NOUVELLE TH�ORIE DE L�ACTION CAPILLAIRE, i vol. in-4�quot; fig-j i83i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i5 fr.

A LONDRES,

TRAIT�

M�CANIQUE;

PAR S. D. POISSON,

Membre de I�lnstitul, du Bureau des Longitudes et de TUniversite de France; des Soci�t�s royales de Londres et d��dimhourg; desnbsp;Acad�mies de Berlin, de Stockholm, de Saint-P�tersbourg, denbsp;Boston , de Turin, de Naples, et de plusieurs autres villes d�Italie;nbsp;de rUniversit� de Wilna; des Soci�t�s, italienne, astronomiquenbsp;de Londres, philomatiques de Paris et de Varsovie, et des Sciencesnbsp;et Arts d�Orl�ans.

TOME SECOND.

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

1853

^V\l\\^/VVVVV\VV^\lVHKlVV\%\�VV^VVU\^A^/VVV�VVVVVV^lt;VV\��A%�^%VVVVV\^^lVt^lV\lVVV\^(VA/WVVVWVVVVV�/%lVMA

TABLE DES MATI�RES

LIYRE QUATRI�ME.

DYNAMIQUE,

CHAPITRE P'. Principe g�n�ral de la Djna-mique, nbsp;nbsp;nbsp;page i

�nonc� de ce principe, dont l�auteur est D�Alembert, et d�apr�s lequel on ram�ne toutes les questions de Dynamiquenbsp;a de simples probl�mes de Statique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 35o

Autre �nonc� dum�me principe, dont l�avantage est de con-duire imm�diatement a des equations entre les donn�es et les inconnues de chaque probl�me,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 35i

En vertu de ce principe, les tensions des liens physiques d�un syst�me de points mat�riels, et les pressions exerc�es sur desnbsp;surfaces ou des courbes donn�es, se d�terminent, dans l��tatnbsp;de mouvement, par les m�mes r�gies que dans l��tat d��qui-libre; les forces motrices qui agissent sur les mobiles se

TABLE DES MATI�RES.

d�composenten/;rcef perdues, qui produisent ces tensions OU pressions , et en d�autres forces qui font variev les vi-tesses des mobiles ; exeinples de ce double effet des forcesnbsp;donn�es ,

Extension du principe general de la Dynainique aux percussions consid�r�es corame des forces motrices qui ont lieu pendant un temps tr�s court et produisent des changeinensnbsp;brustjues de xitesse; influence que peut avoir Ie frottementnbsp;pendant l�action de ces forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 353

Application du principe general au mouvement de deux corps pesans pos�s sur des plans inclines et lies par un fil inex-tensible � tension de ce fd ; determination des vitesses ini-tiales, �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n-354 et 355

Mouvement d�une chaine pesante pos�e sur deux plans incline's; dans quel cas la chaine demeurera en �quilibre,

Mouvement rectiligne de deux points mat�riels soumis a leurs re'pulsion ou attraction mutuelles,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 867

Les formules de ce mouvement s��tendent k deux corps solides dont tous les points ont des vitesses parall�les a une in�nienbsp;droite; mouvement du boulet et du canon pendant que Ienbsp;boulet est dans Ydme de la pi�ce ; hypoth�ses sur lesquellesnbsp;la loi de la force de la poudre est fond�e ; calcul num�riquenbsp;de la force de la poudre, d�apr�s la vitesse du boulet anbsp;la bouche du canon; remarque de Lagrange sur ce pro-bl�me,

Application du principe de D�Alembert au cas Ie plus simple du choc des corps; donn�es physiques de la question, et hypoth�ses n�cessaires a sa solution,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 36o

Choc de deux corps mous ou d�nu�s d��lasticit�; definition de la force vive; perte de force vive qui a toujours lieu dans cenbsp;choc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 36i

Choc de deux corps parfaitement �lastiques; conservation de la somme des forces vives ; choc d�une s�rie de billes en repos par une bille en mouvement; les lois pr�c�dentes du

clioc des corps spli�riques, inous ou �lastiques, sont confirmees par 1�exp�rience , nbsp;nbsp;nbsp;n� 862 et 363

Conservation du mouvement du centre de gravit� dans Ie choc de deux corps spli�riques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 364

Th�orie imparfaite de la resistance des milieux, dans laquelle cette r�sistance est assiniil�e a une suite de chocs du mobilenbsp;contre les mol�cules du fluide qu�il traverse; expression denbsp;la r�sistance sur une surface plane et sur chaque �l�mentnbsp;d�une surface courbe; calcul de la r�sistance sur une surface de revolution, et, en particulier, sur une sphere,

Le coefficient de la r�sistance relative au mouvement des projectiles dans 1�air, qui r�sulterait de cette th�orie, n�est pas d�accord avec l�observation; valeur de ce coefficient, quenbsp;1�on a d�duite de l�exp�rience; en quoi consiste r�ellementnbsp;la r�sistance des fluides ; elle n�a encore �t� d�termin�e,nbsp;d�apr�s les lois de la M�canique (11� 191), que dans le cas desnbsp;petites oscillations d�un pendule,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 36^

CHAPITRE IL D�termination des immens dinertis. et des axes principaux,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^ge 4^

�nt�grales d�finies qui se pr�senteront daas les equations dn mouvement des corps solides, dont les masses seront d�-compos�es, pour plus de simplicit�, en�l�mens infinimentnbsp;pelits (n� g8); definition des momens d�inertie et des axesnbsp;principaux-,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 368

Calcul du moment d�inertie d�un parall�l�pip�de rectangle, 1�axe �tant une de ses ar�tes ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 369

Calcul du moment d�inertie de l�ellipso�de, par rapport i 1�un de ses axes de figure ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 870

Moment d�inertie d�une sphere compos�e de couches concen-triques de diff�rentes densit�s, nbsp;nbsp;nbsp;n� 871

Les mt�grales triples d�o� dependent, en g�n�ral, les momens d inertie, ss r�duisent a des int�gralos simples dans le cas

a..

TABLE DES MATI�RES.

d�un solide de re'volution; application a la sphere , au cAne et au cylindre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^7^

Connaissant Ie moment d�inertie d�un corps quelconque par rapport a un axe passant par son centre de gravit�, on ennbsp;d�duit Ie moment d�inertie du m�me corps par rapport anbsp;un axe parall�le au premier,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 374

Connaissant les momens d�inertie par rapport aux trois axes principaux qui se coupent en un point, on en conclut Ienbsp;moment d�inertie relatif' A un axe quelconque passant paree point,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^7^

Avant de d�montrer 1�existence des axes principaux, et d�en determiner la direction , on rappelle d�abord les formulesnbsp;g�n�rales de la transformation des coordonn�es, nquot; 377nbsp;Les neuf coefficiens qui entrant dans ces formules sont desnbsp;fonctions de trois angles ind�pendans entre eux; deUnitionnbsp;de ces trois angles; sens determine suivant lequel ils devrontnbsp;�tre compt�s, et comment ils pourront croitre dans Ie mouvement d�un corps solide ; valeurs des neuf coefficiens ennbsp;fonctions de ces trois angles ; moyen d�obtenir ces valeurs,

On d�montre qu�il existe toujours trois axes principaux rec-tangulaires qui se coupent, en chaque point d�un corps quelconque , et 1�on donne les formules propres a les determiner ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;38o

II n�y a qu�un seul syst�me de trois axes principaux, quand les trois momens d�inertie qui s�y rapportent sont in�gaux ;nbsp;leur nombre est infmi, lorsque deux de ces momensnbsp;sont �gaux; si les momens d�inertie relatifs a trois axesnbsp;principaux , qui se coupent en un point, sont �gaux, toutesnbsp;les droites passant par ce point sont des axes principaux,nbsp;auxquels r�pondent des momens d�inertie �gaux, n� SStnbsp;Determination des points singuliers, qui jouissent de cettenbsp;derni�re propri�t�; application a I�ellipsoide et au parall�l�-pip�de,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 382 et 363

CHAPITRE III. Du mouvement dun corps solide autour dun axe fixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;77

Definition de la vitesse angulaire commune a tous les points d�un syst�me de forme invariable, tournant autour d�unnbsp;axe fixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 384

Determination de cette vitesse, lorscjuejes points du syst�me ont e'prouv� simultane'ment des percussions qui leur auraientnbsp;imprime', s�ils �taient libres, des vitesses donne'es, n� 385nbsp;Cas o� Ie syst�me se change en un corps solidefrappe' par unnbsp;OU plusieurs autres corps, qui lui restent attach�s apr�snbsp;Ie choc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 386

Comment on peut determiner la percussion que l�axe �prouve 4 1�instaut du choc; conditions n�cessaires pour que l�axenbsp;n��prouve aucune percussion ; definition du centre de percussion ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�' 387 et 388

Pressions exerc�es sur l�axe pendant Ie mouvement de rotation, et dues aux forces centrifuges de tous les points du corps; propri�t� g�n�rale des axes principaux dans Ie mouvement uniforme de rotation; propri�t� particuli�re desnbsp;axes principaux qui passent par les centres de gravit� dunbsp;mobile,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 389 et 890

page 9.2

�quation diff�rentielle de ce mouvement; diff�rentielle de la vitesse angulaire; on en d�duit la vitesse constante prove-nant d�une percussion , que l�on a pr�c�demment donn�e,

n�� 391 et 392

Calcul des pressions totales exerc�es sur l�axe a ijn instant quelconque,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 393

Mouvement d�un pendule compos�, dans Ie vide ; r�duction du pendule compos� au pendule simple ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;* 894 et 395

D�finition du eentre d�oscillation^ r�ciprocit� du centre d�os-ciUation et du eentre de suspension; m�thode fond�e sur

vi nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

cette r�ciprocit� , pour determiner la longueur du pendule simple, correspondant 4un pendule donu� ; on fait voiv quenbsp;pour un m�tnecorps, il y a une infinite' d�axes autour desquelsnbsp;les petites oscillations out la m�me dur�e, n^-Sg�, 397, 398nbsp;Mouvement d�un pendule coinpos�, dans un milieu resistant;nbsp;la longueur du pendule simple qui a Ie in�ine mouvement,nbsp;ne depend pas de la resistance,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;399

Mouvement d�un treuil et de deux corps pesans , suspendus au cylindre et a la roue ; application a la machine d� Jthood,

Pendule de Robins; usage de ce pendule pour determiner les vitesses initiales des projectiles de Tartillerie, n�� ^01 et 4o3

CHAPITRE IV. Du mouvement dun corps solide autour dun point Jixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jtage lai

Le mouvement de rotation d�un syst�me de forme invariable , autour d�un point fixe, a lieu auiour d�une droite variablenbsp;d�un instant a I�autre, que Ton appelle axe instantan� denbsp;rotation,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 4^4

De'terniination de la direction de cet axe, soit par rapport a des droites fixes dans 1�inte'rieur du corps, soit par rapportnbsp;k des droites fixes dans 1�espace ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 4o5

Expression de la vitesse angulaire de rotation du corps autour de 1�axe instantane' ; decomposition de cette vitesse ennbsp;trois autres, autour de trois axes rectangulaires, fixes ounbsp;mobiles ; la composition et la decomposition des vitessesnbsp;de rotation se font suivant les memes r�gies que celles desnbsp;vitesses de translation,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4o6 et 407

Composantes de la vitesse absolue d�un point quelconque du * corps, par rapport a trois axes fixes dans son int�rieur;nbsp;composantes de la force acce'leratrice, par rapport auxnbsp;ineines axes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� ^08

corps ii un instant quelconque, par rapport a trois axes passant par Ie point fixe ; cas o� ces trois droites sont lesnbsp;axes principaux qui se coupent en ce point; signe de chacunnbsp;de ces moiiiens, d�apr�s Ie sens de la rotation aulour denbsp;1�axe correspondant; moment principal de ces m�mes quan-tit�s de mouvement, et direction de son axe, n� 4�9nbsp;�quations diff�rentielles qui oat lieu entre les trois anglesnbsp;du 11� 878, d�ou de'pend la position du mobile a chaquenbsp;iustant, et les trois composantes de sa vitesse angulairenbsp;par rapport a ses trois axes principaux ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 4io

� II. �quations diff�rentielles du mouvement de rotation autour d�un point jixe,

Ces �quations, au nombre de trois, s�obtiennent tr�s facile-inent, au moyen des formules du n� 4^8 et du principe de D�Alembert; on les r�duit a leur forme la plus simple,nbsp;en rapportant les composantes de la force acc�l�ratricenbsp;d�un point quelconque du mobile , a ses trois axes principaux ; Ie probl�ine general du mouvemeut de rotationnbsp;depend de six �quations du premier ordre, savoir, cellesnbsp;qu�on vieut de former, et celles du n� 4*� gt;nbsp;pesanteur est la seule force qui agit sur les points dunbsp;mobile,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11�'4*2 et 4*3

Quand ce mobile n�est soumis a aucune force motrice , ou bien , quand il s�agit d�un corps pesant, et que Ie pointnbsp;fixe est son centre de gravit�, on parvient a int�grer les sixnbsp;�quations du mouvement de rotation et a faire d�pendrenbsp;les inconnues, de deux fonctions elliptiques; dans ce mouvement , produit par des percussions initiales, les momensnbsp;des quantit�s du mouvement de tous les points du corps,nbsp;par rapport a des axes passant � par Ie point fixe, sontnbsp;constans ; leur moment principal et sa direction sont in-variables, et cette consideration facilite l�int�gration desnbsp;equations du probl�me ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�quot; 4*4 gt; 4'^ , 4*^ et 4*7

viij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

dans les inte'grales de ces e'quations, en supposant, pour fixer les idees, que Ie mobile a �te' frappe', a 1�origine dunbsp;mouvement, par un autre corps qui y est rest� attach�,

Diverses propri�t�s g�n�rales du mouvement de rotation d�un corps qui n�est soumis a aucune force motrice,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;419

D�termination de ce mouvement, plus simple que la pr�c�-dente, mais seulement approch�e, lorsque 1�axe instantan� de rotation s��carte constamment tr�s peu de 1�uii des troisnbsp;axes principaux du mobile, et qui se coupent au point fixe ;nbsp;onretrouve la propri�t� des axes pi'incipaux d�ja d�niontr�enbsp;dans Ie n� 889; ou fait voir, de plus, que Ie mouvementnbsp;est stable autour des axes du plus grand et du plus petitnbsp;moment d�inertie, et seulement instantan�, autour du premier axe principal; d�termination des constantes arbitrairesnbsp;dans Ie cas de la stabilit�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 420,421 et 422

Le mouvement de rotation produit par des percussions ini-tiales, devient plus simple , quand le mobile est un solide de revolution , et que son axe de figure passe par le pointnbsp;fixe; les inconnues se d�terminent alors sans le seconrs desnbsp;fonctions elliptiques ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;428

Autre d�monstration de la stabilit� du mouvement autour de deux des axes principaux,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 424

J III. Solution d�un cas particulier du mouvement de rota~ tion dun corps pesant,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 162

Le mobile est un solide de revolution dont l�axe de figure passe par le point fixe; on appelle dquateur la section denbsp;ce corps faite par ce point et perpendiculaire a cette droite;nbsp;le mouvement parall�le a l��quateur est uniforme ; 1�inter-section de I�e'quateur et du plan horizontal passant par lenbsp;point fixe, s�appellera la ligne des nceuds ; d�finition dunbsp;nobud ascendant, et distinction de son mouvement directnbsp;et de son mouvement r�trograde sur le plan horizontal,

TABLE DES MATI�RES. nbsp;nbsp;nbsp;ix

grent, et les iftcomiues du probl�tne s�expriment exactenient par des fonctions elliptiques ; determination des constantesnbsp;arbitraires , contenues dans les int�grales ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 4^7 et 428

Cas OU Ie mobile se r�duit a un point materiel , dont la distance au point fixe est constante; on retrouve alors lesnbsp;formules du n� 2o5, relatives au pendule simple , n� 4^9nbsp;Lorsque l�axe de figure a �t� e'cavt� de la verticale , et qu�a-pr�s avoir imprime' au mobile une vitesse de rotation autournbsp;de cette droite incline'e.j il est ensuite abandonn� a lui-m�ine, on de'inontre que Ie mouvement du nceud ascendant sera direct ou retrograde , selon que Ie centre denbsp;gravit� du corps sera situe' au-dessus ou au-dessous dunbsp;plan borizontal, passant par Ie point fixe ; quand la vitesse de rotation est nulle, Ie mouvement du corps senbsp;r�duit a celui d�un pendule compose' ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 43o

On applique les formules du num�ro pr�c�dent, au cas ou l�axe de rotation a �t�, primitivement, tr�s peu �cart� de lanbsp;verticale, et 1�on d�termine de cette mani�re les valeursnbsp;approch�es des angles d�ou d�pend la position du mobile anbsp;un instant quelconque ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 4^ *

On applique les m�mes formules au cas o� 1�inclinaison de 1��quateur demeure a peu pr�s invariable ; il faut pournbsp;cela que la vitesse de rotation soit tr�s i'apide ; on d�termine , dans cette hypoth�se, les petites variations de Tin-clinaison de l��quateur , et Ie mouvement de la ligne desnbsp;noeuds, qui est tr�s lent par rapport au mouvement denbsp;notation , et a peu pr�s uniforme; ce cas est celui de la machine de Bohnenberger ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 4^2

CHAPITRE V. Du mouvement d�un corps solide enti�rement libre^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^79

Decomposition de ce inojivement en deux autres, 1�un de rotation autour d�un point du corps, l�autre de translation,nbsp;common a tous ses points; cas ou Ie second mouvementnbsp;est r�volutif, et o� chaque revolution s�ach�ve dans Ie

in�me temps que chaque rotation; ce ca� a lieu dans Ie mouvement des satellites , et, en particulier, dans Ie mouvement de la lune , qui tourne , en cons�quence, constam-ment la m�me face vers la terre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 4^3

Determination de la vitesse que prend Ie centre d�un corps solide, sur lequel on exerce une ou plusieurs percussionsnbsp;de'termine'es; re'ciproquernent, cette vitesse fait connaitre lanbsp;direction et 1�intensite' de la percussion, soit que Ie corpsnbsp;qui a frapp� celui que l�on consid�re y soit rest� attach� ,nbsp;ou qu�il s�en soit s�par� apr�s ie choc, n� 434nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;435

Comment on pourrait determiner Ie mouvement initial de rotation autour d�un point quelconque du mobile, si l�on connaissait, en grandeur et en direction, la vitesse initialenbsp;de ce point; quand ce point est Ie centre de gravit�, cettenbsp;counaissance est inutile, et Ie mouvement de rotation initial est Ie m�me que si Ie centre de gravit� demeurait ennbsp;repos,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 436

D�terinination de l�axe instantan� initial qui passe par Ie centre de gravit�, et de la vitesse angulaire autour de eetnbsp;axe ; cas o� cette droite est un des trois axes principaux quinbsp;se coupent au centre de gravit� ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n'� 437

Equations dilF�rentielles du mouvement du centre de gravit�; comment on formerait celles du mouvement de rotationnbsp;autour de ce point,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 438

Ces deux syst�mes d��quations dilF�rentielles, ainsi que les deux mouvemens correspondans, sontind�pendans l�un de l�autre,nbsp;dans Ie cas d�un corps soumis a la sevde action de la pesan-teur; determination compl�te du mouvement d�un ellipso�de pesant, frapp� dans un plan perpendiculaire a l�un denbsp;ses trois axes de figure,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� ^3^

La m�me independence a lieu dans Ie cas d�une t'ph�re com-posse de couches concentriques et dont tous les points sont soumis a des attractions dirig�es vers des centres fixes ounbsp;mobiles ; quand Ie mobile s��carle de la forme sph�rique,nbsp;ces attractions influent sur son mouvement de rotation;nbsp;perturbations du mouvement de la terre autour de son

centre de gravite', dues a sa non-spli�ricite', et produites par les actions du soleil et de la lune ; ces forces , qui donnentnbsp;lieu a la precession des �quinoxes et a la nutation de Taxenbsp;de la terre, n�ont cependant aucune influence sensible surnbsp;la direction de eet axe dans 1�inte'rieur du globe, ni surnbsp;la dur�e de sa rotation autour de cette droite mobilenbsp;dans l�espace ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�' 44�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44*

L�invariabilit� du jour sideral et du jour moyen est confirmee par les eclipses que les Chald�ens ont observ�es; calcul quinbsp;fait voir que la dur�e du jour moyen n�a pas vari� d�un cen-ti�me de seconde en 25oo ans,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�* 44^ et 443

Examen des difi�rens effets qui peuvent �tre produits par Ie frottement de la surface d�un projectile centre l�air dansnbsp;lequel il se meut, et par la resistance proprement'dite de cenbsp;fiuide,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 444, 445 et 446

CHAPITRE VI. Du mouvement d�un corps solide pesant sur un plan donn�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;207

On supposera que Ie mobile touche Ie plan donn� par un seul point de sa surface, pendant toute la dur�e du mouvement;nbsp;equations diff�rentielles du mouvement du centre de gra-vit� et du mouvement de rotation autour de ce point,

Equation r�sultante du contact du mobile avec Ie plan donn�, qui peut �tre fixe ou avoir un mouvement donn� ;nbsp;distinction entre Ie cas o� Ie point de contact se d�place anbsp;la surface du mobile, et Ie cas ou ce point est constammentnbsp;rextr�mit� d�une pointe, comme dans Ie jeu de la tou-Pie,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 448

Cas o� Ie plan donn� est fixe et horizontal; on indique , coinuie exemples, les petiles oscillations d�un ellipso�denbsp;bomog�ue ou d�une sph�re b�t�rog�ne ; on obtient deux in-tegrales premi�res des �quations diff�rentielles du n� 44? gt;nbsp;qui suffiront pour la solution rigoureuse du probl�me, au

jnoyen des fonctions elliptiques, quand Ie mobile est uit solide de revolution ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 449nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^�

Mouvement d�un solide de revolution, termine' par une pointe, et qui s�appuie , par son extr�mit�, sur un plan dont les oscillations sont connues,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 4^1

Quand Ie mobile a une vitesse de rotation ti-�s rapide par rapport aux divers mouvemens du plan donn�, on r�duit les e'quations diffe'rentielles du probl�me a la forme lineaire,nbsp;par la transformation dont Lagrange a fait usage dans Ienbsp;cas de Ia libration de la lune,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 452 et 463

Inte'gration de ces e'quations line'aires; lejtrs inte'grales font voir que les oscillations du plan sur lequel Ie corps s�appuie,nbsp;s�affaiblissent dans Ie mouvement de son axe de figure, etnbsp;deviennent insensibles quand la rotation autour de cettenbsp;droite est suffisamment rapide; moyen fonde' sur ce re'sul-tat, qui a �te' propose pour obtenir i la mer un horizon artificiel propre aux observations astronomiques,

Lois du frottement d�un corps en mouvement, donn�es par l�expe'rience,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 456

Mouvement d�un corps glissantsur un plan fixe horizontal, et entraine' par un poids donne',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;* 467 et 458

Integrale de 1�e'quation de ce mouvement, dans Ie cas ou l�on fait abstraction de la re'sistaiice de l�air; determination dunbsp;coefficient du frottement par deux moyens diffe'rens ; quandnbsp;ce coefficient est connu, et que l�on incline Ie plan, on de'-termine imra�diatement Ie mouvement du m�me corps surnbsp;ce plan ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�quot; 459 et 460

Conse'quence de cette proposition, que Ie frottement est ind�-pendant de 1��tendue de la surface frottante , et pvoportion-nel a la pression totale; en quoi cette loi du frottement consiste re'ellement; examen de ce qui arriverait si la ma�nbsp;ti�re de la surface frottante n��tait pas partout la in�me,

Double mouvement d�un corps qui glisse sur un plan horizontal, et qui tourne en m�me temps autour d�un axe vertical , nbsp;nbsp;nbsp;n� 462 et 463

�nonce' des diff�renscas que peut pr�senter Ie mouvement d�un corps solide qui roule sur un plan ; frottement de la premi�re et de la seconde esp�ce,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 463 bis C*^

Mouvement d�une sph�re qui roule sur un plan horizontal, nbsp;nbsp;nbsp;n� 464

CHAPITRE VIL Du choc des corps de forme quel-

pag^e 254

En quoi consiste Ie probl�rae du choc des corps, dans Ie cas Ie plus general,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 465

�quations fournies par Ie principe de D�Alembert, dans Ie cas de deux corps de forme quelconque et enti�rement libres,

Ind�termination du probl�me, quand on n�a pas �gard a la compressibl�t� des mobiles; equation n�cessaire k sa solution , et qui r�sulte de cette compressibilit�, quelquenbsp;petite qu�elle soit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 468

Modification des formules du n� 4671 provenant du degr� d��lasticite' des mobiles; Ie probl�me est compl�tement r�-solu dans les deux cas des corps enti�rement d�nu�s d��nbsp;lasticit�, et des corps parfaitement �lastiques , n� 46qnbsp;Le choc de deux corps n�alt�re pas les vitesses de leurs centres de gravit�, parall�lement au plan tangent a leurs surfaces , men� par leur point de contact, non plus que lesnbsp;momens de leurs quantit�s de mouvement, rapport�s anbsp;leur normale commune,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 470

Quand cette normale passe par le centre de gravit� de l�un des deux corps, sou mouvement de rotation autour de cenbsp;point est le m�me avant et apr�s le choc ; cas o� cette

( ) Le numero qui devrait se trouver au bas de la page a etc omis par erreur, et bon est oblige' de r�pe'ter le numero precedent.

siv nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

droite passe par les deux centres de gravite'; casou ces points se inouvaient, en outre , sur cette normale avant le choc ,

Choc de deux corps elastiques egaux en masse ; choc d�un corps parfaiteinent elastique, contre un obstacle fixe ;nbsp;�galit� de 1�angle d�iiicidence et de Tangle de reflexion ;nbsp;cette egalite n�a plus lieu, quand on a e'gard au frottementnbsp;du mobile contre le plan fixe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�= 47^ et 474

On explique comment on peut tenir compte du frottement d�un mobile contre un autre, pendant la dure'e du choc denbsp;ces deux mobiles,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 47^

Influence du frottement et de la rotation dans le choc d�une sphere contre un plan fixe , tel que le choc d�un bouletnbsp;contre le terrein ; examen des diverses circonstances quinbsp;peuvent se pr�senter,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 476 et 477

Application des formules g�n�rales a un exemple o� la normale commune aux deux mobiles ne passe pas par leur centre de gravit� ; calcul de la quantit� de mouvementnbsp;imprim�e a chacun d�eux, et qui mesure Tintenslt� dunbsp;choc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�478

Modification des formules g�n�rales, dans les d�F�rens cas ou les deux corps qui se choquent ne sont pas enti�rementnbsp;libres,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 479

Extension de ces formules au cas d�un nombre quelconque de mobiles qui se choquent simultan�ment. Exemple re�nbsp;latif cl une sphere en repos, choqu�e par deux autres spheresnbsp;en mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 480 et 481

CHAPITRE VIII. Ejcemples du mouvement d�un corps flexible jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 293

Hypotheses que Ton fait sur cette corde ; equations diff�-rentielles de son mouvement, nbsp;nbsp;nbsp;n� 4^^

des vibrations tres petites; les vibrations transversale! et les vibrations longitudinales coexistent dans une in�me corde,nbsp;et sont ind�pendantes les nnes des autres ; ces deux sortesnbsp;de inouvemens dependent d�une equation de ni�me forme,nbsp;aux differences partielles du second ordre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 483

Determination des deux fonctions arbitraires contenues dans cette iiite'grale, pour toute la longueur de la corde , et pournbsp;toutes les valeurs du temps, d�apr�s la figure initiale de lanbsp;corde vibrant transversalement, et les vitesses initiales denbsp;tous ses points ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 485

Construction g�om�trique de la figure de cette corde a un instant quelconque ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 486

Lois des vibrations transversales qui re'sultent de cette construction , et qui out �te' confirme'es par l�exp�rience , soit par rapport k la tension de la corde, soit par rapport sonnbsp;poids et A sa longueur ; l��l�vation du ton est mesure'e parnbsp;Ie nombre des vibrations dans l�unit� de temps , n� 487nbsp;Discontinuit� des lignes employees dans la construction pre'�nbsp;ce'dente ; restriction qu�on doit apporter k la discontinuit�nbsp;de la courbe qui repr�sente la figure initiale de la corde;nbsp;cette condition restrictive subsiste pendant toute la dure'enbsp;du mouvement, et fournit une des e'quations ne'cessaires aunbsp;probl�me, dans Ie cas d�une corde compos�e de deux partiesnbsp;de niati�res diff�rentes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 488

Autre solution du probl�me des cordes vibrantes, dans la-quelle 1�ordonn�e courante de la corde est exprime'e par une s�rie de quantite's pe'riodiques ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 489

Cas particuliers o� Ie ton d�une corde s��l�ve au-dessus du ton fondamental, et r�pond a une partie aliquote de sanbsp;longueur; nceuds de vibrations qui ont lieu dans ces sortesnbsp;de cas ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 49�

Lois des vibrations longitudinales d�une corde tendue, n�49i Rapport tr�s simple entre leur nombre et celui des vibrationsnbsp;transversales de Ia m�me corde ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 49^

TABLE DES MATI�RES.

Hypotheses que l�on fait sur cette verge; son mouvement longitudinal de'pend de la m�me equation aux diffe'rencesnbsp;partielles que celui de la corde tendue , et ne'dif��re denbsp;celui-ci que par les conditions relatives aux extre'mite's de la

Solution du probl�me , analogue a celle du n� 489; lois des vibrations daris les diff�rens cas relatifs aux extre'mite's ;nbsp;elevation du ton fondamental, a raison des nceuds denbsp;vibrations ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 49^

Cas ou la verge s�e'tend inde'finiment; propagation des ondes sonores� dans une barre homogene, cylindrique ou pris�nbsp;matique; conditions pour qu�une onde sonore ne se par�nbsp;tage pas en deux autres ; comment la vitesse constante denbsp;cette propagation se conclura du ton longittK�nal d�unenbsp;verge �lastique de la m�me mati�re que la barrenbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;496 et 497

Cas ou la barre est termine'e d�un c�t� ; re'flexion du son a cette extr�mit�; les lois de la propagation et de' la reflexion du son dans un canal cylindrique rempli d�air,nbsp;d�un gaz quelconque, ou d�un liquide, sont l�s m�mes quenbsp;dans une barre solide; celles des vibrations des verges �las-tiques conviennent aussi aux sons des Jl�tes, et des luyauxnbsp;A�orgues, sauf les modifications relatives a l�embouchure,

Comment on pourra appliquer les formules du nquot; 495 au choc longitudinal des verges �lastiques; ce ph�nom�nenbsp;consiste dans Taction , a distance insensible, des pointsnbsp;extremes des deux verges ; les vitesses de ces points varie-ront tr�s rapidement, et seront ineonnues pendant la dureenbsp;du choc�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 499

Conditions pour que les deux verges se se'parent apr�s s��tie rencontr�es, et que Ie choc se termine,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 5oo et 5oi

TABLE DES MA�I�RES. nbsp;nbsp;nbsp;xvij

�quations communes a tous les points des deux verges, ex-�cepte' les points extremes par lesquels elles se clioquent ,

Application des formules du n� 49^ choc de d�ux verges enti�rement libres ; sommation des se'ries p�riodiquesnbsp;qu�elles renferment; on ve'rifie qu�elles repre'sentent 1�e'tatnbsp;initial des deux verges ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� Soa et 5o3

Les deux verges de menie mati�re et de m�me diam�tre se s�parent dans Ie seul cas o� elles ont une m�me longueur ;nbsp;dure'e de ce clioc; �cliange des vitesses primitives ; casnbsp;o� Tune des deux verges est composed de plusieurs parties,nbsp;dont une se se'pare des autres apr�s Ie choc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 5o4

Choc d�une verge dont l�extre'mit� est fixe , par une verge enti�rement lihre; re'flexion de celle-ci avec une vitessenbsp;� egale et contraire a la vitesse primitive, quelles que soientnbsp;les longueurs des deux verges; dure'e du choc, n�� SoS et 5o6

� IV. Digression sur les inl�grales des �quations aux diff�-rences partielles , nbsp;nbsp;nbsp;page 347

Le noinbre des fonctions arbitraires que renferme l�int�grale compl�te d�une e'quation aux differences partielles, peutnbsp;�tre inoindre que Ie nonibre qui marqu� 1�ordre de cettenbsp;e'quation ; il peut changer avec la variable par rapport anbsp;laquelle la s�rie est ordonn�c ; toutes les fonctions arbitraires peuvent disparaltre , et se trouver remplac�es parnbsp;des s�ries infinies de constantes arbitraires; dans ce casnbsp;� singulier, Tint�grale complete est exprim�e par la sominenbsp;d�unnombreillimit� d�int�gralesparticuli�res, n�� 507 et 5o8nbsp;Exemples tres simples de ces diverses transformations,

Les s�ries qui se pr�sentent dans eet exemple , et l�int�grale de 1��quation donn�e, peifvent s�exprlmer sous forme finie,nbsp;au inoyen d�une integrale d�finie,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n^Sii

Valeur d�une integrale d�fini� qu�on a souvent occasion d�em-ploy �r, nbsp;nbsp;nbsp;nquot;5i2

lineaires relatives a des probl�mes de Physique et de Me-canique ; leurs iiit�grales completes s�expriment, g�ii�ra-lement, par des s�ries d�exponentielies ou de sinus et cosinus , dont les exposans ou les arcs sont proportionnelsnbsp;au temps; par la inani�re dont elles sont obtenues, onnbsp;est certain que ces expressions en s�ries, des inconnues d�unnbsp;probl�me, en renferment la solution la plus g�n�rale ; il ynbsp;a un proc�d� uniforme pour determiner dans chaque casnbsp;les coefliciens de ces s�ries, d�apr�s l��tat initial du syst�me;nbsp;apr�s cette determination, si l�on fait Ie temps �gal a z�ronbsp;dans ces s�ries, on obtient des s�ries particuli�res qui re-pr�sentent les fonctions arbitraires relatives a eet �tat initial , mais seulement dans l��tendue du syst�me ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;513 ,

Toute solution d�un probl�me dans laquelle on n�a pas v�ri-* fi�, d posteriori, l�exactitude de ces derni�res s�ries, ounbsp;d�montr�, d priori, la g�n�i alit� de l�int�grale en s�rie dontnbsp;on a fait usage, doit �tre regard�e comme insuf�isante,

On �nonce les diverses sortes de vibrations dont une verge �lastique est susceptible , et entre lesquelles 1�analyse a faitnbsp;connaitre des rapports que 1�exp�rience a confirm�s, n� 518nbsp;Equation du mouvement transversal, et conditions relativesnbsp;aux extr�mit�s,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 51g

Calcul du coefficient que renferme cette �quation, dans dif-f�rentes hypoth�ses sur la section transversale de la verge,

Determination des coefficiens de cette s�rie, d�apr�s l��tat initial de la verge, par Ie proc�ll� indiqu� dans Ie nquot; 5i5; formules du n� 5i6, relatives k l��tat initial de la verge ;nbsp;cas o� elle doit prendre un mouvement de translation ou denbsp;rotation ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 622 et SzS

la r�alit� des racines de 1�e'quation transcendante qui sert a de'terminer les c�efficiens da temps sous les sinus et cosinusnbsp;contenus dans 1�int�grale en s�rie ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 624

Condition pour que la verge execute des vibrations isochrones; les diff�rens tons que la verge libre peut faire enljpadre, dependent des racines de B�quation pr�c�dente; toutes cliosesnbsp;d�ailleurs �gales, ils varient avec la figure de la section transversale , et leur �le'vation est en raison inverse du carr� denbsp;la longueur; determination des nceuds de vibration qui leurnbsp;correspondent,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 525 et 526

Vibrations isochrones d�une verge encasir�e par une extr�niit�, et libre a 1�autre bout,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;52^

Calcul du noinbre de vibrations correspondant au ton fonda-niental et aux tons plus �lev�s, dans Ie cas de cette derni�re verge �lastique, et dans Ie cas de la verge libre aux deuxnbsp;extr�mit�s,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;SaS

Coniparaisoii des nonibres de vibrations transversales et lon-gitudinales d�une in�nie verge, nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sag

CHAPITPrE IX. �quations et propri�t�s g�n�rales du mouvement d�un syst�me de corps,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page SgS

Combinaison du principe de D�Alembert et du principe des vi-tesses virtuelles, nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 53o

Elle conduit a une formule g�nerale, d�o� l�on d�duira, par un proc�d� uniforme, toutes les �quations diff�rentielles dunbsp;mouvement d�uu syst�me de points mat�riels, dont la liaison mutuelle est exprim�e par des �quations donn�es ; cenbsp;proc�d� fera aussi connaltre les tensions des liens physiques, et les pressions sur des surfaces ou sur des courbesnbsp;donn�es, qui auront lieu pendant Ie mouvement, nquot; 531nbsp;On indique l�usage de la m�thode fond�e sur la variation desnbsp;constantes arbitraires pour la resolution des �quations pr�-c�dentes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 53?.

b..

XX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�KES.

Caso� Tune des equations, qui expvimentla liaison des points du syst�nie, est une suite d�une ou de plusieurs autres de cesnbsp;equations; exeinple d�un probl�me inde'tennin�, quand onnbsp;fait abstraction de 1�extensibilite' des liens physiques, etnbsp;d�tenpip�, quand on y a egard, quelque petite qu�ellenbsp;soit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;� 533 et 534

Formule analogue a celle du n� 531, et relative aux change-mens brusques de vitesse, nbsp;nbsp;nbsp;' n� 535

Consideration essentielle a laquelle il faudra avoir e'gard dans les usages qu�on fera de cette formule ; comment on liendranbsp;compte, dans cette formule, de 1�elFet du frottement pendant la dure'e des changemensbrusques; ce serait une er-reur d�y introduire les effets des farces mol�culaires, qui ynbsp;sont d�ja compris implicitement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;' 536 et 53^

�quations diff�rentielles du ihouvement de translation d�un systeme enti�rement libre, qui sont celles de son centre denbsp;gravit�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iiquot; 538

�quations diff�rentielles du mouvement de rotation du m�me syst�me; elles conservent la m�me foime , soit que Ienbsp;centre du mouvement soit un point fixe, ou quTl soit Ienbsp;centre de gravite' du syst�me,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 53g et 54o

Les sommes des quantit�s de mouvement de tous les points d�un syst�me libre, suivant trois axes rectangulaires, etnbsp;leurs momens par rapport a ces ax5te ,' ne varient pas dansnbsp;les changemens brusques de vitesse; �quations du mouvement initial de translalioif et de rotation du syst�me; comment on peut les d�duire des �quations de ces mouveniens �nbsp;un instant quelconque ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�* 54i et 542

On retrouve , d�une autre mani�re, les formules du n� 408, relatives aux vitesses de rotation; la similitude de la composition de ces vitesses et de la composition des vitesses de translation, peut conduire a l�analogie entre la compositionnbsp;des momens et celle des forces ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u? 543

t�nie, et des expressions des forces qui leur sont appli-qu�es, nbsp;nbsp;nbsp;n� 544

Formation des e'quations dlff�rentielles line'aires et du second ordre, d�o� de'pend^it les valeurs approclie'es des inconnuesnbsp;du probl�me, auxquelles valeurs �n s�arr�te toujours dansnbsp;les questions de ce genre ; Ie nombre de ces e'quatioijs, �galnbsp;a celui des inconnues ind�pendantes entre elles, peut s�clever depuis' un jusqu�a trois fois Ie nombre des mobiles ;nbsp;quand les mobiles sont des points mat�riels en nombre in-fini, les e'quations dif��rentielles se cliangent en e'qustionsnbsp;aux differences parlrelles,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 545

Integration ge'ne'rale de ces e'quations dlff�rentielles; consequences qui s�en d�duisent; principe de la coexistence des petiies oscillations,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�* 546 et 547

Exemples de la coexistence des petites oscillationsapplication du principe pr�c�dent au mouvement d�un point pe-

Autre tli�or�me general, distinct du pr�c�dent, et qu�on peut appeler principe de la superposition des pedis mowemens �nbsp;applications nombreuses de ce principe, 11�' 55o et 551

� III. Principes de la conservation du mouvement du centre de gravit� et de la conservation des aires,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 447

Loi g�n�rale de Vcgalit� de l�action ii la reaction, n� 552 Principe de la conservation du mouvement da centre de gra�nbsp;vit�, foud� sur cette loi de la nature; consequences diversesnbsp;de ce principe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 553

Dans Ie mouvement d�un syst�me de points qui ne sont soumis qu�a leurs actions mutuelles , les motnens de leuis quanti�nbsp;t�s de mouvement sont constans, par rapport a trois axesnbsp;qui se coupent, soit en un point fixe, soit au centre de gravit� du syst�me, soit en un point anim� d�un mouvementnbsp;rectillgne et uniforme � Ie menie tli�or�me a encore lieu, parnbsp;rapport a un point fixe, quand Ics mobiles sont, en outre,

Determination du moment principal de ces cjuantit�s de mouvement , et de la direction de son axg, * nbsp;nbsp;nbsp;n� 55']

Dans Ie mouvement de rotation de la terre , ce moment principal est. ind�pendant du refroidissement du globe, des explosions volcaniques, du souffle des vents, etc.; conse'-quence qui en r�sulte relativement a la dure'e du jour,

Autre �noiic� des tli�or�mes pre'c�dens ; principe de la conservation des aires, nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 55(j

Tli�or�me du plan invariable, dans tonte sa ge'n�ralite', n� 56o Usage de ce plan et d�une droite invariable dont il est ac-compagn� dans Ie syst�me solaire ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 561

Formules pour determiner ce plan a un instant quelconque, en ayant e'gard au mouvement de translation et au mouvement de rotation des corps celestes; les termes qui provien-nent du mouvement de rotation dependent de la constitution inte'rieure de ces corps, et demeureront toujoursnbsp;inconnus; on fait voir qu�en ne'gligeant la partie variablenbsp;de ces termes, il n�en re'sultera aucune erreur que les observations puissent jamais rendre sensible,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 562

�Formules du plan invariable, rapporte'es au centre du so-leil, nbsp;nbsp;nbsp;n� 563

Calcul des forces vives dues aux forces qui e'manent de centres fixes, aux attractions et r�puLsions mutuelles des corps du syst�me , et a leurs poids,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� ggg

Variation des forces vives dues aux pressions contre des surfaces mobiles, et aux fcottemens; a l�e'gavd de ces forces, Ie tli�or�me du nquot; 564nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les frot-

diminulions de force vive , qui finissent par ane'antir Ie mouvement du syst�me, quand ces pertes ne sont pas r�pa-r�es par d�aulres forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n'�� 567 et 568

Comment la force vive absolue d�un syst�me se d�duit de la, force vive due aux vitesses de ses dilF�rentes parties dans leurnbsp;mouvement relalif autour du centre de gravit� ; applicationnbsp;de 1�e'quation g�n�rale du principe des forces vives au syst�menbsp;solaire ; usage de cette �quation pour reconnaitre si l�actionnbsp;des coni�tes a une influence sensible sur les mouvemens desnbsp;autres corps c�lestes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 56g

La proposition relative a la stabilit� de Tequilibre qu�on a suppos�e dans Ie n� 347, est maintenant d�montre'e, a 1�aidenbsp;du principe des forces vives,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 670

�quation relative aux cbangemens brusques de vitesse, et analogue a 1��quation du principe des forces vives; verification de cette �quation dans Ie mouvement initial d'un corpsnbsp;solide autour d�un point fixe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 671

Au moyen de cette �quation, on d�inontre qu�il y a tpujours perte de force vive dans Ie choc des corps d�nu�s d��lasti-cit�, augmentation dans les explosions qui scparent les parties des corps, et invatiabilil� dans Ie choc des corps par�nbsp;faitement �lastiques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 572

�nonc� g�n�ral du principe de la moindre action ; ce principe, en cela diff�rent des pr�c�dens, ne fait connaitre au-cune integrale des equations diff�rcnlielles du mouvement; r�sum� des int�grales qui sont fournies par les principes denbsp;la conservation du mouvement-du centre de gravit�, de lanbsp;conservation des aires et des forces vives,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11� 678

LIYRE CINQUI�ME.

HYDROSTATIQUE.

CHAPITRE Notions pr�liminaires, page 5o5

Explication- d�taille'e de cette propriete'; definition de la pres-sion rapport�e a 1�unite' de surface , nbsp;nbsp;nbsp;n�* 577 et 5'jS

D�moustration du principe des vitesses virtuelles dans 1�equi-libre d�un liquide, nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 679

CHAPITRE IL Equations g�n�rales de V�quilibre des Jluides,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page Siy

Formation d�s e'quatibns ge'n�rales, qui sont au nombre de trois, entre la pression int�rieure et les forces donn�es,

Proprie'te' de cette surface; de'finition des surfaces efdes couches de niveau, nbsp;nbsp;nbsp;n�584

�quilibre d�un liquide homogene soumis a des attractions di-rige'es vers des centres fixes, nbsp;nbsp;nbsp;jjo ggg

Condition relative aux. surfaces de niveau d�un liquide he't�ro-g�ne OU d�un fluide elastique, nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 586

Lois de la densite' et de la pression dans un fluide �lastique en equilibre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 58�]

Cas o� les forces qui agissent sur les points d�un fluide sont leurs actions mutuelles; parnii ces forces, on ne doit pas te-nir compte de celles qu�on appelle proprement forces nrol�nbsp;culaires, etq-ui produisent la pression a laquelle on a d�ja eunbsp;e'gard dans les equations g�ne'ralcs de l�Hydrostatique; cesnbsp;equations sont^�cessaires et sujfisanles pour l�e'quilibre des

Figure constante d�un fluide lt;jui tourne autour d�un axe fixe, OU e'quilibre des forces qui Ie sollicitent et des forces centrifuges provenant de la rotation,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� SSg

Figure d�un liquide pesant, contenu dans un vase qui tourne autour d�un axe vertical,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 5go

La figure elliptique de re'volution satisfait a l�e'quilibre d�un liquide homog�ne, tournant autour d�un axe fixe et soumisnbsp;a l�attraction mutuelle de ses points eri raison inverse dunbsp;carr�' de la distance , pourvu que la vitesse de rotation nenbsp;de'passe pas une certaine liinite; en dega de cette li-inite il y a toujours deux aplatisseinens de 1�ellipso�de,nbsp;qui re'pondent a une vitesse donne'e ; au-dela, la figurenbsp;elliptique est impossible ; inais ce n.�est que quand on suppose 1�aplatissement tr�s petit, qu�il est d�montr� que lanbsp;figure elliptique soit la seule qui convienne a l��qurlibre,

Application des formules du nume'ro pr�c�dent; cas o� Ie rapport de la force centrifuge a l�attractiou totale, qui anbsp;lieu a l��quateur , est une tr�s petite fraction , comine dansnbsp;Ie mouvement de rotation de la terre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� Sga

Dilf�rence essentielle entre les couches de niveau dans un fluide soumis a Faction mutuelle de ses dilf�rens points , etnbsp;dans un fluide dont les points sont sollicit�s par des forcesnbsp;dirig�es vers des centres fixes et donn�s,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 5g3

�quilibre d�un fluide dont les points s�attirent proportion-nellement a leurs distances mutuelles, nbsp;nbsp;nbsp;n� 5g4

TABLE DES MATI�RES.

CHAPIl�RE III. De V�quilibre des Jluides pesans,

�fjuilibre d�un liquide homogene contenu dans un vase ; la pi�ession sur Ie fond du vase est ind�pendante de sa fovine ,

�quilibre de plusieurs liquides superpose's ; valeur de la pres-sion sur Ie fond du vase, nbsp;nbsp;nbsp;n� SgS

Lois de 1�e'quilibre des liquides contenus dams des vases com-rauniquans , nbsp;nbsp;nbsp;n� 5g7

�nume'ration des applications principales dont ces lois sont susceptibles ; siphon, presse hydraulique , barometre ,nbsp;pompe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 5g8

Pression exerce'e par un liquide sur une paroi plane incline'e ; Ie centre de pression est toujours plus bas que Ie centre denbsp;gravit� ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 699

Exeinples de la determination du centre de pression, n� 600 Pression �xerc�e sur un corps'plong� dans un liquide; lesnbsp;pressions horizontales se de'truisent; re'sul tante des pres-sions verticales ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 601 ,� 602, 6o3

Perte de poids d�un corps pese' dans un fluide; determination de la pesanteur spe'cifique, au moyen de la balance hydrostatique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 604

Pression exerc�e par un liquide sur la surface enti�re du vase qui Ie contient; principe des machines a r�aeiion , n� 60S

CHAPlTRE IV. De V�quilibre et du mouvement des corps Jlottans,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page Syg

Conditions de Pequilibre d�un corps flo^taut; probl�me de geometrie auquel se re'duit la determination des positionsnbsp;d��quilibre d�un corps homogene ,,

Solution compl�te de ce probl�me, dans Ie cas d�un prisme triangulaire coucli� horizonlalement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;� 607 et 608

Gas oil la base de ce prisme est un triangle isoc�le ; cas oii clle est un triangle equilateral^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�= 609 et 6io

�quilibre d�iin prisme, d�uii cylindre et d�un solide de revolution , dans une situation verticale; usage des pese-liqueurs, nbsp;nbsp;nbsp;n� 611

Regie du m�tacenire pour s�assurer, dans un cas particulier, de la stabilite' de E�quilibre d�un corps flottant, n� 612nbsp;Application du principe des forces vives au mouvement d�unnbsp;corps flottant de forme quelconque, tres peu �cart� d�unenbsp;position d��quilibre; condition g�n�rale de la stabilit� denbsp;eet �quilibre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n��6i3, 6i4, 6i5 et 6i6

Determination des petites oscillations d�un corps flottant, sym�trique par rapport a une section verticale; oscillations verticales du centre de gravit� ; oscillations du corpsnbsp;autour d�un axe passant par ce point et perpendiculaire anbsp;cette section,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� i'j et 6i.8

CHAPITRE V. De la mesure des hauteurs par Vohservation du barom�tre ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� page 609

La pression barom�trique est �gale au poids de la colonfle d�air sup�rieure; sa diminution fera connaitre la hauteurnbsp;verticale de l��l�vation ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 6ig

Alasse totale de 1�atmospb�re compar�e a celle de la terre ; limite de la hauteur de 1�atmosph�re ; d�croissement de lanbsp;temperature a mesure qu�on s��l�ve au-dessus de la ten-e ,

Manom�tre j usage qu�on pourrait faire de eet instrument pour comparer les intensit�s de la pesanteur rf dift'�rentesnbsp;latitudes ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 621

A temperature �gale, la densit� d�un fluide �lastique est proportionnelle a la pression qu�il �prouve, ce qui cons�nbsp;titue la loi de Mariotle ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 622

Usage de cette loi pour calculer l��l�vation de l�eau dans une pompe , quand il se trouve de Fair au-dessous du

Dilatation �gale et uniforme de tous les gaz par les vj^ieurs, pour des degr�s �gaux de temp�rature , mesures soRs une

xxT�j nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIERES.

pression constante par Ie therinom�tre a air'; coefficient de . la dilatation pour chaque degr�; ce coefficient, communnbsp;) a tous les fluides �lastiques, n�est pas rigoureusementnbsp;constant, quand la tempe'rature est iviesur�e par un ther-mom�tre a mercure j equation qui donne la pression ennbsp;fonction de la densit� et de la temperature ; calcul dunbsp;rapport de la pression a Ia densit� , dans 1�air parfaite-nient sec et dans l�air au maximum d�humidit�, pour lanbsp;.temperature z�ro*,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 624 et �zS

�quation d��quilibre d�une colonne verticale de l�atm�sph�re ; loi de la pression et de la densit� ; on v�rifie que Ie poidsnbsp;total de la colonne est �quivalent a la pression inf�rieure ,

Mouvement d�ua ballon qui s��l�ve dans nbsp;nbsp;nbsp;Tair ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;627

Formule pour la mesure des hauteurs nbsp;nbsp;nbsp;parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l�pbservation du

barom�tre ; Ie coefficient constant de cette formule s�ac-corde avec la moyenne d�un grand riombre de hauteurs mesur�es trigonom�triquement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;628

Sfodification qu�on doit faire subir a cette formule, d�apr�s la reniarque du n� 255, quand on veut la faire servir anbsp;calculer la hauteur d�un lieu au-dessus du niveau de la iner;nbsp;exemple de ce calcul,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;629

Formule moins exacte , mais plus simple que la pr�c�dente , et qui suffit aux usages ordinaires ; comment pn peut subs-tituer a 1�observation du barom�tre, celle du degr� de T�-bullition de 1�eau i diff�rentes hauteurs,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 63o

Eemarques �relatives a la densit� et a la force �lastique ou tension des vapeurs; formule qui donne la densit� de Fairnbsp;mouill� , d�apr�s la tension de la vapeur qu�il renferme , etnbsp;la densit� de l�air parfaitement sec,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u� 63 [

Cbmparaison de Tatmosph�re aqueuse qui se formerait, si notre atmosphere n�existait pas, � la quantit� de vapeurnbsp;d�eau que notre atmosphere peut contenir,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;632

CHAPITRE VI. De la force �lastique et de la cha-leur des gaz , nbsp;nbsp;nbsp;�Sy

Gas o� l�on a besoiii de connaitre les variations de la pression et de la temperature d�un gaz, produites par celles de lanbsp;densit� , saus que la quantit� de clialeur varie , n� 633nbsp;Definition de la chaleur sp�cifique , spit a volume constant,nbsp;soit a pression constante ; equation aux diffe'rences par-tielles d�o� de'pend la quantit� de chaleur en fonctionnbsp;de la pression et de la densit�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 634

Exp�rience propre a d�terminer l�accroisseinent de temp�-rature d�un gaz , correspondant a une petite condensation sans perte de chaleur ; calcul num�rique de eet accroisse-inent de temp�rature , qui peut aussi se d�duire de lanbsp;vitesse du son ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 635

Comment eet accroissement de temp�rature est li� au rapport des deux~chaleurs sp�cifiques du gaz ; valeurs difle-rentes de ce rapport, donn�es par Texp�rietice; on Ie regarde comme ind�pendant de la temp�rature et de lanbsp;pression dans l�air atinosph�rique ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11�* 636 et 637

Integration de 1��quation du n� 634 7 dans 1�hypoth�se de ce rapport constant j lois de la pression et de la temp�raturenbsp;en fonctions de la densit�, qur.nd la quantit� de chaleurnbsp;est invai�iahle.,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 638

Expression deja quantit� de chaleur en fonction de la temp�rature ut de la densit� , dans 1�hypoth�se que la chaleur sp�cifique du gaz est ind�pendante de la temp�raturenbsp;inesur�e par un thermom�tre a air ; chaleur sp�cifiquenbsp;.en fonction de la pression ; application l�air atmosph�-rique ; rapport des quantit�s de chaleur perdue, par unnbsp;in�me volume d�air, sous diff�rentes pressions; ce rapportnbsp;est confirm� par 1�exp�rience ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 639

Application des formules pr�c�dentes a la vapeur d�eau ; re-marque relativ'e aux machines a vapeur a hautes pressions,

XXX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

Mouvement du piston dans une inacbine a vapeur; e'tat de la vapeur a un instant quelconque ; calcul de la force vivenbsp;produite par la chute ou 1��l�vation du piston ; d�tente denbsp;la vapeur ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 642

La force �lastique du m�lange de plusieurs gaz est �gale a .la somine des forces �lastiques de ces fluides ; �quation quinbsp;d�termine la chaleur sp�cifique du m�lange, d�apr�s cellesnbsp;des gaz m�langes, en proportion donn�e ; Ie rapport desnbsp;chaleurs sp�cifiques a pression constante et a volume constant , ne peut pas �tre ind�peiidant de la pression dansnbsp;les gaz m�lang�s ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;' 643 et 644

LIYRE SIXI�ME.

HYDRODYNAMIQUE.

�quations g�n�rales du mouvement

page 665

Objet de Vhjdrodjnamique^ observation relative a la pro-pri�t� caract�ristique des fluides, sur laquelle sont fon-d�es les �quations g�n�rales de 1��quilihre des fluides ; comparaison entre cette propri�t� et la loi Ae^^ariotte onnbsp;admettra.dans ce trait�, que cette propri�t�.a lieu dansnbsp;V�tat de mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;645

Expressions des composantes de la vitesse du iluide, en un point et a un instant quelconqu�s ; accroissemens intini-ment petils de ces composantes pour un m�me point dunbsp;fluide; accroissement de la densit�, et, g�n�ralement,nbsp;d�une 'fonction quelconque du temps et des trois coordon-n�es consid�r�es comme des fonctions du temps , n� 646nbsp;�quations diff�rentielles du mouvement des'fluides qui senbsp;d�duisent de celles de leur �quilibre, par Ie principe de

D�Alembert; equation relative a la sbrface libre d�un fluide en mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�647

Quatri�me equation du mouvement des fluides ; sa decomposition en deux autres, dans le eas des liquides ; valeur de la pression en fonction de la temperature et de la den-site' , dans le cas des fluides e'lastiques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�' 648 et 649

Dans un liquide en mouvement dont la temperature varie d�un point a un autre et avec le temps , la distributionnbsp;de la cbaleur depend de la m�me equation que dans unnbsp;corps solide li�t�rog�ne ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dansnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;unnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fluidenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�lastiquenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, cette

equation doit �tre remplacee par nbsp;nbsp;nbsp;unenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;autre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;on in-

On explique pourquoi la quatri�me equation du mouvement des fluides s�appelle equation de la coritinuit� ^ exemplesnbsp;de niouvemens dans lesquels elle n�a pas lieu , n� 651nbsp;Conditions relatives a la superficie des fluides, que 1�on anbsp;coutume d�ajouter aux equations de leur mouvement, dansnbsp;les diff�rens probi�mes d�bydrodynaraique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;652

Reduction des equations du mouvement des fluides a un moindre nombre et a ime forme plus simple , dans unnbsp;cas tr�s �tendu,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 653

On d�montre, en general, que si la condition n�cessaire pour que cette r�duction ait lieu , se v�rifie a Torigine du mouvement, elle sera satisfaite pendant toute sa dur�e , n� 654nbsp;Mouvement d�un liquide qui tourne, sans changer de figure,nbsp;autour d�un axe fixe ; on retrouve, d�apr�s les equationsnbsp;g�n�rales de I�liydrodynamique, l��quation de la surfacenbsp;qu�on avait d�duite pr�c�demment (n� 689) de 1��qui-libre des forces centrifuges , jointes ^x forces motrices desnbsp;points du fluide ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 655

CHAPITRE 11. De la propagation du son, page 693

Indication des ouvrages o� l�on trouvera les principaux r�sul-tats qui ont �t� d�duits, jusqu�a pr�sent, des �quations g�n�rales du mouvement des fluides ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 656

tb�ovie du sou, dani la supposition du n� 653, qui con- . vient aux deux cas particuliers qu�on va consid�rer , n� 657nbsp;Cas o� Tair est contenu dans un tuyau cylindrique ; Ienbsp;mouvement est Ie m�me que suivant la longueur d�unenbsp;verge �lastique; comment les difF�rens tons d�un instrument a vent peuvent servir A de'terminer Ie rapport desnbsp;clialeurs sp�cifiques A volume constant et sous une pressionnbsp;constante, pour les diffe'rens gaz que Ton fait vibrer dansnbsp;eet instrument,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 658

Propagation du �on a 1�air libre, dans Ie cas ou Ie mouvement est semblable en tons sens autour du centre de l��-branlement; integration, sous forme finie , de l��quation relative i ce mouvement ; determination des deux fonc-tions arbitraires qu�elle renferme ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 669 et 660

La vitesse de cette propagation est la m�me que dans un tuyau,cylindrique; intensit� du son a une grande distancenbsp;da lieu de T�branlement; elle depend, toutes clioses d�ail-leurs �gales , de la densit� de 1�air en eet endroit; a quoinbsp;1�on doit attribuer, suivant Euler, la difference d�unenbsp;syllabe a une autre , cbant�es avecla m�me force et sur Ienbsp;m�me ton ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 661

Coexistence des sons dans un air �branle' sirnultane'ment en plusieurs endroits,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;662

Reflexion du son sur nn plan fixe , qui s��tend ind�finiment en tous sens ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;663

Calcul nuin�rique de la vitesse du son dans Pair; comparaison du r�sultat de ce calcul a celui de 1�observation , nquot; 664nbsp;Diffe'rence entre les formules de la vitesse du son, donn�esnbsp;par Newton et paijj^aplace; cause de la propagation dunbsp;son dans les vapeurs au maximum de densit�, n� 665nbsp;Yitesse de la propagation du son dans 1�eau,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 666

CHAPITRE ni. Du mouvement des Jluides dans. une hypothese particuliere,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^ge 721

On explique en quoi consiste cette hypotli�se, qui ne peut conduire qu�a une solution approximative ; elle est connue

sous la denomination A'hypoihese du parall�lisme des tranchesj elle re'duit Ie probl�me a la determination denbsp;deux inconnues, savoir, la pression et la vitesse de chaquenbsp;tranche ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 667

Formules qui feront connaitre ces deux inconnues, en un point quelconque du vase d�oii Ie liquide s��coule par unnbsp;orifice horizontal, lorsque 1�on connaitra la vitesse qui anbsp;lieu a eet orifice ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 668 et 66g

�quations diffet-entielles d�o� depend cette vitesse et la hauteur du niveau du liquide au-dessus de 1�orifice , n� 670nbsp;Solution compl�te du probl�me, et calcul de la d�pensenbsp;du fluide, dans Ie cas o� Ie niveau du liquide est entretenunbsp;a une hauteur constante ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 671

Cas o� Ie niveau est variable ; application au mouvement de 1�eau qui sort d�un cylindre, par un orifice horizontal,

Examen particulier du cas o� l�orifice est tr�s petit; th�o-r�me relatif a la vitesse du fluide a eet orifice, horizontal OU incline',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�� 674 et 676

La de'pense observe'e s�e'carte beaucoup de celle qui re'sulterait de ce th�or�me, dans Ie cas de Forifice en mince paroi;nbsp;explication qu�ou donne de cette difference; contractionnbsp;de la veine fluide ; augmentation de la d�pense produitenbsp;par un ajutage,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 676

Mouvement d�un fluide �lastique qui sort d�un vase par un orifice, dans 1�hypoth�se du parall�lisme des tranches ;nbsp;vitesse de l��coulement; cas o� Torifice est tr�s petit,

Relative a Vusage du principe des forces vives dans Ie calcul des machines en mouvement.

Definition des forces mouvantes et des forces r�sistantes equation diff�sentielle suffisante pour d�terminer Ie mouve-

ment d�une machine ; transformation de celte equation, dans laquelle ces deux sortes de forces sont distingu�esnbsp;1�une de l�autre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;' 680 et 681

j�quation du principe des forces vives, sous la forme ou on 1�emploie dans Ie calcul des machines en mouvement; definition de la qiiantit� de travail �l�mentaire, du travailnbsp;moteur et du travail r�sistant,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 682

Quantit� de travail due a la chute ou a l��l�vation d�un poids; unil� djnamiquey mesmes d�une quantit� de travail etnbsp;d�une force vive quelconques, en unites dynamiques,

Equations qui ont lieu quand uue machine part du repos et quand elle est parvenue a un �tat permanent; consideration du frottement et des autres resistances ; effet general d�une machine ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 684

Definition et usage du volant dans les machines, n� 685 Effets nuisibles des chocs et des changemens brusques denbsp;vitesse dans les machines ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 686

La diminution graduelle de la force vive, due aux frottemens et aux resistances des milieux, peut aussi �tre produitenbsp;^ar la communication d�une partie du mouvement auxnbsp;supports de la machine ; exemple de eet effet; ces diversesnbsp;causes d�truisent totalement la force vive , et finissent parnbsp;r�duire les machines au repos , quand les forces mouvantesnbsp;ont cess� d�agir,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 687

IS^otion relative a la quantit� de travail d�un homme ou d�un animal marchant et portant ou trainant un fardeau, surnbsp;une route horizontale ou inclin�e,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n�688

Distinction des vitesses communes et des vitesses relatives des ditf�rens points d�une machine en mouvement, n� 68gnbsp;Transformation de la formule g�n�rale du n� 531, dansnbsp;laquelle on distingue entre elles les diff�rentes sortes denbsp;forces q�i agissent sur les points d�un syst�me quel-

Application de cette formule transform�e aux cas o� 1�on prend successivement pour les d�placemens de ces points,

ceux ^ui r�sultent de leurs vitesses absolues, et ceux qui r�sultent de leurs vitesses relatives,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6gi et 69a

�quation des forces vives dues aux vitesses relatives des points d�une niacbine; e'quation resultante de la combinaison denbsp;celle des forces vives dues aux vitesses absolues, et de cellenbsp;des forces vives dues aux vitesses relatives; autre e'quationnbsp;qui se d�duit de la pr�c�dente dans un cas particulier, etnbsp;qu�on peut regarder comme e'vidente en elle - m�nie ,

Application de cette derni�re �quation au choc d�un corps solide contre un plan, et a la pression d�un corps pesant contre un plan anim� d�une vitesse donne'e,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� GgS

Usage de cette m�me �quation, pour determiner la pression d�une veine fluide en mouvement contre un plan inclinenbsp;OU perpendiculaire a sa direction, en mouvement ou ennbsp;�pos,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n� 696

8, x-=.oy lisez

l*��n remontant, nbsp;nbsp;nbsp;^hc

10, 1�axe Oar, lisez l�axe Dx 2 en remontant, m, r (dans les trois e'quations)

6en rernonlant, C = ^et, lisez ^=5fit*

9 en desqendant, el en remontant, cos C dolt �ire au nu-meraieur, au lieu d�etre au d�nominateur 5, il fant excepicr la pfan�te Mercure, dont rexccntricii�nbsp;surpasse uu ciiu^ul�mc.nbsp;ire^ 5oquot;,3242';, lise^ 5oquot;,aj3427nbsp;cos S', lisez sin Snbsp;4, nt-i-'i, lisez nt� 't�anbsp;,1*�� en rcmoniant, n� a4gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;no a6i

Page 33b, ligne 5 en remontant, G, lisez G'

'�*47.	4 en remontant, ajoutez n� 4^3 .
a5o,	9,	CG, lisez KG
289,	iri	% KG', lisez K'G'
		K'C', lisez R'C
	i5.	GK% lisez G'R'
3oi,	3,	AGH, lisez ACH
	5,	DG, lisez DC
3o2,	9.	la pointe, lisez les points
447,	3,	� 11, lisez � 111
598,	7gt;	AB, lisez AC

DE M�CANIQUE

LITRE Q�ATRI�ME.

DYNAMIft�E,

SECONDE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

35o. Lorsque des points mat�riels, soumis a des forces donn�es, sont lies entre eux d�une mani�renbsp;quelconque, ils prennent, a chaque instant, des vi-tesses infiniment petites, difF�rentes de celles que cesnbsp;forces leur imprimeraient s�ils �taient libres. Cesnbsp;forces �tant connues, ces derni�res vitesses Ie sontnbsp;aussi; et Ie probl�me general de la Djnamiquenbsp;consiste a en d�duire, en grandeur et en direction,nbsp;2. ,

les accrolssemens de vilesse qui ont r�ellement lieu. Sa solution depend dun principe tr�s simple que Tonnbsp;doit a D�Alembert, et d�api��s lequei on ram�ne toutesnbsp;les questions i'elalives au mouvement, a de simplesnbsp;questions d��quilibre, toujours r�solubles par les regies expos�es dans Ie livre pr�c�dent.

Pour �noncer ce principe d�une mani�re precise, soient m la masse d�un des points mat�riels que l�onnbsp;consid�re, et ur la vitesse que la force qui Ie solli-cite lui imprimerait, s�il �tait libre, dans un temps rnbsp;infiniment petit. Appelons qr l�accroissement de vitesse qui aura �galement beu pendant ce m�me instant , et dont la direction diff�rera, en g�n�ral, denbsp;celle de la vitesse donn�e ut. Par la regie du paral-l�logramme des forces, qui s�applique �galement auxnbsp;vitesses (n� i45)j d�composons ur en deux autres vi-tesses, dont l�uue soit qr ^ el l�autre sera repr�sent�enbsp;par pr. La force motrice appliqu�e au mobile auranbsp;ie produit mu pour mesure; celles qui seraient capa-bles des vitesses qr et pr, auront pour valeurs mqnbsp;et mp-, et nous pourrons regarder la force donn�enbsp;mu comme la r�sultante de la force mq, a laquelle estnbsp;d� l�accroissement de vitesse qui a r�ellement lieu ,nbsp;et de la force mp, dont l�elfet est d�truit par la liaisonnbsp;des points du syst�me. Nous appellerous cette der-ni�re la force perdue.

D�signons par les m�mes lettres avec des accens, mquot;, li', f, pquot;, etc., les quan-

perdues mp, in'p', rnquot;p'\ etc., devront se faire �qui-libre; car si eet �quilihre n�avait pas lieu, ces forces produiraient de certaiaes vitesses infiniment petitesnbsp;pendant l�instant t, el, par consequent, qr, q'r',nbsp;etc., ne seraient plus, contre l�hjpoth�se, lesnbsp;accroissemens de vitesse qui ont r�ellement lieu.

Cest en cela que consiste Ie principe de D�Alembert. Au Heu des forces mp , m'p', mquot;pquot;, etc., on peut mettre, dans les equations d��quilibre du syst�menbsp;que l�on consid�re, les quantit�s de mouvement mpr,nbsp;m'p'r, mquot;p''r, qui leur sont proportionnelles, etnbsp;alors on dit qu�il y a �quilibre entre les quantit�s denbsp;mouvement infiniment petites, perdues dans chaquenbsp;instant par tons les points du syst�me, en vertu denbsp;leur liaison mutuelle.

351. On peut changer eet �nonc� general en un autre qui sera souvent plus commode.

Observons, pour cela, que mu �tant la r�sultante de mq et mp, chacune de ces composantes, la seconde par exemple, est aussi la r�sultante de mu etnbsp;de r autre composante mq, prise en sens contraire denbsp;sa direction; en remplacant ainsi chacune des forcesnbsp;perdues mp, m'p', mquot;p�', etc., par les deux forces dontnbsp;elie est la r�sultante, nous vojons que Ie principe denbsp;D�Alembert revient a dire qu�il y a constamment �quilibre entre les forces donn�es, qui agissent sur tonsnbsp;les points d�un syst�me de points mat�riels en mouvement, et les forces auxquelles sont dus les accroissemens infiniment petits de vitesse qui ont lieu anbsp;chaque instant, ces derni�res forces �tant prises ennbsp;sens contraire de l�urs directions, On remplaccra, si

Ton veut, les premi�res forces par les quantit�s de mouvement mux, m'u�r, ni'ti'x, etc., et les derni�res

des vitesses q, q', qquot;, etc., �ne direction contraire a la sienne, et laissant a u, u',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., leurs propres

Ce second �nonc� a Tavanlage de conduire imm�-diatement a des equations entre les inconnues q, q', qquot;, etc., et les donn�es du probl�me, qui sont les vitesses �t, u% mquot;, etc. Ces equations r�sulteront, soitnbsp;des conditions d��quilibre, soit des liaisons qui au-ront lieu, dans chaque cas, entre les points du sys-t�nie ; elles seront toujours en m�me nombre que lesnbsp;coordonn�es de tous ces points (n� 342}, et, conse�-quemment, en m�me nombre que les composantesnbsp;des vite.sses q, q', qquot;, etc., parall�les aux axes de cesnbsp;coordonn�es; en sorte qu�elles feront connaitre, ennbsp;grandeur et en direction, les accroisseniens de Autessenbsp;de tous les mobiles a chaque instant � ce qui est,nbsp;comme nous l�avons dit, la solution g�n�rale du probl�me de la Dynaraique. Remonter ensuite de ces ac-croissemens infiniment petits aux vitesses et auxnbsp;coordonn�es du mobile en fonctions du temps, estnbsp;une question de calcul integral.

352. Lorsque les forces mq, in'q', n�'q^', etc., au-ront �t� d�termin�es, si on les prend en sens contraire de leurs directions, et qu�on les compose avec les forces donn�es mu, m'u', mquot;u'\ etc., on aura lesnbsp;forces perdues mp, nip', m''pquot;, etc. C�est a ces derni�res forces que sont dues les tensions des fils, desnbsp;verges �lasliques et de tous les liens physiques qui

peuveiit exister entre les diff�rens points du sjst�me, ainsi que les pressions exerc�es sui� les surfaces et lesnbsp;courbes donn�es qu�ils peuvent �tre obliges de par-courir; et, d�apr�s Ie premier �nonc� du principe denbsp;D�Alembert, ces pressions ou tensions se d�lermine-i�ont, dans l��tat de mouvement de sjst�me,^ par lesnbsp;regies de la Statique appliqu�es aux forces per-dues (ri^ 343).

Pendant Ie mouvement, une par tie de la force donn�e, qui agit sur chaque mobile, est done employee a faire varier sa vitesse, et n�a ancune influence sur les pressions ou tensions dont il s�agitj etnbsp;1�autre partie, qu�on regardc comrne d�truite ou perdue, produit ces tensions ou pressions, et n�influenbsp;nullement sur la vitesse. Lorsque Ie syst�me est parvenu a un �tat permanent dans lequel tous les pointsnbsp;qui Ie composent se meuvent uniformdment, la premi�re partie de chaque force est nulle, et la force en-ti�re est d�truite, c�est-a-dire, employee a produirenbsp;les pressions contre les obstacles fixes, et les tensions des liens physiques , corame si ce syst�menbsp;�tait en �quilibre.

Supposons, d�apr�s cela, qu�une corde soit en mouvement suivant sa longueur, et que des forcesnbsp;donn�es agissent a ses deux bouts suivant ses prolon-gemens. Si ce mouvement demeure uniforme, lesnbsp;deux forces seront �gales, et leur valeur communenbsp;exprimei�a la tension de la corde ; si, au contraire ,nbsp;les deux forces sont in�gales, l�exc�s de la plus grandenbsp;sur Ja plus petite sera employ� a acc�l�rer ou a retarder Ie mouvement de la corde, et sa tension aura

pour mesure la partie de la plus grande force d�-truite par la plus petite, ou �gale et contraire a celle-ci. Par exemple, lorsqu�un cheval traine un fardeau sur une route, et que Ie mouvement du syst�me de-meure uniforme, l�efiFort du cheval, parall�lement anbsp;la route, est �gal au poids du fardeau decomposenbsp;suivant cette direction, plus Ie frottement du fardeaunbsp;contre la route; il est constant quand l��tat de lanbsp;route et son inclinaison ne varient pas; si on Ie suppose transmis au fardeau par Ie mojen de plusieursnbsp;cordons parall�les entre eux et a la route, reffort total sei-a �gal a la somme des tensions de tous cesnbsp;cordons; et, dans la pratique, on mesure reffortnbsp;exerc� suivant chaque coidon par Textension d�unnbsp;ressort interpos� suivant sa longueur. L�inclinaisonnbsp;et l��tat de la route ne changeant pas, si les efforts denbsp;l�animal augmentent ou diminuent, Ie mouvementnbsp;du syst�me s�acc�l�re ou se ralentit, sans que lesnbsp;tensions �prouvent aucune variation. Lorsque lanbsp;route est horizontale, Ie frottement insensible, etnbsp;Ie mouvement unifonne, Ie cheval n�a d�autre forcenbsp;a d�velopper que celle qui est n�cessaire pour sanbsp;propre maiche; il n�exerce aucuii effort suivant lesnbsp;cordons attach�s au fardeau, et leurs tensions sontnbsp;constamment nulles.

553. Le principe de D�Alembert a aussi lieu rela-tivement aux quantit�s de mouvement linies, per-dues par des corps li�s entre eux d�une mani�re quelconque, et sur lesquels on exerce des percussions simultan�es, qui ne sont autre chose que desnbsp;forces motrices agissant sur les mobiles avec de tr�s

grandes intensit�s et peadanlde tr�s courts intervalles de temps (n� 126).

Alnsi, supposons qu�une force de cette nature agisse sur Ie point dont la masse est m, pendant un tempsnbsp;lini, ma�s assez petit pour que Ie point in et tous lesnbsp;autrcs points du syst�me ne changent pas sensible-ment de position dans eet intervalle de temps. Re-pr�sentons-le par �, et par U la vitesse de grandeurnbsp;finie que cette force imprimerait au point m, s�ilnbsp;�tait libre; et soit aussi Q la vitesse qu�elle lui im-prirae 7'�elleraent, de sorte qu�au bout du temps s ilnbsp;se trouve anira� de la vitesse qu�il avait auparavant,nbsp;de la vitesse Q, et de celle qul lui est communiqu�e,nbsp;pendant Ie m�me temps, par les forces motricesnbsp;qui peuvent aglr sur Ie syt�me, ind�pendamment desnbsp;percussions. D�composons la vitesseU en deux autres,nbsp;Tune egale a Q, et l�autre que je repr�senteral par P.nbsp;Faisons des suppositions semblables a l��gard des autres points m', mquot;, etc., du syst�me, et d�signons,nbsp;par rapport a ces points, par U', Q', P'; Uquot;, Qquot;,nbsp;Pquot;, etc., les quanlit�s analogues a U, Q , P. L��qui-llbre exlstera dans Ie syst�me, soit au commencement, solt a la fin du temps g, entre les quantit�s denbsp;mouvement perdues iiiY, m�V', mquot;P'', etc.

En effet, d�composons la dur�e e des percussions en un nombre Infini d�iustans Infiniment petits. Soientnbsp;T 1�un de ces instans, m^r, m'/rarT', 7?/W'V', etc.,nbsp;les parties infiniment petites de mV, m'V, mquot;Pquot;, etc.,nbsp;perdues pendant eet instant, et, comme pre'c�dein-ment, inpr, m'p'r', n�'pquot;T'', etc., les quantlt�s infiniment petites de mouvement, provenant des forces

motrices, et perdues dans ce m�nie instant, D�apr�s r�nonc� du n� 55o, ii y aura �quilibre, dans Ie sjs-t�me, entre ces deux groupes de quantit�s de mouvement; cbacune des equations relatives a eet �qui-libre sera de la forme :

en d�signant par A, A', Aquot;, etc., B, Bquot;, etc., des coelEciens d�pendans des positions des mobiles; etnbsp;cette equation subsistera pendant toute la dur�e e desnbsp;percussions. La somme des valeurs de son premiernbsp;raembre qui r�pondent a tous les instans de cette dur�e, sera done �gale a z�ro; mais, dans cette som-mation, on pourra regarder les coefficiens cornmenbsp;invariables, puisque, par hjpoth�se, les positions desnbsp;points m, iri, rri', etc., ne changent pas sensibleraentnbsp;pendant toute la dur�e des percussions; de plus, lesnbsp;sommes des valeurs de m.'mx, m'xa-'rf inquot;xs-quot;T, etc.,nbsp;seront les quantit�s de mouvement inV, m'B',nbsp;mquot;Pquot;, etc.; celles de mpr, m'p'r, inquot;pquot;T, etc., pour-ront �tre negligees par rapport aux premi�res, pareenbsp;que les elFets des forces motrices, telles que des poidsnbsp;et des attractions dirig�s vers des centres fixes ou mobiles, pendant les dur�es des percussions, sont g�n�-ralement insensibles par rapport aux effets de cesnbsp;autres forces; par cons�quent, nous aurons

II en sera de m�me a l��gard de toutes les �quations d��qulUbredu syst�me, qui subsisteront toutes entre

les quantit�s de mouvement perdues /raP, m'V, wiTquot;, elc.; ce qu�il s�agissait de faire voir.

A cause de l invariabilit� des coefficiens A , A', Aquot;, etc., pendant la dure'e des percussions, ces equations se rapportent indifferemment au commencenbsp;ment ou a la fin du temps Pour plus de commo-dil�, on a suppose cetle dur�e la m�me pour toutesnbsp;les percussions; ce qui est permis �videmment,nbsp;pourvu que amp; soit la dur�e la plus longue des percussions que Pon consid�re en m�me temps.

Ces percussions proviendront, en general, des chocs des mobiles entre eux ou contre des obstaclesnbsp;fixes. II pourra arriver que pendant Ie temps s, cesnbsp;corps glissent un tant soit peu l�un contre l�autre ounbsp;contre ces obstacles; ils �prouveront alors des Irotte-mens qui leur enleveront de certaines quantit�s denbsp;mouvement : or, on ne peut pas n�gliger ces quantit�s comme celles qui proviennent de la pesanteur etnbsp;des attractions; car Ie frottement est une force pro-portionnelle a la pression, c�est-a-dire, une forcenbsp;qui enl�ve aux mobiles, dans chaque instant, desnbsp;quantit�s de mouvement infiniment petites, propor-tionneiles a celie que la pression pourrait leur impri-mer dans Ie m�me instant; d�o� il r�sulte que les eP-fets des frottemens, pendant Ie temps g, peuvent �trenbsp;comparables a ceux des percussions. Ainsi, quand il ynbsp;aura un glissement des mobiles pendant la dur�e desnbsp;percussions, il faudra �tablir l��quilibre entre lesnbsp;quantit�s de mouvement perdues par les frottemensnbsp;et celles que nous avons repr�sent�es par mV, /n'P',nbsp;mTquot;, etc. On pourra, si l�on veut, remplacer les vi-

tesses P, P', Pquot;, etc., par leurs composantes, c�est-a-dire, par des vitesses �gales et contraires a Q, Q', Qquot;, etc., et par les vitesses U, U', 13quot;, etc., prises dansnbsp;leurs propres directions.

Cette extension du pi'incipe general de la Djna-mique aux quantit�s de mouvement de grandeur linie, servlra a determiner les vitesses des corps d un sjst�me, soit a 1�origlne du mouvement, soit pendantnbsp;sa dur�e, quand ils se rencontrent ou qu�ils viennentnbsp;cHoquer des obstacles fixes, et, g�n�ralement, lors-que les vitesses des mobiles �prouvent ce qu�on ap-pelle des changemens brusques.

354. Les diff�rentes applications du principe general de la Djnamique, que nous aurons a faire dans la suite de ce Trait�, seront relatives a des mobilesnbsp;entre lesquels il existe des liens physiques quelcon-ques , qui agissent, en outre, l�un sur l�autre parnbsp;voie d�attraction ou de repulsion a distance, et quinbsp;�prouvent des percussions a des instans particullers.nbsp;Mals avant d�aller plus loin , je crois utile de donnet�, dans ce chapitre, un exemple simple de cba-cune de ces trois clrconstances, pour servir de d�-veloppement aux g�n�ralit�s qu�on vient d�exposer.

Consld�rons d�abord , comme dans Ie quatri�me casdu n� Sag, deux corps pesans, attach�s aux ex-tr�mit�s d�un lil qu�on regarde comme inextensible,nbsp;et pos�s sur deux plans incline's, adoss�s l�un anbsp;Tautre. Soient h la hauleur commune de ces deuxnbsp;plans, l Ia longueur de l�un d�eux, V celle de l�au-tre, m la masse du corps pos� sur Ie premier, m'nbsp;celle du corps pos� sur Ie second, et g la gravit�.

Si l�on fait abstraction du frottement, la force ac-c�leratrice du premier mobile sera �gale a la com-posante de la pesanteur suivant Ie premier plan,

du temps t, par v la vifesse commune a tous les points de m, et par v' celle de tous les points de m';nbsp;et convenons de regarder ces vitesses comme positives OU comme n�gatives, selon que les mobilesnbsp;descendent ou s��l�vent. Pendant l�iiistant dt, v ei dnbsp;augmenteront de dv et dv' mais, pendant ce m�menbsp;instant, les forces acc�l�ratrices imprimeraient auxnbsp;mobiles, s�ils �taient libres, les vitesses positives

y dt et dt: en vertu de la liaison des deux corps, les vitesses qu�ils perdent pendant l�instaut dt sontnbsp;done ^ dt

De plus, les deux vitesses v et v' sont �gales et de signe contraire; car, dans Ie mouvement dont ilnbsp;s agit, Tune des deux masses descend et 1�autre s��-l�ve, en parcourant des espaces �gaux sur les plansnbsp;inclin�s. On a done

Je substitue cette valeur de �ft� dans i��quation (i) f d�o� je deduis ensuite

Si l�on multiplie par dt et qu�on int�gre de nouveau , on aura l�espace parcoui'u par in sur son plan incline 5 mais cette valeur de f suffit pour mon-trer que son mouvement est uniform�ment acc�l�r�nbsp;OU retard�, selon qu�on a ml' gt; m'l ou ml' lt; m'l.nbsp;En vertu de 1��quation v' = � e, Ie contraire anbsp;lieu a l�e'gard de m'.

J�appelle T la tension du fil auquel les deux mobiles sont attache's, laqu�lle est due a la force perdue a chaque instant par chacun de ces deux corps. Cette force motrice a pour valeur Tune des quanti-tes de mouvement qui forment les deux membresnbsp;de I�equation (1), divisee par dt; par consequent,nbsp;on a

dans Ie cas de ml' = m'l, qui est celui de 1��qui-libre. Quant a la pression exerc�e sur chaque plan incline, elle est due a la composante perpendiculaire a ce plan, du poids du corps qu�il supporte,nbsp;et la m�me que dans 1 etat d��quilibre.

355. La constante c est la vitesse initiale de m; si les deux corps sont partis de l��tat de repos, on anbsp;c = o; mais si l�un d�eux, ou lous les deux, ontnbsp;�prouv� une percussion a Forigine du mouvement,nbsp;il faudra en d�duire leurs vitesses initiales.

Supposons done qua 1�origlne du mouvement les mobiles in et m' ont �prouv� simultan�ment des percussions qui auraient imprim�, suivant les prolon-gemens du fil auquel ils sont attach�s, une vitessenbsp;a a tous les points de m, et une vitesse a' a tons lesnbsp;points de m', si ces deux corps eussent �t� libres.nbsp;Comme leurs vitesses initiales sont c et � c, il s�en-suit qu�a cette origine les quantit�s de mouvementnbsp;perdues ont �t�, en grandeur et en direction,nbsp;7n (a� c) et gt;?i'(a'-j-c ) ; pour qu�elles se fassentnbsp;�qu�ibre, dapr�s Ie n� 353, il faudra qu�elles soientnbsp;�gales; on aura done

La percussion que Ie fil a subie a eet instant, suivant chacun de ses prolongemens, est due a Tune ou l�autre de ces quantit�s de mouvement perdues, dont

en sorte que la percussion initiale du fil est la m�me que s�il �tait suspendu verticalement a un point fixe*nbsp;et qu�un corps attach� a son extr�mit� inf�rieure futnbsp;frapp�, dans Ie sens de la pesanteur, par un secondnbsp;corps anim� de cette quantit� de mouvement et quinbsp;se r�unit au premier.

556. Au lieu de deux corps pesans, on en pour-rait consid�rer trois ou un plus grand nombre, pos�s sur une suite de plans inclin�s, et dont ctiacun se-i�ait li� au suivant par un fil inextensible : Ie mouvement de ce sjst�me de corps serait de la m�menbsp;nature et se determinerait de la m�me mani�re quenbsp;pr�c�demment.

On peut aussi remplacer les deux corps que l�on vient de consid�rer, par une chaine pesante, pos�enbsp;sur les deux plans inclines. En la supposant homogene et d'une �paisseur constante, et d�signant, aunbsp;bout du temps t, par x eix' les longueurs de ses deuxnbsp;parlies, leurs masses seront entre elles comme cesnbsp;quantit�s, de sorte qu�il faudra d�aboi�d remplacer,nbsp;dans l��quation (i), m et m' par x et x'. De plus,nbsp;pendant l�instant dt, la premi�re de ces deux partiesnbsp;augmente de T�l�ment dx, qui prend la vitesse unbsp;commune a tous ses points; pour cette raison, lanbsp;quantit� de mouvement perdue par cette partie seranbsp;diminu�e d�une quantit� positive ou negative, etnbsp;�gale a vdx. Par une raison semblable, la quantit� de mouvement perdue par la seconde partie

de la chaine pendant Ie mcme instant, devra �tre di-minu�e d�une quantit� �gale a v'doe'�. il faudra done, en outre, retrancher vdx et ddcc' du premier et dunbsp;second membre de cette equation (i), qui deviendra,nbsp;de cette mani�re,

d�o� il r�sulte dx'=x-^dx et vdx = v'dx'�, et, en �li-minant x' et dv' de l��quation du mouvement, il vient

en d�signant par e la base des logarithmes n�p�-riens, et par a et b les deux constantes arbltraires, dont on d�terminera les valeurs d�apr�s celles de x et

TRAIT� DE M�CANIQUE.

, qui r�pondent a ^ = o. Lorsque toute la chalne se

trouvera sur un m�me plau, c�est-a-dire, lorsque la difference x�x' sera devenue �gale a � A, Ie mouvement changera de nature, et deviendra uniforme-ment acc�l�r�.

Pour que la chaine derneurat en repos, il faudrait qu�on eut n = o et ^ = o; d�o� l�on conclut

ce qui fait voir que dans l��tat d��quilibre les deux parties x et x' de la chaine sont entre elles commenbsp;les longueurs l et l' des plans inclines sur lesquelsnbsp;elles sont pos�es; en sorte que ses d�ux extr�mit�s senbsp;trouvent dans une m�me droite horizontale. R�cipro-quement, si cette condition est reraplie a un instantnbsp;determine, et qu a eet instant les points de la chainenbsp;ne recoivent aucune vitesse, l��quilibre aura lieu ;nbsp;car la proportionnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

557, Pour second exemple de l�application du principe general de la Djnamique, consid�rons Ienbsp;mouvement de deux points mat�riels soumis a leurnbsp;repulsion mutuelle; et, pour r�duire la question aunbsp;cas Ie plus simple, supposons qu on ne leur imprimenbsp;aucune vitesse initiale, perpendiculaire a la droitenbsp;qui va de Pun a l�autre; en sorte que leurs raouve-mens aient lieu sur une m�me ligne droite , donn�enbsp;de position.

Soient m et n� leurs masses; au bout du temps t, d�signons par x el jc� leurs distances a un point fixe,nbsp;pris sur cette ligne, et par v et igt;' leurs vitesses, denbsp;sorte qu�on ait, a eet instant,

En m�me temps, soit R la force repulsive agissant en sens opposes sur m et m, et qui tendra, pour fixernbsp;les idees, a augmenter la distance x� et a diminuernbsp;la distance x. Pendant Tinstant dt, cette force mo-

comme 'l�augmentatioa de vitesse de m' est r�elle-ment dv', il s�ensuit que sa vitesse et sa quantit� de mouvement perdues pendant cel instant seront

--dv' et ^dt � m'dv'. La quantit� de mouvement perdue par m, dans Ie m�me sens et dans Ie m�me instant, sera aussi � Rr/� � mdv. Or, cesnbsp;deux points mat�riels �tant d�ailleurs enti�rementnbsp;fibres, il faudra, pour l��quilibre de ces quantit�snbsp;de mouvement, qq�elles soient s�par�ment nulles;

Soit r la distance comprise entre les deux points mat�riels m et m', de sorte qu�on ait

En integrant et d�signant par c- et c' les deux cons-tantes arbitraires, on aura done

La force R sera une function donn�e de r; on pourra done obtenir l�int�grale f^dr exactement ou par approximation ; et si Ton d�signe par a la valeur de rnbsp;a l�origine du mouvement, et qu�on suppose cettenbsp;integrale nulle quandnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;sa valeur, a un instant

quelconque, sera une fonction de r et a que je re-pr�senterai par f{r, a). Soient aussi a et a' les vi-tesses initiales de m et m'; on aura, a la fois,

Ges derni�res equations feront connaitre, a clia-que instant, les vitesses des deux mobiles en fonc-tions de leur distance mutuelle : on en conclut que toutes les fois que cette distance redeviendra lanbsp;m�me , les carr�s et e'� reprendront aussi lesnbsp;m�mes valeurs, et que chaque mobile reprendra unenbsp;�gale vitesse, dans Ie m�me sens ou en sens contraire.

pour determiner, par une nouvelle integration, la valeur de t en fonction de r, ou r�ciproquement.nbsp;D�ailleurs, en multipliant la premi�re des equations (i)nbsp;par dt, integrant et d�signant par b la constante arbitraire, il vient

On connaitra h d�apr�s les positions initiales des deux mobiles; et cette equation, jointe a x' � x=r,nbsp;fera connaitre leurs positions a un instant quelcon-que, c�est-a-dire, les valeurs de x et x' en fonclionsnbsp;de r OU de t; ce qui sera la solution compl�te dunbsp;probl�me.

Si Taction mutuelle des deux mobiles �tait attractive, il faudrait changer Ie slgne de R, et par suite celui de f{r, et), dans les formules pr�c�dentes. Sinbsp;cette force �tait une repulsion a certaines distances,nbsp;et une attraction a d�autres distances, on prendraitnbsp;pour R une fonction de r qui changerait de signe

TRAIT� DE M�CANIQUE. dans r�lendue des valeurs de la variable. Dans tonsnbsp;les cas, il r�sulte de i�equation pre'ce'dente que Taction mutuelle des deux mobiles n�alt�re pas Ie mouvement de leur centre de gravite; car son premiernbsp;merabre, divise' par m m', exprime la distance denbsp;ce centre a Torigine fixe des x et x' �, en sorte quenbsp;Ie mouvement du centre de gravit� est uniforme etnbsp;ind� pendant de la force R.

358. Les equations (i) conviennent aussi au mouvement de deux corps solides, de grandeur quelcon-que, soumis a la force R, et dont les masses sont m et in', pourvu que les vitesses de tous les points denbsp;ces deux corps soient constamment parall�les a unenbsp;droite donn�e. Cette force R, repulsive ou attractive,nbsp;peut alors provenir d�un ressort qui se dilate ou senbsp;contracte entre les deux mobiles contre lesquels ilnbsp;est appuy� par ses extr�mit�s; ou bien encore, onnbsp;peut supposer que la force R provient d�un fluidenbsp;�lastique qui se d�veloppe entre ces deux corps, etnbsp;les repousse en sens contraire l�un de Tautre.

Ce dernier cas est celui du mouvement du boulet et du canon, pendant que Ie premier parcourt Vdmenbsp;de la piece. On prendra alors pour m la masse dunbsp;boulet, et pour m' celle du canon. II faudra, pournbsp;faire usage des formules pr�c�dentes, supposer quenbsp;la totalit� de la poudre se r�duit en gaz a Toriginenbsp;du mouvement. La longueur de la charge sera lanbsp;distance initiale a des deux mobiles; et quand cettenbsp;distance sera devenue r, la force R exprimera la pres-sion que Ie gaz, ainsi dilate, exercera sur chacun denbsp;ces deux corps. II faudra, en outre, faire une suppo-

sition sur la valeur de R en fonction de r. Or, si la temperature du gaz demeurait constante pendant sanbsp;dilatation, la force R, d�apr�s la loi de Mariotte, serail en raison inverse des espaces qu�il occuperaitnbsp;dans l�int�rieur du canon. Soit done h la pressionnbsp;rapport�e a l�unit� de surface, exerc�e par Ie gaz anbsp;rinstant o� la poudre vient de s enflammer et oii ilnbsp;occupe encore Ie m�me espace que la charge. D�si-gnons par co la section de la charge perpendiculairenbsp;a sa longueur, qui est aussi la section int�rieure de lanbsp;pi�ce; ka sera la valeur de R a I�origine du mouvement ; et, dans Ie cas de la temperature constante ,nbsp;on aurait

a rinstant qui r�pond a la distance r des deux mobiles; car, a ces deux �poques, les espaces occup�s par Ie gaz sont entre eux comme les longueurs etnbsp;et r.

Cette expression de R est celle qu�on a g�n�rale-ment adopte'e , quoiqu�elle soit fond�e sur deux hypotheses inexactes : la totallt� de la charge ne se r�-duit pas en gaz avant Ie depart du boulel; et pendant sa dilatation dans l�ame de la pi�ce, Ie gaz form� doitnbsp;�prouver de tr�s grandes diminutions de temperature.nbsp;Ma�s ces deux causes influent en sens contraire sur Ienbsp;d�croissement de ia valeur de R : la seconde tendnbsp;�videmment a rendre ce d�croissement plus rapide ,nbsp;tandis que Teffet de la premi�re doit �tre de Ie ralen-tir, a raison des nouvelles quantit�s de gaz qui vienrnbsp;nent successivement s�ajouter a la quantit� initiale.

Oa suppose que ces deux causes contraires se com-pensent a peu pres, et Ton fait abstraction de leur influence sur l�expression de R. en function de r.

en observant que Tinl�grale f{r, a) est suppos�e nulle pour r = a. On regarde comme nulles lesnbsp;vitesses inltiales du boulet et du canon ; en fai-sant done a = o et �' = o dans les equations (i),nbsp;et y substituant cette valeur de �(r, a), nous au-rons

Soient l la longueur de lame, V la vitesse du boulet a la bouche du canon, V' la vitesse corres^-pondante du recul; on aura, a la fois,

et l�on d�duira des equations pr�c�dentes V� = -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\olt;^ L .

ce qui fera connaitre la vitesse de projection V. Abstraction faite du signe, celle du recul sera �gale

(�'') Voyez IVxamen de ce point de la question dans Ie 21* cahier du Journal de VEcole Poljlechnique, page 191 -

En �galant a z�ro la difF�rentielle de V* par rapport a a, on d�terminera la longueur de la charge qul r�pond, toutes choses d�ailleurs �gales, au maximum de la vitesse de projection. On a, de cettenbsp;manl�re,

et comme ce logarithme est n�p�rlen, 11 s�ensuit qu�en d�slgnant, a Tordinalre, par e la base de cesnbsp;logarlthmes, on aura lz= ea; de sorte que la var-leur de a dont 11 s�aglt surpassera un peu Ie tiersnbsp;de la longueur l de la piece.

359. La masse m' coraprenant celle de la pl�ce et de l�afFut, est toujours tr�s grande par rapport anbsp;celle du boulet; en r�dulsant done a m' Ie dlvl-seur m m' de la valeur de V*, on aura sim-r-plement

Pour faire usage de cette formule, 11 sera n�ees^ salre de connaitre la constante k, qul repr�sente lanbsp;force �lastlque de la poudre r�dulte en gaz, a l�lns-tant de sa plus grande Intenslt�. Solt, pour cela,nbsp;D la denslt� de la poudre dans son �tat naturel;nbsp;la masse de la charge sera Dxat, j en supposant soanbsp;poids �gal au tiers du polds du boulet, on aursvnbsp;done

Cetle quantit� k sera la pression maxima du gaz de la poudre, rapport�e a l�unit� de surface; pournbsp;la comparer a la pression atmosph�rique, soient ftsrnbsp;cette autre pression , h la hauteur barome'trique ,nbsp;jtt la densit� du niercure , et la gravit�; on aura

= gixh.

Soient aussi M Ie module des tables de logarithmes ordinaires, et A Ie logarithme de ^ pris dans cesnbsp;tables, de sorte qu�on ait

A la temperature ordinaire d�environ 18�, je prends pour les densit�s de la poudre et du raercure

^ = 463�,

V = 495quot;,

En prenant la moyenne de ces deux valeurs de A:, qui devraient �tre �gales si la th�orie �tait rigoureusenbsp;et que les donn�es fussent exactes, nous aurons done

Telle serait la valeur de k qu�il faudrait employer dans la formule (2); mais cette expression de V�ne peutnbsp;�tre regard�e que comme une formule empirique ,nbsp;d�abord a raison des hypotheses sur lesquelles eile estnbsp;fond�e, et, en outre, paree que dans Ie calcul directnbsp;du mouvement du boulet dans l�ame de Ia piece, ilnbsp;aurail fallu avoir �gard a la masse de Ia poudre r�-duite en gaz. Eu m�me temps que ce fluide poussenbsp;en sens oppos�s Ie boulet et Ie canou, une partie denbsp;la force qu�il d�veloppe est employ�e a transporternbsp;sa propre masse, qui n�est pas n�gligeab�e par rapport a celle du projectile; et l�on concoit qu�il ennbsp;doit r�sulter une vitesse de projection moindre quenbsp;si, la force �lastique de la poudre restant la m�me,

sa masse �tait insensible, comme Je suppose l�analyse pr�c�dente. Cette remarque, due a Lagrange, prouvenbsp;la n�cessit� de consid�rer a la fois les mouveraens denbsp;la poudre et des deux masses m et m', pendant que Ienbsp;boulet est dans la pl�ce; mais alors la question senbsp;complique, et la dif�icult� du calcul ne permet gu�renbsp;d�arriver a aucun re'sultat utile pour la pratique. C estnbsp;done a Texp�rlence qu�il vaudra mieux recourir pournbsp;determiner les vitesses de projection des corps lanc�snbsp;par les bouches a feu. Ind�pendamment de la consi-de'ration des port�es, que nous avons d�ja indiqu�enbsp;(n� 216), il existe un autre moyen d�obtenir ces vitesses, dont il sera question dans un des chapitresnbsp;sulvans.

36o. Appliquons encore Ie principe de D�Alembert au cas Ie plus simple du choc des corps, et suppo-sons qu�il s�agisse de deux sph�res homog�nes, dontnbsp;les centres se meuvent sur une m�me ligne droite,nbsp;et dont tous les points d�crivent des parall�les a cettenbsp;droite.

Soient in et m' les masses de ces deux corps; d�si-gnons par v et v' leurs vitesses, lorsqu�ils comnien-cent a se toucher, c�est-a-dire, au premier instant du choc : V et v' seront de m�me signe ou de signes con-traires, selon que les deux mobiles iront a la suite ounbsp;au-devant l�un de l�autre. Dans les deux cas, nousnbsp;regarderons la vitesse v comme positive; et, apr�s Ienbsp;choc, la vitesse de chacun des deux mobiles sera positive OU negative, suivant qu�elle sera dirig�e dans Ienbsp;sens de cette vitesse de m avant Ie choc ou en sen%nbsp;contraire.

Quelque durs que soient les deux mobiles, ils s�nt toujours plus OU molns compressibles j a raison de lanbsp;difference de leurs vitesses igt; et v', ils vont done senbsp;comprimer, en s�appuyant l�un contre Vautre ; et,nbsp;pendant cette compression, la vitesse de i�un des deuxnbsp;corps, de m, par exernple, diminuera par degr�s in-finiment petits, et celle de m' augmentera de m�me,nbsp;jusqu�a ce que ces deux vitesses soient devenues �gales.nbsp;Or, a partir de eet instant, il y aura deux cas distinctsnbsp;a consid�rer.

i�. Si les deux spheres sont enti�rement d�nu�es d��lasticit�, elles cesseront d�agir Tune sur l�autre anbsp;rinstant o� leurs vitesses se seront ainsi nivel�es, etnbsp;continueront de se raouvoir avec une vitesse commune , en restant juxtapos�es et conservant les formesnbsp;que la compression leur aura donn�es.

2�. Si, au contraire, les deux spheres sont �lasti-ques, elles tendront a reprendre leur forme naturelle; en y revenant, et s�appuyant toujours Tune contre l�autre, la vitesse de m continuera de d�croitrenbsp;graduellement, et celle de m' continuera d�augmen-ter : il y aura enfin un instant o� ces deux corps senbsp;s�pareront, et ce sera la fin du choc. Or, dans Ie casnbsp;d�une parfaite �lasticit�, on suppose que la secondenbsp;partie du choc est tout-a-falt semblable a la premi�re;nbsp;qu�a la fin du choc, les deux corps ont repris exacte-inent leur forme sph�rlque, et une vitesse communenbsp;a tous les points de chacun d�eux; et que, pendant sanbsp;seconde partie, ils perdent ou gagnent des quantit�snbsp;de mouvement �gales a celles qu�ils ont d�ja perduesnbsp;ou gagn�es pendant la premi�re.

Le probl�me du choc de deux spheres ne pr�sen-terait aucune difficulte' nouvelle, et rentrerail dans celui du n� 35;, si leurs rayons �taient infinimentnbsp;petits. Pour le r�soudre compl�tement, lorsque leursnbsp;rayons ont une grandeur linie, il faudrait avoir e'gardnbsp;a la propagation du mouvement dans leurs masses ,nbsp;et determiner l��tat des deux corps a un instant quel-conque de la dur�e du ph�nom�ne; ce qu�on peutnbsp;regarder comme impossible, dans 1��tat actuel de lanbsp;science. Nous admetlrons done les suppositions qu�onnbsp;vient d�expliquer comme �tant les donn�es de lanbsp;question dont nous allons nous occuper; et en com-binant ces donn�es avec le principe de D�Alembert,nbsp;applique aux quantit�s de mouvement de grandeurnbsp;linie, il ne s�agira plus que de determiner les vitessesnbsp;des deux spheres a la lin du choc, d�apr�s leursnbsp;masses et leurs vitesses primitives, soit quand cesnbsp;deux corps sont enti�rement d�nu�s d��lasticit�, soitnbsp;quand ils sont parfaitement �lastiques. II n�y a quenbsp;les corps mous qui n�aient pas d��lasticit� sensible;nbsp;la plupart des corps durs reviennent a leur formenbsp;primitive, lorsqu�ils ne sont pas bris�s par le choc.

361. Dans le cas des corps mous, soit u la vi-tesse apr�s le choc, laquelle est commune aux deux spheres; la vitesse perdue par m sera e � u, et lanbsp;vitesse gagn�e par m' sera u �� v'. Si done ces deuxnbsp;corps allaient au-devant l�un de l�autre avec ces vitesses igt; � u et u � v', il faudrait, d�apr�s Ie principe du n� 353 , qu�ils se fissent �quilibi-e; ce quinbsp;exige(n'� 127) que les quantit�s de mouvement cor-respondantes a ces vitesses soient �gales. Nous au-

(a)

Si m' est en repos avant Ie choc , et qua raison de sa densit�, cette masse soit extr�memeiit grandenbsp;et comme inflnie, par rapport a m, on aura sen-siblement � = o. La masse m' repr�sentera alors unnbsp;obstacle fixe ; et Ie corps, d�nu� d elasticil�, seranbsp;r�dult au repos par Ie choc contre eet obstacle.

On appelle force vive d�un point materiel, ou , plus g�n�ralement, d�un corps dont tous les pointsnbsp;ont la m�me vltesse, Ie produit de sa masse par Ienbsp;carr� de cette vitesse. La somme des forces vives denbsp;m et in' est done -|- m'v'* avant Ie choc, etnbsp;mu�' m'u* apr�s Ie choc. Or, il r�sulte de la formule (a) que la seconde somme est toujours moin-dre que la premi�re 5 car, sans alt�rer leur difference

-{- m'v'''

m � u)lt;� _p. m' {u � v'y,

11 y a done toujours perte de force vive dans Ie choc de deux spheres dont la mati�re est d�nu�e denbsp;toute �lasticit�; et cette perte est egale, comme onnbsp;voit, a la somme des forces vives dues aux vitessesnbsp;V � u et u � v', perdue et gagn�e par ces deuxnbsp;corps. Ce r�sultat est un cas particulier d�un th�o-r�me general qui est du a Carnot, et que nous d�-montrerons par la suite.

502. Dans la premi�re partie du choc, c�est-a-dire, jusqu�a I�instant de la plus grande compression , lesnbsp;deux spheres se comporlent toujours de m�me, quelnbsp;que soit leur degr� d��lasticite ; en sorte que la vi-tesse u qu�on vient de determiner, est toujours cellenbsp;qui leur est commune a eet instant. Pendant cettenbsp;premi�re partie, la diminution de la vitesse de m etnbsp;1�augmentation de celle de m' sont done v � u etnbsp;u � v'. Or, si ces deux sph�res sont parfaitementnbsp;�lastiques, m �prouvera, dans la seconde partie dunbsp;choc,une seconde diminution de vitesse �gale a lanbsp;premi�re, et, cons�quemment, sa vitesse a la fin dunbsp;choc sera v � 2 (c � �) ou 211 � v. En m�me temps,nbsp;m' �prouvera une seconde augmentation de vitessenbsp;�gale a u � v', et sa vitesse finale sera v' 2 (� �

OU 2U � /. Si done on appelle V et V' les vitesses de m et m', apr�s Ie choc , on aura

ce qui montre que dans ce choc la vitesse relative des deux mobiles change de signe et conserve la m�menbsp;grandeur.

Si la masse m' est regard�e comme infinie, a raison de sa densit�, par rapport a la masse m, et qu�on ait p' = o gt; on aura u = o , et, par cons�quent,nbsp;V = � p; d�oii il r�sulte que quand une sph�re,nbsp;dou�e d�une �lasticit� parfaite, vient frapper unnbsp;obstacle fixe, elle est r�fl�chie avec une vitesse �galenbsp;et contraire a celle qu�elle avait avant Ie choc. S�ilnbsp;s�aglt, par exemple, d�une sph�re pesante, qui tombenbsp;dans Ie vide, surun plan horizontal et in�branlable,nbsp;elle devra remonter a sa hauteur primitive.

La somme des forces vives sera la m�me avant et apr�s Ie choc, ou, autre ment dit, on aura

mp� -f- 7w'p'� = m {p.u � p)* -1- m'{2U � p')*; equation qui se r�duit a

II n�y a done aucune perte de force vive dans Ie choc de deux spheres parfaitement �lastiques; et cenbsp;r�sultat, comme celui que pr�sente Ie choc de deuxnbsp;spheres non �lastiques, est compris dans un th�or�menbsp;g�n�ral, qu�on d�montrera aussi dans un autre cha-pitre.

2tt=P-}-.p', V = P�, V'=rp.

spheres parfailement �lastiques, dont les masses so�vt egalesj et si l�uae des deux est en repos avant Ienbsp;choc, l�autre demeurera en repos apr�s Ie choc, etnbsp;la premi�re prendra la vitesse primitive de la seconde.

II suit de la que si Ton a une s�rie de billes �gales en masse, et dont les centres soient rang�s en lignenbsp;droite; que la premi�re solt seule en mouvement,nbsp;et que sa vitesse, qui sera d�sign�e par v, soit diri-g�e suivant cette droite et du c�t� des autres billes jnbsp;cette premi�re bille sera r�duite au repos en choquant la deuxi�me ; celle-ci prendra la vitesse e, avecnbsp;laquelle elle ira choquer la troisi�me, et sera ensuitenbsp;r�duite au repos; la troisi�me prendra la vitesse c,nbsp;qu�elle perdra en choquant la quatri�me; et ainsi denbsp;suite, jusqu�a la derni�re, qui conservera la vitesse e.nbsp;Apr�s cette suite de chocs, toutes les billes serontnbsp;done en repos, except� la derni�re, qui se trouveranbsp;anim�e de la vitesse que la premi�re avait primitive-ment; et comme ce r�sultat est ind�pendant de lanbsp;grandeur des intervalles compris entre les billes con-s�cutives, il est naturel d�en conclure qu�il aura encore lieu quand ces intervalles disparaitront, et quenbsp;les billes, choqu�es par la premi�re, seront ennbsp;contact.

Ainsi, lorsqu�une serie d�un nombre quelconque de billes parfailement �lastiques, en repos, juxtapo-s�es, �gales en masse, et dont les centres sont en lignenbsp;droite, sera choqu�e par une autre bille �lastique,nbsp;�gale a chacune d�elles, et en mouvement suivant lanbsp;ligne des centres, celle-ci se r�unira a la s�rie qui

demeurera en repos, except� la bilie plac�e a 1�aulre extr�mit�, laquelle se d�tachera seule avec la vitessenbsp;de la bilie choquante : c�est, en effet, ce qu�on a sou*-vent l�occasion de verifier, avec des billes de billard,nbsp;par example.

En general, les lois du choc des corps sph�riques, mous on durs, qui sonl les consequences des hypotheses du 11� 56o, ont �t� confirmees par de nom-breuses experiences, faites sur des billes �gales ounbsp;in�gales, de m�me mati�re ou de mati�re diff�rente, et dont les vitesses avaient entre elles diff�-rens rapports.

364. Le mouvement du centre de gravit� d�un syst�me de corps n�est jamais alt�r� par le choc ounbsp;toute autre action mutuelie des mobiles. On d�mon-trera par la suite, dans toute sa g�n�ralit�, cette importante proposition, dont on a d�ja vu le cas lenbsp;plus .simple dans le nquot; 35^, et qu�on peut aussi verifier dans le choc des corps sph�riques, mous ou par-faitement �lastiques.

Pour cela, soient cc et x', au bout du temps t, les distances des centres de m et m' a un point fixe de lanbsp;droite sur laquelle ils se meuvent. Soit aussi, a eetnbsp;instant, la distance au m�me point du centre d�nbsp;gravit� de rn et m; nous aurons (n� 65)

r . nbsp;nbsp;nbsp;dx,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dx ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dx'

(� �O-x = quot;�7, �quot; l��

les deux cas; ce qui est la m�me valeur qu�avant Ie cboc, en vertu de cette equation (et). Par cons�quent,nbsp;Ie cboc de deux spheres ne change rien au mouvement de leur centre de gravit�.

Comme la vitesse de ce point est toujours la somme des quantit�s de mouvement des corps, divis�e parnbsp;la somme de leurs masses, cela revient a dire quenbsp;dans Ie choc de deux corps sph�riques, mous o�nbsp;�lastiques, la somme des quantit�s de mouvement

Si la vitesse v' de m' est nulle, et que cette masse soit tres petite par rapport a m, la quantit� de mouvement imprim�e a m' et enlev�e a m, sera, a tr�s pennbsp;pr�s, toV ou 2Tn'v, selon que ces corps seront d�nu�snbsp;d �lasticit� ou parfaitement �lastiques.

565. Jusqu a pr�sent, on a assimil� la resistance des fluides a une suite de chocs du mobile contre lesnbsp;mol�cules du milieu qu�il travei'se j quoique, selonnbsp;moi, la th�orie de Ia resistance fond�e s�r cette con-sid�ratlon doive �tre abandonn�e, il est bon, cepen-dant, de l�expliquer ici en peu de mots.

Supposons que Ie mobile soit un cylindre droit qui se meut dans Ie sens de sa longueur. Soit cdnbsp;l�aire de sa base, perpendiculaire a cette dimensionnbsp;et a la direction du mouvement; soient aussi m lanbsp;masse du mobile, et p la densit� du fluide, liquidenbsp;OU a�riforme, dans lequel il se meut. Au bout dunbsp;temps j5, appelons v sa vitesse, et oc la distance de sanbsp;base ant�rieiire a un point fixe, pris sur la perpendiculaire a ce plan, de sorte qu'on ait dx=.vdt. Dansnbsp;l�instant dt, cette base parcourra l�espace dx; Ie mobile frappera done tous les points mat�riels du fluide,nbsp;compris dans une tranche dont la base est cd, la hauteur dx, et la masse fcodx. Or, on consid�re tous cesnbsp;points comme isol�s et n�ayant aucune action sur Ienbsp;fluide environnant; et, dans cette hypothese, onnbsp;prend pour la diminution de la quantit� de mouvement �prouv�e par Ie mobile pendant eet instant dt,nbsp;Ie produit de sa vitesse c et de la masse frapp�e

padx, OU Ie double de ce produit, selon que I on compare ce choc a celui des corps d�nu�s de toutenbsp;�lasticit�, ou qu�on l�assimile au choc des corpsnbsp;parfaitement �lastiques. La premi�re valeur vfcodxnbsp;est celle qui s �cart� Ie moins de Texp�rience ; ennbsp;l�adoptant done, et observant que mdv �prouve lanbsp;variation de la quantit� de mouvement de la massenbsp;m, dans l�instant dt, nous aurons

pour la force motrice provenant de la resistance exerc�q sur une surface plane, perpendiculaire a lanbsp;direction du mouvement.

Cette resistance est, comme on voit, proportion-nelle a la densit� du fluide, a la surface sur laquelle elle s�exerce, et au carr� de la vitesse du mobile.nbsp;En appelant h la hauteur due a cette vitesse, et gnbsp;la gravit�, c�est-a-dire , en faisant e* = agh, sa valeur devient 2gpaih; en sorte qu elle est �gale aunbsp;poids d�im eylindre du fluide qui aurait pour basenbsp;la surface perpendiculaire a la direction de la vitesse , et pour hauteur Ie double de celle dont unnbsp;corps pesant devrait tomber dans Ie vide, pour ac-qu�rir cette m�me vitesse.

Si la direction du mouvement n�est pas perpendiculaire a la surface plane qui �prouve la r�sis-

tance, on decompose la vitesse du mobile en deux autres, Tune perpendiculaire, et Fautre parall�le anbsp;ce plan; on suppose que la vitesse parall�le nenbsp;donne lieu qu�a un frottement dont on fait abstraction , et que la resistance proprement dite est lanbsp;m�me que si la vitesse normale existait seule : c�estnbsp;pourquoi Fon substitue cette composante a la vitesse V dans la valeur pr�c�dente de la re'sistance,nbsp;qui devient alors pwe* cos� i; i �tant Fangle quenbsp;fait la normale a la surface �, avec la direction denbsp;la vitesse v.

366. En admettant ce r�sultat, et F�tendant aux �l�mens infiniment petits des surfaces courbes, onnbsp;en conclut, par Ie calcul integral, la resistancenbsp;�prouv�e par un corps solide de forme quelconque.

Pour plus de simplicit�, supposons qu�il s�agisse d�un solide de revolution, dont tous les points d�-crivent, avec la vitesse v, des parall�les a son axenbsp;de figure. Soient AB eet axe (fig.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et AMB sa

courbe g�n�ratrice; pi enons eet axe pour celui des abscisses; et appelons x et j Fabscisse CP et For-donn�e PM d un point quelconque M de cette courbe.nbsp;Supposons que la plus grande section du solide , perpendiculaire a Faxe de figure, soit celle qui r�pondnbsp;au point C, origine des coordonn�es, et que CD soit,nbsp;en consequence, la plus grande ordonn�e de lanbsp;coiirbe AMB. Le mouvement ayant lieu de. B versnbsp;A, la portion de la surface qui �prouvera la resistance du milieu sera celle qui r�pond a la partienbsp;DMA de cette courbe. Soit cis F�l�ment diff�ren-tiel de cette courbe au point quelconque M ; on

ds pour Ie cosinus de Tangle que la normale en cenbsp;point, fait avec Taxe des jc, c�esl-a-dire, avec la direction du mouvement; et eet angle sera Ie m�menbsp;dans toute T�tendue de la zone engendr�e par dsnbsp;en tournant autour de AB, dont la surface est 2.7rjds.nbsp;Chacun des �l�mens plans de cette zone �prouveranbsp;done une resistance normale qui sei�a �gale au pro-duit de eet �l�ment , mullipli� par pu� cos� i. Ennbsp;d�composant cette force en deux autres. Tune perpendiculaire et Tautre parall�le a Taxe AB , il estnbsp;�vident que les composantes perpendiculaires a ABnbsp;se d�truiront deux a deux; d�ailleurs, chaque com-posante parall�le a AB aura pour valeur la r�sis-tance normale a la zone, multipli�e par cos i; parnbsp;cons�quent, Ia somme de ces composantes, pour lanbsp;zone enti�re, sera �gale au pi�oduit de la surface

II suit de la qu�en appelant R la r�sistance totale �pi�ouv�e par Ie solide en sens contraire de son mouvement, et faisant CA = �, nous aurons

Si Ie mobile est une sphere, Ie point C sera sou centre, et a son rayon. En d�signant par G Tangle

ce qui montre que la resistance �prouv�e par une sphere est la moiti� de celle qui aurait lieu sur Ienbsp;cylindre circonscrit, dont 'Tfa* serait la base perpendiculaire a la direction du mouvement.

367. C�est a Newton qu�est du ce premier es-sai sur la resistance des fluides; et c�est lui qui a determine, Ie premier, Ie mouvement des corpsnbsp;soumis a une force d�pendante de leur vitesse. Ennbsp;comparant Ie re'sultat de son calcul au temps observenbsp;de la chute d�une sphere qui tombe dans l�air, d�unenbsp;grande hauteur, il a reconnu qu�il faudrait, pour ac-corder l�un avec l�autre, r�duire a moiti� la valeurnbsp;pr�c�dente de R.

D�apr�s d au tres experiences, faites par Borda, cette valeur doit �tre seulement redui te aux trois cin-qui�mes; ce qui donne

4oDa � ce qui est, efFectivement, l�expression de la resistancenbsp;que les auteurs de Ba�stique ont adopte'e Ie plus g�-n�ralement, et que nous avons cit�e dans Ie n� 2t6.

En vertu de la formule (c), la determination du solide de revolution qui e'prouve la moindre re'sis-tance, consiste a trouver la courbe gen�rafrice de ce

nimum; probl�me qu�on r�soudra sans difficult� par les regies du calcul des variations, et dont New^ton anbsp;donne' la solution avant que d�autres g�om�tres senbsp;fussent occup�s de ce genre de questions, mais sansnbsp;indiquer la m�thode qu�il a suivie pour y parvenir.

Cette th�orie de la r�sistance repose, comme on l�a vu, sur une comparaison vague de faction du fluidenbsp;au choc des corps, et sur la supposition inadmissible que, dans ce choc, les mol�cules du fluide agis-\ent isol�ment sur Ie mobile et nullement l�une surnbsp;l�autre. Elle est d�mentie par l�observation , quant anbsp;la grandeur absolue que Ie calcul donne a peu pr�snbsp;double de celle qui r�sulterait de l�exp�rience; ellenbsp;Test aussi par rapport a la loi de la r�sistance en fonc-tion de la vitesse, qui serait toujours proportionnellenbsp;au carr� de la vitesse, suivant cette th�orie, tandisnbsp;qu�il r�sulte du d�croissement observe' des amplitudes, dans les tr�s petites oscillations du pendulenbsp;(nquot; 187), que cette force est seulement proportionnelle aux tr�s petites vitesses. La r�sistance qu�unnbsp;fluide, liquide ou a�riforme, oppose au mouvement

d�un corps solide, se compose d�un frottement contre la surface, et de Ia r�sultante des pressions que cenbsp;fluide exerce sur cette surface tout enti�re. Pour determiner convenablement cette seconde partie, quinbsp;est la resistance proprement dite, il faut consid�rer anbsp;la fois les mouvemens du corps et du fluide, commenbsp;je l�ai fait dans Ie m�moire d�ja cite (n� igi). Cettenbsp;force peut �tre diff�rente dans Ie mouvement oscilla-toire et dans Ie mouvement progressif, dans les liquides et dans les gaz; et, dans ceux-ci, elle peut d�-pendre de leur temperature, et non pas seulement denbsp;leur densit�j ce qui serait important a verifier parnbsp;1�exp�rience.

\%VVV��'VVgt;W�VV\lV\VVV\W^lt;VVVVVVVVVVVVVVVVVWVVVVV�(WVVVliV\M/V\iVV\iVV\vV\'VVSVV\�\(VVVVVWW

CHAPITRE 11.

368. Dans les chapitres suivans, nous consid�re-rons les differens cas du mouvement d�un corps solide. Pour former les equations de son mouvement, nous Ie diviserons en parties insensibles, mais denbsp;grandeur linie, comprenant n�anmoins des nombresnbsp;immenses de molecules. Quoique ce corps soit form�nbsp;de molecules disjointes, les sommes relatives a sesnbsp;parties insensibles pourront �tre chang�es, sans er-reur appreciable, en int�grales d�finies, comme dansnbsp;Ie n� 98; et, dans tout ce qui va suivre, on pourranbsp;traiter les parties dont il s�agit comme des infinimentnbsp;petits.

Les inte'grales d�finles que les equations du mouvement renfermeront seront au nombre de neuf, savoir :

drn �tant T�l�ment diff�renliel de la masse, qui r�-pond aux trois coordonn�es rectangulaires x, j, z, et les int�grales s etendant a la masse enti�re du mobile, c[ue nous d�signerous par M.

�Les trols premi�res dependent de la position du centre de gravit� ; et si Ton appelle , jy,, z,, sesnbsp;trois coordonn�es, on aura (n�gi)

en sorte que chacune de ces int�grales sera nulle , lorsqu�on prendra ce point pour l�origine des coordonn�es.

Quelle que soit cetle origine, on prouvera plus loin qu�on peut toujours determiner la direction desnbsp;trois ax�s de mani�i�e qu�on ait

Les trois axes rectangulaires des x, f, 'z, qui font ainsi disparaitre ces trois int�grales, s�appellent desnbsp;axes principaux.

Quant aux trois derni�res des neuf int�grales, on les expriraera au moyen de trois autres que nous re-pr�senterons par A, B, C, et qui seront

On appelle, en g�n�ral, nbsp;nbsp;nbsp;momentnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'inertie d�un corps

par rapport a une droite quelconque, la somme des �l�mens de sa masse, multipli�s par les carr�s denbsp;leurs distances a cette droite. Ainsi, A, B, C, serontnbsp;les momens d�inertie du mobile par rapport aux axes

des -TC , J, z; car, par exemple, jr* est Ie carr� de la distance de dm a i�axe des x. Lorsque ces di'oitesnbsp;seront des axes principaux, nous appellerons A ,nbsp;B, C, des momens d�inertie principaux.

Le centre de gravit� et les axes principaux ont l�avantage de simplifier les equations du mouvement,nbsp;en faisant disparaitre une partie de leurs termes,nbsp;quand on les prend pour origine et pour axes desnbsp;coordonn�es; ils jouissent, en outre, de propri�t�snbsp;tr�s importantes dans la Dynamique, ainsi qu�on lenbsp;verra par la suite.

56g. La determination des momens d�inertie est un probl�me de calcul integral, que l�on r�soudranbsp;toujoiirs exactement ou par la m�thode des quadratures.

L�exemple le plus simple est le calcul du moment d�inertie d�un parali�l�pip�de rectangle et homogene,nbsp;par rapport a Tune de ses ar�tes. Prenons trois de sesnbsp;ar�tes adjacentes pour axes des x, j, z, et d�signonsnbsp;par a, b, c, leurs longueurs; puis divisons chacuue denbsp;ces trois droites en une infinite de parties infinimentnbsp;petites. En menant par tous les points de division, desnbsp;plans parall�les aux faces du parali�l�pip�de, on auranbsp;trois s�ries de plans qui le � partageront en �l�mensnbsp;infiniment petits dans leurs trois dimensions. Le volume de r�l�ment qui r�pond aux trois coordonn�esnbsp;X, j, z, sera �videmment dxdfdz-, on aura donenbsp;pour sa masse

pose constante. Par cons�quent, Ie moment d�inertie C, par rapport a Tar�te qu�on a prise pour axe des z,nbsp;et dont la longueur est c, sera

On �tendra cette int�grale triple a tous les �l�-niens du parall�l�pip�de donn�, en int�grant, dans un ordre quelconque, depuis a: = o,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z = o,

c = p{-r -tJ�

pour les momens d�inertie du m�me corps, par rapport aux ar�tes dont les longueurs sont b et a.

5jo, Pour second exemple, calculons Ie moment d�inertie d�un ellipso�de homogene par rapport anbsp;Pun de ses trois axes de figure.

trois diatn�tres principaux, qtie l�on prend pour axes des x, j, z. Son moment d�inertie, par rapport a l�axe des z, sera exprim� par la m�me integrale triple que dans Ie probl�me precedent; lanbsp;constante p e'tant toujours la densite' du corps. Pournbsp;obtenir cette integrale triple, qui doit �tre e'tenduenbsp;a la masse enti�re de l�ellipso�de , j�int�greral d�a-bord par rapport a z, en regardant x et j commenbsp;des constantes; ensuite, par rapport a en continuant de regarder x comme constante, et, enfin,nbsp;par rapport a x. On peut sulvre l�ordre qu�on ventnbsp;dans ces trois inte'grations successives; celui que jenbsp;choisis revient a concevoir lellipso�de partag� ennbsp;une infinite de tranches elliptiques, parall�les aunbsp;plan des et z; chaque tranche partage'e de m�me ennbsp;une infinite de parall�l�pip�des parall�les a l�axe desnbsp;z, et termin�s a la surface; et chaque parall�le'pip�denbsp;en �l�mens infiniment petits dans leurs trois dimensions. Les limitcs de Tinte'grale relative a z seront lesnbsp;deux valeurs de cette variable qui sont donn�es parnbsp;l��quation (a); cette int�gv�ale definie exprimera, ennbsp;fonction de a? et , Ie moment d�inertie de l�unnbsp;quelconque des parall�l�pip�des. L�int�grale relativenbsp;aj- aura pour limites les deux valeurs de cette variable, qui i'�pondent a la m�me valeur de x, dansnbsp;l��quation de la section de l�ellipso�de par Ie plannbsp;des X elle exprimera Ie moment d�inertie de lanbsp;tranche parall�le au plan des j gX. z, qui se trouve anbsp;la distance x de ce plan. Enfin, l�int�grale relative anbsp;X sera prise depuis x=� a jusqu�a x^a, et ellenbsp;exprimera Ie moment d�inertie de lellipso�de entier.

== � c y/i

l�int�grale relative a ^ de la premi�re partie de la formule pr�c�dente, deviendra

L��quation de la section de 1�elHpso�de par Ie plan des a: et jr, savoir :nbsp;donne y = ^ v pour les deux limites de 1 integralenbsp;relative aj; et, comme on a

flr

2pcx'dx f ^^

Em integrant par rapport a x depuis x � � a jus-qu�a X = �, on aura done

sans nonveaux calculs, et par de simples changemens de lettres, on aura de m�me

�75� ' par cons�quent, Ie moment d�inertie C par rapportnbsp;a l�axe des z, qui est la somme de ces deux derni�resnbsp;int�grales, aura pour valeur

On obtiendra de m�me les momens d�inertie B et A par rapport aux axes des j et des x. La massenbsp;de l�ellipso�de e'tant M, on aura, d�apr�s son volume (n� 89)

�3~ � et les trois momens d�inertie, par rapport aux diam�-tres 2a, 2b, 2C, seront

B = nbsp;nbsp;nbsp;C=fM(a� �*).

Ces diam�tres sont les trois axes principaux du corps, qui se coupent a son centre de gravit�; car ennbsp;les prenant pour axes des x z, les trois int�gralesnbsp;�xjdm, f zxdm, fjzdm, �tendues a I�eUlpsoide en-tier, sont z�ro, puisque chacune d�elles se compose

On voit que parmi les trois quantit�s A, B, C , la plus grande et la plus petite sont celles qui r�pon-dent au plus petit et au� plus grand des trois diam�-tres; ce qui est d�ailleurs �vident, par la definitionnbsp;des momens d�inertie.

37 1. Dans Ie cas d�une sphere, on a a =z b= c; les trois momens d�inertie deviennent �gaux entre eux ,

d�un intinirnent petit, et se change en a-\-da, I�ac-croissement correspondant de ce moment d�inertie de

d�inertie de la couche sph�rique, dont les rayons int�rieur et ext�rieur sont a et a da. Malntenant,nbsp;supposons que la sphere ne soit pas homogene, malsnbsp;qu�elle soit seulement compos�e de couches concen-triques et homog�nes, de mani�re qu�en appelant rnbsp;Ie rayon d�une couche quelconque, la densit� p soitnbsp;une fonction donn�e de r. Pour avoir Ie momentnbsp;d�inertie de la sphere enti�re, il faudra int�grer celui

rapport a r, et �tendre l�int�grale au rayon entier de la sphere; done, en d�signant ce rayon par c, onnbsp;auranbsp;pour Ie moment d�inertie demand�.

Si on Ie compare a celui d�une sphere homogene du m�me rajon, et dont la densil� soit �gale a lanbsp;denslt� moyenne de celle que Ton consid�re, il estnbsp;ais� de voir qu�il devra �tre, par la definition desnbsp;momens d�inertie, et qu�il sera effectivement, d�apr�snbsp;son expression, plus grand ou plus petit, selon quenbsp;la densit� f croitra ou d�croitra continuellement dunbsp;centre a la surface.

572. Le calcul du moment d�inertie d�un corps ho-mog�ne, termin� par une surface de revolution, se r�duit a une seule integration d�pendante de la courbenbsp;g�n�ratrice, quand on le prend par rapport a l�axenbsp;de figure. On d�composera alors le solide en anneauxnbsp;circulaires, d�une �paisseur et d�une largeur infini-nient petites, dont chacun ait son centre dans l�axe ,nbsp;et soit compris, d�une part, entre deux plans perpen-diculaires a l�axe, et d�une autre part, entre deuxnbsp;surfaces cylindriques , dont cette droite sera l�axenbsp;commun. En appelant r le rayon de la surface int�-rieure ,r-\-dr celui de la surface ext�rieure, et dx lanbsp;distance des deux plans, le volume d�un anneau seranbsp;'^{r drfdx��Trr'dx, ou �rrrrdrdx, en n�gligeantnbsp;le terme infiniment petit du troisi�me ordre. Sanbsp;masse sera done ntfrdrdx, en d�signant par p lanbsp;densit� du corps; et comme tous les points de eetnbsp;anneau sont a la m�me distance r de l�axe de figure,nbsp;le produit xTT^d^di'dx, de cette masse et de r�, expri-mera son moment d�inertie par rapport a eet axe.nbsp;Done si eet axe et la courbe g�n�ratrice sont lanbsp;droite AB et la ligne AMB (fig. i*^), et qu�on fasse

on aura Ie moment d�inertie de la tranche infiniment mince du solide de reVolution, pei�pendiculaire a ABnbsp;et correspondante au point P, en integrant njrpr^drdxnbsp;depuis r = o jusqvi�a r~j, ce qui donne ^yrpj^dx.nbsp;Done aussi, si l�on d�signe par l la longueur de l�axenbsp;AB, et par Ie moment d�inertie du solide entier, onnbsp;obtiendra la valeur de fc en integrant cette difF�reri-tielle � �Tpjklx, depuis a? = o jusqu�a x=: Z, et 11 ennbsp;r�sultera

^ nbsp;nbsp;nbsp;^ /o

Si l�on d�signe par a et � des valeurs donn�es de X, telles que I on ait a ^ etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;il suffira d�in-

t�grer depuis ar==ajusqu�a x:=�, pour avoir Ie moment d�inertie de la tranche du solide comprisenbsp;entre les deux plans perpendiculalres a l�axe, dont atnbsp;et C sont les distances au point A. Si ce corps est unnbsp;solide creux, compris entre deux surfaces de revolution qui ont Ie m�me axe AB, on aura son momentnbsp;d�inertie, en regardant, ce corps comme la differencenbsp;de deux solides de revolution, dont on retranchera,nbsp;l�un de l�autre, les momens d�inertie relatifs a l�axenbsp;commun. Enfin, si l�on demandait Ie moment d�inertie d�une portion du solide de r�volution, comprisenbsp;entre deux plans men�s par l�axe de figure, il estnbsp;�vident que ce moment, par rapport a eet axe, seraitnbsp;a celui du solide entier comme l�angle des deux plansnbsp;est a quatre angles droits.

375. En prenant la demi-circonf�rence d�un eerde pour la g�u�ratrice AMB, et d�signant Ie rayon par

pour la valeur de qu�il faudra substituer dans la formule {h); et si l�on demande Ie moment d�inertienbsp;du segment sph�rique dont la fl�che est et, pris parnbsp;rapport au diam�tre perpendiculaire a sa base, ilnbsp;faudra int�grer, dans cette formule, depuis x = onbsp;jusqu�a X = a; ce qui donne

Dans Ie cas de la sphere enti�re, on fera a = 2a , et il en r�sultera ft = �gt; comme pr�c�demment.

Si la g�n�ratrice est une droite passant par Ie point A, et qui fasse, avec l�axe AB, un angle dont la tangente soit 0, on aura

7 = 0x.

Je substitue cette valeur dans Tequation (�), et j�in-t�gre depuis x = a j usqu�a x = ^; il vient

Cette valeur sera celle du moment d�inertie d�un c�ne tronqn�, pris par rapport a son axe de figure.nbsp;En appelant a et b les rayons de ses deux bases,nbsp;et h sa bauleur, nous aurons

Quand Ie c�ne ti�onqu� se changera en un cjlindre, on fera b = a ; et la masse �tant toujours M , ilnbsp;en r�sultera

374. Connaissant Ie moment d�inertie d�un corps par rapport a un axe passant par Ie centre de gra-vit�, on en conclut ais�ment Ie moment d�iuertienbsp;du m�me corps, rapport� a tout autre axe paral-l�le au premier.

En effet, placons I�origine des coordonnees au centre de gravit�, et prenons le premier axe pournbsp;celui des z. Soient a et ^ les coordonnees du pointnbsp;oil le second axe coupe le plan des x et j, auquelnbsp;ce second axe est aussi perpendiculaire. D�signonsnbsp;par a la distance du centre de gravit� au secondnbsp;axe; par r la distance d�un �l�ment quelconque dmnbsp;du corps au premier axe; par d la distance dunbsp;m�me point materiel au second axe. Le momentnbsp;d�inertie connu sera fr^dm, et celui qu�on demandenbsp;seranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ces integrales s�etendant a la masse en-

mais les int�grales fxdm et fjdm sont nulles, a cause que Ie centre de gravlt� est sur l�axe des znbsp;(n� 368); de plus, fdni est la masse enti�re du corps,nbsp;que je repr�senterai par M; par cons�quent, l��qua-tion pr�c�dente se r�duit a

Ainsi 1�on aura Ie moment d�inertie demand�, en ajoutant a celui qui est donn� la masse du corps,nbsp;multipli�e par Ie carr� de la distance du centre denbsp;gravit� au nouvel axe.

D�apr�s cette r�gie, on aura imm�diatement Ie moment d�inertie d�une sphere homogene ou com-pos�e de couches concentriques, par rapport a uunbsp;axe quelconque, puisque ce moment est connu parnbsp;rapport a tous les axes passant par Ie centre de figure, qui est aussi Ie centre de gravit�.

Dans un corps quelconque, Ie moment d�iuertie par rapport a un axe passant par son centre de gravit�, sera plus petit que par rapport a tout autrenbsp;axe parall�le a celui-la. Les momens d�inertie d�unnbsp;m�me corps seront �gaux, par rapport a tous lesnbsp;axes parall�les eutre eux, et �galement �loign�s dunbsp;centre de gravit� : leur valeur commune augmentei�anbsp;a mesure qu�ils s��loigneront de ce point.

Non-seulement Ie moment d�inertie d�un corps varie avec la position absolue de l�axe auquelnbsp;on ie rapporte, mais il change aussi avec la direction

de cette droite. Pour montrer comment cette direction influe sur la grandeur du moment d�inertie d�un corps quelconque, proposons-nous de trouver celuinbsp;de la masse M par rapport a un axe men� par l�ori-gine des coordonu�es, et qui fasse avec les axes desnbsp;X, j, z, les trois angles donn�s a, �, y.

Soient p la perpendiculaire abaiss�e de 1��l�ment dm sur Ie nouvel axe, D la distance de ce point materiel a l�origine des coordonn�es, �T Tangle comprisnbsp;entre la ligne D et Ie nouvel axe. Les coordonn�esnbsp;de dm �tant x, j, z, les cosinus des angles que faitnbsp;la direction de son rayon v�cteur D avec les axes

en substituant done pour D cos �T la formule pr�c�-dente, multipli�e par D, et mettant -j-y�-f-z* au lieu de D�, il en r�sultera

p� = X* sin� a -f-y* sin� ^ -f- z� sin� y � 2XJCOS X cos � � 2XZ COS X COS y� 2yz cos S cos y;

Au moyen de cette formule, on aura done Ie moment d�inertie fp^dm, relatif a un axe de direction donn�e, et passant par l�origine des coordonn�es ,nbsp;quand on connaiti'a les six int�grales fx'dm, fj'dm,nbsp;fz*dm, fxjdm, fxzdm, jjzdm, �tendues a la massenbsp;enti�re du corps, et relatives aux axes des coordonn�es. Si ces trois droites sont des axes principaux,nbsp;les trois derni�res int�grales seront nulles (n� 368),nbsp;et la formule pr�c�dente se r�duira a

fp��dm = sin*ci .fx'dm -{- sln�� .fy'^dm-^- sin�y .fz^din. Mais, en vertu de r�quation

cos� a -f- cos� S -f- cos� y = I, nous avons

sin� a = cosquot; C -|- cos�^gt; sin� � = cos� y -f- cos� a.,nbsp;sin� y = cos� a 4- cos� ^ ;

done en r�unissant chaque couple d�int�grales en une scule, et d�signant par A, B, C, comme dans Ienbsp;n� 368, les momens d�inertie par rapport aux axesnbsp;des X, j, z, nous aurons finalement

d�inertie relatifs aux trois axes principaux qui se coupent en un point donn�, pour en conclure inim�-diatenient Ie moment d�inertie correspondant a unnbsp;axe quelconque, passant par ce point; et, en com-binant ce r�sultat avec celui du num�ro pr�c�dent jnbsp;on voit que ie calcul de tous les momens d�inertienbsp;d�un m�rae corps se r�duira a determiner les troisnbsp;momens d�inertie principaux qui r�pondent a sonnbsp;centre de gravit�. Ajant calcul�, par exemple (n� Syo),nbsp;les valeurs de ces trois momens d�inertie, dans !enbsp;cas de l�ellipso�de homogene, nous pouvons regar-der comme connu Ie moment d�inertie de ce corps,nbsp;par rapport a un axe quelconque.

376. Le plus grand et Ie plus petit des trois momens d�inertie principaux A, B, C, qui entrent dans la formule (c), sont aussi le plus grand et le plus petit de tous les momens d�inertie du m�me corps, parnbsp;rapport aux axes passant par Forigine des coor-donn�es.

Soit, en effet, A la plus grande des trois quantit�s A, B, C; en mettant i � cos* � � cos* gt; a la placenbsp;de cos* et dans l��quation (c), on aura

d�o� 1�on conclut que f p'dm est moindre que A, quels que .soient les angles Q et y. De m�me, C �tantnbsp;la plus petite des trois quantit�s A, B, C, si l�on metnbsp;1 equation (c) sous la forme

fp^dm = C -f- (A � C) cos* a (A � B) cos* C, on voit qu�on a constamrnent fp'^dm gt;� C.

Dans Ie cas particulier o� les trois quantit�s A, B, C , sont �gales, on a aussi fp'dm = A, quelle quenbsp;soit la direction de l�axe auquel Ie moment d�inertienbsp;fp'dni est rapport� j done alors les momens d�inertienbsp;sont �gaux par rapport a tous les axes passant parnbsp;l�origine des coordonn�es. Ce cas est celui de lanbsp;sphere homogene ou compos�e de couches concen-triques, lorsque l�origine des coordonn�es est plac�enbsp;ii son centre; il a �galement lieu pour Ie cube, l�oc-ta�dre r�gulier et d�autres corps homog�nes, dont lesnbsp;trois momens d�inertie principaux ne peuvent diff�rernbsp;entre eux, en placant toujours l�origine des coordonn�es a leur centre de figure.

et cette valeur de fp^dm �tant ind�pendante des angles a et ^, Ie moment d�inertie sera Ie m�me par rapport a tous les axes men�s par l�origine des coordonn�es, qui font un m�me angle y avec l�axe des z.nbsp;Ce cas est celui d�un solide de revolution homogene,nbsp;quand cette droite est son axe de figure.

D�apr�s ce qu�on a d�ja vu dans Ie n� 374 , nous pouvons dire, maintenant, que Ie plus petit de tousnbsp;les momens d�inertie qu�un ra�me corps puisse avoir,nbsp;r�pond a l�un des trois axes principaux qui se coupentnbsp;a son centre de gravit�. Ainsl, par exemple, Ie plusnbsp;petit de tous les momens d�inertie d�un ellipso�denbsp;* homogene, se rapport� au plus grand de ses troisnbsp;diam�tres conjugu�s rectangulaires.

377. Nous aliens'actuellemeut d�montrer i�exis-tence des axes principaux que nous avons supposee jusqu�a pr�sent, et determiner leur direction pournbsp;chaque point d�un corps de forme quelconque; mais,nbsp;pour cela, il est n�cessaire de rappeler les forrnul-esnbsp;g�n�rales de la transformation des coordonn�es,nbsp;dont nous aurons besoin, d�ailleurs, dans d�autresnbsp;occasions.

Soient x, j', z, les trois coordonn�es d�un point quelconque M, rapport�es aux axes rectangulairesnbsp;Ox, Ojr, O2 (fig. 2). D�signons parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^, les

coordonn�es du m�me point, ajant la m�me origine, et rapport�es aux trois axes Ox^, 0/,, Oz^, qui sontnbsp;aussi perpendiculaires entre eux! Du point M, abais-sons des perpendiculaires MP et MK sur l�axe Ox etnbsp;sur Ie plan desnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, et du point K, une perpen

La projection sur l�axe Ox, d� la ligne bris�e MKHO, sera OP; les projections de ses parties OH; KH, MK,nbsp;seront �gales a ces droites, multipli�es par les cosinusnbsp;des angles que les axes des x^,j^, font avec l�axenbsp;Ox; en en faisant la somme, on aura done

La figure suppose ces trois angles aigus, et les trois coordonn�es x^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, positives; auquel cas leurs

projections tombent sur la direction m�me de O2:, et doivent s�ajouter en grandeur absolue; mais il estnbsp;facile de s�assurer que cette �quation subsistera dans

tous les cas, en ajant �gard aui signes des coordoa-n�es , nbsp;nbsp;nbsp;z^, des cosinus, et de 1�abscisse x. Par

exemple, ou verra ais�nient que si l�abscisse x^ est negative, et Tangle xOx^ aigu, ou bien, si cette abs-cisse est positive, et eet angle obtus, la projection denbsp;OH tombera sur Ie prolongement de Ox, et la va-leur absolue de cette projection devra �tre relran-ch�e ; et Ton verra, au contraire, qu�elle devra �trenbsp;ajout�e, quand cette abscisse x^ sera negative,'etnbsp;qu�en m�me temps Tangle xOx^ sera obtus; ce quinbsp;s�acGorde, dans les deux cas, avec Ie sigue du produitnbsp;x^ cos xOx^

On verra de m�me que les projections de la ligne bris�e MKHO sur les axes Oj et Oz, ou sur ieursnbsp;prolongemens, sont toujours �gales a j et z. Celanbsp;�tant, si nous faisons

a', sout les cosinus des angles que fait une ni�me droite avec les trois axes rectangulaires Ojc , Ojquot;,nbsp;Oz; et la quatri�me, de ce que cette droite Oa;^ et lanbsp;ligne , a laquelle r�pondent les cosinus h, h', bquot;,nbsp;sont perpendiculaires Tune a l�autre. On obtient aussinbsp;ces six equations en substituant les valeurs de x,nbsp;J, z, dans l��quation

jr/ -f- z/,

En ayant �gard aux �quations (2), les �quations(i j donnent, r�ciproquement,

x^ z= ax nbsp;nbsp;nbsp;\

j, ^ hx nbsp;nbsp;nbsp;b'j -h bquot;z, gt;

� cx nbsp;nbsp;nbsp;c'j 4- c'^z ; ;

et l�on peut remplacer les �quations (2) par celles-ci

a' -4- -h c* = I, aa! hb' cc' = o, ) a!�

4- �'*4-c'*=i, ad'-\-bhquot;-\-ccquot; =. o, gt; (4) 4� bquot;�^~ \,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a'd'-{-b'bquot;-\-c'cquot;r=. o. )

La comparaison de ces formules avec celles du n� 277 montre clairement l�analogie qui existe entrenbsp;les projections des lignes droites et celles des surfacesnbsp;planes, d�o� r�sulte ridentit� de la composition desnbsp;forces repr�sent�es par des portions de droites, avecnbsp;la composition des momens reprcsent�s par des airesnbsp;planes.

578. Dans la transformation des coordonn�es, on devradoncconsid�rer six des neufcoefficiens a, etc.,nbsp;comme des fonctlons des trois autres, d�terralu�es

soit par les equations (2) , soit par les e'qualions (4) ; mais il vaudra mieux exprimer ces neuf coefficiens,nbsp;au mojen de trois nouvelles quantit�s , par des formules qui satisferont aux e'quations (2) ou (4)-Pourcela, supposons que la droite NON' ( fig. 5)nbsp;soit l�intersection du plan des et avec Ie plannbsp;des X et et faisons

NOa? = �xj' gt; nbsp;nbsp;nbsp;= lt;p , ZOz^ = � t

ces trois angles q/ , (p, 6 , d�termineront, sans ambiguit�, la position des axes des x^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^, par

rapport a ceux des x, y, z, pourvu que l�on con-vienne pr�alablement du sens dans lequel ces angles seronl compte's. Pour plus de commodit�, je sup-poserai que Ie plan des x et j solt horizontal, et que l�axe vertical des z positives soit dirig� dans Ie sensnbsp;de la pesanteur.

L�angle 0 s��tendra depuis z�ro jusqu�a 180�; selon qu�il sera aigu ou obtus, l�axe Oz, sera situ� au-des-sous ou au-dessus du plan des x et j pour 0 = o ,nbsp;Oz^ co�ncidera avec Oz, et pour 0 == i8o�, Oz^ tom-� bera sur Ie prolongement de Oz.

Dans Ie mouvement d�un corps solide autour du point 0 , les axes Ox^, Oj,, Oz^, seront des droltesnbsp;fixes dans son int�rieur et mobiles avec lui, et lesnbsp;axes Ox, Of, Oz, seront des droites fixes dans l�es-pace. 11 pourra alors arriver que les angles 4 et lt;pnbsp;soient positifs ou negatifs, et qu ils conaprennent unenbsp;OU plusieurs clrconf�rences; mais, a un instant quel-conque, on aura toujours

en d�signant par n et i des iiombres en tiers, positlfs OU n�galifs, ou z�ro, et par u v des variables positives et raoindres que 27r. Or, Tangle u sera compt�,nbsp;a partir de la droite Ojc , dans Ie sens indiqu� par lanbsp;fl�che s; de sorte que, par example, la droite ONnbsp;co�ncidera avec Osc pour u = o , avec Ie prolonge-ment de Oj- pour u = go�, avec celui de Ox pournbsp;u = 180', et avec Oj- pour u = 270�. L�angle n seranbsp;compt�, a partir de ON, au-dessus du plan des xnbsp;et jquot;, de mani�re que Taxe Ox^ se trouvera au-dessusnbsp;de ce plan, quand v sera moindre que 180�, et au-dessous quand eet angle surpassera 180�. Pour v � o,nbsp;Taxe Ox^ co�ncidera avec Ia droite ON, et pournbsp;180�, avec Ie prolongement ON' de ON. Dansnbsp;tous les cas. Tangle 0, aigu ou obtus, sera Tanglenbsp;di�dre dont Tar�te est ON, et dont les faces sont lesnbsp;angles NOx et NOx,, r�duits a leurs parties u et v. Lanbsp;figure suppose que les trois angles w, v, 0, soientaigus.

Cela pos�, lorsque Tangle -vjy sera donn�, on portera sa partie u sur Ie plan horizontal, a partir de Taxe Ox, et dans Ie sens de la fl�che s ; ce qui d�ter-minera la position de la droite ON. L�angle (p �tantnbsp;aussi donn�, on portera d�abord sa partie v sur Ienbsp;plan horizontal, a partir de la droite ON , et dans Ienbsp;sens de la fl�che s', c�est-a-dire, en sens contraire denbsp;�y; ensuite, on fera tourner Ie plan de Tangle (p auteur de ON, de mani�re que la partie de lt;p adjacentenbsp;a ON s��l�ve au-dessus du plan horizontal. Quand cenbsp;plan aurad�crit Tangle donn� 0, Tautre c�t� de Tanglenbsp;(p sera la v�ritable position de Taxe Ox^, au-dessus ounbsp;au-dessous du plan horizontal, suivant qu�on aura

V 180� OU iSo�. En augmentant, dans son plan. Tangle u de 90�, on aura la position de Taxe 0/^;nbsp;et apr�s avoir meu� uue perpendiculaire a ce plan,nbsp;on prendra pour la partie de cette droite , comprise au-dessous ou jju-dessus du plan horizontal, se-lon que Tangle 0 sera aigu ou obtus.

Les trois axes , Of^, Oz^, �tant ainsi compl�-tement determines par rapport aux axes Ox, Oj, Oz, au moyen des angles lt;P� 9gt; � biut que les neuf cosinus a, h, etc., soient des functions de ces trois angles; et, en effet, en leur donnant les directionsnbsp;qu�on vient d�expliquer, on a

On v�rilie ais�ment que ces valeurs de lt;2, etc. , rendent identiques les equations (5) et (4), et qu�ilnbsp;n�en r�sulte aucune relation entre les angles 4 , lt;p, 0.

^79' Q'Joique ces formules ^5) soient g�n�rale-ment connues, il ne sera pas inutile d�iudlquer la mani�re suivante d�y parvenir.

On salt que ct, C, y, etant les trois angles d�un triangle sph�rique quelconque, et A Tangle oppose

Oi�, si nous imaginons une sphere d�crite du point O comme centre, et dun rajon quelconque, nousnbsp;aurons d�abord sur cette surface un triangle formenbsp;par les trois arcs qui r�pondent aux angles NOx,nbsp;NOa?,, a?Oj?^,dans lequel Tangle oppose au derniernbsp;cote' sera �gal a 6; done, a cause de NOx = ^ etnbsp;NOx^ = (p, on aura

Cette equation ayant lieu pour des valeurs quelcon-ques de et -4, on peut supposer que lt;p devienne ^ go*; alors, Taxe Ox, prendra la place de O/,,nbsp;Tangle xOx, deviendra xO/,, et Ton aura

De m�me, en mettant -x}. go� a la place de -x},, dans Tequation pre'cedente, Taxe Ox se changera dansnbsp;laxe Oy, et Tangle xOx^ deviendra j'Ox,; de sortenbsp;que Ton aura

Et si Ton met a la fois dans cette equation pr�c�dente 4 4- 90� et (p 90� au lieu de 4 et ip , Tangle xOx,nbsp;sera remplace par Tangle , et il en resultera

Considerons de m�me le triangle spherique dont les trois cotes r�pondent aux angles NOx, NO^,,nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5

xOz,. L�angle oppose au dernier c�t� est go�� j de plus, on a lN0x = '4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 90�. En faisant

en mettant 4 90� a la place de 41 ce qui change 1�axe Ox dans Oj, et l�angle xOz, dans l�angle J'Oz^.

Enfin, dans Ie triangle sph�rique dont les c�t�s r�pondent aux angles NOz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, zOx^, Tangle op-

pos� au dernier c�t� est �gal a 0 go�, et Ton a NOz = go� et NO,r^= lt;p. Si done on fait A=90� 0,nbsp;^ = 90�, y = (p, a. = zOXj, dans T�quation g�n�rale , on aura

En mettant cp go� a la place de (p, dans ce r�sultat, Taxe Ox^ se changera en Oj*/� et Tangle zOx^ ennbsp;cons�quent, nous aurons aussi

38o. Supposons maintenant que les axes des coor-donn�es x^, Zj, soient les axes principaux qui se coupent au point 0; d�apr�s leur d�finition (n� 568),nbsp;on aura

et il s�agira de prouver que ces trois equations don-nent toujours pour les angles lt;p, -v}^, 6, des valeurs r�elles.

cos (pfYzjdin � sin (p fX.zjdm = o, sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; coslt;p�Xz,^/n^ = o.

En ajoutant ces derni�res equations apr�s les avoir multipli�es par cos lt;p et sin (p, ou par � sin (p etnbsp;cos(p, elles seront remplac�es par celles-ci :

qui ne contiennent plus Tangle lt;p. J�y mets pour X, Y, z^, leurs valeurs, et je fais

5..

ces six int�grales s��tendant a la masse enti�re du corps que Ton consid�re. li en r�sulte

[i^' (cos� 4 � sin* 4) quot;iquot; (� � �quot;) �in 4 nbsp;nbsp;nbsp;^i� ^

tane 0 = nbsp;nbsp;nbsp;' (o

[(� � nbsp;nbsp;nbsp; 2^'m g � K\

En y mettant pour tang 0 sa valeur, elle devient [(��nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g)

Ainsi, les equations (a) sont remplac�es par lea equations (b), (c), (d). Or, cette derni�re �tant dunbsp;troisi�me degr�, elle aura au moins une racinenbsp;r�elle; on aura done une valeur r�elle de u ounbsp;tang 6, a laquelle r�pondront un angle -xj, moindranbsp;que 7 TT, et un autre �gal au premier augment� denbsp;qui appartiendront aux deux parties ON et ON' danbsp;l�intersection du plan inconnu des x^ et , 'avec Ie

plan donn� des x et A cause du radical 1��quation (c) donnera ensuite deux valeurs de tang�ynbsp;�gales et de signe contraire, qui appartiendront anbsp;un angle aigu et a son suppl�ment, et, cons�quem-ment, a l�axe Oz, et a son prolongement. Enfin, onnbsp;tirera de l��quation (b) une valeur r�elle de lang 2lt;Pj(nbsp;a laquelle r�pondront deux valeurs de lt;p, dont 1�unanbsp;sera moindre que et 1�autre �gale a la premi�rQnbsp;augment�e de jTT. La premi�re �tant prise pouiqnbsp;la valeur de i�angle NOx^ la seconde sera celle denbsp;Tangle NOj'^; et, en efFet, tout �tant semblable parnbsp;rapport aux deux axes et Oy^, ils devaient �trenbsp;d�terrain�s par une m�me equation.

On voit de m�me que les trois racines de T�qua-^ tion (d) devront �tre r�elles, et qu�elles repr�sente-ront les tangentes des angles compris entre Taxenbsp;et les trois droites suivant lesquelles les plans desnbsp;coordonn�es x^ Zj, viennent couper Ie plan desnbsp;X et y; car ces trois tangentes doivent �tre donn�esnbsp;par une m�me �quatiou, puisqu�on ue saurait expri�

Nous conclurons done de cette analyse qu�il existe toujours trois axes principaux reclangulaires qui senbsp;coupent en un point donn� O , et qu�en general cenbsp;syst�me d�axes principaux est unique. Pour qu�ilnbsp;en existat plusieurs, il faudrait que l��quation {d) futnbsp;d�un degr� sup�rieur au troisi�me, et qu�elle eut troisnbsp;fois autant de racines r�elles qu�il y aurait de cesnbsp;syst�mes; mais, dans certains cas, les equations dontnbsp;dependent les valeurs de , � , lt;p, deviennent iden-tiques, et alors les axes principaux sont en nombrenbsp;infini. Nous pourrions determiner ces cas particuliersnbsp;par l�examen des equations dont il s�agit; mais onnbsp;y parviendra plus facilement par les considerationsnbsp;suivantes.

38i. D�api��s les formules (i) et les equations(a), qui caract�risent les axes principauxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Oz^,

Jxjdm = aa'fjc*dm bb'fj^dm edfz^dm^ fzoedm = ad'foci'dm -f- hV'fji^dm cd'fz'drn,nbsp;fjzdm x^dd'fx/'dm h'V'fj^dm -f- dd'fz^dm.

Or, si les trois int�grales fx^dm, fj;dm, fz^dm, sont �gales, ces valeurs de fxjdm, fzxdin, fjzdm,nbsp;se r�duisent a z�ro, en vertu des trois derni�resnbsp;equations (4); par cons�quent, dans ce cas, lesnbsp;droites Ox, Oj, Oz, forment un second syst�menbsp;d�axes principaux; et comme leur direction restenbsp;absolument ind�termin�e par rapport aux axes

, Oz^, il s�ensuit que tous les sjst�mes d�axes rectangulaires qu�on peut mener par Ie point O, sontnbsp;des axes principaux. Ce cas est celui o� les troisnbsp;moraens d�inertie principaux sont e'gaux ; car, de cenbsp;qu�ou suppose

� nbsp;nbsp;nbsp;J/) dm = �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z;) dm�f{y-^ z;) dm.

Si deux seulemeiit des trois momens d�inertie principaux sont �gaux, par exemple, ceux qui senbsp;rapportent aux axes Ox^ et , de mani�re qu�onnbsp;ait

il existera encore un nombre infini de sjst�mes d�axes principaux, qui auront tous un axe commun,nbsp;savoir, 1�axe Oz^. En effet, dans ce cas, les deux int�-grales fj^dm et fx'dm seront �gales 5 et, en vertunbsp;des derni�res equations (4), les valeurs de fxydm^nbsp;fzxdm, fyzdm, pourront se mettre sous la forme :

� xjdm = cc' (� z^dm � � x�dm), f zxdm = ccquot; {f z^dm � � x^dm),nbsp;f yzdm ~ c'cquot;{f z^dm � fxj�dm).

Or, si l�on fait co�ncider l�axe Oz avec l�axe principal Oz^, les angles xOz^ et yOz^ seront droits; on auranbsp;done c = o et c' = o, et, par cons�quent,

DonC, dans ce cas, tout sjst�me forni� de l�axe et de deux autres axes rectangulaires, men�s arbi-trairement par Ie point 0 dans Ie plannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, sera

Enfin, lorsque les trois momens d�inertie pi�inci-paux sont in�gaux, on peut �tre certain qu�il n�existe qu un seul syst�me d�axes principaux j car, soit A Ienbsp;plus grand de ces trois momens in�gaux; supposons,nbsp;pour un moment, qu�il existe un second syst�menbsp;d�axes principaux, el d�signons par A' Ie plus grandnbsp;des trois momens qui s�y rapportent : il faudrait,nbsp;d�apr�s Ie th�or�me du nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qu�on eut a Ia fois

A gt;� A' et A' gt;� A ; ce qui est impossible, et rend inadmissible la supposition d�un second syst�me d�axesnbsp;principaux.

382. Les points d�un corps, quand il en existe, pour lesquels les trois momens d�inertie principaux,nbsp;et, par cons�quent, tous les momens d�inertie, sontnbsp;�gaux, jouissent, comme on Ie verra par la suite,nbsp;d�une propri�t� remarquable, relatlvement a la rotation de ce corps. II est done utile de les d�terminer;nbsp;et volei comment on y parvient.

Supposons que l�origlne des coordonn�es x, j ^ z, soit plac�e au centre de gravit� du mobile, et quenbsp;ces coordonn�es soient rapport�es aux trois axesnbsp;principaux qui se coupent en ce point; d�signonsnbsp;par A, B, C, les momens d�inertie relatifs a ces axesnbsp;des x,j-,z; nous atirons (n� 368)

Soient a, C, y, les coordontt�es inconnues d�un des points demand�s, rapport�es aux axes des oc ,jr,nbsp;z, de sorte qu�on ait, pour ce point particulier, oc�x,nbsp;jr = C, z � y. Transportons-J l�origine des coor-donn�es, sans changer la direction des axes; les coor-donn�es de l��l�ment dm deviendront x�nbsp;z � y. Mais si l�on veut que les momens d�inertie re-latifs a toutes les droites qui passent par cette nouvelle origine soient �gaux, il faut que toutes cesnbsp;droites soient des axes principaux, puisque , d�apr�snbsp;Ie num�ro pr�c�dent, l�une de ces conditions est unenbsp;suite n�cessaire de l�autre. Les axes des coordonn�esnbsp;X�ct,j� ^,2 � y^ �tant done des axes principaux,nbsp;on aura

�a)(jr�S)dm= fxjdm�o-fydni�Zfxdm-\- a.Sfdm=o, �y)(^�ct)dmz=f'zccdm � yfxdm� afzdm-^ya.fdm-=:zo,nbsp;f{y� �)(z�y)dTn~ fjzdm � Zfzdm�yfjdm-^Cyfdm^o;

en vertu des pr�c�dentes. Or, pour satisfaire a ces �quations, il est n�cessaire que deux des trois quan-tit�s Cl, C, y, soient nulles. Si done Ie point demand�nbsp;existe, il ne peut se trouver que sur l�un des axes desnbsp;coordonn�es z, c�est-a-dire, sur l�un des troisnbsp;axes principaux qui se coupenl au centre de gravit�.

Je fais �'=:oetj' = o;ce qui revient a supposer Ie point demand�, sur l�axe des x, a une distance o.

de ce centre. Alors les niomens d�inertie relatifs a ee point, seront A, par rapport a l�axe des a?, et, ennbsp;vertu du th�or�me du n� 374, B Ma� et C Ma%nbsp;par rapport aux parall�les aux axes des j et des z, ennbsp;d�signant par M la masse du corps. D�apr�s la condition du probl�me, on aura done

mais pour que ces e'quations soient possibles, il faut qu�on ait B = C; et quand ces deux quantit�s seront effectivement �gales, on aura

il faudra done encore qu�on ait A gt;� C, afin que la quantit� a solt r�elle. Cela �tant, on aura pournbsp;a deux yaleurs r�elles, �gales et de signe contraire,nbsp;savoir :

par cons�quent, il existera deux points qui joui-ront de la propri�t� demand�e, et seront situ�s sur l�axe des jc, a �gale distance de part a d�autre dunbsp;centre de gravit�.

Ainsi, lorsque les trois moniens d�inertie A, B, C , d�un corps, relatifs aux axes principaux qui se cou-pent a son centre de gravit�, sont �gaux, il n�existenbsp;aucun autre point du corps pour lequel les mo-mens d�inertie soient tous �gaux; mais si deux de cesnbsp;trois momens sont �gaux, et que Ie moment in�galnbsp;soit Ie plus grand des trois, il exlste, sur l�axe du

plus grand moment, deux points pour lesquels tons les inomens d�inertie seront �gaux , et dont les positions sont d�termin�es par la foi�mule (e).

385. En appliquant ces r�sultats a l�ellipso�de homogene, on voit que s�il s�agit d�un ellipso�de quel-conque dont les trois diam�tres principaux sont in�gaux, il n�y aura aucun'point, en dedans ou ennbsp;dehors du corps, par rapport auquel tous les mo-niens d�inertie soient �gaux; mais si l�on consid�renbsp;un ellipso�de de revolution engendr� par une ellipsenbsp;tournant autoiir de son petit axe, il y aura deuxnbsp;points sur eet axe ou sur son prolongement, quinbsp;jouiront de la propri�t� dont il s�agit; car, dans cenbsp;cas, deux des trois morpens relatifs aux diam�tresnbsp;principaux seront �gaux, et Ie moment in�gal r�pon-dant au plus petit diam�tre, sera Ie plus grand desnbsp;trois.

Si r 'on appelle aeth les demi-axes de l�ellipse g�-�i�ratrice, et qu�on suppose a lt;^b, de sorte que a soit Ie demi-axe de revolution, on auranbsp;en faisant b=.c dans les formules du n� 3^0; d�apr�snbsp;la formule (e), on aura done

pour la distance des points demand�s au centre de 1 ellipso�de. Selon qu�on auranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ou

ces points se trouveront sur Ie prolongement de l�axe de revolution, en dehors du corps , ou sur l�axe

m�me, en dedans du corps; dans Ie cas de = ces deux points se trouveront a la surface, et co�nci-deront avec les poles de Tellipso�de.

Les axes principaux d�un parall�l�pip�de rectangle, qui se coupent a son centre de gravit�, sont �videm-ment parall�les a ses ar�tes. En appelant done a, b, c,nbsp;les demi-longueurs de ses trois c�t�s adjacens, lesnbsp;niomens d�inertie relatifs a ces axes se d�duiront denbsp;ceux du nquot; 369, qui r�pondent a ses ar�tes, en jnbsp;mettant ^a, ib, ac, au lieu de a, b, c, et en en retran-chant, d�apr�s Ie th�or�me du n� 674 , les produitsnbsp;M(� c��),nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;M(a�� *). De cette mani�re,

A=iM(� c�), B = iM(V a�), C =

M �tant toujours la masse du parall�l�pip�de, dont Ie volume est maintenant -abc. Je suppose donenbsp;qu�on ait b � c, afin de rendre �gaux les momensnbsp;d�inertie B et C, et, de plus, a lt;C,b, pour que Anbsp;soit plus grand que C. L��quation (e) donne alorsnbsp;et selon qu�on aura b'^ ia, b �la^ b ia, lesnbsp;deux points demand�s seront situ�s en dehors dunbsp;mobile, a sa surface, ou dans son int�rieur.

%^Vi\^AA^�W^lVV^,V\^lt;VW(W\^VWWW^AAA^'W\lWvVWlt;VV%^'WVV�'W^lt;VV^^V\^^VWVV^/^^^Wgt;�VV'lVV\'V\(VW^Wv^�V�

CHAPITRE III.

584. Lorsqu�un syst�me de points mat�riels. H�s entre eux d�une mani�re invariable, tourne autournbsp;d�un axe fixe, auquel ils sont aussi invariablementnbsp;attach�s, ils d�crivent des cercles perpendiculaires anbsp;eet axe, et qui ont leurs centres sur cette droite. Lesnbsp;arcs d�crits dans Ie m�me temps par deux pointsnbsp;diflerens, sont semblables et d�un m�me nombre denbsp;degr�s; leurs vitesses absolues sont entre elles commenbsp;leurs distances a eet axe; et Ton appelle vitesse an-gulaire du sjst�me, la vitesse absolue des points dontnbsp;la distance a l�axe est l�unit�. En la d�signant par 0),nbsp;et la distance d�un point quelconque a l�axe de rotation par r, la vitesse absolue de ce point sera roo.nbsp;Cette quantit� co, commune a tous les points, varieranbsp;avec Ie temps, quand les points du syst�me serontnbsp;soumis a des forces motrices, qui produiront un mouvement vari�; elle demeurera constante dans Ie casnbsp;du mouvement uniforme, produit par des percussions exerc�es simultan�ment sur les diflf�rentes par-

ties du syst�me, qui aura ensuite �t� abandonn� a lui-m�me. C�est de ce dernier cas que nous allonsnbsp;d abord nous occuper.

385. Soient m, m', mquot;, etc., les masses des points mat�rielsque nousconsid�rons, et r, r', rquot;, etc., leursnbsp;distances a l�axe de rotation. Supposous que des percussions simultan�es soient exerc�es sur tous cesnbsp;points; chacune de ces forces se d�composera ennbsp;deux autres. Tune parall�le a l�axe, l�autre dirig�enbsp;dans un plan perpendiculaire a cette droite; et l�onnbsp;pourra faire abstraction de la premi�re, dont TefTetnbsp;sera �videmment d�truit par la resistance de l�axe fixe.nbsp;Soient done v, v', i'quot;,etc., les vitesses dirig�esdans desnbsp;plans perpendiculaires a l�axe fixe, qui seraient im-prim�es a m, m', mquot;, etc., si ces points mat�riels �taientnbsp;libres. En d�signaut par ca la vitesse angulaire dunbsp;syst�me qui en rcsultera, ces points prendront desnbsp;vitesses rca, r'co, i^'ca, etc., perpendiculaires a l�axe etnbsp;aux rayons r, r', rquot;, etc.; et, dapr�s Ie principe dunbsp;n� 553, il y aura �quilibre entre les quantit�s denbsp;mouvement mv, m'v', m'Vquot;, etc., prises dans leurs directions donn�es, et les quantit�s de mouvementnbsp;circulaire mragt;, m'r'co , mquot;�^'ct), etc., prises en sensnbsp;contraire du mouvement du syst�me, qui aura r�el-lement lieu.

Pour former l��quation de eet �quilibre, projetons les points m, m', jn'', etc., et les directions des vitesses que nous consid�rons, sur un plan perpendiculaire a l�axe fixe. Soit Oz eet axe (Gg. ; faisonsnbsp;passer Ie plan de projection par Ie point 0; sur cenbsp;plan, soient P la projection de m, PA la projection

de la vilesse , et PN celle de la vltesse ra, iaquelle est perpendiculaire au rayon r ou OP. Soit aussi p lanbsp;perpendiculaire OF, abaiss�e de O sur la droite PA ;nbsp;les momens des forces mv et mra, projet�es suivantnbsp;PA et PN, seront mvp et inr�^a; et si Pon appellenbsp;aussi p', pquot;, etc. , les perpendiculaires abaiss�es dunbsp;m�me point 0 sur les projections des autres vitessesnbsp;e', equot;, etc., on aura

Lorsque parmi les percussions simultan�es, il y en aura qui tendront a faire tourner Ie syst�rae dans unnbsp;sens, et d�autresdans Ie sens oppose, il faudra prendre , avec des signes contraires, les momens des unesnbsp;et des autres dans Ie second membre de cette equation. Le syst�me tournera dans Ie sens des forces quinbsp;donneront la plus grande somme de momens, abstraction faite du signe. En repr�sentant par L lanbsp;somme, positive ou negative, de tous ces momensnbsp;pris avec des signes convenables, on tirera de l�e'qua-tion pr�c�dente

Si toutes les vitesses v, v', vquot;, etc., sont �gales, L sera le produit de leur valeur commune v et de la sommenbsp;mp m'p' -p mquot;pquot; -i- etc.; si, de plus, ces vitessesnbsp;sont toutes parall�les entre elles, et qu�on m�ne par

l�axe Oz, un plan parall�le a leur direction commune, p, p', pquot;, etc., serontles distances des points m, rn',nbsp;mquot;, etc., a ce plan; et, d�apr�s les signes qu�on don-nera aux termes de L, il faudra les consid�rer commenbsp;positives OU comme negatives, selon q,ue les pointsnbsp;m, m', mquot;, etc., seront situe's d�un c�t� ou de lautrenbsp;de ce plan. Par cons�quent, M d�signant la sommenbsp;des masses m, m', mquot;, etc., et ^ la distance positive OU negative de son centre de gravit� a ce m�menbsp;plan, nous aurons (nquot; 65 )

Si la vilesse v est imprim�e seulement a une partie des points du syst�me, et qu�on ne communiqu� di-rectement aucune vitesse a l�autre partie, on aura denbsp;m�me

/x �tant la somme des masses qui ont recu la vitesse V, et � la distance du centre de gravit� de cettenbsp;partie du syst�me au plan men� par l�axe fixe, pa-rall�lement a la direction de e.

386. Supposons actuellement que l� syst�me des points m, in', mquot;, etc., soit un corps solide; il suf-fira alors de changer, dans les formules pr�c�dentes,nbsp;la masse m d�un point quelconque dans l��l�mentnbsp;diffcrentiel de la masse du corps, que nous repr�-

seiiterons par dm, et la .somme 2 en une integrale*. La quantit� 2/nr� deviendra done I�integrale fr^dm, �tendue a la masse enti�re du corps, et ellenbsp;exprimera son moment d�inertle par rapport a l�axenbsp;de rotation; par cons�quent, la derni�re formule senbsp;changera en celle-ci :

(.)

Cette formule se rapportera au cas d�un corps solide retenu par un axe fixe, et frappe par un aulre corps quinbsp;s attache au premier, de sorte que ces deux corps n�ennbsp;forment plus qu�un seul, tournaut autourde l�axe fixenbsp;avec la vitesse angulaire ca. La masse du corps choquant est/x, sa vitesse avant Ie choc, qui �tait communenbsp;a tous ses points et perpendiculaire a la direction denbsp;l�axe fixe, est e, et � exprime la distance de sonnbsp;centre de gravit� a un plan parall�le a cette vitesse etnbsp;passant par l�axe de rotation. L�int�grale fr'^dm devranbsp;setendreaux deux masses reunies apr�s Ie choc. Sinbsp;Ie corps choquant ne restait pas attach� a i�autrenbsp;apr�s Ie choc, la determination de la vitesse augu-laire de celui-ci serait un probl�me diff�rent, dontnbsp;nous nous occuperons dans un autre chapitre.

Quand Ie corps retenu par un axe fixe sera choqu� simultan�ment par plusieurs masses u, fx', fd'^ etc,,nbsp;anim�es de vitesses Cy v', d', etc., perpcndiculairesnbsp;a la direction de Faxe, qui se r�uniront a ce corpsnbsp;apres Ie choc, on aura, pour la vitesse angulairenbsp;qui sera produite,

l�int�grale s��tendant a la raasse totale, et f, f', f', etc., d�signant les distances des centres de gra-vit� de jjf, ij!', etc., a des plans men�s par l�axenbsp;de rotation, parall�lement anx vitesses v, e', vquot;, etc.nbsp;Ayant pris avcc Ie signe Ie premier terme dunbsp;num�rateur de cette formule, on prendra les au-tres termes avec Ie signe ou avec Ie signe � ,nbsp;selon que les percussions cori�espondantes tendrontnbsp;a faire tourner dans Ie sens de celle qui r�pond aunbsp;premier terme, ou dans Ie sens oppose; et selonnbsp;que la valeur de � se trouvera positive ou negative, la rotation aura lieu dans Ie sens de cette forcenbsp;ou en sens contraire. Quand on aura o z= o , Ienbsp;sysl�me restera en repos, et toutes les percussionsnbsp;se feront �quilibi�e. Au lieu d etre simultan�es , sinbsp;elles sont successives, la valeur de co, apr�s tonsnbsp;les chocs, sera encore donn�e par la formule pr�c�-dente; car apr�s un premier choc Ie mouvement estnbsp;Ie m�me a chaque instant, que si ce choc avait lieunbsp;actuellement; par cons�quent, on peut supposernbsp;quTl ait lieu a l�instant du second choc, pour d�ter-miner la vitesse angulaire apr�s la seconde percussion; et ainsi de suite.

587. Lorsque Ie mouvement de rotation commence autour d�un axe fixe, cette droite �prouve des percussions qu�il est important de d�terminer; ellesnbsp;sont dues aux quantit�s de mouvement perdues, anbsp;cette �|)oque, par les diff�rens points du mobile, quinbsp;se font �quilibre au mojen de l�axe fixe, et doivent,nbsp;eons�quemment, se r�duire a des percussions dontnbsp;les directions renconlrent eet axe, ou lui sont pa-

rall�les. Les percussions parall�les se d�terminent imm�diatement; ce sont les composantes, suivantnbsp;cette direction, des quantit�s de mouvement quinbsp;ont �l� imprim�es au mobile : nous en ferons abstraction , cornme dans Ie a� 385 ; et nous suppo-serons que Ie mouvement de rotation soit celuinbsp;qul a �t� produit par un choc perpendiculaire a lanbsp;direction de l�axe fixe, et at^quel r�pond la formule (i).

Prenons Ie point P pour Ie centre de gravit� de f/., et la droite PA pour la direction de sa vitesse avantnbsp;Ie choc, de mani�re que f soit la distance OF de cettenbsp;droite a Faxe Oz. Dans Ie plan perpendiculaire a eetnbsp;axe fixe, et comprenant la droite PA, raenons par Ienbsp;point 0 de eet axe deux autres axes rectangulairesnbsp;Oa? et 0^. Solent x, y, z, les trois coordonn�es denbsp;dyn, rapport�es aux axes Ox, Of, Oz; la vitesse ranbsp;de ce point materiel �tant perpendiculaire au rayon rnbsp;et parall�le au plan des x et f, il est ais� de voirnbsp;que les cosinus des angles qu�elle fait avec ces trois

axes sont � -, - et zero , en supposant que la rotation ait lieu dans Ie sens indiqu� par la fl�che s; par cons�quent, elle se d�composera en deux vilessesnbsp;-�J'jh et xca , parall�les aux axes Ox et Of. Les composantes des quantit�s de mouvement de tous lesnbsp;points du corps suivant ces directions, seront done

� nbsp;nbsp;nbsp;et ciMxi, en d�signant tou jours par M lanbsp;masse enti�i-e apr�s Ie choc, et repr�sentant par etnbsp;f, les valeurs de x et f qui r�pondent a son centre

6..

de gravit�. Les sommes des momeris de toutes ces quantiles de mouvement, par rapport au plan des xnbsp;et j, seront -^affzdm et agt;fxzdm�, elles devrontnbsp;�tre egales (n� 54) aux momens des forces totalesnbsp;�� cofjdm et afxdm, par rapport au m�me plan,nbsp;c�est-a-dire, a �et csMx^d', en appelant z'nbsp;et zquot; les distances de ces deux forces a ce plan; onnbsp;aura done

Cela pos�, les quantit�s d� mouvement perdues par tous les points de la masse M, et qui se font �qui-libre au mojen de l�axe fixe, pourront �tre rempla-lt;c�es par une force , parall�le a faxe des x et si-tu�e a [la distance z' du plan des x et j, par unenbsp;force � oMx^, parall�le a l�axe des j et situ�e anbsp;la distance zquot; de ce plan, et par la force fjt,v, h la-quelie on conserve sa direction, du point P vers Ienbsp;point K. Ces trois farces se r�duiront au raoins anbsp;deux , qui rencontreront l�axe fixe, et exprime-vont les percussions qu�il �prouve, perpendiculai-rement a sa longueur. Quand elles se r�duiront anbsp;une seule, l�axe �prouvera une percussion unique, etnbsp;il sulFira que Ie point o� il sera rencontr� par cettenbsp;force soit suppos� fixe, pour que eet axe puisse r�-sister.

588. Si la droite Oz est un des trois axes prin-cipaux de M, qui se coupent au point 0, on aura

fxzdm = o, fy^dm = 0.

Les distances s' et zquot; seront done nulles; et les forcesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ainsi que la force ,

etant toutes trois comprises dans Ie plan des x et j, la percussion unique, a laquelle elles se r�duiront,nbsp;passera par Ie point 0. Pour en determiner la grandeur et la direction, soient R cette force, a et b lesnbsp;angles qu�elle fait avec les axes Ox et Oj-, a et � lesnbsp;angles que fait la droite PA avec des parall�les a cesnbsp;axes, men�es par Ie point P; nous aurons

et comme la valeur de agt; est donn�e par la formule (i), et que les coordonn�es x^ et du centre de gravit� de M sont aussi connues, il n�y aura rieunbsp;d�inconnu dans ces valeurs des deux composanteanbsp;de Ia force R.

Puisque cette r�sultante doit passer par Ie point 0, il faudra que la somme des momens de ses troisnbsp;coniposantes, par rapport a ce point, soit �gale anbsp;z�ro. Or, en d�signant par j' et x' les distances auxinbsp;axes Ox et Oj des forces tuMy, et -�paral-inbsp;l�les a ces droites, et ayant �gard au sens dans Ie-quel ces deux forces et la percussion /we tendrontnbsp;a faire tourner autour du point 0 , on en con-clura

� etant toujours la perpendiculaire OF abaiss�e du point M sur ia droite PA. C�est, en effet, ce qu�il

est ais� de verifier; car en consid�rant les momens par rapport aux. plans des x et z et des j et z , denbsp;tontcs les quantites de mouvement parall�les a cesnbsp;plans, dont les sommes sont �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

et ces valeurs, jointes a celles de c? , rendent iden-tique l�equation pr�c�dente.

Pour que l�axe fixe n��prouve aucune perci^ion, il est ais� de voir qu�il faut d�abord que les distances z' et zquot; soient nulles; en vertu des �qua-tioiis (2) , cela ne peut done arriver que quand lanbsp;droite Oz est un des axes principaux qui se coupentnbsp;au point 0, ainsi que nous venons de Ie supposer.nbsp;Cette condition remplie, il faut, en outre, que lanbsp;force R soit nuile; ce qui exige qu�on ait

equation qui exprime que la droite PA doit �tre perpendiculaire au plan passant par Faxe fixe et parnbsp;Ie centre de gravit� de M. De plus, en d�signantnbsp;par r, la distance de ce point a eet axe, les equations pr�c�dentes donnerontnbsp;et si 1�on met pour co sa valeur fouruie par la for-

Ainsi, quand un corps solide, retenu par un axe fixe, est frapp� par un second corps dont la massenbsp;demeure attach�e a celle du premier, il faui, pournbsp;qu�il n � ait aucune percussion sur l�axe fixe, 1�. quenbsp;Ie choc soit dirig� dans Ie plan de deux droites quinbsp;font, avec l�axe fixe, un syst�me i�ectangulaire d�axesnbsp;principaux du corps forme des deux masses reunies;nbsp;2�. que sa direction soit perpendiculaire au plan dunbsp;centre de gravit� de ce corps et d� l�axe fixe; 5quot;. quenbsp;cette direction PA rencontre ce plan en un pointnbsp;dont la distance f a l�axe de rotation est donn�e parnbsp;la formule pr�c�dente. Ce point est ce qu�on appellenbsp;Ie centre de percussion.

389. Pendant qu�un corps solide tourne autour d�un axe fixe, les forces centrifuges de ses diff�rensnbsp;points exercent sur eet axe des pressious que nousnbsp;allons determiner, et qui sont les. seules qui aientnbsp;lieu dans Ie mouvement uniforme oir les points dunbsp;mobile ne sont sollicit�s par aucune force motrice.

En conservant les notations pr�c�dentes, on aura rca^dm (n� 169) pour la force centrifuge de I�elementnbsp;drn, dont la vitesse est rco, et qui d�crit un eerde dunbsp;rayon et comme cette force est dirig�e suivant Ienbsp;prolongement de r, les cosinus des angles qu�elle fait

contre 1�axe Os, eile pourra �tre i'emplac�e par deux forces comprises dans les plans JcOz etjOz, parall�iesnbsp;aux axes Ox et Oj, et egal�s a xa^dm et jco^dm. Lanbsp;m�rae chose ajant lieu pour tous les �l�mens dunbsp;mobile, on en conclut que Faxe Oz sera tir�, sui-vant ces directions, par des forces qui auront pournbsp;valeurs co^ficdin et co'^fjdm, ou, ce qui est la m�menbsp;chose,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, d�apr�s les notations pr�-

c�dentes. On voit aussl que les distances z' et zquot; de ces deux pressions totales, au plan des x et^, se-ront donn�es par les equations

Lorsqu�on aura z' ~ zquot;, les deux pressions et c�^Mjr^, seront appliqu�es en un m�me point denbsp;l�axe Oz j elles se r�duiront a une seule force pei�pen-diculaire a cette droite, dirig�e dans Ie plan qui com-prend Ie centre de gravit� du mobile, et dontnbsp;sera la valeur; �tant la distance de ee centre a l�axenbsp;fixe.

Ce cas aura lieu toutes les fols que Oz sera un des trois axes principaux qui se coupent au point 0. Dansnbsp;ce cas, les seconds membres des e'quations (5) serontnbsp;nuls, et l�on aura z' = o et zquot; = o. La pressionnbsp;unique que i�axe �prouvera pendant Ie mouvementnbsp;de rotation passera done par Ie point 0; en sortenbsp;qu�il suffii�a que ce point soit fixe, pour que cettenbsp;pression soit de'truite, et que Faxe demeure immobile. Quel que soit Ie point fixe 0 appartenant a unnbsp;' corps solide, ou li� invanablement a ce corps, il y a

done toujours trois droites rectangulaires, passant par ce point, autour desquelles Ie corps peut tourner,nbsp;sans que ces axes de rotation se d�placent, et cornmenbsp;s�ils �taient enti�rement fixes.

Telle est la propri�t� relative au mouvement uniforme de rotation, dont jouissent les droites que nous avons nominees axes principaux. Elle leur ap-partient exclusivement ,� car si Ie corps tourne autournbsp;d�une droite Oz, qui ne soit pas un des trois axesnbsp;principaux relatifs au point fixe 0, les deux pres-sionsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;seront, en general, irr�ducti-

bles a une seule, ou bien, si elles se r�duisent a une seule, a cause de z' = cette pression unique passera par un point diff�rent de 0 ; par cons�quent, ilnbsp;faudra qu�un second point, ou l�axe entier, soit sup-pos� fixe, pour que les pressions dues aux forcesnbsp;centrifuges soient d�truites, et que Taxe de rotationnbsp;ne soit pas d�plac� pendant Ie mouvement. �

Quand un corps retenu par un point fixe O, et qui n�est soumis a aucune force motrice, aura commenc�nbsp;a tourner autour d�un des trois axes qui se coupentnbsp;en ce point, Ie mouvement continuera ind�finimentnbsp;^autour de cette di*oite. Cela aura lieu, par exeraple,nbsp;si Ie mobile est mis en mouvement par un choc di-rig� dans Ie plan des deux autres axes principaux re-^nbsp;latifs a ce point 0, puisqu�alors, d�apr�s Ie num�ronbsp;pr�c�dent, les percussions qu��prouvera l�axe, dansnbsp;Ie premier moment, se r�duiront a une seule quinbsp;passera par ce point fixe, et sera d�truite par sa r�-sistance. Si 0 est un des points particuliers pour les^nbsp;quels tous les momens d�inertie sont �gaux, l�axe au-

tour duquel Ie corps commencera a tourner sera nccessairement un axe principal; et, de quelque ma-ni�re que Ie corps soit mis en mouvement autour denbsp;ce point fixe, l�axe de rotation demeurera immobile.nbsp;Ainsi, un ellipso�de de revolution, ou un parall�l�-pip�de, retenu par un des points dont nous avonsnbsp;determine pr�c�demment la position (n� 383), tour-nera toujours autour d�un axe immobile. I! en seranbsp;de m�me a l��gard d�une sphere clont Ie centre estnbsp;fixe, OU d�un cube retenu par Ie point situ� a l�intei�-section de ses trois diagonales; et de plus, dans cesnbsp;deux derniers cas, Ie point fixe �tant Ie centre de gra-vit�, l�axe de rotation demeurera encore immobile,nbsp;quoique Ie corps soit pesant. Dans Ie cas general, lesnbsp;forces motrices qui agiront sur ie mobile, produi-ront, comme les forces centrifuges, des pressions surnbsp;l�axe de rotation, qui contribueront a Ie d�placer,nbsp;quand elles ne se r�duiront pas a une seule force passant par Ie point fixe.

3go. Si la droite Os est un des trois axes princi-paux qui se coupent au centre de gravit� G du corps que l�on consid�re, elle sera encore un des trois axesnbsp;principaux de ce m�me corps au point quelconque 0��nbsp;de sa direction. En effet, soit y la distance OG de cenbsp;centre au point 0. Sans changer la direction pr�ce'-dente des coordonn�es x, y, z, transportons leurnbsp;origine au point G; celles de l��lement quelconquenbsp;dm deviendront x, j,z � ; et, d�apr�s la definitionnbsp;des axes principaux, on aura

fx (2 � y)dni = fxzdm � y fxdm = 0 , ff (s � y)dm = ffzdm � y ff dm = o.

De plus, Ie point G �tant sur l�axe des z, on a focdin = o et fydm =0; il en r�sulte donenbsp;fxzdm = o et fjzdm = o; d�o� Ton conclut quenbsp;Oz est un des trols axes principaux qui se coupentnbsp;au point 0.

On d�terininera la direction des deux autres axes principaux dans Ie plan des x et j, par la transformation des coordonn�es. Soient x' et j' celles de dmnbsp;p5r rapport a ces deux autres axes; il faudra qu�onnbsp;aif

mais si Ton appelle � l�angle compris entre laxe des x' et celui des x, on aura

or, en substituant ces valeurs dans les equations pi��-c�dentes, les deux derni�res disparaissent a cause de fxzdm = o et fjzdm = o; la premi�re devient

et Ton en tirera la valeur de 9. Les int�grales que cette equation renferme pourront changer de valeurnbsp;avec la position du point O; en sorte que Ie longnbsp;de l�axe Oz, les deux autres axes principaux ne se-ront pas, en general, parall�les a eux-m�mes.

ayant lieu en m�me temps, il suit des deux premi�res que les pressions parall�les et comprises dans

Ie plan des et z, qui proviennent des forces centrifuges , se r�duisent a deux forces �gales et di-rectcment oppos�es; et en vertu des deux derni�res equations, la m�me chose a lieu a l��gard des com-posantes comprises dans Ie plan des j- et z. Parnbsp;consequent, lorsquun corps tourne autour de l�unnbsp;des trois axes principaux qui se coupent a son centrenbsp;de gravite', les forces centrifuges de tous ses pointsnbsp;ne produisent aucune pression sur l�axe de rotation;nbsp;et si Ie mouvement a commence autour d�un telnbsp;axe, il continuera ind�finiment, sans que cette droitenbsp;ait aucun point fixe, en supposant toujoui�S qu�au-cune force motrice n�agit sur Ie mobile.

Ce i��sultat est evident dans Ie cas d�un ellipso�de tournant autour d�un de ses trois axes de figure;nbsp;car tout �tant sjm�trique autour de chacune de cesnbsp;droites, il nj aurait pas de raison pour qu�ellenbsp;�prouvat une pression dans un sens plut�t que dansnbsp;Ie sens oppose.

Dpi. Soit toujours dm un �l�ment quelconque de la masse du mobile, tournant autour de l�axe fixenbsp;Oz ( fig. 5). Par un point 0, pi�s arbitrairementnbsp;sur cette droite, menons deux autres axes fixes Oa?nbsp;et Oj, perpendiculaires enlre eux et a i�axe Oz; etnbsp;au bout du temps quelconque t, d�signons par x,nbsp;y, z, les trois coordonn�es de dm, rapport�es a cesnbsp;axes Ox, Ojr, Oz. Au m�me instant, les compo-santes de la vitesse, parall�les a ces droites, seront

qu�es a 1 element dm, je les decompose parall�le-ment a ces ni�mes axes; et, au bout du temps je de'signe par X, Y, Z, les composantes suivantnbsp;les X, j, z, positives, de la force acc�l�ratrice don-n�e qui agit sur ce point materiel. Si ce point etait

augmenteraient de ^dt, Ydt, Zdt, pendant l�ns-tant dt (a� 147); mais ces fonctions du temps aug-

(X� nbsp;nbsp;nbsp;(Y � -^^dm, (Z - ~ym,

pour les composantes de la force perdue par l��l�-ment dm, pendant eet instant dt, a raison de sa liaison avec les autres points du corps et avec 1�axe de rotation. Done, en verfu du principe du n� 35o, l��-quilibre devra avoir lieu autour de eet axe fixe,nbsp;entre de semblables forces appliqu�es a tous les pointsnbsp;du mobile.

de mettre les deux premi�res des trois forces pr�c�-dentes a la place de P cos a et P cos amp;, dans Ie premier terme de l��quation (5) du n� 266, et d��galer ensuite a zero la somme des valeurs de cette quan-tite', pour tous les points du corps, laquelle sommenbsp;sera une integrale e'tendue a Ia masse entl�re. Ennbsp;faisant passer les dlff�rentlelles dans Ie premier mem-bre et les forces donn�es dans Ie second, nous aurons,nbsp;de cette mani�re,

pour l��quation demand�e , qui sera celle du mouvement de rotation autour de l�axe des z.

302. Soit CD la vitesse an^ulaire au bout du temps et supposons que Ton consid�re cette quantit� commenbsp;positive OU comme negative, selon que Ie mouvement de rotation aura lieu dans Ie sens indiqu� parnbsp;la fl�che s, ou dans Ie sens oppose. Soit aussi r Ienbsp;rayon du eerde que d�crit dm, ou la perpendiculairenbsp;abaissde de ce point sur l�axe Oz; sa vitesse absoluenbsp;sera ree, et Ton aura

jagt;, ^ pour les valeurs de ces deux coraposantes. En effet, sinbsp;P est la projection de dm sur ie plan des x et j, et qu�onnbsp;lire Ie i�ayon OP el la perpendiculaire QPP' a OP, laquelle coupe en Q et Q' les axes Oa: et Oj, on aura

et comme la vitesse rco sera parall�le a la droite QPP', ce sera par ces cosinus qu�il faudra la multiplier, pour avoir les valeurs de ses composantes

et doj �tant une quantile commune a tous les points du corps, qui dolt �tre regard�e comme constantenbsp;dans l�int�gration relative a dm, Tequation (1) de-vient

ce qui fera connaitre la valeur de dco, correspondanle a une position donn�e du mobile.

Si l�on decompose la force acc�l�ratrice qui agit sur dm en deux au( res, Tune parall�le a l�axe Oz,nbsp;et l�autre comprise dans un plan perpendiculaire anbsp;cel te droite, on pourra faire abstraction de Ia pre-mi�i�e, qui ne peut contribuer au mouvement de rotation; la seconde , que j�appellerai (p, sera la resultante de X et Y. Je projette les trois forces X , Y, tp ,nbsp;sur Ie plan des x et j; je suppose que PC soit lanbsp;direction de �p ainsi projet�c; et j�appelle h la perpendiculaire OH abaiss�e du point 0 sur PC ou sur sou

prolongenient. En consid�ranl les momens par rapport au point 0 , on aura ( n� 46 )

selon que la force tp tendra a faire tourner dans Ie sens de la fl�che s, ou dans Ie sens oppose. J�appellenbsp;aussi �T Tangle QTC que fait la droite PC avec lanbsp;perpendiculaire PQ' au rayon OP, men�e dans Ienbsp;sens indiqu� par la fl�che s. Cet angle sera aigu ounbsp;obtus, selon qu�on devra prendre Ie signe sup�rieurnbsp;OU Ie signe inf�rieur dans T�quation pr�c�dente; anbsp;cause de OP = r, on aura done toujours

Or, si les forces donn�es n�agissent sur Ie mobile que pendant un temps tres court; qu�elles soient n�an-moins capables de produire, pendant cet intervallenbsp;de temps, des vitesses donn�es qui ne soient pas tresnbsp;petites; et que pendant ce m�me temps les directionsnbsp;de ces forces, non plus que les positions des pointsnbsp;du mobile, ne changent pas sensiblementgt; on aura,nbsp;en int�grant par rapport a t les deux membres denbsp;cette �quation,

V �tant Tint�grale fpdt pendant la dur�e de TacHon des forces, c�est-a-dire. Ia vitesse que la percussion

exei�c�e sur dm imprimerait a ce point materiel, s�il �talt enti�rement libre. Cette equation est cclle dunbsp;mouvement uniforme de rotation, et Ion en d�-duira, sans difficull�, les formules du n� 586.

Dans Ie mouvement vari�, l�equation (5) se change en une equation ditferentielle du second oi'di-e, denbsp;laquelle depend la position du mobile a chaque instant, et sa vilesse en fonction du temps, ainsi qu�onnbsp;Ie verra tout a l�heure par un exemple; laiais aupara-vant il convient de determiner les pressions que l�axenbsp;de i�otation �prouve pendant la dur�e du mou-A'ement.

5g3. Je consid�rerai seulement les pressions per-pendiculaires a eet axe Oz, qui sont dues aux compo-santes parall�les aux axes Oa? et O7quot;, des forces peixlues par tous les points du mobile, dont les r�sultantesnbsp;devront couper Faxe fixe.

En appelant U et V les sommes de toutes ces forces, on aura, d�apr�s Ie nquot; Sgi,

=/(x

et si I on d�signe par � et c les distances des forces totales U et V au plan des x et j, on auranbsp;aussi (n� 54)

par .x^ et les valeurs de ^ et j qui r�pondent au centre de gravit� du mobile, et par M sa masse, denbsp;sorte qu�on ait

en substltuant ensuite les valeurs de et daas les formules pr�c�dentes, elles devienuent

Quand la vitesse angulaire co sera connue, ces equations feront connaitre les pressions U et V parall�les aux axes Ox et Oy, que l�axe Oz aura a supporter,nbsp;et les distances u et c comprises entre Ie point 0 etnbsp;les points d�appHcation de U et V sur eet axe. Lors-que les forces X et Y sont nulles, ces r�sultats coincident avec ceux du n� 389. Quand la droite Oz passenbsp;par Ie centre de gravit� du mobile, on a x^^xzo et

�n soi'te que la charge totale de l�axe fixe est la m�me que dans l��tat d��quilibre ; mais elle est, en general,nbsp;antrement distribu�e. Si l�axe fixe est, en outre, unnbsp;des axes principaux qi^i se coupent au centre de gra-vite, on a aussi fxzdm = o et fjzdm = o ; il eq� r�-sulte

et la charge de l�axe se trouve partag�e, dans l��tat de mouvement, comme dans l��tat d��quilibre.

3g4. Appliquons actuellement l��quation (3) au cas d�nn corps pesant, tournant autotir d�un axenbsp;horizontal.

Si r �on d�signe par g la pesanleur, et qu�on suppose l�axe Oy vertical et dirig� dans Ie sens de cette force, on aura

Au bout du temps t, d�signons par � 1�angle com . pris entre Ie plan mobile qui passe par Ie centre denbsp;gravit� du corps et Ie plan fixe desjquot; et z; angle quenbsp;nous regarderons comme positif ou comme n�gatif,nbsp;selon que Ie plan mobile se trouvera, relativementnbsp;au plan fixe, du cot� de l'axe des x positives ou du

ce qu�on d�duit �galement de l�e'quation (2), appli-qu�e au centre de gravite�, c�est-a-dire, aux valeurs X sin 0, j cos 0 , a, X, j, r. Soit enfin MA;* Ienbsp;moment d�inertie du Corps par rapport a un axenbsp;passant par son centre de gravit� et parall�le a Oz;nbsp;k sera une ligne de grandeur donn�e; et, d�apr�s Ienbsp;th�or�me du n� 374, nous aurons

c �tant la constante arbitraire. Si l�on suppose qu�on ait, a Torigine du mouvement,

Cette equation est celle du mouvement d�un pendule de forme quelconque, tournant autour d�un axe horizontal. Dans son �tat d��quilibre, Ie plan passantnbsp;par son centre de gravit� et par l�axe fixe est horizontal , et 1�on aa. = o, �1 = 0, 6 = o. On �cart�nbsp;Ie corps de cette position, de sorte que ces deux plansnbsp;comprennent un angle donn� a. Si on l�abandonnenbsp;ensuite a lui-m�me, on aura �1 = o; si, au contraire, Ie mobile �prouve une pei'cussion a l�originenbsp;de son mouvement, la vitesse initiale �1 devra �trenbsp;de'termin�e par les regies du nquot; 386, ou donn�e d�unenbsp;mani�re quelconque; et, dans tous les cas , l��qua-tion (d) fera connaitre la vitesse angulaire du mobilenbsp;a im instant quelconque, d�apr�s la position de sonnbsp;centre de gravit�. En la r�solvant par rapport a dt,nbsp;et integrant, on aura la valeur de t en fonction de �ynbsp;ou r�ciproquement; ce qui d�terminera la positionnbsp;variable de ce centre, et, par cons�quent, celle dunbsp;mobile a chaque instant.

SgS. Si ce corps pesant se r�duit a un point mat�riel, attach� a l�axe Oz par un fil inextensible et inflexible,nbsp;dont on n�glig� la masse, et qui soit perpendiculaire anbsp;Oz, on aura Ie cas du pendule simple, d�apr�s la d�fi-

TRAIT� DE M�CANIQUE. nition du n� i'pg. Eu appelant l sa longueur, on auranbsp;a = ^; M sera la masse du point mat�rie!; et Ie moment d�inertie M(a�-f-A:*) devra se r�duire au pro-duit de cette masse et du carr� de sa distance l anbsp;l�axe fixe. On aura done A: = o ; par cons�quent,nbsp;l��quation (a), appliqu�e a ce cas particulier, de-viendra

et, en effet, il est ais� de verifier qu�elle s�accorde avec l��quation (i) du n� i8o, relative au mouvement du pendule simple.

En comparant les �quations [a) et (�), on voit que ce mouvement co�ncidera avec celui d un pendule quelconque, toutes les fois que les coefficiens

(c)

C�est done d�apr�s cette formule que l�on calculera, ainsi que nous l�avons annonc� dans Ie n� i'jQ, lanbsp;longueur du pendule simple, correspondant a unnbsp;pendule donn�; les deux quantit�s a k qu�ellenbsp;renferme pourront toujours se determiner exacte-ment, ou par approximation, au moyen des regiesnbsp;connues, quand on connaitra la forme du pendulenbsp;compos�.

Dons, il en sera de m�me a l��gard du pendule simple. Si l�on d�signe par T la dur�e d�une oscillation enli�re, on aura done (n� 182)

En comptant, pendant un temps considerable, Ie nombre des oscillations du pendule compose, et di-visant Ie temps total par ce nombre , on aui-a lanbsp;valeur de T; et en la substituant, dans cette der-ni�re formule, avec la valeur de l correspondantenbsp;au pendule qu�on aura employ�, on en conclura ,nbsp;comme nous l�avons d�ja expliqu� (n� 192), la mesure de la pesanteur g avec une extreme precision.nbsp;Les longueurs du pendule simple �tant entre ellesnbsp;comme les carr�s des dur�es des petites oscillations,nbsp;si l�on appelle A la longueur du pendule a secondes,nbsp;et qu�on prenne la seconde pour unit�, on auranbsp;aussinbsp;pour calculer la valeur de A d�apr�s celles de / et T.

396. Si l�on trace dans rint�rieur du pendule compos�, au-dcvssous de sou centre de gravit� etnbsp;dans Ie plan de ce centre et de l�axe de rotation ,nbsp;uhe droite parall�le a eet axe, dont l soit la distancenbsp;a ce m�me axe, Ie mouvement des poitits de cette parall�le ne sera ni acc�l�r� ni retard� par leur liaisonnbsp;avec les autres points du corps. Parmi tous les pointsnbsp;de cette droite, on appelle proprement centre r/W-'nbsp;dilation Ie point situ� sur la m�me perpendiculaire,nbsp;a l�axe que ie centre de gravit�.

Soient ABD (fig, 6) la section du pendule perpendiculaire a l�axe de rotation et passant par son centre de gravit�, G ce centre, et C Ie point o� cette sectionnbsp;est coup�e par l�axe; prolongeons la droite CG }us-qu�en 0, de sorte qu�on ait

Le point O sera Ie centre d�oscillation; et apr�s avoir fait osciller le pendule donn� autour de 1 axe perpendiculaire a la section ABD et passant par le pointnbsp;C, si on le reuverse et qu�on le fasse osciller de nouveau autour de l�axe passant par le point O et perpendiculaire a cette m�me section j le point C devien-dra le centre d�oscillation; th�or�rae que l�on �noncenbsp;ordinairement en disant que les centres C et O denbsp;suspension et d�oscillation, sont r�ciproques l�un denbsp;l�autre.

En etfet, dans les deux cas, le moment d�inertie MA* est le m�me, puisqu�il se rapporte toujours anbsp;Faxe perpendiculaire a ABD et passant par le point G;nbsp;en sorte que la quantit� k ne changera pas. De plus^nbsp;soit 0' le point du prolongement de OG qui sera lenbsp;centre d�oscillation, quand O sera devenu le centrenbsp;de suspension; en appelant Z' la distance 00�, sa va-leur se d�duira de la formule (c), en y mettant OG au

La dur�e des oscillations tr�s petites, autour des deux axes perpendiculaires a ABD et passantnbsp;par les points C et O, est la m�me et �gale a

ment, si la dur�e des oscillations tres petites est la m�me autour de deux axes parall�les, dont Ie plannbsp;contient Ie centre de gravit� G, et qui n�en sont pasnbsp;�quidlstans, leur distance mutuelle sera la longueurnbsp;I du pendule simple qui oscille aussi dans Ie m�menbsp;temps.

En effet, soient a et a' les distances in�gales du centre de gravit� a ces deux droites parall�les, et,nbsp;cons�quemment, a a' leur distance mutuelle ;nbsp;soit aussi MA* Ie moment d�inertie par rapport a l�axenbsp;parall�le passant par Ie centre de gravit�. Puisque lanbsp;dur�e des oscillations est la m�me autour des deuxnbsp;droites, il faudra qu�on ait

Par cons�quent, si Ton mesure la distance a a! des deux axes synchrones, on aura la longueur dunbsp;pendule simple qui correspond a la dur�e communenbsp;de leurs oscillations.

Ce moyen a �t� employ� avec succes, en An-gleterre, pour d�ferminer la longueur du pendule simple, sans aucun calcul relatif a la forme du pendule compos� (*).

598. II y a une infinite d�axes diff�rens autour desquels les petites oscillations d�un m�me corpsnbsp;sont d��gale dur�e.

D�abord, il est �vident que la valeur de l et la dur�e des oscillations seront les m�mes pour tousnbsp;les axes de suspension parall�les entre eux et �qui-distans du centre de gravit�, pulsque, pour tousnbsp;ces axes, les quantit�s k ei a, comprises dans lanbsp;formule (c), ne varient pas. On peut aussi changernbsp;la direction de ces axes et leur distance au centrenbsp;de gravit�, sans que la valeur de l soit chang�e ;nbsp;car si l�on appelle a , amp;, y , les angles que la pa~nbsp;rall�le a l�axe de suspension, men�e par Ie centrenbsp;de gravit�, fait avec les tiois axes principaux quinbsp;se coupent en ce poin-t, et que Ton d�signe par A,nbsp;B, C, les momens d�inertie velatifs a ces axes, etnbsp;par MA;�, comme pr�c�derament, celui qui i'�pond a lanbsp;parall�le, on aura, d�apr�s l��quation (c) du 11� 376,

on peut �videmment donner^a a, a, ^ , y, une infinite de valeurs difFe'rentes, pour Icsquellesnbsp;Cette valeur de I restera la m�me.

SI Ton voulait que cette fonction I fut un minimum par rapport aux variables a, a., y, 'A resulte de sanbsp;forme qu�en supposant A la plus petite des trols cons-tantes A, B, C, il faudrait d�abord qu�on eut a � o,nbsp;^ = 90�, y = 90�, et, consequemment,

599. Nous savons que la resistance d�un milieu n�influe pas sur la duree des petites oscillations dunbsp;pendule simple, d�une longueur donnee (n� 190); maisnbsp;il faut aussi prouver que cette force ne change pasnbsp;non plus la longueur du pendule simple, dont lenbsp;mouvement est le m�me dans fair que celui d�unnbsp;pendule donn�, dans ce m�me fluide.

Or, pour determiner ce mouvement, il faut joindre aux forcesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et \dm , que renferme le second

les points de la masse du mobile, les composantes de la resistance de l�air, exerc�e sur les �l�mens denbsp;sa surface, Supposons done que cette resistance soitnbsp;exprimee, g�n�ral�ment, paria somme de plusieursnbsp;puissances de la vilesse, et, pour une vitesse q�el-conque p, repr�sentons-la, sur l�unit� de surface, par

A, A', Aquot;, etc., a, a', aquot;, etc., �tant desconstantes donne'es. Soit p la distance d�nn point M de la surface du pendule , a 1�axe de rotation; sa vitesse, aunbsp;bout du temps t, sera pco, en d�signant toujoursnbsp;par O) la vitesse angulaire a eet instant. Si Ton ap-pelle 6 Tangle que fait sa direction avec la partienbsp;int�rieure de la normale en ce point, on aura pa cos snbsp;pour sa composante suivant cette droite; et, d�apr�snbsp;ce qu�on a dit pr�ce'demment ( n� 565 ) , eest cettenbsp;composante normale qu�il faudra employer pour lanbsp;jjvitesse v, dans Texpression de la resistance qui r�-pond au point M. En appelant cIt T�l�ment dift�-rentiel de la surface, en ce m�me point, et Rt/j' lanbsp;r�sistance exere�e sur eet �l�ment, on aura done

Je d�signe par et v les angles que fait la normale int�rieure au point M, avec des parall�les aux axesnbsp;des jc et des y, men�es par ce point; les corapo-santes de la r�sistance suivant ces droites serontnbsp;Rcosptcla- el Kcosvd^; et si Ton appelle oc' ety' lesnbsp;valeurs de a? ety qui r�pondent au point M, on aura

pour la partie du second membre dc I�equation (5), relative a I�element ds ; par consequent, en prenantnbsp;1 integrale de cette quantile dans toute la portion denbsp;la surface du mobile qui eprouve la resistance dunbsp;milieu, on aura la quantite qu�on devra ajouter a cenbsp;second membre, pour avoir �gard a cette resistance.nbsp;Je fais, pour abr�ger,

II est visible que f est la longueur de la plus courte distance entre I�axe de suspension et la direction de lanbsp;vitesse pa du point M, comprise dans un plan perpendiculaire a cet axe- ^ ne depend done pas dunbsp;temps, non plus que Tangle e et le rajon p; par cons�quent , si Ton fait

. fCp�quot;cos�^�d7 = y, f'Qp�^ cos�W(r = y', etc.,

ces inte'grales y, y', yquot;, etc. , seront des constantes d�pendantes de la forme du corps, et dont les valeursnbsp;pourront �tre diflerentes dans deux oscillations con-s�cutives. Pour determiner leurs liniites, on circons-crira au mobile, dans sa position d��quiiibre, unnbsp;cylindre perpendiculaire au plan vertical passant parnbsp;Taxe fixe; la courbe de contact de ce cylindre avecnbsp;la snrface du corps divisera cette sui�face en deuxnbsp;parties, dont Tune �prouvera la r�sistance de Tair,nbsp;pendant que le mobile se mouvra dans un sens , etnbsp;Tautre, pendant qu�il se mouvra dans le sens op-pos�; ces int�grales devront done s��tendre a Tune

TRAIT� DE M�CANIQ�E. de ces deux parties pour une oscillation enti�re , etnbsp;a l�autre partie pour l�oscillation suivante; et quandnbsp;ces deux parties seront diff�rentes, les valeurs de y ,nbsp;y', yquot;, etc., Ie seront aussi dans deux oscillationsnbsp;cons�cutives. Ces valeurs ne changeront pas, dans Ienbsp;cas d�un mouvement r�volutif.

Cela pos�, apr�s avoir ajout� la quantit� pr�c�-dente au second membre de l��quation (3), ou, ce qui est la m�rae chose, apr�s avoir retranch� cettenbsp;quantit� divis�e par Ie moment d�inertie M(�i* k^),

pour lequation du mouvement d�un pendule quel-conque dans un milieu resistant. On aura de m�me

pour l��quatlon du mouvement du pendule simple dont la longueur est l; B, B', Bquot;, etc., d�signantnbsp;des coefficlens constans.

Les vitesses et les positions initiales des deux mobiles �tant suppos�es les m�iues, si l�on veut que leurs mouvemens Ie soient aussi, il suffira et il seranbsp;n�cessaire de prendre

S _ sa nbsp;nbsp;nbsp;. P'__ AV

la formule (c), et celles de B, B', Bquot;, etc., pour toute la dur�e de cliaque oscillation.

Ainsi, quelles que soient la forme (Fun pendule et la loi de la resistance du milieu dans lequel il senbsp;nieut, on voit qu�il y a toujours un pendule simplenbsp;dont Ie mouvement est Ie m�me que celui du pendulenbsp;donn�; que la resistance du milieu dans lequel Ienbsp;pendule simple doit se mouvoir, se d�duit de cellenbsp;du milieu donn� , et de la forme du pendule compose ; et que la longueur du pendule simple ne depend que de cette forme, et nullement de la re'sis-tance.

Toutefois, il n�en r�sulte pas que la longueur de ce pendule correspondant a un pendule donn� , soit lanbsp;m�me dans l�air et dans Ie vide : la perte de poidsnbsp;lt;lue Ie pendule compose �prouve dans Pair, et quinbsp;�i�est pas la m�me dans T�tat de mouvement quenbsp;dans P�tat de repos, influe sur la longueur du pendule simple, r�duite au vide, ainsi que nous l�avonsnbsp;d�ja dit ( n� 191 ).

400. Pour determiner Ie mouvement d�un treuil et de deux poids suspendus, l�un a la x�oue et l�autrenbsp;au cylindre, on formera , comme dans Ie n� 3g i , lanbsp;somme des moraens des forces perdues a chaque instant par tous les points du treuil, puis on ajoutera anbsp;cette somme les momens des forces perdues dans Ienbsp;m�me instant par ces deux poids, et on e'galera anbsp;z�ro la somme totale de tous ces moraens. Or,nbsp;supposons qu�une corde soit enroul�e sur la roue etnbsp;attach�e par un bout a un point de sa circonf�rence,nbsp;et d�signons par m la masse du corps suspendu ver-ticalcment a l�autre bout; soit aussi m' la masse dunbsp;corps suspendu verticalement a Textrcmite d�une

seconde corde enroul�e sur Ie cjliiidre et attache'e par l�autre extr�rait� a sa surface; au bout du temps t,nbsp;si l�on appelle u ei u' les distances des centres denbsp;gravit� de m et m' au plan horizontal passant parnbsp;l�axe du treuil, les forces perdues par ces masses pendant Tin stant , seront mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�^f) '�

leurs momens par rapport a l�axe du treuil, se d�duiront de ces forces en multipliant la premi�renbsp;par Ie rajon de la roue que j�appellerai c, et lanbsp;seconde par Ie rayon du cylindre que je d�signerainbsp;par c'; et paree que ces forces tendent a faire tournes'nbsp;Ie treuil en sens contraire Tune de l�autre , il faudranbsp;donner Ie signe au moment de Tune, et Ie signe �nbsp;au moment de l�autre. Pour fixer les idees, je sup-poserai que ce soit la premi�re force qui tende a fairenbsp;tourner Ie treuil dans Ie sens o� il tourne r�ellement,nbsp;ou, autrement dit, je supposerai que ce soit lanbsp;masse m qui descende et la masse m' qui s��l�ve. Onnbsp;en conclut que Ie second membre de l��quation (5)nbsp;se trouvera augment� de gmc � gm'c', et son premier membre , de m^c�m' ^ c'; d�ailleurs l�in-�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;di'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de �

t�grale que contient Ie second membre sera z�ro , paree qu�elle doit s��tendre a tons les points du tresiil,nbsp;dont Ie centre de gravit� est sur l�axe de rotation;nbsp;on aura done

du j nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j .

de m' est de m�me �gale et contraire a la vitesse c'ca du point de la surface du cylindre , dont Ie rayonnbsp;est aussi horizontal, et qui est situ� de l�autre c�t� denbsp;l�axe : on a done constamment

en d�signant par M la masse du treuil, et par MA:� son moment d�inertie par rapport a l�axe de rotation.

Si Ton suppose nulles, pour plus de simplicit�, les vitesses initiales du treuil et des masses m et m',nbsp;on aura, a un instant quelconque.

et, sans aller plus loin , on voit que Ie mouvement du treuil sera uniform�rnent acc�l�r�.

Les tensions des cordes auxquelles les masses m et m' sont attach�es, auront pour mesure les forcesnbsp;perdues par ces masses; en les d�signant par T et T',nbsp;on aura done

�P nbsp;nbsp;nbsp;4- pc�� 4-P'c'� �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-pc� p'c'�'

A cause que Ie poids p descend, ce qui suppose pc gt; p'c', la tension T sera moindre que ce poids ,nbsp;qui serait sa valeur dans l��tat d��quilibre, et lanbsp;tension T' sera plus grande que p'.

Les pressions exerc�es sur l�axe du treuil par les forces centrifuges de ses diff�rens points, se d�trui-sent �videmment deux a deux, a cause de la sym�-trie de ce corps autour de cette droite. La chargenbsp;totale que l�axe �prouvera pendant Ie mouvement,nbsp;se composera done seulement du poids du treuil etnbsp;des tensions T et T'; de sorte qu�en appelant n cettenbsp;force verticale, on aura

ce qui montre que cette charge est toujours moindre que celle qui a lieu dans l��tat d��quilibre, et qui estnbsp;�gale a P -|- p',

machine �iAthood, en y faisant c' ~ c �, et elles fe-ront connaitre toutes les circonstances du mouvement des deux poids in�gaux p et p', dont l�un monte et l�autre descend dans eet appareil.

Si Ton appelle , par exemple, h la hauteur dont Ie poids p descend dans un temps donn� �, on auranbsp;la valeur de h en integrant celle de du ou de ccodt,nbsp;depuis tz=o jusqu�a f = �; ce qui donne

Les poids P, p, p', ainsi que Ie rayon de la roue, sont donn�s; la quantit� k* peut �tre calcul�e d�apr�s lanbsp;1�orme de la roue; et Pon peut mesurer la hauteur h.nbsp;Par cons�quent , si Ie temps � est donn� par l�obser-vation, cette formule fera connaitre la valeur de g.nbsp;Mais quelque soin qu�on apporte dans cette experience , elle ne sera jamais susceptible d�une pr�cisionnbsp;comparable a celle du pendule; car, dans celle-ci ,nbsp;la dur�e de chaque oscillation s�obtient en divisant Ienbsp;temps pendant lequel Ie pendule a oscill�, par Ienbsp;nombre tr�s grand des oscillations qu�il a faites; cenbsp;qui rendra toujours Terreur a cralndre, sur la dur�enbsp;d�une seule oscillation, beaucoup moindre que Terreur in�vitable sur la mesure du temps 6 dans lanbsp;machine d�Athood.

On fait ici abstraction de la masse du lil auquel sont suspendus les deux poids p et p'il serait facile d�ynbsp;avoir �gard de la m�me mani�re que dans leprobl�menbsp;du n�556; mais alors la loi du mouvement serait plusnbsp;compliqu�e. On n�glig� aussi la r�sistance que Tair

b..

402. On a aussi employ� Ie pendule pour determiner la vitesse des projectiles de l�artillerie. Cette machine est ce qu�on appelle Ie pendule de Robins, du nom de l�ing�nieur qui en a Ie premier fait usage: ellenbsp;consiste en une masse tres considerable, retenue parnbsp;un axe horizontal solidement fix�. Le boulet dont onnbsp;veut connaitre la vitesse, p�n�tre dans cette massenbsp;sans la traverser, et met le pendule en mouvement;nbsp;on mesure la grandeur de l�arc que d�crit un pointnbsp;determine de la masse totale; d�o� Ton conclut facile-ment saquantit� de mouvement, et,cons�quemment,nbsp;la vitesse du boulet a l�instant ou il a atteint le pendule.

Soient, en etfet, AEBF (fig. 7) une section du pendule par un plan perpendiculaire a l�axe fixenbsp;et par son centre de gravit� , G ce centre, 0 lenbsp;centre d�oscillation (n� Sg�), C le point ou cette section coupe l�axe, de sorte que CGO soit une droitenbsp;verticale, dans f�tat d��quilibre. Soient aussi B lenbsp;point OU ie prolongement de cette droite rencontrenbsp;la surface inf�rieure du pendule, BB' l�arc de eerdenbsp;qui sera d�crit par ce point B et dont C est le centre,nbsp;E le centre de 1�ouverture circulaire que le bouletnbsp;fait a la surface du pendule, ou, plus g�u�ralement,nbsp;la projection de ce point sur le plan de la sectionnbsp;AEBF. Appdous jj. la masse du boulet, u sa vitesse

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. a l�instant du choc, f la pei'pendiculaire abaiss�e dunbsp;point C sur la direction de P, projet�e sur Ie plan denbsp;AEBF, M la masse du pendule et du boulet, a Ia distance du centre de gravit� de M a 1 axe fixe, M(a�-1-A:*)nbsp;son moment d�inertie par rapport a cet axe ; nous au-I�ons (n* 386)nbsp;pour la valeur de �1 qu�il faudra substituer dans 1 e-quation (a) du n� 394, dans laquelle on fera aussinbsp;Cl = o, puisque le pendule part de sa position d�equi-libre, II s�en ecartera jusqu�a ce que la vitesse angu-laire soit nulle; par consequent, si Ton designe par �nbsp;1 angle BCB', on aura, d�apres cette equation (a) ,

nbsp;nbsp;nbsp;=2ga(l-C0sg),-

g �tant la gravite. En designant par b la corde de I�arc BB', et par c le rayon CB, nous aurons

Je substitue cette valeur dans 1 equation pr�c�-dente, et j�en deduis ensuite celle de v*; ce qui donnenbsp;n �tant le rapport de M a //., qui sera un tres grandnbsp;nombre donne.

Toutes les autres quantites contenues dans cette formule seront aussi connues. La distance c se m�-

sure imm�diatement; la corde lgt; est donn�e au mojen d�un ruban attach� au point B, et passant dans un anneau fixement attach� au terrein:nbsp;la partie de ce ruban qui se d�roule et traverse l�an-neau pendant l��l�vation du pendule, est effective-ment �gale a Si Ie tir est horizontal, la quantit� �nbsp;est la distance de l�axe de la piece a Faxe de rotation;nbsp;si Ie tir s��carte un peu de l�horizontalit�, auquel casnbsp;la droite qui va du point E a la bouche du canonnbsp;nest plus horizontale, il est facile de calculer, avecnbsp;une approximation suffisante, la quantit� qu^�il fautnbsp;ajouter a la distance des deux axes, ou qu�il en fautnbsp;retrancher , pour avoir la valeur de �. Quant auxnbsp;quantit�s a et A:, on peut les calculer d�apr�s la formenbsp;du pendule et les densit�s de ses parties; mais leursnbsp;valeurs s�obtiennent aussi par 1�exp�rience.

On attache une corde a la partie inf�rieure du pendule; on fait passer celte corde sur une barrenbsp;fixe, parall�le a Faxe de ce mobile, et �lev�e a lanbsp;ni�me hauteur, au-dessus du terrein; puis, a Fautrenbsp;bout de la corde, on suspend un poids qui soul�venbsp;Ie pendule jusqu�a ce que son centre de gravit� senbsp;tronve au niveau de Faxe et de la barre. Dans cettenbsp;position, si l�on appelle M' Ie poids suspendu a lanbsp;corde, et a! la distance donn�e de la barre a Faxe, onnbsp;a cette proportion :

Si Fon fait faire au pendule de petites oscillations, et qu�on appelle T la dur�e d�une oscillation enti�re,

et l la distance du centre d�oscillation a l�axe de suspension , on aura (n� 5g5)

et la valeur de k sera connue dapres c�lle de ct. Au mojen de cetle valeur de 4- k% on aura, plusnbsp;simplement,

(a)

4o3. Si la bouche du canon n�est pas tres �loignee du pendule, la valeur de v, donn�e par cette formule, diff�rera peu de la vitesse de projection dunbsp;boulet; et en supposant connu Ie coefficient de la resistance de l�air, il sera facile de calculer, au moyennbsp;de la formule (5) du n� 212, la quantit� dont on de-vra augmenter cette quantit� o, pour avoir la vitessenbsp;de projection. Mais on obtiendra imm�diatement lanbsp;grandeur de cette derni�re vitesse, en attachant fixe-ment Ie canon au pendule : la quantit� de mouvement imprim�e au pendule, ainsi compos� , seranbsp;alors la masse jU. du boulet, multipli�e par la vitessenbsp;du boulet a la bouclie du canon, dont Ie recul, a raison de la compressibilil� de la mati�re, ne commen-cera pas sensiblement avant que Ie projectile ait par-couru toute la longueur de la piece; par cons�quent,nbsp;la valeur de donn�e par la formule (n), sera celle

de Ia vitesse de projection, sans aucnne correction, et sans qu�on ait besoin de connailre Ie coefficientnbsp;de la resistance.

En tirant successivement a diff�rentes distances donn�es du pendule, avec un m�me canon, charg�nbsp;de la m�me mani�re, on aura autant de valeurs de e,nbsp;dont les differences entre elles e1^ avec celle que Tonnbsp;obtlent quand Ie canon fait partie du pendule, pour-ront servir a verifier la loi de Ia resistance de l�air,nbsp;sur laquelle est fond�e la formule (5) du n� 212, et anbsp;determiner Ie coefficient de celte resistance.

On a fait, en Angleterre, un grand nombre d�ex-p�riences au moyen du pendule de Robins, employ� des deux mani�res que nous venons d�indiquer (�?'),nbsp;�ne des consequences les plus g�n�rales qu�on en anbsp;d�duites, consiste en ce que, toutes choses dailleursnbsp;�gales, les carr�s des vitesses de projection sont anbsp;peu pr�s entre eux comme les poids des clwrges, etnbsp;que ce rapport approcbe d�autant plus d�etre exact,nbsp;que la longueur de la charge est moins considerable ,nbsp;relativement a celle du canon.

('') Nouvelles experiences diArtillerie, par Ch. Hutton; ouvrage traduit d� 1�anglais, la premi�re partie par Villan-tr�ys, et la seconde par M. Terquem.

*^'V\A(VV\vVWVVVWWVWVVV�'VWWWWVWWVVV\A/VVWWVWVWWWVW\^/Vgt;iVV\W\�VWVWVV\iV\^'W^\'\gt;

CHAPITRE IV.

404. Consid�rons d�abord en lui-m�me, et ind�-pendamment des forces qui Ie produisent, Ie mouvement de rotation d�un corps solide de figure quel-conque, autour d�un point fixe appartenant a ce corps, Ou qui y soit invariablemenl attach�.

Soient 0 (fig. 5) ce point; Ooc, Oy, Oz, trois axes fixes et rectangulaires, choisis arbitrairement; Ox^, QTquot;/�nbsp;Oz^, trois autres axes rectangulaires, fixes dans Ie corps,nbsp;et mobiles avec lui autour du point 0. Dans la suite,nbsp;nous supposerons que ces derni�res droites sont lesnbsp;axes principaux du corps; mais maintenant leurs directions sont enti�rement arbitraires. Soient aussinbsp;^ gt; J, z, les coordonn�es d�un point quelconque Mnbsp;du corps, i�apport�es aux premiers axes, et x^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

ses coordonn�es rapport�es aux axes Oxj, Qy^, Oz^. Er conservant toutes les notations du n� oj'j, nousnbsp;aurons

TRAIT� DE M�CANIQUE. et les neuf coefficieas a, h, etc., seront lies entrenbsp;eux par les equations (2), ou par les equations (4),nbsp;de ce num�ro.

II est �vident que ces quantit�s a, b, etc., sont les m�mes, a chaque instant, pour tous les points dunbsp;corps; mais elles varient pendant Ie mouvement, etnbsp;Ton dolt les consid�rer comme des fonctions dunbsp;temps. Au contraire, les coordonn�es x^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^, va

rient d un point a un autre du mobile; mais elles restent constamment les m�mes pour un m�me point,nbsp;et ne varient pas avec Ie temps. En repr�sentant donenbsp;Ie temps par t, et difF�rentiant par rapport a cette va-^nbsp;riable, on aura

Les valeurs de �, ^^, exprimeront, a un instant quelconque, les composantes parall�les aux axes Ox, Oj-, Oz, de la vitesse du point M. Si done onnbsp;veut connaltre les points du corps dont la vitesse estnbsp;mille a eet instant, on les d�terminera en �galant cesnbsp;quantit�s a z�ro; ce qui donne

x^da -j- j^db � � zjdc = o, ) xjda' j^db' Z(dd z=. o, gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(i)

PJi � 9^/ =

Si l�on ajoute ces m�oies equations (i), apr�s les avoir multipli�es par b, b', bquot;, on trouve

et observant que l��quation 6* b'*-\- bquot;^=^ i donne bdb b'db' bquot;dbquot; = o, et que, d�apr�s l��quationnbsp;bc -f- b'c'-\- bquot;cquot; = o du n� 577, on a aussi

Enfin, les equations (1) �tant multipli�es par a, a', nquot;, et ensuite ajout�es, il en r�sulte

car on a ada a'da' d'daquot; = o, a cause de H- a'* 4- �quot;* = i; et, de plus, les equationsnbsp;ba -f- b'a' -j- b�^a!' = o et ca 4- da' 4- d'aquot; � o dunbsp;num�ro cit� donnent

adb- - a'db'-\- aquot;dbquot;= � bda�b'da'�bquot;dd'� � rdt, ddc'-\-d'dcquot;= � cda �c'da'�cquot;daquot;= qdt.

Chacune de celles-ci est comprise dans les deux au-tres; et elles appartiennent a une droite passant par l�origine 0 des coordonn�es.

II suit done de cette analyse que tous les points du corps, dont la vitesse est nulle a un instant quelcon-que, sont ranges sur une droite passant par Ie centrenbsp;de rotation. Cette droite peut �tre regarde'e commenbsp;immobile pendant un instant infiniment petit; done,nbsp;pendant eet instant, Ie corps tourne autour de cettenbsp;droite comme autour d�un axe fixe; et l�on doit senbsp;repr�senter Ie mouvement de rotation d�un corpsnbsp;solide autour d�un point fixe, comme ayant lieu, anbsp;chaque instant, autour d�un axe qui reste immobilenbsp;pendant un intervalle de temps infiniment petit. Ennbsp;general, la position de eet axe dans l�inte'rieur dunbsp;corps change, d�un instant a l�autre , pendant Ienbsp;mouvement; et, pour cette raison, on l�appellenbsp;Yaxe instantan� de rotation.

4o5. Supposons que la droite 101' solt eet axe au bout du temps.les equations (2) seront cellesnbsp;de ses projections sur les trois plans des coordonn�es X,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z/, d�o� l�on conclut facilement

(3)^

Lors done qne les trois quantit�s p , q, r, se-ront connues, on pourra assignee Ia position de l�axe instantan�, par rapport aux axes mobiles Oj^j,nbsp;Ozp, et, d�apr�s Ie signe qu�on donnera au radical, lanbsp;partie 01 de cette droite, a laquelle ces formules ap-partiendront, sera compl�tement d�termin�e : dor�-navant, nous regarderons toujours ce radical commenbsp;une quantit� positive.

Toutes les fois quep, q, r, seront des constantes, l�axe de rotation i'estera fixe dans Ie corps, c�est-a-dire, qu�il Ie traversera constamment dans les m�mesnbsp;points. Or, les points du corps dont la vitesse estnbsp;nulle a chaque instant, �tant toujours les m�mes, ilsnbsp;demeureront immobiles pendant toute la dur�e dunbsp;mouvement j done, dans ce cas, l�axe de rotation seranbsp;aussi une droite fixe dans l�espace.

D�apr�s l��quation (2) du n� g, et les notations du n� 377 , on aura

cos lOjquot; = a'cos lOx^ b'cos lO/^ c'cos lOz^, cos lOz = fl'cos lOa:, Zgt;quot;cos lOj^ c'cos lOz^;

rapport aux axes fixes Ox, O7, Oz. II en r�sulte que quand p, q, r, seront des quantites constantes, lesnbsp;num�rateurs de ces formules devront aussi �tre in-d�pendans de t; ce qu�on v�rifiera, effectivement,nbsp;dans la suite.

406, Puisqu�a chaque instant Ie mouvement a lieu autour de la droite lOI' com me au tour d�un axe fixe,nbsp;il en r�sulte que tous les points du corps ont, pendant un instant infiniment petit, une m�me vitessenbsp;angulaire autour de eet axe (n� 584)* Pour en d�ter-miner la valeur, consid�rons Ie point qui se trouvenbsp;sur l�axe Oz^, a une distance du point O �gale .anbsp;l�unit�; nous aurons, relativement a ce point, �o,nbsp;z, == I j sa vitesse absolue sera done

d�apr�s les valeurs pr�c�dentes de ~~ l�on aura, pour sa distance a l�axe de rotation ,

pour la vitesse angulaire. Or, nous avons �pdtz=:.bdc-\-h'dc'dd', qdtz=zadc-\~a'dc'-\~a!'dcquot;'

quantit� qui se r�duit a dc^-\-dc'�^-\~ dcquot;*^ a cause de cdc c'dc'cquot;dcquot;s=o. Done, en appelant co lanbsp;vitesse angulaire au bout du temps i, et lai consid�-rant comme une quantit� positive, on aura sim-

On voit que cette vitesse sera constante toutes les fois que la position de l�axe de rotation sera invariable j niais la proposition inverse n�est pas �gale-nient vraie; et il est possible que l�axe instantan�nbsp;change de position , sans que la vitesse angulairenbsp;change de'valeur, ou, autrement dit, il est possiblenbsp;que les quantit�sp, q, r, soient variables, et que lanbsp;valeur de co demeure constante.

407. On appelle p, q, r, les composantes rectan� gulaires de la vitesse de rotation co autour des axesnbsp;Ox^, Ofi, OZi; et l�ou dit aussi que chacune de cesnbsp;trois quantit�s est la vitesse angulaire du mobilenbsp;autour de l�axe correspondant.

P = ro cos lOx^, q �co cos 10/^ ^ r = co cos lOz,; ct 1 on peut �crire les �quations (4) sous cette forme :

d�o� l�on conclut que la decomposition des vitesses de rotation suit les m�mes lois que celle des vitesses denbsp;translation, en remplacant les directions de celles-cinbsp;par les directions des axes de rotation.

La re'sultante oo �tant une quantit� positive, et ajant pris la parti� d�termin�e 01 de la droite lOI'nbsp;pour l�axe auquel elle se rapporte, les composantes p,nbsp;q , /�, dont les axes sont , 0/^, Oz^, seront positives OU negatives, selon que ces droites feront desnbsp;angles aigus ou obtus avec l�axe 01; et g�n�rale-ment, on devra regarder comme �gales, mais denbsp;signes contraires, les composantes de co 'rapport�esnbsp;aux deux parties d�une m�me droite, ou dont lesnbsp;axes seront Ie prolongement l�un de l�autre.

4o8 Non-seulement on peut, au mojen des trois quantile's p, q, r, de'terminer la vitesse angulairenbsp;du corps et la position de son axe de rotation, parnbsp;rapport aux axes mobilesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0^^, Oz^, mais on

peut aussi exprlraer les vitesses et les forces acc�l�-ralrices de ses diff�rens points, de'compos�es sulvant ces trois axes; ce qui nous servira, comme on Ie verranbsp;bient�t, a trouver de la mani�re la plus directe, lesnbsp;equations de son mouvement de rotation.

Oj , Oz, il s�ensuit que les composantes de la m�me vitesse, par rapport aux axes Ox^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Oz,,

d�apr�s les notations du nquot; ^77 , et paree, que la composition des vitesses snit les m�mes lois que cellenbsp;des forces. Or , en substiluant dans ces expressions

par cons�quent, les trois quantit�s qz^�rcc^�pz^, pj^ � qx^, qui sont nulles pour totis les points dunbsp;corps situ�s sur l�axe instantan� de rotation, expri-naent, pour un autre point quelconque M, les com-posantes de sa vitesse , parall�les aux droites ,

On tire de ces derni�res equations , en ayant �gard a celles du nquot; 577 ,

A � nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rj^) -I- bquot;{rx^ �pz,) c''{pj^ � qx;);

,3o nbsp;nbsp;nbsp;TRAIT� DE M�CANIQUE.

et en diff�rentiant pai' rapport a il vient

{z,dq�j^dr) b(x,dr�z^dp) c{j,dp�x^dq) {qz�ij;^,da {rx�pz)db {pj^�qx)dc,nbsp;^�a\z,dq�jdr) b'{x^dr�zdp) c\r/ip�^,dq)nbsp;-\-{q^�0'i)da' {rx^~pz)db'-\-{pr,�q^i)dc',nbsp;^j^=aX^A�fdr)-\-b''{x,dr�z^dp)-j-c''{r^dp - x,dq)

-K?z�

Les quantit�s

parall�les aux axes fixes Ox, Ojquot;, Oz, de la force acc�l�ratrice du point M; si done on d�signe par p^,nbsp;q^, r^y les composantes de la m�me force, parall�lesnbsp;aux axes Ox^, Oj^, Oz^, on aura

d'-x , f d'-j , u d�z Cl a! ^ ^ d'

d^x

FF �

Jf, et faisant des reductions semblables a celles du n� 4^4 gt; trouve

pflt�z^dq �J,dr {pr�qx}qdt {pz^~- rx^dt ,

q, dtz=x,dr�zfy {qz, � rj)rdt {qx, � py;)pdt,

r, dt�y,dp ~x^dq-\- {rx, ��pz^)pdt-i-(rj^ � gz^qdt;

et en divisaat paijr/i^, on aura les valeurs dep,, q^, r^,

409. Si Ton consid�re a un instant quelconque les quantit�s de mouvement dont tous les points dunbsp;corps sont an�m�s, leur moment par rapport a cha-cun des trois axes O/^jOz^, suivanf la definitionnbsp;du n� 273, paurront encore s�exprimer au moyen desnbsp;quantit�s p, q, r.

Pour Ie faire voir, soit dm 1 element diff�rentiel de la masse du corps qui r�pond au point M, et dontnbsp;les coordonn�es sontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^; lescomposantcs paral-

vement seront les produits des vitesses qz^ � /y^, � pz^, pj^ � q^/� multipli�es par dm; en d�si-gnant parL, M, N, les momens par rapport auxnbsp;axes Oz^, Oy^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, des quantit�s de mouvement de

tous les points du corps, on aura done, d�apr�s cc qu�on a vu dans Ie n� 274,

L =

N == /[(pj,� nbsp;nbsp;nbsp;(rx^ � pz)zym;

les int�grales s��tendanta la masse enti�re du mobile. On simplifiera ces valeurs en prenant pour Ox^,

Oz^, les trois axes principaux du corps qui se coupent au point 0; ce qui rendra nulles les trois int�gralesnbsp;7 fzgt;,X{im ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et en d�signant par A ,

fiJquot; -H 2/�)^'� = A,

/(a,y nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c,

L = Cr, M = N = Ap.

Les quantit�s r, q, p, auront done constamment les m�mes signes que L, M, N; par cons�quent, lenrsnbsp;signes d�pendront du sens dans lequei Ie corps tour-nera aufour de chacun des trois axes principaux: se-l,on, par exemple, que Ie corps tournera, parall�le-ment au plan ocfiji, de Ox, vers Oj^, ou dans Ie sensnbsp;oppose, Ie moment L (n� 274) et par suite la vitesse r,nbsp;serontdes quantit�s positives, ou des quantit�s negatives; et, r�ciproquement, Ie signe de r fera connaitre,nbsp;a cbaque instant, Ie sens de rotation autour de Oz^.

D�apr�s les th�or�mes du n� 281', si l�on d�signe par G Ie moment principal des quantit�s de mouvement que nous consid�rons , on aura

G = s/A*p* -f-

en regardant ce radical comme une quantit� positive ; si la droite Om (lig. 8) est l�axe de ce moment, sa direction par rapport aux axes mobiles Ox^, Oj/gt; sera d�termin�e par les formules

et pour d�terminer sa direction par rapport aux axes fixes Ox, Ojr, Oz, on aura

Gcos7/�0x == Apa -f- Bq� -h Cre, j G cos mO/ = Apa' -|- Bqb' -|- Ore', i (6)

equations dont les seconds membres sont les moraens des quantit�s d� mouvement du mobile par rapportnbsp;aux axes fixes Ox, Oj, Oz.

410. La positioa de ce mobile a cbaque instant, par rapport aux axes fixes, depend des trois anglesnbsp;4,9, cp, du nquot; 378 ; car au tnoyen de ces angles ,nbsp;les trois sections du corps que Ton a prises pour lesnbsp;plans mobiles des coordonn�es cc^, y^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, sont d�-

termin�es de position a l��gard de ces plans fixes; et il suffit ra�me de connaitre la position de deux sections non parall�les d�un corps solide, pour que lesnbsp;positions de tous les points de ce corps soient enti�re-ment connues. D�aiileurs, quand les angles 4� 9, 9 ,nbsp;seront connus , les coefficiens a, b , etc. , Ie serontnbsp;aussi, et I on connaitra , par cons�quent, les coordonn�esnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, d�un point quelconque du mobile. Le

probl�me du mouvement de rotation autour d�un point fixe se r�duit done, en derni�re analyse, a d�ter-miner en fonctions du temps, les valeurs de 4� 6?

Or , quand les valeurs de ^ , r, sont connues, celles de ces trois angles dependent de trois equationsnbsp;du premier ordre, que l�on obtiendra eu substituantnbsp;les valeurs Ae a,b, etc. (n� 578), en fonctions de 4^nbsp;9, (p, et celles de leurs diff�rentielles, dans les valeursnbsp;de pdt, qdt, rdt, savoir :

pdt = � bdc � b'dc' � bquot;dcquot; , qdt = adc 4- c^ddnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'dd',

Les valeurs de c, d, d', ne contenant pas Tangle (p, il sensuit que celles de pdt et qdt ne conliendrontnbsp;pas sa dif�erentielle ; et comme les valeurs de b , b',nbsp;b , se d�duisent de celles de a, a', aquot; , en augmen-tant (p d�un angle droit, la valeur de �pdt se deduiranbsp;de m�me de celle dc qdt. Le coefficient de df sera

�f = *� nbsp;nbsp;nbsp;* ��

b'-f

pour la valeur de ce coefficient. Toutes reductions faites, Ia substitution des valeurs de a, b, etc., dansnbsp;celles de pdt, qdt, rdt, donne

On peut remarquer que Tangle n�entre pas dans ces formules; et, en effet, Tangle 4 ou NOj? �tantnbsp;compt� a partir d�un axe Oj: enti�rement arbitraire,nbsp;les valeurs de p, q, r, ne doivent pas changer quandnbsp;on augmente ou diminue eet angle d�une quantit�nbsp;constante.

Puisque r est la vitesse angulaire du mobile aulour de Taxe Oz^, il s�ensuit que rdt doit �tre Tangle d�eritnbsp;dans Ie plan des et pendant Tinstant dt, parnbsp;chacun des axes Ox^ et Oj-^; eet angle serait dp, si lanbsp;droite ON, a partir de laquelle on compte Tangle lt;pnbsp;dans ce m�me plan, �tait immobile; mais dans Tinstant dt, Tangle NOa: augmente de d^, dont la projection est cos��lt;i4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J'/j et, selori

que Tangle 0 est aigu ou obtus, il est ais� de voir que la dif��rentielle dtp doit �lre diminu�e ou aug-mcul�e de cette projection, pour avoir Ie deplace-

ment de ou , par rapport a mie drolte fixe dans Ie plan de ces ax�s. Par cons�quent on aura,nbsp;dans tous les cas, rdt = dlt;p~-cos ^d-i^, comme onnbsp;vient de Ie trouver.

4ii. II existe entre les cosinus a, b, etc., et les quantit�s p , q, r, des relations qui peuvent �trenbsp;utiles dans beaucoup d�occasions, et qui sont expri-m�es par les equations diff�rentiellesnbsp;dc� {aq�bp)dl, dc'�{aq�b'p)dt, dcquot;�{aquot;q�bquot;p)dt, ^nbsp;db�{cp�ar)dt, db'={c'p�dr)dt, db�={c''p�aquot;r)dt, | (8)nbsp;dazz:[br�cq)dt, dd�{b'r�cq)dt, dd'~{bquot;r�cquot;q)dt, )

adc H- a'dc' a*dc* = qdt, hdc 4- h'dd 4- V'dc^ = � pdt,nbsp;cdc c'dc' -h d'dcquot; � o ,

apr�s les avoir multipli�es respectivement, soit par a, b, c, soit par a', b', c', soit par a!', V', cquot;, et ennbsp;ajant �gard aux equations du nquot; Syy. On obtient lesnbsp;trois sulvantes, en op�rant d�une manl�re analoguenbsp;sur les �quationsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

cdb -f- c'db' d'dbquot; = pdt^ adb -f- a'db' -f- d'dbquot; = � rdt,nbsp;bdb b'db' bquot;dbquot; = o;

bda h'da' -f- bquot;dd' == rdt, cda 4- c'da' 4� cquot;dd' = � qdt,nbsp;ada 4- a'dd 4- d'dd' = o, .nbsp;on parvient aux trois derni�res �quallons (8).,

pda qdb 'cdr � o, pda' -f- qdb' cdd = o ,nbsp;pdaquot;-}- qdbquot;-}- cdrquot;= o,

qui sont une consequence immediate des neuf equations (8), et qui servent a ve'rifier Finvariabilite des numerateurs des formules (4), lorsque p, q , r, sontnbsp;des quantites constantes.

412. Tout ce qui precede �tant �tabli, supposons maintenant que des foi'ces motrices donnees agissentnbsp;sur tous les e'le'mens du mobile, et cherchons, ennbsp;ayant e'gard a ces forces, les equations diff�ren-tielles de son mouvennent autour du point fixe 0.

Au bout du temps t quelconque, designons par 'S.fim,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Tifim, les trois composantes paral-

force motrice de 1 element dm. Si ce point materiel �tait llbre, ces forces lui imprimeraient, dans Tins-tant dt, suivant leurs directions, les vitesses ^jdt,nbsp;Yfit, Tifit, Les accroissemens de vitesse qu�il recoitnbsp;reellement, suivant ces directions, sont les quantiles pfit, qdt, rfit, du n� 4o8 ; les composantesnbsp;de la force perdue par I�element dm, pendant fins-tant dt, sont done

(X, � p^ dm, nbsp;nbsp;nbsp;(Y^ � q^) dm ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Z^ � r^) dm.

posant tons ses �l�niens sollicit�s par de semblables forces. Or, les equations d��qulllbre d�un corps solide , autour d�un point fixe, sont au nombre denbsp;trois (n� 266), qui seront, relativenient a ces forces,

La consideration des axes principaux simplifie les termes resultant de la substitution des valeurs de ,nbsp;q,,r,, sous les signes �. En observant qu�alors les int�grales fxij^dm, fz^x^dm, fy^z^dm, sont nulles, etnbsp;d�signant par A, B, C, les trois momens d�inertienbsp;principaux du mobile, de sorte que A, B, C, repr�-sentent les m�mes int�grales que dans Ie n� 4^9 gt;nbsp;?fu�on ait, par cons�quent,

-yiTi)dm== R,

forces donn�es, suivant les axes mobiles Ox'^, Oj^, Oz^, leurs valeurs d�pendront de la direction de cesnbsp;droites dans l�espace , ou des trois angles , G , (p ;nbsp;les quantit�s P, Q, R, seront done des fonctions denbsp;�4� �j lt;P, donn�es dans chaque cas particulier; parnbsp;cons�quent, Ie probl�me du mouvement de rotationnbsp;d�un corps solide autour d�un point fixe, conduit a sixnbsp;equations diff�rentielles du premier ordre, entre lesnbsp;six inconnues p, q, r, (p, et la variable t, savoir,nbsp;les trois equations [a), jointes aux trois �quations (7)nbsp;du n� 4io. En �liminant, dans les premieres �quations,nbsp;les trois inconnues p, q, r, au moyen des dernieresnbsp;�quations, on obtiendrait ti�ois �quations diff�ren-lielles du second ordre, relatives a 6, lt;p, quinbsp;sont les-inconnues definitives du probl�me; mais ilnbsp;vaut mieux conserver les six �quations du premiernbsp;ordre.

Nous nous bornerons a consid�rer le cas ou la pe-santeur est la seule force qui agisse sur les points du mobile- Prenons, dans ce cas, I�axe Oz vertical et di-rig� dans le sens de cette force constante, que nousnbsp;repr�senterons par g; ses trois composantes suivantnbsp;les axes Ox^, Oy,, Oz,, seront

et si 1�on d�signe par M la masse du mobile, et par a, Q, yt las trois coordonnees coustantes de son

(A � C ) rpdt = (j/O.quot; � �cquot;) Mgdt, ( (b) Adp-f- (C �^ B ) qrdt = (^d' � ybquot;)Mgdt, )

O-quot; ~ � sin 8 sin p , dquot; = � sin 6 cos lt;p , cquot; � cos 8. nbsp;nbsp;nbsp;(c)

414- On parvient facilement a int�grer les equations (b) , lorsque leurs seconds membres sont nuls ; ce qui a lieu quand on fait abstraction de la pesan-teur, OU bien, lorsque Ie point fixe O est Ie centre denbsp;gravit� du mobile, et ou l�on a, cons�quemment,nbsp;� = o, �= o, y = o.

Or, si on les niultlplie par r, q, p, nbsp;nbsp;nbsp;etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qu�on les ajoute,

Ji �tant une constante arbitraire. Si l�on ajoute ces ra�mes e'quations, apr�s les avoir multipli�es par Cr,nbsp;Bg, Ap, il en r�sulte

A* �tant une seconde constante arbitraire, qui ne peut �tre qu�une quantit� positive, ainsi que la premi�re.

Ea substituant les valeurs de p et g dans la premi�re equation [d), et la r�solvant ensuite par rapport a dt,nbsp;on a

(B � C) Cr�J� [A^ � (C -A)Gr�]�

On regardera Ie d�nominateur comme une quantit� constamment positive; et l�on prendra, au nura�ra-teur, Ie signe -j- oa Ie signe �, selou que la dilf�ren-lielle dr sera positive ou negative, afin que Ie tempsnbsp;soit toujours croissant, et sa diff�rentielle toujoursnbsp;positive.

r- (�)

En integrant celte formule (g), on aura la valeur de t en fonction de r; d�oii I on conclui'a, r�cipro-quemeut, la valeur de r en fonction de t: les valeursnbsp;des trois quantit�s p, q, r, peuvent done �tre cense'esnbsp;connues en fonctions de cette variable, ou du moinsnbsp;elles ne dependent plus que d�une seuie integrale,nbsp;qui se r�duira toujours aux fonctions elliptiqu�snbsp;On obtiendra cette integrale sous forme finie,nbsp;sans Ie secours de ces fonctions, lorsque deux desnbsp;trois moraens d�inertie A, B, C, seront �gaux, ou lorsque la constante A'� sera �gale a Tune des trois quan-tit�s Ah, BA , CA,

4i5. Si l�on examine avec attention la forme des equations (r/), et qu�on ait �gard aux formules (8)nbsp;du n� 4i I, on parvient a d�couvrir d�autres equationsnbsp;imm�diatement int�grables.

En effet, j�ajoute les equations (d), apr�s les avoir multipli�es par c, h, a-, ce qui donne

\cdr (aq � bp)rdt\ C f bdq -f- ^cp � ar) qdt\ B [adp (Ar � cq) pdt] A = o ,

ou bieO, en vertu des trois premi�res formules (8), Cd.cr-\- Bd.bq -f- Ad.ap = o.

Voj-ez, sur ce point, te premier volume de la Th�orie des Tonctions ellipiiq ues.

Ces trois int�grales ne sont pas des equations dis-tinctes entre elles; car si l�on ajoute leurs carr�s, on trouve, en ayant �gard aux equations du n� Syy,

Cv* B*9� A*p* = Z* Z'� 4- Zquot;*;

r�sultat qui rentre dans 1��quation (�), et d�ou Ton conciut, entre les constantes A , Z, Z', lquot;, la relation

= A*.

Si l�on substitue dans ces �quations (A), a la place de �, b, etc., leurs valenrs en fonctions de ^}/,nbsp;6, (p (n� 578), on obtiendra trois �quations entrenbsp;les six variables �?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les cons

tantes arbitraires Z, l', V', qui devront �tre des int�grales des �quations (7) dn n� 4io gt; *^1 c�est, en effet, ce qu�il est ais� de verifier. Comme ces trois int�grales n��quivalent qua deux �quations r�ellementnbsp;dist'ractes, il s�ensuit qu�il doit exister uue troisi�menbsp;int�grale des �quations (7); niais avant de la cher-cher, il est n�cessaire de voir cc que signifient lesnbsp;�quations [h).

4i6. D�apr�s ce qit�on a vu dans Ie n� 4og, elles montrent que les raoroens des quantit�s de mouvement de tous les points du mobile, par rapport auxnbsp;axes fixes Oa:, Oj, Oz, sont constans et �gaux a Z,nbsp;Z', Zquot;, pendant toute la dur�e du mouvement. En les

comparant aux formules (6) de ee num�ro, et observant qu�en vertu de F�quation (�), Ie moment principal G est �gal a la constante h, regard�e comme positive , on aura

pour determiner la direction de l�axe Om de ce moment, qui demeurera immobile, ainsi que Ie plan perpendiculaire a cette droite. La position de l�axenbsp;Om changera par rapport aux axes mobiles Ox^, Oj^,nbsp;Oz^; mais on la retrouvera, a chaque instant, aunbsp;moyen des formules (5) du n� 4^9 gt; dans lesquellesnbsp;on peut supposer connues les quantites p, q, r. Onnbsp;pourra done assignee, a un instant quelconque, Ienbsp;point ou cette droite rencontre la surface du mobile, et la trace, sur cette surface, de la section dunbsp;plan mobile perpendiculaire a cette droite.

Ainsi, lorsqu�un corps solide tourne autour d�un point fixe, en vertu dune ou plusieurs impulsionsnbsp;primitives, sans qu�aucune force motrice agisse surnbsp;ses points, il existe un plan passant par Ie point fixe,nbsp;qui derneure invariable pendant Ie mouvement, etnbsp;dont on peut determiner la position, a chaque ins-tant, par rapport aux plans mobiles des axes priuci-paux du corps.

Nous aurons occasion, dans la suite, de g�n�rallser ce th�or�nie ; maintenant, il va nous servir a trouvernbsp;la troisi�me Int�gi�ale des equations (7).

4*7- L�axe Om �tant immobile, nous pouvons Ie prendre pour l�axe fixe Oz , dont la direction est ar-

elles s�accorderont entre elles, en vertu de 1 equation (�), et serviront a determiner les angles (p et 0, en fonctions du temps, d�apr�s les valeurs denbsp;p,q,r.

Maintenant, si l�on �limine dB enti'e les deux premi�res equations (7) du n� 410, on aura

el en substituanl la formule (g) a la place de dt^ il en r�sultera une valeur de d'^, dont Tint�gration se r�-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. duira aussi aux fonctlons elliptiques, et qui s�oblien-dra sous forme fiaie dans les m�mes cas que l�int�-grale de dt. De cette mani�re, on connaitra done lanbsp;valeur du troisi�me angle '\|. en fonction de r, et, parnbsp;cons�quent, en fonction de t.

Les quantit�s h �Cr* et �� C*r* �tant positives, en vertu des equations (e) et (�), et k �tant aussinbsp;une quantit� positive, il en r�sulte que la vitesse an-

gulaire ^ sera loujours n�gative, et que Ie mouvement de Ia droite ON aura constamment lieu dans Ie m�me sens. A cause que Tangle est compt� dans Ienbsp;sens indiqu� par la fl�che s (n� SyS), ce mouvementnbsp;se fera en sens contraire, c�est-a-dire, de l�axe Oxnbsp;vers Taxe ; sa direction constante d�pendra donenbsp;du sens de Taxe Oj, que nous d�terminerons tout anbsp;Theure.

4i8. Les valeurs des six variables p, q,r, gt;4, �, lt;p, r�sultant de notre analyse, seront des fonctions dunbsp;temps, qui contiendront, en outi�e, quatre constantesnbsp;arbitraires, savoir, k,h, et les deux constantes quinbsp;seront introduites par Tint�gralion des formules (g)nbsp;{k). Les int�grales compl�tes des equations (y) etnbsp;{d), dont ces valeurs d�pendent, devraient renfer-mer six constantes arbitraires; mais Ie choix que nousnbsp;venons de faire, de Taxe Om du moment principal,nbsp;pour Tun des axes des coordonn�es x, j, z, a faitnbsp;disparaitre deux de ces constantes; car , 07?^ co�nci-dant avec Os, les angles mOx et mOj sont droits, et,nbsp;dapr�s les formules du n� 416, il en r�sulte Z'=o etnbsp;l' � o. Nous n�avons done plus, pour achever la so-

lution complete du probl�me, qua determiner, au moyen des donn�es initiales du mouvement, lesnbsp;quatre constantes restantes, et les parties des droitesnbsp;passant par Ie point O, auxquelles re'pondent les angles vai'iables, pendant toute ia duree du mouvement.

Pour cela, supposons que Ie mobile dont on con-sid�re Ie mouvement de rotation, soit form�, comme dans Ie n� 386, de deux corps, dont l�im �tait en repos et retenu par Ie point fixe O, et dont l�autre,nbsp;anim� d�une vitesse donn�e, est venu frapper Ie premier, et s�j attacher. Soient /j, la masse du corps choquant, V la vitesse commune a tous ses points avantnbsp;Ie choc, FE la direction initiale de son centre denbsp;gravit�, HEK la section du mobile par ie plan denbsp;cetle droite FE et du point 0, et � la longueur de lanbsp;perpendiculaire OL, ahaisse'e de ce point sur cettenbsp;droite. La percussion qui a produit Ie mouvementnbsp;de rotation sera dirig�e suivant FE, et �gale a /u^gt;.nbsp;D�apr�s Ie principe du n� 353, si l�on prend en sensnbsp;contraire de leurs directions les quantit�s de mouvement de tous les points du mobile, qui auront lieunbsp;imm�diatement apr�s Ie choc, l��quilibre devra exis-ter entre ces quantit�s de mouvement finies et lanbsp;force fjLV prise dans sa direction; or, pour eet �qui-libre, il faudra (n� 282) que Ie moment fJHgt;f de cettenbsp;force soit �gal au moment principal de ces quantit�snbsp;de mouvement, et que les axes de ces deux momensnbsp;soient dans Ie prolongement l�un de 1 autre. Puis-que ce moment principal, qu�on a appel� G, estnbsp;constamment �gal a k (n� 4^6), on aura done d�abord

k = fxvf,

De plus, si 1�on m�ne par Ie point 0 I�axe du moment fivj, perpendiculaire a la section donn�e EHK du mobile, cette droite sera aussi l�axe du momentnbsp;principal, que nous avons pris pour i�axe Oz ; les directions Oj?, , 0/,, Oz^, des trois axes princlpaux dunbsp;mobile, seront �galement donnees a 1�origine dunbsp;mouvement; les angles que font ces droites avec Oznbsp;seront done connus; et, d�apr�s Ie num�ro pr�c�

pour les valeurs initiales de p, ^, r. En les substituant dans l��quation (e), on aura la valeur de la constante h.

On prendra arbitrairement pour les droites , Oj'^, Oz^, les parties qu�on voudra des axes princi-paux du mobile qui se coupent au point 0; maisnbsp;apr�s les avoir choisies, et avoir fix� les points de lanbsp;surface du mobile ou ces portions de droites vien-�ent aboutir, elle ne devront plus changer pendant Ienbsp;niouvement.

Le sens de la pereussion exerc�e sur Ie mobile, sui-vant la direction FE, d�terminera celui de la rotation autour de chacun des axes Ox^, nbsp;nbsp;nbsp;Oz^, a

1 Origine du mouvement, et, par cons�quent, les si-gnes des valeurs initiales de p, q, r (n� /^og). On saura done aussi, d�apr�s les equations pr�c�dentes,nbsp;si les angles zOx,inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d�abord aigus

OU obtus ; et il suffira d�avoir �gard a l�un de ces angles , plus petit OU plus grand que 90�, pour d�ter-luiner la partie de la perpendiculaire au plan de la section HEK, qu�on devra prendre pour l�axe Oz ounbsp;Om, et qui sera, pendant toute la dur�e du mouvement, l�axe du moment principal des quantit�s denbsp;moiivemens de tous les points du mobile.

L�intersection NON' du plan de la section HEK et du plan des axes et Ojquot;,, sera aussi connue, anbsp;l�origine du mouvement. Pour connaitre la partie ONnbsp;de cette droite, a laquelle r�pondent constamment lesnbsp;angles -v]/ et (p, 11 suffira done de savoir si, a cettenbsp;�poque, qgt; ou NOx, est vin angle aigu, ou un anglenbsp;aigu augment� de 180�; et comme on a

il suffira d�avoir �gard au signe de l�un de ces cosinus, ou de la valeur initiale d�une des quantit�s p et q.

La droite fixe Ox est enti�rement arbitraire dans Ie plan de la section HEK. Pour plus de simplicit�,nbsp;je supposerai qu�elle coincide avec la position initialenbsp;de ON. En faisant = o dans les valeurs de a!, b', c',nbsp;du n� 378, on aura, a l�origine du mouvement,

Connaissant les valeurs initiales des angles 0 et lt;p, ai-gus OU obtus, il suffira done de consid�rer Ie signe de cosjOx^ OU cosjOji, pour connaitre la partie denbsp;la perpendiculaire a Ox ou ON, qu�on devra prendrenbsp;pour l�axe fixe Oj-, et, par con-s�quent, Ie sens de la

Toutes choses restant d�ailleurs les m�mes, si Ie sens du choc primitif est seul change, les valeurs inltialesnbsp;de p , q , r, changeront toutes trois de signe; en sup-posant quG les angles primitifs � et (p fussent aigusnbsp;avant ce changement, ils devieridront ir�6 et Tr-f-tp;nbsp;et les droites O2 et ON se changeront dans leurs pro-longemens. En mettant � 8 etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m lieu de 0

et (p dans les equations pr�c�dentes, il n�en r�sultera aucun changement pour les valeurs initiales des angles , jOf^, jOz^. La droite Oj restera done Ja

negative et dirig�e de Ox vers Oj, et Ox co�ncidant actuellement avec ON', Ie sens de cetle vitesse auranbsp;change avec celui de la percussion primitive.

Enfin, On d�terminera les constantes arbitraires qui seront ajout�es aux int�grales des formules (g) etnbsp;(k), de mani�re qu�on ait i = o et 4 � o gt; a l�originenbsp;. du mouvement, c�est-a-dlre, pour la valeur initiale etnbsp;donn�e de r.

419. Maintenant, nous ferons remarquer quelques propri�t�s g�n�rales du mouvement que nous venonsnbsp;de determiner.

i�- D�apr�s les formules du n� 4*^^� carr� de la vitesse de l��l�ment dm du mobile, a un Instant quel-conque, a pour expressionnbsp;(qz; �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-

vive de ce point materiel (n� SGi); et en integrant ensuite, dans toute l��tendue de Ja masse du corps ,nbsp;on obtiendra la somme des forces vives dont il estnbsp;anim� au bout du temps t. Or, en supprimant lesnbsp;termes multiplies par ^dm, fz^xjdm, fj^z^dm, anbsp;cause que les coordonn�esnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^, sont rapport�es

a des axes principaux, et ayant �gard aux valeurs des momens d�inertie A, B, C, on a, pour cettenbsp;somme,

done, en vertu de l��quation (e), la somme des forces vives de tous les points du mobile est constante pendant Ie mouvement.

aquot;. Si l�on appelle 'or la vitesse angulaire autour de l�axe du moment principal , qui coincide constam-ment avec Oz, cette composante de la vitesse a, relative a l�axe instantan�, se d�duira de celle-ci, en lanbsp;multipliant par Ie cosinus de Tangle que i�ait Taxenbsp;instantan� avec Taxe Oz; d�apr�s Ie n� 407nbsp;aura done

et si Ton substitue pour al', bquot;, cquot;, leurs valeurs trou-v�es dans Ie nquot; 417, et qu�on alt �gard a T�qua-tion (e), il en r�sultera

� nbsp;nbsp;nbsp;= r;

ha vitesse angulaire du mobile, parall�lement au plan dans lequel la percussion primitive a eu lieu,nbsp;est done constante el �gale a la somme des forces

vives de tousles points du corps, divis�e par Ie mo-nient de cette percussion par rapport au centre fixe.

3�. Soient x', j', z', les coordonn�es d�un point quelconque de l�axe instantan� , rapport�es aux axesnbsp;, Oz /, et M la distance de ce point a leur

d�ou Ton conclut que l�axe instantan� de rotation demeure toujours sur la surface d�un c�ne du secondnbsp;degr�, que l�on peut tracer dans l�int�rieur du mobile, lorsque les constantes h qI k sont connues. Cenbsp;cone se change en un plan , quand Ie carr� de k estnbsp;�gal 4 \

un des produits Ah , Bh, CA j il devient un cone droit a base circulaire , ayant pour axe 1�un desnbsp;trois axes principaux relatifs a ce point, toutes les foisnbsp;que deux des, coefficiens de I�equation pr�c�dentenbsp;sont egaux.

4� L�axe Ottz ou Oz du moment principal des quan-tit�s de mouvement, �tant immobile, la suite des droites suivant le^uelles il traverse Ie corps pendantnbsp;Ie mouvement, se trouvera sur un c�ne qui a Ienbsp;point 0 pour sommet. Or, ce c�ne est aussi du second degr�, comme Ie precedent. En efFet, si Tonnbsp;appelle xquot;, jquot;, zquot;, les trois coordonn�es d�un pointnbsp;qnelconque de l�axe Ottz , rapporte'es aux axes Ox^,nbsp;Oj^, OZj, et si l�on d�signe par la distance de c^nbsp;point a l�origine 0 , on aura

5�. Pour que ce c�ne et Ie pre'c�dent ne soient pas imaginaires, il faudra que les quantit�s k* � h.h,nbsp;k� � Bh, k*�Ch, ne soient pas toutes trois denbsp;m�me signe. Cela �tant, si A est Ie plus grand et C Ienbsp;plus petit des trois moniens d�inertie principaux, les

deux quantiles A*� kh et A:* � devront �tre de si-gnes contraires. Or, selon que la troisieme quantile aura le m�nie signe que �Ah ou � Ch,nbsp;les sections de ces deux cones seront des ellipses per-pendiculaires a I�axe du plus grand ou a I�axe dunbsp;plus petit moment d�inertie. Par consequent, pendantnbsp;toute la duree du mouvement, I�axe instantan� denbsp;rotation ne s�ecartera de I�un de ces deux axes prin-cipaux, que de quantiles llmitees; et, en m�menbsp;temps , cet axe principal ne s�ecarlera non plus quenbsp;de quantit�s limit�es, de I�axe Om perpendiculaire aunbsp;plan de la percussion primitive et du point O.

420. Lorsque l�axe instantan� de rotation 01 (lig; 3) s��carte tr�s peu de Pun des trois axes principaux,nbsp;par exemple de l�axe O2,, pendant toute la dur�e dunbsp;mouvement, on peut d�terminer sa position et cellenbsp;du mobile a un instant quelconque, d�une mani�renbsp;tres simple, et sans recourir aux fonctlons ellipti-ques. A la v�rit�, celte autre solution du probl�menbsp;nest qu�approch�e ; mais on pourra pousser l�ap-proximation aussi loin qu�on voudra : celle a laquellenbsp;nous nous arr�terons suffira pour compl�ter ce qui anbsp;�t� dit dans le n� 38g, sur les propri�t�s m�caniquesnbsp;des axes principaux.

1 angle lOz^ �tant tres petit par bypoth�se, p et q seront deux fractions tres petites de r; si Fon n�glig� leur produit, la premi�re equation (r/) se r�duit

a dr= o , et donne r = n; n �tant une constante arbitraire qui exprimera la vitesse de rotation du corps, OU la valeur de \/p� r*, en n�gligeant aussi les carr�s de et Les deux au tresnbsp;equations id) deviendront

Hdq -f- (A � (l)npdt = o, l . s Kdp -{- (C � ^)nqdt � o, Jnbsp;Pour les int�grer, je faisnbsp;p amp; 5m [n't gt;), q =: �' cos (n't gt; )j

�, �'f y, n', �tant des quantit�s constantes. En subs-tituant ces valeurs de p et dans les equations (i), et supprimant ensuite Ie sinus ou cosinus qui senbsp;trouve facteur commun a tous leurs termes, ilnbsp;vient

g' = a \/A(A � C), � = ' a V'B(B � Cj ;

a. �tant une constante qui restera arbitraire, ainsi que y. Si done on fait , pour abr�ger,

p z=: a vquot;B(B � C) sin (J'/it -|- y)^ q = a, \/A(A�C) cos {^nt -f- y),nbsp;pour les int�grales completes des equations (i)

SI l�on projette l�axe instantan� 01 sur Ie plan des et qu on appelle ^ Tangle que fait cette projection avec Taxe des , on aura

au degr� d�approximation o� Ton s�est arr�t�; par cons�quent, les valeurs pr�c�dentes de p et ^ ferontnbsp;connaitre imm�diatement, a chaque instant, la position de Taxe de rotation dans Tint�rieur du mobile.nbsp;On va voir les cons�quences qui en r�sultent.

421. Si, a Torigine du mouvement, cette droite a co�ncid� exactement avec Taxe , il faudra qu�onnbsp;aitp = o et q~ o, quand t = 01 ce q�i exige quenbsp;la constante a soit nulle. Alors on aura constammentnbsp;p = oet^ = o; �t l�axe instantan� 01 co�ncidera ,nbsp;pendant toute la dur�e du mouvement, avec Taxenbsp;Oz^, qui demeurera immobile (n� 4o5). Lors donenbsp;que Ie corps retenu par Ie point fixe O aura commencenbsp;a tourner autour de Tun des trois axes principauxnbsp;qui se coupent en ce point, il continuera ind�fini-.ment a tourner autour de eet axe, comme s41 �taitnbsp;enli�rement fixe; ce qui est la proposition dun� 38g.

Mais, si a Torigine du mouvement Taxe 01 s��-cartait un peu de Oz^, les valeurs initiales de p et q, et, cons�quemment, la constante a, seront seule-ment tres petites. Or, pour que les valeurs de p et ^nbsp;demeurent toujours tr�s petites, il faut que la cons-

tante cT soit r�elle; car, lorsqu�elle est imaginaire, Ie sinus et Ie cosinus contenus dans les equations (2)nbsp;se changent, par les formules connues, en expo-nentielles r�elles, et les valeurs de p et q, qui ennbsp;r�sultent, croissent ind�finiment avec Ie temps t.nbsp;La r�alit� de cT exige que Ie moment principal C soitnbsp;Ie plus grand ou Ie plus petit des trois momensnbsp;d�inertie A, B, C. Done , quand l�axe instantan� denbsp;rotation a �t� un tant soit peu �cart� de l�axe principal qui r�pond au moment d�inertie mojen, celnbsp;�cart augmente avec Ie temps, et ne reste pas ren-ferm� �ntre de tres petites limites; et, au contraire,nbsp;lorsqu�on l�a un peu �cart� de l�axe principal auquelnbsp;r�pond Ie plus grand ou Ie plus petit moment d�inertie, il s�en �loigne tr�s peu, et ne fait que de tr�snbsp;petites oscillations pendant toute la dur�e du mouvement.

II y a done une difference essentielle entre les trois axes principaux du mobile qui se coupent au pointnbsp;fixe O : en supposantque A soit la plus grande, et C lanbsp;plus petite des trois quantit�s A, B, C, Ie mouvementnbsp;de rotation est stable autour des axesOa?, et , et nenbsp;peut �tre qu�instantan� autour de l�axe S�il s�agit,nbsp;par exemple, d�un ellipso�de homogene, retenu parnbsp;son centre de figure, Ie mouvement est stable autournbsp;du plus grand ou du plus petit de ses trois diam�tresnbsp;principaux, et non stable autour de son dlam�trenbsp;raoyen.

422. Dans Ie cas de rinstabilit� du mouvement, les formules (2) n�exprimeront les valeurs appro-ch�es de p et (jf que pendant les premiers instans dn

mouvement, et taut qu�elles seront tres petites, comme Ie supposent les equations (i), dont ellesnbsp;sont d�duites. Pour avoir les valeurs dep, r, anbsp;un instant quelconque, il faudra alors recourir a lanbsp;solution rigoureuse du probl�me. Dans Ie cas de lanbsp;stabilit�, les valeurs approch�es de p el q, donn�esnbsp;par les equations (2), subsisteront pendant toute lanbsp;dur�e du mouvement; et l�on d�terminera de lanbsp;mani�re suivante celles des trois angles '4-, 6, lt;P-Je supposerai, comme dans Ie n� 4^8, que Ie mouvement a �t� produit par Ie choc dune masse jx, dontnbsp;tous les points avaient une vitesse v, parall�le a unenbsp;droite FE (fig. 8), passant par Ie centre de gravit�nbsp;de fx, et comprise dans ie plan des x et j. Lesnbsp;equations (i) auront lieu comme pr�c�demment; etnbsp;en d�signant toujours par/la distance de cette droitenbsp;au point O, la quantite' k qu�elles renferment seranbsp;encore Ie moment fxvf de la percussion initiale. Aunbsp;moyen de rz=:n et des formules (2), ces equations (i) deviendront

Les angles 9 et lt;p �tant donn�s a l�origlne du mouvement, si l�on fait ^ = o dans les deux premi�res de ces e'quations, on en d�duira les valeurs des deuxnbsp;constantes a et y. Ces deux equations feront ensuitenbsp;connaitre les valeurs de lt;p et G a un instant quel-

conque, apr�s que la constante n aura aiissi �t� d�ter-min�e. II faudra que a soit une* quantit� tr�s petite, pour que les valeurs de /? et donn�es par les e'qua-tions (2), soient tr�s petites, comme on l�a suppose.nbsp;Cela �tant, � sera constammeiit un tr�s petit angle,nbsp;et 1�axe principal Oz^, dont s��carte tr�s peu Vaxenbsp;instantan� de rotation, s��cartera lui-ni�me tr�s peunbsp;de l�axe Oz perpendiculaire a la direction FE de lanbsp;percussion primitive.

ce qui fera connaitre la constante n, qui sera, a tr�s peu pr�s, la vitesse augulaire du mobile autour denbsp;l�axe instantan�.

c �tant une constante arbitraire, que I�on d�ternii-nera d�apr�s les valeurs initiales de (p et �4'. Cette der-ni�re �quation fera ensuite connaitre Tangle �v}/ a un instant quelconque; ce qui compl�te la solution dunbsp;probl�me.

425. Lorsque Ie mobile est un solide de r�volu-tion , dont Oz^ est Taxe de figure, on a B = Aj la premi�re �quation (d) se r�duit a dr=o', r est donenbsp;une constante arbitraire n; et toutes les formules du

L�angle 0 n�est plus assujetti a �tre tres petit; mais, en vertu de la troisi�me �qu^ition (3), sa valeurnbsp;est constante pendant Ie mouvement; en sorte quenbsp;1�axe de figure du mobile decnt un c�ne droit anbsp;base circulaire , autour de la droite Oz perpendiculaire a la direction FE du choc primitif. En d�signantnbsp;par e la valeur constante et donn�e de eet angle 0,nbsp;On aura

pour d�tei'miner la constante n. D�^r�s les deux premi�i�es e'quations (5), on aura aussi

pour determiner la constante ct; et en vertu des equations (2) la vitesse angulaire co autour de l�axenbsp;instantan� sera (n� 406)

ce qui montre que cette vitesse sera constante, de wiani�re que Ie mobile tournera uniform�ment, soitnbsp;autour de l�axe instantan�, en vertu de cette vitesse ,nbsp;soit autour de son axe de figure, en vertu de la vi-fesse n.

Les deux premi�res equations (5) donnent aussi tang up � tang(cTni-l-j/),nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

par consequent, Fangle (p , compt� sur un plan perpendiculaire a l�axe de figure, et Tangle -vf,, compt� sur Ie plan du choc primitif et du point 0, varientnbsp;Tun et Tautre uniform�ment.

424* La slabilit� du mouvement autour des axes principaux du plus grand et du plus petit momentnbsp;d�inertie, ajant �t� conclue des equations (2), qui nenbsp;sont qu�appro^�es, on pourrait conserver quelquenbsp;doute sur Texactitude de cette conclusion; mais onnbsp;d�montre rigoureusement la stabilit� dont il s�agif,nbsp;au mojen des int�grales exactes (e) et (�) des equations du mouvement.

En efiet, en multipliant la premi�re par C, et Ia retranchant de la seconde, on a

D d�signant, pour abr�ger, la constante � C^. Si done Taxe instantan� s��carte tres peu de Taxe principal Oz^ a Torigine du mouvement, de sorte quenbsp;les quantit�s p et q soient tr�s petites a cette �poque,nbsp;la constante D sera aussi tres petite; d�o� je conclusnbsp;que les valeurs de p et ^ devront rester tres petitesnbsp;pendant toute la dur�e du mouvement, lorsque lesnbsp;deux difterences A �� C et B � C seront de m�menbsp;signe; car il faudra, en vertu de T�quation (4), quenbsp;ieurs carr�s, multipli�s par des quantit�s de m�menbsp;signe, et ensuite ajout�s, donnent constamment une

somme tr�s petite. Ou peut m�me, dans ce cas, fixer des llmites aux valeurs de p et ^, et Ton voitnbsp;lt;Ju�on aura toujours

Mals si les differences A � C et B � C sont de signe contraire, et que la constante D soit encorenbsp;suppos�e tres petite, on concoit que 1 equation (4)nbsp;pourra n�anmoins �tre satlsfaite, saus que les valeurs Ae p el q soient astreintes a demeurer constam-ment tr�s petites; et, en effet, l�analyse du n� 420nbsp;montre qu�alors ces valeurs ne sauraient �tre sup-pos�es tr�s petites pendant toute la dux��e du mouvement.

Au reste, les axes prlncipaux relatifs au point fixe O sont les seuls axes qul puissent rester les m�mesnbsp;dans rint�rleur du mobile, et demeurer en repos,nbsp;quand ils ne sont pas enti�rement fixes, ainsi qu�onnbsp;l�a d�ja vu dans Ie n� 58g. Cela r�sulte actuellementnbsp;des equations {d). En effet, pour que l�axe instantan�nbsp;de rotation conserve toujours la m�me position, ilnbsp;faut que les trois quantit�s p, q ,r, soient constantes.nbsp;On a done dp �o, dq = o, dr � 0�, ce qui r�duitnbsp;les equations [d) a

Si les trois m�mensd�inertie A, B, C, sont in�gaux, il faudra supposer nulles deux des trois quantit�s p,nbsp;q, r, pour satisfaire a ces equations; et alors l�axenbsp;instantan� co�ncidera avec l�un des trois axes

, Oz^. Si deux de ces trois momens d�iuertie sont �gaux, de sorte que Toii ait B = A, par exemple, lanbsp;premi�re equation disparaitra, et l�on satisfera auxnbsp;deux autres en prenant r = o. L�axe instantan� seranbsp;done alors situ� dans Ie plan des deux axes Ojc^ et Oj-^;nbsp;mais on sait que, dans un pareil cas, toutes les droit esnbsp;comprises dans ce plan, et passant par Ie point 0,nbsp;sont des axes principaux j l�axe de rotation immobilenbsp;sera done encore un axe principal. Enfin, lorsqu�onnbsp;a A = B = C, ces trois equations sont identiques, etnbsp;Ton peut prendre les valeurs denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r, arbitraire-

ment; mais aussi, dans ce cas particulier, toutes les droites qui passent par le point O sont des axes principaux ; par consequent, dans tons les cas, I�axe denbsp;rotation, s�il demeure immobile, ne pourra �tre qu�unnbsp;axe principal.

� III. Solution d�un cas particulier de mouvement de rotation dun corps pesant.

425. Lorsque le point fixe 0 n�est pas le centre de gravite du mobile, et qu�on ne fait point abstractionnbsp;de la pesanteur , on n�est parvenu, jusqu�a present,nbsp;a int�grer le systeme des equations (7) et (b) desnbsp;n�� 410 et 4i5, que quand le mobile est un solide denbsp;revolution, et que le point 0 appartient a son axe denbsp;figure. C�est ce cas particulier que nous allons main-tenant considerer.

Supposons que I�axe principal Oz^ soit I�axe de figure, et qu�on ait, par cons�quent, B = A. Supposons aussi que le centre de gravit� G du mobile (fig. 9)

appartienne a l�axe des positives, de sorte qu�on ait (n'� 4i3) a = o et � = o, et que y soit utie quantit�nbsp;positive et donn�e, qui repr�sente la distance OG.nbsp;L axe Oz �tant vertical et dirige' dans Ie sens de lanbsp;pesanteur, Tangle 6 on zOz^ sera aigu ou obtns , se-lon que Ie point G se trouvera au-dessous ou au-dessusnbsp;du plan horizontal men� par Ie point 0- Dans cesnbsp;deux cas, les equations (b) deviendront

ies quantit�s a!' et V qu�elles renferment �tant gt; d�a-pr�s les equations (c) ,

Nous appellerons �quateur du mobile la section perpendiculaire a son axe de figure, et passant par Ienbsp;point O. Soient NEN'E' cette section, el NON' lanbsp;droite suivant laquelle elle coupe Ie plan horizontalnbsp;men� par ce point fixe. Toutes les droites qui passentnbsp;par ce point et sont comprises dans cette section,nbsp;�tant des axes principaux, Tangle lt;p pourra se rap-porter a Tune quelconque d�entre elles; et E �tantnbsp;point d�termin� du mobile, on pourra prendrenbsp;pour (p Tangle NOE. L�angle -vf/? dont la troisi�menbsp;equation renferme la diff�rentielle, sera Tanglenbsp;NO^, compt� a parlir d�une droite fixe Osc, men�enbsp;arbitrairement dans Ie plan horizontal. On aura done,nbsp;a un instant quelconque,

et Ton a suffisamment expliqu�, dans Ie n� 578, comment ia position du mobile sera d�termin�e, sans au-cune ambiguite, au moyen des trois angles , (p et 0.

426. En d�signant par n une constante arbitraire, on aura r=n, d�apr�s la premi�re equation (1). Lenbsp;mouvement de rotation du corps sera done uniforme,nbsp;parail�lement a son �quateur. Pour d�finir la direction de ce mouvement, nous supposerons que le pointnbsp;N soit le noeud ascendant de P�quateur; en sorte que,nbsp;quand le point E parviendra au point N, son'rayonnbsp;EO s��levera au-dessus du plan horizontal, en vertunbsp;de la vitesse angulaire n, qui sera alors une quantit�nbsp;positive. En effet, d�apr�s la troisi�me e'quation (7)nbsp;du n� 4^0? on aura

Lorsque le point E est en N, Tangle lt;p est z�ro ou un multiple de ; et, dans Tinstant sulvant, il s��levera OU s�abaissera, selon que Tangle up augmenteranbsp;ou diminuera (n� 378) ; done, pour que le point Enbsp;s��l�ve comme on lequot; suppose, en ayant seulementnbsp;�gard au mouvement du corps parail�lement a sonnbsp;�quateur, ii faudra que le premier terme de soitnbsp;positif.

Cela �tant, si son second terme est aussi positif, il augmentera la valeur de dlt;p, qui sera done plus grandenbsp;que si le noeud N �tait immobile j par cons�quent,nbsp;son mouvement projet� sur T�quateur sera retrograde, ou eh sens contraire du mouvement du corps,nbsp;parail�lement a ce plan. Le contraire aura lieu, et le

mouvement du noeud sera direct, lorsque Ie second terme de Ia valeur de d(p sera n�gatif. Dans Ie secondnbsp;cas, si Ie second terme l�emportait sur Ie premier, Ianbsp;valeur complete de d(p serait negative, et Ie point E,nbsp;parvenu en N, s�abaisserait au-dessous du plan horizontal, au lieu de s��lever au-dessus; mais cela n�em-p�cherait pas que N ne fut toujours Ie noeud ascendant, eu �gard au mouvement du corps autour denbsp;son axe de figure.

Ainsi, Ie sens du mouvement du noeud ascendant N d�pendra du signe qu�aura, a chaque instant, Ienbsp;produit de Cos 6 et d-^; et ce mouvement sera directnbsp;Ou retrograde, selon que cos6 et d-^ seront de signenbsp;contraire ou de m�me signe.

427. En ajoutant les equations (i), apr�s les avoir multipli�es par cquot;, bquot;, d', les seconds membres desnbsp;deux derni�res se d�truisent, et l�on trouve, commenbsp;dans Ie n� 4^5,

done, a cause de r � n, d'= cos 6, et des valeurs de d' et bquot;, on aura, en integrant,

Cncos� � A(p sin 0 sin lt;p-l-qsmd cos lt;p) = l; (3)

^ �tant une constante arbitraire, qui exprimera, comme dans Ie num�ro cit�, Ie moment des quanti-tes de mouvement de tous les points du corps parnbsp;rapport a l�axe Oz. Dans Ie mouvement que nous con-sid�rons, Ie moment de ces quantil�s de mouvementnbsp;est done une quantit� constante, mais seulement par

J�ajoute encore les deux derni�res equations (i), apr�s les avoir multiplie'es par q et p; ce qui donne

et en integrant et d�signant par h Ia constante arbitraire , il en r�sultera

au moyen de quoi les equations (3) et (4) pourront �tre cbang�es en celles-ci;

A (sin� G ^ nbsp;nbsp;nbsp;= Mgy cos^ k. j

ne s�agira done plus que d�int�grer ces trois formules diff�rentielles, pour avoi||Jes valeurs de ^, 4 gt; ennbsp;fonctions de 0 ; or, leurs trois inte'grales se re'duiront,nbsp;dans tous les cas, aux fonctions elliptiques. Mais ,nbsp;sans recourir a ces fonctions, on pourra aussi obte-nir des valeurs approch�es de 4 gt; ? gt; � gt; en fonctionsnbsp;de t, dans les exemples que nous donnerons plus bas,nbsp;apr�s avoir determine les trois constantes arbitrairesnbsp;n, l, h, que contiennent les equations pr�c�dentes.nbsp;Les trois nouvelles constantes qui seront renferm�esnbsp;dans leurs int�grales, se d�terininei'ont d�apr�s lesnbsp;valeurs de 4gt; �P? �gt; r�pondent a tz=o: cellenbsp;de 6 sera donn�e; on prendra, si l�on veut, 4 = o etnbsp;(p = o, pour les valeurs initiales de 4 et

428. Quelles que soient les quantit�s de mouvement que prendront les points du corps a l�origine du mouvement, leur moment principal relatif aunbsp;point O, et la direction de son axe, seront connus,nbsp;d�apr�s les percussions qu�on aura exerc�es sur Ie mobile a eet instant, et auxquelles ces quantit�s de mouvement inconnues, prises en sens contraire de leursnbsp;directions, devront faire �quilibre (n� 355).

Par la regie du n� 281, je decompose ce moment principal en trois autres momens, dont les axes rec-tangulaires soient la partie Oz^ de l�axe de figure qjuinbsp;comprend Ie centre de gravit� G, une droite perpendiculaire a Oz^ et contenue dans Ie plan vertical denbsp;Oz et Oz^, et une droite horizontale perpendiculairenbsp;a ce plan. Ces trois droites �tant des axes principaux,nbsp;Ie moment par rapport a Oz^ aura Cr ou Cn pour va-

leur (u� 409); il ferait done connaitre la valeur de n; ma�s je supposerai, au contraire, cette vitesse don-n�e directement, et je j^endrai Cn pour ce moment.

Je d�signerai par /tt Ie moment par rapport au second axe, et par m Ie moment par rapport a l�axe horizontal; en sorte que la valeur initiale du momentnbsp;principal sera v/C�n* -(- ft.* -j- m* j a cause de B=A etnbsp;r= n, son carr� est A* (p� g�) -f- C*n* (n� 4�9)gt; �nbsp;un instant quelconque; si done on appelle a la valeur initiale de Tangle 6, on aura, en vertu de T�-quation (4) ,

L�axe du moment d�sign� par fjt. fera un angle o, 90� avec Oz; Taxe du moment m �tant perpendiculaire a cette verticale, ce moment n�influera pasnbsp;sur Ie moment l par rapport a Oz; d�apr�s Texpres-sion g�n�rale de E du n� 281, nous aurons done sim-plenieut

On devra se rappeler que dans ces valeurs de h et l, Tangle a sera aigu ou obtus, selonqu�a Torigine du mouvement , Ie centre de gravit� G dunbsp;mobile se trouvera au-dessous ou au-dessus du plannbsp;horizontal, passant par Ie point O.

suppose que la masse M du mobile soit concentr�e a son centre de gravit�, et qu�il se change en un pendule simple dont y sera la longueur.

Dans ce cas, on n�aura point a consid�rer Tangle et Ie mouvement d�pendra seulement des angles -vf/nbsp;et 0. Si Ie point materiel G a recu, a Torigine,nbsp;une vitesse U perpendiculaire a GO et dirig�e dansnbsp;Ie plan GOz, et une vitesse k perpendiculaire anbsp;ce plan , on aura

et il est ais� de les faire co�ncider avec les equations (5) et (6) du n� 2o5.

La premi�re, multipli�e par | ydt, exprime que laire d�crite autour du point 0 pendant Tinstant dt,nbsp;par la projection horizontale du rayon vecteur GOnbsp;du mobile, est constante et �gale a sa valeur initiale � yA: sin a. Le premier membre de la secondenbsp;est le carr� de la vitesse de ce point mat�rlel, aunbsp;bout du temps et A* -j- A'� �tant le carr� de cette

43o. Dans Ie cas d�un corps qui ne se r�duit pas a un point materiel, si l�on �cart� Ie mobile de sanbsp;position d��quilibre, qu�on lui imprime une vitessenbsp;de rotation autour de son axe de figure, et qu�on l�a-bandonne ensuite a lui-m�me, les deux quanlit�s fjt,nbsp;et m seront nulles, on aura

si�.9^4. J = afe (cos9-cosa).

En vertu de la seconde, la difference cos0�cos at est toujours positive; en vertu de la premi�re , lanbsp;diff�rentielle Ie sera done aussi; par cons�quentnbsp;(n� 4^6) t Ie mouvement du noeud ascendant N seranbsp;direct, quand cos 6 sera n�gatif, ce qui suppose Ienbsp;centre de gravit� G au-dessus du plan hoiizontalnbsp;passant par Ie point O; et ce mouvement sera r�-trograde, lorsque G sera au-dessous de ce plan, cenbsp;qui i��pond a cos � posilif.

Quand n sera z�ro, la diff�rentielle , et par suite la diff�rentielle lt;flt;P donn�e par l��quation (2),nbsp;seront z�ro; les angles 4 et seront done constans,nbsp;et pourront �tre suppos�s nuls; Ie mouvement senbsp;changera dans celui du pendule ordinaire, autournbsp;d�un axe horizontal par rapport auquel Ie moment

d�inertie est A; et, effectivement, en falsant d~i^z=o dans la seconde equation (6), elle se r�duit a l��qua-tion (a) du n� 3g4 , quand on suppose dans celle-cinbsp;la vitesse initiale egale a zero.

sin* 6 nbsp;nbsp;nbsp;[sin*��2^*(cos6�cos�)](cos��cosa), (7)nbsp;en faisant pour abr�ger,

Ou l�on peut reniarquer que A est la longueur du pendule simple qui ferait ses oscillations dans Ienbsp;ni�me temps que Ie mobile, si la vitesse n �taitnbsp;nulle. En m�me temps, la premi�re equation (6)nbsp;deviendra

Les valeurs approch�es de 0 et i qu�on tirera de ces equations (7) et (8), et celle de (p qui r�sulteranbsp;de r equation (2), s�exprimeront ais�ment sous formenbsp;finie, dans les deux cas dont nous allons nous oc-cuper.

451 � Je suppose d�abord que la partie Oz, de l�axe de figure qui contient Ie centre de gravite' G dunbsp;mobile ait �t� tr�s peu �cart�e de la verticale Oz a

l�origine du mouvement, de sorte que Tangle a soit tres petit; Tangle 0 Ie sera aussi, puisqn�on a tou-jours cos 0 gt; cos a; et, en negligeant les quatri�mesnbsp;pnissances de a et 0 dans les d�veloppemens de cos anbsp;et cos 0, les equations (7) et (8) deviendront

La premi�re montre que 0, qui doit toujours �tre une quantit� positive (n� SyS), n�exc�dera jamais a.,

v/i

v/[(i -(- nbsp;nbsp;nbsp;� 3�) r

o� Ton regardera toujours Ie d�nominateur comme une quantit� positive, et Ton prendra Ie signe inf�rieur OU Ie signe sup�rieur, selon que 0 croitra ounbsp;d�croitra.

DYNAMIQ�E, SECONDE PARTIE. c �tant la constante arbitraire. Pour ^ = o, on a 0 = anbsp;et cos u � o; Tangle qui r�pond au sinus z�ro estnbsp;z�ro OU un multiple quelconque de j on a donenbsp;c , en d�signant par i un nombre entier posi-tif, n�gatif ou z�ro; et en remettant pour cos u sanbsp;valeur, on aura

t v'i-f-�*=wd=arc^sin=y/*-^^ s/a.^�0*^.

L�angle 0 d�croissant d�abord depuis 9 = ajusqu a 0 =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, on prendra Ie signe sup�rieur et i=o;

croissant ensuite depuis cetle derni�re valeur jusqu�a 0 = a, on prendra Ie signe inf�rieur et i= i;nbsp;d�croissant de nouveau, depuis 0 = a jusqu�anbsp;0 = �, on prendra Ie signe sup�rieur et 1 = 2;

et ainsi de suite. C�est de cette mani�re qu�on doit d�terminer la constante arbitraire, ajout�e a un arenbsp;de eerde que Ton consid�re comme une function denbsp;son sinus; mais il est plus simple de passer de Tarcnbsp;au sinus, avant cette d�termination.

En appelant T Ie temps pendant lequel Tangle 0 passera de sa plus grande valeur a a sa plus petitenbsp;valeur, qui suit imm�diatement, ou reviendra de lanbsp;plus petite a la plus grande, on en conclut

Au mojen de cette valeur de 6% celle de d�\, qui est donne'e par la seconde e'quation (g), sera

\/f

4.____, nbsp;nbsp;nbsp;_

^ L_ nbsp;nbsp;nbsp;v/i 4- s�

au hout des premier, deuxi�me, troisi�me, etc., inter-valles de temps T; par cons�quent, l�arc parcouru par Ie point N pendant Ie premier interyalle denbsp;temps T, sera

et ainsi de suite. II en r�sulte que les arcs parcourus par Ie noeud N pendant les intervalles T successifsnbsp;seront tous �gaux entre eux, et auront pour va-leur commune

Quant a la valeur de (p, si l�on n�glig� Ie carr� de � dans lequation (2), et qu�on suppose lt;p = onbsp;quand t=.o, on aura

452. Quel que soit l�angle et, supposons actuel-lement que Tangle 0 demeure a peu pres constant, et par cons�quent tres peu dl��rent de a , pendantnbsp;toute la dur�e du mouvement. Faisons done

et consid�rons u comme une variable tres petite. En n�gligeant les puissances de u sup�rieures au carr�,nbsp;on aura

sin�0 � sin* a � z/sina* n�cosaa, cos 0 � cos a = n sin a � ^ cos et;nbsp;et a ce degr� d�approximation , T�quation (7) donne

Pour que la variable u soil toujours tr�s petite , commeje l�ai suppose, il faudra que la quantit� � soltnbsp;tres grande; ce qul exige, en general, qu�on aitnbsp;imprim� au mobile une tr�s grande vitesse de rotation autour de son axe de figure. On pourra alorsnbsp;mettre 4^* a la place de cos a -f- 4^�, et l�on aura,nbsp;plus simplement,

En mettant a � �au lieu de 9 dans 1 equation (8), n�gligeant Ie carr� de �, et supposant que 1 angle *nbsp;ne soit pas nul, ce qui permet de supprimer Ie facteur sin* a, commun aux deux niembres, nous au-rons

4 = �cVf-

en supposant les angles lt;p et 4 ouls a l�origine du mouvement; et la position du mobile, a un instantnbsp;quelconque, sera compl�tement de'termin�e.

On conclut de G = a � u , et de cette valeur de 4 , 1�. que quand Ie mobile que nous consi-d�rons a recu une tres grande vitesse de rotationnbsp;autour de son axe de figure, apr�s que cette droitenbsp;a �t� �cart�e de la direction verticale, son �qua-teur conserve une inclinaison a peu pres constante,nbsp;sur Ie plan horizontal passant par Ie point O, pendant toute la dur�e du mouvement qui en r�-sulte; 2�. qu�en m�me temps l�intersection de cesnbsp;deux plans prend un mouvement a tr�s peu pr�snbsp;Uniforme, tr�s lent par rapport a la rotation dunbsp;uiobile, et qui est direct ou retrograde, commenbsp;uu l�a d�ja dit (n� 4^0), selon que Ie centre denbsp;gravit� du'corps est au-dessus ou au-dessous dunbsp;plan horizontal. Pourvu que Tangle a ne soit pasnbsp;z�ro. Tangle 4 6t Ie mouvement du noeud sont in-�i�pendans de sa grandeur. L�in�galit� u de Tinclinai-son de T�quateur, et celle qui a lieu dans Ie mouvement du noeud, sont d�autant moins sensibles, que lanbsp;rotation est pl^s rapide, et la quantit� C un plusnbsp;grand nonibre.

II existe, dans beaucoup de cabinets de physique, une machine de Bohnenberger, qui repr�sente fid�-lement toutes les circonstances de ce mouvementnbsp;de rotation, de m�me que la machine d�Athoodnbsp;montre aux yeux toutes les circonstances du mouvement des corps graves. Le mouvement de rotation est prod�it au moyen d�un fil enroul� sur T�-quateur du mobile, et attach� a l�un de ses points,nbsp;que l�on d�roule rapidement, comme dans le jeu denbsp;la toupie.

On remarquera que quand a. est z�ro, � Test aussi; ce qui rend lequation (8) identique, et l�angle 4

alors le mouvement du corps autour de son axe de figure, qui demeure constamment vertical.

'^'^'''^^M/VWWvV^^'\^gt;VVVV�VK^/^(VVM�\f%\/�/Vw^VVVWWWVWVW^�VVWWWVVV^IW^^IW\lVWMlW\%VV\IWW^lt;M\^

CHAPITRE V.

455. Poul' se repr�senter avec plus de facilit� Ie mouvement d�im coi�ps solide dans l�espace, ony substi-tue deux autres mouvemens, l�un de rotation, autournbsp;d�un des points du mobile, et l�autre de translation,nbsp;commun a tons ses points. Cela revient �videmmentnbsp;a regarder, a un instant quelconque , la vitesse denbsp;cbaque point comme la r�sultante de deux autres vi-tesses, dont Tune soit �gale et parall�le a celle dunbsp;point que i�on prend pour centre du mouvement denbsp;rotation, et dont l�autre solt particuliere a cbaquenbsp;point du mobile : en ayant seulement �gard aux vi-tesses particuii�res, Ie corps tourne autour du centre,nbsp;corarne autour d�un point lixe; et, en vertu de la vitesse commune, tous ses points sont transport�s dansnbsp;l�espace, d�un mouvement commun qui n�alt�renbsp;en aucune manl�re Ie mouvement de rotation.

Pe mouvement de translation peut �tre revolutif autour d�un autre corps en repos ou lui-m�me ennbsp;mouvement. II n�y a pas de rotation toutes les foisnbsp;qu une face ou une section d�termltiee du mobilenbsp;reste constamment parall�le a elle-m�me; il y a, aunbsp;contraire, rotation dans Ie m�me temps que la r�vo~nbsp;lution, lorsque Ie mobile tourne constamment la

m�me face vers Ie corps central. C�est ce second cas qui a lieu dans Ie mouvement des satellites autour denbsp;leurs plan�tes. La lune tourne toujours la m�me facenbsp;vers la terre; et Ie rayon vecteur qui va du centrenbsp;de la terre au centre de Ia lune, rencontre toujoursnbsp;en un m�me point la surface du satellite (n� i4i);nbsp;d�o� il r�sulte que la rotation de la lune sur eile-m�me et sa revolution autour de la terre, s�ach�-vent dans un m�me temps, lequel est 27^,52166. Onnbsp;d�montre, dans la M�canique c�leste, que l��galit� denbsp;ces deux mouvemens subsistera toujours, quoique Ienbsp;mouvement r�volutif s�acc�l�re de si�cle en si�clenbsp;(n� 244) 5 sortc que Ie mouvement de rotationnbsp;participe �galement a cette acceleration, dont Laplacenbsp;a assign� la cause.

Tant qu�on aura seulement pour but de de'compo-ser Ie mouvement dun corps en deux mouvemens plus simples et plus faciles a concevoir, on pourranbsp;choisir arbitrairement Ie centre du mouvement denbsp;rotation; raais lorsqu�il s�agira de determiner etfec-tivement ces deux mouvemens, nous prendrons pournbsp;ce point Ie centre de gravit� du mobile, paree qu�a-lors, dans Ie premier instant, ces deux mouvemensnbsp;se d�termineront ind�pendamment l�un de 1�autre, etnbsp;qu�il en sera de m�me, dans plusieurs cas, pendantnbsp;toute leur dur�e : Ie choix de ce centre de rotationnbsp;rendra toujours plus simples les equations diff�ren-tielles des deux mouvemens, ainsi qu�on va Ienbsp;voir.

434. Appelons G Ie centre de gravit� du mobile, M sa masse, et dm un �l�ment quelconque de M. Au

bout du temps t, conipt� depuis Torigine du mouvement, d�signons par x,y,z, les trois coordonn�es rectangulaires de ce point materiel, et par , jquot;,, 2,,nbsp;celles du point G par rapport aux m�mes axes. Nousnbsp;aurons

en e'tendant les inte'grales a la masse enti�re. Si l�on differentie ces equations par rapport a ^ , on pourranbsp;effectuer cette operation sous les sigues f, On aura,nbsp;de cette mani�re.

et, pour en conclure les composantes de la vitesse initiale du centre de gravit�, il suffira de connaitrenbsp;les valeurs de ces derni�res int�grales a l�origine dunbsp;mouvement.

Pour cela, supposons qu�a cette epoque des parties fA., fx'y fjJ', etc., de M, recoivent des vitesses qui soientnbsp;les m�mes pour tons les points de chacune d�elles, etnbsp;lt;jue nous repr�senterons par v, v', d', etc.; en sortenbsp;lt;ju�elles prendraient les quantit�s de mouvement yue,nbsp;^^'d, i/J'd', etc., si elles�taient libres. D�apr�sle principe du n� 355, l�e'quilibre doit exister entre ces quantit�s de mouvement, prises en sens contraire de leursnbsp;directions, et celles que prendront r�ellement, dansnbsp;Ie premier moment, tous les points du mobile, les-quelles seront, parall�lement aux axes x, j, 2, les valeurs inlliales de dm , ~ dm, ^dm, relativement

a r�l�raent dm. Or, les directions des vitesses v, v', d', etc., �tant donn�es, on ponrra decomposer, pa-rall�lement a ces axes, les quantit�s de mouvementnbsp;qui leur correspondent. Si done on de'signe par P,nbsp;Q, R, les sommes de ces composantes, suivant lesnbsp;directions des x, j, z, positives, et si Ton observenbsp;que, par hypothese, Ie mouvement est enti�rementnbsp;lihre, il faudra qu�on ait, pour l�e'quilibre dont ilnbsp;s�agit,

a Torigine du mouvement; et l�on en conclut que Ia vitesse initiale du centre de gravit� sera la m�me, ennbsp;grandeur et en direction, que si la masse enti�re Mnbsp;du mobile y �tait concentr�e, et que toutes les quan-tite's de mouvement fxv, fz'd, ^quot;9quot;, etc., ou leurs composantes P, Q, R, y fussent appliqu�es parall�lementnbsp;a leurs directions respectives.

455. On peut supposer que fx', pl', etc., sont les masses de corps anime's des vitesses 9, 9', 9quot;, etc.,nbsp;qui sont venus frapper simultan�ment un autre corpsnbsp;en repos, et y sont rest�s attach�s, pour former unenbsp;masse totale M, dont Ie centre de gravit� G a pris lanbsp;vitesse qui a pour ses trois composantes les valeurs de

Le probl�me serait diff�rent si les corps choquans ne restaient pas attach�s au corps choqu� apr�s lesnbsp;percussions. Concevons qu�une masse M en repos soitnbsp;frapp�e par un autre corps en mouvement, qui touchenbsp;M en un seul point E (fig. lo) de sa surface ; suppo-sons, de plus, que pendant la dur�e du choc il n�ynbsp;ait pas de glissement de 1�un des corps sur 1�autre,nbsp;ou du moins, s�il y en a un d�uue tres petite �ten-due, faisons abstraction du frottement consid�rablenbsp;auquel il pourrait donner lieu (nquot; 353); supposons ,nbsp;enfin, que EF soit la normale en E a la surface de M,nbsp;et comprise dans Eint�rleur du corps. On verra, dansnbsp;un autre chapitre, que le mouvement de M sera lenbsp;m�me que si une certaine partie jtt de la masse, dontnbsp;le centre de gravit� serait situ� sur EF, recevait, sui-vant cette direction, une certaine vitesse e, communenbsp;a tous ses points. La droite EF est done la directionnbsp;du choc ; et son intensit�, c�est-a-dire, la quantit� denbsp;mouvement jUr, sera d�termin�e, dans ce chapitre,nbsp;d�apr�s le mouvement du corps choquant et la formenbsp;des deux corps, �lastiques ou non �iastiques.

Cela �tant, si 1�on appelle V la vitesse que prendra le centre de gravit� G de M, elie sera dirig�e suivantnbsp;la droite GD, parall�le a EF, et elle aura pour va-leur le rapport de /xv a M, de sorte que l�on aura

R�ciproqueraent, si la vitesse V du centre de gravit� est donn�e par 1�observation, en ia multipiiant parnbsp;M, on aura la quantit� de mouvement qui a �t� im-prim�e au corps choqu�, suivant la partie inf�rieure

184 . trait� de m�canique. de la normale a la surface, men�e par Ie point E o�nbsp;Ie choc a eu lieu; propri�t� qui appartient exclusi-vement au centre de gravit� G, et qui n�aurait pasnbsp;lieu, en general, pour la vitesse que prend Ie pointnbsp;E, Ou tout autre point de M, situ� ou non sur la direction du choc.

456. Afin que l�on voie plus clairement comment Ie mouvement de rotation d�un corps se trouve sim-pli��, quand on Ie rapporte a son centre de gravit� ,nbsp;supposons d�abord que Ton veuille determiner cenbsp;mouvement autour d�un point determine C (fig. 11)nbsp;de ce corps, que nous ferons ensuite co�ncider avecnbsp;son centre de gravit� G.

Soient CA, en grandeur et en direction, la vitesse du point C, etfBD celle d�un autre point quelconquenbsp;B du mobile. Par Ie point B, tir�ns une droite BEnbsp;�gale et parall�lc a CA, et achevons Ie parall�lo-gramme BEDE. On pourra remplacer la vitesse BDnbsp;par ses deux composantes BE et BF; et si l�on decompose de m�me les vitesses de tous les points dunbsp;mobile, ils auront tous une vitesse commune, �galenbsp;et parall�le a CA, et chacun d�eux aura, en outre, unenbsp;vitesse particuliere. Or, si l�on imprime au point B etnbsp;a tous les autres points du corps, une vitesse �gale, parall�le et contraire a CA, on r�duira Ie point C au repos, sans alt�rer Ie mouvement de rotation autournbsp;de ce point, qui sera d� aux vitesses particuli�res desnbsp;autres points, savoir, BF pour Ie point B. Pour d�-termlner ce mouvement, on pourra done consid�rernbsp;C comme un point fixe, apr�s avoir imprim� a tousnbsp;les �l�ntens du corps, des quantit�s de mouvement

�gales aux produits de leurs masses et de la vitesse CA, et dirig�es en sens contraire de CA. Or, la r�sultante de toutes ces forces parall�les et proportion-nelles aux masses, sera �gale a leur somme, et passera par Ie centre de gravit� G, conime la r�sultante des forces qui proviennent de la pesanleur;nbsp;par cons�quent, si l�on d�signe par U la vitesse CA,nbsp;et toujours par M la masse du mobile, il suffira denbsp;joindre aux quantit�s de mouvement donn�es, quinbsp;peuv�nt �tre imprim�es simultan�ment a diflf�rentesnbsp;parties de M, une autre quantit� de mouvementnbsp;MU , dirig�e suivant la drolte GA', parall�le et contraire a CA. On d�terminera ensuite Ie mouvementnbsp;de rotation autour (fu point C, par les regies dunbsp;chapitre pr�c�dent, et comme si C �tait un pointnbsp;fxxe.

Cette d�termination exigera done que l�on con-tiaisse la vitesse U du point C; raais lorsque ce point sera Ie centre de gravit� G, il est �videntnbsp;lt;lu�apr�s avoir appliqu� au mobile la quantit� denbsp;niouvement MU, dont la direction passera par cenbsp;point G, on en pourra faire abstraction; car unenbsp;force quelconque, passant par ie centre d�un mouvement de rotation, ne peut influer en aticune ma-oi�re sur ce mouvement, puisqu�elle ne saurait fairenbsp;tourner Ie corps autour de ce point, plut�t dans unnbsp;sens que dans Ie sens oppos�.

Concluons done que quand on imprime simultan�ment des quantit�s de mouvement donn�es, en grandeur et en direction , a diff�renles parties d�un corps solide, Ie mobile commence a tourner autour de son

centre de gravite, comme autour d�un point fixe, et sans qu�on soit oblige d�ajouter aucune autre quan-tit� de mouvement a celles qui sont donn�es.

437. En combinaut ce th�or�me avec ce qui precede, on d�terminera compl�temeut Ie mouvement initial d un corps solide de forme quelconque , denbsp;quelque mani�re qu�il soit produit.

Pour fixer les idees, supposons que Ie mobile dont Ie centre de gravit� est G (fig. 10), et dont la massenbsp;est M, solt frapp� en un point E de sa surface par unnbsp;autre corps qui s�en d�tache apr�s Ie cboc. En pre-nant pour son mouvement de translation celui dunbsp;point G, et ayant seulemcnt �gard a ce mouvement,nbsp;tous les points du mobile d�crfi ont, dans Ie premiernbsp;instant, des droites parall�les a la normale EF j onnbsp;pourra toujours, comme on Ta dit tout a l�beure ,nbsp;determiner leur vitesse commune, qui sera la vitessenbsp;complete du point G; mais, pour plus de simplicit�,nbsp;je la supposerai donn�e par l�observation, et je la re-pr�septerai par V. Ind�pendamment de ce mouvement de translation, Ie corps tournera autour dunbsp;point G comme s�il �talt �xe, et qu�une partle de lanbsp;masse M, dont Ie centre de gravit� serait sur la droitenbsp;EF, recut une quantit� de mouvement �quivalente anbsp;MV. Par cons�quent, dans Ie premier moment, lanbsp;direction de l�axe instantan� de rotation et Ia vitessenbsp;angulaire du mobile autour de eet axe, se d�terroi-neront d apr�s les �quations (Z) du nquot; 418, dansnbsp;lesquelles on fera

k = M\y,-

Appelons, pour cela, o) cette vitesse angulaire, et �j y, les angles que fait la direction de 1�axe instantan� avec les trois axes principaux du mobile quinbsp;se coupent au point G ; soit aussi HEK la section dunbsp;Diobile qui renferme Ie point G et la .droite EF; parnbsp;Ie point G, �levons sur ce plan une perpendiculaire,nbsp;et repr�sentons par a, b, c, les zangles quelle feranbsp;avec les axes auxquels r�pondeniia, C, y' dapr�snbsp;les equations (Z) et les formules (3) du n� 4�^ gt; nousnbsp;aurons

A, B, C, �tant les trois momens d�inertie du mobile par rapport aux m�mes axes. On en d�duit

Les valeurs de a, b, c, seront doun�es dans chaque cas; on connaiti;a done la vitesse w; et les equationsnbsp;pr�c�dentes d�termineront les angles as, �, y, c�est-a-dire, la direction de Faxe instantan�.

Si la perpendiculaire a la section HEK coincide ^vec l�un des trois axes principaux, de sorte qu�onnbsp;par exemple, a = go^, b � goquot;, c = o, il ennbsp;�'�sultera a c= QO�, C = go�, c = o, et l�axe instantan� coincidera aussi avec Ie m�me axe principal;nbsp;d o� 11 suit qu im �orps libre, qui est frapp� dans Ienbsp;plan de deux des trois axes principaux relatifs a sonnbsp;centre de gi�avit�, commencera a tourner autour du

R�ciproquement, il est ais� de conclure des equations pr�c�dentes que Ie mobile ne peut commencer anbsp;tourner autour de la perpendiculaire au plan de lanbsp;section HEK, de mani�re que a., C, y , soient �gauxnbsp;aux angles a, b, c, on a leurs suppl�mens, a moinsnbsp;que cette perpendiculaire ne soit un des axes princi-paux qui se coupent au point G.

Lorsque Ie mobile sera une sphere homogene ou compos�e de couches concentriques, Ia perpendiculaire EF passera par Ie point G, qui sera son centrenbsp;de figure. On aura done f � o, k^o , oo = o-, ennbsp;sorte que Ie mobile ne prendra aucun mouvement denbsp;rotation. Quand on parvient, par une percussion, anbsp;faire tourner sur elle-m�me une sphere enti�rementnbsp;fibre, c�est toujours paree que Ie corps choquantnbsp;glisse plus OU moins sur cette sphere, et Ie mouvement de rotation est alors produit par Ie frottementnbsp;qui a lieu pendant la dur�e du choc.

Quelle que soit la forme du corps choqu�, si Ie corps choquant s�y attache, les formules pre'c�-dentes auront encore lieu, en y mettant la quantit�nbsp;de mouvement du second corps avant Ie choc,nbsp;a la place de MV, et prenant pour � la perpendiculaire abaisse'e du centre de gravit� des deux masses,nbsp;sur la direction primitive du centre de gravit� dunbsp;second corps : A, B, C, seront alors les momens

438. Occupons-nous maintenant du mouvement de la masse M au bout d�un temps quelconque t, etnbsp;consid�rons successivement ses mouvemens de translation et de rotation, rapport�s l�un et l�autre a soanbsp;centre de gravit�.

1�. A eet instant, soient X, Y, Z, les compo-santes parall�les aux axes des oc, z, de la force acc�le'ratrice donn�e qui agit sur l��l�ment quelconque dm-, les forces perdues par ce point mat�rie! , pendant l�instant dt, seront (n' 3g i )nbsp;(X-^^)dm, (Y-~^)dm, (^Z^^)d,n,

parall�lement aux m�mes axes. Le mobile �tant en-ti�rement libre , il faudra pour I�equilibre des forces perdues par tous ses �l�mens, que les int�grales denbsp;ces quantit�s, �tendues a la masse enti�re, soientnbsp;�gales a z�ro ; par cons�quent, on aura

d�o� 1�on conclut que pendant toute la duree du mouvement, Ie centre de gravit� G du mobile senbsp;meut comme si sa masse enti�re M y �tait concen-tree , et que les forces motrices qui agissent sur tonsnbsp;ses points, ou leurs composantes, j fussent appli-qu�es parall�lement a leurs directions.

2�. Ap r�s avoir d�fruit, comme dans Ie n� 436 , Ie mouvement de translation initial du mobile ,nbsp;supposous qu�a chaque instant on communique anbsp;tous ses points des accvoissemens de vitesse infini-ment petits, �gaux et de direction contraire a celuinbsp;qui a lieu, au m�me instant, pour Ie point G. Ce pointnbsp;serar�duit au repos pendant toute la dur�e du mouvement ; et la rotation autour de ce m�me point nenbsp;sera point alt�r�e. Or, cela revient �videmment anbsp;appiiquer, pendant toute Ia duree du mouv^ement, anbsp;tous les �l�mens du mobile, des forces acc�l�ra-trices e'gales et.contraires a 'celle du centre de gravit�;nbsp;les forces motrices correspondantes �tant parall�les etnbsp;pi�oportionnelles aux masses de ces points mat�riels,nbsp;leur r�sultante passera constamment par Ie point G jnbsp;on en pourra done faire abstraction, en determinant Ienbsp;mouvement de i�Otatipn autour de G. Par cons�quent,nbsp;ce mouvement sera Ie m�m*e, a chaque instant, que sinbsp;G �tait uG point fixe , et que les forces qui agissent,nbsp;a eet instant, sur Ie mobile, ne fussent pas chan-g�es.

Ces deux tb�or�mes sont semblables a ceux des n�� 4^4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^�* �1'^^ rapportent a Toriglne du mou

vement; mais il ne s�ensuit pas que pendant toute sa dur�e, Ie mouvement de translation du mobile

�t SOU mouvement de rotation autour du centre de gravit�, soient independans l�un de l�aulre, et puis-sent se determiner s�par�meiit, comme a cette origine. Les equations (5) seront celles du mouvementnbsp;de translation , et les equations (7) et (a) des n�nbsp;et 412, celles du mouvement de rotation, en pre-nant, dans celles-ci, Ie centre de gravit� G pournbsp;i�origine des coordonn�es. Or, quand les forces mo-trices appliqu�es aux differens points du mobile d�-pendront de leurs positions absolues dans l�espace,nbsp;les coordonn�es de ces points, dont ces forces serontnbsp;des fonctions donn�es, entreront a la fois dans cesnbsp;deux sjst�mes d��quations diff�rentielles, qui nenbsp;pourront plus s�int�grer s�par�ment, et les deuxnbsp;mouvemens qui dependent de ces �quations, influe-ront l�un sur l�autre. On ne pourra, g�n�ralement,nbsp;int�grer ces �quations diff�rentielles simultan�es etnbsp;d�terminer les deux mouvemens du mobile, quenbsp;par approximation; toutefois, ils seront independansnbsp;1�un de l�autre dans deux cas particuliers que nous al-lons consid�rer.

459. Si Ie mobile nest soumis qua la seule ac-bon de la pesanteur, les �quations (3) seront celles du mouvement d�un point mat�riel pesant, dans Ienbsp;quot;Vide ; quels que soient la forme du corps solide etnbsp;son mouvement autour de son centre de gravit� ,nbsp;Ce point d�crira done dans lespace une parabolenbsp;tangente a la direction de sa vitesse initiale , dont Ienbsp;param�tre d�pendra de la grandeur de cette vitesse;nbsp;et sou mouvement sur cette courbe sera Ie m�roenbsp;que celui d�un point mat�riel isol� (n� 208). D�un

autre c�t�, Ie poids du corps �tant une force appli-qu�e constamment a son centre de gravit�, il n�aura auciine influence sur Ie mouvement de rotationnbsp;autour de ce point, qui sera uniquement du auxnbsp;percussions initiales, et Ie m�me que si Ie centre denbsp;gravit� ne se d�placait pas.

Supposons, par exemple, que Ie corps soit un ellipso�de homogene, frapp� par un autre corpsnbsp;qui Ie touche au point E de sa surface (fig. to) ; lanbsp;droite GD, parall�le a la normale EF, sera la tangentenbsp;a la parabole que Ie point G va d�crire; et l�onnbsp;construira ais�ment cette courbe , d�apr�s la vifessenbsp;initiale du point G , que je repr�senterai par V. Con-cevons, de plus, que la section HEK du point Gnbsp;et de la droite EF comprenne deux des axes denbsp;figure de I�ellipsoide; a et b �tant leurs demi-lon-gueurs, C Ie moment d�inertie par rapport au troi-si�me axe, et M la masse du corps, on aura (n� Syo)

Or, Ie mobile devra tourner autour du point G, comme s�il �tait d�nu� de pesanteur, et que ce pointnbsp;ne prit aucun mouvement; mais alors l�axe perpendiculaire a la section HEK demeurerait tout entier immobile (n�� 589 et 4^7); et sa vitesse angulaire denbsp;rotation serait donn�e par la formule relative au mouvement initial d un corps solide autour dun axe fixe*nbsp;Done , en 1^ d�signant par �, observant que la quan-tit� de mouvement imprim�e au mobile est �quivalente a MV, et appelant j la perpendiculaire Gl'nbsp;abaiss�e du point G sur Ia droite EF, nous aurons,

Les deux vitesses co et V sont ainsi ll�es Tune a l�autre, paree qu�elles r�sultent touteS deux d�unenbsp;ra�me percussion.

Ainsi, tous les points du mobile d�criront des paraboles parall�les a la trajectoire de son centre denbsp;figure; et, en m�me temps, Ie corps tournera uni-form�ment autour de l�axe perpendiculaire a la section HEK, qui sera emport� en restant constammentnbsp;parall�le a lui-m�me.

440. Si Ie mobile est une sphere homogene ou compos�e de couches concentriques, dont tous lesnbsp;points soient altir�s ou repousses en raison inversenbsp;du carr� des distauces, par les points d�autres corpsnbsp;en repos ou en mouvement, la r�sultante de toutesnbsp;ces forces sera la m�me que si la masse enti�re dunbsp;mobile �tait reunie a son centre de gravit�; car cha-cune d�elles sera �gale et contraire a la r�action denbsp;la sphere sur Ie centre dont elle �mane. Par cons�quent , Ie centre de gravit� se mouvra comme unnbsp;point isol� , soumis a des attractions ou r�pulsionsnbsp;donn�es; et Ie mouvement de rotation du mobilenbsp;sera md�pendant de ces f�orces, et Ie m�me qu� si,Ienbsp;centre de gravit� demeurait en repos; en sorteque,nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i3

Abstraction faile de la non-sph�ricit� parfaite des couches de Ia terre , elle tournerait done constam-ment et uniform�ment autour d�un de ses diam�tres,nbsp;^qui serait toujours Ie m�me et demeurerait toujoursnbsp;parall�le a lui-m�nie; en m�me temps Ie mouvementnbsp;elliptique de son centre de gravit� autour du soleilnbsp;serait trouble par Taction des autres plan�tes, maisnbsp;rigoureusement ind�pendant du mouvement de rotation.

441 � II n�en est plus de m�me lorsqu�on a �gard a Taplatissement du sph�ro�de terrestre. D�abord, sinbsp;Taxe de rotation n�apas coincide exactement, a Tori-^ine du mouvement, avec Taxe de figure, Taxe instantan� de rotation oscillera autour de cette droitenbsp;(n� 421 ) , et rencontrera successivement la terre ennbsp;diff�rens points de sa surface. Les poles et T�quateurnbsp;se d�placeraient done a la surface du globe; et �nbsp;en r�sulterait, pour les diff�rens lieux de la terre,nbsp;des cbangeniens dans leurs latitudes g�ographiques.nbsp;L�amplitude de ces oscillations serait arbitraire; maisnbsp;leur dur�e d�pendrait des differences entre les mo-mens d�inertie de Ia terre; et, d�apr�s ce qu�on saitnbsp;sur ces differences, cette dur�e serait d�un peu moinsnbsp;d�une ann�e. Or, dans eet intervalle de temps, lesnbsp;observations les plus pr�cises ne font connaitre au-cune variation dans la distance du zenith d�un lieunbsp;d�termin� de la terre au point o� Taxe de rotationnbsp;va rencontrer Ie ciel. ll en faut done conclure que lesnbsp;oscillations- d�nt il s�agit, si elles ont exist� autre-ci

fois, sont deveiiues tout-a-fait insensibles a l��-poque actuelle; en sorte qu il n�existe plus mainte-nant que les forces permanentes, provenant des attractions du soleil, de Ia lune et des plan�tes surnbsp;Ie sph�ro�de terrestre , qui puissent faire varier lanbsp;direction de l�axe de rotation de la terre.

Or, a raison de la non-sph�ricite' des couches de la terre, ces forces renfermenl une partie, a la v�rit�nbsp;tres petite par rapport aux attractions sur Ie sph�ro�de entier, dont la direction ne passe pas constam-ment par son centre de gravit�. C�est cette partie quinbsp;produit les perturbations du mouvement de rotation,nbsp;savoir, la precession des equinoxes la nutation denbsp;l�axe de Ia terre.

En vertu de la precession , la r�trogradation an-nuelle des equinoxes sur l��cliptique fixe de 1800 est de 5oquot;,36482 ; sur Ie plan de l�orbite de la terre,nbsp;rendu mobile par l�action des autres plan�tes, c�est-a~dire, sur l��cliptique vraie, elle est un pen moindre,nbsp;et �gale a 5oquot;,25427, comme nous Tavons d�ja ditnbsp;dans un autre endroit (n� 219).

La nutation est une oscillation de l�axe de Ia terre, fiui s�approche et s��loigne alternativement de la perpendiculaire au plan de r�cllptique : elle est due anbsp;^ attraction de la lune; sa p�riode est celle du mouvement des ncEuds de l�orbite lunaire , ou d�environnbsp;ans j et son amplitude s��l�ve anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(nquot; 223),

e** supposant la masse de la lune �gale a un soixante-fininzi�nie de celle de la terre.

Les actions du soleil el de la lune sur Ie sph�ro�de terrestre ne produisent qu�une variation tr�s leute et

qui ne sera sensible qu�apr�s une longue suite de si�cles, dans l'inclinaison de Tequateur sur l��cliptique;nbsp;la diminution annuelle de 1 obliquit� de l'�cliptique ,nbsp;que Ton observe et qui s��levait a oquot;,45714 au commencement du si�cle, est due aux actions plan�tairesnbsp;qui font varier Ie plan de l�orbite de la terre (11� 244)-

TJn examen approfondi de la question a fait voir que les m�mes forces qui produisent les variationsnbsp;que nous venons d�indiquer dans la direction absolue,nbsp;OU rapport�e a des lignes fixes, de l�axe de rotation denbsp;la terre, sont impuissantes pour d�placer eet axe, dansnbsp;rint�rieur du sph�ro�de, non plus que pour fairenbsp;A'^arier sa vitesse de rotation. Ainsi, la terre tournenbsp;constamment autour d�un m�me diam�lre, qui estnbsp;son axe de figui�e i et son mouvement est uniformenbsp;autour de cette droite mobile, dont la directionnbsp;change continuellement dans 1�espace. Le jour sid�ralnbsp;est done constant; il en r�sulte que le jour mojennbsp;( nquot; 111) Test aussi, ou, du moins, il n�est soumisnbsp;qu�a une variation seculaire tout-a-falt insensible ; etnbsp;Tune ou Fautre de ces dur�es peuvent �tre prises pournbsp;unite de temps.

Pour tout ce qui concerne cette importante the'o-rie, dont je n�ai pu ici qu�indiquer succinctemenl les principaux re'sultats , je r�enverrai a mon Memoirenbsp;sur le mouvement de da terre autour de son centre denbsp;gravite, insere dans le tome Vli des M�moires denbsp;I�Acad�mie des Sciences.

442- L�invariabilit� du jour est confirmee par les observations les plus anciennes, qui font voir quenbsp;sa dur�e n�a pas change d�un centi�me de seconde.

Si la dur�e du jour �tait variable, les longitudes et les latitudes du soleil, de la lune et des autresnbsp;corps celestes , calcul�es en la supposant constante,nbsp;ne s�accorderaient plus avec les longitudes et les latitudes observ�es; Ie mouvement de la lune autour denbsp;la terre , a cause de sa rapldit�, serait Ie plus proprenbsp;a nous �clairer sur ce point; et si la variation du journbsp;�tait progressive, les differences entre Ie calcul etnbsp;l�observatlon seralent d�autant plus grandes qu�ellesnbsp;se rapporteraient a des �poques plus �loign�es de lanbsp;n�tre.

Cela �tant, solent l et l' les longitudes vraies de la lune et du soleil a une �poqne d�termin�e. Si l�onnbsp;sait qu�a cette �poque il y a eu une �clipse de lune ounbsp;de soleil, la difference L � V devra s��cgrter d�unnbsp;multiple denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d�une quantit� moindre que la

demi-somme des diam�tres du soleil et de la lune ; si done on appelle S' cette dilT�rence , abstraction faitenbsp;dif multiple de 180� qu�elle peut contenir, il faudranbsp;que S n�exc�de pas un deml-degr�, et soit ni�me, ennbsp;g�n�ral, beaucoup au-dessous de cette limite. Or, onnbsp;a calcul�, dansla Connaissance des Tems de 1800, lesnbsp;valeurs de cT qui r�pondent a 27 �clipses observ�esnbsp;P^r les Chald�ens, les Grecs et les Arabes; les valeursnbsp;ffu�on a ti'ouv�es pour cette difference sont tant�t ennbsp;plus, tant�t en moius, et toutes tres petites. La plusnbsp;grande, r�pond a une �clipse observ�e 882 ansnbsp;avant 1 �re chr�tienne, s��l�ve a � 27^41 pour P�clipsenbsp;la plus ancienne, observ�e par les Chald�ens 720 ans

avant notre �re, la valeur de �T est 2quot;seulemeiit. Cette cornparaison prouve l�exactitude des tables lunairesnbsp;que nous possedons, et la n�cessit� des ine'galitcsnbsp;seculaires que Laplace y a introduites. Elle fait aussinbsp;volt� que la dur�e du jour, tju�on a suppos�e constantenbsp;dans Ie calcul des longitudes de la lune et du soleil,nbsp;n�est, en effet, sujette a aucune variation progressive. Mais pour qu�il ne reste aucun doute sur cenbsp;point important, calculons la valeur de J' , corres-pondarite a l��clipse la plus ancienne, qui r�sulteraitnbsp;d�une semblabl� variation , si elle exislait.

443* Prenons pour unite Fintervalle de temps qui forme aujourd�hui Ie jour moven; supposons que,nbsp;depuis une �poque tr�s �loign�e, cette dur�e aitnbsp;diminu�, d�un jour au suivant, de la quautit� constante a. Soit n Ie moyen mouvement de la lune,nbsp;c�est-a-dire, Ie nombre de degr�s qu�elle d�crit dansnbsp;chaque unite de temps , abstractiomfaite des in�ga-lit�s de son mouvement vrai; les arcs parcourusnbsp;aujourd�hui et les jours pr�c�dens seronl n, n (1 nbsp;n(i-f-2a), �(i-|-5a), etc.; et Fare d�crit pendantnbsp;un tr�s grand nombre t de jours, seranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�1),

OU, a tr�s peu pr�s, nt~a.nt*. Le terme nt est d�ja conipris dans la valeur de l, calcul�e d�apr�snbsp;les tables , en consid�rant le jour comme constant;nbsp;la variation du jour augmenterait done de \ant^, lanbsp;longitude vraie de la lune, a une �poque s�par�enbsp;de nous par un nombre t de jours. Celle du soleil,nbsp;a la m�me �poque, serait augment�e de 4 ctn'tquot;, eunbsp;appelant n' le moyen mouvement diurne du soleil;nbsp;a raison seulement de la variation dn jour, on aurait

et, par rapport a T�elipse observ�e 720 ans avant uotre ere , ce serait foute Ia valeur de la differencenbsp;des longitudes de la lune et du soleil, puisque cettenbsp;difference, calcul�e en supposant Ie jour constant,nbsp;n�est que de 2quot; , ou a peu pres nulle.

C ~ (56525)a, m � (565 26), m' = (56525) n': 1��quation (i) se changera en celle-ci :

i�(m � nbsp;nbsp;nbsp;= (S',

dans laquelle Q sera maintenant la diminution s�culaire du jour , et m et m' repr�senl^ront les mouve-niens s�culaires de la lune et du sofeil. D�apr�s le�rs valeurs d�termin�es au moyen des observations mo-dernes, on a

n�gligeant les fractions de degres. Or, si 1�on suppose que Ie jour a dirainu�d�un dix-milUoni�menbsp;depuis la plus ancienne eclipse cald�enne, on aura

= 34';

On ne peut done pas admettre que la dur�e du jour ait diminu� de celte fraction, un peu raoindrenbsp;qu�un centl�me de seconde, dans un intervalle de tempsnbsp;qui surpasse vingt-cinq si�cles. S�il existait des variations p�riodiques dans la dur�e du jour, il en r�sul-terait des illusions daas la mesure du temps , quinbsp;produiraient des in�galit�s apparentes dans les mou-vemens des astres. Ces in�galit�s seraient faciles anbsp;distinguer, paree qu�elles suivraient toiites la m�menbsp;loi, pour la lune, Ie soleil et les plan�tes, et quenbsp;leurs grandeurs seraient proportionnelles, pour cha-cun de ces corps, a la rapidit� de son mouvement.nbsp;Les astronomes n�ont reconnu aucune in�galit� denbsp;cette nature dans les mouvemens des corps c�lestes.nbsp;Ainsi l�observation, d�accord avec la th�orie, prouvenbsp;que la dur�e du jour moyen nest sujette a aucunenbsp;variation, p�riq^ique ou progressive, qui ait unenbsp;grandeur sensible.

Lorsqu un corps solide se meut dans l�air ou dans un autre fluide, les r�sistances exerc�es sur tous lesnbsp;points de sa surface doivent �tre transport�es paral-l�lement a elles-m�mes, avec Ie poids du corps, anbsp;son centre de gravit�; et Ie mouvement de ce centrenbsp;est celui d�un point materiel pesant, dans un milieunbsp;resistant; la masse de ce point �tant oelle du corps,

et sa foVce fnotrice , provenant de Ia resistance , une force dont les composantes d�pendront de lanbsp;forme du mobile, des vitesses des diff�rens �l�mensnbsp;de sa surfa^fe, et des condensations ou dilatationsnbsp;du fluide en contact avec ces �l�mens. En m�menbsp;temps Ie mobile, tournera autour de son centre denbsp;gravit�, comme si Ia vitesse de ce point �tait nulle,nbsp;et que les vitesses des points de la surface fussent,nbsp;li�anmoins , celles qui out r�ellement lieu a cha-que instant. II en r�sulte que la resistance du milieu influera, a la fois , sur Ie mouvement denbsp;translation et sur Ie mouvement de rotation dunbsp;mobile, et que, pour un corps de forme quelcon-que , ces deux mouvemens d�pendront l�un denbsp;l�autre et ne pouri�ont pas �tre d�termin�s s�pa-r�ment.

Si Ie mobile est une sphere homogene ou com-pos�e de conches concentriques, a laquelle on n�ait imprim� aucune vitesse de rotation a l�origine dunbsp;mouvement, il ne s�en produira aucune pendant t�utenbsp;la dur�e de ce mouvement, qui sera un simple mouvement de translation, dans lequel tous les points dunbsp;mobile auront a chaque instant des vitesses parall�lesnbsp;ot �gales entre elles. En effet, si l�on m�ne alors parnbsp;Ie centre de la sph�re, une tangente a la courbe qu�ilnbsp;d�crit, il est �vident que tout sera semblable autournbsp;de cette droite, soit pour les vitesses des points denbsp;la surface , soit pour les condensations ou dilatationsnbsp;du fluide environnant. Par cons�quent, la r�sul tantenbsp;des resistances exerc�es sur tous les points de lanbsp;surface, passera constamment par Ie centi'e de flgurGgt;.

TRAIT� DE M�CANIQUE. qui est aussi Ie centre de gravit�, et elle n� pourranbsp;produire aucun mouvement de rotation. Les condensations OU dilatations du fluide en contact avec lesnbsp;�l�mens de la surface, d�pendront dela^itesse commune a tous les points du mobile , et seront, d�ail-leurs, diffe'rentes pour les differentes sections per-pendiculaires a la tangente qu�on a men�e par Ienbsp;centre. Done aussi la r�sultante des resistances ext�-rieures, qui co�ncidera avec cette tangente, ne pourranbsp;d�pendre que de cette vitesse, de l��tendue de lanbsp;surface, et de ia force �lastique naturelle du fluide;nbsp;et Ie mouvement du centre de gravit� sera celui d�unnbsp;point materiel isol� , dont Ia masse est celle du corps,nbsp;et auquel on applique la r�sultante dont il s�agit,nbsp;continuellement dirig�e en sens contraire de sa vitesse, et, en outre, Ie poids du mobile. C�est cenbsp;que nous avons suppos� dans Ie n� 210, a l��gardnbsp;des projectiles de Tartillerie, supposes parfaitementnbsp;sph�riques et homog�nes.

Dans ce cas, Ie centre d�un boulet ne peut pas sor-tir du plan vertical passant par la direction de sa vitesse initiale, et par rapport auquel tout est sem-blable d�un c�t� et de 1�autre. Mais si Ie projectile s��-carte un peu de la forme sph�rique, ou s�il n�a pasnbsp;la m�me densit� dans toute son �tendue, la r�sultante des r�sistances ext�rieures, qui sont normales anbsp;sa surface, ne passera plus constamment par Ie centrenbsp;de gravit�; elle produira done un mouvement de rotation ; et si elle n�est pas tou jours comprise dans Ienbsp;plan vertical o� Ie centre de gravit� commence a senbsp;mouvoir, elle Ie fera sortir de ce plan; en sorte qgt;i�

la trajectoire du projectile, rapport�e a son centre de gravit�, ne sera plus une courbe plane. Tout celanbsp;est facile a concevoir, a l�egard d�un projectile non-spb�rique ou non homogene; mais j�ajouterai que ,nbsp;abstraction faite du d�faut d homog�n�it� ou de sph�-ricit�, si Ie boulet a recu, a la bouche du canon, unenbsp;vitesse de i�otation, Ie frottement de sa surface contrenbsp;1'air, pendant son mouvement, pourra encore fairenbsp;sortir d�un plan vertical son centre de gravit� et denbsp;figure.

445. Pour Ie faire .\oir, .soient G (fig. 12) Ie centre de gravit� et de figure d�un corps sph�rique et ho-Diog�ne, et AGB Je| diam�tre tangent a sa trajectoire.nbsp;fiupposons, pour plus de simplicit�, que l�axe de rotation qui passe par Ie point G, soit perpendiculairenbsp;a ce diam�tre. Soient ADBE la section du mobile ,nbsp;perpendiculaire a eet axe, et DGE un diam�tre denbsp;cette section , qui coupe AGB a angle droit. Suppo-SODS aussi que Ie .mouvement du point G a lieu de Anbsp;Vers B, ou dans Ie sens indiqu� par la fl�che v, et Ienbsp;mouvement de rotation dans Ie sens indiqu� par lesnbsp;fl�cbes plac�es en A j D, B, E. Le frottement denbsp;^baque �l�ment de la surface contre lair, qui nai-b'a du mouvement de rotation, sera une force tangente a la surface, et dirig�e en sens contraire denbsp;ee mouvement. Sur chaque section parallele a ADBE,nbsp;d variera d�un point a un autre, a raison de la dif-fi�rftice de densit� du fluide. En avant du projectie , le fluide sera condens�; en arri�re, il sera di-lat�; par cons�quent, le frottement sei�a le plus gi�andnbsp;du c�t� du point B, et le plus petit du c�t� du poiut

A. On conclut de la que si Ton ti�ansporte au point G, parall�lement a elles-nienaes, toutes les forcesnbsp;provenant du frottement exerc� a la surface , il ennbsp;v�sultera une force dirij^f�e suivant la partie GD dunbsp;diam�tre DGE. J�appellerai F cette force, P Ienbsp;poids du corps, et R la resistance proprement ditenbsp;du milieu, transport�e au point G, et dirig�e suivant la partie GA du diam�tre AGB. La force mo-trice du point G sera la resultante des trois forcesnbsp;F, P, R, et sa force acc�l�ratrice, cette r�sultante di-vis�e par la masse du projectile.

Cela pos�, si 1�axe de rotation est vertical, et com-pris, par cons�qxient, dans Ie plan des deux forces P et R, la direction GD de la force F sera perpendiculairenbsp;a ce plan; elle fera done sortir Ie tnobile de ce plannbsp;vertical, en Ie poussant du c�t� du point D ; et, dansnbsp;ce cas, la trajectoire du point G sera une courbe anbsp;double courbure. Si, au contraire, l�axe de rotationnbsp;est horizontal, Ia direction GD de la force F seranbsp;comprise dans Ie plan vertical des forces P et R, quinbsp;sera celui de la section ADBE; par cons�quent , Ienbsp;point G ne sortira pas de ce plan, et sa trajectoirenbsp;sera plane.

44�. Dans ce dernier cas, on voit que la compo-sante verticale de la force F augmentera ou dimi-nuera Ie poids P, selon que la fl�che �A sera dirig�e vers Ie haut ou vers Ie bas. La force F sera verticale,nbsp;et cette diminution ou augmentation de poids^ 1^^nbsp;plus grande,'quand la direction AR sera horizontale.nbsp;Alnsi, dans Ie tir horizontal, eten supposant que Ienbsp;boulet iourne autour d�un axe horizontal, perpen-

'diculaire a la direction du tir, Ie frottement du projectile contre l�air augmentera sou poids et dimi-�uera la portee, lorsque la partie ant�rieure de ce corps tournera de bas en haut; et quand cette par-be toui�nera de haut en bas, Ie frottement dimi-nuera Ie poids et augmentera la portee. II pourraitnbsp;m�me arriver, dans ce second cas, que la trajec�nbsp;toire idevint convexe vers Ie terrein : il suffirait,nbsp;pour cela, que la rotation fut assez rapide pournbsp;reiidre la force F plus grande que Ie poids P; maisnbsp;alors Ie frottement diminuerait la vitesse de rotation, la force F d�croitrait, et finirait par deve-nir nioindre que P; ce qui ramenerait la trajectoirenbsp;a sa forme concave vers Ie terrein, comme a l�or-dinaire.

Ces considerations, jointes a celles du num�ro pr�c�dent, montrent qu�ind�pendamment du d�fautnbsp;de spb�ricit� ou d�homog�n�it� du boulet, Ie frottement de sa surface contre Fair, provenant dunbsp;mouvement de rotation qiFil peut avoir contract�nbsp;en roulaut da�s lame dn canon, est une circons-tance qui peut influer, soit sur la justesse du tir,nbsp;paree que ce frottement fait sortir Ie centre dunbsp;boulet du plan vertical de projection, solt sur l�i-ii�galil� des port�es, a cause que cette force aug-�^lente ou dimlnue Ie poids du mobile. Toulefois,nbsp;doit observer qu�aucun de ces efiets n�aura lieu,nbsp;si Ie boulet tourne autour du diam�tre AB, dansnbsp;�e sens duquel 11 se meut; car alors Ie frottementnbsp;est �gal et contraire pour deux �lemens opposes denbsp;chaque section de la surface, perpendiculaire a 1�axe

de rotation j d�o� il r�sulte (jue les forces prove-nant du frottement exerce' sur tous les �l�mens, �tant transportees au centre de gravit�, sy d�trui-ront deux a deux; en sorte que Ie mouvement denbsp;ce point ne sera pas derange par Ie frottement total, d� a la rotation.

'^M^'Wwv\\(\A'VV\iwvivvMVV\ivwvw\rt.vwvwvwwvwv%v*^*'^''''''''''^'Wgt;iwx/vv\v\��'W%w\wvwvwgt;Ny�

CHAPITRE VI.

� Iquot;. Cos OU l�on na pas �gard au frottement.

447- Pour simplifier, je supposerai que Ie mobile De touche Ie plan donn� quen un seul point, quenbsp;j�appellerai K, et qui variera, en general, sur sa surface et sur Ie plan. Les forces perdues dans chaquenbsp;instant infiniment petit devant se faire �quilibre , ilnbsp;faudra qu�elies se r�duisent a une seule force, passantnbsp;par Ie point K, normale au plan donn�, et dirig�e denbsp;mani�re qu elle tende a appuyer Ie mobile sur cenbsp;plan. Cette r�sultante sera la pression que ce plannbsp;�prouvera, et qui sei�a d�truite par sa resistance, quenbsp;je repr�senterai par R. En joignant au poids dunbsp;corps la force R, de grandeur inconnue, on pourranbsp;faire abstraction du plan donn�, et consid�rer Ie mo-Ele comme enli�rement fibre.

Son centre de gravit�, que j�appelle^ai G, se mou-^i�a done comme un point materiel isol�, dont la Diasse serait celle du mobile, et auquei on appfique-*^it, parall�l�ment a leurs directions, Ie poids de cenbsp;corps et ia force R. Au bout du temps t, je repr�sen-

terai par x,, jr, gt; z,, les coordonn�es du point G / rapport�es a des axes fixes et rectangulaires, et parnbsp;A, , r, les angles que la direction de la force R. faitnbsp;avec des parall�les a ces axes, men�es par Ie point K.nbsp;En supposant l�axe des z, positives, vertical et dirig�nbsp;de bas en liaut, et en appelant g la pesanteur et Mnbsp;la masse du corps, nous aurons

pour les trois equations dilfe'rentielles du mouvement du point G. Si Ie plan donn� est fixe, les angles A, pi, v, seront constans et donn�s; s�il estnbsp;en mouvement, nous supposerons que ce mouvement soit connu, et ne puisse pas �tre modifi� parnbsp;celui du corps : A , pt, v, seront alors des fonc-tions donn�es de t. Le mobile �tant un corps pe-sant, il faudra, pour qu�il ne se d�tache pas de cenbsp;plan, fixe ou mobile, qu�il soit toujoufs situ� au-dessus; en sorte que la coraposante verticale R cos vnbsp;de la resistance du plan sera constamment positive,nbsp;et V. un angle aigu : les deux autres angles donn�snbsp;A et jtj pourront �tre aigus ou obtus.

En m�me, temps, le corps tournera autour du point G comrae autour d�un point fixe, en vertunbsp;des forces ^R et 0% , appliqu�es aux points K et Gnbsp;( nquot; 4^8); mais le poids Mg n�influera pas sur cenbsp;mouvement de rotation, dont les �quations diff�-

rentielles ne d�pendront que de la force R. Pour les former, 011 prendra pour les seconds membres desnbsp;equations (a) du n� 412, les momens multiplies par dt,nbsp;de la force R, par rapport aux trois axes principauxnbsp;du mobile, qui se coupent au point G. En appelantnbsp;a, �, les coordonne'es du point K rapport�es anbsp;ces axes,�et A', jx', v', les angles que fait la direction de la force R avec les parall�les a ces m�mesnbsp;3xes, men�es par Ie point K, ces momens seront

4- (A� C) rpdt = R(5/ cdl A'� acos Kdp-f- (C � B) qrdt = R(C cos v' � y cosp'')dt;

A, B, C, d�signant les momens d�inertie qui r�pon-dent respectivement aux m�mes axes que les angles V, ft,', /, et que les coii^osantes p, q, r, de la vi-tesse angulaii�e de rotation (n� 4�7)-

Nous supposerons que les neuf cosinus a, b , etc., dout les valeurs en fonctions denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0, ont �t�

donu�es dans Ie n** 378, sont ceux des angles que font les axes fixes des coordonn�es , j',, z^, du point G,nbsp;avec des parall�les aux axes principaux relatifs a cenbsp;point, men�es pax' l�origine de ces coordonn�es; et,nbsp;d�apr�s la signification des angles A,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, v, a', /u', v',

pour les valeurs de cos A', cos f/.', cos v', qu�on devra substituer dans les equations (2).

La position du mobile a un instant quelconque, par rapport aux plans fixes des 2?,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, z,, sera compl�-

tenient d�termine'e au moyen de ces coordonn�es et des troi� angles (p, -y,, 6, pr�c�demment d�finlsnbsp;(n� 378); la position de l�axe instantan� de rotation,nbsp;dans rint�rieur du mobile, et sa vitesse autour de eetnbsp;axe, d�pendront, en outre, des trois quantit�s p,nbsp;q , r : la solution du probl�me consistera done a d�-*nbsp;duire des neuf equations (*i*^ (2), (3), les valeurs denbsp;ces neuf inconnues en functions de t; mais commenbsp;ces equations renferment la force R et les trois coordonn�es a, C,y,qui sont aussi inconnues, il faudranbsp;encore quatre au tres �quations, que l�on obtiendranbsp;de la mani�re suivante.

448- Soit L une fonction donn�e de a, y, et representons par L = o, l��quation de la surface d'*nbsp;mobile, rapport�e a ses axes principaux qui se cou-pent au point G. Si nous faisons

^=[(S (�) (!)�]

OU l�on prendra Ie signe de V de mani�re que les angles A', fA,', v', se rapportent a la partie inte'rieure de la normale a Ia surface du mobile, qui sera la partienbsp;Sup�rieure de la normale au plan donn�. L�une denbsp;ces equations sera une suite des deux autres. En met-taut les formules (4) a la place de cos A', cos f*', cos v',nbsp;ct les joignant ensuite a F�quation L = o, on auranbsp;d�ja trois des quatre equations demand�es.

Si l�on repr�sente par oc, j , z, les coordonn�es courantes du plan donn�, rappofft�es aux m�mesnbsp;axes fixes que a?,, j-,, z,, et en observant que A,nbsp;V, sont les angles que fait la normale a ce plannbsp;avec ces axes, on aura, pour son equation,

C �tant une quantit� donn�e, qui sera constante, lt;luand Ie plan donn� sera fixe, et, g�n�ralemenl,nbsp;^ne fonction donn�e de t. D�ailleurs, en supposantnbsp;fine X, jr, z, r�pondent au point K qui appartient anbsp;plan, on aura, d�apr�s les formules du n� Syy,

z � z, -b aquot;a -j- bquot;amp; -f- cquot;y. )

TRAIT� DE M�CANIQUE. r�quation pr�c�dente; en les subs�tuant dans cettenbsp;equation, et ayant �gard aux formules (4)gt; On

Lorsque Ie mobile sera termin� par une pointe, et qu�il touchera constamment Ie plan donn� parnbsp;son extr�mit�, les coordonn�es a, �, y, du pointnbsp;K seront constantes, et donn�es d�apr�s la positionnbsp;de cette pointe sur la surface et ses distances auxnbsp;plans des axes principaux du mobile, qui se cou-pent au point G. Mais les equations (5) n�aurontnbsp;plus lieu en un point de cette nature; l��quation (7),nbsp;qui exprime que ce point apparlient au plan donn�,nbsp;subslstera toujours; et il suffira de la joindre auxnbsp;equations du num�ro pr�c�dent, pour d�termlnernbsp;les neuf inconnues du probl�me et la grandeur denbsp;la force R que ces equations renferment.

449- Quand Ie plan donn� sera fixe et horizontal, on Ie prendra pour Ie plan des coordonn�es jc et ^; il en r�sullera

cos X = o, cos = o, cos J/ = I , ce qui r�duira les formules (4) anbsp;cos X' = aquot;, cos fjt,' = hquot;,

En vertu des deux premi�res �quations (i), Ie mouvement horizontal du point G sera rectiligne et uniforme; sa vitesse, parall�lement au plan dotm�

d�pendra de la percussion horizontale que Ie mobile aura �prouv�e a l�origlne du mouvement. La troisi�me equation (i) donnera

R = M(S-' s)--ce qui fera connaitre la valeur de R, quand celle de z, aura �t� d�termin�e. En rneme temps, lesnbsp;equations (2) deviendront

Clt;/r (B�A) pqdt=g) (ctbquot;-^Caquot;)dt,

'Rdq -j- (A � C) rpdt = nbsp;nbsp;nbsp;g) (gt;�quot;�Jgt; (8)

^dp -1- (C �� B) qrdt � M^^�4- g) (Scquot;��yb'')dt;

z, -t- aquot;a. -f- bquot;C -t- cquot;y = o, nbsp;nbsp;nbsp;(9)

de laquelle on tirera la valeur de z,, pour la subs-tituer dans les equations pr�ce'dentes.

Ainsi, dans ce cas, Ie probl�me d�pendra des equations (3) et (8) , qui serviront a determiner p,nbsp;9, r, lt;p, -v},, �, en fonctions de t, comme dansnbsp;Ie mouvement d�un corps solide autour d�un pointnbsp;fixe. Si Ie point K varie a la surface du mobile, ilnbsp;faudra �llminer de ces equations les quantit�s a,nbsp;^, au moyen de L = o et des formules (5),nbsp;qui seronl maintenant

� vf�;

Si, au contraire, K est constamment Ie m�me point de la surface du mobile, on mettra dans les equations (8) , a la place de a, �, y , les coordonn�esnbsp;constantes etdonn�es de ce point. Ce second casseranbsp;celui du mouvement de la toupie sur un plan horizontal , abstraction faite du frottement de la pointe Knbsp;contre ce plan.

Dans l��tat d��qulllbre d�un corps pesant sur un plan fixe et horizontal, la droite GK sera verticale ;nbsp;si eet �tat est stable, et qu�apr�s en avoir �cart� Ienbsp;mobile un tant solt peu, on l�abandonne a lui-m�me, il fera des oscillations tres petites, que l�onnbsp;d�terminera, aussi approximativement qu�on vou-dra, au moyen des �quations pr�c�dentes. Je menbsp;contente d�indiquer eet exemple, comme un exer-cice de calcul. On pourra supposer, pour fixer lesnbsp;id��s et simplifier la question, que Ie mobile soit unnbsp;ellipso�de homogene, ou bien une sphere dont Ienbsp;centre de gravit� ne coincide pas avec Ie centre denbsp;figure.

D�abord en les ajoutant apr�s les avoir multlpli�es par cquot;, bquot;, d', leurs seconds membres disparaissent,nbsp;et, en int�grant, on trouve, corn me dans Ie nquot; 4i5,

I �tant une constante arbitraire qui exprimera la somme des momens des quantit�s de mouvement denbsp;tous les points du corps, par rapport a un axe vertical passant par Ie point G.

Pour obtenir une seconde integrale de ces ni�mes equations (8), je les ajoute, apr�s les avoir multi-pli�es par r, q, p ; ce qui donne

Or, Ie second membre de cette equation est nul, quand K est toujours Ie m�me point de la surface dunbsp;mobile, puisque alors ses coordonn�es a, C, y, sontnbsp;constantes. II est encore z�ro, lorsque K se d�placenbsp;a cette surface; car, en vertu des equations (10)nbsp;on a

quantit� nulle, a cause que 1�on a L = o pendant loute la dur�e du mouvement, et, cons�quemmentnbsp;dh =0. On aura done, dans ces deux cas,

Cf� By� 4- A/3* ^(^7 nbsp;nbsp;nbsp;^ J

Ces deux int�grales suffiront pour r�soudre Ie probl�me, lorsqu�il s�agira d�un solide homogenenbsp;termin� par une surface de revolution ; ce qui anbsp;lieu , par exemple, dans Ie cas de la toupie. L�axenbsp;de figure est la droite GK;^n supposant que C soitnbsp;Ie moment d�inerlie qui r�pond a eet axe, on aura

y sera la longueur de GK; et, d�apr�s l��quatiou (g) et cquot; = cos �, on aura

pour Vordonn�e verticale du point G. La premi�re e'quation (8) donnera r=n, en d�signant par n unenbsp;constante arbitraire qui repr�sentera la vitesse denbsp;rotation du mobile autour de sou axe de figure.nbsp;Mals d�apr�s les valeurs de aquot; et bquot; (uquot; 378), et les deuxnbsp;premi�res �equations (3), on a

Ces deux derni�res equations feront connaitre, au nioyeu des fonctions elliptiques, les valeurs de et i�nbsp;en fonctions de 0; la troisi�nae equation (5) don^eranbsp;ensuite la valeur de cp; et Ie probl�me sera r�solu ,nbsp;comme celui du n� 425, dont nous nous sommesnbsp;occup�s en detail.

451. Le mobile �tant toujours un solide de revolution homog�ne et termine par une pointe, et ee corps touchant constamment le plan donn� ,nbsp;par Textr�mit� K de cette pointe , supposons main-tenant que ce plan soit en mouvement, de sortenbsp;^ue les angles A,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, v, et la quantit� ^ soient des

fonctions donn�es de t. L�axe de figure r�pondant au moment d�inertie C , les deux autres momens Bnbsp;et A seront �gaux, les coordonn�es a et amp; serontnbsp;z�ro, et y exprimera la longueur de GK. En d�si-gnaut par n une constante arbitraire, la premi�renbsp;equation (2) donnera encore r = � ; en sorte que lanbsp;vitesse angulaire du mobile autour de son axe denbsp;figure, sera constante, comme dans le cas du plannbsp;fixe. Si Ton a �gard aux formules (4), les deuxnbsp;autres equations (2) deviendront

�*,COSX-|-jy,COS|t4-f-Z,COS� y(cCOSXq-c'cOSj�-|-cquot;cOS�) � ^ ; nbsp;nbsp;nbsp;(12)

Le syst�me des equations (i), (3), devra done servir a determiner les neuf inconnues

reuse de ces equations est impossible; et, pour en d�dijire des valeurs approch�es des inconnues, quinbsp;ne soient pas tr�s compliqu�es, on est oblige denbsp;restreindre la ge'ne'ralit� de la question, par diff�-rentes suppositions que l�on e'noncera a mesurenbsp;qu�elles seront n�cessaires.

452. Je supposerai, en premier lieu, que la rotation du mobile autour de son axe de figure est tres rapide, et que les diff�rens mouvemens du plannbsp;donn� sont tres lents par rapport a cette rotation;nbsp;en sorte que, si, par example, la perpendiculairenbsp;au plan donn�, men�e par Ie point K, oscille denbsp;part et d�autre ou tourne autour de la verticale quinbsp;passe par ce m�me point, la dur�e de chaque oscillation OU de chaque revolution soit tr�s grande ,nbsp;relativement a une revolution du mobile autour denbsp;l�axe KG; et de m�me, si Ie plan donn� ex�cute desnbsp;oscillations parall�lement a lui-rn�me.

Je supposerai, secondement, que les angles � et-vf^ varient aussi tres lentement par rapport a Tangle (p ;nbsp;hypothese qui devra �tre confirmee a posteriori, parnbsp;les valeurs que Ton obtiendra pour ces trois angles.

En negligeant, dans une premi�re approximation, la diff�rentielle d-\/ que contient la troisieroe equation (5), et en supposant qu�on ait cp = o quandnbsp;i = o, on aura (p = nt, a un instant quelconque.nbsp;Au moyen des formules du n� SyS, on aui-a alors

n; cos A -I- a' cos fjL -f. aquot; cos v = P sin nt -f- Q cos nt, ^ cos A b' cos p, -f- b� cos r = P cos nt � Q sin nt,

Or, dans la seconde hypothese, les quantit�s P et Q varieront tr�s lentement; il en sera de m�me, commenbsp;Oti Ie verra tout a l�heure , a 1��gard de R; en inte-ggt;'ant ces equations, on pourra done consid�rer,nbsp;^ans une premi�re approximation, P, Q, R, commenbsp;quantite's constantes, et n�avolr e'gard qu a lanbsp;Variation de sin nt et cos nt dans leurs seconds memoires. Si m est une tr�s petite fraction de et que Ienbsp;coefGcient de sin nt contienne, par exemple, unnbsp;terme qui ait cos mt pour facteur, sin nt devrait �trenbsp;remplac� par j sin (� -{-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- ^ sin {n � m)t; en re

gardant comme constant Ie coefFiclent de sin nt, cela i'evient done a n�gliger mt a 1��gard de nt, du moinsnbsp;�Oans la premi�re approximation.

De cette mani�re, les int�grales corapl�tes des equations pr�c�dentes seront

? = Dcos^Ah?)^ _ Esin nbsp;nbsp;nbsp;-f- ^(Qsinni_Pcos�0 ;

� et E �tant les deux constantes arl)ilraires. Pour les 'determiner, je suppose qu�a l�origine du mouvement,

l�axe instantan� de rotation a coincide avec l�axe de figure ; on aura alors /gt; = o et g = o, qnand i s= o fnbsp;et si l�on d�signe par P', Q', R', les valeurs de P,nbsp;Q, R, qui ont eu lieu, a la m�me �poque, il ennbsp;r�sultera

e = �:,

P = a W*� nbsp;nbsp;nbsp;^0

Or, si C nest pas une tres petite fraction de A, � faudra, pour que 6 et 4 varient tr�s lentement ,nbsp;comme on l�a suppos�, que les termes d�pendans de

condition que l�on remplira toujours , en supposant qu�a l�origine du mouvement, l�axe de figure KGnbsp;co�ncidait avec la perpendiculaire au plan donn�.

En effet, a l�origine du mouvement, soient e Tangle que la perpendiculaire au plan donn� fait avec lanbsp;Verticale, et �' Tangle que sa projection horizontalenbsp;fait avec la droite d�o� Ton compte Tangle 4- Aqettenbsp;�poque, on aura ( n� 8 )nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

Or, si Taxe de figure a �t� perpendiculaire au plan donn�, quand Ie mouvement a commence, on auranbsp;4^= T et 9' = g; d�oii il r�sultera P'= o et Q'=:o;nbsp;ce qui r�duit les formules pr�c�dentes a

453. Maintenaiit, il faut encore supposer que la perpendiculaire au plan donn� et Taxe de figure dunbsp;Diobile, s��cartent tr�s peu de la direction verticale ,nbsp;pendant toute la dur�e du mouvement. Le suppl�-Dient de Tangle 9 sera constamment tr�s petit; car 0nbsp;�st Tangle obtus, compris entre la verticale men�enbsp;bas en haut par le point G, et la droite men�enbsp;de G vers le point K qui est au-dessous de G. Nous

petites; en n�gligeant leurs can��s, on aura cosv = i. On a d�ailleurs ( n� SyS )

En n�gligeant done les produits sin 0 cosA et cos 6 cos/*, l��quation (12) donnera

Si done , ind�pendamment de la petitesse de cos A et cos/*, les oscillations verticales du plan donn�soulnbsp;aussi suppos�es tres petites , les variations de z, Ienbsp;seront �galement; la valeur de R, donn�e par lanbsp;troisi�me equation (i) , savoir,

R = Mg M^,

cos /*, sin 0, il suifira de mettre Mg a la place de R, dans les equations (i5). En y mettant aussi les va-leurs de P et Q, elles deviendront

En dlff�reritiant par rapport a t les valeurs de c et c', et niettant au lieu de f/.sin �, on a

dc = sin 4^ c?� -f- cos 4 sin ^d~\/ , dc' = cos 4^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� sin 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6 ^^4 gt;

et si l�on substitue dans ces formules, a la place de sin 6fi?4 et , leurs valeurs pre'c�dentes, il en r�-sulte

dc � c'mdt = � m cos fxdt, | dc' -4� cmdt = m cos Xdt,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Mgy _

Ainsi la question est r�duite finaiement a l�int�gra-tion de ces equations lin�aires, a coefficiens cons-tans et du premier ordre, par i-apport aux incon-nues c et c'. C�est aussi en employant ces m�mes in-connues, c�est-a-dire, sin 6 sin 4 et sin 6 cos 4 , dans Ie probl�me du mouvement de la lune autour de sonnbsp;Centre de gravit�, que Lagrange a ramen� ala formenbsp;lineaire les equations difF�rentielles de ce probl�me ;nbsp;Ce qui l�a conduit a l�explication compl�te du ph�nbsp;nom�ne de la libration, qu�il n�avait pas donn�e dansnbsp;ses premi�res recherches sur ce sujet.

454* En integrant les equations (i5) par la methode Ordinaire , d�signant par k et k' les deux cons-tantes arbitraires , et ^emettant pour c et c' ce que ces lettres repr�sentent, on a

� nbsp;nbsp;nbsp;mcosmf/(cosjMcosmi -4quot; smmt)dt,nbsp;sin� cos^j/ = k cos mt � Ai'sin mt

Je supposerai que les int�grales indiqu�es dans ces formules commencent avec lt;, et je repr�senterai ^nbsp;comme plus haut, par 9' et -gt;1,' les valeurs initiales de 9nbsp;et 4 ; ew faisanl t=o, on aura

pour les valeurs de k el k', qui seront nulles, lorsque l�axe de figure du mobile sera vertical a l�origine dnnbsp;mouvement, auquel cas on aura 9' = o.

Lorsque les valeurs de cos A et cos u. en fonctions de t, seront effectivement donn�es, on effectueranbsp;les inte'grations indique'es, et les equations (i6) ferontnbsp;connaitre les valeurs de 6 et 4/, et, par cons�quent,nbsp;la position de l�axe de figure du mobile, a un instantnbsp;quelconque. D�apr�s la troisi�me equation (5), onnbsp;aura , en m�me temps ,

en y faisant cos 0 == � i, et supposant (p = o, quand tz=o. Les deux premi�res equations (5), dans les-quelles on fera simplement (p ~nt, donneront lesnbsp;valeurs dep et g, lesquelles, en les joignant )ir = n,nbsp;d�termineront, a un instant quelconque, l�axe de ro^nbsp;tation et la vitesse angulaire du mobile autour de eet

axe. Enfin, par deux int�gi�ations successives, on tirera des equations (i4) les valeurs de x, et jquot;, ennbsp;fonctions de t; d�o� l�on d�duira imm�diatementnbsp;celles de z, et R.

Lesvaleursapproch�esde toutesles inconnuesdupro* bl�me seront done d�terminees, au mo_yen des valeursnbsp;donn�es de cos A et cos /J-. Au mojen de ces valeursnbsp;approch�es, on pourra calculer celles des quantit�snbsp;qu�on a negligees dans cette premi�re approximation ; en ayant �gard, 'dans une seconde approximation , a ces quantit�s ainsi calcul�es, on parviendranbsp;a d�autres valeurs des inconnues, plus approch�es quenbsp;les premi�res; et, si l�on continue de cette mani�i�e ,nbsp;on obtiendra, par Ie proc�d� g�n�ral des approximations successives, des expressions des inconnues,nbsp;aussi approch�es qu�on voudra. Nous nous arr�-terons a la premi�re approximation; la seconde etnbsp;les suivantes n�auraient d�autre difficult� que leurnbsp;longueur.

455. La vitesse de rotation n, imprim�e au mobile autour de son axe de figure, �tant suppos�e tr�s grande, la quantit� jn sera g�n�ralement tr�snbsp;petite. II r�sultedonc des formules (16} que les variations de cos A et cos f/., provenant des petites oscillations de la normale au plan donn� sur lequel Ienbsp;mobile s�appuie, seront tr�s affaiblies dans la valeurnbsp;^6 6. Par cons�quent, si Ie mobile est termin� a sanbsp;partie sup�rieure par une surface plane perpendiculaire a son axe de figure, et qu�a Torigine du mouvement cette surface soit horizontale et l�axe vertical , ce qui fera disparaiti�e les termes multipH�s

par k et k�, cette surface conservera sensiblement son horizontalit� pendant toute la dur�e du mouvement,nbsp;malgr� les petites oscillations du plan donn� , et celanbsp;d�autant plus exactement que la vitesse de rotationnbsp;imprim�e au mobile sera plus considerable. C�est surnbsp;ce principe qu�est fond� Ie niojen qui a �t� proposenbsp;pour obtenir a la mer, independamment des inou-vemens de roulis et de tangage du vaisseau, unnbsp;horizon artificiel qui puisse servir aux observationsnbsp;astronomiques.

A raison de la petitesse de m, on peut considerer sin mt et cos mt comme des quantites constantesnbsp;dans les integrates que contiennent les formules (i6).nbsp;Ainsi, par exemple, en integrant par partie, onnbsp;auranbsp;fco?,Xco?,mtdt=co%mtfcosXdt-\-iminmtffcos,Xdt�'-{-e\c.',

et si les variations de cos A sont tres rapides par rapport a celles de sin mt et cos mt, quoique tr�snbsp;lentes par rapport a la rotation du mobile, cettenbsp;s�rie sera tres convergente et pourra se redurre a sonnbsp;premier terme; ce qui revient a considerer cos mtnbsp;comme constant dans I�integrale/cosA cosmilt;fi,

De cette mani�re, et en supposant ^ = o et F = o, les formules (i6) se reduiront a

Si Ton suppose aussi que le centre de gravite dn mobile n�ait recu, a I�origine du mouvement, aucune

les int�grales commencant a vee t, comme dans les equations pr�c�dentes. En les �liminant et remettantnbsp;pour m sa valeur, on aura done

La difference de signe dans ces deux formules pvo-vient de ce que Tangle 4 augmentant de go�, Taxe des abscisses positives va tomber sur Taxe des or-doiin�es negatives, et celui-ci sur Taxe dos abscissesnbsp;positives ( n� SyS); en sorte qu�en mettant 4 90�nbsp;dans la premi�re formule, il y faut, en m�menbsp;temps, changer j-, en �x,; ce qui donne la secondenbsp;formule.

tang = -

Or, si Ton m�ne par Ie point G un plan perpendiculaire a Taxe de figure GR, 4 Tangle que fait Tin-tersection, de eet �quateur du mobile et du plan horizontal deslx, ety^,, avec Taxe desx,; d�ailleurs, les Yariables/.^,'et jK, sont les coordonn�es de la projection duf.po/nt G sur ce plan horizontal; il en r�sultenbsp;done que cette intersection est constamment parall�lenbsp;^ la tangente a la courbe d�crite par la projectionnbsp;horizontale du centre de gravit� du mobile. Si Ton

i5..

pour Ie sinus de 1�incliuaison du mobile sur Ie plan horizontal, laquelle inclinaison est Ie suppl�ment denbsp;Tangle 9.

Ces diflerentes formules, et les consequences qui s�en d�duisent, subsisteront tant que la vitesse 7i denbsp;rotation dn mobile autour de son axe de figure seranbsp;tr�s grande; mais la resistance de Tair et Ie frotte-ment de Ia pointe K contre Ie plan sur lequel Ie mobile s�appuie, diminueront continuellement celle vitesse ; et quand elle aura cess� d�etre tres grande,nbsp;Taxe GK s��cartera de plus en plus de la directionnbsp;verticale, et Ie mobile fiuira par tomber sur ce plan,nbsp;comme dans Ie cas de la toupie ordinaire.

On doit aussi observer que les oscillations verti-cales du plan donn�, d�oii il r�sulte des variations alternatives de la quantile ^, n�ont aucune influence sur les variations des angles 4 et �. Mais si Ie plan,nbsp;donn� s��l�ve au s�abaisse verticalement d un mouvement uniform�ment acc�l�r�, la quantite'^comprisenbsp;dans son equation (n� 44^), renfermera un termenbsp;=i= 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; dans lequel g' repr�sentera une quanlil�

constante et positive. La valeur de R dont Bn a feit usage dans Ie n�455, au lieu d�etre Mg,::s;^r�ialorsnbsp;M(g':d=�''}; on devra done remplacer g pav.^gdcg'

dans la valeur de /re; en sorte qu�un mouvement de cette nature influera sur les variations de 6 et Si Ienbsp;plan donn� s�abaisse, auquel cas on devra prendre Ienbsp;signe inf�rieur devant g', il faudra qu�on ait g' lt; g ,nbsp;sans quoi la valeur de R deviendrait negative; ce quinbsp;signifierait que Ie mobile cesserait de s�appuyer surnbsp;Ie plan donn�, qui tomberait plus vite que ce corpsnbsp;pesant, et s�en d�tacherait par cons�quent.

456. Dans l��tat actuel de la science, les iois du Rottement des corps en mouvement ne peuvent �trenbsp;d�termin�es que par l�exp�rience; avant d�introduirenbsp;cette force, d�un genre particulier, dans les �quationsnbsp;du mouvement d�un corps qui s�appuie sur un plannbsp;donn�, nous allons done faire connaitre les i��sultatsnbsp;g�n�raux de l�observation sur cette mati�re

1quot;. Le frottement d�un corps solide sur un autre est ind�pendant de la vitesse du mobile ;

Ces deux derni�res lois sont celles qui ont aussi (lans i��tat de repos (n� 269), a l�inslant o� l��-

(^) Les expediences les plus re'centes sur ce sujet important �'^nt celles de M. Morin, oiScier d�artillerie attach� k 1��colcnbsp;� Metz, dont Ie travail est ins�r� dans le tonie V des M�nbsp;�Moir�s pr�sent�s a l�Acad�inie des Sciences.

quilibre va se rompre, et quand Ie contact des corps a dure assez long-temps pour que Ie frottement aitnbsp;attaint son maximum.

Relativement a un flu�de qul coule sur un corps solide, Ie frottement suit des lois difi�rentes. On ad-niet, d�apr�s l�exp�rience, qu�il est alors proportion-nel a la vitesse du fluide et a I��tendue de la surface,nbsp;et qu�il ne depend pas de la px�ession. Quand il s�agitnbsp;d�un fluide a�riforme, il y a lieu de croire que Ienbsp;frottement augmente ou diminue avec la densit�,nbsp;comme nous l�avons suppose dans Ie n� 444 gt; 4e sortenbsp;qu�a temperature egale, il se trouve d�pendre indi-rectement de la grandeur de la pression.

457. Supposons actuellement qu�un corps solide, dont la base est une surface plane d�une �tenduenbsp;quelconque, soit pos� sur un plan fixe et horizontal,nbsp;et que la verticale men�e par son centre de gravit�nbsp;G ( fig. i3) rencontre Ie plan fixe dans l��tendue denbsp;cette base, ce qui est la condition n�cessaire et su�i-sante de Tequilibre. Soient M sa masse, et P sonnbsp;poids. En un point A de sa surface, situ� dans Ienbsp;plan horizontal men� par Ie point G, attachons unenbsp;corde qui vlenne passer sur une poulie fixe B, denbsp;sorte que BA soit Ie prolongement de GA. A l�extr�-rait� inf�rieure C de cette corde, suspendons unnbsp;autre corps dont la masse soit M', et Ie poids P', etnbsp;qui ait son centre de gravit� G sur la verticale men�e par Ie point C.

L��quillbre subslstera taut que Ie poids P', aug-ment� du poids de la partie verticale de la corde, sera moindre que Ie frottement de M sur Ie plan fixe,

et de ia corde sur la poulie B; et si P' augmente graduellement, l��quillbre se rompra a l�instant ounbsp;surpassera cette sommede frottemens, diminu�e dunbsp;poids de la corde verticale. Si Ton n�glig� ce derniernbsp;poids relativemeiit a P', et que l�oa de'signe par F etnbsp;les frottemens de M contre Ie plan fixe et de la.nbsp;corde contre la poulie fixe, qui ont lieu imm�diate-�ient avant Ia rupture de l equilibre, on aura

La pression exerc�e sur la base de M est Ie poids P de ce corps; Ie frottement F est done proportionnel anbsp;P- D�apr�s ce qu�on a vu dans Ie iiquot; 5o2, Ie frotte-Dient F' est aussi proportionnel a la force F ; par cons�quent , on a

en d�signant par et des fractions ind�pendantes des grandeurs de P et F. Au moyen de ces valeurs,,nbsp;i��quation pr�c�dente devient

F = �? ��?;

Le poids P' �tant connu a l�instant ou 1��quilibre commence a se rompre, cette equation determinersnbsp;Valeur de f, relative au corps M et au plan horizontal sur lequel il est pos�, quand on connaitra lanbsp;valeur de �' qui r�pond a la corde et a la gorge denbsp;�a poulie. Le moyen indiqu� dans le 0� 269 fait con-

naitre cette valeur de �, ind�pendamment d�aucune autre quantit� de m�me nature, d�apr�s Tangle sousnbsp;lequel Ie mobile commence a glisser sur un plan quenbsp;Ton incline gi�aduellement.

4^8. D�s que Ie poids P', augment� du poids de la corde verticale , Temportera un tant soit peunbsp;sur la quantit� F F', T�quilibre sera rompu ,nbsp;et, a plus forte raison, pour un poids P' encorenbsp;plus grand. Le corps M glissera sur Ie plan horizontal, et M' descendra verticalement. Pendant cenbsp;mouvement, j�appellerai H le frottement de M contrenbsp;ce plan, qui sera une fraction donn�e de la pressionnbsp;P. Quant a la poulie B, on pourra supposer qu�ellenbsp;est enli�rement fixe el demeure immobile, ou bien,nbsp;qu�elle tourne autour (Tun axe horizontal, perpendiculaire au plan de la corde ABC. Dans le premiernbsp;cas, il j aura, pendant le mouvement, un certainnbsp;frottement H' contre la poulie, qui sera diff�rent denbsp;F', et devra �tre ajout� a H; dans le second cas, sinbsp;la corde ne glisse aucunement sur la poulie, il n�j auranbsp;aucun frottement de Tune contre Tautre ; ma�s il fau-dra tenir compte du mouvement communiqu� a lanbsp;poulie par Tinterm�diaire de la corde, comme si ellenbsp;y �lait attach�e. Je supposerai que ce soit le secondnbsp;de ces deux cas qui ait lieu.

Pour former T�quation du mouvement, d�si-gnons, au bout du temps quelconque t, par ^ et z' les parties horizontale et verticale de la cordenbsp;ABC, et par f/. et leurs masses. Les vitesses de M

repr�senter par a � et a' ^ les resistances de Fair exercees a leurs surfaces; a et etant des constantesnbsp;qui dependront de leur forme et de leur �tendue. Sinbsp;l�on appelle g la gravite, les forces motrices appli-qu�es au syst�me seront done Ie poids ( M' -p ft') g ,nbsp;diminu� de la resistance a' gt; et la force horizon-

tale H, augment�e de la resistance a Leurs mo-nieus, par rapport a Taxe de la poulie B, devront se retrancher i�un de l�autre; et en appelatil c Ie rayonnbsp;de cette poulie circulaire, pn aura

pour leur difference. Les forces motrices qui au-i'oiit effectivement lieu seront (IVF jjJ) dans

�e sens vertical, �f^)~^ dans ie sens horizon-tal f et celles de tous les points de la poulie. Les momens de toutes ces forces par rapport a 1�axe denbsp;la poulie devront s�ajouter; et la vitesse angu-

laire de la poulie etant quot; ^ gt; ^i l�on repr�sente par m sa masse, et par/wA:� son moment d�inertie relatifnbsp;� son axe, on en conclura , comme dans Ie n� Soa ,nbsp;pour Ie moment de ces dernieres forces parnbsp;^^Pport a eet axe; par cons�quent, la somme desnbsp;*Doniens des forces effectives , par rapport au m�menbsp;sera

[(M' nbsp;nbsp;nbsp;_ {M ^) g-]. (*)

Or, pour que les forces motrices appliqu�es au sjs-t�me fassent �quilibre, au mojen de l�axe de la poulie, aux forces effectives, prises en sens contraire de leurnbsp;direction, il faudra que les deux quantite's (a) et (b)nbsp;soient �gales entre elles; d�o� il r�sultera

=(M' i^'}g _ H -

La corde ABC �tant regard�e comme inextensible , la somnie de ses parties sera constante ; en appelant tnbsp;sa longueur totale, on aura done

Soient �zet Ie poids de la corde enti�re, et p Ie poids de la masse m de la poulie, on aura aussi

= -y-, nbsp;nbsp;nbsp;^ gm =p ;

en d�siguant par h un coefficient ind�pendant de P-Au moyen de ces diff�rentes valeurs, l��qualion d� mouvement deviendra

(P F' nbsp;nbsp;nbsp; 4quot;) ^

459. Elle n�est point int�grable sous forme finie, a moins qu�on ne n�glig� les termes qui proviennentnbsp;de la resistance de l�air ; ce qui la reduit a

�V'f

C et C' �tant les deux constantes arbitraires, et e la base des logarithmes n�p�riens.

En substituant cette valeur de z dans les termes de 1��quation du mouvement qui proviennent de lanbsp;Resistance de l�air, et integrant de nouveau cettenbsp;Equation, on aura une valeur de z plus approcbee;nbsp;^3is nous nous arr�terons a la precedente; et pournbsp;determiner les constantes C et C', j appellerai y la

Valeur initiale de z; on aura z = ')'et^=iO, quand t ~ o-, d�o� il r�sulte

C C' ^

Si l�on appelle 6 Ie temps que Ie poids P emploiera a atteindre la poulie B, c�est-a-dire , a parcourir lanbsp;distance y, on aura a la fois ^ = 6 et z = o � d�oiinbsp;l�on conclut

Lorsque 0 sera donn� par l�observation, cette equation servira a determiner la valeur de �, et, par suite, celle du coefficient h x�elatif au frottement dunbsp;poids P en mouvement sur Ie plan horizontal. Dansnbsp;cette experience, on pourra prendre pour P' un poidsnbsp;quelconque, pourvu qu�il surpasse Ie frottement quinbsp;a lieu dans 1�etat dequilibre. Si Ie poids'Sr est tr�snbsp;petit par rapport aux poids P et P', ^ sera une tr�snbsp;petite fraction, et 1 on pourra developper les expo�nbsp;nentielles en s�ries tr�s convergentes , suivant lesnbsp;puissances de �. De cette mani�re, on aura

y = nbsp;nbsp;nbsp;,

ce qui doit �tre, en efFet, puisquc alors Ie mouvement du poids P est uniform�ment acc�l�r�.

Quel que soit Ie mouvement du sjsteme que nous consid�rons, la tension de la partie horizontale denbsp;la corde ABC est conslamment �gale a la plus petitenbsp;des deux forces qui agissent ases extr�mit�s (n� 552.),nbsp;c est-a-dire, au frottement H augmente' de la resistance de Pair, exerc�e sur la surface de M. Elle estnbsp;done constante et �gale a H, ou h2, pendant toutenbsp;la dur�e du mouvement, lorsqu�on fait abstractionnbsp;de la r�sistance de Fair; et sa valeur, mesui��e parnbsp;l�extension d un ressort plac� dans la longueur denbsp;Cette corde, peut aussi servir a determiner Ie coefficient h.

460. Les valeurs que l�exp�rience a donn�es pour ce coefficient, soit par l�observation du temps 9, soitnbsp;par la mesur� de la tension de la corde, varient avecnbsp;Ie degr� de poli des surfaces frottantes et la mati�renbsp;des corps ; elles ne dependent pas, comme celles dunbsp;coefficient f (n� 269), du temps pendant lequel lesnbsp;Corps ont �t� en contact avant de glisser l�un surnbsp;1 autre. Quand celles-ci ont atleint leur maximum,nbsp;dies surpassent toujours les valeurs correspondantesnbsp;dc ^; en sorte que, dans F�taf de mouvement, Ienbsp;li'ottement H est moindre que Ie frottement F quinbsp;� lieu a 1�insfant o� 1��quilibre va commencer a senbsp;*^ompre; et la tension de la corde en mouvement est

Le poids P �tant en repos, l��quilibre subsiste tant que le poids P' est plus petit que F; mais on a re-marqu� que si P', quoique moindre que F, surpassenbsp;notablement H, il suffit d�agiter un peu le plan horizontal , par de petites percussions, pour que lenbsp;poids P se mette en mouvement.

Quand le coefficient h est connu, il est facile de determiner le mouvement du poids P sur un plannbsp;incline. Je d�signerai par i l�inclinaison de ce plan surnbsp;un plan horizontal, qui devra surpasser l�aiigle sousnbsp;lequel Tequilibre commencera a se rompre , ou �trenbsp;tel qu�on ait tangzgt;/ (nquot; 269). Les composantesnbsp;de P, parall�les et perpendiculaires a ce plan, serontnbsp;P sin i et P cos i. La premi�re, diminue'e du frotte-ment H, sera la force motrice du mobile, dont M estnbsp;la masse ; en appelant z l�espace parcouru au bout dunbsp;temps i, on aura done

D�ailleurs, la pression sur ce plan �tant l�autre composante Pcosz, on aura-aussi

ce qui montre que le mouvement sera uniforme'-ment acc�le'r�, et le m�me que si le frottement

n�exlstait pas, et qiie Ie sinus de Tinclinaison fut diminu� dans Ie rapport de i�-hcot i a l�unit�. Cettenbsp;quantit� i � kcoti est positive, puisque l�on a, parnbsp;iijpoth�se, h lt;[ � et fcoti �lt; i �

461. Le frottement H �tant proportionnel a la pression, et ind�pendant de 1��tendue de la surfacenbsp;frottante, il s�ensuit que les poids P et P' du nquot; 457,nbsp;restant les m�mes, le mouvement de P sur le plannbsp;horizontal ne changera pas, quelle que soit 1 etenduenbsp;de sa base, pourvu qu�elle ait toujours le m�me degr�nbsp;de poli. Ainsi, en prenant pour ce corps un paralle'-l�pip�de rectangle, d�une mati�re homogene, et dontnbsp;quot;loutes les faces soient �galement polies , son mouvement horizontal sera toujours le m�me, si on le posenbsp;successivement sur chacune de ses faces; et il en seranbsp;encore de m�me, sur un plan incline, sansle secoursnbsp;du poids P'.

Au reste, cette proposition, que le frottement est ind�pendant de l��tendue et du contour de la base de P,nbsp;et simplement proportionnel au�poidsP, revient a direnbsp;qu a chaque point de cette base, le frottement est proportionnel a la pression relative a ce point. En effet,nbsp;soient b cette base,lt;3?(7runde ses �l�mens differentlels,nbsp;pdu la pression verticale que supporte cet �l�ment,nbsp;de sorte que p repr�sente la pression rapport�e anbsp;^ unite de surfkce. Il faudra que la r�sultante desnbsp;pPessions exerc�es sur tous les �l�mens de b, repro-duise le poids P appliqu� au centre de gravit� G;nbsp;faudra done qu�on ait

et si l�on m�ae par la projection du point G sur Ie plan fixe, deux axes horizontaux et rectangulaires,nbsp;dont l�un sera, par exemple, la projection de lanbsp;droite GB, et qu�on appelle x Ia distance de d(x a cettenbsp;projection, et^' sa distance a l�autre axe, on devranbsp;aussi avoir

ces integrales et celle que contient I�equation (�) s�e-tendant a la base b tout enti�re. Cela �tant, supposons le frottement de l��l�ment da sur le plan fixe, propor-tionnel a la pression pda qufil eprouve , et represen-tons-le par hpda, en designant par h un coefficientnbsp;independant de p et relatif a la nature de la surface da; nous aurons

pour le frottement total; et comme les frottemens de tous les �l�mens sont parall�l^s a la directionnbsp;GB du mouvement, si Ton appelle x^ la distancenbsp;de leur resultante H au plan vertical passant par lanbsp;droite GB, on aura egalement

Or, si la base du mobile a le m�me degr� de poli dans toute son e'tendue, le coefficient h sera constant,nbsp;et il en r�sultera

par cons�quent, le fvottement total ne d�pendra que du poids P, quels que soient letendue et le contour

DYNAMIQ�E, SECONDE PARTIE. de sa base; et la direction de cette force tombant,nbsp;a cause de = o , dans Ie plan vertical passant parnbsp;la droite GB, elle ne pourra imprimer aucune rotation au mobile, dorit Ie mouvement sera parall�le anbsp;ce plan, comme on l�a suppose.

Lorsque les centres de gravit� du poids P et de la ,base b sont situ�s sur une menie perpendiculaire anbsp;cefte base, comme dans Ie cas d�un prisme ou d�unnbsp;cylindre vertical, on satisfait aux equations {o) et (�),nbsp;en supposant la pression p constante et �gale au rapport de P a 6. R�ciproquement, pour une valeurnbsp;Constante de p, les equations (b) donnent

Ce qui exige que Ie centre de gravit� de b coincide avec la projection horizontale du point G; par cons�quent, lorsque cette condition n�est pas remplie, lanbsp;pression p varie n�cessairement d�un point a un autrenbsp;de la base du mobile. La determination de sa valeurnbsp;en un point quelconque est alors un probl�nie tr�snbsp;difficile, qu�on ne peut r�soudre qu�en ayant �gard anbsp;la flexibilit� de la mali�re du mobile et a^celle dunbsp;plan horizontal sur lequel il s�appuie, et qui donne-�'ait lieu, sans cette consideration, a une ind�ter-Diination apparente, comme dans Ie probl�nie du

Si l�on suppose que les deux centres de gravit� ��Oient sur une m�rne verticale, on aura done a lanbsp;quel que soit Ie coefficient h,

Par cons�quent, la base restant la m�me, Ie frotte-ment total H sera proportionnel au poids P, comme si Ie degr� de poli �tait Ie m�me dans toute l��tenduenbsp;de cette base; mais, en general, on n�aura plusnbsp;Xi = o, la direction de la force H ne co�ncidera plusnbsp;avec la projection horizontale de la droite GB, etnbsp;quand Ie poids F entrainera Ie poids P sur Ie plan �nbsp;horizontal, Ie frottemenl fera tourner Ie mobile auteur de la verticale qui passe par son centre denbsp;gravit� G.

462. Le poids P �tant toujours pos� sur un plan fixe horizontal, �t la projection horizontale du pointnbsp;G co�ncidant avec le centre de gravit� de la base b ,nbsp;supposons que l�on imprime a ce corps , par unnbsp;mojen quelconque, des quanlit�s de mouvementnbsp;parall�les au plan fixe, qui ne le fassent pas tr�bu-cher, c�est-a-dire, qui ne d�tachent pas sa base bnbsp;de ce plan. Le mobile prendra deux mouvemensnbsp;horlzontaux, 1�un de translation, qui sera celui denbsp;son centre de gravit� G, et l�autre de rotation, au-tour de la verticale passant par ce point. Or, il s�a-glt d�examlner 1�inftuence du frottement sur ces deuxnbsp;mouvemens differens.

r�l�ment da Ae b, et dont la direction sera contraire a celle de la vitesse de eet �l�ment. Appe-lons r sa distance a 1�axe de rotation; au bout d� temps t, d�signons par .r et 7 les coordonn�es ret-tangulaires du centre de gravit� de b, rapport�esnbsp;a des axes fixes men�s arbitrairement dans le plan

horizontal, et par 6 Tangle qne fait r avec Ie pro-longement de x. Les coordonn�es de da seront, au m�me instant, x r cos � etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r sin 6; et si

Ton d�sigue par v la vitesse , et par a et ^ les angles que fait sa direction avec des parail�les aux axes des X et^, on aura

pour les deux ^n^osantes de cette vitesse. Celles tlu frottement sCTont, en m�me temps,

Or, Ie mouvement du centre de gravit� G �tant Ie m�me que si la masse du mobile j �tait concentr�e ,nbsp;et que les forces motrices de tous ses points j fussentnbsp;appliqu�es parali�ment a leurs directions, nous au-rons, pour les �quatio�s de ce mouvement,

dy _

En m�me temps, Ie mobile tournera autour de la Verticale passant par Ie point G, comnje si cettenbsp;'iroite �tait fixe, et que les forces qui agissent sur ce

16..

244 nbsp;nbsp;nbsp;TRA.1T� DE M�CANIQ�E.

corps ne fussent pas chang�es. Le moment du frot-tement de da sera �gal a la difference des momens de ses deux composantes, et aura pour valeur

--b--^cos�H--^---.rsin 0,

en supposant que la rotation a lieu dans le sens ou Tangle 0 augmente, c!est-a-dire, deTaxe desxpositivesnbsp;vers celui des j positives. Cela �tant, si Ton d�signenbsp;par O) la vitesse angulaire dn mobile au bout du

temps t, et par � son moment d�inertie par rapport

Dans ces equations (2) et (3), les variables 0, ne sont pas s�par�es; les monvemens de translationnbsp;et de rotation dependent ainsi Tun de Tautre, et nenbsp;peuvent �tre determines, en general, que par approximation. II y a deux cas qui peuvent se r�soudrenbsp;ais�metft., et que nous allons considerer.

: � sin 0, cos ^ = cos 0, v = r^;

et pour que les equations (2) soient satisfaites, il fau-dra que les int�grales f sin nbsp;nbsp;nbsp;et �quot;cos � ds soient

nulles; ce qui ne d�pendra que du contour de � , et aura lieu, par exemple, toutes les fois qu�il sera sy-m�trique ^utour du centre de gravit� de cette base.nbsp;L��quation (5) deviendra

en appelant c la constante frdff. Le mouvement de rotation sera done uniform�ment retard�; et si Tonnbsp;appelle Q. la vitesse initiale angulaire, on aura, a unnbsp;instant quelconque,

ce qui montre que ce mouvement se terminera au bout d�un temps exprim� par , pour lequel on

Lorsque la vitesse de rotation sera, au contraire, tr�s petite par rapport a celle du mouvement de

- =-4.-(_sin6 � :j^cos�)-j-, � t� u � u^\dtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dt J dt �

cosa �= - ^--, ( ^ cos� sm 6 ) -r ,

eos 6= nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-J -j-cos 6 -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/ sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9 )nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-t-a

L�origine des coordonn�es polaires r et � �tant Ie centre de gravit� de la base b, on a d�ailleurs

Cela �tant ^ si 1�on substitue ces valeurs de cos a et cos � dans les equations (a), et si Ton observe quenbsp;fdj = b, elles deyiendront

Pour plus de simplicit�, je supposerai la base b sym�-trique autour de son centre de gravit�, de mani�re qu�on ait

y �tant nne li'gne donn�e. Par la substitution des valeurs de cos a et cos C, l��quation (5) se r�-duira alors a

^ de nbsp;nbsp;nbsp;u dt �

~z={a � hgt) cos �, nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� gt;nbsp;� et � �tant les deux constantes arbitraires. On ennbsp;d�duit

et Ton voit que Ie mouvement du point G sera uni-form�ment retard�, et que a el e seront la vitesse initiale et Tangle que sa direction fait avec Taxenbsp;des X. L�equation (5) devient

('-�S

en d�signant par Cl la constante arbitraire, qui ex-primera la vitesse angulaire initiale. Les valeurs de

Ie produit de Q. et de Ia plus grande valeur de r sera nne plus petite fraclioi# de la vitesse u; elles mon-trent que les mouvemens de translation et de rotation finiront ensembl^f^au bout 4�un temps e'gal

Lorsqu�un corps solide se meut sur un plan lixe, �n Ie touchant constamment par un seul point denbsp;�a surface, il peut arriver plusieurs cas qu�il ini-porte de distinguer.

1�.' Le corps peut rouler, sans glisser, sur Ie plan fixe, de manl�re que les deux courbes trac�es sur cenbsp;plan et sur la surface du mobile, qul sont les lieuxnbsp;g�om�triques de leurs points de contact successifs,nbsp;aient constamment des longueurs �gales.

Le mobile peut tourner sur lui-m�me, en tou-cbant constamment le plan fixe, en un m�me point de ce plan.

3�. Le corps peut glisser sans tourner, de sorte que le point de contact soit constamment le m�me pointnbsp;de sa surface.

Dans le deuxi�me et dans le troisi�me cas, le frot-tement du mobile contre le plan fixe est le m�me que si le contact avait une �tendue quelconque j sanbsp;grandeur est propoi�tionnelle a la pression qui a lieunbsp;au point de contact, et sa direction contraire a cellenbsp;de la vitesse de ce point. En le d�signant par H, etnbsp;la pression par P, on a H = AP j le coefficient h �tantnbsp;le m�me que dans le n� 458. Cette loi est une consequence de ce que le frotteraent est ind�pendant denbsp;l��tendue du contact; elle iiirait besoin, toutefois,nbsp;d�etre v�rifi�e par des expmences directes. La forcenbsp;H est ce qu�on appelle un^^otteinent de la premi�renbsp;esp�ce.

Dans le premier cas, le frottement du mobile contre le plan fixe se nomme un frottement de seconde esp�ce. L�observation fait voir que cette forcenbsp;est ge'n�ralement tres petite, et peut �tre n�glige'e.

ont lieu en m�me temps; on n�glig� celui de la seconde esp�ce par rapport au frottement de la premi�re esp�ce, qui est dirig�, a chaque instant, en sens contraire de la vilesse du point de contact, et tou-jours proportionnel a la pression en ce point.

Ces r�sultals ne conviennent pas air cas o� Ie point de contact est Textr�mit� d�une pointe, ou quand ilnbsp;appartient a une ar�le vive; ils auront encore lieunbsp;lorsque Ie mobile sera un cylindre qui touchera Ienbsp;plan fixe suivant une ligne droite; et, toutes les foisnbsp;que sa surface n�aura ni pointes ni ar�tes vives, ilsnbsp;suffiront pour former les equations difif�rentielles desnbsp;mouveraens de translation et de rotation. L�exemplenbsp;suivant montrera comment on en devra faire usagenbsp;pour eet objet.

464. Je suppose que Ie mobile soit une sphere homogene , pos�e sur un plan fixe horizontal. On im-prime a ce corps un mouvement de rotation autour d�un diam�tre horizcu^al, et a son centre une vitessenbsp;horizontale et perpemiculaire a ce diam�tre. II estnbsp;�vident que Ie mobile tournera autour de ce diam�tre, qui sera transport� parall�lement a-lui-m�menbsp;ct au plan fixe, et que Ie centre de figure et de gra-'vlt� d�crira une droite horizontale, dans Ie plan vertical perpendiculaire a l�axe de rotation. II s�agit denbsp;d�termlner, a un instant quelconque, les vltesses denbsp;deux mouvemens.

La figure i4 repr�sente une section du mobile, perpendiculaire a son axe de rotation et passant parnbsp;son centre G. I-a droite AKB est la section du plan fixe;nbsp;parall�le CGD est la droite que d�crit le point G,

25o nbsp;nbsp;nbsp;trait� de m�canique.

et Ie contact, au bout du temps quelconque t, a lieu au

point K. A eet instant, soient x la distance CG, comp-

t�e a partir du point fixe C , ^ lavitessedu point G,

ft) la vitesse angulaire du mobile autour de son axe de rotation, qui sera regard�e comme positive ounbsp;comnie negative, selon que la rotation aura lieu dansnbsp;Ie sens indiqu� par la fl�che s ou en sens contraire.nbsp;En appelant, au m�me instant, v la vitesse absoluenbsp;du point K, et designant par c Ie rayon CG de lanbsp;sphere, on aura

p = -r- -4- ca.

dt '

Selon que cette quantit� sera positive ou ne'gative , Ie point K s�avancera vers B ou vers A j et Ie frot-tement qui a lieu en ce point K en sens contrairenbsp;de V, sera dirig� suivant KA ou suivant KB. Quandnbsp;on a e == o , Ie corps roule sans glisser, et Ie frotte-ment n�est plus que de la secojj^e esp�ce.

Cela pos�, d�signons tojijoOTS par P Ie poids du

P/t� nbsp;nbsp;nbsp;*.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

corps , par g la gravit� , par-Ie moment d�inertie

par rapport a l�axe de rotation , et par hV Ie frot-tement au point K. En supposant, pour fixer les idees, la vitesse u positive, et, cons�quemment, Ienbsp;frotternent dirig� suivant KA, les �quations diff�ren-tlelles des mouvemens de translation et de rotationnbsp;seront

d^x

fiit applique parall�lement a sa direction; et, en ni�me temps, Ie mobile devra tourner autour denbsp;son axe de rotation , comme si eet axe �tait bxe, etnbsp;que Ie point d�application du frotternent et Ie sensnbsp;de cette force ne fussent pas changes. Le mobile �tantnbsp;une sph�re, on a aussinbsp;les equations pr�c�dentes auraient encore lieu, maisnbsp;avec une valeur diff�rente de k*, si ce corps �taitnbsp;Dn solide de r�volution, ou un cylindre droit anbsp;base circulaire, tournant, dans ces deux cas, autournbsp;de l�axe de figure.

En supposant le coefficient h constant, et int�grant les �quations {a), on a

senteront les valeurs initiales des vitesses ^ et �. On aura, en m�me temps,

I*ar hypothese, la constante a-^ca est positive; 1^ vitesse v l�est done aussi pendant un temps 9,nbsp;bout duquel elle est nulle , et qui a pour valeur

dans Ie cas de la sph�re. Pendant I�intervalle de temps 6, les valeurs pr�c�dentes de ^ et a sub-sisteront, et les deux mouvemens du mobile seront uni-form�ment retard�s. Au bout d�un temps �gal a la

valeur de ^ sera nulle; si done ce temps est moindre que 6, ce qui aura lieu si Ton anbsp;la vitesse ^ deviendra negative au-dela de

et Ie centre de la sph�re r�trogradera. C�est ce qui arrive, par exemple, lorsqu�on fra�ppe une bille denbsp;billard de mani�re a la faire tourner rapidementnbsp;aut�ur d�un diam�tre horizontal et a faire avancernbsp;en m�me temps son centre avec une moindre vitesse,nbsp;en sorte que les quantit�s a et ot. soient toutes deuxnbsp;positives et satisfassent a l�ine'galit� pr�c�dente. Lenbsp;frottement contre le tapis d�truit bient�t le mouvement de translation; mais le mouvement de rotation subsistant encore , le frottement continue d�agii�nbsp;en sens contraire de ce dernier mouvement; et c�estnbsp;cette force, transport�e au centre de gravite', qui lenbsp;ram�ne vers son point de depart.

Si, a l�origlne du mouvement, la sph�re ne tourne pas, de sorte qu�on ait a = o, ou, plus g�n�ra-lement, si l�on a

tesse p, et Ie centre G ne r�trogradera pas. Mais dans tons les cas, au bout du temps 6, Ie pointnbsp;d�appui K du mobile n�ajant plus de vitesse , Ie frot-tement Z�P de la premi�re esp�ce disparaitra; la spherenbsp;continuera de rouler sans glisser; et il se produira unnbsp;frottement qui ne sera. plus que de Ia seconde

Ou ne de'croitront plus que tr�s lentement; leurs va-leurs seront celles des formules {b), qui r�pondent a t=B, savoir :

Ainsi, leffet ge'n�ral du frottement ordinaire ou de la premi�re esp�ce, est de r�duire au repos lesnbsp;corps qui glissent sans tourner, et de r�duire seu-lement a 1�uniformit� et a 1��galit�, en sens opposes,nbsp;les deux mouvemens des corps qui glissent et roulentnbsp;en m�me temps. Dans un vide parfait, Ie roulementnbsp;du mobile qui r�suite de ces deux mouvemens, sub-sisterait ind�finiment, et Ie frottement de la secondenbsp;esp�ce mainliendrait la vitesse v nulle, et les deux

vitesses et co �gales et contraires. Mais la resistance de l�air trouble cette �galit� ; Ie frottement de la premi�re esp�ce reparait, et Ie concours denbsp;ces deux forces finit par r�duire Ie mobile a l��tatnbsp;de repos.

bile(n�4i8) seront qz�rj, rx�pz, pj�qx; par consequent, on aura celles de sa vitesse absolue,

Je de'signe par m,, v^, nbsp;nbsp;nbsp;, p^, q^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ce que de-

viennentz/, v,w, p,q, r, imm�diatement apr�s Ic choc. Eli observant que Ie point dont les coordonne'esnbsp;sont X, j, z, ne change pas sensiblement de position pendant Ie choc, les trois composantes pr�c�-dentes deviendront

et comme les axes Gx, Gj, Gz, auxquels elles sont parall�les, sont aussi supposes immobiles pendantnbsp;Ie choc, on aura les vitesses perdues par ce point sui-vant ces axes, en relranchant ces derni�res quantit�snbsp;des pr�c�dentes. Si done on d�signe par dm I�elementnbsp;de la masse M qui r�pond aux coordonn�es x, j, z,nbsp;nous aurons

[p _ nbsp;nbsp;nbsp; (^ � gI

pour les composantes parall�les a Gx, Gj, Gz, de la quantit� de mouvement perdue par dm, pendant lanbsp;dur�e du choc.

En verlu du pidncipe general de la Djuamique (n� 353 } , les quantit�s de mouvement ainsi perdues

par M et M' devront se faire e'quilibre; et, d�apr�s ce qu�on a vu dans Ie n� 265, on formera les equationsnbsp;d equilibre de ces deux corps solides, appuj�s Funnbsp;contre Fautre, en consid�rant chacun d�eux isolement,nbsp;apr�s avoir joint aux forces relatives a M, une foivenbsp;iiiconnue N, dirig�e sulvant Kil, et aux forces ap-pliqu�es ^ M', Ia m�me force N agissaut au point Knbsp;suivant KH'.

Ces forces N, dirige'es suivant KH et KH', seront ies quantlt�s de mouvement imprim�es par Ie chocnbsp;aux masses M et M'; et, avant d��crire les equationsnbsp;d��quilibre, ou peut remarquer que les effets dunbsp;choc, qu�elles serviront a determiner, seront lesnbsp;Di�mes, pour la masse M, par exemple, que si Fonnbsp;appliquait a une partie arbitraire /a de cette masse ,nbsp;ayant son centre de gravite' sur la droite KH, une vi-tesse k parall�le a KH, et telle que Fon eut = N ;nbsp;Car il est �vident que la r�sultante des quantit�s denbsp;mouvement de yt* serait N, en grandeur et en direction : la percussion exerc�e sur M, suivant KH, �qui-vaut done toujours, comme nous Favons dit dans Ienbsp;d�435, a des vltesses �gales, imprim�es, pavall�le-��ent a cette normale KH, a tons les points d�unenbsp;-Partie de M, qui a son centre de gravit� sur cettenbsp;^coite.

467. Cela pos�, d�signons par a, h,c, les trois coordonn�es de K, rapport�es aux axes Ga?, Gz,nbsp;par et, �, y, les angles que la droite KH fait avecnbsp;parall�les a ces axes, men�es par Ie point K j lesnbsp;equations d��quilibre des quantit�s de mouve-Dient perdues par lous les points de M, seront

CHAPITRE VII.

465. La position et l��tat d�un corps solide en mouvement, sont compl�tement determines a unnbsp;^ instant donn� , lorsque l�on connait, a eet Instant,nbsp;les coordonn�es de son centre de gravit�, les com-posantes de la vitesse de ce point, les directions desnbsp;trois axes principaux qui se coupent en ce m�menbsp;point, et les composantes de la vitesse angulaire denbsp;rotation autour de ces trois axes. Si ce corps estnbsp;rencontr� par un autre mobile, pour lequel toutesnbsp;ces choses soient �galement connues, les composantes de leurs vitesses de translation et de rotationnbsp;seront chang�es par Ie choc, mais non pas les positions de leurs centres de gravit�, ni les directionsnbsp;de leurs axes principaux; car, quoique Ie choc nenbsp;soit pas instantan�, cependant la dur�e de ce ph�-nom�ne est toujours assez petite pour qu�on puissenbsp;faire abstraction du d�placement des diff�rens pointsnbsp;des deux mobiles, pendant qu�il s�accomplit, et,nbsp;par cons�quent, pour qu�on puisse consid�rer coramenbsp;sensiblenient immobiles leurs centres de efravit� et les

points des deux mobiles qui appartiennent a l�ui�S axes principaux. Le probl�me du choc des corpsnbsp;aura done pour objet de determiner, en grandeur etnbsp;en direction, leurs vitesses de translation et de rota-*

* tion apr�s Ie choc, au mojen de ces m�mes quantite's avant Ie choc, et d�apr�s la forme et la situation i'ela-tives des mobiles.

INous allons donner la solution ge'n�rale de ce pro-bl�me, dans les deux cas extremes oii les mobiles sont raous et d�nu�s d��lasticit� , et ou ces corps sontnbsp;contraire parfaitement �lastiques.

466. Supposons d�abord que les mobiles soient nombre de deux , qu�ils se touchent par un seulnbsp;point, et qu�ils soient enti�rement libres. Soient Mnbsp;ot M' ieurs masses , G et G' (fig. i5) leurs centresnbsp;de gravit� , K leur point de contact, HKH' la nor-Diale a leurs surfaces en ce point. Soient aussi Gjc,nbsp;G/quot;, Gz, les axes principaux de M, etG'x', G'j',nbsp;ceux de M'.

Imm�diatement avant Ie choc, de'signons par n, w , les composantes de la vitesse de G suivantnbsp;les.axes Gx , Gj', Gz ; appelons en m�me temps amp; lanbsp;vitesse angnlaire de M autour de l�axe instantan�nbsp;de rotation, passant par Ie point G, et p, ^, r, lesnbsp;trois composantes de celte vitesse, autour des m�mes

Cosinus angles que Faxe instantan� fait avec ces b'ois droites ( n� 407 ), et qu�on ait

^6la �lant, si x, J, z, sont les trois coordonn�es dun point quelconque de M, rapport�es aux axesnbsp;Guit, Gy, Gz, les composantes de sa vitesse, paral-^^les a ces axes et provenant de la rotation du jno-

N cos ^ f[v � v, (r � r^j^�{p�p^ z]dm=o, N cos gt; f[w�w,-\- (p�p,)f� (?�?/) Jc]dm= o,

-\-f\y � �'/ {r�-~r^x � {p � Pj) z] xdm �f\u � u, {q�q)z _ (rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rj/].jc?m = o,

/[� � u, {q�q,)z-~ {r� r,)j] ze/m �f [w�W, {p� P^J� (q -^q,)x]xdm= o,

A cause que Ie point G est Ie centre de gravit� de M, et que , Gj-, Gz, sont ses axes princi-paux, on a

D�slgnons, de plus, par A, B, C, les momens d�iner--tie de M par rapport a ces m�mes axes, de sorte' qu�on ait

Par rapport a M' et a ses axes principaux G'x', Gy, G'z', je de'signerai les quantiles qui entrent dansnbsp;ces equations par les m�mes lettres, avec un trait sup�rieur ; en sorte que, par exemple, a', C', y', se-ront les angles que fait la droite KH' avec des paral-l�les a ces axes, men�es par ie point K, et que a'^nbsp;b', c', seront les coordonn�es de ce point, rapport�esnbsp;a ces m�mes axes, En observant que la grandeur denbsp;N doit �tre la m�me pour les deux corps M et M', lesnbsp;equations d��quilibre des quantit�s de mouvementnbsp;perdues par M' seront

�quations(i) et (2), elles renferment encore i�incon-Due N; elles seront done en nombre insuffisant pour determiner ces treize inconnues j et il y faudra joindre

une treizi�me equation, que i�on obtiendra par la consideration suivante, dans Ie cas des corps d�nue'snbsp;d��lasticit�.

468. La solution du probl�me serait, en efTet, in-d�termin�e, si Ton consid�rait les deux mobiles comme absolnment durs, et qu�on fit abstraction denbsp;la compression qu�ils �prouvent pendant la dur�e dunbsp;choc. Mais en ajant e'gard a cette compression, quel-que petite qu�on la suppose, on concoit qu�elle estnbsp;due a ce que les points des deux mobiles, par les-quels ils viennent se toucher, n�ont pas la m�menbsp;vitesse suivant la normale commune a leurs surfaces. A raison de la difference des vitesses normalesnbsp;de ces deux points, les deux corps s�appuient et senbsp;compriment graduellement l�un contre l�autre; ennbsp;m�me temps, cette difference diminue par degr�snbsp;infininjent petits, jusqu�a ce qu�elle ait enti�rementnbsp;disparu; et quand les deux mobiles sont d�nu�s d�e'-lasticit�, Ie ph�nom�ne du choc est achev� a l�ins-tant OU cette difference est devenue nuile, et cesnbsp;deux corps conservent la forme qu�ils ont prise anbsp;eet instant de leur plus grande compression. C�estnbsp;cette �galit� des vitesses normales des deux pointsnbsp;de contact, a la fin du choc, qui fournit la treizi�me equation demand�e, et qui fait disparaitrenbsp;l�ind�termination du probl�me.

En tant que Ie point K appartient au corps M, ses coordonne'es, rapport�es aux axes Gx, Gj, Gz,nbsp;sont a, b, c; en les substituant a la place de x,nbsp;f,z, dans les formules du u� 466, on a, imm�-diatement apr�s Ie choc, u^ q^c � r^h, r^a�p,c.

q^a, pour les composantes de sa vitesse parail�les a ces trois axes; et comme ct, y, sontnbsp;les angles que la droite RH fait avec les directionsnbsp;de ces composantes, on en conclut

Si Ton consid�re Ie m�me point K comme faisant partie du corps M', sa vitesse apr�s Ie choc, sui-Vant la direction KH', sera

Or, pour que, dans les deux cas, la vitesse nor-tiiale du point K soit la m�me, et dirig�e dans Ie m�me sens, il faudra que ces deux derni�res qnan-tit�s soient �gales et de signe contraire, ou quenbsp;leur somme soit nulle; par cons�quent, on aura

(�/ nbsp;nbsp;nbsp;�r^b)cosc(.-{-{u/-hq'c'�r/b')cosa.'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j

Les equations (i), (2), (5), du premier degr�, par rapport aux inconnues N, u^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, etc., donne-

^Ont, dans chaque cas particulier, des valeurs en-fi�rement d�termin�es pour ces quantit�s, qui fe-font connaitre l��tat des deux mobiles apr�s Ie choc,

�t les quantit�s de mouvement, �gales et contraires, '^ue la percussion leur aura iraprim�es suivant la�nbsp;*^iormale commune a leurs surfaces.

469. Maintenant, si les deux corps sont �lasti-ques, fl faudra distinguer trois �poques successives dans Ie ph�nom�ne du choc : la premi�re r�pondranbsp;a l�instant ou les deux mobiles commencent a senbsp;toucher par un point K de leurs surfaces; la deuxi�menbsp;sera celle de leur plus grande compression, o� lesnbsp;yitesses normales du point K seront �gales el dansnbsp;Ie m�me sens pour ces deux corps; la troisi�menbsp;sera la fin du choc, o� les deux mobiles se s�pa-reront 1�un de l�autre, apr�s avoir repris exactementnbsp;leurs formes primitives, s�ils sont supposes parfai-lement �lastiques.

Depuis la premi�re jusqu�a la seconde �poque, Ie ph�nom�ne est Ie m�me que si les deux mobilesnbsp;�laient d�nu�s d��lasticit�. Ainsi, l�on d�terminera,nbsp;au ntojen des equations pre'c�dentes, les douze com-posantesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., des vitesses de translation et

de rotation des mobiles a l�instant de leur plus grande compression, et la quantit� de mouvement N quenbsp;chacun des deux corps aura recue, suivant KH pournbsp;M, et suivant KH' pour M'. Depuis la deuxi�me �poque jusqu�a la troisi�me, ces deux corps , en reve-nant a leurs formes primitives, recevront, suivantnbsp;ces directions, une nouvelle quantit� de mouvement,nbsp;qui sera encore �gale a N, dans Ie cas d une parfaitenbsp;�lasticit�. Par cons�quent, cette seconde partie dunbsp;phenomene devra etre consideree comme une seconde percussion, identique avec la premi�re , maisnbsp;exerc�e sur des corps anira�s des vitesses de translation et de rotation qui ont lieu a la fin de la premi�re partie.

D�apr�s ce principe, conforme a ce qui a d�ja �t� expliqu� dans Ie n� 36o, si Ton appelle, a la troi-si�me �poque, U, V, W, les composantes de la vitessenbsp;du point G, suivant les axes Ga:, Gj-, Gz, et P,nbsp;Q, R, les composantes de la vitesse angulaife de Mnbsp;autour des m�mes axes, on aura, pour determiner cesnbsp;six inconnues, les six equations

qui se d�duisent des equations (i), nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y mettant U,

V, W, P, Q, R, a la place de u^, v,, w,, p,, q^, r^, et ces derni�res quantit�s au lieu de , v, w, p, q, r,nbsp;et en conservant la quantit� N.

Pour faire disparaltre les inconnues interm�diaires Pif *1/� ^/� i�ajoute chacune de ces sixnbsp;equations a l��quation (i) qui lui correspond; ce quinbsp;donne

quantit�s de mouvement perdues par M pendant la dur�e totale du choc, jointes a la quantit� de mouvement 2N iinprim�e a cette masse, suivant la direction KH, pendant cette m�me percussion. On ynbsp;mettra poiirN la valeur de cette inconnue, qu�on ti-rera de l�e'quation (5), apr�sy avoir substilu� les va-leurs des inconnuesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., uj, vl, etc., donn�es

par les e'quations (i) et (2). ]Nous nous dispenserons d��crlre ici l�expression g�ne'rale de cette quantit� N,nbsp;qui serail tres compliqu�e, et dont on calculera, sansnbsp;difficult�, la valeur numcrique , dans chaque casnbsp;particulier. Si les deux mobiles n��taient pas suppo-se's parfaiteinent �lastiques, N serait moindre dansnbsp;la seconde partie du choc que dans la premi�re; ilnbsp;faudrail prendre alors pour sa valeur, dans la secondenbsp;partie, une fraction � de sa valeur, d�duile des equations (i), (2), (3), et mettre (i -f- �) N a la place denbsp;2N dans les equations (4). Cette fraction f d�pen-drait du degr� d��lasticil� des deux mobiles, et nenbsp;pourrait se determiner que par des experiences faitesnbsp;sur des corps de la m�me mati�re , dans Ie cas Ie plusnbsp;simple, par rapport a leur forme et a leur mouvementnbsp;primitif. Nous nous bornerons a consid�rer Ie cas denbsp;r�lasticit� parfaite, en okservant, toutefois, que lanbsp;remarque qui termine Ie n� 466 a �galement lieu,nbsp;quel que soit Ie degr� de l��lasticit�.

Quant au corps M', si Ton d�signe, a la fin du choc, par U', V', W', les composantes de la vitessenbsp;de G' suivant les axes Gr'x', Gt'y', G'z', et par P',

R', les composantes de Ia vitesse angulaire de M' au-tour de ces axes, on aura pour d�terminer ces six

aNcos^'4-M'(i^' _ V') = o, aN cos y 4- M' (w' �W') = o,nbsp;aN (a' cos �' � b' cos a') nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� RO = o . } (^)

Telle est done la solution complete et g�n�rale du probl�me du choc, dans Ie cas de deux corps enti�-rement libres, d�nu�s de toute �lasticit�, ou parfai-tement �lastiques. On l'�tendra, sans difficult�, aunbsp;choc simultan� de trois ou d�un plus grand nombrenbsp;de mobiles; nous en donnerons plus bas un exemple.

470- Ou peut conclure des equations �pr�c�dentes que Ie choc des corps M et n�alt�re nullementnbsp;les vitesses de leurs centres de gravit� G et G', pa-rall�lement au plan tangent commun en K a leursnbsp;deux surfaces.

En efFet, par Ie point G , menons une droite pa-rall�le a ce plan, qui fasse des angles A, r , avec les axes Gj?, Gj-, Gz; cette droite �tant perpendiculaire a Ia parall�le a KH, men�e par Ie m�me point G,nbsp;Dn aura

ct, d�apr�s cela, si Ton ajoute les trois premi�res equations (i) ou (4), apr�s les avoir multipli�es parnbsp;cos A, cos/x, cos r, il en r�sultera

ce qui montre que la vitesse de G, suivant une direction quelconque, parall�le au plan tangent en K., sera la m�rae avant et apr�s Ie choc des corps mous ounbsp;�lastiques. II suffira done, ponr connaitre, en grandeur et en direction, la vitesse finale de G, de determiner, dans chaque cas, la vitesse de ce point apr�snbsp;Ie choc, parall�lement a la normale KH , et de lanbsp;composer avec la vitesse de G parall�le au plan tangent en K, qui avait lieu auparavant, et qui n�aura pasnbsp;change pendant la percussion. La m�me chose auranbsp;lieu relativement au centre de gravit� G' de M^

En ajoutant les trois derni�res equations (i ) OU (4). apr�s les avoir multipli�es par cos y, cos C, cos anbsp;il vient

Or, ces trois quantit�s �gales sont les momens par rapport a l�axe KH (n� 409)� des quantit�s de mouvement dont sont anim�s tous les points de M, avantnbsp;Ie choc, a l�instant de la plus grande compression, a lanbsp;fin du choc; d�ou il r�sulte que la percussion ne changenbsp;rien a la grandeur de ce moment, pour Ie mobile M,nbsp;et, de m�me, pour Ie mobile M', mous ou �lastiques.

471. Appliquons maintenant a diff�rens exemples les �quations g�n�rales que nous avons obtenues.

Supposons d�abord que la normale KH au point de contact des deux mobiles, passe par Ie centre de

vit� G de M, de mani�re qu�elle soit la droite KGH (�g. l�). D�apr�s la signification des lettres a,nbsp;a, c, il est als� de voir qu�on aura, dansnbsp;Ce cas,

Ce qul slgnlfie que la direction de l�axe instantan� deM ct la vitesse de rotation seront les m�mes imm�diate-W�ent ayant et apr�s Ie choc. Done, toutes les fois quenbsp;la normale au point de contact passe par Ie centre denbsp;gravit� de l�un � des deux mobiles mous ou �las-tiques, Ie choc ne change rien au mouvement denbsp;rotation de celui-ci, et n�influe que sur son mouvement de translation.

Si la m�me normale passe aussi par Ie centre de gravit� G' de M', de sorte qu�on alt �galement

d cos

d cos a'

et en divisant ces equations par M et M' et les ajou-tant ensuite a la pre'ce'dente , il en r�sulte

Or, si GL et G'L' sont les directions de G et G' avant Ie choc et 6 et �' leurs vitesses iniliales , on aura

�cosHGL = �cos a -h t^cos � wcosy, 6'cosH'G'L' = M'cosa' t^'cos^'q- w'coamp;y*,

dapr�s ce que les lettres u, u, tv,cl, C, y, u', igt;' ,w', a!, �', y', repre'sentent. On aura done

pour la valeur de N, qui devra �tre essentiellement positive : lorsqu�elle sera negative, on en concluranbsp;qu�il n�y a pas de choc entre les deux mobiles M et M'.

De m�me, si GZ et G7' sont les directions de G et G' a l�instant de la plus grande compression desnbsp;deux mobiles, et 9^ et 9/ leurs vitesses au m�me instant, on aura aussi

GyCosHGZ = M,cosa v^cos � W^cosy,

pour les composantes des vitesses de G et G' sulvant GH et G'H', a l�iastaat que nous consid�rons. Ellesnbsp;sont, comme on volt, �gales et contrairesj d�o� ilnbsp;suit qua Tinstant de la plus grande compression ,nbsp;les centres de gravit� des deux mobdes ont la m�menbsp;vitesse, en grandeur et en direction , suivant la nor-'nbsp;*Uale au point de contact K. Dans Ie cas des corpsnbsp;Dious , celte vitesse normale sera celle qui aura lieunbsp;3pr�s Ie cboc. Lorsqne les deux mobiles seront par-faitement �lastiques , on aura

6^ cos HGZ = Ucosa V cosS WCOS}/, 6/'cosH'G7' = U'cosa'-|-V'cos C' -f- W'cosj^';

supposant que les vitesses et 0/ et les directions GZ et G'l' se rapportent a la fin du choc. Done, vertu des Irois premi�res equations (4) et (5), etnbsp;de la valeur qu�on vient de trouver pour N, nousnbsp;aurons

�/cosH'GZ =-^�___ pour les composantes des vitesses finales de G et G'nbsp;Suivant les directions GH et G'H'.

472. Dans Ie cas particulier o� les deux points G G' se meuvent, avant Ie choc, sur la normalenbsp;HK.H', leurs vitesses perpendlculaires a cette drol tenbsp;stront nulles, et elles Ie seront encore apr�s Ie choc;nbsp;�u sorte que l�on aura

selon Ie sens de leurs directions, en consid�rant, dans tons les cas, les vilesses � , 6', 9^, 9/, comme desnbsp;quantit�s positives.

Si G et G' vont dans Ie m�me sens avant Ie choc, par exemple , de H' vers H, Tangle HGL sera z�ro,nbsp;et Tangle H'G'L' �gal a deux droits; en vertu desnbsp;equations (7), on aura done

Si, au contraire, G et G' vont au-devant Tun de Tautre avant Ie choc, de mani�re que Ie point G senbsp;naeuve de H vers H', et Ie point G', de H' vers H,nbsp;on aura cos HGL = cos H'G'L^ = � I, et les equations (7) donneront

les signes sup�rieurs ou inf�rieurs ayant lieu selon que la difference M9 � M'9' sera positive ou n�gative. On appliquera de m�me les formules (8) anbsp;ces deux hypotheses.

Ces r�sultats coincident avec ceux qu�on a obtenus dans les n�* 561 et 302 , relativement au choc desnbsp;corps sph�riques et horaog�nes; mals on voit de plusnbsp;qu�ils sont ind�pendans de la forme de ces corps etnbsp;de leur mouvement de rotation, et qu�ils supposentnbsp;seulement que les centres de gravit� des deux mobilesnbsp;se meuvent, avant Ie choc, sur la normale au pointnbsp;de contact.

d�oii l�on coiiclut que dans Ie choc de deux corps parfaitement �lastiques et �gaux en masses , les centres de gravit� des deux mobiles �changent leursnbsp;vit�sses parall�les a la normale au point de contact,nbsp;Ibrsque cette normale, commune �ux deux surfacesnbsp;en ce point, passe a la fois par ces deux centres.

Quand Ie point G'sera en repos avant Ie choc, en sorte qu�on ait 6' = o, et que, de plus, la masse M, anbsp;raison de sa densit�, sera tres petite et n�gligeable parnbsp;rapport a M', on aura, en vertu des equations (7)

en sorte que les centres de gravit� G et G' de deux corps mous n�auront , dans ce cas, aucune vitessenbsp;normale apr�s Ie choc. Mais, en' vertu des equations (8) , si ces corps sont, au contraire, parfaite-ment �lastiques, on aura

ce qui montre que Ie centre de gravit� G' ne prendra aucune vitesse, et que G prendra, apr�s Ie choc,nbsp;nne vitesse normale �gale et contraire a celle qu�ilnbsp;avait auparavant.

II est ais� d�en conclure que Ie centre de gravit� G Sera r�fl�chi en faisant avec la normale au point denbsp;contact des deux mobiles, l�angle de r�flexion �galnbsp;3 Tangle d�incideuce.

En eflfet, prenons sur Ie prolongement de GL (fig. ,7) , une partie gG pour, rcpr�senter, avant Ienbsp;^iioc, la vitesse de G, qui se mouvra de g vers G; soit

toujours GH la normale au point de contact des deux mobiles , laquelle passe, par hypotli�se, par Ie pointnbsp;G ; d�composons la vitesse gG en deux autres, Tunenbsp;flG, dirig�e suivant cette normale, et 1�autre Zgt;G paral-l�le au plan tangent: la seconde ne sera pas chang�e parnbsp;Ie choc, et la premi�re sera chang�e en une vitesse cGnbsp;�gale et contraire a aG. Done, si hon ach�ve Ie rectangle Gbdc, et qu�on prolonge la diagonale Grf d�unenbsp;quantit� Gl = Gd, la vitesse du point G, apr�snbsp;Ie choc, sera Gl, en grandeur et en direction; parnbsp;cons�quent , Tangle de reflexion HG/, sera �galnbsp;a Tangle d�incidence HGg, et, de plus, la vitesse dunbsp;mobile aura la m�me grandeur avant et apres Ie choc.nbsp;Ce cas est celui d�un corps �lastique qui vient rencon-trer un obstacle fixe, dou� �galement d�une parfaitenbsp;�lasticit�.

474* Lorsque les mobiles sont des spheres homo-g�nes, la condition que la normale HKH' (fig. i6) passe par leurs centres de gravit� G et G', est toujours remplie. Par cons�quent, si ces corps sont par-faitement �lastiques , ils �changeront, en se choquant, leurs vitesses dans Ie sens de la droite qui vanbsp;d�un centre a Tautre, et conserveront, sans alteration,nbsp;leurs vitesses perpendiculaires a cette droite; et,nbsp;quand ils viendront Trapper un obstacle fixe et aussinbsp;parfaitement �lastique, ils se r�fl�chiront en faisantnbsp;Tangle de r�flexion �gal a Tangle d�incidence.

C�est sur ces principes qu�est fond� Ie jeu de bd-^ lard; mais il faut observer que non-seulement ilsnbsp;supposent T�lasticit� parfaite des bandes et des bdles,nbsp;mais que la non-alt�ration, par Ie choc, de la vitesse

des ttiobiles, soit parall�lement a leur plan tangent commun, solt parall�lement aux bandes qu�ils ren-contrent, n�a lieu que quand on fait abstraction dunbsp;fi�ottementprovenant de leur rotation et du glissementnbsp;d�une surface sur l�autre. On voir, par exemple,nbsp;�Ine l�angle de reflexion depend de la rotation de lanbsp;^ille, et qu�il n�est plus �gal a Tangle d incidence ,nbsp;lt;luand on tient compte du frottement de la billenbsp;contrc la bande. La m�me chose a lieu dans Ie ricochet d�un boulet: de frottement de ce projectile contrenbsp;^e terrein et sa vitesse de rotation influent aussi surnbsp;l�angle de re'flexion, qui peut �tre, pour cette raison,nbsp;diff�rent de Tangle d�incidence-

Cette question nous fournira Toccasion d�expli-quer comment on doit avoir �gard au frottement dans Ie choc des corps, et de compl�ter ce que nous avonsnbsp;dit, sur ce genre de r�sistances, dans Ie second para-graphe du chapitre pr�c�dent. Nous allons d�ahordnbsp;exposer les principes qui nous guideront dans cettenbsp;mati�re d�licate; on y est conduit par Tanalogie;nbsp;mais ils auraient besoin, ainsi que les consequencesnbsp;qui s�en d�duisent, d�etre confirm�s par des experiences directes.

475. En formant les equations d��quilibre des quan-bt�s de mouvement perdues dans Ie choc, par les deux masses M et M', nous n�avons point tenu comptenbsp;des quantit�s de mouvement produites par les poidsnbsp;de ces corps pendant la dur�e de la percussion, pai'cenbsp;que cette dur�e �tant tres petite, ces quantit�s, quinbsp;lui sont proportionnelles, sont aussi tres petites, etnbsp;peuvent �tre n�glig�es par rapport a celles que les

mobiles reooivent de leur choc mutuel. Mals 11 n�en est pas de m�me, opmme r.ous Tavons d�ja remar-qu� (n� 353), a l��gard du frottement qul a lieu pendant Ie choc, lorsque les surfaces des deux mobilesnbsp;en contact gllssent Tune sur l�autre. Quolqu�on n�altnbsp;pas fait d�obsei'vatlons sur l�lntensit� de ce frottement,nbsp;on peut supposer, par Induction, qu�11 suit les lolsnbsp;g�n�rales du frottement des corps soumis a des pres-slons proprement dltes, pulsque la percussion n�estnbsp;autre chose qu�une presslon d�une tres grande Inten-slt�, exerc�e pendant un temps tr�s court. On peutnbsp;done admettre que pendant la dur�e du choc Ienbsp;frottement, a chaque instant, est proportionnel a lanbsp;grandeur de la presslon normale, qul appuie, a eetnbsp;instant, les deux mobiles l�un contre l�aulre; qu�ilnbsp;est dirig�, pour chaque mobile, en sens contrau�enbsp;de la vitesse relative du glissement de ce mobilenbsp;sur l�autre, et ind�pendant de la grandeur de cettenbsp;vitesse; et qu�il disparait, ou devient n�gligeable,nbsp;quand Ie glissement se change en un simple rou-lement.

Or, la quantit� totale de mouvement imprim�e a M suivant la normale KH (lig. i5 ), a �t� repr�-senl�e par N, quand ces deux mobiles sont d�nu�snbsp;d��lasticit�, ou par aN, quand lis sont parfaitementnbsp;�lastiques. Si done, pendant toute la dur�e du choc,nbsp;la surface de M glisse, dans une m�me direction,nbsp;sur celle de M', et qu�on appelle Q la quantit� denbsp;mouvement imprim�e a M par Ie frottement, ennbsp;sens contraire de cette direction, on aura Q = AN,nbsp;dans Ie cas des corps d�nu�s d��lasticit�, et Q = a/jN,

dans Ie cas des corps parfaitement �lastiques j h etant un coefficient qui ne depend que de la nature des surfaces de M et M', au point de contactnbsp;et pour lequel on pourra prendre celui qui anbsp;determine par l�exp�rience, relativement a desnbsp;Pressions ordinalres (n� 4^9)�

Si Ie glissement a lieu dans un sens pendant une partie du choc, et dans Ie sens oppose pendantnbsp;^ autre partie, on aura Q = 4(N' � Nquot; j, ennbsp;d�signant par N' et Nquot; les quantite's de mouvementnbsp;produites par la percussion pendant ces deux parties du choc, de sorte que N ou aN soit leur sommenbsp;N'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et en supposant N' gt; Nquot;. Si, a la fin de

^a premi�re partie, Ie glissement se change en un Simple roulement, on prendra Q = AN', en n�gli-geanl Ie frottement de la seconde esp�ce, qui auranbsp;�eu pendant la seconde partie.

En appelant Q' ce que Q devient relativement a M', il est �vident que Q' sera, dans tous les cas,nbsp;une quantit� de mouvement �gale et directementnbsp;oppos�e a Q; car la pression normale que M' exercenbsp;sur M pendant toute la dur�e du choc, est de m�menbsp;grandeur que celle de M sur M', et la vitesse relativenbsp;du glissement de M' sur M est toujours �gale et contraire a celle du glissement de^ sur M'.

II r�sulte de la que pour former les equations d e-^uilibre des quantit�s de mouvement perdues pen-dant Ie choc par Ie corps M, en ayant �gard au trottement, il suffira de joindre a la quantit� denbsp;mouvement N ou aN, imprim�e a ce mobile suivantnbsp;normale KH, une autre quantit� de mouvement

Q, perpendiculaire a KH, et exprim�e comme on vient de Ie dire; et que pour obtenir, en m�me temps,nbsp;les equations relatives a M', il faudra joindre a lanbsp;quantit� de mouvement N ou aN, dirig�e suivantnbsp;KH', une quantit� de mouvement Q' �gale et contraire a Q. C�est ce que nous allons faire, dans Ie casnbsp;du choc d�un projectile sph�rique et homogene contrenbsp;un obstacle fixe-

476. Pour fixer les id��s, je supposerai que l�obs-tacle fixe que la sphere M vient frapper est un plan horizontal, et que cette sphere tourne, avantle choc,nbsp;autour d�un axe horizontal, perpendiculaire a la direction GH de son centre de gravit�. La figure i8 re-pr�sente une section du plan fixe et de M par ce plannbsp;vertical. Tout �tant semblable de part et d�autre denbsp;cette section, Ie point G ne s��cartera point de ce derniernbsp;plan pendant Ie choc, M continuera de tourner autour du diam�tre perpendiculaire a ce m�me plan,nbsp;et Ie point de contact K glissera, pendant cette percussion, Ie long de AB, intersection de ce plan vertical et du plan fixe.

Imm�diatement avant Ie choc, j�appelle a la vitesse horizontale de G, dirig�e suivant GD, b sa vitessenbsp;verticale, dirig�e suivant GK, et^ l�angle d�incidencenbsp;HGK, de sorte qu�on*ait

Le mobile M �tant suppos� parfaitement �lastique , ainsi que l�obstacle fixe qu�il vient frapper, il perdranbsp;d�abord, en se comprimant, sa quantit� de mouve-

ment verticale MZgt;; puis il reprendra, en revenant a sa figur� primitive, une quantit� de mouvementnbsp;6gale et contraire; en sorte qu�apr�s Ie choc, Ienbsp;centre de gravit� G aura une vitesse verticale b, di-rig�e suivant Ie prolongement GE de GK. Si done onnbsp;appelle, a cette �poque, a' sa vitesse horizontale, di-rjg�e suivant GD, ou en sens contraire, selon qu^ellenbsp;Sera positive ou negative 5 que GH^ soit la direction denbsp;Ce point, et qu�on d�signe par y' l�angle de reflexion EGH', on aura

tang y' = j.

La droite GH' sera situ�e a gauche de la verticale LK , comme la droite GH, ou a droite de EK, selonnbsp;lt;�ue la quantit� a' sera positive ou n�gatlve. Pour quenbsp;l�angle de r�flexion soit �gal a Tangle d�incldenee, ilnbsp;faudra que cette vitesse a' soit positive et �gale a a;nbsp;la difference �gt; de ces deux angles sera toujoursnbsp;de m�me signe que a' � j et Ie point G r�trogra-dera quand la vitesse a' sera n�gative.

Soit aussi a la vitesse angulaire de rotation de M ^vant Ie choc, laquelle vitesse sera consid�r�e commenbsp;positive OU comme n�gative, selon qu�elle aura lieunbsp;flans Ie sens indlqu� par la fl�che ou dans Ie sensnbsp;nppos�. D�signons par a' ce que devient cette vitessenbsp;^�gulaire apr�s Ie choc. Le probl�me consistera a d�-^erminer les valeurs de a' et a' d�apr�s celles de a etnbsp;Selon que la vitesse absolue du point K sera positive OU n�gative, c�est-a-dlre, dirig�e suivant KA ounbsp;^uivant KB, pendant une partie de la dur�c du choc,

OU pendant sa dur�e enti�re, la solution pr�sentera diff�rens cas distincts, que nous allons examiner suc-cessivement dans Ie num�ro suivant.

477- Je supposerai, en premier lieu, que la vi-tesse du point K soit positive, ou dirig�e suivant Ka, pendant toute la dur�e du choc. En appelant cnbsp;Ie rajon GR de M, cette vitesse sera a-j- Cci aunbsp;commencement, et a' cct a la fin; de sorte quenbsp;ces deux quantit�s devront �tre positives. La quan-tit� totale de mouvement imprim�e a M suivant GK,nbsp;soit pendant que Ie mobile se comprim�, soit pendant qu�il revient a sa figure primitive, �tant �galenbsp;a 2M6, la quautit� de mouvement provenant du frot-tement, et dirig�e suivant KB, sera 2kMb, d�apr�s Ienbsp;nquot; 475; par cons�quent, la vitesse horizontale a' dunbsp;centre de gravit� G apr�s Ie choc, sera la m�me quenbsp;si la masse M y �tait reunie, et que les quantit�s denbsp;mouvement Ma et �ihMb y fussent appliqu�es, ennbsp;sens contraire Tune de l�autre; ce qui donne

a � 2hb.

En observant que | Mc� est Ie moment d�inertie de M par rapport a son axe de rotation, et que zJiMbcnbsp;est Ie moment, par rapport au m�me axe, du frot-temeut dirig� suivant KB, on verra, sans difficult�,nbsp;que la diminution a � o.' de la vitesse angulaire denbsp;rotation sera d�ternlin�e par 1 equation

pour determiner I�angle de reflexion y' d apr�s l angle d�iucidence y et Ie coefficient h.

Si la vitesse absolue du point K est constamment �Negative, ou dirig�e suivant KB, Ie frOttement seranbsp;dirig� suivant KA, et il suffira de changer les signesnbsp;des termes multiplies par h, dans les formules dunbsp;Cas pr�c�dent, qui deviendrontnbsp;a'z=a~\-ihb^ a!~a.-\-^~, tangy=: tang^-f-sA.

four que ce cas ait lieu, il faudra que la vitesse initiale du point K soit en sens contraire de celle de G; ce qui suppose que la rotation primitive ait lieu dansnbsp;lo sens oppose a celui qui est indique par la fleche s.nbsp;^ cause de

d faudra, en outre, que cette quantit� n�^ative ^�d-ca. I�emporte sur Ie terme positif jhb. Dans cenbsp;second cas, Tangle de reflexion surpassera Tangle

�a8o nbsp;nbsp;nbsp;TRAIT� DE M�CANIQUE.

3%^ldence, tandis qiie, dans Ie premier cas, y' �tait moindre que y.

La vitesse du point K �lant positive au commencement du choc, si elle devient z�ro a un certain instant de sa dur�e, et qu�elle reste ensuite nulle jusqua la fin, on prendra, dapr�s Ie n� 4?^ gt; {h -^b'')nbsp;pour Teffet total du frotteraent, en d�signant par b'nbsp;la vitesse verticale de G a l�instant dont il s�agit, etnbsp;regardant b' comme une quantit� negative on positive, selon que eet instant arrivera pendant que Ienbsp;mobile se comprim�, ou pendant qu�il revient a sanbsp;figure primitive. On en conclura, comme dans Ienbsp;premier cas.

Si la vitesse du point K est z�ro des Ie commencement du choc, on aura b' � � b; et Ie frottement �tant nul, ou de la seconde esp�ce, pendant toute lanbsp;dur�e de la percussion, il n�influera pas sur les va-leurs de a', a.', tang y'. Si, au contraire, la vitesse denbsp;K ne devient nulle qu�a la fin du choc, on auranbsp;b' = b, et ces formules co�ncideront avec celles dunbsp;premier cas. G�n�ralement, la valeur de sera in-connue, et Ton saura seulemeut qu�elle ne peut pasnbsp;d�passer mais comme on suppose nulle la vitesse finale du point K, il faudra qu�on ait

281

DYNAMIQUE, SECONDE PAR�IE. 'd�o� Ton tire

7/7 I I nbsp;nbsp;nbsp;Cx)

k(b b) =----;

par cons�quent,

5a�ICO.

La vitesse du point R elant positive dans une premi�re partie du choc, si elle devient negativenbsp;lt;lans la partie suivante, et que b' soit la vitessenbsp;''Verticale positive ou negative, de G, a l�instantnbsp;de ce changement de signe, les quantit�s de mouvement imprim�es a M, suivant la direction de KG,nbsp;seront M (� -j- b') et M ((?gt; � b') pendant ces deuxnbsp;parties de la percussion. D�apr�s Ie n� 4?^/ on pren-dra done hM{b b') � }M.(jb � b') pour la quantit�nbsp;totale de mouvement produite par Ie frottement suivant la direction KB ou KA, selon qu�elle sera positive OU negative; et comme cette quantit� se r�duitnbsp;a iTiMb', on en conclut que les formules relatives anbsp;ce quatri�me cas se d�duiront de celles du premier,nbsp;en y mettant h' au lieu de �. On y changera Ie signenbsp;de h, comme dans Ie second cas, si la vitesse de K anbsp;d�abord �t� n�gative, pour devenir ensuite positive,nbsp;^ais la quantit� b' n��tant pas donn�e, ces formulesnbsp;�le feront pas connaitre la diminution ou l�augmen-tation de l�angle de r�flexion, et Ton saura seulementnbsp;l�une ou l�autre est moindre que daas ie premiernbsp;Ie second cas.

La question serait encore plus compliqu�e, si Ie projectile tournait autour d�ua axe qui ne fut pas

perpendiculaire, comme nous l�avons suppose, au plan vertical dans lequel Ie point G se meut avant knbsp;choc. Le frottement ferait alors sortir ce point de sonnbsp;plan pendant la percussion; et non seulement Tanglenbsp;de reflexion differerait de Tangle d�incidence, niaisnbsp;encore ces deux angles ne seraient plus compris dansnbsp;un m�me plan vertical.

478. Maintenant, pour montrer, ind�pendainment du frottement, Tinfluence du choc sur le mouvement de rotation , prenons un exemple simple, dansnbsp;lequel la normale au point de contact des deuxnbsp;mobiles, qu�on peut regarder comme la directionnbsp;du choc, ne passe pas par le centre de gravit� denbsp;Tun de ces deux corps.

Supposons que dans le choc Taxe instantan� de rotation de M coincide avec Tun des axes principaux qui se coupent a son centre de gravit�, par exemple,nbsp;avec Taxe Gz (fig. i5); on aura alors p = o et ^ = o.nbsp;Supposons aussi que le point K et la normale commune aux deux surfaces en ce point, soient comprisnbsp;dans le plan des axes Gx et Gj-; ce qui rendra nullesnbsp;les deux quantit�s c et cos y. En faisant

dans les deux derni�i�es �quations (i) ou (4), on en conclut o et = o, ou P = o et Q = o; ennbsp;sorte que, dans les deux cas des corps mous et desnbsp;corps �lastiques, Taxe de rotation co�ncidera encore,nbsp;apr�s le choc, avec Taxe Gz, et le choc changeranbsp;seulement la vilesse de rotation sans changer Taxe

PrenODS pour Ie corps M' une sphere homogene. La direction du choc passera par son centre de gravity ; on aura done, comme dans le n� ^71 ^

a'cosg'=�'coss(,', c'cosa'=rt'cos7', �'cosgt;'=c'cos^'; en ayant �gard aux suppositions pr�c�dentes, 1 �qua-doh (5) se r�duira a

Menons parle point K des parall�les aux directions des vltesses 0 et 0' de G et G' avant le choc; soient o'nbsp;et cT' les angles que ces parall�les font avec KH; nousnbsp;aurons

pour les composantes de 0 et 0' suivant cette partie de la normale au point K; et en �liminant aunbsp;ttioyen de Ia quatri�ine equation (1), l��quation pr�-^�dei^te devlendra

Au moyen de cette valeur de N, les trois premi�res equations (i) ou (4)gt; selon que les mobiles serontnbsp;mous ou �lastiques, feront connaitre les trois com-posautesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ou U, V, W, de la vitesse de G

apr�s Ie choc, et les trois premi�res equations (2) ou (5) d�termineront de .m�me celles de la vitessenbsp;finale de G'. Quant a la valeur de ou de K, elle senbsp;d�duira de la quatri�me equation (i) ou (4).

La quantit� N doit toujours �tre positive, comme nous l�avons d�ja remarqu�; et quand sa valeur seranbsp;negative, il n�y aura pas de choc entre les deuxnbsp;mobiles. Le d�nominateur de cette valeur est positif,nbsp;ainsi que le facteur MM'C de son num�rateur. Lesnbsp;quantit�s 9 et 6', contenues dans l�autre facteur, sontnbsp;aussi positives; les quantit�s a, b, cos a, cos^,nbsp;cos cT, cos cT', pourront �tre positives ou negatives;nbsp;et leurs signes seront donn�s dans chaque cas particulier. A cause dep = o etq = o, r sera, abstraction faite du signe , la vitesse de rotation avant lenbsp;choc. Pour savoir le signe qu�on devra lui donnernbsp;dans la valeur de N, je consid�re un point situ� surnbsp;l�axe Ga?, a l�unit� de distance du point G; la vitessenbsp;de Ce point, parall�lement a l�axe Gy, sera u-j-fnbsp;avant le choc (n� 4^6); d�ou l�on conclut que sanbsp;partie r devra ��e positive ou negative, selon que lenbsp;mouvement de rotation primitif aura eu lieu, denbsp;l�axe G:c vers l�axe (y, ou de 1 axe Gy yers l�axe G.^??

c�est-a-dire, dans Ie sens de la fl�che s ou dans Ie sens oppose. Apr�s Ie choc, la rotation aura aussi lieu dansnbsp;Ie premier sens ou dans Ie second, selon que la valeurnbsp;de OU de R sera positive ou negative.

479. Jusqu�ici nous avons suppose les deux corps M et M' enti�rement libres; mais s�ils sont retenusnbsp;par un point ou un axe fixe, la determination de leursnbsp;l��ouvemens apr�s Ie choc dependra toujours desnbsp;m�mes principes, et ne dlflerera que par Ie nombrenbsp;des equations qu�on aura a conside'rer..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*

Par exemple, si Ie mobile M est retenu par un point fixe G, les trois premi�res equations du n� 467nbsp;He seront plus n�cessaires pour I�equilibre de M etnbsp;des quantit�s de mouvement perdues, pendant Ienbsp;choc, par tons les points de ce corps. Ce point fixe Gnbsp;ne sera pas toujours, comme pr�c�demment, Ienbsp;centre de gravite' de M, et les int�grales fxdin, fjdm,nbsp;fzdm , ne seront plus nulles � mais les six quantit�snbsp;u, V, w,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;seront z�ro; et en prenant pour

Gx, Gj, Gz, les trois axes principaux de M qui se coupent en ce point G, les trois derni�res equationsnbsp;d��quilibre se redui ront encore a

comme dans Ie num�ro cit�. nbsp;nbsp;nbsp;En j joignantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les six

equations (2) relatives au corps M', que je conti-*tuerai de supposer enti�rement libre, et l��qua-boa(3), dans laquelle on fera u^=o, f^=o, w^ = o, �n aura les dix �quatlons n�cessaires pour d�terminer

la valeur de N, et les mouvemens des deux corps apr�s Ie choc, lorsqu�on les supposera d�nu�s d��las-ticit�. Qnaud ils seront parfaitement �lastiques, onnbsp;remplacera les trois equations pr�c�dentes par lesnbsp;trois derni�res equations (4), et l�on fera usage desnbsp;equations (5) au lieu des equations (2).

Si Ie corps M est retenu par un axe fixe Gz, qui ne sera plus un axe principal, la quatri�me equationnbsp;du n� 467 sera seuie n�cessaire pour l��quilibre de Nnbsp;et des quantit�s de mouvement perdues par M.nbsp;Comme l�axe de rotation coincide alors avec Gz,nbsp;avant et apr�s Ie choc , on aura p = o, q =zo ,nbsp;p,~o, q,� o ; et les trois composantes de la vitesse denbsp;G�tant aussi nulles, cette equation se r�duira encore a

C �tant toujours Ie moment d�inertie par rapport a l�axe Gz. On la remplacera par

lorsque les deux mobiles seront parfaitement �las-liques; et en y joignant Tequation (3) et celles qui r�pondent au corps M', on aura toutes les equationsnbsp;n�cessaires pour d� terminer N et les mouvemens desnbsp;deux mobiles apr�s Ie choc.

480. Au lieu de deux corps seulement, si trois OU un plus- grand nombre de mobiles se choquentnbsp;simultan�ment, on formera les �quations d'�qui-llbre des quantit�s de mouvement perdues, dansnbsp;Ie choc, par chacun de ces corps, eu Ie coa.si-d�rant isol�ment, apr�s avoir joint aux quantit�snbsp;de mouvement perdues par tous ses points, d�au-

4res forces inconnuesN^N', ]Nquot;, etc., appliqu�es aux points de contact de ce corps avec tons les autres,nbsp;etdirig�es, de dehors en dedans, suivant la normale anbsp;sa surface. Pour tous les mobiles, ces forces inconnuesnbsp;seront en m�rae nombre que les points de contactnbsp;de ces corps; car elles representeront des quantilesnbsp;de mouvement �gales et contraires pour les deuxnbsp;Diobiles qni se touchent en chaque point. Mais, anbsp;1 instant de la plus grande compression , c�est-a-dire,

^ la fin du choc des corps d�nu�s d��lasticit�, le-lt;lnatiou (3) aura lieu pour chaque point de contact; d�ou il r�sulte qu�on aura toujours un nombre suffi-sant d��quations , pour determiner, a eet instant,

1 �tat de tousles mobiles, et les valeurs de N , N', etc. Quand les mobiles seront parfaitement �las-tiques , on obtiendra la solution du probl�me, pournbsp;ehacun deux s�par�ment, par la consideration employee dans Ie n� 469-

481. Pour donner un exemple simple de cetfe solution g�n�rale, soient M, M', ft, les masses denbsp;trois spheres homog�nes, dont les centres sont G,nbsp;Gr', C(fig. tq). Supposonsque ft soit en repos avantnbsp;ie choc, et que cette sphere soit frapp�e simultan�-�nent par M etM', qui Ia touchent aux points Knbsp;K'. Si M et M' ont un mouvement de rotationnbsp;^vant Ie choc, il ne sera pas chang� par Ie choc;

n�en prenant aucun pendant cette percussion, on ^nra seulement a d�termin.er, en grandeur et en di-�'ection, les vilesses de G, G', C, apr�s Ie choc,nbsp;ttioyen des vitesses et des directions de G et G'nbsp;^Dparavant.

D�signons done, avant le,,choc, par a, b , c ^ leS composantes de la vitesse de G, parall�les a troisnbsp;axes fixes et rectangulaires, Ox, Oy, Oz, et par a!,nbsp;b', c', les composantes de la vitesse de G', parall�lesnbsp;aux m�mes axes. Repr�sentons par u, v,w, u', v' w,nbsp;ce que deviennent ces six composantes a l�instant denbsp;la plus grande compression , et par u^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, les

composantes suivant les m�mes axes, de la vitesse de C a eet instant. Soient aussi a, amp;, y, les anglesnbsp;compris entre Ie rayon KC et des parall�les auxnbsp;axes Ox, Ojr, Oz, men�es par Ie point K, et a', �',nbsp;y', les angles que fait Ie rayon K'C avec des parall�lesnbsp;a ces axes, men�es par Ie point K'. Appelons, a l�ins-tant dont il s�agit, N la quantit� de mouvement com-muniqu�e a ^ par M suivant KC, ou a M par jU suivant KG, et N' celle qui est communiquee a ft par M'nbsp;suivant K'C, ou a M' par ft suivant K'G'. Les neufnbsp;equations d��qullibre des quantit�s de mouvementnbsp;perdues, et des forces N et N', qu�il suffira de con-sid�rer, seront

M'{b' � v') � nbsp;nbsp;nbsp;N' cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, j (d)

*^,cosa -f-t'^cos? w^cosy = u cosa rcosf -f- iv cos y, 1 *i^cosa'-{- t� cos�^-|- w^cosy'= M'cosa^ �' cos S'-}- w'cosy'; J ' *

et Fon aura, de cette mani�re, les onze e'quations �i�cessaires et suffisantes pour determiner les onzenbsp;inconnues IN, N', u, v, etc.

cos a cos a' cos amp; cos C' cos y cos y' = cos �F, a cos IX.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b cos Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c cosy = k,

sera Tangle GCG', et k et k' repr�senteront les vi-tesses primitives de G et G' suivant GK et GK'. En observant que

cos^ns cos'^ cos*^=i, cos*a' cos*�''4-cos��)^'= 1, les equations (a) donneront

u cos � nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos y

u' cos ct' nbsp;nbsp;nbsp;v'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�' -hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;w'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos y'

�y cos a nbsp;nbsp;nbsp;-}-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos y

tt, cos CL nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�' nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tP,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos y'

M/aA: = N (M /w) N'M costT, Mgt;A^'= N'(]VF fJi) NM' cosj';

valeurs qui devront toujours �tre des quantit�s positives. Apr�s qu�on les aura substitu�es dans les equations (�), on en d�duira imm�diatenient les valeurs des neuf composantes �, v, etc., des vitesses de G,nbsp;G', C, qui auront lieu a la fin du choc, lorsque lesnbsp;trois mobiles seront d�nu�s d��lasticit�.

S�ils sont, au contraire, parfaitement �lastiques, et qu�on d�signe, a la fin du choc simultane' de cesnbsp;trois corps, par U, V, W, les composantes de la vi-tesse de G, par U', V', W', celles de la vitesse de G',nbsp;parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, celles de la vitesse C, on aura, par

N cos as N' cos af nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ ujnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o,

N cos C N' cos nbsp;nbsp;nbsp;-t- /A (v, � VJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o,

il ne restera plus qu�a substituer dans ces dernieres Equations les valeurs pr�c�dentes de N et N', pour ennbsp;d�duire ensuite imm�diatement les valeurs des neufnbsp;inconnues U, V, W, �', V', W', �,, V,, W,.

Les vitesses finales des points G, G', C, seraient encore les m�mes, si les chocs de M et de M' contrenbsp;ft, au lieu d��tre simultan�s, se succ�daient a unnbsp;tres petit intervalle de temps, de sorte que ces troisnbsp;points ne se fussent pas sensiblement d�plac�s pendant ce temps tr�s court. Les dur�es tr�s courtesnbsp;des deux chocs, simultan�s ou successifs, peuventnbsp;^iussi �tre in�gales, et l�instant de la plus grandenbsp;*^Ompression n��tre pas Ie m�me aux points K et K'.

CHAP�TRE VI�L

482. Soit AMB (fig. 20 ) une corde parfaitenient flexible, tres peu extensible, homogene et partoutnbsp;de la ra�me �paisseur, tendue suivant sa longueurnbsp;par une force �quivalente a un poids donn� , etnbsp;attach�e par ses deux extr�mit�s a des points fixes Anbsp;et B. On n�glig� son poids par rapport a 'za-j et on lanbsp;regarde, par cons�quent, conune rectiligne dans sonnbsp;�tat d��quilibre. Cela �tant, supposons qu�on l��cartenbsp;un tant soit peu de cette direction, et qu�on im-prime de petites vitesses a tous ses points; cette cordenbsp;osciliera de part et d�autre de la droite AMB; et ilnbsp;s�agit de d�terminer, a un instant quelconque, sanbsp;position et les vitesses de ses dift�rens points.

Au bout du temps quelconque t, supposons quc cette corde forme la coufbe AM'B, plane ou a doublenbsp;courbure, dans laquelle M' est la position qu�a prisenbsp;Ie point quelconque M. Soit P la projection de M'nbsp;sur la droite AMB; faisons

et repr�sentons par jquot; �t z les deux aulres Goordon-Dees de perpendiculaires entre elles a 1�axe AB. Les d�placemeus des points de ia corde �tant supposes tres petits, les variables u, Jquot;, z, seront aussi tr�snbsp;petites, et la question consistera a determiner leursnbsp;Valeurs en fonctions de x etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Appelons ds l��l�ment diff�rentiel de la courbe AM'B, qui r�pond au point et e la densite de lanbsp;eorde en ce point, multipli�e par l�aire de la sectionnbsp;perpendiculaire a sa longueur en ce m�me point, denbsp;sorte que ids solt r�l�raent de sa masse. Dans l��tatnbsp;d��quilibre, les �l�mens de cette masse sont propor-tionnels aux longueurs, puisque la corde est homogene et d�une �paisseur constante; la longueur denbsp;1 �l�ment qui r�pond au point M est dx; sa masse sera

de la corde enti�re, et g la gravit�; et comme Ia masse de eet �l�ment ne doit pas changer pendant Ienbsp;mouvement, on anra constamraent

Si eet �l�ment ids �tait soUicit� par une force mo-h�ice donn�e, dont les composantes parall�les aux ^xes des coordonn�es fusseut repr�sent�es par ILids,nbsp;^ids, luids, les composantes suivant ces axes, de lanbsp;Iprce perdue pendant l�instant dt, seraient

(X - nbsp;nbsp;nbsp;. (Y _ f(Z - f;

a la place de X, Y, Z, dans les equations (O du n� 298, et Y substituer pour ids sa valeur pre'c�-dente. Or, les quantite's X, Y, Z, �tant nulles, parnbsp;hypothese, il en r�sulte

T �tant la tension de T�l�ment ids, et en observant que x~{-u est l�abscisse du point M' auquel ces equations r�pondent. Elles ne sont int�grables que quandnbsp;on les a r�duites a la forme lineaire, par la consideration du peu d��tendue des vibrations de lanbsp;cofde.

483. L��l�ment de la longueur de la corde �tant dx dans l��tat d��quilibre et �tant devenu ds dans l��tatnbsp;de mouvement, et les tensions qu�il �prouve , dansnbsp;ces deux �tats, ajant czr et T pour mesu res, leafnbsp;diff�rence T � �sr devra �tre proportionnelle a�nbsp;rapport de son extension ds � dx a sa longueurnbsp;primitive dx (n� 288); on aura done

9 �tant un poids constant et donn�, qui d�pendra de la mati�re et de T�paisseur de la corde. D�aill�urs,nbsp;on a

de plus, si non-seulement les points de lacourbeAM'B, ma�s aussi les directions de ses tangentes, s��cartent peu

tr�s petites fractions ; en n�gligeant leurs carr�s , il en r�sultera done

et si l�on n�glig� �galement les prod�its ^ et 5rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;equations (1) deviendront

Les variables u, j,z, �tant s�parees dans ces equations (2), on en conclut que les vibx�ations de la eorde, parall�les aux axes de ^ t � ^ � gt; seront ind�-pendantes entre elles, et coexisteront ensemble ^ sansnbsp;s�influencer mutuellement. On voit, de plus, que lesnbsp;vibrations transvBrs�les seront les naemes dans Ienbsp;sens des j et dans Ie sens des z; en sorte qu�il suffiranbsp;de consid�rer les premi�res, par exemple. Quant aux

vibrations longitudinales, nous vojons aussi, en comparant la premi�re des equations (2) a Tune des deux derni�res, qu�elles suivront les m�nies lois que lesnbsp;autres, dont elles ne diff�reront que par la grandeurnbsp;du coefficient a�, qui surpassera 0� dans Ie rapportnbsp;de q a lt;Z�r.

� et F de'signant les deux fonctions arbitraires. En effet, quelle que soit une fonction on a

�ne quantit� positive, x-{-at sera une quantit� positive pendant toute la dur�e du mouvement, et ^ � at une quantit� negative , ou une quantit� positive et moindre que l. Si done on d�signe par ^nbsp;Une variable positive, il suffira, pour pouvoir fairenbsp;Usage de la formule (S), de connaitre les valeurs denbsp;et F(�depuis ^=50 jusqu�a ^ � 00 , et cellesnbsp;de F^, depuis f = o jusqu�a ^ = /. Or, on d�termi-�iera, comrae on va Ie voir, ces valeurs de etnbsp;P (�^), par la condition de Timmobilit� des pointsnbsp;^ et B pendant tout Ie mouvement, combin�e avecnbsp;^ lt;^tat initial de la corde.

ces deux fonctions cpoc et (p�x seront nulles pour x � o et pour xz=.l, et donn�es, depuis x~o jusqu�anbsp;x = Z, par la figure initiale de la corde et d�apr�snbsp;les vitesses imprim�es, a cette �poque, a ses diff�rensnbsp;points. En faisant t � o dans la formule (3) et dansnbsp;sa dlff�rentielle par rapport a on aura

^flt;p'xdx = Ox,

�? = nbsp;nbsp;nbsp;FC = 4lt;PC -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(4)

La fonction contiendra une constante arbitraire; mals il est �vident gu�elle dlsparaitra dans la formule (3), qui se compose de la somnie des valeursnbsp;de et F^, relatives a deux valeurs diff�rentes denbsp;On peut done faire abstraction de cette constante,nbsp;et supposer, pour fixer les idees, que la fonctionnbsp;s��vanouisse, quand ^ o. Les equations (4)nbsp;feront alors connaitre les valeurs de JX et Fi^ , malsnbsp;seulement depuis ^=0 jusqua ^ = Z, puisque lesnbsp;functions et ne sont donn�es que dans eet in-tervalle.

Les points A et B �tant fixes, il faudra que les valeurs dey qui r�pondent aar = oeta; = Z, soientnbsp;constainment nulles. En faisant at = l!^, on auranbsp;done, d�apr�s l��quation (3),

/? F(-{) = o, /(/ 0 F(i-0 = o,(5)

En vertu de la premi�re de ces deux equations, les valeurs de Ff � ^ ) seront �gales et de signe contraire a celles de Si l�on met dans la secondenbsp;equation (5), Z ^ a la place de ^ , et qu�oti la re-tranche ensuite de la premi�re, il vient

a =JX;

ce qui fera connaitre , depuis ^=0, jusqu�a C = . quand cette fonction aura �t� d�termin�e,nbsp;depuis ^=0 jusqu�a ^ = 2I. Enfin, en supposantnbsp;^ lt; Z, et mettant Z � ^ a la place de dans la seconde equation (5) , on a

Par consequent, les valeurs de Ji^^l�depuis ^ = o jusqu�a ^ = Z, ou , ce qui est la m�me chose,nbsp;celles de depuis (, = I jusqu a 3Z, serontnbsp;connues, d�apr�s les valeurs de F^, depuis f = onbsp;jusqu�a ^ = l.

Ainsi, les valeurs de � C �tant donn�es par les equations (4), depuis o jusqu�a ^^ = 1, lesnbsp;e�quations (5) d�terinineront cellesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et de

F (� ^) , depuis Z = o jusqu�a ^ = co . On con-naitra done toutes les valeurs de ces deux fonctions, d�o� dependent celles de / , pour tous les points denbsp;la corde et a un instant quelconque du mouve-

Par cons�quent, on connaitra la figure de la corde, et les vitesses transversales de tons ses points a unnbsp;instant quelconque; ce qui est la solution completenbsp;du probl�me, en ce qui concerne Ie mouvementnbsp;de la corde, perpendiculairement a sa direction na~nbsp;turelle.

II n�y a rien , dans la question, qui puisse servir a determiner les valeurs de f{ � C)gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;que

^es parties des deux fonctions arbitraires, dont 1�usage de la formule (3) n�exige pas la connaissance ,nbsp;resteront tout-a-fait ind�termin�es.

486. Pour connaitre la valeur de y qui r�sultera des e'quations (3), (4), (5), je consid�rerai successi-

vement la partie de cette valeur provenant de la figure initiale de la corde , ou de la fonctiou , etnbsp;celle qui provient des vitesses initiales de ses dif�'�-rens points, ou de laJbnction

1�. A Torigine du mouvement, soitACB (fig. 21) la projection donn�e de ia corde sur Ie plan des xnbsp;et j-, de sorte qu�en prenant sur AB la partie AD=ar,nbsp;l�ordonn�e correspondante DG soit (px. Apr�s avoirnbsp;prolong� AB, je trace la courbe BC'A', �gale a ACB,nbsp;mals in vei�sement plac�e, de mani�re que, si Ton prendnbsp;BD' = BD, Tordonn�e D'C' soit �gale et de signenbsp;contraire a DG. Sur les deux prolongemens de AA', jenbsp;r�p�te ind�finiment la courbe ACBC'A'; en sorte quenbsp;A'Cquot;B'G'quot;Aquot; soit la position que prendrait ACBC'A',nbsp;si cette courbe glissait parall�lement a l�axe des x,nbsp;jusqu�a ce que A vint en A' et A' en Aquot;, et quenbsp;AC^B^C^^A^ soit la position de A'C'BCA, apr�s avoirnbsp;gllss� de m�me jusqu�a ce que A' vint en A et A en A^;nbsp;et de m�me au-dela de Aquot; et de A^. Cela fait, si Tonnbsp;prend deux abscisses

dont la seconde pourra �tre positive ou negative, et qu�on�l�ve les ordonn�es correspondantes EF etE'F',nbsp;positives ou n�gatives , leur demi-somme

2�. Supposons que les ordonn�es de la courbe ACB? au lieu d��tre les d�placemens primitlfs des points-de

la corde, repr�sentent raainlenant leurs vltesses ini-tlales, divis�es pai� a; en sorte qu�en prenant AD=: x,

oiencant avec x, et la foncli�n ^'x �tant aussi nulle , quand x~o, cette courbe touchera l�axe des x aunbsp;point A. Si l�on prend AB = Z, et que BH soitnbsp;1�ordonn�e correspondante, on aura

ot la tangente en H sera parail�le a l�axe des abscisses, a cause que Ton a f'x == o , quand x~l.3e trace la courbe HC'A', �gale a ACH, et placee denbsp;mani�re qu�en prenant BD' ==BD, on ait D'C' = DC;nbsp;puis je r�p�te ind�finiment la courbe ACHC'A', surnbsp;les deux prolongemens de AA', comme dans Ja construction pr�c�dente; et cela fait, si Ton prend deuxnbsp;abscisses

^ont la seconde pourra �tre positive ou negative , et qu on �l�ve les ordonn�es correspo.ndantes KL et K'L',nbsp;positives ou negatives, on aura

Plt;^uv la partie de j qui r�sulte des vitesses initiales ties points de la corde.

d. EF		d. EF	d.E'W	d.E�F
dt	==:a	dx	� nbsp;nbsp;nbsp;dt	dx
d.KL		d.KL	d.K'L'	d.K'L'
dt	� iX	dx	� nbsp;nbsp;nbsp;dt	^ dx
on aura done
djr nbsp;nbsp;nbsp;a,	'd.EF nbsp;nbsp;nbsp;\d.E'F'\ .			a/d.KL nbsp;nbsp;nbsp;d.
dt ~ S	dx	,	dx ) nbsp;nbsp;nbsp;'	l.\dx

Or, si l�on m�ne par la pointe F, F', L, L' (fig, 21 et 22), les tangentes^, �f, hl, \IV, et les droites F^,nbsp;F'x, hx, L'x, parall�les a l�axe des x et dirige'es dansnbsp;Ie sens des x positives , on aura aussi

d.EF ^ nbsp;nbsp;nbsp;d.E'F' ^ p, �

tang xFf, nbsp;nbsp;nbsp;= tang a^F'�' ,

487. II r�sulte de la construction des courbes repr�-sent�es par les figures 21 et 22, que quand Ie produit

in�me a l��gard des valeurs de z et Par cons�quent , la corde revient au m�me �tat, pour *3 forme et pour les vitesses transversales de tousnbsp;s^s points, au bout de chaque intervalle de temps

A et B rigoureusemenl fixes, la corde ex�cute-t�ait done une suite ind�finie de petiles oscillations dont la duree serait �, pour chaque oscillation en-

ti�re, Pall�e et Ie retour compris. Mais la resistance 8e I�air et la communication d�une partie du mouve-��ient de la corde a ses points extremes A et B ,nbsp;3fFaibllssent graduellement les amplitudes de ses oscillations, etfinissent par les an�antir, sans alterer sen-siblement Tisochronisme ; r�sultat semblable a celuinbsp;nous a pr�sent� Ie mouvement du pendule dansnbsp;lair (nquot; 190), et que je me contente d�indiquernbsp;couime une cons�quence de l�analyse, confirm�e parnbsp;^ observation.

Si done on d�signe par T la dur�e d�une vibration On Oscillation enti�re de la corde, et par n Ie nombrenbsp;des vibrations qui auront lieu dans l�unit� de temps.

Le ton d�une corde sonore est d�autant plus �lev� qu�elle fait un plus grand nombre de vibrations ennbsp;un temps donn�; il est done de'termin� par Ie nom-bre n , lequel est, cornnie on voit, ind�pendant denbsp;la grandeur des amplitudes, suppos�es tres petites.nbsp;Pour une m�me corde, ce nombre est proportionnelnbsp;a la racine carr�e de la tension �sr; pour deux cordesnbsp;d�une m�me mati�re et d�une m�me �paisseur, Ienbsp;poids p est proportionnel a la loilgueur Z, et Ienbsp;nombre 7i, a tension �gale, en raison inverse de cettenbsp;longueur; enfin, pour deux cordes de m�me' longueur et �galement tendues, n est en raison Inversenbsp;des racines carr�es de leur poids. Ces differentes loisnbsp;o'nt�t� confirmees depuis long-temps par Texp�rience*nbsp;Toutefois il y a des cas dont nous parlerons bient�l�nbsp;o� la corde , a raison de son �tat initial, se divisenbsp;en parties �gales, jointes par des points qui denieu-rent immobiles pendant toute la dur�e du mouve'nbsp;ment; ce qui �l�ve Ie ton proportionnellement aUnbsp;nombre de ces parties aliquotes.

Si les points de la corde n�ont pas de vitesses ini' liaies, on aura simplement

^ (tanga?F/--tangxFyO�

En consid�rant avec attention la forme de la courbe repr�sent�e par la figure 3..i, on verra que toutes 1�*

Diais situ�e dans des positions alternativement inverses Tune de Tautre. ACB (fig. aS) �tant sa figure, lt;�uand t � o, ce sera encore sa figure et sa position,nbsp;lt;luand at sera un multiple pair de l-, mais lorsque atnbsp;sera un multiple impair de Z, la corde prendra lanbsp;position inverse AC'B, telle qu�en faisant AD'= BD,nbsp;On ak D'C' = � DC. Dans ces deux positions extremes ACB et AC'B, les vitesses transversales denbsp;tous les points de la corde seront z�ro; et la cordenbsp;cinploiera Ie temps d�une demi-vibration, anbsp;passer de Tune a l�autre.

488. En general, les parties des lignes que repr�-sentent les figures 21 et 22 ne sont pas les prolon-gemens analytiques Fune de l�autre; ces lignes for-ment des courbes discontinues, c�est - a - dire, des courbes dont tous les points ne sont pas assujettis anbsp;la m�me equationentre l�abscisse etl�ordonn�e; mais,nbsp;aux points de jonction A^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, A , B, A', B', etc.

fie deux portions difF�rentes, la tangente est toujours Commune aux deux parties adjacentes. La courbenbsp;*'elative a la forme initiale de la corde, et celle quinbsp;�epr�sente la loi des vitesses imprim�es a tous sesnbsp;points, peuvent aussi �tre des courbes discontinues,nbsp;Pourvu,. qu�en chacun des points o� leur formenbsp;change, la tangente reste n�anmoins la m�me pournbsp;les deux parties adjacentes.

nature j la force acc�l�ratrice d�un point materiel et la vitesse dont il est anim� , sont toujours des quan-tite's finies, existantes et mesurables; en sorte que,nbsp;dans les probl�mes de Djnamique, les fonctionsnbsp;du temps qui expriment les vitesses et . les forcesnbsp;acc�leratrices des diff�rens points d�un mobile, nenbsp;doivent jamais devenir infinies. Ici, la condition relative aux vitesses est remplie; car les vitesses trans-versales s�expriment par la formule {b), au moyennbsp;des langentes de certains angles, multipli�es ^ar lanbsp;constante a; et par hypothese, ces angles ne s��l�ventnbsp;jamais a 90�, etsont; au contraire, toujours tres petits.nbsp;Quant aux forces acc�l�ratrices, elles deviendraientnbsp;infinies, dans les points o� deux portions de la cordenbsp;se couperaient sous un angle fini, et ces forces croi-traient sans limite, pres de seniblables points denbsp;j onction.

En effet, soient in et m' (fig. 20) deux points de la corde, tres rapproch�s de M', et dont nous ren-drons ensuite les distances a ce point infinimentnbsp;petites. Consid�rons, a un instant quelconque, leSnbsp;forces qui agissent sur la portion inWm' de la corde,nbsp;c�est-a-dire, les tensions qui ont lieu a ses extr�-mit�s , et sont dirig�es suivant les parties mh et m'h'nbsp;des tangentes en m et m'. Repr�sentons ces tensionsnbsp;par H et H', et par ft la masse de mWm'. Pour qn�nbsp;la force acc�l�ratrice, parall�le a AB , de cette petitenbsp;masse, ne devienne pas infinie, quand ft.sera infiquot;nbsp;niment petite, il faudra que la diff�rence H � H' soitnbsp;ir�s petite et au moins proportionnelle a ft. De plus?nbsp;les composantes de H et H' perpendiculaires a AB

et parall�les a l�axe des jquot;, seront H en substituant ^ ^ ^, comme dans Ie n� 4^3 , etnbsp;d�signant par et les valeurs de � qui r�-

pondent a /ra et m'. La force motrice qui tire jtt vers AB , aura alors pour valeur

H (�) - �' [�]�

four que la force acc�l�ratrice correspondante ne soit pas extr�mement grande, et- ne devienne pasnbsp;infinie, quand la masse sera infiniment petite j ilnbsp;sera done ne'cessaire que cette difference soit aussi tr�snbsp;petite, et au moins proportionn^le a j et commenbsp;les quantit�s H et H' diff�rent d�ja tr�s peu 1�unenbsp;de l�autre, il faudra qu�il en soit de m�me a l��gard

niment petite, quand les points m et m' seront infi-niment rapproeb�s de M'. Done, en aucun endroit de la corde et a aucun instant, les tangentes mhnbsp;et m'h', en deux points infiniment voisins , ne pour-�'ont se couper sous un angle fini; ce qu�il -s�agissaitnbsp;de faire voir.

Cette conclusion aura encore lieu, lorsque la corde sera compos�e de deux parties de mati�res ditl�-*'entes : a leur point de jonction, rordonneejquot; et son

nira, comme la fixit� des points extremes, des equations indispensables pour la determination desnbsp;fonctions arbitraires, et sans lesquellesla solution dunbsp;probl�me serait ind�termin�e (�'�).

48g. D�Alembert a r�solu Ie premier Ie probl�me des cordes vibrantes; la solution qu�il en a donn�enbsp;est celle qu�on vi�nt d�exposer, et qui est fondeenbsp;sur l�int�gration, sous forme linie, de l��quation

du nquot; SaS , on peut aussi r�soudre cette question d�une autre mani�re.

Quelles que soient les fonctions donn�es lt;pa? et (p'x, pourvu qu�elles soient nulles, quand x = o et quandnbsp;X � l, on a, d�apr�s la formule cit�e,

pour toutes les valeurs de x, depuis x = o jusqu�a Xz=il inclusivement, c�est-a-dire, pour toute la longueur de la corde; i e'tant un nombre entier et po-sitif, et les caract�ristiques 2 indiquant des sommesnbsp;qui s��tendent a toutes les valeurs de i, depuis i= *nbsp;jusqua i = co . Dun autre cote, toute expressionnbsp;telle que

(K) J/ojez, pour cette solution, Ie Journal de l��cole Polyiechnique, XYITI' cahier, page 442-

A , B, a, �, �tant des constantes arbitraires. D�apr�s cela, si Ton prend

cette valeur de^ satisfera a toutes les conditions du probl�me, et en renfermera, cons�quemment, lanbsp;solution.

En effet, chacttn des termes des sommes 2 satisfera s�par�mfent a, l��quation (c); par cons�quent, ces sommes y satisferont aussi, puisque cette equation est lineaire. Si l�on fait o.�= o ou xx=l dansnbsp;la formule (d), on a^=o, quel que soit i; ce quinbsp;remplit la condition de la fixit� des points extremesnbsp;de la corde. Enfin, la formule (d) donne

devienaent lt;px et qi'x, en vertu de 1 equation (a); ce qui satisfait a l��tat initial de la corde, dans toute sanbsp;g�ne'ralite',

Cette autre solution du probl�me est due a Lagrange, qui a aussi fait voir qu�elle coincide avec celle denbsp;D�Alembert.

Avant Lagrange, D. Bernouilli avait d�ja r�solu Ie pxobl�me des cordes vibrantes , en prenant pournbsp;j- une valeur compos�e de termes compris dans lanbsp;formule (b), et assujettis a devenir nuls, quel quenbsp;solt t, pour x = o et pour xz=l, c�est-a-dire, aunbsp;moyen de 1�expressioa

dans laquelle A, A', Al', etc., B, B', Bquot;, etc., sont des constantes arbitraires. 11 manquait a cette solution, pour �tre compl�te, la determination de cesnbsp;coef�icieus, d�apr�s un �tat initial de la corde, donn�nbsp;arbitrairement; ce qui e'tait, sous Ie rapport de l�a-nalyse, la di/ficult� principale de la question : cettenbsp;formule suffisait, dailleurs, pour faire connaitrenbsp;les diffe'reus modes de vibrations transversales desnbsp;cordes soqores, et les lois de ces vibrations.

490. Les formules (d) et (e) metteut en evidence les lois du mouvement de la corde vibrante, que

8 �nonc�es dans Ie n� 487; elles montrent aussi que �e ton peut quelquefois s��lever, eomme on l�a ditnbsp;dans ce nnm�ro, et Ie nombre n des vibrations dansnbsp;bunit� de temps, devenir un multiple de sa valeurnbsp;g�n�rale, sans que la tension de la corde^ait �t�nbsp;cbang�e.

pour toutes les valeurs de i qul ne sont pas des multiples d�un nombre donn� m; conditions que l�on peut remplir d�une infinit� de mani�res difF�rentes.nbsp;Les formules [d) et (e) ne renfermeront que des si-

iius et cosinus des multiples de �j par consequent , l��tat et la position de la corde redeviendront les m�mes toutes les fois que at augmentera d�un

multiple de ^ j et d�apr�s la valeur de a, celle du nombre n, d�o� de'pend l��l�Vation du ton (n� 487), sera

c�est-a-dire, qu�il se trouvera augment� dans Ie rapport de m a I�unit�.

nieiit j- := o pour les points �quidistans N, N', etc., de la corde (fig. 24), qui r�pondent a

au nombre de m � t , demeureront immobiles, comme les points extremes A et B, pendant toute lanbsp;dur�e du mouvement. Pour cette raison, on appellenbsp;les points N, N', N�, etc., des nceuds de inbrations.nbsp;A l�origine du mouvement, ils n�auront recu aucunenbsp;vitesse, et n�auront pas �t� �cart�s de ia droite AB.nbsp;Les parties de la corde ACN, NC'N', N'Cquot;Nquot;, etc.,nbsp;situ�s^alternativement d�un c�t� et de l�autre de AB,nbsp;vibrerout comme des cordes isol�es, dont les longueurs AN, NN', N'Nquot;, etc., sont toutes �gales a ^,

La mani�re la plus simple de satisfaire aux condi-tions-exprim�es par les equations (g), est de prendre, par exemple ,

h �tant une constante donn�e. Cela suppose que les points de la corde n�onl pas recu de vitesses initiales,nbsp;et qua l�origine du mouvement elle �tait form�e denbsp;m parties �gales et situ�es alternativement d�un c�t�nbsp;et de l�aulre de AB. Chacune de ces parties de courbe

mule {d) se r�duit au seul terme de la premi�re par' tiCj qui repond a i^m. En effectuant l int�gratioB

7 . rriTcx rriTeat

la fig ure de la corde est done compos�e, pendant toute la dur�e du mouvement, d�un nombre m denbsp;trocho�des, d�une largeur constante et d une hauteurnbsp;Variable; et elle coincide aveC la droite AB, toutes les

fois que at est un multiple impair de Cette solution particuliere du probl�me des cordes vibrantes �st celle que Taylor avait donn�e, avant que la solution g�n�rale fut connue.

491. Tout ce que nous avons dit par rapport aux Vibrations transversales s�applique imm�diatementnbsp;aux vibrations longitudinales. II suffira, pour avoirnbsp;a un instant quelconque 1�expression de la variable unbsp;du n� 482, de mettre dans celle qu�on a trouv�e pournbsp;la constante et du n� 483 a la place de a. On pren-dra alors pour lt;^x Ie d�placement du point M (fig. 20)nbsp;a l�origine du mouvement, suivant la longueur de lanbsp;corde, c�est-a-dire, la valeur initiale de'MP; et (p'xnbsp;cxpriniera la vitesse initiale du point M, suivant MBnbsp;c*u MA, selon qu�elle sera positive ou negative. Cesnbsp;fonctions lt;^x et cp'x seront donn�es arbitrairement,nbsp;^epuis x = o jusqu�a x=:l; et si elles changent denbsp;forme dans eet intervalle, il faudra que, pour lesnbsp;Valeurs de x o� cela arrivera, chacune de ces fonc-tions et son coefficient diff�rentiel aient cependant lanbsp;^l�me valeur dans les deux parties adjacentes de la

corde.

II r�s�lte de la que si l�on appelle T' la duree enquot; ti�re d�une vibration longitudinale, c�est-a-dire, Tin-tervalle entre deux �tats identiques de la corde, etnbsp;n' Ie nombre de ces vibrations dans l�unit� de temps^nbsp;nous aurons (n* 4^?)

Ce nombre n' et Ie ton de la corde qu�il d�ter-mine, ne dependent pas de sa tension lt;ar; cependant l�observation indique que Ie ton longitudinal s��l�venbsp;un peu quand la tension augmente; circonstancenbsp;qu�on peut attribuer a ce que la longueur de la corde,nbsp;comprise entre les points A et B, restant la m�me,nbsp;son poids p diminue quand on l�e'tend davantage.

492. En comparant ce nombre n' a celui des vibi�a-tions transversales.de Ia m�me corde, on a en sorte que, toutes choses d�ailleurs �gales, Ie toonbsp;provenant des vibrations longitudinales sera plusnbsp;aigu que celui qui r�pond a�x vibrations transver-sales, dans Ie rapport de \/q a

Le poids q est la tension qu�il faudrait employer pour doubler la longueur naturelle de la corde, ennbsp;supposant que la loi de son extension fat constante.nbsp;En effet, si l�on suppose que, pour une tension don-ne'e A, la longueur d�une partie quelconque de Innbsp;corde augmente dans le rapport de i cT a Tunit� �

1��l�ment adjaceol au point M, qui �prouve succes-sivement les tensions �z�r et T dans l��tat d��quilibre et dans l��tat de mouvement, augmentera dans les rap-

et ds, dans ces deux �tats, seront done entre elles comme A cT'tJr est a A cf'T ; en sorte que l�onnbsp;aura

Ou n�gligeant Ie carr� de la fraction cT. D'apr�s les valours de ds�dx et de T�ear du n� 485, on aura done par cons�quent, ^ sera la tension qui r�pondrait anbsp;S' � I, OU qui doublerait la longueur de la corde, sinbsp;son allongement croissait toujours uniform�raent.

Comme la tension m d�une corde sonore est toujours tr�s �loign�e de celle qu�il faudrait employer pour en doubler la longueur, il s�ensuit que Ie rapport

pout Ie d�terminer, a priori, d�apr�s I�aUongement de la Corde produit par la tension et mesur� direc-tenient; car si l�on appelle y eet allongement, onnbsp;aura

= Tr

de 4.

Ce rapport tr�s simple du nombre des vibrations longitudinales a celui des vibrations transversalesnbsp;d�une m�me corde, a �t� v�rifi� par une experiencenbsp;que M. Cagniard-Latour a faite sur une corde tr�snbsp;longue, dont les vibrations transversales �taient visibles et assez lentes pour qu�on put les compter.

4g3. Cette verge sera homogene; et, dans son eta* naturel, je la supposerai prismatique oii cjlindrique:nbsp;la figure a5 repr�sente alors une section faite par Ienbsp;filet mojen AB, c�est-a-dire, par la droite qui passenbsp;par les centres de gravit� de toutes les sections de 1�nbsp;verge perpendiculaire a sa longueur (nquot; 3i4)* Si 1^nbsp;verge est, par exemple, un cjlindre a base circulaire�nbsp;AB est son axe de figure; son diam�tre est tr�s petit;

dans tons les cas, les dimensions des sections nor-Diales sont tres petites par rapport a la longueur de cette droite; maiselles sont, cependant, assez grandesnbsp;pour que la verge r�siste a la flexion, et soit ce qu�onnbsp;^ppelle une verge �lastique (n� 5o6).

Dans Ie mouvement longitudinal de celte verge, �Jue nous allons d�abord considerer j tons les pointsnbsp;^Ppartenanl a une m�me section normale auront, anbsp;�^liaque instant, la m�me vitesse parallele a AB; ennbsp;sorte qu�il suffira de determiner Ie mouvement dunnbsp;point quelconque M de cette droite.

Brenons sur cette droite un- point fixe C; et, dans ^ �tat naturel de la verge, repr�sentons par x la distance CM, qui sera positive ou negative, selon quenbsp;^ appartiendra a la partie CB ou a la partie CA denbsp;AB. Dans l��tat de mouvement, soit M^, au boutnbsp;du temps t, la position que prendra ce point M;nbsp;faisons MM' = m ; et consid�rons u comme unenbsp;quantit� positive ou negative, selon qi�e ce d�pla-cement aura lieu du c�t� de B ou du c�t� de A,nbsp;de sorte qu�on ai{ toujours CM'=a:-|-�. 11 s�agiranbsp;de de'terminer la valeur de �, en fonction de xnbsp;et t.

Appelons p Ie poids de la,verge, l sa longueur et g la gravit�. Dans l��tat naturel de la verge,nbsp;masse de 1��l�ment qui r�pond au point M, et

ebangera pas pendant Ie mouvement; et si l��l�ment solllcit� par une force acc�l�ratrice X, dirig�enbsp;9ns Ie sens M'B ou M'A, selon qu�elle sera posi-

D�signons par T la tension du m�me �l�ment qui agit a son extr�mit� , et sera une quantit�nbsp;positive OU negative, selon qu�elle aura lieu dunbsp;dedans en dehors , ou du dehors en dedans;

contraire de T, a l�autre extr�mit� de eet �l�ment; �l sera done tir�, dans Ie sens M'B, par une force

^ �(X �

Aux deux bouts A et B, il foudra, en outre; que la valeur de T soit �gale a une force particuliere , qui agira suivant AB a l�extr�mit� A, etnbsp;suivant Ie prolongement de AB a l�extr�mit� B.

494- Lai longueur naturelle de l��l�ment que nOU* consid�rons �tant dx , et sa longueur devenantnbsp;dx du, quand il est soumis a la tension T, oUnbsp;aura

Ton *i�6pr�sente par cT/ I�aHongement total de la Yerge, lorsqu�elle est souniise a une tension constante et donn�e A (n� 492)-

Je supp�serai qu�aucune force donn�e n agit sur points de la verge; on fera alors X = o dansnbsp;1 equation du mouvement; el en y mettant pour Tnbsp;�a valeur, ii en r�sultera

� = ai� ^=v-

en d�signant par v la vitesse du point M', et par ^ la �ilatatioft de la verge en ce m�me point. Quand lanbsp;Valeur de sera negative, cette dilatation se chan-gera en une contr.action; et la tension T agira dansnbsp;Ie sens M'A ou dans Ie sens M'B, selon qu�il y aura,nbsp;effectivement, dilatation ou contraction.

L��tat de la verge, a un instant quelconque, sera done connu, lorsqu�on aura determine u en fonctionnbsp;de et hiais, pour obtenir sa valeur, il faudranbsp;joindre a l��quation (i) celles qui rcpoudenl a Ie tat

de sorte que et (p'x soient des fonctions donn�es arbitrair�ment, depuis x = o jusqua a:== /, en pre-nant pour C la position initiale de A. De plus, anbsp;chaque extre'mit� fixe de la verge, il faudra qu�on aitnbsp;u = o, pendant toute la dur�e du mouvemeVit; et Tnbsp;exprimera la pression que ce point fixe aura a supporter. A chaqne extr�mit� libre qui ne sera sol-licitee par aucune force donnee, il faudra qu�on ait

495. On re'soudra ce sjst�nie d�e'quations de la m�me mani�re que celles qui r�pondent aux cordesnbsp;vibrantes, soit en partant de I�integrale sous formenbsp;finie de I�equation (i), soit par des formules sembla-bles a celles du n� 489. Voici, en employant ces for-mules, les resullats qui r�pondent aux differentesnbsp;hypotheses qu�on peut faire sur les extr�mit�s de lanbsp;verge.

1�. Si les deux points A et B sont fixes, il faudra que les fonctions donn�es jpx �t. (p'x soient nullesnbsp;pour X =: o et pour x = Z, et l�on aura , comreenbsp;dans Ie num�ro cit�,

� 2 ( / Sin y (P X dx') T sin sm -na \J o nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J i Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i

Toutes les fois qiie at augmentera de 2.I, cette valeur de u et celles de f et ^ qui s�en de'duisent, etnbsp;par suite l��tat de la verge, redeviendront les m�mesnbsp;lt;�u�auparavatit; par cons�quent, si Ton appelle T lanbsp;dur�e d�une vibration enti�re, et n Ie nombre desnbsp;quot;vibrations dans l�unit� de temps, on aura

sorte que Ie ton sera Ie m�me que si la verge �tait �ne corde flexible vibrant longitudinalement.

2�. Si Ie point A est fixe et Ie point B enti�rement libre, il faudra que leS fonclions (px et p'x solent nul les, quand .r=0, et que l�onait aussi = o quandnbsp;^ = l; l�expression de u sera alors

les sommes 2 s��tendant toujours a toutes les valeurs du noDibre entier i, depuis i i jusqu a j = 00 . Ennbsp;eflet, tous les termes de cette valeur de u satisfont anbsp;1��quation (1); ils remplissent, qu�l que soit t, les

conditions m = o quand x = o, et � quand qui r�pondent a ce second cas; et, pour t=zo,nbsp;On en d�duit

Lavaleurde u et celles de et de j qu�on en de'duit, redeviendront les m�mes, toutes les fois que atnbsp;augmentera d�un multiple quelconque de 4^gt;nbsp;cons�quent, si l�on appelle T' la dur�e d�une vibration enti�re de la verge, ou l�intervalle comprisnbsp;entre deux retours cons�cutifs de la verge au m�menbsp;�tat, on aura

Cette dur�e sera done double de celle qui avait lieu dans Ie premier cas, et Ie nombre des vibrationsnbsp;dans l�unit� de temps sera seulement moiti�. Done Ienbsp;ton longitudinal d�une verge fixe a un bout et libre anbsp;son autre extr�mit�, est a une octave au-dessous dunbsp;ton de la ni�me verge fixe par ses deux bouts; cenbsp;qui est effectivement confirm� par l�exp�rience.

valeurs de devront �tre nulles pour a: = o et pour X = Z , et l�on aura, dans ce cas,

les sommes 2 s��tendant, comme pr�c�demment, a toutes les valeurs du nombre entier i, depuis i= 1nbsp;jusqu�a �=oo .

et pour xz=l, qui doit avoir lieu, quel que soit t, dans ce troisi�me cas. Pour f = o , elle donne

pendamment de ses vibrations, a un mouvement pro-gressif et uniforme, dont la vitesse, commune a tous ses points, est �gale a cette integrale divis�e par 1. Sinbsp;Dn la suppose nulle, la verge reviendra au m�me �tat,nbsp;pour les valeurs de t qui diff�reront entre elles ,

cune de ses vibrations, et leur nombre dans 1�unit� de temps, seront les m�mes que dans Ie premier cas.nbsp;II en r�sultera done que Ie ton d�une verge fixe parnbsp;les deux bouts, est a Vunisson de celui de la m�menbsp;Verge enti�rement libre; ce qui est aussi conforme anbsp;l�exp�rience.

Au reste, il ne s�agit, dans ce qui pr�c�de, que ton fondamental, ou Ie plus bas, d�une vergenbsp;�lastique. La remarque du nquot; 49� sur les noeuds denbsp;vibrations et sur les elevations de ton qui leur cor-respondent, s��tendra saus difficult� au mouvementnbsp;�l� cette verge, dans chacun des cas qu�on. vientnbsp;lt;^�examiner.

496. Quand la verge dont nous consid�rons Ie mouvement longitudinal, s��tendra ind�finiment denbsp;part et d�autre du point C, on n�aura plus a tenirnbsp;corapte de ce qui arrive a ses deux bouts, et lesnbsp;valeurs de la vitesse e et de la dilatation s, relativesnbsp;a im point et un instant quelconques, se d�duirontnbsp;imm�diatement de l�int�grale de l��quation (i) sousnbsp;forme finie, dans laquelle il suffira de determinernbsp;les deux fonctions arbitraires, d�apr�s les valeurs ini-tiales de eet^, qui serontdonn�es en fonctions de x-Cette integrale est

^ et 4/ indiquant les deux fonctions arbitraires. On en d�duit, a un instant quelconque,

Dans Ie cas que nous consid�rons, ces deux fonctions seront donn�es pour toutes les valeurs positives o�nbsp;negatives de la variable; en faisant t = o dans Ie�nbsp;formules pr�c�dentes, on aura

f F (j? ��)-f-^ F (a?af);

formules qui feront connaitre l��tat de la verge a un instant quelconque; ce qui est la solution completenbsp;du probl�me.

497* equations (2) renferment les lois de la propagation des ondes sonores Ie long d�une vergenbsp;�lastique, el, g�n�ralement, dans une barre solide,nbsp;bomog�ne, d�une longueur ind�finie, et dont lesnbsp;sections perpendlculaires a cette longueur sont par-tout les ni�mes et d�une petite �tendue.

Le son partant du point C, la barre aura �t� nbranl�e, a l�origine du mouvementdans une �ten-liue peu considerable, de part etd�autre de ce point,nbsp;En d�signant par act la longueur de 1 �branlementnbsp;primitif, les functions jx et �x seront nulles de-p�is x-=. o. jusqu�a xz=. co, et depuis x � � t*nbsp;jnsqu�a x=. � co ; elles seront donn�es arbitraire^nbsp;�Dent et ind�pendamment Tune de l�autre, pournbsp;loutes les valeurs de x comprises entre ; et lea

n�auront aussi de valeurs diff�rentes de z�ro que quand ld quantlt� x � � at ou x � at, contenuenbsp;sous Ie signe � ou F , sera plus grande que � a,nbsp;et plus petite que a., en ayant �gard aux signesnbsp;et en regardant a cdmme une quantit� positive.nbsp;D�apr�scela, des que ai aura surpass� aa, on auranbsp;= o et j = o pour tous les points compris dansnbsp;l��tendue de l��branlement primilif; en sorte que Ienbsp;mouvement de cette partie de la barre ne durera que

au-dela de eet �branlement, du c�t� des x positives, on auranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

Tant qu�on aura x gt; ai a, ces valeurs de et ^ seront nulles; elles Ie redeviendront d�s qu�on auranbsp;X *C! at � st; 1 ebranlement parviendra done au point

; et la partie de la barre qui sera �branl�e a la fois, et doht M fera partie, aura 2a pour longueur. Les

Ainsi, de part et d�autre de l �branlemeut prinil-tif, 11 se produira une onde sonore, d�u-ne �tendue eonstante et �gale a celle de eet �branlemeut, qui senbsp;propagera uniform�ment avec la vitesse a. Les vi-tesses propres que prendront successivemeiit lesnbsp;points de la barre, ne varieront pas avec leurs distances au lieu de l��branlemenl primltif; en sorte quenbsp;1�intensit� du son, qui depend de la grandeur de cesnbsp;vitesses, sera constante, et ne s�affaiblira pas en senbsp;propageant; ce qui tlent a ce que cette propagation a lieu dans une barre cylindrique ou pris-l�iatique.

Dans l��tendue d�une onde sonore, la vitesse ne sera pas, comnle en tous les points de l��branlementnbsp;prlraitif, ind�pendante de la dilatation correspon-dante : Tune sera prpportionnelle a l�autre, en vertunbsp;de l��quation v ~ �ixs, qui niontre que la vitesse vnbsp;du point quelconque M est une fraction de la vitessenbsp;de propagation, exprlrn�e par la dilatation ^ qui r�-pond au m�me point, et que Ie mouvement proprenbsp;de M aura lieu en�sens contraire ou dans Ie sens de lanbsp;propagation, selon qu�il y aura en ce point dilatationnbsp;Ou condensation.

II est important de remarquer que c�est a raison de oe rapport entre v et s, que chaque onde sonore pro-duite ne se partage pas en deux autres, et se propagenbsp;dans un seul sens. Si ce rapport existait dans toutenbsp;i��tendue de Tebranlement primltif, Ie mouvementnbsp;se propagerait aussl que d�nn seul c�t�. Ainsi, en

pour les valeurs de x ne'gatives et plus grandes que � a, abstraction faite du signe, on aura done v = 0nbsp;et ^ ~ o ; en sorte que Ie mouvement ne se propa-gera pas au-dela de 1 ebranlement primitif du c�t� desnbsp;ar,ne'gatives. II en serait de m�me du c�t� des x posi^nbsp;tives, si l�on supposait fx = dSx.

D�apr�s ce qu�on a vu dans Ie n� 49^ gt; vitesse a de la propagation du son dans une barre ind�finie,nbsp;pourra se conclure de ia dur�e des vibrations lon-gitudiaales d�une verge �lastique, de la m�me ma-ti�re et d�une longueur donn�e. En supposant cettenbsp;verge fixe on fibre a ses deux bouts, la valeur denbsp;a sera �gale au double de sa longueur divisee parnbsp;la dur�e de chacune de ses vibrations, laquelle du-r�e se d�duira de leur nombre dans I�unite de temps,nbsp;et, par cons�quent, du ton le plus bas de la verge:nbsp;on doublerait le re'sullat de cette division, si lanbsp;verge �tait fixe a une seule extr�rait�.

498. An lieu de s�etendre ind�finirnent dans le sens des x positives, si la barre est termin�e en unnbsp;point B, situ� en dehors de l��branlement primitif, lenbsp;son, apr�s �tre parvenu en B, sera r�fl�chi vers lenbsp;point C.; et il se formera un �cho en ce point B, soitnbsp;qu�on le suppose fixe, ou qu�il soit euti�rementnbsp;fibre.

gi�ande que a. Dans Ie cas o� B est un point fixe, il faudra qu�on ait constamment 1^ = 0 pour a; = c. Or,nbsp;Dn remplira cetle condition en remplacant les for-niules (2) par celles-ci :

V - f ^JC �i� lt;Zt') -1- � � (x � dt') nbsp;nbsp;nbsp;� � (2c .X-�Clt'^

sans que ces expressions cessent de repr�senter l��tal initial de la barre, et sans que la valeur de m , quinbsp;s en d�duit d�apr�s les equations

En effet, la variable x n��tant plus grande que c pour aucun point de la barre, et c surpassant a, onnbsp;a 2C � X gt; a, et, cons�quemment, � (2c �x) = onbsp;et F (2c � x) � o; d�o� il r�sulte y �fx et ^ =Fx,nbsp;quand t = o. A cause de c gt; et, on a aussinbsp;f{c-{-at) = o et F (c-}-a�) � o; ce qui donnenbsp;= o , pour X = c et quel que soit t. Enfin, on a

iiifierentielle complete est vdt-\- sdx, sera la sorarae �inne fonction de x � at et d�une fonction denbsp;^ at, qui satisfera, par cons�quent, a T�qua-tion (i).

Cela pos�, pouv un point M tel que l�ou ait at, les quantit�s f{x-\- at) et F (,r -{- ai) seront nulles,nbsp;et les valeurs pr�c�deates de p et j se r�duiront a

La quantlt� p' cessera d�etre nulle quand on aura atquot;^ X � at; elle Ie redeviendra pour at z=^ x a',nbsp;Ie temps continuant de croitre, p^ cessera d�etre z�ronbsp;pour at ~ 2C � X � at, et Ie redeviendra pournbsp;at~ic � x-\-a. - d�ou 1�on conclut que Ie point Mnbsp;�prouvera deux �branlemens s�par�s l�un de l�autre

premier sera le son direct, et Ie second le son r�-fl�chi; ils auront l�un et l�autre la m�me intensit�, et se propageront avec la m�me vitesse a ; et comme,nbsp;d�apr�s le sens de la propagation, l�un r�pondra a p' etnbsp;1�autrea�p^, onvoitqu�il y aura, pourlousles deux,nbsp;Ie m�me rapport entre la vitesse propre du point Mnbsp;et la dilatation positive on negative dont elle sera ac-compagnee. On Irouvera les m�mes r�sultats en supquot;nbsp;posant que le point B soit entierement libre , auqo^^nbsp;cas on devra avoir constamment s = 0 pour x =nbsp;Ces lois de la propagation et de la r�flexlon du soenbsp;dans une barre solide , ont �galement lieu dans le cas-

de r air contenu dans un canai cylindrique on prisma-, tr�s �troit; celles des vibrations longitudi-Pales d�une verge �lastlque, qu�on a expos�es dans Ie

495, conviennent aussi aux vibrations de Fair ren-ferin� dans un tuyau d�une longueur donn�e, ouvert ferme' a ses extr�mit�s, c�est-a-dire, aux sons desnbsp;fl�tes, en faisant abstraction, toutefois, des modifications qui sont dues a remboucliure (^).

499. Les formules du n� 49^ s�appliquent au choc de deux ou plusieurs verges �lastiques, form�esnbsp;d�une m�me mati�re, ajant la m�me section nor-^Dale, et dont les filets moyens se meuvent sur unenbsp;m�me ligne droite. Pour cela, pendant toute la du-r�e du contact de ces corps, on les consid�reranbsp;comme une seule verge �lastique, cylindrique ounbsp;prismatique, dont l��tat, variable d�un instant anbsp;1�autre, sera determine par ces formules dans toutenbsp;Sa longueur, except� dans une �tendue de grandeur insensible, de part et d�autre des points denbsp;jonction.

Eu effet, consid�rons seulement deux verges �las-^iques dont AE et FB (fig. 26) soient les filets moyens. Lorsqu�en se rapprochant a raison de la

(�'j T'ojez, sur ce point, mon M�inoire sur Ie Mouvement fiuides �lastiques dans les tujaux cj'lindriques et sor \a.nbsp;'Ch�orie des instrumens h vent, qui fait partie du tome II desnbsp;i^�moires de l� Acad�mie des Sciences.

difference de leurs vitesses, la distance EF de leui�S extr�mit�s E et F sera devenue insensible, et ne sur-passera plus Ie rayon d�activit� des forces mol�co-laires, les molecules extremes de l�une des deuxnbsp;verges commenceront a agir sur celles de Fautre, etnbsp;r�ciproquement; cette action mutuelle subsistera, ennbsp;variant d-intensit�, tant que la distance EF seranbsp;moindre que Ie rayon d�activit�; la force totalenbsp;pourra �tre repulsive ou attractive; et c�est r�elle-ment dans cette action a distance insensible , desnbsp;points extremes des deux corps, que consiste le phe-nomene du choc. Or, la loi de Faction moleculaire ennbsp;fonction de la distance nous dtant inconnue, onnbsp;ne pourra pas determiner la valeur de EF en fonction du temps, non plus que les variations de vitessenbsp;que les points extremes des deux verges eprouverontnbsp;en vertu de cette force; en sorte que si e et � sontnbsp;des points de AE et FB, situes a des distances de �*nbsp;et F, insensibles et moindres que le rayon d�activitenbsp;moleculaire, les vitesses des points materiels apparte-nant aux tranches qui ont eE et pour epaisseurs gt;nbsp;seront inconnues pendant toute la duree du choc-Mais au-dela de e et f, et dans toute Fetendue de Acnbsp;et �B, Fe'quation (i) du n� 494 ^quot;ca lieu, et F�tatnbsp;de ces deux parlies de la verge totale se d�terminera;nbsp;a un instant quelconque, au moyen de Fintegrale denbsp;cette equation, suivant Fhypoth�se que Fon fera sufnbsp;les deux bouts A et B, fixes ou mobiles, c�est-a-diregt;nbsp;au moyen des differentes formules du nquot; 49^� dansnbsp;lesquelles on n�aura plus qu�a mettre des valeurs con-veaables pour les functions arbitraires tpas- et lt;p'oc.

5oo. Les forces mol�culaircs variant tr�s raplde-��ent avec la distance, il s�ensuit que les vitesses in-connues des points extr�mes des deux verges varie-*'Ont de m�me; de sorte qu�a un instant quelconque vitesses des points E et F pourront difFerer beau-^oup de celles des points e et f, quoique les distancesnbsp;et � F soient insensibles. 11 en sera de m�me a 1��-gard des vitesses des points e eX f, compar�es Tune anbsp;^�autre, que nous d�terminerons.d�apr�s leurs valeursnbsp;^�itiales, et qui seront in�gales et pourront m�menbsp;avoir des signes diff�rens; mais on d�montrera ,nbsp;comme dans Ie n� 488, que la tension T, positivenbsp;negative, devra �tre sensiblement la m�me en cesnbsp;points e et �, saus quoi la force acc�l�ratrice de lanbsp;Oias.se de grandeur insensible, comprise entre lesnbsp;sections normales en ces m�mes points, deviendraitnbsp;extr�mement grande et comme infinie.

Avant Ie choc, nous supposerons que chacune des deux verges a la m�me vitesse dans toute son �t�n-due; dans eet �tat, la tension T sera nulle pour tousnbsp;les points des deux mobiles -� au commencement dunbsp;choc, c�est-a dire, lorsque la distance EF atteindranbsp;Ie rayon d�aclivit� moleculaire, on aura done T = onbsp;points e et �, comme dans tous les au tres. Lanbsp;tension, toujours �gale pour ces deux points extremes, cessera ensuite d��tre nulle : nous en d�ter-oiinerons la valeur; et Ton verra qu�elle redeviendranbsp;*�ro apr�s un certain intervalle de temps. Or, si anbsp;*^ette �poque les vitesses des points e et f permettentnbsp;*lue les deux verges se s�parent, c�est-a-dire, si cesnbsp;Yitesses sont dirig�es en sens contraires, ou bien, si

elles sont dirig�es dans Ie ni�me sens, et que la vi-tesse du point qui va devant soit la plus grande, les deux verges se se'pareront efTectivement, et Ie chocnbsp;sera termiu�. Mais si, a 1 epoque dont il s�agit, les vi-lesses de e et � ne remplissenl pas Tune de ces detixnbsp;conditions, Ie choc recommencera, pour ainsi dire ;nbsp;la tension, �gale aux points e et f, reparaitra; puisnbsp;elle redeviendra nulle au bout d�un nouvel intervallenbsp;de temps; et ainsi de suite, de mani�re que les deuXnbsp;verges ne se s�paveront pas, et vibrei�ont comme unenbsp;verge unique, dont la longueur est AB.

Ainsi, la condition n�cessaire et suffisante pour que Ie choc se termine, el que Tune des deux vergesnbsp;se d�tache de l�autre, est Ie concours de ces deuxnbsp;circonstances : i�. il est n�cessaire que la tensionnbsp;soit nulle aux points e et �, afin que les deux vergesnbsp;ne s�appulent pas Tune contre l�autre; 2�- il faut,nbsp;en m�me temps, que les vitesses de ces deux pointsnbsp;soient dirig�es en sens contraire, ou bien, qu�ellesnbsp;soient dirig�es dans Ie rn�me sens, et que celle dunbsp;point qui va devant soit la plus grande.

Quant aux deux bouts A et B, nous supposerons successivement qu�ils sont libres tous les deux, etnbsp;qu�un seul est libre et I�autre fixe.

5oi. D�signons par c et c' les longueurs AE et FB des deux verges, et par l la distance totale AB;nbsp;de sorte qu�en n�gligeant la distance insensible EF,nbsp;on ait c c' = Z pendant toute la dur�e du choc-Soit M un point quelconque appartenant a AE ounbsp;EB; imm�diatement avant Ie choc, appelons xnbsp;distance du point M a un point fixe , pris sur

^ �tant une constante qui repr�sentera la vitesse de propagation du son dans la matiere dont les deuxnbsp;i'^erges sont form�es (n� 497)-On aura, en m�me temps,

pour la vitesse e du point M, et pour la tension T, positive OU negative, qui aura lieu en ce m�menbsp;point; q d�signant une constante donn�e. La dilatation qui accompagne la vitesse v se d�duira de T,

Ces trois equations auront lieu pour toutes les va-leurs de x, depuis x = o jusqu�a x=l, except� Celles qui r�pondraient a des points situ�s entre enbsp;ct �, et qui difF�reraient, cons�quemment, de c d�unenbsp;finantit� insensible en plus ou en moins.

5o2. Pour t = o, on aura u = o dans toute Ja longueur de AB; ainsi, il faudra supprimer Ie termenbsp;'l^pendant de cpx, dans les- formules du n� 495.nbsp;^'Xaminons d�abord Ie cas o� les deux bouts A et Bnbsp;�iiot enti�rement fibres.

Soit h la vitesse commune a tons les points de AE, � 1 instant on Ie choc commence, laquelle vitesse

sera suppose'e positive, ou dirige'e de A vers B. Soit aussi h! la vitesse des points de FB, au m�me instant,nbsp;qui sera positive ou negative, selon que les deux:nbsp;verges iront a la suite ou a la rencontre Tune denbsp;l�autre. Ces constantes h et ^'seront donn�es, et leurnbsp;difference h � h' devra �tre une quantit� positive,nbsp;afin que Ie choc ait lieu. Dans l�expression de u re-lative au troisi�me cas du n� 49^ gt; faudra prendrenbsp;pour une fonction qui soit �gale a 4, depuisnbsp;�c= o jusqu�a une valeur de x un tant solt peunbsp;moindre que c, et �gale a A', depuis une valeurnbsp;de X un tant solt peu plus grande que c, jusqu�anbsp;cc =. l, OU, sensiblement, cc = c -f- c'. On auranbsp;alors , sans erreur appreciable ,

I 7/ /\ ^ t nbsp;nbsp;nbsp;/Z.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;* l^C ITTOC . ITVC-I

u=(nc-4rn'c ) j nbsp;nbsp;nbsp;^ -pcos-p- sin �r-;

la somme 2 s��tendant a toutes les valeurs du nombre en tier et positlf i, depuis i = i jusqu�a /= oo .

vz=-j{hc-\-Ji c')-\�(h�ft jSTSm-y^cos-^cos-j-,

T2?/7 nbsp;nbsp;nbsp;7/^� Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. zVcnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. i�xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. iirat

sra ^ nbsp;nbsp;nbsp;gt; i lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

pi�oportionnelles a leurs longueurs c et c', Ie premier terme de cette valeur de v est la vitesse

vitesses h et h' sont �gales et de m�nie signe, on aura constamment v~h et T = o; et, en etfet,nbsp;les deux verges vont alors a la suite l�une de l�autre,nbsp;avec une vitesse commune, et sans se comprimer.

Les s�ries p�riodiques et convergentes que ces formules renferment sont comprises parmi celles dont On sait determiner les sommes exactement. Pournbsp;toutes les valeurs donn�es de x et i, ces sommes senbsp;�i�duiront, sans difficult�, de la formule connue

dans laquelle 0 est une variable renferm�e entre les limites ztzyr exclusivement. On pourra done calculernbsp;les valeurs exactes de la vitesse v et de la tension T,nbsp;a chaque instant et en un point quelconque denbsp;Ae et ce qui est la solution compl�te du pro-bl�me.

11 y a plusieurs mani�res de parvenir a la formule (3). On Tobtient, par exernple, en diff�rentiant par rapport a x, 1 equation (8) du nquot; 320, apr�s ynbsp;^voir mis x� pour lt;px; ce qui donne

Equation qui a lieu pour les valeurs de x moindres Z, et dans laquelle la somme 2 s��tend a toutesnbsp;les valeurs du nombre entier i, depuis Z= i jusqu�a

5o3. En vertu de la seconde equation (3), la va-leur de T est nulle, non-seulement quand lt; == o, niais aussi quand t est un multiple quelconque

X4)

Si Ton a X lt;^c, c�est-a-dire, si Ie point M appartient a Ae, on pourra aussi prendre pour 0 la quantit�

ces valeurs r�duiront 1��quation (4) a v = h. SI, au contraire, Ie point M appartient a ��, on auranbsp;c et aZ � c' � X d Z ; on pourra donenbsp;prendre

9 =-z-�

^ nbsp;nbsp;nbsp;-r.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Jjltinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;---__ nbsp;nbsp;nbsp;_

� au moyen de cette valeur et de celle de ^ sin ~ f) ^ 1 equation (4) se r�duira anbsp;k'.

Les vitesses initiales h et h! des deux parties Ae et /L de la verge totale, sont done ainsi v�riliees. Onnbsp;'''oit, de plus, qu�elles ont lieu non-seulement quand

t=^o, mais aussi toutes les fois que t est un multiple pair de ^; et comme a ces �poques T est z�ro

pour la verge enti�re, il s�ensult que, pour toutes ces valeurs de t, les deux parties de la verge se trou-veront dans Ie m�me �tat qu�au commencement dunbsp;choc.

On peut remarquer que la premi�re �quation (2) serait en d�faut, si on l�appliquait a la vitesse initialenbsp;du point E; car si l�on y fait i == o, et qu�on aitnbsp;exactement x-=.c , il en r�sultera

on aurait done v = K; ce qui ne serait vrai que dans Ie cas de h' = hf o� l��tat de la partie correspon-dante a eE ne peut diff�rer de celui du reste de I*nbsp;verge. Mais nous avons dit que, dans Ie cas g�n�raEnbsp;cette partie et celle qui r�pond a Yf ne sont pas corn'nbsp;prises dans les �quations du mouvement.

j (Ac h'c')

on volt qu�elles se d�duisent Tune de l�autre par l��* change des lettres h et , c et c'\ d�ou Ton conclut,nbsp;sans nouveau calcul, que quand t est un multiple

de X moindre que c', auront Ia vitesse h', et ceux qui i'�pondent a c , la vitesse h-, c�est-a-dire, que si Gnbsp;ost un point tel que Ton ait AG^C^et GB = c, etnbsp;lt;inon prenne g et a des distances insensibles denbsp;part et d autre de G, la vitesse K aura lieu dans Ianbsp;partie Ag, et Ia vitesse h dans la partie g'B.

5o4. II r�sulte de cette discussion que si l�on a c', la partie Ae aura la vitesse h' au bout du

du m�me temps; et comme a eet instant la tension T est partout �gale a z�ro, et que, par hj-poth�se , on a A gt; A', il s�ensu�t que les deux verges se s�pareront 1�une de l�autre (n� 5oo) ; en sorte

et les deux mobiles, parfaiteinent �lastiques et �gaux cn masse, auront fait, apr�s Ie choc, �change denbsp;ieurs vitesses avant Ie choc.

R�ciproquement, si les longueurs c et c' sont dif-f�rentes, Ie eboe ne finira pas, et les deux verges �lastiques ne pourront pas se s�parer; car les �po-H^es o� la tension est nulle co�ncideront toujoursnbsp;^vec celles d�une vitesse commune et �gale, soit anbsp;^�Oit a h!, pour les deux extr�mit�s E et F, on, plusnbsp;�xactemeat, pour les deux points eci f.

Mais si l�on a c' gt;� c, auquel cas Ie point G appar-tiendra a fBy et si l�on suppose que la verge �las-tique soit coup�e en ce point, de sorte que la partie FB soit elle-m�me forni�e de deux parties FG et GB^nbsp;qui avaient une m�me vitesse h' avant Ie choc, la

efFel, a c�t instant, la tension T sera nulle, et les vitesses h! et h des points g et g' permettront ia dis-jonction des parties AG et GB. Apr�s Ie choc, dont la

partie GB se mouvra avec la vitesse ft, et les parties AE et FG, avec la vitesse commune h'. La m�menbsp;chose aurait encore lieu si les trois parties AE, FG,nbsp;GB, �taient elles-m�mes coup�es et divis�es en d�au-tres portions �gales ou in�gales, pourvu qu�avant Ienbsp;choc toutes les portions de AE eussent une m�me vi-tesse ft, et toutes les portions de FG et GB une vitesse commune ft'.

Ainsi, supposons, par exemple, qu�une verge homogene, prismatique ou cylindrique, soit coup�e en un nombre n-j- de parties �gales j et imprimonsnbsp;une vitesse ft aux n premi�res parties, avec laquellenbsp;elles viendront choquer la s�rie des n' autres parties,nbsp;qui seront en repos avant cette percussion. Si n sur-passe n', aucune partie ne se s�parera, et elles serontnbsp;toutes transport�es dans Ie sens du choc, en (Kcillantnbsp;suivant cette direction, et faisant entendre Ie tonnbsp;correspondant a la longueur enti�re de la verge,nbsp;libre par ses deux bouts; mais si l�on a n'gt;n,

DYNAMIQ�E, SECONDE PARTJE. .343 parties ant�rieures, au nombre de w, se d�tacheronAnbsp;des autres, pour se mouvoir avec une vitesse commune et �gale a ^, et les vl autres parties demeure-�ont. en repos et juxtapos�es. Ce r�sultat, �tendu parnbsp;analogie a une s�rie de sph�res, comprend Ie ph�no-m�ne dont il a �t� question dans Ie n' 363.

5o5. Consid�rons maintenant Ie cas o� Ie point A est fixe. Avant Ie choc, supposons que la partie AEnbsp;soit en repos, et que tous les points de la partie FBnbsp;aient une vitesse commune et n�gative, que nousnbsp;i�epr�senterons par � k. 11 faudra alors faire usagenbsp;de r expression de u relative au second cas du n� 495 ,nbsp;dans laquelle on fera lt;p'x = o depuis x = o jusqu�anbsp;^ ~ c, et lt;p'x � � k depuis x � c jusqu�anbsp;c-\- c' =1, A cause de lt;px = 0, pour toutes lesnbsp;valeurs de a:, il en r�sultera

TT^a (21�iY nbsp;nbsp;nbsp;2Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

formules dans lesquelles les s�ries sont du genre de celles dont on sait d�terrainer les sommes, et quinbsp;^eront connaitre exactement la vitesse et la tension ,nbsp;� chaque instant, en un point donn� de Ae ounbsp;de / B.

qui a ]ieu pour toutes les valeurs de 0 comprises entrenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;exclusivement, et qui se d�duit/ par

exemple , de la formule (7) du n� Sa�, en la dif-ferentiant apr�s y avoir mis x au lieu de lt;px, et en

5o6. En vertu de la seconde e'quation (5), la tension T est nulle en tous les points des deux verges, lorsque t est z�ro ou un multiple quelconque

= - (- 0-Or, d�apr�s l��tat initial des deux verges, cette foi�-mule, en tant qu�elle se rapporte a t = 0, doit se r�duire a p = o pour x lt;C c, et a p = � k pournbsp;^ gt; c; et c�est d�abord ce qu�il s�agit de v�rifier-

ces formules r�duisent, effectivement, 1 equation (7) a lt;7 = o. Quand on a x gt; c, on aura aussi � x'� c' C^l; en prenanl done

�, l��quation (7) se r�duira

� nbsp;nbsp;nbsp;= � k, comme cela doit �tre.

Ijorsque t est un multiple impair de ^ 7 la valeur

donn�e par la premi�re equation (5) , est �gale �t de signe contraire a celle qui a lieu quand t est

, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2/

, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,3/

des vitesses nulles, et tous ceux de des vitesses positives et �gales a A:; et comme a eet instant la tension T est partout �gale a z�ro, il en r�sulte que lanbsp;verge FB se d�tachera de la verge AE, et sera r�-fl�chie avec une vitesse �gale et contraire a cellenbsp;qu�elle avait avant Ie choc.

Ainsl, Ie choc de la verge FB contre la verge AE, qui s�appuie en A contre un obstacle fixe, dureranbsp;,0.1

qui a �t� dit, dans Ie nquot; 362, sur la r�flexion d�un corps parfaitement �lastique. On peut aussi remar-quer qu�au milieu du choc, c�est-a-dire, au bout

d�un temps �gal a on aura u ==: o, d�apr�s la premi�re �quation (5), pour toutes les valeurs de x; en sorte qu�a eet instant la verge choquante FB auranbsp;perdu toute sa vitesse, et la verge AE n�aura aussinbsp;aucun mouvement. Au ra�me instant, on aura, eunbsp;vertu de la seconde �quation (5),

d�oii l�on conclura, par Ie m�me calcul que pour l��quation (7), T = � ^ ou T = o, selon qu�onnbsp;aura x lt;C o ou x gt;� c. Au milieu du choc, la 1��^quot;

sion est done nulle pour toute l��tendue de la verge choquante; mais Ia verge choqu�e est condens�e uni-form�ment; et c�estla pression qu�elle exerce dans Ienbsp;AE, OU de dedans en dehors, qui fait rebondirnbsp;la verge choquante.

S IV. Digression sur les integrates des equations aux diff �rences partielles.

507. Si l�on exceple un petit nombre d�e'quations 3Ux differences partielles, celles d�uu ordrc sup�rieur au premier ne sont point int�grables sousnbsp;forme finie, lors m�me qu�il s�agit d��quations li-D�aires. Pour r�soudre les probl�mes qui conduisentnbsp;3 ces equations, on est done oblige, Ie plus souvent,,nbsp;de recourir a leurs int�grales en s�ries ; et il faut alorsnbsp;ifu�on soit certain, dans chaque cas, que la s�rienbsp;dont on fait usage a toute la g�n�ralit� que com-porte l��quation donn�e aux diff�rences partielles,nbsp;et qu�elle renferme des functions arbitraires en nom-hre suffisant pour exprimer l�int�grale complete denbsp;celte �quation. Or, il n�j a pas de regie g�n�rale anbsp;Ce sujet: ce nombre peut �tre moindre que celuinbsp;^rii marque l�ordre de l��quation donn�e, ou desnbsp;diff�rences partielles les plus �lev�es qu�elle ren-fcrme; il change avec la quantit� suivant les puis-sances de laqnelle la s�rie est ordonn�e; et il peutnbsp;Di�nie arriver que toutes les fonctions arbitrairesnbsp;�^isparaissent, et que la s�rie ne contienne plusnbsp;^u�un nombre inflni de constantes arbitraires, sansnbsp;qu�elle cesse, n�anmoins, d�exprimer l�int�grale com-

pl�te. Ce sont ces diverses circonstances qiie nous allons examiner, d�abord en ge'ne'ral, et ensuite plusnbsp;particuli�rement, en ce qui concerne les e'quationsnbsp;lin�aires auxquelles on est conduit dans la plupartnbsp;des probl�mes de M�canique et de Physique.

5o8. Soit u une fonction d�un nombre quelconque de variables inde'pendantes t, x , j, z, etc. Sup-posons que cette fonction doive satisfaire a une equation donn�e aux differences partielles, que nous re-pr�senterons par L = o. Quelle que soit la valeurnbsp;de M, on peut toujours la concevoir d�velopp�e ennbsp;s�rie ordonn�e suivant les puissances de Tune des variables t, SC, y', z, etc., ou , plus g�n�ralement, d�nnenbsp;autre quantile 0 d�pendante d�une ou plusieurs denbsp;ces variables. Soit done

CL, Q, y, etc., P, Q, R, etc., �tant des exposanS et des coefficiens ind�termin�s. Si je substitue cettenbsp;valeur de u dans 1��quation L = o, que je d�ve-loppe ensuite L suivant les puissances de 0, et quenbsp;j��gale s�par�ment a z�ro les coefficiens de tous lesnbsp;termes de ce d�veloppement, j�aurai une s�rie d�e-quations, dont chacune renfermera une variable iu'nbsp;d�pendante de moins que L = o; et si je parviensnbsp;u obtenlr les valeurs les plus g�n�rales de at, ^ fnbsp;y, etc., P, Q, R, etc., qui salisfassent a cettenbsp;suite d��quations, la s�rie (a) sera aussi la valeuinbsp;la plus g�n�rale de u qui satisfera a 1��quationnbsp;L = o. Selon la quantit� 0 qu�on choisira, on aUJUnbsp;ainsi diff�renites expressions de u en s�rie, qui se-

i'out toutes, sous des formes �quivalentes, l�int�-grale complete de L = o; en sorte que si cette integrale p6ut aussi s�exprimer sous forme finie, chacune de ces s�ries en sera un d�veloppement diff�rent,

pourra toujours s�en d�duire. Toutefois, lors-S'i'on sera parvenu, d�apr�s les autres conditions du probl�me qui aura conduit a l��quation L = o,

^ d�terminer toutes les quantites arbitraires que con-tiendra la s�rie (a), il faudra qu�elle soit convergente pour qu�on en puisse faire usage; et si elle devlent divergente pour dss valeurs de 6, on de-Yra changer cette quantit�, et remplacer la s�rie (�)nbsp;par une autre, ordonn�e sulvant les puissances d�unenbsp;Variable diff�rente.

Cela pos�, en prenant pour L = o , des �quations lln�aires de dlff�rens ordres, on verra que les coef-ficlens P, Q, R, etc., determines de la manl�re lanbsp;plus g�n�rale, peuvent n�anmoins renfermer desnbsp;nombres In�gaux de fonctions arbitraires, selon quenbsp;la s�rie (fl) sera ordonn�e suivant les puissances denbsp;telle OU telle variable 6; et Ion verra m�me, commenbsp;nous l�avons dit plus haut, qu�il pourra arriver quenbsp;toutes les fonctions arbitraires disparalssent de cettenbsp;s�rie, qui ne renfermera plus alors que des cons-tantes arbitraires en norabre infini, et qui n�en seranbsp;pas moins Tint�grale compl�te de l��quation Lc=o.nbsp;Le caract�re distinct! f de cette forme singuliere denbsp;lint�grale compl�te, sans aucune fonction arbitraire,nbsp;d une �quation lin�aire aux dlff�rences partieiles,nbsp;^onsiste en ce que tous les termes de la s�rie quinbsp;repr�sente se d�terminent ind�pendamment les

uns des autres, et satisfout s�par�ment a 1��quation donn�e, de mani�re que la valeur ge'n�rale de wnbsp;est la somme d�iin nombre infini de valeurs parti-culi�res de cette fonction.

5o(). Soit, pour exemple, l�e'quation tr�s simple, lineaire et aux differences partielles du second ordre,

3r = �s?' W

dans laquelle a est une constante donn�e. Si l�on d�veloppe la valeur de u suivant les puissances de tfnbsp;on trouve pour la serie la plus ge'n�rale qui satis'nbsp;fasse a cette equation

lt;^x �tant une fonction arbitraire. Sous cette forme, l�int�grale compl�te de l��quation (b) ne comportenbsp;done qu�une seule fonction arbitraire, laquelle re-pr�sente la valeur de u qui r�pond a tz=o. Maisnbsp;si Ton d�veloppe la valeur g�n�rale de u suivantnbsp;les puissances de a:quot;, on trouve

Ces deux s�ries s�obtiennent par la m�thode des lt;^Oef�iciens et des exposans ind�termin�s, en faisantnbsp;^Uccessivement 6 = f et 6 = ^ dans la s�rie (a). Onnbsp;d�duit aussi du tli�or�me de Taylor; car on a,nbsp;apr�s ce th�or�me,

pour cette valeur t = ct. Or, 1��quation (Zgt;) et ses dif-l�rentielles successives par rapport a t donnent

ee qui coincide avec la s�rie (c), quand on prend *�ro pour la constante a, c�est-a-dire, quand onnbsp;'l�veloppe suivant les puissances de et que lo�

Ces deux s�ries (c) et (d) peuvent, au reste, se transformer Tune dans l�autre. En effet, d�velopponsnbsp;ipx suivant les puissances de x, et soit

o� l�on d�signe par A, B, C, D, E, F, etc., des cons-tantes arbitraires; nous aurons

la valeur pr�c�dente de u coincidera avec la s�-i'ie (d'). On transformera semblablement cette serie {d) �lans la se'rie (c).

5io. Maintenant, d�signons, a Tordinaire, pare la base des logarithmes n�p�riens, et prenons 6=:e*.nbsp;La s�rie (a) deviendranbsp;les coefficiens P, Q, R, etc., seront des fonctionsnbsp;de t, et les exposans at, S, y, etc., des quantit�snbsp;constantes. On aura done

Lil substituant ces valeurs dans l��quation (^b), et ^galant ensuite les coefficiens des termes semblablesnbsp;^aus les deux membres, on en conclut

P3i� cons�quent, les exposans'�, y, etc., resteront 2-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;23

en designant aussi pai� A, B, C, etc., des constantes arbitraires. Done il en resultera

pour I�integrale complete de l��quation (^), ordonn�e suivant les puissances de I�exponentlelle e*; s�rie quinbsp;est aussi le developpement de cette integrale, ordonn�e suivant les puissances de e�. Or, on voit quenbsp;cette s�rie (e) ne contient explicitement aucunenbsp;fonctionarbitraire; quelle renferme seulement deuXnbsp;s�ries infinies A, B, C, etc., a, C, }�, etc., de constantes arbitraires; et que chacun de ses termes satis-fait isol�ment a l��quation (i).

nbsp;nbsp;nbsp; etc.) ^

et la s�rie (e) co�ncidera avec Ia s�rie (c). On fera de m�me co�ncider la s�rie (e) avec la s�rie (d), ennbsp;d�veloppant la premi�re suivant les puissances de x,nbsp;pour la rendre comparable a la seconde.

5ii. Chacune des deux s�ries (c) et (e) peut �tre exprim�e sous forme finie, au moyen d�une m�menbsp;�ot�grale d�finie.

en d�signant par g une constante positive, et mellant \/g amp;i\/gda) a la place de oo et dce y les limitesnbsp;de cette int�grale ne seront pas chang�es, et Tonnbsp;^�ra

^3..

1.2.3 dx^ ' i.a.3.4 et, d'apr�s Ie th�or�me de Taylor, el�e se r�duira a

uzzz ^l e~��'�(p (3C~{-2CO yat) dagt;. (�)

Quelle que soit Ia constante et, on ne changera pas non plus les limites de 1�int�grale Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, en y

mettant co � a, \/at au lieu de eo-, on aura done

/^OO nbsp;nbsp;nbsp;^

I g�� .

J �co

d�o� Ton tire

g��a� _ nbsp;nbsp;nbsp;g��quot;gSaaV^al^gj

On exprimera de m�me les autres exponentielles qw� entrent dans la s�rie (e), laquelle deviendra, de cettenbsp;mani�re,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

- CO nbsp;nbsp;nbsp;_ _

U=: - / nbsp;nbsp;nbsp;al) nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;al)

Cegt; 4- nbsp;nbsp;nbsp;etc.J �~��'cko.

Or, si nous faisons, comme plus haut,

Be'�' -h Ce'gt;'^ etc. c= ftr.

Cette equation (�) est, sous forme linie, rinfegrale complete de l��qufition (b); elle ne renferme, commenbsp;On voit, qu�une seu'le fonction arbitraire, qul se de-terrainera imm�diatement d�apr�s la valeur de u relative h. t=. o. Toulefois, cette forme de l�int�gralenbsp;compl�te suppose que cette valeur de �, qui sera cellenbsp;de (pa:, croisse avec la variable dans un moindrenbsp;rapport que et que Ie produitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;s��vanouisse

pour a: = rt 00 , sans quoi la quantit� comprise sous Ie signe � croltrait ind�finiment avec pour toutesnbsp;les valeurs de t dift��rentes de z�ro, et l�int�grale d�-finie, dont les limites sont m = rb oo , aurait g�n�-ralement xme valeur infinie, ce qui est inadmissible.

e � (p {x-}- 2a y at) �~f e � ^*(x4-2�i \/al)da j -=0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V Cft J -50

En partant de la s�rie (d), ou parviendrait a une integrale sous forme finie de cette equation, moinsnbsp;simple que la formule {'f), et qui contiendrait deuxnbsp;fonctions arbitraires.

5i2. La valeur connue de la quantit� k, renferm�e dans les formules pr�ce'dentes, est v/tt. On 1�obtient,nbsp;par exemple, en employanl successivement deuxnbsp;variables diff�rentes sous Ie signe f, de mani�renbsp;qu�on ait

a cause que les deux variables x et j sont ind�pen-dantes Tune de l�autre. Si done on fait d�o� il r�sultera

et si l�on regarde JC, jquot;, z, coratne les coordonuees courantes d�une surface, sera Ie volume termin�nbsp;par cette surface de revolution, et prolong� ind�fini-Dient autour de son axe de figure, qui sera 1�axenbsp;des z. Or, on obtiendra la valeur de ce volume en Ienbsp;de'composant en un nombre infini de tranches cjlin-driques, dont cette droite sera l�axe commun. Lenbsp;^'olume de 1�une de ces tranches infinlment minces,nbsp;dont les surfaces int�rieure et ext�rieure auront rnbsp;et r-{^dr pour rayons, sera �gal au produit de sanbsp;Wse zyrrdr, multipli� par sa hauteur z ou e~'quot;;nbsp;le volume entier s�en d�duira, �videmment, en integrant depuis r = o jusqu�a r = oo ; par cons�quent, on aura

Je ferai remarquer qu�en prenant ipx=iCOsx, et mettant cl* au lieu de at dans l��quation (c), onnbsp;aura

On peut donner une valeur imaginaire a la constante tt danscette e'qnationj et si Tony met a \/^i au lieu de a, on aura

On a souvent occasion d�employer ces formules, qui se pr�senlaient ici naturellement^ et que l�on ob-tient aussi par d�autres moyens.

5i5. Les equations aux differences partielles aux-quelles on est conduit, dans la plupart des probl�mes de M�canique ou de Physique, sont lin�aires a l��-gard d�uue inconnue u, du premier ou du secondnbsp;ordre par rapport au temps, et g�n�ralement anbsp;quatre variables independantes, dont u est function,nbsp;savoir, Ie temps, que nous repr�senterons par t, etnbsp;les tz'ois coordonu�es d�un point quelconque du sys^nbsp;t�me dont on s�occupe, que nous de'signerons par

Jquot;, 2. Si Ton excepte leur dernier terme, ind�pendant de u et qu�on peut toujours faire disparaitre, elles nenbsp;t^onliennent pas cette variable t expHcitemenl, c�est-a-dire, que dans ces equations les coefficiens ne sontnbsp;fonctions que de jc, �, z. Or, L = o �tant une de cesnbsp;equations sans dernier terme i, si l�on prend 6 = e'. Ianbsp;s�rie (a) deviendranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' � '

et si Ton substitue, dans L, cette s�rie (g) au lieu u, il est ais� de voir qu�il en r�sultera

N, 0, �tant des quantit�s qui ne contiennent que l�inconnue P, d�oii se d�duiront M', N', 0', en ynbsp;��iettanl Q au lieu de P, puls Mquot;, Nquot;, Oquot;, par la substitution de R a Ia place de Q, et ainsi de suite.nbsp;Toutes les quantit�s M, M', Mquot;, etc., seront nullesnbsp;lorsque l��quation L = o ne sera que du premiernbsp;ordre, par rapport a t. Dans tous les cas, cette equation donne'e L � o se d�composera en celles-ci:

My4- N'V4- 0quot;= o, j etb:

*^31' consequent, les exposans a, b, y, etc., seront ^^s constantes arbitraires; les coefficiens P, Q,

c�est-a-dire, de Tint�grale complete de l��quation L = o, ordonn�e suivant les puissances de l�expo-nentielle e', seront des int�grales particuli�res denbsp;cette m�me e'quation.

Les equations (h) seront lin�aires, comme L = o / par rapport a l�inconnue que chacune d�elles ren-fermera. Si L ne contient qu�une seule des troisnbsp;coordonne'es x, f, z, elles seront simplement desnbsp;equations difF�rentielles; et alors ia s�rie (g) ne ren-fermera que des constantes arbitraires, savoir, a, �,nbsp;y, etc., et les constantes qui seront introduites parnbsp;l�int�gration des equations (h). Quand elles seront ault;nbsp;dlfl�rences partielles, on pourra souvent les traite!nbsp;comnie l��quation L=o, et exprimer leurs int�gralesnbsp;completes en ��ries d�int�grales particuli�res.

5i4- On peut donner une autre forme a la s�rie (g), en y changeant les exponentielles en sinus et cosinus. Soient, en effet, A, jx, v, etc., d�autresnbsp;constantes arbitraires, et q, etc., p', q'^-r', etc.�nbsp;d�autres inconnues. Si l�on met dans cette s�ri�nbsp;d= A \/�I, rt:IA, \/�I, �1' Vquot;�I, etc., au lieu d�nbsp;CL, �, y, etc.; qu�oa y remplace P, Q, R, etc., pafnbsp;\/^i,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V/�I, ^rdz^r' V^i, etc �

� p cosM-\-q cosiit-\-r cos vt etc. i p' sin M q' sin fAt r' sin vt etc. 1nbsp;Pour la g�n�ralit� de l�int�grale de L = o, expi�i'nbsp;mee indiff�remment par cette derni�re formule oo

par la serie (g), il faudra que les constantes X, ft, �'gt; etc., aussi bien que a, C, y, etc., soient r�elles ounbsp;ii��aginaires; mais il j a des probl�mes dans lesquelsnbsp;valeurs d�termin�es de A,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, v, etc., seront

Routes r�elles, et d�aulres dans lesquels aucune des Valeurs de et, �, y, etc., ne sera imaginaire. Dans Ienbsp;pi�emier cas, il conviendra d�employer la formule (j),nbsp;dans Ie second, la formule (g); et lors menie quenbsp;^ equation L = o sera int�grable sous forme finie , ilnbsp;^vrivera souvent, dans des probl�mes de M�caniquenbsp;Ou de Physique, que lexpressioa de sou integrale,nbsp;^u moyen de Tune ou l�autre de ces deux s�ries,nbsp;Sera plus propre que l�int�grale sous forme finie, anbsp;faire d�couvrir toutes les circonstances du ph�no-Oiene dont on s�occupera. Les questions relatives auxnbsp;petites oscillations des points d�un corps �lastique ounbsp;d�un fluide , qu�on a un peu �cart�s de leur �tat d��-quilibre, sonl celles o� il conviendra d�employer lesnbsp;expressions des inconnues sous la forme de la s�rie (i).

Lorsque les valeurs g�n�rales de P, Q, R, etc., et, par suite, celles de p, q, r, etc., p', q', r, etc., nenbsp;venfermeront que des constantes arbitraires, la for-oaule [i) s��crira plus bri�vement de cette mani�re :

caract�ristiques 2 indiquant des sommes qui s��-^oudent a toutes les valeurs possibles, r�elles ou ima-�iQaires de A et des autres constantes arbitraires, con-tenues dans p et p'. On pourra, si Ton veut, faire oroitre ces valeurs par degr�s infiniment petits, etnbsp;^cniplacer les sommes 2 par des int�grales; mais

eette autre forme �quivalente de l�expression de n a aueun avantage; et il vaut mieux conservernbsp;pr�c�dente.

5i5. Ind�p�ndamment des equations aux differences partielles qui conviennent a tous les points du sjst�me, il j a touj�urs, dans les divers pro-bl�raes de Physique ou de M�canique, d�autresnbsp;equations qui n�ont lieu que pour les points extremes j telles sont, par exemple, dans Ie problem�nbsp;des vibrations longitudinales d�une verge �lastiquC;nbsp;les equations relatives a la fixit� ou a l�enti�re b'nbsp;bert� des deux bouts de cette verge. Ces equationsnbsp;particuli�res serviront, dans chaque cas, a d�tef-miner les valeurs d�une partie des quantit�s arbi'nbsp;traires que renfermera la s�rie (g) ou la s�rie {i)fnbsp;quant a celles de ces quantit�s qui resteront encoJ�nbsp;ind�termin�es apr�s qu�on aura, en �gard a toutesnbsp;les �quations de ce genre, elles d�pendront de 1�^nbsp;tat initial du sjst�me. Pour en obtenir les valeurs;nbsp;j�ai sulvi, dans un grand nombre de problem�*nbsp;diff�rens, un proc�d� uniforme, que je crois ap'nbsp;pllcable a tous les cas, soit que la question ne p�'�'nbsp;sente qu�une seule inconnue u, et ne conduise qnquot;'�nbsp;une seule equation L = o , soit qu�il y ait a d�t�gt;�'nbsp;niiner plusieurs inconnues d�pendantes d un �ga^nbsp;nombre d��quatlons aux differences partielles, b-n�alres el simultan�es. Ce proc�d� g�n�ral a auss^nbsp;Favantage de fo�ruir, dans chaque exemple, la �1�'nbsp;nionstration de la r�alit� des constantes ct, S,yf et��'

dont il serait souvent difRcile de determiner antre-*�gt;ent la nature des racines.

L�exemple que nous donnerons de l�application de cette m�thode, dans Ie paragi�aphe suivant, suf-hra pour l�expUquer , et ppur qu�on puisse l�em-ployer dans d�autres probl�mes. Au raoyen de cettenbsp;tft�thode , on d�terminera, sans aucune difficult� ,nbsp;^es vibrations longitudinales des verges �lastiques,nbsp;dans les trois cas du n� 495, et l�on s�ra conduit,nbsp;d�une mani�re plus directe, aux m�mes formulesnbsp;^ue dans ce num�ro. Pour exemple d�un� questionnbsp;d�pendante de plusieurs �quations aux differencesnbsp;partielles, j�indiquerai Ie choc longitudinal de deuxnbsp;Ou plusieurs verges �lastiques, form�es de mati�resnbsp;dilf�rentes ; question qui a �t� r�solue dans Ie pa-ragraphe pr�c�dent, pour Ie cas particulier de l�ho-mog�n�it�, el dont je supprime ici la solution g�n�rale , a cause de la longueur des formules quinbsp;sy rapportent.

5i6. Supposons que Ie temps t soit compt� a partir de Torigine du mouvement; et soient

^es valeurs de l�nconnue u et de son coefficient diffe-*�entiel par rapport a t, qui r�pondent a i = o; de sorte que j\x, j, z) et F (x, j, z) soient des fonc-dons doun�es arbitrairement pour toutes les valeursnbsp;des coordonn�es X, y, z, qui r�pondent aux pointsnbsp;dun syst�me dont on consid�re les vibrations. Apr�snbsp;ffu�on aura d�termin� toutes les quantit�s arbitraires

que renferme la s�rie (i), d�apr�s T�tat initial de ce syst�me, et en ajant �gard aux �quations parti-culi�res qui peuvent avoir lieu a ses extr�mit�s,nbsp;faudra que cette s�rie et son coefficient dilT�rentielnbsp;coincident, pour ^ = o, avec les fonctionsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;)

ce qui fournira un d�veloppement, ou une transformation d�un genre particulier, pour chacune deS fonctions quelconques �(jc, j, z) et F(a!r, 7,nbsp;transformation qui ne sera pas identique, et n auranbsp;lieu que pour des valeurs limit�es des variables x,

y, z-

Quoiqne Ie plus souvent on ne puisse pas d�-montrer directement l�exactitude de ces �quations cependant il ne peut rester aucun doute a eet �gard-En effet, d�apr�s les consid�rations pr�c�dentes, 1^nbsp;s�rie {i) repr�sente certainement 1�int�grale complete de 1��quation L = o , c�est-a-dire, la valeufnbsp;la plus g�n�rale de u qui puisse satisfaire a cettenbsp;�quation. Par hypothese, on a d�termin� les quaU'nbsp;tit�s arbitraires que cette s�rie renferme, au niojennbsp;des autres conditions du probl�me qui a conduit anbsp;cette �quation L = o; si ces conditions ne sont pasnbsp;incompatibles, et que Ie probl�me soit susceptiblenbsp;d�une solution, il faut done qu�apr�s cette d�termiquot;nbsp;natian, la s�rie (z) exprime la valeur de m a u�nbsp;instant quelconque et en un point quelconque du

syst�me; par cons�quent, en faisant t = o dans cette s�rie et dans celle qu�on en d�duit par la differentiation. relative a t, elles devront repr�senter

fonctions f(x, j, z) et F (x, z), quelles qu�elles soient, mais seulement pour les valeurs de x,nbsp;y i z, comprises dans les limites du syst�me quenbsp;l�oti consid�re.

Dans l�exernple du mouvement longitudinal d�une Verge �lastlque, les s�ries (A:) repr�senteront, pournbsp;foute la longueur de cettc verge, et dans les diff�-veutes hypotheses relatives a ses extr�mit�s, les deuxnbsp;fonctlons arbitraires qu�on a d�sign�es par lt;px et lt;^'xnbsp;dans Ie n� 49^1 of oes s�ries co�ncideront avec lesnbsp;Expressions de lt;px et (p'x, dont on a fait usage dansnbsp;Ce num�ro, et qu�on avait d�montr�es auparavant.

517. La conclusion de lout ce qui precede est que, pour exprimer dans un probl�me relatif aux.petitesnbsp;vibrations des corps, et dans d�autres questions denbsp;Physique, chaque inconnue, au moyen de la s�rie (g)nbsp;OU (i), il est n�cessaire d�avoir d�montr�, pr�alable-uient, que cette s�rie repr�sente la valeur la plus g�-tt�rale de 1�inconnue qui puisse satlsfaii�e a l��quationnbsp;^Ux diff�rences partielles dont elle d�pend, et, en-�oite, de d�terminer toutes les quantit�s arbitrairesnbsp;floe cette s�rie renferme, au moyen des donn�es par-ficuli�res du probl�me, qui r�pondent aux extr�-Diit�s du syst�me et a son �tat initial; ou bien , ilnbsp;faut connaitre, a priori, comme dans Ie n� 49^? desnbsp;oppressions en s�rie de la valeur initiale et arbitraire

de chaque inconnue, dont tous les t�rmes, multiplies par des sinus ou cosinus d�arcs proportionnels au tfemps, ou par des exponentielles, satisfassent isol�ment a l��quation donn�e aux differences partiellesnbsp;et aux autres equations relatives aux points extremesnbsp;du sjst�ine. On doit regarder comme incompl�te uoonbsp;solu tion dans laquelle on n�a pas d�raontr�, a priori,nbsp;la ge'n�ralit� de la s�rie {g) ou (i) dont on fait usage,nbsp;ou dans laquelle on ne v�rifie pas, a posteriori, qoenbsp;cette s�rie peut repr�senter la valeur initiale de chaque Inconnue, quelle que soit cette valeur, dans toutenbsp;l��tendue du syst�me, y compris les points extremes-D�apr�s ce qui precede, la premi�re m�thode sera toU'nbsp;jours applicable; la seconde ne Ie serait que dans uonbsp;tr�s petit nombre de cas particuliers.

5i8.* Les verges �lastiques sont susceptibles de quatre sortes de vibrations, auxquelles r�pondent desnbsp;tons dif��rens, et qui peuvent coexister dans uoenbsp;m�me verge, droite ou courbe dans son �tat naturel-Ces vibrations sont longitudinales, transversales ^nbsp;normales, tournantes ou produites par la torsioo-Les vibrations normales consistent en des dilatationsnbsp;et condensations alternatives des sections de la vergegt;nbsp;perpendicu-laires a sa longueur; elles n ont pas encore

�t� d�termin�es par la th�orie. Les trois autres esp�ces de vibrations Tont �t�; et l�analyse m�a fait connaitre,nbsp;entre les tons qui leur correspondent, des rappor*�

lt;jue l�exp�rience a confirm�s, ou que les phjsiciens avaient d�ja remarqu�s. Telle est, par exemple,nbsp;1�observation curieuse que l�on dolt a Chladni, etnbsp;S�ivant laquelle une verge encastr�e par un bout etnbsp;libre par lautre, rend un ton plus grave d�une quinte,nbsp;Jorsqu�on la fait vibrer par torsion, que quand ellenbsp;vibre longitudinalement; cela revient a dire que Ienbsp;ton qu�elle rend dans Ie premier cas est Ie m�me quenbsp;^elui qu�elle ferait entendre dans Ie second, si sanbsp;longueur �tait augmente'e dans Ie rapport de 3 a 2 ;nbsp;Or,, j�ai trouve' que ce rapport devrait �tre celui de

1 o a 2; ce qui diff�re a peine d�un vingti�me du r�sultat que Chladni a �nonc� en nombrenbsp;rond.

Je renverrai, pour les d�veloppemens de cette partie importante de la Physique math�matique, aunbsp;in�moire sur VEquilihre et Ie mouvement des corpsnbsp;�lastiques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j�ai d�ja cit� (nquot; 5o6), et o� je me

suis aussi occup� des vibrations des membranes flexi-bles et des plaques �lastiques, II suffira, dans ce Trait�, d�avoir consid�r� les cas les moins compli-qu�s de ce genre de questions, qui sont ceux desnbsp;cordes vibrantes et des vibrations longitudinales desnbsp;Serges �lastiques, auxquels nous allons encore ajouternbsp;Ie cas des vibrations transversales.

519. Nous supposerons, comme dans Ie cas des Vibrations longitudinales (nquot; 493) gt; qo�il s�agisse d�unenbsp;Verge homog�ne, et, dans son �tat naturel, prisma-^�que OU cylindrique; nous supposerons, de plus,nbsp;qo elle n��prouve aucnne torsion sur elle-m�me; ennbsp;i^orte que tous les points de cbaque filet longitudinal

Soient AMB (lig. 27) la direction rectiligue du filet moyen dans l��tat naturel de la verge, l sa longueur, et X la distance AM du point quelconque M anbsp;lextr�mit� A. Au bout du temps t, supposonsque IVlnbsp;soit transpor t� en M'; abaissons de M' la perpendiculaire MT sur AB j et faisons

Si ces deux variables u el j sont suppos�es constam-ment tr�s pelites, et qu�on n�glig�, en cons�quence, leurs carr�s et leurs produits, leurs valeurs en fonc-tions de lt; et j? d�pendront, comme dans Ie cas desnbsp;cordes vibrantes (n� 485), d equations lin�aires dansnbsp;lesquelles ces iuconnues seront s�par�es; les mouve-mens tr�s petits, dans Ie sens longitudinal et dans Ienbsp;sens transversal, coexisteront done sans s�influencernbsp;mutuellement; et comme nous avons d�termin�nbsp;d�une manl�re compl�te, Ie mouvement longitudinal�nbsp;nous pouri�ons maintenant en faire abstraction. Jenbsp;feral done o, de sorle que tous les points du filetnbsp;moyen oscilleront sur des droites perpendiculaires ^nbsp;sa direction naturelle, et que a: et ^ seront, a uunbsp;instant quelconque, les coordonn�es courantes de 1^nbsp;courbe plane A'M'B', form�e par ce filet. Je fevainbsp;aussi abstraction des petits mouvemens de dilatatioUnbsp;ou de condensation qui pourront avoir lieu dansnbsp;chaque section de la verge, perpendiculaire anbsp;longueur; le mouvement qu�il s�agira de d�termin�*'nbsp;sera alors le m�me pour tous les points d�une

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. section; et il suffira de consid�rer celui du pointnbsp;lt;�ui appartient au filet mojen.

L��quation de ce mouvement transversal se d�-duira de l��quation (�) du n� 3ao, en y mettant

1�on suppose qu�aucune force donn�e n�est appli-qu�e aux diff�rens points de la verge. Cette equation sera done

�tant une constante positive, qui d�pendra de la mati�re de Ia verge, de l��tendue et de la figure denbsp;la section normale.

Outre cette e'quation (i), commune a tous les points du filet moyen, il y aura des equations relatives anbsp;ses extre'mite's, qui seront les m�mes que dans Ie pro-bl�me de 1�equilibre. A eet �gard, il pourra se pr�senter six cas diff�rens , selon qu�a chacun des deuxnbsp;bouts la verge sera encastr�e, ou seulement appuy�e,nbsp;OU enti�rement libre. Mais comme ces six cas se trai-teraient de la m�me mani�re, nous nous bornerons anbsp;en consid�rer un seul en d�tail, et nous supposeronsnbsp;lt;�ue la verge soit enti�rement libre a ses deux boutsnbsp;A. et B, auxquels ne sera d�ailleurs appliqu�e aucunenbsp;force particuliere.

A Torigine du mouvement, la courbe du filet tnoyen et les vitesses imprim�es a tous ses points se-ront connues; si done on compte Ie temps t k partii�nbsp;de cette origine, et qu�on repr�sente par (px etnbsp;des fonctions donn�es depuis x~o jusqu�a x = /,nbsp;on aura, a la fois ,

Ces fonctions arbitraires lt;px et lt;p'x devront, toute-fois, remplir les conditions relatives a x = o et x= Z, qul seront exprim�es par les equations (2)nbsp;et (5) pour la foncti�n (px, et par leurs differenliellesnbsp;relatives a t pour la fonction (p'x.

Ainsi, la question que nous aurons a r�soudre coo-sistera a trouver la valeur de j', en fonction de t et Xgt; qui salisfait aux equations (i), (2), (5), (4), dont lanbsp;premi�re est la seule qui ait lieu pour tontes les va-leurs de ces deux variables. Mais, auparavant, il es^nbsp;bon de comparer, pour une m�me verge �lastique gt;nbsp;Ie coefficient b qui entre dans I�equatioa de son moo^nbsp;vement transversal, et Ie coefficient a contenu dao*nbsp;l��quation de son mouvement longitudinal.

520. En d�signant par g la gravit�, par p Ie poids de la verge, et par q la tension qu�il faudrait etH'nbsp;ployer pour doubler sa longueur Z, on a (n� 4g4)

tion (�) du n� 320, d�o� l�on a d�duit Tequation (i) du mouvement transversal, on aura

b* � Sj� nbsp;nbsp;nbsp;du(5)

tt, i;, ]i, k', ayant la m�me signification que dans Ie n� 314, et la constante a du m�me nume'ro e'tant lanbsp;valeur de q, rapport�e a Tunit� de surface, de sortenbsp;qu�on a

h sera une ligne dont la valeur d�pendra de T�ten-4ue et de la forme de son contour; et il en r�sultera

h'= �t,

Si la section normale de la verge est un rectangle dont la base soit perpendiculaire au plan de lanbsp;courbe A'M'B', et la hauteur �gale a as, on aura

Dans Ie cas d�nne verge cylindrique, dont Ie rayon sera repr�sent� par e, on aura

Supposons encore que la section normale de la verge soit un triangle isosc�le, qui ait sa base perpendiculaire au plan de la courbc A'M'B'; et, pournbsp;fixer les idees, supposons aussi que ce plan soit vertical , et que la base du triangle r�ponde a la facenbsp;sup�rieure de la verge. Appelons A cette base, et a�nbsp;la hauteur; nous aurons toujours

mais la valeur de h sei'a diff�rente, selon que la face sup�rieure de la verge tournera sa convexit� par ennbsp;haut OU par en bas (n� 5i5). Dans Ie premier cas, onnbsp;aura

. 4� nbsp;nbsp;nbsp;_/'4e

k'=^. nbsp;nbsp;nbsp;

Ces r�sultats nous serviront, plus loin, a comparer enfre eux les tons d�une m�me verge �lastique , lorsqu�elle execute des vibrations longitudinalcs , ounbsp;des vibrations Iransversales.

521. Maintenant, soient p el q des fonctions de x, et m une constante par rapport a ^ et a x. Pour sa-tisfaire a Fe'quation (i), prenons

Cette equation devant subsister pour toules les va-leurs Ae t, il faudra qu�on ait

et, en integrant,ces deux equations differenlielles du quafrieme oi�dre, il vient

A, A', B, B', C, C', D, D', �tant les huit constantes arbilraires, et e d�signant la base des logarithmesnbsp;n�p�riens.

A cause de la forme lineaire de l��quation (i), on y satisfera encore en prenant

et �tendant les sommes 2 a toutes les valeurs possibles, r�elles ou imaginaires, de m et des huit autres constantes A, A', etc. De plus , cette valeur de j seranbsp;l�int�grale complete de l��quation (i), d�apr�s lesnbsp;considerations qu�on a expos�es dans Ie paragraphenbsp;precedent.

Si on la substitue dans les equations (2) et (3), qui onl lieu pour toutes les valeurs de t, et, par consequent, pour tous les termes des sommes 2 pris s�-par�ment, on aura

pour a? = o et pour x~l- En mettant pour p et 7 leurs valeurs pr�c�dentes, il en r�sulte d�abord

A (2 sin ml � equot;' nbsp;nbsp;nbsp;= A'(e�quot; * nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 2 cos ml),

Or, en multipllant membre a membre les deux premi�res OU les deux derni�res de ces quatre equations, et suppi�imanl, dans les produits, Ie facteur communnbsp;AA' OU CC', on a

4 sin* ml � (equot;'� 6�quot;*'/ -f-(2 cos ml �equot;*'� nbsp;nbsp;nbsp;o,

equation qui servira a determiner les valeurs de m. Les valeurs de A, A', etc., qu�on tirera des equationsnbsp;pr�c�dentes, seront d�ailleurs

X �z= nbsp;nbsp;nbsp;equot;�*' � 2C0S ml) (sin mx H- 5 equot;'quot;' � a g�

la somrae 2 s��tendant toujours a toutes les valeurs possibles de E et E', mais seulement a toutes valeursnbsp;de m donn�es par I�equation (a). Pour toutes ces valeurs, on auranbsp;pour a: = o et pour x = l-,et, quelles que soient lesnbsp;quantit�s m et x, on aura idenliqueraent

522. II ne reste plus qua determiner les valeurs des coefficiens E et E', relatives a chaque valeur de m,nbsp;d�apr�s 1 etat initial de la verge; ce qu�on va faire ^nbsp;en suivant le proc�d� g�n�ral dont il a �t� parl� dansnbsp;le n� 5i5.

Remarquons d�abord que si m est une racine de l��quation (�;, ii en sera de m�me a l��gard de �m,nbsp;in\^�I,�m\/�i; de plus, les valeurs corres-pondantes de X tie differeront entre elles que par lenbsp;signe, ou par un facteur V�i; d�ou il resulte quo�nbsp;pourra reunir en un seul terme, dans la formule (b)tnbsp;les termes qui r�pondent a ces quatre racines, et n�c-tendre ensuite la somme 2 qua des valeurs reellesetnbsp;positives de m, ou bien, a des valeurs compos�esnbsp;d�une partie reelle et d�une partie imaginaire, s�il eonbsp;existait, dout la partie reelle serait positive. D�nbsp;cette mani�re, si m et m' sont deux racines de I�e-quation {a) dont on fera usage, m' et /n'* differerontnbsp;de � m et �

Cela �tanl convenu, je multiplie l��quation (i) par ILdx, puis j�int�gre depuis x=o jusqu�a xs=l;nbsp;Ce qui donne

Les termes compris entre les parentheses re'pondent a x=zl, et ceux qui sont renfernies entre des crochets, a X = 0; ils se detruisent les uns et les autres,nbsp;en vertu des equations (2), (5), (4), relatives a cesnbsp;limites; et, d�apres I�equation (c?), qui a lieu pournbsp;toutes les valeurs de a?, si Ton met ttz X a la place de

H et H' d�signant les deux constantes arbitraires-Pour les determiner, je fais t-=o dans cette formule et dans sa dlff�rentielle par rapport h. t', et, en ayaiitnbsp;�gard aux equations (4); il en r�sulte

= J' X.(pxdjc, nbsp;nbsp;nbsp;J' '^(p'jcdx.

4- I ILip'ocdx.sin m'bt.

Je substitue la formule (b) a la place de j dans Ie premier membre de cette equation (e); son secondnbsp;raembre ne contenant que cosm'^bt et sin;n�^lt;^ sinbsp;m� est une racine de l��quation (a), telle que m' etnbsp;/�'*dif�erent de =bm et �m', comme on la supposenbsp;tout a rheure, il faudra que le terme correspondantnbsp;a m' disparaisse du premier membre; ce qui exigenbsp;qu�on ait

d�signant ce que X devient quand on y change en m'. Mais pour le cas de m'~m, on conclura de cettenbsp;me me equation (e),

Ce qui fera connaitre les valeurs de E et E' en fonc-tions de m, au moyen desquelles la formule {b) de-viendra

d�duit, ne renfermant plus rien d�inconnu, elles fe-ront connaitre, a chaque instant, l�ordonn�e et la vi-tesse d�un point quelconque M' de la courbe A'M'B'; Ce qui est la solution complete du probl�me. L�int�-

^^icnt, se calculer que par la m�thode des quadratures. SaS. Si I�on fait t = o dans les expressions de r

fonctions quelconques lt;px et lt;p'x continues ou discontinues, mais seulement depuis n: = o jusqu�a X z=z l, et en observant qu�elles ne conviendrontnbsp;aux valeurs extremes de x que quand celles de cesnbsp;fonctions rempliront la condition eooncee pre'ce-demment (n� 519). Quoique nous ne puissions pasnbsp;d�montrer ces formules directement, elles n�eu sontnbsp;pas moins certaines, ainsi qu�on l�a expliqu� dansnbsp;Ie n� 5i6.

Dans Ie cas particulier o� tous les points de la verge out j-ecu primitivement une vitesse communenbsp;et une vitesse proportionnelle a leurs distances anbsp;son milieu, ii est �vident qu�elle doit prendre unnbsp;mouvement de translation et un mouvement de rotation, sans aucune courbure ni vibrations. C�eslnbsp;aussi ce qu�on peut conclure de ces equations {h) etnbsp;de la formule (g).

et si l�on differentie la seconde equation (h), et qu�on ait �gard a l��quation (d), on en conclut

i �tanl un nombre entier et positif. Par cons�quent, Ie d�veloppement suivant les puissances de ^, de Ianbsp;partie

lequel aura pour valeur Kp'x y en vertu de la seconde equation (k). Done, a cause de (px = o et de la va -leur de lt;p'x, la formule (g) sera simpleraent

jr = [c gt; (x

Au moyen de l��quation (/), on peut prouder que Tequation (a) n�admet aucune racine compo-see d�une partie r�elle et d�une partie imaginaire.

celle-la que par Ie signe de 'Z�i, et sera J�g\/�i; On pourra done prendre, dans l��quation (�) ,

� et g d�signant des quantit�s r�elles dont aucune est z�ro. On aura, en m�me temps,

X = F4.G\/�i, X' = F �G\/�i; et G �tant aussi des quantit�s reelles. Par cons�-

quent, i��quation {f) deviendra equation impossible, puisqu�il faudrait, pour qu�ellenbsp;e�t lieu , qu�une integrale dont tous les �le'ra�ns sontnbsp;positifs, et qui en exprime la somme (n� i3), fi�*nbsp;egale a z�ro. Done aussi la supposition d une racio*^nbsp;est inadmissible.

Cette derni�re equation serait encore inadmissible si f OU g �tait z�ro; inais alore on ne pourrait plus

prendre f g S/� � et � � g i pour m et m'i car r�quatloii (�) suppose que m� et m'* diff�rent denbsp;rfc /u et �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; ce qui n�aurai t pas lieu dans Ie cas o�

SaS. Pour la racine m = o de P�quation (a), Ie terme correspondant de la formule (g) se pr�sentenbsp;sous la forme �; on obtiendra sa v�ritable valeur ennbsp;supposant que m soit seulement une quantit� inlini'nbsp;ment petite. On aura alors

II r�pond a des mouvemens de translation et de rota' tion communs a tous les points de la verge; nous eonbsp;ferons abstraction; et en n�ayant point �gard a lanbsp;cine TO = o, tous les termes de la s�rie (g) seront p�'nbsp;riodiques.

Ma�s si l�on fait attention que les diff�rentes va-leurs de m sont incommensurables, on voit qu�il n�ar-rivera pas, en general, que tons les points de la verge reviennent, en m�me temps, a leur �tat primitif,nbsp;Ou, autrement dit, une verge �lastique n�ex�cuteranbsp;pas dans tous les cas, comme une corde tendue, desnbsp;vibrations transversales isochrones. Pour que l�iso-chronisine ait lieu, et pour que la verge fasse entendre un son unique et appreciable, il faudra que ,nbsp;d�apr�s sa courbure et les vitesses de ses points a l�o-rigine du mouvement, tous les termes de la for-niule (g) disparaissent, except� un seul, etqu�elle senbsp;r�duise a la forrne

OU l�on a remis, pour abr�ger, les constantes E et E' a la place de leurs valeurs trouv�es plus haut. Lors-que la formule (g) se r�duira a un petit nombre denbsp;termes, la verge fera entendre a !a fois plusieurs sonsnbsp;distincts, dont les tons ne pourront pas �tre comparesnbsp;entre eux exactement.

Soit T la dur�e d�une vibration enti�re de la verge, t^orrespondanle a cette racine m, et n Ie nombre denbsp;�'vibrations dans l�unit� de temps. D�apr�s l��qua-*'on j j on aura

en sorle que les diff�rens tons que peut faire entendre une verge pliee dans Ie m�me sens, vibrant transver-salenient et libre par ses deu:^bonts, d�pendront desnbsp;valeurs de A, et Ie plus grave, on Ie ton fondamen-tal, r�pondra a la plus petite de ces.valeurs,

II est �vident que la quantit� Z��, donu�e par la formule (5) , ne depend pas de la longueur l de lanbsp;verge; s�il s�agit d�une verge cjlindrique ou circulaire , on voit aussi que cette quantit� est propor-tionnelle au carr� du diam�tre. Pour deux vergesnbsp;cylindriqnes et form�es de la m�me mati�re, etnbsp;pour Ie m�me ordre de vibrations, c�est-a-dire, pournbsp;la m�me val�ur de A, Ie nornbre n sera done ennbsp;raison directe de l��paisseur et inverse du carr� denbsp;la longueur.

S�il s�agit d�une verge prismatique, elle fera entendre , en g�n�ral, deux sons diff�rens, selon qu�ell-e vibrera transversalement dans un sens ounbsp;dans un autre. Ainsi, en supposant, par exemple�nbsp;que la section normale soit un rectangle, et qu�onnbsp;fasse vibrer successive ment la verge, de mani�i��nbsp;que la base ou la hauteur du rectangle soit perpendiculaire au plan de la courbe A'IVPB', les valeursnbsp;successives de n seront entre elles comme cette hau-feur et cette base, pour Ie m�me ordre de vibrations. Lorsque la section normale sera triangulaire;nbsp;comme dans Ie troisi�me exemple du n� Sao,nbsp;valeur de ne sera pas la m�me pendant deux denn-vibrations successives; leurs dur�es seront done ine-gales; ce qui n�emp�cbera pas les vibrations enti�res

d etre isochrones, en supposant toujours que la formule (g) se reduise a un seul terme.

En �galant a z�ro Ie facteur X de la formule (t), on d�terminera les valeurs de x qui re'pondent auxnbsp;noeuds de'vibrations, c�est-a-dire, aux points im-tnobiles sur la droite AB, pour chaque valeur de m,nbsp;OU pour chaque ton que la verge peut faire entendre.

527. Lorsque la verge �iastiqiie que nous consi-d�rons sera encastr�e a son extr�rait� A et libre a son autre bout, Ie filet moyen demeurera tangentnbsp;en A, a la droite AB, pendant toute la dur�e dunbsp;mouvement; de sorte que les equations (2) du pro-El�me pr�c�dent devront �tre remplac�es par

On modifiera, en cons�quence et sans aucune dif-ficult� , l�analyse pr�c�dente; et l�on trouvera que la valeur g�n�rale de j sera encore exprim�e parnbsp;la formule (g); mais les valeurs de m, qu�on ynbsp;devra employer, devront �tre tir�es de Tequation

lt;lui ne diff�re de l��quation {a) que par Ie signe du dernier terme : la valeur qu�on prendra pour X sera,nbsp;m�me temps,

ne fasse entendre qu�un seul son, il faudra que, d�apr�s son �tat initial, la formule (g) se r�duise anbsp;un seul terme ou a la formule (i), comme dans Ienbsp;cas pr�c�dent. Si l�on d�signe par A' une valeur positive de ml, tir�e de l��quation (�'); par T' la du-

et tout ce que Ton a dit, dans Ie num�ro pr�c�dent, sur la comparaison des tons des verges libres a leurs deux bouts, s�appliquera �galement au cas desnbsp;verges encastr�es a Tune de leurs extr�mit�s: on d�-terminera aussi les noeuds de vibrations qui accom-pagneront chaque ton rendu par une m�me verge�nbsp;en �galant a z�ro la valeur pr�c�dentede X.

528. Pour r�soudre, par approximation, les �qua-tions (a) et {al), je d�signe par i un nombre entier positif OU z�ro, et je fais

dans lequation (�'); cT et cT' �tant des quantit�s pO' sitives et qui ne peuvent pas surpasser -tt. Je prendsnbsp;les signes sup�rieurs ou inf�rieurs devant ces nou-velles inconnues, selon que i est pair ou impai*�'

D�apr�s les limltes de �T et cT', il est als� de voir que chacune de ces inconnues n�aura qu�une seule va-leur pour chaque valeur de i; celle de �T, pour i = o,nbsp;sera J' = ^7r; et comme elle r�pond a m = o, il ennbsp;faudra faire abstraction. Pour i = i, on a cr=o,oi'yg7,nbsp;en negligeant cP dans Ie second membre de la pre-�iii�re equation (k); et si l�on y substitue cette premi�renbsp;Valeur approch�e de cT, on aura, plus exactement,

bes valeurs de eP relatives a iz= 2 , i~ 5 , etc., se-ront encore plus petites que celle-ci j les valeure de A differeront done tr�s peu des multiples impairs denbsp;i TT ; et, d�apr�s l�expression du nombre n, les tonsnbsp;de la verge libre par les deux bouts formeront, anbsp;tr�s peu pr�s, une s�rie croissante comme les carr�snbsp;des nombres 3, 5, 7, etc. La plus petite valeur de A,nbsp;correspondante au son Ie plus grave, est

�ans Ie cas de i = o, apr�s quelques essais, on trouve, a un degr� suffisant d�approximation,

En comparant done son carr� a celui de la valeur pr�-c�dente de A, et obsei�vant que ces carr�s sont entre eux comme les nombres n' et n des vibrations, onnbsp;auranbsp;pour Ie rapport du ton Ie plus grave de la verge en-castr�e par un de ses bouts, a celui de la m�me vergenbsp;libre a ses deux extr�mit�s. Les autres valeurs denbsp;sont tres petites; les valeurs correspondantes de A'nbsp;seront done, a tr�s peu pr�s, les multiples 5, 5,nbsp;7, etc., de et les tons de la verge encastr�e,nbsp;Ie ton Ie plus grave except�, formeront une s�rie croissante comme les carr�s de ces nombres ini'nbsp;pairs.

L�exp�rience a confirm� depuis long-temps tout ce que la th�orie a fait connaitre relativement aux se'nbsp;ries de tons que font entendre les verges �lastiques�nbsp;libres ou g�n�es par leurs extr�mit�s, a la positionnbsp;des noeuds qui accompagnent ces diff�rens modes denbsp;vibrations, et aux rapports des tons, suivant les longueurs et les �paisseurs. Nous allons maintenant comparer entre eux les tons, ou les nombres de vibrationsnbsp;transversales et longitudinales d�une m�me verg�nbsp;�lastique. L'observation a aussi confirm�, sur cenbsp;point, les r�sultats du calcul.

verge soit libce a ses deux bouts dans ces deux sortes de vibrations, et je me bornerai a consid�rer Ie tonnbsp;Ie plus grave pour les unes et pour les autres.

En emplojant la plus petite valeur de A trouvee dans Ie num�ro pr�c�dent, on aura

pour Ie nombre de vibrations transversales dans l�unit� de temps. Si l�on d�signe par Ie nombre denbsp;vibrations longitudinales dans Ie m�ine temps, onnbsp;aura, d�apr�s Ie troisi�me cas du nquot; 490 ,

formule ind�pendante de la mati�re de la verge, au moyen de laquelle on conclura Ie ton transversal dunbsp;ton longitudinal, ou r�ciproquement.

La grandeur de ia ligne h qu�elle renferme d�pen-dra de la figure de la section normale, et sera pro-portionnelle, toutes choses d�ailleurs �gales, a T�-paisseur. Cette dimension �tant tres petite relativement ^ la longueur l, il s�ensuit que Ie ton des vibrationsnbsp;transversales sera tres grave par rapport a l�autre; cenbsp;^ui est conforme aux observations qu�on fait Ie plusnbsp;^onimun�ment. D�apr�s Ie n� 620, si la verge est unnbsp;t^jlindi-e dont Ie rayon soit e, on a A = Ag; et si elle ,nbsp;6st un parall�l�pip�de, ct que e ,soit aussi la demi-

Comnie Ie nombre est ind�pendant de Ia figure et des dimensions de la section normale, il s�ensuit quenbsp;pour les m�mes grandeurs de e et de ^, Ie nombre denbsp;vibrations transversales est plus petit dans Ie premier

Pour la comparaison de ces formules a l�observation, voj'ez les Annales de Chimie et de Phjsique, tome XXXVI.nbsp;page 86.

\\AA/V^'Wgt;'VV%VV�'VV�lt;VV\'UV\lt;VVgt;'l^'VVV�VWVV%iWVM/WV%lt;\iV%%Mlt;VV�'Wt�W''W\iVWW\VV^gt;W\'MAgt;Wgt;%VVV^�V%

CHAPITRE IX.

53o. Puisque les forces perdues par lous les points du sjst�me pendant la dur�e de chaque instant doi-vent se faire continuellement �quilibre (n� 55o), sinbsp;l�on applique a ces forces Ie principe des vitesses vir-tuelles, on obtiendra une formule g�ne'rale, de la-quelle on pourra d�duire, dans chaque cas, toutesnbsp;les �quations du mouvement, de m�me que i�on d�-duit toutes celles de 1 equilibre, de l��quation g�n�rale des vitesses virtuelles. Quelque naturelle quenbsp;paraisse cette combinaisoh du principe general de lanbsp;Djnamique avec celui de 1��quilibre, on ne l�a pasnbsp;faite cependant a l��poque o� Ie premier de ces deuxnbsp;principes a �t� connu, et quoique Ie second eut �t�nbsp;donn� auparavant dans toute sa g�n�ralit�. Ce rapprochement des deux principes est du a Lagrange,nbsp;qui a r�duit, par la, a un proc�d� uniforme les solutions de tous les probl�mes de M�canique, ou dunbsp;luoins la formation des �quations diff�rentielles dont

lis dependent. Cest ce proc�d� g�n�ral que nous al-lons maintenant exposer, en observant, toutefois, que 1�ordre qui a �t� suivi dans ce Trait�, o� l�on anbsp;r�solu directement les probl�nies relatifs aux corpsnbsp;solides et aux corps flexibles, en allant du plus simple au plus compos�, a paru plus propre a unenbsp;�tude approfondie de la M�canique et a l�enseigne-ment de cette science, que l�on ne doit pas consi-d�rer seuleinent sous un point de vue abstrait et in-d�pendant des circonstances physiques.

531. Soient ?n, m', /raquot;, etc., les masses des points du syst�me dont nous allons nous occuper. Au boutnbsp;du temps t, compt� depuis l�origine du mouvement,nbsp;d�signons par .r, z, les trois coordonn�es recfan-gulaires de /ra, et par X, Y, Z, les composantes de lanbsp;force acc�l�ratrice appliqu�e a ce point materiel, di-rig�es suivant les prolongemens de x, z, dans Ienbsp;sens positif. Convenons aussi de repr�senter par lesnbsp;m�mes lettres, avec des accens, les quantit�s homo-logues qui r�pondent aux aulres points m', inquot;, etc.nbsp;Les composantes suivant les directions de X, Y, Z gt;nbsp;de la force perdue par ce point quelconque /ra pendan*nbsp;1�instant dt, seront

par cons�quent, l��quilibre aura lieu dans Ie syst�me^ en supposant Ie point m sollicit� par ces forces, etnbsp;chacun des autres points /ra', /raquot;, etc., par des forcesnbsp;semblables. Or, on formera l��quatiou g�n�x�ale denbsp;eet�quilibre,en mettant dans lequation(e)du n�34^�

o; (0

les sommes 2 s��tendant a tous les points m, m', mquot;, etc., du syst�me, et se composant, par cons�quent, d�un nombre de parties �gal au nombre de cesnbsp;points.

Nous supposerons, comme dans Ie num�ro cit�, que les liaisons de ces points mat�riels sont expri-tn�es par les equations

dans lesquelles L, L', Lquot;, etc., sont des fonctions donn�es des variables jc, y, z, x', etc., ou d�unenbsp;partie dentre elles, qui peuvent aussi renfermer Ienbsp;temps t explicitement. Si, par exemple, Ie point mnbsp;est assujetti, a demeurer sur une surface qui changenbsp;de forme graduellement, ou qui soit en mouvementnbsp;dans l�espace, et que L = O repr�sente l��quation denbsp;cette surface, L sera alors une fonclion donn�e de

Quoique les forces dont 1 equation (i) exprime l��-^uilibre r�pondent a des quantit�s de mouvement Perdues pendant la dur�e du temps dt, et que pen-*l^nt eet instant les positions des points m, m',nbsp;^ gt; etc., changent infiniment peu, on peut, n�an-supposer que eet �quilibre a lieu dans les positions que ces points occupent au bout du temps t,nbsp;^�st-a-dire, que l�on peut faire abstraction de leur

changement de position pendant l�instant dt, qui ne saurait alt�rer les quantit�s de mouvement perduesnbsp;pendant qu�il s�efFectue, que d�un infiniment petit dunbsp;second ordre, et les forces motrices correspondantes,nbsp;que d�un infiniment petit du premier ordre. Les d�-placemens infiniment petits que suppose Ie principenbsp;des vitesses virtuelles, et qui sont exprim�s, suivantnbsp;les directions des coordonn�es, par J'jc, (Sy, �Ts, pournbsp;Ie point m, par S'x', S'j', iS'z', pour Ie point m', etc.,nbsp;doivent done satisfaire aux conditions du syst�me,nbsp;telles qu�elles sont a la fin du temps t; par cons�quent, il faudra que les equations (2) aient encorenbsp;lien quand on y mettra cc -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, J'-\- � jquot;, z S'z ,

cc' S'x�, etc., a la place de cc, j, z, x', etc., sans faire varier Ie temps t qu�elles pourraient contenirnbsp;explicitement; d�o� l�on conclut, comme dans Ienbsp;n� 341,

nbsp;nbsp;nbsp; f .f. �J':.' elc.=o,

Au moyen de ces equations, on �liminera dans ie premier membre de l��quation (i) une partie desnbsp;quantit�s eflr, cfy, etc., puis on �galera a z�ro Ie�nbsp;coefficiens de chacune des quantit�s restantes. En ena-ployant, comme dans Ie n� 342, la m�thode desnbsp;facteurs ind�termin�s, on sera conduit, de nette

daas lesquelles A, A', Aquot;, etc., sont des facteurs dont les valeurs feront connaitre les forces provenant de lanbsp;liaison des points du syst�me, et de la resistance desnbsp;surfaces ou des courbes sur lesquelles ils peuvent �trenbsp;astreints a se mouvoir (n� 343).

Les equations (2) et (4) seront toujours en m�me �iombre que toutes les inconnues du probl�me, sa-voir; les quantite's A, A', Aquot;, etc., en nombre �gal anbsp;celui des equations (2), et les coordonn�es des pointsnbsp;in, m', ni', etc., en nombre triple de celui de cesnbsp;mobiles, et egal au nombre des equations (4); ellesnbsp;suffiront done pour determiner, dans tons les cas, lesnbsp;Valeurs de toutes ces inconnues en fonctions dunbsp;temps.

552. Supposons que les forces donne'es qui agissent tous les points du sjst�me se partagent en deuxnbsp;^coupes, de sorte qu�on ait

X = p_j_u, Y = Q V, Z = R W, X P'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Y' = Q' V', Z' = R' W',

supposons aussi qu�on soit parvenu a int�grer les equations differentielles du pi�obl�me, en ajant seu-lement �gard aux forces P, Q, R, P', Q', R', etc.; etnbsp;soient a, b, c, etc., les constantes arbitraires quenbsp;renfermeront ces int�grales.. On �tendra cette solution aux forces completes X, Y, Z, Y', Z', etc.,nbsp;au moyen de la m�thode fond�e sur la variation desnbsp;constantes arbitraires, dont Ie principe a �t� exposenbsp;dans Ie n� 220. Les diff�rentielles des quantit�s a,nbsp;h, c , etc., devenues variables, seront lin�aii�es pai�nbsp;rapport a U, V, W, U', V', W', etc., et de lanbsp;forme :

= AU BV CW A'U' etc., db � A.U B,V C,W-i- A/U' etc.,nbsp;dc = A,U BJ-h C,W A;U' etc.,nbsp;etc.;

A, B, etc., �tant des fonctions des m�mes incon-nues a, b, c, etc. Par la, les �quations diff�rentielles secondes du probl�me se trouveront changees en un nombre double d��quati�ns diff�rentielles dunbsp;premier ordre; mais cette transformation sera priO'nbsp;cipalementutile, lorsque les forcessecondaires TJ,nbsp;W, U', etc., seront tres petites par rapport auXnbsp;forces primitives P, Q, R, P', etc.; ce qui p�'quot;'nbsp;mettra, dans une premi�re approximation, de con-sid�rer comme constantes les quantit�s �, b, c, etc*�nbsp;que renferment les coefficiens A, B, etc., et, con-s�quemment, de d�duire des formules pr�c�dentes,nbsp;par l�int�gration imm�diate ou par la m�thode desnbsp;quadratures, les parties variables de ces inconnues*

Cest Lagrange qui a ainsi �tendu h. tous les pro-Llcmes de la M�canique la m�thode de la variatiou des constanles arbitraires, a laquelle il avaitramen�,nbsp;autrefois, la th�orie des solutions particuli�res desnbsp;equations diff�rentielles, et dont il avait aussi faitnbsp;d�autres applications moins g�n�rales. Mais il s��taitnbsp;born� a donner les expressions g�n�rales des quan-tit�s U, V, W, �', V', W', etc., en fonctions li-ii�aires des diff�rentielles da, db, dc, etc.; et il res-tait a trouver les formules inverses qui donnentnbsp;directement, dans Ie cas g�n�ral, les diff�rentiellesnbsp;des inconnues a, h, c, etc., en fonctions lin�aires .nbsp;des forces �, V, W, etc. , et a d�montrer, d�unenbsp;ttiani�re directe et g�n�rale, les propri�t�s im -portantes dont jouissent leurs coefficiens A, B,

C, etc. C�est ce qui a �t� fait dans les m�moires que j�ai ins�r�s, sur ce sujet, dans Ie i5� cahier dunbsp;Journal de V�cole Poljtechnique, et dans Ie tome Iquot;nbsp;des M�moires de l�Acad�mie des Sciences, et aux-quels je me contente de i�envojer'le lecteur, curieuxnbsp;de connaitre cette th�orie dans tous ses d�tails etnbsp;les cons�quences qu�on en a d�duites. En appliquantnbsp;successivement les expressions g�n�rales de da, db,nbsp;dc, etc., au probl�me du mouvement d�un pointnbsp;Diat�riel attir� vers un centre fixe suivant une fonc-tion quelconque, et au probl�me du mouvementnbsp;d�un corps solide autour d�un point fixe, on ob-tienl les m�mes expressions pour les diff�rentiellesnbsp;cons tantes homologues dans ces deux prohl�mes,nbsp;diff�rens l�un de l�autre; et par la les deux ques-tions principales de rAstronomle, savoir, la d�ter-

niination du mouvement des corps celestes, considered comme des points mat�riels isol�s, et la determinationnbsp;du mouvement de ces corps autour de leurs centres denbsp;gravit� respeclifs, se trouvent ramen�es aux m�mesnbsp;formules et d�pendre de la m�me analyse.

535. II est �vident que si 1�une des equations (2) est une suite des autres, Tune des quantit�s A,

Aquot;, etc., devra rester ind�termin�e, puisque alors on pourra supprimer ou conserver arbitraireraent cettenbsp;equation superflue. Si a et � sont des conslantcsnbsp;donn�es, et qu'on ait, par exemple,

Lquot; = ah 4- bh',

chacune des trois premi�res equations (2) n�ajou' tera rien aux conditions exprlm�es par les deux autres, et, cons�quemment, Tune des trois inconnuesnbsp;A, A', Aquot;, devra rester ind�termin�e. C�est effecti-vement cc qui aura lieu; car si l�on fait

ces trois inconnues se r�duiront, dans les �qua-tions (4)gt; aux deux quantit�s fJt. et fjif, qui pour-ront seules �tre d�tei'min�es au mojen de ces equations, et dont on pourra seulement d�duire les valeui�S de deux des trois quantit�s A, A', Aquot;.

Si Ie point mat�riel m est assujetti a rester a des distances constantes et donn�es de trois pointsnbsp;A, A', Aquot; (fig. 28), sa position sera compl�lemeutnbsp;d�terniine'e ; ses coordonn�es auront done des v�'nbsp;leurs constantes; et les trois premi�res equations (4)nbsp;se r�duiront a des equations d��quillbre, qui d�ter*

Tnineront les tensions des fils km, A'm, Aquot;m, par lesquels Ie mobile m sera attach� aux trols pointsnbsp;fixes. Si ce point materiel est assujetti a demeurer anbsp;une distance constante d�un quatri�me point fixe kquot;,nbsp;i�une des quatre distances Am, km, k'm, kquot;m, seranbsp;d�termin�e d�apr�s les trois autres; Tune des quatrenbsp;lt;-'onditions donn�es �tant ainsi une suite de troisnbsp;d�entre elles, la tension de l�un des quatre fils Am,nbsp;kij\, k'm, kquot;m, demeurera ind�termin�e, d�apr�snbsp;Ce qu�on vient de dire, et conform�ment a ce qu�onnbsp;avait dit d�ja dans Ie nquot; 292. Appelons, en eifet, l,nbsp;i, lquot;, lquot;', les quatre distances donn�es; d�signons parnbsp;, c, les trois coordonn�es de A, par k, h', c',nbsp;'Celles de k, etc.; nous aurons

Lquot; = \/(^ � nbsp;nbsp;nbsp;(J- � ^'0* (-z� �v� /quot;=o,

\Jquot;= \/{3c ��quot;')� {J �

pour les �quations (2); et si I�on repr�sente par a., y, des valeurs constantes dex^j, z, qui satisfontnbsp;� ces quatre �quations, on aura

Tune des quatre quantlt�s A, A', Aquot;, Aquot;', lesquelles sont, comme on l�a dit dans Ie n� 345, les tensionsnbsp;des fils km, k'm, kquot;m, k'quot;m. Mais, quelque peuex-tensibles que soient ces fils, si l�on a �gard a cettenbsp;circonstance physique, Ie point materiel m fera denbsp;petites vibrations, qni seroiit compl�teinent d�ter-min�es, ainsi que les tensions des quatre fils, a cha-que instant.

534. Pour Ie faire voir, supposons, pour fixer les idees, que la force qui agit sur Ie point m soit la pe-santeur, que nous repr�senterons par g. En prenantnbsp;1�axe des z vertical et dirig� dans Ie sens de cette force,nbsp;ses trois composantes seront X = o , Y = o , Znbsp;Appelons e, equot;, e'quot;, les extensions que les quatrenbsp;fils /, l', V', Vquot;, �pro^veraient si Ie poids mg �tait sus-pendu verticalement a leur extr�mit� inf�rieure;nbsp;soient 4�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;extensions de ces m�mes fils

au bout du temps t, pendant Ie mouvement; leurs tensions au m�me instant auront pour valeurs (n� 2�8)

Le mobile m n��tant plus assujetti a demeurer a de� distances constantes de A, A', Aquot;, AP', on devra sup'nbsp;primer les termes des equations (4), qui ont A, ^�nbsp;Aquot;, A'quot;, pour facteurs, et qui provenaient de ces coO'nbsp;ditions; mais, d�un autre c�t�, il faudra joindre aUnbsp;poids de ce point materiel les quatre forces pr�ce-denies, dirig�es de m vers A, de m vers A', de m versnbsp;Aquot;, de m vers Aquot;'; ce ^Ai revient a substituer, dansnbsp;les equations (4), les valeurs pr�c�dentes de L,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

�, ^^, �tant les m�mes constantes que pr�c�dem-nient, et u, v, w, des variables tr�s petites, dont �ous n�gligerons les carr�s et les produits; il en r�-sultera

[(a nbsp;nbsp;nbsp;� a') �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� ^') ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� c')w],

C'= i nbsp;nbsp;nbsp;[(anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�aquot;)unbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~cgt;],

C'quot;= nbsp;nbsp;nbsp;�aquot;')unbsp;nbsp;nbsp;nbsp; {�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�bquot;')vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~cquot;')wY,

et, relativement a ces inconnues u, nbsp;nbsp;nbsp;v,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;w,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les equa

-W-cy. . (y-or . (y-rquot;)^' . (y~Or

int�grales s�obtiendront par les r�gies ordi-Qaire| j elles renfermeront six constantes arbitraires, l�on d�terminera de mani�re qua l�origine dunbsp;Diouvement les lils Am, Alm, Al'm, A'quot;m, aient leurs

quand t~ o. Cela fait, ces int�grales feront connai-tre, a un instant quelconque, les valeursde u ,v, w, OU la position du point m ; et les extensions ^,nbsp;C) Z'quot;) quatre fils, ainsi que leurs tensionsnbsp;au m�me instant, seront aussi d�tei�inin�es. La m�menbsp;analyse peut facilement s��tendre au cas o� Ie pointnbsp;m serait retenu par cinq ou un plus grand nombrenbsp;de fils attach�s a des points fixes.

qu�on supprirae, en consequence, les premiers termes des trois derni�res des sept �quations pr�c�dentes,nbsp;les valeurs de u, v , w,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quon d�diiira

de ces sept �quations, r�pondront a l��tat d equilibre du poids de m et des quatre fils de suspension.

535. JNous avons expliqu�, dans Ie n� 353 , comment Ie principe de D�Alembert a aussi lieu dans 1^ cas d�un changement brusque de vitesse, resultant denbsp;ce que des forces qu�on nomme impulsions ou per-cussions, agissent sur les mobiles avec de grande�nbsp;intensit�s, pendant des intervalles de temps extre-mement petits, et leur impriinent des vitessesnbsp;peuvent �tre tr�s grandes, sans que les points de cesnbsp;corps soient d�plac�s sensiblement. L��quation four-nie par la combinaison de ce principe avec celui desnbsp;vitesses virtuelles, s�appliquera done �galementip cesnbsp;sortes de cas. Ainsi, supposons que des forces de cenbsp;genre soient appliqu�cs simultan�ment aux- poin^�

niat�riels m, m', mquot;, etc., du sjst�me que nous con-sid�rons. D�signons par A, B, C, les vitesses donn�es et parall�les aux axes des coordonn�es, que ces forcesnbsp;imprimeraient au point m s�il �tait libre, et par a,nbsp;b, c, les vitesses inconnues qu�il prendra r�ellement,nbsp;suivant ces m�mes directions. Appelous A', B', C',nbsp;fi', h', c', les quantit�s homologues relativement aunbsp;point m' j Aquot;, Bquot;, �1', a!', bquot;, cquot;., celles qui r�poudentnbsp;au point mquot;; etc. Les quantite's de mouvement per-dues suivant les directions des coordonn�es seront

pour Ie point m, et de m�me pour tous les autres; par cons�quent, si l�on applique a ce syst�me denbsp;forces l��quation (e) du n� 34on aura

la somme 2 s��tendant a tous les points du syst�me, et cTx, �'z, �tant les accroissemens qu�on attribuenbsp;aux coordonn�es du point quelconque m.

Si les liaisons des points du syst�me sont toujours exprim�es par les �quations (2), il faudra que Squot;oc,nbsp;cf-s, et les accroissemens cTx', ^j', Sz', dxquot;, etc.,nbsp;ties coordonn�es des autres points m', mquot;, etc., satis-fassent aux �quations (3); au moyeu de ces �quations,nbsp;�lirninera done de la formule (5) une partie desnbsp;tjuantit�s cTx, lt;S'j, etc.; puis on �galera a z�ro lesnbsp;eoefFiciens des quantit�s restantes. En etnployant,nbsp;plus haut, la m�thode des facteurs ind�tei�-*^^o�s, leurs val�urs feront connaitre les percussionsnbsp;qu eprouverout les liens mat�riels des points du sys�

556. Lorsqu�on voudra appliquer l��quation (5) a un changement brusque de vitesse produit par Ienbsp;choc des corps du syst�me entre eux, o� contre desnbsp;obstacles fixes, il y aura plusieurs observations ira-porlantes a faire.

Soient M et M'(fig. ag) deux de ces corps solides, K leur point de contact, HKH' la normale commune a leurs surfaces en ce point. Les d�placemensnbsp;des diff�rens points de ces mobiles pendant toute lanbsp;dur�e du choc, e'tant regard�s comme insensibles,nbsp;r�quilibre des quantites de mouvement perdues peutnbsp;se rapporter a tel instant qu�on voudra de cette dur�e (n� 353en sorte qu�ayant pris pour A , B , C,nbsp;les eompo.santes de la vitesse d�un point quelconquenbsp;au commencement du choc, on peut prendre, eunbsp;m�rae temps, pour a, b, Cy les composantes de sanbsp;vitesse a un instant quelconque de ce ph�nom�nejnbsp;et les vitesses de tous les points du syst�me, qui va-rient tr�s rapidement pendant cette dur�e, devroo*nbsp;toujours satisfaire aux conditions de eet �quilibr�-Mais pour que ces conditions soient exprim�esnbsp;1 equation des vitesses virtuelles, il faut que les d�placemens infiniment petits qu�on attribue aux pointsnbsp;du syst�me, soient compatibles avec sa nature et avccnbsp;ia disposition relative de ses parties a l�instant que l�onnbsp;consid�re; et, de plus, il est n�cessaire que la mem�nbsp;chose ait lieu a l��gard des d�placemens directepi^�^^

contraires (n� 551)- Ainsi, par exemple, si ua point materiel en �quilibre est pos� sur la surface �unnbsp;corps solide, contre lequel il s�appuie, ce point peutnbsp;se mouvoir en tons sens sur Ie plan tangent a cettenbsp;surface, et dans un sens seulement sur la normale.nbsp;Cela �tant, l��quation des vitesses virluelles a lieunbsp;pour tons les d�placemens tangentiels, paree que lesnbsp;d�placemens opposes sont �galement possibles; maisnbsp;clle ne subsiste pas pour Ie d�placement normal , anbsp;cause de Timpossibilit� du d�placement contraire.

II r�sulte de cette observation que si l�on veut ap-pliquer l��quation (5) a une �poque d�termin�e de la dur�e du choc, et que /a et uf soient, a eet instant,nbsp;les points mat�riels de M et M' qui r�pondent aunbsp;point de contact K, on pourra attribuer h ju, et fJt,' desnbsp;d�placemens infiniment petits, tout-a-fait arbitrairesnbsp;et ind�pendans l�un de l�autre, suivant Ie plan tangent en K; ma�s les d�placemens de /ut, et //,' suivant lanbsp;normale, devront �tre �gaux et dirig�s suivant lanbsp;m�me parlie KH ou KH' de cette droite; ear s�ilsnbsp;�taient in�gaux, ou qu�ils n�eussent pas lieu dans unnbsp;m�me sens, ces d�placemens ou les d�placemensnbsp;contraires des points jw et f4,', seraient impossibles, etnbsp;1 equation (5) ne leur serait point applicable. C�estnbsp;laute d�avoir fait attention a cette condition essen-^^clle, que quelques auteurs ont mal iuterpr�t� 1��-lt;piation dont il s�agit.

Si un troisi�me corps solide Mquot; louche M' au point ou la normale commune a leurs surfaces est lanbsp;droite LK'L', et que ni' et in!' soient les points mat�-^nbsp;riels de M' ct Mquot; qui r�pondrout a K', a l�instant qu�

Ton consid�re pendant la dur�e du choc, il faudra aussi que les d�placemens infiniment petits, attribu�snbsp;a 7?^'et 7?zquot;suivant cette normale, soient e'gaux et denbsp;m�me sens dans l�e'quation (5); et de m�me pour tousnbsp;les points de contact des corps du sjst�me , lorsqucnbsp;plusieurs d�entre eux viennent se choquer simultan�-ment. Dans Ie cas du choc dun de ces corps contrenbsp;un obstacle fixe, Ie d�placement normal du point denbsp;contact devra �tre suppose nul, puisqu�il ne serait pasnbsp;possible dans Ie sens oppose,

537. Quand les deux mobiles M et M' glisseront l�un sur l�autre pendant la dur�e du choc, il faudranbsp;avoir �gard, dans l��quation (5), au fi�Ottement quinbsp;en r�sultera, et qui potirra �tre tres considerable,nbsp;eomme on la dit dans Ie n� 555.

La quantit� de mouvement infiniment petite que cette force enlevera, pendant chaque instant, auxnbsp;deux mobiles M et M', en sens contraire des vitessesnbsp;des points mat�riels ft jet ft' qui r�pondent au poin*nbsp;de contact K, sera proportionnelle a celle que M auranbsp;communiqu�e a M' suivant KH', ou M' a M suivan*nbsp;KH , pendant Ie m�me instant. Done, en supposautnbsp;que Ie frottement conserve la m�me direction, pournbsp;chaque mobile, pendant toute la dur�e dn choc,nbsp;qu�on repr�sente par U la quantit� finie de mouvement communiqu�e par un mobile a l�autre, suiquot;nbsp;yant les parties KH ou KH' de la normale, pendantnbsp;cette m�ine dur�e, Ie frottement total pourra ctrenbsp;repr�sente par � �; � �tant un coefficient qui ne do-pendra que ile la nature des deux corps pr�s de leu*nbsp;point dc contact. Cette force devJ�a �tre .appliqu�e a

en sens contraire du glissement de , et a M' en sens contraire du glissement de . En siipposantnbsp;done que ces mouvemens aient lieu suivant les deuxnbsp;parties KF et KF' d�une tangente FKF' aux deuxnbsp;��iobiles, et qu�on represente par p et p� les pro-?nbsp;jections sur cette droite , des d�placemens infinimentnbsp;petits atlribu�s, dans l��quation (5) , aux points ianbsp;et on auranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i

pour Ie terme qu�il faudra ajouterau premier mem-r l*re de cette equation, a raison du frottement quenbsp;Dous consid�rons : la quantit� p est positive ounbsp;negative , selon que cette projection tombera surnbsp;la direction KF du mouvement de ou sur sonnbsp;prolongement KF', et de m�me la projection p' seranbsp;positive ou negative, suivant qu�elle tombera surnbsp;KF' ou sur KF.

On introduira de semblables termes dans l��qua-tion (5), pour tous les points dans lesquels deux des corps du syst�me viendront se choquer. La consideration de ces termes est n�cessaire dans la pratique ;nbsp;1�exemple du n� 477 suffit pour monlrer l�influencenbsp;lt;lue ces termes, ou les frottemens dont ils provien-nent, peuvent avoir sur les percussions; mais onnbsp;fait abstraction lorsqu�il s�agit des ib�or�mes g�-^l�raux sur Ie choc des corps; et, dans la suite ,nbsp;nous les supposerons nuls ou insensibles.

On n�glig� aussi les quanlit�s de mouvement pro-Unites par Ie poids des mobiles pendant la dur�e d� attendu que ces quanlit�s sont proportion-^

nellesa cette dur�e, et, cons�quemment, inseiisibles. Quant aux quantit�s de mouvement produites par lesnbsp;attractions mol�culaires qui se d�veloppenl pendantnbsp;Ie choc, soit d�un corps a un autre, quand la distancenbsp;de leur surface est devenue insensible, soit dans Tin-t�rieur de chaque corps, a raison des compressionsnbsp;OU dilatations qu�il �prouve , on en a d�ja tennnbsp;compte dans l��quation (5), et leurs composantes to-tales sont pr�cis�ment les quantit�s qui ont �t� re-presentees par mS., inamp;, inC, pour Ie point quel-conque }n.

538. Lorsqu�un syst�me de points mat�riels est enti�rement llbre dans 1�espace, de sorte que lesnbsp;equations (2) qui expriment leur liaison, ne contien-nent que les distances mutuelles de ces points, dontnbsp;aucun n�est suppose fixe, ou assujctti a demeurer surnbsp;une surface ou sur une courbe donn�e, on peut d�'nbsp;composer Ie mouvement d�un tel syst�me dans I�es'nbsp;pace, comme nous l�avons fait pr�c�demment pour unnbsp;corps solide enti�rement libre (n� 433), en deux mou'nbsp;TCmens plus simples : l�un de translation, commun �nbsp;tous les points du sjst�me, et qui sera celui de sonnbsp;centre de gravit�; l�autre de rotation autour de 00nbsp;centre. Nous allons d�duire successivement de 1^nbsp;formule (1) les equations diff�rentielles de ces deu^^nbsp;mouvemens.

D�apr�s la nature du syst�me, il est �vident qu�on peut d�placer a la fois tous ses points d�une meiuonbsp;quantit�, suivant une m�me direction quelconquo*nbsp;Supposons que a, C, y, expriment les projectionsnbsp;ce d�placement commun snr lestrois axes des coo*'

(/= �Ar nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;S'x' =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

^ = jy nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jy' =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jyquot;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

��(x_^) f��lt;V-g) J-2�lt;Z-S)=o;

et comme lestrois quantit�s et, �, y, sont indepen� dantes entre elles, cette equation se de'composera ennbsp;celles-ci:

Or, si l�on appelle x,, jr,, z,, les trois coordon-�e�es du centre de gravite' du syst�me, on aura

de nbsp;nbsp;nbsp;de *

^ 27n=27raX, nbsp;nbsp;nbsp;2m=27�Y,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;27n=27�Z, (7)

centre de gravit�, qui sera Ie mbuvement de trans* lation du sjst�me. Elles montrent que ^ centre denbsp;gravit� de lout syst�me enti�rement libre, est Ienbsp;ni�me que si les masses de tous les mobiles y �taieidnbsp;reunies, et que leurs forces motrices y fussent trans-port�es parall�lement a leurs directions, comme dansnbsp;Ie cas d un seul corps solide ( n^ 4^8 ).

Si, parmi les points /�, 7n\ mquot;, etc. , il j en avait qui fussent assujettis a se mouvoir sur des surfacesnbsp;donn�es, les equations (6) et (7) pourraient encorenbsp;subsister, en joignant aux forces donn�es , d�autresnbsp;forces inconnues en grandeur, perpendiculaires a cesnbsp;surfaces, et qui exprimeraient leurs resistances -ce quinbsp;permettrait ensuite de faire abstraction des surfacesnbsp;donn�es, et de consid�rer les points m, m', mquot;, etc.,nbsp;'comme appartenant a un sjst�me enti�rement libre.

559. La nature d�un tel syst�me permet aussi de faire tourner a la fois tous ses points autour d�uunbsp;m�me axe, et d�une m�me quantit� angulaire, denbsp;mani�re que leurs distances mutuelles ne varient pa*-Supposons que cette droite passe par Torigine de*nbsp;coordonn�es. Soient A, v, les angles que faitnbsp;direction arbitraire avec les axes des x, j, z � si noiJ*nbsp;faisons pour un momentnbsp;les cosinus des angles que fait la direction du d�pl^quot;nbsp;cemeirt de rn, avec des parall�les aux trois axes,

De plus, l�axe de rotation passant par Torigine des coordonn�es, la quantit� Jt � nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;variera pas

cTz = (jr cos A � X cos ) �, jy = (^x cos V � z cos A ) � ,nbsp;J'x � [z cos (x � j cos V ) �;

�tant aussi un facteur ind�termin� qui devra �tre �gal a �, pour que Ie mouvement de rotation soit Ienbsp;Di�me pour m et pour 7n', et que la distance de cesnbsp;quot;ieux points ne varle pas. En elfet, Ie carr� de cettenbsp;^Estance �tant ( a: � x' y (J �/ / (z~-z' )%nbsp;les formules pr�c�dentes rendant d�ja constantesnbsp;CS deux parties x' j-' z� et x'� jr'� 2'� de cettenbsp;quautit� , il faut que la variation de xx' -j-jy' zz'nbsp;^�it aussi nulle; d�ou il r�sulte

equation qui ne peut subsister pour tous les points du sjst�me, qu�autant qu�on aura e' = �.

Je substitue les formules (8) a Ia place de cTx, jy� cTz, dans l��quation (i). En observant que e, cosnbsp;cos fJi, cos V , sont des quantit�s communes a tous lesnbsp;points dusyst�me, il vient

et a cause que les coefficiens des sommes 2 sont trois quantit�s ind�pendantes entre elles, cette equation senbsp;d�composera en trois autres, savoir :

lesquelles equations seront celles du mouvement de rotation d�un syst�m� enti�rement libre, autour dn^nbsp;point fixe qu�on peut prendre arbitrairement, el onnbsp;1�on placera Torigiae des coordonn�es. Ces equation�

s�bsisteront encore, lorsque tons les points m, m', etc., OU une partie d�entre eux, seront assujettisnbsp;3 rester a des distances donne'es de cette origine,nbsp;puisque les valeurs de �Tx, �Tx', etc-, dont on a faitnbsp;�^sage, satisfont a cette condition.

Si Ie syst�me se re'duit a un seul point, Ie mouve-Dient de rotation ne se distinguera pas du mouvement translation; les equations (9) ne seront eft�ective-Dient qu�une combinaison des equations (6); et l�onnbsp;^oit, de plus , que chacune d�elles sera une suite desnbsp;�ieux aulres; car en supposant que Ie syst�me se re'-^uise au point m, et ajoutant les equations (9) apr�snbsp;les avoir multipli�es par z,j',x,Uen r�sultera unenbsp;Equation identique.

Au lieu de faire tourner Ie syst�me autour d�un 3xe quelconque, pour obtenir a la fois les trois equations (g), on obtiendrait plus simplement chacunenbsp;d�elles, en faisant co�ncider cette drolte , comme dansnbsp;Ie n� 340, avec l�un des axes des coordonu�es; maisnbsp;Ie calcul pr�c�dent a l�avantage de montrer que lanbsp;consideration d�un mouvement autour d�un axe quelconque ne peut donner que les trois equations (9),nbsp;de m�rae que la consideration d�un mouvement pa-�'all�le k un axe quelconque ne peut donner que lesnbsp;trois equations (6).

S�il y a, dans Ie syst�me, un axe fixe, et qu�on Ie Prenne pour celui des z, par exemple, la premi�renbsp;Equation (9) subsistera seule, et sera celle du mouvement de rotation autour d�un axe fixe, commenbsp;^ans Ie cas d�un corps solide ( nquot; Sgi ).

les �qualions (6) et (g) ont lieu simultanement, trans-portons Torigine des coordonnees au point du sys-t�me dont les coordonnees variables seront repr�-sent�es par x,, jTi ? z,, relativement a la premi�re origine; etfaisons, pour cela.

=J. 7/, 2 = Z, -f- Z, ,

=7. 7/'; z' = z, zl.

les coordonnees de m, m', etc., rapport�es a la nouvelle origine. La premi�re e'quation (g) pourra d�a-bord s��crire ainsi :

Sm ^ - T, ^) = nbsp;nbsp;nbsp;( x,Y �jr,x ) i

les termes multiplies par x, et f, se de'truisent, eu vertu des deux premi�res e'quations (6); et en ache-vant la substitution des valeurs pr�c�dentes de oCjnbsp;x', etc., dans la partie restante du premier membre gt;nbsp;on aura

^ nbsp;nbsp;nbsp; 2m (x, ^

= 2m(x^Y�jr^X),

quelle que soit 1 origine mobile des coordonnees. M�*� si ce point est Ie centre de gravit� du sjst�me,nbsp;sommes 'S.mXi etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;seront nulles; par consequent;

encore comme ceux qui avaient et 7^, pour facteurs; ee qui simplifiera Tequation pr�c�dente. En faisantnbsp;des reductions seniblables sur les deux autres equations (9), nous aurons

(^o)

pour les trois equations du mouvement de rotation du syst�me autour de son centre de gravil�. En lesnbsp;comparant aux equations (9), on voit que ce mouve-Dient sera Ie m�me que si Ie centre de gravit� �taitnbsp;cin point fixe, et que les forces donn�es, qui agissentnbsp;sur tous les points du syst�me, ne fussent pas chan-g�es; propri�t� qui n�appartient qu�au centre de gravit�, et que nous avions d�ja trouv�e ( n� 4^8) dansnbsp;Ie cas d�un corps solide enti�remcnt fibre.

541 � Si l�on doime aux quantit�slt;fa?, �'j-, etc., que renferme Tequation (5), les m�mes valeurs que dansnbsp;Ie n� 538, on en d�duira

Ce qui montre que dans les changemens brusques de ''^itesse, la somme des quantit�s de mouvement denbsp;^c^us les points d�un syst�me enti�rement fibre de-�^cure ia m�me , parall�lement a chaque axe desnbsp;eoordonn�es, et, par cons�quent, suivant une di-section quelconque. II en r�sulte atrssi que la grandeur et la direction de la vitesse du centre de gra-

vit� �e changent pas non plus; car les composantes de cette vites.se, avanl et apr�s Ie changement brus'nbsp;que, sont les deux membres de chacune des equations (ii), divis�s par la masse totale Ainsi gt;nbsp;dans Ie choc de deux ou d�un plus grand nombrenbsp;de corps, de nature et de forme quelconques, lanbsp;vitesse de leur centre de gravit� et la quantile totale de mouvement suivant chaque direction, n�e'-prouvent jamais aucun changement, comme nousnbsp;l�avons d�ja vu dans un cas particulier (nquot; 364)-Si a, b, c, a', b', s', etc., sont les composantesnbsp;des vitesses initiales de m, m', etc. , et A, B, C,nbsp;A', B', C', etc., les composantes des vitesses quinbsp;Iteur .seraient imprim�es d�une mani�re quelconque anbsp;l�origine du mouvement, si ces points mat�rielsnbsp;�taient isoles, ou aura

pour t � o; equations qui feront connaitre les com-posantes de la yitesse initiale du centre de gravit� gt; d�apr�s les vitesses donn�es A, A', etc., ou seulerneB*nbsp;d�apr�s la somme totale des quantit�s de mouvemeo^*nbsp;communiqu�es au syst�me parall�lement aux triR*nbsp;axes des coordonn�es.

Je mets encore dans T�quation (5) les formules (8 a la place de dy, J'z, et jen conclus

lm {pch �ja) � quot;2.111 (arB �J'A), 1 2.72 (z��jcc)='2.m(zA�-^C), gt; (12)nbsp;2222 (^JC- zb) � 2222 (^C- zB) J J

Ce qui fait voir que, dans les changemens brusques de vitesse, les momens des quantit�s de mouvementnbsp;de tous les points d�un sjst�me enti�rement librenbsp;Cestent les m�mes, par rapport a un axe quelconque;nbsp;^b�or�me qui subsiste encore, lorsque Ie syst�me ren-ferme un ou plusieurs points fixes, pourvu que cesnbsp;points, appartiennent a l�axe des momens.

Eu supposant que ces equations (12) r�pondent a 1 Origine du mouvement, de sorte qu�on ait

pour � = o, et en transportant, comme dans Ie nu-meVo pr�c�dent, 1�origine des coordonn�es au centre lt;le gravit� du sjst�me, qu�on suppose enti�rementnbsp;libre, on changera ces equations en celle-ci ;

dans lesquelles J^, z^, sont les coordonn�es du point quelconque m , relativement a la nouvelle ori-�*oe. Ces equations seront celles du morivement ini-bal (Jn syst�me autour de son centre de gravit�; etnbsp;comme elles ne renferment pas les composantes de la

Yitesse de ce point, il s�ensnit que ce mouvement de rotation sera Ie m�me que si Ie centre de gravitenbsp;�tait un point fixe, et que les vitesses donn�es Afnbsp;A', etc., qui sonf comprises dans les seconds membres, ne fussent pas chaug�es; r�sultat conforme a celui que nous avons deja trouv�, d�une autre mani�re,nbsp;pour Ie cas d�un corps solide (n� 436).

542. Nous ferons remarquer que les equations (i i) et (12) peuvent se d�duire des equations (6) et (9);nbsp;en supposant, dans celles-ci, que ttzX, mY, mL 1nbsp;m'X', m'X', in'7/, etc., soient les coraposantes denbsp;forces motrices agissant sur les points m, m', etc. fnbsp;avec une grande intensit�, et susceptibles de produirenbsp;pendant un tres court intervalle de temps, que nousnbsp;repr�senlerons par 8, des quantite's de mouvementnbsp;donn�es mk, mB, mC, m'k', m'W, m'C', etc.

el si les points du sjst�me sont en repos au commencement du temps 8, et que a, b, c, d, b', c', etc- gt; soient les composantes de leurs vitesses a la fin de eetnbsp;intervalle de temps, on aura aussi

Or, en raulti pliant la premi�re equation (6) par et integrant ensuite ses deux membres depuis t ^ *�nbsp;jusqu�a f = 8, on a

Ce qui coincide, d�apr�s ce qui precede, avec Ia pre-��l�re equation (i i); et de m�me pour les deux au-�res e'quatiens (6) et (ii).

De plus, si Ton fait abstraction des d�placem�ns des points m, m', rt�', etc., pendant Ie temps 0, etnbsp;lt;jue l�on consid�re, en consequence, leurs coordon-ttees comme constantes pendant l�action des forcesnbsp;donn�es, on de�duira de la prenii�re equation (g)

Ce qu� n�est autre chose que la premi�re equation (12), en vertu des suppositions pr�c�dentes; et l�on conclura de m�me les deux autres equations (12)nbsp;des deux derni�res equations (g).

545. Les accroissemens des coordonn�es dont on a fait usage dans Ie nquot; 55g, supposent que les distancesnbsp;des points du syst�me entre eux et a Forigine desnbsp;Coordonn�es, sont invariables; leui�s expressions,nbsp;divis�es par dt, doivent done co�ncider avec les com-posantes de la vitesse, relatives aux �l�mens d un corpsnbsp;solide, tournant autour dun point fixe; ce qu�il nenbsp;�cra pas inutile de verifier.

Lour cela, soient Ox, Of, 0^ (fig. 3o), les axes des coordonn�es, et 01 l�axe qui r�pond aux angles A,nbsp;*'gt; du n� 559, autour duquel on fait tourner Ienbsp;^ysl�nie d�une quantit� infiniment petilc. Dans ce

mouvement, les points du sjst�me d�crivent des arcs de cercle semblables, et ont tous la m�me vitesse an-gulaire; pour la connaitre, il suffira de determinernbsp;celle d�un point K, qui se trouvait, par exemple ^nbsp;sur l�axe Oz au commencement de l�instant dt. Or,nbsp;pour ce point, on a ^ = o et ^ = o; ce qui r�duitnbsp;les formules (8) a

r�sultats qui coincident avec ceux du n� 4o8, en p*��' nant, dans ceux-ci, les directions des axes mobile�nbsp;0-^/ , Qy/� Oz^, a l�instant que l�on consid�re,nbsp;celles des axes fixes et arbitraires Ox, Ojf, Oz.

On peut remarquer que si Ie plan mOz d�crit d 3' bord un angle rdt autour de Taxe Oz, et que Ie moU'

vement ait lieu de Ox \5ei's Oj, ou dans Ie sens iifdi-qu� par la fl�che s, on aura les accroisseniens des coordonn�es x, f, z, du point m, en faisant p=:o etnbsp;9:= o dans les valeurs de ^x, S'f, �Tz; par cons�quent, ses trois coordonn�es deviendront

X � yrdt, j -1- xrdt, z.

Apr�s ce premier mouvement, si Ie plan mOj d�crit Un angle qdt autour de l�axe Oj, et en allant de l�axenbsp;Ox vers l�axe Ox, les accroissemens des coordonn�esnbsp;�ie m s�obtiendront en faisant p == o et r = o dans lesnbsp;'aleurs de ^Tx, cTjquot;, S'z, et y mettant ensuite lesnbsp;trois coordonn�es pr�c�dentes a la place de x, jr, z;nbsp;�l�o� il r�sulte qu�apr�s ce second mouvement lesnbsp;^coordonn�es du point m seront

et la troisi�nie se r�duira a z � xqdt, en n�gligeant I�infiniment petit du second ordre. Enfin y apr�s Ienbsp;second mouvement, si Ie plan mOx d�crit un anglenbsp;pdt autour de l�axe Ox, et en allant de l�axe Oj vei�snbsp;l�axe Oz, on trouvera, en n�gligeant les infinimentnbsp;petits du second ordre,

Puur les trois coordonn�es du point in, a Ia fin du troisi�nie mouvement, qui �taient primitivement

� r, Z:

On conclut de Ia que si un point m tourne successi-^enient autour de trois axes rectangulaires, avec des ^desses angulaires p, q, r, et pendant des iristans

�gaux, son d�placenient final sera Ie m�me que s�il eut tourn� pendant un de ces instans, avec une vi-tesse angulaire a , autour d�un seul axe, faisant aveCnbsp;les trois premiers des angles dont les cosinus sont

rotationp, q, r, qu�on appelle les composantes die la vitesse t� (n� ^oq), s�applique �galement aux compo-santes d�une vitesse de translation.

La composition des vitesses de rotation suit les m�mes lois, et est comprise dans les m�mes formulesnbsp;que celle des vitesses de translation; en partant de cettenbsp;analogie de ces deux sortes de mouvement, on ennbsp;peut d�duire l�identit� de la composition des momensnbsp;et de la composition des forces, que nous avons con-clue (n� 281) d�une semblable analogie entre lesnbsp;projections des lignes droites et les projections desnbsp;surfaces.

544' lodependamment des mouvemens de translation et de rotation coramuns a tons les points d�u� syst�me quelconque, et dans lesquels leurs distancesnbsp;ne varient pas, il y a d�autres mouvemens o� 1�*nbsp;mobiles s'�loignent et se rapprochent les uns des au-tres. Or, si leurs d�placemens sont conslamment ti'CSnbsp;petits, on peut r�duire Ie probl�me a des equationsnbsp;lin�aires, et determiner, par approximation, les coOTt'nbsp;donnees des mobiles en fonctions du temps. Oes pfic'nbsp;nom�nes tres nombreux et tres varies deqiendent

ces 'petits mouvemens oscillatoit es, dont nous algous maintenant faire connaitre les lois g�n�rales.

Soient i ie nombre des mobiles m, in', iv!', etc., et Ie nombre des equations (2) du 551, qui expri-�i�ent les conditions du sjst�me. Le nombre des coor-donn�es de ces points mat�riels sera 3� , et si 1 on faitnbsp;5i � V = n, les equations (2) d�termlneront unnbsp;Doinbre v de coordonu�es en fonctions des n autres,nbsp;Du, plus g�n�raleinent, toutes les coordonnees pour-i'ont �tre d�termin�es au moyen de ces equations,nbsp;DU fonctions de n variables ind�pendantes. Je re-P'�senterai par a, y, etc., les valeurs initialesnbsp;�de ces n variables, et parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^-\-v,y-\-w, etc.,

leurs valeurs au bout du temps t', et je suppos�rai ^ue les inconnues m, v, tv, etc., soient de tresnbsp;petites quantit�s pendant toute la dur�e du mouvement. Chacune des coordonnees des mobiles seranbsp;une fonction donn�e de a-f-M,�-f-Tgt;,gt;'-f-TV, etc.,nbsp;qui pourrait, en outre, renfermer le temps ^, sinbsp;celte variable entrait explicitement dans les equations (2). Ces fonctions pourront se d�velopper ennbsp;s�ries tres convergentes, ordonn�es suivaut les puissances et les produits de tt, v, tv, etc. Je repr�sen-terai ces d�veloppemens par

~e,u��~\-y'y-{-^g^w^ /t,ui^-\-k,uw-i-l,vw etc., quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; a^u -j- b^v -f- Cjtv -f- etc.

et je suppOserai que les equations (2) ne contien-' nent pas Ie terme t explicitement, auquel cas tousnbsp;les coefficiens des puissances et des produits de u,nbsp;V, w, etc., dans ces s�ries, seront des constantesnbsp;donn�es. Si Ie sjst�me avait un mouvement denbsp;translation ou de rotation commun a tous ses points,nbsp;il faudrait comprendre les parties variables de leursnbsp;coordonn�es, qui en r�sulteraient, dans les premiers termes p, p,, etc.,* mais, pour plus de siffl-plicit�, je supposerai que cette circoustauce n�a pasnbsp;lieu; et ces premiers termes seront aussi des constantes donn�es.

Les composantes des forces qui agissent sur les poio*� m, m', ni', etc., �tant des fonctions donn�es de leur�nbsp;coordonn�es, si Ton substitue dans leurs expressionsnbsp;les valeurs de x, j, etc., on pourra eosuite les d�ve-lopper suivant les puissances et les produits de ��nbsp;tv, etc. De cette mani�re, on aura done

X = nbsp;nbsp;nbsp;Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A// 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cw -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

Y = nbsp;nbsp;nbsp;P,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A.m 4�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B.f^ 4�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

Z = nbsp;nbsp;nbsp;P.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A,m nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B^y.4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C,w'4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

X' = nbsp;nbsp;nbsp;P*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A'm nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BV nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C'w nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

Jes premiers termes P, P., etc., et tous les coeffi-ciens A, A,, etc., e'tant des fonctions donn�es de p, Pi, etc., a, b, etc., qul pourraieut, en outre, ren-fei'mer Ie temps t, si cette variable entrait explicite-nient dans les expressions des forces donn�es. Nousnbsp;supposerons que cela n�a pas lieu; et nous rcgarde-rons les quantit�s P, P,, etc., A, A,, etc., commenbsp;des constantes donn�es.

545. Cela pos�, pour appliquer l��quation (i) du n� 551 au mouvement que nous consid�rons, il fau-dra attribuer aux variables ind�pendantes u, v,nbsp;w, etc., des accroissemens infinimeut petits, qu�onnbsp;repr�sentera par cTm, cTw, etc.; puis substituer,nbsp;dans cette equation (i), les valeurs correspondantesnbsp;de jy ^ J'z, qui seront, en n�gligeant les infini-*Dent petits du second ordre,

da? = (a 4quot; nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- /bv 4- etc.)d'tt

4- (� 4-yi' -h bu -i- Iw etc.)J'(�

nbsp;nbsp;nbsp;(^1 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^iyU nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lyWnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.)J'c

nbsp;nbsp;nbsp;k,u-}-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l,vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.jcfw

4~ nbsp;nbsp;nbsp;(^a ~f~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;4quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hju,-\-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l^Wnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.) J'V

nbsp;nbsp;nbsp;(^^a ^aW4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;k^u-\-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l^vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.)J'w

formules d�o� l�on d�duira les valeurs de J'x', J'j't J'z', en ajoutant un trait sup�rieur a toutes les cons-tantes; celles denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S'jquot;, cTzquot;, en en ajoutant

deux; etc. La substitution de ces valeurs de S'x, S'j, etc., �tant effectue'e, on �galera a ze'ro, dans Ienbsp;premier membre de F�quation (i), Ie coefficient denbsp;chacune des quantiles S^u, cTf, �Tw, etc., qui sontnbsp;arbitraires et ind�pendantes. De cette mani�re, onnbsp;aura

2/h nbsp;nbsp;nbsp;(� 4quot; e� 4�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- etc.)

4-(^ �z)(n.4- e�M4- ^4- /f,w4- etc.)J = 0�

--4- yi^ nbsp;nbsp;nbsp;^� nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Iwnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- etc.)

(^ nbsp;nbsp;nbsp;^)(^i4-y.V4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h,u-{-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l,wnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; etc.)

nbsp;nbsp;nbsp;4- faS� 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^atvnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- CtC.)^ == Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;

les sommes 2 s��tendant toujours a tous les points m', in�, etc., du syst�me.

II restera encore a substituer dans ces equations, a la place de x, jr, etc., X, Y, etc., leurs valeurs pr�-c�clentes. La substitution faite, on n�gligera, dansnbsp;^ne premi�re approximation, les carr�s et les pro-

constamment tr�s petites; il en r�sultera alors un nombre n d��quations lin�aires a coeJIiciens cons-tans, que nous indiquerons par (m), et dont cha-cune sera de la forme :

les coefficiens D, E , F, etc., G, H, K, etc., ainsi que la quantit� Q, d�slgnant des fonctions donn�es desnbsp;constantes qui �ntrent dans les valeurs pr�c�denlesnbsp;etc., X, Y, etc.

^pr�s avoir determine les valeurs approch�es de rv, etc., au moyen de ces n equations, on les

substituera dans les termes des equations rigoureuses, qu�on a neglig�s dans cette premi�re approximation 9nbsp;les nouvelles equations qui en r�sulteront difF�rerontnbsp;des premi�res en ce que leurs seconds membres, aunbsp;lieu d�etre constans, seront des functions connuesnbsp;de ^; on en d�duira d�autres Valeurs de u, u, w, etc.,nbsp;plus approch�es que les premi�res; et ainsi de suite,nbsp;par la m�thode des approximations successives. Nousnbsp;nous bornerons a la premi�re approximation, suivaotnbsp;I�usage ordinaire dans les questions de ce genre.nbsp;Quand les points raat�riels 7n, m', iri\ etc., seront ennbsp;nombre infini,. les �quations (lt;2) se changeront ennbsp;equations aux difF�rences partielles, communes anbsp;tous les points du syst�me, et dont Ie nombre seranbsp;toujours �gal a celui des inconnues u, u, tv, etc.nbsp;C�est ce que l�on a vu, par exemple, dans Ie probl�menbsp;des cordes vibrantes (n� 485), o� ces inconnuesnbsp;sont au nombre de Irois, qui expriment les d�place-mens d�un point quelconque de la corde suivant froisnbsp;directions rectangulaires, et dont .les valeurs d�pen'nbsp;dent de trois �quati-ons aux diff�reuces partielles, dunbsp;second ordre par rapport a

546. Les Seconds membres des �quations (�) et coefficiens qui entrerit dans les premiers, �tant desnbsp;quantit�s constantes, on pourra toujours faire dispa'nbsp;raltre ces seconds membres, en augmentant cbacuuenbsp;des inconnues �, v, tv, etc., d�une quantit� constante , qu�on d�terminera facilement. Sans restreindt^nbsp;la g�n�ralit� de la question , nous pouvons donenbsp;supposer qu�oir a Q = o dans chacune des �qua-tions (^�); �lui revient a dire que les valeurs iul'

tiales a, �, y, etc., des 7i variables ind�pendantes, r�pondent a un �lat d�e'quilibre du syst�me, dontnbsp;on l�a �cart�' en d�placant un tant soit peu les pointsnbsp;, m�, mquot;, etc., et leur imprimant de tr�s petitesnbsp;vitesses. Ces d�placemens et ces vitesses devant �trenbsp;compatibles avec les liaisons des points du syst�me,nbsp;Ce ne sont pas les valeurs initiales des coordonn�esnbsp;etc., et de leurs premiers coefficiens difF�ren-

�^ans chaque cas, mais seulement les valeurs initiales des inconnues ind�pendantes v, w, etc., et de

R et r �tant des constantes arbitraires, dont la seconde pourra �tre suppos�e positive et moindre que �*�, et p, N, IN', Nquot;, etc., d�signant des constantes�nbsp;^n�il s�agira de d�terminer. La substitution de cesnbsp;Valeurs de m, e, w, etc., dans les �quations (a) ,nbsp;dounera �videmraent un nombre n d��quations denbsp;cette forme :

�limioant entre elles un nombre n �i des quan-bt�s N , N', Nquot;, etc., la n�� s�en ira en m�me temps.

Nquot;, etc., par exemple , de N', Nquot;, etc., qu�on tirera de ces m�mes equations, seront des fractions ration-nelles du degr� n, par rapport a p, ajant un d�nO-minateur commun, et multipli�es toutes par lanbsp;quantit� N, qui restera ind�termin�e. En faisantnbsp;eelle-ci �gale au d�nominateur commun, les n quan-tit�s N, N', Nquot;, etc., seront exprim�es sym�trique-ment par des polynomes du degr� n relativementnbsp;a p. Or, a cause de la forme lineaire des equations (a)y OU y satisfera nou-seulement par les va-leurs pr�c�dentes de w, etc., relatives a tellenbsp;racine qu�on voudra de l��quation A = o, ma�snbsp;aussi en prenant pour u, u, tv, etc., les sommes denbsp;toutes ces vale�rs particuli�res, dans lesquelles onnbsp;pourra changer les constantes R et r en m�rae temp*nbsp;que la racine de A = o. Si done on appelie f gt;nbsp;p,, Pa, etc., les racines de cette equation, et qu�oonbsp;.repr�sente par N, N,, N�, etc., les valeurs coi�quot;nbsp;respondantes de N; par N', N',,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., cello*

m=:RN sin(fv/p�r)-f-R,N, sin(t\/p,-V ^RN'sm(fv/p�r)4-R,N'.sin(i'v/p.�r,)-j-etc., nbsp;nbsp;nbsp;(c)

R)N�^sin(t\/p�-rl-uR Kquot; sln(fY/p,�r,)-l-etc.,l etc.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

B., R,, Rj, etc., r, r,, r�, etc., �tant des cons-tantes arbitraires; et comme elles sont au nombre de an, il s�ensuit que ces formules (c) seront les n int�-grales completes des equations (d), dont chacune estnbsp;du second ordre.

Dans chaque cas, on d�terminera les valeurs de Rcosr, R, cosr,, etc., Rsinr, R, sinr,, etc., aunbsp;nioyen des valeurs donn�es pour t = o, des an quan-

leurs �tant suppos�es tr�s petites, celles de R, R,, R�, etc., Ie seront aussi j par cons�quent, si toutesnbsp;les racines p, p,, p,, etc., de l��quation A = o, sontnbsp;r�elles et positives, les valeurs de �, v, w, etc., ennbsp;functions de seront p�riodiques et demeurerontnbsp;tres petites, comme on l�a suppos� pendant toute lanbsp;dur�e du mouvement. Mais si une ou plusieurs denbsp;ces racines sont imaginaires ou negatives, les termesnbsp;qui leur correspondront dans les equations (8) senbsp;changeront, par les formules connues, en exponeu-tielles, et croitront ind�finiment; par cons�quent,nbsp;les valeurs de u, v, w, etc., quelque petites qu�ellesnbsp;sient �t� a l�origine du mouvement, finiront par cesser de 1 etre; et les formules (c) ne pourront plus re-pr�senter les valeurs approch�es de ces inconnues, quenbsp;Pendant un temps peu consid�rable. Dans Ie premiernbsp;que nous allons examiner sp�cialeraent, l��tat d��-*lrgt;ilibre, d� o� Ie syst�me a �t� uu peu �cart� , est unnbsp;�tat stable; dans Ie second cas, eet �quilibre est nonnbsp;stable^ du moins relativement aux d�rangemensnbsp;primitifsjpourlesquels les coefficiensR, R,, R,,etc.,

547. Lorsque tous les coelFiciens R, R,, Rg, etc.� sont nuls, except� Ie premier, par exemple, les formules (c) se r�duisent aux formules (6). En n�gU-geant toujours les carr�s et les produits de e,nbsp;w, etc., on aura done simplement (n� 544)

x=p (aN M'-l- eNquot;-f-etc.)Rsin(iV^p�r), jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; Zgt;,N'-f- c,Nquot; etc.)Rsin (^\/p�r),

z =7j, (agN �gN'-l-CgNquot; etc.)Rsin(^\/jC�r), jc'=p' (a'N ^'N' c'Nquot; etc.)Rsin(^\//:�r),nbsp;(a',Nq-A',N' c',N''4-etc.)Rsin (i\/p�r) ,

^ � p'i^ (�^gN-f-^^iN^-f-c^gN�^'-f'etc.jRsm (^\/p�r), etc.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j

Les premiers termes p, p,, etc., �tant constans, ainsi que les coefficiens des seconds termes, i^nbsp;s�ensuit que, dans ce cas, tous les points du system^nbsp;feront, suivant la direction de chacune de leurs coor-donn�es, des oscillations isochrones et d�une amphquot;nbsp;tude constante, dont la dur�e sera la m�me et �ga^^^

directions. Les rapports des amplitudes pour deu^^ points OU deux directions diff�rentes, seront d�termi'nbsp;n�s, et d�pendront de la nature du syst�me et de lanbsp;racine p de l��quatioa A = o. Leur grandeur ab-solue, d�pendante du facteur R, sera arbitraire, c*nbsp;n�iufluera pas sur la dur�e des oscillations. Tou*nbsp;les mobiles reviendront a la fois a leur posid�*^

d��qulllbre, qui r�pondsnt, par hypothese (n� 546), a u =1 o, p = o, w = o, etc., ou a x z=z p,nbsp;y z:=zp^f elc.; Ie premier retour aura lieu au bout

Un syst�me de points mat�riels, dans iequel la liaison de ces points laisse un nombre n de variables ind�pendantes, et qu�on d�rangera un tant soitnbsp;peu d�un �tat d��quilibre, pourra prendre un nombre n de mouveraens semblables au pr�c�dent, quinbsp;r�pondront aux n racines de ��quation A = o. Denbsp;plus, en vertu des formules (c) et des valeurs cor-fespondantes des coordonn�es x, y, etc., tous cesnbsp;petits mouvemens, ou seulement quelques uns d�en-tre eux, pourront avoir lieu en m�rae temps dans cenbsp;syst�me; et r�ciproquement, quel que soit son derangement initial, on pourra toujours decomposernbsp;le mouvement de chacun de ces points, parall�le-ment a chaque axe des coordonn�es, en un nombre n,nbsp;ou moindre que n, d�oscillations simples, commenbsp;celles qui repondent aux equations (d), dont lesnbsp;durees ind�pendautes du d�rangement initial seront

�^Otnmensurables, le syst�me entier reviendra au Di�me �tat au bout de chaque intervalle de tempsnbsp;�gal a la plus longue; c�est ce qui a lieu, par exem-, dans le mouvement des cordes vibrantes, et n�anbsp;pas lieu dans le mouvement transversal des verges

C�est dans ce th�or�me general que consisle Ie prin' cipe de la coexistence des petites oscillations. II *nbsp;encore lieu lorsque Ie nombre des points in, in'inbsp;mquot;, etc., du sjst�me est infini; Ie nombre des oscil'nbsp;lations simples, qui sont alors possibles, peut �trenbsp;aussi infini; mais leurs dur�es et les rapports de leursnbsp;amplitudes n�en sont pas moins des quantit�s d�ter-min�es. Ainsi, dans Ie mouvement transversal d�unenbsp;corde tendue, dont la longueur, Ie poids et la teii'nbsp;sion sont l, p et lt;2�r, et en d�signant par g la gravit�nbsp;les dur�es des oscillations simples ne peuvent �tre

d�apr�s la formule {d) du n� 489, les amplitudes de l�oscillatioa qui r� pond au sous-multiple quelcon-que i, sont entre elles dans Ie rapport de sin ^ �nbsp;sin , pour des points de la corde, dont x et tc'

548. Lorsque les points m, m', mquot;, etc., oscill�' ront dans un milieu r�sistant, les composantes X1nbsp;Y, etc., des forces qui les sollicitent, renfermeront daos

vitesses de ces mobiles. Si la r�sistance du milieu est proporlionnelle a� carr� ou a une puissance supc'nbsp;rieure de la vilesse, elle n�influera pas sur Ie mouve'nbsp;ment du syst�me, au degr� d�approximation o�uous

lt;3e X , Y, etc., sont du m�me ordre de petitesse que les quantit�s qui out �t� negligees. Mais si les mou-vemens des points m, m', mquot;, etc., sont peu rapides,nbsp;il faudra , com me dans Ie cas des tres petites oscillations d�un pendule simple (n� 187 ), supp�ser la resistance proportionnelle a la premi�re puissance denbsp;la vitesse; supposition qui introduira dans les expressions X, Y, etc., et par suite dans les �qua-

D', E', F', etc., �tant aussi des coefiiciens constans, qui seront proportionnels a la densit� du milieu, etnbsp;g�n�raleraent tres petits par rapport a ceux qui ontrent dans Ie premier membre. Or, on satisfera a cenbsp;systeme d��quations au moyen des formules (b) mul-tipli�es par des exponentielles, c�est-a-dire, en pr�sant

e d�signant la base des logarithmes n�p�riens, et co, co', coquot;, etc., �tant des quantit�s constantes et tres petites.nbsp;Je n�gligerai leurs carr�s et les produits de ces iricon-nues et des coefficiens D', E', E', etc. Les valeurs de u,nbsp;V, w, etc., satisfaisant d�ja aux equations (e) sausnbsp;seconds membres, lorsque l�on fait abstraction desnbsp;exponentielles , leur substitution dans les equations (e) donnera un nombre n d��quations de la forme,

Ces valeurs seront positives, paree que 1�effet de la resistance d�un milieu est de diminuer graduelle-ment les amplitudes des oscillations, Cette diminution sera plus ou moins rapide pour les diverses variables ind�pendantes u, v, w, etc.; elle d�pendranbsp;aussi de la racine p de l��quation A=o, qui entrenbsp;dans les valeurs de N, N', Nquot;, etc.; en sorte que lesnbsp;amplitudes des oscillations simples dont Ie system�nbsp;est susceptible, ne d�croitront pas toutes avec uc�nbsp;m�me rapidit�. La resistance du milieu n�aura d�a�'nbsp;leurs aucune influence sur la dur�e de chaque soH�

r�pond a la racine fgt;. En prenant les sommes des fofquot; mules (jTj, relatives a toutes les racines de l��quatioonbsp;A = o, on aura, comme pre'c�demment, les valeurs les plus g�n�rales de ic,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, w, etc.

549* II r�sulte du principe du n� 547, points d�un syst�me sont tellement lies entre eux,

qu�il ne reste qu�une seule variable ind�pendante , ils ne pouiTont faire qu�une seule esp�ce d�oscillations,nbsp;pour lesquelles ladur�e et les rapports des amplitudesnbsp;relatives aux diff�rens mobiles , d�pendront desnbsp;forces qui les solllcitent, et de la nature du syst�me.nbsp;Ce cas aura lieu, par exemple , dans Ie mouvementnbsp;de deux points mat�riels in et m', attach�s l�un anbsp;l�autre par nn fil d�une longueur constante, et obliges de se mouvoir sur des courbes donn�es.

Si, au contraire, les points m, m', mquot;, etc., ne sont pas lies entre eux ni assujettis a demeurer surnbsp;des surfaces ou sur des courbes donn�es , ce quinbsp;n�enip�che pas qu�ils ne soient soumis a leurs attractions ou repulsions mutuelies et a d�autres forcesnbsp;semblables dirig�es vers des points fixes, toutes leursnbsp;coordonn�es seront des variables ind�pendantes; et,nbsp;daus ce cas, invei�se du pr�c�dent, Ie nombre desnbsp;oscillations simples qui pourront avoir lieu, seranbsp;triple de celui de ces points mat�riels. C�est ce quinbsp;arrive effectivement dans Ie probl�me du n� 554 ,nbsp;relatif au mouvement tres petit d�un point ni, consi-d�r� comme enti�renient libre, et soumis a des forcesnbsp;dirig�es vers quatre points fixes.

principe pr�c�dent, consid�rons les petites osoilla-^*oas d�un point raat�riel pesant m, sur la surface d�un ellipso�de dont l�un des axes est vertical. Soient 2c Ianbsp;longueuj. de eet axe, 2a et 2b celles des deux axes

l��quation de la surface, quand l�origine des coordon-' n�es est a son centre. Si Ton transporte cette originenbsp;au point Ie plus bas, et que les z positives soientnbsp;dirig�es de bas en haut, il faudra mettre c � z, aunbsp;lieu de z, dans cette equation. Les oscillations dunbsp;mobile �tant suppos�es tres petites, de part et d�autrenbsp;de ce point inf�rieur, les abscisses horizontales x et �nbsp;de m Ie seront aussi, et son ordonn�e verticale z seranbsp;tres petite par rapport a x et j-. En n�gligeant Ienbsp;carr� de z, apr�s la substitution de c � z ala placenbsp;de z, on aura alors

et si Ton appelle h et k les rayons de courbure des deux sections principales de la surface, relatifs anbsp;son point Ie plus bas, ou a a; = o et y = o , on ennbsp;d�duira

Cela pos�, dans cette question, les variables ind�quot;' pendantes sont au nombre de deux, savoir x et ffnbsp;Ie mobile ne peut done ex�cuter que deux sortes d�oS'nbsp;cillations simples; et son mouvement Ie plus g�n�ral;nbsp;r�sultera de la coexistence de ces deux mouvemensnbsp;particuliers. Or, si l�on �cartait Ie mobile du point Ienbsp;plus bas de Tellipso�de, dans la section dont l�axenbsp;horizontal est 2a, et qu�on lui imprimat une vitessenbsp;dirigee dans Ie plan de cette section, il est �videntnbsp;qu�il n�en sortirait pas pendant tout son mouvement-En d�signant par g la gravit�, la dur�e de ces p6'

pendule simple dont la longueur est h (n� i83}; et, a un instant quelconque, on aurait

= Rsin(�y/| � r), f = o;

K. et r �tant, comme pr�c�demment, deux constantes arbitraires. Dans Ie cas o�les petites oscillations au-raient lieu dans Ie plan de la section dont l�axe horizontal est 26 , leur dur�e seraitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, et l�on au-

R'et r'etant aussi deux constantes arbitraires. Done, les valeurs les plus g�n�rales de x et jquot; seront lesnbsp;sommes de ces valeurs particuli�res, c�est-a-dire

= Rsin(i^| � r), j = R'sin(^^| �/).

Pour determiner les quatre constantes arbitraires ^, R', r, r', supposons qu�on a, a l�origine dunbsp;Mouvement,

R cos r = p' , R' cos r' = q' gt;

� nbsp;nbsp;nbsp;Vee

Dans Ie cas de a�=.h-=.c, ces formules doivent co�ncider avec celles du n� 207, en faisant, comiucnbsp;dans celles-ci,

G=a, 4 = 0, � = o, aG^=e\/ga,

pour les valeurs des variables ind�pendantes a un instant quelconque, quand on a

a l�origine du mouvement; supposons qu�on ait aussi, a un instant quelconque,

pour t = o; et ainsi de suite. Je dis qu�on aura, au ^out du temps t quelconque,

U -}- U' Uquot; -f- etc., -j ^ = V 4- V' Vquot; etc., (nbsp;w = W 4-W'4-Wquot;4- etc., (nbsp;etc.,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

V � nbsp;nbsp;nbsp;V,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V,' nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

tv = nbsp;nbsp;nbsp;tv, H-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tv,' -{-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

� = nbsp;nbsp;nbsp;i'/ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;e/ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t�;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.,

� nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tv^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;w/H-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tv,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc..

En effet, d�apr�s les premi�res suppositions qu�on a faites sur les valeurs iaitiales de u, v, tv, etc.,

demment pour t � o-'a. ces derni�res equations; de plus, les valeurs particuli�res de u, v, tv, etc., sa-tisfaisant, par hjpoth�se, aux equations difFereOquot;nbsp;tlelles du mouvement, leurs sommes ou les for'nbsp;mules (��) J satisferont aussi, puisque ces equationsnbsp;sont lin�aires, et ne renferment pas de termes inde'nbsp;pendans des inconnnes u, v, tv, etc. (n� 646); l^snbsp;formules (g) rempliront done toutes les conditionsnbsp;de la question, et seront, par cons�quent, les valeursnbsp;des inconnues a un instant quelconque.

551. Ce th�or�me general peut �tre appel� 1*^ principe de la superposition des petits mouvemens-On ne doit pas Ie confondre avec celui de la coexiS'nbsp;tence des petites oscillations : il est ind�pendant de�nbsp;lois particuli�res des petits mouveraens que I on coo'nbsp;sid�re, et r�sulte seulement de ce que les d�plaeC'

mens et les vitesses des mobiles sont trait�s comme des infiniment petits, puisqu�on n�glig� leurs pro-duils et leurs puissances sup�rieures a la premi�re.

En vertu de ce principe, les ondes sonores qui partent de differens points, se propagent et se super-posent dans 1�air sans se modifier; en sorle qu�anbsp;chaque instant Ie d�placement et la vitesse d�une molecule d�air, suivant une direction quelconque, sontnbsp;les sommes des d�placemens et des vitesses qui r�-pondralent a toutes ces ondes consid�r�es isol�ment;nbsp;Ce qui nous perniet d�entendre distinctement et sansnbsp;confusion plusieurs sons a la fois, produits par diff�-rens corps sonores. Les sons simullan�s peuvent aussinbsp;r�sulter de la coexistence des petites oscillations dansnbsp;un m�me corps sonore. Ainsi, par exemple , lors-qu�une corde tendue ex�cute, en m�me temps, lesnbsp;oscillations isochrones qui r�pondent a sa longueurnbsp;enti�re, et celles dont la dur�e correspond au tiersnbsp;de cette longueur, Ie mouvement de 1�air est Ienbsp;meme que si deux cordes, dont les longueurs seraientnbsp;entre elles comme un est a trois , ex�cutaient simul-tan�ment les vibrations les plus lentes dont elles sontnbsp;susceptibles; et 1�on entend, en m�me temps, Ie tonnbsp;fondamenlal de la corde donn�e, et un autre ton plusnbsp;�lev�, qui est la quinte de Yoctave sup�rieure. C�estnbsp;^�ssi pour cela que l�on entend distinctement lesnbsp;^ons produits par les vibrations longitudlnales et parnbsp;les vibrations transversales, qui ont lieu a la fois dansnbsp;^De m�me corde tendue, ou dans une m�me vergenbsp;�lastique.

pl�sieurs points de la surface de Teau, se propagent simultan�ment autour de ces centres diff�rens, etnbsp;peuvent se croiser en tous sens a cette surface, sansnbsp;se modifier mutuellement; de mani�re qu�a un instant quelconque T�l�vation de l�eau, en tel pointnbsp;qu�on voudra, est la somnie des elevations positive*nbsp;OU negatives qui auraient lieu en vertu de toutes cesnbsp;ondes conside'r�es isole'ment.

L�explication qu�on donne du ph�nom�ne des terf�rences, dans la th�orie des ondulations lumiquot;nbsp;neuses, est aussi fond�e sur Ie principe de la superposition des petits mouvemens, qui est, comme onnbsp;voit, susceptible de nombreuses applications.

Pour Ie compl�ter, nous ajouterons que si des forces �man�es de centres mobiles agissent sur Ie*nbsp;points du sjst�me, les seconds membres des �qua-tions (a) de leurs petits mouvemens (n� 545) , serontnbsp;des functions lin�aires des composantes de ces force*nbsp;donn�es. II en sera de m�me a l��gard des int�grale*nbsp;completes de ces m�mes �quations diff�rentielles;nbsp;d�o� l�on conclut que les parties de z/, v, w, etc.,nbsp;d�pendantes de l��tat initial du sjst�me, et, p*��nbsp;suite, les parties semblables des coordonn�es de*nbsp;mobiles, seront les sommes des valeurs qu�elles ao'nbsp;raient si les forces donn�es agissaient s�par�meot-Ainsi, par exemple, dans Ie ph�nom�ne des nia'nbsp;r�es, l��l�vation totale de la mer en chaque poin*nbsp;et a chaque instant est la somme des �l�vatlon* gt;nbsp;prises avec leurs signes, qui seraient caus�es pn*�nbsp;les actions isol�es du soleil et de la lune; et c e*^nbsp;pour cela que, toutes choses �gales d�ailleurs,

hautes mers sont les plus considerables dans les ^jzjgies, et les moindres dans les quadratures.

� III Principes de la conservation du mouvement du centre de gravit�, et de la conservation des aires.

552. Puisque Ie mouvement du centre de gra-vit� d�un syst�me enti�rement libre est �e m�me que si les masses de tous les mobiles j �taient reunies , et que leurs forces motrices y fussent trans-port�es parall�lement a leurs directions, il s�ensuitnbsp;que les forces donn�es dont les composantes paral-l�lesa chaque coordonn�e seront �galesetcontraires,nbsp;�i�entreront pas dans les equations diflFerentielles denbsp;Ce mouvement. Or, ce cas est celui des forces motrices provenant des actions mutuelles des pointsnbsp;du syst�me, en vertu de la loi g�n�rale de \actionnbsp;�gale d la reaction^ qui s�observe toujours dans Ianbsp;nature, ainsi qu�on ya l�expliquer.

Si un point mat�riel situ� en M agit sur un autre point situ� en M', et lui imprime ou tend a lui im-primer, dans un instant, une quantit� de mouvementnbsp;Difiniment petite, que je repr�senterai par /a, on ob-^rve toujours :

Que cette action est dirig�e suivant la droite ^cn�e du point M' vers Ie point M, ou suivantnbsp;soq prolongement au-dela de M';

Qu�en m�me temps Ie point situ� en M' r�agit Ie point situ� en M, suivant la droite qui vanbsp;de M ygys Qjj suivant son prolongement au-delanbsp;de M.

3�. Que cette reaction communique ou tend a com-muniquer au point situ� en M une quantit� de mouvement pr�cis�ment �gale a

On dit qu�il j a attraction ou repulsion entre ceS deux points mat�riels, selon que leur action mutuellenbsp;tend a augraenter ou a diminuer la distance MM^jnbsp;s�ils sont enti�rement libres, et que lenrs massesnbsp;soient repr�sent�es par m et in', les vitesses qu�il�

inverse de leurs masses, et les quantit�s dont ils se rapprocberont ou s��carteront, pendant un temp*nbsp;infiniment petit, seront �gales a ces vitesses mul-tipli�es par la moiti� de ce temps (n� 114) �� d�ailleurs,nbsp;la quantit� yU pourra d�pendre de la nature des corpsnbsp;quxquels m et m' appartiennent, ou en �tre ind�pen-ilante et proportionnelle au produit mm! de cesnbsp;masses (n� 241), comme dans Ie cas de l�attractioonbsp;universelle.

La premi�re des trois propositions qu�on vieo*^ d��noncer peut �tre regard�e comme �vidente cunbsp;elle-m�me; car des quantit�s de mati�re 7?z et u* �nbsp;�tant r�duites a des dimensions infiniment petites�nbsp;et plac�es a une distance finie Tune de l�autre, il � �nbsp;aurait aucune raison pour que l�action dun de cesnbsp;points sur Tautre s�exercat d�un c�t� d�termin� de 1�nbsp;droite qui les joint, et autour de laquelle tout estnbsp;semblable ; mais les deux autres propositions o�nbsp;peuvent �tre pour nous que les r�sullats de l expCquot;nbsp;rience, g�n�i�alis�s par induction et confirm�s p^�nbsp;ioutes les consequences qui s�en d�duisent. En effct�

nous ne pouvons regarder comme impossible, a priorij qu�un point materiel m agisse sur un autre m',nbsp;sans que celui-cl reagisse sur le premier, en sensnbsp;contraire et avec une e'gale intenslte. Ainsi, nous ad-niettrons le principe de la reaction egale et contrairenbsp;a Taction comme une loi g�n�rale de la nature, quinbsp;nous est donn�e par Tobservation, de m�me que la loinbsp;de Tattraction universelle, en raison inverse du carr�nbsp;de la distance.

553. Cela pos�, si tons les points mat�riels dun systeme entlerement libre ne sont soumis qu�a leursnbsp;actions mutuelles, ces forces inotrices, transporte'esnbsp;au centre de gravit� du sjsteme, s�j d�truiront deux anbsp;deux; le mouvement de ce centre sera done rectilignenbsp;et uniforme, et conservera constamment sa vitesse etnbsp;sa direction initiales; ce,qui a fait donner a ce th�o-r�me le nom de principe de la conservation du mouvement du centre de gravit�.

Ce mouvement n�est pas alt�r� par le choc des corps, quel que soit leur degr� d��lasticit� (n� 541); et, ennbsp;effet, le ph�nom�ne du choc est produit, commenbsp;�ous Tavons d�ja dit (n�499)gt; par les actions mutuelles des mol�cules du corps choquant et du corpsnbsp;^hoqu�, qui s�exercent* a des distances insenslbles,nbsp;^ais de grandeur linie, et pour lesquelles la loi de lanbsp;^6action, �gale et contraii�e a Taction, ne peut man-lt;luer d�avoir lieu. Par la m�me raison, si un corpsnbsp;solide est en mouvement, et qu�il solt bris� par unenbsp;explosion int�rieure, la direction et la vitesse dunbsp;�^outre de gravit� de toutes ses parties, apr�s cettenbsp;explosion , seront les m�mes que la*directlon et la vi-

tesse du centre de gi�avit� qui avaient lieu aupara-vant. Eu general, les changeniens brusques de vitesse qui accompagnent les chocs ou les explosions, sontnbsp;les eflets des actions mutuelles des molecules; cesnbsp;forces varient dans de tres grands rapports, quand lesnbsp;molecules se rapprochent ou s��loignent les unes desnbsp;autres; et, par suite, elles font varier de m�naenbsp;les vitesses des corps pendant de tres courts intervallesnbsp;de temps.

Le principe dont il s�agit est ind�pendant de 1� liaison des points du syst�me, pourvu qu�aucun d�euJtnbsp;ne soit li� a d�autres points �trangers au syst�me quenbsp;l�on consid�re, et ne soit pas assujetti a se mouvoifnbsp;sur une surface ou sur une courbe fixe ou mobile.nbsp;Des conditions de cette esp�ce, s�il en existait, doo'nbsp;neraient naissance a des fq^ces qu�il faudrait transporter au centre de gravit�, et qui pourraieut fair�nbsp;varier sa vitesse. II en sera de ra�me, lorsqu�il y aur�nbsp;des forces appliqu�es aux points du syst�me quinbsp;provieudront pas de leurs actions mutuelles; et, daf�nbsp;ce cas, les actions mutuelles pourront influer indireC'nbsp;tement sur le mouvement du centre de gravit�, en di'nbsp;minuant ou augmentant les distances des points d^nbsp;syst�me aux points fixes ou mobiles d�oii �manent 1�*nbsp;forces �trang�res, et changeant, par cons�quent, l��*^nbsp;intensit�s.

L�inertie d�un point mat�riel consiste en ce qo ne peut se mettre de lui-m�me en mouvement,nbsp;modifier aucunement le mouvement qu�il a reen,nbsp;saus le secours de forces �manant d�autres points,nbsp;l�inertie d�un syijt�me de corps consiste, de ni�m�?

en ce que Taction mutuelle de ses parties ne peut produire ni modifier Ie mouvement de son centre denbsp;gravit�, sans Ie secours de points d�appui ou de forcesnbsp;�trang�res. Ainsi, Ie mouvement du centre de gravit� du soleil, des plan�tes, des satellites el des co-m�tes, doit �tre rectiligne et uniforme dans Tespace,nbsp;abstraction faite de Taction exerc�e par les �toilesnbsp;Sur tous ces corps, et de la resistance du milieu, sinbsp;elle existe.

La mani�re dont les diff�rentes parties d�un rausde agissent Tune sur Tautre, pour produire ses mouve-mens, nous est inconnue j nous ignoi�erons peut-�frenbsp;toujours par quel moyen la volont� met ces partiesnbsp;de nature diverse dans la disposition respective, n�cessaire pour qu�elles exercent actuellement leurs attractions OU r�pulslons mutuelles : quoi qu�il en soit,nbsp;nous ne pouvons pas douter que ces actions ne soientnbsp;soumises a la loi de r�ciprocit�, comme toutes lesnbsp;autres forces naturelles; d�o� il r�sulte qu�un animal,nbsp;de quelque mani�re qu�il s�y prenne, ne peut jamaisnbsp;d�placer son centre de gravit� par sa seule volont�,nbsp;ct sans Ie secours d�un point d�appui ext�rieur.nbsp;L�homme et les animaux peuvent �lever ou abaissernbsp;^ertlcalement leur centre de gravit�, en s�appuyantnbsp;�nr la terre; ils peuvent aussi s�avancer horizontale-*^601,3 Taldedu frottement contre sa surface; maislanbsp;locomotion leurserait impossible sur un plan parfaite-^cnt poll, OU cette r�sistance serail tout-a-fait insensible. Dans Ie vol des oiseaux, c�est Ie centre de gravit� de Tanimal et de toute la masse d�air qu�il metnbsp;on mouvement, qui demeure constamment en repos;

et, (lans Ie vide, il ne pourrait parvenir a deplacer son propre centre de gravit�, quelle que fut la rapi-dit� du mouvement de ses alles.

II n�y a pas de doute, non plus, que les flu�des Imponderables ne solent soumis a la lol de reactionnbsp;�gale et contraire a Taction, et que Ie principe denbsp;la conservation du mouvement du centre de gravit�,nbsp;qui en est la consequence, ne doive aussi s�observernbsp;dans leurs mouvemens, comme dans celui de loutesnbsp;les autres substances, dont ils ne different que parnbsp;leur extr�me t�nult�. Ainsi, lorsque T�lectricit�, lanbsp;cbaleur, la luml�re , s��chappent d�un mobile par unnbsp;seul c�t�, ce corps dolt reculer en sens contraire,nbsp;alin que Ie centre de gravit� du syst�me entier de-meure en repos; mais la quantit� de mouvementnbsp;qu�il prendra ne sera sensible, qu�autant que cellenbsp;du fluide impond�rable Ie sera �galement, malgrenbsp;la petltesse de sa masse, et a raison de la grandeur denbsp;sa vltesse. C�estce qui ne peut-�tre d�cid� que par desnbsp;experiences tres d�llcates.

554* Non-seulement les forces provenant de TaC' lion mutnelle des points m, m', mquot;, etc., d�un sjs-t�me enti�rement libre, n�entrent pas dans les �qu^'nbsp;tions (7) de leur mouvement de translation, m�*�nbsp;elles disparalssent aussi des �quatious (9) de so�nbsp;mouvement de rotation autour de Torigine desnbsp;cdt��donn�es (n�� 558 et 55g).

En effet, solt F la force provenant de Tactilt;R^ mutuelle de m et m', qui est la m�me pour eesnbsp;deux points mat�riels, et dirig�e, si on la supptgt;��nbsp;attractive, de m vers m' pour Ie point m, et de

vers m pour Ie point m'. En appelant p la distance de ces deux points, les cosinus des angles que faitnbsp;la droite mm', avec des parall�les aux axes des x,nbsp;jquot;, z, men�es par Ie point m, seront

pour les composantes de ia force motrice du point m ; et l�on trouvera de m�me

pour les composantes de la force motrice de m', pi�O-venanl de cette force F. Or, d�apr�s ces valeurs , nous aurons

P^r cons�quent, les ternies provenant de l�action ^^�utuelle des points du syst�me, se d�truisent deuxnbsp;� deux dans les seconds membres des equations (9)

�iu n- 559.

Si done il n�j a pas d�autres forces motrices qui ^8*ssent sur les points m, m', iri', etc., Ie mou-'''^enient de rotation du syst�me autour de l�origine

initiales qiii ont �l� imprim�es a ces points; en sorte que sans Ie seco�rs de forces �trang�res ou denbsp;points d�appui pris au dehors, c�est-a-dire, par lanbsp;seule action mutuelle de ses parties, un syst�menbsp;quelconque de corps ne peut produire aucun mouvement de translation ou de rotation commun anbsp;tons ses points, ni modifier, en aucune mani�re?nbsp;celui qu�il a recu primitivement.

555. Les seconds membres des equations (g) se-ront encore z�ro, lorsque les points du s jst�me, in-d�pendamment de leurs actions mutuelles,serontaussi sollicit�s par des forces dirig�es vers l�origine desnbsp;coordonn�es; car pour une semblable force , ap-pliqu�e au point m, les composantes mX, mY, tuZ,nbsp;sont entre elles comme les coordonn�es a?, /, z, denbsp;ce point; on a done

Ainsi, dans tout syst�me enti�rement libre, ou ne renferme qu�un seul point fixe, et dont les poiid�nbsp;m, m', mquot;, etc., sont soumis a leurs actions mu-'nbsp;tuelles et a des forces dirig�es vers ce pointnbsp;en Ie prenant pour origine des coordonn�es, on aura

- r�) =

S�il n�y a aucun point fixe dans Ie syst�me, et que les mobiles soient uniquement soumis a leurs actionsnbsp;�iutuelles, on pourra prendre tel point qu�on you-dra pour origine des coordonn�es; et comme dansnbsp;Ce m�me cas, les equations (7) du n� 538, se r�-duiront a

il s�ensuit qu�on pourra aussi prendre pour cette Origine, un point qui ait un mouvement rectilignenbsp;et uniforme dans l�espace.

En effet, en d�signant par a, �, y, les coordou-' n�es de ce point mobile, on aura

relativement au point quelconque m \ or, en substi-tuant ces valeurs, dans la premi�re equation (a), on peut la mettre sous la forme

et Ton trouvera de m�me que les deux au tres equations (es) ne changent pas de forme, et deviennent

quand on transporte 1�origine des coordonn�es^au point dont Ie mouvement est rectiligne et uniforme.

Dans Ie cas dont il s�agit, Ie mouvement du centre de gravit� du sjst�me �tant rectiligne et uniformenbsp;(n� 553), 11 en r�sulte que les equations (a) devrontnbsp;subsister en prenant ce centre pour origine deSnbsp;coordonn�es.

integrant et d�signant par c, c', cquot;, les constante^ arbifraires, il vient

equations qui montrent que dans Ie mouvement d�un syst�me enti�rement libre, oii les mobiles nenbsp;sont soumis qu�a leurs actions niu|;uelles, ou a desnbsp;forces dlrig�es vers un centre fixe, les momens desnbsp;quantit�s de mouvement de tous les points du syst�me, par rapport a trois axes rectangulaires qui senbsp;coupent en ce point, et par cons�quent, par rapportnbsp;a toute autre di�oite men�e par ce m�rae point, sontnbsp;des quantit�s constantes. Ces momens ne changerontnbsp;pas de valeur, dans Ie clioc des corps du syst�me,nbsp;Ou dans 1 explosion d�un ou de plusleurs d�entre eux,nbsp;puisque les forces qui produisent ces ph�nom�nes,nbsp;sont des actions mutqelles de leurs molecules; ce quinbsp;s'accorde avec Ie r�sultat du n� 541 �

S�il n�y a pas d� forces dirig�es vers un point fixe, il r�sulteidu num�ro pr�c�dent, que ce theoreme auranbsp;encore lieu, par rapport a un axe quelconque quinbsp;se meut parall�lement a lui-m�me, en passant cons-tamment par Ie centre de gravit� du syst�me, ou,nbsp;plus g�n�ralement, par un point dont Ie mouvementnbsp;est rectiligne et uniforme. Dans ce m�me cas, onnbsp;conclut des equations [h), que les sommes des quantit�s de mouvement de tous les points du syst�me, sui-Vanttrois directionsrectangulaires, el cQns�quemmentnbsp;suivant une direction quelconque, sont �galement desnbsp;quantit�s constantes; th�or�me qu�on peut aussi re-garder corame renferm� dans celui qui r�pond auxnbsp;Utoniens de ces forces, en �loignant a l�infini Ie centrenbsp;momens et l�origine des coordonn�es.

557. Les valeurs des constantes c, c', cquot;, d�~ pendront de la direction des axes rectangulaires,

la quantit� y sera non-seulement ind�pendante de t, mais aussi de cette direction; car elle exprime Ienbsp;moment principal d�un syst�me de forces (11� 281);nbsp;dont la valeur ne peut pas d�pendre de la dii-ectionnbsp;arbitraire des droitcs suivant lesquelles ces forcesnbsp;sont d�compos�es. Lorsqu�il n�existe pas de pointnbsp;fixe dans Ie sjst�me, on trouvera done une m�menbsp;valeur de , en la calculant a deux �poques diff�-rentes du mouvement, et prenant Ie centre de gra-vit� pour origine des coordonn�es, quelle que soitnbsp;d�ailleurs leur direction, diff�rente ou la m�me, anbsp;ces deux �poques. Dans ces calculs, on n�emploieranbsp;que des positions et des vitesses relatives de^mobilesnbsp;aux �poques donn�es, savoir, les perpendiculairesnbsp;3c,j, z, abaiss�es de cbaque point m sur trois plansnbsp;rectangulaires, men �s arbitrairement par Ie centre de

de la vitesse de }n, parall�les a leurs intersections; sur les composantes de la vitesse du centre de gra-vit� suivant ligs m�mes directions. Lors m�me qn�i^nbsp;serait survenu entre les deux �poques pour lesqueH��nbsp;on aura ainsi calcul� la valeur Ae y, un ou pl*^'nbsp;sieurs chocs ou explosions des corps du sjst�me gt;nbsp;cette valeur ne serait pas ehang�e, pourvu que, daosnbsp;Ie cas d�une explosion, on comprit dans Ie calcul denbsp;la seconde �poque toutes les parties du corps brise*nbsp;Si done on la trouvait diff�rente a la seconde �poq��^

ce qu�elle �tait a la premi�re, on en pourrait con-clure que des forces �trang�res ont agi, dans l�inter-valle, sur les mobiles, ou bien qu�ils ont choqu� d�autres corps qui ne font pas partie du sjst�me.

Si l�on appelle a, af, af', les angles que fait 1�axe du moment pringipal avec les axes des z,nbsp;J, X, dont l�origine est au centre de gravit�, onnbsp;aura ( n� 281)

C nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cquot;

�y nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y

en supposanl done que ces axes soient constamment parall�les a eux-m�mes, les quanflte's c, c', cquot;, nenbsp;changeront pas, et la direction de l�axe du momentnbsp;principal sera aussi invariable, corame la grandeurnbsp;du momentqui s�j rapporte. La m�me chose a lieu parnbsp;l apport a un point fixe, lorsqu�il y en a un dans lenbsp;systeme, et qu�on le prend pour origine des coor-donne'es �, ce qu�on a d�ja vu dans le 11�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, rela-

558. II est important d�observer que les termes pro-venant de Taction mutuelle du systeme disparaissent dans les seconds membres des e'quations (g) du n'�55g,nbsp;lors m�me que I�intensite de cette action varie avcclenbsp;temps, independamment de la distance, e�est-a-dire,nbsp;iorsqne les composantes de cette force renferment lenbsp;temps t explicitement. Les equations (c), et, parnbsp;�Cons�quent, Tinvariabilit� du moment principal etnbsp;de la direction de son axe, onl done encore lieu dansnbsp;�ce cas, qui se pr�sente, par exemple, quand lesnbsp;points du systeme perdent, sous forme rayonnante,nbsp;Doe partie de leur chaleur propre; ce qui dimi-

Ainsi, en faisant abstraction de Faction du sole� et de la lune sur la masse de la terre, el supposantnbsp;que noire plan�te, autrefois a 1��tat gazeux, s�est sob'nbsp;difi�e par Ie refroidissement, sans pcrdre aucune par-tie de sa mati�re ponderable, on peut assurer que,nbsp;dans cette transformation, Ie moment principal desnbsp;quantit�s de mouvement de tous ses points n�a pasnbsp;change de grandeur, ni son axe de direction. Cettenbsp;droite est devenue Faxe de figure de la terre, autournbsp;duquel elle tourile maintenant; et, dans ce mouve--ment, il est ais� de voir (n� 586) que 1�on a

pour la valeur du moment principal; cj �tant la vi-tesse angulaire de rotation, M la masse, et MA� I^ moment d�inertie par rapport a Faxe de figure. Si Ienbsp;refroidissement et la rotation de Ia terre continueutnbsp;encore actuellement, et que son rajon diminue ennbsp;consequence, la valeur de k diminuera dans Ie m�menbsp;rapport; a cause que la quantit� y est constante, 1^nbsp;valeur de co augraentera done en raison inverse dnnbsp;carr� de k, et la dur�e du jour d�croitra proportion^nbsp;nellement au carr� du rayon, �ne diminution , due anbsp;cette cause, d�un dix-millioni�me sur la dur�e dnnbsp;jour, supposerait un d�croissement d�un'vingt-milquot;nbsp;lioni�me sur la longueur du rayon; et comme on estnbsp;certain que Ie jour n�a pas �prouv� cette diminutionnbsp;depuis 25oo ans (n� 44^)gt; d en r�sulte que Ie rayonnbsp;moyen de la terre n�a pas vari� d�un vingl-miU�^'^

Tii�me, oa d a peu pres 3 metres, dans ce long in-tervalle de temps, par Teffet du refroidissement, si la temperature moyenne de la terre n est pas encorenbsp;parvenue a un �tat permanent.

Les tremblemens de terre, les explosions volcani-lt;jues, Ie souffl� des vents contre les c�tes, les frotte-l�ens et les pressions de la mer sur la partie solide du sph�ro�de terrestre, r�pondant a des actions mutuellesnbsp;des parties du sjst�me, il n�en peul r�sulter aucunenbsp;Variation de la quantlt� y; et les d�placemens de cesnbsp;parties qui ont lieu dans toutes ces circonstances, n��-tant pas assez considerables pour produire des chan-gemens sensibles dans la valeur de /c, ces causes diverges ne produiront aucune alteration appreciablenbsp;dans la rapidit� de la vilesse c?, ni dans la dur�e dunbsp;jour.

55g. Les th�or�mes qui se d�duisent des equations (c) peuvent encore s��noncer d�une autre ma-ni�re. nbsp;nbsp;nbsp;� �

Observons,pourcela, que la formule�-j^dx) est Faire de'crite pendant Finstant di, ou la diffe'ren-tielle de Faire d�crite pendant Ie temps t, par Ienbsp;rayon vecteur de la projection du point ?7z sur Ienbsp;plan des cc et jquot;, en allant de Faxe des cr positivesnbsp;Vers Faxe des j- positives ( n� i54)- formulenbsp;~ (zdcr � jcdz) est de m�me la diff�renlielle de Fairenbsp;d�crite par Ie rayon vecteur de la projection dunbsp;ro�me point m, sur Ie plan des z et x, en allant denbsp;^ 3xe des z vers Faxe des x; et \ {jdz�'^dy) ex-prirne la diff�rentielle de Faire d�crite par Ie rayonnbsp;vecteur de la projection de ce point sur Ie plan

Cela pos�, consid�rons les aires comme des quan-tit�s positives ou negatives, selon qu�elles sont d�--crites sur chaque plan, dans Ie sens qu�on vient d�in-diquer, ou dans Ie sens oppose. Soit ^ A la soninie des aires d�crites, pendant Ie temps t, par les rayonsnbsp;vecteurs des projections de tous les points du sjs-t�me, et multipli�es respectivement par leurs massesnbsp;m, in, mquot;, mlquot;, etc. Appelons i-A' la somme des aires d�crites sur Ie plan des z et a:, pendant Ie m�me temps�nbsp;par les rayons vecteurs des projections de ces pointsnbsp;mat�riels, et multipli�e aussi par leurs masses. Soit enfin ^Aquot; la somme des aires d�crites sur Ie plan des �nbsp;et z, pendant ce temps t, paries rayons vecteurs desnbsp;projections de ces m�mes points, multipli�es denbsp;m�me par leurs masses. Ces trois sommes seront desnbsp;fonctions de t, dont les valeurs s��vanouiront avecnbsp;cette variable, et qiii auront pour difF�rentielles

libre, dont les points ne sont soumis qu�a leurs actions mutuelles, les sommes des aires repr�sente'es par ^ A, j A', 7 Aquot;, sont proportionnelles au tempsnbsp;employ� a les d�crire, et les sommes des aires d�-crites pendant l�unit� de temps, conservent leurs va-leurs initiales pendant toute la dur�e du mouvement;nbsp;Ie centre des aires �tant un point fixe, Ie centre denbsp;gravit� du syst�me, ou tout autre point dont Ienbsp;mouvement est rectiligne et uniforme.

C�est en cela que consiste Ie principe .de la conservation des aires. II a encore lieu lorsqu�il existe dans Ie syst�me un point fixe vers lequel sont dirig�es desnbsp;forces agissant sur un ou plusieurs des mobiles,nbsp;pourvu que l�on prenne alors ce point fixe pournbsp;centre des aires; ce qui comprend le th�or�me dunbsp;11� i54, relatif a un point materiel isole.

Nous ferons remarquer que, quaud les points m , m', toquot;, etc., tournent dans un m�me sens autour dunbsp;centre des aires, comme les centres des plan�tes autour du soleil, il en sera de m�me a I�e'gard denbsp;leurs projections sur les plans des coordonnees; denbsp;sorte que tons les termes des sommes -jA, ^ A', a Aquot;,nbsp;auront le m�me signe : ils auront, au contraire,nbsp;fies signes difFe'rens, et ces sommes pourront �trenbsp;fies qu�nlit�s positives ou negatives, lorsqu�une parole des mobiles tournera dans un sens, et I�autrenbsp;partie dans le sens oppose , comme dans le mou-'^oment des cometes autour du soleil.

56o. Maintenant, soient 0 (fig* 3j ), le centre ^es aires, fixe ou mobile ; Ox, Oj, Oz, les directionsnbsp;lies axes rectangulaires des coordonnees; M et

les positions du point quelconqne in au bont des temps t c\. t dt', P et P, les projections de Mnbsp;et sur Ie plan des x et y. Le triangle MOM^ seranbsp;Faire plane d�crite, pendant l�instant dt, par le ravoonbsp;vecteur de m, et il aura pour projection sur Isnbsp;plan des x etjr, le triangle P�P^, ou 1�aire d�critenbsp;pendant eet instant, par le rayon vecteur de la projection de m sur ce plan. Les projections de MOAl/nbsp;sur les deux autres plans des coordonn�es, serontnbsp;aussi les aires d�crites par les rayons vecteurs deSnbsp;projections Ae 'm sur ces plans. II en sera de ni�znenbsp;pour les aires d�crites dans l�espace, pendant touteSnbsp;les parties infiniment petites du temps t, par leSnbsp;rayons vecteurs de tous les points du syst�me, etnbsp;multiplie'es parleurs masses, ou, autrement dit, pournbsp;toules ces aires augment�es dans le rapport des massesnbsp;m, in',nf, etc., a l�unit�. Par cons�quent, lesquan-tit�s ^A, l A', |Aquot;, qu�on vient de consid�rer, sei�ontnbsp;les sommes des projections de ces aires infinimentnbsp;petites, sur les trois plans des coordonn�es ; et 1�onnbsp;pourra appliquer a ce syst�me d�aires planes et ^nbsp;leurs projections, les tli�or�mes des n�� 376 et sni'nbsp;vans.

Ainsi , parnii tous les plans qu'on peut faire passet par le point O, il y en a un sur lequel la^sornn^�nbsp;des projections des aires planes, prises avec les signednbsp;qui r�sultent du sens du mouvement pour chacoi^�nbsp;d�elles, est uu maximum. Si l�on d�signe parnbsp;valeur de cette aire maxima, on aura

Or, d�apr�s les valeurs de A, A', Aquot;, ces formules sont Ia m�me chose que

c, c', d�, y, �tant les m�mes constantes que pr�ce'-demment. II en r�sulte done que la direction du plan de l�aire maxima demeurera constante pendantnbsp;toute la duree du mouvement, et que la normalenbsp;a ce plan men�e par Ie centre desaires co�ncidera tou-jours avec l�axe du moment principal des quantit�snbsp;de mouvement de tous les points du syst�me.

On conclut de la que dans Ie mouvement de tout syst�me enti�renient libre, dont les points mat�rielsnbsp;ue sont soumis qu a leurs actions mutuelles, il existenbsp;Ou plan, passant par Ie centre de gravit�, qui de-oieure constamment parall�le a lui-m�me, et dontnbsp;On peut, a chaque instant, determiner la direction ,nbsp;OU moyen des masses de tous ces points, de leursnbsp;coordonn�es rapport�es au centre de gravit� commenbsp;*^*�igine, et des exces des composantes de leurs vi-lesses sur celles de la vitesse de ce centre.

Ce th�or�me est d� a Laplace, qui a donn� au plan dont il s�agit la denomination de plan iiwa-2-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3o

viable j et qui a propose d�en faire usage, en Astronomie, pour rapporler a sa direction constante 1*55 directions variables (n� 244) plans des orbitesnbsp;plan�taires.

561. C�est au plan de l�orbite de la terre, et a une droite men�e, dans ce plan, par Ie centre du soleilnbsp;et parall�lement a la ligne des equinoxes, que lesnbsp;astronomes rapportent les positions des astres et lesnbsp;directions des plans dans lesquels ils se meuvent.nbsp;L ecliptique vraie et la ligne des equinoxes �tant ennbsp;mouvement dans l�espace, on determine leurs positions, a un instant donn�, en les comparant a cellesnbsp;des �toiles; mais on peut craindre que les mouve-mens propres des �toiles, qui sont inconnus pour lanbsp;plupart, ne nous induisent en erreur sur les d�pla-cemens absolus de I�orbite de la terre, apr�s plu-sieurs si�cles; et, pour pi��venir eet embarras, il estnbsp;bon de pouvoir assignor sa direction vraie a un instant quelconque.

Supposons done que Ie plan des x et jr soit Ie plan de l��cliptique a un instant donn�, ou, plus exacte-ment, un plan parall�le a celui de cette �cliptiqn^nbsp;et men� par Ie centre de gravit� O du syst�me solaire. Par Ie point 0 (flg. Sa), menons arbitrairemeotnbsp;dans ce plan les axes Ox et Oj; et d�apr�sles coordoo'nbsp;n�es et les vitesses actuelles de tous les points du sys-teme solaire, rapport�es aux axes rectangulairesnbsp;Q/? et les masses de ces points, supposons anss*nbsp;qu on ait calcul� les valeurs des quantit�s c, c', ^ 'nbsp;Si OH est la perpendiculaire au plan invariable donbsp;ce syst�me, et EOE' l�intersection de ce plan avo^^

Ce qui fait connaitre la direction du plan invariable par rapport a celui des x et j\ Mais pour en con-clure, r�ciproquement, la direction absolue du plannbsp;de l��cliptique, parall�le a celui des x et �, il fautnbsp;cncore qu�il existe, sur Ie plan invariable, une droilenbsp;^ui demeure constamment parallele a elle-meme, etnbsp;dont la direction soit connue a chaque instant. OKnbsp;dtaut cette drolte, on connaitra l�angle KOx a l��po-lt;lue que l�on consid�re; de eet angle, joint a HOz etnbsp;�Oo:, on d�duira l�angle EOK; et les deux anglesnbsp;HOz et EOK d�termineront compl�tement la direction absolue du plan de l��cliptique.

Or, l�existence du plan invariable, dans Ie sjst�me Solaire, suppose , implicitement, que l�ou fait abstraction de Faction des �toiles sur Ie soleil et sur les pla-n�tes, et que toutes les parties du syst�me sont sou-�nises uniquement a leurs actions mutuelles. Mais,nbsp;dans ce cas, Ie mouvement du .centre de gravit� Onbsp;^t rectiligne et uniforme; par cons�quent, a moinsnbsp;^�te la direction de ce mouvement ne soit exactementnbsp;perpendiculaire au plan invariable, on aura unenbsp;droite OK, toujours parall�le a elle-m�me, en pro-jetant sur ce plan la droite que d�crit Ie point 0 dansnbsp;^ espace. On ne voit pas une autre ligne qu�on puissenbsp;prendre pour la droite OK; mais pour faire usage denbsp;eelle que nous indiquons, il faut qu�on ait pr�ala-^lement determinepar l�observation, la direction

3o..

du mouvement du centre de gravit� de notre uni-vers, que nous ne connaissons encore que tr�s ini' parfaitement.

En comparant les valeurs des angles HOz et EOK, d�termin�es a deux �poques difF�rentes, on connai'nbsp;tra les d�placemens reels de T�diptique qui ont eunbsp;lieu dans I�intervalle, et que Ie seul angle HOz, in'nbsp;cHnaison du plan mobile sur Ie plan invariable, n�nbsp;suffiraitpaspourd�terminercompl�tement. Toutefoisjnbsp;si les quantit�s c' et cquot; sont tr�s petites par rapport anbsp;c, l�angle HOz sera aussi tr�s petit, et de tr�s petitesnbsp;differences dans les valeurs de c' et d' en produirootnbsp;de tr�s grandes dans les valeurs de TIOjc, et, pafnbsp;suite, de Tangle EOK; en sorle qu�il paraitrait, dansnbsp;ce cas, que l�intersection OE de T�cliptique et dnnbsp;plan invariable aurait �prouv� un d�placement tr�snbsp;considerable sur ce plan. Mais, en general, ce d�pla'nbsp;cement ne serait pas reel; car les petites differencesnbsp;des valeurs de c' et d' proviendront, en grande paf'nbsp;tie, des erreurs inevitables dans les observations q'^'nbsp;servent a determiner ces valeurs, et des quantite*nbsp;qu�on est oblige de n�gliger en les calculant.

Au reste, quand Tangle HOz est tr�s petit, c�esl-�' dire, quand 1��cliptique est tr�s peu inclin�e sur 1�nbsp;plan invariable, Tangle EOK, qu�on peut alorsnbsp;difficilement determiner, n�a que tr�s peu d�influenccnbsp;sur Ia direction vraie du plan de Torbite denbsp;terre.

502. Le nombre et les masses des com�tes nous �tant inconnus, on sera oblige de n�gliger les ternic*nbsp;qui leur cori�espondent dans les valeurs de f'' �

relatives au syst�me solaire; mais les valeurs de c, c', lt;^'\donn�espar les formules (c) seront tr�speu alt�r�esnbsp;par cette omission, vu la petitesse de ces masses , etnbsp;paree que les termes de ces formules, qui correspon-'leut aux com�tes, se d�truisenl, en grande partie ,nbsp;par l�opposition des slgnes (n� SSg).

On calculera de la mani�re suivante les parties de c, c', cquot;, qui r�pondent au soleil, aux plan�tes etnbsp;satellites.

Soient M la masse d�un de ces corps, et dm 1��l�-^�ent de cette masse, dont x,j, z, sont les coordon-�i�es rapport�es aux axes Ox, Oj, Oz. Appelons x,, gt; z,, les coordonn�es du centre de gravit� de M ,nbsp;par rapport aux m�mesaxes, et x^, z,, les coordonn�es de dm, rapport�es a des parall�les a ces axes,nbsp;^en�es par ce centre de gravit�; de sorte qu�on ait,nbsp;^ un instant quelconque ,

c = M(^,^ -7, %) /(^,-|' -r, nbsp;nbsp;nbsp;dm;

ce qui montre que Ie moment des quantit�s de mouvement de M, par rapport a l�axe Oz, se compose de deux parties : la premi�re ne depend que dunbsp;mouvement du centre de gravit� de M, et est 1�nbsp;m�me que si cette masse �tait concentr�e en ce point;nbsp;la seconde est ind�pendante de ce mouvement, et 1*nbsp;m�me que si Ie centre de gravit� de M �tait en repos,nbsp;et que l�axe Oz fut transpor t� en ce point, parall�le-ment a lui-m�me. Le m�me r�sultat s�applique auxnbsp;quantit�s c' et cquot;, et a encore lieu par rapport a uunbsp;axe quelconque.

Maintenant, soient A, B, C, les momens d�inerti^ de M, par rapport a ses trois axes principaux qui senbsp;coupent a son centre de gravit�; p, r, les compu'nbsp;santes de sa vitesse angulaire de rotation, relative�nbsp;aux m�mes axes; X, jx, y, les angles que font leuf�nbsp;directions avec une parall�le a I�axe Oz, men��nbsp;par leur point d�intersection; d�apr�s ce qu�on anbsp;dans le n� 4^9 ? nous aurons

pour le moment, par rapport a cette parall�le, d�� quantit�s de mouvement de tons les points denbsp;provenant de sa rotation autour de son centre d�nbsp;gravit�. 11 .s�ensuit que la valeur compl�te de c s�*�

les deux sommes 2 s��tendant au soleil, a toutes les plau�tes et k leurs satellites, et se composant parnbsp;cons�quent de 3o termes. Or, les rapports de A, B,nbsp;C, a M, dependant de la constitution interieure denbsp;Ce corps M, ils tious seront, sans doute, toujours in-Connus: nous savons seulement que ces trois rapportsnbsp;different peu l�un de l�autre, a cause de la forme anbsp;peu pr�s sph�rique des corps celestes; et qu�ils sontnbsp;ttioindres (|ue si ces corps �taient homog�nes, pareenbsp;�lue les densit�s des couches concentriques vont ennbsp;d�croissant du centre a la surface de M. II seraitnbsp;done impossible de calculer la valeur de c, et denbsp;in�me, les valeurs de c' et cquot;, si l�on devait avoirnbsp;�gard a la partie de chacune de ces quantit�s, quinbsp;provient de la rotation des corps celestes. Mais quellesnbsp;que soient la forme de M et sa constitution interieure,nbsp;la partie de ApcosX -t- Bgcosyu.-f-Crcos)', qui estnbsp;due a r�tat initial de ce corps solide, demeure constante pendant toute la dur�e de son mouvementnbsp;(n� 416); en sorte que cette quantit� ne peut varier,nbsp;pour chaque corps celeste, qu�a raison des attractions des autres corps, en tant que leur r�sultantenbsp;passe pas exactement par Ie centre de gravit� denbsp;c�est-a-dire, en tant qu�elles s�exercent sur lanbsp;partie non sph�rique de M. II en r�sulte que pournbsp;chaque corps c�leste, la partie variable du secondnbsp;ternie de la formule (�) est tres petite, et peut �trenbsp;*^�glig�e par rapport a la partie du premier terma,

relative au ra�me corps. Ainsi, par exemple, ea designant par h Ie rayon du globe terrestre, parnbsp;la vitesse angulaire de sou mouvement de rotation,nbsp;qui a lieu autour de son axe de figure, et par S'nbsp;Tangle que fait cet axe avec la parallele a Taxe Oz, lenbsp;second terme de la formule (�}, qui i��pond a la

valeur, si la terre e'tait homogene; soient aussi p et 6 le rayon moyen de Torblte de la terre et sa vitessenbsp;moyenne dans son mouvement annuel; ^e premiernbsp;terme de la formule (�) relatif a la terre, aura parnbsp;consequent Mp�0 pour valeur; or, si I�axe Oz estnbsp;perpendiculaire au plan de cette orbite, auquel casnbsp;S representera Tobliquite de leclipfique, on verranbsp;qu�une variation de cinq degres dans la grandeur denbsp;cet angle, ne produirait pas une variation dans la valeur

quantite Mp�9. On s�en assurera, en observant que 1� rapport de a 9 excede a peine 566, que celui dep�nbsp;h est environ 24^00, et Tangle S , a peu pres 25� 2^ *nbsp;II en sera de m�me a T�gard de toutes les autres pi�'nbsp;n�tes. Par rapport au soleil, il y a lieu de croire qu�nbsp;la partie variable du second terme de la formule (�)nbsp;qui lui correspond, est tout-a-fait insensible, a causenbsp;de sa forme spherique qui resulte des observations;nbsp;et que Ton peut aussi supposer a ses couches inte-rieures, a raison de la petitesse de la force centrifugenbsp;comparee a la pesanteur, dans les differens point�nbsp;de ce corps (n� 260); d�oii Ton conclut que la r�sul'

tante des attractions des plan�tes dolt passer cons-tamment par son centre de gravite,, et ne produire aucune perturbation dans son mouvement de rotationnbsp;autour de ce point.

D�apr�s ces considerations , si 1�on fait passer dans Ie premier membre de l��quatlon (�), Ie secondnbsp;terme de son second membre, on pourra comprendrenbsp;dans la constante c, la partie invariable de ce secondnbsp;terme, prise avec un signe contraire; et en n�g�-geant seulement sa partie variable, et operant denbsp;Di�me sur les equations qul donnent les valeurs denbsp;e' et cquot;, on aura, avec une approximation bien sup�rieure a celle des observations,

565. Les coordonn�es a?,, j-,, z,, qui entrentdans ces formules, ont leur origine au centre de gravit�nbsp;du syst�me solaire; pour plus de commodit�, il estnbsp;Lon de la transporter-ai^^centre de gravit� du soleil.

Pour cela, soientg, h, k, les coordonn�es de ce point rapport�es aux m�mes axes que Jquot;, ,z,;nbsp;^ppelons X, y, z, les coordonn�es du centre denbsp;gravit� de M, rapport�es a des axes parall�les, passant par Ie centre de gravit� du soleil; nous aurons

h, z, = z � k-.

tion (��), elle deviendra done et rou transformera de na�me les expressions de c'elnbsp;equot;. D�ailleurs, l�origine des coordonn�es a?,, j,, z,,nbsp;�tant au centre de gravit� du syst�me, on en con-clut

gsM = mx, hm == mj, km = mz,

f^2M=2M^, ^2M=2M�^, ^2M=2M5.

Au moyen de ces equations, j��limine g, h, kf des expressions de c, c', cquot;, qui devieo-nent finaiement

a (2M2 nbsp;nbsp;nbsp;- SMx.�M ^),

Les coordonn�es x, j, 2, du centre de gravitc de chaque plan�te ou satellite, et les composantes

comme des donn�es de l�observation aux ditF�rentes �poques pour lesquelles on voudra calculer les va-leurs de c, c', cquot;, et, par suite, les angles HOz et EOornbsp;felatifs a la dii'ection du plan invariable, au moyennbsp;des equations (e). L�origine des coordonn�es etantnbsp;^ctuellement Ie centre du soleil, les sommes 2 quinbsp;sy rapportent, ne contiendront pas la masse dunbsp;Soleil, laquelle se trouvera seulement dans 2M, etnbsp;J�endra cons�quemment tr�s petit Ie second termenbsp;de cbacune des formules [h) par rapport au premier.

564. Lorsque les equations (2) du n� 551 ne renfermeront pas Ie temps explicitement, on satisferanbsp;aux equations (3) du m�me num�ro, en prenant pournbsp;�'ac, cTz, , etc., les difF�rentielles dx, dj, dz,nbsp;dx', etc., relatives a cette variable; car alors cesnbsp;derui�res �quations deyiendront les diff�rentiellesnbsp;�Completes des premi�res, savoir :

les quantit�s L, L', Lquot;, etc,, �tant nulles par hypothese , p�ndant toute la dur�e du mouvement, Jeurs diff�rentielles completes, prises en consid�rant

X, j, z, x', etc., comme des fonctions de t, sont aussi �gales a z�ro. Mais si L, par exemple, renfermenbsp;Ie temps explicitement, sa diff�rentielle compl�tenbsp;sera

la premi�re equation (3) ne s�accordera avec l��quation dL = o, que pour les valeurs particuli�res de if, s�il

dl poserai dans ce qui va suivre, que les conditions dunbsp;syst�me de points mat�riels m, m', mquot;, etc., expri-m��s par les equations (2), sont ind�pendantes dunbsp;temps lt;; les quantit�s L, L', Lquot;, etc., seront, d�ail-leurs, des fonctions quelconques des coordonn�es denbsp;ces mobiles, qui ne contiendront pas seulement leui�Snbsp;distances mutuelles, et Ie sjst�me pourra renfermei�nbsp;des points fixes et des points assujettis a demeure'^nbsp;sur des surfaces ou sur des courbes immobiles.

Cela �tant, si l�on substitue les valeurs pr�c�denten� de S'X, Sj, etc., dans F�quation (i) du num�ro cit�;nbsp;elle deviendra

En appelant u, v'^ S�, etc., les vitesses des points m, m, iri', etc., au bout du temps t, on aura, relativemeut

\d.'linv^ = Xm(X.dx Ydj Zdz). (a)

Maintenant, si les points du syst�me sont attire's OU repousses par des centres fixes, et que ces forcesnbsp;soient des fonclions quelconques de la distance, lanbsp;lormule -f- Y�?/ Zdz sera uue diff�rentiellenbsp;exacte (n� i58), pour chacun des mobiles en particulier. Si les points /n, m', mquot;, etc., sont, en outre,nbsp;soumis a leurs actions mutuelles, dont les intensit�snbsp;soient aussi des fonctions de la distance, et qui sa-tisfassent a la loi de la reaction, �gale et contraire anbsp;Taction, la somme des quantlt�s Xlt;ir Xdj Zdznbsp;et IL'dx' -{-Y'd/-\-Z'dz , relatives a Taction mu-tuelle de m et m', sera encore nne diff�rentiellenbsp;exacte (n� 546); et de ra�me pour toutes les autresnbsp;parties de la somme 2, prises deux a deux. H suitnbsp;done de la que s�il n�y a dans Ie syst�me aucune forcenbsp;dirig�e vers un centre mobile �tranger, qui intro-dulrait Ie temps t dans les expressions de X, Y, etc,,nbsp;aucune resistance d�un milieu, pour laquelJe cesnbsp;expressions renfermeraient les vitesses des mobiles,nbsp;que les points m, m', ni!', etc., ne soient soumis

lt;p d�signant une fonction donne'e des coordonn�es de m, m!, mquot;, etc., qui d�pendra des lols de cesnbsp;forces en fonctlons des distances.

Alors, en integrant 1��quation (a) et d�signant paf C la constante arbitraire, nous aurons

Pour �llminer C, soient k,k', k!', etc., les vitesses initiales de m, m', Jnquot;, etc.; d�signons par a, h,nbsp;c, les coordonn�es initiales de rn, par a', b', c',nbsp;celles de m�, etc.; on aura a Forigine du mouvement �

et en retranchant cette equation de la pr�c�dente, en r�sultera, a un instant quelconque,

Les quantit�s 2mf*et 'S.mA* sont les sommes des forces vives de tous les points du syst�me a eet instant ctnbsp;al�origine dumouvement; cette equationsignifie doocnbsp;que la difference de ces deux sommes ne dependnbsp;des coordonn�es des mobiles, a ces deux �poques�nbsp;et nullement de leurs liaisons ni des chemins qi^nbsp;ont suivis pour passer de leurs positions initiales anbsp;celles qu�iis occupent au bout du temps t. C�est en cela

lt;�ie consiste Ia loi du mouvement, a laquelle on a doim� Ie nom de principe des forces vives.

�. Que la som me des forces vives est constante, toutes les fois que les points du syst�me ne sontnbsp;Soumis a aucune force motrice, et que leurs vitessesnbsp;�e Varient, en grandeur et en direction, qu�a raisonnbsp;leurs liaisons mutuelles, ou de l�obligation o�nbsp;peuvent �tre de se mouvoir sur des surfaces ounbsp;sur des courbes fixes et donnees.

2*. Que si tous les points du syst�me occupent m�mes positions a deux �poques diff�rentes, lesnbsp;Sommes de leurs forces vives seront aussl les m�mesnbsp;� ces deux �poques.

Les forces qui produisent Ie choc des corps de na-Inre quelconque, �tant les actions r�ciproques de leurs niol�cules (n� 553), il s�ensuit que l��quation (b) a lieunbsp;pendant toute la dur�e de ce ph�nom�ne. Or, dansnbsp;Ie choc des corps dou�s d�une �lasticit� parfaite, ounbsp;suppose que les mobiles reprennent exactement,nbsp;apr�s la percussion, la forme qu�ils avaient aupara-^ant, et que tous leurs points reviennent a leurs po-�Rions primitives; si done cela a lieu efiecliveraentnbsp;pour deux ou plusieurs corps de forme quelconque,nbsp;^i^qu�ils commencent a se separer apres s��tre cho-la somme des forces vives de tous leurs pointsnbsp;�era la m�me a cet instant, que dans le premier mo-^�^ont dc la percussion, ou, autrement dit, il n�y auranbsp;^ucune perte de force vive dans le syst�me, ainsinbsp;�luenous I�avons d�ja vu (n� 56i), dans le cas par-

566. Si Ton repr�sente par R la force d�attractio� OU de repulsion qui �mane d�un centre fixe, et agdnbsp;sur Ie point m, etqu�on appelle rla distance mutuellenbsp;de ces deux points, on aura (n� i58),

in (X�Jr 4- \dj -{- Zdz) = rt: Rrfrj

Ie signe superieur ayant lieu dans Ie cas de la force re'pulsive, et Ie signe inf�rieur dans Ie cas de la forcenbsp;attractive, et R d�signant une fonction donn�e de T,nbsp;que Ton regardera toujours comme une quantitenbsp;positive. Par cons�quent , si la distance r estnbsp;a rorigine du mouvement, et u au bout du temps t)

vive du sjst�me, produite par la force R, pendant Ie temps t, c�est-a-dire, pour la partie du secondnbsp;niembre de l��quation {b), qui r�pond a cette force-Lorsqu�elle sera r�pulsive, il y aura done augmentation ou diminution de force vive, selon que la distance r aura augment� ou diminu�; et Ie contra��^nbsp;aura lieu quand la force R sera attractive.

D�apv�s ce qu�on a vu dans Ie n� 546, il en sei�� de ra�me a l��gard des actions mutuelies des point�nbsp;du syst�me; et, en effet, si l�on appelle, comme dan�nbsp;Ie n� 554, F l�aclion mutuelle de m et m', par exem-ple, et p la distance mm', on aura

pour la parlie du second membre de T�qua-tion (a), qui r�pond a la force F, et par cons�quent,

sjst�me qui produira cette force, pendant que la distance p passera de p = a a p = m. Le signe sup�rieur ayant lieu dans le cas d�un action r�pulsive, etnbsp;ia quantit� F �tant toujours positive, on voit qu�il ynbsp;aura augmentation ou diminution de force vive,nbsp;selon que l�on aura Mgt;aou ult;^cl , c�est-a-dire,nbsp;selon que la distance p aura augment� ou diminu� :nbsp;On en conclut, par exemple, que Taction mutuellenbsp;des mol�cules d�un gaz qui tend a augmenter leursnbsp;distances mutuelles, produit toujours une augmentation de force vive, dans le syst�me dont ce fluidenbsp;fait partie, loi'squ�il se dilate effectivement, et unenbsp;diminution quand il se condense. Le signe inf�rieurnbsp;aura lieu devant la quantit� pr�c�dente, et la forcenbsp;^ produira des effets inverses, lorsqu�elle sera at-t �active.

chine OU a un sjst�me quelconque de points mat�-riels, y produira une augmentation de force vive, ex-prim�e par Ie produit 2PA, en s�abaissant d�une hauteur verticale h, et une diminution �gale aussi a en s��levant de la m�me hauteur, quel que soitnbsp;d�ailleurs Ie chemin, en ligne droite ou courbe, qu��nbsp;suivra dans ces deux cas.

067. Si Ie point m est assujetti a demeurer sur une surface mobile, et que L = o soit Tequatioa de cettenbsp;surface, L sera une fonction dohn�e de oc,j, z, t-En appelant N la r�sistance de cette surface, dirig�enbsp;suivant une des deux parties de la normale, et eonbsp;faisant, pour abr�ger

pour les composantes de cette force inconnue N. L� partie du second raembre de l��quation (a) qui re-pond a cette force, sera done

(\dx '(dr zdz) =NV (f �rfr f *) i et comme en dif��rentiant compl�tement l��quatioonbsp;L = o,parrapporta^, a?,j,z,ona

on voit que cette partie peut se r�duire a �NV-^t/^' Pour avoir �gard a la force N, dans Ie calcul de la forc�

viveda syst�me,ilfaudradonc ajouterledoubledelm-t�grale de cetle quantit� au second membre de 1��qua-tion [b)�, par cons�quent, ]a variation de force vive, qui sera produite par la force N, pendant Ie temps t, aura

Cette variation pourra �tre positive ou negative, se-lon Ie signe deet sclouceluideV,quid�pendradu

sens dans lequel la force N s�exercera. La grandeur de cette resistance N dependant en partie de la force centrifuge du point 77t, pour la connaitre etcalculer en consequence la valeur de l�int�grale pr�c�dente, il faudranbsp;quela vitesse du point m et sa trajectoire aient �t� pr�a-lablement d�termin�es; ce qui suppose Ie probl�menbsp;dont on s�occupe r�solu en ce qui concerne Ie pointnbsp;m. La variation de force vive produite, par cettenbsp;force inconnue, ne sera pas ind�pendante du cheminnbsp;que ce point m aura suivi en allant d�une position anbsp;une autre; Ie principe des forces vives, tel qu�on l�anbsp;�nonc� plus haut, n�aura plus lieu; et, en elfet, sanbsp;demonstration suppose que l��quation L = o, ne consent pas Ie temps t explicitement.

568. Ce principe n�aura pas lieu non plus, quoique ^2 surface dont L=:o est lequatiou soit immobile,nbsp;Wsque l�on aura �gard au frottement du point mnbsp;contre cette surface; la variation de force vive pro-duiie par Ie frottement, d�pendra de la pression, quinbsp;est �gale et contraire a la force inconnue N; on nenbsp;pourra done pas calculer, ci priori, la grandeur de

cette variation; mais il est facile de prouver que Tef-fet du frottement sera toujours une diminution de force vive.

En effet, a cause que Ie frottement est proportion-nel a la pression, on pourra repr�senter celui du point m, contre la surface dont l��quation est L = o,nbsp;par �N, en d�signant par j une fraction donneenbsp;quisera une quantit� positive, ainsi que l�inconnueN-De plus, la direction du frottement �tant tangente anbsp;la trajectolre du mobile, et dirig�e en sens, contrairenbsp;de sa vitesse, si l�on appelle s l�arc d�crit par Ie point mnbsp;pendant Ie temps t, les composantes de la force � N ,nbsp;seronl

parall�lement aux axes des x,j, z; done, a cause de dx* -f*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- dz* � ds*, Ie terme du second membre

de l��quation {a), qui provient de cette force, se r�-duira a � f^ds; et il en r�sultera, dans Ie second membre de l��quation {b), un terme � oJJl^dSfnbsp;dans lequel on prendra I�int�grale de mani�re qu�ell�nbsp;s��vanouisse avec et qui exprimera �videmmentnbsp;une diminution de force vive.

Ce r�sultat conviendra �galement au cas o� u� corps du syst�me glissera sur l�autre: en prenant poi�quot;nbsp;ds 1 element de la courbe d�crite par leur point denbsp;contact en vertq, de ce glissement, pour N la pressio�nbsp;r�ciproque de ces deux corps, et pour � un coefficientnbsp;dependant de la natui'e de leur surface, la quantit�nbsp;'� ij'f^ds exprimera encore la diminution de forcenbsp;vive due a ce frottement.

On verra de m�me que la resistance d�mi milieu produira aussi constamment une diminution de forcenbsp;vive, qui d�pendra de la vitesse des mobiles. Ainsi,nbsp;les frottemens des parties d�un sjst�me, entre ellesnbsp;Ou contre des obstacles fixes, et les resistances dunbsp;niiliejique les mobiles traversent, diminuent conti-nuelJement la somme des forces vives de tous cesnbsp;corps; et c�est de cette mani�re que ces forces finis-s�nt toujours par r�duire au repos Ie syst�me entier,nbsp;s�il a �t� mis en mouvement, puis ensuite abandonn�nbsp;a liii-rn�me, sans �tre soumis a d�autres forces mo-trices qui puissent reproduire incessarament les forcesnbsp;vives d�truites par ces resistances. C�est ce que fait,nbsp;par exemple, la force du ressort dans les pendulesnbsp;ordinaires : son action restitue an corps oscillant lanbsp;force vive qu�il aurait perdue sans cela, a, chaquenbsp;retour a la verticale, et Ie fait ainsi remonter constamment a la m�me hauteur, malgr� la resistancenbsp;de I�air et les frottemens. Dans les horloges a poids ,nbsp;la force vive perdue est restituee au pendule par unnbsp;poids, qui descend un tant soit peu pendant chaquenbsp;Oscillation.

56g. Si Ton represente par x,, j,, z� les coordon-Dees du centre de gravite du syst�me des points ma-Icriels w, in', mquot;, etc., a un instant quelconque, et 9D�on fasse

-h I = f I -h ^ nbsp;nbsp;nbsp;2. z,,

en d�signant pai' la vitesse du centre de gravit�, et par Vj la vitesse du point m dans son mouvementnbsp;autour de ce centre. Par cons�quent, on aura lanbsp;somme des forces vives absolues de tous les pointsnbsp;du sjst�me, en ajoutant Ie produit du carr� de lanbsp;vitesse de leur centre de gravit� et de la somme denbsp;leurs masses, a la somme des forces vives de tous cesnbsp;m�mes points dans leur mouvement relatif autour denbsp;ce centre.

D�apr�scetb�or�me, sil�onappelle tnlamassederw*^ des corps c�lestes, U la somme des forces vives de tou�nbsp;ses points dans son mouvement de rotation autour d�nbsp;son centre de gravit�, et qu�on d�signe par u la vitessenbsp;de ce centre dans l�espace, on aura �4- mu'^, pour lanbsp;somme des forces vives absolves de to. En appliqu^�*nbsp;1 equation (Jb) au sjst�me solaire, on aura done

2tom* = D -}- 2cp {pc,f, z, x', etc.); les sommes 2 s��tendant ausoleil, auxplan�tes, au-'*^

Satellites, etm�m� aux com�tes,'si leurs masses etaient connues;D �tant une constante arbitraire d�pendantenbsp;des positions et des vitesses de tous ces corps a unnbsp;instant donne'; et d�signant une fonction relative anbsp;leurs attractions mutuelles. En vertu du m�nie the'o-r�me, on aura aussi

en d�signant par V la vitesse du centre de gravil� du sjst�me solaire dans l�espace, et parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 1, z^, les

coordonn�es du centre de figure de m, rapport�es a ce centre de gravlt� comme origine. Par cons�quent,.nbsp;1 equation des forces vives deviendra

Pour obtenir Texpression de la fonction lt;p, obser� vons qu�a raison de la forme a pen pres spb�riquenbsp;des corps celestes, et de la petifesse de leurs dimensions par rapport aux distances qui les s�parent, onnbsp;peut les consid�rer comrae des masses reunies a leursnbsp;Centres de gravlt� (n� 242). Solent done J 1 Intensllenbsp;de 1�attraction universelle a l�unit� de distance etnbsp;^'spport�e a des masses prises pour unit�, m et m' les.nbsp;Classes de deux de ces corps, et p la distance de leursnbsp;'Ventres de gravlt�; leur attraction mutuelle sera,

pour sa valeur complete; la somme 2 s�etendant a tous les corps celestes, pris deux a deux.

Observons maintenant, pour simplifier I�equa-tion (c), que si Ton ne tient pas compte de Taction des etoiles sur les corps du sjsterae solaire, le mouvement de son centre de gravite est rectiligne et uniforme, et la vitesse V, une quantite constante; denbsp;plus, abstraction faite des perturbations du mouvement de rotation de chacun des corps celestes, quinbsp;proviennent des attractions de tous les autres sur lanbsp;partie non spherique de celui que Ton considere,nbsp;la quantite U est aussi constante pour chaque corpsnbsp;en particulier (n�4i9); si done on neglige la partie variable de 2U, et qu�on mette une autre constante C gt;nbsp;a la place de D � 2mU �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Tequation {c)

{d)

Si Tonveut transporter Toriginedescoordonneesa*^ centre de figure du soleil, on designera par g ,h,^fnbsp;les coordonnees de ce point, dont Torigine estnbsp;centre de gravite du sjsteme solaire; par x, ftnbsp;les coordonnees du centre de m, rapportees a celui dunbsp;soleil, de sorte qu�on ait

g, nbsp;nbsp;nbsp;J � h,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z � k,

(^� ^��^ym,

(�|y]=c_=/s�^,

Les sommes 2, except� 'S.m et 2-, ne compren drout plus la masse du soleil. On peut aussi separernbsp;de ces deux sommes les termes relatifs a eet astre,nbsp;lesquels sont

jj! gt; etc.^

appelant M la masse du soleil, et r, r', rquot;, etc., distances des centres de m, in', mquot;, etc., aunbsp;Centre 5e M. De cette manie re Tequation des forcesnbsp;vives, applique'e au sysl�me solaire, deviendra lina-lenient

les sommes 2 ne s��tendant plus qu�aux plan�tes, aux satellites et aux com�tes, s�il est possible; et Tori-gine de lem�s coordonn�es �tant actuellement aunbsp;centre du soleil.

Nous ferons remarquer, a cette occasion, que Ie mojen Ie plus direct de savoir si l�ensemble des actions des com�tes exerce une influence sensible dansnbsp;Ie sysl�me du monde, sei'ait de calculer, a des �poquesnbsp;�loign�es Tune de Vautre, la valeur de la quantit� C,nbsp;d�duite de cette equation, d�apr�s les vitesses relatives, les distances mutuelles, et les masses des aiitresnbsp;corps celestes, a ces dlff�rentes �poques : si Tounbsp;trouvait des valeurs de C sensiblement in�gales, onnbsp;pourrait attribuer leurs variations a Taction des co-m�tes, en n�gligeant toujours Taction des �toiles , etnbsp;en supposant qu�il n�y ait eu ni choc, ni explosionnbsp;dans Tintervalle; car on verra bient�t que les chao-gemens brusques de vitesse all�rent la somme desnbsp;forces vives du syst�me, et font changer, par cons�quent , la valeur de la quantit� C.

570. D�apr�s ce qu�on a vu dans Ie nquot; 546, 1� fonction d�sign�e par lt;p dans T�quation (�), est unnbsp;maximum on un minimum pour les valeurs dps coor-donnees x, y, z, x', etc., qui r�pondent a unenbsp;position d��quilibre du syst�me; ii s�ensuit done quenbsp;la somme des forces vives de tous ses points cess^Jquot;

daugmeoter ou de diminuer, toutes les fois que Ie sjst�me, pendant son mouvement, passe dans unenbsp;position o� il demeurerait en �quillbre, si ses pointsnbsp;n�avaient pas de vitesses acquises; et comme lesnbsp;maxima et les minima de cette fonction du tempsnbsp;devront �ire alternatlfs, il en r�sulte aussi que lesnbsp;positions d��quilibre par lesquelles Ie syst�me passera,nbsp;seront alternativement stables et non stables; celles-ci r�pondant aux minima de ia fonction (p, et celles-lanbsp;a ses maxima.

Toutefois, ie caract�re distinctif des deux �tats d e-quilibre a �t� seulement �nonc� dans Ie n� 547; et ilnous reste a prouver qu�en effet, la stabilit� de l��-quilibre alien, quand la fonction lt;p est mi maximum;nbsp;ce que nous allons faire au moyen de 1 equation {b).

Pour cela supposons que a, b, c, a', b', c', etc., soient les coordonn�es des points m, m', ni', etc.,nbsp;dans un �tat d��quilibre du syst�me; supposons aussinbsp;qu�on les �cart� un tant soit peu de leurs positions,nbsp;etqu�oii leur imprim� de tr�s petites vitesses k, k',nbsp;kquot;, etc.; au bout du temps t, soient

les coordonn�es des m�mes points; il s�agira de faire Yoir que les variables p, q, r, p', etc., demeurerontnbsp;toujours tres petites, si la quantit� cp (a,-b,c, a', etc.),nbsp;est un maximum.

En effet, je d�veloppe lt;p [x,j, z, x', etc.), suivant les puissances et les produits de p, 9,

p', etc. Par la propri�t� commune aux maxima d aux minima, la somme des termes d�pendans desnbsp;premi�res puissances de ces variables sera toujoursnbsp;nulle, quel que soit Ie nombre des variables ind�-pendautes que la question comporte. On d�raontrenbsp;aussi , dans Ie calcul dilf�rentiel, que la somnienbsp;des termes d�pendans des carr�s et des produitsnbsp;de p, q, r, p', etc., cest-a-dire, la somme desnbsp;termes du second ordre par rapport a ces quan-tit�s, pourra se d�coraposer dans Ie cas du maximum,nbsp;en plusieurs carr�s, pris avec Ie signe �, et dont Ienbsp;nombre est celui des variables ind�pendantes. Ennbsp;d�signant par R , Ie reste de la s�rie comprenant lesnbsp;termes du troisi�me ordre et des ordres sup�rieurs,nbsp;on aura done

s, s', squot;, etc., �tant des fonctions lin�aires Ae p, (jf r, p', etc., qui seront toutes nulles en m�me temp*nbsp;que ces variables. La substitution de cette valeur denbsp;lt;p dans l��quation (a) donne

Or, au commencement du mouvement, les varia' bles p,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r, p', etc., sont d�abord tres petites;

qu il en est ainsi, les quantit�s s, s', s�, etc., sont eg�' lement tres petites; et, r�ciproquement, a desvaleu*'*nbsp;tr�s petites de s, s', squot;, etc., correspondent toujour*nbsp;de semblables valeurs Ac p, q, r, p', etc. D�ailleurs^nbsp;pour de telles valeurs, chaque lerme du second

oi�dre est plus grand, abstraction faite de signe, que R, qui ne renfernie que des termes d�un ordre sup�rieur au second ; par cons�quent, tant qiie tous lesnbsp;carr�s s'�, 5'�, squot;*, etc., sont encore tres petits, cha-cun d eux surpasse la valeur de R.

Cela pos�, nous sommes en droit de conclure que toutes les quantit�s s, s', squot;, etc., demeureront tou-jours tres petites, et que chacune d�elles ne surpas-sera jamais 24;�; car, ces quantit�s variant par de-gr�s continus, cela ne pourrait arriver avant que lanbsp;plus grande d�entre elles, qui sera s, par exemple,nbsp;He soit devenue �gale a 24:*; et comme cette valeur de s serait encore tres petite, puisque toutes lesnbsp;quantit�s k, k', kquot;, etc., sont tres petites, par bypo-tli�se, on aurait a la fois

ce qui serait absurde, puisque | 2?ne� est essentielle-ment une quantit� positive. Done aussi les variables p, q, r, p'f etc., resteront constamment tres petites,nbsp;et Ie syst�me ne fera qu�osciller autour de sa positionnbsp;lt;1 equilibre, qui est alors un �quilibre stable; ce qu�onnbsp;Se proposait de d�montrer.

liorsque la quantit� (p[a, b, c, a', etc.) est un ^ninimum, la somme des termes du second ordre, dansnbsp;Ie d�veloppement denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, x', etc.), est une

quantit� positive; l��quation des forces vives peut �lors subsister, sans que les variables p, q, r, p', etc.,nbsp;soient toujours tr�s petites; mais cela ne suffif pas

pour en conciure qu�elles cesseront, en efFet, de l��tre au bout d�un certain temps, quelque petites qu�onnbsp;les suppose a Torigine du mouvement, ainsi que lesnbsp;vitesses initiales k, k', k', etc.; et ce n�est qu�en determinant, dans chaque probl�me, leurs valeurs ennbsp;functions de qu�on pourra s�assurer qu�elles ne sontnbsp;pas limit�es.

5']i. Les vitesses initiales, dont les composantes ont �t� repr�sent�es par a, h, c, a\ h', c', etc., dansnbsp;Ie n� 535, et que les points m, m', iri', etc., ont prisesnbsp;effectlvement, quand Ie mouvement du syst�me anbsp;commence, satisfont n�cessairement aux conditionsnbsp;donn�es qui bent les mobiles entre eux et a d�autresnbsp;points de l�espace; et comme, par hypothese, cesnbsp;conditions sont exprim�es par des equations, savoir,nbsp;par les equations (2) du n� 531, il s�ensuit que sinbsp;l�on d�signe par i un temps infiniment petit, elnbsp;qu�on prenne

les d�placemens des points m, m', mquot;, etc., qui r�pondent a ces accroissemens de leurs coordonn�es,nbsp;et aussi les d�placemens contraires, satisferont auXnbsp;conditions donn�es, c�est-a-dire, aux equations (3)gt;nbsp;qui ont �t� d�duites des �quations (2) dans Ie n� 53i �nbsp;On pourra done employer ces valeurs de dlr, Jy, etc.,nbsp;dans l��quation (5) du n� 555 ; en sorte qu�a l�ori-gine du mouvement, et en supprimant Ie facteur ^nbsp;cornmun a tous les termes, on aura cette �quation

2/h [(A � �) n (B � 5) � (C �. c) c] = o, nbsp;nbsp;nbsp;(^)

�ntre les composantes A , B, C, A', etc., des vitesses que les points m, m', m!', etc., prendraient s�ilsnbsp;Gtaient libres et isol�s, et celles des vitesses qu�ilsnbsp;Prennent r�ellement.

II est facile de verifier cette equation dans Ie mouvement initial de rotation d�un corps solide autour lt;i�un point fixe. En effet, changeons m en dm et 2nbsp;�n �, et faisons

de sorte que h repre'senfe la somrae des forces vives de tous les points du corps. L��quation pr�c�dentenbsp;deviendra

^if Ji� ^1� �tant les trois coordonn�es de dm, rap-portees aux axes principaux du corps qui se coupent au point fixe, et p , q, r, d�signant les conipo-santes de la vitesse de rotation autour de ces m�mesnbsp;axes. De plus, en appelant k Ie moment principal,nbsp;i'elalif au point fixe, des quantit�s de mouvementnbsp;itnprim�es a tous les points du corps, et et, C, y, lesnbsp;^�^gles que l�axe de ce moment fait avec les axes denbsp;igt; J,, Zi, on aura

car il est �vident que les premiers membres de ces equations sont les momens, par rapport aux axes desnbsp;des quantit�s de mouvement dont k est Ienbsp;moment principal; en sorte que les valeurs de ceSnbsp;int�grales doivent se deduire de la valeur de A:, ennbsp;multipliant par cos y, cos C, cos a (n� 281). Or, si l�ofinbsp;substitue les valeurs de a, b, c, dans I equation (�]gt;nbsp;et qu�on ait �gard a ces derni�res �quations,nbsp;vientnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�

done, en d�signant par �zs- la composante de la vitessc angulaire de rotation autour de l�axe du moraeD*nbsp;principal, de sorte qu�on ait

ce qui s�accorde avec Ie th�or�me du n� 419 r d apfcs lequel cette composante de la vitesse de rotationnbsp;�gale a la somrae des forces vives, divis�e par Ie ﻮ'nbsp;ment principal des quantit�s de mouvement.

572. Maintenant, s�il survient pendant Ie mouVC' ment un changement brusque dans les vitesses deSnbsp;mobiles, on pourra prendre pour J'x, Sj, etc., dat��nbsp;l��quation (5) du nquot; 535, les d�placemens infinimcf*'nbsp;petits de tous les points du syst�me, qui ont effectb��'nbsp;ment lieu a une �poque quelconque de ce changetneobnbsp;pourvu qu�a eet instant, comme on l�a expliqu� dan^nbsp;ie num�ro suivant, les points parlesquelslespartiesd^

syst�me sont en contact, aient une m�me vitesse, pour les deux parties adjacentes, dans Ie sens normalnbsp;a leur surface commune. Cela �tant, il y aura deuxnbsp;�as distincts a examiner.

1�. Si Ie changement brusque est produit par la rencontre de deux ou plusieurs corps du syst�me, ounbsp;par Ie choc de ces mobiles contre des obstacles fixes,nbsp;la condition dont il s�agit sera remplie a I�instant denbsp;la plus grande compression ( n� 4^8). En supposantnbsp;done que les composantes a, b,c, a', etc., des vitessesnbsp;des mobiles se rapportent a eet instant, et A, B, C,nbsp;A', etc., au commencement du choc, on pourranbsp;prendre, comme dans Ie num�ro pr�c�dent,

et l��quation (e) aura lieii entre les composantes des Vitesses a ces deux �poques, qui seront celles du commencement et de la fin du choc, lorsque les mobilesnbsp;n auront aucune �lastlcit�. Or, cette equation (e)nbsp;donne

lm (Afl -f- BZ� -f- Cc) = quot;2.171 (a� -f- 6* c�); et comme on a identiquement

sorte que lexces de la somme des forces vives de tous les points du sysl�me avant Ie choc, sur la sommenbsp;des forces vives apr�s Ie choc, est une certainenbsp;somme de forces vives, et, cons�quemment, unenbsp;quantit� positive. Par cons�quent, dans les change-mens brusques de vitesse, pjovenant du choc desnbsp;corps d��u�s d elasticit�, entre eux ou contre desnbsp;obstacles fixes, il y a toujours perte de force vive;nbsp;ainsi que nous l�avons d�ja vu, dans Ie choc de deuxnbsp;corps sph�riques et homog�nes, dont les centres senbsp;meuvent sur une m�me droite (n� 56i).

3�. Lorsque Ie changement brusque sera produit par des explosions int�rieures qui briseront un o�nbsp;plusieurs corps du syst�me, ce sont les composantesnbsp;A, B, C, A', etc., des vitesses au commencement dunbsp;ph�nora�ne, et non pas les composantes a, b, Cfnbsp;d, etc., des vitesses finales, qui satisferont a la condition du n� 536; en sorte que, dans ce cas, on nnnbsp;pourra plus employer les valeurs pr�c�dentes de Sx�nbsp;Sj, etc., dans 1 equation (5) du n� 535. Mais en d�-signant toujours par � un temps infiniment petit, oUnbsp;pouiTa prendre

S'Xr=.kamp;, jyrrrBs, lt;:fz=C�, J'x'z=zA.'amp;, elC-gt; ce qui changera l��quation (5) en celle-ci :

ce qui montre que la somme des forces vives de tous les points des parties des mobiles, apr�s l�explosion,nbsp;est toujours plus grande que la somme de leurs forcesnbsp;vives avantl�explosion. II est �vident, en effet, que sinbsp;les mobiles sont en repos avant la separation de leursnbsp;parties, cette separation sera toujours suivie d�unenbsp;Augmentation de force vive; mais, en vertu du th�o-v�rne qu�on vient d��noncer, quels que soient lesnbsp;Riouvemens de translation et de rotation d�un corps,nbsp;Ie changement brusque produit par une explosionnbsp;int�rieure, donnera toujours lieu a une augmentation de force vive, et non pas a une diminution,nbsp;eomme dans Ie cas d�une rencontre de corps d�nu�snbsp;^��lasticit�.

Sans qu�il soit n�cessaire de rien ajouter a ce que Rous avons dit, dans Ie n� 4^9, sur Ie choc des corpsnbsp;�lastiques, on voit que la premi�re partie de ce ph�-nom�ne, depuis Ie commencement jusqu�a 1�instantnbsp;de la plus grande compression , peut �tre assimil�e aunbsp;premier des deux cas pr�c�dens, et la seconde par�nbsp;tie, depuis eet instant jusqu�a la s�paration des mo-lgt;iles, au second de ces deux cas : il y a done per tenbsp;de force vive pendant la premi�re partie, et accrois-sement pendant la seconde. De plus, si les mobilesnbsp;sont parfaitement �lastiques, de sorte qu�ils repren-en se s�paranl, la m�me forme qu�ils aVaientnbsp;�vant Ie choc, et que les deux parties du ph�nom�nenbsp;^oient exactement semblables, l�augmentation denbsp;force vive, pendant la seconde partie , sera �gale a lanbsp;dinainution qui aura eu lieu pendant la premi�re; parnbsp;Consequent, la somme des forces vives du sjst�me sera

Ia m�me avant et apr�s Ie choc, conform�raent a ce qu�on a vu dans Ie n� 565. Cela suppose, toutefois,nbsp;qii�on fasse abstraction de la perte de force vive, qu'nbsp;aura toujours lieu ( n� 5G8), s�il y a glissement elnbsp;frottement des corps I�un contre l�autre pendantnbsp;dur�e de leur contact.

575. Le principe de la moindre action, qu�il nous veste a consid�rer, consiste en ce qne, dans le mouvement d�un sjst�me de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu, si Ton fait le produit denbsp;la vitesse de chaque point materiel du syst�me, de sanbsp;masse et de l��l�ment de sa trajectoire; que l�ounbsp;prenne la somme des prodults semblables pour touSnbsp;les mobiles; et qu�on int�gre cette somuie, depuisnbsp;une position donn�ef du syst�me jusqua une autrenbsp;position aussi donn�e, la valeur de cette integralenbsp;sera g�n�ralement un minimum.

Ce th�or�me est une extension de celui du n� 160, et se d�montre de la m�me mani�re; c�est pourquo*nbsp;nous en supprimerons la demonstration, pour abrequot;nbsp;ger. Si Ton appelle ds I�element de la trajectoi*'�nbsp;de m, dont la vitesse est e, ce sera 1�int�gralenbsp;1,mvds qui aura, en general, une valeur minii^^inbsp;mais dans quelques cas, comme dans celui du moUquot;nbsp;vementd�un point materiel sur une surface ferm�c� 1�nbsp;minimum pourra �tre remplac� par le nmocimum;nbsp;ce que l�on d�montre seulement, c�est que la varia'nbsp;tion intiniment petite de f'�.mvds fest toujoui�S �galenbsp;a z�ro.

A cause de == vdt, l�int�grale dont ii s�agit e** la m�me chose que fNdt, en faisant V =

principe de la moindre action revient done a dire lt;lue rint�grale du produit de la force vive du sjs-terne et de F�l�ment du temps, est g�n�ralement unnbsp;^ninununi; en sorte que, dans la nature, un syst�menbsp;de corps est transport� d�une position dans une autre,nbsp;Cu d�pensant la moindre quantit� possible de forcenbsp;vive. Lorsque les mobiles ne sont soumis a aucunenbsp;force motrice, la quantit� V est constante (nquot; 565),nbsp;ct c�est Ie temps dju trajet qui est un minimum.

Si Fon compare Ie principe de la moindre action 9ux principes des forces yives, de la conservation dunbsp;Riouvement du centre de gravif�, et de la conservation des aires, on voit que Ie premier n�est qu�unenbsp;i'egle^^pour former les equations diff�rentielles dunbsp;Oiou-^ement, maintenant inutile, puisqu�on obtientnbsp;oes equations d�une mani�re plus directe et plus g�n�rale, au moyen de la formule (r) du n� 53ij tandisnbsp;que les autres principes, outre qu�ils renferment desnbsp;proprietes importantes du mouvement, ont encorenbsp;1 avantage de fournir des int�grales de ces equationsnbsp;diff�rentielles, qui sont les seules que Fon connaissenbsp;dans la plupart des problcmes.

Le principe de la conservation du mouvement du lt;^entre de gravit� fournit trois int�grales en quantit�snbsp;linies.

Les integrates qui r�sultent du principe de la coQ' servation des aires sont trois integrates premi�res gt;nbsp;savoir:

c, c�, cquot;, �tant les trois constantes arbltraires cpii ex-* prinient les momens des quantit�s de mouvementnbsp;initiates de tous les points du sjst�me, par rapportnbsp;aux axes des z, y, x, on Ie double des aires d�critesgt;nbsp;dans Tunit� de temps, autour de ces m�mes axes.

Enfin, Ie principe des forces vives ne fonrnit qu�uno seule i�t�grale, qui est l��quation (b) du n* 564 gt;nbsp;qu�on peut �crire ainsi:

LITRE CINQUI�ME.

HYDROSTATIftUE.

CHAPITRE PREMIER.

574. UHydrostatique est la partie de Ia Statique qui traite de r�quilibre des flu�des. On y consid�renbsp;un flu�de comme uu amas de po�nts mat�riels qu�nbsp;cedent au moindre effort que 1�on fait pour les s�parrnbsp;rer les uns des autres. Les fluides que la nature nousnbsp;presente approclient plus ou mo�ns de eet �tat denbsp;flu�d�t� parfaite; Tadh�rence qui existe enlre les mo^nbsp;l�cules de plus�eurs de ces substances, et qu� produ�tnbsp;Ce qu�on appelle leur viscosit�, s�oppose a la separa^nbsp;flon de leurs parties; ma�s, dans la th�orie que nousnbsp;^lous exposer, nous ne nous occuperons que desnbsp;flnides parfaits; et, s� i�on excepte quelques liquidesnbsp;la vlscos�t� est tres considerable, les lols de I��-^nbsp;fluilibre auxquelles nous parvlendrons s�appllque-*�ont, saus evreur sensible, a tons les autrqs flu�des^

Ces substances, comme les corps solides, sont coniquot; pos�es de molecules disjointes, et s�par�es par desnbsp;espaces vides; mais si l�on divise un fluide en parliesnbsp;d�une �tendue insensible, dont cbacune renfernie ,nbsp;n�anmoins, un nombre immense de molecules, onnbsp;pourra adftiettre que les conditions d��quilibre denbsp;chaque partie sont les m�mes que si elle �tait infini-ment petite, qu�elle conservat toujours sa fluidit�,nbsp;et qu�elle e�t pour densite' celle du corps, telle qu�oonbsp;Fa d�finie dans Ie n� 98. Cela revient a consid�rer unnbsp;fluide comme une masse continue, dont la densitenbsp;est constante, ou variable par degr�s insensibles.

5�]5. On distingue deux sortes de flu�des, savoir : les liquides et les fluides a�rij�rmes.

On appelle aussi les liquides des fluides incompres' sibles; mais, dans la r�alit�, ce sont des substancesnbsp;qui ne se compriment sensiblement que sous desnbsp;pressions extr�mement grandes. Si, par exemple, u�*nbsp;cylindre vertical est rempli d�eau jusqu�a une certainenbsp;hauteur; que eette eau n��prouve d�abord aucunenbsp;pression a sa partie sup�rieure, et qu�elle soit ensuit^nbsp;eharg�e d�un poids �quivalent a la pression atmos-ph�rique, i�observation a fait voir que la hauteu*quot;nbsp;primitive de l�eau diminue seulement de 46 milfl*^quot;'nbsp;ni�mes, en supposant que Ie cylindre conserve sonnbsp;diara�tre, et que ses parois ne cedent pas a la pressioonbsp;qui leur est transmise par Ie liquide. En augmentantnbsp;la charge du liquide, et la portant a plusieurs ceo-taines de pressions atmosph�riques, Fexp�rience ^nbsp;donn� une condensation de l�eau croissante dansnbsp;m�me rapport que cette charge. Le mercure e.st eO'

core moins compressible que l�eau; el, quelque effort que Ton ait fait, on n�est pas parvenu a diminuer sonnbsp;Volume d�une mani�re appreciable.

Les flu�des a�riformes, comprenant lair atmosph�-rique et les differens gaz, sont compressibles et dou�s d�une parfaite �lasticit�; en sorte qu�ils peuvent changer, a la fois, de forme et de volume par la compression , et revenir exactement a leur forme primitive d�snbsp;que cette compression a cess�. On les nomme aussi,nbsp;pour cette raison, Aesjluides �lastiques.

Les vapeurs sont �galement des flu�des �lastiquesj mais, pour une temp�rature donn�e, un espace aussinbsp;donn� ne peut contenir qu�une quantit� d�termin�enbsp;de va peur; de mani�re que si la va peur a atteintnbsp;cette limite, et qu�on diminue un tant soit peu, soitnbsp;1 espace, soit la temp�rature, une portion de vapeurnbsp;se liqu�fie. L�exp�rience a prouv� que ce maximumnbsp;de vapeur est Ie m�me, a temp�rature �gale, dans unnbsp;espace vide d�air et dans un espace rempli d�air plus ounbsp;moins dilat� ou comprim�. La densit� de la vapeurnbsp;est, en general, peu consid�rable, lelativement anbsp;celle du liquide dont elle provient; mais, quand unnbsp;liquide est conteuu dans un vase ferme , dont il oc-cupe, par exemple, Ie tiers ou la moiti�, et qu�onnbsp;cleve sa temp�rature a un tr�s haut degr� , Ie liquide tout entier , apr�s s��tre dilat� , se r�duit su-lgt;itement en une vapeur transparente dont la densit�nbsp;est Ie tiers ou la moiti� de la densit� primitive denbsp;ce m�me liquide.

L�air et les gaz sont appel�s des flu�des permanens, P^r opposition aux vapeurs; mais il y a lieu de croire

qu�ils peuvent �tre liquefies par une tres grande compression OU par un tres grand refroidissement; et c�est, en efFet, ce que l�on a v�rifi� a l��gard de plu-sieurs d�entre eux.

376. La propri�t� caract�ristlque des fluides, qui les distingue essentiellement des corps solides et quinbsp;servira de base a la th�orie de leur �quilibre, est lanbsp;facult� qu�ils ont de transmettre �galement, en tousnbsp;sens, les pressions exerc�es a leurs surfaces. Dansnbsp;mon M�moire sur les �quations g�n�rales de T�qui-libre et du mouvement des corps �lastiques et desnbsp;fluides (^), j�ai fait voir comment cette propri�t�nbsp;provlent d�une disposition respective des moleculesnbsp;du fluide, a laquelle il revient tr�s rapidement quandnbsp;il a �t� comprim� ou dilat�; et comment la r�sultantenbsp;des attractions et repulsions mol�culaires, qui pro-duit les pressions int�rieures, peut varier dans unnbsp;tr�s grand rapport, pour les tr�s petites variationsnbsp;de distance des mol�cules, qui ont lieu dans les li'nbsp;quides. Mais, dans eet ouvrage, on regardera la pro-pri�t� dont il s�agit comme une donn�e de l�exp�'nbsp;rience, admise par tous les physiciens et les g�ora�tresnbsp;qui se sont occup�s de l�Hydrostatique, et dontnbsp;l�exactitude ne peut laisser aucun doute. C�est ainsinbsp;qu�en traitant de l��quilibre de la lame �lasliquot;nbsp;que (nquot; 3o6), nous sommes partis d�un principe secondaire , au lieu de remonter aux actions mol�cu'nbsp;laires dont il d�rive. ¹

'5^']. Pour nous former une idee precise du principe de r�galit� de pression en tous sens, consid�rons d�abord les fluides incompressibles.

Supposons qu�un vase prismatique, droit et pos� sur un plan horizontal, dont ABCD (fig. 33) repr�-seate une section verticale, soit rempli jusqu�en EFnbsp;d�un liquide, tel que l�eau, par exeniple; supposonsnbsp;aussi que Ton i�ecouvre cette eau d�un piston horizontal qui ferme Ie vase exactement. Pour simplifiernbsp;la question, faisons abstraction de la pesanteur denbsp;Peau, desorte que ce fluide n�exerce, par lui-m�me,nbsp;aucune pression sur les parois du vase; enfin, posonsnbsp;sur Ie piston un poids donn� P, coniprenant Ie poidsnbsp;m�me du piston. II est �vident que la base horizontale du prisme sera pressce de la m�me mani�re quenbsp;si Ie poids P �tait pos� imm�diatement sur cette base,nbsp;et qu�il fut distribu� uniform�ment sur toute sonnbsp;�tendue. Tous ses points �prouveront des pressionsnbsp;verticales �gales entre elles; la pression qui en r�sul-tera, pour une portion quelconque a de cette base ,nbsp;sera proportionnelle a a : elle �quivaudra a une forcenbsp;verticale, appliqu�e au centre de gravit� de l�aire a,

base enti�re du prisme, qui est aussi celle de la base du piston en contact avec Ie liquide. Or, Ie principenbsp;de l��galit� de pression en tous sens, consiste en cenbsp;que la pression que Ie poids P exerce a la partie sup�rieure de l�eau, se transmet, par I�intermediaire dunbsp;fluide, non-seulement sur la base du vase, mais encore sur ses faces lat�rales : tous les points du vasc

sont �galement presses dans des directions perpendi-culaires aux parois; et une aire a, prise sur une des faces lat�rales du prisme, eprouve la m�me pression

G�n�ralement, supposons que Ie vase ait la forme d�un poly�dre quelconque, dont la figure S/j. repr�-sente une section. Ce vase �tant ferme de toutesnbsp;paris, et fixement attach�, concevons qu�il soit rem-pli exactemenl d�un liquide saus pesanteur. Si I onnbsp;enl�ve une face de ce vase, et qu�on la remplace parnbsp;un piston, auquel on applique une force donn�e P,nbsp;perpendiculaire a la surface du liquide adjacent, Ienbsp;vase et Ie flu�de demeureront en repos, et, d�apr�s Ienbsp;principe que nous expliquons, la pression que lanbsp;force P exerce sur la surface adjacenle, se transmet-tra, par l�interm�diaire du liquide, sur toutes lesnbsp;faces du poly�dre. Tous les points du vase, en y com-prenant les points de la base du piston, seront �ga-lement presses de dedans en dehors, suivant lesnbsp;directions perpendiculaires aux parois; et, relati'nbsp;vement a une aire a, prise sur une de ces parois�nbsp;ou sur la surface du piston, la pression sera unenbsp;force perpendiculaii�e a son plan, appliqu�e a son

Cette pression transmise s�exerce de la m�me ma-ni�re dans I�interieur du liquide; et si Ton y consid�re une portion du liquide termiuae par des faces planes^.

OU un poly�dre solide qui y soit plong�, chaque par-tie a, de Tune des faces �prouvera aussi, de dehors

On �tend, sans difficult�, ces r�sultats au cas o� la surface press�e n�est plus suppos�e plane; il suffitnbsp;alors de la decomposer en �l�mens infiniraent petits,nbsp;que l�on regard�ra comme les faces planes d�un po-Ij�dre infinitesimal; et si Ion d�signe par co 1�aire

normale qu�il �prouve; a �tant toujours l�aire du piston, et P la force perpendiculaire qui y est appli-qu�e. En d�signant par p la pression constante qu��-prouverait une aire plane �gale a l�unit�, on aura

Si Ie liquide a un certain degr� de viscosit�, la pro-priet� de presser �galement en tous sens a encore lieu; seulement, il arrive que la pression ne se trans-met pas lat�ralement avec la m�me rapidit� que sui-vant la direction meme de la force P; mais, apres unnbsp;temps convenable, la pression lat�rale devient �galenbsp;^ la pression dii�ecte; et e�est a cet instant que Tonnbsp;oonsid�re l��quilibre du liquide.

578. Quand Ie liquide contenu dans un vase est pesant, il transmet les pressions que l�on exerce a sanbsp;surface , dp la m�me mani�re que quand il est d�nu�nbsp;pesanteur ; mais il exerce en outre,- sur les parolsnbsp;Vase, une pression due a son poids et variable

d�un point a im autre : il en est de m�me a l��garfl d�iin liquide dont les points sont sollicites par la pe-santeur et par d�autres forces donn�es, et qui de-meure en �quilibre dans un vase. Si les parois dunbsp;vase sont n�cessaires a Tequilibre, en sorte qu�on n�/nbsp;puisse pas faire une ouverture sans que Ie liquide uenbsp;s��chappe aussit�t, il en faudra conclure que les parols �prouvent, en chaque point, une pression particuliere, dlrlg�e de dedans en dehors, sulvant unenbsp;normale a la surface du vase; car ce n�est que suivantnbsp;cette direction qu�une surface peut emp�cher de senbsp;mouvoir un point materiel en contact avec elle,nbsp;et d�truire, par sa resistance. Ia force motrice denbsp;ce mobile.

La m�me chose a lieu dans l�int�rieur du liquide^ comme on l�a dit dans Ie num�ro pr�c�dent, soit surnbsp;des portions du liquide m�me, solt sur des corps qui ynbsp;sont plong�s. La pression en un point quelconque estnbsp;une quantil� inconnue, que nous d�terminerons dans lanbsp;suite, et qui d�pendra de la position de ce point etnbsp;des forces motrices appliqu�es au fluide. Comme ell^nbsp;change, en g�n�ral, d�nn point a un autre, on ncnbsp;peut la supposer rigoureusement constante que dansnbsp;une �tendue infiniment petite; or, pour mesurer lanbsp;pression exerc�e sur un �l�ment d�termin� d�une surface, on concoit une aire plane, que l�on prend poui�nbsp;unit�, et qui �prouve, dans loute son �tendue, lanbsp;m�me pression que eet �l�ment: p �tant la pressionnbsp;totale que cette aire supporle, et � l etendue infiniment petite de eet �l�ment, Ie produit pat sera lanbsp;pression correspondaute a eet �l�ment, et normale a

la surface donl il fait partie. Le coefficient p sera une fonction des coordonn�es de ce m�me �l�ment,nbsp;que nous appellerons la pression rapport�e a l�unit�nbsp;de surface.

Cela pos�, si l�on enl�ve une portion plane de Ia surface du vase , quW la remplace par un piston de m�me �tendue, et qu�on applique a ce piston une force �gale et contraire a celle que cettenbsp;portion du vase �prouvait, il est �vident que 1��-quilibre subsistera comme auparavant. De plus, sinbsp;le vase est ferme de toutes parts, partout en contact avec le liquide, et fixement attach�, l��quilibrenbsp;ne sera pas non plus troubl� en ajoulant a cettenbsp;premi�re force une autre force quelconque P; carnbsp;les forces appliqu�es aux points du flu�de �tant ennbsp;�quilibre, tout doit se passer, relativement a cettenbsp;force P, comme si ces forces n�existaient pas, et denbsp;m�me que dans le num�ro pr�c�dent. Par cons�quent,nbsp;la pression exerc�e par cette force P, sur Ia surface dunbsp;liquide en contact avec le piston , sera transmisenbsp;�galement en tous sens , par l�interm�diaire dunbsp;fluide, et la pression p, rapport�e a l�unit� de surface , se trouvera augment�e, en chaque point, d�une

quantit� constante et �gale a a etant toujours 1�aire du piston, en contact avec le liquide.

�1 est important de distinguer, comme nous le faisons ici, les deux sortes de pressions qui sontnbsp;�xerc�es sur les parois d�un vase contenant un li-quide en �quilibre, ou que supportent les partiesnbsp;gt;itemes de ce fluide : Tune de ces pressions, qui

varie d�un point a un autre, est due au poids et aux autres forces motrices de la raasse flu�de; 1�autre,nbsp;qui est partout la m�me, provient des forces appHquot;nbsp;qu�es a sa surface, et fransmises par son interm�diaire.nbsp;Ces deux pressious s�ajoutent en chaque point, pournbsp;former la pression totale.

5jg. D�apr�s la propri�t� de transmeltre �galement en tous sens les pressions exerc�es sur sa surface, uunbsp;flu�de incompressible, conlenu dans un vase fixe-ment attach�, doit �tre regard� comme une v�ritablenbsp;machine; car une machine est, en g�n�ral, un ap'nbsp;pareil au moyen duquel une force aglt sur des pointsnbsp;qui sont hors de sa direction, et exerce sur ceSnbsp;points des eflbrfs plus grands ou plus petits que sinbsp;elle y �tait imm�diatement appliqu�e, ce qui est fonbsp;cas de la force P, que nous avons consid�r�e dans lesnbsp;num�ros pr�c�dens.

Le principe des vitesses virtuelles s�observe daos r�quilibre de cette machine, comme dans celui denbsp;toutes les autres machines connues. Pour le prouver�nbsp;consid�rons un vase immobile et de forme quelcoU'nbsp;que (lig. 55), qui ait un nombre quelconque d�o'^''nbsp;vertures; a chacune de ces ouvertures, appliquousnbsp;un cylindre qui se prolonge ind�finiment en dehorsnbsp;du vase; eraplissons ce vase d�un liquide, telnbsp;l�eau, dont nous ne consld�rerons pas la pesanteur ;nbsp;supposons que i�eau s��tende dans tous les cy�'^'�nbsp;dres, iusqu�a une certaine distance de leurs orifices�nbsp;et qu�elle y soit termin�e par des surfaces planes, per'nbsp;pendiculaires aux longueurs des cylindres; enfio �nbsp;posons sur ces surfaces EF, E'F', Equot;Fquot;, etc., des

pistons qui les recouvrent exactement, et qui puis-sent, neanmoins, glisser sans frottement Ie long des cylindres. Soient a, a', c�', etc., les bases de ces pistons, qui sont aussi celles des cylindres; appliquonsnbsp;a ces corps des forces P, P', Pquot;, etc., perpendiculairesnbsp;a leurs bases, et dirig�es de dehors en dedans; etnbsp;supposons que ces forces donn�es, qui agiront Tunenbsp;sur Pautre par I�intermediaire de Peau, se fassentnbsp;�quilibre. Dans eet �tat, la pression rapport�e a l�u-�it� de surface doit �tre la m�me sur toutes les pa-rois du vase, en y comprenant les bases des pistons (n* 577). Si done on la repr�sente par p, onnbsp;aura pa, p'a, pquot;a, etc., pour les pressions totalesnbsp;que supportent de dedans en dehors les bases desnbsp;pistons. Pour 1��quilibre, ces pressions doivent �trenbsp;respectiveraent �gales aux forces P, P', Pquot;, etc.; parnbsp;cons�quent, on aura

L�une de ces equations servira a determiner la valeur de p; et en la substituant dans toutes les autres, onnbsp;aura les equations d equilibre du syst�me, qui serontnbsp;cn nombre �gal a celui des pistons moins un.

Maintenant, imaginons, conform�ment a i��nonc� principe des vitesses virtuelles , que 1�on d�placenbsp;W parties du syst�me, de mani�re que les pistonsnbsp;*��pondent actuellement aux sections CD, C'D',nbsp;etc., des cylindres. Une partie de ces corpsnbsp;avanc�, et l�autre partie aura recul� ; je repr�-�^aterai leurs d�placemens par h, h', hquot;, etc.; et jenbsp;*^onsid�rerai ces quantit�s comme positives ou comme

negatives, selon que les pistons auront avanc� ou re-cul�. Ainsi, dans la figure, la distance h comprise entre les sections EF et CD, est positive, et la distancenbsp;Ji' comprise entre les sections E'F' et C'D', est negative. Les volumes d�eau qui sortent des cylindresnbsp;pour entrer dans Ie vase, r�pondent aux valeurs positives de h, h', W, etc., et ceux qui sortent du vasenbsp;pour entrer dans les cylindres, a leurs valeurs negatives ; les uns et les autres seront exprim�s par lesnbsp;produits ah, dh', d'W, etc., abstraction faite desnbsp;signes. Par cons�quent, l�eau �tant consid�r�e commenbsp;incompressible, et la figure du vase comme invariable, la somme de ces produits, positifs ou n�gatifs,nbsp;devra �tre nulle, et l�on aura

Je multiplie cette equation par /gt;; et en ayant �gard aux �quations (�), il vient

ce qui est P�quation r�sultante du principe des vi-tesses virtuelles, applique aux forces P, P', Pquot;, etc., et aux d�placemens h, h\ W, etc., de leurs pointsnbsp;d�application.

La condition du syst�me, qui est ici 1�invariabi-llt� du volume du liquide , est exprim�e par 1��qua-tion (6). Non-seulement les d�placemens h, h', H', etc., remplissent cette condition, mais aussi lesnbsp;d�placemens contraires � h, � h', � hquot;, etc., ainsinbsp;que l�exige Ie principe des vitesses virtuelles (n� 35i)*nbsp;Les quanlit�s A, h', hquot;, etc., peuvent avoir des

grandeurs fiuies, pourvu qu�aucun des pistons n�en-tre dans le vase, et ne sorte da cylindre ou il doit ^tre contenii.

58o. Le principe de l��galit� de pression en tous sens convient at�x fluides �lastiques comme aux li-rfuides; mais relativement aux premiers, il n�est pasnbsp;n�cessaire que des forces motrices agissent sur leursnbsp;molecules, OU qu�on exerce des pressious sur leursnbsp;surfaces, pour qu�ils pressent eux-m�mes les paroisnbsp;des vases qui les contiennentj il s�ffit pour cela d�nbsp;leur �lasticit�, en vertu de laquelle ces fluides fontnbsp;contiiiuellement effort pour �ccuper un plus grandnbsp;volume. En supposant donequ�une masse d�air, dunnbsp;gaz OU d�une vapeur, soit contenue dans un vasenbsp;ferme de toutes parts, et qa�on fasse abstraction denbsp;la pesanteur du flu�de, les parois du vase �prouve-ront des pressious �gales en tous leurs points, etnbsp;dlrig�es de dedans en dehors, suivant les normales anbsp;ces parois. La pression rapport�e a l�unit� de surfacenbsp;Sera la m�me dans toute l��tendue du vase j pour lanbsp;determiner, 011 fera une ouverture en un endroit dunbsp;Vase, pris au hasard; on y appliquera un piston, etnbsp;a ce corps, ia force n�cessaire pour le maintenir ennbsp;cquilibre; en divisant cette force par 1�aire de la basenbsp;du piston en contact avec le fluide, on aura la pres-^ion demand�e; el l�on trouvera toujours le m�menbsp;quotient, quel que soit I�endroit oii le piston auranbsp;�l� appliqu�. Si, par exemple, le vase repr�sent� parnbsp;la figure 35, est rempli d�un fluide �lastique, lesnbsp;forces P, P', Pquot;, etc., qu�on devra appliquer auxnbsp;pistons qui ferment les cylindres, pour les emp�cher

de glisser, seront proportionnelles aux bases a, a', d�, etc.; Ie rapport de chaque force a la base coiTCS-pondante, sera Ie m�me pour tous les pistons; etnbsp;l��quation ie) aura encore lieu, mais seulement pournbsp;les mouvemens.du syst�me dans lesquels Ie volumenbsp;total du fluide ne changera pas.

Cette pression constante quun fluide �lastique exerce sur les parois du vase qui Ie ren ferme,nbsp;depend de sa mati�re, de sa densit� et de sa temperature. On la nomme aussi la force �lastique dunbsp;fluide. L�exp�rience prouve que pour un m�menbsp;fluide, et la temperature ne changeant pas, la forcenbsp;�lastique est proportionnelle a la densit�; de sortenbsp;qu�en d�signant par p la mesure de la force �lastique, c�est-a-dire, la pression rapport�e a l�unit� denbsp;surface , et par p la densit�, on a dans chaquenbsp;fluide,

k �tanl un coefficient qui ne d�pend plus que de la mati�re et de la temperature du fluide.

Lorsqu�on aura �gard a la pesanteur du fluide, OU plus g�n�ralement, l�rsque ses molecules serontnbsp;sollicit�es par des forces donn�es, la pression p varieranbsp;d�un point a un autre du vase, suivant une loi d�-pendante de ces forces, et qu on determinera dans Ianbsp;suite.

''^'W'\/W%lt;WVWWVVW''WW\WWV\'VWWV^'WVV�WWVVgt;iVVWWVVgt;iVVWVWV\'W�V\^-Wgt;.�V\A'WWV\VWW*

CHAPITRE 11.

581. Pour trailer la question de la mani�re la plus g�n�rale , consid�rons nne masse fluide ABCDnbsp;(fig. 36), homogene ou h�t�rog�ne, compressible ounbsp;incompressible, dont tous les points mal�riels sontnbsp;sollicit�s par des forces donn�es, et proposons-nousnbsp;d�exprimer par des equations les conditions de sonnbsp;�quilibre.

Soient x, jquot;, z, les coordonn�es d�un point quel-eonque M de cette masse, parall�les aux axes rectan-gulaires Ox, Qj, Oz; nous supposerons, pour fixer les id��s, Ie plan des x eX. j horizontal, l�axe Oznbsp;dirig� dans Ie sens de la pesanteur, et la masse ABCDnbsp;comprise au-dessous du plan des x eij, dans Tanglenbsp;tri�dre des trois plans des coordonn�es positives.nbsp;Partageons la masse fluide en parties que nous trai-terons comme des �l�mens infiniment petils, d�apr�snbsp;Ce qu�on a dit pr�c�demment (n� 574)� supposonsnbsp;Ces �l�mens compris entre des plans infiniment rap-proch�s Tun de Tautre, et parall�les a ceux des coor-donn�es; de sorte que ces �l�mens soient des parall�-l�pip�des rectangles, dont les c�l�s adjacens seroutnbsp;parall�les aux axes et �gaux aux difl�rentielles desnbsp;coordonn�es; les deux b.ases Iiorizontales de celui qni

En appelant p, la densit� du fluide en ce point M, telle qu�elle a �t� d�finie dans Ie n� g8, et d�si-gnant par dm T�l�ment diff�rentiel de la masse cor-respondant a ce m�me point, on aura done

Le facteur p sera une quantit� constante dans leS liquides homog�nes, abstraction faite des petitesnbsp;compressions qu�ils �prouveront et qui pourront �trenbsp;ine'gales en des points diff�rens; p sera une fonctioonbsp;connue ou inconnue des coordonn�es x, j, z, dansnbsp;les liquides h�terog�nes, et dans les flu�des �lastiquesnbsp;qui ne seront pas partout �galement comprim�s.

Soient aussi quot;Kdm, Ydm, 7tdm, les composantes parall�les aux axes des x,y, z, de la force molricenbsp;donn�e qui agit sur l��l�ment dm, de sorte quenbsp;Y, Z, soient les composantes de cette force rapportennbsp;a l�unit� de masse, ou de la force acc�l�ratrice relativenbsp;au point M. Chacune de ces trois quantit�s sera unenbsp;fonction de x, j, z, dont on regardera les valeursnbsp;comme positives ou comtne negatives, selon que 1^^nbsp;force qu elle repr�sente tendra a augmenter ou a diquot;nbsp;minuer la coordonn�e a laquelle elle est parallel�*nbsp;L��l�ment dm sera, en oufre, press� de dehornnbsp;dedans sur ses six faces, par le fluide environnant gt;nbsp;et, pour qu�il demeure en repos, ces pressions exWquot;

Cela �tant, de'signons par pdxdj, la pressioii verticale qui s�exerce sur la base sup�rieure doe dj,nbsp;dans Ie sens de la pesanteur, de mani�re que pnbsp;exprime la pression rapport�e a Tunit� de surface,nbsp;qui r�pond a cette base infiniment petite (n� 577}.nbsp;Cette quantit� p sera une fonction inconuue desnbsp;coordonn�es x, J, z; au point M', dont les coor-

et elle exprimera la pression verticale, rapport�e a l�u-.nit� de surface et relative a la base inf�rieure Aedm. Cette seconde base �prouvera done, dans Ie sens de la

pesanteur, une pression �gale ^ nbsp;nbsp;nbsp;quot;f* ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4/ j

r�sistance du fluidesur lequeir�l�ment dmest appuy�, sera une force �gale et contraire a cette pression; en sorlenbsp;que eet �l�ment serapousse verticalement paries deux

�lu bas en haut. Or, pour que cef element dm ne � �l�ve ni ne s�abaisse, il faudra que cette force soltnbsp;�gale a la coroposante verticale Zdm de la force mo-b'ice, qui agit dans Ie sens oppose; par cons�quent,nbsp;un aura d�abord

qux seront n�cessaires pour que T�l�nient dm ne se meuve ni dans Ie sens desjquot;, ni dans Ie sens des x,nbsp;et dans lesquelles q et r repr�sentent les pressionsnbsp;rapport�es a l�unit� de surface, qui r�pondent auxnbsp;faces de dm, parall�les aux plans des x et z et des �nbsp;et z, et les plus voisines de ces plans. En substituantnbsp;dans ces trois equations, la valeur pr�c�dente de dm,nbsp;et supprimant Ie facteur commun dxdjdz, ellesnbsp;deviennent

582. Observons actueWement que si les �le'mens dans lesquels nous avons partag� la masse ABCD,nbsp;�taient solides, de sorte que cette masse fut un assemblage de parall�l�pip�des rectangles, solides et juxtaposes , il n�y aurait aucune relation n�cessaire entrenbsp;les pressions que cbacun de ces parall�l�pip�desnbsp;�prouverait sur ses faces non parall�les; T�l�meotnbsp;dm pourrait, pAquot; exemple, �prouver une pressioonbsp;quelconque sur ses bases horizontales, et n�en �prou-ver aucune sur ses faces verticales; mais eet �l�mentnbsp;infiniment peilt devant �tre consid�r� comrae fluide;nbsp;aussiblen que toutes les parties de la masse totale, qmnbsp;auraient une grandeur finle (n� 574)� d suit de lanbsp;propri�t�fondamentale desfluides, que lestrols quantiles p, q, r, doivent �tre �galcs entre elles, ou dunbsp;moins, qu�il ne peut exister entre elles qu�une diffe-

En effel, la pression que Ie flu�de environnant exerce sur cbacune des faces du parall�l�pip�denbsp;dxdjdz, se transmet sur les autres faces, par l�inter-m�dialre du flu�de, dont T�lement dm est compose;nbsp;Cette transmission se fait de la mani�re que l�on a ex-pliqu�e pr�c�demment, et d�o� il i�e'sulte qu�ayantnbsp;appel� pdxdy Ia pression qui a lieu de dehors ennbsp;dedans, sur la base horizontale sup�rieure, il faudranbsp;repr�senter, en m�me temps, par pdx dz et pdj dz^nbsp;les pressions transmises sur les faces lat�rales, et quinbsp;s�exerceront de dedans en dehors; de plus, a cesnbsp;pressions transmises, 11 faudra ajouter celles qui r�-sultent de la force motrice du flu�de dm; par cons�quent , si l�on appelle y la pression due a cette force,nbsp;et exerc�e, par exemple, sur la face dydz, la plusnbsp;voisine du plan desjr et z , on aura pdj dz-y-y pournbsp;la pression totale, qui a lieu de dedans en dehors, ounbsp;de droite a gauche, sur cette m�me face. Dun autrenbsp;c�t�, la pression provenant du flu�de environnant,nbsp;et exerc�e de dehors en dedans, ou de gauche a droite,nbsp;s'ir cette face djdz, a �t� repr�sent�e par rdjdz-,nbsp;Cette force est la r�slstance que Ie fluide environnantnbsp;*^Ppose a la pression int�rieure pdj dz-^y; par consequent il faut qu�on ait

Or, quoique la valeur de y soit inconnue, nous sommes certain, n�anmoins, que cette quantit� nenbsp;peut �tre qu�un infiniment petit du troisi�me ordre.

comme la force motricedec/wz, dont elle provient; ea n�gligeant done y par rapport a pdj dz, nous auronsnbsp;r =: p � et Ton prouvera de m�me que l�on doit aussinbsp;avoir (J^p.

La conclusion serait encore la m�me, si r�l�meot dm, au lieu d�etre un parall�l�pip�de rectangle, �taitnbsp;un poly�dre quelconque dont toutes les dimensionsnbsp;fussent toujours infiniment petites; et l�on d�mon-trerait de la m�me mani�re, que la pression ext�rieurenbsp;exerc�e normalement sur toutes ses faces par Ie flu�denbsp;environnant, est proportionnelle a leurs aires respec-tives, et ind�pendante de la force motrice du poly�dre. II s�ensuit done que tous les �l�mens de surfacenbsp;qui passent par Ie point M, �prouvent une m�menbsp;pression rapport�e a l�unit� de surface, et que si conbsp;est Taire de lun d�entre eux, la pression normale qu�ilnbsp;supporte, sur l�un ou l�autre de ses deux c�t�s, estnbsp;�gale a pco, quelle que soit la direction du plan au-quel il appartient.

PY,

et elles sont maintenant les �quations g�n�rales de 1�Hydrostatique, qu�il s�agissait de trouver.

583. Les conditions d��quilibre qu�elles expriment se r�dulsent, dans chaque cas particulier, a ce qu�onnbsp;puisse trouver pour p une function de x, j-, z, qu*nbsp;satlsfasse en m�me temps a ces trois �quations. Or,nbsp;si on les ajoute apr�s les avoir multipli�es par dcCf

dp � p (Kdx -f- Ydj Zdz); nbsp;nbsp;nbsp;(3)

il faudra done, pour que la valeur de p soit possible, que Ie produit de p et de la formulenbsp;soit une dilFerentielle exacte d�une fouclion de troisnbsp;Variables ind�pendantes x, j, z. R�ciproquemenl,nbsp;quand cette condition sera remplie, on prendra pournbsp;P l�int�grale de ce produit, et l�on satisfera de cettenbsp;naani�re aux equations (2).

En mettant daas cette valeur de p, a la place de X, j, z, les coordoun�es d un point quelconque denbsp;ia surface de ABCD, on aura la pression qui auranbsp;lieu en ce point sur la paroi du vase dans lequelnbsp;cette masse fluide sera contenue; pression qui seranbsp;toujours d�truite, pourvu que cette paroi soit fixe etnbsp;susceptible d�une resistance ind�finie; mais dansnbsp;les endroits o� Ie vase est ouvert, et ou Ie fluide estnbsp;enti�rement libre, rien ne pourra d�truire la pres-sion p; par cons�quent, il faudra que sa valeur soitnbsp;��lle, pour tous les points de la surface libre d�unenbsp;tt�asse fluide en �quilibre; ce qui donne

Cette equation subsistera encore lorsqu�on exercera pression constante a la surface libre du fluide;nbsp;car alors il faudra qu�on ait = o, pour tous sesnbsp;points; et la densit� p n��tant pas nulle, l��quation (4)nbsp;resulte alors de la formule (5). Si l�on exercait, parnbsp;Uu moyen quelconque, une pression variable d�un

poilit a ua autre de la surface libre d�uu flu�de, el que celte pression rapport�e a Tunit� de surface, futnbsp;repr�sent�e par j\x,jy z), il faudrait que la valeui�nbsp;de p, tir�e de l�e'quatiou (4), co�ncidat, pour tous lesnbsp;points de la surface libre, avec cette fonetion donn�enbsp;de x,j, z; et, dans ce pas, l��quation diff�rentiellenbsp;de cette surface serait

Dans la suite, nous supposerons toujours que la pres-sion exte'rleure est nulle ou constante dans toute V�-tendue de la surface libre d�un fluide en �quilibre.

La pression p �tant proportionnelle a la densit�, dans les flu�des �lastiques (n� 58o), il s�ensuit quenbsp;cette pression ne peut jamais �tre ze'ro dans un fluidenbsp;de cette nature, tant que la densit� n�est pas nulle,nbsp;c�est-a-dire, tant que Ie fluide existe, et qu�il n�a pasnbsp;perdu, par Ie froid, toute sa force �lastique. Un fluidenbsp;�lastique ne peut done �tre en �quilibre que quandnbsp;il est contenu dans un vase ferm� de toutes parts, oUnbsp;bien lorsqu�on exerce a sa surface des pressions diri-g�es de dehors en dedans.

584. II suit de r�quatiou (4), que la r�sultante des forces acc�l�ratrices X, Y, Z, qui agissent surnbsp;chaque point d�un liquide en �quilibre, appartenantnbsp;a sa surface libre, est perpendiculaire a cette surface,nbsp;soit qu�il n�j ait aucune pression ext�rieure, soitnbsp;qu on exerce a cette surface une pression constantenbsp;d�un point a un autre. En effet, tracons sur la surface libre une courbe quelconque, el soit ds l��l�mentnbsp;difl�rentiel de cette oourbe, correspondant au poini

acette eourbe, en ce m�mepoint, fait avecdes parall�-les aux axes des coordonn�es. Appelons R Ia r�sultante des forces X, Y, Z; les cosinus des angles que fait sa

Ce qui montre que la direction de la force R, et Ia tangente a la eourbe qu�on a trac�e arbitral rementnbsp;sur la surface, sout perpendiculaires Tune a l�autre,nbsp;et, par cons�quent , que cette direction coincide avecnbsp;la normale au point que Ton consld�re. Cette forcenbsp;agira , en g�n�ral, de dehors en dedans; mais quandnbsp;la pression ext�rieure ne sera pas nulle, elle pourranbsp;�tre dirig�e, au contraire, de dedans en dehors.

Si l�on int�gre l��quation (4), et qu�on donne a la constante arbitraire, contenue dans sort integrale ,nbsp;autant de valeurs particulieres qu�on voudra, lesnbsp;equations d�termin�es qui en r�sulteront, appartien^nbsp;dront a autant de surfaces, dont chacune aura l��-quation (4) pour �quation differentielle, et jouira,nbsp;par cons�quent, des propri�t�s d��tre �galementnbsp;press�e dans toute son �tendue et de couper a anglenbsp;droit, en tons ses points, la direction de la r�sultantenbsp;des forces X, Y, Z. Celles de ces surfaces qui passentnbsp;dans l�int�rieur du fluide, d�apr�s la valeur de la

constante arbitraire, sont ce qu�on appelle des sui'quot; faces de niveau. Si Ton fait croitre cette constantenbsp;par degr�s infiniment petits, on divisera la massenbsp;fluide en une infinite de couches infiniment minces,nbsp;et comprises entre deux Surfaces de niveau cons�cu-tives, que 1�on nomme, pour cette raison, des coU'nbsp;ches de niveau.

La valeur de la constante qui r�pond a la surface ext�rieure se d�terminera, dans chaque cas, d�apr�snbsp;Ie volume donn� du liquide; en sorte que la pressionnbsp;ext�rieure n�aura aucune influence, ni sur la figurenbsp;d��qullibre, ni sur les dimensions de ce fluide regardenbsp;comrae incompressible. L��quilibre �e sera pas trouble si Ie liquide vient a se solidifier; il s�ensuit donenbsp;qu�une pression constante et normale, exerc�e de dehors en dedans sur tous les �l�mens de la surfacenbsp;dun corps liquide ou solide, se d�trult d�elle-m�me,nbsp;et ne peut imprimer a ce corps aucun mouvementnbsp;de translation ou de rotation. Pour un liquide, eetnbsp;�quilibre des pressions ext�rieures r�sulte de la pfOquot;nbsp;pri�t� caract�ristique des flu�des, de transmettre �ga-lement en t�us sens les pressions exerc�es a leur suf'nbsp;face (n� 677); on v�rifiera, par Ia suite, qu�il e�*nbsp;ind�pendant de cette propri�t�, et qu�il a �galemeotnbsp;Hen pour un corps solide de forme quelconque*

585. Supposons actuellement que Ie fluide en �qiD' llbresoit form� d�une mati�re homogene , et qu�ilnbsp;partout la m�me temp�rature et la m�me densite-La quantit� f �tant constante, il faudra, d�apr�s 1nbsp;quation (S), que Ia formule Xrfe \djr-\- Z�fenbsp;la differentielle exacte d�une fonction de trois vat�^'

ties ind�pendantes. Si cela n�a pas lieu, l��quilibre ^st impossible dans la masse fluide, quelque formenbsp;lt;ju�on lui donne, et lors m�me qu�elle serait ren-ferm�e dans nn vase ferme de toutes parts.

Mais la condition d�int�grabilit� est toujours rein-plie a l��gard des forces de la nature, qui sont des attractions ou des repulsions, dont les Intensit�s va-rient en fonctions des distances aux centres dont ellesnbsp;�manent (n� i58). L��quilibre d�un liquide homogene,nbsp;soumis a de semblables forces, sera done possible; etnbsp;pour qu�il ait lieu effectivement, il faudra donner aunbsp;fluide une forme, telle que sa surface libre coupe anbsp;angle droit, dans toute son �tendue, la r�sultante denbsp;t^es forces attractives ou r�pulsives.

Si, par exemple, la masse fluide est enti�rement libre; que Ton exerce a sa surface une pression constante , et qu�il n�y alt qu�une seule force dirig�e versnbsp;�n centre fixe, la figure de la masse ABCD, en �qui-libre autour de ce point, sera une sphere qui auranbsp;Ce point pour centre, et dont Ie rayon se d�duiranbsp;du volume donn� de cette masse. En supposant quenbsp;la force dirig�e vers Ie centre fixe soit une attractionnbsp;co raison inverse du carr� de la distance, d�signantnbsp;par g l�intenslt� de cette force acc�l�ratrice a la sur-lace du liquide, par a son rayon, et par lt;ar la pres-

aura lieu si l�on remplace Ie centre fixe par une sphere solide dont tous les points attirent ceux du liquidenbsp;en raison inverse du carr� de la distance; mais alorsnbsp;c �tant Ie rayon de cette sphere, la valeur de p i*�nbsp;s�appliquera qu�aux valeurs de r comprises depui*nbsp;r=c jusqu�a r=za. Lorsqu�on changera rattractioonbsp;en une force repulsive, il suflira de changer Ie sign�nbsp;de g; en sorte que l�on aura

p =

�l faudra qu�elle soit positive, sans quoi la couche liquide se d�tacherait du corps solide, et serait dis-pers�e dans l�espace; par cons�quent, il faudra que la pression ext�rieure lt;z�r surpasse la quantil�

libre d�un fluide, que la pression p ait une valeur positive dans toute l��tendue de sa masse, afin quenbsp;les parties contigu�s s�appuient partout Tune contrenbsp;l�autre, et que Ie fluide ne se divise pas.

Quand Ie rayon c est tr�s grand, la force attractive dirig�e vers Ie centre de la sph�re est sensiblement pa-rall�le, et la surface du liquide, sensiblement planenbsp;et perpendiculaire a la direction de cette force, dansnbsp;une �tendue pen consid�rable. Ce cas est celui d�unnbsp;liquide pesant, que nous consid�rerons sp�cialeraentnbsp;dans Ie chapitre suivant.

586. Quelles que soient les forces d�attractioi� ou de repulsion dirig�es vers des centres fixes qui agis-sent sur tous les points d�une masse fluide ABCD,nbsp;faisons

lt;p d�signant une fonction des coordonn�es x, f, z, d�pendante des lois de ces forces en fonctions desnbsp;distances.

Pour qu elle subsiste quand la densit� p sera variable, il faudra que cette densit� soit une fonction de lanbsp;quautit� et, r�ciproquement, lorsque cette condition sera remplie, il y aura toujours une valeurdenbsp;p qui satisfera a cette e'quation d��quilibre. Or, d�apr�snbsp;lequation (4)gt; quautit� (p est constante dans toutenbsp;letendue de chaque couche de niveau; dans unnbsp;fluide h�t�rog�ne et dans un fluide compressible ennbsp;�quillbre, il est done n�cessaire que la densit� soitnbsp;constante dans loute l��tendue d�une m�me couche;nbsp;et la couche superficielle, soumise a une pressionnbsp;constante et donn�e, �tant une couche de niveau, ilnbsp;faut aussi qu�elle ait une m�me densit� dans toutenbsp;son �tendue.

Si Ie fluide est incompressible, la densit� p pourra etre une fonction quelcoaque, continue ou disconti-�iiie, de la quantit� �p; quand elle sera donn�e, onnbsp;en conclura la valeur de p en fonction de p, en int�-2-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;34

graat la formule prftp, et determinant la constante ar-bitralre d�apr�s la grandeur constante, et aussi don-n�e, de la pression ext�rieure.

Dans Ie cas d�un liquide h�l�rog�ne soumis a une force centrale, il faudra,pour r�quilibre,que sa massenbsp;soit form�e de couches sph�riques et concentriques,nbsp;dont la densit� sera la m�me dans toute l��tendue denbsp;chacune d�elles, et pourra varier arbitrairementd�unenbsp;couche a une autre. De m�me, si plusieurs liquidesnbsp;pesans sont contenus dans un vase, il faudra, poui�nbsp;r�quilibre, que chaque couche horizontale et infini-inent mince ne contienne qu�un seul liquide; condi-dition qui sera remplie, si la surface sup�rieure,nbsp;qu�on suppose soumise a une pression constante, etnbsp;les surfaces de separation de deux liquides cons�cu-tifs, sont toutes planes et horizontales. La stabilitynbsp;de r�quilibre exigera, de plus, que les densit�s desnbsp;liquides superpos�s d�croissent, en alknt du liquidenbsp;Ie plus bas au liquide Ie plus �lev�, afin que 1�nbsp;centre de gravit� de ce syst�me de corps pesans, soitnbsp;Ie plus bas possible (n� 348).

587. Dans un flu�de �lastlque, la densit� est li�e^ la pression (n� 58o), et ne peut plus �tre donn�e af'nbsp;bltrairement, comme dans un fluide incompressiblenbsp;et h�t�rog�ne. En divisant les �quations dpszzpd^ e*nbsp;p = itp Tune par l�autre, il vient

Si la temperature est partout la m�me, k sera uo� quantit� constante j et, en int�grant, on aura

pour exprimer les lois de la pression et de la densit�, dans T�tat d��quilibre du fluide; e d�signant la basenbsp;des logarithmes n�p�riens, et �r �tant une constantenbsp;arbitraire, qui exprimera une certaine pression, et senbsp;d�terminera d�apr�s la pression qui aura lieu eu unnbsp;point donn�.

Si la tempe'rature varie d�un point a un autre, ^ Variera �galement; mais pour que 1 equation (5) sub-siste, il faudi�a que cette quantit� soit une functionnbsp;de (p, qui pourra �tre donn�e arbitralrement. Lanbsp;temperature devra done �tre aussi une fonction de lt;p;nbsp;par conse'quent, la tempe'rature est constante dansnbsp;toute l��tendue de chaque couche de niveau d�unnbsp;fluide �lastique en �quilibre. Cette condition �tantnbsp;remplie, il faudra remplacer les equations (6) parnbsp;celles-ci :

�?

Abstraction falte de la force centrifuge et de lanon-sph�rlcit� de la terre, la pesanteur des molecules d�air est dlrig�e vers Ie centre de la terre, et les courbes de niveau de la terre sont sph�riques et concen-triques. Pour que 1�atmosph�re demeurat en �qui-^ibre, 11 faudrait done que la temperature fut partoutnbsp;m�me, a une m�me hauteur au-dessus de la sui�-face de la terre, et qu�elle ne variat qu�avec l��l�va-tion des couches concentriques. Or, il n�en est pas

ainsi ; et Ie soleil �chauffe in�galemenl les difF�rens points de la surface de la terre et de chaque coucbenbsp;atmosph�rique. La temperature dependant de la latitude, cette circonstance emp�che l��quilibre d�a-volr lieu, et prodult des vents permanens, que l�onnbsp;observe, en effet, pr�s de l��quateur. Au reste, lanbsp;condition de l��quilibre des couches atmospb�riquesnbsp;ne pourrait rien nous apprendre, relativement a lanbsp;variation de la temperature dans Ie sens vertical; carnbsp;r�quation (5) a lieu, quelle que soit la valeur de knbsp;en fonclion de (p, et, par consequent, quelle que soitnbsp;la loi de cette variation.

Lorsque la masse ABCD est compos�e de plusieurs gaz de nature diverse, les conditions d'�quilibrenbsp;peuvent �tre remplies de deux mani�res difF�rentes:nbsp;quand ces gaz sont parfaitement m�l�s ensemble,nbsp;de sorte qu�ils forment un fluide homogene dansnbsp;toutes ses parties; et quand ils sont, au contraire,nbsp;disposes en couches superposees, dont les surfaces denbsp;separation sont toutes des surfaces de niveau. Lenbsp;premier cas a lieu dans I�atmosphere dont la coinpO'nbsp;sition a �t� trouv�e la m�me a toutes les hauteurs-Get �tat d�un melange parfait est celui de l��quilibr�nbsp;Ie plus stable; et quand deux gaz difF�rens sont superpos�s dans un vase ferm� de toutes parts, ils fi'nbsp;nissent, a la longue, par se m�ler exactement, �nbsp;moins qu�on ne parvienne a garantir Ie vase qui con-tient ces flu�des, des plus petites agitations.

588. Les centres des forces attractives ou r�pul-sives, qui agissent sur chaque point M de la masse flu�de ABCD, peuvent �tre tous les autres points m�quot;

t�riels de cette masse. Dans ce cas, les composaotes X, Y, Z, de la force acc�le'ralrice totale du point M,nbsp;se composeront d�une infinite de terraes; ce quinbsp;n�emp�chera pas qu�elles ne soient de certaines fonc-lions de x, j-, z, communes a tons les points desnbsp;fluides, en supposant que la loi natui�elle de Factionnbsp;�gale et contraire a la reaction, ait lieu dans leursnbsp;attractions et repulsions mutuelles, et que tous cesnbsp;points soient d�ailleurs soumis aux m�mes forcesnbsp;�trang�res.

Dans la nature, ces actions mutuelles sont de deux sortes difF�rentes: les unes varient en raison inversenbsp;du carr� de la distance, et les intensit�s des autresnbsp;sont exprim�es par des fonctions qui d�croissent avecnbsp;une extr�me rapidit� et n�ont de valeurs sensiblesnbsp;que pour des distances insensibles. On .calculera lesnbsp;composantes totales X, Y, Z, des forces de la premi�re eSp�ce, en partageant la masse de ABCD ennbsp;�l�mens infiniment petits (n* gS}, et faisant ensuite,nbsp;par Ie calcul integral, les sqmmes des attractions ounbsp;repulsions de tous ces points, suivant cbaque direction. Quant aux actions de la seconde esp�ce, quenbsp;1�on appelle proprement les forces mol�culaires, etnbsp;9ui sont attractives ou r�pulsives, selon que Fattrac-tion de la mati�re ponderable est plus grande ou plusnbsp;Plt;itite que la repulsion calorifique, on ne devra pasnbsp;tenir comple dans Ie calcul des forces X, Y, Z,nbsp;relatives a un point int�rieur M; carce sont pr�cis�-ment ces forces mol�culaires qui produisent la pres-�mnp, �gale en tous sens autour de M, a laquelle onnbsp;a d�ja CU �gard en formant les equations d equiiibrc.

II r�sulte de cette derni�re consideration, que les equations (2) auxquelles on est parvenu, sont les conditions d�e'quilibre, n�cessaires et suffisanles, denbsp;tontes les forces, j conapris les actions mol�culaires,nbsp;qui aglssetit sur un �l�ment quelconque dm de lanbsp;masse flu�de; en sorte que l��quilibre a lieu, certai-nement, quand il existe une valeur de p qui satisfaitnbsp;a ces �quations pour tons les points du fluide, quinbsp;coincide avec la valeur donn�e directement de lanbsp;pression a la surface libre, et qui ne devient n�gativenbsp;en aucun point, afin que les parties du flu�de restentnbsp;contigu�s.

Si la loi des forces mol�culaires, en fonctlon de la distance, �tait donn�e, et qu�on put d�duire de cesnbsp;forces l�expression de Ia quantit� p en fonction denbsp;l�inlervalle moyen des molecules (n� 98), on substi-tueralt cette expression dans les �quations (2); Tunenbsp;d�elles d�terminerait la grandeur de eet Intervalle�nbsp;qui a lieu, dans T�tat d��quillbre, autour du pointnbsp;et les deux autres exprkneraient les conditions lt;1^nbsp;eet �quilibre. La valeur num�rique de p r�sulte-rait ensuite de celle de l�intervalle moyen , on denbsp;la valeur correspondaute de la densit�; et j�ai e^f-pliqu�, dans Ie m�moire cit� pr�c�demment (n� 578)�nbsp;comment cette pression p peut varier, dans de tr�snbsp;grands rapports, pour les tres petites variations denbsp;la densit� qu�on observe dans les liquides. Mals 1*nbsp;determination directe de la pression p �tant impos'nbsp;sible, on est oblig� de d�duire sa valeur des conditions m�mes de l��quilibre, ou de la formule (3) gt;nbsp;qui en est la consequence.

Lorsque Ie point M est situ� a la surface du fluide, OU qu�il n�ea est �loign� que d�une distancenbsp;moindre que Ie rayon d�activit� des forces mol�cu-laires, on doit avoir �gard a ces forces et a Ja variation rapide de la densit� superficielle, dans Ienbsp;calcul des composantes X, Y, Z, et, par suite, denbsp;la valeur de d�duite de la formule (3). II ennbsp;r�sulte une influence des forces mol�culalres sur lanbsp;figure du liquide en �quilibre, qui nest pas sfjnsi-ble, en general, et qui ne Ie devient que dans lesnbsp;espaces capillaires. On n y aura point �gard dans cenbsp;Trait�; et, pour tout ce qui concerne les pli�no-m�nes de la capillaril�, je renverrai a la Nouvellenbsp;th�orie de VAction capillaire^ que j�ai publi�e il ynbsp;a deux ans.

589. Si un liquide homogene ou h�t�rog�ne tourne uniform�ment autour d�un axe fixe, les formules pr�c�dentes feront connaitre les conditionsnbsp;n�cessaires et sufBsantes pour qu�il conserve une figure permanente, et se meuve comme un corps solide. II suffira pour cela, de joindre aux composantesnbsp;X, Y, Z, celles de la force centrifuge qui r�sultenbsp;de cette rotation.

Prenons alors l�axe de rotation pour celui des z. Soit r la distance du point quelconque M a cettenbsp;^gt;�oite, de sorte qu�on ait

�^Ppelons a la vitesse augulaire constante et commune a tous les points du fluide; rct sera la vitesse absolue du point M; et comme il d�crira un eerde

dont Ie raj�n est r, la force centrifuge aura m* pour valeur (p.�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cette force �tant dirig�e suivant Ie

prolongement de r, on obliendra ses composantes parall�les aux axes des a: et des j' en la multipliant

ajouter aux foi�ces X et Y; et comme la force Z ne changera pas, la formule (3) deviendra

La quantit� comprise entre les parentheses sera encore une diff�rentielle exacte, savoir, ladifF�ren-tielle de la fonction lt;p du n� 586, augmente'e denbsp;OU de^aV'. Par cons�quent, la formenbsp;permanente sera possible; et si la surface libre dunbsp;liquide �prouve une pression constante dans toutenbsp;son �tendue, l��quation commune a celte surface etnbsp;a toutes les surfaces de niveau sera

Dans Ie cas d un liquide homogene, il suffira que la surface libre soit d�termin�e parl�int�grale de cettenbsp;equation diff�rentielle, dont on d�terminera la cons-lante arbitraire, d�apr�s Ic volume entier du liquide�nbsp;comme on Ie verra tout a l�heure par un exempli-Dans de cas d�un liquide h�t�rog�ne, il faudra, denbsp;plus, qu�il se compose de couches homog�nes, dontnbsp;les figures seront aussi d�termin�es par Tint�grale denbsp;cette m�me �quation, et qui ne diff�reront de 1�*nbsp;figure ext�rieure, que par les valeurs de la constante arbitraire.

590. Appliquons Tequation {b) au cas d�uu liquide homogene, soumis a la pesanteur, lournant autoui�nbsp;d�un axe vertical, et contenu dans un vase ouvert anbsp;sa partie supe'rieure.

En appelant g la gravit�, et comptant les z positives dans Ie sens contraire a cette force, nous au-rons

ce qui montre que la figure libre du liquide sera celle d�un parabolo�de de revolution dont l�axe seranbsp;celui de la rotation.

Pour determiner la constante c, supposons que Ie vase soit un cjlindre vertical a base cii�culaire,nbsp;dont l�axe de figure soit l�axe des z ou de rotation.nbsp;Appelons a son rayon, et ^ la hauteur due a la vi-tesse absolue ax de la surface, de sorte qu�on ait

aussi b la hauteur de l�eau avant Ie mouvement; -^a^b sera Ie volume du liquide qui ne changera pas pendant la rotation; or, en divisant Ie parabolo�de ennbsp;couches cylindriques et infiniment minces, qui aientnbsp;pour axe commun celui des z, on aura 27rrdr pour

la base, et 'XTrzrdr pour Ie volume de la couche dont Ie rayon est r et l��paisseur dr', ce volume total s�ob-tiendra done en integrant i'jrzrdr, depuis /*z=o jus-qu�a r=:a; d�ou Ton conclut

La plus petite et la plus grande valeur de z qui r�pondeut a /� = o et r =z= a, seront b � etnbsp;b -jr^h; en sorte que l�abaissement du liquide dansnbsp;l�axe et soa elevation a la circonf�rence, qui r�sul-teront de la rotation, seront les m�mes, et aurontnbsp;pour valeur la moiti� de la hauteur due a la vitesse de^nbsp;la circonf�rence.

59!. Ouand les forces dont X, Y, Z, sont les composantes, proviennent des atti�actions de tous les^nbsp;points du liquide, en raison inverse du carr� des distances , OU suivant d�aulres lois, les valeurs totalesnbsp;de X, Y, Z, d�pendent, en g�n�ral, de la forme dtfnbsp;liquide et de ses couches de niveau; et, r�ciproque-raent, cette forme d�peud des valeurs de ces composantes. Cette d�pendance niutuelle des attractions dunbsp;flu�de et de sa figure, rend la determination de celle-^

ci tres difficile au mojen de I�equalioa (b). Lors ni�me quele liquide est bomog�ae, on nest parvenunbsp;a r�soudre ce probl�me, dans Ie cas ordinaire de Tat-traction en raison inverse du carr� des distances,nbsp;qu�en supposant la force centrifuge peu considerable,nbsp;de mani�re que Ie flu�de s��carte peu de la formenbsp;sph�rique qu�il pourrait prendre si cette force �laitnbsp;tout-a-fait nulle, c�est-a-dire, si Ie flu�de �tait ennbsp;repos. On d�montre alors, par une analyse fond�enbsp;Sur la consideration des s�ries, et qui ne peut pasnbsp;trouver place ici, que la figure du flu�de est n�ces-sairement celle d�un ellipso�de de revolution, dontnbsp;on determine l�aplatissement, d�apr�s la grandeurnbsp;de la force centrifuge a l��quate�r, compar�e a l�at-traction du flu�de au m�me point.

Mais, il est facile de verifier que la figure elliptic que satisfait toujours a l��quation (b), loreque lanbsp;vitesse � ne d�passe pas une certaine limite, et qti�ilnbsp;y a alors deux ellipsoides de revolution qui r�pon-dent a une rn�me valeur de cette vitesse de rotation.nbsp;Supposons, enefiet, que la surface du fluide, dans sonnbsp;�tat permanent, a pour equation

(O)

flui est celle d�un ellipso�de de revolution, dont l�axe de figure el Ie diam�tre de I�equateur ont ac etnbsp;2c \/i -f-^� pour longueurs. Appelons X., Y, Z, lesnbsp;^oniposantes de la force acc�l�ratrice provenant denbsp;1 attraction totale de ce corps sur Ie point de sa surface qui r�pond a jc, j, z, et dii�g�es suivaiit les

proiongemens de ces coordonu�es, c�est-a-dire, en sens contraire des composanles dont on a donn� lesnbsp;expressions dans Ie n� 106. En changeant les signesnbsp;de ces expressions, et observant que (* �h 7^)nbsp;est la masse de I�eHipsoide, nous aurons

2 = nbsp;nbsp;nbsp;z=y)�y-] ;

f �tant, comme dans Ie cite, l�intensil� de l�at-traction a l�miit� de distance, et entr� des masses dont chacune est �gale a I�unit�. II s�aglra done denbsp;prouver que ces valeurs, joinles a l��quation (c), sa-tisfont a 1 equation (Zgt;). Or, en les substituant dansnbsp;cette equation, multipliant tous ses termes par 7*�nbsp;ce qui suppose que y ne soit pas z�ro, et faisaotnbsp;pour abr�ger

[� gt; � T (1 gt;*) are (tang = gt;) (xdx jrdf) ( � -4quot; gt;*) [are (tang = y) � y] zdz = o 5

et, pour que cette equation diff�rentielle coincide avec la pr�c�dente, il est necessaire et 11 suffit qu�onnbsp;ait

� gt;�f (14-gt;*)avc (tang=5^)4-�gt;^= are (tang=5.)�5., Ou bien en r�duisant

en sorte qu�il ne restera plus qu�a s�assurer si cette equation a des racines r�elles, et a en determiner Ienbsp;tiombre.

Pour cela, je repr�sente par ^ soa premier mem-bre, et je suppose que l�on trace la courbe dont -y et S sont l�abscisse et l�ordonn�e courantes : cette courbenbsp;coupera l�axe des abscisses a l�origine; mais la racinenbsp;gt; = o est �trang�re a la question, tant que la vitesse ctnbsp;et par suite g n�est pas z�ro. Les autres racines de l��-quation (d) sont deux a deux �gales et de signesnbsp;contrairesj mais il suffira de consid�rer ses racinesnbsp;positives, parexemple, attendu que i��quation (c) nenbsp;eontient que Ie carr� de y.

pour d�terminer les abscisses correspondantes aux ^^xima et aux minima de cette ordonnee. Or, cettenbsp;Equation �tant du second degr� par rapport 'a y* ^ �nbsp;� ensuit qu�il ne peut exister qu�un maximum et unnbsp;minimum de chaque c�t� de l�origlne des abscisses;nbsp;�^o� l�on conclut d�abord que la courbe ne pourranbsp;oouper qu en deux points l�axe des abscisses positives,nbsp;3u-dela de cette origine j en sorte qu�il existera, au

plus, deux racines r�elles et positives de l�equation (d)-Observons en outre, que si les equations (d) et (e) ont lieu pour une m�me valeur de y, la eourbe toucheranbsp;1 axe des abscisses en un point qui re'pondra a uncnbsp;racine double de Tequation (d). Or, on tire de l��-quation (e).

(I (3 y-q(9 7�) �arc^tang _ y),

equation qui ne peut avoir qu�une seule racine posi' tive, outre y =z= o. Cette racine existe eiFective--ment; et par des essais, on trouve pour sa valeui�nbsp;approch�e

d�o� nous pouvons conclure que pour des valeurs dc � plus petites que cette fraction, il y a deux inter'nbsp;sections dlstinctes de l�axe des abscisses positives, etnbsp;deux racines in�gales de l��quation (d)-, que pom�nbsp;cette valeur de �, ces intersections se changent en unnbsp;contact, et les deux racines devienuent �gales; etnbsp;qu�enfin, pour des valeurs plus grandes de g, les ioquot;nbsp;tersections n�ont plus lieu, non plus que les racine?nbsp;r�elles de I�equatlon (d). II est certain que ces raci-*nbsp;nes r�pondent aux moindres valeurs de e, et

pas aux plus grandes; car pour g =: co , Tequation (d) u�a aucune racine diff�rente de z�ro; et, au contraire, quand t est une tres petite fraction, on d�-termine ais�ment les deux racines r�elles de cettenbsp;equation.

Lorsqu�on aura d�termin�, au mojen de l��qua-tion (d), les deux valeurs approch�es de y qui r�pon-dent a une valeur donn�e de g moindre que la fraction pr�c�dente, les valeurs pr�c�dentes deX, Y, Z, feront connaitre l�attraction du fluide en un pomtnbsp;quelconque de sou int�rieur ou de sa surface, et onnbsp;d�duira les valeurs de c, du volume aussi donn� dunbsp;liquide. Quand la valeur de g surpassera cette fraction , on ne sera pas en droit d�en conclure que lanbsp;figure permanente du liquide soit impossible, niaisnbsp;seulement qu�elle ne peut pas �tre un ellipso�de denbsp;r�volution; car si Ton excepte Ie cas o� l�on supposenbsp;cette figure tres peu diff�rente d�une sphere, on n�anbsp;point encore d�montr� que la figure elliptique denbsp;r�volution soit la seule qui convienue a lequilibrenbsp;des forces centrifuges et des actions mutuelles desnbsp;molecules: on n�a m�me pas prouv� que la sph�renbsp;soit la seule figure que puisse prendre une massenbsp;fluide en repos, dont les molecules s�attirent mu-*nbsp;tuellement, quelque naturel que cela paraisse.

5g2. Si la quantit� a est une tr�s petite fraction, On satisfait a i��quatiou {d) en prenanl ponr y unenbsp;lt;}uantit� tr�s petite- On a alors

et en substituant ces valeurs dans r�q.uatioa(c?), sup' prinaant Ie facteur y, commun a tous les termes, etnbsp;ne'gligeant ensuite les puissances de y sup�rieures anbsp;la premi�re, on trouve

ce qui r�pond a un ellipso�de tres peu aplati. L�apla-tissement sera a peu pr�s -^y*, puisque les deux demi-axes sont c et cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;On pourra prendre

a*c pour la force centrifuge a l��quateur, et f pour l�attraction en un point de la surface; ce qui serail les valeurs exactes de ces deux forces, si Ie corpsnbsp;�tait exactement sph�rique. Le rapport de Ia premi�renbsp;a la seconde est �gal a 5�; par cons�quent, lorsqu�unnbsp;fluide homogene tourne autour d un axe fixe, et s��-carte tres peu de la figure sph�rique, son aplatisse-raent est �gal a cinq fois la force centrifuge a l��qua-tion divis�e par quatre fois l�attraction a la surface. Ounbsp;d�montre aussi que si le fluide est compos� de couches tr�s peu aplaties, dont les densit�s d�croisseutnbsp;du centre a la surface, l�aplatissemenl sera toujoursnbsp;plus petit que dans le cas de l�homog�n�it�, et ce-pendant plus grand que les deux cinqui�mes denbsp;celui qui r�pond a ce cas.

Dans le mouvement de rotation de la terre, rapport de la force centrifuge a la pesanteur, ou �nbsp;l�attraction terrestre, est environ (u� ijj) a l��'nbsp;quateur. Si la terre �tait une masse fluide homogene,nbsp;sou aplatissement serait done , dont les deuxnbsp;cinqui�mes sontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;sa valeur qui r�sulte de

1 observation, est comprise entre ces deux limites, comme dans Ie cas d uue masse flu�de dont la densit�nbsp;d�croit du centre a la surface.

VXTf Y�= nbsp;nbsp;nbsp; ^ etc),

pour les attractions qui ont lieu aux poles et a lequa-teur. J�ajoute a la seconde la foree centrifuge �V, dont la valeur est /^^pce, ou Ie produit de'fet

pour la pesanteur a Tequateur. En en retrancliant la pesanteur Z au pole, et divlsant par celle-ci, on a

la fvoname de ces deux quantit�s a pour valeur cinq fois la force centrifuge dlvis�e par Ie double de lanbsp;2-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;35

Dans ce m�me cas d�une tres petite valeur de e, on satisfait encore a l��quation {d) au moyen d�une tr�snbsp;grande valeur de y. Oh a identiquement

et en substituant ces de'veloppemens dans Tequa-tion (d), on en d�duira ensuite une valeur de y Of' donn�e suivant les puissances croissantes de g, sa-voir,

qui sera la seconde racine r�elle de cette equation-Pour de plus grands d�tails sur cette importante th�orie et sur son application a la figure de la terre fnbsp;je renverrai aux tomes II et V de la M�caniqu^nbsp;celeste.

SgS. II y a une difference essen tielle entre les surfaces de niveau, trac�es dans l�int�rieur d�un liquide soumis a l�action mutuelle de tous ses points, e*nbsp;celles qui sont d�crites dans un fluide dont les poio*�

ne sont sollicit�s que par des forces �trang�res, c�est-a-dire, par des attractions ou repulsions quinbsp;�manent de centres fixes, et sont fonctions des distances a ces centres. Supposons que ABCD (fig. 5y)nbsp;soit la surface libre d�un liquide en repos, ou tour-nant, pour plus de g�n�ralit�, autour d�un axe fixe.nbsp;Soit EFGH une surface de niveau trac�e dans son int�rieur j et appelons R la r�sultante de toutes lesnbsp;forces qui agissent au point quelconque M de cettenbsp;surface. Daxis les deux cas qu�on vient de distinguer,nbsp;cette force sera dirig�e suivant la normale NMP ennbsp;ce point; or, dans Ie second cas, sa grandeur et sanbsp;direction ne d�pendant d�aucune action des points dunbsp;fluide, elle restera encore perpendiculaire a la surface EFGH, si l�on enl�ve la couche du liquide comprise entre EFGH et ABCD; de sorte qu�apr�s cettenbsp;soustraction, Ie liquide termin� par EFGH demeu-rera encore en �quilibre : mais dans Ie cas des actionsnbsp;mutuelles des points du sjst�me, la force R d�pen-dra de Faction de ce liquide int�rieur et de celle denbsp;la couche ext�rieure ; elle changera, en general, denbsp;grandeur et de direction, lorsqu�on supprimera lanbsp;couche comprise entre ABCD et EFGH, et F�quilibrenbsp;�iu liquide termin� par EFGH n�aura plus lieu. Pournbsp;qu�il se r�tablisse, il faudra que la surface EFGHnbsp;change, et devienne perpendiculaire , en chaquenbsp;point M, a ia seule partie de la force R qui sub-sistera.

L�action de la couche ext�rieure, comprise entre ABCD et EFGH, sera nulle sur tous les points dunbsp;fluide int�rieur et de la surface EFGH, lorsque la

masse enfi�re du fluide sera homogene, qu�elle s��-cartera peu de la figure sph�rique, et que ses points ne seront solilclt�s que par leurs attractions mutuellesnbsp;en raison inverse du carr� des distances, et par lanbsp;force centrifuge. En effet, toutes les surfaces de niveau sont alors des ellipso�des semblables, et, cons�-quemment, la couche comprise entre deux de ces surfaces ABCD et EFGH, n�exerce aucune action sur lesnbsp;points situ �s dans l�espace int�rieur ( n� io5). Maisnbsp;cette nullit� de faction dune couche termin�e pafnbsp;deux surfaces de niveau, sur Ie fluide int�rieur, n�estnbsp;pas une condition de l��quilibre des fluides; les forcesnbsp;�tant toujours celles qu�ou vient de supposer, elle n�anbsp;plus lieu, par exemple, lorsque Ie liquide est h�t�-rog�ne; ce qui rend dissemblables les surfaces de niveau, qui sont encore elliptiques, et telles que l�el-lipticit� de la surface quelconque EFGH d�pend denbsp;l��paisseur et de la constitution de la couche ext�rieure (*).

Dans Ie cas particulier de Fhomog�n�it�, on peut enlever ou r�tablir a volont� la couche elllptiquecom'nbsp;prise entre ABCD et EFGH, sans troubler l��quilibrenbsp;ni changer la forme du fluide int�rieur, en supposaotnbsp;que la vitesse de rotation soit toujours la ra�me. Maisnbsp;il y a aussi d�autres couches qu on peut ajouter aUnbsp;fluide termin� par EFGH, et qui ne troublent pasnbsp;son �qiiillbre, quoique leur attraction ne soit pa�nbsp;nulle sur les points de ce liquide. 11 est �vident que la

surface ext�rieure de la couche additive peut �tre uit ellipso�de semblable a EFGH, et ajant pour centrenbsp;un point de l�axe de rotation diff�rent du point 0. Lanbsp;surface ext�rieure de cette couche peut aussi avoirnbsp;ce point pour centre, et �tre un ellipso�de dont l�apla-tissement soit diff�rent de celui de la surface int�-rieure. Pour Ie faire voir, soient ABCD et A^B'C'D'nbsp;(fig. 58) les deux ellipso�des diff�rens qui satisfonl anbsp;la condition d��quilibre d�un m�me flu�de homogene,nbsp;tournant autour d�un axe fixe avec une vitesse angu-laire doun�e (n� Sgi) ; soient aussi EFGH ef ET^GIPnbsp;deux surfaces de niveau, trac�es dans l�int�rieur denbsp;ces ellipso�des, semblables aux surfaces ext�rieures,nbsp;ayant'le m�me centre 0 que celles-ci, et se cou-pant au point M : sans troubler 1��quilibre du liquide termin� par EFGH, on y pourra ajouter lanbsp;couche comprise entre les deux surfaces EFGH etnbsp;A'B'C'D', dissemblables et concentriques. On remar-quera que non-seulement Faction de cette couchenbsp;additive sur les points du liquide int�rieur et de lanbsp;surface EFGH, n�est pas nulle, mais que.cette action sur chaque point de la surface n�est pas diri-g�e suivant la normale. Ainsi, au point M, Faction de la couche comprise entre les surfaces EFGHnbsp;ct A'B'C'D', n�est pas dirig�e suivant la normale NMPnbsp;^ la premi�re surface ; car d�ja Faction du liquidenbsp;Int�rieur, termi'�� par cette surface, est dirig�e sui-''^ant NMP; et si Faction de la couche additive avaitnbsp;^nssi cette direction, Faction de la masse totale,nbsp;terniin�e par la surface A'B'C'D', seralt encore di-*^�g�e suivant cette normale, tandis qu�elle doit l��lre

Quelles que soient les forces qui agissent sur uQ fluide homogene ou h�t�rog�ne tournant autournbsp;d�un axe fixe, on ne doit pas perdre de vue quenbsp;la seule condition d��quilibre est l�existence d�unenbsp;quantit� p qui satisfasse a l��quation {a), et qui soitnbsp;nulle OU constante a la surface fibre du liquide.nbsp;Toute autre condition qu�on y voudrait ajouter estnbsp;d�ja comprise dans celle-Ia, ou ne se v�rifiera pas.

594. Parmi les difF�rentes lois d�attraction, il y en a une qui n�est pas celle de la nature, mais quinbsp;jouit d�une propri�t� remarquable. Cette loi est cellenbsp;d�une action mutuelle en raison directe de la distance, et la propri�t� dont il s�agit consiste en cenbsp;que la r�sultante des actions de tous les points d�imnbsp;corps, sur un point quelconque, est ind�pendantenbsp;de la forme et de la constitution de ce corps, homogene OU h�t�rog�ne, et la m�me que si la massenbsp;enti�re �tait reunie a son centre de gravit�.

En efifet, soient x, y, z, les coordonn�es dn point attir�, x', j'y z', celles d�un point attirant fnbsp;IA la masse de ce second point materiel, � la dis'nbsp;tance des deux points, kpu la force acc�l�ratricenbsp;dirig�e du premier point vers Ie second j k �tantnbsp;un coefficient constant. Les composantes de cetienbsp;force suivant des parall�les aux axes des coordoo'nbsp;n�es, men�es par Ie point attir�, seront (a:'��nbsp;kp'iy'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;kfA{z' � �z), puisque les cosinus des

angles que fait sa direction avec ces droites sou* les diff�rences x' ^ x, f � j, z' � z, divis�es

par K. Par cons�quent, si l�on appelle X , Y , Z , les composantes totales de la force acc�l�ratrice dunbsp;point attir�, on aura

les sommes 2 s��tendaut a tous les points du corps attirant. Or, si l�on appelle m la masse enti�re denbsp;Ce corps , et x,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, z,, les trois coordonn�es de

2 fAx' = mXt,

equations qui renferment �videmment Ia proposition qu�il s�agissait de d�montrer.

{x�x.)* (/ -h (z � z.)�� nbsp;nbsp;nbsp;4-j*) =

Cette equation sera celle des surfaces de niveau dans un liquide tournant autour de I�axe des z,nbsp;dont les points s�attirent en raison directe de la dis-*nbsp;tance; elle fait voir que toutes ces surfaces serontnbsp;concentriques et du second degr�. De plus, si l�o�nbsp;transporte lorigine des coordonne'es a leur centi�Cnbsp;commun, c�est-a-dire, au centre de gravit� du fluide,nbsp;les premi�res puissances des coordonn�es courantesnbsp;devront disparaitrej'ce qui ne peut avoir lieu, anbsp;moins qu�on n�ait x, = o, j^ = o, z, = o. L equation pr�c�dente se r�duit done a

= nbsp;nbsp;nbsp;(�)

par cons�quent, les surfaces de niveau sont des ellip' so�des ou des hyperbolo�des de revolution, selounbsp;qu�on a � lt; i ou 6 gt; i; et, dans les deux cas, ellesnbsp;ont toutes Ie m�me axe de figure, qui est l�ax^nbsp;de rotation.

Le volume du liquide �tant donn�, rhyperbolo�d^ n�est possible que quand le fluide est contenu daosnbsp;un vase, et alors l��quation (�) s�applique seuleroenfnbsp;a la partie libre de sa surface. Lors done qu�on ^nbsp;g gt;gt; I, la figure permanente d�un liquide libre denbsp;toutes parts est impossible, dans le cas des forces quenbsp;nous consid�rons. Si 1�on a � lt; i, toutes les surfacesnbsp;de niveau sont des ellipso�des qui diff�rent par 1^�

valeurs de c. Pour determiner la vaieur de celte quantit� qui r�pond a la surface ext�rieure, on �ga-lera Ie volume de l�ellipso�de, dont l�expi'ession est

quable que, dans eet exemple, la loi des densit�s des couches du fluide n�a aucune influence sur sa figurenbsp;ext�rieure et sur ceile de ses couches de niveau.

CHAPITRE III.

5g5. Soit ABCD (fig. Sg) un vase ouvert a sa par-tie sup�rieure, et dont la base horizontale AB est pos�e sur un plan fixe. Supposons qu�un liquide pe-sant et homogene s��l�ve dans ce vase jusqu�en A'B'*nbsp;Pour l��quilibre de ce liquide, il faudra que la surface libre A'B' soit horizontale ou perpendiculaire anbsp;la direction de la pesanteur, et eet �quilibre ne seranbsp;pas trouble, si l�on exerce surcette surface une pres-sion constante et de grandeur quelconque.

La pression rapport�e a 1�unit� de surface sera la ni�me dans toute T�tendue de chaque section horizontale du liquide; en la d�signant par p a la pro-fondeur z au-dessous de A'B', et appelant fgt; la den-sit� constante du liquide, et g la gravit�, on auranbsp;dp = fgdz, d�apr�s l��quation (5) du n* 585. En in^nbsp;t�grant, on aura done

p = pgz /ar;

�W �tant la pression ext�rieure, qui sera g�n�ralement la pression atmosph�rique qui r�pond a z = o. Cettenbsp;pression constante se transmettra, sans alteration gt;nbsp;sur tous les �l�mens des parois du vase et des corpi�nbsp;plong�s dans Ie liquide; elle s ajoutera, en chaqi^*^

point (n^S^S), a la pression variable due a la pesan-teur du liquide. II sera done toujours facile d�y avoir �gard; et, pour plus de simplicite, nous pouvons lanbsp;supposer nulle, et r�duire l��quation pr�c�dente a

Soient b la base AB du vase, P la pression totale exerc�e sur celte base, k la distance de A'B' a cettenbsp;in�me base, ou la hauteur du liquide; nous auronsnbsp;a la fois

ce qui montre que la pression exerc�e sur la base horizontale du vase est �gale au poids d�un cylindre rerapli du liquide, qui aurait pour base celle dunbsp;vase, pour hauteur celle du liquide, et dont le volume et la masse seraient, consequemment, bh et fbh.

Cette pression P est done ind�pendante de la forme du vase; en sorte que pour les trois vases repr�sent�snbsp;par la figure 4o, qui ont des bases �quivalentes, po-s�es sur un m�me plan horizontal, et dans lesquelsnbsp;un m�me liquide s��l�ve a une hauteur qui est aussinbsp;la m�me, les pressions exerc�es sur leurs bases sontnbsp;�gales, quoique Tun des vases soit un cylindre droit,nbsp;qu�un autre s��largisse en partant de la base, etnbsp;que le troisieme aille en se r�tr�cissant. Cette pression est, pour chacune des trois bases, le poids dunbsp;liquide contenu dans le vase cylindrique; r�sultatnbsp;^r�s remarquable, qui est pleinement contirm� parnbsp;1�exp�rience.

un vase, il suffira, et il sera n�cessaire pour leur �quilibre, que la surface de separation de deux li'nbsp;quides cons�cutifs soit horizontale (n� 586)j et, ennbsp;effet, si cela est, chaque nouveau liquide superpos� exercera sur tons les points de sa base unenbsp;presslon constante, qui ne troublera pas Tequilibrenbsp;du liquide inf�rieur. Voici comment on pourra determiner la pression totale exerc�e sur Ie fond ditnbsp;vase.

596. Versons sur Ie fluide en �quilibre dans Ie vase ABCD (lig. 3g) un nouveau liquide, dout lanbsp;densit� soit p', qui ait sa surface sup�rieurenbsp;horizontale, comme celle du premier, et qui s��-l�ve a une hauteur h' au-dessus du niveau A'B' dunbsp;premier; ces deux flu�des demeureront en �quilibrenbsp;dans Ie vase. En appelant b' l�aire de A'B', qui estnbsp;la base du second fluide, il exercera sur cette basenbsp;une pression �gale a p'gh'b'. Cette presslon seranbsp;transmise, par Tinterm�diaire du liquide inf�rieur,nbsp;sur Ie fond AB du vase; et Faire de AB �tant b,nbsp;il en r�sultera, sur cette surface plane, une pression exprim�e par p'gh'b (n� 677); par conse'quent,nbsp;la pression totale exerc�e par les deux fluides surnbsp;la base horizontale du vase, sera pghb -f- p'gh'b.

Si l�on verse un troisl�me liquide dans Ie vase, dont la surface A'quot;Bquot;' soit encore horizontale, r�qui'nbsp;libre ne sera pas troubl�; pquot; �tant sa densit�,nbsp;hauteur de son niveau A^^'B'� au-dessus de la surfacenbsp;sup�rieure Aquot;Bquot; du second liquide, et bquot; Faire de cettenbsp;dernl�re surface, ce troisi�me liquide exercera sur sanbsp;base Aquot;B'S tine pression �gale anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qui sef�

IIYDROSTA�IQUE. li'ansmise par ]e second liquide, et deviendranbsp;sur la surface sup�rieure A'B' ou b' du liquide inf�rieur; cette pression sera transmise de m�me, parnbsp;l�interm�diaire du liquide inf�rieur, et deviendranbsp;sur Ie fond AB du vase; par cons�quent, lesnbsp;trois liquides supei�pos�s exerceront sur Ie fond dunbsp;Vase une pression �gale a ^ghb -j- p'gh'b -j- p� �ghquot;b,nbsp;Ou (fh-}-pquot;hquot;) gb.

En continuant ainsi, on volt que quand un nom-bre quelconque de liquides de diff�rentes densites, sont superpos�s et en �quilibre dans un vase, la pressionnbsp;qu�ils exercent sur la base horizontale de cevase,nbsp;tte depend que de l��tendue de cette base, desnbsp;�paisseurs des diff�rens flu�des, et de leurs densites.nbsp;Dans Ie cas d�un vase cyllndrique et vertical, elle seranbsp;�gale a la somme des poids de tous les fluides; etnbsp;elle ne variera pas quand on changera Ia forme dunbsp;Vase, pourvu que sa base ne change pas d��tendue ,nbsp;non plus que l��paisseur et la densit� de chaque liquide.

Ce r�sultat �tant ind�pendant de l��paisseur des couches horizontales,il subsiste encore lorsque ces couches sont infiniment minces, c*est-a-dire, lorsque la den-rit� de la masse flu�de varle par degr�s continusnbsp;dans Ie sens vertical, et convient, par cons�quent,nbsp;�nx flu�des compressibles. II est �galement vrai quandnbsp;pesanteur varie d�une couche a Tautre avec la d�n-sit� ; ee qui arrive lorsque la hauteur du fluide n�estnbsp;p3s n�gligeable par rapport au rayon de la terre.nbsp;^cst aussi ce que Eon peut d�duire de 1�equationnbsp;^P = Pgdz, qui convient a I cquilibre de tous les

flu�des pesans, compressibles ou non, et dans laquelle on peut supposer la gravit� g et la densit� p, fonctionsnbsp;de l�ordonn�e verticale z.

697. Consid�rons actuellement Tequilibre des liquides pesans contenus dans plusieurs vases, et qx� peuvent s��couler de l�un dans l�aulre par des ouvertures lat�rales. Si Ton ferme a la fois toutes cesnbsp;ouvertures, lequilibre ne sera pas trouble; ilfaudranbsp;done d�abord que les liquides soient dispos�s, dansnbsp;chaque vase, par couches horizontales; mais cetlenbsp;condition ne suffira pas; et il faudra encore, quandnbsp;les ouvertures ne seront plus ferm�es, qu�il existe unnbsp;certain rapport entre les elevations des liquides dansnbsp;les vases diff�rens, qui d�pendra du rapport de leursnbsp;densit�s.

S�il n�y a qu�un seul liquide r�pandu dans plusieurs vases communiquans, il faudra que Ie niveau de cenbsp;liquide soit Ie m�me dans tous ces vases. En effet,nbsp;consid�rons un liquide homogene contenu dans deuXnbsp;vases, par exemple, qui communiquent lat�ralementnbsp;par Ie canal EF (fig. 4i)gt; et qui sont pos�s sur deSnbsp;plans fixes horizontaux. Supposons que ce liquidenbsp;s��l�ve jusqu�en AB dans l�un des vases, et jusqu�en CPnbsp;dans l�autre, et que ces deux sections horizontales �enbsp;soient pas dans un m�me plan, de sorte qu�en prOquot;nbsp;longeant Ie plan de la section CD de l�un des vases fnbsp;il vienne couper l�autre vase, suivant une sectionnbsp;situ�e a une distance au-dessous de AB, Si Tequiquot;nbsp;libre existe dans eet �tat, il ne sera pas trouble eonbsp;remplacant la section ouverte CD par une paroi fix� *nbsp;Ie fluide compris entre AB et aC, exercera sur ct�

pression �gale a fgyj', en appelant p sa densit�, et y 1�aire de cette section a�; celte pression se transmettra,nbsp;par rinterm�diaire du liquide contenu dans les deuxnbsp;Vases, jusque sur la paroi CD; et il en r�sultera, surnbsp;Ce plan horizontal, une pression dlrig�e de bas ennbsp;haut et exprim�e par fgyc, en d�signant par c l�airenbsp;de CD. Par cons�quent, l��quilibre n�aura plus lieunbsp;d�s que Ton enlevera la paroi CD, a molns que Ianbsp;difF�rence de niveau �T du liquide dans les deux vases, ne soit nulle; ce qu�il s�agissalt de d�montrer.

Les deux sections AB et CD �tant comprises dans Un m�me plan, si Ton verse au-dessus de AB unnbsp;liquide qui s��l�ve jusqu�en A'B', et dont la densit�nbsp;soit f', il exercera sur AB une pression �gale a f'gbh jnbsp;h h �tant l�aire de AB et la distance comprisenbsp;entre les sections horizonlales AB et A'B'. Cette pression se transmettra sur CD, o� elle sera �gale a f'gch,nbsp;et s�exercera de bas en haul; et pour la d�truire, ilnbsp;faudra fermer Ie vase en CD par une parol fixe, ounbsp;verser au -dessus de CD un fluide dont la pression surnbsp;CD soit �gale et contraire a fgt;'gek. Dans ce derniernbsp;cas, si Ie fluide s��l�ve jusqu�en C'D', que l�on repr�-sente par sa densit� , et par k la distance comprisenbsp;entre C'D' et CD, la pression exerc�e par ce flu�denbsp;sur CD, sera et pour l��quilibre, il faudra qu�onnbsp;ait f k = f'h.

On voit done que pour l��quilibre des liquides dlf-f�rens contenus dans des vases communiquans, 11 est 'l�cessaire que leurs densit�s soient en raison inverse

leurs �l�vations au-dessus des sections de ces vases, faites par un m�me plan horizontal. Si l�on verse de

nouvea�x liquides au-dessus de ceux qu�on vlent considerer, on veria de m�me qu�en d�signant parnbsp;h, h', K'y etc., les �paisseurs de ces liquides dansnbsp;l�un des vases, et par p', p', f', etc., leurs densit�s,nbsp;et en repr�sentant par k, A;, A;^, etc., p,, p,,, p^^^, etc.,nbsp;les quantit�s analogues dans un autre vase, il faudranbsp;qu^on ait l��quation

d�ou 11 r�sultera que les pressions rapport�es a l�unit� de surface seront �gales sur les deux surfaces sup�rieures AB et CD du liquide homogene qui va d�unnbsp;yase a l�autre, et qui peut �tre celui dont la densit�nbsp;est p', OU celui dont la densit� est p^, ou plus g�n�ra-lement un autre liquide quelconque, pourvu que lesnbsp;deux surfaces AB et CD, qui leterminent, soient comprises dans un m�me plan horizontal.

On peut remarquer que des couches infiniment minces, comprises dans des vases diff�rens, et conte-nues entre les m�mes plans horlzontaux, �prouverootnbsp;la m�me pression rapport�e a l�unlt� de surface; maisnbsp;au-dessus du plan qui termine Ie liquide inf�rieur�nbsp;elles pourront contenirdes liquides diff�rens; en sortenbsp;que les propri�t�s des couches de niveau, ou perpen-cliculaires a la direction de la pesanteur, ont bien lieu gt;nbsp;quant a F�galit� des pressions, mais non plus quaofnbsp;a Vhomog�n�it� du liquide (n� 586), lorsque ses cou'nbsp;chessont interrompues par des parois fixes.

598. Leslois de lequillbre des fluides pesans, dans des vasescomrauniquans, sont susceptibles d�un grant^

Celle qui se pr�sente la premi�re, et que nous ne ferons qu��noncer, est la th�orie des nivellemens etnbsp;des inslrumens qu�on appelle des niveaux.

Dans \e siphon, dont les deux branches s�ouvrent. a leurpartie sup�rieure, et qui contient de l�eau ounbsp;Un autre liquide, l��quillbre a lieu quand les deuxnbsp;extr�mit�s du fluide sont comprises dans un m�menbsp;plan, quelle que soit Ja grandeur de la pression at-ttiosph�riqueen ces deux points. L��quilibre peutaussinbsp;exister dans Ie siphon renvers�, pourvu qu�alors lanbsp;pression atrnosph�rique ait une grandeur convenable.

Solent ABC (fig. 42), ce tube renvers�, B son point Ie plus haut, E et F les points o� Ie liquide s�arr�tenbsp;dans ses deux branches, et qui sont situ�s dans unnbsp;ni�me plan horizontal. Si l�on appelle p la densit�nbsp;du liquide et h la hauteur du point B au-dessus denbsp;ce plan, la pression rapport�e a l�unit� de sui�face,nbsp;exerc�e par Ie liquide en ces points E et F sera �galenbsp;a fgh; et en appelant mr la pression atmosph�-rique qui s�exerce de bas en haut en chacun de cesnbsp;points, il faudra done qu�on ait -ar gt; pgh, ou tout aunbsp;plus , lt;ztr = fgh , pour que cette pression emp�che Ienbsp;liquide de s��couler. Dans Ie second cas, la pression aunbsp;point B sera nulle; dans Ie premier, elle sera �gale anbsp;��' �� fgh; et si l�on avalt -sr lt;; pgh, Ia pression au pointnbsp;� seralt negative , Ie liquide se diviserait en ce point,nbsp;s��coulerait par les deux branches du siphon. Aunbsp;^csle, dans Ie siphon renvers�, l��quilibre du liquidenbsp;est qu�instantau�, et ne peut s�observer qu�a raison denbsp;2-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;36

1�adherence de ses molecules entrc elles ou coniri? l�interieur du tube; d�s que sou extr�mit� F est �unbsp;peu au-dessous ou au-dessus de sou extr�mit� E,nbsp;l�exc�s de la pression atmosph�rique sur la pressioonbsp;du liquide^ est plus grand ou plus peilt au point Enbsp;qu�au point F , et Ie liquide s��coule par la brancbenbsp;BC OU par la branche BiV' du siphon. Dans l�usagenbsp;ordinaire de ce tube renvers�, la branche la plusnbsp;courte BA est plong�e dans un vase H , contenant unnbsp;liquide qul s��l�ve jusqu'au point D du tube; on faitnbsp;Ie vide, en aspirant l�air que ce tube renferme; Ienbsp;liquide s��l�ve au-dessus de son niveau primitif, jus-qu�a cequ�ilait atteint Ie sommet B du tube; il descend ensuite jusqu�au point C, puis il s��coule parnbsp;cette extr�mit� du tube. L��coulement s�arr�terait,nbsp;lorsque Ie point D, en s�abaissant dans la branche BA^nbsp;se trouverait au-dessous du point C; ce qui ne peutnbsp;arriver, puisqu�on suppose que AB est la plus courtenbsp;des deux branches du tube.

La presse hjdraulique, dout l�invention est attri-' bu�e a Pascal, consiste en une caisse prismalique elnbsp;verticale H (fig. 43), ouverte a sa partie sup�rieure 7nbsp;et remplie d�eau jusqu�en AB. Un couvercle plac� surnbsp;AB, ferme exactenient la caisse, et peut cependaf*nbsp;glisser Ie long de ses parois. Au-dessous de ABnbsp;trouve une ouverture C, a laquelie on adaptc un tubenbsp;coud�'CDE, dout la branche verticale DE est ouvertenbsp;a sa partie sup�rieure E. L�eau de la caisse s��coulenbsp;par l�orilice C; et, a cause du couvercle pose suinbsp;AB, ce liquide s��l�ve, dans Ie tube DE, jusqueonbsp;point Ej situ� au-dessus du prolongcment de cette

section horizontale AB. Cela �tant, si 1�on ajoute au poids du couvercle un nouveau poids X, Ie liquidenbsp;s�abaissera en A'B' dans la caisse H, et s��levera en F'nbsp;dans Ie tube DE. Parcette addition de X, la pressionnbsp;rapporte'e a l�uuite de surface sera plus grande en A'B'

de la section horizontale de H; en m�me temps, Ia pression, aussi rapport�c a Tunit� de surface, et duenbsp;au poids de l�eau conteriue dans Ie tube vertical DE,nbsp;augmentera d�une quantite fgx, en d�signant par p lanbsp;densit� du liquide, et par x l��l�vation du point F'nbsp;au-dessus du point F. Pour que le'quilibre sub-siste, il faudra done qu�on ait

equation qui fera connaitre Ie poids X d�apr�s 1�ob-servation de x. On a soiu que b soit une tr�s grande surface, afin que des elevations peu considerables denbsp;Peau dans Ie tube vertical, puissent r�pondre a denbsp;tr�s grandes charges du couvercle mobile, et servirnbsp;a les mesurer. La section horizontale du tube est tr�snbsp;petite par rapport ab, et il en r�sulte que les abais-semens du couvercle dans la caisse li sont tres pelits,nbsp;par rapport aux elevations du liquide dans Ie tube ;nbsp;Car si l�on appelle la distance comprise entro AB etnbsp;A^B', et c ia section horizontale du tube, on auranbsp;= cx, puisque Ie volume total de Peau doit �trenbsp;invariable. Le tube DE pourrait, au reste, n��tre ninbsp;''ertical, ni cjlindrique; et la formule pre'cedentenbsp;donnerait tonjours la valeur de X, pourvu que x fut

Un barom�tre est, en general, un tube ABC (fig. 44) gt; dont les deux branches BA et BC sont ver-ticales, et qui est ferme a 1�extr�mit� A de BA, etnbsp;ouvert a rexti'�mit� C de BC. On fait exactement Ienbsp;vide dans ce tube, puis on y verse du mercure, quinbsp;s��l�ve jusqu�en D dans la branche AB, et a une moin-dre hauteur, jusqu�en E, dans la branche ouverte CB.nbsp;Si Fon m�ne par Ie point E un plan horizontal quinbsp;coupe en F la branche AB, Ie mercure situ� au-des-sous de ce plan sera de lul-m�me en �quillbre; et,nbsp;pour que eet �tat subsiste, il faudra qrie les pressionsnbsp;rapport�es a l�unit� de surface, qui sont exerc�es ennbsp;F par Ie mercure FD, et en E par 1�atmosph�re,nbsp;soient e�gales entre elles. D�apr�s cela, j�appelle /mr lanbsp;pression atmosphe'nque, je d�signe par m la densitenbsp;du mercure, et par h la hauteur verticale du point Dnbsp;au-dessus du point F, c�est-a-dire, la difference desnbsp;niveaux D et F du fluide dans les deux branches dunbsp;bai�om�tre; la pression du mercure au point F auranbsp;pour valeur Ie produll mgh, et Fon aura, conse'nbsp;quemment,

L��quilibre du mercure ne sera pas trouble, si Fo� imagine que Ia branche BC se prolonge verticale-ment jusqu�a 1�extr�mit� de Fatmosph�re; par cons�quent , la pression atmosph�rique for, qui fait �qui'nbsp;libre a celle du mercure, n�est autre chose que 1�nbsp;polds de Fair contenu dans un cylindre vertica

ayant pour base l�unit� de surface ind�finimeiit dans l�atmosph�re : il depend du d�-croissement de la pesanteur, a mesu re que Ton s��-l�ve au-dessus de la surface de la terre, de Ia den-sit� et de la temperature des couches d�air, et desnbsp;quantiles de vapeur d�eau qu�elles peuvent conte-nir. Ce poids pouvant varier dans un mcme lieunbsp;de la terre , la hauteur barom�lrique h varie aussi;nbsp;elle change encore de grandeur, a raison des ventsnbsp;verlicaux, qui rendent Ja pression atmosph�r�qucnbsp;plus grande ou plus petite qu�elle ne serait dansnbsp;l��tat de repos de I�air: a Paris, la valeur la plusnbsp;commune de li est o�,76.

Si 1�on remplacait Ie mercure par un aulre liquide dans Ie barom�tre, la hauteur h cliangerait en raison inverse de la densit� de ce liquide, com-par�e a celle du mei�cure, en supposant toujoursnbsp;qu�il y ait un vide sensiblement parfait, au-dessusnbsp;du niveau D, dans la branche ferm�e du barome-tre. Pour Peau, cetle elevation h est d�environnbsp;10quot;,4; et c�est aussi la plus grande hauteur a la-quelle Peau puisse s��iever dans une pompe, au-dessus de soa niveau ext�rieur. Quand il cxiste unenbsp;couclie d�air entre la surface du liquide et Ie piston, eet air se dilate; il exerce sur Ie liquide int�rieur une pression moindre que celle de 1 atmosphere, mais qui diminue I�elevation de lean, et lanbsp;''�duit a une grandeur que nous d�termiiierons dansnbsp;autre chapitre.

Spg. Nous allons mairitenanl noiis occuper du calciil des pressions exerc�cs par les liquides pesans

sur les parois inclindes ou courbes des vases qui les contiennent, el sur les surfaces des corps solides quinbsp;y soul plonges.

La pression exercee par un liquide homogene sur une pai�oi plane inclinde, est �gale au poids d�unnbsp;prisme de ce liquide qui aurait pour base cette pa-roi, et pour hauteur la distance de son centre denbsp;gravit� au niveau du liquide. En effet, soient a uunbsp;�l�ment de cette paroi, et z sa distance au niveaunbsp;du liquide; la pression sur eet �l�ment sera pc? ounbsp;fgzci),en mettantpour p savaleur pr�c�dente (a� 5q5)gt;nbsp;et comme les pressions sur tous les �l�mens sontnbsp;perpendiculaires a la paroi plane , la r�sultante denbsp;ces forces parall�les aura pour valeur Ie prodnit denbsp;fg et de l�int�grale de zco, �tendue a Ia paroi en-ti�re. Or, cette integrale est �gale a bz,, en appelant h l�aire de la paroi, et la distance de sounbsp;centre de gravit� au niveau du liquide ; la valeurnbsp;de Ia pression sur Ie plan inclin� sera done f�ghz, gt;nbsp;conforra�ment a l��nonc� du th�or�me.

Dans Ie cas de plusieurs liquides superpos�s daos Ie vase , on d�terminera s�par�menl les pression^nbsp;exerc�es ou transmises sur la paroi inclin�e, p3^nbsp;chacun de ces liquides; et leur somme sera la pression totale que cette surface plane aura a supporquot;nbsp;ter. La pression fsr de i�atmosph�re augraenter�nbsp;cette pression totale d�une quantit� �gale a

Tons les points de la base horizontale du vase �prouvant des pressions �gales, la r�sultante de cesnbsp;forces parall�les passe par Ie centre de gravit� denbsp;cette base; mais, dans Ie cas d�une paroi incliuee;�

les �l�meas inferieurs �prouveront des pressions plus grandes que celles des �l�mens sup�rieurs; et Ie pointnbsp;o� la r�sultante totale vient percer la parol, qu�onnbsp;peut appeler Ie centre de pression^ sera toujours plusnbsp;bas que Ie centre de gravil� de cette m�me surface.nbsp;Quand une parol plane, plong�e dans un liquide bo-mog�ne, tourne autour de son centre de gravlt�, lanbsp;pression qu�elle �prouve ne change pas de grandeur,nbsp;mals Ie point d application de cette force normale etnbsp;constante change de position sur cette surface.

600. Pour donner un exeraple de la determination du centre de pression , supposons que la paroi plane soit un trapeze ABCD (fig. 45), dont les deuxnbsp;bases AB et CD sont horizontales. Si nous partageonsnbsp;cette surface en �l�mens parall�les a ces bases et d�unenbsp;hauteur inliniment petite, chacun de ces �l�mensnbsp;�prouvera la m�me pression dans toute sa longueur,nbsp;et son centre de pression sera situ� a son milieu; or,nbsp;si Ton prolonge les cot�s AC'et BD du trap�ze, jus-qu�en leur point de rencontre K, et qu�ou m�ne lanbsp;droite KH, qui va de ce point au milieu H de AB,nbsp;cette droite passera aussi par Ie milieu G de CD, etnbsp;par les milieux de tous les �l�mens du ti�ap�ze; ellenbsp;i'enfermera done Ie centre de pression demand� � etnbsp;d ne s�agii'a que de d�terminer la distance de cenbsp;point a AB.

Soient x' cette distance, x celle dun �l�ment quelconque a la m�me base AB, u la longueur MNnbsp;de eet �l�ment, s sa distance au niveau du flu�de, h

hauteur du trap�ze. L�aire de eet �l�ment et la pression qu�il �prouve seront udx et ^jgzudx-, la pres^

sioa totale aura pour valeur Jquot; fgzudx; et d�apr�s la th�orie des niomeus des forces parall�les, on aura

Solt aussi c la distance de AB au niveau du liquide ; appelons � l�angle compris entre Ie plan vertical, qui va de cette droite au niveau du liquide, et Ie prolongement du plan du trap�ze; on aura

et si ron substitue cette valeur de z dans l��quation pr�c�dente, etqu�on supprime Ie facteur gp constantnbsp;et commun a ses deux membres, il en r�sultera

Je d�signeraipar acXh les longueurs des deux bases AB el CD, et par ^ la perpendiculaire abaiss�e dunbsp;point K sur CD ou h. La perpendiculaire abaiss�e dunbsp;in�rne point sur AB ou a sera k-\-h, et sur MN ounbsp;u, elle seranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� x; et cesdroites a, Z�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, �tant

Je tire la valeur de Z:, de la seconde proportion* puis je la substitue dans la premi�re; ce qui donne

En mettant cette valeur de u dans Tequalion pr�c�-dente, et effectuant les inte'grations, on en d�duit

Par cons�quent, si Ton m�ne a cette distance x', une parall�le EF a la droite'AB, Ie point P, o� ellcnbsp;coupera la ligne GH, qui va du milieu de AB a celuinbsp;de CD, sera Ie centre de pression du trapeze.

La figure 45 suppose que la base sup�rieure AB soit la plus grande; si Ie contraire avait lieu, il estnbsp;ais� de voir qu�il sullirait de remplacer 1�angle a parnbsp;son suppl�ment, ou de changer Ie signe de cosa,nbsp;dans cette formule.

Dans Ie cas de a = go�, la pai�oi est horizontale, et la formule se r�duit a

ce qui coincide, elfectivement, avec la distance du centre de gravit� du trapeze a sa base d.

Quel que soit Tangle ct, si cette base est a Jleiir fi�eau, on a c = o, et la valeur g�n�rale de x' de-vient

de sorte qu�elle est, dans ce cas, ind�pendante de 1 iiiclinaison de la paroi. Le trapeze se changera en un

TRAIT� DE M�CANIQUE. parallelogramme, quand on snppose /gt; = lt;2; ct l�on a

II50 change en un triangle dans les deux cas de =0 ct a = o; pour lesquels on aura

Dans !e premier cas, eest la base du triangle qui est a fleur deau, et x' eSt la distance du centre denbsp;pression a cette base; dans Ie second cas, x' est lanbsp;distance au sommet qui se trouve a la surface du liquide.

601. Sur une portion de surface courbe, les pres-sions se d�termineront en d�composant d�abord la pression normale a chaque element, en trois forcesnbsp;parall�les aux axes des coordonn�es, et calculantnbsp;ensuite par des int�grales doubles, les composantesnbsp;totales suivant ces trois directions, lesquelles compo-santes se r�duiront au moins a deux forces, quinbsp;pourront, Ie plus souvent, n��tre pas r�ductibles unbsp;une seule (n� 264). Mais quand il s�agira des pressioo�nbsp;exerc�es sur la surface enti�re d�un corps plong� dao�nbsp;un fluide, la reduction a une senle force aura tou-jours lieu, et cette r�sultante unique sera verticale;nbsp;ainsi qu�on va Ie voir.

du point quelconque M de sa surface, et preuons Ie niveau du fluide pour Ie plan des x et et Taxenbsp;des z vertical et dirigc dans Ie sens de la pesanteur-

Appelons Cl) r�l�nient diff�rentiel de la surface, etp Ia pression rapport�e a Tunite de surface, qui r�pon-dent au point M, de sorte que pco soit la pressionnbsp;exerc�e sur eet �l�ment, etdirig�e suivantIa normalenbsp;int�rieure MN. La yaleur de p sera la m�me pournbsp;tous les points qui sont a la m�me distance s du niveau du liquide, soit que ce fluide stagnant soit h�-mog�ne, ou qu�il soit seulement compos� de couchesnbsp;horizontales dont la densit� ne varie que d�une cou-che a une autre. Soient encore ct, �, gt;, les angles quenbsp;fait la normale MN avec des parall�les aux axes desa?,nbsp;j-, 3, men�es par Ie point M dans l�int�rieur du corps.nbsp;Enfin, projetons a sur les trois plans des coordon-n�es, et d�signons les projections de eet �l�ment,nbsp;par a sur Ie plan des^ et 3, par b sur celui des 3 etnbsp;X, et par c sur celui des x etj. Eu observant quenbsp;�t, �, y, sont aussi les inclinaisons du plan tangentnbsp;en M sur ces trois plans, npus aurons (n� lo)

ee qui montre que les produits pa, pb, pc, sont les eoniposanles parall�les aux axes des x, J, 2, de lanbsp;pression normale pco; en sorte que la composantenbsp;perpendiculaire a chaque plan des coordonn�es, et,nbsp;g�n�ralement a un plan quelconque, se d�duit de pco,nbsp;y remplacant 1��l�ment co par sa projection sur cenbsp;plan.

Cela pos�, Ie corps AMB �tant termin� de louter paris, il y a, au moins, un second �l�ment desa surface qui a la m�me projection sur chaque plan donn�,nbsp;que l��l�ment co. Ainsi, en abaissant du point M,nbsp;une perpendiculaire MP sur Ie plan des et z, cettenbsp;perpendiculaire, ou son prolongement,i'encontrera lanbsp;surface du corps en un point M', et la projection denbsp;l��l�ment co' qui r�pond a ce point, sera �gale a a sur cenbsp;plan, comme celle de co. Les deux �l�mens �tant situ�snbsp;a la m�me distance du niveau du liquide, �prouve-ront les pi'essions normales pco et pco , qui serontnbsp;entre elles comme les aires co et co', dont Ie rapportnbsp;peut avoir une grandeur quelconque. Mais leursnbsp;composantes parall�les a Taxe des x, auront unenbsp;valeur commune pa, et les forces pco et pco' agissantnbsp;sulvant les normales int�rieures MN et M'N', cesnbsp;composantes �gales agiront �vlderament en sens contraire Tune de l�autre, savoir, de M vers M' au pointnbsp;M, et de M' vers M au point M'. Par cons�quent lanbsp;composante parall�le a Taxe des x, de la pressionnbsp;exerc�e sur co, sera d�truite par la composante sui'nbsp;vant la m�me direction, de la pression exerc�e surnbsp;un autre �l�ment co'. On verra de m�me que la coiu'nbsp;posante de pco, parall�le a l�axe des j-, sera aussinbsp;d�truite par la composante suivant cette direction, denbsp;la pression relative a un troisi�me �l�ment, lequelnbsp;r�pondra au point o� la perpendiculaire abaiss�e dunbsp;point M sur Ie plan des x et z, rencontrera une seconde fois la surface du corps. Or, on conclut de lunbsp;que ces composantes horizontales des pressions exer-cces sur les �l�mens de la surface du corps plong�, se

d�truisent dans chacmie des sections horizontales et infiniment minces, et, cons�quemment, sur sa surface enti�re. 11 s�ensuit done aussi que toutes cesnbsp;pressions se r�dulsent a une seule force, qui est lanbsp;r�sultante de leurs coraposantes verticales, et quinbsp;provient de la preponderance de la valeur de p dansnbsp;Ia partie inf�rieure du corps.

Si p r�sultait d�une pression exerc�e a la surface du liquide, sa valeur serait constante danstouter�tenduenbsp;de la surface AMB; et les composantes des pressionsnbsp;se d�truiraienl deux a deux , dans Ie sens vertical aussinbsp;bienque suivant les directions horizontales. Quelle quenbsp;soit la forme d�un corps solide ou fluide, une pression constante et normale, exerc�e en tous les pointsnbsp;de sa surface, ne peut done produire ui un mouvement de translation, ni un mouvement de rotation,nbsp;comme nous l�avons dit pr�c�demment (n� 584)-

602. Pour determiner la r�sultante des pressions vei'ticales exerc�es sur AMB, j�abaisse du point quel-conque M une perpendiculaire sur Ie plan horizontal des X ety, qui rencontre en cetle surface AMB.nbsp;Les �l�mens co et qui r�pondent aux points M etnbsp;M^, auront une m�mc projection c sur ce plan; maisnbsp;les pressions rapport�es a l�unit� de surface y serontnbsp;diff�rentes; et si on les d�signe par p et p,, Ie filetnbsp;du corps que terminent ces deux �l�mens, et dont lanbsp;longueur est MN, sera pouss� verticalement de basnbsp;on haut par une force pc�pf - Jo suppose, pournbsp;plus de simplicit�, que Ie liquide dans lequel Ienbsp;corps est plong� soit homogene; je repr�sente par ?nbsp;sa densit�, et par l la longueur de MM^, on aura

p�p,=fgh et la pression verticale pglc sera Ie polds du volume Ic du liquide, c�est-a-dire, Ie poids dunbsp;volume du liquide dont ce filet du corps occupe lunbsp;place. En de'composant Ie corps en filets verticaux etnbsp;infiniment minces, chacun de ces filets sera pouss� denbsp;bas en haut par une semblable force; d�oii Ton conclutnbsp;que la r�sultante de toutes les pressions verticales nenbsp;dilf�rera du polds des filets fluides remplac�s par ceuxnbsp;du corps plong�, que par Ie sens de son action; eunbsp;sorte qu�elle sera �gale au poids total du volume dunbsp;fluide que d�place ce corps solide, et appliqu�e en sensnbsp;contraire de la pesanteur, au centre de gravit� de ccnbsp;volume; lequel centre de gravit� se confondra avecnbsp;celui du corps m�me, lorsque celui-ci sera homo-g�ne.

Si Ie corps n etait pas enti�rernent plong� dans Ie liquide, on pourrait, dans Ie calcul de la pressionnbsp;qu�il �prouve, faire abstraction de sa partie situeenbsp;au-dessus du niveau du liquide; Ie point appar-tiendrail alors a la section du corps faite par Ie px'Oquot;nbsp;longement du plan de ce niveau; et, en prenantnbsp;p^ = o, ce cas rentrerait dans Ie pr�c�dent. La requot;nbsp;sultante des pressions verticales, qui sera toujoui'Snbsp;celle de toutes les pressions, aura alors pour valeu*'nbsp;Ie poids du volume du liquide d�plac� par la pai�tienbsp;plong�e du corps flottant, et pour point d�applicuquot;nbsp;tion Ie centre (ie gravit� de ce m�me volume.

6o5. Ces r�sultais ont encore lieu, lorsque Ic bquot; quide est compos� de couches horizontales. On J pa��'nbsp;vient aussi pai� une consid�ration indirecte, qu�il estnbsp;bon d�indiquer.

L��quilibre ayant lieu dans ce liquide, il ne sei�a pas trouble si Ton solidifie une partie quelconque dunbsp;liquide, de sorte que cette partie devienne un corpsnbsp;plong� OU flottant. Or, pour que les pressions nor-niales exerc�es sur la surface de ce corps par Ie liquide environnant, fassent �quilibre au poids de cettenbsp;partie solide, il faudra qu�elles se r�duisent a unenbsp;seule force �gale et directement contraire a sou poids.nbsp;D�ailleurs, si l�on remplace la partie solidifi�e du liquide par un autre corps qui ait exactement lanbsp;m�me surface, il |est �vident que rien ne sera changenbsp;aux pressions du fluide environnant ; par cons�quent, les pressions exerc�es sur la surface d�unnbsp;corps plong� en tout Ou en partie dans un liquidenbsp;stagnant, homogene ou h�t�rog�ne, se r�duisentnbsp;loujours a une force unique, �gale au poids total desnbsp;couches horizontales du liquide, dont ce corps oc-cupe la place, et appliqu�e, en sens contraire de lanbsp;pesanteur, au centre de gravit� de ces m�mes couches.

On conclut de la que, pour lequilibre d�un corps enti�rement plong� dans un liquide, il faut que sanbsp;densit� moyenne solt �gale a celle du liquide dont ilnbsp;occupe la place, et que sou centre de gravit�, et celui de cette portion de liquide, soient situ�s sur unenbsp;m�me verticale. La seconde condition est toujoursnbsp;remplie, quand Ie corps est homogene, ainsi que Ienbsp;liquide. Quant aux corps qui ne sont immerg�s qu�erinbsp;partie, et qui flottent ii la surface du liquide, nousnbsp;�^xamineronsdes conditions de leur �quilibre dans Ienbsp;chapitre suivant.

l�Hyclrostatique qu�on vient de d�raontrer, en disant qu�un corps plong� dans nn liquide, y perd une par-tie de son poids, �gale au poids du fluide qu�il d�-place (n� iQi).

II en r�sulte que pour avoir Ie veritable poids d�un corps, il dolt �tre pes� dans Ie vide. Deux corps pesos dans l�air, dans Teau, ou dans tout autre flu�de,nbsp;et qui se font �qullibre au moyen d�une balancenbsp;exacte, ont des poids r�ellement difierens, a molnsnbsp;que leurs volumes ne soient �quivalens. Le poids Ienbsp;plus grand est celui du corps qui a le plus grand volume, puisque ayant �prouv� une plus grande perlenbsp;dans le flu�de, il y fait encore �quillbre a l�autre.

Si un m�me corps est pes� successivement dans le vide et dans 1�eau, et que P soit son poids dans lenbsp;vide , et P' son poids dans l�eau, P et P�F serontnbsp;les poids absolus de ce corps et de l�eau sous unnbsp;m�me volume; ils sont done entre eux comme lesnbsp;densit�s de ces deux substances (n� 6o). Par consequent, si l�on prend pour unite la denslt� de l�eau, etnbsp;qu�on appelle D celle du corps, on aura

C�est d�apr�s cette fox'mule qu�on de'lermine les den-sil�s des corps qui peuvent �tre pes�s dans l�eaux saus s�y dissoudre, au moyen de la balance hydros-tatique.

6o5. La demonstration du n� 6o i s�appllque �ga-lement aux parois lal�rales d�un vase qui conlient u� liquide; et l�on en conclura que les composantes ho'

rizontales des pressions exerc�es de dedans en dehors, sur toute la surface int�rieure dn vase, se d�fruisentnbsp;deux a deux; en sorte que si Ie fond du vase'est pos�nbsp;sur un plan fixe et horizontal, Taction des fluidesnbsp;qu�il contient ne pourra pas Ie mettre en, mouvement ; ce qui r�sulte aussi du principe de la conservation du mouvement du centre de gravit� (n� 553).nbsp;Mais si Ton fait une ouverture a Tune des parois la-t�ralesj au-dessous du niveau du liquide, celui-ci s��-coulera par eet orifice; et la pression n�ajant plusnbsp;lieu sur la partie de la paroi qu�on a enlev�e ,'cellenbsp;qui est exerc�e a la partie oppos�e du vase ne seranbsp;plus de'truite; par cons�quent, ce vase sera mis ennbsp;mouvement en sens contraire de T�coulement dunbsp;fluide. Ce principe est celui des diff�rentes sortes denbsp;machines a reaction, et sur lequel est fond� Ie mojennbsp;propose par D. Bertiouilli, pour mouvoir les bateauxnbsp;sans Ie secours des rames ni du vent.

On verra aussi, par Ie m�me raisonnement que dans Ie n� 602, que la pression totale exerc�e sur Ienbsp;fond du vase et sur ses parois lat�rales, est toujoursnbsp;�gale au poids du fluide qu�11 contient, et appliquee^,nbsp;dans Ie sens de la pesanteur, au centre de gravit� denbsp;ce fluide. Chaque filet vertical du fluide, qui va, sansnbsp;interruption, de son niveau a un point quelconquenbsp;�in vase, exerce sur ce point une pression normale,nbsp;dont la composante est �gale au poids de ce m�me fi-^ct. Celui qui rencontre en deux points la surface inferieure du vase, comprenant Ie fond et les paroisnbsp;lat�rales, exerce en ces deux points des pressionsnbsp;dont les coraposantes verticales sont dirig�es en sensnbsp;2-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;37

contraire Tune de l�autre. La composante qui r�pond au point inf�rieur, est dirig�e dans Ie sens de la pe-santeur, et l�emporte sur l�autre d�une quantit� �galenbsp;au poids de ce filet; et, de cette mani�re, la r�sultante des pressions verticales de tous ces filets fluides,nbsp;nest autre cliose que Ie poids m�me du fluide ennbsp;question.

II faut distinguer cette pressioa de celle qui a lieu seulement sur Ie fond du vase (a� SgS), et qui n�estnbsp;�gale au poids du fluide que quand Ie vase est un cy-lindre ou un prisme droit. Elle est moindre que cenbsp;poids, lorsque Ie vase s��largit en allant du fond a sanbsp;partie sup�rieure, paree que les filets verticaux dunbsp;fluide, qui partent de son niveau, et sont intercept�snbsp;par les parois lat�rales, ne pressent pas sur Ie fondnbsp;du vase; elle est, au contraire, plus grande que Ienbsp;poids du liquide, quand Ie vase* va en se r�tr�cis-sant, paree que les filets verticaux qui partent dunbsp;fond du vase, et sont intercept�s par les parois lat�rales, exercent n�anmoins la m�me' presslon verticale sur Ie fond du vase, que s�ils s��tendaieutnbsp;jusqu�au niveau du liquide; ce qui manque au poidsnbsp;de chacun de ces filets incomplets, �tant remplac�pa*nbsp;la r�sistance de la paroi a laquelle ils vlennent aboutif *

'^\lt;WVVVX'WWWVVWVVgt;\lt;V\'W\lt;VVVVVVWWX'VV\^'WVWVWVWVVVWV\'VVVVV\\IV\Wgt;WVVWVVVWVV\A'VWW%

CHAPITRE IV.

606^ Pour qu�un corps pesant puisse se tenir en �qullibre a la surface d�un liquide stagnant, il est necessaire que son poids soit moindre que celui d�unnbsp;volume de ce fluide �gal au sien; toutefois, il y a desnbsp;cas o� il se forme autour d�un corps flottant un es-pace vide de peu d��tendue, qui doit �tre ajout� anbsp;son volume, et qui dimiriue, conse'quemment, sanbsp;densit� moyenne; de sorte que des corps d�un petitnbsp;volume peuvent surnager, quoique leur densit� pro-pre surpasse celle du liquide. Nous ferons abstractionnbsp;de cette circonstance, qui se rapporte a la th�orienbsp;des ph�noiii�nes capiilaires, dont il ne sera pas question dans ce Trait� (n� 588).

La densit� du corps solide, s�il est homogene, ou sa densit� moyenne, s�il ne Test pas, �tant moindrenbsp;que celle du liquide, Ie corps s�enfonce dans Ienbsp;fluide, jusqu�a ce que Ie poids du liquide qu�il d�-place solt devenu �gal a son poids entier; et quandnbsp;cette �galit� a lieu, Ie corps reste en �quilibre, si sonnbsp;centre de gravit� et celui du fluide d�plac� sont si-tu�s sur une m�me verticale; car la pression du liquide qui doit faire �quilibre au poids du corps, est

�gale au poids du liquide d�place, et appliqu�e a son centre de gravit�, en sens contraire de la pesan-teur (n� 602).

Si Ie corps flottant est homogene, aiissi bien que Ie liquide, Ie centre de gravit� du liquide d�plac�nbsp;coincide avec celui de la portion immerg�e du corps.nbsp;Dans letat d��quilibre, Ie volume de cette partie dunbsp;corps est a celui du corps entier, comme la densit�nbsp;du corps est a celle du liquide j et la determinationnbsp;des positions d��quilibre d�un corps flottant s^ r�d uitnbsp;a un probl�me de G�om�trie, dont voici l��nonc�.nbsp;Couper un corps par un plan, de mani�re que Ie volume d�un segment soit a celui du corps, dans unnbsp;rapport donn�, et que les centres de gravit� du segment et du corps se trouvent sur une m�me perpendiculaire au plan coupant. Quand on a d�termin� unenbsp;section du corps qui satisfait a ces deux conditions,nbsp;on la place au niveau du liquide^ de mani�re que Ienbsp;segment dont on a consid�r� Ie volume, soit situ�nbsp;au-dessous, et l�on a une des positions d��quilibre dunbsp;corps flottant.

Dans chaque cas particulier, on exprimera ces deux conditions par des �quations, dont la solutionnbsp;compl�te fera connaitre toutes les positions d��qui'nbsp;libre de ce corps. Quelquefois leur nombre sera iu'nbsp;fini, comme dans Ie cas des solides de r�volutionnbsp;dont l�axe est horizontal; d�autres fois, ce nombre seranbsp;fini et d�termin�; mais il serait difficile de d�mon-trer, a priori, qu�il j a toujours une position d��qui-libre, quelle que soit la forme du corps.

qu�on vient d��noncer, Ie cas d�un prisnie droit et triangulaire, dont les ar�tes sont horizontales. Lenbsp;plan coupant leur sera �videmment parall�le; denbsp;plus, sa direction sera ind�pendanle de la distancenbsp;comprise entre les deux bases. On pourra done fairenbsp;abstraction de la longueur du prisme, et determinernbsp;seulement I�intersection du plan coupant et de Tunenbsp;des deux bases; de sorte que le probl�me se rappor -tera a la Geometrie plane; ce qui aurait lieu �gale-ment dans le cas d�un prisme ou d�un cylindre horizontal a base quelconque.

Soit ABC (fig. 4?) 1�une des bases du prisme donn�. II peut arriver que deux sommels de ce triangle soientnbsp;plong�s dans le liquide, ou qu�il n�y en ait qu�un seulnbsp;au-dessus du niveau. J�examinerai d�abord le cas d�unnbsp;seul sommet immerg�; on verra ensuite commentnbsp;1�autre cas se ram�ue a celui-Ia. Soieiit done C ce som-�liet immerg�, et MN I�intersection du plan coupant etnbsp;de la base ABC, qu�il s�agit de determiner, et qui re-pr�sentera le niveau du liquide. J�appellerai a, h, e,nbsp;les c�t�s donn�s de ce triangle ABC, qui sont respec-tivement opposes aux angles A , B, C; et je d�si-gnerai par x et f les c�t�s inconnus CM et CN dunbsp;Iriangle MNC ; de sorte qu�on ait

L�aire d�un triangle quelconque est �gale au profluit de deux de ses c�t�s et du sinus de l�angle com-pris; on aura done

Ije prisme entier et Ie prisme plong� dans Ie liquide spnt entre eux comme leurs bases ABC et MNC; onnbsp;doit done avoir

r �tant une quantite' plus petite que Tunit�, qui re-pr�sente Ie i�apport de la densit� du corps flotlant a celle du liquide. En mettant pour ABC et MNC leursnbsp;valeurs pr�c�dentes, cette proportion donne

Maintenanl, soit D Ie milieu de la base AB; menons la droile CD, et preuons sur cette ligne DG=jDC; Ie point G sera Ie centre de gravit� du triangle ABC.nbsp;De m�me, E �tant Ie milieu de MN, si Fon prendnbsp;sur CE une partie EF = ^ CE, Ie point F sera Ienbsp;centre de gravit� de MNC. La droile GF devra donenbsp;�tre perpendiculaire a MN; niais, a cause que les li'nbsp;gnes CD et CE sont coup�es en parties proportlon-nelles aux points G et F, les droites DE et GF sontnbsp;parall�lesj par cons�quent, la droite DE, qui jointnbsp;les milieux des deux bases AB et MN, est aussi perpendiculaire a MN; et il en r�sulte que les deux obliques DM et DN sont �gales.

R�ciproquement, si l�on a DM � DN, la droit� DE sera perpendiculaire a MN, alnsi que sa parallel�nbsp;GFj done, pour que Ia droite qui joint les deuXnbsp;centres de gravit� G et F solt perpendiculaire a Tin-tersection MN, il est n�cessaire et il suffit que les valeurs de DM et DN soient �gales.

et � les deux parties DCA et DCB de Tangle ACB. En consid�rant les deux triangles DCM et DCN , nousnbsp;aurons

Les equations (1) et (2) sont celles qui devront servir a determiner x et j. Par 1 elimination de j,nbsp;on en d�duit

X* � 2^x^ COS a -j- 2hmbx cos C � nbsp;nbsp;nbsp;= 0.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(3)

, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rabnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

L�e'quation (3) �tantd�un degr� pair, et ayant son dernier terme n�gatif, il s�ensuit qu�elle a une racinenbsp;positive et une n�gative. Les deux autres racines peu-vent �tre r�elles ou imaginaires. Si elles sont r�elles,nbsp;la regie de Descartes fait voir que T�quation (5) auranbsp;trois racines positives, et une racine n�gative j car ennbsp;consid�rant les signes de ses tenues, et soit qu�onnbsp;donne Ie signe -j- ou Ie signe � au troisi�me terme,nbsp;qu�on y peut comprendre avec un coefficient nul, onnbsp;ti'Ouve toujours trois variations et une permanence.nbsp;Ees inconnues x et j, qui sont les c�t�s du trianglenbsp;MNC, ne pouvant �tre que des quantit�s positives.

respectivement moindres que les c�t�s CA et CB du triangle ABC, on rejettera done, comme �trang�res anbsp;la question, la racine negative de 1�e'quation (5), lesnbsp;valeurs de sc plus grandes que a, et celles qui don-neraieht une vale�r de j plus grande que b. Ainsi,nbsp;il y aura, au plus, trois positions d��quilibre pournbsp;lesquelles Ie sommet C est seul plong� dans Ie liquide.

608. Si l�on suppose ce sommet hors (Jh^fluide, et les deux points A et B au-dessous du niveau MN, Ienbsp;probl�me sera Ie m�me que dans Ie cas pr�c�dent,nbsp;a vee cette seule difference que la quantit� r devranbsp;�tre remplac�e par 1� r dans les equations (i) et (3).nbsp;En effet, Ie triangle ABC, et ses deux parlies MNC etnbsp;MNBA, ajant leurs centres de gravit� sur une m�menbsp;droite, et cenx de ABC et de la seconde partle de-vant �tre situ�s sur une perpendiculaire a MN, il fau-dra toujours que les triangles ABC et MNC aientnbsp;aussi leurs centres de gravit� sur cette perpendiculaire; en sorte que l�on aura d�abord, sans aucuunbsp;changement, 1 equation (2), qui exprime cette condition. D�ailleurs, la proportion

MNC : ABC :: 1 � r : r,-ce qui change aussi l��quatlon (r) en cette autre;

En s�eii servant pour �liminer f de Tequalion (2), on retrouvera Tequation (5), dans laquelle Ie rapportnbsp;r sera remplac� par i � r, c�est-a-dire, que Tonnbsp;aura

En raisonnant comme pr�c�demment, on conclura de cette equation, qu�il y a au plus trois positionsnbsp;d��quilibre, pour lesquelles les deux sommets A et Bnbsp;du solide sont plong�s dans Ie fluide.

Si Ton consid�re successivement les trois sommets A, B, C, et si Ion examine, pour chaque sommet,nbsp;les cas o� il est seul plong� dans Ie fluide et seulnbsp;hors du fluide, on d�terminera toutes les positionsnbsp;horizontales d��quilibre du prisme donn�; et il r�-Sulte de ce qui precede, que ce nombre ne pourranbsp;jamais �tre plus grand que dix-huit.

609. Lorsque Ie triangle ABC est isosc�le, on peut se passer de l��quation (3) ou (4), et r�soudre direc-tement les equations en x etj. Je suppose qu�on aitnbsp;hz=a, les triangles CAD et CBD seront rectanglesnbsp;et �gaux; on aura

C = a, = �* � ~c��, acosa = hl et les equations (i) et (2) deviendroutnbsp;xjr^ra\ j� �X* ��^)=�. (5}

valeurs qui sont admissibles, a cause de r lt; i et �. II ea r�sulte une premi�re position d��-quilibre, dans laquelle Ie triangle MNC est isosc�le,nbsp;et OU la base AB du triangle ABC sera parall�le a MNnbsp;OU horizontale. En changeant r en i �r, on auranbsp;une seconde position, ou Ie point C sera situ�nbsp;hors du liquide, et la base AB loujours horizontale.nbsp;Mais il peut aussl exister d�autres positions d��qui-libre, pour lesquelles cette base sera inclin�e.

En effet, sij�on supprime Ie facteur j�-x de Ia seconde equation (5), il vient

Celle-ci et la premi�i'e equation (5) donnant'la sonime et Ie produit des deux inconnues a? et ^, dnbsp;s�ensuit que ces quantit�s seront les deux racinesnbsp;d�une m�me equation du second degr�, lesquellesnbsp;racines auront pour expression

On prendra successivement chacune d�elles pour etl�autre pour ��; et quand elles seront toutes deuXnbsp;r�elleset moindres que a, il en r�sultera deux nou-velles positions d��qullibre, dans lesquelles la basenbsp;AB sera situ�e hors du liquide. En mettant i �- r aunbsp;lieu de r, et supposant toujours les racines r�ellesnbsp;plus petites que a, on aura deux autres positions ounbsp;cette base sera immerg�e.

Lorsque les deux racines qu�on vient d��crire sont egales, la base AB est horizontale, et ces nouvellesnbsp;positions d��quilibre doivent rentrer dans les pr�c�-dentes; et, efl�ctivement, on a alors4lt;t��c�=4a*\/7',nbsp;ce qui donne jr-=,x=- a \/r.

610. Dans Ie cas du triangle e'quilat�ral, on fera cz=a, dans les formules pr�c�dentes. Les valeursnbsp;�gales de x etj ne seront pas chang�es 5 leurs valeursnbsp;in�gales deviendront

dans Ie cas d'un seul sommet hors du liquide. II s�a-gira done de savoir quelle doit �tre la fraction r, pour que ces valeurs soient r�elles et momdresnbsp;que a.

Or, si 1�on a rlt; ^ et gt; la premi�re formule sera r�elle, et ses deux valeurs seront moindres quenbsp;�; hors de ces limites, cette formule sera imaginaire,nbsp;Ou bien une de ses valeurs surpassera a; et de m�me,nbsp;pour que les valeurs de la seconde formule soientnbsp;r�elles et plus petites que a, il est n�cessaire et ilnbsp;sufEt que l�on ait r lt; v d gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;voit done que

depuis r = -^ jusqu�a r=i;, la premi�re formule sera seule admissible; que ce sera, au contraire, lanbsp;seconde qui sera seule admissible depuis r = i jns-

Comme tout est semblable par rapport aux trois sommets du triangle equilateral, Ie nombre des positions d��quilibre sera toujours un multiple de trois,nbsp;et ce nombre total pourra �tre six 'ou dix -buit ^ sui-vant la valeur de r.,

6i I. Outre leurs positions horizontales d��quilibre, les prism es et les cjlindres homog�nes ont aussi desnbsp;positions d��quilibre, dans lesquelles leurs ar�tesnbsp;sont verticales, et leurs bases, parall�lesau niveau dunbsp;liquide, et qui soni doubles pour chaque corps,nbsp;paree que Tune ou l�autre des deux bases peut �trenbsp;plong�e dans Ie fluide. Un prisme vertical et sanbsp;partie immerg�e ont leurs centres de gravit� sur unenbsp;m�me perpendiculaire au niveau; Ie rapport de leursnbsp;volumes est Ie m�me que celui de leurs hauteurs;nbsp;et, par cons�quent, la hauteur du prisme immergenbsp;est a celle du prisme entier, comme la densit� ^dunbsp;corps est a celle du liquide, ce qui sufEt pour d�ter-miner l�enfoncement du corps dans son �tat d��qui-libre.

Les solides de r�volution, et g�n�ralement tous les corps sjm�triques autour d�un axe, ont de m�niunbsp;deux positions d��quilibre dans lesquelles cette droitenbsp;est verticale, et qu�on d�terminera sans difScult�.nbsp;Supposons qu�il s�agisse,par exemple, d�un ellipso�denbsp;homogene, dont les trois demi-axes soient a, b,nbsp;placons l�axe zc verticalement, et soit u la distancenbsp;du plan des deux autres axes a la section aJleurd�cau;nbsp;u �tant une incounue positive ou negative, selon

cette section se trouvera au-dessous ou au-dessus du centre de l�ellipso�de. Soit aussi Z Faire de la sectionnbsp;horizontale de ce corps, faite a une distance quel-conque z de son centre; Ie volume du demi-ellipso�de

la valeur de la tranche comprise entre la section afleur d�eau et la section horizontale faite par Ie centre dunbsp;corps, eb qui aura Ie m�me signe que u. Dans Ie casnbsp;d��quilibre , on aura done

r e'tant toujours Ie rapport de la densit� du corps flottant a celle du liqnide. Ce corps �lant un ellipso�de , on aura (n� 89)

Elle aura toujours une seule racine r�elle, comprise entre zte, qui sera positive ou negative, selon lt;lue Fon aura r gt;� | ou r lt; Dans les cas extremesnbsp;de r = o et r = i, cette racine sera = c etnbsp;= � c.

�n corps sym�trique autour d�un axe vertical, etant plong� successivement et par la m�me partie,nbsp;dans ^ff�rens liquides, s�y enfoncera de quantit�s

dont les volumes seront en raison inverse des densites de ces flu�des. C�est sur ce principe qu�est fond� l�u-sage du p�se-liqueur ou ar�om�tre, pour comparernbsp;entre elles les densit�s de divers flu�des.

612. Parmi les differentes positions d��quilibre d�u� m�me corps solide flottant a la surface d�un liquide,nbsp;il y en a qui sont stables, et d�autres qui ne Ie sontnbsp;pas; et d�apr�s ce qu on a vu dans Ie n� Bqo, si l�oanbsp;fait tourner ce corps autour d�un axe horizontal,nbsp;pour fixer les ide'es, ses positions successives d��qui-libre seront alternativement stables et instantan�es.nbsp;II iraporte de distinguer avec soin les premi�res desnbsp;deriii�res, qui ne subsistenl assez de temps pour �trenbsp;observ�es, qu�a raison d�une petite adherence dunbsp;corps flottant, au liquide avec lequel il est en contact.

Supposons d�abord que Ie corps flottant soit par' faitement sym�trique, pour la forme et p�ur la den-sit� de ses parties, de part et d�autre d�une sectio�nbsp;verticale ABCD (fig. 48)* Soit G son centre de gra-vit�, qui appartiendra a cette section. Dans son �tatnbsp;d��quilibre, soit aussi AC la droite ou cette sectio�nbsp;est coup�e par Ie niveau du liquide, prolong� da��nbsp;l�int�rieur du corps, et H Ie centre de gravit� du volume du flu�de d�plac� par !e corps; ce point appartiendra aussi a la section ABCD, et se trouvera surnbsp;la perpendiculaire BGK, abaiss�e du point G sur 1�nbsp;droite AC. Quand Ie corps sera homogene, H seranbsp;au-dessous de G, comme la figure ie suppose; niaisnbsp;quand on aura leste Ie corps flottant, c�est-a-dire,nbsp;quand on aura augment� la densit� de sa partie i�quot;

Cela �tant, concevons que l�on �carte un peu Ie corps flottant de sa position d��quilibre, en Ie faisantnbsp;tourner autour d�un axe perpendiculaire a ABCD, etnbsp;l�abandonnant ensuite a lui-m�me sans vitesse initiale. Quel que soit Ie mouvement que Ie corps pren-dra, la section ABCD demeurera toujours verticale,nbsp;et comprendra constamment Ie centre de gravit� G.nbsp;Dans cette nouvelle position, soit A'C' (fig. 49) ?nbsp;droite qui repi��sente Ie niveau du liquide, et quinbsp;coupe AC au point �, de raani�re que Ie segment dunbsp;. corps qui r�pond a AEA', soitentr� dans Ie liquide,nbsp;et que celui qui r�pond a CEC', en soit sorti. Je sup-poserai �gaux les volumes de ces deux segmens; ilnbsp;en r�sulte que Ie volume du liquide d�plac� par Ienbsp;corps n�aura pas change; Ie poids de ce volume denbsp;fluide sera done encore �gal a celui du corps, commenbsp;dans l��tat d��quilibre; or, Ie centre de gravit� G dunbsp;corps flottant doit se mouvoir comme si la masse denbsp;ce corps y �tait reunie, et que Ie poids de ce corpsnbsp;et la pression du fluide y fussent appliqu�es (n� 433);nbsp;et ces deux forces verticales agissant en sens contraire 1�une de l�autre, et �tant egales dans notrenbsp;bypoth�se, on n�aura point a consid�rer Ie mouv�-wient du point G.

Soient H' Ie centre de gravit� du volume du liquide d�plac�, apr�s que Ie corps a �t� �cart� de sa positionnbsp;d �quilibre. Ce point appartiendra, comme Ie centre denbsp;gravit� G, a la section ABCD; mais ils ne seront plusnbsp;sUu�s, en g�n�ral, sur la m�me verticale; la pression

du flu�de fera done tourner Ie corps a�tour d�une droite passant par Ie point G, et perpendiculaire a lanbsp;section ABCD; et il s�agira de savoir si ce mouvementnbsp;tendra a ramener Ie corps a sa position d�equilibre,nbsp;OU a l�en �carter da vantage, et a Ie faire chavirer.

Or, si Ton m�ne par Ie point H' la verticale qui rencontre la droite BGK perpendiculaire a AC,nbsp;au point M, 11 est �vident que la pression du flu�denbsp;qui s�exerce de bas en haut suivant la direction H'M,nbsp;tendra a ramener la droite BGK a sa position verticale , correspondante a lequilibre, ou a l�en �carternbsp;davantage, sejon que Ie point M sera situ� au-dessusnbsp;OU au-dessous du point G. Dans Ie premier cas, l��-quilibre sera stable, et dans Ie second, il ne Ie seranbsp;pas. Quand Ie point M et Ie point G co�ncideront, Ienbsp;corps restera encore en �quilibre, dans la positionnbsp;volsine de la premi�re, ou on l�aura plac�.

gt; Si Ie centre de gravit� G tombe au-dessous de celui du volume du liquide d�plac�, qui �tait H, dansnbsp;letatd��quilibre, c�est-a-dire, si ce point Gse trouv^nbsp;entre les points B et H, sur laligne BK, Ie point Mnbsp;se trouvera au-dessus de G, et r�quilibre sera ne-cessairement stable. Si, au contraire, Ie point G estnbsp;au-dessus de H, comme dans Ie cas d�un corps homO'nbsp;g�ne, Ie point M pourra se trouver au-dessus ou au-dessous de G, et F�quilibre pourra �tre stable ou noonbsp;stable. Le point M, dont la consideration sert a diSquot;nbsp;tinguer l�un d� l�autre, les deux �tats d��quilibre d�unnbsp;corps flottant, sym�trique par rapport a une sectionnbsp;verticale, est ce qu�on appelle le m�tacentre. Mais nonsnbsp;allons donner une autre r�gie, d�duite du principe

des forces vives pour sassurer, dans tous les cas, de la stabilit� de eet equilibre.

6f3. Pour cela, consid�rons un corps d�uue forme quelconque, homogene ou h�t�rog�ne, en equilibrenbsp;a la surface de l�eau. Soient ABCD (fig. 5o), la section de ce corps par Ie niveau de l�eau prolong� dansnbsp;son int�rieur, G Ie centre de gravit� du mobile, Hnbsp;celui du volume d�eau d�plac� par la partie immer-g�e de ce corps, V Ie volume de cette partio, et M Ianbsp;masse du corps entier; puisqu�on Ie suppose en equilibre, la droite GH est perpendiculaire au plan ABCD,nbsp;et*la masse d�eau d�plac�e est �gale a celle du corps,nbsp;de sorte qu�en appelant p Ia densit� de I�eau, on a

Supposons qu�on �l�ve la section ABCD au-dessus du niveau de Peau (lig. 5i), ou qu�on l�abaisse au-dessous, d�une quantit� tr�s petite ; qu�en m�menbsp;temps p on incline un tant soit peu Ie plan de cettenbsp;section; et, pour plus de g�n�ralit�, qu�on imprimenbsp;aussi de petites vitesses aux points du mobile. L��-qullibre sera troubl�; et la question de la stabilit�nbsp;consistera a examiner si, par suite du mouvementnbsp;que Ie corps prendra, la section ABCD, fixe dans l�in-t�rieur du mobile, s��cartera de plus en plus dunbsp;tiiveau de l�eau, ou si elle tendra a y revenir, ennbsp;oscillant de part et d�autre de ce niveau. Pendant Ienbsp;tftouvement qui aura lieu, Ie niveau naturel de Peaunbsp;coupe Ie corps flottant suivant une section variablenbsp;dans son int�rieur, qu�on appelle Ie plan de flotiai-^on. A un instant quelconque, soient A'B'C'D' cettenbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;38

section; AB''CDquot; une autre section variable de Cd corps, faite par un plan horizontal qui passe par Icnbsp;centre de gravit� de la section ABCD ; AC i�intersec*nbsp;tion de ABCD et ABquot;CDquot;, variable sur ABCD; �l�in-cliuaison mutuelle de ces deux sections ; ^ la distancenbsp;de ABquot;CDquot; au plan de flottaison, laquelle distancenbsp;sera regard�e comine positive ou comme negative,nbsp;suivant que cette section se trouvera au-dessous ounbsp;au-dessusdu niveau de l�eau. Les quantit�s variablesnbsp;9 et f sont suppos�es tr�s-petites a l�origine du mouvement; il s�agira de savoir si elles resteront tresnbsp;petites pendant toute sa dur�e.

614. En appelant u la vitesse variable d�un �l�ment quelconque dm de la masse du mobile. Ia somme desnbsp;forces vives de tous ses points sera donn�e par Fin-t�grale fu'dm �tendue a la masse enti�re, el 1 equation qui r�sulte du principe general des forces vives,nbsp;sera de la forme (n� 564)

c �tant une constante arbitraire, et (p une fonction d�pendante des forces qui sont appliqu�es aux pointsnbsp;du mobile.

Ces forces sont la gravit�, qui cgit sur tous ses points , et les pressions verticales que Ie fluidenbsp;exerce sur la partie iramerg�e de la surface du corps?nbsp;or, on peut substituer a ces pressions des forces mo-trices agissant sur tous les �l�mens dm de sa masse,nbsp;qui sont situ�s au-dessous du niveau de Feau, ennbsp;prenant pour chaque �l�ment une force dirig�e ennbsp;sens contraire de la pesanteur, et �gale au poids du

volume d�eau qu�11 remplace; car la r�sultante de ces forces motrices aura la m�ine gi'andeur, la m�menbsp;direction et Ie m�me point d�application, que cellenbsp;des pressions verticales (n� 602). De cette mani�re,nbsp;en d�signant par g Ia gravit� et par di� Telement dunbsp;volume du mobile qui correspond a l��l�ment dm denbsp;sa masse, la force motrice de dm sera gdm � g^dv,nbsp;si ce point materiel se trouve au-dessous du niveaunbsp;de l�eau, et gdni s�il se trouve au-dessus. Soit de plusnbsp;z la distance variable de dm au plan de flottaison,nbsp;positive OU negative, suivant que dm sera au-dessousnbsp;OU au-dessus de ce plan; il r�sulte de la valeur g�-neille de la fonction (p, donn�e dans Ie n� 564,nbsp;dans ia question qui nous occupe, on devra avoir

Ia premi�re de ces deux int�grales s��tendant a Ia masse enti�re du corps flottant, et la seconde, senle-ment a la partie immerg�e de son volume.

En abaissant du centre de gravit� G- de la masse M, une perpendiculaire GE sur Ie plan A'B'C'D', etnbsp;faisant GE = s,, on aura d�abord

pour la valeur de la premi�re integrale, .fe pariage Ia seconde en deux parties, i�une relative au volume V situ� au-dessous deAllCD, dans T�tat d��qni-I'bre, l�autre relative au volume compris entre lesnbsp;sections ABCD et A'B'C'D'. J�ai alors pour lanbsp;valeur de la premi�re partie; z' �tant la distance variable du centre de gravil� II du volume V au plan

de flottaison, c�est-a-dire, la longueui� de la perpendiculaire HF abaiss�e du point H sur Ie plan A'B'C'D^ En representant done pour un moment par A la va-leur de l�int�grale fzdv, �lendue a tous les �l�mensnbsp;dv du volume contenu entre ABCD et A'B'C'D', gpA'nbsp;sera la seconde partie de la seconde integrale comprise dans Fexpressiori de lt;p, et nous aurons

pour la valeur complete de cette quantit�. Mais la droite GH �tant perpendiculaire au plan ABCD, Tangle qu�elle fait avecla verticale GE est Tinclinaison 6nbsp;du plan ABCD sur un plan horizontal; si don? onnbsp;appelle a la longueur constante de GH, on aura

Ie signe sup�rieur ajant lieu quand Ie point G est au-dessous du point H, el Ie signe inf�rieur dans Ienbsp;cas contraire. En substituant cette valeur de dansnbsp;celle de lt;p, et observant que M=: Vf, il vieot

et il ne restera plus qu�a d�terminer la valeur de Tint�grale repr�sent�e par k.

6i5. Pour Tobtenir, je decompose Faire de la section ABCD en �l�mens infiniment petits; je les pto' jette tous sur Ie plan de flottaison A'B'C'D'j ce qn^nbsp;divise Ie volume corapris entre ces deux sections dunbsp;corps, en une infinite de cjlindres verticaux qui ontnbsp;pour bases les projections horizontales des �l�mens denbsp;ABCD. Je coupe ensuite un cylindre quelconque p^t�

une infinite de plans horizontaux, et je prends pour T�l�ment dv du volume que je consid�re,, la partienbsp;de ce cylindre comprise entre deux plans cons�cutifs,nbsp;dont les distances au plan de flottaison sont z etnbsp;z-\- dz, de sorte que eet �l�ment soit �gal a la basenbsp;du cylindre, raultipli�e par dz. Or, fZA �tantr�l�meutnbsp;diff�rentiel de Ia section ABCD, la projection horizontale , OU la base du cylindre correspondant, seranbsp;dA cos Q, puisque 9 est 1�inclinaison du plan de dAnbsp;sur Ie plan de projection ; on aura done

par cons�quent, l�iut�grale fzdv, relative a Tun dos cylindres verlicaux, sera Ie produitdet/A .cos �, et denbsp;fzdz, OU �gale a \j*� cos 9 . dA, en appelant J lanbsp;hauteur de ce cylindre , ou la perpendiculaire abais-s�e de dA sur Ie plan de flottaison. La quautit� qu�onnbsp;a repr�sent�e par k sera done

La perpendiculaire y se compose de deux parties : Tune comprise entre les deux plans parall�les A'B'C'D'nbsp;et ABquot;CDquot;, qu�on a repr�sent�e par ^, 1�autre comprisenbsp;entre dA et Ie second plan, qui sera �gale a l sin G, ennbsp;d�signant par l la distance de eet �l�ment a 1 intersection AC des deux plans ABCD et AB'''CD'''; on aura done

oil l�on regardera / comme une quantit� positive ou n�gative, selon que dA se trouvera au-dessous ou

au-dessus du second plan. En substituant cette va-leur dans l�e'quation pr�cedente, et observant que 'C et 9 sont constantes dans I�integration indiqu�e, ilnbsp;vient

J�appelle h l�aire de la section ABCD, o� la valeur 'de fdh', la droite AB renfermant, par hypothese, Ienbsp;centre de gravit� de cette section, l�int�grale fld\ estnbsp;nolle; et si I on fait

fMh = by%

de sorte que y soit une ligne d�pendante de la figure et de l��tendue de ABCD , on aura finalement

Cette formule n�est pas rigoureusenient la valeur de k; pour qu�elle Ie fut, il faudrait que Ie volumenbsp;compris entre les sections A'B'C'D' et ABCD fut unnbsp;cylindre vertical, tronqu� par Ie plan de la sectionnbsp;ABCD; mais quelle que soit sa forme, on concoit quenbsp;la valeur exacte de k doit dilf�rer tr�s peu de la pr�-c�dente, tant que les variables ^ et 9 sont tr�s pe'nbsp;tites; et il est facile de s�assurer que la difference denbsp;ees valeurs est une quantile du troisi�me ordre �nbsp;1��gard de 'C et 9. En substituant Ia valeur approch�enbsp;de k dans Fexpression de (p, faisant aussi

cp = =fc gp\a zp I gpVflO* _ A gpb {C gt;�0*),

6i6. La valeur de cette constante se detenninera d�apr�s les valeurs de m, 0, a l�origine du mouvement, qui sont suppos�es tres petites; c est done aussinbsp;une quantit� tres petite; et, de plus, lequation (b)nbsp;moutre que sa valeur est positive, si Ie coefficientnbsp;byz^Ya est positif, quand Ie mouvement commence.nbsp;Si ce coefficient reste positif pendant toute la dur�enbsp;du mouvement, on peut conclure de cette m�nienbsp;equation, par Ie raisonnemont d�ja employ� dans Ienbsp;n� 5'jo, que les variables ^ et 0 demeureront cons�nbsp;tamment tres petites; de raani�re qu�on aura a unnbsp;instant quelconque.

Ce qui fait voir que la stabilit� de 1�equilibre du corps flottant tient au signe de la quantit�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et

que cel �quilibre sera stable toutes les fois que cette quantit� sera positive a l�origine et pendant toutenbsp;� la dur�e du mouvement.

L�int�grale , qui est repr�sent�e par , ne peut �tre qu�une quantit� positive, puisque tous sesnbsp;�l�mens sont positifs. Le terme � Ya doit ctre pris

avecle signe -f-, quand Ie point G est plus bas que Ie point H; done, dans ce cas, Ie coefficient by^zizVanbsp;est positif, et Tequilibre est stable. Lors done que Ienbsp;centre de gravit� de la masse enti�re dun corps flot-tant est plus bas que celui du volume d�eau qu�ilnbsp;de'place dans sa position d�e'quilibre, on peut �trenbsp;certain de la stabilit� de eet �quilibre par rapport anbsp;tous les petits mouvemens qu�il est possible d�impri-mer a ce corps.

Si, au contraire, Ie point H est plus bas que Ie point G, Ie terme � Va dolt �tre pris avec Ie signe �;nbsp;il faut alors qu�on alt by�� gt; Va, pour que Ie coefficient Z);^*�Ya soit positif, et qu�on puisse assurernbsp;la stabilit� de l��quilibre. Or, la grandeur de la lignenbsp;5/varie avec la position de la droite AC, qui passenbsp;toujours par Ie centre de gravite' de la section ABCD,nbsp;et peut tourner autour *de ce point pendant la dur�enbsp;du mouvement; mais en faisant faire a la droite AC ,nbsp;une revolution enti�re, il est �vident qu�il y auranbsp;une position dans laquelle la ligne y sera plus petitenbsp;que dans toute autre position; si done on calculenbsp;cette plus petite valeur de y, et qu�on trouvenbsp;by�^ !gt; Va, il sera certain que Ie coefficient �j^'d^V�nbsp;ne peut devenir n�gatlf, et, par cons�quent, quenbsp;l��quilibre est stable.

Oans un vaisseau, par exemple, il est als� de voii� que la droite AC, a laquelle r�pond Ie minimum denbsp;rint�grale fl�dA, est la ligne qui va de la proue a la.nbsp;poups- On partagera done faire de la section a fleuJquot;nbsp;deem en �l�mens infiniment petits; puis on d�ter-minera par Ie calcul integral la somme de tous ces

cllt;imens, multiplies respectivement par Ie carr� de leurs distances a cette ligne; et pourvu que cette integrale surpasse Ie produit du volume d�eau d�plac�nbsp;par Ie vaisseau, et de la distance du centre de gravit�nbsp;de ce volume a celui du vaisseau, on pourra assurernbsp;que l��quilibre est stable, par rapport a tous les petitsnbsp;mouvemens du vaisseau, Ibrs m�me que Ie secondnbsp;centre de gravit� sera plus �lev� que Ie premier.

617. Apr�s nous �tre occup� de l��quilibre et de la stabilit� des corps flottans, nous allons actuelle-ment determiner leur mouvement, lorsqu�on les anbsp;un peu �cart�s d�une position dequilibre stable.nbsp;Pour r�soudre la question d�une mani�re compl�te ,nbsp;il faudrait avoir �gard a la fois a ce mouvement et anbsp;celui du liquide; c�est ce que je tacherai de faire dansnbsp;un autre ouvrage. Maintenant, je ne tiendrai pasnbsp;compte du mouvement du fluide; et pour simplifiernbsp;Ie probl�me, relativement au corps solide, je sup-poserai qu�il soit sym�trique de part et d�autre d unnbsp;plan , qui restera vertical pendant tout Ie mouvement.

Ce plan renferme les centres de gravit� G et H du mobile et du volume de fluide qu�il d�place dans sounbsp;�tat d��qullibre. Dans eet �fat, la droite GH est verticale ; on rincllne en la faisant tourner dans ce platinbsp;sutour du point G; puls on abaisse ou on �l�ve, pa-mll�lement a elle-m�me, cette droite dans ce m�menbsp;plan; on abandonne ensuite Ie mobile a Taction de

pesanteur et du fluide environnant, sans lui impr*-mer aucune vitesse initiale; et il est �vident que la Section du mobile faite par Ie plan dont il s�agit, �t

qui Ie coupe en deux parties sjm�triques, demeu-rera constamment verticale. L�intei'secliou AC des sections ABCD et ABquot;CD'', restei'a toujours perpendiculaire a ce plan vertical; et comme la droite ACnbsp;ren ferme, par hypothese, Ie centre de gravit� denbsp;ABCD, il s�ensuit que ce centre sera Ie point K ounbsp;elle coupe ce m�me plaii, el que ia droite AC ren-contrera toujours Ie contour de ABCD dans lesnbsp;m�mes points A et C. Independamment de la syme-trie du corps par rapport au plan pei'pendiculairenbsp;a AC, je supposerai, en outre, pour simplifier encore plus la question, que la droite GK soit perpendiculaire au plan de la section ABCD; ce qui auranbsp;lieu , par exemple, lorsque le plan des deux droitesnbsp;GK. et AC coupera amssi le mobile en deux partiesnbsp;syme'triques.

Au bout du temps quelconque t, compte de I�ori-gine du mouvement, je repr�senteral par la distance GE du point G au plan fixe A'B'C'D', par X, la distance mutuelle des deux plans horizontaux ABquot;CD''nbsp;et A'B'C'D', par 6 Tangle KGE compris entre la droitenbsp;GK et la verticale GE, par la distance de Telementnbsp;quelconque d\ de la section ABCD au plan A'B'C'DVnbsp;et par oc sa distance au plan vertical mend par lenbsp;point G et parall�le a la droite AKC. Je desigrierainbsp;aussi par I la distance constante de cet �l�ment a cettcnbsp;droite, et par h\amp; longueur donri�e de GK. II est ais�nbsp;de voir qu�on aura

^-l-/^cosB, j- = ^-|-Zsin6, nbsp;nbsp;nbsp;Zcos9-f-sin

oil 1�on regardera I, h, I, conime des quantiles pOquot;

sitives OU negatives, selon que T�l�ment cIa est a di�oite OU a gauclie de la droite AKC, que ia droit� GKnbsp;se trouve a droite ou a gauche de la verticale GE, etnbsp;que Ie plan ABquot;CDquot; est au-dessous ou au-dcssus dcnbsp;A'B'C'Dh Enfin, b �tant Taire de ia section ABCD ,nbsp;et y la m�me ligrie que pr�c�demment, on auranbsp;aussi

Les variables ^ et G feront connaitre la position du mobile a chaque instant. Pour ^ = o, on aura

o..

paree qu�ou suppose nulles les vitesses initiales de tons les points du corps, et en d�signant par a et �nbsp;des quantite's tres petites et donne'es. Le probl�menbsp;consistera a determiner les valeurs de Q et ^ en fonc-tions de ^, en supposant que ces variables demeurentnbsp;tr�s petite? pendant toute la dure'e du mouvement;nbsp;supposition qui permet de ne'gliger le carr� de G et lenbsp;produit de G et ^, et de consid�rer conmie un cjiindrenbsp;fi'onqu�, le volume compris entre ABCD et A'B'C'D'.

6i8. Le centre de gravit� G se inouvra comme si masse M du mobile y �fait reunie, et que lenbsp;Poids Mg du .corps et Ia r�sultante des pressions dunbsp;fluidey fussent appliques. Cette r�sultante est dirig�enbsp;sens contraire de Mg; elle est �gale a (V-|-U)fg,nbsp;lt;^n d�signant par V le volume d�eau d�plac� par Ienbsp;tiiobde dans son �tal d��quilibre, et par V C ee vo-

lume au bout du temps t. La force motrice du point Gf dirig�e dans Ie sens de la pesanteur, sera donenbsp;Mg- � (V �) fg, OU simplement �Ufg, a causenbsp;de M = Vp; sa vitesse initiale �tant nulle, il nenbsp;sortira pas de la verticale o� il se trouve a l�ori-gine du mouvement, et 1 equation de soa mouvement sur cette droite sera

- f�-U.

Abstraction faite du signe , U est Ie volume com-pris entre les deux sections ABCD et A'B'C'D'; de sorle qu�en d�composant ce volume en prismes ver-ticaux, comme pr�c�demment, on aura

U = fj COS, ^ (Ia

l�int�grale s��tendant a tous les �i�raens de h. En mettant pour j sa valeur pr�c�dente, on en con-clut

Si done on prend l�unit� pour cos � dans cette va' leur et dans celle de , qu�on les substitue ensuitcnbsp;dans l��quation du mouvement du point G, c*'nbsp;qu�on y mette aussi Vf au lieu de M, il vient

(^)

Enm�me temps, Ie mobile tournera autour du poio^ G, comme s�il �tait fixe, et que les forces qui 1*^nbsp;sollicitent ne fussent pas cbang�es (n� 438 )�nbsp;mouvenient de rotation aura done lieu autour

l�axe men� par Ie point G, et perpendiculaire au plan qui coupe Ie mobile en deux parties sym�tri-ques, et il sera d� uniquement aux pi�essions dunbsp;fluide environnant, puisque Ie poids du corps passenbsp;conslamment par ce point; par cons�quent, l��qua-tion de ce mouvement sera (n� Sga)

en d�signant par Ie moment d�inertie du corps par rappoi't a l�axe de rotation, par cj sa vitessenbsp;angulaire de rotation au bout du temps t, et par yu,nbsp;Ie moment total des pressions au m�rae instant etnbsp;par rapport au m�me axe. On regardera la vitessenbsp;ft) comme positive ou comme negative, selon que Ienbsp;mouvement aura lieu dans Ie sens indiqu� par lanbsp;fl�che s, ou dans Ie sens oppose; de sorte que l�onnbsp;aura

et, cola �tant, on devra prendi�e avec Ie signe -j-oa avec Ie signe �, dans la valeur de ju., les mo-niens des pressions qui tendront a faii�e tourner dans Ie sens de la fl�che 5, ou dans Ie sens oppose.

Or, Ie moment total fx, pourra se diviser en deux pai�ties, Tune relative au volume constant V, etnbsp;1�autre au volume variable U. La partie de la pres-sion correspondante au premier volume est �gale anbsp;Vpg, appliqu�e au point H, et dirig�e suivant HF;

perpendiculaire abaiss�e du point G sur cette droite prolong�e, s�il est n�cessaire, a pour valeur

lt;3sin�, en d�signant par a la distance GlI: la premi�re partie du moment sera done �V�pg sin 6, o� l�on prendra Ie signe superieur ou Ie signe inferieur, selon que Ie point H sera plus bant ounbsp;plus bas que Ie point G. Quant a la partie denbsp;qui r�pond a U, si l�on decompose toujours ce volume en pi'ismes verticaux, et que Ion consid�renbsp;la pression correspondante au prisme quelconqucnbsp;yco's^dx, laquelle est �gale et contraire au poids du volume d�eau qu�il d�place, on aura pgxr cos �dA pournbsp;Ie moment de cette pression, et, par cons�quent,nbsp;Pgfxj cos 6 d\ pour la seconde pax�tie de � l�int�gralenbsp;s��tendant a Faire b tout enti�re. En niettant pour xnbsp;ct j- leurs valeurs, et ayant �gard aux equations (i),nbsp;cette quantit� deviendi'a (t/^cos 6 hQpgb cos9sin6;nbsp;par cons�quent, la valeur compl�te de jx sera

Je r�duis, dans cette valeur, cos 9 et sin 9 a l�u-nit� et a 9, el je n�glig� Ie produit de ^ et 9 j pui' je la substitue, avec les valeurs de M et de a , dansnbsp;lequalion du mouvement de rotation , qui devienl,nbsp;de cette mani�re ,

Le probl�me d�pend done des deux �quations diff�rentielles [p) et (5); et comme les variables 9 et Cnbsp;j sont s�pai��es, il s�ensuit que le mouvement denbsp;rotation du corps floltant et celui de son centi'e dcnbsp;gt;Travit� scront ind�pendans Vun de 1�auire reircon-'-

Jance qui tient a ce quon a suppose la droite GK, qui va du centre de gravit� du mobile a celui denbsp;ABCD, perpendiculaire a cette section.

En integrant ces deux equations, et de'terniinant les constantes arbitraires d�apr�s les valeurs initiales

�'lt;=?gt; 9-1- S-

V J'

L�ordonn�e verticale du centre de gravitc etant �gale a7i ^, quand on n�glig� Ie carr� do 6, ilnbsp;s�ensuit que Ie mouvement de ce point sera Ie m�menbsp;que celui d�un pendule simple dont la longueur serait

ment, c�est-a-dire, pour que l��quiiibre, d�ou l�on a �cart� Ie corps flottant, soit stable, il faudra et ilnbsp;sufFira que la quantit� /?5^*�Vflsoit positive; cenbsp;qui s�accorde avec Ie tli�or�me du n� 6t6. Cette condition �tant rempiie, les oscillations de la droite GK,nbsp;de part et d�autre de la verticale GE, seront lesnbsp;m�rnes que celles d�une pendule simple qui aurait

pour longueur.

Si Ie corps flottant n��tait pas svm�trique de part et d�autre du plan des droites GK et AKC , et que la perpendiculaire abaiss�e du point G sur la section ABCDnbsp;diff�rat de la droite GK, les variables ^ et 9 ne seraientnbsp;plus s�pai��es dans les �quations (2) et (5); la pre-

Uii�re renfermerait un tcrme multipli� par ^ et la

seconde uu terme qui aurait ^ pour facteur; les mou-vemens de rotation et du point G ne seraient plus ind�pendans i�un de l�autre; et Ie mobile pourraitnbsp;ex�cuter quatre sortes d�oscillations simples, dans les-quelles son mouvement se d�composerait toujours,nbsp;conform�ment au principe de la coexistence desnbsp;petltes oscillations, et qui se reduisent a deux dansnbsp;Ie cas particulier que nous venons de consid�rer.

'AAVVV%'V%�ilAlt;^iV\gt;%'Vgt;'VVVVVVVWt'VV\'VV%/VVVVv%'VVVVVVVVVVVVVV^VVtiVVX'VVi'V\lVVVVVVM^V\lVVVV\VVgt;'VVgt;'VVVVM

CHAPITRE V.

61 g. D�apr�s ce qu�on a vu dans Ie n� SgS, l��qua-tlon d��quilibre du mercure contenu dans la branche ferm�e du barom�tre, et de Ia pression atmosph�-rique qui a lieu dans la branche ouverte, est

lt;zir d�signant cette pression rapport�e a l�unit� de surface, g la gravit�, m la densit� du mercure, et hnbsp;la dlft��rence de niveau de ce fluide dans les deuxnbsp;branches du barom�tre; et en supposaut qu�il n ynbsp;ait aucune pression sensible au-dessus de son niveaunbsp;dans la branche ferm�e.

De ce que Tequilibre ne dolt pas �tre trouble , si Ton suppose que la branche ouverte du barom�trenbsp;se prolonge jusqu�aux limites de l�atmosph�re, nousnbsp;avons conclu que la pression lt;Ztr est Ie poids d�unenbsp;colonne verticale et cylindrlque de l�atmosphere, quinbsp;aurait pour base l�unit� de surface et pour hauteurnbsp;Celle de ce fluide. Ce poids est done celui d�un cy-lindre de mercure, de m�me base, et dont la hauleurnbsp;est environ o�,'76; et il en r�sulte que !a pression denbsp;l�atmosph�re sur chaque m�tre carr� de la surface denbsp;la terre, est a peu pr�s dix mille kilogrammes.

Qaand on sel�ve au-dessus de cette surface, la hauteur et Ie poids de la colonne d�air qui presse surnbsp;Ie inercure du barom�tre, diminuent de plus en plus;nbsp;la hauteur h dolt done aussi diminuer, et il dolt exis*nbsp;ter un rapport entre cette hawteur et celle dont onnbsp;s�est �lev�, qui fera connaitre Tune au moyen denbsp;l�autre. Cette determination sera Fobjet sp�cial de cenbsp;chapitre; mais auparavant, il convient de tirer quel-ques consequences de 1��quation (i)�d�exposer lesnbsp;lois de la pression de l�air ou d�un gaz quelconque,nbsp;relativement a sa densit� et a sa temperature.

620. En appelant S la surface totale de la terre, exprim�e en metres carr�s , la masse de Tatmosph�renbsp;sera �gale a mS (o�,76); m �tant toiijours la densit�nbsp;du mercure. La masse de la terre est jsTSr, en d�si-gnant par r son rayon, et par S' sa densit� moyenne.nbsp;Si done la fraction f repr�sente Ie rapport de la premi�re masse a la seconde, on aura

en sorte que la masse de Tatmosph�re est un peu nioindre qu�un millioni�me de celle de la terre.

Si Tair avait la m�me densit� dans toute la hauteur de la colonne atmosph�rique, la hauteur de cette colonne et la hauteur h du mercure dans 1�nbsp;barom�tre seraient en raison inverse des densit�^

de l�air et du mercm�e; en appelant l la hauteur de 1 atmosph�re, dans cette hypoth�se, et d�signant par pnbsp;la densit� de Fair a la temperature z�ro et sous lanbsp;pression barom�trique o�,76, on aura done

I = �(oquot;,76);

L�atmosph�re doit �videmment s etendre beaucoup plus haut, puisque la densit� et Ie poids de ses couchesnbsp;diininuent a mesure qu�elles s��l�vent au-dessus de la^nbsp;surface de la terre. On fixera une llmite qu�elle nenbsp;peut atteindre, en d�terminant la hauteur a laquellenbsp;la force centrifuge est �gale a la pesanteur; car au-dela, la force centrifuge disperserait les mol�culesnbsp;d�air dans l�espace. C�est a l��quateur que cette li-mite est Ie moins �lev�e; or, en ce lieu, la force

centrifuge est ^ (n� 178) a la surface de la terre; a une hauteur z au-dessus de cette surface, elle de-vientnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et 1�intensit� de la pesanteur est

aSqr nbsp;nbsp;nbsp;(r 2)quot;' �

c�est-a-dire, a peu pres cinq fois Ie rayon de la terre. Ma�s il y a lieu de croire que, bien avant d�atteindrenbsp;a une si grande bauleur, 1�air est liqu�fi� par Ienbsp;froid, qui augmente rapidement a mesure qu�on s��-l�ve dans Tatmosph�re. Nous ne connaissons pas lanbsp;lol de cette augmentation a l�air libre, qu�il ne fautnbsp;pas confondre avec celJe que l�on observe sur lesnbsp;montagnes, ou la temperature de l�air et celle du solnbsp;s�influencent mutuellement; la seule donn�e quenbsp;nous ayons sur ce sujet, est celle qui r�sulte de l�ascen-sion a�rostatique de M. Gay-Lussac, dans laquelle ilnbsp;s�est�leve'a une hauteur de 6980�: les temperatures denbsp;1 air a la surface de la terre et a cette hauteur e'taientnbsp;de 3oquot;,75 et �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;du thermom�tre centigrade;

ce qui fait une diminution d�environ un degr� pour lyS� d�el�vation, en supposant Ie d�croissement denbsp;la chaleur uniforme.

631. SH�on ferme en C (fig. 44) gt; la branche ou-verte du barom�tre, ou, plus g�n�ralemeut, si l�on place cette branche dans un vase H ferme de toutesnbsp;parts (fig. Sa), r�quilibre du syst�me ne sera pasnbsp;trouble: ce sera alors la pression exerc�e en E par Tail�nbsp;contenu dans ce vase, qui fera e'quilibre a celle de lanbsp;colonne DF du mercure, suspendue dans la branchenbsp;ferm�e, au-dessus de son niveau E dans la branchenbsp;ouverte. Cette pression rapport�e a 1�uni^ de surface,nbsp;OU ce qu�ou appelle la force �lastique de l�air, auranbsp;done pour mesure la pression mgh du mercure, c*nbsp;elle sera equivalente au poids ^ de la colonne at-

niospli�rique. Un barom�tre qui s�ouvre ainsi dans un vase ferme, et qui sert a mesurer la force �lasti-que de l�air ou d�un. flu�de quelconqiie, coutenunbsp;dans ce vase, s�appelle alors un manom�tre. Le poidsnbsp;mgh du mercure depend de la nature, de la d�nsit�nbsp;et de la temperature de ce flu�de �lastique.

Si l�on transporte un manom�tre d�un lieu dans un autre, et que Ia tempe'rature et la densit� de I�airnbsp;coutenu dans le vase H soient les m�mes en ces deuxnbsp;en'droits, il faudra que la hauteur du mercure varienbsp;en raison inverse de la gravit�, afin que le poids denbsp;la colonne de mercure reste le m�rae. L�observationnbsp;de cette hauteur a des latitudes dilf�rentes pourraitnbsp;done servir a mesurer les variations de la pes.anteur,*nbsp;mais, pour l�exactitude de cette mesure,.il faudranbsp;avoir �gard a l�augmentation du volume occup� parnbsp;l�air contenu dans H, qui r�sultera d�une augmentation de hauteur du mercure dans la branche ferm�e.

Ainsi, supposons que g et ^ soient la gravit� et la hauteur DF du mercure, en un lieu de la terre; lenbsp;manom�tre �tant transporte en un autre lieu , et lanbsp;temperature �tant rest�e la m�me, supposons que lenbsp;mercure se soit �lev� de D en D' dans la branche ferm�e, et qu�il se soit abaiss�, en m�me temps, de Enbsp;en E' dans la branche ouverte; menons par le point E'nbsp;un plan horizontal, qui coupe en F' la branche ferm�e ; d�signons par A' la difference DT' de niveau dunbsp;mercure dans les deux branches, et par g' la gravit�nbsp;correspondante. Les pressions baroni�triques serontnbsp;entre elles comme gk et g'^', dans les deux obsei�va-tions j elles seront proportionnelles aux densit�s du

flu�de contenu dans H, et, par cons�quent, en raison inverse des volumes qu�il occupera dans ce vasej en appelant ces volumes V et V', on aura done

Or, si l�on appelle c Faire de la section horizontale du tube au point D, Ie volume du niercure comprisnbsp;entre D et D' sera [h' � h) c; mals, a cause de Fin-compressibilit� de ce flu�de, il faudra, quelle quenbsp;soit la forme du vase H, que Ie volume V' surpassCnbsp;V de cette quantit� (A'� A) c; on aura done

g � [V-h (h'-A)c]h'*

pour Ie rapport des intensit�s de la pesanteur dans les deux lieux des observations. Mais, quelque soiunbsp;que Fon apporte dans la mesure des quantit�s quenbsp;cette formule renferme, ce proc�d� sera toujoursnbsp;beaucoup moins susceptible d�exactitude que celuinbsp;qui est fond� sur les experiences du pendule.

622. Maintenant, fermons en C (fig. 44) branche ouverte du barom�tre, et ouvrons en A Ia branchenbsp;qui �tait ferm�e; la pression atmosph�rique s ajou-tant a celle du mercure. Fair contenu dans EC va senbsp;comprimer, et, cons�quemment, Ie niveau du mercure s��levera dans cette branche et s�abaissera dansnbsp;Fautre. Ajoutons dans cette autre branche une nouvelle quantit� de mercure, de mani�re que la dlff�'nbsp;rence de niveau dans les deux branches soit encore

�gale h h, comme auparavant. Dans eet �tat, si Ie mer-cure s�est �lev� de D en D' et de E en E'^ et que Ton m�ne par Ie point E' un plan horizontal qui coupe 1�autrenbsp;branche en F', on aura D'F'=iDF. Au point F', lanbsp;pression du mercure sera mgh; en ajoutant la pressionnbsp;atmosph�rique qui a lieu au niveau on auranbsp;?ng/i 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; OU 2/ngk; par cons�quent, la force �las-

tique de l�air coutenu dans CE', qui s�exerce sur Ie niveau E' et qui fait �quilibre a cette pression totale,nbsp;sera double decelle qui avait lieu quand^l^air occupaitnbsp;l�espace CE, Or, l�exp�rience prouve que l�espace CE'nbsp;est moiti� de CEj elle fait voir aussi que si l�on triplenbsp;la pression par une addition convenable de mercure,nbsp;l�espace occup� par l�air est r�duit au tiers; et, g�n�-ralenient, on trouve que Ie volume du flu�de varienbsp;en raison inverse de la pression qu�il �prouve , ou ,nbsp;autrenient dit, que la densit� cr�it dans Ie m�menbsp;rappoi�t que la force �lastique.

Cette proportionnalit� est ce qu�on appelle la loi de Mariotte, du nom du phjsicien qui l a d�duite denbsp;1�observatiou. Elle suppose que Ie fluide n��prouvenbsp;aucune variation de temperature; en sorte que, pournbsp;l�observer exactement, il faut donner a l�air contenunbsp;dans CE, Ie temps de perdre l�augmentation de temperature qu�il acquiert par la compression, et de re-Venir a sa temperature primitive. Elle a lien pournbsp;tous les gaz, et aussi pour les vapeurs, en supposantnbsp;pression moindre que celle qui les r�duit en li-fluides. Enfin, elle subsiste �galement pour les m�-langes de differens fluides; et si, par exemple, deuxnbsp;gaz ont 1^ m�me temperature et un m�me volume V,

que p soit la force �lastiq*ue de l�un et p' celle de l�autre, et qu�on les r�unisse sous Ie volume V, lanbsp;temperature du m�lange sera encore la m�me, et lanbsp;force �lastique , ou la pression qu�il exerce sur I�unitenbsp;de surface, deviendra p-\-p'-

�aS. Au mojen de la loi de Mariotte, on peut fa-cilement calculer 1��l�vation de l�eau dans une pompe, lorsqu�il existe de fair entre ce liquide et Ie piston;nbsp;laquelle elevation serait io'quot;,4, comme nous l�avonsnbsp;dit pr�c�demment (n� 598), si l�eau �tait en contactnbsp;av.ec Ie piston.

Pour cela, soient ABCD (fig. 55.) Ie tuyau cylin-drique et vertical d�une pompe, plong� dans Peau jusqu�en EF, et GH la base horizontale du piston. Lanbsp;pression atmosph�rique s�exerce sur Ie niveau ext�rieur de l�eau, qui est Ie m�me que Ie niveau int�rieur EF. Cette pression, rapport�e a l�unit� de surface , sera �gale a gZ, en prenant la densit� de l�eaunbsp;pour unite, et d�signant par l la hauteur io�,4 de lanbsp;colonne d�eau qui lui ferait �quilibre. L'espace con-tenu entre EF et GH est rerapli d�air, dont la force �lastique fait �quilibre a la pression ext�rieure, et a aussinbsp;gl pour mesure. Dans eet �tat, j�appelle a la hauteurnbsp;donn�e de GH au-dessus de EF; je suppose ensuitenbsp;qu�on �l�ve Ie piston jusqu�en G'H', et je d�signe parnbsp;c la hauteur aussi donn�e de G'H' au-dessus de GH*nbsp;L�eau s��levera, dans l�int�rieur de la pompe, jusqu�en E'F', a une hauteur x au-dessus de EF, et s�a-baissera en dehors, au niveau d�une section E^F^ denbsp;pompe, situ�e a une distance j� au-dessousde EF. Ennbsp;appelant h Ia section horizontale de la pompe , et ^

a raison de I�lncornpressibilite du liquide; et la question se r�dulra a determiner la valeur de x.

Or, Tair qui occupait l�espace EFHG gt; occupera maintenant Tespace ET'H'G'; et celui-ci �lant a l�au-tre comme a c � x est a a, il s�ensuit que la forcenbsp;�lasfique gl du flu�de sera diminu�e dans Ie rapportnbsp;inverse, et deviendra ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pression

rapport�e a l�unit� de surface qui aura lieu sui^'F'j en l�ajoutant a la pression de 1�eau comprise entrenbsp;ET' et E^F^, dont la valeur est g (x j'), on aura lanbsp;pression totale exerc�e sur Ie niveau int�rieur E^F^,nbsp;qui devra faire �quilibre a la pression ext�rieure gl;nbsp;ce qui exige qu�on ait

en supprimant Ie facteur commun g, et substituant pour j sa valeur pr�c�dente. Cette �quation est dunbsp;second degr�, et peut s��crire ainsi:

Z b J'

En r�solvant cette �quation, on trouvera deux va-ieursr�elles et positives de x; ma�s il est ais� de volrque ^ uned�elles sera toujours inadmissible. En effet, l��l�-*Yation x-\-y de l�eau au-dessus du niveau ext�rieur, ne

xlt;C,fl; dailleurs, il est �vident qu'on doit aussi avoir x lt;C.a-^ cor, la somme des deux racines denbsp;l��quation pr�c�dente �tant fl-\- a -\-c, si Tune estnbsp;plus petite que a-j-c, l�autre sera plus grande que � Z,nbsp;OU bien, si Tune est moindre que �/, l�autre surpas-sera a c; par cons�quent, Tune des deux racinesnbsp;sera seule admissible, el l�autre devra �tre rejet�enbsp;comrae �trang�re a la question.

est �gale a gl � six-^-y). II en r�sulte sur la base inf�rieure du piston, une pression dirig�e en sensnbsp;contraire de la pesanteur, et �gale a �g[xnbsp;La base sup�rieure de ce corps est pouss�e en sensnbsp;contraire par la pression atmosph�rique, �gale a glb jnbsp;la charge que Ie piston supporte, ou l�exc�s de cettenbsp;seconde force sur la premi�re, est done g{x j)bfnbsp;c�est-a-dire , Ie poids de Teau contenue entre E^F^ etnbsp;E'F', et �lev�e au-dessus'du niveau ext�rieur; cenbsp;qu�on peut regarder, a priorij comme �vident.

624. II nous reste actuellement a consid�rer la Joi de la force �lastique de l�air, relativement a sa temp�-rature.

Si fair et diff�rens gaz, soumis a une pression constante , et la m�roe pour tons, sont plac�s dans une enceinte dont la temperature varie d�un instant anbsp;Fautre, l�observation prouve que tous ces flu�desnbsp;se dilatent �galement. En prenant l�un deux, 1�aionbsp;par exemple, pour thermom�tre, c�est-a-dire , en*

divisant sa dilatation totale en parties �gales, qui Kiarqueront les degr�s de la temperature, il en r�-sulte que les accrolssemens de volume de tous cesnbsp;gaz seront les m�mes pour des augmentations �galesnbsp;de temperature, et proportionnels a ces augmentations. L�observation prouve aussi que, dans unenbsp;�tendue tr�s considerable, les indications du tber-mom�tre a air different tr�s peu de celles du ther-mom�tre a mercure ; en sorte que , dans cettenbsp;�tendue, la dilatation d�un gaz quelconque est pro-portionnelle a son accroissement de temp�ratui�e,nbsp;indiqu�e par. les degr�s du thermora�tre ordinaire.nbsp;Enfin, de z�ro a 100�, c�est-a-dire, de la tem^ra-ture de la glace fondante a celle de l�eau bouil-lante, M. Gay-Lussac a trouv� que Ie volume denbsp;1�air soumis a une pression constante, et, par cons�quent, celui lt;^n gaz quelconque, augraentent dans Ienbsp;rappox�tde Tunit� a ijSyS; ce qui donne une dilatation de 0,00575, pour chaque degr� du tbennom�trenbsp;centigrade.

D�apr�s cela, soient V Ie volume d�un gaz quelconque , a Ia temperature z�ro, sa force �lastique, et D sa densit�. La pression rsr, rapport�e a l�unit� denbsp;surface, restant la m�me, et Ie nombre de degr�s denbsp;Ia temperature devenant 6, d�signons par et D' cenbsp;lt;iue deviendront Ie volume et la densit� du gaz;nbsp;�ious aurons

Maintenant, supposons qu�on fasse varier la pression sans changer la temperature 0. Soient p et p ce quenbsp;deviennent simultan�ment la pression et la den-sit�, qui �taient lt;z�r et D' j d�apr�s la loi de Mariotte,nbsp;on aura

et en mettant pour D' sa valeur pr�c�dente, et fai^tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;��nbsp;il en r�sultera

pour l�expression de la force �lastique d�un gaz quel-conque, en fonction de sa densit� et de sa temperature-625. Cette formule convient aux gaz, aux vapeurs, et a leurs m�langes. La temperature 0 �tant indiquot;nbsp;qu�e par Ie thermom�tre a mercure, elle a lieu pournbsp;les valeurs negatives de 0, jusqua envii�on �36�, onnbsp;un peu moindres que la temperature de la congelationnbsp;dece fluide.ElIe a aussi e't� v�rifi�e pour des temperatures qui surpassaient beaucoup 100�; et la differencenbsp;cntre les lois de dilatation de l�air et du mercure, �enbsp;commence a devenir un peu considerable que quandnbsp;X s��l�ve a environ 3 00� (¹').

VOjez,sur ce point,Ie M�moire de MM. PetitctDulong� ins�re dans Ie i8' cahier du Journal deV�colc Polytechniqu^-

liC coefficient k est different pour les differens fluides,. Relativement a I�air atmospherique, MM. Biotnbsp;et Arago onl trouve, a I�Observatoire de Paris,

pour le rapport de la densite dti mercure a celle de Pair, sous la pression barometrique denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eta la

et, dans cette valeur, il fauHra prendre pour G la gravite au lieu oil le rapport ^ a �t� determine,nbsp;e�est-a-dire, a la latitude de Paris, pour laquelle on a

Le coefficient de G se rapporte a Pair parfaite-ment sec; si Pair �tait humide, sa densit� serait moindre, sous la m�me pression et a la m�me temperature, et la valeur de k varierait en I�aison inversenbsp;de cette densite. Sous la pression barometrique denbsp;o�,76 , et a la temperature z�ro, soit, par exem-ple, cT le rapport de la densit� de Pair au maximum d�humidit�, a la densit� de Pair parfaitementnbsp;; on aura, comme on le verra plus loin,

par cons�quent, en divisant la valeur pr�c�dente de k par cette valeur de �T, on aura la valeur de knbsp;qui r�pond au maximum d�humidit� de l�air, sa-voir:

626. Maintenant, nous formeronssans difficult� les difF�rentes equations d��quilibre d�une colonne atmos-ph�rique.Supposonsque cette colonne soit cylindriquenbsp;et verticale, et qu�elle ait sa base a la surface de la terrenbsp;et s��tende jusqu�a la limite de Tatmosph�re. Soit Anbsp;l�aire de sa section horizontale. Divisons cette colonnenbsp;en couches horizontales infiniment minces, et sup-posons la surface A assez peu �tendue pour que lanbsp;densit� et la temperature ne varient pas sensiblementnbsp;d un point a un autre d�une couche quelconque. Ap-pelons p, p, G, Ia force �lastique de l�air, sa densit�nbsp;et sa temp�rature, qui ont lieu a la distance z de lanbsp;surface de la terre. Soit aussi g' la gravit� a cettenbsp;m�me distance; Ag'plt;/z sera Ie poids de la couche dontnbsp;l��paisseur est dz, et dont les deux faces r�pondent anbsp;z et z � dz. La pression qu�elle �prouve sur sa facenbsp;sup�rieure sera Ap; celle qui aura lleu sur sa face inf�rieure aura pour expression aQgt; � ^ Mais en

passant de la premi�re a la seconde face , la pression dolt augnienter du poids Ag'pdz; il faudra donenbsp;qu�on ait

ce qui Coincide avec l��quation qu�on d�duira de la formule (5) du n� 583, en y faisant

a la hauteur z, en n�gligeant la variation de la force . centrifuge, ainsi que l�action de la masse d�air comprisenbsp;entre les deux surlaces sph�riques et concentriquesnbsp;dont les rayons sont r et r ?, laquelle action n�entrenbsp;pas dans la valeur de g, et devrait s�aj outer a cellenbsp;de g' (n� loi). Nous aurons', de cette mani�re,

Pour int�grer cette formule, il faudrait encore connaitre l�expression de 6 en function de ^; niais lanbsp;loi des temperatures �tantinconnue, on est oblige denbsp;consid�rer � comme une constante; et l�ou prendnbsp;dans chaque cas, pour sa yaleur, Ia moyenne desnbsp;temperatures qui r�pondent aux points extremes denbsp;la colonne d�air a laquelle on applique Cette equation.

C �tant la constante arbitraire. En d�signant par aar la pression atmosphe'rique qui a lieu a la surface denbsp;la terre, on aura a la foisnbsp;et il en r�sultera, a une hauteur quelconque z au-dessus de cette surface,

En vertu de cette equation et de la formule (2), et en de'signant par e la base des logarithraes n�pe'riens,nbsp;on aura maintenant

pour les expressions de la force �lastique et de la densit� de Fair, depuls la surface du globe jusqu a lanbsp;hauteur o� ce fluide a perdu, par Ie froid toute sonnbsp;�lastlcit�.

D�apr�s cequ�on a dit dans Ie n� 61 g, Ie poids de la colonne atmosphe'rique qui a pour base l�unit� denbsp;surface, doit �tre �quivalent a la pression (sr relativenbsp;au point Ie plus bas; et, en effet, ce poids est donn�

627. La force motrice d�un ballon qui s��l�ve ver-ticalement dans l�atmospb�re, estl�exc�s du poids de l�air qu�il d�place a chaque instant, sur son proprenbsp;poids. En appel^l ft sa masse et V son volume,nbsp;cette force sera done V fgt;g' � fig', a la hauteur znbsp;au-dessus de la terre; par cons�quent, on auranbsp;d^z

f^g

pour r�quation diff�rentielle du mouvement vertical de ce corps, au bout du temps quelconque t. Si l�onnbsp;appelle c sa densit� moyenne, de sorte qu�on aitnbsp;fz=cy, etquon substitue pour p et g' leurs valeursnbsp;pr�c�dentes, cette equation deviendra

Eu multipliant par 2dz, integrant et de'siguant par C la constante arbitraire, il vient

Si l�on suppose que Ie mobile soit parti de la surface de la terre avec une vitesse nulle, on aura a la

En r�solvant cette equation par rapport amp;dt, on d�-terminera ensuite par la m�thode des quadratures, Ie temps que Ie mobile eraploiera a parvenir a unenbsp;hauteur donn�e.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

nera Ia hauteur a laquelle Ie mobile demeurerait en �quilibre, s�il j parvenait sans vitesse acquise; et denbsp;dz^

grande hauteur a laquelle Ie ballon s��leverait dans l�atmosph�re, en supposant que sa masse et son volume ne varient pas. La premi�re de ces deux hauteurs s�exprimera au moyen d�un logarithme; la seconde d�pendra d�une equation transcendante, etnbsp;ne pourra se calculer que par approximation,

638. Proposons-nous maintenant d�appliquer I��-quation (4) a la mesure des hauteurs verticales.

Soient Ti et Ji' les hauteurs du mercure dans Ie ba-rom�tre, a la station inf�rieure et a la station sup�rieure ; T et T' les temp�ratures correspondantes du mercure ; t et celles de l�air, qui serontnbsp;diff�rentes de T et T', lorsque Ie mercure du ba-rom�tre n�aura pas eu Ie temps de se mettre, pendant les observations, en �quilibre de temp�raturenbsp;avec l�air environnanl. Si m est la denslt� du mercure

a la station inf�rieure, f i -f- ~ggg^~ V� sera sa den-sit� a la station sup�rieure, paree que la densit� de ce fluide augmente de pour chaque degr� de diminution dans la temp�rature. Pour plus de simphquot;

la hauteur h', qui sera alors la hauteur observee, hiultipllee par cette quantite, et nous supposeronsnbsp;ensuite que m soit la densite du mercure aux deuxnbsp;stations. De cette mani�re, nous aurons

nbsp;nbsp;nbsp;r /f (,4. afi) (r-f (^)

Ainsi qu�on I�a dit plus haul, il faudra prendre A (^ 1') pour 9. La valeur de a est 0,00376' pournbsp;I�air sec, aussi bien que pour celui qui renfermenbsp;la vapeur d�eau en quantite constante, et dans unenbsp;proportion quelconque. Mais il faut observer que ,nbsp;quand la temperature s�e'leve, la quantite de vapeurnbsp;augmente, en general, dans l�atmosph�re; et coramenbsp;la densite de la vapeur serait a celle de fair conimenbsp;10 est a 16, sous la pression ordinaire 0�, 76, ilnbsp;s�ensuit que la densite de I�air libre, dont la temperature augmente , doit diminuer dans un plusnbsp;grand rapport que celui qui repond au coefficientnbsp;0,00376. Pour tenir compte, autant qu�il est possible , de la quantite de vapeur qui se trouve dansnbsp;l�atmosph�re, nous augmenterons done le coefficient a; et, pour la commodite du calcul, nousnbsp;le ferons egal a o,oo4 J en sorte que nous aurons

Les logarithmes qui entrent dans Ie premier mem-bre de l��quation pr�c�dente, sont n�p�riens; pour les convertir en logarithmes ordinaires, je multi-plie cette e'quation par Ie module de ceux-ci, quenbsp;j�appelle M, et dont la valeur est

La gravit� g que renferme son second membre, est celle qui r�pond a la station inf�rieure et a la latitude du lieu de l�observation. En d�signant eet anglenbsp;par ^{, , et comparant la gravit� g a celle qui entrenbsp;dans les.valeurs de k du n� 626 et qui r�pond anbsp;la latitude de Paris, on aura

D�ailleurs, les coefficiens de G dans ces deux va-leurs de k r�pondant, l�un a I�extr�me s�cheresse de r 'air, et Tautre a son extr�me humidit�, on peutnbsp;prendre la demi-somme de ces deux quantit�s, ounbsp;7961^,10, pour Ie coefficient qui convient a l��tatnbsp;ordinaire de l�atmosph�re. On aura alors

et, au moyen de cette valeur, jointe a celle de g, OU tirera de l��quation (5)

formule dans laquelle les logarithmes sorit actuelle-ment ceux qui ont pour base Ie nonabre lo.

bre; ce qui fera counaitre une premi�re valeur ap-proch�e de z : en la substituant dans ce second mem-bre, on obtiendra une seconde valeur de z, plus approch�e que la premi�re, et a laquelle on pourranbsp;toujours s�arr�ter.

En remplacant Ie nombre 18537,46 par un coefficient inconnu a dans cette equation, et determinant a d�apr�s la moyenne dun grand nombre de hauteurs z, niesur�es trigonom�triqiiement, on trouvenbsp;ce qui difi�re tr�s peu du coefficient 18337,46, quenbsp;nous avons calcul� directement.

629. Si l�on veut employer la formule (6) a determiner ] elevation d�un lieu de la terre, au-dessus du niveau de la mer, on supposera que T', 1!, h', se rap -portent a ce lieu, et T, tau bord de la mer quinbsp;en est Ie moins �loigne'; et, pour plus d�exactitude ,nbsp;on devra prendre pour 4 �ne latitude moyenne entrcnbsp;celles de ces deux points. D�apres la remarque dunbsp;n� 255, il faudra aussi avoir egard, dans i�expressionnbsp;de la pesanteur g', a Faction de la couche de la terrenbsp;dont la hauteur est z; en supposant sa densit� �galenbsp;a la moiti� de la densit� moyenne de la terre ^ on anbsp;alors

et, a cause de Ia petilesse de la fraction on trou-vera qu�en faisant usage de cette pesanteur la quantit� i Hquot; contenue dans la formule (6), devranbsp;�tre remplac�e par i

Pour donner un exemple du calcul de cette formule, ainsi modifi�e, je prends celui qui est cite dans VAnnuaire du Bureau des Longitudes, et quinbsp;se rapporte a la hauteur de Guanaxuato au-dessus dunbsp;niveau de la raer.

7i'= 0�,60095 , T' = ^' = 2I*3,

pour la premi�re valeur approch�e de z; et en subs-tituant cette valeur dans la m�me formule, prenant

I H- ^ au lieu de 1 �f� p, comme il yient d etre dit, et observant qu�on a

pour Ia hauteur demand�e, laquelle est moindre que celle de VAnnuaire, d�a peu pres 2 metres et demi.

63o. Lorsque la hauteur z n�est pas tres considerable, on peut n�gliger la fraction ^ dans la formule (6), et remplacer en m�me temps Ie nombre 18537�,46, par un coefficient plus grand. Celui quinbsp;re'sulte d�observations nombreuses que Ramond anbsp;faites dans Ie midi de la France, est iSSgS metres.nbsp;La latitude correspondante est a peu pres �gt;}/ = 45�;nbsp;et, cela �tant, l��quatlon (6) se r�duit a

quot;(�tiniog* ;

Dans un m�me vase, et sous la m�me pression at-mosph�rique, F�bullition d� Teau distill�e commence loujours a une m�me temperature, et cette temperature s�abaisse a mesure que la pression exte'rieurenbsp;dimin�e. Si done on avait form�, par l�experience ,nbsp;�ine table des terape'ratures o� l�eau commence anbsp;bouillir, sous des pressions d�croissantes par desnbsp;differences tr�s petites, et qu�on portat un vase con-tenant de l�eau, a diff�rentes hauteurs au*dessus de lanbsp;terre, les temp�ratui�es o� cette eau commencerait anbsp;bouillir, feraient connaitre, au moyen de la tablenbsp;que nous supposons, les hauteurs barom�triques cor-respondantes, que l�on pourrait employer dans la

formule pr�c�dente. C�est de cette mani�re qu�on 3 propose de determiner les diff�rences de hauteurnbsp;au-dessus de la terre, par l�observation de l��bulli-tion de l�eau, et saus recourir explicitement aux me-sures du barom�tre.

651. Je terminerai ce chapitre par quelques re-marques relatives au poids et a la force �lastique des vapeurs, laquelle force est aussi ce qu�on appelle Ianbsp;tension de ces fluides.

Si un vase ferme renferme un liquide en quantit� suffisante pour fournir toute la vapeur qui peut s�ynbsp;former, celle qui s��l�ve de ce liquide alteint, plusnbsp;OU moins vite, un maximum qui ne depend que denbsp;la temperature, et qui est Ie m�me quand Ie vase estnbsp;vide d�air, ou quand il contient de l�air ou un gaznbsp;quelconque, condense ou dilate. Soit que cette quantit� de vapeur ait atteint son maximum, ou qu�ellenbsp;soit encore au-dessous, sa tension s�ajoute a la forcenbsp;�lastique du gaz sec, et la somme forme la force �lastique du m�lange. A la m�me temp�rature, la tensionnbsp;maxima est diff�rente pour les diff�rentes vapeurs; etnbsp;la loi qu�elle suit, pour une m�me vapeur, n�est pasnbsp;encoreconnue en fonction de la temp�rature. Relative-ment a la vapeur d�eau, les experiences les plus �ten-dues qu�on a faites, jusqu�a pr�sent, sont celles desnbsp;commissaires de 1�Acad�mie des Sciences, dont il estnbsp;reudu compte dans les tomes X et XI de ses M�moires.

La force �lastique maxima de la vapeur d�eau , form�e dans Ie vide, a la temp�rature denbsp;par exemple, est mesur�e par une hauteur baro-

m�trique de o�,oi6. Quand elle se produit dans Tail� sec , a cette temperature el sous la pressionnbsp;ordinairenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;sa force �lastique s�ajoute a cette

pression, et Fexp�rience donne effectir�ment 0^,776 pour Ia pression exerc�e par Ie m�lange.

Si Ton pouvait, sans liqu�fier la vapeur isol�e, �lever sa tension de o^jOi� a o�,76, sa densit�, d�a-pr�s la determination de M. Gay-Lussac, sei�ait anbsp;celle de l�air sec, sous la m�me pression et a lanbsp;m�me temperature, dans Ie rapport de 10 a 16.nbsp;En vertu de la loi de Mariotte , la densit� de lanbsp;vapeur que nous prenons pour exemple est done

et sous la pression de o�,76, �tant prise pour unite. Par consequent, si Fon appelle P le poids d�un litrenbsp;de cet air, et P' celui d�un litre de la vapeur d�eau,nbsp;On aura

A la temperature z�ro, P serait �gal a 1000 grammes, divise par 769,4 (n� 61); pour obtenir sa valeur a lanbsp;temperature de i8quot;,75, il faut diviser ce quotient parnbsp;1 (18,75) (0,00375), d�apr�s la loi de la densit� denbsp;Fair; il en r�sulte

i8�,75, et a son maximum de densit�, doit aussi �tre celui de Ia plus grande quantit� de vapeur quenbsp;peut contenir un litre dair a cette temperature, etnbsp;quelle que soit sa densit�. Or, par une experience directe , Saussure a trouv� lO grains pour Ie plus grandnbsp;poids de la vapeur d�eau qui peut se former dansnbsp;un pied cube d�air, sous la pression ordinaire et a lanbsp;temperature donn�e ; d�ou il r�sulte (o,oi546) grammes pour Ie de'cim�tre cube; ce qui difi�re peu dunbsp;r�sultat pr�c�dent.

G�n�ralement, sous une pression barom�trique h, et a une temp�rature quelconque, si l�on appelle Anbsp;la densit� de l�air sec, A' celle de Fair mouill�, etnbsp;a la tension de l�air qu�il renferme, on aura

TB gt;

car un volume quelconque A d�air mouill� se com-posera d�un pareil volume d�air sec, dont la force �lastique serait r�duite 'ah � a, et la densit� a

somme de ces deux densit�s, multipli�es par A, exprimera la masse AA' du m�lange; et en suppri-naant Ie facteur commun A, on aura l��quationnbsp;pr�c�dente. Cette �quation servira a d�terminer Icnbsp;poids d�un volume donn� d�air mouill� , d�apr�snbsp;Ie poids de ce volume d�air sec a Ia m�me terftp�-rature, et la tension de la vapeur contenue daosnbsp;Fair mouill�. En y faisant h = o�,76, supposaot

que la temperature soit z�ro, et observant qua cette temperature la tension maxima de la vapeurnbsp;d�eau est o^jOoSoS, on en d�duira la valeur de cTnbsp;du nquot; 625.

652. Si Tatmosph�re qui nous enveloppe n�existait pas, elie serait remplac�e par une autre atmospherefor-m�e de la vapeur d�eau qui s��ieveraitde la mer. La loinbsp;des densit�s de ses couches et sa hauteur totale d�pen-draient de la loi de la temperature, qui aurait lieunbsp;dans cette atmosphere de vapeur aqueuse, et que nousnbsp;ne pouvons aucunement conuai trej mais, quelle qu�ellenbsp;soit, Ie poids total d�une colonne verticale cylindriquenbsp;de cette vapeur, ayanl pour base l�unit� de surface,nbsp;sera toujours �gal a sa force �lastique qui r�pond a sonnbsp;point Ie plus bas (nquot; 626); et quand sa densit� en cenbsp;point aura atteint son maximum, cette force ne d�-pendra plus que de la temperature correspondante. Anbsp;la v�rit�, nous ignorons aussi quelle pourrait �tre cettenbsp;temperature j etily a lieu de croire qu�elle serait beau-coup inf�rieure a celle qui a lieu maintenant a lanbsp;surface de la terre, paree que Ie flu�de qui se trouve-rait en contact avec cette surface, aurait une densit�nbsp;beaucoup nioindre que celle de l�air ordinaire. Pournbsp;fixer les idees, supposons que la temperature dont ilnbsp;s�agit soit encore i8�,75. Le poids de la colonnenbsp;d�atmosph�re aqueuse ayant pour base un decimetrenbsp;Carr�, ne pourra pas exc�der celui d�un prisme de raer-cure qui aurait la m�me base, et o�,oi6 pour hauteur, c�est-a-dire, le poids de 16 centi�mes d�unnbsp;litre de mercure, ou a peu pres 2600 grammes. Lenbsp;poids de toute la vapeur d eau qui peut �tre con-

tenue dans une colonne d�air de notre atmosphere , depend de la loi du d�croissement de la temperaturenbsp;dans Ie sens vertical, et ne saurait �tre calcul�;nbsp;mais si la base de Ia colonne est un decimetre carr�,nbsp;et la temperature inf�rieure i8�,j5, on s�assurera ai-s�ment que ce poids doit surpasser 25oo grammes,nbsp;en observant que, dans toute la partie de cette colonne dont la temperature diff�rera peu de 18�,75,nbsp;et jusqu�a la hauteur ou la pression ne sera pas r�-duite a o�,o 16, chaque litre d�air peut renfermer environ 16 milligrammes de vapeur.

Ainsi, Tatmosph�re qui presse sur la surface de la terre, n�est pas, comme on Ie disait autrefois, lanbsp;cause qui emp�che les liquides de se vaporiser et denbsp;se disperser dans l�espace; au contraire, sa presencenbsp;permet aux vapeurs de se maintenir, au-dessus de lanbsp;terre, en plus grande quantit� que si l�atmosph�renbsp;n�existait pas.

aV\)W\'V\iVW\^\'lt;V\gt;lt;V\VW\(VV\\\.�lt;VV�lt;VWgt;VV�'W'^^'V'V''V#�(Wgt;iVVVWX(VVWVM''VWV\W^(VVgt;,VVWV'�'V\'^VVMV\gt;

CHAP�TRE VI. �

633. La loi de Mariotte suppose, comme nous l�avons dit (n� 622}, qu�on a laiss� au fluide, dilatenbsp;OU condense, Ie temps de revenir a sa temperaturenbsp;primitive. Si Ton ne prend pas cette precaution, lanbsp;temperature augmente ou diminue en m�me tempsnbsp;que la densit�, et la force �lastique croissant ou d�-croissant ainsi, a raison de la densit� et a raison denbsp;la temperature, on concoit qu�elle doit varier, pournbsp;un m�me fluide, dans un plus grand rapport que sanbsp;densit�. Lorsque Ie fluide est contenu dans un vasenbsp;dont les parois sont imperm�ables a la chaleur, ilnbsp;conserve tout son calorique, en se condensaat ou ennbsp;Se dilataut, et sa temp�rature augmente ou diminuenbsp;en consequence. II en est de m�me toutes les foisnbsp;que ses variations de densit� sont assez rapides pournbsp;que sa chaleur propre n�ait pas Ie temps, dans Ie casnbsp;de la condensation, de s��chapper sous foi�rae rayon-Bante, ou de se communiquer, par Ie contact, auxnbsp;corps voisins, et pour que, dans Ie cas de la dilatation , ces corps ne puissent communiquer au fluide,nbsp;par Ie rayonnement ou par Ie contact, une quan-tit� sensible de calorique. C�est ce qn�on'suppose,

par exemple, comme on 1�expliquera pav la suite, relativement aux variations de densil� qui ont lieunbsp;dans les ondes sonores, et dont la dur�e n�est que denbsp;quelques milli�mes de seconde. Dans cette question,nbsp;et dans beaucoup d�autres, il serait important denbsp;connaitre l�expression de la force �lastique d�un gaz,nbsp;en fonction de la densit�, et 1��le'vation ou l�abais-sement correspondant de la temperature, lorsquenbsp;la quantile de chaleur de la masse fluide demeurenbsp;invariable. Mais nous manquons, dans i��tat actuelnbsp;de la science, des donn�es n�cessaires pour la solution compl�te de ce probl�me; et je vais exposer,nbsp;dans ce chapitre, ce que Ie calcul et l�exp�riencenbsp;nous ont appris, jusqu a pr�sent, sur cette ma-ti�re.

654- Soient p la densit� d�un gaz, 6 sa temperature en degr�s du thermom�tre centigrade , et p la pression qu�il exerce sur chaque unite de surface,nbsp;OU la inesure de sa force �lastique; on aura (n� 624)

a. et k �tant deux coefficiens ind�pendans de p et 9, dont Ie premier est Ie m�me pour tous les gaz etnbsp;�gal a 0,005^5 , et dont Ie second dolt �tre doan�nbsp;pour chaque gaz en particulier.

La quantit� totale de chaleur contenue dans uo poids donn� d�un corps, dans un gramme, par exemple, ne saurait �tre cajcul�e; on la regarde commenbsp;in�puisable, et comme extr�mement grande par rap'nbsp;port aux quantit�s dont elle varie quand ce corpsnbsp;change db* densit� ou de temp�rature; et ce sonl

ces quantit�s additives ou soustractives que Ton compare entre elles, et que l�on soumet au calcul. Ainsi, nous d�signerons par q 1�exc�s de Ja quantite denbsp;chaleur contenue dans un gramme du gaz que nousnbsp;consid�rons, sur celle que ce gramme renferme,nbsp;lorsque Ie gaz a une temperature et une densit�nbsp;choisies arbitrairement, qui seront, pour fixer lesnbsp;idees, la temperature z�ro et la densit� correspon�nbsp;dante a la pression ordinaire de o�,76. Cette quan-tit� q sera une fonction de p, f, �, ou simple-ment de /gt; et fgt;, puisque ces trois variables .soiitnbsp;li�es entre elles par l��quation pr�c�dente. On auranbsp;done

La chaleur sp�cifique de ce gramme de fluide est la quantit� de chaleur qu�il faudrait lui communi-quer pour �lever sa temp�rature d�un degr�, ou,nbsp;pour ainsi dire , la vitesse de l�accroissement de q

pourra la consid�rer sous deux points de vue; dif-f�rens : en supposant la pression p constant,e, et laissant au gaz la libert� de se dilater, ou bien ennbsp;Ie tenant sous un volume constant, et supjjosantnbsp;que Ia pression p augmente avec Ia temp�ratu re. Ennbsp;vertu de l��quation (i), on a

lorsqu�on suppose fgt; invariable. Si done on appelle c Sa chaleur sp�cifique du gaz a pression constante,nbsp;et sa chaleur spe'cifique a volume constant, denbsp;sorte qu�on ait

en d�signant par y Ie rapport des deux chaleurs sp�cifiques, c�est-a-dire, en faisant

II est �vident, a priori, que ce rapport y doit surpasser l�unil�; car il faut plus de chaleur pournbsp;augmenter la temperature d�un gaz, et Ie dilaternbsp;en m�rae temps, que pour augmenter sa temperature dune m�me quantrt�, saus �carter ses molecules. Mais l�exp�rience peut seule faire connaitrenbsp;ia valeur de y pour les difierens gaz, et commentnbsp;cette \aleur depend de la pression et de la deusit�-

Cette valeur se deduit, comme on le verra lout a I�heure, de I�accroissement de la temperature cor-respondant a une petite condensation du gaz, sansnbsp;aucune perte de chaleur.

635. Representons toujours par � la temperature du gaz; et soit G-j-eo ce qu�elle devient apres quenbsp;la densite du fluide a �t� augment�e, par une compression tres rapide, dans le rapport de i -f- cT anbsp;I�unite; �T �tant une tres petite fraction. Si la pertenbsp;de chaleur, pendant la duree de cette compression,nbsp;a �t� insensible, 1 accroissement de temperature atnbsp;correspondant a la tres petite condensation cT, estnbsp;la quantite qu�il s�agira d�abord de determiner parnbsp;I�experience suivante.

Pour cela, supposons que le gaz soit de lair at-mospherique contenu dans un vaisseau ferme, et dont la pression, la densite et la temperature soientnbsp;les m�mes qu�a Text�rieur, ou nous supposeronsnbsp;qu�elles sont represen tees par p, f, 0, pendant loutenbsp;la duree de I�observation, On enl�ve une petite portion de 1�air int�rieur; et, apr�s que fair restant anbsp;repris sa temperature primitive, on designe par p'nbsp;et fgt;� sa pression et sa densite. On r�tablit ensuite lanbsp;communication avec lair ext�rieur; la pression, lanbsp;densite et la temperature augmentent en m�menbsp;temps; en sorte qu�apr�s un temps tr�s court, lanbsp;pression interieure est �gale a la pression qui a lieunbsp;au dehors. A cet instant, on interrompt la communication , et Ton d�signe par pquot; et 0 -j- cd la densitenbsp;ct la temperature interieures. Enfin, cet accroisse-ment ctgt; de la temp�rature se dissipe; et, sans que lanbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;41

La densit� de l�air int�rieur ayant pass� tres rapi-denient de p' a fgt;quot;, si Ton prend ,

et qu�on fasse abstraction de la petite quantit� de chaleur qui a pu �tre absorb�e par Ie vase, pendantnbsp;Ie temps de ce passage, Vaccroissement de temp�ra-ture co sera celui qui r�pond a la condensation J', etnbsp;dont on cherche la valeur. L�indication d�un ther-mom�lre plong� dans l�air int�rieur, serait trop lentenbsp;pour faire connaltre cetle augmentation de temperature , qui ne subsiste que pendant un temps tresnbsp;court; mais on peut conclure la valeur de a, des troisnbsp;pressions p, p, pquot;, ou des trois hauteurs barom�-triques correspondantes, que l�on a Ie temps d�ob-server.

Eu effet, il y a deux �poques, dans 1�exp�rience quon vient de d�crire, ou la ra�me temp�rature �nbsp;r�pond a des deusit�s difF�rentes fgt;' et fquot;, et auxnbsp;pressions donn�es p' et pquot;. D�apr�s la loi de Mariotte,nbsp;on a done

ce qui fait connaitre la condensation �j'. De plus, � Y a aussi deux �poques o� la m�me densit� fgt;quot; a

pour les'temp�ratuVes 6 � et 6, sous les pressions p et pquot;. D�apr�s la loi des forces �lastiques a �galenbsp;densit�, on aura done aussi

p __ I -j~ nbsp;nbsp;nbsp;)

Dans une experience faite par MM. Desormes et Cl�ment, oii Ie passage de la densit� f' a la densit� f''nbsp;s�est effectu� en moins d�une demi-seconde, on a eu

On avail aussi 6=12'�,5 5 et, a cause de etz=zo,oo5'j5i on d�duit de r�quation (4)

d�o� il r�sulte que pour une condensation de 0,0155, sans pertede chaleur, la temperature de 1�air augmen-teralt de i%5i75, ou d�a peu pres un degr� pour unenbsp;condensation

Cet accroissement de temp�rature peut aussi se d�duire de la vitesse du sonj et de cette mani�renbsp;j�avais trouv�, autrefois, un accroissement d�un de-

(5)

Supposons, en effet, que la force �lastique et la temperature d^un gaz �tant, comme pre'c�demment, p et 9, la condensation cf soit �quivalente a cellenbsp;que Ie fluide �prouve, lorsqu�on diminue un tantnbsp;soit peu sa temperature, sans changer la pression. Eunbsp;d�signant par e cette petite variation de temperature.

Appelons T la quantit� de chaleur qu�il faudrait com-niuniquer a un gramme du gaz que Ton consid�re , pour �lever sa temperature, de � � e a 6, sans chan-ger la pression p; la chaleur sp�cifique, a pressionnbsp;constante, �tant c, on aura aussi

Apr�s cette communication de chaleur, supposons que Ton comprim� subitement ce fluide, de ma-ni�re a Ie ramener a son volume primitif; il �prou-vera alors la condensation cT; et s�il n�a perdu aucunenbsp;quantit� de chaleur, sa temp�rature aura augmentenbsp;de , et sera devenue 9 �. Dans eet �tat, lanbsp;pression du fluide sera devenue plus grande que pinbsp;mais, sans changer Ie volume , si on laisse la tem-

p�rature s�abaisser jusqu�a 0 � g , cette presslou diminuera aussi, et redeviendra �gale a p. Pendantnbsp;eet abaissement, Ie gaz perdra une quantit� de cha-ieur proportionnelle a la petite diminution de temperaturenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et exprim�e par (� a), puis-

que est sa chaleur sp�cifique a volume coifetant. Le volume, la temperature et la pression �tant lesnbsp;m�mes, apr�s cette perte de chaleur, qu�ils �taientnbsp;avant que la quantit� de chaleur F eut �t� commu-niqu�e au fluide, il est n�cessaire que la pertenbsp;co) de chaleur soit �gale a F; on a done

y �� nbsp;nbsp;nbsp;~~ * �1� ^ f

et, en ajant �gard a la valeur pr�c�dente de �T , cette valeur de y coincide avec la formule (5).

gt; - � (TWV�

Ce qui fera connaitre la valeur de 7, d�apr�s les pressions p, p', p�, ou les hauteurs barom�triquesnbsp;con-espondantes, qui r�sultera de lexp�rience ci-dessus d�crite.

En. faisant usage des valeurs num�riques de p, P �gt; p�} pr�c�demmerit cit�es, on trouve

pour la valeur du rapport des deux chaleurs sp�-cif�ques c c^, dans Ie cas de Tair atmospherique.

MM. Gaj-Lussac et Welter ont obtenu, par un proeve Analogue, une valeur de ce rapport unnbsp;peu difierente, savoir :

y = 1,5748 y

et ils se sont assures que cette quantit� est ind�-pendante de la temperature et de la pression de l�air; en sorte que dans Tequatlon (3) , appliqu�enbsp;a ce flu�de, on pourra consid�rer y comme unenbsp;quantit� constante. Par un proc�d� diff�rent, M. Du-long a tr�uv�, pour l�air parfaitement sec (*),

et une valeur sensiblement �gale a celle-ci pour Ie gaz oxig�ne et pour Ie gaz hjdrog�ne. Ma�s pournbsp;d�autres flu�des, tels que l�ac�de carbon�que et Ie gaznbsp;olefiant, ce proc�d�, que nous ind�querons par lanbsp;su�te, a donn� des valeurs tr�s in�gales de y, elnbsp;mo�ndres que la pr�c�dente; de man��i�e que ce rapport d�pend, en g�n�ral, de la nature du gaz au-quel �l r�pond.

638. En regardant y comme une quant�t� constante, l��nt�grale de F�quat�on (3) aux differences partielles est

lia quantit� q restant la m�me, p, ��, 6, deVien-nent p', f', Q', on aura de m�me

gr�s centigrades, il faudra que ce facteur de leurs expressions exprime de semblables degi �s. En �limi-nant, en outre, (pq entre ces derni�res equations et lesnbsp;pr�c�dentes, il en r�sultera

Ces equations (6) contiennent les lois de la force �lastique et de la temperature des gaz, comprim�snbsp;OU dilat�s sans aucune variation dans leur quantit�nbsp;de chaleur; elles sont fond�es sur la seule hypoth�senbsp;que Ie rapport y des deux chaleurs sp�cifiques ne va-rie pas, pour un m�me fluide, avee la pression et lanbsp;temperature; hypoth�se qui a �t� v�rifi�c, quant a

63g. 11 faut faire une seconde supposition pour determiner la fonction arbitraire f que renferme lanbsp;valeur de q. La plus simple est d�admettre que, sousnbsp;une pression constante, un gaz se dilate uniform�-ment pour des augmentations �gales de quantit� denbsp;chaleur; ce qui revient a dire que la chaleur sp�ci-fique c est constante, lorsque l�accroissement d�un de-gr� de temp�rature auquel elle r�pond (n� 654) estnbsp;mesu r� par un thermo metre a air. Dans cette hypo-th�se, q devra �tre une fonction lin�aire de 0; or,nbsp;si l�on substitue dans la fonction �, la valeur de pnbsp;tir�e de F�quation (i) , on a

? = �

A et B �tant des quantit�s ind�pendantes de p et 0, et relatives a la nature du gaz que l�on consid�re.nbsp;D�apr�s les equations (3), on aura

= yP

et pour connaitre la chaleur sp�cifique d�un gaz, a pression constante ou a densit� constante, sous toutesnbsp;les pressions, il suffira qu�elle soit connue sous uuenbsp;pression d�termin�e. Selon MM. Laroche et B�rard,

on a, par exemple, c = 0,2669 pour Pair sec, sous la pression de o�,76; la chaleiir specifique de Peaunbsp;�tant prise pour unite. En appelant fsr la pressionnbsp;correspondante a cette hauteur baroraetrique, onnbsp;aura done

et si Pon appelle aussi h la hauteur du barometre, expriraee en m�tres, et qui repond a la pression quel-

d�oii Pon deduira la valeur de c,, en divisant par la constante y. Comme cette constante est plus grande

voit que la chaleur specifique d�un gramme d�air diminuera, quand sa force elastique ou la hauteur hnbsp;augnientera.

Si Ton designe par m la quantite de chaleur perdue par un gramme d�air, quand sa temperature s�a-haissera de n degres, sans que la force elastique varie, on aura

A volume egal, et pour une m�me tempe'rature pri-uiitive, le poids de cet air sera augmente dans le rapport kh, sous une pression mesure'e par une

autre hauteur h' du barom�tre. Eu appelant m' la quantit� de chaleur perdue par ce m�me volumenbsp;sous cette autre pression, et pour l�abaissement n denbsp;temperature, nous aurons done

d�o� l�on d�duit pour Ie rapport des quantit�s de chaleur perduenbsp;par un m�me volume d'air, sous des pressions' difF�-rentes.

S = *gt;-396;

en prenant la moyenne de deux observations. Pour ces valeurs de h et k', et en faisant 7^ = 1,421, lanbsp;formule donne

640. Si l�on veut appliquer la formule (7) a la va-peur d�eau, il faudra supposer :

i�.Quequand un gramme de vapeur est form� , qu�il ne s�en pr�cipite aucune pai�tie, ni ne s�en ajoute

de nouvelle, Ie rapport repr�sent� par , de sa cha-leur sp�cifique a pression constante, a sa chaleur sp�-cifique sous un volume constant, ne varie pas avec la temperature et la densit� j

2�. Que la quantit� de chaleur n�cessaire pour �lever la temp�i�ature de ce gramme de vapeur, d�unnbsp;nombre quelconque de degr�s, soit sous une pressionnbsp;constante, soit sous un volume invariable, est pro-portionnelle a ce nombre, la temperature �tant marquee par un thermom�tre a airf

Cela pos�, si l�on appelle C la quantit� de chaleur n�cessaire pour convertir en vapeur, sous la pres-sion barom�trique de o�,76, et a une temperaturenbsp;de 100�, un gramme d�eau dont la temp�rature primitive �tait z�ro; que Ton d�signe par q la quantit�nbsp;de chaleur qu�il faudrait employer pour vaporiser cenbsp;m�me gramme d�eau, et donner a la vapeur unenbsp;temp�rature 6 sous la pression quelconque p; enfin,nbsp;que l�on d�signe par c la chaleur sp�cifique de la vapeur d�eau sous la pression constante de o�,76, etnbsp;que l�on remplace dans 1��quation (7), la pression pnbsp;par la hauteur barom�trique qui lui sert de mesui�e,nbsp;et que nous repr�senterons par h, � faudra que cettenbsp;formule donne 5' = C, quand h � et G = xo,o�,

d�apr�s ces conditions, les deux constantes arbl-traires A et B qu�elle renferme, elle devient ensuite

11 serait a d�sirer que Ie degr� d�exactitude de cetle formule fut v�rifi� par Texperience, et que les troisnbsp;constantes C, c ,y, qu�elle renferme, fussent d�ler-min�es avec precision. Si Ton prend pour unite lanbsp;chaleur sp�pifique d�un gramme d�eau a la temperature z�ro, on a

en adoptant pour C la moyenne des valeurs de cette quantit�, que diff�rens physiciens ont obtenues. Ennbsp;m�me temps, on a�ra

d�apr�s une experience assez peu concluante, et qui m�rit�rait d��ti�e r�p�t�e. Quant a la valeur de y ,nbsp;elle nous est, jusqu a pr�sent, tout-a-fait inconnue.

641- Soit que Ia densit� p de la vapeur d�eau cor-respondante a la pression p et a la temp�rature �, ait atteint son maximum, ou qu�elle soit au-dessous, l��-quation (i), qui convient aux vapeurs et aux gaznbsp;perraanens, fera toujours connaitre la valeur de p,nbsp;quand celles de p et G seront donn�es. En appelant Dnbsp;la densit� a la temp�rature de ioo� et sous la pression ordinaire de o�,76, et d�signant, comme pr�c�-demnient, par h la hauteur barom�trique qui r�pondnbsp;a p, on d�duira de cette �quation (2)

Le poids d�un litre d�air sec, a la temp�rature z�ro et sous la pression de �^,']6, �tant j�quot;,2i433 (nquot; 63i)?

de loo*; et Ie poids d�un litre de vapeur d�eau , a la m�me temperature et sous la m�me pression,nbsp;sera -ff 883), ou 0*^55; par consequent, on aura

55) = -^

pour Ie poids d�un volume de vapeur, a la temperature 0 et sous Ia pression quelconque h. Done, en appelant V la quantit� de chaleur n�cessaire pournbsp;former ce poids de vapeur, l�eau �tant primitivementnbsp;a la temperature z�ro , V sera Ie produit de ce nom-bre de grammes et de la quantit� q donn�e par lanbsp;formule (8); en sorte que nous aurons

L�unit� a laquelle cette quantit� V se trouve rappor-t�e, est la quantit� de chaleur n�cessaire pour �le-ver, de z�ro a un degr�, la temperature d�un gramme d�eau; et cette unil� est, comme on sait, �gale anbsp;soixante-quinze fois la quantit� de chaleur qu�il fautnbsp;employer pour liqu�fier un gramme de glace a lanbsp;temp�rature z�ro, sans �lever cette temp�rature.

Diverses observations ont port� plusieurs physi-ciens a penser que quand la vapeur d�eau a atteint Ie maximum de densit�, correspondant a sa temp�-vature, la quantit� de chaleur que nous avons d�si-gu�e par q ne varie plus avec cette temp�rature.nbsp;C�est a eet �tat que l�on emploie ce fluide dans lesnbsp;machines a vapeur : Ie rapport de la quantit� denbsp;chaleur pi�oduite ^ a sa tension serait done alors.

toutes choses d�ailleurs �gales, en raison inverse d� 366g 0; par cons�quent, Ie rapport de la d�-pense de chaleur a l�efFort exerc� sur Ie piston, quinbsp;a h pour mesure, diminuerait quand la temperaturenbsp;deviendrait plus grande, et ce rapport seralt Ie raoin-dre dans les machines a haute pression. Mais l��cono-mie de combustible qui en r�sulteralt en leur faveurnbsp;serait loin de r�pondre a celle que Texp�rience pa-rait indiquer; et c�est sans doute a d�autres clrcons-tances que ces machines dolvent leur avantage re-latif.

642. Concevons que la partie du cjlindre vertical ABCD (fig. 53), qui est comprise entre la surface EFnbsp;de l�eau et la base GH d�un piston , soit remplie parnbsp;de la vapeur d�eau au maximum de densit�, corres-pondant a la temperature 6 de cette vapeur, de l�eaunbsp;inf�rieure, du cylindre et du piston. Dans eet �tat,nbsp;supposons que la force �lastique de la vapeur fassenbsp;�quilibre au poids du piston, de sorte qu�en appelantnbsp;p cette force, P ce poids, y compris la pression ext�rieure que Ie piston supporte, et A l�aire de sa basenbsp;horizontale, on alt

Si l�on augmente Ie poids P, et qu�ildevlenne P ri, Ie piston descendra, et l�espace occup� par la vapeurnbsp;diminuera; mais comme on Pa suppose a son maximum de densit�, une partie se liqu�fiera; et si la tem-p�i�ature � est invariable, la pression p leseraaussi. Anbsp;la v�rlt�, dans Ie premier moment de la compression.nbsp;Ia temperature 0 augmentera, de telle sorte que la

liquefaction pourra n�avoir pas lieu d�abord, et la pression p pourra augnienter. Mais si le-mouvemeritnbsp;du piston nest pas extr�niement rapide, cette augmentation de temperature disparaitra avant que Ienbsp;d�placement de ce mobile soit appreciable, et l�onnbsp;devra consid�rer 6 etp comme coiistantes pendant toutnbsp;son mouvement. II faut aussi remarquer que la condensation du fluide, qui Ie r�duit en eau, et qul estnbsp;produite imm�diatement a la partie sup�rieure GHnbsp;en contact avec Ie piston, se transmet jusqu�en EF,nbsp;dans un temps extr�niement court, pendant lequelnbsp;Ie d�placement du piston est insensible; d�ou il suitnbsp;que la densit� du flu�de est senslblemenl la m�menbsp;dans toute sa hauteur, pendant Ia chute du piston.nbsp;Cela �tant, la force motrice de ce corps sera constante et �gale a 1�exc�s de P -f- 11 sur Ap, ou a 11;nbsp;abstraction faite du frottement contre les parois dunbsp;cyllndre, son mouvement sera done uniform�mentnbsp;acc�l�r�; et si l�on fait aussi abstraction du mouvement communiqu� a la vapeur, c�est-a-dire, si l�onnbsp;n�glig� sa masse par rapport a celle du polds 11, lanbsp;force acc�l�ratrice de ce mouvement sera la pesanteurnbsp;diminu�edans Ie rapport de 11 a P-{-n. Par cons�quent, si l�on appelle Z la hauteur de GH au-dessusnbsp;de EF, la force vive produite par la chute totale dunbsp;piston aura 2 11 Z pour valeur.

Le piston �tant d�abord arr�t� en GH, supposons que la temp�rature de l�eau inf�rieure soit subitementnbsp;abaiss�e et devienne �', raoindre que 6. La couche denbsp;vapeur en contact avec EF se liqu�fiera par le froid;nbsp;elle sera remplac�e par une autre qui se liqu�fiera de

m�tne; et, si la masse d�eau est assez grande pour que ces couches successives de vapeur ne fassent pasnbsp;varier sensiblement sa temperature, les liquefactionsnbsp;continueront jusqu�a ce que la masse enti�re de lanbsp;vapeur ait la force �lastique p', qui r�pond a la temperature 6' et a son maximum de densit� relatif anbsp;cette temperature. Cependant, la temperature de lanbsp;colonne de vapeur ne sera pas la m�me, non plusnbsp;que la densit�, dans toute sa hauteur; et ce serait unnbsp;probl�me curieux que de determiner les lois de sanbsp;temperature et de sa densit� d�apr�s les temp�ratures 0nbsp;et 0', qui ont lieu constamment a ses deux extr�mit�s,nbsp;et en regardant la densit� de chaque couche commenbsp;une fonction de sa temperature, telle que la forcenbsp;�lastique soit constante et �gale a p'. Cette constancenbsp;de la pression dans toute la hauteur de la colonnenbsp;de vapeur est �videmraent la condition d��quilibrenbsp;de ses couches successives; et quand r�quilibre s�estnbsp;�tabli, il est �galement �vident que la valeur de lanbsp;pression constante ne peut pas exc�der celle qui r�pond a la plus petite des deux temp�ratures 0 et 0',nbsp;tandis qu�elle peut �tre moindre que la force �lastique correspondante a la plus grande. L�exp�rlencenbsp;montre, au reste, que la vapeur parvient, dans unnbsp;temps extr�mement court, a 1��tat d��quilibre dont �nbsp;s�agit; en sorte que si une vapeur d�eau, a son maximum de densit� et de pression, est contenue dans unnbsp;espace ferm� dont les parois aient partout sa proprenbsp;temp�rature, et qu�on vienne a abaisser in�galementnbsp;la temp�rature d�une partie de ces parois, une partienbsp;de la vapeur se liqu�fiera, et la partie restante pren-

dra dans toute son �lendue, avec une tres grande rapidit�, la force �lastique maxima qui r�pond a lanbsp;tnolndre temperature.

Cela pos�, lorsque Ie piston nesera plus retenu, il descendra, et l�on verra, comme dans Ie cas pr�c�dent, que son mouvement sera uniform�ment acc�-l�r�, sa force motrlce �gale a P�Ap' ou K{p�p'),nbsp;sa force acc�l�ratrice �gale a la pesanteur multlpH�e

Quand Ie piston est parvenu en EF, si Pon �l�ve la temp�rature de 1�eau inf�rieure, et que ce liquidenbsp;produise une vapeur dont la pression constante surnbsp;la base du piston soit plus grande que Ie poids de cenbsp;corps, il remontera d�un mouvement uniform�ment acc�l�r�, et la force vive produite, quand ilnbsp;aura parcouru une longueur V, sera �gale au double de � multipli� par l�exc�s de cette pression sur cenbsp;poids, en faisant toujours abstraction du frottement.

C est d�apr�s ces consid�rations que Pon calcule la force vive due a la chute ou a Pascension du pistonnbsp;dans les machines a vapeur; laquelle force se distri-bue ensuite dans Ie sjst�me auquel la machine estnbsp;'ippliqu�e, et s�y trouve en partie d�truite par lesnbsp;frottemens, et en partie employ�e a produire un e�etnbsp;utile. Le calcul serait diff�rent, si la densit� de lanbsp;Vapeur contenue dans le corps de pompe n��tait pasnbsp;uu maximum; ce qui arrive, en effet, pendant ce qu�onnbsp;appelle la d�tente de la vapeur, c�est-a-dire, pendantnbsp;^u�on interrompt la communication de ce fliiide

avcc la chaudl�re, et que la vapeur se dilate, sans qu�il s�en ajoute de nouvelle : Ie mouvement du piston estnbsp;alors celui que nous avons considere' dans Ie n� 358;nbsp;et d�apr�s ce que nous avons vu dans Ie num�ronbsp;suivant, la force vive produite pendant qu�il parcourt

cn d�signant par e Ie volume prlmitif du flu�de, et par p et p' ses forces �lastiques au commencement etnbsp;a la fin du mouvement.

643.11 nous reste maintenant a consid�rer les forces �lastiques et les quantil�s de chaleur des m�langes denbsp;plusieurs gaz, compar�es a celles de ces flu�des.

Supposons qu�ori ait deux gaz diff�rens, a la m�me temp�ralure 6 et sous la m�me pression p, dontnbsp;les volumes soient a et a'. Si on les superpose dansnbsp;un vase ferm�, dont la capacit� soit a-\-a , il estnbsp;�vident qu�ils pourront s�y tenir cn �qullibre, puis-qu�ils ont la m�me temp�rature, et qu�ils exercerontnbsp;l�un contre l�autre la m�me pression; mals l�exp�-rience prouve que eet �quillbre n�est pas stable ; ellenbsp;fait voir que ces deux fluides se p�n�trent graduelle-ment jusqu�a ce qu�ils soient parfaitement m�l�s; etnbsp;elle montre aussi que, dans cette operation, il n�ynbsp;a aucune vai�iation de temp�rature , ni aucune pertenbsp;OU absorption de cbaleur; en sorte qu�apr�s un certain temps, diff�rent pour les diff�rens fluides, on anbsp;un m�lange bomog�ne dans lequel la proportion desnbsp;deux gaz est partout la m�me, et dont la temp�ra-ture et la force �lastique sont toujours � et p.

Si l�on a deux gaz m�l�s ensemble et remplissant un volume v, a la temperature 6, et si Ton d�signenbsp;'parpetp' les pressions rapport�es a Tunit� de surface,nbsp;que ces deux gaz supportenl s�par�nient a la m�menbsp;temperature et sous ce volume p, la force �lastiquenbsp;du m�lange sera En elFet, supposons d�abordnbsp;que les deux gaz soient s�par�s, et qu�on ait p' ]gt; p-Si l�on dilate Ie gaz soumis a la pression p', sausnbsp;changer sa temperature, et de mani�re que sa forcenbsp;�lastique se r�duise a p, sou volume sera alors

dont la capaclt� soit ^ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^{Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P')gt; ces gaz

se m�leront sans variation de temp�rature, d�apr�s ce qu�on vient de dire; et il en r�sultera un m�langenbsp;homogene a la temp�rature 9 et sous la pression p.nbsp;�r, la loi de Mariotte s�appliquant aux m�langes desnbsp;gaz, aussi bien qu�aux gaz simples, si l�on comprim�nbsp;ce m�lange sans changement de temp�rature, jusqu�a

�lastique p deviendra p-h p' 7 ce qu�il s agissait de d�montrer. Le m�me principe aura �galement lieunbsp;pour trois oa un plus grand nombre de gaz, et pournbsp;nu m�lange de gaz et de vapeurs : la pression dunbsp;m�lange sera toujours la somme des pressions que cesnbsp;flu�des supporteraicnt isol�ment, a la m�me temp�-1�atqre et sous le m�me volume que le m�lange.

42..

644- Soient actuellement n et �' les nombres de grammes de deux gaz, m�l�s ensemble et remplissantnbsp;un volume v, a la temp�ratui'e � et sous la pression p;nbsp;d�signons par c et c' les cbaleurs sp�cifiques d unnbsp;gramme de ces gaz, sous une pression constante etnbsp;�gale a et par cquot; la chaleur sp�cifique dunnbsp;gramme du m�lange sous la m�me pression; onnbsp;aura

En effet, je suppose que les deux gaz, au lieu d�etre parfaitement m�l�s, ne soient que superpos�s,nbsp;de sorte qu�ils occupent des portions s�par�es a et a'nbsp;du volume v, d�apr�s ce qu�on a dit tout a l�heure ,nbsp;la quantit� de chaleur sera la m�me dans les deux gaznbsp;s�par�s et dans Ie m�lange de ces deux gaz; et cettenbsp;�galit� de chaleur subsistera encore, si l�on augmentenbsp;d�un degr� la temp�rature 6 des deux gaz et dunbsp;m�lange. Or, pour cette augmentation, il faudra com-muniquer, la pression p restant la m�me, une quantit� (n n')cquot; de chaleur au m�lange, et des quan-tit�s nc et n'c' aux deux gaz. La premi�re quantit�nbsp;devra done �tre �gale a la somme des deux autres;nbsp;ce qui donne l��quatien (9), que Ton �tendra sansnbsp;peine a un nombre quelconque de fluides �lastiques.nbsp;Elle donuera la chaleur sp�cifique d�un m�lange,nbsp;lorsque celles de tous les gaz ou vapeurs qui Ie com-posent, et les proportions de ces fluides, serout con-nuesj r�ciproquement, on pourra s�en servir pournbsp;d�terminer la chaleur sp�cifique de l�un des compo-sans, d�apr�s celles de tous les autres et du m�lange;nbsp;et Ton peut remarquer qu'elles ne supposent pas que

les chaleure sp�cifiques des gaz m�langes soient in-d�pendantes de leur commune temperature.

Au lieu de consid�rer les clialeurs sp�cifiques c, c', cquot;, des gaz et du m�lange sous nne pressionnbsp;constante, on aurait pu consid�rer, de la ni�menbsp;mani�re, leurs chaleurs sp�cifiques a volume constant; et en les d�signant par c^, c/, c/', on .seraifnbsp;parvenu a une equation semblable a la pr�c�dente,nbsp;savoir :

�quation qui fera connaitre Ie rapport yquot; relatif au m�lange , quand les quantit�s semblables y et y', etnbsp;les valeurs de et c/, seront connues pour les deuxnbsp;gaz m�lang�s. Soit qu�on prenne y � 1,3^5 ounbsp;gt; = 1,421 (n� 657) pour la valeur de y relative a l�airnbsp;sec, et quelle que soit la valeur inconnue de y' qui r�-pond a la vapeur d�eau, la valeur de yquot; relative anbsp;l�air ordinaire diff�rera peu de gt;, a cause de la petitenbsp;proportion de vapeur que eet air renferme.

D�apr�s ce qu�on a vu dans Ie n� GSg, si les rapports y et y' sont ind�pendans de la pression p, mais diff�rens pour les deux gaz, les quantit�s e,nbsp;e/ seront exprim�es par des puissances in�gales

de p�, d�o� il resultera, en vertude l��quation (i i), que Ie rapport y� relalif au m�lange ne pourra pasnbsp;�tre aussi ind�pendant de la pression. L�hjpoth�senbsp;de rinvariabilit� du rapport de la chaleur sp�cifiquenbsp;d�un m�me fluide sous une pression constante, a sanbsp;chaleur sp�cifique sous un m�me volume, et lesnbsp;formules que nous en avons d�duites, ne peuventnbsp;done convenir en m�me temps aux gaz simples,nbsp;pour lesquels ce rapport n�est pas Ie m�me, et anbsp;leurs m�langes en proportion quelconque; et si cenbsp;rapport a paru constant dans les exp�riences faitesnbsp;sur fair a diff�rentes pressions (n� �Sy ), c�est pareenbsp;qu�il est sensiblement Ie m�me pour l�air et l�oxi-g�ne, et, par cons�quent aussi, pour l�oxig�ne et

LIVRE SIXI�ME.

HYDRODYNAMimJE.

CHAPI�RE PREMIER.

645. Les �qxiatlons de Tequillbre des fluides que nous avons trouv�es dans Ie n� 582, sont fond�es ^rnbsp;la proprl�t� cavact�ristique commune aux liquidsnbsp;et aux fluides a�nformes, de transmettre �galenieiitnbsp;en tous sens les pressions appliqiides a leur surface ,nbsp;et d�exercer autour de chaque point de leur masse,nbsp;en vertu de l�action moleculaire, des pressions �galesnbsp;suivant toutes les directions. Cette proprict�, commenbsp;nous 1�avons dit pr�c�demmcnt (n� 5^6), tient a cenbsp;que les molecules d un flu�de qu on a comprim� ounbsp;dilate reviennent tr�s promptemept a une dispositidVinbsp;semblable a celle qui avait lieu primitivenient autour d�un point quelconque, de telle sorte qu�apr�snbsp;sa compression ou sa dilatation, un fluidc est un

syst�me de points mate'riels semblable a ce qu�il e'tait auparavant, et seulement construit sur mie plus petite OU une plus grande �chelle. he temps de ce retour a un �tat semblable n�influe pas sur les lois denbsp;r�quilibre, que 1�on n�observe jamais qu�apr�s qu�ilnbsp;est �coul�; mals, quelque petit qu�il soit, on com-prend qu�il peut influer sur les lois de leur mouvement, surtout dans Ie cas ou les vibrations des molecules fluides s�ex�cutent avec une grande rapidit�; denbsp;mani�reque Ie principe de Tegalitede pression en tousnbsp;sens peut convenir a 1�Hjdrostatique, et n��tre pasnbsp;toujours applicable a \'Hjdrodjnamique, c�est-a-dire,nbsp;a la partie de la M�canique qui traite du mouvementnbsp;des fluides.

Une difference analogue entre l��tat d��quilibre et l��tat de mouvement, a d�ja �t� remarqu�e par Laplace, relativeraent a la loi de Mariotfe. Cette loinbsp;exige que la temperature du fluide soit redevenue lanbsp;m�me, apr�s la compression, qu��lle �tait aupara-i^nt; et Ie principe de l��galit� de pression en tousnbsp;sens suppose, de m�me, que les molecules du fluidenbsp;ont eu Ie temps de revenir a une disposition respective semblable a leur disposition premi�re. Elle n�anbsp;plus lieu , ou doit �tre modifi�e, dans les vibrationsnbsp;tr�s rapides des gaz, o� la temperature primitivenbsp;u�a pas Ie temps de se re'tablir; et, de m�me, Ienbsp;principe de T�galit� de pression en tous sens n�est pasnbsp;rtgoureusement et.toujours applicable aux mouve-mens des liquides et des fluides a�riformes. On a re-connu dans la vitesse de propagation du son, l�in-flnence de cette modification de la loi de Mariotte;

et il y a sans doute aussi des ph�nom�nes du mouvement des flu�des, en general, qui dependent de la non-�galit� parfalte de pression en tous sens, resultant de la cause que nous indiquons. Cette circonstance introduit dans les equations g�n�rales du mouvement desnbsp;fluides, des termes qui ne peuvent se d�duire de leursnbsp;equations d��quilibre; j�y ai eu �gard dans Ie M�-moire d�ja cit� (n� Sj�), et je me propose de reve-nir, par la suite, sur cette importante consld�ration.nbsp;Mals dans ce Traite', je supposerai, suivant la'm�thode qu�on suit ordinairement, la propri�t� de l��-galit� de pression en tous sens, commune a l��tatnbsp;d��quilibre et a T�tal de mouvement; et, dans cettenbsp;hypothese, les �quations de l�Hjdrostatique, fond�esnbsp;sur cette propri�t�, s��tendront imm�diatement anbsp;l�Hydrodynamique, au moyen du principe de D�Alembert, qui est applicable a tous les syst�mes de pointsnbsp;mat�riels.

646, Consid�rons de nouveau la masse flu�de ABCD ( fig. 56), dont nous avons determine lesnbsp;�quations d��quilibre; supposons maintenant qu�ellenbsp;soit en mouvement, et que toutes les notations dunbsp;n� 581 r�pondent a la fin du temps quelconque t,nbsp;compt� depuis 1�origine de ce mouvement. Ainsi, lanbsp;masse fluide est homogene ou h�t�rog�ne, liquidenbsp;Ou a�riforrae; x, y, z, sont, au bout du temps t,nbsp;les coordonn�es d�un �l�ment quelconque dm denbsp;�iette masse; p repr�sente la densit� du fluide qui anbsp;Beu en ce point el a eet instant; et Xd/iz, Ydm, Zdm^nbsp;sont les composantes parall�les aux axes des x ,j, z,nbsp;de la force molrice de dm a ce ra�me Instant. Les

quantites X, Y, Z, seront des fonctions donn�es dex, j-, z, quand elles proviendront d�attractionsnbsp;OU de repulsions qui �manent de centres fixes; cesnbsp;fonctions donn�es renfermeront Ie temps explicite-ment, quand les centres des forces seront en mouvement. Lorsque ces points seront ceux du fluide,nbsp;X, Y, Z , seront des fonctions de x, j, z , t, d�-pendantes de sa figure a chaque instant, et de lanbsp;loi des depsit�s dans son int�rieur.

Les coordonn�es x ,r, z, varieront avecle temps; elle varieront aussi d�un point a un autre du fluide ;nbsp;et si Ton d�signe par x', y', z', leurs valeurs initia-les, c�est-a-dire, les coordonn�es du point de l�espacenbsp;qu�occupait T�l�ment dn a I�origine du mouvement,nbsp;les coordonn�es x, y, z, de ce m�me �l�ment aunbsp;bout du temps t, seront des fonctions inconnues denbsp;x', y', z', t z la. solution complete du probl�menbsp;consisterait a d�terminer ces trois fonctions de quatrenbsp;variables ind�pendantes.

Si Ton appelle u, v, w, les composantes paral-l�les aux axes Ox, Oy, Oz, de la vitesse dont 1��l�-ment dm est anim� au bout du temps t, on aura

on pourra regarder u, v,w, comme des fonctions inconnues, soit de t, x', y', z', soit de t, x, y, z;nbsp;c�est sous ce second point de vue que nous consid�-rerons ces trois quantif�s; et alors,* pour avoir leursnbsp;accroissemens dans l�instant dt, il faudra les differen-tier par rapport a � et par rapport aux coordonn�es

x , y,z. Or, si Ton d�signe par q une fonction quel-conque die t, x, j, z, et par q'dt sa diff�rentielie prise par rapport a ^ et aux variables x, J, z, con-sid�r�es comme des fonctions de i, on aura, par lanbsp;regie connue de la differentiation des fonctions denbsp;fonctions,

, _ dq

du		du	du
dt	u	dx	-j- dj
dv		dv	du
	u	dx	dj
dw		dw	dw
dl	u	dx	^ dj

et, de cette mani�re, les composantes de la vilesse d�un m�me �l�ment dm, dans les deux positionsnbsp;qu�il occupe successivement, seront u, v, w, etnbsp;u udt, V v'dt, w w'dt.

Quanta la densit� f, ce sera une constante donn�e, si Ie fluide est homogene et consid�re comme incompressible; s�il s�agit d�un liquide h�t�rog�ne, lanbsp;densit� p, qui r�pond a un �l�ment d�termin�nbsp;sera une fonction donn�e de ses trois coordonn�esnbsp;initiales x , j', z'; enfin, si Ie fluide est compressi-

ble, cette densit� fgt; sera une fonction inconnue de t, 3c', y, z', dont la valeur initiale sera seulenientnbsp;donne'e. Except� Ie cas o� f est une constante, cettenbsp;densit�, rapport�e a la position de dm au bout dunbsp;temps ty devra toujours �tre consid�r�e comme unenbsp;fonction Inconnue de x, jr, z, it. Si 1�on d�signe alorsnbsp;par fgt;'dt, son accroissement pendant l�instanl dt^ onnbsp;aura, dapr�s la formule (2),nbsp;et dans Ie cas d�un fluide incompressible, homog�nenbsp;Ou h�t�rog�ne, cette valeur de f devra se r�duire anbsp;z�ro.

647. Les composantes de la force perdue par 1��-l�ment dm pendant l�instant dt, seront

en substituant done X � u', Y � v', Z �tv', a la place de X, Y, Z, dans les equations (2) du n� 582,nbsp;il en r�sulleraces trois equations de sou mouvement:

fOf-p �tant la pression rapport�e a l�unit� de surface, qul a lieu au bout du temps t, au point qui r�pondnbsp;aux coordonn�es a?, j, z, et qu�on suppose la m�rnonbsp;suivaut toutes les directions.

Si ce point appartlent a une paroi fixe, p exprimera la pression normale que cette surface aura a supquot;nbsp;porter, et qui devra �tre d�trulte par sa resistance�

Si ce point appartient a la surface llbre d�un liquide, il faudra qu�on ait p=^o, ou plus g�ne'ralement,nbsp;dpz=o -, en sorte que l �quation diff�rentielle de lanbsp;sui'face libre du liquide en mouvement, sera

D�apr�s la remarque du n� 585, il faudra que la valeur de p, quand on l�aura d�termin�e, soit cons-tamment positive dans l�int�rieur de ce liquide, sinbsp;l�on veut que sa masse ne se divise pas pendant Ienbsp;mouvement; quand elle sera negative en un pointnbsp;d�une paroi, ce qui ne pourra avoir lieu que pournbsp;mi liquide, cette surface cessera d�etre presse'e denbsp;dehors en dedans, et Ie liquide s�en d�tachera.

Comme la quantit� p qu�elle i�enferme est, ainsi que chacune des vitesses u, v, w, une fonction inconnuenbsp;de x^y, z, ily faudra joindre une quatri�menbsp;equation, lorsque la quantit� p sera une constantenbsp;donn�e, et deux autres equations, dansle cas generalnbsp;o� cette quantit� est aussi une fonction inconnue denbsp;x,y^z, t. Ces �quations s�obtiendront de la mani�renbsp;suivante.

changera de forme pendant l�instant dt, et il chan-gera m�me de volume, si Ie fluide est compressible; mals comme sa masse devra toujours rester la m�me,nbsp;il s�ensuit que Ie produit de son volume au bout dunbsp;temps tdt, qX. Ae sa densll� �� fdt qul r�pond aunbsp;m�me instant, devra �tre Ie m�me qu�au bout dunbsp;temps t j par conse'quent, la variation de ce produitnbsp;dans l�instant dt sera �gale a z�ro j ce qui fourniranbsp;une nouvelle �quation g�n�rale du mouvement.

Pour la former, consid�rons Ie parall�l�pip�de rectangle dont Ie volume �tait dxdydz, a la fin dunbsp;temps ^, et cherchons la forme que prendra eet �l�ment du fluide a la fin du temps t-\-dt. Soit M(fig. 54)nbsp;Ie sommet de ce parall�l�pip�de qui r�pond auxnbsp;coordonn�es z; soient aussi MA, MB, MC, lesnbsp;trois c�t�s adjacens a ce sommet et respectivementnbsp;parall�les aux axes Oj?, Oy, Oz; en sorte qu�on alt

supposons que D, E, F, G, sont les quatre autres sommets, et que pendant l�instant dt, les buit pointsnbsp;M, A, B, C, D, E, F, G, soient transport�s en M',nbsp;A', B', C', D', E', F', G'; je dis que Ie poly�drenbsp;dont ces derniers points sont les sommets, sera unnbsp;parall�l�pip�de obliquangle; et pour Ie prouver,jenbsp;vais d�terminer et comparer entre elles les longueursnbsp;de ses douze c�t�s M'A', M'B', etc.

X -f- udt, y -f- vdt, z wdt, au bout de l�instant dt-, ces quantit�s sont done les

coordonn�es du point M'; on en d�duira celles de tout autre sommet, en y remplacant x z, parnbsp;les coordonn�es primitives de ce sommet; ainsi, l�onnbsp;aura les coordonn�es de C', en y conservant .x etj,nbsp;et mettant z -{-(fa a la place de z, paree que oc,j, z-^dznbsp;sont les coordonn�es de C. De cette mani�re, lesnbsp;coordonn�es de C', seront

=\/ (�j nbsp;nbsp;nbsp; (sy

en extrayant la racine carr�e et n�gligeant les infiui-ment petits du troisi�me ordi�e, on aura done

Les coordonn�es de D' se d�duiront de celles de M', et les coordonn�es de G', de celles de C', en ynbsp;mettant x dx et y dj Sildi place de x et j; parnbsp;cons�quent, la longueur du c�t� D'G' se d�duira denbsp;m�m� de celle du c�t� M'C'; ce qui donne

sont du troisi�me ordre, la valeur de D'G' sera la m�me que celle de M'C'. On trouvera de la ni�menbsp;mani�re, que les c�t�s A'E' et B'F' sont �gaux au c�t�nbsp;M'C', aux quantit�s pres du troisi�me ordre; en sortenbsp;que Ton aura

Si 1�on change z enj, et tv en v, dans la valeur de M'C', elle deviendra celle de M'B', savoir :

Nous voyons done que les c�t�s �gaux enlre eux dans Ie parall�l�pip�de primitif, sont encore rest�snbsp;�gaux apr�s son changement de forme; Ie parall�lismenbsp;de ses c�t�s est une cons�quence de leur �gallt�; parnbsp;cons�quent, l��l�raent de volume que nous consid�-rons conserve, a la fin de dt, la forme d�un parall�l�pip�de, mals qui nest pas rectangle, comme aunbsp;commencement de eet instant.

On aura Ie volume de ce parall�l�pip�de obliquan-gle, en multipllant l�une de ses faces, par exemple , la face M'A'D'B', par la perpendiculaire C'P' abais-

see du point C' sur cette face; Taire du parall�lo-gramme M'A'D'B' est e'gale au produit de ses deux c�t�s M'A' et M'B', multipli� par Ie sinus de Tanglenbsp;A'M'B'; et la perpendiculaire C'P' se d�duit du c�t�nbsp;C'M', en Ie multipliant par sinC'MT'; par cons�quent,nbsp;Ie volume du nouveau parall�l�pip�de aura pournbsp;valeur

Or, les angles A'M'B' et C'M'P' �taient droits dans Ie parall�l�pip�de primitif; chacun d�eux ne peut donenbsp;maintenant diflerer d�un angle droit, que d�une quan-lit� infiniment petite; Ie sinus de chacun de cesnbsp;angles ne diff�rera done de Tunit�, que dun infiniment petit du second ordrej par cons�quent, si Fonnbsp;n�glig� les infiniment petits du cinqui�me ordre, ilnbsp;faudra faire sin A'M'B'= i et sin C'M'P'= i , dansnbsp;Ie produit pr�c�dent; ce qui Ie r�duit a

Done, en mettant pour chacun des facteurs sa valeur pr�c�dente, effectuant la multiplication, etnbsp;n�gligeant toujours les infiniment petits du cinqui�me ordre, ce produit sera

de 1��l�ment qui �tait dxdjdz, a la firi du temps t. �n m�me temps, la densit� p est devenue p~u^'dt;nbsp;en multipliant done ce volume p p'dt, et re-

trancbant du produit la masse primitive fdx dj dz on aura la variation de cette masse pendant Tinslantnbsp;dt; et cette variation devant �tre nulle, il en r�sul-tera l��quation

en negllgeant les infiniment petits du cinqui�nie ordre, fet supprimant ensuite Ie facteur dt dx dj dzynbsp;comnmn a tous les termes. Par cons�quent, d�apr�snbsp;la valeur de p' du num�ro pr�c�dent, la quatri�menbsp;�quation du mouvement qu^il s�agissait de former,nbsp;sera

649- Cette �quation appartiendra aux liquides et aux fluides a�riformes; mais la quantit� p' �tantnbsp;nulle, dans Ie cas des liquides regard�s comme in-compressibles, cette �quation se partagera en deuxnbsp;autres, savoir;

En les joignant aux trois �quations (5), on aura un nombre d��quations �gal a celui des cinq inconnuesnbsp;qu�elles doivent servir a d�termlnernbsp;en fonctionsde x,j, z, t. Quandle liquide est homogene, la densit� p est une constante donn�e; ce

qui r�duit les inconnues a quatre, et fait en m�me temps disparaitre la premi�re equation (5).

Relativement aux flu�des �lastiques, on n�a aussi que quatre equations, savoir, les equations (5) et (4);nbsp;mais alors la densit� est li�e a la pression; ce quinbsp;r�duit a une seule les deux inconnues p et j?. Si l�onnbsp;suppose que la temperature soit la m�me dans toutenbsp;la masse du fluide a l��tat de repos, les dilatationsnbsp;OU compressions des �l�mens de ce fluide, qui aurontnbsp;lieu pendant son mouvement, feront varier cettenbsp;temperature, et la pression p ne sera plus propor-tionnelle a la densit� p, dans l��tat de mouvement,nbsp;comme elle Test dans l��tat d��quilibre. On verra,nbsp;dans la suite, comment on peut avoir �gard a cette cir-constance, dans Ie cas d�un mouvement tres rapide.nbsp;Maintenant je supposerai qu�il s�agisse d�un mouvement assez lent pour qu�elle n�ait aucune influencenbsp;sensible; en sorte que l�expression de p en fonctionnbsp;de p, soit celle qui convient a l��tat d��quilibre,nbsp;savoir (n� 624),

fl d�signant la temp�rature commune a tous les points du fluide, a Ie coefficient 0,003^5 de la dilatationnbsp;des gaz, et k une constante relative a la matiere dunbsp;fluide que l�on consid�re.

d�termin�es, soit au moyen des cinq �quations (5) et (5), soit d�apr�s les cinq �quations (3), (4)^

On end�duira les valeurs de ar,z, en fonctions de t, et deleurs valeurs initiales x', z', au moyen des

equations (i). Les int�grales de toutes ces equations aux differences partielles renfermeront des fonclionsnbsp;arhitraires, qui resteront encore a determiner, d�a-pr�s l��tat initial du fluide, et au mojen de certainesnbsp;conditions relatives a sa surface dont il sera questionnbsp;plus bas.

65o. Quand la tempe'rature n�est pas la in�me dans toute la masse flu�de a l�origine du mouvement, ellenbsp;varie cnsulted�un point a un autre, et, pour un m�menbsp;point, d�un instant a l�autre; en sorte que si l�onnbsp;dcsigne, au bout du temps t, par 9, la temperaturenbsp;qui r�pond aux points dont x, jr, z, sont les coor-donnees, cette quantit� 9 est une fonction inconnuenbsp;de ff Xfjr, z, et pour la determiner il faut joindrenbsp;une nouvelle equation aux pr�c�dentes. Cette equation sera diff�rente dans les deux cas d�un liquide etnbsp;d�un fluide a�rlforme, que nous allons successlve-ment consid�rer.

1�. Supposons qu�ils�agissed�un liquide homogene, tel que l�eau, pour fixer les idees. La temperature 6nbsp;variant d�un point a un autre, la denslt� fgt; varieranbsp;de m�me, et sera une fonction d�termin�e de 9, quenbsp;je repr�senterai par � G (�^). La quantit� p' ne seranbsp;plus nulle, et l��quation (4)- ne se d�composera plusnbsp;dans les deux equations (5). La chaleur sp�cifiquenbsp;du liquide et la mesure de sa conductibilit� serontnbsp;aussi des functions d�termin�es de 0; mais si Tonnbsp;suppose que la communication de la chaleur dans ¹

Pour la forme de cette fonction, vqrez Ie Trait� de Pltjquot; siqtie de M. Biot, tome 1quot;', chapitre XI.

rint�rieur de l�eau, ait lieu comme dans im corps solide, par un rayonnemeat a distance insensible,nbsp;l��quation relative au mouvement de la chaleur dansnbsp;urf corps h�t�rog�ne, que j�ai trouv�e autrefois,nbsp;s�appliquera a la masse d eau que nous consid�rons jnbsp;car elle fait connaitre Taccroissement instantan� denbsp;temperature qui a lieu en un point quelconque d��nnbsp;corps, dans lequel la c�aleur sp�cifique et la conduc-tlbllit� varient arbitrairement d�un point a un autre;nbsp;et d�apr�s la mani�re dont elle a �t� form�e, elle nenbsp;depend pas du mouvement du point materiel quenbsp;�oa consid�re, non plus que du mouvement desnbsp;points circonvolsins. Ainsi, en appelant S'dt l�accrois-semeat de G pendant Vinstant dt, on aura (*)

6' = ^

et OU g et h sont des functions de 0, qui repr�sentent la chaleur sp�cifique rapport�e a l�unit� de masse, etnbsp;la mesure de la conduclibilite. Chacune de ces fonc-tlons est cens�e connue, ainsi que �0, de mani�renbsp;que les �quations (3), (4)gt; (7)� seront en nombrenbsp;�gal a celui des inconnues 0, p, e, rv, qu�ellesnbsp;renferment. Dans Ie cas d�uu liquide heterogene, les

trois quantit�s p, g, h, relatives au point de sa masse dont les coordonn�es sont x, y, z, d�pendraient denbsp;la temperature 0 et de la mati�re du fluide en cenbsp;point, et seraient, par cons�quent, des fonctiAisnbsp;donn�es de 0 et des coordonn�es initiales x', y', z',nbsp;de ce m�me point.

2*. Si Ie fluide que i�on c(^sid�re est une masse d�air ou d�un gaz quelconque, dont la temp�raturenbsp;6 varie d'un point a une autre , et que dans l��tat denbsp;mouvement, la pression soit toujours suppos�e pro-portionnelle a la densit�, comme dans Ie n� pr�c�dent, i��quation (6) aura toujours lieu; mais i��qua-tion (7) ne subsistera plus; car elle est fond�e surnbsp;l�hypoth�se que la communication de la chaleur dansnbsp;l�int�rieur du corps se fait par un rayonnement anbsp;distance insensible; et, au contraire, la chaleurnbsp;rayonnante traverse les fluides a�riformes, dans denbsp;tres grandes �paisseui�s; en sorte qu�il y a �change denbsp;chaleur entre des mol�cules tres �loign�es Tune denbsp;l�autre. Cette �quation devra done �tr#remplac�e parnbsp;une autre, que Ton joindra aux �quations (5), (4)�nbsp;(6), afin d�en avoir un nombre �gal a celui des in-connues p, p, 0, u, v, tv. Dans Ie probl�me desnbsp;vents alls�s, par exemple, qui sont produits par lesnbsp;difl�rences de temp�rature des couches atmosph�ri-ques, on formera cette sixi�me �quation de la ma-ni�re sulvante, qu�il nous suffira maint�nant d�indi-quer.

La quantit� de chaleur recue pendant l�instanl clt, par l��l�ment quelconque dm de la masse fluide,nbsp;qu�on peut supposer proportionnelle a dmdty se com-

pose de la chaleur solaire absorb�e par dm pendant eet instant dt, a laquelle illaut d�abordaj outer la chaleur rayonnante que eet �lement recoit, dans ce m�menbsp;instant, d�une partie de la surface de la terre et de lanbsp;partie de Tatmosph�re dont la communication avecnbsp;dm n�est point interrompue par cette surface, et, ennbsp;outre, la portion de chaleur qui peut�tre coramuni-qu�e a dm par les �l�meus circonvoisins, commenbsp;dans les corps solides. En retranchant de cette sommenbsp;la quaiitit� de chaleur �mise au dehors par I�clementnbsp;dm, pendant I�instant dt, soit par communication,nbsp;soit par rayonnement a grande distance, on auranbsp;I�augmentation inslantanee de la chaleur de dm, quenbsp;Ton peut representer par Admdt; A �tant un coefficient dont je me borne a indiquer I�origine. D*unnbsp;autre cote, cette augmentation de chaleur est �galenbsp;a g^'dtdm, en d�signant toujours par g et GWf, lanbsp;chaleur specifique rapport�e a l�unit� de masse, etnbsp;I�accroissement instantan� de temp�rature; on auranbsp;done Qdmdt = g^'dmdt, ou A = g�', pour I�equationnbsp;demand�e, qu�on devra substituer a I�e'quation (7).

651. Avant d�aller plus loin, il y a une remarque importante a faire relativement a l��quation (4).

D�apr�s la mani�re dont elle a �t� form�e, elle exprime que la masse de l��l�ment diff�rentiel dm d\xnbsp;fluide ne varie pas pendant I�instant dt; mais e�estnbsp;pour abr�ger que Ton a consid�r� le volume de cettenbsp;partie du fluide comme infiniment petit; et si Tonnbsp;divise le volume total en parties de grandeur finie,nbsp;mais insensible, dont chacune renferme neanmoinsnbsp;uu nombre extr�memcai grand de molecules., l'�-^

quation exprime r�ellement que chacune de ces parties renferme toujours les m�mes molecules, etnbsp;que, par cons�quent, sa masse est invariable. C�estnbsp;pour cela qu�elle est d�sign�e sous la denominationnbsp;d��qucttio�i de la continuit� du fluide. Or, il existe desnbsp;mouvemens danslesquels cette continuit� n�a pas lieu,nbsp;et oil Ton ne doit plus faire usage de 1��quation quinbsp;s�y rapporte.

Supposons, parexemple, que de l�eau soit contenue dans un cylindre vertical, ouvert a sa partie sup�rieure. Si l�on �chauffe Ie liquide par en haut, lanbsp;temp�rature seracroissante, et la densit� d�croissante,nbsp;en. allant du fond a la surface; la masse fluide s�al-longera, les couches horizontales se remplacerontnbsp;successivement, et l��quation de la continuit� s�appli-quera a ce mouvement. Mais si Ie liquide est �chauffenbsp;par �n bas, la densit� sera croissante, et la temp�rature d�croissante de bas en haut: a la rigueur, lesnbsp;couches horizontales pourront encore se remplacernbsp;successivement; mais un pareil mouvement ne seraitnbsp;pas stable; et l�observation montre que les raol�culesnbsp;d�eau s��l�vent du fond vers la surface, en traversantnbsp;les couches sup�rieures. Toutes les parties tr�s petitesnbsp;du liquide ne sont pas constamment form�es desnbsp;m�mes mol�cules; l��quation (4) n�a done pas lieunbsp;dans ce genre de mouvement; et il est m�me douteuxnbsp;que les �quations (3), fond�es sur Ie principe denbsp;l��galit� de pression en tous sens, puissent s�j appli-quer; en sorte que, dans l��tat actuel de la science,nbsp;nous n�avons aucun moyen de determiner Ie mouvement d�un liquide dont les couches se traversent

mutuellement, les unes en montant, les auh�es en descendant. La m�me remarque s�applique auxnbsp;mouvemens verticaux qui peuvent exister dansnbsp;chaque colonne atmosph�rique, dont les couches in-f�rieures, �chaufF�es par Ie contact avec la terre, etnbsp;devenues plus l�g�res, s��l�vent en traversant lesnbsp;couches sup�rieures. La determination de ces mouve-mens,d�un genre different de ceux qu�on a consider�snbsp;jusqu�a pr�sent, et leur influence sur les variationsnbsp;diurnes du barpm�tre, sontdes questions sur lesquellesnbsp;il importe d�appeler l�attention des g�om�tres.

652. Dans les mouvemens des fluides que l�on soumet au calcul, ou a coutume de supposer quenbsp;les points qui se trouvent, a une �poque d�termin�e,nbsp;sur une paroi fixe ou mobile, ou qui appartiennentnbsp;a la surface fibre d�un liquide, demeureront sur c�ttenbsp;paroi, OU appartiendrorit h cette surface, pendantnbsp;toute la dur�e du mouvement; en sorte que Tonnbsp;exclut les mouvemens tres compliqu�s dans lesquelsnbsp;des points d�un flu�de, apr�s avoir appartenu a sa su-perficie, i�entreraient dans l�int�rieur de la masse,nbsp;ou r�ciproquement; et l�on exclut m�me les cas ounbsp;des points d�tin liquide passeraient alternativementnbsp;de la surface fibre a la surface en contact avec unenbsp;paroi fixe ou mobile. Ces conditions particuli�resnbsp;auxquelles on assujettit les mouvemens que l�on con-sid�re, s�expriment par les �quations suivantes.

les coordonn�es initiales du m�me point, de sorte que Xf j, z, soient des fonctions de t, x',y', z'.

et tous les points du fluide dont les coordonnees initiales satisferont a cette equation, seront ceux quinbsp;appartiennent, au bout du temps a la surface S;nbsp;par cons�quent, pour que ces points soient constam-ment les m�mes, il faudra que la fonction F nenbsp;renferme pas la variable t. Si done S est la surfacenbsp;libre, ou celle d�une paroi fixe ou mobile, il faudranbsp;que la fonction fit, x, j, z) soit ind�pendantenbsp;de if, en y regardant x, j, z, comme des fonctionsnbsp;de ces variables j sa diff�rentielle complete par rapport a t devra done �tre nulle; et d�apr�s Ia formulenbsp;(2), on aura

Dans Ie cas d�une paroi fixe , Ia fonction � ne ren-ferniera pas explicitement Ie temps t; en la repr�sentant par L, de sorte que L = o soit l��quation donn�e de la paroi, Tequation (8) deviendra

(9)

Si Ton d�signe par ^ la r�sultante des vitesses u, V, tv, et par a ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les angles quelle fait avec

les directions des x, f f z; si l�on appelle aussi a, b, c, les angles que fait la normale a la paroi avec lesnbsp;m�mes directions, et qu�on fasse

(�)� o a=^-.

et, en substituant ces valeurs dans Tequation (9), et supprimant ensuite Ie facteur commun , elle de-viendra

Cette equation (9) signifie done que la vitesse de chaque point de flu�de adjacent a une paroi fixe, estnbsp;normale a cette surface; et, en efFet, c�est la condition n�cessaire et suffisante pour que ce point ne senbsp;d�tache pas de la paroi, et ne fasse que glisser surnbsp;sa surface.

A la surface fibre d�un liquide, la pression p est, en g�n�ral, une quantit� constante; mais elle pour-rait d�pendre de t et �tre seulemeut ind�pendante denbsp;x,jr, z, si la pression ext�rieure, commune a tousnbsp;les points de cette surface, variait avec Ie temps; ennbsp;la d�signant par T, l��quation de la surface fibrenbsp;sera done 75 � T s=: o; ct en nieUant p � Ta la

pour l��qualion qui aura lieu en m�me temps que p � T = o, OU en m�me temps que 1�equation dli�e-rentielle de la surface libre, qui a �t� donn�e daus Ienbsp;n� 647.

Nous ferons remarquer que les e'quations (8), (g), (10) auront encore lieu, sans erreur sensible, lorsquenbsp;les points du fluide ne s��carteront de sa superficie,nbsp;que de quanlit�s insensibles. Par cons�quent, si l�onnbsp;consid�re, comme dans Ie num�ro pr�c�dent,nbsp;une portion du fluide dont les dimensions soient denbsp;grandeur finie, mais insensibles, et qui contiennenbsp;n�anmoins un nombre immense de molecules, et sinbsp;l�on suppose qu�une partie de sa surface appartiennenbsp;a celle du fluide, a une �poque d�termin�e, cesnbsp;equations exprimeront, en r�alit�, que cela auranbsp;lieu pendant toute la dur�e du mouvement. Cettenbsp;partie commune aux deux surfaces, pourra, d�ailleui�s,nbsp;varier en �tendue dans des rapports quelconques;nbsp;et la petite portion de fluide dont il s�agit, en se d�-placant a la superficie du fluide, pourra s��tendrenbsp;pu se r�tr�cir sans que son volume change dans Ienbsp;cas d�un liquide, ou sa masse dans Ie cas d un fluidenbsp;quelcouque. Ainsi, par exemple, lorsqu�un liquidenbsp;pesant oscille dans un vase ouvert a sa partie sup�rieure, l��tendue de sa surface libre et celle de sanbsp;surface de contact avec les parois du vase varientnbsp;pendant Ie mouvement, de sorte que Ie nombre des

points mat�riels du liquide, qui sontsitu�?. a Tune ou 1�aulre de ces deux surfaces, n�est pas constammentnbsp;Ie m�me; mais les e'quations (9) et (10) peuventnbsp;avoir lieu n�anmoins, si 1�on consid�re qu�elles nenbsp;r�pondent pas seulement a des points isol�s, maisnbsp;qu�elles se rapportent a de petites portions du liquide, de grandeur insensible et de forme variable.

Ces equations partlculi�res que Lagrange a intro-duites dans la theorie des fluides, concourront, dans chaque cas, avec l��tat initial du syst�me, anbsp;determiner les fonctions arbitraires qui seront conte-nues dans les e'quations du mouvement.

653. Dans un cas tres �tendu, on peut r�duire les trois equations (3) a une equation aux differencesnbsp;partielles du premier ordre, et faire d�pendre d�unenbsp;seule quantite, les trois inconnues u, v, w, Qe cas anbsp;lieu, lorsque la formule udx -j- vdy -I- wdz est unenbsp;differentielle exacte d�une fonction Aamp; x, j, z, re-gard�es comme des variables independantes, et quenbsp;le flu�de dont on s�occupe est homogene et partout anbsp;la m�me temperature, dans son �tat d��quilibre.

udx vdj wdz 'z^z d(p;

lt;p deslgnant une fonction inconnue des quatre variables t, X, z, mais la differentielle d(p �tant prise seulementpar rapport a x,j, z, de sorle qu�onnbsp;ait

nenttoujours d�attractions ou de repulsions, dont les centres sont des points fixes ou mobiles, ou les pointsnbsp;m�mes du fluide, on a aussi

X�llr ^dj Zdz = dY, et, par cons�quent,

renti�e que par rapport a jc, j, z. Dans Ie cas d�un fluide �lastique dont la densit� est constante a l��tat

rlthme, si l�on suppose que la loi de Mariotte ait encore lieu a l��tat de mouvement; si Ton tlent compte des variations de temperature qui accompagnentnbsp;celles de la densit� pendant Ie mouvement, cettenbsp;int�grale sera une autre fonction de p; et dans Ie cas

d�un liquide horaog�ne, elle se r�duira 'a-p, abstraction faite de la constante arbitraire. Pour com-prendre tous ces cas en un seul, je ferai il en r�sultera

et tons les termes de cette equation �tant des diff�-rentielles exactes a trois variables x, j, z, on en d�duit imm�diatement

v_P=^ i[(g)- (!)� (!)�]. w

La constante arbitraire qu�on devrait aj outer dans cette integration, peut �tre cens�e contenue dans lanbsp;quantit� inconnue lt;p, et Ton peut regarder les int�-grales V et P comme des quantit�s enti�rement d�-termin�es.

Cette equation, qui remplacera les trois equations (5), fera connaitre la valeur de p, quand celle denbsp;sera d�termin�e; les equations (a) d�terminerontnbsp;aussi les trois inconnues �, p, et quant a la valeur de (j), elle se d�duira de 1��quation (4), qui de-vient

dans Ie cas d�un flu�de a�riforme, on y mettra pour p sa valeur en fonction de p, et pour p sa valeur ti-r�e de l��quation (�).

une diff�rentlelle exacte pendant toute la dur�e du mouvement, il faut qu�elle Ie soit a 1�origine, et quenbsp;les valeurs iniiiaies de m, u, tv, qui sont donn�esnbsp;arbitrairement en fonctions de x, y, z, satisfassentnbsp;aux conditions d�int�grabilit�. Reciproquement, onnbsp;admet qu�il suffit que cette formule soit une difle-rentielle exacte relativement a une valeur d�termin�enbsp;de t, pour qu�elle Ie soit aussi pour toutes les valeursnbsp;de cette quantit�; mais cette proposition n�a pas toutenbsp;la g�n�ralit� qu�on lui suppose. Volei comment onnbsp;la d�mon tre.

lt;Pi �tant une fonction de x, J', Si l�on d�signe par s un intervalle de temps infiniment petit, et quenbsp;Ie temps t deviennenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les quantit�s u, vtv,

En les substituant avec celles de m, v, tv, et de leurs difFe'rences partielles relatives a oc, j, z, dans cesnbsp;equations, et supprimant ensuite les termes multiplies par 6, il vient

d�ou l�on tire, d�apr�s les notations pr�c�dentes, u^dx 4- v^dj -f- w/dz

etd�o� il r�sulte que la quantit� (u/J3c-\-v^dj-\-w]dz)amp;, dont s�accroit la formule udsc vdf wdz pendantnbsp;Ie temps e, sei�a une^ifF�rentielle exacte. Par cons�quent, cette formule sera une dlff�rentielle exacte aunbsp;bout du temps'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- �, puisqu�on suppose qu�elle

Test au bout du temps j elle Ie sera au bout du temps i^-f-2�, puisqu�elle Test au bout du tempsnbsp;�; et ainsi de suite. Et comme on peut prendre tnbsp;positif OU n�gatif, on en conclut que cette formulenbsp;iidx vdj -f- wdz est une diff�rentielle exacte pournbsp;toutes les valeurs de f, si l�on s�est assure qu�ellenbsp;Ie soit pour telle valeur qu�on voudra de cette variable.

Mais cette demonstration suppose que les valeurs de u, V, w, qui r�pondent a i -f- e, peuvent senbsp;d�velopper suivant les puissances de g, ou, ce quinbsp;revient au m�me, elle suppose que les expressionsnbsp;de M, t�, w, en fonctions de t, satisfont aux equations du probl�me et a toutes celles qui s�en d�-duisent par des differentiations relatives a Or,nbsp;cela n�a pas toujours lieu a l��gard des expressionsnbsp;de u, V, w, en s�ries d�exponentielles et de sinusnbsp;OU cosinus, dont les exposaus et les arcs sont pro-portionnels a ^; et la demonstration �tant en d�faut, lanbsp;proposition peut aussi �tre, et eUe est effective-ment en d�faut, dans certains cas dont j ai rencontr� des exemples. Dans chaque probl�me, les expressions de u , V, w, dont il sagit, satisfont auxnbsp;�quations relatives a la masse et a la surface dunbsp;fluide en mouvement; en y d�terminant conve-nablement les coefficiens des exponentielles et des

sinus ou cosinus, elles representent I�etat initial et donne de tons les points du fluide; et si les seriesnbsp;qui en resultent sont d�ailleurs convergentes, celanbsp;suffit pour qu�elles ren ferment la solution de lanbsp;question, quoiqu�un de leurs caract�res particuliersnbsp;solt de ne pas toujours satisfaire aux equations quinbsp;se deduisent de celles du mouvement, par .de nou-velles diffe'rentiatlons.

655. La condition d�int�grabilit� de la formule udpc nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; wdz n�a pas lieu dans le mouvement

d�un fluide qui tourne, sans changer de forme, au-tour d�un axe fixe. En effet, les composantes de la vitesse d�un point quelconque sont alors les m�mesnbsp;que dans le cas d�un corps solide; en prenant donenbsp;I�axe fixe pour celui des z , et designant par on lanbsp;vitesse angulaire de rotation, on aura (n� 387)

quantite qui n�est point une differentielle exacte , puisque le facteur ct) est independant des coordonneesnbsp;X etj-.

II en resulte que pour determiner la pression p en un point quelconque, il faudra recourir, dansnbsp;cet exemple, aux equations (3). Or, en y mettantnbsp;les valeurs de m, v, w, et considerant a commenbsp;une quantite constante par rapport a jt, aussi biennbsp;que par rapport a X, f, z, il vient

44-

equation qui coincide avec celle qu�on a trouv�e dans Ie n� 589, par la consideration de l�e'quilibre desnbsp;forces donne'es qui agissent sur tous les points dunbsp;fluide, et de leurs forces centrifuges resultant de sonnbsp;mouvement de rotation.

CHAPITRE II.

656. II n�entre pas dans Ie plan de.eet ouvrage, de faire connaitre les r�sultats nombreux qui ont �t� d�-duits des equations g�n�rales du mouvement des flu�des qu�on vient de donner; je me contenterai d�indi-quer les ouvrages dans lesquels on peut les trouvernbsp;Dans Ie cbapitre suivant, je d�terminerai Ie mouvementnbsp;d�un fluide qui s��coule dans un vase, d�apr�s uinnbsp;hypoth�se particuliere et approximative, g�n�rale-ment suffisante pour la pratique ; et, dans celui-ci,nbsp;je prendrai pour exemples de Tapplication des equations ge'n�rales, les cas les plus simples de la th�orienbsp;du sou.

1quot;. On trouvera, dans les tomes II et V de la M�canique celeste^ lout ce qui est connu jusqu�anbsp;pr�sent sur les oscillations de la mer et de Talraos-ph�re, produites par les attractions de la lune et dunbsp;soleil.

2�. Le tome II de la M�canique analjtique ren-ferme la d�termination, par le moyen de s�ries con� Vergentes, du mouvement d�un liquide pesant, soltnbsp;dans un canal tres �troit, soit dans un vase tres pro-fond.

3�. Relativeovent aux oscillations de ce liquide dans un vase d�une profondeur quelconque, je

*Pour Ie probl�me de la propagation des ondes a la surface et dans l�inte'rieur d�une eau stagnante,nbsp;je renverrai de m�me a mon M�moire ins�r� dans Ienbsp;tome de l�Acad�mie des Sciences.

5�. Sur l��coulement des fluides �lastiques dans les vases et dans les tuyaux, on peut consulter Ie M�moirenbsp;de M. Navier, qui fait partie du tome IX de cettenbsp;Acad�mie.

6�. Enfin , pour tout ce qui concerne la th�orie du' son, et, g�n�ralement, la propagation du mouvement dans un milieu �lastique ou dans plusieurs milieux superpos�s, j�indiqueiai les M�moires que j�ainbsp;�crits sur ce sujet, et qui font partie du 14� cahier dunbsp;Journal de l��cole Poljtechnique, et des tomes IInbsp;et X de l�Acad�mie des Sciences.

657, Pour donner une application des �quations g�n�rales,consid�rons un fluide �lastique homog�ne,nbsp;dont la temp�rature et la densit� soient partout lesnbsp;m�mes dans son �tat d��quilibre, et qu�on ait �cart� unnbsp;tant soit pen de eet �tat, de sorte que pendant tout Ienbsp;mouvement qui en r�sultera, les vitesses de ses dif-f�rens points soient tres petites, et les condensationsnbsp;OU dilatations dont elles seront accompagn�es soientnbsp;aussi de tres petites fractions. Nous n�gligerons, ennbsp;cons�quence, les carr�s et les produits de ces quan-tit�s; ce qui r�duira les �quations du mouvement anbsp;la forme lin�aire, et permettra d�en obtenir les int�-graies sous forme finie. Noixs ferons aussi les forcesnbsp;X, Y, Z, �gales a z�ro, afin que Ia densit� du fluide,

Soit D cette densit�; p �tant celle qui a lieu dans l��tat de mouvement, au bout du temps t et aunbsp;point dont les coordonn�es sontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, on aura

en d�signant par s une fraction positive ou negative, qu�on suppose tres petite. Soient aussi h et gmh lanbsp;hauteur et la pression barom�triques qui r�pondent anbsp;la densit� D; g repr�sentant la gravit�, et to la densit� du mercure. �Ans l��tat de mouvement, la pression p, qui r�pond a la densit� p, serait gmA(iH-f),nbsp;d�apr�s la loi de Mariotte, si la temperature du fluidenbsp;�tait invariable; mais, a raison de la condensationnbsp;positive ou negative s, la temp�rature augmente ounbsp;diminue; et si Ie mouvement est assez rapide pournbsp;que Ie fluide n�ait pas Ie temps de revenir a sanbsp;temp�rature primitive, la pression variera dans unnbsp;plus grand rapport que la densit�. Nous suppose-rons done qu�on ait, en g�n�ral,

o- d�signant une quantit� de m�me signe que s, et qui en est une certaine fonction. A cause de la peti-tesse de , on peut supposer cette quantit� oquot; propor-tionnelle a s, et faire

6 �tant un coefficient positif et ind�pendant de -y-Au moyen de ces valeurs, on aura

en supposapt que I�inte'grale s��vanouisse avec s, e� falsant, pour abr�ger,

Si l�on n�glig� Ie carr� de s et qu'on prenne cette int�grale pour la valeur de la quantit� P comprisenbsp;dans r�quation [b) du n� 653, on aura

et supprimant Ie terme V qui provient des forces Z, cette �quation (b) deviendra

et en la joignant aux �quations (a), savoir, ces -quatre �quations feront connaitre Ia condensation, la grandeur et la direction de la vitesse dunbsp;fluide, au bout du temps t et au point dont lesnbsp;coordonn�es sont x z, lorsque la fonction lt;p auranbsp;�t� d�termin�e en fonction de x, f ,z,t.

Si les d�placemens des points du fluide sont aussi supposes tres petits, c�est-a-dire, si les points dunbsp;fluide ne font que de tr�spetites oscillations, et n�ontnbsp;pas un mouvement commun de translation ou de

rotation, les variables J, z, diff�reront tr�s peu des coordonn�es initiales x', j', z', du point auquelnbsp;elles r�pondent; on pourra les regarder comme �ga-les a x', y, z', en integrant les valeurs de udt,nbsp;sgt;dt, wdt, pour en d�duire, a un instant quelconque,nbsp;les d�placemens de ce point suivant les Irois axesnbsp;des coordonn�es; et alors, on aura

les int�grales �tant prises de mani�re qu�elles s��va-nouissent quand t�O.

Quant a la quantit� lt;p, pour obtenir l��quation dont elle depend, je mets D(i ^) a la place de f dansnbsp;l.��quation (c) du num�ro clt�; et en n�gligeant les

Ces �quations (i), (2), (5), sont celles de la th�orie du son dans un air doht la temp�rature et la densit�nbsp;sont constantes. Elles supposent que la formulenbsp;udx vdj- wdz soit une diff�rentielle exacte; cenbsp;qui a lieu, effectivement, dans les deux cas parlicu-liers auxquels nous a�lons les appliquer.

658. Supposons, d�abord, que l�air soit contenu dans un tuyau cylindrique, et que ses�points se

meuvent parall�lement a l�axe, qui sera horizontal, afin que la pesanteur ne fasse pas varier la densit�.nbsp;En prenant l�axe des x dans cette direction, on auranbsp;Pquot; = o et tv = o; la quantit� ne sera fonctionnbsp;que de x et �, et l��quatioa (5) se r�duira a

On en d�duira les m�mes consequences que de l��quation (i) du n� 494� relative aux vibrationsnbsp;longitudinales d�une verge �lastique. Quand Ie tuyaunbsp;se prolongera ind�finiment, a sera la vitesse de lanbsp;propagation du son suivant sa longueur; quand ilnbsp;sera termin�, et d�une longueur Z, Ie nombre desnbsp;vibrations du fluide, dans l�unit� de temps, corres-pondant au son Ie plus grave, sera en raison inversenbsp;de l; quand Ie ton s��levera , ce nombre croitra dansnbsp;Ie m�me rapport que celui des nceuds de vibrations;nbsp;et en d�signant par A la distance comprise entre deuxnbsp;noeuds cons�c�tifs, et par n Ie nombre correspondantnbsp;des vibrations, on aura

En ces points, la vitesse des molecules d�airest nulle, et la condensation s ne Test pas; il y a, au contraire,nbsp;d�autres points o� cette condensation est zero, et o�nbsp;Ie fluide est en mouvement. Les distances qui s�pa-rent ces autres points sont les m�mes que pour lesnbsp;premiers, comme on peut Ie voir par les formules dunbsp;n'^ 49^� jouissent d�une propri�t� qui sert a lesnbsp;determiner par 1�exp�rience, et qui n�appartient qu�a

eux. Si l�on fait une ouverture a ia paroi du tuyau en l�un de ces points o� la condensation est nulle,nbsp;et qu�on �tablisae la communication avec lair ext�rieur , Ie mouvement du fluide int�rieur n�est aucu-nement chang�, non plus que Ie ton qu�il fait entendre. En prenant pour A la distance de deux denbsp;ces points cons�cutifs, et pour n Ie nombre correspon-dant au ton observ�, l��quation pr�c�dente fera con-naitre la valeur de a, et par suite celle de la quan-tit� Q, contenue dans l�expression de cette vitesse.nbsp;L�usage, pour eet objet, du ton �lev� qui r�pond anbsp;une partie aliquote de l, est pr�f�table a celui dunbsp;ton fondamental, qui peut �tre influenc� par Ie modenbsp;d�insufflation du tuyau et par les circonstances relatives a l�embouchure. C�est de cette mani�re quenbsp;M. Dulong a d�termin� , pour l�air et difierens gaz,nbsp;les valeurs de la quantit� y du n� �Syj laquellenbsp;quantit� est �gale k 1 comme on Ie verra toutnbsp;a rheure.

65g. Pour second exemple, je supposerai que la masse d�air s��tende ind�finiment en tous sens, etnbsp;qu�elle solt �branl�e semblablement, suivant toutesnbsp;les directions, autour t^n point fixe que je prendrainbsp;pour origine des coordonn�es. Si l�on appelle r, aunbsp;bout du temps t, Ie rayon vecteur du point qui r�pond k X, j', z, et ^sa vitesse, elle sera dirig�enbsp;suivant ce rayon, et sa grandeur sera une fonctionnbsp;de r et t, ainsi que la condensation s'; car il est �vident que tout doit �tre sym�trique autour de l�ori-gine des coordonn�es, pendant toute la dur�e dHnbsp;mouvement. On aura

en sorte que cette formule sera la diff�rentielle exacte d�une fonction de r et t. Cette fonction �tant lanbsp;quantit� (p, d�termin�e par l�equation (3), on aura

d(p_ dp X nbsp;nbsp;nbsp;dpnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dp jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dpnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dp z

dx nbsp;nbsp;nbsp;dr r�nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dj-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dr r*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dr r�

et ces formules feront connaitre la vitesse et la condensation en un point et a un instant quelconques, apr�s qu^on aura d�termin� les fonctions � et y'.pournbsp;toutes les valeurs de r-f-at, qui est une variablenbsp;positive, et les fonctions F et F' pour toutes les valeurs positives ou negatives de r � at.

660. Tout �tant semblable, par hypoth�se, autour de l�origine des coordonn�es, il fautquele centre denbsp;1 ebranlement du fluide demeure immobile pendantnbsp;toute la dur�e du mouvement; il est done necessairenbsp;que la premi�re formule (5) s��vanoiiisse avec r; ce

T d�signant une fonction inconnue de t. En faisant Ie rayon r tout-a-fait nul dans la premi�re de cesnbsp;equations et dans.sa difif�rentielle par rapport a at,nbsp;savoir

/^4.F(_2) = o, nbsp;nbsp;nbsp;�z) = o, (6)

mais seulement pour les valeurs positives de z. Ces e'quations feront connaitre les valeurs de F ( � z] etnbsp;F'( � z), d�apr�s celle de fz et /'z; en sorte qu�il nenbsp;reslera plus qu�a determiner les valeurs de Jz,fz,nbsp;Fz, F'z, pour toutes les valeurs positives de z.

de ^ et i', de sorte que -^r et 'Pr d�signent des fonctions donn�es depuis r=:o jusqu�a r = co , dontnbsp;la premi�re devra �tre nulle pour r = o, et qui sontnbsp;toutes deux de certaines vitesses. En faisant t:=zo,nbsp;dans les �quations (5), nous aurons

d�o� l�on tire

-J-c ;

on poiirra supposer que ces deux int�grales s��va-nouissent pour telle valeur qu�on voudra de r; nous prendrons tout a l�heure r = 00 pour cette valeur.

Si Ton a seulement �gard aux constantes b c, les equations pr�c�dentes donneront

on en conclut,

pour rquot;^ at, on aura aussi

F(r_aO = |�;

pour rlt;iat, on aura

difF�rentes valeurs dans les formiles (5), on trouvera qu�elles se r�duisent a z�ro; de sorte que les deuxnbsp;constantes arbitraires b el c disparaissent des expressions de ^ et s.

En en faisant done abstraction, et mettant z au lieu de r dans les equations (7) et dans leurs difF�-rentielles, il vientnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

Les formules (5) ne contiendront plus rien d�in-connu, et renfermeront, par cons�quent, la solution complete du probl�me. On peut remarquer que rien, dans Ia question, ne pourrait servir a d�ter-miner les valeurs de � (� z), dont les formules (5)nbsp;n�exigent pas la connaissance.

661. Voici maintenant les cons�quences relatives a la th�orie du son , qui se d�duisent de ces formules.

Soit e Ie rayon de l��branlement primitif, en sorte que 4^ et �i'r aient des valeurs donn�es arbitraire-ment depuis r = o jusqu�a r = e, et soient z�ronbsp;depuis r = e jusqu�a r=:co . Les int�grales 4.^nbsp;'f',r seront des quantit�s constantes pour toutes les

valeurs de z qui surpassent e; et comme on les suppose nulles pour r = co, elles Ie seront aussinbsp;depuis r = g i usqu�a r = co ,

Cela pos�, si l�on corisid�re d�abord un point du fluide compris dans l��tendue de F�branlement pri-mitif, on aura rlt;ie. Tant que t sera moindre que

pas nulles, et on les d�duira des equations (8); il en sera de m�me a l��garddes valeursdeF(r�at) et F'(r�at),

ci se d�duiront de celles de f{at � r) et �'(ai � r) , au moyen des equations (6) j enfin, quand Ie temps t

des formules (5) seront nuls, et tous les points contenus dans F�tendue de F�branlement primitifnbsp;seront revenus a 1 etat de repos. Ainsi, pour tousnbsp;les points compris dans la sphere dont Ie rayonnbsp;est �, la dur�e du mouvement d�croitra, du centre

En dehors de F�branlement primitif, on aura r-if-afp- i.-, ce qui fera disparaitre f{r-^ at) etnbsp;fir at) des formules (5), et les r�duira a

lorsqu�on a at ^ r. Les valeurs des quantiles comprises dans ces expressions de ^ et ^ seront donn�es par. les formules (8); elles seront nulles tant qu�onnbsp;auranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g , et Ie redeviendront d�s qu�on aura

r lt;C.at � �; d�o� l�on conclut que Ie son se propa-gera a l�air libre avec la m�me vitesse a que dans Finlerieur d�un tujau cjlindrique; que Ie mouvement de chaque mole'cule d�air subsistera pendant un

A une grande distance du centre de eet �branle-ment, on pourra n�gliger les seconds termes des valeurs de qui sont divis�s par par rapport aux premiers qui ne lo sont que par r; on aura alors,nbsp;pendant toute la dur�e du mouvement,nbsp;comme dans Ie n� 497gt; s repi��sentait la dilatationnbsp;au Keu de la condensation. La vitesse propre desnbsp;molecules d�air d�croitra alors en raison inverse de r.nbsp;On suppose l�intensit� du son proportionnelle au carr�nbsp;de cette vitesse; en sorte qu�a une grande distance dunbsp;lieu de T�branlement primitif^ elle d�croitra en rai-

son inverse du carr� de cette distance; ce qui parait conforme a l�exp�rience.

Ces r�sultats ont encore lieu, lorsque l�ebranle-ment nest pas Ie m�me en tons'sens. A une distance considerable par rapport a son diam�tre, la vifesse dunbsp;son est uniforme et egale a la constante a , les ondesnbsp;ont une forme a pen pr�s sphe'rique, et, suivant lanbsp;direction de chaque rajon, I�intensite du son varienbsp;en raison inverse du carr� de la distance, quelle quenbsp;soit, d�ailleurs, sa variation en passant d�un rayon anbsp;un autre. Cette intensit� decroit aussi avec la den-site du milieu oil le son est produit; en sorte que,nbsp;paiktx^mple, elle diminue a mesure qu�on .ipprochenbsp;du sommet d�une haute montagne. En considerant lanbsp;propagation du son dans un air compose de couchesnbsp;de differentes densites, on trouve qua distance �gale,nbsp;son intensit� ne depend que de la densit� au lieu denbsp;l��branlemeht primitif; d�oii il r�sulte qu�une per-sonne plac�e dans un ballon, doit entendre le bruitnbsp;qu�on fait a la surface de la terre, comme si elle �taitnbsp;a cette surface; taudis que le bruit qu�elle ferait seraitnbsp;enlendu, a cette surface, comme si Ton �tait dans lanbsp;couche atmospherique ou se trouve l�a�rostat.

Si rintensite du son depend de la grandeur des vi-tesses des mol�cules d�air qui frappent I�organe lt;ie Tome, si I��l�vation du ton est r�gl�e sur le nombrenbsp;de ces coups dans un m�me temps, c^est-a-dire, surnbsp;la r�p�tition plus on moins fr�quente des vibrationsnbsp;de 1�air, on peut se demander ce qui fait la diff�rencenbsp;d�une syllabe a une autre, chante'es avec une m�menbsp;force et sur un m�me ton. Selon Euler, cette diff�-

rence doit �tre attribu�e a la forme de la foiiction qui exprinie la lo� des vitesses successives de l�airnbsp;pendant chaque vibration ; de mani�re que l�or-gane de Ia voix aurait la facult� de donner a cettenbsp;fonction la forme conveoable, et l�orgaue de l�ou�e,nbsp;la facult� d�en appr�cier les formes diverses.

663. Saris que la forme de l��quation (4) soit cban-g�e, on peut transporter l�origine d�s coordonn�es en d autres points du fluide. D�apr�s cela, si l�on d�signenbsp;parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, etc., les rayons vecteurs d�un m�ine

point, compt�s de ces diverses origines, et si l�on suppose successivement que tp soit fonction de t et decha-cun de ces rayons, on satisfera a i��quation^f/J^au moyen de la valeur de (p du n� 65g, et des valeurs quinbsp;s�en d�duisent, en y mettantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, etc., au lieu

de r, et changeant a chaque fois les fonctions arbi-traires. A cause de la forme lineaire de cette equation, �ri y satisfera done aussi en prenant pour (p la sommenbsp;de toutes ces valeurs particuli�res; ce qui donne

7^[//(^y �0 nbsp;nbsp;nbsp;at)] ^

gines de r, nbsp;nbsp;nbsp;etc,, la condensation ^ en unnbsp;point eta �n instant quelconques, qui sera toujoui�S

donti�e par Tequation (i)� ^ura ponr valeur la somme des condensations qui auraient lien en verin de tonsnbsp;ces �branlemens isol�s. De plus, en vertu des equations (2), les composantcs de la vitesse au bout dunbsp;temps ty et en un point M, dont x, j, z, sont lesnbsp;coordonn�es par rapport a l�origin� de r, auront pournbsp;expressions

dp dr , nbsp;nbsp;nbsp;dpnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dr_ ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;��nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

� -3�f� nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-3�hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-r^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-}- etc.;

dr dz nbsp;nbsp;nbsp;dr^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dr^^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;djnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

prises en regardant r, r^, etc., comme des variables ind�pendantes. Mals, si l�on appelle^r^, y^, z^, les coordonn�es de M i�apport�es a l�origine denbsp;et a des axes parall�les a ceux des x,j, z, ces coordonn�es oc^, , z^, ne diff�rei�ont de x, z, quenbsp;d tine quantit� constante; de sorte que l�on aura

m�me point, dont l�origine est celle de et ainsi de suite. Les formules pr�c�dentes deviendront done

rigees suivantles rayons vecteurs r, r^, etc., et, par consequent, en vertu de la formule (9), lanbsp;m�me, en grandeur et en direction, que si tons lesnbsp;ebranlemensautour des centres de ces rayons avaientnbsp;lieu isol�ment; ce qui s�accorde avec le principe denbsp;la superposition des petits mouvemens.

663. Cette formule (9) servira aussi a determiner la reflexion du son sur un plan fixe.

Pour cela, supposons que la masse d�air soit ter-min�e par un plan fixe AB (fig. 55), etque Tebran-lement primitifait eu lieu autour du point C, origine du rayon ^ecteur r, et nesesoit pas �tendu jusqu�aunbsp;plan AB. De ce point, abaissons la perpendiculairenbsp;CD sur ce plan; prolongeons-la d�une quantite DC^,nbsp;�gale a CD; supposons que soit I�origine de 7�^;nbsp;et prenons la drOite CDC, pour axe des x et des x^-En appelant h la longueur de CD, on aura x=hetnbsp;x'l^� h, pour tous les points du plan AB; pournbsp;ces valeurs de x elx^, il faudra done que la vitessenbsp;u, perpendiculaire a ceplan, soit constamment n�llenbsp;(n� 652). Or, on satisfera a cette condition et a l��tatnbsp;initial du fluule, en prenant pour ip la formule (9)

7 [// 0�/ nbsp;nbsp;nbsp; F/ *^0] gt;

traires/, F , �, F^.

En efTet, on d�terminera les deux premi�res, comme pr�c�demment, d�apr�s l��tat initial du fluidenbsp;autour du point C; les points qui r�pondenta r^c^Ji,nbsp;n�appartenant pas au fluide , on^pourra donner tellenbsp;valeur qu�on voudra a chacune des fonctions^^r^ etnbsp;sans alt�rer eet �tat initial; on pourra done prendre pour les fonetions indiqu�es pary�, et les ni�mesnbsp;fonctioiis qu�on aura trouv�es pour eell�s dorit les indices sent � et F; la formule pr�c�dente deviendranbsp;alors .

(P = 7. [ � (^ �0 4- F (/� � at) ] 7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;('7 at) F (r ~ at)),

et ne renfermera plus rien d�inconnu. Deplus, pour tons les points du plan AB, on a r^=ir; on aura

points x � heiXi-= � A, il en r�sultera u � o-, en sorte que la formule (10) repr�sentera l��tat initial dunbsp;fluide, et remplira la condition relative aux pointsnbsp;adjacens au plan AB; ce qu�il s�agissait d�obtenir.

Soit M le point du fluide dont les rayons vecteurs CM et C^M sont r et r,; en vertu dcs deux parlies do

rayon de I�ebranlement primitif. Le premier mouvement produira le son direct, et le second le son r�-fl�chi. Celul-ci sera le m�me' que si le plan AB n�existait pas, et qu�un second �branlement idenliquenbsp;avec celui qui a lieu autour dn point C, ait eu lieunbsp;simultan�ment autour du point C^. II se propageranbsp;avec la m�me vites^ a que le son direct, et auranbsp;I�intensit� correspondante a la distance C^M, ou anbsp;la ligne brisee CEM, en supposant que E soit le pointnbsp;o� le rayon ,C^M coupe le plan AB. Enfin EF �tantnbsp;la normale a ce plan, les deux parties CE et ]VIE dunbsp;rayon sonore qui se r�flechit au point E, feront Tangle d�incidence CEF �gal a Tangle de reflexion MEF.nbsp;Ainsi, il r�sulte de la formule (10) que les lois de lanbsp;reflexion du son sur un plan fixe sont exactement lesnbsp;m�mes que celles de la lumi�re.

664* Comparons maintenant la vitesSe a, donn�e par la th�orie, a celle qui a �t� d�termin�e par Tex-p�rience; et pour cela, voyons d�abord ce que signifienbsp;la quantit� � contenue dans sou expression.

en negligeant Ie carr� de s. Supposons que � soit laugmentatioa de temperature qui repond a cettenbsp;condensation s; de sorte que la temperature', quinbsp;�tait 0 dans l�e'tat d�e'quilibre, devienne 0 n aunbsp;bout du temps t, dans l��tat de mouvement. A eetnbsp;instant, la pression p, la densit� p et la temperature 0 -j- auront lieu simultan�ment; d�apr�snbsp;l��quation (i) du n� 624 gt; on aura done

en d�signant par k un coefficient ind�pendant de la densit� et de la temperature, et par a Ie coefficientnbsp;0,00576 de'la dilatation des gaz. Dans Tctat d��qui-libre, on a

p = gmh, p = D, y\ = o; appliqu�e a eet �tat, l��quation pr�c�deute sera done

Or, si Ton suppose les vibrations de l�air assez ra-pides pour que la condensation s ait lieu sans aucune perte de chalenr, on pourra mettre ^ et gt;j a la place

y �tant Ie rapport de la chaleur sp�cifique de l�air sous une pression constante, asa chaleur sp�cifiquenbsp;sous un volume constant.

Si Ton appelle A la densit� de l�air sous la pression gmh et a la temp�ratui�e z�ro, on aura (n� 624)

(b)

Puisque la quantit� y est regard�e comnie ind�-pendante de la temperature et de la pression (11� 657), on voit , 1�. que la vitesse a croitra avec la temperature 6 dans Ie rapport de \/i -j- �G a l�unit�; 2�.nbsp;qu�elle ne variera pas avec les hauteurs barom�tri-ques, puisque A et A croissent en ^l�me temps etnbsp;dans Ie m�me rapport. Les acad�miciens francais en-voy�s aii P�rou, pour la mesure d�un are du m�ri-dien, ont, en effet, trouv�a peupr�s la m�me vitessenbsp;du son a Quito, oil la pression barometrique n��tait pasnbsp;tord'a-fait de o�,55, qu�a Paris, oil elle s��l�ve a o'quot;,7�'nbsp;L��tat hygrom�trlque de fair doit influer un peu sur

la valeur de a: la densit� diminuant, toutes choses d�alileurs �gales, a mesure que l�air contient une plusnbsp;grande quantit� de vapeur, la vitesse augmenteranbsp;avec Ie degr� d�humidit�; mais d�apr�s les donn�esnbsp;du n� 63i, a la temperature de i8u, par exemple,nbsp;la densite de Fair sec exc�de a peine de , celle denbsp;l�air charg� du maximum de vapeur; ce qui ne faitnbsp;qu�une variation de pour la vitesse du son dansnbsp;ces deux �tats extremes de Thygrom�tre.

Dans l�exp�rience la plus r�cente que l�on a faite sur la vitesse du son, les commissaires du Bureaunbsp;des Longitudes ont trouv�

en prenantja seconde pour unit�, et ia temp�rature de r air �taut i5�,g du therniom�tre centigrade. Or,nbsp;si Ton fait dans la formule (3)

ce qui diff�re peu du i��sultat de l�observation. En prenant (n� 637),

y = 1,421,

tra�rc de la pi�e'ccdente, et toujours tres petite. Si l�on se sert de la vitesse observ�c, pour determiner lanbsp;valeui� de y au mojen de la formule

665. II ne faut pas perdre de vue, en comparant cette derni�re valeur de gt; a celle qui la precede,nbsp;qu�elles supposent Tune et l�autre la dilatation ou lanbsp;condensation de 1�air assez rapide pour que la quan-tit� de chale�r du fluide n�ait pas Ie temps de variernbsp;sensiblement. Or, dans la propagation da son a l�airnbsp;libre, d� b� l�on a d�duit la valeur y� i,4o6i, il estnbsp;possible que la cbaleur s��chappe ou revienne plusnbsp;facilement sous forme rayonnante, que dans Ie sonnbsp;prod uit par Fair renferm� dans un tube, dont la consideration a donn� l�autre valeur y � 1,421, et o� lanbsp;quantit� de cbaleur de chaque couche d�air ne peutnbsp;gu�re varier que par Ie contact av�c les parois dunbsp;tube. Cette remarque pourrait expliquer la differencenbsp;des deux r�sultats, et porterait a penser que la plusnbsp;grande valeur de y est la plus exacte.

donn�e. Elle est trop petite de plus d�un sixi�me. Pour qu�elle s�accordat avec l�exp�rience, Lagi�angenbsp;avait remarqu� qu�il faudrait supposer que la pression

variatdans lui plus grand rapport que la densit�, et fut propoiiionnelle a peu pres a la puissance f; et,nbsp;en effet, en n�gligeant Ie carr� de la valeur de p,nbsp;dont nous avons fait usage , est

pour la densit� D (i Mais il n�a assign� aucune cause de cette variation plus rapide de la force �las-tique de lair; et c�est Laplace qui l�a attrlbu�e, Ienbsp;premier, a la variation de temperature dont les condensations et les dilatations alternatives de 1�air sontnbsp;accompagn�es dans Ie pli�nom�ne du son.

C�est a cette m�me cause qu�est due la propagation du son dans la vapeur d�eau au maximum de densite'.nbsp;Si l�oa fait vibrer un corps sShore dans un vaisseaunbsp;ferme, qui contieiine cette vapeur non m�lang�enbsp;d�air, l�exp�rience prouve que Ie son se produitdansnbsp;cette vapeur ets�entend au dehors. Or, si la temperature de la couche de vapeur adjacente a ce corps^nbsp;sonore n��tait pas augment�e, quand elle est con-dens�e par les vibrations de ce corps, elle se r�duiraitnbsp;en eau et se pr�cipiterait sur ce corps, puisqu�ondanbsp;suppose au maximum de densit� relatifa la temperature de l�espace oii elle se trouv�; mals sa temperature augmentant par la compression, la couche adjacente au corps sonore peut se raalntenir a l��tatnbsp;de vapeur: elle ^condense ensuite la couche suivante,nbsp;celle-ci, ia couche qui vient apr�s, et ainsi de suite;nbsp;de sorte que Ie son se propage, connne dans un gaznbsp;permanent, jusqu�a la paroi int�rieure du vase. Lesnbsp;dilatations des couches de vapeur, qui suivent leurs

condensations, sont accompagn�es d�iine diminution de temperature, qiii ne les r�duit pas non plus ennbsp;eau , puisquc leur densit� diminue en m�me temps,nbsp;et descend au-dessous du maximum relatif a la temperature de l�espace o� se passe Ie ph�nom�ne.

666. En consid�rant l�eau comme un fluide un peu compressible et parfaiteraent �lastique, Ie son s�ynbsp;propagera suivant les m�mcs lois que dans une massenbsp;d�air. Parvenu a la surface de Peau, Ic son sera ennbsp;partie transmis dans Fair ext�rieur, et �n partie r�-fl�chi dans Peau; dans ce partage, la direction desnbsp;ondes sonores, transmise et r�fl�chie, se d�termineranbsp;suivant les lois de 1^refraction et de la reflexion denbsp;la lumi�re. La vitesse^u son r�fl�chi sera la m�me

que celle du son direc*et les rapports des intensit�s du son transmis et du son r�fl�chi entre elles et avecnbsp;Pintensil� du sou direct, d�pendront du rapport desnbsp;vitesses de la propagation du son dans les deux nii-^lieux superpos�s, c�est-a-dire, dans Pair et dansnbsp;Peau. C�est ce qu�on peut voir dans les,m�moiresnbsp;cit�s au commencement de ce chapitre; ici, nousnbsp;nous bornerons a calculer la valeur num�rique de lanbsp;vitesse du son dans une masse d�eau.

D�apr�s ce qu�on a vu, dans Ie cas d�un fluide �lastique, cette vitesse sera la m�me que si Peau �tait con-tenue dans un tube tr�s �troit et d�une largeur constante; et, dans ce cas, cette vitesse egt aussi la m�me que celle de la propagation du mouvement, suivant lanbsp;longueur d�une verge �lastique de la m�me mati�renbsp;que Peau. Or, supposons qu�une colonne d�eau con-lenue dans un cjlindre vertical, soit cbarg�e d�un

poids A a sa partie sup�i�ieure; soient l sa longueur naturelle, et /� ce qu�elle devient par l�effet denbsp;cette pression; de sorte que J' soit une fraction tresnbsp;petite, qui exprime Ia condensation du liquide;nbsp;soient aussip son poids, etg la gravite; si l�on fait,nbsp;comine dans Ie n� 494�

n� 497'

Appelons b la section horizontale de la colonne d�eau; supposons que la charge A soit �gale au poidsnbsp;d�une colonne de mercure qui aurait b pour base, etnbsp;dont la hauteur serait repr�sent�e par h; d�signonsnbsp;aussi par m la densit� du mercure, et par p celle denbsp;l�eau; nous aurons

en sorte qu�il suffira pour calculer Ia valeur de 0, de connaitre la fraction S' relative a une hauteur don-nee h.

sous une charge �quivalente a la pression ordinaire de I�atmosphere. Ce r�sultat a �t� confirm�, conime on la dit pr�c�demment (a� 5y5), par les

experiences r�centes qu�on a faites sous des pressions plus considerables, et qui out donn� une condensation proportionnelle a la pression et �gale a la valeurnbsp;pr�c�deute de cT, pour chaque pression atmosph�ri-que. De plus, ces experiences, quelque grande qu�aitnbsp;�t� la pression, n�ont indiqu� aucune augmentationnbsp;sensible de temperature j en sorte qu�il n�y a pas lieunbsp;de croire que la propagation du son dans l�eau, soitnbsp;accompagn�e, comme dans Fair, d�une variation denbsp;temperature qui puisse influer sur sa vitesse. Celanbsp;�tant, si Fon substitue cette valeur de S' dans la formule pr�c�dente, et qu�on y fasse

i484quot;

de mani�re que la vitesse du son dans Feau surpassc Ie quadruple de sa vitesse dans Fair.

AIV\'VV%W\'VVWWVVWVX'VV\'*lt;VWVVVVVWWV\^^'WWV\(VWVV\'WWV^/WVWWV\gt;VV\W\/VWW\JWVWgt;/W^lt;VV^

CHAPITRE III.

667. La supposition que nous admettons dans ce chapitre est connue sous la denomination ^hypothese du pamll�lisme des tranches. consiste anbsp;supposer que quand un fluide pesant, de leau, parnbsp;exemple, s��coule dans un vase, et sort par un orifice horizontal pratique au fond du vase, les tranchesnbsp;horizontales et infiniment minces se remplacent suc-cessiv�ment, en demeurant parall�les a elles-m�mes.nbsp;Cela revieut a n�gliger les differences des vitesses ver-ticales des points qui appartiennent a une m�me tranche horizontale, et a regarder chaque tranche commenbsp;compos�e des in�ines points du fluide pendant toutenbsp;la dur�e du mouvement. On ne'glige aussi les vitessesnbsp;horizontales, qu�on suppose tr�s petites par rapportnbsp;aux vitesses verticales, et qui influent peu sur la vi-tesse vertical� commune a tous les points d�une m�menbsp;tranche. Ces suppositions sont d�autant plus con-formes a l�observation, que les dimensions horizontales du vase varient moins, et que leurs differences,nbsp;d�une tranche a une auti�e, sont plus petites, eu egardnbsp;a la hauteur du liquide au-dessus de l�orifice. Quandnbsp;ces conditions sont remplles, on observe, en effet,

que des parcelles d�une poussi�re l�gere, jet�es dans Ie liquide et entrain�espar son mouveinent, se meuvent,nbsp;a peu pres verticalement, avec une vitesse a peu presnbsp;�gale pour toutes les parcelles qui se trouvent dans unenbsp;m�me tranche horizontale. Elles conservent ces directions tant qu�elles ne sont pas tres rapproch�es denbsp;l�orifice; quand eiles en sont a de petites distances, etnbsp;que l��tendue de l�orifice diff�re nolablement de cellenbsp;des sections inf�rieures du vase, elles prennent desnbsp;directions obliques, qui montrent qu�alors Ie paral-l�lisme des tranches cesse d�etre admissible; car il ynbsp;a lieu de croire que ces l�g�res particules s�attachentnbsp;au liquide, et prennent exactement Ie mouvementnbsp;des points auxquels elles r�pondent.

Dans l�hypoth�se du parall�lismedes tranches, telle que nous l�expliquons, on aura done seulement deuxnbsp;inconnues a d�terminer, en functions de deux variables, savoir; la vitesse d�une tranche quelconque et lanbsp;pression qu�elle �prouve, en fonctions de la distancenbsp;a un plan horizontal et du temps. La question seranbsp;ainsi r�duite a sa plus grande simplicit�, et susceptible, comme on va Ie voir, d�une solution compl�te,nbsp;dans Ie cas d�un fluide homogene et incompressible.

668. Soient ABCD (fig. 56) Ie vase, AB l�orifice horizontal, EF Ie niveau du liquide, Oj� un axe vertical , sur lequel on compte les distances des tranchesnbsp;horizontales a un point fixe 0, ou au plan horizontal men� par ce point. Soit aussi MNM'IN' une tranche quelconque, comprise entre deux sections horizontales MN et M'N' du vase, dont la distance aunbsp;point 0 est x au bout du temps t quelconque, et

dont l��paisseur est dx. Appelons sa yitesse au m�me instant, et p la pression rapport�e a l�unit� denbsp;surfac�^, qul a lieu sur la base sup�rieure MN, et estnbsp;transmise, par Ie fluide, sur la base inf�rieure M'N'nbsp;et sur les parois MM' et NN' du vase. D�siguons parynbsp;1�aire de la section MN du vase, qui sera donn�e ,nbsp;dans chaque exemple, en fonction de x. Enfin,nbsp;soient g la gravit� et p la densit� constante dunbsp;fluide; la question consistera, comme on vient de Ienbsp;dire, a determiner les valeurs de p et p en fonctionsnbsp;de lt; et X.

La masse de la tranche que nous consid�rons sera Ie produit pjdx de la densit� p et de sou volume jdx.nbsp;Si elle �tait libre, sa vitesse augmenterait de gdtnbsp;pendant l�irrstant dt; elle augmente r�ellement denbsp;dv; la vitesse perdue est done gdt � dv �, et l�on a

{g -

pour la force perdue', e�est-a-dire, pour la partie du poids gpydx detruite par la pression des autresnbsp;tranches. D�apres le principe de D�Alembert, il ynbsp;aura done �quilibre dans le fluide, si Ton supposenbsp;toutes ses tranches sollicitees par de semblablesnbsp;forces; dans cet �tat, la pression pj qui a lieu sur lanbsp;base sup�rieure MN de la tranche pfdx, se transmet-tra, eu raison des surfaces (uquot; 577), sur la base inf�rieure M'N', et deviendra, cons�quemment, py'^ ennbsp;d�signant par j' l�aire de M'N'; par cons�quent, sinbsp;I on ajoute a cette pression transmise, la force moti�icenbsp;pr�c�dente, on aura la pression totale exerc�e sur

M'N'; et en repr�sentant par p' cette pression, rap-port�e a Tunit� de' surface, il en r�sultera ,

Or, les quantit�s p' et j' sont ce que deviennent p et y, quand on y met jc dx au lieu de ; en n�-gligeant les tnfiniment petits du second ordre, onnbsp;aura done

p' � p %^^^ r'=j %dx,

l = nbsp;nbsp;nbsp;w

66g. La seconde equation n�cessaire ppur d�ter-miner les deux inconnues p et v, sera fournie par la consid�ration de l�incompressibilit� du flu�de, II en r�-sulte que Ie volume'du flu�de qui passe, pendant l�ins-tant dt, par chaque section horizontale du vase, doitnbsp;�tre Ie m�me pour toutes les sections; par cons�quent,nbsp;les vitesses du fluide qui r�pondent, en m�me temps, anbsp;deux sections diff�rentes du vase, doivent �tre r�ci-

proquement proportionnelles aux aires de ces sections* Si done on appelle u, au bout du temps t, Ia vitesse qui a lieu a l�orifice horizontal AB; que Tonnbsp;repr�sente par a. l�aire de eet orifice, et que l�on compare cette vilesse a celle qui r�pond a la section quel-conque MN , on auranbsp;d�o� Ton tire

(^)

Dans cette valeur Ae v, ii est une function de ^, et j une fonctlon de X] on peut done �o prendre lanbsp;diff�rentielle par rapport a Tune ou a l�a�tre de cesnbsp;deux variables : la diff�rentielle relative a x expri-merait la difference enlre les vitesses de deux tranches cons�cutiveSj.qui ont lieu au ra�me instant; ennbsp;diff�rentiant par rapport a jf, on aurait la differencenbsp;entre les vitesses de deux tranches du fluide, qui r�-pondent successivement a la m�me section du vase ;nbsp;mais pour avoir la difference entre les vitesses succes-sives d�une m�me tranche, qui se d�place pendantnbsp;l�instant dt, il faut diff�rentier a la fois la valeurnbsp;de V par rapport aux deux variables t et x ^ en con-sid�rant la seconde comme une function de la premi�re ; ce qui donne

C�est cette valeur de ~ qu�il faut employer dans l�e'quation (i), qui devlent, en consequence ,

Je multiplie ses deux membres par dx; j�int�gre en-suite par rapport a aj; et en observant qu�alors les

g �tant la constante arbitraire qui peut �tre une fonc-tion de t. Pour la determiner, je repr�sente par lt;2�r la pression atmospberique, et je suppose que ce soitnbsp;celle qui a* lieu a la surface sup�rieure EF du liquide.nbsp;Avant que Ie mouvement commence, cette surfacenbsp;est hoi�izontale; et comme on admet que chaquenbsp;tranche horizontale se compose constamment desnbsp;m�mes points du fluide, il s�ensuit que Ia surfacenbsp;EP demeurera horizontale pendant toute la dur�enbsp;du mouvement. Au bout du temps t, je d�signenbsp;par G la distance de EF au point 0, et par agt; Fairenbsp;de cette section variable du vase, de sorte que fi?nbsp;soit la m�me fonction de G qne j est de x; onnbsp;aura a la fois

p = lt;z�r, o? = 0J, � = ct)j

et si l�oa suppose que Tiiit�grale � ^ commence a ar = 0 , l��quation pr�c�dente donnera

?�(?-?gt; P)

Les equations (2) et (5) feront connaitre imm�dia-tement les valeurs des deux inconuues v et p, lors-qu�on aura determine la valeur de u.

670. Pour cela, j�observe que la pression qui a lieu a I�orifice AB sera donnee : si le liquide s��coulenbsp;dans Pair libre , elle sera la pression atmospherique,nbsp;comme a son niveau EF; s�il s��coule dans le vide,nbsp;elle sera z�ro; pour plus de g�n�ralit�, je supposerainbsp;que l��coulement a lieu dans un air dont la forcenbsp;�lastique est �gale a la pression �zsr, diminuee de lanbsp;pression gpc correspondante a une hauteur donn�e cnbsp;du liquide; en sorte qu�en appelant Zla distance denbsp;Forifice AB au point 0, on aura constamment

pour X� 1. J�appelle aussi h la hauteur du�niveau EF du liquide au-dessus de cet orifice, ou la difference

I � 6, et je repr�sente par la valeur de l�int�grale , �teudueau volume jpntier du liquide; dema-

Tii�re que A soit une ligne, dont la longueur sera une fonction de h, dependante de la figure du vase, etnbsp;, donn�e dans chaque exemple. A l�orifice, on auranbsp;done,, enm�me temps, lavaleur prec�dente dep, et

par cons�quent, l��quation (5), appliqu�e a celte section du vase, deviendra

On peut remarqner que cette quantit� num�rique C* sera toujours une quantit� positive et moindrenbsp;que l�unit� ; car, pour qu�elle devint negative, il fau-drait que l�aire de la plus petite section du vasenbsp;surpassat celle de l�orifice, et Ie liquide se d�tache-rait du vase a l�endroit de cette section minima, quinbsp;deviendrait Ie veritable orifice par lequel l��coule-ment aurait lieu.

Lorsque Ie niveau du liquide sera entretenu a une hauteur constante au-dessus de l�orifice, les troisnbsp;quantit�s A, 6, A, sei'ont des constantes donn�es , etnbsp;l��quation {4) suffira pour determiner la valeur de unbsp;en fonction de t. Quand Ie niveau EF s�abaissera pendant l��coulement du liquide, h sera une variablenbsp;qu il faudra aussi determiner en fonction de t. Or, a ce

somme 6 ^ est une constante l, on a aussi -f� en vertu de I�equalioa (2) on aura done.

et les valeurs de m et ^ d�pendront des deux equations difF�rentielles (4) et (5), qul sont du premier ordre.nbsp;On d�terminera les deux constantes arbitraires quenbsp;leurs int�grales contiendront, au moyen de la hauteur initiale du liquide, et en observant qu�on anbsp;M = o, a l�origine du mouvement.

Soit que Ie niveau s abaisse ou qu�il ne varie pas, si l�on appelle q Ie volume du liquide sorti du vasenbsp;au bout du temps t, sa diff�rentielle sera �gale aunbsp;volume xudt de la tranche qui traverse l�orifice ABnbsp;pendant l�instant dt; on aura done

dq = audt, q = afudt',

l�int�grale �tant prise d� mani�re qu�elle s��vanouisse quand ^ = o.

Nousallons appliquer successivementces diff�rentes formules aux deux cas du niveau constant et du niveau variable.

At = -4= log

on n�ajoute pas de constante arbitraire, paree qu�on doit avoir �=o, quand tz=^o. On pourra, sans changer cette formule, regarder, a volont�, C etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

comme des quantit�s positives ou negatives; nous les supposerons positives. L�on aura r�ciproquement,,

en d�signant, comme a lordinaire, par e la base des logarithmes n�p�riens. A mesure que t augmentera,nbsp;Ie second membre de cette equation dirninuera; aunbsp;bout dun certain temps, il sera sensiblement nul;nbsp;et a parlir de cette �poque, la vitesse u aura unenbsp;valeur a peu pres constante., savoir :

\ \/2gh.

En chaque point du vase, lapression p et la vitesse v varieront avec la vitesse u, et deviendront sensiblement constantes en m�m*e temps que u. Si Ton

Dans l��tat d��quilibre, la pression en ce point seraitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� 6); elle est done augment�e ou di-

minu�e par Ie mouvement du liquide, selon que Ie dernier terme de cette formule est positif ou n�gatif.

c�est-a-dire, selon que la section horizontale MN ou j, est plus grande ou plus petite que la sectio� EF

pour Ie volume de liquide sorti du vase pendant Ie temps t. Au bout d�un certain temps, on pourra n�-gliger la seconde exponentielle, par rapport a lanbsp;premi�re, et 1�on aura simplement

total est plus petit, paree qu�au commencement la valeur variable de u est moindre que cette vitessenbsp;finale.

672. Dans le cas du niveau variable, je COnsid�re u comme une fonction de ft, et j��limine dl entre lesnbsp;equations (4) et (5); ce qui donne

en cotnprenant toujours la constante c dans h. J ap-pelle z la hauteur due a la vitesse u, de sorte qu�on alt

Connaissant z et � en fonctions de h, l��qua-tion (5) donnera t en fonction de h, par une integration immediate; en sorte que l�on connaitra Ie temps �coul�, quand Ie niveau du liquide sera a unenbsp;hauteur h au-dessus de lorifice, et, r�ciproquement,nbsp;la hauteur h du niveau EF au bout d�un temps quel-conque t. On aura Ie temps entier de l�e'coulementnbsp;de tout Ie liquide, en inte'grant la valeur de dt depuisnbsp;la valeur initiale de h jusqu�a h � o. Quant au volume q du flu�de �coul�, il sera, a chaque instant,nbsp;�gal au volume du vase compris entre Ie niveau variable et Ie niveau initial.

673. Supposons, par exemple, que Ie vase soit un cjlindre vertical, terrnin� par un segment de surfacenbsp;dont la fl�che est tres petite et dans lequel est perc�nbsp;l�oritice horizontal AB. Soient a Faire constante denbsp;la section horizontale du cylindre, et� Ie rapport denbsp;0 a a, de sorte qu�on ait

En faisant abstraction du segment inf�rieur du vase qu�on suppose tres petit, on pourra prendre

en d�signant par C la constante arbitraire. Si on ap-pelle H la valeur initiale de A, il faudra que z s��va-nouisse pour A = H; ce qui exige qu�on ait

^ = nbsp;nbsp;nbsp;A -*)�

C�est done cette formule qu�il faudra int�grer pour obtenir t en fonction de A, Dans Ie cas de n = i, o�

= v/?VH

comme cela doit �tre, puisque Torifice �tant alors �gal a ia base du cjlindre, Ie mouvement, du flu�denbsp;doit �lre Ie m�me que celui d�un corps solide pesantnbsp;qui tombe dans Ie vide. La formule (9) s�int�grenbsp;encore sous forme finle, lorsqu�on a 3 j et celanbsp;na lieu que pour cette valeur et pour 72¹= t. Ma isnbsp;son integrale de'finie, prise depuis ^ = H jusquanbsp;h = o, qui exprime Ie temps de l��coulement entiernbsp;du liquide, pourra toujours se r�duire a des trans-cendantes que M. Legendre a nomm�es int�gralesnbsp;Eul�riennes de la seconde esp�ce, et dont il a donu�nbsp;des tables num�riques. J�ai efiectu� ailleurs cettenbsp;reduction ; ici je me bornerai a appliquer la formule (9) au cas de �¹ = 2, o� elle se pr�sente sousnbsp;la forme -

Les limites relatives a x, qui repondent a ^ = H et h~o, seront a? = o et = co; si done ounbsp;appelle T le temps de Tecoulemeiit total, on aura

I�a vu dans le n� 512. II s�ensuit que le temps T est celui des petites oscillations d�un pendule simple,

674� Lorsque Tori lice AB est tres petit par rapport aux sections horizontales du vase, on peut n�-gllger le terme multiplie par dans I�e'quation (4),

qui a lieu, en effet, au commencement du mouvement , O� la vitesse u varie avec une grande ra-pidite. On peut aussi y mettre I�unite a la place de �; et alors, soit que le niveau EF s�abaisse oilnbsp;qu�il ne yarie pas,, I�equation (4) se reduit a

II en resulte ce th�or�me : que la vitesse d�un liquide qui sort (1�un vase par un tres petit orifice, est �gale anbsp;celle qu�un corps pesant acquerrait en tombant dansnbsp;Ie vide, d�une hauteur �gale a celle du niveau dunbsp;liquide au-dessus de eet orifice, quand les pressionsnbsp;sup�rieure et inf�rieure sont �gales, ou, plus g�n�-ralement, de la hauteur du niveau, augment�e de lanbsp;constante c, quand ces deux pressions sont in�gales.

Dans Ie cas du niveau constant, ce th�or�me r�-sulte de la valeur finale de u, trouv�e dans Ie n� 671, en y faisant � = i. II r�sulte aussi de la formule (8),nbsp;appliqu�e au cas o� n est un tr�s grand nombre, afinnbsp;que l�orifice a soit une tr�s petite partie de la sectionnbsp;horizontale a du cylindre. On peut alors mettre anbsp;la place de n* � 2 j ce qui change d�abord la formule (8) en celle-ci:nbsp;,Or, d�s que h sera notablement moindre que H,nbsp;la puissance n' du. rapport ^ sera une tres petitenbsp;fraction, et cette valeur de u se r�duira, a tr�s peunbsp;pr�s, a u=-\Jquot;igh.

L�orlfice AB �tant tr�s petit, si la section MN nest pas tr�s voisine de cette ouverture, Ie rapport �, qui entre dans la formule (3), sera tr�s

Supprimer Ie derniei� terme de cette formule; et si l�on n�glig� aussi Ie terme multipli� par a, elle senbsp;r�duira a

d�o� l�on conclut que , dans Ie cas d�un tr�s petit orifice, la pression en tous les points du vase �loi^nbsp;gne's de cette ouverture, est sensiblement la m�menbsp;pendant Ie mouvement que dans l��tat deqiiilibre.

675. L^hypoth�se du parall�lisme des tranches exige, en general, que l�orifice soit horizontal; mais,nbsp;dans Ie cas d�un tr�s petit orifice, on Tadmet encorenbsp;lorsque Ie liquide s��coule par une ouverture laterale, dont Ie plan a une incllnaison quelconque, etnbsp;peut m�me �tre vertical. L�observation fait voir qu�a-^nbsp;lors Ie liquide situ� a peu de distance au-dessous denbsp;cette petite ouverture, demeure stagnant, et que lesnbsp;tranches horizontales situ�es a une pareille distancenbsp;au-dessus de cette m�me ouverture , descendent pa-rall�lement a elles-m�mes; en sorte que Ie parall�lisme des tranches nest trouble, comme dans Ie casnbsp;d�un petit orifice horizontal, que pour la partie dunbsp;liquide tr�s voisine de rorifice. Ou pourra donenbsp;prendre \/2gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-c) , pour la vitesse d�un liquide

qui s��co�le par une tr�s petite ouverture, quelle que soit rinclinais�n de eet orifice; h �tant la hauteur variable OU coBstante du niveau du liquide au-dessusnbsp;�du centre de l�orifice, et c Ia constante provenant denbsp;la difference des pressions ext�rieui'es qui r�pondentnbsp;a ce niveau et a cette ouverture. Si Ie vase est plac�nbsp;dans Ie vide, de sorte que les deux pressions et cette

a. nbsp;nbsp;nbsp;4,

constanfe solent Rulles, les molecules du liquide au-ront, en sortant du vase, la vitesse S/zgh due a la haufeur 7^, qui esi; aussi la vitesse n�cessaire pournbsp;s��lever, dans Ie vide, a cet'e Ijaute�r (iT i3o). Parnbsp;cons�quent, si Pon donne au fluide, au moyen d�uunbsp;tuyau, une direction verticale, il remontera, au dehors, a la'hauteur de son niveau int�rieur; ce quinbsp;est, en effet, conforme a l�exp�ricnce. G�n�ralement,nbsp;les molecules du fluide d�criront dans Ie vide, apr�snbsp;un tr�s court intervalle de temps, des paraboles dontnbsp;la tangente ii leur point de depart d�pendra de lanbsp;direction du jet, et Ie param�tre , de la hauteur h ounbsp;k c, si la constante c n�est pas nulle.

La pression p sera sensiblemont la m�me que dans l'�lat d��quilibre, except� a rorlficc, oii elle seranbsp;�gale a ^ � gfc, au lieu de gfgt;Ii. Or, si ellenbsp;�tait aussi �gale a -[- gfgt;h sur cette partie dunbsp;vase , les pressions horizontales se d�lruiraient ,nbsp;les pressions verticales se r�duiraient au poids dunbsp;liquide, augment� de la pression 'srco qui a lieunbsp;sur la surface du niveau; d�oii l�ou peut conclurenbsp;que, dans l��tat de mouvement, la charge totalenbsp;que Ie vase aura a supfgt;orter se composera de lanbsp;pression verticale qui aurait lieu dans l�etat d�qul-libre, et d�une force normale au plan de 1�orifice,nbsp;dirigc'e de dehors en dedans du vas�, et �gale anbsp;l�exc�s de la pressionnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gfgt;h) a, sWf la pression

(.rjr � gfgt;c) 'X , OU il gf(Ji-j-c') ci , en designant tou-jours par o. l�aire tr�s petite de eet orifice.

676. Dans Ie cas d�un niveau constant el d�un ori-lico tr�s petit, horizontal on incline, \o.d�pensc pen-

dant Ie temps t, c�est-a-dire, Ie volume q du liquide qui sort du vase avec la vitesse \/-igh., sera

ce qui resulte aussi de la valeur finale de q trouvce dans Ic n� 671, en y n�gligeant Ie carr� de a. Mais onnbsp;ne doit pas oublier que Thypoth�se du parall��smenbsp;des tranches, sur laquelle cette valeur de q est fon-d�e, n�est qu�une approximation dout le.degr� d�exac-titude ne peut pas �tre e'valu� a priori, et dont lesnbsp;r�sultats*ne doivent pas �tre employ�s sans restriction. Or, l�exp�rience ne s�accorde pas toujours avecnbsp;cette valeur th�orique de la d�pense.

Si la parol du vase n�est pas tres mince, et que l�ouverture pratiqu�e dans son �paisseur soit �vas�enbsp;int�rieurement, de telle sorte que Ie fluide qui s��-coule hors du vase soit un cylindi-c vertical, ou unnbsp;cyllndre recourb� dont les sections normales soientnbsp;coustantes et �gales a l�aire a de l�orifice, prise surnbsp;la surface ext�rieure du vase; dans ce cas, disons-nous, la d�pense observ�e s�accorde avec la valeurnbsp;pr�c�dente de q. Mais dans Ie cas d�un orifice en.nbsp;mince paroi, la d�pense observ�e est toujours pro-portionnelle a i�aire de l�orifice, et a la racinc carr�enbsp;de r�l�vation du niveau , comme dans la formulenbsp;th�orique; mais elle s��carte de cette formule dansnbsp;sa valeur absolne, qui en diff�re par un facteur a peunbsp;pr�s constant et nioindre que l�unlt�. D�apr�s lesnbsp;tjiexp^riences qui m�ritent Ie plus de confiance, ccnbsp;facteur est 0,62; en sorte que la valeur de q, dont on

pour un tres petit orifice en mince paroi, et une hauteur du niveau assez grande par rapport aux dimensions de cette ouverture, horizontale ou incline'e.

On attribue cette difference aux directions incli-n�es que prennent les molecules du liquide en ap-prochant de l�orifice, que je supposg horizontal, pour fixer les idees j directions qu�elles conservent apr�snbsp;avoir travers� .la mince paroi du vase. II eif r�sultenbsp;que la veine fluide ext�rieure se r�tr�cit^ jusqu�a unenbsp;petite distance du vase, oil la section transversalenbsp;?kt a son minimum, pour devenir �nsuite constante.nbsp;Ce ph�nom�ne est ce qu�on appelle la contractionnbsp;de la veine fluide. L��coulement du fluide est Ienbsp;m�me que si l orifice �tait Ia section de la veine anbsp;l�endroit de sa plus grande contraction, de mani�renbsp;que si l�on d�signe par a.' l�aire de cette section, etnbsp;par h' sa distance constante au niveau du liquide, lanbsp;d�pense sera exprim�e par alts/^gh', ou, a tresnbsp;peu pr�s, par alt \/, a cause du peu de differencenbsp;de li' et h�, or, en effet, par des mesnres directes denbsp;la section a' compar�e a rorifice �, on trouve quenbsp;ces deux quantit�s sotit dans un rapport a peu pr�snbsp;ind�pendant de h, et que Ion a constammentnbsp;a' = (0,62) a.

Si l�on adapte a Torifice en mince parol, un ajutage cy lindrique en dehors du vase, perpendiculaire au� plan de l�orifice, et par lequel l��coulement aura lieu.

Texperience montre que lad�pense est augment�e, et peut s��lever aux quatre cinqui�mes du r�sultat de lanbsp;theorie. Si eet ajutage est enfonc� dans I�interieurnbsp;du vase, la depense est, au contraire, diniinu�e, etnbsp;r�duite a nioiti� de la d�pense th�orique; en sortenbsp;que, dans la valeur pr�c�dente de q, Ie facteur 0,62nbsp;doit �tre remplac� par 0,80 dans Ie premier cas, etnbsp;par o,5o dans Ie second. Je me borne a citer succinc-temeat ces r�sultats de l�observation, qul n�ont �t�nbsp;ramen�s, jusqu�a pr�sent, a aucune th�orie.

677. On admet aussi l�hjpoth�se du parall�lisme des tranches dans Ie mouvement d�un fluide �lasti-que qui sort d�un vase par un orifice quelconque; etnbsp;elle s��carte peu de la v�rit�, quand les sections dunbsp;vase, parall�les au plan de I�orifice, ne diff�rent pasnbsp;beaucoup Tune de l�autre, et que la longueur du v'asenbsp;est assez grande par rapport a leurs dimensions.

Dans ce cas, on peut faire abstraction de la pesan-teur, et supposer que Ie mouvement solt uniquement �� a^la force �lastique du flu�de, plus grande ou plusnbsp;petite a l�int�rieur du vase qu�en dehors. On suppri-mera done Ie terme dependant de g dans l��qua-tion (i), qui convienf aux liquides et aux flu�desnbsp;�lastlques. De plus, la diff�rentielle de p, quellenbsp;renferme, devant �tre prise par rapport a ^ et a lanbsp;variable .x consid�r�e comme fonction de t, ou aura

Le fluide etant compressible, il n�en passera plus un ra�me volume, a chaque instant, par toutes lesnbsp;sections du vase , et l�equation (2) n�aura pas lieu. Lanbsp;masse de fluide qui passe pendant l�instant dt par lanbsp;section MN, sera �gale a ^yvdt; cesera cette m�menbsp;masse qui passera, l�instant d�apr�s, en changeant denbsp;volume, paria section M'N'; et pendant toute ia dur�enbsp;du mouvement, sa gi�andeur he variera pas. La dif-f�rentielle du produit pjv, prise par rapport a i etnbsp;a la variable a: consid�r�e comme une fonction denbsp;sera done nulle; et a cause que^ n�est fonction que

Enfin, si ion suppose que la tenip�ratui�e demeure constante pendant ie mouvement, dans toute ianbsp;masse du fluide, on aura

�quations (d) et (b), on aura deux equations aux differences partielles du premier ordre , pour d�ter-miner, en fonctions de n: et i, les deux inconnues enbsp;et p du probl�me. Elies ne sont pas int�grables sousnbsp;Ibrme finie et les valeurs de f et p ne pourront s�ob-

tenir que par approxinialion. Ces valeurs renfcrmc-ront deux fonctions arbitraires , que l�on d�termi-nera d�apr�s deux condi�ons particu��res; pour cela, je supposerai, d�une part, que l�e'coulenieut ait lieu-a Tair libre, en sorte qu�eh de'signant par 'is' la prcs-siou atmosph�rique, rapport�e a Funite de surface,nbsp;on ail constammentp = lt;7S-, h i�orifice AB. D un autrenbsp;c�t�, je supposerai aussi que Ie vase soit en communication avec un gazom�tre d�uue grande capacit� ,nbsp;au moyen duquei on enti�etienne une prcssiou constante et donn�e , sur une section EF du fluide, paral-l�le a AB et de position fixe, de mani�re qu�ennbsp;tl�signanl par lt;23-' cette pression rapport�e a Funit� dcnbsp;surface, on ait aussi p = (73-', en eet endroit du vas� ,nbsp;pendant toute la dur�e du mouvement. Si done onnbsp;compte la distance x a partir du plan EF, et qu�onnbsp;appelle l la distance comprise eutre AB et EF, onnbsp;aura , quel que soit t, p = pour x � o, et p =nbsp;pour X = Ij ce qui servira a determiner les deuxnbsp;fonctions arbiti�aires , et a compl�ter la solution dunbsp;probl�me. Mais cette solution est trop compliqu�enbsp;pour qu�on en puisse d�duire aucun re'sultat utila; et,nbsp;dans la pratique , il suffit de connaitre la vitessenbsp;constante de F�coulement du fmide par Forifice AB,nbsp;lorsque la pression p et la vitesse -e sont deve-nues constantes en cbaque point dn vase ; ce quinbsp;arrive, en general, apr�s un tr�s court Interva�enbsp;de temps,

678. Faisons done ^ � o et = o, dans les equations (rt) et (h); elles se r�duiront a deux �qua-

c �tant la constante arbitraire. En d�signant toujours par a l�orifice AB, et par u la vitesse du fluide a eetnbsp;orifice, de sorte qu�on ait a la foisj-=�, v � Uynbsp;P=:/zir, et, par cons�quent, c=iinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i! en r�sul-

d�o� l�on tire, en integrant et d�signant par c' la constante arbitraire,

Je d�signe par a l�aire de la section EF, de sorte qu�on ait, en m�nie temps, j = a et /)=:lt;3r'; onnbsp;aura douc

7 nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� '�f �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7

Les equations (d) et (e) feront connaitre la vitesse et la pression en un point quelconque du vase, d�snbsp;que l�on connaitra la vitesse u relative a l�orifice.nbsp;Or, en faisant p = (!s- etj = a, dans Tequatlon (e) ,nbsp;on en conclut

k � grh,

en appelant g la gravit�, et r Ie rapport de la densit� du mercure a celle du fluide interieur, sous unenbsp;pression barom�trique dont la hauteur est 'A, Ie vo-^nbsp;lurae du flu�de qui sortlra du vase pendant Ie temps tnbsp;aura pour valeur aut.

Quand l�orifice sera tres petit, on remarquera, comme dans Ie n� GyS, qu�il ne sera plus n�cessairenbsp;qu�11 soit parall�le a la section EF, c�est-a-dire, qu�ilnbsp;pourra �tre pratique a la partie laterale du vase, etnbsp;avoir une inclinaison quelconque sur Ie plan de cettenbsp;section. On pourra alors n�gllger Ie terme dependant

tt* = 2grA.log^ ;

rapport La supposition qu�on a faite d�une temperature invariable pendant toute Ia dur�e du mouvement exige que la vitesse u ne soit pas tr�s considerable, sans quoi la temperature varierait comme dana la propagation du son.

(W\VV\W�'Wquot;Vlt;Wgt;'W'V'WVVW\IV\IV\,VVV\'VV�^'''VV''W'\'W\^\'gt;VVgt;'V\'XIW^ VV\'WS\'VSVVgt;lt;VVX�W\'VVgt;V\'gt; \^MWgt;

ADDITION

Relatwe a �usage du principe des forces vives, dans Ie calcid des machines en mouvement.

679. nbsp;nbsp;nbsp;Le principe des vltesses virluelles donne im-m�diatement les conditions d��quilibre des forcesnbsp;appliqu�es aux machines ; celui des forced vives ren-ferme de m�me la th�orie de leur mouvement, etnbsp;fournit le mojen ie plus direct de calculer les effeLsnbsp;des forces qui leur sont appliqu�es. Cet usage dunbsp;principe des foi�ces vives forme, pour ainsi dire , Ienbsp;point de jonction de la M�canique rationnelle et denbsp;ia M�canique industrielle. C�est pourquoi j�ai crunbsp;devoir donner succincteraent, dans cette addition fesnbsp;notions les plus g�n�rales sur cette mati�re. Pour denbsp;plus grands d�veloppeinens, j�indiquerai les leconsnbsp;de M. Navier, a I�Ecole des Ponts-et-Chauss�es, ctnbsp;de M. Poncelet, a l�Ecole de rArtillerie et du G�nie ,nbsp;qui ont �t� seulement llthographi�es, mais auxquellesnbsp;ces savans professeurs donneront sans doute plus denbsp;pubiicit�.

680. nbsp;nbsp;nbsp;Les machines sont des instruinens Ou des sjs-t�mes de corps solides, propres a transporter Tactionnbsp;des forces, dune partie a une autre de ces assemblages.

points sont done soumis a des forces donn�es, et d�aii-tres parties exercent des pressions sur les corps ext�rieurs, OU sont press�es r�ciproquenieut par ces corps que la machine est destin�e a d�placer ou anbsp;d�former. Les premi�res forces s�appellentforces mou-vantes; leurs points d�applicatiorf se meuvent sui-vant leurs directions, ou, plus g�n�ralement, lesnbsp;directions des mouvemens de ces points font desanglesnbsp;aigus avec celles de ces forces. Par opposition, onnbsp;nomme forces resistantes, les pressions exercees parnbsp;les corps ext�rieurs; el les directions des mouvemensnbsp;de leurs points d�application sont contraires a cellesnbsp;de ces forces, ou, du molns, elles font avec celles-cinbsp;des angles obtus.

La liaison des parties d�une machine est telle, qu�elle ne peut prendre, en general, que deux mouvemens directement oppos�s I�un a I�autre; il s�ensuitnbsp;done que, quand le sensdu mouvement qu�elle prendnbsp;effectivement est connu, ilsuffil d�une seule �quationnbsp;pour d�terminer ce mouvement d�une mani�re complete. Cette �quation est celle que Ton obtlent en int�-grant les deux membres de l��quation {a) du n� 564,nbsp;savoir :

Au bout d�un temps quelconque t, compt� depuis I�origine dh mouvement, o represente la vitesse dunbsp;point dont ar, j, z, sont les trois coordonn�es rap-port�es a des axes fixes el rectangulaires; m est lanbsp;masse de ce point; dsc, dj, dz, sont les projections,nbsp;sur ces axes, de I�espace qu�il parcourt pendant Tins-

tanl dt�, on designe par mX, toY, m7i, les compo-santes de sa force motrice paralleles a ces m�mei axes, et les scftiimes 2 s�etendent a tons les points mnbsp;du sjst�me.

681. Avant d�aller plus loin , il importe de distin-guer, dans le second membre de I�equation {a), les termes qui proviennent des forces mouva.ntes et ceuxnbsp;qui resultent des forces resistantes, et de leur donnernbsp;une autre forme.

Pourcela, soientP une des forces mouvantes, et a, Q , y, les angles que fait sa direction avec des paral-l�les aux axes des xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;relativement a cette force,

Soient aussi ds I�espace decrit par son point d�appli-cation pendant I�instant dt, et A, /*, v, les angles que fait la direction de avec ses projectionsnbsp;dj, dz, de sorte qu�on ait

dx � ds cos A, dj- z=: ds cos fA, dz � ds cos v.

Designons enfin par dp la projection de ds sur la direction de la force P , et par c Tangle corapris entre dp et ds; nous aurons

dp=^scoscr, cos!7=cosa cosA cos^cos/A-j-cos5.cosv; et, de ces diverses equations , on deduiranbsp;m(X.dx -{-\dy-\- Zdz) � Vdp,

YtSivdq la projection sur Ie prolongement de sa direction , de l�espace parcouru pendant l�instant dt par son point d�application, on trouvera dlt;? m�me �(^dqnbsp;pour le terme de ce second menibre qui provient denbsp;la force Q. De cette mani�re, I�equation (a) prendranbsp;la forme

I�unc des sommes 2 contenues dans son second membre s�etendant a toutes les forces raouvantes denbsp;la machine, et I�autre a tputes les forces resistantes.nbsp;D�apres les hypotheses qu�on a faites sur les directionsnbsp;de ces deux sortes de forces , err e�gard au sens desnbsp;morrvemens des points ori elles agissent, les quantiles dp el f/(^ sont positives, ainsi que P et Q, el con*nbsp;sequerament, les sommes 2 ne se composent que denbsp;termes posilifs.

682. En de'signant par k la vitesse initiale^u point quelconque to, orr la valeur de e qui re'pond a t=o,nbsp;et integrant les derrx membres de I�e'quation [b), onnbsp;arrra

les intcigrales e'tant prises de mani�re qu�elles s�eva-norrisscnt a I�origine dir mouvement.

C�est sous cette forme qu�on eraploie I�equa-tlon des forces vivcs , pour calculer les effets des machines en raorrveraentelie coincide avec I�e'qua-tion (h) du n� 564 gt; lorsqu�on peut eftectuer les integrations indiquees dans son second membre.

Les produits Vdp et Qdq, dont les sommes sont sorimises a ces integrations, ont recti differentes d�-

nominations : on ies appelle quantites faction , mo-mens d�activit�, effets djnamiques, cles forces P et Q. II serait a desirer qu�oa les designat louj�urs par urinbsp;m�me noni. M. Coriolis a propose de les nommernbsp;quantites de travail �l�mentaire; nous adopteronsnbsp;cette denomination. Les sommes 'S.Vdp et SQrfg' se-ront done les quantites de travail �l�mentaire , pro-duites pendant un m�me instant par toutes les forcesnbsp;mouvanles et toutes les forces resistantes; et leursnbsp;inte'grales f^Ydp et flQ^dq exprimeront le travailnbsp;moteur et le travail r�sistant qui ont eu lieu dans lanbsp;machine, depuis I�origine du mouvement jusqu�anbsp;I�instant que I on considere.

Ainsi, I�equatlon (c) signifiera que , dans une machine en mouvement, I�accroissement, pendant un temps quelconque, de la demi-somme des forcesnbsp;vives de toutes ses parties, est toujours e'gal a I�excesnbsp;du travail moteur sur le travail r�sistant, pendant lenbsp;m�me temps.

685. Si la force raouvanJe P, ou la force resis-tante Q, est un poidsFI, qui descende, dans le premier cas, dune hauteur verticale h, ou qui monte, dansnbsp;le second cas., a la m�me hauteur, le travail moteurnbsp;ou resistant qui en resultera, aura pour valeur le pro-dult P/i, quel quo soit le chemin parcouru par cenbsp;poids, de mani�re que h soit toujours la projectionnbsp;verticale de la ligne droite ou coui�bc que son centrenbsp;do gravit� a suivie. Si cette ligne est ferme'e ou pr�sente des slnuosit�s ,� il J aura eu alternativementnbsp;travail moteur et travail resistant,- et li �tant la difl��-rcncc de niveau du point de depart et du point dar-

riv�e, n^seral�exc�s du premier travail sur Ie second* Dans Ie cas �u il n�y a pas d�allernatives, la quantit�nbsp;de travail correspondante a un poids O �lev� a unenbsp;hauteur h, equivaut a la quantit� de travail quinbsp;r�pond a un autre poids O' �lev� a une hauteur h',

Quelle que solt la force P ou Q, l�int�grale fPdp ou fQdq est toujours �quivalente au prodult d�un poidsnbsp;n et d�une hauteur h; et pour comparer enlre eux etnbsp;expi�imer en nombres des travaux de diff�rente nature, on peut alnsl les asslmiler a des poids donn�s,nbsp;�lev�s a des hauteurs donn�es. On prend alors pournbsp;unite de travail, que l�on appelle commun�mentnbsp;unite djnamique , Ie travail correspondant a un poidsnbsp;de 1000 kilogrammes, qu�on �l�ve a la hauteur d�unnbsp;metre, ou qui descend d�un metre de hauteur verticale. Cela �tant, si l�on calcule les valeurs nu-m�rlques des int�grales f^dp et f(^dq, en prenantnbsp;looo kilogrammes pour unit� de ftfrce, et Ie metrenbsp;pourunlt� lin�alre, les nombres que l�on obtiendranbsp;du cette mani�re exprimeront, en unit�s dynaml-ques, les quantit�s de travail repr�sent�es par ces int�grales. Une somme quelconque de force vive, tellenbsp;que ~Xnugt;'�, par exemple, pourra aussi �tre expri-m�e en unit�s dynainiques; car si l�on appelle l ianbsp;hauteur due a la vitesse f, g la gravit�, et p Ie poidsnbsp;de m, on aura

et cette somme est de la m�me nature que les int�-grales f^dp et fQ^dq, ou que Ie produit Uh.

= flVdp � flQdq.

Son premier membre �tant une quantite essentielle-ment positive, il faut que dans les premiers momens le travail moteur I�emporte sur le travail resistant,nbsp;Mais les vitesses des points de la machine ne pouvantnbsp;pas croitre ind�finiment, ce premier membre at-teint son maximum au bout d�un certain temps, quinbsp;est g�n�ralement pen considerable. Par un raoyennbsp;qui sera indique tout-a-rheure, on fait ensorte qn�anbsp;partir de cet instant du maximum, la demi-sommenbsp;\ des forces vlves demeure constante, on n�e-prouve plus que de tres petites variations; et Tonnbsp;dit alors que la machine est parvenue a son �tatnbsp;permanent. Dans cet �tat constant, on a, en diffe-rentiant Tequatiou pr�c�dente,

'�.Vdp =

de mani�re que la machine n�a plus d�autre effet que de changer, a chaque instant, le travail moteur �l�mentaire en une quantite �gale de travail resistant.nbsp;Mais il importe d�observer que la quantil�denbsp;travail r�sistant dans lequel se change le travail moteur flVdp, pendant un temps quelconque, nenbsp;comprend pas seulement le travail qu�on veut ex�cu-terau moyen de cet instrument; l�inl�grale flQdqnbsp;comprend aussi le travail r�sistant qui provient dunbsp;frottement des parties de la machine, entre elles ounbsp;2. 48

Pour avoir �gard, parexempJe, aux frottemens, il faut, d�apr�s ce qu�on a vu dans Ie n� 568, ajouternbsp;a l�int�grale f'S.Qdq, provenant du travail resistantnbsp;proprement dit, utie autre integrale flf^ds, dansnbsp;laquelle f est Ie coefficient du frottement, N lanbsp;pression mutuelle des parties frottantes, et ds l��l�-ment de la courhe d�crite par leur point de contact. Cette addition changera l��quation (fi?) ennbsp;celle-ci :

II suit de la que quand une machine a atteint son �tat permanent, la quantit� de travail flVdp, pro-duite pendant un temps donn�, par les forces mou-vantes, n�est pas repr�sent�e en totalit� par la partienbsp;utlle f'EQdq du travail resistant, laquelle partie estnbsp;toujours molndre que Ie travail moteur flVdp, denbsp;toute la quantit� de travail correspondante aux frottemens et aux autres resistances. Une machine estnbsp;d�autant meilleure que Ie travail utile f'S.Qdq appro-che davantage d�etre �gal au travail moteurnbsp;mals la pi�emi�re integrale ne peut, quelle que soitnbsp;la combinaison des parties de la machine, etre �galenbsp;a la seconde, ni, a plus forte raison, la surpasser.nbsp;Parmi les machines imparfaites, o� Ie travail utilenbsp;n��tait qu�une tr�s petite fraction du travail moteur,nbsp;et OU la plus grande partie de celui-ci se trouvaitnbsp;absorb�e par les frottemens, on peut citer, pournbsp;exeraple, l�ancienne machine de Marly : Ie travail

moteur consistait eu une chute d�une partie consi-d�rable des eaux de la Seine, et le travail utile etait l��l�vation d�une ({uantite d�eau a une hauteurnbsp;qui �tait bien loin de compenser I�exiguite de sonnbsp;volume.

685. Les quanlites qui constituent essentiellement une machine sont la partie a laquelle sont appli-qu�es les forces mouvantes, celle qui est en contactnbsp;avec le corps qne Ton a pour objet de mouvoir ounbsp;de deformer, et la partie interme'diaire qui transmetnbsp;Taction des forces mou^ntes. Quand on a satisfaitnbsp;aux conditions de la solidite, il importe, pour Teco-norale des frals de construction et pour la diminution des frottemens, que la masse totale de la machine soit la plus petite possible; mais il J a unenbsp;autre consideration, qui exige que Ton augmente cettenbsp;masse, et qu�on ajoule aux trois parties essenliellesnbsp;dont elle se compose, une autre pi�ce qu�on appellenbsp;un volant, et qui consiste, en general, en un corpsnbsp;solide tournant autour d un axe fixe horizontal.

Les mouvemens des trois premieres parties d�une machine �tant alternatifs ou revolntifs ^ la demi-somme 7 Imv* des forces vives qui s�y rapportenl,nbsp;apr�s qu�elle a attaint son maximum, devient unenbsp;quantite periodlque; il en est de m�me, par cons�-, quent, a T�gard du second membre de Te'quation (e);nbsp;en sorte que si la machine e'tait reduite a ses troisnbsp;parties essentielles, le travail moteur et le travail resistant, en comprenant dans celui-ci les effets desnbsp;frottemens, I�emporteraient alternativement Tun surnbsp;1�autre j et si les variations alternatives du travail mo-

48..

teur fl^dp, et de la partie f'S.fl^ds du travail resistant, n��laient pas r�gle'es exacteraent sur lespe'riodes de la machine, la qnantit� J^'�.Qdq de travail utile va-rierait continuelleraent. Or, pour la bonne execution des ouvrages que Ton veut effectuer au moyennbsp;d�une machine, il est indispensable, Ie plus souvent, que Ie travail utile approche, autant que possible , de 1�uniformit�; et c�est a remplir cette condition que Ie volant est destine.

En effet, soient dm un �le'meiit de la masse du volant, et r sa distance a^l�axe de rotation; appe-lons (jo la vitesse angulaire autour de eet axe, commune a tous les �l�mens dm, et qui peut variernbsp;d un instant a un autre ; rco sera la vitesse absoluenbsp;de dm-, par cons�quent, Ia somme des forces vivesnbsp;detoute la masse du volant aura pour valeur fda'^dm,nbsp;OU, ce qui est la m�me chose, Ie produit //tu*, en d�-signant par jW Ie moment d�inertie du volant par rapport a son axe, e�est-a-dire, l�int�grale fr*dm �tenduenbsp;a sa masse enti�re. Si done on ajoute j au premier membre de I�equation (e), et si Ton supposenbsp;que la demi-somme 7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;se rapporte aux trois

flQdq = R �

R = fX?dp � fXflSds � nbsp;nbsp;nbsp;'

Or, on concoit que les variations de lt;y peuvent �tre r�gl�es sur celles de cette qaantit� R, de ma-ni�re que la variation totale de R �nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;soit r�-

duite a de tres petites amplitudes, et que, par cons�quent, Ie travail resistant solt a peu pres invariable dans l��tat permanent de la machine : on concoitnbsp;aussi que, toutes choses d�ailleurs �gales, les variations de la vitesse a du volant seront d�autantnbsp;molndres, que son moment d�inertie fjt, sera plusnbsp;grand.

686. Par l�addition d�un volant, la d�pense de travail moteur n�cessaire pour mettre la macliine ennbsp;mouvement et pour accroifre la force vive totalenbsp;jusqu�a ce qu�elle soit parvenue au maximum, senbsp;trouve augment�e; mais quand la machine est arri-v�e a son �tat permanent, les masses de ses dilF�-rentes parties n�ont plus d�influence sur son travail,nbsp;si ce n�est celle de leur poids sur les frottemens.

Pendant Ie mouvement de la machine, s�il sur-vient un choc de ses parties entre elles ou contre des corps �trangers, et qu�apr�s Ie choc les points denbsp;contact aient une vitesse commune dans Ie sens normal aux surfaces, il y aura diminution de force vivenbsp;dans Ie syst�me; si les parties qui se sont choqu�esnbsp;se s�parent, en vertu de leur �lasticit�, il y aura encore perte de force vive, quand ces parties ne serontnbsp;pas parfaitement �lasliques; et quand elles Ie seront,nbsp;il y aura perte de force vive dans la premi�re partienbsp;du choc, puis une augmentation pr�cis�ment �gale anbsp;cette perte dans la seconde partie (n� 672). Par cons�quent, pour ramener la machine a son �tat pcrma-

nent, sans qu�il y ait�diminution dans la quantit� de travail resistant, il faudra que les forces mouvantesnbsp;fassent une nouvelle d�pense de travail moteur, sem-blable a celle qui a eu Heu a l�origine du mouvement, et �gale a la moiti� de la force vive perduenbsp;dans Ie choc. C�est pourquoi, ind�pendamment dunbsp;dommage que les chocs produisent dans les machines, il est encore n�cessaire de les �viter, pournbsp;1��conoraie des forces mouvantes.

687. En g�n�ral, Ie travail r�sistant qui provient des frottemens et de Faction du milieu, est une quan-tit� continuellement croissante ; pour qu�il y ait unnbsp;travail utile, ou, seulement, pour que Ie mouvementnbsp;de la machine soit entretenu, il est done n�cessairenbsp;que la quantit� de travail moteur croisse �galementnbsp;avec Ie temps, dans un rapport au moins �gal a celui de l�accroissement du travail r�sistant. Si cela n�anbsp;pas lieu, Ie travail r�sistant finira par �tre �gal aunbsp;travail moteur : a eet instant, la demi-somme desnbsp;forces vives de tous les points du syst�me sera nulle;nbsp;les vitesses de tous ces points seront z�ro, et la machine s�arr�tera et se trouvera r�duite au repos.

Aux frottemens et aux r�sistances des milieux qui produisent eet �puisement graduel de la force vive,nbsp;on peut encore ajouter la communication d�une par-tie du mouvement de la machine a ses supports, la-quelle partie va ensuite se perdre dans Ie sol sur le-quel la machine est �tablie. Cette communication nenbsp;pi'ovient pas seulement du d�faut de solidit� des sup-poi�ts; elle a aussi lieu en vertu de leur �lasticit�,nbsp;qui permet au mouvement de s�y propager de la

m�me niatil�re que Ie son ; et il peut r�sulter de celte propagation une diminution de vitesse des parties denbsp;la machine, .semblable a celle qui serait produite parnbsp;la resistance d�un milieu J�ai donn� im exemple denbsp;eet effet singulier, dans Ie mouvement d�un pendulenbsp;suspendu a rextr�mit� d�une verge �lastique et horizontale, d�une longueur ind�finie (*).

Ouand on supprime l�action des forces mouvantes, et que Ie travail utile de la machine a aussi cess� ,nbsp;l�equation des forces vives se change en celle-ci :

�tant la somme des forces vives de tous les points du syst�me a eet instant,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cette somme

a une �poque subs�quente, et yNds comprenant Ie travail qui provient des frottemens, de la r�.sis-tance du milieu et de la perte du mouvement pariesnbsp;supports. Or, ce dernier terme sera bient�t �gal anbsp;la force vive de la machine se trouveranbsp;compl�tement �puis�e, et la machine cessera de senbsp;mouvoir, comme on l�a d�ja dit dans Ie nquot; 568-688. Quand un homme transporte son proprenbsp;poids, que j�appellerai O, a une hauteur verticale knbsp;au-dessus de son point de depart, la quantit� de travail produite est exprim�e par Uh, d�apr�s la regienbsp;du n� 683 � mais cette quantit� donnei�ait une id��nbsp;. ^r�s imparfalte des efforts musculaires qui ont �t�nbsp;faits, et de la force totale que eet homme a d�ve-

lopp�e. II serait difficile d�en obtenir une raesure exacte; on peut seulement faire Yoir qu�elle doit sur-passer, souvent de beaucoup, la quantit� pr�c�dente,nbsp;qui serait nulle si la hauteur h �tait z�ro, quoique ,nbsp;certainement, il y ait une quantit� de travail m�ca-nique correspondante a la marche d�un homnie surnbsp;un plan horizontal.

Dans cette marche, je suppose que fhomme ait d�abord Ie pied gauche en avant du pied droit �, sonnbsp;centre de gravit� est alors abaiss�, au-dessous de sanbsp;position naturelle, d�une quantit� que je d�signerainbsp;par g. En s�appujant sur son pied gauche, ets�aidantnbsp;du frottement de ce pied contre Ie sol, l�homme ra-m�ne son pied droit au niveau du pied gauche, puisnbsp;Ie pied droit devance Ie pied gauche, et va se posernbsp;sur Ie sol; ce qui fait un pas entier, compose denbsp;deux parties. Or, dans la premi�re partie, l�hommenbsp;soul�ve son centre de gravit� de la hauteur g, etnbsp;produit par la une quantit� de travail �gale a Hg; ilnbsp;imprime, au m�me instant, a ce point une vitessenbsp;horizontale, que je d�signerai par a, a la fin dunbsp;premier demi-pas; ce qui r�pond a une autre quantit� de travail �quivalente a la demi-force vive

encore ajouter a - �, la partie de la demi-somme des forces vives provenant des vitesses relatives denbsp;tous les autres points du corps (n� 56g); mais j�ennbsp;feral abstraction dans cette �valuation, qui ne peutnbsp;�tre qu�un apercu. Je supposerai aussi que Ie se-

cond demi-pas a lieu en vertu de la vitesse ac-quise a la fin du premier, et du poids du corps qui retombe sur le sol, de mani�re que, pendant le - second demi-pas, Thomme n�exerce plusnbsp;aucun effort, et que les vitesses verticale et horizontale, dont son centre de gravite se trouve encore anim� a la fin du pas entier, soient detruitesnbsp;par le choc et le frottement de son pied droit contrenbsp;le sol. Dans cette hypothese , la quantite de travail de Thomme pendant le pas entier sera la somme

II suit de la que dans un nombre n de pas egaux et semblables, la quantite de travail d�un homme ounbsp;d�un animal, portant un fardeau et marchant sur unenbsp;route horizontale, aura pour valeur nK(g-t-a), ennbsp;designant par R son poids FI augmente de celui dunbsp;fardeau. Si le poids total a �t� �lev� verticalement anbsp;une hauteur h au-dessus du point de de'part, il fau-dra ajouter KA a la quantite 7zK a.); et si le fardeau est train� sur une route, ou il eprouve un frottement qui soit repr�sent� par une partie F de sonnbsp;poids, il en resultera une autre augmentation denbsp;travail �gale a F/, en appelant I la longueur dunbsp;trajet.

68g. Dans le calcul des effets des machines en mouvement, il est souvenlgutile de distinguer lesnbsp;vitesses communes et les ^TOsses relatives de leursnbsp;differens points. Pour cela, soient toujours x, j,nbsp;z, au bout du temps t, les coordonnees du point

ce m�me point deviendront x dx , j dj , z 4- dz. Or, on peut decomposer Ie mouvement dunbsp;syst�me, pendant l�instant dt, en un mouvement denbsp;translation et de rotation commun a tous ses points,nbsp;dans lequel leurs distances soient invariables, et ennbsp;des mouvemens particuliers o� ces distances variantnbsp;convenablement. J�appellerai d'x, d'j, d'z, les ac-croissemens de x,j, z, qui proviennent du mouvement commun, etd^x, d^j, dj, ceux qui r�sultentnbsp;du mouvement relatif de m, de sorte qu�on ait

Pour ce point m, j�appellerai aussi v', w', les trois composantes de la vitesse commune qu�on re-gardera comme des fonctions doun�es de t,x,j,z,nbsp;et qui seront

pour les composantes de sa vitesse absolue j et en dl�erentiant, il en r�sullera

pour les forces acc�l�ratrices de ce point m, suivant les axes des coordonn�es; les dilF�rentielles relativesnbsp;a t qui sont indiqu�es, �tant prises par rapport anbsp;cette variable et aux coordonn�esnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, regard�es

Si oe point m est astreint a se mouvoir sur une surface qui peut �lre fixe ou mobile, mais dont la forme est invariable, il devra demeurer constam-ment sur cette surface, en vertu de sa vitesseabsolue,nbsp;et i on pourra aussi supposer qu�il j resterait cons-tamrnent, en vertu du mouvement commun du sjs-t�me. En repr�sentant par L = o, l��quation de knbsp;surface, L sera une tonction donn�e des coordonn�esnbsp;de m , rapport�es a des axes mobiles qui participentnbsp;au mouvement commun, et cette quantit� pourranbsp;�tre chang�e en une fonction du temps et des coor*nbsp;donn�es derapport�es a des axes fixes, c�est-a-dire, en une fonction de t, x, j, z. L��quationnbsp;L = O' devra subsister, lorsqu�on y remplacera cesnbsp;quatre variables, soit par t-\- dt, X dx, j dy,nbsp;z-\~dz, dans Ie mouvement absolu de m, soit parnbsp;t-^dt, x-Fd!oc, y-\-d'y, z-\-d'z, dans Ie mouvement commun du sjst�me. En n�gligeant les infi-niment petits du second ordre, on aura done simul-taii�ment

|�r lt;i,j) f {lt;�� rf,=)

�quot;' �d-^ |rfy 5Vz = o,

(g)

Cela pos�, nous allons chercher la somme des forces vives dues aux vitesses relatives de tous lesnbsp;points du sjst�me, et la comparer a la somme desnbsp;forces vives qui r�sultent de leurs vitesses absolues.

6go. Reprenons, pour cela, la formule g�n�rale du n� 551, de laquelle on a d�duit 1��qualion [a) du.nbsp;n� 68o, et formons successivement les termes de cettenbsp;formule, relatifs aux diff�rentes sortes de forces quinbsp;peuvent agir sur Ie syst�me que 1�on consid�re.

D�signons d�abord par P une des forces ext�rieures et donn�es; cTp �tant la projection du d�placementnbsp;de son point d�application, sur sa direction, et ennbsp;regardant cette projection comme une quantit� positive ou n�gative, selon qu�elle tombe sur la direction m�me de P ou sur son prolongement, orl aura,nbsp;comme dans Ie n� 681,

syst�nie dont les masses sont m et in'; appelons r la distance mm', dont R est unecertaine fonction; x,j,nbsp;z, 3c', y, z', �tant les coordonn�es de et m', onnbsp;aura

et si cTr exprime la vai�iation de r qui r�sulte de leurs accroissemens cTx, Jj-, J'z, S'oc', S'j', S'z', on auranbsp;aussi

(r �f ) nbsp;nbsp;nbsp;�W (2�^') (J'z � J'z')*

__(/�rlR

m' (X'cfx' Y'jy' Z'S'z') = d= RcT/�, pour la partie de la formule g�n�rale , provenant

de la force R; Ie signe sup�rieur ou Ie signe inf�rieur ayant lieu, selon que cette force est r�pulsive OU attractive.

Si Ie point m est astreint a demeurer sur la surface dont on a repi��sent� l��quation par L = o, dans Ienbsp;num�ro pr�c�dent, et que l�on appeile co i��l�mentnbsp;de cette surface auquel Ie point m r�pond au boutnbsp;du temps et g?U la r�sistance qu�il en �prouve,nbsp;cette force sera tiormale a la position actuelle de co;nbsp;on aura done pour ses composantes

7raX = �Uvf^, mY=(Dm^, 7nZ = �UV^,

v=[(S� (fy (0]-N

et si l�on fait aussi il en r�sultera wUcTm, pour Ie terme de la formule g�n�rale qui provient de 1� r�sistance �U.nbsp;Le facteur U exprimera cette r�sistance rappor-t�e a l�unit� de surface; t^'u sera la projection dunbsp;d�placement de m sur la normale a 1��l�ment a;nbsp;elle aura un signe ambigu , a cause du 7quot;adicalV, et Tonnbsp;regardera �Tm comme une quantit� positive ou negative, selon que la projection du d�placepient de mnbsp;tombera sur la direction m�me de la r�sistance aU,nbsp;OU sur son prolongement.

Outre la resistance normale de la surface sur la-quelle le point 7� est assujetti a se mouvoir, 11 �prou-vera encore une resistance tangentlelle provenant du frottement contre cette surface; et si Ton designenbsp;Cette force par �F, et par lt;S's la projection du deplacement du point materiel m sur sa trajectoire, il ennbsp;resultera �FJ'j', pour le terrae correspondant de lanbsp;formule du n� 531.

D�apr�s cela, cette formule pourra s�ecrire ainsi : = 2Plt;Jgt; � SRcTr -f- 2a)U� Xagt;Flt;^s;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(

la somme 2 du premier membre repondant a tous les points du sjsteme, et les sommes 2 du secondnbsp;membre s�etendant, la premi�re aux points qui sontnbsp;soumis a des forces motrices exterieures, la secondenbsp;aux actions mutuelles de tous les points du sjstemenbsp;prls deux a deux, la Irolsl�me et la quatrieme a tousnbsp;les �l�mens des surfaces resistantes et frottantes. Celanbsp;pos� , si I�obllgation d�une partie des points du sys-t�rae, de demeurer sur ces surfaces, est la seulenbsp;condition qui restreigne les mouveniens du systemenbsp;entier, on pourra maintenant considerer tous cesnbsp;points corame enti�rement libres, et faire telle hypothese qu�ou voudra sur les variations cfx, cTy, j'z,nbsp;des coordonnees d�un point quelconque.

fPx = dx , jy = (fy, J'z = dz ; de sorte que le deplacement du point quelconque m

soit celui qui a lieu efFectivement pendant l�instant dt. On aura, en m�me temps, S�r= dr; et l�on rempla-cera �'p, Su, ^s, par dp, du, ds, qui repr�sententnbsp;les projections du deplaceraent reel du point m sulles directions des forces P , �U, �F. En appelant v ,nbsp;Ia vitesse d�un point quelconque m, et observantnbsp;qu�on a

\1mv^� ^Imk*

=f^Vdp drf2Rdr J SaUt/w � �'�.ceVds k �tant la valeur initiale de e, et les integrales com-mencant a i�origine du mouvement.

Le terme f'S.Vdp comprendra Ia partie du travail moteur qui r�pond au poids du syst�me ; et si Fonnbsp;appelle n ce poids, et ^ la hauteur verticale dont lenbsp;centre de gravit� sera tomb� pendant le temps t,nbsp;cette partie sera �gale a Of.

Lorsque les distances des points du syst�me que l�ou consid�re demeureront inva-riables pendant lenbsp;mouvement, on aura t/r = o , et le terme /�SRtfrnbsp;disparaitra de 1��quation (i). S�il s�agit d�un fluide,nbsp;ce terme comprendra les attractions ou r�pulsionsnbsp;mutuelles de ses points, qui s��tendent a de grandes

distances; il comprendra aussi les actions mutuelles qu�onappelleproprementforces mol�culairesnbsp;qui ne s�etendent qua des distances insensibles, et quinbsp;produisent les pressions interieures, auxquelles onnbsp;n�a point eu �gard en formant I�equation (i). La valeurnbsp;de cette integrale/�2Rr/r dependra du changement denbsp;forme et des condensations ou dilatations du fluidenbsp;pendant son mouvement; et pour les tres petites variations de densite qui ont lieu dans le liquide , ellenbsp;pourra varier dans de tres grands rapports , a raisonnbsp;des forces moleculaires ou des pressions interieuresnbsp;qui en resultent (n� 076).

Les sommes 2�U�/m et 20)?^/^ comprises sous les deux dernieres integrales, sont elles-memes des in-te'grales doubles etendues a tous les �l�mens co desnbsp;surfaces r�sistantes et frottantes. Si la partie du sjs-t�me qui frotte contre une de ces surfaces est un corpsnbsp;solide, la force sera ind�pendante de la vitesse denbsp;ce corps, et proportionnelle, pour cbaque �le'ment co,nbsp;a la pression correspondante, laquelle est �gale etnbsp;contraire a la r�sistance coU. Si cette partie frottantenbsp;du sjst�me est un fluide, la force coF d�pendra de sanbsp;vite.sse relative , et sera ind�pendante de la pressionnbsp;(n� 456). Loi�sque la surface dont L = o est 1 equation , sera immobile, la projection du d�placementnbsp;de Jn sur la normale a cette surface sera nulle, puisquenbsp;le point m est assujetti a demeurer sur cette surface ;nbsp;on aura done du = o; ce qui fera disparaitre l�int�-gralefl,co\]du; et si l�on fait, de plus, abstraction dunbsp;frottement, r�quatlon(i) se r�duira a 1 equation ordinaire des forces vives.

t^'x = d^x , nbsp;nbsp;nbsp;� d^j, cTz = d^z;

de mani�re que les d�placemens des points du sys-t�me que suppose l��quatioa (k), soient leurs d�placemens relatifs. D�signons par d^p, dju, d^s, les projections des |d�placemens relatifs des points o� sont appliqu�es les forces P, U, F, sur leurs directions.nbsp;Les valeurs de S'p, ^u, ds, qui r�pondent a cellesnbsp;de J'x, Jy, cTz, que nous employons, seront d^p,nbsp;d^Ufd^s. De plus, les autres parties d'x, d'j, d'z,nbsp;des diff�rentielles totales dx, dj, dz, n�influant pas,nbsp;par hypothese, sur les distances mutuelles des pointsnbsp;du sysl�me, cTrse changera dans la diflf�rfentielle dr,

D�ailleurs, si Ton nietc?^.r, d^f,djz, dans I�expres-sion de J'u du n� 6go, pour avoir celle de d^u , on aura

quantile nulle, en vertu del��quation (g). Au mojen de ces valeurs, I�equation {k) prendra la forme

'-d.Zm^; Zm(J^d,x i^dj i^j d,z ) = 2Pf/^p db 2R�?r � lEaFd^s ;nbsp;et, en integrant, il en re'sulteranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^

-rZ,n(^4.d,x %d,r ^-id,z);

�tant la valeur initiale de v^, et les integrates com-niencant a I�origine du mouvement.

6g3. Cette equation (Z) fera connaltre I�accroigse-nient, pendant le temps t, de la demi-somme des forces vives, dues aux vitesses relatives de tous lesnbsp;points du syst�me.

En faisant directeraent dans la formule g�n�rale du nquot; 531, 1�hjpoth�se qui nous a conduits a I�equa-tion (Z), c�est-a~dire, en y mettant d^x, d^j,d,z,nbsp;au lieu de S'x, iz, on aura

= 2ot (J^d^oc '^dj Zd^z) ,

la somme 2 du second menibre s��tendant a toutesles forces qui agissent sur les points du syst�me, except�nbsp;les forces provenant des resistances normales des surfaces fixes OU mobiles, que les valeurs prises pour Sx,nbsp;�'j, S'z, ont la propri�t� de faire disparaitre. Or, sinbsp;i�on appelle 11 Ia force dont les trois composantesnbsp;sont

�(��'-I')-

et d^h la projection du d�placement relatif de sou point d�application sur sa direction, on aura

m{Z-d,

selon que cette projection dji tombera sur la direction m�me de la force H, ou sur son prolongeraent. Done, en conservant H et dji dans Ie premier cas, etnbsp;emplojant L et d^l dans Ie second, on en conclura

= ftWdJi � J-SLd^l;

Cette derni�i'e equation n�est autre chose que l��-quation (l) presentee sous une forme diff�rente. En la comparant a I�equation (rfj, on voit que Ie principenbsp;des forces vives a encore lieu a l��gard des vitessesnbsp;relatii^s des points du syst�me, telles qu�elles ontnbsp;�t� deTinies dans Ie n� 68g, pourvu que 1�on rem-place les forces donn�es P et Q, par d�autres forces Hnbsp;et L, qui dependent des premi�res et du mouvementnbsp;commun du syst�me.

Ce th�or�me est du a M. Coriolis. II peut �tre employ� utilement dans beaucoup de questions �tran-g�res a ce trait� de M�canique rationnelle, et pour lesquelles nous renverrons au m�moire de l�auteurnbsp;sur Ie principe des forces vices dans les mouvemensnbsp;relatifs des machines {*).

694* Le terme JllKdr, qui provient des forces mol�culaires, est le m�me dans les deux �quationsnbsp;(�)et (/); le plus souvent, le terme qui r�pond auxnbsp;frottemens est aussi le m�me dans le mouvement ab-solu et dans le mouvement relatif du syst�me, et nenbsp;change pas, par cons�quent, en passant d�une equation a l�autre; alors, en retranchant la seconde denbsp;ces �quations de la premi�re, on aura

Si les foi'ces P se r�duisent aux poids des diff�rentes parties du sjst�me; que l�on appelle n Ie poids total , et la hauteur verticale que d�crit son centrenbsp;de gravit� pendant Ie temps t, dans Ie mouvementnbsp;commun a tons ses points, il est ais� de voir quenbsp;l�on aura aussi

De plus, s�il n�y a qu�une seule surface r�sistante, et que ce soit, par example, un plan qui se meutnbsp;parall�lement a lui-m�me, on pourra prendre, pournbsp;Ie mouvement commun du syst�me, Ie mouvementnbsp;donn� de ce plan, car il satisfait aux deux conditionsnbsp;du n� 68g : il ne changera pas les distances mutuellesnbsp;des points du syst�me, et il n�emp�chera pas les pointsnbsp;qui sont en contact avec ce plan mobile, de demeurernbsp;a sa surface. D�ailleurs, il est �vident que ce mouvement �tant perpendiculaire au plan mobile, il n�in-fluera aucunement sur les vitesses relatives des pointsnbsp;qui glissent sur ce plan, non plus que sur les tra-jectoires qu�ils y d�crivent; d�o� il r�sulte que Ienbsp;travail resistant d� au frottement contre ce plan, seranbsp;Ie m�me dans Ie mouvement absolu et dans Ie mouvement relatif, corame Ie suppose l�e'quation (m).

Pour simpli�er encore cette equation, je suppose que Ie mouvement du plan resistant soit uniforme ;nbsp;en sorte que tons ses points d�crivent des perpendi-culaires a sa position initiale, avec une vitesse commune, qui sera rendue, par un moyen quelconque,nbsp;invariable et ind�pendante de Faction du syst�menbsp;sur ce plan. Ses composantes v! ^ sgt;', w', seront cons-

A'quot;� nbsp;nbsp;nbsp; -Jr = ^�

Eu d�signant celte vitesse par a, et par ct Tangle que sa direction fait avec celle de la pesanteur, onnbsp;aura aussi

Soit, en outre, Q la pression exerc�e, au bout du temps t, sur la surface enti�re du plan donn�, et dansnbsp;Ie sens de Ia vitesse a. Le travail resistant qui r�-pond a cette force prise en sens contraire de sa direction, c�est-a-dire, a la resistance du plan, seranbsp;�f()adt, pendant la dur�e du temps t, en supposantnbsp;que Tint�grale s��vanouisse avec cette variable. Ennbsp;faisant passer le facteur a en dehors du signe f, nousnbsp;aurons done

La vitesse est la re'sultante de v et de la vitesse a prise en sens contraire de sa direction; si done, orinbsp;repr�sente par s, Tangle que fait la direction de lanbsp;vitesse v avec celle de �, on aura

Les sommes S/wA cos cT et 27necos e expriment, au commencement et a Ia fin du temps t, les quant! t�snbsp;de mouvement de tous les points du sjst�me , dansnbsp;Ie sens perpendiculaire au plan donn�; Ie produitnbsp;cos a est la quantit� de mouvement produite sui-vant la m�me direction par Ie poids n du syst�me,nbsp;pendant la dur�e du temps t; et l�int�grale fQdtnbsp;est la quantit� de mouvement d�truite pendant cenbsp;temps par la resistance du plan donn�. Or, il estnbsp;�vident que cette derni�re quantit� doit �tre �gale anbsp;l�exc�s de la premi�re somme sur la seconde, aug-ment� de la quantit� 11^ cos a; en softe que l��qua-tion pr�c�dente, qui exprime cette �galit�, peut �trenbsp;regard�e comme une verification de notre analyse.

695. Lorsque la vitesse A de chaque point du syst�me se changera brusquement dans la vitesse v, l�action du syst�me sur Ie plan donn� sera une percussion ; pendant sa dur�e tr�s courte , on pourra

n�gliger I�etTet Wt cos a de la pesanteur; et la quantile de mouvement d�truite par le plan sera Texces denbsp;link cos cT sur quot;S-mv cos e.

Si le systeme est un corps solide situ� au-dessus du plan, et qui demeure juxta-pose a sa surface apr�snbsp;le choc, la composante pcos� de la vitesse psera lanbsp;m�me, a cet instant, pour tous les points du corps,nbsp;et �gale a la constante a-, en differentiant I�equa-tion (o) par rapport a �, on aura done

et, en effet, la vitesse du plan �tant invariable, par hypothese, il faut que sa resistance detruise inces-samment les accelerations de la gravite, qui auraientnbsp;lieu perpendiculairement a sa surface; il faut donenbsp;que cette force soit �gale et contraire a la composante du poids n suivant cette direction, et que lanbsp;pression Q soit �gale a cette composante.

Onpeutremarquer que, quand Tangle ct est oblus, la valeur pr�c�dente deQale signe�.Mais onasuppos�nbsp;plus haut que la pression exerc�e sur ce plan �taitnbsp;dirig�e dans le sens de la vitesse a; et, si le contraire avait Hen, il faudrait changer le signe de Qnbsp;dans toutes les equations pr�c�dentes. Or, la pression Q s�exerce efl�ectivement en sens contraire de lanbsp;vitesse a, lorsque Tangle ct est obtus; la valeurnbsp;de Q est done alors � 11 cos a , ou, aulrement dit,nbsp;cette valeur est toujours fl cos a, abstraction faite dunbsp;signe.

servir a determiner la pression d�une veine fluide en mouvement sur un plan AB (fig. 67), anim� de lanbsp;vitesse a perpendiculaire a ce plan, et donl la direction fait, avec celle de la pesanteur, un angle a.

Pour fixer les idees, supposons que Ie liquide sorte d�un vase par un orifice horizontal, et qu�il forme,nbsp;au-dessous de la contraction de la veine (n� 676), unnbsp;cjlindi�e vertical dont tous les points ont une vitesse commune et verticale, que nous d�signeronsnbsp;par y. Supposons aussi que Ie niveau du liquidenbsp;soit entretenu a une hauteur constante dans Ienbsp;vase; ce qui rendra la vitesse y ind�pendante dunbsp;temps.

Jusqu�a une section horizontale CD, faite a une petite distance au-dessus du plan AB, la veine con-servera sa forme cjlindrique et sa vitesse y; ellenbsp;s��tendra ensulte sur ce plan, et finira par Ie d�bor-der. Au bout d�un certain temps, Ie fluide parvien-dra a un �tat permanent, dans lequel la vitesse denbsp;chaque molecule ne d�pendra plus que du lieunbsp;qu�elle occupe, et o� la pression en un point quel-conque du plan AB sera aussi ind�pendante dunbsp;ternps. C�est dans eet �tat qu�il s'agira de d�terminernbsp;la pression totale Q, exerc�e sur la surface enti�renbsp;du plan.

La partie de cette pression due au poids du li-qjuide, sera la composante de ce poids, perpendiculaire au plan AB, defalcation faite de la partie de ce m�me poids, qui est soutenue par les parois du vasenbsp;d�o� Ie liquide s��coule. Comme il sera toujours facile d�y avoir �gard, dans chaque cas particulier.

nous en ferons abstraction, et nous ferons, en consequence, 11:2=0, dans 1 equation (o). II est evident qu�on pourra aussi, dans les sommes quot;Xmk cos jJ' etnbsp;Imv cos �, ne pas tenir compte des molecules du liquide situees au-dessus de CD, puisqu�elles conser-vent toujours la m�rae vitesse, ce qui fait dispa-raitre la difference de ces deux sommes. Enfin, si lenbsp;diam�lre de la veine fluide est tres petit, I�epaisseurnbsp;de la couche liquide sera aussi tres petite, a unenbsp;petite distance autour de I�axe de la veine. A cettenbsp;distance, les vitesses relatives des points de la couche seront sensiblement paralleles au plan AB, dansnbsp;toute I�epaisseur de la couche, ou, ce qui est lanbsp;m�me chose, leurs composantes perpendiculairesnbsp;a ce plan seront egales a a. De plus, cette partlenbsp;du fluide comprise entre AB et CD sera beaucoupnbsp;plus conside'rable que la partie voisine de I�axe de lanbsp;veine, si la surface du plan AB est tr�s grande parnbsp;rapport a la section CD; on pourra done alors prendre a, sans erreur sensible, pour la composantenbsp;V cos g de la vitesse v de chaque point du fluide con-tenu entre AB et CD.

Cela pos�, soit C'D' une auti'e section de la veine fluide, faite au-dessus de CD, et telle que le volumenbsp;compris entre CD et C'D' soit equivalent an volumenbsp;de fluide compris entre AB et CD. Appelons 6 le tempsnbsp;que le premier volume du liquide emploie a traversernbsp;la section CD et a se changer dans le second volume.nbsp;Supposonsque les sommes quot;Emkco% S' et Smecos g, denbsp;lequation (o), etendues a tous les points du secondnbsp;volume, se rapportent au commencement et a la fin

du temps �. Au commencement, tous ces points etaient situ�s au-dessus de CD, et avaient, cons�-quemment, une vitesse y, faisant un angle a avecnbsp;la vitesse a; pour un point quelconque m, on anbsp;done

pour un point quelconque m du liquide contenu entre AB et CD. Si done on appelle fji la masse de cenbsp;liquide, il en r�sultei�a

Imk cos S � ^mv cos � = {y cos a, � a).

D�ailleurs, la pression Q �tant constante, l�int�-grale fQdt est �gale au produit Q0 , pour la du-r�e du temps 0; d�apr�s l��quation (o), nous au-rons done

Solt n Ie nombre de fois que Ie temps 6 est contenu dans un temps t quelconque ; Uf/. sera la masse du liquide qui traversera la section CD pendant Ienbsp;temps t. Ma�s cette masse sera aussi ^cyt, en appelant p la densit� du liquide, c l�alre de la section CD , et observant que y est la vitesse constantenbsp;de l��coulement a ti�avers cette section; on aui�a,

si Ton mulliplie I�e'quation pr�c�dente par n, que Ton y substitue cette valeur de nju^, et qu�on sup-prime ensuite le facteur t, commun a tons ses terraes,nbsp;on a finalement

On devra se rappeler qne cette formule suppose Tangle a aigu; quand il sera obtus, il faudra, commenbsp;on Ta dit plus haut, changer ie signe de Q; en sortenbsp;que Ton aura alors

Ces deux expressions de Q supposent aussi que le plan AB est enti�rement reconvert par la veine fluidenbsp;epanouie sur sa surface; ce qui exige que a. ne soitnbsp;pas un angle droit, et, qu�en general, il s�ecarlenbsp;sensiblement de go�. Quand le mouvement du plannbsp;est vertical, on a a = o, ou a = 18o�, et, conse-quemment,

Q = mb'

le signe sup�rieur ayant lieu lorsque le plan se meut dans le sens de la pesanteur, et le signe inf�rieurnbsp;dans le cas contraire. Si Ton a rt = o, et qub y soit

dx		da	. nbsp;nbsp;nbsp;db		dc
dl	= X,	dt		-.j-	dl*
dj		da'	, nbsp;nbsp;nbsp;db'		dc
dt	= X,	dt			dt '�
dz		dd'	db'	�	dcquot;
dt	= X,	dt			dt�

A LONDRES,

TRAIT�

M�CANIQUE;

PAR S. D. POISSON,

TOME SECOND.

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

1853

TABLE DES MATI�RES

LIYRE QUATRI�ME.

DYNAMIQUE,

CHAPITRE P'. Principe g�n�ral de la Djna-mique, nbsp;nbsp;nbsp;page i

a

TABLE DES MATI�RES.

CHAPITRE IL D�termination des immens dinertis. et des axes principaux,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^ge 4^

a..

TABLE DES MATI�RES.

CHAPITRE III. Du mouvement dun corps solide autour dun axe fixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;77

vi nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

CHAPITRE IV. Du mouvement dun corps solide autour dun point Jixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jtage lai

viij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

TABLE DES MATI�RES. nbsp;nbsp;nbsp;ix

CHAPITRE V. Du mouvement d�un corps solide enti�rement libre^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^79

CHAPITRE VI. Du mouvement d�un corps solide pesant sur un plan donn�,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;207

CHAPITRE VIL Du choc des corps de forme quel-

pag^e 254

siv nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

CHAPITRE VIII. Ejcemples du mouvement d�un corps flexible jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 293

TABLE DES MATI�RES.

TABLE DES MA�I�RES. nbsp;nbsp;nbsp;xvij

CHAPITPrE IX. �quations et propri�t�s g�n�rales du mouvement d�un syst�me de corps,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page SgS

b..

XX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�KES.

LIYRE CINQUI�ME.

HYDROSTATIQUE.

CHAPITRE Notions pr�liminaires, page 5o5

CHAPITRE IL Equations g�n�rales de V�quilibre des Jluides,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page Siy

TABLE DES MATI�RES.

CHAPIl�RE III. De V�quilibre des Jluides pesans,

CHAPlTRE IV. De V�quilibre et du mouvement des corps Jlottans,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page Syg

CHAPITRE V. De la mesure des hauteurs par Vohservation du barom�tre ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;� page 609

xxT�j nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIERES.

CHAPITRE VI. De la force �lastique et de la cha-leur des gaz , nbsp;nbsp;nbsp;�Sy

XXX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATI�RES.

LIYRE SIXI�ME.

HYDRODYNAMIQUE.

�quations g�n�rales du mouvement

page 665

CHAPITRE 11. De la propagation du son, page 693

CHAPITRE ni. Du mouvement des Jluides dans. une hypothese particuliere,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^ge 721

Suppl�ment a Verrata du premier volume.

i86,

4*0.

4*4,

8, x-=.oy lisez

Errata du second volume.

DE M�CANIQUE

LITRE Q�ATRI�ME.

DYNAMIft�E,

SECONDE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

= gixh.

^ = 463�,

V = 495quot;,

(a)

-{- m'v'''

m � u)lt;� _p. m' {u � v'y,

2tt=P-}-.p', V = P�, V'=rp.

r . nbsp;nbsp;nbsp;dx,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dx ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dx'

(� �O-x = quot;�7, �quot; l�� �

CHAPITRE 11.

c = p{-r -tJ�

== � c y/i

flr

2pcx'dx f ^^

B = nbsp;nbsp;nbsp;C=fM(a� �*).

^ nbsp;nbsp;nbsp;^ /o

7 = 0x.

cos� a -f- cos� S -f- cos� y = I, nous avons

jr/ -f- z/,

NOa? = �xj' gt; nbsp;nbsp;nbsp;= lt;p , ZOz^ = � t

(� �O-x = quot;�7, �quot; l��

G = s/Ap -f-

�f = � nbsp;nbsp;nbsp; ��

Cv* B9� Ap* = Z* Z'� 4- Zquot;*;

t v'i-f-�=wd=arc^sin=y/-^^ s/a.^�0*^.