifte, tweede ennbsp;derde wijzer-gctallen, de letters, welke met dezelve overëénftemmennbsp;€11 uit de rijen p, q en r genomen zijn, zullen moeien gefield worden. Men zal dan hebben:
pqr~pqr-^pqr.Xpqr.x^ -\-cnz.-\-pqr.xn -\-eiiz..
§• 723. liet is niet noodig deze bcfchoinving verder uittebreiden, men ziet ten duidelijkfle: dat, wanneer ’er een zeker aantal reekfen
-ocr page 449-409
»¦, enz. gegeven zijn, alle naar de opklimmende magteu van x geordend zijnde, derzelver produft door de volgende vergelijking zalnbsp;'quot;''Orden voorgefteld:
_o_ nbsp;nbsp;nbsp;_i__ nbsp;nbsp;nbsp;_a
P J r enz. '::z.pqr enz. p enz. x p cir enz. enz. . . , .
P q r enz* x» enz,
§• 724. Om zich met den zin dezer uitdrukkingen gemeenzaam te roaken, zullen wij aannemen: dat de drie uitdrukkingen
p z::z A B X C-\-D nbsp;nbsp;nbsp; £ x't-f- enz.
q—a-\-bx-^cx^-\-dx^-\- ex^ enz,
quot;Jet elkander moeten vermenigvuldigd worden: dan is 01nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
p qr~p qr p qr . X p q r . x^ enz.
O
Het teeken pqr geeft te kennen, dat men, uit de reeks o, i, 2,
3, enz., drie getallen nemen moet, welker fom gelijk nul is5 deze t^le getallen zijn 000: men neme dan uit den index
io, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, enz. nbsp;nbsp;nbsp;\
a, b , nbsp;nbsp;nbsp;c , d,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e , f,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.....i nbsp;nbsp;nbsp;j
«f, nbsp;nbsp;nbsp;«, f,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)
Voor de eerlle nui de letter A, voor de tweede nbsp;nbsp;nbsp;nulnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de letter a, cn
o
voor de derde de letter «; dan wordt pqrz=. A a a.
Het teeken geeft te kennen: dat men, uit denzelfden index,
drie getalen nemen moet, welker fom gelijk één is, en deze getallen °P alle inogelijke wijzen moet permuteren: men verkrijgt dan de cora-plexien OOI, oio en 100: daar nu, in elke dezer complexion, het eer-fte, tweede en derde cijfer moet overëénftemmen met de letters,nbsp;welke in den wijzer in de eerfie, tweede en derde rijen voorkomen,nbsp;heeft men:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'•
Oigt;
A a 13 Abx-\-Bax Cc 5
-ocr page 450-410
Op dezelfde wijze geeft pqr te keimeri, dat men, uit den wij'
zer, drie getallen zoeken moet, welker fom gelijk 2 is: deze zijn» wanneer zij bij herhaling en permutatie genomen wordej): 002, 011»nbsp;oeo, loi, iio, 200, ftelt men in plaats van deze c.jfers dé letters,nbsp;welke zij in hunnen rang beteekenen, dan verkrijgt ment
pqrz:=-Aa’y-{-Ahft-\-Acx-gt;r^‘^^-\-Bba-\-Cact,
Op dezelfde wijze zuilen Je coelEcienten der volgende termen gevonden worden.
§. nbsp;nbsp;nbsp;ff ^J/es komt'derhalve in het vinden van deze procludlen
San, op het geregeld ontwikkelen der gepermatéerde herhalings combinatiën tot de fominen o, i, 2, 3, 4, 5, enz., twee aan twee genomen , indien men diyee rijen; drie aan drie, indien men drie rijen; vier aan vier, indien men vier, rijen', en ri aan n, indien men n rijennbsp;vermenigvuldigt. Wij. hebben de ontwikkelingen dezer combinatiënnbsp;in §. 701. geleerd: doch, daar, in ons geval, de wijzer met nul begint, zullen wij, daar zulks misfehien eenige zwarigheid zou kunnennbsp;maken, kortelijk doen zien: hoe, in dit geval, deze combinatiën hetnbsp;best kunnen ontwikkeld worden.
_5_
§. yo.6. „ Nemen wij, fig. 13, Tabelie VI, dat pqrs, volgens den
„ Wijzer [o, I, 2, 3, 4» 5, 6, eiiz.j, zal onf.akkeld wortkn: dan 5, fekrijve men ;
I ^ „De gegeven fom 5 ter regterhand; ter linkerhand van dezel-„ ve zoo vele nullen als noodig is, om het getal dingen, hetwelk in y, elke complexie moet voQrkonfen, vol te maken: men zal dan in dlnbsp;„ de complexie 0005 verkrijgen.quot;
2'’ ,, In deze complexie fekrijve men, in de plaats van de eerfit „ nul aan de regtehand, de getallen i, 2', 3, enz. en vermindertnbsp;„ het achterjle getal met de getallen, welks in plaats van deze ntilnbsp;„ genomen zijn; dan verkrijgt men de complexien van A tot B.quot;
3quot; ,, In alle de reeds gevondene complexien, fchrijve men, in plasB „ van de tweede nul ter regtehand: aj eerst de één, en vermindertnbsp;„ het achterfte cijfer der complexien met één: bj daarna hetnbsp;„ twee, en vermindere het achterfte cijfer mét twee: c') daarnanbsp;5, drie, cn vermindere het achterfte cijfer met drie: dj en gaatnbsp;„ op dien voet voort, tot dat men dezen regel niet meer kan toe-„ pasferf'
” ^ nbsp;nbsp;nbsp;4’ „ op
-ocr page 451-411
* » Op dezelfde wijze fchrijft men, in de reeds gevondene cotn^
” P^^^ien, in plaats van de derde nul ter regtehand, eerst één, en !gt; verinindere het ackterfte cijfer met één; daarna twee, en ver'tnir-« dere het achterjie cijfer met twee, enz.quot;
5® 5, Het is op deze wijze, dat men, uit elke voorgaande rang-» orde Van complexion, de volgende opmaaktquot;
727. Het is noodzakelijk: dat men voor zich zelve alle deze pperiiiuteerde herhalings combinatiën vervaardige, omdat men alsdan,nbsp;ejlc voorkomend geval, door eene eenvoudige fubfticucie, welkenbsp;^schts de moeite van het uiCfchrijven vereischt, alle de verfchillendenbsp;termen van het produft vinden zal.
§. 728. ft Wanneer ’er n reekfen van den vorm
p~AX -{-B nbsp;nbsp;nbsp; D x't £ ats: ^ e„z.
qztza X -jr b x^ c x^ dxj e x^ -f- enz, enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.
®oetcn vermenigvuldigd worden, dan zal derzelver produft den vorm P -V” g,A-« i Rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.S' x« 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.
verkrijgen, en men zal op dezelfde wijze als iu §. 722 en §¦. 723, betoogen, dat
W nbsp;nbsp;nbsp;» l
P —pqenz.; Q^—pqenz.; R—pqenz. enz.
moeten zijn, onder die voorwaarde, dat hier de gepermutecrde ^'«haliijgs combinatiën tor de fommen n, n 1, » 2, enz., n asnnbsp;genomen, uit den wijzer [i, 2, 3, 4, enz.'] zullen moeten gefor-ttteerd worden.
IV. Over de magts-verheffingen, der veelledige uitdrukkingen, welke naar de magten van eeuige letter geordend zijn.
' §• 729. Wanneer de reekfen van §. 722, alle aan elkander gelijk Worden; dan verandert pq m p^i pqr in p'^enz., en de vergelij-b^mgen van §. 722 en 723, veranderen in de volgende:
mjzer)°^ I, 2, 3, 4, 5, 6, enz.
ia, b, c, d, e, f, g, enz. }
P nbsp;nbsp;nbsp;'b' .x 2^ .X- 3^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-I-4 -. x't' -!quot; enz.-\-n- .x” -f- enz.
• * 1 *
4-.x-f-23 nbsp;nbsp;nbsp; V 43 .x^ cnz. n^ .x»-]-c.'/z.'
-ocr page 452-pn^on l».X 2».X^ nbsp;nbsp;nbsp;
§• 73°- tt Wanneer men van deze vergelijkingen tot de ontwik' keling der magten van p gebruik wil maken, is het voldoende de het'nbsp;halings combinatiën uit den wijzer [o, i, 2, enz.] optemakeiJ, ennbsp;elk van derzelver complexien met het permutatie getal te vermenig'nbsp;vul'digen: doch, daar wij ftraks eene gefchiktere uitdrukking voornbsp;magten van p zullen vinden, zullen wij ons hiermede niet langer ophouden.
§• 73t' tt Stelt men, in de vergelijking van §• 72S, p:::zq~r'::^ enz., dan zal men verkrijgen:
p» ~ X è ¦]- c x^ dX* e x^ ¦{-ƒ w® enz. | zz:
mjzer^^' 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, enz.^^
Deze vergelijking, welke ons dadelijk zal te ftade komen, is van meer
belang. Men herinnere zich, dat nbsp;nbsp;nbsp;beteekent de verêeniging
van alle de gepermuteerde herhalings combinatiën van n getallen uit den wijzer [i, 2, 3, enz.] tot de fora /i-}-p. Het zal dan om den
coefficient van (« -j- p)« te vinden, genoeg zijn, deze klasfe
van herhalings combinatiën, volgens §. 701, te ontwikkelen, en elke complexie met derzelver permutatie getal te vermenigvuldigen.;
§• 732. tt De vergelijking van de voorgaande § is op eene bijzondere wijze gefchikt, om de magten van p^a bx-j-cx^-t d xï enz., op eene aigemeene wijze, voor alle geheele, gebroken®nbsp;en negatieve exponenten, te ontwikkelen. Stellen wij: h x c x'^ ¦]''nbsp;d x^ e x‘^ enz.~z‘, dan wordt p—a-\-z, en men zal voi'nbsp;gens het binomium van Newton verkrijgen;
12 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
enz.
_ nbsp;nbsp;nbsp;{ t, 2, 3, 4, enz. 1
Neemt men nu den wijzer
volgens §. 731, voor de.magcan vr.n s:
vindt men,
^ cdx'^ nbsp;nbsp;nbsp;-\-eX* -\-fx^ enz. ...of
^ ^ I* . * 2^ nbsp;nbsp;nbsp; 3^ .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 4‘ .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 5^ .a;s -^enz.-^p^ .x^
«i—.
. 2^ .x’^ '3^ nbsp;nbsp;nbsp; 4® .5C'^ ‘s’^ .X^ -\-enz. p^ .xf
«s —,
......* nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.x^.x^ ¦\-enz.-\-p* .xt
. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;••••••..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5®.X® enz.-\-p^ .xf
zp —
.................pp .xp
'Wanneer meii nu deze waarden van de magten van 2, in de vergelijking voor p» overbrengt; dan zal men verkrijgen:
1
-f («) ö»—1 X I ^ X X Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..2'
[(»)lt;*»—! X 2^ X nbsp;nbsp;nbsp;X 22] X X^
• nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..
[(n)a»—I X 31 4- («)«»—2 X'3^ -1- («)«»—S X 33] X x3
enz.
Deze uitdrukking geldt voor alle waarden van n, en het is duidelijk te zien, dat derzelver algemeenen term, welke de coefficient van xp en de (/gt; i)« in rang is, door
ft nbsp;nbsp;nbsp;..2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..3
3 (») ««—I X ^2 -j- (») «»—2 y. p^ («) an—% X /3 enz. -f-
^~2 nbsp;nbsp;nbsp;__nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p~inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p
(.«) an-p-^i X j!gt;igt;-“2 -{- (n^ (Zff—^ i X I -}- («) «»-“/ X
I X Xf
zal Worden uitgedrukt, en’ dat diensvolgens alle de termen van de ontwikkelde magt van de gepermuteerde herhalings combinatiën totnbsp;de fom, welke gelijk is aan den exponent dezes terms, zullen afhan-ë6n. Nu zullen, zoo als §. 7io- is aangemerkt, deze termen doornbsp;de herhalings combinatiën kunnen bepaald worden, indien men elke
bij-
-ocr page 454-414
bijzondere complexie van herhalings combinatiën, met derzelver P®' mutatie getal vermenigvuldigt. Wij zullen deze uitdrukking, door denbsp;uitwerking van het volgend voorbeeld, dadelijk ophelderen.
§• 733. Voorbeeld. Den cnejficient van den negenden term vdif (i — '^a Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— eafSnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^dx*')t te vinden ?
In dit voorbeeld is de waarde van a, in p zzi ab x enz., gelijk één; derhalve rr i = an—'2. — enz, — i; voorts is:
I nbsp;nbsp;nbsp;\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
0j.)=7; («) —21; 00—35; («)=:35; 00=21700=7100==^
5, 6, 7, 8 1 o, o, o, o )
de combinatorifche wijzer is, in ons geval,
I — nbsp;nbsp;nbsp; 2^, —f, 4^?,
de negende term van de zevende magt van den vorm P zijnde, i* deszelfs coefficient, volgens de algemeene formule, gelijk
|
7X 8* 2I X 8^ 35 X 83-f-35 X 8-^ 21 xS^ px 8®4-8^ 0x 8'’ Zie hier de geheele bewerking. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 X — 336 35 X 83 r: 35 X 84=:' 21 X | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
iöSo^s''
i
( 30=40'’«(* i890'’j;fnbsp;5040 Onbsp;$6olgt;
34020 -2680quot;; .3
15,20 4'^
87=: nbsp;nbsp;nbsp;102°quot;'^
o X 83 ~ o
Men ontwikkelo in kolom A, volgons den regel van §. 701, de herhalings combinatiën tot de fom 8.
Men zoeke, voigens §. 650, de permutatie-gotallen voor elke com-plexien van de onderfcheidene klasfen van combinatiën, in kolom A gevonden; dan verkrijgt men, in kolom B, de ggpermuceefde herhalings combinatiën tot de fom 8.
Voorts flelle men, in plaats van de wijzér-getnllen van de com-P'esien.der gepermuteerde herhalings combinatiën m B, de waarden, 'velke zij in den wijzer hebben: namelijk voor i de waarde —3«;nbsp;^oor 2 de waarde -)- 2 ^ enz., en, omdat de waarden van de wij-^®-getallen 5, 6, 7, 8, 9, enz. alle nul zijn, zullen foinmige ter-®ien, welke uit de complcxien, waarin de wijÉer-getnllen 5^ 6, cm.nbsp;Voorkomen, ontftaan, gelijk nul worden, en men zal de kolom Cnbsp;Verkrijgen.
Eindelijk ftelle men de waardeh van s's 'S*, 8 3, enz. in de kolom C voorkomende, in de uitdrukking:
7 X 8' -{-21 X 8=-l-35 X 83 -f-35 X 84-1-21 X 8Ï- -7 X 80 -fs?
dan verkrijgt men, in kolom D, alle de onderfcheidene termen vaii den coefiïcient van den negenden term van (i — ^ax 2 b x~ —nbsp;cjc3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;namelijk
(.3^6 nbsp;nbsp;nbsp; 2Szoacd iö8o d -)- 210 hc^ -j- 3,0240b d
1890^*4 nbsp;nbsp;nbsp;-j- 5040 ab^ c^6034020«4^_[_ 22680^3^^^
I5I20«^ b'^ -j- 10200 c 34020 «4 nbsp;nbsp;nbsp;-j- 10206 ö* v®
Welker termen men ook naar de magten van a kan ordenen.
§. 734. Wij zullen geen meer voorbeelden van de toepasfing de^ *er formulen geven, en ons vergenoegen, met optemerken: i® datnbsp;’’’en, door deze leerwijze, eiken term der magt afzonderlijk kan ontwikkelen ; 2“ dat men de gepermuteerde herhalings combinatiën, tafels»nbsp;gewijze ontwikkeld hebbende, (zoo als men hiervan de fom 2 totnbsp;de fom 6 ingefloten zieQ
|
53: 5 22 nbsp;nbsp;nbsp;4(i32) |
Som 5
51 22 1 Cs)
. ( 2(14)
62;
(2^(15) { 2 (24)nbsp;11(32)
3(1^4) 6C123)
(23)
s'sr: i(iï)
Ö4 — / 4Ö*^3)
65— 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5(i42)
66— nbsp;nbsp;nbsp;1(16)
”’615 anders noódig heeft, dan, in elk geval, de beteekeiiis van da wijzer-getalien, welke in elke complejtie voorkomen, uittefchrijven,
en
-ocr page 456-4i6
en in de coeiEcienten der termen te fubftitueren, om oogenblikkelijl^ eenige gegevene magt, tot zoo vele termen als men goedvindt, tenbsp;ontwikkelen. In de Wiskundige oefeningen zullen wij meer voorbeelden geven.
S* 735- * De vergelijking, welke in §. 732, voor pn — (a-\-bx enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gevonden is, wordt, bij de navolgers van de Ilin-
denburgfciie leerwijze, liet polynomisch theorema genoeijid: ff wanneer men in hetzelve ^ —i; e—o; i/~o; enz. en i fielt, dan verandert het in het binomium van Newton, hetwelk bijgevolgnbsp;een bijzonder geval van het Polynomisck Theorema is. Men maaktnbsp;van dit Theorema in vele analytifche befchouwingen een nuttig gebruik, gelijk men in de oplosfmg van de volgende vraagftukken ziennbsp;zal.
§. 736. I. Vraagstuk. Het gebroken
=P
I
I — b z — c — dz'^ — e z* —ƒ2* — enz.
in een oneindig voortloopende reeks te ontwikkelen?
Men zou in de algemeene vergelijking van het polynomisch theorema a=: 1 en n = — i kunnen ftelien: maar wij zullen eenen anderen weg inllaan en Hellen b z cz'^ dz^ e z'^ enz. = y gt; daa wordt de gegevene breuk
^~ I -p. y nbsp;nbsp;nbsp;ys y4- -j- yS enz.
I —y
Neemt men nu voor den combinatorifchen wijzer
ji, nbsp;nbsp;nbsp;2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4, 5, 6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.}
\b, nbsp;nbsp;nbsp;c,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e, f, g,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. i
dan is, volgens het bewezene in §. 732,
y = I* 2 2*^ 2®-j-3'2®-t-4^ s't-f-y^ zz. nbsp;nbsp;nbsp;. , 2^ 22 3® 2^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^ 2'’' enz,
y^ zz:.....33 23 nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^3 34 4. gf/z.
ftelt men nu deze waarden van y, 31“, enz. in de rergelijking '''^or ï t (i —y')gt; dan zal men verkrijgen:
1
417
TWEEDE CURSUS.
¦zzp—i = I z [2' 2^] nbsp;nbsp;nbsp; [3^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3®1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;[4^ 4^^ 4quot; 4quot;^] quot;'*¦ ^«3.
Wanneer men van de notatie van §. 709 gebruik maakt,
12 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
/gt;—I = nbsp;nbsp;nbsp;I S 2 S 8=^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; S z3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H- b 3Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz.
§• 737quot; Volgens deze formule, zal men, met behulp der gepcrnra-fserde herhalings combinatiën, tot eene gegevene fom, de waarde van 7’j op eene veel gemckkelijkcr wijze, dan door divideren, vinden kunnen. Indien, bij voorbeeld, gegeven is:
rr nbsp;nbsp;nbsp;I I fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, X*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
Lojec. X — —— — — : ' 1--- 4----enz. gt;
Stn.x X I 1.2.3 nbsp;nbsp;nbsp;1.2,3.4.5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i
t'an zal men, x- 'zzz Hellende, met behulp van den wijzer b=z-~
enz, vinden.
V nbsp;nbsp;nbsp;4 C __ “f* —
1*2.3 nbsp;nbsp;nbsp;~ i.i:
Cofec, X:
_1_ nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7 A-3
X ï. 2» 3 nbsp;nbsp;nbsp;2. 3. 3. 4. 5
-f- ent.
§. 738. Op dezelfde wijze, zal men, de waarde van w ~
I nbsp;nbsp;nbsp;fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ï
1:^1 —•:--1---—¦ — enz. j* in eene reeks ontwik-
Cof. X nbsp;nbsp;nbsp;l I. 2 ¦ I. 2. 3.4
lillen, en men zal vinden:
x'^ nbsp;nbsp;nbsp;S X*
Öi ar''
Sec. X ” I -j-
• enz
I. 2 I. 2. 3.4 nbsp;nbsp;nbsp;1.5.9.
§. 73P. 2. Vraagstuk. Het ftelkundig gebroken
P __ H B z -^C nbsp;nbsp;nbsp;-j-Z)23-}-£s4-|- enz.
4 nbsp;nbsp;nbsp;i~^b~z^'c z^ —'7z3 — é z4 — enz.
te ontwikkelen, dat wit zeggen, den vorm van de reeks te vinden, •nielke door dadelijke divifie ontflaan zal?
Omdat p-.q—p X is, en, volgens het voorgaande vraagftuk,
= I -f z [21 2^] sa [31 ^ 32 -1- 33] zs enz.
^31 men deze reeks met
p — A-\-Bz-\-Cz^ Z)z3 nbsp;nbsp;nbsp;enz,
¦p
moeten vermenigvuldigen om de waarde van p q—i of - j- te vinden:
deze vermenigvuldiging uitwerkende, verkrijgt men:
Wijzer)^' 2, 3, 4» 5, ö, enz. » l b, c, d, e, t, Sgt; ’
Dd
H. Cursus.
-ocr page 458-WISKUNDIGE LESSEN.
[Z)4-Cx 'U 4-^ X (21 22)4.^x(3^ 32-[-33)]33 enz.
De wet van voortgang van de termen dezer reeks loopt zoo fpre-keiid in het oog en is zoo regelmatig, dat het niet noodig is dezelve verder iiittefclirijven. De coinbinatorifche teekens in gewone Helkundige
overzettende, zal men de uitdrukking vinden, die door divifie ontftaat.
§. 740. Stellen wij, volgens §. 709, i* 2^ 2®=:S; e/;z.
dan is:
B.S J.S)z^ (E D.S C.S-i-B.S J.S)z^ enz.
§. 741. Vermits Tang. x —Sin. xiCof.x, en Cot.x:^Cof.x:Sin.x,
zal men, de waarden voor Sin. X en Cot.x, in §. óili, pag 3*56,
gevonden, als bekend aannemende, en s x^ Hellende, met behulp
van de vergelijking voor p , zoo even gevonden, vinden:
l-j , 62 „ry , 1382 X” ,
- — nbsp;nbsp;nbsp;-]--1—— nbsp;nbsp;nbsp;enz.
35-01
X7
• enz
27-35 nbsp;nbsp;nbsp;7.25-27nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11.35-243
welke reekfen ook, even als die voor de Secans en Cofecans, met behulp der onbepaalde coeScieinen, kunnen gevonden worden (113).nbsp;§. 742. 3. Vraagstuk. Gegeven zijnde reekfen
y— a z b z- nbsp;nbsp;nbsp;c z'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- ƒ2® enz.
u — Ay-\-By^ -gt;f C}’3 -f- D y^ nbsp;nbsp;nbsp;Ey^ Fy^' enz.
de waarde van u in eene reeks te ontwikkelen, welke naar de op-klimmende magten vm 2 geordend is?
Tj* nbsp;nbsp;nbsp;1^32,3?45'^5en2.}nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.tan
Indten men { ’ nbsp;nbsp;nbsp;’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-r’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wijzer aanneemt;
la, b, c, d, e, enz. )
(113) Zie meer auiigchaakle Handleiding, §. 1063. tt.Bi-
419
y r:z I' 2 4quot; 2^ 3^ 3* nbsp;nbsp;nbsp;24 _j_ sS
y~— nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. 3® 2^^ 3^ 3® 4^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 5^ 2^
32 2^ 4- ^3 24 -{- 5S gS 4. cjjg
enz........enz.
6n brengt men deze waarden van y, y^, nbsp;nbsp;nbsp;, enz. in de tweede ver
gelijking u z=:Ay B 4- Cy- 4- Z) j’4 4. enz. over; dan zal men eilidelijk verkrijgen:
4quot; enz.
2- 4quot;^3^ I 2^ 4quot;^4’' i 4--S4-4- C33nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- C4S
4-Ö44
Men zette nu de combinatorifche teekens, welke in deze vergelijking voorkomen, met behulp van de tafels, op de tegenzijde van Tab. VI,nbsp;volgens den wijzer, in Helkundige over; dan zal men vinden:
« — /Z. 4 2 4- I A.h-\-B.a^ I 3“^ 4- I A.c-gt;rB.2.ab-\-C.a^ | 2^
B .^7. ei d 4“ 7 h 4~ ^ * C3 ei^ e -|- 3 a 4“ -D .4/?^ Z -\-Id
•\-}^A .f B .(7 a e 2 b d c^') 4quot; C • nbsp;nbsp;nbsp;d-\- 6abc 4-^^) 4~
¦ö. (4 «3 c-{-6a^b'^^-\-E.^a^b-\- F.a'^ | 2® 4' | nbsp;nbsp;nbsp;¦\-B .(jiaf
'\'7.be-\-:i,cd')-\-C.(^'ya^c-^6abd-\-2,ei^^'^2gt;bAc')-\- . .
¦D . (4«3 ^4_ 12 ^2 Z f 4-4 ö 4-'£ • (5 nbsp;nbsp;nbsp;quot;fquot; • *
F‘{.oa'^f-ii-^abe-\-6acd-^ “yb^d yb 4- -D . (4 «3 e 4quot;
i24*Zi/4~6i?^ nbsp;nbsp;nbsp;4~ 17 a b- ^4“^^) F. C5 4quot; 20 ö* Zc4“
ioa2 ^3^ 4quot;^. (.6 c-\-15 b^')-\- G .7 b-\- H .a^ |s3 J-enz.
bd 2 nbsp;nbsp;nbsp;Wan-
-ocr page 460-4^0
WISKUNDIGE LESSEN.
ff Wanneer nu de coëfficiënten van beide reekfen gegeven zijn? dan zal men de getallen waarden van de coeflicienten der gevraagdenbsp;reeks, met behulp van deze uitdrukking vinden.
5. 743. 4. Vraagstuk. Gegeven zijnde de reeks
yesz a 3- b nbsp;nbsp;nbsp;c -x- d e ƒ a® enz.
dezelve omtekeeren , dat is, de v) aar de van z in eene funltie van y uittedrukken ?
Wij hébben §. 573 j rcetis een voorloopig denkbeeld van de onir keering der reekfen gegeven. Het is aldaar gebleken; dat de waardenbsp;van z van den vorm /iyB enz. zal moeten zijn: men zalnbsp;dan de magten van y in deze laatfle vergelijking moeten overbrengen,nbsp;en dan zal men verkrijgen:
o r= ï I ~ i ¦) 3 nbsp;nbsp;nbsp;1 iï 2'=^) 3=^ C// 3' 5 3 ^ 4- C 3 O
•Deze vergelijking moet voor alle waarden van z gelijk nul zijn, waaraan zal voldaan worden, wanneer men alle de coëfficiënten gelijk nul fielt: zulks doende, zal men hebben:
I* — 1=0
yf 2^ ü 2^ ~ O
uit welke de waarde der coëfficiënten A, B, C, D, enz. de één na den anderen, zullen opgelost worden. Lost men indedaad deze vergelijkingen op, en Helt men in plaats van de combinatorifche teekensnbsp;derzelver waardijen; dan zal men vinden:
3 —-L. — LL. ^ I 2 —ac}^---I 5 —$abc-\-
'' f I 4 j 132 Z® — 330 a b-^ c nbsp;nbsp;nbsp;,120a^bquot;^ di%ob'^’
36 a's h'^ e — 72 a's b c d 4 ^ a'^ b f— 12 a's nbsp;nbsp;nbsp;c e
I 429 Zz — 1287 a bs c 495/2^ Zi‘^(/4 pp°a^bsc^
-ocr page 461-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;421
165 nbsp;nbsp;nbsp;^3 p —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a''^h- c dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f—165^?®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bce
ifSa^bd^ —^ a^ bg-\- nbsp;nbsp;nbsp;c^ d—^a^cf—pa^ de-j-a'^/i j
{ 1430 b^ — 5005 « c 2002 a^ b^ d -fr 5005 nbsp;nbsp;nbsp;b‘^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
715 lt;73 h^e—286o«3^3 c7/ 22o«4^3ƒ_I^30«3 h’- c'^-\-66zgt;a‘^b~ce nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iioö^^cf-- . . ,
'— WO a^ b de lo «0 ^ _j_ nbsp;nbsp;nbsp;^4 ^4 — 55 c J- ~ 55 77^ e -{-,
loa^cg -{- 10 df ¦\- nbsp;nbsp;nbsp;e^ —«7 ; ^ J— enz.
§. 744. Men zal, met behulp van deze reeks, alle .gegevens reekfen kunnen omkeeren, en tot negen termen voortzetten.
-enz.; dan zgl,
§. 745. Gegeven zijnde Sin. x=x-
1.2.3
I
tz=i, b=o, c=—]r, d—o, ez=.-, enz. ftellende, gevon-
6 nbsp;nbsp;nbsp;120
den worden: Sin. x:z::c nbsp;nbsp;nbsp;4- .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;--1-
2.3 nbsp;nbsp;nbsp;2.4.5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4. lt;5.7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4.5.8.9
eriz,
§. 746. ft Indien gegeven was: y~p-^ az-\-bz'^ -{-cz^ enz., dan zou men, om de gegevene formule te kunnen toepaslen, (31—p)nbsp;als eene veranderlijke grootheid moeten annmerkon, en, in de alge-raeene omgekeerde reeks, y—p in plaats van y moeten Ichrijven.
§• 747* 5- Vraagstuk. De uitdrukking
^ ^ Nep. Log. |i a z de- b z- -\-cz^ -j- d z‘^ -j- e -j- enz. |
in eene reeks, welke naar de opklimmende rnagten van z geordend is, te ontwikkelen?
Stellen wij y=az-i-bz^-f-cz^-l- enz.; dan zal de gegevene uitdrukking in x —Nep. Log. (i -j-.Q veranderen: nu is
Nep. Log. (i 3'}=:j' —¦ f 73 -ly^-^-^y^—cnz.
Wij hebben dan, in de vergelijking van §. 742, A~\, Bz=. — §, D — —.1, £ = f, F=-—Ij en men zal verkrijgen:
Nep, Log. J I -{-az-i-bz^-j-cz^ dz^ -{-ez^ nbsp;nbsp;nbsp; e«2. |
nbsp;nbsp;nbsp;— T^2|32-}.if — a b -i- I a^ j z^ -t d —¦ I (2 a e
b^) a'^b—^ .1^4 I 2^ 4. I « — (^ad bc) -{- nbsp;nbsp;nbsp;-j- ab- —-ï® b
D d 3 nbsp;nbsp;nbsp;
4Cia
J I s® I f— i (2 « e 2. b d -\- C-') IQ^ d ¦\- 6 a b c b'^') — l(4-'^^c-i-6a^b^^ a^è-.^^alt;^\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^„3.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(/j)
§. 748. Laat ons, om deze hatfle formule, welke gemakkeiijk kan ivorden voortgezet, toetepasfen, den Briggiaanfchen Logarithmus vannbsp;de Sinus en de Cofinus van eenen boog a; berekenen. Wij hebben,nbsp;zie §. 618,
X‘^ nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
1.2.3 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4.5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3.4.5.6.7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
Sin, x~x X I I
Nep. Log, Sin,x—Nep Log,x ^ Nep,Log, j 1 —
l 1.2.3
1.2.3.4.5
1.2.3.4.5.6.7 ‘ 'quot;quot;'l Stellen wij nu x^=:z; dan is *4—squot;; a-ö~. 2^; ens,; vergelijktnbsp;x’^
men dan i--
I. 2.
enz,
; dan is
¦ enz, met i a z b z- enz,; dan zal
men vinden: a :
b:
enz,: men heeft
1.2.3 nbsp;nbsp;nbsp;1.2. 3.4. 5
dan flechts deze waarden van a, b, c, d, enz, in vergelijking (Ti) overtebrengen, om te vinden:
f
Log. Sin. X — Log. X — M X s -- --- ----
l 2. 3 nbsp;nbsp;nbsp;4-5-9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5-7-tgt;-9
1:8 nbsp;nbsp;nbsp;,.10nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;691 x‘ ^
7.11.25.81 nbsp;nbsp;nbsp;6. II. 13.49. 125.729
3lt;5i7a”'* nbsp;nbsp;nbsp;, i
enz. ^
II. 13.25.49.729 ‘ II.13.16.17.49.625.2187 zijnde de letter M de modulus der Briggiaanfche Logarithmen.
§. 749. Men zal, op gelijke wijze, uit Cof. x=:i — nbsp;nbsp;nbsp; enz ,
met behulp van de vergelijking (/{), vinden:
i A/fO, nbsp;nbsp;nbsp;'y*4‘nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vO
Log. Cof.x=: — Ml— — ~ ( 2 ^ 3. 4 ' 5. lt;
691*^- nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10922 X
9 ¦ 5.7.Ö.9 nbsp;nbsp;nbsp;7.25.81
14 nbsp;nbsp;nbsp;929569 X^'S
6. 7. 11.25.81 II. 13. 25. 49. 243 nbsp;nbsp;nbsp;11.13.16.49.112.729
enz. j
Men zal, door deze twee reekfen, gemakkeiijk den Logarithmus van de Tangens en de Cotangens van eenen boog kunnen bep.alen.
423
tiet betoog van het Theorema van Albert Girard, over de [ommen van de magten van de wortelen eener vergelijking, gemeenlijknbsp;het Theorema vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;genoemd (114).
§• tt Stelling. Laten van eenige grootheden a, h, c, d, enz. gegeven zijn: de [om dezer grootheden gelijk A‘, de [om van
dcr-
(114) Men lieeft, gedurende eenen geruimen tijd, Newton voor den uitvinder van dit thporema gehouden, omdat con werkje van onzennbsp;fchranderen en te weinig bekenden Landgenoot, Albert Girard, innbsp;Ifcp, en dus, lang voor den leeftijd van Newton, te Amflerdam , uitgegeven , al terftond, na deszelfs uitgave, in vergetelheid Ichijnt geraakt tenbsp;zijn. Iva dat wij vele vruchteloze pogingen hadden aangewend om ditnbsp;werkje te bekomen, heeft onze vriend, de Ridder en Hooglecraar vannbsp;Eekck Cai.koen , de gelegenheid gevonden dit zeldzaam werkje te zien:nbsp;hij fchreef ’cr de merkvvaardiglle plaatfcn tiit af, en deelde ons dit af-fchrilt goedgnnftig mede. De volledige tijtel van het werkje is: Invention Kouveïte en Algcbre ^ par Albert Girard, Mathémtiticicn ^ tantnbsp;pour Ul folntion des eqsiations algebriqites qtie pour recognoifire Ie nom-bre des feintions qsdeUes reeoivent etyee pïnpestrs ciiofes qtit font nèces-faires a la perfection de cette fcience, a Amfierdam, chez G. JANSENnbsp;Bi.aauw, 1Ö29. 4to (Hj). Het werkje is zonder getallen van bladzijdennbsp;gedrukt, en bevat drie doelen: het eerfte is van rekenkunftigen inhoud;nbsp;het tweede fteikunftig en het derde meeiknnllig. Het blijkt uit hetzelve:nbsp;i® dm Girard eene grondige kennis van de zamenftclling der hoogenbsp;inagts vergelijkingen had; equot; dat hij het gebruik van de exponenten dernbsp;magten kende; s» dat hem de toepasfing der Al'gebra op de Meetkunstnbsp;eigen was; onder anderen verklaard liij de beteekenis der politieve cnnbsp;negatieve wortels, (en hier bij moet men in aanmerking nemen: dat denbsp;Meetkunst van Descartes eerst in 1(137 in het licht kwam,) op zulk eenenbsp;duidelijke cn eenvoudige wijze, als men, bij fchrijvers van zijnen leef-tijd, bezwaarlijk zal aantreffen: hij zegt ten dien aanzien: (zie vannbsp;dit werkje) ,, les folutions en moins'’'* (in oils fpraakgcbiuik de negatievsnbsp;^'•¦ortels eener vergelijking'^ ,, s^expli^ttens eu gcornett^ie en retrogr^dant^nbsp;s? Ie moins rccule l^ ou Ie plus avanced' 4^ Dat de avithmctifche driehoek, welke hij trin^gU d'^extraBion noemt, en altijd aan Pascal toe-Scrchreveii is geworden, van zijne vinding is, (zie E^). Eindelijk vindtnbsp;in tiij merkwaardige Hok het theorema, dat wij in deze Les behandelen. Hij drukt zich over hetzelve aldus uit: „ Soit A premiernbsp;„ mesl^^^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zeggen, dc eoemciene van den tweeden term eener
vergelijking .v« a nbsp;nbsp;nbsp;dJ x'^—- enz.) 55 B fecond meslé ^ C troi-
fitsme, D quairiesme etc.., alors en teute forte d'e^iuntions,
D d A
-ocr page 464-424
dcrzelrer produücn op (ilJe mogelijke wijzen, twee aan twee, B; de jom van derzclver produBen, drie aan drie, C; de [om van derzel-ver producten, vier aan vier, J)^ en zoo vervolgens: indien mennbsp;dan de fotn van de eerfle magten dezer grootheden door de fontnbsp;der tweede magten door Ss ¦gt; die der derde magten door S3 ,• die dernbsp;W‘c magten door Sa uitdrukt', dan zullen de fommen dezer magten,nbsp;door de volgende vergelijkingen, kunnen bepaald worden,
S
CS, |
•4^ -Z)S 5£ |
Bewijs. Om ia het bewijs dezer flelling de kortheid te betrachten, zullen wij de fom vnn alle de combinatiën van dezelfde foort doornbsp;S, uitdrukken: S.zal dan beteekeuen de fom van de k* magtennbsp;der grootheden a, b, c, d, e, enz.; ^,a~ b de fom van alle de pro-diiclen, die ontllaan, wanneer de tweede magten van de groothedennbsp;a, b, c, d, enz,, op alle mogelijke wijzen, met de eerlle magten van
zelf-
5. rt. nbsp;nbsp;nbsp;fsra la fs^nme des . Solntïims
„ nbsp;nbsp;nbsp;-B'2. nbsp;nbsp;nbsp;{ojiiirrcz
,, A cnb — A B Cs nbsp;nbsp;nbsp;| Cubes
,, Atiq — AqBe^'\‘A C 4.~{‘B ij 2 — Z) 4 / Qjiarrez-qtiarrez.quot;
[Hiar beteckeiit Aq zooveel als Az; Acuh zooveel als Aigt;Bz zooveel als zB; C% zooveel als 3C: het woord falutions heeft hier de-Zi^lfde betcckenis als by ons wortels eener vergelijking^] Giraro, welke deze vergelijkingen, zonder bewijs opgeeft, geef: wel niet de ver-gelykingcn, -welke in den text betoogd worden, en hoedanige het eerst by Newton voorkomen: doch hij kan zijne formiilen uit geene anderenbsp;dan uit deze, welke hij in de zamenilelling van zyn gefchrifc waarfehij-nelijk, als minder gewigtig, zal befchouwd hebben, hebben afgeleid.nbsp;Girard doet zich, ill dit gefchrift, wegens de fchraiiderheid, waarmedenbsp;hij, hoezeer door eenen grooten omweg, den bekenden regel om dennbsp;inhoud van eenen fphairifchen driehoek te berekenen, betoogt, als eenennbsp;Wiskunlleiiaar van den cerften rang van zynen tijd kennen. In zijne tcc-kenfpraak, drukte hij de onbekende in eene hooge niagts vergelijking uit,nbsp;door een kringetje, binnen hetweik hij de exponenten van de magt dernbsp;onbekende plaatllc. Hij ftierf in 1634, en fehijnt, na zijnen dood, hiernbsp;te lande, -weinig anders dan als uitgever en vertaler van de werken vannbsp;Stevin bekend geweest te zijn.
-ocr page 465-425
ciiezclfde grootheden vermenigvuldigd worden, enz.: 2 zal dan het-^flfde beteekeneu als S» hetzelfde als S.a». Nu is
I® X X 2 = (« -{-é c enz.quot;) X (0: -f è c nbsp;nbsp;nbsp;=: S. c®
iS.ab, want, in de ontwikkeling van dit produft, wordt elk lid ^’an het vermenigvuldigtal met elk lid van den vermenigvuldiger tot éénnbsp;afzonderlijk partieel produft zaroengefleld: gevolgelijk komen in dezenbsp;zamenftelling voor: 1° de fom van de tweede magten der grootheden a, b, c, enz.; en 2*^, de gepermuteerde combinatiën van diezelfde grootheden', op alle mogelijke wijzen, twee aan twee, genomen. Daar nu 2 x 2 = .^/ X 2 is, zal Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2 ^.ab
zijn; nu is S. 2^ cn S.ab~B: derhalve 2^ nbsp;nbsp;nbsp;2 — nB.
2° Voorts hebben wij Qabc enz.') •gt;lt;. nbsp;nbsp;nbsp; enz.')
^Av.$.a-—A'^Q.-. deze uitdrukking is klaarblijkelijk gelijk aan de fom van de derde magten der getallen a, b, c, enz. plus de fomnbsp;van de produften, welke ontllaan, indien de tweede magt van elknbsp;getal met elk der andere getallen vermenigvuldigd wordt: wij hebbennbsp;alzoo Ah^zziS.a^ S.a^b. Ontwikkelt men verder het produftnbsp;l^ab ac.\.bc enz.) y. Qa b c enz.) 2= /I X 2; dan zalnbsp;men bevinden: dat hetzelve gelijk is aan S.a^b-i-^S.abc. (Denbsp;term ^S.abc, is met den coelBcient drie aangedaan, omdat uit drienbsp;dingen a, b en r, eene coinplexie van twee dingen, flccht op drienbsp;Oiiderfcheidene wijzen, namelijk ab, ac en hc kunnen zamengefteldnbsp;'vorden, en elk dezer verbindingen, worden, in de vermenigvuldiging,nbsp;de derde grootheid zamengevoegd.) Wij hebben alzoo: AlL^nbsp;^^3 S.en Ü2 = S.-j. 3 C; nu is, uit de laatlle vergelijking, S. —5 2—3 C; ftek men deze waarde van S.a^bnbsp;in de eerde vergelijking; dan is A'L.^z=.'L^ -f 52 —3 C; uit welke 2- afgezonderd zijnde, zal men vinden; — A'2,.^—5 2nbsp; 3 C.
3* Indien men de twee voorgaande deelen van het bewijs wel gevat heeft, zal men zonder moeite zien: dat
X («a ^3 nbsp;nbsp;nbsp;S.a^ h —A^^
X (a^‘\-b^’^c^-{-eiiz.') — ?!.a'^b-{‘S..a^bc~B'S,^ ^^^c-\.(ii,dJ^enz.') X (lt;z ^r ^«s.)“S.c^^c-|-.4S.4o^cfl'=C2nbsp;IS. 'Wat nu deze laatlle vergelijking aangaat, de coefficient van dennbsp;term 4S. oZgt;c5, is het getal vier; omdat, uit vier dingen a, b, c,nbsp;quot;^5 drie dingen Hechts op vier onderfcheidene wijzen, drie aan drie,nbsp;Uinnen zamengevoegd worden, (namelijk abc, abd, acd inbed,)nbsp;deze vier zamenvoegingen komen in het mnltiplicnudiim voor en wor-
Dd 5 nbsp;nbsp;nbsp;den,
420
wiskundige lessen.
den, in de vermenigvuldiging, met elke letter van den vermenigvuldiger zaïnengefteld: men verkrijgt dus in hac produft elke complesie van de combinatiën, vier aan vier, viennaal, en de fom van allenbsp;mogelijke combinatiën, vier aan vier, komt gevolgelijk viermaal in hetzelve voor.
Uit de laatfte vergelijking volgt: S. = CU —4 Z); gevoige-lijk wordt de tweede nbsp;nbsp;nbsp;—4^5 hieruit
4^^ In het algemeen, zal men vinden: dat
— i’Sa — c£-i-4Z’, en ftclt men eindelijk de waarde van S. in de eerfte vergelijking; dan zal men, na behoorlijke herleiding,nbsp;verkrijgen:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BC^ —^ D.
(iV -f- ^ nbsp;nbsp;nbsp;enz.') X —t 4. —* -i- c»—i enz.) ~ S.
S. ««—I bzz A Zn—I
(jib'\'CiC'\'bc-\~ enz.) X nbsp;nbsp;nbsp;—- -h bquot;—- enz.) — S. a’‘ i b T*
S.««—- h ezzB Zn—1
{a.b ab d-\- b c d-V enz.) X nbsp;nbsp;nbsp;—3 t' b'‘—3 -j-*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ J^enz.)'^
S. aquot;—2 h c .\-S. a’t—3 b c d^CZn—2 {jibcd-\‘abce-\-enz^ X fö»——4 c”—4-~\~enz.)zzS.a'‘—quot;ihednbsp;S. »—4 h cd ezzD £,7—3
enz. zal zijn. Ontwikkelt men deze vergelijkingen, voor eenige waarde van n; dan zal men, op dezelfde wijze als boven, vinden :
£7 =: ^ £„_i — £ 2„_2 -4- C£„—3 — D £7—4 enz. » X de fom der prodttllen, n aein «, genomen.nbsp;en hier blijkt, in het algemeen, de waarheid van hét geftelde.
§. 751. ff Daar het betoog, hetwelk wij van deze ftelling, * die wij het Theorema van Giiiard noemen, gegeven hebben, van hetnbsp;aantal grootheden, in de befchouwing voorkomende, onafhankelijk is»nbsp;geldt het van een onbepaald aantal van grootheden, waarvan men,nbsp;door de betoogde formulen, de fommen der eerlle, tweede, derde, ennbsp;volgende magten vinden kan, wanneer die der combinatiën, één aannbsp;één, twee aan twee, enz. gegeven zijn. Het is nogtans opmerkelijk, dat de fom van de lAs magten afhangt van even zoo vele gegevens, als ’er éénheden in n zijn; zoodat, om de fom van de derue,nbsp;magten te vinden, dij fommen' der combinatiën, één aan één, tvveenbsp;aan twee, en drie aan drie, moeten gegeven zijn. Van daar dan oor.nbsp;dat, wanneer ’er, bij voorbeeld, vier grootheden zijn, en ’er dusnbsp;Hechts vier gegevens, namelijk, de fom der grootheden, de fo®nbsp;derzelver produéten, twee aan tvvee; die van derzelver prodeéten,
drie arm drie; het produft eindelijk van die grootheden zelve, voor-
Ito-
-ocr page 467-427
komen, met deze gegevens nogtans de fommen van alle de magten dezer grootheden tot in het oneindige kunnen gevonden worden: cnnbsp;dit is klaar; want de fommen van de producten, vijf aan vijf, zesnbsp;aan zes, zeven aan zeven, enz. zullen alle gelijk nul zijn, en diens-volgeiis als bekend kunnen aangemerkt worden.
§• 752. Stellen wij: nbsp;nbsp;nbsp;^ — — 4; c — 2'-, en d — S'-, dan is:
A — a-\'b-r‘c-\-d—-\-6 B — a b a c a d-\~ b c b dc d ~ — 9nbsp;C—abc-\-abd-\-acd-\rbcd~ — 94nbsp;Bgt; — ahcd — —120
nu zal men, de betoogde formulen gebruikende, met deze vier gegevens, de fom van de magten der getallen a, b, c cn d, tot in her oneindige, vinden kunnen; want wij hebben:
^ nbsp;nbsp;nbsp;~-4-0
— 25 — ö2-t-aX 92254
23 nbsp;nbsp;nbsp;—5 S-f3C=:6X54 9X6~3X94 = 9lt;5
24 nbsp;nbsp;nbsp;—^:S3 —S 2i-{-C2—4!) —0x90 9x54—94Xó-}-4X)2oer9r8nbsp;25—^24 —523 C 2,—2)2 — 6 X 97S 9X 96—94X54 ï“X 6=2376
enz, nbsp;nbsp;nbsp;enz.
zoo als men, bij dadelijke beproeving, der waarheid overëénkomftig bevinden zal.
§. 753. Volgens §. 210, zijn, in de algeineene vergelijking,
Ax’‘—1 J^Bx»—- Cx”—3 enz. /'x 0,~ o ~~A gelijk de fom van alle derzelver wortels; 5 gelijk de fomnbsp;Van de produéten der wortels, op alle mogelijke wijzen, twee aannbsp;twee, genomen; — C gelijk de fom van alle de produdten, drie aannbsp;drie, enz.: men zal dan, door de betoogde vergelijkingen, de fommen van de tweede, derde en voIp;ende magten der wortels vinden:nbsp;intnsfehen moet men, bij deze toepasfing, de teekens der cocfficien-^211, met betrekking tot die formulen, behoorlijk bepalen: tot dat oog-merk fehrijft men onder de termen der vergelijking, (welke men, in-Oien het noodig is volkomen maakt, door nul voor de coëfficiëntennbsp;ontbrekende termen aantenemen,) van den eerden af, beurtelings
H--enz.; wanneer nu deze, teekens met die der coëfficiënten
overetnftemnien; dan houdt men de fommen, welke deze coefficien-^^ten uitdrukken, voor pofitief; doch zijn deze teekens van elkander onderltheiden, dsfi -^vorden die fommen voor negatief gehouden. Wiui-beer derhalve de vergelijking: x*—2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5° — o gegeven
Zal men fchrijven;
X4
-ocr page 468-4^8
-2 xS 23 nbsp;nbsp;nbsp; o X 50 = o
en daaruit befluiten: dat de fom der wortels pofitief ( 2) is; de fom van de produdieii der wortels, op alle mogelijke wijzen, twee aaunbsp;twee, genomen, negatief—'23; de fom van de produften der wortels,nbsp;drie aan drie, gelijk nul, en het produft der wortels pofitief en 30.nbsp;Op de tcekens dezer fomnien behoorlijk acht gevende, zal men vinden: s = -^ = 25nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—2;;—50; S3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5S 3C
— nbsp;nbsp;nbsp;146; '2‘^~ A'z^ — Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'z — 4Z)rr 1242; Sj — /? S4 —'
iJSs-f-Cs^ — nbsp;nbsp;nbsp;enz. De wortels dezer vergelijking
— nbsp;nbsp;nbsp;I -f- ^6; — I —]/6\ 2 -f 1/145 2—-jL'14; zijnde, zal mennbsp;deze berekende uitkoinften iigtelijk kunnen beproeven.
§• r54‘ tt nbsp;nbsp;nbsp;vit elht vergelijking
A B x'^ C xquot;^ D X E~o welker wortels p, q, r, s en t zijn, volgens het betoogde in §.'25/?nbsp;de vergelijking:
D .. C . B A , nbsp;nbsp;nbsp;1
{welke de vergelijking tot de omgekeerde wortels \ - p, \ • q, ï ¦ ^ 1 : s en ï : t is,j opmaken: men zal dan, met behulp dezer laaifie-,
de [ommen van de negatieve magten der wortels vinden: want, vol-
n
gens het betoogde, in de voorgaande §, zal
enz. zijn.
D nbsp;nbsp;nbsp;C
§• ?55’ it Dit de betoogde formulen op de fommen van de magten van eenige grootheden, (of dat hetzelfde is op de fommen van de magten van de wortelen eener vergelijking,) zal men, zonder veelnbsp;moeite, de fommen der produélen, twee aan tvvee, drie aan drie, enz.»nbsp;kunnen bepalen: men vindt namelijk:
A=s
B=ICAS — S^)
¦.l-{Bx — AX^ x^j :i{Cx — Bx^ Ax.^—X^jnbsp;E = UD:
C:
D:
—Ax^ Xg^ enz.
•ft waardoor men, wanneer van n grootheden de fommen der eerfte, tweede, en volgende magten, tot de k* magten ingefloten, gegevennbsp;zijn, de coefiicienten eener vergelijking, welker wortels de onbekendenbsp;getallen zijn, zal kunnen berekenen; zullende deze onbekende getallen,
-ocr page 469-429
door de oplosfing dezer vergelijking, bekend worden, (zie ver-der de TVhhmdige Oefeningen.')
§. 756. It Men zal eindelijk, door eene fuccesfive fubfiitutie, in de vergelijkingen 'Z — A, quot;Z^—Az — 2 B, enz., de waarden vrainbsp;S., S^, enz. in uitdrukkingen van A,^ B, C, enz. vinden:nbsp;doch men kan ook deze vergelijkingen, op de volgende wijze, be-Psleh. Zij gegeven:
(l /! x^(l qx)(^l rx) (l (i een .zeker bepaald of onbepaald aantal faétoren beftaande: indiennbsp;roen deze uitdrukking door inultiplicatie ontwikkelt, zal het produél;nbsp;den vorm
I y/ X 5 nbsp;nbsp;nbsp; Cx3 Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; Exs FxS enz.
verkrijgen, en dan zal A klaarblijkelijk de fom van de grootheden P, q, r, s, enz. zijn; B die van derzelver produfïen, twee aan twee;nbsp;^ die van derzelver produélen, drie aan drie, enz. Deze twee uitdrukkingen gelijk zijnde, zullen ook derzelver Logarithmen gelijknbsp;zijn , en wij hebben derhalve :
^^S-(il-\-px)-\-Log. Qi qx) Log.Ci rx)-i-Zog.(i sx)-{~enz.=: Log. I I -e^-Ax Bx^ -f-Cx3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Dx'^Ex^ -\-Fx^ -\-enz. |
Nu is, volgens §. 593, zie formule i, Tabelle V, de Neperiaanfche Logarithraus van het eerfte lid dezer vergelijking gelijk aannbsp;p X — \p'^ x^ x^ — \P'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- 1 p^ x^ — enz.
q X — \q^ x'^ -\-'yq^x'^ — | q* x‘^ -j- | q^ x^ — enz.
¦f A — A^ B § I Deze twee uitdrvtkkingen moeten nu, onafhankelijk van de waardenbsp;van JT, aan elkander gelijk zijn: men zal derhalve de coëfficiëntennbsp;van dezelfde magten van x gelijk moeten ftellen; waardoor men,nbsp;(omdat 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4. ^ enz. Z^~p- q^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^s,) verkrij
gen zal
-ocr page 470-¦B
2 quot;2 ¦
is3 = j2y3_^i5 c
- B A- C-if. A— AD—BC-\.E cn deze zijn de vergelijkingen, welke men door de gezegde fubfli'nbsp;Unie verkrijgen zal: zij zijn dezelfde, welke bij Güiard voorkomen.
§• 7S7- nbsp;nbsp;nbsp;l^ewijs, van de leerftelling van Girard gegeven, is
fyntetisch, eii uit de leer der combinatiën afgeleid, BSrmann, KiEsT-NER, Landen, Temreuioff, Lagrange, Arbogast, hebben onder-fcheidene bewijzen van deze leerftelling gegeven, welke hunne bijzondere verdienften hebben. Wij zullen ten befluite een betoog geven, hetwelk foinmigen verftanden misfehien beter dan het eerfte bevallen zal.
§. 758. Laten de grootheden p, q, r, s en t, de wortels van de vergelijking
a'3 — A x’^ B — C X- D X — £ “ o zijn; dan is het klaar: dat, wanneer men fuccesfievelijk voor x ftelcnbsp;p, q, r, s en t, men deze vijf vergelijkingen zal verkrijgen:nbsp;p^ — Ap'inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bpiquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— Cp-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D p — E — o
qS — A q^ nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— C q'^-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D q — E~o
,-s — Ar'i nbsp;nbsp;nbsp;Br^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ö r — £ — o
js — AA nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— Csquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-Ds — E ~o
— CA D i —E=z o
telt men deze bij elltnnder, zal men voor de fora verkrijgen:
Sj — Al,^ B-Z^ — Ci^-fZ)S — 5E=o of, wanneer men Sj afzondert
z^ = A:s^ — £ s. 4- C — Z) s -1- 5 £
Eli hieruit is reeds édne vergelijking betoogd.
Vermenigvuldigen wij de vergelijking x^ —Ax^-{-aiz. met at''—s, dan zal men voor het produél; verkrijgen:
x” ‘— A xgt;‘—I -f- JS A,'»— 2 — C x’‘—3 -1- D x«—4 — Ex»—5 nbsp;nbsp;nbsp;o
cn fubftilueerende voor x derzelver waarden pi q, r, s en dan zal men, na deze vergelijkingen te hebben opgeteid, verkrijgen:
Zn 3ttz: A Zn—1 B Zn—'Z “j” Z 3 nbsp;nbsp;nbsp;D Zn—-jquot; E Z'i—3
Het blijkt hieruit ontegenzcggeüjk: dat voor alle magten,' hooge: dan de vijfde magt, de fommen der m-gcen, volgens dezelfde wet,nbsp;uit de fommen van dc oramiddelijk lagere magten gevonden worden.
Nu
-ocr page 471-431
Nu blijft de vraag: of voor de fommen der magten, lager dan de vijfde magt, dezelfde wet nog zal ftand houden? deze vraag is ligte-te beandwoorden. Deelea wij de gegevene vergelijking door x;nbsp;dan hebben wij:
E
X* — ^ B x^ — C X D--”0
X
ftellende p, q, r, s en i, fuccesflevelijk in plaats van x; dan ^-ullen wij, de vergelijkingen, welke daaruit voortkomen, optellende,nbsp;verkrijgen:
^4. ^23 nbsp;nbsp;nbsp;— C2 5Z) — £ X j ——1——4---1---1—quot; 12a;o
'¦ p q r s t \
maar nu is E—pqrst; derhalve £x lt;-o--L _i. _L l
lp q r s t i
^qrst-\-prst-\-pqst-\-pqrt-\-pqrs — Dj en de vergelij-
king verandert gevolgelijk in:
= ^23 — Cs — 4Z)
Deelt men de gegevene vergelijking door , en fchrijft men voor x de waarden/), q, r, s en dan zal men, na de komende vergelijkingen te hebben opgeteld, vinden :
3 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I p q r s t i
zr) I I I . ï L ï I M
^ 71 7r = o
Nu kan men, in plaats van de twee laatfte termen van het voorfte lid dezer vergelijking, fchrijven :
dat is, volgens het betoog van §. 750,
I p q p r p % nbsp;nbsp;nbsp;3
omdat E—pqr$t is, tweemaal de fom van de produclen, drie ^an drie: de twee laatfte termen zijn gevolgelijk gelijk aan 2 C, ennbsp;de vergelijking verandert in:
z^=Az^~Bz-{-oC h'Ien zal op dezelfde wijze vinden: dat
Z^=AZ — 2 B cn zzz A is.
§• 759’ Dit bewijs, dat, voor een gedeelte, op de leer der combi-^latien berust, kan tot eene algemeene vergelijking van de wh magt quot;'tgeftrekt, en, in dit opzigt, als algemeen worden aangemerkt.
§. quot;do.
-ocr page 472-432
§. 760. Deelt men de vergelijking door ; dan zal men, na fdb-ftitutie en oplosfing, vinden;
5 — yJ s_j B — C S_. D — E S_5 =: o Deelt men, bij voorbeeld, doornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; dan zal men vinden:
2^ — /fs S^ — C nbsp;nbsp;nbsp; D — E s_3 == o
en hieruit, kan men de betrekking nagaan, welke ’er tiisfchen de fömmen der pofltieve en negatieve magten van de wortels eener vei*-gelijking, beftaat. Vergelijk §, 754.
WIS-
-ocr page 473-VI. Figuren voor de combinatorifche ontwikkelingen, behoorende tot de.LXiU en LXIV Lessen.
Fig. I. ¦Index
Fig. 2. Index
C I, a, 3 , 4 7 C la, b, c, dS I
11223
aabhc
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
34.21
4123
4132
4213
4231
4312
4321
11223
11232
11322
12123
12132
12213
12231
12312
12321
13122
13212
13221
21123
21132
21213
21231
21312
21321
22113
22131
22311
23112
23121
23211
31122
31212
31221
32112
32121
32211
De eerde figuur behoort tot het I. I^raeifrfiuk ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;§, 686 i cie
tweede tot §.687, beide worden , volgens denzelfden regel, ontwikkeld. Om de permuta-tien, welke men in wijzer getallen verkregen heeft, in letters over te brengen, volgt mennbsp;den wijzer.
Fig- 4-Index
C I, 2, 3, 4?
la, b, c, dS
Fig. 6.
Index
f'’ f’ 3 nbsp;nbsp;nbsp;)
C ...q { «nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;25, €...r)
[ c c a ac dnbsp;a a d dnbsp;a b b bnbsp;a b b cnbsp;a b b dnbsp;a b c cnbsp;a b c dnbsp;a b d dnbsp;a c c cnbsp;a c c dnbsp;a c d dnbsp;n d d d
b b h b
h b b C
b h b d b b c cnbsp;b b c dnbsp;b b d dnbsp;h c c cnbsp;h c c dnbsp;h c ddnbsp;h d d dnbsp;c C t cnbsp;c c c dnbsp;c c ddnbsp;c d ddnbsp;d d dd
Deze figuur behoort tot de op-losfing van het 6. Ffaagftvk, §. 694.nbsp;De bijzonderenbsp;klasfen zijn doornbsp;winkelhaken afge-fcheiden.
c‘ a, b, c, d
!aa, ab, ac, ad ba, bb, bc, bdnbsp;ca, cb, cc, cdnbsp;da, db, dc, ddnbsp;aaa , aab , aac, aadnbsp;aha, abb, abc, abdnbsp;aca, acb, acc, acdnbsp;ada, adb, adc, addnbsp;baa, bab, hac, badnbsp;bba, bbb, bbc, bhdnbsp;bca, beb, hcc, bednbsp;3 . bda, bdb, bde , bddnbsp;^ ^ caa, cab, cac, cadnbsp;cba, chb, ebe, ebdnbsp;cca, ccb, ccc, cednbsp;eda, cdb, ede, cddnbsp;daa, dab, dac, dadnbsp;dba, dbh, dbc, dbdnbsp;dca, deb, dcc, dednbsp;dda, ddb, dde , ddd
aaaa, aaab, aaac, aaad aaba, aahb , aahc, oahd
haaa, baab , haac, baad \haba, babh, bahc, habd
caaa, caab, caac, caad \cabfi, cabh, cabc cabd
daaa , daab, daac , daad daba, dabb, dabc , dabd
enz. enz.
Deze figuur behoort tot de oplosGng van het 8. Vyaagftnk^ §. 696. Mennbsp;zou hier de compiexien der bijzonderenbsp;klasfen verkrijgen, wanneer men diunbsp;van fig. 3. op alle mogelijke wijzennbsp;permitteerde. Zie §. 710.
Ab,
Bh,
LCa, cb, Ë,
. nbsp;nbsp;nbsp;j'^^a, %Jh,
¦^T)Ba, »,
Fig. 7.
¬ SC 5cnbsp;SCCcnbsp;25/ycnbsp;S55cnbsp;ÏÏ5Ccnbsp;lt;^Acnbsp;€.Bcnbsp;CCc
Deze figuur behoort tot de tweede oplosöng van het 8. Vraagfluk,nbsp;Men verkrijgt doornbsp;dezelve de geper-muteerde herha-lings combinatiën,nbsp;met minder omfiag,nbsp;dan door de voorgaande oplosfing.
B a é, B b ^nbsp;B c ^nbsp;Ca.;nbsp;C b ^nbsp;C c gt;
’HBAb d ^Ac quot;nbsp;S55a Inbsp;‘BBb snbsp;¦23 5 6- :nbsp;Ê §nbsp;b §nbsp;25Cc Inbsp;¦S. A a cnbsp;€ Ab Inbsp;€ Acnbsp;B a 'gt;¦nbsp;€ Bb g
IÉ. B C -a \€C a “nbsp;\€Cbnbsp;\É C c
Fig.
Ö.
Fig. 10.
[Tegen over bladzijde 432.] Fig. II. ! Fig. 12.
654321
11U3 11122
= 1I1II2
III1111
!aae abdnbsp;accnbsp;bbc
7^ = aaaaaaa
Deze twee figuren 8 en 9 behüorcn tot denbsp;eerfte oplosfing vanhernbsp;IJ. yraegfluk , §. 701.nbsp;De 9 figuur is eenenbsp;overzetting van de 8nbsp;figuur.
|
1 |
1 |
1 |
I |
I |
.1. |
|
1 |
1 |
I |
1 |
1 |
2 |
|
I |
1 |
I |
1 |
3 | |
|
J |
1 |
I |
2 |
o | |
|
I |
1 |
I |
4 | ||
|
1 |
I |
2 |
3 | ||
|
I |
I |
5 | |||
|
I |
2 |
2 |
2 | ||
|
I |
2 |
4 | |||
|
1 |
.3 |
3 | |||
|
I |
6 | ||||
|
2 |
2 |
3 | |||
|
5 | |||||
|
3 |
4 | ||||
|
7 | |||||
enz.
Hetzelfde in letters.
7654321
|
a |
a |
a |
a |
a |
a |
a |
|
a |
a |
a |
a |
a |
b | |
|
a |
a |
a |
a |
c | ||
|
a |
a |
a |
h | |||
|
a |
a |
a |
5 | |||
|
a |
a |
h |
c | |||
|
a |
a |
e | ||||
|
ct |
Zt | |||||
|
a |
/; |
d | ||||
|
a |
c |
c | ||||
|
a |
ƒ | |||||
|
b |
b |
c | ||||
|
h |
e | |||||
|
c | ||||||
|
f | ||||||
Deze figuur behoort tot de tweede oplosfing van het ji.nbsp;Fraagftuk, §. 703. Men heeftnbsp;de wijzer getallen in lettersnbsp;overgezet.
6^=\
f 11112
111121 11211nbsp;12111nbsp;21111
6® =
mill
Deze figuur behoort tot de eerfte oplosfing van het izFraog-ftuk, 706.
A 0005 C014nbsp;0023nbsp;0032nbsp;0041nbsp;B 0050
2 11
-4 ;
1130 «o
Deze figuur behoort tot de tweede oplosfing vannbsp;het 12. Vraagpuk , zienbsp;§• 70?. — De II en la figuren worden even als denbsp;S en 10 in letters overgezet.
3011
3020
3101
3110
3200
4001
4100
5000
= 1 (1=)
3“ = 2 (12)
33 = 1 (l^)
Som 4. 4^ = 1 (4:)
43 = 3 (X“2)
44 Z= I (i-^) Som 5.
5- = I Cs)
5-
2 (23)
5'^ = 4 (1^2)
C2 (15)
= lt;2 (24)
11 (30
3 (iH) 6 (123)
(2^3
Vervolg in de tweede k^'loin.
I (2^)
3 (12^)
4 CI^3)
6 0'‘2*)
6^ = 5 (142)
. 40 = l (l^)
2 C16)
(25)
(34)
{3 (i“5) ;z — ] 6 (124)nbsp;“Is Ci3“)nbsp;''S (2=^3)
C2CI
7“ =lt;( 2 (2
C2 C3'
W (iH) 74 =' 12 (1^23)nbsp;L 4 (123)
quot;s _f 5 (I'^S)
7 t 10 (i32®)
7« = 6 (1^2)
77 = 1 (lO
i'c»; 8. 8' = 1 (8)
|
83 = |
|
84 =
Vervolg.
4 (iquot;5) 12 (1^24)nbsp;6 (i^3“)
12 (ia=3)
I (24)
5 (i'^4) 20 (1^23)nbsp;,10 (1^2®)
iqi == I (10)
10^
lo-’
94
10* =
IQö
r 3 (i“8)
V nbsp;nbsp;nbsp;6 (127)
5 O 45)
3 (2*6)
3 (24-3
4 (1*7)
12 (1^26)
12 (12^5)
i24 (1234)
20 (1*25) 20 0*34)nbsp;30 (1 = 20)nbsp;30 (1^23^)nbsp;20 (1233)
1 (2O
6 nbsp;nbsp;nbsp;(1^5)
30 (1424) 15 (i'^SOnbsp;60 (1*2^3)
15 (1*2^)
|
9S ^ 5 (1^5)^ 20 (1*24)nbsp;10 (133-)nbsp;30 (l^2^3) | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
|
IO'°= I (l^°) |
= 8 (iquot;=i) = I (1^)quot;
6 (1^3) 15
2 (18) 2 (27)nbsp;2 (36)nbsp;.2 (45)
n'
11=
11=
II'
11=
117 =
Vervolg.
2 nbsp;nbsp;nbsp;(l.io)
I 2 (29!)
= {2 (38)
12 (47)
^2 (56)
¦3 (1^*9)
6 (128)
,6 (137)
6 (146)
*3 (15“)
(3 (2^7)
6 (245)
3 nbsp;nbsp;nbsp;(3^5)
3 nbsp;nbsp;nbsp;(34°)
4 (1*8)
12 (1^27) 12 (i=‘36)nbsp;I12 (i“45)
112 Oa®6)
04 (1235)
12 (124-)
Il2 (13=4)
4 nbsp;nbsp;nbsp;(2*5)
12 (2^34)
J (23*)
5 nbsp;nbsp;nbsp;(i'^?)
20 (isaó)
0° (1*35)
lo (134=^)
'30 0“2“5) )6o (1=234)
' ïo (1=33)
20 nbsp;nbsp;nbsp;(1234)
30 (12=3=)
_5 (243)
( 6 (1*6)
30 (1425)
' 30 0434)
60 (1322^^
60 (1=23o)
^ 6 (12*)^
7 (^) 42 (1*24)
21 nbsp;nbsp;nbsp;(1*3=)nbsp;105-(1^2=3)
35 (1^24)
C 8 (174) =lt;56 (023)nbsp;C56 0*23)
1Ï2 nbsp;nbsp;nbsp;9 (1*3)
L 36 0^2=)
lo (1^2)
11 =
'= 1 (1“)
12= ~i
123
12*
= 2 (l.ll)
2 (2.10)
(39)
2 (48)
2 nbsp;nbsp;nbsp;(57)
O (6-)
r 3 (i^io)
l 6 (129)
\ 6 (138) \ó(i47)
6 (156)
Js (2^8)
O (237)
16 (246)
3 nbsp;nbsp;nbsp;(25^^)
3 Cs'^ó)
6 (345)
1 (4*)
4 (1*9) 12 0=28)nbsp;12 0^37)nbsp;12 (1=46)nbsp;6 (1=5“)nbsp;12 (12=7)nbsp;I24 (1236)nbsp;24 (1245)
12 CI3^5)
12 (134=)
4 nbsp;nbsp;nbsp;(2*6)nbsp;12 (2^35)
6 (20“) 12 (23“4)nbsp;1 (3^)
20 0^27)
.20 0^36)
Vervolg.
C20 (1*45)
30 0^2 = 6) 60 0^235)nbsp;30 (1^24=)nbsp;30 O“3^4)nbsp;20 (12*5)nbsp;60 (12=34)nbsp;20 (1233)
1,10 (233“)
124
127 —j
128 =
6 (1*7)
30 (1426) 30 (1^35)nbsp;15 (i‘^4^)
60 (1^2=5) 120 (13.234)nbsp;20 (1*33)
60 0^234) 90 0“2=3==)nbsp;30 02'^3)
1 (2®)
7 nbsp;nbsp;nbsp;(i‘^6)
42 (1*25) 42 (1*34)nbsp;105 (Oa=4)nbsp;105 (1=^23=)nbsp;140 (13233)nbsp;21 (l®2*)
8 nbsp;nbsp;nbsp;(1^5)
56 0°24) 28 (03“)
1168 Cl®2=q) 70 Ci424)
C 9 (^**4) 12» =lt; 72 (O23)nbsp;^84 (023)
o—f 10 (O3) —145 0°2=)
*= II (l*°2)
12 =
12 =
I2”= I (l3=)
Uit deze voorbeelden van de ontwikkeling der herhalings-combinatiën 5 tot de gegevene fommen, zal men die tot de fommen 13, 14,nbsp;15, enz. kunnen daarftellen, en,nbsp;wanneer men dezelve eens naar be-hooren ontwikkeld heeft, tot zijnnbsp;bijzonder gebruik kunnen bewaren,nbsp;om dezelve in voorkomende gevallen te pas te brengen.
433
TWEEDE CURSUS.
XVII. BOE K.
Befchouwing van de meest .merkwaardige Beshfen.
ZES- EN- ZESTIGSTE LES.
Over de rekcnkunflige Reekfen van de tweede en voJ~ gende orden.
D.
5. 761. J_xe verklaring, welke wij, iii de XXXVIII. Les I. C. van de rekenkunftige Reekfen gegeven hebben, tot eenen gronddag aannemende , zal men zich gemakkelijk een denkbeeld vrai de rekenkundige Reekfen van de tweede en volgende orden kunnen vormen.nbsp;Onderdellen wij eenige getallen' /J, B, C, D, E, F, G, H, I, K,nbsp;L, enz. Wanneer wij dan den eerden term van den tweeden, dennbsp;tweeden van den derden term, enn in het algemeen eiken voorgaan-den term van zijnen oramiddelijk volgenden aftrekken, dan verkrijgennbsp;wij :
— .¦l B; —B-k-C; — C-fD; ~D E; —E F; — E-fG,- enz.
* nbsp;nbsp;nbsp;Wij noemen deze reeks de reeks der eerfle verfchillen. Behandeltnbsp;men deze reeks op dezelfde wijze als de gegevene, trekkende dennbsp;eerden term van den tweeden, enz. en in het algemeen eiken voor-gaanden term van zijnen oramiddelijk volgenden, dan verkrijgt men:
/l — zB C; B-zC-k-D; C —nH E; D — zE-\-F; E — 1 F G; enz.
* nbsp;nbsp;nbsp;Wij noemen deze reeks de reeks der tweede verfchillen. Dezenbsp;op dezelfde wijze als de voorgaande behandelende, verkrijgt men denbsp;reeks:
—sC-l-D,- —iJ-j-sC—sD-l-E,- — C-LsE —3^ Ei -D-f 3£_3F-|-G,- -E-f 3E-3G //; enz.
* nbsp;nbsp;nbsp;en dit noemen wij de reeh der derde verfchillen. Behandelt mennbsp;deze wederom op dezelfde wijze als de voorgaande, zal men denbsp;nieuwe reeks,
II. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;E enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A—
-ocr page 476-434
^_4^ 6C—4Z) £; 5—4C 6Z»—4£ F; C—4D 6E—4rF G; D—^E CF—^G H; enz.nbsp;verkrijgen, * en deze is de reeks der vierde verfchillen. Op dezelfdenbsp;wijze zal men de reeks dar vijfde verfchillen
—' nbsp;nbsp;nbsp;-|- 5-5 — IoC quot;1” ioE — 5E -f-Fy — 3 -j~ 5 G— ioZ) -fquot; ïoE
— SF G;enz.
als ook die der zesde en vólgende verfchillen verkrijgen.
§. 762. ft De gegevene grootheden A, B, C, D, enz. kunnen onder tweederlei omftandigheden voorkomen: 1° kunnen zij zoodanignbsp;gegeven zijn, dat gecne van derzelver volgende verfchillen gelijk worden: dit geval heeft onder anderen plaats, wanneer de getallen A,nbsp;B, C, eene meetkunftige reeks uitmaken (115'): 2° wanneer denbsp;tweede, derde of volgende verfchillen gelijk worden.
§. 763. * Bevinden zich de grootheden A, B, C, D, enz. in het laatfte geval; dan maken zij eene rekenkundige reeks van zekere orde uit.
I® * Zijn de eerde verfchillen gelijk; dan heeft men de gewone rekenkundige reeks van de XXXVIII Les, welke wij thans reken-kunftige reeks van de eerfie orde zullen noemen.
2“ * Zijn de tweede verfchillen gelijk; dan zijn de getallen A, B, C, enz. in eene rekenkunftige reeks van de tweede orde. Denbsp;vierkanten der natuurlijke getallen maken, zie §. 747, I. C. zulk eenenbsp;reeks uit.
3“ * Zijn de derde verfchillen gelijk; dan maken de getallen A, B, C, enz. eene rekenkunftige reeks van de derde orde. De cubeiinbsp;rier natuurlijke getallen zijn, zie §. 782, I. C. van dien aard.
4® * Zijn in het algemeen de verfchillen, (« een geheel getal zijnde) gelijk, dan heeft men eene rekenkunftige reeks van de orde. ff Met aantal der rekenkundige reekfen, is derhalve, met betrekking tot de verfchillende orden, oneindig groot.
§. 7Ö4. ff De wijze, waarop, uit de gegevene reeks, de reekfen der eerde, tweede en volgende verfchillen gemaakt worden, doet,nbsp;wanneer men dezelve met de ontwikkeling van de magten eener twee-
le-
(u5) De meetkunftige reeks a, ar, arz., arS, ör4, enz. op deze wijze behandeld, geeft de meetkunftige reeks:
^ G' — 1) , a(^r — l) r , a Qr — l) , « (r — rS , a (r —- l) r4 ett^. welker tweede verfchilien zijn:
/ nbsp;nbsp;nbsp;« Cf” i)a , a (j- — i)a r, a (r ~ i)z r*-, a(r— i)2. rS tnz.
-ocr page 477-435
ledige grootheid, (—door muitiplicatie, vergelijkt, zonder dat het eenig nader betoog behoeft, ons zien: dat de getallen coelRcien-ten van de termen der verfchillen de binomial coëfficiënten van denbsp;raagt zijn, welker exponent gelijk is aan het getal, dat den rangnbsp;dezer verfchillen nitdrukt. ft Men kan dan ftellen: dat de reeksnbsp;van de verfchillen beftaat uit de termen:
r - I nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
term , . nbsp;nbsp;nbsp;—(jn)D(jt')E—{n')F-\-enz.')
12 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;45'
term . . (5— nbsp;nbsp;nbsp;—(jt') Genz,')
en, de n‘te term van //, JB, C, enz. gelijk IV, en de volgende N^, iVj,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, enz. ftellende
nit term {N—(ji) N^-^{n) nbsp;nbsp;nbsp;—(n)N^ {n)N^—C'O^s - enz.)
(zie wegens de beteekeiiis der Binomial Coëfficiënten, §. 512, pag. 320.) Het teeken geldt voor eene evene, eii — voor eene on-evene waarde van n.
§• 7^S‘ tt Bi eene rekenkunftige reeks van de orde zijn de (« l)« verfchillen noodzakelijk gelijk nul. Want de «4e verfchillennbsp;van zulk eene reeks gelijk zijnde, moeten de volgende,' welke denbsp;(« 0'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijn, alle gelijk nul worden.
Cn i).lV, JV^-o
~i~B—(» i}C («-f ij)Z) — (^n i)£-j-enz. (» i)iVi
enz.
§. 757. tt Stelt men « achtervolgens gelijk 2, 3, 4, enz,; dan zal men hebben:
A— 2 15 C —o A—2,B -ir ZC— D=.onbsp;I A — 4B 6C—4D4-E=.o
A—55H-ioC—io/) 5£ — F~o A — 6 B IS F — 20 £} -f- IS E — 6 F -}-G”onbsp;enz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz,
436
§. 768. tt Deze vergelijkingen kan men aanmerken, niet lleclits als vergelijkingen, welke, in elke bijzondere orde van reeklen, de betrekking der eerfte termen bepalen: maar zij bepalen ook de betrekkingnbsp;van elke drie op elkander volgende termen in eene reeks van denbsp;eerfte orde; van vier op elkander volgende termen in eene reeksnbsp;van de tweede orde, enz,
§• 76p- tt Uit deze laatfte vergelijkingen volgt omniiddelijk
I. C — 'zB — A
^ s 3' nbsp;nbsp;nbsp;'— 4 ^ — (5 C. -p ^ B —- /I
5S 4. ^ /'’=5£—1004-loC —5 5 ,f
5. nbsp;nbsp;nbsp;G=6F—isE -{¦^oD—i5C-\-6B— A
cm. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
en hieruit blijkt’het: tt dst, in eene reeks van de eerfte orde, de twee eerfte termen A en B naar welgevallen kunnen gefteld worden, ennbsp;dat de derde term, volgens de vergelijking C—^B — A van dezenbsp;twee afhangt: dat, in eene reeks van de tweede orde, de drie eerfteiinbsp;naar welgevallen kunnen genomen worden, terwijl de vierde term, volgens de vergelijking D = 3 C — 3 5 4- // van deze drie afhangt,nbsp;enz., en dat eindelijk in het algemeen 4- i willekeurig genoniene,nbsp;Cpofuieve en negatieve geheele en gebrokene,) getallen voor de («4-Onbsp;ccrilc termen eeuer rekenkunftige reeks van de nCs orde zullen kunnen aangenomen worden, en dat de 4- 2}^ term, volgens de vergelijking :
123 nbsp;nbsp;nbsp;4
van dezelve zal afhangen, t i' ¦ Daar nii deze vergelijkingen niet flechts voor de eerfte termen der reeks: maar ook voor hetzelfdenbsp;aantal op elkander volgende rennen gelden, ziet men duidelijk: tt datnbsp;men, met behulp dezer vergelijkingen, eene reeks van dé ordenbsp;zal kunnen maken, indien men lleclits » -|- i willekeurige getallennbsp;voor de eerfte termen dezer reeks aanneemt.
§• 770. I. Voorbeeld. Stellen wij voor de twee eerfte termen van eene rekenkunftige reeks van do .eerfte orde: z/ =: 2; ü = 5;nbsp;dan is C~zB — /?~8; D~2C — üzrii; en men verkrijgtnbsp;alzoo de gewone rekenkunftige reeks: 2, 5, 8, n, 14, 17, enz.
§• 77i‘ 2, Voorbeeld. Nemen wij om eene reeks van de derde orue te maken, de eerfte - termen A — B — i-., C=6 ennbsp;D ~ — i \ dan is /i = 4Z) — 6C4-4/J—— 37;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
-ocr page 479-437
— 6Z) 4C—B——iip; en men zal, alzoo voortgaande, vinden; I, 1,6, — i, —37, — iip, —264, —489, enz. voor de termen eener reeks, welker derde verfchillen gelijk zijn.
§. 772. ff Eene rekenkuuftige reeks van de orde kan begrepen worden in alle hare termen door « i gegevens bepaald te zijn: voor deze gegevens kan men de K-j-i eerfte terrhen, of, in hetnbsp;algemeen, « -f i op elkander volgende termen nemen: maar die « -)-1nbsp;gegevens kunnen ook andere grootheden zijn, welke van » i termen der reeks afhangen; en dan komen hier in het bijzonder de eerftenbsp;term der reeks, benevens de eerfte termen van de eerfte, tweede ennbsp;volgende verfchillen, tot dien van het laatfté verfchil ingefloten, innbsp;aanmerking: deze maken met elkander («-f-i) gegevens, welke klaarblijkelijk van de (w i) eerfte termen der reeks afhangen. Het isnbsp;van belang, dat men uit de eerfte termen, zoo van de gegevene reeks,nbsp;als van de reekfèn der verfchillen, den term van eenen zekeren rangnbsp;onmiddelijk leere afleiJen.
§• 773. * Wij zuilen, om duidelijk te zijn, den eerften tenu der reeks door liet ranggetal o, den tweeden door het ranggetal i, enz.nbsp;aldus:
o» nbsp;nbsp;nbsp;3gt;
zf, B, C, D, E, enz,
uitdrukken, en dezelfde orde van telling ook voor de reekfen van de eerfte, tweede en volgende verfchillen in acht nemen: zulks is welnbsp;geheel willekeurig; doch de Lezer zal weldra bemerken, dat dezenbsp;keuze in de befehouwing het gemak bevordert.
§. 774. Nu zeggen wij: ff Wanneer van eene rekenktmftige reeks van eenige orde (j/f, B, C, D, £, enz.') de rang van den eerftennbsp;term A door mil wordt aangewezen, en de letters a, b, c, d, e,nbsp;enz, in derzelver rangorde, de eerfte termen van de reekfen der eer-fts, tweede, derde en volgende verfchillen uitdrukken, en de term,nbsp;(Jcr reeks A, B, enz.) welke volgens die telling de in rang is,nbsp;door quot;j wordt aangewezen, men alsdan hebben zal:
c enz.
1 nbsp;nbsp;nbsp;I •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
of, dat hetzelfde is:
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
Het betoog dezer ftelHng is zeer ligt. Want, indien men de vorming van de rijen der eerfte, tweede enz. verfchillen oplettend inziet,
Ee 3 nbsp;nbsp;nbsp;dan
-ocr page 480-438
cLm zal men terftond bemerken, dnt niet flechts de termen van de hoofdréeks; maar ook die dernbsp;eerde en volgende verfchillen door eene tegenge-ftelde bewerking: dat is, door optelling, gevonden worden. Men Helle namelijk, in de neven-flaande tafel, in de kolom o, de eerfte termen,
Zoo van de gegevene reeks, als van die der op elkander volgende verfchillen; in de kolom i denbsp;tweede; in kolom 2 de derde termen, enz. en telle in elke kolom, bij voorbeeld, in de eerlle, de-eerfte term bij de tweede; dan verkrijgt men/?nbsp;de tweede bij de derde; dan verkrijgt men è -j- e,nbsp;enz. Op deze wijze verkrijgt men de tweede kolom , welke de tweede termen, zoo van de gegevene reeks, als van de reekfen der verfchillen, bevat. Op dezelfde wijze, wordt, uit de tweedenbsp;kolom, de derde; uit de derde, de vierde, enz.nbsp;afgeleid, en men verkrijgt alzoo, in de eerfte rij,nbsp;de getallen:
^ ”l“4^”1quot;^? c/rt;.
welker eerfte, tweede, derde en volgende verfchillen, volgens §. 761, berekend wordende, 0, b, c, d, enz. zullen zijn; terwijl, op gelijke wijze, de eerfte, tweede en volgende verfchillen vannbsp;de tweede rij:
a, a b, a-\-zb-^c, nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.
b, c, d, enz. zijn zullen. Dit geldt ook voor de derde en volgende rijen van de tafel.
§. 775. Wanneer men op de wording van de getallen coelEcienten van de tennen dezer rijennbsp;nadenkt, dan ziet men: dat zij op dezelfde wijze,nbsp;als de Binomial coelEcienten, in de multiplicatienbsp;ontftaan, en dat zij de binomial coelEcienten zijn van de magt, welker exponent gelijk is aan het getal, dat den rang des terms uitdrukt.nbsp;En hieruit volgt dan: dat, in het algemeen, voor den term, wd-'®nbsp;rang p isj (^of eigenlijk voor den Qp -{¦ i)e term,) zal zijn:
§• 77^-
-ocr page 481-439
§. 77Ö. ft Eigenlijk —¦ en wij hebben zulks in den eerüen Curfus
reeks opgemerkt - beflast ’er in eene reeks geen eerfte tenn: de
eerfte term is die term, van waar men, voorwaards en achterwaards, de termen befchouwt: hij is in dit opzigt de oorfprong der telling,nbsp;welken men ergens, naar welgevallen, Hellen kan: van hier kunnen denbsp;termen der reeks
¦d, nbsp;nbsp;nbsp;A-\-%iZ-\-2ib-\-Cy enz,
achterwaards worden voortgezet, en dan zullen de rangen der achterwaards loopende termen, van A afterekenen, door de negatieve getallen — I, — 2, — 3, enz. worden uitgedrukt,
§• 777- ft Men zal nu gemakkelijk de termen der reeks achterwaards kunne» voortzetten, wanneer me» kan nagaan: hoe, in de tafel, eene voorgaande kolom uit de naast volgende gemaakt wordt.nbsp;Zulks gefchiedt nu aldus: men verkrijgt de eerfte term van kolom o,nbsp;namelijk A, wanneer men in kolom i neemt {Ab')—-f-c)nbsp;-b (c-k-d') —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- (é-j-ƒ}— enz.; want, daar, voor elke
rekenkunftige reeks, de verfchiilen van zekere rangorde eindelijk nul worden, zal deze uitdrukking noodzakelijk gelijk A zijn: op dezelfde wijze is de tweede term, in kolom o namelijk, gelijk aan Qa-k-b')nbsp;— (^ r) -f (c -j-1/) —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; e) enz., en de termen van eenige -
kolom worden uit die van de onmiddelijlc volgende, op dezelfde wijze, door beurtelings bij en aftellen, gevormd. Men zal dan voor dé termen van kolom — i, met behulp van kolom o, vinden.
A — a ~k^ b — c -k- d —¦ enz, a — b -k- c — d -k- e — enz.nbsp;en ui: deze, voor kolom — 2, de termen :
A — z a -k- nbsp;nbsp;nbsp;— 4c-1-5^ — enz.
a — nbsp;nbsp;nbsp;— \d-\- %e — enz.
hieruit wederom, voor kolom — 3, de termen:
A~z,a-\-(gt;h-—ioc-kr\’^d—enz. a — 3^-f-6e — ioJ-j-i5e—enz.
§. 778. Het is niet noodig deze berekening verder voorttezetten: het loopt in het oog; dat de coëfficiënten der termen de binomialnbsp;coëfficiënten der negatieve magten zijn, behoorende in elke kolom totnbsp;eene magt, welke gelijk is aan den index van die kolom, en het blijktnbsp;derhalve: dat de uitdrukking
1234 y~A-k- (/)) a -f (7».) h -f {p) c -k- (/’} enz.
zoowel voor de achterwaards loopende termen, als voor de voor-
E e 4. nbsp;nbsp;nbsp;waards
-ocr page 482-440
wafircls gaande, algemeen is: zoodnt, wanneer de achterwaards loopeii-de' termen niet negatief, maar pofitief genomen worden, de term, welke achterwaards de qde in rang is, door
I. 3 nbsp;nbsp;nbsp;1.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
zal worden voorgefteld.
§. 779. Laat ons, óm den aart dezer uitdrukking, (^waardoor men altijd de waarde van eenigen term kan leeren kennen, zonder denbsp;voorgaande te berekenen,) toctelichten, ftelien: dat de vier eerfte termen 1, 1, 6, — I, van eenc reeks van de derdenbsp;orde gegeven zij, (zie §. 771) ? lt;^^0 berdteuenbsp;men, (zie nevenftaande tafeltje,) de eerfte, tweedenbsp;en derde verfchillen; tvij hebben dan: A—\,a—o,nbsp;h — S óii c — — 17. Nu is de term, die -f- i tot index heeft,nbsp;omdat p — 1 is, A -^p a enz. — A-{-a~i -|-o~i; de term,nbsp;die tot index -j- 2 heeft, A 2 a -gt;r b — 1 o 5— ^'1 de termnbsp; 3 gelijk A 2)^-rZb c—i-'r 0 3 x 5 — 17 = — i; denbsp;term • • 4 gelijk ^-j-4(? 6/; 4c—li'o óxs — 4X 17:=:
¦— 37; enz, even zoo als boven gevonden is. Wil men de term — * vinden, dan heeft men A—a b — 6—1-4.5-1-17=23; de termnbsp;— 2 is gelijk A — 2^2-4 3^ — 46=1-43 X 5 4 x 17 = ^ ’nbsp;de term — 3 is gelijk yl — 3«-p6^ — 106=1 -f.30-4201;
cnz. l)e v'oor- en achterwaards loopendenbsp;termen, maken nn, innbsp;rangorde geplaatst, ge-lijk uit het nevenftaandc tafeltje blijkt, eene onafgebrokene reeks,nbsp;welker derde verfchillen gelijk zijn. Indien men den 20«'' term voor-waards, dat is den term, tot den Index 19, wilde berekenen, zou
ö, —1,-37 5, —7, —3önbsp;5, —12, —29
¦17,-
i.
¦17, —17, —17
deze gelijk A 19 « -4 nbsp;nbsp;nbsp;---i
, 19. 18. 17 nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
~—~c — — 15017 bevon
den worden. Neemt men 201, S4, 23 en i, voor de vier eerde termen der reeks; dan zal A = 201, a ~ — 117, b ~ 56 ennbsp;6=— 17 zijn, en men zal, door dezelfde formulen, de volgendenbsp;termen vinden; want deze wet bellaflt overal, in alle de deelen dernbsp;reeks, op dezelfde wijze.
§. 73o. ff Wij hebben tot hiertoe, den index f) in de vergelijking
I nbsp;nbsp;nbsp;snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
: A •Vi^p') a (/gt;) b 4- (/;) 6 -4 (p) d enz
-ocr page 483-441
ais een geheel getal aangeraerkt: maar men kan ’er ook een gebroken Voor nemen, en dan zal deze vergelijking kunnen gebruikt worden,nbsp;otn tusfchen de termen van eene rekenkunftige reeks van eenige ordenbsp;Zoo veie termen als men goedvindt intelasfchen, welke ingelaschte ter-ilten, met de overige termen dezer reeks, volgens dezelfde wet, verbonden zijn. * Men noemt deze bewerking interpolatie. Het tus-fehen in plaatfen van een zeker getal midden-evenredigen, tusfchennbsp;de termen eener reken- of meetkundige reeks, in §. 828 en §. 842,nbsp;I. C. geleerd, is gevolgelijk zulk eene interpolatie, ft 1'i‘dicn wijnbsp;den index p gelijk aan ha gebroken q : r Jiellen; dan zal de tem,nbsp;welke het gebroken q\r tot index heeft, door
^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
J c-h { d
' \ r y \ f ' ^ nbsp;nbsp;nbsp;\ r ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r y
2r)
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
y — /JJhl ~ ]at[ ~ nbsp;nbsp;nbsp;— leTl -=-^d enz
lt;f, dat hetzelfde is, door
y zzz A -f*
c enz.
‘I
r. 2. r nbsp;nbsp;nbsp;r. 2 r. 3 r
worden uitgedrukt.
§. 781. Nemen wij: dat tusfchen elk van de termen tier reeks r, I, 6, —I, —27, — II9) van §. 771 en 77P,.twee termen zul-len ingelast worden: dan is, zie §. jjlt;), A-i-, a=o-, h=:^ ennbsp;f =:— 17. Vermits iiu de term A nul tot index heeft, zullen denbsp;termen moeten berekend worden, welke |,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f,
enz. tot indices hebben. Men Helle dan: q:r=i;3i dan heeft
r
men; y — A quot;T
Ib.
de eerde der twee ter
men, welke tuslchen de twee eerde termen i en i vallen. Stelt men u : r—2:3; dan zal men vinden; y — Ziy^a — rb ^fc — — gjnbsp;voor den tweeden der termen, welke tusfchen de twee eerde termennbsp;I en I vallen: op deze wijze vooregaande, zal men vinden:
U —VI, —Vi^ -fU -f 2», -f4S. ^gt; 53fgt; 3!i,—I, enz. welker derde verfchillen alle gelijk — j ‘ of — \ j zijn.
§. 782. ft Gelijk derhalve, in eene reken- of j'neetkunflige reeks, een gelijk getal termen , tusfchen elke twee geïntetpoleerd zijnde, dezenbsp;geïnterpoleerde termen met de termen, tusfchen welke zij vallen, eenenbsp;reeks van dezelfde natuur epleveren, zoo ook zullen, wanneer 'er innbsp;eene rekenkunftige reeks van eenige orde, hetzelfde getal termen,nbsp;tusfchen elke twee termen geïnterpoleerd worden, deze geïnterpoleerdenbsp;reeks eene reeks van dezelfde orde zijn; al hetwelk men ook gemak-keiijk op eene algcineene wijze zou kunnen betoógen. Wij zullen,
E e 5 nbsp;nbsp;nbsp;na-
-ocr page 484-442
nadat wij in deze en in de twee volgende Lesfen de eigenfchappen der reekfen zullen verklaard hebben, op het nuttig gebruik van de interpolatie dezer reekfen terug komen.
§. 783. Vraagstuk. De fom van een bepaald aantal termen van eene rekenkunftlge reeks van zekere orde te vinden P
Stellen wij, als böven, voor de rekenkunftlge reeks van eenige orde de letters Ji, B, C, D, E, F, enz.: noemen wij de fom vannbsp;den eerften term; S^. de fom van de twee eerfte termen, enz.; zoo-dat = S^ = J B; S^zzJ B C; S4=J B C D;nbsp;en ¦y„ gelijk de fom van n termen zij; dan is het klaar: dat, wanneernbsp;men de reeks:
.S'j , .S'I, , .S'j , *S 9 nbsp;nbsp;nbsp;9 *^7 9 enz.
als eene' rekenkundige reeks behandelt, en den eerften terra van den tweeden ; den tweeden van den derden aftrekt, enz. men alsdannbsp;verkrijgen zal:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— S,^—A-)rB—/1—B;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
— (^A'\rB'y~C, enz.
Het blijkt hieruit: dat men de reeks, welke de fommen van ééncn term, van twee, van drie termen, enz. voorftelt, moet aanmerken, alsnbsp;eene rckenkunftige reeks, welke de gegevene reeks tot eerfte verfchil-len heeft. * Wij noemen deze reeks de fommcrende reeks, de reeksnbsp;der fommen; |t de exponent van hare orde is één meer dan de exponent van de orde der reeks, welker fom bepaald wordt. Wij hebben derhalve, wanneer wij den term, welke in de reeks der fommennbsp;den term jquot;! voorgaat, .S'o noemen:
fommerende reeks 9 'Si 9 'S'2 9 .^3 , nbsp;nbsp;nbsp;. enz,
reeks der eerfte verfch, . . A, B, C, D... enz. Nq
Laten nu de eerfte terra der reeks A, B,,C, D, enz. welker fom men vinden moet, benevens de eerfte termen van de reekfen van der-zelver eerfte, tweede, derde en volgende verfchillen, in rangorde,nbsp;door A, a, b, c, d, enz. worden uitgedrukt; dan is, volgens hetnbsp;betoogde in §, 774,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
, nbsp;nbsp;nbsp;. n(n—O « C« — 00^ — 2),
S,i = So » . ^ -f. —--- a rf -2--—--h 4. enz.
I. 2 nbsp;nbsp;nbsp;‘nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
of, de aangenomene notatie der binomial coëfficiënten gebruikende, ïnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2345
Sn=.Sa (n) A (») a (n) b (») c 4- (n) d enz.
In deze uitdrukking is .S',, de fom van » termen van de reeks B, C, enz.: deze fom zal derhalve bekend zijn, wanneer .S'o ksnnbsp;bepaald worden.
Het
-ocr page 485-443
Het loopt terflond in het oog: dat S^ — o is; want de reeks d'o, S^, tf«2^eefc de eigenfchap, dat, elke voorgaande term van dennbsp;Volgenden afgetrokken zijnde, het verfchil den overëénkomftigen termnbsp;van de reeks A, B, enz. geeft; gevolgelijk is Lyi—So~A, ofnbsp;—A; maar is gelijk A; derhalve v^o = o: de Tom vannbsp;n termen van de reeks A, B, C, D, enz., vr.n en met den eerftennbsp;term A medegerekend, wordt derhalve uitgedrukt door:
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
§. 784. ft Het aantal van de termen dezer uitdrukking hangt af van het orde getal der reeks, en is altijd één meer dan dit getal;nbsp;want ’er zijn even zoo vele reeklen van verfchillen, als éénheden innbsp;den wijzer van den rang.
§. 785. Door de gevondene formule kan men de fom alle re-keukuullige reekfen vinden.
§. 786. I. Voorbeeld. De fom van n termen van de reeks p,
9 j P 2 lt;7, enz. te vinden ?
Hier is A’zip en nbsp;nbsp;nbsp;h’fz.o^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. derhalve is ZZ « igt;
» (n — ¦) ? ,
hetgeen met . §.824, I. C. overéénkomt.
§. 787. 2. Voorbeeld. De fom van n termen van de reeks der tweede maften van de getallennbsp;f* 1,2,3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vinden ?
* ! nbsp;nbsp;nbsp;Wanneer men, gelijk in het nevenftaande tafeltje, de reekfen der
eerlle en tweede verfchillen bepaalt; dan is.lt;f”i; «~5i bzte.z-, runo; d~o-, enz. derhalve:
9j lö, 25 5 5 7, 9nbsp;2,2,2
» C® ~ r) C”~”
' C” ~ i)
ma « X I •
X 3'
deze termen ontwikkelende, vindt men:
s„ r: j B (»-h i) (2 K 1)
Stel B — 10; dan is i -j- 4 9 ld -fquot; ^5 36 49 64 81 nbsp;nbsp;nbsp;100~
J X 10 X II X 21—385.
I, 8, 27, 64, 125, 216 7, 19, 37, 61, 91nbsp;12, 18, 24, ïonbsp;6, 6, ()
§. 788. 3. Voorbeeld. De Jom van n termen van de derde magten der natuurlijke getallen te vinden?
Hier is .4—1, 0 — 7, hZZlt, cZZ6, d — o, enz.; derhalv^ 1-3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
«„=:(«) X i («) X 7 C«) X i2 (lt;0 6 = |b“C« 0^ ff Het is opmerkelijk, dat deze fom juist het vierkant v:m het trigonaal getal is, welks wortel of zijde gelijk is aan het getal termen dernbsp;gefommeerde reeks.
§. 78^. tt Men zal, op dezelfde wijze, de fommen van de hoo-
ge-
-ocr page 486-444 nbsp;nbsp;nbsp;WISKUNDIGE LESSEN.
gere magten der natuurlijke getallen vinden: doch, wij moeten in de LJCVIII Les deze ftof uit een ander oogpunt befchouwen. Wij zaUnbsp;len nog kortelijk eenige eigenfchappen der rekenkunftige reekfen overwegen.
§• 79°- tt Indien J, B, C, D, enz. P, R, eene reeks van de pth orde is, uit n termen beftaande; dan zal de fom van de
reeks n A Qn — i) 5 (« — 2) C-f- enz. -f 3 Z’ 2 nbsp;nbsp;nbsp;Qwelke
2 nbsp;nbsp;nbsp;3
insgelijks uit n termen beftaatjj gelijk zijn aan (»
4 nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.-5
-!-(quot; I) ^ (® l) e enz.; zijnde, als boven, a, b, c, enz. de eerjle termen van de reekfeti der eerfte, en volgende vcrfchillen.nbsp;Wij laten het betoog aan den Lezer over,
7Pi. tt Indien A, B, C, D, enz. eene rekenkunflige reeks van de w’c orde is, welker nde verfchillen flandvastig en gelijk v zijn;nbsp;dan zal de reeks A, 2, B, 2 C, 4 B, 5 £, enz. eene reeks van denbsp;(_n ije orde zijn, welkernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jlandvastige vcrfchillen gelijk aan
• 1} V zullen, zijn.
Omdat de verfchillen van de reeks B, C, D, flandvastig en gelijk v zijn, zal men, volgens §. 764 hebben.
±A 00 B-j^(njC (nj £) («)£ enz. = v
^ -B -L (jij C C'0 B Qnj E ^ Qnj F enz. — v..- (.cd) maar nu zijn denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;verfchillen gelijk nul, en wij hebben der
halve :
_ nbsp;nbsp;nbsp;I _ 2 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ 4
A '(« 1)5-f 0* 0(n-\-i)D (n^i)E-\-enz.~o (/3) Indien wij nu de vergelijking (z) metnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vermenigvuldigen, en
bij het produft de vergelijking (|3) optellen, dan zullen wij verkrijgen :
-z^ ^ C« i) (« 0 J --S-f 10* 0 - w c® o I • c |(» 0-(») C« 0}nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{C» O'Ó04-(« O ƒ
-j- enz. — (K-j-1) ..............(7)
Nu is, volgens de eigenfchappen van de binomial coeiEcienten, zie §• 512-
n(n—ï) (n — 2) ... (n—p 4quot; O nbsp;nbsp;nbsp;s
= nbsp;nbsp;nbsp;^-£---d en (» 0= • • •
(» i) (n) (tl -^)(”_— nbsp;nbsp;nbsp;• (tt—P O
I- 2. sT 4......P I
der-
-ocr page 487-445
:Cp 0‘(quot; 0
P «4-1 nbsp;nbsp;nbsp;P
(«-f O: Ck) =^qr7 nbsp;nbsp;nbsp;(« O • («):
en n:enende bij opvolging / ” o, i, 2, enz^ dnii zal:
o nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12
C« -f 1) («) = ?2 1 = I. (« o; (« o • C'0=2(?2 -{-1) 5
a nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
(«4-i) («) = 3 (22-1-1); (»-{-!)(«)=: 4(22-1-1); zijn. Rlcn
fubftituere dan deze waarden in de vergelijking (y); dan zal men vinden:
_ nbsp;nbsp;nbsp;I _ nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_
4-^ C» 4-1) • =-S (22-|-1) 3 Cj4-(22-f-1) 4 Z)-j-e22s. ~ (22-1-1) V
Op dezelfde wijze zal men betoogen: dat is
_ nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ 2 nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
-f-S (22-|-i).2C-f(22-f-i)3Z} (?2-l-i)4£-t-«2-=:(/2-|-i)v ¦ nbsp;nbsp;nbsp;.
_ nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ 2 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
C (« 4-1) • 2-D 4-(22-f-1) 3 £ (« 4-1) 4 F-j- «23. ~ (22-4-1) V
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
gevolgelijk is, vergelijk §. 763, zB, 3 C, 4D, enz. eene reeks van de (224quot;i)® orde, welker (n iy verfchillcn ftandvastig en gelijknbsp;(«4-1 ).v zijn.
§. 792. tt Indkn mm de termen der reeks J, B, C, enz. van de ndc orde met de reeks a, 22?, 32Z, 4«, enz. vermenigvuldigt,nbsp;dan zullen, (zie §. 761 en 791.) de produilen aA, 2a B, 3aC,nbsp;t^aD, enz. de termen eener reeks van de («4quot;i)® orde zijn, wel^nbsp;ker Jlandvastige (22 4quot; l)« verfchil (n ljav zal zijn, indien hetnbsp;ftandvastige verfchil van A, B, C, enz. gelijk v is.
§. 793. tt Indien men dezelfde reeks' A, B, C, D, enz. van de nde orde, en welker ftandvastige verfchil gelijk v is, met de reeksnbsp;a, a-Vb, a-^Ss-b, ay^b, enz. vermenigvuldigt, dan maken denbsp;producten a A, (a -y bj B , (a-^ ihjC, (ay ^hjD, enz. eenenbsp;reeks van de (224-i)« orde, welker ftandvastige verfchil, volgensnbsp;§.791 en 792, gelijk (n.^ij b v zal zijn.
§. 794. tl’ He ndc niagten der natuurlijke getallen maken eene rekeukunftige reeks uit, welker ndt verfchillen ftandvastig, cn gelijknbsp;22 X (22 — i) (n — 2) enz. 3, 2, i, zijn.
De reeks i, 2, 3, 4, enz. is eene reeks van de eerde orde, welker ftandvastige eerfte verfcliillen gelijk i zijn: derzelver termen ver-meiiigvuldige men met i, 2, 3» enz.j dan zal, volgens §. 791,
I X I, 2 X 2, 3 X 3, enz. of 1, 4, 9, eene reeks van de tweede
orde
44Ö
orde zijn, welker tweede verfchillen, (omdat hier k zr i is,) gelijk 2gt; X I zullen zijn.
De termen dezer laatfte vermenigvnldige men wederom met 1,2, 3, enz.; dan zullen i, 2^, 3^, 4^, enz. de termen eener reeks vannbsp;de derde orde zijn, welker derde verfchillen gelijk 3X2X1 zijnnbsp;zullen.
Op deze wijze voortgaande, Zal de waarheid van het gefielde blijken.
§. 7P5- tt De geheele pofitieve n^e magten van de termen eener rekenkunfiige reeks van de eerfie orde
enz, maken eene rekenktmftige reeks van de orde, welker tide verfchillen gelijk n(ji— 1) (f2—2) enz. 3, 2, i X zijn.
Want, laat het ftandvastige verfchil van/gt;«, (/' '?)”, enz. gelijk v zijn; dan is, volgens §. 793, py.p», (/'-f^') (? ?)quot;;nbsp;enz. eene rekenkunftige reeks van de (« !)« orde, welker fland-vastige nde verfchil gelijk (^n \jqv is. Nu is p, p-Vq, p tzq,nbsp;eene reeks van de eerile orde, welker ftandvastige verfchil gelijk qnbsp;is; vermenigvuldigt men de termen dezer reeks met/gt;, p-{-q, / 2(7,nbsp;enz.; dan is p^, (/'-f-?)^, Qp tiqj^, enz. eene reeks van de tweede orde, welker verfchil, (omdat hiernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e.n. v~q is,) gelijk
2 X I X zal zijn: men vermenigvuldige deze reeks wederom met Pi P-k-q, p-f-stq, enz.; dan zal , (/' ?)^, enz. eene reeks vannbsp;de derde orde zijn, welker ftandvastige verfchil, (omdat hier tlZZZnbsp;cn v=:2 X I X q^ is,) gelijk 3 x 2 X i X zal zijn, enz.
§. 796. ft Wanneer men in eene uitdrukking van den vorm a xp -k- b X‘7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c xr -{- dxs -{• enz. p
de coëfficiënten a, hi c, r/, enz. als ftandvastig, en x als eene veranderlijke grootheid aanmerkt, en voorts p'po q; q'por; r'jos; enz. fielt; dan zullen, wanneer men, in plaats van de veranderlijke grootheid X, fuccesfievelijk de getallen «, a l3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, «-fs/ï, enz.
in eene rekenkunjlige reeks fielt, de verfchillende waarden, welke deze uitdrukking daardoor verkrijgt, eene rekenkunjlige reeks van de p’i‘nbsp;orde zijn, welker fiandvastig verfchil gelijk ƒgt; (/gt;—OC/* —
3, 2, I X a fp zal zijn.
Volgens §. 795, zullen de waardijen, welke de term a xp door de fubllitutie van «, « l3, enz. verkrijgt, eene rekenkundige reeks van denbsp;orde uitmaken, welker ftandvastig verfchil p (/»—i) enz. 3,nbsp;i Xafip is: dezelfde fubftitutie in den terra bx7 zal eene reeks v-m denbsp;qde orde, in den den term cx^ sene reeks van de orde
enz,,
-ocr page 489-447
enz., en de reeks, welke door de fubftitude van «, «-f/3, enz. in axpj^ h\x9 -f enz. ontftaat, zal gelijk zijn aan de fotn van alle dezenbsp;reekfen; maar, nu is ƒgt; gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. derhalve zal, vol
gens §. 793, de reeks, welke uk axp~^bx'i enz. ontftaat, van dezelfde orde zijn, als de reeks, welke uit axp geboren wordt, ennbsp;Zal met dezelve hetzelfde llandvastige^4» verfchil gelijk(p.—nbsp;enz. 3. 2. i. a ^p hebben.
§. 797. ff Is, iii dezelfde onderftelling, « — i en /3rr i; dan zal h2t ftandvastige verfchil gelijk p (p—i) enz. 3. 2, i. zijn. Dezenbsp;cigenfchnp is, in de oplosfing der vergelijkingen, van veel belang.
ZEVEN- EN- zestigste LES.
Over de viiederkeerige Reekfen.
§. 798. * Wanneer men, zie §. 70-5. 73, een Helkundig gebroken •--^ nbsp;nbsp;nbsp;— in eene onbepaalde voortloopende reeks i x
I nbsp;nbsp;nbsp;-f «a
— 3-*^ 3 nbsp;nbsp;nbsp;— X* — -f ar® _|_ e)2z. ontwikkelt, wordt zulk
eene reeks wede'rkeerige reeks genoemd, en heeft, gelijk wij reeds gezien hebben, de eigenfehap: dat, wanneer men even zoo vele op elkander volgende termen, als 'er termen in den noetner der voortbrengende breuk voorkomen, met die zelfde termen des noemers, in eene omgekeerde orde, vermenigvuldigt, de font dezer producten gelijk nul is. * De breuk uit welke de reeks ontwikkeld wordt, noemt men denbsp;voortbrengende breuk. * De termen van haar’ noemer, van .achter naarnbsp;voren genomen, doch, waarvan men doorgaans alleen de coëfficiënten neemt, wordt de betrekkings fchaal van de termen der reeks genoemd, * Men onderfcheidt de wederkeerige reekfen, in reekfen vannbsp;de eerfte, tweede, derde en volgende orde; zijnde het orde getal édnnbsp;minder dan het aantal termen der betrekkings fchaal, in welke altijdnbsp;de ontbrekende termen, waaraan men nnl tot coefficient geeft, moeten inedegereketid worden.
§• 799. Wanneer de voortbrengende breuk gegeven is, wordt de wederkeerige reeks, die van dezelve afhangt, het eenvoudigst doornbsp;dee.ing gevonden, en het gemakkelijkt naar den regel, welke wij innbsp;§. 71 reeds gegeven hebben: maar, wanneer de reeks zelve gegevennbsp;is, en men de betrekkings fchaal van derzelver termen kent, is hetnbsp;van zeer veel aangelegenheid, dat men de breuk wete te beprJen, waaruit deze reeks ontftaat. Wij zullen ons hier eerst mede bezig houden.
§. 800.
-ocr page 490-448
§. 8oo. I. Vraagstuk. De feeks P 0^z-\-Rz^ 525 7’3‘^ U -{¦ enz. gegeven zijnde, benevens de betrekkiiigs foliaal vannbsp;derzelver termen, -\-d, e, i, -\-a, i, de breuk te vinden, waaruit dezelve geboren wordt?
Da noemer der voortbrengende breuk is, wegens de gegevene fchaal,
1 a z b nbsp;nbsp;nbsp;c z'^ -k- d z‘* •. de teller zal dan den vorm A -\-Bz
'Cs^ -k-Dz^ moeten hebben, en dan zal:
zijn. .Veimenigvuldigen wij nu het quotient met den deeler, dan zal men, daar dit producfl gelijk aan het deeltal moet zijn, de vergelijkingen van het nevenftaande tafeltje verkrijgen.
CZZR'k-ad-^'!’ P
nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J’
o 'zzi T “1“ ö s quot;4* ^ R nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
......-\-dP
§. 'dol. tt Uit deze vergelijkingen blijkt het: dat de coëfficiënten van de termennbsp;des tellers van de vier eerde termen dernbsp;reeks afhangen, zoodat men door die termen, naar aanwijzing der vergelijkingen,nbsp;den teller der voortbrengende breuk vinden zal.
§. 8o2. Wanneer de betrekkings fchaal, of de noemer der voort, brengende breuk, algemeen gegeven ware i -i-az-i~bz^-{-ez^ -f-enz,, dan zou men nog foortgelijke vergelijkingen verkrijgen, en,nbsp;wanneer men deze op eene algemeene wijze befchouwt, dan zalnbsp;het blijken: tf dat, in eene wederkeerige reeks van de eerfie orde,nbsp;de teller der voortbrengende breuk van den eerden terra P alleennbsp;afhangt: dft voorts die teller in eene reeks vnn de tweede orde vannbsp;de twee eerde termen, en in eene reeks van de lAe orde van de »nbsp;eerde termen afhangt.
§. 803. tt Wanneer men dan eene wederkeerige reeks van de nJ‘ orde, volgens eene fchaal, welke uit n1 termen bedaan moet,nbsp;wil condruereu, zal men de « eerde termen der reeks naar welgevallen kunnen dellen, en de teller der voo''tbrengende breuk zal, met'nbsp;behulp der bovendaande formuleii, bepaald worden.
§. 804. V^ooRBEELD. Eene wederkeerige reeks, benevens de breuk, waaruit hij ontftaat te vinden, onder die bepaling, dat de coefficientnbsp;van eiken term gelijk zij aan de fom van de quotiënten der tweenbsp;Voorgaande termen?
Men kan de twee eerfte termen van zulk eene breuk naar welgevallen aannemen: Hellen wij derhMve voor het begin i a:; dan volgens de gegévene wet, de reeks i v-l-2 A-a-j-3 a-3-4.5 a,-4-f.8 I3-vö
-ocr page 491-
449
21 .t7-^34^-8.• het loopt in het oog, dat de betrekkings Tchaa- I, nbsp;nbsp;nbsp;^ — I ^ of wel — I, — I, I is ; men zal derhalve voor den
noemer der voortbrengende breuk kunnen ftcllen: i — a: — *2. Men heeft derhalve (zie bovenftaande vergelijkingen, in welke i:~o en Z)z:onbsp;moeten genomen worden,) rtlzi — tl —ijnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Q^^i; men leeft
derhalve ^ — Pzzi', £ — Q^-{-aP'z:i—iXiilZlo, en hieruit blijkt: dat
de gegevene reeks uit het gebroken -ï--ontftaat.
I -X-.ï2
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
I
-S—2,—(p-\-i')p
Énz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
en hier door zal de breuk, uit welke de gegevene reeks ontflaat, békend worden.
De coëfficiënten dezer reeks züa eene Rekcnkimftige reeks van de eerfte orde. Wij heiden derhalve: igt; —2£ )!=;o, en de noemer isnbsp;• — 2a: *2 of (i — ar)2. Voorts is Pzzi, lt;2—2 en ü —35 i ennbsp;,123
(” 1) —2; (» i) = i5 C»'4'i)~b; en eindelijk nbsp;nbsp;nbsp;—
— 2^ — 2 — 2X1 — 0, en de voortbrengende breuk is i:(i —•r)2, zoo ais men ook door dadelijke deeiing vinden zal.
n. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;Ffnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De
-ocr page 492-450
De coeflicienten zijn hier nbsp;nbsp;nbsp;rekenkunflige reeks van de tweede
orde, (ïie §. 787.) nbsp;nbsp;nbsp;derhalve: p _ 32 3 Ji _S—i3 X 4
I nbsp;nbsp;nbsp;enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
3X9 —i6'-o; n — n iczs; (» i)=:3; («4-0 = 3; («4-0 — 1; enz.: P I; 0 = 4» ^ — 9i en S in 16. Derhalve .eiZZP — l ;nbsp;-S = fi, —3^ = 4 —3=1; en C~ü —3a4-3P = 9—i-4-3 = °: de ge-
I nbsp;nbsp;nbsp;.f
gevene reeks ontftaat derhalve uit de breuk ^^^ ; zoo als ook door dadelijke dealing blijken zal.
§. 808. 3. Voorbeeld. Gegevtn zijnde de wederkecrende reeks j3 0 3 ar 4quot; 3^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4“4^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;i* enz.: men vraagt ah boven ?
De coëfficiënten maken hier eene reeks van de derde orde, en hier is P~i-, Q=8; R—^7-, 5 = 64; T—125; « = 3; «4-1=4; derhalve is ^r:P=:i; £ = £—4^ = 8 —4:=:4; C = a —413,4-6^ = 27 —nbsp;32-|-ó~i; D S — e^/l^óQ,—4PEE64—108-I-48 — 4 = 0; en denbsp;breuk, welke deze reeks voortbrengt, is (i 4-4-v4“-v^) : (i —
§. 809. Men zal op gelijke wijze vinden: dat
14 ^ o4 ,r»r 4- 3'*' nbsp;nbsp;nbsp;-j* 4“’'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- tttz
I 4- 11 af 4- 11 -f .V*
(i—-v)s
I 4-2Öa;4-6óx“-f-26x*4-dt'^ (i—Jf)d
en zoo voorts voor de volgende magten.
§, 810. Neemt men, in alle deze reekfen, x negatief; dan verkrijgt men dezelfde reekfen, met afvvisfelende teekens, welke, wegens harenbsp;zonderlinge eigenfehappen, merkwaardig zijn.
§. 8n. 2. Vraagstuk. De fo:n van een bepaald aantal termen eener wederkeerige reeks te vinden?
Indien men de wijze nagaat, waarop eene wederkeerende reeks uit hare voortbrengende breuk, door dadelijke divifie, ontftaat; dan blijkt het:nbsp;dat de voortbrengende breuk gelijk is aan de fom van de reeds ontwikkelde termen, opgeteld bij het quotient van het iaatfte overfchotder divifie,nbsp;gedeeld door den noemer der voortbrengende breuk. Indien derhalve
—-—P -{-Ox-{-Rx^ 4r enz. -f- IVx/‘ -f- /V'ac»-h'i
i-\-ax-\~lgt;.x~-^-cx-^
-|- nbsp;nbsp;nbsp;x”'4-'2. 4“ N'quot; xo-k'Si -j- e}tz.
is, en men de deeling tot den term Nxn heeft voortgezet, dan zal men een overfcliot hebben, dat van den vormnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4quot;/3x»4'-4quot;
yx«4r8 zal zijn, en nu is klaarblijkelijk
:P Q.^
(ü) Het
^ -j- j. 4-Cx-j) — (.*x«4-' 4-,3x«4-2-j-yx»4-3) _
i-\-ax-\-bx^ 4-cx^ /ix®' 4- j'xS -\- l x* quot;iquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4* fVx'''
-ocr page 493-45Ï
Het komt ’er den nüeen meer op aan, om de coëfficiënten (3 en y, te bepalen? dan zulks is zeer gemakkelijk; want het is klaar: datnbsp;de volgende termennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;door de betrek-
kings fchaal van de termen der reeks gevonden, en diensvolgens als bekend kunnen aangeinerkt worden: nu ontdaan deze termen, v/a.nneernbsp;men de rest der deeling ax» i -\-l3x’‘-\~2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;yx»-j-3, verder door i
ax-]-lgt;x^ -j-cx^ deelt, en men heeft derhalve, volgens §. 800, a = IV'-, 13 = Nquot; cclv' en y — N'quot; «iV''' /3 Ngt;nbsp;en nu is alles bekend, zoodat de fom van (ji i) termen door denbsp;'.ergelijking (12) zal gevonden worden. De leerling zal de toepas-fing gemakkelijlc maken kunnen.
§. 812. 3. Vraagstuk. Dsn algemeenen term van eene wederkeert ge reeks, die uit eene gegevene breuk ontgaat, te vinden?
Wanneer de noemer van het gebroken in eerfte magts faftoren ont-leedbaar is, dan kan de'voortbrengende breuk, met behulp der onbepaalde coëfficiënten, naar het voorfchrift van §. 568, in breuken van den vorm P: (i—pz') ontleed, en de reeks verdeeld worden innbsp;even zoo vele meetkunstige reekfen, ais ’er éénheden in de uiagt vannbsp;den noemer der voortbrengende breuk voorkomen. Ouderftellen wij:
dat de breuk
~ in de breuken
-pz’ I
I—az b;
en
jontleed zij, en dat gevolgelijk de foin dezer laatfte aan
de gegevene gelijk zij; dan zal, aangezien
P '¦ C* —P z')-=x.P X (i -i- p z nbsp;nbsp;nbsp;enz. -f-p» s« -f- enz.')
Q.' (l — ? nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz, -j- n» cnzPy
R: (l — r z') — R X (i r z nbsp;nbsp;nbsp;-\- enz, -)- r» s» enzd)
is, de fom dezer reekfen, de wederkeerende reeks zijn, welke uit de ontwikkeling der gegevene breuk oneftaat, en men verkrijgt gevol-gelijk de vergelijking;
B z -k- C
^Pp- nbsp;nbsp;nbsp;2® CPp^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; Rr^)z^ -{- enz.
tvelker algemeene (« -f- i}= term gelijk zal zijn aan (Ppquot; .Q,?” -j-R r») zquot;.
§•813. -ff Deze wijze van ontleding is toepasfeiijk op alle breuken , welker noemers in faftcren van den vorm i —p z ontleedbaar ,2i]n: ir.dien, bij voorbeeld, -f-: (i —s ^2^)=; . . .
Ff 2 nbsp;nbsp;nbsp;P
-ocr page 494-452
P: (i —/gt;s) O: (i — 2) is; dan zal de (« i)« term gelijk (JP/gt;» 0^^”') 2® zijn.
§. yi4. I. Voorbeeld. Den algemeenen term van de viederkeerende reeks te vinden, welke uit de breuk (i—2):(i—2—22^) ont-fla at ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ,
iWen zal naar §. s6S vinden: dat de gegevene breuk gelijk is aan de
fom der breuken 2 . _i— en r . —^— : daarom zal de (« i)® term 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i-d-lt;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 — 22
gelijk i . (a” g)g” zji'n , waarin het teeken 4- moet gebruikt worden, indien « even is; liec teeken —- voor eene onevene waarde vau ».
§• Sil5. 2. VooPvSEELD. De algemeene (ji i)t term van de reeks, welke uit (i —2):(i — 52 62^) ontfiaat, is gelijknbsp;(2, 3« —2«)s».
§. 816. 3. Voorbeeld, De (« i)^ term van de reeks, welke uit de breuk (i 4-5x) :(— 15 4-2x4-ontfiaat, is gelijk aan
i i ï ^.0“ — I • Cé)” ƒ
§. 817. ft Wanneer Z eene fundie van 2 is; dan zal, volgens het
binomium van Newton, nbsp;nbsp;nbsp;^
Z nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
Ö—^'I'C—n)Z.pz-j-(—»)Z,p^z^-l-(—njZ.p^z^- -ens.
zijn, en indien Z — i is; dan wordt de wederkeerende reeks de ontwikkelde negatieve nde magt van i —Jgt;z, welker algemeene C'f l)*
term (zie §. 503.) gelijk
« (» I) C« -f 2) enz, (nfirq— O .
1.2. nbsp;nbsp;nbsp;3 . . enz. . . , qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J
is: maar is Z van den vorm j1-^Bz-{-Cz^-gt;r enz.; dan zal men
I
I 4- (— lijp z enz. met Z moeten vermenigvuldigen, om de termen van de wederkeerende reeks, welke uit dit gebroken ontftaat, te verkrijgen.
Men verkrijgt, door deze raultiplicatie, voor de wederkeerende reeks :
1234 /Uri-njA.pz-k-Cr-njA.p 2.zlt;^ -f*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;./i4z4-|- enz»
I nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
“fquot;.5 . ar fl) B ,p nbsp;nbsp;nbsp;fl) B , pzz^ '^C'^^0 ^
I nbsp;nbsp;nbsp;2
C . nbsp;nbsp;nbsp; (¦—?;) C . ƒgt; s3 (“quot;^0 ^ . ^^24
I
4-Z).23 nbsp;nbsp;nbsp;^24 4-r«Z.
4-£.2't ««2-
waar-
-ocr page 495-453
Waaruit genoegzaam blijkt: dat derzelver (-*' 0“’ nbsp;nbsp;nbsp;26*']^ ^al
zijn aan
j r nbsp;nbsp;nbsp;?—Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r—nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r—3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
I nbsp;nbsp;nbsp;»)5/gt;''“I (—;2)Qigt;—24-C—»')Dpr—5-\-enz. j zr
§. 8i8. tt Indien de noemer der voortbrengende breuk van de tweede magt i —az — en in geene ftelkundige fafloren oplosbaar is, zal echter de oplosfing van de vergelijking i — az—bz-z=:onbsp;voor de faéloren des noemers geven:
« nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-4^)
en men zal het gegeven gebroken in twee andere breuken, deze factoren tot noemers hebbende, kunnen ontleden: indien dan P en O, de tellers dezer breuken zijn; dan zal de (« i)« terra gelijk zijnnbsp;aan
j p.(2by _ nbsp;nbsp;nbsp;0.(2by_j
2».
( (« -j- nbsp;nbsp;nbsp;-f- 4 b)y (r/ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 4 J
§. 819. tt De waarde van }/(a^ nbsp;nbsp;nbsp;kan, in deze uitdrukking,
onbeftaanbaar zijn: doch, zulks kan geene zwarigheid veroorzaken, alzoo de onbeftaanbare uitdrukkingen elkander, bij de nadere ontwikkeling, vernietigen. Men kan, in dit geval, om de onbeltaanbarc uitdrukkingen te vermijden, aan den noemer der voortbrengende breuk dennbsp;vorm I — ia Cof. !pz a^ geven, en de termen der reeks zul-,nbsp;len, in dit geval, van den boog (p afhangen.
§. 820. tt Wanneer nu de noemer der voortbrengende breuk altijd in faftoreu van de vormen (i—pz), (i—p z)”, i — 2aCof.(p.znbsp;-T-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, en (r — 2 « Cof. (p nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2^)» kon ontleed worden; dan
zou men die breuk ook rdtijd verdeelen kunnen in breuken, welks deze fadloren tot noemers zouden hebben, en men zou deze leerwijze, die aan Euler behoort, altijd kunnen toepasfen: maar, wanneernbsp;deze omftandigheid geen plaats vindt, dan kan ook de algemeene termnbsp;op die wijze niet worden gevonden, en men moet alsdan zijnen toe-vlugt tot de volgende meer algemeene handelwijze nemen.
§. 821. tt De term eener wederkeerige reeks kan, met behulp der combinatorifche bewerkingen, gevonden worden. Volgens §• 739 is:
5 (2 2^) 4- C I-j- Z) I S3 ci:s. en de term zal Idaarblijkelijk gelijk' zijn aan
I ^((«— ly — 1)2 -1- Qi— 1)3 enz, («— i)»—!)-}-
C”— enz. (;;—3)'*—3} enz. J s«—i
zijnde de wijzer | ^ f ^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/; cn men zal,
l a, b, c, d, é, f, g, n, enz. J
met behulp van deze algemeene uitdrukking, zeer gemakkelijk den iidsn terra kunnen berekenen.
5. 822. Nemen wij, tot een voorbeeld, de reeks, welke uit de breuk
i:(i
4- S't sS
s®) ontftaat; dan is nbsp;nbsp;nbsp;Bz
C=:o; enz.; voorts a — i; nbsp;nbsp;nbsp;c
ƒ =2 I; g — o; en de wijzer wordt
j I, 2, 3, 4. 5gt; 6 1
{ nbsp;nbsp;nbsp;of J 3,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5, 6 J
l a, b, c, a, e, f i t I, I, o, — i, — I, i 1 ''Vrnucer men nu den tienden tenn, welke gelijk is aan
9^ 4- 9*^ 4- 9' 4- Sgt;® 9^ 9° 9® ^
wil bepalen, dan ral men de herlialings combinatiën tot de fora 9 ontwikkelen, (men vindt dezelve op de tegenzijde van Tabelle VI,)nbsp;en voorts elke van derzelver complexien met het permutatie getal vermenigvuldigen , en eindelijk voor de wijzer getallen derzelver waardennbsp;naar den wijzer nemen, wanneer men voor dien term -r 12 vinden zal. - Indien men de moeite neemt, om meer termen te ont
wikkelen, zal men bevinden: dat de bewerking samnerkeJijk kan bekort worden, In de meeste gevallen, zal men nogtans de termen, met behulp der fchaal, gemakkelijker kunnen vinden. Men za! dezenbsp;handelwijze flcchts gebruiken, wanneer men eenen term, welke zeernbsp;ver van dep oorfprong verwijderd is, wil berekenen.
§. 823. Het tot hiertoe verhandelde bevat de voornaamfte eigenfchnp-pen en hoedanigheden der wederkeerende reekfen, welke algemeener dan de Reken- en Meetkunftige zijnde, onder zekere voorwaatden,nbsp;beide deze laatlle in zich begrijpen. Behalve, dat zij, in de Hoogerenbsp;deelcn der Wiskunst, van een uitgefirckt gebruik zijn, heeft Euler,
zich
-ocr page 497-zich eene opmerking van Newton te nutte makende (ii6), getracht deze reekfen tot de benadering van de wortels eener hooge magtsnbsp;vergelijking te doen dienen, (^zie zijne Algebra, §. 784.). Wij zullen, daar deze zijne handelwijze met het Theorema van Girard overnbsp;de fommen van de magten van de wortels eener vergelijking in verband ilaat, dezelve kortelijk verklaren, en hare waarde beoordeeleu.
§, 824. Stellen wij: dat de wortels eener vergelijking:
X”- — Ax»—^ -J- Bxr.—2 — Cx^—3 -j- enz. — o door a, b, c, d, enz. worden uitgedrukt; dan zal het voorfte lidnbsp;dezer vergelijking, gelijk bekend is, gelijk zijn aan (x — a) {x'—h')nbsp;(x—OC^ — d'), enz. Indien wij nu de breuken
I . I . I . I ,
enz.
-I-
¦h X-
4-
-c X—d
X\—a ' x-
welke zoo veel in aantal zijn, als ’er éénheden in « zijn, optelt; d.an ziet men: dat, vermits
- =--\- a .--enz.
X — a nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^
is, derzelver fom gelijk zal zijn aan:
|
— -j- t5’. X —' -}- '5' • X nbsp;nbsp;nbsp;x^ |
X -rr S. 0^ X CR». x-^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x^ |
in welke uitdrukking, S.a beteekent de fom der wortels; nbsp;nbsp;nbsp;de
fom van de vierkanten der wortels, enz. De fom dezer breuken is nu klaarblijkelijk gelijk aan eene breuk van den vorm:
P x»—I O^xi’—z -j- R X»—3 e«s.
X» — A x«—J -1- B x“—2 — C x”—3 -f- D — enz. men zal derhalve, volgens de formulen van §. 800, vinden:
P'zzn
QjrzS.a —A.P
R S. — A X St ^ -j- B. P
S — S.a^—AxS.a’^JrBxS.a —C.P
T=S.a4 ~A X S.a^ B X S.a^—C X S.a D .P
Nu
(116) De regel namelijk, welke Newton in zijne Arithm. Univ, P. IT. voor de grenzen van den grootften wortel eener vergelijking geeft,nbsp;en die zeker gaat, wanneer alle hare wortels beftaanbaar zyn. Déze regel komt hier op neder; ft denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;magts wortel uit de fom yan de
magten der wortelen, (^welke men naar den bev,*ezeneu regel van Girard vindt grooter dan de grootfe wortel is^ doch zooveel nadernbsp;aan denzelyen ketnt ^ naarmate n een grooter getal is.
Ff4
-ocr page 498-45Ö
Nu is, zie §. 750; S.a — A-^ nbsp;nbsp;nbsp;A x S. a—2-5; S.=:
xl X S. — B X S. d! 3 C, enz.; derhalve is S. « — A — o; . . S. — XJ X S.a 2B=o; S. — A x S.a^ B x S. a —nbsp;sCrro; enz, d^zr m P=:n is; zalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;R — (ji—2)B;
S— — (« — 3) C; Tz^(n'—enz. zijn. Men zal derhalve hebben:
_nx»—^—(n—i')Ax»~i-\-(n-2') Bxn—%—enz.
X—a ' X—1gt; ‘
De teller dezer breuk hangt derhalve zoodanig van den noemer af: Baf men, om denzelven te verkrijgen, eiken term des noemers met dennbsp;exponent van dien term moet vermenigvuldigen, en het prodiiB dooiden wortel deekn. Men heeft derhalve, voor elke vergelijking:nbsp;n Xquot;—I — (n -
-r-v,.., nbsp;nbsp;nbsp;'' x'S
I
-Ax”- I -j-ü X®—a— Cx“~quot;3 -f- enz.
_ n nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
¦Ax’‘ 1 -\-Bx»—^ — enz. x S.d: x -f-S..* ^
“{* enz.
xo-^-o.
S.03 X — enz, s .a'‘ X
§: 825. ff Het blijkt hieruit: dat de [ommen van de inagten der wortelen eener vergelijking de coëfficiënten van de termen eener we-derkeerende reeks zijn. Onderftellen wij nu: dat a de grootlie dernbsp;wortelen. zij; dan is het klaar, dat, aangezien de magten van groo-tere getallen in zoo veel grooter reden, dan die der kleinere, tocnö-men, naarmate de e.xponenten dezer ningtcn grooter zijn,
-b e» dquot; -f- enz.
volgt: ft dat, wanneer men het gebroken........
ï2x«—I—(«—\j A x»—'^ Ar enz. nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,¦ -r r , 1. 1 1^
- nbsp;nbsp;nbsp;---------- ----------------, door dtv the, of met bohulti van ae
x» — Ax”—I -j-—z—enz.
letrekkings fchaal, ontwikkelt, en voorts den coejfficient van eiken term der reeks door den ommiddsUjk voorgaanden deelt, de kometide quotiënten fleeds nader aesn den grootften wortel der vergelijking zullennbsp;komen (118).
§. 826, Eüler neemt de n eerde termen zijner reeks, hetgeen (zie §. 803,} gefchieden kan, naar welgevallen, en ontwikkelt de ove-
ri-
(117) Op deze waarheid lleimt de regel vah Newton, inde voorgaande noot aangehaald.
Cl 18) De groütfte wortel, het zij hij poCtief of negatief zij, hetgeen aan de permanentie of afwisfcling van de teekens van de Ibintnen dornbsp;jnagten kenbaar zal zijn.
4i7
rige termen met behulp zijner betrekking fchaal, waardoor hij wel eene reeks verkrijgt, die aan zijn oogmerk voldoet, doch geenzinsnbsp;édne, die altijd het meest convergeert, en uit het minfte getal termen beflaat.
§. 827, Voorbeeld. Zij gegeven de vergelijking — ii 31 -v— 22 = 0, welke drie pofitieve wortels heeft; dan zal men den
grootflen dezer wortels benaderen door het gebrolten........
in eene wederkeerende reeks te ontwikke-
3 T- — 22 -v 31
31 X— 22
len: zulks doende, worden de coëfficiënten van de termen dezer reeks 3, II, 59, 374, 2527, 17501, 122402, 859485, 6044895,nbsp;42542654
Deelt men nu eiken term dezer reeks door zijn’ ommiddelijk voor-gaanden, dan zal men vinden :
— II nbsp;nbsp;nbsp;”
6044895. 859485 ¦
: 7,0318.;
122402 _ nbsp;nbsp;nbsp;859485.
^ nbsp;nbsp;nbsp;_ Q , QO ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot; •
17501 nbsp;nbsp;nbsp;122402
¦7,03?;
42542654.
6044895¦
waaruit blijkt: dat de quotiënten tot eene llandvastige waarde naderen, welke, gelijk gezegd is, de grootfte.wortel der vergelijking is. De gegevene vergelijking heeft dénen wortel tusfehen i en 2; éénennbsp;mideren tusfehen 2 en 3; de grootfte wortel blijkt iets grooter dannbsp;7 te zijn: daar men nu tien termen heeft moeten berekenen, om alleen van de honderdfte deelen verzekerd te zijn, is het blijkbaar genoeg : dat deze leerwijze in geen ander geval van eenigen wezenlijken dienst zal zijn, dan, wanneer men den grootflen wortel der vergelijking zoekt, en ’er in de nabijheid van -dien wortel geene anderenbsp;gelegen.zijn. (Zoo zal men, bij voorbeeld, fpoedig Hagen, wanneernbsp;men de vergelijking — 43.*°' -f- I22x — 81 ruc, door deze leerwijze oplost.) Nog komt ’er bij deze handelwijze eene zwarigheid.nbsp;Welker gewigt en invloed echter a priori kan beoordeeld worden;nbsp;Wanneer namelijk de vergelijking een Ileifel van twee onbeftaanbarenbsp;Wortels, p q 1/— i enp—q}/—i, heeft, welker beftaanbaar deelnbsp;P grooter dan de grootfte wortel is, in welk geval deze leerwijze dennbsp;grootflen wortel niet doet kennen.
A Bz Cz'^-^-Dz^
/i22-{-,S's3-j-7’a4_}.t/35 enz. en voorts Trr~T^---—~
dz^ cz^-j-bz^ az i
-ocr page 500-45^
—qz——2 52—3-\-tz~i-{-uz~5-\- enz. fiel/et;; dan zal d« yeeks'. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• enz. u z~~'$ t znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—3 4-/* 2—zJ^qz—
O^ z-j-Rz^Sz'^-^-Tz^ •\-Uz^-^enz, . . . eene oiiafgebrokene we-derkeerige reeks zijn, welke, voor- en achterwaards, tot in het oneindige voortloopt, en welker betrekkings fchaal -\-d, c, -k-b, -\-a, I is.
De betrekkiiigs fchaal van P nbsp;nbsp;nbsp; enz. is lt;/, c,
¦k-b, -{-a, *; equot; die van qz—i ra—1 is dezelfde; maar in eene omgekeerde orde; wanneer men derhalve de termen van de laat-fte reeks in eene omgekeerde orde achterwaards uitfchrijft, en aan dienbsp;van de eerde reeks verêenigt; dan zal in de reeks
tiz—s ^2—4 32—3 rs—2 ^2—I nbsp;nbsp;nbsp;P -\- Qz -{¦ Rz^ 6'23
Tz'^ -k-Uz^ -kr enz.
van den term uz—s,, voorwaards, tot aan qz—s, en van den term P voorwaards dezelfde wet beftaan. Om nu te betoogen, dat ooknbsp;dezelfde wet van ra—4 tot Sz^ ftand houdt, zoo vermenigvuldjgenbsp;men beide vergelijkingen met den noemer der breuk, en ftelle dezelfde magten van z aan elkander gelijk: dan heeft men:
1° nbsp;nbsp;nbsp;A-=Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o=D-\-dq
B—Ojk-aP nbsp;nbsp;nbsp;7®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o=C-k-dr-k-cq
3® nbsp;nbsp;nbsp;C^R-k-aH-k-hPnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o — B ds-k-er-k-bq
4® nbsp;nbsp;nbsp;Zgt;=6’ «/i /.!2 ciJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oz= rl-k-dt es-k-br-k-aq
5® o~T-k-aS-k-bR-k-cQjk-dP 10® 0=: nbsp;nbsp;nbsp;dn-\-ct-\-bs-\-ar-k-q
fl'Ien ftelle nu in de vergelijkingen p, 8, 7 en 6, voor A, B, C m D, de waarden, welke de i, 2, 3 en 4, der vergelijkingen daar voornbsp;geven; dan verkrijgt men:
I® dt-k-cs-k- br -k-aq -k-P~o', 2® ds-k-cr -k-bq-k-aP-k-Q^o 3® dr-k-cq-k-bP-k.aQ;k-R = o-, dq-k-cP-k-bQjk-aR S—onbsp;welke vergelijkingen doen zien: dat dezelfde wet van den terra tz—qnbsp;tot den term .^23^ onafgebroken voortgaat, en dat gevolgeiijk het gefielde tvaarheid is.
§. 829, tt Wanneer men derhalve de breuk, welke eene weder-keerige reeks voortbrengt, negatief fielt, en in eene omgekeerde orde ontwikkelt, zal men de terngwaards gaande termen der wederkeerigenbsp;reeks verkrijgen. Men fchijiu deze merkwaardige eigenfehap, welk*^'^nbsp;gevolgen wij thans niet verder ontvnkkelen kunnen, tot nog toe nietnbsp;opgemerkt te hebben.
bijzondere befchouwing van de fommen van de magten der natuurlijke getallen, en over de Bernouilliaanfche coëfficiënten.
§. 830. Alhoewel de regel tot het vinden van de fom eener reken-kunllige reeks toereikend is, om de fommen van de magten der natuurlijke getallen te bepalen, blijft ’er nogtans eenige duisterheid, aangaande de betrekking, welke ’er tusfehen de fommen dezer getallen teftaat. Deze duisterheid verdwijnt, wanneer men deze fommen uitnbsp;het Binomium van Newton afleidt (^iip): men leert als dan eenenbsp;reeks van breuken kennen , welke, hoezeer zij geenen geregeldennbsp;voortgang fchijnen te hebben, nogtans eene onveranderlijke wet volgen, en, wegens het bijzonder voordeel,^dat zij aanbrengen, door denbsp;benaming van Bernouilliaanfche coëfficiënten, ondsrfclieiden worden.
§. 831. Wij zuilen dan de fom i« -I- 2» - - 3quot; -|- enz. onafhankelijk van de leer der Rekenkunftige reekfen trachten te bepalen.
Wij verdaan door S. x» de fom van de magten der natuurlijke getallen, van en met één, tot x ingefloten.
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
i)» i nbsp;nbsp;nbsp;-f- (n , t)v« -j- (n-j-1
2 nbsp;nbsp;nbsp;I
•f- enz. -f- nbsp;nbsp;nbsp;-j- ïjxff-\-(f2-^ij)x-\- 1
Wanneer wij in deze vergelijking voor x achtervolgens alle waarden van I af tot x iiigefloten ftellen; dan verkrijgen wij de volgende vergelijkingen :
I nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
—-{- («-f l) I» nbsp;nbsp;nbsp;I e»s.-f'(?2-j-i j) I -f- I
I nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
-j- (jn-f-1)2® -f- ij) 2* t enz. nbsp;nbsp;nbsp;ij) 2 -f- i:
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
4'' ! = 3®-f I nbsp;nbsp;nbsp;(n-1-1) 3» (n-1-1) 3«-i enz. -j- (?J-|-1) 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
......., • • '
-j- nbsp;nbsp;nbsp;—2-\-enz.J^(jn-\-ijx-\~ i
Wan-
(^’9) Simpson, en, op zijn voctfpoor, andere Schrijvers, nemen voor deze fommen eene funélie van het getal der termen aan, en bepalen dezelve vervolgens door de leerwijze dor onbepaalde coëfficiënten: dochnbsp;wij hebben, amp; priori, geenen grond voor deze onderftelling kunnen vin-‘Isn, noch de redenen, die men van die onderftelling gegeven heeft,nbsp;onder de klaarblijkelijke waarheden aannemen.
-ocr page 502-460
Wanneer men nu deze vergelijkingen optelt; dan is de fom van de voorfte leden klaarblijkelijk gelijk aannbsp;nbsp;nbsp;nbsp; S. x« i — i; de
fom van de termen van de eerde kolom der achterde leden is deze term kan nu uit beide leden worden weggenomen, en dan heeftnbsp;men:
(x ?)quot; ' — C^ 0=........
(b -j-1). S. X» 4- i) • S. X”—I (?^ 1) S. x«—2 («-}-1) S.x«—3 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
enz. (« l) S. x2 -f. («4. i) S. X......(^)
832. Men kan uit deze uitdrukking S.x» afzonderen, en dan zal
S,x«= nbsp;nbsp;nbsp;I (» OS.^“~'-C« OS.2;«-^
— snz. j : nbsp;nbsp;nbsp;i)
zijn, en deze vergelijking zal dienen, om de foramen der hoogere magten te vinden, wanneer die der lagere bekend zijn.
§. 833. Stellen wij, bij voorbeeld, n—i; dan is (« i) = (2)
, 3
~o, («4-i)t=o, enz.; en S. xrz^ (x i)^ — |(x4i)—lx®-gelijk bekend is. Stelt men S. x bsjkend; dan zal men, n—2 ftelleude, S. x® vinden, enz.
§. 834. Maar, zonder ons verder met het berekenen dezer afzonderlijke fommen optehouden, zullen wij ons bij den algemeenen vorm bepalen. Wij hebben wederom naar het Binomium;
I nbsp;nbsp;nbsp;I
(x — I )'!4.i — x» i — (« -f-1} X» (« I) x«~i — enz. 4- • •
2 nbsp;nbsp;nbsp;_ I S nbsp;nbsp;nbsp;¦
(n 1) x^ -f- («4- i) X -|- I
Stelt men, in deze nieutve vergelijking, voor x aclitervolgens 1,2, 3, enz. tot X, en neemt men de fom der vergelijkingen, welke daaruit ontftaan; dan zal, aangezien de fom van de voorfte leden klaarblijkelijk i»4t 4quot; 2»4quot;I 4quot; enz. (x—i)» i is,
'S. (x— i)'-4i z::: S. x»4i — (« 4- i) S. x« 4quot; (« 4quot; O ' —
2 nbsp;nbsp;nbsp;__ r
enz. 4C” ^)^-x“’ ¦4-(«4quot;i)S.x4quot;X zijn: nu is S. (x—i)'»4“t—S.x»4i ontegenzeggelijk gelijk —x» ‘’nbsp;gevolgeiijk is:
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
x't-l-t 4- X zz: 0«4- i).S.xK—(b4-i)S.x»—1'
4-(«-r ij) S. x2 4-0? 4 S. X
-ocr page 503-461
In deze uitdrukking moet het bovenlle teeken genomen worden, wanneer n oneven is; het benedenfte voor eene evene waarde van «.
§• 835* Onderftellen wij nu voor n eene onevene waarde, en tellen wij alsdan de vergelijking (K) bij de vergelijking ; dan zullen wij verkrijgen:
-f-xM-j-r — I =2.(« 1} S.x» -f-2 (n-j- l) S.x»—2-j-
5 nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
2(« i)S.x»—4-{-2 02-1- i)S.x»—ö e«3.-j-2i}S,x3 -f-
en voor n eene evene waarde onderftellende, zal men (JT) bij (z/) optellende, verkrijgen:
-|-Xquot; I 2X— 11:2:2 (»-f-i}S.x» 2 {^«-)-i)S.x«—-
5 nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^4
-|-2 (« l) S.X»—4-t-2(«-}-l) S.X'»“6-j-f/tS.-j-2 («-{-l) . .
S. X^ -j-2 (« l) S. X^...........(ö)
§. 836. De vergelijking (C) geeft, wanneer men n achtervolgens I, 35 Sj 7-gt; enz. ftelt;
S.x ix® -H'x
S.x3 = ix-^ 1x3 ï|x®
s.x* ~ J xquot;* S. x7 J X*
I X* j| x4 -jl X®
S. X^ =3-7 nbsp;nbsp;nbsp; -7xïgt; ïi x® -3 nbsp;nbsp;nbsp;-55
En de vergelijking (D) zal, wanneer « achtervolgens 2, 4, 6, ens. genomen wordt, geven :
S. X® 2:
S. x4 z:
S. x® = -j x7 S.x® = §x^
§. 837. De coëfficiënten van de termen dezer vergelijkingen fchij-nen geene bepaalde wet te volgen : evenwel moeten zij aan zulk eene wet onderworpen zijn. Laat ons, om dezelve te vinden, denbsp;vergelijkingen (C) en (Z)), of liever de magt (x i)» i, die in dezelve voorkomt, nader ontwikkelen: dan zullen wij, voor eene onevene waarde van w, verkrijgen:
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘3
2
(fi i)x®
-ocr page 504-2 C» 1) S. a:»—4 eaa. 2 (» i} S. 2 (« i) S. jc en voor eene evene waarde van n :
1 nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
2 a:» i (n1') Xquot; (_n iquot;) x»—^ ([« -|- i) a:«—a enz. 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
(« i) [C^ nbsp;nbsp;nbsp;2] a; zr: 2 (« -f* I) S. ar» 2 0* O
S.X«—a 2(?2 l)S. X»—4 l?H3. 4-2(« i) S. 3c4-h . . •
rt
2(« l) S. ar^
§. 838. Uit de aandachtige befchouwing dezer vergelijking blijkt het: i'* dat de termen a:« i, x», x»—i, enz. met coeiEcienten aangedaan, in de waarde van S. x» moeten voorkomen; s'* dat S. a:»nbsp;van den vorm a xn-j-i -j- ^ ar» -j- car»—i dx»—o -j- e xgt;‘—inbsp;f xn—7 -j- g x”—9 enz. zijn moet; omdat de magten a:»—2 ^ »;«—4,nbsp;enz., welke in het voorfte iid van de vergelijking voorkomen, alsnbsp;coeiScienteu hebbende, welke in het tweede lid niet gevonden worden, tegen de afzonderlijke termen, welke bij de ontwikkeling vannbsp;S. x«—I, S. x»—2, enz, in het tweede lid ontdaan, noodzakelijk zullen moeten verdwijnen. (Zie noot 120 op de volgende bladzijde.^
§. 833. Men ftelle dan, als volgt:.
S. Xn nbsp;nbsp;nbsp;èx»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cxf.—t -^dxquot;—3 -|-cx» 5 ~\^f'x’‘—7.j.enz.
S.a:»—azrö'x»—I è'x’*—*- -f c'x»—3 -f- d'x^—i -f e'xn—7 -|- enz. S.a:»—iy~a'7 v.n—3-j-y''a;»—4-i-f''''a;»—S-j-y^a;»—7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—9-j-enz.
enz.; dan is het klaar: dat a, b, c, enz. even zulke funftien van n, als a', b', c', enz. van n — 2, als aquot;, y, enz. van n — 4 moetennbsp;zijn: men ftelle dan deze vergelijkingen in de voorgaande; dan zalnbsp;men verkrijgen:
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;5
2 X »-t-i-f.(n-r I )ar»4-(n-j-1) .v«—14-(«-|' 1 )x»—34.(«-j-1 }x»—5 J-ens. m Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
2(«-fi}lt;za:» i-i-2(n-j-‘0^4'”-!-..........
-I'2(!2 4-i)ca:»—I -|-2(«-r-i)^x»—3 4. 2(«-l-i)ca:»—3 -[-ens.
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
-f 2(22 1 )o''.v»—i 2(« l)c''x«—3 202 i)ya»—S
5 nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
2 (22 —3-f-2 (n i)c''''a»—5
2(k 02/^V'-5 ^’«'^' en,
-ocr page 505-463
*0, wnnneer men nu de coëfficiënten van dezelfde magten van x aan elkander gelijk ftelt; dan zal men hebben (120):
* nbsp;nbsp;nbsp;I
1^ nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;derhalvenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en, omdatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz,
even zulke funftien van n — 2, n — 4, enz. zijn als a eene funftie van n is, zal men hebben:
allll.
aH— ¦
n—7
n—I nbsp;nbsp;nbsp;n—3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—5
1 nbsp;nbsp;nbsp;I
2® Is (« i) = 2 (« i) dnrhalve h~\, en, deze coefficient van n geheel onafhankelijk zijnde, is ook: b' — V —bquot;'-zz enz. — J.
» nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
3® Is -j- l) ~ 2 (^» -f-1) c -j- 2 nbsp;nbsp;nbsp;-f- i) ö'; derhalve is :
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
2(«-f-i)('=(«-|-i) —2 (f2 i) X a’, en omdat 0'=:-— is
2 nbsp;nbsp;nbsp;1) c =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1) — 2.---- X-
^ nbsp;nbsp;nbsp;^ ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I. 2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n—I
Of 2 (k -{- 0 c = C» O — § C« O = 3 C« O
— C” 0
«-f I
dethalve is c zz nbsp;nbsp;nbsp;X J, en voorts c’ — ——
«—3
4135 4® Verder is («-j-i) zz 2 («-[-2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-2 («-j-l)/?''';
I nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
derhalve 2 («-}-1)z?=z(«-t-1) — 2(«-I-i)c' — 2(«4-i)«quot;... (x)
(n— i) («—2)
*öaar nu is c'zz
5gt;
I.
en aquot; — -
« — 3
derhalve 2 nbsp;nbsp;nbsp;-|- i) c'z
(120) Wanneer dit gezegde den Lezer te duister niogt voorkomen, 'ian kan hij alle de magten van x in de volgende berekening, welke ’ernbsp;Waarheid van bevestigen zal, aannemen. Ook moet hij de vergelijkingnbsp;§• 839, verder ujtfclirijven, om het vervolg beter te verftaan.
-ocr page 506-WISKUNDIGE LESSEN.
~=ic« o
brengende nu deze waarden van nbsp;nbsp;nbsp;cn 2(« i}iï'' in de
vergelijking («), dan zal men hebben:
4 nbsp;nbsp;nbsp;4
en d=z-,-o.^^y nbsp;nbsp;nbsp;enz.
en gaat men op deze wijze voort, met de coëfficiënten van dezelfde magten van x aan elkander gelijk te Hellen; dan zal men vinden:
6 8 10 C” 0 .. I.f- 0^ 0 V I. I C« 1)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
enz.
§. 840. Stellen wij nu de fiandvastige coëfficiënten, welke in de waarden van c*, d, e,f,g, enz. voorkomen, als volgt:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• •
-i = B; 5§=:C; ^§ = D; nbsp;nbsp;nbsp;en de volgende, welke nog
niet berekend zijn: F, G, H, I, K, enz.: dan zullen wij voor de fom van de magten der natuurlijke getallen de uitdrukking:
Ax«-
J2 4'I nbsp;nbsp;nbsp;« l
—5 — ^”-^..1). D xfgt;—7 nbsp;nbsp;nbsp;'j'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E x«—9—
4.0l±Oc^„_5
w i ' nbsp;nbsp;nbsp;«4-1^quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n-\-l
enz..................(£)
verkrijgen, in welke, na den derden term, de teekens en — beurtelings afwisfelen.
§. 841. * De coëfficiënten A, B, C, D, enz. worden, naar des-zelfs uitvinder, Jacob Bernoüilli, Bernouilliaanfche coëfficiënten genoemd: het zijn.(zoo als blijkt, wanneer men in de algemeene vergelijking (£) n aclitervolgens gelijk 2, 4, 6, enz. Helt,) de coëfficiënten, welke, in de waarden van de fommen der evene magten, de eerfte magt van x verkrijgt.
§, 842. Alles is nu in de uitdrukking (A) regelmatig, op de W^t van de Bernouilliaanfche coëfficiënten na, welker voortgang nog nadernbsp;moet bepaald worden. Stelt men, om deze wet te vinden, iu vergeel'nbsp;king (£), x:=: I; dan is S. x’gt; — i, en men verkrijgt, na alle® met
I
B i of («-J- J) vermenigvuldigd te hebben:
465
(?i i) = I ' nbsp;nbsp;nbsp;¦ 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A — (« 1) B-(-(.'ï-t-1) C —
8 nbsp;nbsp;nbsp;10nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ 3
(« i)D (« i)E (« i)!Sf_o (?j l)jV_i . . .
of wel:
^ I nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
(?? i) N=: (« 1) N_i — (?2 0 N—2 (« 1) N—3 — . . .
9 nbsp;nbsp;nbsp;önbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. lt;2.
Ck I) N~4 .... enz. (» O c (« i) B I A
in w^elke dê letters N, N_j, N_de nbsp;nbsp;nbsp;_2)*,
(«—3)^, Bernouilliaanfche coeflicienten beteekenen. Men zal, door deze vergelijking, welke Canterzani in de Memorie della Societynbsp;Italiatia, Tom. XI, A“ 1804, pag. 173, langs eenen anderen wegnbsp;gevonden heeft, de Bernouilliaanfche coëfficiënten kunnen berekenen.nbsp;Men zal door de formule van §. 844 vinden:
2730 nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;510nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;793
K= ;ZlËli.; L = *-51Sili M= «13«40P..
330 nbsp;nbsp;nbsp;138nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2730
**553103 nbsp;nbsp;nbsp;, 2374945io29_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8615841 27lt;5oo5
_ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ü_ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1— nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14322
2577087858367. --6'-’
Q:
7709321041217
510
2631527155305.3477373.
en men zal dezelve, offehoon de berekening lastig wordt, nogtans verder kunnen voortzetten.
§• 843. tl Met deze Bernouilliaanfche coëfficiënten, zal men de
bijzondere formulen voor de magten der natuurlijke getallen, van de
eerfte magt af, tot de zes- en- dertigfle ingefloten, dttor dezelve coef.
ficienten in de vergelijking (F) te fubiiitueren, kunnen bepalen.
§. 844. Wanneer men de vergelijking (F) onder deze gedaante
^3 nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
(» i) N~ (,2 4„ N—1 -f («. ^ I N—? — O.N—3 -j- enz.
” nbsp;nbsp;nbsp;1) B-j-(« 7-1) A I — § ('*“h0
ftclt,
11. CuRiUS. nbsp;nbsp;nbsp;G s
-ocr page 508-460
{lelt, en n achtervolgens gelijk 2, 4, 6, 8, enz. neemt; dan zal men vinden:
3 A I = 3 :2
5-4-3
SB-
1.2.3 nbsp;nbsp;nbsp;1.2.3-4-5
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
Men (lelie nu A= i. 2./gt;,- B i. 2. 3. 4. C =2 i. 2. 3. 4. 5. 6. r; D.== I. 2. 3.4. 5. 6.7. 8. s,- enz.; en brenge deze aangenomene waarden voor de Bernouilliaanfche coëfficiënten in de voorgarmde vergelijkingen over; dan zal men vinden:
1...5 nbsp;nbsp;nbsp;1...7
I. 2.
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
waar-nit blijkt: dat de getallen — ^, p, üi 'gt;'¦gt;
I
1.2.3
-, enz. is. Men zul dan door deze
derkeerige reeks uitmaken , welker betrekkings fcliaal -[-
_____
1.2..5’ ' I .,.7’ I ...9'
vergelijkingen gemakkelijk p, q, r, enz. en voorts de waarden vnn
A, B, C, D, enz. vinden.
§. 845. Het is opmerkelijk, dat de betrekkings fchan! dezer weder-keerende reeks nbsp;nbsp;nbsp;p, q, r, enz. de coëfficiënten zijn van de on
eindig voortloüpende reeks, welke de Sinus van eeneij boog uitdrukt: deze omftandigheid geeft aanleiding, om de reeklen voor de Tangens,nbsp;Cotangens en Cofecans van eenen boog van de Bernouiliianufclie coeC-ficienten te doen afiiangeii. Men zal namelijk vinden :
1.2
rs nbsp;nbsp;nbsp;I 4
Cot.xzz---— X ¦
X 1.2
43. C
I ...4 nbsp;nbsp;nbsp;I ...6
2(2^ —l)B , -----X-\------~x^
•enz.
846.
-ocr page 509-S. 846. Oolc hnngcn de Neperisanfclie Logsritlimen vnn de Sinus,
Cofinus en Tangens van eenen boog van diezelfde coeEicicnten r.f.
^ A ^ nbsp;nbsp;nbsp;42 Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;43 c
1.2 - nbsp;nbsp;nbsp;1...4 *nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,..6
4.(42 i)b
Nep- Log.Sin.x~N,L.x-
Nep. Log. Ccf.x=—^i~^— .Ix^-
I. 2
Nep, Log,Tang,x — N.L, x 4
• enz
27^_0£_,_
“ I ... 6 nbsp;nbsp;nbsp;¦'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I ... 8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•
Het blijkt uit deze reekfen, aaii welker vinding de I.ezer zijne krng-ten beproeven kan, hoe de fiernouilliaanfdie coëfficiënten r.an de onregelmatigrte reekfen eenen regelmatigen vorm kunnen geven.
§. 847. ff De Dernouilliaaufche coëfficiënten geven ook een gefchikt hulpmiddel aan de hand, om de fömmen van de evens negatievenbsp;magten der natuurlijke getailen , welke gedeeltelijk van die coëfficiënten, en van den omtrek des cirkels afhangen, op eene regelmatigenbsp;wijze, uittedrukken. De twee onderfcheideiie uitdrukkingen votwnbsp;Sin. z in §§. 6i8 en 625. gevonden, geven de vergelijking:
3=” I
-7-^ i . enz.:
lÓTT* 1
-j- enz.
het eerfte lid dezer vergelijking beftaat uit een oneindig aantal f^o-ren, en het tweede uit een oneindig ar.ntal termen. Deze vergelijking met de meer algemeene
(jl——bzquot;')(ji—es^)eK2. — 1 —yfz- -f- iJ — Cz® -\-enz. vergeleken zijnde, zal « ~ i:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ nr: i: 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; c =: i: 9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; enz.
I. 2. 3.4
¦BS sC
1. 2. 3. 4- 5- ^ fï 2
f.nz.
De
De z?lt;Tk is duidelijk; insar de berekening wordt op het laatst lastig: wanneer men nogtans dezelve voortzet, en de fommen der eerfte,nbsp;tweede en volgende magten van 1—2, a—2, 3—2, 4—2, 5—2, enz.nbsp;tot in het oneindige, S, Sj, S4, enz. noemt; dan zal mennbsp;vinden:
2, A nbsp;nbsp;nbsp;25. B . .r,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• C ,
2 — ±_ t2; nbsp;nbsp;nbsp;=--.squot;’-; S, =--.... .
1.2 nbsp;nbsp;nbsp;’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.2-3.4’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I...6
2*'.E nbsp;nbsp;nbsp;^ •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2”.F
.^10; 2^-^-^
27. D
I... 10
2^5.11
.3ri4; 2;
I ... 14 nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;” I ...ró
De regelmatige voortgang van de wagrden dezer fommen, kan, zooveel ons bekend is, alleen door induftie gevonden worden.
§. 848. tt Wanneer men de uitdrukkingen §. 618 en 626, voor de CoGniis gevpnden, op dezelfde wijze behandelt, dan zal men voor denbsp;fommen van de evene negatieve magten der onevene getallen 1,3,
, 7, enz. tot in het oneindige, vinden: (4—1) C ,
j „L. — -|- CtïZ* —
1 nbsp;nbsp;nbsp;(45—i)C
’ ‘
uit al hetwelk viea vele merkwaardige zaken zal kunnen afleiden.
§. 845. Van hst onderwerp dezer Les affiappende, merken wij aan: dat de foramen van de magten der natuuriijite getallen llrekken kunnen, om die van vele andere rcekfen te vinden. Wanneer men, bijnbsp;voorbeeld, de termen van de rekeiikunftige reekfen van de eerfte orde
a, a i!, a-h 2/^, a-h 3 nbsp;nbsp;nbsp;......
p,p-^q,p 2q,p 3q......p-V C«—O'?
elk uit n termen beftaande, met elkander vermenigvuldigt; dan zal men de reeks van de tweede orde, namelijk:
ap, apq-{-1?p')^..l! q, ap2 (jiq-\-hp')-\'1,1/q, . ¦ . ^«3.
.... iZ7gt;-}- (n — O {p q'\' ^p') O* — nbsp;nbsp;nbsp;b q
verkrijgen. De fom van de termen dezer reeks zal klaarblijkelijk gelijk zijn aan:
n X z?/)-H [t 2 -f• 3 -f'enz. -i- (« — i)] x (m q ^p) -}- ¦ • ¦ * [i 4 -4- 9 -f Id f- 25 -r enz. 0‘ — I)‘‘] X qnbsp;Nu is I “fquot; 2 4.. 3 4- enz. (f; — i) 5 « (» — i) ; en i 4 P
ld
-ocr page 511-459
164-25 enz. C» — nbsp;nbsp;nbsp;= 5»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 0 (3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— i), 2ie §• 7??;
gevolgelijk is, wanneer men de fom gelijk aan S ftelc,
S—nap lnQi— l) X \aq bp] ln(n—1)(2«— l) V-bq
§. 850. Laat pzzi', b—i\ nbsp;nbsp;nbsp;zijn; dan verandert de gevon
dene formule in:
6'=: ï i)lt;ï 1 C” — i)n(n-\’i^
Wij gaan vele andere bijzonderheden, welke zich, bij het nadenken over deze ftof, van zelve vertoonen, met llilzwijgen voorbij (121},
NEGEN- EN- ZESTIGSTE LES.
Iets over de Interpolatie der reekfen,
§. 851. Het Leerftelfel der rekenkundige reekfen, in de LXVI Les verklaard, Haat met de interpolatie van alle foorten van reekfen innbsp;zulk een onaffeheidelijk verband, dat wij nuttig geoordeeld hebben,nbsp;om, als eene bijlage op deze Les, den aard en het gebruik der interpolatie nader te verklaren.
§. 852. ¦f-f Oflehoon niet alle reekfen rekenkundig zijn, kan men nogtans een onnoemelijk aantal anderen, welker eerde, tweede ennbsp;volgende verfchillen op het laatst zoo klein worden, dat zij, zondernbsp;aanmerkelijk van de waarheid aftewijken, verwaarloosd kunnen tvor-den, als zoodanig aanmerken, en in dit geval bevinden zich zeernbsp;veie reekfen, w’elke de verfchillende waarden van eenige fupflie vannbsp;eene veranderlijke grootheid x vQorlleUen , wanneer men in plaatsnbsp;van die veranderlijke grootheid, waardijen ftcit, welke in eene gewone
Cm) In de krijgsmagazijnen ftapelt men de kogels, behalve, in eene driehoekige pyramide, ook in eeny vierhoekige pyr.imide, en fomtijds innbsp;regthoekige lagen, welker zijden, van de grondlaag af, tot aan de bo-venfte, welke Hechts uit eene enkcldc rij kogels beftaat, met één verminderen. Men berekent het aantal kogels, in zulk eenen ftapcl, doornbsp;deze formule, in welke a het aantal kogels in de bovenfte nji, en w hc-tnbsp;getal lagen beteekent. haat acttao zijn; dan liggen ’er in de tweede,nbsp;laag van boven, ii X 2; in de derde,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;indien ’er dan lo
lagen zijn j ^^1 deze Capel .y . 10 X ii X 20 f . 9. 10. ii::: 14S0 kogels bevatten. De formule .1 »(«-!-i) (e-' -l-i) vaü 3. 7^7- dient voor het be-, rekenen van het aaatal kogels in de vierhoekige pyramidale kngelftapel: de letter n beteekent hier het getal lagen, cn tev'ens het aantal itoge’snbsp;in elke zijde van de bafis. Vcrgcliik noot (85) peg. 33e.
ne rckcnkunftige reeks opklimmen of afdslen: wanneer men nu van zulk eene reeks zoo vele van elkander gelijk afftaande termen kent,nbsp;als nood'g is, ora de eerde termen van de eerde, tweede en volgende verfchillen zoo verre te vinden, tot de laatfte nagenoeg gelijknbsp;of gelijk nul worden , zal men tusfclien deze termen, naar de formulenbsp;van §. 780 en 781, zoo vele termen kunnen interpoleren als mennbsp;goedvindt, en deze zullen altijd, in liet werkdadige, nagenoeg, immers voor zooveel de gegevene termen aangaat, de waarde der geïnterpoleerde termen geven.
§• 853. Deze aanmerking is van belang bij het gebruik der wiskundige tafels en fterrekundige Almannken: in de laatfte worden de afwijkingen en regte klimmingen, breedte en lengte der Maan en andere Planeten voor gelijke tijds afftnnden gegeven: en daar deze grootheden zijn, welke in den ftrikften zin genomen, hoewel zij van zeernbsp;vele verfchillende zaken afhangen, als eene funélic van die tijdennbsp;kunnen aangemerkt worden, zullen diezelfde afwijkingen, enz. voornbsp;andere tijden, dan -in den Almanak voorkomen, door interpolatie,nbsp;zoo naauwkeurig kunnen gevonden worden, ais voor het werkdadigenbsp;noodig is.
|
ly |
|
J- |
o uren I (s uren jnbsp;!i urennbsp;itgt; uren |
854. Voorbeeld. Fo:gcns de Cor.naisfance des tenis voor idop, '•i de Maans noordelijke nfwijhiiig, voor den middags-cirkel van Pd' gt;j‘ ¦gt;nbsp;op den I September, ah volgt s-Op den I Sept. midd. of
iSquot;
nien vraagt: de maans af.rijki::g ten 4 uren 30 minuten je '’inde': t Men make, geiijit in de opgave reeds gedaan is, de eerfte, twej'.ü.'nbsp;en derde verfchillen, welke, zoo als men ziet, nagenoeg gelijk wQt-den. Nu is in de vergelijking:
a-.
zo'; b — — 4' en c — nbsp;nbsp;nbsp;voorts is r gelijk
ö uren, en q nbsp;nbsp;nbsp;derhr.lve q-.rzez J en
j =: 17® 43'' I X 20' -f 3 I X 4 ïl- X 2 = 17° 58^24'''',4 en de IMaans noordelijke afwijking is gevoigelijk ten 4 uren 30 mi-u'.'.tcn te Parijs gelijk 17“ 58'24'^, 4.
g. 855. Men zal, gelijk in het bijgebrr.gte voorbeeld, de v.ui ecBC' veranderlijke grootheid, welke door berekening, of door waar-
ne-
-ocr page 513-471
neming gegeven zijn, altijd nagenoeg kunnen interpoleren •, mits deze bekende waarden op gelijke afftanden geplaatst zijn, en derzelver volgorde van verfcbiüen' fleeds kleiner en bijna gelijk wordt. Maar denbsp;interpolatie is van eene meer uitgeftrekte nuttigheid, wanneer men tafels zal zamenftellen ; alsdan zijn de eerde en volgende verfchillcnnbsp;niet gegeven, maar moeten, langs eenen anderen weg, gevonden worden , waarvan wij hier ter plaatfe de heginfelen zullen opgeven.
§. 856. tt wiskundige tafels kunnen aangemerkt worden, als bevattende de waarden eener veranderlijke grootheid, die eene funftienbsp;van eene andere veranderlijke grootheid x is, en welke met de waarden der grootheid, waarvan zij functie fs, in eene gewone rekenkundige reeks genomen, overëénftemmen. Deze aanmerking brengt onsnbsp;tot het leerfluk der veifchillen, hetwelk daarmede, cn met de reken-ktmfri.gc reekfeu, in een onafTcheidelijk verband ftaat.
§. 857. Laat y eene funélie van x zijn. Stellen tvij in dezelve voor X achtervolgcns x, x t,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x-j-3 t, a:-f'4/, eii^., en
laten Tq , nbsp;nbsp;nbsp;, y,, y enz., de waarden zijn , welke deze fnnétie,
|
= -3'yo |
Aji—Ayo | |
|
=^^yi | ||
|
Ay.-A)-, nbsp;nbsp;nbsp;-A*3, |
A^jij —A^'y, | |
|
— ^3’n—I |
‘^^3',; —3'« | |
|
enz» |
enz» |
enz. |
in deze op elkander volgende onderftellingen, verkrijgt; dan zal men de cerlle, tweede en volgende verfchillen van de reeks Jo, y^, y^,nbsp;y., 3'4, enz. maken, en op dezelve alles toepasfen kunnen, wat wijnbsp;in de l.XVl Les van de, rekenkunftige reeks J, B, C, D, E, enz,nbsp;opgegeven en betoogd hebben. Laat nu de letter A, in het algemeen,nbsp;hot eerde verfcb'l van de grootheid, waar voor zij geplaatst is, be-tcekenen, het tweede. As het derde, A» het verfclül, enz.nbsp;cn Iaat verJe.-.-X —Jo
gefield worden; dan zal men, uit deze vergelijkingen, door Hechts de eerfle termen der voorde leden in het voorde lid afcezonderen,nbsp;verkrijgen:
,Ti =70 -f-Ayo
A»3o
-f-A^
y^=yi -f-Ayi A3i=A3o Ay;i Ay„—Ay^
3'« —X Ay,;
G g 4 nbsp;nbsp;nbsp;en
-ocr page 514-47a nbsp;nbsp;nbsp;wiskundige LESSEN.
en men zal, door middel van deze laatfte vergelijkingen, uitdrukkingen voor , y^, Js, 74, enz. vinden, welke alleenlijk van de oor-Ipronkelijke uitdrukking , en derzelver eerde, tweede en volgende verfchillen, zullen afhangen, te weten:
=7o ^3'o
73 =7o 3 A 7o 3 nbsp;nbsp;nbsp;70 A3
en, in liet algemeen,
7„ = J'o - A7o ~-Y- Jo
enz.................(ƒgt;)
welke vergelijking met die van §. 774, alwaar A — jo, a — ^yo, b — ^^yoi enz. is, amp;ap — n is, overëénftemt; terwijl uit dezelidenbsp;vergelijkingen volgen zal:
A70 =7i—7o
A“ 7o =72 — 271 7o
A3 7o=73 — 3 72 37i —7o
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
A« .y^—y^ — 007„_i 007«_2- C»)7„-_3-I-ttielke wederom met de vergelijking van §. p66. overëcnllemt.
§. 858. Wanneer 70 of de oorfpronkelijke funélie van x gegeven is, ziet men gemnkkeiijk': hoe de verfchillen der eerfte, tweede ennbsp;volgende orden moeten gevonden worden: de berekening is, in velenbsp;gevallen, gemakkelijk, vooral, wanneer deze fimftie van zamengelleldenbsp;wortel-uitdrukkjngen bevrijd is, en geenen veranderlijken deeler hoeft.nbsp;Stellen wij, bij voorbeeld, y^ — xp; dan zal, volgens de aangeno-raene notatie,
7i nbsp;nbsp;nbsp;72 2=C3^ 20^’ 73 =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 0^
..... 7„=:(x ?2/)^ zijn, en, volgens vergelijking (O,), zal men verkrijgen:
Ab , ar/i — I X n i | ^— n | x (;: i) 2' |--^
I X (k — 2) nbsp;nbsp;nbsp;^'^3~ • { 37 (« — 3) /1 ^
enz.....J^xP
In deze uitdrukking zullen de /gt;* en volgende magten van i alleen
voor-
»
473
voorkomen; de coëfficiënten der Ingere magten van i zullen elkander veniietigen; want, wanneer men de magten {pc-\-nt)p, (ac («—nbsp;enz. ontwikkelt, en nadat zij met derzelver coëfficiënten vermenigvuldigd zijn, onder elkander ftelt, zoodanig dat dezelfde magten vannbsp;X met elkander overëénftemmen, dan zal men deze kolommen optellende, en van het betoogde in §. 5ip. gebruik makende, vinden:
A’gt; .xp ~.........
H I J nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
X I«» ¦!—(?:).(«—i)quot; ï («)-0^quot;'!^)” *~00'C«—3)” '
45 nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
... («). («—4)» i — («). 0^—5)« ’ -yenz. j X xp—«—i
« 1 r nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
Cf*) X j «» 2 —2)® -—
. .• (**)*C®:—4}« 2 — nbsp;nbsp;nbsp;—5)« 2 en2. J X xp—«—a/w a
-j- enz..................(7Ï)
Hetgeen wij aan des Lezers eigen oefening overlaten.
kan inhouden.
§. 859. De wet, welke in de termen dezer uitdrukking, die voor alle waarden van p geldt, bellaat, loopt duidelijk in het oog. Hetnbsp;blijkt uit dezelve: 1° dat het verfchil van de orde van xp, (^pnbsp;en « geheele getallen zijnde,) geene lagere dan de magt van inbsp;Dat in deze uitdrukking geene hoogere dan de
(/) — «)* magt van x kan voorkomen; en s'*, dat de verfchil-len van xp van den vorm aip, en ftandvastig zullen zijn.
§. 860. Men zal nu, door n achtervolgens gelijk i, 2, 3, 4, 5, enz. te flellcn, de eerde en volgende. verfchillen van xp kunnen vinden : doch, het is voordeeli^er eene tafel voor de waarden der reek-fen, welke de coëfficiënten van f», /« i, enz, uitinaken, zamen tenbsp;dellen, te meer daar deze tafel.
(/)
Hg 5
-ocr page 516-474
|
4 (p) |
5 CpD |
6 (p) |
7 (PD |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
I |
I |
I |
X |
|
14 |
30 |
61 |
iirt |
|
36 |
150 |
540 |
1806 |
|
24 |
240 |
1560 |
8400 |
|
0 |
120 |
1800 |
IÓ890 |
|
0 |
0 |
720 |
1512 b |
|
0 |
0 |
0 |
5040 |
|
0 |
, 0 |
0 |
0 |
|
0 (p) |
I C/O |
(PD |
5 (^) |
|
I |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
I |
I |
|
0 |
0 |
2 |
6 |
|
, 0 |
0 |
0 |
6 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 - |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
welker bovenfte ingang de binomial ^coellicienten van p, en voorde ingang de verichillen van xf bevat, op ecne eenvoudige wijze wordtnbsp;zamengefteld, door namelijk de naast voorgaande term 36 van zekerenbsp;rij xigt; bij den term der voorgaande rij 14, welke ’er ommidde-lijk boven (laat, op te tellen, en de fom 50 met het orde getal 3nbsp;des verfchils te vermenigvuldigen, waarvan men gemakkelijk het bewijs vinden zal. Deze tafel nu eens zamengefteld zijnde, zal mennbsp;iigcelijk de uitdrukkingen voor de eerfte, tweede en- volgende ver-fchillen van .rigt; vinden; want, nu is, volgens deze tafel, en de formule (/i):
I nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
Lxp ” ip) i-V (/gt;} xt—quot;- nbsp;nbsp;nbsp; kP) xp—inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4;4_p
5 nbsp;nbsp;nbsp;(inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
(fU 5 •= nbsp;nbsp;nbsp;xf—ö (/•} xp~-7 P -r enz.
1 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
4- XP “ 2 (/gt;) .Ti*'—2/2 -j- 6 (p) X/—3 P -f. 14 (pj) Xp—A i* ...
5 nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
30 Cp) xp~i P da (p) xP—6 P quot;V 126 (pj) xP—7 P enz.
3 nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
A- XP — 6 (p) xp—z ^ nbsp;nbsp;nbsp;A-«—4 i* 150 ip) xp~S
6 nbsp;nbsp;nbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
54® (.?} xP—lt;^ i’^ -|- i8o6 (p) xp—7 P enz.
A XP ~ 24 (p) xp—A 240 (p) xp—S 1560 (pj) xP—6 /lt;* -f¦
7
8400 (p) xp—7 P enz...........C'^-^
§• 861. Laat, bij voorbeeld, p —3, x~i cn?~i zijn; dan
zal (PJ = 3, (P) = 3, (p): x3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3 -V -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
:i, (p}~o, enz) zijn: voorts is Aquot; ™'2. 3 X “1“ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’
-ocr page 517-4?5
TWEEDE CURSUS.
^5^3—gp —6; nbsp;nbsp;nbsp;enz., hetgeen met §, 7S2, I. C.,
overëénftemt.
§. 862. Men kan dan, gelijk wij voor xP gedaan hebben, de eerde, tweede en volgende verfchillen • van eenige funftie ommiddelijlc vinden. Hier door wordt men dan in (laat gefield, o™, met behulp vannbsp;de vergelijkingen 3’i=3'o Ayo5 3'2 =yo 2 Jo J'o , ^nz.nbsp;de waarden van y,, j'j, enz,, dat is, in ons geval, de waardennbsp;van {x i)p, (jr 2/gt;, C*4-3«gt;, enz., en, wel (zoo als uitnbsp;§ 774, 775 en 857, genoegzaam blijkt,) door gedurig optellen, tenbsp;bepalen, en het is deze oinllandigheid, welke rn de zamenflelling vannbsp;vele tafelen van groot nut is. Laten w'ij zulks door een voorbeeldnbsp;ophelderen.
§. Sd). Wij hébben (1. C. §. 748 en 783,) reeds aangetoond: . hoe de tafel der vierkanten en cuben der natuurlijke getallen, doornbsp;gedurig'optellen, kunnen worden zamengefleld: waaruit gebleken is,nbsp;hoe groot het voordeel dezer handelwijze zijn moet: doch dit fpreektnbsp;nog fterker, wanneer men eene tafel van de quadraats- en cubus-wor-telen der natuurlijke getallen zou willen zamenftellen; omdat de quadraats- en cubus-worteltrekkingen, ten minde na.ar de gewone wijze,nbsp;niet zoo gemakkelijk en fpoedig afloopen. Stellen wij dan: dat, omnbsp;met de quadraats-wortelen te beginnen, x een volkomen qiladraat zij;nbsp;dan zal men, om de eerde, tweede en volgende verfchillen van yxnbsp;te vinden, in bovenllaaude forinulen p~ \ moeten dellen, cu dannbsp;wordt
Indien men nu de vierkants-wortels der getallen x, :i;-]_ i, a--b 2, ¦V -b 3, enz. berekenen wil, zal men i r: i moeren dellen, en dr.nnbsp;Zullen de vergelijkingen (5quot;) geven:
AVx^ -L. X nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;___i_ nbsp;nbsp;nbsp;_ .. .
yx (2 8x ' 16 x^ 128 x^ 2^6
21
33
, _42P_
32768 X7
3
CfiZ.
__, nbsp;nbsp;nbsp;35
8.r^ nbsp;nbsp;nbsp;64
105
128.V
1024 a
-ocr page 518- -ocr page 519-477
§. S66. Om iiu een denkbeeld te geven, van het gebruik, dat men van foortgelijke verfchillen vergelijkingen maken kan, zulien wij (lellen: dat men eene tafel van de cubus-wortel en der getallen, van' ennbsp;met loco ingefloten, enz. tot tien cijfers voortgezet, berekenen wil;nbsp;dan zal men, de formulen van 804 gebruikende, looo moe-3
ten (lellen, en dan zal i :J/tooo— i: lo zijn: voorts zal men door . berekening vinden:
3
A l/x=: o, 00333 nbsp;nbsp;nbsp;22228nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;39095
3
A^yx=—0,00000 22185 nbsp;nbsp;nbsp;24271
3
A^ l'''x —o, ooooó 0002,6 8S934 3
A*]/x~ — o, 00000 00000 09804 5. 867. Met deze berekende verfchillen, zat men nu de Ciibus-wortelen der getallen 1001, 1002, enz. kunnen vinden. Indedaadnbsp;zijn deze verfchillen onmeetbare grootheden: doch zij worden telkensnbsp;kleiner, en, hoezeer het blijkt, dat zij tot in het oneindige voortgaan, zijn nogtans de vijfde verfchillen reeds zoo klein, dat zij minder zijn dan --, en daar men nu dé tafel der cubus-
‘ nbsp;nbsp;nbsp;1000000000000
wortelen niet verder dan tot tien cijfers in de decimalen wil berekenen, zullen de berekende vier eerlte verfchillen genoeg zijn, om deze Wortels tot dien graad van naauwkeurigheid te vinden. Men onder-(lelle dan de vierde verfchillen gelijk, en dan zal men, volgens de for-123
mule .'y„ nbsp;nbsp;nbsp; («) A 310' C«)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;70 W 70 ^^2., in welke
nu 7(,r:io, A70 —” achtervolgens gelijk 1, 2, 3, enz. te (lellen, zal men vinden :
|
getallen |
derzclver cubus wortelen | |||
|
lOOO |
10, |
00000 |
00000 |
00 |
|
lOOI |
10, |
00333 |
22228 |
39 |
|
1002 |
10, |
00666 |
22271 |
54 |
|
1003 |
10, |
00999 |
00166 |
33 |
|
1004 |
10, |
01331 |
55P49 |
57 |
|
1005 |
10, |
01663 |
89657 |
93 |
|
enz. |
enz. | |||
welke cubus-wortelen tot in de achterde cijfers naauwkeurig zijn. Men kan nogtans, zoo^^s wij elders (Handleiding §. 878.) aangetoond
-ocr page 520-478
toond hebben, deze en de volgende wortels door gedurig optellen vinden.
§. 868. Langs dezen weg, zal men dan, door middel der verfchil-len, eene'geheele tafel kunnen berekenen: maar, met betrekking tot de cubus-wortelen, welke wij tot een voorbeeld genomen hebben,nbsp;zal men niet zoo fpoedig (lagen, wanneer men die der lagere getallen wil berekenen: voor de kleinere getallen, zal het beter zijn,nbsp;die wortels regtftreeks door de vergelijking van Tabelle IV, volgensnbsp;de voorfchriften van 558, te zoeken.
§. 86p. Men zal op dezelfde wijze, als §. 857, de eerde, tweede en volgende verfchillen van alle Helkundige funftien, zelfs ook vannbsp;de transcendentale vinden; doch daar ons oogmerk alleen is, omnbsp;het verband tusfchen de rekenkundige reekfen, en de leer der verfchillen te doen opmerken, en te doen zien, hoe deze drekken kunnen ter verligting van het berekenen der tafels door interpolatie, zullen wi) ons thans niet langer met dit onderwerp bezig houden, ditarnbsp;hetzelve in de Differentiaal-Rekening hervat en aldaar uitvoeriger zainbsp;behandeld worden.
WiS-
-ocr page 521-TWEEDE CURSUS. nbsp;nbsp;nbsp;479
XVIII. BOEK.
yiirjlag van de vorderingen, welke men in het flilkundig oplosfen der hoogere magts vergelijkingen gemaakt heeft.
ZEVENTIGSTE LES.
Over de oplosjing van de cuhifche of derde magts vergelijkingen.
M.
870. * LVAen verflaat door de volkoinene of ftelkundige oplos-fing eener hooge magts vergelijking
«c» «I ^ At»—= 4-e«2. /gt;-v ^ = o het vinden eener uitdrukking, zamengefteld uit de bekende coëfficiënten der gegevene vergelijking, welke, in de plaats dezer onbekendenbsp;gefield zijnde, de gegevene vergelijking tot identiteit brengt, of o=n:onbsp;maakt. Op zulk eene wijze zijn:
en X
SL a nbsp;nbsp;nbsp;2 «
twee Helkundige oplosfingen van de vierkants-vergelijking:
a X- fh X — o
omdat deze twee waarden vnii x, uit de bekende coëfficiënten a, b en c zamengefleld zijnde, aan deze vergelijking voldocb.
§. 871. De oplosfing der hooge magts vergelijkingen door benade-rmg, welke in het Xt Boek geleerd is, is derhalve van de meer al-gemeene Helkundige oplosfing zeer onderfcheiden: de eerde is, voor elke getallen vergelijking bijzonder, en de gevondene wortels doennbsp;geenzins de wijze kennen, op welke zij van de coëfficiënten afhangen: de tweede oplosfing geeft de wortels in eene fiinftie der coëfficiënten; zij is algemeen, en zou daarom, indien zij algemeen mo-Sdijk ware, boven de oplosfing door benadering, welke nooit meer
' nbsp;nbsp;nbsp;'¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dan
-ocr page 522-480
dan eeiie bijzondere is, te verkiezen zijn: doch wij zullen zien: dat men het in die algemeene oplosflng nog niet verder dan tot de vierdenbsp;magts vergelijkingen heeft kunnen brengen, ja zelfs zullen wij bewijzen: dat, wanneer men daar immer toe komen mogt, de algemee-ne uitdrukkingen, welke men voor de wortels zou vinden, zoo za-mengefteld zouden zijn, dat men in het werkdadige de bijzonderenbsp;oplosfiug door benadering liever dan de algemeene zou gebruiken.
§. 872. tt Men zal uit de cubifche vergelijking 3-1' c = o, eene andere cubifche vergelijking kunnen afleiden, in welkenbsp;geen tweede term voorkomt; want, ftellende yz=:x r; dan zal
3 r -f 3
by — bx-\-hf zijn, en de gegevene vergelijking zal veranderen in:
Wanneer men nu « 3r~o ftelt; dan is ;¦=: — la, en de laatlle vergelijking verandert alsdan in:
arS -j- nbsp;nbsp;nbsp;— .1 a-} x -}- (c — l b a nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— o
waaruit blijkt: ff dat, vanneer wen, in de vergelijking y'^ a y^ -{¦ by -\-c~ o, den wortel y gelijk ftelt aan eene onbekende grootheidnbsp;X, verminderd r,iet één derde van den coefficient des tweeden terms,nbsp;de vergelijking, welke men alsdan in x verkrijgen zal, geen tw'ccdennbsp;term hebben, en van den vorm x® p x ft-q ~ o zal zijn; terwijl voorts de wortels van de vergelijking 3i3 lt;ï;y^ ^iy“l't~onbsp;gelijk zullen zijn aan de wortels van rj-p x ft-o, verminderdnbsp;met één derde van den coefficient van den tweeden term der vergelijking in y. Vergelijit hier mede §. 226.
yn a 31»—'t nbsp;nbsp;nbsp;h yo—2 -j, enz. ft-p y ftj q~o
eene vergelijking van dezelfde magt in x vinden kunnen, waarin de
IMen noemt
tweede term ontbreekt, door y:
: X---te ftellen.
n
deze voorbereidende bewerking tot de oplosflng der vergelijkingen het doen verdwijnen van den tweeden term.
§. 874. Nemen wij nu de vergelijking:
x3 •ft' p xft-q~o
'welke van haren tweeden term bevrijd is, en fleueii wij de onbekende X gelijk aan de fom van twee andere onbekenden 3 cn welke ’er dus ééne, bij voorbeeld, 3 naar welgevallen kan genomennbsp;worden; dan is xz:zy-ftz, en x-a—32 33“ 2-1-332“-
lei)
-ocr page 523-481
len wij deze waarden van en x in de gegevene vergelijking x^ ~f* nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dan zal zij in
3 3'®^ 33'2^ »^ /gt;Ö s) ?nz:o veranderen. De fom der termen 3 3'^ a 3 3' 2^, welke in het voor-fte lid dezer vergelijking voorkomt, kan onder de gedaante 3 y znbsp;0 '®) gebragt, en met den term /»(3 2) verëénigd worden: denbsp;iaatfte vergelijking verkrijgt daardoor den vorm
313 2^ (3 2 ji) X (y z) ? = o en is van de gegevene in waarde niet onderfcneiden. Aangezien nunbsp;de grootheden 3 en z, welke in dezelve voorkomen, onbepaald ziin,nbsp;zal men den fadlor Syz p gelijk nul kunnen ftellen .122;, en dannbsp;wordt de voorgaande vergelijking verdeeld in de twee volgende:
(/3)
332 /gt; = o
Deze twee vergelijkingen zijn voldoende, om 3 en z, en gevolgeiijk
x=:y z te vinden. De natuurlijkfte weg, welke zich opdott, om
de grootheden 3 en 2 te bepalen, is, dat men uit de vergelijking i x)
de waarde van 2 afzondere, en deze waarde in de vergelijking (/3)
overbrenge. De vergelijking (aj) geeft:
P nbsp;nbsp;nbsp;. P^
z=z--— ... en ... z^ —---
Stelt men de waarde van 2* in vergelijking dan zal men vinden :
¦jjl
welke
zal:
met 2733 vermenigvuldigd, en voorts herleid zijnde, geven
273.5 27 ^^3 —ƒ,3
. nbsp;nbsp;nbsp;3lt;S 4-^33 =;,4/gt;3
Dit is eene zesde magts vergelijking van de tweede magts vorm: indien men dezelve, naar het voorfchrift van §. 97, oplost; dan zalnbsp;aren vinden:
.....
men zal dan, om 23 te vinden, — door
of
2733
(i2i) Door deze onderflelling aantenemen, is alleen het produdl zy geje' en, en de fom 3 -|- z is ingewikkeld door gt;3 3S 2 C o, ofnbsp;dooi de gegevene verselijUing, bepaald.
II. Cursus. nbsp;nbsp;nbsp;Hh
-ocr page 524-48a
WISKUNDIGE LESSEN,
i ^ nbsp;nbsp;nbsp;moeten deelen : deze deeler heeft twee
waarden, naar dat men het teekcu of het teeken — neemt; nemen wij eerst het teeken ; dan is
2L_J_ ^ nbsp;nbsp;nbsp;^__
273,3 nbsp;nbsp;nbsp;37 —Iq Viiq'^
men vernienigvuldige, volgens §. 445, teller en noemer dezer breuk met ~iq — V{lq^ éP'‘')'-gt; verkrijgt men:
273,3 nbsp;nbsp;nbsp;37nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-_.|^3
of, na herleiding,
deze uitdrukking, zoo als het behoort, negatief nemende, verkrijgt men de waarde van ; gevolgelijk zal met
y=y{-lq yCiq^ ,^.P^^} .
overëénifemmen
¦y
Ivlen zal op dezelfde wijze vinden: dat de uitdrukkingen
y=y {-Iq-yQq^ ^lP^:)}
met elkander overëénftemmen. Welke der twee teekens men derhalve in de vergelijking (0') neme, zal men voor x (leclits deze éénenbsp;waarde
x=y |--l4 K(4?- ïi/gt;^)} K nbsp;nbsp;nbsp;G)
verkrijgen (123), waarin het vierkants wortel - teeken, hetwelk onder het cubieke wortel-teeken voorkomt, in het eene deel met , en,nbsp;in het andere, met — is aangedaan; zoodat daaromtrent geen twijfelnbsp;kan overhlijven.
§. 875. Deze is de uitdrukking, bekend onder de benaming van de formule van Cardanus (124). Alle wegen, welke men naderhand, ter
operas) Zulks kan niet anders, omdat de onbekenden, in de vergelijkin-3y2 ^ —o en 3,3 4-23-[quot;J m:o, op dezelfde wijze voorkomen.
Vergelijk §. 125.
(124) .Scipio Ferreo, een Italiaan, vond, in het begin der zestiende
eeuw,
-ocr page 525-«’plosfnig van de cubifehe vergelijkingen, heef: ingeflaaen, hebben altijd tot dezelfde -uitkomst gebragt, en wij zullen naderhand zien,nbsp;dat men ook tot geene andere komen kan.
§. 876. De cubifchê wortel-uitdrukkingen, wélke in de gevondene foriiiule van Cardanus voorkomen, fchiinen, in den eerften opflag,nbsp;Hechts édiie waarde voor x te geven; men is ook indedaad lang innbsp;de meening geweest, dat zij Hechts éénen wortel deden kennen; janbsp;zelfs blijkt het, uit de lA’.gvbi-a van Clairaut, welke het eerst innbsp;174Ó- uitkwara, en naderhand uit het artikel, ca% irréduBihkin denbsp;eerde Encyclopédie, hetwellt door den beroemden n’Alembert gcfteldnbsp;is, dat dit verkeerde denkbeeld nog in het midden van de XVItlnbsp;Eeuw beftond (125). Men zou de volilrekte algemeenheid van hetftel-
kun-
eeuw, één der gevallen van de oplosfing der cubifchê vergelijkingen, en liet het geheim aan zijnen leerling, Maria Antonio del Fiore, na; dezenbsp;daagde de Wiskundigen uit met vraagllukkcn, welke van do cubifchênbsp;vergelijkingen, voor zoo ver dit geval betrof, afhingen: de fnorkcrijennbsp;van dezen del Fiore deden Tartalea , een ander Italiaansch Wiskundige, naar het geheim zoeken: deze was gelukkig genoeg, om niet Hechtsnbsp;het geval van Ferreo, maar ook alle de andere gevallen van de oplos-Cng der cubifchê vergelijkingen te vinden, en nu daagde hij op zijne beurtnbsp;den leerling van Ferrf.o uit met vraagftukken , welke van dequot; andere, doornbsp;hem gevondene, gevallen afhingen, en welke del Fiore niet kon op-losfen. Tartalea ftelde zijne regels voor de drie gevallen in Italiaan-fche verfen, deelde ter naauwernood, en niet dan onder eene fterke be-ëédiging, van het geheim niet te zullen ontdekken, zijne regels aan Cardanos mede; doch deze ’er iiaderhaiid de bewijzen van gevonden hebbende, maakte geene zwttrigheid zijnen eed te breken, cii, in den jarenbsp;IS4S, in zijne Arte IMagva, zoowel de forraulen van Tartalea als denbsp;betoogen, welke hij van dezelve gevonden had, openlijk bekend te maken, en het is om die reden, dat men Cardanus voor den uitvindernbsp;van de oplosfing der cubifchê vergelijkingen houdt, welke eer, in de voor.nbsp;naamfte plaats, aan Scipio Ferreo tockomt. De leiding van gedachten,nbsp;welke wij in don tekst gevolgd hebben, verfchüt, offclioon de uitkomstnbsp;dezelfde is, nogtans met die van Cardanus. De beroemde Dagrangenbsp;vermoedt, dat onze landgenoot, Hudde, het eerst deze racer beredeneerde en regelmatige oplosfing zou gegeven hebben.
C125) Tot op dien tijd zogt men één der wortelen door de formule van Cardanus, en om de twee anderen te vinden, deelde men de ge-gevene vergelijking .v3 /gt; .ï-j-j —o door x — “¦ Qo de wortel zjjnde,nbsp;door de formule van Caruanvs gevonden,) Men verkreeg dan eene vergelijking van de tweede magt, welke men op de gewone wijze oploste.nbsp;Deze tweede niagts vergelijking kan gem.akkelijk buiten de divifie gevon-
H h 2 nbsp;nbsp;nbsp;deu
-ocr page 526-484
kundig fchrifc miskennen, wanneer men daaraan een gebrek toefchreef, dat alleen zoodanig feheen, omdat men in die tijden in de kracht ennbsp;beteekenis van hetzelve nog niet genoeg bedreven was. Wij zullennbsp;dadelijk zien: dat de formule van Cardanüs, wel verftaati zijnde,nbsp;alle de wortels der cubifche vergelijking doet kennen.
§¦ 877. ff Elk getal heeft drie cubus-wortelen, éénen beflaanba-ren, en twee onbeftaanbare. Hóewel deze waarheid uit §. 640. genoegzaam blijkt, zullen wij zulks echter op eeiie andere wijze aan-
3 nbsp;nbsp;nbsp;3
toonen. Zij a-3—J — Q) dan is x=:yj, of x — J/J—o: nu
is a'3 — //— (^xl- -f X yj -{-X (* — J/^) o; men zal dan ook, om aan de vergelijking —A — o te voldoen, kunnennbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
ftellen: x'^xy A-\-y A-— o, en, wanneer men deze vierkants vergelijking oplost, zal men vinden:
x = \r-l iy~f\^yA, en x = i-l-lV-z]%yA en deze zijn de twee onbeftaanbare cubus-wortelen uit A, welke,nbsp;3
met yA, de drie cubus-wortelen van A uitmaken, en elk 's^an welke , tot de derde magt verheven zijnde, wederom A zal yoortbren-geii. Het beftaan dezer drie wortelen is, gelijk men ziet, in den aard der vergelijking x^—A~o gegrond: ff waar men derhalve dennbsp;cubus-wortel uit een getal getrokken heeft, zal men dien cubus-wortel
met — I -f f V— 3, en met —\ — l y— 3 moeten vermenigvuldigen, om de twee anderen te vinden.
§. 878. Pasfen wij nu dit begiufel op de formule van-Cardanüs toe, en ftellen wij, kortheidshalve:
— i iï/—3 = p; nbsp;nbsp;nbsp;3 = p' m ’
dan zal men hebben: den worden: want, a de gevondene wortel Zijnde, zal, xS ~\-p xH'Jttttonbsp;zijnde, ook «s p a-]~q~o zijn, en, deze laatfte van de eerfte aftrekkende, zal a:3 — ai -f p (.v —») O zijn, welke vergelijking doornbsp;x~a deelbaar is: de deeling geeft
zlo §. 191, en deze vergelijking oplosfende, vindt men voor de twee andere wortels:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
xztz — nbsp;nbsp;nbsp;—p—en a-ZZ —ia — JP(—3.»^)
-ocr page 527-4S5
l** 31= yC—iq Vr^ en z=: — ip: yQ—^q VÖ
a® y = py(.— iq y*'} en z=: — ip:pyQ—lq yr^
3“ y = p'y(:-lq yr} ens = -fi):pVC-i? KO
3
Het is reeds gebleken: dat, in het eerfte geval, zz^yQ—ïq — yr')
I 3 nbsp;nbsp;nbsp;¦
V;
wordt. Hieruit volgt: dat, in het tweede geval, zzz—y(—^q—yr'),
I ®
en, in liet derde, z—-^yQ—f q—^yr) zal zijn: nu is pp^ZZ
(— i 1 y— 3) X (— i — H y— 3) = I; gevolgelijk is . . . ï: p — p' en i:p' — p: derhalve ftemmen met elkander overeén;
3 =: pQ— I q ~ yr') met j =: ?/(—;? KO
zzzp'yP—lq — yr) met yzzp y(i—lq yr)
en z = p yp_— Zq — f^r) met y=.p' yC— ! ? KO en de wortelen van de vergelijking p x qzzo worden, gc-volgelijk :
af= KI—i'?jquot; y[~i^—ygt;'j •... (i) x=p y l^—zq yr] p'y{ — iq — yrj .... (2)nbsp;x=p'y ^ — Iq yrj p y ^—iq—yrj .... (3)
Deze drie uitdrukkingen zullen dan de wortels der gegevene vergelijking -^px-\-q—Q moeten zijn. Men kan zulks, indien men an-ders daaraan twijfelen mogt, op meer dan ééne wijze bevestigen.
§• 879. Indien de drie uitdrukkingen (t), (quot;a) en (3), * welke wij, door de benaming van eerfte, tweede en derde wortels zullen on-derfcheiden, de wortels van de vergelijking x~^ -^-p x qzzo zijn;nbsp;dan moet: i® de fom dezer wortels gelijk nul, 2° de fom van derzel-vet produflen, twee aan twee genomen, gelijk p, en 3°, derzelvernbsp;produft gelijk q zijn, zie §. 210. Stellen wij dan, zoo als boven:
yzLp I-uyyQ:q^-^ftp^)}; zzzp [-iq-yQq^ ftp^) j
da*n zullen de wortels der 'vergelijking door
WISKUNDIGE LESSEN.
y py en p''j' pz ¦ worden nirgedrukt.
De fora dezer wortels is klaarblijkelijk gelijk aan Qi p /) X
Vermenigvuldigt men de wortels, twee aan twee, dan verkrijgt men:
(.P p' pp') X 2^) (2 p 2p' pp f'/) X y* Eindelijk zal men, door alle de wortels met elkander te vermenigvuldigen, vinden;
2 p -}- 2 /3' ff / f ^ = — 3
/ nf—,
, nbsp;nbsp;nbsp;pp pp' p' p
y-gt;3-gt;
cn y z~ — if en y3 ^3 ~ — ^
Hierdoor vindt men: 1° De fom der wortels, dat is, (jl f
(y 2) “ o. 2quot;-* Voor de fom der producten, twee aan twee, (f / ffO . {f -1-2^) (2p ü.p' pp f'p') X yz = —nbsp;3 X —iP~ /'? 3‘' eii voor het product der wortels ff'’(y® 2^)nbsp;Qp pp' -{¦ p'p') (.y H- y ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; I X — q — — q-, al hetwelk,
als overëénkomftig met het bewezene in §. 210, bewijst: dat de drie uitdrukkingen van §. 878, de drie wortels der cubifche vergelijkingnbsp;3f3 4-f X q — o moeten zijn.
§, 880. Indien men den eerfleii wortel, welke men, volgens de. formule van CymcANus, vindr, namelijk:
kortheidshalve gelijk a Helt, en x'^ p x qzzio door x—a deelt, dan zal men, zie noot (125) pag. 483, voor het quotient de vier-kants-vergelijking x^ a X aa p=ZO vinden, en deze geeft»nbsp;voor de twee andere wortels, xzzz—la 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—p —
uitdrukking moet dan, na behoorlijke herleiding, ook de wortels (2)
en
-ocr page 529-en C3) v-an §. S78. geven.. Wij hebben nbsp;nbsp;nbsp;-^-z; dcrfKlve —
2J2 a^, en —z=z ~ nbsp;nbsp;nbsp;— ijja —|nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e») omdat
~p-=zzyz is, —p — la^z=—iy^ 4. 11 3,^1 nbsp;nbsp;nbsp;| x
(31^ — syz z^), en hieruit den vierkants wortel trekkende, . . . K(— p —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= y— 3 23y—Z ¦ hieruit volgt, voor
de twee andere wortels, x — — | « yC— P — 1 nbsp;nbsp;nbsp;gt; indien men
het hovende teeken neemt, a;—3)j (—J —3)s: = py p'z, en, wanneer, men het benedende teeken neemt, x —nbsp;C—s—s y— 3)3’ (— I I y— p z=p'y pz: waaruitnbsp;derhalve blijkt: dat de wortels der vergelijking x= 4-^?a.' «ö p=onbsp;de tweede en derde wortels van de uitdrukking van Cardanos zijn,nbsp;hetgeen tot een nieuw bewijs van de waarheid en aigemeenheid dezernbsp;uitdrukking verftrekt.
§. 881. Indien de wortels, welke, voor de vergelijking xs 4-^:1.*; gz=.o, uk de fonnuie van Cardanus volgen, zoodanige zijn, dannbsp;zal, wanneer men elk dezer in de plaats van x dek, de vergelijking 0 = 0 moeten worden. Nu zijn deze wortels: iquot; y-\-z,nbsp;2'' Py'^'p'z, en 3°,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (3 z: dellen wij de eerde.in plaats van
X-, dan zal y- -f 3 3^ z -f 3 3’ nbsp;nbsp;nbsp; py pz q — o,
of wel 3= z® (3yz, /’) X (y 4- 2) nbsp;nbsp;nbsp;= 0 moeten zijn;
dk is nu indedaad alzoo; want jS-f zs—en p,yz~~p zijnde; wordt de laatde vergelijking —?-|-o 5~o. — Steknbsp;men den tweeden wortel py -\r p^z in plaats van x-; dan zal mennbsp;verkrijgen p'^y^ 4- ZP^ P' y~ ^ Z pp'quot; y z^ p'^ 2^ P py P p'z-{- q,nbsp;cn deze uitdrukking, welke onder den vormnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_j_ p's ;~3 4. _ _ _
(3 pp'y 2 T») X (|3y p'z') 4 q kan gedeld worden, z.al gelijk nul moeten zijn: dit zal ook wederom plaats hebben; want (js~ inbsp;en (3(5'= I zijnde, zal/jSyS-}-|3''3 25nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2= “ —(7, en spp'ys
— 3 y 2 “ — q, zijn, eii de uitdrukking zal gelijk nul worden, hetgeen bewijst, dat ook py-\-p'z een wortel is. Op dezelfde wijze zal
men zulks ook van den derden wortel p'y p z betoogen. - Het
blijkt dan, uit dit alles, overtuigend: i® dat de fom der wortels. Welke uit de fonnuie van Cardanus volgen, benevens de fora vannbsp;derzelver produiSen, twee aan twee, als ook derzelver gedurig pro-duft, de coëfficiënten der gegevene vergelijking, op nieuw tveder tenbsp;voorfchijn zullen brengen: 2® dat elk dezer wortelen, in plaats dernbsp;onbekende gefteld zijnde, de gegevené vergelijldirg o~o maakt, ennbsp;emdelijk 3®, dat ook de wortels, welke men door de vergelijking
Ilh 4 nbsp;nbsp;nbsp;
/ i!
-ocr page 530-488
xquot;^a X-^-a^-\-p—o, door de deelitig van pxq~o, door X — ö, of door den eerften wortel, welke de oplosflng ommid-delijk geeft,) verkrijgt, volmaakt de tweede en derde wortelen van denbsp;gezegde formule van Cardanüs geven zullen.
Van welke ziiile men derhalve de verkregene uitkomften van §. 878 toetst, men vindt overal eenc overeéiiftemming van begiufelen, welke alzoo van achteren bevestigt, hetgeen wij, in §.876, ter wederlegging eener verfletene meening hebben bijgebragt.
§. 882. Uit het voorgaande blijkt: dat de oplosfmg der cubifche vergelijkingen van die der vierkants vergelijkingen afhangt. Indedaadnbsp;ziet men: dat, de vergelijkingen js — ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—¦—p'^
gegeven zijnde, de onbekenden y^ en yan de oplosfmg der vergelijking
qt—^}p^—o
zullen afhangen: noemen wij de wortels dezer vergelijking P en 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
dan zal y — y'P en z~]/0^ zijn: maar, volgens het betoogde in 3,3
S- 877, is ook y—pf/P en y~^'}/P: nu kan men de waarden van a, welke insgelijks drie in getal zijn, niet willekeurig met dienbsp;van 3! verbinden; want deze waarden zijn, in derzelver zamenftemming,nbsp;door de vergelijking 3312 =—p, aan elkander verbonden, en hierom
-ppp.
kan Z dz allcew met
en eindelijk, 2“pj/0 alleen met y::zp'j/P overè'énftemmen.
§. 883. tt Indien de wortels van de vergelijking nbsp;nbsp;nbsp;q t —
~o, * welke wij voortaan de herleide zullen noemen, beftaan-X 3 nbsp;nbsp;nbsp;3
baar zijn, dan zal de wortel J/P nbsp;nbsp;nbsp;bellaanbaar, en de wortels
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
pp'P p'p^Q^ en p' yp -f- p yo^ zullen onbegaanbaar zijn; de vergelijking, x^ -\-px nbsp;nbsp;nbsp;zal derhalve, in dit geval, éénen beftarn-
baren en twee onbegaanbare wortels hebben.
§. 884. Het is van belang: dat wij onderzoeken: wat ’er gebeuren zal, wanneer de wortels der herleide vergelijking -{¦ q t — 2I- p^ ~ o onbeftaanbaar zijn ? In dit geval zidlen zij van den vormnbsp;h kl/—I, en h — ky—I zijn, èn , volgens §. iii, zal denbsp;waarde van i 4^ -j- ^jp'^ negatief ziiij, en de eerfie wortel der cu-bifche vergelijking zal (en deze bijzonderheid heeft den Wiskundigen, federt Cardanus leeftijd, vee! hoofdbrekens gekost,) den on-
be-
-ocr page 531-betlaanbaren vorm
\/(h k U—i) V{Ji — k |/—i) verkrijgen. Hier zijn nu twee zaken te betoogen: 1° -j-f Dat, wats-neer deze wortel eene beftaanbare waarde heeft, de twee overigenbsp;insgelijks bejiaatibaar zuil n zijn. a'' ff Dat deze onbeftaanbarenbsp;vorm altijd eene bejlaanbare waarde heeft,
S
§. 8Ü5. Stellen wij, om het eerfte te betoogen: VQt-\-k\/—O—ƒ
en v'(Jt — ky'—ij~g; dan zullen wij, voor den eerften wortel, hebben : ƒ 4-g = , zijnde fj., volgens de onderftelling, eene beftaanbare uitdrukking: wij moeten nu bewijzen: dat pf p'g ennbsp;insgelijks beftaanbare uitdrukkingen zijn. Wij hebben (h-\-k\/—ï')
3
y. (h — k 1/— i)-=zh^ k^z=.f^g^; derhalve fgzzVQ^^
3
— Cf—Deze waarde van (ƒ—gy moet noodzakelijk negatief zijn; want ware zij pofitief, en gelijk ; d.an zou ƒ—g—v zijn, ennbsp;ƒ— kCji-k- vj. g — ^Ch-—d), zouden, even als h.are derde magten,nbsp;tegen de onderftelling, beftaanbare uitdrukkingen zijn. De uitdruk-3
king nbsp;nbsp;nbsp;zal dan indedaad negatief zijn: ftellen wij
dan — v/(/2» -f- k'^j — Cf — gy — — nbsp;nbsp;nbsp;; dan zal f—gzzz
—I zijn; maar,gcfteld zijnde, zal ƒ—i—i) en gezzt-Qj, — fi j/— 1) zijn. Nu is de tweede wortel gelijk aannbsp;9f 9' S en (3 = — 2 5 V— Z, f' = — s — quot; U— 3 i derhalve
Qp- — I6 U— ij = ^C—F- — ^yi F- u—3 — Ö 1/— nbsp;nbsp;nbsp;
IC~ P- — 6VZ — F V—Z 3 U— 0= — ;' (f- ^yz')‘gt; en de derde wortel p'f pg = (— i — f V- 3) F I lt;5 U- O nbsp;C 1 i V— 3) Cj; F — § 6 1/— i) = — i (/t — 6yz')i en dezenbsp;Wortels zijn diensvolgens beftaanbaar.
§• 8ü(S. Wanneer dan de eerfte wortel den onbeftaanbaren vorm ^ Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
VC^'^ky'—j/Ch — k\/—i) heeft, en tot eene beftann-bare waarde kan herleid worden, dan zullen ook de twee andere wortels der vergelijking beftaanbaar zijn. Wij moeten nu nog bewijzen: dat, welke ook de waarden van h en k zijn, de waarde' dezer uiunbsp;drukking altijd beftaanbaar zal zijn.
Hh 5 nbsp;nbsp;nbsp;§. 8S7.
-ocr page 532-490
§. 8^’7. * Men noemt dit geval, waarin ^ nbsp;nbsp;nbsp; 5^^® negatief is,, het
onherleidbaar geval, omdat de uitdrukking van den eerden wortel liiet algemeen, en iii alle gevallen, in eene uitdrukking kan herleidnbsp;v.'orden, welker waarde in getallen bepaalbaar is. Cardanus merktenbsp;het eerst dit geval op. RAanAEr. Bombelli, meer doorzigts dan Cardanus hebbende, toonde in zijne Algebra, welke in 1589 in het
3
licht verfcheen; dat, wanneer de uitdrukking l/(/t • ¦ i j/—i) kan begrepen worden ontdaan te zijn uit de derde magt van eene uit-
3
drukking van den vorm m-\-nV—i» alsdan nbsp;nbsp;nbsp;—1) =
3
rti -f- n V— I cn dat dan YQi — ^ ]/.— i) or m — n V— i , terwijl de eerde wortel gelijk aan im zal zijn. Wij hebben in §. 580 geleerd: hoe men, indieii het mogelijk is, de uitdrukking......
3
V{h h 1/— i) tot den vorm m n j/— i brengen kan: doch zulks is nooit mogclijk, ten zij de grootheden m en « meetbaar zijn,nbsp;en de gegevene cubifche vergelijking meetbare wortels heeft. De al-gemeene herleiding van het onherleidbaar geval tot eenen beftaanba-ren vorm heeft, federt den tijd van Bombelli, de Wiskundigen vannbsp;den eerfterf rang bezig gehouden, zonder dat men ooit heeft kunnennbsp;dagen; alleen heeft men kunnen bewijzen: dat de waarde van dennbsp;wortel, in dit geval, altijd befiaanbaar is,
888. Wanneer men de 27 en 28 formule van Tabclle N'^ IV, optelt, zal fficu verkrijgen;
Qa-rh]/—i)« (^ — bj/—l)»r2 ......
(n) . a’gt;~-
an—4 i4 — (ji) . an—6 ^6 -j-
1
(71') , atgt;~S — enz. ƒ
en hieruit blijkt: dat de uitdrukking nbsp;nbsp;nbsp; ......
n
jy’Qa — b ]/— I), welke uit twee onbeftaanbare deelen beftaat, eene ' beftaanbare waarde verkrijgt, omdat de onbeftaanbare termen der ontwikkelde lïiagten elkander verjiietigen. Deze uitdrukking kan ondernbsp;de volgende gedaante gefield worden^
Qa -j—b-J/'quot;~~ 1^^ “f- b L““ ^3^ —• nbsp;nbsp;nbsp;. . . ' *
b^
¦^ 00-^-
; an X
1,2. nbsp;nbsp;nbsp;^4^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/,anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7,8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ï
Stel-
-ocr page 533-491
TWEEDE CURSUS. Stellen wij nu « = |, a — h, h=.k-, dan zal:
\^ {Jt k }/'— i) p'(k — k J/— i) —
a.P X I I
‘ h'^ nbsp;nbsp;nbsp;243 ‘nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6561 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;59049
en deze reeks zal, warneer men h — — Iq en k gelijk aan den vier-kants-wortel uit nbsp;nbsp;nbsp;negatief gcwomen, ftelt, in het onher
leidbaar geval, op de formule van Cardaküs kunnen worden toegepast, en men zal, door dezelve, de waarde van den eerden wortel kunnen benaderen.
3
§. SS9. Indien men i/(Jt k y— i) met - l ly—^^ en
yQh — ky— i) met — i quot; V— 3 vermenigvuldigt, en deze pro-duéten optelt; dan zal men voor den tweeden wortel vinden:
JL J/3 -L -L . ^--i .
k nbsp;nbsp;nbsp;9nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;81 ki
154 nbsp;nbsp;nbsp;374 k7 ¦
729 As ^ 6561 ' A® 19683 ’ Ar ook zal men voor den derden wortel vinden:
U3
729 ¦ AS / nbsp;nbsp;nbsp;^ 6561 ¦ A® I9lt;583
it De twee laatfte reekfen, waardoor men de twee andere wortels vinden kan, bevestigen dan ook, dat, in het onherleidbaar geval, allenbsp;de wortels der cubifclie vergelijking beftaanbaar zijn.
§. 890, Maar de herleiding der cubifc'he wortel-uitdrakkingen in reekfen is, lioezeer deze de beftaanbaarheid der woïtels in het onher-lei ibnar geval bewijst, geene herleiding, hoedanige men fteeds zogt: -men verkrijgt daardoor geene bepardde, en uit een bepaald getal termen beftaande ftclkundige uitdrukking, waaruit alle onbellaanbare ter-men_ zijn opgeheven. De uitdrukking van Cardanos fchijnt voor zulknbsp;eeiie herleiding niet vatbaar te zijn. Wanneer, bij voorbeeld, gegeven is: x=:y(k-i-ky—1) yCk — ky'—i), en men dezelvenbsp;tot de tweede magt verheft; dan zal men vinden:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 2 A-|- . . .
2y(k^ -j-k^y, en X wordt gelijk aan J^'[2A 2j/'(/2‘‘4-A®)], welige klnarblijkelijlt eene befbnnbrre uitdrukking is. Wanneer nog gege
ven
ware: x=: y(// k y— i) -f y(_h — k y-
•i), dan zou men, door
door deze vergelijking tot de tweede magt te verheffen, verkrijgen:
— vxh k y— i) nbsp;nbsp;nbsp;—k y— i) 2 yQh’^ ..
yQah-y 2 yik^ y') 2 iih=- k^-) ^ en, voor de waarde van X zelve: x ~y j^y[2^ 2y(^^-j-2 y(^/i^
Men zal, in het algemeen, de uitdrukking, y(_/i k J/—1} ,. . .
ft
y(Ji — k y— i) , zoo dikwijls n een zekere magt van het getal tvet is, onder eenen bcliaanbaren ftelkundigen vorm kunnen brengen, en,nbsp;zonder hulp der onbepaalde reekfen, de beftaanbaarheid dezer uitdrukking blijkbaar maken. Tot zoodanig eene bepardde Helkundige uit-
3 nbsp;nbsp;nbsp;3
drukking zou nu de formule x—y(Jt-\-ky—i') P(,k—ky~i') herleidbaar moeten zijn, om, zonder hulp der reekfen, de waarde desnbsp;wortels in getallen te bepalen; doch vermits de eenige weg, welkenbsp;daartoe open Haat, zulk eene herleiding niet gedoogt, fchijnt het,nbsp;dat men aan dezelve voor altijd moet wanhopen. Verheffen wij dezenbsp;vergelijking tot de derde magt; dan vindt men: x'^—2 k nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
3 y(.k^ k-) X [pQk k y— i) -f- L(/r —ky— i)]; dat is, na
herleiding: nbsp;nbsp;nbsp;^ x JpCk--{-k^^ — 2/1—0. Deze is wederom eene
cubifche vergelijking: wanneer nu deze zelve niet tot het onherleidbare geval behoorde, dan zou alles gevonden zijn; maar daar ....
^ (2 ky y nbsp;nbsp;nbsp;3 y (/i^ k^^y — — is, is het tegengellelde
waar, en de zwarigheid blijft dezelfde. Dan, men kan, door deze nieuwe cubifche vergelijking, op eene andere wijze, betoogen: dat denbsp;formule van Cardanus, in het onherleidbaar geval, eene beftaanbare
3
waarde heeft. Want indien k—o ware, zou x—2y'h zijn; nu kan men betoogen: dat, wanneer k eenige waarde heeft, x altijd eenSnbsp;wezenlijke en beftaanbare waarde zal moeten hebben. Uit de voor-3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^3 —.0
gaande vergelijking volgt: '[/(Ji^yk^')—-^ : deze tot de der-
de magt verheven zijnde, verkrijgt men: nbsp;nbsp;nbsp;k-
xV — 6x'3/;— 15x3 27 X3
Wanneer men in deze uitdrukking
en
xö — 6xS /^ 12 A'S 7?^— 8 /P 27x3
-ocr page 535-king :vs—p,/2 ftelt, wordt ,(~o. Nemen wij nu voor een oogenblik h ftandvastig; dan zalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Heeds grooter worden, naarmate x toe
neemt; want, in dit geval, zal de breuk 8/z:xa (leeds minder dan dén Worden, ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;k')^ zal insgelijks toenemen; wanneer men der
halve x3 langzamerhand van 8 h tot in het oneindige doet toenemen, zal ook de waarde van k^, van nul af tot in het oneindige, grooternbsp;Worden; waaruit dan volgt: dat, welke ook de waarde van k zij,nbsp;k'^ altijd met eene beftaanbare waarde van x zal overëénftemmen.
§. 891. Trekken wij nu alles te zamen, wat tot de oplosfmg eener cubifche vergelijking behoort. Indien gegeven isnbsp;yi a y’‘- b y c — onbsp;dan zullen de wortels der vergelijking:
x’ -f- (^'— l (ï^)x -|- (e — f ^ nbsp;nbsp;nbsp; af — °
met verminderd worden, om die van de gegevene vergelijking in' y te verkrijgen. Men make dan:
b — —p en c — i ^ 0 -f-dan verandert de voorgaande in:
xa -j-/ix-j-^ — o
Indien nu nbsp;nbsp;nbsp;pofitief is, dan zal deze vergelijking éénen
beftaanbaren en twee onbeftaanbare wortels hebben; en drie wezenlijke wortels, indien dezelfde uitdrukking negatief is: (lellende nu, kortheidshalve J/Cl-?^^-Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—/r; dan zullen
1, p, p' de drie cubus-wortelen uit de éénheid, of i, — § J y—3 — 5 — J }/— 3 zijnde, de drie wortelen der vergelijking x^nbsp;p X ^ q^o zijn, als volgt:
2® p VQi -f nbsp;nbsp;nbsp;— vit)
Men vermindere nu deze uitdrukkingen elk met |lt;z,- dan zal men de Wortels der gegevene vergelijking y^ a y^ ky -V c—o verkrijgen.
Indien p(^h -j- Vk) tot den vorm m -f- herleidbaar is; dan zal
ook Vi^ — Vk):
¦j/tt, en de bellaanbare wortel zal meetbaar
gelijk 2w: zijn. Doch, indien V(k-{-Vk) niet tot den vórm herleidbaar is, zal het niet mogelijk zijn, den beftaanbaren
wor-
-ocr page 536-494
wortel eenvoudiger uittedrukken, en zijn getallen waarde wordt doo!quot; eene quadraats en twee cubus-worteltrekkingen gevonden.
Is eindelijk nbsp;nbsp;nbsp;onbeftaanbaar en van den vorm . . •
k 1/— I, zal men de getallen waarde yan den eerden wortel niet anders dan door de reeks:
enz, j
~C L
243 V h
935 r 59049 ^ k
kunnen berekenen, en om van dezelve met goed gevolg gebruik te kunnen maken, moet h aanmerkelijk grooter dan k zijn. Indien hetnbsp;tegengeftelde plaats heeft, zal men den eerden term h met den tweeden term k y— r verwisfelen, en de cubus-tvortelen van k y— 1nbsp; k en van — j/— i k ontwikkelen, en deze reekfen bij elk^n-der tellen, en dan zal men vinden:
'.k
243
enz.
Om de twee andere wortels te benaderen, zal men van de reek-fen van §. 889, gebruik maken, welke onder eenen gefchikteren vorm kunnen gebragt worden, door de termen, welke met vermenigvuldigd zijn, aftezonderen; alsdan zal men, voor de tweede CU
derde wortels, vinden: (vergelijk §. 885.)
3 r 1 ^ k '\^ nbsp;nbsp;nbsp;10 ^'k Y ^ 154/4Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P35
243
-j- enz.
59059
em
3
§, 892.’!. Voorbeeld. Laat gegeven zijn de vergelijkingy^-j-93'^ 393quot; 55= o; dan is'^^ip, ^ = 39, c=55i derhalve k — ^a^~i2—p, en c — ^ b a a'^ zz — ^ — q, en de vergelijking in X wordtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12 x— 8—0: nu is yC^q^
j/So = 4?/'5, en wij hebben voor den eenigen beltaanbarcn wortel van *3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12 X — 8
.3
LC4 4 Us) 1/(4 — 4 U5):
of
cf, Mtigezien nbsp;nbsp;nbsp;2360579775 is, zal men hebben:
s nbsp;nbsp;nbsp;3
94427191 —4? 94427i9ir:x Men doet het best deze cubus-wortels door de Logarithinea te zoeken:
Log. 11, 94 enz. S 1,1120759 3)-
,370Ö920 getal = 2,34797
Log. 4, 94 enz. __ 0,6941040
3)--
0,23:3680 getal ~ 1 ,703Ö0
(jerhalve is x = 2,34797 — igt; 70360 = o, 64437 nagenoeg de wortel van x3-|-12 x— 8 = 0, en 31=:—^2,35563 nagenoeg.
§, 893. 2. Voorbeeld. Zij gegeven de vergelijking xs — 21 x -f 37 = 0; dan is /) = — 21, ^=37. |-Z- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= —|: de
vergelijking heeft derhalve drie beflaanbare wortels, en men zal, om dezelve te vinden,'de reekfen van §. 891. gebruiken kunnen. In deze
3 nbsp;nbsp;nbsp;'
reekfen,is h-=.—18,5; nbsp;nbsp;nbsp;; derhalve —2,644786236347;
/t nbsp;nbsp;nbsp;I
2 X (2,644786236347)=
^* = 0,00219 13805 697;-^-^2
3
aj-'
0,07148 0709165; voorts zal men vinden: i-f- ¦
= 1,00024 3289357,hetvvelk, met 2pk vermenigvuldigd zijnde,geven zal voor den eerften wortel — 5,29085 9369381. Eindelijk zal men
- ( -7- ) ^222- ¦
27 V
vinden:
enz, ~ o, 99959 4622946 en--x
3^/2*
10,07145 1732525, en hieruit vindt
men: -f 2,71688 1417215 en -1-2,57397 7952165 voor de twee andere wortels der vergelijking.
§. 894. Daar men (zie §. 872 en 873,) uit elke hooge magts-vergelijking den tweeden term kan weg maken, valt men natuurlijk op de gedachte, of men niet eene cubifche vergelijking,
^y -{- c~ o, in eene andere cubifche vergelijking van den vorm r=:o zou kunnen herleiden? indien toch zulk eene herleiding,nbsp;rnogeiijk ware, zou de oplosfing der cubifche vergelijking flechts vannbsp;ééne cubus-worteltrekking afhangen. Dan men zal zien, dat de kunstgreep , waardoor men den tweeden term 'doet verdwijnen, tot ditnbsp;Oogmerk niet ftrekken kan; want Hellende, gelijk in §. 872, y~xnbsp;quot;tquot; dan zou men in de vergelijking:
x3 -4-
-ocr page 538-49Ö
ifS -j-C^ ~lquot; 3 nbsp;nbsp;nbsp;¦(¦ C^ 2lt;?r-[-3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;'1'
moecen aannemen, a 3r~o, en è 2 a r 3 j-® — o, omdat ’er nu, in deze vergelijkingen, flechts déne onbepaalde grootheid r voorkomt, kan men, zonder tusfchen « en b eene zekere betrekking aan-tenemen, welke met de algemeenheid (126} der gegevene vergelijking flrijdig is, niet voldoen, en deze kunstgreep kan dan tot dat oogmerk niet geleiden, Nogtans heeft TsciiirniiauseN in 1683 (127)nbsp;een middel gevonden, om tot eene vergelijking van den vorm -j-r~o te komen. Zie hier rfjne handelwijze, welke, zoo als met»nbsp;geraakkelijk bewijzen kan, algemeen is,
§, 8p5. Zij wederom gegeven nbsp;nbsp;nbsp;a bj c = o-, dan
neemt Tsciiirnhausen —py q x, ia welke hulp vergelijking p, lt;7 en X drie onbepaalde grootheden zijn, waar over men in hetnbsp;vervolg nader befchikken kan: deze aangenomene vergelijking met ynbsp;vermenigvuldigende, en voor y-, in het produfl y^-=zpy^-\-qy ^y,nbsp;hare waarde py-\-q-\-x (lellende, verkrijgt men :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=z/'*3i-f-p ,7
-^px -^qy xy, en eindelijk deze waarden van y^ en y^ in de gegevene vergelijking y^ -h a y^ nbsp;nbsp;nbsp;overbrengende:
(ip^ ap ^ x') y (,a p) . (^q x) ez=o waaruit volgt:
Qp^ «p -f- b'j (jj x')
en nu moeten ar, p en q zoodanig bepaald worden, dat tevens ann de aangenomene vergelijkingnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= p y -}- lt;7 -j- ^ voldaan worde.
Stelt men in de aangenomene vergelijking voor y de waarde, welke voor dezelve in (zf) gevonden is; dan verkrijgt men:
wel-
[(p® • -lt;?p '5’) (? ^)]'^ nbsp;nbsp;nbsp;(p^4-'Zp- -^} (f? ^)
(12Ö) Want tot de beftaanbaarheid dezer twee vergelijkingen wordt gevorderd, dat b~'!La!^ zij, en zulks volgt ook uit de vergelijking;nbsp;a:3-f-(A — La^yx'^Cc'—t. ^ ¦4-_^ «3“ o
3 nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 v 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?
welke daardoor in a-3-|-(c — _3ö3) —o verandert. De wortels van alle cubifclie vergelijkingen van den vorm j3 -j- «jra -j- i «2 ^ -j- c.~ o zijn
S nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
derhalve: a:“I/(_i.«3—c); xZZpl/C^^a^—c) en x~p'J/(_^aS — r),
(127) TsciiiiiNriAUSE.v, Heer van Killiui’swald in Ofper-Lautz'”‘~'gt; omtrent 1672 Officier in Hollandfchen dienst, maakte deze leerwijze innbsp;j6Bd in de ASta Erutlitcrum bekend.
-ocr page 539-497
‘V.’elk'e-herleid, en naar de inagten van Qq^-x') geordend zijnde, geven zal:
(jjc -|- 5)3 — nbsp;nbsp;nbsp;“tquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2^3 • C'V ^3^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—Se}/’quot;}quot;
—2lt;»e) Cx-}~,7)—c(;)3 •\-ap'^ -3rbp-{-c) — o
en, wanneer men de magten van xq ontwikkelt, en alle de termen naar de magten van x ordent; dan zal men vinden:
quot;tquot; (3? — nbsp;nbsp;nbsp;— (tp 2b}x^ -j- [3^2 — 2.q{a~ -\-ap — ni») -\-
bp'^-— sO/’d'^^' —Zf7c]x cj3 — (^2 ^ap — 2b')q^-{-\_bp^ (p}b — 3 ’'}/’ dquot; ‘ nbsp;nbsp;nbsp;2/S'cl qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a-f- bp -f^ cl —O
dit is eene cubifehe vergelijking; maar, daar dcrzelver coëfficiënten van twee onbepaalde grootheden p en q afliangen, zal men de coëfficiënten van en x gelijk nul Hellen kunnen: men verkrijgt alsdannbsp;de vergelijkingen:
3/7 — a~—ap-\-^b — o......(5)
3 nbsp;nbsp;nbsp;— 2 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a p — 2^)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-[- (ab — sO/*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
aa c — o................(C)
door welke p m q zullen kunnen bepaald worden. Stellen wij dan; r~q^ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- ap — 2 ^j)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;[bb — 3 c^p b^ —
iac]q — e {p3-{¦ a bP o').......(D)
dan zal de waarde van r door de gevondene waarden van p en q bepaald zijn, en de voorgaande cubifehe vergelijking verandert in
4quot; — o
„ nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
Welker wortels p—r, pp—r en p'jy—r zijn.
De vergelijking (i?) geeft
qz-l(a^ ap~’ib'i......(£)
en Helt men deze waarde van q in de vergelijking (C); dan zal men,
«a herleiding, vinden:
— 3'^)/’“ (9r — p a b za'^^p Qa* — 4 lt;7® ^ . . .
lt;? lt;7 c 4-rr o .............(F)
§. 896. Deze laatfte vergelijking zal twee waarden voor p geven, waarmede, wanneer men dezelve in de vergelijking (F) overbrengt,nbsp;twee overëénkoinflige waarden voor q zullen overëénftemmen, en, metnbsp;deze overëénkomilige waarden vanp en q, zullen insgelijks twee waardennbsp;Van r uit vergelijking (D) overëénftemmen; deze waarden van r bekend zijnde, zal ook x en laatftelijk j bekend worden. ’Er zijn derhalve twee ftelfels van waarden voor p en ^, met elk van welke, drienbsp;Waarden van x zullen overëénftemmen: men zal dus zes waarden voornbsp;vinden, hetgeen veel gronds geeft om te vermoeden, dat, offehoonnbsp;II- CoRscs.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'de
-ocr page 540-498
de vierkants vergelijking QF) geene zesde magts vergelijking van de tweede-magts vorm is, gelijk in de oplosfing van Cardanus plaatsnbsp;heeft, men nogtans dezelfde zwarigheid zal moeten overvvinnen.
§. 897. Stellen wij, om de oplosfing van Tschirnhausen met die van Cardanüs te vergelijken, a=:o-, dan is de vergelijking, dienbsp;men moet oplosfen,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;™ nu wordt
......i
(ö) rzzq^ 2 i Qb— 3 cp -J- li'^)q — (cp ^ 4-^ep c°)
y=-
P Cq x) c ,
CPquot;^ nbsp;nbsp;nbsp; (4' x)
Indien men, in dezen toedand, de vergelijking (/') oplost, vindt men :
¦\-lc yCXc^ ^ b^)
Deze waarde van p doet zien: dat de beftaanbaarhcid der wortels van de vierkants vergelijking in p van dezelfde voorwaarde als die vannbsp;de vergelijking cy'^ — b'^—oFm. de oplosfing van Cardanus,nbsp;afhangt, en het wordt alzoo ten hoogde waarfchijnelijk, dat de waarde van y in de vergelijking (^), even als de formule van de gewone oplosfing, onherleidbar.r zal zijn.
§. 898. TsauRNHAUiEN bepaalt de waarde van y door de aange-nomene vergelijking y^ ~py-\-q-\-x, en begaat hierin eencn misflag; want de fom van de wortels dezer vergelijking is p, en is derhalvenbsp;gelijk aan de fom van twee wortels der vergelijking y3 -j- ay^ -{-by gt;:z= o: daar nu, uit drie dingen, twee dingen, op drie onder-fcheidene wijzen, gecombineerd kunnen worden, zou y te gelijk vannbsp;eene tweede en van eene derde magts vergelijking moeten afhangen.
§, 899. De aangenoinene vergelijking heeft dan met de gegevene Hechts éénen wortel gemeen; beide vergelijkingen hebben dan eenennbsp;gemeenen eerfte-magts deeler: indien men derhalve den gcraecnennbsp;deelet van de gegevene en de aa'ngenomene vergelijking zoekt, zal mennbsp;op de vergelijking (y/) terugkomen. Tschirnhausen neemt dan eenenbsp;vergelijking aan, welke, in zijne redeneerwijze, met de gegevene eencnnbsp;gemeenen wortel verltrijgt. Deze aanmerking kan veel lichts overnbsp;zijne oplosfing verfpreiden.
§. 900. De vergelijking ¦
~o geeft: nbsp;nbsp;nbsp;^——fy''
en
-ocr page 541-3 nbsp;nbsp;nbsp;3
3)® is gelijk
en .T = — p'jyr = — p^ j/r, [want (~ nbsp;nbsp;nbsp; § //'
— [ — 5 y—3) en gev-olgelijk p^=p'.] Stellen wij nu de drie wortelen der gegevene vergelijking -l-ay’^ ^y-^c = o, gelijk aan y'i lquot;i yquot;'\ dan zal, aangezien de drie waarden van met de drienbsp;wortels der gegevene vergelijking moeten inftemmeii, de aangenomenenbsp;vergelijking, y^ zr:p y-\-qx, de drie volgende gedaanten verkrijgen:
3 nbsp;nbsp;nbsp;3
.yr- nbsp;nbsp;nbsp;yy ^
'¦PT
v///2
fquot;^z=.p y'quot; q — yr men vermenigyuldige de tweedi? met p, en de derde met ; dan zalnbsp;men, omdat p*—p is, (waarvan men zich gemakkelijk kan overtuigen,) en I -f- |0 -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— o, zie §. «79, de lom dezer prodiuftcn, bij
de eerfte vergelijking opgeteld, geven:
Hf'i.
p=z
In deze vergelijking kan men de wortels j', yquot; en y'quot; op zoo vele wijzen verzetten als mogelijk is; want men vindt in den zamenhnngnbsp;der vergelijkingen niets, waarom men eenige bijzondere waarde vannbsp;X, liever dan eenige andere, met eenigen bijzonderen wortel van de'nbsp;vergelijking in y verbinden zon. Men heeft dan de navolgende zesnbsp;vergelijkingen:
pr-
¦ y'’^ pyquot;^ p'^yquot;'^. y' pyquot; p^yquot;^ ’
py^~
yquot; py^ p^y'‘'
4 P-
5° p—^-
J//a
6^ p—-'-
y' py'” p'^y
yff 2. ^pyff/Q. nbsp;nbsp;nbsp;a
yquot; py'quot; p^y' ’
In den eerden opOag, zou men nu denken moeten: dat de vergelijking in p zes wortels zou behooren te hebben: maar, wanneer men teller en noemer van de eerfte breuk eerst met p'^ , en daarna met pnbsp;vermenigvuldigt, komen de vierde en vijfde breuken te voorfchijn,nbsp;wanneer men den teller en noemer der tweede breuk met p en p^nbsp;vermenigvuldigt, worden de derde en zesde voortgebragt: ’er zijnnbsp;alzoo flechts twee onderfcheidene waarden van p, namelijk:
yl/Z
y' pyquot;-\-p-yquot;', nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y'-\’py'^'-\-p^y^'
ep dit is de reden waarom, in de oplosfing van Tschirkiiaüsen, de Vergelijking in p flechts tot de tweede magt opklimt,
li 2 nbsp;nbsp;nbsp;S- poi.
P~
.2 JUx
500
§. poi. InJion meii dc waarden van y®, en optelt, verkrijgt men; (aangezien I ~hp p~—o is,)
y/a -j-j//a -.j-y//a ~p Qy/ _|_ y// nbsp;nbsp;nbsp; 3^1
nu is, zie §. 750. nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ gjj ƒ2 y/za.-}-yW* ::r:
— 2 (gt;; derhalve is:
— zIp— — pa-i^3^; en q — l{a'^-^ap — 2 F) en deze is dezelfde als vergelijking (£), welke boven gevonden is.
§. po2. Indien men de breuken (G) van §. poo, bij elkander optelt, zal men vinden, als volgt:
Os'-i-p-y''''). (y'-^py^^^ p-y^O = nbsp;nbsp;nbsp;-A-yquot;^ -f-y//2)
(p p^'). (y'yquot; y'y'^'~hyquot;yquot;')
nu is y'^ -j-yzza _j^yZ//2 —^2 — o ^ en y^y^^lgt; en p p'^2=:—i-, gevolgelijk is het produft der noemers gelijk — 3^-Het produft van den teller van de eerde met den noemer der tweede breuk, bij dat van den teller der tweede met den noemer van denbsp;cerfte opgeteld geeft, (van het theorema van GntARO gebruik makende,) pr — j a b2 de foin der breuken is derhalve gelijk aannbsp;p — y a b-\~2.
3b
bevinden gelijk te ziju aan
en het proauft eindelijk der breuken zal men a‘^—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f'
Deze twee breu-
— 3b
ken zija derhalve de wortels van vergelijking (/’)• nbsp;nbsp;nbsp;hieruit
met vv'einig moeite vinden, dat de.^oplosfmg van TscimtxiLrusEJJ tot die van Cardanüs kan overgebragt worden.
§. P03. Men kan aan de vergelijking (/Q, in de oplosiing van
' h X
h, ais onbepaalde gi'oothedcn, aanmerken; wanneer men dsn deze vergelijking met x'o r—o verbindt; dan zal men de onbekende x kunnen wegmaken, waardoor men eene derde magts vergelijking in ynbsp;verkrijgen zal, welke, met de gegevene yquot;^ ay^¦\-hy-\-c~o, termnbsp;voor term, vergeleken zijnde, drie verg(^'kiagen zai oplcveren, doornbsp;welker oplosfing de onbepaalde grootheden ƒ, g en h bekend zullennbsp;worden. Immers Eialt men uit de eerlle vergelijking x~Qf—hyY.nbsp;O—5')’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;verkrijgt alzoo: [(ƒ—hy')\(j — g)]5-rr=ro.
Dit de handelwijze, welke IIezout in de Mém. de t'Acad. des Sciences de Paris 17Ö2 heeft opgegeven, en welke de Lezer verdernbsp;zal kunnen ontwikkelen.
§. P04. Naderhand, heeft Bezoüt, in de Mémoires dc P.dead, des
Scien-
Tscüisnhausen, den vorm y\
geven, en de letters ƒ, g en
SOI
Sciences de Paris ^ 1765, deze laatfle leerwijze eenig'zins veranderd eii op de oplosfing van hoogere vergelijkingen, dan die van de derdenbsp;magt, toegepast. Gegeven zijnde de cubifche vergelijking x'^'^pxnbsp; q — o-, dan neemt hij de twee hulpvergelijkingen jis — 1—0 ennbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—o; befchouwt ^ en j als drie onbepaalde groot
heden, en fcheidt de waarde van y uit de twee hulpvergelijkingen af. Tor dat einde vermenigvuldigt hij de vergelijking ay~ by-gt;rnbsp;x — o met y, en ftelt, in het produft, voor ys hare waarde i, welke uit ys — laro volgt; en verkrijgt alzoo: by^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^ —°‘
deze laatfte wederom met y vermenigvuldigd en, in het produft, yi — I gefteld zijnde, verkrijgt men: xy^ 'ay b ¦=: o. Mennbsp;heeft bijgevolg de vergelijkingen:
ay^ h'yjf.X'=.o-, by'^-’\-xyJ^a~o-, xy^¦\-ayTb—o Uit de twee eerfte vergelijkingen kan men en y, als twee vannbsp;elkander onafhankelijke onbekenden, befchouwen, en als zoodanig op-losfen; dan zal men vinden:
¦a b
— ax nbsp;nbsp;nbsp;h- — ax
en nu zal men deze waarden van y- en y in de derde vergelijking
xy'^-Vay-J^b — Q kunnen overbrengen, hetwelk geven zal:
x'^—abx — a b X-{• a'^ , ,
-----1- Z’ = o
b--ax
of, na behoorlijke herleiding,
' nbsp;nbsp;nbsp;a b Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦\-b’^') — 0
welke met de gegevenc vergelijking x^-\-px-\-q—o, term voor term, vergeleken zijnde, geven zal;
— 2,ab zzcp en -p- b^ ~ q Lost men deze twee vergelijkingen op; dan zal men vinden:
' r vtv I 27r J ^
Nu geeft de eerfte hulpvergelijking x — — ay~ derhalve:
by: men heeft
Men moet nu nog de waarde van y kennen, om die van x geheel te bepalen. Maar — i ~ o zijnde, is, zie §. 877, y—i ennbsp;y~ — f,y~p en yï r:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y = p' en y- = p'- r:z: p; men ver
krijgt derhalve voor x dezelfde uitdrukkingen, welke de oplosfing Van Carduküs gegeven heeft.
I i 3 nbsp;nbsp;nbsp;§• Sgt;05-
-ocr page 544-§. 905. Deze zijn de voornaamtle wegen, welke men heeft inge-flagen, om de cubifche vergelijkingen optelosfen. Alle deze oplos-fwgen komen ten laatfte op de uitkomften van Cardaküs neder, en blijven, in het onherleidbaar geval, met deze laatfte, aan dezelfdenbsp;zwarigheden onderworpen.
de oplosfing der quadraaU-quadraan of vierde magis vergelijkingen.
§. 906. Ferrari, een tijdgenoot en leerling van Cardanos, was de eerfte, die eenen regel vond, om de vierde magts vergelijkingennbsp;optelosfen. Hij herleide vooraf de gegevene vierde magts vergelijking'nbsp;tot eene andere, in welke de tweede term ontbreekt. GJgevennbsp;zijnde
-p, 3)3 b-r c y d— o
dan ftelle men, volgens §. 873, y~x — en men zrd verkrijgen ; ,
X* (^b ¦
Qd—lac -^a .^.a-zz
¦X3^quot; ^ 'EsS'
of, ftellende b-
^ ~ sis nbsp;nbsp;nbsp;=0
-p; c — a —q en d — |«e-r
¦ r.
de vergelijking:
^4 jj-a _j_ ^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;~ o
§. 907. Ferrari ondernam de oplosfing dezer laatfte vergelijking, bragt, tot dat einde, den term in het voorfte lid over, en verkreeg alzoo: x't —p x'^ — qx — r: nu nam hij eene onbepaaldenbsp;grootheid z aan, telde bij beide leden dezer vergelijking de tweeledige uitdrukking 2zx^-hz^, en verkreeg alzoo de va'gelijking:
Het eerfte lid dezer vergelijking, is een volkomen ftélkundig vierkant , welks wortel x^ -j- ^ is: wanneer nu ook het achterfte lid zulk een volkomen ftélkundig vierkant ware, dan zou men, door den vierkants-wortel uit beide leden der vergelijking te trekken, tot eenenbsp;vierkants-vergelijking komen, uit welke, indi'cn t; bekend ware, * zounbsp;kunnen opgelost worden. Ferrari viel op het gelukkig denkbeeld,nbsp;om de coëfficiënten van het tweede lid dezer vergelijking zoodanignbsp;te bepalen, dat hetzelve een volkomen vierkant werd. Indedaad isnbsp;in elk vierkant, a® 2 ts/Sr-s-f/3’(*het,vierkant
van
-ocr page 545-503
van de helft van den coefficient des tweeden terms gelijk aan het produél van de coëfficiënten der eerfte en derde termen. Op datnbsp;dan het tweede lid der vergelijking (A) een volkomen vierkantnbsp;worde , zal men :
J = (2 3 —/») X — r)
moeten ftellen. Deze vergelijking bevat de onbepaalde grootheid z, en alle de andere letters zijn bekend: indien men dezelve ontwikkelt,nbsp;verkrijgt men de cubifche vergelijking;
23 — nbsp;nbsp;nbsp;—= o .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . (z?)
Deze vergelijking is, in de oplosflng van Ferrari, de herleide, welke 2 zal doen kennen. Men neme dan de waarde van s als bekend; dan zal, vermits 2^ — i-~ : 4. Qn z—p') is, de vergelijking (A),nbsp;de volgende gedaante verkrijgen:
¦P)
2 (2 2 —p')_
Trekt men uit deze den vierkants-wortel, dan verkrijgt men;
far----X yQciz—p^ . .
L nbsp;nbsp;nbsp;s(2 2—/gt;)J
C^)
2 (2 z-/gt;)_
waarin x alleen onbekend is, en welke, indien men dezelve, naar de bekende regels, oplost, voor x geven zal:
welke, wanneer men, zoo als het behoort, de uitdrukkingen, onder de vierkants wortel-teekens, beurteling pofitief en negatief ftelt, de viernbsp;wortels def gegevene vierde magts vergelijking -|- /gt; -p ^ x -j-r—Q geven zullen. Dit is de geest van de oplosfing van Ferrari,nbsp;in welke de oplosfing der vierde magts vergelijkingen van de oplosfing eener derde magts vergelijking afhangt. Befchouwen wij dezenbsp;oploslTng wat meer van nabij.
§. 908. De vergelijlting (5} kan onder de gedaante
22—p-
¦ X y(ji 2 —/)) -f. ;
= 0.....(D)
2^(22—p)'
gefield worden, welke, wanneer men de wortel-uitdrukking negatief neemt, in
?
¦ X J/(2 2 —/gt;)-f :
2K(a2—/))
verandert. De oplosfing van (D) geeft twee van de wortels der gegevene vierde magts vergelijking, en de oplosfing van geeft de
I i 4 nbsp;nbsp;nbsp;twee
504
WISKUNDIGE LESSEN,
twee r.ndere wortels, welke vier wortels al te zamen in de vergelijk king (C) begrepen zijn.
§. 909. tt De vergelijkingen {Dj en {Ej zijn faSoren der vergelijking -kr -p x'quot;- ^ qx rz=.Q. Om zulks te bewijzen, Helle men, kortheidshalve: 1^(22—pj — P; zJ^q\lt;i\/{’xz—/gt;)—O^,nbsp;en s — q:2jy{zz—pj—Ri dan geeft het produa der vergelijkingen {Dj en {Ej
Nu is klaarblijkelijk 0^-k-R~az; P'^ — o.z — p; derhalve — P- — (22 —pj — -bp. Voorts is:
iz—pj L
iy{zz—pj L~ nbsp;nbsp;nbsp;2^(22—/gt;)Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y{^Z—pj
en daarom zal {O^— Rj X P — q zijn. Eindelijk is (RR — nbsp;nbsp;nbsp;—
—7— --- =----^—£_. Deze waarde van (RR is gelijk
4(22—^) nbsp;nbsp;nbsp;82 — 4/»
aan r,- want, wanneer men (8 2^ — 4/gt; 2^ — q~j : (82 — ^pj — r Helt, komt de cubifche vergelijking, welke de waarde van 2 bepaalt,nbsp;(/i') te voorfchijn. Het produfl der twee vicrkants-vergelijkingen (£))nbsp;en {Ej, is derhalve gelijk aan de gegevene vierde magts vergelijking;nbsp;de vierkants- vergelijkingen kunnen derhalve als derzelver faétorennbsp;worden aangemerkt. Nu geeft de oplosfmg der vierkants vergelijkingen de volgende waarden voor x:
o~R=z^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;- r— ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?
yQ’z 2 ¦
uit di
2q
welke beide in de vergelijking {Cj van §. 907, beprepen zijn.
§. pi o. tt Hef blijkt PU ten klaarjie, waarom de herleide in 2 tot de derde wagt opklimt. Want, in de oplosfing van Ferrari , wordtnbsp;eigenlijk de gegevene vierde magts vergelijking in twee tweede magtsnbsp;faftoren ontleed, welker bepaling van ééne onbekende 2 afhangt: nunbsp;bevat elke tweede magts faélor twee wortels: dan, aangezien de oplos-iing natuurlijk onbepaald laat, welke twee dezer wortels in {Dj, ennbsp;Avelke twee andere in (Ej zullen begrepen zijn? moet, wegens denbsp;j'lrikte algemeenheid der Helkundige redeneringen, daar vier dingen, opnbsp;zes ondcrfcheidene wijzen, twee aan twee, kunnen gecombineerdnbsp;worden, de onbepaalde grootheid 2, welke twee dezer combinatiënnbsp;bepaalt, drie onderfcheidene waarden hebben, en kan derhalve niet
au-
-ocr page 547-505
anders, dan door de oplosfing eener derde magts vergelijking, gevonden worden.
§, 911. tt Wdke van de drie wortels der herleide {A') men in de formule (C) felle, zal men, door elk dezer, de vier wortelsnbsp;der gegerene snoeten vinden. Stellen wij, om aan dit geftelde den uiter-
en z'^', de drie
ften graad van klaarblijkelijkheid te geven.
wortels der herleide nbsp;nbsp;nbsp;dan zal altijd, welke dezer drie wortels
in plaats van z, in P, en R, en in vergelijking (FJ geplaatst moge worden, i'’ nbsp;nbsp;nbsp;— P-z=: p; P —/J) rr-f ^ zijn; en
vermits de wortels s', A' en z'quot;, elk in het bijzonder, aan de vergelijking (fR=. Qi 2.3 — \pz^ — q^) : (82 — 4p) nbsp;nbsp;nbsp;?- voldoen
moeten, zal ook, voor elk van dezelve, 0_R r moeten zijn.
§. 912. Descartes, waarfchijolijk door de uitkomst van Ferrari’s oplosfing voorgelicht, neemt twee onbepaalde tweede magts faftorennbsp;aan, welker produdt hij aan de gegevene vierde magts vergelijkingnbsp;gelijk fielt. Laat n p q x -Ir r — o de gegevene vergelijking zijn: men neme dan x'^-\-fx-^g~o, en x'^-\-hx-\-k~Q voor derzelver tweede magts faéloren; dan zal het prodiiftnbsp;dezer faéloren
x^-\-(if-{-h')x^- -\-(^fh-\-g-\-k')x- -\-(^fk-irgh')x-\-gk=.o zijn. Dit produft moet nu aan de gegevene vergelijking gelijk zijn;nbsp;men zal gevolgelijk, ter bepaling der vier onbepaalde grootheden, ƒ,nbsp;g, h en k, de volgende vier vergelijkingen verkrijgen;
f-hA=n; fh-fg-^k—p; fk-\-gh=qi en gkz=.r Descartes doet, even als Ferrari, den tweeden term der gegevenenbsp;vergelijking verdwijnen. In zijne oplosfing is derhalve « = o, ennbsp;f h —o, en gevolgelijk k 2= —ƒ’. Hierdoor wordt de oplosfimrnbsp;eenvoudiger: in plaats der vier bovenftaande vergelijkingen verkrijgtnbsp;men deze drie meer eenvoudige:
g-fk—f'^—p, (Jt — g)f=zq, en gk = r en de aangenomene faéloren worden, in die onderfielling, -ffx-fgnbsp;222 o en x^ —ƒ a: -j- /f 2:^ o.
Uit de twee eerfte der drie vergelijkingen volgt onmiddelijk:
. (c;
S=tl. nbsp;nbsp;nbsp;en k-=zi. [p f^ y]
en, wanneer men deze waarden van g en k in de derde vergelijking gk~r overbrengt; dan zr.1 men, na herleiding, verkrijgen:
2/./4 nbsp;nbsp;nbsp;—= o .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(/ƒ)
en deze is, in de oplosfing van Descartes , de herleide, wdke eene
li 5 nbsp;nbsp;nbsp;zcx
-ocr page 548-5o6
zesde magts vergelijking van de derde magts vorm is, en naar den regel van Cardanus kan worden opgelost. .Door deze oplosfing zalnbsp;ƒ bekend worden, en de twee aangenoinene fafloren worden dan:
jp nbsp;nbsp;nbsp;I =:o; X-—fx § |pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•
zijnde vierkants vergelijkingen, welker oplosfing geeft:
PI3.
tt De uitkomften dezer oplosfing mogen van die van Ferrari fchijnen onderfcheidcn te zijn, zij zijn nogtans volmaakt dezelfde. Want, ftellen wij, in de Cartefiaanfche oplosfing, ^Qg-\-k')z=.zi dan wordt, aangezien g nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—f^—P is, f^ — iz—p; derhalve
is /ö — 8 23 — 12 p 6p3 2 — p3; verder 2 pf^ ~ 8p2- — 8p3 2 ^ 2/gt;3 ; wederom {p^ —4 rj f- — (ap^ — 8 r) 2— . . .nbsp;(/gt;® -f- 4 p O en — q'^ — — q^'. deze alle optellende, vindt men :nbsp;ƒ2p ƒ4- -}- (^pz — 4 r) — 53 — 8 2® — i^p z^ — 8 r 2 -|-(4pr — q~j — o\, of, (door 8 deelende, 2®—^pz- — r z . . -s C/* —ïf’') — egt;. tt De herleide vergelijking, in de oplosfing vannbsp;Descartes, is dan met de herleide, in de oplosfing van Ferrari, tennbsp;fiaauwfie verknocht ^ want de wortels uit de eerfte zijn gelijk aau de
vierkants wortels uit de tweevoudige wortels der laatfle elk, met p verminderd. Daar dan f^ — 2z — p is, wordt nbsp;nbsp;nbsp;— |p en
ƒ—1/(22—pj-, makende dan deze fubftitutie in de vergelijkingen (/) (/); dan zal men de vergelijkingen (C) (C) van Ferrari verkrijgen.
§. 914. Indien men, in de oplosfing van Descartes, n niet gelijk' nul ftelt, zal de herleide vergelijking worden:
/ö — 3»/s' -j- [3?i3 -f- 2p] X ƒ4— « [?2- -j- 4p]0 [2«--p -f 4-
p^—4;-] XO — K[nq-^p~—— n^r—q-'] — o.. QKj welke vergelijking de eigenfchap heeft, tt dat, wanneer men harennbsp;tweeden term doet verdwijnen, door f — A -j- n te feilen, ook tenbsp;gelijk de vierde en zesde termen zullen vernietigd worden, zoo datnbsp;men verkrijgen zal:
Af —
[|»- —2p] X A4 -f [_3 «4 _ aï p -]. n ^ p2 ¦ [f — -J »p -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— o......
-ocr page 549-507
welke, indien men n = Q ftelt, met de vergelijking (//_) wederom zal inftemmen (128).
§• pis* tt Men kan dan den tweeden term der gegevene vierde magts vergelijkingen laten beftaan, en nogtans de handelwijze vrajnbsp;Descartes gebruiken, ft De leerwijze van Ferrari komt ook, innbsp;dit opzicht, met die van Descartes overéén. Want uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; n
p -)- q X r — o, volgt X* n x^ ~ —p — q x — r; nu is het vierkant van x^ § n x -j- y gelijk x'^ -Jr » x^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;1quot;
2 yj x^^-l-n yx ; telt men dan aan beide zijden n^ -j- 2yj x^ ny X -j- bij, dan zal:
[x=^ i KAT -f = [2:)' 1»^ —p]x^ (ny~qjx. j-~,-zijn, en om het achterlle lid tot een volkomen vierkant te maken, zal men: i («y — '0^ rr (2 y | n^—p) x (y^—r) moeten Hellen, waaruit de herleide derde magts vergelijking:
|7'3’=‘ K«'?—40y K4/'“«0'—= o • • W
volgen zal, welke in (Jj verandert, indien men n~ó ftelt, en met de vergelijking (Z.) zoodanig verbonden is, dat =: 2 y -j- ^n^ —pnbsp;is. Hetgeen bij nader onderzoek zal bevestigd worden.
§. pi6. De Engelfche Wiskunftenaar, Thomas Simpson, ftelt de vierde magts vergelijking x^ n x^ p x^ q x r=zo, gelijknbsp;aan het verfchil van twee vierkanten, gelijk [x^ i » x -f Zi]- —nbsp;[kx i]~, (zijnde h, k ca /, drie onbepaalde coefScienten,) ennbsp;verkrijgt voor de ontwikkeling van het verfchil dezer vierkanten:
-f-2/z—k-'\x^ -1- [nh—2/r/]x-f- nbsp;nbsp;nbsp;—l^j—o
welke hij, term voor term, met de gegevene vergelijking vergelijkende, de drie volgende'vergelijkingen verkrijgt:
I «2 -j. 2 ^ — k-—p . . . derhalve 2 ^ (i b- —pj'=ilink— 2kl—q......nh—q~2kl
}r-—l- — r.......h^ — r—l^
Waaruit volgt: [2 A nbsp;nbsp;nbsp;Q^n^—/gt;)] Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—A(«A—qj-.
Deze vergelijking ontwikkelende, vindt men:
A3—|pA- i(;jzy—4r)A-|-1.(4;)—«=‘)r—1^2 = 0 . . (N) ^ welke van de vergelijking (Mj in de meer aigeineene oplosfing vannbsp;Ferrapj niet onderfcheiden is. Voorts vindt men uit dé eerfte en
twee-
(ii8) Bescautes zou ook de uitdrukking a-s-j-ƒ•’••-{-ar o als eenen f-ftor der gegevene vergelijking hebben kunnen aanmerken, en do restnbsp;der deeling vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xi-{-pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-\-l x-^r door xo. Jff xg, gelijk nid
Hollen, en zulks zou hem tot dezelfde uitkomften gebragt hebben.
-ocr page 550-5pS
tweede vergelijking nbsp;nbsp;nbsp;—p] en l — (n h—~-.ak:
en daar het verfchil van twee vierkanten gelijk is, aan de fom der wortels dezer vierkanten met derzelver verfchil vermenigvuldigd, isnbsp;de gegevene vierde magts vergelijking in de fadloren x'^
Qi -{¦ l}~o en ar® (i w — x Qh — /) — o ontleed, en de oplosllng dezer vierkants vergelijkingen geeft voor de wortels dernbsp;gegevene vierde magts vergelijking:
welke, wanneer men in dezelve voor en / hare waarden Helt, met de verder ontwikkelde oplosflng van §. 915. zal overéénkomen, en insgelijks met de formulen (jC) van Ferrari , indien men verder n — onbsp;ftelt (129), zal overëénftemmen.
§. 917. In alle deze oplosfingen, welke tot dezelfde nitkomllEn brengen, komt men tot eene herleide van de derde magt, welkernbsp;wonels alle zonder onderfclieid flrekken, om die der gegevene vergelijking te vinden, hetgeen, zoo als Lagrange ergens aanraerkt, alsnbsp;eene overtolligheid kan aangezien worden. Onderzoeken wij nu, watnbsp;’er gebeuren zal, indien men de oplosfing naar de handelwijze vannbsp;Cardanus aanvat?
S. 918. Zij gegtvm X*p x'^q X r — o. Stel x = A-f-« -l-v, (zijnde r, « en v, drie onbepaalde grootheden,) dan is x-~nbsp;-j-2(rtlt; ry « v), en het vierkant dezer laatftenbsp;is x‘1 — (t^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V®)®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;li-v^') X (At/ Av-}-«yj) -f.
4 (a K A y -f ?/ y)®: maar nu is 4 (a «-f A y « y)® — 4 (a®
A® y® y®) 8 A a y (a -j- M -j- y), en men heeft derhalve.r'i “ (A® A/® y®)® 4(aquot; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-|-y®) x (Aa Ay t/y) 4(a^ a-
A® y“ a® y®) -j- 8 A a y (a a v). Men Helle nu deze waarde
(129) Simpson geeft te hoog van zijne leerwijze op, (zie Treatife of Alaebra, Ei. iSoo, fag. 151.) en begaat zelfs cenen grooten misllagnbsp;met te zeggen: ,, the value of A (in onze teekens A) /« this Equa^nbsp;,, tion will he commenfurate and rational, not only, when all th‘nbsp;5, roots of the given equation are commenlurate, hut when they arenbsp;,, irrational and even imposfible.” Men losfe de vergelijking .1:44-quot;®'^nbsp;— 47nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-47.1:4-25223:0 op, en men zal, bij dc proef, van het tegen
deel overtuigd worden. Wij hebben gemeend: zulks te moeten aantee-Itencn, om dat de (leer Straeee, in zijne Inleid, tot de Math, If'ct, (leze niistöilinir van Simpson heeft overgenomcri.
-ocr page 551-509
de vnn X*, en x, in de gegevene vierde magts vergelijking, dan zal inen verkrijgen:
O' 1^2 _j_ )/2y nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-|- ;./» -{- rgt;j) nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4a^ 4V2) X
(jr « ? V « v) 4 (/» nbsp;nbsp;nbsp;4- S!» }'2_) C^ 8 /«)'} X
(/, a y) gt;• ~ o
Men kan nu in deze vergelijking de coëfficiënten van (r a vj) en van (/ a ? r a r) gelijk nul ftellen, en dan zal men de drienbsp;volgende vergelijkingen verkrijgen:
I« nbsp;nbsp;nbsp;— — lp; 2quot; tuv~ — Iqi
30 nbsp;nbsp;nbsp;4. ^2 4- y2^2 4-/)(r= »=4-yO 4U’a= nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
r — o
Uit de eerfte dezer vergelijkingen volgt: (/= 4- nbsp;nbsp;nbsp;— lp-i
men ftelle deze waarde van (r* 4- nbsp;nbsp;nbsp;de derde; dan verkrijgt men — -f r -f- 4 a= -[- v- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=- o-‘ hieruit volgt
a» 4quot; y“ 4-5quot;) = jJ /lt;“ — \r: het vierkant van de tweede vergelijking is: u- y=4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;q'- Men kent derhalve de fom der
grootheden p, tP, v--, de fom van derzelver produdten, twee aan twee, en derzelver produftnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: naar de leer der vergelijkingen,
zullen derhalve de grootheden r», «= en y», de wortels der cubifche vergelijking:
/ts 4- §;gt; P Crs/“ — i O /t — 4 = o . . . (/gt;)
zijn, welke, aangezien derzelver coëfficiënten bekend zijn, naar de leerwijze van Cardanus , zal kunnen opgelost worden. Noemen wijnbsp;de wortels dezer vergelijking 0, Z’ en c; dan zal t— -l-p^a; . . .nbsp;ti~ -{¦ lyt en y — 4- zijn, en men heeft:
“ nbsp;nbsp;nbsp;x = ya-i-yb-{-yc......Ca)
Algemeen genomen, kan men, in deze uitdrukking, de teekens der wortel-uitdrukkingen zoowel negatief als pofitief nemen; het fchijntnbsp;dus: dat x acht onderfcheidene waarden zal hebben: dan, in aanmerkingnbsp;nemende, dat tuv ~ \/a X ]/b X ]/c — — Iq moet zijn, blijktnbsp;het, dat, in de formule x — J/anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- }/c, alleen die combina
tiën van teekens gelden kunnen, welke aan het produft ]/a •gt;lt;. J/h X yc het tegengeftelde teeken van q geven. ’Er zijn derhalve tweenbsp;gevalitn, naar dat q pofitief of negatief is.
I. ^!s q pofitief is.
X — nbsp;nbsp;nbsp;1/anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—1/hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J/'r
X ZZ nbsp;nbsp;nbsp;l^anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1,'hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/0
X d nbsp;nbsp;nbsp;X^ttnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J/r
2,- ~ nbsp;nbsp;nbsp;l/onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J/inbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/e
II. 2^7/ q negatief is.
X “ 1/a -{- 1/b 4- 1/c * ~ 1/a — yh — 1/cnbsp;X — — 1/a — 1/bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/c
X zz ^ V'a “h yb — yc
§• 919
-ocr page 552-510
§. pif). De uitkomst dezer oplosfing, welke met die van Eü-LER (130) overëénftemt, is van alle de voorgaanden daarin onder-fcheiden, dat alle de wortels der herleide in f/. in de zamenftelling van den wortel der gegevene vergelijking voorkomen. Nogtans zalnbsp;het, bij nader onderzoek, blijken: dat de uitkomften der laatfte oplosfing met die der voorgaande oplosfingen zoo naauw verwandfchaptnbsp;zijn, dat de ééne uit de andere kan afgeleid worden. Wanneer mennbsp;dc herleide QP') der laatfle oplosfing met de herleide QH') van dienbsp;van Descar-tes vergelijkt, blijkt het, dat, wanneer mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—
licit, de herleide QP') in de herleide (Jl') verandert. Nu is x ///z ]/b -^-l/c ~ l/a }/ [l/b -f- IPc]^ ~ p'a lP'(^b -f- c -pnbsp;2 l^b f): maar a b czz — zijnde, zal b c — — \p — anbsp;zijn; wederom is 2}/bc~l/abc:^1/a=.—lqill/a=—nbsp;men verkrijgt dan, (deze waarden van b-\-c en van zbc overbrengen-
de,) X — l/a }/] — lp — a--^ 1, welke ook onder de ge-
daante:
;)]
¦ 2P •
5.[2 ya yQ
kan gefield worden: nu is — derhalve a — \y-, ya — \f: en alle deze waarden in de laatfte vergelijking overbrengende , verkrijgt men:
welke, wanneer men onder het oog houdt, dat ƒ zoo wel pofitief als negatief kan genomen, en de wortel-uitdrukking y\_— 2 p —frnbsp;— 2 q-.fl met de teekens -f- en — moet worden aangedaan, klaarblijkelijk de uitdrukkingen (/) (/) opleveren.
§. 920. De leerwijze van Bezout, welke wij in §. 904. op de oplosfing der cnbifche vergelijkingen hebben toegepast, zal almedenbsp;tot dezelfde uitkomften brengen. Zij wederom gegeven x‘^-\-px‘^nbsp;-}-^x r = o. Nemen wij — 1 = 0 en a b c ynbsp;X — o. Vermenigvuldigen wij, driemaal achter elkander,, de tweede
hulp'
(i.so) Eulrr is, in zijne Algebra, langs oenen geheel anderen weg dezelfde uitkomften gekomen. Hij neemt voor den wortel x z: L'*
en ftelc dat a, b, c, de wortels eener cubifche vergelÜking ^3-j-B^-j-C:::o zjjn, welker coëfficiënten^ hij door *nbsp;tweede en volgende magten te verUefTen , bepaalt.
-ocr page 553-5II'
TWEEDE CURSUS.
iïulp-vergelijking met y, {lellende, op het einde van elke multiplicatie, I, in plaats van y^-^ dan zal men de vier vergelijkingen: ay^ ^3'“- cj x = 05 by^ cy^-{-xy-{• a — o\ c yquot;^x y'^-gt;r
b — o'-, xy'i «3'quot; nbsp;nbsp;nbsp;° verkrijgen. Uit de drie eerlleii
dezer vergelijkingen zal men, y'^ en y oplosfen, en de waarden, welke men daar voor verkrijgt, in de vierde vergelijking overbrengen;nbsp;dan zal men vinden:
— (4 « c 2 b^') x'^ nbsp;nbsp;nbsp;b J^bc-)x — b^ — c*
2 a°- c~ — nbsp;nbsp;nbsp;b'-^ c — o
welke mèt de gegevene vergeleken zijnde, geven zal:
it« e — 2 nbsp;nbsp;nbsp;; lt;? = 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; r
— ab^ c. Hieruit vindt men:
Deze is dezelfde als de herleide (P) der voorgaande oplosfmg: b'^ zal door dezelve belterid worden, en men zal vinden:
J ' nbsp;nbsp;nbsp;V4^
Nu is, uit de eerfle vergelijking, x ~—ay'^—by zijnde,' heeft jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;viernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waarden,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;te weten;
y =2 1, nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=—I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y — nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=~y—i
y^ — i, nbsp;nbsp;nbsp;y^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= ï,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y^=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;yquot;~=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— i
brengt men nu deze waarden van y in ar r:: — ay^—b y^ — cy over; dan verkrijgt men voor de vier wortels: x~ — a — b—c;nbsp;xzz a — b c; x~ a y— i ^ — c y— i en x = — ay— tnbsp; b -[- cy— I; of wel: xr2 — b—Qa cy, x~—b-x-Qa-{-cy^nbsp;X = b (_a — o') y~ I; X-zz-{¦ b — (a — o') y~ 1. Steltnbsp;men eindelijk, in plaats van a, de waarden boven gevonden, zal mennbsp;voor de wortels wederom de Cartellaanfche uitdrukkingen Ql'ynbsp;verkrijgen.'
§. 921. Uit alle deze verfchillende oplosfingen blijkt het: i® dat men, in de oplosfmg der vierde magts vergelijkingen, altijd tot eenenbsp;herleide van de derde magts vorm komt; 2'’ dat alle oplosfingen tennbsp;lastlle dezelfde uitkotnllen geven. Wij zullen ons, in de toepasfing,nbsp;aan de laatfte, en wel bepaaldelijk aan de oplosfmg van §. 910,nbsp;den. Latende de toepasfing der andere oplosfingen aan den Lezernbsp;over.
§• 922.
-ocr page 554-512
§. 932.'Zij dan gegeven de vierde magts vergelijking, ^4 -j- (^7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c y -j- do
dan make men uit derzelver coëfficiënten, de vergelijking
en ftelle p — b — nbsp;nbsp;nbsp;q~c —
en rz=Ld~\ a c
w nbsp;nbsp;nbsp;4
Tè‘^=
24^ dan verkrijgt men;
p nbsp;nbsp;nbsp;q X r ~ o
zijnde yzzx — ^a. Uit deze laatfte make men de herleide vergelijking :
^3 !;gt; nbsp;nbsp;nbsp; (_i ^2 — I r) iJ. — ^lq^z=:o
Indien nu «, i3 en y, de wortels dezer vergelijking zijn, dan zullen
x '~ L* nbsp;nbsp;nbsp;Ll3 L/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;erinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j — — 4 «-{-}/» U/J Lz
X — Vx — nbsp;nbsp;nbsp;L/3 — l^'ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;31 =2 — ï « Vx — 1/(3 — J/y
X — — Vx — nbsp;nbsp;nbsp;L/3-f-L'/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;j — — \a — J/öt — L/S Lz
X — — }/x -j- nbsp;nbsp;nbsp;L/S — L/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y~ — la — p’x L/3 — p’y
de wortels der gegevene vierde magts vergelijking zijn. Moetende, volgens §. 918, de teekens der wortel-uitdrukkingcn genomen ¦worden,nbsp;zoo als dezelve in deze fornmlen voorkomen, indien q negatief is; doch,nbsp;met tcgengeftelde teekens, indien q pofitief is.
§. 923- Ten aanzieii van de herleide vergelijking in moet men opmerken: i'* dat zij, vergelijk §. 273, altijd eenen pofitievcn wortel heeft. 2'’ Dat, wanneer alle haj'e wortels pofitief zijn, de wortels der gegevene vergelijking alle he ft aanhaar zullen zijn. 3'^ Dat,nbsp;wanneer één der wortels negatief is, alk de wortels der gegevene on-heftaanbaar zullen zijn. 4® Heeft de herleide twee onbeftaanbarenbsp;wortels van den vorm m n V— i en m — n L— i; dan is, zienbsp;§. 890,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i} L'C«—«L—
beftaanbaar; doch dan is l/{}n-\-nV—i) — yfu — nf—i) — pfzm — 2p’(m^ nquot;jj onbeflaaiibaar (131). Iti dit geval zalnbsp;de gegevene vergelijking twee beftaanbare en twee onbeftaanbare wortels
(131) Want ftel nbsp;nbsp;nbsp;— LC'quot; — quot;L—i)“y. Indien insn
deze vergelijking in het vierkant brengt, dan zal men vinden: jy» zm — anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-)-»2) en hieruit wederom dcii vicrkants-vvortel trekkende
j quot;tZ LC® »i — a yQmz -j- nbsp;nbsp;nbsp;nu isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-4*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ lt;» s gevolcClijk
zin— negatief, en y is van den yoim yi {/—i.
-ocr page 555-5E
tels hebben (132). nbsp;nbsp;nbsp;5” Lrat a, altijd de pofltieve wortel dor her
leide zijn; dan worden, in dit geval, de wortels der gcgevene . . . *=K'* CF/S Kr) X K— I; ^=K'»—(K/3 Kr) X K— I;nbsp;xzz—y^—cy^—yr) xy—i «i x——yx Q/^—ylt;y-)y^
y— I, alle onbeftaanbaar. Wanneer dan de herleide twee negatieve wortels heeft, zal de gegevene (zoowel, ak in het geval, dat de herleide (lechts eenen negatieven wortel heeft,') vier onbeftaanbarenbsp;wortels hebben, ö'’ Doch zijn deze twee negatieve wortels aan elkander gelijk, en is J//3 — yy gevolgelijk gelijk nul', dan heeftnbsp;de gegevene twee onhefaanhare en twee gelijke beflaanbare negatieve wortels, y'* Nog verdient aangaande het geval, waarin alle denbsp;wortels der herleide beftaanbaar zijn, te worden opgemerkt: dat harenbsp;oplosfing alsdan'aan alle de moeijelijklieden van het onherleidbaar gevalnbsp;onderhevig is, en, bij aldien niet een van hare wortels meetbaarnbsp;is, zal het ook niet altijd mogelijk zijn, de wortels der gegevenenbsp;vierde magts vergelijking onder eenen beftaanbaren vorm daarteftel-len, en dan zal ’er geen ander middel dan de weg van benaderingnbsp;overblijven. Geven wij nu eenige voorbeelden.
§. 924. I. Voorbeeld. De vergelijking — 2 nbsp;nbsp;nbsp;— 23nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“1quot; 5^
— nbsp;nbsp;nbsp;o, optelosfen ? Men Helle y =. x l', dan verkrijgt men voor
de vierde magts vergelijking, waarin de tweede term ontbreekt, x-^ — 24^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 24 x -f 44jJ 2= o; derhalve is p — 24';
4 = —24, en r —44;5, en de herleide vergelijking wordt — IZfjjL- zólioL — p = o. Men zal, door de leer der deelers, voornbsp;de wortels dezer vergelijking vinden; «rzoj; /3 zr 5-j-^21 ennbsp;7=25 — ^21; welke alle pofitief zijn. Men heeft'dan zr ^2'
— nbsp;nbsp;nbsp;i‘, en men vindt, door den regel van §. 478, yfi = iy6-\-iyi4 en yy — iyi^ — iy6. Vermits nu qz=: — 24 negatief
is,
C131) Laat de pofitieve wortel gelijk q, en de twee onbcft.aanbare wortelsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—I en r — pi/—i zijn; d.in is J/? beftaanbaar, en, vol
gens §. B90, is dan oo.k 1/Qr-{¦ p 1/^\j -\-1/lr — pi/—i) befta.anbaar; maar 1/(r -ï- pi/—i)—1/(r — pJ/—,jj is, zie voorgaande noot, van dennbsp;vonn p 1/—I. Laat nu 1/a — 1/q en ~ /i—O; ....nbsp;iXy~J/Qr — p1/—i) zijn; het zij men dan voor l/n, 1/C en 1/y, denbsp;teckens neme, welke in de formule voorkomen, of de tcgengeftelde, zn\nbsp;— ~t~ l/'*--\-fC -f- 1/yt:z-\' 1/qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;• -|- g l/D^ beftaanbaar, en
nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;beftaanbaar; maar
—t en x':z-\-l/effpl/~~i onbeftaanbaar zijn.
II- Cursus, nbsp;nbsp;nbsp;K k
-ocr page 556-514
is, zullen x—J/x J/^ ï/y= lï 1/14; x—l/ct, — L'/S—^
x=: — y« yi3 — L^y = —il ys zijn, en daary = x § is, zullen de wortels der gegevene vergelijking zijn; 2 1/14,nbsp;2 —1/14, — I 1/6 en ~ I — j/6. (133).
§. 925, 2. Voorbeeld. De vergelijking, x^— 22 xquot;—48 a: —
23=20 optelosfen? - In deze ontbreekt reeds de tweede term.
Men vindt, voor de herleide, ft» ¦— 11 nbsp;nbsp;nbsp; 36p.—2,6—0, welker
wortels 2, 3 en 6 zijn. Men heeft derhalve, ya—y2-, y^~y^ en yy —P'6, en, daar q negatief is, zullen de wortels der gegevene vergelijking y^ y^ yó, I/2 —1/3 —^/ó, —y2 —nbsp;P'5 y6 en —1/2 I/3 — y6 zijn.
§. 926. 3. Voorbeeld. De vergelijking y^-\-2.y'i—47J“—47J 252 — o optelosfen ? Stellende 31 = ar !; dan verkrijgt men danbsp;vergelijking: ar^- — 48J a:® x 2632-^=0: men heeft dan p~nbsp;— 48^5 4=2 1, en r= 263j-g, en de herleide vergelijking wordtnbsp;^3—24|/z“ 8ig^ — j'2=o, en ftelt men, om tot meer gemaknbsp;eene vergelijking in gelieele getallen te hebben, jv. 2= 4 x, verandertnbsp;deze in xp—97x^ i298x—1=0, welke, zoo als men bevindennbsp;zal, drie pofitieve wortels heeft, welke tusfchen o en i; 16 en 17nbsp;en 80 en Si vallen, en welke de wortels der vergelijking: x* —nbsp;48J x^- x: 263^»-=2 o, zullen doen bekend worden, waaruit,nbsp;door middel van y 2= x r, die der gegevene eindelijk volgen Zullen,
Verdere aanmerkingen over de oplosfing van §. 913, pag, 508.
§. 927. Wanneer men uit de waarden van x, voor de vergelijking: x4 /. x^ 4x r2=o, in §, 918, gevonden, de vergelijkingen:nbsp;X — QVx yfi yy') — o-, X — Q/cc — y(3 — yy^^o-, . .nbsp;X (J/x y^ — P't') —o en x (J/x — J//3 //y) 2= o,nbsp;welke, wanneer «, /3 en y, pofitief zijn, bellaanbare, doch echternbsp;onmeetbare, deelers der gegevene vergelijking kunnen zijn, op alle moge-
C133) Deze uitkomst Hemt in, met hetgeen in §. 197, met behulp der twee ftelktindige tweede mügrs factoren., waarin het eer/te lid der vergelijking kan onileed worden, gevonden is. Het verdient opgemerkt t®nbsp;Worden; dat ^ 'wanneer de pojitievc 'wortel der herleide^ yergeUjl^*^*^nbsp;een volkomen vierkant is ^ de gegevene vergelijking Hn minfie tweenbsp;Jielkundige tweede magts faëleren heeft.
515
gelijke wijzen, twee aan twee, met elkander vermenigvuldigt; dan zal men de zes volgende produftèn verkrijgen:
,a ^2 — nbsp;nbsp;nbsp;(«—/3—y—2j//3/)zzo, uit i en 2.
2° nbsp;nbsp;nbsp;(«*—/3—7 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— uit 3 en 4.
3V nbsp;nbsp;nbsp;^2_2jc^/7-1-(—«—/3 7—3-
4® nbsp;nbsp;nbsp;x^ 2xyr l—ix—l3 y 2y‘i^')=o,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.
welke, elk in het bijzonder, beftaanbare Cmeetbare of onmeetbare) faétoren der gegeveue vergelijking zijn, en welke, indien men de eer-fte en tweede, de derde en vierde, de vijfde en zesde met elkandernbsp;vermenigvuldigt, altijd hetzelfde produét geven zullen, namelijk:
— nbsp;nbsp;nbsp;2 (« /3 7)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— Sxl/alSynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦\-y^—2x0—
2ay — 2 0y — o
of, na verfchikking van de deelen van den laatften term,
— nbsp;nbsp;nbsp;2(a! /3 7)x®- — 8xyx0y~}-(^x-]r0-i- 7)^ — ...nbsp;4 (a/3 ay 0y)~o
zijnde alzoo —2C‘Z /® 7'); nbsp;nbsp;nbsp;—^]/x0y en ^=:(a /3 7)®
— 4 (« /3 « 7 7)• en gevolgelijk x 0 y — —Ip; . . .
yx 0y — — iq en x0y — ^q'^--, en a0 ay 0yz=......
I (a i3 7)^ — Ir, en omdat x 0 y — — J^en.....
(a /3 7)^ nbsp;nbsp;nbsp;a 0 ay -{¦ 0y —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 1?-, hetwelk al
les op de coëfficiënten der herleide vergelijking uitkomt.
§. 928. De herleide heeft altijd, gelijk wij zagen, eenen pofitieven wortel; nemen wij nu: dat flechts dén wortel negatief zij, bij voorbeeld , 7; dan zijn alle de wortels van x‘^ -\-p x^ -\-qx-\-r — o,nbsp;onbeftaanbaar (§. 923); maar dan worden ook yy, y0y en yxynbsp;onbeftaanbaar, en van den vorm p. y— i, en de coëfficiënten dernbsp;drie ledige faétoren, verkrijgen daardoor noodzakelijk eenen onbeftaan-baren vorm: ook zal hetzelfde gebeuren, wanneer men a oï 0 negatief (telt; doch, wanneer men bp den achterllen term der herleide,nbsp;—ziet men, dat, vermits hij altijd negatief zijn moet,’er geennbsp;enkelde negatieve wortel in de herleide kan beftaan; ’er moeten dan ^nbsp;wanneer alle de wortels beftaanbaar zijn, nog twee podtieve, of tweenbsp;negatieve beftaan. Laten 0 en y twee negatieve wortels zijn; dannbsp;is y0 y beftaanbaar, en de drieledige faétoren verkrijgen alzoo alleennbsp;eenen beftaanbaren vorm, waaruit volgt: ft dat, wanneer alle de wortels eener vierde magts vergelijking onbeftaanbaar zijn, en 'er ge-'^olgelijk, voor de onbekende, geene waarde beftaat, welke aan de ver-
Kk 2 nbsp;nbsp;nbsp;ge-
-ocr page 558-WISKUNDIGE LESSEN.
gelijking voldoet, liaar voorfle lid nogtans in twee {doch in geen meer') drieledige heftaanbare faüoren ontleedbaar h, welker coeffi-cicHten of meetbare of onmeetbare grootheden zullen zijn, naar datnbsp;a, f en y, volkomen of onvolkomen vierkanten zijn.
§. pap. llidien de wortels f en / der herleide oubeftaanbaar, en van den vorm m n y— i en m — n y~ i zijn; dan zal men,nbsp;gebruik makende van hetgeen dienaangaande in §. P23. gezegd is, be-toogen: dat de gegevene vierde magti vergelijking fechts twee drieledige heftaanbare faBoren hebben kan, waarvan de eerfte de heftaanbare, en de tweede de onbeftaanbare wortels inhoudt. Wij latennbsp;zulks aan den Lezer over.
§• P30. tt Wanneer eene evene niagts vergelijking:
P xï »—I 0_x2 «—2 /i x2 B—3 -f- gt;S-»- '’~4 geene heftaanbare wortels heeft, dat wil zeggen, wanneer geene poft-tieve of negatieve waarde, welke men voor x nemen kan, de vergelijking nul gelijk nul maken kan-, dan zal nogtans eene uitdrukkingnbsp;van den vorm p-ft-qy—i aan dezelve voldoen kunnen (134)-
Stellen wij, in plaats van x, de grootheid/gt; r,- dan zal de vergelijking: x2« P x2»—I-j-«ta. onder de volgende gedaante: yl -f B r y Q r^ D r'^ “h E r^ Fr^ -\- Q r^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. . ... •
-!- nbsp;nbsp;nbsp;«—2 Wr'2 »—I -j- ;-2» — o . .....
voorkomen, waarin yj, B, C, D, enz. fundlien van p zijn, welke, vólgens den regel van §. 216, gevonden worden. Wanneer nu geenanbsp;pofitieve noch negatieve waarde, die men voor x nemen kan, hetnbsp;voorlle lid der vergelijking nu! of negatief maken kan; dan is hetnbsp;buiten alle bedenking, dat het ook niet mogelijk zal zijn, een ftelfelnbsp;van waarden voor p en r te vinden, hetwelk aan de vergelijkingnbsp;{A) voldoen kan, en dat alle waardijen, welke men voor de lettersnbsp;neemt, aan het voordo lid deeds eene pofitieve waarde zullen geven.
Nemen wij nu, in plaats van r, de oubeftatmbare uitdrukking qy— i; dan zal r^ =: — q^-,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j/— i • r^~q^-, ztz
y— i; enz. en de vergelijking (A) verandert dan in:
A -\r Bqy—l—Cq^— Dq^y—l-\-Eq‘gt;-yFq^y--l—Qqlt;i
— Hqty— I -f /?8 -f Kq9y— I.
¦ enz. —o....... (Fj)
zal nu immer de waarde x—p qy-y aan de gegevene vergelijking voldoen, zoo moet de foin der termen van (F), welke eoef-
fi-
(134) blijkt uit §. 273 cn §. 274, dat ds waards van het voorlle lid ceiier onbeftaanbare , vergelijking altijd poüdcf moet zijn.
-ocr page 559-5T7
ficienten van \/— i zijn, niet alleen nul moeten worden, maar de fom Van de overige termen der vergelijking (F) zal insgelijks nul moetennbsp;worden: wij verkrijgen dan, na door qV—x gedeeld te hebben,
A—Cq'^-\-Eq^ — Gq^ -^Iq^ Lq'^° -\-enz.-\-q'^n — o nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. ($)
B — Dq^-^-Fq'^—Hq'^-\-Kq^— nbsp;nbsp;nbsp;2 = 0 . .
welke vergelijkingen, zn\ p q ]/— i de gegevene vergelijking op-losfen, met elkander beftaanbar.r moeten zijn.
Wanneer men x—p~qy~x gefteld had,, zou men tot dezelfde vergelijkingen (‘P) eh ('J') gekomen zijn, waaruit blijkt: ft wanneer /gt; lt;7 y— i de gegevene vergelijking oplost, p — q y— Inbsp;dezelve insgelijks zal oplosfen.
Merken v.nj op: dat q^, in de vergelijkingen ($) en (¥) altijd eene pofitieve waarde moet hebben, omdat, wanneer wij —nbsp;Hellen, q — ny—i en qy—i — — n worden, en daaruit volgennbsp;zou, dat p — n de gegevene vergelijking, ftrijdig met de aangenome-ne onderftelling, zou kunnen oplosfen. ft Wanneer het diensvol-gens mogelijk is, oni aan de vergelijkingen (JPj en (SP) te voldoen,nbsp;kan men niet anders dan eene pofitieve waarde van q^ verwagten.
Men kan, naar het voorfchrift van §. 390, de magten van q^ trapswijze doen verdwijnen, en men zal dan, i*’ eene waarde van q~ verkrijgen, uitgedrukc in eene fiinaie van J, B, C, D, enz. dat is,nbsp;in eene funftie van p, en 2'', eene finale vergelijking, in welke alleen de onbekende p voorkomt: kan men nu bewijzen: dat deze finale vergelijking eenen beftnanbaren wortel heeft; dan zullen de vergelijkingen, (‘P) en (fitj met elkander beftaanbaar zijn, en de onderftelling, waaruit deze vergelijkingen voortvloeijen, zal waarheid zijn,nbsp;dat is: p-\-qy—i en p — qy—i, zullen de gegevene vergelijking oplosfen.
De grootheid p komt, in onze befchouwing, voor,'als de fora van twee wortels der gegevene vergelijking; daar nu deze wortels op . .
n Un~ O onderfcheidene wijzen verbonden kun-
2
nen worden, zal, wegens de algemeenheid der ftelkundige befchou-wingen, de finale vergelijking, in p, rot de magt «(2»— t) moeten opklimmen, en zoo dikwijls n een oneven getal is, eene onevene magts vergelijking zijn, welke, daar zij ten minfte altijd eenen be-fiaanbaren wortel heeft, de onderlinge beftsanbaarheid der vergelijkingen (^gt;) en (’F), in dit geval, buiten twijfel licit.
K k 3 nbsp;nbsp;nbsp;Maar
-ocr page 560-5i3
Maar indien de vergelijking, iii p, tot eene evene magt opklimt, dan zal zij onbeftaanbaar kunnen zijn, en indien het dan mogelijk is,nbsp;dat « /3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— I dezelve oplost; dan zal « van eene hogere magts
vergelijking afhangen, welker exponent m{p.m—i) zijn zal, indien 2 w de exponent van de magt der vergelijking in p is. Is nu m eennbsp;oneven getal, dan zal «(aw— i) insgelijks oneven zijn, en a ennbsp;p zullen beftaanbare waarden verkrijgen. Aangezien nu q eene functie van p is, zal dezelve tot den vorm /u-j-yj/-—i herleidbaar zijn,nbsp;en x~p q— i zal tot den vorm p' -|- q'}/— i gebragt kunnen worden.
Is de vergelijking in a nog van eene evene magt en onbeflaan-baar, zal men de vergelijking, in a — nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—i opmaken, om
trent welke, indien zij van eene onevene magt is, wederom hetzelfde gelden zal. Op deze wijze voortgaande, zal men men altijd tennbsp;laatfte tot eene onevene magts vergelijking geraken, welke, daar zijnbsp;ten minde eenen beilaanbaren wortel heeft, bewijst: dat de gegevenenbsp;vergelijking door eene uitdrukking, van den vorm p-\-q}/—i, kannbsp;worden opgelost.
§. pgi. D.nar dan x: — p -j- ? )/— i en x~p — nbsp;nbsp;nbsp;— i, de
vergelijking oplost, zal Qx—p — q}/—i) X —PqV—O —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—^2, p X p^ ^ een tweede magts faftor zijn. Elke evene ’
magts vergelijking heeft dan, zij zij bellaanbaar of onbedaanbaar, een tweeden magts faeior. DccU men door dien faftor, zal het quotientquot;nbsp;nog eene evene magts vergelijking zijn, welke, om dezelve reden,nbsp;een tweede magts fadlor zal hebben, enz. ff Elke onbeftaanbarenbsp;evene magts vergelijking van de i n'hr magt, is derhalve in n tweedenbsp;magts fabloren ontlecdbaar, en zij heeft even zoo véle wortels vannbsp;den vorm p-fq}/—i en p—q^/—i, twee aan twee met elkandernbsp;overëénflemmende, als 'er éénheden in den exponent van hare magt zijn,
TWEE- EN- ZEVENTIGSTE LES.
Over de Hinderpalen, welke men in de algemeene flelkundige oplosfing der hoogere magts Vergelijkingen ontmoet.
§. 932. Nadat in de voorgaande §§. buiten twijfel gedeld is, dat elke vergelijking, of bedaanbare wortels, of onbedaanbare van dennbsp;vorm a-jrjrl/—i heeft, altijd zooveel en niet meer of minder innbsp;aantal zijnde, als ’er éénheden in den exponent van haren hoogden
term
-ocr page 561-519
t«rm voorkomen, kan uien, zich herinnerende (zie g. sop.) dat de coëfficiënten der vergelijking:
ar» nbsp;nbsp;nbsp;—I Bx»—^ quot;i“ Cx»—3 -f- enz, Qx R~q
funftien van de wortels zijn, de oplosfing eener hooge magts vergelijking brengen tot de oplosfing van het volgende vraagftuk. Fan n getallen gegeven zijnde de font der getallen gelijk —A; de [om van allenbsp;deramp;elver mogelijke produüen, tvee aan we, gelijk -j- B enz. dienbsp;getallen te vinden? Want men heeft, in dit vraagftuk, even zoo vele'nbsp;vergelijkingen als ’er onbekenden zijn, ja zelfs, wanneer in cene vergelijking termen ontbreken, blijft het aantal der vergelijkingen nognbsp;hetzelfde, omdat de coëfficiënten der ontbrekende termen nul zijn.nbsp;Wanneer men nu de oplosfing van dit vraagftuk, door alle de onbekende, tot op ééne na, uitteroeijeii, aanvat, vervalt men altijd tot eenenbsp;finale vergelijking, welke aan de gegevene volmaakt gelijk is, en mennbsp;is daardoor geen flap verder gevorderd. Doch deze wijze, om denbsp;zaak te befchouwen, heeft de Wiskundigen op den inval gebragt, ofnbsp;het niet mogelijk zou zijn, uit de coëfficiënten def gegevene vergelijking, zoo vele vergelijkingen te vormen, als noodig zijn, oni denbsp;onbekenden te bepalen, en tevens zoo gefteld zijnde, dat de finale vergelijking tot eene lagere magt dan de gegevene opklimt. Daarnbsp;deze wijze van befchouwen leerzaam is, zullen wij dezelve, offch'ooiinbsp;zij tot geene andere uitkomften dan de voorgaande oplosfingen brengt,nbsp;en, met deze, voor de vijfde en hoogere magts vergelijkingen, aannbsp;dezelfde zwarigheden onderhevig blijft, nogtans kortelijk verklr.ren.
§. 933- nbsp;nbsp;nbsp;gegeven de tweede magts vergelijking: x~ -j- A x
B — O. Laten de wortels dezer vergelijking door a en k worden uitgedrukt; dan is, a-\-lgt;——A en abt=.B. Lost men deze tweenbsp;vergelijkingen op; dan zal men A a B — a of Ah -{¦nbsp;5r:o, voor de finale vergelijking verkrijgen, en derzelver oplosfingnbsp;lieeft dezelfde zwarigheden ais de gegevene. Nemen wij dan, dat,nbsp;behalve a^b — — A, nog gegeven zij a ¦^-phzz.z, zijnde p en znbsp;twee onbepaalde grootlieden; dan zal, aangezien ’er geene bepalingnbsp;gemaakt wordt, welke der twee wortels door a oï b wordt uitgedrukt , met deze aangenoraene vergelijking a-\- bp — z, ook te gelijk eene andere b -f p a'^z' beftaan, in welke p dezelfde waardenbsp;heeft als in de eerfte, en z' van z onderfcheiden is. Deze waardennbsp;van s en z' zullen gevolgelijk van eene tweede magts vergelijking:
[2 — (ji-\-kpy] X [2 — (b -^-p ajl-zzQ
of 2“ — (/gt; -f O nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘‘‘P) ¦
Iv k A
af-
-ocr page 562-520
afliangen. Omdat nu, in de aangenomene ^vergelijkingen, p eene onbepaalde grootheid is; zal men (/gt; -j- i) (0 nbsp;nbsp;nbsp;— o kunnen ftellen:
doch zulks is hetzelfde, als /gt; i — o, of ƒgt; =::—i te nemen: bij deze ouderftelling wordt nunbsp;en men heeft dus zz=.a—b en z'—b—a en z'^~a'^-\-b^ — zab.nbsp;Nu is a-\-h — — A en ab — B-, derhalve a- — — 2B ennbsp;z^ — A^ — 4igt;%' of 2 — -{- l/(^A^—4-S), en nu zijn de onbepaalde grootheden /gt; en s in de aangenomene vergelijking a-\-'bp—znbsp;bekend; zoodat, om de wortels te vinden, de vergelijkingen: abnbsp;— — A en a — h— '-j- p'XA^ — 4 -®) gt; nog moeten worden opgelost, en deze geven, a~ — i A -\-\l/QA-—en b — — IAnbsp;-f- f/(^A^ — 4 B'). De dubbelde teekens geven hier geen twee waar-'nbsp;den te kennen; zij komen in de oplosfmg alleen voor, omdat de vraagnbsp;niet bepaalt, welke der twee wortels de grootfte of kleinfte zij ?
§, P34. Zij gegeven de cubifche vergelijking nbsp;nbsp;nbsp;Ax Bizio,
ftel derzelver wortels a, b en c; dan is a b -i- c —o: nemen wij nu eene vergelijking: p a-j-br c=zz aan, in welke p, q en r,nbsp;onbepaalde grootheden zijn. Hier wordt wederom niets in den aardnbsp;van het vraagtluk gevonden, waarom ééne der grootheden a, ^ ofc,nbsp;liever den eenen dan den anderen wortel zou beteckenen: men kan derhalve., daar de drie wortels op i X 2 X 3 of ó onderfcheidene wijzennbsp;verwisfeld kunnen worden, aan de grootheid s, de zes volgendenbsp;waarden geven:
pa-\-qb-\-rc nbsp;nbsp;nbsp;pb-\-qc-\-ra
pa-^qc-^rb nbsp;nbsp;nbsp;pc -^qa-\-rb
pb-\-qa-\-rc nbsp;nbsp;nbsp;pc-\-qb-{-ra
zoodat de vergelijking, van welke z afhangt, op de algemeende wijze genomen, van de zesde magt zal zijn; doch ’er zijn Hechts drie onbekenden, en bijgevolg vier overtollige vergelijkingen: daar nogtansnbsp;de aangenomene vergelijking pa-\-qb-\-rc — z in zich zelve mogelijk is, en de vijf overige vergelijkingen medebrengt, moet hieruitnbsp;noodwendig volgen: dat de coëfficiënten p, q in r, zoodanig moetennbsp;kunnen bepaald worden, dat de zes vergelijkingen Hechts op twee uitkomen, of liever, dat de zesde magts vergelijking tot eene tweedenbsp;magta vorm gebragt worde. Zijnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o die zesde magts
¦v{~lP±VQiP-
moeten zijn, en.
vergelijking; dan zal z:
-ocr page 563-/
en, volgens §. 877, zal z de volgende zes waarden hebben;
^,p yap^-o:
I X
ftellende dan, als in §. 878, p —3 en/ = — ï — |^_3, en ?/{-i/gt; Ka^^-a)}=^ ens'= . . . .
y^ —IP — y(.l P^ —!Z)j’ zullen de zes wortels der zesde
magts vergelijkingen 2, pz, p'z, 2'', pz' en p'2' zijn, en de aan-genomene vergelijking zal de zes volgende vormen verkrijgen:
1° z—p aq èr c 2quot; nbsp;nbsp;nbsp;z^ ~p anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;q clt;-\-r
p b nbsp;nbsp;nbsp;q anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r c
p'z' —pc nbsp;nbsp;nbsp;qb r a
3° p z—pb qc r a 5** p'z—pc qa-\-rb
Om nu de waarden te bepalen, welke ’er tusfclien de coëfficiënten p, q sxi r beftaan moeten, op dat alle deze vergelijkingen met elkander beftaanbaar zijn, zoo brenge men de waarden van 2 en 2', uit denbsp;twee eerlle, in de vier volgende vergelijkingen over; dit geeft:
(^ —p r)c (r —pp)«=:o (^p — p’r')c-x{lt;l — p'p')a\{p- — p'^h — onbsp;Qp — p r) ^ 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— P /gt;) ö -i-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— P q')c = 0
Qp — p'q') c Qq — p'r ') b -P-Qr — p'p') a — O
Deze vergelijkingen kunnen niet beftaan, of de coëfficiënten van a, b, c, moeten in elke vergelijking afzonderlijk nul worden, en dezenbsp;onderftellingen moeten alle met elkander beftaanbaar zijn. Stellen wijnbsp;dan p — p q — q ^ p r~ o en r — pp — o\ dan zal, omdatnbsp;pp'—i is, ook/) — p''c~o; q — p'p —o'en r—p'qz=o zijn,nbsp;en de coëfficiënten der tweede vergelijking, worden derhalve van zelvenbsp;gelijk nul. Op dezelfde wijze worden de coëfficiënten der vierde vergelijking gelijk nul, wanneer men die van de. derde gelijk nul ftelt.nbsp;Wij hebben dan, om deze vier vergelijkingen met elkander beftaanbaarnbsp;te doen zijn,
p. — pq; q — pr-, r — pp p — p'r; q—p'p; r — p'q
Hieruit volgt: p
p* r en r Kk 5
522
ƒgt;, q en moeten dan, om aan deze zes vergelijkingen te voldoen zijn, als: (3®, p en i, en wederom, als: i, p' en Bij geluknbsp;zijn nu de grootheden p en (3' zoodanig gefteld, dat zij aan dit ver-eischte voldoen; de zes bovenftaande vergelijkingen zijn dan uit zichnbsp;zelven met elkander begaanbaar, ja zelfs blijft nog eene der grootheden /gt;, q en r, onbepaald: nemen wij derhalve p — i-, dan zal q —nbsp;p/i = p,en /gt; = (32/gt; = f® zijn, en de twee eerfte vergelijkingen,nbsp;met welke de vier andere voor alle waarden van a, b en c, bellaan-baar zijn, worden nu
z-=za-{-pb -\-p'^c, z'zza p'^b pc en wij zullen hebben:
pb p^ cy (^a p^b pcy J s»
-f- pb -{¦ p^c')^ X (« -(- /3^ ^ -j-jO lt;3)3 — o Indien men de coëfficiënten dezer vergelijking ontwikkelt, zal men,nbsp;van het theorema van Girard gebruik makende, vinden:
z62‘p B z^—22 A^—o ......(ji)
welker oplosfing z en z' zal doen bekend worden, te weten: of zz' =. — 3 Men heeft dan nu de drie vergelijkingena b
-\-czzo'-, z:z:a-\-pb-\-p^c', z' 'zz a p^ b p c, welke met betrekking tot tz, en f, opgelost zijnde, geven zullen:
¦ f Z /3
en c:
z pz'
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
welke, wanneer men in dezelve de waarden van z en z' overbrengt, de uitdrukkingen van Cardanos geven. Gebruikt men de andere wortels van («), dan zal men voor a, b en c, andere waarden vinden,nbsp;welke de wortels van- de vergelijkingen, x'^-\-ppx-\-q —o, ennbsp;x^ -\-p p^ X q —O' zullen zijn. *
§• 935- ï^^at gegeven zijn de vierde magts vergelijking: x'^ -f-A x^ B X C zz. o, en laten derzelver wortels a, b, c, d, gefield worden: dan hebben wij vooreerst wederom de vergelijking:nbsp;a b c d=0. Nemen wij dan wederom de vergelijking: pa-t-qb-\-rc-i-sd — z, dan is het klaar, dat ’er wederom zoo velenbsp;waarden voor 2 bellaan zullen, als het mogelijk is, de letters b,nbsp;c en d, in deze vergelijking van plaats te veranderen; daar zulks
nu
-ocr page 565-52.3
TWEEDE CURSUS.
au op vier- en- twintig onderfcheidene wijzen gefchieden kan, zulten de waarden van s van eene vier- en- twintigfte magts vergelijking afliangen. Men kan nogtans al ten eerde deze vergelijking tot eenenbsp;lagere magt brengen, indien men p — q ftelt; want dan zal het aantal der permutatien op twaalf uitkomen, en de vergelijking s zal Hechtsnbsp;tot de twaalfde magt opklimmen. Stelt men eindelijk nog r — %-, dannbsp;zal de waarde van z van eene zesde magts vergelijking afhangen, welker wortels
p{b-\-c') r(^a-Yd')‘., pQgt;-gt;rd')-^r(a c')\ zullen zijn. Op dat nu, uit deze zesde magts vergelijking, eene vannbsp;de derde magts vorm zou kunnen afgeleid worden, moeten, indieunbsp;het mogelijk is, de waarden van p en r zoodanig bepaald worden,nbsp;dat de coëfficiënten der evene termen verdwijnen. Bij een weinignbsp;overwegings, ziet men: dat, indien p — — r gefield wordt, ofpr::nbsp;— r—i, wanneer de wortels
nbsp;nbsp;nbsp;(c-f-i); (^a c)—{b-\-d')-, (a ¦\-d')—(b-\- c)
worden, dit oogmerk volkomen zal bereikt worden; want de en 6«, de 2« en 5^, de 3« en 4« wortels zullen dan alleen in de tce-kens onderfcheiden zijn: men heeft dus
[z2 — (a P — c — d)^] X [3^ — (« -^ c — P — d)^] X . . . [z® — (a -i- d — b — e)2] n: onbsp;of, wanneer mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fielt
[31 — C'® ^ nbsp;nbsp;nbsp;® — lt;0“] X Cy —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^.....
{j — Qa d—b~cy-']~o.........
Nu is a b-\‘C d—c en (_a y b — c — d)-~a~ -f- c'-i -j-i® y 2a b — 3 ac — 2ad — 2bc — 2 b d 2 c d: trekt mennbsp;hiervan af -f- ^ e -}- d^zza^ -j- f^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 «^ -i-2ac
'i-2ad-f-2bi:-j-2bd-i-2cd—0i dan houdt men over (a -j- b ~—c — dy ~ — 4(ö’c-(-««-j-óc-|-Z'isl); maar nu is ^~ab-i-^c-i-adybc-i-bd-j-cd; derhalve zal
Qab — c — dy — — A y s^iab c d')~^ zijn; op dezelfde wijze zal men hebben:
(i* -j- c — b — dy ~ -
C« -f d—b — cy--
Men ftelle dan y — ^y-j-A; dan zal de vergelijking (cp), in
¦Cad bc)):
Cy — (ab cd)) X (y — (ac bd)) X O' na behoorlijke ontwikkeling in
-ocr page 566-veranderen. Wanneer men nu de coefiicienten dezer vergelijking, door vermenigvuldiging, ontwikkelt; zal men vinden:
J,s — yi ~ ^ Cv 4. J C— = o flellende nu y =: ly A= 4. f yi; dan zal men vinden:
Zijnde deze dezelfde vergelijking, welke pi8, pag. Sop, gevonden is. Naar deXe laatlle herleiding, is nu 131 — 4/ of 31=16/ = s^ en z~ 4iyt. Laten nu /', t” en t’quot;, de wortels dezer laat-fie vergelijking zijn; dan is 2''= 4]/t';nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— -j- i^Yiquot; en
zquot;'-=:^-^4\/tquot;', en de vergelijkingen, waardoor de wortels der ge-gevene -{¦ Ax- B x ¦\- Czzo zullen gevonden worden, zijn
a-\-b-\-c-\-dzz.o
a-\-b~c—cl~-^4yt' nbsp;nbsp;nbsp;\ Hieruit
voht
A
—b—d—/ a-3rd—b—c—-^4yt'lt;']
f rr yt'^ yt'i^ypquot;
en men komt bijgevolg tot dezelfde uitkomften als in §. 918.
§. 936. Men zou nu misfehien denken: dat deze Leerwijze ook gelukken zou, wanneer zij op de oplosfing eener vijfde, zesde ofnbsp;hoogere magts vergelijking weni toegepast. Stellen wij, om zulks tenbsp;onderzoeken: dat de vijfde magts vergelijking, A i?x^-hnbsp;Cx-l-Z) = o gegeven zij, welker wortels a,b,c,d me zijn; dannbsp;is a i-\-c dgt;^e=io. Nemen wij dan wederom de hulp-verge-lijking, pa-^qb^rc-]“sd~]rte~z, dan zullen de grpotheden a,nbsp;b, t, d en e, ia deze, op i x 2 X 3 X 4 x 5, dat is op 120 onder-fcheidene wijzen, kunnen verwisfeld worden, en s zal alzoo 120 011-derfcheidene waarden verkrijgen: maakt men nogtans in deze vergelijking p=zqz=r, dan zal z twintig, en indien men p — q — rz=isnbsp;ftelt, zal 2 vijf onderfcheideiie waarden verkrijgen, en bijgevolg vannbsp;eene vijfde magts vergelijking afhangen, terwijl het bovendien nognbsp;raogelijk zal moeten zijn, om de waarden van r en / te vindén. Uitnbsp;dit bljgebragte blijkt genoegzaam, welke zwarigheden men in de op'nbsp;losfing van nog hoogere vergelijkingen, deze Leerwijze volgende, Z'^'inbsp;moeten overwinnen.
t
§. 937'. Dc wegen, welke zich ter oplosfing van de hoogere inngts
ver-
-ocr page 567-525
vergelijkingen opdoen, komen op dt-iie van de volgende neder, i® dat men, zoo als wij in de voorgaande §. gedaan hebben, een zeker aantal eerfle magts vergelijkingen zoeke, waardoor de wortels gevondennbsp;kunnen worden, 2° dat men de vergelijking in tweede of derde magtsnbsp;fatoren ontlede, de Leerwijzen van Ferrari, Descartes en Simpson, komen hierop neder, of 3'', dat men voor den wortel eenennbsp;vorm aanneme, hierop komt de leerwijze van Cardanus neder, fpre-ken wij nog met één woord van elk der twee laatften.
§. 938. Zij gegeven de algemeene vergelijking:
jfw quot;F nbsp;nbsp;nbsp;t quot;F ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot; quot;F ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 quot;F e/22, zzi o
tvelker wortels a, b, c, d, e, enz. zijn.
Onderzoeken wij eerst, of deze vergelijking eenen eerften magts factor x-^p hebbe? liij een weinig opmerkzaamheid befpeurt men,nbsp;dat, aangezien niets hier bepaalt, of p liever —a, dan —b, dannbsp;— c, enz. uitdrukke, de vergelijking, waarvan p afhangt, de gegevenenbsp;zelve zal zijn.
§. 939. Denkt men misfehien: dat de bepaling van eeneii tweeden inngts faélor gemakkelijker gaan zal? laat dan x--^p x q die tweede magts faflor zijn: vermits deze nu twee wortels bevat, en ’er nietsnbsp;is, hetwelk bepaalt, welke twee wortels? zal die faflor noodzakelijknbsp;de volgende waarden x~ (^a b')x-k'ab, x- -}- («-Fc) x-Fzrc,nbsp;x^ Qa-^r (0 X ad, enz, hebben, en p zal klaarblijkelijk van denbsp;vergelijking:
[s — nbsp;nbsp;nbsp;-t- ^53 X [z — C'* X fz — Qa - ¦ o’)] X enz. ~ o
en q van de vergelijking:
\t — ah'] X [r — a c\ X \t — ad'] x [z — a e] X enz. “ o afhangen. Maar nu kan men, met een aantal van n wortels, I (tj)nbsp;(«— i) combinatiën, twee aan twee, maken, en de vergelijkingen znbsp;en t, zullen, op zijn algemeenfte genomen, tot de magt \n{n—i)nbsp;opklimmen, ten minfte, wanneer geene bijzondere omftandighedennbsp;deze vergelijkingen tot eeiie lagere raagt doen afdalen. Men kan, welnbsp;is waar, de coëfficiënten der vergelijkingen in 2 en z, van die dernbsp;vergelijking in x doen afhangen, (zie tweede bijvoegfel) maar de op-losfing der vergelijkingen zelve, wordt moeijelijkcr, dan die der gegevene. ,
§. 940. Stek men eenen derden magts faflor nbsp;nbsp;nbsp;
zou zij de vormen ia-\-bJ^c)x'^ ^ (ab-\-ac-\'b c)x’\'abci
'\'(aJf‘b'^d')x~.^(ab-\-ad-\-bd')x-\-abd', enz, verkrijgen,
en
-ocr page 568-en de coëfficiënten p, q tn r, zouden van de drie volgende vergS' lijkingen:
[2 — nbsp;nbsp;nbsp;^ f)] X [2 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 5 dy] X enz. — o
[z — {ab-^ac-Vbcy] x [z—(^ab-^ad bdyj X cBz.mo [s — ab c\ X \z — a b d'l X [s — ah e\ X enz. ~ onbsp;afhangen, welke, daar n grootheden, drie aan drie, of § n (n—^ i)nbsp;(n—2) wijzen, kunnen zamengevoegd worden, van eene §n (k—i)nbsp;(h — 2} magts vergelijking zullen afhangen, zoodat, wanneer men,nbsp;bij voorbeeld, eene zesde magts vergelijking, in twee derde magtsnbsp;faftoren zou willen ontleden, en deze oplosfing van de derde magtsnbsp;vergelijkingen doen afhangen: niet minder dan eene twintigfte magtsnbsp;vergelijking zou behooren opgêlost te worden.
§. 941. De oorzaak van deze zwarigheden, moet alleen aan de algemeenheid der Helkundige teekens worden toegefchreven, welkenbsp;van elk vraagHuk alle mogelijke oplosfmgen geeft, en de volmaaktheid der kunst wordt dan alzoo de oorzaak van hare onvolmaaktheid.nbsp;Het is wel waar, dat, onder fommige bepaalde omflandigheden, de afgeleide vergelijkingen tot eene lagere magt zouden kunnen gebragtnbsp;worden: maar deze omflandigheden zouden de oplosfing van bijzondere, en geenzins van algemeene vergelijkingen, geven.
§. 942. De groote Euler, heeft zich meer dan eens onbegrijpelijk veel moeite gegeven, om de vijfde en hoogere magts vergelijkingen optelosfen. Offchoou hij nu even min, als zijne VOOtgailgerS,
flaagde, heeft hij echter over dit ftuk zeer veel lichts verfpreid. Vele zamenloopende omflandigheden deden hem den vorm, welke de wortels hebben moeten, vermoeden. Men raadplege de Nov. Comm.nbsp;Acad. Petrop. Tom. IX. A‘^ 1764. Lagrange heeft naderhand, opnbsp;de gelegde gronden van Euler voortgaande, dit fluk nog nader on-derzogt. Men zie zijn meer aangehaald werk: de la résolution desnbsp;équations mtmériqiies. Alle deze onderzoekingen komen daarop neder: dat, welke wegen men ook ingefiagen zij, men zelfs niet eensnbsp;heeft kunnen flagen, om eene algemeene vijfde magts vergelijking optelosfen. Voegen wij hierbij, dat Ruffini in zijne Teoria delT Equa-getracht heeft, om ’er de onmogelijkheid van te bewijzen; dan,nbsp;daar wij dit werk tot heden toe niet gezien hebben, kunnen wij overnbsp;de gegrondheid van het betoog dezes geleerden niet oordeelen.
§. 943. Deze vruchteloze pogingen hebben nogtans vele fraaije eigenfchappen der vergelijkingen nader leeren kennen, en zelfs ge-heele klasfen van hoogere magts vergelijkingen opgeleverd, welke vol-
ko-
-ocr page 569-527
komen oplosbaar zijn, andere wederom, welke onder zulke omftan-digheden voorkomen, dat zij tot eene lagere magt gebragt kunnen worden.
§. P44. Onder de eerfte verdienen de hoogere magts vergelijkingen Van de tweede, derde en vierde magts vormen, genoemd te worden,nbsp;benevens verfcheide anderen, welke men in de gedenkfchriften vannbsp;DE Moivre, Euler, Bezout, en anderen zal aantrelFen, en die wijnbsp;alleen daarom met ftilzwijgen voorbij gaan, te meer, daar zij in dennbsp;tegenwoordigen ftaat der kunst, van weinig gewigt zijn.
§. 945- Van meer belang zijn de gevallen, waarin eene hoogere magts vergelijking tot eene lagere magt kan gebragt worden. Ondernbsp;deze, behooren in de voornaamfte plaats de wederkeerige vergelijkingen, * welke die'vergelijkingen zijn, in welke de coëfficiënten en tee-kens van de linker naar de regterhand, tot aan het midden, op dezelfde wijze opklimmen, als zij van daar tot aan het einde afdalen,nbsp;als bij voorbeeld;
x^-hax^'i-ax'hi—o a:quot;*- ö ac® ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*• I — o
x^-i-ax'’'~f-èx^~f“èx^-^ax~hl—o enz.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.
welke vergelijkingen zoodanig gefield zijn, dat zij niet veranderen, wanneer men i: x in plaats van x fielt. Wat nu de onevene magtsnbsp;vergelijkingen van deze foort aangaat, deze hebben klaarblijkelijk x-|-inbsp;tot {a£tor, en wanneer zij door dien faftor gedeeld worden, komt ’ernbsp;eene wederkeerige vergelijking te voorfchijn. Alzoo zal x^-i'ax*.j^nbsp;enz. —o, door x i gedeeld zijnde, geven:
nbsp;nbsp;nbsp;—i)x3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X- -\-(a—i)x ir=o
Wi] moeten ons dan aüeen met de evene magts vergelijkingen van deze foort ophouden. Stellen wij de algemeene evene magts vergelijking :
xin nbsp;nbsp;nbsp;«—I B x'^ »~z -j- enz. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f.
X I's::: o
Laten a, b, c, d, enz. eenige van hare wortels zijn, dan is het klaar:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. insgelijks wortels zijn zullen; om
dat, wanneer a, b, c, enz. de vergelijking o~o maken, i:a, i:b, !:«•, enz zulks insgelijks zullen doen. Deelen wij nu de termen der
ver-
-ocr page 570-vergelijking door x”', dan zal men, na behoorlijke fchikking der termen, verkrijgen:
r x» -f- —1 -f ^ nbsp;nbsp;nbsp;-j—5 r x«—2 H—ï—n
enz. -f- ilf ~ o
ftellen wij nu a; -f- — =r2, dan is a: x nbsp;nbsp;nbsp;, en men zal, volarnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X
gens de algemeene formule van §. 562, pag. 341, de waarden van
x^ -^,x^-\-~ enz, in funftien van z vinden; namelijk x^
X 1 '.X ~z x^ I : x^ zznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 2
x‘^ nbsp;nbsp;nbsp;1 : x‘gt;- zz z* — 4 2“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
X^ I :x^ ~Z^ nbsp;nbsp;nbsp; 5 2»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-)-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3
ajö -f I : x6 = 2Ö nbsp;nbsp;nbsp;— 6 2“^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;()nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2^ — 2
enz. nbsp;nbsp;nbsp;enz.
zijnde algemeen
;v« I : nbsp;nbsp;nbsp;=2 2» — n 2«--2 « . ¦
« — 5
- 2»—4 ¦
, 2«—6 -}- enz. ó
Wanneer men nu deze waarden van at» -1- i : x”, x» r I : a:»—I ^ i;Ar»—in de bovenftaande vergelijking overbrengt, dannbsp;zal men eene nie vergelijking in 2 vinden, van den vormnbsp;z« P 2»—I -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-{- R 2«—3 -{- enz. zz o
weike « wortels hebben zal. Wanneer deze n wortels gevonden zijn,
zal men een aantal van « tweede magts vergelijkingen x -f- nbsp;nbsp;nbsp;~ 2,
of x^ — zx -}-1 “ o moeten oplosfen, waardoor alle de wortels der gegevene vergelijking zullen bekend worden. Zie eene toepasfingnbsp;van deze foort van vergelijkingen, in de oplosfing van het iz Fraag-ftuk, op Tabelle A. ff Het blijkt dan uit dit alles overtuigend:nbsp;dat eene wederkeerige onevene magts vergelijking tot eene evcne ge-hragt kan worden, zonder op te houden wederkeerig te zijn, en datnbsp;eene wederkeerige event magts vergelijking altijd tot eene anderenbsp;gcbragt kan worden, welker magt de helft is van die der gegevene.
§. 94Ó. Wanneer men de wederkeerige vergelijking 3^2»» nbsp;nbsp;nbsp;«—i
-|- ^ nbsp;nbsp;nbsp;2 _j_ enz. -{-mx» enz. -f- bx’gt; -j- «a; -]- izzo, met de
reeks
-ocr page 571-529
.reeks l, p, nbsp;nbsp;nbsp;, enz. vermenigvuldigt, of liever, in plaats van .v,
ftelt y.pi dan zal men de vergelijking:
yi-\-apy» i nbsp;nbsp;nbsp;« 1 -f- enz,-\-mp'‘ytienz.-^bp'^»—quot;'^^
verkrijgen, welke derhalve, door y=zpx te ftelleh, tot de gegevene herleid zal worden.
§. 5)47. Alle wederkeerige vergelijkingen kunnen derhalve tot eene lagere inagt gebragt worden: doch ’er zijn vergelijkingen, welke van eenenbsp;wederkeerige vergelijking, onder de volgende omftandigheden, afhangen,nbsp;i» wanneer de gegevene uit het produft van eene wederkeerip'e metnbsp;eene wederkeerige beftaat, 2® wanneer, door eéne gefchikte fubftitu-tie, de gegevene vergelijking tot eene wederkeerige gebragt kan worden. Daar deze foort van befchouwingen, om zoo te fpreken, onuitputtelijk zijn, zullen wij ons flechts met de befchouwing van eennbsp;enkeld geval vergenoegen.
§. 940. Laat de at® y?-f- Cat® -[- D x^’\.Ex~\‘F—0 gegeven zijn. Nemen wij: dat ’er eenig vermoeden befta, dat dezenbsp;vergelijking uit het produdl van \_x‘^ -\~p a x'^ .^qa^x^-\.pa^
X l_x^ r a; -f- r] 22: o zij zamengefleld. Indien dan dit vermoedert indedaad gegrond is; dan zullen p, q, r en s, in geheele getallennbsp;beftaan moeten. Men ontwikkele dan, om zulks nader te beflisfen,nbsp;het produft; dan zal men vinden;
ar® 4- nbsp;nbsp;nbsp;-f.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f. {jia^-\.pra-\.i)x'^.^Qpa'i ^qra^ -f-psa')x^
_1_ Q3*-^pra'^ nbsp;nbsp;nbsp;¦ArQi'a^-\-psa^')x-\.sa'^ ~ o
welker coëfficiënten een voor een aan die der gegevene gelijk moeten zijn, namelijk
Q
A^pei-\'r; qa^-\-pra s — B; p q r a p s~
D , E _F »^ pra qsz=: — -, ra ps — — en s — —.
Waaruit al ten eerllen volgt: dat de faftor a, éénmaal in C, tweemaal in D, driemaal in £, en viermaal in moet begrepen zijn: kan men deze faftor vinden; dan is s — F bekend: trekt men denbsp;vierde vergelijking van de tweede af, dan verkrijgt men (4 —
— C? — i')s~B — D : a'^ , waaruit volgt: q — i —QB — D : «2): (a^—s). Trekt men voorts de vijfde vergelijking van Qp a anbsp;~Aa, zoo zal men uit het verfchil p~(^Aa—E •.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—s)
en ?- r: (£ : lt;*“ —• s A'): nbsp;nbsp;nbsp;— s) vinden; men zal dan de waarden
530
van a, q, p en r vinden, en deze alle zullen aan de derde verge* lijking pa'^-^qra~‘rps~C:a moeien voldoen.
§. 949. Door de toepasling van deze fonmilen, zal men vinden: dat de vergelijking *0 13nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ai;4 —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 369nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 405 x
81=0 in de faéloren x'^ 3.3 nbsp;nbsp;nbsp;— 9.4x2- 27.33i: 8r.i—o
en 4 X r = o ontleedbaar is, en dat gevolgelijk deze zesde magts vergelijking, door tweede magts fadoren, zal kunnen opgelostnbsp;worden.
§. 950. Wanneer ’er tusfchen twee of meer wortels eener gegevene vergelijking eene zekere betrekking bellaar, kan dezelve altijd tot eenenbsp;lagere magt gebragt worden. Laat, bij voorbeeld, gegeven zijn, denbsp;vergelijking x* J x^ B x^ Cx D =: o, en nemen wij, datnbsp;twee van derzeiver wortels a en P door de vergelijking pa-\-qb—hnbsp;aan elkander verbonden zijn. Omdat dan 0 en ^ wortels zijn, zal mennbsp;de vergelijkingen:
a‘^Aa'^B -{• CaB ~ o • nbsp;nbsp;nbsp;. (O
b‘^A b'^ B b'^C b D ~ o . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
verkrijgen. Maar m.en kan uit de vergelijking p a qb~h, de waarde van b afleiden, en dezelve in de vergelijking (2) overbrengen, welke alsdan van a alleen zal afhangen, zoodat men twee vergelijkingen in a hebben zal, welker eerlle magts gemeene deeler denbsp;waarde van a geven zal. Men zal dan deze gemeene deeler zoeken,
en de waarde van « , -welke dezelve geven zat , \n p a qh ttiz h
overbrengen, en de wortels a en b zullen bekend zijn: eindelijk zal men, om de overige wortels te vinden,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-Cx
D — o, door de tweede magts vergelijking x^—(^a b')x ab deelen, en het quotient zal de vergelijking op de twee andere wortels zijn.
§. 951. Indien p (^ab') z=. q, en bijgevolg eene fymetrieke functie van de wortels a ex\ b gegeven ware, in welke a met b kan ver-wisfeld worden; dan is het klaar: dat de wortels a en b door eene tweede magts vergelijking zouden moeten gegeven zijn, en dat dezenbsp;tweede magts vergelijking de gemeene deeler van de vergelijkingennbsp;(i) en (2) zou moeten zijn, wel verliaande, nadat men uit ... .nbsp;p {a -k- b') — q de waarde van b afgeleid, en in de vergelijking (2)nbsp;zou hebben overgebragt.
§. 952. Stellen wij nog: dat ’er tusfcKen de drie wortels a, h en c, de betrekkings-vergelijking p a~V qb-^rr c — m plaats liebbe, wanneer men dan a, b en c, afzonderlijk in de gegevene vergelijking
over-
-ocr page 573-531
overbi'engt, zal men drie vergelijkingea in a, in b cn in c vinden; herleidt men dan, met behulp van de betrekkings-vcrgelijking, de vergelijking in c in eene andere op a en b, dan zal men, twee vergelijkingen; ééiie in a, en eene andere in a en b hebben, welken, daarnbsp;ééne en dezelfde waarde van a aan dezelve voldoen moet, eenennbsp;gemeenen deeler, die funftie van «en b is, zullen moeten hebben,nbsp;en welke, met de vergelijking p « ^ -[-r r r» gecombineerd zijnde, tot eene andere vergelijking brengen zal, welke alleen eene functie van a zal zijn, en welke de waarden van c geven zal. Mennbsp;kan, op dezelfde gronden voortgaande, deze befchouwingen verdernbsp;lütbteideu.
§• 953* Onder de hoogere magts vergelijkingen, welker oplosling van die van lagere magts vergelijkingen kan- afhangen, verdient eenenbsp;bijzondere melding gemaakt te worden, niet zoo zeer van die vergelijkingen welke indedaad uit het produft van twee of meer lagere magtsnbsp;vergelijkingen ontftaan , en welker faftoren, naar aanleiding van denbsp;gronden, in §. 180, en vervolgens geleerd, altijd zeker genoeg kunnen gevonden worden; maar in het bijzonder, wanneer de coëfficiënten dezer fadoren voor een gedeelte zoodanige wortel-uitdrukkingennbsp;zijn, welke, bij de dadelijke vermenigvuldiging der fadoren, vernietigdnbsp;worden, en welke alleen langs eenen bijzonderen weg moeten opge-fpeurd worden. Newton heeft het eerst, in zijne Arithn, Univ,nbsp;Pars II. Cap. V. deze foort van deelers onderzogt; naderhand zijnnbsp;de meeste Schrijvers deze handelwijze ftilzwijgend voorbijgegaan; dochnbsp;federt onze waardige landgenoot, van Huguen’in, in zijn fraai en nuttig Hoogduitsch gefchrift: Mathenalifche Bcjtrage, Königsberg 1803nbsp;door hulp van deze Leerwijze dezelfde uitkomften als Gauss (135)nbsp;verkregen,en aangetoond heeft, dat de zijde van eenen zeventien hoek,nbsp;in eenen gegevenen cirkel befchreven, van de oplosfing van vierkants-vergelijkingen afhangt, heeft deze Leerwijze van Newton een meerder gewigt verkregen, waarom wij dezelve kortelijk zullen verklaren.nbsp;Deze Leerwijze komt nu hierop neder, dat men, wanneer ’er eenenbsp;evene magts vergelijking van den vorm
x2n -j- nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-4- CxM—3 -1-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 4- enz. ~ o
gegeven is, onderzoeke, of dezelve niet aan het verfchil van een Helkundig vierkant min een veelvoud van een ander Helkundig vierkant
ge-
C133) 7de het voortrcflelijk werk van C. F. Gadss, DhqniJitUnis jflrith-mstiea, Slitia VIL nbsp;nbsp;nbsp;pdg. 66a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;365.
LI 2
-ocr page 574-'53a
gelijk zij; dat is, dat men onderzoeke; of deze vergelijking niet kan gelijk gemaakt worden aan de vergelijking:
[x« -}-ax”—I nbsp;nbsp;nbsp;—2 e;22.]^ — k[/gt;x«—3
e;2Si.]^ ~ o
zoodanig, dat a, b, c, d, enz., n en p, q, r, s, enz. welke klaarblijkelijk van de coëfficiënten der gegevene vergelijking afhangen, meetbare getallen zijn: kan men nu zulk eene uitdrukking vinden,nbsp;dan beftaat de gegevene vergelijking klaarblijkelijk uit het produftnbsp;van de faftoren
X» (lt;? p]/n)x’‘—t (^ q]/'n')x’‘—2 (c r\/n')xgt;'‘—3 -f- enz, — o
xquot; nbsp;nbsp;nbsp;—p J/n') —r nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— q'\/n')xn—2 -j- (c — rl/n')x”~i
-j- enz. — o
en bare oplosfing hangt gevolgelijk van deze twee vergelijkingen af, — Het fpreekt van zelve: dat, wanneer men de gegevene vergelijkingnbsp;aan de aangenomene uitdrukking gelijk maken kan, en n tevens daarbij een volkomen pofitief vierltant wordt, de gegevene vergelijking innbsp;meetbare faéloren ontleedbaar zal zijn.
§. 954. Dit onderzoek kan niet wel op eene algemeene wijze worden ingerigt. Newton heeft ook de gevallen voor de vierde, zesde, achtlle magts vergelijkingen afzonderlijk onderzogt. Wij zuilen hier,nbsp;om kort te zijn, zijn voetfpoor niet volgen, en ons met den Meernbsp;HuGUENIN alleen bij de achtfte magts vergelijkingen bepalen, Waaruitnbsp;men genoeg zieii zal, hoe men de lioogere magts vergelijkingen behandelen moet, terwijl door fommige coëfficiënten gelijk nul te ftel-len , ook tevens de regels, langs welke de zesde en vierde magts vergelijkingen in dit onderzoek behandeld moeten worden, bekend zullennbsp;zijn. Stellen wij dan, dat gegeven zij de achtfte magts vergelijking;
x® nbsp;nbsp;nbsp;zlx'^ -\-jBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- Cx^ 4quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-}-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-|- Fx^ Gx-^- II—o
cn nemen wij, dat dezelve gelijk zij aan:
-hrr-j-èx- nbsp;nbsp;nbsp;—n[cx'^ -}-ƒx^ gxF]-~o
indien men dan de flelkuuuige vierkanten, welke in deze uitdrukking voorkomen, ontwikkelt, en de gelijkflachtige termen bij elkandernbsp;voegt; dan zal men vinden:
X® 2 22x7 4- nbsp;nbsp;nbsp;4^ 2^ —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-(2 2ïZ’-j-2f—'xnef^x^ -|-
(b^ 2ac ld — nf^ — 2,heg')x* nbsp;nbsp;nbsp;(jiad-\-!2.bc— 2neh—’
2nfg')x^ -j- (c® 4'2id— ng'^—2nfh').x^ 4quot;(2cd— 2«g d- —nh‘^~o
welke vergelijking ia alle hare termen aan de gegevene gelijk moet
zijn,
-ocr page 575-zijn, en op de voorgeftelde wijze zal kunnen opgelost worden, wanneer men aan de volgende vergelijkingen zal kunnen voldoen;
1^ nbsp;nbsp;nbsp;2 a
2® B:=a^-\'2b — ne'^
3®C = 2«3 2c — 2nef 40nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-\-2ac-\-2d — nf^ —‘2neg
50 E — 2ad-\-2bc — 2neh — 2nfg
6« F—c^-{¦ 2b d—ng=-~^nfh
7° G — 2cd—2ngh 8® H—d^—nltquot;^
Hier zijn acht vergelijkingen, om negen grootheden a, h, c, d, e, f, g, h en n te bepalen. Het fchijnt derhalve: dat deze groothedennbsp;onbepaald zijn: doch hier wordt eigenlijk geene bepaalde oplosfing beoogd. Men bedoelt om, door middel dezer vergelijkingen, te onderzoeken, of de coëfficiënten der gegevene vergelijking ten opzichtenbsp;van elkander zoodanig gefield zijn, dat aan deze vergelijkingen in meetbare waarden van a, b, c, d, f, g, h n kan voldaan worden,nbsp;zoo ja, dan zal de gegevene vergelijking wezenlijk onder de aange-nomenen vorm gebragt, en in twee bijzondere furdifche faftoren ont-leedbaar zijn; zoo niet, dan zal het niet mogelijk zijn, om de gegevene vergelijking in twee vierde magts fadloren te ontleden.
Omdat hier minder de bedoeling is, om deze vergelijkingen optelosfen, dan wel te bepalen, of de gegevene coëfficiënten zoodanig bepaaldnbsp;zijn, dat de aangenomene vorm mogelijk is, komt het ’er voornamelijk op aan, om i® de voorwaarden, onder welken voor» eene waarde beftaan kan, te bepalen, en 2®, de voorwaarden voor de eoeffi-cienten «, b, c, d, e, enz. te vinden, dat is, de omflandigheden tenbsp;onderzoeken, waaraan men herkennen zal, of de coëfficiënten zf, B,nbsp;C, enz. zoodanig gefield zijn, dat de voorgeftelde oplosfing mogelijk zij,
De eerfle vergelijking geeft a — l A.
Uit de tweede volgt: b z=.l B — \ nbsp;nbsp;nbsp;Stellende dan
M—B — \A^^ dan is b — \M-\'\n e^.
De derde vergelijking geeft c — ^C — ab -^-nef. Stelt men hier, in plaats van a on b, de zoo even gevondene waardijen, zal men,nbsp;C — \AM—N flellende, vinden C~\N— \ Ane^ -\-n ef,
De vierde vergelijking geeft d — iD — Ib^ — tte -|- J nf^ -^-neg, en voor b, a ene ^ hare waarde flellende, en 0—D—Jzf.V—Jfl/-
Ll 3 nbsp;nbsp;nbsp;ma-
-ocr page 576-WISKUNDIGE LESSEN.
-J Mn e» -f- I n
makende^ d — ^ C— -JMn e' -f- | A^ n e® — ? «quot; e'^ — \Anfe-\-\ nf^ neg.
Uit de vijfde vergelijking volgt: d~QE—zbc-\-s.neh 2nfg')'.xi, of bij nadere ontwikkeling, (voor b en c hare waarde (lellende,)
[£ — I MN I A Mn nbsp;nbsp;nbsp;— BIlief— l Nne^ J An^ « —«2 ^3 ƒ
Men (lelie na: ef — i A— p, voorts ^ Aquot; — iAef— \ME^ — lt;7^ 4z::^; en J AlMe^ — ^Ne-—nbsp;lAne^ — ne^ƒ ieh-\-^fg~r; dan zullen de waarde van c,nbsp;en de twee waarden van d, zoo even gevonden, worden:
c~l'Nnp; d'zz\0 11 q; d~\E — f MiV »;•]: ^
Vergelijkt men deze twee waarden van d met elkander, dan zal men, 2.{_An — r') — \pi.E — MN—-AO^xn vinden, en hieruit blijktnbsp;dan: dat zE — BIN—AO, door n deelbaar moet zijn.
Uit' de zesde vergelijking volgt, na voor ó en c de bovenftaande waarden, en voor cl de eerde waarde ~0-\-nq gedeld te hebben,nbsp; 4^-=^—c^Mq—20e^—é^Np — \nqe'^—4”/'°'] — N^-\-zMO~jiF
en daaruit blijkt: dat N^ MO — 4E door n deelbaar moet zijn.
Maakt men, in de zesde vergelijking, dezelfde fubditutie, met dit onderfcheid, dat men in plaats van d hare tweede waarde......
^E^ M N nbsp;nbsp;nbsp;n r~j •. ^ ttelt: dan zal men vindon:
n \¯h i\.Ag-—4/¥r — (4e — iMNjeA-^nre-—.\ANp —4 Anp^j—My. l6,E — iiMNj-\-AN^~AFnbsp;waaruit blijkt: dat ook Mx [4^ — 2.MN'\-lf-AN^ — i^AF door nnbsp;deelbaar moet zijn.
Neemt men, in de zevende vergelijking, voor c en d hare waarden: maar eerst d~jO-\-nq, en daarna d—[E — l MN -\-n r] : A,nbsp;dan zal men vinden;
I® . . . . ?2[7V^ 2 0/i 4nj!)lt;^—4g,4]“2G—BC 2'* n {Nr (4 £ — a A BJp 4 « p ? — 4 ¥ g /i] :
N(2E~3INj)
en hieruit blijkt: dat de ¦waarden van 2G — B C en 2 AG — . . . N (jz E — MN') beiden ook door n deelbaar moeten zijn.
Stelt men eindelijk in de achtde vergelijking de gevondene waarden van d; dan zal het blijken: dat a^H—O- en t^A'^ II—QzE—MN)'^nbsp;ook beide door n deelbaar moeten zijn.
P55. Men make dan M -zz B — \ A-\ NzzC— ; A M en
O —
-ocr page 577-535
0 — nbsp;nbsp;nbsp;indien dan de waarden van de volgende
zeven uitdrukkingen;
1°......zE — MN—AO '
. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. -^zMO — i^F
M% \i,E — zMN']-ir AN^—\AF .... zG—BCnbsp;. . z^g — NIzE — MNInbsp;....nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4/^—0=^
. . H—[zE~MJSr]^
eenen gemeenen deeler hebben, zal die deeler, of een van zijne factoren de waarden van n kunnen zijn. Beftaat ’er geen gemeene deeler, zal n niet anders dan -f- i kunnen genomen worden, en dan zal voornbsp; I de gegevene vergelijking misfchien in meetbare fafloren, en voornbsp;jj — — I in fadoren, die onbeftaanbare coefiScienten hebben, ontleed-baar zijn. Stellen wij nu, dat ’er een gemeene deeler b beftaat; dannbsp;zal men denzelven pofitief of negatief moeten nemen, en aan de volgende omftandigheden toetfen.
=±'y{
1° De twee eerfte vergelijkingen geven:
A^—} _ _j_ ;r 1/ )
n nbsp;nbsp;nbsp;)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— ' l n
men zal dan b zoodanig moeten nemen, dat iquot; 8 ^ — 4 ilf door n ^ deelbaar, en dat 2“ het quotient een volkomen vierkant zij. (Mennbsp;moet hier in aanmerking nemen, dat h, c, d, gebrokens kunnen zijn,nbsp;welke twee tot noemer en een oneven getal tot teller hebben, en datnbsp;zij voorts pofitief of negatief kunnen zijn.)
_ƒ/—1
—— . De waarde van d moet dan zoodanig genomen worden: dat d'^—E door « deelbaar, en het quotient een vollcomen vierkant zij.
3*’ Doch, de waarde van d is niet flechts aan deze voorwaarde alleen verbonden. Wij hebben boven gevonden d O n q~nbsp;[fi — \MNA. De waarde van d moet derhalve nog zoodanig genomen worden, datnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
q—\_d — 3 O] : « en r — '\_Ad — £ - - J MN'^ :« geheele getallen zijn.
4“ Uit de zevende vergelijking volgt c:
en wamiecr
G-^zngh.
men deze waarde van c in de zesde vergelijking overbrengt, zal men hebben :
LI 4 nbsp;nbsp;nbsp;4
-ocr page 578-^Ggh~^g^
welke waarde bewijst, dat 4^^ F—G® — 8 nbsp;nbsp;nbsp;ook door n deelbaar
moet zijn.
5° Behandelt men deze vergelijking als de vierkants vergelijkingen, dan zal men vinden:
2G/5 nbsp;nbsp;nbsp;, , . f 24oilt;^“ , G^ 8zF/^—4lt;s?^Fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;}
in wellte zoodanig moet genomen worden, dat het tweede lid een volkomen vierkant worde.
6’ De waarde, welke hieruit voor g volgt, moet in c ~zn.....
(G2 ng k')i 2d overgebragt worden: en deze moet dan, met de waarde van ƒ, in C~2al'-\-2c—2nef, het teeken, dat aan e gegeven moet worden, bepalen, welke fubflitutie tevens zal doen zien,nbsp;of de waarden van c en f naar hehooren genomen zijn, moetendenbsp;daarenboven 2ab 2 c — C door n deelbaar zijn.
7® Voldoen nu de waarden, welke men voor a, b, c, d, n, e, ƒ, g en A, gevonden heeft, ook aan de vierde en vijfde vergelijkingen, dan zal de gegevene vergelijking, onder den aangenomen vormnbsp;gebragt, en in twee furdifche fadloren ondeedbaar zijn.
§. 95i5. Het zou kunnen gebeuren, dat n~i ware, en dit heeft altijd plaats, wanneer de w.aarden der bovenflaande uitdrukkingen geennbsp;gemeeuen deeler hebben: wanneer men nu in dit geval, in de'onder-fteiling van n~\, de waarden van a, b, c, d, e, f, g en h onderzoekt, zal het daaruit blijken, of de gegevene vergelijking in tweenbsp;meetbare faétoren ontleed kan worden.
§• 9S7‘ Wanneer men E, F, G, H, c, d en g, h', gelijk nu! neemt, zuilen dezelfde regels voor het onderzoek van de faftoren dernbsp;vierde magts vergelijkingen dienen. Voor de fadtoren eener zesdenbsp;magts vergelijkingen, indien G, H, d en h gelijk nul gefteld worden.
§. 958. Nemen wij tot een voorbeeld de vergelijking:
— nbsp;nbsp;nbsp;— ly° nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; if, ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3'quot; tïii3 vï,; = o
in welke y = Cof., ' . 180® is. Wanneer men in deze ix — y fielt, verkrijgt men in geheele getallen de vergelijking:
x» —x7 —7x0 6x5 nbsp;nbsp;nbsp;— 10x5 — iox^ 4x izro
en men zal vinden, dat zij in de faéloren
-1/17] X—1=0
) I I/I7
4 —
-ocr page 579-537
ontleedbaar is; ja zelfs dat elk dezer faftoren wederom in twee tweede magts faftoren kan ontleed worden, te weten, nadat men in plaats van X gefteld heeft zy.
) I—I^i7-t-ï^f34—J___j I Ï/I7 Ï^(34 ^?^17) |--
^ nbsp;nbsp;nbsp;(nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i
l nbsp;nbsp;nbsp;8
f i-f-I/l7 Ï^C34 2^'l7) ¦ Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;8^quot;
I I-1/17-K34-^ 1^17) \ nbsp;nbsp;nbsp;1 i4-1/'i7-K34 ^^'i7) I__
i 1—t^i7 —al/i lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'ö
1 ^17 —^quot;(S4 2 f^i7)
J i—J/I7-|-^C34—2^^173 J
Hieruit vindt men, voor de Cofinus van jf van iHo'’, de uitdrukking
1 nbsp;nbsp;nbsp;_ |/I7 K34 - 2 KU) K[68 12 Ï/17 8 K34
2 nbsp;nbsp;nbsp;^/i7) 4^/(34 — 2]^^I7)] : 16. Zijnde deze dezelfde uitdrukking, welke Gauss, op de aangehaalde plaats, verkregen heeft. Indiennbsp;men de overige vergelijkingen oplost, zal men de Cofinusfen j“, j!,nbsp;-4, enz. van iSo® verkrijgen.
§. P59. Deze zijn de voornaamfte kunstgrepen, waardoor men, indien het mogelijk is, eene gegevene vergelijking tot eene lagere magtnbsp;knn brengen. Wanneer men nu den zamengeftelden vorm van denbsp;wortels der algemeene derde en vierde magts vergelijkingen overweegt,nbsp;kan men uit denzelven genoeg beoordeelen, hoe zamengefleld de uitdrukkingen voor de wortels der hoogere magts vergelijkingen, indieiinbsp;men immer in derzelvcr oplosfing Haagde, zouden worden: doch dezenbsp;oplosfnigen, kunnen, hoe zamengefleld zij zijn mogen, nogtans om-ftaudigheden leeren kennen, welke bij de benadering zich fchnil houden: alzoo heeft de oplosfing van de vergelijking der voorgaande §.nbsp;ons bij voorbeeld geleerd: dat de zijde van eenen regelmatigen zeventien hoek, in den cirkel befchreven, van den vierkants-wortel uit 17nbsp;afhangt, en dezelfde Leerwijze zou ons doen zien: dat de zijden vannbsp;eenen drie, vijf, zeven, elf, en dertien hoek van P'S-, 1^7,nbsp;l/ii en p'iZ-, afhangen, enz. In. dit opzigt blijft dan de algemeenenbsp;oplosfing der vergelijkingen eene wenfehelijke zaak, fchoon voor denbsp;werkdadige berekening der wortels, de benaderingen meer algemeennbsp;toepasfelijk en veel bekwamer zullen blijven. Het zijn dus dezenbsp;laatfte, welke voor het werkdadige van het meeste gewigc zijn, eiinbsp;die men gevolgelijk moet befchaven en eenvoudiger maken. Wij hebben daarom ook aan deze laatfle de voorkeur gegeven, en niet tegen-
LI 5 nbsp;nbsp;nbsp;Haan-
-ocr page 580-538
ftasnde wij het voornaamfte, hetwelk daartoe betrekking heeft, hebben voorgedragen, kunnen wij niet voorbij te herigten, dat wij., bij het afdrukken van dit blad, een werk van den Heere Canard, getij-teld: Théorie éléfpentaire des inéquations, ontvingen, in hetwelk dezenbsp;ftof op eene geheeKnieuwe wijze behandeld wordt; doch, hetwelk,nbsp;hoewel de handelwijze ons fraai voorkomt, wij nog niet genoegzaamnbsp;onderzogt hebben, om ’er ons oordeel over te vellen.
EERSTE BIJLAGE.
Betoog van den Regel van Descartes. Zie §, 2/5, pag. 182.
§. p6o. De Regel van Descartes zal kunnen betoogd worden, indien men bewijzen kan; dat, wanneer het voorfte lid eener hoogenbsp;tnagts vergelijking
xn A xn—i -f- B x«—a -|- C x’gt;—^ -f enz. ~ o met een factor x-\-a, (welk met eenen negatieven wortel overëénftemt j)nbsp;vermenigvuldigd wordt., de nieuwe negatieve wortel, welke de vergelijking alsdan verkrijgt, in het produSt geen meer afwisfelingcn vantee-kens, en, dat omgekeerd, het produél van de gegevene vergelijkingnbsp;met eenen faélor x-\-a, (jlie met eenen pofttieven wortel overeenkomtnbsp;geen meer permanentien, dan in de gegevene vergelijking gevondennbsp;worden, kan te weeg brengen.
§. p6l. Vermits men, in dit betoog, met de waarde der coëfficiënten niets te doen heeft, zullen wij eene willekeurige rangorde van teekens in de termen der gegevene vergelijking, die wij altijd volkomen onderllellen, aanuemen, zoodanig, dat echter in deze rangordening alle mogelijke gevallen van opvolging voorkomen. Wij ftellcnnbsp;dan voor die rangordening
_|—I—j—j-----1---1----[_-j—[-
Wanneer dan de vergelijking, welker termen met die teekens zijn aangedaan , door X a vermenigvuldigt, en de gelijkflachtige, zoo als het behoort, optelt; dan zal men hebben:
_j—---1---—H---1----hH—h
produü -j—1—I—h r?- -tfr -ijr--® -j—I—h
Het is bekend, dat in de optelling van de kolommen der gelijkllach-tige partieele produélen het teelten van de fom of — zijn, indien de teekens van de dcelcn der fom beide -f of beide — zijn:
-ocr page 581-539
niflar, indien de teekens der deelen verfcliillen, is het, algemeen genomen, onzeker, welk teekeii de fom hebben zal? .wij hebben daarom de teekens van die fommen met geteekend, hetgeen zeggen wil:nbsp;dat zij -f of — kunnen zijn: dit onbepaald zijn dezer teekens isnbsp;een noodzakelijk gevolg van de onbepaalde waarde der coëfficiënten,nbsp;en deze onbepaaldheid der coëfficiënten cn teekens moet juist aannbsp;het betoog de grootfte algemeenheid bijzetten.
Het blijkt nu uit dit tafeltje: i» dat zoo lang ’er in de eerfte termen der vergelijking eene permanentie van teekens beftaat, dezelve ook in het produft bellaan zal; 2® maar, wanneer de permanentie innbsp;het vermenigvuldigtal ophoudt, de teekens van de overêenkomftigenbsp;termen des produéls onzeker zullen worden, en zoo lang onzeker blijven , tot dat in twee of meer volgende termen eene permanentie plaatsnbsp;heeft, in welk geval het teekcn in prodiuft op nieuw bepaald zal zijn.nbsp;30 Dat ’er even zoo vele onbepaalde teekens in het product zullennbsp;voorkomen als ’er afwisfelingen van teekens in het vermenigvuldigtalnbsp;voorkomen. 4® Dat eèn enkeld onbepaald teeken tusfchen geene andere, dan de tegenovcrgeftelde teekens -f- en —, of — en -f- vallennbsp;kan. Het zij dan dit onbepaalde teeken -f- of — zij, zoo is hetnbsp;klaar: dat -f ^—, of —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, in welk geval-men het neme, eene
afwisfeling en eene permanentie zal voortbrengen. 5® Dat, in het algemeen, een oneven aantal onbepaalde teekens, tusfchen twee tegen-overgcftelde teekens -f en —, of — en vallen zal: men neme nu in ^ic geval, voor de onbepaalde teekens, zoodanige als men goed-vindt; dan zr.1 het grootfte getal afwisfelingen, dat men in -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
en%. of — -S en brengen kan, ten hoogfte aan het aantal overëénkomftige afwisfelingen in het vermenigvuldigtal gelijk zijn.nbsp;6° Eindelijk blijkt het: dat een even getal onbepaalde teekens, tiusfchennbsp;twee gelijke -f- en -{-, of — en —, vallen zal; dan welk eene rangorde van teekens meii voor deze onbepaalde teekens aanneme, zalnbsp;men ten hoogfte flechts even zoo vele afwisfelingenjin sis enz.nbsp;-1-, of — enz. brengen kunnen, als ’er afwisfeliiigeii in denbsp;overëénkomftige termen van het vermenigvuldigtal voorkomen. — Innbsp;welk eene rangorde dan de teekens voorkomen, kunnen ’er in het pro-duél geen meer afwisfelingen dan in het vermenigvuldigtal voorkomen,nbsp;’er moet gevolgeüjk in hetzelve ten minfte eene permanentie meernbsp;plaats hebben; want het aantal der termen is nu één, meer geworden.
Vermenigvuldigen wij nu de vergelijking met x — n; dan zal men voor de teekens van het produót verkrijgen:
-ocr page 582-540
WISKUNDIGE LESSEN.
---- - - - ---
—1— ---1— * ¦amp; •» —
en men zal hieruit op dezelfde wijze kunnen nagaan: dat in dit pro-duft geen meer perinanentien, dan in de gegevene vergelijking kunnen plaats hebben, en dat hetzelve bijgevolg ten minfte eene afwisfelingnbsp;meer dan de gegevene hebben zal.
§. pée. Stellen wij nu: dat al de wortels der vergelijking beftaan-baar zijn, en dat zij in alle hare eerde magts faftoren ontleed zij geworden; ftel de pofitieve wortels a, b, c, enz, dan zullen denbsp;overèenkomltige faftoren x — a, x — b, x — c, enz. zijn: (lel insgelijks de negatieve wortels —p, —q, —r, enz.; dan zijn de faftoren, tot deze wortels behoorende, x-\-p, x nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Nu heeft
het produft van (x — a)(x — b^, enz. eene befleiidige afwisfeling, en het produft (x /)) (x-\-q'), enz. eene beftendige permanentienbsp;van teekens. Vermenigvuldigen wij nu het eerde produft, eerst metnbsp;X -\-p, daarna met x -j- ^, enz.; dan zullen ’er in het finale produft,nbsp;volgens het bewezene, geen meer afwisfelingen van teekens, dan innbsp;het produft (x — lt;?) (x — b), enz. kunnen voorkomen, vermenigvuldigt men omgekeerd het laatde produft eerst met x — a, daarnanbsp;met X — b, X — c, enz. dan zullen ’er in het produft geen meernbsp;perinanentien , dan in ([xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p') (x -|- 5) , enz. kunnen voorkomen.
Nu is, indien de vergelijking volkomen is, het aantal van hare termen écii meer dan het aantal van hare wonds, en het aantal van overgan-gen, van het eene tecken tot bet andere, één minder dan het aantalnbsp;van hare termen, gelijk derhalve aan het aantal van hare wortels. Stellen wij derhalve het aantal der pofitieve wortels gelijk p, dat der negatieve gelijk q; het aantal der teekens afwisfelingen gelijk p', en datnbsp;van de blijving der teekens gelijk dan mom p q'xzp' q' z\]xunbsp;Volgens het bewezene kan nu p' niet grooter dan p en q' niet groo-ter dan q zijn: derhalve moet p—p' en q'~q zijn, enz.
TWEEDE B IJ L A G E.
Over het zaïnenjhlkn der Vergelijkingen, welke fymetrieke funltien. van wortel, eener gegevene vergelijking zijn.
§. 563. * Eene fjmetrieke fuiiflie van twee of meer grootheden a, b, c, enz. is zulk eene, welke dezelfde W'aarde behoudt, in welke
cciie
-ocr page 583-54»
eene rangorde deze grootheden met elkander verwisfeld worden, AI-200 is a» bn c« d», eene lyraetrieke funftie van de grootheden a, b, c en d: fehrijft men 3 nbsp;nbsp;nbsp;— 3 zal deze niet fy-
metriek zijn; want zij zal de waarde veranderen, wanneer men twee of meer letters met elkander verwisfelt.
964. De coëfficiënten van de termen eener liooge magts vergelijking, gelijk ook de fommen van de gelijknamige magten der wortels, welke met behulp van het Theorema van Girard gevonden worden, zijn gevolgelijk fymetrieke fundlien van hare wortels. Men kan nu, met behulp van dit Theorema, de waarden van vele andere fymetrieke fmiftien der worrels vinden,
§. tt Laten d, b, c, d, enz. de wortels eener vergelijking zijn; dan zal men de waarde eener fimiiie, welker termen van dennbsp;vorm ap bq zijn, vinden kunnen. Dat wil zeggen, indien men denbsp;/gt;* magten der wortels op alle mogelijke wijzen met derzelver qienbsp;vermenigvuldigt, dan zal de fom van alle deze produflen in eenenbsp;fundtie van de coëfficiënten der gegevene vergelijkingen kunnen bepaald woraen.
Want men kan, volgens het Theorema van Girard , in het algemeen , de waarde van 'Z .ap en S, aq in eene fundlie der coëfficiënten uitdrukken; wanneer men nu
«i’ èd’ r/’ dp nbsp;nbsp;nbsp; enz. — '2. .ap
aq -T bq -{¦ cq Ar dq -\- eq -{¦ enz. .aq met elkander vennenigvuidigd, dan za' men, in het product, twee ibor-ten van termen verkrijgen: termen van den vorm efpbq, en termen van den vorm ap q, de fom van de termen van den laatliennbsp;vorm zal door 2.ap-\-q uitgedrukt, en, door het meer genoemd Theorema, in eene fundie der coëfficiënten kunnen v/orden uitgedrukt:nbsp;wanneer men de fom der termen van de tweede foort van het product aftrekt, dan zal men vinden:
2.ap bq—2.ap y.2.aq — 2. apA-q . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(i)
en men zal gevolgelijk, door het Theorema van Girard, de waarde van 2.aphq, in eene fuiiétie van de coëfficiënten verkrijgen,
§. 966, Vermenigvuldigen wij deze laatlle vergelijking met ar br arcrA-dr-\-enz. — 2.ar; dan zullen ’er in het produdt drieërleinbsp;onderfcheidene termen voorkomen : van den vorm ap-{-q br; van den *nbsp;vorm ap r cq, en van den vorm aP bq er, en men zal derhalve hebbennbsp;2, apbqcr S , ap-\-qbr-\-2. ap qcqzz2, ap y.2 .aq x 2ar--2.ap-Vqx2.ar
waar-
-ocr page 584-wanruic volgt:
. ap M clt;'zzzL . ap y.'^.aq x'L.ar—y.'Si.a’’—'Sgt;.ap qhgt;'
— 'L.ap-^ici'
Msnr volgens de voorgsande §, is
^.ap-{‘q X 'S..b’'—'S,,ap-\-q x 'S..ar—
quot;L.ap-^-r X 5) .c!?=rS.«^ ? x — 'S,.ap q r Deze waardijen in de voorgaande vergelijking overbrengende, zal mennbsp;vinden;
Gaat men op deze wijze voort; dan zal men ook de waarden van 2 . np bi cr ch, 2 . ap bi cr c‘, enz. in funftien van de coëfficiëntennbsp;der gegevene vergelijking bepalen.
§. 967. Stellen wij in de vcrgelijldpg (i) fitccesfievelijk p—q—\, p~qz=.2, p—q—z, enz.; dan zal men de fommen van de producten der gegevene vergelijking, twee aan twee, genomen, de fommennbsp;vr.n de .tweede, derde en volgende magten dezer produflen kunnennbsp;bepalen, en uit deze de coëfficiënten eener vergelijking zamenftellen,nbsp;welker wortels uit de produélen van de wortels der gegevene vergelijking, op alle mogelijke wijzen, twee aan twee, genomen, zijn za-mengefleld.
§. 968. Op dezelfde wijze zrd men, met behulp van vergelijking (2), uit eene gegevene vergelijking, cene vergelijking kunnen afleiden, welker wortels de produden van de wortels der gegevene zijn,nbsp;op alle mogelijke wijzen, drie aan drie, genomen, enz.
§. pdp. Men zal voorts door de toepasfing van die zelfde begin-felen, verfcheideue andere vergelijkingen kunnen zamenftellen, als: i’’ de vergelijking op de fommen der wortels, op alle mogelijke wijzen, twee aan twee, genomen. 2® De vergelijking op derzelvernbsp;verfchülen. 3quot; De vergelijking op de vierkanten der verfchillen, ennbsp;cene menigte anderen’, welke wij, daar zij thans van minder gewigtnbsp;geworden zijn, met flilzwijgen voorbijgaan.
Einde vr.n den Tweeden Curfus.
-ocr page 585- -ocr page 586- -ocr page 587- -ocr page 588- -ocr page 589- -ocr page 590-