TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN DENnbsp;RECTOR MAGNIFICUS L. VAN VUUREN, HOOGLEER AAR IN DE FACULTEIT DER LETTEREN ENnbsp;WIJSBEGEERTE, VOLGENS BESLUIT VAN DE SENAAT DER UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGENnbsp;VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDEnbsp;TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 5 OCTOBER 1942,nbsp;DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

JOHAN KEES VAN DEN BRIEL

EERSTE DEEL: HET PLATTE VLAK.

� 1. De classificatie van de tweedegraadskrommen in het niet-Eucli-dische vlak is reeds behandeld door Barbarin, Klein, Coolidge en Barrau^). De eerstgenoemde schrijver heeft gebruik gemaakt vannbsp;een methode, die ons noodeloos ingewikkeld voorkomt. Geen der drienbsp;laatstgenoemde auteurs heeft zijn onderzoekingen uitgestrekt tot imaginairenbsp;en virtueele krommen, terwijl de indeeling van Barbarin zeer onvolledignbsp;is. Verder hebben Klein en Co o 1 idge in de Hyperbolische meetkundenbsp;geen onderscheid gemaakt tusschen de tweedeelige hyperbolische parabool en de convexe eendeelige hyperbolische parabool (zie blz. 16), watnbsp;naar onze meening door de aanschouwing geboden is. Om deze redenennbsp;en omdat de in het platte vlak gebezigde methode van groot belangnbsp;is voor het onderzoek in de ruimte, is het geheele probleem van denbsp;classificatie in het niet-Euclidische vlak hier nogmaals behandeld. Eerstnbsp;is, in hoofdzaak volgens de door de drie laatstgenoemde auteurs gebezigde methode, een indeeling gemaakt, die alle soorten van tweedegraadskrommen van het niet-Euclidische vlak omvat. Daarna is in hetnbsp;Analytisch onderzoek de manier aangegeven, om, uitgaande van eennbsp;willekeurige re�ele kwadratische vergelijking in x en y, de bijbehoorendenbsp;soort van kromme te vinden.

Gegeven is; F (xy) � 0, de re�ele kwadratische vergelijking van een tweedegraadskromme ten opzichte van een Cartesiaansch assenstelsel.nbsp;Deze kromme stellen we in het vervolg steeds voor door K, en denbsp;vergelijking ervan door F (xy) = 0. Heeft de vergelijking F (xy) = 0 de

P. Barbarin: �Etudes de G�om�trie Analytique Non Euclidienne�, M�moires Couronn�s et Autres M�moires de 1' Acad�mie Royale de Belgique, Tome 60, 1900nbsp;F. Klein: �Vorlesungen �ber Nicht-Euclidische Geometriequot;, Berlin, 1928, s. 228nbsp;]. L. Coolidge: �The Elements of Non-Euclldean Geometryquot;, Oxford, 1927, p. 142nbsp;J. A. Barrau: �Analytische Meetkundequot;, Deel I, Groningen, 1933, � 160,

rang 3, dan is K niet ontaard. De rang 2 geeft een ontbindbare vorm en dus een K, die uit 2 rechten bestaat; de rang 1 bepaalt een dubbel-rechte. Op de krommen met rang 2 en 1 behoeven we hier niet verdernbsp;in te gaan. Een affiene indeeling van de krommen met rang 3 verkrijgtnbsp;men in de Euclidische meetkunde als volgt: men beschouwt de snijfiguurnbsp;van K met de absolute figuur, hier de oneigenlijke rechte. De K, dienbsp;2 re�ele snijpunten met die rechte gemeen heeft noemen we hyperbool;nbsp;die met 2 imaginaire snijpunten ellips en de K met 2 samengevallennbsp;snijpunten parabool. Tevens maken we bij de ellips onderscheidnbsp;tusschen re�ele en imaginaire krommen. Geheel analoog zullen we innbsp;de niet-Euclidische meetkunde te werk gaan. De absolute figuur is daarnbsp;een tweedegraadskromme, die we snijden met K, de te onderzoekennbsp;tweedegraadskromme; het is duidelijk, dat we bij dit onderzoek de verschillende gevallen van snijding van twee kegelsneden, dus de soortennbsp;van kegelsnedenbundels noodig hebben. Volledigheidshalve zullen wenbsp;deze 6 bundeltypen hier even memoreeren:

[111] : Algemeene bundel; basisflguur: 4 verschillende punten; A-ver-gelijking heeft 3 verschillende wortels.

[21] nbsp;nbsp;nbsp;: Enkelvoudige raakbundel; basisfiguur: 2 samenvallende en 2 ver

[(11)1]: Dubbelrakende bundel; basisflguur: tweemaal 2 samengevallen punten; A-vergelijking heeft 2 gelijke wortels.

[(111)]: Identische bundel; dit is het geval, als K samenvalt met de absolute kromme.

De meest algemeene groep van lineaire collineaties is de projectieve groep. We beperken ons tot de re�el-projectieve groep: de transfor-matiematrix bevat alleen re�ele elementen. Het gevolg is, dat voor eennbsp;collineatie van deze groep met een re�el punt ook een re�el puntnbsp;correspondeert en met een imaginair punt een imaginair. Hetzelfde geldtnbsp;natuurlijk voor rechten en krommen. Beschouwen we een figuur, bestaandenbsp;uit twee tweedegraadskrommen, re�el of imaginair, dan wordt dat doornbsp;een collineatie uit de re�el-projectieve groep weer een tweetal tweedegraadskrommen: een re�ele blijft re�el, een imaginaire blijft imaginair,nbsp;De snijfiguur van het eerste tweetal krommen bestaat uit 4 punten;nbsp;dank zij het feit, dat wij ons beperkt hebben tot de re�el-projectieve

groep, correspondeert met een re�el snijpunt weer een re�el snijpunt van het tweetal getransformeerde krommen enz. Nu beschouwen we denbsp;gemeenschappelijke tangenten van beide krommen; ook deze correspon-deeren met tangenten in de nieuwe figuur en wel re�ele met re�ele enz.

Het principe van ons onderzoek is nu, dat we, evenals in de Euclidische meetkunde, de tweedegraadskrommen van rang 3 in de niet-Euclidischenbsp;meetkunde gaan indeelen naar de aard van hun snijflguur met de absolutenbsp;kromme, �t Zal blijken, dat deze indeeling in de niet-Euclidische meetkunde niet voldoende is; onderscheiden we de krommen niet verder,nbsp;dan komen we in strijd met de aanschouwing. Om een nauwkeurigernbsp;indeeling te maken, moeten we dus een nieuw kenmerk gebruiken; nanbsp;de snijfiguur van de 2 krommen zullen we de gemeenschappelijke raak-flguur van beide krommen beschouwen en onze nieuwe indeeling baseerennbsp;op de verschillende soorten van raakflguren. Dan zal blijken, dat aannbsp;enkele voorwaarden voldaan wordt zoowel door re�ele als door imaginairenbsp;krommen, waartusschen we natuurlijk onderscheid moeten maken. Zooalsnbsp;we boven gezien hebben, zijn al deze eigenschappen en dus dezenbsp;indeelingen bestand tegen elke collineatie uit de re�el-projectieve groepnbsp;en dus zeker uit een ondergroep daarvan. De voor de niet-Euclidischenbsp;meetkunde belangrijke ondergroep is de i3-congruente groep: voor eennbsp;collineatie uit deze ondergroep is de absolute kromme invariant. Bovendiennbsp;is voor zoo�n collineatie in de Hyperbolische meetkunde het binnengebied (en dus ook het buitengebied) van de absolute kromme invariant,nbsp;wat daar natuurlijk noodzakelijk is voor onze indeeling. 't Spreektnbsp;vanzelf, dat we in de� Hyperbolische meetkunde onderscheid moetennbsp;maken tusschen twee krommen, die dezelfde soort snijflguur en gemeenschappelijke raakflguur met de (re�ele) absolute kromme hebben, maarnbsp;waarvan de ��ne actueel ^) is, terwijl de andere virtueel is, We ziennbsp;dus, dat een indeeling, berustend op de verschillende soorten snijflgurennbsp;en gemeenschappelijke raakflguren van een tweedegraadskromme metnbsp;de absolute kromme, in de Hyperbolische meetkunde niet voldoende is;nbsp;we zullen daar een nieuw kenmerk moeten gebruiken: het aantal deelennbsp;waarin het actueele gebied door de kromme verdeeld wordt (bestandnbsp;tegen een collineatie van de f2-congruente groep). Tenslotte moeten wenbsp;daar twee verschillende soorten van actueele krommen op bovenstaandenbsp;manier en twee verschillende soorten van virtueele krommen op nognbsp;een andere wijze van elkaar onderscheiden.

') Het actueele gebied in de Hyperbolische meetkunde is het binnengebied van de (re�ele) absolute kromme: het virtueele gebied is het buitengebied.

We zullen de verschillende soorten van tweedegraadskrommen van rang 3, behalve door een naam, ook aangeven door een nummer: innbsp;de Elliptische meetkunde aangevuld met de letter E en in de Hyperbolische meetkunde met H. In de paragraven, waar de krommen inge-decld worden, steiat achter de naam (die dik gedrukt is) tusschen haakjesnbsp;eerst bovengenoemd nummer en daarna, als voorbeeld, de vergelijkingnbsp;van een kromme, welke tot die soort behoort.

ELLIPTISCHE MEETKUNDE.

� 2. Indeeling; rang 3.

Zonder te kort te doen aan de projectieve algemeenheid van het onderzoek, mogen we hier voor de absolute kromme de imaginairenbsp;cirkel:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 1 = 0 kiezen. Q, waarmee we in het vervolg steeds

de absolute figuur zullen aanduiden, stelt dus in de Elliptische vlakke meetkunde genoemde imaginaire cirkel voor. Om nu te onderzoeken,nbsp;welke soorten van tweedegraadskrommen er in de Elliptische meetkundenbsp;bestaan, beschouwen we de snijpuntenfiguur van een K van rangnbsp;3 met Q. De O bevat alleen imaginaire punten, dus deze snijpuntenfiguur zal geheel imaginair zijn. �t Is direct in te zien, dat slechts denbsp;volgende twee gevallen kunnen voorkomen:

I; vier verschillende imaginaire snijpunten, die dan noodzakelijk twee aan twee toegevoegd complex zijn. Dit is een basisfiguur vannbsp;het bundeltype [111].

II: twee toegevoegd complexe snijpunten dubbelgeteld. Dit is een basisfiguur van het bundeltype [(11)1].

We zullen in het vervolg een K, die 4 verschillende imaginaire snijpunten met heeft, dus in het eerste geval verkeert, een kromme van type I noemen en een K, die in het tweede geval verkeert, van type II.nbsp;Hierna gaan we een nauwkeuriger indeeling trachten te maken. Omdatnbsp;�� geheel imaginair is, zijn al de tangenten imaginair, dus ook allenbsp;gemeenschappelijke tangenten met K. Met het kenmerk der tangentennbsp;kunnen we de krommen niet verder onderverdeelen. We moetennbsp;Wel onderscheid maken tusschen een re�ele en een imaginaire K. Hetnbsp;kenmerk, dat we in de Hyperbolische vlakke meetkunde zullen gebruiken,nbsp;bet aantal deelen waarin de K het binnengebied van Q verdeelt, vervaltnbsp;hier. We moeten tot het volgende besluiten: iedere re�ele K, dienbsp;� in vier verschillende punten snijdt, die dus tot type I hoort, behoort

elliptisch meetkundig tot dezelfde soort, de algemeene re�ele kwadratische kromme. Evenzoo behoort er tot type I een algemeene imaginairenbsp;kwadratische kromme. Beide krommen hebben een volmaakt imaginairenbsp;snijflguur met de absolute figuur: dus de eerste soort is een re�ele ellipsnbsp;(E2;x� � 3y^�1=0), en de tweede een imaginaire ellips (El;nbsp;X* -f- 3 y* -b 2 = 0). De Euclidische meetkunde gaf ons de volgende algemeene kwadratische krommen: imaginaire ellips, re�ele ellips en hyperbool; volgens dezelfde principes vinden we hier: imaginaire ellips ennbsp;re�ele ellips.

Bij type II doet zich hetzelfde voor, weer een re�ele en een imaginaire kromme. Deze K is de cirkel uit de Elliptische meetkunde, die tevens af-standslijn is ^). We krijgen in de Elliptische meetkunde dus: de re�ele cirkelnbsp;(E 4; 2 X� � y� � 1=0) en de imaginaire cirkel (E 3; 2 x^ y^ -f 1 = 0).

In de Euclidische vlakke meetkunde bestaat het volgende probleem; �Gegeven: F (x y) = 0, re�el kwadratisch in x en y. Bepaal zondernbsp;een teekening te maken de soort van de kromme, waarvan F(xy) = 0nbsp;de vergelijking is�. De oplossing mogen we bekend veronderstellen,nbsp;�t Spreekt vanzelf, dat, wil onze indeeling bruikbaar zijn, hetzelfdenbsp;probleem in de Elliptische meetkunde oplosbaar moet zijn.

De methode van het analytisch onderzoek is niets anders dan een op de voet volgen van de voorafgaande beschouwingen. Gegeven: denbsp;re�ele kwadratische vergelijking F (xy) = 0. Eerst bepalen we de rangnbsp;van de matrix; laat deze 3 zijn. We moeten daarna onderzoeken totnbsp;welk type de K behoort, die F(xy) = 0 tot vergelijking heeft. Wenbsp;bundelen dus F met Q, stellen de A-vergelijking op en bepalen de wortelsnbsp;hiervan. De twee mogeUjkheden zijn dan:

In beide gevallen hebben we nog te beslissen tusschen een re�ele en een imaginaire kromme. Vinden we van de kromme een re�el punt,nbsp;m.a.w. vinden we van F{xy) = 0 een re�ele oplossing, dan kan de Knbsp;niet imaginair zijn, is dus re�el. Vinden we geen re�ele oplossing, dannbsp;is K imaginair. Er is, om dit in de praktijk op te lossen, een eenvoudigenbsp;methode, die altijd tot een resultaat voert: we beschouwen in F(xy) = 0nbsp;de y als parameter. De vergelijking wordt dan een vierkantsvergelijking

in X met y als parameter. De vraag is nu: voor welke re�ele waarden van y heeft deze vierkantsvergelijking re�ele wortels? Is er geen re�elenbsp;waarde van y, dan is K imaginair; is er wel een re�ele waarde van y,nbsp;dan is K re�el.

Als de rang van de matrix van F (x y) = 0 twee of een is, dan moet bij rang 2 slechts bepaald worden, of het lijncnpaar re�el of imaginairnbsp;is. Snijden we F (x y) = 0 met een rechte niet door het dubbelpuntnbsp;en vinden we twee re�ele punten, dan is het een re�el lijnenpaar.nbsp;Vinden we twee imaginaire punten, dan is het een imaginair lijnenpaar.

De absolute figuur zij hier de re�ele cirkel: x�¹ y� � 1=0. In deze paragraaf beperken we ons tot krommen met rang 3. De verschillendenbsp;soorten van snijfiguren, die zich kunnen voordoen als we K met eennbsp;re�ele Q snijden, zijn:

I : vier verschillende snijpunten; dit is de basisfiguur van het bundel-type [111];

IIA : twee samenvallende en twee verschillende snijpunten; de basis-flguur van het bundeltype [21];

IIB : twee maal twee samenvallende snijpunten; dit is de basisfiguur van het bundeltype [(11)1];

UIA: drie samenvallende en ��n verschillend snijpunt; de basisfiguur van het bundeltype [3];

De snijflguur van een K van type I met Q kan de volgende mogelijkheden vertoonen:

Twee tweedegraadskrommen hebben 4 gemeenschappelijke tangenten. We beschouwen dus eerst een K, die � in 4 imaginaire punten snijdtnbsp;en er 4 imaginaire tangenten mee gemeen heeft ^). De eene kromme

Alle mogelijke standen van twee tweedegraadskrommen worden behandeld in: J. A. Barrau; �Analytische Meetkunde�, Deel i, �� 117, 118, 125, 126 en 128.

ligt dan geheel in het binnengebied van de andere. Beschouwen we de eerste als absolute kromme, dan is K virtueel; we noemen hem vir�nbsp;tueele omhullende ellips. (H2; 2 x* nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 5 = 0). Nemen we de

tweede kromme als absolute figuur, dan is K een actueele kromme, de actueele ellips (H 3 ,* 4 x*� 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 1 = 0). We moeten echter bedenken

dat aan deze voorwaarden; 4 imaginaire snijpunten en 4 imaginaire gemeenschappelijke tangenten met Q, ook voldoet een imaginaire kromme,nbsp;de imaginaire ellips. (Hl; 2 y* 2 = 0). Vervolgens de kromme,nbsp;die �inA imaginaire punten snijdt en er 4 re�ele tangenten mee gemeennbsp;heeft; dit is een virtueele kromme, de virtueele (niet omhullende) ellips,nbsp;(H 4; X* � y� � 7 = 0). Er zijn dus in de Hyperbolische meetkunde denbsp;volgende soorten van ellipsen; ��n soort imaginaire, ��n soort actueelenbsp;en twee soorten virtueele.

Op dezelfde manier handelen we met het geval van de 4 re�ele snijpunten. De K, die Q snijdt in 4 re�ele punten en er 4 imaginaire tangenten mee gemeen heeft, is de concavchyperbool(H 5; 7x^ � y^ � 1=0). Beschouwen we alleen het actueele gebied, dan heeft deze krommenbsp;��n buitengebied en twee binnengebieden. De kromme, die � snijdt innbsp;4 re�ele punten en er 4 re�ele tangenten mee gemeen heeft, is denbsp;convexe hyperbool (H 6; 5 x^ � 2 = 0). Deze K verdeelt hetnbsp;actueele gebied in twee buitengebieden en ��n binnengebied. Beidenbsp;krommen hebben een virtueel deel. In de Hyperbolische meetkunde zijnnbsp;er dus twee soorten hyperbolen.

De derde mogelijkheid was; 2 imaginaire en 2 re�ele snijpunten; dan zijn ook 2 der gemeenschappelijke tangenten re�el en de andere 2nbsp;imaginair. Dit geval is dus niet verder onder te verdeelen. De krommenbsp;is de scmihypcrbool (H 7; y� 2 x � 1=0). Zij is niet met eennbsp;analoog geval in de Euclidische meetkunde te vergelijken, want denbsp;snijfiguur met de absolute figuur is half re�el en half imaginair.

De snijfiguur bij type IIA bestaat, behalve uit het gemeenschappelijke raakpunt van K en �, dat noodzakelijk re�el is, nog uit 2 enkelvoudigenbsp;snijpunten, die re�el of toegevoegd complex kunnen zijn.

Eerst het geval van de twee enkelvoudige imaginaire snijpunten. Er zijn dan weer twee mogelijkheden; de gemeenschappelijke enkelvoudigenbsp;tangenten zijn imaginair of die twee tangenten zijn re�el. De re�el-projectief algemeene figuur van het eerste geval is twee tweedegraadskrommen, die elkaar in ��n punt raken, verder geen punten gemeennbsp;hebben en waarvan de ��ne verder geheel in het binnengebied van denbsp;andere ligt. Beschouwen we de tweede kromme als absolute figuur, dan

is K actueel: de actuccle elliptische parabool (H 9; x** 2y*-x = 0). Vatten we de eerste kromme als absolute figuur op, dan is K virtueel:nbsp;de virtueele omhullende elliptische parabool (H 8; 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; y* x � 3 = 0).

Zijn de gemeenschappelijke enkelvoudige tangenten re�el, dan is de kromme een virtueele (niet omhullende) elliptische parabool. (H 10;nbsp;y* � X 1 = 0).

Tenslotte het geval van de re�ele enkelvoudige snijpunten; wederom nemen we de realiteit van de gemeenschappelijke tangenten met Q alsnbsp;nieuw kenmerk: de dubbeltellende tangent is zeker re�el, dan kunnennbsp;de twee enkelvoudige gemeenschappelijke tangenten nog imaginair zijn.nbsp;We zullen de kromme, die hieraan voldoet, de concave ccndecligc hyper-bolische parabool (H 11; x^ � y** � x = 0) noemen.

Het andere geval: 2 re�ele enkelvoudige gemeenschappelijke tangenten, geeft aanleiding tot een moeilijkheid. We zullen dit hier nog even toelichten, omdat zooiets zich natuurlijk ook voordoet in de ruimte.

De re�el-projectief meetkundige figuur van dit geval is twee re�ele tweedegraadskrommen in bovenstaande stand: Fig. 1. Nu maakt het ook hier een wezenlijk verschil, welke kromme we als absolute figuur beschouwen.nbsp;Is dit Ki, dan wordt een kromme met 2 actueele deelen (Fig. 2).nbsp;Beschouwen we Kg als absolute figuur, dan wordt Kj^ een kromme metnbsp;��n actueel deel (Fig. 3). We kunnen deze beide krommen niet tot ��nnbsp;soort rekenen, want dat is geheel in strijd met de aanschouwing. Voornbsp;dit speciale geval moeten we de nauwkeuriger indecling toepassen, dienbsp;gebruik maakt van het aantal deelen, waarin het actueele gebied doornbsp;de kromme wordt verdeeld. Voor de eerste kromme (Fig. 2) is datnbsp;aantal deelen 3; voor de tweede (Fig, 3) is het 2. We noemen die eerste

en de tweede: convexe eendeelige hyperbolische parabool (H 12; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; y^ � X � 2 = 0). Bij deze indeeling der parabolen kan nog het

volgende opgemerkt worden: beschouwen we alleen het actueele gebied, dan lijkt het of de concave eendeelige- en de convexe eendeelige- hyperbolische parabool en zelfs de semihyperbool tot ��n soort behoor�n.nbsp;Iets dergelijks komt echter in de Euclidische meetkunde ook voor: beperkt men zich tot een klein deel der kromme, dan lijkt het ook ofnbsp;ellips, hyperbool en parabool tot dezelfde soort behooren. Evenals mennbsp;hier een alBen onderscheid maakt, beschouwt men in de Hyperbolischenbsp;meetkunde genoemde krommen als verschillend.

Resumeerend zijn er dus in de Hyperbolische meetkunde vier soorten re�ele parabolen, en bovendien nog twee virtueele soorten.

De snijfiguur bij type IIB bestaat uit 2 punten, waarin K aan raakt; die raking kan plaats hebben in twee re�ele of in twee imaginairenbsp;punten. Bij krommen, die Q in twee imaginaire punten raken, zijn ook denbsp;gemeenschappelijke tangenten imaginair. Hier zijn de drie mogelijkheden:nbsp;imaginaire kromme,nbsp;geheel actueele kromme,nbsp;geheel virtueele kromme.

De eerste noemen we imaginaire cirkel (HH;3x^-}-2y^-|-4x-t-2=0). De tweede is de cirkel der Hyperbolische meetkunde, die we hiernbsp;actueele cirkel (H 16; 5 x^ 4 y� 4 x = 0) noemen. De derde is denbsp;virtueele cirkel (H 15; y� � 4 x � 5 = 0).

Zijn beide raakpunten van K en re�el, dan zijn noodzakelijk de beide gemeenschappelijke tangenten ook re�el. Er zijn hier dan tweenbsp;mogelijkheden: de K ligt op de twee raakpunten na geheel in hetnbsp;actueele gebied of de K is virtueel. We herkennen in het eerste gevalnbsp;de afstandslijn, die we hier actueele afstandslijn (H 19; 2 x^ y^ � 1 =0)nbsp;moeten noemen. Het andere geval geeft aanleiding tot twee mogelijkheden, de K is in beide gevallen virtueel, ligt dus in het buitengebiednbsp;van Q, maar nu kan Q nog in het buiten- of in het binnengebied vannbsp;K liggen. De eerste kromme noemen we een virtueele (niet omhullende)nbsp;afstandslijn (H 18; x^ � y��1=0) en de tweede een virtueelenbsp;Omhullende afstandslijn (H 17; x� 2 y� � 2 = 0).

Tot type IIB behooren dus de actueele krommen: cirkel en afstandslijn, die geen van beide een overeenkomstige soort in de Euclidische meetkundenbsp;hebben; terwijl dit type ook nog de imaginaire cirkel, de virtueele cirkel,nbsp;de virtueele afstandslijn en de virtueele omhullende afstandslijn bevat.

De snijflguur bij type UIA is altijd geheel re�el, evenals de gemeenschappelijke tangenten van K en Q. Ook het aantal deelen, waarin het actueele gebied wordt verdeeld door alle krommen van dit type, isnbsp;steeds hetzelfde; er is in dit type dus ��n soort K: de osculeercndenbsp;parabool (H 20;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; y� � 2 x y 2 x � 1=0), waarvan in de Eucli

Tenslotte type IIIB, ook daar zijn snijfiguur en gemeenschappelijke raakflguur altijd geheel re�el. Hier doen zich wederom twee gevallennbsp;voor: actueele en virtueele kromme. De actueele is de horicykel van

Lobatchewsky, dus hier actucelcgrenscirkel(H22;2x^ y* � 2x=0). De virtueele is de virtueele grenscirkel (H 21; y�* 2 x � 2 = 0).

In totaal heeft men in de Hyperbolische meetkunde dus 12 actueele, 8 virtueele en 2 imaginaire soorten tweedegraadskrommen. We hebbennbsp;ze met de verschillende soorten in de Euclidische- en Elliptische meetkunde verzameld in een tabel (Tabel II). Naast elkaar staan daar denbsp;overeenkomstige soorten in de drie verschillende meetkundes.

Evenals in de Euclidische- en Elliptische meetkunde moet ook hier een rekenmethode uitgewerkt worden, om, zonder de K te teekenen,nbsp;te bepalen tot welke soort zij behoort. Er is dus gegeven een kwadratische vergelijking in x en y: F (xy) = 0 en nu moeten we onderzoekennbsp;van wat voor soort kromme in de Hyperbolische meetkunde F (x y) = 0nbsp;de vergelijking is. Allereerst onderzoeken we de rang: het geval, datnbsp;deze twee of ��n is, zullen we later bespreken, we beperken ons voor-loopig tot vergelijkingen met rang 3. We bundelen nu F(xy) met Q\nbsp;F (x y) � l Q=^0 en bepalen de wortels van de A-vergelijking. Hiernbsp;kunnen zich de volgende gevallen voordoen:

�t Is duidelijk, dat deze indeeling, wat de cijfers betreft, overeenstemt met die van blz. H. Van een bundel tweedegraadskrommen, waarvan denbsp;A-vergelijking 3 re�ele verschillende wortels heeft, bestaat de basisflguurnbsp;uit 4 verschillende imaginaire of 4 verschillende re�ele punten. Heeftnbsp;een A-vergelijking 2 complexe wortels, dan is de basisfiguur van denbsp;vorm: 2 re�ele en 2 imaginaire punten. Het blijkt dus, dat de gevallennbsp;a. en b. van blz. 14 tot type IA behooren en dat geval c. hetzelfdenbsp;is als type IB.

Vinden we, dat een K tot type IA behoort, dan is de volgende stap het berekenen van de 4 gemeenschappelijke oplossingen van:nbsp;P(xy) = 0 en Q = 0. ^Ve hebben gezien, dat zich dan slechts kunnennbsp;voordoen: 4 imaginaire of -4 re�ele oplossingen. Vervolgens stellen wenbsp;de klassevergelijkingen van K en ^ op en gaan hiervan de gemeen^nbsp;schappelijke oplossingen bepalen; ook hier kunnen slechts voorkomen:nbsp;^ imaginaire of 4 re�ele oplossingen.

In het geval, dat we beide keeren 4 imaginaire oplossingen vinden, behoort K tot ��n der volgende soorten:

Om uit deze drie mogelijkheden te beslissen wat voor soort kromme F(xy) = 0 voorstelt, gaan we evenals in de Elliptische meetkunde tenbsp;werk: we zoeken een re�el punt ervan. We beschouwen in F(xy) �0nbsp;de y als parameter en bepalen, voor welke re�ele y de vergelijkingnbsp;F (x y) = 0 een re�ele oplossing heeft. Is er geen re�ele y, dan is K eennbsp;imaginaire ellips. Is er wel een re�ele y: y^, dan bepalen we ��n dernbsp;bijbehoorende x-waarden: Xq. Als nu: Xg� yo^ lt;C 1. dan stelt F (xy) = 0nbsp;een actueele ellips voor; als: XQ^-j-yo^gt;l, dan is het een virtueelenbsp;omhullende ellips. Het bewijs hiervan is triviaal: we hebben in hetnbsp;bovenstaande een re�el punt van K bepaald, co�rdinaten: jx(,; yo|. Alsnbsp;nu: Xo^ yo^lt; 1. dan is dat re�ele punt actueel; dus K is actueel, innbsp;dit geval een actueele ellips. Als: Xo�-|-yo^gt; 1, dan ligt het re�ele puntnbsp;buiten f2; de K is de virtueele omhullende ellips.

Vinden we 4 imaginaire oplossingen van de graadvergelijkingen en 4 re�ele oplossingen van de klassevergelijkingen, dan is K een virtueelenbsp;ellips (H 4).

Vier re�ele oplossingen van de graadvergelijkingen en 4 imaginaire van de klassevergelijkingen bepalen de concave hyperbool en beidenbsp;keeren 4 re�ele oplossingen is het geval bij de convexe hyperbool.

Een K van type IB is, zooals we op blz. 15 gezien hebben, altijd een semihyperbool.

Tot type II behooren de gevallen IIA en IIB van blz. 14. Deze twee kunnen we onderscheiden door de Segrenotatie te bepalen; omdatnbsp;dit echter een langdurig werk kan zijn, passen we een andere maniernbsp;toe. We schrijven de vergelijking op van het exemplaar uit de bundelnbsp;behoorende bij de dubbele wortel van de A-vergelijking en bepalennbsp;daarvan de rang. Is die rang 2, dan is het type IIA; is die rang 1,nbsp;dan is het type IIB.

Dus eerst de rang 2; wederom bepalen we de gemeenschappelijke oplossingen van: F (x y) = 0 en �==0, hier is nu steeds een dubbelenbsp;oplossing, terwijl de andere 2 of imaginair of re�el zijn. Daarna stellennbsp;we de klassevergelijkingen van en K op en berekenen de gemeenschappelijke oplossingen van beide, ook hier is steeds een dubbele.

re�ele, oplossing, terwijl de andere 2 of imaginair of re�el zijn. Eerst het geval: beide keeren imaginaire oplossingen; de K kan zijn virtueelnbsp;of actueel, waartusschen we op de bekende manier beslissen met hetnbsp;zoeken van een re�el punt. Ligt dat punt binnen �, dan is K een actueelenbsp;elliptische parabool, ligt het buiten �, dan een virtueele omhullendenbsp;elliptische parabool ^). Hebben de graadvergelijkingen imaginaire en denbsp;klassevergelijkingen re�ele enkelvoudige oplossingen, dan is de krommenbsp;een virtueele elliptische parabool (H 10). Zijn die van de graadverge^nbsp;lijkingen re�el en van de klassevergelijkingen imaginair, dan is K eennbsp;concave eendeelige hyperbolische parabool. Tenslotte het geval: beidenbsp;keeren re�ele oplossingen, dan is de kromme een convexe eendeelige-

of een tweedeelige hyperbolische parabool. Het kenmerk, dat we op blz, 16 gebruikten om beide soorten krommen te onderscheiden, is nietnbsp;analytisch vast te leggen, zoodat we naar een andere methode moetennbsp;omzien. We hebben reeds de vergelijking van het exemplaar (een ontaardnbsp;exemplaar) uit de bundel, behoorende bij de dubbele wortel van denbsp;^-vergelijking. Ontbinding hiervan levert de vergelijkingen van de beidenbsp;lijnen a en 6 (Fig. 4 en 5), ieder gaande door het raakpunt P ennbsp;een enkelvoudig snijpunt. De vergelijking van de dubbeltellende tangent fnbsp;is ook eenvoudig te vinden; deze gaat natuurlijk ook door P. Wenbsp;bepalen nu de straal l door P, die harmonisch ligt met t ten opzichtenbsp;van a en b. Deze straal l snijden we met K, snijpunt S: {xj^; y^^j. Innbsp;Fig. 4 ligt dat snijpunt S binnen ^2 en is dus: Xi^-|-yi^lt;l, de K isnbsp;een convexe eendeelige hyperbolische parabool, In Fig. 5 ligt S buitennbsp;�^2, is dus: x^** y] ^ 1, de K is een tweedeelige hyperbolische parabool.

Het bepalen van de harmonische straal / is invariant voor een collineatie uit de re�el-projectieve groep, terwijl de eigenschap van het punt Snbsp;ten opzichte van Q invariant is voor een collineatie uit de i^-con-gruente groep.

Bij het type IIB bepalen we weer de oplossingen van: F(xy) = 0 en f3 = 0; die kunnen zijn: 2 imaginaire, ieder dubbelgeteld of 2 re�elenbsp;dubbelgeteld. Het eerste geval bevat de soorten: imaginaire cirkel,nbsp;actueele cirkel of virtueele cirkel, waaruit we op de bekende maniernbsp;kiezen met de methode: een re�el punt van de kromme opzoeken. Zijnnbsp;er twee re�ele oplossingen, dan kan de K zijn: actueele afstandslijn ofnbsp;virtueel, waarin we beslissen door een re�el punt van de kromme tenbsp;zoeken. Tusschen de twee soorten van virtueele krommen kiezen wenbsp;door de raaklijnen door de oorsprong van het co�rdinatenstelsel aannbsp;K te berekenen; zijn deze re�el, dan is K een virtueele afstandslijn (H 18);nbsp;zijn ze imaginair, dan een virtueele omhullende afstandslijn.

Het laatste geval van blz. 19 bevat de typen IIIA en IIIB van blz. H. We bepalen wederom de rang van het exemplaar behoorendenbsp;bij de A-wortel. Is deze rang: 2, dan is het type IIIA en is de krommenbsp;een osculeerende parabool.

Als de rang 1 is (dus type IIIB), dan is de kromme een actueele of een virtueele grenscirkel, waartusschen men op de bekende manier kiest.

Laat de rang van de vergelijking F (x y) = 0 twee zijn, dan is K een lijnenpaar: re�el of imaginair. Om hierin te beslissen snijden we F(xy)=:0nbsp;met een rechte niet door het dubbelpunt en bepalen de oplossingen.nbsp;Zijn deze beide re�el, dan is het een re�el lijnenpaar; in het toegevoegdnbsp;complexe geval is K een imaginair lijnenpaar.

Bij een imaginair lijnenpaar kan het snijpunt zijn: actueel, virtueel of een punt van �. Ook bij een re�el lijnenpaar kunnen we de volgendenbsp;gevallen onderscheiden:

In het tweede geval kan nog ��n der lijnen raken aan Q. In het derde geval kunnen de rechten Q re�el snijden, niet re�el snijden ofnbsp;raken. In totaal kan een re�el lijnenpaar 9 verschillende standen hebbennbsp;ten opzichte van Q. Tot welk geval een bepaald re�el lijnenpaar behoort, kimnen we onderzoeken door het snijpunt der lijnen te bepalen;nbsp;daarna zoonoodig F (x y) = 0 te ontbinden en van iedere lijn afzonderlijknbsp;de Euclidische afstand tot de oorsprong van het co�rdinatenstelsel te

berekenen. Dit geschiedt door de co�rdinaten: fO; 0; 1} te substitueeren in de op nul herleide normaalvergelijking van de lijn. Vindt mennbsp;d lt;[ 1, dan is de lijn actueel; als d = 1, dan raakt de lijn aan � ennbsp;voor d gt;� 1 is de lijn geheel virtueel.

Bij de rang 1 is de dubbelrechte altijd re�el. Men heeft dus slechts de vergelijking van de enkelvoudige lijn te nemen en de d te bepalen.nbsp;De dubbelrechte kan nog zijn:

TWEEDE DEEL; DE RUIMTE.

INLEIDING.

� 7. Een indeeling van de verschillende soorten van tweedegraadsoppervlakken in de niet-Euclidische meetkunde, die slechts gebaseerd is op meetkundige kenmerken, is tot nu toe niet gepubliceerd. Welnbsp;zijn er eenige verhandelingen verschenen over die classificatie, maarnbsp;deze berusten �f op de vergelijking van het oppervlak �f op anderenbsp;algebra�sche eigenschappen. Een zuiver meetkundige behandeling, dienbsp;noodzakelijk een uitbreiding in de ruimte is van de manier, die we innbsp;het platte vlak gebruikten en die moet berusten op een beschouwingnbsp;van de verschillende soorten van snijfiguren en gemeenschappelijkenbsp;raakfiguren van � en het oppervlak, en die tevens stelselmatig en algemeennbsp;geldend is, dus waarbij bewezen wordt, dat er niet meer soorten vannbsp;oppervlakken kunnen zijn, zal hier worden ontwikkeld. Op deze maniernbsp;vinden we ook alle mogelijke soorten van imaginaire en virtueele oppervlakken en van oppervlakken met rang 3, die in de bovengenoemdenbsp;publicaties slechts bij uitzondering voorkomen. De meetkundige indeelingnbsp;maakt het ons verder mogelijk in de Hyperbolische meetkunde tweenbsp;oppervlakken, die slechts verschillen in het aantal deelen, waarin ze hetnbsp;actueele gebied verdeel en, te onderscheiden. Ten slotte is weer in hetnbsp;Analytisch onderzoek een methode aangegeven, om, uitgaande van denbsp;vergelijking, de soort van het oppervlak te bepalen.

h P. Barbarin: �Etudes de G�om�trie Analytique Non Euclidiennequot;, M�moires Couronn�s et Autres M�moires de 1�Acad�mie Royale de Belgique, Tome 60, 1900:nbsp;J. L. Coolidge: �The Elements of Non-Euclidean Geometryquot;, p. 154, en: �Quadricnbsp;Surfaces in Hyperbolic Space�, Transactions of the American Mathematical Society,nbsp;Volume 4 (1903), p. 161: T. J. Bromwich: �The Classification of Quadrics�, Transactions etc.. Volume 6 (1905): J. Pierpont: �Classification of Quadritics in Hyperbolicnbsp;Space�, American Journal of Mathematics XLIX (1927), p. 143.

Zie voor een indeeling van de omwentelingsoppervlakken: �De Omwentelingsopper-vlakken of Cylinders van den tweeden graad der niet-Euclidische Ruimte�, van J, A. Barrau: Koninklijke Academie van Wetenschappen te Amsterdam, Verslag van denbsp;Gewone vergaderingen der Wis- en Natuurkundige Afdeeling, Deel XIX, blz 1426.

Gegeven is een re�ele kwadratische vergelijking in x, y en z van een tweedegraadsoppervlak. De vergelijking stellen we voor door F (xyz) = 0nbsp;en het oppervlak door O. Het oppervlak en de matrix der vergelijkingnbsp;hebben een rang. In het algemeene geval is deze 4. Is de rang 3, dannbsp;bevat het O ��n dubbelpunt, een punt dat geconjugeerd is ten opzichtenbsp;van het oppervlak met alle punten van de ruimte. Als de rang 2 is,nbsp;dan bevat het O een lijn van zulke punten, is ontaard in twee vlakken;nbsp;bij rang 1 is er een vlak van dubbelpunten, het O is een dubbelvlak.nbsp;Een nauwkeuriger indeeling berust op de verschillende standen, die eennbsp;O kan innemen ten opzichte van een bepaalde figuur: de absolutenbsp;figuur. In de Euclidische meetkunde is deze het oneigenlijke vlak, hetnbsp;vlak waarmee de meetkundige ruimte wordt aangevuld om haar innbsp;overeenstemming te brengen met de stelkundige ruimte; de indeelingnbsp;heet er affien. Een O van rang 4, dat de absolute figuur snijdt volgensnbsp;een imaginaire tweedegraadskromme, is hier een ellipso�de: een O, datnbsp;de absolute figuur snijdt volgens een re�ele tweedegraadskromme, isnbsp;een hyperbolo�de en is de snijkromme ontaard, dan is het O een para-bolo�de. Is in de Euclidische meetkunde bij een O van rang 3 hetnbsp;dubbelpunt een punt van de absolute figuur, dan noemen we het O eennbsp;cylinder: is het geen punt van de absolute figuur, dan is het O een kegel. Denbsp;indeeling naar de signatuur is als volgt: een O van rang 4 met signatuur 4 is imaginair, met signatuur 2 is het re�el en heeft 2 imaginairenbsp;regelscharen, met signatuur 0 is het re�el en heeft 2 re�ele regelscharen.nbsp;Een O van rang 3 en signatuur 3 is imaginair, met signatuur 1: re�el.nbsp;Een vlakkenpaar kan zijn imaginair of re�el en een dubbelvlak is altijdnbsp;re�el. In de niet-Euclidische meetkunde is de absolute figuur eennbsp;tweedegraadsoppervlak. Daar zal de overeenkomstige indeeling berustennbsp;op de verschillende standen, die twee tweedegraadsoppervlakkcn tennbsp;opzichte van elkaar kunnen innemen. We zullen dus 13 typen vannbsp;oppervlakkenbundels moeten onderzoeken en daarop onze indeelingnbsp;baseeren. Zouden we ons tot deze indeeling beperken, dan zouden wenbsp;in conflict komen met de aanschouwing en moesten we twee oppervlakken, die geheel verschillend van vorm zijn, tot dezelfde soort rekenen.nbsp;In het platte vlak deed zich dat geval ook voor en daar gebruiktennbsp;we de gemeenschappelijke raakfiguur van K en �. We zullen hier denbsp;gemeenschappelijke torsus van O en �, beide als klassefiguur beschouwd,nbsp;gaan onderzoeken. Hier treedt dan het volgende probleem op: twee

De Identische bundel is van geen belang (hij levert slechts Q zelf) en de Singuliere bundel is onbruikbaar. Zie voor alle in het vervolg gebruikte eigenschappen van bundelsnbsp;en scharen: J. A. Barrau; �Analytische Meetkunde�, Deel II, blz. 2-16 en vlg.

graadoppervlakken en O3 (waarvan de signatuur 2 heeft) snijden elkaar volgens een bepaalde snijkrommc; deze zelfde oppervlakken beschouwen we als klasseoppervlakken. Welke soorten van torsus kunnennbsp;deze beide oppervlakken dan gemeen hebben? ^). Aangetoond zal worden,nbsp;dat in de eerste plaats twee graadoppervlakken, die een bundel metnbsp;zekere Segrenotatie vormen, als klasseoppervlakken beschouwd een schaarnbsp;met dezelfde Segrenotatie vormen. Verder zal dan bewezen worden,nbsp;dat het ondertype, waartoe bovengenoemde bundel behoort, de ondertypen bepaalt waartoe de schaar kan behooren, terwijl deze ooknbsp;afhankelijk zijn van de signatuur van O3. De mogelijke combinatiesnbsp;van bundelondertype en schaarondertype bepalen dan de verschillendenbsp;soorten van oppervlakken in de niet-Euclidische meetkunde. In denbsp;Elliptische meetkunde zal dit onderzoek vrij eenvoudig zijn, terwijl innbsp;de Hyperbolische meetkunde zal blijken, dat we het aantal deelen,nbsp;waarin O het actueele gebied verdeelt, als een nieuw kenmerk moetennbsp;gebruiken, hetgeen zelfs in vier gevallen nog niet voldoende is.

In de niet-Euclidische meetkunde zullen we alle oppervlakken van rang 3, kegels noemen. De naam cylinder is te nauw verbonden metnbsp;de omwentelingsoppervlakken, dan dat we deze hier, zonder verwarringnbsp;te stichten, kunnen gebruiken. Een kegel in de niet-Euclidische meetkunde, wiens top op het absolute oppervlak ligt, noemen we parallel-kegel. De indeeling van de kegels berust eveneens op de verschillendenbsp;gevallen van oppervlakkenbundels. In de Elliptische meetkunde zijn wenbsp;slechts in staat ze verder in te deelen in re�ele en imaginaire kegels.nbsp;Voor de indeeling van de kegels in de Hyperbolische meetkunde makennbsp;we gebruik van eigenschappen van deze kegels ten opzichte van �.nbsp;In de eerste plaats onderscheiden we kegels met actueele top, met vir-tueele top en met top op �. Vervolgens gebruiken we de realiteit van denbsp;gemeenschappelijke raakvlakken van de kegel en Q als een indeelings-kenmerk. De klassevergelijking van een kegel is een kwadratische vergelijking in u, V en w, gecombineerd met een lineaire vergelijking innbsp;dezelfde co�rdinaten. Het aantal gemeenschappelijke loplossingen vannbsp;deze beide vergelijkingen en de klassevergelijking van � is 4. Ernbsp;zijn dus 4 gemeenschappelijke raakvlakken van � en een kegel. Tenslotte moeten we ��n keer het aantal deelen, waarin het actueele gebied door de kegel wordt verdeeld, als kenmerk gebruiken.

Dit onderzoek is in het platte vlak reeds gedaan; J. A. Barrau: Meetkunde� Deel I, � 117 en vlg.

vlakken van rang 4 en 3 kunnen we, na hetgeen bij het platte vlak gezegd is, kort zijn. We beperken ons namelijk weer tot collineatie�snbsp;uit de i2-congruente groep, (een ondergroep van de re�el-projectieve groepnbsp;in de ruimte), waarvoor de heele indeeling invariant blijft.

De verschillende soorten van oppervlakken zullen we aanduiden met E of H en twee cijfers, ��n Romeinsch voor het type en ��n Arabisch.nbsp;De kegels komen in nummering achter de oppervlakken met rang 4nbsp;van het zelfde type. Achter iedere naam is wederom, als voorbeeld, denbsp;vergelijking (t.o.v. een Cartesiaansch assenstelsel) gegeven van een oppervlak, behoorende tot die bepaalde soort. Bovendien is in eenige gevallennbsp;de vorm yan zoo�n oppervlak door een schetsmatige teekening verduidelijkt.

� 8. Bij het analytisch onderzoek zullen we weer een re�el punt van O moeten zoeken. Gegeven is dus: F (xyz) = 0 (kwadratisch in x, ynbsp;en z). We moeten van deze vergelijking een re�ele oplossing bepalen,nbsp;met andere woorden: we moeten een re�ele x, y en z zoeken, die voldoen aan F (xyz) = 0. Hiervoor rangschikken we de vergelijking naarnbsp;machten van x:

De A is een constante, B een lineaire uitdrukking in y en z en C een kwadratische uitdrukking in y en z. Willen de beide wortels vannbsp;X, die aan deze vergelijking voldoen, re�el zijn, dan moet:

Uitgewerkt schrijven we dit als: P = ay� -|- by -f- c gt; 0, waarin a een constante, b een lineaire uitdrukking en c een kwadratische uitdrukkingnbsp;in z is. De vraag is nu: voor welke re�ele waarden van y is P gt; 0?

We onderstellen eerst: a gt; 0. In dit geval zijn er altijd re�ele waarden van y waarvoor P gt; 0. Kiezen we dus een willekeurig re�ele waardenbsp;van z: Zp, dan zijn a, b en c bekend. Als nu: b� � 4 ac gt; 0, dan isnbsp;voor: y lt; Yi en y gt; yg (yi en zijn de wortels van de vergelijkingnbsp;P = 0; yi lt;1 ys): P gt; 0, terwijl bij: b* � 4 ac lt; 0 voor alle re�elenbsp;waarden van y: P gt; 0 is. Er is dus steeds een re�ele waarde van y:nbsp;yo waarvoor P gt; 0. We substitueeren nu yp en Zp in (1) en berekenennbsp;de bijbehoorende waarden van x; ��n ervan zij Xp. Nu is jxpj yp; Zp}nbsp;een re�el punt van O,

Het andere geval is: a lt; 0, dan zijn er alleen maar re�ele waarden van y waarvoor P gt; 0, als: b� � 4 ac gt; 0. Dit schrijven we aldus:

We bepalen voor welke re�ele z: Q gt; 0 is; laat een re�ele z-waarde die hieraan voldoet: Zq zijn. Bestaat er geen re�ele waarde, dan heeft O geen re�ele punten. Met behulp van Zq berekenen wenbsp;de bijbehoorende waarden van a, b en c. De vorm P is dan bekend ennbsp;we kunnen de re�ele waarden van y berekenen waarvoor P gt;� 0. Laatnbsp;zoo�n waarde yo zijn, dan substitueeren we yp en Zq in (1) en vindennbsp;een re�ele waarde van x: Xq. Dan is weer jx^; Yo', Z(,j een re�elnbsp;punt van O.

Om de vergelijking van een raakvlak van O te vinden kan men aldus redeneeren; we snijden F (xyz) = 0 met het vlak z = m, dan isnbsp;de vergelijking van de snijkromme in het vlak z = m: F (xym) = 0nbsp;(m = parameter). Nu moet die kromme ontaard zijn, dus de determinantnbsp;van F (xym) = 0 moet nul zijn; dat geeft een vierkantsvergelijking innbsp;m;zijn de wortels re�el, dan zijn de 2 raakvlakken: z � m^ en z = m2.nbsp;Vindt men geen re�ele m-waarden, dan doet men hetzelfde met hetnbsp;vlak y = n of met x = 1. Mochten alle drie de gevallen falen, dan kannbsp;men op de boven behandelde manier een re�ele oplossing van denbsp;klassevergelijking van O bepalen.

VIJFDE HOOFDSTUK.

ELLIPTISCHE MEETKUNDE.

De absolute figuur zij hier de imaginaire bol: nbsp;nbsp;nbsp; y*� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 1 =: 0.

We snijden nu een O van rang 4 met en beschouwen de snijfiguur. Omdat � alleen imaginaire punten bevat, zal die snijfiguur geheelnbsp;imaginair zijn. Van de 13 typen van tweedegraadsoppervlakkenbundelsnbsp;zijn dus in de Elliptische meetkunde slechts die voor ons doel van belang,nbsp;welke een geheel imaginaire basisfiguur hebben. Dat zijn de volgende:

I : bundeltypc [1111], ondertype 1; de basisflguur is een imaginaire vierdegraadskromme;

IIA: bundeltype [(11)11], ondertype 3; de basisfiguur bestaat uit 2 imaginaire tweedegraadskrommen in re�elc vlakken;

IIB : bundeltype [(11)11], ondertype 5; de basisfiguur bestaat uit 2 imaginaire tweedegraadskrommen in 2 toegevoegd complexe vlakken;

III nbsp;nbsp;nbsp;: bundeltype [(111)1], ondertype 1; de basisfiguur is een imaginaire

IV nbsp;nbsp;nbsp;: bundeltype [(11)(11)], ondertype 1; de basisflguur bestaat uit

Dit geeft dus vier typen van oppervlakken in de Elliptische meetkunde. We zullen ook hier spreken van een O van type IIA e.d, als een O de absolute figuur snijdt volgens de basisfiguur van bundeltype [(11)11], ondertype 3.

De snijfiguur van een O van type I met O is algemeen en volmaakt imaginair: dit type bevat dus de ellipso�den van de Elliptische meetkunde.

We moeten eerst bewijzen, dat 2 graadoppervlakken, die een imaginaire vierdegraadskromme gemeen hebben, als klasseoppervlakken beschouwdnbsp;een algemeene biquadratische torsus gemeen hebben. De graadoppervlakken in vergelijking gebracht op hun gemeenschappelijk re�el pool-viervlak als grondviervlak zijn:

De klassevergelijkingen van deze oppervlakken zijn: nbsp;nbsp;nbsp;Uj� = 0 ennbsp;7 , � = 0, en deze beide klasseoppervlakkcn vormen een algemeene

schaar. Vervolgens is direct in te zien, dat van de 4 ondertypen van de algemeene schaar slechts ondertype 1 kan voorkomen: ^ heeft alleennbsp;imaginaire raakvlakken, de gemeenschappelijke torsus moet dus bestaannbsp;uit imaginaire vlakken. De eenige mogelijke combinatie is: bundel-ondertype 1 en schaarondertype 1. Beide bevatten exemplaren vannbsp;alle drie de signaturen, we zien dus, dat er in de Elliptische meetkundenbsp;drie soorten algemeene tweedegraadsoppervlakken zijn: een imaginair O,nbsp;een re�el O met imaginaire regelscharen en een re�el O met re�elenbsp;regelscharen. We noemen ze resp.: imaginaire ellipso�de (Eli ;x� 2y�-|- 3 z^ 4 = 0), re�ele nictrechtlijnigc ellipso�de (EI2; x* 2y^ nbsp; 3 2� � 4 = 0) en rechtlijnige ellipso�de (EI3; x� 2 y� � 3 z� � 4=0).

De oppervlakken van type II snijden � volgens 2 tweedegraadskrommen, zijn dus omwentclingsoppervlakken. Zoowel in een bundel van ondertype 3 als van ondertype 5 van het bundeltype [(11)11] hebbennbsp;de oppervlakken oneindig veel gemeenschappelijke re�ele poolviervlakken.nbsp;Met ��n zoo'n poolviervlak als grondviervlak zijn de vergelijkingennbsp;van en O resp.: x� y� z� t� = 0 en ax* ay� bz� ct� = 0nbsp;(a, b en c re�el). Nu heeft O de signatuur 4 als: a gt; 0, b gt; 0, cgt;0;nbsp;de signatuur 2 als: a gt; 0, b gt; 0, c lt; 0; de signatuur 0 als: a gt; 0,nbsp;blt;0, clt;0.

Stellen we van � en O de klassevergelijking op en bepalen we, na scharing het type der schaar, dan is dat: [(11)11]. Verder is duidelijk,nbsp;dat van dit schaartype slechts de beide ondertypen 3 en 5 kunnennbsp;voorkomen. De voor ons doel belangrijke kenmerken van de bundel- ennbsp;schaartypen zijn:

behoorendc schaar is van ondertype 3, als b en c hetzelfde teeken hebben: dus als O de signatuur 4 heeft (signatuur 0 is bij bundelonder-type 3 niet mogelijk). Hebben b en c verschillend teeken, signatuur 2,

bundel van ondertype 5. Voor b en c hetzelfde teeken (s = 4 en s = 0) is de schaar van ondertype 5, terwijl in het geval s = 2, de schaar vannbsp;ondertype 3 is. Het resultaat is, dat als een O van een bepaaldenbsp;signatuur, tegelijk met O een bundel en een schaar van type [(11)11]nbsp;vormt, slechts de volgende combinaties van signaturen en ondertypennbsp;mogelijk zijn:

Het type IIA bevat dus imaginaire oppervlakken en re�ele met imaginaire regelscharen. We noemen de beide soorten resp.; imaginairenbsp;omwentelingscllipso�dc (1ste soort) (Eli 1:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3 y^ 2 2�¹ 2 = 0) en

re�ele nietrechtlijnige omwentelingscllipso�dc (1ste soort) (Eli 2; 3 X� � y^ 2^ 1 = 0). Het type IIB bevat drie soorten van oppervlakken, die we noemen; imaginaire omwentelingsellipso�de (2de soort)nbsp;(Eli 3; 2x² 3 y� z^ 1 � 0), re�ele nietrechtlijnige omwentelihgs-ellipso�de (2de soort) ^) (EII4; x^ � 2 y^ 4 z^ 4 = 0) en rechtlijnigenbsp;omwentelingsellipso�de (Eli 5; x� 3 y^ � 2^ � 1=0).

De Elliptische meetkunde heeft dus vijf soorten van omwentelings-ellipso�den; 2 soorten imaginaire, 2 soorten nietrechtlijnige en 1 soort rechtlijnige.

Bij Barrau (Versl. Afd. Nat. Kon. Ac. v. Wet, XIX, blz. 1431) worden de ree�le

nietrechtlijnige omwentelingsellipso�den van de 1ste soort en die van de 2de soort resp. genoemd: afgeplatte � en verlengde � omwentelingsellipso�den.

oppervlakken van de bundel behooren ook tot een schaar; er is dus maar ��n combinatie mogelijk. De basisflguur van dit ondertype is eennbsp;dubbeltellende imaginaire tweedegraadskromme in een re�el vlak V. Denbsp;bundelvergelijking is: � � AV� = 0. We herkennen hierin^) de definitienbsp;van een oppervlak, dat in de Elliptische meetkunde reeds lang bekendnbsp;is: het afstandsoppervlak, tevens bol. Het bundelondertype bevat exemplaren van de signaturen 4 en 2, de soorten van oppervlakken vannbsp;type III zijn dus; imaginaire bol (EIII1: 2 x� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 1 = 0) CQ

Ook het bundeltype [(Il)(ll)], ondertype 1 bepaalt een bundelschaar. De snijfiguur van O en Q bestaat uit twee ontaarde tweedegraadskrommen,nbsp;die dus liggen in twee raakvlakken van �. Als die vlakken en Vg zijn,nbsp;is de vergelijking van de bundel: O � 2 Vj Vg = 0. Ook hier herkennennbsp;we een bekend oppervlak; de cirkelcylinder. In een bundel van ditnbsp;ondertype komen voor oppervlakken met de signaturen 4 en 0. Hetnbsp;type IV bevat dus de volgende soorten: imaginaire cirkelcylindernbsp;(EIV 1; 2x� 2y� z^ 1 = 0) en rechtlijnige cirkelcylinder (EIV2;nbsp;x� y� �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 1 = 0). We moeten ons goed realiseeren, dat deze opper

vlakken de rang 4 hebben en niet vergeleken kunnen worden met de cylinders uit de Euclidische meetkunde.

Resumeerend hebben we in de Elliptische meetkunde 12 soorten kwadratische oppervlakken met rang 4: drie soorten ellipso�den, vijf soortennbsp;omwentelingsellipso�den, twee soorten afstandsoppervlakken en tweenbsp;soorten cirkeleylinders. Van deze 12 soorten zijn er 5 imaginair, 4 zijnnbsp;nietrechtlijnige- en 3 zijn rechtlijnige oppervlakken.

Kegels zijn kwadratische oppervlakken van rang 3. We merken volledigheidshalve op, dat de top van een kegel met re�ele vergelijking re�el is. Nu bevat in de Elliptische meetkunde de absolute figuur slechtsnbsp;imaginaire punten, zoodat er hier geen parallelkegels bestaan.

We moeten, om de verschillende soorten van kegels op te sporen, de ontaardingsgevallen in de bundels beschouwen en trachten dezenbsp;analytisch zoo ver mogelijk van elkaar te onderscheiden. Hiervoor zijnnbsp;de ligging van de top t.o.v. � en de gemeenschappelijke raakvlakkennbsp;van O en ^2 onbruikbaar, daar deze laatste altijd imaginair zijn. Wenbsp;kunnen dus slechts een indeeling maken naar: re�ele en imaginaire kegels.

Een bundel van type [IIH]. ondertype 1 bevat als ontaarde exemplaren: 2 re�ele en 2 imaginaire kegels. Er zijn dus in type I twee soorten kegels: een imaginaire algemeene kegel (EI4; y� 2z^ -f- 3 � 0)nbsp;en een re�ele algemeene kegel (EI5; � z� � 2 = 0).

De kegels van een bundel van type [(11) 11], ondertype 3 zijn beide imaginair. Het type IIA bevat ��n soort kegel: de imaginaire om-wentelingskegel (1ste soort) (EII6; 2y� -f z^ 1 = 0).

In een bundel van het ondertype 5 van hetzelfde bundeltype bevinden zich een re�ele en een imaginaire kegel. De namen van de soortennbsp;van kegels behoorende tot type IIB zijn: imaginaire omwentelings-kegel (2dc soort) (EII7; x� 2z� 2 = 0) en re�ele omwentelings-

De bundel van type [(111)1], ondertype 1 bevat slechts ��n imaginaire kegel, het type III bestaat uit ��n soort kegels: die der isotrope kegel (EIII3; x� y^ z^ = 0).

Resumeerend zijn er dus in de Elliptische meetkunde 2 soorten re�ele en 4 soorten imaginaire kegels. We kunnen, zooals reeds is aangetoond,nbsp;deze 6 soorten alleen vergelijken met de 2 soorten kegels in de Euclidische meetkunde: de re�ele en de imaginaire.

�t Verdient aanbeveling om in de ruimte het Analytisch onderzoek van de kegels v��r dat van de oppervlakken met rang 4 te behandelen.

Gegeven is in het algemeen: F (xyz) = 0, kwadratisch in x, y en z; we moeten bepalen van wat voor soort oppervlak F (xyz) = 0nbsp;de vergelijking is. Allereerst onderzoeken we de rang van F (xyz) = 0;nbsp;laat deze 3 zijn, dan is het O dus een kegel. We gaan nu O bundelennbsp;met �, de bundelvergelijking is:

Bij type I moeten we nog beslissen tusschen de re�ele en de imaginaire kegel. Hiervoor snijden we de kegel met een vlak niet door de top ^)

De top van een kegel wordt ook in de niet-Euclidische meetkunde op de bekende manier bepaald.

en bepalen de aard van de snijflguur; is deze kromme re�el, dan is de kegel re�el; is deze kromme imaginair, dan is de kegel imaginair.

Het type II wordt onderverdeeld in IIA en IIB, dus eerst moeten we deze twee gevallen onderscheiden. Hiervoor schrijven we de vergelijking op van het exemplaar uit de bundel: F (xyz) � l � = 0, datnbsp;behoort bij de dubbele wortel van de i-vergelijking. Is dat exemplaarnbsp;een re�el vlakkenpaar, dan is het type IIA; in het geval van een toegevoegd complex vlakkenpaar is het type IIB. Tot type IIA behoortnbsp;slechts de imaginaire omwentelingskegel (1ste soort). Bij type IIB moetennbsp;we op bovenstaande manier kiezen tusschen de imaginaire omwentelingskegel (2de soort) en de re�ele omtwentelingskegel.

Over de O�s met rang 2 en 1 kunnen we heel kort zijn. Als de rang van F (xyz) = 0 twee is, kan het O een re�el of een toegevoegdnbsp;complex vlakkenpaar zijn. Om dit te onderzoeken snijden we wederomnbsp;met een vlak, niet door de snijlijn van beide vlakken; is de snijkrommenbsp;re�el, dan is het vlakkenpaar re�el; is de snijkromme imaginair, dan isnbsp;het vlakkenpaar imaginair.

Het bereikte resultaat voor O�s met rang 3, 2 en 1 is samengevat in Tabel IV. Bij de kegels is tevens het type vermeld.

Gegeven is F (xyz) = 0, kwadratisch in x, y en z, waarvan de matrix de rang 4 heeft. We moeten bepalen van welk soort O dit de vergelijking is. We bundelen O en � en de A-vergelijking van de bundelnbsp;kan dan hebben:

In het eerste geval behoort het te onderzoeken O tot type I: �t is dus een imaginaire ellipso�de, re�ele nietrechtlijnige ellipso�de of rechtlijnige ellipso�de. Om te kiezen tusschen de imaginaire en de re�elenbsp;oppervlakken gaan we een re�ele oplossing: jxo; yp; Zoj van F (xyz) = 0nbsp;bepalen. Bestaat deze re�ele oplossing, dan is het O een re�ele ellipso�de,nbsp;in het andere geval kan het O niets anders zijn dan de imaginairenbsp;ellipso�de. Tenslotte de keus uit re�ele nietrechtlijnige en rechtlijnigenbsp;ellipso�de: men bepaalt een raakvlak van het oppervlak en snijdt ditnbsp;met O. De aldus ontstane snijfiguur is ontaard; zijn het twee re�elenbsp;rechten, dan is het O een re�ele rechtlijnige ellipso�de. Is de snijkrommenbsp;ontaard in twee toegevoegd complexe rechten, dan is het een re�elenbsp;nietrechtlijnige ellipso�de.

Heeft de ^-vergelijking 2 gelijke en 2 verschillende wortels, dan hoort het O tot type II. Om tusschen type IIA en IIB te kiezen, bepaalt mennbsp;de vergelijking van het exemplaar uit de bundel, behoorende bij denbsp;dubbele A-wortel. Is dit een re�el vlakkenpaar, dan is het type IIA;nbsp;bij een imaginair: type IIB. Bij type IIA kiest men op de bekendenbsp;manier tusschen de imaginaire omwentelingsellipso�de (1ste soort) en denbsp;re�ele nietrechtlijnige omwentelingsellipso�de (1ste soort). Vindt men typenbsp;IIB, dan bepaalt men eerst of het O imaginair (imaginaire omwentelingsellipso�de 2de soort) of re�el is. Daarna snijden met een raakvlak: eennbsp;imaginair lijnenpaar als snijkromme geeft de re�ele nietrechtlijnige omwentelingsellipso�de (2de soort) en een re�el lijnenpaar de rechtlijnigenbsp;omwentelingsellipso�de.

Zoowel bij type III als bij type IV heeft men te kiezen tusschen een re�el en een imaginair oppervlak. Vinden we bij type III een re�elnbsp;punt, dan is het O een re�ele bol; geen re�el punt: imaginaire bol. Typenbsp;IV en een re�el punt geeft een rechtlijnige cirkelcylinder, geen re�elnbsp;punt bepaalt hier de imaginaire cirkelcylinder.

Wederom beschouwen we eerst alleen oppervlakken met rang 4. Van de 13 verschillende typen van tweedegraadsoppervlakkenbundels vervallen voor ons doel allereerst diegene, die in hun basisfiguur een re�elenbsp;rechte hebben. Van de overgebleven bundeltypen kunnen we alleen dienbsp;ondertypen gebruiken, welke oppervlakken van signatuur 2 bevatten.nbsp;Dat zijn de volgende gevallen:

Achtereenvolgens zullen we al deze typen nader gaan beschouwen en trachten een nauwkeuriger differentiatie van de verschillende soortennbsp;van oppervlakken te krijgen. We maken verder gebruik van de verschillende soorten van torsus, die O en � gemeen kunnen hebben ennbsp;onderzoeken, welke combinaties van bundelondertypen, signaturen ennbsp;schaarondertypen mogelijk zijn. Iedere combinatie bepaalt ��n of tweenbsp;soorten van oppervlakken, welke we in het tweede geval onderscheidennbsp;door het aantal deelen, waarin het O het actueele gebied verdeelt, tenbsp;beschouwen. Tenslotte worden we vier keer door de aanschouwingnbsp;gedwongen, om twee oppervlakken tot een verschillende soort te rekenen,nbsp;door nog een ander kenmerk toe te passen.

Twee O�s, die elkaar volgens een imaginaire of re�ele tweedeelige vierdegraadskromme snijden (de bundels, die deze oppervlakken vormen,nbsp;zijn dus van type [1111], ondertype 1 of 2), hebben een gemeenschappelijknbsp;re�el poolviervlak. Met dit poolviervlak als grondviervlak kan men aannbsp;de oppervlakken de volgende vergelijkingen toekennen: AjX� Bjy^ nbsp; GjZ^ Djt� = 0 en AjjX^ B^y^ CgZ� D^t^ = 0 (alle co�ffici�ntennbsp;re�el). Stelt men van deze O�s de klasseyergelijkingen op en schaartnbsp;men beide, dan is de schaar van het type [1111], ondertype 1 of 2nbsp;(alle wortels van de A-vergelijking zijn re�el).

Vervolgens zullen we aantoonen, dat een O van signatuur 0, dat � snijdt volgens een imaginaire vierdegraadskromme, met Si als klasse-figuur beschouwd, slechts een re�ele tweedeelige torsus, basisfiguur vannbsp;een schaar van ondertype 2, gemeen kan hebben. De vergelijking vannbsp;Si t.o.v. het re�ele gemeenschappelijke poolviervlak als grondviervlaknbsp;is: X� y� z� � t^ = 0. De vergelijking van een O met signatuur 0 is:nbsp;ax^-j-by^ � cz^ � dt^=0 of: ax� � by� � cz� dt�=0 (a, b, c en dgt;0).nbsp;Eerst het eerste geval; we bundelen O en � en bepalen de vergelijkingennbsp;van de kegels uit die bundel:

(b � a)y� � (c a) z� � (d � a) t� = 0 (a-b)x�-(c b) z�-(d-b)t� = 0nbsp;(a c)X� 4- (b c)y� � (d -f- c) t� = 0nbsp;(a � d) X� (b � d)y* � (c d)z� = 0.

Als de snijkromme van beide oppervlakken imaginair is, zijn dit 2 re�ele en 2 imaginaire kegels; dat is het geval als d gt; b gt; a ^).nbsp;Men stelt nu de klassevergelijking op van O en � en schaart dezenbsp;beide. De krommen van de tweede graad uit die schaar zijn;

a � b		a c	�	a � d
ab		ac	�	ad
b � a	u^ �	b c	w� �	b �d
ab	u^ �	bc	w� �	bd
a c	u�	b c	v^ �	d c
ac	u�	bc	v^ �	dc
d � a		d �b	v� �	^ _j_ Q
ad		db	v� �	dc

s� = 0;

' = 0.

Voor dgt;bgt;a zijn deze tweedegraadskrommen alle re�el; de schaar is dus van ondertype 2. Hierna het tweede geval; de vergelijking van O is:nbsp;ax^ � by^ � cz^ dt^ = 0. De vergelijkingen van de kegels in de bundelnbsp;zijn nu:

Hiervan zijn er weer 2 re�el en 2 imaginair als d gt; b gt; c. De tweedegraadskrommen in de schaar gevormd met O en � zijn nu:

a b		a c	w�	a d
ab		ac	w�	ad
a -t- b	u�-	b � c	w�	b �d
ab	u�-	bc	w�	bd
Q	u^ �	c � b	v^	c � d
ac	u^ �	bc		dc
a d	u^ �	d �b		d � c
ad	u^ �	bd		dc

Voor dgt;bgt;c zijn deze 4 krommen van de tweede graad re�el; het is dus een schaar van ondertype 2. Hiermee is aangetoond, welke combinatie (n.1. voor s=0; bundelondertype 1 met schaarondertype 1) nietnbsp;mogelijk is. De combinaties, die wel mogelijk zijn, bepalen nu ��n of tweenbsp;soorten van oppervlakken in de Hyperbolische meetkunde.

Dit is voldoende algemeen: men mag nog in de vergelijking van O di� co�rdinaat als X kiezen, waarvan de co��Bcient van de kwadratische term kleiner is dan de anderenbsp;positieve co�fBcient.

De snijfiguur van een O van type IA met � is een imaginaire vierdegraadskromme: dit type bevat dus de ellipso�den van de Hyperbolische meetkunde. Een bundel van type [1111], ondertype 1 bevatnbsp;exemplaren van alle drie de signaturen, evenals de algemeene schaarnbsp;van ondertype 1. Met inachtneming van hetgeen we bewezen hebben,nbsp;kunnen slechts oppervlakken van signatuur 4 en 2 tegelijk met Q eennbsp;algemeene bundel en een algemeene schaar van ondertype 1 vormen.nbsp;De O�s van signatuur 4, die deze eigenschap vertonnen, noemen we innbsp;de Hyperbolische meetkunde; imaginaire ellipso�de (Hl 1; x� 2y^ nbsp; 3 z^ 4 = 0). Bij de O�s van signatuur 2, die in dit geval verkeeren,nbsp;redeneeren we aldus: de re�el-projectief algemeene figuur van 2 oppervlakken, die een imaginaire vierdegraadskromme en een imaginairenbsp;biquadratische torsus gemeen hebben, is twee oppervlakken van signatuur 2, waarvan het eene geheel in het binnengebied van het anderenbsp;ligt. Vatten we het eerste als absolute figuur op, dan is het tweedenbsp;oppervlak virtueel: we noemen het de virtucele omhullende (niet rechtlijnige) ellipso�de (HI2; 6x^ 3y^ -j- 4z^ � 12 = 0). Beschouwen we hetnbsp;tweede als absoluut oppervlak, dan is het eerste actueel, de actueelenbsp;ellipso�de (HI3; 4x^ 2y^ -f 3z� � 1=0). Hiermee is de combinatienbsp;van bundelondertype 1 en schaarondertype 1 afgehandeld.

Thans volgt die van bundelondertype 1 met schaarondertype 2; de basisfiguur is een re�ele tweedeelige torsus. De oppervlakken in denbsp;Hyperbolische meetkunde, die tot deze combinatie behooren, zijn noodzakelijk virtueel. De bundel bevat exemplaren van alle signaturen, denbsp;schaar alleen van de signaturen 2 en 0. �t Is duidelijk, dat een imaginairnbsp;oppervlak niet tot deze combinatie kan behooren. De oppervlakken vannbsp;signatuur 2, die tegelijk met O een algemeene bundel van het ondertypenbsp;1 en een algemeene schaar van ondertype 2 vormen, noemen wenbsp;virtueelc (niet omhullende) nietrechtlijnige ellipso�de (HI4; 6x^ -f 12y� �

6 = 0). Een oppervlak van signatuur 0, dat in hetzelfde geval verkeert, noemen we virtueele rechtlijnige ellipso�de (HI5; 2x^ � 2y^ z^ � 4 = 0).

Bij het type IB is de snijfiguur van O en Q een re�ele tweedeelige vierdegraadskromme, deze oppervlakken zijn dus de hyperbolo�den vannbsp;de Hyperbolische meetkunde. We behandelen eerst de combinatie vannbsp;bundelondertype 2 met schaarondertype 1. De bundel bevat exemplarennbsp;van de signaturen 2 en 0, de schaar van alle signaturen: �t is duidelijk,nbsp;dat de imaginaire oppervlakken voor ons doel vervallen. Het oppervlaknbsp;van signatuur 2, dat dus Q snijdt volgens een re�ele tweedeelige kromme

en met Q een imaginaire torsus gemeen heeft, noemen we concave twee-bladige (nietrechtlijnige) hyperbolo�de (HI6; x� 2y^ � 2z� 1=0); het verdeelt het actueele gebied in 3 deelen: ��n buitengebied en 2nbsp;binnengebieden. Het oppervlak met signatuur 0 is de eenbladigenbsp;rechtlijnige hyperbolo�de (HI7: 3x^ 2y^ � 2z^ � 1 = 0), het verdeeltnbsp;het actueele gebied in 2 deelen. Vervolgens de combinatie van bundel-ondertype 2 met schaarondertype 2. Beide verzamelingen bevatten oppervlakken van de signaturen 2 en 0. Het oppervlak met signatuur 2nbsp;is in de ruimte een voorbeeld van het feit, dat een verdeeling, die totnbsp;en met de signatuur gaat, niet voldoende is en dat het aantal deelen,nbsp;waarin het O het actueele gebied verdeelt, bij 2 actueele oppervlakkennbsp;wel degelijk een onafhankelijk kenmerk kan zijn. De re�el-projectiefnbsp;algemeene figuur van dit geval is twee tweedegraadsoppervlakken vannbsp;signatuur 2 die elkaar doorboren. Nu maakt het hier wezenlijk onderscheid, welke figuur als Q wordt genomen. Neemt men het doorboordenbsp;oppervlak als absoluut oppervlak, dan verdeelt O het actueele gebiednbsp;in 2 deelen; we noemen zoo�n oppervlak: eenbladige nietrechtlijnigenbsp;hyperbolo�de (Fig. 6) (HI8; 4x� 5y^ z** � 2 = 0). Nemen we hetnbsp;doorborende oppervlak als absolute figuur, dan bestaat O uit twee deelen,nbsp;die het actueele gebied in drie�n verdeelen: twee buitengebieden en ��nnbsp;binnengebied. De naam is convexe tweebladige (nietrechtlijnige)nbsp;hyperbolo�de (Fig. 7) (HI9; 2x� y^ 5z^ � 4 = 0). Het geval vannbsp;signatuur 0 noemen we tweebladige rechtlijnige hyperbolo�de (HIIO;nbsp;x^ � y^ 7z� � 5 = 0). Het oppervlak verdeelt het actueele gebied innbsp;3 deelen.

actueele ellipso�den, 1 soort imaginaire ellipso�den, 3 soorten virtueele ellipso�den en 5 soorten hyperbolo�den.

Tenslotte het laatste geval van Type I: het type IC. De snijkromme van O met � is in dit geval een re�ele, cendeelige vierdegraadskromme.nbsp;De re�el-projcctief algemeene vergelijking van een bundel van ondertype 3 is (co�ffici�nten re�el): A (x^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2czt) � (ax� by� � z�

2dzt 4- t�) = 0. Stelt men van deze beide oppervlakken, waaruit de bundel gevormd is, de klassevergelijking op en schaart deze, dan is deze schaarnbsp;van het type [1111], ondertype 3 (2 toegevoegd complexe wortels innbsp;de A-vergelijking). Hiermee is dus bewezen, dat alleen de combinatie;

bundelondertype 3 en schaarondertype 3 mogelijk is. Zoowel het bundel-als het schaarondertype bevat exemplaren van de signaturen 2 en 0. Het verdient aanbeveling, om, in navolging van blz. 15, die oppervlakkennbsp;van type IC semihyperbolo�den te noemen. Het O met signatuur 2nbsp;noemen we nietrechtlijnige scmihypcrbolo�dc (Hl 11; 4x^ 2y� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

� 4x � 3 = 0) en dat met signatuur 0: rechtlijnige semihyperbolo�de (HI12; 4x^ 2y� � z^ � 4x � 3 = 0). Evenals in het platte vlak zijn ernbsp;in de Euclidische en Elliptische meetkunde geen figuren, die te vergelijkennbsp;zijn met deze oppervlakken.

In Tabel VI zijn, alleen voor de algemcene oppervlakken, de overeenkomstige figuren in Euclidische, Elliptische en Hyperbolische meetkunde naast elkaar aangegeven.

Tot Type II behooren de oppervlakken, die � snijden volgens een vierdegraadskromme met dubbelpunt. Voor we dit type kunnen gaannbsp;indeelen, zullen we eerst in deze paragraaf een onderzoek instellen naarnbsp;de mogelijke combinaties van bundelondertypen en schaarondertypen.nbsp;Allereerst moet natuurlijk bewezen worden, dat twee oppervlakken, dienbsp;een bundeltype [211] vormen, ook een schaartype [211] vormen. Wenbsp;kunnen de twee oppervlakken, met een bepaald re�el viervlak als grond-viervlak ^), voorstellen door de vergelijkingen:

(1)

Gaan we van beide oppervlakken de klassevergelijkingen opstellen en onderzoeken we de schaar, die we hiermee kunnen vormen, dan heeftnbsp;deze het type [211].

Het oppervlak voorgesteld door (1) heeft de signatuur 2. De vergelijking (2) schrijven we aldus:

Dit p kan dus nooit van signatuur 4 zijn; het is van signatuur 2 als: a gt; 0, b gt; 0 of als: a lt; 0, b lt; 0; het heeft de signatuur 0 als: a gt; 0,nbsp;b lt; 0 of als: a lt; 0, b gt; 0, In al deze gevallen is zoowel: c gt; 0 als:nbsp;c lt; 0 mpgelijk.

D. M. ]. Sommerville; �Analytical Geometry of Three Dimensions�, Cambridge, 1934: p. 269.

We gaan beide oppervlakken bundelen en bepalen de kegel, beboerend bij de dubbele wortel van de ^-vergelijking. De vergelijking hiervan is:nbsp;(a � c)x^ (b � c)y^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0.

Deze kegel snijden we met het gemeenschappelijk raakvlak aan O en �'. z = 0 en vinden dan de vergelijking van de taktangenten aannbsp;de snijkromme van O ^n �:

De verschillende bundelondertypen onderscheiden zich nu als volgt: Bundelondertype 1: Kegel en taktangenten re�el, dus:

De tweedegraadskromme, behoorend bij de dubbele wortel van de A-verge-lijking, is: nbsp;nbsp;nbsp;bc(c � a)u^ ac(c � b)v^ � abs^ = 0.

De duale figuur van de taktangenten: dus weer een lijnenpaar, krijgen we door in deze vergelijking s 0 te stellen, d.i. de klassevergelijkingnbsp;van het gemeenschappelijke punt. De vergelijking van dit lijnenpaar is:

Schaarondertype 1: Tweedegraadskromme en lijnenpaar re�el; Schaarondertype 2: Kromme re�el en lijnenpaar imaginair;nbsp;Schaarondertype 3: Kromme en lijnenpaar imaginair.

We gaan nu voor ieder bundelondertype en de mogelijke signaturen Onderzoeken, welk schaarondertype beide oppervlakken kunnen vormen.

Eerst bundelondertype 1; voor signatuur 2 zijn daarbij de volgende mogelijkheden:

noodzakelijk van het ondertype 1. De signatuur 0 geeft de volgende mogelijkheden;

Het eerste en derde geval geeft het schaarondertypc 3 en het tweede en vierde het schaarondertype 2.

Het eerste en tweede geval levert schaarondertype 2 en het derde geval schaarondertype 3. De signatuur 0 geeft hier de volgende mogelijkheden:

Het eerste en derde geval geeft schaarondertype 3, het tweede geval het schaarondertype 2. De signatuur 0 levert bij bundelondertype 3nbsp;het volgende:

Het in de vorige paragraaf bereikte resultaat geeft de volgende mogelijke combinaties:

Op deze manier hebben we alle gevallen gevonden, die aanleiding geven tot oppervlakken van type II, terwijl bewezen is, dat er niet meernbsp;combinaties mogelijk zijn. Al die oppervlakken van type II raken innbsp;��n punt aan �, zijn dus parabolo�den.

We beginnen met bundelondertype 1; de basiskromme is re�el, de oppervlakken zijn hyperbolische parabolo�den en wel van type IIA.nbsp;Twee oppervlakken van signatuur 2, die elkaar in ��n punt zoodanignbsp;raken, dat hun snijkromme een re�ele vierdegraadskromme met dubbelpunt is, geven aanleiding tot 2 verschillende soorten van oppervlakkennbsp;in de Hyperbolische meetkunde, al naar gelang welk oppervlak men alsnbsp;absoluut beschouwt. Zoo krijgt men de eenbladige nietrcchtlijnigcnbsp;hyperbolische parabolo�de (Fig. 8) (HII1; 3x^ 4y^ z* � 2x � 1 = 0)nbsp;en de tweebladige nietrechtlijnige hyperbolische parabolo�de (Fig. 9)nbsp;(HII2: 2x� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 4z^ 2x � 4 = 0). De oppervlakken met signatuur 0

uit type IIA vormen twee soorten; die met � een re�ele torsus gemeen hebben zijn de eenbladige rechtlijnige hyperbolische parabolo�dennbsp;(1ste soort) (HII3; 3x^ 5y^ � z^ � 4x l=0) en die met Q eennbsp;imaginaire torsus met een re�el vlak gemeen hebben zijn de tweebladige

Ook de oppervlakken, die � volgens de basisfiguur van bundelondertype 2 snijden, zijn hyperbolische parabolo�den, deze echter van type IIB. Twee oppervlakken van signatuur 2, die elkaar zoodanig in ��n

punt raken, dat de snijkromme een re�ele eendeelige vierdegraadskromme met ge�soleerd punt is en die een re�ele eendeelige torsus gemeen hebben,nbsp;bepalen twee soorten van oppervlakken, al naar gelang welk O mennbsp;als absoluut beschouwt. De oppervlakken van beide soorten verdeelennbsp;echter het actueele gebied in twee deelen. Ze zijn evenwel voor denbsp;aanschouwing zoo verschillend, dat ze naar onze meening als van tweenbsp;verschillende soorten moeten worden opgevat. Het verschil tusschennbsp;beide soorten is dan, dat bij een O van de ��ne soort het raakpuntnbsp;R (Fig. 10 en 11) met � op het actueele deel van het oppervlak ligtnbsp;en bij de andere soort op het virtueele deel. Het zijn resp. de koker^nbsp;vormige hyperbolische parabolo�de (Fig. 10)(HII6; 3x^ 4y^ 2z �nbsp;2 = 0) en de convexe eenbladige (nietrechtlijnigc) hyperbolischenbsp;parabolo�de (Fig. 11) (HII7; 5x*-j-y^ 2z^ 2x � 3 = 0).

Het oppervlak van signatuur 2, dat met � een imaginaire torsus gemeen heeft, is de concave eenbladige (nietrechtlijnigc) hyperbolische parabolo�de (HII8; x^ 2y^ � 2z^ � 2z = 0). Het oppervlak met signatuur 0 uit dit type IIB is de eenbladige rechtlijnige hyperbolischenbsp;parabolo�de (2de soort) (HII5; x� � y^ 7z^ 4z � 3 = 0).

De oppervlakken van type IIC hebben met een imaginaire vierdegraadskromme met ge�soleerd punt gemeen, zijn dus elliptische para-bolo�den. Het O van signatuur 2, dat met � een re�ele eendeelige torsus gemeen heeft, is de virtueele nietrechtlijnige (nietomhullende)nbsp;elliptische parabolo�de (HIIIO; x^ 6y^ 3z^ � 4x-j-3 = 0). Heeftnbsp;een oppervlak van signatuur 2 met O een imaginaire torsus gemeen,nbsp;dan kan het weer geheel actueel of geheel virtueel zijn; het eerste isnbsp;de actueele elliptische parabolo�de (HII12; 3x^ 8y^ 5z^ � 4x

1 nbsp;nbsp;nbsp;=0), het tweede is de virtucele (nietrechtlijnige) omhullende elliptische

parabolo�de (HIIl 1; 6x^ nbsp;nbsp;nbsp; 4z^ 4x � 10 = 0). Tenslotte het O met

signatuur 0 van type IIC; dit is de virtueele rechtlijnige elliptische parabolo�de (HII9: 4x* � y� 2z^ 4x � 8 = 0).

Resumeerend zijn er 9 soorten actueele parabolo�den, bovendien nog 3 soorten virtueele.

De oppervlakken, die tot dit type behooren, snijden ^3 volgens twee tweedegraadskrommen, die elkaar in 2 verschillende punten snijden. Innbsp;het bundeltype [(11)11] zijn 6 ondertypen voor ons doel van belang,nbsp;hiervan zullen we de vijf eerste in deze paragraaf nader beschouwen.nbsp;Dat zijn die ondertypen, waarvan de 2-vergelijking re�ele wortels heeft,nbsp;dus de ondertypen 1 tot en met 5.

Twee oppervlakken, die samen een bundel van het type [(11)11] vormen, hebben oneindig veel gemeenschappelijke poolviervlakken. Deze zijn bijnbsp;de ondertypen 1 tot en met 5 geheel re�el. De vergelijkingen van die

2 nbsp;nbsp;nbsp;oppervlakken ten opzichte van zoo'n re�el poolviervlak als grond-viervlak zijn:

A^x^ Aiy^ AjZ^ Agt^ = 0 en B^x^ B^y^ B^z� Bgt^ = 0 (alle co�ffici�nten re�el). Van deze oppervlakken bepalen we de klassever-gelijkingen, gaan deze twee scharen en onderzoeken de Segrenotatienbsp;van de gevonden schaar; deze is [(11)11], met de wortels der 2-vergelijking alle re�el. Hiermee hebben we dus bewezen, dat twee O�s,nbsp;die samen een bundel van het type [(11)11], ondertype 1 tot en metnbsp;5 vormen, als klasseoppervlakken beschouwd, een schaar van het typenbsp;[(11)11], ondertype 1 tot en met 5 vormen. Alvorens de O�s van typenbsp;III te kunnen indeelen, moeten we weer eerst een onderzoek instellennbsp;naar de mogelijke combinaties van bundelondertypen en schaaronder-typen (de bundel- en schaarnotatie [(11)11] zullen we voorloopig weglaten). We beginnen met de bundel- en schaarondertypen hier op tenbsp;sommen en erbij te vermelden, welke eigenschappen ervan we bij onsnbsp;onderzoek zullen gebruiken.

Bundelondertype 1. Basisfiguur: 2 re�ele tweedegraadskrommen, die elkaar in 2 re�ele punten snijden. De bundel bevat een re�el vlakkenpaar: de vlakkenbundel met behulp van deze beide vlakken gevormd, bevat geen re�ele raakvlakken aan �. Oppervlakken met de signaturen 2 en 0. .

Bundelondertype 2. Basisfiguur: 2 re�ele tweedegraadskrommen, die elkaar in 2 imaginaire punten snijden. De bundel bevat een re�el

vlakkenpaar: de vlakkenbundel met behulp van deze beide vlakken gevormd, bevat twee re�ele raakvlakken aan �. Oppervlakkennbsp;met de signaturen 2 en 0.

Bundelondertype 3. Basisflguur: 2 imaginaire tweedegraadskrommen. De bundel bevat een re�el vlakkenpaar. Oppervlakken met de signaturen 4 en 2.

Bundelondertype 4. Basisfiguur: 2 imaginaire tweedegraadskrommen met re�ele snijpunten. De bundel bevat een toegevoegd imaginair vlakkenpaar. De vlakkenbundel met deze 2 vlakken gevormd, bevat geennbsp;re�ele raakvlakken aan �. Oppervlakken met de signaturen 2 en 0.

Bundelondertype 5. Basisfiguur: 2 imaginaire tweedegraadskrommen. De bundel bevat een toegevoegd imaginair vlakkenpaar. De vlakkenbundel met deze twee vlakken gevormd, bevat 2 re�ele raakvlakkennbsp;aan �. Oppervlakken van alle signaturen.

Schaarondertype 1. De schaar bevat een re�el punten paar, op welks drager geen re�ele punten van Q liggen. Oppervlakken met denbsp;signaturen 2 en 0.

Schaarondertype 2. De schaar bevat een re�el puntenpaar, op welks drager 2 re�ele punten van O liggen. Oppervlakken van de signaturen 2 en 0.

Schaarondertype 3. De schaar bevat een re�el puntenpaar. Oppervlakken met de signaturen 4 en 2.

Schaarondertype 4. De schaar bevat een toegevoegd imaginair puntenpaar. Oppervlakken van de signaturen 2 en 0.

Schaarondertype 5. De schaar bevat een toegevoegd imaginair puntenpaar. Oppervlakken van alle signaturen.

Op een gemeenschappelijk re�el poolviervlak van O en als grond-viervlak kunnen we, door geschikte keuze van het eenheidspunt, aan � de volgende vergelijking geven:

We hebben voldoende vrijheid om aan O de volgende 2 vergelijkingen toe te kennen:

2. nbsp;nbsp;nbsp;Ax^ By� Cz* � Ct� =: O (A, B en C re�el).nbsp;Deze twee gevallen moeten we dus beide afzonderlijk gaan onderzoeken.

We beginnen met de vergelijkingen: x� y� z� � t� == 0 en Ax� Ay� Bz� Ct� = 0. Beide vergelijkingen bundelen en het vlakkenpaarnbsp;van de bundel bepalen levert:

hoort de bundel tot bundelondertype 4 of 5, We gaan nu de klasse-vergelijkingen van O en ^3 opstellen, gaan deze scharen en bepalen het puntenpaar van de schaar; dat is:

schaar van het ondertype 4 of 5. Dit kunnen we aldus interpreteeren: een O van signatuur 2 (B en C verschillend teeken), dat met � eennbsp;bundel van het bundelondertype 1, 2 of 3 vormt, moet noodzakelijknbsp;met � (beide als klassefiguur beschouwd) tot een schaar van schaarondertype 1, 2 of 3 behooren. Een O van signatuur 4 of 0 (B en Cnbsp;hetzelfde teeken), dat met ^3 tot een bundel van bundelondertypenbsp;1, 2 of 3 behoort, moet noodzakelijk met Q een schaar van ondertype

verschillend teeken, dan vormt het O (dat dus de signatuur 2 heeft) met Q een bundel van ondertype 4 of 5 en een schaar van ondertype

4 of 5. Als: nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt; 0 en B en C hebben hetzelfde teeken, dan be-

hoort O (van signatuur 4 of 0) met � tot een bundel van ondertype 4 of 5 en tot een schaar van ondertype 1, 2 of 3.

De mogelijke combinaties van O�s met signatuur 4 zijn hiermee reeds bekend. Voor de oppervlakken met signatuur 2 gebruiken we de volgende

vergelijkingen: ax^ ay^ bz� � ct^ = O of ax^ ay^ � bz� ct^ =0 (a, ben c gt; 0). We weten nu: O�s van signatuur 2 vormen met � eennbsp;bundel van ondertype 1, 2 of 3 en een schaar van ondertvpe 1, 2 ofnbsp;3. Of ze vormen met � een bundel van ondertype 4 of 5 en een schaarnbsp;van ondertype 4 of 5.

Eerst behandelen we het geval: ax* ay*^ bz� � ct� = 0. Bundelen met � en bepalen van het vlakkenpaar in de bundel geeft hiervoor alsnbsp;vergelijking:

(�)

kenmerken voor ieder ondertype afzonderlijk te bepalen, snijden we dit vlakkenpaar met �, dat wordt;

(2)

Voor bundelondertype 1 en 2 moest bovendien in (2); cgt;b als agt;c, a gt; b of c lt; b als a lt; c, a lt; b. Men krijgt dus: de bundel is vannbsp;ondertype 1 of 2 als a gt; c gt; b of als a lt; c lt; b. Voor bundelondertypenbsp;3 moest in (2): c lt; b als a gt; c, a gt; b; of c gt; b als a lt; c, a lt; b is.nbsp;De bundel is van ondertype 3 als c lt;C b lt; a of als c gt; b gt; a.

We moeten nu nog een verschil opsporen tusschen bundelondertype 1 en bundelondertype 2. Het vlakkenpaar in de bundel is in beide gevallen:

De vlakken zelf zijn; z Dt = 0 en z � Dt = 0: de bundel hiervan is: z (1 A) -j- Dt (1 � A) =0, alle vlakken hiervan hebben de vlakco�r-dinaten: |0;0;{1 A); D(1 � A)}. Substitueeren we dit in de klassevcr-gelijking van Q, dan vinden we de A�s van die vlakken in de bundel,nbsp;die raken aan Q. Dat zijn in dit geval re�ele A�s dus 2 re�ele vlakken:nbsp;de bundel is van ondertype 2.

We hebben dus een O: ax^ ay** bz^�ct� = 0 (agt;cgt;b of a lt; c lt; b). Dat beteekent: het O vormt met � een bundel van ondertype 2. We gaan van O en de klassevergelijking bepalen en gaannbsp;deze scharen; dan vinden we een schaar van ondertype 1, 2 of 3. Welknbsp;ondertype gaan we nu nader bepalen. De schaar is:

u' (- � /!) v' (~ � A) w=* nbsp;nbsp;nbsp;� A) � s' (- - A) = 0.

a nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DC

(a gt; c gt; b of a lt; c lt; b).

In beide gevallen vinden we op de bekende manier, dat deze schaar oppervlakken van signatuur 2 en 0 bevat. Het moet dus een schaarnbsp;van ondertype 1 of 2 zijn. Hiertusschen beslissen we met het puntenpaar:

De punten zijn; w � Es = 0 en w -)- Es = 0; de puntenreeks; w (1 A) Es (1 � �) � 0, in puntco�rdinaten: |0: 0; (1 ^): E(1 � A)j.nbsp;Substitueeren we dit in de graadvergelijking van �, dan vinden we, datnbsp;de drager 2 re�ele punten van � bevat; �t is dus schaarondertype 2.nbsp;Resumeerend: een O van signatuur 2, dat met O een bundelondertypenbsp;2 vormt, behoort als klasseflguur met � noodzakelijk tot een schaarnbsp;van ondertype 2.

Na het opstellen der klassevergelijkingen en het onderzoek van de schaar blijkt, dat deze exemplaren van de signaturen 4 en 2 bevat: het isnbsp;schaarondertype 3. Dus een O van signatuur 2, dat met � een bundelnbsp;van het ondertype 3 vormt, behoort samen met Q tot een schaar vannbsp;ondertype 3.

onderzoeken, dan vinden we dat er in de vlakkenbundel 2 re�ele raakvlakken van O voorkomen: het is dus bundelondertype 5. Er zijn hier Weer twee mogelijkheden:alt;Cc, a]gt;b of agt;c, alt;Cb: anders geschreven : cgt;agt;bofclt;alt;b. Met behulp van de klassevergelijkingnbsp;van de schaar vinden we, dat de schaar, gevormd uit O en Q, in ditnbsp;geval exemplaren van de drie signaturen bevat: �t is dus een schaar van

ondertype 5. Hiermee is de vergelijking ax* -}- ay* bz� � ct� =r 0 volledig onderzocht.

Thans volgt: ax^ ay^ � bz^ ct� = 0 (a, b en c gt; 0). Bundelen we deze vergelijking met die van Si, dan is de vergelijking van het

dus altijd een O voor, dat met Si een bundelondertype 1, 2 of 3 vormt. Om hieruit te kiezen, snijden we dit vlakkenpaar weer met Q', de ver

het bundelondertype 1 of 2 en voor b lt; c, is het bundelondertype 3. Het eerste onderzoeken we op de bekende manier: er zijn 2 re�ele zaakvakken in de vlakkenbundel, dus het is bundelondertype 2. De vergelijkingnbsp;van de schaar is:

Als b gt; c (dus bundelondertype 2), dan bevat de schaar exemplaren van de signaturen 4 en 2, is van ondertype 3. Voor b lt; c (bundelondertype 3) bevat de schaar exemplaren van de signaturen 2 en 0;nbsp;dus van schaarondertype 1 of 2. Dit laatste beslissen we weer met hetnbsp;puntenpaar uit de schaar; op de drager ervan liggen 2 re�ele puntennbsp;van �: het is schaarondertype 2.

Hiermee zijn de oppervlakken van signatuur 2 uit het eerste geval van blz. 51 afgehandeld, zoodat thans volgen die met signatuur 0. Denbsp;vergelijking hiervan is: ax* ay^ � bz* � ct�=0 (a, b en cgt;0). Nanbsp;bundeling met Si vinden we voor het vlakkenpaar:

Dus voor a gt; c hoort het O tot een bundel van ondertype 1 of 2 en voor a lt; c tot een bundel van ondertype 4 of 5. Het onderzoeknbsp;met de realiteit van de 2 raakvlakken aan Si leert, dat voor a gt; c hetnbsp;O tot bundelondertype 2 hoort en voor a lt; c tot bundelondertype 5.nbsp;We weten nu verder, dat O�s van signatuur 0 met Si een bundel vannbsp;ondertype 2 en een schaar van ondertype 4 of 5 vormen. Of ze vormennbsp;met Si een bundel van ondertype 4 of 5 en een schaar van ondertypenbsp;1 of 2. De vergelijking van de schaar is:

Voor a gt; c bevat deze schaar oppervlakken van alle signaturen, 't is er dus ��n van ondertype 5. Voor a lt;C c bevat de schaar oppervlakkennbsp;van de signaturen 2 en 0, �t is ondertype 1 of 2. Met behulp vannbsp;het puntenpaar vinden we dat het een schaar van ondertype 2 is.

We nemen eerst A en B hetzelfde teeken: het O heeft dan de signatuur 2; deze oppervlakken vormen met � een bundel van ondertype 1, 2 of 3 en een schaar van ondertype 1, 2 of 3; of een bundel vannbsp;ondertype 4 of 5 en een schaar van ondertype 4 of 5. Als A en Bnbsp;verschillend teeken hebben is de signatuur 0: deze oppervlakken vormennbsp;met � een bundel van ondertype 1 of 2 en schaar van ondertype 4 of 5,nbsp;of een bundel van ondertype 4 of 5 en een schaar van ondertype 1 of 2.

De oppervlakken van signatuur 2 kunnen we de volgende vergelijking geven: ax� by� cz� � ct� = 0. (a, b en c jgt; 0). Met deze co�ffici�nten

is het vlakkenpaar: x� =

a �

c b

Als-gt; o, dan hebben we bundelondertype 1, 2 of 3. Met be-

a � c

hulp van de vlakkenbundel, gevormd uit die 2 vlakken, vinden we dat

: �b �

en voor a lt; c lt;C b. De vergelijking van de schaar gevormd uit O en Q is hier:

(1_ A) V� _ A) w� (-- 2) -b s� (A-i) = 0. anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c

Op de bekende manier vinden we dat voor beide gevallen deze schaar exemplaren van de signaturen 2 en 0 bevat, dus van ondertype 1 of 2nbsp;is, terwijl we verder met behulp van het puntenpaar uit de schaar vinden,nbsp;dat het ondertype 1 is.

voor: c gt; b, c gt; a en c lt; b, c lt; a. Men ziet dat hier onderscheid gemaakt moet worden voor: a gt; b en a lt; b (a = b is onmogelijk).nbsp;Voor al die gevallen heeft de schaar oppervlakken van de signaturennbsp;2 en 0, is dus van ondertype 4.

Tenslotte de signatuur 0; we geven het O in dit geval de vergelijking: ax^ � by� cz� � ct� � 0 (a, b en c gt; 0).

Dus voor a gt; c behoort O tot een bundelondertype 1 of 2, verder vinden we met behulp van de vlakkenbundel en de raakvlakken aan Q,nbsp;dat het bundelondertype 1 is. De schaarvergelijking is;

Voor a gt; c bevat deze schaar oppervlakken van de signaturen 2 en 0, is dus van ondertype 4. Het geval a lt; c geeft de bundelondertypennbsp;4 of 5, terwijl de nadere bepaling met de raakvlakken aan � het ondertype 4 geeft. De schaar is van ondertype 1 of 2. De drager vannbsp;het puntenpaar heeft 2 imaginaire snijpunten met �; het is schaarondertype 1.

Het in de vorige paragraaf bereikte resultaat geeft de volgende mogelijke combinaties;

We hebben tevens bewezen, dat er geen andere mogelijkheden zijn. Alle oppervlakken van dit type III snijden � m2 tweedegraadskrommen,

het zijn dus omwentelingsoppervlakken in de Hyperbolische meetkunde. Zooals bekend bestaan hiervan twee soorten; met actueele en met virtueelenbsp;omwentelingsas. Omdat het ons ongewenscht voorkomt, de naam cylindernbsp;hier te gebruiken, noemen we beide soorten omwentelingsoppervlak.

De O�s, die � volgens een re�ele kromme snijden, zijn hyperbolo�den; de oppervlakken van type UIA en IIIB zijn dus omwentelingshyper-bolo�den. Beginnen we met de O�s, die met Q bundelondertype 1 vormen,nbsp;type UIA. Het O met signatuur 2 uit dit ondertype bepaalt ��nnbsp;soort omwentelingsoppervlak, dat het actueele gebied in 3 deelen verdeelt: de tweebladigc nietrechtlijnige omwentelingshypcrbolo�idcnbsp;(HIII 1; 3x^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2z^ � 2 = 0). Hierbij moet opgemerkt worden, dat

in dit geval geen 2 verschillende soorten van oppervlakken te voorschijn komen, wanneer men beide O�s van signatuur 2, die het bundelondertype 1 vormen, als absolute figuur beschouwt: beide keeren is het Onbsp;tweedeelig. Een bundel van ondertype 1 bevat ook nog O�s met signatuur 0, we noemen deze oppervlakken tweebladige rechtlijnigenbsp;omwentelingshyperbolo�den (HIII 2; 3x^ � y^ z� � 1 = 0).

Vervolgens bundelondertype 2; eerst de oppervlakken met signatuur 2, die met Q een schaar van ondertype 2 (dus met re�ele torsus) vormen.nbsp;De algemeene figuur hiervan is twee O�s van signatuur 2, die elkaarnbsp;doorboren (de snijkromme bestaat natuurlijk uit 2 tweedegraadskrommen).nbsp;We kunnen hier weer beide oppervlakken als absolute figuur opvattennbsp;en krijgen dan de convexe tweebladige (nietrechtlijnige) omwentelings-hyperbolo�de (Fig. 12) (HIII 3; x^ -f y^ 5z^ � 2 = 0) en de eenbladigenbsp;nietrechtlijnige omwentelingshyperbolo�de (Fig. 13) (HIII 4; 5x� nbsp;5y2 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 4 = 0). Het geval: signatuur 2 en schaarondertype 3 geeft

slechts aanleiding tot ��n soort: de concave twcebladige (nietrecht-lijnige) omwcntclingshypcrbolo�de (HUI 5; nbsp;nbsp;nbsp; y� � 7z^ 10).

Het oppervlak met signatuur 0 uit dit bundelondertype bepaalt de een-bladige rechtlijnige omwentelingshyperbolo�de (HUI 6; 2x� 2y^ � 2z2 � 1==0).

De snijflguur van een O van type IIIC met � is imaginair; de oppervlakken zijn dus omwentelingsellipso�den en wel van de 1ste soort. Het oppervlak met signatuur A is natuurlijk de imaginaire omwentelings-ellipso�de (1ste soort) (HIII 10; 2x^-f-2y^ z^ 2 = 0). De oppervlakken van signatuur 2, die met � een schaar van ondertype 2 vormen,nbsp;bepalen de virtueele nietomhullende (nietrechtlijnige) omwentelings-ellipso�de (HIII 7; x� y^ � z� -j- 7 = 0). De combinatie; signatuur 2nbsp;en schaarondertype 3 geeft weer aanleiding tot twee soorten van oppervlakken in de Hyperbolische meetkunde, nl. actueele en virtueele. Hetnbsp;zijn de actucclc omwentelingsellipso�de (1ste soort) (HIII 9; 5x^ nbsp;5y2 _j_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 1=0) en de virtueele omhullende (nietrechtlijnige) om

De basisflguur van het bundelondertype 4 bevat 2 re�ele punten; we zullen de oppervlakken, die tot type IIID behooren, omwentelings-parabolo�den noemen. Het O met signatuur 2 uit dit bundelondertypenbsp;geeft aanleiding tot meerdere soorten oppervlakken; de actueele om-wentelingsparabolo�de (HIII 13; x� 3y� 2z^ � 1=0) en virtueelenbsp;oppervlakken. Hierbij doet zich hetzelfde voor als op blz. 17 met denbsp;afstandslijnen. Er bestaan in dit geval twee soorten virtueele oppervlakken, nl.; omhullende en nietomhullende. Bij de omhullende bevindt zich � in het binnengebied van O en bij de nietomhullende innbsp;het buitengebied. De eerste soort noemen we virtueele omhullendenbsp;(nietrechtlijnige) omwentelingsparabolo�de (HIII 12; 3x^-j-y^-f-2z^ �nbsp;3 = 0) en de tweede soort; virtueele nietomhullende (nietrechtlijnige)

vlak van signatuur 0 geeft ��n soort, de virtueele rechtlijnige om-wentelingsparabolo�dc (HIII 14; 3x^ � y^ nbsp;nbsp;nbsp;� 3 = 0).

Tenslotte de oppervlakken van type IIIE; dit zijn weer omwentelingsellipso�den en wel van de 2de soort. Hierin komt weer een oppervlak met signatuur 4 voor, de imaginaire omwentelingsellipso�de (2denbsp;soort) (HIII 16; 2x^ 2y^ 3z^ 1 = 0). Het O met signatuur 2 uit hetnbsp;bundelondertype 5 bepaalt weer twee soorten van oppervlakken: denbsp;actueele omwentelingsellipso�de (2de soort) ^) (HIII 18; 4x� 4y*

') Barrau (Versl. Afd. Nat. Kon. Ac. v. Wet.. XIX, blz. 1428) noemt de oppervlakken HUI 9 en HIII 18 resp.: verlengde en afgeplatte omwentelingsellipso�de.

5z^ � 1 = 0) en de virtueelc omhullende (nietrechtlijnige) omwen-telingsellipso�de (2de soort) (HIII 17; 2x^ 2y^ nbsp;nbsp;nbsp;� 5 = 0). Ver

volgens het O met signatuur 0; dit is de virtueele rechtlijnige om-wentelingsellipso�de (HIII15; y� � nbsp;nbsp;nbsp;� 7 = 0).

We kunnen hierbij opmerken, dat men de omwentelingsoppervlakken in de Hyperbolische meetkunde (die tevens cylinders zijn) ook kannbsp;indeelen naar: omwentelingsas actueel (en dus cylinderas virtueel) ennbsp;omwentelingsas virtueel (en dus cylinderas actueel), �t Is duidelijk, datnbsp;de oppervlakken van type UIA en IIID tot het tweede geval behooren,nbsp;dus een actueele cylinderas hebben; ze worden dan ook wel kanaal-oppervlakken genoemd. Die van type IIIB, IIIC en IIIE hebben eennbsp;actueele omwentelingsas, zijn dus echte omwentelingsoppervlakken.

Thans blijft van het bundeltype [(11)11] nog over ondertype 7. Eerst moeten we hier bewijzen welk schaarondertype erbij behoort. Op hetnbsp;gemeenschappelijk poolviervlak (ten deele re�el) als grondviervlak kunnennbsp;we door keuze van het eenheidspunt aan Q steeds de vergelijking:

y^ z� t^ = 0 geven. Aan O mag men dan de vergelijking: ax� ayquot; bz^ ct� = 0 toekennen, waarin a re�el en b en c complexnbsp;zijn. Na opstelling van beide klassevergelijkingen en scharen vinden we,nbsp;dat de ^-vergelijking van de schaar ook 2 imaginare wortels heeft; denbsp;schaar is dus van ondertype 7. Het bundelondertype bevat alleen exemplaren van de signatuur 2, deze bepalen de omwentelingssemihyper-bolo�de (HIII 19; x� y^ � z^ � 3z 1 = 0).

Resumeerend zijn er 2 soorten imaginaire omwentelingsoppervlakken, 10 soorten actueele en 7 soorten virtueele.

Eerst toonen we weer aan, dat twee O's, die exemplaren zijn van een bundel van type [31], als klasseoppervlakken beschouwd, samennbsp;slechts een schaar van het type [31] kunnen vormen. Voor de vergelijkingen van de beide O's kunnen we, met behulp van de standaard-matrix van dit type, nemen: 2xy z^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0 en 2axy � 2xz -f az�

-f bt^ = 0. Stellen we van deze oppervlakken de klassevergelijking op, scharen we en bepalen we de wortels van de A-vergelijking, dan blijktnbsp;het een schaar van type [31] te zijn.

Deze soort bundel heeft geen ondertypen, evenmin als de schaar; we hebben dus slechts de combinatie van ��n soort bundel met ��nnbsp;soort schaar te beschouwen. Beide bevatten oppervlakken van de signa-

turen 2 en 0. De snijkromme van O en i3 bevat een keerpunt, we zullen deze oppervlakken; osculeerende parabolo�den noemen. Het Onbsp;met signatuur 2 is dan de nietrechtlijnige osculcercndc parabolo�denbsp;(HIV1; 3x� 4y^ z� � xy � x 2y � 2 = 0) en het O met signatuur 0, de rechtlijnige osculeerende parabolo�de (HIV2; x^ 2y2-� z^ � xy � X 2y = 0). Evenmin als er in het platte vlak 2 soortennbsp;osculeerende parabolen zijn, ontstaan hier 2 soorten van oppervlakkennbsp;met signatuur 2, omdat het bij de figuur van 2 oppervlakken met signatuur 2, die elkaar snijden volgens een vierdegraadskromme met keerpunt,nbsp;voor ons doel geen verschil maakt, welk O men als absolgut beschouwt.

Alvorens we dit type kunnen gaan indeelen, moeten we eerst weer een beschouwing over de mogelijke combinaties houden. De vergelijkingennbsp;van twee oppervlakken, die een bundel van type [(21)1] vormen, zijn ^):

Het onderzoek naar de schaar, die deze beide oppervlakken vormen, leert, dat het type [(21)1] is. De vergelijking (2) is aldus te schrijven:nbsp;ax^ by� (z at)� � a�t� = 0. Voor O�s met signatuur 2 is: a gt; 0,nbsp;bgt;0 of alt;C0, blt;C0; voor a gt; 0, b lt; 0 of a lt;C 0, b gt; 0 is de signatuur 0. Het vlakkenpaar uit de bundel met de beide oppervlakken gevormd is:

't Is dus duidelijk, dat voor b gt; a beide oppervlakken een bundel van ondertype 1 vormen, terwijl het voor b lt; a een bundel van ondertype 2 is. De klassevergelijkingen van (1) en (2) zijn:

u� V� 2ws = 0 en abu� a�v� 2abws � bs� = 0; het puntenpaar uit de schaar heeft tot vergelijking:

Is dit imaginair, dan is de schaar van ondertype 1; is het re�el, dan is het ondertype 2.

Voor een O met signatuur 2 en bundel van ondertype 1 hebben we de volgende gevallen:

Voor beide is de schaar van ondertype 1. De signatuur 0 in hetzelfde *) D. M. J. Sommerville: �Analytical Geometry of Three Dimensionsquot;: p. 269.

Voor beide is de schaar van ondertype 2. Tenslotte de signatuur 0 in hetzelfde bundelondertype; dan is a gt; 0 gt; b, De schaar is van ondertype 1.

3 = 0.

Deze oppervlakken van type V noemen we parabolische omwentelings-oppervlakken, zoodat die van type VA de parabolische omwentelings-ellipso�den zijn. Het oppervlak van signatuur 2 uit een bundel van ondertype 1 geeft weer aanleiding tot twee soorten van oppervlakken: de actueele parabolische omwentelingsellipso�de (HV2; 2x^ 2y^ nbsp; z^ 2x 0) en de virtucclc nietrcchtlijnige parabolische omwcn-tclingsellipso�dc (HV1; x^ y^ 2z^ � 2x � 3 = 0). Het O van signatuur 0 is de virtucelc rechtlijnige parabolische omwentelingsellips-o�de (HV3; x2 y2 � z^ 4x 3 = 0).

De oppervlakken van type VB zijn de parabolische omwentelings-hyperbolo�den. Van die met signatuur 2 bestaan twee soorten; de eenbladige (nietrechtlijnige) parabolische omwentelingshyperbolo�de (Fig. H) (HV4: 3x� 2y^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2x � 1=0) en de tweebladige (nietrecht

2z� � 2x � 2 = 0). De rechtlijnige parabolische omwentelingshyper^ bolo�de (HV6; 3x^ �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- �lx = 0) is het oppervlak met signa

Een bundel van type [(111)1] is een bundelschaar, het bundel type heeft twee ondertypen, dus iedere bundel van zoo�n ondertype is tevensnbsp;een schaar; de exemplaren van de bundel hebben, als klasseflguur beschouwd, dezelfde torsus gemeen. Een bundel van type [(111)1], ondertype 1 bevat oppervlakken van de signaturen 4 en 2. De snijfiguur vannbsp;O met � is een imaginaire tweedegraadskromme dubbelgeteld, dus hetnbsp;O met signatuur 4 van type VIA is de imaginaire bol (HVIl; x^ nbsp; y^ 2z^ � 4z 3 = 0), Het andere geval is twee oppervlakken vannbsp;signatuur 2, waarvan het eene zich in het binnengebied van het anderenbsp;bevindt. Beschouwt men het tweede als absolute figuur, dan is het Onbsp;de actueele bol (HVI3; 4x^ 4y^ 5z^ � 4z = 0). Wordt het eerstenbsp;als Q beschouwd, dan is het O de virtueele bol (HVI2; x^ nbsp; 4z � 5 = 0).

Op dezelfde manier verkrijgt men de oppervlakken van type VIB. De basisfiguur van een bundel van type [(111)1], ondertype 2 is eennbsp;re�ele tweedegraadskromme dubbelgeteld, terwijl de oppervlakken vannbsp;de signaturen 2 en 0 zijn. Het eerste geval levert weer twee soorten;nbsp;een oppervlak, dat op die tweedegraadskromme na geheel actueel is, ennbsp;een oppervlak, dat verder virtueel is. Het eerste is het actueele afstandsoppervlak (HVI 5; x^ y^ 2 z^ � 1=0) en het tweede het virtueelenbsp;nietrechtlijnige afstandsoppervlak (HVI 4: 2 x^ 2 y^ z� � 2 = 0).nbsp;Het O met signatuur 0 is een virtueel rechtlijnig afstandsoppervlaknbsp;(HVI 6; x^ y^ �z' � 1 =0).

We zullen eerst weer bewijzen, dat, als twee oppervlakken elkaar snijden volgens de basisfiguur van het bundcltype [2(11)], hun gemeenschappelijke klasseflguur die van het schaartype [2(11)] is. Met behulpnbsp;van de standaardmatrix van dit bundeltype geven we aan de oppervlakken de vergelijkingen; 2 xy z^ 1^=0 en 2 axy � y^ bz^ bt** = 0.nbsp;De schaar, gevormd uit beide oppervlakken als klassefiguren, is vannbsp;het type [2(11)]. De bundel bevat voor ons doel twee ondertypen, beide

bevatten slechts exemplaren van signatuur 2. Van de 3 ondertypen van de schaar kunnen we er slechts twee gebruiken: het derde bevatnbsp;alleen O�s met signatuur 0.

We beginnen met type VIIA: de snijflguur van � met een O van dit type is een imaginaire tweedegraadskromme en 2 imaginaire rechten.nbsp;De oppervlakken van dit type noemen we dus parabolische ellipso�den.nbsp;Een O van dit type, dat met � een imaginaire torsus (schaarondertype 1)nbsp;gemeen heeft, komt weer in twee soorten voor; de actueele parabolischenbsp;ellipso�de (HVII 2; 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2 y�* 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 4 z 1 = 0) en de virtueele om

hullende parabolische ellipso�de (HVII 1; x^ y^ 4 z � 4 = 0). Het O, dat met Q een re�ele torsus (schaarondertype 2) gemeen heeft, is denbsp;virtueele (niet omhullende) parabolische ellipso�de (HVII 3; x� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

Vervolgens het type VII B: de basisfiguur van het correspondeerende bundelondertype bestaat uit een re�ele tweedegraadskromme en 2 imaginaire rechten; deze oppervlakken noemen we parabolische hyper-bolo�den. Een oppervlak uit dit bundelondertype, dat met Q een imaginairenbsp;torsus (schaarondertype 1) gemeen heeft, is de concave parabolischenbsp;hyperbolo�de (HVII 4; x** y^ � 3 z^ 4 z � 1=0). Een oppervlaknbsp;uit dit bundelondertype, dat met � een re�ele torsus (schaarondertype 2)nbsp;gemeen heeft, geeft aanleiding tot twee soorten van oppervlakken, dienbsp;echter beide het actueele gebied in twee deelen verdeelen, maar dienbsp;We weer als van verschillend soort definieeren. Voor oppervlakken vannbsp;de eene soort ligt n.1. het gemeenschappelijk raakpunt R van O en �nbsp;op het virtueele deel van O en bij de andere soort op het actueele deel.

Een O, dat in het eerste geval verkeert, noemen we convexe parabolische hyperbolo�de (Fig. 16) (HVII 5; x� -[- y� 3z� � 2z � 1 = 0) en in het tweede geval: kokervormige parabolische hyperbolo�denbsp;(Fig. 17) (HVII6; 2x^ 2y^ z � 1=0).

De basisfiguur van het bundeltype [(11)(11)] is een scheeve vierhoek ; de rechten liggen in 2 raakvlakken van �. Als die raakvlakken ennbsp;Vj zijn, is de bundelvergelijking: Q � AVj V2 = 0. Het type VIII bevat dus de cirkeleylinders ^).

Een bundel van het ondertype 2 is een bundelschaar en bevat alleen O�s met signatuur 2. Zoo'n oppervlak heeft met Q een imaginairenbsp;snijflguur en een imaginaire torsus gemeen, zoodat hier twee gevallennbsp;kunnen voorkomen: actueele en virtueele oppervlakken. Van het eerstenbsp;geval komt ��n soort voor: de actueele cirkelcylinder (HVIII3;nbsp;2x^ 2y^ z** � 1=0), maar er bestaan twee soorten van virtueelenbsp;cirkeleylinders: die waar Q in het buitengebied ligt en die waar Q innbsp;het binnengebied ligt. De eerste soort is de virtueele nietomhullendenbsp;cirkelcylinder (HVIII1; x^ y^ � z^ 1 = 0) en de andere de virtueelenbsp;omhullende cirkelcylinder (H VIII2; x^ -f y� 2z� � 2 = 0).

Weer moet eerst bewezen worden, dat 2 O�s, die elkaar snijden volgens een basisfiguur van het bundeltype [(31)], ook als klassefiguur een schaarnbsp;van het type [(31)] vormen. Met behulp van de standaardmatrix vannbsp;dit type geven we beide oppervlakken de vergelijkingen: 2xy nbsp; t^ = 0 en 2axy � 2yz az^ at^ = 0. Na hiervan de klassever-gelijkingen opgesteld en geschaard te hebben, blijkt, dat deze 2 O�snbsp;ook een schaar van type [(31)] vormen. Het bundelondertype 1 bevatnbsp;oppervlakken van ��n signatuur, n.1. 2. We hoeven slechts dit bundeltypenbsp;met het schaarondertype 1 te combineeren, want slechts dat schaar-ondertype bevat oppervlakken met signatuur 2. Een nauwkeuriger in-deeling is dus niet mogelijk; type IX bestaat uit oppervlakken vannbsp;signatuur 2, die alle dezelfde soort torsus met Q gemeen hebben: denbsp;parabolisch'osculeerende parabolo�den (HIXl; x^ y�¹ z^ 2xz �nbsp;� 2x� 1 =0).

Tenslotte het laatste type: de basisflguur is een dubbeltellend lijnen-paar, gelegen dus in een raakvlak V van Q. De bundelvergelijking is: Q �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 0.

Dit type zal de grensbollen bevatten. Een bundel van type [(211)] is een bundelschaar; ondertype 1 bevat slechts oppervlakken van signatuur 2. De torsus van deze bundelschaar is imaginair; we hebben dusnbsp;weer een figuur, bestaande uit 2 oppervlakken, waarvan het ��ne, opnbsp;��n punt na, geheel in het binnengebied van het andere ligt. Beschouwennbsp;we het tweede oppervlak als O, dan is het O een actueele grensbolnbsp;(HX2; X� -j- y^ -|- 2z� � 2z = 0); wordt het eerste als absolute figuur beschouwd, dan is het een virtucelc grensbol (HX1; x* y� 2z � 2 = 0).

In totaal zijn er in de Hyperbolische meetkunde 42 verschillende soorten van actueele tweedegraadsoppervlakken met rang 4; bovendiennbsp;nog 4 soorten imaginaire en 23 soorten virtueele.

Alvorens we de kegels in de Hyperbolische meetkunde kunnen gaan indeelen, moeten we voor eenige kegeltypen een theoretische beschouwingnbsp;houden. We zullen eenige re�el-projectieve eigenschappen van een kegelnbsp;ten opzichte van � gaan afleiden; het is dus voldoende als we dit doennbsp;voor een kegel en een willekeurig oppervlak van signatuur 2: Oi. Metnbsp;zoo n oppervlak en met een ander oppervlak: Og, vormen we een bundelnbsp;van het type, dat we onderzoeken willen.

Twee oppervlakken, die samen een algemeene bundel van ondertype 1 of 2 vormen, hebben een gemeenschappelijk re�el poolviervlak, dat we als grondviervlak nemen. Ons onderzoek is voldoende algemeen,nbsp;als we Oi de vergelijking: x^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� t� = 0 geven, terwijl we voor

We zullen eerst het eerste geval behandelen; zooals we gezien hebben is voor d gt; b gt; a de bundel van ondertype 1. De vier kegels van denbsp;bundel zijn dan:

Van de twee imaginaire kegels heeft er ��n de top in het binnengebied Van Ox en de andere in het buitengebied. We stellen nu de klasse-

vergelijkingen van de beide re�ele kegels op (die beide hun top in het buitengebied van hebben); laten deze zijn;

Wc bepalen nu de gemeenschappelijke oplossingen van ieder van deze stelsels vergelijkingen en de klassevergelijking van Oi. Stel s=l, dannbsp;vindt men voor de co�rdinaten van die gemeenschappelijke raakvlakkennbsp;van kegel en resp.:

Voor d gt; b gt; a zijn deze vier vlakken bij de eerste kegel re�el en bij de tweede imaginair.

De bundel, gevormd met en O^. is van ondertype 2 als bgt;dgt;a en als b gt; a gt; d. De vier re�ele kegels zijn dan:

De top van de vierde kegel ligt in het binnengebied van Oj. Bepalen we nu de co�rdinaten van de gemeenschappelijke raakvlakken van Ox en de kegel, dan zijn deze voor bovenstaande kegels met toppennbsp;buiten resp.:

(b � a) (d c)�

Zoowel voor b gt; d gt; a, als voor b gt; a gt; d zijn er van deze drie kegels twee, die 4 imaginaire gemeenschappelijke raakvlakken met Oinbsp;hebben, terwijl de derde 4 re�ele raakvlakken met gemeen heeft.

Ook in het tweede geval, als de vergelijking van Oj: ax** � by� � � cz� dt� = 0 (b gt; c) is, vinden we, dat er in een bundel van onder-

type 1, twee imaginaire kegels zijn: ��n met top binnen en ��n met top buiten O,; terwijl van de andere twee re�ele kegels (beide metnbsp;top buiten Oj) er ��n 4 re�ele en de ander 4 imaginaire raakvlakkennbsp;met Oi gemeen heeft. Een bundel van ondertype 2 bevat dan ��n re�elenbsp;kegel met top binnen Oi�, van de drie andere re�ele kegels met topnbsp;buiten hebben er twee 4 imaginaire raakvlakken gemeen metnbsp;en ��n 4 re�ele.

Voor een algemeene bundel van ondertype 3 zijn de vergelijkingen van O2 en Oj ten opzichte van een re�el grondviervlak resp.:

(a � b) y� z� � t� 2 (ac � d) zt = 0; (b � a) X� z� � t� 2 (bc � d) zt = 0

De gemeenschappelijke oplossingen van zoo n stelsel vergelijkingen en de klassevergelijking van Oi geven de co�rdinaten van de gemeenschappelijke raakvlakken van de kegel en O^. Na eenig omwerken (stelnbsp;s�1) vinden we de volgende vergelijkingen voor deze co�rdinaten^):

Voor beide kegels zijn de wortels van de vierkantsvergelijking in w re�el en verschillend van teeken. Bij de eerste kegel zijn dan van denbsp;bijbehoorende v-waarden er twee re�el en twee imaginair en bij denbsp;tweede kegel gebeurt hetzelfde met de waarden van u. Er zijn dus bij beide

kegels twee gemeenschappelijke raakvlakken met re�el en twee imaginair, terwijl beide kegels hun top buiten hebben.

Voor het vormen van een bundel van type [211] geven we aan de oppervlakken en Og de reeds bekende vergelijkingen:

De co�rdinaten van de enkelvoudige gemeenschappelijke raakvlakken van de kegel en vinden we uit (stel s = 1):

We zien dus, dat als bij de eene kegel de vlakken re�el zijn, ze bij de andere imaginair zijn. Beide kegels hebben hun top buiten O^.

Om de vergelijking van een bundel van type [(11)11] ondertype 2, 3 en 5 op te stellen, geven we aan O^ de vergelijking:

y� z* � t* = 0 en aan Og: ax* ay* bz* ct* � 0. (a, b en c re�el), beide ten opzichte van een re�el gemeenschappelijk poolvier-vlak als grondviervlak. De kegels uit de bundel zijn:

(a � b) X* (a � b) y^ (b c) t* = 0,

Een bundel van ondertype 1 en 4 vinden we door aan O^ en O2 resp. de vergelijkingen: x* nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; z* � t* = 0 en ax* -}� by* cz* � ct* = 0

Berekenen we de gemeenschappelijke raakvlakken van de kegel en Oj, dan vinden we hiervoor in beide gevallen de vlakken: |0; 0: 1; Ij ennbsp;jO; 0: �1; Ij, deze zijn dus beide re�el. Beide kegels hebben hun topnbsp;buiten Oi.

Een bundel van type [1111], ondertype 1 bevat 2 imaginaire en 2 re�ele kegels. Het type IA bevat dus 4 soorten kegels: 2 imaginaire en 2 re�ele.nbsp;De kegels van de ��ne imaginaire soort hebben een actueele top,nbsp;we noemen deze imaginaire algemeene kegels (1ste soort) (Hl 13;nbsp;X� 2 y� 3 z� = 0); de andere hebben een virtueele top: de imaginairenbsp;algemeene kegels (2de soort) (Hl 14; y� 2z� l=0). De toppennbsp;van de beide soorten re�ele kegels zijn virtueel. De eene soort heeftnbsp;4 imaginaire raakvlakken gemeen met Q, het is de virtueele omhullendenbsp;algemeene kegel (Hl 15; 2x� y� � 3 = 0) en de andere soort heeftnbsp;4 re�ele raakvlakken met Q gemeen: de virtueele (nietomhullende)nbsp;algemeene kegel (Hl 16; x� � z� � 2 = 0).

In een algemeene bundel van ondertype 2 bevinden zich 4 re�ele kegels. Het type IB bevat dus 4 soorten re�ele kegels, waarvan ��n

soort met actueele top: de re�clc algemeene kegel (Hl 17; 2x� 6y* � z^ = 0). Van de andere drie soorten zijn er twee met kegels,nbsp;die 4 imaginaire raakvlakken met � gemeen hebben; een kegel van denbsp;��ne soort deelt het actueele gebied in 2 deelen, de kokervormigenbsp;algemeene kegel (Fig. 18) (Hl 18; 7x� 2 y� � 1 ~ 0); een van de anderenbsp;soort in 3 deelen: de concave algemeene kegel (Fig. 19) (Hl 19;nbsp;2 x^ � 5 y** � 1 == 0). Tenslotte de soort van kegels met 4 re�ele raakvlakken gemeen met �: de convexe algemeene kegel (Hl 20; 7x�-}- 5 z� � 6 = 0); deze verdeelt het actueele gebied in 3 deelen.

Een bundel van type [1111], ondertype 3 bevat 2 imaginaire en 2 re�ele kegels. De imaginaire kegels hebben een imaginaire vergelijking, dusnbsp;deze worden hier niet verder behandeld. We hebben gezien, dat allenbsp;kegels, die � snijden volgens de basisflguur van een algemeene bundel,nbsp;ondertype 3, een virtueele top hebben en twee re�ele en twee imaginaire raakvlakken met Q gemeen hebben. Bovendien deelen al die kegelsnbsp;het actueele gebied in 2 deelen. Het type IC bevat dus ��n soort vannbsp;kegels, die der eendeelige algemeene kegels (Hl 21: x* � z^ 2x � 2=0).

Vervolgens de kegels van type II. Een bundel van type [211], ondertype 1 bevat drie kegels, waarvan ��n met top op de snijkromme. Deze soort van kegels, dus wier top op Q ligt, noemen we in de Hyperbolische meetkunde tweedeelige parabolische parallelkegel (HII 13;nbsp;X� 2 y^ � z^ � 2 X 1=0). De kegels van de beide andere soorten vannbsp;type IIA hebben een virtueele top en een gemeenschappelijk re�elnbsp;dubbeltellend raakvlak met �. De twee andere gemeenschappelijke raakvlakken zijn bij de eenc soort re�el, dat is die van de tweedeeligenbsp;parabolische kegels (HII 15; x^ -f 3 z^ 2 x � 3 = 0) en bij de anderenbsp;imaginair: de eendeelige parabolische kegel (HII 14; 2x^ 3y^-

Het type IIB bevat ook 3 soorten kegels, waarvan ��n met top op �: de eendeelige parabolische parallelkegel (HII 16; 2x�-h3y� � z� �

� nbsp;nbsp;nbsp;2 z � 1 = 0). De kegels van beide andere soorten hebben een virtueelenbsp;top en weer een dubbeltellend gemeenschappelijk re�el raakvlak met Q.nbsp;Bij de eene soort zijn de overige 2 vlakken imaginair; zoo�n kegel isnbsp;de concave parabolische kegel (HII 17; y^ � 3z� � 2z l=0). Bijnbsp;de andere soort zijn de overige gemeenschappelijke raakvlakken metnbsp;Q re�el: de convexe parabolische kegel (HII 18;x�-|-4z^-l-2z � 2 = 0).

Ook het type IIC bestaat uit drie soorten kegels, waarvan een soort de top op Q heeft; dit is een imaginaire kegel: de imaginaire parabolische parallelkegel (HII 19; 2 x* 7 y*�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 z� � 4 x 2 = 0). De

kegels van de beide andere soorten hebben een virtueele top, terwijl weer twee van de gemeenschappelijke raakvlakken met � zijn samengevallen. Zijn beide andere raakvlakken imaginair, dan is het de virtueelenbsp;omhullende parabolische kegel (HII 20; 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 4 x � 9 = 0);

zijn beide re�el, dan de virtueele (nietomhullende) parabolische kegel (HII 21; 2x2 �3y� 4x �6 = 0).

Type III bevat de omwentelingskegels. Een bundel van het type [(11)11], ondertype 1 bevat 2 kegels, waartusschen met de door onsnbsp;gebruikte kenmerken geen onderscheid te maken is. Het type IIIA bestaatnbsp;uit ��n soort kegels, de twcedcelige omwentelingskegels (HUI 22;nbsp;2 X� z2 � 1 =0), die het actueele gebied in 3 deelen verdeelen.

In het type IIIB bevinden zich twee soorten kegels; ��n met actueele top, de actueele omwentelingskegel (HUI 20; x� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 3z2 = 0) en

��n met virtueele top, de eendeelige omwentelingskegel (HUI 21; 4 x� 4 y� � 3 = 0).

Het type IIIC bevat slechts twee soorten imaginaire kegels: ��n met actueele top, de imaginaire omwentelingskegel (1ste soort) (HUI 23;nbsp;4 X� -|- 4 y� 3 z� = 0) en ��n met virtueele top, de imaginaire omwentelingskegel (2de soort) (HUI 24; x� -)- y� 3 = 0).

Een bundel van ondertype 4 bevat twee kegels, die wederom met de hier gebruikte kenmerken niet van elkaar te onderscheiden zijn. Denbsp;correspondeerende soort in de Hyperbolische meetkunde is de virtueelenbsp;(nietomhullende) omwentelingskegel (HUI 27; 2x� z� � 2 = 0); zijnbsp;heeft 2 re�ele raakvlakken met Q gemeen.

Tot type IIIE behooren een soort imaginaire kegels met actueele top: de imaginaire omwentelingskegel (3de soort) (HUI 25; 3x� 3y� -fnbsp;-f 42� = 0) en een soort virtueele kegels, die 2 imaginaire raakvlakkennbsp;met � gemeen hebben: de virtueele omhullende omwentelingskegelnbsp;(HUI 26; x� y� �4 = 0).

Een bundel van type [(11)11], ondertype 7 bevat slechts kegels met imaginaire vergelijking, die we niet behandelen.

In een bundel van type [31] bevinden zich twee kegels, waarvan ��n de top heeft in het keerpunt der vierdegraadskromme. De hiermeenbsp;correspondeerende soort noemen we in de Hyperbolische meetkunde dienbsp;der osculecrcndc parallclkegcls (HIV 3; y� � 2z� � xy � x -f- 2y -(-

1 = 0). De andere soort van type IV bestaat uit kegels met virtueele top: de osculcerendc kegel (HIV 4; 2x� 3y� � xy � x -jquot; 2y � 1=0).

geheel virtueel zijn: de virtueele parabolische omwentelingskegel (HV 7; z� � 2x � 2 = 0). Ook het type VB bestaat uit ��n soort;nbsp;deze kegel, de actueele parabolische omwentelingskegel (HV 8; 2x^ nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2x = 0) heeft een actueel deel.

Een bundel van type [(111)1], ondertype 1 bevat ��n imaginaire kegel. Het type VIA bestaat dus uit ��n soort: de imaginaire afstandskegelnbsp;(H VI 7; 3x^ 3y^ ^z^ � ^z -j- 1 = 0), die een acteeele top heeft. Hetnbsp;type VIB bestaat uit ��n soort virtueele kegels: de virtueele afstands'nbsp;kegels (HVI 8; x* nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 1=0).

Het laatste bundeltype, waarin zich kegels bevinden, is [2(11)]; zoowel bij ondertype 1 als bij ondertype 2 heeft de kegel van de bundel denbsp;top op de snijkromme, terwijl in het eerste geval de kegel imaginairnbsp;is. Het type VIIA bevat dus ��n soort kegels: de imaginaire parabolisch-elliptische parallelkegel (HVII7; x� y^ 2z^ � 4z 2 = 0) en ooknbsp;het type VUB bestaat uit ��n soort kegels: de re�ele parabolisch-hyperbolische parallelkegel (HVII 8; x^ y^ �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- 2z � 1=0).

In totaal zijn er in de Hyperbolische meetkunde 18 soorten actueele, 8 soorten imaginaire en 8 soorten virtueele kegels. Er zijn 2 soortennbsp;re�ele kegels met actueele top en 6 soorten parallelkegels.

HYPERBOLISCHE MEETKUNDE, ANALYTISCH ONDERZOEK.

We onderstellen: F(xy2) � 0, kwadratisch in x, y en z, heeft de rang 2. Het vlakkenpaar, dat F(xyz) = 0 tot vergelijking heeft, kan zijnnbsp;imaginair of re�el. Om dit te bepalen, snijden we O met een vlak, datnbsp;niet door de snijlijn van beide vlakken gaat. Is de snijfiguur met ditnbsp;vlak imaginair, dan is het een imaginair vlakkenpaar; is het een re�elenbsp;snijfiguur, dan een re�el vlakkenpaar.

Dit laatste geval moeten we nog nader onderzoeken; we ontbinden F(xyz) = 0 en beschouwen de beide lineaire vergelijkingen afzonderlijk.nbsp;Van het met zoo�n lineaire vergelijking correspondeerende vlak willennbsp;we bepalen, of het actueel of virtueel is. Hiertoe bepalen we de Euclidische loodrechte afstand d van de oorsprong van het co�rdinatenstelsel tot het vlak, door de co�rdinaten: |0; 0; 0; 1} te substitueerennbsp;in de op nul herleide normaalvergelijking van het vlak. Is nu d gt; 1,nbsp;dan is het vlak geheel virtueel; is d = 1, dan raakt het vlak aan �nbsp;en is d lt; 1, dan heeft het vlak een actueel deel. Er zijn zoo 9 standennbsp;mogelijk van een re�el vlakkenpaar t.o.v. Q.

Hetzelfde geldt natuurlijk voor een O met rang 1, een dubbelvlak, waar we de d bepalen met behulp van de vergelijking van het enkelvoudige vlak; hier zijn 3 standen mogelijk van een dubbelvlak t.o.v. Q.

De te onderzoeken vergelijking met rang 3 is: F(xyz) �0. We bundelen deze vergelijking met die van Q, de A-vergelijking van dezenbsp;bundelvergelijking kan dan hebben:

3. nbsp;nbsp;nbsp;drie gelijke en ��n verschillende wortel: typen IV, V en VI;

De nadere indecling van type I gaat in de eerste plaats met de realiteit van deze wortels; 4 rc�ele wortels komt voor bij de typen IA en IB,nbsp;terwijl 2 re�ele en 2 toegevoegd complexe wortels bij type IC behoort.nbsp;In het laatste geval is de kegel de eendeelige algemeene kegel.

Het kenmerk, waarmee we de typen IA en IB van de kegels onderscheiden, is zeer fundamenteel, want daarmee zullen we tevens dezelfde typen van de algemeene oppervlakken splitsen. Zoowel tot type IA alsnbsp;tot type IB behoort ��n soort kegels met actueele top. Bij type IAnbsp;zijn die kegels imaginair, bij type IB re�el. Na de bundeling van Onbsp;met Q onderzoeken we dus ook de andere kegels, welke in die bundelnbsp;voorkomen. Op de bekende manier worden de co�rdinaten van denbsp;verschillende toppen bepaald; laten deze in Cartesiaansche co�rdinatennbsp;zijn: fxi; y^; Zi|, dan is die top actueel als x^^-f-y^** nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt; !� E�n

van de vier kegels uit de bundel heeft een actueele top; we onderzoeken deze kegel verder: is hij imaginair, dan is het O van type IA; is hijnbsp;re�el, dan van type IB. Dit onderzoek naar de realiteit van de kegelnbsp;gaat vanzelfsprekend aldus: snijden met een vlak, dat niet door de topnbsp;gaat; is de snijkromme re�el, dan is het een re�ele kegel: is de snij-kromme imaginair, dan een imaginaire. Een andere manier om beidenbsp;typen: IA en IB te scheiden, zou kunnen geschieden met de snijkrommenbsp;van O en we projecteeren deze kromme op het XOY-vlak en bepalen de aard ervan door �curve-tracing� ^). Heeft de vlakke vierde-graadskromme re�ele punten, dan is het O van type IB; in het anderenbsp;geval (dat echter niet zoo eenvoudig is aan te toonen) is het type IA.

Hiermee zijn dus de typen IA en IB gesplitst; tevens is van O bepaald of de top actueel: Xi**-l-yx* Zi�lt;C 1, of virtueel: Xi^ yi^-|-Zi*^gt; 1 is. Het type IA en een actueele top komt voor bij de imaginairenbsp;algemeene kegel (1ste soort) en het type IB en een actueele top bepaaltnbsp;de re�ele algemeene kegel. Vindt men een virtueele top, dan moetennbsp;bij beide typen de gemeenschappelijke raakvlakken van O en f2 bepaaldnbsp;worden. Vier re�ele vlakken komt bij type IA voor bij de virtueelenbsp;algemeene kegel (Hl 16); bij type IB is dit het geval bij de convexenbsp;algemeene kegel. Een O met virtueele top van type IA, dat 4 imaginaire raakvlakken met Q gemeen heeft, kan nu nog zijn: imaginair ofnbsp;re�el, waaruit men weer kiest door te snijden met een vlak niet doornbsp;de top. Is de snijfiguur met O imaginair, dan is het de imaginaire algemeenenbsp;kegel (2de soort); is de snijkromme re�el, dan is O de virtueele omhullende algemeene kegel. Behoort het O met virtueele top en 4 gemeen-

schappelijke imaginaire raakvlakken met Q tot type IB, dan is het een kokervormige of een concave algemeene kegel (Fig. 18 en 19). Mennbsp;bepaalt nu de projecteerende kegel van Q, die hetzelfde punt tot topnbsp;heeft als het te onderzoeken O. Deze beide kegels met dezelfde topnbsp;snijdt men met elkaar; bestaat die snijfiguur uit 4 imaginaire rechten,nbsp;dan is het O een kokervormige algemeene kegel; zijn de 4 rechten re�el,nbsp;dan is het een concave algemeene kegel.

Bij het tweede geval van blz. 73 moet allereerst onderscheid worden gemaakt tusschen de typen II en III. Na de bundeling van F (xyz) 0nbsp;en Q = 0 onderzoeken we het exemplaar uit de bundel, behoorende bijnbsp;de dubbele wortel van de 7-vergelijking. Is van dat oppervlak de rang 3,nbsp;dus is het een kegel, dan is de bundel van type [211], dus het O vannbsp;type II. Is de rang 2, dus een vlakkenpaar, dan is het O van type III.

De keuze uit de drie gevallen van type II gaat weer, door een bijzondere kegel uit de bundel, gevormd met O en Q, te onderzoeken.

In iedere bundel van type [211] bevindt zich een kegel met top op �. We bepalen die kegel door de co�rdinaten van de toppen der drienbsp;kegels uit de bundel te berekenen. Als die speciale kegel imaginair is,nbsp;is de bundel van type [211], ondertype 3, dus het O van type IIC. Isnbsp;die kegel re�el, dan behoort het O tot de typen IIA of IIB. Het raakvlak aan � in de top van die kegel is eenvoudig te bepalen. We snijdennbsp;dat vlak met de kegel; is de snijflguur re�el, dus een re�el lijnenpaar,nbsp;dan is het O van type IIA; een imaginair lijnenpaar komt voor bij eennbsp;O van type IIB.

We hebben met deze manier tevens de co�rdinaten van de top van O bepaald. Een kegel van type IIA met top op � is de tweedeeligenbsp;parabolische parallelkegel. Beide andere soorten kegels van dit typenbsp;hebben virtueele toppen. We bepalen weer de gemeenschappelijke raakvlakken van O en Q, waarvan er in dit geval twee samenvallen. Denbsp;andere 2 kunnen zijn: imaginair, dan is het O de eendeelige parabolischenbsp;kegel; of re�el, bij de tweedeelige parabolische kegel. Ook het typenbsp;IIB bevat een soort kegels met top op �, de eendeelige parabolischenbsp;parallelkegel. Vindt men hier een virtueele top van O, dan moetennbsp;weer de gemeenschappelijke raakvlakken van O en bepaald worden.nbsp;De twee enkelvoudige zijn imaginair bij de concave parabolische kegel

en re�el bij de convexe parabolische kegel. Tenslotte behoort ook tot type IIC een soort kegels met top op �, de imaginaire parabolischenbsp;parallelkegel. In het geval van een virtueele top bepalen we weer denbsp;gemeenschappelijke raakvlakken van O en �; twee imaginaire enkelvoudige komt voor bij de virtueele omhullende parabolische kegel ennbsp;twee re�ele enkelvoudige bij de virtueele parabolische kegel (HII 21).

Bevat de bundel, gevormd uit O en �, een vlakkenpaar, dan behoort O tot type III. Nu kan dat vlakkenpaar re�el zijn, het oppervlak isnbsp;dan van ��n der drie typen; IIIA^ IIIB of IIIC. Is het vlakkenpaarnbsp;imaginair, dan behoort O tot type IIID of IIIE. In het eerste geval ontbinden we de vergelijking van het vlakkenpaar en onderzoeken of denbsp;afzonderlijke vlakken actueel of virtueel zijn. Zijn d^ en dg de Euclidischenbsp;afstanden van de vlakken tot de oorsprong van het co�rdinatenstelsel,nbsp;dan zijn mogelijk de gevallen: 1) d^ en dg lt; 1 en 2) dj en dg gt; 1.nbsp;Het eerste omvat de typen UIA en IIIB. Het tweede is type IIIC.

De volgende stap is het berekenen van de co�rdinaten van de top. Heeft men dj en dg lt; 1 en een actueele top gevonden, dan is de kegelnbsp;de actueele omwentelingskegel. Vinden we hier een virtueele top, dannbsp;moeten de gemeenschappelijke raakvlakken van O en .0 berekend worden,nbsp;dat zijn er hier twee, die ieder dubbeltellen. Zijn deze twee vlakkennbsp;re�el, dan is de kegel de tweedeelige omwentelingskegel; zijn ze toege-

voegd complex, dan is O een eendeelige omwentelingskegel. De tweede mogelijkheid was d^ en dg gt; 1, dus type IIIC. We berekenen dan weernbsp;de top; deze kan zijn actueel: de imaginaire omwentelingskegel (1stenbsp;soort), of virtueel: de imaginaire omwentelingskegel (2de soort).

Vervolgens het geval van het imaginaire vlakkenpaar in de bundel. Ook hier moeten we de co�rdinaten van de top berekenen. De soortnbsp;kegels met actueele top is die der imaginaire omwentelingskegels (3denbsp;soort). Tenslotte zijn er twee soorten kegels met virtueele top. De eenenbsp;soort bestaat uit kegels, die twee toegevoegd complexe raakvlakken gemeen hebben met �: de virtueele omhullende omwentelingskegels, terwijlnbsp;het O, dat twee re�ele raakvlakken met � gemeen heeft, de virtueelenbsp;omwentelingskegel (HUI 27) is.

� 28. Rang 3; Drie gelijke, ��n verschillende en tweemaal twee gelijke wortels.

Vinden we bij de 2-vergelijking van de bundel, gevormd met O en �, drie gelijke wortels, dan behoort O tot ��n der typen IV, V of VI.nbsp;Men beslist hier weer tusschen, met behulp van de rang van het oppervlak uit de bundel behoorende bij de drievoudige wortel. De rang 3nbsp;komt voor bij type IV; de rang 2 bij type V en de rang 1 bij type VI.

TABEL X.

Het type IV gaan we verder splitsen door de co�rdinaten van de top te bepalen. Ligt die top op �, dus is: nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1, dan

is O een osculeerende parallelkegel; is die top virtueel, dan is het een osculeerende kegel. Bij type V moeten we dat vlakkenpaar, dat in denbsp;bundel voorkomt, nader onderzoeken; is het re�el, dan is O een actueelenbsp;parabolische omwentelingskegel; is het imaginair, dan een virtueelenbsp;parabolische omwentelingskegel. Het type VI bevat slechts een re�el ennbsp;een imaginair soort kegels. We snijden dus O met een willekeurig vlak,nbsp;niet door de top; een imaginaire snijkromme hiermee bepaalt de imaginairenbsp;afstandskegel; een re�ele snijkromme de virtueele afstandskegel.

Het laatste geval, tweemaal twee gelijke wortels van de A-vergelijking, is het type VII, dat slechts een imaginaire en een re�ele soort kegelsnbsp;bevat, waartusschen we weer kiezen door snijding met een vlak niet doornbsp;de top. Een imaginaire snijflguur komt voor bij de imaginaire parabolisch-elliptische parallelkegel en een re�ele bij de re�ele parabolisch-hyperbolischenbsp;parallelkegel.

De vergelijking F (xyz) 0 van het te onderzoeken O heeft nu de rang 4. Na bundeling van F (xyz) = 0 en � = 0 kan de A-vergelijkingnbsp;van de bundel de volgende gevallen vertoonen:

3. nbsp;nbsp;nbsp;drie gelijke, ��n verschillende wortel: typen IV, V en VI;

De eerste mogelijkheid kunnen we aldus onderverdeelen: de vier A-waarden zijn alle re�el of er zijn er twee toegevoegd complex. We gaan eerst het eerste geval, dus de typen IA en IB onderzoeken. Hetnbsp;onderscheid tusschen deze beide typen maken we weer met behulp vannbsp;de kegel met actueele top in de bundel: F (xyz) � A � = 0. Is dezenbsp;kegel imaginair, dan is het te onderzoeken O van type IA; is de kegelnbsp;re�el, dan is het O van type IB.

De volgende stap, die we te doen hebben, is het bepalen van het ondertype van de schaar, die O en Q, beide als klassefiguren beschouwd,nbsp;vormen. Deze schaar kan zijn van ondertype 1 of van ondertype 2.nbsp;Om dit te bepalen moeten we bedenken, dat een schaar van ondertype 1 twee re�ele en twee imaginaire tweedegraadskrommen bevat, welkenbsp;krommen we op een manier, geheel duaal aan die we voor een dergelijknbsp;geval bij de kegels gebruiken, kunnen onderzoeken. Stel dat nu een O

van type lA met � cen imaginaire torsus gemeen heeft (schaarondertype 1), dan kan het zijn; imaginair of re�el. We zoeken dus een re�elenbsp;oplossing van F (xyz) = 0. Bestaat deze niet, dan is het oppervlak denbsp;imaginaire ellipso�de. Is deze re�ele oplossing {xq; yoJ Zo!gt; is voornbsp;Xq^ Yo^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; 1 oppervlak een virtueele omhullende ellipso�de

Hebben O en J� een re�ele torsus (schaarondertype 2) gemeen, dan moeten we het oppervlak snijden met een eigen raakvlak: is de snij-kromme met dat vlak imaginair, dan is het O een virtueele nietrecht-lijnigc ellipso�de (Hl 4); is de snijkromme een re�el lijnenpaar, dan isnbsp;O cen virtueele rechtlijnige ellipso�de.

Ook bij een oppervlak van type IB moeten we het ondertype van de schaar, die O cn � vormen, bepalen. Vinden we een schaar metnbsp;imaginaire torsus (ondertype 1), dan is de volgende stap: het O snijdennbsp;met een eigen raakvlak. Is de aldus ontstane snijfiguur imaginair, dannbsp;is het oppervlak een concave tweebladige hyperbolo�de (Hl 6); is denbsp;snijfiguur re�el, dan een eenbladige rechtlijnige hyperbolo�de.

Hebben O en O een re�ele torsus (ondertype 2) gemeen, dan is ook het volgende wat wij doen moeten, het oppervlak snijden met een eigennbsp;raakvlak. Vinden we nu een imaginaire snijfiguur, dan kan het O zijn:nbsp;een eenbladige nietrechtlijnige hyperbolo�de of een convexe tweebladigenbsp;hyperbolo�de (Fig. 6 en 7). Bij het onderzoek naar het type van hetnbsp;oppervlak; IA of IB, hebben we reeds de toppen van de kegels uitnbsp;de bundel, gevormd met O en O bepaald. De top (de eenige actueelenbsp;uit de bundel) van de re�ele algemeene kegel weten we; we bepalennbsp;nu welke die van de kokervormige algemeene kegel is. De lijn m, dienbsp;deze beide toppen verbindt (en die geheel in het binnengebied van de kokervormige algemeene kegel ligt) snijden we met O, ��n der snijpuntennbsp;is: {xj; y^; Zi}. Als nu x^^ yi^ z^� gt; 1 is, dan is het oppervlaknbsp;cen eenbladige nietrechtlijnige hyperbolo�de; is x^� yi^ Zi^ lt; 1, dannbsp;is O cen convexe tweebladige hyperbolo�de (Hl 9).

Een O van type IB, dat met � een re�ele torsus (schaarondertype 2) gemeen heeft en waarvan de snijfiguur met zijn eigen raakvlak re�el is,nbsp;is een tweebladige rechtlijnige hyperbolo�de.

Tenslotte een O van type IC; van de vier verschillende wortels der A-vergelijking zijn er twee toegevoegd complex. Ook hier snijdennbsp;wc het oppervlak met een eigen raakvlak; een imaginaire snijfiguurnbsp;bepaalt hier de nietrechtlijnige semihyperbolo�de, een re�ele de rechtlijnige semihyperbolo�de.

Een oppervlak, dat aanleiding geeft tot twee gelijke wortels in de A-vergelijking van de bundel, kan behoor en tot type II of tot type III.nbsp;We beslissen hierin op de bekende manier: heeft het exemplaar uit denbsp;bundel, behoorende bij de dubbele A-wortel, de rang 3, dan is het Onbsp;van type II. Is de rang van dat exemplaar 2, dan behoort het O totnbsp;type III.

Ook de manier, waarmee we bij het eerste geval de typen IIA, IIB en IIC onderscheiden, is bekend: deze is dezelfde, als die we bij hetnbsp;analytisch onderzoek der kegels gebruiken. Vervolgens bepalen we opnbsp;geheel duale manier het ondertype van de schaar, die gevormd wordtnbsp;door de klasseflguren O en Q. Is deze schaar van ondertype 1, dannbsp;kan het oppervlak zijn: een eenbladige nietrechtlijnige hyperbolische

parabolo�de of een tweebladige nietrechtlijnige hyperbolische parabo-lo�de (Fig. 8 en 9). De top van de tweedeelige parabolische parallel-kegel is reeds bekend; we bepalen nu die van de eendeelige parabolische kegel en stellen de vergelijking op van de lijn l, die deze beide toppennbsp;verbindt. Deze lijn ligt geheel in het binnengebied van de tweedeeligenbsp;parabolische parallelkegel. We nemen nu een willekeurig vlak (echternbsp;niet het raakvlak aan �) door l, hierin liggen bovendien 2 beschrijvendennbsp;van de parallelkegel; de lijn m, die met l harmonisch ligt ten opzichtenbsp;van deze beschrijvenden, snijden we met O; het snijpunt, dat niet innbsp;het gemeenschappelijk raakpunt van O en ^2 valt, is |xi;y]^;zii. Isnbsp;nu Xi� yi^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1. dan is O een eenbladige nietrechtlijnige hyperbolische parabolo�de, en isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; 1. dan is het oppervlak

Behoort de schaar, die O en � vormen, tot ondertype 2, dan is O een eenbladige rechtlijnige hyperbolische parabolo�de (1ste soort) en isnbsp;de schaar van ondertype 3, dan is het oppervlak een tweebladige rechtlijnige hyperbolische parabolo�de.

Vervolgens het type IIB. Wederom bepalen we het ondertype van de schaar, die O en � vormen; is dat ondertype 1, dan is O een ��n-bladige rechtlijnige hyperbolische parabolo�de (2de soort). Vinden wenbsp;voor het ondertype van de schaar 2, dan kan het oppervlak zijn denbsp;kokervormige hyperbolische parabolo�de en de convexe eenbladige hyperbolische parabolo�de (Fig. 10 en 11). In de bundel, gevormd met O ennbsp;Q, bevinden zich een eendeelige parabolische parallelkegel en twee kegelsnbsp;met virtueele top. We trekken nu een lijn l door de top der parallelkegel en ��n der virtueele toppen. Verder bepalen we een re�el puntnbsp;van de parallelkegel en beschouwen het vlak V door dat punt en l,nbsp;hetwelk echter geen raakvlak van de parallelkegel mag zijn. In V liggennbsp;de lijn / en twee beschrijvenden van de parallelkegel; we bepalen nunbsp;in dit vlak de harmonische straal m van l ten opzichte van de beidenbsp;beschrijvenden en deze lijn m snijden we met O; het snijpunt, dat nietnbsp;in het gemeenschappelijk raakpunt van O en ^3 valt, is jx^; yj^; z^ }.nbsp;Als nu x^�-j-yi^-f-Zi^ gt; 1, dan is O een kokervormige hyperbolischenbsp;parabolo�de en als x^^-j-y^^-f z^^ lt; 1, dan is het oppervlak een convexe eenbladige hyperbolische parabolo�de (HII 7).

Hebben O en � een imaginaire torsus met re�el vlak (schaaronder-type 3) gemeen, dan is O een concave eenbladige hyperbolische parabolo�de (HII 8).

Tenslotte het type IIC, ook hier moeten we het ondertype bepalen van de schaar die O en Q, als klasseflguren, vormen. Is het ondertype

van deze schaar 1, dan is O een virtueele rechtlijnige elliptische para-bolo�de. Hebben O zn � een re�ele torsus met ge�soleerd vlak (schaar-ondertype 2) gemeen, dan is het oppervlak een virtueele nietrechtlijnige elliptische parabolo�de (HII 10). Vormen O en ^2 een schaar van ondertype 3, dan kan het oppervlak zijn: actueel of virtueel; we bepalen eennbsp;re�el punt i Xq! yoJ Zq | van O; is nu yo^ Zo^ lt; 1, dan is O eennbsp;actueele elliptische parabolo�de: is Xo� yo^ Zo^^ 1- dan een virtueelenbsp;omhullende elliptische parabolo�de (HII 11).

Komt in de bundel van O en 12 een vlakkenpaar voor, dan is het O een omwentelingsoppervlak. In tegenstelling met type II moeten we

hier onderscheiden naar: de wortels der A-vergelijking zijn re�el, of twee wortels zijn toegevoegd complex.

Het eerste geval omvat de typen UIA tot en met IIIE. De verschillende kenmerken, waarmee we deze 5 typen onderscheiden, zijn die van blz. 49 en 50, behalve voor het onderscheid tusschen denbsp;typen IIIA en IIIB eenerzijds en IIIC anderzijds.

Voor type UIA gebruiken we de volgende kenmerken: 1) het vlakkenpaar in de bundel van O en � is re�el; 2) voor beide vlakken van dit vlakkenpaar is de Euclidische afstand tot de oorsprong van het co�rdinatenstelsel kleiner dan 1; 3) de vlakkenbundel met die 2 vlakkennbsp;gevormd, bevat geen re�ele raakvlakken van Q. Vinden we, dat een tenbsp;onderzoeken O van type UIA is, dan gaan we het snijden met eennbsp;eigen raakvlak; is die snijflguur een imaginair lijnenpaar, dan is O eennbsp;tweebladige nietrechtlijnige omwentelingshyperbolo�de, en is die snijfiguurnbsp;een re�el lijnenpaar, dan een tweebladige rechtlijnige omwentelingshyperbolo�de.

Het type IIIB onderscheiden we aldus: 1) het vlakkenpaar in de bundel van O en � is re�el; 2) voor beide vlakken van dit vlakkenpaar is de Euclidische afstand tot de oorsprong van het co�rdinatenstelsel kleiner dan 1; 3) de vlakkenbundel met die 2 vlakken gevormd,nbsp;bevat 2 re�ele raakvlakken van �. Een oppervlak van type IIIB moetennbsp;we verder gaan onderzoeken op het ondertype van de schaar, die hetnbsp;met � vormt. Is dit ondertype 2, dan kan het oppervlak zijn: eennbsp;convexe tweebladige omwentelingshyperbolo�de of een eenbladige nietrechtlijnige omwentelingshyperbolo�de (Fig. 12 en 13). De bundel, gevormdnbsp;met O en �, bevat een actueele omwentelingskegel en een eendeeligenbsp;omwentelingskegel. De lijn m, die de toppen van deze kegels verbindtnbsp;(en die geheel in het binnengebied van de eendeelige omwentelingskegelnbsp;ligt), snijden we met O; laat ��n der snijpunten jx^; y^; Zjj zijn. Dannbsp;is voor Xi^ yi* Zi* lt; 1 het O een convexe tweebladige omwentelingshyperbolo�de (HIII 3) en voor x^� y^� -j- z^� ]gt; 1 een eenbladigenbsp;nietrechtlijnige omwentelingshyperbolo�de. Vormen O en ^ een schaarnbsp;van ondertype 3, dan is het oppervlak een concave tweebladige omwentelingshyperbolo�de (HIII 5) en is het een schaar van ondertype 5,nbsp;dan is O een eenbladige rechtlijnige omwentelingshyperbolo�de.

Om te bepalen of een O van type IIIC is, gebruiken we de volgende kenmerken: 1) het vlakkenpaar in de bundel van O en � is re�el;nbsp;2) voor beide vlakken van dit vlakkenpaar is de Euclidische afstand totnbsp;de oorsprong van het co�rdinatenstelsel grooter dan 1. Ook hier gaannbsp;we het ondertype van de schaar, die O en vormen, bepalen; is dit

2, dan is het oppervlak een virtueele nietomhullende omwentelings-ellipso�de (HUI 7); is het ondertype 3, dan kan het oppervlak zijn: actueel of virtueel. We zoeken in dit geval weer een re�el puntnbsp;{xo: Yo! Zo! van O; is nu Xo^ yo^ Zo�lt; 1. dan is het oppervlak denbsp;actueele omwentelingsellipso�de (Iste soort); is Xo� Yo� Zo� gt; 1, dannbsp;is O een virtueele omhullende omwentelingsellipso�de (1ste soort) (HUI 8).nbsp;Het O, dat met � een schaar van ondertype 5 vormt, is de imaginairenbsp;omwentelingsellipso�de (1ste soort).

Voor type IIID gebruiken we de volgende kenmerken: 1) het vlakkenpaar in de bundel van O en ^3 is toegevoegd complex; 2) de vlakkenbundel met deze 2 vlakken gevormd, bevat geen re�ele raakvlakken van Q. We snijden een O van type IIID met een eigen raakvlak;nbsp;is deze snijfiguur een imaginair lijnenpaar, dan kan het oppervlaknbsp;zijn: actueel of virtueel, waaruit we beslissen met behulp van een re�elnbsp;punt |xo: Yo! Zo!. Voor Xo� Yo^ Zo� gt; 1 is het O virtueel en voornbsp;Xo� Yo^ Zo� lt; 1 de actueele omwentelingsparabolo�de. Om te bepalen,nbsp;welk soort virtueel oppervlak O is, schrijven we de vergelijking op vannbsp;de projecteerende kegel van O vanuit de oorsprong van het co�rdinatenstelsel. Is deze re�el, dan is het O een virtueele nietomhullendenbsp;omwentelingsparabolo�de (HUI 11) en is die projecteerende kegel imaginair,nbsp;dan een virtueele omhullende omwentelingsparabolo�de (HUI 12). Een Onbsp;van type IIID, dat met zijn eigen raakvlak een re�el lijnenpaar gemeennbsp;heeft, is de virtueele rechtlijnige omwentelingsparabolo�de.

Tenslotte het type IIIE; hier zijn de kenmerken : 1) een toegevoegd complex vlakkenpaar in de bundel; 2) de vlakkenbundel, gevormd uitnbsp;deze beide vlakken, bevat 2 re�ele raakvlakken van �. Hier moetennbsp;we weer de schaar van O en � onderzoeken. Heeft deze het ondertypenbsp;2, dan is het O een virtueele rechtlijnige omwentelingsellipso�de, terwijlnbsp;bij ondertype 3 het oppervlak een imaginaire omwentelingsellipso�denbsp;(2de soort) is. Vormen O en � een schaar van ondertype 5, dan kannbsp;het oppervlak zijn: actueel of virtueel. We bepalen weer een re�el puntnbsp;!xo; Yo! Zo! van O. Is nu Xp� yo� Zq� lt; 1, dan is O een actueelenbsp;omwentelingsellipso�de (2de soort) en is Xg� Yo� Zo� gt; 1, dan eennbsp;virtueele omhullende omwentelingsellipso�de (2de soort) (HIII 17).

�t Is duidelijk, dat een O, hetwelk gebundeld met � een bundel met een zoodanige 2-vergelijking geeft, zoodat 2 wortels gelijk en 2 toegevoegd complex zijn, altijd een omwentelingssemihyperbolo�de is.

Vinden we, dat een O, gebundeld met �, een 7-vergelijking met 3 gelijke en 1 verschillende wortel geeft, dan moeten we weer het exemplaar uit de bundel onderzoeken, dat behoort bij de drievoudige A-wortel.

Is de rang van dat exemplaar 3, dan is het O van type IV. We snijden het dan met een eigen raakvlak; een imaginair lijnenpaar alsnbsp;snijflguur bepaalt de nietrechtlijnige osculeerende parabolo�de en eennbsp;re�el lijnenpaar de rechtlijnige osculeerende parabolo�de.

Een exemplaar van rang 2 in de bundel bepaalt een oppervlak van type V. Is dit vlakkenpaar imaginair, dan is het type V A; is het re�el,nbsp;dan type VB. De volgende stap bij een O van type V is het snijdennbsp;met een eigen raakvlak. Behoort het te onderzoeken oppervlak totnbsp;type V A en is de snijflguur met een raakvlak een imaginair lijnenpaar,nbsp;dan kan het O zijn: virtueel en actueel, waaruit we kiezen door eennbsp;re�el punt jxo; yo! Zoi te bepalen; is Xq^ yo^ Zo� gt; 1. dan' is hetnbsp;oppervlak een virtueele nietrechtlijnige parabolische omwentelingsellipso�de;nbsp;is Xfl� yo^ Zq^ lt;C 1. dan een actueele parabolische omwentelingsellipso�de. Een O van hetzelfde type, dat een re�el lijnenpaar met een raakvlak gemeen heeft, is een virtueele rechtlijnige parabolische omwentelingsellipso�de.

de snijfiguur van O met een eigen raakvlak een imaginair lijnenpaar, dan kan het oppervlak zijn: een eenbladige parabolische omwentelings-hyperbolo�de of een tweebladige parabolische omwentelingshyperbolo�denbsp;(Fig. 14 en 15). We hebben hier de 2 vlakken van het vlakkenpaarnbsp;Vi en V. en het gemeenschappelijk raakvlak W. Nu bepalen we hetnbsp;vlak U harmonisch met W ten opzichte van en Vj en snijden ditnbsp;met een willekeurig vlak door het gemeenschappelijk raakpunt van Onbsp;en �, dat niet tot de bundel nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;behoort. De snijlijn m van

deze beide vlakken snijdt O nog in een punt {x^; y^; z^j. Dan is voor Zi� lt; 1 het oppervlak een eenbladige parabolische omwentelingshyperbolo�de (HV 4) en voor y^^ -f z^^ gt; 1 een tweebladige parabolische omwentelingshyperbolo�de (HV 5). Een O van

type VB, dat een re�el lijnenpaar met een eigen raakvlak gemeen heeft, is een rechtlijnige parabolische omwentelingshyperbolo�de.

Tenslotte het geval, dat de bundel van O en Q een dubbelvlak bevat, dus het O van type VI is. We beschouwen de vergelijking van hetnbsp;enkelvoudige vlak en berekenen de Euclidische afstand d van dat vlaknbsp;tot de oorsprong van het co�rdinatenstelsel: is nu d gt; 1, dan is hetnbsp;O van type VIA; is d lt; 1, dan van type VIB. Een oppervlak vannbsp;type VIA kan zijn: imaginair, virtueel of actueel. We bepalen dus weernbsp;een re�el punt jxoi yo! Zol van O; is dit niet aanwezig, dan is het Onbsp;een imaginaire bol; is -f y�� z,,^ gt; 1, dan een virtueele bol en isnbsp;Xq^ yo^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt; 1� �^3n is O een actueele bol.

Bij type VIB gaan we het te onderzoeken oppervlak snijden met een eigen raakvlak. Is deze snijflguur een imaginair lijnenpaar, dan kan hetnbsp;oppervlak virtueel of actueel zijn. We gebruiken weer het middel: eennbsp;re�el punt {xq; yo: ZoS van O bepalen. Is nu Xq^ yo* Zo^ gt; 1, dannbsp;is het oppervlak een virtueel nietrechtlijnig afstandsoppervlak en isnbsp; yo^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;! 1. dan een actueel afstandsoppervlak. Het re�ele lijnen

In een bundel van het type [2(11)] correspondeeren de beide wortels van de A-vergelijking met een kegel en een re�el vlakkenpaar en in eennbsp;bundel van het type [(11)(11)], ondertype 2 met een re�el en een imaginairnbsp;vlakkenpaar. We beschouwen in beide gevallen alleen het re�ele vlakkenpaar. Laten de Euclidische afstanden van de vlakken van dat paar totnbsp;de oorsprong van het co�rdinatenstelsel d^ en dj zijn, dan kunnennbsp;hier de volgende mogelijkheden voorkomen:

In de eerste twee gevallen moeten we het ondertype van de schaar bepalen, die O en ^2 vormen. Dit geschiedt op geheel duale wijze. Isnbsp;dat ondertype 1 bij type VII A, dan kan het oppervlak nog zijn: actueelnbsp;of virtueel. We zoeken een re�el punt van O: {Xg: yo: Zq j: als nunbsp;Xo^ yo� Zo^lt; 1, dan is het O een actueele parabolische ellipso�de;nbsp;is Xq^ yo� Zq^ gt; 1, dan een virtueele omhullende parabolische ellipso�de.nbsp;Vormen O en ^2 een schaar van ondertype 2, dan is O een virtueelenbsp;parabolische ellipso�de (H VII 3).

Een O van type VII B, dat met � een schaar van ondertype 1 vormt, is een concave parabolische hyperbolo�de. Is het een schaar van ondertype 2, dan kan het oppervlak zijn een convexe parabolische hyperbolo�de of een kokervormige parabolische hyperbolo�de (Fig. 16 en 17).nbsp;De bundel, gevormd door beide vlakken van het vlakkenpaar, bevat

2 re�ele raakvlakken aan �; we bepalen beide raakpunten en trekken een lijn m door beide. Deze lijn m snijden we met O; het snijpunt, dat niet innbsp;het gemeenschappelijke raakpunt van O en Q valt, is ) x^; y^; z^ j. Als nunbsp;Xi* yi� Zi� lt; 1, dan is O een convexe parabolische hyperbolo�de; isnbsp;Xi� yi� Zj� gt; 1, dan is het een kokervormige parabolische hyperbolo�de.

Vervolgens de derde mogelijkheid: di^dg^l. We bepalen dan een re�el punt { Xo! yol Zo! van O. Is nu Xo^ yo^ Zq� gt; 1, dan is Onbsp;virtueel: is Xq^ yo^ Zq� lt; 1, dan een actueele cirkelcylinder. Omnbsp;tusschen beide soorten virtueele cirkelcylinders te beslissen, stellen wenbsp;weer de vergelijking op van de projecteerende kegel van O vanuit denbsp;oorsprong van het co�rdinatenstelsel. Is deze kegel re�el, dan is O eennbsp;virtueele nietomhullende cirkelcylinder en is die projecteerende kegelnbsp;imaginair, dan een virtueele omhullende cirkelcylinder.

Het vijfde geval van blz. 79 is weer te splitsen met de rang van het exemplaar uit de bundel, behoorende bij de viervoudige ^-wortel.nbsp;Is deze rang 2, dan is het O een parabolisch-osculeerende parabolo�de.nbsp;Is de rang 1, dan moeten we weer een re�el punt {xo: yoi Zq! van hetnbsp;oppervlak bepalen; als Xq� yo^ Zq� gt; 1 is, dan is het O een virtueelenbsp;grensbol; Xq� yo^ Zo^ lt; 1 bepaalt de actueele grensbol.

As all available publications on the classification of conics in non-Euclidean space lack the imaginary and ideal curves, a thorough investigation of this problem has been made. The classification is of course founded on the different species of intersections with the absolute conic.nbsp;This being not sufficient, we make use of the reality of the joint tangentsnbsp;of the conic and the absolute curve for a more accurate division. Ofnbsp;course we distinguish between real and imaginary curves and in hyperbolic space between metrically real and ideal curves, while here in twonbsp;cases a still more accurate distinction is necessary, in order to coincidenbsp;with observation. Thus we find in elliptic space 4 different species ofnbsp;curves and in hyperbolic space 22 species, viz. 12 metrically real, 2 imaginary and 8 ideal.

A classification of all quadratic surfaces, based on purely geometrical characteristics, has not yet been published. This classification is madenbsp;by the aid of the types of the intersections of two quadratic surfacesnbsp;and with the species of developables. Just as with the conics, we distinguishnbsp;between real and imaginary surfaces and in hyperbolic space betweennbsp;metrically real and ideal surfaces. Moreover in some cases the numbernbsp;of domains, in which the metrically real space is divided by the surface,nbsp;must be used here as a new characteristic. In four cases this is notnbsp;enough as observation commands a still further division. The cones arenbsp;divided by the aid of the intersections with the absolute surface, thenbsp;place of the vertex and the reality of the joint tangential planes of thenbsp;cone and the absolute surface (in one case moreover with the numbernbsp;of domains). In this way we find in elliptic space 12 species of surfacesnbsp;viz. 5 imaginary, 4 nonruled and 3 ruled, and 6 species of cones. Innbsp;hyperbolic space there are 42 metrically real surfaces (32 nonruled andnbsp;10 ruled), 4 imaginary and 23 ideal: moreover 34 species of cones (i.a.nbsp;2 real ones with metrically real vertex and 4 real ones with the vertexnbsp;on the absolute surface).

For all different curves, surfaces and cones a mathematical method has been planned to find the species, without making use of a sketch.

� 27. Rang 3; Twee gelijke en twee verschillende wortels � 28. Rang 3; Drie gelijke, ��n verschillende en tweemaal

� 30. Rang 4; Twee gelijke en twee verschillende wortels � 31. Rang 4; Drie gelijke en ��n verschillende wortel .

pé^i

’ t7‘ nbsp;nbsp;nbsp;'■- jvquot; ' %’.i

1 nbsp;nbsp;nbsp;’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- V .lt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•■ f

\gt; nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Vi

STELLINGEN.

De definitie van de positieve afstand in de niet-Euclidische meetkunde berust, vergeleken met die in de Euclidische meetkunde, op een vrij willekeurige afspraak.

11.

Bij een bepaalde soort snijkromme van 2 tweedegraadsoppervlakken van rang 4 behoort, indien die oppervlakken tevens als klasseoppervlakken beschouwd worden, in de meeste, maar niet innbsp;alle gevallen, slechts ��n soort van torsus.

III.

Een indeeling van de tweedegraadskrommen en -oppervlakken in de niet-Euclidische meetkunde moet zich, met behulp van wiskundige kenmerken, nauwkeurig aan de aanschouwing aanpassen.

IV.

Het onderzoek naar de verschillende soorten van kegelsnedenbundels in het ternaire gebied is te verkiezen boven dat met behulp van de afbeelding der krommen in Rj.

De wijze, waarop Borel soms de Overdekkingsstelling van Borel citeert, is onjuist.

VI.

Het bewijs, dat Lebesque geeft voor de stelling: �De limiet van een rij meetbare functies is meetbaar�, is onnauwkeurig.

VII.

Waar van clectrische overbrenging wordt gebruik gemaakt voor psychrometerwaarnemingen, kan men met voordeel naast de temperatuur van de thermometer met droge bol het verschil in temperatuur doen aanwijzen van deze thermometer met een thermometernbsp;met natte bol, in plaats van � zooals gebruikelijk is � de temperatuur van elk dezer thermometers.

VIII.

Een verklaring van de gevonden verschijnselen in de elliptische nevel NGC 3115 zou kunnen geschieden door het aannemen vannbsp;interstellaire stof, vooral in de buitenste lagen en speciaal in hetnbsp;equatorvlak.

IX.

De meermalen vermelde gelijkheid in kleur van fluorescentie en chemilumin�scentie van 3-aminophtaalzuurhydrazide is slechts quali-tatief: de spectra zijn verschillend. Daardoor zijn de conclusiesnbsp;aangaande het molecuul, dat bij chemiluminescente reactie het lichtnbsp;uitzendt, onjuist.

Voor de bestudeering van de geschiedenis der exacte wetenschappen zijn de stellingen van vroegere promoties van veel belang.

XI.

De huidige indeeling van het natuurkundeonderwijs aan de middelbare scholen is uit didactisch oogpunt minder gewenscht.

P � i�=z:0	Aard exemplaar be-hoorende bij dubbelenbsp;^-wortel:	Punt: \|xo: yoi Zo(	Soort van snijkrommenbsp;met raakvlak:	Naam:	Nr.:
4 verschil-		geen re�el	.	imaginaire ellipso�de	Eli
lende: Type I		re�el	imaginair re�el	re�ele nietrechtlijnige ellipso�de rechtlijnige ellipso�de	El 2 EI 3
2 gelijke, 2 verschil'	re�el: Type IIA	geen re�el		imaginaire omwentelings-ellipso�de (1ste soort)	Eli 1
lende		re�el		re�ele nietrechtlijnige omwentelingsellipso�denbsp;(Iste soort)	Eli 2
	imaginair: Type �IB	geen re�el re�el	imaginair re�el	imaginaire omwentelingsellipso�de (2de soort) re�ele nietrechtlijnigenbsp;omwentelingsellipso�denbsp;(2de soort)nbsp;rechtlijnige omwen-telingsellipso�de	Eli 3 Eli 4 Eli 5
3 gelijke,	�	geen re�el		imaginaire bol	Ellll
1 verschillende: Type m.		re�el		re�ele bol	EIII2
2 maal 2	�	geen re�el	�	Imaginaire cirkelcylinder	EIV 1
gelijke; Type IV		re�el		rechtlijnige cirkelcylinder	EIV2

Bundelondertype 1.	s = 2.	Schaarondertype 1.
	s = 0.	4.
Bundelondertype 2.	s = 2.	Schaarondertype 2. 3. 5.
	s = 0.	Schaarondertype 2. 3. 5.
Bundelondertype 3.	s = 4.	Schaarondertype 5.
	s = 2.	2. 3.
Bundelondertype 4.	s = 2.	Schaarondertype 4.
	s = 0.	1.
Bundelondertype 5.	s = 4.	Schaarondertype 3.
	s = 2.	5.
	s = 0.	2.

Rang		Snijfiguur		Gemeen-
exemplaar	Aard kegel	met raak'		schappe-
behooren-	met top op	vlak in die	Co�rdinaten top:	lijke enkel-	Naam	Nr.
de bij dub'	Q uit de	top aan O	1 xi: yi: Zi \|	voudlge	Naam	Nr.
bele	bundel	met de		raakvl.
wortel		kegel		van O en
3	re�el	re�el:	xi�� yi' 2i�=l		tweedeelige parabo-	HII 13
		Type IIA	xi* yi� zi�gt;l	2 imag.	lische parallelkegel eendeelige paraboli-	HII 14
					sche kegel
				2 re�ele	tweedeelige parabo-	Hll 15
					lische kegel
		imaginair:	xi' yi'' 2i2=l		eendeelige paraboli-	HII 16
		Type IIB	xi�' yi* zi'gt; 1	2 imag.	sche parallelkegel concave parabolische	HII 17
					kegel
				2 re�ele	convexe parabolische	HII 18
			xi' yi� zi'=l		kegel
	imaginair:		xi' yi� zi'=l		imaginaire paraboli-	HII 19
	Type 11C		xi* yi' 2i='gt;l	2 imag.	sche parallelkegel virtueele omhullende	HII 20
					parabolische kegel
				2 re�ele	virtueele paraboli-	HII 21
					sche kegel

Rang exemplaarnbsp;behooren-de bij dub �nbsp;bele A-wortel	Aard van vlakkenpaar uitnbsp;de bundel	Euclidi sche afstand van vlakkennbsp;tot oorsprong	Co�rdinaten top; j Xi; yi; Zi 1	Gemeenschappelijke raakvlakken van O en 12	Naam	Nr.
2	re�el	diend2lt;l:		.	actueele omwente-	HI1120
		Typen			lingskegel
		UIA en IIIB	Xi''-l-yi�*-bzi'gt;l	2 imag.	eendeelige omwente-	HUI 21
					lingskegel
				2 re�ele	tweedeelige omwen-	HII122
					telingskegel
		dl en dj gt;1:	xi^-l-yi�-l-zi�lt; 1		imag. omwentelings-	HIII23
		Type IIIC			kegel (1ste soort)
			xi' yi�-l-zi^gt;l		imag. omwentelings-	HIII24
					kegel (2de soort)
	imaginair:	�	xi�'-l-yi*-fzi�lt; 1	�	imag. omwentelings-	HUI 25
	Typen				kegel (3de soort)
	IIID en IIIE		xi��-l-yi* 2i*gt; 1	2 imag.	virtueele omhullende	HIII26
					omwentelingskegel
				2 re�ele	virtueele omwente-	HUI 27
					lingskegel

Wortels van A-ver-	Rang exemplaarnbsp;behoorende bijnbsp;3-voudige	Aard van dit	Co�rdinaten top:	Aard snij-figuur met wille-	Naam	Nr.
gelijking	Rang exemplaarnbsp;behoorende bijnbsp;3-voudige	exemplaar	\|xi; yi: Zij	keurig vlak
	2-wortel			keurig vlak
3 gelijke,	3: type IV	.	xi^-hyi�'-t-zi�'=l	�	osculeerende paral-	HIV 3
1 verschil-					lelkegel
lende			xi* yi' zi*gt;l		osculeerende kegel	HIV 4
	2: type V	imaginair			virtueele parabo-	HV 7
					lische omwentelingskegel
		re�el			actueele parabo-	HV 8
	1: type VI				lische omwentelingskegel
	1: type VI			imaginair	imaginaire afstands-	HVI 7
					kegel
				re�el	virtueele afstands-	HVI 8
					kegel
2 maal				imaginair	imag. parabolisch-	HVI17
2 gelijke:					elliptische parallel-
Type Vil					kegel
				re�el	re�ele parabolisch-	HVII8
					hyperbolische pa-
					rallelkegel

IA. Bundeltype	[1111].	ondertype	1.
B.	[1111],	tt	2.
C.	[1111],	,. �	3.
IIA. Bundeltype	[211],	ondertype	1.
B.	[211],	�	2.
c.	[211],	�t	3.
UIA.	[(11)11].	tt	1.
B.	[(11)11].	tt	2.
c.	[(11)11].	tt	3.
D.	[(11)11].	tt	4.
E.	[(11)11].	tt	5.
F.	[(11)11].	tt	7.
IV. Bundeltype	[31].
VA.	[(21)1],	ondertype	1.
B.	[(21)1].	tt	2.
VIA.	[(111)1].		1.
B.	[(111)1].	..	2.
VIIA. Bundeltype	[2(11)].	ondertype	1.
B.	[2(11)].	tt	2.
VIII.	[(11)(11)].	tt	2.

	Aard kegel		Gemeen-	Snijfiguur met willekeurignbsp;vlak
Wortels	met	Co�rdina-	schappe-
van A-ver-	actueele	ten top:	lijke raak-		Naam	Nr.
gelijking	top uit de	1 xi; yi; Zi \|	vlakken
	bundel		van U en U
4 verschil-	imaginair:	yi'4-2i*lt; 1			imaginaire algemeene	Hl 13
lende	type IA				kegel (1ste soort)
re�ele		xi^-l-yi�4-zi�gt;l	4 imag.	imaginair	imaginaire algemeene	Hl 14
					kegel (2de soort)
				re�el	virtueele omhullende	Hl 15
			4 re�ele		algemeene kegel
			4 re�ele		virtueele algemeene	Hl 16
		xi= yi* 2i�lt;l			kegel
	re�el:	xi= yi* 2i�lt;l	�	�	re�ele algemeene	Hl 17
	type IB				kegel
		xi�� yi�-t-zi^gt;l	4 imag.	�	kokervormige alge-	Hl 18
					meene kegel (zie
					blz. 75)
					concave algemeene	Hl 19
					kegel (zie blz. 75)
			4 re�ele	�	convexe algemeene	Hl 20
					kegel
4 verschil-
lende: 2 re�el,	�				eendeelige algemeene	Hl 21
2 imag.: type IC					kegel

	Rang van		(J
Wortels van A-ver-gelijking	exemplaar van dubbele	Bundel' ondertype	t' c3 ^ (0 1:nbsp;-c ^ u ^	bnijfiguur met raak'nbsp;vlak	Re�el punt: Ixo: yo: Zol	Naam	Nr.
	A-wortel		o
2 gelijke,	2	1:		imaginair		tweebladige niet'	HllI 1
2 verschil'		type UIA				rechtlijnige om wen'
lende; alle						telingshyperboloide
re�el				re�el		tweebladige recht-	HIII 2
						lijnige omwente-lingshyperbolo�de
		2:	2	� ^		convexe tweebladige	HUI 3
		type lllB				omwentelingshy-perbolo�de (zie
						blz. 84) eenbladige nletrecht-	HUI 4
						lijnige omwente-lingshyperbolo�de (zie blz. 84)
			3			concave tweebladige	HUI 5
						omwentelingshy- perbolo�de
			5			eenbladige recht-	HUI 6
						lijnige omwenteling shy perbolo�de
		3:	2			virtueele nietomhul-	HIII 7
		type lllC				lende omwentelings-ellipso�de
			3		xo* yo^ zo*gt;l	virtueele omhullende	HIII 8
						omwentelings ellipso�de (1ste soort)
					xo� yo�' Z(i�'lt;l	actueele omwente-	HUI 9
						lingsellipso�de (1ste soort)
			5			imaginaire omwente-	HIII 10
						lingsellipso�de (1ste soort)
		4:		imaginair	xo�' yo� z�'gt;l	virtueele nietomhul-	HIII 11
		type UiU		imaginair	xo�' yo� z�'gt;l	lende omwenteling s-parabolo�de (zie blz. 85)


						virtueele omhullende	HIII 12
						omwen telingspara-bolo�de (zie blz. 85)
					xo* yo� zo*lt;l	actueele omwente-	HIII 13
					xo* yo� zo*lt;l	lingsparabolo�de
				re�el		virtueele rechtlijnige	HIII 14
						omwentelingspara- bolo�de
		5:	2			virtueele rechtlijnige	HIII 15
		type IIIE				omwentelingsellip- so�de

Rang exemplaarnbsp;uit bundelnbsp;beh. bijnbsp;driev.nbsp;A-wortel	Bundel' ondertype	Snijfiguur met eigennbsp;raakvlak	Re�el punt: Ixo! yoi 2ol	Naam	Nr.
3;		imaginair		nietrechtlijnige osculeerende	HIV 1
Type IV				parabolo�de
		re�el		rechtlijnige osculeerende	HIV 2
				parabolo�de
2	1:	imaginair	xo^ yo� 2o�gt; 1	virtueele nietrechtlijnige	HV 1
	Type VA			parabolische omwente-
				lingsellipso�de
			xo^ yo* zo'lt; 1	actueele parabolische om-	HV 2
				wentelingsellipsoide
		re�el		virtueele rechtlijnige para-	HV 3
				bolische omwentelings-
				ellipso�de
	2:	imaginair		eenbladige parabolische om-	HV 4
	'1'ype VB			wentelingshyperbolo�de
				(zie blz. 88)
				tweebladige parabolische	HV 5
				omwentelingshyperbolo�de
				(zie blz. 88)
		re�el		rechtlijnige parabolische	HV 6
				omwentelingshyperbolo�de
1	1;		geen	imaginaire bol	HVI 1
	Type VIA		xo* yo� 2o*gt; 1	virtueele bol	HVl 2
			xo'� yo'' 2o�lt; 1	actueele bol	HVI 3
	2:	imaginair	xo* yo� zo^gt; 1	virtueel nietrechtlijnig af-	HVI 4
	Type VIB			standsoppervlak
			xo'� yo� zo�lt; 1	actueel afstandsoppervlak	HVI 5
		re�el		virtueel rechtlijnig afstands-	HVI 6
				oppervlak

r .

4gt;^

. r lt;'

t#, V

r-v?

CLASSIFICATIE DER TWEEDEGRAADSKROMMEN EN -OPPERVLAKKEN IN DE NIET-EUCLIDISCHE MEETKUNDE

PROEFSCHRIFT

JOHAN KEES VAN DEN BRIEL

'f.quot;W

P~'C.

r'r.

v-:a

’.'sa

7:#

EERSTE DEEL: HET PLATTE VLAK.

10

ELLIPTISCHE MEETKUNDE.

� 2. Indeeling; rang 3.

17

20

21

22

TWEEDE DEEL; DE RUIMTE.

INLEIDING.

VIJFDE HOOFDSTUK.

ELLIPTISCHE MEETKUNDE.

31

37

' = 0.

0.

42

(1)

2.

49

(�)

(2)

,1

0.

,1

: �b �

60

3 = 0.

62

65

66

1.

= 0:

68

lv==0.

(a � b) X* (a � b) y^ (b c) t* = 0,

u� ^

:0.

HYPERBOLISCHE MEETKUNDE, ANALYTISCH ONDERZOEK.

78

TABEL X.

85

86

88

INHOUD.

pé^i

’ t7‘ nbsp;nbsp;nbsp;'■- jvquot; ' %’.i

\gt; nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Vi

STELLINGEN.

1.

11.

III.

IV.

VI.

VII.

VIII.

IX.

XI.