NOUVELLE TH�ORIE DE L�ACTION CAPILLAIRE, i vol. in-4�, fig., i83i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i5 fr.

M�CANIQUE

PAR S. D. POISSOIV,

Membre de 1�Institut, du Bureau des Longitudes et de TUniversit� de France; des Soci�t�s royales de Londres et d�Edimbourg; desnbsp;Acad�mies de Berlin , de Stockholm , de Saint-P�tersbourg , denbsp;Boston et de difF�rentes villes d�Italie ; de l�Universitd de Wilna ;nbsp;des Soci�t�s , astronomique de Londres, philoniatiques de Parisnbsp;et de Varsovie , et des Sciences et Arts d�Orl�ans.

TOME PREMIER.

PARIS,

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE,

Utree

�,V\/VVVVV^W.JVVWVWVVW\'VV''VWVW.VV\'Wgt;iWVVVWVWV\'V\i\'VVVW%'WVWVW%'VVgt; WV\^^/VVVVWVV^'W'^^'^�%

AVERTISSEMENT.

Cet ouvrage pouvant servir a 1�enseigne-ment, j�ai du entrer souvent dans des d�tails minutieux, et suivre, pour l�expositiou desnbsp;mati�res, l�ordre Ie plus propre a en faciliternbsp;Fintelligence. L�ordre que j�ai adopt� est celuinbsp;que 1�on suit maintenant dans les cours denbsp;M�canique de FEcole Polytechnique. On s�ennbsp;forniera une idee precise, en parcourant lesnbsp;tables analytiques des mati�res qui pr�c�dentnbsp;les deux volumes- Je me suis aussi attach� anbsp;multiplier les exemples n�cessaires pour �clair-cir les th�ories g�n�rales; ceux que j ai choi-sis ont �t� pris, surtout, dans TAstronomienbsp;et la Physique, et quelques-uns dans TAr-tillerie.

Sa destination principale est de servir d�in-troduction a uii Trait� de Physique matli�-matique, dont la Nouvelle th�orie de �Action capillaire, que j�ai publi�e il y a un an, est d�ja une partie ; les autres parties se com-

poseront des diff�rens M�moires que j�ai �crits, soit sur l��quilibre et Ie mouvement des corpsnbsp;�lastiques et des fluides , soit sur les fluidesnbsp;imponderables, et que je me propose de r�unirnbsp;et de rendre aussi complets qu�il me seranbsp;donn� de Ie faire.

On trouvera, a la fin du second volume, une addition relative a Fusage du principenbsp;des forces vives dans Ie calcul des machinesnbsp;en mouvement.

TABLE DES MATI�RES

CONTENUES DANS LE PREMIER VOLUME,

INTRODUCTION.

Definitions de la maliere , des corps, de la masse, d�un point mat�riel, et de la force ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11�' i et a

Objet de la M�canique^ division de cette science en deux parties , la Slalique et la Dynamique, nbsp;nbsp;nbsp;11� 3

Le point d�application d�une force se d�terminera au moven de ses trois coordonn�es, rectangulaires, ou polaires, n� 4nbsp;Ce qu�on entend par des forces �gales ; expression nuine'rlquenbsp;de 1�intensite' d�une force ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 5

La direction d�une force se d�terminera au moyen de tvols angles aigus ou obtus, lies entre eux par une e'quation, ou de deux angles ind�pendans l�un de l�autre ; conversion en parties du rayon, d�un are exprime' en degre's, n�� 6, 7 et 8nbsp;Expression du cosinus de l�angle de deux droites ; e'quation quinbsp;a lieu quand elles sont perpendiculaires 1�une a l�autre ;nbsp;transformation des coordonn�es rectangulaires en coordonn�es polaires,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 9

Projections d�une ligne droite sur une autre droite, et d�une aire plane sur un autre plan,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 10

Comment on d�terminera les deux sens opposes de diff�rentes forces parall�les,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� i t

Dans eet ouvrage, on emploiera exclusiveinent la m�thode des infniment petits; principes fondamentaux de l�analyscnbsp;infinit�simale,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 12

a..

TABLE DES MATI�RES.

fonction ; definition et notation de l�inte'grale de'finie ; cette inte'grale est, en ge'n�ral, la somme des valeurs de la diffe'-rentielle ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 13

DifFeTentiation d�une integrale, par rapport a une quantit� regarde'e cotnme constante dans l�int�gration,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� nquot; i4

Dans l�infiniinent petit, Ie rapport de 1�arc d�une courbe a la corde est l�unite'; ce qui perniet de conside'rer une courbenbsp;coniine un polygone d�uu nombre infini de c�te's infiniuientnbsp;petits,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� i6

De'finition de la tangente a une coui-be ; formules qui de'termi-nent sa direction ; �l�ment difierentiel de la courbe; e'qua-tion du plan normal � cosinus des angles que fait la perpendiculaire a un plan quelconque, avec des parall�les aux axes des coordonne'es,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 17

Expressions de l�angle de contingence et du rayon de cour-bure, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 18

Equation du plan osculateur; formules relatives k la direction de la perpendiculaire �i ce plan, nbsp;nbsp;nbsp;n* ig

Equation du plan tangent a une surface courbe ; �l�ment dif-f�rentiel de la surface ; formules relatives a la direction de la normale: on renvoie aun M�moire ins�r� dans Ie 21' cahier du Journal de l �cole Polytechnique, pour ce qui con-cerne la courbure des surfaces ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 21

Regie pour d�duire 1 une de 1 autre , les formules relatives a trois axes rectangulaires, par rapport a cbacun desquels toutnbsp;est semblable dans un probl�me,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 22

Conditions g�n�rales auxquelles doivent satisfaire les �qua-tions qui renferment des quantit�s de diff�rentes natures,

LITRE PREMIER.

STATIQUE,

CHAPITRE P*'. De la composition et de V�quilibre des forces applique'es a un m�me point, page 4^

Ce qu�on entend par la r�sultante d�un nombre quelconque de forces applique'es a un m�me point; sa Yaleur, quandnbsp;toutes ces forces agissent suivant une m�me droite , nquot; 24nbsp;La re'sultante de deux forces �gales qui comprennent un anglenbsp;de 120�, est e'gale a cbacune de ces forces, et divise l�angle ennbsp;deux parties e'gales,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 25

Valeur et direction de la re'sultante de deux forces qui font un angle quelconque; regie du parall�logramme des forces,

Construction g�om�trique pour de'terminer, en grandeur et en, direction, la re'sultante d�un nombre quelconque de forces,

Composition de trois forces rectangulaires en une seule force, et de'composition de celle-ci en trois forces rectangulaires, n� 31nbsp;Calcul de la re'sultante d�un nombre quelconque de forcesnbsp;donne'es; valeurs des angles qui de'terminent sa direction ;nbsp;expression de cette r�sultante en fonction des composantesnbsp;et des angles compris entre leurs directions, n�� 32 et 33nbsp;Proprie't� particuli�re de cette m�me r�sultante,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 34

Equation d��quilibre d�un point mat�rie! enti�rement libre : on v�rifie qu�en vertu de ces �quations, cbacune des forcesnbsp;qui agissent sur ce point est �gale et contraire a la r�sultante de toutes les autres,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 35

Equation d�e'quilibre d�un point materiel, assujetti a demeurer sur une surface donn�e; pression que supporte la surface ;nbsp;sens dans lequel elle s�exerce,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n^' 36-et 37

ti nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

Equation d��quilibre d'un point materiel assujetti a rester sur une courbe donn�e ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 3R

Equation des vitesses virluelles , contenant les e'quations d��quilibre relatives aux trois cas pr�c�dens^ nbsp;nbsp;nbsp;n� 39.

CHAPITRE II. De V�quilibre du levier, page 72

D�placement du point d�application d�une force appliqu�e a un syst�me de forme invariable ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 4i

Definition du moment cl une force par rapport d un point ; �quilibre de deux forces appliqu�es a un levier; cette equation est ind�pendante de l�angle des deux dras du levier;nbsp;cas o� les deux forces donn�es sont parall�les , n�* 42 et 43nbsp;Deux forces parall�les agissant en sens contraires , et non di-rectement oppos�es , ne sont pas r�ductibles a une seule; cenbsp;cpuple de forces peut �tre transform� d�une infinite de ma-ni�res diff�rentes, en un autre couple de forces irr�ductiblesnbsp;a une seule ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 44

Condition d�e'quilibre d�un nombre quelcouque de forces appliqu�es a un levier , nbsp;nbsp;nbsp;ri� 45

Th�or�me relatif au moment de la r�sultante de deux forces j extension de ce th�or�me au cas d��n nombre quelconquenbsp;de forces dirig�es dans un m�me plan; quantit� qui demeurenbsp;invariable, dans toutesles transformations de ce syst�me denbsp;forces ; �quation d��quilibre de ces forces autour d�un pointnbsp;fixe, situ� dans leur plan,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�quot; 46, 47 et 48

On v�rifie que l��quation des vitesses virtuelles a lieu dans l��-quilibre du levier, nbsp;nbsp;nbsp;n� 49

CHAPITRE III. De la composition et de V�quilibre des forces parall�lesjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^g� 90

Demonstration directe de la composition de deux forces parall�les qu�on avait d�duite, pr�c�demment (n� 43), de celle des forces concourantes vers unm�me point: on en conclut lanbsp;grandeur et Ie point d�application de la r�sultante d�unnbsp;nombre quelconque de ces forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�* 5o et 5i

Quand des forces parall�les tournent autour de leurs points d�application respectifs, en restant toujours parall�les, leurnbsp;re'sultante tourne aussi autour de son point d�application ;nbsp;definition du centre des forces parall�les} definition dunbsp;moment d�une force par rapport a. un plan ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�' Sa et 53

Le moment de la re'sultante d�un nombre quelconque de forces parall�les , par rapport a un plan , est e'gal a la somnie desnbsp;inomens de ces forces, par rapport a ce inenie plan; coor�nbsp;donnees du centre des forces parall�les, n�' 54 j 55 et 56nbsp;Equation d�equilibre d�un syst�nie de forces parall�les, appli-que'es a un corps solide, soit que ce corps soit enti�rementnbsp;fibre, ou qu�il soit retenu par un point ou par un axe fixe,

On consid�re la pesanteur comme une force constante, en grandeur et en direction , dans toute I�e'tendue d�un m�menbsp;corps,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� Sg

Les poids servent de terme de comparaison aux autres forces ; ils fournissent la mesure la plus commode de la masse ,

De'finition du centre de gravit�; regie pratique pour en de'-terrniner la position dans l�int�rieur d�un corps solide, n� 63 Equations d�apr�s lesquelles on calcule les coordonnees dunbsp;centre de gravite d�un syst�me de corps, dont les centresnbsp;de gravite' sont d�ja counus; cas ou les masses des corpsnbsp;sont infiniment petites ; ce qu�on entend par les centresnbsp;de gravite d�un volume , d�une surface, et d une ligne ,

TABLE DES MATI�RES.

Cas d�une courbe plane ; applications au eerde, et aux trois sections coniques ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ii�� 70 et 71

Equation de la cyclo�de; e'nonc� de ses diverses propri�t�s; coordonne'es du centre de gravit� d�un are quelconque denbsp;cette courbe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 72 et 78

R�gie pour determiner l�aire d�une surface de rc'volution, quand Ie centre de gravit� de sa courbe g�n�ratrice estnbsp;connu sans aucun calcul,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 74

Application au centre de gravit� d�un triangle; determination de ce point, sans Ie secours du calcul int�gral; comment on en d�duit les centres de gravit� du secteur etnbsp;du segment circulaires ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;76, 77 et 78

On iiidiqiie, comnie exemple, les centres de gravit� des trois sections coniques ; on calcule compl�teinent les deux coor-donn�es du centre de gravit� d��ne portion quelconque denbsp;Taire de la cyclo�de,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11�* 79 et 80

Centre de gravit� de la zone d�une surface de r�volution ; application aux surfaces concave et convexe engendr�esnbsp;par la cyclo�de,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 8t et 82-

R�gie pour determiner Ie volume d�un solide de revolution , cjuand Ie centre de gravit� de Taire ge'ne'ratrice est connunbsp;sans aucun calcul; extension de cette r�gie a d�autres sortesnbsp;de corps ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;83 et 84

Determination du centre de gravit� d�une pyramide triangulaire, sans Ie secours du calcul int�gral; comment on en d�duit les centres de gravit� d�un secteur et d�un segmentnbsp;spli�riques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� Sn et 88

Centre de gravit� d�un corps sym�trique autour d�un axe, et, en particulier, d�une portion d�ellipso�de ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 8g

Centre de gravit� d�un solide de r�volution, et, en particulier, des solides concave et convexe engendr�s par la cyclo�de,

Expressions diverses, en int�grales triples, des coordonn�es du centre de gravit� d�un corps quelconque; application anbsp;une portion de sph�re h�t�rog�ne,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� gi et ga

�l�ment diff�rentiel d�un volume exprim� au moyen des dif-f�rentielles des coordonn�es polaires, nbsp;nbsp;nbsp;n� g3

CHAPITRE AI. Calcul de Vattraction des corpSj

page 169

5 Iquot;. Formules relatives a un corps quelconque et d la sphere en particulier,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page i6g

Expressions g�n�rales en int�grales triples, des trois compo-santes rectangulaires de l�attraction exerc�e par un corps sur un point inat�riel,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� g4 et g5

R�duction de ces trois int�grales triples, aux diff�rences par-tielles d�une seule int�grale , nbsp;nbsp;nbsp;n� g6

Une difficult� qui a d�ja �t� signal�e dans Ie calcul des coordon-n�es du centre de gravit� d�un corps quelconque (n^gi) ,

conduit � examiner la constitution intinie des corps naturels. Definitions des atomes et des mol�cules; ce qu�on doit entendre par la densite' d�un corps en un point quelconque ;nbsp;definition de Yinlervalle mojen des mole'cules au m�inenbsp;point; on explique comment les formules relatives auxnbsp;masses des corps, aux coordonn�es des centres de gravite',nbsp;et aux attractions en raison inverse du carr� des distances,nbsp;peuvent �tre appliqu�es , sans erreur sensible, aux corpsnbsp;naturels,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�* 97 et g8

L�attraction d�un corps sur un point materiel tr�s �loign�, est k tr�s pen pr�s la m�me que si la masse enti�re de ce corpsnbsp;�tait reunie a son centre de gravite ; attraction mutuelle denbsp;deux sph�res liomog�nes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 99

Th�or�mes relatifs aux attractions des coi-ps sph�riques, sur des points mat�riels ext�rieurs ou int�rieurs, n�� 100 et 101nbsp;D�monstration directe de l��quilibre d�un point mat�riel, si-tu� dans un espace termin� par une couclie sph�rique, n� 102

Transformation des formules g�n�rales du nquot; gS, principale-ment utile dans Ie cas o� Ie point attir� fait partie du corps attirant,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� io3

Application a 1�ellipso�de liomog�ne: les formules relatives a son attraction sur un point int�rieur , se r�duisent a des in-t�grales simples , calculables au moyen des tables des fonc-tions elliptiques; extension du tli�or�ine du n� 102, a unenbsp;couche elliptique ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o'quot;� 104 et io5

Les int�grales s�effectuent sous foi�me finie, dans le cas de l�ellipso�de de r�volulion ; cas particulier d�un ellipso�denbsp;tr�s peu applati ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 106

Tli�or�me remarquable, au moyen duquel on fait d�pendre l�attraction d�un ellipso�de sur un point ext�rieur, de 1�attrac-tion d�un autre ellipso�de sur un point int�rieur: ce tlie'o-��me est ind�peudaut de la lol de l�attraction en fonction denbsp;la distance; application au cas particulier de deux spb�resnbsp;concentriques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 107, io8 et 109.

Remarque sur la mesure du temps; invariabilit� du jour sid�-ral; sa dur�e compar�e a celle du jour moyen, n� 111 Definition de la vitesse dans Ie mouvement uniforme, et en-suite dans Wmouvement varie',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 112

Expression de la vitesse dans un mouvement quelconque; expression de 1�espace parcouru dans un temps infininieiit petit, abstraction faite de la vitesse acquise ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 114

De'finition et e'quation du mouvement uniform�ment acc�l�r� OU retard� ; la force qui Ie produit estune force constante;nbsp;ce mouvement est celui des corps pesans dans Ie vide; dansnbsp;un m�me lieu, l�acc�l�ration est la m�me pour tous cesnbsp;corps ; sa grandeur a 1�Observaloire de Paris ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 115

On d�montre que les grandeurs des forces qui agissent succes-sivement sur un m�me point materiel, sont entre elles comme les vitesses infiniment petites qu�elles lai impri-ment dans un m�me temps infiniment petit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 116

Quand il s'agit de forces constantes, leurs intensit�s sont entre elles comme les vitesses qu�elles produisent dans 1 u�nbsp;nit� de temps; exemple du rapport des forces, conclu de celuinbsp;des vitesses observ�es ; exemple inverse du rapport des vi�nbsp;tesses , conclu de celui des forces ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 117

�ij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

Ce qu�on doit entendre par des points luale'riels e'gaux en masse; deux forces qui agissent sur deux points diff�rens ,nbsp;sont entre elles cornme leurs masses multipli�es paries vi-tessesproduites par ces forces, dans un m�me instant, n� 121nbsp;De'finition de la force molrice ; sa valeur dans un mouvementnbsp;quelconque; elle se change en unepression, quand Ie mouvement est de'truit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;122

De Tidentite' du mouvement des corps pesans en chaque lieu de la terre, on conclut la proportionnalite' du poids a lanbsp;masse,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;128

Quand la force motrice est donne'e , on en deduit la force ac� c�l�ratrice, en divisantpar la masse du mobile; on prend,nbsp;pour exemples, la re'sistance d�un milieu, et un poidsnbsp;donn�, applique successivement a des masses dilF�rentes,

De'finitions de la quanlii� de mouvement, et de la percussion OU impulsion; de'composition d�une percussion en deuxnbsp;autres; application au coin,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 126

Condition de 1��quivalence de deux percussions; principe de l�e'quilibre dans Ie cboc , d�apr�s lequel deux corps d�nue'snbsp;d�elasticit�, qui vont � la rencontre 1�un del�autre, se re'-duisent au repos, quand les vitesses sont en raison inversenbsp;des masses,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 127

page 237

Equations diff�rentielles du mouvement rectiligne ; l�inte'gra-tion n�est possible, sous forme linie, que quand la force acce'l�ratrice est constante, ou donn�e en fonction d�nne-

seule des trois variables, Ie temps, la vitesse, 1 espace par� couru,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 139

Mouvement vertical d�un corps pesant dans un milieu resistant : lorsqu�il tombe d�une grande bauteur, sa vitesse ap-proclie de plus en plus d�etre constante ; moyen de determiner Ie coejjicienl de la re'sistance, par 1�observation du temps total de T�l�vationet de la chute successives du mobile,

Exemple de l�usage des solutions particulieres dans les pro-bl�ines de dynamique, nbsp;nbsp;nbsp;i36

Mouvement d�un corps attir� vers'un centre fixe, soit en raison directe de la distance , soit en raison inverse du carr� de lanbsp;distance,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 187 et i38

Mouvement d�un corps attir� vers deux centres fixes; cas oil ces deux centres sont ceux de la lune et de la terre; diminution de la vitesse d�un projectile, produite par sa pesan-teur vers Ie corps d�o� il est parti, quand il est parvenu knbsp;une grande distance de ce corps, n�� 189, i4o, i4'gt; 14^�*- *4^

CHAPITRE III. Du mouvement curviligne, page 263

La d�termination du mouvement curviligne d�un point ma-t�riel se r�duit a celle des inouvemens rectilignes de ses trois projections sur les axes des coordonn�es ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� i44

Expression de la vitesse du mobile: sa direction est tangen te a la trajectoire; les vitesses des trois projections sont cenbsp;qu�on appelle les composantes de la vitesse du mobile ; lanbsp;composition et la decomposition des vitesses se font suivantnbsp;les m�ines r�gies quela composition et la decomposition desnbsp;forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 145

Quelle que soit la variation de vitesse d�un point mat�riel, en grandeur et en direction, pendant un temps infinimentnbsp;petit, il y a toujours une certaine direction pour laquelle

TABLE DES MATI�RES.

l�augmentation de vitesse est la plus grande, et perpendicu-lairement a laquelle les composantes de la vitesse ne sont ni augment�es, ni diminue'es,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 146

Eette direction de'termine'e est ce qu�on entend par la direction de la force qui agit sur un point mate'riel en mouvement ; en partant de cette definition, on de'montre que l�accroissement de la composante de la vitesse s�ivantnbsp;une direction quelconque, pendant un instant, est uni�nbsp;quement du a la force qui agit suivant cette direction, et Ienbsp;m�me que si les autres forces n�existaient pas ,

Construction de la trajectoire par points , qui i-e'sulte du principe pre'c�dent, et determination de la vitesse et de la position du mobile a chaque instant sur cette courhe, 11� 148 Equations diff�rentielles du mouvement curviligne, soit quandnbsp;l�origine des coordonne'es est fixe, soit quand elle est ennbsp;mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�* 149 et i5o

Equations diff�rentielles du mouvement d�un point matcrielsur une surface ou sur une courbe donn�e; expression de la forcenbsp;acc�l�ratrice suivantlatangente k la trajectoire,n�� i5i et iSa

Int�grales premi�res des equations diff�rentielles du mouvement curviligne, qui ont lieu quand la force est constani-ment dirig�e vers un centre fixe , nbsp;nbsp;nbsp;n� i53

Principe des aires, coinpris dans ces int�grales, n�� i54 et i55 El�inens diff�rentiels de 1�aire et de la longueur d�une courbe,nbsp;rapport�s aux coordonne'es polaires ; composantes de la vitesse d�un mobile relatives a ces coordonne'es ; d�finition denbsp;la vitesse angulaire,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� i56

Int�gvale premi�re des �quations du mouvement, qui donne dans un cas tr�s g�n�ral, Ie carr� de la vitesse du mobile, in-d�pendamment de la courbe d�crite ; cette vitesse est constante , quand Ie mobile, enti�rement libre, ou oblige' de senbsp;mouvoir sur une surface ou sur une courbe donn�e, n�estnbsp;sollicit� par aucune force acc�l�ratrice ; l�int�grale a lieu

toutcs les fois que Ie mobile est soumis a des forces di-rig�es vers des centres fixes et dont les intensit�s sont des fonctions de la distance a ces points,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� et i58

Expression de la vitesse d�un corps pesant sur une courbe quelconque, en fonction de la hauteur dont Ie mobile estnbsp;tomb� ; consequences imm�diates qui s�en d�duisent, n� i Sqnbsp;Propri�t� du mouvement d�un point materiel a laquelle onnbsp;a donn� Ie nom Ae principe de la moindre action, n� i6onbsp;En vertu de ce principe, un point materiel oblige' de se mouvoirnbsp;sur une surface donn�e, et qui n�est sollicit� par aucunenbsp;force acc�l�ratrice, d�crit, en g�n�ral, la ligne la plusnbsp;courte d�un point a un autre; en formaat 1��quatiou diff�-rentielle de la trajectoire, on prouve que cette ligne la plusnbsp;courte a partout son plan osculateur, normal a la surfacenbsp;donn�e,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� ibi

t)ans Ie syst�me de \�emission, les lois ge'n�rales de la r�frac-tion et de la r�jiexion se d�duisent facilement du principe de la moindre action,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 163, i63 et 164

Equations diff�rentielles du mouvement d�un rayon de lu-ini�re, a son passage d�un milieu dans un autre ; consequences de ces equations relalivement a deux cas diff�rens de reflexion , et a la refraction ; direction d�un rayon qui anbsp;travers� deux surfaces parall�les ; ph�nom�ne de Ia dispersion ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�' i65, 166 et 167

La composition de la vitesse propve de la lumi�re avec celle de la terre , quiproduitle ph�nom�ne de Vaberration, n�a ce-pendant aucune influence appr�ciable sur la grandeur denbsp;la refraction ; dans Ie vide , la vitesse de la lumi�re , directenbsp;uu r�fl�chie, est la m�me, soit qu�elle nous vienne du soled , des �toiles, ou des plan�tes; grandeur de cette vitesse ; diminution qu�elle a du �prouver en vertu de lanbsp;pesanteur des rayons lumineux vers Ie soleil,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 168

Definition de la force centrifuge; determination de cette force inotrice, par la consideration de la vitesse normale de'-truite a chaque passage du mobile , d�un �le'ment de sa tra-jectoire a l�ele'ment suivant ; l�angle de contingence e'tantnbsp;infiniment petit, ce passage ne produit aucune diminutionnbsp;dansla vitesse suivant la tangente; determination compl�tenbsp;en grandeur et en direction, de la pression exerce'e sur la tra-jectoire, en vertu de la force centrifuge et des forces don-n�es qui agissent sur Ie mobile ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;� 169 et 170

Calcul des trois composantes de cette m�me pression , d�apr�s les e'quations diff�rentlelles du mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 171

Consequences que 1�on d�duit de la valeur de cette pression et desa direction, lorsque Ie mobile est assujetti a se mouvoirnbsp;sur une surface donne'e , et quand il est enti�rement libre,

Determination de la force centrifuge, d�apr�s la considctation du mouvement circulaire,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;174

Coinparaison de la force centrifuge dans Ie eerde , a la pesan-teur ; tension d�un fil charg� d�un poids, et tournant autour d�un point fixe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 175

Diminution de la pesanteur , a l��quateur et sur les diff�rens parall�les , produite par la force centrifuge qui r�sulte de lanbsp;rotation de la terre ; variation totale de la pesanteur, due anbsp;cette cause et a 1�applatissement du sph�ro�de terrestre ,

CHAPITRE V. Exemples du mouvement d'un point materiel sur une courhe ou sur une surface donn�e,

page 337

Definition du pendule simple; on fera voir par la suite qu�il y a toujours un pendule simple dont le mouvement est Ienbsp;m�me, dans le vide ou dans l�air , que celui d�un pendulenbsp;donn�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�179

Sur une courbe quelconque, les oscillations nbsp;nbsp;nbsp;infinimentnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pe-

Correction qu�il faut faire a la dur�e des oscillations tres pe-tites d�un pendule simple, pour en conclure la dure'e de ses oscillations infiniment petites,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 184

Reduction en s�rie du temps d�une oscillation de,grandeur quelconque,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u� 185

Mouvement du pendule simple dans 1�air,, lorsque la resistance est suppos�e proportionnelle a la vitesse : les amplitudes successives des oscillations tr�s petites, d�croissent en progression g�om�trique; leur dur�e n�est pas sensible-ment alt�r�e par la resistance du milieu,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 186 et 187

Mouvement du pendule simple dans 1�air, quand la r�sistance est suppos�e proportionnelle au carr� de la vitesse ; loi dunbsp;d�croissement des amplitudes successives; dans Ie cas desnbsp;petites oscillations, on d�montre que la dur�e d�une demi-oscillation ascendante est autant diminu�e, que celle denbsp;l�oscillation descendante qui pr�c�de , a �t� augment�e,

Correction dans la longueur du pendule et dans la dur�e des petites oscillations, qu�on appelle la reduction au vide ^nbsp;augmentation qu�on doit faire subir a cette correction , anbsp;raison de l��tat de mouvement de l�air,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� tgt

En chaqne lieu de la tcrre, la mesure de la pesanieurest pro-povtionnelle a la longueur du pendule a secondes; valeurs de ces deux quantit�s a l�Observatoire de Paris; les exp�nbsp;riences du pendule prouvent qu�en chaque lieu de sa surface,nbsp;l attraction de la terre est la m�nie sur les mati�res de lanbsp;nature la plus diff�rente,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 192

en fonctions de la latitude; retard d�une horloge r�gle'e a Paris sur Ie temps sidedal, et ensuite transport�e a l��qua-teur,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;9^

Le temps de la chute d�un point mate'riel pesant sur Ia cyclo�de , est ind�pendant de 1��le'vation du point de depart au-dessus du point le plus bas, soit que le mouvement ait lieu dans le vide, ou qu�il ait lieu dans l�air, r[uand on suppose la resistance proportionnelle a la vitesse,

Recherche de la brachjslochrone dans le vide ; formules relatives au cas OU la ligne de la plus v�e descente devrait �tre trac�e sur une surface donn�e; formules relatives au cas ou sanbsp;longueur serait donn�e, qui serviront a re'soudre, dans lanbsp;suite, un autre probl�me de la m�me nature, n�� 198, 199 ,

On trouve pour la brachystocrone proprement dite , l�e'qua-tion d�une cyclo�de situe'e dans un plan vertical �, cas ou le point de depart et le point d�arriv�e appartiennent a unenbsp;m�me verticale,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jjo 302

Equations diffe'rentielles du mouvement du pendule simple qui ne se meut pas dans un plan fixe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 2o3

Formules diff�rentielles relatives aux oscillations coniques du pendule simple dans le vide ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 204 et 2o5

Cas des petites oscillations ; cas ou le pendule de'crit unifor-m�ment la surface d�un c�ne droit a base circulaire; la courbe d�crite par la projection horizontale du mobile, estnbsp;toujours une ellipse dont le centre est le point de suspension,

TABLE DES MATI�RES.

CHAPITRE VI. Exemples du mouvement dun mobile enti�reinent libre ^ nbsp;nbsp;nbsp;696

La trajectoire d�un point materiel pesant dans Ie vide, est tine parabole ; amplitude du jet; vitesse en un point quelcon-que,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 208

La vitesse initiale �tant donne'e, trouver sa direction, pour que Ie projectile atteigne un but donn� courbe au-dela denbsp;laquelle Ie projectile ne peut arriver ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 209

Equations du mouvement d�un projectile dans 1�air ; construction, par points, de la trajectoire ; calculdu temps; expression de la vitesse en un point quelconque, n�� 210,211 et2i2 Quand Ie mobile s�est e'lev� a une grande hauteur, son mouvement, en retombant, approche de plus en plus d�etrenbsp;vertical et uniforme ; determination de Yasj-mptote verticalenbsp;de la branche descendante,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 2i3

L�autre branche de la trajectoire a aussi une asymptote ; direction de cette droite, et sa distance au point de depart du mobile,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� ai4

Equation de la trajectoire, dans Ie cas d�un petit angle de projection ; calcul de la portee horizontale et du temps dn trajet, d�apr�s la grandeur de la vitesse initiale; difF�rentesnbsp;valeurs de la portee et de la vitesse qui sont donn�es patnbsp;l�observation; incertitude sur la grandeur du coefficient denbsp;la re'sistance; moyens de Ie determiner par l�exp�rience,

Equations fournies par les deux premi�res de ces lois, n� 218 Definition de quelques termes employ�s en Astronomie; dur�enbsp;de 1�ann�e siderale et de l�ann�e �quinoxiale; grandeur denbsp;la pr�cession annuelle des equinoxes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 219

Expressions des deux coordonn�es polaires de la plan�te et du temps, en fonctions de Xanomalie excentrique , n� 220nbsp;M�thode pour r�duire Ie rayon vecteur et T�quation du centre

b..

TABLE DES MATI�RES.

en series ordonn�es suivant les cosinus et les sinus des multiples du mojren mouvement, nbsp;nbsp;nbsp;n� 221

Formules qui d�terniinent en un point quelconque de l�el-lipse d�crite par une plan�te, la grandeur et la direction de sa vitesse ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 222

Position d�une plan�te par rapport a un plan quelconque ; sa longitude et sa latitude, son ascension droite et sa d�cli-naison; obliquit� de 1�e'cliptique ; sa diminution annuelle ;nbsp;grandeur et p�riode de la nutation ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 223

On conclut des trois lois de K�pler, que la force qui retientles plan�tes vers leurs orbites est constainment dirig�e vers Ienbsp;centre du soleil; qu�elle varie pour cliaque plan�te, suivantnbsp;la raison inverse du carr� de la distance a ce point; qu�anbsp;1�unit� de distance, la force acc�l�ratrice est la m�rnenbsp;pour toutes les plan�tes : ces lois s��tendent aux coin�tes etnbsp;aux mouvemens des satellites autour de leurs plan�tes res-pectives, et aux mouvemens relatifs des �toiles doubles,

n�� 224, 225 et 226 Equations diff�rentielles du mouvement d�une plan�te dansnbsp;un milieu resistant: on compl�te Ie nombre des constantesnbsp;arbitraires que doivent renfermer leurs int�grales trouv�esnbsp;pr�c�demment, pour Ie cas o� 1�on n�glig� la resistance,

M�thode de la variation des constantes arbitraires, pour 1�iri-t�gration des equations diff�rentielles, nbsp;nbsp;nbsp;nquot;� 229 et 280

Application de cette m�thode aux equations du mouvement d�une plan�te ou d�une com�te dans un milieu r�sistant;nbsp;pourquoi la r�sistance de 1��t^er peut �tre appreciable dansnbsp;Ie mouvement d�une com�te et insensible dans Ie mouvementnbsp;d�une plan�te ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 281,282 et 288

� 111. Mouvement d�un point materiel soumis a une force centrale , nbsp;nbsp;nbsp;Page 446

Equations du mouvement d�un point mat�riel attir� vers un centre fixe, par une force donn�e en fonction de la distancenbsp;a ce centre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 284

Cas OU la force est en raison inverse du carr�' de la distance ; la trajectoire peut �tre alors une des trois sections coniques;nbsp;circonstances qui d�terminent cliacune des trois courbes,

Examen sp�cial du mouvement parabolique ; en quoi consiste Ie probl�me astronomique de la determination complete denbsp;l�orbite d�une com�te,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;� 23g et 240

Force motrice resultant de 1�attraction mutuelle du soleil et d�une plan�te ; invariabilit� du pouvoir attractif,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 242

Force acc�l�ratrice d�une plan�te dans son mouvement autour du soleil; correction qu�on doit faire a la troisi�me loi denbsp;K�pler ; petitesse des masses des plan�tes par rapport i lanbsp;masse du soleil,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 243

�nonc� des dilf�rentes sortes de perturbations du mouvement elliptique des plan�tes, produites par leur attraction mu-tuelle : ces effets observes font coimaitre les masses des plan�tes perturbatrices, en prenant celle du soleil pour unite';nbsp;invariabilit� des grands axes; Ie mouvement de la lune s�ac-c�l�re de si�cle en si�cle,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;244

Autre moyen de d�terminer les masses des plan�tes accoinpa-gn�es de satellites, nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;245

Calcul des forces provenant de Faction du soleil et de la lune, pour soulever les eaux de la mer � masse de la lune concluenbsp;du_^i/a, lunaire corapar� au Jlux solaire ; diminution de lanbsp;pesanteur a la surface de la terre, produite par Faction denbsp;la June,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n��246 et 247

A la distance de la lune a la terre, la pesanteur terrestre est 4 tr�s peu pres �gale a la force qui i'etient ce satellite dans sonnbsp;orbite,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;248

table des mati�res.

Determination de la masse de la terre; parallaxe du soleil j sa densite'; sa distance a la terre; determination exacte dunbsp;grand axe de 1�orbite d�une plan�te dont la masse est con-nue,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n*� 24g et aSo

De'viation du fil a plomb produite par les attractions locales, nbsp;nbsp;nbsp;n^aSi

Balance de torsion, propre a mesurer les forces tr�s petites; experience de Cavendish; densit� moyenne de la terre,

Slabilit� de 1��quilibre des mers, resultant de ce que cette densit� est plus grande que celle de 1�eau; accroissement des densit�s des couches de la terre, en allant de sa surface aunbsp;centre; in�galit� du mouvement de la lune , due a la non-sph�ricit� de la terre; influence des attractions locales sur lanbsp;longueur du pendule a secondes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 254

Reduction au niveau des mers, de la longueur du pendule, observ�e a une elevation donn�e,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 255

liyke troisi�me.

STATIQUE,

page 497

Remarque sur la compressibilit� et Ie changement de forme du corps que l�on va consid�rer,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 256

Transforination d�un syst�me de forces quelconques , appli-qu�es a un corps solide, en ti�ois groupes de forces, Ie premier compose de forces perpendiculaires a un plan donn�, Ie deuxi�me, de forces parall�les et comprises dans ce plan, etnbsp;Ie troisi�me, de forces dirig�es suivant une droite perpendi-

Equations n�cessaires et suffisantes pour l�e'quilibre d�uu corps solide enti�rement libre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 260

Ces equations sont encore n�cessaires pour 1��qullibre de tout autre syst�me qui ne renferme aucun obstacle fixe,

Cas particuliers des forces parall�les et des forces qui sont toutes comprises dans un plan ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 262

Condition pour que des forces donn�es aient une r�sultante unique ; equations de cette r�sultante ; sa gi-andeur et sa direction; dans tous les cas, les forces donn�es peuvent senbsp;r�duire a deux, d�une infinite de niani�res diif�rentes ,

Transformation de l��quation nbsp;nbsp;nbsp;d��quilibrenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;relative a un axe

Charges des diff�rens pieds d�une table horizontale qui sup-porte un poids donn�; a quoi tient 1�ind�termination appa-

Les forces �tant repr�sent�es par des lignes droites, leurs nioniens sont repr�sent�s par des aires planes : Ie th�or�uienbsp;du n� 46, relatif au moment de la r�sultante de deux forces,nbsp;est alors une proposition de G�om�trie dont on donne lanbsp;d�monstration ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 371

Ce qu�on entend par Ie moment d�un syst�me de forces par rapport a un axe ; les momens d�un m�me syst�me par rapport a deux axes situe's dans Ie prolongement I�lin de l�au-tre, sent e'gaux et de signe contraire; il en est de m�me anbsp;l�e'gard des momens par rapport a un m�me axe, de deuxnbsp;systernes de forces e'gales et contraires ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 278

Expressions des momens d�un syst�me de forces par rapport aux trois axes des coordonne'es positives de leurs points d�ap-plication; comment on determine les signes des termes denbsp;ces formules,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 274

Valeurs des cosinus des angles relatifs a la direction de la normale au plan qui contient une droite et un point donne',

Formules relatives aux projections d�un syst�me d�aires planes sur dilF�rens plans; identit� de ces formules et de celles quinbsp;r�pondent aux projections des lignes droites sur d�autresnbsp;droites,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 276 et 277

Plan et grandeur de 1�aire minima; propri�t� caracl�ristique de ce plan ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 278, 279 et 280

Propri�t�s des momens, d�duites de celles des aires planes; identite' de la composition des momens et de la compositionnbsp;des forces, resultant de celle des projections des aires planesnbsp;et des projections des lignes droites,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 281

Moment principal d�un syst�me de foi'ces ; nouvel �none� des conditionsd��quilibre de ce syst�me; conditions pour quenbsp;deux syst�mes de forces soient �quivalens,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 282

Variation du moment principal, produite par Ie de'placement du centre des momens; momens prmcipaux minima; comment on en de'duit la condition ne'cessaire et suffisante pournbsp;1�existence d�une re'sultante unique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 288 et 284

CHAPITRE III. Exemples de l�e'quilibre d'un corps flexible,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 551

Dans T�tat d��quilibre du polygone , il faut lt;^ue cliaque c�t� soit tir�, suivant ses prolongemens , par des forcesnbsp;�gales et contraires; equations n�cessaires pour 1��quilibrenbsp;des forces appliqu�es au polygone ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u� 2.85

Construction de la figure du polygone en �quilibre; calcul des tensions de ses c�t�s; cas ou ses points extremes sont supposed fixes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 286 et 287

Les extensions des c�t�s du polygone soiit proportioiinelles aux tensions qu�ils �prouvent,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 288

Quanii uu des noeuds du polygone est remplac� par un anneau, la force appliqu�e en ce point doit partager en deux partiesnbsp;�gales l�angle des deux c�t�s adjacens,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 289

Condition relative aux directions des forces qui dolvent avoir lieu dans tous les syst�mes de points mat�riels en �quilibre,nbsp;et dont la pr�c�dente est un cas particulier,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 290

�quilibre d�un polygone charg� de poids; pressions �prouv�es par les points fixes auxquels il est attach� ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 291

Remarque analogue A felle du n� 270 , sur les tensions des cordons qui supportent un poids donn� : quel que soit Ienbsp;nonibre de ces cordons, leurs tensions et les charges desnbsp;points fixes peuvent se d�duire de la mesure des allonge-inens,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;293

�quations d��quilibre d�un fil pesant, d�abord au noinbre de trois , et qui se r�duisent ensuite a deux ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 298

Int�grales de ces �quations sous forme finie; �quation de la chainette,- expression de la tension en un point quel-conque,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;294

Calcul de la tension au nbsp;nbsp;nbsp;pointnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;plusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bas,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et des chargesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;que

supportent les nbsp;nbsp;nbsp;deuxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pointsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;suspension,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;29$

TABLE DES MATI�RES.

Parmi toutes les courbes isop�rim'etres, la chaiuette est celle qui a son centre de gravit� Ie plus bas ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 296

Gas OU les forces verticales qui agissent sur les �l�mens du fil sont proportionnelles a leurs projections horizontales ; lanbsp;courbe d�e'quilibre est alors une parabole ; calcul de la tension au point Ie plus bas, et des charges des points extremes , qui peut �tre utile dans la construction des cheminsnbsp;de fer,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 297

�quations d��quilibre d�un fil sollicite' par des forces quelcon-ques, nbsp;nbsp;nbsp;n� 298

Gas d�un fil pesant suspendu vertlcalement a un point fixe et charg� d�un poids a son extr�mit� inf�rieure ; calcul de sonnbsp;allongement total,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 299

Expression de la tension dans Ie cas g�ne'ral; la courbe est de'termine'e par deux �quations diff�rentielles secondes; va-leur du rayon de courbure d�apr�s la direction de la tangente en chaque point,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 3oo

Application des formules pr�c�dentes au cas d�un fil tendu sur la surface d�un corps solide , par des forces appliqu�es a sesnbsp;extr�mit�s, et qui sont les seules qui Ie sollicitent; la tensionnbsp;est la m�me dans toute sa longueur; dans son �tat d��quilibre stable, Ie fil trace sur la surface la ligne la plus courtenbsp;d�un point a un autre; la pression exerc�e en chacun desnbsp;points de la surface est en raison inverse du rayon de courbure de cette ligne, et proportionnelle a la tension,

Ges r�sultats sont modifies par Ie frottement du fil contre la surface du corps solide; calcul du frottement d�un fil sur lanbsp;gorge d�une poulie fixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 3o3

On v�rifie les six �quations g�n�rales de 1��quilibre du n� 261, dans Ie cas de 1��quilibre d�un fil flexible; usage de cesnbsp;equations pour d�terminer les coordonn�es des points extremes, quand ils sont libres, ou les pressions qu�ils �prou-vent, lorsqu�ils sont fixes et donn�s de position,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;� 3o4

TABLE DES MATI�RES. nbsp;nbsp;nbsp;xxvij

Condition pour qu�une verge soit �lastique par flexion; diffe-rens efiets que ses parties e'prouvent lorsqu�on l�a e'cart�e de sa position d�e'quilibre; de'finition de la lome �las~nbsp;tique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 3o6

HypotL�ses relatives aux forces qui r�sultent de l�extension OU contraction des filets longitudinaux et de la grandeur denbsp;leur courbure ; valeur de la force totale de contraction d�unnbsp;�l�ment de la lame; valeur du moment d��lasticil�, n� 807nbsp;Dans la courbe �lastique proprement dite , la tension est constante et n�influe pas sur la courbure de la lame ; �quationnbsp;differentielle de cette courbe; conditions relatives a ses ex-tr�mit�s ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�' 3o8 et 3og

Cas o� la lame est horizontale, encastr�e par un bout, et cbarg�e d�un poids donn� a son autre extr�mit�; ealcul denbsp;la flexion totale; comparaison de l�extension et de la flexionnbsp;d�une lame, qui peuvent �tre produites par un m�menbsp;poids,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�3io

Cas o� la lame est un ressort vertical pos� sur un plan horizontal, et charg� d�un poids son extr�mit� sup�rieure: examen d�taill� des diff�rentes formes que ce ressort pourranbsp;prendre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 311 et 312

Ce qu�on entend par la force d�un ressort; calcul de cette force d�apr�s l�extension ou d�apr�s la flexion du ressort,nbsp;produites par un poids donn�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 3i3

Extension des r�sultats pr�c�dens au cas d�une verge �lastique, droite ou courbe , qui n�a pas �t� tordue sur elle-m�me; cenbsp;qu�on entend alors par Ie filet mojen; valeur du momentnbsp;d��lasticit�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�3i4

Formule qui donne la flexion d�iine verge droite, au moyen de la force de ce ressort; calcul de cette force dans diff�rentesnbsp;bypoth�ses sur Ie contour de la section normale; comparaison de la force d�un ressort creux a celle d�un ressortnbsp;plein,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�3i5

ValeurdeladifF�rentielledela tension en un point quelconque d�une verge �lastique dont tons les points sont sollicit�s parnbsp;des forces quelconques; une verge tir�e, par une extr�inite',nbsp;auginente de vol urne en m�ine temps qu�elle s�allonge, n�3i6nbsp;Equations g�ne'rales de l��quilibre d�une verge �lastique, ennbsp;ayant �gard a la torsion ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 3i 7

Le moment de la torsion est constant dans toute la longueur de la verge ; sa valeur, d�apr�s les forces qui agissent a Tunenbsp;des extr�mit�s,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 318

Il�duction des trois equations g�n�rales a une seule, quand le filet moyen est une courbe plano ; equations relatives auxnbsp;forces particuli�res qui agissent aux deux extr�mit�s de lanbsp;verge,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 319

Cas de la verge uniformement pesante; d�termination de sa figure ; calcul de sa flexion et des charges des points d�appui,

Cas ofi la charge totale de la verge est ine'galeinent r�partie entre ses diffe'rens points; formule de Lagrange, pour ex-primer en s�rie de quantites p�riodiques les valeurs d�unenbsp;fonction donne'e, dans une �tendue aussi donne'e des valeursnbsp;de la variable,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;SaS

D�monstration de la formule pr�;�deinment cit�e nbsp;nbsp;nbsp;(nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;323);nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;au-

page 654

Verification de ce principe dans le cas de deux forces appli-que'es a une moujle, un ireuil, une vis, un levier, 11�� 329

points mat�riels , qui r�salte du principe des vitesses vii'-tuelles ; cette equation n�a lieuque pour les mouvemens in-finiment petits, compatibles avec les conditions du syst�iue, et dont les mouvemens contraires sont �galement possibles;nbsp;elle a deja �t� d�montr�e n� Sg, dans Ie cas d�un point materiel isol� ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 33i

Notions relatives aux tensions et aux contractions qui ontlieu entre les liens physiques des points d�un systeme en e'qui-libre; mani�re de repr�senter ces forces inte'rieures ; ma-ni�re de repr�senter les variations de distance des points dunbsp;syst�me ; equation qui a lieu entre la variation totale et lesnbsp;variations partielles de chaque distance,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u�' 332 et 333

On fait voir que la proposition directe �tant prouv�e, la proposition inverse en est une cons�quence imm�diate , nquot; 336 Ce principe a aussi lieu dans l��quilibre des fluides, ainsi qu�onnbsp;Ie fera voir par la suite; autre d�monstration de ce principe,nbsp;fond�e sur la consideration des moufles, n�� 33y, 338et33gnbsp;On peut d�duire du principe des vitesses virtuelles les r�giesnbsp;du parall�logramme des forces et de la composition desnbsp;forces parall�les ; comment on en conclut les �quations d��-quilibre d�un corps solide pr�c�derament trouv�es, nquot; 34onbsp;Transformation de 1��auation g�n�rale des vitesses virtuelles ;nbsp;r�gies pour en d�duire toutes les �quations d��quilibre d�unnbsp;syst�me de points mat�riels, dont les liaisons sont exprim�esnbsp;par des �quations entre leurs coordonn�es, n�� 34i et 342nbsp;On d�terminera , en in�me temps, en grandeur et en direction,nbsp;les forces inte'rieures qui r�sultent de ces liaisons ; Ie principe des vitesses virtuelles est n�cessaire pour faire con-naitre, relativement a deux ou plusieurs points lie's par unenbsp;menie �quation, les rapp�rts de grandeur de ces forces,nbsp;dont la remarque du n� 290 ne determine que les directions ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� n�� 343 et 344

Application des formules pr�c�dentes a Texemple du polygone. funiculaire ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 345

XXX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

Propri�t� de maximum ou de minimum qui a lieu dans 1�e'-quilibre d�un syst�me de points mat�riels soumis a leurs attractions ou repulsions mutuelles, en tbnctions des distances , et a d�autresnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;forcesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;senablables, dirige'es versnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;des

Errata.

8 en remontant, Mm, lisez Mm et mnd 02,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Qjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;angle AMB, liseznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AMA*quot;

2-3^, nbsp;nbsp;nbsp;6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lisez �T�

6, i35 metres, Ztses 145 m�tres 524,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;trois, lisez quatre

565, nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en remontant, nnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anirepoint, /�ez nn autre point M'

601, nbsp;nbsp;nbsp;16, cesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deux, liseznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deux

623, nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en remontant, -�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lisez -

Mota. Les fames des pages 478, 479 et 623, ont etc corrigees dans le pins Brand nombrc des cxemplaircs.

DE M�CANIQUE

INTRODUCTION.

I. La inatihre est tout ce qui peut affecter nos sens d�une mani�re quelconque.

Les corps sont des portions de mati�re limit�es en tous sens, et qui ont, par cons�quent, xinejbrme etnbsp;un volume determines. On appelle masse dun corps,nbsp;la quantit� de mati�re dont il est compose.

Un point inaien�t est un corps infiniment petit dans toutes ses dimensions; en sorte que la longueur . '�4ax\nbsp;de toute ligne comprise dans son int�rieur, est infi-niment petite, c�est-a-dire, moindre que toute Ion-

corps de dimensions finies, comme un assemblage d�une infinite de points mat�riels, et sa masse commenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

2. Un corps est en mouvement, lorsque ce corps OU ses parties occupent successi vement diff�rens lieuxnbsp;dans l�espace. Mais �espace �tant infini et par toutnbsp;identique, nous ne pouvons juger de l��tat de mouvement OU de i�epos d�un corps, qu�en Ie comparant a d�autres corps ou a nous-m�mes; et, pour

Tons les corps sonl mobiles; inais la mati�re ne se ment jamais spontan�ment; car il n�y aurait pas denbsp;raison pour qu un point materiel se dirigeat plut�tnbsp;d�un c�te' que de l�autrej et, en efFet, si nousconside'-rons un corps a l�instant ou il passe de 1��tat de reposnbsp;a l��tat de mouvement, nous reconnaissons toujoursnbsp;que ce changement est d� a Faction d une causenbsp;�trang�re ou sans laquelle nous conceyons que cenbsp;corps pouri�ait d�ailieurs exister.

On donne, en general, le nom de force a la cause quelconque qui met un corps en mouvement, ou seu-lement qui tend a le mouvoir, lorsque son effet estnbsp;suspendu ou emp�ch� par une autre cause.

5. Lorsque plusieurs forces sont appliquees a la fois a un m�me corps, elles se modifient reciproque-ment, en vertu de la liaison qui existe entre ses parties, et qui les empeche de prendre le mouvementnbsp;que tend a imprimer a chacune d�elles, la force a laquelle elle est soumise. Il peut m�me arnver que cesnbsp;forces se detruisent complelement, de sorte que lenbsp;corps ne prenne aucun mouvement : on appelle �qui-libre cet �tat particulier d�un mobile, qui reste ennbsp;repos quoiqu�il soit solllcit� par plusieurs forces, ounbsp;aulrement, on dit que ces forces se font �quilibre.

La Mecanique est la science qui traite de I�equilibre et du mouvement des corps. La partie dont le but est,nbsp;en ge'n�ral, de de'couvrir les conditions de I�e'quilibre,nbsp;se nomme Statique. On appelle Djnamique I�autrenbsp;partie, qui a pour objet de determiner le mouvement

que prend uu mobile, quand les forces qiii Ini sont appliquees ne se font pas equilibre.

Les g�ora�tres �tant parvenus, comme on le verra dans la suite, a reduire toutes les questions de mouvement a de simples problemes d�equilibre, il seraitnbsp;naturel d�exposer d�abord la Statique entiere et en-suite la Dynamique; mais, pour faciliter I�intelligencenbsp;des matieres, il a paru preferable, dans 1�enseigne-^nbsp;ment, de s�occuper de la partie la pins simple de lanbsp;Dynamique, avant de considerer les questions g�n�rales de r�qulllbre. C�est cet ordre que je suivi'ai dansnbsp;cet ouvrage,

4. 11 y aura trois choses a considerer dans une force agissant sur un point materiel : la position denbsp;ce point, l�intensit� de la force et sa direction, c�esl-a-dire, I�espace rectlligne quelle tend a faire parcou-rir a son point d�application. Toutefois, on ne doitnbsp;pas confondre un point mat�rie! avec ce qu�on ap-pelle un point en G�om�trie, oil ce mot d�signe I�ex-tr�mil� d�une liune, ou 1�intersection de deux lignesnbsp;qui se coupent; I�espace que parcourt un point ma-t�riel n�estpasnon plus une ligne priv�e de deux dimensions; mais ce corps �tant infiniment petit ennbsp;tons sens, et la largeur et lepaisseur de I�espace quenbsp;la force tend a lui faire d�crire, �tant aussl infiniment petites, on d�termlnera sa position et la direction de cette force, de la m�me mani�re que Ton determine la position dun point et la direction d�unenbsp;drolte en G�om�trie.

Alnsi, d�abord, la po.sition dans 1�e.space, dii point d�application d�une force, se d�termlnera, en general,

au moyen de ses trois coordonne'es parali�les aux intersections de trois plans rectangulaires; ce qui, comme on sait, ne laissera aucune indecision, quandnbsp;on aura �gard, en m�me temps, au signe et a la grandeur de chaque coordonn�e. Quelquefois aussi, nousnbsp;emplolerons les coordonn�es polaires, savoir : Ienbsp;rayon vecteur du point donn�, ou sa distance a leurnbsp;origine. Tangle que fait ce rayon avecune droite fixenbsp;men�e par cette origine, et Tangle compris entre Ienbsp;plan de ces deux droites et un plan fixe passant parnbsp;la seconde.

5. Les forces ne peuvent se mesurer qu�en prenant pour unit� une force convenue, et enexprimant parnbsp;des nombres les rapports des autres forces a cettenbsp;unit�; ce qui exige que Ton d�finisse, d�une mani�renbsp;precise, ce que Ton doit entendre par une force �galenbsp;a une autre, et par une force double, triple, quadruple ,... d�une autre, ind�pendamment de la nature particuliere de ces diverses causes de mouvement.

Deux forces sont �gales lorsqu��tant appliqu�es en sens contraire Tune de Tautre, a un m�me pointnbsp;mat�riel ou a deux points H�s par une droite qui nenbsp;peut changer de longueur, elles se font �quilibre.

Si, apr�s avoir reconnu que deux forces sont �gales, on les applique dans la m�me direction a un m�menbsp;point, on aura une foi�ce double; si Ton r�unit ainsinbsp;trois forces �gales, on aura une force triple; si Tonnbsp;en r�irait quatre, on aura une force quadmple; etnbsp;ainsi de suite.

Lors done que nous dirons qu�une force, appliqu�e a un point mat�riel, est un certain multiple d�une

autre force, il faudra entendre que la premiere peut �tre regard�e comme form�e d�un certain nombre denbsp;forces reconnues egales a la seconde, et agissant dansnbsp;une m�me direction. C�est de cette mani�re que lesnbsp;forces deviennent, quelle que soit leur nature particuliere, des quantit�s mesurables que Ton peut ex-primer par des nombres, comme toutes les autresnbsp;sortes de quantit�s, en les rapportant a une unite denbsp;leur esp�ce. On peut aussi repr�senler leurS intensit�snbsp;par des lignes proportionnelles a ces nombres, que l�onnbsp;porte sur leurs directions, a partir du point o� ellesnbsp;sont appliqu�es; ce qui a l�avantage de simplifier l��-nonc� des th�or�mes.

6. Les points d�application des forces et leurs intensit�s �tant ainsi determines, il ne nous reste plus qu a nous occuper de leurs directions.

Soit M ( fig. 1''�), Ie point d�application d�un� force; repr�sentons sa direction par la droite MD, denbsp;mani�re que cette force tende a faire avancer Ienbsp;point M, de M vers D; par Ie point M menons troisnbsp;axes rectangulaires MA, MB, MC, qui seront, en g�-n�ral, parall�les aux axes des coordonn�es, et dirig�snbsp;dans Ie sens des coordonn�es positives; d�signons parnbsp;a, �, 5^, les angles aigus ou obtus que la direction MDnbsp;fait avec ces axes, de sorte qu�on ait

AMD = a, BMD = ^, CMD = 7.;

je dis que cette direction sera compl�tement d�ter-mmee quand ces trois angles seront donn�s.

En effet, en ayant seulement �gard aux deux angles a et �, il faudra que la ligne MD se trouve a Ia

fois sur deux cones droits, dont Ie sonimet cominuo est au point M, et qui ont pour axes les droites MAnbsp;et MB. II faudra done que a et C soient tels, quenbsp;ces deux cones puissent se couper; ce qui aura lieunbsp;alors suivant deux ar�tes situ�es dans un m�rae plannbsp;perpendiculaire au plan AMB, et qui feront, avecnbsp;1�axe MC, deux angles suppl�mens l�un de l�autre.nbsp;La droite MD pourra done encore avoir deux positions dilF�rentes; mais Tangle y �tant aussi donn�,nbsp;on saura s�11 est aigu ou obtus, et Ton pourra choisirnbsp;entre ces deux positions celle qui convient a la direction de la force.

Cette construction montre, en outre, que les angles a, y, ne peuvent pas �tre pris tous les troisau hasard. 11 existe effectivement entre les cosinus desnbsp;angles qu�une m�me droite MD fait avec trois axesnbsp;rectangulaires, une equation

que Ton d�monlre en prenant sur la droite MD, a partir du point M, une ligne e'gale a Tunite', et formant un parallele'pip�de rectangle, dont cette lignenbsp;soit la diagonale, et qui ait ses trois c�te's adjacensnbsp;sur les trois axes MA, MB, MC. Ces trois c�t�s se-ront les cosinus des angles a, y; et la somme denbsp;leurs carr�s devaat �tre �gale au carr� de la diagonale, d�apr�s une th�or�me connu, il en r�sultera T�-quation qu�on vient d��crire.

7. On adoptera, dans ce Trait�, la division de la circonf�rence en 36o�, du degr� en 60 minutes et denbsp;la minute en 60 secondes. La lettre ,t sera constam-

nient employee a representer la demi-drconference, dont le rayon estegal a lunite; de sorte que Ton aura

Le quart de la circonference repond a Tangle droit ou a Tangle de 524000quot;; il s�ensuit que la longueurnbsp;de Tare correspondant a un angle d�un nombre quel-conque n de secondes, sera le quatrieme terme d�unenbsp;proportion, dont les trois premiers seront ^ vr, n etnbsp;324000quot;. En designant cette longueur par quot;ar, il en resit Itera

Dans les calculs numeriques, ce sont ies arcs ainsi calcules qu�on devra employer a la place des anglesnbsp;qui ne seront pas compris sous les signes trigonome-triques sin, cos, tang.

Pour qu�on puisse, au moyen des angles a, C, y , representer la direction d�une force dans toutes lesnbsp;positions possibles autour de son point d�application,nbsp;il faudra et il sulEra qu�ils s�e'tendent depuis zero jus-qu�a 180� inclusivement. Si, par exemple, Taxe MGnbsp;est au-dessus du plan des deux autres axes MA et MB,nbsp;Tangle y devra �tre plus petit ou plus grand que go�,nbsp;selon que la droite MD sera situee au-dessus ou au-dessous de ce plan; il sera z�ro quand la directionnbsp;MD co�incidera avec MC, et egal a 180� quand MDnbsp;coincidera avec le prolongement MC' de MC, Les cosinus de d, Q, y, pourront done �tre positifs ou n�-

En general, si nous consid�rons Ie prolongement MD' de la droite quelconque MD, il est evident quenbsp;les angles qu�il fait avec les trois axes sont suppl�mensnbsp;de a, �, y. En faisautdone

d�o� il suit que les directions de deux forces qui agis-sent en sens conti�aire sur un m�rae point M , Tune suivant MD, 1�autre suivant MD', se distinguerontnbsp;Tune de l�autre par les signes des cosinus des anglesnbsp;qui leur correspondent.

8. Au lieu des trois angles a, y, lies entre eux par 1 equation (i), on pourra n employer que deuxnbsp;angles inde'pendans Tun de l�autre, pour determinernbsp;la direction d�une force.

En effet, soit ME la projection de MD sur Ie plan AMB; appelons S' Tangle que fait cette projectionnbsp;avec Taxa MA, de sorte qu�on ait

Eorsque eet angle S sera donn�, il fei-a connailre la position du plan CME, et Tangle y ach�vera en-suite de determiner celle de la droite MD comprisenbsp;dans ce plan. II faudra que Tangle S soit compt�,nbsp;a parllr de MA, dans un sens convenu, et qu�ilnbsp;puisse s��tendre depuis z�ro jusqu�a SGo�; Tanglenbsp;y ne s��tendra toujours que depuis z�ro jusqu a 180�.

La projection sur le plan AMB de la diagonale du parall�l�pip�de pr�c�demment indiqu� ( n� 6)nbsp;sera le cosinus de Tangle DME, ou �gale a sin y.nbsp;Si Ton projette de nouveau cette projection surnbsp;Taxe MA, cette seconde projection se d�duii'a denbsp;la premi�re , en la multipliant par cos tT; elle coin-cidera, d�ailleurs, avec la projection de la diagonalenbsp;du parall�l�pip�de sur ce m�me axe MA, et sera,nbsp;cons�quemment, �gale a cos st; par consequent,nbsp;on auranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

et ces deux formules serviront a transformer les equations o� Ton aura fait usage des angles a, �,nbsp;y, en d�autres ou Ton n�emploiera plus que y et cT.nbsp;On v�rifie imm�diatement qu�elles satisfont a T�qua-tion (i).

g. II existe une autre �quation qui comprend , comme cas particulier, cette �quation (i), et quinbsp;nous sera souvent utile.

Pour la former, soient x, j, z, les coordonn�es dun point quelconque M ( fig. 2 ) rapport�es auxnbsp;trois axes rectangulaires Ox, O7, Oz. Appelons rnbsp;son rayon vecteur OM, et a, C, y, les angles ai-gus OU obtus que fait ce rayon avec les trois axes,nbsp;de sorte qu�on ait, par exemple,

SoitM' un autre point, et designons par j', 2'^ r', a'. Of, y\ ses coordonnees, son rajon vecteur etnbsp;les angles relatifs a cette droite; nous aurons aussi

= (x' � xY {y � yY nbsp;nbsp;nbsp;� ^)* �

la premiei�e valeur de �* est la m�me chose que = /�� r'� � 2 (xx'-i~YY' Hquot; jnbsp;en la comparant a la seconde, on en concluranbsp;rr' cos g = xx' jyquot;' zz';

INTRODUCTION, cos g � cos a cos a! -f- cos ^ cos cos y cos y';nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(2)

Lorsque les deux droites OM et OM^ coincident, les angles a', �', y', sont les m�mes que a., �, y, etnbsp;cette formule se r�duit a I�equatlon (i). Quand cesnbsp;deux droites sont perpendiculaires Tune a I�autre ,nbsp;on a � = go�, et par consequent

En mettant dans les valeurs de x, j, z, celles de cos ct et cos �, qu�on a trouvees dans le num�ro pr�c�dent, on aura

formules dans lesquelles les trois variables r, y, e^' sont les trois coordonn�es polaires du point M, tellesnbsp;qu�elles ont �t� d�linies dans le n� 4, et qui serviront,nbsp;par consequent, a transformer les coordonn�es rec-tangulaires en coordonn�es polaires.

10. La consideration des projections dont on s�est servi dans le n� 8, sera souvent employ�e dans cetnbsp;ouvrage; il convient done d�exposer ici leurs premiers principes.

La projection d�une droite sur une autre droite est la partie de celle-ci qui est comprise entre les pieds desnbsp;perpendiculaires abalss�es des deux extr�mit�s de lanbsp;droite projet�e. Ainsi, les dilf�rences x'�x, y��y,

^�z, des coordonn�es extremes sont les projectionsde la droite MM'sur les axes desXfy, z; et,d�apr�s la premiere valeur de la somme des carr�s des projections d�une m�me droite siir trois axes rectangulaircs

est �gale au carr� de cette droite. Si la droite proje-t�e et celle sur laquelle on la projette sont dans un m�me plan, la projection est �gale et parall�le a lanbsp;base d�un triangle rectangle, dont la droite projet�enbsp;est l�hjpot�nuse; en sorte que si l�on d�signe par lnbsp;la longueur de cette droite, par X celle de sa projection, et par i Tangle de ces deux droites, on a

La projection d�une surface plane sur un autre plan, est la partie de ce plan termin�e par la projection du contour de la surface projet�e, c�est-a-dire,nbsp;par la courbe que forment les pieds des perpendiculairesnbsp;abaiss�es de tous les points de ce contour. Or, T�qua-tion pr�c�dentesubsiste encore, si Ton j met a la placenbsp;de l Taire de la surface projet�e, et au lieu de A Tairenbsp;de sa projection; i �tant alors Tinclinaison d�un plannbsp;sur Tautre, pour laquelle on peut aussi prendrenbsp;Tangle compris entre les perpendiculaires a ces deuxnbsp;plans.

En effet, d�composons Taire de la surface projet�e en �l�mens d�une largeur infiniment petite et perpendiculaires a Tintersection de son plan et de celuinbsp;sur lequel on la projette, la projection de chaquenbsp;�l�ment sera �gale a eet �l�ment multipli� par Ienbsp;cosinus de leur inclinaison mutuelle; par cons�quent,nbsp;cette inclinaison �tant la m�me et �gale a i pour tousnbsp;les �l�mens, la somrae de leurs projections, ou A,nbsp;sera �gale a leur somme, ou a Taire totale l multi-pli�e par cos i; ce qu�il s�agissait de prouver. On con-clut de la que Ie carr� de Taire d�une surface plane

est �gal a la somme des carr�s de ses pi�ojections sur trois plans rectangulaires, en prenant pour I�incllnai-son sur cLaque plan Tangle que fait la normale a lanbsp;surface donnee avec les perpendiculaires a ce plan,nbsp;et ay ant �gard a T�quation (i).

I�. Lorsque dans une question, on consid�rera un systeme de forces parall�les, on pourra supposer quenbsp;Tun des trois axes rectangulaires MA, MB, MC,nbsp;(fig. iquot;), leur est aussi parall�le. Alors deux desnbsp;trois angles a, S, y, les deux derniers, parexemple,nbsp;seront droits pour toutes ces forces; et T�quation (i)nbsp;se r�duira a

De cette mani�re, la direction de chaque force se-rait fix�e, en disant qu�elle fait avec Taxe MA un angle nul ou un angle de 180�; mais dans ce cas particulier, il sera plus simple de d�terminer cette direction par le signe de la force, en regardant cominenbsp;positives les forces qui agissent dans un sens, etnbsp;comme n�gatives celles qui agissent dans le sensnbsp;oppos�.

Au reste, le cas des forces parall�les sera le seul oii nous consld�rerons des forces positives et des forcesnbsp;negatives; dans tons les autres cas, les quantil�s quinbsp;repr�senteront les grandeurs des forces, dans le cal-cul, seront positives, etla variation de signe ne tom-bera que sur les cosinus des angles que leurs directions font avec des axes fixes.

mvnaires, et des de'tails suffisans sur la determination des grandeurs et des directions des forces; mais, dans eet ouvrage, j�emploierai exclusivement ia methode des irifiniment petits ; c�est pourquoi il est n�cessaire de rappeler, dans cette introduction, les principes de l�Analyse infinit�simale, et parmi les formules qui s�en d�duisent Ie plus imm�diatement,nbsp;celles dont nous pourrons avoir besoin par la suite.

Un hifiniment petit est une grandeur moindre que toute grandeur donn�e de la m�me nature.

On est conduit n�cessairement a Tid�e des infini-ment petits, lorsque Ton consid�re les variations successives d�une grandeur soumise a la loi de conti-nuit�. Ainsi, Ie temps ci�oit par des degr�s moindresnbsp;qu�aucun intervalle qu�on puisse assigner, quelquenbsp;petit qu�il soit. Les espaces parcourus par les diff�-rens points d�un corps, croissent aussi par des infini-inent petits; car chaque point ne peut aller d�unenbsp;position a une autre, sans traverser toutes les positions interm�diaires; et l�on ne saurait assigner au-cune distance, aussi petite que l�on voudra , entrenbsp;deux positions successives. Les infiniment petits ontnbsp;done une existence r�elle, et ne sont pas seulementnbsp;un moyen d�investigation imagine par les g�om�tres.

ment petites ont entre elles des rapports quelcon-ques, dont la determination est un objet essentiel de l�Analyse infinit�simale.

Si � et ^ sont des infiniment petits, et que Ie rapport de h a a soit au.ssi infiniment petit, b est ce

qu�on appelle un inliniment petit du second ordre. Par exemple, la corde d�un arc de cercle �tant supposes infininaent petite, le sinus verse du m�me arcnbsp;est un infiniment petit du second ordre, puisque lenbsp;rapport du sinus verse a la corde est tonjours lenbsp;m�me que celui de la corde au diametre, etdevient,nbsp;par consequent, infiniment petit en m�me temps quenbsp;le second rapport.

De m�me, b etant d�ja un infiniment petit du second ordre , si Ton suppose que le rapport de c a inbsp;soit infiniment petit du premier ordre, on apellera cnbsp;un infiniment petit du troisieme ordre; et ainsi denbsp;suite.

II suit de la qu�un produit compose d�un nombre n de facteurs infiniment petits du premier ordre, devranbsp;�tre rang� dans la classe des infiniment petits denbsp;1�ordre n.

L�aire d�une surface infiniment petite dans toutes ses dimensions est au moins un infiniment petitnbsp;du second ordre; car elle est moindr,e que le carr�nbsp;de la droite la plus longue qu�on puisse mener d�unnbsp;point a un autre de son contour, laquelle droite estnbsp;infiniment petite , par hypothese. On verra de m�menbsp;qu�un volume dont toutes les dimensions sont infiniment petites , est au moins un infiniment petit dunbsp;troisieme ordre, puisqu�il est moindre que le cubenbsp;de la plus longue droite men�e d�un point a un autrenbsp;de sa superficie.

Cela pos�, le principe fondamental de 1�Analyse infinitesimale consiste en ce que deux quantilesnbsp;finies, qui ne different I�mie de I�autre que d�un

infiniment petit, doivent �tre regard�es comme �gales, puisqu�on ne saurait assigaer entre elles au-cune in�galit� , aussi petite que l�on youdra.

II en sera de m�nje a l�e'gard de deux quantit�s infiniment petites du premier ordre, dont la difference est infiniment petite du second ordre, et,nbsp;g�n�ralement, a l��gard de deux infiniment petitsnbsp;d�un ordre quelconque, qui ne diff�rent l�un denbsp;l�autre que d�un infiniment petit d�un ordre sup�rieur : on les consid�rera comme des quantit�s ri-goureusement �gales, et leur rapport, comme �gal anbsp;l�unit�.

On �nonce encore ces principes d�une autre ma-ni�re, en disant qu�il est permis de n�gliger dans un calcul, sans crainte d�alt�rer aucunement les r�sul-tats, soit les infiniment petits ajout�s a des quantit�snbsp;finies, soit les quantit�s infiniment petites d�un ordrenbsp;quelconque, ajout�es a des quantit�s d�un ordre inf�rieur.

i3. La diff�rentielle dx d�une variable ind�pen-dante x, est l�accroissement infiniment petit qu�on atti�ibue a cette variable; la diff�rentielle dj d�unenbsp;fonction de a?, est l�accroissement correspondantnbsp;de cette fonction, r�duit au ra�me ordre de grandeurnbsp;que celui de la variable ind�pendante, par la suppression des infiniment petits d�un ordre sup�rieur;nbsp;d�oii il i��sulte que cette diff�rentielle dj est toujoursnbsp;de la forme X(�r; X �tant une autre function de x.nbsp;Pour quelques valeurs particuli�res de x, il peutnbsp;arriver que Ie coefficient diff�rentiel X devienne in-fini, ce qui rendra la diff�rentielle ILdx ind�termin�e;

Soient Jcc une fonction donnee de x, c une constante arbitraire , et Fx -\-c l�int�grale compl�te ou ind�finie de fxdx. Soient encore a et h deux cons-tantes donn�es. En determinant la constante c denbsp;mani�re que cette integrale soit nulle ou commencenbsp;quand x=^o, et faisant ensuite x-=.b, Ie i'�sultatnbsp;Fb � Fa sera ce qu�on appelle l�int�grale d�finie,nbsp;prise depuis x � a jusqu�a x = b. Je la d�signerai

f xdx, suivant la notation tr�s commode que Fourier a propos�e; et j��crirai, en consequence,

Si l�on donne successi vemen t a x une infinil� de valeurs, croissantes depuis a jusqu�a b par des differences infiniment petites, et que l�on prenne cesnbsp;differences �gales ou in�gales, pour les valeursnbsp;de dx, il est facile de faire voir que la somme denbsp;toutes les valeurs de la diff�renlielle fxdx sera �galenbsp;a l�int�grale d�finie Fb � Fa.

En effet, en n�gligeant les infiniment petits d�un ordre sup�rieur au premier, on a, d�apr�sla d�fini-tion de la diff�rentielle,

et que l�oa prenne successivement, pour x et dx, les couples de valeurs a et cT,, a cT, etnbsp;et el's, . . .h � cT^ et (��, il en r�sultera

Lorsque la fonction fx deviendra infinie entre les deux limites a et A, cette demonstration n�auranbsp;plus lieu, et Ie th�or�me sera en d�faut. Dans ce casnbsp;d�exception, que nous ne rencontrerons pas dans lanbsp;suite, l�int�grale d�finie n�a plus aucun rapport avecnbsp;la somme des valem�s de la dlff�rentielle , et elle peutnbsp;m�me �tre negative, lorsque toutes ces valeurs sontnbsp;positives, ou positive, quand elles sont toutes negatives. Pour faire reparaitre Ie th�or�me, il faut alorsnbsp;cmp�cher que/ir ne devienne infinie entre x�a etnbsp;r�A, en faisant passer la variable x de Tune a l�autrenbsp;de ces limites, par une s�rie de valeurs imagi-naires (�^).

(�*') Voyez, sur cc po int, Ie Journal de l� Ecole Poljtechniq i8' cahier, page 35,o.

Le th�or�me pr�c�dent s��tend sans difficult� aux int�grales multiples. Ainsi, par exemple, si j{x,j)nbsp;est une function donn�e de deux variables ind�pen-dantes x el j�, que Ton donne successivement a cesnbsp;variables des s�ries de valeurs croissantes par des differences infiniment petites; et que Ton prenne en m�menbsp;temps pour dx, les differences entre les valeurs con-s�cutives de x, et pour dj, celles des valeurs con-s�cutives de jy la somme de toutes les valeurs denbsp;f{x, j)dxdj, sera l�int�gralenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f (x, j) dxdj, prise

14. liOrsque la fonction fx renfermera une quantile a consid�r�e comme une constante dans Tint�-

m�me une fonction de a. II j a des questions dans lesquelles cette int�grale n��tant pas connue sousnbsp;forme flnie, on aura besoln, n�anraoins, de determiner sa diff�rentielle par rapport a a. Or, cettenbsp;op�ratlon pr�sentera deux cas dlff�rens, selou quenbsp;les limites a et b seront ind�pendantes de a., ounbsp;qu�elles en d�pendront d�une mani�re quelconque.

Dans le premier cas, il suffira de dlff�rentier par rapport a a .sous le signe f; en sorte que Tonnbsp;aura

En effet, d�aprcs le tb�or�me du num�ro pi��c�-dent, le premier membre de cette equation est le coefficient diff�rentiel par rapport a a de la somme

des valeurs de fxdx , comprises depuis x � a jus-qu�a x = b', tandis que son second membre est la somme des valeurs, entre les m�raes limites, du coefficient diff�rentiel de fxdx relatif a a; et il est �videntnbsp;que ces deux sommes sont identiques.

la limite b devient b-\-^da, pour cette raison, la somme des valeurs de/xfZr, ou l�int�grale J' fxdxnbsp;se trouve augment�e de la valeur de fxdx qui r�-

dct, ce qui diminue cette integrale de la valeur de Jx ,nbsp;correspondante a x � a et dx � ^ da, ou de

des deux limites a et b, produite par celle de a, l�int�grale se trouvera augment�e de la diff�rentielle

et son coefficient diff�rentiel par rapport a a, de ce coefficient de da. Par cons�quent, en 1�ajoutantnbsp;au second membre de T�quation pr�c�dente, onnbsp;aura

'�. j fxdx

Quand a n�entrera pas dans fx , que cette quan-tit� sera Tune des deux limites b o\x a, et que ces deux limites ne d�pendront pas Tune de l�autre,nbsp;eette expression se r�duira a

Des remarques semblables s�appliqueront aux int�-grales multiples , dont les coefficiens diff�rentiels par rapport a une quantit� qu�on a d�abord regard�enbsp;comme constante, s�obtiendront aussi en diffe'ren-tiant sous les signes d'int�gration , et en ajoutant aunbsp;r�sultat des termes d�pendans des variations desnbsp;limites, quand elles d�pendront de cette quantit�nbsp;de venue variable.

i5. Le calcul int�gral fournit des regies pour d�-lerminer exactement ou par approximation, les valours num�riques des int�grales d�finies, simples ou multiples; en sorte qu�un probl�me est cens�nbsp;r�solu, lorsqu�on est parvenu a exprimer les incon-nues par des int�grales de cette nature. On dit alorsnbsp;que le probl�me est r�duit aux quadratures, pareenbsp;que, d�une part, une int�grale multiple n�est autrenbsp;chose qu�une int�grale simple plusieurs fois r�p�t�e,

TRAIT� DE M�CANIQ�E. d�une courbe plane, dans laquelle x et jx sont lesnbsp;coordonne'es d�un point quelconque, et a et � lesnbsp;abscisses des points extremes.

Parmi les dilF�rentes formules dont on fait usage pour calculer les valeurs approch�es de cette integrale

Supposons que les differences cT,, cT�, cTj, etc., ne sont pas infiniment petites, inais seulement tr�s pe-titesj prenons-les �gales, et repr�sentons par tTleurnbsp;grandeur commune. Nous aurons,d�apr�sle th�or�menbsp;de Taylor,

F (a 2J') =r(a J') y/(a lt;?) i ^^f{a lt;^) etc., F (a -j- 3J') =F (a 2^) -\-^f{a -f-2J)-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2.lt;t) -j- etc.,

i �tant un nombre entier ou z�ro, et les caract�risti-qiies 2 indiquant des sommes qui s etendeul aux n

valeurs de i compi'ises depuis i=o jusqu�a i:=.n��i. Eq prenant successivement fx et f x, f'x et J�x, etc.,nbsp;au lieu de Fu: etfx, on aura de m�me

Cela pos�, si Ton veut n�gliger les puissances de lt;�' sup�rieures au carr� dans la valeur de FZ� � Fa, onnbsp;pourra prendre, d�apres les derni�i-es �quations,

iS�y (a ;�) = -J S- (J'b -fa), pour les valeurs de ses deux derniers tei�mes. Sa valeur enti�re deviendra done

valeurs de fx varieront moins rapidement entre les limites a et b. Le plus souvent on pourra n�gliger lenbsp;terme d�pendant de S^', la formule ne renfermeranbsp;alors que des valeurs de fx qui pourront �tre don-n�es en nombres, sans que la forme de cette fonctionnbsp;soit connue.

sid�re les courbes comme des polygones d�un nombre infini de c�te's infiniment petits. Cela suppose que lanbsp;corde d�un are infiniment petit est �gale a eet are, ounbsp;que Ie rapport de leurs longueurs peut �tre pris pournbsp;I�unit�; c�est efFectivement ce que l�on peut d�mon-trer de la mani�re suivante.

Soit Mmm'M' (Gg. 3)un are de courbe infiniment petit; tirons les cordes Mm, mml, m!W, et prolon-geons la troisi�me, jusqu�a ce qu�elle rencontre Ie pro-longement MT de la premi�re, en un point K. L�arcnbsp;mm' est plus grand que la corde mm', et moindre quenbsp;la ligne bris�e mKm'; il suffira done de prouver quenbsp;cette ligne et cette corde, infiniment petites, ne different que d�un infiniment petit d�un ordre sup�rieur,nbsp;et que l�on peut prendre Ie rapport de l�une a l�autrenbsp;pour l�unit� : cela sera vrai, a fortiori, a l��gard denbsp;l�arc mm' et de sa corde.

Or, s�il n�y a dans l��tendue de Fare Mmm'M' aucun point singulier o� la direction de la courbe changenbsp;brusquement, les cordes qui vont d�un de ses pointsnbsp;a un autre comprendront des angles infiniment peunbsp;diff�rens de deux droits. L�angle TKM', suppl�mentnbsp;de MKM', sera done infiniment petit; je Ie d�signerainbsp;par cT ; et en faisant, en outre,

on aura, dans Ie triangle mKm', l��quallon -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- aa� cos cT,

(� by nbsp;nbsp;nbsp;(a by

pour le carr� du rapport de la corde mm' a la ligne brisee mKm'. On a d�ailleurs

r�Y-

\a -j- b) ^ ce qui prouve que le coefficient de sin* | cT ne peutnbsp;pas devenir infini, puisqu�il est toujours moindrenbsp;que I�unite. En negligeant I�infiniment petit du second ordre, on aura done I�unite pour le rapport denbsp;c k a b ; ce qu�il s�agissait de demontrer.

17. Une courbe �tant consid�r�e comme un poly-gone infinitesimal, les tangentes seront les prolonge-mens de ses cotes infiniment petits; au point M, ou le cote est Min, la tangente sera la droite indefinienbsp;T'M/nT.

Si Ton designe par x, j, z, les trois coordonnees rectangulaires du point M, celles du point m serontnbsp;X dx, j -f- dy, z dz. En appelant ds l��l�mentnbsp;de la courbe, e�est-a-dire, son cote Mm, les difFeren-tielles dx, dj, dz, seront ses projections sur les axesnbsp;des X, j, z; par consequent, si Ton represente parnbsp;les trois angles que fait la direction de lanbsp;droite MT avec des paralleles a ces axes, menees parnbsp;le point M, on aura

En prenant, sur la courbe que Ton consid�re, un point fixe C, et supposant que s soit l�arc CM compt�nbsp;de cette origine, eet are pourra �tre la variable ind�-pendante, dont x,y, z, seront des fonctions donn�esnbsp;par les equations de la courbe. Dans ce cas, ds seranbsp;positif; mais dx, dj, dz, et par suite cos ot, cos C,nbsp;cos y, pourront �tre positifs ou n�gatifs. Les anglesnbsp;ct,amp;, y, se i�apporteront toujoursau prolongementnbsp;7?zT du c�t� Mm, ou a la partie MmT de la tangente;nbsp;les angles relatifs a 1�autre partie MT' seront les sup-

La dii�ection de la tangente au point M �tant d�-termin�e par les equations (i), on en peut conclure r�quation du plannormal en ce m�me point; inais onnbsp;obtient directeraent cette equation par la consideration suivante.

x', j', z', designant les coordonnees courantes. L�equa-tion de la sphere du m�me rayon, qui a son centie an point m, se de'duira de celle-la, en y niettantnbsp;X ^dx ,J dj, z-\-dz, a la place de x, j, z; ennbsp;retranchant ces equations Tune de I�autre, et negli-geant les intiniment petits du second oi�dre, ilnbsp;vient

equatioa qui appartiendra a I�intersection des deux surfaces spheriques. Comme elle est Tequation d�unnbsp;plan dont x', y', z', sont les coordonnees courantes,nbsp;ce sera celle du plan de cette courbe, et, par consequent , I�equation demand�e du plan normal, puis-que les deux spheres se coupent suivant un cerclenbsp;perpendiculaire a la droite TT' qui passe par leursnbsp;centres M et m.

En la divisant par ds, et ayant �gard aux formules (i), cette equation devient

represente I�equation d�un plan men� par le point dont les coordonnees sont x, y, z, et perpendiculaire a la droite dont la direction est d�termin�e parnbsp;les angles a, y, il faudra qu�elle s�accorde avec lanbsp;pr�c�dente; ce qui exigera qu�on ait

h �tant un facteur ind�termin�. En vertu de i��qua-tion (1} du n� 6, on en conclura d�ailleurs

ce qui fait connaitre la valeur de h, abstraction faite du sigue. Ou aura ensuite

ce qui coincide avec les formules connues d�apr�s lesquelles on determine la direction de la perpendi-

culaire a un plan donn�. Le signe de /^ reste ind�ter-min�, paree que les angles a , y, peuvent se rap-porter a Tune ou a Tautre des parties de cette droite qui sont situ�es des deux c�t�s du plan.

i8. On SLT^T^e]\Q angle de contingence l�angle infi-niment petit compris entre deux tangentes cons�cu-tives. Ainsi Mnz et mm' (fig, 4)� �tant deux c�t�s �frv-y' cons�cutifs de la courbe, eet angle, au point M, estnbsp;le suppl�ment de Mm/ra', ou Tangle l^mt, sous le-quel la tangente MmT est coup�e par la tangentenbsp;suivante mm't. Je le repr�senterai par cT; en suppo-santque les angles cJL,,Q,y, se rapportent toujours a lanbsp;direction de MT, et d�signant par a!,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y', ee qu�ils

deviennent relativement a la direetion de mt, on aura,^ en vertu de T�qualion (2) du n� g,

cos a'=:cosa i/. cos o. ^ c?*.cos a etc., cos �' =cos^-f-fi^.cos^ jd^.cos� etc.,nbsp;cos y' = cosy-f- d.cos y-{- 7 d��. cos y etc.

Or, si Ton substitue ces valeurs dans celles de sin� cT, et qu�on ait �gard a T�quation

cos a d. cos a-f-cos ^ . cos ^ cos c/. cos )/ = o,

on voit que les quautit�s finies et les infiniment pe-tits du premier ordre se d�truisent; en sorte qu�en n�gligeant les infiniment pelits des ordres sup�rieurs

laquelle sera aussi la valeur de cT�, a cause que I�arc infiniment petit cT est egal a son sinus.

Les different idles de cos a, cos�, cosy, se dedui-ront des formules (i) du num�ro pr�c�dent. En ne sp�cifiant pas la variable ind�pendante, on aura

d. cos � = nbsp;nbsp;nbsp;{dxd^j�djd*x) ^ {dzd'j�djd^z),

c?. cos y = � {dxd�^z�dzd^x) nbsp;nbsp;nbsp;{djd�z�dzdy); �'

leurs, on trouve, apr�s quelques reductions, que l�cxpression de sin* S' on de S', peut se mettre sousnbsp;la forme

Le eerde osculateur est celui qui a deux c�t�s con-s�cutifs comniuns avec la courbe. Au point M, ce eerde est done celui qui passe par les trois pointsnbsp;M, m, m', dont le centre se trouve a l�intersection Onbsp;des deux perpendiculaires clev�es sur les milieux denbsp;Mm et mrd dans le plan de ces deux �l�mens cons�-cutifs, et qui a pour rayon la droite MO. Si ces deuxnbsp;�le'mens sont supposes e'gaux, cette droite diviseranbsp;Tangle Minin' en deux parties e'gales : nous feronsnbsp;cette hypothese sans craindre d�alterer la valeur denbsp;MO; car il est ais� de voir que le rapport num�riquenbsp;des deux c�t�s infiniment petlts Mm et mm' n�influ�nbsp;que d�une quantil� infiniment petite sur la grandeurnbsp;de ce rayon qui est, par cons�quent, la m�me, soitnbsp;qu�on prenne ces deux c�t�s cons�cutifs �gaux, ounbsp;qu�ils soient in�gaux.

La longueur des c�t�s Mm �tant ds, et en repr�sentant par p celle de mO, la projection de p sur M/JZ sera ^ ds; en sorte que Ton aura

et puisque eet angle MmO est la moiti� du suppl�ment de S ou �gal a i TT � tcT, il en re'sultegt;;pnbsp;izis=psinicr = :tpj',nbsp;en prenant Vare a la place de son sinus.

Cela ctant, si le rajon de courbure p �tait connu d�une autre mani�re, on auraitnbsp;pour la valeur de Tangle de conlingence; et recipro-quement, d�apres la valeur pr�c�dente de cT�, cellenbsp;de � sera

P=-----7.

19. Pour achever de connaitre la nature intlme de la courbe au point quelconque M, il faut encore determiner son plan osculateur, c�est-a-dire le plan desnbsp;deux cotes consecutifs M/u et mm'.

x', y, z', �tant les coordonn�es courantes. A cause qu�il doit aussi passer par les points in et in', les difleren-tielles premi�re et seconde de cette equation, savoir :

Ac?�a?'-|- 'Bd*y-\- Ct/�z'= o, devront �tre satisfaites comme Tequation m�ine, �n

y faisant x-. aura

Adx H- �idj Uz � o,

Alt;i*x-f-Hh Cfi?�z= o.

Les valeurs de A, B, C, qui remplissent ces deux conditions sont, comme il est alse de le verifier,

D �tant un facteur ind�termin�. Eu les substituant dans r�quation du plan osculateur, et supprimant cenbsp;facteur commun a tous ses termes^ elle devient

{z'�z) (dxdy�dyd'^x) (y'�y') (dzd�^x�dxd�z) (x' � x) (djd^z�dzdy) = o.

Si l�on appelle A, r, les angles que fait la normale au plan osculateur, avec des parall�les aux axes des X, y, z, men�es par Ie point M, on aura, d�apr�snbsp;les equations (2) du n� 17 ,

On d�terminera aussi Tangle infiniment petit com-pris entre deux normales cons�cutives, et qui sera Tangle de deux plans osculateurs cons�cutifs, commenbsp;on a determine tout a Theure Tangle de deux tan-gentes. En le d�signant par �, on aura, par un calculnbsp;semblable a celui du num�ro pr�c�dent,

iiormaux cons�cutifs; ce qui fournit le moyen de determiner ses coordonnees d�apr�s les equations de ces trois plans, qui sont maintenant connues.

Celle du plan consecutif s�en deduira en y mettant ccdx, Jdf, z-\-dz, au lieu de x, y, z; parnbsp;consequent, la differentielle de Tequation du premiernbsp;de ces deux plans, prise par rapport a x,y, z, savoir:

{x' � x) (dxdy � djd^x) = {z' � z) (djd'^z�dzdy) � ds'^dj, {y�J) (djd?-x �dxdy) �= (z'�z) [dxd^z � dzd^x) � ds^dx;

en designant, pour abreger, par p la m�me expression que dans le n� 18. On aura de m�me

En ajoutant les carr�s de ces valeurs de x*�-x, j'�j, z'�z, et r�duisant, on a

d�ou il r�sulte que la quantit� p est la distance du point 0 au point M, ou Ie rayon de courbure MO,nbsp;comme on Ie savait d�ja.

2 i. Les formules des cinq num�ros pr�c�dens renferment tout ce qui est relatif a la direction et a la courbui'e d�une ligne quelconque, plane ou a doublenbsp;courbure. Relativement a une surface quelconque,nbsp;on a aussi a consid�rer la courbure et la direction denbsp;son plan tangent; quant a sa courbure, je renverrainbsp;au M�moire que j�ai iris�r� sur ce sujet dans Ie 21� cahier du Journal de l�Ecole Polytechnique, et je nenbsp;m�occuperai ici que de ce qui concerne Ie plan tangentnbsp;et la normale.

En un point M, dont les coordonn�es sont x,j,z, l��quation du plan tangent peut �tre repr�sent�e par

x',j', z', �tant les coordonn�es courantes. Ce plan devra aussi passer partout autre pointM'de la surface,nbsp;infiniment voisin de M; il faudra done qu�on satis-fasse a cette �quation, au moyen de x'~x~\-dx,nbsp;y =f dy , z' = zdz, ou a sa difl�rentielle relative a x',j', z', en y mettant x,j,z, a la placenbsp;de ces variables. Par cons�quent, on aura

P q designant des fonctions connues de x, p, z. L�e'quation pre'ce'dente devient done

�t comme elle doit subsister pour toutes les directions de la droite MM', e�est-a-dire , pour tous les rapportsnbsp;qu�on peut �tablir entre dx et dj, i\ faudra egalernbsp;s�par�ment a z�ro les coefficiens de ces dilF�rentielles;nbsp;d�ou il r�sultera

Je tire de la les valeurs de A et B, je les substitue dans l��quation du plan tangent, et je supprime Ienbsp;facteur commun C; il vient

Si a, b, c, sont les angles que fait la normale au point M, avec les prolongemens des coordonn�es x,nbsp;7, z, on aura, d�apr�s les equations (2) du n� i '7 ,

Le radical sera positif ou n�gatif dans ces trois formules, selon que la parlie de la normale qu�on voudra consid�rer fera un angle c aigu ou obtus

avec la drolte meti�e pai� Ie point M , suivant la direction des z positives.

En appelant co T�l�ment de la surlace dont la projection sur Ie plan des Jc et j- est dccdj, on aura

selon que c sera aigu on obtus; car eet �l�ment infi-niment petit en tous sens, est compris dans Ie plan tangent dont l�inclinaison sur Ie plan des oc et y estnbsp;Tangle c ou son suppl�ment; et Ie th�or�me du n� i onbsp;convient �galement a la projection d�une surfacenbsp;plane infiniment petite. D�apr�s cela on aura

T�quation de la surface que Ton consid�re; en la dif-f�rentiant successivement par rapport a x et a on aura

Je tire de la les valeurs de p et et je les substitue dans T�quation du plan tangent qui prend la forme

^,cosb=Y^,cosc = y^^,

22. Je placerai ici une remarque qui sera ulile pour verifier ou d�duire les unes des autres les formules analogues qui i'�pondent a diff�rens axes.

Supposons que dans une question tout soit sem-blable a l��gard des trois axes des coordonn�es x, y, z. Si Ton a une e'quation X=o, relative a l�axenbsp;des X, il en existera une semblable Y==o, qui r�-pondra a l�axe desj', et une troisi�nie Z=o, relativenbsp;a l�axe des z; et ces deux autres equations Y = onbsp;et Z = o, se d�duiront de X = o , par de simplesnbsp;changemens de lettres. Or, void comment ces permutations devront s�efFectuer.

On mettra dans X toutes les quantit�s relatives a l�axe des x, 'a \a place des quantit�s analogues quinbsp;r�pondent a Taxe des j, puis celles-ci a la place denbsp;celles qui r�pondent a Taxe des z, et, enfin , cesnbsp;derni�res quantit�s a la place des premi�res, qui r�-pondaient a l�axe des x. Par cette permutationnbsp;tounuinte, on d�duira Z de X; par une secondenbsp;permutation de la m�me nature, effeclu�e sur Z ,nbsp;OU obtiendra Y; et par une troisi�me permutationnbsp;tournante, effectu�e sur Y, on retrouverait X.

Sil s�agit, par exemple, des equations (3) du n� 19, dont la premi�re r�pond a l�axe des x, lanbsp;seconde a l�axe des j-, et la troisi�me a i�axe des z ,nbsp;j��crirai sur une m�me ligne, mais en deux parties,nbsp;les coordonn�es x, z, et les angles A, |W, v, qui

leur correspondent respectivement; puls, sur une seconde ligne, je disposerai ces six quantit�s , aussi en deux parties, et dans un ordre difFe'rent, de sortenbsp;qu�on ait

Cela fait, je remplacerai dans la premi�re equation (3), cliacune des quantile's de la ligne sup�rieure par la quantit� correspondante de la ligne inf�rieure ; par cette permutation, h ne changera pas, et l�on obtiendra la troisi�me �quation (3). Je met-trai de nouveau, dans celle-ci, les quantit�s de la lignenbsp;inf�rieui�e a la place de celles qui leur correspondentnbsp;dans la ligne sup�rieure; ce qui donnera la secondenbsp;�quation (3); et en op�rant de m�me sur cette �quation , on retrouvera la premi�re �quation (3), d�ounbsp;Ton est parti.

Chacune de ces op�rations revient a un changement d�axes des coordonn�es, dans lequel on fait d�abord tourner les axes des x et des j dans leurnbsp;plan , de mani�re que l�axe des x positives viennenbsp;tomber sur l�axe des j positives, puis celui-ci surnbsp;l�axe des x n�gatives; et o� l�on fait tourner ensuitenbsp;eet axe desj^ positives, ainsi d�plac�, et l�axe des znbsp;positives, de mani�re que Ie premier vienne tombernbsp;sur l�axe des z positives, puis celui-ei sur l�axe pri-mitif des x positives; en sorte que, finalement,nbsp;chaque axe des coordonn�es positives ait pris la placenbsp;d�un autre axe des coordonn�es positives. C�est pournbsp;cela que les equations relatives aux trois axes des

coordonn�es se d�duisent rune de I�autre par de simples permutations de lettres, et sans aucun changement de signe; ce qui n�aurait pas lieu si Ton ne per-mutait pas simuitanement les trois coordonn�es et les quantit�s qui s�y rapportent de la mani�re qn�onnbsp;vient d�indiquer.

23. Voici encore une observation g�n�rale, par laquelle je terminerai cette introduction.

Les �quations que nous aurons a consid�rer renfer-meront des nombres abstraits, tels que Ie nombre tt, les logarithmes, les lignes trigonom�triques,etc.;ellesnbsp;contiendront, en outre, d�autres quantit�s de diversesnbsp;natures, qui y seront aussi repr�sent�es par des nombres exprimant leurs rapports a des unit�s choisies ar-bitrairement, pourvu que chaque unit� soit la m�menbsp;pour toutes les quantit�s d�iine m�me esp�ce. Or, ennbsp;changeant la grandeur d�une ou de plusieurs unit�s,nbsp;les nombres qui expriment les quantit�s correspon-dantes, varleront en raison inverse de cette grandeur;nbsp;et,malgr�ce changement, tout-a-fait arbitraire, lesnbsp;�quations qui les renferment devront encore subsister.nbsp;II faudra, pour cela, que leur forme remplisse cer-taines conditions, faciles a verifier dans chaque casnbsp;particulier, et qu�on appelle, dans l�acception la plusnbsp;�tendue, les conditions de Vhoinog�n�it� des quantit�s. Toute �quation qui n�y satisfera pas sera, parnbsp;cela seul. Inexacte, et devra �tre rejet�e.

hl',.

f,f,... d�signant des forces, 1,1',.des lignes,... m, m',.,. des masses, t, if,.,, des temps. Si l�on re-pr�sente par n, n', nquot;, vlquot;, des nombres abstraits, etnbsp;que l�on diminue a la fois l�unit� de force dans Ie rapport de un a ra, l�unit� lineaire dans Ie rapport denbsp;un a ra', l�unit� de masse dans Ie rapport de un a raquot;,nbsp;l�unit� de temps dans ie rapport de un a ra'quot;, lesnbsp;nombres/, �,... l,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/ra',... t, t',... devien-

gt;. �., et l��quation (ra) devra encore avoir lieu , c�est-a-dire, qu�on devra encore avoir

quels que soient ra, ra', rf. Si r�quation(ra) ren-fermait des surfaces s, s',... et des volumes v, v',... leurs dimensions devraient �tre rapport�es a la m�menbsp;unite que les lignes l,V,..., et ces quantites s, s'...

v',... deviendraient consequemment ra'�^, ra'V',... ra'V, ra'�(/',... par le changement de cette unite'.

L�equatiou du n� i8, qui donne la valeur de f, sa-tisfalt evidemment a cette condition; car elle ne ren-ferme que des lignes finies ou infiniment petites p, ds, doc, dy, dz, d^oc, dy, d�z; et quand on changenbsp;I�unite lineaire et qu�on multiplie, comme on vientnbsp;de le dire, chacune de ces lignes par un m�menbsp;nombre ra', ce nombre disparait et I�equation n�estnbsp;pas changee. Celle du m�me num�ro, d�ou depend lanbsp;valeur de cT*, satisfait egalement a la condition denbsp;rhomog�n�it�, en observant que cT�* est un nombrenbsp;abstraitqui ne change pas, non plus que cette valeur,,nbsp;avec la grandeur de I�unite lineaire.

II sera impossible que I�equation (a) ne renferme qu�une seule quantite d�une m�me esp�ce; lors-qu�elle en coatiendra deux, par exemple deux forcesnbsp;J et f, et qu�on la resoudra par rapport a Tunenbsp;d�elles, ce qui douuera

il faudra, pour I�liomogeneite des quantite's, que J soit facteur a tous les termes de la nouvelle function F,nbsp;ou, autrement dit, il faudra qu�on ait

N �tant un facteur qui ne contiendra aucune quan-tit� de la nature de � et �', et ne variera plus avec I�unite de force.

Quelquefois le principe de l�homog�n�it� des quan-tlt�s paraitra n�avoir pas lieu, paree qu�on aura pris pour unite de force Tune des forces que Ton consi-d�re dans la question, ou blen pour unite lineairenbsp;la distance de deux des points materiels dont on s�oe-cupe, ou blen pour unite de masse celle de I�un desnbsp;corps du probl�me, etc. Mais, alors, si 1�on changenbsp;arbitralrement ces unites, et que la force, la ligne,nbsp;la masse, le temps, qu�on avait d�abord pris pour unites, soient maintenant exprimes par lt;p. A, 0, lesnbsp;autres quanlites de ces ditferentes natures qui entrent

* vi� 7��'�7�quot;'

et qui devra maintenant satisfaire a la condition de l�homog�n�it� : F, indique ici une fonction qui se d�-duira, dans chaque cas, de la fonction donn�e F.

'V\\W\W'gt;'VVNgt;VV\'V\\^V\'VVV\\\/W\gt;VVgt;WX'W\'\AA'W^AA*VVWV\A'WWV^/VWW�VVgt;'VV\V\\'V\A'VV\lt;VVWV^VV\'WV

LITRE PREMIER.

STATiaUE,

PREMI�RE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

DE LA COMPOSITION ET DE L��QUILIBllE DES FORCES APPLIQU�ES A �N MEME POINT.

24. Lorsqu�un point materiel est soumis a Taction simultan�e de plusieurs forces qui ne se font pas �qui-iibre, il se ment suivant une direction d�terminee,nbsp;et Ton peut attribuer Ie mouvement qu�il prend anbsp;une force unique agissaut suivant cette direction,nbsp;Cette force est ce qu�on appelle Ia r�sultante desnbsp;forces qui ont mis Ie mobile en mouvement, et celles-ci sont nomm�es les composantes de la premi�re. Ap-pliqu�e en sens contraire de sa direction, la re'sultantenbsp;fait �quilibre aux composantes, puisqu�elle tend a im-primer au mobile un mouvement �gal et contrairenbsp;a celui qu�il recevrait de Taction simultan�e des composantes, et qu�il n�j a pas de raison, par cons�quent,nbsp;pour qu�il se meuve plut�t d�un c�t� que de Tautre.

m�me droite, et agissent dans Ie m�me sens, il suit de la notion que nous avons donn�e de la mesurenbsp;des forces fn� 5), que Ia r�sultante sera �gale a leurnbsp;somme. Si Ie mobile est sollicit� par deux forces di-rectement contraires, on d�composera la plus grandenbsp;en deux autres, dont Tune, �gale a la plus petite,nbsp;sera d�truite par celle-ci, et dont l�autre, �gale anbsp;l�exc�s de la plus grande sur la plus petite, sera lanbsp;r�sultante. On conclut de ces deux propositions quenbsp;s�il y a un nombre quelconque de composantes, di-rig�es, en partie suivant une droite, et en partienbsp;suivant son prolongement, la r�sultante sera �gale a lanbsp;somme de celles qui agissent dans un m�me sens,nbsp;moins Ia somme de celles qui agissent en sens contraire,nbsp;et qu�elle agira dans Ie sens de la plus grande somme.nbsp;Quand les deux sommes seront �gales, la r�sultantenbsp;sera nulle, et les forces donn�es se feront �quilibre.

25. II y a un autre cas dans lequel on d�termine aussi tr�s ais�ment la grandeur et la direction de lanbsp;r�sultante.

Soient MA, MB, MC (fig. 5), les directions de trois forces �gales appliqu�es au point M j supposons cesnbsp;forces comprises dans un m�me plan, et les trois angles AMB, BMC, CMA, �gaux entre eux, ou chacunnbsp;a 120�; Ie point M demeurera en �quilibre j car il n�ynbsp;aurait pas de raison pour qu�il sortit du plan des troisnbsp;forces, ni pour qu�il se mit en mouvement plut�tnbsp;dans l�un que dans l�autre de ces trois angles. Chacunenbsp;des trois forces sera done �gale et contraire a la r�sultante des deux autres. Or, si l�on prend sur les directions MA et MB de deux d�entre elles des ligncs

egales MG et MH, pour representer leurs intensile's, et qu�on ach�ve Ie losange GMHK, la diagonale MKnbsp;tombera sur Ie prolongement MD de MC; l�angle MGKnbsp;sera de 60�, comxne chacun des deux autres angles dunbsp;m�me triangle, qui sera equilateral; on aura donenbsp;MK = MG; par cons�quent la diagonale MK du losange construit sur les deux forces MG et MH repr�-sente, en grandeur et en direction, la r�sultante denbsp;, ces deux forces.

Cette proposition est comprise dans une autre que nous allons d�abord d�montrer dans Ie cas de deux forces �gales, dont les directions font unangle quelconque,nbsp;et que nous �tendrons ensuite a des forces in�gales.

26. La r�sultante de deux forces �gales coupe tou-jours en deux parties �gales Tangle compris entre leurs directions; car il n�j aurait pas de raison pour qu�ellenbsp;se rapprochat davantage de Tune de ces deux forces,nbsp;ni pour que sa direction s��cartat de leur plan plut�tnbsp;d�un c�t� que de Tautre; sa direction est done connue,nbsp;et nous n�aurons que sa grandeur a d�terminer.

Soient, pour y parvenir, MA et MB (fig. 6) les directions des composantes dont la valeur communenbsp;sera repr�seut�e par P. Soient aussi Tangle AMB,nbsp;et MD la direction de la r�sultante, de sorte qu�onnbsp;ait AMD=BMD =x. Son intensit� ne peut d�pendrenbsp;que des quantit�s P et o?; en la d�signant done par R,nbsp;nous aurons

R=/(P,x).

Dans cette equation, R et P sont les seules quantit�s dont Texpression num�rique varie avec Tunit� denbsp;lorce; d�api��s Ie principe de Thomog�n�it� des quan-

Pour cela, je m�ne arbitrairement par Ie point M les quatre lignes MA', MA'', MB', MBquot;; je suppose lesnbsp;qualre angles A'MA, Aquot;MA, B'MB, Bquot;MB, �gauxentrenbsp;eux, et je repre'sente chacun d�eux par z. Je decompose la force P dirigee suivant MA, en deux foi�cesnbsp;�gales dirig�es suivant MA' et MAquot;, c�est-a-dire quenbsp;je regarde la force P comme la r�sultante de deuxnbsp;forces �gales dont la valeur est inconnue et qui agis-sent suivant MA' et MAquot;; en d�signanl cette valeurnbsp;par Q, j�aurai

car il doit exister entre les quantit�s P, Q, la m�me relation qu�entre les quantit�s R, P, o:. Je d�comp�senbsp;de m�me la foi�ce P dirig�e suivant MB, en deuxnbsp;forces Q, dirig�es suivant MB' et MBquot;; de cette ma-ni�re, les deux forces P se trouvent remplac�es parnbsp;les quatre forces Q; par cons�quent, la r�sultante denbsp;celles-ci devra co�ncider, en grandeur et en direction, avec la force R, r�sultante des deux foi�ces P.

Or, en appelant Q' la r�sultante des deux forces Q, dirig�es suivant MA' et MB', et observant quenbsp;A'MD = B'MD = a^�z, cette force Q' sera dirig�enbsp;suivant MD, et Ton aura

Q'~Qlt;p

De m�me, la r�sultante des deux autres forces Q sera encore dirig�e suivant MD, puisque cette droitenbsp;coupe aussi l�anglenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en deux parties �gales; et

Qquot; d�slgnant cette seconde r�sultante. Les deux forces Q' et Qquot; �tant dirig�es suivant la m�me droite MD,nbsp;leur r�sultante, qui est aussi celle desquatre forces Q,nbsp;sera done �gale a leur somme; par cons�quent, onnbsp;doit avoir

et en substituant cette valeur de R et celles de Q' et Qquot; dans l��quation pr�c�dente, et supprimant Ie facteur Q commun a tous les termes, il vient

C�est cette �quation qui nous reste a r�soudre pour en d�duire l�expression de (pjc.

(x � z) = 2 cos a(a: � z); et, efi�ectivement, si l�on substitue ces valeurs dans

Or, je dis que cette expression de la fonctiou (px est la seule qui satisfasse a l��quation (i), et que denbsp;plus, dans la question qui nous occupe, la constantenbsp;a est l�unit� j en sorte que l�on a

Cela est �vident quand x~0', car alors les directions des deux forces P coincident, et la r�sultante R est �gale a aP, ce qui suppose lt;px � 2. Admet-tons qu�il y ait une autre valeur a de x, pournbsp;laquelle on ait aussi (pa = 2 cos a; je dis que l��quation (2) subsistera �galement pour toutes les va-^leurs 2�, 3a, 4�^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, de x, et

En effet, si l��quation (2) se v�rifie pour les trois angles X, z, x � z, de mani�re qu�on ait

elle aura encore lieu pour un quatri�me angle x car, en vertu de l��quation (i), on aura alors

il s�ensuit qu�elle subsiste pour a:=: sa-, ajant lieu pour x = ci et x=:3ot, elle subsistera pour a?=3a;nbsp;et, eu continant de m�me, on verra qu�elle aura lieunbsp;pour oc = ma,.

et de la on conclura que l��quation (2) aura encore lieu pour jc = ^ �; car en faisant x =� z ~ �, l�e-quation (i) deviendra

((P I ^)* = 2 cos ^ ^ 2 , (p i � = 2 cos i ^; et, en continuant ainsi, l��quation (2) sera d�mon-tree pour x �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c�est-a-dire, pour toutes les va-

Or, les nombres m et n �tant aussi grands qu�on �voudra, et pouvant m�me devenlr infinis, on peulnbsp;faire croitre ces valeurs de x par degr�s infinimentnbsp;petits.La formule (3) comprend done toutes les valeursnbsp;possibles de Tangle x, et T�quation (2) est compl�-tement d�montr�e, si toutefois elle est vraie pournbsp;une valeur particuliere x = a , diff�rente de z�ro.nbsp;Mais, d�apr�s Ie tb�or�me du nquot; 25, la r�sultante Rnbsp;est �gale a P, dans Ie cas de x � 60� ; on a donenbsp;t.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4

done l��quation (2) a lieu pour x = 6o�, et conse-quemment pour toules les valeurs de x.

Si done la r�sultante R et les deux composantes P sont r�pr�sent�es, comme dans Ie n� sS, par desnbsp;droites prises sur leurs directions respectives, a par-tir de leur point d�application, la force R sera Ienbsp;double de la projection de P sur sa direction, ounbsp;�gale a la diagonale du losange construit sur lesnbsp;deux forces P.

Soient maintenant deux forces in�gales P et Q, appliqu�es au point M ( fig. 7 ) suivant les directionsnbsp;MA et MRj repr�sentons leurs inteusit�s par lesnbsp;lignes MG et MH, prises sur leurs directions, etnbsp;aebevons Ie parall�logramme MGKH : il y aura deuxnbsp;cas a consid�rer, Ie premier oii 1�angle AMB sera di�oit,nbsp;Ie second o� il sera aigu ou obtus.

Dans Ie premier cas, tirons les deux diagonales MK et GH qui se coupent au point L; par les pointsnbsp;G et H, menons les parall�les GN et HO a ML, quinbsp;rencontrent en N et 0 la parall�le a GH, men�e parnbsp;Ie point M. Le point L est Ie milieu de MK et denbsp;GH; et comme, dans un rectangle, les deux diagonales sont �gales, il s�ensuit qu�on a

done des losanges; par consequent, d�apr�s la proposition pr�c�dente, la force MG pourra �tre regard�e conime la r�sultante des deux forces MN et ML, etnbsp;la force MH comme la r�sultante de MO et ML.nbsp;Done, en substituant aux deux forces donn�es leursnbsp;composantes, nous aurons, au lieu de MH et MG ,nbsp;les deux forces MN et MO, qui se d�truisent, puis-qu�elles sont �gales et contraires, et les deux forcesnbsp;ml, qui s�ajoutent et donnent une r�sultante repr�-sent�e en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Dans Ie second cas, menous par les points G et H (fig. 8) les perpendiculaires GE et HF a la diagonale MK, et les parall�les GN et HO a cette m�menbsp;droite; par Ie point M, menons aussi la perpendiculaire NMO a cette droite MK. IjCS deux parall�lo-graranies GEMN et HFMO seront des rectangles quinbsp;auront leurs c�t�s MN et MO �gaux, comme �tantnbsp;les hauteurs des deux triangles �gaux GMK et HMK.nbsp;D�apr�s ie premier cas, on pourra remplacer les forcesnbsp;mg et MH par leurs composantes reclangulaires MEnbsp;et MN , MF et MO; au lieu des deux forces donn�es,nbsp;On aura done les deux forces MN et MO, qui se d�-truiront, comme �tant �gales et conti�aires, et lesnbsp;deux forces ME et MF de m�me direction, qui s�a-jouteront et donneront, a cause de ME = FK, uocnbsp;resultante repr�sent�e en grandeur et en directionnbsp;par la diagonale MK.

Concluons done que la r�sultante de deux forces quelconques, appliqu�es en un m�me point et repi��-sent�es par des lignes prises sur leurs directions a

partir de ce point, est repre'sent�e, en grandeur el en direction, par la diagonale du parallelogram menbsp;construit sur les deux forces donne'es.

29. Voici les consequences qui se d�duisent Ie plus imm�diatement de ce th�or�me.

On Yoit d�abord que toutes les questions qu�on peut proposer sur la composition de deux forces ennbsp;une seule et sur la decomposition d�une force en deuxnbsp;autres, sont ramen�es a la resolution d�un triangle.nbsp;En effet, les grandeurs de la re'sultante et des deuxnbsp;composantes sont repr�sent�es par les ti�ois c�t�snbsp;MK, MG, GK, du triangle MGK; et les trois anglesnbsp;de ce triangle sont ceux que fait la resultante avecnbsp;chacune des composantes et Ie supplement de Tanglenbsp;compris entre les deux composantes. II s�ensuit donenbsp;que trois de ces six choses, les trois forces et les troisnbsp;angles compris entre leurs directions, �tant donn�es,nbsp;on trouvera les trois autres en r�solvant Ie ti�ianglenbsp;MGK; ce qui suppose une force au moins au nom-bre des donn�es. Par example, soient P et Q lesnbsp;valeurs des deux composantes, et m Tangle compi'isnbsp;entre leurs directions ; on demande leur r�sultante Rnbsp;et Tangle oc qu�elle fait avec la force P. On auranbsp;d�abord T�quation

pour determiner la valeur de R j et celle de x se d�-duira de cette proportion .-

pliqu�es en un m�nie point M (fig. 9), suivant les directions MA, MB, MC, il faut que chacune de cesnbsp;forces soit �gale et directement oppos�e a la r�sultante des deux autres; et comnie cette r�sultante estnbsp;comprise dans Ie plan de ces deux forces, il s�ensuitnbsp;d�abord que les trois forces donn�es doivent aussinbsp;�tre dans un in�me plan. Soit MD Ie prolongementnbsp;de MC; la r�sultante de P et Q sera dirig�e suivantnbsp;Md, et si on la repr�sente par R, on aura R = S.nbsp;D�ailleurs, en comparant la force R a chacune de sesnbsp;composantes, on a, d�apr�s ce qu�on vient de dire,

ce qui montre que quand trois forces sont en �qui-libre autour d�un m�me point, la grandeur de cha-cune d�elles peut �tre repr�sent�e par Ie sinus de ^�angle compris entre les dii'ections des deux autres.

Du point 0, pris sur la direction de la r�sultante If OU sur son prolongement, j�abaisse des perpen-diculaires OE et OF sur les directions des composantes P et Q; on aura

en sorte que les composantes sont en raison inverse des perpendiculaires abaiss�es sur leurs directions,nbsp;d�un point quelcotique appartenant a la direction denbsp;la r�sultante. R�ciproquement, si les composantesnbsp;P et Q sont en raison inverse des perpendiculairesnbsp;OE et OF, abaiss�es sur leurs directions, d�un pointnbsp;0 pris dans leur plan, ce point appartiendra a lanbsp;direction de la r�sultante; car, en divisant par MOnbsp;les deux derniers termes de la derni�re proportion,nbsp;on obtient la pr�c�dente, qui d�termine cette direction.

5o. La r�sultante de deux forces �tant connue, il est ais� d�en d�duire celle d�un nombre quelconquenbsp;de forces appliqu�es a un m�me point et situ�es ounbsp;non situ�es dans un m�me plan. On prendra d�abordnbsp;la r�sultante de deux de ces forces; ensuite, on com-posera cette r�sultante avec une troisi�me force, cenbsp;qui donnera une seconde r�.sultante, que l�on com-posera de m�me avec une quatri�me force; et l�onnbsp;continuera de m�me jusqu�a ce qu�on ait�puis� toutesnbsp;les forces donn�es. Dans cette construction, il est ais�nbsp;de volr que si les grandeurs de toutes les forces sontnbsp;repr�sent�es par les c�t�s d�une portion de polygone,nbsp;parall�les a leurs directions et trac�s dans Ie sens denbsp;leurs actions, la r�sultante sera repr�sent�e, en gran-

deur et en direction, par la drolfe qui joindra les deux exfi��niit�s de cette ligne bris�e et fermera Ienbsp;polygone. li�ordre dans lequel les c�t�s parall�les auxnbsp;forces se succ�deront sera indiff�rent. Quand Ie polygone se fermera de lui-m�me, la r�sultante seranbsp;nulle, et les forces donn�es se feront �quilibre.

11 suit de la que quand les forces donn�es sont au nombre de trois, non situ�es dans un m�me plan,nbsp;leur r�sultante est, en grandeur et en direction, lanbsp;diagonale du parall�l�pip�de dont ces trois forces sontnbsp;les c�t�s adjacens.

3 i. On peut effectuer d�une mani�re plus simple cette reduction d�un nombre quelconque de forces anbsp;une seule, en consid�rant d�abord Ie cas particuliernbsp;de trois forces rectangulaires, auquel on ram�ne en-suite Ie cas g�n�ral.

Soient X, Y, Z, les trois composantes, R leur r�sultante, a, h, e, les angles qu�elle fait avec X, Y, Z. D�apr�s ce qu�on vient de voir, R est la diagonalenbsp;du parall�l�pip�de dont X, Y, Z, sont les trois c�t�s adjacens j or, ce parall�l�pip�de �tant rectangle,nbsp;11 s�ensuit qu�on aura

n s�ensuit aussi que si 1�on joint l�extr�mit� de la diagonale R a celles des trois c�t�s X, Y, Z, on for-mera trois triangles rectangles, dont R sera 1�hypo-t�nuse commune; d�o� l�on conclura

Lorsque les coniposantes X, Y, Z, seront don-ii�es, l��quation (a) fera connaitre la valeur de la r�sultante, et les equations (b) en d�termineront lanbsp;direction au moyen des trois anglesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c ; si, au

contraire, la force R est donn�e, et qu�il s�agisse de la decomposer en trois forces rectangulaires X, Y,nbsp;Z, qui fassent avec elle des angles donn�s a, b, c,nbsp;les valeurs des forces demand�es seront imm�dia-tement d�termin�es par les equations (b).

Si Tune des composantes, la force Z par exemple, est nulle, R n�est plus la r�sultante que des deuxnbsp;forces X et Y; elle est comprise dans leur plan, etnbsp;sa direction depend seulement des deux angles a et b.nbsp;Ces angles et la valeur de R sont alors determinesnbsp;par les �quations

Ba. Supposons actuellement que M (lig. iquot;) soit Ie point d�application d�un nombre quelconque denbsp;forces donn�es. Repr�sentons ces forces par P, P',nbsp;Pquot;, etc.; et, pour fixer les idees, supposons que lanbsp;droite MD soit la direction de la force P. Les directions des autres forces sont inutiles a indiquer dansnbsp;la figure. Soient a, �, y, les angles que fait la direction MD avec les trois axes rectangulaires MA, MB,nbsp;MC, men�s arbitrairement par Ie point M. D�.signonsnbsp;de m�me par �', y', les angles que fait la force P'

avec ces m�mes axes; par af, �quot;, y , ceux qui r�pondent a la force Pquot;; etc. Tous ces anglesnbsp;sont donn�s et doivent s��tendre depuis z�ro jus-qu�a i8o� (n� y), afin que les forces P, P', Pquot;, etc.,nbsp;paissent avoir toutes les positions possibles autournbsp;du point M.

D�composons chacune de ces forces en trois autres di-rige'es suivant les axes MA, MB, MC. Les composantes de la force P seront P cos a, P cos �, P cos -y; cellesnbsp;de la force P' seront P'cosa', P'cos�', P^ cos^; etc.;nbsp;et ces composantes agiront suivant les axes ou suivant leurs prolongemens, selon qu�elles seront positives OU negatives. Par exemple, la direction MDnbsp;tombant, ainsi que l�axe MC, au-dessus du plannbsp;AMB des deux autres axes, la composante P cos ynbsp;de la force P tend a �lever Ie point M, c�est-a-direnbsp;qu�elle agit suivant MC; et, dans ce cas, P cos ynbsp;est une quantit� positive, puisqu�on a y go�.nbsp;Au contraire, si cette direction MD tombait au-dessous du plan AMB, on aurait y go�; la composante P cos^ serait negative, et, en m�me temps,nbsp;elle tendrait a abaisser Ie point M, c�est-a-dire qu�ellenbsp;agirait suivant Ie prolongement de MC. En ayantnbsp;done �gard aux signes des composantes , on voit,nbsp;d�apr�s ce qu�on a dit dans Ie n� 24, que toutesnbsp;les forces dirig�es suivant un m�me axe et son prolongement se r�duisent a une seule, �gale a leurnbsp;somme.

De cette mani�re, les forces donn�esP, P^ P^^ etc., seront remplac�es par trois forces rectangulaires; etnbsp;en d�signant celles-ci par X, Y, Z, on aura

Les valeurs de X, Y, Z, pourront �tre positives ou negatives, et leurs signes feront connaitre Ie sens denbsp;leur action. Si la force X est positive, c�e.st qu�ellenbsp;agit suivant l�axe MA ou dans Ie sens des compo-santes Pcosa, P'cosa', etc., qui sont positives - sinbsp;elle est negative, il en faut conclure qu�elle agit suivant Ie prolongement de MA ou dans Ie sens des coin-posantes negatives; et de m�me pour les forces Y et Z.

Cela pos�, soit R la r�sultante des forces donn�es P, P', Pquot;, etc., OU des trois forces X, Y, Z; soientnbsp;aussi a,b,c, les angles que sa direction inconnue faitnbsp;avec les axes MA, MB, MC. Les valeurs de R, a,nbsp;b, c, seront donn�es par les equations (a) etnbsp;dans lesquelles on mettra les formules (c) a la placenbsp;de X, Y, Z. Les angles a, b, c, pourront �tre aigusnbsp;ou obtus; a cause que la force R doit toujours �trenbsp;une quantit� positive, les signes de leurs cosinus seront les m�mes que ceux des quantit�s X, Y, Z, ennbsp;vertu des e'quations (b). De cette mani�re, la force Rnbsp;sei�a compl�tement d�termin�e en grandeur et en direction.

53. La grandeur de la r�sultante R ne saurait d�-pendre de la direction arbitraire des axes MA, MB, MC ; elle depend seulement de la grandeur des forcesnbsp;donn�es et des angles coinpris entre leurs directions;nbsp;et, en effet, on en peut trouver une expression quinbsp;ne contienne que ces quantit�s.

P�ur cela, d�signons par PMP', PMPquot;, P'MPquot;, etc., les angles compris entre les directions des forces Pnbsp;et P', P et Pquot;, P' et Pquot;, etc. D�apr�s 1��quation (2)nbsp;du n� g, nous aurons

cos PMP' = cos a cos a' -{- cos � cos C' -!- cos y cos y', cos PMPquot;= cos fit cos fitquot; cos � cos �quot;-i~ cos y cos yquot;,nbsp;COsP'MP'sr: cos fit'cos fitquot;-f-COS �'cos �quot;-f-cos ^'cos yquot;,nbsp;etc.

cos� a -f- cos* � -f- cos� y z= i, cos� at' -f- cos�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos* y' = I ,

et, cela �tant, si l�on ajoute les carr�s des formules (c), et qu�on ait �gard a l��quation (a), il vient

R* = P* 4- F� 4- Pquot;� 4- etc.

34. On d�dult aussi des equations (b) et (c) uue propri�t� de la r�sultante, qui nous sera utile dansnbsp;un des num�ros suivans.

Dans uiTe direction quelconque, je m�ne par Ie point M une droite, dont j�appelle 0 l�autre extr�-mit�. Soient b, k, les angles AMO, BMO, CMO,nbsp;que cette droite fait avec les trois axes MA, MB,nbsp;MC. D�signons par RMO, PMO, P'MO, etc,, les an-

gles compi�is entre cette m�me droite MO et les directions des forces R, P, P', Pquot;, etc.; on aura, comme tout a l�heure,

cos RMO = cos g- cos a -j- cos Ji cos b -f- cos k cos c, cos PMO = cos g cos OL -j- cos h cos amp; -f- cos k cos y,nbsp;cos P'MO = cos g cos a'-|- cos h cos Q'-\- cos k cos y',nbsp;etc.

et, en vertu des formules suivantes, si Ton ajoute les equations (c) apr�s les avoir niultipli�es, la premi�re par cos g, la deuxi�me par cos b, la troi-si�me par cos k, il en r�sultera

ce qui montre d�ja que la composante de la r�sultante R, suivant une direction quelconque MO, est �gale a la somme des composantes de P, P', Pquot;, etc.,nbsp;suivant cette m�me direction.

Cela pos�, je projette la droite MO sur les directions des forces R, P, P', Pquot;, etc.; j�appelle r, p, p', pquot;, etc., ses projections, de sorte qu�on ait

en consid�rant chacune des quantit�s r, p, p', pquot;, etc., comme positive on comme n�gatlve, se-lon que la projection qu�elle repr�sente tombe sur

la direction m�me de la force ou sur son prolon-gement. Si done on multiplie par MO l�equation pre'c�dente, on aura

ce qui renferme la propri�t� de la r�sultante qu�il s agissait de d�montrer.

35. Pour que les forces P, P', Pquot;, etc., soient en �quilibre, il suffit que leur r�sultante R soit nulle,nbsp;et cette condition est n�cessaire si leur point d�ap-pllcatioii M est enti�rement libre; mais P�quationnbsp;R = o, ou

ne peut avoir lieu, a moins qu�on n�ait s�par�ment X=:o, Y=:o, Z = o,nbsp;c�est-a-dire, en vertu des equations (c),

Telles sont done les �quations d��quilihre dun point mat�riel qu�on suppose enti�rement libre.nbsp;Pans eet �tat, chacune des forces qui Ie sollicitentnbsp;doit �tre �gale et directement contraire a ia r�sultante de toutes les au tres; c�est, en effet, ce qu�il estnbsp;aise de verifier.

Soit R' la r�sultante des forces P', Pquot;, etc. Appe-lons al, h', c', les angles qu elle fait avec les axes Ma, MB, MC, et faisons, pour abr�ger.

X' � R' cos a', Y' � R' cos b', Z' � R' cos c', et j)ar consequent, en vertu des equations d equilibre,nbsp;P cos a = � R' cos a',

En ajoutant ces equations, apr�s avoir �lev� leurs deux membres au carr�, on a

on aura done P = dbR'; mais comme ces forces doi-vent �tre toutes deux des quantit�s positives, il faut prendre P = R'. Les equations pr�c�dentes devien-nent alors

par cons�quent, les angles x, C,y, sont suppl�mens de a', b', c', et r�pondent a une force dont la direction est Ie prolongement de la force R' ( n� 7).nbsp;II s�ensuit done que la force P est �gale et directe-ment oppos�e a la r�sultante R' de toutes les autresnbsp;forces P', Pquot;, etc.; ce qu�il s�agissait de v�rifier.

56. Si Ie point M, auquel sont appliqu�es les forces P, P', Pquot;, etc., est assujetti a raster sur unenbsp;surface donn�e, il ne sera plus n�cessaire, pour l��-quilibre, que leur r�sultante soit nulle; il suftiranbsp;qu�elle soit normale a la surface, puisqu�alors ellenbsp;ne pourra faire glisser Ie point M dans aucun sensnbsp;sur cette surface; et, de plus, cette condition seranbsp;n�cessaire; car si elle n��tait pas remplie, la r�sultante se d�composerait en deux forces. Tune normalenbsp;a la surface et qui serait d�truite, l�autre tangentc etnbsp;que rien n�emp�cherait de faire glisser Ie mobile. Onnbsp;n�aurait done qua chercher, dans chaque cas, la direction de la r�sultante des forces P, P', Pquot;, etc., etnbsp;a examiner si elle est perpendiculaire a la surfacenbsp;donn�e, pour say oir si 1��qnilibre existera; mais ilnbsp;vaut mieux, comme nous venons de Ie faire pour unnbsp;point libre, exprimer les conditions de l��quilibre parnbsp;des equations entre les donn�es de la question.

Or, la composante normale de chacune des forcesqui agissent sur Ie point M est d�truite par lar�sistance denbsp;la surface ; par cons�quent, cette r�sislance �quivautnbsp;a une force �gale et contraire a la totalil� des forcesnbsp;d�truites. On concoit done que I on peut faire abstraction de la surface donn�e , et consid�rer Ie pointnbsp;mat�rie! comme enti�rement libre, pourvu que 1�onnbsp;joigne aux forces donn�es P, P', Pquot;, etc., une nouvelle force de grandeur inconnue et perpendiculairenbsp;a cette surface.

Soient done N cette force, et A, ^, v, les angles que sa direction fait ayec les axes MA, MB, MC; cha-tune des equations d��quilibre qu�on vient de trouver

sera augment�e d�un nouveau terme, de sorte qu�au-lieu des equations (e), on aura

NcosA Pcostt-j-P'cosa' Pquot;cosaquot;-f-etc. =o, I N cos^H- Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ P' cos �' -4- Pquot; cos ^quot;-4- etc.=o, gt; (�)

Je d�signe par x ,f, z, les trois coordonn�es de M rapport�es a des axes parall�les a MA, MB, MC , etnbsp;par L = o l��quation de la surface donn�e; la direction de la force N �tant, par hypothese, celie de lanbsp;normale au point M, on aura, d�apr�s les equations (5)nbsp;du n� 21,

v=�[a)' (f)� 0T-

Le signe de V sera inconnu, paree qu�on ne sait pas d�avance suivant quelle partie de la normale doit �trenbsp;dirig�e la force N; mais V disparait lorsqu�on �li-mine N entre les equations (�) ; et si Pon a e'gardnbsp;aux formules (c) , on trouve

pour les deux equations n�cessaires et sulFisantes de 1��quilibre d�un point materiel assujetti a demeurernbsp;sur une surface donn�e.,

57. Si la position de ce point sur cette surface Pest pas conaue, les �quations {�), jointes a l��qua-

*iou donn�e L = o, serviront a determiner les coor-^ donne'es des diflerens points de cette surface, o� Ienbsp;mobile pourra demeurer en e'quilibre. Lorsque sanbsp;position sera donne'e, on aura seulement a verifier sinbsp;les coordonn�es sc, j, z, des points d'application desnbsp;forces donn�es satisfontaux equations (g). Mais, dansnbsp;Ce cas, on aura des equations plus simples en faisantnbsp;co�nciderTun des axesMA, MB, MC, Ie premier, parnbsp;exemple, avec l�une des deux parties de la normale;nbsp;d�ou il r�sultera

cos A = � I , cos fjt. = o , cos )) = o ; ce qui change les equations (��) en celles-ci :nbsp;i N P cos a P' cos a' Vquot; cos a,quot; -f- etc. = O,nbsp;P COS ^ 4- P' cos �' 4- Pquot; COS �quot; etc. =: o,nbsp;P cos ^ P' cos y' Pquot; cos y� 4 etc. = o.

Ces deux derni�res equations font voir, ce qui est d�ailleurs �vident, que dans Ie plan tangent a la surface donn�e, les composantes des forces appliqu�esnbsp;au mobile doivent se faire �quilibre , comme si cettenbsp;surface n�existait pas.

La resistance N, que la surface oppose aux forces P, P', Pquot;, etc., est �gale et contraire a lapression qu�ellenbsp;en �prouve. Ea vertu des �quations (�), cette pression , dans l��tat d��quilibre, est la r�sultante m�menbsp;de ces forces. Dans la pratique , il en faudra calculernbsp;la grandeur au mojen de lequation (a) , pour savoirnbsp;si la surface est capable de la supporter. Si Ie mobilenbsp;est seulement pos� sur cette surface, qui sera cellenbsp;dun corps solide, il faudra, de plus, que Ie sens denbsp;cette pression soit tel qu�elle appuie Ie mobile sufnbsp;�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5

En effet, supposons, pour fixer les idees, que Ia partie de la normale avec laquelle on a fait co�ncidernbsp;i�axe MA, soit la partie situ�e dans la concavit� denbsp;la surface. On saura si les angles donn�s a, a', aquot;, etc,,nbsp;sont aigus ou obtus; et Ie signe de la somme X desnbsp;composantes dirige'es suivant cette droite sera connu.nbsp;La quantit� N devant �tre positive, il faudra, dansnbsp;l��quation dont il s'agit, c�est-a-dire ,

prendre Ie signe � ou Ie signe - - devant N, selon que la somme X sera positive ou negative. Dans Ienbsp;premier cas, on aura cos A = � i , et la pressionnbsp;contraire a N sera dirig�e suivant MA; dans Ie second cas, on aura cosA= i, et la pression agiranbsp;suivant Ie prolongement de cette partie d�termin�enbsp;de la normale.

38. Lorsque Ie point materiel M sur lequel agissent les forces P, P', Pquot;, etc., sera assujetti a rester surnbsp;deux surfaces donn�es ou sur leur courbe d�intersec-tion, il suffira, pour lequilibre, que la r�sultantenbsp;de toutes ces forces puisse se decomposer en deuxnbsp;foi'ces perpendiculaires aux surfaces donn�es, et quinbsp;seront d�truites par leurs resistances. En joignantnbsp;done aux forces P, P^ etc., deux forces nor-

niales a ces surfaces, raais inconnues en grandeur, On pourra faire abstraction des surfaces, et consid�-rer Ie mobile comme enti�rement libre.

N et N' �tant done ces nouvelles forces; x, fz, v, les angles qui de'terminent la direction de N par rapport aux axes MA, MB, MC, et A', fz', v', ceux quinbsp;d�terniinent de menie la direction de N'j les equations (e) deviendront

N cos/LZ N'cos ju'-f- P cos � P'cos �'-f- etc.= O, gt; (k) N cos r -j-N'cos /P cos ^-f-P'cos j/'Hh etc,=o.'

D�ailleurs, en representant par jc, j, z, les coor-donn�es du point M rapport�es a des axes parall�les a MA, MB, MC, et par L = o et L' = o, les equations des deux surfaces donn�es, les valeurs de cos A,nbsp;cos./A, cos V, seront les m�mes que prec�demment,nbsp;et celles de cos A', cos fz', cos v', s�en d�duiront en ynbsp;changeant L en L'. Si Pon substitue ces valeurs dansnbsp;les trois equations (h), et qu�on �limine ensulte N etnbsp;N' entre elles, on aura l�equation d��qullibre a la-quelle devront satlsfaire les forces donn�es P, P',nbsp;Pquot;, etc.; OU bien, si la position du mobile n�est pasnbsp;donn�e sur Pintersection des deux surfaces, cettenbsp;equation d��quillbre, et les equations L=o et L'=:o,nbsp;d�termineront ses trois coordonn�es a:, j, z.

Quand la position du mobile est donn�e sur la courbe ou il doit rester, on obtient imm�diatementnbsp;1��quation d��quilibre des forces P, P', Pquot;, etc., ennbsp;prenant les axes MB et MC, auxquels r�pondent l�snbsp;angles fz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C', etc. ,v,y, y', etc., dans Ie plan des

normales aux deux surfaces donn�es. Le troisi�me axe MA tombe alors sur la tangente a leur courbenbsp;d�intersection; il est done perpendiculaire aux forcesnbsp;normales N et N'; en sorte que l�on a A = 90�,nbsp;A' = 90�, et, en vertu de la premi�re equation (h),

Cette equation expiime que la somme des compo-santes de P, P', Pquot;, etc., tangentes a l�inlersection des deux surfaces donn�es , est �gale a z�ro; ce qui est,nbsp;en effet, la condition pour que le point M ne puissenbsp;pas glisser sur cette courbe. Apr�s s��tre assur� qu ellenbsp;est reraplie, on d�terminera les valeurs des forces Nnbsp;et N', et le sens dans lequel elles agissent, au mojennbsp;des deux derni�res equations (/i). Si l�on prend en-suite des forces �gales et contraires a N et N', et qu�onnbsp;les r�duise a une seule par la regie du parall�lo-gramme des forces, celle-ci sera la r�sultante desnbsp;forces P, P', Pquot;, etc., et fera connaitre la pressionnbsp;exerc�e sur la courbe donn�e, a laquelle elle seranbsp;perpendiculaire.

3g. Par ce qui pr�c�de, on voit que quand le mobile est astreint a demeurer sur une courbe donn�e, il n�j a qu�une �quation d��quilibre; qu�il y en anbsp;deux lorsqu�il peut se mouvoir sur une surface donn�e , et trois lorsqu�il est enti�rement libre; en sortenbsp;que le nombre de ces �quations augmente, commenbsp;cela doit �tre effectivement, a mesure que les mou-vemens possibles du mobile sont moins limit�s. Cesnbsp;diverses equations peuvent �tre renferm�es dans une

seule formule , qui deviendra, par la suite, 1��qua-tion g�n�rale de l��quillbi�e, applicable a un syst�me quelconque de points mat�riels.'

Pour obteriir cette formule, supposons que Ie mobile soit transport� d�un point M, qu�il occupe dans sa position d��quilibre, en un autre point 0 infini-ment voisin de M, et tel que ce d�placement soitnbsp;compatible avec la condition a laquelle Ie mobile estnbsp;assujetti, s�il n�est pas enti�rement libre. D�signousnbsp;par r, p, p', pquot;, etc., les projections de la droite in-finiment petite MO sur les directions des forces R,nbsp;P, P', Pquot;, etc., dans la premi�re position du mobile;nbsp;et consid�rons chacune de ces projections commenbsp;une quantit� positive ou n�gative, selon qu�ellenbsp;tombe sur la direction m�me de la force a laquellenbsp;elle r�pond, ou sur son prolongement. Si I on suppose que la force R soit la r�sultante des forces P,nbsp;P', Pquot;, etc., Ie produit Rr sera toujours nul dans Ienbsp;cas de r�quilibre : il sera nul pour un point mat�rielnbsp;enti�rement libre, paree qu�alors la r�sultante R devranbsp;�tre �gale a z�ro; il Ie sera encore pour un point assujetti a demeurer sur une surface ou sur une courbenbsp;donn�e, paree que, d�une part, la force R devra �trenbsp;dirig�e suivant la normale, et que, d�un autre c�t� ,nbsp;la droite infiniment petite MO appartiendra au plannbsp;tangent ou a la tangente, ce qui rendra nulle sa projection r sur la direction R. D�apr�s l��quation {d),nbsp;qu�on a d�montr�e pr�c�demment, et qui a �gale-ment lieu quand la droite MO est infiniment petite ,nbsp;on aura done

toutes les fois que les forces P, P', Pquot;, etc., se fe-ront �quilibre. R�ciproquement, Tequilibre existera quand cette equation aura lieu pour tons les d�place-mens possibles d�un point materiel enti�rement libre,nbsp;OU astreint a rester sur une surface ou sur une courbenbsp;donn�e.

On appelle vitesse virtuelle d�un point materiel en �quilibre toute droite infiniment petite, telle quenbsp;MO, qu�on peut lui faire d�crire, en observant lesnbsp;conditions auxquelles il peut �tre assujetti; et Ienbsp;principe d��quilibre contenu dans l��quation qu�onnbsp;vient d��crire, sur lequel nous reviendrons par lanbsp;suite, se nomme Ie principe des vitesses virtuelles.nbsp;En l�appliquant successivement a un point materielnbsp;enti�rement libre, assujetti a rester sur une surface,nbsp;astreint a demeurer sur une courbe, on retrouveranbsp;saus difficult� les equations d��quilibre que nousnbsp;avons pr�c�demment obtenues. Chacune des equations (e) se d�duira de la formule (i), en prenantnbsp;pour MO Ie d�placeraent de M sur l�un des axesnbsp;MA, MB, MC; on obtiendra les �quatious d��quilibre qui ont lieu dans Ie cas d�un point assujettinbsp;a rester sur une surface donn�e, en consid�rant sesnbsp;d�placemens suivant deux axes ti'ac�s dans Ie plannbsp;tangent; et la formule (i) fournit imm�diatementnbsp;l��quation d��quilibre d�un point astreint a resternbsp;sur une courbe donn�e, en prenant pour MO l��-l�ment de cette courbe, et pour p, p', pquot;, etc.,nbsp;les projections de eet �l�ment sur les directionsnbsp;des forces P, P', Pquot;, etc. Les angles que ces directions font avec la tangente a la courbe �tant a,,

en supprimant Ie facteur MO commun a tous les termes de l��quation (i), il en r�sultera

(V\'MVVXAA'\'VV\�VVgt;Wgt;iVV\iWV\/V^XV\ VV\'WVVV^'VV^'VWVXVWWV'^^lt;V^W^'VV\lV\^lVV^�W^^^'\V^'VV^VV^/VV\A/WV\^

CHAPITRE II.

40. On consid�rera ici un levier comme une ligne droite Ou courbe ECF (fig. 10) inextensible, et denbsp;forme invariable, qui ne peut que tourner, dans unnbsp;plan, autour d�un de ses points C suppose fixe, quenbsp;i�on appelle Ie point d�appui du levier. Ordinaire-ment il n j a que deux forces qui soient applique'esnbsp;a cette machine, et dont Tune a pour objet de tenirnbsp;l�autre en �quilibre; la premi�re s�appelle Ia puissance, et la seconde la resistance. Mals, pour plus denbsp;g�n�ralit�, nous supposerons qu�un nombre quel-conque de forces dirig�es dans Ie plan du levier agis-sent en diff�rens points de cette ligne; et il s�agira denbsp;trouver les conditions de leur �quilibre.

Je ne me propose pas, dans eet ouvrage, d�appli-quer aux diverses machines les lois de i��quilibre qui y seront expos�es. Pour ce qui regarde les machinesnbsp;simples, je renverrai aux Trait�s �l�mentaires denbsp;Statique ; mais la loi de l��quilibre dans Ie leviernbsp;�tant un principe de la M�canique, il est n�cessairenbsp;de nous en occuper; et Ton va monti�er comment cenbsp;principe est li� a celui de la composition des forcesnbsp;qui agissent sur un point isol�.

4i- Lorsque plusieurs forces sont appliqu�es a un corps qu�on suppose de forme invai�iable, on peut

transporter Ie point d�application de chacune de ces forces en un autre point du corps pris sur sa direction OU sur son prolongement. Si une force donn�e Pnbsp;agit, par exemple, a Textr�mit� E du levier, suivant lanbsp;droite AE, et que M soit un autre point appartenantnbsp;a cette direction, qu�on suppose lie au levier d�unenbsp;niani�re invariable, il est permis de remplacer lanbsp;force P par une autre force de m�me intensit�, agis-sant au point M suivant la droite MA. En effet, onnbsp;peut d�abord appliquer au point M deux forces �galesnbsp;entre elles, agissant en sens contraires. Tune suivantnbsp;MA, 1 autre suivant son prolongement MA'; si, denbsp;plus, on suppose que chacune de ces forces soit egalenbsp;a P, celle qui agit suivant MA' de'truira Ia force Pnbsp;appliqu�e au point E suivant EA, puisque ces deuxnbsp;forces �gales agissent en sens contraires aux extr�mi-t�s de la droite ME, de longueur invariable, par hypothese ; il ne restei�a done plus que la force P agissant au point M dans la direction MA, et par laquellenbsp;la force donn�e P, qui agissait au point E, se trou-vera remplac��.

Les forces agissent souvent sur les corps qu�elles mettent en mouvement ou qu�elles tendent a mou-voir, soit en les tirant par Ie moven d�un fil quinbsp;leur est attach�, soit en les poussant par Ie moyennbsp;d�une barre appuy�e contre leur surface. Ce fil ounbsp;cette barre s��tend ou se contracte plus ou rooins;nbsp;eest quand ils ont cess� de s�allonger ou de se rac-courcir qu�on les consid�re comme des lignes inva-i'iables qui repr�sentent la direction de chaque force,nbsp;dont 1 action est la m�me alors que si olie s�exer-

caitimni�diatement aux points de la surface du mobile OU ces lignes viennent aboutir. TJn levier n�esl pas non plus, comme on Ie suppose ici, une lignenbsp;de forme invariable; c�est une barre qui fl�cbit unnbsp;tant soit peu, et s��tend ou se contracte aussi d�unenbsp;petite quantit�, en raison des forces qui y sont ap-pliqu�es. La forme qu�il dolt prendre serait tr�s difficile a determiner d�avance j mais c�est quand il ynbsp;est parvenu qu�on le considere comme invariable,nbsp;et c�est a cette figure, tr�s peu diff�rente de sa formenbsp;naturelle, que se rapporteront les conditions d�equi-libre qu�il s�agit de trouver.

42. Supposons qu�une seconde force Q agisse a I�autre extr�mit� F du levier, suivant la droite FB,nbsp;et que les deux directions EA et FB soient comprises dans le plan ou le levier peut tourner; cesnbsp;deux droites, ou leurs prolongemens, viendront senbsp;couper en un certain point M, que Ton pourranbsp;prendre, d�apr�s ce qu�on vient de prouver, pournbsp;le point d�application commun a P et Q. Cela �tant,nbsp;par la regie du parallelogramme des foi'ces on d�-terminera la r�sultante de ces deux forces, de la-quelle M sera aussi le point d�application. Or, pournbsp;qu�elle soit detruite et que le levier demeure ennbsp;e'quillbre, il sera n�cessaire que sa direction viennenbsp;passer par le point d�appui C; et cela suffira, puis-qu�en y transportant cette r�sultante, elle sera d�-truite par la r�sistance de ce point fixe. D�apr�s cenbsp;qu�on a vu dans le 11� 29, si Ton abaisse du pointnbsp;C des perpendiculaires CG et CH sur les directionsnbsp;des forces P et Q, on aura done, dans le cas de

et, r�ciproquement, Tequilibre existera quand cette proportion aura lieu. Par cons�quent, en appelantnbsp;p et ^ les perpendiculaires CG et CH, 1 equationnbsp;d��qu�ibre sera

Pp = Q^.

On appelle moment dune force par rapport a un point, Ie produit de cette force par la perpendiculaire abaiss�e de ce point sur sa direction. Ainsi,nbsp;la condition d��quilibre dans Ie levier consiste ennbsp;ce que les momens de la puissance et de la resistance,nbsp;pi'is par rapport au point d�appui, sont �gaux; cesnbsp;deux forces tendant d�ailleurs a faire tourner Ienbsp;levier en sens opposes.

Si l�on suppose les droites CG et CH li�es inva-riablement au levier, on pourra prendre G et H pour les points d�application des forces P et Q , etnbsp;remplacer Ie levier de figure quelconque ECF parnbsp;Ie levier coud� GCH (fig. ii). Les perpendiculairesnbsp;CG et CH s�appellent les bras de levier, de la puissance et de la i'�sistance. La condition de l��quilibrenbsp;ne depend pas de la grandeur de Tangle GCH; etnbsp;c�est aussi ce que Ton peut voir a priori.

En eff'et, si du point C et d�un rayon CH on d�crit Tarc de eerde HH', qu�on Ie suppose li� invariable-ment au levier, et qu�on applique au point H' deuxnbsp;forces �gales a Q, agissant en sens contraires, sui-vant les parties H'B^ et H'Bquot; de la tangente en cenbsp;point, il est �vident que la force Qgt; dirig�e sui-

vant sera d�truite par la force Q dirig�e suivant HB; car ces deux forces tendent a faire tourner Ienbsp;syst�me en des sens opposes, et il n�y aurait pas denbsp;raison pour qu�il ob�it plu t�t a Tune qu�a l�autre. Lanbsp;seconde de ces deux forces se trouvera done rem-piac�e par la force Q dirig�e suivant H'B', et Tangle GCH sera change dans Tangle GCH', plus grandnbsp;OU plus petit, sans que T�quilibre soit trouble.

Par ce changement, Tangle des deux bras du le-vier poun'a devenir 180� ou z�ro; alors Ie levier sera droit j la puissance et la r�sistance seront des forcesnbsp;parall�les dirig�es dans Ie m�me sens ou en sensnbsp;contraires; et, pour T�quilibre, il faudra toujoursnbsp;que leurs intensit�s soient en raison inverse des longueurs de leurs bras de levier.

45. Si Ton appelle R la r�sultante des deux forces P et Q concourantes au point M (fig. 10), et 7?z Tanglenbsp;AMB compris entre leurs directions, on aura (n� ag)

et la valeur de R fora connaitre la charge que Ie point d�appui C aura a supporter dans T�tat d��qui-libre. Appliqu�e en ce point, la force R aura pournbsp;dh�ection la droite CD, prolongement de MC. La figure 10 suppose Ie point C situ� entre les pointsnbsp;d�application E et F de la puissance et de la x��sis-tance. Le contraire a lieu dans la figure la; mais lesnbsp;raisonnemens qiTon vient de faire s�appliquent a cesnbsp;deux cas : ils different Tun de Tautre en ce que, dansnbsp;le premier cas, les forces P et Q agissent de deuxnbsp;c�t�s diff�rens du levier, et Tangle AMB est aigu, au

Les trois points E, F, C, restant les m�mes, si le point de concours M des trois forces P, Q, R, s�e'-loigne a Tinfini, ces forces deviendront paralleles.nbsp;Dans le cas de la figure lO, Tangle in devient alorsnbsp;infiniment petit; on a cosra = 1, et consequemment

Dans le second cas, c�est le supplement de Tangle m qui devient infiniment petit ; on a done cos 7ra = �. I, et

en supposant P lt; Q. Par consequent, la resultante de deux forces paralleles est �gale a leur somme ounbsp;a leur difference, selon que ces forces agissent dansnbsp;le rn�me sens ou en sens opposes; et quand leursnbsp;directions sont contraires, la r�sultante agit dans lenbsp;Sens de la plus grande. Dans ces deux cas, les com-posantes P et Q sont en raison inverse de leurs distances CG et CH a la r�sultante.

Cela �tant, si Ton m�ne une perpendiculaire commune aux trois forces paralleles, et qu�on appelle a la partie GH de cette droite (fig. i3 et i4) comprise entre les deux composantes P et Q, et a? la distance CH de la r�sultante R a la composante Qnbsp;qu�on suppose la plus grande, on aura

et, par cons�quent, ce qui fera connaitre la position de la r�sultante,nbsp;dont la valeur sera en m�me temps Q � P.

44* Lorsque les'forces P et Q agissent en sens contraires, et qu�elles different tres peu Tune de l�autre, leur r�sultante, toujoxirs dirig�e dans Ie sens de lanbsp;plus grande, se trouvera situ�e a xxne tres grandenbsp;distance des forces donn�es. Mais quand elles sei�ontnbsp;rigoureusement �gales, cette distance deviendra in-finie; ce qui signifie que deux forces �gales, paral-l�les et agissant en sens oppos�s, ne peuvent �trenbsp;remplac�es par une seule force; et, en effet, il n�ynbsp;aurait aucune raison pour que cette force uniquenbsp;agit plut�t dans un sens que dans l�autre.

Deux semblables forces agissant aux extr�mit�s d�une droite GH (fig. i5), feront tourner cette lignenbsp;autour de son milieu K; eft�et qui, �videmment, nenbsp;saurait �tre produit par faction d�une seule force. Onnbsp;peut les remplacer d�une infinit� de mani�res diff�-rentes par deux autres forces qui tombent dans Ienbsp;m�me cas; car on ne changera rien a leur action ennbsp;appliquant, par exemple, aux points G et H, suivantnbsp;les prolongemens GE et HF de la droite GH, desnbsp;forces �gales et de grandeur quelconque; or, la r�sultante des forces dirig�es suivant GA et GE, et celle

des forces dirig�es suivant HB et HF, seront encore des forces �gales, parall�les et dirig�es en sens opposes , suivant des droites GC et HD, et ces r�sul-tautes remplaceroat les forces primitives qui agissaientnbsp;suivant GA et HB. Si Ton appelle P la grandeur com-niune de ces deux forces, et a leur distance mutuelle,nbsp;1�une et l�autre de ces deux quantit�s changeront parnbsp;1�op�ration que nous indiquons; mais leur produit aPnbsp;demeurera constant, ainsi qu�ou Ie prouvera tout anbsp;l�heure.

45. Au reste, ce cas particulier est Ie seul dans le-quel un syst�me d�un nombre quelconque de forces P, P4 P% etc., comprises dans un m�me plan et agis-sant sur des points mat�riels lies entre eux d�une ma-ni�re invariable, ne puisse pas se r�duire a une seulenbsp;force. En efFet, soit que les deux forces P etP' con-courent en un point, ou qu�elles soient parall�les, onnbsp;les r�duira a une seule force Q, par la regie du parallelogram me des forces, ou par celle du num�ronbsp;pr�c�dent. On r�duira de m�me a une seule force Q',nbsp;cette premi�re r�sultante Q et P''; puis a une seulenbsp;force Qquot;, la seconde r�sultante Q' etPquot;'; et ainsi denbsp;suite, jusqu�a ce qu�on ait r�duittoutes les forces don-o�es a deux seulement, qui se r�duiront elles-m�mesnbsp;a une seule force R, a moins qu�elles ne tombentnbsp;dans Ie cas d�exception dont il s�agit.

Dans Ie cas g�n�ral, cette force R est la i��sultante des forces donn�es P, P', P', etc.; et si l�on joint auxnbsp;composantes une force R' �gale et contraire a R, jl jnbsp;aura �quilibre dans Ie syst�me. La grandeur de R etnbsp;sa position dans Ie plan des forces donn�es ne d�-

pendra nullement de l�ordre dans leqiiel on aura pris ces forces dans les re'ductions successives qu�on vientnbsp;d�indiquer; car, en changeant eet ordre, si Ton par-venait a une force S diff�rente de R en grandeur oiinbsp;en direction, il faudrait que Tune de ces deux forcesnbsp;prise en sens contraire fit �quilibre a 1 autre j ce quinbsp;serail impossible.

Pour 1��quilibre des forces P, P', P', etc., quand elles seront appliqu�es a un levier situ� dans leurnbsp;plan, il faudra d�abord qu�elles se r�duisent a unenbsp;seule force; car si elles se r�duisaient a deux forcesnbsp;parall�les S et S' non r�ductibles a une seule, et quenbsp;S' fut la plus rapproch�e du point d�appui, on pour-rait decomposer S' en deux forces Q et Q', parall�lesnbsp;et agissant dans Ie m�me sens, dont la premi�re serail directement oppos�e a S et la seconde passeraitnbsp;par Ie point d�appui : ces deux composantes seraientnbsp;Tune et l�autre moindres que S' ou S, la force Q' serailnbsp;d�truite, et il ne resterait qu�une force S � Q, quinbsp;ferait tourner Ie levier dans Ie sens de S. Les forcesnbsp;donn�es �tant r�duites a une force unique R, il faudra , en outre, pour l��quilibre du levier, que celtenbsp;force vienne passer par son point d�appui. Cette condition s�exprimera par une equation, au raoyen dunbsp;th�or�me que nous allons de'monlrer.

46. Considerons d�abord deux forces seulement et leur r�sultante. Le moment de cette r�sultante, parnbsp;rapport a un point situ� dans le plan des trois forces,nbsp;sera egal a la somme ou a la difference des momens desnbsp;deux composantes par rapport au m�me point: a la difnbsp;f�rence, quand le centre des momens est situ� dans

1�angle des composantes, ou, dans son oppose, au sommet; a ia somme, quand ce point est hors de cesnbsp;deux angles.

En effet, soient P et P' ces deux forces, MA et MA' (fig. i6 et 17) leurs directions, Q leur r�sultantenbsp;agissant suivant MB , C Ie centre des momens, p, p',nbsp;9, les perpendiculaires Ca, Ca', CZgt;, abaiss�es dunbsp;point C sur la direction de P, P', Q. D�coniposons cha-cune de ces trois forces en deux autres, dirig�es suivant la droite MC et suivant la perpendiculaire KMK'nbsp;a cette droite; et consid�rons les composantes perpendiculaires. On a �videmment

en d�signant par c la longueur de la droite MC; done la composante de Q suivant MR sera �gale a De

a MC seront ~ et Elles agissent en sens contraire , quand la ligne MC traverse l�angle AMA' (fig. 16), et dans Ie m�me sens, quand eJle tombenbsp;hors de eet angle. Or, la somme de ces composantes,nbsp;dans Ie second cas, et l�exc�s de la plus grande sur lanbsp;plus petite, dans Ie premier, doit reproduire la composante de Q, puisque Q est la r�sultante de P et P';nbsp;en supposant la composante de P plus grande quenbsp;celle de P', et supprimant Ie diviseur commun onnbsp;aura done

Q9 = Pp � P'p';

Si l�on imagine que Ie point C soit fixe et que les perpendiculaires Ca, Ca', Cb, forment un syst�me invariable, les forces P, P', Q, qui peuvent �tre cen-s�es agir aux extr�mit�s a, a', h, de ces droites, nenbsp;pourront produire qn�un mouvement de rotation au-tour du centre des momens. Or, l�inspection de la fi-gui�C 17, a laquelle re'pond Ie signe sup�rieur dansnbsp;1��guation pr�c�dente, laontre que quand Ie point Cnbsp;tombe hors de Tangle AMB, et de son oppose aunbsp;somniet, les trols forces P, P', Q, tendent a faire tour-ner leurs points d�application dans Ie m�me sens au-tour du point C; au contraire, lorsque ce point tombenbsp;dans Tun de ces deux angles, la figure 16, qui r�-pond au signe inf�rieur, fait voir que les forces P etnbsp;P' tendent a faire tourner les points a et a' en sens opposes ; et Ton voit aussi que, dans ce cas, la r�sultante Q tend a faire tourner son point d�applicationnbsp;dans Ie m�me sens que la composante qui a Ie plusnbsp;grand moment. D�apr�s cette remarque, Ie th�o-r�me qu�on vient de d�montrer revient a dire quenbsp;Ie moment de la r�sultante de deux forces est �galnbsp;a Ia somme ou a la difference des momens de cesnbsp;deux forces, selon que les composantes tendent anbsp;faire tourner leurs points d�application dans Ie m�menbsp;sens ou en sens opposes autour du centre des momens , et que la r�sultante tend a faire tournernbsp;dans Ie sens de la composante qui a Ie plus grandnbsp;moment.

Ce tb�or�me ayant lieu pour des forces dont les directions font un angle quelconque, doit encore sub-sister lorsqu�elles deviennent parall�les; c�est ef�ecti-

vement une consequence facile a d�duire de la composition des forces de ce genre (n� 43).

47 � L�avantage de ce dernier �nonc� est de pouvoir fa-cilement s�e'tendre a un nombre quelconque de forces P, P', P', etc., dirig�es dans un m�me plan. En regardant Ie centre des momens comrae un point fixe,nbsp;autour duquel les forces tendent a faire tourner Ienbsp;syst�me de leurs points d�application, He's entre euxnbsp;d�une niani�re invariable, Ie moment de la r�sultantenbsp;est �gal a la somme des momens des forces qui tendent a faire tourner dans Ie m�me sens qu�elle, moinsnbsp;la somme des momens des forces qui tendent a fairenbsp;tourner en sens contraire.

Pour fixer les idees, supposons que les trois premi�res forces P, P', Pquot;, tendent a faire tourner dans un m�me sens, et toutes les autres dans un sensnbsp;oppose. Reprenons la s�rie de reductions du n� 45.nbsp;Soient Q, la r�sultante deP et P', et Q' celle de Q et Pquot;,nbsp;OU de P, P', Pquot;. Soient aussi p, p', pquot;, q, q', les per-pendiculaires abaiss�es du centre des momens sur lesnbsp;directions de P, P', Pquot;, Q, Q'; nous aurons, d�apr�snbsp;ce qu�on vient de voir,

qq = Vp py, q'9' = qq Py,

= Vp -j- py 4- py.

De m�me, si Pon d�signe par la r�sultante de toutes les autres forces P�, P�', etc.; par q^ la pei-pendicu-laire abaiss�e du centre des momens sur sa direction;nbsp;par y, etc., les perpendiculaires abaiss�es du

6..

Or, la r�sultante R de toutes les forces donn�es sera celle des deux forces Q' et ; si, done, on repr�sentenbsp;par r la perpendiculaire abaiss�e du centre des mo-mens sur la direction de R, et si l�on consid�re quenbsp;ces forces Q' et tendent a faire tourner en sens opposes, on aura

selon que Q'q' sera plus grand ou nioindre que Q^q^. Dans Ie premier cas, la force R tendra a faire tournernbsp;dans Ie m�rne sens que la force Q', et, cons�quem-ment, dans Ie m�me sens que les trois forces P, P', Pquot;.nbsp;Nous supposerons que ce soit ce premier cas qui aitnbsp;lieu; et en substituant pour Q'q' et leurs valeurs,nbsp;nous aurons alors

En supposant que Ie centre des inomens soit Ie point d�appui du levier auquel les forces P, P', P', etc.,nbsp;sont appliqu�es, il faudra, pour lequilibre de ce levier, qu�on ait

Pp 4- py y py ^ py ~ p-p- � etc.

puisque, dans ce cas, ces forces doivent avoir une i��sultante qui doit passer par Ie point d�appui (n� 45),nbsp;et pour laquelle on a done r=:o.

48. On peut rendre l��quation (j) plus g�n�rale, en supposant que par des decompositions et recompositions des forces P, P', Pquot;, etc., on les ait ti�ansfor-m�es en d�autres forces S, S', Squot;, etc., dont l�ensemblenbsp;soit �quivalent aux foi�ces donn�es. En d�signant parnbsp;s, s', squot;, etc., les perpendiculaires abaiss�es du centrenbsp;des momens sur les directions de S, S', S', etc., onnbsp;trouvera, par Ie m�me raisonnement que dans Ienbsp;num�ro pr�c�dent,

Sj S'/-f-S^quot;4-etc.=Pp Pgt;' P'gt;quot;�Pgt;'quot;�P*''/?'quot;�etc.; (3)

�quation dans laquelie on devra prendre avec Ie signe -f-, les momens des forces S, S', S% etc., quinbsp;tendent a faire tourner dans Ie m�me sens que P, P', Pquot;jnbsp;et avec Ie signe �, les momens de celles qui tendentnbsp;a faire tourner dans Ie m�me sens que P'quot;, P'^', etc.

Le cas particulier o� les forces P, P', Pquot;, etc., sont irr�ductibles a une seule, est compiis dans cette der-ni�re �quation. Soient alors S et S' deux forces �gales,nbsp;parall�les et non directement oppos�es; etappelons hnbsp;leur distance mutuelle. Si le centre des momens estnbsp;sifu� entre leurs directions, on aura s-\-s'ellesnbsp;tendront a faire tourner dans le m�me sens autour denbsp;ce point; on donnera done le m�me signe a leurs rao-mens, et il en r�sultera

Si, au contraire, le centre des momens n��st pas com-pris entre S et S', et qu�on suppose nbsp;nbsp;nbsp;on aura

Son second membre se composant de quantite's qui sont toutes donn�es, il en r�sulte que si les valeursnbsp;de S et A viennent a changer, leur produit demeureranbsp;constant, ainsi qu�on l�avait d�ja dit plus haut.

On conclut aussi de cette derni�re equation que, quand sou second membre est nul, les forces donn�esnbsp;ne peuvent pas tomber dans Ie cas d�exception oiinbsp;elles sont irr�ductibles a une seule; il s�ensuit donenbsp;que l��quation (2) exprime a la fois que les forcesnbsp;P, P', Pquot;, etc., ont une r�sultante unique, et quenbsp;cette r�sultante passe par Ie centre des momens; parnbsp;cons�quent, el Ie est l��quation n�cessaire et suffjsantenbsp;pour l��quilibre du levier, dont ce centre est Ie pointnbsp;d�appui. La r�sultante R que 1�on obliendra par lanbsp;s�rie de reductions du n� 45 ? exprimera la chargenbsp;qu�il aura a supporter; quand elle sera mille, lesnbsp;forces P, P', Pquot;, etc., se feront �quilibre dans leurnbsp;plan sans Ie secours de ce point fixe.

49. La condition de l��quilibre dans Ie levier peut aussi s�exprimer par une �quation analogue a la formule (�) du n� 3g.

Soient, par exemple, M, M', Mquot; (fig. 18), les points d�application des trois forces P, P', Pquot;, qui agis-sent sur Ie levier ECF, suivant des directions MA, M'A',nbsp;comprises dans son plan. Faisons tourner infi-

niment peu ce Ie vier autour de son point d'appui C, desorte que M, M', Mquot;, viennent en m, m', iri'. D�a-pr�s la definition du n* Sp, les arcs infiniment petitsnbsp;Mm, M!m', Mquot;mquot;, que l�on peut prendre pour desnbsp;lignes droites, seront les vitesses virtuelles des pointsnbsp;d�application M, M', Mquot;, des trois forces que l�on con-sid�re. J�abaisse de in, m', mquot;, des perpendiculairesnbsp;ina, rn'a', irfa', sur les droites MA, M'A', Mquot;Aquot;, ounbsp;sur leurs prolongemens j Ma sera la pi�ojection de Mmnbsp;sur la direction m�me de la force P, qui tend a fairenbsp;tourner Ie levier dans Ie sens de la rotation qui a eunbsp;iieu; M'a' et M'aquot; seront les projections de M'm'etnbsp;M^mquot; sur les prolongemens des deux autres forcesnbsp;P' et Pquot;, qui tendent a Ie faire tourner dans Ie sensnbsp;oppose. Pour cette raison, je consid�re la premi�renbsp;de ces projections comme une quantit� positive, etnbsp;les deux autres comme des quantit�s negatives. Jenbsp;repr�senterai ces trois quantit�s par 'Z�r, lt;w',

Cela pos�, en vertu du principe des vitesses virtuelles, ia somme des forces donn�es multipli�es res-pectivement par les projections ainsi d�finies des vitesses virtuelles de leurs points d�application, est nulle dans Ie cas de l��quilibre, et l�ciproquement l��qul-libre a lieu quand cette somme est z�ro; en soitenbsp;que l��quation d��quilibre du levier est

Plt;^-l-PW'-t-PVquot; = o; (4)

et, en effet, il est ais� de v�rifier qii�elle coincide avec celle que l�on a d�duite de la consid�ration desnbsp;momens.

laires CG, CG', CG% abaiss�es du point C sur les directions des forces P, P', Pquot;; par c, c', c�, les distances CM, CM', CMquot;, de leurs points d�application au point C;nbsp;et par y, y', yquot;, les vitesses virtuelles M^n, M'm',

L�arc infiniment petit M/u se confondant avec sa tangente, les triangles Mma et CMG ont leurs c�t�s perpendiculaires l�un a l�autre, et sont semblables; onnbsp;a done

en observant que lt;w' et sont, par hypothese, des quantit�s negatives. De plus, la forme du levier �tantnbsp;suppos�e invariable, les trois arcs Mm, M'm', M'W',nbsp;d�ci�its en m�me temps, r�pondent a un m�me angle;nbsp;et en les divisant par leurs rayons respectifs CM,nbsp;CM', CMquot;, on aura trois rapports �gaux. En d�si-gnant par � la grandeur commune de ces rapports,nbsp;on aura done

= p0.

Or, si l�on substitue ces valeurs dans Tequation (4) gt; et qu�on supprime ensuite Ie facteur � commun a tousnbsp;sestermes, elle deviendra

Pp_py_py = o;

ce qui est effectivement l��quation d�e'quilibre du le-vier que nous consid�rons. R�ciproquement, si Ton inulliplie cette derni�re equation par 8, elle se chan-gera dans l��quation (4).

Le raisonnement serait �videmment Ie m�me, quels que fussent le nombre des forces donn�es P, P',nbsp;Pquot;, etc., et le sens dans lequel elles tendent a fairenbsp;lourner le levier.

lt;W%'VVVW\WVV^^VVWVVV^^'W''''^'''VWW^lVVWV^lVV^'W^lVV^lWW^lVVV^(WWV^'W\'WX\W'V\A�V^^/VV^'VV^'VVgt;^Vgt;

CHAPITRE III.

5o. La composition des forces parall�les se d�duit, ainsi qu�on l�a vu pr�c�deniment (n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regie

du parall�logramme des forces, en consid�rant les forces donn�es comme des forces dont Ie point denbsp;concours est a l�infini; mals en s�appuyant toujoursnbsp;sur cette regie, on peut aussi obtenir Ia r�sultante denbsp;deux forces parall�les par un autre mojen qu�il estnbsp;bon de connaitre.

Soient P et Q les deux composantes, agissant aux points E et F de la droite inflexible EF, suivant lesnbsp;directions parall�les EA et FB, dans Ie m�me sensnbsp;(fig. ig), OU en sens opposes (fig. 20). On ne chan-gera rien a ce sjst�me de forces, en appHquant aux ex-ti'�mit�s de cette droite des forces egales, dirigees ennbsp;sens contraire Tune de I�autre, suivant ses prolon-gemens EC et FD, et dont la grandeur commune seranbsp;repr�sent�e par S. Je prends la r�sultante des forcesnbsp;P et S appliqu�es au point E, qui sera une force P'nbsp;agissant suivant une droite EA' comprise dans Tanglenbsp;AEG; de m�me la r�sultante des forces Q et S, quinbsp;agissent au point F, sera une force Q' dirig�e suivant une droite FB', comprise dans Tangle BFD; etnbsp;si Ton excepte le cas du n� 44 gt; oil les forces donn�es

1* et Q soat egales et agissent eu sens oppose's, Jes deux droites EA' et FB' ne seront pas parall�les. Parnbsp;cons�quent, en supposant leur point d�intersection Knbsp;li� iuvariablement a la droite EF, il sera permis denbsp;Ie prendre pour Ie point d�application commun auxnbsp;deux forces P' et Q' (n� 4i)- Par ce point K, je ni�nenbsp;les droites ET' et KH', parall�les a la droite EF et anbsp;la direction des forces P et Q, puis je decompose clia-cune des forces P' et Q' suivant ces parall�les : il estnbsp;�vident qu�on retrouvera de cette mani�re les com-posantes S et P, dirig�es suivant KE' et KH, et lesnbsp;composantes S et Q, dirig�es suivant KF' et KHnbsp;(fig. ig), OU suivant KF' et KIP (fig. 20). Nous au-rons done les quatre m�mes forces qu�auparavant,nbsp;mais appliqu�es toutes quatre a un m�me point K.nbsp;En supprimant les deux forces S, il restera les deuxnbsp;forces P et Q, dirig�es suivant la m�me droite KH,nbsp;dans Ie cas de la figure ig, ou suivant cette droite KHnbsp;et son prolongement KH', dans Ie cas de la figure 20,nbsp;qui suppose que Q est la plus grande des deux forcesnbsp;donn�es. Done, la r�sultante de ces deux forces leurnbsp;sera parall�le; et en la d�slgnant par R, nous au-rons

Pour determiner Ie point O, o� sa direction viendra couper la droite EF ou son prolongement, je sup-poserai que E' et F' soient les intersections des lignesnbsp;AE et BF avec la droite ET'; les deux quadrilat�res

EE'KO et FF'KO seront des parall�logrammes; et si Ton prend leurs diagotiales KE et KF pour repr�sen-ter les r�sultantes P' et Q', on aura

ce qui fera connaitre la position du point O, qu�on pourra prendre pour Ie point d�application de Ia r�sultante R.

les signes sup�rieurs se rapportant a la figure 19, et les signes inf�rieurs a la figure 20; en ayant �gard anbsp;la valeur pr�c�dente de R, on aura done, dans lesnbsp;deux cas,

ce qui montre que chacune des trois forces P, Q, R, est proportionnelle a la distance comprise entre lesnbsp;points d�application des deux autres.

Cette proportion, et, par suite, la position du point 0, sont ind�pendantes de Tangle sous lequelnbsp;les directions des forces donn�es sont coup�es parnbsp;la ligae EF , qui peut �tre une droite quelconquenbsp;aboutissant par ses extr�mit�s a ces deux directions.

cult�, toutes les questions qui peuvent se pr�senter sur la composition de deux forces parall�les en une seule et sur la decomposition d�une force ennbsp;deux autres qui lui soient parall�les. Nous n�entre-rous dans aucun d�tail a ce sujet; et nous ne re-viendrons pas non plus sur Ie cas particulier desnbsp;forces �gales et non directement oppos�es, que nousnbsp;avons exclu de la demonstration pr�c�dente, et quinbsp;a �t� sufGsamment examin� dans Ie n� 44-

Je vais actuellement consid�rer un nombre quel-conque de forces parall�les, dont une partie agit dans un sens et l�autre partie dans Ie sens oppose,nbsp;qui sont situ�es ou non situ�es dans un m�me plan,nbsp;et appliqu�es a des points lie's eiitre eux d�une ma-ni�re invariable, par exeraple, a diff�rens pointsnbsp;d�un corps solide.

En composant deux de ces forces en une seule, puis celle-ci et une troisi�me encore en une seule,nbsp;ct ainsi de suite, on parviendra a d�terminer lanbsp;grandeur et la position dans 1�espace de la r�sultante de toutes les forces donn�es, a molns que lesnbsp;deux derni�res forces qu�on aura a consid�rer nenbsp;bombent dans Ie cas d�exception du nquot; 44* Cette r�sultante sera �videmment parall�le a la directionnbsp;commune des composantes; de plus, elle sera �galenbsp;a Ia somme de celles qui aglssent dans un m�menbsp;sens, moins la somme de celles qui aglssent ennbsp;sens contraire, et elle agira dans Ie sens de la plusnbsp;grande somme. Si done on regarde les unes commenbsp;des quantit�s positives, et les autres cemme desnbsp;^uautit�s negatives ( n� 11); qu�on les repr�sente

Sa. Si les forces donn�es viennent a tourner au-tour de leurs points d�applicatiou sans cesser d��tre parall�les, leur r�sultante tournera aussi aulour d�unnbsp;des points de sa direction; car son point d�applica-tion, ququot;on trouve en composant successivement lesnbsp;forces donn�es, comme on vient de I�indiquer, nenbsp;d�pend en aucune mani�re de la direction communenbsp;de ces forces, et reste, cons�quemment, le m�menbsp;quand cette direction vient a changer.

Ainsl, parexemple, supposons que les foi�ces donn�es soient au nombre de trois, P, P', Pquot;, dirig�es suivant les droites MA, M'A', M^A* (fig. ai). Soltnbsp;d�abord NB la direction de la r�sultante de P et P',nbsp;qui sera �gale a P -f-P'; soit ensulte N'B' la direction de la r�sultante de P -f- P' et Pquot;; cette der-ni�re force P� �tant suppos�e, dans la figure, agis-sante en sens contraire de P et P', et plus grandenbsp;que P P'. Concevons maintenant que les troisnbsp;forces P, P', Pquot;, tournent autour des points M, M',nbsp;Mquot;, en conservant leur parall�lisme et le sens relatifnbsp;de leurs actions. Soient Ma, Ma', Waquot;, leurs nou-velles directions. Dans ce nouvel �tat, la r�sultantenbsp;des forces P et P' rencontrera la droite MM' au m�menbsp;point N qu�auparavant, puisque la position de cenbsp;point ne d�pend que du rapport des composantes,nbsp;et nullement de Tangle que la droite MM' fait avecnbsp;leurs directions (nquot; 5o); elle sera pr�sentement di-

�ig�e suivant la droite N6 parall�le a Ma et Wa�, encore egale a P -j- Par la m�me raison, lanbsp;r�sultante de P P' et P'' rencontrera Ie prolon-gement de la droite MM' au m�me point N' qu�au-paravant, et sera dirig�e suivant une droite N'^' parall�le a N�; par cons�quent, les trois forces P,nbsp;i*', Pquot;, tournant autour de leurs points d�applicationnbsp;M, M', Mquot;, leur r�sultante tournera aussi autournbsp;d un m�me point N'.

55. Nous appellerons centre des forces paraUeles Ie point dans lequel viennent se couper toutes lesnbsp;direetions successives de la r�sultante, quand sesnbsp;composantes tournent autour de leurs points d�application, qu�on suppose invariables.

On verra par la suite conibien Ie centre des forces parall�les est important a consid�rer, surtout dansnbsp;les questions relatives a l��quilibre et au mouvementnbsp;des corps pesans. On peut d�ja observer que si unnbsp;corps solide est solllcit� par des forces parall�lesnbsp;quelconques, que l�on determine Ie centre de cesnbsp;forces, et qu�on Ie suppose fixe, l��quillbre aura lieunbsp;dans toutes les positions que !e corps pourra prendre autour de ce point, pourvu que les forees don-u�es restent toujours parall�les et appllqu�es auxnbsp;ui�mes points de ce corps; car alors leur r�sultantenbsp;passera constamment par Ie point fixe, ce qui suffitnbsp;pour qu�elle soit d�truite.

Les coordonn�es du centre des forees parall�les, rapport�es a trois axes rectangulaires, dependent,nbsp;comme on va Ie voir, des produits de ces forees mul-tipll�es par les coordonn�es de leurs points d�applica-

tion. A cause que ces produits se pr�sentent dans un grand nombre de cas, on leur a donn� un nom particulier ; on appelle moment dune force par rapport anbsp;un plan, Ie produit de cette force et de sa distance anbsp;ce plan. Ainsi, P �tant l�intensit� d�une force appli-qu�e en un point dont les coordonn�es sont x, j, z,nbsp;les produits Pz, PjTj seront ses momens par rapport aux plans des x etj-, des x et z, des jr et z. Lesnbsp;momens de cette esp�ce n�ont rien de commun, ennbsp;ge'ne'ral, avec les momens par rapport a un pointnbsp;qu�on a d�finis dans Ie n� 42- Ceux-ci dependent denbsp;la direction de la force, et sont inde'pendans de sonnbsp;point d'application; les momens par rapport a unnbsp;plan dependent, au contraire, de la position dunbsp;point d�application de la force, et sont ind�pendansnbsp;de sa direction. On ne fait usage des derniers quenbsp;dans Ie cas des forces parall�les; en sorte qu�ils peu-vent �tre des quantit�s positives ou negatives, a raison du signe de la force et des coordonn�es du pointnbsp;ou elle est appllqu�e.

54. Soient M, M', M�, etc. ( fig. 22), les points d�application des forces parall�les P, P', Pquot;, etc.,nbsp;dont il sera inutile d�indiquer les directions. Menonsnbsp;arbitrairement trois axes rectangulaires Ox, Oj, Oz,nbsp;qui seront ceux des coordonn�es; d�signons par x,nbsp;j-, z, les coordonn�es de M; par x', j'^ z', celles denbsp;M'; par x�, jquot;, zquot;, celles de Mquot;, etc.; et supposonsnbsp;que toutes ces coordonn�es et ces forces sont desnbsp;quantit�s donn�es qui peuvent �tre positives ou n�-gatives. Soient encore Q, Q', Qquot;, etc., les projectionsnbsp;des points M , M', M�, etc., sur Ie plan des x et y �,

donne'es du centre des forces parall�les dont il s�agit de trouver les valeurs.

La r�sultante P -f- P' des deux forces P et P' reu-contrera en un point N la droite MM' ou son prolon-gement, selon que ces deux forces seront de m�me signe ou de signe contraire; mais dans les deuxnbsp;cas on aura

Soit K la projection de N sur Ie plan des x et^. Par Ie point M, menons la parall�le MGH a la droitenbsp;QRQ', qui rencontre les droites NK et M'Q' auxnbsp;points G et H, de sorte qu�on ait

A cette equation, j�ajoule 1��quation identique (P P')GK = P.MQ P'.HQ';nbsp;ce qui donne

trera en un point N' la droite NMquot; ou son prolon-gement, selon que ces deux forces auront Ie m�we signe OU des signes contraires; et si K' est la projection de N' sur Ie plan des jc et j-, on trouvera,nbsp;comme dans Ie cas precedent,

On continuera de m�me jusqu�a ce qu�on ait �puis� toutes les forces donn�es P, P', Pquot;, etc.; el si R estnbsp;leur r�sultante totale, on aura finalement

La figure 22 suppose que tons les points M, M', Mquot;, etc., N, N', etc., sont situ�s d�un m�me c�t� dunbsp;plan des J? et j-, ou que leurs ordonn�es parall�les anbsp;l�axe des z sont toutes de m�me signe; mais il estnbsp;ais� de voir que si Tequation pr�c�dente est vraienbsp;dans ce cas, elle Ie sera encore lorsque ces ordonn�esnbsp;seront en partie positives et en partie n�gatives. Ennbsp;effet, transportons Ie plan des jc etj-, parall�lement anbsp;lui-m�me, a une distance quelconque h de sa position primitive. Par rapport a ce nouveau plan,nbsp;soient Z, Z', Zquot;, etc., les coordonn�es de M, M',nbsp;Mquot;, etc., et Z. celle du centre des forces parall�les,nbsp;de sorte qu�on ait

Z,=z,�h, Z=z�Z'=z'�Tl, Z' �zquot;�h, etc.; si 1�on retranche de 1��quation pr�c�dente l��quation

equation dans laquelle les ordonn�es Z, Z', 7J', etc., peuvent �tre positives ou ne'gatives.

On volt done que, dans tons les cas, Ie moment de la resultante d�un nombre quelconque de forcesnbsp;parall�les par rapport a un plan choisi arbitraire-ment, est e'gal a la somme des momens de ces forcesnbsp;par rapport au m�me plan.

55. En prenant successivement les momens par �apport aux trois plans des coordonn�es, on aura,nbsp;d�apr�s les notations pr�c�dentes,

Rj:?, = Tjc 4- nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- etc., \

les trois coordonn�es du centre des forces parall�les seront compl�tement d�termin�es. En raenant par cenbsp;point une droite parall�le aux forces donn�es, dansnbsp;Ie sens indiqu� par Ie signe de R, on aura la direction de la r�sultante. Cesquatre �quations renferme-ront, de la mani�re la plus g�n�rale, la th�orie desnbsp;forces parall�les.

La somme des momens des forces P, P', P^',etc., est �gale a z�ro, par rapport a tout plan passant par Ie

centre des forces parall�les; car, en prenant ce plan pour celui des x et j, il faudra qu�on ait z, = o,nbsp;et, consequemment,

Dans Ie cas particulier oii P, P', Pquot;, etc., se r�-duisent a deux forces �gales, agissant en sens oppose, leur somme R est �gale a z�ro; ce qui rend infiniesnbsp;les valeurs de .r,, jquot;,, z,. Le centre des forces parall�les est done alors situ� a I�infini, ou plut�t ce centrenbsp;n�existe pas, non plus que la r�sultante.

56. Lorsque tous les points d�application M, M', Mquot;, etc., des forces donn�es sont situ�s dans unnbsp;m�me plan, il est �vident, par la nature du centrenbsp;des forces parall�les (n� Ss), que ce point, s�il existe,nbsp;devra aussi se trouver dans ce plan; c�est aussi cenbsp;que 1�on peut conclure des �quations (i) et (2).

axquot;bjquot;-]r c,

Je substitue ces valeurs de z, z', zquot;, etc., dans la troi-si�me equation (i); il vient

Rz. = (?x F'x' P V' -j- etc.) a (Pj -}- Py Fquot;jquot; etc.) bnbsp;-f- (P-j-F-f-Pquot;_j-etc.)c.

tiou (2), on peut remplacer par Ba:,, Bj ,, B, les coefficiens de n, c; et en supprimant ensuite Ienbsp;lacteur commun R, on a

Ce qui raontre que Ie centre des foi�ces parall�les ap-partient au plan des points M, M', Mquot;, etc.

Lorsque tous ces points sont sur une m�me ligne drolte, ce centre s�j trouve �galement; et il suffit denbsp;la premi�re des equations (i) pour determiner sa position, en prenant cette droite pour l�axe desa?. Si, denbsp;plus, les forces P, P', Pquot;, etc., sont perpendiculairesnbsp;a cette droite, les raomens que nous consid�rons ac-tuellement se confondent avec les raomens par rapport a un point, qui est ici l�origine 0 des abscisses x,nbsp;et la premi�re equation (i) coincide avec l��qua-tion (i) du n� 47* H est ais� de voir, en effet, quenbsp;parmi les forces donn�esP, P', Pquot;, etc., celles qui teii-dent a faire tourner autour du point 0 dans Ie m�menbsp;sens que la r�sultante R, sont toutes les forces qui ontnbsp;Ie m�me signe que leurs distances x, x', xquot;, etc., a cenbsp;point, et que celles qui tendent a faire tourner dansnbsp;Ie sens oppose sont les forces qui ont un signe contraire a celui de ces m�mes distances; par consequent, les momens des premi�res s�ajoutent, etnbsp;eeux des derni�res se retranchent, conform�ment anbsp;1 �nonc^ du num�ro cit�.

^7. Les �quations d��quilibre des forces parall�les P, P', etc., se d�duisent ais�ment de Ia th�orienbsp;quon vient d�exposer.

faut, pour rdquiJibre, qu�en s�parant Tune de ces forces, par exemple la force P, toutes les autres aientnbsp;Tine r�sultante qui soit �gale et directement oppos�enbsp;a P. Soit done R' la r�sultante des forces P', Pquot;, etc,;nbsp;puisque les forces P et R' sont �gales et dirig�es ennbsp;sens contraires, elles doivent �tre �gales et de si-gnes diff�rens, ou, autrement dit, on doit avoirnbsp;P R'^ = o. Mais R^ est la sonime des coraposantesnbsp;P', Pquot;, etc.; il en r�sulte done, pour la premi�renbsp;�quation d��quilibre,

P F pquot;,

Pour exprimer, en outre, que les forces P et R' sont directement oppos�es, soient a, C, y,les troisnbsp;coordonn�es du centre des forces parall�les P',nbsp;Pquot;, etc., de mani�re qu�on ait

Ce centre �tant Ie point d�application de leur r�sultante R', il sera n�cessaire qu�il se trouve sur la direction de la force P, pour que R' soit directement oppos�e a cette force, ou, ce qui revient au m�me,nbsp;ce centre et Ie point d�application M de la force Pnbsp;doivent �tre sur une m�me parall�le a la directionnbsp;commune des forces donn�es. Si done on prend,nbsp;pour plus de simplicit�, Ie plan des x et j- perpendiculaire a cette direction, il faudra que ces deuxnbsp;points soient situ�s sur une m�me perpendiculaire anbsp;ce plan; ils auront alors la m�me projection sur cc

plan � par cons�quent, leurs coordonn�es seront les in�mes parall�lement aux axes des a? et de sortenbsp;que l�on aura

Je substitue done a? et a la place de a et � dans les deux premi�res equations pr�c�dentes, et, a causenbsp;de R' = � P, il vient

equations qui signifient que la somme des mornens de toutes les forces P, P', Pquot;, est nulle, etc., par rapportnbsp;aux plans des ar et z, et des j- et z, parall�les a leurnbsp;direction.

Ainsi, l��quilibre de ces forces exige que les equations (a) et'(�) aient lieu en m�me temps. R�cipro-quement, quand ces trois equations sont satisfaites, l��quilibre existe; car si l�on consid�re la i��sultantenbsp;R' de toutes ces forces moins une, on aura, en vertunbsp;de ces �quations,

en sorte que cette r�sultante sera �gale et directe-ment oppos�e a la force P, qu�on avait omise. II n�est pas n�cessaire, pour cela, que les deux plans parnbsp;rapport auxquels la somme des mornens des forcesnbsp;donn�es est z�ro , soient perpcndiculaires Tun a

l�autre; il suffit qu�ils soient parall�les a Ia direction de ces forces; et l�on peut aussi s�assurer facilementnbsp;que si cettc condition est remplie par rapport a deuxnbsp;plans parall�les a cette direction, elle Ie sera �gale-ment par rapport a tous les autres.

Concluons done que pour r�quilibre d�un syst�me de forces parall�les, appliqu�es a un corps solide en-ti�rement libre, il est n�cessaire et il suffit,

2�. Que la somme de leurs momens soit nulle par rapport a deux plans qnelconques parall�les a leurnbsp;direction commune. Quand toiites les forces serontnbsp;comprises dans un m�me plan, cette seconde condition sera d�ja remplie par rapport a ce plan, etnbsp;il suffira qu�elle Ie soit, en outre, par rapport a unnbsp;autre plan.

58. Si Tun des points de ce corps solide est suppose fixe, il suffira, pour l��quilibre des forces parall�les,nbsp;que la somme de leurs momens soit nulle par rapport a deux plans passant par ce point et parall�lesnbsp;a leur direction, et il ne sera plus n�cessaire quenbsp;leur r�sultante soit �gale a z�ro; car alors les distances de cette r�sultante a ces deux plans serontnbsp;nulles; elle co�ncidera done avec leur intersection,nbsp;et sera d�truite par la resistance du point fixe.

Lorsque ce point sera Ie centre des forces parall�les, Ia somme des momens sera z�ro par rapport a toils les plans passant par ce point; par cons�quent, les forces donn�es se feront �quilibre, quellenbsp;que soit leur direction commune; ce que nous sa-vions d�ja (n� 55).

Si Ie corps solide est retenu par un axe fixe, au-tour duquel il ait seulement Ia libert� de tourner, il suffira, pour Tequilibre des forces parall�les ap-pliqu�es en ses diff�rens points^ que la somme denbsp;leurs momens soit �gale a z�ro, par rapport au plannbsp;�tten� par eet axe parall�lement a leur direction ;nbsp;car leur r�sultante tombant alors dans ce plan, ellenbsp;y rencontrera l�axe fixe, et sera d�truite par sa r�sis-tance. Lorsque l�axe fixe est lui-m�me parall�le auxnbsp;forces donn�es, Ie plan dont il s�agit est ind�termin�;nbsp;la condition d��quilibre s��vanouit par cons�quent;nbsp;ce qui doit �tre, puisque des foi�ces qui sont toutesnbsp;parall�les a un axe fixe ne peuvent faire tourner unnbsp;corps solide autour de cette droite, de sorte que,nbsp;dans ce cas, l��quilibre a lieu ind�pendainment denbsp;leurs intensit�s et de leurs distances a eet axe.

/VV'WWW^*/V^'VWVVV^^WVVV''VV�^VWWVW\/1UVVWVW^A/V\V�lt;A/\A(W�'V\^^'VV''W^�VV^'VV^VV^'VV\ Wgt;'VV^JVV\'\,V^�VV'\

CHAPITRE IV.

COWSID�RATIOIVS GEIV�UALES SUR LES CORPS PESAIVS ET SUR LES CENTRES DE GRAVITE.

5q. On appelle indifFeremment pesanteur ou gra~ vit�, la force qui pr�cipite les corps vers la surfacenbsp;de la terre aussit�t qu�ils ne sont plus soutenus. Sonnbsp;action s�exerce sur tous les points mat�riels, dansnbsp;des directions perpendiculaires a cette surface, onnbsp;suivant des lignes verticales. Les directions prolon-g�es de la pesanteur en diff�rens lieux de la terrenbsp;convergent done vers son centre, a cause de sa formenbsp;a peu pr�s sph�i�ique; mais en ayant �gard a lanbsp;grandeur du rayon terrestre, relativement aux dimensions des corps que Ton considere ordinaire-ment, on peut supposer, sans erreur sensible, lanbsp;pesanteur parall�le a elle-m�me dans toute I�e'ten-due d�un m�me corps.

L�observation a prouve que I�intensite de cette force varie a la surface de la terre avec la latitude,nbsp;et que sur une m�me verticale elle varie aussi avecnbsp;I�ele'vation au-dessus de cette surface; mais 11 fautnbsp;que les changemens de hauteur et de latitude soientnbsp;tres considerables pour que ces variations devien-nent sensibles, et elles ne le sont nullement dansnbsp;fetendue d�un corps de dimensions ordinaires,

6o. On conclut de la que la r�sultante des forces parall�les, en nombre inlini, qul agissent sur tous

les points d�un corps pesant, est ind�pendante de sa forme; cette r�sultante est ce qu�on appel) e Ienbsp;poids du corps. Dans les corps homog�nes, Ie poidsnbsp;est �videmment proportionnel au volume; mals unenbsp;experience journali�re nous montre que les corps denbsp;nature diff�rente n�ont pas Ie m�me poids sous Ienbsp;ni�me volume; ce qui peut provenir de ce quenbsp;1�attraction de la terre, qui est la cause principalenbsp;de la pesanteur, comme on Ie verra par la suite,nbsp;d�pend de la nature des points mat�riels sur lesquelsnbsp;elle agit, ou bien, de ce que les corps h�t�rog�nesnbsp;renferment, sous des volumes �gaux, des quantit�snbsp;differentes de points mat�riels �galement pesans.nbsp;Nous expiiquerous, dans un autre chapitre, comment on a conclu, du mouvement observe des corpsnbsp;pesans, que c�est Ie second de ces deux cas qui anbsp;lieu dans Ia nature.

II en r�sulte que Ie poids d�un corps quelconque est en raison compos�e de sa masse et de l�intensit�nbsp;de la pesanteur dans Ie lieu o� il est situ�. Ainsi,nbsp;en appelant P ce poids, M la masse, et g la mesurenbsp;de la gravit�, on a

Cette quantit� g, ind�pendante de la nature particuliere de chaque corps, est, comme on volt, Ie poids de celui dont on prend arbitrairement la massenbsp;pour unit�. On verra par la suite comment sa valeurnbsp;a �t� d�termin�e en diff�rens points de la terre,nbsp;dapres Ie mouvement des corps soumis a Ia seulenbsp;action de la gravit�.

en d�signant par Ie poids du corps sous Funit� de volume, et sou volume par V. Le poids lU est cenbsp;qu�on appelle la pesanteur sp�cijique du corps quenbsp;l�ou consid�re; denomination impropre, puisque lanbsp;pesanteur est commune a tous les corps d�esp�ccsnbsp;difl�rentes, et qu�on devrait remplacer par celle denbsp;poids sp�cifique.

Enfin, si l�on repr�sente par D la masse, sous 1�unite de volume, du corps que l�on consid�re, D sera cenbsp;qu�on nomme la densit� de ce corps, et l�on aura

Telles sont les equations qui ont lieu entre les cinq quaatit�s P, g, M, D, V, dont chacune doitnbsp;�tre exprim�e nume'riquement, en la rapportant anbsp;une unite de son esp�ce.

6i. Le gramme, ou l�unit� de poids, est celui d�un centimetre cube d�eau distille'e et prise a sonnbsp;maximum de densit�, qui r�pond a environ 4� dunbsp;tbermom�tre centigrade. Ce poids varie avcc le lieunbsp;qu�il occupe �, mais comme les poids des autres corps,nbsp;qu�il sert a peser, varient exactement dans le m�menbsp;rapport, il s�ensuit que le poids d�un corps quelcon-que, exprim� en grammes, est partout le m�me, etnbsp;qu�on n�a pas besoin de dire en quel endroit il a �t�nbsp;determine. D�apr�s les experiences de M. Hallstr�m,nbsp;le poids du centimetre cube d�eau distill�e, a la temperature z�ro, est

Oa prend commun�ment poiu� unite de densit�, celle de l�eau distill�e a cette derni�re temperature.nbsp;Les densit�s d�un grand nombre de substances ont �t�nbsp;d�termin�es par l�exp�rience, et exprim�es en nom-bres au moyen de cette unite. Ainsi, par exemple, lanbsp;densit� du mercure a cette m�rne temperature est

13,5975,

pour chaque degr� de diminution ou d�augmenta-tion de la temperature. La densit� de Fair, prise au.ssi a la temperature de la glace fondante, sous lanbsp;pression barom�trique de 76 centimetres et a l�Obser-vatoire de Paris, a �t� trouv�e �gale a

et, pour chaque variation d�un degr� dans la temp�-rature, elle varie, en sens contraire, de

Le poids de la colonne de mercure qui exprime la pression barom�trique variant avec la latitude et i��-l�vation au-dessus de la surface de la terre, la densit� de 1�air, soumise a une pression d�une hauteurnbsp;donn�e, varie en in�me temps. Voila pourquoi il nenbsp;sufEt pas d�assigner cette hauteur; il faut encore direnbsp;a quel lieu elle .se rapporte, comme ici a FObserva-toire de Paris. Le rapport de la densit� du mercure a

TRAIT� DE M�CANIQ�E. celle de l�air, qui r�pond aux nombres pr�c�dens, est

Des qu�on attribue un ph�nom�ne, tel que la cha-leur, par exemple, a une substance mat�rielle, cette substance est soumise a la pesanteur; et l�expressionnbsp;imponderable ne doit s�eutendre que d�une mati�rcnbsp;dont la densit� est si faible, qu�elle �chappe a tousnbsp;nos niojens d�investigation; en sorte que sa presencenbsp;n�augmente ni Ie poids ni la masse mesurables dunbsp;corps dontelle fait partie, en quelque quantite' qu�ellenbsp;s�y trouve.

62. Les poids sont les forces qui nous sont Ie plus famili�res, et dont nous pouvons, au moyen de lanbsp;balance, determiner les rapports avec Ie plus d�exac-titude et de facilit�. C�est pourquoi il est naturel denbsp;les faire servir de terme de comparaison aux forcesnbsp;d�une autre nature. Ainsi, lorsque la force musculaire d�un animal, ou tout autre force, agit�sur unnbsp;corps par 1�interm�diaire d�une corde attach�e a sanbsp;surface, nous pouvons toujours concevoir que cettenbsp;force soit �quivalente a un certain poids determine,nbsp;et nous pouvons m�me, sans changer sa direction,nbsp;remplacer son action par celle de ce poids, en Ienbsp;suspendant a l�extr�mit� de la corde, apr�s avoirnbsp;fait passer celle-ci sur une poulie fixe convenable-ment plac�e.

Le poids fournit la mesure la plus commode de la masse �, sans le secours de la pesanteur, il serait, ennbsp;el�et, tres difficile de determiner le rapport des massesnbsp;de deux corps. On veiTa par la suite qu�on pourrait,

a la rigueur, Ie conclure du choc mutuel de ces corps; mais il est beaucoup plus simple de remplacer Ienbsp;rapport des masses par celui des poids, auquel il estnbsp;egal en chaque lieu de la terre, en vertu de 1�equation P=gM. Toutefois, on doit avoir une ideenbsp;pr�alable de l��galit� et du rapport des masses, in-d�pendamment de la pesanteur, qui n�est qu�unenbsp;propri�t� secondaire des corps, puisqu�elle devien-drait tont-a-fait insensible, sans que les massesnbsp;eussent change, en les transportant a une distancenbsp;suffisamment grande de la terre. Nous i'eviendronsnbsp;sur ce point dans un autre endroit de eet ouvrage.

63. Puisque tous les points d�iin corps pesant sont sollicit�s par des forces parall�les, il s�ensuit que sinbsp;on lui fait prendre successiveroent diverses positionsnbsp;par rapport a la direction de ces forces, leur r�sultante passera constamment par un certain point denbsp;Ce corps. Ce point, que nous avons appel�, en general, centre des forces parall�les (n� 53), prend ici Ienbsp;particulier de centre de graoit�. Sa -propri�t�nbsp;earact�ristique dans les corps solides, qui ne sontnbsp;soumis qua la seule action de la pesanteur, consistenbsp;Cu ce que, s�il est suppos� fixe, Ie corps auquel il ap-partient reste en �quilibre dans toutes les positionsnbsp;possibles autour de ce point, puisque, dans toutesnbsp;ces positions, la r�sultante des forces appliqu�es anbsp;tous les points du corps vient passer par Ie pointnbsp;fixe.

On concoit aussi que quand un corps solide pesant est retenu par un autre point fixe, il est n�cessaire et il suflit, pour 1��quillbre, que la droite

qui joint ce point et Ie centre de gi�avit� soit verticale; ce centre pouvant d�ailleurs se trouver au-dessus OU au-desscus du point fixe. En ef�et, Ie poids du corps �tant une force verticale appliqu�e a sonnbsp;centre de gravit�, sa direction co�ncidera, dans cettenbsp;hypoth�se, avec la droite qui joint ce centre et Ienbsp;point fixe, on avec son prolongement; par cons�quent , cette force sera d�truite par la resistance dunbsp;point fixe, comme si elle y �tait imm�diateinent appliqu�e.

Par la m�me raison, si Ton suspend un corps solide pesant a un point fixe, par Ie moyen d�un fil dont rextr�mit� inf�rieure est attach�e a un pointnbsp;de sa surface, la direction de ce fil sera verticalenbsp;dans l��tat d��quilibre, et son prolongement ira passer par Ie centre de gravit� du corps. II en sera denbsp;m�me si l�on suspend, une ou plusieurs autres fois, cenbsp;m�me corps au point fixe, en attachant l�extr�mit�nbsp;inf�rieure du fil a d�autres points de sa surface. Lesnbsp;prolongemens du fil, trac�s successivement dans l�in-t�rieur du corps, s�y couperonl a son centre de gravit�; ce qui fournit un moyen pratique de determiner la position de ce centre dans un corps denbsp;forme quelconque, homogene ou h�t�rog�ne.

Dans toutes les questions d��quilibre relatives a un corps solide, on pourra faire abstraction de lanbsp;pesanteur de ses diverses parties, pourvu qu�onnbsp;ajoute aux autres forces donn�es qui agissent surnbsp;ce corps, une force �gale a son poids, et appliqu�enbsp;verticalement a son centre de gravit�. Ainsi , parnbsp;exemple, dans Ie cas de l��quilibre du levier, il fau-

dra comprendre au nombre des forces donu�es dont la somme des momens doit �tre nulJe, par rapportnbsp;au point d�appui (nquot; 4?) gt; 1� poids du levier agis-sant a son centre de gravit� suivant la direction denbsp;la pesanteur.

64. Lorsque Ton connait les centres de grayit� G et G' des deux parties d�un corps, et leurs poids pnbsp;et p', on en d�duit imm�diatement Ie centre de gra^nbsp;Vit� K de ce corps; car ce centre est Ie point d�ap-plication sur la droite GG', de la r�sultante des forcesnbsp;parall�les p et p', qui agissent dans Ie ni�me sens anbsp;ses extr�mit�s G et G'; et, pour en determiner lanbsp;position, on a cons�quemment

De m�me, si Ton connait les centres de gravit� K et G d�un corps et de Tune de ses parties, et que lesnbsp;poids du corps et de cette partie soient P etp, onnbsp;en conclura Ie centre de gravit� G' de l�autre partie;nbsp;car ce point sera situ� au-dela du point K sur Ie pro-longement de la droite GK, et sa distance au point Gnbsp;sera d�termin�e par la proportion

Si uu corps est divis� en un nombre quelconque de parties dont les poids et les centres de gravit�nbsp;soient connus, on en poin�ra d�duire son centre denbsp;gravit� par une suite de proportions; mais il con-viendra mieux de d�terminer ses trois coordonn�esnbsp;au raoyen du th�or�me i�elatif aux momens desnbsp;forces parall�les (nquot; 54).

j. nbsp;nbsp;nbsp;8

Soient, pour cela, p, p', pquot;, etc., les poids des diff�rentes parties du corps, et P son poids total, denbsp;sorte qu�on ait

Soientaussi , j, z, les coordonn�esdu centre de gra-vit� de la partle dont p est Ie poids; oc', j', z', celles du centre de gravit� de la partie dont Ie poids estnbsp;p'; etc. Toutes ces quantit�s seront donn�es par bj-poth�se; et si l�on appellenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z,, les coordonn�es

du centre de gravit� du corps entier, rapport�es aux m�mes axes que les pr�c�dentes, on aura, d�apr�snbsp;Ie th�or�me cite,

65. On peut, dans ces equations, remplacer les poids par les masses auxquelles ils sont proportion-nels. En d�signant done par m, m', mquot;, etc., lesnbsp;masses des diff�rentes parties du corps dont les poidsnbsp;sont repr�sent�s par p, p', pquot;, etc., et repr�sentantnbsp;par M la masse totale, de sorte qu�on ait

Mx, = mx -j- to'x' -j- toV etc., i Mj, = mj H- m'f my -f- etc., gt; (i)nbsp;Mz. = mz m'z' -f- toV etc,; )

ce qui montre que Ie centre de gravit� est ind�pen-dant de l�intensit� de la pesanteur, et qu�il sera tou-� jours Ie m�me point du corps, a diff�rentes latitudesnbsp;et a difFe'rentes hauteurs au-dessus de la surface de lanbsp;terre. En consid�rant que ce point ne suppose pas Taction de la gravit�, etqu�il ne depend que des masses etnbsp;de leur disposition respective , Euler et d�autres auteurs Tappellent centre d�inertie; mais la d�nomi-Dation de centre de gravit� a plus g�n�ralementnbsp;pr�valu.

Si la masse M a �t� divis�e en un nombre infini de parties infiniment petites m, m', nfi\ etc,, on pourranbsp;prendre tel point qu�on voudra de chacune d�ellesnbsp;pour son centre de gravit�, puisque les coordonn�es,nbsp;suivant chaque axe de tous les points d�un m�me �l�ment, ne diff�reront entre elles que d�un infinimentnbsp;petit. Les seconds membres des equations (i) se com-poseront alors d�une inlinit� de termes infinimentnbsp;petits, dont les sommes seront des int�grales d�fi-nies, d�apr�s Ie th�or�me du n� i3 �tendu aux int�grales multiples. Par cons�quent, on pourra toujours,nbsp;par les regies du calcul int�gral, d�terminer exacte-ment ou par approximation Ie centre de gravit� d�unnbsp;corps quelconque, saus connaitre celui d�aucune denbsp;ses parties.

Dans uu corps dont toutes les parties sont homo-g�nes, leurs masses sont entre elles comme les volumes j on peut done alors substituer les volumes aux masses, dans les �quations (i)j et si Ton repr�sentenbsp;par V Ie volume entier, et par v, d, d', etc., sesnbsp;parties correspondantes a m , m', etc., on aui'a

8..

Le point qu�on determine par ces equations est Ie centre des forces parall�les appliqu�es a tous les pointsnbsp;d�un corps, et proportionnelles aux �l�mens de sonnbsp;volume; ce point s�appelle le centre de gravit� dunbsp;volume, quoiqu�un volume n�ait ni masse ni pesan-teur. On appelle aussi centre de gravit� d�une surfacenbsp;OU d�une ligne, le centre des forces parall�ies appliqu�es a tous leurs points, et proportionnelles a leursnbsp;�l�mens. On d�terminera ses coordonn�es en rem-placant, dans les �quations pr�c�dentes, les volumesnbsp;V, V, v', d�, etc., soit par les aires de la surface et denbsp;ses parties, soit par les longueurs de la ligne et de sesnbsp;parties.

66. Les masses M, m, m', m'*, etc., et les distances rnutuelles de leurs centres de gravit�, sont ll�es entre elles par une equation facile a d�duirenbsp;des equations (i).

Pour cela, placons l�origine des coordonn�es au centre de gravit� de M; ces �quations deviendront

mx 4� m'x' 4� mquot;xquot; -j- etc. = o, mj- 4quot; ~h nd'y -f-etc. = o,nbsp;mz 4- in'z' 4- tni'zquot; 4- etc. = o.

M (mjr� m'j��^ 7wy� etc.) = mm' (y �y'y mmquot; (^y �yquot;y -|- m'mi' (y' �yquot;y etc,,

� ^'7 (7 ~fy nbsp;nbsp;nbsp;� z'O� = p'�,

pour l��quation qu�il s�agissait d�obtenir, et dans la-quelle p, p', pquot;, etc., sont les distances mutuelles des centres de gravite' de in, m', m�, etc., et r, r', rquot;, etc.,nbsp;les distances de ces points au centre de gravit� de M.

67. On de'duit aussi des equations (i) une pro-prl�l� curieuse de Tequilibre d�un point materiel enti�rement libre. Voici en quoi elle consiste.

Soit 0 (fig. aS) Ie point en e'quilibre ; repr�sen-tons en grandeurs et eh directions, par les droites OA, OA', OAquot;, etc., les forces qui Ie sollicitent; sinbsp;leurs extr�mit�s A, A', Aquot;, etc., sont les centres denbsp;gravit� de masses �gales, Ie point 0 sera Ie centrenbsp;de gravit� de qe syst�me entier.

En effet, en appliquant les �quations (i) a ces masses, et supposant que n soit leur nombre, onnbsp;aura

D�un autre c�t�, si 1�on d�signe par a, y, les angles que fait la force OA avec trois axes rectangulaires men�s par Ie point 0; par a!, 6', y', ce que ces anglesnbsp;deviennent relativement a la force OA'; paraquot;, Cquot;, yquot;,nbsp;ce qu�ils deviennent relativement a la force OA^'; etc.,nbsp;les �quations d��quillbre de ces forces seront

OA cos at H- OA' cos aJ -j- OAquot; cos aquot; etc. = o, OA cos � �fquot; OA' cos C -f- OA cos Cquot; -(- etc. = o,nbsp;OA cos y -f- 0A' cos y'-jr OAquot; cos yquot; -[- etc. = o.

X = O A cos a , � = 0 A cos Q , z = 0 A cos y , x' = OA' cos cc', y � OA' cos z' � OM cos y',nbsp;^�'=OA'cosa', / = OAquot;cos�', s' = OA'cosgt;',nbsp;etc.,

pour les coordonn�es des points A, M, M', etc. En vertu des equations d��quilibre, on aura done

pour les coordonn�es du centre de gravit� des masses �gales; par cons�quent, ce centre co�ncidera avec Ienbsp;point O; ce qu�il s�agissait de d�montrer.

68. 11 y a beaucoup de cas particuliers o� Ie centre de gravit� est imm�diatement connu. Ainsi, Ie centrenbsp;de gravite d�une sphere ou d�un ellipso�de est �vi-demment au centre de figure; celui d�un parall�l�-pip�de, a l�intersection de ses quatre diagonales; celuinbsp;d�un cylindre a bases parall�les, au milieu de son axe.nbsp;Le centre de gravit� d�un eerde ou d�une ellipse estnbsp;aussi au centre de figure, et celui d�un parall�lo-gramme, al�intersection des deux diagonales.Le centrenbsp;de gravit� d�une ligne droite est le milieu de cettenbsp;droite; d�ou l�on conclut sans difiicult� le centre denbsp;gravit� du contour d�un polygone quelconque, soitnbsp;par une suite de proportions (n� 64) gt; soit par les

Equations des momens des forces parall�les. On voit de m�me que quand on aura trouv� les centres denbsp;gravit� d�un triangle et d�une pjramide triangulaire,nbsp;on en d�duira, par i�un ou l�autre de ces deux moyens,nbsp;les centres de gravit� d�un polygone et d�un poly�drenbsp;donn�s, que l�on peut toujours d�composer, soit ennbsp;triangles, soit en pyramides triangulaires.

Mais, en g�n�ral, la d�termination des centres de gravit� exige I�emploi du calcul int�gral; et dans Ienbsp;chapitre suivant nous allons donner tous les d�tailsnbsp;qu�on peut d�sirer sur ce probl�me.

'VV\^W\fVV\'VV\ VVMW^\iXH/W\/VW/W\(VWVV*VV''W^/VVMVV%/W\iVWV\A.WWVV\'Wgt;fWMVVH'WV'VV^iWgt;iWWWWVfVVgt;

CHAPITRE V.

69. Soit j� Fare de la courbe donn�e, aboutissant a un point quelconque M, et compt� a partir d�un pointnbsp;fixe que j�appellerai C. Soient aussi x,j-, z, les troisnbsp;coordonn�es rectangulaires de M. On consid�rera cettenbsp;courbe comme un polygone d�une infinite de c�t�s;nbsp;ds sera Ie c�t� ou T�l�ment de la courbe qui r�pondnbsp;au point M; et quelque part que soit Ie centre denbsp;gravit� de eet �l�ment, on prendra x, z, pour sesnbsp;trois coordonn�es, qui ne sauraient, effectivement,nbsp;difF�i�er de x, j, z, que de quantit�s infiniment pe-tites.

Appelons l la longueur de la partie d�termin�e de la courbe dont il s�agit de d�terminer Ie centre denbsp;gravit�; et repr�sentons par et s, les valeurs don-n�es de s qui r�pondent aux deux extr�mit�s de l.nbsp;Soient jc,, j',, z,, les coordonn�es du centre de gravit� de cel are Z, rappoi�t�es aux axes des x, J, z.nbsp;Dapr�s Ie th�or�me du nquot; i3, la somme des valeurs de chacun des produits xds,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dans toute

1 �tendue de sera une int�grale d�finie prise de-puis s-=.s^ jusqu�a ^ = .9,, en regai'dant x, r, z,

Supposons, par exemple, que la ligne donne'e soit une droite, et que sa partie l aboutisse au point C,nbsp;de sorte qu�on ait s'o = o et = l. D�signons parnbsp;a, ^, y, ies trois angles que fait cette partie l avecnbsp;des axes men�s par Ie point C suivant la direction desnbsp;x,j, z, positives; soient aussi a, b, c, les trois coor-donn�es du point C; pour Ie point quelconque M nousnbsp;aurons

Je substitue ces valeurs dans les equations (i); et en effectuant les integrations et divisant ensuite par l,nbsp;il vient

ce qui montre, comme cela devait �tre, que Ie centre de gravit� de la droite l est situ� a son milieu.

zo. Lorsqu�il s�agira d�uiie courbe plane, et qu�on pi�endra son plan pour celui des a? et jp, il sufFira desnbsp;deux premi�res equations (i) pour determiner la position de son centre de gravit� dans ce plan. Si, denbsp;plus, la portion l de la courbe est sym�trique denbsp;part et d�autre du point C, on aura 5^^=�

�iiale au point C; et en prenant cette droite pour l�axe des^, il suffira de determiner Ia valeur de qui seranbsp;doun�e par l��quation

L�arc de eerde est compris dans ce cas particulier, en prenant pour axe des x, Ie diam�tre qui passe parnbsp;son milieu. Si Ton place en m�me temps l�origine desnbsp;coordonn�es au centre du eerde, et qu�on appelle anbsp;son rayon, on aura

ee qui montre que la distance x, du centre de gra-vit� d�un are de eerde au centre du eerde, est qua-tri�me proportionnelle au rayon, a la corde et a l�arc.

et en appelant a et � les valeurs de jc qui re'pondent aux deux extr�mit�s de l�arc l, on aura, au lieu desnbsp;equations pr�c�dentes.

(2)

Si la courbe donn�e est une section conique, on ob-tiendra sous forme linie, par les regies ordinaires, les valeurs des int�grales contenues dans les deux der-ni�res equations (2). Dans Ie cas de la parabole, onnbsp;obtiendra de m�me la valeur de l�int�grale que ren-ferme la premi�re de ces equations; en sorte que lesnbsp;deux coordonn�es du centre de gravit� d�un are denbsp;parabole pourront toujours s�obtenir en fonctions desnbsp;abscisses at et ^ de ses extr�mite's. D�apr�s un th�or�menbsp;de Landen, Fare d�hyperbole s�exprime au mojennbsp;de deux arcs d�ellipse et d�une partie alg�brique;nbsp;quant a l�arc d�ellipse, on Ie regarde comme une fonc-tion irre'ductible a d�autres fonctions plus simples; etnbsp;M. Legendre a calcul� des tables fort e'tenduesde cettenbsp;fonction, qui en font connaltre les valeurs num�ri-ques avec une grande approximation. Par cons�quent,nbsp;lorsque les valeurs num�riques de at et C et celles desnbsp;axes de Fhyperbole ou de Felllpse seront donn�es,nbsp;il sera facile de calculer la valeur de Z, et par suitenbsp;les coordonn�es a?, et y, du centre de gravit� d�unnbsp;are appaiTenant a 1�une ou 1�autrc de ces deux courbes.

72. Je prendrai l�arc de cjclo�de pour un autre exemple de Fapplication des equations (2). Dansnbsp;cette courbe, la longueur, l�aire, la sui'face et Ienbsp;volume engendr�s par sa revolution, et les coor-donn�es de leurs -centres de gravit�, se d�termi-iient exactement. La construction de la tangen te ennbsp;point quelconque de cette courbe est aussi tresnbsp;simplej sa d�velopp�e est une autre cyclo�de; et, denbsp;plus, par une s�rie de d�veloppemens successifs, unenbsp;courbe quelconque approche de plus en plus de senbsp;confondre avec la cyclo�de, et s�y confondrait l�gou-reusement a l�infini (*). C�est encore la cyclo�de quenbsp;1�on trouve, comme 011 Ie verra par la suite, lors-qu�on cherche la courbe qui jouit des propri�t�s lesnbsp;plus remarquables, par rapport au mouvement cur-viligne des corps pesans. Cette reunion singuliere d�unnbsp;grand nombre de propri�t�s curieuses et de naturenbsp;diff�rente sur une m�me courbe, en rend la consid�-cation tr�s utile et tr�s fr�quente en G�om�trie etnbsp;dans la M�canique. Void comment on obtient sonnbsp;equation.

La cyclo�de est une courbe plane ACB (fig. 24 ) , engendr�e par un point d�termin� M de la circon-f�rence d�un cercle pendant qu�il roule sans glissernbsp;sur une droite AB. Si le point g�n�rateur se trouvenbsp;d�abord au point A, et qu�il arrive ensuite au pointnbsp;B de cette droite, Tinterv alle AB sera �gal a la cir-conf�rence du cercle donn�; on voit aussi que son

cliam�tre sera e'gal a la perpendiculaire CD, abais-s�e du sommet C de la cjclo�de sur AB, et qui di-vise la courbc en deux parties sym�triques. En appelant c Ie rayon du eerde donn�, on aura done

Dans une position quelconque du eerde, soient HG son diam�tre perpendieulaii'e a la base AB, et Hnbsp;son point de contact avec cette drolte. Du point M,nbsp;abaissons les perpendiculaires MP et MK sur AB etnbsp;GH, et faisons

AP = p

Mais Ie eerde g�n�rateur tournant sans glisser sur la droite AB, il s�ensuit qu�on a constamment

les deux cordes MG et MH du eerde g�n�rateur sont la tangente et la normale a la cyclo�de qui re'pondentnbsp;au point M. En determinant par la formule connuenbsp;son rayon de courbure au ra�me point, on Ie trouvenbsp;�gal au double de MH; d�o� il re'sulte qu�en prolon-geant MH d�une quantit� HN �gale a MH, Ie point Nnbsp;sera Ie centre de courbure. En faisant de m�me lanbsp;droite CDE double de CD, Ie point E sera Ie centrenbsp;de courbure qui r�pond au sommet C; et de la onnbsp;eonclut ais�ment que la d�velopp�e ANE de la demi-cyclo�de AMC est la m�me courbe, i'envers�e denbsp;manl�re que son sommet C solt transport� en A etnbsp;son origine A en E. II s�ensuit que la longueur denbsp;ANE OU de AMC est �gale a la droite CDE, et que, parnbsp;cons�quent, la longueur totale de la cyclo�de est �galenbsp;a qualre fois Ie diam�tre de soa eerde g�n�rateur.

73. Dans les usages que nous ferons de cette equation, il sera plus commode de transporter l�origine des coordonn�es au sommet C (fig. aS ). Je pren-drai pour axes des a? et des jr les droites Cx et Cy,nbsp;Perpendiculaires et parall�les a la base AB. En abais-sant du point quelconque M une perpendiculaire MPnbsp;SRr Ca:, on aura done

CP = X, MP = j;

et si l�on compare ces coordonn�es aux pr�c�dentes, et que l�on appelle a Ie diam�tre CD du eerde g�n�-i�ateur, on voit que

P = i '^a � y, q = a � x; done, en subslituant ces valeurs dans l��quation dif-

En prenant l�int�grale de mani�re qu�elle s�evanouisse quand x = o , on a

pour la longueur de 1 are CM, dont l�origine est au sonimet C. Au point A, on a x = a; ce qui donne,nbsp;comnie pr�c�demment, ia pour la longueur de lanbsp;demi-cjelo�de CMA. On peut remarquer quej�=4^xnbsp;est une equation de la cyclo�de semblable a cellenbsp;de la parabole, dont elle ne diff�re qu�en ce quenbsp;l�ordonn�e j s�y trouve remplac�e par l�arc s.

En appliquant les deux derni�res equations (2) au centre de gravit� de Fare CM, nous aurons

sx,=j'x\/-^dx, sj,z=j'j sj^dx,

o� 1�on prendra les int�grales de mani�re qu�elles s��vanouissent avec x. En y mettant pour s sa vaquot;nbsp;leur, il en r�sulte

IX, \/x =f\/xdx, IJ, s/x = f

d�ua are M'CM sym�tnque de partei d�autre du som-raet C, qui doit apparteoir a la droite CD, se trouve au tiers de CP, a partir du point C.

Si Ton substitue pour dj sa valeur donn�e par l��-quation (a), on aura done

j, S/x = j \/x � J \^a �� X dx,

ce qui, joint a la valeur de x^, determine compl�-tement Ie centre de gravit� de Vare CM. Dans Ie eas de la demi-cyclo�de, on a a? = a et y' = anbsp;d o� il r�sulte

jr. =

74- Quand une courbe plane tourne autour d�une droite comprise dans son plan et que je prendrai pournbsp;1�axe des abscisses, elle engendve une surface de revolution dont l��tendue peut se d�duii-e de la longueur de cette courbe et de Tordonn�e de son centrenbsp;de gravit�.

Pour Ie faire voir, soient x et j l�abscisse et l�or-donn�e du point quelconque M de cette courbe, et s l�arc CM aboutissant a ce point et compt� d�un pointnbsp;�xe C; l��l�ment ds engendrera la surface d�un c�ne

tronqu�, et son milieu d�criraime circonf�i�ence �gale a 27r {j'^ djquot;), Ou simpleinenta a cause quenbsp;dj' est un infiniment petit. D�apr�s la r�gie connue,nbsp;on aura done oTrjds pour eet �l�ment de surface.nbsp;Done, si l�on appelle i', et les valeurs de s qui i��-pondent aux deux extr�mit�s de la courbe g�n�ra-tidce, et S la surface engendr�e, on aura, d�apr�s Ienbsp;th�or�me du n� i5,

'f.y*-

On remarquera que cette expression suppose que la courbe g�n�ratrice n�est pas coup�e par l�axe desnbsp;X, sans quoi ses parties situ�es des deux c�t�s de eetnbsp;axe d�criraient deux surfaces diff�rentes, dont S n�ex-primerait plus que la diff�rence. Avec cette restriction , elle subsistera encore lorsque la g�n�ratricenbsp;sera une courbe ferm�e; et, pour l�appliquer a cenbsp;cas, il suffira de prendre pour l�arc augment� denbsp;la circonf�rence enti�re de cette courbe.

Cela pos�, si l�on compare cette formule a la troi-si�me �quation (2), on en conclut nbsp;nbsp;nbsp;^

ce qui montre que la surface engendr�e S est �gale a la longueur l de la courbe g�n�ratrice, multipli�enbsp;par la circonf�rence aTr/, que d�crit son centre denbsp;gravit�.

Ce tb�or�me servira a d�terininer la valeur de S toutes les fois que Ie centre de gravit� de la g�n�ratrice sera connu sans aucun calcul, et, pour ainsinbsp;dire, a I�inspection de cette courbe ,� il ne servirait

plus a rien s�il fallait calculer l�ordonn�e j-,, puis-que ce calcul serait Ie m�me que celui de S. En sup-posant, par exemple, que la courbe g�n�ratrice soit un eerde; d�signa-nt par a son rayon, par c la distance de son centre a I�axe de rotation, et supposantnbsp;qu�on n�ait pas c a , on aura

Quand le cercle touchera I�axe de rotation, on aura c � a, et la surface engendr�e sera �quivalente aunbsp;carr� dont le c�t� est �gal a la circonf�rence 27ranbsp;du cercle g�n�rateur.

point quelconque M, et .r,, j,, z,, celles du centre de gravit� qu�il s�agit de d�lerminer. Je consid�re znbsp;comme une function donn�e de x et j'; je fais

et j�appelle m r�l�rnent de la surface donn�e qui r� pond au point M; on aura (n� 21)

Quel que soit le point de agt; o� se trouve Ie centi�e de gravit� de eet �l�ment, ses coordonnees diff�re-ront infiniment peu de x, z^ on pourra done

9-.

prendre �x, cdj'-, ooz, pour les momens de � par rapport aux trois plans des coordonn�es, et il ennbsp;r�sultera (nquot;� 15 et 65 )

A e'tant l�aire de la portion de surface dont on de-mande Ie centre de graylt�, et les int�grales doubles s��tendant a tous les �l�inens de A.

Dans Ie cas d�une surface plane, et en prenant son plan pour celui des oc et j-, les quantit�s pnbsp;et q seront nulles, et l�on aura seulement a con-sid�rer les trois equations

Supposons que A soit alors termin�e par la courbe ABC (fig. 26); a chaque abscisse x ou OP r�pon-dront deux ordonn�es PM et PN, que je repr�sen-terai par j et j', et qui seront donn�es en fonc-tions de x par 1 equation de cette courbe. Soientnbsp;aussi et et C les abscisses OD et OE des points Anbsp;et B ou les tangentes sont parall�les aux ordonn�es, Les int�grales devront �tre pi�ises, d�abord de-puis j = PN jusqu�a j � PM , et ensuite depuisnbsp;X = a et X = ^; et il en r�sultera

ABC, si Faire A est comprise entre deux courbes dif-f�rentes et entre deux droites parall�les a Faxe Oj des ordonn�es, on tirera de F�quation de la courbenbsp;superieure Ia valeur de jy, et de Fe'quation de lanbsp;courbe infeVieure celle de j', et l�on prendra pournbsp;a et S les distances de ces deux parall�les au pointnbsp;O. Dans Ie cas Ie plus ordinaire, la courbe. inf�rieure sera reniplac�e par Faxe Ox des abscisses; onnbsp;aura done = o , et slmplement

^x,z=J'^jjcda:, nbsp;nbsp;nbsp;(2)

pour determiner Faire et Ie centi�e de gravit� d�une portion de surface plane comprise entre une courbenbsp;donn�e, Faxe des abscisses et deux ordonn�es denbsp;cette courbe.

Observons aussi qu�on parvient dlrectement aux equations (i) de la mani�re suivante.

� nfiniment minces et parall�les a Faxe Ojr. J�appelle u la longueur de la droite MN; par ses deux ex-tr�mit�s M et N, si Fon m�ne des parall�les a Faxenbsp;Ojc, on ajoutera a F�l�ment MNN'M', ou Fon ennbsp;retranchera, des triangles infiniment pelits du second ordre, qui n�en alt�reront pas la grandeur;nbsp;par cons�quent, eet �l�ment sera �gal a udx. Sinbsp;Fon d�signe par e la distance du milieu de MN anbsp;Faxe Ox, on pourra prendre x et if pour les deuxnbsp;coordonn�es du centre de gravit� de eet �l�ment;nbsp;car il est evident qu�elles n'en pouxTOul dilf�rer quenbsp;de quantit�s infiniment petites. D�apr�s les autres

D�aiileurs, j et j' �tant toujours les ordoane'es PM et PN qui r�pondent a une m�me absdsse quel�nbsp;conque, on a aussi

76. Pour premier exemple, je suppose qu�on de-mande Ie centre de gravit� du triangle ABC (fig. 27).

Je place l�origine des coordonn�es au sommet C, et je prends l�axe des x perpendiculaire a la basenbsp;AB; je repr�sente cette base par b, et la hauteur CDnbsp;par h. Par Ie point quelconque P appartenant a CD,nbsp;je m�ne la perpendiculaire MN a cette droite; CP etnbsp;MN seront les variables x ei u, et l�on aura la proportion

On aura, en outre, a = o et C=^ h. Au moyen de ces valeurs, les deux premi�res equations (3) don-neront

X, =: I A.

car si E est Ie milieu de AB, et qu�on tire la drolte CE, elle coupera en deux parties �gales tons les �l�-niens du triangle parall�les a AB, et contiendra, con-s�quemment, son centre de gravit�. Si done on prendnbsp;sur CD une par tie

et qu�on �l�ve la drolte FG perpendiculaire a CD, Ie point G o� elle rencontrera CE sera Ie centre de gravit� du triangle. La droite FG coupant CD et CE ennbsp;parties proportionnelles, on aura aussi

ce qui montre que Ie centre de gravit� d�un triangle se trouve sur la droite qui joint son somrnet au milieu de sa base, aux deux tiers de cette droite a par-tir du somrnet, on au tiers a partir de la base.

En et�et, par la decomposition du triangle ABC (fig. 28) en �l�mens parall�les au c�t� AB, on prou-vera que son centre de gravit� se trouve sur la droitenbsp;CD, qui joint Ie somrnet C au milieu D de ce c�t�.nbsp;Eu Ie d�composant en �l�mens parall�les au c�t� CA,nbsp;on prouvera de m�me que ce centre de gravit� estnbsp;aussi sur la drolte BE qui va du somrnet B au milieunbsp;E de CA; ce point sera done situ� a I�intersection Gnbsp;des deux droites CD et BE. Or, si l�on tire la droitenbsp;DE, elle sera parall�le a CB, puisqu�elle coupe CAnbsp;et AB en parties proportionnelles; il en i��sulteranbsp;done

en sorte que DG sera la moiti� de CG, et, cons�-quemment, Ie tiers de CD; ce qu�il s�agissait de d�-montrer.

On en peut conclure que les trois droites qui vont des s�mmets d�un triangle aux milieux des c�t�s opposes, doivent se couperen un m�me point; ce quinbsp;est conforme a un th�or�me connu.

Si les sommets A, B, C, du triangle sont les centres de gravit� de trois masses �gales, Ie centre de gravit�nbsp;de ces trois corps co�ncidera avec celui du triangle;nbsp;car Ie centre de gravit� des deux masses qui r�pon-dent a A et B se trouvera d�abord au milieu D de lanbsp;droite AB; et ensuite Ie centre de gravit� de ces deuxnbsp;masses et de la trolsi�me sera Ie point G de la droite CD,nbsp;tel que GD est moiti� de CG ou Ie tiers de CD.

II suit de la et du tb�or�me du n� 67, que si l�on applique au centre de gravit� G d�un triangle, desnbsp;forces repr�sent�es en grandeur et en direction parnbsp;les droites GA, GB, GC, qui vont de ce point auxnbsp;trois sommets, ces trois forces seront en �quilibre.

78. Connaissant Ie centre de gravit� d�un triangle, on en d�duit successivement ceux d�un secteur et d�unnbsp;segment circulaires.

Soient CADB (tig. 29) Ie secteur, et C Ie centre du eerde. Si I on considere l�arc ADB comme une portion de polygone d�une infinite de c�t�s �gaux, onnbsp;pourra decomposer Ie secteur en �l�mens triangulairesnbsp;aussi �gaux, qui auront tous ces c�t�s pour bases et

leur sommet commun au point C. On appliquera en-suite la force qui agit sur chacun de ces �l�mens a son centre de gravit�; et comme la distance au point C denbsp;chaque centre de gravit� est les deux tiers du rayonnbsp;du eerde, il en r�sultera un syst�me de forces paral-l�les et �gales , appliqu�es a tous les �l�mens de l�arcnbsp;d�crit du point C comme centre, et d�unnbsp;rayon �gal a | CD. Par cons�quent, Ie centre de gravit� du secteur sera Ie centre de ces forces parall�les,nbsp;c est-a-dire, Ie centre de gravit� de eet are A'D'B'. Or,nbsp;en d�signant par a, l, c, Ie rayon CD, l�arc ADB etnbsp;la corde AB, les quantit�s analogues, relativementnbsp;a A'D'B', seront ~a, fZ, fc; si done G est Ie centrenbsp;de gravit� demand�, et qu�on fasse CG = on aura,nbsp;d�apr�s Ie th�or�me du n� 70,

Maintenant, soient S, S', S,, les surfaces du secteur CADB, du triangle CAB et du segment ADBE; appe-lons G, G', G,, leurs centres de gravit�, qui serontnbsp;cvidemment sur Ie rayon CD aboutissant au milieu Dnbsp;de l�arc ADB � si l�on d�signe par x, x', x^, les distances de ces trois points au centre C, et qu�oa y applique des forces parall�les et proportionnelles a S, S',nbsp;gt; la premi�re sera la r�sultante des deux autres; ennbsp;consid�rant les momens de ces forces, on aura done

Sar = S'ar' -|- S,ar,.

S' � ^ch, nbsp;nbsp;nbsp;j?' = I Ji.

et elle fera connaltre la distance x, du centre de gra-vit� du segment ADBE au centre du eerde. En observant que

Lorsque l�arc l est la demi-circonf�rence, on a I =7ra; Ie secteur et Ie segment coincident, ainsinbsp;que les distances x et x\, dont la valeur communenbsp;est

jg. Si 1�on prend successivement les trois sections coniques pour Ia courbe a laquelle re'pondent les formules (2), les integrations s�effectueront par les regiesnbsp;connues, et l�on pourra obtenir, sous forme linie, lesnbsp;valeurs des deux coordonn�es x, etj, du centre de

gravit�. J�indique eet example comme exercice de calcul, et je passe imm�diatement a la determinationnbsp;du centre de gravite' de l�aire de la cyclo�de.

Soit CPM(fig. 25) Ie segment dont on veut trou-Ver Ie centre de gravit�; en d�signant par jc etjy l�abs-cisse CP et l�ordonn�e PM, comme dans l��quation (�) du nquot; , il faudra que les int�grales contenuesnbsp;dans les formules (2) s�evanouissent quand x�o; etnbsp;en integrant par partie, ces formules deviendront

Aar. = �- xy � ifx^dj, V (4)

Ar. = T rr* �f^jdj; )

TOais si N est Ie point o� Pordonn�e PM rencontre Ie eerde d�crit sur CD comme diam�tre, cette derni�renbsp;integrale exprime Ie demi-segment circulaire CNP ;nbsp;en repr�sentant, pour abr�ger, par y Paire de ce demi-segment , on aura done

L�aire CAD de la demi-cjclo�de est done triple de eelle du demi-cercle CND, dont Ie rayon est | rt, ou,nbsp;autrement dit, l�aire de la cyclo�de enti�re est �gale anbsp;trois fois celle de son eerde g�n�rateur.

La derni�re integrale s�obtient imm�diatement; et a cause quelle doit s��vanoulr, quandx = o, nous au-rons

pour la distance de son centre de gravite a I�axe Cy. Ainsi, le centre de gravite de Faire enti�re de la cyclo�de se trouve aux sept-douziemes de la hauteur CD,nbsp;a partir du sommet C.

Relativement a un segment quelconque CMP, il reste a determiner I�ordonnee jr,; ce qui exige un cal-cul plus complique.

\/ ax � x'^

et supposant que cette integrale soit nulle comme toutes les au tres, quand x= o, on aura

fxfdf = A ajc* � i nbsp;nbsp;nbsp; ' afz \/ax � x� dx.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(5)

Je substitue ces valeurs de y et fydz dans l��qualion (6); il en i��sulte

fz{/ ax�x^dx~ nbsp;nbsp;nbsp;� 2(2**�V'ax �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^dx�x�);

Ia troisi�me e'quation (4) ne contiendra plus rien d�in-connu, et fera connaitre la valeur dey^, pour un segment quelconque CMP.

Dans Ie cas de la demi-cjelo�de CAD, on aura X � a, z �=. are (cos = � i) = -rr;nbsp;la formule (7) se r�duira a

Ce qui, joint a la valeui� de a?, du num�ro pr�c�dent, d�terminera compl�tement la position du centre denbsp;gravit�.

81. Soit S l�aire d�une zone de surface de r�volu-tion, comprise enti�e deux plans perpendiculaires a son axe de figure. Get axe renfermera le centre de gravit� de S : je le prendrai pour I�axe des a?; et je d�-signerai par .r, la distance de ce centre a Forigine desnbsp;coordonn�es, et par a et � les distances a la m�me origine, des deux plans qui terminentS; la d�termina-tion du centre de gravit� de cette zone se r�duira anbsp;celle de la valeur de

Je decompose S en �l�mens dontcliacunsera Ia surface d�un c�ne tronqu� d�crite par le c�t� infinimenl petit de la courbe g�n�ratrice, c�rame dans le n� 74,� celui fiui r�pond au point M de cette courbe dont les coor-donn�es sont x ei j, sera �gal a o.'Kjs/dy��; ilnbsp;aura aussi son centre de gravit� sur l�axe des x, etnbsp;f�on pourra prendre x pour la distance de ce point anbsp;^�origine des coordonn�es, puisqu�elle ne pourra dif-f�rer de x que d�un infiniment petit. Ceia �tant, onnbsp;aura (nquot;� i3 et 65),

cn consid�rant j comme une fonction de a:, donn�e par l��quation de la g�n�ratrice.

Si cette courbe est, par exemple, un are de cercle; que Ton place I�origine des coordonn�esa son centre,nbsp;et qu�on appelle a son rayon, on aura

Sx. = -Tra (�* � a*),

ce qui montre que Ie centre de gravit� d�une zone sph�rique est au milieu de la partie du diam�trenbsp;comprise entre les deux plans qui la terminent, etnbsp;perpendiculaire a ces plans.

82. La cyclo�de nous fournira deux exemples de rapplication des formules (8), en faisant tournernbsp;successivement l�arc CM (fig. 25) autour de l�axe Cjcnbsp;et de l�axe Cy--.

S ~ 27r s/a jy, Sx, = 2'7C S/ajy \/a:djc;

les int�grales �tant prises de mani�re qu�elles s��va-nouissent au point C, ou Ton a o: = o. En integrant par partie, et ayant �gard a la valeur de dj, donn�enbsp;par la m�me equation (a), il vient

ce qui fait connallre la surface concave vers l�axe de figure, engendr�e par fare CM, et la distance denbsp;son centre de gravit� au point C. Quand eet are de-vientla demi-cyclo�de CA, on a x=.a tX jr~\'7iaynbsp;et, cons�quemnient,

Dans Ie second cas, il faudra, pour continuer de faire usage de f�quation {a) du nquot; yS, permuter xnbsp;et j dans les formules (8), lesquelles deviendront,nbsp;par la,

y, �tant la distance au point C, du centre de gravit� de S situ� sur la droite Cy, et les int�grales s��va-noulssant au point C, c�est-a-dire, quand n? = o. D�a-pr�s f�quation (lt;z), nous aurons

S == aw'fx \J^dx == ^x \/ax', la valeur de Sj-, sera la ni�me que celle de Sa?, du

premier cas, et en la clivisant paV cette valeur de S, on aura la distance au point C, du centre de gravit�nbsp;de la surface convexe vers l�axe de figure, engendr�enbsp;par Tarc CM. Lorsque eet are deviendra la demi-cj-clo�de CA, la surface engendr�e sera �gale a ;nbsp;en m�me temps, la distance jquot;, aura pour valeur^

On peut remarquer que quand un m�me are de courbe tourne successivement autour de deux axesnbsp;rectangulaires et passant par une de ses extr�rait�s,nbsp;Ie second membre de la seconde �quation (8) nenbsp;change pas de valeur, et, par cons�quent, les distances a cette extr�mit�, des centres de gravit� desnbsp;deux surfaces engendr�es, sont en raison inverse desnbsp;aires de ces surfaces.

83. Si la courbe ABC (fig. 26) tourne autour de laxe Ox, compris dans son plan et qui ne la traversenbsp;pas, sa surface engendrera un solide de r�volution dontnbsp;Ie volume, que je repr�senterai par V, pourra s�ex-primer au mojen de l�aire de cette surface et de l�or-donn�e^, de son centre de gravit�.

En conservant toutes les notations du n� yS, il est ais� de voir qu�on aura

En effel, la tranche infiniment petite de ce volume, engendr�e par lel�ment MNN'M' de l�aire g�n�ratrice,nbsp;sera la diff�rence Ttj'dx �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;des deux cylin-

pour hauteur commune; car on peut n�gliger les volumes infiniment petits du second ordre, engendr�s par les triangles que l�on retranche de eet �l�ment,nbsp;OU qu�on y ajoute, en menant par les points M et Nnbsp;des parall�les a l�axe Ox. Or, si Ton compare cettenbsp;expression de V a la troisi�me formule (i) du num�ronbsp;ei t�, on a

ce qui montre que Ie volume engendr� par l�aire A d une courbe plane est �gal a cette aire multipli�e parnbsp;la circonf�rence du eerde que d�crit son centrenbsp;de gravit�; tb�or�me analogue a celui du n* 'j4gt; etnbsp;qui servira a determiner Ie volume V quand ie centrenbsp;de gravit� de A sera connu a priori. II subsislera encore, lorsque la surface g�n�ratrice, au lieu d�etrenbsp;circonscrite par une courbe ferm�e, sera comprisenbsp;entre deux courbes diff�rehtes et deux perpendicu-laires a l�axe de figure, pourvu que eet axe ne passenbsp;pas entre ces deux courbes planes.

Si l�aire g�n�ratrice est un demi-cercle tournant autour de son diam�tre, la distance de son centre de

Supposons encore que la courbe ferm�e ABC soit une ellipse, et repre'sentons par aetb ses deux demi-axes, et par c la distance de son centre a l�axe de rotation. L�aire A sera, comme on sait, �gale a Trab;nbsp;et son centre de gravil� �tant �videmment Ie centrenbsp;de figui'e, on aurajTi = c; d�o� il r�sultera

quelle que soit l�inclinaison de l�un ou l�autre des axes de l�ellipse sur l�axe de rotation.

84* II est �vident que Ie segment du solide de r�-volution compris entre deux plans passant par l�axe de figure, est au solide entier comme l�angle de cesnbsp;deux plans est a quatre angles droits, ou, ce qui estnbsp;la m�me chose, comme Fare d�crit entre les deuxnbsp;plans, par Ie centre de gravit� de Faire g�n�ratrice ,nbsp;est a la circonf�rence enti�re 27s^,. Done, en appelant l la longueur de eet are, et L Ie volume du segment , on aura

A �tant toujours Faire g�n�ratrice qui, par hypothese, nest point travers�e par Faxe de rotation.

Cette formule peut s��tendre de la mani�re suivante a d�autres segmens qui n�appartiennent pas a des solides de r�volution.

Supposons, en effet, qu�une courbe plane se meuve sans glisser ni tourner dans son plan, et de telle sortenbsp;que ce plan solt constamment perpendiculaire a unenbsp;ligne donn�e, qui peut �tre une courbe plane ou anbsp;double courbure. Dans ce mouvement, Ie m�rnenbsp;point dece platidemeurera toujours sur la directrice,

et les autres points d�criront des courbes semblables a cette Hgne. Soient A, L, Z, l�aire de la courbe g�-n�ratrice, Ie volume engendr� par cette surface, etnbsp;la longueur de la courbe parcourue par son centrenbsp;de gravit�. Si l �tait un are de eerde, L serait unnbsp;segment de solide de revolution; mais, dans tous lesnbsp;cas, on peut diviser l en parties infiniment petites,nbsp;dont chacune se confondra avec Ie eerde osculateurnbsp;lt;4ui lui correspond. D�signons par a Tune de ces parties, et par i�le volume du segment correspondant denbsp;Ilt;; et supposons que les plans perpendiculaires a sa direction, par lesquels v est termin�, se coupent sui-vant une droite qui ne traverse pas Faire de la ge-n�ratrice. Cet �l�ment iquot; de L sera un segment denbsp;solide de r�volution; et d�apr�s l��quation pr�c�dente,nbsp;on aura

aA.

Done, en prenanl la somme de toutes les valeurs de v �t observant que Ie facteur A est constant, il en r�-sultera que Ie volume L est �gal au produit de Z et A,nbsp;comme dans Ie cas dun solide de r� volution. La regienbsp;que cette equation L = AZ renferme est ulile dans lanbsp;pratique, et susceptible dunassez grand nombre d�ap-pUcations; toulefois, on ne devra point oublier qu�ellenbsp;u�a plus lieu quand les g�n�ratrices cons�cutives senbsp;coupent sur la surface eugendr�e, et forment, parnbsp;leurs intersections successives, ce qu�on appelle unenbsp;fir�te de rebrousseinent.

85. La consideration du centre de gravit� fournit aussi une r�gie pour �Valuer Ie volume d�nn prisme

OU d�un cylindre a base quelconque , tronqu� par uit plan incline' sur cette base.

Soient y l�aire d�une section de cylindre perpendiculaire a sa ge'n�ratrice, l�aire de la section in-clin�e qui Ie terniine, 6 Tangle de ces deux plans, (t� un �l�ment quelconque de A, � sa projection surnbsp;Ie plan de y, ou T�l�ment correspondant de Taire y,nbsp;qui est elle-m�me la projection de A. D�apr�s Ie th�o-r�me du n� i o, on aura

Cela �tant, je suppose que A soit la surface a laquelle se rapportent les formules g�n�rales du n� yS, et quenbsp;6 repi��sente Tinclinaison de son plan sur celui des xnbsp;etjr. Je multiplie la troisi�me de ces formules parnbsp;cos 6, et je fais passer ce facteur constant sous Ienbsp;signe ff; en vertu des valeurs de y el e, on aura

Or, cette integrale double est Ie volume du cylindre tronqu� compris entre les deux sections et A, etnbsp;d�compos� en filets infiniment minces et perpendi-culaires a y, en supposant, toutefois, que ces deuxnbsp;Sections ne se coupent pas mutuellement; il s�ensuitnbsp;done que Ie cylindre tronqu� est �gal a un cylindrenbsp;droit ayant la m�me base et pour hauteur la distance z^ a cette base, du centre de gravit� de la section inclin�e.

Ce th�or�me est �vident dans Ie cas ordinaire, ou la base du cylindre est un eerde et la section inclin�enbsp;une ellipse; car en menant par !e centre de cette courbe

plan parall�le a la base, ce cylindre ne change pas de volume, puisque Ie segment qu�on en re-tranche est �videmment e'gal a celui qu�on y a jou te.

SI les aires de'signees par y et A se coupent niutuel-lenient, Ie volume se composera de deux segmens *lont l�inte'grale ffz� exprlniera la difference et nonnbsp;pas la somme. Quand Ie cylindre sera termin� parnbsp;deux sections inclin�es dont les aires ne se coupentnbsp;pas, on pourra toujours Ie diviser en deux parlies,nbsp;dont la base commune et perpendiculaire a la g�n�-ratrice, ne coupera ni Tune ni l�autre de ces deuxnbsp;sections; et en observant que leurs centres de gra-vit� se trouvent sur une m�me droite perpendiculairenbsp;a cette base, on voit que Ie volume total sera �gal anbsp;l�aire de cette base rpultiplle'e par la distance mutuellenbsp;de ces deux points,

86. La de'termination du centre de gravit� d�un volume depend, en general, de plusieurs int�gralesnbsp;triples; mals il y a des corps pour lesquels la position de ce centre se determine par des int�gralesnbsp;simples. Ce sont ces corps que nous allons d�abordnbsp;consid�rer.

Le centre de gravit� d�uue pyramide ou d�un c�ne a base quelconque se trouve sur la di oite qui va denbsp;son sommet au centre de gravit� de la base; car cettenbsp;droite rencontre toutes les sections parall�les a lanbsp;base, en des points homologues qui sont leurs centres de gravit�, et qu�on peut aussi prendre pour les

centres de gravit� des �l�mens de ce corps, infinl-ment minces et parall�les a sa base. Par cons�quent, la droite dont il s�agit contient Ie centre de gravit�nbsp;de la pyramide ou du c�ne, et il ne reste plus quanbsp;d�terminer sa position sur cette ligne.

Soient et X l�aire de ia base et celle d�une section parall�le; d�signons par k et o: les perpendicu-laires abaiss�es du sommet sur leurs plans j nous au-rons, comme on salt,

De plus, on pourra prendre Xcfar pour l��l�ment du volume du c�ne ou de la pyramide; et si l�on ap-pelle V son volume total et x^ la valeur de x corres-pondante a la section qui contient Ie centre de gravit�, on en conclura, comme dans les questions pr�-c�dentes,

En substituant la valeur de X et effectuant les integrations , 11 vient d�o� i�on tire

rall�le a la base, il coupera en parties propovtion-iielles la hauteur h et la droite qui va du sommet centre de gravit� de la base; il s�ensuit done quenbsp;Ie centre de gravit� du c�ne ou de la pjramide a basenbsp;^luelconque se trouve aux trois quarts de cette droite,nbsp;3 partir du sommet, ou au quart, a partir de la base.

87. Relativement a la pyramide triangulaire, ce th�or�me se d�montre sans Ie secours du calcul integral.

Soit ABCD (fig. 5o) cette pyramide. Soient aussi E et F les centres de gravit� des faces ACD et BCD;nbsp;tii�onsles droites BF et AE, dont les prolongemens senbsp;rencontreront au milieu H de l�ar�te CD; et ensuitenbsp;dans Ie plan AHB, tirons les droites AF et BE, quinbsp;se couperont en un certain point G. Je dis que cenbsp;point sera Ie centre de gravit� de la pyramide ABCD;nbsp;car en la d�composant en �l�mens parall�les a la basenbsp;ACD, on verra, comme dans Ie num�ro pr�c�dent,nbsp;^lue son centre de gravit� doit se trouver sur la droitenbsp;EE; et en la d�composant en �l�mens parall�les a BCD,nbsp;on verra, de m�me, que ce point appartient a lanbsp;droite AF. Ces deux droites AF et BE, qui sont effec-tivement dans un m�me plan, devront done se cou-pcr, et leur intersection G sera Ie centre de gravit�

demand�.

Maintenant, dans Ie triangle ABH, la droite EF est parall�le a la base AB, puisqu�elle coupe les c�t�s AHnbsp;ct BH en parties proportiotinelles, c�est-a-dire, aunbsp;tiers a partir de H; on aura done

en sorte que FG est Ie tiers de GA ou Ie quart de AF; ce qu�il s agissait de prouver.

On en conclut que si les quatre sommets A, B, C, D, de la pyramide sont les centres de gravit� de massesnbsp;�gales, Ie point G sera Ie centre de gravit� de cesnbsp;quatr� masses; car d�ja Ie point F est celui des troisnbsp;masses qui r�pondent a B, C, D (n� 77); et ensuite Ienbsp;point G, tel que GF est Ie tiers de GA, sera Ie centrenbsp;de gravit� de ces trois masses et de la quatri�me.

II suit de Ia (11� 67) que si l�on applique au centre de gravit� de la pyramide triangulaire des forces re-pr�senl�es, en grandeur et en direction, par lesnbsp;droites qui vont de ce point aux quatre sommets, cesnbsp;quatre forces se feront �quillbre^

88. Ayant d�termin� Ie centre de gravit� d�une pyramide triangulaire, on en d�duit imm�diatement celui d�une pyramide ou d�un c�ne a base quelcouque,nbsp;en d�composant cette base en un nombre fini ou in-fini de triangles : Ie centre de gravit� de cette pyramide OU de ce c�ne doit se trouver a la fois sur lanbsp;droite qui va du sommet au centre de gravit� de lanbsp;base, et dans Ie plan parail�le a la base qui coupenbsp;toutes les lignes men�es du sommet a cette base, auxnbsp;trois quarts a partir du sommet; ce qui s�accorde avecnbsp;Ie r�sultat du n� 86.

On en d�duit aussi Ie centre de gravit� d�un sec-teur spb�rique. En effet, si l�on d�compose ce secteur en une infinite de pyramides dont Ie sommet com-

l�iun solt au centre de la sphere, et qui aient pour bases les �l�mens infiniment petits de la base du sec-teur, leurs centres de gravit� se trouveront tous surnbsp;la base d�un secteur concentrique, dont Ie rayon seranbsp;les trois quarts de celui du secteur donn�; d�o� Tonnbsp;^nclut que Ie centre de gravit� du secteur donn�nbsp;sera Ie m�me que celui de la base du secteur con-eentrique ; ce qui en d�termine la position.

Supposons que Ie secteur sph�rlque solt engendr� par Ie secteur circulaire CADB (fig. 29), tournant au-tour du rayon CD, qui aboutit au milieu de i�arc AB;nbsp;Ie triangle CAB et Ie segment circulaire ADB engen-dreront, en m�me temps, un c�ne et un segmentnbsp;sph�rique; et Ie centre de gravit� de ce segmentnbsp;sph�rique se d�terminera d�apr�s ceux du secteur sph�rique et du c�ne.

Bour cela, appelons V,, V, V', les volumes respec-tlfs de ces trois corps, et x,, ar, ar', les distances de leurs centres de gravit� au point C; nous aurons

V = V' V,, V.r = V'x' 4- nbsp;nbsp;nbsp;(�)

Solent a Ie rayon CD, c Ia corde AB et � la fl�che DE de l�arc ADB. Relativement au c�ne, on aura

La base du secteur sph�i�ique sera �gale au produit de Ia fl�che et de la circonf�rence du grand eerde,nbsp;OU a 2^a/, et son volume aura pour valeur Ie produit de cette base et de ou . Si Ton d�-orit du point C comme centre, et d�un rayon �gal a

I CD, un are de eerde tel que A'D'B', Ie centre de gravit� de la surface engendr�e par eet are se trou-vera au milieu de la fl�che D'E' (n� 8i), ou, aulre-ment dit, a une distance du point C �gale a CD'�^ D'E',nbsp;dont la valeur est | (a � if)- Done, ce centre denbsp;gravit� �tant, dapr�s ce qu�on vient de dire, celuinbsp;du secteur sph�rique V, on aura

-3 '7raf=z ^ ttc* {a � �) V,,

TT nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;!�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/\

5 \ nbsp;nbsp;nbsp;2anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3.anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aa/'

8g. On determine aussi par des integrales simples Ie volume et Ie centre de gravit� de tout corps sy-ni�trique par rapport a un axe, com me un ellipso�de, par exemple.

Soient X, yy z, les trois coordonn�es rectangulaires *l�un point quelconque de la surface; prenons l�axenbsp;de figure pour celui des x, et d�signons par X Fairenbsp;de la section perpendiculaire a cette droite, qui r�-pond a Fextre'mit� de 1�abscisse x. Si Fon decomposenbsp;Ie volume en �l�mens infiniment minces et perpen-diculaires a Faxe de figure, on pourra prendre X^/xnbsp;pour Ie volume d�un �l�ment quelconque, et x pournbsp;la distance de son centre de gravit� a Forigine desnbsp;coordonn�es. Done, en d�signant par V une tranchenbsp;comprise entre deux sections correspondantes a desnbsp;abscisses donn�es et et �, et par x, la distance de sonnbsp;centre de gravit� a Forigine des coordonn�es, nousnbsp;aurons

Si l�on applique cette formule au segment sphe-rique que l�on a consid�r� dans Ie n� pr�c�dent, il faudra prendre

Pour avoir la valeur enti�re de l�ellipso�de, il faudra faire � = rteta = � a;ce qui donne

Ce volume est aussi donn� par l�int�grale triple ffjdxdxdz, �tendue a tous les �l�mens de l�espacenbsp;termin� par la surface de Tellipso�de; mais en faisant

^�^ette nouvelle inte'grale devra setendre a tous les �l�mens de l�espace circonscrlt par la surface quinbsp;r�pond a 1 equation pr�c�dente ; elle sera , par cons�quent , Ie volume de la sphere qui a l�unit� pour

rayon; et ce volume �tant �gal h ^, il en r�sulte comme pr�c�demment, pour celui de 1�ellip-

(90). Les corps sym�triques autour d�un axe com-prennent les solides de revolution. Nous prendrons toujours l�axe de figure p�ur celui des abscisses x.nbsp;En supposant alors un solide de cette nature engen-dr� par une aire plane, comprise entre deux courbesnbsp;donn�es et les perpendiculaires a l�axe des x quinbsp;r�pondent a x = a et x = �, et d�signant par jnbsp;y les ordonn�es de ces courbes relatives a unenbsp;O��me abscisse quelconque x, il taudra faire

, Va:. = TT j'\y�f�^)xdx. Dans Ie cas Ie plus ordinaire ou la courbe int�rieure

La cyclo�de fournira encore des exemples de l�ap-plication de ces formules, dans lesquels toutes les integrations s�effectueront sous forme fini�.

Si 1�on consid�re Ie solide convexe, engendr� par l�aire CMP ( fig* ^5 ) tournant autour de l�axe Cx,nbsp;on int�grera d�abord par partie; ce qui donnera

les int�grales �tant prises de mani�re qu�elles s�e'va-nouissent au point C, ou quand x � o. En vertu de l�equation {a) du n� yS, on aura done

et les calculs s�ach�veront par des transformations semblables a celles du n� 80. Dans Ie cas du volumenbsp;engendr� par la demi-cjeloide CAB, on trouve

V � � nbsp;nbsp;nbsp;-r �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 64)^

S�il s�agit, au contraire, du solide convexe engendr� par Faire CMP, tournant autour de Faxe Cf, il faudra pr�alablement permuter x et f dans lesnbsp;�quations {b); d�o� il r�sultera

/i �tantla distance au point C, du centre de gravit� lt;�ui se trouve sur l�axe Cj-, et les int�grales s�e'va-�iouissant en ce point C. En vertu de l�e'quation (a) denbsp;la cyclo�de, on aura done

La premi�re integrale s�obtiendra sans difficult�; la seconde, par des transformations semblables a cellesnbsp;du n� 8o. Dans Ie cas o� CM sera la demi-cyclo�denbsp;enti�re, on trouvera

gi. Maintenant, soient x^, j-, j z, , les trois coor-donn�es rectangulaires du centre de gravit� d�un corps de forme quelconque, homogene o-u h�t�ro-g�ne , dont la masse sera repr�sent�e par M. D�apr�snbsp;ce qu�on a d�ja dit dans Ie n� 65 , il faudra, pour determiner ces trois inconnues, diviser M en parties in-finiment petites, et changer, en consequence, lesnbsp;sommes en int�grales dans les seconds membres desnbsp;�quations(i) de ce num�ro. On aura, de cette mani�re,

dm �tant l��l�ment diff�rentiel de la masse du corps lt;iul r�pond aux coordonn�es x ,j, z. En appelant �nbsp;la densit� de ce m�me �l�ment, et dv son volume,nbsp;On aura aussi

On pourra prendre maintenant, pour T�l�ment dv du volume, Ie parall�l�pip�de rectangle dont lesnbsp;trois e�t�s adjacens sont parall�les aux axes des x,

Si Ie corps est homogene, sa densit� sera constante ; en d�signant par V son volume, on aura

M = pV;

Si Ie corps est h�t�rog�ne, il pourra se pr�senter deux cas diff�rens. Dans Ie premier cas, ce corps senbsp;composera de parties homog�nes de grandeur linie,nbsp;et la densit� ne variera que d�une partie a l�autre. Onnbsp;appliquera done a chacune d�elles les �quations (2),nbsp;puis on d�terminera Ie centre de gravit� du corpsnbsp;entier d�apr�s ceux de toutes ses parties (n� 64). Dansnbsp;Ie second cas, ia densit� variera par degr�s insensi-bles dans l�int�rieur du corps; et alors on fera usagenbsp;des �quations (i), dans lesquelles / devra �tre unenbsp;fonction donn�e Ae x, j, z.

Toutefois, on doit remarquer que, soit qu�il s�a-gisse d�un corps homogene ou d�un corps h�t�rog�ne, la division de la masse en �l�mens infiniment petits,nbsp;dont les densit�s sont les m�mes ou ne varient quenbsp;par degr�s insensibles, suppose que ce corps estnbsp;form� d�une mati�re continue. Or, cela n�a pas lieunbsp;dans la nature, o� les corps, au contraire, se com-posent de parties mat�rielles disjointes et s�par�esnbsp;les unes des autres par des espaces vides, comparables en grandeur aux parties pleines. Nous revien-

QOus ferons voirqu�on peut, n�anmoins, appliquer les formules (i) et (2) aux corps naturels, comme sinbsp;la mati�re n��prouvait aucune discontinuit� dans leurnbsp;int�rieur.

92. Au lieu des coordonn�es z, il sera quel-ijiiefols n�cessaire, pour faciliter les integrations, ^�employer les coordonn�es polaires de chaque �l�ment dm. Soit alors r son rayon vecteur, � l�anglenbsp;iju�il fait avec l�axe des a: positives, et l�anglenbsp;compris entre Ie plan de ces deux droites et celuinbsp;des X et j'; nous aurons ( n� g )

II faudra , en m�me temps, expvimer dv au moyen des diff�rentielles de ces nouvelles variables r, 6,4-On a des formules g�n�rales pour la transformation des variables ind�pendanfes dans les int�-grales multiples; mais on peut aussi trouver direc-tement l�expression de digt; dont nous devrons fairenbsp;�sage, savoir :

Je mets fdv a la place de dm dans les �quations (i), � j y substitue ensuite cette valeur de dv et cellesnbsp;de X,y-, 2; elles deviennent

Mx, =ffffd sin 0 cos Bdr lt;i0 d'\ , Mjr, = sin�0 cos -^dr t/0 dd^,nbsp;Mz, = sin�9 sin d^-dr f/G d'\.,

Quant aux limites de ces int�grales triples, elles seront diff�rentes selon que Torigine des coordonn�esnbsp;sera plac�e en dehors ou en dedans du corps. Lorsquenbsp;cette origine sera un des points de M, on int�gi�eranbsp;d�abord depuis r = o jusqu�a r=u, en repr�sentantnbsp;par u une fonction de 6 et -vj. donn�e par l��quationnbsp;de la surface; cela fait, on int�grera depuis 6 = onbsp;et %{/ =o jusqu�a 0 = et -xl. = a-rr, en commencantnbsp;a volont� par Tangle 0 ou par Tangle -vl/* Les limitesnbsp;seront g�n�ralement plus ccmpllqu�es quand Tori-gine des coordonn�es n�appartiendra pas a la masse M.nbsp;Repr�sentons, dans ce cas , par u et u' deux fonctionsnbsp;donn�es de 0 et \jy, par co et a/ deux fonctionsnbsp;de �vj', et par ceet a! deux angles donn�s; supposonsnbsp;qu�il s�agisse d�une portion de corps comprise, d�unenbsp;part, entre les deux surfaces qui ont pour �qualionsnbsp;r=. u et r=:u' � d�une autre part, entre les surfacesnbsp;coniques qui ont pour axe coinmun Taxe des x, leurnbsp;sommet aussl coramun a Torlgine des coordonn�es, etnbsp;pour �quations 0 := amp;gt; et 0 = enfin, entre les deuxnbsp;plans passant par eet axe, et qiii font des angles etnbsp;et a! avec Ie plan fixe d�ou Ton compte Tangle Onnbsp;int�grera d�abord depuis r � u jusqu�a r=u', en-suite depuis 0 = � jusqu�a 9 = co'^ et finalement,nbsp;depuis �xj' = � jusqu�a 4 = a'.

Prenons, par exemple, pour les deux premi�res surfaces celles de deux spheres concentriques qui ontnbsp;�eur centre commun a Torigine des coordonn�es, et

^ont les i�ajons sont a �t a'; supposans, en m�me temps, que les deux cones soient a base circulaire,nbsp;aulrement dit, que o) et amp;)' soient des anglesnbsp;constans ; supposons, de plus , que la densit� ne soitnbsp;lonction que de r-, de sorie que la portion de corpsnbsp;Ton consid�re appartienne a une sphere com-pose'e de couches concentriques infiniment minces ,nbsp;dont chacune ait la m�me densit� dans toute sonnbsp;etendue, laquelle densit� variera d�une couche anbsp;l�autre, suivant une function donn�e de la distancenbsp;au centre. En faisant, pour abr�ger,

r�/rWr=A,

,= �iB(sina'�sina) {co'� co �^ sin aoj'-f- -jsin 2�),, = jB(cosa.� cosx'){co'� co � ^sin2�' jsins�);.

Ce qui fait eonnaitre les valeurs de o:,, jr,, z, , qu�on *^e pourrait d�duire, dans eet exemple, des �qua-bons (i).

Si la masse M forme un anneau complet, de sorte T*^ on ait a' = a 27r, il en i��sultera jquot;; = o etnbsp;^� = o, c�est-a-dire que Ie centre de gravit� seranbsp;situ�, comme cela doit �tre, sur l�axe de eet anneau :nbsp;sa distance a?, au centre de la sphere dont eet anneaunbsp;fait partie, aura pour valeur

Dans Ie cas de rhomog�n�it� de la sph�re, la den-sit� f e'tant constante, on aura

Quand Ie vide de l�anneau dlsparaitra, on fera ci)=o; et, enfin, s�il se change en nn secteur sph�rique, onnbsp;fera aussi a = o ; d�o� il r�sultera

ce qui s�accorde avec la valeur de la quantit� designee par a? dans Ie n� 88, en observant que la fl�che repr�sentc'e par � aurait pour valeur a�[i�cosa)'), etnbsp;que Ie rayon est a'.

g3. Pour trouver la difiei�entielle dv du volume , exprim�e au mojen des diff�rentielles des coordon-n�es polaires, je suppose que M (fig. 3i) soit Ie pointnbsp;qui r�pondaux coordonn�es r, �, -4^; en sorte que Onbsp;�tant leur origine, OM soit Ie rayon vecteur r, 6 Tangle MOx conipris entre ce rayon et un axe fixe Oa::,nbsp;et -4, Tangle que fait Ie plan de ces deux droites avecnbsp;un plan fixe, men� arbitrairement par la seconde.nbsp;Soit M' un point situe� sur Ie prolongement de OM,nbsp;et dont Ie rayon vecteur OM' sera r'. Du point O

coinme centre, et dans Ie plan M'Ox, d�crivons les arcs de eerde MN et M'N' compris entre les deux.nbsp;droites OMM' et ONN', et d�signons par 6' Tanglenbsp;NOa:,� enfin, faisons tourner Ie plan de eet angle au-tour de Taxe Oa?, et repr�sentons, dans sa nouvellenbsp;position, par Tangle qu�il fera avec Ie plan fixe.nbsp;Dans ce mouvement, Taire MM'N'N engendrera unnbsp;volume MM'N'NPP^Q^Q, que je repr�senterai par U.

Or� cette aire, difF�rence des deux secleurs circulaires M'ON' et MON, est e'gale a

Si l�on appelle u la perpendiculaire abaiss�e de son centre de gravit� sur l�axe Ox, on aura � -J/)nbsp;pour la longueur de l�arc que ce centre d�crira au-tour de cette di�oite. D�api��s Ie th�or�me du n� 84,nbsp;�gt;ous aurons done

Cela pos�, concevons que les trois dimensions de U deviennent infiniment petites, et faisons, en consequence ,

Le facteur r'-(-r se r�dulra, en m�me temps, a ar; On pourra aussi prendre pour u la perpendiculairenbsp;MH abaiss�e du point M sur l�axe Ox, laquelle estnbsp;egale a rsin0, et ne saurait diff�rer de u que d�unnbsp;infiniment petit; enfin, U se cbangera en dv, dontnbsp;la valeur, qu�il s�agissait de determiner, sera

On remarquera, effectivement, que ce volume dv peut �tre consid�r� comme un parall�l�plp�de rectangle, dont les trois c�t�s adjacens sont MM' ou dr,nbsp;1 are infiniment petit MN, qui a son centre au point 0nbsp;et pour longueur rd^, et I�arc infiniment petit MP,nbsp;j qui a son centre au point II et pour longueurnbsp;1^' i�sin0�?0.

lia base MNQP de ce parall�l�pip�de est I�element de la surface sphe'rique dont Ie centre est au pointnbsp;0 et ie rayon �gal a r. En la d�slgnant par dtj, onnbsp;a done

Si Ton appelle dco l��l�ment de la surface sph�rique dont Ie rayon est pris pour unite, on aura aussi

En integrant cette expression de dco depuis 0 = o et 4 = 0 jusqu�a 0 = TT et 4 = on en de'duitnbsp;475quot; pour Ie rapport de la surface de la sphere aunbsp;cari�� de son rayon j ce qui est, en effet, sa valeurnbsp;connue.

^^'''^Alt;X'\'VVVWVV\AiW\'WVW%'VVVVWVVVW\iVVVVVVWVVVgt;'WVWVV\XiW\iWWVgt;'W^fc\\Vgt;A/W\�VWVV\ Wgt; �VXrt

94. Supposons qu�un point materiel 0 (fig. Sa) soit soumis aux attractions de tous les points d�unnbsp;corps de forme quelconque; en decornposant cha-cune de ces forces en trois autres, dirig�es suivantnbsp;des axes rectangulaires men�s arbitralrement par Ienbsp;point 0, et faisant ensuite la somme des compb-santes positives ou negatives qui agissent stilvantnbsp;cfiaqne axe, on aura les trois composantes, dontnbsp;la r�sultante exprimera, en grandeur et en direction , l�attraction totale qui sera exerc�e sur Ie pointnbsp;0- Ces trois composantes seront des sommes d�unenbsp;mfinit� d��l�mens infiniment petits, �tendus a lanbsp;iRasse enti�re du corps attirant; elles s�exprimerontnbsp;par des int�grales triples, et Ie calcul de ces quan-tit�s sera semblable a celui des coordonn�es du centrenbsp;de gravit� d�un corps quelconque dont nous venonsnbsp;de nous occuper : c�est pourquoi je placerai ici cenbsp;que j�ai a dh-e sur Ie calcul des attractions.

Cette question est une de celles dont les g�om�tres se sont Ie plus occup�s, soit a cause des difficult�s

d�analjse qu�elle presente, soit a raison de ses rapports avec Ie probl�me de la figure de Ia terre et de la loi de la pesanteur a sa surface; mais, dans eetnbsp;ouvrage, on se bornera a donner les formules qui senbsp;pr�sentent imm�diatement, et quelques-unes de leursnbsp;applications. Je renverrai, pour de plus grands d�ve-loppemens, au second volume delaM�canique celeste,nbsp;et a mon M�moire sur YAttraction des Sph�ro�des,\n-s�r� dans la Connaissance des Tems de 1�ann�e 1829.

95. SoitD un point fixe pris dans Tint�rieur du corps attlrant; paree point, menons Irois axes rectangu-lairesDa:, Djquot;, Dz, qui sei�ont les axes des coordonn�esnbsp;positives; d�signons par x, j, z, les coordonn�esnbsp;d un point quelconque M du corps attirant, etparrZ/wnbsp;r�l�raent diff�renliel de sa masse, qui r�pond a cenbsp;point M; repr�sentons aussi par a, �, gt;,les trois coordonn�es du point O, et par la masse de ce point ma-t�riel; et soit enfin u la distance OM, de sorte qu�on ait

L�attraction exei�c�e par dm sur /x sera dirig�e sui-vant la droite OM. On suppose cette force propor-tionnelle aux produits des deux masses, et en raison inverse du carr� de la distance u; en la d�signantnbsp;done par F, on aura

f �tant un coefficient constant qui exprimera I�lnteuquot; si t� du pouYoir attractif, rappor t� aux unit�s denbsp;rnasse et de distance. Pour se former une id�� precise de cette quantit� J, il faut concevoir deux corps

de forme et de dimension quelconques, dont les l�iasses sont �gales et prises pour unite, et supposernbsp;que 1�attraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute 1��lendue de ces deux corps - cn sortenbsp;qu�elle soit la m�me entre deux �l�mens quelconquesnbsp;de leursmasses, �gaux a dm et a qu�entre les pointsnbsp;ttiat�riels ju, et dm que nous consid�rons, lorsque leurnbsp;distance OM est �gale a l�unit� : la force f est l�attrac-tion totale qui serait exerc�e alors par l�un de cesnbsp;deux corps sur Tautre.

Les projections de la droite OM sur les axes \)x, Jij, Dz, sont a � x, � �y, y � z; en les divisantnbsp;par �/, on aura les cosinus des angles qui d�termi-nent la direction de la force F �, ses trois composantesnbsp;seront done

et en y consid�rant u comme une quantit� positive, elles tendront, selon qu�elles sei�ont positives ou negatives , a dinnnuer ou a augmenter les trois coor�nbsp;donn�es a, amp;,y, du point 0. Si done on d�signe parnbsp;B, C, les trois composantes de l�attraction totalenbsp;exerc�e sur ce point, on aura, en mettant pour F sanbsp;valeur, et observant que ji* et � sont des facteurs

A = f^/Jff�^dm,

En repr�sentant par p la densit� de l��l�ment dm ^ et par dv son volume, on aura

Cette quantit� p sera, dans Ie cas general, une fonc-tion donn�e des coordonn�es du point M; elle se r�duira a une constante donn�e, dans ie cas d�nbsp;rhomog�n�it� du corps attirant. On exprimera dvnbsp;au mojen des difierentielles des coordonn�es de M,nbsp;dont on fera usage, et qui seront Ie plus propres anbsp;faciliter les int�grations.

g6. Par une consid�ration tres simple, on r�duit a une seule les trois int�grales triples d�o� d�pendentnbsp;les vat�urs de A, B, C.

A cause que ces limites sont ind�pendantes d� la position du point 0, si Ton diff�rentie T par rapportnbsp;a ses coordonn�es, on pourra effectuer ces difT�ren-tiations sous les signes f (n� 14) ; et comme on anbsp;d�ailleurs

^e sorte que Ie calcul des trois composantes A, B, C, �ie de'pendra plus que d�izne seule inle'grale T.

En Ia determinant, il sera important de se rappe-^er que !e de'nominateur ic devra avoir constamment Ie m�me signe dans toute l��tendue de l�lnt�gration,nbsp;et qu�il (loit �tre positif si Ton veut que les composantes A, B, C, tendent a dhninuer ou a augmenternbsp;les coordonn�es du point 0, selon que leu-rs valeursnbsp;donn�es par les equations (2) seront positives ou negatives.

Au lieu d�une attraction, si Ie point 0 �tait soumis a une repulsion, il suffiralt de changer les signes desnbsp;Valeurs de A, B, �, ou, ce.qul est la m�me chose,nbsp;dy regarder f comine une constante negative. Dansnbsp;Ie cas Ou la force attractive ou repulsive qui agit surnbsp;Ie point 0 ne serait pas, comme nous Favons suppose',nbsp;en raison inverse du carr� de la distance , et qu�on re-pr�sentcralt, en general, Ie coeflGcieut de f^dm par unenbsp;fonction donn�e de u, que je d�signerai par (pu, onnbsp;pfendrait une autre fonction lt;igt;u, telle que 1�on eut

7,r = -

de T. II se pourrait aussi que cette force fut attractive pour une pai�tic du corps qui agit sur 0, et repulsive pour une autre partie, auquel cas la fonction

(pu, dans laquelle est compris Ie coefficient �, chan-gerait de signe dans l��tendue de l�int�grale que T re-pr�sente.

Les composantes de l�action exerc�e sur un corps de forme et de dimension quelconques, se d�dui-ront des formules pre'c�dentes, en y remplacant /anbsp;par l��le'ment diff�i�entiel de sa masse, qui r�pond auxnbsp;coordonn�es a, �, y, et integrant ensuite, par rapport a ces trois variables, dans teute l��tendue de cettenbsp;masse; d�ou I�on voit que les composantes de Factionnbsp;exerc�e par un corps sur un aulre d�pendront, g�-n�ralement, d�int�grales sextuples.

Telles sont les formules d�apr�s lesquelles on cal-culera les attractions ou repulsions; mais avant d�en faire aucune application, il est n�cessaire d�expliquernbsp;comment elles conviennent a la constitution intimenbsp;des corps naturels, et d�examiner la difficult� dont ilnbsp;a �t� question a la fin du n� 91.

gy. Les diff�rens corps renferraent, sous des volumes �gaux, des quantit�s in�gales de mati�re ponderable (n� 60); et ces quantit�s variant, pour un m�me corps, avec sa temperature et la pression ext�rieure a laquelle il est soumis, on a �t� conduit anbsp;consid�rer les corps naturels comme un assemblagenbsp;de parties mat�rlelles non contigu�s, et s�par�es lesnbsp;unes des autres par des pores ou espaces vides de mati�re pond�rable. Ces parties mat�rielles se nommentnbsp;des atoines; leurs dimensions et celles des poresnbsp;�chappent, par leur extr�me petitesse, a nos sens etnbsp;a tous nos inoyens de les mesurer. On regarde lesnbsp;atomes comme indestructibles, et la masse, la forme.

Je volume de cliacun deux, comme invai�iables. Les dimensions des pores varient, au contraire, avec lesnbsp;^juantit�s diverses de chaleur qu�on introduit dans lesnbsp;�^orps OU qu�on en fait sortir, et avec les pressionsnbsp;^Uxquelles on les soumet; et comme les changemensnbsp;lt;Je volume d�un corps peuvent �tre tr�s grands, sansnbsp;��ue sa masse ait augment� ni diminu�, il s�ensuitnbsp;'{Ue les dimensions des parties vides doivent �tre comparables et g�n�ralement sup�rieures a celles des parties pleines.

Les atomes de m�me nature ou de nature diff�rente, se r�unissent en diverses proportions, pour former d�autres parties des corps, toujours insensibles, qu�on appelle leurs molecules. Les corps differentnbsp;entre eux par la nature et la proportion des atomesnbsp;qui entrent dans la composition de chaque molecule;

les atomes sont regardes corome invariables et in-destructibles, ainsi qu�on vient de le dire, paree ^uen les r�unissant dans les memes proportions, onnbsp;reproduit, a toutes les �poques, les memes corps,nbsp;jouissant des m�mes propri�t�s.

98. II est �vident, d�apr�s cela, que la division dc masse en �l�mens infiniment petits, et la supposition d�une densit� de chaque �l�ment, qui ne varienbsp;pas dans les corps homog�nes, ou qui varie par de-gres insensibles dans les corps h�t�rog�nes, ne con-^lennent point aux corps naturels; mais cela n�em-Peche pas qu�on ne puisse faire usage des formulesnbsp;foud�es sur cette consid�ration, et qu�elles ne soientnbsp;Sincere applicables lorsque les corps ont �t� divis�s ennbsp;parties de grandeur finie , mals tout-a-fait insensible.

En effet, les molecules sont si petites et si rappro-ch�es les unes des autres, qu�une partie de la masse d�un corps qui en renferme des nombres immenses,nbsp;peut encore �tre suppos�e extr�mement petite , etnbsp;son volume regai�d� conime insensible. Soit e Ie volume d�une semblable partie, d�une grandeur insensible, et qui contienf, n�anmoins, des mjriades denbsp;molecules ; soit aussi m la somme de leurs masses; etnbsp;d�siguons par M un des points de e, qui sera, si l�onnbsp;veut, son centre de gravit�. Si nous faisonsnbsp;ce rapport p exprimera r�ellement la densit� du corpsnbsp;au point M, quelles que soierit dailleurs les massesnbsp;des molecules et leur distribution r�guliere ou irr�guliere dans T�lendue de v. De m�me, en d�si-gnaut par n Ie nombre de mol�cules que u renferme, et faisantnbsp;cette ligne e, de grandeur insensible, pourra �trenbsp;appel�e Yintervalle inoyen des mol�cules qui r�pondnbsp;au point M et a la densit� p. Dans un corps homogene , ce rapport et cette ligne ne varient pasnbsp;avec la position du point M ; dans un corps h�-t�rog�ne, ces deux quantit�s varieront par degr�snbsp;insensibles, et pourront �tre suppos�es des fonc-tions donn�es des coordonn�es de ce point.

Cela pos�, si Ton veut connaitre la masse d�un corps, ou, plus g�n�ralenient, la sornme des par-

ties extr�mement petites de cette masse, multipli�es chacune par une fonction U des coordonn�es de Tunnbsp;ses points M, on divisera Ie volume V de cenbsp;corps en parties extr�mement petites u, puis onnbsp;fera la somme de tous les produits Vpi', que j�in-

SUfi

ct qui devra s��tendre a toutes les parties v de V. ��apr�s Ie th�or�me du n� 15, si les termes de cettenbsp;sonime �taient infiniment petits et que leur nom-bre fut infini, sa valeur serait rigoureusement �galenbsp;a l�int�grale d�finie

�tendue au volume entier V, dont dv est 1 element diff�renliel. Or, on concoit qu�en general la difference entre cette somme et cette integrale di-minuera de plus en plus, a mesure que les parties de la premi�re deviendront plus petites, et quenbsp;leur nombre sera plus grand; de telle sorte quenbsp;la grandeur de v �tant insensible , mais toujoursnbsp;distincte de dv , on pourra n�anmoins prendre ,nbsp;Sans erreur appreciable, 1�integrale a la place de lanbsp;somme. II y a cependant une exception a ce prin-cipe general: c�est lorsque U est du genre des functions qui varient tres rapidement, et qu�en menienbsp;temps cette quantit� change de signe dans l��tenduenbsp;de 1�lnt�gration j ce qui arrive, effectivement, dansnbsp;Ie calcul des forces provenant de l�attraction moleculaire et de la repulsion calorifique , qui ne sontnbsp;sensibles qu�a des distances insensibles. Ma�s il nous

suffit, quant a pr�sent, d�observer que cette exception na aucun rapport avec les formules des n�91 et 95, relatives aux centres de gravit� des corps etnbsp;aux attractions en raison inverse du carr� des distances, et qu�on peut, cons�quemment, les appli-quer aux corps naturels form�s de mol�cules dis-jointes.

99. Revenons maiutenant au calcul des attractions. Si la distance du point 0 au corps attir� est tr�snbsp;grande relativement aux dimensions de ce corps, onnbsp;pourra, dans l�expression de T du n� 96, d�velop-

Si I on prend Ie centre de gravit� du corps attirant pour l�origine D d�s coordonn�es, on aura

fffxdm = o, ffJfdinz=o, fffzdmz=o,

puisque ces int�grales, divis�es par la masse M du corps,seraient les trois coordonn�es de ce point (n�9i).nbsp;En d�signant cette masse par M, nous aurons done

Lorsque la distance OD ou d' sera assez grande pour qu�on puisse r�duire cette valeur de T a sonnbsp;premier terme , les equations (2) deviendront

�'Cctlon OD �, il s�ensuit done que l�attraction exerc�e �5Ur un point 0, parun corps qui en est tr�s �loign�,nbsp;est a peu pres la m�me , en grandetir et en direction,nbsp;lt;l�e si la masse M de ce corps �tait reunie a son centrenbsp;de gravit�.

Lorsqne ce corps sera une sphere homogene ou compos�e de couches concentriques, on trouvera quenbsp;tous lesterniesde lavaleurdeT, except� Ie premier, senbsp;d�truisent; il suffira pour cela de remplacernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, par

les coordonn�es r, 6,4� comme dans Ie n� 92 ; ce qui permetlrad�efFectuer les integrations relatives a 6 et 4-Le th�or�me qu�on vient d��noncer sera done alors tout-a-fait exact, si la distance cf est seulement assez grande

pour que le d�veloppeinent de ^ soit une s�rie convergente; et, en efl�et, on verra dans le num�ro suivant, sans recourir a la reduction en s�i�ie, que ce th�or�menbsp;^ lieu, quelle que soit la distance du point 0 a la spherenbsp;attirante, pourvu qu�il ne soit passitu� dans sonint�-'aeur. II est facile d en conduce que l�attraction d�unenbsp;sphere sur une autre est la m�me que si la masse denbsp;^haque sphere �tait reunie a son centre; car, en appelant M et M' les masses des deux spheres, et C el C' leursnbsp;centres, I�attraction de M sur un point quelconque 0nbsp;de cst d�abord la m�me que si la masse M �taitnbsp;concentr�e au point C; en outre, cette attraction de Cnbsp;Sur tous les points O de M', est �gale et contraire a

l attraetion de tous ces points ou de M'sur laquelle est la m�me que si la masse M' �lait re'unle au point C�jnbsp;done, l�attraction des deux sph�res est la m�me quenbsp;celle de deux points mat�riels situ�s en C et C', etnbsp;dont les masses seraient M et M'.

l�o. L�attraction exerc�e sur Ie point 0 par ime couche spli�rlque, homogene et d�une �paisseur constante , dont D est Ie centre, se r�duira �videmment anbsp;une force dirig�e suivant OD. En faisant co�ncidernbsp;t) cette droite avec l�axe Qx, les composantes B et C, pa-rall�les aux axes Dj et Dz, serontdonc nulles, et l�onnbsp;n�aura que la valeur de A a calculer.

Dans ce calcul, on emploiera, comme dans Ie n� 92, les coordonn�es polaires r, 9, -vl/. L�axe Da: senbsp;confondant avec la droite DO, on aura alors

L�angle �%[/ sera celui que fait Ie plan ODM avec un plan fixe passant par la droite DO; on prendra (n� 95)

pour F�l�mentdu volume; et dans l��l�ment dmz=.^dv de la masse, on regardera p comme un facteur constant.

Apr�s avoir substitue ces valeurs dans l�expression de T du n� 96, on int�grera depuis r~h jusqu�anbsp;r = a, en de'signant par a e\ b les rayons ext�rieurnbsp;et int�rieur de la couche sph�rique, et depuis � = onbsp;jt'l -v}, = o jusqu�a 8 = et = 27r. Comme la va-

i�iable -l n entrera pas sous Ie signe �, rint�grat�on relative a cette variable se r�duira a remplacer lanbsp;diff�reutielle c?4

Kiais comme il exprime la valeur de ti, qui doit �tre constamment positive (n� 96), il faudra prendre a 7-a la liinite G = -jT , et r� et on ct � r a la limite 0 = o,nbsp;selon que Ie point O sera situ� en dedans ou en dehors de la couche sph�rique. Nous verrons tout anbsp;I�heure ce qu�on doit faire lorsque ce point appar-tiendra a la couehe m�rae, de sorte qu�on ait rgt; anbsp;dans une partie de cette couche, et r �lt; a dans l�autrenbsp;partie.

~=~\/ ct^�aarcos G-f-r�-f-const., 2ccr cos � -f- r�

aura done, dans Ie cas du point interieur,

j�sinfid�

� nbsp;nbsp;nbsp;� 2arcosfi r

P^i� consequent, la valeur de T ne d�pendra pas de a, et celle de A qui s�en d�duit au inojen de la premi�renbsp;equation (2), sera egale a z�ro. Dans Ie cas du pointnbsp;ext�rieur, on aura de m�me

T=4^ rv^r=^

A _ nbsp;nbsp;nbsp;.

ce qui est la m�me force que si la masse enti�re de cette couche attirante �tait reunie a son centre.

loi. Ces r�sultats s��tendent imme'diatement aux eas d�une couche sph�rique d�une �paisseur constante,nbsp;mais compos�e d�autres couches concentriques, dontnbsp;la deusit� varie de Tune a l�autre, suivant telle loinbsp;qu�on voudra, et ne change pas dans toute T�tenduenbsp;d�une m�me couche; car on peut determiner s�par�-ment les attractions de ces diff�rentes couches, et fairenbsp;ensuite la somme de toutes ces forces, laquelle seranbsp;nulle pour un point int�rieur, et donn�e par la formule (3) pour un point ext�rieur; M exprimant tou-jours la masse totale du corps attirant.

i�. Que les attractions en raison inverse du carr� des distances, exerc�es par tousles points d�une couchenbsp;sph�rique d�une �paisseur constante, homogene ounbsp;compos�e de couches concentriques, sur un point 0nbsp;situ� dans l�espace vide que cette couche termine, se

lt;^etruisent mutuellement j en sorte que ce point de-meurerait en �quilibre, quelque part qu�il fut plac� lt;ians eet espace.

2�. Que Tattraction de cette m�me couche et, par cons�quent aussi, Fattraction d�une sphere enti�re,nbsp;exerc�e sur un point ext�rieur 0, est la m�me que sinbsp;�a masse du corps attirant �tait r�unie a son centre.

Si Ie point 0 fait partie de la couche attirante, Ou, autrement dit, si Fon aa^�etotc�a, on par-tagera cette couche sph�rique en deux autres : Funenbsp;dont les rayons ext�rieur et int�rieur seront a et cl,nbsp;1 autre pour laquelle ces rayons seront a,etb;\e pointnbsp;0 �tant int�rieur a F�gard de la premi�re de ces deuxnbsp;couches, elle n�exercera sur lui aucune action; et sinbsp;Fon appelle m la masse de Ia seconde couche, parnbsp;rapport a laquelle Ie point 0 est ext�rieur, Fattractionnbsp;de cette couche se d�duira de la formule (5), en ynbsp;Riettant m au lieu de M. L�attraction totale exerc�enbsp;sur Ie point 0 aura done pour valeur

la couche sph�rique se change en une sphere en-tierement pleine, et qu�elle ait partout la m�me den-�it�, on aura

c�est-a-dlre que dans Fint�rieur d�une sphere homogene, Fattraction est proportionnelle a la distance du point attir� a son centre.

pulsion, pourvu que cette force varie toujours en raison inverse du carr� des distances.

102. L��quilibre du point O, situ� dans Tespace que termine une couche sph�rique, et attir� ou repousse par tous ses points, peut facilement se verifier.

Supposons, pour cela, que cette couche soit d�abord infiniment mince. Soit � son �paisseur. D�composonsnbsp;sa surface en �l�mens infiniment petits; et d�signonsnbsp;par � l�aire de celui qui r�pond au point P (fig. 53).nbsp;Les �l�mens correspondans du volume et de la massenbsp;de cette couche seront s.a et pesy; et si Ion appelle rnbsp;la distance OP, la valeur de la force dirig�e suivantnbsp;cette droile sera

Imaginons un c�ne dont la base soit a et Ie som-met O; en prolongeant la g�n�ratrice OP jusqua ce qu�elle rencontre en P' la sui�face sph�rique, etnbsp;prolongeant de m�me toutes les autres generatrices,nbsp;on d�terminera sur cette surface un second �l�mentnbsp;que je d�signerai par Soit, de plus, r' la distancenbsp;OP'; la force dirig�e suivant cette droite, en sensnbsp;contraire de la pr�c�dente, aura pour valeur

or, je dis que ces deux forces contraires seront �gales entre elles, c�est-a-dire qu�on aura

Soient, en effet, POQ et P'OQ' los sections des deux ^nes, faites par un m�meplan quelconque, passantnbsp;par leur sommet commun O. Les sui�faces semblablesnbsp;^ et co' seront entre elles comme les carr�s des li-gnes homologues PQ et P'Q'. A cause des trianglesnbsp;Semblables POQ et P^OQ', on a d�ailleurs

en �levant au carr� les quatre termes de cette proportion, on en conclura done

II r�sulte de Ia que les actions exerc�es sur Ie point O par tous les �l�mens de la couebe sph�rique se d�-truisent deux a deux. L�action totale de cette couchenbsp;sera done nulle; et il en sera encore de m�me si ellenbsp;a une �paisseur linie; car alors on pourra la decomposer en une infinite de couches infiniment minces,nbsp;dont chacune n�exercera aucune action sur Ie point O.

io3. Lorsque Ie point 0 appartiendra a la masse attirante, on facilitera souvent les integrations ennbsp;prenant ce point pour origine des coordonn�es po-laircs. Le rajon vecteur du point quelcouque M seranbsp;alors u', en appelant done, connue dans lenquot;g3,nbsp;dco L�lement de la surface sph�rique dont le rayonnbsp;est l�unit�, on aura

et si l�on appelle g, h, k, les angles que fait la droite OM avec des parall�les aux axes Dx, Dz, men�esnbsp;par Ie point O, on aura aussi, d�apr�s les notationsnbsp;du n� 95,

cos g = �-, cos ft = � ce qui changera les equations (i) de ce num�ro ennbsp;celles-ci:

Les int�grales relatives a u s��tendront depuis �=0 jusqu�a u=r, en d�signant par r Ie rayon vecteurnbsp;d�un point quelcouque de la surface qui termine Ienbsp;corps attirant. Pour plus de simplicit�, si l�on suppose ce corps homogene, ces int�grales s�effectuerontnbsp;imm�diatement, et il en r�sultera

Pour d�terminer la valeur de r, qu�on devra subs-tituer dans ces formules, soit, en coordonn�es rec-tangulaires,

r�quation de la surface du corps attirant. En uu point quelconque de cette surface, on a

y, �tant toujours les trois coordonn�es du point 0 dont les valeurs sont donn�es. On substitueranbsp;done ces valeurs denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, dans l��quation pr�c�-

dente; celle qui en r�sultera donnera, en general, deux valeurs de r. Tune positive et l�autre negative;nbsp;*^iais on rejettera la valeur negative, paree que Ienbsp;�'ayon vecteur r est une quantit� positive dont la di-i'ection est uniquement d�termin�e par les anglesnbsp;�} h, k, qui peuvent �tre aigus ou obtus.

Apr�s la substitution de la valeur de r dans les equations (a), les inte'grales doubles s��tendront a tousnbsp;les �l�rnens dco de la surface spb�rique, d�crite dunbsp;point O comme centre, et d�un rayon egal a l�unit�.

104. Appliquons ces formules au cas de l�ellipso�de bomog�ne dont la surface a pour equation

(^)

b, c, designant les trois demi-axes, et le centre de figure �tant I�origine D des coordonn�es. Si Ton ynbsp;substitue les valeurs pr�c�dentes de x, j, z, il vient

pi'* 4quot; nbsp;nbsp;nbsp;� I,

Or, la quantit� p est positive; la quantit� l est aussi positive OU z�ro, paree que Ie point 0, qiii r�poudnbsp;aux coordonn�es a, C, y, est situ� dans Tint�rieurnbsp;de l ellipso�de, ou, tout au plus, a sa surface; parnbsp;cons�quent, il faudra prendre Ie radical avec Ienbsp;signe , pour que Ie rayon r ne soit pas n�gatif. Jenbsp;dis, de plus, qu�on pourra supprimer ce radical dansnbsp;les formules {a). En effet, la partie correspondantenbsp;del�int�grale contenue dans A, par exeraple, serait

mals pourchaque couple d��l�niens dont les rayons sont dans Ie prolongement l�un de l�autre, les �l�mensnbsp;de cette integrale double se d�truisent; car en passantnbsp;de Fun de ces �l�mens dco a l�autre, chacun des trois cosinus cos g, cosh, cosk, change de signe, les quan-tit�s p, l, q'^, restent les m�mes, et Ie coefficientnbsp;diedo) sous Ie signe^prend des valeurs �gales et denbsp;signe contraire. Tous les �l�mens de l�int�grale pr�-c�dente se d�truisant alnsi deux a deux, la yaleurnbsp;de A devient d�abord

I y rr cos ff cask , N

en ayant �gard a la valeur de q. Or, les deux der-ni�res de ces trois int�grales se composeront de cou-

pies d��l�mens qui r�pondront aux m�mes valeurs h et de k, et a des valeurs de g supplemens Tunenbsp;de 1�autre. Chacun de ces couples d��l�raens se i-�-eluira done a z�ro, et, par cons�quent aussi, les in-^�grales enti�res. En supprimant ces int�grales et fai-S3nt subir des r�ductions semblables aux valeurs denbsp;� et de C, on aura simplement

A = rr^^dco,

Solent actuellement 6 Tangle compris entre Ie rayon OM et la parall�le a Taxe Ox men�e par Ie point D, etnbsp;Tangle que fait Ie plan de ces deux droites avec unnbsp;plan passant par la seconde et parall�le a celui des xnbsp;y; nous aurons (n� 8)

cosg�cos�, cos/f = sin�cos4/, cosA: = sln6sin4z, en m�nie temps (n� 95),

cos*9 (c* cos*4/ sin* 4^)a* sin� 6, ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rr cos'^ 9 sin �d� d^/

~~ JJ 'p �

l*our comprendre les directions de tons les rayons OM, les int�grales devront s��tendre depuis � = o et 4/ =0nbsp;JRsqu�nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et 4 � S'TT ; mais a cause que Ie eoeffi-

clent de (� a Ia m�me valeur pour � et pour tT � 6, il suffira d�int�grer depuis G = o jusqu�a 0 = i7r, etnbsp;de doubler Ie r�sultat; et paree que Ie coefficient de 4'nbsp;est Ie m�me pour et pour yrdz-^, il suffira aussinbsp;d�inl�grer depuis ^ = o jusqu�a -vj, =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, et de qua-

o (�cos��-f-fl�sui��)c�4-(c�cos��-|-rt'sin��jiquot;(p'�

au moyen de quoi la valeur de A ne d�pendra plus que de l�int�grale relative a �. Sans nouveau calcul,nbsp;on d�duira B de A en y mettant amp; au lieu de�a, etnbsp;permutant les lettres n et �; et de m�me, on d�duiranbsp;C de A en j mettant y au lieu de a, et permutant lesnbsp;lettres a et c. De cette mani�re, on aura finalement

ac cos� 6 sin (dl �cos�9 /^quot;sin�fl)(c�cos�6 -)- Z��sin�6)nbsp;ab cos� S sin Sd^

C[ue chacune de ces trois composantes tend a rappro-cher Ie point 0 du centre de rellipso�de; Ie contraire �urait lieu dans Ie cas d�une repulsion ou Ton de-vrait mettre, dans ces formules, �jT au lieu de f.

io5. De'signons par cT une constante positive, et supposons qu�on substitue (1

0 tf)c, au lieu de a, h, c, dans les formules (c). �je facteur i cT disparaitra, et les valeurs denbsp;A, B, C, resteront les m�mes. Or, par cette substitution, l�ellipso�de se trouvei�a augment� d�une par-be comprise entre sa surface primitive et une surfacenbsp;semblable; les composantes A, B, C, ne changeantnbsp;pas, il en faut done conclure que l�action de cettenbsp;partie additive sur Ie point int�rieur O se r�duit anbsp;z;�ro.

Ainsi une couche homogene comprise entre deux surfaces elliptiques semblabl�s, ayant Ie m�me centrenbsp;�t leurs axes dans les m�mes directions, n�exerce au-cune action attractive ou repulsive sur un point 0 si-tu� dansl�espace vide que terraine sa surface int�rieure;nbsp;^n sorte que ce point materiel restera en �quilibre,nbsp;quelque part qu�il soit plac� dans eet espace; th�o-*'eme qui comprend celui que nous avons pr�c�dem-bient trouv� pour Ie cas d�une couche sph�rique,

II en r�sulte que faction d�uu ellipso�de plein et I'Otnog�ne sur un point 0 de sa masse, se r�duit anbsp;qui est exerc�e par la partie de cette massenbsp;'^^i�niln�e par la surface elliptique, passant paree point,nbsp;^fimblable a celle du corps entier, et semblablementnbsp;plac�e. D�apr�s les formules (c), la composante denbsp;^ette force, parall�le a chacun des trois axes de fel-

lipso�de, est proportionnelle a l�ordonne'e du point 0 parall�le a eet axe, et ne depend que de cette variable-Dans Ie cas general o� les trois demi-axes a, b, c,nbsp;sont in�gaux, on transforme en fonctions ellipti-ques les int�grales relatives a � que ces formulesnbsp;renferment; ce qui permettra d�en calculer les va-leurs num�riques, au moyen des tables de M. Legendre . Ces m�mes int�grales s�obtiennent sousnbsp;forme finie, lorsque deux des constantes a, b^c,nbsp;sont �gales, et qu�i! s�agit, par cons�quent, d�unnbsp;ellipso�de de revolution.

io6. Supposons, par exemple, qu�on ait c=b; la forme des int�grales relatives a 0 sera diff�rente,nbsp;selon que l�ellipso�de sera aplati ou allong�, c�est-a-dire, selon qu�on aura b a on b lt;C. a. Supposonsnbsp;aussi que ce soit Ie premier cas qui ait lieuj et fai-sons, dans cette hjpoth�se.

en sorte que la fraction e soit l�aplatissement de Tel-lipso�de, et tn sa masse. II en r�sultera

Les composantes B et C �tant entre elles comme les coordonn�es ^ et du point O, il s�ensuit que leurnbsp;r�sultante sera dirig�e suivant ia perpendiculairenbsp;abaiss�e de ce point sur Faxe de revolution. En appelant A' cetle force, et a.' la longueur de la perpendiculaire, de sorte qu�on ait

La r�sultante des deux forces A et A' expriraera , en grandeur et en direction. Taction totale de Tel-lipso�de sur Ie poiut O.

Lorsque e sera une tr�s petite fraction, on pourra d�velopper ces valeurs de A et A' en s�ries tr�s con-vergentes, ordonn�es suivant les puissances de e. Anbsp;cause de

A=eg!f(._|� elc.),

�ans Ie cas de la sphere, ou de e = o. Ia r�sultante de A et A' sera dirig�e vers Ie centre, et aura la m�menbsp;intensit� que dans Ie n� lOi.

mog�ne sur un point ext�rieur pr�sente encore beau-coup plus de difficult�; mais on doit a M. Yvori un th�or�me au moyen duquel ce cas peut �tre ramen�nbsp;a celui du point int�rieur; ce qui permet d�exprimernbsp;les composantes de l�attraction par des int�grales simples, semblables aux formules (c). Voici une d�mons-tration de cette importante proposition.

jJJ [(� � �jT (y � 2)�]�

Je suppose que l��quation de la surface soit toujours I��quation [b), et j�j mets ax', hy', cz', a la place denbsp;X, J, z, ce qui la change en celle-ci:

�y {^-bj'r {y~cz'yY

et si 1�on d�signe par � les valeurs de x', �gales et de signe contraire, que Fon tire de F�quation pr�-c�denle, i�int�grale relative a x' devra �tre prise de-puis x' ~-~x, jusqu�a x' = x,-^ ce qui donne

dj'dz'

A == (./fate

dfdd__

Chacune de ces deux inte'grales doubles s�e'tendi�a a tous les �l�mens de la demi-surface sph�rique dontnbsp;Ie rayon est l�unit�, et qui a son centre a Toriginenbsp;des coordonn�es ; Ie produit df'dz' est la projectionnbsp;Sur Ie plan des j et z, d�un �l�ment quelconque. Sinbsp;done on d�signe par G l�angle que Ie rayon qui abou-a eet �l�ment fait avec l�axe des x, et par 4 Tanglenbsp;uonapris entre Ie plan de ces deux droites et Ie plannbsp;des X et j-, 1�aire de eet �l�ment sera sin GrZQ^/4 �nbsp;son inclinaison sur Ie plan des y et z sera Tangle G,nbsp;et il en r�sultera

Les limites des deux int�grales seront maintenant 6 = 0 et 4=0� ^ = -^7r et 4 = ^7^� �ais si Tonnbsp;^lel, dans la seconde, tt� G a Ia place de 'fc, il est /nbsp;uis� de voir que ces deux int�grales se r�uniront ennbsp;'^ue seule, qui aura les in�mes limites par rapportnbsp;^ 4� et dont les limites relatives a � deviendrontnbsp;� == o et G = TT j en sorte que Ton aura simplement

A = ^JfbcJJ^ ---gt;

i3..

Maintenant, consid�rons Tattraction d�un autre ellipso�de ajant la m�ine denslt� fgt;, Ie m�me centre, et ses axes dans les m�mes direelions que Ie premier.nbsp;Soientnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, c,, les trois demi-axes correspondans

a a, b, c; appelons 0, Ie point soumis a cetfe attraction, a-i, �i, y^, ses coordonn�es, et A,, B,, C,,les composantes de celte force, parall�les aux trois axesnbsp;de lellipso�de. En supposant toujours que ^ soit lanbsp;masse du point attir�, nous aurons

R, �tant ce que devient R quand on y change a, b, c, et, �, y, en at, �,, c,, a,, �,, Les valeursnbsp;de B, 'et C, se d�duiront de m�me de celles de Bnbsp;et C.

Supposons que les deux ellipso�des aient les m�mes foyers, et cons�quemment des excentricit�s �gales;nbsp;on aura alors

Ji, h, h � kt �tant des quantit�s positives ou negatives qui exprimeront, abstraction faite du signe, les carr�s des excentricit�s communes a ces deux corps.nbsp;Supposons, de plus, que Ie point 0., attir� par Ie second ellipsoide, soit situ� sur la surface du premier,nbsp;et Ie point 0 attii�� par Ie premier, sur la surfacenbsp;du second. D�apr�s F�quation {b) et celle de la surface du second ellipso�de, il fandra qu�on ait

Soient enfin p et q deux angles donn�s; et prenons

�i �acosp, �', = sin�?cosg-, 5.^, =csinpsin^, |

Valeurs qui satlsferont aux deux equations pr�c�-dentes et qui �lablissent une relation particuliere entre les coordonn�es des points 0 et O,. En subslituant cesnbsp;Yalei�rs de a.^ �, dans l�expression de R�, et y met-tant aussi les valeurs pr�e�dentes de b*,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b\, c\, il

Or, sans �crire la valeur de R�, on voit qu�elle sera Ia �u�me que celle de R�; car elle s�en d�duirait par lesnbsp;permutations de a'et a,, b et b,, c et c,, sans changer h et k, qui sont des quantitcs communes auxnbsp;deux ellipso�des; et il est �vident que cette derni�renbsp;formule ne change pas par ces permutations. A cause denbsp;= R, les valeurs de A et A, renfermeront la m�menbsp;integrale double; en l��liminant, on aura done

l^elativement aux autres composantes, on obtiendra des r�sultats semblables; en sorte que, d�apr�s les

suppositions qu�on a faites sur les deux points attires O et O,, on aura finalement

Pour �noncer Ie th�or�me que ces trois equations renferment, appelons points correspondans, sur lesnbsp;surfaces des deux ellipso�des, deux points dont lesnbsp;coordonn�es sont entre elles dans Ie rapport desnbsp;demi-axes auxquels elles sont parall�les. Le point 0,nbsp;de la surface du premier ellipso�de, dont les coordonn�es parall�les aux demi-axes a, b, c, sontnbsp;^17 gt;igt; ^ui�a pour correspondant, sur la surfacenbsp;du second ellipso�de , le point 0, dont les coordonn�es parall�les aux demi-axes , Z�,, c,, sont a, �, y,nbsp;puisqu�on a, d�apr�s les �quations (2),

Si l�on a deux ellipso�des homog�nes qui aient le m�me centre et les m�mes foyers, l�attraction suivantnbsp;chaque axe que l�un des deux corps exerce sur unnbsp;point situ� a la surface de l�autre, est a l�attraction denbsp;celui-ci sur le point correspondant de la surface dunbsp;premier, comrae le produit des deux autres axes dunbsp;premier ellipso�de est au produit des deux auti�es axesnbsp;du second.

108. Lorsque deux ellipso�des diff�rens ont, comniu on le suppose, le m�me centre et les m�mes foyers.

1�un des deux est enti�rement compris dans l�autre; par cons�quent, si Ie point O est ext�rieur par rapport au premier ellipso�de, Ie point 0, sera int�rieurnbsp;par rapport au second. Pour, d�terminer, au moyennbsp;du th�or�me pr�c�dent, l�attraclion d�un ellipso�denbsp;donn� sur un point ext�rieur 0 aussi donn�, on feranbsp;done passer par ce point la surface d�un second ellipso�de ayant Ie m�me centre et les m�mes foyers que Ienbsp;premier; par les formules relatives aux points int�rieurs, on d�terminera les trois composantes A� B,, C,,nbsp;de Pattraction de ce second corps sur Ie point 0, de lanbsp;surface du premier, correspondant du point 0; lesnbsp;equations (5) feront ensulte connaltre les composantesnbsp;A, B, C, de Fattraction de Fellipso�de donn� sur Ienbsp;point donn�. Ainsi tout se r�duira a trouver les va-leurs des trois demi-axes a,, b,, c,, du second ellipso�de, d�apr�s ceux du premier qu�on a repr�sent�snbsp;par a, b, c, e\ d�apr�s les coordonn�es a, y, dunbsp;point donn� 0.

Pour fixer les id��s, je suppose que a soit la plus petite des trois quantit�s a,b, c; ce qui rendra posi-fives les quantit�s A et ^ du num�ro pr�c�dent. J�ap-pelle u Ie carr� de a,; on aura

^ nbsp;nbsp;nbsp;b^ =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7i, c, = \/MA:;

il ne restera plus qu�a d�terminer cette inconnue u, ^ui devra �tre r�elle et positive. Or, en vertii de lanbsp;Seconde �quation (1), nous aurons

(4)

equation du troisi�me degr� pai� rapport a m, qui a au moins une racine r�elle et positive; car en falsantnbsp;croitre u depuis zero jusqua I�infini, son premiernbsp;membre est d�abord plus grand et ensuite plus petitnbsp;que Ie second; en sorte qu�il y a au moins une va-leur positive de u qui les rend �gaux. Je dis de plusnbsp;qu�il n�y en a qu�une; car en supposant qu�il y en aitnbsp;deux, u et li, il faudrait qu�on eut a la fois

et en retranchanl ces equations l�une de l�autre, et supprimant Ie facteur � u, commun a tous lesnbsp;termes, il en r�sulterait

ce qui est �videmment impossible. Done il n�exlste qu�un seul ellipso�de qui ait Ie m�me centre et lesnbsp;m�mes foyers qu�un ellipso�de donn�, et qui passe ennbsp;outre par un point donn�. La quantlt� u, d�oii dependent ses trois demi-axes a,, �,, c,, est d�termin�enbsp;par l��quation (4); ce qu�11 s�agissait de trouver.

109. Nous ferons remarquer que Ie th�or�me du n� 107 convient �galement a toutes les lois d�attrac-tion en function de la distance; car la demonstrationnbsp;qu�on vient d�en donner est fond�e sur la forme quenbsp;prend l�expression de R�, qui se trouve identiquenbsp;pour les deux points O et O,, et non sur la fornie

STATIQ�E, PREMI�RE PARTIE. la fonctioa de R, qui exprime la loi de l�at-tractlon..

Si les deux ellipso�des sont des spheres concentri-^ues, l�atti�action de chacuue d�elles sera Ia rn�nie sur tous les points de la surface de l�autre, et il ne seranbsp;plus n�cessaire que les points O et O, soient corres-pondans. En appelant a et lt;2, les rayons de ces deuxnbsp;Spheres, D Paltraction de la sphere du rayon a surnbsp;Ru point de Ia surface sph�rique du rayon a,, etnbsp;�, celle de la sphere du rayon a, sur un point denbsp;la surface sph�rique du rayon a, lesquelles forcesnbsp;seront dirig�es suivant les rayons des points attires,nbsp;on aura

Cette proportion est facile a verifier dans le cas Ordinaire ou I�attraction est en raison inverse dunbsp;carr� de la distance. En effet, d�apres les r�sul-^ats du n� loi, si Ton suppose a a,, I�attrac-tion D de la sphere du rayon a sur un point inf�rieur, sltu� a une distance a, de son centre etnbsp;dont f/, est la masse, sera

I�attraction D, de la sphere du rayon a, sur un point ext�rieur, dont fx est aussi la masse et qui se Irouvenbsp;3 la distance a dc son centre, aura pour valeur

et en comparant ces valeurs de D et D,, on voit qu�elles sont entre elles comnie les carr�s des rayonsnbsp;a et rt,.

LIVRE DEUXI�ME.

DYNAMIftUE,

PREMI�RE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

1 lo. Le mouvement Ie plus simple que puisse prendre un point male'riel est celui qni a lieu en lignenbsp;droite, et dans lequel le mobile d�crit des espacesnbsp;�gaux en temps �gaux. C�est ce mouvement rectilignenbsp;1�on appelle uniforme, et qui sert de terme denbsp;�^oniparaison a tous les autres mouvemens.

Quand le rapport des espaces parcourus aux temps Employes a les d�crire change continuellement, lenbsp;rnouvement est varie'; si ce changement n�avait Heunbsp;qua des intervalles de temps finis, le mouvementnbsp;Ue serait qu�une succession de mouvemens uniformes.

Dans un mouvement quelconque, l�espace parcouru par Ie mobile, ou, plus g�n�ralement, sa distance anbsp;un point fixe pris sur la ligne qu�il d�crit, est uoenbsp;fonction du temps �coul� depuis une �poque con-venue. Ainsi, en appelant t ce temps, et x cettenbsp;distance, on aura, dans tous les cas,

X = F�;

et les diverses sortes de mouvemens diff�reront enlre elles par la foi�me de cette fonction Ff. La variable tnbsp;pourra �tre positive ou negative : ses valeurs positives r�pondront a des �poques post�rieures a cellenbsp;d�oii l�on compte Ie temps, et ses valeui�s negatives, anbsp;des epoques ant�ricures.

Dans Ie mouvement uniforme, si l�on appelle a Fespace parcouru dans chaque unit� de temps, et bnbsp;la distance du mobile au point fixe, a l�oiigine dunbsp;temps f, c�est-a-dire, Ia valeur de x qui r�pond anbsp;f = o, on aura, a un instant quelconque,

X =. h at-,

car, d�apr�s la d�finition de ce mouvement, l�espace X � b d�crit dans Ie temps t doit �tre �gal a l�espacenbsp;constant a, r�p�t� autant de fois que t renfermenbsp;d�unit�s.

III. On ne d�finit ni Ie temps ni l�espace; mais il suffit a Ia G�om�trie et a la Djnamique que nousnbsp;puissions mesui�er les dimensions des corps et les du-r�es de leurs mouvemens. La mesure des longueursnbsp;est fond�e sur la superposition, et se concoit sans au-cune difficult�; celle du temps exige quelque explirnbsp;cation.

On ferait un eerde vicieux si I�on disait, d�uiie psrt, que Ie mouvement uniforme est celui dans le-^uel les espaces parcourus sont proportionnels aunbsp;^^emps, et, d�un autre c�t�, que Ie temps a pour mesure Ie mouvement uniforme, c�est-a-dire qu�il estnbsp;proportionnel aux espaces parcourus dans ce mou-�fement. Mais la notion des temps �gaux et la me-sure du temps ne sont fond�es n�cessairement sur au-t^une loi particuliere de mouvement, et Pon peut,nbsp;consequence, les supposer dans la definition dunbsp;ttiouvement uniforme et de toute autre sorte de mou-Vemens.

Concevons, en effet, que des corps parfaitement identiques se meuvent successivement, et que, pendant toute la dur�e de son mouvement, chacun desnbsp;niobiles se trouve exactement dans Ie m�rae �tat quenbsp;Celui qui Va precede : il est �vident que tons cesnbsp;uiouvernens, dont la loi n�est pas donn�e, s�ex�cute-^'ont en temps �gaux, et que leur nombre pourranbsp;servir de inesure au temps. Ainsi, par exemple, sinbsp;ces corps sont pesans et retenus par un axe fixe horizontal , qu�on les �cart� lous �galement de leur po-sition d��quilibre, et qu�on les abandonne ensuite anbsp;cux-m�mes, de sorte que Ie mouvement du secondnbsp;commence des que Ie premier est revenu a cette po-sition, celui du troisi�me aussit�t que Ie second ynbsp;est revenu de m�me, et ainsi de suite, il n�j auranbsp;^Rcuiie difference possible entre tous ces mouvemensnbsp;�Uceessifs qui s�ach�vei'ont en temps �gaux. On prou-^era par la suite qu�il n�est pas n�cessaire pour celanbsp;^oe ce soient diff�rens mobiles qui se succ�dent, el

que les oscillations successives d�un m�me corps, de part et d�autre de sa position d��quilibre, sont aussinbsp;isochrones, ou d��gale dure'e; mais la considerationnbsp;pr�c�dente, qui ne suppose la solution d�aucun pro-bl�me de M�canique, suf�it a l�objet que nous nousnbsp;sommes propose.

Les astronornes ont i�econnu, par les observations les plus pr�cises et Ie plus souvent r�p�t�es, 1�inva-riablllt� de la revolution apparente de la sphere celeste autour de la terrej et, effect!vement, la th�orienbsp;n�indique aucune in�galit� sensible dans Ie mouvement de rotation de la terre qui donne lieu a cettenbsp;apparence. On appelle jour side'ral la dur�e constante de cette revolution, laquelle dur�e est moindrenbsp;que celle de la r�volution diurne du soleil. Celle-clnbsp;n�est pas exactement la m�me a toutes les �poquesnbsp;de l�ann�e; et c�est sa grandeur mojenne que l�onnbsp;prend pour unit� de temps dans les usages ordinaires,nbsp;et que l�on appelle Ie jour mojen. Nous adopterons,nbsp;dans eet ouvrage, la division du jour en 24 heures,nbsp;de l�heure en 60 minutes, et de la minute en 60nbsp;secondes; en sorle que la seconde sera la 86400�nbsp;partie du jour mojen. Le jour side'ral ne contlentnbsp;que 86164,09 secondes; d�oii il i��sulte que pournbsp;exprin^r en jours sld�raux un temps donn� ennbsp;jours mojens, il faudra le multiplier par le rapportnbsp;de 86400 a 86164,09, OU par le nombre constantnbsp;1,0027079.

112. Un mouvement uniforme diff�re d�un autre par la grandeur de l�espace parcouru dans l�unit� denbsp;temps. Dans chaque mouvement uniforme gt; eet es-

pace constant est ce qu�on appelle la vitesse du mobile ; mais, pour parler exactenient, eet espace nest que la mesure de la vitesse, et non pas la vitesse elle-�^'�me. La vitesse d�un point materiel en mouvementnbsp;une chose qui reside dans ce point, dont il estnbsp;^'�im�, qui Ie distingue actuellement d�un point materiel en repos, et n�est pas susceptible d�une autrenbsp;�definition. La vitesse exprime'e, dans Ie mouvementnbsp;�^�iforme, par l�espace que Ie mobile d�crit dansnbsp;lt;^d�aque unite de temps, suppose qu�on prend pournbsp;unite de vitesse celle du mobile qui pai�court l�unit�nbsp;din�aire dans l�unit� de temps.

Dans un mouvement vari� quelconque, la vitesse du mobile varie par degre's inflniment petits, et ellenbsp;est une fonction du temps qui se d�duit, ainsi qu�onnbsp;de verra tout a l�heure, de celle qui exprime l�espacenbsp;pai�couru: mais, auparavant, il est n�cessaire de con-Uaitre Ie genre de mouvement que prendra un pointnbsp;Uiat�riel en vertu de sa vitesse acquise, si la forcenbsp;'lui lui a imprim� cette vitesse, par sou action con-buu�e pendant un certain temps, vient a cessernbsp;^^gir, et que ce mobile soit abandonn� a lui-�U�me.

II est d�abord �vident que si Ie mobile s�est ^^u jnsque la en llgne droite, il continuera a senbsp;�^louvoir suivant Ie prolongement de la ligne qu�ilnbsp;�d�crivait; car il n�y aurait aucune raison pour quenbsp;point niat�riel s��cartat de la direction qu�il a recuenbsp;pl�t�t d�un c�t� que de l�autre. Mais nous ne pouvonsnbsp;pas affirmer, a priori, que la vitesse qui lui a �t�nbsp;'Uiprini�e ne se ralentira pas d�elle-m�me, et ne fi-

ui ra pas par s��teindre enti�rement; ce n�est que par l�exp�rience et Finduction que cette question peutnbsp;�tre d�cid�e.

Or, a niesure que les obstacles a F�tat de niouve-ment des corps, tels que les frottemens et les re'sis-tances des milieux qu�ils traversent, diminuent d�in-tensit�, nous les voyons pei�se'v�rer de plus en plus dans eet etat; et, loutes les fois que nous apercevonsnbsp;une alteration dans leur vitesse, nous reconnaissonsnbsp;que eet effet peut �tre altribu� a une cause �trang�re.nbsp;Nous sommes done conduits a conclure que s�il e'laitnbsp;possible qu�un point materiel, apr�s avoir �t� mis ennbsp;mouvement, ne fut plus sollicit� par aucune force,nbsp;et ne rencontrat aucun obstacle, son mouvement se-rait rectiligne et uniforme, c�est-a-dire, Ie plus simplenbsp;de tous les mouvemens.

Ainsi, par exeraple, si une parcelle de fer est mise en mouvement dans Ie vide, sur un plan horizontalnbsp;et sans frottement, par la seule action du pole d�unnbsp;aimant, et que tout a coup on d�truise Ie pouvoirnbsp;attractif de ce pole, en y juxtaposant un pole �gal etnbsp;contraire, cette parcelle continuera de se diriger versnbsp;ce point j mais son mouvementdeviendra uniforme,nbsp;et sa vitesse sera plus ou moins considerable, selonnbsp;qu�on aura laiss� agir la force attractive plus ou moinSnbsp;long-temps.

L�impossibilit� o� sont tous les points mat�riels de se mettre en mouvement ou de changer Ie mouvement qui leur a �t� communiqu�, sans Ie secoursnbsp;d�une force, est ce qu�on entend par Yinertie de 1*nbsp;mati�re. Ce mot ne signifie pas que la mati�re soit

incapable d�agir; car, au contraire, cliaque point �^at�riel trouve toujours dans l�action d�autres pointsnbsp;^�iate'riels, mais jamais en lui-m�me, Ie principe denbsp;mouvement.

114* Au bout du temps t, et quand Ie mobile trouve a la distance x dun point fixe pris surnbsp;ia droite qu�il d�crit, solt v sa vitesse acquise, c�est-a-dii�e, la vitesse du mouvement uniforme qui auraitnbsp;lieu , si, a eet instant, la force qui agit sur Ie mo-igt;ile venait a cesser d�agir. L�action de cette forcenbsp;Continuant, l�espace dx que Ie mobile parcourranbsp;dans l�instant dt sera d�crit en vertu de cette action et de la vitesse c j la partie de dx correspon-dante a cette vitesse, qui serait d�crite d�un mouvement uniforme, aura vdt pour valeur. En appelant done � la partie de eet espace qui r�pond anbsp;l�action de la force pendant l�instant dt, nous au-i'ons

0lt;', la vitesse variant par degr�s infiniment pet lts, ct ses variations �taut uniquement dues a Taction denbsp;la force appliqu�e au mobile, il s�ensult que dansnbsp;Ic temps dt cette action ne peut produire qu�une vi-tesse infiniment petite ; par cons�quent, cette m�menbsp;action ne peut faire d�crire qu�un espace infinimentnbsp;petit du second ordre, moindre que celui qui se-^'ait d�crit uniform�ment par Ie mobile, s�il rece-Vait au commencement de dt toute la vitesse quinbsp;Sera produile pendant la dur�e de eet instant. Onnbsp;peut done n�gliger g par rapport a vdt dans T�qua-1.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14

Si l�on voulait connaitre la partie � de l�espace par-couru par Ie mobile dans Ie temps dt, en vertu de Taction de la force qui Ie sollicite, il faudrait con-server les puissances de dt sup�rieures a la premi�re.nbsp;Or, en appelant x' la distance du mobile au pointnbsp;fixe, au bout du temps t dt, on aura, par Ienbsp;th�or�me de Taylor,

pour Texpression complete de Tespace parcouru dans eet instant dt. Le premier terme, �gal a vdt, estnbsp;Tespace du a la vitesse acquise au bout du temps t;nbsp;si done on n�glig� les termes du troisi�me et desnbsp;ordres sup�rieurs par rapport a ceux du second,nbsp;on aura

pour la partie de Tespace x' � x que Taction de la force a fait parcourir. La vitesse produite en m�menbsp;temps par cette action �tant dv, on voit que Tespace que le mobile d�crirait uniform�mentpendant ce temps dt, s�il recevait au commencement

DYNAMIQ�E, PREMI�RE PARTlE. toute cette augmentation de vitesse, serait �gal aunbsp;produit de dv et dt, ou double de l�espace e qu�ilnbsp;d�ci'it r�ellement.

n5. Lorsque l�espace parcouru sera domi� en fbnction du temps, on en d�duira imm�diatementnbsp;vitesse correspondante, au moyen de l��quation

^dihood, d�crivant des espaces qui croissent comme les cari��s du temps, on en peut conclure que leursnbsp;Vitesses acquises doivent �tre proportionnelles auxnbsp;temps pendant lesquels ces espaces sont parcourus;nbsp;ce que cette machine fournlt, en effet, Ie moyen denbsp;verifier.

R�ciproquement, si la vitesse est donn�e en fonc-tion du temps par la definition du mouvement, ou en d�duira, par l�int�gralion, l�expression de Fes-pace parcouru. Ainsi, apr�s Ie mouvement uniforme,nbsp;Ie plus simple est celui dans lequel la vitesse aug-Wiente ou diminue, de quantit�s �gales, en tempsnbsp;egaux, et qu�on appelle, pour cette raison, unifor-^�inent acc�l�r� ou retard�. Si done on appelle gnbsp;1�accroissement constant, positif ou n�gatif, de la vi-^6sse dans chaque unite de temps, et a la vitesse dunbsp;�^^obile quand t = o , la vitesse v a un instant quel-lt;^onque sera, dans ce mouvement,

L�espace parcouru est done alors proportionnel au carr� du temps j et la vitesse acquise au bout d�unnbsp;temps quelconque t est telle qu�en vertu de cettenbsp;seule vitesse Ie mobile d�crirait, en nn temps �galnbsp;a un espace vt double de celui qu�il a parcouru.nbsp;II s�ensuit que si l�on connait l�espace parcouru dansnbsp;la premi�re unite de temps, on aura, en Ie dou-blant, la valeur de la vitesse constante g, par la-quelle un mouvement uniform�ment acc�l�r� diff�renbsp;d�un autre mouvement de la m�me nature.

Ce mouvement est celui des corps pesans qui toni-bent dans Ie vide. En un m�me lieu, la vitesse g est �gale pour tous leurs points; en sorte qu�ils d�-crivent tous, d�un m�me mouvement de cette esp�ce,nbsp;des droites verticales. Cette vitesse varie d�uia lieunbsp;a un autre ; en prenant la seconde pour unit� denbsp;temps, et Ie metre pour unit� lineaire, on a con-*nbsp;clu de l�exp�rience

La force qui produit des vitesses �gales en temps �gaux est pour nous une force constante. Ainsi , lanbsp;pesanteur est une force constante; ce qui signifienbsp;ici qu�elle agit avec la m�me intensil� sur les corps

anim�s de vitesses quelconques , et non pas ^ulement, comme dans Ie n� Sg, que son inteii-sit� est la m�me dans toute I�etendue d'�n corps denbsp;dimensions ordinaires.

ii6. Les lois de I�equilibre ne supposent aucune *�elation particuliere entre les forces et les vitessesnbsp;*^Orrespondantes; et, pour r�soudie les probl�inesnbsp;de Statique , il suffit de connaitre l�s rapports nu-^�riques des forces, tels qu�ils ont et� d�finis dansnbsp;ie n� 5. Les lois du mouvement, au contraire, dependent du rapport qui doit exister entre les grandeurs des vitesses produites par des forces donn�es; etnbsp;Ce rapport, dont la connaissance est indispensablenbsp;pour la solution des probl�mes de Djnaraique, estnbsp;Ie m�me que celui des farces, ainsi qu�on va Ie d�-tnontrer.

Soient toujours oc et p Fespace parcouru et la vi-lesse acquise par un point materiel au bout du temps t. Supposons qu�a cette �poque deux forces donn�es �nbsp;f' agissent simultan�ment sur Ie mobile , suivantnbsp;ia direction de son mouvement; d�signons par u lAnbsp;'^itesse infiniment petite que la force J imprimeraitnbsp;mobile, si elle agissait seule pendant un temps tnbsp;^�tfiniment petit, et par �' celle qui serait prodiiitenbsp;pat la force J', dans Ie m�me temps, si la force � n�exis-^ait pas. Je dis que la simultan�it� de ces deux forcesnbsp;modifiera pas les vitesses dont elles sont capablesnbsp;Separ�nient, et que la vltesse produile par la forcenbsp;^ quot;dquot; f' sera u -p. c�est-a-dire qu�au bout dunbsp;temps � -f- T , la vltesse du mobile sera devenne

En e�fet, l�augmentation de vitesse dn mobile ne pourra d�pendre que du temps r auquel elle seranbsp;proportionnelle, et de l��tat de ce point materiel,nbsp;OU, autreraent dit, de sa position et de sa vitessenbsp;pendant ce m�me temps t; ce ne seralt done qu�ennbsp;influant sur eet �tat que l�actlon de la force �' pour-rait modifier la vitesse qui sera produite par la force J.nbsp;Or, pendant Ie temps t, la distance du mobile a unnbsp;point fixe et sa vitesse ne peuvent varier que de quan-tlt�s infiniraent petites, n�gligeables par rapport axnbsp;et v; ses variations de distances a d�autres points fixesnbsp;ou mobiles, d�oii peuvent �maner les forces J et f,nbsp;sont egalement negligeables; par consequent, la vitesse que produira la force f, pendant cet intervallenbsp;de temps t, ne saurait �tre modlfi�e en aucune rna-ni�re par Taction simultanee de la force f'-, et il ennbsp;sera de m�me a T�gard de la vitesse due a la force �nbsp;qul ne sera pas non plus changee par Taction de f.nbsp;Done la vitesse totale imprim�e au mobile pendant le temps t, par la force f f, sera �gale a

On verra de rn�me que si la force f agit dans le sens de la vitesse c, et la force f en sens contraire,nbsp;Taugmentation de vitesse produite par la force f�f,nbsp;sera �gale a u � u'.

Quelle que soit la nature de chacune des forces f et �', si elles sont capables dune m�me vitesse unbsp;dans un m�me temps infiniment petit, ce sont pournbsp;nous des forces egales. Appliquees en sens contrairenbsp;Tune de Tautre, elles ne changeront pas la vitesse dunbsp;mobile, s�il est deja en mouvement; il y aura eqniquot;

libre, si ce point materiel est en repos; ce qui rentre la definition des forces �gales du n� 5.

Lorsque la force qui agit sur Ie mobile dans Ie sens lavitesse acquise, deviendra double, triple, qua-'ii'uple,.... la vitesse qu�elle produira dans Ie tempstnbsp;^i'oitra suivant la m�me proportion. R�ciproquement,nbsp;'luand cette force se r�duira a moiti�, au tiers, aunbsp;^uartla vitesse qui sera produite diminuerade lanbsp;^�nie manl�re; et, ge'n�ralement, les vitesses infini-�i�entpetites produites pendant des insfansegaux, dansnbsp;Ie sens ou en sens contraire de la vitesse acquise , ounbsp;iniprim�es a un point mat�rie! en repos, seront entrenbsp;elles comme les intensit�s des forces correspondantes.

C�est sur ce principe general qu�est fond�e la mesure des forces dans la Djnamique. On a coutume de Ie pr�senter comme une hypothese; nous Ie donjons iel comme une consequence n�cessaire de cenbsp;^ue les vitesses imprim�es par des forces quelcon-S'ies, dans des intei�valles de temps infinlment petits,nbsp;�ont toujours infinlment petites, et de ce qu�ennbsp;^tieme temps les d�placemens des mobiles sont aussinbsp;^ofiniment petits.

Uy. Si les forces que l�on veut comparer Tune a 1�autre sont des forces constantes, de sorte que cha-�^Rne d�elles produise, pendant toute la dur�e du mouvement, des vitesses �gales en temps �gaux(n� ii5),nbsp;^eurs intensit�s seront entre elles comme les vitessesnbsp;^u elles impriment en uu m�me temps quelconque anbsp;Rn m�rne point mat�riel. Lors done que ces vitessesnbsp;seront donn�es par 1�observation, on en conclura Ienbsp;rapport des forces; et, r�ciproquement, quand ce

Designons, par exeraple, par �ra- et les intensi-t�s de la pesanteur a deux latitudes difFe'rentes, et supposons qu�on ait determine, en ces deux lieux denbsp;la terre, les vitesses g et g', acquises en une secondenbsp;par les corps qui tombent verticalement dans Ie vide;,nbsp;on aura

liC rapport de ces forces lt;z�r et fsr' sera aussi celui des poids d�un m�me corps, ou de deux corps homog�nesnbsp;et d�un m�me volume, a ces deux latitudes. L�obser-vation a fait connaitre que les vitesses dues a la pesanteur augmentent en allant de l��quateur au pole ,nbsp;et que I�accroissement total est a peu pres de lanbsp;plus petite. II s�ensuit done que Ie poids d�un m�menbsp;corps, transport� de l�e'qualeur au pole, augmenteranbsp;de et que, pour mettre en �quilibre les poids denbsp;deux corps homog�nes places en ces deux lieux denbsp;la terre, il faudra que Ie volume du corps situ� anbsp;l��quateur exc�de de celui du corps situ� aunbsp;pole.

Solent encore ar l�intensit� de la pesanteur dans Ie sens vertical, et sa composante sulvant une droitenbsp;qui fait avec sa direction un angle ct. D�apr�s la regienbsp;du parall�logramme des forces, nous aurons

et si l�on appelle g et g, les vitesses qui seront pro-duites dans 1�unit� de temps par ces deux forces cons-tantes, agissant s�par�ment sur un m�me point ma~

g ' gi �� ^ : lt;t!r, ,

Si ce point materiel pesant est pos� sur un plan in-clin�, qui fasse avec Ie plan horizontal nn angle �gal a go* � a, la force se d�composera en deux au-h'cs, l�une perpendiculaire au plan donn� et qui seranbsp;detruite par sa resistance, 1�autrc dirig�e suivant cenbsp;l�i�nie plan et qui sera la foi�ce 'W,. C�est cette der-ni�re force qui produira Ie mouvement dans Ie vide,nbsp;abstraction faite du frottement du mobile contre Ienbsp;plan incline. Ce mouvement, du a une force constante , sera done uniform�ment acc�l�r�; et si l�onnbsp;appelle ar, et t', l�espace parcouru et la vitesse acquisenbsp;bout du temps t, on aura

f, = gl^5 nbsp;nbsp;nbsp;a gl^ 5

Cet exemple est tres propre a montrer la necessite de conuaitre a priori Ie rapport des vitesses dues anbsp;des forces dont Ie rapport est connu; car si Ton nenbsp;�avait pas d�duire g, de la vitesse g donn�e par l�ob-servation, et qu�il fallut, pour faire usage de ces der-�ieres equations, determiner aussi par I�experience lanbsp;Valeur de g, qui r�pond a chaque valeur de 1 angle st,nbsp;la Dynamique se trouverait a peu pres r�duite a unenbsp;Science exp�rimentale.

II8. Pour niesurer une force variable, il faut en consid�rer l�effet pendant un temps infiniment petit,nbsp;durant lequel on peut la considerer comme constante.nbsp;Soit done lt;p, dans un mouvement rectiligne quel-conque, la force qui agit sur Ie mobile au bout dunbsp;temps t, et que nous regarderons comme une quan-tit� positive ou negative, selon que cette force agiranbsp;dans Ie sens de la vitesse acquise ou en sens oppose.nbsp;Cette vitesse e'tant v au m�me instant, elle seranbsp;e Je au bout du temps t-\-dt; en sorte que lanbsp;force tp aura imprira� une vitesse dv au mobile dansnbsp;l�instant dt. Si done on d�signe par mr une force constante et connue, capable d�une vitesse g dans l�unit�nbsp;de temps, et qui puisse, cons�quemment, impriraernbsp;au mobile une vitesse gdt dans Ie temps dt^ on aura

Apr�s avoir eboisi arbitrairement une unite lineaire et une unite de temps, on exprimera en nombres la

d�un temps '^onn�. Cette formule fera ensuite con-naitre, au m�me instant, Ie rapport num�rique de la force (p a Ia force connue lt;3r; et si celle-ci est Ia pe-santeur, ce rapport sera celui de la force tp au poidsnbsp;du mobile sur lequel elle agit; en sorte que ce pointnbsp;mat�rie! �tant pesant et sollicit� par la force lt;p en sens

On simplifiera la formule prcc�dente, en prenant '�� et g- pour unites; ce qui la r�duira a

L�unit� de force sera alors la force constante qui 'Qiprimerait au mobile, dans l�unit� de temps, unenbsp;Yitesse repr�sent�e par Funit� lineaire, de mani�renbsp;que si ces deux derni�res unites sont la seconde etnbsp;Ie metre, l unit� de force sera a pen pr�s Ie dixi�menbsp;du poids du mobile, d�apr�s la valeur de g du

On peut remarquer que celte mesure

force variable (p est la vitesse que produirait, dans ^ unite de temps, une force constante qui conser�nbsp;Yerait pendant ce temps la m�me intensit� que lanbsp;force lt;p pendant l�mstant dt, Ainsi, dans Ie mouve^nbsp;lUent d�une parcelle de fer vers Ie pole d�un aimant,nbsp;que nous avons d�ja pris pour exemple (n� 115), lanbsp;force lt;p depend de la distance au pole, et est parnbsp;cons�quent variable; mals si l�on suppose qua unnbsp;^ostant donn� Ie pole recule devant Ie mobile, denbsp;^lani�re que la, distance de l�un a 1 autre deviennenbsp;constante, la force cp Ie deviendra aussi, Ie mouvement se cbangera en un mouvement uniformementnbsp;^ccel�re, et 1�augmentation de vitesse qui aura lieunbsp;dans l�unit� de temps sera la mesure de cette force anbsp;^ instant ou elle est devenue constante.

En ayant �gard a la valeur de a trouv�e dans Ie n� 114, on peut aussi �crire

II suit done de cette formule et de la pr�c�dente qu�une force a �galement pour mesure la vitessenbsp;qu�elle produit dans un temps infiniment petit, divi-s�e par ce temps, ou bien Ie double de l�espace qu�ellenbsp;fait parcourir, divis� par Ie carr� de ce m�me temps.nbsp;Dans Ie mouvement uniform�ment acc�l�r�, ces deuxnbsp;mani�res �quivalentes de mesurer la force ont encorenbsp;lieu, sans qu�il soit n�cessaire que Ie temps soit infiniment petit.

pour les formules g�n�rales du mouvement recti-ligne. Elles montrent les rapports qui existent, dans un mouvement quelconque, entre l�espace parcouru,nbsp;la vitesse acqulse et la force qui agit sur Ie mobile,nbsp;et comment ces trois fonctions du temps peuvent senbsp;d�duire Tune de Fautre, soit par la differentiation,nbsp;soit par 1�int�gration.

ce qui suppose qu^on prenne Ie temps t pour la valuable ind�pendante, et que sa diff�rentielle dt soit constante; hypothese que nous ferons de m�me, daus'

Ce qul sei�vira a determiner v quand la force (p sera donn�e en fonction de a?, et, re'ciproquement, cettenbsp;force lorsque Ia vitesse sera connue en fonction denbsp;* espace parcouru.

Nous donnerons, dans Ie chapitre suivant, diverses applications de ces formules g�n�rales.

120. Avant de montrer comment on devra tenir compte des masses dans la comparaison des forces quinbsp;^gissent sur des mobiles dlff�rens, il importe de rec-bfier une expression inexacte, que l�on emploie souvent, et qui tient a une confusion d�id�es.

Concevons qu�un corps soit pos� sur un plan horizontal, et qu�il n�j soit retenu par aucun frottement.

je veux Ie faire glisser sur ce plan, il faudra n�an-�^loins, a cause de I�inertle de la mati�re, que j�exerce effort quelconque; si a ce corps on en joint unnbsp;second, puis un troisi�me, etc., il faudra que je d�-ploie, pour produire Ie m�me mouvement, une forcenbsp;de plus en plus consid�rable. J�aurai, dans chaquenbsp;cas, Ie sentiment de l�effort que je serai oblige denbsp;faire j mals je ne devrai pas en conclure que la ma-

ti�re oppose aucune resistance a eet effort, et qu�il existe dans les corps ce qu�on appelle tr�s impropre-ment une force d'inertie. Quand on s�exprime ainsi,nbsp;on confond la sensation que l�on a �prouv�e, et quinbsp;r�sulle de Teffort qu�on a exerc�, avec la sensationnbsp;d�une resistance qui n�existe r�ellement pas.

Lorsque Ie corps frotte contre Ie plan, il j a effec-tivement une resistance au mouvement horizontal, et je ne peux pas d� placer Ie mobile sur ce plan sausnbsp;exercer un effort sup�rieur a cette resistance. Denbsp;m�me, quand je veux soulever Ie mobile verticale-ment, il J a aussi une r�sistance a ce mouvement,nbsp;que je dois vaincre par un effort qui la surpasse.nbsp;Dans les deux cas, je ne produirai aucun mouvement tanl que je ne ferai pas un effort plus grandnbsp;que Ie poids du corps, ou que son adh�sion au plannbsp;horizontal; mais si l�on ne suppose ni pesanteur ninbsp;froltement, je mettrai Ie corpsen mouvement, quel-que faible que soit 1�effort que j�exercerai, et quel-que grande que soit la masse du mobile : alors, sinbsp;j��prouve qu�il faut faire un plus grand effort pournbsp;communiquer Ie m�me mouvement a un corps qu�anbsp;un autre, j en conclurai que Ie premier se composenbsp;d�une plus grande quantit� de mati�re que Ie second;nbsp;et si je pouvais comparer avec pr�cision les grandeurs des efforts que j�aurai exerc�s, leur rapport se-rait celui des masses de ces deux mobiles. C�est suvnbsp;une semblable consid�ration qu�est fond�e, ainsinbsp;que nous allons l�expliquer, la mesure des massesnbsp;d�apr�s les grandeurs des forces qui les metten^nbsp;en mouvement, et, r�ciproquement, la mesure

tesses.

121. Deux points mat�rlels, appartenaht a des corps peuvent �tre de nature diff�rente, ont des massesnbsp;'^gales OU in�gales, selon que des forces qu�on suppose �gales leur impriment, dans un m�me temps, lanbsp;lo�me vitesse ou des vitesses diff�rentes. Supposons,nbsp;Pour fixer les idees, que les forces appliqu�es a cesnbsp;deux points soient vertlcales, et qu�apr�s les avoirnbsp;plac�es dans les deux plateaux d�une balance, il y aitnbsp;Oquilibre. Ces forces seront �gales dans celte hypothese j et cela �tant, si les deux points sont rendusnbsp;enti�rement fibres, et que les m�mes forces les met-tent en mouvement, leurs masses seront �gales ounbsp;in�gales, selon qu�ils prendront, dans Ie premiernbsp;instant, des vitesses infinlment petites, �gales ounbsp;in�gales.

Lorsque, de cette mani�re, les masses de diff�rens points mat�riels auront �t� reconnues �gales, en lesnbsp;i'eunissant on formera d�autres points dont les massesnbsp;^nront entre elles des rapports quelconques. Ainsi,nbsp;�n appelant fx, la masse de chacun des points �gaux,nbsp;^ et m' les masses de deux autres points form�s de n

n' des premiers, m et m seront entre elles comme nombres n et n', et l�on aura

Maintenant, soient u, v, des vitesses infiniment petites, i et i' des nombres entiers, et

Si deux foi�ces f et jTMmpriment aux masses m et m' les vitesses v et v' dans un ni�me instant, je disnbsp;qu�on aura

En effet, on peut regarder la force f comme la somme d�un nombre n de forces �gales qui impri-ment la ra�me vitesse v a chacun des n points �gauxnbsp;dont in se compose; de sorte qu�en appelant k Tunenbsp;de ces forces �gales, on aura

Soit, en outre, h la force qui imprimerait la vitesse� a chacun de ces points �gaux, pendant Ie m�me instant que la force k lui imprime la vitesse v. Ces forcesnbsp;agissant sur un m�me point mat�riel, seronl enlrenbsp;elles comme les vitesses m et v (n� 116); et, a causenbsp;de = iu, il en r�sullera

en regardant J' comme la somme de n' forces k' ca-pables d�imprlmer la vitesse v� a chacun des points �gaux dont se compose 7n', et appelant h' la force quinbsp;imprimerait a chacun de ces m�mes points la vi'nbsp;tesse u. Or, h et h' �tant des forces capables d�impri-mer dans un merae instant une m�me vitesse u anbsp;deux points �gaux en masse, savoir, a deux des pointsnbsp;dont la masse commune a �t� repr�sent�e par fjt,, �nbsp;suit de ce qui pr�c�de qu�on doit avoir h'=h. D�apr�s

�t, en ayant �gard aux valeurs de m, m', P, v', il en r�sultera la proportion qu�il s�agissait de d�montrer.nbsp;122. Cela pos�, consid�rons un corps de grandeur'nbsp;de forme quelconques, dont tous les points d�cri-Yent des droites parall�les, avec �ne vitesse com-�oune qui peut d�ailleurs varier avec Ie temps. Parta-geons ce corps en une infinit� de points mat�rielsnbsp;egaux en masse, tels qu�on vient de les d�finir. Onnbsp;pourra altribuer Ie mouvement de tous ces points anbsp;des forces qui seront �gales et parall�les dans toutenbsp;r�tendue du mobile ; leur r�sultante, pour une par-tie quelconque de ce corps, sera �gale a leur somme,nbsp;et appliqu�e au centre de gravit� de cetle ni�rae par-tie. Les forces correspondantes a deux parties quel-eouques seront done entre elles comme leurs masses;nbsp;par cons�quent, si i�on appelle y la foi�ce totale quinbsp;^git sur Ie mobile, m sa masse, et (p la force qui r�-pond a une partie de cette masse prise pour unit�,nbsp;Un aura

Quant a la force p, elle sera proportionnelle a l�ac-nroissement de la vitesse des points du mobile pendant un temps iufinimenl petit; et si l�on appelle e nette vitesse au bout du temps on pourra prendrenbsp;pour sa mesure, comme dans Ie n� 118,

pour l�expression de la force dans un mouvement quelconque, en ayant �gard a la masse du mobile ,nbsp;et supposant tous ses points anim�s d�une m�me vi-tesse.

Cette force �, qui est la r�sultante ou la somme des forces infiniment petites qu�on peut supposer ap-pliqu�es a tous les points dont Ie corps est compos�,nbsp;se nomme j�rce motrice; Ie facteur (p de sa valeur 7ult;pnbsp;s�appelle force acc�l�ratrice, et n�est autre chose quenbsp;la force motrice rapport�e a l�unit� de masse.

La force motrice se change en une pression lorsque la masse sur laquelle elle agit est appuy�e contre unnbsp;plan fixe, perpendiculaire a sa direction. Une pression et une force motrice ne diff�rent done Tune denbsp;l�autre qii�en ce que les vitesses infiniment petitesnbsp;qu�une pression tend a produire sont incessammentnbsp;d�truites par la r�slstance du plan fixe qui la sup-porte, tandis que celles qui sont effectivement pro-duites pendant chaque instant par Ia force motricenbsp;s�accumulent dans Ie mobile, et qu�il en r�sulte unenbsp;vitesse finie apr�s un temps finl. Deux pressions sontnbsp;entre elles comrae les masses raultipli�es par les vi'nbsp;tesses infiniment petites qu elles tendent a leur im-primer dans un m�me instant, et qu�elles leur im-primeraient, en effet, si ces masses �taient fibres.

123. Si Ie mouvement commun a tous les polnt-s d�un mobile est uniform�ment acc�l�r�, et qu�on ap'nbsp;pelle g 1�augmentation de vitesse qui a lieu dans

lt;P = ggt; � = mg.

r*our une autre force constante agissant sur une wiasse m', et produisant une vitesse g' dans runit�nbsp;�Je temps, on aura de m�me

Fobservation a prouv� que deux corps pesans, quelle que soit la difference des mati�res , acqui�-i�ent la m�me vitesse en tombant dans ie vide pendant un m�me intervalle de temps. Dans Ie cas de lanbsp;pesanteur, on a done g= g'; et, cons�quemment,nbsp;les poids f et f' de deux corps quelconques sontnbsp;entre eux comme leurs masses m et m', ainsi quenbsp;nous l�avons suppose dans Ie n� 6o. Le seul fait,nbsp;constate par une experience journali�re, que desnbsp;corps h�t�rog�nes ont des poids �gaux sous des volumes differens, ne suffisalt pas pour deciders! leursnbsp;masses sont �gales ou In�gales; il fallait savoir, denbsp;plus, qiie la pesanteur leur imprime le m�me mouvement, pour pouvoir conclure, de 1�e'galit� desnbsp;poids, legalit� des quantit�s de mati�re.

Le poids dun corps pesant qui tombe dans le vide ^st sa force motrice, et la pesanteur est sa force acce'-l�ratrice. Pour abr�ger, on appelle souvent pesanteur Ou gravit� la vitesse g, qui n�est que la mesurenbsp;lt;3e cette force.

124- Si des forces donne'es agissent a la surface ou sur d�autres paities d�un corps solide, et qu�11 en r�-mlte pour tous ses points des vijesses �gales et pa-

rall�leSjil faudra que ces forces aient une r�sultante unique, qui co�ucidera, en grandeur et en direction,nbsp;avec la force motrice, telle qu�on vient de la d�finir,nbsp;et dont on d�duira la force acc�l�ratrice en la divisantnbsp;par la masse enti�re du mobile.

Supposons, par exemple, qu�un corps pesant tombe dans Vair, dans l�eau, ou dans tout autre fluide, etnbsp;que sa forme et sa densit�, s�il n�est pas homogene,nbsp;soient sjm�triques autour d�un axe yertical. II estnbsp;�vident que tout �tant semblable autour de eet axe,nbsp;tous les points du mobile d�eriront des droites verti-cales ; ce qui exige, puisqu�il s�agit d�un corps solide,nbsp;qu�ils aient tous la m�me vitesse a chaque instant.nbsp;La resistance du milieu, qui s�exerce a la surface denbsp;ce corps, se r�duira done a une force dirig�e suivantnbsp;son axe de figure. Je d�slgnerai par R son intensit� anbsp;un instant quelconque, par 4 1^ partie correspon-dante de la force acc�l�ratrice du mobile, et par mnbsp;sa masse; on aura alors

Comme cette force agit en sens contraire de la gra-vlt� pendant la chute du corps, la force acc�l�ratrice totale sera g � 4- Si Ie mobile �tait lanc� verticale-menl de bas en haut, les deux forces agiraient dansnbsp;Ie m�me sens, et la force acc�l�ratrice totale seraitnbsp;n�gative et �gale a � g � 4-

La theorie de la resistance des fluides est encore trop peu avancee pour qu�on puisse d�terminer, dnbsp;priori, la valeur de R, laquelle peut d�pendre de lanbsp;vitesse dont Ie mobile est anim�, de sa forme, de

la denslt� et de la nature du fluide. Le plus commu-n�iuent, on la suppose proportionnelle au carr� de a la densit� du fluide , que je repr�senterai par p,nbsp;sorte que 1�on a

R =

^ �tant un coef�cient qui ne peut plus d�pendre que �e la forme et des dimensions du corps, de la naturenbsp;�lu fluide, liquide ou a�riforme , et de sa temp�-i�ature.

Dans le cas d�une sphere, on regarde le coefli-cient cr comme proportionnel a sa surface ou au carr� de son diam�tre. En d�signant done par r son rayon ,nbsp;et par D sa densit� , de sorte que sa masse soit

y d�signant un coefficient num�rique qui sera le ��i�nie pour toutes les spheres, et dont la valeur de-�''ra �tre d�termin�e par l�exp�rience pour chaque ,nbsp;Nature de fluide. A cause que cette quantit� '\J, est denbsp;3 m�me nature que g, il sensuit que si 1�on d�signenbsp;k une vitesse donn�e, il faudra qu�on ait

laS. Une m�me force constante, agissant successi vement sur des masses diff�rent es, produira des mouveniens uniform�ment acc�l�r�s, dans lesquelsnbsp;Ja force acc�l�ratrice, ou 1�accroissement constant denbsp;la vitesse dans chaque unite de temps, sera en raisonnbsp;inverse de Ia masse.

Ainsi, par example, � �tant Ie poids /ng d�une masse m, si Ton suspend cette masse a l�extr�mit�nbsp;d�un fil qui soit attach� par son autre bout a unenbsp;autre masse m' pos�e sur un plan horizontal, il estnbsp;�vident que ces deux masses prendront un m�rnenbsp;mouvement uniform�ment acc�l�r�, et du a la forcenbsp;raotrice J, abstraction faite du frottement et du poidsnbsp;de la partie verticale du fil. Si done on appelle g' lanbsp;force acc�l�ratrice de ce mouvement, on aura

Par cons�quent, Ie mouvement dont il s�agit sera Ie m�me que celui d�un corps pesant sur un plan in-clin�, qui fait Tangle a avec la verticale (n� 117).

Tous les corps �tant mobiles et susceptibles de prendre des vitesses en raison inverse de leurs masses,

lorsqu�ils sont soumis, pendant un m�rae temps, a I action d�une m�me force, il s�ensuit qu�il n�existenbsp;pas de corps r�eWement fixes; ceux qu�on appellenbsp;ainsi sont des corps qui ont de tres grandes massesnbsp;par rapport a celles dont dependent les forces mo-trices qu�on leur applique, et qui ne recoivent,nbsp;consequemment, de Taction de ces forces que desnbsp;vitesses extr�mement petites. A la surface de la terre,nbsp;ce sont les corps attaches a cette surface qui ne fontnbsp;lt;lu�une seule masse avec celle du globe terrestre ;nbsp;ct, en etfet, en prenant cette masse pour m' dansnbsp;1 exemple pr�c�dent, on yoit que la vitesse g' quinbsp;lui sera imprimee dans 1�uriit� de temps, par unnbsp;polds mg correspondant a une masse in de grandeur ordinaire, po�rra �tre regard�e comme tout-a-fait insensible.

126. On a coiitume d�appeler quantile de mou-*gt;�ement dun corps le produit de sa masse par sa vitesse. Pour me conformer a Tusage , j�emploierai cette Expression, a laquelle il serait toutefois plus correctnbsp;�le substituer celle de quantit� de vitesse, puisquenbsp;cest la vitesse qui reside dans le mobile, et que

Il n�y a aucune force qui produise instantan�ment tine quantit� finie de mouvement. Le choc d�un corpsnbsp;solide en mouvement contre un corps solide en repos imprime a celui-ci, dans un temps tr�s court,nbsp;ttiais non pas infiniment petit, une vitesse qui peutnbsp;�tre quelquefois tr�s grande; et, pendant cet inter-valle de temps, les deux corps ne se d�placent pas sen-siblemcnt. Quelque durs qu�on les suppose, ils se com-

priment toujoiii�s un tant soit peu; la vitesse passe de l�un a l�autre par degr�s irifiaiment petits; et si l�on faitnbsp;abstraction de l��lasticit� de ces deux corps, leur action mutuelle cesse d�s qu�ils ont des vitesses �gales.nbsp;Cette communication rapide de la vitesse, saus d�-placement sensible des masses, est ce qu�on appel Ie unenbsp;percussion ou une impulsion; elle �quivaut, commenbsp;on voit, a une force motrice agissant, pendant unnbsp;temps tres court, avec une tres grande intensit�.

En consid�rant ainsi la percussion comme la somme des actions infiniment petites d�une force motrice, onnbsp;en conclut qu�elle se decompose en deux autres percussions , suivant des directions donn�es, par la regienbsp;du parall�logramrne des forces, comme chacune denbsp;ces actions successives. Si, par exemple, on exercenbsp;sur la t�te d�un coin une percussion normale que j�ap-pellerai P, elle se d�composera en deux autres percussions perpendiculaires a ses deux faces; et si l�onnbsp;repr�sente par Q et Q' les deux composantes, par K,nbsp;et K' les lohgueurs des faces auxquelles elles r�pon-dent, et par H celle de la t�te du coin, il est ais� denbsp;voir qu�on aura , d�apr�s la regie cit�e,

Ainsi, en supposant que celte percussion P provienno d�une masse m qui vient frapper la t�te du coin avecnbsp;une vitesse a, ses deux faces, ou plut�t les obstacles

DYNAMIQUjE, premi�re PARTIE. 233 fixes conlre lesquels elles s�appuient, seront dans Ienbsp;cas que s�ils �taient frapp�s normalementnbsp;par la l�i�tne masse ?n, anim�e de vitesses proper-

127. Si im corps solide en repos est frappe a la fois, en sens opposes, par deux autres corps dont lesnbsp;iRasses sont m et m', et les vitesses e et e'; que cesnbsp;trois corps soient symetriques autour d�un m�menbsp;axe quant a leur forme et quant a leur densit� , etnbsp;que tous les points des deux derniers se meuvent pa-rall�lement a cette droite, leurs percussions sur Ienbsp;corps interm�diaire se feront �quiJibre, lorsque lesnbsp;quantit�s de mouvement et 7raV' seront �gales,nbsp;c�est-a-dire que ces quantit�s de mouvement passe-i�out, pendant un temps tres court, dans Ie corps interm�diaire , et s�y d�truiront sans que ce corps soitnbsp;d�plac� dune mani�re sensible.

L��quilibre aura lieu �galement si I on supprime ^e corps interm�diaire, et que la communication denbsp;vitesse se fasse imm�diatement entre les deux autres corps. Ainsi, deux corps solides qui vont au-de-^ant l�un de I�autre se r�duisent au repos, abstraction faile de l��lasticit�, lorsqu�ils viennent a se ebo-^Rer, et que leurs masses sont en raison invei�se denbsp;leurs vitesses; et, r�ciproquement, les produits desnbsp;Riasses et des vitesses sont �gaux quand il J a �qui-libre dans Ie choc de deux corps solides. On supposenbsp;comme on vient de Ie dire, les deux mobilesnbsp;^ym�triques autour d�une m�me droite, et les vitesses

de tous leurs points parall�les a cette dioite, laquelle est celle qui passe par les centres de gravit� des deuxnbsp;masses. La condition d��quilibre dans Ie choc de cesnbsp;corps est done l��galit� de leurs quantit�s de mouvement, OU l��quation

lil et m' �tant leurs masses, et v et v' leurs vitesses. Nous d�terminerons par la suite les mouvemens quinbsp;auront lieu apr�s Ie choc, quand ces conditions relatives atix grandeurs et a la direction des vitesses, etnbsp;a la forme des mobiles, ne seront pas remplies, ounbsp;bien quand on aura �gard a leur �lasticit�.

II r�sulte de cette lol de r�quilibre dans Ie choc que la percussion fournirait Ie mojen Ie plus directnbsp;de mesurer Ja masse des corps. On imprimerait unenbsp;vitesse connue a a tous les points d�un corp� dont lanbsp;masse serait prise pour unite; et si l�on pouvait determiner exactement la vitesse v dont tous les pointsnbsp;d�un autre corps devraient �tre anirn�s , pour qu�ilnbsp;fit �quilibre au premier, en Ie choquant en sens contraire de son mouvement, la masse de ce secondnbsp;coi�ps aurait alors pour valeur num�rique Ie rapport 2 � niais il est inutile de dire que ce mojen est

irnpraticable, et que c�est toujours aux poids des corps qu�il faut recourir pour mesurer leurs masses.

II s�ensuit aussi que deux percussions, exerc�es sur un corps solide, devront �tre regard�es comroe �qui-valentes, lorsqu�elles r�pondront a des quantit�s �galeSnbsp;de mouvement; en sorte que, dans l�exemple du

iiurn�ro pr�c�dent, la t�te et les deux faces du coin eprouveront les m�mes effets, ou seront frapp�es avecnbsp;lu�nie �nergie , si la masse m et la vitesse a sontnbsp;^emplac�es par une masse m' et une vitesse a', tellesnbsp;lt;�ue Ton ait ma = m'a'.

128. Lorsque deux percussions, proveuant de vi-lesses en raison inverse des masses, seront exerc�es si�uultan�ment sur les deux plateaux d�une balance ,nbsp;d y aura �quilibre; la balance remplacant ici Ie corpsnbsp;interm�diaire que nous avons consid�r� dans Ie num�ro pr�c�dent. Ce cas sera , par exemple, celui denbsp;deux corps pesans, dont les masses sont m et m', etnbsp;qui tombent au m�me instant sur ces deux plateaux ,nbsp;apr�s avoir acquis des vitesses v et /, telles que Ton

Si la masse m est en repos dans Tun des deiix plateaux, son poids y exercera une pression qui sera g�n�ralement vaincue par la percussion de l�autrenbsp;niasse; mais il n est point exact de dire, comme onnbsp;Ie fait ordinairement, que cela aura toujours lieu,nbsp;quelque grande que soit la pression dans son es-p�ce, et quelque petite que soit la percussion dansnbsp;la sienne.

En effet, on peut rem placer la percussion de m! P^r uue force molrice agissant sur l�un des deuxnbsp;plateaux saus Ie d�placer sensiblement, pendant unnbsp;temps tr�s court que je repr�senterai par r. En d�-signant par m!uclt la quantit� infiniment petite de vitesse dont cette force variable est capable pendant

de vitesse qu�elle cornmuniquera a la balance pendant Ie temps t. Pendant ce m�me temps, Ie poids de innbsp;produira une quantit� de mouvement e^prim�e parnbsp;mgr, en repr�sentant par g la gravit�. Pour qu�il ynbsp;alt �quillbre dans Ie syst�me, il faudra done que Tin-

m' est anim�e a l�instant o� la percussion commence, de sorte qu�il ne lui reste plus aucun degre de vitesse quand Ie choc est fini; et, cela �tant, il suffira

imprim�es en sens contraire a la balance pendant la dur�e du choc, soient �gales entre elles. La condition de eet �quilibre sera done exprim�e par 1��-quatlon

n^v� = mgr ;

et selon qu�on aura, au contraire, m'd gt; mgr ou mV' �lt; mgr, ce sera la percussion qui l�emporteranbsp;sur la pression, ou la pression sur la percussion.nbsp;Or, quoique Ie temps r soit extr�me ment petit, cenbsp;dernier cas est possible, en supposant la masse innbsp;suffisamment grande a l��gard de m': pour qu�il futnbsp;impossible, il faudrait que Ia dur�e de la percussion fut inliniment petite; ce qui n�a pas lieu dansnbsp;la nature.

La Dynamique sera une application continuelle des principes que nous avons expos�s en d�tail dansnbsp;ce chapitre, et dont il est n�cessaire de se formernbsp;une idee precise, avant d�essayer de r�soudre les dif'nbsp;f�rens probl�mes relatifs au mouvement des corps*

^^''^'W^V\,^/VWWWW\lV\'W^^W^^'VWWVWVWVV*lVW^AAl^^/^-VV^lW\lWW^/WV^lWgt;\/V^'VVWVW\^lt;V^^'W^lVV%

CHAPITRE II.

i2g. D�apr�s ce qu�on a vu dans Ie n� iig, les 'Equations du mouvement rectiligne d�un point mat�-gt;�iei sont celles-ci:

f=T,� 'lt;' =

dont la derni�re est une suite des deux autres, et dans lesquelles on a d�slgn�, au bout d�un tempsnbsp;quelconque t, par x la distance du mobile a un pointnbsp;fixe de la droite qu�il d�crit, par v sa vitesse acquise,nbsp;ct par (p la force qui Ie sollicite; cp �tant une quantit�nbsp;positive OU negative, selon que cette force agira dans

Equations s�appliqueront non-seulement a un point �Mat�rie! isol� , mais aussi a un corps solide de gran-*leur quelconque, dont tous les points decriront desnbsp;'^roites parall�les, et auront, par cons�quent, unnbsp;^louvement commun : lt;p sera alors la force accel�nbsp;^�atrice, �gale a la force motrice divis�e par la massenbsp;mobile.

La valeur de (p sera donn�e dans cliaque probl�me; la question consistera a en d�duire, par l�int�gra-fion, les expressions de P et a: en fonctions de t. Ellesnbsp;Contiendront deux constantes arbitraires, dont on d�-ferrninera les valeurs d�apr�s celles de a: et p a l�oin-

gine du mouvement, qui devront �tre donn�es dans chaque exemple. Dor�navant, noiis supposerons tou-jours que l�on compte Ie temps t a partir de cetienbsp;origine ; en sorte que les valeurs donn�es de x et Vnbsp;r�pondront a t=zo.

L�int�gration ne sera g�n�ralement possible sous forme linie, que quand (p ne d�pendra, comme nouSnbsp;Ie supposerons dans les exemples suivans, que d�unenbsp;seule des quanlit�s t,v, x. Lorsquela valeurdonu�enbsp;de lt;p les contiendra loutes trois, ou deux seulement,nbsp;les valeurs de o? et v ne poui�ront s�exprimer que parnbsp;les s�ries.

i3o. Supposons d�abord que la force lt;p soit constante , et qu�il s�agisse, par exemple , du mouvement vertical d�un corps qui tombe dans Ie vide en vertu de la pesanteur.

en supposant que la distance x soit compt�e du point de depart du mobile, et que la vitesse initiale soitnbsp;nulle, de sorte qu�on ait x = o et 0=0, quandnbsp;i = o.

^6 qui fournit une expression commode d�une vi-tesse quelconque, an moyen de la hauteur d�oii �Jn corps pesant devrait tomber pour l�acqu�rir, etnbsp;de la vitesse constante g. Le temps de la chute denbsp;^6*te hauteur h etant repr�sent� par �, on auranbsp;3ussi

, ft = ^ga'==�. gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V g �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-g

� �tant la m�me vitesse constante que dans le cas pic�c�dent, paree que Ton suppose l�aclion de lanbsp;Pesanteur sur les corps en mouvement, ind�pen-dante du sens dans lequel ils se meuvent, aussi biennbsp;de la grandeur de leur vitesse. En supposant quenbsp;^ soit la vitesse initiale, on en d�duira

pour la vitesse et l�espace parcouru a un instant q'ielconque. II est �vident que le mobile s��l�veranbsp;i^squ�a ce que cette vitesse soit nulle. Si done onnbsp;^Ppelle �' le temps de son elevation , et I1! la hauteurnbsp;^ laquelle il parviendra, on aura

du cas precedent, on en conclut qu�un corps pesanl gt; lanc� de bas en haut avec une vitesse a , s��l�ve dansnbsp;Ie vide a la hauteur d�ou il devrait tomber poufnbsp;acqu�rir cette m�me vitesse, et que Ie temps denbsp;son �le'vation est Ie m�me que celui de sa chute.

Commun�ment on appelle h la hauteur due a Ia vitesse a, et, r�ciproquement, a la vitesse due a lanbsp;hauteur h.

i3i. Soit que Ie mobile monte ou descende, il suffira, pour former les equations de son mouve-'nbsp;ment sur un plan incline, de metlre dans les pr�-c�denles g cos a a la place de g, en de'signant,nbsp;comrne dans Ie nquot; 117, par a Ie compl�ment denbsp;I�inclinaison du plan donn� sur un plan horizontal.

si done on indique par k la vitesse acquise par Ie mobile, quand il aura parcouru toute cette longueur,nbsp;on aura

ce qui niontre que cette vitesse k est la m�me que si Ie mobile fut tomb� par la verticale h.

Soit ABC ( fig. 54) la circonf�rence d�un cerclc dont Ie plan est vertical. Supposons que AB repr�-sente son diam�tre vertical, et cherchons, d�apr�snbsp;les equations pr�c�dentes, Ie temps qu�un point ma-

t�riel pesant emploiera a parcourir ]a corde AC, abou-tissante a Textr�mit� superieure de ce diam�tre. En �ibaissant du point C la perpendiculaire CD sur AB,nbsp;�n.aura, dans ce cas,

l^ = hb,

Or , ce temps est Ie m�me que celui de la chute par �^ne hauteur verticale ^ ; il en r�sulte done que lanbsp;corde AC sera parcourue dans Ie m�me temps quenbsp;diam�tre AB.

On trouvera Ie m�me r�sultat, en consid�rant Ie Mouvement sur la corde CB qui aboutit a l�extr�-^R� inf�rieure de AB, et sera aussi parcourue dansnbsp;nt�me temps que ce diam�tre vertical.

Ce th�or�me , ind�pendant de la longueur de la ^orde parcourue, subsistera encore lorsqu�elle devien-lt;lra infiuiment petite ; ce qui tient a ce qu�en m�menbsp;temps la composante de la gravit�, qui agit suivantnbsp;^ette longueur, ne sera plus une quantit� linie.nbsp;i32. Consid�rons actnellement Ie mouvement d�uu

en supposant la resistance proportionnelle au carr� de la vitesse (n� 124)? et d�signant par k une vitessenbsp;constante et donn�e. Cette valeur de (p �tant une fonc-tion de e, il faudra faire usage de la seconde equation (i), et l�on en d�duira

== '2 nbsp;nbsp;nbsp; nr; }

En integrant et supposant nulle la vitesse initiale, de sorte qu�on ait e = o quand t=o, il en r�sulte

Je d�signe ici par e la base des logarithmes n�p�-^�ietis, et par log un logarithme de cel te esp�ce. II en sera de m�me dans toute la suite de eet ouvrage;nbsp;ee qui n�emp�chera pas d�employer quelquefois lanbsp;^ettre e a repr�senter d�autres quantit�s, dans desnbsp;formules o� la base de ces logarithmes n�entrera pas.nbsp;Elle a pour valeur approch�e

et celle du module constant par lequel il faut multiplier Ie logarithme n�p�rien d�un nombre quelconque, pour en d�duire Ie logarithme ordinaire de ce nombre,nbsp;est

(5)

i55. Ces formules venfei'ment la solution compl�te du probl�me. On en d�duitcette consequence, ^ue Ie temps augmentant sans cesse, Ie mouvement

i6..

244 nbsp;nbsp;nbsp;TRAIT� DE M�CANIQUE.

approche de plus en plus de luniformit�, et qu�� est sensiblement uniforme quand la vitesse gt, pro-duite par la pesanteur, est devenue tr�s grande parnbsp;rapport a k. En effet, en n�gligeant alors l�exponen--S.

k �

tielle e , qui est une tres petite fraction, on a

V =.k,

La resistance du fluide e'tant une force qui s�exerce a la surface du mobile, la force motrice qui en r�-sulfe est inde'pendante de la masse, et serait la m�me,nbsp;soit que le mobile fut forme d�une mati�re tres dense,nbsp;soit qu�on enlevat la mati�re inf�rieure, et qu�on lenbsp;r�duisit a une enveloppe tres mince. Or, la forcenbsp;acc�l�ratrice se deduisant de la force motrice, ennbsp;la divisant par la masse du corps, il s�ensuit quenbsp;la premi�re de ces deux forces sera, toutes chosesnbsp;d�ailleurs egales, en raison inverse de cette masse,nbsp;et, par consequent, k en raison directe de sa ra-cine carree. C�est pour cela que le mouvementnbsp;final, dans un milieu resistant, est le plus rapidenbsp;pour le corps pesant dont la densite est la plusnbsp;grande; la forme et letendue de la surface restantnbsp;les m�mes.

Quand la densite du milieu est tr�s faible par rapport a celle du mobile, la quantite k est tr�s grande j et ce nest quapres un temps tr�s long que le mouvement peut approcber de luniformit�, Tant que lanbsp;vitesse gt nest pas devenue tr�s considerable, on a,nbsp;en s�ries convergentes,

/t 6F

Elles se r�duisent, comme cela doit �tre, a celles du ftiouvement uniform�meut acc�l�r�, lorsque la denote du milieu est tout-a-fait nulle, ce qui rend lanbsp;'�uantit� k infinie.

Ie cas de la cbute; mais si ces deux portions de surface sont diff�rentes, les valeurs de k Ie seront �ga-�etnent; et, par exemple, s�il s�agit d�un c�ne dont la fgt;ase soit horizontale, la quantit� k sera beaucoupnbsp;plus grande ou beaucoup plus petite dans son mouvement ascensionnel que dans sa chute, selon que sonnbsp;souimet sera situ� au-dessus ou au-dessous de sa base.nbsp;�*our fixer les idees, je supposei�aique Ie mobile soit

y �tant une constante qui ne peut plus de'pendre que de la nature du milieu, liquide ou fluide a�riforme,nbsp;et de sa temperature.

et en integrant et d�signant par a la vitesse initiale du mobile, il en r�sulte

En multipliant par dt et integrant de nouveau, de mani�re qu�on ait ar = o quand � = o, on en conclu*

Si Toil fait -^=a, et quel�onsuppose ensuite a,=o, pour appliquer ces formules au cas du vide, elles senbsp;pr�sentent sous la forme ^ gt; et, par la r�gie ordinaire,nbsp;*^0 trouve, comme cela doit �tre,

f�sultat qu�on oblient aussi par Ie d�veloppement en Serie, comme dans Ie num�ro pr�c�dent.

i35. Appelons Ala plus gravide hauteur a laquelle Ie mobile parviendra, et qui r�pond a f = o; nousnbsp;aurons

Parvenu a cette hauteur, Ie mobile retombera, et Sou mouvement sera exprim� par les formules dunbsp;t52. Si Ton repr�sente par a' sa vitesse, lorsqu'ilnbsp;Sera retomb� de toute cette hauteur/t, on aura, d�a-Pi��slequation (4),

d�o� l�on conclut a' a; en sorte que la vitesse du mobile, quand il sera revenu a son point de depart,nbsp;se trouvera moindre que sa vitesse initiale.

Soit aussi G' Ie temps de la chute totale, lequel r�' pondra a sgt; ~a'. On aura

0'= ^log

et Ie d�nominateur de la fraction comprise sous Ie lo-garithme, on aura, plus simplement.

et si l�on appelle 0 Ie temps total 0' 0, de l�all�e et du retour du projectile, on en conclura

Si Ie mobile est un boulet lanc� dans l�air par oo canon vertical, on pourra, malgr� la rapidit� de cenbsp;mouvement, mesurer Ie temps 0 avec quelque pr�oquot;nbsp;sion; et si Ton connait, en outre, la vitesse de prOquot;

jection a, l��quation-pr�c�dente servira a determiner la valeur de A:, relative au rayon r du boulet. En d�-�^�gnant par A' ce que devient k par rapport a unnbsp;autre boulet de la m�me mati�re et d�un rayon r', onnbsp;aura

156. Dans Ie cas o� 1��n fait abstraction de la pe-santeur, et ou l�on suppose la r�sistance du milieu proportionnelle a une puissance de la vitesse dontnbsp;1�exposant est moindre que 1�unit�, la solution du pro-bl�me pr�sente une singularit� qui m�rite d�etre re-marqu�e.

(p;

g Gt k �tant toujours la gravit� et une vitesse constante et donn�e. -L��quation du mouvement sera

�n en tirant la valeur de gdt, integrant et d�signant par a la vitesse initiale, il vient

l/ �A� , nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,

; a eet instant, Ja vitesse est nulle; au-dela, Ie mouvement continue dans Ie m�me sens qu�auparavant, et la vitesse augmente ind�finiment.nbsp;Mais la vitesse �tant nulle a un certain instant, lanbsp;force acc�l�ratrice est nulle en m�me temps; parnbsp;cons�quent, Ie mobile doit s�arr�ter a eet instant etnbsp;demeurer en repos. Or, 11 faut remarquer que l��-quation du mouvement admet une solution particuliere v=o; en sorte que sa solution complete estnbsp;l�ensemble de son integrale et de cette equation =nbsp;il s�ensuit done que Ie probl�me est r�solu depuis

tion du mouvement, et au-dela de cette valeur de t, par la solution particuliere. Pendant Ie premier in-tervalle de temps, Ie mobile d�crit, d�un mouvement continuellement retard�, une ligne �gale a

Get exemple, purement bjpotb�tique, suffit poiu' monfrer la n�cessit� d�avoir �gard aux solutions par-ticuli�res des �qnations diff�rentielles du mouvement,

s�il enexistait; ce qui n�ai'rive pas r�ellement, d�apr�s expressions des forces en fonctions de la vltessenbsp;^cquise et de l�espace parcoiiru, qui ont lieu dans lanbsp;^lature.

i3y. Donnons maintenant des exeraples de mou-i'^emens dans lesquels la force acc�l�ratrice variera ^Vec l�espace parcouru.

Le cas Ie plus simple a lieu, lorsqu�il s'agit d�un point materiel attir� vers un centre fixe, en raisonnbsp;directe de la distance a ce point, que l�on supposenbsp;situ� sur la droite que ce mobile d�crit. Au bout dunbsp;temps t, solt z cette distance; a une distance donn�e a,nbsp;Supposons que la force acc�l�ratrice soit �gale a lanbsp;gravit� g; on aura, d�apr�s la loi donn�e,

(p =

pour sa valeur a un instant quelconque. Si x est l�es-Pace parcouru au m�me instant, et que le mobile �oit parti du point situ� a une distance c du centrenbsp;d�attraction, en se dirigeant vers ce centre,

Hussi

aSa nbsp;nbsp;nbsp;TRAIT� DE M�CANIQ�E.

A et B d�signant les deux constantes arbitraires. En supposant nulle la vitesse initiale du mobile, on auranbsp;a la fois

Cette formule montre que la distance z sera nulle OU que Ie mobile atteindra Ie centre d�attraction, aunbsp;bout dun temps ind�pendant de la distance c de son

de part et d�autre de ce centre, des oscillations dont l�amplitude et la dur�e constantes seront cette distance c et ce temps �

158. Pour un autre exemple, consid�rons Ie mouvement d�un corps pesant dans Ie vide; nous su ppo-sons qu�il tombe d�une assez grande hauteur pour qu�on doive avoir �gard, pendant sa chute, a lanbsp;variation de la pesanteur.

Soient BAE (fig. 35) un grand eerde vertical de la terre, D Ie point de depart du mobile dans cenbsp;plan, M sa position au bout du temps t, sur la droitenbsp;DC qui aboutit au centre C de la terre, et rencontrenbsp;en A sa surface. Appelons r son rayon CA, h la hauteur AD, X l�espace DM parcouru par Ie mobile, z sa

Ia de'signant toujours par g ^ la surface de la terre, c est-a-dire, au point A, et supposant que son inten-sit� varie en raison inverse du carr� de la distance aunbsp;Centre C, on aura done

. nbsp;nbsp;nbsp;: g ::

Je multiplie ses deux membres par j�int�gre cusuite; puis je determine la constante arbitraire

IF ~~

qui fera connaitre la vitesse acquise par Ie mobile, ^Une distance quelconque x de son point de depart,nbsp;point A, o� Ton a x = ^, cette vitesse sera

ct, par cons�quent, moindre, comme cela devait etre, que si la gravit� avait, dans toute la hauteur //,

Or, en comparant celte equation difF�rentielle a I�e-quation (a) du n� 7 5, on voit que si l�on construit une demi - cyclo�de DOG, qui ait son sommet aunbsp;point D et son origine au point O, situ� sur la perpendiculaire CO a la droite CD, et dont Ie eerde ge-n�rateur ait pour diam�tre cette droite CD �gale anbsp;r 4- h; que Ton m�ne ensuite par Ie point M unenbsp;perpendiculaire MN a la droite DC, qui rencontre lanbsp;cyclo�de au point N, on aura

en sorte que l�ordonn�e MN du point N fera connaitre Ie temps t, employ� a parcourir l�abscisse DM, et r�-ciproquement. Sous forme finie, on aura

en integrant, et en observant que x=:o quand tx=-0-Lorsque la hauteur Ti et, cons�quemment, la dis' tance x, seront tres petites par rapport a r, cette foiquot;nbsp;mule devra diff�rer tres peu de celle qui r�pond a 1�nbsp;pesanteur constante. En effet, on a

Ie sinus �tant tres petit, on peut Ie prendre a la place de Tarej ce qui rend d�abord Ie second terme de la

formule pr�c�dente egal au premier. On peut aussi ^^lettre ie rayon r au lieu de r-{-h � x, et r�duire,nbsp;par cons�quent, leur somme a 2 \/ra?; et, de cettenbsp;^�'ani�re, la formule dont il s�agit deviendra

Je me contenterai d'indiquer, comme exemple de calcul, Ie cas ou Ie mobile soumis a une pesanteurnbsp;Variable est lanc� de bas en haut; et, pour derniernbsp;exemple du mouvement rectiligne, je vais consi-d�rer Ie mouvement d�un point materiel attir� versnbsp;deux centres fixes, situ�s sur la droite qu�il d�crit.

i5g. Soient A et B (fig. 56), les deux centres d�atlraction, M la position du mobile au bout dunbsp;f^oips t, et D son point de depart. On suppose ,nbsp;pour fixer les idees, que le mouvement a lieu entrenbsp;les deux centres d�attraction, et de A vers Bj

sorte que x soit �espace parcouru, 2 la distance mobile au point A, a la distance initiale, et cnbsp;^a longueur de la droite AB. En supposant toujoursnbsp;attractions en raison inverse du carr� des distances, et d�signant, a Tunlte de distance, par anbsp;�t b' les intensites des forces qiil �manent des een-

iatensil�s quand Ie mobile est en M. La force acc�-l�ratrlce lt;p sera l�exc�s de la seconde force qui tend a augmenter l�espace x, sur la premi�re qui tend anbsp;Ie diminuerj done, a cause de dx=.dz, on aura

y �tant la constante arbitraire. Pour la determiner, je d�signe par k la vitesse initiale qui r�pond a z=ct;

ce qui fera connaitre la vitesse du mobile, dan� une position quelconque entre les deux points ^nbsp;et B.

izjo. II y a, sur la droite AB, un certain point C; dans lequel les deux forces d attraction sont �galesinbsp;en sorte que si Ton y placait Ie mobile, ou qunbsp;y parvint sans aucune vitesse acquise, il y denieui�^'nbsp;rait en �quilibre. En appelant h la distance AC, on a

On tire de la deux valeurs de h, dont Tune appar-tient au point C situ� entre A et B, et l�auti�e a un point situ,� sur Ie prolongement de AB, du c�t� dunbsp;centre de la moiudre attraction. La premi�re de cesnbsp;deux valeurs est

�-p A

Appelons � la plus petite vitesse initiale qu�il faut imprimer au mobile pour qu�il arrive au point C, denbsp;sorte que, parvenu a ce point, sa vitesse soit nulle;nbsp;on aura a la fois

Si la vitesse initiale k est moindre que/, Ie mobile retombera sur A; si elle est plus grande, il d�pas-sera Ie point C, et ira tomber sur B. Dans Ie casnbsp;de k = �, Ie mobile emploierait un temps infini anbsp;^tteindre Ie point C, a cause qu�a une distance infi-Rinient petite de ce point, il ne serait plus anim� quenbsp;dune vitesse inliniment petite, et sollicite par unenbsp;force qui Ie serait �galement.

Si A et B sont les centres de deux spheres Wmog�nes, ou compos�es de couches concentrlques.

258 nbsp;nbsp;nbsp;TRAIT� DE M�CANIQUE.

on pourra supposer que les attractions que l�on con-sid�re sont celles de ces deux sph�res; et alors leurs intensites et b�^, a Funit� de distance , seront entrenbsp;elles comme leurs masses (n� lOi ). En supposant,nbsp;par exemple, que A soit Ie centre de la lune et Bnbsp;celui de la terre, et n�gligeant la non-sph�ricit� denbsp;ces deux corps, on aura

rt* = -p;

car la masse de la lune, conclue de sou action pour soulever les eaux de la mer, est de celle de lanbsp;terre. On aura done

h =

en sorte que Ie point �galement attir� par la terre et par son satellite se trouve, a peu pr�s, au dixi�menbsp;de leur distance muluelle a partir de la lune.

Soit r Ie rayon de la terre ; on pourra prendre 6or pour la distance c de la lune a la terre; et si Ie mobilenbsp;est parti de la surface de la lune, on aura en m�me

temps a =z= �, d�apr�s Ie rapport connu du rayon de la lune a celui de la terre. Au moyen de ces valeursnbsp;de r et a, et de a =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 1 equation {d) devieoi

Or, l�attractioa g peut �tre prise pour la pesanteur '^ont elle est la partie principale; par conse'quent ,nbsp;� est la vitesse due a une hauteur r'; et a cause de

La lune n ayant pas d�atmosph�re dont la resistance puisse diminuer la vitesse des corps partis de surface, il s�ensuit que si la terre et la lunenbsp;*^taient en repos, un coz'ps lanc�.de la surface de lanbsp;luue vers la terre , avec une vitesse plus grandenbsp;*loe 2361 m�tres par seconde, d�passerait Ie pointnbsp;�legale attraction, et viendi�aittomber sur la surfacenbsp;�Ie la terre. Dans Ie mouvement de la lune autourdenbsp;la terre, la droite AB qui va d�un centre a Tautrenbsp;Rencontre constamment la surface de la lune en unnbsp;�^l�me point, qui devrait �tre Ie point D , d�oiz Ienbsp;Riobile serait lanc� suivant la direction DB ; mais ,nbsp;pendant une seconde, Ie point D parcourt sur Ienbsp;^ei'cle d�crit du centre de la terre, une longueur d�en-�'^iron 1000� par seconde; par cons�quent, la vitesse absolue du mobile sei-ait, cn grandeur et en

direction, la resultante d�une vitesse dirig�e suivant DB, et d�une vitesse de looo�* perpendiculaire a DB.nbsp;Cela �tant, Ie corps ne restera pas sur la droitenbsp;mobile AB; il d�crira une courbe dans l�espace, lesnbsp;formules pr�c�dentes ne s�appliqueront plus a .sonnbsp;mouvement, et il ne viendra plus tomber sur la surface de la terre, comme dans Ie cas de I�inimobilitenbsp;de la lune.

L�int�grale de cette formule s�exprimera toujours au moyen des fonctions elliptiques; en sorte quenbsp;l�on pourra calculer, au moyen des tables de cesnbsp;fonctions, Ie temps qui repond a une distance don-n�e z, et r�ciproquement. Mais ind�pendamment desnbsp;cas o� Tune des deux attractions est nulle, il en estnbsp;d�autres pour lesquels l�int�grale de la formule pr�-c�dente peut encore s�obtenir sous forme finie. Cesnbsp;cas ont lieu lorsque la quantit� comprise sous Ienbsp;radical est un carr� parfait; ce qui exige qu�on ait

(aa* � 2^� cy-)* = 8a*cy; �quation d�o� l�on tire

une de ces deux valeurs de A* est celle de ��; l�autre est �videmment plus grande. II s�ensuit done quenbsp;Suand aucune des deux quantites a eX b n�esl z�ro ,nbsp;O�i peut exprimer Ie temps sous forme finie en fonc-tion de z, lorsque Ie mobile a recu la plus petitenbsp;'�^itesse f avec laquelle il peut atteindre Ie point C, etnbsp;lorsqu�on lui a imprim� une certaine vitesse plusnbsp;�rande que celle-la.

formule que I on rendra rationnelle et qu�on int�-grera, sans difficult�^ par les regies ordinaires. La dif-' f�rentielle ��Adoittoujours �tre positive; la di��ren-belle dz est positive pendant que Ie mobile s�avancenbsp;de D vers B, et negative lorsqn�il revient vers A.nbsp;Ilans Ie premier cas, on prendra done Ie radicalnbsp;\/cz � z^ , avec Ie m�me signe que Ie d�nomina-t^ur ac� (�=�: b^z, et, dans Ie second cas, avecnbsp;tin signe contraire.

143. Soit que Ton suppose b = o ou c = co, Ie ttiobile ne sera plus soumis qua l�attraction du cen-^te A. L��quation (c) se r�duira a

la valeur de dt qu�on en d�duit s�int�grera sous forme finie, et fera connaitre t en fonction de z.

pour determiner la distance z a laquelle Ie mobile s�arr�tera. Dans Ie cas de 3a��= k*a., cette distance seranbsp;inlinie; ce qui signifie que Ie mobile ne s�arr�teranbsp;pas. II en sera de m�me dans Ie cas de lt; k^a.,nbsp;d�o� il r�sulterait pour z une valeur negative quinbsp;ne peut appartenir a aucun point de la droite ind�-finie DB, suivant laquelle Ie mobile a �t� lanc�. Dansnbsp;ces deux cas Ie mouvement approchera de plus ennbsp;plus de Tuniformit�, a mesure que Ie mobile s��loi-gncra de A.

Quand la distance z sera devenue tres grande et Ie mouvement sensiblement uniforme, sa vitesse,nbsp;d�apr�s Tequation (e), sera a peu pres �gale a

a (2* = ga�, c�est-a-dire, en supposant que Ie corps soit parll de la surface d�une sphere, d�un rayon a, et o�nbsp;l�attraction �tait �gale a g. Ce qui montre que la diminution de la vitesse initiale k sera d�autant plusnbsp;grande que cette force et ce rayon seront plus considerables.

144* Dans Ie mouvement curviligne, la courbe decrite par Ie mobile est ce qu�on appelle la trajec-toire de ce point materiel. Au bout d�un temps quel-conque t, soit M (fig. Sy) la position du mobile. Sinbsp;l�on appelle s l�arc CM de la trajectoire compris entrenbsp;Ie mobile et un point fixe C, pris arbitrairement surnbsp;^ette m�me courbe, s sera une fonction de t; en sortenbsp;^Ue l�on aura, dans un mouvement curviligne quel-

l�on d�signe, au m�me instant, par x, j, z, les ^fois coordonn�es rectangulaires du mobile, ces variables seront aussi des fonctions de f, et l�on auranbsp;�galement

x^ft, j==f't,

Lorsque ces trois derni�res equations seront con^ iiues, on en d�duira, par r�limination de t, les deuxnbsp;^ijuations en x, z, de la trajectoire. Au mojennbsp;des equations de cette courbe, on d�terminera s en

fonction de Tune des trois coordonn�es, et, par suite, en fonction de ce qui fera connaitre la loi du mouvement sur la trajectoire. Chacune des trois equationsnbsp;prdc�dentes est celle du mouvement rectiligne de lanbsp;projection du mobile sur 1�un des axes des coordonn�es ; il s�ensuit done que la determination completenbsp;du mouvement curviligne d�un point materiel dansnbsp;l�espace se r�duira a celle de trois mouvemens recti-lignes, qui seront les mouvemens de ses projectionsnbsp;sur les trois axes Ox, 0j~, Oz, des coordonn�es.nbsp;Quand ces trois mouvemens seront uniformes, celuinbsp;du mobile sera aussi rectiligne et uniforme, et r�ci-proquement.

145. Pendant 1�instant dt, Ie mobile d�crira l��l�-ment ds de sa trajectoire; en n�gligeant, dans eet in-tervalle de temps infiniment petit, faction des forces qui Ie sollicitent, on pourra consid�rer son mouvement comme rectiligne et uniforme. Si done on ap-pelle V la vitesse acquise au bout du temps t, onnbsp;aura

Si ces forces cessaient r�ellement d�agir a finstant que fon consid�re, Ie mobile continuerait de se mou'nbsp;voir avec cette vitesse (gt;, et suivant Ie prolongemen^nbsp;MT de f�l�ment ds, c�est-a-dire, suivant la tangent^^nbsp;a Ia trajectoire, puisque en vertu de finertie de 1*nbsp;mati�re il ne pourrait alors changer ni la directionnbsp;son mouvement ni la grandeur de sa vitesse (n* 11nbsp;On peut done consid�rer un point materiel qui de-crit une ligne courbe quelconque comme �tant anim^-^

a t:haque instant, d�une vitesse dirig�e suivant la tangente a cette courbe, et exprim�e par Ie rapportnbsp;�ie son �l�ment dilF�rentiel a V�l�ment du temps.

Eu repr�sentant, au bout du m�rae temps t, par Pgt; q, r, les vitesses des projections du mobile surnbsp;^es trois axes des x , z, on aura aussi, dans cesnbsp;trois mouvemens rectilignes,

Mals si l�on d�signe par o., �, y, les angles que fait la tangente a ia trajectoire, ou la direction de la vi-tesse V, avec des parall�les aux axes des x, jquot;, z, onnbsp;a ( n� 17)

Le temps t croissant continuellement, sa difF�ren-^ielle est toujours positive. Les vitesses p, q, r, sont positives ou n�gatives, selon que les coordonn�es x ,nbsp;z, croissent ou d�croissent. Dans les equations (1),nbsp;peut regarder la vitesse v comme une quantit�nbsp;positive; le sens de cette vitesse, ou la partie MT denbsp;ia tangente a la trajectoire, suivant laquelle elle seranbsp;dirig�e, se d�terminei�a alors par les signes de ,nbsp;�/gt; r, qui feront connaitre si les angles a,�,y, sont

rera la vitesse comme positive ou comnie negative, selon que 1�arc s croltra ou d�croitra.

On appelle cornposantes de la vitesse e d�un point materiel les vitesses p, r, de ses trois projectionsnbsp;sur des axes rectangulaires; et chacune de ces troisnbsp;cornposantes est ce que l�on entend par la vitesse dunbsp;mobile, parall�lement a l�axe auquel elle r�pond. Ennbsp;comparant les equations (i) a celles du n� 5i, on voitnbsp;que cette composition des vitesses se fera suivant lesnbsp;m�mes regies que celle des forces. D�apr�s cette analogie, si l�on m�ne par Ie point M une droite quel-conque MA, qui fasse avec les parall�les aux axesnbsp;des SC, j, z, men�es par Ie m�me point, des anglesnbsp;a, b, c, aigus ou obtus, la composante de la vitesse V suivant cette droite MA aura pour expression g�n�rale

La quantit� de mouvement (n� 126) d�un point mat�riel isol�, et celle d�un corps dont tous lesnbsp;points sont anim�s de vitesses �gales et parall�les,nbsp;se d�coraposeront en d�autres quantit�s de cette nature, et celles-ci se r�duiront a une seule, suivantnbsp;les m�mes regies que les vitesses qu�elles ont pontnbsp;facteur.

146. Au bout du temps tdt, soient p p'gt; q-{-q', r-\- r', ce que deviennent les trois compo-santes de la vitesse du mobile, parall�les aux axesnbsp;des SC, y, z 5 en sorte que p', q', r', repr�sentent

lieu suivant ces directions pendant l�instant dt. L accroissement de vitesse suivant la droite MA sera

pourra toujours trouver trois angles a!, �', y', ^igus OU obtus, tels que l�on ait

plus, la quantit� comprise entre les parentheses �st Ie cosinus d�un certain angle que j�appelle a. L�accroissement dont il s�agit est done �gal a u cos a jnbsp;par cons�quent, u est sa plus grande valeur, et ellenbsp;^cpond a la direction de la di^oite MA, pour la-^Uelle les angles a, b, c, sont les m�raes que a!,nbsp;, ce qui rend Ie coefficient de u �gal a l�unit�.nbsp;toute autre direction, l�accroissement de vi-^csse sera �gal au maximum u, multipli� par Ie co-*inus de Tangle c que fait cette direction quelcon-*lUe avec celle du maximum; d�o� il r�sulte qu�ilnbsp;Sera nul par rapport a toutes les directions perpen-diculaires a celles de sa plus grande valeur.

Quelle que soit la variation de vitesse du mobile, en grandeur et en direction, pendant l�instant dt,nbsp;il j a done toujours une certaine direction pour la-quelle Taugmentation de vitesse est la plus grande,nbsp;et qui jouit de cette propri�t�, que, suivant toutesnbsp;les directions perpendiculaires a celle-la, la vitessenbsp;n�est ni augmentee ni diminuee.

i47* l^a direction d�une force qui agit sur un point materiel en mouvement est la droite suivant laquellenbsp;elle augmente ou diminue la vitesse acqnise, et per-pendiculairement a laquelle elle n�y produit aucunenbsp;alteration. Ainsi, quand nous disons que la pesanteurnbsp;d�un corps en mouvement dans un sens quelconque estnbsp;verticale, comme celle d�un corps en repos, nous entendons par la que cette force augmente la vitesse verticale , et n�alt�re aucunement la vitesse horizontale.

Cela �tant, d�signons, au bout du temps t, par U, U', �quot;, etc., les intensit�s des dilf�rentes forcesnbsp;qui agissent sur Ie point materiel dont nous consid�-rons Ie mouvement curviligne; par a, b, c, a!, b', c',nbsp;d', bquot;, cquot;, etc., les angles que font leurs directionsnbsp;donn�es avec des parall�les aux axes des oc,j, z; etnbsp;par X, Y, Z, les sommes de leurs composantes suivant ces axesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j nous aurons d�abord (nquot; Sa)

X = nbsp;nbsp;nbsp;Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\J' cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Uquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.�

Y = nbsp;nbsp;nbsp;Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;U' cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Uquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.;

Z = nbsp;nbsp;nbsp;Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;U' cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Uquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc-

Solent ensuite u, d, d\ etc., les vltesses infiniment petites que ces forces U, U', Uquot;, etc., produlraient;nbsp;pendant l�instant dt^ suivant leurs directions respe^^quot;

si cliacune d�elles agissait seule sur Ie mobile 3uim� de la vitesse i�. On verra, comme dans Ienbsp;116, que la siraultan�it� de ces forces n�influeranbsp;�^'ullement sur les grandeurs et les directions des A'i-l^esses qui seront r�ellement produites; par cons�-^went, si Ton continue d�appeler p', q', r', les quan-bte's infiniment petites dont les �vilesses p, q, r, desnbsp;Projections du mobile sur les axes des oc^ j, z, s�ac-�^i'oitront dans l�instant dt, ces quantites seront lesnbsp;Sommes des composantes de u, u', id, etc., suivanlnbsp;res trois axesj en sorte que nous aurons

r' = nbsp;nbsp;nbsp;Mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.

^ gt; etc., ce qu�on a trouv� (n� 118) pour la mesure une force d�apr�s la vitesse dont elle est capable ,

qui montre que l�accroissement de la composante la vitesse du mobile suivant chaque axe, dansnbsp;^justant dt, est la vitesse produite, pendant eet ins-^^nt, par la composante totale suivant ce menienbsp;^*0, des forces donn�es qui agissent sur ce pointnbsp;iRat�riel.

Ce r�sultat tient a ce que les forces sont propor-tionnelles aux vitesses qu�elles impriment au mobile dans un m�me temps infiniment petit, lesquelles vi-tesses infiniment petites ne changent pas, soit quenbsp;ces foi�ces agissent isol�ment, soit que leurs actionsnbsp;aient lieu simulfan�ment. II s�ensuit aussi que si lesnbsp;forces appliqu�es au mobile sont, par exemple, aunbsp;nombre de trois, non comprises dans un m�me plan ;nbsp;que l�on prenne sur les directions de ces trois forcesnbsp;U, U', Uquot;, a partir de leur point d�application, desnbsp;droites de grandeurs linies qui soient en��e ellesnbsp;comme les vitesses correspondantes u, u', uquot;; et quenbsp;Ton ach�ve Ie parall�l�pip�de dont ces trois droitesnbsp;seront les c�t�s adjacens, la r�sultante de ces forcesnbsp;sera dirig�e suivant la diagonale, et sa graiideur seranbsp;a celle de chacune de ces forces comme la diagonalenbsp;est au c�t� correspondant.

148. Si les forces qui agissent sur Ie mobile sont ind�pendantes de sa vitesse et de sa position dansnbsp;l�espace, les mouvemens de ses trois projections surnbsp;les axes des cooi�donn�es seront ind�pendans entrenbsp;eux; en sorte que sa projection sur chaque axe senbsp;trouvera, au bout d un temps quelconque, au m�menbsp;point, et aura la m�me vitesse que si les forces et Ie�nbsp;vitesses �taient nulles parall�lement aux deux auti�S*nbsp;axes. II n�en sera plus de m�me, en g�n�ral, quanlt;^nbsp;les forces donn�es varieront, en grandeur ou en direC'nbsp;tion, solt avec la position du mobile, soit avec sanbsp;vitesse acquise; mais on pourra toujours d�termioe*�nbsp;sa vitesse et sa position, a chaque instant, de la m�'nbsp;ni�re suivante.

Puisque toutes les forces qui agissent sur Ie mobile peuvent toujours �tre r�duites a une seule, suppo-sons que U, capable de la vitesse u, soit cette forcenbsp;'^�'ique, et d�signons par e l�espace qu�elle fera par-courir au mobile pendant l�instant dt, suivant sa di-�^'^ction, ind�pendamment de la vitesse de ce pointnbsp;*Rate'riel au bout du temps t. D�apr�s ce qu�on a vunbsp;^ans Ie n� 114gt; nous aurons

^lais, en vertu de cette vitesse acquise v et de faction �ie la force U ou de ses coniposantes, les espaces pai�-^ourus par les projections du mobile sur les axes desnbsp;^, j, z, pendant l�instant dt, seront

q' =Lu cos b, r' = u cos c ,

en ayant �gard aux equations (i) et a la valeur � ^ gt; on aura

cc' � cc nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a,

y � y- nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h,

2' � z nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;conbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c ;

^ �tant l�espace nbsp;nbsp;nbsp;f^dtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qui serait d�critnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;par Ie nio-

R dans rinstant dt, en vertu seulement de la vi-^ Se Pj et nbsp;nbsp;nbsp;y^ ^^ ggg trois coordonn�es au bout

lenips t-\.clt, qui �taient cc, r, z, au bout du '^Rips t.

^ Cela pos�, soient toujoui�s M ( fig. 87 ) Ie point ^ la trajecloire dont x, j, z, sont les trois coor-

donn�es, et MT la direction de la vitesse v. Soit aussi MA celle de la force U. Prenons sur MA etnbsp;MT des droites MH et MK, �gales a � et o;, etnbsp;achevons Ie parall�logramme MHM'K, dont cesnbsp;droites sonl les deux c�tes adjacens. L�extr�mit� M^nbsp;de sa diagonale sera, en vertu des equations pr�c�nbsp;dentes, Ie point dont les coordonn�es sont jc', j',

Appelons d la vitesse du mobile au point M', laquelle vitesse sera dirigee suivant Ie prolonge-ment M'T' de la droite MM(, et aura pour valeui�nbsp;la composante de v suivant MM', augment�e de 1�nbsp;vitesse produite suivant cette direction par Tactio�nbsp;de la force U pendant I�instant dt. L�espace � �tantnbsp;infiniment petit par rapport a , il s�ensuit quenbsp;l�angle TMM' est aussi infiniment petit; la compO'nbsp;sant� de v est done cette vitesse m�me, en negfi'nbsp;geant les infiniment petits du second ordre. De plus,nbsp;si l�on d�signe par ^ l�angle AMM' que fait la direction de la force � avec Ie c�t� MM' de la tra-jectoire, on aura u cos J' pour l�augmentation denbsp;vitesse qui sera produite par Taction de cette fox�ce jnbsp;11 en r�sultera done

Je fais v' dt = 00', et je prends sur M'T' une pai�d^ M'R' �gale a 00'; je d�signe par M'A' la direction denbsp;la foi'ce qui agit sur Ie mobile quand il est parve�*^nbsp;en M'; sur cette droite, je prends une partie ^nbsp;�gale a Tespace que cette force peut faire parcoiu^*^nbsp;au mobile dans uii instant df, j�ach�ve Ie parallels-

gramme M'H'Mquot;K'; et 1�extr�mit� Mquot; de la diagonale sera un troisi�me point de la trajectoire.

Ea commencant cette suite de constructions au point de depart du mobile, o� 1�on doit connaitre sanbsp;Vitesse en grandeur et en direction, il est �videntnbsp;^tle l�on d�terminera successivement lous les pointsnbsp;*le sa trajectoire plane ou a double courbure, et, ennbsp;�^�me temps, la vitesse dont il sera anim� en cha-V��i de ces points. Si les intervalles de temps, qu�on anbsp;supposes infiniment petits et d�sign�s par dt, sontnbsp;seulement tr�s petits, on obtiendra une suite denbsp;points qui seront les sommets d�un polygone, d�au-tant moins diff�rent de la trajectoire, que ses cot�snbsp;seront plus petits. En regardant la vitesse commenbsp;constante sur chaque c�t�, et prenant pour sa valeurnbsp;la demi-somrae des vitesses qu�on aura trouv�es auxnbsp;fleux extr�mit�s, on pourra calculer Ie temps employ� a parcourir une portion quelconque du polygone ; par cons�quent, on connaitra de cette mani�renbsp;la courbe d�crite par Ie mobile, ainsi que sa vitesse etnbsp;position a un instant donn� sur cette courbe, anbsp;tel degr� d�approximation qu�on voudra; mais il vautnbsp;Riieux faire d�pendre les valeurs des coordonn�es dunbsp;Riobile en fonctions du temps, d��quations diff�ren-tielles que l�on int�grera ensuite s�il est possible.

i49' Ces equations diff�rentielles du mouvement ^�rviligne sont une suite imm�diate du principe �ta-Mi dans Ie n� 147.

En effet, les composantesde la vitesse du mobile, pa-vall�les aux axes de ses coordonn�es z, �tant

au bout du temps quelconque t, leurs aC-croissemens , pendant J�instant dt, seront d. nbsp;nbsp;nbsp;,

quement a la composahte suivant l�axe correspou' dant, de la force qui agit a eet instant sur Ie mobile,nbsp;il s�ensuit qu�en appelant toujours X, Y, Z, lesnbsp;composantes de cctte force, parall�les aux axes desnbsp;coordonnees a:, j, z, nous aurons

d.^ � Udt, d.'^ � Ydt,

dt nbsp;nbsp;nbsp;� dtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dt

OU, ce qui est la m�me chose,

d^x nbsp;nbsp;nbsp;^ J Y d z ,

IF ~ nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� d�-~ �

(^)

Le probl�me consistera, dans chaque cas, a iu' t�grer ces trois equations du mouvement; et l�otinbsp;peut consid�rer, pour cetle integration, le proc�d�nbsp;du n� pr�c�dent comme une m�thode g�n�rale d�ap'nbsp;proxlmation. Leurs int�grales contiendront six cons-tantes arbitraires, que Ton d�terminera au mojeonbsp;des trois coordonnees du mobile a Forigine du mouvement, et des trois composantes de la vitesse initiale , c�est-a-dire, au moyen des valeurs des sD^

pour ^ = o. Ces int�grales et leurs diff�rentielles premi�res feront easuite connaitre la position lt;3**nbsp;mobile a un instant quelconque, et sa vitessenbsp;grandeur et en direction. En �liminant entre elles

Ie lei�ips ^, on aura les deux equations de la tra-jectoire. Quand on saura d�avance que cette courbe plane, on pourra prendre son plan pour celuinbsp;�ies X et j, par exemple; ce qui reduira les troisnbsp;equations pr�c�dentes aux deux premi�res.

i5o. Au bout du temps t, soient a, b, c, les ^Tois coordonnees d�un second point materiel, a lanbsp;position duquel on veut comparer celle du premier.nbsp;Les axes de ces cooi�donnees �tant ceux des oc, j,nbsp;je fais

les variables x', y, z', feront connaltre a chaque instant la position du premier point par rapport aunbsp;second; et d�apres les equations (2), on aura

Quand le mouvement du second point ne sera pas connu, mais que ron donnei�a seulement lesnbsp;*^omposantes A, B, C, parall�les aux axes des coor-^ionn�es, dela force qui le sollicite, on aura

agit a la fois sur les deux mobiles, ces composautes entreront aussi dans les valeurs de X, Y, Z, etnbsp;dlsparaitront de ces derni�res equations. C�est cenbsp;qui arrivera, par exemple, a l��gard des corps qulnbsp;se meuvent a la surface de la terre, et dont onnbsp;rapporte les positions a des points determines denbsp;cette surface : les forces relatives a ces points etnbsp;provenant du mouvement diurne de la terre, n�en-trent pas dans les equations des divers mouvemensnbsp;que Fon consld�re a sa superficie j et 1�on en fait com-pl�tement abstraction, en formant ces equations.

Toutefois, cela ne veut pas dire que les mou-vemens que nous observons soient tous indepen-dans de la vitesse de rotation de la terre. Elle influe pour une petite partle sur Fintensit� de lanbsp;pesanteur , et , cons�quemment, sur les mouvemens verticaux. De plus , quand un corps tombenbsp;d�une hauteur considerable, la vitesse de rotationnbsp;dont il est auim� a son point de depart est unnbsp;peu plus grande que celle qui a lieu au pied de lanbsp;verticale men�e par ce point; d�o� il est ais� denbsp;conclure que Ie mobile dolt s��carter un peu de cettenbsp;droite , et venir rencontrer la terre a une petite distance de son extr�mit� inf�rieure. Cette deviation ,nbsp;qui a �t� effectivement observ�e, rend sensible, pafnbsp;une experience directe, Ie mouvement de la terrenbsp;autour de son axe.

Les mouvemens ind�pendans de cette rotation sont ceux que produit Ie choc des corps, et aussi ceu*nbsp;qui sont dus a Faction musculaire des hommes et desnbsp;animanx.

�5i. Les equations (2) sont celles du mouvement dun point materiel enti�rement libre; mais il estnbsp;facile de les �tendre a un point materiel assujetti anbsp;mouvoir sur une sui�face donn�e. II suffira pournbsp;*^�la , comme dans Ie cas de l��quilibre (n� 36), denbsp;joindre aux forces donn�es qui agissent sur Ie mobile , une force de grandeur inconnue, qui repr�-sentera la resistance de la surface. Cette force seranbsp;�iormale a la surface donn�e; je la repr�senterai par N,nbsp;ct par X, ju,, V f les angles qu�elle fait avec les prolon-gemens des coordonn�es x,j, z, du mobile- lesnbsp;equations du mouvement seront alors

(5)

En repr�sentant par L = o 1��quatlon de la surface donn�e , et faisant, pour abr�ger,

W nbsp;nbsp;nbsp;

Apr�s avoir substitu� ces yaieurs dans les �qua-dons (3), on �liminera entre elles Ie produit NV j les deux �quations qui en r�sulteront, jointes a L=o,nbsp;servlront a d�terminer cc, y, z, en fonclions de t. On

tirera ensuite de Tune des equations (5), ou d�une combinaison quelconque de ces equations, la valeurnbsp;de NV ; et comme N doit toujours �tre une quantit�nbsp;positive, Ie signe de cette valeur fera connaitre celuinbsp;de V; au tnoyen de quoi la force normale N et Ienbsp;sens dans lequel elle agit seront compl�tement determines.

Si Ie mobile est assujetti a se mouvoir sur deux surfaces donn�es, ou sur leur courbe d�intersectlon,nbsp;on Ie consid�rera encore comme enti�rement libre,nbsp;apr�s avoir joint aux forces donn�es deux forcesnbsp;inconnues N etN', normales a ces surfaces; et ennbsp;d�signant par A, /a , r , les angles qui d�terminerontnbsp;les directions de la premi�re par rapport aux axes desnbsp;X, z, et par A', /, les angles qui r�pondrontnbsp;a la seconde, il en r�sultera

= X -f- NcosA -f- N'cosA', = Y -j- Ncosft -}- N'cos/a',nbsp;= Z N cos r N' cos v' ,

pour les equations du mouvement. Si L==o est Tequa-tion de la surface dont N est la resistance, et qu�on repr�sente par I/=o celle de la surface a laquellenbsp;correspond, les valeurs de cos A, cos /a, cosy, serontnbsp;les m�raes que pr�c�demment, et celles de cos a4nbsp;cos cos y', s�en d�dmront par Ie changement de ^nbsp;et L en V^ et L'. Apr�s avoir substitu� les unes et leSnbsp;autres dans les equations (4), on �liminei-a les prO-duits NV et N'V'. L��quation qui en r�sultera, et les

equations donn�es L = o et L' = o , serviront a determiner les valeurs de nbsp;nbsp;nbsp;z, en.fonctions de t.

Cela fait , on tirera de deux des equations (4), les Valeurs de NV et N'V^ dont les signes seront ceuxnbsp;V et V'; et, de cette mani�re, on connaitz�a lesnbsp;torces normales N et N', et Ie sens dans lequel ellesnbsp;�gissent : leur i'�sultante sera , en grandeur et ennbsp;^iirection, la resistance de la courbe sur laquelle Ienbsp;mobile est astreint a se mouvoir.

iSa. Pour donner une foi�me plus simple aux equations (4), soient m la masse du mobile et tkP lanbsp;pression qu�il exercera, dans son �tat de mouvement.nbsp;Sur la courbe qu�il est force de d�crlre. D�signonsnbsp;par fsr, lt;ar',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les angles que fait la direction

de cette force avec les prolongemens, dans Ie sens positif, des coordonn�es oc, j, z, de ce point; la resistance que la courbe oppose au mouvement du mobile, consid�r�e comme une force acc�l�ratrice, seranbsp;�gale et contraire a P; en la joignant aux foicesnbsp;donn�es X, Y, Z, qui agissent sur Ie mobile, nousnbsp;^urons, au lieu des equations (4),

La direction de la force P n�est pas connue d priori: Ou sait seulement qu�elle est noz�male � la courbenbsp;donnee} d�o�. il resulte que Ie cosinus de 1 anglenbsp;oompz�is entre cette direction et la tangente a la tz'a--

dx � nbsp;nbsp;nbsp;\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,

-y- COS -j- -j- COS (sr -i�- cos = asnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;asnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ds

Les angles o*, .jjrquot;, seront, en outre, lies entre eux par F�quation ordinaire

On�liminera P, 'sr, lt;ar', rarquot;, entre ces equations, en ajoutant les e'quations (5), apr�s les avoir multipli�es

et divisant par rxds, on voit que Ie premier raembre de 1��quation pr�c�dente est la m�me cliose que ; o�nbsp;aura done simplement

La force lt;p est la somme des coraposantes des forces donn�es, suivant la tangente a la trajectoire, !es-quelles composantes seront regard�es conime posiquot;

tives Ou comme negatives, selon qu�elles tendront a 3Ugmenter ou a diminuer Tarc s d�crit par Ie mobile. L�e'quation (7) signifie done que dans Ie mouvement curviligne, comme dans Ie mouvement rec-tiligne, la force qui agit sur Ie mobile dans Ie sensnbsp;de son mouvement est �gale au second coefficientnbsp;diff�rentiel de l�espace parcouru : a cause de e = ^,nbsp;on peut aussi dire qu�elle est �gale au premier coefficient diff�rentiel de la vitesse acquise e.

Celte �quation �tant ind�pendante de la r�sistance de la courbe, convient aussi au mouvement d�un pointnbsp;mat�iiel enti�rement libre et a celui d�un point mat�-riel assujetti a demeurer sur une surface courbe; maisnbsp;c�est principalement dans Ie cas d�un point mat�riel quinbsp;se meut sur une courbe donn�e , que cette �quationnbsp;pourra �tre utile. On tirera des �quations de cettenbsp;oourbe les valeurs de :v, j-, z, en fonctions de etnbsp;3pr�s les avoir substitu�es dans l��quation (7), il nenbsp;vestera plus qu�a int�grer cette �quation du secondnbsp;Ordre entre s et t. Les deux constantes arbitrairesnbsp;*lne renfermera son int�grale se d�termineront au

Cest-a-dire, au moyen de la position et de la vitesse nntiales du mobile. Quand les trois coordonn�es oc,nbsp;�T gt; z, auront �t� d�termin�es en fonctions de f,nbsp;fiapr�s l�int�grale de l��quation (7) , jointe aux deuxnbsp;Equations donn�es de la trajectoire , les �quations (5jnbsp;feront connattre, a un instant quelconque , les troisnbsp;oomposantes de la pression P qu��prouvera la courbenbsp;�nr laquelle Ie mobile est oblig� de se mouvoir.

Oq trouvera, dans Ie chapitre suivant, une determination plus simple de cette force en grandeur et en direction.

i55. Lorsque Ie mobile est sollicit� par une force dirig�e vers un centre fixe, on obtient imm�diatementnbsp;trois int�grales premi�res des equations (2).

Pour cela, placons l�origine des coordonn�es z, en ce point; repr�sentons, en grandeur et en direction, la force qui sollicit� Ie mobile, par son rayonnbsp;vecteurj et construisons Ie parall�l�pip�de dont cenbsp;rayon est Ia diagonale, et qui a ses trois c�t�s ad-jacens sur les axes des x, j-, z. Les trois coordonn�esnbsp;x,j, z, du mobile seront les grandeurs de ces troisnbsp;c�t�s, et repr�senteront les trois composantes de Ianbsp;force donn�e; en sorte que l�on aura

Xy = Xx, 7aX = Xz, Yz = Zy.

D�un autre c�t�, les equations (2) peuvent �tre rem' plac�es par celles-ci :

jd^x � xdy == (Xj � Xx) dP, 1 xd*z � zd�^x =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� Xz) dt\ V {d)

equations pr�c�dentesj et comme leurs premiers Kiembres sont les diffe'rentlelles de jdx � xdj,nbsp;xdz.� zdx, zdj�jdz, on aura, en integrant,

154. Pour �noncer Ie tb�or�me contenu dans ces mt�grales premi�res des e'quations du mouvement,nbsp;eonsid�rons la projection AMB (lig. 38) de la trajec-toire du mobile sur Ie plan des coordonn�es x etnbsp;dont les axes sont Ox et O/. Au bout du tempsnbsp;soient M la projection du mobile, OP et MP sonnbsp;abscisse x et son ordonn�ejquot;; et C e'tant Ie point on cettenbsp;courbe coupe l�axe Of, appelons u Ie secteur GOM,nbsp;P l�aire COPM, q Ie triangle OPM; nous aurons

Si est la projection du mobile au bout du temps ^-hdt, MOM' sera Faire decrite par Ie rayon vecteurnbsp;^e cette projection pendant Finstant dt; ce sera aussinbsp;diff�rentieile de m ou de p � q', et a cause de

par cons�quent, la premi�re equation {b) signifie que laire d�crite pendant chaque instant dt par Ie rayonnbsp;vecteur de la projection M du mobile est constantenbsp;et �gale a \cdt-, done aussi Faire d�crite pendant un

temps t quelconque, est proportionnelle a cette variable et �gale a \ct. Les aires d�criles dans ce menie temps par les rayons vecteurs des projections du mobile sur les plans des x et z, et desy et z, serontdenbsp;m�me �gales a j c't et ^ d't.

Concluons done que quand un point mat�rie! est soumis a une force constamment dirig�e vers unnbsp;centre fixe, les aires d�crites autour de ce point parnbsp;Ie rayon vecteur de sa projection sur un plan quel-conque passant paree m�me point, sont proportion-nellesau temps employ� a les d�crire.

R�ciproquement, lorsque cette proprl�t� a lieu par rapport a trois plans rectangulaires men�s par Ienbsp;centre des aires, on en peut conclure que la force onnbsp;la r�sultante des forces qui sollicitent Ie mobile estnbsp;constamment dirig�e vers ce centre fixe.

En effet, si les �quations {V) sont donn�es, on aura, en les diff�rentiant,nbsp;j(tx�xd'j=.o, xddz�zetx^o, zd^y�jd�'z:=:zO�,nbsp;en vertu des �quations (a), qui sont celles d�un mouvement quelconque, on aura done aussi

par cons�quent, les forces X, Y, Z, seront entre elles comme les coordonn�es x,j,z, du mobile^ ce q�*nbsp;suffit pour que leur r�sultante soit constamment diquot;nbsp;rig�e vers Torigine des coordonn�es. Au i�este, cettenbsp;force peut �tre attractive ou r�pulsive, c�est-a-direnbsp;qu�elle peut agir suivant Ie rayon vecteur du mobile;nbsp;OU suivant son prolongement.

�55. Lorsqu�un point materiel est soumis a une fofce dirig�e vei�s un centre fixe, il est �vident quenbsp;trajectoire est une courbe plane, puisqu�il n�y au-��ait aucune raison pour qu�il sortit, plut�t d�un c�t�nbsp;de l�autre, du plan passant par la direction de sa vi-tesse initiale et par Ie centre fixe. C�est aussi ce que l�onnbsp;^�duit des equations [b); car en les ajoutant, apr�s lesnbsp;avoir multipli�es par z, /, x, et divis�es par dt, il vient

On peut prendre ce plan pour celui des x eljquot;; 1 aire d�crite par Ie rayon vecteur m�me du mobile,nbsp;�ans Ie plan de sa trajectoire, sera done proportion-�elle au temps; et, de plus, Ie th�or�me pr�c�dentnbsp;Se r�duira a cette proportionnalit�. En effet, si elle anbsp;lieu pour l�aire d�crite sur Ie plan de la trajectoire,nbsp;vlle aura lieu �galement pour l�aire d�crite par Ienbsp;vayon vecteur de la projection du mobile sur toutnbsp;^Rtre plan; car cette autre aire n�est autre chose quenbsp;I3 projection de la premi�re sur ce plan; et nous sa-Vons (n� loj que la projection d�une aii�e plane a unnbsp;^'apport constant avec Faire projet�e.

i56. L�aire infiniment petite MOM' peut aussi s�ex-Pi'imer en coordonn�es polaires. Pour cela, d�signons par r Ie rayon vecteur OM, et par 6 Tangle MOxnbsp;fiR� fait avec Taxe des x. D�crivons du point O,nbsp;^omme centre. Fare de eerde OMN qui coupe aunbsp;point N Ie rayon vecteur OM' correspondant a Tanglenbsp;cZ�, et qui aura pour longueur rJ�- Le secteur circulaire MON sera �gal anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et pourra �tre pris

a cause que celle de Tangle 0 est ici �tZG. De cette mani�re, la premi�re e'quation {b) prendra la fornie

Ou exprime de m�me en coordonn�es polaires T�-l�ment de la courbe. En d�signant Tarc CM par ff et eet �l�ment par d(7, on aura a la fois

en consid�rant MNM' comme un triangle rectiligne rectangle en N, on en conclura done

A cette occasion, nous ferons remarquer que, dai^� une Irajectoire plane, les composantes de la vitessenbsp;du mobile suivant Ie prolongement MO' de son rayownbsp;vecteur MO, et suivant la perpendiculaire a ce rayon,

Car 1�angle 0'MT que fait ce prolongement avec la langente MT est compl�ment de Tangle M du trianglenbsp;d�apr�s ce triangle, on a done

Cl en multipliant ce cosinus et ce sinus par la vitesse , dirig�e suivant MT^ on aura les composantes dontnbsp;d s�agit. II est souvent utile d�en faire usage. Ellesnbsp;different des composantes et ^ de la m�me vitesse

en ce que les directions de celles-ci sont fixes, et que celles des pr�c�dentes varient avec la positionnbsp;du mobile.

decrit Tangle COM, compt� a partlr d�une droite fixe, est ce qu�on appelle la vitesse angulaire du mobile. Elle

Se d�dult, comme on volt, de sa vitesse ^ , perpendiculaire a OM, en la dlvisant par la longueur de ce ^3yon.

Ajoutons les equations (5) du n� iSa, apr�s les avoir multipli�es par dx, dy, dz-, en ayant �gard a

equation (6) du m�me num�ro, et observant que

dx d'�x 4- dj dW J- dz d^z nbsp;nbsp;nbsp;� j ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- d V*

quot; dl'^ 2 nbsp;nbsp;nbsp;�

Supposons que les expressions des forces donn�es X, Y, Z, ne renfernient explicitement ni Ie temps t,nbsp;nl la vitesse p, et qu�en consid�rant x, j, z, commenbsp;des variables ind�pendantes, cette formule (c) soitnbsp;une difif�rentielle exacte; faisons, en consequence,

F indiquant une fonction donne'e ; en integrant I�e-quation (c) et d�signant par C la constante arbitraire, nous aurons

Pour �liminer cette constante, soient a, b, c, k, ies valeurs initiales deXfjquot;, z, v; on aura

et, en retranchant cette equation de la pr�c�dente, p� =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2F (x, j, z) � 2F (rt, b, c).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(d)

Ce i��sultat �tant ind�pendant de la resistance N de la courbe, �gale et contraire a la force P qui entradnbsp;dans les �quations dont on l�a d�duit, il s�ensuit qu�i^nbsp;a �galement lieu dans Ie mouvement d�un point maquot;nbsp;t�riel enti�rement libre, et dans Ie mouvement siH�nbsp;une surface ou sur une courbe donn�e.

La cons�quence imm�diate de cette �quation {d) gt; c�est que la vitesse est constante et Ie mouvemen^nbsp;uniforme toutes les fois que Ie mobile n�est soUicit^nbsp;par aucune foi�ce donn�e; car alors la fonction F est

uulle, et Ton a v � k, soit que Ie mouvement ait lieu sur une surface ou sur une courbe donn�e, ounbsp;Ie mobile soit enti�rement libre.

Cette e'quatiou nous montre, de plus, que dans la supposition qu�on a faite sur la nature des forces X, Y,nbsp;l�accrolssement du carr� de la vitesse du mobile,nbsp;un passant d�une position a une autre, est toujours Ienbsp;^�me, quelle que soit la courbe qu�il a d�crite, etnbsp;Re depend que des coordonn�es a,b, c, x, j, %,nbsp;des deux points extremes. Lorsque cette courbe seranbsp;donn�e, ou seulement lorsque Ie mobile sera assu-jetti a se mouvoir sur tine surface donn�e, on pren-dra pour k la vitesse du mobile tangente a cette courbenbsp;ou a cette surface. Si ia percussion exerc�e sur Ienbsp;tnobile a borigine de son mouvement n�a pas cettenbsp;direction, elle se d�composera en deux autres forces,nbsp;1�une normale et bautre tangentielle; la premi�re seranbsp;d�truite par la resistance de la courbe ou de la surface donn�e; et c�est la seconde qui produira la vi-fesse k, et qui en d�terminera Ie sens et la direction.

Sera celle d�une surface qui sera atteinte avec des vi-fesses �gales par tous les mobiles soumis aux m�nies forces, partis du point dont a, b, c, sont les coor-donn�es, suivant diff�rentes directions et avec unenbsp;Rieme vitesse k. Lorsque, par exemple, ces mobilesnbsp;Re sont sollicit�s que par la pesanteur, cette equationnbsp;est celle d�un plan horizontal.

Dans Ie cas d�une courbe donn�e, on d�duira de ses equations les valeurs de x, z, en fonctions denbsp;1�arc j'; en les substituant, dans 1��quation (d), et y

oil S est une fonction donn�e de ; par cons�quent, dans ce cas, la determination du temps en fonctionnbsp;de i�espace parcouru se trouvera r�duite a rint�gra-tion d^une difF�rentielle donn�e. Mais la suppositionnbsp;sur laquelle est fond�e l��quation (d), et, cons�quem-ment , cette equation, n�auront pas lieu quand Ie mobile �prouvera la r�sistance d�un milieu, qui est unenbsp;force d�pendante de la vitesse; il en sera de m�menbsp;lorsqu�il s�agira du mouvement d�un point mat�rielnbsp;attir� ou repouss� par d�autres points qui seront eux-m�mes en mouvement; circonstance qui introduiranbsp;Ie temps t explicitement dans les valeurs de X, Y, Zlt;nbsp;Dans ces deux cas, si la trajectoire est une courbenbsp;donn�e, on fera usage de l��quation (c), dans laquellenbsp;ds.

i58. La formule Hdx ^dj- Zdz sera une difquot; f�rentielle exacte, comme on vient de Ie supposer,nbsp;toutes les fois que Ie mobile sera attir� ou repoussenbsp;par dbs centi�es fixes, et que les intensit�s de ces forcesnbsp;seront exprim�es par des fonctions de la distance auJCnbsp;centres dont elies �manent.

En effet, soient e, j, g, les trois coordonn�es d�un des centres fixes, rapport�es aux m�mcs axes que

les cosinus des angles que cette droite r fait avec ^es axes men�s par Ie mobile, suivant les directionsnbsp;^es oc, z, positives, seront les rapports de e�x,nbsp;f � j, g � z, a r. Si done on repr�sente par R lanbsp;force attractive, dirig�e du mobile vers ce centrenbsp;fixe, ses trois coraposantes auront pour expressions

^0 qui r�duit a � Rlt;fr la quantit� pr�c�denle. Si la force qui �mane du centre fixe �tait repulsive, il suf-firait de changer Ie signe de cette quantit�, qui de-^lendrait Rrfr, en consid�rant, dans tous les cas, Rnbsp;^Onanie une quantit� positive.

On conclut de la que si Ie mobile est sollicit� par Ro nombre quelconque de forces R, R', R'', etc., quinbsp;^Hianent de centres fixes, dont les distances a ce pointnbsp;iRat�riel sont r, r, rquot;, etc., on aura

les signes sup�rieurs ayaut lieu dans Ie cas des attractions, et les signes inf�rieurs dans Ie cas des r�pul-sions. Or, en supposant que cbacune de ces forces soit une fonction donn�e de la distance correspondante,nbsp;tous les termes de cette valeur denbsp;seront des ditf�rentielles d�pendantes d�une seule variable, et, par cons�quent, cette formule sera unenbsp;diff�rentielle exacte; ce qu�il s�agissait de prouver.

On voit aussi par la, et d�apr�s l��quation (d), que l�accroissement du carr� de la vitesse provenant denbsp;chacune des forces R, R^, R^^, etc., sera Ie m�menbsp;que si elle existait seule : a 1��gard de la force Rgt;nbsp;par exemple, eet accroissement sera exprim� parnbsp;qz 2yR(ir, en prenant i�int�grale de mani�re qu�ellenbsp;s��vanouisse pour la valeur initiale de r.

iSg. Dans Ie cas d�un point mat�riel pesant, qui se meut, sur une courbe donn�e, dans Ie vide et saiisnbsp;frottement sur cette courbe, l��quation [d) se r�-duira a

en d�signant par g la gravit�, et prenant l�axe des ^ positives vertical et dans Ie sens de cette force, �enbsp;sorte qu�on ait

Soient ADRC (fig. Sg) la courbe donn�e, B so^ point Ie plus bas, A son point Ie plus �lev�, q*^*nbsp;peut n��tre pas dans la m�me verticale que B, et Pnbsp;Ie point de depart du mobile. Flacons en ce dernic'nbsp;point l�origine des z, et supposons que la vitesse iiD�

P* = 2g(^ Z).

II en r�sultera que quand Ie mobile arrivera au point B, la vitesse maxima sera la m�me que s�il futnbsp;lomb� de la hauteur h, augment�e de celle du pointnbsp;n au-dessus du plan horizontal men� par Ie point B.nbsp;En vertu de cette vitesse acquise , Ie mobile s��leveranbsp;Ie long de BCA; sa vitesse diminuera continuelle-rnent; et si l�on a k = o , elle sera nulle au point Cnbsp;silu� dans Ie m�me plan horizontal que D. Parvenunbsp;au point C, Ie mobile redescendra Ie long de CB ; etnbsp;d oscillera ainsi ind�liniment de D vers C, et de Cnbsp;Vers D. Lorsque la constante h ne sera pas nulle, Ienbsp;Mobile s��levera au-dessus du point C. Si l��l�vationnbsp;dn point A au-dessus du plan horizontal qui com-Pi�end D et C, est moindre que h, Ie mobile n�at-teindra pas Ie point A; il s�arr�tera en un certainnbsp;point C'j et si l�on m�ne par C' un plan horizon-qui coupe la courbe en un autre point D', Ienbsp;*^iobile oscillera ind�liniment de C' vers D', et denbsp;vers C'. Les oscillations seront toutes isochronesnbsp;d��gale dur�e. Cela est �vident a l��gard de cellesnbsp;auront lieu dans Ie m�me sens ; el l�on voitnbsp;�Ossi que la dur�e de chaque oscillation de C' versnbsp;E sera la m�me que celle d�une oscillation denbsp;Vers C^, en observant qu�un �l�ment quelconque denbsp;couibe sera parcouru avec la m�me vitesse dans

les deux cas. Cette dur�e commune de toutes leS oscillations enti�res dependra de la forme de lanbsp;courbe et de la grandeur de Ji.

Lorsque l��l�vation de A au-dessi�s du plan horizontal passant par Ie point de depart sera �gale a h, I� mobile approchera ind�finiment du point A ,nbsp;mais ne l�atteindra qu�apr�s un temps infini. Quandnbsp;cette elevation sera plus grande que h, Ie mobilenbsp;d�passera Ie point A, et parcourra la circonf�rencenbsp;enti�re de la courbe donn�e. Revenu au point D,nbsp;sa vitesse sera la m�me qu�a l�origine du mouvement ; d�o� l�on conclut qu�il fera une suite in-d�finie de revolutions, qui auront toutes une �galenbsp;dur�e, d�pendante de la forme de la courbe et denbsp;�la grandeur de h.

Si la courbe donn�e est d�abord comprise dans un plan vertical, tangent a un cylindre a base quel-conque , et qu�on enveloppe ce plan sur Ie cjlindre,nbsp;de sorte que la courbe donn�e devienne une ligne anbsp;double courbure, Ie mouvement oscillatoire ou r�vo-lutif du mobile ne changera nullement, en suppo-sant, toutefois, que son point de d�partet sa vitessenbsp;initiale restent les m�mes; car alors la valeur de tnbsp;en fonctlon de s, d�termin�e comme il a �t� dit pr�-t��demment (n� iSj), ne d�pendra que de celle de ^nbsp;en fonction de qui ne changera pas, quelle qn�nbsp;soit la base du cylindre vertical sur lequel la courbenbsp;donn�e sera Irac�e.

i6o. Dans tous les cas ou Tequation (�?) a lieu, et OU Ie mobile n�est pas astreint a se mouvoir surnbsp;une courbe donn�e, celle qu�il d�crit pour aller d un

DYNAMIQ�E, PREMI�RE PARTIE. point donn� que j�appellerai A, a iin autre pointnbsp;donn� que je nommerai B, jouit d�une propri�t�nbsp;^�emarquable. Si Ie mobile est enti�rement libre,nbsp;^ integrale �vds, prise depuis Ie point A jusqu�aunbsp;point B, est plus petite que suivaut toute autrenbsp;courbe aboutissant a ces deux points; s�il est assu-jctti a se mouvoir sur une surface donn�e, cettenbsp;propri�t� de Ia trajectoire n�a plus- lieu que relati-'Cnient a toutes les courbes trac�es sur cette sur-tnbsp;face, et qui aboutissent toujours aux points A et B.nbsp;Hans ces deux cas, ds est P�l�rpent diflf�rentielnbsp;(i�une courbe quelconque , qui r�pond aux coordon-n�es X, jquot;, z, et e une fonction de ces trois variables et d�une constante k, donn�e par l��quation (d).

La demonstration de ce th�or�me revient a prouder qu�en vertu des equations du mouvement, la Variation de fvds est nulle, en supposant fixes lesnbsp;iiniites de cette int�grale : alors elle sera un mi-^nbsp;^^num OU un maximum-, et ce sera toujours Ie mini-^^uin qui aura lieu quand Ie mobile sera enti�rementnbsp;libre ; car il est �vident que l�int�grale �i�ds: pourranbsp;^roitre ind�finiment avec la longueur de la trajec-�^oire, et ne sera pas susceptible de maximum.

nbsp;nbsp;nbsp;J�z=/L.

Le terme NVcTL n�entrerait pas dans cette equation, si le mobile �tait enti�rement libre; quand il estnbsp;assujetti a se mouvoir sur la surface dont 1 equationnbsp;est L = o, ce tei�me est nul; car toutes les courbesnbsp;que Ton compare a la trajectoire du mobile devantnbsp;aussi �tre trac�es sur cette surface, on a cTL =0;nbsp;done on doit supprimer ce terme dans tous les cas;nbsp;et il en r�sulte

done, a cause de ds~ vdt, et en intervertissant, dans le second membre, 1�ordre des caract�ristiques et cT�

S.^�ds = d(^-^Sx %Sj % cTz);

Tc_____ nbsp;nbsp;nbsp;,

pour 1�int�grale ind�finie de S.vds. Mais les deux points extremes A et B �tant supposes fixes, les variations Sx, J'j-, Sz, qui sj rapporten t, devront �trenbsp;nulles j par cons�quent, l�int�grale d�finie fS .vds ^nbsp;prise depuis Ie point A jusqu�au point B, laquelle estnbsp;�gale a la variation S.fvds, se r�duira a z�ro; cenbsp;lt;lu�il s�agissait de d�montrer.

i6i. Quand ie mobile, assujetti a se mouvoir sur tine surface courbe, n�est sollicit� par aucune forcenbsp;donn�e , sa vitesse est constante (n� iSy); l�int�gralenbsp;fvds est done Ie prodult lt;v. Par cons�quent l�arc snbsp;d�crit par Ie mobile est, en g�n�ral, la ligne la plusnbsp;lt;^Ourte du point A au point B; et il suit de Punifor-^it� du mouvement, que, dans ce cas, Ie mobilenbsp;d�un point a l�autre, dans un temps plus courtnbsp;9^16 s�il �tait forc� de d�crire sur la surface donn�enbsp;loute autre courbe que sa trajectoire. Toutefois,nbsp;si cette surface est ferm�e de toute part, comme unenbsp;sphere, par exemple, les points A et B seront lesnbsp;oxtremit�s de deux arcs de grand eerde, dont l�unnbsp;sera moindre et l�autre plus grand aiie lous les arcs

de petits cercles aboutissant aux m�mes points; et Ie mobile pourra d�crire Tune ou l�autre de ces deuxnbsp;portions d�un m�me grand eerde, selon Ie sens de sanbsp;vitesse initiale k tangente a la sphere.

On peut presenter I�equation dilF�rentielle de Ia trajectoire sous une forme qui mette en evidence lanbsp;propri�t� de la ligne Ia plus courte sur une surfacenbsp;quelconque, laquelle consiste en ce que son plan os-culateur en chaque point est normal a cette surface.

Les forces X, Y, Z, �tant suppos�es nulles, les equations (3) du n� 151 se r�duisent a

en prenant l�arc s pour la variable ind�pendante; et cela �tant, on pourra remplacer les equations pr�c�-dentes par celles-ci:

qui sen d�duisent ais�ment. Je les ajoute apr�s les avoir multipli�es par cos v, coscos A; la quantit� Nnbsp;disparait, et l�ou a simplement

apr�s les valeurs de cos A, cos jx, cos v, cit�es dans n� i5i, on aura done

pour l��quation diflerentielle seconde de la trajec-^oire. On y substituera la valeur de l�une des trols Coordonn�es x, j, z, en fonction des deux autres ,nbsp;tir�e de 1 equation L = o de la surface donn�e,nbsp;sur laquelle cette courbe doit �tre trace'ej on int�-gcera ensuite l�e'quation a deux variables qui en r�-�^ltera; puis on d�terrninera les deux constantes ar-^itraires que l�int�grale renfermera, en assujettissantnbsp;courbe a passer par les deux points A et B denbsp;surface donn�e. L��quation qu�on obtlendra denbsp;Cette mani�re, et qui sera, comme on volt, ind�-Pendante de la grandeur et de la direction de la vitessenbsp;^*iitialeA�, devra �tre celle de la ligne Ia plus courtenbsp;entre ces deux points.

Or, si Ton appelle ct,�,y , les angles que la nor-^^le au plan osculateur d�une courbe quelconque, point dont les coordonn�es sont x, f, z, faitnbsp;^Vec leurs prolongemens dans Ie sens positif, et qu onnbsp;fesse, pour abr�ger,

cos � = ^ (dzd^x � dxd^z),

cos 5/ = 1 {dxd'^j � djd^x),

dapr�s les formules (5) du n� ig, o� ces m�nies angles sont repre'sente's par A, v. En vertu denbsp;l�e�quation (e), on aura done

ce qui montre que la normale au plan osculateui� de la trajecloire, et la normale a la surface donn�e,nbsp;sont perpendiculalres Tune a l�autre j d�ou l�on con-clut que l�e'quation (�), qui appartient a la lignenbsp;la plus courte, est aussi celle de la coui'be qui a par-tout son plan osculateur normal a la surface donn�e;nbsp;en sorte que ces deux lignes sont une seule et m�menbsp;courbe tracee sur cette surface, quand on les assujettitnbsp;Tune et I�aulre a passer par les m�mes points extremes A et B.

II suit de la que, quand ces deux points appar-tiennent a une des lignes de courbure de la surface donn�e, cette ligne est la plus coui�te d�un point anbsp;I�autre; car son plan osculateur en un point quel-conque renferme deux normales cons�cutives a 1^nbsp;surface donn�e, et est, par cons�quent, normal anbsp;cette surface.

162. Le th�or�me du n� 160 est connu sous la d�-�oniination de principe de la moindre action , qui vient du point de vue m�taphysique sous lequelnbsp;l�a d�abord envisage, et qu�ou a depuis justemenlnbsp;^bandonn�. Mais � peut encore �tre utile de donnernbsp;une des premi�res applications qu�on a faites denbsp;principe, celle qui est i-elative a la i��flexion et anbsp;la i'�fraction de la lumi�re dans le sjst�me de remission.

Tant qu�un rayon lumineux se meut dans un milieu d�une �gale densit�, sa vitesse et sa direction i'estent les m�mes; mais quand il passe d un milieunbsp;dans un autre, sa direction s�infl�chit et sa vitessenbsp;change. Dans l�inslant du passage, la lumi�re d�crilnbsp;^oe courbe d�une �tendue inappreciable, dont onnbsp;peut faii�e abstraction sans erreur sensible. La tra-jectoire de chaque particule lumineuse est done alorsnbsp;1 assemblage de deux droites, dont cliacune est d�-crite d�un mouvement uniforme. Ainsi, en appelant ety les longueurs de ces droites, n la vitessenbsp;la lumi�re dans le premier milieu, n' sa vitessenbsp;dans le second, on aura ny pour la valeur de l�in-?dgrale fvds, prise depuis le point de depart de lanbsp;particule jusqu�a son entree dans le second milieu,nbsp;ct n'y pour la partie de cette integrale relative aunbsp;Second milieu; par cons�quent cette int�grale, pi�isenbsp;dans toute l��tendue de la trajectoire, sera expri-m�e par ny-j-n'y � et c�est cette somme qui doit

Avant d�aller plus loin, observons que, si Ie second milieu est une substance diaphane et cristallis�e, lanbsp;vitesse de la lumi�re, dans cette substance, d�pendra,nbsp;en general, de la direction du rayon lumineux; ennbsp;sorte qu�elle sera constante pour un m�me rayon,nbsp;mais variable d�un rayon a un autre. Le ph�nom�nenbsp;de la double refraction que pr�sentent le spath d�Is'nbsp;lande et la plupart des cristaux transparens, tient anbsp;la difFe'i�ence de vitesse des diff�rens rayons lumineuxnbsp;qui les traversent. On doit alors regarder la vitesse n'nbsp;comme une fonction des angles qui d�terminent lanbsp;direction de chaque rayon j et la loi de la refractionnbsp;depend de la forme que l�on suppose a cette fonction.nbsp;En faisant une hypothese convenable sur cette forme,nbsp;Laplace est parvenu a d�duire du principe de lanbsp;moindre action (*) , la loi de la double refraction,nbsp;de'couverte par Huyghens et confirmee par Malus,quot;nbsp;mais ce n�est point ici le lieu d'exposer cette th�orie -�nbsp;nous nous bornerous a considerer le cas ou tons lesnbsp;rayons se meuvent avec la m�me vitesse, quellesnbsp;que soient leurs directions. Dans le calcul suivant;nbsp;les vitesses 7z et n' seront done regardees comme, desnbsp;quantites donnees pour chaque milieu en particulier,nbsp;et independantes de la direction des I�ayons lumiquot;nbsp;neux.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;!

points extremes de la trajectoire. Supposons que la surface de separation des deux milieux soit plane, etnbsp;Rienons par ces deux points uu plan qui la coupenbsp;suivaut la droite CD. Soit encore AEB une ligne bri-see au point E, qui repr�sente la projection de lanbsp;l^�ajectoire sur ce plan. Menons par les points A, B,nbsp;�'j les perpendiculaires AF, BG, HEK, a la droitenbsp;Puisque la position des points A et B est don-Rue, les trois droites AF, BG, FG, sont connues;nbsp;*Rais la position du point E, et les angles AEH etnbsp;bEK sont inconnus, et doivent �tre determines par lanbsp;Condition du minimum. Nous supposerons done

Le rayon lumineux traverse la surface de s�para-bon des deux milieux en un point dont E est la projection sur Ie plan de la figure. Si nous appelons z la distance de ce point inconnu au point E, y sera l�liy-Pot�nuse d�un triangle rectangle dont z et AE serontnbsp;les deux petits c�t�s, et j' Thypot�nuse d�un autrenbsp;Giangle qui aura z et BE pour ses deux petits c�t�s;nbsp;btais en consid�rant les triangles AEF et BEG, on a

dr nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dr'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nz

Or, on ne peut satisfaire a cette condition qu�en pre' nant z =: o; ce qui nous apprend que Ie rayon luquot;nbsp;mineux travei�se au point E la surface de separationnbsp;des deux milieux, et, par cons�quent, 'qu�il ne sortnbsp;pas du plan perpendiculaire a cette surface, nien�nbsp;par les points A et B.

nbsp;nbsp;nbsp;11nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n'b

et en �galant a z�ro la diff�rentielle complete cette quantit�, il vient

^elle-ci et l��quation (a) d�termineront les valeurs X et x' qui r�pondent au minimum de ny -|- n'j'.nbsp;Apr�s avoir calcul� la valeur de on construira Ienbsp;point E, en prenant EF = a tang x; ensuite on tlreranbsp;^es droites AE et BE, et la ligne bris�e AEB sera lanbsp;*'oute que suit Ie rayon lumineux pour aller du pointnbsp;A au point B.

L�angle AEH compris entre la normale EH a la Surface de separation des deux milieux, et Ie rayonnbsp;incident AE, est ce qu�on appelle Yangle d'incidence;nbsp;i�angle BEK, compris entre Ie prolongement ER denbsp;cette normale et Ie rayon r�fract� BE, se nommenbsp;Wangle de refraction. Ces deux angles ont �t� d�si-�n�s par x eX. x'. Ainsi l��quation (6) fera connaitrenbsp;i angle de refraction quand Tangle d�incidence seranbsp;^onti�j et Ton voit, d�apr�s cette equation, que Ienbsp;�inus de Tangle de refraction est au sinus de Tanglenbsp;incidence dans un rapport constant.

C�est, en etfet, la loi connue de la refraction ordi-�laire, dont la d�couverte est due a Descartes. Le Rapport des deux sinus depend de celui des vitessesnbsp;^ ot n' relatives aux milieux que Ton consid�re, et,nbsp;pour cette raison, il varie avec les diff�rentes sortesnbsp;milieux transparens.

164. Si le rayon lumineux, au lieu de pen�trer �ians le second milieu, est r�fl�chi a la surface de s�-

paration, sa vitesse sera coastante dans toute I�eten-due de la trajectoire, qui est alors comprise en ehtier dans un ra�me milieu. L�inl�grale f vds sera donenbsp;�gale a la longueur totale de ia trajectoire, multi-pli�e par cette vitesse constante; par cons�quent, cettenbsp;longueur devra �tre un minimum, en vertu du principe de la moindre action.

Supposons done, corame dans Ie num�ro pr�c�dent, que la surface de s�paration soit plane. Soient A et B ( fig. 40 deux points extremes de la trajectoire ; menons par ces points un plan perpendiculaire a cette surface, qui la coupe suivant CD : chaquenbsp;particule de iumi�re ira du point A au point B, ennbsp;suivant une ligne bris�e AEB, la plus courte de toutesnbsp;celles qui se r�fl�chissent sur la surface de separation.nbsp;Or, il est d�abord �vident que cette ligne sera comprise dans Ie plan perpendiculaire a cette surface - carnbsp;toute autre trajectoire serait plus longue que sa projection sur ce plan. De plus, il est ais� de prouver,nbsp;sans aucun calcul, que la plus courte ligne bris�enbsp;est celle qui fait deux angles �gaux avec la droitenbsp;CD, c�est-a-dire que si l�on a

la ligne AEB sera plus courte que toute autre ligne bris�e AE'B, dont Ie point E' appartient, ainsi quenbsp;E, a la droite CD.

En elFet, abalssons de A la perpendiculaii�e AF sur cette droite; prolongeons-la d�une quantlt� AT �galenbsp;a AF, et tirons ensuite les droites A'E et A'E'. Lesnbsp;deux angles AEC et A'EC seront �gaux; done les

�^eux angles A'EC et BED Ie seront aussi, a cause �ie 1 equation pr�c�dente; par cons�quent, Ia lignenbsp;A'EB sera droite : on aura done

Si l�on �l�ve au point E la perpendiculaire EH sur la droite CD, AEH et BEH sex�ont les anglesnbsp;d�incidence et de reflexion du rajon l�mineux quinbsp;Va du point A au point B. Ces angles seront �gaux,nbsp;puisqu�ils sont compl�mens des angles �gaux AEGnbsp;et BED; d�o� ii r�sulte la loi connue de lar�flexion.nbsp;de la 1 umi�re, qui consiste en ce que Tangle de r�-flexion est toujours �gal a Tangle d�incidence.

i65. Lorsque Ton admet la th�orie de T�mission la lumi�re , les lois de la r�flexion et de la r�-ffaction se d�duisent de Texpression du carr� de lanbsp;Vitesse d�un point soumis a des forces d�attractionnbsp;i58), d�une mani�re plus directe quen faisantnbsp;Usage du principe de la moindre action. Cette question nous offrant un exemple du mouvement d�unnbsp;point rnal�riel, int�ressant par la nature des forcesnbsp;Sue Ton y considere, et par son application a lanbsp;�*hysique, nous allons en exposer la solution dans lenbsp;uas ordinaire, oil les deux milieux que traverse lanbsp;t�mi�re ne sont pas cristallises.

lurnineuse soumise a I�attraction de tous les points mat�riels du milieu qu�elle traverse, et l�on regardenbsp;cette force conime une fonction inconnue de lanbsp;distance, dont on sait seulement qu�elle d�croitnbsp;avec une extr�me rapidit� quand la distance aug-mente, de sorte qu�elle devient tout-a-fait insensible d�s que la distance a une grandeur^ sensible.nbsp;Ainsi, par exemple, d�signons par r la distancenbsp;du point attir� au point attirant, par cl une lignenbsp;de grandeur linie, mais insensible, et par e la basenbsp;des logarithmes n�p�riens. Une force de cette nature

pourra �tre repr�sent�e par Ae A �tant son in-tensit� relative a une distance r infiniment petite. D�s que cette distance aura une grandeur sensible�nbsp;et sera, cons�quemment, un tres grand multiplenbsp;de a, cette fonction n�aura plus aucune valeur sensible.

Tant qu�un rayon lumineux se meut dans un milieu homogene et d�une densite' constante, les attractions qu�il �prouve se d�truisent, et son mouvement est rectiligne et uniforme. Mais supposons qu�il soit parvenu en un point M (lig. 42) situ� ^nbsp;une distance insensible de la surface CD, qui s�-pax'e deux milieux diff�rens, et que nous suppose-rons horizontale pour fixer les ide'es; de ce poin^nbsp;M, abaissons sur CD une perpendiculaire MP,nbsp;menons ensuite, dans Ie milieu sup�rieur, deu^nbsp;plans C'D' et ' parall�les a CD, dont la distancenbsp;mutuelle soit �gale a MP, et dont Ie premier passenbsp;par Ie point M; il est �vident que les attractions

'sxerc�es sur Ie rayon lumineux au point M, par les deux couches du milieu sup�rieur, qui sont comprises, l�une entre CD et C^D', Taufre entre C'D'etnbsp;seront �gales et conti�aires; elles se d�trui-^ont done, et Ie mobile ne sera sollicit� que parnbsp;l^attraction de la partie du milieu qu�il traverse,nbsp;Sup�rieure a Cquot;D'', et par l�attraction totale du milieu inf�rieur. Ces deux forces seront perpendicu-laires a CD; elles varieront avec la distance MP sui-^snt des lois inconnues, mais telles que chacunenbsp;*le ces forces sera insensible quand MP ne Ie seranbsp;pas, et qu�elles atteindront leurs maxima lorsquenbsp;Cette distance sera nuIJe, ou que Ie mobile seranbsp;parvenu a la surface de separation des deux milieux.

Au bout du temps i, je repr�sente par z la distance MP, et par Z et Z' des fonctions inconnues de qui expriment les forces acc�l�ratrices provenantnbsp;�lus attractions du milieu inf�rieur et de la partienbsp;1�autre milieu, sup�rieure a C'D'. La force ac-^^l�ratrice totale , tendanle a diminuer z, sera lanbsp;diff�rence Z � Z'; par cons�quent, on aura, dans

Lorsque ce mobile aura travers� la surface CD en ^n point E, et qu�il aura p�n�tr� dans Ie milieu inf�rieur jusqu�en un point M', tel que la perpendicu-

laire MT' a CD soit aussi repr�sent�e par z, il est ais� de voir que la force acc�l�ratrice qui tendra a dimi-nuer cette variable sera alors la difference Z' � Zjnbsp;en sorte que 1�on aura

Quant au mouveinettt horizontal ou parall�le a CD, il sera uniforme, et la vitesse horizontale ne changeranbsp;pas en passant d�un milieu dans l�autre; car les forcesnbsp;attractives de chaque milieu se d�truisent parallelednbsp;ment a CD, et, dans ce sens, un rayon lumineu^�:nbsp;n�est soumis a aucune force acc�l�ratrice. Ainsi, ennbsp;appelant k la vitesse de la lumi�re en un point A dnnbsp;milieu sup�rieur, situ� a une distance sensible de CD,nbsp;et a Tangle aigu que la direction de Cette vitesse faitnbsp;avec la verticale, on aura, a un instant quelconque,nbsp;k sin a, pour la vitesse parall�le a CD. Si Ie rayon lu''nbsp;mineux p�n�tre, d�une quantit� sensible, dans Ie nn^nbsp;lieu inf�rieur, et qu�on repr�sente par V et a' ce qu�nbsp;deviennent k et a en un point A' de ce milieu, situ�nbsp;a une distance sensible de CD, on pourra �galemcntnbsp;repr�senter la vitesse horizontale du mobile pa**nbsp;k' sin a'; en sorte que Ton devra avoir

On voit aussi, a priori, que la trajectoire du nio' bile sera une co�rbe plane et verticale; il ue resteranbsp;done plus qua d�terminer sa vitesse perpendiculair�nbsp;h. CDj, soit dans Ie milieu sup�rieur, soit dans Ie nnquot;*

iieu inf�rieur, a une distance quelconque z de cette surface CD.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

^equation (i) par 2dz, integrant et d�signanl par c constante arbitraire, on aura, dans Ie milieu sup�rieur ,

Je supposerai que ces deux int�grales s��vanouissent svec z, et je repr�senterai par h et Ji letrrs valeurs anbsp;�ne distance sensible de CD. II sera permis d��tendrenbsp;ces int�grales h et depuis z�ro jusqua l�infini; car,nbsp;au-dela d�une valeur sensible, les fonctions Z et Z',nbsp;et par cons�quent les parties correspondantes denbsp;fZdz et fT/dz', sont nulles ou insensibles par hypothese. On pourra done �crire, si l�on veut.

, z*. K=f^

tailleurs, pour une valeur sensible de z, on a = k' cos� at; on aura done alors

Je repr�sente par A:, la vitesse du mobile au point de la surface CD, et par a, Tangle que fait sa

direction avec la verticale. On aura en ce point M* = A:*cos*'�!; et comme il r�pond a jz=o, lesnbsp;deux derniers termes de la formule pr�c�dente s��-vanouiront, et elle se r�duira a

Pour que Ie rayon lumineux atteigne la surface de separation des deux milieux, il faudra done que Ie se'nbsp;cond membre de cette equation soit une quantit� positive, OU qu�on ait

Si cette condition n�est pas i�emplie, ce qui exi-gera que l�attraction du milieu sup�rieur surpasse celle du milieu inf�rieur, la vitesse verticale du mobile s��puisera avant qu�il ait atteint Ie plan CD. II ynbsp;aura done un point de la trajectoire oii la tangentenbsp;sera horizontale. Parvenu en ce point, Ie mobile r�-trogradera; les deux branches de cette courbe, abou-tissantes en ce m�me point, seront semblables, puis-qu�elles seront d�crites en vertu de forces �galesnbsp;pour la m�me valeur de z; et, pour une grandeui�nbsp;sensible de cette distance z, ces deux branches senbsp;changeront en des Ugnes droites qui feront des angles �gaux avec la verticale, ou, autre ment dit, lesnbsp;angles de r�flexion et d�incidence seront �gaux.

Si, au contraire, fattraclion du milieu inf�rieur surpasse celle du milieu sup�rieur, et que la condi^nbsp;tion pr�c�dente soit remplie, Ie rayon lumineux p�quot;nbsp;n�trera dans Ie second milieu avec une vitesse perpendiculaire a CD, qui sera d�termin�e par l��qua-tion (^). Dans cette hypothese, on aura, d�apr�s

supposanl toujours les int�grales nulles quand ^ == o. A une distance sensible de CD, on anbsp;= A'* cos� a!; on aura done

Pour que Ie rayon lumineux, apr�s avoir travers� la Surface CD, p�n�tre jusqu�a une profondeur sensiblenbsp;dans Ie milieu inf�rieur, il sera done n�cessaire etnbsp;d suffira qu�on alt

Cors done que K, quoique moindre que ^ -f-j^�cos�a, �urpassera n�anmolns ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ cos� a, Ie mobile ne

P�n�trera dans Ie milieu inf�rieur que jusqu�a une distance insensible au-dela de CD; il rentrera ensuitenbsp;dans Ie milieu sup�rieur; et les deux branches de sanbsp;^�'ajectoire seront semblables de part et d�autre dunbsp;point o� il commencera a r�trograder. Par cons�-^I'lent, la lumi�re sera r�fl�chie, comme dans Ie casnbsp;pi'�c�dent, en faisant Tangle de r�flexion �gal a 1 angle d�incidence; en sorte qu�il y a deux cas distinctsnbsp;de reflexion dans la th�orie que nous considerons.

i6y. Supposons malntenant que ni lun ni 1 autre de ces deux cas n�ait lien , de sorte que Ie rayon

k'^ =k- nbsp;nbsp;nbsp;� 4A';nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(6)

ce qui montre que [�augmentation du carr� de la vitesse du mobile, en allant du point A du milieunbsp;sup�rieur au point A' du milieu inf�rieur, sera in-d�pendante, comme cela devait �tre ( nquot; iSy), dnnbsp;chemin qu�il aura suivi.

formule qui renferme la loi du rapport constant dn sinus de r�fraction au sinus d�incidence, et qui donoenbsp;la valeur de ce rapport en fonction de la vitesse k denbsp;la lumi�re dans 1�un des deux milieux, et de la difference h � h' de leurs pouvoirs r�fringens h et h'-Si Ie milieu inf�rieur est termin� par deux plansnbsp;parall�les, et qu�il y ait au-dessous Ie m�me miliennbsp;qu�au-dessus, l�exp�rience prouve que la lumi�re gt;nbsp;apr�s avoir subi deux r�fractions et travers� les denlt;nbsp;faces du milieu interm�diaire, repreud une direction parallele a celle qu�elle avait dans Ie milieu sup�rieur. C�est aussi ce qui r�sulfe de l��quation {'])gt;nbsp;car si l�on d�signe par aquot; Tangle que Ie rayon In-mineux fait avec la verticale, apr�s �tre sorti dn

intermediaire, il faudra, pour determiner sin aquot;, �changer entre elles, dans cette equation, lesnbsp;quantit�s h et h', et y raettre k', a!, aquot;, au lieunbsp;^ , a, aJ. On aura done

Le ph�nom�ne de la dispersion, qui provient d��ne valeur diff�rente de Tangle de refraction al, pour lesnbsp;cayons diversement color�sdont se compose un m�menbsp;rayon de lumi�re incidente, peut �tre attribu�, d�a-pr�s la formule (7), solt a une In�galit� de leur vi-lesse k, soit a une action differente de chaque milieunbsp;*ur ces diff�rens rayons, d�oii il r�sulterait des valeursnbsp;in�gales de h � h'.

168. Toutes choses d�ailleurs �gales, cette �qua-bon (7) rnontre que le rapport du sinus de refraction

sinus d�incidence doit changer avec Ia vitesse de ia lumi�re. Or, si Ton consid�re une �toile situ�enbsp;^ans le plan de T�cliptique, il y a une �poque dansnbsp;lann�e ou la vitesse de la terre s�ajoute a celle de lanbsp;lumi�re, et une autre �poque o� la premi�re vitessenbsp;se retranche de la seconde; ce qui rend la vitesse denbsp;la lumi�re, relativement a un milieu qui se meut

avec la terre, sensiblement plus grande dans Ie premier cas que dans Ie second. Le rapport dont il s�agit devrait done aussi �tre different a ces deux �poques;nbsp;mais des experiences tres pr�cises de M. Arago ontnbsp;pi�ouv� qu�au conti�aire ce rapport ne varie pas d�unenbsp;mani�re sensible pendant toute l�ann�e, et, de plus,nbsp;que sa grandeur est la m�me pour le soleil et pournbsp;les diverses �toiles d�o� la lumi�re est partie.

Quelle que soit la th�orie de la lumi�re que Ton adopte, eest toujours un fait tr�s remarquable, quenbsp;la composition de la vitesse propre de la lumi�renbsp;avec celle de la terre, qui se manifeste dans le mouvement apparent des �toiles, connu sous le nomnbsp;aberration^ n�ait cependant aucune influence appr�-clable sur la r�fractlon de la lumi�re qu�elles nousnbsp;envoient a dlff�rens jours de l�ann�e.

Dans le vide, le mouvement de la lumi�re directe OU r�fl�chie est uniforme, et sa vitesse ind�pendantenbsp;de la source dont elle �mane. La grandeur de cettenbsp;vitesse est telle, que la lumi�re parcourt en 495,34 secondes la distance moyenne du soleil a la terre ; cenbsp;qui donne 3og5o myriam�tres par seconde.

Un rayon lumineux, lanc� du soleil ou d�une �toile, doit �prouver dans sa vitesse, comme toutnbsp;autre projectile, une diminution due a sa pesanteurnbsp;vei�s cet astre, e�est-a-dire, a I�attractlon en raison inverse du carr� des distances a son centre , que 1�nbsp;masse du corps exerce sur chaque parti cule mat�-rielle de la lumi�re; mais cette diminution est unenbsp;fraction tr�s petite de la vitesse finale de la lumi�re.nbsp;Ainsi, par exemple, l�intensit� de la pesanteur a la

surface du soleil �tant vingt-sept fois et demi l�inten-site' de la pesanteur terrestre, comnie on Ie verra par suite, et Ie rayon du soleil �tant �gal a 11 o rayonsnbsp;la terre, on conclut de ce qu�on a vu dans Ie n� i43,nbsp;'�ue la vitesse de la lumi�re, pour �tre de 3og5o my-fiam�tres par seconde a une grande distance du so-^�il, a d� �tre plus grande d�un peu moins de deuxnbsp;Riillioni�mes seulement, en partant de sa surface.

CHAPITRE IV.

169. La pression qu�un point niat�ri�l exerce suv une courbe qu�il est force' de de'ci�lre, nest pas lanbsp;m�me que qiiand il est en �quilibre sur cette courbe.nbsp;L��tat de mouvement donne naissance a une pressionnbsp;particuliere qu�on appelle force centrifuge, pareenbsp;qu�on l�a d�abord consid�r�e dans Ie cercle o� ellenbsp;est dirig�e suivaut Ie prolongement du rayon, etnbsp;tend continuellement a eloigner du centre Ie mobilenbsp;sur lequel elle agit. C�est cette force que nous allonsnbsp;consid�rer dans une courbe quelconque.

Soient et MM' (fig. 43) deux �le'mens cons�-cutifs et �gaux de la courbe donn�e, H et H' leurs milieux, MT et M'T' leurs prolongemens. Leur plannbsp;et Tangle TMT' scront Ie plan osculaleur et Tanglenbsp;de contingence de la courbe au point M; et si Tonnbsp;m�ne dans ce plan la droite MO, qui divise Tangl�nbsp;MyMM' en deux parties �gales, elle repr�sentera 1*nbsp;direction du rayon de courbure en ce m�me point Mlnbsp;en sorte que Ie centre de courbure sera Ie point �nbsp;de cette droite. Appelons ds T�le'meut M^I de 1^nbsp;courbe, lequel sera aussi �gal a HMH'; soient, eDnbsp;outre. S' Tangle infiniment petit TMT', et p Ie rayoOnbsp;de courbure MO, nous aurons (n� 18)

Cela pos�, faisons d�abord abstraction des forces '^Onn�es qui peuvent agir sur Ie mobile, et suppo-�ons qu�au bout du temps t, il arrive au point M avecnbsp;vitesse v. S�il �tait enti�rement libre, il conti-RRerait a se mouvoir sur MT avec la m�me vitesse;nbsp;^3is, par hypothese, il est force de d�crire unenbsp;^Rurbe donn�e; ce qui change la direction de sonnbsp;Riouvement, qui devient MT'. Or, si Ton �l�ve surnbsp;la perpendiculaire MK, comprise dans Ie plannbsp;R^culateur et en dehors de la concavil� de la courbe,nbsp;RR pourra substituer a la vitesse dirig�e suivantnbsp;^T, deux autres vitesses, Tune �gale a v cos J' etnbsp;dirig�e suivant MT', l�autre �gale a e sin J' et di-dg�e suivant MK; et alors l�efFet de la courbe seranbsp;�ie d�truire la derni�re de ces deux vitesses, pournbsp;Re laisser subsister que Ia premi�re, ou, autrementnbsp;^�t, eet elTet se r�duira a imprimer au mobile unenbsp;''Resse �gale et contraire a c sin cT. La courbe donn�enbsp;�tant done remplac�e par un polygone infinit�simal,nbsp;resistance consiste a imprimer au mobile, a chaquenbsp;^RinmetM de ce polygone, une vitesse iofiniment pe-^Re esincT, dirig�e en sens contraire de MK.

Pour assimiler compl�tement cette r�sistance a RRe force niotrice � qui agit incessamment sur Ienbsp;R^obile, nous pouvons supposer que la vitesse sind'nbsp;produite pendant que ce point materiel va denbsp;en H', et prendre dt pour la dur�e de cette ac-bon. Nous pouvons aussi n�gliger, dans eet inter-Yalle de temps, Ie changement de direction de cettenbsp;ibvee, et la supposer, par exemple, parall�le a lanbsp;�Iroite MO, Alors la force acc�l�ratrice corre.spon'*

dante aura pour mesure, comme chacune des forces U, U', Uquot;, etc., du n� 147, la vitesse v sin cT qu�ellenbsp;produit pendant l�inslant dt, divis�e par dt; et ennbsp;appelant m la masse du mobile, il en r�sultera

pour la valeur de f. Done , en remplacant sin �T par cT, mettant pour cf sa valeur pre'c�dente, et observantnbsp;que ds=. vdt, on aura

La pression que la courbe �prouve, et qui est uniquot; quement due a l��tat de mouvement du point mat�''nbsp;riel qui la d�crit, ou la force centrifuge qui agitnbsp;sur ce mobile, est �gale et contraire a cette force f-II s�ensuit done qu�au point quelconque M, de 1�nbsp;courbe donn�e, la force centrifuge est comprise danSnbsp;Ie plan osculateur, et dirig�e en dehors de la concavitynbsp;de cette courbe , suivant Ie prolongement MN de soonbsp;rayon de courbure, et que son intensit� est en raisonnbsp;inverse de ce rayon, et en raison directe de la mass^nbsp;du mobile et du carr� de sa vitesse.

170. Cette vitesse �tant v sur Ie c�t� M,M, et devc' nant v cos cT sur Ie c�t� suivant MM', il s�ensuit qn�nbsp;sa grandeur nest point alt�i��e par la courbe; car onnbsp;peut n�gliger la quantit� v{i � cos J'), infinimentnbsp;petite du second ordre, de laquelle il ne pourrai*nbsp;r�sulter qu�une diminution infiniment petite de vl'nbsp;tesse, sur une partie de la courbe de grandeur finie-Le mouvement sur une courbe quelconque est doncnbsp;uniforme qvand le mobile n�est sollicit� par aucunC

force ^onn�e. Cest ce qu�on a d�ja vu daas Ie n'* iS'j; Wajs nous voyons de plus que ce r�sultat tient a cenbsp;Sue Tangle de contingence est inliniment petit, etnbsp;Su�en un point oii deux courbes diff�rentes se cou-peraient sous un angle fini, Ie mobile eprouveraitnbsp;Uue perte linie de vitesse, en passant d�une courbe anbsp;1 autre ; laquelle perte serait �gale a sa vitesse primi-, multipli�e par Ie sinus verse de eet angle.

Lorsque Ie mobile est sollicit� par une ou piusieurs forces donn�es, sa vitesse varie a raison des compo-�antes de ces forces tangentes a la trajectoire, et leursnbsp;^uinposanles normales exercent, comme dans T�tatnbsp;repos, une pi�ession sur cette courbe qu�il fautnbsp;joindre a la force centrifuge.

Soit, en general, inK la r�sultante des forces don-Ue'es qui agissent sur Ie mobile, quand il est parvenu point M. D�composons cette force motrice ennbsp;'^eux autres, Tune tangen te et Tautre normale a lanbsp;eetoire, que nous repr�senterons par mT et toQ ;nbsp;fo premi�re sera la force qui fera varier la vitesse, etnbsp;fo seconde produira la partie de la pression ind�pen-'^ante de T�tat de mouvement du mobile. En pre-^ant, par la regie du parall�logramme des forces, la

^'^ra, en grandeur et en direction, la pression totale ^Ri aura lieu au point M de la courbe donn�e. Cettenbsp;foi�ce , divis�e par la masse du mobile, ou la r�sul-foute des forces acc�l�ratrices Q et �, devra co�nci-

lyi. Je reniplace les equations (5) de ce num�ro par celles-ci, qui s�en d�duisent imm�diatement,

Eu d�signant par q, q', q�, les angles que la forc^ Q fait avec des parall�les aux axes des oc ^ j, z gt;nbsp;observant que X, Y, Z, sont les composantes suivaotnbsp;ces parall�les de Q et de la force tangentielle T, oo

Or, si l�on appelle y, y�, y�, les angles que la direc-^*oia de la force centrifuge, c�est-a-dire Ie prolonge-RientMN du rayon de couibure MO, fait avec des pa-*'all�les aux axes des x, f, z, men�es par Ie point M, x', j', z�, les coordonn�es du centre de courbure 0,nbsp;^*1 aura

COS '�' �fquot; ^ COS nbsp;nbsp;nbsp;cos lt;Zcr''=o;

ce qui r�duit les coelBciens de Q, dans les trois �quaquot; lions pr�c�dentes, a � cos q, � cos q', � cos qquot;, etnbsp;ceux de �Pa � cos -ar, � cos for',nbsp;done enfin

� nbsp;nbsp;nbsp;cos y -\-Q cos q = P cos lt;ar,

� nbsp;nbsp;nbsp;cos 7' Q cos q' =P cos lt;ar',

� nbsp;nbsp;nbsp;cos yquot;-h Q cos qquot; = P cos (srquot;,

o� l�on voit, comme il s�agissait de Ie ve'rifier, que la force P est, en grandeur et en direction, la r�sul-

tante des deux forces � et Q.

172. Quaud Ie mobile sera seulement assujetti a se mouvoir sur une surface donn�e, il faudra quenbsp;ia r�sultante des forces motrices mQ et , qui est

d�ja perpendiculaire a sa trajectoire, soit, de plus, f ovruale a cette surface. En appelant done inN cettenbsp;r�sultante, et d�signant par cd et 4 les angles, aigusnbsp;OU obtus, que font ses deux composantes avec unenbsp;nartie d�termin�e de la normale a la surface, au poin*nbsp;o� se trouve Ie mobile, on aura

p� == db (^Q cos ft) -f. cos 4 y

DYNAMIQUE, PREMI�RE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;325

La force N agira suivant cette partie de la- normale Ou suivant son prolongement, selon que Ia quantit�nbsp;comprise entre les parentheses sera positive ou negative; et pour que N soit toujours une quantit� positive , on prendra Ie signe sup�rieur dans Ie premiernbsp;et Ie signe inf�rieur dans Ie second . Cette forcenbsp;iicc�l�ratrice N devra �tre �gale et contraire a cellenbsp;ijui entre dans les equations (3) du n�

^ffet, celles-ci ne diff�rant des equations (5) du n� 162 fu�en ce qu�elles contiennent N, A, �, r, au lieu denbsp;�^P, 'Z�r, fsr', esrquot;, on en d�duira, par l�analjse pr�c�-liente, des composantes de la force N, qui serontnbsp;^gales et contraires a celles que l�on a trouv�es pournbsp;ia force P.

Dans ce m�me cas d�une surface donn�e, si Ton d�-S'gne par agt;' et 4^' ies angles que les forces mQ et

ie mobile, tangent a cette surface et perpendiculaire a ia trajectoire, de sorte qu�on ait

'i faudra que la somme des composantes de ces deux i^erces suivant eet axe tangent, soit �gale a z�ro,nbsp;Puisque leur r�sultante est noi'male au m�me pointnbsp;'ie la surface; on aura done

equation qui pourra servir a determiner l�inclinai-^On -nI.' du plan osculaleur de la trajectoire sur Ie plan tangent a la surface donn�e.

Lorsque Ie mobile ne sera soumis a aucune force donn�e, ou, plus g�n�ralement, lorsqu�il ne seranbsp;soumis qu�a une force tangente a sa trajectoire, onnbsp;aura Q=o; il enr�sultera done cos-4/'= o et'=90�;nbsp;en sorte que Ie plan osculateur de cette courbe sei�anbsp;constamment perpendiculaire a la surface donn�e-Cette propri�t� �tant, en general, celle de la lignenbsp;la plus courte entre deux points donn�s sur cettenbsp;surface, c�est cette ligne que Ie mobile d�crira, ainsinbsp;qu�onl�adlt pr�c�demment (n� 161); mais maintenantnbsp;nous vojons, en outre, qu�une force tangenle ^nbsp;la trajectoire, telle qu�un frottement contre la surfacenbsp;donn�e, ou la r�sistance d�un milieu, ne fera pas de-vier Ie mobile, de la ligne la plus courte entre sonnbsp;point de d�part et son point d�arriv�e.

175. Enfin, si Ie mobile est enti�rement libre, faudra que la composante normale a la trajectoire 1nbsp;de la force motrice /�R qui Ie sollicite, fasse �qui'

n�y a pas de courbe ou de surface donn�e qui puisse d�truire la r�sultante normale de ces deux forces.nbsp;faudra done, en premier lieu, que Ie plan osculate�i�nbsp;de la trajectoire soit celui qui passe par la tangent^nbsp;et par la direction donn�e de la force wR; en app^quot;nbsp;lant � Tangle que cette direction, en un point qiic^''nbsp;conque, fait avec Ie rayon de courbure MO,nbsp;faudra, en outre, que eet angle soit aigu pournbsp;la composante normale de la force mK agisse en sen*nbsp;contraire de la force centrifuge qui est dirig�e siDquot;nbsp;vant MN et cela �tant, on devra avoir

Quand la force acc�l�ratrice R, a laquelle Ie mobile soumis, sera une force centrale dirig�e vers unnbsp;point connu, et que l�observation aura fait connaitre lanbsp;^Ourbe qu�il decrit autour de ce centre fixe, on pourranbsp;oe'duire de l��quation de cette courbe, Ie rajon denbsp;oourbure � et Tangle 6 qu�il fait avec la direction denbsp;force R; on d�duira aussi, de cette equation et denbsp;proportionnalit� des aires aux temps ( n� i55 ),nbsp;^�expression de la vitesse u en un point quelconquenbsp;de la trajectoire; par cons�quent, T�quation (a) d�-terminera la valeur de R, ou la loi de la force centralenbsp;qui fait d�crire au mobile la courbe donn�e. C�estnbsp;de cette inani�re que Newton a d�couvert la loi de lanbsp;force dirige'e vers Ie centre du soleil, qui fait d�crirenbsp;^ chaque plan�te une ellipse dont ce point occupe unnbsp;des foyers; mais on verfa, dans la suite, qu�en par-^^ot des m�mes donn�es, cette d�termination peutnbsp;� offectuer par un calcul plus simple.

174* Huygbens, a qui Ton doit la mesure de la ^orce centrifuge, Ta d�duite de la consid�ration dunbsp;*Oouvement circulaire; et quoique cette m�thode soitnbsp;^^oins directe que la pr�c�dente, je crois cependantnbsp;'itile de Texposer ici en peu de mots.

Soit M ( fig. 44 ) on point mat�riel attach� a un point fixe C par un lil inextensible CM; supposonsnbsp;qu une percussion lui imprime une vitesse a, dans unenbsp;direction perpendiculaire a la longueur du lil; et,nbsp;poiu' simplifier la question, supposons aussi qu�aucune

force motrice donn�e n�agisse sur Ie mobile. Ce point materiel va d�crire un cei�cle AMB, dont Ie centrenbsp;et Ie rayon seront Ie point fixe et ia longueur du fil-Pendant ce mouvement, Ie fil qui retient Ie mobilenbsp;e'prouvera, dans Ie sens de sa longueur, une certainenbsp;tension qui n�est autre chose que la force centrifuge.nbsp;En appliquant au mobile une force �gale a cette tension et constamment dlrig�e vers Ie centre fixe, onnbsp;pourra faire abstraction du fil, et consid�rer Ie mobile comme enti�rement libre. C�est done en vertu denbsp;cette force centrale, dont la grandeur est inconnue,nbsp;combin�e avec la vitesse a, que Ie eerde sera d�crlt.

II s�ensuit d�abord que les secteurs circulaires d�-crits par Ie rayon du mobile, seront proportionnels au tenips (n� i55); ce qui exige que les arcs denbsp;eerde parcourus Ie soient aussi. Le mouvement circulaire sei�a done uniforme; et si i�on d�signe parnbsp;l�arc d�crit dans le (ernps ^, on aura .y = ut.

Soient m la masse du mobile, ma. la force centrale, et, cons�quemment, a la force acc�l�ratrice qu��nbsp;s�agira de determiner. Quelle que soit cette force, onnbsp;peut la regarder comme constante en grandeur etnbsp;en direction pendant un intervalle de temps infiquot;nbsp;niment petit; ainsi, pendant que le mobile d�crdnbsp;l�arc de eerde infiniment petit MM', la force a seranbsp;suppos�e constante, et parall�le au rayon CM qoinbsp;aboulit a rorlglne de eet are �, d�ou nous concluonsnbsp;que si le mobile n��talt pas anim� de la vitesse a, 1^nbsp;force centrale lui ferait parcourir , dans un temps io'nbsp;finiment petit, le sinus verse MN, ou la projectionnbsp;sur CM de l�arc MM' qu�il d�crit r�ellement. Or,

toute force acc�l�ratrlce a pour mesure Ie double de ^ cspace infiniment petit qu�elle est capable de fairenbsp;pai courir a un mobile dans un temps infiniment pe-fit, divis� par Ie carr� de ce temps ( n� i�8 ) ; sinbsp;�^onc on appelle e Ie sinus verse MN, et t Ie tempsnbsp;�mploj� a d�crire l�arc MM', on aura

Cette valeur de a est done celle de la force centrifuge rapport�e a l�unit� de masse, dans un eerde d�crit un mouvement uniforme. On en conclut imm�dia-^ement que cette force, dans une courbe quelconque,nbsp;^Ura pour mesure Ie carr� de la vitesse divis� par Ienbsp;*�3yon decourbure; car la trajectoire ayant deux�l�-*^iens cons�cutifs communs avec son eerde oscula-f^Ur, on peut supposer que, pendant un temps in-f'uiment petit, Ie mobile se meut circnlairementnbsp;^utour du centre de courbure, et qu�il a cons�quem-^lent la force centrifuge qui convient a ce mouve-�Reni. En multipliant par m cette force acc�l�ratrice ,nbsp;�n aura la m�me valeur que pour la force designee,nbsp;par � dans Ie nquot; i6g.

175. Pour comparer la force centi�ifuge dans Ie eerde a la pesanteur, supposons que la vitesse a soitnbsp;celle qui serait due a une hauteur h, de sorte qu�onnbsp;ait ~ o.gh (n� i3o), en d�signant par g la gravil�nbsp;il en r�sultera

ce qui montre que la force centrifuge est a la pesan-teur, comme Ie double de la hauteur due a la vitesse du mobile est au rajon.

Si Ie mobile est un corps dont les dimensions soient tres petites par rapport a sa distance au point C,nbsp;on pourra consid�rer, dans toute son �lendue, la va-leur de a comme a tr�s peu pr�s constante, et prendre Ie rapport - pour celui de la force centrifuge

Quand Ie mouvement n�aura pas lieu dans un plan horizontal, la vitesse du mobile, la force centrifuge et la tension du fil attach� au point C, serontnbsp;variables. Supposons que Ie mobile se meuvedans unnbsp;plan vertical; d�signons par 2gh Ie carr� de sa vitesse,nbsp;quand il se trouve dans Ie plan horizontal passant pai�nbsp;Ie point C; et, a un instant quelconque, appelonsnbsp;z sa distance a ce plan , regard�e comme positivenbsp;lorsque Ie mobile sera situ� au-dessous, et commenbsp;n�gative quand il aura pass� au-dessus; nous auronsnbsp;a eet instant 2g{h. -j- z) pour Ie carr� de sa vitesse

ter a cette force la composante du poids du mobile suivant Ie prolongement de son rayon, la-

Ie voir. Done, en appelant 6 la tension totale du a un instant quelconque , nous aurons

Cette force exprimera aussi la pression que Ie point C �prouvera a chaque instant, suivant la directionnbsp;rayon qui aboutit au mobile. Elle atteindra sonnbsp;Maximum, lorsque Ie mobile sera au point Ie plusnbsp;lgt;as du eerde , o� l�on a z = r, et son minimum,nbsp;lorsqu�il sera au point Ie plus �lev�, o� l�on a 2;=�r.

Se changera en une contraction pendant une partje du mouvement: il faudra alors que Ie fil soit inflexible pour que Ie mouvement circulaire ait lieu.

neglige , dans ce calcul, Ie poids et la force centrifuge du lilj ce qui suppose sa masse tr�s petite par *'apport a celle du mobile. On verra , par la suite ,nbsp;Comment on y devrait avoir �gard si cela �tait n�cessaire.

176. Revenons au mouvement circulaire et uni-fl^rnie, et d�signons par T Ie temps que Ie mobile Cfftploie a parcourir la circonf�rence enti�re. On aura

ce qui montre que la force centrifuge est en raison directe du rayon du eerde, et en raison inverse dunbsp;carr� du temps d�une revolution enti�re.

Lorsqu�un corps solide tourne au tour d�un axe fixe, tous ses points d�crivent, dans Ie m�me temps,nbsp;des cercles dont les plans sont perpendiculaires anbsp;l�axe, qui ont leurs centres dans eet axe, et pournbsp;rayons les perpendiculaires abaiss�es de chaque pointnbsp;sur ce m�me axe; par cons�quent, les forces centrifuges de ces diff�rens points sont entre dies commenbsp;ces perpendiculaires. Ainsi, par exemple, la forcenbsp;centrifuge des corps plac�s a la surface de la tei�re, etnbsp;qui tournent avec die autour de l�axe des poles, estnbsp;proportionnelle aux rayons des parallhles qu�ils d�-crivent; et, de plus , cette force est dirig�e en chaquenbsp;lieu de la terre suivant Ie prolongement du rayonnbsp;du parall�le qui aboutit en ce point.

177. La force qui pr�cipite les corps vers la terre, et que nous appelons pesanteur, est due prin-cipalement a l�attraction du spb�ro�de terrestre surnbsp;ces corps. Mais quelle qu�en soit la cause, il est tou-jours certain que la force centrifuge diminue cettenbsp;tendance des corps pesans ; en sorte qu�except� aUnbsp;pole, oixla force centrifuge est nulle , la pesanteurnbsp;est partout moindre que si la terre n�avait pas denbsp;mouvement de rotation. A I��quateur, la force centrifuge et la pesanteur sont dirig�es cn sens contrairenbsp;Tune de l�autre; la pesanteur y est done �gale a

1 exc�s de l�attraction de la terre sur la force centri-; par cons�quent, on a

� �tant cette pesanteur, G l�attraction terrestre , ou pesanteur qui aurait lieu si la teiTe �tait immobile,nbsp;^ Ie rayon de l��quateur, et T Ie temps de la rota-bon de la terre.

Le second terme de cette formule �tant tr�s� petit par rapport au premier, on a, a tr�s pen pres,

prendre le rayon du m�ridien au lieu du rayon r de ^�quateur, dont il est peu diff�rent; on aura alors

prenant la seconde pour unit�, et n�gligeant, ^ans ce calcui, la petite variation de la pesanteur anbsp;surface de la terre, on a aussi (n� 115 )

g = 9�gt;�o896.

T = 86i64;

par Ie mouvement de rotation de la terre autour de soa axe. Si ce mouvement devenait plus rapide, Ienbsp;temps T diminuerait, et la force centrifuge diff�reraitnbsp;moins de la gravit�. En observant que 289 est Ienbsp;carr� de 17, on volt qu�il suffirait que la rotatiounbsp;eut lieu en un dix-septi�me de jour, pour quenbsp;force centrifuge a l��quateur fut �gale a la gravit�;nbsp;alors la pesanteur j serait �gale a z�ro, et les corpsnbsp;abandonn�s a eux-m�mes y demeureraient en �qui'nbsp;llbre.

Dans ce calcul, nous avons seulement eu �gard ^ la force centrifuge provenant du mouvement de rotation des corps pesans autour de l�axe de la terre;nbsp;et, en effet, on concoit que Ie mouvement de translation autour du soleil, qui est commun a tous ceSnbsp;corps, a la terre et a son axe, ne saurait influer suiquot;nbsp;leur tendance a s��carter de cette droite mobile. ERnbsp;imaglnant, par exemple, un fil parall�le a l��quateur;nbsp;attach� a eet axe et aboutissant a un corps situ� a 1^nbsp;surface, il est �vident que sa tension ne changera au-cunement par Eeffet d�un mouvement qui emportera^nbsp;a la fois, l�axe, Ie fil et Ie corps, sans changer leur*nbsp;positions relatives.

178. La force centrifuge diminue la pesanteur eR tons les points de la surface de la terre; mais d�un^^nbsp;quantit� molndre qu�a l��quateur, soit paree qi^nbsp;allant de l��quateur au pole la force centrifuge de-croit, soit paree que Tangle qu elle fait avec la verti-quot;nbsp;cale augni�nte. En appelant toujours r Ie,rayon de

^�squateur, et d�signant par jx la latitude d�un lieu ^uelconque de la terre, et par �Ie rayon du parall�lenbsp;^orrespondant, on aura

n�gligeant la non-sph�ricil� du globe terrestre, Wangle sera celui que Ie prolongement de m, ou lanbsp;�direction de la force centrifuge, fait avec la verticale;nbsp;coniposante verticale de la force centrifuge s�ob-

Pour la diminution de la pesanteur due a la rota-bon de la terre; et, d�apr�s ce qui pre'c�de, cette 'loantit� aura pour valeur

Ce serait la toute la diminution que la pesanteur ^prouverait, si la terre e'tait une sph�re homogene :

serait proportionnelle au carr� du cosinus de la ^^btude; et la diminution totale du pole ou Ion anbsp;^ == 90�, a l��quateur ou l�on a /t = o, s��leverait a

1 attraction qu�elle exerce sur les corps places a sa sur-dimlnue, pour cette raison, en allant du pole a ^�quateur; cette diminution, en chaque point de lanbsp;�Orface, est aussi proportionnelle au carr� du cosinusnbsp;be la latitude; elle s�ajoute a celle qui est produite

nous l�avons d�ja dit (n* 117 ), I�accroissement'� total du poids d�un corps transport� de l�equateur au pole.

^'�quot;�\^'W%lt;WVVK'X'V\^-V\\-VWW%/V\VVVMW\'WVWWV''W\'W\lt;VVWVWVgt;-VV\'WWV'^^-%V\^iVV*/W\'WVW\VV\rVVgt;

EXEMPLES du MOUVEMEXT D5UN POINT MATERIEL SUR UNE GOURDE OU SUR UNE SURFACE DONNEE.

179. Un pendule est, en ge'n�ral, nn corps solide pesant, qui oscille autour d�un axe fixe et horizontal.nbsp;Mals pour comparer plus facilement entre elles lesnbsp;tlur�es des oscillations de dilTerens pendules et les in-tensit�s correspondantes de la pesanteur, les g�o-�ti�tres ont imagine un pendule ideal qu�on appellenbsp;pendule simple, et qui consiste en un point materielnbsp;pesant, suspendu a un point fixe par l�interm�diairenbsp;*l�un fil inextensible et inflexible, d�nu� de pesanteurnbsp;m�me de densit�, et dont la longueur est celle denbsp;^e pendule.

On verra, dans un autre cbapitre, qu�il j a tou-jours un pendule simple dont les oscillations coincident, et pour leurs dur�es et pour leurs amplitudes, ^vec celles d�un pendule quelconque; et nous mon-fierons comment la longueur du premier peut senbsp;determiner d�apr�s la forme et les dimensions du second. Nous ferons voir aussi que eet accord ajantnbsp;^ieu entre les mouvemens de deux pendules dans Ienbsp;Vide, il subsistera �galement dans uu milieu resistant.

quelle que soit la fonctiou de la vitesse qui exprime la resistance. Ainsi, il suf�ira de consid�rer Ie mouvement du pendule simple, soit dans Ie vide, soit dan.snbsp;un milieu resistant; et c�est ce qu�on va faire dans cenbsp;premier paragraphe.

i8o. Soient C (fig. 4^) Ie point de suspension, CB la verticale passant par ce point fixe, et CA lanbsp;position initiale du pendule. Supposons que Ie pointnbsp;materiel qui Ie termine parte du point A avec unenbsp;vitesse k perpendiculaire a CA, et dirig�e dans Ie plannbsp;des droites CA et CB; il est evident qu�il ne sortiranbsp;pas de ce plan vertical, et qu�il y d�crira des arcs denbsp;eerde dont C est Ie centre et CA Ie rayon.

Au bout du temps quelconque l, soit M la position du mobile ; des points M et A , abaissons sur la verticale CB, des perpendiculaires MP et AD, et faisons

En d�signant par g la gravit� et par u la vitesse d� mobile au point M, nous aurons, dans Ie cas du videnbsp;(n� i5g),

et si 1�on appelle s l�arc AM d�crit par Ie mobile, dn sorte qu�on ait ^ = u, on en de'duira

D�siguons par fl Tangle MCB, qui sera positif quand Ie pendule se trouvera a gauche de CB, coninie 1�nbsp;droite CA, et n�gatif lorsque Ie pendule sera a droite

, nbsp;nbsp;nbsp;r \nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;av

s = a(c-6), 1- = nbsp;nbsp;nbsp;=

en repr�sentant par a la longueur CM ou CA du pendule. On aura, en m�me temps,

z = a cos 6, c = a cos a;

et au moyen de ces valeurs, celle de dt deviendra

- . (.)

Telle est done la formule qu�il s�agira d�int�grer exactement ou par approximation.

181. II n�y a qu�un cas dans lequel Tint�gration sous forme linie soit possible, c�est lorsqu�on a

Ce qui a lieu quand Ie mobile part du point A avec Ia vitesse qu�il aurait acquise en tombant d�une hauteur �gale a EDj E �tant Ie point Ie plus �lev� dunbsp;eerde qu�il d�crit. En faisant 6 = 2^1,, et observant que

= -v/�

J�int�gre, je d�termine la constante arbitraire de sorte qu�on ait 4 = quand lt; � o , et je metsnbsp;� � a la place de 4 gt; d vient

Si Ie point A co�ncidait avec Ie point E, on aa-rait 0. = nbsp;nbsp;nbsp;) ce qui rendrait infinie cette valeur de

t, quel que fut Tangle 0. Cela signifie que Ie mobile rie quitterait pas Ie point E; et en eflfet, dans ce cas, sa vitesse initiale seiait nulle, et la tangentenbsp;au point E �tant horizontale, il y demeurerait ennbsp;�quilibre.

pour Ie temps que le mobile emploiera a parcourir 1�arc AB. Avec sa vitesse acquise en ce point, il s ele-vera sur la demi-circonf�rence BA'E; mais, d�apr�snbsp;ce qu�on a vu dans le n� �5q, il devra employer unnbsp;temps infini pour atteindre le point E : c�est ce qui anbsp;lieu effectivement; car en faisant 0 = � tt , on anbsp;t

Quelle que soit la vitesse initiale k et Tangle ot, la formule (i) pourra s�int�grer par les fonctions ellip'nbsp;tiques; en sorte que le temps des oscillations ou desnbsp;revolutions du pendule se calculera toujours aunbsp;moyen des tables num�riques de ces fonctions;nbsp;mais, dans la pratique, on a seulement besoin denbsp;connaitre la duree des oscillations tres petites, qnenbsp;nous nous bornerons a consid�rer.

oscillations de part et d�autre de la verticale CB, il faudra que Tangle et et la vitesse k soient peu consi-*^�rables; on pourra toujours rendre cette vitessenbsp;tout-a-fait nulle, en faisant parlir Ie mobile d�unnbsp;point un peu plus �lev� que A, c�est-a-dire, en aug-Oientant convenablement Tangle et; on ne nuira donenbsp;pas a la g�n�ralit� de la question en supposant k = 0�,nbsp;Ce qui r�duit T�quation (i) a

Les angles et et 0 �tant tr�s petits, par hypothese, je n�glig� leurs quatri�mes puissances ; il en r�sultenbsp;�*niplement

Ces formules montrent, conform�ment a ce qu�on ^ d�ja vu (n� iSg), que Ie pendule fera une suite in-

d�finie d�oscillations �gales et isochrones de part et d�autre de 1� verticale CB: il reviendra, avec une vi-tesse nulle, au point A o� Ton a ^ = ol, toutes les

A', situ� a la m�me hauteur que A et ou Ton a 6 = � et, toutes les fois que 6 sera un multiple impair de 'TT. En appelant T Ie temps qu�il emploiera anbsp;aller de Tun de ces points extremes a l�autre, e�est-a-dire, Ie temps d�une oscillation enti�re, on a

v/i-

Les dur�es des deux demi-oscillations, Tune descen-dante et l�autre ascendante, seront �gales entre elles et a i T.

En general, a deux instans s�par�s par un temps �gal a T, Ie pendule occupera, des deux c�t�s de lanbsp;verticale CB, des positions �galeraent �loign�es denbsp;cette droite, et sera anim� de vitesses �gales et con-traires; car si Ton met i T a la place de t, dans les

Le pendule coincide avec la verticale quand on a � =: o, OU lt; �gal a un multiple impair de A T; il e�nbsp;r�sulte

� a \/ga,

pour la vitesse du mobile au point B. En appnlant b hauteur DB de son point de depart au-dessuanbsp;de B , on aura

^ cause que Ton n�glig� la quatri�me puissance de et. A^bstraction faite du signe, la vitesse acquise au pointnbsp;plus bas sera done

i85. La valeur de T est, comme on voit, ind�-pendante de 1�angle a; elle subsistera encore , et sera figoureusement exacte, quand cette amplitude a seranbsp;Oafiniment petite. Si done on �cartait Ie pendule in-btiiment peu de la verticale, il eraploierait pour y

iRouvement, Ie mobile u�crirait un espace infini-*Rent petit dans un temps fini; ce qui vient de ce que 1�intensit� de sa force acc�l�ratrice serail infinimentnbsp;petite. En eff�et, cette force est la pesanteur d�cora-Pos�e suivant la tangente a la trajectoire; or, dansnbsp;l�tendue de Fare infiniment petit qui aboutit au pointnbsp;Ic plus bas de cette courbe, la tangen te fait avec lanbsp;''crticale un angle qui diff�re d�un droit d�une quan-ht� infiniment petiu ; Ie cosinus de eet angle, parnbsp;Icquel 11 faut multiplier Ja pesanteur pour obtenir sanbsp;conaposanle, est done Infiniment petit; par cons�-fioent, cette composanle est anssi infiniment petite

On peut �tendre ce r�sultat aux oscillations d�u� point materiel pesant sur une courbe quelconque,nbsp;dont Ie plan osculateur au point Ie plus bas B estnbsp;vertical; car dans une �tendue infiniment petitenbsp;courbe coincide avec son eerde osculateur, et, dansnbsp;une �tendue seulement tres petite, elle s�en �cart�nbsp;tr�s peu; d�o� il suit que C �tant Ie centre de cenbsp;eerde, la dur�e des oscillations tr�s petites sur lanbsp;courbe, de part et d�autre de son point B, est lanbsp;m�me que pour un pendule simple dont C serait Ienbsp;point de suspension, et qui aurait pour longueur Ienbsp;rayon de courbure GB correspondant a ce point B-Les oscillations tr�s petites ont done une m�me du-r�e ind�pendante de leur amplitude, sur toutes lesnbsp;courbes verticales qui ont la m�me courbure a leurnbsp;point Ie plus bas. Lorsque Ie plan osculateur en cenbsp;point n�est pas vertical, il faut remplacer dans lanbsp;valeur de T la gravit� g par sa composante daii-snbsp;ce plan, laquelle est �gale a gsini, en appelant inbsp;l indinaison du plan donn� sur un plan horizontal-

i84- Quand l�angle a a une grandeur linie et seu-lement tr�s petite, la valeur pr�c�dente de T n�est qu�approch�e.

En elFet, si l�on conserve les quatri�mes puissances de a et de 0 dans les valeurs de cos a. et cos 0, etnbsp;qu�on les substitue dans la formule (2), on aura

� _v (a* 6�)]' i: 1 ^ nbsp;nbsp;nbsp; 0^);

formule qui s�int�gre par les i��gles connues. En integrant depuis 0 = a jusqua 6= � a, pour avoir dur�e T d�une oscillation enti�re, on tronvenbsp;g

^ qui montre que cette dur�e est un peu augmen-tee par la grandeur de l�amplitude.

II en r�sulte que si l�on appelle n Ie nombre des Oscillations infiniment petites d�un pendule quelcon-^ue dans un temps donn�, et n' Ie nombre des os-edlations du m�me pendule et dans ie m�me temps,nbsp;^Rand leur amplitude a est seulement tres petite, onnbsp;3ura

Car Ie nombre n' doit diminuer dans Ie m�me rap-port que la dur�e de chaque oscillation est augmen-t�e par la grandeur de cette amplitude.

i85. Quoiqu�on ait soin, dans les diff�rens usages pendule, de faire en sorte que l�amplitude desnbsp;Oscillations soit .tres petite, ce qui rend toujours suf-Psante la correction relative a la grandeur de � qu�onnbsp;^*ent de d�terminer, il est bon , n�anmoins, de con -Raitre la s�rie convergente par laquelle on peut ex-primer la dur�e d�une oscillation, quelle que soit sonnbsp;^oiplitude.

Pour cela, soient ar et C les sinus verses des angles 6 et a, de sorte qu�on ait

et, pour en d�duire la dur�e {T d�une demi-oscillaquot; tion, il faudra inte'grer depuis x = ^, qui r�pond anbsp;fl = a, jusqu�a x = o, qui r�pond a G = o.

\ nbsp;nbsp;nbsp;2 /nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;22nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4.6 8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

et qui sera toujours convergente, a cause que x est constammenl moindre que a. Si done on intervertitnbsp;l�ordre de Pint�gration, ce qui est permis en changeant en m�me temps Ie signe de dt; qu�on fessenbsp;ensuite, pour un nombre quelconque n ou z�ro,

DYNAMIQUE, PREMI�RE PAR�IE. nbsp;nbsp;nbsp;347

qu�on double la valeur de - T, il en r�sultera

*a I 1-3.5 I,

quot; V ^ ^o -. - A, ^ A.-r.. 5 A3

etc. y

Les valeurs des int�grales d�finies A,, A,, A�, ^3gt; etc., sont li�es entre elles de mani�re que Tunenbsp;elles �tant connue, il est facile d�en de'duire suc-cessivement toutes les autres. En effet, on a, identi-^l^eraent,

fx* *\/Cx nbsp;nbsp;nbsp;J

deux limites x=o et x=S, on a \�'�x�x*=o; passant aux int�grales d�finies, on aura done,nbsp;^ ^pr�s cette derni�re �quation,

Si Ton fait successivement n�i, �2, =5, etc.gt; dans cette formule, on en d�duit

K = y SA,

A. = / nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 'ji.

En substituant les valeurs de A^, A,, A^, etc. / dans celle de T, il en r�sulte

pour la s�rie qu�il s�agissait d�obtenir, et qui est es' sentiellement convergente , puisque ^ � est toujoufSnbsp;moindre que l�unit�.

Si I�on n�glig� la quatri�me puissance de cc, oo aura Q = \ a.;\\ faudra r�duire la s�rie a ses deo^cnbsp;premiers termes, et la valeur de T co�ncidera avecnbsp;celle du num�ro pr�c�dent.

186. Consid�rons actuellement Ie mouvement di* pendulesimple dansun milieu r�sistant. En conservaw^nbsp;toutes les notations pr�c�dentes, la com posante dc

pesanteur suivant la tangente MT sera gsinG, a �^^use que Tangle que cette droite fait avec la verti-cale MN est compl�ment de Tangle MCB ou �. D�-�^gRons par V la force acc�l�ratrice prOvenant de lanbsp;Resistance, laquelle est dirig�e en sens contraire denbsp;Roette composante g sin 9, et appelons s Tarc AM ;nbsp;^%uation du mouvement sera ( n� i52 )

On pourra faire diff�rentes hypotheses sur la va-Reur de V en fonction de la vitesse du mobile; Ie plus simple est de la supposer proportiounelle a cettenbsp;^Rtesse, de sorte que Ton ait

^R done 9 est, comme pr�c�demment, un tres petit et que Ton n�glig� sa troisi�me puissance,nbsp;�^'luation (3) deviendra

S * nbsp;nbsp;nbsp;\

pour les formules qui font connaitre, a un instant quelconque, la position du pendule et sa vitess^nbsp;angulaire.

II s�ensuit done que les oscillations sont isochrones gt; cornme dans Ie vide, et qu�on a

T = - v/-,

y y g

pour la dur�e d�une oscillation enti�re; en sorte qu�ell� est augment�e, par la resistance du milieu, dansnbsp;rapport de l�unit� a la fraction y.

Quant aux amplitudes des oscillations, elles di-*^uiuent continuellement a cause de l�exponentielle -~Si

� En appelant a� l�amplltude de la n*'quot;' oscillation, c�est-a-dire, en supposant qu�on ait 6 = (� *iRand t = wT, il en r�sultera

1^0 qui montre que les amplitudes successives forment Hoe progression g�om�trique d�croissanle, dont Ie

Toutefois, ce mouvement oscillatoire suppose que gt;soitune quantile r�elle; et, enelFet, c�est ce quinbsp;� lieu dans les experiences du pendule, qui n�a jamaisnbsp;Hoe longueur extr�mement considerable, et dont lanbsp;ilensit� est toujours tres grande eu �gard a celle de 1�airnbsp;il se meut: la vitesse k �tant proportionnelle aunbsp;i'^pport de la premi�re densit� a la seconde, elle estnbsp;ti'�s grande par rapport a j Vga , et, cons�quem-lient, y est une quantit� r�elle qui diff�re peu denbsp;* Rnit�. Si, au contraire, on avait -ik �lt; Vga, y seraitnbsp;iiRaginaire et de la forme 6 V � i , en d�signantnbsp;� une quantit� r�elle; par les formules connues,

changeraient en exponentielles; et cette transformation faite, on verrait que Tangle 0 ne pourrait de-l^enir nul qu�apr�s un intervalle de temps infini; en ^Orte que Ie pendule approcherait ind�finiment de la

187. A mesure que les amplitudes des oscillation^ diminuent, l�exp�rience pi�ouve qu�elles approcheotnbsp;de plus en plus de d�croitre dans l�air en progressionnbsp;g�om�trique: elles s�en �cartent peu, par exemple gt;nbsp;lorsque l�angle a. est d�un tiers de degr� ou au-des-sous. L�exp�rience montre, de plus, que ce d�crois'nbsp;sement est tr�s lent; ainsi, dans une experience denbsp;Borda, o� il avait lieu sensiblement en progressionnbsp;g�om�trique, l�amplitude ne se r�duisait qu�aux deuXnbsp;tiers environ, apr�s 1800 oscillations. En appliquantnbsp;l�expression de a eet exemple, on aura done

y z= r,00000000257... ,

OU a tres peu pres 5. = i ; ce qui permet de n�glig�' la resistance de l�air dans Ie calcul de la valeur denbsp;On peut done adraettre que quand les oscillation*

sont ir�s petites, la resistance de l�air est propor-lionnelle a la vltesse, comme nous venons de Ie �Upposer, et que cette resistance n�influe pas sensi-^lement sur leur dur�e. Mais lorsque les amplitudesnbsp;�ont un peu conside'rables, l�observation montrenbsp;elles ne d�croissent plus en progression g�oine-l^que; en sorte qu�il devient n�cessaire de faire unenbsp;^utre hjpoth�se sur la loi de la resistance.

i88. Supposons cette force proportionnelle au ^arr� de la vitesse , et prenons

^ �tant une vitesse constante et donn�e qui sera tou-JOurs tres grande; en sorte que si l�on fait

^ sera une tres petite fraction. A cause de ds��ad^, ^ Equation (5) deviendra

Pour determiner c, je suppose qu�on ait, comnie pr�c�demment, ^ = o quand 0 = �t; il en re-sultera

Par cons�quent, on aura, a un instant quelconque, 2^^[cos0-j-//j.sin6�(cosa A*;sinoL)enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^].{5)

pour Ie carr� de la vitesse acquise, laquelle est eviquot; demment moindre que dans Ie vide.

En vertu de cette vitesse, Ie mobile montera l�arc BA' jusqu�en un point A,, moins �lev� que A gt;

si Ton d�veloppe les exponentielles suivant les puissances de et qu�on n�glig� Ie carr� de cettenbsp;ft�action tres petite, on aui�a

La valeur de a, que l�on tirera de cette �quation, dif��rera tr�s pen de et; je fais done et, = at � cT , etnbsp;je n�glig� Ie carr� de cT et Ie produitytCiT ; il vient

pour la grandeur de �, abstraction faite du signe, a fin de la premi�re oscillation.

Ce r�sultat ne suppose pas les oscillations tr�s pe-Ptes; inais si elles sont assez petites pour qu�on puisse u�gligerla quatri�me puissance de et dans cette va-^cur de at,, elle se r�duira a

Parvenu au point A, , Ie mobile redescendra, et il ^Ontinuera ainsi a osciller de part et d�autre dunbsp;point B, jusqu�a ce que les amplitudes de ses oscilla-Pons soient devenues sensiblement nulles. Si l�onnbsp;^ppelle oto 1�ampHtude de Ia seconde demi-oscillationnbsp;^scendante , il est �vident qu�elle se d�duira de a,,nbsp;comme on a d�duit de �; en sorte que l�on aura

Et de ra�me , si a^, a^, etc., sont les amplitudes successives des autres demi-oscillations ascendautes,nbsp;on aura

�--^ ' nbsp;nbsp;nbsp;*4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�3-- ce qui montre qu�elles ne de'croitront plus en progression g�om�trique, comme dans le cas de la resistance proportionnelle a la vitesse.

189. Pour determiner le temps qui repond a un angle 6, il faudra int�grer la valeur de dt tir�e denbsp;I�equation (5); ce qui sera toujours possible par lanbsp;methode des quadratures, quand les valeurs nume-riques de a, ,a, 0, seront donnees. Mais dans le casnbsp;des petites oscillations, on peut obtenir, en serie convergente , la valeur de 0 en fonction de ^, et r�cipro-quement.

Je supposerai toujours la vitesse initiale du mobile �gale a z�ro ; la valeur de 0 a un instant quelconque,nbsp;sera une fonction de t et a qui devra se r�duire a z�ronbsp;dans le cas de a = o; je la repr�senterai done paiquot;

�3) etc., �tant des coefficiens ind�pendaos de a. En substituant cette s�rie dans lequation (4) gt;nbsp;de'veloppant les deux membres suivant les puissancesnbsp;de a, et �galant ensuite les coefficiens des m�mesnbsp;puissances, on formera une s�rie d��quations dilfoquot;nbsp;rentielles du second ordre, qui serviront a d�terniiquot;

3it 0 = a et ^ = o, quand i = o et quel que soit a, faudra que les valeurs initiales de 0^, 03, etc.,nbsp;^, etc. f soient toutes nulles, et que celles de

�i et ~ soient l�unit� et z�ro ; et c�est d�apr�s ces conditions qu�on d�terminera les constantes arbitraires ^ui seront contenues dans les int�grales completes denbsp;cette suite d��quations. De cette mani�re, on calcu-lera autant de termes que l�on voudra de la s�rienbsp;pr�c�dente. Nous bornerons l�approximation au carr�nbsp;de a, et nous n�gligerons Ie cube et les puissancesnbsp;Sup�rieures de cette quantit�.

dH nbsp;nbsp;nbsp;dH,

de nbsp;nbsp;nbsp;de '

d�

en substituant ces valeurs dans l��quation (4), et �galant les coefFiciens de a et de a* dans ses deuxnbsp;�Tfiembres, il vient

~di:

En int�grant la premi�re de ces deux equations, et determinant les deux constantes arbitraires , de sorie

G, = cos i \J^-

�=� 0 - nbsp;nbsp;nbsp;v/f)'

9,= -^cosi^f J;4 ^/4COs 2^y/f,

�=(��T)'=�V! T 7i�'=*

et ces formules feront connaitre la position et la vi' tesse du mobile a un Instant quelconque.

par 2sin^ cos ^ y/f gt; 1��quation v = 0, qui a li�u a la fin de chaque oscillation, prendra la forme

L�angle a �tant tr�s petit, Ie premier facteur ne peut �tre nul j Ie second est z�ro toutes les fois que

tervalle de temps qui s��coule entre deux vitesses Bulles et cons�cutives, ou la dur�e T d�une oscilla-lion enti�re, est

eu sorte que la resistance de l�air, proportlonnelle au ^rr� de la vitesse, n�influe aucunement sur cettenbsp;^ur�e.

Cependant, elle augmente Ie temps que Ie mobile ^aiplole a atteindre Ie point B. En effet, en Ie d�si-�^ant par t', et faisant � = o, on a

(.-a;)c�s,V! f =?cos.*'v/! = lt;gt;-

plus petite valeur de y/^^ qui satisfasse a cette ^�luation diff�re tres pen de ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; soit done

La resistance de l�air augmente done la dur�e de ia premi�re demi-oscillation descendante, dans Ie rapport de I -f- ^ a l�unit�; et puisqu�elle n�influe pas

sur la dur�e de l�oscillation enti�re, il faut qu�elle di-miiiue, dans Ie menie rapport, la dur�e de la demi-oscillation ascendante.

En substituant cette valeur de t' dans celle de v, et n�gligeant Ie cube de a, il vient

= (i �

d�ou l�on conclut que la vitesse acquise au point Ie plus bas est diminu�e par la r�sistance de l�air, dans

Si l�on d�signe par � a, la valeur de 0 qui a lieu a la fin de la premi�re oscillation enti�re, et qui i^�-

Ces difierens r�sultats sont ind�pendans de la gran--deur du coefficient ^ de la r�sistance, et supposeo* seulement l�angle et tr�s petit; ils conviennent �gale-ment au mouvement du pendule dans un fluide aeriquot;nbsp;forme et dans un liquide, pourvu que Ie coefficient

^ soit determine pour chaque milieu en particulier. Dans Ie cas de a. tr�s petit, il est inutile d�exa-^litier l�hjpoth�se d�une resistance proportionnelle cube OU a une puissance sup�rieure de la vitesse jnbsp;il n�en pourrait r�sulter, dans les valeurs de 6nbsp;f, que des termes d�pendans des puissances de anbsp;sup�rieures au carr�, que l�on a regard�s comme n�-gligeables dans les calculs pr�c�dens. En rapprocliantnbsp;^^e qu�on vient de trouver de ce qui a �t� dit dans Ienbsp;187, on en conclnt done que la r�sistance de l�airnbsp;*1 niflue pas sur la dur�e des tr�s petites oscillationsnbsp;�u pendule, pour lesquelles on n�glig� la correctionnbsp;relative a la grandeur de l�amplitude (n� i84}- Quandnbsp;On tient compte de cette correction, la r�sistance anbsp;One petite influence, a cause qu�elle fait varier lesnbsp;otnplitudes pendant la dur�e du mouvement.

�gi. Il ne suit pas de la que la dur�e des oscilla-bons d�un corps pesant, quelque petite qu�on la suppose , soit la m�me dans l�air que dans Ie vide; car oo fluide, par la pression qu�il exerce sur Ie mobile,nbsp;augtnente cette dur�e en diminuant la pesanteur.nbsp;^abord, on sait par l�exp�rience, et nous d�mon-b'erons dans VHjdrostatique, qu�un corps en repos,nbsp;piong� dans un fluide, y perd une partie de sonnbsp;Poids, �gale au poids du fluide dont il occupe lanbsp;P|ace. Ainsi, P �tant Ie poids de ce corps dans Ienbsp;^'de, P' son poids dans l�air, O Ie poids d�un volumenbsp;quot;^sir �gal a celui du corps, on a

F P _ n.

Or, si Ton d�signe par T et T' les dur�es des petites oscillations dun ni�me pendule qui-re'pondent auxnbsp;deux forces acc�l�ratrices g et g', on aura

T=vi-

Soit aussi a' la longueur du pendule soumis a Ia gra^ vit� g', qui fait ses oscillations dans Ie m�me tempsnbsp;que Ie pendule soumis a Ia gravit� g et dont la longueur est a; il faudra qu�on aitnbsp;dou Fon tire

Done, par la seule consid�ration de la perte de poids a F�tat de repos, la dur�e des oscillations dans Fairnbsp;se trouve augment�e dans Ie rapport de Funit� anbsp;I � p pour un meme pendule, et la longueur dnnbsp;pendule simple se trouve diminu�e dans Ie rappor*nbsp;de T � pa Funit� pour une m�me dur�e.

De plus, M. Bessel a fait voir, par l�exp�rience, lt;lue la perte de poids qu�un m�me corps �prouvenbsp;dans Tair n�est pas la m�me, quand il est en repos etnbsp;iorsqu�il a un mouvement oscillatoire. Elle augraentenbsp;dans Ie second cas; et il en r�sulle qu�il faut, dansnbsp;les formules pr�c�dentes, multiplier p par un facteur � plus grand que 1�unit�, et dependant de lanbsp;forme du mobile. Je suis parvenu a ce m�me r�sul-tat dans un M�moire sur les Mouvemens simultan�snbsp;d�un pendule et de Vair environnant (¹) j et, d�apr�snbsp;Oion analyse, on a f^=^\ quand Ie pendule consiste,nbsp;comme celui de Borda, en une sphere suspendue anbsp;1�extr�mit� d�un fil tres mince, dont la longueur estnbsp;tr�s considerable par rapport au diam�tre de cettenbsp;Sphere; en sorte qu�alors il faut augmenter de moiti�nbsp;la correction relative a la densit� de l�air, que l�onnbsp;taisait subir, avant i�observation de M. Bessel, a lanbsp;dur�e des petites oscillations et a la longueur dunbsp;pendule simple. Dans tous les cas, Ie coefficient f estnbsp;^Oujours ind�pendant de la densit� du pendule, ainsinbsp;de la densit� et de la nature du fluide dans le-^uel il oscille, de mani�re qu�on peut toujours Ienbsp;determiner par Texp�rience, en comparant les du-^ees des oscillations de deux pendules de m�me formenbsp;^t de densit�s diff�rentes, dans un m�me flu�de, ounbsp;�ien d�un m�me pendule dans deux flu�des diff�rens,nbsp;f^ls que l�air et l�eau, par exemple.

192. Maintenant, soit n Ie nombre des oscillations Infiniment petites qu�un pendule quelconque

ferait dans Ie vide pendant un temps donn� t. Pour d�duire ce nombre, pai� la regie du n� i84gt; de celuinbsp;des oscillations tres petites qui est dc-nn� par Tob-servation , et afin d�avoir �gard a la variation desnbsp;amplitudes pendant ce temps t , on a coutume denbsp;prendre pour Tangle a la moyenne des amplitudesnbsp;extremes qui sont aussi donnees par Tobservation-Cela etant, la duree T d�une oscillation infinimeotnbsp;petite de ce pendule sera

et Terreur que Ton pourra commettre sur la mesure du temps r aura d�autant moins d�influence sur cettenbsp;valeur de T , que le nombre n sera plus consid�quot;nbsp;rable. D�apres la forme et les dimensions du coi�psnbsp;oscillaut, on d�terminera, par la formule qui ser3nbsp;donnee dans un autre chapitre, la longueur du pen'nbsp;dule simple, dont le mouvement est le m�me quenbsp;celui de ce corps; on reduira cette longueur, comnienbsp;on vient de Texpliquer tout a Theure, a ce qu�ellenbsp;serait dans le vide ; et si on la designe par a apresnbsp;cette reduction, et qu�on represente par g la graquot;nbsp;vite dans le vide, on aura

{a)

C�est au moyen de cette formule que Ton deter-mine avec nne extreme precision , en chaque beu

la terre, la mesure de la pesanteur, ou la vitesse g *1^6 les corps pesans acqui�rent en tombant vertica-lernent dans Ie vide, pendant une unite de temps,nbsp;^apr�s l�exp�rience faite par Borda, a l�Observatoirenbsp;Paris, avec un pendule d�environ 2 metres denbsp;longueur, on a

M. Bessel ajant fait osciller successivement des '^orps de toutes sortes de mati�res, tels que des m�-de l�ivoire, du marbre, des pierres m�t�ori-��Res, etc., a constarnment trouv� des valeurs de gnbsp;��osiblement egales; les plus grandes differences,nbsp;part et d�autre de la valeur moyenne, s��levantnbsp;^ Peine a un cent-milli�me de cette valeur, et pou-^^tit �tre attribu�es aux erreurs inevitables de l�ob-^^i�vation. II ne peut done rester aucun doute surnbsp;parfaite �galit� de l�attraction exerc�e par la tei�renbsp;tous les corps, quelle qu�en soit la nature, quinbsp;�^iit situ�s en un m�me lieu de sa surface; car cettenbsp;^S^lit� r�sulte de celle des valeurs de la pesanteurnbsp;^ gt; puisque cette force est l�exc�s de l�attraction ler-lestre sur la composante verticale de ia force cen-^dfuge, commune a tous ces corps.

*9^- En consid�rant la surface de la terre comme � Pvolongement du niveau des mei�S en �quilibre,

on d�montre, dans la M�canique celeste, que la va' riation, a cette surface, de la longueur du pendulenbsp;simple qui fait chaque oscillation dans une unitenbsp;de temps, est proportionnelle au cosinus du doubl�nbsp;de la latitude; en sorte qu�en d�signant par A cettenbsp;longueur en un lieu dont la latitude est , on doitnbsp;avoir

/ et amp;) �tant des constantes determine'es par l�obser' vation. On d�montre aussi que Ie coet�icient oa estnbsp;li� a l�aplatissement du sph�ro�de terrestre par l��-quation

20) cf = |r,

dans laquelle on appelle S' eet aplatissement, de sorte que Ie rayon de l��quateur et celui du polenbsp;soient entre eux comme i-f-cf et l�unit�, et o� ToOnbsp;d�signe par r Ie rapport de la force centrifuge a 1^nbsp;pesanteur, qui a lieu a l��quateur, et dont la valeotnbsp;est (n� 177 )

La formule [IS) est, en effet, confirmee par Xe%' p�rience quand on fait abstraction des circonstanceSnbsp;locales qui peuvent influer, comme on Ie verranbsp;la suite , sur l�attraction de la terre et sur la longueiR�nbsp;du pendule. li�enserable des observations faites a dii^nbsp;f�rentes latitudes donne

diff�re peu de celle qui repond a la latitude de I*aris; et, d�apr�s celle-ci, on a

Si l�on fait n = i et t = 1 dans la formule (a); 'l�e l�on y mette successiYement Z et A a la place denbsp;et qu�on d�signe par p et les valeurs correspon-'lantes de g, on aura

p = quot;ttH , 'Ti = 7r�A;

p = 9�,80557 ,

voit que la diminution de la pesanteur , en allant pole a lequateur, sera proportionnelle au carr�nbsp;cosinus de la latitude, conform�menl a 1 enonc�nbsp;'i� n� 178.

En transportant un m�me pendule en diff�rens Eeux de la terx�e, on voit, par l��quation (a), que lesnbsp;Oombres n de ses oscillations, dans un m�me temps r,nbsp;^arieront proportionnellement a la racine carr�e denbsp;gravit�. Ainsi, par exemple, une horloge r�gl�e,

a Paris, sur Ie mouvement diurne de la terre, et transport�e ensuite a i�equateur, retardera sur cOnbsp;mouvement. En appelant n et 7i' les nombres des oS'nbsp;cillations de son pendule en un jour sid�ral dansnbsp;ces deux lieux de la terre, on aura

7z= 86164, nbsp;nbsp;nbsp;n'=.n\J~^

en sorte que Ie retard sera d�environ 127 secondes en 24 heures. C�est l�observation de ce retai�d qui a mi�nbsp;en evidence, pour la premi�re fois, la variation denbsp;la pesanteur a la surface de la terre.

194. Soit ABC (fig. 46) la trajectoire d�un poiid mat�rie! pesant, dont Ie plan est vertical. Supposonsnbsp;que ce mobile parte da point quelconque D, sansnbsp;vitesse initiale, et qu�il soit en M au bout du temps t)nbsp;des points D et M abaissous des perpendiculairesnbsp;et MP sur la verticale passant par Ic point B, qR*nbsp;est Ie plus bas de la courbe; en faisant EP = z,nbsp;d�signant par v la vitesse acquise au point M, et p^*'nbsp;g- la gravlt�, nous am-ons (n� iSp)

si Pon suppose que la pesanteur soit la seule force qtR agisse sur Ie mobile. Soit aussi s l�arc BM; comnie i^nbsp;d�croit quand Ie temps augmente, on aura

en d�signant par a Ie diani�tre BF de son eerde g�-R�rateur, On aura done

n�ajoute pas de constante arbitraire, afin qu�on ait o a Torigine du mouvement, ou quand x= h.nbsp;Si 1�on appelle t' Ie temps que Ie mobile emploie anbsp;^tteindre Ie point B qui r�pond a x = o, on aura

Ce temps est, comme on voit, ind�pendant de h hauteur h du point de depart D du mobile, au-des-sus du point Ie plus bas Bj en sorte que cette pro-pri�t�, qui a lieu par approximation dans loutes lesnbsp;courbes pour une hauteur h tr�s petite, est rigou-reusement vraie dans la cyclo�de, quelle que soitnbsp;cette hauteur, toujours moindre que a ou BF. II eonbsp;resulte que tous les mobiles, partis en m�me tempsnbsp;de differens points de la cyclo�de, arriveront en m�menbsp;temps a son point le plus bas.

ti�re de part et d�autre du point B; or, on voit que ce temps est celui des oscillations tres petites du pendule dont la longueur aa est le rayon de courburenbsp;de la cyclo�de en ce point (11� 72); ce qui s�accoi�denbsp;avec le resullat du n� i83, relatif a la duree des pe-tites oscillations sur une courbe quelconque, laquellenbsp;duree est la m�me, dans le cas de la cyclo�de, quenbsp;celles des oscillations d�une amplitude quelconque.

igS, Le temps que le mobile emploie a parcourif Fare DB de la cyclo�de est encore ind�pendant de 1^nbsp;longueur de cet arc, quand le mouvement a lieu danSnbsp;un milieu resistant, et que la resistance est suppose^nbsp;propOrtionnelle a la premiere puissance de la Vitesse.

En efl�et, represenlons cette force par ^ , comnRi dans le n� 186; la composante de la pesanteur sniquot;

�vec la verticale MN; la force qui agit au point M, �t qui tend a diminuer Fare BM ou sera done la

^ k dF

Je suppose qua l�origine du mouvement, ou ^uand t==o, la vitesse v soit nulle, et quon aitnbsp;'^ = a; en determinant les deux constantes arbi-ti'aires d�apr�s ces conditions, et faisaut , pour

� = a(co5(5-\/� 43-��3'V/�)�'

^^luation d�ou 1�on tirera une valeur de t indepen-dante de a; ce qu�il s�agissait de trouver.

Si la resistance est tres petite, ou la vitesse k tres grande , on aura y=ii,a tr�s peu pr�sj etTequa'nbsp;tion pr�c�denfe donnera

ig6. Prolongeons la droite BF jusqu�en O, d�une quantit� �gale a BF j ce point 0 sera Ie centre de lanbsp;cyclo�de au point B ; et si l�on trace les deux demi'nbsp;cyclo�des O A et OC, tangentes aux droites OB et AC,nbsp;et ayant OF pour diam�tre de leur eerde g�n�rateuigt;nbsp;OA sera la d�veloppante de AB, et OC celle de BCnbsp;(n� 72); par cons�quent, un fd d�une longueurnbsp;constante OB ou 2a , attach� au point 0, et qui s�en-veloppera successivement sur les deux courbes OAnbsp;et �C, tracera par son autre extr�mit� la cyclo�denbsp;ABC.

Cela fournit un moyen de construire un pendule cyclo�dal. Pour cela, supposons que les courbes OAnbsp;et OC solent trac�es en relief, et que OB soit uunbsp;fil inextensible et parfaitement flexible, attach� aUnbsp;point fixe 0; attachons aussi un corps pesant a soUnbsp;autre extr�mit� B, puis �cartons ce fil de la posi'nbsp;tion verticale, de sorte qu�il s�enveloppe, en tout ounbsp;en partie, sur Tune des courbes OA et OC , et que sanbsp;partie non envelopp�e soit une droite tangenle anbsp;cette courbe : en abandonnant ensulte Ie mobilenbsp;a lui-m�me, 1�extr�mil� inf�rieure du fil d�crira Ianbsp;courbe ABC; et, d�apr�s Ie n� 194� la dur�e des

Oscillations de ce pendule, dans Ie vide , sera rigou-*�eusement, et constamment ind�pendante de leur amplitude. Mais ce mojen ne serait susceptible d�auc�ne precision dans la pratique; et, d�ailleurs, Tisochro-Risme des grandes oscillations n�aurait plus lieu dansnbsp;lair, la resistance de ce fluide n��tant point alorsnbsp;Proportionnelle a la simple vitesse.

197. On appelle tautochrone toute courbe sur l^quelle un point mat�rie! pesant parvient toujoursnbsp;*lans un m�me temps au point Ie plus bas, quel quenbsp;solt Ie point de cette courbe d�o� il est parti. Ainsi,nbsp;dans Ie vide, la cyclo�de est une courbe tautochrone ;nbsp;et, de plus, on va voir qu�elle est alors la seulenbsp;Courbe de cette esp�ce.

Si Ton appelle t' Ie temps que Ie mobile emploie � aller , sans vitesse initiale, du point D au point Ienbsp;plus bas B, sur une courbe quelconque ADB , lanbsp;Valeur de t'\/2g sera donn�e par l�int�grale de lanbsp;Idrmule(i), prise depuis x=:^jusqu�a x=o, ou ,nbsp;qui est la m�me chose, depuis a?=o jusqu�a 3c=h,nbsp;changeant Ie signe de cette formule; on aura

pour trouver la courbe tautochrone, il s�agit de determiner s en fonctlon de x, de mani�re que cettenbsp;Valeur de t' \/2g soit ind�pendante de h.

Or, je suppose cette fonction inconnue d�velop-p�e suivant les puissances ascendantes de x , de sorte *�u�on ait

A, B, C, etc., S,y, etc., e'tant des coefificiens et des exposans ind�termin�s. Comme l�abscisse x et l�arc snbsp;ont leur origine au m�me point B, on devra avoirnbsp;en m�me temps x � o et^=o; il faut done quenbsp;tousles exposans a, �, y, etc., soient positifs , etnbsp;qu�aucun deux ne soit z�ro. On voit aussi, a priori,nbsp;que Ie plus petit d�entre eux devra �tre moindre quenbsp;l�unit�; car Ie point B �tant, par hjpoth�se, Ie plusnbsp;bas de la courbe demand�e, la tangente y est horizontale OU perpendiculaire a l�axe des x; ce qui exige

En prenant la diff�rentielle de cette s�rie, et la substituant a la place de ds dans la formule pr�c�-dente , il vient

.V�f=A._/� ^ ^Jo nbsp;nbsp;nbsp;71^

Je fais x~hx' et dx � hdx'; les limites des int�-grales relatives a cette nouvelle variable x' seront z�ro et l�unit�; on aura, par exemple.

est important d�observer qu�aucune de ces int�-^��ales A', B', C', etc., ne peut �tre nulle; car les valeurs des difF�rentielles dont elles sont les sommes (n� i3)nbsp;^e changent pas de signe entre les limites des int�-gi�ations : ces valeurs sont toutes positives, et parnbsp;cons�quent aussi celles des int�grales.

Maintenant, il est �vident que la valeur de i ne peut �tre ind�pendante de h, a moins que tous lesnbsp;kermes de la s�rie pr�c�dente ne soient nuls, except�nbsp;Celui dans lequel l�exposant de h est z�ro, ou qui

c�pond a un des exposans a. , amp; ,y, etc., �gal a Supposons que ce terme soit Ie premier, ou qu�onnbsp;�it a =-. Pour que Ie second terme disparaisse, il

faudra que Ie produit �BB' soit nul; ce qui exige �Ine B soit z�ro, puisque � et B' ne Ie sont pas. Onnbsp;Yerra de m�me que les autres coefficiens C, D , etc.,nbsp;�ont aussi �gaux a z�ro; de sorte que 1��quation denbsp;tautochrone se r�duit a celle-ci :

�lui appartient a une cyclo�de, dont la base est horizontale et dont Ie soramet est au point B que Ie *Oobile atteint toujours dans Ie menie temps.

En d�signant par a Ie diam�tre du eerde g�n�ra-Ic�r, on aura A'� = 4^, et par cons�quent

comme dans Ie n� ig4-

ig8. C�est encore la cyclo�de que l�on trouve quand on cherche la brachjstochrone dans Ie vide, c�est-a-dire, la courbe AMB (fig. 4.7) qu�un point materielnbsp;pesant doit suivre pour aller dans Ie temps Ie plusnbsp;court, sans vitesse initiale, du point donn� A aunbsp;point B aussi donn�.

Pour determiner cette courbe, soient x, j., z, les trois coordonn�es rectangulaires du point M ou senbsp;trouve Ie mobile au bout du temps t; soit aussi ^nbsp;l�arc AM qu�il a parcouru. En supposant que l�axe deSnbsp;X soit vertical et dirig� dans Ie sens de la pesanteur�nbsp;et d�signant par ot la valeur de x au point A, la vi'

tesse ^, acquise en M, sera la vitesse due a la hauteur X � et-, en repr�sentant la gravit� par g, oU aura done

Ainsi, il s�aglra de determiner la courbe pour la-quot;^uelle cette integrale est un minimum; mais, pour plus de ge'n�ralit�, je considererai l�int�grale

dans laquelle X est une function donn�e de ce qul Rous servira, par la suite, a r�soudre un autre pro-lgt;l�me du m�me genre : dans celui dont il s�agit

199. De'signons par i une quantlt� constante et in-dniment petite, et par S'j et cfz deux fonctions arbi-traires de x, assujetties seulement a la condition d�etre nulles pour x = a et pour a; = et de nenbsp;pas devenir infinies pour les valeurs interm�diairesnbsp;de X. Solent U' et u' ce que deviennent U et m lors-^u�on y met 9^ icT/ et z H- iS'z a la place de et z,nbsp;de sorte qu�on ait

points A et B, et s��cartant in liniment peu decelle-cl. ]V^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

et, d�apr�s la propri�t� de la courbe AMB, il faudra que cette difference U' � U soit positive, quelles quenbsp;soient les valeurs de (fy et J'z, et quelque signe qu�otxnbsp;donne a i. Or, en d�veloppant la difference u' � unbsp;suivant les puissances de i, et d�signant par i�'u Ienbsp;premier terme de son d�veloppement, Ie premier

terme de celui de U' � U sera iJ'^lLS'udx; d�ou Ton conclut qu�on devra avoirnbsp;' Q

XcTm^/jc = o, (a) sans quoi la difference U' � U changerait de signe ennbsp;m�me temps que i.

Cette condition est commune au minimum et au maximum de IJ. Quand elle sera remplie, la difference U' � U sei�a, en general, infiniment petite dunbsp;second ordre; elle aura Ie m�me signe que Ie coefficient de dans son d�veloppement; par cons�quent,nbsp;il y aura maximum ou minimum, selon que ce coefficient sera n�gatif ou positif. Mais, comme il est �vident que Ie temps t' n�est pas susceptible d�un maxi'nbsp;mum, ce coefficient sera certainement positif dansnbsp;Ie probl�me de la hrachjstochrone, et il suffira denbsp;satisfaire a la condition exprim�e par l��quation (a)-

La quantit� icTw n�est autre chose que la diff�ren-tlelle de u, prise par rapport a y et z, et dans la-quelle leurs accroissemens so�t repr�sent�s par i^f et ^cTz. En supprlmant Ie facteur i, commun a iJ'i�'nbsp;et a sa valeur, on aura done

DYNAMIQUE, PREMIERE PARTTE. nbsp;nbsp;nbsp;379

sorte que l��quation (a) deviendra

� �� *7� ;� LiJL '�T^ � ~ nbsp;nbsp;nbsp;; titXgt; �� 'J*

J X u clx dx nbsp;nbsp;nbsp;J a u dx ax

Mais en infe'grant par partie, et observant que les ^uantit�s Jy et J'z sont nulles, par hypothese, auxnbsp;limites x=:aetx = �, on a

�amp;

cTj et cTz �tant des fonctions arbitraires de x, cette integrale ne peut �tre nulle, a moins que lanbsp;S^antit� comprise sous Ie signe /* ne Ie soit elle-^l�rne j par consciquent, on aura

200. Si la courbe demand�e AMB et la courbe ^Uelconque AM'B doivent �tre trac�es sur une surface donn�e dont l��quation soit L = o, il faudra quenbsp;les valeurs de^ et z en fonctions de a?, qu�il sagit denbsp;determiner, et ces valeurs augment�es de iSy et /cTz,nbsp;satisfassent successivement a cette equation; d�ou l�on

au moyen de quoi Ton �liminera, de Tequation [b), Tune des deux quantiles iS'j et S'z: I�autre s�en ira eonbsp;m�nie temps, et Ton aura

Cette derni�re equation et L = o seront, dans ce cas, les deux equations de la courbe demand�e, etnbsp;pourront servir, par exemple, a determiner la courbenbsp;de la plus vite descente sur une surface donnee.

Si, au contraire, le minimum de U doit avoir lieu entre toutes les courbes qui aboutissent aux points Anbsp;et B, et ne sont assujetties a se trouver sur aucunenbsp;surface particuliere, les quantiles jy et serontnbsp;arbitraires et independantes entre elles. 11 faudranbsp;done que leurs coefficiens soient s�par�ment nulsnbsp;dans I�equation (b), qui se decomposera ainsi eOnbsp;deux autres, savoir :

e�est ce cas que nous nous bornerons a conside'rer-En integrant et d�signant par a et a! les deu^ constantes arbitraires, nous aurons

qui montre que la courbe demand�e sera plane comprise dans un plan perpendiculaire a celui desnbsp;T et Pour simplifier, je prends Ie plan de cettenbsp;^ourbe pour celui des x et j; on aura alors

et l�on aura seulemeut a consid�rer Ia premi�re equation (c), qui deviendra

ne restera done plus qua int�grer cette formule, '^e qui d�pendra de la forme de la fonction X, et en-^'lite a determiner a et la nouvelle constante arbi-^�'aire, introduite par cette integration, d�apr�s lanbsp;'^^ndiiion que la courbe demand�e pass� par les deuxnbsp;points donn�s A et B.

20i. Avant d�aller plus loin, soit c une constante ^Uelconque, et supposons qu�on mette X-f-c a lanbsp;place de X dans les formules pr�c�dentes. L�int�-

^ ~ ~VW W^^' nbsp;nbsp;nbsp;^

Or, cette somme d�int�grales que U repre'sente �tant un minimum, en consid�rant toutes les courbes quinbsp;aboutissent aux points A et B, il est �vident quenbsp;premi�re integrale

sera un minimum, en consid�rant seulement, parn�i toutes ces courbes, celles qui r�pondent a une m�m^nbsp;valeur de la seconde integrale.

Cette remarque fort simple permet d��tendre intquot; m�diatement aux probl�mes de maximum ou de ird'nbsp;nimum relatif, les solutions des probl�mes de maxi'nbsp;mum OU de minimum absoluj nous en verronsnbsp;application par la suite.

Comme ici la seconde integrale contenue dans � est la longueur de la courbe cherch�e, il s�ensuit qu�nbsp;l��quation (e) servira a d�terminer, entre toutes Ie*nbsp;courbes d��gale longueur, ou isop�rim�tres, celJe qu'nbsp;r�pond au minimum ou au maximum de la premi�renbsp;integrale. En appelant l la longueur donn�e et con^^nbsp;mune a toutes les courbes, on aura

�Condition a laquelle on satisfera au moyen de la constante ind�termin�e c, qu�on a introduite dans la for-wiule (e).

202. Appliquons actuellement la formule {d') a la ^ourbe de la plus vite descente.

Oil aura aloi�S

�iiff�rentielle est celle d^une cyclo�de (n� 72 ) dont la ^ase est horizontale et pa.sse par Ie point de depart Anbsp;mobile, et dont ie eerde g�n�rateur a a pour dia-Ri�tre j ce qu�il s�agissait de trouver.

y nbsp;nbsp;nbsp;. arc^cos=^~^^~*^�^�\/ a{x�a) � (x��)%�

�tant la constante arbitraire qui repr�sente la va-lenr de j correspondante a x = ct. Si l�on de'signe C' celle qui r�pond a X=C, on aura

coordonn�es a et a', � et C', des points A et B, ^ORt donn�es; cette derni�re equation d�terminera lanbsp;^Restante a; et la valeur pr�c�dente de J ne renfer-^era plus rien d�inconnu.

pour Ie temps Ie plus court que Ie mobile puisse employer a passer du point A au point B.

Si ces deux points sont situ�s dans une m�me ver' ticaie, on aura �' = a'; condition a laquelle on sa'nbsp;tisfera en prenant a = oo ; car on a

et, dans Ie cas de �!= co , eet are peut �tre remplace par son sinus, ce qui r�duit a z�ro la valeur pr�c�'nbsp;dente de � o.'. En m�me temps, la valeur de �nbsp;r�duit a �t'; en sorte que Ie mobile ne s��carteranbsp;de la direction verticale. La valeur de t' deviendi�anbsp;aussi

ce qui est effectivement Ie temps qu�il doit employer a parcourir ia hauteur � � a, du point A au-dessu^nbsp;du point B.

cente �tant un probl�me de pure curiosite, je me sujs born� a en consid�rer Ie cas Ie plus simple, ce-^�ii o� Ie mouvement a lieu dans Ie vide, et o� lesnbsp;points extr�mes sont donn�s. Si ces points A et B nenbsp;�ont pas fixes et donn�s, mais qu�ils soient seulementnbsp;�ssujettis a se trouver sur des courbes donn�es DAEnbsp;et FBG, OU sur des surfaces aussi donn�es, la bra-ebystochrone, dans Ie vide, sera encore une cyclo�de,nbsp;et, d�apr�s les r�gies du calcul des variations, onnbsp;Pourra d�terminer, dans tous les cas, les coordon-o�es de ces deux points. Dans uh milieu resistant,nbsp;eette ligne sera une autre courbe, dont on obtient,nbsp;par les regies de ce calcul, F�quation difierentielle,nbsp;d-Cpendante de la loi de la resistance par rapport a lanbsp;Vitesse du mobile. Pour tout ce qui concerne Ie cal-V�l des variations, je renverrai au M�moire sur cenbsp;^�^jot, que j�ai ins�r� dans Ie XII� volume de l�Aca-d�mie des Sciences.

ao3. Pour donner un exemple du mouvement ^�un point materiel sur une surface donn�e, je re-Pi'ends Ie pendule simple du n� 179; mais je suppose qu�apr�s l�avoir �cart� de la verticale CB (fig. 45),nbsp;^t l�avoir transport� en CA, on lui imprime uiie vi-^�sse qui ne soit pas dirig�e dans Ie plan verticalnbsp;�^CB. Le pendule sortii�a alors de ce plan, et Ie pointnbsp;Riat�riel qui le termine se mouvra sur Ia surfacenbsp;One sphere d�crite du point C comme centre, avecnbsp;Rn rayon �gal a la longueur a de ce pendule. Lanbsp;i �,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.5

percussion qui sera exerc�e sur ce mobile, a Torigine du mouvement, se d�composera en deux forces,nbsp;1'une dirig�e suivant AC ou suivant sou prolonge-ment, qui sera d�truite par ia resistance du pointnbsp;axc C, l�autre perpendiculaire a AC, qui produiranbsp;1 vltesse initiale du pendule, que je i�epre'senterainbsp;ar k. Je supposerai que Ie mouvement a lieu dansnbsp;o vide; en sorte que la gravlt� solt la seule force ac-�lcratrice donn�e qui agisse sur Ie mobile.

Cela pose, au bout du temps t, soit CM la position du pendule; et d�signons par x, j, z, les coor-d�nn�es rectangulaircs du point M. Solent aussi la masse du mobile, et zuN Ia tension inconnue dunbsp;dl CM, dirig�e suivant son prolongement. En pz�C-iiant Ie point C pour l�origine des coordonn�es x,nbsp;', z, les composantes de la force acc�l�rati�ice N suivant leurs prolongemens seront

gt;, si Ton applique au mobile une force �gale et :ontraire a N, oa pourra ensuite Ie consid�rer comm�nbsp;anti�rement libre, et faire abstraction du fil CM;nbsp;lonc en supposant l�axe des z positives, vertical et di'nbsp;ig� dans Ie sens de la pesanteur, les trois �quationsnbsp;du mouvement seront

aura les trois e'quations qui devront servir a determiner Xfj-, z, en fonctions de t.

204. J�ajoute les equations (r), apr�s les avoir Riultipli�es par x, j-, z; il vient

�lt;n diff�rentiant l��quation de la sphere, une pre-Rii�re fois, on a

done on repr�sente par \gt; la vitesse du mobile au ^out du temps i, de sorte qu�on ait

dd ~ nbsp;nbsp;nbsp;'

J�ajoule aussi les equations (i), apr�s les avoir multipli�es par dx, dj, dz; Tinconnue N disparaitnbsp;en vertu de l��quation (2), et Ton a

La valeur initiale du premier membre est paf cons�quent, si Ton d�signe par y celle de z, onnbsp;aura

Enfin, je multiplie la seconde equation (i) par dc, et j�en retranche la premi�re, multipli�e par j;nbsp;qui donne

De cette mani�re, la solution du probl�me ne depend plus que des trois �quations difierentielles (3), (4), qui sont du premier ordre, et dont la pr�'

*�gt;i�re a d�ja poui' integrale l��quation de la sph�re. On peut s�parer les variables, et r�duire la questionnbsp;3�x quadratures par Ie calcul suivant.

^n �levant au carr� ses deux membres et ceux de ^equation (4), et ajoutant ensuite les equations r�-sultantes, il vient

Je mets a' � z' au lieu de x* -\-j', et j��limine dx* dj' au moyen de I��quation (5); il en r�-

D�signons par r Ie rayon vecteur de la projec-bon du mobile sur Ie plan horizontal des x et j*, par -gt;1, Tangle que fait ce x'ayon avec Taxe des x;nbsp;^^ns aurons

� cause de r'z=a' � z', T�quation (4) deviendra (�� - z'�)d~\gt; ~ cdt .,

Les int�grales de ces expressions de dt et d-^ fe-ront connaitre les expressions de f et -vp en fonclions de z; elles se r�duiront toujours aux fonctions ellipquot;nbsp;tiques, et ne pourront s�obtenir sous forme finie qucnbsp;quand la quantit� du troisi�me degr� par rappoi�tnbsp;a z, renfenn�e sous Ie radical, aura un facteur double-La valeur de et l��quatlon de la sphere d�termiquot;nbsp;neront la trajectoire du mobile; la valeur de t ennbsp;fonction de z, ou de z en fonction de t, fei�a ensuitenbsp;connaitre la position du mobile, a chaque instant�nbsp;sur cette courbe.

La constante b est connue d�apr�s les valeurs don' n�es de k et y. On d�terminera les constanles arbi'nbsp;traires qui seront introduites par les integrations de dtnbsp;et lt;^4 y d�apr�s les conditions ^ = oet4 = o� quandnbsp;z = ^, dont la seconde suppose qu�on place l�ax�nbsp;des oc dans Ie plan vertical ACE, d�o� part Ie pen'nbsp;dule. II ne restera done que la constante c a d�ter'nbsp;miner. Or, la vitesse v du mobile �tant perpendicu'nbsp;laire au rayon CM de la sphere sur laquelle il s�nbsp;meut, si on la decompose en deux, Tune perpendi'nbsp;culaire au plan vertical MCE, et l�autre compris�nbsp;dans ce plan, la premi�re composante sera la vitesS�nbsp;de la projection horizontale du mobile, perpendlcn'nbsp;laire a son rayon vecteur r; en la de'signant parnbsp;on aura done (n� i56)

'ionc, si l�on appelle � l�angie que la vitesse initiale k fait avec la perpendiculaiie au plan ACB, de sortenbsp;'lu�on ait m = A'cos� a Torigine du mouvement, ilnbsp;6n r�sullera

Ce qui coincide avec la valeur de dt du n� i85, en observant que a � z e� a � y sont ce qu�on a appel�nbsp;et aQ dans cette valeur.

206. Consid�rons sp�cialement Ie cas o� Ie pen-*iole a �t� tres peu �cart� de la verticale CB, et a *'ccu une tres petite vitesse initiale. Supposons cettenbsp;''^ifesse horizontale, et, par cons�quent, perpendiculaire au plan ACB, de sorte qu�on ait � = o. D�si-g�ons par C une fraction tr�s petite, et faisons

^oienl aussi a et � les angles ACB et MCB; en n�gli-gcanl leurs quatri�mes puissances, on aura

I/angle '\|, fera connaitre la position du plan vertical MCB, dans lequel Ie pendule se trouve a chaque instant; il pourra croitre ind�finiment. L'angle 6 d�-terminera, aussi a chaque instant, la position dunbsp;pendule dans ce plan variable; on Ie regarderanbsp;comme un� quantite' positive , et les positions dunbsp;pendule, �galeraent �loign�es des deux c�t�s de lanbsp;verticale CB, repondront a un m�me angle 6 et anbsp;des valeurs de 4 qui diff�reront entre elles de i8o�*

D�apr�s la valeur de ^, tir�e de la premi�re equation (a), on voit que Tangle 0 seratoujours compris entre a et �. Si Ton a ^ = a, on aura constammentnbsp;0 = a; en divisant les equations (a) Tune par Tautre,nbsp;on a, dans tous les cas,

''4 =

4 = * v/f;

par cons�quent, Ie pendule d�crira alors uniforme-' ment un c�ne droit a base circulaire, et Ie temp*

Ie m�me que celui d�une double oscillation dans Ie plan vertical ACB. Ainsi, deux pendules de m�menbsp;^ongueur a, qui partiralent ensemble de la m�menbsp;��roite CA, I�un sans vitesse initiale et l�autre avecnbsp;Rne vitesse perpendiculaire au plan ACB et �gale anbsp;� ga, revlendraient ensemble a cette droite CA.

2G* � a* � amp;�� (a* � Q^)oc, nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�amp;�^)da:;

qui montre que le pendule fera dans le plan va-*''ab!e MCB, des oscillations isochrones dont les ex-

394 nbsp;nbsp;nbsp;TRAIT� DE M�CANIQ�E.

tr�mit�s r�pondront a 9 = aet�z=C, et dont la du-

r�e sera ^ tt v/| , OU moiti� dune oscillation dans Ie plan fixe ACB.

Je substitue cette valeur de 6* dans l��quation (lgt;) ; en observant que

cos�i ^sin'� ^-et, a cause de 4 == o quand t = o, on en conclut a tang = � tang i \J

Cela �tant, Ie mouvement du plan MCB ne sera plus uniforme comme dans Ie cas de a = ^ � mais on vo�nbsp;que ce plan effectuera successivement les quatre quartsnbsp;de sa revolution enti�re, dans des temps e'gaux entre

eux et au temps - tt \J^, pendant lequel Ie pendule

fait une oscillation dans ce plan variable.

On tire de cette derni�re equation

v/i

a:* = cos*^^ jr� = a�� sin�^ , f quot;t]

Ce qui fait voir que la trajectoire de la projection du ftiobile sur Ie plan horizontal passant par Ie point C,nbsp;est une ellipse qui a son centre en ce point, et l�unnbsp;ses axes dans Ie plan ACB , d�o� part Ie pendulenbsp;^Vec une vitesse perpendiculaire a ce plan.

rW'iVV%W\ W'.lt;WWVgt;'VW\iV''\'VV^gt;W^'VVVW\iVV\/W\lt;Wgt;(Wgt;iWX'VWVVVVV\lt;V\'VW�'V\A'Wgt;W\i\iV%V\'XiV\gt;'VV''VV�'''''*

CHAPITRE VI.

208. Dans ce paragraphe, nous nous occuperons particuii�rement des projectiles de l�artillerie, quinbsp;sont lanc�s avec de grandes vitesses, et soumis a lanbsp;pesanteur et a la re'sistance de l�air.

Faisons d�abord abstraction de celte resistance , ef consid�rons un point materiel pesant qui part dunbsp;point 0 ( fig. 48 ), avec une vitesse a dirig�e suivanlnbsp;la droite OA. II est �vident que Ie mobile ne sortiranbsp;pas du plan vertical passant par cette droite. Soitnbsp;OMD sa trajectoire dans ce plan, laquelle sera tan-gente a OA. Dans ce m�me plan, menons deux axesnbsp;Ox et Ojr, Ie premier horizontal, et Ie second vei�quot;nbsp;tical et dirig� en sens contraire de la pesanteur. Pre'nbsp;nons ces axes pour ceux des coordonn�es; au boutnbsp;du temps quelconque t, soit M la position du mobile,nbsp;X son abscisse OP, et^ son ordonn�e PM. D�signonsnbsp;par g la gravit�. Enfin , appelons ctl�angle aigu AOXnbsp;que fait la vitesse initiale a avec 1�axe Oa?, de sortenbsp;que ses composantes soient a cos a suivant eet axe,

a sin a suivant l�axe Oj : Tangle ct serait n�gatif, la droite OA �tait situ�e au-dessous de Ox.

D�apr�s ce qu�on a vu dans Ie n� 148, les mouve-^ens des projections du mobile sur les deux axes Ox et seront ind�pendans Vun de Tautre; Ie mouvementnbsp;sa projection horizontale sera done uniforme et dunbsp;^ la vitesse a cos a, et celui de sa projection verli-^^le sera du a la vitesse initiale a sin ct et a la forcenbsp;Constante g agissant en sens contraire de cette vitesse;nbsp;p3r consequent, on aura

�t si Ton �limine �, el qu�on suppose la vitesse a due a ^te hauteur h, de sorte qu�on ait a = \/2gh, il ennbsp;*'�sultera

Cette courbe est done une parabole qui a son grand ^Xe vertical; son sommet, determine par T�quation

elle rencontre T'axe Ox en un second point B , tel 'l'i�en appelant b la distance OB, on a

Cette distance b est ce qu�on appelle 1 amplitude du Dans Ie vide, son maximum r�pond, comme on

En appelant v la vitesse du mobile au bout du teraps t, et substituant les diff�rentielles des valeurs pr�ce'-dentes de a? et^ dans I��quationnbsp;il en r�sulte

Le temps que Ie mobile emploie a arriver au point B en d�crivant la courbe OCB, est le m�me que s�ilnbsp;d�crivait la droite OB avec la vitesse a cos a; il estnbsp;done

ce qui donne v' �=. oT. La vitesse en ce point B est done la m�me qu�au point 0; elle est dirig�e suivantnbsp;la tangente BE, et l�angle de chute EBa? est aussi 1�nbsp;m�me que Tangle de projection M)x.

Si le mobile, au lieu d��tre un point materiel, est un corps solide, de forme et de dimensions quel^nbsp;conques, on verra par la suite que ces equations dunbsp;mouvement parabolique devront �tre rapport�es unbsp;son centre de gravit�.

209. La vitesse a �tant donne'e, si Ton demande quel doit �tre Tangle a pour que le mobile atteigne unnbsp;point determine, dont les coordonn�es serontnbsp;et j- = y, on mettra ces valeurs dans T�quation denbsp;la Irajectoire, et Ton aura

g�.

Cette double valeur de s ou de tang a. nous montre ^u�on peut atteindre un but donn�, en tirant sousnbsp;^eux directions difF�rentes, tant que surpassenbsp;que ces deux directions se re'duisent a unenbsp;*'0ule, lorsque ces deux quantit�s sont �gales j et qu�onnbsp;^0 peut atteindre Ie but, sous aucune direction,nbsp;^Oand est moindre que /\]iy

Ainsi, en tracant dans Ie plan vertical qui passe P^** la direction initiale du mobile, la parabola dontnbsp;^ Equation est

/^hy

*^�tte courbe divisera Ie plan en deux parties, telles Hoe tous les points de la partie exterieure seront ga-*^^utis de toute atteinte, que ceux de la pai tie int�-pourront �tre atteints de deux mani�res difF�-*'outes, et ceux de la ligne de separation, d�une ina-^^�re seulement.

serail done tr�s simple, si l�on pouvait n�gliger la resistance que l�air oppose a leur mouvement; maisnbsp;dans Ie cas des grandes vitesses dont nous nous occu-pons sp�cialement, cette force est beaucoup tropnbsp;considerable pour qu�on en puisse faire abstraction :nbsp;elle change enti�rement la forme de la trajectoire etnbsp;les lois du mouvement sur cette courbe, ainsi qu�oonbsp;va Ie voir.

Quelles que soient la forme et les dimensions da projectile, on fera voir, dans un autre chapitre, qa�nbsp;son centre de gravit� aura Ie m�me mouvement qu�uRnbsp;point materiel pesant, dont la masse serait celle dunbsp;mobile,qui aurait une vitesse initiale donn�e en graO'nbsp;deur et en direction, et auquel on appliquerait eunbsp;outre, parall�lement a elles-m�raes, les forces prOquot;nbsp;vena�t de la resistance et du frottement de l�air, quinbsp;s�exercent a la surface de ce corps solide. On verra aiisstnbsp;que la force motrice qui r�sultera de ces resistancesnbsp;transporle'es au centre de gravit�, pourra quelquefo*^nbsp;faire sortir ce point du plan vertical men� par la diquot;nbsp;rection de la vitesse initiale; mais ici nous supposequot;nbsp;rons que ce cas n�ait pas lieu, et que la force motric^nbsp;dont il s�agit soit constamment tangente a la trajeCquot;nbsp;toire du centre de gravit�.

Cela pos�, pour former les �quations de son mouquot; vement, conservons toutes les notations pr�c�dentes^nbsp;et supposons qu�elles se rapportent maintenant a la dquot;nbsp;gure 49) od la trajectoire OMD n�est plus une paraquot;nbsp;bole. Soit, en outre, ^ l�arc OM d�critparle inobd�

au bout du temps t, et R la force motrice provenaot de la r�sistance de Fair, qui sera dirig�e suivant 1^

DYNAMIQUE, PREMI�RE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;4oi

partie MT de la tangente en M. Les cosinus des angles que fera cette droite MT avec des axes men�s par Ie point M suivant les directions des x et des positives, seront

Je prendrai pour ce projectile une sphere homogene ou compos�e de couches concentriques dont chacune sera homogene; en appelant D sa densit�nbsp;Rioyenne et r son rajon, on aura alors

Je supposerai aussi, conform�ment aux hypotheses gen�ralement admises, la force R proportionnellenbsp;carr� de la vitesse du centre de gravit�, a la surface du projectile, et a la densit� de Pair; il en r�-�Rltera

P �tant cette densit�, et n un facteur num�rlque qui ilevra �tre d�termin� par Texp�rience. Cette expression satisfalt a la condition de Phomog�n�lt� des

plus de coramodit�, je ferai de sorte que - soit une ligne donl la longueur sera

donn�e, et que je regarderai comme constante, en faisant abstraction du changement de densit� de 1�nbsp;masse d�air que traverse Ie projectile.

211. En mettant a la place de ^ , sa valeur c ^� les deux equations du mouvement deviennent

^ nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ = o.

L�int�grale de la premi�re est en observant qu�on a ~ = a cos et, au point 0 oU

^� = 0, et d�signant par e la base des logarithmes n�-quot; p�riens. La forme de la seconde ne diff�rant de cell�nbsp;de la premi�re que par son dernier terme , je faisgt;nbsp;pour l�int�grer,

p �tant une nouvelle inconnue. En substituant cette valeur de dans la seconde equation (i), et ayantnbsp;�gard a la premi�re, il vient

quot;�e divise cette valeur par Ie carr� de ^ ou de sa va-^eur pr�c�dente; il en r�sulte

�l nbsp;nbsp;nbsp;s -

PVr f- ]og(p s/7 ^)=y-^;^^egt;'�. (5)

P V � V'quot; log (p -f- \/1 -\-p')�v �

cdr = �=__^_-=__,

p\/1- -/?� lo^Xp V i pO�y�

\/cgdt =----^

gt; (4)

formules qui ne sont point int�grables sous forme fiquot; nie : dans la derni�re, on regardera Ie radical comm�nbsp;une quantit� positive, paree que l�angle dont p eslnbsp;la tangente diminue quand Ie temps augmente.

2 12. Sil�on appelle co eet angle, c�est-a-dire, l�incb' naison MTj: de la tangente a la trajectoire, sur l ax^nbsp;horizontal Ox, on aura

Les valeurs Ae x, j, t, d�duites des equations (4)' seront de la forme fCLdco; l�inte'grale etant prisenbsp;de mani�re qu�elle s��vanouisse au point 0 ou 1 o�nbsp;a co � ct, et n designant une fonction donn�e de o)-

On calculera ces trois valeurs, pour chaque point M, par la m�thode des quadratures (n'� i5). De cettenbsp;niani�re, on pourra construire la trajectoire parnbsp;points, et 1�on connaitra Ie temps t que Ie mobilenbsp;eniploiera a d�crire chaque are OM, dont la longueur s sera donn�e par l��quation (3), Quant a lanbsp;vitesse du mobile au point M, on aura

En �tendant ces int�grales jusqu�a t� = o, on d�-terminera l�abscisse et l�ordonn�e du point C, Ie plus �lev� de la trajectoire. Si Ton donne ensuite a � desnbsp;Valeurs n�gatives, on d�terminera les points de lanbsp;branche descendante CBD de la trajectoire. Quandnbsp;On sera parvenu a une valeur � a! de �, pour la-'luelle l�ordonn�e � de la trajectoire sera nulle, lanbsp;Valeur correspondante de x exprlmera l�amplitudenbsp;^^n jet OB, qui ne sera plus double de l�abscisse dunbsp;point C, comme dans Ie cas du vide, et dont Ienbsp;Maximum, par rapport a a, r�pondra a un anglenbsp;*^oindre que 45quot; et d�pendant de la grandeur de lanbsp;Vitesse initiale. L�angle a! ou EBo.' et la vitesse aunbsp;point B diff�reront aussi de a. et a.

Ainsi, toutes les cii�constances du mouvement se-�Onf connues, et la solution du probl�me est compl�te, sauf la longueur des calculs num�riques qu�il faudra ex�ciilcr dans chaque cas, lorsque les valeiirs

des trois constantes h , c, contenues dans les formules pr�c�dentes, seront donn�es.

213. Le mouvement du projectile sur la branche descendante de la trajectoire, approche de plus e�nbsp;plus d�etre vertical et uniforme.

t, qui r�pondent au sommet C; transpoiions Tori-gine des coordonne'es en ce point, et faisons

en sorte que x' et j' soient Fabscisse et Fordonn�e du point quelconque M' (fig. 5o) de la branche descendante, rapport�es a Faxe horizontal Cx' et a Faxenbsp;Cf' qui est dirig� dans le sens de la pesanteur,nbsp;et que t repr�sente le temps employ� a parcourirnbsp;Fare CM'. Soit aussi p' la tangente de Fangle M'T'x^nbsp;que fait la langente a la courbe en M' avec Faxe Cx'*nbsp;Nous aurons

L�angle aigu M'T'x' pouvant approcher continuelle^ ment d�un angle droit, la variable p' croitra ind�fimquot;

Attent; mais il n�en sera pas de m�me a l��gard de a?'.Pour tres grandes valeurs de p\ on pourra mettre p' a ]anbsp;place de s/i-j-p'^; et en n�gligeant y log 2 parnbsp;*'3pport a p'�, on aura

O� simpleraent P' = p'*, en observant que Ie loga-rithme d�une quantit�tr�s gi-ande p'�, et, a plus forte raison, ^logp'*, est tres petit relativement a cettenbsp;lt;luantit� : on aura done, pour ces valeurs de p',

en integrant et d�signant par C une quantit� constante , et il en re'sultera

lt;^e qui montre que les valeurs de x' ne croitront pas *nd�finimenl avec celles de p'. Cela �tant, soit

= 'r

? sera une ligne de grandeur linie, qu�on pourra ^alculer par la m�thode des quadratui�es; et si l�onnbsp;Pfend sur Ca:' une partie CA �gale a cette ligne,nbsp;1^ verticale AB men�e par ce point sera une asymptote de la partie CD de la trajectoire j en sorte quenbsp;^0 mouvement du projectile sur cette branche des-cendante, approchera ind�finiment de la directionnbsp;Verticale.

c4r'-='^, nbsp;nbsp;nbsp;=

d�ou il r�sultera par consequent, Ie mouvement final et vertical dunbsp;projectile sera uniforme; ce qu�il s�agissait de d�-monlrer. La vitesse de ce mouvement sera celle qu�unnbsp;corps pesant acquiert en tombaut dans Ie vide, d�une

de la formule (5), en mettant �p' au lieu de p, et consid�rant ensuite p' comme une tres grande quan-tit�.

[y�tangav/i tang�a�log(tanga -f- \/i-f-tang��)]cos�a=^i on en d�duira

�:, = -( ndo�,

pour l�abscisse du point C. Si done on prend sui' Ox (fig. 49) gt; point F, tel que l�on ait

la verticale FG, men�e par ce point F, sera Fasympquot; tote de la branche descendante de la trajecloire.

Ie point de depart du mobile �taut 0, Ie mouvement Qaura pas lieu sur cette partie de la courbe; mais onnbsp;peut, n�anmoins, d�sirer d�en connaitrela forme. Or,nbsp;Ou la construit par points, au mojen des deux premi�resnbsp;formules (4), en y donnant a p des valeurs positivesnbsp;et plus grandes que tang a j et il est ais� de s�assurernbsp;^ju�elle a aussi une asymptote , mais qul n�est pasnbsp;Yerticale, comme celle de la branche descendante.

Pour cela, j�observe que, d�apr�s la valeur de y du n� 211, il y a toujours un angle � aigu , etnbsp;^ a, qui est tel que p = tang � rend nul Ie de'no-minateur commun de ces deux formules, c�est-a-dire,nbsp;Un angle S qui satisfait a l��quation

Oela �tant, on voit par la valeur de dp, tir�e de �une OU l�autre des deux premi�res equations (4) ,nbsp;^ue Pabscisse x et l�ordonn�e j croissant ind�lini-Uient, abstraction faite du signe, dans cette pai�tienbsp;OW de la courbe, la quantit� p cesse de croitre, lors-lt;lu�elle diff�re infiniment peu de tang^j en sorte quenbsp;P ne peut jamais d�passer ni m�me atteindre rigou-i'eusement cette valeur p=taiig�; ce qui signifienbsp;�lue la branche de courbe ON a une asymptote quinbsp;ooupe Ie prolongement de l�axe Ox sous Tanglenbsp;On d�terminera sa distance au point 0 de la mani�renbsp;suivante.

Je m�ne par Ie point 0 un axe qui fasse, avec Ie prolongement de Oa:, un angle �gal au compl�ment de ^f et qui soit, par cons�quent, perpendiculaire a

l�asymptote de ON. J�appelle u I�abscisse d�un point quelconque de la courbe, compt�e sur eet axe a par-tir du point 0; les coordonn�es de ce point, par rapport aux axesOx et Oy, �tant toujours x etj-, ou aura

En differentiant et mettant pour dx et dj' leurs va-leurs donn�es par les deux premi�res equations (4), il vient

formule dans laquelle on donnera a p des valeurs plus grandes ou plus petites que tanga, selon qu��nbsp;s�agira d�un point de la partie ON ou de la parlie OMnbsp;de la courbe. On peut retrancher de son d�nomina-teur Ie premier membre de l��quation (6) , multipli�nbsp;par cos �; et si l�on fait, en outre,

^ sera une ligne de grandeur finie, que l�on calcu-par la m�thode des quadratures, et qui exprimera Valeur de u relative a l�asymptote de ON, c�est-��dlre, la longueur de la perpendiculaire abaiss�e dunbsp;point O sur celte droite , qu�il s�agissait de determiner.

sorte que si l�on prend sur Ie prolongement de Cj? un point H tel que I on ait

^ asymptote de la branche ON sera la droite HK,men�e par Ie point H, et faisant avec Ie prolongement de Oxnbsp;Un angleKHO supple'ment de C. Les deux asymptotesnbsp;�^GetHK, prolong �es au-dessus de l�axe Ox, se rencon-b�eronten un point L, de mani�re que la courbe en-b�re sera comprise dans Tangle KLG, dont Ie compl�-Uient est Tangle S determine' par T�qualion (6).

2i5. Lorsque Tangle de projection AOx ou a est tres petit (fig. 5i), Ie projectile ne s��l�ve qu�a unenbsp;petite hauteur au-dessus de l�axe horizontal Ox,nbsp;*Uen� par son point de depart. Or, dans ce cas, onnbsp;Peut obtenir, avec une approximation sufFisante,nbsp;^ e'quation en x et yquot; de la partie OCB de la tra-jectoire, situee au-dessus de Ox; et m�me on peutnbsp;utendre cette equation jusqu�a un point D, dont lanbsp;elistance a cet axe n�est pas tres considerable.

En effet, dans toute cette partie OCB, ou m�me GCD de la trajectoire, la fangente a cette courbenbsp;�era presque horizontale, et la quantite p tr�s petite;

En integrant deux fois de suite, et determinant les constantes arbitraires de mani�re qu�on ait ^ = tangnbsp;etjgt;^ = o, quand x = o, il vient

pour l��quation approch�e de la trajectoire, qu�il s�a-gissait d�obtenir. En d�veloppant l�exponentielle qu�elle renferme , r�duisant et faisant ensuite c = o,nbsp;elle devient l��quation exacte de cette courbe dansnbsp;Ie vide.

D�apr�s 1 equation gdt� = � dxdp du n� 2t2, et Ja valeur pr�c�dente de ^, on aura

ce qui fait connaitre Ie temps t que Ie mobile em' ploiera a parcourir une portion quelconque OMnbsp;la courbe OCD.

Sur Ie terrein en un point D; repr�sentons par A l�a-baissement de ce point au-dessous du plan horizon-men� par Ie point O, ou la perpendiculaire DQ � 1�axe Ox; soient aussi l la distance OQ, et t Ienbsp;^^uips employ� a aller du point 0 au point D j nousnbsp;Surons, a la fois,

en remplacant, pour plus de simplicit�, cos� a par bunit� dans les formules pr�c�dentes, il en r�sultera

Lors done que les deux constantes Zt et c seront 'ionn�es, et qu�on aura mesur� Tangle a et T�leVa-bon A du point 0 au-dessus du terrein, ces �qua-bons feront connaitre la port�e horizontale l, et lanbsp;*i�r�e T du trajet du projectile. R�ciproquement,nbsp;^Uand on connaitra a,, X, l, r, par des mesures di-^�ctes, ces equations pourront servir a determiner Ienbsp;Coefficient c de la resistance, et la hauteur h due a lanbsp;^'tesse initiale. En �liminant h, on a

4(A Z tang a) (equot;� � i )* = nbsp;nbsp;nbsp;� 0 gt;nbsp;equation d�o� Ton tirera la valeur de c : Tune desnbsp;4eux pr�c�dentes donnera ensuite imm�diateroent lanbsp;Valeur de h.

11 existe encore de Tinc�rtitude sur les grandeurs port�es et des vitesses initiales. D�apr�s Lombard,nbsp;Pour un canon de 34 charg� au tiers du polds dunbsp;boulet, la vitesse initiale est de 4^3 metres par se-

conde; et pour un canon de 12, dont Ja charge est aussi Ie tlei�S du poids du pi�ojectile, cette vitesse s�e-leve 3494 ni�tres. Suivantle m�me auteur, les poi�te'esnbsp;correspondantes et relatives a A = o , sont yoo metres dans Je premier cas , en supposant oc � 1�nbsp;et 660 metres dans Ie second cas , en supposant

1�5' 36quot;.

Au lieu du temps t, on pourrait employer a 1^ de'terminatiou de ^ et de c, une seconde portee dnnbsp;m�me canon a une elevation differente au-dessus dnnbsp;terrein. Ainsi, en supposant que Ie poids du projectile, celui de la charge et l�angle a ne soient pas changes, les quantit�s h et c resteront aussi les m�mes; ctnbsp;si A et / deviennent X' et V, on aura

en �liminant h au moyen de la premi�re equation (ci)-liCS auteurs de Balistique ne sont nuJlement d�accofd sur la grandeur du nomJjre n qui entre dans l�eXquot;nbsp;pression du coefficient c , savoir ( n� 210 ),

D�apr�s une the'orie tres imparfaite de la re'sistancc des fluides, ce nombre n serait|; mais toutes les expc'nbsp;riences Ie donnent plus petit, et Lombard Ie fait �galnbsp;a L��quation (b) fournirait Je moyen Ie plus sus-

^^ptiblede precision pour la determination de c, en ^�^pposant bien connu et invariable, Tangle de projection et.

217, Les lois du mouvement des plan�tes autour soleil sont connues sous la denomination de Lois

Kepler, paree qu�elles ont �t� d�couvertes par eet ^stronome, qui les a d�duites de i�observalion. Ellesnbsp;^ent au nombre de trois, dont void les �nonce's :

�. Les plan�tes se meuvent dans des courbes Planes, et leurs ravons vecteurs d�crivent, autournbsp;du centre du soleil, des aires proportionnelles aunbsp;^etiips.

2�. Les orbites, c�est-a-dirc, les trajectoires des plan�tes, sont des ellipses dont Ie soleil occupe unnbsp;des foyers.

5�. Les carr�s du temps des revolutions des pla-*^ctes autour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

Toutc leur importance davait pas d�abord �t� com-P�ise; c�est Nevvton qui en a montr� Tusage pour determiner la force qui retient chaque plan�te dansnbsp;orbite, c^est-a-dire, la direction de cette force etnbsp;Variations de son intensit�, soit d�une position anbsp;autre d�une m�me plan�te, solt d�une plan�te anbsp;autre. On verra, en effet, dans ce paragraphe,nbsp;chacune de ces trois choses est une cons�quencenbsp;^'^Cessaire des trois lois du mouvement plan�tairenbsp;Ton vient d��noncer.

Ces lois se rapporten! au mouvement du centre de gravit� de chaque plan�te; c�est Ie mouvement de cenbsp;point que nous allons consid�rerj et quand il seranbsp;question de la position ou de la vitesse d�une plan�te^nbsp;il faudra entendre la position ou la vitesse de soonbsp;centre de gravit�,

218. Soient AMBD (fig. Bs ) Tellipse d�crite pa*� une plan�te, AB son grand axe, C son centre , 0 etnbsp;O' ses deux foyers, O celui qui est occup� parnbsp;centre du soleil, B Ie p�rih�lie ou Ie point de l�oi�bitenbsp;Ie plus rapproch� de 0, A Vaph�lie ou Ie point Ie pli^*nbsp;�loign� du soleil.

Au bout du temps t qui sera compt� a partir dn passage de la plan�te a son p�rih�lie, soit M sa posi''nbsp;tion sur l�orbite. D�signons par r son rayon vcc'nbsp;teur OM, et par G Tangle MOB que Ton appelle, ennbsp;Astronomie, Vanomalie vraie. Le secteur d�critnbsp;ce rayon pendant Tinstant dt sera -j r� ( n� i56}gt;nbsp;d�apr�s la premi�re loi de Kepler, on aura done

c �tant une constante �gale au double de Taire decree dans Tunit� de temps, et ^ ct le double de Fairenbsp;d�crite dans le temps quelconque t.

(2)

Pour toutes les plan�tes connues avant ce si�cle, ^eoccentricit� e est une fraction tr�s petite; celle denbsp;1�orbite de la terre est

Ou, a peu pres, un soixanti�me. La plus grande �tait Celle de Mars, qui surpasse neuf centi�mes; c�e'taitnbsp;done pour cette plan�te que Ie mouvement elliptiquenbsp;devait �tre Ie plus diff�rent du mouvement circulairenbsp;oxcentrique, que l�on adoptait avant K�pler; et c�est,nbsp;oq effet, dans les observations de Ticho-Brah�, relatives a cette plan�te, que K�pler a reconnu d�abordnbsp;la diff�rence de ces deux mouvemens. Si l�on d�ve-loppe les valeurs de r et 9, en s�ries ordonn�es sui-''^ant les puissances de e, au mojen de r�quatiou desnbsp;aires proportionneiles au temps, jointe a celle de lanbsp;^�'ajectoire elliptique ou a celle de la trajectoire circulaire excentrique, on trouve que pour un m�menbsp;^cnips t, les d�veloppemens correspondans a cesnbsp;deux courbes , ne diff�rent que dans les termes quinbsp;dependent du carr� ou des puissances sup�rieuresnbsp;de e; cii�constance qui rendait, a T�poque de K�-Pler, la diff�rence des deux mouvemens tr�s difjiciienbsp;^ d�couvrir,

Y �

celte constante n sera la yitesse moyenne angulairC; et nt Ie mojen mouvement de la plan�te.

Imaginons un astre fictlf dont Ie mouvement soit uniforme, et qui parte du p�rih�lie et ach�ve sa revolution en m�me temps que cette plan�te; sonnbsp;rayon vecteur d�crira Tangle nt, pendant que celuinbsp;de la plan�te d�crit Tangle 0; Tangle 0 � nt, comprisnbsp;a une �poque qnelconque entre ces deux rayons, estnbsp;ce que les astronomes appellent Vequation du centre �nbsp;il est positif, et la plan�te pr�c�de Tastre fictif?nbsp;en allant du p�rih�lie a Taph�lie; Ie contraire a lieunbsp;en revenant du second point au premier. Le maxiquot;nbsp;mum de T�quation du centre d�pend de ia grandeurnbsp;de Texcentricit�.

En prenant le jour moyen pour unit� de temps, o* meltant 360� au lieu de 27r, on a, relativement a 1^nbsp;terre,

Cette valeur de T est la dur�e de Tann�e siderale gt; OU Tintervalle de temps qui s��coule entre deux retours cons�cutifs du soleil a une m�me �toile, dauSnbsp;son mouvement apparent autour de la terre. L�inter-valle compris entre deux retours cons�cutifs a uonbsp;m�me �quinoxe, est plus court, a cause que les pointsnbsp;�quinoxiaux ont sur Y�cliptique un mouvement retrograde, OU en sens contraire de celui du soleiT

1800, et observant que Ie rayon vecteur du soleil emploie oboi4i58, a de'crire ce petit angle, il ennbsp;re'sulte

pour la longueur de l�ann�e �quinoxiale au commencement de ce si�cle. L�ann�e siderale est constante; ttiais la precession des equinoxes varie un peu, et,nbsp;par cons�quent aussi, l�ann�e �quinoxiale : sa longueur diminue d�a peu pres une demi-seconde parnbsp;si�cle.

220. La constante c aura pour valeur Ie double de la surface de l�ellipse divis� par T ; en observant que

Ie demi-petit axe est a \/ \ � e�, et la surface 7ra^\/1 � e^, on aura done

a cause der=lt;2(i � e) au point B, il faudra que Tangle u soit nul en ce point o� Ton a aussi � o ; ennbsp;integrant, on aura done

En mettant pour r sa valeur dans celle de c?9 , et observant que cos u � cos* -j � � sin* ^ u, il en r�sulte

En integrant et observant que 6 et � sont z�ro ert na�me temps, c�est-a-dire, au point B, on aura

Ces ti�ois equations (d), (b), (c) , expriment, sous forme finie, les valeurs de r, nt, G, au moyen de lanbsp;Variable auxiliaire u, qu�on appelle Vanomalie excen-trique. En eliminant u entre elles, on aura les deuxnbsp;coordonn�es polaires r et G de la plan�te en functionsnbsp;du temps, sous forme de s�ries ordonn�es suivant lesnbsp;puissances de l�excenti�icit�, qui seront, par cons�quent, tres convergentes dans Ie cas des anciennesnbsp;plan�tes. Apr�s qu�on aura form� ces s�ries, on ynbsp;pourra remplacer les puissances de cos nt qui se trou-Veront dans Ie d�veloppement de r, et celles de sin ntnbsp;que renfermei�a Ie d�veloppement de G � nt^ par desnbsp;Cosinus et des sinus des multiples de nt. Si l�on con-coit qu�on ait ensuite ordonn� ces d�veloppemens dunbsp;vayon vecteur et de l��quation du centre suivant lesnbsp;cosinus OU sinus des multiples croissans de nt, onnbsp;pourra d�terminer directement, par I�analyse sui-Vante, les valeurs des coefficiens de ces deux s�riesnbsp;fonctions de l�excentricit�.

^Ao-|-A,cosn^-|-A,cos2nf-f-.. .-|-AjCOS m�-f-etc., ֑~-7z^=B,sinn^-j-B�sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. .-f-B, sin m^-|-etc.;

^0, A,, Aa, etc., B,, Ba, etc., et g�n�ralement A_j , �tant les coefficiens qu�il s�agit de d�terminer.nbsp;Si i et i' sont deux nombres entiers positifs et dif-rnbsp;fci�ens, on aura, en effectuant les int�grations,

Ces derni�res formules ne s�appliquent point a i= o; dans ce cas, Ia premi�re integrale est �gale a tt , etnbsp;la seconde a z�ro.

Cela �tant, je multiplie Ie d�veloppement de /� par cos int d.nt, et celui de � � nt par sin int d.nt�,nbsp;puis j�int�gre depuis nt = o jusqu�a nt =w. Toiisnbsp;les termes s��vanouissent, except� ceux qui ont Ainbsp;oil B, pour coefficient, et Ton en conclut

c�est-a-dlre qu�il faudra r�duire a moiti� la valeur g�n�rale de Af. En mt�grant par partie, et obser'nbsp;vant que 0 � nt est z�ro aux deux limites nt = o etnbsp;nt � TT, l�expression de Bj pourra �tre remplaceenbsp;par celle-ci:

�t paree que m = o et u-=.Ti r�pondent a nt = o et ntz='7t, il en r�sultera

formules qui feront connaitre les valeurs num�ri-ques des coefFiciens A,- et B, , soit par la m�thode . des quadratures, soit par la reduction en s�ries.nbsp;Pour cette r�duction, on aura, par Ie th�or�me denbsp;Taylor,

et il en r�sultera pour A, et B; des s�ries d�int�-grales relatives au, dont les valeurs exactes s�ob-lieudront toutes, soit imm�diatenient, soit par des formules connues; en sorte que Ton pourra prolon-ger ces d�veloppemens de A; et B; aussi loin qu�ounbsp;^oudra. On pourra m�nig obtenir leurs termes g�-Oeraux en fonctions de i et de e ; mais ce n�est pointnbsp;^ei Ie lieu d�insister da vantage sur ce sujet, qui ap-partient sp�cialement a rAstronoaiie.

en ne prenant que la moiti� de la valeur de Ai, qui r�pond a j = o : c�est Ie seul des coef�klensnbsp;Ao, A,, A,, etc., B,, B,, etc., dont on puisse ob-tenir la valeur exacte.

222. Si Ion appeile v la vitesse de la plan�te aU bout du temps et cT 1�angle que fait sa directioonbsp;avec Ie prolongement de son rayon vecteur r ou OM^nbsp;on aura (n� i56)

ce qui montre comment, dans Ie mouvement elHp' tique, la vitesse et la direction du mobile en chaque

point se d�terminent au moyen de son rayon vecteur. I^�apr�s la valeur de c du n� 220, celle de peut aussinbsp;olre �crite ainsi :

Ces formules, jointes a celles des num�ros pr�ce-�^ens, font connaitre compl�tement Ie mouvement d�une plan�te dans Ie plan de sou orbite; mais quandnbsp;On veut consid�rer a la fois les mouvemens de deuxnbsp;Ou de plusieurs plan�tes, il est n�cessaire de rappor-ter la position de chacnne d�elles a un autre plan,nbsp;qui est ordinairement Ie plan de Y�cliptique ou denbsp;l�orbite de la terre.

223. Soient NON'(fig. 53) l�intersection du plan de l�orbite d�une plan�te avec un plan passant parnbsp;Ie centre 0 du soleil, OE une droite men�e dans cenbsp;Second plan , OM' la projection du rayon vecteur OMnbsp;de la plan�te sur ce m�me plan. D�signons par ynbsp;^inclinaison des deux plans, par o. Tangle NOE, parnbsp;^ Tangle BON que fait Ie rayon vecteur OB aboutis-sant au p�rih�lie avec la droite ON. Ces tfois anglesnbsp;y, �), devront �ire donn�s, et ils d�terminerontnbsp;^e plan de Torbite et la position de Tellipse dans cenbsp;plan. Soient aussi lt;p et 4 les angles variables MOM'

M'OE, que fait Ie rayon vecteur OM avec sa projection OM', et cette projection avec la droite OE, ^esquels angles d�termineront, a chaque instant, lanbsp;direction du rayon OM aboutissant a la plan�te.

Cela pos�, consid�rons Tangle tri�dre qui a son sonimet au point O, et dont les trois ar�tes sont OM,nbsp;OM', on. L�anomalie vraie, ou Tangle MOB, �lant

la premi�re sera oppos�e a un angle droit, et 1^ troisieme a Tangle D�apr�s les premi�res r�gies denbsp;la Trigonometrie sph�rique, on aura done

et Tangle G �tant connu en fonction de t, par ce pr�c�de, chacun des angles cp et 4 Ie sera aussi,nbsp;moyen de ces formules.

Lorsque Ie plan donn� sur lequel on compte Tangle 4 est Te'cliptique, et que la droite OE, a partir denbsp;laquelle on compte eet angle, dans Ie sens du moo'nbsp;vement de la terre, est celle qui va du soleil a T�qoi'nbsp;noxe du printemps, les angles 4 et tp s�appellent 1^nbsp;longitude et la latitude de la plan�te que Ton consid�re*nbsp;La droite NON' est la ligne des noeuds de^son orbite;nbsp;elle entre dans Themisph�re boreal quand eJle travers^nbsp;Ie plan de T�cliptique au point N, ce point est Ie noeii*^nbsp;ascendant ^ et N' Ie nceud descendant. Selon que 1�*nbsp;plan�te se trouve dans eet h�misph�re ou dans Thequot;*nbsp;misph�re austral, la latitude (p est positive ou o�'nbsp;gative, et Tangle MON, ou G -f- est plus grandnbsp;ou moindre que i8o�. L�angle lt;p s��tend depuis �� 9�nbsp;jusqua go�, et Tangle MON, ainsi que la longitudenbsp;M'OE, depuis z�ro jusqu�a 56o�.

Si Toa rempiace Ie point 0 par Ie centre de la terre, que l�on prenne l��quateur pour Ie plan donn�nbsp;lequel on compte l�angle 4quot;, et pour origine denbsp;^et angle la droite OE qui va de ce centre au premiernbsp;point du signe aries, les angles 4/ et cp seront alorsnbsp;^dscemion droite et la d�clinaison de la plan�te. Ennbsp;^ppliquant les formules pre'c�dentes au mouvementnbsp;Apparent du soleil autour de la terre, on aura a=o,nbsp;y expriraera Vobliquit� de l��cliptique, et Ton devranbsp;prendre pour 9 � la longitude de eet astre; d�oii ilnbsp;*'esulte qu�en la de'signant par X, on aura

Les plus grandes d�clinaisons boreale et australe r�-pondent a A = 90� et A = 270% et sont =i-y- Cet ^ngle y est aussi celui que fait l�axe de rotation de lanbsp;lerre avec la perpendiculaire au plan de Tecliptique;

est soumis a rme petite in�galit� qu�on appelle la Mutation, dont la p�riode est d�environ 18 ans, et Ienbsp;'^ajciinum de gquot;,4 seulement. Sa valenr moyenne, aunbsp;�Commencement de 1800, �tait

224. Dans tout ce qui precede, on n�a point eu ^gard a la force qui agit sur chaque plan�te, dont Ienbsp;�Rouvement a �t� determine d�apr�s les donn�es de

i�observation, et saus recourir aux principes de Djnamique; il s�agit maintenant de determiner leSnbsp;lois de cette force , ainsi qu�il a �t� dit pr�c�dem^nbsp;ment (n� 217).

II suit de la premi�re loi de K�pler que la force qui retient chaque plan�te dans son orbite est constam-ment dirigee vers Ie centre du soleil; quoique cettenbsp;consequence n�cessaire de la proportionnalit� des ai'nbsp;res au temps ait �t� d�duite des �quations du mouquot;nbsp;vement dans Ie n� i55 , il ne sera pas superflu d�ennbsp;donner ici une demonstration synth�tique.

Soit M,M (fig. 54) Ie c�t� de la trajecloire que 1^ mobile d�crit pendant un temps r infiniment petit-Arriv� au point M, si aucune force n�agissait sur cenbsp;mobile, il d�crirait, dans un autre temps r, unenbsp;partie Mm du prolongement MT de M,M, �gale anbsp;M,M; ma�s, a cause de la force a laquclle il est soU'nbsp;mis, il se transporte, dans ce second instant, eonbsp;un autre point M'. Soit MK la direction de cettenbsp;force au point M; pendant ie temps r, on pourranbsp;supposer qu�elle reste parall�le a elle-m�me, et alorsnbsp;si Fon tire la droite mM!, elle sera parall�le anbsp;(n� 148). Or, si C est Ie centre fixe autour duqudnbsp;Ie rayon vecteur CM d�crit des aires proportionquot;nbsp;nelles au temps, les ti�iangles M,CM et MCM', quinbsp;sont les aires d�crites dans deux instans �gaux, se-ront �quivalensj mais les triangles M,CM et MCn^nbsp;Ie sont aussi, puisqu�ils ont leurs sommets au m�m�nbsp;points C, et leurs bases M,M et Mm �gales et surnbsp;une m�me droite ; les triangles MC/n et MCM' sontnbsp;done �quivalensj et comme ils ont une m�me base

11 fajji qyg la droite mM' qui joint leurs som-soit parall�le a cette base; par cons�quent, droite MK, parall�le a 7nM', coincide avec MC.nbsp;^Onc, en chaque point M de la trajectoire, la di-^^ctioa MK de la force sera celle du rajon vecteurnbsp;; ce qu�il s�agissait de d�montrer.nbsp;R�ciproquement, si la force qui agit sur Ie mobile , au point quelconque M, est dirig�e suivantnbsp;^C, la droite toM' sera parall�le a ce rayon vecteur,nbsp;deux triangles M'CM et MC?n seront �quivalens,

gt; par cons�quent aussi, les deux triangles M'CM M,CM. Les aires d�crites par Ie rayon vecteurnbsp;^Rtour du point C, en deux instans cons�cutlfs etnbsp;^gaux, �tant �gales, et cela ayant lieu dans toutenbsp;^�tendue de la trajectoire, si la force qui agit surnbsp;mobile est constamnient dirig�e vers ce point, ilnbsp;�''ensuit que les aires d�crites en temps �gaux se-^Out �gales, et, en des temps quelconques, propor-^lonnelles a ces temps.

aa5. Soit, comme dans Ie n� 218, M la position la plan�te au bout du temps t (fig. 52 ). Con-^^tvons toutes les notations de ce num�ro, de sortenbsp;'iRe r et G soient Ie rayon vecteur OM et Tanglenbsp;^OR; d�signons, en �utre, par x et j' les deuxnbsp;'^oordonn�es rectangulaires OP et PM, rapport�es anbsp;axes Ox et Oy, dont Ie premier passe par Ienbsp;P^rih�lie B; nous aurons

^oit aussi R ia force acc�l�ratrice, inconnue en graii-qui agit sur la plan�te. Cette force est diri-

g�e, comme on yient de Ie voir, suivant Ie rayon vecteur, et elle agit du point M vers Ie point 0gt;nbsp;a cause que la trajectoire tourne sa concavit� dnnbsp;c�t� du soleil; les cosinus des angles qu�elle fait avec

par cons�quent, si l�on ajoute les equations (l) apr�s les avoir multipli�es par dx et dj, et si Tonnbsp;observe que xdxjdj = rdr, il en r�sultera

qui niontre que la force qui agit sur chaque pla-^ete suit la raison inverse du carr� de la distance au Centre du soleil.

La grandeur de cette force est fx a l�unit� de dis-^^nce; soit ju' ce qu�elle devient pour une autre pla-�^ete, dont Ie demi-grand axe et Ie temps de la resolution seront repr�sente's par a' et T'; on aura '^e m�nie

Par cons�quent, a l�unit� de distance, et, g�n�rale-*^ent, a la m�me distance du soleil, la force acc�l�-Satrice R est la m�me pour deux plan�tes diff�-Sentes.

La force motrice de chaque plan�te est done ind�-Pcndante de sa nature particuli�re, et proportionnelle ^ Sa masse, comme les poids a la surface de la terre.nbsp;J^Ue varie d�une plan�te a une autre suivant la m�menbsp;que d�une position a une autre de la m�me pla-�^cte; et si deux plan�tes �taient situ�es a la m�menbsp;distance du soleil et abandonn�es a elles-m�mes ,nbsp;^ans vitesse initiale, elles tomberaient d�un m�menbsp;Mouvement vers eet astre, et l�atteindraient dans Ienbsp;*sieme intervalle de temps.

Ainsi, les trois lois de K�pler nous font connaifr^ compl�tement la force qui retient les plan�tes dansnbsp;leurs orbites : la loi des aires proportionnelles aunbsp;temps nous fait voir que cetle force est constammentnbsp;dirigee vers Ie centre du soleil; celle du mouvementnbsp;elliptique, ou l�expi'ession de la vitesse qui se d�duitnbsp;de cette loi et de la pr�c�dente , nous montre que soUnbsp;inlensit� varie, pour une m�rne plan�te, en raisonnbsp;inverse du carr� des distances au soleil; enfin, nousnbsp;concluons de la loi des carr�s des temps des revolutionsnbsp;proportionnels aux cubes des grands axes, qu�a �ga-lit� de distance au centre de eet astre, l�intensit� denbsp;la force motrice est proportionnelle aux masses denbsp;cbaque plan�te , et ind�pendante de sa nature parti^nbsp;culi�re.

226. Newton a �tendu aux com�tes, dans leui� mouvement autour du soleil, et aux satellites autoui�nbsp;de leurs plan�tes respectives, les lois de K�pler et Ie*nbsp;consequences qui s�en d�duisent relativement a 1^^nbsp;force qui agit sur ces mobiles.

Les com�tes, dans leur mouvement, ne different des plan�tes qu�en ce qu�elles ne sont pas constamquot;nbsp;ment visibles, a raison de l��loignement de leurs aph�'nbsp;lies; ce qui rend ti��s difficile la determination denbsp;leurs orbites. N�anmoins, il j a maintenant troi��nbsp;com�tes dont on connait les orbites et les temps denbsp;leurs r�volutions, presque aussi exactement que pooi�nbsp;les plan�tes. A l��gard des autres com�tes, on calculenbsp;leur mouvement par approximation, en prenaiit pouinbsp;la trajectoire, dans la petite �tendue on chaque co-m�te est visible, une parabole dont Ie fojer est au

centre du soleil, et supposant toiijours les aires dd-ci'Ues par Ie rajon vecteur autour de ce point, pro-portionnelles au temps pour chaque com�te. Ce cas est compris dans les formules pr�c�dentes du mouve-Rient elliptique, en j faisant

Les masses des com�tes sont tres petites par rapport a celles des plan�tes et paraissent d�une tout S�tre nature. En vertu de la troisi�me loi de Kdpler,nbsp;^es forces motrices de deux com�tes, ou d�une com�tenbsp;ct d�une plan�te, a la m�me distance du soleil, sontnbsp;entre elles coinme leurs masses respectives, et leursnbsp;forces accdldratrices sont dgales; il en est de m�me anbsp;Regard de plusieurs satellites d�une m�me plan�te,nbsp;Rtais non pas relativement aux satellites de deux pla-Retes differentes, ou a un satellite et une plan�te; carnbsp;loi des carr�s du temps des revolutions propor-^�onnels aux cubes des grands axes n�a lieu que pournbsp;corps qui tournent autour d�un m�me centre :nbsp;Rons ferons connaitre par la suite Ie rapport qui existenbsp;cotre les forces motrices de deux satellites apparte-R�int a des plan�tes differentes, et entre celles d�unenbsp;PLn�te et d�un satellite.

Ajoutons encore que dans ces derniers temps on ^ ctendu les lois du mouvement elliptique aux �toilesnbsp;doubles, dans lesquelles un mouvement r�volutif denbsp;^une des �toiles autour de l�autre a �t� reconnu, etnbsp;leurs positions relatives, calcul�es d�apr�s cesnbsp;t.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;28

337. Examinons actuellement les alterations que la resistance d�un ether tres i�are r�pandu autour dunbsp;solei!, pi�oduirait dans Ie mouvement elliptique desnbsp;plan�tes. Leur non-sph�ricil�parfaiteetle frottenientnbsp;du fluide conti�e leur surface, pourraient faire sortir I0nbsp;centre de gravit� du plan de son orbite : on feranbsp;abstraction de ces deux circonstances; et il ne s agiranbsp;que de former les equations du mouvement de cenbsp;point, en ayant e'gard , a la fois , a la force centi�alenbsp;en raison inverse du carr� de la distance, et a unenbsp;force tangentielle provenant de la resistance dunbsp;milieu.

Je supposerai, comme dans Ie mouvement des projectiles dans l�air, cette resistance proportionnell^nbsp;au carr� de la vitesse, a la densit� du milieu et a 1*nbsp;surface de chaque plan�te; la force aoe�l�i-atrice quinbsp;en r�sultera sera , en outre, en raison inverse de 1^

siguant par ds l��l�raenl de la trajectoire, et par P un coefficient tr�s petit et proportionnel, pour uuenbsp;m�me plati�te, a la densit� du milieu. En observantnbsp;que cette force agit en sens contraire de la vitesse dunbsp;mobile, et repr�sentant toujours la force principalenbsp;dirig�e vers Ie centre du soleil, par a l�unit� de distance el par ^ a la distance r, les �quations (i) de-vront �tre remplac�es par celles-ci;

En employant les coordonn�es polaires, duit, sans tlifficult�, ces autres equations

228. Lorsqu�on n�glig� leurs seconds membres, les �quations (2) se r�duisent a

nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-3F r�=��

On satisfait a ces equations f5) au moyen des for-�^ules (a), (b), (c), du n� 220; ces formules n�en sont pas les int�grales completes, paree qu�elles ne con-tiennent que deux constantes arbitraires a et e; maisnbsp;1�on fait attention que les equations (5) ne renfer-*Rent pas explicitement les variables 6 et t, et qu�ellesnbsp;^nntlennent seulement leui�s dlff�rentielles dB el dt,nbsp;�n en conclut que les formules du num�ro cite de-Yi'ont encore .satisfaire a ces equations, en ajoutantnbsp;des constantes quelconques a f et �. De cette mani�re,nbsp;^f^s int�grales compl�tes des equations (5), et, par

cons�quent, des equations (4), seront exprim�es par ce sjst�me de formules :

a, e, 6, ft), �tant les quatre constantes arbitraires, et M une constante li�e a a par I�equation

Le z�ro de la variable u r�pondi�a toujours a la plus petite valeur de r, ou au p�rih�lie B (fig. Sa).nbsp;Pour M =: o, on aura 0 = ft); de sorte que 0 repr�-sentera maintenant Tangle MOE, compt� a partirnbsp;d�une droite OE, qui fait un angle BOE :;= oo, avecnbsp;OB. La valeur de 0 en s�rie sera de la formenbsp;0 := nt � -bquot; 6i gt;

en d�signant par �, sa partie p�riodique, ordonn�e suivant les sinus des multiples croissans de �ft)-Get angle 0 sera la longitude vraie de la planete daiisnbsp;le plan de son orbite, au bout du temps t quelconque;

exprimera sa longitude mojenne au m�me instant, sa longitude moyenne a lepoque d�oix Tonnbsp;compte le temps t, et amp;) la longitude de sou p�rih�lie-229. Cela pos�, quand on connait les int�gralesnbsp;completes d�un systerne d��quations diff�rentiellesnbsp;comme les �quations (4), on en d�duit les Int�gralesnbsp;d�un autre syst�me d��quations diff�reutielles, telles

'Jue les equations (2), qui ne different des premi�res que par de tres petits termes, au moyen d�une me'-tfiode dont les g�om�tres ont fait les plus heureusesnbsp;applications a la M�canique celeste, et que je vaisnbsp;exposer a l�occasion du probl�me qui nous occupe.

J et F indiquant des fonctions donn�es. Pour que ces Valeurs satisfassent encore aux equations (4), j�y con-sid�rert, e, e, agt;, comme de nouvelles variables qu�ilnbsp;s�agira de determiner. Mais ces inconnues �tant aunbsp;Uombre de quatre, et les equations (2) seulement aunbsp;nombre de deux, je peux prendre a volont� deuxnbsp;equations auxiliaires; et je fais, en conse'quence,

uu, autrement dit, j��gale a z�ro les parties de dx �t dj-, provenant des variations de a, e, e, cj.De cette

doe d'Y'

uiani�re, les valeurs completes ^ nbsp;nbsp;nbsp;^ sont

^implement

dx df nbsp;nbsp;nbsp;dj- dF

dt ~~ dl � nbsp;nbsp;nbsp;dlnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dl'

En diff�rentiant de nouveau, on a

dy de dy dt

Or, par hypothese, les valeurs pr�c�denles de X et j satisfont aux equations (4), en y i�egardant a,nbsp;e, i, co, comme des constantes arbitraires, on a done

d'F �?�F ,d^ dquot;F nbsp;nbsp;nbsp;dsdj

�- da-\- �r- de4- -3�^ de4- �� da = � f nbsp;nbsp;nbsp;dt-

dlda dtde dtdi dlda nbsp;nbsp;nbsp;'dtdt

et ce syst�me des quatre equations (h) et (c) servira a determiner a, e, e, co, en fonctions de t.

25o. Cette substitution de quatre equations diff�-rentielles du premier ordre, aux deux equations (2), qui sontdu second ordre, n�aurait, en general, au-cun avantage. Mais les valeurs de da, de, di, do,nbsp;qu�on tire des equations ilo) et (c), auront pour facteur Ie coef��cient p de la resistance, qui est unenbsp;tres petite quantit�; les parties variables de a, e,nbsp;e, GO, seront done aussi tr�s petites; et si l�on n�glig� Ie carr� de p, on pourra consid�rer a, e, e, co,nbsp;comme des constantes, dans les expressions de da,nbsp;de, d�, doo; ce qui r�duira aux quadratures Ie calculnbsp;des parties variables de a, e, e, co. Pai' la m�thodenbsp;des approximations successives, on obtiendra ainsinbsp;des valeurs de ces quantit�s, ordonn�es suivant lesnbsp;puissances de p et aussi exactes que l�on voudra;nbsp;nous nous arr�terons a la premi�re puissance de p.

Les equations (a), apr�s qu�on y aura substitu� ^es valeurs variables de a, e, g, co, feront connaitre,nbsp;lt;^omme dans Ie cas du mouvement elliptique, les va-leurs de r et � en fonctions du temps. La trajectoirenbsp;Sera encore une ellipse, mais dont les �le'mens varie-ront continuellement. Si l�on suppose que Ton cons-tfuise a chaque instant Tellipse constante qui r�pondnbsp;3ux valeurs des �l�mens a ce m�me instant, les or-donn�es x et j, et leurs dif��rentielles dx et dj', se-J�ont communes, en vertu des equations (b), a cettenbsp;ellipse et a la trajectoire, qui sera, par cons�quent,nbsp;courbe de contact de toutes les ellipses constantes.nbsp;Par la m�me raison, la vitesse du mobile etsescom-posantes auront les m�mes expressions, etseront d�-termin�es par les formules (d) du n� 222, dans Ienbsp;�nouvement elliptique et dans Ie mouvement alt�r�nbsp;par la resistance du milieu.

la seconde equation (a). Alors, en m�me temps qu�on changera, dans les equations du mouvement ellip-^ique, les constantes a, e, e, co, dans leurs valeursnbsp;Variables, il y faudra remplacer nt par l�integralenbsp;fndt, que nous supposerons nulle quand tz=zo.nbsp;P'S quantit� n qu�elle renferme se d�duira de a, au

donn�e par l��quation ahi' = du n� 228. Cette integrale fndt exprimera Ie moyen mouvement denbsp;la planete (n� 219), alt�r� par la resistance du milieu;nbsp;et, de cette maniere, la diff�rentielle du moyen mouvement sera ndt, dans Ie mouvement trouble commenbsp;dans Ie mouvement elliptique.

Aup�rih�lie, l�angle � �� est�gal a z�ro ou a uo multiple de 56o�; envertude la premi�re equation (0);nbsp;il en sera de m�me a l��gard de Tangle u-, done, pendant Tintervalle de temps compris entre deux passagesnbsp;cons�cutifs de la plan�le a son p�rih�lie, la quantit�nbsp;fndt -f- 6 ^�ca augmentera de 36o�; ce qui servira anbsp;determiner eet intervalle, quand on connaltra n, �, ogt;nbsp;en fonctions de t, Le temps de la revolution, ou Tin-tervalle compris entre deux retours cons�cutifs de lanbsp;plan�te au m�me point fixe, sera celui qui r�pondra anbsp;un pareil accroissement de sa longitude vraie 0.

232. Nous pouvons remplacer les equations {h) et (c) par d�autres �quations �quivalentes, desquelleSnbsp;il sera plus facile de d�duire les valeurs de da, degt;nbsp;d�, dca.

a lieu dans le mouvement elliptique, elle subsistera encore dans le mouvement alt�r� par la r�sistance du

^^ilieu, en j regardant a, e, e, a, comme des va-i'iables d�termin�es par les e'quations (b) et (c), et y mettant fndt a la place de nl. La difF�rentielle denbsp;la fonction (p sera done nulle, soit qu�onla prenne,nbsp;dans Ie premier cas, par rapport a nt, r, �; soitnbsp;^��on la prenne, dans Ie second cas, par rapport anbsp;fndt, r, G, a, e, i, ggt;; or, r et 6 �tant des fonctionsnbsp;X et j, leurs difF�rentielles sont les m�mes dansnbsp;W deux cas, en vertu des equations (^); par consequent, en supprimant, dans la difFerentielle com-r

Cela pos�, apr�s avoir mis dans Tequation (2) du n� 218, G�Cd a la place de G, on en d�duit

de dif��rentie de m�me la premi�re equation (a) et 1 equation (d); ce qui donne

(i�ecosu)da � a cos ude-j-ae sin udu = o, d��d�) -f- sinz^e � (i � e cos ii)du = 0,

consid�rant u comme une fonction de lt;2, e, s, o. d��liniiue du entre ces deux equations; il vient

(i �eco%uYda-{-a{e�cos u)de-\-ae sin m (d��da))=^o-Mais, en mettant dans les formules � tang� ; u

Ceque nous disons relativement a l��qualion (p = o, s�applique �galement au cas o� la function cp renferm^nbsp;les diff�rentielles premi�res de r et 6. Ainsi, l�on agt;nbsp;dans Ie mouvement elliptique,

en mettant \/fA.a au lieu de dans la valeur r�c?0 du n� 220 : or, les diff�rentielles dr et lt;/6, ainsinbsp;que ret 6, restant les m�mes lorsque a, e, �, a, dequot;nbsp;viennent variables, il s�ensuit que ces deux �quatioo-'�nbsp;subslsteront encore dans cette hypothese ; cela �tant;nbsp;en comparant leurs diff�rentielles completes aux �qua'nbsp;tions (3) du n� 228, on en conclut

d. - = 2p (- � - ')ds,

d. \^a[I � e�) = � p \/a[i � e�jds.

Maintenant, on tirera facilement des quatre equations (e), (�), (g), les valeurs de da, de, di,da)-, en y niettant pour r sa valeur, savoir.

On int�grera les seconds membres des equations (h), y consid�rant a, e, s, co, comme des consJantes,nbsp;�insi qu�il a �t� dit prece'demment; et quand Ie coef-'^ient p sera donn� en function de r, et consequem-^ont de 6, on en d�duira, par la methode des qua-fatures ou par la reduction en s�rie, les valeursnbsp;'Variables de a, e, �, co, qui devront �tre substitu�esnbsp;les equations du mouvement elliptique.

235. Si i�excentricit� e est une tr�s petite fraction^ les formules (^), r�duites a leur partie principale�nbsp;deviendront

, de~ � 2pa cos (6 � a )c?9, edco ~ � 2pa sin (0�co)d^, d�=2pae sin (0�co)d^7

et l�on jpourra consid�rer Ie coefficient p cowme conS' tant. En integrant et d�signant par d'a, cTe, cT�,nbsp;les parties variables de a, e, e, ggt;, on aura done

(fe = � 2plt;2sin(0 � co), eiS'co � 2pacos(0 � co),nbsp;cT� = � 2paecos(9� co).

On voit done que l�effet de la resistance d�un mi' lieu tr�s rare sur Ie mouvement d�une plan�te tr�s pe'^nbsp;excentrique, serait de faire d�croitre ind�finlnjent I�nbsp;grand axe, d�augmenter de m�me la vitesse angu'nbsp;laire n, et de produire dans chacune des trois quaO'nbsp;tite's e, co, e, une in�galit� dont la p�riode est la m�co^nbsp;que la revolution de cette plan�te. Non-seuleraent 1^nbsp;mouvement angulalre s�acc�l�rerait de plus en plu� �nbsp;mais m�me la vitesse absolue; car elle est a peu pr^�

'^gale a an-, son accroissement est done aS'n-^uantit� positive et e'gale a fa�n9.

done on d�signe par S'r et cT�, les parties du rayon ^ecteur et de la longitude qui proviennent de la r�-^stanee du milieu, on aura, au m�me degr� d�ap-proximation,

En vertu de eette diminution eontinuelle du rayon ^ecteur, qui seleverait a 4'^fa�� a ehaque revolutionnbsp;la plan�te, elle finirait n�cessaireraent par alteindrenbsp;surfaee du soleil.

Au reste, s�il existe dans Tespaee un ether qui in-sur Ie mouvement des astres, e�est sur les eom�tes eette influenee peut �tre sensible, a eause de lanbsp;belitesse de leur masse, et paree que, toutes ehosesnbsp;'iailleurs �gales, Ie eoef��cient p est en raison inversenbsp;la masse du mobile. Et, en effet, on n�a reeonnunbsp;l'^squ�a pr�sent aueune traee d�une r�sislanee de T�-dans Ie mouvement des plan�tes et des satellites ;nbsp;*^ais d�apr�s les ealeuls de M. Enke, eette resistancenbsp;Parait influer d�une mani�re appreciable sur Ie mou-^^nieut de la com�te r�cemment d�couverte, dontlanbsp;^�evolution est d�environ 1200 jours.

234. Le probl�me que nous allons r�soudre est rinverse de celui du paragraphe precedent : on sup'^nbsp;posait alors la trajectoire et la loi du mouvementnbsp;donn�es par Vobservation , et il s�aglssait de determiner en gi�andeur et en direction, la force a laquellenbsp;ce mouvement �talt du; maintenant, on supposenbsp;qu�une force constante dirige'e vers un centre fixe, etnbsp;donn�e en fonction de la distance du mobile a cenbsp;point, est appliqu�e a ce mobile, et l�on propose d�eWnbsp;conclure la trajectoire et la loi du mouvement.

Cette courbe DMB (fig. 55 ) sera comprise dans le plan passant par Ie centre fixe C, et par la directionnbsp;DA de la vitesse initiale. Je m�ne dans ce plan et pa*�nbsp;le point C, deux axes rectangulaires Csc et Cj, dootnbsp;le premier passe par le point de depart D du mobile^nbsp;et qui seronl les axes des coordonn�es. Au bout dnnbsp;temps t, compt� depuis ce depart, je suppose que Icnbsp;mobile soit en M, et je d�signe par oc et j ses coor-donn�es CP �t PM , par r son rayon vecteur CM,nbsp;par R sa force acc�l�ratrice, dirig�e de M vers C dnbsp;donn�e en fonction de r; les equations du mouvemc*'*nbsp;seront

et si la force R �tait dirig�e suivant le prolongement de CM, il suf�irait de changer les signes de leurs seconds membres.

lesquelles el c sont les constantes arbitraires j si l�on appelle 9 l�angle MCx, de sorte qu�on ait

^�o� l�on d�diiira des valeurs de dt et c?9, de la forme dt = frdr, d^ = Vrdr,

'l'i�il ne s�agira plus que d�int�grer exacteraent ou par approximation.

� -f- 2fKdr � h, nbsp;nbsp;nbsp;(3)

Pour l��quation diflf�reutielle de la trajectoire. Si Ton appelle V la vitesse du mobile au point M, on aura

en repr�sentant par S' l�angle que sa direction fait ^Vec MC , ses composantes seront

^�ivant MC et suiyant MH perpendiculaire a ce rajon ^ccteur.

Les deux constantes b el c, el celles qui serout in-troduites par l�inte�grati�n des valeurs de dt et c/G, se d�termineront d�apr�s la position et la vitesse inltialesnbsp;du mobile. Pour cela, je repr�senterai par j/la distancenbsp;initiale CD, par a Tangle CDA qui pourra �tre aigi^nbsp;Ou obfus, et par h la hauteur due a la yitesse initiale;nbsp;desorteque cette vitesse soitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en appelant g

la gravil�. Si Ton suppose que Tintegrale f^dr, qwi entre dans les formules pr�c�dentes, soit nulle quan^lnbsp;r � y, on aura d�abord

d�apr�s la valeur de v'. En vertu de T�quatlon r*t/G � cdt, la valeur de v sin �T est la m�me chose

Quant aux deux autres constantes arbitraires, on leS d�termlnera de mani�re qu�on alt 6 = 0 et r = 7nbsp;quand t � o, et Ie probl�me sera compl�tementnbsp;r�solu.

355. Lorsque la force R est proportlonnelle a 1* distance 7�, les variables x et jr sont s�par�es dans leSnbsp;equations(i), et Ton n�a pas besoln de recourlr auJ^nbsp;coordoun�es polaires et aux equations (2).

A , A', B, B', �tant les quatre constantes arbitraires. I*our les determiner, on a, d�apr�s les suppositionsnbsp;pr�c�dentes,

\ =z y, h'\J^z= � s/agAcosa,

Ces formules nous montrent que les revolutions du Piobile autour du point C seront isochrones, et leur

5.sin�siu�y/^ =jr

pour l�equation de la trajectoire, qui est, comme on voit, une ellipse dont Ie centre est au point C. Pournbsp;quecette ellipse soit un eerde, il faut qu�on ait a=go��nbsp;et ky = 2gh. Dans ce cas, Ie mouvement est uniforme;nbsp;car, d�apr�s les valeurs de x et , on a

ce qui donne s/yk pour la vitesse v. La force cen-quot; trale R et la force centrifuge � sont constantes et

Si la force R est repulsive au lieu d�etre attractive, comme on l�a suppose, il faudra changer k en �- ^nbsp;dans les formules pr�c�dentes. La trajectoire seranbsp;alors une hyperbole, et Ie mouvement cessera d�etrenbsp;r�volutif.

256. Prenons actuellement la force R en raison inverse du cube des distances, et i�epr�sentons-la par

R =

2fMr = igt;(. - ty

ndQ = nbsp;nbsp;nbsp;/----.

Dans Ie cas des signes sup�rieurs, on aura ^9 = arcrsin= 77^ - ; ~ ^�arcfsin = 77==-V

\ nbsp;nbsp;nbsp;ycoVit n^/ \nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V^cot��-j-7iV�

observant qu�on ar = 57etz=i quand 0 = o. De la premi�re valeur de re9, on tire

Le maximum de z ou Ie minimum de r r�pond a la valeur de 0, tir�e de l��quation = ou

Au-dela de cette valeur de 0, le mobile s��loignera ind�finiment du point C , et son rayon vecteur r seranbsp;inlini, pour la plus petite valeur de 0 tir�e de F�qua-tion z = o, OU

la premi�re equation (a), on en d�duira sans difficulf�, t en fonction de 0.

Dans Ie cas de la valeur logarithmique de �0, oo aura , en passant aux nombres et d�signant par e 1�nbsp;base des logarithmes n�p�riens ,

z =- = �(n cotaje --(� �cota e ;

ce qui mon�'e que r diminuera ind�finiment; en sorte que le mobile d�crira une spirale autour du

V^dt =

aSy. Pour dernier exemple, supposons, comme dans la nature, la force R en raison inverse du carr�nbsp;des distances; de sorte qu�on ait

^ �tant l�intensit� de cette force au point D, pour ^^quel I�integrale est supposee nulle.

en meltant co -\-7r a la place de co, afin que ca soit la valeur de 0 qui r�pond a la plus petite valeui�nbsp;de r, c�est-a-dire, au point de la trajectoire ou Ie mobile est Ie plus rapproch� de C.

Pour en d�duire 1��quation de cette courbe en co-ordonn�es rectangulaires, je fais

x' et y seront les coordonn�es du mobile rapport�es a des axes Cx' et Cj', tels que l�on ait x'Cx = co;nbsp;on aura

et en �levant au carr� les deux membres de l��qua-tion (a) de la trajectoire, elle deviendra

k^yy^ Cc��x'^ = nbsp;nbsp;nbsp;- 2C^x' s/ky-

Or, sous cette forme, on voit qu�elle appartient a une section conique, qui sera une ellipse, une pai^aquot;nbsp;bole OU une hyperbole, selon que Ia constante C seranbsp;positive, nulle ou negative. On voit aussi que, dans

tous les cas, Ie point C sera un foyer de cette courbe; Car, d�apr�s Tequation (�), Ie rayon vecteur r est unenbsp;fonction lineaire de l�abscisse oc'; ce qui n�a lieu, dansnbsp;les trois sections coniques, que quand l�origine desnbsp;coordonn�es est un de leurs foyers.

d s�ensuit done que Ie signe de et, par conse'-quent, la nature de la section conique qui sera d�-Crite par Ie mobile, ne d�pendra que de sa distance et de sa vitesse initiales, et nullement de la directionnbsp;de cette vitesse; en sorte que diff�rens points mat�rielsnbsp;partantd�un m�me point D, avec des vitesses �gales ,nbsp;d�criront tous des sections coniques de m�me nature,nbsp;quelles que soient leurs directions initiales. Si l�onnbsp;par exemple, k � g, la courbe de'crite sera unenbsp;ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon quenbsp;1^ hauteur due a la vitesse initiale sera moindre quenbsp;, �gale a cette distance, ou plus grande.

258. Dans Ie cas de l�ellipse, Tequation (a) montre que la plus grande et la plus petite valeur de r, r�-Pondent a 0=g? 7!' et ^=co; en les d�signantnbsp;par a{i e) et a(i �e), de sorte que a soit Ienbsp;demi-grand axe et e l�excentricit�, on aura done

ce qui fait connaitre Ie demi-grand axe et l�excentri' cite. On d�terminera Tangle o en faisant, a la fois,nbsp;6 = o et r=: y dans T�quation (a). Ainsi, les dimensions de Tellipse et la position de son grand axe serontnbsp;compl�tement d�termin�es, d�apr�s la position, la vi'nbsp;tesse et la direction initiales du mobile. Quant a sonnbsp;mouvement sur cette courbe, il est connu par les formules (a), (b), (c), du n� 220.

Le carr� de la vitesse a un instant quelconque est, d�apr�s la formule (4) du n� 234 gt;

il cause de la valeur qu�on vient de trouver pour et en faisant ky^ =:/a, de sorte que fJi soit ici comm^nbsp;dans la formule du n� 225, Tintensit� de la forcrnbsp;centrale a Tunit� de distance.

239, II ne sera pas inutile de consid�rer en parti-*^ulier Ie mouvement parabolique que Ton prend, par approximation, pour celui des com�tes pendantnbsp;dur�e de leur appai�ition.

A cause que l�on a, dans ce cas, �=o ou ky�gh, les equations (h) donnent a � zo et e = i; ce qui anbsp;effectivement lieu dans la parabole. La formule (c) senbsp;i'e'duit a

appelant u la vitesse dans un eerde du rajon On aurait, en vertu de la m�me formule,

par cons�quent, a distance �gale du solell, la vitesse d�une com�te est a celle d�une plan�te qui d�crirait unnbsp;oercle, comme est a i.

On �levant au carr� les deux membres de la derni�re , ot les multipliant ensuite par ceux de la premi�re. Sinbsp;'louc on appelle p la plus courte distance de la co-R^�te au soleil, de sorte qu�on ait

Je fais^ = o et ky = gh dans l��quation (a), et j�j mets pour c* sa valeur sghy�quot; sin�^ a; elle devient

pour l��quation de la trajectoire. Si Ton y fait 9 = o et j' = y, on en d�duit

ce qui determine Tangle co que fait Ie rayon vecteur du p�rih�lie avec celui qui aboutit au point de departnbsp;du mobile.

Je substitue les valeurs de c et de r, dans la premi�re equation (2) du n� 234, et je fais, pour abr�geiv

0 � � = 24, d9 = 2(^4,

*i�o� l�on tire, en integrant et de'signant par e Ia constante arbitraire,

En appelant t' Ie temps �coul� depuis Ie depart du niobile jusqu�a son passage au p�rih�lle, on aura a lanbsp;fois

Cela �tant, d�signons par T Ie temps compt� a partir ^e l�instant de ce passage, de sorte qu�on aitnbsp;Rous aurons

[3 4- tang* 1(0 � �)] tang i (0 � nbsp;nbsp;nbsp;^ ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(e)

en r�solvant cette equation du troisi�me degr�, on aura done tang 1(0 � � ) en fonction de T, et, par

suite, r et 6 a un instant quelconque : Ie temps t sera positif apr�s Ie passage au p�rih�lie, et n�gatif avantnbsp;ce passage.

elle est done, d�apr�s l��quation a?rf = ^ du n� 228; la vitesse moyenne angulaire d�unp plan�te dont Ienbsp;demi-grand axe serait �gal a p; et si Ton appelle ^nbsp;celle de la terre et l son demi-grand axe, de sortenbsp;qu�on aitnbsp;on en conclura

240. Cette analyse montre qu�en consid�rant la determination du mouvement d�une com�te, coinroe un pi'obl�me de dynamique , et supposant, en consequence , que sa position, sa direction et sa vitessenbsp;initiales soient connues, on peut d�duire de ceSnbsp;donn�es, la distance p du sommet de la parabole anbsp;son foyer, l�instant du passage du mobile par ce sommet OU la valeur de t', et la position de l�axe de'pen-dante de Tangle les equations (c), (d), (e), fon^

�nsuite connaitre la vitesse de Ia com�te et sa position sur sa trajectoire a un instant quelconque; et oomme Ie plan de cette courbe est celui qui passe parnbsp;lo centre du soleil et par la direction de to vitessenbsp;'oitiale, il s�ensuit que Ie mouvement est compl�te-Rient determine. Mais Ie probl�me astronomique estnbsp;^liff�rent. Lorsqu�on d�couvre une com�te, les observations ne donnent pas imm�diatement Ie plan de sonnbsp;^rbite, sa distance au soleil, sa vitesse et sa direction,

^ 1�instant o� elle apparait; en sorte qu�en prenant sa position a eet instant, pour son point de depart, lesnbsp;'^onstantes y, h, u, ne sont pas donn�es comme dansnbsp;Ie probl�me pre'c�dent. La question consiste alors anbsp;^�duire des observations, les valeurs de cinq quan-lit�s, savoir : I�inclinaison de l�oi'bite et la longitudenbsp;son noeud ascendant sur Ie plan de Tecliptique, cenbsp;'iRi d�terminera Ie plan de l�orbite ; la longitude dunbsp;P�rih�lie et sa distance au soleil, d�ou il r�sultera lanbsp;position de l�orbite dans son plan; et, enfin, Ie tempsnbsp;'^orrespondant au passage de la com�te par son p�ri-^�lie. Lorsque ces cinq inconnues sont d�termin�es ,nbsp;equations (c), [d), (e), repr�sentent, comme pr�-'^�demment, Ie mouvement de la com�te dans sonnbsp;plan. Or, chaque observation de la com�te donnenbsp;^On ascension droite et sa d�clinaison; trois observations fournissent done six donn�es, et, par cons�-SOent, six equations qui sont plus que suf��santesnbsp;Pour determiner les cinq inconnues; et cela permetnbsp;ilo remplacer deux de ces equations par leur combi-�^aison la plus propi�e a dimmuer l�influence des er-i�oiirs des observations. Les valeurs approch�es des

cinq �l�mens qu�on vient d�enum�rer �tant ainsi con-clues de trois observations faites a T�poque de l�ap^ paritiort, les observations subs�quentes servent en-suite a cotriger ces premi�res valeurs et a v�rifier lesnbsp;formules {d) et (e).

Nous ne po�vons qu�indiquer ici ce probl�me d�aS' tronomie ^ dont il existe diff�rentes solutions.

CHAPITRE VU.

241' points mat�rielsde tons les corps s�attirent ^utuellement, en raison directe des masses, et inversenbsp;carr� des distances.

Cette grande loi de ia nature, que Newton a d�-couverte, est une consequence n�cessaire de 1 observation et du calcul. On peut voir, en eft�et, dans VEcc-position du Sjst�me du Monde , comment, en partant de Texp�rience, on est conduit, sans aucune hypo-di�se et par une suite de raisounemens rigoureux, aunbsp;principe de ^attraction universelle. Les d�veloppe-*tiens de ce principe sont i�objet spe'cial de la M�ca-^�qiie celeste. Dans ce chapitre , nous nous borneronsnbsp;^ en exposer succinctement les principales cons�-'J�ences.

242. La force qui letient les plan�tes dans leurs ^rbites, est la r�sultante de Tattraction exerc�e parnbsp;^ous les points mat�riels du soleil sur tous ceux denbsp;^haque plan�te. Vu la petitesse des dimensions dunbsp;^oleil et des plan�tes par rapport aux distances qui lesnbsp;^sparent, on concoit que ces attractions peuvent �trenbsp;*'cgard�es, avec une approximation sufiisante, commenbsp;des forces parall�les et �gales dans toute l��tenduenbsp;d�une m�me plan�te ; leur r�sultante est alors �galenbsp;^ leur somme, et la distance restant ia m�me, la

force motrice de chaque plan�te est proportionnelle au produit de sa masse et de celle du soleil; ce quinbsp;devient encore plus exact, a cause de la forme a peunbsp;pres sph�rique de ces deux corps, iorsqu�ou prendnbsp;pouj leur distance celle de leurs centres de gravitynbsp;(nquot;99)*

Supposons done , pour exprimer num�riquement 1�intensit� de cette force, que Fon prenne une certain^nbsp;distance, par exemple, celle du soleil a la terre gt;nbsp;pour unite line'aire; choisissons une masse et un ioquot;nbsp;tervalle de temps determines pour unites de ces deu^^nbsp;sortes de quantit�s ; et prenons enfin pour unite denbsp;force, comme dans Ie n� ii8, la force acc�l�ratricenbsp;constante qui produit dans 1�unit�de temps uneVitessenbsp;�gale a Funit� de longueur. Concevons maintenao*'nbsp;deux corps dont les masses soient �galesa celle qu�on ^nbsp;prise pour unite, et qui soient places a une distancenbsp;Fun de Fautre �gale a Funit� lin�aire; soit y la forcenbsp;attractive de Fun des deux corps sur Fautre, eest-'nbsp;a-dire , Ie rapport num�rique de sou intensit� a cell^nbsp;de la force choisie pour unit� ; soient aussi M et innbsp;masse du soleil et celle de la plan�te : la force HiO'nbsp;trice de la plan�te sera � Mm, a Funit� de distance,

La grandeur de Ia quantit� que nous d�signon* paryi depend du pouvoir attractif dont la mati�re estnbsp;dou�e ; ce pouvoir est Ie m�me , a �galit� de masse etnbsp;de distance, pour tous les corps de la nature; rien,nbsp;jusqu�a pr�sent, ne fait soupeonner qu�il augnientenbsp;OU diminue avec Ie temps ; et nous avons �eu de

R��re que la reaction de chaque plan�te sur Ie solell est �gale et contraire a Taction de eet astre sur la pla-

*i�te; mais la force motrice , agissant sur les *ieux masses M et m, leur imprimera a chaque inslaat des vitesses infiniment petites qui sont r�cipro-lt;l�ement pi�oportionnelles a ces masses, ou , autre-

11 en r�sulte que si ces deux corps sont abandon-�i�s, sans aucune vitesse initiale, a leur attraction mu-luelle , ils s�avanceront Tun vers Tautre en parcou-^ant, dans Ie m�me temps, des espaces qui seront en *�aison inverse de leurs masses; ils se joindront aunbsp;Centre de gravit� de M et m, qui partage leur distancenbsp;P�'lmitive en deux parties r�ciproquement propor-lionnelles aux masses.

En general, si la plan�te est projet�e dans Tespace ^Rivant une direction qiielconque, et qu�on proposenbsp;*10 determiner son mouvement apparent autour dunbsp;^�ntre du soleil, regard� comme un point fixe, ilnbsp;laudra concevoir que Ton imprime a chaque instantnbsp;^ eet astre, une vitesse infiniment petite, �gale etnbsp;'-entraire a celle qu�il recoit de 1�attraction de ia pla-'^�te ; mais, afin de ne point alt�rer Ie mouvementnbsp;^elatif de ces deux corps, il faudra, en m�me temps,nbsp;^^^primer cette vitesse a la plan�te; ce qui revient a

lui appliquer une force acc�l�ratrice �gale et contraire a celle du soleil; done, dans Ie mouvement dont il est question, la force acc�l�ratrice de la plane te m sera constamment dirig�e vers Ie soleil M, et

Ainsi, Ton devra substituer cette valeur dans les diff�rentes �quations du mouvement elliptique qu oonbsp;a donn�es pr�c�demment; par cons�quent, l��quatloo

/(M m)�

T �tant loujours Ie temps de la r�volution de la pi�' n�te, et a Ie demi-grand axe de son orbite.

quantit� rn , diff�rera done, pour deux plan�tes don* les masses sont in�gales; ensorte qu�on nepeut pas supnbsp;poser qu�il soit rigoureusement le m�me pour toutesnbsp;les plan�tes, Cependant les observations qui condoi'nbsp;sent a la troisi�me loi de K�pler, prouventque ce mp'nbsp;port est sinon exacteraent, du moins a tres peunbsp;constant; il en faut done conclure que les masses desnbsp;plan�tes sont tr�s petlfes par rapport a celle du soleil;

cube de la distance moyenne varie tres peu en passant d�une plan�te a une autre. La masse de Jupiter, la pi us considerable de toutes, est effectivementnbsp;nioindre qu�un milli�rae de la masse du soleil.

244- C�cst pour cette raison que l�atlraction mu-tuelle des plan�tes ne produit que des perturbations, Ou tr�s lentes, on tr�s peu considerables, dans Ie mouvement elliptique du a Fattraction du soleil. En effet,nbsp;les masses de deux plan�tes �tant m et la forcenbsp;��iotriee dirig�e de Tune vers Fautre, est ex prim �e

comme la distance p ne devient jamais tr�s petite par rapport a la distance r de m au soleil, il s�ensuit quenbsp;Si est une tr�s petite fraction de M, Ie mouvementnbsp;de m produit par Fattraction solaire devra �tre fortnbsp;peu modifi� par Fattraction de m^.

Les perturbations plan�taires peuvent done �tre d�termin�es par la m�thode de la variation des cons-tantes arbitraires, que nous avons expliqu�e pr�c�-demment (n� 229). Elles sont de deux esp�ces. Lesnbsp;Rues consistent en des in�galit�s p�riodiques g�n�ra-Icment tr�s petites, dont les p�riodes comprennentnbsp;des multiples peu consid�rables, en g�n�ral, des r�-Volutions de la plan�te troubl�e et de la plan�te per-lurbatrice. Cependant, lorsque leurs moyens mou-Veniens approchent d�etre commensurables, ces p�riodes peuvent devenir beaucoup plus longues, et

3o..

les inegalit�s beaucoup plus sensibles, Ainsi, les moyens mouvemens de Saturne et de Jupiter �tantnbsp;a peu pr�s entre eux comme 2 et 5, Laplace a trouvenbsp;qu�il r�sulte de l�attraction muluelle de ces deux pla'nbsp;n�tes, une in�galit� dont la p�riode est de 929 aus, etnbsp;dont Ie maximum est d�environ 48' dans la longitudenbsp;de Saturne, et d�a peu pr�s 20' dans celle de Jupiter.

Les autres perturbations des plan�tes sont: iquot;, les mouvemens progress!fs du p�rih�lie et des noeuds denbsp;leurs orbites, dans lesquels ces points parcourent la cir-conf�rence enti�re, en des temps extr�mement longsnbsp;qui peuvent surpasser un millier de si�cles; 2�. lesnbsp;variations s�culaires qui affectent les excentricit�snbsp;et les inclinaisons de ces orbites, ainsi que les longitudes moyennes des plan�tes, dont les p�riodes sontnbsp;semblables aux pr�c�dentes, et dont les amplitudes,nbsp;peu consid�rables , ne sont pas encore bien connues.

Mais tandis que ces divers �l�mens du mouvement elliptlque varient simultan�ment en vertu de l�attrac-tion plan�taire, ii est tr�s remarquable que cette forcenbsp;n�al t�re aucunement les grands axes des orbites et lesnbsp;moyens mouvemens des plan�tes, qui seront lesnbsp;m�mes a toutes les �poques, ainsi que les temps desnbsp;revolutions, li�s aux grands axes par l��quation (i)*nbsp;Toutefois, les variations s�culaires des longitudesnbsp;moyennes en produisent de semblables dans les in-tervalles entre deux retours cons�cutifs a un m�menbsp;point fixeelles sont insensibles dans Ie mouvementnbsp;des plan�tes, mais non pas dans celui des satellites,nbsp;et particuli�i'ement dans Ie mouvement de la lune,nbsp;qui s�acc�l�re, pourc-ette raison, de si�cle en si�cle.

La force acc�l�ratrice qui provient de l�attraction u�une plan�te ?n^siir uiie autre plan�le/n, �tant ind�-pendante de la masse m et proportionnelle a la massenbsp;on concoit que les perturbation^ dues a cette forcenbsp;et obsei�v�es dans Ie mouvement de m autour du so-leil, peuvent servir a determiner Ie rapport de lanbsp;ttiasse rtii a celle de eet astre. Ainsi, par exemple,nbsp;d�apr�sla grande in�galit� de Saturne, produite parnbsp;1�action de Jupiter, on a trouv� la masse de cettenbsp;dei�ni�re plan�te �gale a 7^0 de celle du soleil. Nousnbsp;mdiquerons tout a l�heure un autre mojen de cal-culer la masse des plan�tes, quand elles sont accom-pagu�cs dun ou plusieurs satellites.

Les com�tes, a cause de la petitesse de leurs masses, �e produisent aucun effet appr�ciable sur les plan�tes;nbsp;niais leurs mouvemens sont troubl�s par les attractionsnbsp;plan�taires, et l�on d�termine aussi par la m�thodenbsp;du n� 229, leurs perturbations, qui influent consid�ra-blement sur les �poques de la r�apparition de chaquenbsp;com�te, c�est-a-dire, sur l�intervalle de temps comprisnbsp;C�tre deux passages cons�cutifs a son p�rih�lie.

245. Soient m' et m les masses d�un satellite et de sa plan�te, et r' la distance de leurs centres; la forcenbsp;l�otrice du satellite, dirig�e vers Ie centre de la pla-

X nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fm m' ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,.

^; Ie coefficient � �tant Ie rn�me que pr�c�demment. �ans son mouvement apparent autour de la plan�te,nbsp;la force acc�l�ratrice du satellite aura pour expression

Je repr�senterai par a' Ie demi-grand axe de Tor-bite du satellite, et paf T' Ie temps de sa revolution; en appliquant l��quatioa (i) a son mouvement, on

et si I on divise ces deux equations membre a membre, afin d eliminer Ie coefficient �, il en r�sultera

Or, si l�on excepte la lune, les masses des satellites sont tres petites par rapport a celles de leurs plan�tesnbsp;respectives : la masse dun satellite de Jupiter, parnbsp;exemple, n�est pas un dix-milll�me de celle de cettenbsp;plan�te; on peut done mettre 7nk la place de tn 7nnbsp;danscette derni�re equation j et comme a, a', T, T^nbsp;sont des donn�es de l�observation , elle pourra servir anbsp;determiner Ie rapport de m a M. C�est de cette ma-ni�re que Newton a trouve� pour la masse de Jupitei�;

de celle du soleil; ce qui diff�re peu de la fraction -7-5 qn�on a obtenue depuis par un autre mojen-2/^6. L�attraction mutuelle des satellites d�utic m�me plan�te, quand elle en a plusieurs, et Tin�ga-lit� d�action du soleil sur chaque satellite et sur sanbsp;plan�te , produisent dans les mouvemens ellipticnbsp;ques des satellites , des perturbations analogues ^nbsp;celles que nous venons d�indiquer pour les plan�tes-Les perturbations provenant de l�action re'ciproquenbsp;des satellites, font connaitre les rapports de leursnbsp;masses a celle de la plan�te, dont l�attraction prodndnbsp;leur mouvement elliptique. Mais ce mojen manquant

pour la lune, on y suppl�e par d�aulres consid�ra-Pons, parmi lesquelles je vais indiquer Faction de oe satellite sur les eaux de la mer.

Soient C ( Gg. 56) Ie centre de la terre, A celui de lalune,Mun pointquelconque du sph�ro�de terrestre;nbsp;faisons

et si nous abaissons du point M la perpendiculaire MB sur la droite AC, nous aurons aussi

Au point M, la force acc�l�ratrice provenant de Fattraction de la lune et dirig�e suivant MA, aura

Satellite, et par � Ie m�me coefficient que pr�c�dem-Oaent. I^es composantes de cetle force suivant la pei�-pendiculaire MB et la parall�le MD a la droite AC, seront done

Je substitue la valeur de p dans ces quantit�s; et �a plus grande valeur de r, c�est-a-dire, Ie rayon dunbsp;globe terrestre, �tant, a peupr�s, un soixanti�menbsp;de a , je ne'glige Ie carr� de r; en faisant alors

dont la r�sultante varie en grandeur et en direction) d�un point M a un autre, et est nulle au centre C.

enti�re de la terre se portera vers la lune, d�un mouvement commun a toutes ses parties, sans que les points de la partie fluide changent de position relative;nbsp;e�est done aux forces lt;p et lt;p' appliqu�es aux differensnbsp;points de la mer, que seront dus le Jluoc et le refluxnbsp;produits par Taction de la lune.

La masse du soleil �tant M, et a sa distance a la terre, si Ton d�signe, en outre, par /4,nbsp;que deviennent A, (p, lt;p', relativement a cet astre;nbsp;on aura� de m�me

pour les composantes de la force provenant de Taction du soleil, qui concourent au ph�nom�ne des mar�es. En les comparant aux forces cp et lt;p', on vodnbsp;que pour un point de la mer, dont le rayon vecteui�nbsp;r fait le m�me angle A ou avec le rayon vecteur denbsp;la lune ou du soleil, les actions de ces deux astres,nbsp;qui produisent les oscillations de la mer, sont entrenbsp;elles comme leurs masses, divis�es par le cube denbsp;leurs distances au centre de la terre. Or, on concodnbsp;que, toutes choses d�ailleurs �gales, les grandeurs dc

ces oscillations doivent �tre entre elles comme les forces correspondantes; si done on. d�signe par co Ienbsp;i'apport de la mar�e lunaire a la inar�e solaire, dansnbsp;On m�me lieu de la terre et pour des positions sem-tlables des deux astres, on auranbsp;equation dans laquelle on prendra pour a et a lesnbsp;distances moyennes de la lune et du soleil a la terre,nbsp;et d�o� l�on tire

� nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O) -3 �,

D�apr�s les lois difF�rentes que suivent les mar�es lunaire et solaire, on peut, effeclivement, distinguernbsp;les unes des autres, et determiner leur rapport ennbsp;ehaque lieu de la terre. La moyenne d�un grandnbsp;Uombre dobservations, faites dans Ie port de Brest,nbsp;donne (¹)

pour la valeur de ce rapport. La distance a est, a tr�s peu pr�s, 400 fois la distance cl, et la masse M,nbsp;comme on Ie verra tout a l�heure, aussi a tr�s peunbsp;pr�s, 355ooo fois la masse m. Au moyen de ces va-leurs, on trouve, d�apr�s la formule pr�c�dente, lanbsp;tUasse de la lune �gale a ^ de celle de la terre.

de la terre, les actions du soleil et de la lune produi-sent encore, dans Ie mouvement du sph�ro�de ter-restre autour de son centre de gravit�, a raison de sa non-sph�ricit�, des perturbations que nous feroosnbsp;connaltre lorsqu�il sera question du mouvement denbsp;i�Otation d�un corps solide.

247- On peut remarquer que la composante des forces (p et cp', suivant Ie prolongement ME du rayonnbsp;CM, est (p' cosA � lt;p sin A; en sorte que sa valeur est

C�est la diminution de la pesanteur au point M, pro-duite par Faction de la lune. Or, en supposant que M appartienne a la surface de la terre, et d�signant pai�nbsp;g la gravit� en ce point, on a aussi fin = gr^, a ti'�snbsp;peu pr�s; d�ailleurs, Ie maximum de 2C0s�A � sin�Anbsp;r�pond a A=o, et est �gal a 2. La plus grandenbsp;valeur de cetle diminution de pesanteur sera donc

fluence de Faction lunaire sur la longueur du pen' dule a secondes fut appr�ciable, il faudrait done pou'nbsp;voir porter Fexactitude jusqu�a la seconde d�cimalnnbsp;au-dela des cent-milli�mes, o� Fon s�arr�te ordinaire'nbsp;ment dans la mesure de sa longueur. Cette influencenbsp;produirait, dans la raesure du temps, une in�galit� re-gl�e sur Ie mouvement de la lune, dont Ie maximin^^nbsp;ne s��leverait qu�a un demi-centi�me de seconde ennbsp;un jour.

248. Abstraction faite de la foi�ce centrifuge due a rotation de la terrc, la pesanteur que nous obser-''ons a sa surface est la r�sultante des attractionsnbsp;^xerc�es par tous les points du sph�ro�de sur chaquenbsp;point materiel, laquelle r�sultante ne d�pend que denbsp;position et de la masse de ce point, et nullementnbsp;la nature du corps auquel il appartient; c�est, ennbsp;efFet, ce que l�exp�rience a pleinement confirm�.nbsp;L�intensit� de cette force doit diminuer a mesurenbsp;lt;�u�on s��l�ve au-dessus de la surface de la terre; etnbsp;o est aussi ce qui r�sulte des observations du pendule,nbsp;faites a diff�rentes hauteurs. De plus, la pesanteurnbsp;terrestre, diminu�e dans Ie rapport du carr� dunbsp;fayon de la terre au carr� du rayon de l�orbile lunaire, doit �tre la force acc�l�ratrice qui retient lanbsp;^�ne dans son orbite. Or, la distance du satellitenbsp;otant, a peu pres, 60 fois ie rayon de la terre, ilnbsp;^ensuit que la lune, si elle n�avait aucune vitesse,nbsp;devrait tomber vers la terre, de la m�me quantit� ennbsp;nne minute qu�un corps quelconque, dans Ie vide ,nbsp;nii une seconde a la surface de la terre. Cette quantit� n�est autre chose que Ie sinus verse de l�arcnbsp;^ne la lune d�crit sur son orbite en une minute ,nbsp;a tres peu pres, Ie carr� de eet are dlvis� parnbsp;^0 diam�tre de cette courbe; et comme la clrcon-f�rence de l�orbite est Go fois celle de la terre, onnbsp;On conclut que la quantit� dont il s�agit est �gale a

S�gnant par n Ie nombre do minutes que contieut Une r�volution lunaire. II faut done, d�apr�s la va-

leur de la gravit� g qu�on a trouv�e par rexpe-rience du pendule, que ce produit soit a tres peo pr�s �gal a 4�j90; on trouve, effectivement, 4�?^^nbsp;pour sa valeur, en observant que n = 5g343.nbsp;dif��rence serait encore moindre , en ayant �gard anbsp;diverses circonstances dont nous avons fait abstraction pour simplifier la demonstration.

La pesanteur terrestre est done un cas particulier de l�attraction universelle; et, pour cette raison gt;nbsp;l�on appelle aussi cette force g�n�rale la pesanteurnbsp;OU la gravitation universelle.

249quot; A cause que la terre s��carte peu de la forme sph�rique, l�attraction qu�elle exerce sur un point

sphere, en d�signant par m sa masse, par r son rayon, et par J Ie coefficient de l�attraction universelle. Cette valeur approch�e doit �tre tout-a-fai*^nbsp;exacte pour les points appartenant a un certain pU'nbsp;rallhle; et, d�apr�s la th�orie de l�attraction des sphe-ro�des peu diff�rens d�une sphere, ce parall�le estnbsp;celui dont Ie carr� du sinus de la latitude est Sui�nbsp;ce parall�le, la pesanteur a pour mesure 9�,7938^nbsp;(n� igS); mais, pour l��galer a l�attraction terrestre,nbsp;il faut pr�alablement l�augmenter de la composantenbsp;verticale de la force centrifuge, laquelle composante

pourra regarder cette valeur de la gravit�, ainsi ^�iodifi�e, comme �gale a Fattraction de la terre, etnbsp;poser F�quation

8 =

En la multipHant membre a membre par F�qua-*�on (i) du n� 243, appliqu�e au mouvement de la ^orre autour du soleil, on en conclutnbsp;�Orniule qui va servir a determiner Ie rapport de lanbsp;Riasse de la terre a celle du soleil.

Si Pon concoit un triangle rectangle qui ait pour base Ie rayon de la terre, et pour hauteur sa distancenbsp;soleil, le petit angle oppose a la base est la paral-du soleil, que Fon determine directement parnbsp;observations astronomiques, et que Fon peutnbsp;^�ssi d�duire d�une certaine in�galit� produite dansnbsp;^0 mouvement de la lune par Faction du soleil, quenbsp;^on appelle Fin�galit� parallactique. La grandeur denbsp;parallaxe varie avec le rayon de la terre et sonnbsp;^loignement du soleil auxquels elle repond; pour lanbsp;'^'Stance moyenne a et pour le rayon r qui aboutitnbsp;parallele dont le sinus de la latitude est \/a, sanbsp;^^leur est 8quot;,60. On a, par consequent,

Au moyen de ces valeurs et de celle de g, qui sup' pose aussi qu�on a pris la seconde pour unite denbsp;temps, on trouve

aSo. Le soleil est une sphere d�un rayon �gal * 110 fois celui de la terre; on cormait done le rapportnbsp;des volumes Je ces deux corps et celui de leurs masses Jnbsp;d�oii l�on conclut imm�diatement le rapport de leurSnbsp;densit�s moyennes : celle du soleil est, a peu pr�s gt;nbsp;le quart de la densit� de la terre.

A la surface de eet astre, l�attraction est expi�i' mee parnbsp;en appelant R son rayon. A cause de

et elle a pour valeur {-2^,5) g, d�apr�s celle de �. La dur�e de la rotation du soleil autour de sow

axe �tant de 25gt;,5, la force centrifuge a son �quateuf n est que ie sixi�me de cette force a Tequateur de 1^

terre. En n�gligeant done la diminution qu�elle pro-d�it dans la pesanteur a la surface du soleil, on voit Ie poids d�un corps a cette surface est 29 fois etnbsp;miemie Ie poids du rn�me corps a la surface de lanbsp;^erre , et que les corps y parcourent a peu pr�snbsp;*35 metres dans la premi�re seconde de leur chute.nbsp;En appliquant successivement l��quation (i) dunbsp;245 a la terre et a une autre plan�te, et supposantnbsp;'lue les quantit�s in, a, T, relatives a la terre, de-^lennent m,, a,, T,, par rapport a la plan�te, on ennbsp;*^onclura

par 1 elimination de �. Connaissant la valeur de a par l�observation de la parallaxe solaire, ou autre-iRent, ainsi que la masse in de la terre et la dure'e Tnbsp;de l�ann�e syd�rale, cette equation servira a d�ter-Riiner la valeur du demi-grand axe a, d�une plan�tenbsp;quelconque, loi�sque sa masse m, et Ie temps T, de sanbsp;''evolution seront donn�s. Le proc�d� du n� 240nbsp;Pour determiner cette masse, suppose seulement qu�onnbsp;eonriaisse une valeur approch�e du demi-grand axe.

251. L�attraction exerc�e a la surface de la terre Par une masse consid�rable, telle qu�une haute mon-tagne, fera d�vier les corps pesans de la directionnbsp;''erticale, et le prolongement du fil a plonib n�iranbsp;plus rencontre!� le ciel au z�nith. II s�en �cartera ennbsp;Sens contraire des deux c�t�s oppos�s de la mon-tagne; en sorte que si tout est semblable de part etnbsp;d�autre, pour la forme de la montagne et pour l��loi-gQement du fil a plomb, la distance angulaire des

deux �toiles par lesquelles son prolougement ira passer, sera double de sa deviation. Cet effet a etc observe, par les astronomes, au P�rou et en �cosse; mais, a cause que les masses des plus hautes monta-gnes sont encore ti��s petites, eu �gard a la rnasse de lanbsp;terre, les deviations dont il s�agit sont aussi tr�s pcunbsp;considerables, et ne s��l�vent qu�a de petits nombresnbsp;de secondes. Voici un example du calcul de la deviation du fil a plomb, due a l�attraction d�une massenbsp;donn�e.

Soit A (fig. 5'j') Ie centre d�une sphere homogene, suspendue a l�extr�mit� d�un fil inextensible et inflexible, dont l�autre bout est attach� aru point fixe C;nbsp;soit aussi 0 Ie centre fixe d�une autre sphere homogene qui agit sur Ia premi�re. Le fil CA s��cartei�a denbsp;la verticale CB sans sortir du plan passant par celtenbsp;droite et la ligne CO; et, dans sa position d��qui-libre, il faudra que la r�sultante du p�ids de la premi�re sph�re et de Fattraction de la seconde viennenbsp;passer par le point fixe C. Or, ces deux forces se-ront appliqu�es au point A , Fune suivant Ia verticale AD, Fautre suivant la droite AO; et elles ten-dront a faire tourner le fil CA en sens oppos�s aulournbsp;du point C. Pour que leur r�sultante passe par 1�nbsp;point 0, il faudra done que leurs momens, par rapquot;nbsp;poi�t a ce m�me point, soient �gaux (n� 46) J par cons�quent, si 1�on appelle P et Q le poids de la premi�renbsp;sph�re et Fattraction totale de la seconde, et que I�onnbsp;d�signe par p et q les pez�pendiculaires CE et CF,nbsp;abaiss�es du point C sur les prolongemens denbsp;et de OA , on aura

pour r�quation d��quilibre qui devra servir a determiner Ia deviation inconuue BCA.

J�appelle .x eet angle, y Tangle donn� BCO , a et c les distances aussi donn�es CA et CO, et lanbsp;distance inconnue AO; nous aurons

Appelons aussi in la masse de la terxe, ln^ celle de la sph�re mobile, in' celle de la sph�re attirante. En d�-signant toujours par y Ie coefficient de Taltractionnbsp;Rniverselle, et repr�sentant par r Ie rajon de lanbsp;terre, les forces motrices P et Q auront pour valeurs

et si f est la deusit� moyenne de la terre, f' celle de la sph�re attirante, et r' son rayon, on aura aussi

oil il ne i�estera plus qu a mettre la valeur dey pour en d�duire ensuite celle de x.

Je supposerai, ce qui a lieu g�n�ralement, la longueur CA du fil a plomb tres petite par rapport a Ia distance CO. En n�gligeant a par rapport a Cnbsp;dans les valeurs de j, on aura simplement = c ;nbsp;d�o� il r�sultera

La densit� p' et Ie rajon r' de la sphere attiranle restant les ni�mes, la valeur de x que l�on tirera denbsp;cette equation sera d�autant plus grande que la distance c sera plus petite, et que Tangle y approcheranbsp;davantage d��tre un angle droit j et comine c ne peutnbsp;pas �tre moindre que Ie rayon r', il s�ensuit qu�onnbsp;aura Ie maximum de deviation du fil a plomb quenbsp;puisse produire Tattraction d�une sphere donn�e, ennbsp;prenant c = r' et y = go�; ce qui r�duit T�quationnbsp;pr�c�dente a

Si Ton suppose, par exemple, p' = p, et qu�on de-mande quel doit �tre Ie rayon r' pour que la deviation X s��l�ve a une seconde, on aura r' =� r tang \'''t et, a cause que la circonf�rence 27rr de la teri'e est denbsp;4o millions de metres, il en r�sultera r'=:3o�,856...-Alnsi, une sphere homogene d�environ 3i metres denbsp;rayon, et d�une densit� �gale a la densit� moyennenbsp;de la terre, ne produit qu�une deviation d�une seconde au plus dans la direction du fil a plomb; etnbsp;pour qu�elle la produise, il faut qu�elle touche Tex-tr�mit� inf�rieure de ce fil, et que son centre soit

252. Cette moyenne densit� de la terre, conclue de la deviation du lil a plomb que produit l�attrac-lion des montagnes, a �te �valu�e a quatre ou cinqnbsp;Ibis la densit� de l�eau. Cavendish l�a trouv�e �gale anbsp;cinq fois et demie cette densit�, en la d�duisant denbsp;1�attraction exerc�e par deux globes de plomb denbsp;buit pouces anglais de diam�tre, qu�il a su rcndre sensible par Ie moyen de la balance de torsion. Sans en-trer ici dans tous les d�tails de cette belle exp�rience,nbsp;des diverses precautions qu�elle exige, et des calculsnbsp;qu�il faut faire pour en d�duire un r�sultat exact , jenbsp;vais seulement indiquer les points principaux de cesnbsp;Calculs (^).

La balance de torsion est I�instrument Ie plus exact que nous ayons pour servir a la mesure des forcesnbsp;tr�s petites. Coulomb , a qui 1�invention en est due,nbsp;i�a surtout empJoy�e a mesurer les forces d�attractionnbsp;ct de r�pulsion des corps �lectris�s; et, pour cettenbsp;raison, elle est aussi connue, en Physique, sous Ienbsp;uom de balance �lectrique. Elle consiste principale-Uient en un lil m�tallique tr�s d�li�, vertical, attach�nbsp;^ un point fixe, et a l�extr�mit� duquel est suspendunbsp;Rn levier horizontal. Supposons ce levier form� d�unenbsp;bge tr�s mince ACA' (fig. 58 ), partag�e en deuxnbsp;parties �gales a son point d�attache C, et termin�e

(�*�) On trouve dans le 17' cahier du Journal de l��coIe J^oljtechnique une traduction exacte du m�moire de Cavendish.

par deux spheres d�un petit diam�tre, dont les centres sont A et A'. Du point C comrae centre, et d�un rayon �gal a CA, d�crivons Ie eerde horizontalnbsp;BAB'A', dont nous diviserons la circonf�rence en unnbsp;grand nombre de parties �gales. Lorsque Ie leviernbsp;tournera autour du point C, ses extr�mit�s A et A^nbsp;parcourront cette circonf�rence, et les points de division auxquels ils r�pondront a chaque instant fe-ront connaitre les arcs qu�ils auront d�crits. Tant quenbsp;Ie fil de suspension qui aboutit au point C n�est pasnbsp;tordu, Ie leviet� reste en repos dans une certaine position. Je suppose qu�il r�ponde alors a la ligne BCB';nbsp;si l�on vient a Tecarter de cette ligne, pour Ie mettrenbsp;dans une autre position quelconque ACA', Ie fil denbsp;suspension sera tordu sur lui-m�me, et cette torsionnbsp;tendra a ramener ce levier vers la ligne BCB'. Pournbsp;Ie retenir dans la direction ACA', supposons que l�onnbsp;applique a ses deux extr�mit�s des forces �gales etnbsp;contraires, dirig�es dans Ie plan horizontal, et per-pendiculaires a sa longueur; la valeur commune denbsp;ces deux forces sera la mesure de la force de torsionnbsp;qui leur fait �quilibre. Or, les exp�riences de Coulomb ont prouv� que Ie fil de suspension restant Ienbsp;m�me, cette force de torsion est proportionnelle anbsp;Tangle BCA; en prenant done Tangle droit pournbsp;unite, appelant h la force de torsion qui r�pond �nbsp;cet angle, et d�signant par � Tangle BCA, cettenbsp;force, dans la position ACA' du levier, sera �galenbsp;a /zQ : ainsi, dans cette position, la torsion du fi^nbsp;de Suspension �quivaudra a deux forces �gales a h^tnbsp;horizoulales, perpeudiculaires a ACA', appliqu�es

Cela pos�, approchons du levier deux sph�res ho-niog�nes d�une m�me mati�re, d�un m�me diam�-tre, et sym�triquement plac�es de part et d�autre de la ligne BCB^ Soient 0 et 0^ leurs centres si-tu�s dans Ie plan horizontal qui contient Ie levier,nbsp;a �gale distance de C , et sur une droite OCO^ men�enbsp;par ce point. L�attraction de ces deux corps va �car-ter Ie levier de la ligne BCB'; et, ;) cause que toutnbsp;est semblable autour du centre C, la droite ACA'nbsp;tournera autour de ce point, qui restera immobile.nbsp;A mesure que Ie levier s��cartera de la ligne denbsp;repos, la force de torsion augmentera. II existe unenbsp;position dans laquelle cefte force ferait �quilibre anbsp;l�attraction des deux sph�res; mais comrae Ie leviernbsp;atteint cette position avec une vitesse acquise, il lanbsp;d�passe, et il oscille , de part et d�autre, a la ma-tii�re d�un pendule horizontal. L�observation faitnbsp;connaitre la dur�e d�une oscillation enti�re. En comparant la longueur de ce pendule a celle d�un pendule ordinaire qui oscillerait dans Ie m�me temps,nbsp;on en conclut Ie rapport de la force d�attraction denbsp;ohaque sphere a Ia pesanteur; et, par suite, on anbsp;Ie rapport de la masse de cette sphere a celle denbsp;la terre. L��quation qui sert a determiner ce rapport est facile a former, ainsi qu�on va Ie voir.

253. Les deux sph�res mobiles dont les centres sont en A et A', �tant sollicit�es par les m�mes forces, etnbsp;ajant Ie m�me mouvement autour du point fixe C,nbsp;il sufFira de consid�rer Ie mouvement du centre de

Tune d�elles, du poiut A, par exemple; soient done comme dans Ie probl�me precedent,

appelons m' la masse de la sphere attirante dont Ie centre est en O , et/ Ie coefficient de l�attraction uni-verselle; au bout d�un temps quelconque t, d�signonsnbsp;par 6 Tangle ACB, et par z la distance AO, nousnbsp;aurons

autres forces, Tune dirig�e suivant Ie prolongemeot de CA, et Tautre perpendiculaire a CA. Cette derni�re

valeur d�duite du triangle COA. Si Ton retranche de cette composante tangente a la trajectoire, la forcenbsp;de torsion /z� qui lui est directement oppos�e, et s'nbsp;Ton observe que Tarc BA d�crit par Ie mobile est ega^

L�attraction de la masse m' etant une tres petite force, Tangle 0 dont elle �cart� Ie Ie vier ACA' de sa

DYNAMIQUE, PREMI�RE PARTIE. ligne de repos sera tres petit. En appelant b la distance BO, OU la valeur de z qui r�pond a � = o, denbsp;sorte qu�on ait

et qu�on n�glig� les puissances de G sup�rieures a la premi�re , l��quation du mouvement deviendra

D�apr�s cette valeur de 6, Ie plus petit et Ie plus grand �cart du levier ACA', a partir de la ligne BCB',nbsp;seront � ^ et � � A; et, si l�on tire la ligne DCD',nbsp;lelie que Tangle BCD solt �gal 'a �, Ie levier fera, denbsp;part et d�autre de cette droite, des oscillations �galesnbsp;6t isochrones dont Tamplltude sera la constante k:

on d�terminera Tangle � par Texp�rience, en mesu-rant Ie plus petit et Ie plus grand �cart du levier, et prenant, pour eet angle, la demi-somme de ces va-leurs extremes de �. La droite DCD' qui r�pond a 6=^nbsp;est la position du levier dans laquelle il demeureraitnbsp;en �quilibre , s�il y parvenait sans vitesse acquise. Lanbsp;dur�e de chaque oscillation enti�re du levier, de partnbsp;et d�autre de cette ligne, sera Ie temps pendant le-

Maintenant, si Ton appelle g la gravit�, et l la longueur du pendule simple qui fait ses oscillationsnbsp;infiniraent petites dans Ie temps T, on a ( n� 182 )t

Tout es les quantit�s contenues dans cette formule sont connues dans chaque experience; elle serviranbsp;done a calculer Ie rapport de la masse m' a celle denbsp;la terre; et connaissant, en outre, les volumes de cesnbsp;deux corps et la densit� de m', on en conclura la den-sit� moyenne de la terre.

254- On d�montre, dans la M�canique celeste, que pour la stabilit� de l��quilibre de la mer, il estnbsp;Re'cessaire et il suffit que la densite' moyenne de lanbsp;terre surpasse celle de l�eau. C�est paree que cettenbsp;condition est remplie, que les forces provenant desnbsp;actions simultan�es du soleil et de la lune ne produi-sent que de petites oscillations ; si elle ne l�e'tait pas,nbsp;et que la terre, par exemple, en conservant sa densit� moyenne, fut recouverte par une mer de mer-cure, Faction des moindres forces �trang�res aunbsp;sph�ro�de terrestre, produirait, dans ce fluide, unnbsp;i^ouvement progressif, de sorte que la mer, aunbsp;lieu d�osciller, parcourrait la surface enti�re de lanbsp;terre.

On prouve aussi, par diverses considerations, que la densit� des couches concentriques du sph�ro�denbsp;terrestre doit croilre en allant de la surface au centre;nbsp;d�ou il r�sulte que sa densit� moyenne doit surpassernbsp;celle de la couebe superficielle; condition qui senbsp;trouve effectivement remplie ; car si Fon excepte lesnbsp;m�taux, qui sont en petite quantit� dans cette couche.nbsp;les densit�s des autres mati�res dont elle est form�e,nbsp;sont toutes beaucoup moindres que cinq fois et de-mie la densit� de Feau. Mais il importe d�observernbsp;que eet accroissement de densit� ne suppose pas Fexisgt;

tence de mati�res enti�rement differentes de celles que nous vojons a la surface , et dont la densltenbsp;propre serait excesslvement grande: on peut admettrenbsp;que toutes les couches de la terre sont form�es d�unenbsp;m�me mati�re, un peu compressible, ou d�un m�lange de differentes mati�res, comme a sa surface;nbsp;et dans cette hypothese, qui parait la plus naturelle ,nbsp;leur accroissement de densit� serait d� a la condensation produite, dans chaque couche, par la pressionnbsp;des couches sup�rieures, qui va en augmentant denbsp;la surface au centre.

Dans l�int�rieur de la terre, la loi de l�attraction d�pend de la loi inconnue des densit�s; en dehors,nbsp;elle varie sur Ie prolongement de chaque rayon, anbsp;peu pres en raison inverse du carr� de la distancenbsp;au centre; et d�un rayon a un autre, elle �prouve ennbsp;m�me temps une variation proportionnelle au carr�nbsp;du cosinus de Tangle que chaque rayon fait avec Taxenbsp;de figure du sph�ro�de terrestre. II r�sulte de cettenbsp;derni�re variation qu�a �gale distance du centre de lanbsp;terre , la force appliqu�e au centre de la lune et pro-venant de i�attraction de ce sph�ro�de, n�est pas lanbsp;m�me dans toutes les directions du rayon vecteur;nbsp;en sorte qu�on peut consid�rer cette force commenbsp;�tant compos�e de deux autres, Tune provenant denbsp;la partie sph�rique de la terre et qui est constante ounbsp;ne varie qu�a raison de la distance a son centre, Tautrenbsp;due au renflenient de la terre a T�quateur et quinbsp;varie avec la direction du rayon par rapport a Taxenbsp;des poles. Laplace a d�termin� la petite in�galit� ennbsp;longitude et en latitude, que cette seconde force

produit dans Ie mouvement de la lune 5 on concoit C[ue sa grandeur dolt d�pendre de l�applatissementnbsp;de la terre; et en la comparant a celle que l�ob-servatioii a donn�e , on en conclut un applatisse-nienty�, peu diff�rent de celui qui r�sulte de l�en-semble des mesnres du pendule et des degr�s dunbsp;tti�ridien.

A la surface de la terre, la variation de la pesanteur provenant de celle de rattraction et de la force centrifuge , suit la m�me loi qu�a une distance quelconquenbsp;du centre , c�est-a-dire qu�elle est proportionnelle,nbsp;comme nous l�avons d�ja dit ( n� 178 ), au carr� dunbsp;cosinus de Ia latitude. Mais pour v�rifier cette loi parnbsp;les mesures du pendule a secondes, il faut que lesnbsp;oscillations ne soient pas observ�es pres d�une mon-fagne ; car, en m�me lemps que la composante horizontale de son attraction �cart� Ie pendule de Ianbsp;Verticale, dans sa position d��quilibre, la composantenbsp;Verticale de cette force diminue la pesanteur, et,nbsp;oons�quemment, la longueur du pendule simple. Ennbsp;�vitant cette cause d�anomalie, on Irouve encorenbsp;qu�en certains lieux la longueur du pendule a secondes s��carte de la loi de variation donn�e par lanbsp;th�orie : ce qu�on dolt attribuer a ce qu�en ces lieux ,nbsp;la densit� du terrein, dans une �tendue et une pro-londeur considerables, est plus grande ou plus petitenbsp;que la densit� g�n�rale de la couche superficielle;nbsp;d�o� il r�sulte une augmentation ou une diminutionnbsp;de la pesanteur totale, et, par cons�quent, de lanbsp;longueur du pendule simple, qui est proportionnellenbsp;a son intensit�. Le pendule est done aussi uu instru-

ment de Ge'ologie, qui annonce, par ses anomalies, des variations d�une grande �tendue dans la naturenbsp;du sol.

Au reste, il faut observer que la lol du d�croisse-ment de la pesanteur, proportiounel au carr� du cosinus de la latitude , en allaut du pole a l��quateur, suppose qu�on prend pour la surface de la terre Ienbsp;prolongement du niveau des mers; et comme lesnbsp;lieux des conlinens o� se font les observations s��l�-vent a des hauteurs diff�renles au-dessus de ce niveau,nbsp;il est n�cessaire de r�dulre les longueurs observ�es,nbsp;a celles qui auraient lieu a ce niveau-m�me surnbsp;chaque verticale. Cette reduction se fait ordinaire-ment en augmentant la pesanteur et la longueur dunbsp;pendule a secondes , dans Ie rapport du carr� de lanbsp;distance du lieu de l�observatlon au centre de la terre,nbsp;au carr� de cette m�me distance diminu�e de la hauteur de ce lieu au-dessus du niveau des mers; ce quinbsp;revienl a n�gliger l�attraction de la couche de terrenbsp;comprise entre la surface du continent et Ie prolon-gement de la surface des mers. On va voir, dans Ienbsp;num�ro suivant, que cette correction est trop grandenbsp;de pres de moiti�.

255. Soient AM'B ( fig. 5g ) la surface d�un continent,DAMBE Ie niveau des mers et son prolongement, et C Ie centre de la terre; soient aussi M' Ie lieu denbsp;l�observatioa, et M Ie point o� Ie rayon CM' rencontre ce prolongement; M'M sera la hauteur donbsp;point M au-dessus de la surface des mers, que jenbsp;repr�senterai par h, et qui sera donn�e par un nivel-lernent ou par des mesures barom�trlques. Si M' �tait

tres voisin de la mer, la pesanteur pourrait �tre un peu diminu�e et sa direction un peu d�rang�e, a causenbsp;lt;}ue la densit� de l�eau est moindre que celle du terrein; mais je supposerai que cela n�aitpas lieu, et jenbsp;supposerai aussi qu�autour du point M' la surface dunbsp;terrein soit horizontale ou sensiblement perpendiculaire au rayon CM', et que sa densit� soit uniforme.nbsp;II s�agira de calculer Tattraction exerc�e au point M',nbsp;par la coiiche AM'BM, �lev�e au-dessus du niveaunbsp;des mers. Dans ce calcul, on poura faire abstractionnbsp;de la courbure de cette couche et de la variation denbsp;sou �paisseur, ou, autrement dit, on pourra consi-d�rer l��paisseur de cette couche comme constantenbsp;et �gale a h, dans toute l��tendue o� son attraction peut �tre sensible. Je repr�senterai par c Ienbsp;rayon de cette �tendue, et par p' la densit� de lanbsp;couche.

Cela pos�, soit K un point quelconque de la couche attirante; d�signons par zet j ses distances a la surface du terrein et au rayon CM'; et d�crivons deuxnbsp;Surfaces cylindriques qui aient MM' pour axe com-Riun, et dont les rayons soienty^ etj-^dj. Le volumenbsp;compris entre ces deux surfaces aura ZTrjdj pournbsp;Igt;ase et dz pour hauteur; et si on le d�compose ennbsp;anneaux horizontaux d�une �paisseur infinimentnbsp;petite, le volume de l�anneau qui r�pondra au pointnbsp;K sera i'Kjdjdz, et sa masse i'tt^ydjdz. L�attractionnbsp;de eet anueau sur un point mat�riel situ� en M' senbsp;r�duira a une force dirig�e suivant MM', qui seranbsp;�gale a la soinme des composantes verticales des attractions de tous ses points; et comme, pour le

la force acc�l�ratrice provenant de l�attraction de l�anneau entier, aura pour valeur

� �tant tOTjjours Ie coefficient de l�attraction uni-verselle. Par cons�quent, pour avoir l�attraction de la couche que nous consid�rons, il faudra int�grei�nbsp;cette formule depuis z = o jusqu�a z � h, et de-puis � = o jusqu�a = c j ce qui donne

en d�signant celte force par k'. Mais, en general; l��paisseur verticale de la couche attirante est petite, eu �gard a son rayon horizontal; si done onnbsp;n�glig� h* par rapport a c�, on aura simpleraent

Soit k l�attraction exerc�e au point M par la pai�-tie de la terre qui se termine au niveau des merS; et r Ie rayon CM; cette attraction au point M' de-viendra

(7 ly-

En d�signant la pesanteur et la composante verticale de la force centrifuge par g et ^ au point M, et

(r ;o�

Je d�veloppe Ie premier terme de g' suivant les puissances de h, puis je retranche g' de g, et je n�glig� Ie carr� de h et la petite difference y*� y; il vient

4: = g' dans Ie premier terme de cette formule; dans la petite quautit� k', on peut aussi supposer

4^p.A_

^n d�signant par p la densit� moyenne de la terre, et Prenant pour son volume; il en r�sultera alors

, nbsp;nbsp;nbsp;/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ofl A\

g = g (^I -f - - � j.

C�est done par Ie facteur compris entre les parentheses, el non par Ie facteur i nbsp;nbsp;nbsp;comme on a

coutume de ie faire, qu�on devra multiplier la pesan-teur g^ qui a lieu sur un continent, a une hauteur h ^n-dessus du niveau des mers, pour la r�duire a ce

facteur. A Paris, T�l�vation k du point de TObser-vatoire o� se trouve Ie barom�tre, est de 63 m�tres; d�o� il r�sulte que la gravit� et la longueur du peo'nbsp;dule a secondes y sont moindres qu�au niveau desnbsp;mers, dans Ie rapport de l�unit� a i,ooooi25.

\V^\V�^VV^lVV^lVV\(V^'^^W^W^,\\^lW^^.V^'Wgt;W^/VVX'V'V^'WVVV^'V\/VWWV\V\^^V\\'V\^V\X

LITRE TROISI�ME.

STATIftUE,

SECONDE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

256. II ny a pas de corps solide, dans la nature, qui Qe soit plus ou nioins compressible, et qui ne changenbsp;de forme lorsqu�il est soumis a des forces qui se fontnbsp;equilibre. Mais quand le corps solide que nous al-lons considerer aura pi�is la forme convenable, onnbsp;pourra regarder les points d�application des forcesnbsp;qui le sollicitent comme un systeme de forme invariable ; et c�est a cet �tat que repondront les coordon-Uees de ces difi�rens points, qu�on supposera con-Uues, et qui entreront dans les equations d�e'quilibre.

Soient M, M', Mquot;, etc., ce systeme de points ma-teriels. Pour chaque point on aura sept quantiles a considerer, savoir, ses trols coordomiees, la forcenbsp;qui le sollicite, et les trois angles qui en deterrai-

nent la direction. Je de'sigaerai par P Ia force qui est appliqu�e au point M, et dont la direction sera lanbsp;droite MD (fig. 6o); par x, j, z, les trois coordon-ne'es OG, GH, HM, du point M, rapport�es aux axesnbsp;rectangulaires Ox, 0/, Oz j et par o., �, y, les anquot;nbsp;gles aigus ou obtus que fait la droite MD, avec deSnbsp;parall�les a ces axes, men�es par Ie point M. Relatiquot;nbsp;vement aux autres points M', Mquot;, etc., je repr�sente-rai les quantit�s analogues par les ni�raes lettres avecnbsp;des accens.

Cela pos�, avant de chercher les conditions d��qui^ libre des forces donn�es P, P', Pquot;, etc., nous allonsnbsp;transformer ce sjst�me de forces en trois autres, dontnbsp;l�un sera compose de foi�ces parall�les a l�axe Oz, unnbsp;autre de forces parall�les a l�axe Oj' et dirig�es dansnbsp;Ie plan des x et j', et Ie troisi�me de forces dirig�esnbsp;suivant l�axe Ox.

D�composons chacune des forces P, V'gt; Pquot;, etc. , sans changer son point d�application , ennbsp;trois forces parall�les aux axes des x, j, z; P cos at gt;nbsp;P' cos a', P'' cos atquot;, etc., seront les forces parall�les anbsp;1�axe Ox; P cos S, P' cos P^' cos bquot;, etc., les forcesnbsp;parall�les a Faxe Oj; P cos y, P' cos y', Pquot; cos yquot;, etc.?nbsp;les forces parall�les a 1�axe Oz; et Fon pourra d�abordnbsp;remplacer les forces donn�es par ces trois groupes denbsp;forces parall�les.

Sans alt�rer le syst�me de forces que Fon consi' d�re, ii est permis dappliquer en im m�me pointnbsp;deux forces �gales et contraires. J�applique done annbsp;point M deux forces parall�les a Faxe Oz, �gales etnbsp;oppos�es, et que je repr�sente par g et � g. Je coni'

pose la force g qui agit sulvant MC, avec la force P cos �t, dirig�e suivant MA parall�le a Ox; soientnbsp;Me la direction de leur r�sultante, et K Ie point ounbsp;son prolongement vient rencontrer Ie plan des x etnbsp;Je transporte son point d�application en ce point K,nbsp;puis je la decompose en deux forces parall�les auxnbsp;axes des x et z; ce qui reproduit les forces P cos ctnbsp;el g ; ma�s la force P cos a. est maintenant dirig�enbsp;Suivant la projection sur Ie plan des x et y, de sanbsp;premi�re direction; et la force g est appliqu�e, per-pendiculairement a ce plan, au point K de cetle projection, dont les coordonn�es sont faciles a d�ter-Jiiiner.

En effet, H �tant la projection du point M sur Ie plan des x et^, ses coordonn�es seront x et^, et Tonnbsp;aura j- et x � KH pour celles du point K, puisquenbsp;ces deux points appartiennent a une m�me parall�lenbsp;a l�axe des x. Or, en consid�rant Ie rectangle KNMH,nbsp;dont Ia diagonale KM est la direction de Ia r�sultantenbsp;des forces g et P cos a, qui agissent suivant les c�t�snbsp;KN et KH, on a la proportion

a cause de HM = z. Les coordonn�es du point d�application K de la force g, dans Ie plan des x et ^ ^ sont done

En op�rant de la m�me mani�re sur les forces P cos C et ��; la premi�re sera transporter dans Ienbsp;plan des oc et J suivant la projection de sa premi�renbsp;direction, et les coordonn�es du nouveau point d�ap-plication de la force � g, dans ce m�me plan,nbsp;seront

On transportera par Ie m�me mojen toutes les forces P'cosa', Pquot;cos a!', etc., P'cos �', Pquot;cos�quot;, etc.,nbsp;dans Ie plan des a: et j-; chacune de ces forces agiranbsp;suivant la projection sur ce plan, de sa direction primitive, qui pouvait �tre au-dessus ou au-dessous denbsp;ce m�me plan; et Ton aura de plus autant de couplesnbsp;de forces g' et � g', gquot; et �gquot;, etc., qu�il j a denbsp;points M', Mquot;, etc. Les coordonn�es des points d�apquot;nbsp;plication de ces derni�res forces, dans Ie plan des Xnbsp;etj, se de'duiront de celles qui r�pondentaux forcesnbsp;g et �g, en accentuant les lettres a:, j-, z, g, T,

258. Malntenant, par une semblable operation, faite sur les forces P cos a, P' cos a', Pquot; cos a,quot;, etc.,nbsp;parall�les a l�axe des x, et comprises dans Ie plan desnbsp;X et,jquot;, on les transformera en deux groupes denbsp;forces, dont Fun se com posera de forces parall�les anbsp;l�axe 0/, et 1�autre de forces dirig�es suivant l�axe Ox-Axnsi, au point H (fig. 6i), o� agit la force Pcos ^nbsp;suivant la direction HF, j�applique des forces parall�les a Oj et repr�sente'es par h et � h; je composenbsp;la force k, dirig�e suivant HB, avec la force Pcos^Inbsp;je transports Ie point d�application de leur r�sultante

au point Q, o� Ie prolongement de sa direction UK vient rencontrer l�axe Ojc; puis je la decompose sui-vant les directions rectangulaires Qx et Qjquot;, ce quinbsp;veproduit en ce point Q les forces P cos a et k. D�ail-leurs, on aura

La force P cos ct, dont la direction e'tait HF , sera done remplac�e par une force P cos a, qui agiranbsp;suivant l�axe Ox, et deux forces ^ et � h, perpen-diculaires a eet axe, et appliqu�es a des points Q et Gnbsp;dont les positions sont connues. II en sera de m�menbsp;a 1��gard des autres forces P' cos al, Pquot; cos aquot;, etc.,nbsp;parall�les a l�axe des x, et comprises dans Ie plannbsp;des X et JE, qui seront aussi remplac�es par desnbsp;forces P^ cos a , Pquot; cos aquot;, etc., dirig�es suivant lanbsp;droite Ox, et par des couples de forces h' et � A', Wnbsp;ct �etc., parall�les a l�axe O/.

aSg. Nous vojons done que par ces deux ope'ra-dons successives, les forces donn�es seront transfor-ui�es, comme on l�avait dit, en trois groupes de forces, dirig�es suivant l�axe des x, perpendiculaires anbsp;cet axe et comprises dans Ie plan des x et je , et perpendiculaires a ce plan.

Dans cette transformation, la force quelconque P se trouvera remplac�e par six autres forces, qui seront:

1�axe des z, et dont les points d�application sur Ie plan des jc el ont pour coordonn�es rapport�esnbsp;aux axes Ox et Oj, savoir : celui de la premi�re, X

2�. Les deux forces P cos � � /i et h, parall�les a l�axe desjT^ comprises dans Ie plan des x etj-, et qu�onnbsp;peut supposer appliqu�es a l�axe des x; la premi�renbsp;a la distance x du point 0 ^ et la seconde a la distance

3�. La force P cos ci, dirig�e suivant l�axe des x, et dont on pourra transporter Ie point d�application en 0.

260. II est facile actuellement de former les equations d��quilibre des forces donn�es P, P', Pquot;, etc., OU des trois groupes de forces qu�on vient de leurnbsp;substituer.

On doit d�abord remarquer que eet �quilibre ne peut exister, a moins qu�il n�ait lieu s�par�mentnbsp;dans chacun de ces trois groupes de forces. En effet,nbsp;si les forces parall�les a l�axe des z ne se d�truisaientnbsp;pas enlre elles, et que cependant I�equillbre de toulesnbsp;les forces donn�es fut possible, on pourrait, sansnbsp;troubler eet �quilibre, rendre fixe une droite trac�enbsp;dans Ie plan des x et j-; mais alors les forces comprises dans ce plan seraient d�truites, soit par�cenbsp;qu�elles renconlreraient eet axe fixe, soit a causenbsp;qu�elles lui seraient parall�les. On pourrait done lesnbsp;supprimer; et, cela fait, l��quilibre serait rompu ,nbsp;contre Tlijpoth�se, puisque j icn n�emp�cherait plus

les forces perpendiculaires au plan des et^ de faire tourner Ie corps solide autour de l�axe lixe; par cons�quent, F�quiiibre est impossible tant que ces der-ni�res forces ne se d�truisent pas s�par�ment. Celanbsp;�tant, on verra de m�me que Tequilibre ne peut existernbsp;entre les forces comprises dans Ie plan des jc et jquot;,nbsp;sans que les forces parall�les a l�axe des / ne se d�truisent entre elles; car s�il avait lieu, et que cettenbsp;condition ne fut pas remplie, on fixerait un point denbsp;l�axe des x, qui d�truirait toutes les forces dirig�esnbsp;suivant cette droite : rien n�emp�cherait plus lesnbsp;forces perpendiculaires a cette droite, de faire tournernbsp;Ie syst�me autour de ce point; en sorte que l��quilibrenbsp;se trouverait d�truit par l�addition d�un point fixe, cenbsp;qui serait absurde.

Cela pos�, si Ie corps solide que nous consid�-rons est enti�rement libre, il faudra d�abord (n'Sy), pour r�quilibre des forces parall�les P cos y, P'cos y',nbsp;Pquot; cos y, etc., g et � g, g' et � g', gquot; etnbsp;�^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc

11 faudra, en outre, que les somiaies de leurs mo-Diens par rapport au plan des x et z et a celui des Jquot; et z, qui sont parall�les amices forces, soient aussinbsp;Huiles. Or, par rapport au premier plan, on a

pour la somme des momens des forces P eos y , P' cos y', Pquot; cos yquot;, etc.; celle des momens des forces

et la sorame des momens des forces � g, � g', � gquot;, etc., a pour valeur

d�apr�s les coordonne'es des points d�application de ces diverses forces. On a done, en ajoutant ces troisnbsp;sommes et r�duisant,

et Pon trouvera de m�me, en formant la somme des momens des m�mes forces, par i�apport au plan desnbsp;et z, et P�galant a z�ro,

Quant aux forces P cos � � h, P' cos �' � h', Pquot;cos�quot; � hquot;, etc., et h, h', hquot;, etc., pai�all�les anbsp;1�axe des f, et toutes comprises dans Ie plan des xnbsp;eljquot;, il n�y aura que deux equations d��quilibre (n� Sj)-il suffira que leur somme soit �gale a z�ro, ce quinbsp;donne

et que la somme de leurs momens, par rapport au plan des j et z, soit aussi �gale a z�ro. Or, pafnbsp;rapport a ce plan, la somme des momens des premi�res forces est

4 nbsp;nbsp;nbsp;_ SLSp) 4'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- Ki�li) etc.,

d�apr�s leurs distances a l�axe des j j par conse'quent, en egalant la somme totale a z�ro, on aura

Enfin, pour 1��quillbre des forces dirig�es sui-Vant l�axe des x, il suffira que leur somme soit iiulle; d�oii il r�sulte

Telles sont les six equations n�cessaires et su�i-santes pour F�qullibre d�un corps solide enti�re-nient libre et sollicit� par des forces quelconques, qu�il s�agissait d�obtenir.

P( z cos a�xcos5/) P'(/cosa'�^2:'cos;!/')4-etc.=M, P( jr cos y � z cos �)4-P'(j^Yos}/'�z'cos �') -j- etc. =N,

ces �quations d��quilibre deviendront X = o, Y=o, Z = o, L=:o, M = o, N = o. (i)nbsp;On peut rernarquer que ces quantit�s L, M, N, ainsi

Ces six equations renfernient des conditions d��qui-libre communes a tons les sjsternes de points mat�-riels; enti�rement libres; car, quelle que soit la nature d�un pareil sjst�me, ou Ia liaison mutuelle des pointsnbsp;qui Ie composent, il est �vident qu�on ne troubleranbsp;pas leur �quilibre en rendant leurs distances in-variables, sans changer leurs coordonn�es, ni lesnbsp;forces qui les sollicitent. Par cons�quent, les �qua-tions d��quilibre d�un sjst�me de forme invariable,nbsp;qui ont lieu entre ces quantit�s , doivent encorenbsp;subsister pour tout autre sjsl�me; mais alors elles nenbsp;sont plus suffisantes; et il j faut joindre d�autres conditions speciales pour chaque sjst�me en particulier,nbsp;qui serviront, comme on Ie verra par la suite, a d�-terminer les positions relatives de ses diff�rens pointsnbsp;dans F�tat d��quilibre.

262. Quand les forces donn�es sont toutes paral-l�les entre ellcs, les angles qu�elles font avec chacun des axes O2?, Oj, Oz, sont �gaux ou suppl�men-taires, selon que ces forces agissent dans Ie m�menbsp;sens OU en sens contraire; on peut les supposernbsp;�gaux, en consid�rant, en m�me temps, commenbsp;positives les forces qui agissent dans un sens, etnbsp;comme n�gatives celles qui agissent dans Ie sens op-pos� (n* 11); on aura done alors

au mojen de quoi les tx�ois premi�res �quations (0 se i��duisent a une seule, savoir ;

S�ATIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;607

(Pj: P'a:' Pquot;a:quot;-|-etc.)cosf = (Pj'-i|- P'j-'-i- Py-|-etc.)coslt;z, (Pz -f-P'z' -h Pquot;zquot; etc.)cosa= P'x'-{-P''xquot;~{- etc.)cosy,nbsp;(Pj- py Py'4-etc.)cosy=(Pz PV Pquot;zquot; etc.)cos(r.

Mais les equations d��quilibre des forces parall�les �tant seulement au nombre de trois, il faut que cesnbsp;trois derni�res equations se reduisent a deux ; et, ennbsp;effet, si on les ajoute apr�s les avoir multipli�es parnbsp;cos ^, cos amp;, cos a, on trouve une e'quation iden-tique j en sorte que Tune d�elles est une suite desnbsp;deux autres.

Quand toutes les forces donn�es sont comprises dans un m�nie plan, on peut prendre ce plan pournbsp;celui des x e\j; alors les angles y, y', yquot;, etc., sontnbsp;droits, et les coordonn�es z, z', zquot;, etc., �gales anbsp;zero; ce qui fait �vanouir la troisi�me et les deuxnbsp;derni�res equations (1). Dans ce cas particulier, commenbsp;dans Ie cas des forces parall�les, il j a done seulementnbsp;trois equations d��quilibre, qui sont

263. Lorsque les forces donn�es ne se font pas �quilibre, on peut demauder la condition qu�ellesnbsp;doivent remplir pour avoir une r�sultante unique,nbsp;et quelle est cette i��sultante.

Pour r�pondre a cette question, je d�signe par R cette force; par a, b, c, \es angles que sa directionnbsp;fait avec des parall�les aux axes Ox, Oj, Oz, men�es

par un de ses points, qu�on prendra pour son point d�application, et dont les coordonn�es, rapportees anbsp;ces m�mes axes, seront repr�sent�es parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, s,-

Cette force, prise en sens contraire de sa direction, fera �quilibre aux forces donn�es. Les equations (i)nbsp;auront done lieu en joignant a P, P', Pquot;, etc., unenbsp;force egale et contraire a R; par consequent, onnbsp;aui�a

Les coordonn�es x,, jquot;,, z, , pouvant appartenir a un point quelconque de Ia droite suivant laquelle estnbsp;dirig�e Ia r�sultante, ces trois derni�res �quationsnbsp;seront celles de ses projections sur les trois plans desnbsp;coordonn�es. Pour que cette droite existe, il faudranbsp;done qu�elles se r�duisent a deux; or, en les ajoutantnbsp;apr�s les avoir multipli�es par Z, Y, X, les trois variables X,, Tquot;,, z,, disparaissent, et l�on a

cette equation (4) soit satisfaite pour que les forces donn�cs aient une r�sultante unique : quand ellenbsp;aura lieu, cette force sera d�termin�e, en grandeurnbsp;et en direction , par les equations (2).

Si les trois sommes X, Y, Z, des composantes pa-rall�les aux axes des a;, j, z, sont nulles, lequa-lion (4) sera satisfaite; mais alors la r�sultante sera Une force infiniment petite, situ�e a une distance in-finle des points d�application des forces donn�es, ou,nbsp;plus exactement, ces forces se r�duiront a deux,nbsp;�gales, parall�les, agissant en sens contraire, et nonnbsp;r�ducfibles a une seule (n� 44)-

Lorsque les trois sommes L, M, N, sont nulles, l��quation (4) sera aussi satisfaite; et 1�on voit, parnbsp;les equations (3), que la r�sultante passera par l�ori-gine des coordonn�es.

264. Quand la condition exprim�e par l��qua-tion (4) ue sera pas remplle, on j pourra satlsfaire cn joignant aux forces donn�es une force conve-Uable. Je supposerai, pour plus de simplicit�, qu�ellenbsp;pass� par l�origine 0 des coordonn�es; je la repr�-senterai par Q, et par A, (/,, y, les angles qu�elle faitnbsp;avec les axes Ox, O7, Oz. Les quantlt�s L, M, N, nenbsp;^Langeront pas par l�addition de cette force, et lesnbsp;sommes X, Y, Z, augmenteront des termes Qcos A ,nbsp;Qcbs^, Qcos V. L��quation (4) deviendra done

en sorte qu�on j satisfera d�une Infinit� de mani�res diff�rentes, au moven de la force Q et des angles A,nbsp;I-�-) V, relatifs a sa direction.

La r�sultante R des forces Q, P, P', Pquot;, etc., et sa position, se d�termineront au moyen des equations (2) et (5), dans lesquelles on mettra X-t-Qcos A,nbsp;Y -f- Q cos Z Q cos V, au lieu de X, Y, Z. Lesnbsp;forces donn�es P, P', Pquot;, etc., pourront done �trenbsp;remplac�es par cette r�sultante R et un� force �galenbsp;et directement contraire a la force Q; d�ou l�on con-clut que quand des forces donn�es ne sont point ennbsp;�quilibre, ni r�ductibles a une force unique, onnbsp;peut toujours les r�duire*, d�une infinite de ma-ni�res diff�rentes, a deux forces seulement, qui nenbsp;seront pas comprises dans un m�me plan, sans quoinbsp;elles se r�duiraient a une seule, contre l�hypoth�se.nbsp;C�est d�ailleurs ce qu�on volt imm�diateraent par lanbsp;transformation du 11� 25^; car les forces donn�es P,nbsp;P', Pquot;, etc., pourront �tre remplac�es par la r�sultante des forces parall�les a l�axe des z, et par cellenbsp;des forces comprises dans Ie plan des ac et j-; et l�onnbsp;pourra ensuite transformer, sans difficult�, ces deuxnbsp;r�sultantes en deux autres forces, d�une infinit� denbsp;rnani�res diff�rentes. En cherchant la condition poui'nbsp;qu�elles se rencontrent, on trouvera l��quation (4) gt;nbsp;x-elatlve a l�existence d�une r�sultante unique.

265. Si l�on consid�re deux corps solides A et A' (fig. 62), qui se touchent en un point K el s�appuientnbsp;l�un contre l�autre, et si l�on suppose qu�ils soientnbsp;solllcit�s par des forces donn�es, il sera facile de d�-dulre de ce qui pr�c�de les conditions de leur �quilibre.

je d�signe par X', Y', Z', L', M', N', ce qu�elles de-viennent relatlvement a A'; j�appelle nbsp;nbsp;nbsp;, z,, les

eoordonn�es du point K rapport�es aux m�mes axes que celles qui entrent dans ces div-^erses quantites;nbsp;par Ie point K, je ni�ne une droite HKH' perpendiculaire au plan tangent commun aux deux corps; jenbsp;fepr�sente par a, d, c, les angles que fait la partie KHnbsp;de cette droite, comprise dans A , avec des parall�lesnbsp;aux axes des oc, j, z, men�es par ce m�me point K :nbsp;toutes ces quantites sont donn�es, et il s�agira de for-Uier les equations d��quilibre auxquelles elles doiventnbsp;satisfaire.

Or, Ie corps A exercera sur A', dans la direction KH', une pression inconnue que je repr�senlerai parnbsp;Hjil en �prouvera, en m�me temps, une resistancenbsp;egale et contraire a cette force normale. Si done onnbsp;joint aux forces donn�es qui agissent sur A une forcenbsp;H dirig�e suivant KH, on pourra ensuite faire abstraction de A'; et, de m�me, si Ton joint aux forcesnbsp;appliqu�es a A' une force R dirig�e suivant KH', onnbsp;pourra aussi consid�rer A' isol�ment. II r�sulte de lanbsp;et des equations (i) qu�on aura pour F�quilibre denbsp;Ces deux corps les douze equations suivantes :

�Rcosa=o, Y'�Rcos^=o, Z'�Rcosc=:o, L -f- R (a?, cos h � j-, cos a) � o,

ce qui r�sulte aussi des conditions d��quilibre communes a tous les sjst�mes enti�rement libres, conim^ celui des deux corps A et A' (n� 261).

On trouvera pareillement les equations d��quilibre d�un nombre quelconque de corps solides, dont plu-sieurs s�appuient l�un contre l�auti'e; et il est ais� denbsp;voir que Ie nombre de ces �quations sera �gal a si3inbsp;fois celui des corps, moins Ie nombre de leursnbsp;contacts,

266. Les �quations d��quilibre d�un corps solide assujetti a des conditions donn�es doivent �tre comprises parmi celles d�un corps enti�rement libre; carnbsp;l��quilibre de celui-ci ne serait pas troubl�, si on l�as-sujettissait a ces conditions particuli�res; en soi�t�nbsp;qu�aucune nouvelle equation d��quilibre ne peut �trenbsp;introduite par ces conditions. Mais, au contraire, uuenbsp;OU plusieurs des �quations (i) deviendront super'nbsp;flues; et il s�agira de d�terminer, pour les diff�reusnbsp;cas qui peuvenl se pr�senter, celles dc ces �quationsnbsp;qui resteront n�cessaires. C�est ce que nous allonsnbsp;faire successivement dans ce num�ro, en supposaut

toajours qu�on ait rem plac� les forces donn�es P, P', Pquot;, etc., par les trois groupes de forces du n� aSg.

1�. Si Ie corps solide qui doit rester en �quilibre renferme un point fixe, on prendra ce point pournbsp;l�origine 0 des coordonn�es. Les forces dirig�es sui-vant l�axe Ojc seront d�truites par ce point; ce quinbsp;fera disparaitre l��quation X = o. Pour l��quillbrenbsp;des forces parall�les a l�axe 0/ et compi�ises dans Ienbsp;plan des x et j, il ne sera plus n�cessaire qu�on aitnbsp;Y = o, et il suffira que leur r�sultante coincide avecnbsp;l�axe Oj-, OU que la somme L de leurs raomens, parnbsp;rapport au plan desj^ et z, soit �gale a z�ro. Enfin,nbsp;pour l��quiHbre des forces parall�les k l�axe des z, l��quation Z = o ne sera plus n�cessaire ; il suffira quenbsp;leur r�sultante coincide avec l�axe Oz; ce qui exigeranbsp;que les sommes de leurs momens, par rapport auxnbsp;plans desj^ et z, et des x et z, qui sont les quantilesnbsp;�� M et N, soient �gales a z�ro.

Ainsi, dans ce premier cas, les trois �quations d��-quilibre qui resteront n�cessaires seront

Elles signifient, effectivement, que les forces donn�es ont une r�sultante unique, et que cette r�sultante vient passer par Ie point fixe 0. Cette force exprimera, en grandeur et en direction, la pres-sion exerc�e sur ce point, et sera d�termin�e parnbsp;les �quations (2).

2�. Supposons que Ie corps solide soit retenu par nn axe fixe, au tour duquel il est assujetti a tour-ner, sans pouvoir glisser dans Ie sens de sa lon-I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;33

gueur. Prenons eet axe pour celui des z�, les forces parall�les a cette droite Oz ne pourront produlrenbsp;aucun mouvement, et les trois equations Z = o,nbsp;M = o, N = o, relatives a leur �quilibre , ne se-ront plus n�cessaires. Les equations X=o et Y=onbsp;ne Ie seront pas non plus pour Tequilibre des forcesnbsp;comprises dans Ie plan des x et j; en sorte que;nbsp;dans ce cas, il n y aura plus qu�une seule equationnbsp;d��quilibre, qui sera L = o , c�est-a-dire ,

P(a:cos^�cos ct)-p P'(a:'cos f �_/'cosct') etc. = o. (5) jVIais si Ie corps avait la libert� de glisser Ie longnbsp;de l�axe fixe, il faudrait en outre, pour emp�chernbsp;ce mouvement, que la somme Z des forces parall�les a Oz fut �gale a z�ro; et il y aurait alors lesnbsp;deux �quations d��quilibre

La pression que l�axe fixe �prouvera perpendicu-lairement a sa direction sera la r�sultante des forces comprises dans Ie plan des x et jquot;, d�termin�e, ennbsp;grandeur et en direction, par les deux premi�resnbsp;�quations (2), et passant par Ie point O, en vertnnbsp;lt;le l��quation (5). Les forces parall�les a eet axenbsp;tendront en m�me temps a Ie faire tourner sur luiquot;nbsp;m�me.

En comparant les quantit�s M et N a L, on con-dut de leur composition que l��quation d��quilibre autour de l�axe Oy sera M = o, et qu�elle seranbsp;N = o autour de l�axe Ox. II en r�sulte aussi qnenbsp;la condition d��quilibre autour d�un point fixe con-

Siste en ce que TequiHbre ait lieu successivemcnt autour de trois axes fixes et rectaugulaires, mene'snbsp;arbitral rem ent par ce point. Par consequent, si 1�e'-quiiibre existe autour de trois axes rectangulairesnbsp;qui se coupent en un m�me point, il aura aussinbsp;lieu autour de toute autre droite passant par cenbsp;point.

5�. Je suppose que t.rois ou un plus grand nombrc de points non en ligne droite, appartenant au corpsnbsp;solide, soient assujettis a demeurer sur un plan fixenbsp;dont la position est donn�e; et je prends ce plan pournbsp;celui des jc et j'. Les forces parall�les a l�axe des znbsp;ne pouvant produire aucun mouvement, les equations relatives a leur �quilibre n�auront pas lieu ;nbsp;mais les trois equations

qui r�pondent aux forces comprises dans Ie plan des ur et �, seront necessaires pour emp�cher Ie coi�ps denbsp;glisser ou de tourner parall�lement a ce plan fixe.

La force Z exprimera la pression totale que Ie plan fixe �prouvera. Si Ie corps est seulement pos� sur cenbsp;plan, de sorte qu�il s�agisse, par exemple, dun po-ly�dre dont une face soit en contact avec Ie plan desnbsp;X et jr, il faudra que Ie signe de Z soit tel, que cettenbsp;foi�ce appuie Ie corps contre ce plan. II faudra, ennbsp;outre, que cette r�sultante des forces parall�les anbsp;l�axe des z vienne percer Ie plan des ar et jr dans 1��-tendue de la base du corps, sans quoi elle Ie d�ta-cherait de ce plan, en Ie faisant tommer autour denbsp;1�un des c�l�s de cette base. Or, si l�on appelle x, et

j't les coordonn�es du point o� cette r�sultante rencontre Ie plan des jc et j-, ses momens par rapport aux plans des uC et z et des j- et z seront Zj', et Zjc, ;nbsp;ils devront �tre �gaux aux sommes des momens desnbsp;composantes par rapport aux m�mes plans; et, d�a-pr�s les valeurs de ces deux sommes qu�on a trouv�esnbsp;pr�c�demment (nquot; 260), on aura

Zx. = � M, Zjr, = N.

11 faudra done verifier, dans chaque cas particulier, que les valeurs de x, et jr,, tir�es de ces equations,nbsp;appartiennent a un point de la base du corps; condition d��quilibre qui ne peut �tre exprim�e par desnbsp;equations, non plus que celle qui est relative au signenbsp;de Z.

4�. Si les points du corps assujettis a rester sur Ie plan fixe des a: et j- sont seulement au nombre denbsp;deux, OU bien s�ils sont tous situ�s sur une m�menbsp;dx�oite, on prendra cette ligne pour l�axe des jquot;; la r�-*nbsp;sultante Z devra alors rencontrer Ie plan des n? et �nbsp;en un point de eet axe ; et, ind�pendamment deSnbsp;ti�ois �quations du cas pr�c�dent, on aura cette qua-ti�i�me �qualion d��quilibre M = o.

5�. Enfin, lorsque Ie corps solide ne touchera Ie plan fixe des jc et j- qu�en un seul point, o� l�on pla*nbsp;cera l�origine O des coordonn�es, on verra, sans difquot;nbsp;ficult�, que les �quations d��quilibre seront au noiW'nbsp;bre de cinq, savoir :

X = o, Y = o, L = o, M = o, N = o,

Ce r�sultat coincide avec celui du num�ro pr�c�dent; car si Ion suppose Ie corps A' fixe et ter-min� par un plan, que l�on prenne ce plan pour celui des x et jr, et Ie point K (fig. 62) pour origine des coordonn�es, on devra faire, dans les �qua-tions de ce num�ro, a?. = o, jr, = o, z, = o,nbsp;� = 90�, h �= go�; ce qui r�duira aux cinq equations pr�c�dentes, un pared nombre des six �quationsnbsp;relatives a l��quilibre du corps A. lia sixi�me de ceamp;nbsp;�quations deviendra, en m�me temps,

en supposant qu�on ait c � o , ou que la partie KH de la normale soit l�axe des z positives; par cons�quent, la pression exerc�e sur A', qui est �galenbsp;et contraire a la resistance R, sera la force Z en.nbsp;grandeur et en direction.

On peut remarquer, d�apr�s cette �num�ralion des fiii��rens cas d��qullibre, que les nombres d��qua-tions relatives a un corps solide g�n� par des obstacles fixes peuvent �tre tons ceux qui sont inf�rieurs au nombre six , correspondant a un corpsnbsp;enti�rement libre.

267. L��quation (5) relative a l��quilibre autour de 1 axe des z suppos� fixe , ne contient ni lesnbsp;composantes parall�les a eet axe, des forces don-n�es P, P', Pquot;, etc., ni les coordonn�es parall�lesnbsp;J'n m�me axe, de leurs points dapplication M,nbsp;Mquot;, etc.; en sorte que lequilibre ne serait pas

trouble, si Ton remplacait ces forces et leurs points d�application par leurs projections sur Ie plan desnbsp;X et jr; ce qu�on d�montrerait d�ailleurs facilementnbsp;a priori.

Soient done Q, Q', Qquot;, etc., les forces P , P^ Pquot;, etc., projet�es sur Ie plan des x et j-, c�est-a-dire, d�compos�es parall�lement a ce plan et trans-port�es aux projections des points M, M', Mquot;, etc.,nbsp;sur ce m�me plan. D�signons par q, q', qquot;^ etc.,nbsp;les perpendiculaires abaiss�es de l�origine des coor-donn�es, s�ppos�e fixe, sur les directions des forcesnbsp;Q, Q', Qquot;, etc.; et, pour fixer les idees, supposonsnbsp;que Q, Q', Qquot;, tendent a faire tourner, dans Ie m�menbsp;sens, autour de cette origine, et que Qquot;', Q'% etc. ,nbsp;tendent a faire tourner dans Ie sens oppose. Pournbsp;l��quilibre de toutes ces forces, 11 faudra, d�apr�s Ienbsp;n� 4??nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ait

en consid�rant q, q', qquot;, q'quot;, etc., comme des quan-tite's positives, aussi bien que Q, Q', Qquot;, Q'quot;, etc. ; par consequent, cette equation devra co�ncider avecnbsp;l��quation (5) ; ce qu�on y�rifie, en effet, de la ma-ni�re suivante.

Soient H (fig. 63) la projection du point M, OG et HG ses coordonn�es x et jr, HA. la direction de 1�nbsp;force Q, A et les angles que fait cette droite avecnbsp;des parall�les aux axes Ox et 0/, men�es par Ienbsp;point H. Par Ie point 0, menons deux autres axesnbsp;0.r, et Ojquot;,, Ie premier suivant la direction HA, etnbsp;Ie second perpendiculaire a cette droite et tel que

Tangle J'Oj-, soit aigu ou obtus en m�me temps que xOjc, ; appelons x, et j, les coordonn�es OF etnbsp;FH du point H, rapport�es a ces nouveaux axes; nousnbsp;aurons, com me on sait,

Or, la perpendiculaire OK ou q, abaiss�e du point 0 sur HA, devant �tre une quantit� positive, on aura

selon que Tordonn�e jTi sera positive Ou negative, OU, ce qui est la m�me chose, d�apr�s Ie sens qu�ounbsp;a suppose a l�axe Oj,, selon que la force Q tendra anbsp;faire tourner, dans un sens ou dans Ie sens oppose,nbsp;autour du point 0. On a d�ailleurs

Les forces Q' el Qquot; tendant, par hjpoth�se, a faire tourner dans Ie m�me sens que Q, on aura de m�me

et les autres forces Qquot;', Qquot;, etc., tendant a faire tour-oer en sens oppose, on aura, au contraire,

On prendra done, en m�me temps, les signes sup�rieurs OU les signes inf�rieurs dans toutes ces valeurs; et en les substituant dans l��quation (6), elle devien-dra l��quation (5); ce qu�il s�agissait de v�rifier.

268. Le corps en �quilibre �tant toujours soumis a la pesanteur, il faudra comprendre parmi les forcesnbsp;donn�es P, P', P''', etc., son poids applique suivantnbsp;la verticale a son centre de gravit�. Supposons, parnbsp;exemple, qu�il s�agisse d�un corps pesant pos� sur unnbsp;plan incline et soutenu par une seule force. La figure 64 repr�sente une section du corps passant parnbsp;le centre de gravit� G, et perpendiculaire au plan inclinequot; ; la longueur de ce plan est AB, sa base BC, etnbsp;sa hauteur AC. On place l�origine 0 des coordonn�esnbsp;sur la verticale GH passant par le centre de gravit� gt;nbsp;et l�on prend les axes Oz et On? perpendiculaire etnbsp;parall�le a AB : le troisi�me axe Oj, qui n�est pasnbsp;repr�sent�, serait perpendiculaire au plan de la fiquot;nbsp;gure. La force P sera le poids du corps, la verticalenbsp;GH sa direction, et HOa? l�angle a. On aura, en outre, x~o , j- = o, � = 90�. En prenant done Pnbsp;pour la force donn�e qui soutient le corps pesant, lesnbsp;�quations d��quilibre du troisi�me cas du n� 266 s�nbsp;r�duiront a

y = o; ce qui moatre d�abord que la force P' devra �tre comprise dans Ie plan des a? et z; et, en effet,nbsp;cela est �videmment n�cessaire pour que celte forcenbsp;et Ie poids du corps aient une r�sultante unique,nbsp;perpendiculaire au plan inclin�. Je supposerai que 0nbsp;soit Ie point o� la direction de P' rencontre la verticale GH, et je repr�senterai par OD celte direction.nbsp;L�angle a' ou DOx devra �tre obtus pour satisfaire anbsp;la premi�re des trois �quations pr�c�dentes; j�appel-lerai lt;�' Tangle aigu DOx' que fait Ia force P' avec Ienbsp;prolongement de Oa?, de sorte qu�on ait

L�angle a. ou HOa: est Ie compl�ment de Tinclinaison ABC du plan; en d�signant la hauteur AC par h, etnbsp;la longueur AB par l, on aura done

equation d��qullibre qui fera connaitre Tune des deux quantit�s P' et S', quand Tautre sera donn�e.

Lorsque, par exemple, la force P' sera parall�le au plan inclin�, on aura S = o, ct, cons�quem-raent,

en appelant i l�inclinaison du plan. Si I on appelle Q la pression que Ie plan �prouvera, et qui sera, dansnbsp;ce cas, la composante du poids P suivant la perpendiculaire Oz , on aura, en m�ine temps,

269. On fait ici abstraction du frottement qui s�a-joute a la force P' parall�le au plan incline, pour em-p�cher Ie corps de glisser Ie long de ce plan. Si cette force P'est nulle, Ie frottement seul peut retenir Ienbsp;corps tant que l�inclinaison i n�a pas atteint une cer-taine limite. En de'signant par A cette limite, c�est-a-dire, Tangle i qui a lieu lorsque Tequilibre va com-mencer a se rompre, et supposant qu�a eet instant Ienbsp;frottement est une fraction f de la pression, il faudranbsp;que la force /Q fasse exactement �quilibre a la cora-posante P sin A du poids du corps, parall�le au plannbsp;incline. Par cons�quent, on aura, a la fois,

ce qui fera connaitre la valeiir de f, dapr�s Tobser-vation de Tangle A, sous lequel Ie mouvement commence , et qu�on appelle Vangle du frottement.

Toutes eboses d�ailleurs �gales, Texp�rience prouve qfra Tinstant qui pr�c�de la rupture de Tequilibre, Ienbsp;frottement est proportionnel a la pression; en sortenbsp;que Ie coefficient f et Tangle A sont ind�pendans denbsp;la pression Q , et par suite du poids P. Ce coefficientnbsp;varie avec la nature du corps et Ie poli des sur-

faces: on a aussi remarqu� qu�il n�atteint Ie maocirnum de sa valeur qu�apr�s que Ie contact du corps et dunbsp;plan a eu lieu pendant un certain temps, diff�rentnbsp;pour les corps de nature diverse; et ce n�est quanbsp;partir de ce maximum que Ie frottement est propor-tionnel a la pression.

En admettant cette loi exp�rimentale, il en r�-sulte que si plusieurs corps de m�me nature, et dont les surfaces ont Ie m�me poli, sont places sur un plannbsp;horizontal, et qu�apr�s un certain temps on inclinenbsp;ce plan graduellement, tous ces corps commencerontnbsp;a glisser sous un m�me angle A, quels que soient leursnbsp;poids et I�etendue de leurs surfaces en contact avec lenbsp;plan.

270. Lorsqu�un corps est pos� sur un plan horizontal, la pression exercee par son poids P se disti�i-hue entre les points d�appui de ce plan; mais quand leur nonibre surpasse trois, cette distribution semblenbsp;d�abord ind�termin�e; ce qui presenterait une diffi-culte que nous allons examiner.

Pour fixer les idees, supposons que ce plan horizontal soit la surface d�une table dont les pieds sont Verticaux. Dans ce plan, menons deux axes rectan-gulaires O2? et Oj- (fig. 65). Soient C la projection dunbsp;centre de gravit� du corps sur ce plan, et A, A',nbsp;Aquot;, etc., les points de ce m�me plan qui repondentnbsp;aux pieds de la table. Designons par x,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x et j-,

x' et j', xquot; ety', etc., les coordonnees de ces points C, A , A', Aquot;, etc., rapportees aux axes Ox et Oj-.nbsp;Pour que la table ne soit pas renversee, il faudra quenbsp;le point C soit situ� dans l�int�rieur du poljgone

AA'Aquot;A'quot;etc. Cette condition etant reinpiie, Ie poids P applique au point C se d�composera en forcesnbsp;parall�les, dirig�es dans Ie sens de la pesanteur, etnbsp;passant par les points d�appui A, A', Aquot;, etc., les-quelles forces seront les charges que les pieds de lanbsp;table auront a supporter. Soient Q, Q', Qquot;, etc., cesnbsp;charges inconnues; d�apr�s la th�orie des forces pa-rall�les, nous aurons

Or, s�il n�existe que trois points d�appui A, A', A'V ces trois equations sufiiront pour determiner lesnbsp;charges Q, Q', Qquot;- mais s�il y en a trois ou un plusnbsp;grand nombre, Ie probl�me sera ind�termin�, et l�onnbsp;pourra prendre a volont� les valeurs de toutes lesnbsp;inconnues, moins trois, pourvu qii�il n�en r�sulte,nbsp;pour ces trois inconnues, que des valeurs positives.

Cette indetermination aurait lieu, en effet, si la table �tait rigoureusement inflexible; mais cela n�ar-rive jamais; et, quelque peu flexible qu�on la suppose, elle se d�formera un tant soit peu et se com-priraera in�galement dans ses differentes parties. Or,nbsp;la figure quelle prendra et la quantit� dont elle seranbsp;comprim�e en chaque point d�pendront non-seule-ment du poids P, mais aussi du nombre et de la disposition des points d�appui A, A', Aquot;, etc.; et l�unenbsp;et 1�autre, ainsi que la pression qui aura lieu en cha-cun de ces points, seront compl�ternent d�termin�esnbsp;dans chaque cas particulier. Toutefois, cette d�ter-

mination est un probl�me tr�s difficile, dont Ia solution g�n�rale n�a pas encore �t� donn�e, et qui ap-partient a la Plijsique math�matique. Nous nous bornerons ici a remarquer que tout est n�cessaire-iiient d�termin� dans la nature, et que quand quel-que chose nous semble ind�termin�, c�est que nousnbsp;avons fait abstraction de quelque donn�e du pro-bl�rae, c�est-a-dire, de quelque propri�t� de la ma-ti�re, comme Ie degr� de flexibilit� de la table, dansnbsp;la question pr�sente.

\'\AfVV^'VV%/VVVVVgt;/VV\iVVX'VVVVVgt;(VVVV\A(VV\lt;VVVVVVVVgt;iVV\A/VNiVV*'VVVVVVVV\'VVVVVgt;'V\'\V\^'VV''V'V\'VV''V\'gt; VA''*'quot;''

CHAPITRE n.

271. Les momens que nous allons consid�rer daiiS ce chapitre sont ceux dont il a �t� question dansnbsp;n� 42- Ainsi, Ie moment d�une force P est ]e pro-duit de cette force et de la perpendiculaire pnbsp;abaiss�e du centre des momens sur sa direction. Sinbsp;done ce centre est C ( fig. 66) , et que la force P sodnbsp;repr�sent�e par la droite MA prise sur sa dii�ection gt;nbsp;son moment aura pour expression Ie double dunbsp;triangle CAM qui a pour base cette force et son soni'nbsp;met au point C. D�apres cela, le th�or�me du n� 4^'nbsp;relatif au moment de la resultanle de deux forces gt;nbsp;n�est plus qu�une proposition de Ge'ometrie facil�nbsp;a demonti�er.

En efFet, soieut MA et MB les deux composantes; la diagonale MD du parallel ogramme MADB sei�^inbsp;leur r�sultante; et le point C �tant en dehors denbsp;1�angle AMB et de son oppose au sommet, il s�agii'*^nbsp;de prouver que le triangle CMD est la somme de^nbsp;triangles CMA et CMB. Or, on a d�abord

en abaissant du point C une perpendiculaire CE sur la droite MB, qul rencontre en F sa parallele AD, ounbsp;aura

Diais Ie produit MB.EF est la surface du parall�lo-gi'amme MADB, ou Ie double du triangle MAD; on ^ura done

La figure suppose que la droite EF soit la diff�-��ence des perpendiculaires CE et CF; elle pourrait �ti'e leur somme, et l�on modifierait sans difficult�nbsp;demonstration pr�c�dente pour l�appliquer a eetnbsp;^utre cas. On prouvera aussi, de la m�me mani�re,nbsp;^le Ie triangle CMD est Ia difference des trianglesnbsp;A et CMB, quand Ie point C est plac� dans l�anglenbsp;^MB OU dans son oppose' au sommet.

372. Par Ie centre des momens (fig. 67), menons plan quelconque; projetons sur ce plan la droitenbsp;qui repr�sente la force P en grandeur et en direction; soit Q la force repr�sent�e de m�me par la pi�o-jection A'B' de AB; Ie moment de la force P sera Ienbsp;double du triangle CAB, et celui de la force Q Ienbsp;double du triangle CA'B'; par cons�quent, Ie centrenbsp;^es momens restant Ie m�me, Ie moment de la projection d�une force sur un plan passant par ce point.

Si l�ou appelle H Ie moment de la force P, et K celui de sa projection Q; que I on �l�ve sur les plans de ces deux momens des perpendiculaires CD et CE, etnbsp;qu�on appelle cl' Tangle DCE, eet angle sera aussi Tin-clinaison de H sur K, et Ton aura ( nquot; lO )

Pour une m�me force P, Tangle cT et Ie moment H changeront avec la position du point C sur la droite CE;nbsp;mais cette droite restant la m�me, Ie produit H cos cTnbsp;ne variera pas; car K ou Ie triangle CA'B' ne feranbsp;que se d�placer parall�lement a lui-m�me, sanSnbsp;changer de grandeur.

273. Au lieu d�une seule force, conside'rons u� syst�me de forces quelconques P, P', P'^, etc. Soieotnbsp;H,H', Hquot;, etc., leurs momens par rapport au point Cnbsp;(fig. 68). D�signons par cT, eT', J'quot;, etc., les anglesnbsp;que les perpendiculaires CD, CD', CDquot;, etc., au^nbsp;plans de ces momens, font avec un m�me axe CE;nbsp;par Q, Q', Qquot;, etc., les projections de P, P', Pquot;, etc.;nbsp;sur Ie plan men� par Ie point C et perpendiculaire ^nbsp;eet axe; et par K, K', Kquot;, etc., les pi�ojections de H;nbsp;H', Hquot;, etc., sur ce m�me plan. Nous aurons

Si Ton voulait seulement connaitre les aires dc* projections d�apr�s celles des surfaces projet�es,nbsp;faudrait coiisid�rer les inclinaisons cf, cP', cfquot;, etc.;nbsp;comme des angles aigus; mais dans les usages que

*iOus ferons des projections des momens, nous regar-^erons ces angles comme aigus ou obtus, ou, autre-Dient dit, nous prendrons pour les droites CD, CD', CDquot;, etc. , les parties des perpendiculaires aux plansnbsp;des momens H, H', Hquot;, etc., qui font des angles aigusnbsp;Ou obtus avec l�axe CE, selon que les projections Q,nbsp;Q', Qquot;, etc. , des forces P, P', P*, etc., tendront anbsp;faire tourner autour du point C, dans un sens con-'''enu, ou dans Ie sens oppose. Ainsi, dans la figure,nbsp;les angles DCE, D'CE, Dquot;CE, �tant aigus, et les anglesnbsp;�'quot;CE, Dquot;'CE , etc., �tant obtus, cela suppose que lesnbsp;forces Q, Q', tendent a faire tourner dans unnbsp;Ui�rae sens, et les forces Qquot;', Qquot;', etc., dans Ie sensnbsp;oppose. Les droites CDquot; et CDquot;' �tant Ie prolonge-Oaent Tune de 1�autre, cela signifie que les forces Pquot;nbsp;ot P'quot; sont comprises dans un m�me plan passant parnbsp;lo point C, mais qu�elles tendent, alnsi que leursnbsp;projections Qquot; et Q'quot;, a faire tourner en des sens op-Pos�s.

En appelant S la somme des valeurs positives ou 'R%atives de K, K', Kquot;, etc., nous aurons

abstraction faite du signe, S sera la somme des mo-*Oens des forces Q, Q', Qquot;, etc., qui tendent a faire lourner dans un sens , moins la somme des momensnbsp;de celles qui tendent a faire tourner dans Ie sensnbsp;oppos�; d�apr�s Ie th�or�me du n� 47 gt; 1^ quantit�nbsp;=t: S exprimera done Ie moment de leur r�sultantenbsp;^ui tendra a faire tourner dans Ie sens des forces quinbsp;r�pondent aux angles aigus �T, cf', cTquot;, ou aux angles

Si Fon change a la fois toutes les droites CD, CD', CDquot;, etc., dans leurs prolongemens, les anglesnbsp;S', �Tquot;, etc., se changeront dans leurs suppl�mens,nbsp;et S deviendra � S. II en sera de m�me lorsqu�onnbsp;remplacera 1�axe CE par son prolongement CE'.

La somme S, comma chacune de ses parties, sera inde'pendante de la position du point C sur 1�axe CE;nbsp;elle ne dependra que du sjst�me des forces P, P',nbsp;Pquot;, etc., de la position de eet axe et de sa directionnbsp;perpendiculaire au plan de projection. Dor�navantnbsp;nous appellerons cette quantit� S Ie moment desnbsp;forces P, P', P', etc., par rapport a Faxe CE.

2'74- D�api'�s cette definition, les trois quantit�s L, M, N, du n� 261 , seront les momens des forces Pgt;nbsp;P', Pquot;, etc., par rapport aux axes des coordonn�esnbsp;positives de leurs points d�application.

Pour Ie faire voir, soit Q la projection de la force P sur Ie plan des x etj, et q la perpendiculaire abais^nbsp;s�e de Forigine des coordonn�es sur sa direction, denbsp;sorte que son moment par rapport a ce point ait Qlt;?nbsp;pour valeur. Supposons que la force Q agisse de Anbsp;vers B ( lig. 69), et que AC et AD soient les coor-donnees x et jy de son point d�application A, rappor-tees aux axes rectangulaires Ox et Oj. Soient aus.si ^nbsp;et fjt. les angles BAC' et BAD' que fait la force Q avecnbsp;les prolongemens de x et jr; les composautes dirig�esnbsp;suivant AC' et AD' seront Q cos X et Q cos jx, et leui�Snbsp;momens par rapport au point O, j-Q cos A et xQ cos/*;nbsp;d�apr�s la figure, elle tendrout a faire tourner en sens

contraire Tune de l�autre, et la force Q, dans Ie sens de Q cos [Jt,; on aura done

En examinant les differentes positions que peut avoir Ie point A, et les diverses directions qu�on peutnbsp;supposer a la force Q, il est ais� de voir que cettenbsp;equation subsistera quels que soient les signes de x,nbsp;j, cos A, cos , pourvu que la force Q, transport�enbsp;au point E ou F, o� sa direction rencontre l�axe des xnbsp;Ou des j', tende a faire tourner l�axe Ojc des x positives, dans Tangle des n? et jr positives, et, cons�-quemment, Taxe 0/ des jr positives, en dehors de eetnbsp;angle, comme cela est indiqu� par les fl�ches ^ et /,nbsp;Si Ie contraire avait lieu, c�est-a-dire, si la force Q,nbsp;ainsi transport�e , tendait a faire tourner Taxe desnbsp;positives, dans Tangle des jc et j- positives, et, parnbsp;cons�quent, Taxe des a? positives, en dehors de eetnbsp;angle, on aurait

II suit de la que si S est Ie moment des forces P, P', Pquot;, etc., par i�apport a Taxe des 2 positives, et que Tonnbsp;regarde les angles cT, cP', �Tquot;, etc., du num�ro pr�c�dent, comme aigus ou obtus, selon que les projectionsnbsp;Qgt; Q j etc., de ces forces tendent a faire tournernbsp;Taxe des a: positives, dans Tangle des coordonn�es jcnbsp;et jquot; positives, ou en dehors de eet angle, on aura

34..

les angles que font les directions des forces P, P', Pquot;, etc., avec des parall�les aux axes des x, j, znbsp;on aura

Q = Psiny, Q'=^P'siny', Qquot; = Pquot;sinyquot;, etc., cosa =r silly cos A, cos ��'= sin y'cosA', cosa.quot;=sinyquot;cosAquot;, etc.,nbsp;cosS=slnycoS|K, cos^=siiiy'cos/�', cosoquot;=sinyquot;coS|�quot;, etc.;

et d�apr�s ces valeurs, celle de S co�ncidera avec la quantit� L du n� 261. Ainsi L est Ie momentdes forcesnbsp;P, P', P', etc., par rapport a l�axe des z positives; etnbsp;selon q��il est positif ou ri�gatif, ce syst�me de forcesnbsp;tend a faire tourner Ie plan des x etz positives autournbsp;de eet axe, dans l�angle tri�dre des coordonn�es positives, OU en dehors de eet angle.

Maintenant, si Ton substitue respectivement les axes desz, x,j, positives, a ceux des x,j, z, positives, L se changera dans M; il s�ensuit done que Mnbsp;est Ie moment des forces P, P', Pquot;, etc., par rapport anbsp;Faxe desjquot; positives, et que, selon qu�il sera positif ounbsp;ne'gatif, ce syst�me de forces tendra a faire tourner Ienbsp;plan des z et j' positives autour de eet axe, dans Tangle tri�dre des coordonn�es positives, ou en dehors denbsp;eet angle. Cela fait, si Ton remplace de m�me les axesnbsp;des z, X, j, positives, par ceux desj', z, x, positives,nbsp;Mse changera en N; par cons�quent, N sera Ie momentnbsp;des forces P, P', P^', etc., par rapport a l�axe des xnbsp;positives; et suivant qu�il sera po.sitif ou ne'gatif, ce

syst�me de forces tendra a faire tourner Ie plan des^ et X positives autour de eet axe, dans Tangle desnbsp;coordonn�es positives, ou en dehors de eet anglenbsp;tri�dre.

Les ti�ois quantit�s L, M, N, sontdonc, comme on Ta dit, les raomens d�un ni�me sjst�me de forcenbsp;par rapport aux trois axes des coordonne'es positivesnbsp;de leurs points d�application; et les signes de leurs va-leurs, telles qu�elles sont �crites dans Ie nquot; 261, r�-pondent a un sens de rotation connu, autour denbsp;chaque axe suppose fixe.

2y5. La pi�emi�re valeur de Qy du num�ro pr�c�dent, est la m�me chose que

En appelant H Ie moment de P par rapport a Torigine des coordonn�es, et S' Tangle compris entre une par-�nbsp;tie de la perpendiculaire au plan de ce moment etnbsp;Taxe des z positives, on aura done ( n� 272 )

Ce qui suppose que cette partie de la perpendiculaire au plan de H, soit celle qui fait un angleaigu ou obtusnbsp;avec Taxe des z positives, selon que la quantit� comprise entre les parentheses est positive ou n�gative.

Soient cT, et S^ les angles que fait la m�me partie de cette perpendiculaire avec les axes desjquot; et des xnbsp;positives; on aura de m�me

H Pp,

pour determiner sans ambiguit� les trois angles �, cT,, d\. L�angle cT sera aigu ou obtus, comme on Panbsp;suppose, selon Ie signe de a? cos � �/ cos a, et lesnbsp;angles cT, et cT,, selon les signes de z cos a � x cos ynbsp;et j cos y � z cos �.

On v�rifiera ais�ment ces formules. En efl�t, re-pr�sentons l��quation du plan qui comprend l�origine des coordonn�es et la force P, par

u, V, w, �tant les coordonn�es courantes. Les coor-donn�es du point d�application de cette force �tant Xy j, z, il faudra qu�on ait

de plus les equations d�une droite men�e par l�ori-gine des coordonn�es et parall�le a cette force, seront

et comme cette parall�le est aussi compi'ise dans Ie plan que Ton consid�re, il en r�sultera cette secondenbsp;equation de condition :

Or, d�apr�s les formules connues ( n� 17 ), les cosinus des angles cT, cTj, que fait la normale a ce plan avec les axes des u, e, w, qui sont aussi ceuxnbsp;des^, ��gt; auront pour valeurs les formules qu�ilnbsp;s�agissait de verifier.

En vertu de F�quation �L=:Tp, la quantit� p est la perpendiculaire abaiss�e de rorigine des coordon-�nbsp;n�es sur la direction de la force P. C�est aussi ce quinbsp;se v�rifiei�a sans difficult�, en prenant Ie pied de cettenbsp;perpendiculaire pour Ie point d�application de P; car,nbsp;si l�on appelle r Ie rayon vecteur de ce point, qui seranbsp;alors cette perpendiculaire, et A , /a, r, les angles que

et en substituant ces valeurs dans celle de p�^, et ayant �gard aux equations ( n�� 6 et 9 )

cos� o�. cos� C cos'* y = I , cos'* A -j- cos'jt* -j- cos'* V = 1 ,nbsp;cos a. cos A cos C cos fX cos y cos V == o,

276. Les momens d�un m�me syst�me de forces par rapport a diff�rens axes, jouissent de propri�t�snbsp;remarquables qui sont une consequence immediatenbsp;de celles des projections des surfaces planes sur diff�-rens plans, que nous allons maintenant exposer.

Soient Ox, O7, Oz, trois axes rectangulaires qui se coupent en un point O ( fig. 70 ). Menons par cenbsp;point trois autres axes Ox', Oy', Oz', aussi rectangulaires. Pour determiner les directions de ces nouveauxnbsp;axes par rapport aux premiers, faisons

et consid�rons a, �, y, etc., comme �tant neuf angles donn�s, aigus ou obtus. Leui�s cosinus seront li�snbsp;entre eux par six equations. En consid�rant successi-yenient les trois droites Ox', Oj-', Oz', on aura d�abord

cos� a -j- cos� ^ nbsp;nbsp;nbsp;-1- cos* ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i ,

cos at cos at! cos � cos �' cos y cos y' z= o, ) cos a cos cos � cos �'H- cos y cos yquot; � o , \ (2)nbsp;cos at! cos at!'cos �'cos �quot; cos y' cos yquot; z= o. )

Les neuf angles a, a!, atquot;, etc. , de'termineront r�-ciproquement les directions des premiers axes Ox, Oj, Oz, par rapport aux seconds Ox', Oj', Oz'. Denbsp;cette maniere on aura d�abord

equations qui seront equivalentes aux six pr�c�dentes, et pourront leur �tre substitu�es.

Soit a l�aire d�une surface plane termin�e par un contour quelconque, et situ�e dans un plan passantnbsp;par Ie point 0; par ce point, �levons sur ce plannbsp;une perpendiculaire OD, et faisons

rectlon de OD et celie du plan de a ; s�ils se changent tous les trois dans leurs suppl�mens, la droite ODnbsp;se changera dans son prolongement, et Ie plan de cinbsp;restera Ie m�me.

Appelons aussip, p', p', les projections de a sur les plans pOz, JcOz, xOp, nous aurons ( n� lo )

p � a cos q, p' z= Cl cos q', pquot; z= a cos

Solt y enfin, b la projection de a sur un quatri�ine plan, qui sera, si Ton veut, Ie plan j-'Oz', et c Tanglenbsp;x'OD; on aura aussi

et, d�apr�s la formule (2) du n� c), cos c � cos q cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos cq' cos Q cos qquot; cos y ; (5)

equation qui fera connaitre la projection d�une aire a sur un plan quelconque, lorsque Ton connaitra sesnbsp;projections sur trois plans rectatigidaires.

Comme Tequatlon (5) n�a lieu qu�en tenant compte des signes des cosinus qu�elle renferme, il s�ensuitnbsp;qu�il faut de m�me avoir egard , dans Tequation (6),nbsp;aux signes des projections p, p', p�, et les consid�rernbsp;comme des quantite's positives ou negatives, selon quenbsp;la perpendiculaire OD au plan de a fait des anglesnbsp;aigus OU obtus avecles axes Ox, Ojr, Oz.

277. Cela pos�, consid�rons de m�me un nombre quelconque d�aires planes a, a', d', etc., sltu�es dansnbsp;des plans diff�rens; projetous toutes ces aires sur les

trois plans xOj, xOz,jOz, et ajoutons ensemble les projections faites sur un m�me plan, en ayant �gard anbsp;leurs signes, ainsl qu�il vient d�etre dit. Soient A, A',nbsp;Aquot;, les trois sommes qu�on obtiendra de cette nia-�i�re; soit aussi B la somme des projections de a, o!,nbsp;oquot;, etc., sur Ie plan y'Oz'; en formant pour chacunenbsp;de ces aires, une equation semblable a l��quation (6),nbsp;et ajoutant ensuite toutes ces equations, on aura

Repr�sentons encore par B' la somme des projections de a, a!, aquot;, etc., sur Ie plan x'Oz'. II est �vident que la valeur de B' se d�duira de celle de B, par la substitution de l�axe Oj' perpendiculaire a cenbsp;plan, a l�axe Ox' perpendiculaire au plan j'Oz', c�est-a dire, en mettant dans la formule pr�c�dente a', C,nbsp;y', au lieu de a,C,y�, ce qui donne

Si l�on repr�sente de m�me par Bquot; la somme des projections de a, a!, d', etc., sur Ie plan x'Oy', sanbsp;Valeur se d�duira de celle de B, en y substituant d',nbsp;Squot;, yquot;, au lieu de a, �, y, d�ou il r�sultera

Bquot; = A cos d' B cos �quot; -{- C cos

De ces valeurs de B, B', B'', et en ayant �gard aux equations (5) et (4), on tire r�ciproquement

A = B cos a -f- B' cos d -f- Bquot; cos d', ) ^'=BcosS-i-�B'cosS' Bquot;cosC'', [nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(7)

Ces diff�rentes equations nous montrent que les projections des surfaces planes sur difF�rens plans,nbsp;suivent les m�mes lois que celles des lignes dr�itesnbsp;sur des droites diff�rentes.

378. En faisant la somme des carr�s des valeui�S d.e B, B', Bquot;, il vient, d�apr�s les equations (5) et (4) gt;

ce qui fait voir que la somme des carr�s de ces trois quantit�s B, B', B', ne varie pas avec la directionnbsp;des trois plans rectangulaires de projection auxquelsnbsp;elles se rapportent. Dans Ie cas particulier o� toutesnbsp;les aires a, d, aquot;, etc., .sont dans un m�me plan,nbsp;cette somme n�est autre chose que Ie carr� de l�airenbsp;totale a H- d aquot; etc.; et si l�on prend ce plannbsp;pour celui des axes Oj' et Oz, par exemple, onnbsp;aura �videmment

Cherchons actuellement ce que la m�me somme repr�sente dans Ie cas g�n�ral ou les aires a, dynbsp;a�y etc., sont situ�es dans des plans quelconques.

la somme B, qui varie en passant d�un plan de projection a un auti�e, est done la plus grande possible, quand on a B^ = o et B*^ z= o; et alors elle est �gale 3nbsp;y/A* -1- A'� Aquot;�. Ainsi , la quantit� constantenbsp;dont il s�agit repr�sente, dans Ie cas g�n�ral, la plus

grande somme des projections sur un m�me plan, des aires planes que I on consid�re dans l�espace.

ayg. Le plan^'^Oz' qui r�pond acette plus grande projection, jouit de propri�te's imporlantes en m�-ranique, que nous ferons connaitre dans la suite denbsp;Ce trait�. Sa position est facile a determiner, d�apr�snbsp;^es equations B' = o et Bquot; = o, qui le caract�-Hsent.

En effet, les equations (7) se r�duisent alors a A == B cos a , A' = B cos C, Aquot; = B cos y ;nbsp;d�o� Ton tire

cos

t^Ors done que l�on connaitra les sommes A, A', Aquot;, ^^cs projections sur trois plans rectangulaires j-Oor,nbsp;xOjquot;, choisis arbitrairement, on pourra imm�-'^iatement determiner la direction du plan j'Oz' de lanbsp;plus grande projection, au mojen des trois angles et,nbsp;^ gt; y, qui se rapportent a la droite Ojc' perpendiculaire a ce plan. Quant a sa position absolue dans l�es-pace , il est �vident qu�elle est ind�termin�e ; car lesnbsp;Projections de chacune des aires a, a!, aquot;, etc., et,nbsp;par cons�quent, la somme de ces projections, sont lesnbsp;Ri�mes sur tous les plans parall�les.

aquot;, etc., est egale sur tous les plans �galement inclines sur celui de la plus grande projection.

Pour Ie demontrer, prenons Ie plan perpendiculaire a la droite OD; d�signons par C la somme des projections de a, a', a�, etc., sur ce plan; soient tou-jours q, q', q�, les angles que cette droite OD fai*nbsp;avec les axes Oa?, O7, Oz, et c Tangle oc'OJ) qui mesure Tineiinaison de ce plan sur celui de la plus grandenbsp;projection. On aura, d�apr�s ce qu�on vient de trou-ver ( n� 277 ),

En substituant B cos a, B cos ^, B cos y, h la place de A, A', Aquot;, on aura done

OU bien, en vertu de la formule (5), C = B cos c t et, en mettant pour B sa valeur.

par cons�quent, la valeur de C est la m�me pour touS les plans qui font Ie m�me angle c avec Ie plan j'O^nbsp;de la plus grande projection.

Cette valeur diminue a mesure que Tangle c ap-pi�oche de 90�; elle est nulle pour tous les plans pei�-pendiculaires a j'Oz'.

281. Poiii' appliquer maintenant a la th�orie deS momens ces propositions relatives aux projectionsnbsp;des surfaces planes, il suffit de supposer que les airesnbsp;a, a', aquot;, etc., sont les doubles des triangles qui ontnbsp;pour sommet commun le point 0, et pour bases les

droites qui repr�sentent, en grandeur et en direction, les forces P, P^ P^ etc., que l�on a consid�r�es Pr�c�demment. Leurs momens L, M, N, par rapportnbsp;aux axes Oz, Oy, Ox, des coordonn�es positives denbsp;icurs points d�applicatlon ( n� 274 ) seront alors lesnbsp;Sommes des projections de a, d, aquot;, etc., sur les plansnbsp;, xOz, /Oz; et voici les consequences qui r�sul-tent des propositions qu�on vlent de d�montrer :

I�. En appelant E ie moment des forces P, P', �*quot;, etc., par rapport a un axe passant par Ie point O,nbsp;*lui fait avec les axes Ox, O/, Oz, des angles e, e', � ,nbsp;^igus OU obtus , on aura

2quot;. Parmi toutes les directions autour du point 0, de l�axe du moment E, 11 en est une pour laquelle cenbsp;tnoment est Ie plus grand possible et �gal anbsp;-{- M� N�. Par rapport a tout autre axe, passant toujours par le point 0 et perpendiculaire a ce-^nl du plus grand moment, le moment E est z�ro,

il est egal a v L� -f- IVP N� cos S', relativement a Un axe qui fait Tangle S avec celui du plus grandnbsp;Rioment.

3�. Enfin, si Ton appelle a, �, les angles que fait Taxe du plus grand moment passant par le point 0,nbsp;avec les axes On?, 0/, Oz, des momens N, M, L , etnbsp;que Ton designe par G la grandeur de ce plus grandnbsp;moment, on aura

d�o�il r�sulte qu�en prenantsur les axes Ox, Oj', OZf a partir du point 0 , des droites propoi�tionnelles auXnbsp;momens N, M, L, et achevant Ie parallelepipedsnbsp;dont ces droites seront les trois c�t�s adjacens, lanbsp;longueur de sa diagonale repr�sentera la grandeur dunbsp;plus grand moment, et cette droite sera l�axe de cenbsp;moment principal.

Ces th�or�nies remarquables sont dus a Euler. lis �tablissent une parfaile analogie entre la compositionnbsp;des momens et celle des forces; analogie qui tient anbsp;ce que les forces �tant repr�sent�es par des lignesnbsp;droites, les momens sont exprim�s par des surfacesnbsp;planes, qui se projeltent sur des plans diff�rens, de lanbsp;m�me mani�re que les lignes sur des droites diff�-rentes ( n� 277 ).

282. Le point 0 et Ie syst�me des forces P, P', P', etc., �tant donn�s, j�appellerai moment principalnbsp;de ces forces, leur plus grand moment G. Si Ionnbsp;transporte toutes ces forces parall�lement a elles-m�mes, en ce point 0, elles auront une r�sultantenbsp;que je d�signerai par R, et dont les composantes,nbsp;suivant les axes Ox, Oj-, Oz, seront les trois quantit�snbsp;X, Y, Z, du n� 261. La consid�ration de cette r�sultante et du moment principal, fournit un �nonc�nbsp;tres simple des r�sultats du chapitre pr�c�dent.

Pour 1��quilibre des forces P, P', Pquot;, etc., appli-qu�es a un corps solide enti�rement libre, il suffira que la r�sultante R et le moment principal G soient

= X* Y* Z*, G* = L� M* 4- N*,

les equations R=:o et G = o, entraineront les six equations d��quilibre du n� 261.

On en peut conclure que pour qu�un sjst�me de forces fasse �quilibre a un autre, il est n�cessaire etnbsp;il sui�it : 1�. que les r�sultantes R qui ont lieu dansnbsp;ces deux syst�mes soient �gales et contraires; 2�. que,nbsp;pour un m�me point O, leurs momens principauxnbsp;soient �gaux et r�pondent a des axes dirig�s en sensnbsp;contraire, on dont l�un soit Ie prolongement de l�auti�e.nbsp;La r�sultante R et sa direction, Ie moment principalnbsp;et Ia direction de son axe, resteront les m�mes,nbsp;dans lOutes les transformations qu�on peut faire subirnbsp;a un m�me syst�me de forces, et, g�n�ralement,nbsp;pour deux syst�mes de forces �quivalens.

Soient a,b , c, les angles que la force R fait avec les axes Ox, Ojquot;, Oz, on aura

Soient aussi ro l�angle compris entre sa direction et 1�axe du moment principal; a, �, y, �tant les anglesnbsp;^ue fait eet axe avec Ox, Ojquot;, Oz, nous aurons

II s�ensuit done que la condition d�une r�sultante I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;35

consiste en ce que l�axe du moment principal G et la direction de la resultante R doivent se couper a anglenbsp;droit. C�est ce qu�on verifie, en elFet, en observantnbsp;que si les forces P, P', Pquot;, etc., dans leur veritablenbsp;position, out une r�sultante unique, cette force doitnbsp;�tre �gale et parall�le a R, et que son moment parnbsp;rapport au point 0, doit aussi �tre Ie moment principal G; en sorte que l�axe du moment principal estnbsp;alors perpendiculaire a cette r�sultante transport�enbsp;au point 0 parall�lement a elle-m�me; mais ce rai-sonnement ne suffirait pas pour prouver que r�ci-proquement, quand l��quation pr�c�dente a lieu , lesnbsp;forces donn�es ont une r�sultante unique.

285. Je transporte Ie point 0 en un autre point quelconque quej�appelle 0,; jed�signepar a?,, j-,, z,,nbsp;les coordonn�es de 0,, rapport�es aux axes Ox, Oj,nbsp;Oz, et par L,, M,, N,, ce que deviennent L, M,nbsp;N, relativement a ce point 0, : les valeurs de cesnbsp;derni�res quantit�s se d�duiront des premi�res

( nquot; a�t ) , en y mettant x � x,, jr � a la place de x, jquot;, z ; et il en r�sultera

Ces formules montrent que quand P, P', P', etc., se r�duisent a des forces �gales, parall�les et dirig�esnbsp;en sens contraire, mais non directement oppos�es.

auquel cas on a X = o, Y = o , Z = o , les quantit�s L,, M,, N,, sont ind�pendantes des coordonn�es dunbsp;point 0, j en sorte que la grandeur du moment principal et la direction de son axe ne varient pas avecnbsp;la position de ce point. En effet, quelque part quenbsp;soit plac� Ie point 0,, il est �vident que l�axe dunbsp;moment principal des deux forces parall�les qu�onnbsp;peut substituer aux forces donn�es P, P', Pquot;, etc.,nbsp;est la perpendiculaire a leur plan; et nous savonsnbsp;d�ailleurs (n� 48) que la somme des inomens de cesnbsp;deux forces qui sera Ie moment principal des forcesnbsp;donn�es, est uue quantit� constante.

Dans tout autre cas, Ie moment principal change avec la position du point 0,; et l�on peut demandernbsp;quel dolt �tre ce point, ouces points, s�il y en a plu-sieurs, pour lesquels ce moment est un minimum.nbsp;En Ie d�signant g�n�ralement par G,, c�est-a-dire,nbsp;cn faisant

G.� = L.� M.� -h N.%

Si l�on �gale a z�ro ses trois differences partielles par rapport a x,, jquot;,, z,, afin de determiner sa valeurnbsp;minima, et si l�on observe que

= X ( Xo:, Yj. Zz. ) YL � ZM, R�j. = Y (Xx. Yjr. Zz.) ZN - XL,nbsp;R=z. = Z (Xa:. Yjr, Zz.) XM� YN.

Or, si l�on ajoute ces trois equations apr�s les avoir multipli�es par X, Y, Z, on trouve une e'quationnbsp;identique; il s�ensuit done que l�une d�elles estunenbsp;suite des deux autres ; et comme les coordonn�esnbsp;ne s�y montrent qu�au premier degr�, ellesnbsp;appartiennent a une ligne droite qui est Ie lieu desnbsp;centres des momens, par rapport auxquels Ie moment pi�incipal est au minimum. II n�est pas ne'cessairenbsp;d�examiner lequel a lieu du maximum ou du minimum; car il est �vident que la valeur de G, croit in-d�finiment avec les variables x,, z,, et n�est pasnbsp;susceptible de maximum.

284- En �liminant la quantile Xjt, -j- Yj, -f- Zz,, entre les equations pr�c�dentes, prises successivementnbsp;deux a deux, on trouve

Xj.--Yx.-p L = nbsp;nbsp;nbsp;,

Yz. - Z^. N =

equations qui appartiendront aux projections sur les trois plans des coordonn�es du lieu des centres desnbsp;momens principaux minima.

pour la valeur du moment principal minimum, qui est ainsi la m�me pour tous les centres O,.

du moment G, fait avec des parall�les aux axes Ox, Oj, Oz, men�es par Ie point O,, on aura

quel que soit Ie centre des momens ; et, d�apr�s les equations (d), {b), (c), il en resultera, en particulier, pour un point (?, appartenant a la droite d�-termin�e par les equations {b),

ce qui moutre que les axes de tous les moraens prin-cipaux minima, dont la valeur commune est donn�e par la formule (c), sont parall�les enti�e eux et a la direction de la force R.

Quand les forces donn�es ont une r�sultante unique, il est �vident que la plus petite valeur denbsp;G, dolt avoir lieu lorsque Ie point O, est prls sur sanbsp;direction ; ce qui rend cette valeur �gale a z�ro. R�-clproquement, si la valeur de G, est nulle par rapport a un point 0,, on en conclura que les forcesnbsp;donn�es P, P', Pquot;, etc., ont une re'sultante unique, passant par ce point; car si elles se r�dui-saient a deux forces non comprises dans un m�menbsp;plan , on pourrait faire passer Tune d�elles par Ienbsp;point 0,, et r�dulre leur moment principal a celuinbsp;de lautre force, lequel ne serait pas z�ro, contrenbsp;l�hjpotb�se. On conelut de la que la condition n�ces-

saire et suf�isaiite pour que les forces donn�es aient une r�sultante unique, consiste en ce que leur moment principal puisse �tre �gal a z�ro. Ce momentnbsp;�tant alors un minimum, la condition dont il s�agitnbsp;sera exprim�e par l��quation

d�apr�s la formule (c); et Ie point 0, auquel il se rapporto , appartenant a cetle r�sultante, les �quations de la droite suivant laquelle elle est dirig�e, seront

en vertu des �quations (h). Ces r�sultats coincident avec ceux du n� 265 qu�on a trouv�s par d�autres con-sid�vations.

CHAPITRE III.

285. On appelle, en g�ne'ral, machine funiculaire, tont assemblage de cordes li�es entre elles par desnbsp;nceuds fixes, ou simplement pass�es dans des an-iieaux qui peuvent couler Ie long de ces cordes. Lenbsp;nombre des cordons qui viennent aboutir a un m�menbsp;Doeud peut �tre quelconque; mais pour simplifier lanbsp;question , nous supposerons que chaque nmud n�as-sernble jamais que trois cordons; et, en premier lieu,nbsp;iious exclurons les anneaux mobiles.

Prenons done une corde pai�faitenient flexible et d�une longueur quelconque , dont A et B (fig. 71)nbsp;soient les deux extr�mit�s. Soient M, M', Mquot;, elc.,nbsp;diff�rens points de cette corde ; attachons a ces pointsnbsp;des cordons MC, M'C',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., suivant lesquels

agiront des forces donn�es P, P', Pquot;, etc.; appliquons aussi au point M une force donn�e H , agissant dansnbsp;la direction du cordon MA , et au dernier des pointsnbsp;M, M', Mquot;, etc., une autre force donn�e K, dirig�enbsp;A-^ers le point B. Dans l��tat d��quilibre, cette cordenbsp;flexible formera un polygone dont les somniets seront

les points A , M , M', Mquot;,... B, et que nous appelle-rons sp�cialement un poljgone funiculaire. II s�agit de trouver les conditions que les forces donn�es H,nbsp;P, P', Pquot;, ... K, doivent remplir pour que eet �qui-libre soit possible, et de determiner la figure du poljgone qui convient a eet �tat.

Pour trouver ces conditions, je pars de ce principe �vident que si 1��quilibre existe, chacun des cordonsnbsp;MIVP,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., doit etre tir�, a ses deux extr�mit�s,

par des forces �gales, dirig�es suivant ses prolonge-mens; car si ces deux forces n�avaient pas la m�me direction que Ie cordon, rien ne les emp�cherait de Ienbsp;faire tournerj et si elles n��taient pas �gales et con-traires, elles feraient avancer Ie cordon suivant sanbsp;direction.

II s�ensuit d�abord que la r�sultante des deux forces H et P, appliqu�es au point M, doit co�ncider avec Ienbsp;prolongement MD du coi�don M'M. On peut donenbsp;transporter Ie point d�application de cette force aunbsp;point M' situ� sur sa direction ( n� 4i ) gt; ^n la com-posant ensuite avec la foi�ce P', appliqu�e a ce point,nbsp;il faudra que cette seconde r�sultante, qui sera cellenbsp;des trois forces H, P, P', coincide avec Ie prolongement M'D' du cordon Mquot;M'; et, par cons�quent, ilnbsp;sera permis de la transporter au point M*. Je prendsnbsp;encore la r�sultante de cette force et de Pquot; qui agitnbsp;en ce m�me point Mquot;; j�ai, de cette mani�re, la forcenbsp;qui tire Ie cordon Mquot;M'quot; a son extr�mit� Mquot;, et quinbsp;doit �tre dirig�e suivant son prolongement Mquot;Dquot;. �nbsp;Cette force est, comme on voit, la r�sultante desnbsp;forces H, P, P', Pquot;; un raisonnement semblable prou-

veralt que la force qui tire Ie m�me cordon a son ex-Ir�mit� nbsp;nbsp;nbsp;et qui doit co�ncider avec son autre pro-

longement WW, est la r�sultante des forces P�, P'',. .K ; ces deux r�sultantes sont done �gales etnbsp;directement oppos�es; et, cons�quemment, la r�sultante de toutes les forces donn�es H, P, P', Pquot;____K,

doit �tre �gale a z�ro. Onparviendrait�vidennnentau m�me r�sultat, en consid�rant les forces qui agissentnbsp;aux deux extr�mit�s de tout autre c�t� du poljgone.

Ainsi, les forces appliqu�es au poljgone funicu-laire doivent �tre telles qu�en les transportant en iin m�me point parall�lement a elles-m�mes, elles s�jnbsp;fassent �quilibre; ce qui donne, comme on sait,nbsp;trois �quations entre les grandeurs de ces forces et lesnbsp;angles que font leurs directions avec trois axesnbsp;mctangulaires men�s par ce point. Ces �quationsnbsp;sont ( n� 55)

H cos a nbsp;nbsp;nbsp;K cos e -j- P cos a-|-P'cosa'-{-etc.= o, )

Hcos5-|-Kcosy-|-Pcos^-f-P'cos�'-|-etc.=o, / (a) H cosc-f-Kcosgf-t-Pcos^H-P'cosy-l-etc. = o; '

a, e, a, a', etc., d�signant les angles relatifs a l�un des axes; b, f, �, C', etc., les angles relatifs a unnbsp;autre axe; et c, g, y, y', etc., ceux qui r�pondentnbsp;au troisi�me.

a86. Lorsque les forces H, P, P', Pquot;,... K, et les directions des cordons par lesquels elles agissent, nenbsp;satisferont pas a ces �quations, il sera impossiblenbsp;qu�elles se fassent �quilibre par Je mojen du poljgone funiculaire, quelque figure qu�on lui donne ;nbsp;mais toutes les fois que ces �quations seront satis-

faites, on pourra donner au polygone une figure telle que l�e'quilibre ait lieu. Les grandeurs et les directions des forces H, P, P', Pquot;,. . . K, �tant don-n�es, cette figure est d�termin�e, et sa constructionnbsp;r�sulte de la suite de compositions de forces que nousnbsp;venons d�indiquer.

En eflfet, connaissant les directions des cordons MA et MC, par lesquels agissent les forces H et P,nbsp;on d�terniinera la grandeur et la direction de leurnbsp;resultante. Sur Ie prolongement de cette direction, anbsp;partir du point M, je porte la longueur donn�e dunbsp;c�t� MM'; cela fait, j�applique au point M' la resultante de H et P suivant la ligne M'M, et la force P'nbsp;suivant la direction donn�e du cordon M'C'. Je prendsnbsp;la r�sultante de ces deux forces, et sur Ie prolonge-rnent de sa direction, a partir du point M', je portenbsp;la longueur donn�e du c�t� M'Mquot;. Maintenant, jenbsp;fais au point Mquot; une construction semblable a cellenbsp;que je viens d�indiquer pour Ie point M; j�appliquenbsp;en Mquot; la derni�re r�sultante sur Ie c�t� Mquot;M', et lanbsp;force Pquot; suivant !a direction donn�e du cordonnbsp;Mquot;Cquot;; je compose eusui'te ces deux forces en unenbsp;seule, et, sur Ie prolongement de celle-ci, je portenbsp;la longueur donn�e du c�t� Mquot;M'.

Je continue ainsi jusqu�a ce que je sois parvenu au dernier des namds M, M', Mquot;, etc., qui sera, je suppose, Ie point M'', de sorte que M�'B soit Ie derniernbsp;c�t� du polygone. Sa direction est connue, puis-qu�elle repr�sente celle de la force extr�me K, qui estnbsp;donn�e par hypothese. II faudra done que la direction prolonge'e de la r�sultante des deux forces appli-

Ie cordon M�C*% coincide avec la dii�ection donn�e du c�t� M^B. C�est, effectivement, ce qui arriveranbsp;toujours; car, d�apr�s notre construction, la forcenbsp;dirig�e suivantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�est autre chose que la r�sul

tante des cinq forces H, P, P', Pquot;, Pquot;', Iransport�es au point M*^ parall�lement a leurs directions; en lanbsp;composant avec la force P�% dirig�e suivantnbsp;on aura la r�sultante de toutes les forces donn�es ,nbsp;moins la force K; or, en vertu des e'quations (a),nbsp;qu�on suppose satisfaites, cetle r�sultante est �gale etnbsp;directement oppos�e a la force K (n� 55).

Si l�on m�ne par Ie point A, les trois axes auxquels se rapportent les angles a, e, �, a', etc., f, Q,nbsp;6', etc. y c, g ,y,y', etc., les cooi�donn�es de chacunnbsp;des sommets du polygoue, rapport�es a ces axes, se-ront les projections sur ces ru�mes axes de la partienbsp;du poiygone comprise depuis Ie point A jusqu�a cenbsp;sommet. On pourrait les calculer, en fonctions de cesnbsp;angles, des longueurs des c�t�s du poiygone et desnbsp;forces donn�es; les formules g�n�rales que l�on ob-tiendrait de cette mani�re serviraient, dans chaquenbsp;cas, a construire directement tous les sommets dunbsp;poiygone, ou seulement un ou plusieurs de cesnbsp;points; mais il est plus simple de determiner succes-sivement, et les uns au moyen des autres, lesnbsp;diflf�rens c�t�s du poiygone, ainsi qu�on vient denbsp;l�indiquer.

287. Quand les forces donn�es remplissent les conditions exprim�es par les �quations (�), et qu�on a fait prendre au poiygone la figure propre a l��qui-

libre, l�lntensit� commune des deux forces �gales et confraires qui tirent chacun des c�t�s suivant sounbsp;prolongement, est la tension que ce cordon �prouve;nbsp;il est done important, dans la pratique, de calculernbsp;cette tension, et de s�assurer, par l�exp�rience, qu�ellenbsp;ne d�passe pas celle qu�un cordon du m�me dia-ni�tre et de la m�me mati�re peut suppoi�ter sans senbsp;rompre.

Or, d�apr�s ce qu�on vient de voir, cette tension variera d�un c�t� a l�autre du polvgone; la tensionnbsp;du c�t� MM' sera egale a la r�sultante des forces Hnbsp;el P, OU a celle des forces P', Pquot;, P'quot;,. .. K; la tension du c�t� M'Mquot; sera �gale a la r�sultante des forcesnbsp;H, P, P', OU a celle des forces Pquot;, Pquot;',. . . K; et ainsinbsp;de suite. II sera done ais�, dans cliaque cas particulier, de d�terminei� les tensions qu��prouvent tousnbsp;les c�t�s du poljgone en �quilibre, lorsque les grandeurs et les directions des forces H, P, P', Pquot;,... K,nbsp;seront toutes donn�es.

Si les points extr�mes A et B du polygone sont fixes, les forces H et K repr�senteront a la fois lesnbsp;tensions des cordons qui aboutissent a ces points etnbsp;les pressions que ces points �prouvent. Dans ce cas,nbsp;les valeurs de H et K, et des angles a, h, c, e, J, g,nbsp;qui d�terminent les directions des deux c�t�s extremes du polygone, ne seront plus donn�es ; mais onnbsp;aura buit �quations pour d�terminer ces buit incon-nues, savoir, les �quations (a), les �quations (n� 6)nbsp;cos�a cos�� cos'c=i, cos'e cos'*�-}- cos� g ^ gt;nbsp;et trols �quations r�sultant de ce que la position desnbsp;deux points fixes A et B est donn�e. Ou formera

celles-ci en calcnlant les valeurs des trois coordonn�es de l�un de ces points, rapport�es a des axes passantnbsp;par l�autre point, c�est-a-dire, les projections du po-^ygone entier sur ces trois axes, et les egalant auxnbsp;Valeurs donn�es de ces m�mes coordonn�es.

La determination de ces huit iuconnues sera g�n�-ralement tres compliqu�e; mais apr�s que Ie polj-gone funiculaire aura pris de lui-rn�me ia figure propre a 1��quilibre des forces appliqu�es a ses som-Diets, on obtiendra sans difliciilt� les tensions de sesnbsp;diff�rens c�t�s; ce qui sut�ira pour la pratique. Ainsi,nbsp;cn d�composant la force P appliqu�e au point M ennbsp;deux autres forces dirig�es suivant les prolongemensnbsp;des c�t�s AM et MM', les composantes, donn�es im-Di�diatement par la regie du parall�logramme desnbsp;forces, seront les tensions d� ces deux c�t�s. Celle quinbsp;3gira suivant Ie prolongement de AM devra �tre �galenbsp;^ Ia force agissant suivant ce premier c�t�, loi�sque Jenbsp;point A sera fibre; et quaud il sera fixe, elle expri-^era la pression exerc�e sur ce point. Pareillement,nbsp;composantes de la force P' suivant les prolonge-^ens de MM' et M'Mquot;, expriraeront la tension denbsp;MM', d�ja connue par la d�composition de P, et cellenbsp;du c�t� adjacent M'Mquot;; et ainsi de suite.

288. Les cordons qui forment les diff�rens c�t�s d un poljgone funiculaire sont toujours un peu ex-tensibles; chacun d�eux s�allonge d�une petite quan^nbsp;tit�, en raison de Ia tension qu�il �prouve dans I��-^at d��quiiibre; et lorsque cette tension est connue,nbsp;On peut calculer rallongement correspondant.

tensioQ d�un fil homogene et d�une �paisseur constante nappi�oche pas de la force n�cessaire pour Ie rompre, son allongement est proportionnel a sa longueur et a la tension qu�il �prouve; il varie d�ail-leurs, d�un fil a un autre, avec l��paisseur et la rna-ti�re du fil. Cela �tant, je suppose que I on attache a unnbsp;point fixe un fil de la m�me �paisseur et de la m�menbsp;mati�re que Ie cordon AM, et que 1�on suspende a sonnbsp;extr�mit� inf�rieure un poids donn� n, tres grandnbsp;par rapport a celui du fil. Soient l et Z(inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ses

longueurs avant et apr�s la suspension du poids O; cette quantit� sera une fraction tres petite, ind�-pendante de l et proportionnelle a O, en n�gligeantnbsp;Ie poids du fil; en sorte que si, dans une autre exp�-rience, les trois quantit�s Z, fl, sont l', (sr', 11', onnbsp;aura

l�r �

quels que soient Z et Z'. Or, il est �vident qu�un fil attach� a un point fixe et tir� a son autre extr�mit� par une force dirig�e suivant son prolongement, estnbsp;dans Ie m�me �tat que s�il �tait tir� par cette m�menbsp;force suivant ses deux prolongemens. Si done on ap-pelle T la tension du cordon AM, et si l�on supposenbsp;qu�il se soit allonge dans Ie rapport de i-j-T a l�unit�,nbsp;on aura

pour d�lerminer eet allongement; et il en sera de m�me pour tous les autres c�t�s du poljgone-

289. Soit que les points extr�mes A et B du poly-gone soient fixes, ou qu�ils soient libres, si l�un ou plusieurs des noeuds M, M', Mquot;, etc., sont remplac�snbsp;par des anneaux, cette circonstance donnera lieu anbsp;de nouvelles conditions d��quilibre. Supposons, parnbsp;^xemple, que Mquot;soit un anneau mobile qui puissenbsp;glisser Ie long du cordonnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;il est clair que

dans ce mouvement la som me des distances M'Mquot; et IVlquot;M'quot;, du point Mquot; aux points M' et Mquot;', restera constante. Or, si Tequilibre existe, eet �tat nenbsp;�era pas trouble en rendant fixes ces deux derniersnbsp;points; mais alors Ie point Mquot; sera dans Ie m�menbsp;Oas que s�il e'tait astreint a demeurer sur la surfacenbsp;d�un ellipso�de de revolution, dont M' et Mquot;' sontnbsp;les deux foyers, et dont Ie grand axe est �gal a lanbsp;longueur donnee du cordonnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;done ce point

fie peut rester en �quilibre (n� 36), a moins que la Idrce P'' qui lui est appliqu�e ne soit perpendiculaire a cette surface; d�oii il suit, d�apr�s une pro-pri�t� connue de l�ellipse, que la direction de cettenbsp;force doit couper en deux parties �gales Tangle desnbsp;deux rayons vecteurs Mquot;M' et Mquot;M'quot;.

286, on sera parvenu a un anneau mobile tel que Mquot;, et que Ton aura pris la re'sultante desnbsp;deux forces dirig�es suivantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et Mquot;C'', dont Ie

les angles Cquot;Mquot;M' et Cquot;Mquot;Mquot;' ne sont pas �gaux entre eux, il en faudra conclure que T�quilibrenbsp;o�existe pas. En general, il faudra que la directionnbsp;du coi�don Mquot;Cquot;, attach� a un anneau mobile, ne

soit pas donn�e d�avance , afin qu�on puisse, en la determinant d�une mani�re convenable, remplir lanbsp;condition de l��galit� des deux angles M'Mquot;C' et

M'^ivr'Cquot;.

Observons que dans letat d��quilibre, les tensions des deux c�t�s adjacens a un anneau mobile serontnbsp;�gales entre elles; cela r�sulte de ce que ces deuxnbsp;c�t�s font des angles �gaux avec la direction de lanbsp;force appliqu�e a eet anneau, et que leurs tensionsnbsp;sont les composantes de cette force suivant leursnbsp;propres directions; mais cette �galitc de tension peutnbsp;aussi �tre consid�r�e comme �vidente en elle-m�me,nbsp;puisque les deux c�t�s Ie long desquels l�anneau peutnbsp;glisser ne forment qu�un cordon , qui doit n�ces-sairement �prouver la m�me tension dans toute sounbsp;�tendue.

290. Ce que nous disons a l��gard d�un anneau oblige de glisser Ie long d�un fil consid�r� commenbsp;inextensible et parfaitement flexible, peut s��tendrenbsp;a tous les points d�un sjst�me de points mat�rielsnbsp;en �quilibre. Quelle que soit la liaison de ces pointsnbsp;entre eux, on ne troublera pas eet �quilibre ennbsp;fixant tous les points du sjst�me, except� un seul.nbsp;Or, si la liaison de ce point avec les autres est tellcnbsp;qu�il puisse encore d�erire une surface ou seule^nbsp;ment une ligne courbe autour de ces points fixes,nbsp;il est �vident que Ie point mobile sera dans Ie m�inenbsp;cas que si la surface ou la ligne courbe existait reel-lement; par cons�quent, la direction de la forcenbsp;qui lui est appliqu�e doit �tre normale a cette surface ou a cette ligne.

ConcluoQs done que dans tout sjst�me de points mat�riels en �quilibre, la force appliqu�e a chacunnbsp;de ces points est perpendiculaire a la surface ou anbsp;la ligne sur laquelle ce point serait oblige de Tester, si tous les autres points auxquels il est He'nbsp;�taient regarde's, pour un moment, comme desnbsp;points fixes.

Quand cette condition, relative a la direction des forces et a la liaison des parties du sjst�me, n�estnbsp;pas remplie, on peut �tre certain que l��quilibrenbsp;n�existe pas; mais elle ne suffit pas a elle seule pournbsp;assurer Tequilibre du sjst�me.

291. Si toutes les forces qui agissent sur un polj-gone funiculaire suspendu aux deux points fixes A et B, sont des poids donn�s, il r�sulte de la construction du n� 286, que ce poljgone tout entier seranbsp;contenu dans Ie plan vertical passant par ces deuxnbsp;points; et cela est d�ailleurs �vident en soi-m�me,nbsp;puisqu�il n�j aurait aucune raison pour qu�il s��cartatnbsp;de ce plan plut�t d un c�t� que de l�autre. En pre-�ant alors la perpendiculaire a ce plan pour l�axenbsp;auquel r�pondent c, g, y, y', etc., tous ces anglesnbsp;seront droits, et la troisi�me �quation (a) disparaitra;nbsp;^es deux autres se r�duiront a

en supposant que les angles a, e, a, ��', etc., r�pondent a un axe horizontal, et les angles b, J.\ etc., a un axe dirig� dans Ie sens de la pesan-

L��quilvbre de ce polygone ne sera pas trouble si l�on rend sa forme invariable; par cons�quent, lanbsp;force n devra �tre �gale et directement oppos�e a lanbsp;r�sultante des forces H et K, En vertu des �qua-tions (amp;), elle est d�ja �gale et contraire a cette r�sultante; il faudra done encore qu�elle passe par Ienbsp;point 0 ( fig. 72 ), o� les prolongemens des cordonsnbsp;extremes AM et BN viennent se couper, et qu�onnbsp;peut prendre pour Ie point d�appllcation communnbsp;aux deux forces H et K. Ainsi, dans l��tat d��quilibre,nbsp;la r�sultante n des forces verticales F, F', Fquot;, etc.,nbsp;sera dirig�e suivaut la verticale OD; et, cela �tant,nbsp;on aura les proportions (nquot; 29)

qui feront connaitre les tensions des cordons ex-tr�mes, ou les pressions H et K exerc�es sur les deux points fixes A et B, quand on aura mesur� les anglesnbsp;AOD et BOD

292. On peut faire sur les tensions des cordons qui supportent un poids donn� , la menie remarque quenbsp;l�on a d�ja faite a 1��gard des pressions �prouv�es pal�nbsp;les points d�appui d�un plan horizontal sur lequel uonbsp;poids est plac� (n'� 270).

Supposons que les trois cordons attach�s aux points fixes A, B, C (fig. 73), se r�unissent au point M, etnbsp;qu�en ce point un poids F soit suspendn et agisse sui-vant la verticale MD. Prenons un point D' sur Ie pro-

longement de cette droite, et construisons Ie paral-l�l�pip�de dont MD' est la diagonale, et qui a ses trois c�t�s adjacens MA', MB', MC', sur les directionsnbsp;des trois cordons. Si Ton repr�sente la force P par lanbsp;droite MD', ses composantes suivaut ces directionsnbsp;seront repre'sent�es par les droites MA', MB', MC', etnbsp;elles exprimeront les tensions des trois cordons MA,nbsp;MB, MC, OU les charges des trois points fixes A, B,nbsp;C, lesquelles se trouveront, dans ce cas, compl�te-ment d�termin�es. Mais, lorsque les cordons abou-tissant au point M seront au nombre de quatre , ounbsp;en plus grand nombre, on pourra decomposer lanbsp;force P d�une infinite de mani�res diff�rentes, suivantnbsp;leurs directions; en sorle que leurs tensions et lesnbsp;charges des points fixes ne seront plus de'terminees,nbsp;�t une ou plusieurs d�entre elles pourront �tre nullesnbsp;ou prises arbitrairement. Or, cette ind�terminationnbsp;aurait r�ellement lieu dans la question abstraite, oiinbsp;1�on n�a tenu aucun compte de l�extensibilite' des cordons; mais elle n�existe plus d�s qu�on a e'gard anbsp;cette propri�t� de la mati�re : alors tous les cordonsnbsp;s�allongeut un tant soit peu; leurs extensions dependent de leur nombre et de leurs positions relatives;nbsp;et si 1�on mesurait ces petits allongemens, on ennbsp;pourrait conclure la tension de chaque cordon, ounbsp;la charge de chaque point fixe qui a r�ellementnbsp;lieu.

Ainsi, en supposant que Ie cordon AM, par exem-ple, se soit allonge dans Ie rapport de i cf a runit�, et sachant, d�ailleurs, qu�un cordon de meme mati�renbsp;et de m�me diam�tre s�allonge dans Ie rapport de

3G..

I �z�T a I�unite, quand on le suspend verlicalement a un point fixe, et qu�on attache le poids P a son ex-tr�niit� inf�rieure, on en conclura (n� 288) que lanbsp;tension �prouv�e par ce cordon, ou la charge que

Si Ton d�signe par lt;20-' et cT', lt;arquot; et cTquot;, etc., ce que deviennent les fractions �zs- et cT relativement aux cordons MB, MC, etc., et par y, y', yquot;, etc., les anglesnbsp;aigus que font les cordons MA, MB, MC, etc., avecnbsp;la verticale MD', il faudra qu�on ait

� nbsp;nbsp;nbsp;�7X-'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;��XPnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

afin que la somme des composantes verticales de toutes les tensions soit �gale au poids P. En proje-tant les niemes cordons sur un plan horizontal men�nbsp;par le point M, et d�signant par ca, cd', 0)quot;, etc., lesnbsp;angles que les projections de MA, MB, MC, etc.,nbsp;font avec une droite MO trac�e arbitrairement dansnbsp;ce plan, on aura aussi

iT . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y .

pour exprimer que la r�sultante de toutes les tensions est une force verticale.

Quand il n�y a que trois cordons, ces trois equations suffisent pour determiner les rapports de leurs

nioyen des angles que ces trois cord�ns font avec la verticale MD', et des angles compris entre les plansnbsp;de cette droite et de leui�s directions. Quand 11 n y ennbsp;a que deux, leurs directions et cette verticale sontnbsp;comprises dans un m�me plan; ce qui reduit a unenbsp;seule les deux dernl�res equations.

agS. Considerons dabord un fil pesant, homogene et d�un diam�tre constant; supposons-le parfaitementnbsp;flexible et attache' par ses extr�mite's A et C (fig. 74)nbsp;a deux points fixes; et proposons-nous de determinernbsp;la courbe ABC qu�il forme dans son �tat d��quilibre.nbsp;On nomme cette courbe la chainette; elle est �vi-demment comprise dans Ie plan vertical passant parnbsp;les deux points fixes A et C � car il n�y aurait aucunenbsp;raison pour quelle s�en �cartat plut�t d�un c�te quenbsp;de l�autre.

Par un point 0, menons dans ce plan deux axes rectangulaires Ox et Oj, qui seront ceux des coor-donn�es positives; prenons Ox horizontal et dirig�nbsp;du c�te' du point A, et Ojr vertical, dirig� en sensnbsp;contraire de la pesanteur, et passant par Ie point B,nbsp;Ie plus bas de la courbe. Soient x et j les coordon-rnbsp;n�es OP et PM, rapport�es a ces deux axes, d�unnbsp;point quelconque M de la chainette, et ^ I�arc BMnbsp;aboutissant en ce point et compt� du point B; et de^nbsp;signons par x', s', ce que deviendront x, j, s ,nbsp;relativement a un autre point de cette courbe , telnbsp;que I on ait / gt;

Si V on appelle p Ie poids dc Tunit� de longueuf du fil, lorsqu il est couch� sur un plan horizontal,nbsp;p {s' � s) sera, dans eet �tat, Ie poids d�une longueurnbsp;s' � s du m�me fil, puisqu�on Ie suppose homogenenbsp;et d�une epaisseur constante. Quand il sera suspendunbsp;aux deux points fixes A et B, ses diff�rentes partiesnbsp;s�allongeront in�galement, a raison de leurs tensionsnbsp;respectivesj et, en m�me temps, leurs densit�s ounbsp;leurs �paisseurs diminueront de rnani�re que leursnbsp;masses ne changent pas; par conse'quent, Ie poids denbsp;cette longueurs'�s ne sera plus exactement Ie m�menbsp;qu�auparavant; ma�s si la mati�re du fil est tres peunbsp;extensible, et qu�on n�glig� les petites dilatations denbsp;ses parties, on pourra encore prendre p{s'�s) pournbsp;Ie poids correspondant a l�arc MM' de la chainette.

Soient, en outre, T et T' les forces inconnues qni agissent a ses extr�mit�s M et M', et proviennent denbsp;ce que ces points sont lies aux parties CM et AM' denbsp;cette courbe. En joignant ces forces au poidsp{s'�s),nbsp;on pourra consid�rer MM' comme enti�rement libre;nbsp;par cons�quent, si l�on repr�sente par a �t � les angles que fait la direction de la force T avec les prolon-gemens des coordonn�es x et de son point d�appliquot;nbsp;cation, et par et' et C' les angles analogues relativementnbsp;a la force T', nous aurons

pour l��quilibre de ces trois forces comprises dans un m�me plan ( nquot; 262 ) ; x, �tant l�abscisse hori-

zontale du centre de gravit� de l�arc MM'. Elles au-ront lieu, quelle que soit la longueur de eet are : si on la suppose infiniment petite, on pourra n�-gliger, dans ces equations , les quantit�s infinimentnbsp;petites du second ordre; inais il faudra conservernbsp;les quantit�s du premier ordre; ce qui n�emp�cheranbsp;pas qu�on ne doive consid�rer la force T commenbsp;e'tant dirig�e sulvant la partie MH de la tangente ,nbsp;a l�extr�mit� M , et la force T', suivant la partienbsp;M'H' de la tangente , a l�autre extr�mit� M'.

Pour Ie faire voir, prenons sur MM' un point m tel que l�arc Mm soit infiniment petit du secondnbsp;ordre; ce qui permettra de n�gliger Ie poids denbsp;cette partie de la chainette. Si l�on fixe Ie point m,nbsp;1 equilibre ne sera pas trouble; or, Ie fil �tant suppose parfaitement flexible , il n'y aurait rien quinbsp;emp�chat la force T de faire tourner l�arc M/w au-tour de in, si elle n��tait pas dirig�e suivant sonnbsp;prolongement MH. On verra de m�me que la force T'nbsp;doit �tre dirig�e suivant M'H'.

cos a' = -r?

et en n�gligeant les infiniment petits du second ordre , ces derni�res valeurs seront

effet, la quantit� T est une fonction des coordon-n�es du point quelconque M auquel elle r�pond, qui devient, cons�quemment, T dT au point M';nbsp;en ce point, elle exprime la force qui agit sur lanbsp;partie sup�rieure AM' de la chainette, suivant lanbsp;direction M'H^, prolongement de H'M'. Or, si ivHnbsp;est un point de la courbe dont la distance a M' estnbsp;infiniment petite du second ordre, la force qui agitnbsp;en m' sur la partie km', sera la m�me, en grandeur et en direction, que celle qui agit en M' surnbsp;AM'; par cons�quent, la partie Wm' de la chainette est tir�e en sens contraire, suivant M'H' et m'H,,nbsp;par des forces T' et T rfT, qui doivent �tre �galesnbsp;pour que M!m' demeure en �quilibre.

Cela pos�, je substitue cesdiff�rentes valeurs dans les deux premi�res �quations (a), et j�y fais /�s�ds;nbsp;elles deviennent

en y n�gligeant les infiniment petits du second ordre, ce qui permet de remplacer ir, par oc dans son second membre. Or, cette equation est la m�menbsp;chose que

tres. EfFectlvement, Ie probl�me ne peut d�pendre que de deux equations, puisqu�il n�j a que deux in-connues et T a determiner en fonctions de ar ; lanbsp;premi�re, pour connaitre l��quation de la courbe, etnbsp;la seconde, pour savoir quelle est la tension en unnbsp;point quelconque M, c�est-a-dire, la grandeur desnbsp;forces �gales qui tirent T�l�ment M/n suivant ses deuxnbsp;prolongemens.

en d�signant par c la constante arbitraire. Au point B, on a ^ = I et T = c; si done on repr�sente la ten-

sion en ce point Ie plus bas, par Ie poids d�une longueur A du lil, on aura c�ph, et, en un point quelconque,

imm�diatement l�arc s el la tension T, lorsque l�or-donn�e aura �t� d�termin�e en fonction de x.

En inte'grant et observant qu�on ax = oet ^ = o au point B, on en d�duit

4Iog(f v/, g), et, par cons�quent,

e �tant, a l�ordinaire, Ie base des logarithmes n�p�-rlens. Je multiplie cette equation par

en observant que ^ = o et x = o, ati point B, et prenant l�origine 0 des coordonn�es a la distance hnbsp;au-dessous de ce point, de soi�te qu�on zh j = hnbsp;qnand x == o.

haut. La seconde est l�equation de la chainette, sous la forme la plus simple; elle monlre que cette courbenbsp;est sym�trique de part et d�autre de son point Ienbsp;plus bas.

en sorte que la tension en un point quelconque M est exprim�e par Ie poids d�une longueur du fil, e'gale anbsp;la perpendiculaire MP abaiss�e de ce point sur lanbsp;droite horizontale, passant par Ie point 0. C�est aunbsp;point B que cette tension est la plus petite; et sa valeur en ce point est ph, comme on l�a suppose.

2g5. II ne reste plus qu�a determiner la constante h qui entre dans ces formules. L�expression de jr fera en-suite connaitre la figure de la chainette; mais pournbsp;que sa position soit connue dans Ie plan verticalnbsp;passant par les points A et C, il faudra aussi d�ter-

Pour cela, je m�ne par Ie point A une horizontale qui coupe Taxe Qj en un point Q, et par Ie point C,nbsp;une verticale qui rencontre cette horizontale au pointnbsp;D. La position du point C, par rapport au point A,nbsp;�tant connue, les distances AD et DG seront donn�es.nbsp;Je les repr�sente par a et ; je d�signe aussi par k lanbsp;distance AQ; en sorte qu�on alt

a el b �tant des quantit�s donn�es, et A: et A les deux inconnues qu�il s�agira de d�terminer.

J�appellerai K la distance QD, l la longueur don-n�e de la courbe ABC , g el g' ses parties AB et BC, f la fl�che BQ; on aura

en regardant k' et g' comme des quantit�s positives OU n�gatives, selon que Ie point C appartiendra aunbsp;prolongement de AB o� a AB menie. Les ordon-n�es des points A et C seront ^ � et h-{-f � b, ennbsp;consid�rant aussi la quantit� h comme positive ounbsp;comme n�gative, selon que C sera au-dessous ounbsp;au-dessus de la droite horizontale, men�e par Ienbsp;point A.

^ *1 /� �

^ V

Cette quantit� ti �tant compos�e de quantlt�s don-n�es, l��quation (^Z) fera connaitre la valeur de a, et par suite celle de h. En general, cette equation senbsp;i:�soudra par des essais; et l�on en d�duira la valeurnbsp;num�rique de a d�apr�s celle de n, aussi exactementnbsp;qu�on voudra. Si n diff�re tr�s peu de Tunit�, lanbsp;Valeur de a sera tres petite; en d�veloppant alors

les exponentielles, et n�gligeant Ia quatri�me puissance de a , on aura simplement a�� = 6(n�� i)-Si nous faisons aussi

r^) (/ _ r'

ce qui fera connaitre la valeur de C, d�apr�s celle de h, et, cons�queminent, les quantiles k et k'. Lenbsp;signe de k' d�cidera de quel c�t� de Oj', le point Cnbsp;sera plac�.

Le cas le plus simple aura lieu quand les points fixes A et C seront situ�s sur une m�me droile horizontale.nbsp;On aura alors h = o; i��quation (e) donnera ^ = o,nbsp;et, par suite, k=:k' � \a, comrne cela doit �tre.nbsp;On aura, en m�me temps,nbsp;ce qui fera connaitre les tensions aux points A et C gt;nbsp;OU les charges que ces points fixes auront a supporter,nbsp;apr�s que la valeur de h aura �t� calcul�e. Dansnbsp;le cas general, ces tensions extr�mes se d�duirontnbsp;des valeurs de j, correspondantes a x � knbsp;X = � k'.

qui aboutissent aux points donn�s A et C, la chainette est celle dont Ie centre de gravit� est Ie plus bas.

En eflet, menons par Ie point A ( fig. yS ) un axe horizontal kj', et un axe Kx' vertical et dirig� dansnbsp;Ie sens de la pesanteur. Soient x' et j' les coordon-n�es d�un point quelconque M, rapport�es a ces axes.nbsp;En appelant x, la distance du centre de gravit� d�unenbsp;courbe quelconque AMC, a l�axe kj', nous aurons

b �tant la valeur de x' qui r�pond au point C , et � d�signant la longueur donn�e de celte courbe, denbsp;sorte qu�on ait

I = f' v/i

Or, d�apr�s la formule (e) du n� 201 , la courbe dans laquelle la premi�re integrale est un maximum entrenbsp;toutes les courbes de m�me longueur, a pour equationnbsp;diff�rentielle

c et c' �tant des constantes arbitraires. En int�grant et observant que les variables x' etf' sont nulles ennbsp;m�me temps, il vient

y _y

pour l��quation de la courbe qui jouit de la propri�t� demand�e. Au point C, on aura

b c � -^ye�=' [ye

a �tant la distance donn�e de ce point a l�axe Kx', de sorte qu�on ait a la fois x' � b et j' � a. Cettenbsp;equation particuliere et la longueur l de la courbenbsp;servironl a determiner les deux constantes c et c'.

Maintenant, pour faire co�ncider Tequation (�) avec celle de la chainette, d�signons par s une constantenbsp;ind�termin�e, et changeons les coordonn�es x' ety^nbsp;en d�autres, telles que l�on aitnbsp;de mani�re que ces nouvelles coordonn�es x et �nbsp;soient dirig�es en sens contraire de y et x!, et rap-port�es a une autre origine. Par ce changement, 1��-

et d�signons par � A , la valeur commune de ces deux quantite's �gales, de sorte qu�on ait

�omme on a yy' = c'*, il en r�sultera h = c'; et l��quation pr�c�dente de la courbe deviendra

Ce qui coincide avec la seconde equation (c) que nous avons trouv�e pour la chainette.

297. Si la force verticale qui agit sur chaque �l�ment du fil suspendu aux points A et C ( fig. 74 ) ? au lieu d�etre proportionnelle a la longueur de 1��l�-mentcamp;r, est proportionnelle a sa projection horizontale dx, la seconde �quation (b) deviendra

f/.T ^ = pdx]

p �tant une constante donn�e qui repr�sente Ie poids d�un prisme dont la hauteur est l�unit� lineaire. Ennbsp;vertu de la premi�re �quation (b), qui ne changeranbsp;pas, on aura toujours

en d�signant par h une ligne de longueur inconnue, et par ph un poids e'quivalent a la tension au point B,nbsp;Ie plus bas de la courbe. II en r�sultera done

M. f

en placant l�origine des coordonn�es x eij au point B. Dans ce cas, la courbe sera, comme on voit, unenbsp;parabole qui aura son sommet au point Ie plus bas ;nbsp;et l�on aura

ce qui fera connaitre k, k',f, quand on aura determine h, dont la valeur se d�duira de la longueur l du fil. On aura, en effet,

2/iZ=^�log nbsp;nbsp;nbsp; k

En supposant, pour plus de simplicite , les deux points A et C dans une m�me droite horizontale, onnbsp;aura

h = o, k = k' = jU-,

et l�on en d�duira, par des essais, la valeur approch�e de h, lorsque les valeurs num�riques de Z et k serontnbsp;donn�es.

Cette inconnue h se d�terminera plus facllement quand la longueur l de la courbe diff�rera tres peunbsp;de sa projection a] ce qui rendra Ia valeur de h tr�snbsp;grande par rapport a a. On aura alors, en series tresnbsp;eonvergentes,

Au moyen de ces valeurs, l��quation pr�c�dente de-vient, a tr�s peu pr�s,

4\/3(Z-�)

On a choisi eet exemple, paree qu�il trouve une application utile dans la eonstruetion des ponts sus-pendus, oii il est important de ealeuler la tension denbsp;la chaine de suspension et la charge de ses pointsnbsp;d�appui.

298. Supposons actuellement que tons les points du lil soient sollicit�s par des forces quelconques. Hnbsp;formera, en general, une courbe a double courbure;nbsp;les equations d eqnilibre de chacun de ses �l�mensnbsp;seront au nombre de trois; et, en supposant toujoursnbsp;Ie fil parfaitement flexible, on obtiendra ces equations par les considerations que nous avons expos�esnbsp;en d�tail dans Ie n'� agS. De cette mani�re, on trouve

X, nbsp;nbsp;nbsp;y, z, �tant les coordonn�es rectangulaires d�unnbsp;point quelconque M de la courbe, ds l��l�ment dit��-rentiel de sa longueur, � Ie produit de la densit� dunbsp;fil et de la section perpendiculaii�e a sa longueur quinbsp;ont lieu au point M, de sorte que eds soit T�l�mentnbsp;de la masse du fil; T la tension en ce m�me point,nbsp;OU la force, de grandeur inconnue, qui tire eet �l�ment �ds suivant chacun de ses prolongernens; X,

Y, nbsp;nbsp;nbsp;Z , les forces rapport�es a 1�unit� de masse et pa-rall�les aux axes des x,y, z, qui r�pondent au point Mnbsp;et seront des fonctions donn�es de ses trois coordonn�es.

En vertu de la tension T, Telenient ds aura �prouv� rine extension et la quantit� g une diminution, tellesnbsp;que la masse ids n�ait pas change; en d�signant donenbsp;par ds' et i, ce que ces quantit�s �taienl dans l��latnbsp;naturel du fil, on aura

et en supposant l�extension proportionnelle a la force qui la produit (n� 288), nous aurons, en m�me temps,

(� �tant un coefficient tr�s petit, dependant de la ma-ti�re et de l��paisseur du fil au point M. Quand Ie fil sera homogene et d�une �paisseur constante dansnbsp;toute sa longueur, d et � seront des quantit�s cons-tantes; mais, en general, ces deux quantit�s pour-ront �tre regard�es comme des functions donn�es denbsp;1�arc^', compt� d�un point determine du fil et aboutis-sant au point M.

299. Si Ie fil, de nature quelconque, est seulement soumis a la pesanteur et suspendu verticalement a unnbsp;point fixe que j�appellerai A, les deux derni�res equations (i) disparaitront, et la troisi�me se r�duira a

en prenant l�axe des x vertical et dirig� dans Ie sens de la pesanteur, et d�signant cette force par g. Jenbsp;place au point A l�origine des x, et j�appelle Q lanbsp;valeur de T qui r�pond h x = o , c�est-a-dire , lanbsp;charge que ce point aura a supporter. Au point quelconque M , on aura

T = Q � gfidx;

Appelons B Fextr�mit� inf�rieure du fil; atta-clions en ce point un poids P, et d�signons par l la longueur de AB. II est �vident que P sera la tensionnbsp;au point B; on aura done, en m�me temps, x~l,nbsp;et T = P ; ce qui donne

Or, Ie second et Ie troisi�me terrne de cette formule sont les poids du lil entier et de sa partie AM; ilnbsp;s�ensuit done que la tension au point M est Ie poidsnbsp;de la partie BM, augment� du poids P; ce qui estnbsp;d�ailleurs �vident.

La loi de l ailongement du fil dans toute son �ten-due, d�pend de sa nature et de son �paisseur. Je suppose , par exemple, qu�il soit homogene et partout d�une m�me �paisseur, ce qui rendra constant Ienbsp;coefficient En appelant x' la longueur de la partie AM, avant que Ie lil soit tendu, laquelle longueurnbsp;devient x par reffet de la tension, et mettant, ennbsp;consequence, dx' et dx au lieu de ds' et ds, dansnbsp;l��quation (2), on aura

pour Fallongement de la partie AM. On en d�duit lallongement total en faisant.37'= Z' et x = l;ce quinbsp;donne

Z-Z' = �Z'(P i/gt;);

en sorte que pour avoir egard au poids du fil dans le calcul de eet allongement, il faut ajouter la moiti�nbsp;de ce poids a celui qui est attach� a son extr�mit�nbsp;inf�rieure.

3oo. Dans le cas g�n�ral, j�ajoute les �quations (i), �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dx d 'y dx �

apr�s les avoir multipli�es nbsp;nbsp;nbsp;� Is ' ds � r�sulte

tante, et qu�on n�glig� la petite dilatation de seS �l�mens, la quantit� e sera constante; de plus, lanbsp;formule -\-Ydj -f- Z�fe est, en general, la dif-f�rentielle exacte d�une fonction des trois variablesnbsp;oc, j, z, consid�r�es comme ind�pendantes; en fai-sant done

en comprenant la constante arbitraire dans la fonction lt;p. Cette constante disparaitra dans la difference des valeurs de T relatives a deux points du fil; ilnbsp;s�ensuit done que sans avoir determine la figure d��-quilibre, on connaitra Taccroissement de la tensionnbsp;d�un point a un autre ; en sorte qu�il suffira que lanbsp;tension soit connue en un point determine, pournbsp;qu�elle Ie soit aussi dans toute la longueur du fil.

Quant a la courbe form�e par Ie fil, elle sera de' -lermin�e par deux des trois equations (i), ou par deux combinaisons quelconques de ces trois equations, dans lesquelles on substituera la valeur pr�ce'-dente de T; en sorte qu�il faudra gen�ralement int�-grer Ie syst�me de deux equations diff�rentielles dunbsp;second ordre pour connaitre cette courbe. Son rayonnbsp;de courbure au point quelconque M s�exprimera aunbsp;moyen de la formule diff�rentielle suivante, qui n�es.t

S�A�IQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;585

que du premier ordre, et qui suppose seulement con-�iue la direction de la tangente en ee point.

Les equations (i) peuvent �tre remplac�es par celles-ci :

djd'z � dzdy � (Ydz �

en effectuant les differentiations et prenant Tarc s pour la variable ind�pendante. Or, si Ton appelle pnbsp;Ie rajon de courbure au point M, on a (n� i8)

p ------------------r'.

{(dxdy� dfd^xf-^ (dzd\v � dxd�zy-\- {djd'^z � dzd'�xYy^

d�apr�s les equations prec�dentes et la valeur de T, on aura done

lp (^ . Jgt; z) ds

supposent les equations (c) du u� 2g4- On aura done ce qu�il est ais� de verifier, d�apr�s ces equations.

3oi. Appliquons ces formules au cas d�un fil tendu sur la surface d�un corps solide, et supposons, pournbsp;plus de simplicit�, qu�il ne soit soumis a aucunenbsp;force donn�e, de sorte que la seule force qui agissenbsp;sur ses diflerens points soit la resistance inconnue dunbsp;solide sur lequel il s�appuie.

Au point quelconque M du fil, soit la grandeur de cette force appliqu�e a l��l�ment �ds du fil, et dont les trois composantes serontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Xids,

Ti'tds sa direction sera normale a la surface du solide, et dirig�e de dehors en dedans. La pression qui aura lieu sur la partie du solide correspondant anbsp;ds sera �gale et contraire a cette force de ma-ni�re que N exprimera la mesure de la pression rap-port�e a l�unit� de longueur.

En appelant x, /-t, v , les angles que fait la pax�-tie ext�rieure de la normale en M avec des paral-l�les aux axes des oc, j, z, men�es par ce point, on aura

De plus, si L = o est l��quation de la surface du solide, et qu�on fasse, pour abr�ger ,

ce qui rendra nulle la valeur de dT donn�e par l'equation (5). La tension sera done la m�me dansnbsp;toule la longueur du fil, quelle que soit la formenbsp;du corps solide. Je supposei�ai sa valeur donn�e, etnbsp;je la repr�senterai par /c. Si Ie fil est attach� parnbsp;une de ses extr�mit�s a un point du corps, et qu�unnbsp;poids consid�rable, par rapport a celui du fil qu�onnbsp;a n�glig�, soit suspendu verticalement a son autrenbsp;bout, ce poids sera la tension k et la pression quenbsp;Ie point fixe �prouvera. Si Ie fil est fibre par sesnbsp;deux bouts, et que des poids consid�rables y soientnbsp;suspendus, ils exprimeront les tensions extremes;nbsp;par cons�quent, ils devront �tre �gaux, et chacunnbsp;d�eux sera la tension /c. Enfin, si les deux bouts dunbsp;fil sont suppos�s fixes, sa tension A se d�duira denbsp;son extension, qui sera constante dans toute sa longueur.

3o2. Je d�signe par A', ju', v', les angles que fait la perpendiculaire au plan osculateur au point M ,nbsp;avec des parall�les aux axes des oc, j, z. Le ra jonnbsp;de courbure en ce point �tant p , on aura (n� ig)

Si done on ajoute les equations (4) apr�s les avoir multipHe'es par cos v, cos /x , cos A, et qu�on aitnbsp;�gard aux valeurs de X, Y, Z, qui ont lieu dansnbsp;Ie cas que nous consid�rons, il en r�sultera

par cons�quent, les normales a la surface du corps solide et au plan osculaleur de la courbe form�e parnbsp;Ie fil, en chaque point M , sont perpendiculairesnbsp;Tune a l�autre; ce qui est la propri�t� caract�ristiquenbsp;de la ligne dont la longueur est un minimum ou unnbsp;maximum sur une surface donn�e (n** i6i). H s�ensuitnbsp;done qu�un fil tendu sur un corps solide, trace, ennbsp;g�n�ral, la plus courte distance d�un point a un autrenbsp;sur la surface. A la rigueur, il est possible que cettenbsp;distance soit, au contraire, un maximum; ainsi,nbsp;par exemple, deux points donn�s sur une spherenbsp;sont les extr�mit�s communes a deux arcs de grandsnbsp;cercles, dont l�un est la plus courte distance entre cesnbsp;points, et l�autre la courbe plane la plus longue; or,nbsp;il est �vident que r�quillbre du fil tendu sera rigou-reusement possible sur ces deux arcs de eerde, puis-qu�en Ie placant sur l�un des deux, il n�j aurait aucunenbsp;raison pour qu�il s�en �cartat plut�t d�un c�t� que

de l�autre; mais sur Ie petit arc Tequilibre sera stable, et sur Ie grand il ne sera qu�instantan�, denbsp;sorte qu�il ne pourra subsister, pJijsiquemeni, qu�anbsp;l�aide du frottenient du fil contre Ie corps solide.

Si l�on substitue encore les valeurs de �X , �Y, �Z, du num�ro pr�c�dent, dans la formule (5), on aura

la normale a la surface du corps et la tangente a la courbe du fil, en chaque point M, �tant perpen-diculaires Tune a l�autre, on a aussi

or, au mojen de ces trois derni�res �quations, on r�-duit sans difficult� Ie coefficient de N, dans la pr�c�-dente, a l�unit�. On a done simplement

ce qui montre que la pression rapport�e a l�unit� de longueur, exerc�e par un fil tendu sur la surfacenbsp;dun corps solide, est �gale, en chaque point M, anbsp;la tension divis�e par Ie rayon de courbure du fil,

3o3. Ces r�sultats seront modifies par Ie frotte-raent du fil centre la surface du corps sur lequel il s�appuie. Pour rnontrer comment on doit avoir egai'dnbsp;a cette force dans Tequilibre d�un fil flexible, je vaisnbsp;consid�rer l�e'quilibre d�un cordon ABMCD (fig. 76) ,nbsp;dont la partie BMC est appliquee sur la gorge d unenbsp;poulie fixe, et qui est tir�, suivant les prolonge-mens BA et CD de cette partie, par des forces don-n�es. La poulie et la droite AB seront suppos�es ver-ticales; la force agissant suivant BA sera un poids k,nbsp;et je repr�senterai par F celle qui agit suivant CD.nbsp;Les tensions qui ont lieu aux points B et C suivantnbsp;les tangentes BA et CD, auront A: et F pour valeurs.nbsp;Je supposerai aussi, pour simplifier la question, quenbsp;la poulie soit circulaire; j�appellerai c son rayon, etnbsp;je prendrai son centre 0 pour l�origine des coordon-n�es ; l�axe des z sera perpendiculaire a la poulie,nbsp;l�axe des j' vertical et dirig� de bas en baut, l�axenbsp;des X horizontal et passant par Ie point B. Enfin, jenbsp;fixerai au point C l�origine de 1�arc s aboutissant aunbsp;point quelconque M du cordon, de sorte qu�on aitnbsp;CM = ^.

Cela pos� , si Ie frottement �tait nul, il faudrait qu�on eut A = F dans Ie cas de l�equilibre; mais , anbsp;raison du frottement, Tequilibre peut subsister tantnbsp;que la difference de ces deux forces A et F n�a pasnbsp;d�pass� une certaine limite. Concevons done que l��-quilibre soit sur Ie point de se rompre dans Ie sensnbsp;du poids A; ce qui suppose qu�on ait A gt; F. A eet

instant, Ie frotlement du cordon contre la poulie, qui a lieu au point quelconque M, sera dirig�, sui--vant la partie MH de la tangente, en ce point. Je re-presente par ^ son intensit�, et, comme pr�cedem-itient, par N la resistance normale qui a lieu au m�menbsp;point M, suivant Ie prolongement MO' de MO, denbsp;mani�re que f^ds et ^ch soient les forces tangente etnbsp;normale qui agissent sur l��l�ment ids du cordonnbsp;aboutissant au point M, et que ^ et N repr�sententnbsp;ces m�mes forces, rapport�es a l�uriit� de longueur.nbsp;Si l�on m�ne par ce point M des parall�les Mx' etnbsp;aux axes Ox et Ojy, cai aura

pour les valeurs de gX et �Y qu�il faudra substituer dans les equations (i). La force �Z sera �videmmentnbsp;nolle; la troisi�me equation (i) disparaitra , et lesnbsp;deux premi�res deviendront

Mais ^ [ jdoc � ocdj) est la difF�rentielle du secteur d�crit par Ie rayon OM, a partir d�une ligne fixenbsp;(11� i56), qui sera OC, par exemple. Ce secteurnbsp;�tant circulaire et r�pondant a Tarc s, sa valeur estnbsp;on a done

La pression qui a lieu au point M, sur la gorge de la poulie, est �gale et contraire a la force N; si donenbsp;on suppose Ie frottement proportionnel a la pression (n� 269}, on aura

/.=/N;

/:dN = y^Nds,

A d�slgnant la constante arbitraire, et e la base des logarithmes n�pe'riens. On aura, en m�me temps,

fi nbsp;nbsp;nbsp;fi

N = ie% T = Fe%

k = Fe^,

En repr�sentant par F' Ie frottement total qui a lieu dans toute la longueur de CMB, on aura

F'= fjids = F^e-^ �i), et l��quation d��quilibre pourra s��crire ainsi;

oil Ton vojt fiue ie frotteraent total F' est �gal a ia plus petite des deux forces A: et F, multipli�e parnbsp;un coefficient J', qui varie non-seulement avec lanbsp;quantit� �, ma�s aussi avec 1 etendue l du contactnbsp;et Ie rayon c de la poulie. La difference des forcesnbsp;A: et F, a l�lnstant ou r�qullibre se rompt, fera con-naitre la valeur de F', et leur rapport, diminu� denbsp;runlt�, sera la valeur du coefficient J', d�o� Tonnbsp;pourra ensuile d�dnire celle de J. Lorsque F sera unnbsp;poids, ainsi que k, on devra, pour plus d�exacti-tude, comprendre dans ces poids A: et F, ceux desnbsp;parties verticales BA et CD du cordon.

5o4- D�apr�s les trois equations (i), il est facile de verifier que les six equations g�n�rales de l��qui-libre (n� 261) ont lieu dans Ie cas d�un fil parfaite-ment flexible.

Pour cela, j�appelle K et K' les deux extr�mit�s du fil, et Z sa longueur; et je fixe au point K Tori-gine de fiarc s. En int�grant les premiers membresnbsp;des equations (i), depuisle point KJ usqu�au point K',nbsp;on aura

[Tg] �gt;** = o.

les quantit�s comprises entre les crochets re'pondant au point K, et celles qui sont renferm�es entre deuxnbsp;parentheses, au point K'. Ind�pendamment des forcesnbsp;X, Y, Z, qui agissent dans toute la longueur du fil,nbsp;je suppose que des foi�ces particuli�res, donn�es ennbsp;grandeur et en direction, soient appliqu�es a ses deuxnbsp;bouts: j�appelle k celle qui agit au point K, et a, C, y,nbsp;les angles que fait sa direction avec des parall�les auxnbsp;axes des ac, j, z, men�es par ce point; et je de'signenbsp;par k', a!, Q', y', les quantit�s analogues relativementnbsp;au point K'. Ces forces k et k' seront les tensions extremes, en grandeur et en direction- et d�apr�s lesnbsp;parties des tangentes en K et K', avec lesquelles leursnbsp;directions devront co�ncider, nous aurons

et elles expriment, comme on voit, les conditions d��quilibre renferm�es dans les trois premi�res equations (i) du n* 261.

Si done on int�gre ces quantit�s nulles depuis Ie point K jusqu�au point K', et que l�on d�signe par a,nbsp;b, c, les valeurs de x, j, z, relatives a K, et parnbsp;a', b', c', celles qui r�pondent a K', on aura, ennbsp;ayant �gard aux equations (7) ,

ce qui exprime les conditions dequilibre relatives aux momens des forces donn�es, qui sont renfer-m�es dans les trois derni�res equations (i) du n� 261-3o5. Ces equations (8) et (9) serviront, en general, a determiner les coordonn�es a, b, c, a', b', c',nbsp;des deux points extremes K et K'; toutefois, il y aura

des cas o� une partie de ces quantit�s devra rester iod�termin�e. Si, par exernple, les forces donn�esnbsp;qui agissent sur Ie fil sont la pesanteur et d�autresnbsp;forces ind�pendantes des coordonn�es de leurs pointsnbsp;d�application, il est �vident que la position absoluenbsp;du fil dans l�espace ne pourra pas �tre d�termin�e :nbsp;on pourra alors prendre arbitrairement les trois coor-donn�es de l�un des points K et K'; les equations (g)nbsp;d�termineront les trois coordonn�es de 1 autre point;nbsp;et, pour que l��quilibre soit possible, il faudra quenbsp;les forces donn�es satisfassent aux equations (8).

Lorsque l�un des points K et K' sera fixe, Ie premier par exemple, les equations (8) et (g) auront encore lieu, pourvu que l�on regarde la force k comme incounue, en grandeur eten direction, et repr�sentantnbsp;la pression que Ie point K aui�a a supporter. Dans cenbsp;cas, les valeurs de rt, b, c, seront donn�es j les equations (g) d�termineront celles de a', b', c', et les �qua-tlons (8) feront connaitre les trois composantes de lanbsp;force k. Quand les deux points K et K' seront fixes etnbsp;donn�s de position, on connaitra leurs coordonn�es,nbsp;et les �quations (8) et (g) serviront a d�terminer, ennbsp;grandeur et en direction, les pressions k et k' exer-c�es sur R el

Dans tous les cas, soit que les coordonn�es de K et K' aient �t� donn�es, solt qu�on les ait d�duites desnbsp;�quations (8) et (g), on assujettii�a la courbe forni�enbsp;par Ie fil a passer par ces deux points; ce qui serviranbsp;a d�terminer les quatre constantes arbitraires qiaenbsp;renfermeront les int�grales compl�tes dp ses deuxnbsp;equations diff�rentielles du second ordre. Quanta Ia

constante arbitraire que contiendra la fonction (p du n� 3oo, on d�duira sa valeur de la longueur donn�enbsp;du fil, c�est-a-dire, de Tequation

/:V' �

dans laquelle on regarde j- et z comme des fonctions de X. De cette maniere, Ie probl�me sera compl�le-ment r�solu.

3o6. Nous entendons par cette denomination une verge droite ou courbe, dont on ne peut changer lanbsp;courbure sans y appb�quer une ou plusieurs forces, etnbsp;qui reprend sa forme naturelle d�s que ces forces ontnbsp;cess� d�agir, tandis qu�au contraire un fil parfaite-ment flexible conserve, sans Ie secours d�aucunenbsp;force, la courbure qu�on lui a fait prendre, et n�eslnbsp;�lastique que dans Ie sens de sa longueur. Pournbsp;qu�une verge soit �lastique par rapport a la flexion ,nbsp;il faut qu�elle soit form�e d�une mati�re fort peu extensible et contractible j mais cela ne sviffit pas : ilnbsp;faut encore que les dimensions de son �paisseur,nbsp;quoique tr�s petites par rapport a sa longueur, aientnbsp;cependant une grandeur convenable ; car, quelle quenbsp;soit la mati�re de la verge, on peut toujours dimi-nuer assez son �paisseur pour qu�elle n�ait plus au-cune tendance sensible a reprendre la figure dont onnbsp;l�a�cart�e, et qu�elle soit ainsi l �duite a l��tat d�u� fifnbsp;parfaiteraent flexible.

Lorsqu�une verge elastique est �cart�e de sa forme naturelle par des forces donn�es, chacun des filetsnbsp;iongitudinaux dont elle se compose peut �prouvernbsp;trois effets diff�rens : chaque partie, d�une longueurnbsp;aussi petite qu�on voudra, peut �tre contract�e ou dila-l�e, sa courbure naturelle peut �tre augment�e ou di-minu�e, et cette partie peut avoir �t� tordue sur elle-m�me. La tendance de cliaque partie a reprendre sonnbsp;�tat natui�el, depend des attractions et repulsions mu-tueiles qui ont lieu entre les molecules de tous lesnbsp;corps et ne s��tendent qua des distances insensibles.nbsp;Le calcul des forces totales qui en r�sultent etdoiventnbsp;faire e'quilibre aux forces donn�es, appartient a lanbsp;Physique matli�matique : je renverrai, pour eet ob-jet, a mon M�raoire sur V�quilihre et le mouvementnbsp;des Corps �lastiques (^). Dans ce Trait� , on for-mera les �quations d��quilibre d�une verge �lastlque,nbsp;en partant de principes secondaires qui sont g�n�-ralement admis.

On appelle, en particulier, lame �lastlque un pa-rall�l�plp�de rectangle d�une petite �paisseur, que 1�on courbe dans Ie sens de sa longueur, de ma-ni�re qu�il se trouve compris entre deux surfacesnbsp;cylindriques, dont les ar�tes sont �gales a sa iargeur.nbsp;Cette dimension peut avoir une grandeur quelconque;nbsp;en la dlvisant par des plans tres rapproch�s et per-pendiculaires a sa direction, la lame sera pai tag�e ennbsp;verges �lastiques rectangulaires. Jacques Bernouillinbsp;a d�termin�, le premier, la figure de la lame �las- ¹

tique en �quilibre, d�apr�s des considerations que nous allons d�velopper, et qui serviront ensuite hnbsp;la solution compl�te du probl�me, dans Ie cas d�unenbsp;verge �lastique quelconque.

307. Conside'rons une lame �lastique encastr�e par une de ses extr�rail�s, c�est-a-dire, fix�e de ma-ni�i'e que l�un des deux petits rectangles qui la ter-minent perpendiculairement a sa longueur, ne puissenbsp;prendre aucun mouvement. Supposons qu�on la plienbsp;dans Ie sens de sa longueur au moyen d�une forcenbsp;appliqu�e a son autre bout, et qui sera la seulenbsp;qui agisse sur la lame. Pour que la lame prennenbsp;une figure cylindrique , comme on vient de Ie dire,nbsp;il faudra qu�elle soit termin�e, a son extr�mit� li-bre, par un rectangle inflexible, au milieu duquelnbsp;on appliquera la force donn�e, dans un plan perpendiculaire a la largeur de la lame. Toutes lesnbsp;coupes longitudinales ou perpendiculaires a cettenbsp;largeur seront �gales; celle qui renferme la direction de la force donn�e est repr�sent�e par la figure 77 ; et les courbes AMB et A'M'B' sonl les sections des deux surfaces cjlindriques de la lame, quinbsp;formaient ses deux faces planes dans son �tat naturel.

On suppose que tous les points qui appartenaient, dans eet �tat, a une m�me perpendiculaire a cesnbsp;deux faces, sout encore situ�s, apr�s que la lamenbsp;a �t� pli�e, sur une m�me normale aux deux surfaces cjlindriques ; ce qui est, effectivement, conforme a ce qu�on observe dans son changement denbsp;figure. II en r�sulte que si MM' est une normale a

la courbe AMB, elle sera aussi perpendiculaire a A'M'B', et contiendra tous les points de la lame quinbsp;�taient situ�s priraitivenient sur une des perpendi-culaires a ses deux faces; il s�ensuit aussi que si 1�onnbsp;decompose la lame, dans son �tat naturel, en filetsnbsp;longitudinaux, et que la courbe CND repr�sente unnbsp;de ces filets apr�s Ie changement de figure, elle cou-pera a angle droit en N la normale MM'.

Soit 7n un point de ia courbe AMB, infiniraent voi-sin de M; menons la normale znnz/d aux trois lignes AMB, CND, A'M'B', qui les coupe en zn, zz, zzz'; lesnbsp;prolongemens de MNM' et mnm' se rencontreront ennbsp;un point 0, qui sera Ie centre de courbure communnbsp;a ces trois courbes. Appelons p Ie rajon de courburenbsp;du filet mojen, ou egalement �loigne' de AMB etnbsp;A'M'B'; er la partie de ce filet comprise entre ces deuxnbsp;normales MNM' et mnm' �, u la distance du filet quel-conque CND au filet mojen, et er' la longueur denbsp;Nzz. En consid�rant cette distance u comnie positivenbsp;OU cornme negative , selon que CND se trouve, parnbsp;rapport au filet moyen , du c�l� de la convexit� AMBnbsp;de la lame, ou du c�t� de sa concavit� A'M'B', Ienbsp;rayon de courbure NO de CND sera �gal a p-j-u, etnbsp;les longueurs infiniment petites ir' et er seront entrenbsp;elles comme p -j- u et p, de sorte que Ton aura

En se courbant, les filets longitudinaux auront �prouv� de tres petites extensions ou contractions,nbsp;et les longueurs 7' et rr, qui �taient �gales auparavant,

cT et J ' �tant de tres petites fractions, positives ou negatives, selon que Ie filet moyen et Ie filet CND se

ce qui montre que quand Ie filet moyen n�aura pas cliang� de longueur, les filets situ�s du c�t� de lanbsp;convexit� se seront tous allonges, et les filets situ�snbsp;du c�t� de la concavit� se seront tous raccourcis, lesnbsp;uns et les autes proportionnellement a leurs distancesnbsp;au filet moyen.

Cela pos�, rendons invariable la forme de chacune des deux parties de la lame qui r�pondent a AMM'A'nbsp;et Bmin'B', et que nous appellerons H et K, pournbsp;abr�ger. La partie H sera immobile; la partie K seranbsp;tii��e vers H , ou en sera repouss�e, par la tendance denbsp;la partie interm�diaire M/uzjr'M' a reprendre son �tatnbsp;naturel et redevenir une tranche d�une �paisseurnbsp;constante y. Le filet Nra de cette tranche tendra a senbsp;contracterou a se dilater, selon qu�il aura �t� allong�nbsp;OU raccourci, c�est-a-dire, selon que la quantit� cf'seranbsp;positive ou n�gative. La partie K sera done tir�e dansnbsp;le premier cas, et pouss�e dans le second cas, par une

force appliqu�e au point n ; or, on suppose que cette force, provenant de faction de Nn, est proportion-nelle a la quantile cT' et normale a mnin , comme si cenbsp;filet ]Nn �tait isol�.

En adoptant cette hypothese, je repr�senterai par �cf' la force dont il s�agit, rapport�e a l�unite' de surface , et, cons�quemment, par cL^'Adu la force normale exerc�e sur 1��l�ment transversal de la surface K,nbsp;qui r�pond au point n; a �tant une constante de'pen-dante de la mati�re de la lame, A salargeui', et ?,du fairenbsp;de eet �lement. Si done on d�signe par as I epaisseurnbsp;de la lame, et qu�on repr�sente par T la force totale quinbsp;tirera ou poussera K, selon qu�^elle sera positive ounbsp;negative, on aura

Soit, en outre, Ie moment des forces normales a ia surface de K, pris par rapport a faxe transversal �ga-lement �loign� des deux faces de la lame; nous auronsnbsp;�ussi

On voit par la , i�. que la Ibrce T, qui tend a con-tracter ou a dilater une tranche quelconque de la lame, est proportionnelle a 1 extension positive oun�-

gative du filet mojen, et ind�pendantedesacourbure; 2�. que son moment /a est, au contraire, ind�pen-dant de cette extension, et en raison inverse du rayonnbsp;de courbure; 3�. que la mati�re et la largeur de lanbsp;lame restant les m�mes, la valeur de T est propor-tionnelle a son �paisseur, et celle de au cube denbsp;cette dimension.

Quand Ie filet moyen n�a pas change de longueur, on a J' =: o et T = o; les forces parall�les qui ti-i�cnt OU poussent K se r�duisent a deux, �gales etnbsp;contraires, mais non directement oppos�es, dont Ienbsp;moment, par rapport a l�axe transversal perpendiculaire a ces forces, est toujours �gal a pi. Cettenbsp;quantit� jlc est ce qu�on appelle Ie moment de ��-lasticit�, lequel est proporlionnel, en chaque point,nbsp;a la courbure de la lame, on a l�angle de contin-gence de son filet moyen.

3o8. II est facile actuellement de former les equations d��quilibre de cette lame. Dabord, si Ton appelle T'nbsp;ce que devient la force T au point M, on voit que lanbsp;tranche infiniment petite qui r�pond a M/n/ra'M', seranbsp;tir�e ou pouss�e, d�im c�t� par cette force T', et denbsp;l�autrc par une force �gale et contraire a T; et puis-que , par hypothese , aucune force donn�e n�agit surnbsp;cette tranche, il faudra done qu�on ait T' = T. Ainsinbsp;la force T est constante dans toute la longueur de lanbsp;lame, et, par cons�quent, �gale a la composantenbsp;suivant cette longueur, de la force donn�e qui agitnbsp;a son extr�mit� libre. La dilatation cT sera aussi constante , proportionnelle a cette force, et positive ounbsp;negative scion que celfe force tendra a allonger ou a

contracter les filets longitudinaux. Elle n'aura aucune influence sur la figure de la lame; mais quand onnbsp;1�aura niesur�e, elle pourra servir a determiner lanbsp;valeur de la constante a, relative a la mati�re de lanbsp;larne. En repr�sentant par 'Z�r nn poids �quivalent anbsp;la force qui tire la lame dans Ie sens de sa longueur,nbsp;et par co l�aire de chaque section transversale de lanbsp;lame, on aura

Pour d�terminer la figure de la lame, menons par Ie point A, dans Ie plan du filet moyen, deux axesnbsp;rectangulaires Aoc et Ajr, dont Ie premier sera tangentnbsp;a la courbe AMB, et repr�sentera la direction de lanbsp;lame dans son �tat naturel, et dont Ie second seranbsp;tourn� du c�t� de sa concavit�. Soient x et j- lesnbsp;coordonn�es rapport�es a ces deux axes, d�un pointnbsp;quelconque du filet mojen �, a etb, celles de son extr�-mit� libre, que nous prendrons pour Ie point d�applica-tion de la force donn�e qui tient la lame en �quilibre;nbsp;PetQ les composantes de cette force, snivant les pro-longemens de a et ^),Par ie point qui r�pond a x etj,nbsp;menons l�axe perpendiculaire au plan de la figure,nbsp;auquel r�pond Ie moment d�sign� par^, et faisonsnbsp;une section perpendiculaire au filet mojen. Pournbsp;l��quilibre de la partie de la lame comprise entre cettenbsp;section et son extr�mit� libre, il faudra que Ie moment ajout� aux momens de P et Q, par rapportnbsp;au m�me axe, donne une somme �gale^a z�ro, en ayantnbsp;�gard au sens dans lequel les forces dont ix est Ie mo-

En prenant l�abscisse x pour la variable indepen-dante, et observant que la lame est convexe vers l�axe Ax, on aui�a

� fj

oil Ton regardera Ie radical comme une quantit� positive. Si done on substitue cette vaieur dans celle de et celle-ci dans l��quation pr�cedenle, et qu�onnbsp;fasse, pour abre'ger,

�| aX� = amp; ,

Son integrale contiendra deux constantes arbi-ti�aires que l�on d�terminera par les conditions J�s

petitesse de �. En faisant ensuite x =za et j=x b dans cette integrale, on aura une equation en a et b,nbsp;que l�on joindra a celle qui r�sultera de la longueurnbsp;donn�e de la lame; on aura alors les deux equationsnbsp;n�cessaires pour determiner ces inconnues a amp;ib-, et

3og. Si Ia larne, au lieu d�etre encastr�e, est enti�rement libre a sou extr�mit� A, il faudra pournbsp;la maintenir en �quilibre, appliquer a cette extr�mit�nbsp;une force dont les composantes soient �gales et con-traires a P et Q; en prenant l�extr�mit� correspon-dante du filet mojen pour son point d�application,nbsp;il faudra, de plus, que la r�sultante de P et Qnbsp;vienne passer par ce point; ce qui exigera qu�onnbsp;ait

Cette equation sufTira, quand la lame sera rete-nue par un axe fixe, passant par cette extr�mit� du filet mojen, et dirig� dans le sens de sa lar-geur. Si elle est simplement pos�e sur un plan perpendiculaire a sa longueur, qui ne I�empeche pas denbsp;tourner autour de I�arete d une de ses deux faces , ilnbsp;faudra que le frottement de cette arete coutre lenbsp;plan, ou une autre force, emp�che la lame de glisser

La lame n��tant point encastr�e, la direction de son plan tangent en A ne sera plus connue; si 1�onnbsp;place toujours en ce point I�origine des coordonne'esnbsp;X etf, on aura encore j = amp; ouj=o, quandnbsp;X = o; mais on ne pourra plus prendre I�axe des xnbsp;sur la tangente en A , dont la direction ne sera pasnbsp;donn�e a priori. Get axe sera alors la direction donn�e

devra �tre remplac�e, pour la d�termination des coustantes arbitraires, par l��quation pr�c�dente,

3io. Supposons qu�on ait P = o; en sorte que la lame soit pli�e par une force Q perpendiculaire anbsp;sa direction primitive; ce qui est, par exemple, Ie casnbsp;d�une lame horizontale, encastr�e par un bout, et anbsp;l�autre bout de laquelle on suspend un poidsdonn� Q.

Je fais dans ce cas c �tant une ligne dont la longueur donn�e sera g�-n�ralement tr�s grande, a moins que Ie poids Q nenbsp;soit aussi tr�s considerable. L��quation (i) de-viendra

ds �tant l��l�ment diff�rentiel de la courbe. Ces formules s�int�greront exactementparle moyen desfonc-tions elliptiques; mais a cause de la grandeur de c, ona. s = x f a tr�s peu pr�s, et l�on peut r�duire a

La lame s��cartera peu de la direction horizontale; l�abscisse a pourra �tre prise pour sa longueur, elnbsp;1�ordonn�e b exprimera son plus grand �cart. A causenbsp;de

dans Ie cas de = � et ^ = b. II en re'sulte done que la nature de la lame restant la m�me, la quan-tit� b dont elle fl�chira sera proportionnelle au poidsnbsp;Q et au cube de la longueur a, et en raison inversenbsp;du carr� de son �paisseur � et de l�aire co de sa sectionnbsp;tranversale.

qu�on appelle h Tallongement total de la lame, produit par un poids lt;Ztr, on aura

En supposant �zsr = Q, on en conclura que si un m�me poids Q, applique a l�extr�mit� libre d�unenbsp;lame �lastique, agit successivement dans ie sens de sa

longueur et perpendiculairement a sa longueur, l�extension h et la flexion h, suppos�es tr�s pelitesnbsp;par rapport a la longueur a, seront entre elles commcnbsp;les carr�s de l��paisseur et de cette longueur.

5i 1, Quelles que soieat les forces P et Q, on olgt; liendra toujours une integrale premi�re de l��qua-lion (i) en la r�duisant a la forme de l��quation (2)nbsp;par la transformation des coordonnees. Nous nousnbsp;bornerons a consid�rer Ie cas o� la lame, appuy�enbsp;contre un plan et nou encastr�e, s��carte peu de sanbsp;forme naturelle. Ce sera, par exemple, un ressortnbsp;pos� sur un plan horizontal par son extr�mit� inf�rieure A, et charg� d�un poids donn� a son extr�mit� sup�rieure B. On suppose qu�en se pliant sousnbsp;cette charge, Ie ressort s��carte tr�s peu de la verticale AB, et que dans toute sa longueur, la tangentenbsp;a la courbe qu�il forme dans son �tat d��quilibre,nbsp;fait un tr�s petit angle avec cette ligne droite. Lanbsp;figure 78 repr�sente diff�rentes formes qu�il peutnbsp;prendre dans eet �tat.

Prenons pour axes des oc et des j , la verticale Ax dirig�e en sens contraire de la pesanteur, et l�hori-

zontale Ajquot;. La quantit� ^ sera tr�s petite, par hypothese ; nous n�gligerons son carr� dans 1��qua-lion (i); on aura aussi Q = o , puisque la force qui agit a rextr�mit� B est verticale; en vertu de l��-quation Qa � Yb du n� SoQ, il s�ensuivra Z� = o;nbsp;et comme Ie poids P sera dirig� de B vers A, il fau-dra changer Ie signe de cette force dans l��quation (1),nbsp;qui la suppose dirig�e en sens contraire. De cette

On repr�sente ici par co Faire de la section du ressort, perpendiculaire a sa longueur; par e sanbsp;demi-�paisseur, dans Ie sens o� il est pli�; et parnbsp;a une quantit� d�pendante de la mati�re dont il estnbsp;form�. Ces trois quantit�s sont suppos�es constantes,nbsp;et par suite c est une ligne de grandeur constantenbsp;et donn�e.

c nbsp;nbsp;nbsp;axnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;k �tant une constante arbitraire qui doit �tre nulle ounbsp;tres petite par rapport a c.

Quand on aura k = o, Ie ressort restera droit, et sa longueur AB sera un peu diniinu�e par la pressionnbsp;du poids P. Lorsque ce coefficient k ne sera pas nul,nbsp;Ie ressort se pHera; au point B, on aura ^ etnbsp;J �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en d�signant par i un nombre entier, il

pour la valeur de a ou de AB. Si Fon appelle l la longueur du ressort, on aura aussi

' = � I v/' � nbsp;nbsp;nbsp;/.V' quot;�^lt;^'��-7'^ �

en n�gligeant la quatri�me puissance de -, et met-tant pour a sa valeur, 11 vient

s/l-

1�. Tant que l sera moindre que c, la formule (3) sera imaginaire pour toutes les valeurs du nombrenbsp;entier on ne pourra pas prendre Ie coefficient knbsp;different de ze'ro, et Ie ressort ne sera pas plie' par Ienbsp;poids P.

2�. Soit paree qu�on aura augment� la longueur du ressort, soit paree qu�on aura dlminu� la quantity c en faisant croitre Ie poids P, supposons que lnbsp;surpasse c; la valeur de k, diff�rente de z�ro et quinbsp;i��pond a � = i, sera r�elle, et Ie ressort pourra �trenbsp;pli� par ce poids. En d�signant par f une fractionnbsp;tres petite, el faisant

OU Ton voit qu�elle ne coupera pas la verticale entre les deux points A et B.

3�. Le rapport ^ continuant a croitre, s�il vient a

surpasser 2, la valeur de A qui r�pond k i ~ 2 sera r�elle, et le ressort pourra prendre une figure diff�rente de la prece'dente. En d�signant par f� une fraction tres petite, et faisant

ce qui montre que, dans ce cas, la courbe coupera la verticale au milieu de AB, qui r�pond a x=.\a.

4'quot;. En continuant ainsi, on voit que si l surpasse un peu ic, et qu�en d�signant par lt;p une tr�s petitenbsp;fraction, on ait

H- -J-),

on pourra prendre

equation d une courbe qui coupera la droile AB en un nombre i 1 de points �quidistans, y comprisnbsp;A et B.

Lorsque l surpasse un multiple de c d�une quantile qui n�est pas tres petite, la valeur de k, donn�e par la formule (3), cesse d�etre tres petite par rapport a c; et celle de ^ n��tant plus alors une tres

petite fraction, la figure du ressort ne peut plus �tre d�termine'e par l�analjse pr�c�dente. II faut observer que, dans tous les cas, la figure rectiligne,nbsp;qui r�pond a A: � o , est possible ; mais elle n�estnbsp;stable et n�cessaire que quand l est moindre que c.

3i5. On entend par la force dun ressort, suppose vertical pour fixer les idees, Ie plus grand poids qu�il peut supporter sans fl�chir. Ce poids Pnbsp;est determine par l��quation c=l, qui donne

o� l�on voit que, loutes choses d�ailieurs �gales, la force d�un ressort est en raison inverse du carr� denbsp;sa longueur. Le ressort �tant un parall�l�pip�de rectangle, on voit aussi que si l�on essaie de plier suc-cessivement les faces adjacentes, sa force sera pro-portionnelle au carr� de T�paisseur perpendiculaire anbsp;la face qu�on voudra plier.

Quant a la grandeur absolue de P, on la calculera en mettant dans la formule pr�c�dente la valeur denbsp;a,, que l�on d�duit soit de 1�extension h de ce ressort,nbsp;soit de sa flexion h, qne produirait un poids 'Z�r; or,

3i4- Les r�sultats du n� 807 s��tendent ais�ment a une verge �lastique, lorsqu�on la suppose droite ounbsp;a simple courbure dans son �tat naturel, et qu�en lanbsp;pliant elle reste encore a simple courbure et n��prouvenbsp;aucune torsion.

On prendra, dans ce cas, pour Ie filet mojen, celui qui passe par les centres de gravit� de toutes les sections perpendiculalres a sa longueur, lesquellesnbsp;pouiTont �tre constantes ou variables, pourvu qu�ennbsp;chaque point leurs dimensions soient tres petites parnbsp;rapport au rayon de courbure de ia verge. Soit lt;xgt;nbsp;l�aire de Tune de ces sections, faite par un point quel-conque du filet moyen ; d�composons agt; en �l�mensnbsp;perpendiculaires au plan de ce filet; et soit vdu l�airenbsp;de T�l�ment qui r�pond a la distance u de ce m�menbsp;filet; la variable u pouvant �tre positive ou negative,nbsp;et V d�signant une fonction donn�e de u. Soientnbsp;aussi A et � k' les valeurs extremes de u; nousnbsp;aurons

= cti,

la seconde equation resultant de ce que l�origine de la variable u est Ie centre de gravit� de a.

t�s que dans Ie n� 5oj, et par y, y', r, ce qu��taient cr, er', f, dans l�e'tat naturel de la verge �lastique; onnbsp;aura, pour les deux �tats de cette verge,

Si d�nc on n�glig� les produits ^ et �, on en d�-duira valeur qui coincide avec celle du num�ro cit�, dansnbsp;Ie cas 'de la veree naturellement droite, o� 1�on anbsp;r = co.

Soit encore T la somme des forces perpendiculaires a O) qui tirent ou poussent Tune des deux parties denbsp;la verge, s�par�es par cette section normale. Appe-lons (z Ie moment de ces forces par rapport a l�axenbsp;passant par Ie centre de gravit� de ft), et perpendiculaires au plan du filet moyen; d�apr�s l�hjpoth�senbsp;du n� 307, on aura

CL �tant une quantit� d�pendante de la mati�re de la verge, qu�on suppose constante dans l��tendue denbsp;chaque section co, mais qui pourra varier d�un pointnbsp;a un autre du filet moyen. En substituant pour cT'

Quand la verge �lastique sera a double courbure , dans soa �tat naturel ou apr�s son changement de figure, la force T aura encore la m�me expression; denbsp;plus, Ie filet mojen �tant toujours celui qui passenbsp;par les centres de gravit� de toutes les sections nor-males, et en d�signant par r el f ses rayons de courbure en un m�me point, avant et apr�s ce changement , on pourra prendre cette expression de fjt, pournbsp;Ie moment de I��lasticit� par rapport a un axe passant par ce point et perpendiculaire au plan oscula-teur du filet mojen ; mais il faudra, en outre, avoirnbsp;�gard a la torsion de la verge, comme nous Ie feronsnbsp;tout a l�heure.

3i5. En comparant celte valeur de k celle du n� 307, on voit que l��quation diffe'rentielle secondenbsp;de la courbe plane formee par Ie filet mojen d unenbsp;verge �lastique qui n�a �prouvc auciine torsion, nenbsp;diff�rera de celle qui r�pond a la lame �lastique pro-

�paisseur s. Si la verge est homog�ne, et qu�elle soit, dans son �tat naturel, un prisme ou un cjlindre al-

Jonge, les trois quantit�s a, agt;, q, seront constantes, et Ton aura r = co . On en conclut que la flexionnbsp;d�une verge naturellemenl droite, produite par unnbsp;poids Q perpendiculaire a sa direction, et la force denbsp;ce ressort, se d�duiront des valeurs de 6 et P trou-v�es dans les n�� 3io et 5i3, en j mettant ^ a la placenbsp;de �. Par cette substitution, l �tant la longueur denbsp;cette verge, on aura

Pour deux verges dlff�rentes, mais de m�me longueur, les flexions produites par un m�me poids seront done en raison inverse des forces de i�essort; en sorfe qu�il suffira de comparer entre elles les grandeurs de ces forces, dans les dlff�rentes hypotheses surnbsp;Ie contour de la section normale.

Supposons que la section normale soit un triangle isoc�le, et qu�on veullle plier la verge, de mani�renbsp;que la face correspondante a la base de ce triangle de-vienne une surface cylindrique, concave ou convexe.nbsp;Soient a et c la base et la hauteur de ce triangle.nbsp;Dans Je cas de la convexit�, vers laquelie sont diri-g�es les valeurs positives de u (n� Soy), nous aurons

A' = 5C, nbsp;nbsp;nbsp;

ce qui montre que, dans ce second cas, la force du ressort est triple de celle qui a lieu dans Ie premier.

Si la section normale est un carr� repr�sent� par �*, et qu�il s'agisse de plier Ie ressort, de sorte quenbsp;deux de ses faces oppos�es deviennent des surfacesnbsp;cylindriques, on aura

et en supposant faire de la section normale �gale dans les deux cas, de sorte qu�on ait ��= onnbsp;voit que ia force de ressort qui a lieu dans Ie premiernbsp;cas surpasse celle qui r� pond au second, dans Ie rapport de TT h 5.

Supposons encore que Ie ressort cylindrique soit un tuyau creux, dont les surfaces concentriques, in-t�rieure et ext�rieure, aient g et g' pour rayons.nbsp;Pour avoir la force de ce ressort, il faudra mettre

successivement g et g' a la place de k daus la derni�re valeur de P, et retrancher les r�sultats l�un de l�autre;nbsp;ce qui donne

p _ nbsp;nbsp;nbsp;4- ag-')

d�o� l�on conclut que Ie volume, la longueur et 1� matiere �tant les m�mes, la force d�un ressort creuxnbsp;est plus grande que celle d�un ressort plein, dans Ie

3i6. Formons maintenant les equations d��qui-libre d� une verge �lastique quelconque, dont tous les points sont sollicit�s par des forces donn�es.

Appelons A et B les deux extr�mit�s du filet moyen. Soienta?,y^, z, lestrois coordonn�es rectangulairesd�unnbsp;point quelconque M de Cette courbe, s Fai�C AM, conbsp;la section normale de la verge faite par Ie point M,nbsp;y sa densit� en ce point, et, cons�quemment, ycodsnbsp;la masse d�une tranche infiniment mince de la verge.nbsp;D�signons par ILyaids, Yyoods, Zycods, les forces donn�es qui agissent sur cette masse parall�lement auxnbsp;axes des x, j, z, de sorte que X, Y, Z, soient cesnbsp;forces rapport�es a l�unit� de masse. La somme denbsp;leurs composantes, suivant la tangente en M aunbsp;filet moyen, et tendant a augmenter 1�arc s, sera

Representons aussi pai' T la force provenant de l�ac--tlon d�une partie de la verge sur la partle adjacente, appliqu�e a Tune des faces de la tranche ycads, perpendiculaire a et tendant a diminuer ou a aug-menter l�arc seloii qu�elle est positive ou ne'gative.nbsp;L�autre face de yccds sera tir�e ou pouss�e en sensnbsp;contraire par une force �gale a T -f- dT; par cons�quent, pour l��quilibre de cette tranche, il faudraquenbsp;la force dT soit �gale et contraire a la force tangen-tielle donn�e, ou qu�on ait

A cause du peu d�extensibilit� de la mati�re de la verge, on pourra prendre, dans cette �quation (a),nbsp;pour ^ et � la densit� et la section normale de lanbsp;verge au point M, dans son �tat naturel. Si ces deuxnbsp;quantit�s sont constantes, et que la formule comprise entre les parentheses soit une diff�rentiellenbsp;exacte, on obtiendra, par l�int�gration imm�diate, lanbsp;valeur de T; i;t, paree que Ton a T=a��f (n� 307),nbsp;on en conclura la dilatation positive ou negative denbsp;T�l�ment ds, qui se sera allonge dans Ie rapport denbsp;I eP a 1�unit� ; mais cela ne fera pas connaitre lanbsp;dilatation de la section normale �, ni Ie changement de densit� de la verge au point M. Or, d�apr�snbsp;ce que j�ai fait voir dans Ie M�moire cit� au commencement de ce paragraphe, l�allongement ou Ie rac-

courcissenient de ds est toujours accompagn� d�une diminution ou d�une augmentation de co, mais telle,nbsp;que Ie volume mds variera dans Ie m�me sens quenbsp;ds, et la dcnsit� y, en sens inverse. II s�ensuit quenbsp;quand une verge homogene, prismatique ou cjlin-drique, est attach�e par un bout, et tir�e a son autrenbsp;extr�mit� par une force dirig�e suivant Ie prolonge-ment de sa longueur, elle �prouvera, a la fois, unenbsp;extension et une augmentation de volume, propor-tionnelles a cette force j ce qui a et� effectivementnbsp;confirm� par rexp�'rience. R�ciproquement, si cettenbsp;verge est pos�e verticalement sur un plan horizontal,nbsp;et charg�e d�un poids a sa partie sup�rieure, qui nenbsp;la fasse pas plier, elle se raccourcira , et, en m�menbsp;temps, son volume sera diminu� proportionnelle-ment a la grandeur de ce poids.

Siy. Prenons sur l�arc AM du filet mojen un point m infiniment voisin de M; par ce point m , faisonsnbsp;une section normale; et concevons que la partie denbsp;la verge comprise entre cette section et Textr�mit� A,nbsp;soit rendue tout-a-fait immobile, et que la partienbsp;comprise entre l�autre bout B et la section faite parnbsp;Ie point M, devienne seulement de forme invariable.nbsp;Cela �tant, cherchons les conditions d��quilibre denbsp;cette seconde partie, que nous appelierons K.

En vertu de la torsion de la verge, les points de la tranche comprise entre les deux sections normalesnbsp;faites par M et m, serontsollicit�s par des forces quinbsp;tendront a d�tordre ses diff�rens filets longitudinaux,nbsp;et agiront dans des plans perpendiculaires a Mm,nbsp;c�est-a-dire, a la tangenle en M au filet moyen. Ces

forces tendront a faire tourner K autour de cette droite, en sens contraire de la torsion. Soit t leurnbsp;moment par rapport a cette droite, que l�on ap-pellera Ie moment de la torsion de la vei'ge, cor-respondant au point M. Si Fon m�ne par ce pointnbsp;des parall�les aux axes des x, j, z, et si l�on observe que Faxe de cc moment fait, avec ces droites,

pour les momens par rapport a ces trois parall�les, des forces qui agissent sur K dans Ie sens de la torsion,

D�signons par //., Ie moment de 1��lasticit� relatif au point M, c�est-a-dire, Ie moment des forces dont Tnbsp;est la somme, par rapport a un axe men� par ce pointnbsp;et perpendiculaire au plan osculateur du filet mojen;nbsp;r et p �tant les rayons de courbure en ce m�me point,nbsp;dans 1��tat naturel et apr�s Ie changement de formenbsp;de la lame, et ^ de'signant une quantit� positive, dependant de la mati�re et de la section normale aunbsp;point M, nous aurons (n� 3t4)

et si Fon appelle �, g, h, les angles que l�axe de ce moment fait avec les parall�les aux axes des x,j^z,nbsp;mencs par Ie point M, les momens de F�lasticit� parnbsp;rapport a ces trois droites seront

Soient M' un point quelconque de 1�arc MB; z', ses trols coordonn�es; s' l�arc AM', et y*, a', X',nbsp;Y', Z', ce que deviennent y, co, X, Y,Z, relati-venient a M'. En appelant Zla longueur totale du filetnbsp;moyen, et faisant

ces nbsp;nbsp;nbsp;trois quantit�snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X^, Y^, Z^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;serontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;momens

des forces donn�es qui agissent sur K, par rapport aux axes men�s par Ie point M, suivant les directionsnbsp;des X, j, z.

Enfin, supposons que des forces particuli�res agissent a Textr�rnit� libre de K; repr�sentons par P, Q, R, les sommes de leurs composantes parall�lesnbsp;aux axes des x ,j,z, et par a', b', c', les coordonn�esnbsp;du point d�application de leur r�sultante; leurs momens par rapport aux m�mes axes que Z^, Y,, X^,nbsp;seront

Q (�' nbsp;nbsp;nbsp;� �^)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Zgt;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� jr),

P (c' nbsp;nbsp;nbsp;� z)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{a!nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� x),

R nbsp;nbsp;nbsp;- J)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

et si l�on d�signe par a, h, c, les coordonn�es de lextr�mit� B du filet moyen, on pourra remplacernbsp;ces momens par

G�n�ralement, les coordonn�es a', b\ c', seront distinctes de a, h ,c, paree que les forces extremesnbsp;P, Q, R, ne seront pas appliqu�es imm�diateraent anbsp;la verge �lastique, et qu�elles agiront aux extre'mite'snbsp;de bras de levier. Soit que ccs forces aient ou nonnbsp;une r�sultante unique, les quantit�s P', Q', R', serontnbsp;leurs momeus par rapport a des axes men�s par Ienbsp;point B, parall�lement a ceux des ac, j, z,; si donenbsp;on suppose qu�on ait en ce point

cette quantit� L exprimera Ie moment des forces ex-tr�mes par rapport a la tangente au point B (n� 281); d�ou l�on peut d�ja conclure que L sera Ie momentnbsp;de la torsion extr�me, o� la valeur de r relative a cenbsp;m�me point.

�lastique, il faudra que la somme des momens par rapport a chaque axe, de toutes les forces qui agis-sent sur ses diff�rentes tranches et a ses extr�mit�s ,nbsp;soit �gale a z�ro; ce qui donne ces trois �quations

ft. cos h � T � -i- nbsp;nbsp;nbsp;-{� Q(� � x) � P(6 �J-) � o.'

gt;.ds^ �tant la racine carr�e de la somme des carr�s des trois num�rateurs. II en r�sulte

Si done on ajoute les diffe'rentielles des equations {b), apr�s les avoir multipHees parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;on aura,

mais a cause que les quantit�s soumises a l�inte'gration dans les expressions de X^, Y^, Z^, s evanouissent anbsp;la limite / = ^, il suffit (n� i4) de difF�rentier sousnbsp;les signes / par rapport 'a x, f, z, pour obtenir lesnbsp;valeurs denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dX.^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dY^, dZ^; on anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;done simplement

dX^ � nbsp;nbsp;nbsp;dznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Y'y'o�'ds'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dj Z'y'c�'ds',

dY^ =z= nbsp;nbsp;nbsp;dxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z'y'co'ds'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dz J'^X'y'co'ds',

dZj^ nbsp;nbsp;nbsp;djnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X'y'a'ds'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dx J�^Y'y'co'ds';

et en substituant ces valeurs dans l�e'quation prec�-dente, elle se r�duit adr=xo.

Ainsi Ie moment de ia torsion est constant dans toute la longueur d�une verge �lastique en equilibre,nbsp;quelles que soient les forces qui j sont appliqu�es.

Sa valeur sera done partout la m�me qua chacun des deux bouts de la verge; et il est facile de verifiernbsp;qu�au point B, on a t = L, comme on l�a dit plusnbsp;haut. En effet, en ce point, on a, x � a, j 7= h,

4o..

A cause que la normale au plan osculateur du filet moyen et la tangente a cette courbe, sont perpendi-culaires Tune a Fautre, on a, en ce m�me point B,

en ajoutant done les equations prec�dentes, apr�s les avoir multipli�es par cos a', cos �', cos y', la quantit�nbsp;IJL disparaitra , et, d�apr�s la valeur de L, on auranbsp;X = L.

Le moment de la torsion peut seul se d�duire des equationsd��quilibre; quanta la torsion elle-m�me,sanbsp;grandeur est variable le long de la verge, lorsque lanbsp;mati�re ou la section normale varie d�un point a unnbsp;autre. Si la verge est homogene, et que la section normale solt constante, la difference des angles de torsionnbsp;est la m�meaux extr�mlt�s de deux parties de la verge,nbsp;d��gales longueurs, et proportionnelle aux longueurs,nbsp;quand elles sont diff�rentes. Supposons, pour fixernbsp;les idees, qu�une verge homog�ne, prismatique ounbsp;cyllndrique, soit encastr�e par un bout, et qu�onnbsp;applique a son autre extr�mlt� deux forces �gales,nbsp;parall�les et contraires, agissant a distances �gales elnbsp;de deux c�t�s differens; cette verge restera droite;nbsp;ma�s elle se tordra sur elle-m�me, proportionnelle-ment a sa longueur et au moment de ces deux forces

par rapport a son filet moyen, lequel moment sera la valeur de la quantit� L. J�ai trouv�, en outre, dans Ienbsp;M�moire d�ja cite (n� 3o6), que si la section normalenbsp;de cette verge est un eerde, la quantit� de la torsionnbsp;sera proportionnelle, toutes choses d�ailleurs cgales,nbsp;a la quatri�me puissance de son diara�tre; ce quinbsp;est conforme a l�exp�rience.

319. Deux des equations (b), ou deux coinbinai-sons quelconques de ces equations, apr�s qu�on y aura substitu� la valeur de fx et mis L a la place de t,nbsp;serviront a determiner la figure de la verge en �qui-libre. Si elle est droite dans son �tat naturel, et quenbsp;toutes les forces quiy sont appliqu�es soient comprisesnbsp;dans un m�me plan , les trois equations (b) se r�dui-ront a une seule, qui sera celle de la courbe planenbsp;form�e par Ie filet moyen.

z = o, cosfz= o, cos g = o, c = o, c' = o, R = o, cos y' = o;nbsp;d�o� il r�sultera

on aura aussi cos ^ = d= i ; ma�s en ayant �gard au sens de Faction de T sur la partie K de la vergenbsp;(n� 3i4), il est ais� de voir qu�il faudra prendrenbsp;cos h = � 1 dansla troisi�me �quation (^), qa

ct Ton remarquera qu�en conservant les notations du n� 3i4, Ic coefficient � aura pour valeur

Lorsque les forces X et Y seront nulles, cette equation (c) co�ncidera avec l��quation (i) du n� 3o8, en observant que dans celle-ci, les forces P et Qagissentnbsp;a l�extr�mit� m�me de la verge, ce qui rend nul leurnbsp;moment R'. Dans tousles cas, on fera disparaitre parnbsp;des differentiations, les int�grales contenues dansnbsp;cette equation (c), qui se changera par la en unenbsp;equation diff�rentielle du quatri�me ordre.

La figure de la verge �tant d�terrain�e par l��qua-tion (c), il faudra en outre que les forces donn�es qui y sont appliqu�es, satisfassent aux conditionsnbsp;d��quilibre du n� 261 , qui se reduisent a trois, anbsp;cause que ces forces sont toutes comprises dans unnbsp;m�me plan. D�signons done par D et E les sommesnbsp;des forces particuli�res qui agisseut a 1�extr�mit� Anbsp;de la verge, pai�all�lement aux axes des x et j,nbsp;et par F' leur moment par rapport a ce point A ,nbsp;de mani�re que D, E, i', soient a l��gard de cenbsp;point, ce que P, Q, R', sont relativement a l�autrenbsp;extr�mit� B; les trois equations dont il s�agit se~nbsp;ront

Lorsque les deux bouts de la verge seront enti�re-ment libres, les forces extr�mes et leurs momens seront donn�s. Si la verge est encastr�e a son extr�-mit� A, les forces D et E, ainsi que leur moment F', seront ind�lermin�s; mais on connaitra les valeurs

seulement retenue par Ie point fixe A, les forces D et E seront encore ind�termin�es; leur r�sultante seranbsp;�gale et contraire a la charge de ce point d�appui,nbsp;dont elle exprimera la r�sistance, et l�on aura F'= onbsp;pour leur moment : on connaitra alors les valeurs

320. Supposons, par exemple, que la verge soit homogene et naturelleraent prismatique ou cjlin-drique; ce qui rendra constantes les trois quantitesnbsp;y, u), �. Supposons, en outre, qu�elle ne soit sou-mise qu�a des forces perpendiculaires a sa longueur,nbsp;qui l��cartent tr�s peu de sa position primitive; etnbsp;prenons pour l�axe des x, Ie filet raoyen dans cette

ce qui fait disparaitre la premi�re equation (d). En n�gligeant Ie carr� de ^; on aura aussi

ds =id3C, i = nbsp;nbsp;nbsp;.

^ ^ = nbsp;nbsp;nbsp;fy{cc'-x)ds'. (e)

{�)

Les quatre constantes arbitraires que contiendra rint�grale complete de cette derni�re equation , senbsp;d�termineront d�apr�s les conditions relatives auxnbsp;deux bouts de la verge, et en observant que la va-leur de^ tir�e de cette equation devra satisfaire auxnbsp;deux pr�c�dentes pour toutes les valeurs de x. Or,nbsp;l��qualion (�) resultant des deux autres par la difl��-

rentiatton, il suflfira, pour cela, que cette valeur de^ satisfasse a celles-ci pour une vaieur particuliere de oc;nbsp;il suffira done qu�on ait

�S=-Q, fe)

pour x � a-, conditions qui r�sultentde l�e'quation (e) et de sa diff�rentielle premi�re, en y donnant a xnbsp;cette valeur particuliere. Si l�on y donne a o; la valeur relative au point A, et qu�on ait �gard aux equations {d), on aura

mais ces equations n�expriment pas de nouvelles conditions distinctes de celles que renferment les equations [d) et (g), que l�on pourra, si Ton veut, rem-placer par Ie syst�me des equations (g) et [li).

Sai. Ces formules compreunent Ie cas de la verge pesante. Alors, je suppose Ie point A fixe, et j�y placenbsp;l�origine des coordonn�es x et jr; je suppose aussinbsp;que l�axe des x, qui repr�sente la direction naturelle de la verge, soit horizontal; je prends l�axe desnbsp;j positives dans Ie sens de la pesanteur, et je repre'-sente cette force par g. On aura Y = g, et Tint�gralenbsp;de l��quation (�) sera

C, C', Cquot;, d�signant trois constantes ai�bitraires, et la quatri�rne �tant nulle, a cause qu�on a == o etnbsp;y = o au point A.

r�sulte Cquot;= o. Supposons, en outre, que Ie poids Q solt attach� imm�diatement a l�autre extr�mit� B,nbsp;de sorte que son moment R.' soit z�ro; en verlunbsp;des �quations (g), qui r�pondent a ce point, ou a

Je tire de la les valeurs de C et C'; je les substitue dans l��quation (i), dont je supprime Ie terme Cquot;ar;nbsp;j�appelle /jf Ie poids de la verge , de sorte qu�on altnbsp;^ z= gyctgt;a � 11 vient

�quation qui coincide avec celle du n� 5io, quand on n�glig� Ie poids de Ia verge, et qu�on y met Qc�nbsp;a la place de �.

pour l ordonn�e du point B, qui exprime la flexion totale de la verge. En supposant Q = 9, on volt donenbsp;que les flexions produites par un poids Q suspendunbsp;a rextr�mit� libre d utie verge horizontale encastr�enbsp;par son autre bout, et, par ce m�me poids, r�partinbsp;uniform�ment sur toute la longueur de cette verge,nbsp;sont entre elles comme 8 est a 5.

322. Si Ie point B est fixe comme Ie point A, et sllu� sur la m�me horizontale, il faudra qu�on aitnbsp;j=o quand x � a-, ce qui change l��quation (i)nbsp;en celle-ci:

= ifa nbsp;nbsp;nbsp; Cx (x��a*) C'x(x � a); (2)

q �tant toujours Ie poids de la verge. La determination des deux constantes C et C' pre'sentera les cas sul vans.

1�. Quand la verge est encastr�e a ses deux bouts, il faut qu�on ait ^ � o pour x = o et pour x = a;nbsp;on tire de la

En appelant f la fl�che de la courbe forra�e par cette verge, c�est-a-dire, la valeur dejr qui re'pond a sonnbsp;milieu, ou a x �on aura

2�. Si la verge est slmplement retenue par les points fixes A et B, les charges de ces points d�appui serontnbsp;les forces E et Q, prises en sens contraire de leurs directions, et leurs momens F' et R' seront nuls (n� 31 g).nbsp;En verlu des premi�res e'quations (g) et (A), on aura

c�est-a-dire, quintuple de celle qui avait lieu dans Ie premier cas. D�apr�s les derni�res equations (g) etnbsp;(^), on aura aussi

valeurs qui ont aussi lieu dans Ie premier cas, et qui sent �videntes en elles-m�mes.

au mOjen de quoi l��quation (2) devient ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qx^ {a � x) (3a � ix)

ce qui montre que Ie poids de la verge se partage in�galement entre les deux points d�appui, et que lanbsp;charge de l�extr�mit� encastr�e est plus grande quenbsp;celle de l�autre, dans Ie rapport de 5 a 5.

325. En supposant toujours les points A et B fixes et situ�s sur une in�me horizontale, et la verge homogene et prismatique, consid�rons Ie cas ou lesnbsp;autres points sont charg,�s de poids in�galement dis-tribu�s dans toute la longueur.

(px �tant une fonction donn�e qui s��vanouit quand X � O et quand xz=a, et q d�signant Ie poidsnbsp;total, ce qui suppose

Cette fonction lt;px pourra �tre continue ou discontinue , c�est-a-dire que son expression analjtique pourra changer une ou plusieurs fois entre les valeursnbsp;extremes 27 = oet2? = a;ou, autrement dit, si onnbsp;la repr�sente par l�ordonn�e d�une ligne dont x soitnbsp;l�abscisse, cette ligne pourra se composer de plusieurs poi�tipns de courbes differentes. Si 1�on d�signenbsp;par sT une ligne d�une longueur aussi petite qu�onnbsp;voudra, n�us pourrons supposer, par exemple, quenbsp;lt;px soit z�ro depuis x == o jusqu�a xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� �T, et

depuis X = I � 4- cf j usqu�a x~a, de sorte que cette fonction n�ait de valeurs differentes de z�ro que dansnbsp;une tres petite �tendue S' de part et d�autre de x=\a.

Ce cas sera celui d�un poids q agissanl au milieu de la verge �lastique , que nous examinerons tout anbsp;l�heure en particulier.

Quelle que soit la fonction (px, continue ou discontinue , pourvu qu�elle soit nulle pour x~o et pour X �a, on aura, depuis x � o jusqu�a x~anbsp;inclusivement,

n �tant un nombre entier et positif, et la caracl�ris-tique 2 indiquant une somme qui s��tend a toutes les valeurs de n, depuis n=.\ jusqu�a n � xgt;. Cette formule est due a Lagrange, qui l�a donn�e dans les anciens M�moires de l�Acad�mie de Turin (*); nous lanbsp;d�montrerons plus bas. En en faisant usage , 1��qua-tion (�) devient

dir

C et C' �tant des constantes arbitraires que l�on d�-terminera comme dans les trois cas du num�ro pr�c�dent.

suspendu au milieu de la verge, c�est-a-dire, Ie cas o�, comme on vient de Ie dire, la fonctiou lt;pa:' estnbsp;nulle pour toutes les valeurs de x' qui diff�rent unnbsp;tant soit peu de a.

On pourra alors faire x' = \ a dans Ie facteur sin que renferme l�inte'grale relative a x' cenbsp;qui donnera

et fera disparaitre tous les termes de la somme 2 qui r�pondent a des nombres pairs n. Je designe par i unnbsp;nombre pair ou impair; je fais n=i2.i�et j��tendsnbsp;la somme 2 a toutes les valeurs de i, depuis i=\

pour toutes les valeurs de co, depuis � = o jusqu�a Sidonc on anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;on fera ft) = � et l�on

(21�1)4''�' a nbsp;nbsp;nbsp;960^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�^)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3a�(anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a?)].

De cette mani�re, nous aurons Tune ou l�autre de ces deux equations ;

= x{a�x)[C.r C'(a�a:)]� ^ nbsp;nbsp;nbsp;�Za'�x)

Sj � x(a�a:)[Car C'(ii�ar)]� ^ [4(ti�x^�3d�{a�a:)].

II ne restera done plus qu�a determiner les cons-tantes C et C' dans les trois cas suivans :

�:o pour a:==o et pour xz=a,

qui a lieu quand la verge est encastre'e a ses deux extr�niit�s, donne

C' = C = � -I.

Les equations (i) deviendront

4:^'

c�est-a-dlre, double de celle qul avait lieu dans ie premier cas du nquot; 322. En vertu des secondes equations (g) et (k), on aura aussi

2�. Dans Ie cas de la verge simplement retenue par ses deux bouts, o� l�on doit avoirnbsp;; O et pour x = a , il en r�sultenbsp;C = o , C' = o,nbsp;et, par cons�quent,

(3a�x � 4^�),

~ 1.

� 40

La tangente au milieu de la courbe est horizontale, et les valeurs de Q et E sont �^q, comme dans Ie premier cas; mais la fl�che � a pour valeur

j � p:?�

en sorle qu�clle est quadruple de la pr�c�dente, et plus grande dans Ie rapport de 8 a 5, que celle dunbsp;second cas du nquot; 322. Si l�on m�ne une tangente a lanbsp;courbe �lastique, par l�un ou l�autre des points Anbsp;et B; que Ton appelle a son inclinaison, et qu�on

en sorte que Ie poids q se partagera dans Ie rapport de 11 'a 5 entre les points d�appui A et B.

SaS. Nous allons maintenant d�montrer la formule de Lagrange, cit�e pre'ce'demment.

qui est une fraction rationnelle par rapport 'a h, et dans laquelle Q d�signe un angle reel. Son d�veloppe-ment suivant les puissances de h sera

ce qu�on peut aise'ment verifier; car si l�on multiplie cette s�rie infinie par Ie d�nominateur i �2^ cos 6 ^�nbsp;de la fraction, on retrouve son num�rateur, en observant qu�on a

quelque soit Ie nombre n. Si h est moindre que Tunit�, abstraction faite du signe, cette s�rie sera convergente , et la fraction sera rigoureusement �gale a sonnbsp;d�veloppement prolong� a l�infini; a cause de

I � 2^ cos 9 nbsp;nbsp;nbsp;= (I ~ hy -f- 4^ sin* 19,

la somrae 2 s��tendant a toutes les valeurs du nombre entier n, depuis n= 1 jusqu�a �= 00 . Quelles quenbsp;soient la fonction �9 et la constante r�elle a, on aura

4...

Soit g une quantit� positive et infiniment petite; cette equation subsistera encore en y faisant A=i�g,nbsp;puisqu�elle a lieu pour toute valeur de h moindre quenbsp;i�unit�. Pour toutes les valeurs finies de w, on aura

kquot; z= {i � gY = i ;

pour des valeurs infinies de eet exposant, Aquot; pourra dilF�rer de l�unit�, mais en integrant par partie ,nbsp;on a

en sorte que si �amp; ne devient point infinie, entre les li-mites 6 = o et G = '7r, ni pour ees limites, l�int�grale

pour n = cc ; d�o� il r�sulte qu�on pourra toujours reujplacer A� par l�unit� sous Ie signe 2. Au nura�ra-teur de la fraction comprise sous Ie signe �, on auranbsp;�^' = 2g, en n�gligeant g� par rapport a ag;nbsp;dans Ie second terme du d�nominateur, on pourranbsp;mettre Punit� au lieu de A ou i � g; et, de cette ma-ni�re, nous aurons

Le coefficient de sous cette derni�i�e integrale est infiniment petit, except� pour les valeurs de G

infiniment peu difierentes de a, qui rendent son d�-nominateur infiniment petit; c�tte integrale est done infiniment petite ou nulle, tant que la differencenbsp;fl � a est une quantit� tinie; ce qui aura lieu dansnbsp;toute l��tendue de l�int�gration , lorsqu�on supposeranbsp;a lt; o, OU a gt; TT; done toutes les fois que la cons�-tante a, tombera en dehors des limites z�ro et onnbsp;aura Tequation

Si, au contraire, on a a gt; o et lt;; tt, il y aura des valeurs de � qui diff�reront infiniment peunbsp;de a; en faisant done

l�int�grale dont il s�agit s��vanouira encore pour les valeurs finies de �, mais non plus pour les valeursnbsp;infiniment petites de cette vai�iable, positives ou negatives j a l��ga.rd de celles-cl, on aura

^ J g* � � '

lorsque a. tombe entre z�ro et tt. Or, cette int�grale �tant nulle pour toute valeur de u qui n�est pointnbsp;infiniment petite, nous pouvons maintenant l��tendre,nbsp;sans en alt�rer la valeur, a des valeurs quelconquesnbsp;de u, positives ou negatives, et la prendre, si nous

Ce raisonnement conviendra encore au cas o� a coincide avec une des deux limites ze'ro ou -tt ;nbsp;mais si l�on a a = o, on ne pourra donner a u quenbsp;des valeurs positives, et seulement des valeurs negatives , si Ton a a = TT, afin que dans ces deuxnbsp;cas, la variable 6 qu�on a faite �gale a a-|-M, ne sorlenbsp;pas des limites de l�int�gration. De cette mani�re,nbsp;l�int�grale relative k m se trouvera r�duite a la moiti�nbsp;de sa valeur, ou a et si l�on repr�sente parnbsp;� ei y les valeurs de fct qui r�pondent a ct = o etnbsp;a il en r�sultera

A-i) =

tJon (2) et ^ dans Tequalion (3); en observant que les limites relatives a x' seront z�ro et a, nous aurons

(px sm�^ ax j sm~ = px;

326. Cette formule repr�sente les valeurs de la fonction lt;px, pour toutes les valeurs de la variablenbsp;X, qul sont positives et moindres que a, et m�menbsp;pour X = o et x = a, lorsque lt;px sera nulle pournbsp;ces valeurs extremes. II est important d�observer quenbsp;la s�rie indiqu�e par 2, finira toujours par �tre convergente: car pour de tr�s grandes valeui�s de n, l�in-t�grale relative a x' deviendra une tr�s petite quan-tit�, qui diminuera de plus en plus a mesure quenbsp;n augmenlera, et qui sera tout-a-fait nulle pournbsp;n = co , comme on 1�a vu plus baut au mojen denbsp;l�int�gration par partie. Cette remarque est n�cessairenbsp;et suffit pour justifier l�emploi cju�on fera de la formule pr�c�dente.

Les ditf�rentes formules par lesquelles on peut ainsi repr�senter en s�ries de quantit�s p�riodiques,nbsp;toujours convergentes^ des portions de fonctionsarbi-

ti�airte continues ou discontenues, se d�duisent des equations (5), que nous venons d�etablir. Je menbsp;contenterai de donuer ici deux de ces formules, quinbsp;nous seront utiles dans la suite; pour de plus grandsnbsp;d�velopperaens sur cette mati�re, je renverrai a mesnbsp;M�moires sur Ig Calcul integral, qui font par tienbsp;du Journal de V�cole Poljtechnique, et o� l�on trou-vera une th�orie compl�te de ce genre de transformations.

Apr�s avoir ajout� les equations (5) et retranch� la premi�re de la seconde, j�y mets 2I au lieu de a,nbsp;puis X Z et a?' -f- / a la place de x et x', et ensuitenbsp;(px et lt;px' au lieu delt;p(x -(- Z) et (p(x'-j- l); les limitesnbsp;des intcgi�ales relatives a x' deviennent � Z, et cesnbsp;equations sont remplac�es par celles-ci :

Partageons chaque somme S en deux autres, dont Tune se rapporte aux nombres n pairs, et l�autre auxnbsp;nombres n impairs. Pour cela, soit i un nombre en-tier quelconque; et faisons successivement � = ar,nbsp;n =: aZ'^�� i; nous aurons

arV (a: /) ^ nbsp;nbsp;nbsp;.. irrxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;azx (x -j- /)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i^x

les sommes 2 s��tendant a toutes les valeurs de i, depuis j = i jusqu�a i=co. Ces �quations aurontnbsp;lieu pour toutes les valeurs de x qui sei'ont comprisesnbsp;entre les llinites � l.

Cela pos�, si la fonction (px est telle que 1�on ait (p (� x) = � lt;px, il en r�sultera

au moyen de quoi la seconde �qualion (6) co�ncidera avec la formule (a), en y changeant a en Z; et lanbsp;premi�re se r�duira a

Si, au contraire, la fonction (px est telle que l�on ait lt;p ^�. x)~lt;poc f on aura

et les autres int�grales pourront s��tendre seulement depuls a? = o jusqu�a x � l, en doiiblant les r�sul-tats. La seconde equation (6) renlrera dans l��qua-tion (7), en y raettant l � a? au lieu de a?, et lt;par anbsp;la place de ep (Z � x). La premi�re e'qualion (6)nbsp;deviendra

Ces formules (7) et (8) repr�senteront les valeursde lt;px, depuis x � o jusqu�a x ~l; celles qui s�en d�-duiront, en les diff�rentiant par rapport a x, ex-primeront, dans Ie m�me intervalle, les valeurs

de La formule (7) suppose (px � o pour x = o, etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quand x � l-, la formule (8) exige que

ces conditions ne sont pas remplies, ces formules ou leurs diff�rentielles n�ont pas lieu pour les valeurs extremes de X.

327. R�clproquement, les formules de ce genre font connaitre les sommes des nombreuses series p�-riodiques que Ton a obtenues par diff�rens moyens.nbsp;Ainsi, par exemple, pour en d�duire la somme denbsp;la s�rie dont on a fait usage dans Ie n� 824, j�a-joute les equations (2) et (3), apr�s avoir mis �amp;nbsp;a la place de a dans la premi�re; il en r�sulte

rV�cosnerf�=

quantit� nulle pour tous les nombres pairs, et �gale a �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ pour n = zi � i. L��quation pr�c�-

la somme 2 s��tendant a toutes les valeurs du noinbre entier i, depuis /= i jusqu�a co .

On n�ajoute pas de constante arbitraire, paree que les deux membres de cette equation sont nuls, soitnbsp;pour a = o, soit pour a = 7f, en sorte que cettenbsp;equation a lieu pour toutes les valeurs de a, depuisnbsp;a = o jusqua a � tt inclusivement. Si Ton y faitnbsp;a = -i -tt ft), on aui�a

528. Si l�on met 2a au lieu de tz, et ensuite x'-}- a etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a la place de x et jc', dans la seconde

l\aj �a nbsp;nbsp;nbsp;' a.a J �anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

u �tant un multiple de �, et la somme 2 s��ten-dant a toutes les valeurs de u, depuis u = e jus-qu�a u = GO . Or, si la constante ci devient infinie, Ia difference e des valeurs cons�cutives de u de-viendra infiniment petite, et la somme 2 se chan-gera en une integrale prise depuis �=s, ou u=o,nbsp;jusqua w = co. En faisant done a=co et i. � du,nbsp;mettant Ie signe f au lieu de 2, et supprimant Ienbsp;premier terme de la formule pre'c�dente, nous au*

(WVVV\ 'VMaiVgt;/Wgt;'VV\iVV\�VVVW\iWgt;/W\(W\'W''VVMVVVWMW\'VVWWVWVV\/VWVVX'Wgt; wx-vv 'Vy^iVWVV^ \/\MWS

CHAPITRE IV.

329. Dans les cas les plus simples de l��quilibre des machines, la puissance et la resistance sont r�cipro-quement pi�oportionnelles aux espaces que leurs pointsnbsp;d�application d�criraient simultan�ment, si l��quilibrenbsp;venait a se rompre. Pour que ce rapport ait toujoursnbsp;lieu, il faut prendre les espaces infiniment petitsquinbsp;seraient d�crits dans Ie premier instant, et les rem-placer par leurs projections sur les directions desnbsp;forces. II a �t� remarqu� depuis long-temps dans lesnbsp;machines simples; Jean Bernouilli Fa ensuite �tendu,nbsp;par induction, a un syst�me quelconque de pointsnbsp;mat�riels sollicit� par des forces donn�es; et, sous lanbsp;denomination de principe des vitesses virtuelles, ilnbsp;est ainsi devenu Ie principe general de F�quilibre.nbsp;Nous Ie d�montrerons dans toute sa g�n�ralit�,nbsp;apr�s Favoir v�rifi� sur les exemples suivans.

I*. Soient (fig. yp) A, A', Aquot;,... une suite de poulies contenues dans une m�me chape, et formantnbsp;une inoujle fixe, et B, B', Bquot;,... une autre suite denbsp;poulies aussi contenues dans une m�me chape, etnbsp;formant une moufle mobile. Supposons qu�un fil soitnbsp;attach� a Ia poulie inf�rieure de la moufle fixe, et s�en-roule successlvement sur toutes les poulies, en passant alternativement d�une moufle a Fautre. A Fex-

Ir�mit� libre de ce fil, suspendons un poids P qui fasse �quilibre a un poids R suspendu a la poulie inf�rieure de la moufle mobile. La tension du fil seranbsp;la m�me dans toute sa longueur, et �gale au poids Pjnbsp;de plus, si les diam�tres des poulies sont tr�s petits,nbsp;eu �gard a la distance qui s�pare les deux moufles ,nbsp;les cordons qui vont de 1�une a l�autre seront sensi-blement parall�les et verticaux : la force qui soutientnbsp;Ie poids R sera done �gale a la somme de leurs tensions, OU a n fois Ie poids P, en appelant n Ie nom-bre de ces cordons; par cons�quent, dans l��tat d��-quilibre , on aura

Or, si l��quilibre se rompt, et que Ie poids R monte OU descende d�une quantit� a, tous les cordons quinbsp;aboutissent a la moufle mobile se raccourciront ounbsp;s�allongeront de cette m�me quantit�. La longueurnbsp;totale du fil devant rester la m�me, la partie a la-quelle est attach� Ie poids P s�allongera ou se rac-courcira de n fois cette quantit� a,; done, eu d�si-gnant par � la quantit� dont Ie poids P s��l�veranbsp;ous�abaissera, on aura S=nx, et, cons�quemment.

2�. ABC (fig. 8o) repr�sente la roue d�un treuil, et A'B'C' rintersection du plan vertical de cette rouenbsp;et de la surface du cjlindre; O est Ie centre commonnbsp;de ces deux circonf�rences, et AOC et A'OC' sont leursnbsp;diam�tres horizontaux. Un fil s�enroule sur la roue,

et s�attache a i�un de ses points 5 un autre fll, attach� a l�un des points du cylindre, s�enroule de m�me sur sanbsp;surface. On suspend un poids P au premier fil, et unnbsp;poids R au second j ces deux poids tendent a fairenbsp;tourner Ie treuil en sens contraire, et sont supposesnbsp;en �quilibre. Cela pos�, si Ton applique au point C'nbsp;deux forces R' et Rquot;, verticales, �gales et contraires,nbsp;r�quilibre ne sera pas trouble; si, de plus, ces forcesnbsp;sont �gales a R, la force Rquot; et Ie poids R se ferontnbsp;�quilibre, puisqu�il n�y aurait pas de i�aison pour quenbsp;leur action simultan�e fit tourner Ie treuil plut�tnbsp;daas un sens que dans Ie sens oppos�; il faudra donenbsp;qu�il y ait aussi �quilibre entre Ie poids P et la forcenbsp;R', perpendiculaires a AOC', et qui agissent aux extr�-mit�s de ce levier, dont 0 est Ie point d�appui. Done,nbsp;en appelant r Ie rayon AO de la roue, et r' Ie rayonnbsp;OC' du cylindre, l��quation d��quilibrc sera

a cause de R'=R. Maintenant, si l��quilibre se rompt, et que Ie poids R monte ou descende d�une quantit� a,nbsp;tandis que Ie poids P descendra ou montera d�une quan-.nbsp;tit� �, il est �vident, par la nature de la machine,nbsp;qu�on aura �r' = ar-, d�o� l�on conclut

5�. Supposons qu�une vis verticale soit charg�e d�un poids R a sou extr�mit� sup�rieure ; qu�unenbsp;roue horizontale, ayant son centre dans l�axe de

cette vis, soit adapt�e a son extr�mil� inf�rieure; qu�un fil soit enroul� sur cette roue et attach� parnbsp;un bout a sa circonf�rence, et qu�on applique a sonnbsp;autre bout une foi�ce horizontale F qui agisse sui-vant une tangente a la roue, et fasse �quilibre aunbsp;poids R. On pourra, si Ton veut, placer sur la direction de cette tangente une poulie fixe et verticale, plier le fil sur cette partie, et remplacer F parnbsp;ua poids P �gal a cette force et attach� a l�extr�-mit� libre de la partie verticale du fil. En appelantnbsp;h la hauteur du pas de la vis, et c la circonf�rencenbsp;de la roue, on aura

d�apres la condition connue de I�e'quilibre dans cette machine. Les deux poids R et P tendront a fairenbsp;tourner la vis en sens contraire; si Pequilibre vient anbsp;se rompre, 1�un de ces poids montera, et Fautre des-cendra; et si le poids R s�abaisse ou s��l�ve d�un pasnbsp;^ de la vis, le poids P s��l�vera ou s�abaissera d�unenbsp;hauteur �gale a la circonf�rence c de la roue; d�ou ilnbsp;r�sulte quen appelant, en g�n�ral, a et � les espaces parcourus simultan�ment par les deux poids Rnbsp;et P, on aura ac = �h, et, par cons�quent,

4�. Consid�rons encore deux poids P et R pos�s sur deux plans incline's, et attach�s Fun a Fautre parnbsp;un fil passant sur une poulie fixe, situ�e en haut desnbsp;deux plans qui sont adoss�s 1�un a Fautre. La fi-1.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4quot;

llbre, il faudra que ces deux cornposantes solent �gales; en sorte que l�on aura

Si 1��quilibre se rompt, et que Ie poids R glisse d�une quantit� y sur Ie plan CB, Ie poids P glissera de lanbsp;m�me quantit�, mais en sens contraire, sur Ie plannbsp;AC; et en appelant a la hauteur verticale dont Ienbsp;poids R se sera �lev� ou abaiss�, et � celle dont Ienbsp;poids P se sera abaiss� ou �lev�, il est ais� de voir quenbsp;l�on aura

comme dans les exemples pr�c�dens : mais ici a et ^ sont les projections vertlcales des espaces d�crifs si-multan�ment par les poids R et P, tandis que , dansnbsp;Ie cas pr�c�dent, a et ^ �taient ces espaces m�mes.

330. nbsp;nbsp;nbsp;D�apr�s ce qu�on a vu dans Ie n� 49, deuxnbsp;forces qui se font �quilibre par finterm�diaire d�unnbsp;levier quelconque, sont en raison invei�se des espacesnbsp;infiniment petits, projet�s sur leurs directions res-pectives, et que peuvent d�crire en m�me tempsnbsp;leurs points d�application. Cet �nonc� est celui quinbsp;convient a tous les cas. Ainsi, en appelant P et Pi lanbsp;puissance et la re'sistance en �quilibi-e par l�interme'-diaire d�une machine quelconque, supposant qu�ounbsp;imprime un mouvement infiniment petit a cette machine, et d�signant par � et o, les projections sur lesnbsp;directions de ces forces, des espaces qui seront d�critsnbsp;en m�me temps par leurs points d�application, onnbsp;aura toujours

P� = Qa ;

a quoi il faut d�ailleurs ajouter que Tune des projections devra tomber sur la direction m�me de la force correspondante, et l�autre sur son prolongement,nbsp;ainsi que cela a lieu dans Ie levier.

Dans la pratique, il suffira que Ie mouvement im-prim� a la machine soit seulement tr�s petit. En me-surant les longueurs des projections ^ et a, on en con-clura imm�diatement Ie rapport de la puissance a la re'sistance, sans rlen connaitre de la composition particuliere de la machine.

331. nbsp;nbsp;nbsp;Non seulement cet enonce' convient a unenbsp;machine quelconque, mais il s�e'tend aussi a un noni-bre quelconque de forces en e'quilibre. Soient done, ennbsp;general, M, M', Mquot;, etc. (fig. 82), un syst�me denbsp;points mat�riels lies entre eux de telle mani�re qu�on

4...

voudra; supposous que des forces P, P', P', etc., agissent sur ces points, suivant les directions MA,nbsp;M'A', Mquot;Aquot;, etc.; faisons subir a ces points des d�-placemens infiniment petits et compatibles avec lesnbsp;conditions du syst�me, de sorte qu�ils soient trans-port�s en N, N', JNquot;, etc.; projetons N, N', Nquot;, etc.,nbsp;sur les droites MA, M'A', Mquot;Aquot;, etc, ena, a!, d', etc.,nbsp;et posons

En consid�rant ces projections p ,p', p', etc., comme des quantitds positives ou ne'gatives, selon qu�ellesnbsp;tombent sur les directions des forces correspondantes,nbsp;OU sur leurs prolongemens, nous aurons

lofsque r�quilibre aura lieu; et r�ciproquement il y aura cquilibre , quand cette equation subsistera pournbsp;tous les d�placemens compatibles avec les conditionsnbsp;du syst�me.

Les droites infiniment petitesMN, M'N', Mquot;Nquot;, etc., sont ce qu�on appelle les vitesses virtuelles des pointsnbsp;M, M', Mquot;, etc.; denomination qui pi'ovient de cenbsp;qu�elles sont consid�r�es comme les espaces qui se-raient parcourus simultan�ment par les points du syst�me , dans Ie premier instant o� Tequilibre vien-drait a se rompre.

On doit observer que Ie principe des vitesses virtuelles , contenu dans la formule qu�on vient d��crire, donne seulement les conditions d��qui-libre qui peuvent �tre exprim�es par des equations.

mais non pas celles qui sont relatives a la direction de certalnes forces, et a I�etcndire dans laquelle ellesnbsp;doivent rencontrer un plan fixe (n* 266). Les mou-vemens compatibles avec les conditions du systbme,nbsp;qui donnent lieu a des equations d��qullibre, sontnbsp;ceux dont les mouvemens dlrectement contralresnbsp;sont egalement possibles. Mais, par exemple, si ufinbsp;point materiel est pos� sur un plan fixe, Ie mouvement sera possible dans ce plan, stiivant chaque direction et suivant la direction contraire; et perpendi-culairement a ce plan, il ne pourra avoir lieu que dansnbsp;une seule direction. Or, la consideration des mouvemens dans Ie plan, donnera lieu aux conditions d��-quilibre qui s�expriment pardes equations, et la consideration du mouvement perpendiculaire d�termi-nera seulement la direction de la force normale, quinbsp;dolt �tre contraire a celle du mouvement possible.nbsp;Dans 1��nonc� du principe des vitesses virtuelles,nbsp;on suppose implicltement que chacun des mouvemens compatibles avec les conditions du syst�me, etnbsp;Ie mouvement directement contraire, sont egalementnbsp;possibles; en appliquant successivement l��quationnbsp;pr�c�dente a ces deux mouvemens, les quantit�s p,nbsp;p', pquot;, etc., changeront toutes de signe, et il n�ennbsp;r�sultera qu une seule equation d��quilibfe.

Si la force P, est la r�sultante de plusleurs forces donn�es Q, Q', Qquot;, etc., et qu�on repr�sente par q,nbsp;q', qquot;, etc., les projections de MN sur leurs directions,nbsp;on aura (n� 54)

en sorte qu�on pourra remplacer dans 1 equation pr�-c�dente, Ie tenue Vp relalif a la force P, par cette somme de termes de la m�me nature, qul r�pondentnbsp;a ses composantes; et de m�me, par rapport auxnbsp;forces P, P', P*^, etc., si elles sont aussi les r�sultantesnbsp;de plusieurs autres forces.

Le principe des vitesses virtuelles, dans Ie cas d�nn point isol� en�quilibre, est, comme on 1�a v� dansnbsp;le nquot; Sg, une consequence de cette derni�re equation , soit qu�il s�agisse dun point enti�rement libre,nbsp;OU qu�il soit assujetti a demeurer sur une surface OU sur une courbe donnde. II s�agit actuelle-ment de d�montrer ce principe ge'n�ral, dans le casnbsp;d�un syst�me quelconque de points mat�rielsM, M',nbsp;M'^ etc.

552. Supposons ces points lies entre eux par des verges inflexibles ou par des lils flexibles, dont lesnbsp;uns soient fixement attach�s a ces points, tandis quenbsp;d�autres les traversent comme des anneaux mobiles.nbsp;Dans Ce dernier cas, ces points ou anneaux ont la li-bert� de glisser le long des fds qui les traversent, etnbsp;que l�on suppose, pour cela, parfaitement flexibles.

Apr�s qu�on a applique les forces donn�es P, P', Pquot;, etc., aux points M, M', Mquot;, etc., et que l��qui-libre s�est e'tabli, il est clair que les fils qui joigneutnbsp;ces points deux a deux, �prouveront cbacun une tension particuliere, c�est-a-dire, que chacun de cesnbsp;lils sera tir� a ses deux extr�mit�s par des forces �galesnbsp;et contraires, dirig�es suivant ses prolongemens,nbsp;ainsi qu�on l�a d�ja dit dans le cas du polygone funi-culaire (n� 285). L�intensit� de cette force sera la me-

sure de Ia tension inconnue que ce fil �prouve. TJn lil qui ne serait pas tendu, ne contribueraitnbsp;pas a l�e'quilibre, et l�on pourrait en faire abstraction.

La tension peut varier d�un fil a un autre ; mais s�il s�agit de deux fils qui sont Ie prolongement l�un denbsp;l�autre a travers un anneau, la tension est la m�menbsp;dans ces deux parties d�un ni�me fil qui doit n�ces-sairement �prouver une �gale tension dans toute sanbsp;longueur (289). Ainsi, par exemple, si M est unnbsp;anneau travers� par Ie filnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la tension de MM^

Lorsque plusieurs fils viennent se croiser dans un m�me anneau , la tension est la ra�me dans les deuxnbsp;parties de chaque fil, et peut varier d�un fil a l�autre.nbsp;Si done, outre Ie fil M'MMquot;, il passe encore un filnbsp;dans l�anneauM, la tension sera la m�menbsp;dans les deux parties MM'quot; et MM�''de ce dernier fil,nbsp;et, en g�n�ral, elle sera diff�rente de celle des deuxnbsp;parties MM'et MM'', du premier fil. Et si un autre fil,nbsp;tel que MM�, vienl aboutir au m�me anneau M au-quel il soit fixenient attach�, ce fil aura sa tensionnbsp;particuliere, g�n�ralement diff�rente de toules cellesnbsp;des autres fils qui aboutissent au m�me point M.

Observons encore que si M' est un anneau ainsi que M, et que Ie fil Mquot;MM', apr�s avoir travers�nbsp;l�anneau M, passe encore par l�anneau M' pour allernbsp;aboutir au point M'quot;, la tension sera la m�me dansnbsp;les Irois fils Mquot;M, MM', M'M'quot;; car alors ces troisnbsp;fils n�en font qu�un seiil Mquot;MM'M'quot;. En g�n�ral, lors-qu�un fil est partag� en plusieurs parlies, par des an-

A l��gard des verges inflexibles, quand l��quilibre existe, elles sont tir�es ou pouss�es dans Ie sens denbsp;leur longueur, par des forces �gales et contraires,nbsp;agissant a leurs extr�mit�s. L�intensit� commune denbsp;ces deux forces, pour chaque verge, est la mesurenbsp;de la tension ou contraction qu�elle �prouve. S�il ennbsp;existe une ou plusieurs dans Ie syst�me, qui ne soitnbsp;ni tendues, ni contract�es, elles sont inutiles a l�e'qui-libre, et l�on peut les supprimer. Ainsi, dans ce quinbsp;va suivre, nous supposerons tousles liens physiquesnbsp;qui existent dans ie syst�me, tendus ou contract�snbsp;suivant leurs longueurs par des forces inconnues.

L�avantage du principe des vitesses virtuelles est de donner Te'quation d��quilibre dans chaque cas particulier, sans qu�on ait besoin de calculer ces forces in*nbsp;t�rieures; mais comme la demonstration que nousnbsp;allons donner est fond�e sur la conside'ration de cesnbsp;forces, de grandeur inconnue, voici Ia notationnbsp;dont nous ferons usage pour les repr�senter.

Nous d�signerons par \jn, ?�'], la tension ou Ia contraction du fil flexible ou inflexible qui joint deuxnbsp;points quelconques M et M' du syst�me. De cettenbsp;inani�re [m,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\_m', /nquot;], etc., repr�senteront

les tensions ou contractions des fils qni joignent M et Mquot;, M' et Mquot;, etc.

555. Nous aurons aussi a consid�rer les variations infinimentpetitesqu��prouventles distances des pointsnbsp;M, M', Mquot;, etc., pris deux a deux, soit quand 1�unnbsp;de ces points change seul de position, soit quand ils

sont deplac�s simultan�rnent. Alois, nous d�signerons par (/ra, /ra') la distance de deux points quelconquesnbsp;M et M'j en sorte que (/ra, /raquot;), (/re', /raquot;), etc., soientnbsp;de m�me les distances de M et Mquot;, M' et Mquot;, etc.nbsp;Nous emploierons la caract�ristique , pour indi-quer les variations de ces distances , relatives au d�-placement du point M; la caract�ristique �/, pournbsp;indiquer celles qui ont lieu quand eest Ie point M'nbsp;qui se d�place; la caract�ristique J'/', pour indiquernbsp;les variations provenant du d�placement de Mquot;; etnbsp;ainsi de suite. Enfin, nous r�serverons la caract�ristique cT, sans aucun accent, pour indiquer la variation de la distance de deux points, resultant de leursnbsp;d�placemens simultan�s.

Puisqu�on suppose, par exemple , que M a �t� transport� de M en N et M', de M' en N', nousnbsp;aurons

II est important d�observer que la variation totale, indiqu�e par cT, est �gale a la somme des variations partielles, indiqu�es par et J'/^ de manl�re qu�on a, pour deux points quelconques,

eP' (/ra, /ra') = (/ra, /re') -j- J'/(m, ///');

�quation qui r�sulte de ce que les d�placemens de M et M' sont infininient petits, et qui n�a lieu que dansnbsp;cette hypothese. En effet (/ra, m') est une fonction desnbsp;coordonn�es de ces deux points; ces variables pren-

nent des accroissemens infiniment petils, positifs ou n�gatifs, quand M et M' sont transport�s en N et N';nbsp;or, en rejetant les puissances de ces accroissemensnbsp;sup�rieures a ia premi�re, il est �vident que l�accrois-sement total d�une fonction quelconque de ces coor-donn�es, est �gal a la somme des accroissemensnbsp;partiels qui seraient dus a la variation de cliaquenbsp;coordonn�e isol�ment; par cons�quent, la vai�iationnbsp;totale de (/Ti, in'), indiqu�e par la caract�ristiquenbsp;doit �tre �gale a la somme de ses variations partiellesnbsp;qui r�pondent a et cT/.

534. Tout ce qui pr�c�de �tantadmis, consid�-rons Ie point quelconque M, auquel est appliqu�e la force donn�e P. Ce point est li� aux autres par lesnbsp;Ills MM', MMquot;, etc.; il est done tir� ou pouss�, dansnbsp;Ie sens de chacun de ces fils, par une force �gale a lanbsp;contraction ou a la tension que ce lil �prouve; ennbsp;sorte qu�outre la force donn�e P, Ie point M est encore soumis a Paction d�autant d�autres forces qu�il ynbsp;a de fils aboutissant a ce point. Apres qu�on a eu �gardnbsp;a ces forces int�rieures, il faut faire abstraction des filsnbsp;qui Kent M aux autres points du sjsteme, et le consi-d�rer comme un point isol�, autour duquel les forcesnbsp;[m, ?�'], \rn, mquot;'], etc., et la force P, doivent se fairenbsp;�quilibre. Si M est un point fixe, il n�en r�sulteranbsp;aucune equation de condition; mais s�il est enti�re-ment libre, ou s�il est seulement assujetti a rester surnbsp;une surface ou sur un courbe donn�e, on aura enlrenbsp;ces forces P�quation des vitesses virtuelles, d�ja d�-montr�e pour P�quilibre d�un point mat�riel isol�.

�ifiuiment voisin de M, et appartenant a la surface OU a la courbe sur laquelle ce point M est astreint anbsp;demeurer, s�il nest pas enti�rement libre. Soientnbsp;p, t, t', f, etc. , les projections de MN sur les directions des forces P, \jn, 7�'], \in, 7n''], [m , mquot;^], etc.;nbsp;nous aiirons (n� Sg),

Mais, a cause que la ligne MN est infiniment petite, il est ais� de voir que sa projection sur la ligne MM'nbsp;n�est autre chose que la diffe'rence des deux distancesnbsp;MM' et NM'; car si l�on abaisse du point N (fig. 85)nbsp;la perpendiculaire NH sur MM', la droite MH seranbsp;cetle projection, et Ion aura

HM' = v/(NM')� � (NH)� = NM',

MH = MM' � NM'.

D�apr�s les notations convenues, cette equation est t = (S'! (m, ??i) ;nbsp;et l�on aura de ni�me

Pp-j- [/ra, /ra']. J'(m, /?/')-l-[/ra, nbsp;nbsp;nbsp;iii!')

En consid�rant les autres points M', Mquot;, M'quot;, etc., du sjst�me, on aura pour chacun d�eux une equation pareille a celle-ci; ces equations seront

p�, pquot;, p'quot;, etc., �tant les vitesses virtuelles de M', Mquot;, Mquot;', etc., projet�es sur les directions des forces donn�esnbsp;P', Pquot;, P'quot;, etc., qui agissent sur ces points mat�riels.

Ajoutons toutes ces equations: en obsei'vant que [m, m'] et {m, m') sont la m�me chose que lm', in\nbsp;et {m\ in), et de m�me pour toutes les notations sem-blables; et en substituant la variation totale de chaquenbsp;distance a la somme de ses variations partielles, nousnbsp;aurons

-\-\ni, mquot;] nbsp;nbsp;nbsp;mquot;) \m', m'quot;].nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m'quot;) etc.

355. Jusqu�iciles d�placemens MN, M'N', M�^N^ytC. (fig.82), sont inde'pendans entre eux; el l�e'quation (a)nbsp;suppose seulemcnt que ces points n�ont pas quitt� lesnbsp;surfaces oules courbes donn�es, sur lesquelles ils sontnbsp;obliges de rester; mais si nous supposons, en outre,nbsp;qu�en vertu de ces d�placemens, les points du syst�me

qui sont joints par une verge ou un fil tendu, ont conserve les m�mes distances respectives, nous aurons

Pp P'p' py py -f. etc. = o, (b)

Si dans les d�placemens des points M, M', Mquot;, etc., ceux qui sont des anneaux ont gliss� Ie long des filsnbsp;qui les traversent, l�equation (b) aura encore lieu,nbsp;pourvu que les longueurs totales de ces fils n�aientnbsp;pas vari�. Supposons, par exemple, que M est un an-neau qui a glisse' Ie long du fil M'MMquot;; alors on n�anbsp;plus s�par�mentnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� o et J'(m,TOquot;)=o,

puisque la longueur totale du fil reste constante. Mais, dans ce cas, les tensions \jn, m'] et [m, /nquot;]nbsp;des deux parties de ce fil sont �gales; les termes quinbsp;renferment ces tensions dans 1 equation (a) peuventnbsp;done s��crire aiusi :

En general, on concoit que si un fil flexible passe a travers un nombre quelconque d�anneaux, les tensions �gales de ses diff�rentes parties disparaitront de

1 equation (a) toutes les fois que la longueur totale ilc ce fil ne varlera pas.

1�. Que l��quation resultante du principe des \�i-tesses virtuelles a lieu pour tous les mouvemens in--finiment petits qu�on peut donner a un corps solide, llbre OU g�n� par des obstacles fixes; car dans tousnbsp;ces mouvemens les distances respectlves des points denbsp;ce corps sont invariables.

2�- Que cette equation a aussi lieu pour tous les mouvemens infiniment petits que peut prendre unnbsp;sjst�me de points ou d�anneaux lies par des filsnbsp;flexibles, pourvu que ces fils restent droits ou tendus. Quand cette condition n�est pas remplie, lesnbsp;tensions ne disparaissent pas toutes dans l��qua-tion (a), et, cons�quemment, l�e'quation (d) n�a plusnbsp;lieu.

356. 11 faut encore d�montrer que, r�ciproque-ment, quand l��quation (�) a lieu pour tous les mouvemens infininient petits qu�on peut faire prendre au sjst�me des points M, M', Mquot;, etc., les forces don-n�es P, P', Pquot;, etc., sont en �quilibre, ainsi que nousnbsp;l�avons �nonc� pr�c�demment (n� 331}.

Supposons pour un moment que l��quilibre n�ait pas lieu. Les points M, M', Mquot;, etc., ou une par-tie d�entre eux, se mettront en mouvement, et,nbsp;dans Ie premier moment, ils d�criront simultanc-ment des droites telles que MN, M'N', Mquot;Nquot;, etc. ;nbsp;on pourra done r�duire tous ces points au repos , en leur appliquant des forces convenables,nbsp;dirig�es suivant les prolongeraens de ces droites, en

sens contraire des mouvemens produitsj pai� cons�quent, si nous d�signons ces forces inconnues par R, R', Rquot;, etc., r�quillbre aura lieu entre les forces P,nbsp;P', Pquot;, etc., R, R', Rquot;, etc.; en sorte que r, r',nbsp;rquot;, etc., d�signant les vitesses virtuelles projet�es surnbsp;les directions de ces nouvelles forces R, R', Rquot;, etc.,nbsp;on aura, d�apr�s Ie principe des vitesses virtuelles quinbsp;vient d etre d�montr�,

Cette equation (c) existant pour tous les mouvemens infiniment petits compatibles avec les conditions du systeme des points M, M^, Mquot;, etc., nous pouvons choisir pour leurs vitesses virtuelles les espaces r�ellement d�crits MN, M'N', Mquot;Nquot;, etc., dansnbsp;un m�me instant; mais comme ces lignes sont comp-t�es sur les prolongemens des directions de R , R',nbsp;Rquot;, etc., il s�ensuit que toutes les projections r, r',nbsp;rquot;, etc., seront negatives fn� 351), et �gales, abstraction faite du signe, a ces m�mes lignes MN, M'N',nbsp;Mquot;Nquot;, etc. Alors, tous les termes de l��quation (c)nbsp;�tant de m�me signe, leur somme ne peut �tre nulle,nbsp;a moins que chaque terme ne soit se'par�ment �gal anbsp;z�ro ; on aura done

R.MN = o, R'.M'N' = o, Rquot;.MW=o, etc. Or, pour que Ie produit R. MN soit nul, il faut

qu on ait, ou R = o, ou MN = o; ce qui signifie , dans l�un et l�autre cas, que Ie point M ne peutnbsp;prendre aucun mouvement: il en est de m�me a l�e'-gard de tous les autres points; par cons�quent, Ienbsp;sjst�me entier est en �quilibre; et c�est ce que nousnbsp;nous proposions de d�monti�er.

537. Lorsqu�il sera question des fluides, nous fe-rons voir, en partant de leur propri�t� fondamentale, que Ie principe des vitesses virtuelles a aussi lieu dansnbsp;i��quilibre d�un syst�me de forces dont les actions senbsp;transmettent par l�interra�diaire d�un fluide contenunbsp;dans xm canal ou dans un vase de forme quelconque.nbsp;De cette manl�re, la demonstration du principe general de r�qullibre aura toute l��tendue que l�on peutnbsp;d�sirer; car les verges inflexibles, les fils tendus, lesnbsp;fluides contenus dans des canaux, sont les diff�rent esnbsp;sorles d�in term�diaires qu�on peut �tablir entre desnbsp;points mat�riels, s�par�s les uns des autres, pournbsp;transmettre l�actlon des forces de l�un de ces pointsnbsp;a un autre; et si d�ailleurs, parmi ces points, il y en anbsp;qui soient immobiles, d�autres parfaitement llbres, etnbsp;d�autres assujettis a rester sur des surfaces ou sur desnbsp;courbes donn�es, on aura Ie syst�me de points mat�riels Ie plus g�n�ral qu�on puisse avoir besoin de con-sld�rer. Toutefois, je vais donner une autre demonstration du m�me principe, que l�on doit a Lagrange,nbsp;et qui repose sur des notions plus el�mentaires quenbsp;la pr�c�dente; elle est fondee sur Ia possibilit� denbsp;remplacer toutes les forces appliqu�es a un syst�menbsp;quelconque de points mat�riels, par un seul poidsnbsp;agissant corame on va d�abord l�expliquer.

338. Si un point M ( fig. 84) est sollicit� par mie force P dirig�e suivant la droite MA, on peut d�abordnbsp;supposer que cette force soit appliqu�e au point A,nbsp;et agisse au mojen d�un cordon MA attach� a ce pointnbsp;M. On peut ensuite remplacer ce cordon par un fil quinbsp;s�enroule alternativenient sur une moufle fixe et surnbsp;une moufle mobile, et soit attach� par l�un de sesnbsp;deux bouts a Tune ou a l�autre de ces deux moufles;nbsp;celle qui est fixe r�pondant au point A, et celle quinbsp;est mobile au point M. En suspendant verticalemenfrnbsp;un poids K a lextr�mit� libre du fil, la tension seranbsp;�gale a K dans toute sa longueur. Si les dimensionsnbsp;des poulies sont regard�es comme infiniment petites,nbsp;les tensions de toutes les parties de ce fil, qui abou-tissent a la moufle mobile, auront la m�me direction ; en appelant i leur nombre, leur r�sultante seranbsp;�gale a iK, et agira sur Ie point M suivant la direction MA; par cons�quent, si l�on a �K = P, onnbsp;pourra remplacer Faction de la force P par celle dunbsp;poids K.

II en sera de m�me a l��gard des autres forces P', Pquot;, etc., appliqu�es a des points M', Mquot;, etc., suivantnbsp;des directionsM'A', Mquot;Aquot;, etc.; chacune d�elles pourranbsp;�tre remplac�e par un poids �gal a un sous-multipledenbsp;son intensit�, agissant comme on vient de Fexpliquernbsp;pour la force P. De plus, il est ais� de voir qu�onnbsp;pourra toujours faire passer successivement, commenbsp;Ie repr�sente la figure 85, un seul et m�me fil surnbsp;toutes les moufles fixes en A, A', Aquot;, etc., et surnbsp;toutes les moufles mobiles attach�es aux points M,nbsp;M', Mquot;, etc. Supposons done que i, i', �', etc., sontnbsp;1. 4^

En suspendant verticalement Ie poids K a l�extr�-mit� libre de ce fil , Ie sjst�me des forces donii�es P, P', Pquot;, etc., se trouvera reniplac� par ce seulnbsp;poids, dont faction sera transmise aux points M,nbsp;M', Mquot;, etc., par Tinterm�diaire de ce fil, et desnbsp;moufles fixes et mobiles. A la v�rit�, les equations (d)nbsp;supposent les forces P, P', P'', etc. , commensura-bles; mais cette hypothese est toujoui�s admissible,nbsp;puisque leur commune mesure K peut �tre un poidsnbsp;aussi petit qu�on voudra, et m�me infiniment petit, si cela est n�cessaire.

339. Concevons actuellement qu�on imprime aux points M, M', Mquot;, etc., un mouvement qui soitnbsp;compatible ayec les conditions du syst�me, ainsi quenbsp;Ie mouvement directement contraire; soient N,nbsp;N', Nquot;, etc., leurs positions apr�s un temps infiniment petit; et appelons, comme pr�c�demment, p,nbsp;p', pquot;, etc., les projections de MJN, M'N', Mquot;Nquot;, etc.,nbsp;sur les directions de P, P', Pquot;, etc., ou sur leursnbsp;prolongemens.

Le point N �tant projet� en a sur la droite MA , chacun des cordons qui vont de A a M sera rac-courci d�une quantit� AM � AN, pour laquelle onnbsp;pourra prendre Ma, en n�gligeant les infinimentnbsp;petits du second ordre; ce cordon serait, au contraire , allonge de Ma, si le point a tombait surnbsp;le prolongement de AM; d�o� 1�on conelut qu�a raison du d�placement de M, le poids K descendra

dans Ie premier cas, et montera dans Ie second, d�uae quantit� �gale au produit de Ma et de i � cenbsp;qui revienl a dire, d�apr�s Ie signe de p (n� 531), quenbsp;la variation positive ou negative de sa hauteur verticale sera exprim�e par ip, a raison de ce seul d�pla-cement. II en sera de m�me par rapport a tous les au-trespointsM', Mquot;, etc.; par cons�quent,si l�on d�signenbsp;par ^ une quantit� infiniment petite, qui repr�sente,nbsp;selon qu�elle sera positive ou negative, la quantit� totale dont Ie poids K descendra ou montera, par suitenbsp;des d�placemens simultan�s de tons les points du sjs-t�me, nous aui�ons

Or, Ie poids K tendant a descendre, et �tant la seule foi�ce qui agisse sur Ie sjsf�me, il est �videntnbsp;que rien ne Femp�chera de produire Ie mouvementnbsp;que nous consid�rons, si celte valeur de ^ est positive; et que, si elle est n�gative, rien n�emp�cheranbsp;Ie poids K de produire Ie mouvement directementnbsp;contraire, qu�on suppose �galement possible, et pournbsp;lequel ^ changera de signe. Pour que l��quilibre aitnbsp;lieu, il est done n�cessaire que f soit z�ro. R�cipro-quement, Ie poids K ne pouvant produire aucunnbsp;mouvement quelconqiie, sans descendre d�une quan-llt� infiniment petite dans Ie premier instant, il s�en-suit qu�il ii�en produira aucun, et que 1 equilibre auranbsp;lieu, si Ton a ^ �o, pour tous les d�placemens desnbsp;points M, M', Mquot;, etc., infiniment petits et compatibles avec les conditions du syst�me.

n�cessaire et sufEsante pour I�equilibre, et qu�on alt �gard aux equations [d), elle se changera dans l��qua-tion {b) du principe des vitesses virtuelles, qu�il s�a-gissait d�obtenir.

340. Cette demonstration ne suppose pas Ie principe prealablement d�montr� pour un point materiel isol�. Si Ie syst�me se r�duit a un seul point M au-quel sont appliqu�es les forces P, P', Pquot;, etc., don-n�es en grandeur et en direction, on substituera anbsp;leur. action simultan�e celle dun seul poids K,nbsp;comme dans Ie n� 358; et, dans Ie cas de l��quilibrenbsp;de ces forces, Ie principe des vitesses virtuelles se d�-duira de cette substitution par Ie raisonnement qu�onnbsp;vient de faire : or, ce principe fournlra imm�diate-ment les equations d��quilibre du point M, assujettinbsp;a rester sur une surface ou sur une courbe, ou en-ti�rement libre (n� 39). Dans ce dernier cas, en con-sld�rant Tune des forces donn�es comme �tant �galenbsp;et contraire a la r�sultante de toutes les autres, onnbsp;en d�duira les regies de leur composition et de leurnbsp;d�composition, et Ie th�or�me du parall�logrammenbsp;des forces. En appliquant ce principe a l��quilibre denbsp;trois forces parall�les, dont l�une est, par cons�quent , �gale et contraire a la r�sultante des deux autres, on en conclura �galement les r�gies de la composition et de la d�composition des forces parall�les.

On d�duit aussi, sans dilFicult�, du principe general des vitesses virtuelles, les equations d��quilibre

d�un corps solide euti�rement libre, que nous avons trouv�es d�une autre mani�re dans Ie n� 260.

En elFet, nous pouvons d�abord supposer que tous les points de ce corps de'crivent des droites �galesnbsp;entre elles et parall�les a l�un des axes des coordon-n�es. En appelant h la longueur de ces droites, et a,nbsp;a', aquot;, etc., les angles que leur direction communenbsp;fait avec celles des forces donn�es, nous aurons

pour les vitesses virtuelles des points M, M', Mquot;, etc., du corps solide, projet�es sur les directions des forcesnbsp;P, P', Pquot;, etc., appliqu�es a ces points; done, en subs-tituant ces valeurs dans l�e'quation [b), et supprimantnbsp;Ie facteur h, comme a tous les termes, on aura 1��-quation d��quilibre

En consideVant successivement les mouvemens du corps parall�lement aux deux au tres axes des coor-donn�es, on obtiendra de m�me les deux autres equations d��quilibre semblables a celle-la.

Nous pouvons aussi faire tourner ie corps autour de l�un des axes des coordonn�es. Pour former P�-quation qui correspondra a ce mouvement, je re-pr�senterai les coordonn�es des points M, M', M', etc.,nbsp;et les angles que font les directions des forces P, P',nbsp;Pquot;, etc., avec celles de ces coordonn�es, par les m�mesnbsp;lettres que dans Ie n� 260. En supposant que Ia rotation ait lieu autour de i�axe des z, chacun de cesnbsp;points dccrira un are de eerde parall�lc au plan des

oc etj, qui aura pour rayon la perpendiculaire abais-se'e de ee point sur eet axe. De plus, par la nature du corps solide, Tangle d�crit par cette perpendiculairenbsp;sera Ie m�me pour tons ses points. Si done on Ie suppose inliniment petit, qti�on le designe par co, et parnbsp;r, r', rquot;, etc., ies distances des points M, M', Mquot;, etc.,nbsp;a Taxe des z, on aura rce,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rquot;/�, etc., pour leurs

vitesses virtuelles; et en appelant aussi lt;�, cT', S'quot;, etc., les angles aigus on obtus que font les directions denbsp;ces vitesses avec celles des forces P, P , P'^, etc., ilnbsp;en resultei'a

pour les projections de ces raemes vitesses sur les directions de ces forces on sur leurs prolongemens.

Soient, en outre, a,h,c, les angles compris entre la direction de la vitesse rco et des paralleles aux axesnbsp;des X ,j, z, menees par le point M; les memes angles relatifs a la direction de la force P �tant a, ^nbsp;on aura

raais a cause que la vitesse no est tangente en M, au eerde du rayon r qui a son centre dans Taxe des z,nbsp;il est aise de voir qu�on a

p' = dtz (,r' cos �' � j- cos ci.')cD, p' := rt: {jcquot; cos �quot; � y cos aquot;) agt;,nbsp;etc.

Les sigaes d�pendront du sens de la rotation; et 1�on devra prendre, a la fois , les signes sup�rieurs ou lesnbsp;signes inf�rieurs dans toutes ces valeurs : en les subs-tituant done dans l��quatlon (i) et suppi-imant Ie facteurnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;commun a tous les termes, nous aurons

Celte �quation d��qullibre est celle des momens par rapport a l�axe des z, autour duquel Ie mouvement a eu lieu; on obtiendra de la m�me mani�renbsp;les �quafions des momens par rapport aux axes desnbsp;a: et des^, en faisant tourner successivement Ie corpsnbsp;solide autour de ces deux droifes.

341. On peut donner a l��quation (�), une forme diff�rente qui en rendra les applications plus faciles.

Pour cela, soient z, les coordonn�es du point M dans sa position d��quilibre ; a? efx,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- dy ,

z-^ J^z, ce qu�elles deviennent quand on transporte ce point mat�riel dans une position N infiniment voi-sine; X, Y, Z, les composantes de la force P suivantnbsp;les prolongemens des .xquot;, z, dans Ie sens positifjnbsp;ces quanllt�s infiniment petltes cTa?, dy, d'z, serontnbsp;les projections de la vltesse virluelle MN sur les directions de X, Y, Z ; etp �tant toujours sa projection �urnbsp;la direction de P, on aura (n� 331)

Pp = Xdbr Ydl;r ZcTzw

En d�signant par les ni�mes lettres avec des accens, les quantit�s analogues qui r�pondent aux points M',nbsp;Mquot;, etc., on aura aussi

p'p' = X'cTor' 4- Y'jy' 4- Z'cTz', py =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-

la somme 2 s��tendant a tons les points M, M', Mquot;, etc., du syst�me, et se composant, par cons�quent, d�un nombre de parties semblables, �gal anbsp;celui de ces points. De cette mani�re, 1��quation (�)nbsp;prendra la forme :

Or, quelle que soit la liaison des points du syst�me, on peut toujours l�exprimer par une ou plusieursnbsp;equations entre leurs coordonn�es. Soient done L,nbsp;L', Lquot;, etc., des fonctions donn�es de j?, jr, z, x',nbsp;y, etc., OU d�une partie de ces coordonn�es; et sup-posons que ces �quations soient

Les d�placemeris simultan�s de tous les points du syst�me devant �tre compatibles ayec les conditionsnbsp;auxquelles il est assujetti, il faudra que les coordonn�es X,J, z,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., deM, M', Mquot;, etc., et les

de N, N', Nquot;, etc., satisfassent successiveraent a ces equations ; par cons�quent, en n�gligeant les infinx-ment petits du second ordre, nous aui'ons

dV . nbsp;nbsp;nbsp;, dl!' .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dLquot; .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dLquot; r, , . ,

Si l�on change en m�me temps Ie sens des d�place-mens de tous les points du syst�me, les signes de cTa?, ciy, S'z, S'x', etc., changeront tous a lafois, etnbsp;ces equations seront encore satisfaites; en sorte quenbsp;Ie mouvement infiniment petit auquel elles r�pon-dront, et Ie mouvement dii�ectement conti�aire, sontnbsp;�galement compatibles avec les conditions donn�es,nbsp;comme Ie suppose implicitement T�nonc� du principe des vitesses virtuelles (nquot; 55i).

Cela pos�, au moyen de ces �quations (g), on �li-minera, dans chaque cas, de l��quation (e), un nombre des quantit�s cTx, �'j, cTz, (S'x', etc., �gal a celui des �quations (�); celles de ces quantit�s qui res-teront ensuite dans Ie premier membre de l��quationnbsp;(e), seront ind�pendantes entre elles; on devra donenbsp;�galer s�par�ment leurs coefficiens a z�ro; ce qui four-nira toutes les �quations d��quilibre du syst�me, dontnbsp;Ie nombre sera �gal a trois fois celui des points mat�-riels M, M', Mquot;, etc., moins Ie nombre des �quationsnbsp;(/).Loi'sque les positions de ces points, c�est-a-dire,nbsp;les valeurs de leurs coordonu�es x, /, z, x', etc.,

seront donn�es, il faudra que les composantes des forces P, P', P'', etc., satisfassent a ces equationsnbsp;d��quilibre; quand, au contraire, on donnera cesnbsp;forces en grandeur et en direction, et que les positions des points du sjst�me seront inconnues, cesnbsp;m�mes equations, jointes aux equations (�), servi-ront a determiner toutes leurs coordonn�es.

542. Les equations (e) et (g-) �tant lin�aires par rapport a lx, J'z, J'x', etc. , T�liminationnbsp;d�une partie de ces quantite's pourra se faire, d�apr�snbsp;la m�thode connue, en ajoutant ces equations apr�snbsp;avoir multipli� les equations (g) par des facteurs ind�-termin�s, et en �galant a z�ro, dans cette somme, lesnbsp;coefficiens de celles des quantit�s J^x, Jy, J'z,nbsp;J'x', etc., qu�on voudra �liminer. Les coefficiens desnbsp;quantit�s restantes devant ensuite �tre aussi �gaux anbsp;z�ro, il s�ensuit qu�on devra �galer a z�ro les coefficiens de toutes les quantit�s J'x, Jy, Jz, Jx', etc.,nbsp;indistinctement, dans la somme dont il s�agit; d�o� ilnbsp;i-�sultera un nombre d��quations �gal a celui des coordonn�es, entre lesqueiles il restera, dans chaque cas,nbsp;a �liminer les facteurs ind�termin�s, pour avoir lesnbsp;�quations d��quilibre du syst�me.

En d�signant par A, A', Aquot;, etc., les facteurs par lesquels on multipliera les �quations (g), on aura,nbsp;par ce proc�d�,nbsp;dL

pour les equations provenant des coefficiens de cTa:, jy, cTz 5 on aura de m�me

pour celles qui proviennent des coefficiens de J'a.'', Jy, J'z'; et ainsi de suite.

Au lieu d��liminer simplement A, A', Aquot;, etc., on pourra tirer de ces equations les valeurs de ces in-connues; nous allons expliquer comment on en d�-duira ensuite, en grandeur et en direction , les forcesnbsp;provenant de la liaison des points du syst�me, quinbsp;agissent sur tous ces points et font �quilibre auxnbsp;forces donne'es P, P', Pquot;, etc. La de'termination denbsp;ces forces inconnues est une partie importante dunbsp;probl�me de l��quilibre, dont la solution complete etnbsp;g�n�rale se trouvera ainsi comprise dans l�ensemblenbsp;des �quations (�), {h), {h'), etc.

545. Si l�on suppose que tous les points du syst�me, moins Ie point M, soient rendus fixes, lequilibre nenbsp;sera pas trouble'. En vertu de Fe'quation L = o, Ienbsp;point M sera alors astreint a se mouvoir sur la surface dontL = o est l��quation, et dans laquelle lesnbsp;coordonn�es o?, j-, z, seront seules variables. Or, ennbsp;d�signant par ut, la r�sistance de cette surface, laquellenbsp;sera dirig�e suivant xine des deux parties de la normalenbsp;en M, on pourra remplacer cette sui'face, ou l��qua-

tion de condition L=:o, par cette force inconnue. De m�me, on pourra remplacer L'=o par unenbsp;force normale a la surface qui r�pond a cette equation ; Lquot; = o par une force normale a la surfacenbsp;correspondante; et ainsi de suite. Done, en joignantnbsp;a la force donn�e P, ou a ses composantes X, Y, Z,nbsp;ces forces normales ^, ^4,^, etc. , on pourra en-suite considerer Ie point M comme enti�rement librenbsp;et isol�. Par cons�quent, si 1�on d�signe par a,b, c,nbsp;les angles que fait la direction de la force fJt. avecnbsp;des parall�les aux axes des cc,j, z, men�es par Ienbsp;point M; par a,, b^, c^, les m�mes angles relatifs anbsp;la force jtA,; et ainsi de suite, nous aurons

Y � � JU. cos nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�a etc.=o ,

pour les trois equations d��quilibre du point M. De plus, si l�on fait, pour abr�ger,

*' = \/(�) (^) � ^

I dh' nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I aonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

cos nbsp;nbsp;nbsp;coso,= - T�, cosc,=-^ ,

* v,dx � nbsp;nbsp;nbsp;yi dj �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11^ dz �

I dV nbsp;nbsp;nbsp;jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I dLquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dLquot;

COS - -T- , cos Oa = - J-, cos --^ ,

quot;� y.dx^ nbsp;nbsp;nbsp;y, dj�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ v^dz�

etc. ;

Or, en les comparant aux trois equations (g^) avec lesquelles elles doivent �tre identiques, on en con-clut

Ainsi, par rapport au point M, les forces prove-nant de sa liaison a vec d�autres points du syst�me, sont exprim�es par les produits rA, v,A', v^Aquot;, etc.; cesnbsp;forces devant �tre des quantit�s positives, on don~nbsp;nera aux radicaux v, r,, etc., les m�mes signesnbsp;qu�aux quantit�s A, A', Aquot;, etc., et leurs directionsnbsp;seront compl�ternentd�termin�esparles�quations(i}.

provenant de la liaison du syst�me, qui agissent sur Ie point M' et sont normales aux diff�rentes surfaces

sur lesquelles il est oblige de se mouvoir, quand tous les autres points M, Mquot;, M'quot;, etc., sont rendusnbsp;fixes, on trouvera pareillement

j (�j

On obtiendra de ni�me les expressions des forces relatives aux points Mquot;, Mquot;', etc.

de sorte qu�elles sont entre elles comme les quantite's ret /. Lors done que deux points materiels MelM'nbsp;sont lies entre eux, et, si Ton veut, a d�autres pointsnbsp;en nombre quelconque, par une equation L = o,nbsp;il en resulte, dans I�etat d�equilibre, des forces/* etnbsp;jjtJ appliquees a M et M', dont les grandeurs sontnbsp;entre elles comme v et v', et qui font ayec les axesnbsp;des coordonnees , des angles dont les cosinus sontnbsp;pour la force /*, et

pour la force f/J. Le sens et la grandeur de ces forces depend du signe et de la grandeur d�une quantile A quinbsp;se deduit, dans chaque cas, des equations d�equilibre.

La consideration des surfaces sur lesquelles chacun des points d�un sjst�me conserve la liberte de senbsp;mouvoir, lorsque tous les autres sont supposes fixes,nbsp;determine les directions norniales des forces provenantnbsp;de la liaison de ces mobiles, pour chacune des equations par lesquelles cette liaison est exprimee(n� ago);nbsp;mais on n�en peut conclure aucun rapport entre lesnbsp;forces relatives a deux points materiels lies par unenbsp;m�rae equation; et c�est le principe des vitesses vir-tuelles, ou les equations (Ji), (/7), etc., qu�on en anbsp;de'duites, qui fait connaifre ce rapport a priori, dansnbsp;le cas de r�quilibre.

345. Pour donner une application de ces formules, reprenons lexemple du polygone funiculaire quenbsp;nous avons d�ja consid�r� dans le � P�� du cha-pitre pr�c�dent; et supposons que les points materiels M, M', Mquot;, etc. , soient les sommets successifsnbsp;de ce polygone.

Si Ton appelle I, V, V, etc., les longueurs donnees des cotes MM', M'Mquot;, Mquot;M'quot;, etc., les equations (�),nbsp;seront, dans ce cas,

et toutes les autres differences partielles de L, L', Lquot;, etc., qui entrent dans les formules pr�c�dentes, se-ront �gales a ze'ro.

o� l�on prendra les signes supe'rieurs ou infe'rieurs, selon que la valeur de A sera positive ou negative.nbsp;On conclut de la et des equations pr�c�dentes, que lesnbsp;points M et M' seront sollici l�s par des forces �gales etnbsp;contraires, dirig�es suivant la droite MM' ou suivantnbsp;ses prolongcmens, et dontla quantit� A, abstractionnbsp;faite du signe, sera la grandeur commune. II en seranbsp;de m�me a l��gard des points M' et Mquot;, Mquot;etMquot;', etc.;nbsp;en sorte que dans T�tat d��quilibre, les quantit�s A,nbsp;A', Aquot;, etc., exprimeront les contractions ou les tensions des c�t�s successifs MM', M'Mquot;, Mquot;M'quot;, etc.nbsp;Commeonaura, d�apr�s les �quations (/),

et qu on devra prendre les signes sup�rieurs ou inf�rieurs, selon que la valeur de A sera positive ou n�-gative, on en conclut, par exemple, que la forceap-

pliqu�e au point M sei�a dirig�e de M vers M', et ex-primera une contraction du c�t� MM', quand cette valeur sera negative, et que cette force agira dans Ienbsp;sens oppose et exprimera une tension, lorsque la valeur de A sera positive. L�un ou l�autre de ces deuxnbsp;cas sera possible, si les c�t�s du polygone sont desnbsp;verges inflexibles, jointes par des charni�res; et Ienbsp;second cas pourra seul avoir lieu, si les c�t�s sontnbsp;des fils flexibles.

z =

X'H-Y'

Z' nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- �r�

a' {x''�x') Aquot;(a:'quot;�a:quot;)

Yquot;

Les trois premi�res montrent que la tension A sera la r�sultante des forces X, Y, Z. En les ajoutant aux

ce qui fait voir que la tension A' sera la r�sultante de X', Y', Z', ef des forces X, Y, Z, transport�es aunbsp;point M', parall�leraent a elles-m�mes. En continuant de m�me, on aura pour la tension d un c�t�nbsp;quelconque la menie valeur que dans Ie n� 287.

Le nombre des sommets M, M', Mquot;, etc., �tant d�sign� par n, celui des equations pr�c�dentes seranbsp;3�, et celui des tensions A, A', Aquot;, etc., �gal anbsp;n � I. En �liminant ces quantit�s, on aura donenbsp;�}.n I equations d��quilibre , lesquelles, jointes auxnbsp;n � I longueurs donn�es l, l', �', etc., des c�l�s dunbsp;polygone, suffiront pour determiner les 3ra coordon-n�es de ses sommets, et, par cons�quent, sa figurenbsp;d��quilibre. Mais ce calcul n�aurait aucune utilit�; etnbsp;il vaut mieux, comme nous l�avons fait dans lenbsp;n� 286, tracer successivement les c�t�s du polygone funiculaire, d�apr�s les grandeurs et les directions donn�es qui agissent a ses dif��rens sommets.

346. Da�s le cas d�un syst�me quelconque de points mal�riels M, M', Mquot;, etc., si les forces donn�es, qui sont appliqu�es a ces points, proviennent denbsp;leurs attractions ou r�pulsions mutuelles, et de forcesnbsp;semblabies qui �manent d�un ou plusieurs centres,

(p d�signant une foaction dono�e des coordonn�es de M, M', Mquot;, etc., d�pendante de la loi de ces forcesnbsp;par rapport aux distances.

En effet, a l��gard des forces provenant des centres fixes, cela r�sulte de ce qu�on a vu dans Ie n� i58.nbsp;Supposons, en outre, que U exprime faction mu-tuelle de M et M', qui sera attractive, pour fixernbsp;les idees. Soit aussi u leur distance muluelle, denbsp;sorte que U soit une function donn�e de �, et qu�onnbsp;ait

u' = y � xY {j' � jY ~~

Les cosinus des angles que fait la droite MM' avec des droites men�es par Ie point M, suivant les directionsnbsp;des 3C,j, z, positives, seront

en les multi pliant par U, on aura les composantes de cette force appliqu�e au point M et dirig�e suivantnbsp;MM'. Celles de la m�me force U, appliqu�e au pointnbsp;M' suivant la direction M'M, seront �gales et con-traires; et de la on conclut

pour la partie de la somme 2 qui pi�ovient de faction et de la reaction de M etM'. Or, en difl�rentiant la valeur de on a

ce qui r�duit la quantit� pr�c�dente a � Mdu, c�est-a-dire, a la di�erentielle d�une fonction de u, II en sera de m�me pour les parties de la somme 2 provenautnbsp;des actions mutuelles des autres points du sjst�me;nbsp;par conse'quent, sa valeur enti�re se coaiposera denbsp;terraes qui seront tous des difl�renlielles exactes, etnbsp;cette valeur sera aussi la differentielle d�une fonctionnbsp;donn�e des coordonn�es de tous ces points.

En vertu de l��quation (e), cetle fonction, que nous repr�sentons par lt;p, sera un maximum ou unnbsp;minimum, relativement aux valeurs des coordonn�esnbsp;qui r�pondent a une position d��quilibre du sjst�me;nbsp;et, r�ciproquement, si l�ou determine Ie maximumnbsp;ou Ie minimum de la fonction ip, en ajant �gard auxnbsp;equations (�) qui peuvent �tre donn�es entre lesnbsp;coordonn�es, les valeurs qu�on obtiendra pour ces variables r�pondront a des positions d��quilibre.

Onconclutde la que quandle sjst�me des points M, etc.,esten mouvement, de sorte que leurscoordonn�es , et, par suite, la quantit� (p, soient des fonc-tions du temps, cette fonction lt;p atteindra son maximum ou son minimum, toutes les fois que Ie sjst�menbsp;passera dans une position o� il resteralt en �quilibre,nbsp;si les points qui Ie composent n�avaient pas de vitessesnbsp;acquises.

347. 11J aura entre Ie maximum et Ie minimum de la quantit� cp une difference essenlielle, a laquelle ilnbsp;imporle d�avoir �gard, et que nous allons expliquer.

t�me de corps est ^toiZe_,lorsqu�en �cartant un tant soit peu ces mobiles de leurs positions, ils tendent a y re-venir, en faisant de petites oscillations que les fi�Otte-mens et les resistances des milieux finissent toujoursnbsp;par �teindre ou rendi�e insensibles.L�equilibre est nonnbsp;stable OU instantan�, lorsque Ie corps ou Ie syst�menbsp;de corps qui est dans eet �tat, tend de plus en plus anbsp;s�en eloigner, et linit par chavirer, d�s qu�on l�en anbsp;un peu �cart�. En ne supposant aucun frottement quinbsp;puisse, jusqu�a un certain point, retenir les corps dansnbsp;leurs positions, ce second �tat d��quilibre est un casnbsp;purement math�matique, qu�on ne saurait jamais observer, puisque la moindre force perturbatrice suffi-rait pour Ie d�truire.

Cela pos�, les �quations fournies par Ie principe des vitesses virtuelles, ou, ce qui est la m�me chose,nbsp;par la condition du maximum ou du minimum de lanbsp;fonction lt;p, sont communes a ces deux �tats; mals Ienbsp;maximum convient a la stabillt�, et Ie minimum anbsp;l��quilibre instantan�; et c�est, en efFet, ce que nousnbsp;ferons voir dans un autre chapitre, o� nous consid�-rerons la nature du mouvement qui a lieu lorsqu�unnbsp;syst�me de points mat�riels a �t� tres peu �cart� dunnbsp;�tat d��quilibre quelconque. En attendant, nous aliens donner des exemples de ces deux �tats d equi-llbre dans Ie cas d un syst�me de corps pesans, et fairenbsp;connaitre d�abord une propri�t� de son centre de gra-vit�.

348. Supposons done que la pesanteur soit la seule force appliqu�e aux points M, M', Mquot;, etc., lesquelsnbsp;seront les centres de gravit� de coi�ps dont nous

prenant la pesanteur verticale et dirig�e dans Ie sens de cette force, nous aurons

Mais en appelant H la sommedes poids (b-, lt;ar', (bquot;, etc., et z, l�ordonn�e de leur centre de gravit�, verticale etnbsp;dirig�e dans Ie sens de la pesanteur, on a aussi (n� 64)

d(p = rifife,, cp = c riz,;

Or, on conclut de Ia, 1�. que Tordonn�e z, est la quantit� qui devra �tre un maximum ou un minimum,nbsp;lorsque Ie sjst�me sera en �quilibre, et r�ciproque-nient; a�. que Ie maximum Ae z, r�pondra au cas denbsp;l��quilibre stable, et son minimum au cas de l��qui-libre instantan�.

Ainsi, la condition d��quilibre d�un syst�me quel-conque de corps pesans, consiste en ce que ie centre de gravit� du sjst�me entier soit Ie plus bas ou Ie plusnbsp;haut possible; Ie plus bas quand l��quilibre est stable,nbsp;et le*plus haut quand il n est qu�instantan�.

54g. D�apr�s ce th�or�me, si une chaine pesante , attach�e par ses deux bouts a des points fixes, est en

�quilibre, son centre de gravitc' sera Ie plus bas possible; ce qui s�accorde avec Ie r�sultat du n� 2g6.

Si un point materiel pesant est pos� sur une courbe, et qu�en plusieurs points la tangente soit horizontale,nbsp;Tordonn�e verticale du mobile, compt�e dans Ie sensnbsp;de la pesanteur, sera un maximum dans ceux de cesnbsp;points oil la courbe est concave par en haut, et un minimum dans ceux o� elle tourne sa concavit� par ennbsp;bas; par cons�quent, les premiers seront des positions d��quilibre stable, et les derniers des positionsnbsp;d��quilibre instantan�.

Si Ton pose un ellipso�de homogene et pesant, sur un plan fixe horizontal, son centre de gravit�, ounbsp;de figure, sera Ie plus bas possible lorsque 1�ellipso�denbsp;touchera Ie plan fixe par l�une des deux extr�rnil�snbsp;du plus petit de ses trois axes; et alors Fequilibre seranbsp;stable. Quand il Ie touchera par Tune des extr�mit�snbsp;du plus grand de ses trois axes, son centre de gravit�nbsp;sera Ie plus haut possible; et Tequilibre ne sei�a qu�ins-tantan�. Enfin, si Ie point de contact est une extr�-mit� de Faxe moyen, F�l�vation du centre de gravit�nbsp;sera un minimum pour une partie des sections dunbsp;corps, et un maximum pour les auti'es sections; parnbsp;cons�quent, 1 equilibre sera stable ou non stable, se-lon que les d�placemens auront lieu dans Ie sens desnbsp;premi�res sections ou dans Ie sens des derni�res. Toutnbsp;cela �tant �vident, a priori, peut servir de v�rifica-tion au th�or�me du num�ro pr�c�dent.

Supposons encore qu�on ait vers� dans un vase deux liquides homog�nes et pesans. Si la surfacenbsp;de separation et celle qui termine Ie liquide sup�-

rieur sont toutes deux horizontales, et que ce liquide soit celui qui a la moindre densit�, Ie centre de gravit� de ces deux liquides sera Ie plus bas possible ; car il est ais� de voir qu�en inclinant ou cour-bant Tune ou l�autre des deux surfaces, on �leveranbsp;toujours Ie centre de gravit� du sjsl�nie. Ces deuxnbsp;surfaces �tant toujours horizontales, si Ie liquide Ienbsp;moins dense est au-dessous de l�autre, on verra denbsp;m�me que Ie centre de gravit� du syst�me sera Ienbsp;plus haut possible. Par cons�quent, pour lequilibrenbsp;de deux liquides superpos�s, il est n�cessaire et ilnbsp;suffit que chacun d eux soit termin� par un plannbsp;horizontal; mais, pour la stabilit�, il faut, de plus,nbsp;que ce soit Ie liquide Ie plus dense qui occupe lanbsp;partie inf�rieure du vase. Quand la diflerence desnbsp;deux densit�s est peu consid�rable, il est possible,nbsp;avec beaucoup de pr�caution, de faire surnager Ienbsp;liquide Ie plus dense; mais eet �quilibre non stablenbsp;ne peut se maintenir assez de temps, pour �tre ob-serv�, qu�a raison du frottement des deux liquidesnbsp;contre les parois du vase.

dL	X � x'	d\I	_ dh�	__x' � x�	etc..
dx'	l gt;	dx'	~~ nbsp;nbsp;nbsp;dxquot;	� l' *	etc..
dh		dh'	dh�	_y�y'	etc..
dj�	1 gt;	dj'	djquot;	i� �	etc..
dh	_z � z'	dh�	dh�	z' �� zquot;	etc.;
dz	l �	dz	dd'	l� �	etc.;

M�CANIQUE

PAR S. D. POISSOIV,

TOME PREMIER.

PARIS,

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE,

Utree

AVERTISSEMENT.

TABLE DES MATI�RES

CONTENUES DANS LE PREMIER VOLUME,

INTRODUCTION.

a..

TABLE DES MATI�RES.

LITRE PREMIER.

STATIQUE,

CHAPITRE P*'. De la composition et de V�quilibre des forces applique'es a un m�me point, page 4^

ti nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

CHAPITRE II. De V�quilibre du levier, page 72

CHAPITRE III. De la composition et de V�quilibre des forces parall�lesjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^g� 90

TABLE DES MATI�RES.

CHAPITRE AI. Calcul de Vattraction des corpSj

page 169

�ij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

page 237

CHAPITRE III. Du mouvement curviligne, page 263

TABLE DES MATI�RES.

page 337

TABLE DES MATI�RES.

CHAPITRE VI. Exemples du mouvement dun mobile enti�reinent libre ^ nbsp;nbsp;nbsp;696

b..

TABLE DES MATI�RES.

table des mati�res.

liyke troisi�me.

STATIQUE,

page 497

TABLE DES MATI�RES.

TABLE DES MATI�RES. nbsp;nbsp;nbsp;xxvij

page 654

XXX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

Errata.

2-3^, nbsp;nbsp;nbsp;6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lisez �T�

DE M�CANIQUE

INTRODUCTION.

AMD = a, BMD = ^, CMD = 7.;

= (x' � xY {y � yY nbsp;nbsp;nbsp;� ^)* �

'�. j fxdx

(� by nbsp;nbsp;nbsp;(a by

r�Y-

\a -j- b) ^ ce qui prouve que le coefficient de sin* | cT ne peutnbsp;pas devenir infini, puisqu�il est toujours moindrenbsp;que I�unite. En negligeant I�infiniment petit du second ordre, on aura done I�unite pour le rapport denbsp;c k a b ; ce qu�il s�agissait de demontrer.

cos a d. cos a-f-cos ^ . cos ^ cos c/. cos )/ = o,

d. cos � = nbsp;nbsp;nbsp;{dxd^j�djd*x) ^ {dzd'j�djd^z),

c?. cos y = � {dxd�^z�dzd^x) nbsp;nbsp;nbsp;{djd�z�dzdy); �'

P=-----7.

{x' � x) (dxdy � djd^x) = {z' � z) (djd'^z�dzdy) � ds'^dj, {y�J) (djd?-x �dxdy) �= (z'�z) [dxd^z � dzd^x) � ds^dx;

^,cosb=Y^,cosc = y^^,

hl',.

* vi� 7��'�7�quot;'

LITRE PREMIER.

STATiaUE,

PREMI�RE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

R=/(P,x).

Q'~Qlt;p

R* = P* 4- F� 4- Pquot;� 4- etc.

v=�[a)' (f)� 0T-

CHAPITRE II.

1 equilibre,

Pp = Q^.

Q9 = Pp � P'p';

qq = Vp py, q'9' = qq Py,

= Vp -j- py 4- py.

6..

Pp 4- py y py ^ py ~ p-p- � etc.

Plt;^-l-PW'-t-PVquot; = o; (4)

y_

il

= p0.

Pp_py_py = o;

CHAPITRE III.

Rj:?, = Tjc 4- nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- etc., \

axquot;bjquot;-]r c,