DISPÜTATIO MATHEMATICA INAUGURALIS

DE

PONTIÜM LAPIDEORüM FORMA ET MENSURIS EX AEQÜILIBRII DOCTRINA DETERMINANDIS.

Vo

DISPÜTATIO MATHEMATICA INAUGÜRALIS

DE

PONTIÜM LAPIDEORUM FORMA ET MENSÜRIS EX AEQÜILIBRII DOCTRINA DETERMINANDIS,

Q U AM ,

ANNUENTE SUMMO NUMINE,

EX AlICTORITATE RECTORIS MAGNIFICI

CORNELll ADRIANI VAN ENSCHUT,

JuR. Utr. Doct. et JtjR. Prof. Ordin.

AMPLISSIMIQUE SENATES ACADEMICI CONSENSU, ET NOBILISSIMI ORDINIS MATHESEOS AC PHILOSOPHIAE NATURALIS DECRETO,

PRO GRADU MAGISTERII ET DOCTORATÜS

SUMMISQUE IN MATHESI ET PHILOSOPHIA NATURALI

HONORIBUS AC PRIVILEGES

IN ACADEMIA RHENO-TRAJECTINA

RITE ET LEGITIME CONSEQÜENDIS

PUBLICO ET SOLEMNI EXAMINI SUBMITTIT

GÜLIELMÜS WENCKERACH,

H A G A N U S.

AD DIEM 28 MaJI 1830, HORA 12.

AMSTELODAMI,

A P u D C. G. S U L P K E. 1830.

«IJ/.fFIOJAKÏ ADlTARaHTAM pITAT'jq^^^

aa .

Y3 ^immmn Ta amhot HiTOoaöma mn^Am .83agt;5A/[iif[aaTOü mmTooü ^'MifiJiupaA

^ .'AVAlfiUVl 0!#[lf[lJ8 aTKaUV^WA

LDiïira/K ai^ïuraaa aïATia- . J.'. /a

gt;TAv iii^Aiï.HCIA

iou/'Mcïaüa rtji vijib

Ot rqii'ïfl aiJA/ItfTATlATAI:ï-I'ï::OJIa‘I :)AA .HAJIT^ ' tilAiaiO

8UTAfi(rmCfl ï! : :TJ

MA/f'-T/.; nbsp;nbsp;nbsp;• üï'I08iAJA

- xi, j i ........, ,,-, . nbsp;nbsp;nbsp;. „

. .. nbsp;nbsp;nbsp;?noa-ï7L.a DA^T^Tl/fOT'^' -'

TiiTiKuua iaiij!az:. Ja nbsp;nbsp;nbsp;Ta ooijuuq

'*:;i.a:s.:a3.^sw 8UMr.ï3;i.iiïo.

ö ^3 A k ö k H

..£1 A iOH ^0£8I ilAk- 82 IA iU OA nbsp;nbsp;nbsp;•'

.ÏMAÜO JaT8MA

.a a‘I j u fei .0 nbsp;nbsp;nbsp;.0 rt ’j i A

.08 81

^^Agt;m^v»v^xvv^vv^^\\vvvvv»^vl^vvvvlvnvv^vvtvv^^^vvvl^^l/vv\^^^vvvvv^vv^vvvwt^^vvv^'VVvv^^v^vvvvla^vv^^^vvvlv^vvvvvvvvvv^/vwvvvvvvm^'v^^'taa‘l(vv

(j^uadriennio post relictam Academiam dissertationem iu lacem emittens, cur tam sero prodeat, paucis monendum arbitror. Exeunte enim anno 1825, peractonbsp;studiorum cursu, ad summos in disciplinis Physicis honores capessendos admissus,nbsp;statim ad dissertationem scribendam animum adverti j sed vix initio facto accidit,nbsp;ut Matheseos et Artis Nauticae in Schola Regiéi Militari, quae Delphis erat, Lectornbsp;crearer; cujus munerls officium tantum temporis absumebat, ut non nisi subsecivasnbsp;boras dissertationi tribuere possem. Biennium Delphis commoratus , Astronomiae Nau-ticae docendae provinciam cum alia mutare debui. Nam, instituta Bredae Academianbsp;Regia Militari, ad Mathesin docendam eo evocatus, primo anno scholas de Galculonbsp;Difleiexitiai: et integrali habei’C dcbui, (juibus deinceps aliae de Statica et DynamicS.nbsp;adjungendae erant. In quibus et habendis et praeparandis ut multam temporis ponen-dum erat, ita alia etiam causa dissertationi absolvendae moram afferebat, Quod enimnbsp;omnino fieri solet, ut, diu eandem rem meditantes, et aliorum de ea opiniones col-ligentes, facile sententiam mutemus, id mihi eo magis accidere debuit, quo majornbsp;esset auctorum, quos subinde consulerem, discrepantia. Quae. quidem tanta fuit, utnbsp;diu dubius haererem, qui tandem ratione argumentum tractarem. Ea autem, quamnbsp;secutus sum, an bona sit, judicium esto penes lectorem.

Alterum praefationis officium, idque jucundissimum , me jubet gratum meum ani-mum in praeceptores, quos turn in Alhenaeo Daventriensi, turn in Rheno-Trajectin^ Academia nancisci mibi contigit praestanlissimos, palam testificari. Quorum omniumnbsp;tanta in me exstiterunt turn amicitiae turn institutionis beneficia, ut dulcissima mihinbsp;semper futura sit eorum recordatio.

Nominatim autem Tu hoc loco mibi es compellandus, Glar. Nieuwenhusi ! qui me, in luam scbolam tuamque domum receptum, turn egregiis tuis lectionibus, turnnbsp;yero praecipue sermonibus familiaribus, continuo tanta opinione de disciplinarum

Physicarum praestantia imbuisti, ut, dubius ante culnam disciplinae me traderem, mox in hisce ponere vitae tabernacula decreverim. Quo semel suscepto consilionbsp;omnis deinde dies id effecit, ut magis magisque sentirem quantum tibi deberem ejusnbsp;consilii auctori, utque post bienniünf,quot; in tui doino tiiaque familiaritate felicissimenbsp;peractum, maximo animi dolore a te discederem.

Verum enimvero a praestantissimo magistro discedenti felicissimum accidit, alios continuo nancisci praeceptores, omni mea laude longe superiores, vos inprimis,nbsp;GlarissimI Molli, Schrödere et Heusdi. Vos scientiae amorem in me et aluistis,nbsp;et ad earn ardoris vehementiam perduxistis,/ut nullo unquam die ant minui autnbsp;exstingui possit: vos mihi et viam monstrastis, et .vosmet ipsos duces comitesquenbsp;praebuistis, atque me praeceptis monitisque egregiis benigne semper juvastis; imonbsp;vero tantis me benevolentlae testimoniis ornastis, ut nullis verbis haec rite celebrare,nbsp;nedum gvatias, tantis mentis vestris pares, referre possim. Quapropter nibil mibinbsp;reliquum est nisi bocce,votum, ut vos Deus Optimus Maximus din servet incolumesnbsp;ad gloriam patriae et amplissimum adeo disciplinarum emolumentum.

Nec vero jam silentio praetereundi sunt collegae mei conjunctissimi, viri strenuis-simi Delpratius et Gisius Nanning ^ Munimentis Exstruendis alter Ceutuiio et in Academia Regiamp; Mllilax-ii primi Matheseos et Physices ProfesSOris lÜUnere fungCnS ,nbsp;alter Succenturio et in eSdern Academic Centurionis vices gerens: quorum priornbsp;frequentibus sermonibus de pontium aèqüilibriö mecum; babitis maximopere me ad-jnvit, ut, quid de eo statuendum esset, clarius perspicerem j pöstérior vero'summanbsp;diligentia figuras delineavit, quae lithographo archetyporum instar servire debue-rnnt. Utrique me pro hisce in me collatis amicitiae beneficiis quam maxjme devin-

^^^v^^^^\^vl^^l^vl,^^vkVlv^^vvvvvt^vvvv%vvwvvvl'Vm«vvwllVVtvvvvvlMMA/vvvvvvvm^\^^ala/vlM/vvvvvvMa^vvvvvu%^vvvvv1l^^

EXORDIUM.

a- majores aliqua disciplina progressus fecit, eo uberiores oportet esse fructus, quos inde percipiant artes et vita communis. Itaque quum Physicarumnbsp;disciplinarum fines per quiuquaginta hosce anhos, cum accuratiore et observandinbsp;et experimenta faclendi methodo, turn perfectiorum instrumentorum usu, mathesinbsp;quoque ad explorandum adhibita, longissime prolati sint, factum est, ut hoc,nbsp;quod vivimus, tempore iilarum disciplinafum in hominum societatem multonbsp;majores quam anlea redundare possint utilitates. Docet hoc historia XVIIInbsp;exeuntis et incipientis XIX saeculi, quo tempore praestantes in Physicis disci-plinis viri de artibus optime merili sunt; docent rautatae inde omnis generisnbsp;fabricae, agricultura, fodinas explorandi rationes, navigandi ars, caetera.

Nonnulla tarnen Adhihitae, quae dicitur, Physices partes nondum aeque ex progressibus disciplinae profecisse videntur: quarum numero censenda est inprimisnbsp;architectura, cum civilis et militaris, turn navalis et hydrotechnica. Fueruntnbsp;quidem, iique principes in re mathematica viri, qui operam impenderent gra-vissimis hujus artis quaestionibus explorandis; exstant dissertationes de aedibusnbsp;exstruendis, de fornicibus concamerandis, de optima forma navibus tribuenda,nbsp;de fluminibus derivandis, de aggeribus moliundis, de eraissariis faciendis magnonbsp;acumine scriptae; sed practici, qui dicuntur, homines saepius aut non curantnbsp;banc doclorum virorum operam, aut quasi inulilem, imo noxiam, rejiciunt, etnbsp;in aedificando alias rationes sequuntur. Quod non ita mirum accidet repu-

tanti, duabiis inprimis causis effici, ut theoriae praecepta possint ad praxin adhiberi: nam et hypotheses cum rerum natura convenire debent; et quantitatesnbsp;in theoria assumtas cognitas esse oportet, hae autem non nisi experimento antnbsp;observatione innotescere possunt. Quod ad hypotheses, mathematici saepissime, utnbsp;formas mensurasque aedificiorum computarent, hoe sibi sumserunt, utadhibendaranbsp;materiem absolute duram esse censerent, eamque nulla vi quantacunque posse mu-tari: jam vero omnis materia nimia pressione potest disrumpi, omnis materia magninbsp;ponderis actione potest sire extendi sire flecti, omnis materia calore modonbsp;dilatalur, modo contrahilur; quae singula earn vim habere possunt, ut, quodnbsp;aedificiura ex materia plane solida confecium esset stabilissimura, idem eademnbsp;forma, eadem longiiudine, laiitudine, altitudine, eadem partium crassitudine,nbsp;sed ex materia, qualis re vera adest, exstructum necessario corruere debeat.nbsp;Ad hanc igitur materiae imperfectam duritiem, hanc elasticitatem, hanc ejusnbsp;aut extendendi se aut calore dilatandi proprietatem attendat Mathematicusnbsp;oportet. Quae quum animadvertere debeat, sequitur inde, ex observatione deberenbsp;ei cognitum esse, quanta sit cujusque melalll, saxi, ligni durities, quantanbsp;eorum elasticitas, quousque extendi possint et flecti, quantam in ea vim calornbsp;exserere possit. Hae autem quantitates, quum accuratioribus tantum experi-mentis definiri possint, quibus instituendis cum multum otii, turn sumtus satisnbsp;magni requiruntur, fiebat, ut earum pleraeque ignorarentur. Sed et hac in renbsp;feliciore vivimus aetate. Practici enim homines ut earum cognitionem magni jamnbsp;faciunt, ita ad eas determinandas plurima instituerunt experimenta, quae majoris innbsp;dies erunt utililatis. SulScit hoc loco citasse tredgoldum, rennium et barlowum.

Atque haec cogitanti mihi, curriculo academico ad finem perducto, atque ad scribendam dissertationem accedenti, non inutilis opera fore videbatur, sinbsp;de parte aliqua architecturae scriberem, atque ita hoc argumentum tractarenbsp;conarer, ut, quae mathematica ratione disputata sunt, in ipsis operibus con-struendis )usui esse possint: ilaque egi de pontium lapideoruin forma etnbsp;mensuris ex aequilibriiidoctrind determinandis.

Consilium meura in eligeudo hocce argumento non est quod nuiltis verbis

defendam, sumtis a pontium lullitate ralionibus. Pontlbus enim exslruendis, uli ¦viis sternendis, et canalibus fodiendis, et navibus aedificandis illud effectumnbsp;est, ut facilius et freqiientius redderetur hominum inter se commerclum: quonbsp;autem magis dissitarum regionum incolae secum invicem conjunguntur, quonbsp;frequentius cum naturae turn artis ingeniique fruclus permutant inter se, eonbsp;majores et illustriores societalis himianae cernuniur ad veram humanitatem pro-gressus. Quae quidem res ita manifeslis declaratur recentiorum aevoruiu testi-moniis, qulbus non maria magna, non ignarae linguae commerda prohibentnbsp;amplius (i), ut non facile quisquam hodie cum poëta queratur:

Nequicquam Deus abscidil Prudens Oceano dissociabilinbsp;Terras (2) •,

imo laeletur, omnium gentium conjunclionem in dies magis reddi expeditam, atque adeo plurimi faciat artificum invenia, quae hue referantur.

Quam pontium utilitatera sen tien tes antiqulssimi jam populi iis construendis

Operam dederuntj nbsp;nbsp;nbsp;pretiosissima artis opera niag^na Cïiraj

imo religione servarunt. Patet jam homeri aetate pontium usum frequentem fuisse, quura laudat validum Diomedis in Trojanos impetum, comparationenbsp;ducta ab irapetu torrentis, qui hiberno tempore exundans pontes, perrumpat (3).nbsp;Fuerunt illi probabiliter rudi adhuc arte ex simplicissimo ligneorum genere,nbsp;qui, quum facillime jungerentur, saepius quoque a fluviis vehementiori fluminenbsp;ruentibus disjiciebantur: quo fieri debuit, ut firmior construendi ratio, in magnlsnbsp;praesertim fluviis, quaereretur et majores firmioresque ponles exsisterent. Quales innbsp;Asia primum exstitisse, conjicitur ex herodoti descriptionibus.

Ex iis, qni notatu digniores occurrunt, primus memorandus ille, quem Ba-bjlonis regina, sive Nitocris sive Semiramis, exslruxisse narralur in Euphrate. Excisi erant lapides praelongi, quibus ferro ac plumbo revinclis, pons

(i) Vid. SALirsT. Jugurth. c. i8. § 6. (3) Horat. Od. 1. carm- 3.

(3) Vid. Iliad. E. vers. 88.

erat compositus: per hunc pontem subllcae quadratae interdiu extendebantnr, eaeque iioctu tollebantur, ne incolae ulriusque urbis partis, per noctem tran-seuntes, mutua furta exercerent (i): unde palet, lapides iilos pilarurn loco ver-ticaliter in fluminis alveo positos, et omnem pontem simplicissima ratione ex-siructum fuisse, neque bic cogitandum esse de opere caraerato.

Post hunc occurrunt pontes a Dario Hystaspis filio in Bosporo Thracico et Istro, in Strymone et Hellesponto a Xerxe, ejus filio, facti(2)5ex quibus priores tres navibus erant juncli, nee quidquam de iis novimus memorabile; posterior ille cum in historia gentium magnas obtinet partes, quia inservire debuitnbsp;iramensis Xerxis copiis ex Asia in Europara trajiciendis, turn in historia archi-teciurae prae caeteris memorandus est, quia novae construendi rationis primuranbsp;exemplum praebet. Prima quldem fronle vlderi possit, uti reliqui, navibus jiinctusnbsp;[schipbrug) fuisse: attenlius vero accuratam herodoti (3) descriptionem consi-deranti verosimile mihi visum est, eum ad pensilium genus pontium esse referendum. Architecti oram elegerunt Asiaticam asperam, in mare prominen-

tem, et ex illa in Eiiropaeara oram fecerunt duos pontes, alterum ex albo lino Phoenices, Aegypiu ex papyro alterum. Hoe loco nuiici oxnnïno navlum sub—nbsp;posilarum occurrit mentio; imo funes videntur signifleafi ex ora in oram tensi,nbsp;quibus superstrata fuerit via: atque hi funes propter freti latitudinem, eratnbsp;enim eo loco sepiem stadiorum, i. e. mille et trecentorum fere metrorum, innbsp;medio freto probabiliter ipso raari sustentabantur; simili fere modo, atque narrat MUNGO PARKtus, pontem in flumine Bafing ab Africanis exstructum (4) ipso

(i) Herod. Lib. I. § i86. Diod. sic. Lib. II. cap. 8. Cortitts Lib. V. cap. i. § ag. Secundum diodorum inter pilas erant duodenum tantum pedum interstltia, unde sequiturnbsp;immensae molis opus fuisse hunc pontem: laudanda tarnen architecti soUertia in deter-minanda pilarum forma, supra acuta, infra rotundata, et ad frangendum moderandum-que fluminis Impetum aptis’sima.

(a) Herod. IV. 83, IV. ii8, VII. 24, 33—36.

(3) nbsp;nbsp;nbsp;Herod. VII. 33—36. VIII. 117.

(4) nbsp;nbsp;nbsp;Vide ejus Reizen in de binnenlanden van Afrika , den Haag i,8oa, 3® deel, hi. 43—44?nbsp;iblque figuram. Cf. quoque R. caillie f'oyage d Jenné et d Temboctou ,TLOva..\ passim.

fluctu sustentari. Ita intelligitur, quomodo, orla ingenli tempestale, mare omnia disruperit. Quo facto quum Xerxes reficiendos jussissel pontes, utrique sub-raiserunt navium magnum iiumerum, aiichoris praegrandibus demissis stabilita-rumj funes (i) axibus ligneis torquenles ex terra intenderunt, lineos duos con-jungentes, quatuor papyraceos; truncos lignorum, ad latitudinera pontis adae-quatos, ordine imposuerunt non navibus, sed rav ottXwv rSvca, funibus in-tentis; denique materiam terramque imporlarunt, et pontem ab utraque 'partenbsp;sepe liiuniverunt. Itaque posteriores hi pontes iiti priores, quos mare disjece-rat, erant pensiles, ea tantum in re ab illis et ab hodiernis diversi, quodnbsp;propter firmitatem funes sustentabantur navibus firmiter in locis suis collocatis;nbsp;quod necessarium omnino fuisse patet ex freti latitudine, quae septies superatnbsp;aperturain celebratissirai Anglic! pontis pensilis in frelo Menai.

Duo sunt in Herodotea descriptione, quae facere possint, ut putemus fidem ei haberi vix posse, pontium immensa longitudo, et insolita ante exstruendinbsp;ratio. Sed animadvertendum quod ad longiludinem, ejusmodi et Orientaliumnbsp;in genere, el, testenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iuprimis ingenium et indolem fuisse, ut

immensa aggrederentur opera, quae magnlludine superarent quaecunque recen-tiora tempora protulerunt; indicio sunt Aegyptiorum pyramides, Babyloniorum borti pensiles, Indorum templa in rupibus excavata, Sinensium ingens murusnbsp;Tartaricus, ejusque generis plura; neque Hellespontus igitur freti latitudinenbsp;et fluctus vehemenlia Xerxem retinere debuit, quin Asiam Europae ponte junginbsp;juberet. Turn vero, quod ad pensilem pontium rationem attinet, quae artisnbsp;pueritiae minus convenire videtur, similitudinem ea in re videmus inter Xerxisnbsp;opus et recentiores pontium formas apud populos, qui nondum magnos in artibusnbsp;progressus fecerunt: constat enim, eliam Sinenses, Indos, Americanos (2) pensi-

(1) nbsp;nbsp;nbsp;Funes interpreter, qui TOcantur ab herodoto ottXx, auctoritatem secutus hippocratis,nbsp;ut docet GALENTJS in Lexica Hippocratico.

(2) nbsp;nbsp;nbsp;Vid. Encycl. Metrop. in voce Bridge pag. 808—809. dLerxis ponti similes hodiequenbsp;pontes construuntur militares: conf. Douglas, Essai sur les principes de la constructionnbsp;des ponts militaires et sur les passages des rivières en campagne. Traduit de VAnglaisnbsp;par vaillakt. Paris i824'

6

libus usos esse pontibus, sed infirmis, vacillantibus, et ad transeuudum saepe difficlllimis, ut maximum intevsit discrimeu inter eos et pulcberrimos validissi-mosque pontes ferreos pensilès, qiios cultiores populi cum Araericani turnnbsp;Europaei exstruxerunt.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o

Quaraquam igitur varii generis pontes, Hgiiei, navibus juncti, kpideis pilis instructi, pensiles in Oriente exstiterunt, cameratos tarnen pontes apud Orientalesnbsp;reperire non potui. Neque tamen fornicum constructio incognita fuit iis, si fidesnbsp;est habenda diodoro siculo (Lib. II. cap. 9), narranti Semiramidem cuniculumnbsp;fornicalum sub alveo Euphratis fecisse, ut regiae in utraque ripa sitae conjunge-rentur. Parietes cuniculi habebant laliludinem viginti laterum, altitudinem usquenbsp;ad fornicem duodecim pedum; fornix ex latere coclili exstructus obducebaiur

bitumine indurescente, ad crassltiem qualuor cubitorum; ipse autem cuniculus latus erat quindecim pedes; ejusque aedificalionem difficllem fuisse putaremus,nbsp;nisi Constaret, Semiramidem ante avertisse fluininis cursum. Ilaque et in hocnbsp;opere, ut in ponte construendo, non tarn artificis sollertia admirationem raovet,nbsp;quam impensarum magnitudo (i).

Graeci nullos fere videntur in pontibus exstruendis fecisse progressus (2). Quod non ila mirandum, ipsa Graecia nullas opporlunitates offerente; neque enimnbsp;majores fluvii in ea erant, et mari secum invicem Graeci communicabant

lubenlissime.

Alia prorsus fuit Roraanorum ratio. Urbis situs ad flumen Tiberim sponte eos adducebat, ut utramque ripam jungerent, et, artibus paulo progredientibus,nbsp;firmiorem pontium slernendorum rationem quaererent, quam aut Graeciae aut

(1) nbsp;nbsp;nbsp;Fornices (juoque Babylone usurpatos iii aedificandis hprtis pensilibus auctor estnbsp;STRABO, lib. XVI, Ed. Amst. 1707, pag. 1078 A.

(2) nbsp;nbsp;nbsp;QuOties a Graecis arcbitectis occurrunt pontes cxstructi, sive lignei, sive navibusnbsp;juncti fuisse videntur. Conf. ex. gr. xenoph. Anab. L. I. c. 2. § 6, L. II. c. 4-5 i3.nbsp;Arrian. L. II. c. 28, L. V. c. 7. Aliorum mentio invenitur apud justinitm, aliosque,nbsp;quorum enumeratio, cum nihil memorabile de iis traditum invenerim, fastidiosa ideoquenbsp;omittenda videbatur.

Orientis populi. Quura enim pontibus disjeclis omnis urbis communicatio inter-cepta esset cum regionibus Transliberinis, maximi intererat totius clvitatis ut iategri servarentur pontes. Quo factum est, ut a remotissimis inde temporibusnbsp;eorum cura non nisi principibus in republica Tiris fuerit mandata. Legimusnbsp;antiquissimum Romanorum pontem fuisse Sublicium, eumque, auctore \Anconbsp;Marcio{i)j primum in Tiberi factum a Pontijicibus; cc nam,” ait varro (a),nbsp;ccab bis Sublicius est faclus primum, ut restitutus saepe, cum ideo gt;sacra etnbsp;cc Ills et cis Tiberim non mediocri ritu fiant.” Atque ipsum eorum sacerdottimnbsp;nomen ab hoe pontium negotio originem duxisse idem est auctor. Ab his adnbsp;Censores transiit pontium cura (3), turn ad Curatores viarum, denique adnbsp;Praefectum Urbis (4).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;

Quum igilur primi ponles tförnicali apud Romanos inveniantur, operae preiiura erat investigare, quo tempore et a quonam artifice primus aedificatus fuerit.nbsp;Itaque quaecunque hac de re in graevii Thesauro a donato, fabrigio, nardikonbsp;aliisque referuntur, legi, veteres auctores ipsos adhibui; sed nullam ponlis forni-caü mentionem reperi ««ie annum Urbisnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quo M. Fulvius Ceusor poutis

Palatini sive Senatorii pilas locavit, quibus pills fornlces post aliquot annos P. Scipio Africanus et L. Mummius Censores locaverunt imponendos (5). Constat

(1) nbsp;nbsp;nbsp;Livius L. I. ,c. 33, ^ 6. De hujus pontis fatis plurima collegit famianüs nardinus,nbsp;in Tomo IV Thes. Ant, Roman, graevii L. VIII. c. 3.

(2) nbsp;nbsp;nbsp;Re ling. lat. L. V. pag. 87. Ed. sprekg. Berol. 1826.

(3) nbsp;nbsp;nbsp;Cf. LiviTJS L. XL. c. 5i. Auhel. victor c. 72.

(4) nbsp;nbsp;nbsp;Conf. sïmmachus Ed. 1687. L. IV. Ep., 71. L. V. Ep. 74.rL. X. Ep. 38 et Sg.

(5) nbsp;nbsp;nbsp;Conf. EiviüS L. XL. c. 5i. Quod gauthetus, Vir Clar. {Traité de la constructionnbsp;des ponts,11. I* p* i4) ait, hunc, pontem primum lapideum esse factuta anno’ 127 A. C. anbsp;C.Flapio Scipione, non potui reperire, qua auctoritate statuerit, et, repugnante livio, mihinbsp;videtur minus vere dixisse. Non diu integer fuit hic pons, si ad Augustum Octaviamimnbsp;referenda est inscriptio Gruteriana, quam icitat bergierius, (ife puhl. et initit. imperii Rofn.nbsp;viis, in oiiAEV. Thes. X p. 4®7) lt;ina patet, Augustum cum itefecisSe.. Itertim refectus subnbsp;Gregorio‘XJll j anno 1575 P. C., ultima vice concidit Tiberis exundantis iiupetu annonbsp;iSgS, neque restitutus est postea.

8

quidem jam ante exstitisse in Aniene pontem Salarium (i), in Tiberi pontem Mulvium (2) aliosque, sed nulla adsunt indicia, ex qulbus colligi possit, eosnbsp;fuvsse lapideos, aut camerato opere exstructos. Qui enim supersunt hodie-qiie Tiberini pontes, indicio esse non possunt, quoniam hi fere recentiorisnbsp;sunt aetatis. Nam anliquiores pontes a Tiberi exundante saepius disjecti atquenbsp;adeo restituti sunt, turn ab imperatoribus, turn a Pontificibus Romanis, ut difficile sit dictu, quid in iis ex veterum Roraanoruin arte supersit, quid veronbsp;recentioribus architectis tribuendum sit.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u

Neque mirandum est, pontes Romanos saepe concidisse. Quamvis Romani minime materifte et sumtibus pepercerint, quamvis ad stabilienda pontium fun-damenta saepius opere usi sint sublerraneo, fornice inverso, qui magnitudine

et massa ipsum pontem superaret, quod palet etiamnunc in fundamentis pon~

tis Fabricii, Aelii, Cestii 5 nunquam tamen ejusmodi constructionem adhibue-runt, qua aucto flumini satis liber esset iransilus.

Ponies eorum, quantum ex figuris patet, fere omnes habebant aperturam

(i) Pontis in Aniene mentio occurrit jam in hello, a Tarquinto nbsp;nbsp;nbsp;contra Sabinos

gesto (liv. I. 37.), sed fuit ille, teste dionysio halicarnassensi (L. 111. p. ipi—ipa) ex navibus factus. Deinde celeber est factus T. lilanlii Torquati cuin Gallo pugna. (Liv. VII,

g_10.) Qualls autem lapideus hodieque cemituf, a Narsete restitutus memoratur (apud

MAK1.1ANUM in Urhis Romae Topographid), postquam a Totild, barbarorum rege, dis-jeetus esset.

(a) Pontem Mulvium jam exstitisse anno U. 547, patet ex liv. XXVII. 5i. Quod igitur ammiahus marcellinus (L. XXVII. c. 3.) et victor {de Fir. llluatr. c. 72 § 8.), eosquenbsp;secuti recentiores omnes narrant, ilium a M. Scauro Censore Syllae tempore exstructumnbsp;esse, ita videtur accipiendum, ut ligneus ante a Scauro majore cum splendore lapideusnbsp;sit faetusi Sed errat plane gautheytts (I.' pag. i3.) dicens; ail est le plus ancien de tonsnbsp;» ceux, qui subsistent tels qu’ils e'toient lots de leur prémière construction.” Primumnbsp;enlm, teste fabricio, in descript, urb. Romae (in graev. Thes. T. III. p. 4^^'

Augusta refectus est, et saepius deinceps eversus, saepiusque restauratus nibil ex veteri structura praeter fundamenta retinuit (Conf. bart. marliawi urb. Rom. topogr. m graet.nbsp;Thes. T. III. I pag. 186). Denique eum restauravitr iVico/aw* V, Pontifex maxisau»)nbsp;anno P. C. i45o.

9

semiclrculalam, ciijus altiludo erat dimidium latiludinis; quodsi igitur flumen satis latum uno arcu jungeretur, ubi ripae non multura supra aquam emine-bant, pons tantam acquirebat supra illas altitudinem, ut adscensus in eumnbsp;nimis esset arduus: quod ne fieret, pro uno arcu plures minores juxla pone-bantur, atque ita altitude pontis tantum minoris circuli radio fiebat aequalis.nbsp;Hinc autem simul fiebat, ut plures pilae ad fulciendos arcus in fluminis alveonbsp;aedificandae essent5 quae pilae, flumine supra modum crescente, aquarum vimnbsp;sustinere non poterant, atque ab bis labefactatae totius pontis ruinam tralie-bant. Neque pilis crassioribus reddendis quldquam proficiebatur: namque haenbsp;crassiores factae niajorem etiara aquis superficiem praebebant; aquarum autem visnbsp;augebatur eoarctato earum subter pontem alveo; et sic pons, auctam earum vimnbsp;sustinere non magis valens, nihllominus corruebat. Etenim ut in fluminlbusnbsp;rapidioribus firmi fuissent pontes, arcus adhiberi debuissent, quorum convexitasnbsp;latior fuisset quam in forma semicirculala, quique, aut nullis aut paucissimisnbsp;tantum pilis superstructi, expeditum fluctibus transitum praebuissent. Qualesnbsp;arcus, recentioribus populi® usitaiissimi, Bomanis incogniti fuisse videntur.

Ignoramus, quantos Romani in pontium structura fecerint progressus. Quum enim et ipsi eorum pontes, aut temporis lapsu aut barbarorum manibus, sintnbsp;dissoluti, quumque nulli auctores veteres de hocce arguraento ad nos pervene-rint, certum quid hac de re statuere non possumus (i).

(i) Scriptores recentiores, qui de pontlbus egerunt, dionem auctorem secuti, pontem, ab Apollodoro, Trajano jubente, Danubio injectiim tamquam monuinentum artis Romanaenbsp;celebrant, tum propter fornicum magnitudinem, turn propter constructionis difficultatem.nbsp;Narrat mo (Vid. xipiul. Epit, dionis Ed, StepJu iSga. pag. 246 B—E),fliivium eo loco, ubinbsp;pons aedificatus fuerit, et ex latiore angustiorem, et simul profundiorem fieri, ut oporteat,nbsp;difficillimum omnino fuisse fundamenta jaciendi negotium: viginti pilas fuisse ex lapidenbsp;qnadrato; earum altitudinem praeter fundamenta fuisse i5o pedum, latitudinem 60 pedum;nbsp;ipsas autem 170 pedes a se inyicem distantes fornicibusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fuisse conjunctas.

Ex hac DIONIS descriptione gautheyfs aliique effecerunt, pontem hune constitisse 19 fornicibus lapideis, quorum aperturae 170 pedum latitudinem, 85 pedum altitudinemnbsp;haberent; quae si ita essent, fatendum foret, in majoribus pontibus lapideis construendis

10

Artibus medio quod vocatur aevo paulalim renascentibus, ad pontium struen-dorum necessitatem animadverterunt gentes Germanicae, quum, saeculo inprimis XII, invalescerent sacra itinera, quibus fiebat, ut millia hominum, quotannisnbsp;in loca dissita peregrinantium, maximos fluvios transgredi cogerentur. Quamnbsp;pontium exstrucliöneni plurimiim adjuvarunt Pontifices Romani, turn instituenda

Romanos recentloribus nisi superiores, certe pares fuisse; nam major nullus hac nostra aetate fornix lapideus exstitit. Sed non patet, scriptores illos veram moms mentem assc-cutos esse: ipse enim mo qüamTis materlam, ex qua pilae exstructae fuerunt, disertenbsp;inemoret, fornicum materiam silet; utnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;illae quoque ex ligno esse potuerint, et

pons Trajaninus ad cameratos haudquaquam pertinuerit. Quae quidem nostra conjectura ut convenit flgurae pontis, qualis in columna 7'rajani est depicta, ita recentiorum serip-torum testimpniis flrmatur. Nam in columna Trajani cemuntur pilae, non lapideisnbsp;fornicibus, sed trabibus junctae. (Conf. Colonna Trajana da pietko santi bartoli ,nbsp;tab. ^4 j Columna Trajani, ah asd. mohellio delineata, curd A. r. gorii, Amst. i^Sa).nbsp;Ex'tecèritioribos autém, qui tradunt, se ipsa pontis rudera vidisSe, excitandus inprimisnbsp;comes L. F. MARSiLLius, qui ita de eo loquitur: » certum est, quod in eo ex lapidenbsp;)) formatum nihil praetcr pilas; superior autem adhuc superstes pars tam arcuum quamnbsp;» paYimenti est continua quaedanx series trabinm, magoitudini pilai’Um respondens, quasnbsp;)) hodieque illaesas yidere est in ambabus Danubii ripis, et quae (si recte Tolumusnbsp;» judicare) nunquam sulFicere poterant fulciendis -vastis illis arcubus lapideis, tantoperc ,nbsp;» a moKE celebratis.” (Vid. Ejus Epist de ponte sub imp. Traj. sup. Danuhium exstructo,nbsp;in Nov. Thes. Jnt. Rom. auct. saeengré, T. II. pag. 990—994.) Narrat marsilliijs, fluxiumnbsp;1000 passus latum esse, et quia primae ad ripam pilae adhuc superstites 100 fere pedesnbsp;a se inyicem distant, inde concludit, simile spatium inter binas quasque pilas inter-fuisse. Quod MARSiLLii testimonium magni nobis esset ponderis, si constaret, eum verumnbsp;pontis locum invenisse; haec tarnen res non omni dubio caret: neque enim Geographi,nbsp;qui diu post marsillium fuerunt, de loco, in quo olim pons fuerit, consentiunt; itanbsp;d’ahvilrius, locum citat, qui vocatur Ram, quatuor milliaria supra urbem Orsovam;nbsp;contra buschisgius pontem inter Zemigrad et Czernecs, duo milliaria infra Orsovam,nbsp;ponit (Conf. btjsch., Géogr, Amst. 1790. Reel I. St. 2. bl. ii83). Quae diversitas eo magisnbsp;miranda, quia omnes consentiunt, adhuc superesse rudera Trajanini pontis.

Denique, quod ad ipsam dionis narrationem, animadvertendum videtur ad pilarum altitudinem, quam i5o pedum facit, i. e. tantam, ut credibilis vix videatur, quia nonnbsp;prohahile est, Danubii ripas tantum supra aquas eminere.

utilissima Fratrum Pontificalium socielate, tum vero largiendis indulgentiis, quarum redilus ad exstruendos pontes irapenderentur.

Ex medii aevi pontibus sl minus antlqiiissimus, cerle celeberrimus omnium est pons Avenionensis in Rhodano, inchoalus a Benezeto. Benezetus ille, utnbsp;narratur, pauper bubulcus ex loco Hauvilar in regione Vivarais anno 1177 ec-clesiam Cathedralem intrat Avenionensem, dum Episcopus popülum, Eclipsi so-lari perterritümj adhortationibus raetu liberare conatur, Exclamat, sibi a Deonbsp;mandatum, ut ponlem in Rhodano struat. Episcopus quasi insanientem miltitnbsp;ad oppidi magistratum, qui ludibrii causa eum operis iniiium facere jubet abnbsp;ingenti saxo in fluminis ripa forte jacenti, quem vix triginta viri e loco sum-movissenl. Benezetus revera saxum loco inoyet5 adstantes onines miraculo per-culsi rem rairantur, virum a coelo missum fatentur, manusque operi admovent.nbsp;Quidquid autem de hac narratione putandum, illud certura est, pontera exstru-ctum atque anno ii8y sive 1188 perfectum fuisse. Eodem fere tempore plu-res tum in Gallia, tum in aliis Europae regionibus exstiterunt pontes: nobilis-simi Guiiiotierius et Sancti Spititus ponics sacculo XIII in Rhodano sunt slrali:

saeculo XII apud Germanos aedificatus est pons Regineusis in Danubio et Dres-densis in Albi; apud Anglos celebrem illum veterem pontem Londinensem legi-mus anno 1176 inchoatum, et saeculo XIII Rochesteriensem et Novo-Castellanum exstructos esse; denique eodem saeculo XII vixit in Saecia Benedictus, Skaraenbsp;Episcopus (i), quem plurium pontium auctorem fuisse perhibent.

Ad hosce medii aevi pontes duplicem ob causam nobis animadvertendum est: primum enim qui maximi hodieque exstant pontes, iidem sunt vetüstissimi, atque jam saeculo XII aut XIII exstructi, veluti Guiiiotierius et Sancti Spiritus.nbsp;Quod ut quale sit pateat, in sequentem tabulara pontes omnes, qui nobis in-notuerunt, lapideos contulimus, ducentorura metrorum aut majorem lopgitudi-ïiem habentes.

(i) Conf, Encyclop, Ersch-Gruheriana in voce Brüchenhrüder.

12

(1) nbsp;nbsp;nbsp;Longitudines hae pleraeque utnim accuratae sint, dubium est: differunt cnim de ea saepe auctores, et saepenbsp;incertnm, qnanam mcnsura longitudines- indicentur. Idem valet de tabula sequenti. Gallicorum poniium mensurasnbsp;fere ex gatjtheyo sumsi, Germanorum ex w^iebekingio, Anglorum ex 'WIEBEK.ingii filii relatione, inserta tomo IVnbsp;opcris paterni.

(2) nbsp;nbsp;nbsp;In hujus poutis, mensuris tradendis mirum in modum differunt auctores, wiebekingius , gautheytjs, mollius,nbsp;Encyclopaedia Metropolitana, bavyus. Verosimiilima mibi est visa longitude supra scripta.

(3) nbsp;nbsp;nbsp;WiEBEK. T. III. p. 5oi ait hunc pontem exstructum esse annis laGS—1285: quod non ita videtur, siqtti-dem GAETHEYUS affert documentum Mss. in spitalio hodieque. asservatum, quo anni 1285—l3o5 citantur.

(4) nbsp;nbsp;nbsp;WiEBEK. T. Iir. p. 537. Gautheytjs habet annum i638, et tarnen consentit cum quot;Wieb. narrante, pontem

exstrui coepisse Carolo IV in Germania imperante 5 fuit autem ille imperator ab nbsp;nbsp;nbsp;annonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i346 adnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iSyS.

(5) nbsp;nbsp;nbsp;Gaüth. T. I, p. 65 ait hunc pontem babere tantum 10 arens,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in figuranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;autemnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;revera sunt 12jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;atquenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cum

ea consentit batsch, Hydrotechn, JVander, 2^3 Heft. Weim. i825lt; nbsp;nbsp;nbsp;p. 27.

(6) nbsp;nbsp;nbsp;Conf. Annal, Unit’, dl Statist^ Bcon, Puhl, Vol. IX. Jul.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1826 p. 71 ? alque bmcnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;excerptanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BuïleU

des Scienc, Technolog. JuiU. 1828. N®. 5g.

(7) nbsp;nbsp;nbsp;Conf. Buil, dé Scienc, Technolog, imW. 1828.

(8) nbsp;nbsp;nbsp;Longitudinem sumsi a tabula hujus pontis picla, Londini edita anno 1827.

13

Turn vero arte paulatim progrediente saecido XIV el XV ponies uno arcu cxstrucii sunt, quorum apertura maximos quosque recentiores aequat, imo veronbsp;superatj ut docet sequens tabula, quae continet maximos utriusque aeiatis arcus, apertura triginta quinque metris majori.

Quamvis igilur vetustiores archiiecti eorum successoribus palmam praerlpue-runt, et in immensis longitudine pontibus sternendis, et in maximae aperlurae arcubus aedificandis, negari tarnen non potest, recentissima aetate, inprimis abnbsp;inslilulo initio saeculi XVIII Gallorum Ponlificum Gollegio (Corps Royal des

Ingenieurs des Ponts et Chaussées), magnos progressus fecisse pontium struendorum artem. Quum enim medio aevo pontes temere ac secundum nullam normam videanturnbsp;exsiructi, ab eo inde tempore haec ars coepta est ad certa quaedam praeceptanbsp;redigi, et ex multorum saeculorum usu, et ex disciplinae ratione desumta.

Videamus jam, quid in priorum pontium slructura sit reprehendendura, et ad quid prae caeteris in ponte aedificando animadverli debeat.

Antea fere architecti, sive potius artifices aut operarii, pontis struendi negotium suscipiebant, naturae fluminis cui imponebatur nulla habita ratione. Saepe aut longiorem faciebant pontem, quam pro fluminis latitudine opus erat, et mullumnbsp;operae atque impensarum frustra adhibebant; aut fluvium, pro parte latitudinisnbsp;saxis et humo impletum, ut sumtibus parcerent, ponte breviore Jungebant; aut

plurimis pills crassls arcus mlnores superstrtiebant, qulbus fluclus retinebantur. Ita diminula supra pontem fluminis velocitate, quaecunque aquis suspensa fere-bantur considebant; unde exsurgenle alveo aquae superficies attollebatur, et flu-yius imbribus auctus saepe regionem ad pontem silam inundabat. Saepe etiamnbsp;minores arcus, per quos majora navigia transire non pOSSent, fluvium naviga-tioni inutilem reddebant: denique ipsae saepe aquae, quod supra diximus, pontem raagna vi percussum destruebant.

Quorum fere vitiorum exemplum praebet vetus Londinensis pons. Annis 11 'j6 ad 1209 a Petro Colchesteriensi factus, 2^5 metra longus erat, et constabatnbsp;viginti arcubus, qui parvas aperturas habebant, et superstructi erant pilis,nbsp;quinque ad septem metra crassis: pilae autem sustinebantur palis in fundumnbsp;fluminis fistucatis, aliquot pedes supra fundum serrd abscissis, et aliis palis certonbsp;intervallo circumdatis: intervalla inter palos calce, lapidibus et ruderibus completanbsp;erant; unde exstiterant crepidines (Angl. starlings), insanae substructionum moles,nbsp;pilas amplitudine multum excedentes, et tantam fluvü partem occupantes, utnbsp;aqua, bis angustiis impedita, et supra pontem et sub eo altior vulgo esset quamnbsp;infra. Hue cum accederet naturalis fluvü declivitas, fluctus vehementior effi-ciebatur, qui fundum continue corrodebat. Ut hoe impediretur, ipsi fundonbsp;sub arcubus pali sunt infixi: quod quamvis omnino necessarium esset, iterum

15

aperturam aquis patentem tantopere diminuebat, ut expertissimus Labelyus anno 1746 inveniret, crepidines cura his simul palis flumini ex 275“ latitudinenbsp;tantiim 60quot;* (196?®°^) spatlum reliquisse, et cataractam ij“45 (41^''^) altamnbsp;sub ponte exstitisse, quae minoribus quoque scaphis transeuntibus periculumnbsp;faceret. Itaque quum solide contra aquarum vim pons ille firmatus videretur,nbsp;tarnen patuit, examine totius pontis eo anno instituto, tanta damna resarciendanbsp;esse, ut supra 80,000 librarum Sterl. sequentibus annis ei operi impensa fuerint.nbsp;Ut enim quodammodo malo medela afferretur, i. e. ut liberior transitus aquisnbsp;aperiretur, anno 1758 pro duobus mediis arcubus unus multo major, 22“nbsp;(72ï°^) patens, substilutus est. Neque tarnen malum cessabat: nam iteratonbsp;anno 1811, i. e. post 43 tantum annos, examine, cognitum est, fluminisnbsp;impetum plures crepidines fere tolas abstulisse, et in arcubus vacillantibiis variasnbsp;adesse fissuras, certam ponti ruinam minitantes: quaravis igitur per plures adhucnbsp;annos resarciendo rem dislulerint ejus pontis praefecti, denique eo ventum est,nbsp;et omnino veniri debuit, ut ante hos paucos annos magistratus Londinenses

decreverint totum ponteni auferro, Movximque in ejns locum sufGcere, qui

quinque arcubus latioribus, cunctls 21 o”' aperturam habentibus, compositus, multo minore mole, firmior et pulcbrior el ad flumen accommodatior erit (i),

Recentiores igitur, hoe sirailibusque exemplis edocli, antequam pontem sternere aggrediantur, quinam probabiles sint fluvii in pontem et pontis in flumen effectusnbsp;perpendunt. Quumque veteres arcus crassissimis pilis superstruerent, ipsos arcusnbsp;crassissimos facerent, eosque molibus in utr^ue fluminis ripa maximis fulcirent:

(i) Cf. wiEBEK. T. IV. pag. i85—1^2, et inprimis c. bavy, A descriptive account of the bridges over the Thames, in the Mechanics Magazine, Sept. et Oct. 1829. Ejusmodinbsp;exempla qui plura yelit, adeat auctores qui historiam pontium scripserunt, inprimisnbsp;gxütheyum et wiebekihgitjm. Ita ex. gr. wiebek. (T. III. p. 53^) narrat, sex pilas pontisnbsp;Dresdensis, quia nimium crassae fluminis transitum impediehant, suffossas et abreptasnbsp;luisse. Item p. 538—SSg de ponte Reginensi. In genere ex bistoria pontium, qui cör-ruerunt, patet, plurimos ideo corruisse, quia flumen, sub ponte alveo angustiore in-clusum, majore celeritate vectum materias fundamentis' pilarum circumfusas paulatininbsp;abluit et abstulit, ut postea pilas suffossas facili negotio labefactaret. Cf. quoque pereleinbsp;in Raccolta d’autori, che trattano del moto delV acque, Ed. II. Tom X. p. 209 seqq.

16

recemiores, cogitantes, quibusnam viribus aedificium contineatur, quibus disjun-gaiur, certis principils detcrminare studüerunt, quae esse deberet arcuum forma, quaeque eoriim pro varia aperturae lalitudine et altitudine crassitudo in vertice,nbsp;sive potius, qiiaenam inter hasce mensuras necessario intercedere deberet ratio.nbsp;Qua rite definila, facili negotio inde determinari potest, quae formae atquenbsp;mensurae pilis molibusque ponlem fulcienlibus sint tribuendae. Ita justa partiumnbsp;proportioue id efFecerunt, ut eandem, imo majorem firmitatem operi pararent,nbsp;mensuras aulem miaores adhibentes materiae et sumtibus sapienter parcerent, etnbsp;simul pulcherrima artis monumenta conderent.

Verum alii architecti aliter de hisce formis et proportionibus statuerunt, neque adhuc eo pervenisse dici possunt, ut unam quamdam et optimam normamnbsp;onmes sequantur.

Primum enim, quod ad formara arcuum attinet, a quo inde tempore semi-circuli cum aliis curvis commutari coeperunt, quae aperturae pontis majorem latitudinera cum minore altitudine tribuerent, magnus erat curvarum linearumnbsp;numerus, quibus hisce condilionibus satisfieri poterat. Ita alii putarunt, sinbsp;iilum libere a duabus clavis suspendatur, curva, quam fdum ejusmodi assumat,nbsp;inversa, ita ut convexilas sursura vertatur, optimam fornicis formam indicari (i).nbsp;Alii curvam composuerunt ex trium circulorum arcubus; quorum medius magnonbsp;radio describebatur, extremi duo, minoribus et sibi aequalibus radiis descripti,nbsp;infimum fornicem ab utraque parte determinabant (3). Alii, ulterius in liac

(1) nbsp;nbsp;nbsp;Curyam hanc, catenariam dictam, pontium arcubus esse. adhibendam, primus, utnbsp;yidetur, affirmayit hookius (yid. J. SAyACE in Essays of the London architectural Societynbsp;Vol. II. 1811 Lond. p. 145.) Varia hue pertinentia disputata sunt a dav. gregorionbsp;{Philos, Transact, 1697 N“ aSi) jac. bernouillio {Oper, Tom. 11. p. 1119) coupletio (it/em.nbsp;de Paris 1729) et krafftio {^Nov, Comm, Petropol. T. IV. p. 207—209).

(2) nbsp;nbsp;nbsp;Curyam ex tribus centris ductam inyenimus apud beondeliijm (Cours dhArchitect L.nbsp;IV. c. 6); aliam ejusmodi curyae ducendae rationem apud pitotium {Mèm. de Pans 1726.nbsp;pag. 220). Blondeeius tria centra ita disposuit, ut essent anguli trianguli aequicruralis,nbsp;piTOTius, ut oriretur triangulum acquilaterale. De utraque methodo egregie disputayitnbsp;K-RAFFTius (1. c« pag. 216 seqq). Conf, quoque gautheyus 1. c. T. I. pag. 247 et seqq.

i

IT

describendi ralione progressi, curvam, ductis ex quinque centris arcubus, compo-suerunt; alii ex septem centris. Tandem perronetius ex undecim centris curvam duxit, earn semper legem secutus, ut medius ex illis arcubus maximo radio descnbe-retur, proximus illi ab utraque parte minore, atque sic porro radiis a medio ad imumnbsp;arcum decrescentibus. Qua curvae forma id effecil, ut aperturae pro aequalinbsp;laiitudine et altitudine majores essent, et facilior inde aquis auctis transitus (i).nbsp;Denique idem perronetius, ad simpliciorem formani re versus, unius circidi,nbsp;maximo radio descripli, arcum lalissimum sumsit, eumque, ut satis supra aquasnbsp;assurgeret, pilis multo quam ante altioribus imposuit. Qui postea majores pontesnbsp;aedificarunt, modo hanc modo aliam formam elegerunt (2).

Turn vero, quod ad crassitudinem fornicis in medio arcu attinet, non minus varia praecepta apud varios auctores reperiemus. Antiquiores architecti, Italinbsp;V. c., quum earn fecissent 12”““, i5“™ autnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;partem aperturae arcus,

primus belidorius earn non tantam esse debere statuit. Praecipit enim, ut

crassitude in vertice in arcu semicirculato fiat = 2?““® diametri parti, in arcu lalius patente =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ejus radii, quo summa arcus pars descripta est. (3).

Perronetius hoc praeceplum ita mutavit, ut 24“^' diametri parti adderet unum

(1) nbsp;nbsp;nbsp;Curva ex quinque centris ducta reperitur apud GAüTHEyuM 1. c. T. I. pag. aSi,nbsp;uLi radius secundi et quarti arcus aequalis fit radici ex producto radiorum tertii et priminbsp;sive quinti arcus. Peeronetitts curvam ex undecim centris ductam descripsit operis suinbsp;(Edit, formae maximae) T. I. p. 55 seqq.

(2) nbsp;nbsp;nbsp;Primus pons, in quo curva arcus esset pars unius circuli, factus est in fluminenbsp;Oignon , dictusque Pont de Pesmea (gauth. 1. c. T. I. p. 91. PI. VIL fig. 128): in eo aperturae latitude est ad altitudinem uti 12: i. Fornices latlores deinde sunt exstructi, innbsp;quibus aperturae altitudo esset tantum i3™», 14™® latitudinis pars, uti Pons Ludovicinbsp;X.FI in Sequana, Pont St.Maixence, Pont de Pontoise, alii: omnes vero superavit ille,nbsp;quern anno i8o5 celeb. Boistardius in flumine Loing exstruxit, cujusque apertura cumnbsp;sit 5o ped. lata, 3 autem tantum alta, facit eandem proportionem uti 16,7 ad unitatem.nbsp;(Conf. Expériences sur la jnair„ cCoeuvre, par l. c. boistard, Paris 1804 in 4*“)-

(3) nbsp;nbsp;nbsp;AtcIiU, Hydraul. T. IV. pag. 445-

18

pedem, demeret autem tot llneas, quot pedes haberet diameter (i). A perroketio hoe praeceptum recentiores sumserunt (2); illud vero neque antea, neque hisnbsp;temporibus secutos esse pontium constructores diserte palet ex tabula, in wiebe-KiNGii opere exhibita, qua continentur praecipuorum pontium mensurae: ex eanbsp;enim videmus, crassiludinem fornicis in vertice interdum octavam aperturaenbsp;partem esse, interdum vero etiam 3o“““, imo 4o”““ et 5o”°”. Neque inirum,nbsp;siquidem ipse gaotheyus, vir harum rerum peritissimus, aii: crassiludinemnbsp;pontis in vertice vix videri uno praecepto posse definiri (3).

Quura igitur tam variae sint celebrium virorum sententiae, mihi propositum est, certam quamdam, si fieri possit, constituere normam, quam in aedificandonbsp;camerato ponfe architectus sequi et debeat et possit.

Felicissimum autem me praedicabo, si opera, a me hac in re posita, a viris peritis praxi non inutilis plane judicetur.

(1) Description des Fonts de Neuilly, de Mantes, Orleans etc. Paris 1782. Edit, form, maxim. T. III. p. 21.

^2) Uti SGAMziWj Cours de Construction, 3® Edit. 1821. pag. nbsp;nbsp;nbsp;*

(3) L. c. T. I. pag. 164. Similem architectorum dissensum animadvertimus in deter-minanda pilarum et molium crassitudine j de hoe vero argumento, quia in ipsa disser-tatione non egimus, hoe quoque loco fusius loquendum non videtur.

^VV^VV^W^V^VmWV^Vl^VW/VVVMVV^la^lVVl'VVVVU^VlVVVVV^VVlAa^VVW/VMAliVVllt;l/VW/V^l^V^ft/VVlVW'VWV^^

§ 1-

tArgumentum exponitur.

u. problemalis propositi natura clare perspiciatur, initiuni faciendum est ab enumerandls viribus in quovis ponte agentlbus, quarum aliae ad firmandum,nbsp;aliae ad labefactandiim aedlficium faciunt. Siquidem autem in ponte, c pluribusnbsp;arcubus composite, eadem valent, quae de singulis arcubus sunt dicenda,nbsp;pro toto ponle arcum unicum sumemus. Prima vis est pondus ipsius arcus.nbsp;Susliuetur hoe parllm pilis, in fluminis alveo positis, partlm molibus in utraquenbsp;ripa exstructis. Pondere arcus ac pïlarum premitur alveus fluvii, aCque, ut hoc

pondere non deprimatiir, hunc satis compactum ac firmura esse oportet. Arcus ponderis pressione obliqua sive a latere (door zijdelingsche drukking) simulnbsp;a git in moles arcum fulcienles; oportet igitur, ut moles illae pressionem susti-nere valeant. Moles sua vice renitentes arcum premunt, quae pressie quandonbsp;nimia fit, materia, ex qua conficitur arcus, quaeque duritie sua determlnataenbsp;tantum pressioni resistere potest, victa cedlt, atque arcus corruit; justa igiturnbsp;proportie esse debet inter pressionem illam et raateriae duriliem. Hominesnbsp;et aniraalia pontem transeuntes atque onera super pontem vecta suum ei pondusnbsp;addunt; neque bis resistere possit pons, nisi et frictione et cohaerentia,nbsp;quae ex Impensis caementisque oritur, partes arctissime conjungantur; oportetnbsp;igitur denique, ut summa onera, quae ponti unquam sint imponenda, hiscenbsp;ferri possint (i).

(i) Non omnes vires, quae in pontem agere possunt, enumeravimus: fieri potest, ut terra, post naolem sita, humida facta maxima vi premat in molem, atque hac pressione

20

Jam videamus, quanta sit unaquaeque vis, et secundum quam directionem agat. Pondus arcus aequale est ponderi unitalis cubicae materiae, multiplicalo pernbsp;volumen arcus: volumen aulem habetur multiplicando latitudinem arcus pernbsp;aream seclionis verticalis, quae secundum arcus longitudinem sumitur; quumnbsp;vero et pondus specificum materiae et latitudo pontis sint quantitates con-stantes, pondus arcus erit in proportione cum area sectionis verticalis, ethanenbsp;ejus loco substituere possumus.

Sit fig. 1. ejus sectio verticalis secundum longitudinem arcus sumta: b a b' curva, quae est intersectie hujus plani verticalis cum superficie fornicisnbsp;superiore, nobis curva dorsi, (Gall, extrados).

d c d^ curva, quae est intersectio ejusdem plani cum superficie arcus inferiore, nobis curva arcus (Gall, intrados, Belg. too^.

b d ct b'd', iniersectiones rectilineae ejusdem plani cum lateribus camerae, nobis dictae pulvinaria (Gall, coussinets). Haec latera sive pul vinaria susti-nentur sive pilis {GsW. piles^ Belg. regtstanderi), sive molibus {GaW.culées,nbsp;Belg. lahdhoofden).

a Y linea verticalis, per summum arcum ducia, aujue secilonem in duas partes aequales dividens. Erit igitur arcus pondus vis verticalis, secundumnbsp;a Y deorsum agens, atque aequalis areae b d d'b'.

Pondus hoc 2G sustinetur molibus, plana b d et b'd' fulclentibus: quum vero hae moles agant in latera secundum directiones lineis b d et b'd' per-pendiculares, enriim actionem nobis proponimus tamquara duas vires D' et Dquot;nbsp;ad normam in laterura quibusdam punctis g et g' applicatas, et his viribusnbsp;assumtis ipsas moles in posterum omittemus.

Prima aequilibrii conditio igitur est haec, ut vis composita ex ulraque vi cormat arcusj quod factum esse in ponte Coalbrookdaliano auctor est wiebekingius fil.nbsp;(T. IV. p. 215.). Fieri potest, ut fluyius in pontem illidens eum disrumpat, quod sex-centies factum esse testes sunt omnium gentium historiae. Itaque oportet his quoqnenbsp;virihus resistere posse pontem firmiter exstructum. Sed non faciunt ad determinandanbsp;ea, quae sola a nobis quacruntur; itaque jure videntur hoc loco omittenda, atque adnbsp;universam quaestionem de mutua fluminis et pontis actione releganda.

i

21

D' et Dquot; aequalis sit et directe opposita ponderi 2G5 quae ex hac conditione oritur aequatio, sufFiciet ad cognoscendatn quantitatem •virium D' et Dquot;, adnbsp;determinandum igitur, quantum moles ferant oporteat.

Quodsi fornix ex massa unica, neque ulla vi disrurojpenda, constaret, hac prima conditione omne aequilibrium continerelur. Sed constat fornix ex cuneis (Gall.nbsp;voussoirs, Belg. wulf steenen,) qui juxla se invic.em posiii mutua pressione continen-tur; si igitur bquot; d' sit junctura quaevis, sive potius intersectio plani nostri verticalisnbsp;cum plano junclurae, oportet ut vire.® ia parie b'd^d^bquot; agentes in aequilibrio

sint cum pressione, qua reliqua pa rs b d d^bquot; in earn agit; atqui, primo^ est

«

haec pressio semper normalis jr,ncturae bquot;dquot;; itaque vis composita ex viribus in parte h'd'd^hquot; agenlibus ju’^icturae dquot;bquot; normalis sit oportet: quod cum valeatnbsp;pro singulis juncturis, quae plurimae in fornice adsunt, secundam aequilibriinbsp;conditionem hanc liabetuus, ut vis composita ex viribus in quavis fornicis partenbsp;agentibus semper sit normalis juncturae, qua haec pars terminatur. Verumnbsp;secundo, ut \iaec composita vis revera oppositae pressionis aclione in aequili-brium red:,gaiur, tertia aequilibrii conditio praecipit, ut punctum, in quo

sibi ip.vicem oppositae agere debent, sive punctum applicationis, positum sit in i unctura bquot;dquot; inter puncta hquot; et d''', neque supra bquot; in b'^/Squot;, aut infra dquot; innbsp;dquot;3quot;. Quod nisi fiat, rotalio partium circa punctum bquot; aut dquot; locum habebit (i),nbsp;Ponamus, in summo fornice juncturam esse a c, qua fornix in duas partesnbsp;aequales dividatur. Sit

Z'Zquot; verticalis, in qua centrum gravilatis dimidii fornicis a b'd'c sit positum. Adsunt jam in hanc partem agentes duae vires, Dquot; secundum i'g', et pondusnbsp;G dimidii arcus secundum Z'Zquot;. Transferamus Dquot; et G in punctum z, in quonbsp;earum directiones se invicem secant, et componamus eas; composita igitur D,nbsp;ut normali pressioni alterius partis abde aequipolleat, ad perpendiculum essenbsp;debet cum junctura verticali ac; itaque secundum horizontalem directionem agat

(i) Hanc tertiara aequilibrii conditionem indicavit coulombius (Mémoires dé Math, et de Phys. ann. 1778. p. 346), atque primus docuit, quid valeat ad formam arciis deter-minandam.

22

oportet, et praeterea transeat a c intra a et c. Licebit igitur explorare dimidii tantum aequilibrium arcüs, pro alterius dimidii aclione adsurata vi horizontalinbsp;D, in puncto quodam e mediae juncturae agente.

Sumamus igitur dimidium fornicem a b d c, atque in eo iterura juncluram bquot;dquot;: agunt in parte superiore a bquot;dquot;c pressio horizontalis D, et pondus partisnbsp;abquot;dquot;c, quarum virium composita, quia in arquilibrio esse debet cum pressionenbsp;partis inferioris b bquot;dquot;d, directionem habere debet juncturae bquot;dquot; normalem, atquenbsp;intra bquot; et d^ earn secantèm.

Hac tertia conditione determinatur pondu» hujus partis, sive area sectionis ab^d^c. Area autem definitur forma curvae dorsi, curvae arcus, et directionenbsp;juncturarum fornicem terminantiura. Igitur cognita area, et ex tribus hisce

duobus datis tertium determinari poterit.

Sumamus nunc juncturara proximo inferiorem b^^d'''^, ut sit nbsp;nbsp;nbsp;unus

tantum cuneus; sustinetur bic ab utraque parte pressione partium acbquot;dquot; et b h'quot;dquot;'d, altera pressione juncturae b'^d''^ normali, juncturae b^'dquot;' altera 5 composita autem ex utraque vis aequalis .esse debet pondei'i Cunei, eique directenbsp;opposita. Pressio in juncturam b'^'d'''quot; igitur determinari poterit componendanbsp;pressione in juncturam b'''d''' agente cum pondere cunei, sive etiam, quia haecnbsp;pressio iterum ex composilione pressionis horizontalis D et ponderis partisnbsp;acb^d'quot; orta est, componendo toto pondere partium a c bM'quot; cunei b^dM^'b'quot;nbsp;cum horizontali pressione. Quoraodocunque autem vires componamus, sempernbsp;patet, singulos cuneos comprimi duabus pressionibus in ejus latera agentibus.nbsp;Atqui omnis materiae, quae ad aedificandura adhibetur, ea est natura, ut tantum certam quandam pressionem susiinere valeat; pressione autem hanc exce-dente in partes tenuissimas disrumpatur. Quod ne in fornice contingat,nbsp;oportet, ut satisfiat quartae huic aequilibrii conditioni, qua jubetur, ut pernbsp;lotum fornicem vis cohaesionis, quae ex materiae duritie oritur, superet pressionem juncturis perpendicularem.

Fieri potest, ut arcus secundum lineam quamvis fF divellatur: fieri hoc debebit, quando vis cohaesionis, secundum hanc lineam partes conjungens,

23

minor erit quam virium in fornice agentium composita vis, decomposita secundum directionem diciae lineae. Igilur videndum est quinto, ut ducta qua vis linea per fornicem semper vires contlnentes majores sint, quam illae, quae di-vellere conantur.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_

Duae hae conditiones, nbsp;nbsp;nbsp;quarta alquenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quinta, siquidemnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a duritienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;materiae

pendent, varias determinationes praebebunt pro pontibus ex variis raateriis exstruendis.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i;

Quamvis autem fornix his conditionibus satisfaciat, nondiim ab omni pe-riculo tutus erit. Fornicis' partes inter se et cum molibus erunt in aequilibrio, sed oportel quoque, ut possit pons ferre pondera homiuum, animantium,nbsp;curruum transeunlium. Estque hocce onus nova vis, eaque mutabilis, modonbsp;major, modo minor, saepe nulla: igitur aequilibrium, absque ea constitutum,nbsp;ea agente disrumpilur: si vero partes pontis ita sint constitutae, ut sub onerenbsp;determinato, ex. gr. 100,000 Kil., in aequilibrio sint, iterum aequilibriumnbsp;deerit, quolies aut nullo, aut minore pondere premetur pons. Qua igitur vi

agente, ut possit tamen nbsp;nbsp;nbsp;aecjnilihrinmnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;subsistere,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;adessenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;debet einbsp;nbsp;nbsp;nbsp;opposita

in ipso pome alia vis mutabilis, quae singulis temporibus tantum resistat, quantum oneris arcum premit.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Haecnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vis reveranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;adest;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oritur exnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;frlctione

partium, quae aliquatenus nbsp;nbsp;nbsp;motuinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;resistet, atque exnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cohaesione, quaenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ex calce

caementoque inter cuneos interposito exsistit. Sed possunt haec frictio atque cohaesio tantum aliquatenus motui sese opponere: itt igitur arcus perduret,nbsp;oportet sextoy ut frictio atque cohaesio maxima pondera, quae unquam arcusnbsp;sit gesturus, possint sustinere.

24

§2.

Formulae generales.

C^uaerendae nunc sunt aequatlones, quibus condiliones illae contineantur. Habemus pro dimidio arcu Systema trium viriura D, D' et G in piano ver-licali agentium, quae secum invicem in aequilibrio debent esse. Hocce aequi-librium continetur tribus aequationibus (i), quarura duabus illud indicatur, sinbsp;vires omnes decomponamus secundum duos axes sibi invicem perpendiculares,nbsp;suramam decompositarum cuique axi parallelarum=o esse; terlia indicatur,nbsp;summam momentorum virium omnium pro quovis punclo in piano sito = o esse.

Sumamus originem axium in summo et medio puncto a (fig. 2.) curvae dorsi, axem abscissarum a X horizontalem, axem ordinatarum a Y veriicalera, et computenturnbsp;abscissae posilivae ab a sinistrorsum, ordinatae positivae ab a deorsum. Sint porronbsp;x'et y', coördinatae puncli cujusvis b curvae dorsi,

X et y, coördinatae puncti d curvae arcus, in eadera cum b junctura siti, u et V, coördinatae puncti applicationis vis D' ad juncturam b d.

a, coördinata horizontalis centri gravitalis partis abdc.

d, nbsp;nbsp;nbsp;coordinata verlicalis (a e) puncti applicationis pressionis horizontalis

D ad medium juncturam.

/z, angulus juncturae b d cum verticali.

fJt/, angulus composilae D' cum verticali, quando non normalis est ad juncturam bd,

e, nbsp;nbsp;nbsp;crassitudo fornicis in vertice (a c).

Quum D sit horizontalis, et G verticalis, tantum decomponenda est vis D'. Sed est D, ex 2^* aequilibrii conditione (pag. 21.), normalis juncturae b d; ita-que angulus ejus directionis cum verticali est = 90° — [A, et sunt decompositae

secundum a X = D' Cosfi, cc aY=D'Sin/»,

(i) Conf. POISSON. Traité de Mécan. T. I. p- 65.

25

f

Habemus igitur

D D^ Cos/4=: o ..........(i)

G D' Sin yo. = o . . .......................(3)

D cl D' V Cos (j, — G fl! — D' u Sin /ü = o ........... (3)

Vis G aequalis ponltur areae a b d c. Atqui

abdc = acdl dlnb — abn. acdl=/’jdxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I ' .i/io

dlnb = i (y' y) (x' —x) nbsp;nbsp;nbsp;quot;

abn^/y'dx' nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

igitur nbsp;nbsp;nbsp;-1'

G =fj dx —fy'Ax' 4_ i (y' y) (x' — x).......... . (4)

et secundum iheoriam cenirorum gravitalis Gfl!=/jxdx'—fy'x'dix' nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—x*)y' §'(x'' — x) (x'-h 2 x) (y — y^). . . (5)

Simt porro puncta b, g, d, in eadem recta linea sila; itaque habemus in triangulis bhd, bh'g, el gh'^'d:

y — y' ¦ — y' y—^ r,

~7—- nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= -= Cotw..............(e)

Tandem, ubivis juncturam bd in fornice ponarausj quae igitur sint varia-bilium y, x, y', et x' valores, quae sint virium G et D' quantitates, eadem semper est pressio horizontalis, quae cum utraque aequilibrium facit. D est

igitur quantitas constans (i), et habemus dD = o.............. (•j)

His septem aequationibus continentur omnes rationes, quae intercedunt inter quantitates datas et quaerendas. Occurrunt in his formulis d, x', y', x, y,nbsp;u, y, as, G, D, et D^ Quantitas d, uti postea videbimus, non pendet a re-,liquis (quantum attinet ad conditiones aequilibrii, quae his aequationibus indi-

(i) Hanc constantiam primus indicaxit, eamque usurpavit ad investigandam curvae foïmam, j. h. lambertius (Vid. ejus Beytrage zuin Gehrauch der Mathematïh und derennbsp;Anwendung. Berlin. 1772. 3'’*' Th. S. 36o. § 43); scrihens: » IVun muss der Druch in Dnbsp;» (nostra figura in e) von bestandiger Grosse seyn, so gross oder klein man auch immernbsp;» den 'Bogen D M (nostra figura a c b d) annimmtP

26

caalur)j igitur tamquam aliunde cognita assumitiir. Habemus igitur 7 aequa-tiones inter 10 quantitates a, se invicem pendentes: quodsi inde aequationem inter duas quantitates volumus deducere, ex. gr. inter coördinatas curvae arcus,nbsp;aut dorsi, oportet, ut duae aliae dentur aeqnationes.

Atque revera his § § tria reliquimus non deterrainata:

1° formam curvae arcüsj

2° formam curvae dorsi 5

3® directionem juncturarum.

Ex quibus, si duae cognitae erunt, habebimus 9 aequationes, et 8 quantitates eliminando ad aequationem quaesitara !'pervenire poterimus. Possumus igitur tres nobis proponere qüaestiones; A '

1“ ex data. curva dorsi et directione juncturarum curvam arcüs, caeteraque, uti pressionem horizontalera et normalem, invenire;

2“ data curva arcus cum directione juncturarum invenire formam curvae dorsi; denique

3“ data utraque curva determinare, quales esse debeant directiones juuc-turarum, ut adsit in fornice aequilibrium.

Fuit Nieuportius, Mathematicus sagacissimus, qui quaestionera hac triplici ratione adortus solutiones exhibuit in Commentatione egregia, cui titulus: cc Fssainbsp;^naljtique sur la Mechanique des Voütes’’ inserta Coramentationibus Aca-deraiae Bruxellensis, Tom. II. p. 43—r36. (Ann. 1780), eiimque nos in argu-nienti divisione sequemur.

27

§ 3.

Datd curvd dor si et directione juncturarum invenire formam curvae arcus.

Plerisque in casibus, ubi pontes lapidei aedificantur, est fere superficies sive dorsum ponds planum horizontale, vel paullura tantum ab eo recedit (i).nbsp;Sumimus igitur curvam dorsi tamquam lineam horizonlalem, per origlnem coör-dinatarum transeuntem. Unde habemus pro ejus aequaüone:

y = o.....................(8)

Porro oportet, quantum ejus fieri potest, ut sint juncturae fere normales curvae arcüs; quia cuneorum anguli et latera facilius disrumpuntur, si suntnbsp;acutiores. Itaque habemus (fig. 2.) bd normalem tangenti odp, et

(i) Adsunt quidem plures pontes, saeculis praecedentibus exstructi, quorum dorsa sunt admodum curvata, uti pons Vicentinus, Pons Venetiis di Rialto, Pons in fluvio Taafnbsp;in Anglia, Pons Zwettavensis prope Torgau in Germania, aliique: sed rejiciunt ferenbsp;recentiores Architecti hanc formam, quippe minus accommodatam, et nulli aut paucinbsp;ejusmodi pontes inter recentiores reperiuntur. Utque pateat nostram hypothesin minimenbsp;a'veritate abesse, adducemus, quae de dorsi inclinatione praecipiuütur. BELiDOBnjs(^rctó,nbsp;Hydr. T. IV* p. 446) praecepit, ut esset via horizontalis, si satis aperturae navigationinbsp;relinqui posset sub medio arcu. Perronetitjs vulgo usus est plano inclinato pro singulisnbsp;hexapedis duobus pollicibus, i. e. 55 longitudinis parte: in ponte Ludoyici XVI tarnennbsp;28* lineis pro hexapedo inclinatur dórsum. Apud oArTHEYOM (1. c. T. I. p. 3o3.) inveni-tur Jg. ¦ apud wiebekimgium (1. c. T. III. p. 5^6) 50™*; apud lasgsdorfium {Anleit. z* Strass.nbsp;u. Brüchenbau. Manh. 1817. T. I. p. 173) —55, neque unquam major, quam pars.

28

Ope ulriusque aequationis (8) et (9) invenienda est aequatio curvae arcus. Eliminando D' ex (i) et (2), habemus

G = D Tang/ct ...................(lo)

Atqui substiluendo y'—o in (4)

G =fy dx -1-1 y (x' — x)..............(i i)

dy

Sed propter (9) x' — x=:y^....................(12)

Igitiir nbsp;nbsp;nbsp;G =/y dx §nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ................(i3)

Verum ex (6) Tang ft = nbsp;nbsp;nbsp;^ .................(14)

Substituimus valores pro G et Tangy» in (10), et habemus

sive nbsp;nbsp;nbsp;/'ydx = (D —§y“)^...............(i5)

DifFerentiemus banc aequationem posito dDrrO}

ydx = (D_5/)^-yt dv“\

sive (D——(i y^J = o............('6)

i nbsp;nbsp;nbsp;(

Quae aequatio, ab omni alia variabili quantitate, praeter x et y, liberata, iterata integratione praebebit aequationem curvae arcus.

Sit iguur nbsp;nbsp;nbsp;^ = p

i

30

/yxclx = x/'ydx — yquot;dx/y dx

= x(D-ly^)-^-/dx(D-|y^)^

= X (D — Iy=^)—/(D — Iy’) dy = x(D —iyquot;)-^—Dy §y®

quando y = ej erit xrro et/’yxdx = o, unde

o = —De je’ Cquot; et Cquot; =e(D—§equot;), quo substituto, habemus

fy xdx = x(D —lyquot;)-^ —y(D —§yquot;)-i-e(D —je-) .

§ 4.

Jlequatio integratur.

t:x aequatlone (19) sequitur

dx =

_ r ¦ lt;y nbsp;nbsp;nbsp;_r (2 D — y^) dy

(i) Quae integratio non nisi evolvendo in seriem potest eifici. Perlinet haec formula (A) ad integralia, quae cognita sunt nomine functionum Ellipticarum,

(1) Hanc aequationem primus, ut videtur, dedit lameertiüs (1. c. p. 375), quia vero eo tempore integrari non poterat, addit: ygt; mit diesen Formeln isf uich viel. anzufangen^'nbsp;Post eum inYenitur apud berardum {Statique des voütes. Paris 1810 in 4*quot; P^g- agO»nbsp;(jui ait: Inequation, qui appartient d la courie élastique. Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pas douteux que les

Ingénieurs devraient adopter cette cóurbe pour les ponts;¦ elle leur procurerait plus de solidité, et autant dlélégance, que celles en usage.''

31

quia arcus Ellipseos et Hyperbolae eorum ope computantur. Eorura integra-tioni multum operae tribuerunt celeberrimi Eulerus, Lagrangius, et Le-GENDRius: postremus eorum llieoriam dedit in opere: Exercices de calcul Intégral, quam postea refusam atque tabulis instructam iterum edidit innbsp;opere: Traité des fonctions Elliptiques et des Intégrales Eulériennes,nbsp;avec des Tables pour en faciliter le calcul nuinérique. Paris, 1825, II Tom.nbsp;in 4^0. In iis, quae sequuntur, a Legendrio indicalum cursum tenebimus.

Quodsi vocamus R denominatorem formulae (A), et hunc in factores resol-vimus, habemus

R=V/{(2D—e^)—(2D—y^)} {(2D—e^) (2D—y“)}=v/{y“~e^} {4D—equot;—y“}..(a)

Ponaraus nbsp;nbsp;nbsp;Secvp.................

quod ponere semper licet, quia semper y gt; e est; habebimus

= e'^ Sec“4^ — e^ = e'^ Sec^if' (1 — Cos°4^) = e^ Tang“\f/

33

Altera hujus formulae pars iterum dividi potest in duas partes simpliciores

Try- • nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;• Sinlt;J)CosCp

ut patet differentiatione (juantitaUs

Nam est

VO. o. Sill dgt; Cos (|)

Sm(pCoslt;ji _ gt;quot;(—«^•Sin.,)gt;)(Cos-i;gt;-Siii..;)) SmypCoslt;;)'^^^_^.j,.-^j

_(i—Sin-(^) (Cos=(|)—Sin=(^) c^Sin=^ Gos=lt;|gt;

~ nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(i—cquot; Sin=c|))|nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Cos-cp—Sin=^—C» Sia-cp Cos^-cp 0=^ Sin'^C/) c=gt;Sin“C|) Cos^tJ)

_ _ nbsp;nbsp;nbsp;______nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(j)

I—2Sin-lt;J) c®Siii''(|)j^_ I —ac'^Sin^fl) c'^Sin^Cj) i — i

~ nbsp;nbsp;nbsp;(i—c=Sin=4))|nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(i—c“-Sin'4))|

I (i—c°Sin®Cp)“—— nbsp;nbsp;nbsp;I , o- ^vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^—cquot;quot;

quot; cquot; nbsp;nbsp;nbsp;(i—cquot;Sin-lt;ïgt;)|nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= -31 (‘ —c^Sin^(|))|ó(pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ^^

unde sequitur

P dcj) nbsp;nbsp;nbsp;Sind) Cos0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I n o. - VT 1

J[i—eSin^qgt;)l—~ nbsp;nbsp;nbsp;v/(i—c“Siii^lt;?))

4D-«-2e^

Aiqui

_ nbsp;nbsp;nbsp;_____4D—

et I —c% nbsp;nbsp;nbsp;4^—2e“ 4^—— (4^—2e“)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e'‘

^ nbsp;nbsp;nbsp;41^—P

Igitur eril

e“ P dd) nbsp;nbsp;nbsp;4D—26»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sinlt;|)Cosd)

P(4D_equot;)Sin'^2“i/(4D—equot;)i/(i)JV{i-eSm^Cp)d(p

atque liinc denique

2D P d(/) nbsp;nbsp;nbsp;, .xT-f a C-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, 4D—2eanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sin(|gt;Cosd)

—e)Jv{i-c^ Sin^(p) ’^WD-e )Jv{^ c Sin lt;J))dt?) nbsp;nbsp;nbsp;o-e^) v/(i-c^

34

In formula (B) duo occurrunt integralia. Utrumque Legendrius in seriem ¦ convergentem resolvit, cujus ope tabulas computavit, in quibus pro singulisnbsp;c et lt;p reperiuntur quantitates integralium.

Brevitatis causa cum legendrio prius integrale indicablmus litera F, pos-terius litera E; itaque liabemus pro aequatione cnrvae arcus

aD nbsp;nbsp;nbsp;411—Slnd)CosC|gt;

V(4D—e“) F—^(4D—e“) E nbsp;nbsp;nbsp;1/(1—cquot; Sin^Cp) ‘

Cui aequatloni nulla constans est addenda, ut, pro y = e, x = o sit 5 nam ex tabula IX legendrii patet, pro y=e utraraque quantitatem F et E=:o fieri,nbsp;et eadem substiiutione in (b) habemus Sln(P=zo; igitur tertia quoque parsnbsp;= 0 erlt.

In aequatione nostra occurrunt, praeter x et y, duae quantitates constantes e et D, quarum haec adhuc nobis superest determinanda. Ponamus igiturnbsp;fornicem esse exstruendum altitudinis = h, atque aperturae = 2 0: oportebit, ut,nbsp;pro y = h e, sitx=0. Igitur substitutis his quantitatibus in aequatione (B)nbsp;habebimus aequationem inter datas h, 0, et e, et determinandam D; quae utnbsp;innotescat, solvenda est ilia aequatio; sed solutio fieri nèquit, quia aequationbsp;est transscendentalls Ita inlricatissima , ut ne seriem quidem convergentem invenirenbsp;potuerim pro quantitate D. Nil allud igitur superest, nisi ut substituendis yariisnbsp;quantilatibus pro D, et simul faciendo y = b e, computemus x; turn veronbsp;earn quantitatem D sumamus, qua x fere = 0 fit. Neque computatio ilia openbsp;tabulae Legendrianae difficilis est, quippe cognito uno limite quantitatis D.

Etenim formulae (A) denominator quum sit radicalis quantitas, oportet ut (2D — e^)=- — (2D — y^)^ = (y^' — e“) (4D — e® — yquot;quot;) semper sit positiva.nbsp;Prior factor y“ — equot;quot; semper est positivus, propter ygt;e; oportet igitur, utnbsp;posterior quoque semper sit positivus, unde ducitur:

35

4Dgt;e“-f-y'‘ I

pro quavis quanlitale j, igitur quoque pro y = h e, unde

Dgt;|(e“ (h e)“)..............(22)

In aequatione (D) non occurrit quantitas d, i. e. distanlia ae (fig. 2.) puncti applicationis pressionis horizonlalis ad mediam juncturam usque ad dorsum.nbsp;Itaque patet, si nullae aliae conditiones aequilibrii adessent, quam ex qulbusnbsp;orta est aequatio (B), licere pressionem horizontalem ad quodvis punctumnbsp;juncturae mediae applicare. Quod etiam patet ex figura 2. Nam ubicunquenbsp;sumamus punctum e, modo ne quantitatem et directionem pressionis D mute-mus, patet fore semper iit cum pondere G composita praebeat resultantemnbsp;juncturae b d normalem.

§ 5-

JDe CuTvd pr^ession^tiin determinandd.

I^ostquam ita deierminavimus curvam arcus, ut omnes pressiones normales sint juacturis, videndum est, utrum punctum applicationis pressionis normalisnbsp;ubivis in ipsa junctura sit positura. Quod ut pro omnibus juncturis pateat,nbsp;indaganda est aequatio curvae, quae transit per omnia puncta applicationis gnbsp;pressionum D' (fig. 2): atque videndum, utrum tota haec curva sit internbsp;curvam dorsi et curvam arcus sita. Appellabimus earn curvam pressionum.nbsp;Coördinatae puncti applicationis pressionis ad juncturam quamvis nobis dictaenbsp;sunt u et V ,* igitur ex aequationibus praecedentium § §orum quaerenda estnbsp;aequatio inter u et v. Gui inveuiendae inserviet tertia aequilibrii conditio,nbsp;qua indicatur, ut sit summa momentorum omnium virium ad punctum quodvisnbsp;sectionis verticalis=ro^ quam pag. 25 invenimus:

Dd D'vCos^ — G« — D'uSinjtt = o.......... (3)

5^

37

et subsiituendo pro /quot;jxdx quantitatera (21) pag. 3o.

G. = x(D-ïy*)^-y(D-5y-) e(D_|e-) lxy‘i 5y»^£

= ï|(D-iy*)g iyg _y{D-èy-) e(D-èe-) §y*

Verura ex (i i) et (20) habemus

G^/ydx èy (x'—x) = (D — nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.....(25)

Igitur

dy

et dividendo per G = D

... nbsp;nbsp;nbsp;dyquot;

sive dividendo per i ' quot;j^

ex qua jam evanuit a.. Praeterea habemus ex (18)

dy“ , /D — le*\® nbsp;nbsp;nbsp;(2 D — e“)“

I -^ = I Pquot; = r

38

= nbsp;nbsp;nbsp;.....(,a,

Cly

Si item substituimus pro x et ^ ia aeqiiationem (6), haec mutatur in

atque habemus duas aequationes (28) et (29) inter u, v, y, et constantes, ex qua denique y elirainanda est, ut perveniamus ad aequalionem curvae presslo-num. Quam tarnen eliminationem fieri non posse stalim patet.

Quia igilur magis generalem methodum sequi non possumus, ut sciamus, utrum pressio ubivis ad ipsam juncturam sit applicataj videndum erit pronbsp;singulis juncturis, utrum punctum g positum sit inter puncta b et d curvarumnbsp;arcus et dorsi in e^em junctura sita. Quem in finem adhibendae simt aequa-liones (28) et (29), ex quibus cognitis quantitatibus x et y pro singulisnbsp;juncturis coraputare possumus v et u. Ut igiiur g in ipsa sit junctura, oportet

ut sit (fig. 3.) nig gt;0 et lt; ld, sive v gt; o el v lt; y, sive y — v positiva quantitas. Ex (28) sequitur:

(aD—e^)“

quae igitur quantitas pro Omni y debet esse positiva. Quia y semper ¦ ¦ est, prior pars quot;gp y^ necessario est positiva; altera quoque erit, si factor constans

est positivus, igitur si e (--Sr)-'

Sed quando dgt;e^i—y~'^ erit^ , modo sit

j Y e \ y® (aD—

ödJ 6D(2D—y“)' * ..........

Quodsi igitur pro datis quantitatibus e, h, et O, et inde ducta pressione D quantitas d ila sumi potest, ut pro omni y aequaiioni (3i) satisfaciat, eer-

39

turn erit, ubivis pressionem applicarl ad ipsam juncturam. Sin huic conditioni satisfierl non potest, non aderit aequilibrium, ueque licebit simul cum aperturanbsp;2 O et altitudiiie h crassitiem verticis e adhibere.

Gonditionis v gt; o nullam rationem esse habendam, facile patet ex figura 3. Etenim si directiones pressionis horizontalis D et ponderis G se muluo secantnbsp;in f, ex compositione virium, quarum altera est horizontalis, altera verticalisnbsp;atque deorsum agens, oritur composita vis, cujus directio fg necessario deor-sum vergit, et punctum quod vis g inferius quam f et e situm erit; quia autemnbsp;punctum applicationis e pressionis horizontalis necessario infra horizontalem abnbsp;est positum, eo magis punctum quodvis g erit infra linearn ab, itaque v gt; o.

CotTLOMBius (i) et NAviERius (2) putaiunt, non opus esse formulis (3o) et (3i) ad explorandum, utrum pressiones ad ipsas juncturas sint applicatae.nbsp;Nam, inquiebaut, juncturae sunt normales curvae arcus; directiones pressionumnbsp;iterum sunt normales juncturis; igitur sunt parallelae singulis Tangentibus, adnbsp;curvam arcus ductis; itaque curva, quae omnes directiones illas tangit, erit pa-rallela curvae arcus, atque proinde tota supra hanc et infra curvam dorsi sita:

atqui puncta applicationis pressionum ad juncturas omnia in hac curva paral-lela sunt sita; ergo sequitur, per se satisfieri conditioni, ut pressiones omnes ad ipsas juncturas sint applicatae, neque opus esse, peculiar! calculo in hancnbsp;rem inquirere.

Quae quidem conclusio nititur hypolhesi, quae mihi minus videtur veritati consentanea. Quando per omnia puncta g, g', gquot;, etc. (fig. 4.) applicationisnbsp;pressionum ad juncturas lineam ducimus, oritur curva ilia, quam pag. 35.nbsp;vocavimus curvam pressionum, cujusque coördinatae sunt u et v. Sed estnbsp;haec curva minime confundenda cum altera ilia, quae directionihus omnibusnbsp;pressionum tangitur, quaeque in figura nostra indicatur literis h h' hquot;; etnbsp;contra curva pressionum, quippe, quae directiones fgh, fig^h',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;non

(1) nbsp;nbsp;nbsp;Mémoires de Math, et de Phys, présent, d VAcad. Ann. 1773 pag. 873. Remarque i’*quot;.

(2) nbsp;nbsp;nbsp;Lepons sur Vapplication de la Mécanique d V Etablissement des constructions et machines. Tom. 1. pag. i4i. N'®. 224.

40

tangit, sed secat, mlnime est curvae arcüs d d' dquot; parallela, alque revera fieri potest, ut, duabus his curvis se mutuo secanlibus, curva pressionum pronbsp;parte sit infra curvam arcus sita.

Ad probandara hanc curvarum g g'g'quot;' et hh'hquot; diversitatem, sint d b, d'b', d''''b'‘' tres juncturae, quantitate infinite parva dd^=d''d''' a se invicem distantes;nbsp;ff'£quot; puncta, ubi verticales, per centra gravitatum partium acdb, acd'b',nbsp;acd'''bquot; transeuntes, secant directiones pressionis horizontalis D in e applicatae;nbsp;porro fgh, f'g'h', f''''g'''h'^, tres directiones pressionem normalium se invicemnbsp;in punctis i et i' secantes; denique h, h', hquot; puncta, ubi curvam h h'hquot; tan-gunt. Quia dd' = d'd''‘' infinite parva sunt, ff et fP et anguli fif,nbsp;et proinde distantia i i' erit infinite parva: atqui inter i et i' positum est punctum h', ïD quo ii' tangit curvam hh'hquot;; igilur quoque h'i et hi erunt infinitenbsp;parva, atque abscissa puncti i et abscissa puncti h, in eadam recta f g h inbsp;positi, non nisi infinite parva quantitate differunt. Quodsl jgilur demonstratenbsp;possumus, pro qualibet junclura, b d, abscissam puncti g ad curvam pressionum pertinenlis, finila quantitate differre ab abscissa puncti i, in eadem rectanbsp;fgh siti, atque cum abscissa puncti li curvae h h'hquot; confundenda, patebit,nbsp;revera duas adesse curvas g g^g*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, el curvam proinde pressionum

minime esse curvae arcüs parallelam.

Pressio, juncturae b'd' normalis, quam modo ut compositam ex pressione horizontali D et pondere partis a c b' d' sumsimus, quoque sumi potest tam-quam composita ex pressione, juncturae superiori b d normali, et ex ponderenbsp;cunei bdd'b', inter utramque juncturam contenti. Si pressionem juncturaenbsp;bd norraalem, atque secundum fi agentem, componimus cum pondere cuneinbsp;bdd'b', quod agit secundum verticalem per centrum gravitatis z hujus cuneinbsp;iranseuntem, composilae, id est, pressionis ad b'd' normalis, directio transibitnbsp;per punctum 1, in quo directio pressionis ad b d normalis secat verticalem pernbsp;z ductam: itaque abscissa puncti i, in quo duae pressionum directiones se in-vicera secant, est abscissa centri gravitatis z cunei b d d''b''. Sed quia ciineusnbsp;continelur juncturis bd et b'd', angulum infinite parvum facientibus, b d d'b'

41

taniquam reclangulum est sumendum, cujus centrum gravitatls z in media alti-tudine est positiim. Qiiodsi igilur ex z rectam z p junciurae b d normalem ducimus, erit bp=pd, et zp=:zq = |dd‘' infinite parva: ductis autem z knbsp;et pp', rectae a b normalibus, erit eliam kp', projeciio rectae zp, infinitenbsp;parva; igitur a p' = a k pro abscissa puncti h curvae h h'h''' sumenda. Sed estnbsp;a p' = 2 (a b a 1) = I (x' x)

dj dx

u = x-(v-y)

igitur subirahendo a p' — a m zr (v ^ * j) ^

quae est quantitas finita. Puncta igitur g et h utriusque curvae suilt diversa, atque tantum iis in locis idem punctum commune erit ulrique curvae,

dy

in quibus haec differentia = o est, i. e. qnando aut \ = iy , aul ^ = o.

Hoe locum tantum habet in veriice fornicis, illud pro aliis fornicibus in aliis juncturis obtinebit, pro varils quantitalibus e, li, O, et d.

§ 6-

De pressioms juncturae normalis quantitate.

IPraecedentibus § §is directionem pressionis iia deterininavimus, ut et nor-malis esset juncturis et ad ipsas applicaretur juiicturas; nunc ejus quantitatem ita determinemus, ut quartae satisfiat conditioni, qua jubelur, ne pressionenbsp;nimia cohaesio materiae vincatur, et disruptis arcus partibus tolus fornix con-cidat. De hac aequilibrii conditione, a praecedentibus Mathematicis plane

6

42

oraissa, primus cogitayit coulombius (i), eamque adhibuit nieuportius (2), quem alii deinceps secuti suflt.

Difficillimum omnino est negotium, in hac disquisitione formulas generales iüvenire, qnae simul ila sint simplices, ut ad quemvis casum practicum possintnbsp;adhiberi. Quaerenda nobis est quanlitas pressionis pro quovis punctonbsp;cujusvis juncturae, et quantitas vis pressioni resistentis, quae ex materiaenbsp;cohaesione orifur pro quolibet puncto; et 2''“ videndum, in quonam punctonbsp;resistentiae ad pressionem ratio fiat minima. Quodsi in hoe quoque puncto pronbsp;sumtis quantitatibus O, h, e, satis magna est cohaesio partium , ut ab omninbsp;periculo tutus sit fornix, aequilibrio satisfactum est: sin minus, non licebit simulnbsp;el aperturam 2 0, et alliludinem h, et crassitiera e fornici tribuere, sed unanbsp;ex tribus ita mutanda est, ut sive pressio fiat minor, sive major ei resistat massa.

Hactenus vires , quibus fornicis pars a b d c juncturam b d prerait, specta-vimus tamquam in unam compositam vim redaclas, eamque ad unicum punctum g applicatam. Oportet ut compositam hanc D' nunc distribuamus in singulanbsp;juncturae puncta, secundum earn distributionis legem, quae in fornice reveranbsp;locum habet.

Ex § 4 nbsp;nbsp;nbsp;^ novimus totam quantitatem D', et coördinatas u et v puncti g.

INara haberaus ex aeq. (i) pag. zS et (19) pag. 29.

D' = D Sec /* = D i/(r Tang' jn)

et pro u et v habemus aeq. (28) et (29) pag. 38.

Ut ex liisce dalis pressionem pro puncto quovis juncturae inveniamus, prae-terea sclamus oportet, quomodo D' in juncturae puncta sit distribuenda.

(1) nbsp;nbsp;nbsp;Cf. COULOMB. 1. c. pag. 38o. Remarque

(2) nbsp;nbsp;nbsp;Cf. BiEUPORT. 1. c. pag. ii4 et seqq. Erravit tamen Vir celeberrimus in eo, quod

pressionem a tota junctura sustineri, itaquè totius juncturae cohaesione ferri putaverit; qua in re consentientem habuit pronyum, Vir. Clar. (Vid.ejus Architect, Hydraul. Totn.I.nbsp;pag. i55.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;36i.).

43

Ducaraus liiieas juncturae perpeiidiculares h'h/, hquot;h/', quariim longiiudines sint . ut pressiones in singula puncta b' b' agentes; porro'jungamus b/,b/nbsp;curv^rb/b/b/“; erit area b^b/bgt;“b“ uti tota pressio D'. Sint coördi-nataej Imjiis curvaenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot; 'lt;!nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; ;r-

bb“ = r b^b/=: s.

/^rstb-

D' = ƒ s dr..................(Sa)

atqui puncti b coordinatae sunt x' = x y ^ et y' = o, puncti g coördinatae

»

et substituendo

aD —(/ dy Aquot; nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

'^Jir=7.-{(=‘ ï dï-'v - ^1 nbsp;nbsp;nbsp;......

Ex duabus aequationibus (Sa) et (SS), èlimihatione quantitatum x, u, et v, differentiatione et integratione quaerenda osset aequatio

s = lt;P (r),

qüa cöntinereniur omnes curvae, quae condilionibus (Sa) et (SS) satisfacerent. Porro determinandum esset r, ita ut s maximum fieret, atque quantitas s, i. e,nbsp;pressio, pro hoe puncto quaerenda.

Sed palet, plurimas esse posse curvas b/b,“, quarum area = D' sit, et cen-trum gravitatis positum in normali ad punctum g. Ex qmbus quaenam igitur sumenda? i. e. quomodo in ponte secundum aequilibrii conditiones construclonbsp;pressio in juncturae puncta esset distribüta?' Ex iis, qui exsistunl, pontibus,nbsp;hujus quaestionis solutionem pètere^ non possumus, quia eorum curvae posiiis''nbsp;condilionibus non satisfaciunt. Oportet igimr, ut ex bypotliesibns, cumnbsp;aequationibus (Sa) et (SS) convenienlibus, unam pro libitu eligamus.

6*

44

Suniamus simplicissiraain, et sit s —quant!tali constant!, !ta lU curva b/b,™ sit recta, juncturaeibd parallela. Area b'b/b,™b” igitur fit rectangulum. Innbsp;rectangiilo autem linea per centrum gravitatis transiens et bas! perpendicularis ^nbsp;hanc !n duas partes aequales d!v!d!t j ergo basis Fb”* punclo g in düas partesnbsp;aequales dividitur, et habemus b'g = g b™. Atqu! patet ex praecedentibiis § §!s,nbsp;g non in media linea b d esse positam, sed modo propius ad dorsum acce-dere, quod saepe fit in vertice fornicis, modo propius ad arcum, quod innbsp;lateribus fornicum observatur. Ut igitur quam maxima juncturae pars pres-sloni resistat, suraamus, pressionem aequabiliter distribui in partem juncturae,nbsp;inter g et proximam curvam sitam, et in aequalem partem, ag versus alteramnbsp;curvam sumtam. Quodsi igitur g propius est curvae arcüs quam dorsi, sumto

et b'g g b™

pressio distribuitur in lineam b'd, et pars superior b b' nullam pressionis partem feret. Sin g propius est curvae dorsi, quam arcüs, sumto b'g=:bgnbsp;et gb™ =:b''g = bg, inferior pars juncturae b^d nullam pressionis partemnbsp;feret. Neutro igitur casu licebit pressionem in totam juncturam distribuere;nbsp;neque igitur in tota junclura cobaesio materiae pressioni resistetj sed tanturanbsp;in parte b b™ (fig. 5“) aut b'd (fig. S'*). Per hanc partem autem et pressio Dnbsp;aequaUier erii disiributa, et vis resistens, quae ex materiae durltie sive cohae-sione oritur, ubivis aeque magna erit: igitur pro quovis puncto ratio internbsp;utramque eadem erit, atque ratio inter totam resistentiam et totam pressionem D'.nbsp;Sufficit igitur determinare juncturam, in qua liaec fiat minima. Ex praeceden~nbsp;tibus habemus (fig. 5*)

g b = U{(v ~y'y (x' — up et (fig. 5'‘) gd = i/{(y —v)’ (u —x)’}

•quodsi igitur vocamus V pondus, quod unitas quadrata materiae ferre possit, aniequam corruat, et T totam resistentiam partis ag d aut abg, eritnbsp;I®. quando g b lt; g d

T'' = 2Vgb = aV i/{(v — y'y (x' — u)’}

46

omni junctiira raanet idem, et ex varlabili faclore v sive y — v j qui solus igitiir minimus fieri debet.

Pag. 38 , aeq. (28) invenimiis:

In fornice y semper positiva est quantitas, igitur secunda quantitas (—1/2D) non est hujus loei; tertia positiva erit, quando m negativa fiet. Igitur quae-rendus secundus coëfiiciens differentialis, et, substituenda prima et tertia quantitate pro y, ex signo deterniinandum, utnira earum subslitutidne in (28) y et S'nbsp;fiant mmzma an maxima.

•' r- nbsp;nbsp;nbsp;1 « •

Ilerata differenliatione ex (39) oritur nbsp;nbsp;nbsp;.....

.^ = (2D —y=‘)8mD.-^(i 8mDy) 2j

quae, substituendo y = nbsp;nbsp;nbsp;2D, mutatur, in

13 nbsp;nbsp;nbsp;--nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;---ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—''{,)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wT.

—— = — (i 8 mD v/2 D) 2 j/2D

oy

quae positiva esse debet. Erit autem positiva pro (1 4-8 mDt/2D) lt;0

unde nbsp;nbsp;nbsp;8mDv^2Dlt;^—inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ fO. ;j,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- :r ü •'

i

¦'^8 DV2 D-^r

(43)

i6mD — t(i6mD)^ pendent hae ila a signo secundi termini, sub radice posili, ut hoe positivo ynbsp;sit positiva; hoe negativo, negativa pro quavis quantitate m: igitur alte-rutra semper est positiva, alterutra negativa, et pertinent ad juncturas, internbsp;quas medias junctura, pro qua j = o est, est posita. Quum autera maximum inter duo tantum minima esse possit, et minimum tantum inter maxima,nbsp;apparet, quodsi posilo y —o Squot; fiat minimum, necessario secunda et tertianbsp;quantitate y substiluta. S'' fieri maximum, igitur pro

et tantum, quando, posito y : quandonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d lt; e ^ i--^ ^,

ponendo nbsp;nbsp;nbsp;y = ¦

Squot; fiet minimum.

Postquam aequationibus (4o) (4i), (43) et (44) quantitatem y computaverimus, quae cum assumta quantitate d S' et Squot; minima reddant, substituendis bisnbsp;quantitatibus in (36) et (3'j) videndum erit, utrum S' et Squot; pro bis juncturisnbsp;satis magna sint, ut absit disriimpendi pericu|um. Sin minus, alia sumaturnbsp;quantitas d, atque idem experimentum repetatur. Sin nulla est quantitas dnbsp;(quam neque cyfra minorem neque e majorem Heet assumere), qua S' et Squot;nbsp;satis sint magna, inde concludatur, foinicem aperturae, altitudinis et crassitiei.

49

2 o, h et e exsirui non licere ex data materia. Eaedem tarnen mensurae con-venire possunt fornici, ex alia materia aedificando , siquidem S' et Squot; sunt in ratione direcla duritiei sive cohaesionis V, et iaversa ponderis specifici p; quandonbsp;V

igitur ratio — pro alia materia major ent, eaedem ^ O, h et e sufficientem

praebebunt resistentiam pressioni normali. Simul autem patet non melius con-suli operis firmitati duriore materia adhibenda, si pondus specificum eMem atque durities ratione creverit.

Ut praecepta hactenus data ad praxin adhiberi possent, oporteret, ut cognila sit quantitatis S magnitudo stabilitati operis necessaria, h. e. ut sciamus,nbsp;quoties resistentia materiae pressionem superare debeat. Quodsi S paullo tantumnbsp;superat unitatem, i. e. si pressio normalis paullo minor est quam pondus, quonbsp;disrumpatur saxum, ex experimentis institutls paluit, semper fere oriri rimas etnbsp;contritiones, stabilitati operis valde noxias: idque saepe obtinuit, quamvisnbsp;pressio ne tertia quidem pars esset ponderis disrumpentis. Ita ex. gr. apudnbsp;WIEBEKINGIÜM (1. c. T. III. p. 5q3.) legimus, saxum in cubi formam sectum,nbsp;quod latus 6 pollicum Bavaric. habebat, et specificum pondus = 2,909,

findi coepisse sub pressione 22,000 libr. (circa 10,000 Kil.), quamvis totum demum corruerit sub pressione y5,ooo libr. (38,ooo Kil.). Itaque hoe exemplo

pro S = quot;’3°^ ( = 3,5 fere) pressio normalis suffecisset ad fornicem pau-

latim disrumpendum, et sequitur, S debere aliquqties unitatem superare. Pro singulis maleriis experimenta essent instituenda, et inde computanda esset tabula,nbsp;quae pro singulis quanlitatibus 2 O et h ita determinaret limiles, quibus quan-titas e contineri deberet, ut nunquam S justo minor fieret.

Quae tabula quamvis in experimentorum adhuc institutorum paucitate slrui nondum possit, formulae a nobis inventae tarnen inservire possunt ad com-parandos varios pontes, pro quibus V et p novimus: et quamvis nesciamus,nbsp;quanta esse debeat S, eatenus recte judicare possumus, quod pateat, illi pontinbsp;raajorem firraitatem jure tribui, in quo S ubivis major est quantitas.

50

De fornice secundum planum quodvis disrumpendo.

F'ieri posset, ut fornix, victa materiae cohaesione, secundum planum quodvis disrumperetur, cujus cura sectione verlicali communis intersectio esset m dnbsp;(fig. 6.). Videamus igitur, quaenam hac in re sint vires continentes, quaenamnbsp;divellentes. Materia cohaesione sua impedit, quominus ejus particulae divel-lantur, et quo major est multitudo particularum cohaerentium, eo majore vinbsp;opus erit ad divellendum: itaque cohaesio K, secundum planum md agens,nbsp;erit vis, proportionalis Ipngitudini lineae m d, et indicabitur hac formula

K = k. m d

ubi k erit cohaesio pro unitate longitudinis. Ducamxis ordinatam dl, et vocemus « angulum mdl, erit md = y Sec«, unde

K — k y Sec «,

Quodsi vires agentes in fornice superiore hanc cohaesionem vincere valent, oportet, ut singulis illis viribus decompositis in duas vires, alteram lineae m dnbsp;parallelam, alteram ei perpendicularem, summa decompositarum viriura mdnbsp;parallelarum major sit quam K. Itaque hujus summae quantitas cognoscenda.nbsp;In parte acdm agunt i° pressio horizontalis pD, quae decomposita secundumnbsp;md, cum ejus directione angulum 90® — ct faciente, praebet vim rad paral-lelara pD Sin u:

2^0 pondus partis acdm; atqui

acdm = acdl q- ld ra = /ydx § y® Tang «. igiturnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G' = p {/y dx 1 y® Tang «}

qua decomposita secundum rad G'Cos « = p (Cos«yydx ly® Sin at} igitur summa virium divellentiumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= p (D Sin « 4- Cos«/y dx 1y® Sin «}

51

aliquoties unitatem superet oportet pro quovis angulo et quavis abscissa y, ut nusquam possit fornix divelli. Oportet igitur difFerentiatione quantitatem «nbsp;quaerere, qua R fiat minimum, et quae inde quantitas R elicietur, haec de-mum aliquoties unitate major esse debet. Sed vetat aequationis forma basnbsp;difFerentiationes instituere, et praeterea, ut inde concludi possit illud, quodnbsp;velimus, oporteret, ut quantitas k cognita esset, quae pro quibusdam tantumnbsp;materiis innotuit. Itaque nobis sufficit, rationem indicasse, qua dijudicarinbsp;debet, utrum accidere possit ejusmodi fornicis divulsio.

De omribm^ a ponte ferendis.

Superest, ut indagemus, quomodo onera ponti imposita in eum agant, quanta sit haec actio, et quatenus ope frictioiiis ferri possit. Iterum hoe loco

excitandus Vir. Cel. nieuportius, qui dissertationis pag. ii6 et seq. primus, quantum equidem scio, hanc aequilibrii conditionem exploravit.

Onera ponti imposita duplici ratione vim suam in pontem exserunt. Primo loco quantitatem composiiae vis D' augent, secundo directionem ejus mutant.nbsp;Addito pontis ponderi onere imposito, crescit summa virium verticalium 5 crescent item pressiones D' in juncturas, in pilas, in moles : majoris igitur cras-situdinis oportet sint et pilae et moles. Sed 2®, idque praecipue hoe loconbsp;spectandum, parte dorsi pondere onusta, arcus pars onusta non ampliusnbsp;aequilibrare poterit caeteras fornicis partes. Manifestum est, quando ex. gr.nbsp;vertex medius tantummodo onere premitur, hunc nimiara pressionem in lateranbsp;exercere, atque hac nimia pressione recendentibus lateribus verticem nficessarionbsp;descendere atque arcum corruere. Sed praeterea dico, aequilibrium nonnbsp;amplius adesse, quamvis totum planum dorsi aequalibiter oneribus prematur:nbsp;quod facile demonstrator.

52

Quando viribus G et D (fig. 7.)) quarum composita D' est norraalis junc-turae b d , accedlt tertia vis G', quae est pondus oneris dorso a b impositi, composita trium virium G, G' et D aliam habebit directionem quam D',nbsp;neque igitur normalis erit juncturae b d. Decomponamus earn in vim b dnbsp;parallelam et vim ei normalera 5 huic inferior pars fornicis resistit, illa veronbsp;vis juncturae parallela, nulla resistentia cohibita, necessario aget in partemnbsp;superiorem, atque hanc sive deorsum sive sursum 'movebit. Qui raotiis utnbsp;impediatur, siiraamus pressionem horizontalem D tanto majorem, ut haec majornbsp;vis cum G et G' composita, iterum sit juncturae normalis, quod fiet su-

mendo D, = D —: nam quando vires verticales et horizontales eadem

ratione augenlur. Tangens anguli inter directionem composilae et verlicalem lineam, quae Tangens est aequalis huic rationi, eadem manebit. Nunc innbsp;junctura b d aderit aequilibrium; sed simul in omni alia junctura, ex. gr. b'd',

deerit. Nam sit (fig. 7.) pondus partis acd'b' = G/, quia onus aequabiliter

a b'

dorsum ab premit, ejiis pars in ab' premens ent = G^ —^5 et summa vi

G G': G

(g, G' ^)-G,: G, = (G G')-G: G

53

a b _ a b'nbsp;a b

denique a b'; a b = G^: G

i. e. areae partium a c d^'b' et a c d b deberenl esse uti lineae a b': a b, quod non locum habebit, nisi sit curva arcus c d recta dorso parallela; quod nun-quam fieri poterit.

Quodsi igitur necessario ex omni onere ponti imposilo sequitur, non amplius ejusmodi quantitatem D posse reperiri, cujus cum cujusvis partis ponderenbsp;composita normalis sit juncluris, patet, aequilibrium non amplius existere posse,nbsp;nisi nova oriatur vis resistens. Eam adesse jam supra diximus, frictionemnbsp;scil., quae motui juncturae parellelo resistens efficit, ut ejusmodi vis parallela,nbsp;quatenus non justo major sit, in fornicem agere possit salvo aequilibrio. Itaquenbsp;jam nobis dandae sunt formulae, quarum ope inquiratur pro quovis onere etnbsp;quavis junclura, utrum vis juncturae parallela contineri possit frictione. Sit D/nbsp;composita virium in a c d'b' agentium et tf/ = b'g n angulus hujus compositaenbsp;cum junctura; igitur

vis juncturae parallela = D/ Cos 4^ cc ccnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;normalis = D/ Sint[/.

Sit TT ratio inter frictionem et pressionem, erit frictio motui se opponens = T D/ Sin 4^; oportet igitur ut sit

T D/ Sin gt; D/ Cos 4^ sivenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;T gt; Cot4'

quodsi in banc forraulam inducimus angulum frictionis 0, ponendo

TT = Tang 0,

habemus nbsp;nbsp;nbsp;ö gt; Col 4^ sive 0 gt; 90 — ij/........(^6)

i. e. molus juncturae parallelus impedietur, quousque D/ cum linea juncturae ad normalem ducta angulum faciet angulo frictionis minorem. Sufficit igiturnbsp;pro quovis onere ejusmodi pressionem horizontalem D, assumere, qua pro quavis

54

junctura angulus compositae D/ (cujus componentes sunt D^, G et G') cum normali lt; 6 raaneat (i). Sin ejusmodi quantitatem D, assumere non possumus,nbsp;qua ubivis fiat ö gt; 90 — 4^, inde patet fore, ut fornix, ponderibus datisnbsp;onustus, corruat, neque licere, sumtas h, e et O servare.

Mutatis viribus D et G, qui in ponte non onusto agebant, inD, et G G', composita ad aliud, quain ante, punctum juncturae applicatur; curva pres-sionum igitur alia erit, et iterum videndum nobis, ut et ad ipsas junclurasnbsp;ubivis applicetur composita D/, et ejus pars D/Sin4/ juncturae normalis ferrinbsp;possit a materia absque comprimendi periculo. Ut prius indagetur, oportetnbsp;ut cognoscamus quantitatem oneris ferendi; ad alterum determinandum nossenbsp;debemus modum, quo hocce onus in singulas arcus partes distributum sit.nbsp;Quod ad quantitatem oneris ferendi computemus maximum, quod unquam innbsp;pontem premere poterit. Constat illud sive hominibus, sive animalibus, sivenbsp;curribus. Statuitur vulgo (2):

ï“ gravissimos currus, sex equis junctos, atque spatium 4o metrorum qua-dratorum continentes , pondus habere gSoo Kil.; itaque pro i ? metro..240 Kil.

2“ equitem ctim omni apparaiu ét armis implere duo metra, atque pondus

(1) nbsp;nbsp;nbsp;De quantitate frictionis experimenta numero exigua sunt instituta. Ratio pressionisnbsp;ad frictionem est

secundum boistardijm [Expér. sur la main d Oeuv^ — i : o,j5

et 1 ; 0,86

secundum rondeletium i^Art de Bdtir, T. III. pag. nbsp;nbsp;nbsp;1 : o,53.

quae magnopere inter se difFerunt. eondeletixjs. addit, saxa, plano inclinato imposita, suo pondere descendere, quando planum facit angulum cum horizonte 28quot; ad 36“ gra-duum, unde elicitur ratio pressionis ad frictionum i ; o,53

et = I : 0,73.

Ne igitur nimium frictioni tribuamus, in ilsquae sequntur hanc rationem ponemus I : o,5o, aut quando angulum frictionis , adhibebimus, faciemus $ — aS®. Itaquenbsp;partes fornicis non descendent motu juncturae paraüelo, quando angulus pressionis cumnbsp;junctura superabit go — $ — 65°.

(2) nbsp;nbsp;nbsp;Conf. iGNAz voN Metis, die Sopkien-Brücke , oder beschreibende Darstellung der

ersten Ketten-hrücke in TVien, Wien 1826. nbsp;nbsp;nbsp;8“ S. 45.

55

habere 4^0 Kil., igitur pro i ? metro................ 200 Kil.

3® Homines in i ? metrum posse coacervari sex, quorum singulis 70 Kil. pondus habentibus, veniunt pro i ? metro.............420 Kil.

Quae si recte se habent, nunquam pons majore onere premetur, quam quando hominum multitudo ejus dorsum implebit, et sumemus pondus 4^0nbsp;Kil. per metrum quadratum tamquam summum oneris. Quod, ut pateat,nbsp;quantum sit, ratione habila ponderis ipsius ponlis, .Tideamus, quam allum saxinbsp;stratum dorso imponendum sit, ut eodem pondere prematur; sumamus mediumnbsp;pondus specificum lapidum = 2,000; erit pondus metri cubi = 2000 Kil. 5nbsp;igitur maximum illud onus 420 Kil. erit fere quinta pars, atque aequabitnbsp;stratum 2 decim. altum ; atqui pontium crassitudo in vertice fere est o’^,5 adnbsp;,i“,5 et 2“; interdum igitur onus impositum magna pars erit ponderisnbsp;ipsius pontis, saepe autem octava erit, aut decima, aut minor etiam ejus pars.

Quod ad modum, quo onus in singulas arcus partes est distributum, vi-dendum, quae distributio ponti maxime noxia esse possit. Ex supradictis satis apparet, omnem fornicem posse spectari tamquam tribus partibus compositum,nbsp;una media, B H, lateribus duobus , A B et G D (fig. 8). Quodsi mediamnbsp;auferimus, latera introrsum cadent 5 hunc motum igitur impedit mediae partisnbsp;In latera presslo: sin latera auferimus, media pars descendet; Igitur ejusnbsp;pondus sustentaiur resistentia laterum j ex aequalitate autem aclionis et resis-tentiae oritur aequlbrium. Quodsi igitur onera imponimus mediae parti, haecnbsp;vincet latera, alque illls amotls deorsum cadet *, si lateribus A B et CD, haecnbsp;medium cuneuin BH sursum prement, iterumque rumpetur fornix j si mediaenbsp;simul parti et lateribus, onus lateribus impositum eorum motum, ab onerenbsp;mediae partis excitatum, impediet, atque contra media pars minus facile abnbsp;onere laterum sursum premetur, quippe ipsa suo onere depressa. Unde con-cludiraus, hoc in casu, i. e. toto dorso ponderibus aequabiliter onusto, minusnbsp;ab aequilibrio recedere fornicem, quam aut media parte aut lateribus tantumnbsp;onustis; itaque saepe onera minora, sed in partem pontis tantum prementia,nbsp;majus ei periculum afFerre. Hoc igitur cogitantes coraputeraus oneris in for-

56

nicem aciionem. Sit (fig. g.) dorsum, a medio a ad b' ponderibus aequalibus onustura: sit pondus in partem quamlibet a bquot; premens = G',

coördinata nbsp;nbsp;nbsp;punctinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y,

cc nbsp;nbsp;nbsp;bquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x' etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o

cc nbsp;nbsp;nbsp;enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d.

Erit G' = n X'

Pondus hocce est vis agens secundum lineam verticalem, per mediam a hquot; transeuntem, itaque distantem a medio quantitate 1 x'. Pondus G partisnbsp;a c d*bquot; agil secundum verticalem, cujus abscissa =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Quodsi duo haec

pondera ad unam vim redigimus, erit composita = G -i- G', et aget secundum

verticalem, cujus abscissa erit

Gu iG'x' nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G'

- G G' nbsp;nbsp;nbsp;^-^G G' •nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;••

Hanc iterum coraponendo cum pressione horizontali D,, habemus angulum

directionis compositae D/ cum verticale hac aequatione

D,

T‘«w' = gTg^ ,

el ^ — fjt,fjt,' sive=: i8o—(h* /aO.........(48)

quae quantitas superare debet go — ö.

Ut coördinatas u' et v' puncti applicationis gquot; inveniamus, habemus ex

triangulis z m g et g n dquot;

u' — u' ^ nbsp;nbsp;nbsp;x' — u''

-^5 = Tang/*^ et —— = Tarig/*

v' = d (u' —' a') Got jM,' v' = (x^ — tl') Got fjt.

(49)

57

Quodsi igitur punctum g positum est in ipsa juncturd, oportet ut sit

u' lt; et gt; Xc

sive nbsp;nbsp;nbsp;lt; y et gt; o

Denique inquiramus, utrum matéries duritie sua ferre possit pressionein juncturae normalem. Modo vidimus hanc pressioncm esse = D/Sin tp; atqui exnbsp;parallelogrammo virium habemus

D/ = D, Cosec^' el D/Sm = D,

Haec pressio iterum agit in partem juncturae, quae determinatur sumtis ab utraque parte puncli g parlibus aequalibits, itaque in partem 2 g b*',nbsp;quando g propius est dorso, in partem vero 2 g dquot;, quando propius estnbsp;curvae arcus; itaque (uti § 6 pag. 44? seq.) reslstenlia, quam praebet materiaenbsp;durities , erit

P = 2 V g bquot;'

P=2Vgd' g bquot; : d^b*' = v' : y

v' nbsp;nbsp;nbsp;•y' ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y'

g M = — d^bquot; = —7; “ = 7;-

y nbsp;nbsp;nbsp;y ^os fjt,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Liosft

g d*' : d'''bquot; = y — v' : y

8

• nbsp;nbsp;nbsp;. §tgt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;

Éxemplum.

13 nbsp;nbsp;nbsp;—

Jc onanius, arcum esse eitruendum

Aperturae 2 O = 120 pedum Gallicorum ¦ ‘ Altitudinis h = 3o lt;c «

¦' • r nbsp;nbsp;nbsp;'Crassitudinis e =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;lt;

Sit porro pondus specificum materiei =2,100. nbsp;nbsp;nbsp;'

Durities ejusmodi, ut centrimetrum quadratum confringatur pondere 92 Kil.;

igitur pro pede quadrato V = 97060 Kil.

Haec data fere conveniunt cum ponte celeberrimo nbsp;nbsp;nbsp;quem confecit

PERRONETius et descripsit in operé egregio: Description des Fonts de Neuïllj,

etc. Tom. I. Itaque, quae ex theoria nostra ducentur, cum ponte revera ex-

sistente comparari polerunt. Duo tarnen hoe loco monenda:

1 ° me sumsisse crassitudinem 7 pedum, quamvis apud perronetium 5

tantum pedum sit, quia ex ipsa descriptiojoe.. pontis patet, stratum arenae,

calcis et lapidum duorum fere pedum arcui impositum esse;

2'* quod ad pondus autem specificum et tiuritiem, quia ex variis saxorum

generibus pons ille confeclus fuit, inprimis autem lapis, quem vocant: pierre

de Saillancourt, ei adhibitus fuit, ex tabula gautheyana sumsi earn hujus

' V nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_

lapidis speciem, numéfö'3 not^tèQöiy quaejnumme esset dura, quo tutius theoriae eventus cum prnxi conferri possent.

Ut igitur ex datis'iformam 'curvae arcus determinare possimus, omnium prima quaerenda est quantitas D , i. e. pressio horizontalis iu unum pedemnbsp;quadratum. Quia D gt; | ((h e)‘‘ e“) esse debet, novimus hoe loco D superare

H37‘ 7quot;) = |.i4i8 = 354,5

59

Ponamus igilur D = 4^0, et simul substitutis in aeq. (B) pag. 34

y = 3f^- et e =

computemus ope tabulae IX légendrii abscissam x, inveniemus —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x = 34r^%4o.

quae abscissa debuisset inveniri = O =

Iterum sumamus

^ nbsp;nbsp;nbsp;D = ipop . f . erit X = 65^32

« nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;800..... cc nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;56,o5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I

cc nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;85onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.....nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;58,63

cc nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;875nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.....nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ccnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;59,80

cc = nbsp;nbsp;nbsp;880..... cc X =, 60,o4 nbsp;nbsp;nbsp;:

Ex postremis hisce proportione eruitur - j, o; nbsp;nbsp;nbsp;ir

pro X = 60 sumendum esse ,

D = 879,15

quae quantltas, ut ad pondus redigatur, multipHcanda est pondere unius pedis cubici, qnod = 71,982 Kil., unde

p D z= 63283 Kil. (i) nbsp;nbsp;nbsp;¦'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;‘ 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ Nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'quot;m

Substitüendo pro O, h, e, et D in aequalionem curvae (B), haec erit

Sin 0 Cos 0

. = .9,859 F-58,886E 58.054 nbsp;nbsp;nbsp;,

sive x=29,859F —58,686E y V/(y‘ —49)P467i6 —y')

ubi nbsp;nbsp;nbsp;€‘‘=0,98587 et fl = Are. (Sin = c) = 83° 10' 22'quot;.

Antequam ope hujus aequationis ipsam curvam computemus, videndum, utrum d, i. e. ordinata püncti applicationis pressionis horizontalis D ad mediamnbsp;juncturam, ita assumi possit, ut pressio normalis ubivis ad ipsas juncturas

-—^— -- - ri*

(i) Pons Neuillianus latitudinem habet ^5 pédüin: 'igitür pressio horizontalis pro toto ponte essét = 45 X 63,283 Kil. fere 2,85o,ooo Kil. Secundum gauthetüm haec pressionbsp;foret r= 2,060,000 Kil.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

s*

60

applicelur; hunc in finem pag. 38 vidimus oportere, lU sit

pro quavis quantitate y. Pro e zm 7 et D = 879,15 prior lerrainus fit 1=

— p—7-:[ = 6'’°^94; posterior terminus semper est posilivus: igitur ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0274,9j

c

toia quantitas superat 6p'^',9 ; atqui d, pro crassitie 7 pedum , intra 2 et 7 pedes est (i); igitur nihil impedil', quominus ita sumaraus quanlitatem d, utnbsp;formulae (31) satisfiat, ‘nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. . , . ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—

Deinde videndum, ulrum d ita sumere possiraus, ut in quavis junctura materies sua duritie resisiere possit pressioni normali. Quando punctum ap-plicationis pressionis pföprius est dorso, quam curvae arcus, ratio S' internbsp;resistenliam T' et pressionem D' maxima aut minima est' pro ea junctura, pronbsp;qua V maximum aut minimum ést f v auteni~maximum aut minimum tantumnbsp;fieri potest, (pag. 46) pronbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“

' nbsp;nbsp;nbsp;y = l/2 n, y= —aiity = —

y = v/2 D , nobis = 1/(2 X 879,10) = 4ii’quot;\93 v maximum reddlt: nam , quia

ut modo vidimus, d lt;e nbsp;nbsp;nbsp;lt;6,94 est sumendum, m=:enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;“^d

'df

/o

'quot;(i) In omnibus quae scquuiitury sempèr''Volmmiis’, ut pressio'’nón'premeret in supe-riorem juucturae partem, quia in ponte hdec superior pars arena 'et calce maxime constat; et pressioni igitur resistere non posset. In nostro exemplo cuneus medius tantum alti-tudinem 5 pedum habere censetur, ceteri duo ppdes arena constant; itaque d sempernbsp;aP'd major erit, et ^i?ea minor: punctum applicationis autem in media junctura curvaenbsp;dorsi erit propius, quando dlt;4,P”^5; curvae arcus propius, quando d gt; 4,P«‘*5.

9

61

adhibendae sunt y = nbsp;nbsp;nbsp;et y —oigiittr'nöbis S^ erit raininaumi'pro

y= 7*quot;^' i. e. pro junctur^ verlicis, et prÈt-iiats juuQtura fit v =zd — 2. Se-

. nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•. ï o j quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;--nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•lt;.

LU' atrlii' Jii igt;b ,filiiiiil)io Jiio

2 V V 2 V (^d — 2)

pD nbsp;nbsp;nbsp;p

‘ nbsp;nbsp;nbsp;’.—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.97060nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;liiMnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;UI . inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ctt

I nbsp;nbsp;nbsp;pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7.'tj982nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,clt; Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ujidjenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;')nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

F= nbsp;nbsp;nbsp;'t Binbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C,|.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3

g, nbsp;nbsp;nbsp;_ 2) ^‘s^o'e^s'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fe,135o.

.71,982:879,cl, ' nbsp;nbsp;nbsp;- b ^

Subslituendis pro, d parijs quanlitatibus, eruuntur, quantitates S'' in tabella

pag. 63 iradendae: quia aulem haec formula tantum inservit computandae ra-[-03 i3t| :v — lêo toiiiiUi Mi :o ¦ LodilMilnüp .ïik.-.. lioni S', quando punctitm g dorso propius, quam curvae arcus, d hic 4j^x5

V. : nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- O!--', .dbi i.'UJji.i) iiiüij.- it ij: :-(-V —Ünbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;——

excedere non debet. nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fi

Quando plinctuni applicaüonis pressionis normalis propfius est cufvae arcus, quam dorsoT^ ratio S'quot;' inter resisteniiam Tquot; et pressioném Dquot;” maximüm aut minimum fret pro y—v raaximo aut miiiimo. Pag. ^’^ 'vidiftiusfy^v' iamuniriiaxi-

' ~ t - V „ Li '‘i-; L. ; i) ..;!j f Illh':' ifil ^

mum aut minimum fieri posse pro y =‘0 et y =--^—rr -f 17-^—=7^' 2 1)1.

- nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t.c lomD—((ibmD)'^ J

vi nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'t

Quia m positivumi; e. d lt;e f i J , y ±::ó .facit y

„ nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' ¦’ ~ I ' ‘fI— quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i

igitur Squot; minimum fit,po ly 5= ”—0 nbsp;nbsp;nbsp;lertia quan-

titas y, quippe necessario nëgativa, extra limïtcs iróstri exempli cadit.

Pro vario d varia erit: junctura'J qua S''' minimTim; nam quantitas y, quae

juncturam indienty^pendeïiabVmbl'm fiutem a xl.. ' -__j, . jjjjsjj ,,j|

Ex (38) et D = 8795!^'hdbömliS'i’'

pro nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3,5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;16nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,01.66- ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i3,p=^i2

(( nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;16nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o,oi4inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ii,r‘’^5o

« nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4gt;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;16nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i=:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o,ötjlt;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=

« d = 5 ^i6^mJD = 0,0093 ‘'y5=

« nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i6mDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,0045nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3,P'‘*8o

« nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;==nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6,'5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;U6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ra D'èrnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,0021nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,®'^84i

, „ nbsp;nbsp;nbsp;d = 6,ï'^5.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= or^So

2V (y—v) nbsp;nbsp;nbsp;2.97060 (y747-v)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;W/

his subsmulK m S' = —j^5-^=^^gp^ = 3,0675 (y-v)

i '. nbsp;nbsp;nbsp;1. 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

eruuntur quantitates sequentis tabulae, in'^ua etiam Squot; pro d lt; 4,^‘^5 compu-tavimus, quia fieri potest ut in média junctura pr^ssionis punctum applicationis propius sit dorso, in ea junctura autem, pro qua Squot; fit minimum, contranbsp;punctum g proprius accedat ad curv^ arcus. ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7

63

Ex hac tabula palet pressionem horlzontalem ia mediam fere juncturam debere applicari, ut ubivis maxima resistentia praebeatur. Itacjue sumta (fig. lo)nbsp;d = materiei durities ubivis septies saltern superabit pressionem normalem.

Constat jam quantitates O, fa, e, et d ita esse determinatas, ut absque fric-tione fornix sit in aequilibrio. Nunc delerminanda forma arcus curvae, quae conferatur cum curva Neuilliand: itaque per form. pag. 5g computavimusnbsp;coördinatas, simulque angulos juncturarum cum yerlicali linea ope aeq. (19)

pag. 29.

•Agt;

Simul autem computavimus 'abscissasi curvae? pontis Neuilliani, cum iisdem ordinalis atque nostrae abscissae convenientes, alque interpolatione facillimenbsp;inveniendas ex perronetii tabula: evenlus autem omnes in tabulam sequen-

tem conlulimus, atque ex hac confecimus figuram decimam, in qua curva

7. ..

inferior est curva aequilibrii, superior autem, punctis hotata, est Neuilliani pontis curva, composita ex arcubus circulorum, ex ii ceniris diversis duc-torum.

65

quaravis eadem cur Va arcus, fornices duos non sibi similes esse quod ad aequi-libriura, nisi eaedem quoque sint directiones juncturarum: quod hie locum non habet: nam et in Neuilliano ponte et in nostro juncturae normalesnbsp;sunt curvae arcus; unde inspectione fig. lo. facile ducitur, aliam, praecipuenbsp;in parte inferiore, esse earum directionem in Neuilliand curva, quam in nostra.nbsp;Praeterea fornix quisque Neuillianus a parte posteriore terminatur piano vertical! , quo separator a proximo fornice; ad nostrum autem fornicem pertinetnbsp;massa prismatica longissime se extendens, quaque demta manifestum est, aequi-librium non amplius exsistere. Itaque omnino inde concludalur oportet, Neuil-lianum fornicem absque frictione et partium cohaerentia in aequilibrio nonnbsp;esse; de hisce autem viribus postea fusius videbimus.

Jam ad nostram curvam redeamus. Ulterius progredientes videaraus, utrum fornix caeteris aequilibrii conditionibus satisfaciat, i. e. utrum nonnbsp;possit disrumpi secundum planum quodcunque, a juncturae piano diversum,nbsp;et utrum onera ponti imponenda possint ferri absque aequilibrii detrimento.nbsp;Ut prius exploremus, cognitam habere debemus materiae vim cohaesionis, quae

sese opponit viribus divellentibus, e^ue in formula (45) pag. 5o adhibila delerminare, utrum haec cohaesio ubivis satis resistat viribus divellentibus.nbsp;Sed pauca tantum exstant experimenta, iisque pro duabus tantum materiis ea visnbsp;fuit determinata; ea scil., quae reperiuntur apud coulombium (i). Haec autemnbsp;non adhiberi possunt ad saxum, ex quo Neuillianus pons fuit aedificatus.nbsp;Itaque coacti sumus hujus quantitalis ignorantia, banc disquisitionem omiitere,nbsp;atque statim ad actionem' onerum in pontem procedere. Ad banc determinan-dam adhibemus aequat. (48) (49) et (5o), pag. 56 et 57, quarum openbsp;explorandum

1“ utrum composita ubivis applieetur ad juncluram sub angulo, comple-mentum anguli frictionis excedente;

2° utrum ad ipsam juncturam applieetur;

(i) 1. c. 1773. pag. 348.

9

66

3“ ulruru pressio juncturae normalis, oneris accessione aucta, ferri possit a materiae duritie.

In his aequationibus utiniur quantitatlbus x', «, et G; hae ante sunt cora-putandae ope aequationum x' = X y Tang

ct —X — y nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Col/* H- e

G = D Tang

quae eliciuntur ex aeq. (9), (10) et (26), substituendo Tang^tt pro — , et

dy^

Sec°/* pro ‘invenimus :

Sumaraus (fig. 10), dorso imponi onera inde a media junctura usque ad eam, quae convenit cum y = i. e. inde ab x'=:o usque ad x'=r36,r!^9i. Pag. 55nbsp;invenimus, pondus in metrum quadratum premens = ^sse: hinc sumendonbsp;pedem quadratum Gallicum=:o,i^“io55 (i), erit onus in i®^p'^=:42o’'^'*Xo,io55nbsp;= 44gt;^'3i9; sed quia pro virium unitale sumsimus pondus pedis cubici materiaenbsp;adhibitae = 72,^^982, hoe onus dividimus per 72,982, et haberaus

44j^3i9

72,^*982

(1) Lacroix Arithmét. pag. 149.

67

unde nbsp;nbsp;nbsp;G'= nx'= o,6i57X^

Porro surasimus pressionem horizonlalem D, eandem, quam antea D = 879,15.

... nbsp;nbsp;nbsp;D

Habemus igitur, quia Tangyit'= j—sequentes quantitates

Ex qua tabula videmus, angulum pressionis cum junctura paulum difFerre ab angulo recto, eumque longe superare complementum anguli frictionisnbsp;90 — 0 = 65°.

Caeteris non mutatis, sumamus onus premere partem dorsi mediara usque ad juncturam, quae convenit cum y=:i8P'^, i. e. usque ad x'= 56,f°^92:nbsp;omnia manent eadem usque ad ƒ z=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deinde aiitem G' major quam antea

fit, et mutatur in /z'; habemus nunc:

Iterum 4^ f^re rectus longe superat 65°. Neque minim. Quae enim vis ac-cedens G = 35,o4 causa est, ut non adsit aequilibrium in fornice, utque igitur frictione opus sit ad impediendum partium motum, est haec adeo parvanbsp;ratione habita reliquarum virium 0 = 879,15 et G=: 569,91, ut et quantitasnbsp;et directio compositae necessario parvam tantum mulationem subire debeat.

Sin sumimus, etiam remotiorem dorsi partem onere premi, ex fig. 10 patèt, onus hocce, ratione habita maximi poaderis cuneorum, ex quibus haec parsnbsp;constat, plane posse negligi, et praeterea frictionem, quae in tarn longis

9*

68

juncturis est maxima, omni motui validissime resistere. Quum igitiir videamus, medium fornicera esse ab omni motus periculo tutum, eo certius, etiam nullonbsp;instituto calculo, concludere possumus, caeteras partes satis esse firmas.

Sed quamvis composita paullum tantum a normali recedat, curva tarnen pressionum aliam habet figurara, et fieri potest, ut non ubivis ad ipsara junc-turam applvcetur: calculo igitur indagemus, utrum ordinatae punctorura g, g'nbsp;sint inter o et y comprehensa. Sumimus, D habere ordiuatam d = 4^®^5; per

G'

forraulam (47) «' = « — (et — i x'') ^ invenimus a'; deinde per formulam

d Tang u,' x'— a! nbsp;nbsp;nbsp;, i ,

(49) 'v' = Tang fi.' Tang/T nbsp;nbsp;nbsp;^abemus nsdem atque antea

hypoihesibus quantitates in sequentem tabulam relatas.

Antequam vero utamur postremd aequatione ad determinandiim v', hanc ita transformemus, ut aptior fiat calculo logarithmico. Habemus

/ _ d Tang ia' nbsp;nbsp;nbsp;— u' _ (d Tang [jt' -{-x' — u') Cos Cos /4

Tang /x' Tang /x nbsp;nbsp;nbsp;Sin {y/ -f- /*)

Cos /X (d Sin (x'—af) Cos fjtf) d Cos u, nbsp;nbsp;nbsp;f . x'—ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l

- nbsp;nbsp;nbsp;--nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- |Srn iL» Cos /x'j

X'—65'

69

Videmus quantitates y' omnes rainores esse quam y, itaque pressiones ad ipsas juncturas applicari.

Denique pressio juncturis norraalls cum duritie materiei conferamus ope aequalionis (5o) pag. 57.

2 V (y—'v') Sin /a'

p D, Cos [A Sin (/*' 4- [a) quae hic ex duabus allatis aequationibus sola est adhibenda, quia ex quanti-tatibus y et V patet, puncta g propriora esse arcus curvae, quam dorso.nbsp;Substituendo pro V, p, D habemus

Squot; = 3,0675 (y—vQ Sin^^

Cos Sin (/*'4-;a)

uiide ductae sunt quantitates sequentes

i^uantitaies 0 igiiiu ijuotjue saus magnae sunt.

Ex omnibns, quae hactenus disputavimus, tandem concludimus, fornicem, cujus aperturae latitudo sit 120 pedum, altitudo 3o pedum, crassitude innbsp;vertice 7 pedum, ex data materia posse confici, qui ab omni parte sit stabilis.

70

§ 10.

Datd curvd ar cés et directions juneturarum^ invenire formam curvae dorsi.

T?iansimus jam ad secundam problematis nostri partem sol vendam, qua quaeritur: ex cognita curva arcus et directione juncturarum ita determinatenbsp;curvam dorsi, ut satisfiat omnibus aequilibrii conditionibus, § enunciatis.nbsp;Qviae solutio adhibenda erit et ad dijudicandas formas pomiuro jamjudumnbsp;exstruciorum, in quibus dorsum valde est incurvatum, et ad computandamnbsp;optiraam pontis figuram ils in locis, ubl et ripae paullum supra aquas emi-nenies, et navigia majora per fluvium quotidie vecta non evitandam necessi-tatem adferant construendi fornicis supra ripas mul to prominentis.

Sint uti in praecedentibus $ $

X, y, coördinalae curvae arcüs c d X.', y',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ccnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dorsi a b

u, v, nbsp;nbsp;nbsp;«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pressionum eg

.2 O aperturae latitudo, h aperturae altitudo,

e crassitudo in vertice sive altitudo clavis, d ordinata puncti curvae pressionum, in summa junclura siti,

D pressio horizontalis,

D' pressio normalis juncturae curvae b d,

G pondus parlis a b d c, a abscissa centri gravitatis partis abdg,nbsp;fjt, angulus juncturae b d cum linea verlicali.

ri

Quia in omnibus fere pontibus (i), qui exsislunt, curva arcus est circuli pars, nos quoque earn faclmus circularem. Sit igitur r radius circuli; habe-mus aequationem

{2r —(x—e)} (x—e}. nbsp;nbsp;nbsp;............. (r)

Porro habemus aequationes aequilibrii (pag. aS) nbsp;nbsp;nbsp;'

D D'Cos jt* = o ....... :......(2)

G D' Sin jtt o..............(3)

Dd D'vCos/» — Gfls — D''uSin/» = o........(4)

G =/ƒ dx —/jMx'H-1 (y' y) (x'— x)........(5)

G « =/yxdx — /y'x'dx' 1 (x'® — x“) y' § (^'’ — nbsp;nbsp;nbsp; ^x) (y — y') • • (6)

..........(7)

dD = o .................(8)

* nbsp;nbsp;nbsp;'''nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m

et quando iterum juncturas curvae arcus normales sumimus, Tang/A=^... (g) Ut ex hisce aequationibus simplicissima ratione pervenialur ad aequationemnbsp;.curvae dorsi, transferatur origo e summo dorsi puncto in centrum circularisnbsp;curvae arcus, et sumamus (fig. ii.); Mi = y, id = x, Mh = y', hb = x',

Mk = v, kg = u; oportet igitur, ut in formulas (i) ad (9) substiluamus: r e — y pro y, r e — y' pro y% el r e — v pro v; diun x, x' et unbsp;immutata manent. Habemus igitur pro (i)

= nbsp;nbsp;nbsp;...............(jo)

pro (5) G=/(r e—y)dx—/{r e —y'}dx' |{(r e)—(y' y)}(x'~x)

= (r e) (x —xO (r e) (x' — x) nbsp;nbsp;nbsp;dx —| (y' y) (x'—x)

=yjrMx'—Tydx —é(y' y)(x'—x)...............(ll)

(i) La hirivs (in Mém. de Vacad. 1702 pag. 100—io3) citat constructionem curvae arcus, qua Parabola elEciatur (Vid. Corresp. Mathém. T. II. p. 77) quaeque secundumnbsp;GAUTHEYtjM (1. c. I. 253) adhuc videtur in usu esse: apud belidorium (I. c. p. 443) Ellipticanbsp;forma pontibus adhibenda memoratur. Verum, quantum equidem scio, neque haec,nbsp;neque ilia curva unquam usurpata fuit ad pontes majores exstruendos. Vid. de formanbsp;dorsi, cum curva arcus Ellipticd conveniente, bossut, Mém. de VAcad. Jyy4. P' ^^4nbsp;et suiv. et KiErpoRT 1.'c. pag. 55 et suiv. o

73

quibus substitutis in (17), fit

xf

y'°d— — y®d—= 2 D d —

y nbsp;nbsp;nbsp;y

sive nbsp;nbsp;nbsp;y'® — y“ = 2D ..............(19)

quae est aequalio simplicissima et calculo accommodatlssiraa. Atqui ex aequa-

tione circuli et ex iis, quae modo vidimus, nbsp;nbsp;nbsp;~ —--, est

' nbsp;nbsp;nbsp;±nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^/anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2^anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__ ya »

y'^ (r* — y“) = x'*yS y'^r- = (y'* x''quot;)y“

j»aY^a

et nbsp;nbsp;nbsp;7®=”:-7 nbsp;nbsp;nbsp;...............(20)

quod substituendo in (19) habemus

• nbsp;nbsp;nbsp;j*aY^^

y'®---—- = 2Ïgt; ........... . (21)

sive nbsp;nbsp;nbsp;(y'“—2 D) (x'^ y'^) — r^y'^rzo ..........(A)

quae esjt aequatio inter coördinatas curvae dorsi (i).

In hac aequatione inveniuntur duae quantitates constantes r et D. Deter-minantur hae 1°. conditione ea, qua debet pro y = r — h x=:0 esse, unde substituendo in y® = r® — x®, eruitur:

(r —h)^ = r® —O®, 2rh —h® = 0®, h® O®

quot;=“Trquot; ...............

2”. pro y = r oportet ut sit y'=:r-{-e, quod siquot; substituitur in (19), haec fit (r e)® — r® = 2 D

^ nbsp;nbsp;nbsp;2 r e e®

et nbsp;nbsp;nbsp;!gt;='-— ................(28)

dy

Tertiae conditioni, ut sit ^=0 pro x = o, sponie satisfacu aequatio (A).

Ex forma hujiis aequationis patet:

jmnm pj,(j ^ ct — x' aequales quantitates y', et pro y' et — yquot; qequales

(i) Hoe problema primus, ut videtur, solvit Chardounüs (Vid. Mém. de VAcad. Histoire pag. 53.). Nieüportius (1. c. pag. 49 seqq.) fusius de eo egit.

10

74

quantitates x' inveniri. Itaque curva constat quatuor brachiis aequalibus et similibus, singulis positis in singulis quadrantibus, in quos per axem horizon-talem et verticaletn distribuitur omne spatium circa originem M. Nobis nuncnbsp;tantum spectanda sunt brachia supra axem horizonlalem posita;

2quot; pro x' = oo aequat. (21) fit ^“^=2 0, unde

Y — irV^ D=: t/(2 r e e^)

Quodsi igitur ducatur linea q p q' (fig* 12.) parallela axi abscissarum, et ab ea distans intervallo = 1/(2 r e e®), haec qpq' erit asymptota curvae.nbsp;Cum eadem quantitate y' convenit ex (19) y = cgt; et igitur x = r.

3“ difFerentiando (A) habemus

y'dy' (x'“ y'^) (yquot;quot; — 2 D) (x'dx' y'dy)—rquot;y'dy' = o. y'dy'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— r“)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;— 2D) (x'dx' y'dy') r= o

(yquot;-^2 D)x'

rquot;quot;) 4- (y'“ — 2 Ü)y'

Ex (20) r^ = ^

Si in hanc formulara substituimus x=o, fit ¦jjp'=r'p; unde sequitur, diree^ tionem curvae dorsi in summo puncto a (fig. 11.) esse horizontalem.

4“ Quia curva ha^et directiopem horizontaleni in puncto a, el simul asymptotam horizontalem q p q% oportet, ut in superiore parte concava,nbsp;deinde aulem cqnvexa sit ratione axis horizontalis. Adesi igitur punctumnbsp;inllexionis. Ut hoc definiamus, estnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

d^y^ (y'°—2 D)y'3(6Dx''°—y^)r^y^^_^'r^y'K6Dx'^—ygt;^) dx'^~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(y'“—2D)(2Dx'‘quot; y'4j|3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ (2Dx'® y*'-)®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* ' .....

, nbsp;nbsp;nbsp;d^y^ '

Pro puncto inflexionis habemus ^73» =°5 igitur

y'5(6Dx^“—y'quot;y = o.

Huic aequationi duplici modo satisfieri potest; sed qula ex y'^ = o, sequitur X = iraaginariae quantitati, oportet ut sumamus

6Dx'® — y'^^rzo sive y^'^^zz 6 Dx'quot;^.........(26)

76

/a nbsp;nbsp;nbsp;2 D-

quae, substituendo ex (A) x'^ = —= nbsp;nbsp;nbsp;—J’

4^ 6D/V 2D-yquot;) y —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y'^ —aD

y'a^y/a - 2 D) = 6 0(1^^ 2 D —^ y'“)

y'^ = —2D v/{6D(r“ 2D)H-4D“}

y'= gt;/{ 1/(160“ 6 Dr^^) — aD}........ . (27)

ex (juibus quantitatibus tantum positiva y ad nostram curvam pertinet.

Hanc substituendo in (26) habemus ,

^ nbsp;nbsp;nbsp;y'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{v'(i6D“ 6Dr‘) —2D)“

^ -GDquot;quot; nbsp;nbsp;nbsp;6D

16 D“ 6 D 4 0=^ — 4 D v/( 16 D“ 6 D r“)

“ nbsp;nbsp;nbsp;6D

2oD“ 6Dr“ —4Di/(i6D* 6Dr“)

— nbsp;nbsp;nbsp;6D

et nbsp;nbsp;nbsp;X'= 1/{| (10 D 3 r“—a v'(i6D“ 6 Drquot;*)}nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..... (28)

Ope aequat. (27) et (28) puncia inflexionis sunt construenda. Totius cur-vae constructionem simplicissimam exhibet Nieuportiüs 1. c. pag. 49 — 5o.

5quot;. Areara partis fornicis invenimus formula

G = D Tang/* = —D^ = D^,......... (29)

et pressionem juncturis normalern habemus ex (2) et (3) pag* 71

D' = D Sec ƒ* = D 1/(1 Tang“ /*) nbsp;nbsp;nbsp;l/(x'* y'^)

Atqui ex (A) est nbsp;nbsp;nbsp;_ -j)j=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, igiwr

Dr nbsp;nbsp;nbsp;_ r r

0'=-TT-^-=t=:D —=:G— nbsp;nbsp;nbsp;..........(3o)

t/fy^ — aD) y X

78

unde ffiiiX' — |yVquot; — x ty J y'l±} r' D) N. log. nbsp;nbsp;nbsp;. • (35)

Porro, quia ex x“ = r“ — y| sequitur xdx = —J

/y X dx = —/yMy =

quibus substitutis in Ga

G a = D p«=D-^ «= X y'x'quot;—Ir yquot; §y'3 |rVaDW .Log. nbsp;nbsp;nbsp; 1 y® — I y'x'’ 1 yxquot; G

=y'(Jx^^ —X r^ xy'“) |y (ygt;: x“) |r’ t/aD N.Log. nbsp;nbsp;nbsp;^

u nbsp;nbsp;nbsp;(nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tv^-4-2DI

G,.=D-«=D-, = 5ry{p:i:^-3} }fyH,it.^-(aD) N.Log. JL±__j C . . (3,)

Ex qua aequatione, cum y^® ¦— y* = iD, y“==^’—x*,/et y : x; conjuncta facile invenitur aequatio inter «, u, et v, cujus ope ex (34) eli-

O’

rainanda esset a, et haec eliminatio facile insliluitur, sed tam complicata oritur

7 nbsp;nbsp;nbsp;-

formula inter u et v, ut nullius nobis usus esse possit. Idem igitur facien-

• ii' nbsp;nbsp;nbsp;. O .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦

dura, quod in priore exemplo fecimus, ut singulorum punctorum g coördi-dinatas computantes videaraus, utrum ubivis in ipsis juncturis sint posita.

Ut videamus, utrum materies ubivis sua duritieopressionem juncturis nor-malera ferre possit, habemus nbsp;nbsp;nbsp;, s '— ' qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ¦,y,.. ,

i“ quando punctum g dorso propius est, quam curvae arcus, pressionem

r nbsp;nbsp;nbsp;^

normalem p D' = p D— = p D Sec /ot ex (3o); resistentiam T = 2 V(y' — v) Secft;

^ nbsp;nbsp;nbsp;:r . ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(

et rationem inter utramque: nbsp;nbsp;nbsp;(j

c, _ (y —^) Sec j» ^ 2 V (y^—v) ^ nbsp;nbsp;nbsp;^

pDSec/t L , pD,

2”. Quando punctum g proprius est curvae arcus quam dorso, habemus

T»' = 2V(v—y)Sec^t a.yXY^ygt;A

”0^

79

Igiiur quaerere debemus junciuras, in. quibus y'-~v et v—y fiant minima; et bis minimis substituendis in (38) et (3g) videre, utrum S' et Squot; sint satisnbsp;raagna. Quantitas v ita iavenitur: ex (37) babemiis, substituendo y'“—2D pro y»,

sive

^ = nbsp;nbsp;nbsp;D) l D N. Lognbsp;nbsp;nbsp;nbsp; -^} ¦ • ¦ (4»)

Sed ex (32) et x: y = x': y', est

x' (u—a) = j' (d''—v)

X'

x' (^yV—= y' (d—v) v^^ y') = x'« d' y'

^ V -—^y-.....-=X-« dV-

V y' / nbsp;nbsp;nbsp;y'(y''—2D)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Z' d X'fl! ’\

V = (y'“—2 D) nbsp;nbsp;nbsp;j

in quam formulam pro -7—7“ substiluendo ex (4o) habemus:

Quodsi non y' sed y in quantitate v volumus, pro y' substituimus p'(y* 2D), et habemus

y* (d'D i/(y2-l-2D)(3D-y3-2D) nbsp;nbsp;nbsp;, ï y -rwTiT T v'(y^ 2D) v^2D)

y'fd'D C . j . (D-y’)t/(y’ 2D). , nbsp;nbsp;nbsp;. xwnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i/(yquot; 2D) |/2

quot;Dl r» nbsp;nbsp;nbsp;3y“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; jy ?l/2D N.Log ^(y. 2D)-v'2D } ' ‘

Ex hisce (4i) et (42) determinantur quantitates y'—v et v—y, earumque minima, quae differentiando inveniuutur; sed sunt illa iterum ita complicata,

80

ut praesiet pro variis juncturis quantitates S' et S® computare, et hinc deter-rainare, utrum ubivis satis superent unitatem.

Quod ad caeteras conditiones, quibus jubetur, ne fornix secundum planum , quodvis disrumpatur, aut onera a ponte ferenda aequilibrium perturbent, iisdemnbsp;atque ante formulis est utendum. Itaque statim ad exemplum transimus.

§ 12.

Exemplum,

I^onamus, curvam arcüs esse circuli partem descriptam radio r = 87®'^

Aperturae altitudinera.....................h= 35^'^

y) latitudinem....................2 0=i4o^®^

Crassitudinem fornicis in vertice.................. 3^“*

Pondus specificum materiei.................... 2,4

Quia I Pes Angl. = 3,^“quot;“0479868, est i idem cubic. = 28,3r65 decira. cub. j igitur

Pondus pedis cubici, circa ................ p = 68*“

Pondus, quo materiei centrimetrum cubicum disrumpatur . . = 200^*

Sed 1 pes angl. quadr. = 929,D®®quot;*0225; igitur pondus, quo pes quadr.

hujus materiei disrumpatur...........................

Mensurae, quas boe loco sumimus, fere conveniunt cum ponte celeberrimo in Anglia, quem william edwards exstruxit annis 1746—17^6 in flumine Taafnbsp;prope Llantrissent in comitatu Glamorganensi (i).

(i) Vid. J. Savage on Bridge Building; Wiebek.. Tom. IV. p. i83; Encyclopaed. Metropol. in voce Bridge, p.8o5.

^ jPunclum inflexlonis reperitur per formulas (27) et (28) ,

y' = V/{v/(i6D^ 6Dr=) —2D}, et

Ex 0=267 etr^='87,5 Tiabemasi^(r6D®-1-6Dr“)= t538,556, et 2D=534, unde y'“= 1004,556, y' = 3ir'^,69, et x' = 25i'°^,io.

Punctum, ad quod hae coördinatae pertinent, cadit extra curvae nostrae li-mites: unde concludimus, lotam curvam, qualenus a nobis adhibetur, esse sursum convexam.

Ut pateat, utrum dorsi inclihatio ad horizontem satis parva facilem adscen-sum praebeat, computemus angulum Tangentis extremi puncti B cum horizonte. Pag. 74 form. (24) vidimus:

t'y’ nbsp;nbsp;nbsp;—2D)x'’y'_ y^x'y'

2 D x'“ y'quot;’^ nbsp;nbsp;nbsp;2D x'^ y'

y''= 57r“'*,36, x'' = 76p'’‘‘,48, jz=52^^%5, unde dy'

—mnS; igitur Tang 1,128, et(jb = 48°26.

Tanta igitur est dorsi convexitas, ut omnino transiri nou possit.

Quamvis jam hinc manifestum sit, nostrum fornicem pontis officio fungi non posse, videamus, utrum omnibus aequilibrii conditionibus satisfaciat. Primumnbsp;ut exploremus, utrum pressio ubivis ad ipsas juncturas applicata sit, adhibe-mus formulam hancce, ex (4i) et (42) compositam:

D L r

in qua reperitur quantitas constans C, quae prins est determinanda Pro y = r fitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y' = r-i-e, et v = d' ; igitur

Habemus ^=87*’®^5j 6 = 3p®^, D=:267, etm=o,43429; hinc —23493,9, et substiiuendo omnes numeros pro literis

11quot;

84

f nbsp;nbsp;nbsp;3 3 I o8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

sr=o,0037453y»|89^—|(y' — y) i3,3o2 log.^;—3,o6859j o,oooi3o6i y=d^

Quantitates v pendent a constante d', i. e. a positione puncti applicationis pres-sionis horizontalis ad juncluram in vertice fornicis ; d' aulem semper gt; 87’?“*,5 et c- 90,p'^5 est. Videamus pro variis d', intra hos limites contentis, quae-nam sint v.