'■■ ■ *. A
‘^i - nbsp;nbsp;nbsp;«1, ‘
-'.■ I* nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\}.
• - 'ï
fcjï.Sixs.-- '
r,',' nbsp;nbsp;nbsp;/
, ■ -:J
t
\
■ 1* l' nbsp;nbsp;nbsp;' •
DER
DOOR
fc'
lloogleeraar in de Wijsbegeerte, JVis-, Natuur- en Sterrelundt te Amfterdam ; J-id van het Koninklijk Nederlandsch InfiittlUtnbsp;van Wetenfckappen, Letterkunde en Kunsten, van denbsp;Koninklijke Academie te Brusfel, en van verfcheidenbsp;geleerde Cenootfchappen: Correspondent van denbsp;Koninklijke Academie van Wetenjchappen,nbsp;te Parijs.
TWEECE, VERBETERDE, EN VEEL VERMEERDERDE DEUK.
TE AMSTERDAM, B IJ
MDCCCXVI.
-ocr page 6-Da veniam fcriptis, quorum non gloria nobis Caufa, fed uttucm affieSumaue fuit,
OviD. Epht. IX. Ex Ponto Lib, III,
-ocr page 7-BI. I vf
XIX
XXXIl
Voorberigt. ... nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
Voorrede van den eerften druk. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
Aanwijzing der Wiskundigen, wier uitvindingen vermeld , of wier fchrifcen, in dit werk , aangehaald worden.
Aanwijzing van Tafels.
Aanwijzing der Mathematifche Werktuigen in dit werk aangehaald.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xxxV
Uitlegging der Teekens die men gebruikt. . xxxvi
Aanhaling der Propofitien van euclides. nbsp;nbsp;nbsp;xxxviii
inleiding. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XLVII
I. BOEK. Over de algemeene eigenfchappen der regte lijnen, zoo wel in zich zelf befchouwd, als innbsp;zoo verre zij de hoeken van driehoeken ennbsp;vierhoeken uitmaken, of derzelver zijden zijn.
Inleiding. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
I. AFDEELiNO. Over de regte lijnen op zich zelv
befchouwd, nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
It. AFDEELINO. Over de zijden en hoeken van drid* hoeken en parallelogranimen *nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
INHOUD.
II. nbsp;nbsp;nbsp;BOEK, 0r den iiihoud van regtlijnige figuren, BL 44
Iiileiding. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELiNG. Over deii inbond van regthoeben
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Over den inbond van driehoeken
en parallelogranimen (*'), nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5^
III. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. OvQic de veelhoekcn. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;76
III. nbsp;nbsp;nbsp;BOEK. Over de evenredigheid. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;86
Inleiding. ... nbsp;nbsp;nbsp;86
I. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Ovet de geometrifche evenredigheid. 98
Bepalingen. nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;58
Vooronderfteiiingan en Axiomata. . nbsp;nbsp;nbsp;109
Eigenfcbappen der geometrifche evenredigheden, m
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Ovcr de arithmetifche evenredigheid. 130
III. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Ovcr dc harmonifchc evenredigheid. 136
IV. nbsp;nbsp;nbsp;-AFDEELING. Over de logarithmen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;145
IV. nbsp;nbsp;nbsp;boek:. Over de gelijkvormigheid der figuren, en
de rede van derzelver zijden en inbonden. nbsp;nbsp;nbsp;156
Inleiding. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;156
I nbsp;nbsp;nbsp;ir-
(^*) Zie op Voorftel XX, het I. Hoofdfluk van het Aanhangfel.
-ocr page 9-INHOUD.
II. AFDEELING. Over lijnen in uiterlle en middelde
rede gefneden. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bl. 187
lU. AFDEELING. Over de gelijk vormige veelhoeken. 193
O
V. BOEK. Over den cirkel. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aoi
Inleiding. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? ao2
I, nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Ovet de lijnen die in, of tot den
cirkel getrokken worden. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;206
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Over de hoeken in den cirkel. aio
214
231
VI. BOEK. Over de veelhoeken in en om den cirkel befchreven. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Algemecne aigenfehappen der veel
hoeken in en .om den cirkel befchreven.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Over dc regelmatige veelhoeken
in en om den cirkel befchreven.
III. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Over de eigenfehappen van eeni-
ge bepaalde regelmatige nbsp;nbsp;nbsp;veelhoeken innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cir*
kei befchreven. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
gaande.
253
-ocr page 10-V. AFEELiNG. Over cJe veelhoeken die door het trekken van diagonalen in en uit andere veelhoeken gevormd worden. .
VII. BOEK. Over den omtrek, en den inhoud van den cirkel.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;....
I. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELiKG. Over d,e limieten der grootheden
en der reden. gt;
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELiNG, Ovt deii otutrek en den inhoud
van den cirkel.
III. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Over de rede van den omtrek desnbsp;cirkels tot de middellijn.
Vin. BOEK. Over het meten van hoeken door cirkelbogen; en het bereekenen van dezelve door choorden, finusfeii, tangenten, en fccanten.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Over hct meten van hoeken door
cirkelbogen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Ovcr het meten en bereekenen der
hoeken en bogen door choorden, fmusfen , tangenten en fecanten. .
iV. AFDEELING. Over de formules voor goniome-trifche lijnen,
X. BOEK. Over de driehoeksmeting.
Inleiding;. nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
269
280
280
I.
-ocr page 11-INHOUD.
L AFOEELiNG. Over de regtboekige driehoeken. BI. 3S2
II. nbsp;nbsp;nbsp;APDEELiNG, Over de fcheef hoekige driehoeken. 3S9
HL AFDEELiNG. Over de oplosling der driehoeken iti bijzondere gevallen, wanneer flechts tweenbsp;hoeken, of zijden, en het verfchil, of de fom,nbsp;van twee andere hoeken, of zijden , gegeven
zijn. , nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;410
/
X. BOEK, Over de ligging en fnijding der vlakken. 434
I. AFDEELING. Over de ligcbamelijke hoeken. 441
III. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING, Ovcr de regelmatige ligcbamelijke
figuren. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;484
XII. BOEK. Over de ligcbamelijke figuren die door
kromme oppervlakten bepaald zijn. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;514
I. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Ovcr den cijlinder, of rol.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;514
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELING. Ovcr den kegel. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;522
IIL AFDEELING. Ovcr dcH kloot, of bol, nbsp;nbsp;nbsp;539
Sedert hei jaar 1790 , dat deze Grondbegiiirds clcr Meetkunde vuor het eerst in t licht verfchentn ^nbsp;zijn er verfcheide werken over de JVisktinde in hetnbsp;algemeen, en over de Meetkunde in V bijzonder, ittnbsp;onze taal uit gekomen ^ die zeer groote^ hoewel zeernbsp;verfchillende, verdienden bezitten. Na deze verklaring zal men mij misfekien vragen., waarom ik dannbsp;niet in die werken berust y en de wereld nog metnbsp;een nieuw boek over de zelfde ftofje bezwaar ? Hetnbsp;antwoord is eenvoudig. Niettegenflaande het aanwezen der zoo even bedoelde werken, en derzelvernbsp;nog fieeds toenemend getal , hebben deze Grondbe-ginfcls een zoo gunstig onthaal genoten dat zij geheel uitverkocht zijn , en de uitgevers 'cenen nieuwen druk daarvan begeerden opteleggen. Ik hadnbsp;te minder redenen om mij daaraan te onttrekken ynbsp;dan ik mij in flaat bevond het werk zeer aanmerkelijk te verbeteren.
Tot die verhet-ering hebben zeer veel toegebragt y vooreerst het gebruik dat ik, gedurende zes-en-twintignbsp;jaren, van dit werk in mijne lesfen gemaakt heb, ennbsp;waardoor ik alle deszelfs zwakke plaatfeny misfehiennbsp;meer dan iemand y heb leer en kennen; ten anderen denbsp;vorderingen die ik zelfy in dien tijd, in de Meetkunde y vooral in het onderwijs daarvan heb gemaakt : vervolgens de aanmerkingen die verfcheide
II
mijner leerlingen mij, van tijd tot tijd, hebben medegedeeld : die, welke ik ontvangen heb, reeds vr lang, vein den voortreff'elijken Wiskundigen, den Heernbsp;o. s. BANGMA, Lid des Koninklijken Nederlandfchennbsp;Inftituuts: daarna van de Hoogleer aren pierson tho-LEN en EKAMA, die dit werk in hunne lesfen gebruiken , en waarvan de eerstgemelde, in V bijzonder, mij zeer veel ter verbetering en uitbreidingnbsp;heeft bezorgd; hetgeen de Heernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lemans , zeer
ervaren onderwijzer in de Wiskunde , en de zoo veel belovende nog jonge beoefenaar der Mathema-tifche Wetenfehappen, de Heer rehuel lobatto mij,nbsp;van tijd tot tijd, hebben medegedeelde eindelijk hetnbsp;exemplaar des werks mij door den jongen Heernbsp;tholen, zoon van den Hoogleeraar, bezorgd, waarin zijn Ed., na heizejve geheel van bladzijde totnbsp;bladzijde te hebben door gewerkt, alles heeft aange-teekend gehad wat verbetering moest bekomen. Aannbsp;allen betuig ik mijnen opregten dank voor deze he-wezene hulp.
Wanneer men er dergelijke ontvangt , valt het niet moei jelijk een werk te verbeteren: en de om-flagtige arbeid die daartoe vereischt wordt, is ernbsp;merkelijk door verligt. Er is bijna geen boek,nbsp;geene afdeeling, of er is verbetering, vermeerderingnbsp;aan toegehre^gt, en verfcheidsne afdeelingen zijnnbsp;geheel op nieuw bearbeid geworden. Het zoude onnuttig zijn, en misjehien wel zoude het als eene
groots-
-ocr page 15-in
VOORBERIGT.
gvootsheidy eene bedekte wijze om mijn 'Werk aan te prijzen y befchouwd kunnen worden y .hidien ik hiernbsp;alle de verbeteringen en vermeerderingen ging optellen. Ik blijf nog bij het gevoelen, door mij vrnbsp;zes-en-twintig jaren in de Voorrede des eerflen druksnbsp;geuit; dat men namelijk der gelijke werken niet moetnbsp;uitgeven om roem voor zich ztlven te verwerven ,nbsp;daar dit uit den aard der zaken onmogelijk is,nbsp;maar enkel om nuttig te zijn.
De Heer Mr. pieter alberts munk, wiens fchran-derheid en cvergroote naauwkeurigheid ik reeds heh heren ketinetiy toen zijn Ed. zich op de Meetkundenbsp;toeleide y heeft de goedheid gehad alle de proevennbsp;met mij na te zien. Om dit met te meerder zekerheid te kunnen doen, heeft zijn Ed. het geheele boeknbsp;van bladzijde tot bladzijde onderzocht en geheel uitga-'nbsp;werkt y waardoor hij in jlaat geweest is mij nog hetnbsp;een en ander mede te deelen. Men zal in het eerfisnbsp;hoofdfluk des Aanhangfels eene zijner gewigtige verbeteringen aantreffen. De Heer Student ris, dienbsp;de Meetkunde vlijtig heeft beoefend y heeft de moeitenbsp;op zich genomen om alle. de figuren zeer naauw-keurig te teekenen, en hij die gelegenheid het geheele werk nategaan: een arbeid waarvoor ik aannbsp;zijn Ed. zeer veel verpUgting heb.
Amferdam,
I JuUj, i8i6.
J. K. VAN S WIN DEN;
VAN DEN
EERSTEN DRUK.
T^oen ik, vr vijfjaren, aan de doorluchtige School dezer Stad beroepen werd, om, onder andere takkennbsp;der IVijsgerige Wetenfchappen, ook de Wiskunde tenbsp;onderwijzen, begreep ik dat het nuttig zoude zijnnbsp;een kort begrip der Meetkunde opteftellen, om daarvan in mijne Icsfen gebruik te maken. Ik gaf hetzelve in het jaar 1786 in het Laiyn in het licht:nbsp;en toen ik vr een jaar begonnen heb, in hope vannbsp;aan een grooter aantal jonge lieden nuttig te zijn,nbsp;mijne lesjen over de Meetkunde in het Nederduitscknbsp;te houden, moest ik ook het gemelde kort begrip innbsp;onze 'moedertaal uit geven. Dan, ik zag wel ras,nbsp;dat ik met eene bloote vertaling, mij zeben ten min-ften, geenszins zoude voldoen: maar dat ik, bij dienbsp;gelegenheid, het geheelc werk merkelijk moest verbeteren , en in alle opzigten volmaken: te meer,nbsp;daar wij in onze taal met hoeken van dien aard,nbsp;flecht voorzien zijn. Hiertoe heb ik noch tijd, meknbsp;arbeid gefpaard. Of het mij heeft mogen gelukkennbsp;een beter en vollediger famenfiel te vervaardigen,nbsp;dan wij tot nu toe gehad hebben, (laat niet aannbsp;v.ij, maar aan den lezer, te beoordeelen.
Ik
-ocr page 17-k zal mi] niet tiitlaten over de manier om de Meetkunde voordeelig te onderwijzen: over den lofnbsp;der Ouden; over dien van euclides in het bijzonder ; over de groote vraag, of men, zoo als eenigennbsp;willen , zijne grondheginfels , zijnen trant, ztjnenbsp;orde, altijd volgen moet? en of het onmogelijk zijnbsp;eene andere orde dan de zijne te volgen, en echternbsp;goede grondheginfels der Meetkunde voor den dagnbsp;te brengen ? over den waren aard van mathematifchenbsp;en wel fynthetifche bewijzen , naar den trant dernbsp;Ouden; en of het niet mogelijk zij dezen ftiptelijknbsp;te volgen , en echter eenige teekens te bezigen dienbsp;zij niet gebruikten ? fVitde ik dit doen , dan zoudenbsp;deze Voorrede een geheel boek uitmaken; doch iknbsp;moet iets zeggen over het doel dat ik mij in dit Werknbsp;heb voorgefeld
Ik heb vooreerst getracht niets weg te laten van den (Irikften bewijstrant der Ouden , waarvan eu-CLiDES en ARCHIMEDES ons zulke voortrefelijke voorbeelden hebben nagelaten, en geene moeite ontzien,nbsp;om zeer naauwkeurige denkbeelden der zaken voornbsp;te dragen; iets, dat op eene zeer aanmerkelijke wijzenbsp;in ds meeste htdenddagf he boeken, dis den naaninbsp;yan Grondheginfels der Meetkunde dragen, verwaarloosd wordt. Den geest te vormen, denzclven aannbsp;die naauwkeurighsid van denkbeelden , aan diennbsp;flrikten redeneertrant, aan die volmaakt aaneenge-fchakelde bewijzen, te gewennen, is een der hoofd-
VI
voorwerpen, welke men zich in het onderwijzen der Meetkunde voor oogen moet ftellen: eene der voor~nbsp;naamfle redenen, die de jonge lieden moeten aanzet'nbsp;ten om dezelve te leeren. ,-gt;Enr is j zegt te regt (*}nbsp;quintilianus , in de Meetkunde een gedeelte datnbsp; voor de jeugd nuttig is: want het verjiand wordtnbsp;,, er door geoefend, de geest gefcherpt; de fnelheiinbsp;,, in de bevatting fpruit uit dezelve voort: ja zelfsnbsp; de Meetkunde is nuttig, niet, zoo als de anderenbsp;j, konjien, wanneer men ze verflaat, maar ook zelfsnbsp; wanneer men ze leert.quot; En het is juist datnbsp;deelte , dat gewigtigs gedeelte , dat men verwaarloost., wanneer raen iets van den ft rikt en rede meren bewijstrant der Ouden achterwege laat, ondernbsp;yoorwendfel van de zaken bevattelijker voorteftellcn ^nbsp;of aangenamer te maken (f).
Het is om de oefening van het ver ft and., het fcher-pen van den geest te bevorderen, en dezen die buigzaamheid te doen verkrijgen., waardoor hij ziek., zoo wel tot het bevatten der waarheden, ah tot het
op-
(*') Inflit. Or at. Lib. I, Cap. io.,S. 8.
(f) De groote Wiskonftenaar la grange, (in 1813 overleden^ aan wien de dnat^fis zoo veel te danken heeft, getuigde echter van zich zelveu: J'avais Join de revenir frquemmtntnbsp;,, auy: confidrations gomtriques, que je crois trS'prepres Anbsp; donner au jugement de la force et de la nettetquot; Zie Zeit-fehrift filr dstronomie von b. VON lindenau und c. boiinen.nbsp;iSRCEB- l* band, bU 114.
-ocr page 19-VII
oplos fen der Werk ft ukken, hekwaant tnctukt, dat ik op verre de meests plaatfen alleen de gronden, vaar*nbsp;op de bewijzen der Voorftellen fteunen^ heh aange-ftipt ^ en de Werkftukken van de Voorftellen ^ (Theo-remata), of Leerftukken, afgezonderd heb. Ik bedoelnbsp;door het eerfte, de jonge lieden aan te zetten om denbsp;bewijzen zelf op te maken i het geen hun te mindernbsp;moeijelijk zal vallen, daar ik alle de Voorftellen ,nbsp;die zij daartoe noodig hebbest , heh aangehaald innbsp;die orde, in welke zij in het bewijs moeten voorko-men. Ik heb die aanhalingen meer of minder wijd-loopig gemaakt , naarmate zulks mij noodig voorkwam. vooral voor die Voorftellen, welke ik niet gewoon ben in mijne lesfen uitteleggen en te bewijzen,nbsp;en die met eene kleine letter gedrukt zijn. Veelalnbsp;heb ik dan het bewijs er gehe l bij gevoegd, inzost-derheid op de moeijelijkfte plaatfen. Ik denk dat denbsp;jonge lieden , en andere liefhebbers der Meetkunde,nbsp;hierdoor een ruim veld van befpiegelingen en arbeidnbsp;zullen bekomen. De aanhalingen van euclides ennbsp;eenige andere fchrijvers zullen den lezer in (laatnbsp;ftellen, die fchrijvers te raadplegen, hunne maniernbsp;van betogen met de mijne te ver gelijken , en daardoor een beter begrip vast de zaken te verkrijgen (fj. Wanneer men in een boek altijd het bewijs
bij
(') Ik heb in dezen tweeden druk , behalven euclides , beflendig steenstra en le gndre aangehaald voor die Voor-
VIII
hl] het Voorftel ciantreft , werkt de geest niet om het bewijs te vinden , maar blijft ten dien opzigtenbsp;geheel werkeloos. Wanneer een dergelijk boek totnbsp;onderwijs dient, kan de onderwijzer bijna niets doen,nbsp;dan mondeling het zelfde bewijs herhalen. Ik hebnbsp;dus., ook om die reden., verkozen., daar toch mijnnbsp;boek gefchikt is om in mijne lesfen door mij uitgelegd te worden, de bewijzen achterwege te laten,nbsp;dezelve in tegenwoordigheid mijner toehoorders uitnbsp;de aan geflipte gronden optemaken, en over derzelvernbsp;aard 'en voortgang verfcjieidene Aanmerkingen er bij
te
fTeen , welke bij deze fchrijvers gevorden worden, als zijnde Junine werken tlians wei bec meest in gebruik: arcuimedes ennbsp;anderen w'orden hier en daar aangeceekend. Bij enkele voordellen zal mij de aanhaling van dezen of genen fchrijver, diennbsp;ik geraadpleegd heb, ontglipt zijn: en het zoude mij leednbsp;doen' indien men waande dat ik die voordellen, waar bij mennbsp;geen aanhalingen aamreft, als van mij afkomftig wilde doennbsp;doorgam. Ik geef gaarne ieder wat hem loekomt: en mijnbsp;Icotntjin dit werk, behalve de fchikking, veelligt al zeer wei-jiig toe. Ik beaam geheel het gezegde van plinius (Hist. Nar.nbsp;Lib. I.) Auctorum nomina prnetexui; est enim henignum, ntnbsp; arhitror,et plenum ingenui pudoris fateri, per qtios profeceris,nbsp;,, non ut plerique cx iis quos attigi, fecerunt,quot; waar bij hijnbsp;van de fchrijvers die hij aanhaalt dit voegde: Scito enim con- j'erentem auctores stie deprehendisfe a juratisflmss et proximisnbsp; yeteres transcriptos ad verbum, neqv.e nominatos.quot; Ten zelfden einde dient de aanwijzing der fchrijvers en der boeken,nbsp;die in dezen tweeden druk vollediger is dan in den eerden;nbsp;ook met jjijvoeging van den leeftijd der Wiskundigen die aan.nbsp;gehaald worden.
-ocr page 21-IX
te voegen : eene handelwijze , waarbij ik mij zeer wel bevonden heb.
Ik herhaal het: men kan de leerlingen niet genoeg aanzettenom zelve te werken., zelve iets optc-fiellen: bij gebrek van die voorzorg worden niti z,eU den de beste geesten verdoofd., of ten minften tragernbsp;dan zij anders zouden geweest zijn (1). Hieromnbsp;heb ik de IFerkfiukken van de Foorflellcn., dat is jnbsp;het werkdadige van het befchouwende gedeelte afgezonderden achter ieder Foorflel aangeftiptwelknbsp;IV:rkftuk men alsdan in ftaat is optelosfen. Ik laatnbsp;dus die IFerkftukken dr de jonge lieden zelve op-losfen en bewijzen , en hefteed eenen dag der wecknbsp;om hunne oplosfingen natezlen. Ik heb mij uitllbmenAnbsp;wel bij die handelwijze bevonden, en mij meer dannbsp;eens verwonderd over de vaardigheid die de leerlingen in korten tijd in dit ftuk verkrijgen. Einnbsp;delijk, het is ook om die zelfde reden, dat ik meer.nbsp;dan ps in Gevolgen, of Aanmerkingen, heb doennbsp;opmerken, hoe men ne en de zelfde zaak uit ver-fchillende grondbeginfels kan bewijzen. Alle bewijzen, mits zij rigtig zijn, zijn wel voor den Wis-konstenaar, maar niet voor den Wijsgeer, van ge-
lij-
La grange, zeide ook: L'esprit est paresfeux, il faut ,, prvenir fa lachet naturelle et Ie tenir en haleine pour ennbsp; developper toutes les forces, et les avoir prtes au be join, linbsp;,, n'y a que Vexercice pour cela.quot; Ib. p. ii6.
-ocr page 22-lijke waarde. Deze houdt die voor de beste., welke meer regtfireeks uit den waren aard der voorwerpen afgeleid zijn. Het Theorema van pythagoras,nbsp;bij voorbeeld, over den regthoekigen driehoek, kannbsp;bewezen worden in den trant van euclides , zoonbsp;ah wij zulks in het i6 Voorjlel van het ii Boeknbsp;gedaan hebben, of ook, veel korter eh gemakkelij'nbsp;her, uit de leer der gelijkvormige driehoeken worden afgeleid (^IF. 15. Aanmerking 3.).- doch hetnbsp;eerfe komt mij voor, wijs geer ig gefproken, het bestenbsp;te zijn. Ik laat nimmer eenige gelegenheid voorbijnbsp;gaan, van der gelijke bijzonderheden aan mijne Toehoorders te doen opmerken.
Ik heb, ten tweeden, getracht, dit werk in eene bekwame orde te fchikken, en de verfchillende foor-ten van voorwerpen, zoo veel mogelijk, afzonderVjknbsp;te befchotiwen. Het heeft niet weinig moeite gekostnbsp;om Zttlks te verrigten zonder eenige gaping. Hetnbsp;kwam mij voor h^t beste en gefchiktfe te zijn, denbsp;regte lijnen afzottderlijk te befchouwen, zonder der-zlver eigenfchappen uit die der driehoeken te moeten afleiden; en dan eerst tot de driehoeken over tenbsp;gaan : de regtlijnige figuren af te handelen, alvorens over den cirkel te fpreken, enz. Men klimtnbsp;dus indedaad trapswijze en in eene geregelde ordenbsp;op. Het derde Botk, dat over de evenredigheidnbsp;handtlt, behoort niet tot de Meetkunde, ah zoodanige befchoitwd, maar meer tot de Rekenkunde, of
tot
-ocr page 23-XI
VOORRED E.
m de Algebra, of Stelkurde. Dit Boek maakt dus eene foort van tusfchenpozing , even als zulks bijnbsp;EUCLiDEs voor zijn vijfde Boek plaats heeft^ Mis-fchien hadt het beter geweest het zelve vooraan , alsnbsp;eene Inleiding y te plaatfen. Die in dat gevoelennbsp;fiaat, kan zulks doen: maar ik heb ondervonden^nbsp;dat het denkbeeld van rede en evenredigheid, hoenbsp;eenvoudig het indedaad ook zij, echter den leerlingen altijd moei jelijk voorkomt y en ik heb dus beternbsp;geoordeeld door de twee eerfte boeken hun yerftandnbsp;allengskens aan het befchouwen van afgetrokkennbsp;denkbeelden te gewennen. Die moeijelijkheidy welkenbsp;zij in de befchouwing van rede en evenredigheidnbsp;aantreffen, is, zekerlijk, voor een groot gedeelte,nbsp;hieraan toetefchrijven, dat men , in de rekenfcho-len y dit denkbeeld bijna in het geheel niet y oftennbsp;minften zeer gebrekkig y ontvouwt y hoewel bijna alles in de rekenkunde daarop rust.
Ik had na het II. Boek onmiddelijk het V. kunnen l(iten volgen y en dan het XII. en XFII. Foor-ftel alleen op de wijze van euclides kunnen bewijzen: en dit had ik ook in het eerje befiek van dit Werk gedaan: maar ik heb dit naderhand veranderd, om dat men dan buiten jaat is van gewagnbsp;te kunnen maken van de rede in welke' de verfchil-lende lijnen in of tot den cirkel getrokken elkandernbsp;fnijden; dat is van het I. en II. Gevolg van het XII. ennbsp;van het II., III. en IF.Gevolg van het XFII. Foorftel,
en
-ocr page 24-XII
en van het XIII. Voorftel; 'ivac.rvcin men eok s^een %'oord bij isuclides aantreft. Ik heb dus verkozennbsp;den cirkel geheel in het F. Boek, na* de Itere dernbsp;gelijkvormige driehoeken en regtlijnige figuren, dienbsp;in het IF. Boek begrepen is, aftehandelen: dochnbsp;niets belet, dat iemand onmiddelijk, na dat hij hetnbsp;II. Boek ten einde gebragt heeft, die ft ukken vannbsp;het F., welke niet van het IF. afhangen, befiudeerc,nbsp;zoo hij zulks begeert.
Het laatfie d it ik bedoeld heb is een veel vollediger fainenfiel voor den dag te brengen dan tot hier toe gefchied is. De grootfie voorfianders vannbsp;ECLiDES kunnen niet ontkennen , dat er niet allesnbsp;in EucLiDEs gevonden wordt wat men thans volftrektnbsp;noodig heeft am, of zich tot de praktijk van danbsp;Meetkunde bekwaam te maken, of tot de Natitur-en Sterrekunde ove-rtegaan. Men vindt niets overnbsp;de inhoudvinding der figuren; niets, of bijna niets,nbsp;over de Theorie der veelhoeken; niets over de redennbsp;van den omtrek van den cirkel tot den diameter;nbsp;niets over de driehoeksmeting '; niets over de fchoonenbsp;ontdekkingen van aiichimedes (ftie eerst 2 jarm nanbsp;EUCLIDES leefde') omtrent den cylinder, kloot en ke-gc4: enz. zoo dat , na euclides afgehandeld tenbsp;hebben, nog dat alles uit andere boeken moet ontleen en Zij kunnen niet ontveinzen dat men van danbsp;dertien, of vijftien, hoeken van euclides, thans alleen de zes eerfte, het XI. en XII, gebruikt: het
VU,
-ocr page 25-xin
VII, VIII y IX en Xy over (laat, om dat mzn die fioffe thans anders behandelt: het XIII, XIV ennbsp;XVy deels om. dat men ze minder nuttig acht, deelsnbsp;om dat men ze op dien trant als euclides ze behandeld heeft niet verflaan kan zonder het X Boek,nbsp;dat zeer moeijelijk is, volmaakt te verflaan. Dienbsp;Boeken zijn echter in hunne foort vooral niet minder fraai dan de acht welke men gebruikt: het X.nbsp;komt mij voor een meesterfluk te zijn. Geeft mennbsp;dan toe, dat er eenige flukken zijn die men beternbsp;kan, of anders mag, behandelen dan euclides gedaan heeft, waarom ook dan niet aan zijn geheelenbsp;Pelfel alle verbetering en vermeerdering toegebragtnbsp;die 'men nuttig oordeelt ? Ik heb dus niet ge-fchroomd zulks te doen: en men zal zien dat, ooknbsp;uit dat oogpunt befchouwd , mijn werk vollediger isnbsp;dan de meeste , zoo niet alle, de hedendaagfchenbsp;Grondbeginfels der Meetkunde die mij bekend zijn,nbsp;daar ik in hetzelve niet alleen eenige Voor feilen uitnbsp;het VIIy VIIIy IX en X Boek, maar ook het geheels XIII, XIV en XV Boek van eclides ingc-lascht, en zoo kort en duidelijk als mij mogelijk was,nbsp;bewezen heb.
Er zijn hoven dien vele nuttige Voor feilen die niet hij eclides maar wel in andere elementaire'nbsp;werken gevonden worden: er zijn er, die menin geenenbsp;der laatstgemelden, maar elders verfpreid, aantreft,nbsp;en waarvan echter diet gebruik^ zeer aanmerkUjk is,
voor-
-ocr page 26-XIV
VOORREDE.
vooral In de Natuurkunde. Ik heh geoordeeld die alle in mijn werk te moeten brengen. En zeker,nbsp;indien ik niet gevreesd had hetzelve veel te om-fiagtig te maken., en getwijfeld of het wel genoegzaam in den tegenwoordigen fmaak valt., zoude iknbsp;het nog veel vollediger hebben kunnen maken. Hoenbsp;dikwerf heb ik, de Verhandelingen van verfcheidennbsp;Acadetnin , de werken van pappus , vieta, snel-Lius en anderen, vooral de geometria fublimior vannbsp;KRAFFT ter dezer gelegenheid nagaande, niet metnbsp;leedwezen vele fchoone fiukken achterwege gelatennbsp;om niet te breedvoerig te zijn ? en hoe dikwerf hebnbsp;ik niet gewenscht dat eenmaal iemand de moeite opnbsp;zich nam , om alle de Mathematifche Foor (lellen,nbsp;die in honderde boeken wijd en zijd verfpreid liggen , in n ligchaam te verzatnelen? dan zoudennbsp;wij eerst onzen rijkdom in de Meetkunde kennen:nbsp;en daar men, met alle die Voor (lellen in n geregeld ligchaam te brengen, en het eene uit het andere te bewijzen, wel hier en daar eenlge gapingnbsp;zoude befpetiren, zoude deze, zoo als ook de be-fchouwing zelve van dien voorraad, aanleidingnbsp;tot het ontdekken van Vele tiieuwe eigenfehappennbsp;geven.
Ik zal hier alle de bijzondere Voor (lellen die ik in het I. en II. Boek heb ingelascht niet optellen;nbsp;doch alleen melden dat ik meen de leer der evenredigheden vollediger dan gewoonlijk gefchiedt behandeld
-ocr page 27-XV
deld te hthhen: dat ik mij niet herinner dat men iets van belang over de harmonilche evenredigheidnbsp;in onze taal aantreft, en dat dit jiuk, hoe nuttignbsp;ook in de Natuurkunde, bijna nimmer aangeroerdnbsp;wordt: dat ik ^ zoo wel in het IF, Boek QXF. Foorftmnbsp;Gev. 4. en 5.) als in het F. (^XFII. Foorft. 3. en 4.nbsp;Gevolg') het modige gezegd heb tot het verftaan ennbsp;quot; beordeelen van het vraagfiuk om twee middel-evenredige lijnen te vinden (I''): dat ik in het Fl. Boeknbsp;de geheele leer der in- en omgefehreven veelhoekennbsp;veel vollediger behandeld heh dan tot nu toe gedaannbsp;is: dat ik in de IF. Afdeeling, in het XXIF. Foor-fiel en vervolgens , het fchoone ft uk dat de Heernbsp;hennert in de Ferhandelingen der Haarletnfchenbsp;Maatfchappij over dit onderwerp heeft uitgegeven.,nbsp;tot zeer eenvoudige bewijzen heb gebragt , die iknbsp;den lezer verzoek met de algebraifche bewijzen vannbsp;dien Hoogleeraar te vergelijken : dat ik de fchoonenbsp;ontdekkingen van huygens , snelliqs , ludoef vannbsp;geulen , DU FAY, SAURiN, die bijna in vergetelheidnbsp;geraakt zijn, en zich in boeken bevinden die mennbsp;naauwlijks meer leest, om derzelver nuttigheid ennbsp;fraaiheid heb opgegeven : en dat de F. Afdeelingnbsp;bijna geheel ttieuw, is.
Ik
(*) In deze tweede druk is daarover in het III. Boek der Werkftukken, VVerkft. 9, Aanraerk. 2. zeer breedvoerig gehandeld: gelijk mede in het I. Boek, Werkft. 17 Aanm., over hetnbsp;fnijdeii van hoeken in drie deele.
-ocr page 28-XVI
Ik heb in het VII. Boek met de leer der Limieten begonnen; iets waarover wij in onze taal niets bezitten : die leer is het eenige middel om de Voor-fellen die de rede van den omtrek des Cirkels totnbsp;den diameter^ den inhoud van den Cirkel^ van Py.nbsp;ramiden , Cylinders, Kegels, Spheeren , betrefen,nbsp;met naauwkeurigheid te bewijzen. Ook hebben^ zoonbsp;wel ARCHIMEDES EucLiDES , die Ucr ^ meer ofnbsp;min, ingewikkeld, gebruikt. Zij is bovendien denbsp;eenige grond waarop de hereekeningen der hooge Ma-thefts rusten , indien rnen deze naar behooren wilnbsp;verklaren, en niet tot het onnaauwkeurig en ganschnbsp;onmathematisch denkbeeld van oneindig groot en oneindig klein zAjne toevlugt nemen.
Ik heb verder in het VII. Boek de ontdekkintien niet alleen* van archimedes, maar ook van snellIusnbsp;en huijgens, die tnen nergens dan in de buiten gebruiknbsp;geraakte fchriften van die fchrijvers aantreft, opgegeven en bewezen.
Het VIII. Boek behelst verfcheiden ftukken die men doorgaands in andere boeken van dezen aard nietnbsp;aantreft: ik heb in de IL en vooral in de V. Afdee-ling meest alles uit het uitmuntend werk van dennbsp;Heer cagnoli ontleend: over het onderwerp van denbsp;V. Afdeeling was nimmer in onze taal gefchreven.
Het IX. Boek, of de Trigonometrie, is veel vollediger dan men ze immer, op den Heer cagnoli na, dien ik meest gevolgd heb, behandeld heeft.
In
-ocr page 29-XVII
In het XI. Beek is de Uer der regelmatige Hg. chanien in vele opzigten op eeneri geheel nieuwennbsp;trant behandeld^ zoo als ook in het XII. de leer dernbsp;infchrijving van die zelfde ligchamen in den kloot:nbsp;waardoor ik in (laat gefield ben om het geheele XIILnbsp;XIF. en X(d. Boek van euclides uitteleggen, zon-der het X. van dien Schrijverdat ongemeen moel-jelijk is, te gebruiken: welke flukken, dus allen bijeen verzameld, in geen der mij bekende werken gevonden worden.
Be Lezer oordeele dan uit het gezegde t en nog meer uit het werk zelve, of en in hoe verre hetzelve genoegzaam volledig, of vollediger dan andere,nbsp;kan genoemd worden. Het komt mij VOor, ZOO Welnbsp;voor meer als voor min gevorderden gefchikt te zijtnbsp;Het geen met groote letters gedrukt is maakt opnbsp;zich zelve een geheel famenflel van de meest nood-,nbsp;zakelijke Voorflellen uit. Men kan in den beginne,nbsp;hst overige, dat met kleine letters gedrukt, en vooi\nbsp;meer gevorderdej gefchikt is, overjlaan.
Ik wensch dat ik met dit werk, zoo wel den leerlingen die mij tot hunnen leidsman in de Meetkun-, de verkiezen, als mijnen landgenooten, beminnaarsnbsp;dier edele JVetenfchap, dienst heb mogen doen: ditnbsp;is mijn eenig doelwit met het uitgeven van hetzelve-geweest^ geenszins om roem voor mij zelven te behalen. Ik weet dat daartoe in deze eeuw, en meer
XVItl
VOORREDE.
bijzonder in dit tijdvak der tVetenfchappen ^ Werken van eenen geheel anderen aard vereischt worden.
Ik betuig openlijk mijnen hartelijken dank aan mijnen vriend den Heer pieer niewland. Lectornbsp;in de Wis Sterre- en Zeevaartkunde aan denbsp;Doorluchtige Schole dezer Stad (*), voor de moeitenbsp;die hij genomen heeft om, niet alleen de proeven,nbsp;maar ook het geheele Werk, alvorens het 'ter persjenbsp;ging 7 nategaan , en zoo wel de proeven van velenbsp;drukfeilen als het Werk zelve van onnaauwketirig-heden te zuiveren, en met gewigtige aanmerkingennbsp;te verrijken.
Amfterdam i8 Julij i/po.
{p') Sedert, te weten in 1793, Hoogleeraar te Leyden, alwaar hij tot overgroot nadeel der Wetenfchappen, den 14 November 1794, in den bloei zijner jaren, is overleden. Zie mijne lijkreden over dien verdlentlelijken man, in 1795, te Amfterdam, bij den uitgever van dit werk, in t licht verfchenen.
r
DER.
WIER. UITVINDINGEN VERMELD, OF WIER SCHRIFTEN, IN DIT WERK, AANGEHAALDnbsp;WORDEN.
Adriaah anthonisse , uitvinder van die rede der middllijti tot den omtrek des cirkels , welke onder den naam vannbsp;WETis gaat, wordt aangehaald bl. 305.
Alembert, (jdquot;) Mlanges de Littrature ^iUUtoire etdeVhilofo phie^ 1763. 8*. 5 vol. Wij hebben dit werk van dezennbsp;Zoo beroemden Wiskundigen, die in 1783 overleden is, meernbsp;dan eens aangehaald wegens de uitmuntende aanmerkingennbsp;Welke in het zelve gevonden worden , over den aard der Ma-thematifche bewijzen, en der Grondbegiufeleu door fommigennbsp;gebruikt.
Apollonius pergaeus leefde twee eeuwen vr onze tijdre kening: de beste druk zijner werken is die, welke in hetnbsp;Grieksch en in het Latijn door iialley is uitgegeven, ondernbsp;den tijtel van apollonii pergaei Conkorim Libri Octo, etnbsp;SERENi de fectione Coni et Cylindri Libri duo, Oxonii 1710,nbsp;fol. Er is ook eene uitgave apoelonii pergaei Conica,nbsp;cum PAppi Lemmatibiis, curd commandini, Bononiae 1566,nbsp;lol. en eene van richardus , Antverpiae 1615, fol. Zienbsp;verder carrow.
Arciiiaiedes bloeide in de derde Eeuw vr onze tijdrekening, en verloor, op eene ongelukkige wijze, zijn leven in het jaarnbsp;212. De beste druk der werken van dien grooten man isnbsp;ARCiiiMEDis quae fuperfunt omnia, cum etocii Ascalonitatnbsp;couimentariis, curd jos. torelli Gr. Lat. Oxonii 1792. fol.nbsp;Tot den tijd dat deze druk verfcheen, was de beste archi-medis Opera quae extant illiistrata per d. rivaltum, Pa^nbsp;riliis 16:5. folio. De Voorftellen zijn in het Grieksch en innbsp;het Latijn: de bewijzen, die van rivalTus zijn, alleen innbsp;het Latijn. Zie verder barrow.
Pryrard heeft eene uitmuntende franfeh vertaling der werktn van archimedes bezorgd, onder den tijtel van
.? fl nbsp;nbsp;nbsp;Ora*
-ocr page 32-Aanwijzing der Wiskundigen,
Oeuvres ^Archimede, Paris 1807. 4quot;. Plij heeft er zeer goede aanteekeningen bijgevoegd, mitsgaders eene zeer belangrijke verhandeling over den BrandfpUgel van Archimedes en eene overheerlijke verhandeling van delambre overnbsp;de Rekenkunde der Grieken.
j. c. STURMius heeft eene goede [loogduitfche vertaling der werken van archimedes, te Nurenberg in 1670, bezorgd:nbsp;zij is met goede aanmerkingen verrijkt.
Benige Bukken van archimedes zijn afzonderlijk met aan-teekeuingen uitgegeven geworden: onder anderen: aduiani
EOMANi in ARCHiMEDis CirciiH dimenfiomm expofaio et ana~ lijfis 1 l'Furceburginbsp;nbsp;nbsp;nbsp;folio,
Tacquet heeft achter zijne uitgave van euclides de be-langrijkllc voordellen van archimedes gevoegd, onder den tijtel van Selecta ex arciiimede Theoremata
BangMa , (jo. s.) heeft verfcheide nuttige werken uitgegeven: hier wordt aangehaald Inleiding tot de Algebra , 8. Amib, i8ii.
Barrow (isaac) heeft te zamen in n deel uitgegeven ar-CiiiMEDis Opera, apollonu Conkorum, LibrilV, Theodosii Sphaerica , Londini id/S- 4* De bewijzen zijn van bar-row, en zoo kort en duidelijk als mogelijk was, voorge-fteld. Barrow is in 1677 overleden. Zie verder op euclides.
Beaufort nbsp;nbsp;nbsp;wordt aaiigehaald bl. 72. mj is in 1728.
overleden.
Bernouilli, (jacob) van dezen groeten Wiskundigen, in 1705 overleden, wordt alleen aangehaald het 3de gedeelte zijnernbsp;beroemde Poptiones de feriebus iupniiis, herdrukt in zijnenbsp;Opera, te Geneve in 1744 enz. uitgegeven.
BlON, Trait de la conftruction et des principaux ufags des Inprumens de Mathmatiques, Paris 1725. 4. Er zijn ver-fchejde drukken en vertalingen van dit vrerk , waarvan denbsp;fchrijver in 1733. in hoogen ouderdom overleden is.
BosCOVISCH, CnoGERiusj Voquot;jage Gographique et AJironomiqtie pour la tnefure de deux degrez du Mridien, Paris 1770. 4.nbsp;tiet oorfpronkelijke js te Rome in 1755 in het Latijn uitgekomen. Deze groote Wiskundige is in 1787. overleden.
Cagnoli, Trait de Trigonomtrie, rectiligne et fphrique, traduit de l'Italkn, Paris 1785. 4'- Er is een tweede druk van 1807. Een der fchoonlle werken mij over dit onderwerp bekend: vooral voor de toepasfing der beide driehoeks-metingen , op de Landmeetkunde, de Algebra, ennbsp;de Sterrekunde. Ik heb veel uit hetzelve ontleend in denbsp;5. Afdeeling van het Vil, en in de 3. van het IX. Boek.
Cail-
-ocr page 33-XSl
Caii-le, (de la) Le(ons de Mathmatiques, Paris 1755. S* Lefons d'Ajironomie, Paris 171. 8. De Schrijver^ wordenbsp;in di: werk meestal door de Letters l. c. aangeduid: hijnbsp;heeft verfclieide andere werken, ook Lef ons de Mcaniqaenbsp;en Lef ons d'Optique, uitgegeven, die alle kenmerken vannbsp;s mans netheid en juistheid dragen, cu is in 1761 overleden.
Chapelle, (de la) hiftitutions de Gomtrie ; dit werk-wordt bedendig in de eerde Afdeeling van het VII. Koek sangehaald: en nog eens in- het IV.
Cartesius, of DESCARTES. Zijne Gomtrie, die in dit werk aaiigehaald wordt, is in 137 i het Fransch uitgekomen,nbsp;en heeft eene geheele verandering in het behandelen dernbsp;Mathematifche Wetenfehappeen te weeg gebragt. Vele z^nnbsp;de vertalingen en de uitgaven. De beste is in het Latijnnbsp;CAUTEsn Geometria ciim Coinmentariis francisci van schoten; Ed. 2. Amd, 1659. 4quot;. 2 deelen: en in het Franschnbsp;Gomtrie de Descartes avec un Commentaire par rabel,nbsp;Lyoii 1730. 4.
Castillon. (jean de) Een allezins uitmuntend Wijsgeer en Mathematicus, door vele verhandelingen en werken beroemd , en die geheel met den geest der oude Wiskundigennbsp;doordrongen was, is in 1791 in zeer hoogen ouderdomnbsp;overleden. Hij wordt hier op verfcheide plaatfeu aangehaald,
Cavallieri (isonaventura) door vele werken bekend en in 1647 overleden, wordt hier bl. 356 aaiigehaald,
Clavis, Geometria practica, Mogunt 1606. 4^. Zie verder op euclides. Alle de werken van dezen te regt beroemden man, die in 1613 overleed, zijn in vijf deelen innbsp;folio uitgegeven.
Clerc, (sebastien le) Gomtrie fur Ie papier et fur Ie terrein, 8. De drukken en vertalingen van di: werk zijn zeer menigvuldig.
Commandinus, (fredericus) uitgever van verfcheide werken van oude Wiskunftenaars, en zelf een voornaam Widcundigenbsp;in zijnen tijd, wordt door ons bl. 355 aangehaald. Hij is innbsp;571 overleden.
Croix, (la) Elmens d'Algbre: 9 Ed, Paris 1811. S'.
CNN, (samuei.) Conflruction and ufe of the Sector, London 1722. 8,
Delambre , Mthodes analytiques pour la dtermination d'un are du Mridien, Paris i/99- 4'* Veie zaken, daarin ont-
?*3 nbsp;nbsp;nbsp;wik*
-ocr page 34-XXII
wikkeld, zijn breder verhandeld in het doorwrochte werk des zelfden uitmuntenden Schrijvers, Bafe du Systme mtrique ^
jParis, 3 vol. 4^. Zie verder op archimedes en ptole-MAEUS. jibrg dquot;Alironomic, Paris 18)3. 8quot;.
D^pARcn^ux, Nouveaux Traits de Trigonotntrie, avec un trait de Cnonotnique y Paris 1731. 4'. Deze Schrijver is in 1768nbsp;overleden.
Descartes. Zie cartesius.
Dinostrates , welke 370 jaren vdr onze tijdrekening leefde, wordt VII. 2. Aanm. 6. .langehaald wegens het vinden van eeue regte lijn gelijk aan den omtrek eens cirkels,nbsp;door middel van zekere kromme lijn Oiiadratrix genoemd,nbsp;door hem uitgedacht, of ten minden , daartoe dienftig gemaakt.
Eratosthenes , een beroemd Grieksch Mathematicus, die 240 jaren vr onze tijdrekening leefde, wordt in het IX.nbsp;Werkftnk van het III. Boek aangehaald, wegens zijne op-losfing van het vraagflnk, om tusfchen twee gegeven lijnennbsp;twee middel-evenredige te vinden.
Euclides. Zeer calrijk zijn de uitgaven der Grondbeginfels van dezen uitmuntenden Griekfchen Wiskunftenaar, welkenbsp;drie eeuwen vor onzo tijdrekening leefde, en zich, inzonderheid door dat werk, oenen onfterfelijken roem verworven heeft. Deze Grondbeginfels beftaan uit XV Boe.nbsp;ken, hoewel er hoogstwaarfthijnlijk, om niet te zeggennbsp;zeker, maar Xill. van euclides zelvenzijn: en het XIV. ennbsp;XV., met reden, aan hypisicles worden toegefchreven. Denbsp;meeste uitgaven bevatten alleen de zes eerfte Boeken metnbsp;het elfde en twaalfde. Zoodanige zijn in onze taal die vannbsp;DOUW, COE.TS, LABORDUS, W4RIUS, cnz.: docll C. J. VOOGTnbsp;heeft in 1695 de 15 Boeken uitgegeven. Zonder mij overnbsp;de waarde van die uitgaven uitcelaten zal ik alleen zeggen,nbsp;dat de volgende mij de beste vrgekomen zijn, te weten:
Eclidis quae fuperfunt omnia, ex recenjione davidis gre-goRII, Gr. Lat., Oxonii 1703. fol. EUmentorwn euclides Libri XV. curante baerWAN, Lipfiae 174.3. 8. De Schrijver heeft den trant en de kern der bewijzen van euclidisnbsp;behouden , doch dezelve zoo kort mogelijk voorgefteld.nbsp;Kuclidis Elementorum, Libri XV. breviter demonjlrati abnbsp;rsAACo liARROW, Catttabrigitie 1655. 12. De Data van euclides , door barrow uitgegeven, zijn bij fommige drukken dernbsp;Element a gevoegd. Euclidesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Libri XV.aucto-
re c. CLAvio, Francforti 1607. Deze uitgave is met eene zeer breedvoerige uitlegging en vele bijvoegfels verlierd,nbsp;die fomtiids geraadpleegd moeten worden; het geen altijdnbsp;met vrucht gefchiedc, .
XXIII
Element a euclideae Qeometriae, et Selecta ex archiiiiede Theoremata: qnibus accedit Trigonometria, auctore. a. tac-Quet, Amjielaedami 1725. De aanmerkingen en bijvoegfelsnbsp;zijn uitmuntend; de gewigtige voorfteilen van archimedes treftnbsp;men in geene andere elementaire werken aan; de 'Irigfno-metria is zeer goed. In den aangeliaalden druk heeft denbsp;Hoogleeraar musschenbroek de aanmerkingen van wiiisTONnbsp;en de Trigonometria Spherica van schottus gevoegd. Dezenbsp;uitgave is in 1745 te Romen in 2 deelen 8. herdrukt,' ennbsp;men heeft er toen nog bijgevoegd eeue Trigonometria Sphegnbsp;rica, en eene verhandeling de Cycloide, en de Logiflica, beide van BoscovisCH, mitsgaders de Sectiones Conicae vannbsp;GUtDo GRAND!: alle uitnemende (lukken.
Elements of euclid: Viz, the first fix Books together with the eleventh and twelfth, iy Robert simson, Glasgownbsp;1757. 4quot;* Er zijn veie drukken van dit werk, ook in S.nbsp;Ei) den elfden druk te London in 1801 in 8. uitgekomen,nbsp;zijn gevoegd euclidis Data, eene vlakke en eene klootfchenbsp;driehoeksmeting. Bij alle de uitgave heeft simson vele belangrijke aanteekeningen gevoegd.
Elmens de Gomtrie, contenant les fix premiers livres oeccude , par koenig , augmetits de Ponzime et du dou-zime, par j. j. blassiere, la Hayg 1762 4. Dcze uitgave is vooral aanteprijzen wegens de uitmuntende uitlegging van bet V. Boek, en het Aanhangfel op het zelfdenbsp;Boek, waarin de Heer koenig den aard der Logariihmennbsp;zeer wel verklaart.
Peyrard is bezig met eene uitgave van euclides in het Grieksch, Latijn enFransch,te vervaardigen,waarin de tekscnbsp;naar de beste uog onuitgegevene handfchriften zal gevolgdnbsp;worden.
In het XI. Boek hebben wij ook de volgende uitgave aaugehaald Euclidis Elementa Geometrica, Libri XVI,nbsp;(Juibus accesfit Liber XVI, Lfic, auctare fbancisco flussatenbsp;CANDALLA, Parijns 1566. fol. Dit XVI. Boek is door voogtnbsp;in zijne Nederlandfche uitgave ingelascht.
Euler , Introductio in Analyfin hfinitorum , Genevae i74?-4. Er is te Parijs, in 1791. tene Franfche vertaling van dat werk door den Heer labuev, met aanmerkingen, uitgekomen, in 2 deelen, 4. Dit werk heeft, gelijk de overigenbsp;van euler (die in 1783 overleden is) eene geheele verandering in veie deelen der ftelkunde , en in de wijze omnbsp;dezelve te behandelen, te weeg gebragt.
AS.
Eutocius Ascalonita, leefde in de zesde eeuw onzer tijdrekening, en is beroemd door zijnen Comnicntarius over
-ocr page 36-SXIV
Aamvijzing der Wiskundigen
ARCHIMEDES CR over APOLLONIUS. Uit dieii hoofde wordt hij meer dan eens in dit werk aangehaald.
FagnaRo, Produzzioni Matematici, ggt;c. PeJaroijsi. 4. 2 vol.
Fay (b) wordt aangehaald bl. 82 en 250. Deze verdienftelijke man is, nog jong zijnde, in 1739 overleden. (*9
Floryn, (JACOB) Grondbeginfels der hoogere Meetkunde, Rotterdam 1794. Squot;.
Gauss , Disquifitiones Arithmetkae, Er is eene Franfche vertaling van dat werk' onder den tijtel van Recherches Arith-mtiques. Paris 1810, 4,
Gelder, (de) Beginfeh der Meetkunde, Amiterdam en den Flaag 1810. 8.
Handleiding tot de hefchouwende en wfkdadige Meetkunst, Amfterdam i8o. 4. Tot nu toe is er niet meer dan het eernbsp;fle deel uitgekomen. De fchrijver wordt veelal enkel doornbsp;de letters D. G. aangehaald,
Gellibrand , Trigonometria Britannica, five de doctrina trian gulorum, Libri du, Goudae 1633. folio. De Schrijver isnbsp;in 1537 overleden.
Gendre. (le) Elmens de Comtrie, 8. Ik heb den tienden druk in 1810 te Parijs uitgekomen gebruikt; er is eene Trigono-sntrie bijgevoegd. Deze Schrijver wordt door de lettersnbsp;L. G. aangehaald.
Girard, (albert) Invention nouvelle en Algbre, Amfl. 1629. klein 49. Een ongemeen belangrijk en uitermate zeldzaamnbsp;werkje. Na den dood des Schrijvers is, in 1634, uitgekomeunbsp;ijne vertaling van de werken van simon stevin, met aan-merkingen.
Graaf, (abraham de) Anaijfis, of Stelkundige ontknooping in Meetkunstige Werkfiukken, Amtl. 1706. 4.
Gregory, (david) Treatije of practical Geometry, Edinburg 1715. in 8. Dit werk is toen eerst in het licht gekomen;nbsp;hoewel het na den dood des Schrijvers, in 1708 voorgevallen, in handfchrift tot onderwijs gebruikt werd.
Grive , (de la)Manuel de Trigonomitriepratique, Paris 1754. 8*.
Gunter, (edmNd) beroemd Engelsch Hoogleeraar, in 1676 overleden, en aangehaald in VIU. Afd. 3. wegens de Loga-riihtnen-fchaal die zijnen naaffl draagt.
Hennert, Hoogleeraar te Utrecht, een uitmuntende Wisbun-ilenaar, door vele werken, ook door eenen Curjiis Mathefcos
pu-
(?) Op bl. 250 ftaat in die aanhaHO bem, e l'Aced, 1729. moet
vn 1727-
-ocr page 37-XXV
purae, 3 d. in 8., en dooK een Curfus Mathefcas applica-tae , in 6 d. in 8''. beroemd, en in 1813 in eenen hoogen ouderdom overleden, wordt bl. 260 aangehaald.
Hero Alexantlrinus, leefde reu tijde van archimedes; wordt door ons aangehaald 1. liep. \6. Aanin. 3, bl. 39. en in het IH.nbsp;Hoek der Werkflukken, IX. Werkft. 2. Aanin. _I1I, overnbsp;zijne handelwijze om twee middel-evenredige te vinden.
IIii'PiAs, die in de vijfde eeuw vr onze tijdrekening leefde, is uitvinder van eene kromme lijn genoemd Quadratrix ,\vosdznbsp;aangehaald VII. 26. Aanm. 6.
Hire, (de la) Sectiones Conicae, Pariftis 1685 fol. Een der uitrauntendfte werken gefchreven in den trant der Ouden*nbsp;wiens geest la hire volkomen kende, en dien hij gaarnenbsp;Volgde. Het eerlle gedeelte bevat eenige voorflellen overnbsp;lijnen in harmonifche evenredigheid gefneden: en het isnbsp;daarom dat dit w'erk door ons wordt aangehaald in de derde Afdeeling van het III. Hoek.
Horrebow, In contifivam proportionem harntonicam Mathemata, 1737: herdrukt in het eerlle deel zijner Opera Malhematico~nbsp;Phyfica, Hafniae 1740. 3 vol. 4.
IIuiLiER, Cl) Expofition lmentaire des principes des calcus Juprieurs, Berlin 1786. 4. De Schrijver heeft naderhandnbsp;dit werk op nieuw bearbeid in zijne Principiorum calculinbsp;diferentialis et integralis expofitio clementaris, 1795. 4',
Elcmens dl Ana^fe Qomtrique et d' Anal^fe Algbrique ap. pliques d la recherche des lieux gomtriques, Genve 1809. 4.
Huygens, de Circuit Magnitudine inventa, Litgd, Batav. 1654. 4. herdrukt in deszelfs Opera p'aria, L. B. 1724, 4.nbsp;Deze groote man, in 1629 geboren, is in 1695 overleden.
Hypsicles, uit Alexandria, leefde ten tijde van ptolomaeus, of iets later. Hij is hoogstwaarfchijelijk Schrijver van hetnbsp;XIV. en XV. Boek der Elementa van eucudes. Zie
EUCLIDES.
Kaestner, een der beroemde Mathematici van onze tijden, in 1800 te Gottingen , in hoogen ouderdom, overleden, heeftnbsp;eene menigte werken en verhandelingen uitgegeven, waarvan er hier maar n wordt aangehaaid, t. w. Geomelrifchanbsp;Abhandlungen . Gottingen, erste j'atimlung, 1790. zweytsnbsp;fantmlung 1791.
Karsten Mat hefts Theoretica Element arts atqtie SnUimior, Ras^ fockii et Gryphiswaldiae, 1760. 8.
^ nbsp;nbsp;nbsp;Kun
-ocr page 38-Klinkenberg , een wel bekend Wiskonftenaar en Sterreknn-dige, 1799 i'i hoogen ouderdom overleden, wordt aangehaald VU. 25. Aanm. 4.
Kochansi, aangehaald bl. 317,
Koenig. Zie euclides.
KraaiJKI^HOFF , prcis historique des prathns Qodjiques et AJironomiquei faites en Hollande; La Haye 1815. 4.
Krafft, (g. w.) Inftitutimes Geometriae Sublimioris ,Tubingae 1753* 4* De Schrijver, te regt, door dit werk en velenbsp;andere beroemd, is in 1754 overleden.
Lagny. (de) Een zeer goed wiskuriftenaar, door vele fraaije Verhandelingen bekend, en in 1733 overleden, wordt hiernbsp;aangehaald bl. 304, 314.
Lambert , (.jan iiendrik) Beyrage ztini gebraucJi der Mathematiek und desfen anwendung , Berlin 1755. 8. 3 thcilc. In het eerfte Haat eene fchoone Verhandeling ten tijtel voerende : Aanmerkungen und Zuzatfen zur praktifche Geometrie.nbsp;Deze voortreffelijke Wiskundige en fcherpzinnige Wijsgeer,nbsp;fthriiver van vele uitmuntende werken, is den 25 Septembernbsp;1777 overleden.
Lami, Elmens dc Mathmatiques, ou Trait de la Grandeur, Amft. 1710. 8. Een zeer nuttig werk: wij hbben alleennbsp;van het laatfte gedeelte des VIII. Boelts dat over de har-monifche evenredigheid handelt, gebruik gemaakt. Die geleerde en zeer verdienflelijke man is in 1715. overleden.
h^vvoLV,(gi^coTi')Tkeatium Machinarum. 5 deelen iii fol.
Lexell, beroemd Wiskonftenaar, wordt aangehaald bl. 269.
Ludolf van geulen. Van den cirkel, Leijdeni6i5. 2de druk, 4'. Fundamenta Arithmetica et Gcomctrica, e vcrnaculo in lati-mtm translata a w. SN. r. f. (w. snellio Riidolphi Filio')nbsp;Liigd. Bat. 1615. in 4. Ludolf is te Leijden, alwaar hijnbsp;Hoogleeraar was, in 1620 overleden.
Maclaurin , Treatife of Fluxions, Edenb. 1742. in 4. 2 deelen. De Franfche vertaling draagt tot tijtel Trait des Fluxio-as, Paris 1746. 4quot;. 2 vol. Deze uitmuntende Wiskonftenaar is in 1746 geftorven.
Martin, (benjamin) Toung Trigonometers Guide, Land. 1735, 8. 2 deelen, een zeer nuttig werk.
Mauduit, een zeer goed Wiskonftenaar, door vele fchoone werken bekend, en vr weinige jaren overleden, wordtnbsp;XI. 29. aangehaald.
Mayer. Grundliches und ausfrliches itntcrrieht iber die prakti. Ichc Geometrie, Giitt, 1802. 4 ih* 8.
nbsp;nbsp;nbsp;Me-
-ocr page 39-XXVII
Menecumus, broeder van dinostrates, wordt in het derde boek der Werkftukken, Werkft. IX, Aanm. 2. aangehaaldnbsp;wegens het vinden van twee middel-evenredige tusfcheii tweenbsp;lijnen.
Metius, fADRiAAN') Ccometria Practica, Franequeraa l52o, in 4. Deze beroemde man is in 1635 overleden.
Montucla, Hhtoire des Mathmatiques, Paris 1718. 2 vol, 4'. Er is vervolgens een tweede veel vermeerderde en ver*nbsp;beterde druk uitgekomen, in vier deelen; waarvan de tweenbsp;eerde, in 1799, kort vr het overlijden des rchrijvers,nbsp;door hem zelven zijn uitgegeven: de twee laatfte zijn innbsp;1802 uitgekomen door de zorg van la lande, die, hetnbsp;gene de fchrijver niet hadt kunnen voltooiien, getrachtnbsp;heeft te volbrengen; het geheel maakt ^en zeer belangrijknbsp;werk. Hhtoire de la Quadrature du Cercle, Paris 1754*nbsp;in 8. doch zonder den naara des fchrijvers; een zeernbsp;fchoon werk.
Morgenster, TVerkdadige Mectkonst, vermeerderd door j. H. Kxoop, s Hage 1756- in 8.
Nasser-eddin-al Tusst, een der beroemdde Mufulmaunen, heeft over de Elementa van EUCLIDES en de Spherica vannbsp;THEODOSIUS en jienelaus gefchreven; hij is in hetiaar677,nbsp;of, gelijk andere willen, in 687 van Hegira (dat is in 127^nbsp;f in 1288 van onze tijdrekening) overleden. Hij wordt I. 10.nbsp;Aauni. aangehaald.
Keper , (johannes) een Schots Edelman, de eerde uitvinder der Logarithmen, heeft daarover te Edinburg, in 1614, in klein 4. uitgegeven Logarithuiorum Canonis des-criptio. Een jaar na zijn overlijden, d. i. in 119, gaf zijnnbsp;Zoon te Edinburg, te gelijk met den tweeden druk vannbsp;het gemelde werk, uit Mirifiei Logarithmorum Canonis con-ftruciio ; una cum appendice de alia atque praeflantiorumnbsp;Logarithmorum fpecie condenda: quibus accesferuntnbsp;nes ad Triangula Spherica faciliori calculo refolvenda,nbsp;una cum annotationibus Hcnrici BriggH, 4,
Newton yirithmetica Univerfalis, eerde druk 1707. in 8. door wiiisTON uitgegeven; de beste drukken zijn die,nbsp;welkes gravesande te Leijden, in 1732, heeft bezorgdnbsp;in 4,, en vooral die, welke castillon, in 1761, in tweenbsp;deelen in 4., met eenen zeer breden Commentarius, te Ara-fterdam heeft uitgegeven. principia Philofophiae Naturalisnbsp;Mathematica, 4.; de eerde druk London 1686, de tweede 1713, en de derde en laatfie 1726, kort vr den doodnbsp;des fchrijvers, die in 1727 voorviel, uitgegeven.
Ni-
-ocr page 40-xxvni
Aam'ljzins der Wiskundigen
Nicomedes, die waarfchijnlijk in de tweede of in de eerfte Eeuw vr onze tijdrekening leefde, wordt in het III.nbsp;Boek der Werkftukken, VVerkft. IX. aangehaald, over hetnbsp;vinden van twee middel-evenredige. Hij is zeer beroemdnbsp;door het uitviiiden van de Conchoide, of Schulpt! ek,
OzANAM, Ufage du Compas de proportion, Paris 8. M-thode de lever' les Plans, Paris 1716. 8''. Deze fchrijver heeft vele zeer goede en nuttige werken uitgegeven, en isnbsp;in 1717 overleden.
Pappi Alexandrini, Colkctiones Mathematicae a frederico COMMANDINO editae, Bononiae 1666 Folio. De Griekfche tekstnbsp;van dezen fchrijver, die in de vijfde Eeuw van onze tijdrekening leefde, is nog nimmer in zijn geheel uitgegeven,nbsp;fleclus hebben eenige .Hukken het licht gezien. Ook zimnbsp;er van hem Lemmata over apollnius , die door hallev, bijnbsp;zijne uitgave van apollonius, gevoegd zijn.
Fell, (john) Controverfia de vera circuit menfura inter lon-GOMONTANM ct PELLiM Amftel. 1647. 4. Pell was toen Hoogleeraar te Amfterdam, werd het kort daar na te Breda,nbsp;vertrok in 1652 weder naar Engeland, en is in 182
_overleden.
*5
Perrault, (claude) een venucnstvoiie Natuurkenner en Bouwkundige, door vele werken beroemd, en onder anderennbsp;door zijne Franfche vertaling van vitruvius, hier aange-haald bl. 2P*
PaiLo van Byzantium, een beroemd Grieksch Mathematicus, die na HERO leefde, misfehien twee Eeuwen vr onze tijdrekening, wordt aangehaald V. 17. Gev. 4, en in het IX.nbsp;Werkfluk van het lil. Boek, over het vinden van twee middel-evenredige.
piTOT, ^n fchrander Wiskonftenaar, in 1774 overleden, wordt aangehaald VI. 2.
Plato, beroemd Grieksch Wijsgeer, die vierhonderd jaren vr onze tijdrekening leefde, en aan wien vele uitvindingennbsp;in de Meetkunde worden toegefchreven, wordt aangehaaldnbsp;IV. 15. Aanm. 5. en Werkflukken III. 9. over eene zeernbsp;vernuftige wijze om twee middel - evenredige te vinden.
pROCLus, In primum uirum euclidis Commentariorum Lihri IV. edente francisco barocio. Pataviae 150. Fol. Denbsp;Griekfche tekst van pro.clus, welke int midden der vijfdenbsp;Eeuw van onze tijdrekening leefde, is in t jaar 1535 tenbsp;Bazel, achter den euclides, gedrukt; doch earocius klaagtnbsp;over het gebrekkige van die uitgave. Er is te Londen, in
1792,
-ocr page 41-XXIX
1^92, in twee deelen in 4'., eene Engelfche vertaling van dit werk uitgekomen, verrijkt met vele aanteekeningen,nbsp;met verhandelingen over de Platouifche Wijsbegeerte, ennbsp;met nog een ander werk van proclus. De geheele tijtel is,nbsp;The PhiloJ'ophical and Mathematical Commentaries lt;? proclusnbsp;on the first Book of Euclids Elements: To which were adidnbsp;a history of the restoration of Platonic Theology by the latternbsp;Platonists, and a translation from the greek of proclusnbsp;Theological Elements.
Ptolemaei Almagestum, feu magnae compojitioni: mathema ticae opus, is te vinden in des fchrijvers werken , in het Latijnnbsp;uitgegeven te Bazel, in folio, in 1515; en later, ook in
1551 , door ERASMUS OSWALD SCHREKKENHUSIUS. Het OOr-
fpronkelijk werk is in t Grieksch, in het jaar 1538 te Bazel met den Commentarius van theon gedrukt, De Heer halmanbsp;bereidt eene uitmuntende uitgave van dit werk, in t Griekschnbsp;cn in t Fransch. De vertaling is geheel door oeLAMBREnbsp;nagezien, die het werk met fcboone en nuttige aanmerkingen heeft verrijkt. Het eerfle deel is in 1813? Parijs innbsp;4- uitgekomen. Ptolemaeus leefde in de eerfte helft dernbsp;tweede Eeuw van onze tijdrekening.
Puissant , Trait de Godfie , Paris i8o. 4.
Trait de Topographie , d'Arpentage , et de Nirelletnent i Paris 1807. 4*
Pythagoras, deze beroemde Wijsgeer, die vijf Eeuwen vr onze tijdrekening leefde , is in de Wiskunde bekend doornbsp;het voorftel dat zijnen naam draagt (II. j6.) en wordt ooknbsp;aangehaald (II. 16. Aanm. 3.) wegens een middel daar uicnbsp;afgeleid om winkelhaken te beproeven.-
Renaluini, (carolus) Hoogleeraar te Padua, en aldaar in 1700 overleden, heeft vele werken uitgegeven, van welkenbsp;er hier maar n aangehaald wordt, te weten: Ars analyticanbsp;Mathematum , Florentiae 1665. Fol. en daarin zijn tractaatnbsp;de Refolutione et Compofitione Mathematica. De Hoogleeraarnbsp;iHOLP-N heeft de vriendelijkheid gehad mij uit dat werknbsp;(dat ik niet bezit) het geen mij noodig was, te bezorgen,
Robertson, (joiin) A Treatife of Mathematical Injlruments, Bond. 1749. 8. TVie Elements of Navigation , London i8o(5.nbsp;The 5 Edition, 2 deeleu 8v. De eerfte druk is vaii 1748.
Saveur, (Joseph) Gomtrie lmentaire et Pratique, uitgegeven en vermeerderd door le blond 1753 gt; tn 4. De fchrijver was reeds iu 1716 orerleden.
SE-
-ocr page 42-sxx
Aanwijzing der Wiskundigen
Serenus , een goed Wiskuntlenaar, die in de vierde of vijfde Eeuw van onze tijdrekening leefde, heeft een werk ge-fchreven de Sectione Coni, en een de Sectiom Cylindri,nbsp;welke HALLEY bij zijne uitgave van apollonis gevoegd heeft,nbsp;Sherwin. Zie hier onder, Mathematifche Tafels.
SiMSON, Crobert} SectiottumConicaru!n,'L\bnV.Edicnb. 17504quot;.
_ nbsp;nbsp;nbsp;-- Opera qiiaedam reliqiia post auctoris mortem in lucein
edita, Glasguae 177, op kosten van Lord stanhope uitgegeven, die maar een zeer klein getal exemplaren, tot ge-Ichenk, heeft laten opleggen, waar door het werk zeer zeldzaam is. Zie verder op euclides.
Simpson, (tiiomas) Elements of Cojnciry, zth. Edit, London 1760. 8quot;.
Slush, (renati francisci) Mefolabum, Leodii 1668, 4. Deze beroemde VViskunllenaar overleed in 1685.
Snellis, (willebrord) Cyclometricus, Ltigd. Batav. 1621. 4. iDeze uitmuntende man is, in den bloei zijns levens, in 1626nbsp;overleden.
Sporus, aangehaald in het III. BoekderWerkilukken, Werkft. 9.
over het vinden van twee middel - evenredige.
Stedman , aangehaald bl. 253,
Steenstra, Grondbeginfels der Meetkunst g., een werk waarvan zeven drukken ziin. Het wordt, kortsheidshalve, door . de letters St. aangewezen. Eerhandeling over de klootfchenbsp;drichoeksmecting, Amft. 1770. 8'. wordt hier aangehaald metnbsp;de verkorting, kl. dr. De fchrijver is in 1788 overleden.
Sturmics. Cjoh. ciiristoph) Van de menigvuldige werken door dezen verdienstelijken man, die in 1703 overleden is, uitgegeven, wordt alleen op het einde der Werkflnkkcn aange-liaald, Mathefis Ennchnla, Noribergae 8. De eerile druk,nbsp;in i(i86 uitgekomen; de tweede, na des fchrijvers dood,nbsp;in 1711.
Tacquet , Candreas) Zie op euclides. Verfcheide Mathematifche Verhandelingen zijn in n deel, in folio, onder den tijtel, A. tacquet 0/gt;e;vz, verfchenen. Hij ftierf in 1660.nbsp;TiiALES. Aan dezen beroemden Griekfchen Wijsgeer, die 600nbsp;jaren vdr onze tijdrekening leefde, worden verfcheide ontdekkingen in de Meetkunde toegefchreven. Hij wordt hiernbsp;aangchaald V. 7. Aanm. 4.
TiiEONis smyrnaei, Eorum quae in Mathematicis ad v\.kiossii l.ectionem utilia funt expofitio: edidit isMael bullialdus.nbsp;Gr. Lat. Lutetiae 16^^. ^o, Theon leefde in het beginnbsp;der ^tweede eeuw van onze tydrekening.
VlE-
-ocr page 43-ViETA, Opera Mathematica, operd atque jladio Fr, van Schooien; Lugd, Bat. 1646. in Folio. Deze grooce man is in 1605 overleden.
ViviANi, Be locis folidis fecunda divinatio Geomefricalt; Fla, rentiae, 1701. in Folio. Deze vernuftige Wiskonftenaar,nbsp;die vele goede werken heeft uitgegeven, ftierf in 1703.
Wallis, De Algebra Tractatus: dit boek is in het jaar i5?5 in het Engelsch uitgekomen, en in het Latijn herdrukt innbsp;bet 2de deel der Opera Mathematica van dien fchrijver,nbsp;Oxford 1693. 3 vol. folio. Deze verdienstelijke en door ennbsp;door geleerde man ftierf in 1703, in het 88fte jaar zijnsnbsp;ongemeen nuttigen levens.
^OLFii, (ch^iistiani) Elewenta Mathefeos Vniverfae, Halae ^ deelen in 4. Verfcheide Mathematifche en Wijs-g enge werken van dien fchrijver, die in 1754 overledenbsp;gt; zijn in onze taal in 8. gedrukt.
-ocr page 44-M=
Len behoort zich iii de (ludie der Wiskunde van ver fcheide Tafels te voorzien, als daar zijn; 1. Sinus-Tafels \nbsp;I[. Quadraat- en Cubic-Tafels; III. Taiels van Diviforen ennbsp;Brim-getallen,
I, Van de Sinus, en Logarithmus- Tafels zijn vele drukken in alle talen; de beste in de onze zijn:
Tafelen bevattende de Sinusfen, Tangenten, en Secanien enz, ensvens derzelver Logarithmen, als mede de Logarithmen dernbsp;gewone getallen van i tot 10,000, door . j. douwes, te Am-jlerdani, bij G. Hulst van Keulen, 1779
En vooral, de groote Tafels van denzelven, die tot tijtel voeren. Tafelen, behelzende de Sinusfen, Tangenten, Secanten,nbsp;en Sinus verfus enz, benevens de vergrootende breedte, als snedenbsp;de Logarithmen voor alle getallen van i tot 100,000 , doornbsp;B. j. DOWES, te Amjlerdam, bij J, van Keulen en Zoonen,nbsp;Vj. 8.
Deze zijn gefchikt naar de Tafelen van sherwin; doch daar de Heer douwes in de Tafels der Logarithmen van Sinusfennbsp;enz. de verfchillen weggelaten heeft, zijn deze Tafels veelnbsp;minder nuttig dan die van sherwin , welke tot tijtel voeren:
Siierwins Mathematical Tables: carefully revifed and corrected, by WILLMM GARDINER. Ik gebruilc den druk in 1761 , te Londen, in 8. uitgegeven; daar na zijn nog nadere drukkennbsp;in t licht verfcheuen;.men heeft mij berigt dat er onder dezenbsp;zijn waarin zeer vele drukfeilen gevonden worden.
De uitgeftrektfte en beste Tafels zijn; die van vlacq, in 1628 en 1633, Gouda in folio gedrukt, doch die thans zeer zeldzaam voorkomen en zeer duur zijn. Vega heeft eenen herdruknbsp;van dezelve bezorgd; de groote Logarithmus - Tafels van gar-DINER, zijn in 1742, te Londen in 4. uitgegeven: men vindtnbsp;er de'Lonarithinen der Sinusfen enz. van 10 tot lofeconden;nbsp;deze Tafets zijn in t Fransch met vele en belangrijke vermeerderingen uitgegeven door den Heer pezenas, onder den tijtel:
Tables des Logarithmes, contenant les Logarithmes des nom-bres depuis i jusqud 102100 ^^c, publies ci-devant, par M. GARDINER, Avignou 1770. 4.
Doch vr eenige jaren zijn die Tafels wederom met alle mt^clijke naauwkeurigheid in 8. herdrukt, en, wat de fchiknbsp;}-inlt;gt; dgr Logarithmen betreft, verbeterd, onder den tijtel van:
Ta-
-ocr page 45-xxxiii
Tabla portatires da Logarithma, ptiblies a Londres, par gar-uiNER, augmentes ct perfcctionna dans leur dispojition, par M. GALLET, Parts, chez Didot, 1783.
Deze Tafels verdienen, mijns oordeels, de voorkeuze boven alle andere van dien aard (), vooral zederd den druk van i/PSnbsp;welke gedereotypeerd is geworden. In de achtervolgende uitgaven heeft men het zoo ver gebragc, dat men, tot nu toe, in denbsp;laatfte geen drukfeilen heeft kunnen ontdekken. Men behoortnbsp;echter te letten dat men in dezelve (even als in die van pe-zenas of garoiner) de natuurlijke of Jlecht Simnfen, Tangenten en Secanten niet aantreft , zoo als in de gewone Tafels, noch de Jinus verfus, zoo als indie van shep,win. Daarnbsp;echter de (lecht-finusfen en finus verfus in fommige deeleiinbsp;der Stuunnanskuust te pas komen, moet men zich ook vatlnbsp;eenige dier reeds opgenoemde kline tafels voorzien, hoewelnbsp;liien, zonder veel moeite, uit den Logarithmus-finns den Na.nbsp;tuur lijken finus, door de Logarithmus-TAeXskamp;n opmaken.nbsp;Mackenzie heeft in zijne Verhandeling over de Lengte opnbsp;Zee, Tafels van flecht-finus verfus uitgegeven van 10 tot 10nbsp;feconden ; welke ik in de vijfde druk mijner Verhandelingnbsp;over de Lengte op Zee heb laten herdrukken , tevens aartnbsp;dezelve eene meer duidelijke en kortere fchikking gevende.
Onder alle de drukken van kleine Logarithmus-^s.[s, die iti verre de meeste gevallen der praktijk genoegzaam zijn, ennbsp;als een handboek kunnen dienen, zijn de volgende de beste,nbsp;inzonderheid voor de fchikking der getallen , die voortreffelijk is.
Tables de Logariihmes pour les Sinus et Tangents tie tots les minutes du quart de cercle, et pour tous les nombres naturels depuis I jusqdd 10800. Paris chez Guerin el de lanbsp;Tour, 1760, 8. en vooral de Tafels van la lande, in kleiiinbsp;duodecimo, getijteld: Tables de Logariihmes pour les nombresnbsp;et pour les finus. Deze zijn gedereotypeerd, en zoo veel uiennbsp;lot nu heeft kunnen nagaan, zijn er geen feilen in.
II. liet kan fomtijds in de praktijk nuttig cn aangehaafn zijn met een opflag van het oog het quadraat of den cttbus vailnbsp;eenig getal te vinden, of den quadraat- of cubiek-wottsX vannbsp;eenig getal te kunnen nagaan : hiertoe dienen de zoogenaam nbsp;de Quadraat- en Cubiek - Tafels die men in eenige boeken ovefnbsp;de Algebra, en ook afzonderlijk , aancreft : zoo als die, welkenbsp;door BUCHNER met eene Hoogduitfehe verklaring zijn uitgegeven, onder den tijtel joh. paul bchners Tabula radictini
qua,
C*) Ik Zeg Van dien aard. Want MtcnAiL tAyLor heeft in 179a. J Londen Tafels iij 416 uitgegeven Van LogarUh, finus enz. van feeoW*nbsp;tot feconde,
* # He
I
-ocr page 46-XXXIV
Aam/ijzing van Tafels.
quadratorum et cuborum, bis auf 12000, Nrnberg 170I: in langwerpig 8. In deze Tafels zLju vele drukfeilen.
Tables des quarris et des cubes et de leurs racines reprii fentes poar les nombres naturels depuis l'unit jusqu'd dixnbsp;mille pttr c. segin TAin. Paris 1801. 8. Deze Tafelsnbsp;zijn zeer naauwkeurig en door eene uitvoerige en keurigenbsp;verklaring voorafgegaan.
Tetragonometria Tabularia , euctore l. J. ludolfio , Am-ftelodami i6po. 4. bevat zeer uitvoerige Qnadraat-Tafels.
Er liaan ook Qnadraat- en Cubiek-Tafels van i tot duizend, in het werk van lambert, tot tijtel voerende:
Zufaetja zu dem Lngarithmifchen und Trigonometrifchen Tabellen, Berlin 1770. 8quot;.
III. nbsp;nbsp;nbsp;Men vindt Tafels van Prim getallen in het reeds aannbsp;gehaalde boek van lambert; doch zij zijn van zelf begrepennbsp;in die Tafels, welke de deelers van alle de getallen opleveren, vermits de getallen, welke geen deelers hebben dan de
prim-getallen zijn: onder deze munten zeer uit:
Anjema, Table des divifeurs de tous les nombres naturels df puts I jusqud 10,000, Leyde 177.
Marci, (adolph frederik) Uitvoerige Tafelen van Prim-getallen van i tot 400,000; benevens eene verhandeling over de wijze van vinding en tie nuttigheid der prim - getallen; Am-fier dam 1771. 8.
Doch vooral
Chernac , (l.) Cribrum arithmeticum, Daventriae 18li. 4^'. In dit werk vindt men de divij'oren van alle de getallennbsp;niet door i, 3, of 5 deelbaar zijn; van i tot 1020000.
Burckhard heeft het tweede en derde millioen uitgewerkt in Tafels, ten tijtel dragende: Table des divifeurs de tousnbsp;nombres du deuxihne million, Paris 1814. du troifimenbsp;million. Paris 1815. beide in 4. op het zelfde formaat alsnbsp;het werk van chernac , waaraan dit tot vervolg dient.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;Voor de befchrijving van Mathematifche Inftrnmenten.nbsp;Zie hier boven de werken van bion , ozanam , cunn , ro-BERTSON.
DER
WELKE IN DIT WERK UITGELEGD WORDEN.
Deel PASSER, verdbel-passer, in c Hoogduitscli Theilpaiftry in t Fransch Compas de reduction y in c Engelsch Proportional, compas fes, IV. 2. Aanm. 9,
Gunters schaal of Logarithmen.fchaal, VIII. Afd. 3. N*. 2. Hoekmeeter, doorgaands Transporteur, en bij de Engelfchennbsp;Protractor genoemd, VIII. 2. Aanm. 2.
Liniaal. Zie Parallel-liniaal.
Logarithmen-SCHAAL. Zie Gunters-fchaal.
Parallel . liniaal , door middel van twee linialen. I. Bep. 10. Gev. 2. Aanm. Gewone I. 32. Aanm. 2. Van eckhardtnbsp;I. Bep. 16. Aanm. 3.
Passer. Zie Deel-pasfer, Preportionaal-pasfar.
Plein - SCHAAL. Op dezelve zijn verfcheide lijnen: als Lijn van gelijke deekn, ook met Transverfalen.W.z.kma.6.nbsp; Choorden en Rhumbs oCompasflreken, VII1.1*. Aanm. a en4.nbsp; Sinus. VIII. 15. Aanm.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
Tangenten. VIU. 25. Aanm. 2. bl. 353.
S. T. of Sinus-Tangenten. VIII. 25. Aanm. 3.
- Secanten. VIII. 31. Aanm. 2.
Longitude, ook genaamd M. L. Miles Longitude, IX. 2. Aanm. 3. en XII. 14. Aanm.
Proportionaal-PASSER, bij de Engelfchen Sector, bij de Franfchen Coinpas de proportion.
Algemeen grondbeginfel waarop deszelfs gebruik gevestigd is. IV. 2. Aanm. 7.
Uitlegging der verfchillende lijnen die op den Proportionaal-pasfer meest-al gevonden worden.
Lijn van gelijke deelen : ook Arithmetifche, of parties-gales, of Equal parts genoemd, ook met eene L. beftempeld.nbsp;IV. 2, Aanm. 8.
. ~ in uiterfle en middeljle rede of extrema et media ra-tione. IV. 17. Aanm. 2.
der Vlakke figuren, ligne des plans, ook geometrifche lijn genoemd, IV. *4. Aanm. 2. en voor het vindennbsp;eener middel - evenredige. Werkftukken III. 7. Aanm.nbsp;Deze ftaat zelden op de Engelfche Proportionaal-pas-fers; altijd op de Franfche.
nbsp;nbsp;nbsp;Lijn
-ocr page 48-XXXVI Jatnvijzing der Mmhemattfche Werktuigen,
Lijn. (kQt Polygonen, of Veellioekn. VI. p. Aanm. i.
nbsp;nbsp;nbsp;der Choorden, VIII. la. Aanm, 2,
nbsp;nbsp;nbsp;der Sinuifen. VIII, 15. Aanm.
Tangenten. VIII. 25. Aanm. 1, 2.
_ Secanten. VIII. 31. Aanm. 2.
_ Ligchamen, Corpora folida, Ligne des folides. XI. 36. Aanm. en voor het vinden van twee middel-evenredige, Werkftukkennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Aanm. 1. Oplosfing VI. verder
voor de Spheer. XII. 22. Aanm. i.
Reductio Corporum folidorum. XI. 35. Aanm. 4,
nbsp;nbsp;nbsp;inferiptio Corporum folidorum. XII. 40 Aanm.
Deze twee worden thans zelden op de Proportionaal-pasfers gevonden ; en nooit, even weinig als die van de Ligchamen, op de tegenwoordige Engelfche.nbsp; der Metalen; ligne des Metaux. XII. 22. Aanm, 2.nbsp;pROTnACTOR. Zie Hoekmeter.
Schaal. Zie Pleinfchaal, Schuiffchaal.
ScnuiF - SCHAAL, bij de Engelfchei: Slidergt;rule. VIII. Afd. 3.
3.
Sector. Zie ProportionaaHpasfer.
Transporteur. Zie Hoekmeter.
Winkelhaak. Middelen om dezelve te toetfen.
Middel van pvthagoras. II. 16. Aanm. 3.
van THALES. V, -g. Aanm. 4.
ITM DIT WERK GEBRUIKT.
= heteekent gelijkheid; A = B is A gelijk aan B.
CD Dit teeken werd oudtijds voor gelijkheid gebruikt: wij zullen het gebruiken om gelijk-haltigheidof gelijkheid van inhoud aan tenbsp;duiden : zoo dat A 00 B beteekent dat Anbsp;gelijken inhoud heeft als B, hoe veel ooknbsp;anderzins van B in gedaante verfchillende: ennbsp;A = B zal beftendig beteekenen A, in allenbsp;opzichten gelijk aan B: en dus ook, gelijk-hallig.
grooter; A gt; B is A groot er dan B.
-ocr page 49-Uitlegging der teekens in dit mrk gebruikt, xxxvii
lt; beteekent kleiner; A lt; B is A kleiner dan B.
Sommigen gebruiken het teeken Cquot; in plaats van gt; en in plaats van lt;.
fquot; nbsp;nbsp;nbsp; plus of fom', A -{- B iat is A plus B, of Afifom
van A en B.
minus; A B dat is A min B; of B afgetrokken van A.
of^_^--multiplicatie; A X B of A. B
multipliceerd door B; en tC 4; D)
of
beteekent A gc~
C a: D E beteekent de fom van C D of het verfchil van C en D door E gemultipliceerd.nbsp;A
divifie; is A gedivideerd door B.
Dit wordt o^k fomtijds door twee flippen (O aangeduidt; als A: B beteekent ook A gedivideerd door B.
gelijkvormig ; A B dat \s Agelijkyormig aan B. rede; A : B beteekent de rede van A tot B;nbsp;dit w'ordt wanneer de rede geometrischnbsp;)s, wel eens door divifie, en dus ook doornbsp;A
gquot; uitgedrukt, want geometrifche rede is divifie.
X
//
l
L
4
C3
CD
?
O
o
O
loodregt; A x B is A loodregt op B. evenwijdig; A // B is A evenwijdig met B.nbsp;hoek.
regte hoek.
driehoek.
parallelogram.
regthoek.
vierkant,
parallclepipcdum,
omtrek van den cirkel.
boog van eenen cirkel.
cirkel, de gcheele inhoud van de figuur.
AANTEEKENING DER PROPOSITIEN VAN EUCLIDES, DIE MET DE VOORSTELLENnbsp;VAN DIT WERK OVEREENKOMEN.
NB. De letter W duidt de Verkjlukken aan.
1. BOEK VAN EOCLIDES.
XXXIX
XXXIX
AanhaUngtn uit euclides. XXXll. Propofitie is bij ons I. 15. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I.
II. 111.nbsp;IV.
V.
VI.
VII.
VIII. IX.
X.
XI.
XII.
XIII.
XIV.
Propofitie is bij ons II. i.
-- nbsp;nbsp;nbsp; II. I. Gev. I.
- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gev. 2.
- nbsp;nbsp;nbsp; II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3.
- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5.
- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6.
- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.
_ nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; II.
- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9.
- _ nbsp;nbsp;nbsp;_ w.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lo*
II. 19.
W. II. 20.
III, BOKIC VAN EUCLIDEI.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII. IX.
I. Propofitie is bij ons W. V. i. _nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; V. 1.
~ nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z( V. 22.
nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V. 10.
nbsp;nbsp;nbsp; V. It'
Aanhalingen
Xil.
XIII.
XIV. XV.
XVI.
XVII.
XIX.
XX.
XXI.
XXII. XXlli.nbsp;XXIV.nbsp;XXV.nbsp;XXVI.
XXVil. XXVIII.
XXIX.
XXX. XXXI.
XXXII.
XXXIII.
XXXIV.
XXXV.
XXXVI.
XXXVII.
%. Propofitie is bij XI.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
ons V. 25,
~l V. 23.
V. 24.
V. ii. Gev 3, ~ V. II. Gev. 1,nbsp; V. 3 4- W. V. 12.
nbsp;nbsp;nbsp;V. 5.
nbsp;nbsp;nbsp;V. S- Gev. I.
nbsp;nbsp;nbsp;VI. 6.
nbsp;nbsp;nbsp;VllI. 4. Gev. 3.
nbsp;nbsp;nbsp;Vllf. 4 Gev. 2,
nbsp;nbsp;nbsp;W. V. 2.
Z I V. 6.
nbsp;nbsp;nbsp;V. 6. Gev 6.
nbsp;nbsp;nbsp;V 6. Gev. 5,
nbsp;nbsp;nbsp;W. V. 7.
nbsp;nbsp;nbsp;V. 7.
nbsp;nbsp;nbsp;W. V. 5.
nbsp;nbsp;nbsp;W. V. 6,
nbsp;nbsp;nbsp;V. 12.
, Propoficie is bij ons W. V. 3.
- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; W. VI. I.
W. VI. 2. W. VI. 4.
W. VI. 5. W. VI. 6.nbsp;r- W. VI. 7.nbsp; W. VI. 8.nbsp; W. VI. 9.nbsp;~ W. II. 10.
W. VI. II. W. VI. 12.nbsp;~ 'w. VI. 13*nbsp; W. VI. 14.nbsp; w. VI, 15.nbsp; W. VI. ld.
XLI
uit EU CL IDES.
V. BOEK VAN ECLIDES.
I, II, III, V. en VI. Propofidcn , betreffen de bijzonder leer van euclides omtrent de gelijkvouden.
IV. Propofitie is bij Vlll nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; IX. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; X. nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; XI. nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; XII. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; XIII. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; XIV. nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; |
XXV. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-ons III. 6. nbsp;nbsp;nbsp;III. Axioma i. nbsp;nbsp;nbsp;III.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I. III. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3- nbsp;nbsp;nbsp;III.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2. nbsp;nbsp;nbsp;III. i8. III. Axioma 6. nbsp;nbsp;nbsp;III. 4. nbsp;nbsp;nbsp;III. Axioma 4. III. 6. III. 8. UI. 8. Aanm. 2. zl III. II. Gev. I.nbsp;III. II. Aanm, i. III. 13. Aam. nbsp;nbsp;nbsp;III. p. |
VI. boek van euclides.
I. Propofitie is by ons IV. 6.
II.
III.
IV.
V. VI.
VII.
VIII.
IX.
X. XI.
XII.
XIII.
XIV.
XV.
XVI.
XVII. XVlII.
XIX.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. I.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 12.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
IV. 2.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 3- IV. 4.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 5-
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 15.
nbsp;nbsp;nbsp;W. III. I.
nbsp;nbsp;nbsp;W. III. 4-
nbsp;nbsp;nbsp;W. III. 5*
nbsp;nbsp;nbsp;W. III. 7.
2.? IV. 8. Gev. 4.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 8. Gev. 5,nbsp;~ IV. 8. Gev. 6.
nbsp;nbsp;nbsp;W. IV. 2.
IV. II.
m** XX.
-ocr page 54-XL II
jianhalivgen XX. Propofitie is bij oiis IV. 44.
XXI.
XXll.
XXIII.
XXIV.
XXV.
XXVI. XXVil.
XXVIII. XX iX.nbsp;XXX.nbsp;XXXLnbsp;XXXII.nbsp;XXXIII.
nbsp;nbsp;nbsp;IV 25.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 8. Gev. I.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 23. Gev. 2.
nbsp;nbsp;nbsp;W. IV. 3.
nbsp;nbsp;nbsp;Ct)
nbsp;nbsp;nbsp;W. III. II.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 2.
nbsp;nbsp;nbsp;U)
nbsp;nbsp;nbsp;VIII. I.
VII. BOEK VAN EUCLIDES.
NB, Dit Boek, het VIII. en het IX., handelen over de eigenfchappen der getallen, en derhalve behooren dezelvenbsp;niet tot de Geometrie. Er worden echter uit die hoekennbsp;in ons Werk eenige bepalingen verklaard, en eenige pro-pofitien bewezen. Zie hier dezelve
V. Bepaling Is bij ;oiis III. Bep. 2.
XVI. XVIInbsp;XVIII.
XIX.
XX. XXL
nbsp;nbsp;nbsp;IV 9. Aanm. 2.
nbsp;nbsp;nbsp;III. Rep. 4. Aanm. i.
en XI. 12. Aanm. 3,
nbsp;nbsp;nbsp;III. Bep. 12. Aanm. 4.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 9. Aanm. 2,
en XI. 12. Aanm. 3
XI.
(*; ne propofitie is, Regtlynige figuren , die aan eene en de zelfde figuur gelijkvortnig zijn , zijn onderling gelijkvormig Ditnbsp;is in de daad een Axioma.
(I) De*woorden zijn. ,, Indien men (Fig. 51.) van een parallelogram AD, een d Gij afneemt, dat aan het eerstgemelde gelijkvor- raig en gelijkelijk geplaatst is, en eenen hoek FBE met het zelvenbsp;,, gemeen heeft; zal dat parallelogram om de diagonaal van hetnbsp;5, eerstgemelde parallelogram ftaan.
(S) Zie. hier over de 4. en 5. Aanmerking op V. ig.
De propofitie is: ,. indien twee driehoeken (Fig. 89.) BD F en ,, ADE, Waarin twee zijden evenredig zijn aan twee zijden (BF:nbsp;DF=:DE:EA zoodanig met eenen hoek (B D F en ADEJ aannbsp; elkander gefield zSn , dat de eveneensgeplaatfte zijden (B F en DE;
, D F en AEj evenwijdig aan elkanderen zijn, zullen de twee overige zijden (DB ert DA) ne regte lijn BD-J, uitmaken. Het komt,nbsp;wat het wezen der zak betreft, met IV. 2. Cev. 3. overeen.
-ocr page 55-XLHI
uit EUCLID ES. | ||||||||||||||||
|
VIIL |
BOEK |
VAN |
EU |
GLIDES | |
V. Propofitie |
is hier |
IV. |
9. Aanra. |
2. | |
XI. |
. |
IV. |
9. Aanm. |
I. | |
XII. |
XI. |
11. Gev. |
3 | ||
XVIII. |
, |
IV. |
24. Gev. |
s. | |
XIX. |
-- |
XI. |
13. Gev, |
3* | |
XXI, |
, |
, |
XI |
12, Gev. |
3' |
XWI. |
IV. |
24 Gev. |
2. | ||
XXVII. |
XI. |
13. Gev. |
3* | ||
IX. |
BOEK |
VAN |
E U C L IDES. |
VIII en IX. Propofirie zijn hier III, If. Gev. I.
XVIIl en XIX. (,*)
X, BOEK VAN EUCLIDES.
In dit Boek, dat zeer moeijelijk te verftaan is, behandelt de Schrijver de leer der ^onmeetbare grootheden op eene zeernbsp;volledige, en naar den trant der Ouden gefchikte wijze:nbsp;fommige Bepalingen en Voordellen worden ook op eenigenbsp;plaatfen van ons Werk uitgelegd.
II. Bepaling is bij ons III. Bep. 8.
....... 2*2 hier over IV. 9. Gev. 10.
VLi
C*) In deze propofitien ftelt eclides voor te bepalen , of men aan twee of drie gegeven getallen een derde of vierde evenredigenbsp;vinden kan : het geen fchijnt te ftrijden met III. 5. Uev. a. alwaarnbsp;wil den regel om die getallen te vinden , als a^emeen opgegerennbsp;hebben. Doch de rede is, dat ecudes door her woord getal, geheel getal zonder breuken verftaat; en wij getal in het algemeen, hetnbsp;zy geheel, het zij hreuk. Wanneer nu het product der middelfte getallen niet zonder overfchot door het eerfte kan worden gedivideerd,nbsp;is het gezochte getal geen geheel getal, en dus , volgens den zin Unbsp;welken EucupEs dat Woord neemt, geen getal.
-ocr page 56-XLiv nbsp;nbsp;nbsp;Aanhalingen
I. Voorftel is bij ons VII. I.
II.
III. IX.
X.
XIV. . XXlL -XXXIV. .nbsp;LXXIV. .nbsp;CXVII. nbsp;CLXXXV.
III.
IV.
V.
VI. VILnbsp;VUL
IX.
X. XL
Xll.
XIII.
XIV.
XV.
XVI. XVII.nbsp;XVlil.
XIX.
XX.
XXI.
XXII. XX UI.
XXIV.
XXV.
xxvt.
xxvii.
III. Bep. 8. Aanm. r,
III. nbsp;nbsp;nbsp;Bep. 7. Aanm. 4.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;9. Gev. 10. N. 4.
III. Bep. 12. Gev. i. Aanm. 3,
Lemma: is bij ons II. 16. Gev. li. komt over een met IV. 9. Gev. 10. N. i.nbsp;Lemma i. is II. 18.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 19. en VI, 22. Gev. 2.
III. Bep. 8. Aanm. 2, 3.
nbsp;nbsp;nbsp;IV. 22. Gev. I.
XI. BOEK VAN EUCLJPES.
I. Propofuie is bij
ons X. Bep. i. Aanm.
nbsp;nbsp;nbsp; X 1. en Gev. 2.
nbsp;nbsp;nbsp; X. Bep. 2. Aanm.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.
nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3-
nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.
nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1=^).
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.
nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Aanm.
nbsp;nbsp;nbsp; X. 2. Gev. I.
nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X. 2. Gev.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XL I.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xr, 2.
zie bij ons XI. Bep. 2. Gev, 2. Aanm.
nbsp;nbsp;nbsp; Xf, 3. Aanm. 2.
_ nbsp;nbsp;nbsp;_ XI Bep, 9. Gev. i.
is bij nbsp;nbsp;nbsp;onsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XL 7.
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XL 5. Gev.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I.
zie bij ons XI. Bep. 9. Gev. 3.
XXVIIL 1
,, Indien twee regte lijnen evenwijdig aan elkander zijn, en men , een Hip in ieder derzelve neemt, welke flippen men door eenenbsp;-regte lijn vereenigt , zal die liin in het zelfde vlak liggen als lienbsp; twee gegeven evenwijdige Hjnen. Dit is een Axioma.
-ocr page 57-tat EUCLIDES. XLV
tat EUCLIDES. XLV
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
XII. BOEK VAN EUCLIDES. |
1.
II.
III.
IV.
V. VI.
Vil.
VIII.
IX.
X.
XL
XII.
XIII.
XIV. XV.
XVI.
XVII.
XVIII.
Propofitie is bij ons VI. 9.
. nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; VII. 16.
nbsp;nbsp;nbsp;XI. 20.
nbsp;nbsp;nbsp;XL 21.
nbsp;nbsp;nbsp;XI. 23-
nbsp;nbsp;nbsp;XI 24.
nbsp;nbsp;nbsp;XI. 25.
nbsp;nbsp;nbsp;XI. 26. Gev. 6.
nbsp;nbsp;nbsp;XI. 26. Gev. 4.
nbsp;nbsp;nbsp;XII. 8.
nbsp;nbsp;nbsp;Xll. 2. Gev. 2.
-gt; XII. ,5. en g. Gev. 3.
I XII. 2. Gev. 3. en 9. Gev. i.
nbsp;nbsp;nbsp;XII. 2. Gev. 4.
nbsp;nbsp;nbsp;XII. 19.
XIII. BOEK VAN EUCLIDES,
I. Propofitie is bij ons IV. 18.
II. - _ nbsp;nbsp;nbsp;- IV. 20.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IV.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;23*
VI.
V. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ nbsp;nbsp;nbsp;IV.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;16.
o Twee Werkftukken die in ons bellek niet te pas kwamen : doch een gedeelte van de bewerking van het XVU. kan hier tot de aanmerking op het s. Gevolg van XII, S- gebragt worden.
-ocr page 58-
Aanhalingen uit euc |
IL ID |
'ES, | |||
VI. |
Propofnie |
i.s bij |
ons IV. |
19. | |
VII. ( |
n |
___ | |||
VIII. |
IV. |
32' | |||
IX. |
*quot;' |
VI, |
21. |
Gev. 3. | |
VI. |
22. | ||||
XT* |
-- |
VI. |
22. |
Gev, I. | |
XII. |
_ |
VI. |
18. | ||
xm. |
-- |
XII. |
. 38. |
NO. I. | |
XIII. |
Lemma |
- IV. |
1.5- |
Gev. 3. |
XII. i.S. NO. II.
~ XII. 38. N. III.
XII. 38. N. IV.
XII. 3S. N. V.
XII. 3.
XI., 31. Gev. I.
Lemma komt, wat den vijfhoek betreft, overeen met II. 29. Gev, i.
XIV. BOEK VAN EUCLIDES.
I. Propofitie is bij ons VI. 21. Gev. 2.
II.
Lemma
III. nbsp;nbsp;nbsp;Propofitie
IV. nbsp;nbsp;nbsp;--
Lemma
V. nbsp;nbsp;nbsp;Propofitie
VI. nbsp;nbsp;nbsp;.
VII. -
- nbsp;nbsp;nbsp;IV. 37. Gev., 5.
nbsp;nbsp;nbsp;VI. 22. Gev. 2.
~ XI. 35. Aanm. 3. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XII. 40. Gev. I.
nbsp;nbsp;nbsp;VI. 23.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
nbsp;nbsp;nbsp;XII. 37. Gev. 2.
nbsp;nbsp;nbsp;KII. 37, Gev. 2.
- nbsp;nbsp;nbsp;IV. 17.
XV. BOEK VAN EUCLIDES.
III.
IV. V.
VI.
VII.
1. Propofitie is bij ons Xl. 38. Gev. 3. :tt ^ quot; quot; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XI. 3^* Gev. 4*
XI. 3?, Gev. 5. XI. 38. Gev. 6.
XI. nbsp;nbsp;nbsp;32.
XII. nbsp;nbsp;nbsp;33. Aanm. 2.
(*) Zoo in een gelUkzijdieen vfhoek drie hoeken onderling ge-Igk zijn, is de vyfboek gclijlchof^^'S* nbsp;nbsp;nbsp;Voorftel kwam in ons bc*
ftek niet te pas.
I.
De Meetkunde is dat gedeelte der Wiskunde , dat de eigenfchappen der uitgebreidheid navorscht , en dezelvenbsp;door zekere redeneringen bewijst.
De uitgebreidheid en hare drie afmetingen, lengte, breedte en dikte, zoo wel als de Figuren die daaruit ontdaan, zijn het onderwerp der Meetkunde,
III.
Het is enkel door cene aftrekking des Verdands, dat men deze drie afmetingen van de ligchamen zei ven af-fcheidt, om ze afzonderlijk te kunnen befchouwen.
Flet Voorwerp der Meetkunde is dus een afgetrokken en zeer eenvoudig denkbeeld.
dalembert, Mlfin^es y T* IV. p.
V.
Het is aan die eenvoudigheid van het Onderwerp , aan de Grondbeginfels welke de Meetkundigen dellen , en aannbsp;de wijze op welke zij voortgaan, dat men de klaarblijkelijkheid der Meetkunde verfchuldigd is.
dALEMBERT , ifHangis, T. IV. p. 164.
VI.
De Grondbeginfels waaruit de Wiskundigen hunne bewijzen ontleenen, zijn de bepalingen zelve der voorwerpen die zij befchouwen; waar bij fommigen eenige algemeenenbsp;kundigheden voegen , die zoo klaarblijkelijk zijn dat niemand van gezond verdand er aan kan twijfelen. Dezenbsp;worden Axiomata genoemd: bijv. als
I*. Twee grootheden die aan ne en dezelfde gelijk zijn onderling gelijk.
20. Het deel is Weiner dan het geheel.
Squot;* Alle de deelen te famen maken het geheel uit.
4. Indien men gelijke grootheden bij gelijke grootheden voegt, of van dezelven aftrekt, zijn de fom-men of dc vcrfcliillen ook gelijk.
SLvni INLEIDING.
De Wiskundigen maken van twee foorten van bewijzen gebruik: de regtftreekfche en de bewijzen uit het ongerijmde.
Een bevVijs , dat regtftreeks voortgaat, befiaat bierin; dat men, door eene aanengefcbakelde redenering , bet geennbsp;bewezen moet worden uit de eenmaal gellelde grondbe-ginfels afleidt.
De bewijzen uit het ongerijmde beftaan hierin, dat men bewijze dat eene zaak waar is om dat ze niet valsch kannbsp;zijn: dat is, om dat men, met te Hellen dat zij valscb,nbsp;en dus het tegendeel waar is, in ongerijmdheden vervalt.
dalembert , Melanges, T. IV. p. i6: men treft reeds een voorbeeld van die bewijzen aan , in I. n.
IX.
Men maakt in beide de foorten van bewijzen een gedurig gebruik van het grondbeginfel van op elkander /telling {^fuperpofuio') en overeenkomst Ccongruentia'). Men verbeeldt zich namelijk, dat eene Figuur zoodaaig op eenenbsp;andere geplaatst zij , dat eenige der deelen van de eerst-gemelde met eenige deelen der laatstgemeide overeenkomen, of op dezeiven vallen: en men gaat daaruit na, ofnbsp;alle de andere deelen van de eerstgeraelde Figuur op allenbsp;de andere deelen van de laatstgemeide vallen , en dus of dienbsp;beide Figuren geheel met elkander overeenkomen, en gevolgelijk onderling gelijk zijn, ja dan neen.
nAtEMOERT, Mlanges, p. 15, t66. IMt grondbeginfel is liet oorfpronkelijk grondbeginfel van gelijkheid ; zie I. Boek , Bep.nbsp;Vin. Aanm. III. en reeds in het I. Voorftel van het zelve treftnbsp;men een voorbeeld aan van die foort van bewijzen.
GROND-
-ocr page 61-DER
t
OVER DE ALGEMEEN EIGENSCHAPPEN DER
de hoeken
vierhoeken V. . ^ nbsp;nbsp;nbsp;,
DERZELVER ZIJDEN ZIJN,
Regte lijnen, zoo wel op zich zelve beschouwd, als in zoo verre zijnbsp;de hoeken van driehoeken ennbsp; uitmaken , OF
I. BEPALING.
ECCL. I. Ecp. 2. St. I. Bep. 2, L. G, I. Bep, i.
aanmerking. Vsn daar de gewone fpreekwijze der AVis* kundigen, dat de lijn eene lengte is zonder breedte, of dikte,nbsp;AB, fig. I en fig. 2.
IL bepaling.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Sommigen befchouwen de lijn [bij voorb.nbsp;AB, fig, I. A DB, fig. 2.] als door den gedurigen voortgang van een ftip geboren; zoo men wil, als de moet, ofnbsp;het [poor, dat een bewogen flip al .voortgaande, zoude nalaten.
a I. Bock: Over de lijnen , en de zijden der Figuren.
III. aanmerking. De lijnen welke men in de Meetkunde be-fchouwc zijn regte of kromme lijnen.
BEPALING.
III.
Eene regte lijn is eene zoodanige lijn, die overal gelij kelijk tusfehen hare Hippen gelegen is. Fig. i. AB:
EUCL. I. Bep, 4.
St. I. Bep. 5.
GEVOLG.
Wanneer twee flippen gegeven zijn, wordt derzelver afftand van elkander genieten door de regte lijn die vannbsp;het eene tot het andere getrokken wordt.
St. I. Bep, 8.
L AANMERKING. Aiidcrcn Zeggen: eene regte lijn is die, welke de kortfte is tusfehen twee Hippen. Deze bepaling komtnbsp;mij voor eerder een gevolg van onze bepaling, dan wel eennbsp;grondbeginfel te zijn. Hoe dit zij, indien zij aangenomennbsp;wordt, is ons XIX Voorflel een /Ixioma, maar dan wordtnbsp;ook ons eerfle Axioma een Voorllel dat bewezen moetnbsp;worden.
L. G. I. Bep. 3.
II, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het is met deze bepaling gelegen, evennbsp;als met alle bepalingen van zaken, die te eenvoudig zijn omnbsp;met woorden uitgelegd te kunnen worden: zij zijn allenbsp;onvolmaakt, en meer of min duister. De Heer dalembertnbsp;heeft hier over uitmumend gehandeld in zijne Mlanges denbsp;Philojophie IV Deel, bl. 163 en V Deel, bl. 20320.
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Uit dczc bepaling van eene regte lijn vol.nbsp;gen deze drie Axiomata, of algemeene kundigheden en deze drie algemeene vooronderjiellingen , of Postulata,
I. AXIOMA.
Regte lijnen waarvan twee flippen overeenkomen, komen heel over een, of liggen geheel op elkander.
geh
aanmerking. Wanneer men tot bepaling aanneemt, de kortfte lijn tusfehen twee flippen regte hjn genoemdnbsp;wordt, is dit Axioma geen Axioma^ maar een voorftel datnbsp;bewezen moet worden , gelijk ook le gendre gedaannbsp;heeft, I; 3.
II. AXIOMA.
dat
Regte lijnen [AB, CE, fig* 3-] elkander fnijden,
nkidins.
of die uit het zelfde fti? getrokken worden, [selijJ BC, r,E, fig. n.-] hebben niets met elkander g'^^^en ian hetnbsp;flip waarin zij zich fnij en , ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ii*
zij getrokken worden; dit is het ecnigfte het we die lijnen behoort.
St. I. Axioma 13.
lil. AXIOMA.
Regte lijnen wier uiterffe flippen met elkander overeenkomen , en die gevolgehjk \_Axioma I.] geheel overeenkomen, zijn aan elkander gelijk; en omgekeerd^ Yyatw. die aan elkander gelijk zijn, komen geheel niet elkandernbsp;overeen, zoo inen hare uiterfe (lippijn 3 of uilcinden 3 opnbsp;elkander legt.
St. I. Axioma it.
alle de bewijzen, de gelijkheid van regte lijnen betreffende, oorfpronkelijk ontleend worden.
aanmerking. Het is uit dit eenvoudig grondbeginfel dat
1. VOORONDERSTELLING.
Men vooronderflelt dat het niogelijk is ecne regte lijn van eeiiig (tip tot eeiiig ander, of onbepaaldelijk, te trekken.
EucL, I. Postulatum i.
aanmerking, In de praktijk wordt daartoe niets anders dan een liniaal en eene trekpen vereischt.
II. vooronderstelling.
Men vooroiiderftelc dat liet mogelijk is eene gegeven regte lijn te veriengen; her zij zoo ver men wil, het Zijnbsp;tot dat zij aan eene andere gegeven lijn gelijk zij , ofnbsp;grooter worde dan deze.
EUCL. I, Post. 2.
aanmerking. Hoe men handelen moet om uit een gegeven ftip eene regte lijn te trekken, die aan eene gegeven lijnnbsp;gelijk zij , is het onderwerp van het eerfte werklluk, Innbsp;het eerfte boek der werkftukken. De oplosfing is gevestigdnbsp;op het vierde Axioma., na de V Bepairng optegeven.
4 nbsp;nbsp;nbsp;/. Bock: Over de lijnen, en de zijden der Figuren,
III. vooronderstelling.
Men vooronderdelt dat men vni eene peg:ven regte jti een fl:uk kan afiieinen dat aan eene gegeven lijn gelijk is.
aanmerking. Dit is het onderwerp van het ede werkduk, in het I Boek der werkftnkken. De opiosfing is gevestigdnbsp;op het volgende IV Axioma,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t
IV. BEPALING.
Eene kromme lijn is eene lijn, welke [zoo als A DB fig. 2.] ongelijkelijk tusfehen hare uiteinden gelegen is.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. De 11. Aanmerking op de 111. Bepaling isnbsp;ook hier toepasfelUk, Anderen, gelijk le gendre, [1. Bep.4.jnbsp;noemen kromme lijnen, die, welke noch regte lijnen, nochnbsp;een famenftel van regte lijnen, zijn.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Van hct Oneindig getal kromme lijnen dienbsp;men zich kan voorftel en, wordt er maar ne nige be-fchouwd, in het geen men,- volgens den ftrikften zin doornbsp;de Ouden aan dat woord gegeven , Elementaire Geometrie,nbsp;of G ondheginfi'ls der Meetkunde, noemt; te weten, de omtrek des cirkels, en de deelen van dien omtrek.
V.
Fig- 4*
BEPALING.
Men noemt cirkel eene ruimte door ddne ddnige kromme liiti [ABDEFj befloteii, welke de omtrek des cirkels genoemd wordt, en zoodanig gefield is, dat alle de lij.nbsp;nen [AC, BC, DC, EC, FC] die men uit alle denbsp;Hippen van denzelveii trekt tot zeker flip (C) binnennbsp; den cirkel gelegen, en waarin zij derhalven Bimenkomen,nbsp;gelijk zijn. Dit (lip 'Cj wordt het middelpunt des cirkelsnbsp;genoemd: de gemelde lijnen [CA, CB, CD, CE, CF]nbsp;welke daaruit naar den omtrek [ABDEF] getrokkennbsp;worden, dragen den naam vmftralen, of raait. Die vannbsp;diameter, of middellijn, wordt aan^ de lijn [A C E] gegeven , welke, door het middelpunt [C] gaande, den omtreknbsp;wederzijds raakt, Deelen des omtreks [gelijk BD, DE Fnbsp;enz.] worden cirkel bogen genoemd.
eucl. I. Bep. 15, J, n. I* Bep, 9, 10, ii. L. G. U, Bep, 1, 2, 3.
OE-
-ocr page 65-Inleidins.
GEVOLG.
IV. VOORONDERSTELLING.
eucl. I. Post. 3.
aanmerking. Gelijk men, om eene regte lijn te trekken, in de praktijk geen ander werktuig behoeft dan een liniaal en eene trekpen: zoo ook om eenen cirkel te trekken heeft men niets noodig dan een pasfer. Vermits mennbsp;nu, gelijk reeds gezegd is, fliep. IV. Aanm. 2.] in denbsp;Elementaire Geometrie niets anders dan regte lijnen, mitsgaders de figuren uit dezelve famengefteld, en cirkels he-fchouwt; zegt men, dat er, om alles te bewerken wat daarin te verrigten valt , geene andere werktuigen vereischtnbsp;worden dan een liniaal, een pasfer, en eene trekpen,
IV. AXIOMA. Fig. II.
Indien men uit de twee uiteinden [A cn Pgt;] van eene liui, als middelpunten, twee cirkels trekt met een ennbsp;den zelfden draal [AB, BAJ welke gelijk is aan die ln,nbsp;of grooter dan dezelve; zullen die cirkels [CBGED,nbsp;Cn A CFG] elkander [in C en G] fnijden.
I* aanmerking. Men kan thans het 1 en 2 Werkftuk van het I. Boek oplosfen.
II. aanmerking. Euceides heeft wel dit voorflel niet met zoo vele woorden uitgedrukc; doch hij gebruikt het, klaarblijkelijk, in de bewerking van het i, 2 en 3 Voorftel vannbsp;zijn eerfte Boek.
lil. aanmerking. Wij ftellen dit Voorftel onder de /Ixioma-ta om dat het van zelf blijkbaar is. Wolf heeft er in zijne Elementa Matheseos I. Deel, i97* Elem. Geotn. eervnbsp;bewijs van gegeven: het geen hier op neer komt, dat denbsp;cirkels zich fnijden om dat het middelpunt van den eenennbsp;binnen den omtrek van den anderen valt.
IV. aanmerking. Indien men tot ftraal eene lijn gebruikte die korter ware dan A B, zouden de cirkels zich wel fnij-
A 3 nbsp;nbsp;nbsp;den,
-ocr page 66-6 I, Boek: Over de lijnen, en de zijden der Figuren.
den, zoo lang die lijn grooter is dan de helft van A Bs indien z gelijk was aan die helft, zonden de cirkels zichnbsp;Hechts op de lijn zelve aanraken: 74)0 kleiner, zonden denbsp;cirkels zich noch raken, noch fiiijden, maar geheel vaunbsp;elkander afltaan.
VI. B E P A I, r N G.
Men noemt oppervlakte eene ruimte die men alln met berrekking tot lengte en breedte befchouwt, zonder opnbsp;de dikte te letten, maar, in tegendeel, dezelve aftrek-
k. iide.
l. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Van daar de fpreekwijze der Wiskundigen,nbsp;dat de oppervlakte alln uit lengte en breedte beltaat,nbsp;zonder dikte,
EpCL. I. Bep. s. St. I. Bep. 3. L. G, I. Bep 5.
GEVOLG. nbsp;nbsp;nbsp;f
EUCL. I. Bep 6. St. I. Bep. 3,
JI. aanmerking. Sommigen berchouwen de oppervlakte als door den voortgang eener lijn geboren: a's het [poor, ofnbsp;de moet, die eene bewogen lijn zoude nalaten.
Vil. BEPALING.
EUCL, I. Bep. 7, I. G- I. Bep 6.
J, AANMERKING. Anderen bepalen het Flak aldus: eene op-pervlakie, welke eene regte lijn in alle hare deelen kan raken: op welke eene regte lijn geheel past en fluit.
Zie cLAVius op de 7 nbsp;nbsp;nbsp;^et I. Boek van euclides.
St. l. Bep 6.
I, AANMERKING. Wij Zijn hier wederom in het geval, waarvan wij in de II. Aanmerking van onze III Bepaling ge-wag gemaakt hebben.
JII. aanmerking. Men laerke eens vooral op, dat alle de deelen van de figuren, die in de negen eerlle Boeken voor-^Ouea I vooronderlleld worden voor iedere liguiir, of famen-
ft?lgt;
-ocr page 67-Inkiding, nbsp;nbsp;nbsp;7
fielHng, in een en het zelfde vlak te liggen, zoo dat alle de figuren vlakke figuren zijn.
De onderlinge Iicllrag van twee lijnen TD B en E BJ die in het zelfde viak gelegen zijn, en verlengd worden,nbsp;tot dat zij elkander in eenig fiip [C] fnijden, of ontraoe-ten, wordt vlakke hoek genoemd. Die hoek is regtlijnig,nbsp;200 de lijnen, die denzelven nitmakcn, regt zijn.
Het flip [B], waar de beide lijnen elkander ontmoeten, of waarin zij zich fnijden, wordt de kruin ^ of de top ^ vannbsp;den hoek genoemd: de lijnen zelve [BD, BE] zijn denbsp;henen van den hoek.
BucL, I, Bcp. 3 en 9 St, I. Bep, 13* G. I. Bep 9
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking Wanneer een hoek met letters wordt uitgedrukt, gebruikt men daartoe, of drie letters, of cnenbsp;letter: als men er dne gebruikt, is het altijd de letter dienbsp;aan den top flnat; als men er drie gebruikt, fielt men altijd de letter van den top in het midden ; dus wordt denbsp;hoek in fig. 5. of hoek DBE, of wel enkel hoek B, genoemd. Als een hoek, gelijk in hg. 5., alleen haat, gebruikt men meest enkel de top-letter: maar wanneer, gelijk in fig. 7, verfeheide lijnen AB, EB, DB, FB, CBnbsp;in een flip B himen komen , en dddr verfeheide hoekennbsp;maken, moet men noodzakelijk drie letters gebruiken, ennbsp;zeggen de hoeken ABE, EBD, DBF, FBC;of wel,nbsp;men fielt in zoodanig geval een klein lettertje ?, n, p,nbsp;q, in ieder der hoeiten digt bij de kruin, en noemt isderennbsp;hoek naar het lettertje dat er in Haat, hoek m, hoek n enz,
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanaierking. Daar de hoek de helling van twee lijnennbsp;is; volgt het, dat de grootte van den hoek alln uit denbsp;grootte van die helling, en geenszins uit de lengte dernbsp;beenen van denzelven , moet beoordeeld worden. Of de bee-nen lang of kort zijn, of zij meer of min verlengd worden, blijft hunne helling, en dus de hoek dien zij maken,nbsp;de zelfde: in hg. 5 is hoek DBE de zelfde hoek als IBK.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men beoordeelt de gelijkheid van_ tweenbsp;hoeken uit derzelver overeenkomst. Zy zijn namelijk gelijk, Indian, wanneer men vooronderflelt, dat [hg 5 en 6]nbsp;Be beide toppen F en B op elkander, en een been [FN]nbsp;van den nen hoek langs een been [E BI van den anderen, gelegd zijnde, het tweede been [CF] van den ecrsc-gemelden, niei het tweede been [DB] van den laatstge-
@ I. Boek-, Over de lijnen^ en de zijden der Figuren.
melden, overeenkomt, en dus de zelfde helling heeft. Zoo dit geen plaats heeft, zal die hoek de grootfte zijn, wrensnbsp;tweede been buiten het tweede been van den anderen valt,nbsp;gelijk in fig. ^8, hoek DBK grooter is dan hoek DBC;nbsp;en hoek E !JF kleiner is dan hoek CBF.
Dit is het oorfpronkelijk denkbeeld , en de natuurlijke maat, van de gelijkheid of ongelijkheid van hoeken.' Denbsp;zwaai der Timmerlieden ftennt op dat grondbeginfel. Ennbsp;het is daarop, en daarop alln, dat de Wiskundigen alksnbsp;bouwen, wat zij van de gelijkheid of ongelijkheid van ver-fchillende hoeken bewijzen.
IV. AANMERKING. Er zijn er, die willen, dat men in de vergelijking van twee hoeken dus te werk gaa: dat men namelijk [fig. 5 nbsp;nbsp;nbsp;6'] van de beenen gelijke deeien BI, BK,
/LF, MF atfnijde ; met dezelven als flrakn, uit de toppen B en F, cirkelbogen IK, LM befchrijve: en dat men dan uit de gelijkheid of ongelijkheid der ruimten 11? K ,nbsp;LFM over de gelijkheid of ongelijkheid der hoeken oor-deele. Zie dalembert , Melanges, V. Deel, p. 207. ennbsp;p. 3R. Doch men moet met het denkbeeld van een hoek,nbsp;welke enkel- in de helling van twee lijnen beftaat , datnbsp;van eene ruimte, die tusfehen drie lijnen begrepen is,nbsp;niet verwarren. Ook niet met dat van eenigen boog I Knbsp;dien men als maat van den hoek aanneemt. [St. I, Bep. 14.]nbsp;Wij zullen, wel is waar, in het eerfte en tweede Voordelnbsp;van ons VIII Boek bewijzen , dat de cirkelbogen eenenbsp;eigenaartige maat voor hoeken opleveren: doch ik twijfelnbsp;(Of dit grondbeginfel wel als een eerpte grondbeginfel kannbsp;befchouwd worden: vooral wanneer men tevens het denkbeeld van graden waarin de omtrek des cirkels verdeeldnbsp;wordt, voegt bij dat van den boog waar door men zegtnbsp;den hoek te meten, dat is, bij dat van den hoek zelveu.
-ocr page 69-OVER, 'dr re GTE LIJNEN OP ZICH ZELVE beschouwd.
1. VOORSTEL. nbsp;nbsp;nbsp;i
Wanneer eene lijn [E B) op eene andere [D F) in het zelfde vlak geleden, in eenig flip [B] invalt, maakt zijnbsp;om dat fi:ipquot;[B] twee hoeken, [EB F en EB Dj die ofnbsp;onderling gelijk zijn [fig. 9.) of ongelijk [fig. 8.)
aanmerking. Dit voordel is, in de daad, een Axioma. De voorwaarde in het zelfde vlak gelegen, is hier, duidelijkheids halve, rog eens bij gevoegd: maar zij moet, gelijknbsp;reeds gezegd is (Eep. VII. Aanm. 3.) voor alle de voordellen in de negen eerde Boeken, dilzwijgend vooronder-fteld worden.
IX. BEPALING. Fig. 9.
Wanneer eene lijn [EBj zoodanig op eene andere lij'a [DF] invalt, dat zij ter wederzijde van het ffip [B] vannbsp;invalling gelijke hoeken [E B D, E B Fj maakt, worden dienbsp;hoeken regte hoeken genoemd ; de invallende lijn [EB]nbsp;wordt gezegd hodregt op de andere [DFJ te Baan, ennbsp;draagt den naara van loodregte, of perpendiculaire, lijn.
Een hoek [E B D fig. 8.] die grooter is dan- een ^egte hoek [DBCj wordt Jiompe , of plompe hctM'nbsp;noemd: en een hoek [EBF] die kleiner is dan een regtenbsp;C B F] wordt fcherpe hoek genoemd,
EUCL. I. Bep. 10, II , 12, St, I. Bep. is, l6, 17. L. G. I, Bep. 10, II,
AANMERKING. Uit dczc bepaling van den regten hoek volgt dit Axioma.
Wanneer een flip [A fig. iS.j buiten eene lijn [ID], derzelver verlenging, gegeven is ; zal er onder denbsp;menigvuldige lijnen 'die men uit f^P [A] op die lijnnbsp;[IDj trekken kan, zeker eene zijn [AB] die loodregtnbsp;op dezelve valt: en insgelijks onder de menigvuldige lijnen [BC, BE, fig. 8.) die men uit een gegeven ffip
A 5 nbsp;nbsp;nbsp;[B]
-ocr page 70-lo I, Boek: Over de lijnen, en de]zijden der figuren.
AANMERKING. Dat cr uit ecu fcip in eenc gegeven lijn maar dt'ne dnige loodregte op die lijn gerigt kan worden, zal in Voorftelnbsp;II. Gev. 2. bewezen worden: dat er insgelijks uit een ftip buiten eene hjn. maar dne ddnigc loodregte op die lijn vallen kannbsp;zal bewezen worden in het XI, Voorfcel.
II. VOORSTEL. Fig. 9 en lo.
Ilt;. G. I Iquot;
VERKLARING. De vraag is hier niet of, wanneer de lijn eb [fig. 10.] loodregt vak op de lijn Al, de hoek ABEnbsp;gelijk is aan den hoek EBI? en of, wanneer de lijnnbsp;EB [fig. 9.] loodregt valt op de lijn DF, de hoeknbsp;DBF- gelijk is aan den hoek F B E ? want de gelijkheid diernbsp;hoeken levert de bepaling op van loodregte lijnen [Bep. 9.]:nbsp;Maar de vraag is, of de hoek ABE [fig. 10.] welke doornbsp;de loodlijn BE gevormd en regl genoemd wordt, gelijk isnbsp;aan den boek EBD [fig. 9.] die door de loodlijn EB gevormd, en ook regie hoek genoemd wordt?
BEWIJS. Men onderfielle dat de fig. 9. op de fig. 10, zoodanig geplaatst worde , dat het flip B op B en denbsp;lijn BE op BE valle. Ik zeg dat de lijn DF op de lijnnbsp;AI vallen zal. Zoo iemand het lochent , onderftelle hijnbsp;dat de lijn DBF niet op de lijn ABI valle, maar van dezelve verfchillende zij: dan is Z DBEgt; I A BE, en derhalve is de gelijke Z EBF ook gt; AbE: maar Z ABEnbsp;= Z EBI [Bep 9.]: gevolglijk Z EBF ook gt; EBI;nbsp;dat onwaar is, want hij is kleiner [Bep. VIII, Aanm 3.],nbsp;dus is het onwaar dat de lijn DF niet op AI vak:nbsp;derhalve is het waar dat DF op AI valt: en gevolgelijknbsp;ook dat Z D B E = Z A B E ; en Z E B F = Z E BI.
AANMEUitiNG. Euclides heeft die gclijkheitl der regte hoeken , ais eene zaak welke van zelf fpreckt, aangenomen; doch pito-ci.us heeft, te regt, beweerd, zijne aanmerkingen op diennbsp;Schrijver, dat de zaak bewezen moest worden. Men zie clenzei-ven, zoo nis ook clavis in zijne Aanmerkingen op het o. Axiomnbsp;van het I. Boek van euclides.
I. gevolg.
k-
-ocr page 71-It
I. Afdtding: Over de regie lijnen.
levert die hoek eene eigennartige maat op, welke tot het bepalen der grootte van alle andere hoeken zai kunnennbsp;dienen.
It GEVOLG.
Uit een flip B van eene regte lijn DF, kan maar eene loodlijn ilC [fig. S.] opgerigt worden.
Si, I. 1, Gev. I.
VVannecr eene regte liin [RR] op eene andere [DF] invalt, en dezelve in eenig ftlp [Pgt;] Tnijdt, maakt zijnbsp;om dat (lip of twee regte hoeken [DI5E en EB F,nbsp;^3- 9'] of twee hoeken [i)BE en EBF, fig. 8.], die,nbsp;te (amen genomen, gelijk zijn aan twee regte hoeken.
BvcL. I. 13. Sc. I. I. L. G, I, a.
BEwiji. Voor het eerfte geval, wanneer de lijn EB [fig. 9.] gelijke hoeken O BE en EBF maakt, bljjkt de zaak uitnbsp;Bep. 9.
in het tweede geval ffig. 8.] , wanneer de lijn E B fchuins invalt, en dus niet loodregt Haat , maar ongclij ve boekennbsp;DBE en EBF maakt, ftelle men \_/ixioma 5.] dat de lijnnbsp;BC loodregt zij. Dan wordt het bewijs ontleend uit denbsp;befchouwing dat de fom der hoeken I) 15 E en 15 F gelijknbsp;is aan de fom der twee regte hoeken DBC en C13F.
GEVOLG. Fig. 7.
Alle de hoeken [ABE, EBD, DBF, FBC] welke om een en het zelfde Itip [B], en aan den zelfden kantnbsp;van eenige lijn [ACj, door zoo vele lijnen [EB, DB,nbsp;F B] als men wil gevormd vvorden, zijn te iumen genomen gelijk aan twee regte hoeken.
L. G. I. . Gev, 3.
IV. VOORSTEL. Fig. 12 en 13.
Indien twee regte lijnen [AB en BC] eene derde [DB]
in het zelfde flip [is] ontmoeten, zoodanig dat ^ij met dezelve twee hoeken maken [ABD en DBCJ die, te fa-tneii genomen, gelijk zijn aan twee regte hoeken; zu'letinbsp;fiie twee regte lijnen [AB, BC] maar eene en de zelfdenbsp;regte lijn [AC] uitmaken.
ivcL. I, 14. St. I. I. Cev. S. L. C. I. 4.
BE.
-ocr page 72-12 I. Bock: Over deUjt2n^ en de zijden der figuren.
BEWIJS. Het wordt afgeleid uit de ongerijmdheid waarin men vergalt, met het tegendeel te (lellen, en te bewe.nbsp;ren , dat niet A B de verlenging van B C is, en met deze maar dne lijn AC iiiimaakt [fig, 12], maar dat EBnbsp;[fig. 13-] voorbeeld, de verlenging van BC zoude zijnnbsp;en C B , A. twee lijnen zonden nitmalien, De ongerijmdheid is uit het III. Voordel blijkbaar.
aanmerktkg. Dit Voordel is het omgekeerde van het voorgaande. Niet alle Voprdellen kunnen omgekeerd worden, of zijn, gelijk men zich in de redeneerkunde uitdrukt, omgekeerd waar. Wij zullen het altijd doen opmerken , wanneer die omkeering plaats heeft.
V. VOORSTEL. Fig. 3.
Iiidien twee lijnen (AB, CE] elkander in een flip [D] fii jden, zullen de tegenoverflaande of fchriks-hoeken dienbsp;om dat ip [D] gevormd worden [ADE en CDB;nbsp;A DC en E D B] aan elkander gelijk zijn: en de viernbsp;lioeken zullen, te fameti genomen, gelijk zijn aan viernbsp;regte hoeken.
Euci.. I. IS. Sc. I. . L. G. I. 5.
BEWils. Uit Voordel III..
Aanmerking. Het eerde gedeelte van dit Voordel komt mij voor geen bewijs noodig te hebben, en onder de al-gemeene kundigheden gedeld te moeten worden , daar A Dnbsp;en DE, als zijnde de verlengingen van BD en CD, noodwendig de zelfde onderlinge helling hebben, als deze, ennbsp;dus eenen even grooten hoek maken.
GEVOLG. Fig, 7.
Alle hoeken, die om n (lip gemaakt kunnen worden, door zoo vele regte lijnen men wil, zijn te famen genomen gelijk aan vier regte hoeken.
St. I. 2. Gevolg I. L. G. I. 5. ScliuUc.
VI. VOORSTEL. Fig. 14.
liidien eene regte lijn [CK] twee andere regte lijnen' [AD en GE] zoodanig mogt komen te fnijden [in B ennbsp;in F] dat de uitwendige hoek [C B A] aan den eenennbsp;kant seliik ware aan den teaenovergeelden inwendi-gen [CFG] aan den zelfden kant ; zal ook de anderenbsp;Nitwenci'ge hoek [GFK] aan den zelfden kant gelijk
zijn
-ocr page 73-13
zijn aan zijnen tegenovergeftelden iinvendigen [A 8 KJ : en de uitwendige hoeken [C B D en E F KJ aan den anderen kant zuilen ook g-lijk zijn aan hunne tegenover-geftelde inwendigen [CFE en DBK] aan dien kant, iedernbsp;aan ieder.
iiEwijs : Uit Voorftel UI.
X. BEPALING. Fig. 14.
Regte lijnen [AD, GE] worden gezegd aan elkander parallel of evemvijdig, te zijn, als zij, ten opzigte vannbsp;teiie derde lijn [CKJ die haar (hijdt de zelfde helling hebben: d. i, met deze eenen uitwendigen hoek [CBA] aannbsp;eenen kant, gelijk maken aan den tegenovcrgellelden inwendigen [C F G] aan den zelfden kant.
I. aanmerking. Her zesde Voordel toont aan dat het on-verfchillig is aan welken kant men de hoeken neme die men zegt gelijk te zijn. [t. w. of CBA en CFG: ofnbsp;G F K en A B K: of C B D en C F E: of E F K en D B Ko.
Wanneer twee, of meer, regte lijnen onderling evenwij-dig zijn, zal de lijn die eene derzelve Ihijdt, ook (des noods verlengd zijnde^ alle de andere, (des noods verlengd) fnijden.
II. AANMRRKiNG. Euclides liecft Wel dit gevolg niet uitdrukkelijk voorgedragen maar hij gebruikt het, niet te min, ftzwijgcnd,nbsp;op verfcheide nlaatfen: gelijk in de bereiding van het 30 en 31nbsp;Voorftel van zijn eerfte bock. Zie de aanmerkingen van koe-NiG op het 27 Voorftel. Misfehien echter volgt die ftelling nietnbsp;zon oiimiddelijk uit de bepaling welke euci-ides van de even-wijdige lijnen gegeven heeft.
III, nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Het Valt niet gemakkelijk een waar en eenvoudignbsp;denkbeeld van evenwijdige lijnen te geven. Daar over zjjn, innbsp;vroegere en latere dagen, gchccle boekdeelen gefchreven, dienbsp;het noodeloos zoude zijn hier aantehalen. Men kan zich vergenoegen met dalemeert. Mlanges de Philofophie , V. Deel,nbsp;p 202, gclk mede TAcyuET en clavios , in hunne verklaringennbsp;over de 34^*^ bepaling des eerftcn hoeks van Eutxioss te raadplegen. ik heb die bepaling voorgedragen welke mij voorkomt denbsp;eenvoudigfte en meest juiste te zijn, en die tevens toelaat,nbsp;om alle de eigenfehappen der evenwijdige Ijjnen te bewijzen,nbsp;zonder, gcjk euclidks gedaan heeft, de eigenfehappen der driehoeken interoepen.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Etjcudes geeft (L B. Bep, 33.) deze bepaling vannbsp;de evenwijdige lijnen: het zijn lijnen die, in het zelfde vlaknbsp;gelegen, en in het oneindige verlengd, elkander nimmer fny-
den.
i
-ocr page 74-4 Soek: Over de lijnen, en de zijden der figuren.
,, den Ik twijfel of het denkbeeld v:in eenc verlenging in het oneindige. en van nmiier te fnijden , voor een eerst grondbe-ginfel duidelijk genoeg zij : wij zullen in liet Gevo'g van hetnbsp;X, Voordel bewyzen, dat die eigenfehap van zich nimmer tenbsp;fnijden , ook uit onze bepaling der evenwijdige Ijjnen volgt.
L. G. I Bep, IJ.
V. aanMf.ukino. Anderen geven deze bepaling: evenwijdige lijnen zijn die, welke altijd even ver van elkander alftaau , dat is,nbsp;die zoodanig zijn, dat alle loodlijnen [HL, CK, ir I , fig. 15]nbsp;tuslchen dezelve getrokken , gelijk zijn. Wij zullen in het XIll.nbsp;Voorftel bewijzen , dat dit ook uit onze bepaling volgt : dochnbsp;wij behooren te doen opmerken, dat deze bepaling niet doorgaat , ten zij men te voren bewezen hebbe . of vooronderftelle,nbsp;dat de aflta.nd van ee lig Hip [B] to; eenc regte lijn [MG],nbsp;door de loodlijn [B L] moet gemeten worden.
Sc. I. Bep, 27.
II.
GEVOLG. Fig. 14.
Eene lijn [GE] en een flip [R] gegewn zv.nde, lean men altijd vooroiiderfleileii dat er eenige lijn [RTgt;] doornbsp;dat flip [B] gaat welke aan de gegeven lijn [GEJ evenwijdig is.
BEWIJS. Indien men door het flip B eene lijn CBK naar welgevallen trelrt, welke de lijn GE fnijdt , en derlialvennbsp;met haar eenen hoek CFE maakt: zal er onder alle denbsp;lijnen welke men uit B trekken kan, noodzake!i]k eenenbsp;zijn, waar mede de liju C K. eenen hoek C B U maken zalnbsp;gelijk aan den hoek CFE.
Hoe men eenc zoodanige evenwijdige Ujn trekken kan, is het onderwerp van het VI. werkfeuk des eerften boeks: en zal naderhand geleerd worden.
aanmerking, op deze onze bepaling fleunt de wijze door velen gebruikt, om door middel van twee linialen evenwijdige lijnen te trekken: Immers , indien men het liniaalnbsp;NH [figquot; 49-] met den kant _N f tegen de lijn legt, waaraannbsp;men evenwijdigen trekken wil, en men (lelt den kant O Hnbsp;van het liniaal OI, tegen IG: zal het liniaal NH, langsnbsp;den kant O H zich zoodanig bewegen , dat het daar mede beftendig gelijke hoeken maakt aan den zelfden kant,nbsp;dat is, zich evenwijdig aan zich zelveii beweegt.
14.
Vil. voorstel. Fig.
Wanneer eene r*egte lijn (CK) twee evenwijdige regte lijnen [AD, GL] fnijdt, zP tie overhandfche. ofnbsp;verwisfolende hoeken [A,BF en BFL, of DBF en BFG]nbsp;onderling gelijk: en a. de twee inwendige hoeken, die
15
?an den '/elfden kant ftaan [ABF en GFB, of DOF en BFL] zijn te famen genomen gelijk uaii twee regie hoeken.
EUCL, I. 29. St, I. 12* L* G. I. fl3.
BEWIJS. Voor het eerfte tiit den aard der evenwijdige lijnen; d, i. uit Bepaling X, bl. 13. en uit Voorl'tei V.
Voor het tweede, uit Bepaling X, en Voorftel III.
gevolg. Fig. 15.
Regte lijnen [BL, CK, DI],^ welke op de eene [AF] van twee evenw'ijdige lijnen [AF, MG] loodregt Itaaii,nbsp;Itaaii ook loodregt op de andere [MG],
St. I. 12, Gcv. I.
VIII. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL. Fig. 14.
Indien eene regte lijn {CK] twee andere [AD, GLJ zoodanig fnijdt, dat de overhandfehe hoeken [ABF ennbsp;BF L of CBD en GFK] onderling gelijk zijn : of dat denbsp;ibm der beide inwendige [ABF en GFB of B'FL ennbsp;FBO] aan den zelfden kant genomen, gelijk is aan tweenbsp;regte hoeken; zijn die twee lijnen [AD, GL] evenwijdig.
EUCL. I. 27 en 28. St, I, 12. Gev. 3.
BEWIJS. Voor het eerste uit de onderllelling, Voorftel V. en Bepaling X.
Voor het tweede , uit de'^nderftelling, Voorftel III. en bepaling X.
AANMERitiNG. Dit Voorftel is het omgekeerde van het voor-gaanae: en het kan ook, gelijk, meestal, voor de omgekeerde voorflellen plaats heeft, uit het ongerijmde bewezen w'orden: want indien AD niet evenw'ijdig is aan GL, zal eenige andere lijn Hl, door het flip ]J gaande, evenwijdig aan GL zijn [Bep. X. Gev. 2.], doch dan vervaltnbsp;men Cdoor Voorftel VII.) in de ongerijmdheid dat ^ HBF
/ ABF zoude zijn,
GEVOLG. Fig.
Regte lijnen [BL, CK. Dij welke loodregt ftaan op eene en de zelfde lijn [A FJ zijn onderling evenwijdig,
IX. nbsp;nbsp;nbsp;voorstel. Fig. 16.
Zoo twee,, of meerdere, regte lijnen [CD, EFJ aan
eene
-ocr page 76-i6 I, Boek: Over de lijnen, Cfi do zijden der figuren.
eene en de zelfde regte lijn [ABJ evenwijdig zijn, zijn zij onderling evenwijdig.
EcL. ! 3- L. G. I. 24.
bereiding. Men trekt naar willekeur de lijn G L die de lijnen AB, CD, EF, in H, I en K fnijdc.nbsp;bewijs. Uit Bepaling X. Gevolg i.
X. VOORSTEL. Fig, 4.
Indien eene lijn [C K] twee andere regte lijnen [MI en GL] zoodanig friijdt, dat de beide inwendige hoekennbsp;[IGF en BFL] aan den zelfden kant, te famen genomen , kleiner zijn dan twee regte hoeken: zullen 1. dienbsp;twee lijnen [KI en GL] niet evenwijdig zijn aan elkander: en 2. zij zuilen, des noods verlenad zijnde, elkander ergens [in E] naardien kant, fijden , of ontmoeten,
L. G. I. 22.
BEWIJS. Voor het 1. Zoo he: onwaar is, dat Hl en GL niet venwijdig zijn aan elkander; is het waar dat zij onderling evenwijdig zijn : en derhalven [Voorft. vU,] datnbsp;L IBF 4BFL = 2 Ldat ongerijmd is, om dat hetnbsp;tegengeftelde vooronderileld wordt.
Voorliet ([. Vermits (door het eerfte) Hl niet evenwijdig is aan GE, gaat er door B eenige andere lijn AD die aan GE evenwijdig is [Bep. X. Gev. 2]. Dan fnijdt Hlnbsp;de lijn AD: gevolglijk ook- de evenwijdige GL [Bep. X.nbsp;Gev. I.] , dat is HI en G L ontmoeten elkander ergensnbsp;in E.
AANMERKING. Euclides liccfc dit voorftcl oiidcr de algemeene kundigheden gefteld: het is namelijk bij hem de elfde; dochnbsp;het behoort niet tot die klasfc : Zie koenig op die plaats en opnbsp;het 27 Voorfcel van het I Boek , en tacquet op het 31. Mon-TUCLAnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;des Mathem. I. p. 209,) gist, to regt, dat dit
Axioma, door onnaauwkeurigheid der oude Copisten, uit zijne ware plaats is gerukt, cu dat het eene gevolgtrekking geweestnbsp;is uit het 28 Voorftel. Nassareddin-al - tossi heeft divnbsp;in zijne Arabifche uitlegging van euclides, welke te Romen isnbsp;uitgegeven , bewezen: wallis heeft eene Latijnfche vertaling vannbsp;dat bewijs in zyne Opeta Mathematica ^ Vol. ii. bl 67 en 672nbsp;geplaatst en er eene andere ' van zich^ zelven , mitsgaders velenbsp;aanmerkingen op dit onderwerp , bijgevoegd. Men raadplegenbsp;ook over dat bewijs, en over de leer der evenwijdige lijnen,nbsp;de Verhandelingen van CASTILLON. in de Memoires de l'Acadd~nbsp;fllie de Berlin, voor de jaren ifS 1788,
'* ?
I, GE.-
-ocr page 77-17
EwTjs. Zoo neen , laten de lijnen Hl, GL, hoewel evenwijdig , zich in E ontmoeten. Dan maakt de lijnnbsp;HIE met de lijn GLE, in het ftip E, eenen hoek HEG:nbsp;men neme in de lijn HE een flip B, naar welgevallen;nbsp;dan zal er , onder alle de lijnen welke uit B getrokkennbsp;kunnen worden', ne zijn die in B met B E eenen hoeknbsp;maakt gelijk aan den hoek BEF: zij A B D die lijn, zoonbsp;dat L DBE L BEF: dan is [door Voorfl. VUL]nbsp;AD // GE: en derhalve i*. L DBF -{- L BF=caL.nbsp;maar om dat, door de onderftelling, HE // GE, isnbsp;[Voorft. VIL] 2. Z EBP Z BFE = 2 L: derhalve 3. Z DBF -f Z BF E = Z EBF -}- Z BFE:nbsp;en dus Z DBF = Z EB F, dat valsch is. Het is dusnbsp;onwaar dat de lijnen Hl en GL, zoo zij onderling evenwijdig zijn, zich ergens ontmoeten. Zij ontmoeten zichnbsp;derhalve nimmer.
AANMERKiNO. Het blykt dan dat de bepaling welke ecudes van de evenwijdige lijnen gegeven heeft (X. Bep. Aacm. 4. bl. 13,)nbsp;een gevolg wordt van de onze,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;''
BEWIJS. Zoo neen, d. i. zoo AD niet //GL, is niet ZDBF ZBFL=aL [Voorfte! VII.] , maar of gt;,nbsp;of lt; 2 L. Zoo Z DBF Z BFL gt; 2 L, isnbsp;[Voord IIL] Z ABF -j- Z BFG lt; 2 L, en derhalvennbsp;zouden (door dit Voordel) AD en GL zich naar diennbsp;kant ontmoeten , dat tegen de onderdelling drijdt, ennbsp;dus ongerijmd is. Zoo Z DBF Z BFL lt; 2 L, zouden AD en GL zich naar den kant van L Inijden: datnbsp;insgelijks tegen de onderdelling drijdt, en dus ongerijmd is;
aanmerking. Het blijkt dan dat ook onze bepaling uit die van buclides volgt.
18 /. Boek: Over de lijnen, n de zijden der figuren.
kander ergens [in E] ontmoeten, zal de fom der beide inwendige hoeken [EFB en F BE] die zij met de gemelde lijn BF maken, kleiner zijn dan twee regte hoeken.
BEWIJS. Immers zoo die fom gelijk aan twee regte hoeken was, zouden die lijnen evenwijdig zijn [Voorkei Vlll]:nbsp;zoo zij grooter was zouden de lijnen zich aan den anderennbsp;kant van B F, en niet in E , ontmoeten: dat tegen de on-derftelling krijdt.
aanmerking. Dit gevolg is het omgekeerde van het voorkei.
Indien verfcheide regte lijnen [AB, AC, AD], uiteen en het zelfde Hip fA] getrokken, op eene regte lijn [EF]nbsp;invallen, kan er maar ne derzelve [Hel A B] loodregtnbsp;zijn: aquot;. de overige zullen, met de gegeven lijn [EF]nbsp;ten opzigte der loodlijn [A B] des te kleiner fcherpe inwendige [AC B en AD Bj en des te grooter flompe uitwendige hoeken [AC F en AD F] maken, dat de gemelde lijnen zich meer van de loodlijn verwijderen: 3V. denbsp;loodlijn is de kortde van alle die lijnen; de overige zijnnbsp;des te langer dat zij verder van de loodlijn afltaan.
L* G. 1, 15 9
BEWIJS. Voor hetl. Uit Voorkei X Gev. 3. is, zoo i ABC regt, i ACB, 01 /, ADB noodzakelijk kleiner dan regt ofnbsp;[Bepaling IX.] fcherp: en dus [uit Voorkei UI,] ^ ACFnbsp;of 2 ADF grooter dan regt , of komp.
Voor het II. Zij ID //AC: dan is Z IDB = ZACB [Bep. X,] ; derhalve is Z A D B die lt; is ZID B, ook lt; A C B; ennbsp;gevolgelijk [uit Voorkei III.] l ADF gt; 2 AC F.
Voor het III; bereiding. Zij CG x op AC en CH i op A C: dan zal, om dat l ACB fcherp is [uit het L] ennbsp;Z ACG L, de lijn CG onder CB vallen, en dus ABnbsp;verlengd ontmoeten: en om da: 2 A C D komp is, en dusnbsp;gt; Z ACH die regt is, aal cH op AD cusfeheu A en D
vallen.
BEWIJS. AC is of s AB , of lt; AB, of gt; AB j zoo AC = AB, is om de zelfde reden AG = A Cs ennbsp;dus AG = AB: dat valsch is. Zoo AC lt; AB,nbsp;is, om de zelfde reden , AG ^ A C en dus AG lt; AB:nbsp;dat valsch is. Daar dan AC noch ~ AB, noch lt; AB,nbsp;is AC gt; AB. Dan is ook AH gt; AC, en dus AD gt; AC.
St. I, Bep. 25.
Immers de kleinfte zijnde van alle de lijnen die neder, gelaten worden , heeft zij eene bepaalde grootte, en dusnbsp;het vereischte om tot maat te dienen: daar alle de anderenbsp;lijnen grooter of kleiner zijn, naar mate van de hoekennbsp;onder welke zij invallen.
Er kunnen uit eenig ftip [A] op eene lijn EF aan den zelfden kant van de loodlijn geen twee lijnen getrokken worden die aan elkander gelijk zijn: maar welnbsp;twee [AC en Al] gelijke, waar van de eene aan dennbsp;eenen de andere aan den anderen kant van de loodlijnnbsp;valt; deze maken gelijke hoeken [lAB en C A B] met denbsp;loodlijn, en ook gelijke hoeken [AIB en ACB] met denbsp;lijn waarop zij vallen.
BEWIJS. Indien men uit A met den radius AC eenen cirkelboog trekt, die de lijn EF in I fuijdt, en dan de lijn AI trekt, is AI = A C.
Indieii men zich verbeeldt de lijn B C op te tillen , en langs B l te leggen, blijvende B in B, eii B A op BAnbsp;vallen, zal liet ftip C op I vallen: want viel het tusfchennbsp;J en B, zonde de lijn AC korter, en zoo voorbij I zoude zij langer zijn dan Al, (door dit Voorftel) daar echternbsp;A C = A I [Ber.]. Zoo nu C op 1 valt, is BI B C; en valtnbsp;AC op Al.dan.isZ IAB = Z CAB en I = l ACB.
I. AANMERKING. Meii is nu in ftaac om het 3 en 4 werkftuk van het I. Boek op te losfen.
II. AANMERKING. De drie leden van dit Voorftel, en deszelfs twee gevolgen, kunnen ook hit de leer der driehoeken bewezen worden ,nbsp;en worden het doorgaans: men zie hier onder Voorftel XVII. denbsp;Aanmerking , en Voorftel XXVII. Gev, 4. Aanmerking 3 ,nbsp;Welke uit andere gronden, dan dit Voorftel, bewezen worden.
Xlf. VOORSTEL. Fig. 19.
20 nbsp;nbsp;nbsp;/. Bock: Over de lijnen^ en de zijden der figuren,
van de andere liin [AB] af, dat zij meerder van het flip van ontmoeting [AJ verwijderd zijn.
CLAVIOS op EUCUDES I. 28. Vergelijk L. G. I. so.
UITLEGGING. Daat wij' nu weten [Voorde! XI. Gev. i.] dat de aflland van een ftip tot eene lijn door de loodlijnnbsp;uit dat flip op de gemelde lijn nedervaliende gemeten wordt,nbsp;moet men bewijzen dat die loodlijnen (del Ml, FG, DE,nbsp;CB) grooter en grooter worden naar mate de dippen II, F,nbsp;D, C verder van A afdaan,
BEWIJS. Zoo dit Voordel al niet als Axioma mag be fchouwd worden; zij Hl eene x op AB, en HG eene Xnbsp;op AC, en GF X op AB , en FE X op AC ennbsp;EDXopAB, enDRXopACenBCxopAE; dannbsp;is door Voordel XI. No. 3.; BC gt; DB gt; DE gt; FEnbsp;gt; F G gt; H G gt; IH.
XIH. VOORSTEL. Fig. 15.
Twee regte lijnen die onderling evenwijdig zijn, [AF, MG] ftaan altijd op den zelfden afftand van elkander:nbsp;dat is, de loodlijnen [del BL, CK*, Dl] tusfehen en opnbsp;dezelve getogen, zijn onderling gelijk.
L. G. 1. 25.
UITLEGGING. De i'edeii van de woorden dat is ligt in het 1, Gevolg van het XI. Voordel.
BEWIJS. Indien de XX BL en CK niet gelijk aan elkander zijn , zij eene derzelve bijv. C K grooter dan B L; zij dan het ftiik KO BL. IVIen trekke door B ennbsp;O de lijn BO. Om dat BO binnen den Z LBC valtnbsp;die regt is, is L LBO lt; L en dus i BLQ Z LBOnbsp;lt; 2 L: en derhalve ontmoet de lijn B O verlengd denbsp;lijn MG ergens in Q [door X.]: derhalven moet 0Klt;nbsp;LB zijn [Voord. Xll.) dat ftnjdt met de onderdellingnbsp;dat O K = LB, en dus nmogelijk is: het is dan onwaarnbsp;dat C K lt; B L: en dus is C K ss B L.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan thans de 2 oplosfing verrigcen vannbsp;het 6 werkduk des eerden boeks.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. De benaming evenwiidige lijnen , verwektnbsp;in onze taal terftond het denkbeeld van lijnen die altijdnbsp;even wij'd, of even ver van elkander ftaan: dit denkbeeld isnbsp;nu ftrikt bewezen: hoewel ht inisfchien, ingewikkeld,
reeds
-ocr page 81-21
reeds befloten lag in het denkbeeld van zich ninmer ie oni, moeten,
Hb aanmerking. Het blijkt dat uit onzen trant van de evenwijdige lijnen te bclchouwen, ook die cigenfciiap volgt, welke romiuigennbsp;als eene bepaling van evenwijdige lijnen gegeven hebben. Zie Aanmerking V. op Bepaling X.
XtV. VOOflaSTEL. Fig. 15.
Indien er op eene regte lijn [MG] twee gelijke loodlijnen [LB, CK] Itaanj en men door derzelver uiteinden [1^5 C] eene regte lijn AF trekt: zal die lijn aan denbsp;cerstgemelde [MG] evenwijdig zijn.
L. G, I. 19.
SEwijs. Zoo neen: zij eene andere lijn BO aan M G even-]^jdig: dan is [Voordel XII!.] BL = KO: en dus KO CK, dat ongerijmd is. Gevolgelijk is niet BO, maar welnbsp;BF, aan MG evenwijdig.
aan.merking. Dit Toorftel is het omgekeerde van het voorgaande.
wy hebben alle de eigenfehappen der evenwijdige lijnen uit de bepaling zelve afgeleid , en zonder eenige hulp van de leer dernbsp;dnelioeken. Sommigen, en onder dezen castillon , beweren datnbsp;EUCLIDES die eigenfehappen ook uit zijne bepaling.afgeleid heeft:nbsp;maar is het wel in de daad zoo ? Dan immers zonde het eerftenbsp;Voorftel (het XX VU.) wa.arin hij van evenwijdige lijnen handelt, zoodanig moeten geweest zijn , dat het ziek nimmer ontmoeten van regtenbsp;lijnen, die evenwijdige ge'noemd worden, tot grondiiaggelegd zijnde , daaruit de gelijkheid der overhandfche hoeken afgeleid geworden ware : het zoude bijv aldus hebben moeten luiden :nbsp; W.inneer twee regte lijnen, die zieh nimmer ontmoeten, doornbsp;,, eciie derde gefneden worden . zal deze gelijke overhandfche
hoeken maken; als dan zoude die eigenfehap der evenwijdige lijnen uit de bepaling zelve afgeleid geworden zijn. Maar zijn XXVIt.nbsp;Voorftel is juist het omgekeerde hiervan: te weten: Indiennbsp; eene regte lijn, eene andere fnydeiide, de overhandfche hoekennbsp;,, gelijk maakt, zullen die lijnen evenwijdig zijn: d. i. zij zullennbsp;elkander nimmer ontmoeten: zoo tlm Imt zich niet ontmoeten hiernbsp;niet als grondbegihfel, maar als bejii'it uit de gelijkheid der over-handlehc hoeken voorkomt. In het volgende XXVIII Voorftelnbsp;Wordt het evenwijdig zijn uit de gelijkheid der hoeken aan den zelfden kant, (d. i. in de daad uit onze bepaling) afgeleid, maar metnbsp;behulp van het voorgaande XXVII.
Wel is waar dat het XXIX. Voorftel het omgekeerde is van het XXVII. en, fchijnbaar, zonder behulp der voorgaande XXVIII. ofnbsp;XXVII. Voorftellen bewezen wordt: zoo dat euclides hetzelvenbsp;vr deze zoude hebben kunnen ftellen: maar dat is zoo Hechtsnbsp;ia fchijn: want in het bewjjs gebruikt euclides zijn XI, Axioma,
amp; 3 nbsp;nbsp;nbsp;dat
-ocr page 82-dat is ons X- Voorftcl (zie do aanmerking op dat Voorfte!) het welk ver at is van een Axioma te zijn: en , indien men het, denbsp;bepaling van eucliks aangenomen zijnde , bewijzen zal, kan hetnbsp;niet gefchieden dan door zijn XXVII. Voorftel, waarvan het eennbsp;gevolg is. Zie koenig in zijne Aanmerkingen op dat Voorftel.
jjocMDES fcliijnt, wel is waar, aldus geredeneerd te hebben: twee regte lijnen zijn onderling zoodanig gefield dat z zich ergens ontmoeten , en dus eenen hoek met elkander maken, of zichnbsp;nimmer ontmoeten, als wanneer aj evenwijdige genoemd worden:nbsp;maar ik twijfel of het denkbeeld van zich nimmer te ontmoeten duidelijk genoeg zij om er een grondbeginfel van te maken: en wijnbsp;hebben gezien hoe eucudes dit ontdoken heeft met do gelijkheid der overhandfclie hoeken in plaats te ftellen.
OVER DE ZIJDEN EN HOEKEN VAN DRIE HOEKEN EN P AR A L L E E O G R A MM E N.
EUCL I Eep. 14. St, I. Bep. i8. L. G. I. Bep, 13.
gevolg.
aanmmiking. Wij herhalen nogmaals, het. geen reeds hier boven gezegd is [fiep Vil. Aanm. 3.] dat iedere figuurnbsp;Itijd vooronderfteid worde op ssn^vlak geteekend te zijn:nbsp;zoo dat alle hare deelen in het zelfde vlak liggen.
XIL bepaling.
EUCL, I. Bep. 20. St. I. Bep- t.. G. I. Bep- 13.
aanmerking. De cirkel, (zie Bep. V. bl. 4.) is geen lijn maar eene figuur , want dezelve wordt door den omtreknbsp;geheel befioten en bepaald. cirkel is de eenige kromlijnige figuur die men in de zoogenoemde elementairenbsp;jvjeetkunde befchouwt,
XIII.
-ocr page 83-II. Afdceling: Over (k zijden der driehoeken. 23
XllI. BEPALING.
Aan de regtinige figuren worden de namen van driezijdige., o driehoeken; van vierzijdige of vierhoeken; van vijfzijdige of vijfhoeken enz. gegeven; naar mate van lietnbsp;getal van zijden, en dus ook van hoeken, waaruit zijnbsp;beldaan. Men begrijpt echter, meestal, onder den naamnbsp;van veelhoeken alle de regtlijnige figuren welke door meernbsp;dan vier zijden gevormd worden.
EUCL, I, Bep. 215 sij 23 nbsp;nbsp;nbsp;Bep* 14*
XIV. BEPALING. Fig. 20.
V7anneer men in den driehoek [ABC] cene der zijden, otn het even welke, [AC] als grondlijn ^ of bcizis,nbsp;neemt, wordt de hoek [B], over die grondliin [AC]nbsp;Ibiande, de tophoek, en deszelfs kruin [B] top oi toppuntnbsp;Van den driehoek genoemd. De twee zijden [B A, B C]nbsp;Welke den tophoek vormen, dragen dan den naam van bec-ncn des driehoeks.
XV. BEPALING. Fig. 20, 34, 21.
Een driehoek [ABC, fig. 20.] wordt gelijkzijdig ge* noemd, wanneer de drie lijnen, of zijden [AR, BC,nbsp;AC] uit welke hij beftaat gelijk aan elkander zijn.nbsp;Hij wordt gelijkbeenig genoemd [fig. 34.], indien tweenbsp;zijden [AB, B C] aan elkander gehjk zijn ; en ongelijkzijdig [fig. 21.] wanneer de drie zijden [AC, AB, BC]nbsp;oiigeiijk zijn.
EUCL. L Bep. 24, 25? nbsp;nbsp;nbsp;I. Bep. I9gt; 20, 21. 22.. L. C.
I. Bep. 15.
GEVOLG. Fig. 20.
Alle gelijkzijdige driehoeken zijn ook gelijkbeenig.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Hoe men tntn gelijkzijdigen ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gelijk-
leenigen, driehoek moet vervaardigen, wordt m het II. en III. Werkftuk van het II. Boek der_werkftukken getoond,nbsp;en men is daartoe door het IV. Axioma Qbl. 5I) reeds iunbsp;Haat geheid.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan ook reeds nu eenen ongelijkzijdigennbsp;driehoek C AB [fig. 21.] maken: maar om zulks in alle gevallen te doen, moet men zoodanigen driehoek uit drienbsp;gegeven lijen, die onderlinS onglijk zijn, kunnen daar
B 4 nbsp;nbsp;nbsp;Bel-
-ocr page 84-a4 /. Boek: Over de lijnen, en de zijden der figuren,
ftellen: di: is het onderwei-p van het I. Werkfluk des TT, Boeks: doch daartoe wordt vereischt dat men het XIX.nbsp;Voordel kenne.
Fig. 21.
XV. VOORSTEL.
In alie driehoeken [Ai3CJ is 1. de uitwendige hoek ,[(jCEJ die eene der zijden [BC] met de verlenging vannbsp;de aangrenzende zijde [AC] maakt, gelijk aan beide denbsp;overllaande inwendige hoeken te famcn genomen [A 4*nbsp;13] : en go, je drie hoeken van een driehoek zijn , te fa-nien genomen, [Z A B Z C], gelijk aan tweenbsp;regte hoeken.
eucl. I. 32, St. I, 13. L. G. I. 27.
bereiding. Voor het I. gedecdce: Daar AB en CB elkander ontmoeten , en dus [Voortt. X. Gev. i.] c B niet evenwijdig is aan A B, lleit men dat eene andere lijn C D aan A B evenwijdig is.
BEWIJS. Voor het T. uit Bep. X. en Voord, VIT.
Voor het II, uit het eerde en uit Voorft. III.
1. GEVOLG.
In alle driehoeken [A ,is de uitwendige hoek [BCE] door eene der zijden [B C] met de verlenging der aangrenzende zijde [AC] gemaakt, grooter dan eene dernbsp;overBaande inwendige hoeken [A of B].nbsp;eucl I. 16. St. I. 13, Gcv. i.
11. GEVOLG. Fig. 30. nbsp;nbsp;nbsp;,
Wanneer in eenen driehoek [ARD] de fom van twee hoeken [A en B] gelijk is aan de fom van twee hoekennbsp;[FEI en F] in eenen anderen driehoek [E Fl], za! de derdenbsp;hoek [D] van den eerstgemelden gelijk zijn aan den derden hoek [EiF] van den laatstgemeldcn : en omgekeerd:nbsp;200 eene hoek [B] van den _ eenen gelijk is aan eenennbsp;hoek [F] van den anderen, is de fom der twee overigenbsp;hoeken m den eerstgemeUien driehoek gelijk aan d? fomnbsp;der twee overige in den laatstgemeldeii,
St, I. 13, Gcv. 1. L. G, I. 17. dev. 2.
' legt
-ocr page 85-11. jlfdccUrg: Over de zijden der driehoeken. a5
regt is; zijn de twee andere hoeken [B A C en A C B] te famen gcuoinen gelijk aan dnen regetn hoek.
St. I. 13. Gcy. 4. L. G. 1. 27, Gev. 4.
IV. GEVOLG.
Een driehoek kan niet meer dan nen regten of nen Rompen hoek hebben: in zoodanig geval zijn de beidenbsp;overige, icherpe hoeken.
St I. 13, Gev. 3.
XVJ. BEPALING.
Men noemt regthoekigen driehek, eenen driehoek [A B C, fig. 22.] waarin n hoek regt is. Als dan wordt denbsp;zijde [AC] over den regten hoek, J'chuinfcht zijdemolnbsp;fptin-zijde , of kypethenusa genoemd : de beide overigenbsp;[AB en B Cj die den regten hoek [B] bevatten, dragennbsp;den naam van regthoeks-zijden, oi Cauthae.
Men noemt ftomp- of plomp-hoekigen driehoek [ACD, fig. 22.] eenen driehoek waarin een der hoeken [ACD],nbsp;ftomp, of plomp is: de zijde [AD] over den (lompennbsp;hoek wordt dan ook j'chuinfcht- of /pan zijde genoemd.
Wanneer in eenen driehoek [CAB, fig. ao.] alle de hoeken fcherp zijn: wordt dezelve ftcherphoekige driehoeknbsp;genoemd.
St. I. Dep. 23, 24, 2S. L, G. I,
EucL. L Bep. 27, 28, 29, Bcp. 16.
XVI. VOORSTEL. Fig, 22 6023.
Indien er uit den top [A] van een driehoek eene loodlijn [A B] op de grondlijn valt , zal die loodlijn met de regthoekszijde overeenkomen, indien de driehoek [BAC,nbsp;fig. 22.) op de grondlijn regthoekig is: buiten den driehoek [CAD, fig.quot; 22.] vallen zoo de driehoek op de grondlijnnbsp;[CDj (lomphoekig is , en wel aan den kant van dennbsp;B'itnpen hoek [ACD]: en binnen den driehoek [C A D,nbsp;23.3 indien beide de hoeken op de grondlijnnbsp;Iclierp zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
*Ewijs. Uit het ongerijmde door Voorftel Xl.
B 5 nbsp;nbsp;nbsp;XVII.
-ocr page 86-26 . Bock: Over de lijnen, en de zijden der figuren. xvif. VOORSTEL. Fig. 22 en 23.
In a]Ie driehoeken flaat de grootile zijde over den groot-ften hoek.
eucl- I. lp* ^ Li Gi I. 14-
BEWIJS. Indien A B AC [fig aa ]; regthoekig, volgt uit Voordel XI dat AC gt; AB: ; Indien A CAD [fig. 2i,]nbsp;flotnphoekig is: zij aB x op CD.: dan is [door XI] ACnbsp;gt; AB: AD gt; AC. In'dien A CAD [fig. 23.] fcherp-hoekig en L ACD gt; Z A DC: zij AB i op CD: ennbsp;A E = AC. Om dat inAABD, ZABD=:L:ennbsp;insgelijks in A CAB, ZCBA = L: is [Voorft. XV.nbsp;Gev. 2.] i BAD i. AD'B = L ACB -}- Z BAC:nbsp;Maar ZACBgt;Z AD8 (onderft.) derhalve Z BACnbsp;Z BAD; maar [Voorli. Xf. Gev. 2] Z BAE = Z BACnbsp;dus Z BAElt; Z B A D;-derhalve valt het Hip E lusfchcnnbsp;B en D: gevolglijk [Voord. XI] AD gt; AE of AC.
aanmerking. Uit dit Voorftel, doch uit andere gronden bewezen, wordt doorgaans afgeleid het geen wy in ons XI, Voorflel, en ianbsp;deszelfs twee gevolgen , hewezen hebben,
XVIII. VOORSTEL. Fig. 22 CO 23.
In alle driehoeken ftaat de grootde hoek over de groot* fle zijde.
EUCL, I. 18. St, I, 14. L, G. I. 14.
BEWIJS. Zij de zijde AD grooter dan AC: en AB de i uit het flip A op C D (zoo noodig verlengdquot;): dan wordtnbsp;doorbet ongerijmde uit Voorft. XVII. bewezen, dat Z ACDnbsp;niet kleiner zijn kai dan Z ADC: en uit Voorfl:. XV.nbsp;Gev. 2. dat i ACD niea: gelijk kan zijn aan Z ADC.
.a.vnMrrking. Dit voorflel. bet omgekeerde van het voorgaande, , wordt meest regtflrccks bewezen : doch dan moet het voorlteinbsp; dat.b'y ons het XXVII. is voorafgaan.
XIX. VOORSTEL. Fig. 22 en 23.
In alle driehoeken zijn twee zijden te fatnen genomen grooter dan de derde.
Eci.. 1. 20. St. I. 15. L. G. L 8 bereiding. Zij C.H x op AD.
BEWIJS. Uit Voorft, XI. eerst in A ACH op de zijden .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AC
-ocr page 87-11. Jfdecling: Over de zijden der driehoeken. nbsp;nbsp;nbsp;27
A C en A H, en dan nog in eeus in A C H D op de zijden DC en D H toegepast.
I. aanmerking. Men kan thans het I. Werkftuk uit het II. Boek oplosfen.
H. AANMERKING, Iiidien men als bepaling van de regie lijn aanneemt, dat zij de kortfle is tusfehen twee rtippen, is dit Voorilei eennbsp;Axioma: Zie Aanmerking I. op Bepaling III.
XX. VOORSTEL. Fig. 24.
Indien men uit de twee uiteinden [A en C] van eene zijde [ACj eqns driehoeks [ABC] twee lijnen [AD, CD]nbsp;trekt naar een flip [D] binnen den driehoek gelegen:nbsp;zullen die twee lijnen te Brnien genomen [A D C D]nbsp;kleiner zijn dan de twee overige zijden des driehoeks, ooknbsp;te lamen genomen [A B C Bj: maar zij zullen eenennbsp;grooteren hoek [ADC] bevatten.
EtlCL. I. 21. St. I. l, L. G. I. 9.
BEREIDING. Meii verieiige AD tot in E.
BEWIJS. Voor het I. uit Voorfl. XIX, op de AA ABB en DEC toegpas:;
Voor het II. uit Voord. XV. Gev. i.
aanmerking. Het blijkt dat het zelfde zonde plaats hebben al viel het Hip D op eene der zijden A B of B C,
XXL VOORSTEL. Fig. 25.
Wanneer twee driehoeken [B A C en GA C] zoodanig gefield ziin, dat een der hoeken [A] van den eerden gelijk is aan een der hoeken [A] van den anderen, en datnbsp;beide beenen CA B, AC] van den gemelden hoek [A]nbsp;in den eerden driehoek onderling gelik zijn aan de beidenbsp;beenen [GA, CA] van den gemelden hoek in den anderen driehoek, (namelijk BA gelijk aan GA, AC gelijknbsp;aan AC); zal 1. de derde zijde [BC] gelijk zijn aan denbsp;derde zijde [G C]; en 2'. de hoeken die in de beidenbsp;driehoeken over gelijke zijde liaan, zullgp -ook gelijk zijnnbsp;(namelijk B aan G, ACB aan ACG).
EtJCL. I. 4. - St. I. 3. _ L. G. I. 6.
AEWijs. Men vooronderftelt dat men den driehoek GAC, bij voorbeeld, zoodanig op den driehoek BAC plaats, datnbsp;de kruinen A en A, zoo als ook dat de zijden AC en
AC,
-ocr page 88-aS /. Boek: Over de lijnen^ en de zijden d^r figuren.
AC, AG en AB op elkander komen [I. Bep. Aaiim. 3.], en men bellnit dan, dat alle de overige deelen ook overeenkomen, en dus gelijk zijn.
GEVOLG.
De munten w^elke door beide de driehoeken bevat wor. den zij'1 ook gelijk : en derhalven zijn deze driehoekennbsp;in alk opzigten gelijk.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKI^G. Meii kan dit gevolg niet omkeeren, en zeggen : dat alle de driehoeken waarin de ruimten door denbsp;zijden bevat, gelijk zijn, ook gelijke hoeken, en gelijkenbsp;zijden bezitten: wij zullen in het 11. Boek bewijzen, datnbsp;vele driehoeken gelijk- zijn, wat den inhoud, of de ruimtenbsp;die zij bevatten, betreft, zonder dat er gelijkheid van hoeken of zijden plaats heeft; dat is, zonder dat zij in allenbsp;opzigten gelijk zijn,
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. De onderflellingen, in welke dit Voo'ftelnbsp;'plaats heeft, zijn iquot;. de onderlinge gelijkheid van tweenbsp;zijden in beide de driehoeken,'ieder aan ieder: en dannbsp;2, de gelijkheid, niet van twee hoeken in het algemeen,nbsp;een in iedcren driehoek, maar jnJst van die hoeken, welkenbsp;tusfehen de gelijke zijden begrepen zijn. Hierop moet mennbsp;behoorlijk letten. Indien men de gelijkheid onderfteldenbsp;niet van den hoek tusfehen de gelijke zijden begrepen,nbsp;inaar van een der hoeken, die in iederen driehoek overnbsp;eene der gelijke zijden (laat; dan zoude het beuit niet algemeen zijn, maar alleen'voor de regthoekige driehoeken innbsp;het algemeen, en voor de overige in een bijzonder gevalnbsp;plaats hebben ; welke beide (lukken het onderwerp zijnnbsp;van ons XXV. Voordel.
Wanneer twee driehoeken [ABC en AGC] zoodanig gedeld zijn, dat eene zijde [AC] van den efeneii gelijk isnbsp;aan eene zijde [AC] van den anderen: en dat twee boeken van den eenen gelijk zijn aan twee boeken van dennbsp;anderen, ieder aan ieder, (bij voorb. i BAC = L G A C,nbsp;Z ACB = GCAj zal 1. derde hoek B gelijk zijnnbsp;aan den derden hoek G; 2. zullen de overige zijden ooknbsp;aan elkander gelijlc zijn, die namelijk, welke tegen overnbsp;gelijke hoeken ftaati, (dat isAB=:AG,BC=: G C).
*E-
-ocr page 89-BEWIJS, Voor het eerlle gedeelte uit het XV. Voorflel , Gev, 2.
Voor het tweede gedeelte, door te onderllellen dat de zijde AC van A GA C op de zijde AC des A BAC gefield wordt; en te toonen dat als dan, om dat L GACnbsp;==; l B A C, A G langs A B valt: en dat vermits L ACG Lnbsp;ACB, ook CG langs CB vallen, en AG = AB Zijn moet:nbsp;want dat,indien dit niet ware, en G gefield wierdt op lnbsp;te vallen: ais dan, trekkende Cl, A lAC = A BACnbsp;zoude zijn (Voorflel XXI.) en derhalve L A Cl = Lnbsp;ACG = Z ACB dat ongerijmd is. Gevolgelijk valtnbsp;G op B : en is AG =r AB, CG = CB.
G E V o L G.
De driehoeken A B C en ACG bevatten ook gelijke ruimten , en zijn dus in alle opzigten gelijk.
XXIII. VOORSTEL. Fig. 26, 27 en 28,
Wanneer in twee driehoeken CAB, CAG, twee zijden van den eenen [AC, A B] onderling gelijk zijn aan twee zijden [AC, AG] van den anderen , doch eenennbsp;grooteren hoek [CAB] bevatten: zal ook de derde zijdenbsp;[B C] van den eerstgemelden driehoek [C A B]. grooternbsp;zijn dan de derde zijde [C G] van den anderen driehoeknbsp;[CAG].
EUCL. I. 24. St, I. 20, L. G. L 10.
BEREIDING. Men ftelle dat de kruin A van den A GAC valle op de kruin A van den A BAC, en AC langs ennbsp;op AC: dan zal AG binnen den hoek CAB vallen [Bep.nbsp;VIII. Aanm. j.bl. 7,]: en het uiteinde G der zijde A G zalnbsp;vallen, of op BC fig, 26 of onder BC fig. 27 , of boven B C fig. 28.
BEWIJS. Voor het I. Fig, 26. Klaarblijkelijk.
Voor het 11. Fig, 27. Uit Voorflel XIX, is in A GIC, GC lt; GI IC: in A lAB is AB lt; BI 4-lA: derhalve GC AB ^ Gl IC BI IA:nbsp;dat isGC AB lt; AG -bBC, waaruit, om datnbsp;AG ,= AB het voorflel volgt, t, w. GC lt; BC.
Voor het III. Fig. 28. Uit Voorflel XX.
aanmerking. Het omgekeerde van dit Voorflel: dat
zoo
-ocr page 90-30 /. Boek: Over de lijnen, en de zijden der jigaren.
zoo de zijden A B en AC van den A BAC, gelijk zijn aan de zijden AG en AC van den A GaC, ieder aannbsp; ieder, maar de grondlijn BC grooter is dan de grondlijnnbsp;,, GC: ais dan de hoek BAC grooter is dan de hoeknbsp;,, GAC, worde gemakkelijk uit dit Voordel door hetnbsp;ongerijmde afgeleid.
eucl, I. 25. St. I, 20, Gev. L, G. I. 10. Schol.
XXIV. VOORSTEL. Fig. 29 en 30.
Indien twee zijden [AB, BD] van een driehoek [A B D] eeneii hoek [ABD] bevatten die gelijk is aan den hoeknbsp;[EFG] in een anderen driehoek [liFG] begrepen doornbsp;twee zijden [EF, FG], waarvan de eene [EF] gelijk isnbsp;aan eene der zijden [AB] van den eerlen driehoeknbsp;[ABD], doch de tweede [E G] langer is dan de tweedenbsp;[8 D]; zal de grondlijn [E G] van dien tweeden driehoeknbsp;altijd grooter zijn dan de grondlijn [AD] van den eerrtennbsp;driehoek, zoo in dezen de hoek [0] welke op de grondlijn tegen over de gelijke zijde [AB] ftaat, of regt ofnbsp;fcherp is: doch zoo die hoek ftoinp Is, zal de grondlijnnbsp;[EG] van den tweeden driehoek zoo wel kleiner als grooter kunnen zijn dan die [AD] van den eerften, of ooknbsp;gelijk aan de zelve.
bereiding. Neem PI = BD, trek EI, welke dan gelijk
is aan A D (Voord. XXL), gelijk mede Z EIFesZ ADB.
BEWIJS. Voor het I. Fig. 29. Zoo Z ADB regt of fcherp, is Z EI F ook regt of fcherp; dus l ElG regtnbsp;of Homp, en derhaDen gt; Z EGI: en dus (Voordel XVII.)nbsp;EG gt; EI of AD.
Voor her H. Fig. 30, Zoo Z ADB en dus Z EJF ftomp, is Z EIG fcherp, en kan derhalve zijn of gt;nbsp;of = oflt; Z EGF, en dus ook EG gt; = lt; EI,of AD.
XXV. voorstel. Fig. 31 en 32.
Indien twee zijden [AB, A^C] eens driehoeks [ABC] gelijk zijn aan twee zijden [GA , AC] van een anderennbsp;driehoek [AGC] ieder aan ieder, en boven dien een hoek,nbsp;[ACB] doch die niet tusfehen de gegeven zijden gelegennbsp;is, maar tegen over eene derzelve [A 8] ftaat, gelijk isnbsp;aan den hoek [ACG] die in den anderen driehoek tegen
over
-ocr page 91-II. Afdeding'. Over de zijden der driehoeken. 31
over de gelijke zijde [AG] is: zullen die twee driehoe-in alle opzigten gelijk zijn, indien de hoeken [ABC, AGC] welke over de tweede der gelijke zijden [A C ennbsp;AC] ftaan, beide regt, of beide oinp, of beide fcherpnbsp;2ijn.
BEwrjs. Indien men den top A van den A C A G op den top A van den A CAB ftelc, en A C op AC legt, zalnbsp;C op C vallen, en, om de gelijkheid der hoeken,CG langsnbsp;C B. Ik zeg dat G op B zal vallen. Dit fpreekt vannbsp;zelfs iiidien de hoeken ABC en AGC regt zijn, en dusnbsp;de lijnen AB en AG loodregt vallen. Maar zoo de hoeken niet regt zijn, zal ook het flip G op het Hip B val-len: want 200 m;,zij Al .L op C B, en vallehetflip G wel opnbsp;de lijn CB, maar of tusfchen C en B, of voorbij B. Omnbsp;dat de hoeken AGC en ABC of beide fcherp, of beidenbsp;ftomp zijn: zullen de flippen G en B op CB beide aannbsp;den zelfden kant van de loodlijn vallen [XVI]. Maar omnbsp;dat AG = AB, zouden er dan twee gelijke lijnen aan dennbsp;zelfden kant van de loodlijn flaan: dat [XI, Gev. 2,] nmogelijk is. Dus valt G op B; waaruit al het overige volgt,
GEVOLG.
Alle ftotriphoekige en alle regthoekige driehoeken waarirt twee zijden om eenen der fcherpe hoeken gelijk zijn aannbsp;elkander, zijn in alle opzigten gelijk.
Sc, I. II. Voor de regthoekige driehoeken. L. G. I. ii.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKirs. Het onderfch^ der gevallen oniflaat hiernbsp;uit; dat er uit het flip A [fig. 31.] altijd twee gelijkenbsp;lijnen Ag, AG getrokken kunnen worden, doch die aannbsp;verfchiliende kanten van de loodlijn zullen vallen: waarnbsp;door de twee driehoeken CAg en CAG zeer verfchil-lende zijn hoewel AC= AC, Ag = AG=:AlJ, ennbsp;L ACB = L ACG = L ACg.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Sommigen drukken dit Voorflel aldus uit:nbsp;,, Indien in twee driehoeken ABC en GAC twee zij-gt;gt; den AC en AB van den eenen gelijk zijn aan twee zij.nbsp;gt;5 den van den anderen [AC en AG] en boven dien eenennbsp;* hoek [ACB] ftaande tegen over eene der gehjke zijdennbsp; C^B], gelijk is aan den hoek die in den anderen drie.nbsp; hoek over de gelijke zijde [aGJ ftaat; zullen diedrie-,, hoeken in alle opzigten gelijk zijn , indien de zijden
[ABl f
-ocr page 92-31 /. Both: Ovamp;r de lijnen, en de zijden der figuren.
,, [AB, AG] welke over de gelijke hoeken ftaan groofer 3, zijn dan de gegeven aangrenzende zijden [AC, AC].'nbsp;Immers zoo AB gt;AC enAGgt;AC is de hoeknbsp;Z ACBgt;^ abc en iACGgt;z AGC: en gevolglijk. zijn de hoeken ABC en AGC altijd fcherp. Hetnbsp;voorllel aldus uitgedrukt is dan wel in het onze begrepen , maar is minder algemeen.
UARSTEN, Mathefis Theeretica: Gcom. 87.
XXVI. VOORSTEL. Fig. 15.
Indien de drie zijden van een driehoek [ABC] gelijk zijn aan de drie zijden van een anderen [G A C] ieder aannbsp;ieder [AB = AG, AC = BC, BC = GC] zullendenbsp;hoeken welke tusfchen en over gelijke zijden (taan onderling gelijk zijn, (t. w. Z BAC = ZGAC; I ABCnbsp;= Z AGC : Z ACB = Z ACG).
lci.. I. 8. St. I, 5. L. G. I. II.
BEWIJS, it het ongerijmde waarin men [door XXIII,] vervalt , indien men ftelt dat een der hoeken, bijv. BAC, grooter of kleiner mogt zijn dan Z GAC. Zoodra nu denbsp;gelijkheid dier hoeken bewezen is, volgt het overige doornbsp;Voord. XXL
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Deze driehoeken bevatten^ ook gelijke ruimten, en zijn dus in alle opzigteii gelijk;
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien eruit twee (lippen [B en C] van ecne lijn [BC] twee lijnen [BA, CA] getrokken zijn, die elkander innbsp;een (tip [A] ontmoeten: kunnen er uit die zelfde (tippennbsp;geen twee andere lijnen aan den zelfden kant getrokkennbsp;worden, die aan de eerstgenielde gelijk zullen zijn, iedernbsp;aan ieder, en die in eenig ander flip te famen zoudennbsp;komen.
1. aanmerking. Men is thans in ftaat om de volgende werk-(lukken op te losfen, te weten:
Uit het I. Boek,Werkft. 6, laen 13. uit hec lI.Werkft.4.
-ocr page 93-11. AfdeeUng: Over de zijden der driehoeken. 33
aanmerking. Men kan dit Voorftel niet omkeren en zeggen: wanneer in twee driehoeken de drie hoeken gelijk gt; zijn, ieder aan ieder, zullen de zijden welke over gelijkenbsp;J5 hoeken fcaan onderling gelijk zijn. Want driehoekennbsp;kunnen onderling gelijkhoekig, en niet te min zeer verfchil-lende in grootte ziin Indien men bijv. binnen den driehoeknbsp;Kef, fig. 33. de lijn AC evenwijdig aan EF trekt: zl-len de twee driehoeken EBF en ABC, gelijkhoekig zijnnbsp;CBep. X. bl 13 ). Wij zullen in het IV. Boek Voorftelnbsp;II. bewijzen dat de gelijkhoekigheid in verfchillende driehoeken, niet dei'zelver gelijkheid, maar alln derzelver ge-lijkvormigheid, uitmaakt.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
In eenen gelijkbecnigen driehoek [A B C] zijn de hoeken [BAC en BCA] op de grondlijn gelijk; en zoo de bee-nen verlengd vi'orden, zijn de hoeken [EAC en A CF]nbsp;onder de grondlijn het ook.
EUCL. I. s.
SE. I. 4. L. G. I. la
I. nbsp;nbsp;nbsp;BEWIJS. Fig 33. in den trant van euclIdes. Men verlengtnbsp;de beenen en maakt BF t= BE: men trekt AF, CE: ennbsp;bewtjst uit Voorftel XXI, dat AF := CE, Z A FC ~ Lnbsp;AEC, ZBAF en ZB CE; daaruit, en uit Voorftel XXI ,nbsp;dat Z ACE = Z CAF en 4 EAC Z ACF, waaruitnbsp;het overige volgt.
II. nbsp;nbsp;nbsp;BEWIJS. Fig. 34. Met te onderftellen dat BK den tophoeknbsp;in twee gelijke deelen fnijdt, en dan door Voorft. XXL
III. nbsp;nbsp;nbsp;BEWIJS. Fig. 34. Dat het eenvoudigfte voorkomt, en tevens een aantal gevolgen oplevert Men befchrijve op A Cnbsp;eenen anderen gelljkbeenigen driehoek AIC, het zij aannbsp;den zelfden,^het zij aan den anderen kant der grondlijnnbsp;AC; en trekke BI, die AC fnijdt in K. Dan past mennbsp;Voorftel XXVI. op de A A A B 1 en 1B C toe: en dan hetnbsp;XXL op de AA BAK en BCK
I. aanmerking- Men kan thans het XIV. Werkftuk van hes I. Boek oplosfen.
Als de tophoek van een gelijkheenigen driehoek bekend is, zijn de hoeken op de grondlijn het nok: en ieder hunner is het verfchil vair den halven rophoek rret
3.1. I. Bock: Over dc lijnen^ en de zijden der figuren,
dnen rekten hoek: of van den geheelen tophoek niet twee legte hoeken (H*)*
St. I, i3- Gevolg 6.
gevolg.
Een gelijkbeenige driehoek kan geen regten hoek dan alleen in den top bezitten ; en in dat geval ziin de overige hoeken ieder gelijk aan eenen halven regten hoek.
Het bewijs wordt uit dit Voorftel en het 3. Gevolg van het XV- opgemaakt.
St. I. 13. Gcv. 7.
III. GEVOLG.
Een gelijkzijdige driehoek is altijd gcliikhnekig: en ieder hoek is twee derde gedeelten van den regten hoek.
Het laatfte gedeelte wordt uit het X7. Voorftel opgemaakt.
St. I, 13. Gev. 8. L. G. I. 12. Cor.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Meti IS rlikns in fcaat om het XVI. Werkfeuknbsp;van het I. Boek optelosfen.
IV. GEVOLG, Fig. 34.
Eene loodlijn {B K] uit den top van een gelijkoeenigen, of gelijkzijdigen, driehoek [ABC] op de grondii n [AC]nbsp;neergelaten, fnijdt'die lijn in twee gelijke deelen [A K ennbsp;K C], en deelt insgelijks den tophoek [A B CJ in twee gelijke hoeken.
En, omgekeerd; die lijn welke uit den top van een ge-lijkbeenigen, of geiijkzijdigen driehoek, [ABC] nedergelaten wordt, en, of den tophoek, of de grondlijn, in tweenbsp;gelijke deelen verdeelt, Ihtat loodregt op de grondlijn AC.
TAcpoET op de 0.6 Irop. vau eucudes I. Boek. St. I, 4, Gev. I en 2.
BEWIJS. Uit dit Voorftel met het -XXII. gepaard.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan thans de oplosfing van het Hl ennbsp;, de eerfte oplosfing van het IV. Werkfeuk uit het eerfte
Boek verrigten.
IIL aanmerking. Uit dit gevolg wordt doorgaans bewezen het geen wij in Voorftel XI. Gev. 2. gefield hebben.
ii. Afdctling: Over de zijden der driehoeken, 35
V. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG. Fif. 34-
Tndien op de zelfde grondlijn [ACj, iwee verfchillende Selijkbeenige driehoeken ABC, en AIC Baan, zal d.nbsp;1'jn [BI] die door de toppen [B en I] der beide drie-hoeken gaat, (fzoo noodig tot op de grondlijn [A C] innbsp;K verlengd}, die grondlijn in twee gelijke deelen fnijJen,nbsp;cn loodregt op dezelve Baan.
BEWIJS. Het ligt in het derde bewijs van dit voorftel op-gedoten.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit (lelt oiis in (laat om uit het eerdnbsp;Boek optelosfen het V, VII, XV Werkduk.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dat de lijn, welke den tophoek in twnbsp;gelijke deelen deelt, ook de grondlijn in twee gelijkenbsp;deelen fnijdt, is den gejkbeenigcn , en dus ook dennbsp;gelijkzijdigen , driehoek alln eigen. In alle anderenbsp;V-ordt de grondlijn door zoodanige lijn in twee ongelijke deelen gefneden , en het grootfte (luk grenst aannbsp;de grootfte zijde: want zij [ftg. 35] in A A B C , A B
gt; BC, en Z ABD = Z DBC: maak BI = BC , trek I: dan is (XXL') ID= DC: Z DIB =rZ BCD:nbsp;en z IDB Z BDC; maar Z BDC = Z A -f Znbsp;A B D : en Z A l D = Z A B D Z 1D B = Z A B Dnbsp;f- Z BDC. Gevolgelijk ZAIDrrZA-f-Za ZABDnbsp;en derhalve Z AID gt; Z A en (XVII.) AD gt; JDjnbsp;of AD gt; DC. In het IV. Bock Voord. XII. zal daarover nader gehandeld worden.
Deze aanmerking is reeds door proclus gemaakt, eil door CLAviHs, op eClides 1. 19, voorgedragen,
VI. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG. Fig. 33.
Indien men op de beenen [A B, B C] vnn een gelijk-beenigen driehoek, of op derztlver verlengden, uit den top B , gelijke deelen affnijdt [BE, BFJ, zal de lijn [EFjnbsp;die de uiterBen [E, F} van die deelen vereenigt, met dezelve eenen gelijkbeenigen driehoek [BEF] maken, waarvannbsp;de hoeken onderling aan die van den gegeven driehoeknbsp;C^ BC] gelijk zullen zijn , en wiens grondlijn [EF] evenwijdig aan de grondlijn [A B] van den gcgven drie.nbsp;hoek zijn zal.
BEWIJS. Het volgt uit dit Voordel en uit de X. Bep. bi. J31
e a nbsp;nbsp;nbsp;Vlli
-ocr page 96-36 . Boek: 0'jcr de lijnen, en dc zijden der figuren'
VII. GEVOLG. Fig. 34.
Twee regthoekige driehoeken [ABK, BKC] in welke de fchiiinfche zijden [A B, B Cj gelijk aan elkander zijn , ennbsp;eene der regthoekszijden [B l'C] ook gelijk is in beiden;nbsp;zijn in alle opzigten gelijk.
St, I, II, L G. I. 18,
BEWIJS. I[et zelve ligt reeds in bet ade Bewijs van dit voordel opgefloten: of wel, men fielt de driehoeken metnbsp;de regthoekszijde B K , die in beiden gelijk is, tegen elkander: dan maken AK en C K. ne regte lijn [IV, Voorflel] :nbsp;en het overige wordt uit dit Voorflel, en zijn 4. Gevolgnbsp;afgeleid.
VI. AANMERKING. Dit gevolg is een bijzonder geval van het XSV. voorflel, waarvan het een gevolg uiemaakt.
XXVin. VOORSTEL. Fig. 3.
Alle driehoeken waarin da hoeken op de grondlijn gelijk zijn , zijn gelijkbeenig.
EUCL. I. . St. I. 14. Gev. . L. G. I. IS.
BEWIJS. Uit de ongerijmdhe'd waarin men door het Voor-fcel XXVll. vervallen zonde met te ftellen [fig. 3.] dat niet AU, maar wel AG, gelijk aan BC zoude zijn.
gevolg.
Een driehoek waarin alle de hoeken onderling gelijk zijn, is gelijkzijdig.
XXIX. VOORSTEL. Fig. 37, 38 en 39.
Indien men uit eeiien der hoeken [CJ op de grondlijn [AC] van een geiijkbeenigen driehoek [AGC] op hetnbsp;tesenovergeflelde been [AG], zoo noodig, verlengd, eenenbsp;lijn [CD], gelijk aan dat been [AG] iaat vallen: zal dienbsp;lijn [C Dj met 'de verlengde grondlijn [A E] in dat flipnbsp;eeneri hoek [DC E] maken, die het drievoud is van dennbsp;hoek [A] op de gronllijn in den driehoek.
uitlegging. Er kunnen drie gevallen zijn, want CD valt buiten den driehoek voorbij G [hg. 37,] of binnen dennbsp;driehoek tusfehen G en A [fig- 3^.] of buiten den driehoek voorbij A fig. 39-].
BK-
-ocr page 97-II. Jlfdeeling ri Over de zijden der driehoeken. 37
BEWIJS. 1, geval. Fig. 37. l DGC = 2 ^ A (XV,) = Z G D C (XXVil.). ZDCE = ZA 4D (XV.)nbsp;= 3 ^ A.
II. geval. Fig. 38. ZDCE = ZA ZADC(XV) = Z A 4- Z AGC L DCG (XV.) = Z A nbsp;Z GDC Z DCG (XXVII.) = Z A Z FGCnbsp;(XV.) = Z A 2 Z A (XV.)= 3 Z A.
Ill GEVAL, Fig. 39quot; i DCE of W2 Z D -f- Z DAC (XV.) = I G i DAC (XXVII) = a Z G Hhnbsp;Z ACG (XXVII,) = 4 L 4 ^ ACG Z ACGnbsp;(XXVII. Gev. I.) 4 L ^ 3 i ACG. Derhalve Lnbsp;mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 I ACG = 4 Lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Maar 4 L nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z otnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; Z
D C nbsp;nbsp;nbsp;uitfpringend (V.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gev,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i.).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Derhalvenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z ffsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3
ZACG = Z'lt;ZDCE uitfpringend. Derhalve Z D C uitfpringend 3 ZACG 3 ZGAC.
. AANMERKING. Dc lijn CD Valt altijd op de verlenging; van AG a.in den kant van GC zoo L A G C flomp is [fig* 37 ] en derhalve Z DGC fcherp. Indien de hoeknbsp;AGi..: regt was zoude CD op CG vallen: derhalve hoeknbsp;A = L (XXVil. Voorft, Gev. 2.) en Z GC =
3ZA Zoo Z AGC fcherp Wordt [fig. 38.1, valt D tusichn G en A, tot dat GAnbsp; AC GC, of totdat de driehoek gelijkzijdig is,nbsp;dan isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(V'oorfiel XXVII.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gev.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z A = |nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;L en DC
op CA vallende, wordt nbsp;nbsp;nbsp;Z DCEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ir 2 L ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eenenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regte
lijn (Voorft. IV.): dus ook = 3x|L = 3Z A. Wordt Z AGC nog fcherper [fig 39.] , dan va't CD beneden A: daar Z G kleiner tvordt, wordt Z G A C groo-ter dan in het voorgaande geval, of dan | L; en derhalvenbsp;3 Z A gt; 2 L; dus moet Z DC gt; 2 L, dat is moetnbsp;een uitj'pringcnde hoek zi;n, gelijk ik in de figuur doornbsp;een cirkelhoogje heb trachten aanteduiden dat men diennbsp;hoek aan dien kant nemen moet,
II. aanmerking. Indien men dan, een hoek DCE gegeven zijnde, uit het flip D van het been CD, de lijnen dg A en CG geometrisch, en dus zeker, zoodanignbsp;trekken kon,^dat GC = AG = CD: zoude de Z Anbsp;= I Z DCE zijn; en het beroemd Werkftuk om eenennbsp;hoek in drie gelijke deelen te deelen ware opgelost. Maar
C 3 nbsp;nbsp;nbsp;dit
-ocr page 98-S3 /. Boek: Over de lijnen , en de ^jden der figuren
dit kan niet gefchieden. Wij zullen in bet XVIII. Voord, van het V. en in het VIII. Voorltel , Gev i en 2. vannbsp;het VJII, Boek nader daar over handelen.
Ilf. aanmerking. Er zijn nog verfcheide andere belangrijke eigenfchappen, de zijden en hoeken van driehoeken betreffende, doch die, of gevoegelijker elders plaats zullen vinden, of uit het geen tot nu bewezen is niet afgeleid kunnen worden. Tot de eerde foort behooren V. 2, VI. 3 :nbsp;tot de tweede IV. 13, 14. enz.
XXX. VOORSTEL. Ffg, 40.
Tndien twee lijnen [AB, CD] onderling evenwijdig, en tevens gelijk zijn, zullen de lijnen [BD, AC] welke dezelve vereenigen, ook onderling gelijk en evenwijdig zijn.
L. G. I. 31.
St. I, 22.
EUCL. I.
BEREIDING. Men trekt de lijn CD , uit den hoek 'c naar den tegenovergefcelden hoek,.
BEWIJS, Uit de X Bep. en Voorfcel XXI.
AANMERKING. De figuur ABDC, is dan zoodanig uit vier lijnen famengefceld dat de tegeuovergeftelde zijden onderling evenwijdig zijn.
XVI. BEPALING, Fig. 40.
F,ene vierzijdige figuur, waarvan de tegenovergeflelde zijden onderling evenwijdig zijn, draagt den naam vannbsp;parallelogram^ en wordt ook raam genoemd, De lijnennbsp;C B en A D , van den eeiien hoek naar den tegenoverge-ftelden getrokken, zijn de diagonalen of hoeklijnen^ ofnbsp;fioekpunls-lijnen.
St. I. Bep. 2y, 30. L. G. I. Bep. 17, iS,
I. aanmerking. Parallelogram htx.e^\i_QXii ,\n het Grieksch, eene figuur, waarvan de zijden parallel zijn: het is de zelfdenbsp;figuur die euclides in zijne 33 Bep. vanhet I. Boek Rhomboidesnbsp;noemt; derhalve zouden in dien zin (gelijk inji het ]j. ennbsp;IV, Boek nader blijken zal), de regelmatige veelhoeken uitnbsp;een even getal zijden beftaande go's, parallehgrammen zijn,in-dien niet die benaming aan eene figuur van vier zijden, bijnbsp;Ijitflulting, wierdt gegeven.
beweging van eene regte lijn CD.
Jl. aanmerking. Men zoude het parallelogram kunnen be-fchouwen als de moet, of het fpoor, nagelaten door de
zich evenwijdig aan zich
. ----------- -------- -- n jjig nbsp;nbsp;nbsp;---------=!j:----
-ocr page 99-zich zelve beweegt; door welke beweging do uiteinden C en D de lijnen CA en DB, nis bet ware, doen geborennbsp;Worden: Zie Bep, II. Aanm. i Het parallelogram wordtnbsp;fclieefhoekig, wanneer de lijn CD zich beweegt, niet alleennbsp;van li naar A, maar tevens zijdelings van C naar F, ennbsp;dns eene dubbelde, of famengeftelde, beweging heeft. Maarnbsp;iudien de lijn Hechts eene enkele beweging beeft, van B naarnbsp;A, zoude de lijn CA loodregt ftaan op CD, de hoeknbsp;ACD zoude regt zijn, en bet parallelogram zoude wordennbsp;bet geen wij in'de XVUI. Bepaling reg/ioei zvllen noemen.
III. aanmerking. Hierop ileiint het fraai parallel liniaal, voor vele jaren door den Heer eckiiardt ,_ in den Haag% uitgevonden. Het beftaat uit een enkel liniaal dat zich opnbsp;twee gekartelde en volmaakt gelijke rolletjes, offebijfjes,nbsp;beweegt, en daardoor altijd aan zich zelven evenwijdignbsp;blijft. De volmaakte gelijkheid der gekartelde fchijfjes isnbsp;hier volftrekt noodzakelijk. Indien zij ongelijk waren, zoude het liniaal den omtrek van eenen cirkel befchrijven ,nbsp;wiens radhis des te langer zoude zijn, dat het verfchil tus-fchen de middeliinen der fchijfjes geringer en derzelvernbsp;afftand van elkander grooter is. Dit middel is reeds doornbsp;HERO den Alcxandrijner gebruikt om aan konstbeeldcn eenenbsp;circulaire beweging te geven. Zie zijne Automata in denbsp;Mathem. Feteres, bL 249. Perraui.t heeft die uitvindingnbsp;in praktijk gebragt om zeer groote cirkels, met een zeernbsp;klein werktuig-te befchrijven: zie de afbeelding en be-fchrijving in zijne Franfche vertang van vitrovius, p. 82;nbsp;daaruit is zij overgenomen door leupold, Thsatr. Mach.,nbsp;1. Deel, pl. XX. h. lig. 7.
In alle parallelogrammen heeft het volgende plaats: iquot;., De tegen elkander overgeftelde zijden [AB en CD:
AC en BD] zijn gelijk.
2. De tegenovergeftclde hoeken [ACD en ABD;
aan twee regte hoeken [Z ABD -{- I BDC=:2L: Z BAC L ACD = 2 L].-4. De diagonaal fnijdt het parallelogram in twee gelijke diiehoeken.
ecl. I, 34. St. I. 23, L. G. I. 29) sa. Rwijs. Voor het J, ll en |V. uir Bep. X. en Voorhelnbsp;XXL op de AA ABC en ACD toegepast.
Voor het L uit Voorllel VII.
C 4 nbsp;nbsp;nbsp;I,
3quot;, De hoeken op iedere zijde zijn te famengenomen
ge lijk
40 I. Boek : Over de lijnen, en de zijden der figuren.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De ruimte welke het parallelogram [A B D C] beflaat, is dus dubbeld van die , welke ieder oer driehoeken,nbsp;|ABC of BCD] waarin het verdeeld wordt, bevat.
aanmerking. Over de ruimte welke driehoeken en pvirallelogram-mci bevatten, zal nader in il. la , 13 gehandeld worden.
grenzende
Indien een der hoeken van een parallelogram regt is, Eijii zij het alle ; indien twee aan elkandernbsp;jijden gelijk zijn, zijn de vier zijden gelijk.
XVII, BEPALING.
Men noemt ruit eene vieriioekjge figuur waarin de vie zijden gelijk zijn, fig. 42.
EUCL. I. Eep. 32. L. G. L Bep. 17.
GEVOLG.
De overBaande zijden van de ruit zijn aan elkander evenwijdig.
XVIII. BEPALING.
Men noemt regthoek, ook wel regthoekig raam, een parallelogram waarin de vier hoeken xegt zijn, fig. 41.
JJOCL. I. Bep. 31. St. I. Bep. 39. L. G, I, Bep, 17.
XIX. BEPALING.
Men noemt vierkant , of quadraat , eene vierhoekige ligiiur, Waarin de vier hoeken reat, en de vier zijden on-nbsp;derling gelijk zijn, fig. 46. ADCB.
EUCL. I. Bep. 30. St. I. Bep 32. L. G. I. Bep. j7.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Hoe men handelen moet om op eene gegevennbsp;UUi een vierkantte befchrijven, wordt in het V. Werkftuknbsp;van het II. Boek geleerd, en med is daartoe reeds in (laat.
II, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het parallelogram, de ruit, de regthoek,nbsp;het' vierkant, zijn de eenige, zoogenoemde, gefchikte vierhoeken; alle andere worden ongefehikte vierhoeken, of trapezia genoemd, gelijk ADCB fig* 47
tvcu I, Bep, 34.
11. Afdcding: Over de zijden der paralklogrammen. 41
XXXII. VOORSTEL. Fig. 40.
In alle vierhoeken [AB D C] waarin de tegenoverge-fielde zijden [AB en CD, AC en B D] onderling gelijk ijnj zijn dezelve ook onderling evenwijdig,
L. G. I. 30.
eereidixg. Men trekt den diagonalt;al CB.
BEWIJS. Uitbet XXVI. Voordel en Bep. 10.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit voordel is het omgekeerde vanhetXXXI.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Op dit voordel deunt het vervaardigen van
_de par a Hel-linialen die men in de kokers met maihemacifche
inftriimenten aaiitreft,
XXXIII. ^VOORSTEL. Fig. 40.
In alle p.arallelograinnien [ABDC] fnijdon de beide diagonalen [AD, B C] zich onderling in twee gelijke dcelen [AO = D; BO = OC].
EUCX.. I. 30. L. G. I. 03.
BEWIJS. Door Voordel XXII.
GEVOLG.
In de regthoeken en vierkanten, zijn de deelen der diagonalen, en de diagonalen zelve , gelijk. In de vierkanten en ruiten fnijden zij, boven dien , elkander regthoekig.
XXXIV. VOORSTEL. Fig. 85.
Inriien men nit een der uiteinden [B] van de diagonaal [C B] eehs vierkants [A B L C] op die diagonaal een Buknbsp;[BD] neemt gelijk aan de zi;de [BAJ van het vierkant:nbsp;en uit het uiteinde [D] van dat Buk eene Inodlijn [DJnbsp;op de diagonaal oprigt, welke de grondlijn [A CJ desnbsp;vierkants [in E] ontmoet: zal die lijn [DE] gelijk zijnnbsp;aan het verfchil [DC] tusfcheri de diagonaal [CB] ennbsp;de zijde [AC] van het vierkant, en op de gronlijii eennbsp;Buk [E A] afinijden, gelijk aan hetzelve verfchil [D C]. '
bereiding. Men trekt DA,
BEWIJS. Voor bet I. Om dat in A ECD, Z EDCes:
C cn Z DCA ^ L: is Z DEC ook nbsp;nbsp;nbsp;L: fXXVlI.
Gev. a ) derhalve DE = DC (XXVllI.)
Voor het 11, Om dat in A ABD, AB = BD en L C 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ABD
-ocr page 102-42 1. Moek: Over de lijnen, en de zijden der figuren.
ABD = i L is (XXVIf.) L BAD = i BDA ~ L: derhalve ^DAE=4L = ZADE:cn rXXVllI.)
J. aanmerking. Hieruit blijkt , hoe men te handelen heb-be om het VIII. Werkftuk van het II. Boek optelosfen.
II, AANMERKING. Dit voorftcl zaT deii grond leggen-om in het vervolg geometrisch te bewijzen dat de diagonaal en denbsp;zijde van een vierkant onderling onmeetbaar zijn. Zie III,nbsp;Boek, Bep. 8, Aaum. e.
XXXV. VOORSTEL. Fig. 45.
Indien er uit drie dippen [I, B, FJ op een der bee-ncn [A Dl van eencn hoek [D A Ej op gelijke aflhnden [IB, BF] van elkander geplaatst, drie lijnen [IN,nbsp;MC, F L] alle evenwijdig aan elkander getogen zijn:nbsp;zullen de deden [NC, C LJ van het ander been [AEJnbsp;tusfehen de gemelde lijnen begrepen, ook gelijk aan elkander zijn. En omgekeerd : indien twee evenwijdigenbsp;lijnen [BC, FL], de beenen van een hoek fnijden, ennbsp;eene derde lijn [IN], van ieder een Ihik [J B, cn NC]nbsp;affniidt dat geliik is aan dat ftuk [BF, CL] van ieder,nbsp;hetwelk tusfehen de cerstgemelde lijnen licgrepcn wordt;nbsp;is die derde lijn evenwijdig aan de twee tenlle.
SIMPSON I. 27.
bereiding. Men fielt dat de lijn PO door C evenwijdig aan DA getrokken is, en de lijnen IN, verlengd, en Fl,nbsp;in P en O fnijdt.
BEWIJS. Uit het XXXI. Voorftel befiuit men de gelijkheid fier lijnen PC en CO: en uit het XXII. die der lijnennbsp;NC en CL. Het tweede gedeelte, of het omgekeerde,nbsp;wordt door het eerfte bewe-zen, uit de befchouwing dernbsp;ongerijmdheid waarin men vervalt, met het tegendeel te fiel-len: d. i. met te ftellen dat niet I _N, maar eene andere lijnnbsp;Ih met BC-evenwijdig zoude .zijn.
Indien men eene zijde [AD] van een driehoek [DAE] in zoo vele gelijke deelen deelt als men wil, en uit ieder eene lijnnbsp;evenwijdig aan de e;rondlijn [ED] trekt; zullen die lijnennbsp;de andere zijde [AE] in het zeilde aantal gelijke deelen fnijden.
AAV-
-ocr page 103-II. /Ifdtding: Over de zijden der parallelogrammen. 43
AANMERKING. Mier door kan men het 8 en het 9 Werkftuk van het I. Boek oplosfen.
XXXVI. VOORSTEL. Fig. 47.
Indien men de vier zijden van eenigen ongerdiikten vier. koek [DCRA'j in twee gelijke deelen deelt, zullen denbsp;lijnen [MG, GF, FE, EH], die de Hippen daar de'dee.nbsp;ling gefchieJ is veriiigen, een parallelogram uitmakeu,
BEREIDING. Mcii trekt de diagonalen DB, AG.
BEWIJS. Men bednit uit het XXXV Voordel dat HG en EF parallel zijn aan AC: en HE en GF- aan DB: waaruit hetnbsp;voordel door het IX. Voordel volgt.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Uit het geen in II. 13. en IV. 2. zal gezegd worden, valt geinakkelijk optemaken dat de ruimtenbsp;IIGFE welke het parallelogram bedaat, de helft is van dienbsp;welke de vierhoek ADCB bevat.
I. GEVOLG.
Indien de gegeven vierhoek een regthoek, of een vierkant, ware, zoude her parallelogram HG FE ook een regt-hock, of een vierkant, zijn.
11. GEVOLG. Fig. 46.
Indien DC BA een vierkant ware, en de Hippen H, G, F, E niet op de helft der zijden AD, DC, CB,nbsp;B A , maar op iedere zijde, op gelijke afHanden der hoeken , ieder in zijn rang, genomen worden [AH=DGnbsp;= C F = 15 E] zal de figuur ook een vierkant zijn.
SIMPSON I. 28.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit zal in II. 38. nader op alle veelhoekennbsp;toegepasc worden.
OVER DEN INHOUD VAN REGTLIJNIGE FIGUREN.
Sc- 1. Beo. 38. L, G. III. Bep. 7.
II. BEPALING.
Figuren , welke gelijker inhoud, of gelijke oppervlakte bebben , worden gezegd gelrjkhaltig te zijn.
aanmerking. Doorgaans worden zoodanige figuren ook gelijke figuren genoemd: maar dan wordt die benaming innbsp;eenen meer beperkten^in genomen, dan wanneer men gelijkenbsp;pguren de zulke noemt, waarvan alle de deelen, ieder aannbsp;'ieder, onderling gelijk zijn, en die, gevolgelijk, op elkandernbsp;gelegd geheel zouden vereenkoinen; gelijk het-geval wasnbsp;voor de driehoeken waarvan in Voorftel 21, 22, 25, 20.nbsp;van het I. Boek gefproken is. Bij deze worde dan denbsp;gelijkheid in eenen ruimeren zin genomen, dan bij de zoodanige wier inhouden alleen gelijk zijn. Ik heb , om allenbsp;dubbelzinnigheid te vermijden , in navolging van le gen-dre [III. Bep. Ij gelijkhaltige figuren {figures equivalentesjnbsp;de zulke genoemd, welke alleen in inhoud gelijk zijn; terwijl ik door gelijke die blijf verftaan , welke in alle op-zigcen gelijk zijn: en om ook, zelf in de teekens , allenbsp;dubbelzinnigheid te vermijden, zal ik befiendig het teekennbsp;^ voor de ftrikte gelijkheid, en het teeken co, dat mennbsp;voorheen ook voor gelijkheid gebruikte, enkel voor gelijken inhoud te hebben, of gelijkhaltig te zijn, bezigen.
II. aanmerking. Er kunnen echter gevallen zijn, waarin het gebruik van de uitdrukkingzijn nie; dubbelzinnig is,nbsp;en de omlandigheden aanwijzen, dat men alleen van gelijkhaltig te zijn fpreken kan: bijv. wanneer men zegt datnbsp;eene figuur gelijk is aan de fom van verfeheide andere :nbsp;of dat eene figuur , een driehoek bijv. gelijk is aan eenenbsp;andere, die klaarblijkelijk van gedaante verfchilt; bijv. aannbsp;een vierkant. Het wijst zich van zelf aan, dat als dan gelijk, eigenlijk gelijkhaltig aanduidt.
III.
-ocr page 105-45
Inlculins.
III. aanmekking. Insgelijks wanneer men, het woord figuur afzonderlijk gebruikende, zegt b. v. een driehoek , eennbsp;parallelogram enz. is het dubbeld, of de helft van een ander , verhaat men altijd daar door den inhoud van diennbsp;driehoek, of van dat parallelogram.
III. BEPALING. Fig. 22.
' Wanneer men in eene regtlijnige figiuir eene zijde voor gromlliji), of bazis , aanneemt, wordt de loodlijn uit dennbsp;top op die grondlijn nedergelaten, de hoogte van de ii-giuir genoemd. In A CAD, is AB de hoogte, zoonbsp;Cd oe grondlijn is; cn CH is de hoogte zoo ADnbsp;voor grondlijn genomen wordt.
EUCL. VI. Bep 4. St. VI. Bep. 4, L, G. Ill Bcp. 5.
aanmerking. De reden waarom de loodlijn de hoogte genoemd wordt, blijkt uit I. 11. Gev. i.
GEVOLG. Fig. 40.
Wanneer eene figuur zoodanig gefield is, dat er over de grondlijn [CD] geen top Haat, maar wel eene z'.jdenbsp;[A B] aan de grondlijn evenwijdig ; zal de hoogte dernbsp;figuur bepaald worden door de loodlijn [A.F,] welke tus-fchen die zijde cn de grondlijn getogen wordt.
L. G, III, Bep. 4 en 6.
IV. BEPALING. Fig. 50 en 51.
Parallelogrammen [MB CL, MDEL, IDEH, fig. 50,} tvorden gezegd tusfchen de zelfde evenwijdige lijnen, [AF,nbsp;G N] te flaan, als eene [GN] dier evenwijdige, of eennbsp;gedeelte [ML, IH] derzelve, hun tot grondlijn, en denbsp;andere [AF], of een gedeelte derzelve [BC, DE] voornbsp;tegenovergeltelde zijde ftrekt.
Driehoeken [ADI, AEI, HKL , fig. 51.] worden gezegd tusfchen de zelfde evenwijdige lijnen [BK, AL]nbsp;te flaan, als eene [AL] dier lijnen , of een gedeeltenbsp;[AI, HL] daarvan, bun tot grondlijn firekt: en hunnenbsp;toppen [D, E, K] de andere evenwijdige lijn [BK] raken,
aanmerking. De zelfde bepaling als voor de parallelogram-men heeft plaats voor alle de figuren waarin twee zijden evenwijdig zijn aan elkander, en eene dezer de grondlijnnbsp;ts: en de zelfde als voor de driehoeken geldt voor alle de
fi-
-ocr page 106-46 /. Boek: Over den inhoudVan regilijnigc figuren.
figuren uit een oneven getal zijden beftaande, tvanneer dt zijde over een der hoeken ftaande voor grondlijn gena-jnen wordt*
GEVOLG.
Uit I. 13. en hier Bep. III.
V. BEPALING. Fig. 41.
Een regthoek [ABDC] wordt gezegd de regthoek uit twee lijnen [E, F] te zijn, wanneer de grondlijn (CD]nbsp;des regthoeks [ABDC] gelijk is aan eene v;ui die lijnennbsp;[E] en de rcgthoekszijde [A C] aan de andere [F].
eucl. II. Bep. I. St, II, Eep. 2.
I, nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Wanneet de twee lijnen [AC, CD] welkenbsp;den regthoek uitmaken gegeven zijn, is de geheeie regc-hoek gegeven, en allezins bepaald. Want de hoeken allenbsp;regt zijnde [Bep. i S.] hebben zij alle eene bepaalde ennbsp;gelijke grootte [t. 2.] en uit een en het zelfde flip C ofnbsp;D, kan maar eene eenige loodlijn getrokken worden [I, ii.nbsp;Gev. 2,]: zoo dat uit twee gegeven lijnen maar eene eenige regthoek gemaakt kan worden. Hetgeen, in andere woorden , dit gevolg oplevert.
I. GEVOLG.
II, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit gevolg wordt, te regt, onder de Axia-mata geplaatst. Koenig zegt; hieromti,ent , met reden [op EUCL. II. Axioma 2.] dit is uit eene der eerftenbsp;,, gronden van alle onze redekavelingen blijkbaar , welkenbsp; vordert dat twee dingen volkomen gelijk zijn -als er ner- gens verfchil is tnsfchen een eenig der deelen waaruitnbsp;,, zij beftaan.
III, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit gevolg heeft geen plaats voor pa-rallelogrammen; om dat, tot derzelver bepaling, niet alleennbsp;de grootte der zijden, maar ook die van den hoek welken twee zijden onderling maken, vereischt wordt. Dnbsp;inhoud immers van twee parallelogrammen , uit gelijke
lij-
-ocr page 107-47
Inleiding.
grooter wordt. Zoo is in fig. 43. CABD jgt; /3
lijnen beftaande, verfchilc naar mate die hoek van den tegten hoek afwijkt; en wordt kleiner als die afveijkine:
gt; n? C/3D, fgelijk uit het gevolg vat
an net
tweede vnorftel blijken zal_) hoewel de zijden CA, Cnt, C gelijk zijn.
iV. AANMERKING. Mcn duidt dikwijls den regthoek [A B DC, hg. 41.] aan door de drie letters welke eeiien der boekennbsp;liepaleii: bijv. met te zeggen regthoek AC D. Het is ouinbsp;die reden dat bij velen, vooral onder de Ouden, en dianbsp;welke derzelver trant lliptelijk volgen, drie letters van eenenbsp;lijn [fig. I.] agcercenvolgend geplaatst , den regthoek tenbsp;kennen geven van de twee lijnen door die letters aangeduid: als bijv. regthoek ACB, om te zeggen den regthoek uit AC, en B C: regthoek ABC om te zeggen dennbsp;regthoek uit AB en BC. De middelfte letter is die, welke, met de eerfte en laatfte vereenigd, de lijnen aandnidcnbsp;die de zijden van den regthoek zullen uitmaken. Vannbsp;daar de uitdrukking der Ouden, het begrepene onder, ofnbsp;door, twee lijnen, om te zeggen den inhoud des regthoeksnbsp;' uit die lijnen gemaakt. Zoo is fig. 41. O ABDC hetnbsp;begrepene onder, of door, de lijnen E en F.
Somtijds ook duidt men den regthoek aan door de letters aan de uiteinden der diagonaal ftaande: bij voorbeeld ? CB, om den regthoek ABDC aantewijzen.
ir. GEVOLG. Fig. 48.
Het vierkant [ACEG] op eene lijn GE geliefd, d. i. het vierkant van, of op, die lijn, kan befchouv/d worden als een regthoek door twee gelijke lijnen, AG, GE;nbsp;of CE, EG; of EG, EG; gemaakt.
Sc. I. Bep. S3.
V. aanmerking. Van daar de uitdrukking der Ouden, eene lijn kan zoo veel, de magt van eene lijn, het vermogennbsp;van eene lijn, om den inhoud van het vierkant op dienbsp;lijn uittedrukken.
III. gevolg.
VI.
-ocr page 108-48 11. Bock : Over den inhoud van regtlijtrgc figuren,
Vl. BEPALING, Fig. 52.
Wnnneer men uit eenig ftip [G] op de diagonaal [CB] van een paralldograu) [CABD] lijnen [FI, HEjnbsp;trekt even wijd g de zijden des parallelograms: noemcnbsp;inen pnrallelogrammen om de diagonaal die [C H G I,nbsp;G F B E] door welke de diagonaal gaat : en aanvul felsnbsp;van deze, de twee overige parallelogrammen [MAFG ,nbsp;GE Dl] d'tor welke de diagonaal niet gaat. De gelieelenbsp;ruimte [AFGEDCA] door een der parallelogrammennbsp;om de diagonaal en de beide aanvnlfels begrepen, draagtnbsp;bij de Ouden den naam van Gnomon.
EUCK. II. Bep. 2. St. I. Bep. 31.
GEVOLG.
Wanneer het parallelogram een regthoek is, zijn de pa-raVlelogrammen om de diagonaal, gelijk mede de aanvul-fels, regtlioekeii ; wanneer het een vierkant is, zijn de parallelogrammen om de diagonaal vierkanten, en de aan-vulfels zijn regthoeken.
VIL bepaling. Fig. 5$. k.
Men noemt regthoekig Trapezium een ongefchikte vier-hoek rCAFE] waar van twee zijden [AC, FE] op de grondlijn [AF] regthoekig ftaan.
St. I. Bep 41.
OVER DEN INHOUD VAN REGTHOEKEN EN vierkanten, OP GROEVEN LIJNEN GE-
' STELD, of uit de VERDEELING VAN DEZE VOORTS PR UITENDE.
I. voorstel. Fig. 44.
De (bm van verfcheiden regthoeken [LI, QH, PG], die de zelfde hoogte, doch verfchillende grondlijnen, hebben, is gelijk aan den inhoud van nen regthoek [LG]nbsp;wiens hoogte de zelfde, en wiens grondlijn de fom vannbsp;alle de gegeven gr mdlijnen is.
KCl. u. St. II. 1,
BE*
-ocr page 109-49
/. /ifdteling; Over den inhoud van regthoeken.
bereiding. Men ftelt de verfchillende regthoeken met da gelijke zijde, die de geineene hoogte is , tegen elkander:nbsp;dan maken zij [t. 4, 14.] nen regthoek L F G K uit.
BEWIJS. Het voorftel blijkt om dat de grondlijn KG des regchoeks LFGK de fom is der grondlijnen KI IHnbsp; H G.
I. GEVOLG. Fig. 48.
Het vierkant [AE] van eene lijn [GE] heeft den zelfden inhoud als de fom der regthoeken [AF, BE] uit de geheele lijn [GE] met ieder der deeleii [GF, FE] , waarinnbsp;verdeeld is, iamengefteld.
St, II. I.
ECL. II. 3.
II. GEVOLG. Fig. 48.
Indien eene lijn [GE] in twee deelen [GF, FE] gedeeld is, heeft de regthoek [GD] uit die gehele liin [GE] en een der deelen [F E] , gelliken inhoud als hetnbsp;vierkant [IE] op dat deel en den regthoek [HF] der beide deelen [GF, FE] te ianien.
EUCL. II, 3. St. II. 3.
Indien van twee regthoeken [IHPQ en NOHI]die dezelfde grondlijn , of gelijke grondlijnen, hebben, de een [IH P Q]nbsp;voor hoogte heeft eene lijn [IQ] die de helft is van denbsp;hoogte [1 N] des anderen; zal de inhoud van den cerst-geraelden regthoek [IHPQJ de helft zijn van die des tweeden [IHON]. Het zelfde heeft plaats indien de hoogtennbsp;gelijk zitii, maar de grondliin [IQJ van den eeiien [PQIH]nbsp;de helft is van de grondlijn [Nl] van den anderen [IHON],
aanmerking. Welk deel de hoogte zij van de hoogte, de grondlijnen gelijk zijnde; of welk deel de grondlijn zij vannbsp;de grondlijn, de hoogten gelijk zijnde; het zelfde deel zalnbsp;de eene regthoek van den anderen zijn.
II. VOORSTEL. Fig. 44.
Het verfchil der inhouden van twee regthoeken [KLPH en QPHl] die op verfchillende grondlijnen [KH, Hl]nbsp;ftaan, doch gelijke hQogte hebben, is gelijk aan een regt-
D nbsp;nbsp;nbsp;hoek
-ocr page 110-50 11. Bock: Over den inhoud van rcgtUjnigc figuren,
hoek [LQIK] die de zelfde hoogte heeften wiens grondlijn [l\I] het verfchil is der beide grondlijnen [KH, H 1].
BEREIDING. Meii plaatst den kleinften regthoek QPHI binnen eenen der hoeken KMP van den grootften, zoo datnbsp;de zijde IH op de zijde K H, en dus P H op P H ligge.
BEwifs. Om dat de grondlijn KI KH IH is.
aanmerking. Wanneer men het voorgaande voordel met die vergelijkt, ziet men duidelijk dat men uit beide eennbsp;algemeener voordel kan opmaken, te weten: De fom ofnbsp;5, het verfchil van verfcheide regthoeken die op verfchil- lende grondlijnen daan, maar gelijke hoogte hebben, isnbsp; gelijk aan den inhoud van eenen regthoek die van gegt;nbsp;,, lijke hoogte is, en tot grondlijn eene lijn heeft gelijknbsp; aan de fom van alle de grondlijnen, of aan het verfchilnbsp; van de grootfte en de fom der overige.quot;
Indien eene lijn [GE] naar welgevallen in twee deelen [GF, FE], het zij gelijke, het zij ongelijke, gedeeldnbsp;wordt: is'het vierkant [AE] op de gehele lijn, de foranbsp;van de vierkanten [Al, IE] op ieder deel, en van dennbsp;dubbelen regthoek [lG en IC] op beide de deelen.
eucl, U, 4. St. II, 4, L. G. III. 8.
bewijs. Uit de V. Bepaling en Voordel I. met het 1 en 3 Gevolg.
I. aanmekkino. Dit voordel is de Geomclrifche uitdrulking v*n de AlgebraiJcUi Formule ^ anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b fnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a ab:
waarom ook die deelen in de figuur zyn aangewezen t wel ver-llaande dat men in die overbrenging van uitdrukkingen vooron-derftelt, het geen in het IV, Boek Voorft. IX. Gev, 3 en 5 zal bewezen worden ; te weten, dat men voor het vierkant op eeni-ge lijn, of voor den regthoek uit twee lijnen, ftelt het quadraat ofnbsp;de tweede magt van een getal, of het product van twee getallen,
I. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Indien eene lijn in twee gelijke deelen gefneden wordt, is het vierkant van de gehele lijn, het viervoud van hetnbsp;vierkant op een der deden.
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Het vierkant [AI] van een der deelen [GF] heeft gelijken inhoud als het verfchil tusfehen het vierkant
i
van de geheele nbsp;nbsp;nbsp;lijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de Tomnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van betnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vierkant des
tweeden deels , met den dubbelen legthoek der beide deelen te fainen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan dit tweede gevolg ook uitdrukken
met te nbsp;nbsp;nbsp;zeggen, dat ,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vierkantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op een dernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deelennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ge-
lijk nbsp;nbsp;nbsp;is aan het verfchilnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tusfchennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;het vierkantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ge-
,, heele lijn, en den Gnomon [)3ep, VI]
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking Men kan de lijn GF befchouwen als het
verfchil van twee gegeven lijnen GE en FE; en dan V'ordt het zelve uitgedrukt, in plaats van door ? opnbsp;GF 00 nop GE ? op FE 2 Rh. uit GF, EF;nbsp;door,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? op GF 00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op [GEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; FE] 00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;GE
? nbsp;nbsp;nbsp;op FE 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Rh.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit GE, FE -{- 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F E
^ ? op GE nbsp;nbsp;nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op FE 2 Rh.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit GE, FE;
CU dit levert op het volgend
III. GEVOLG,
Het vierkant nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;verfchilnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tusfchennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;twee lijnen is
gelijk aan het nbsp;nbsp;nbsp;verfchilnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tusfchennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de foornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;der vierkanten
van iedere lijn, te lanien genomen , en den dubbelden regt-hoek uit beiden.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit derde Gevolg is de Geometrifche uitdrukking van
deze Algeiralfche Formule (c fc) nbsp;nbsp;nbsp;^ ab
L. G. 111. 9.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit ons derde Voorflel kan veel algemener uitgedrukt worden op deze wijze. ,, Iiidien eenenbsp;j, lijn in zoo vele deelen als men begeert gefneden is ,
-,, wordt het vierkant van de geheele lijn gevormd door ,, de lomnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vierkantennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op iedernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deel, en da
dubbele nbsp;nbsp;nbsp;fom der regthoeken,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;die uit alle de deelen,
,, twee aan twee genomen, gemaakt kunnen worden. Wanf ftelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de lijn in verfcheidennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deelen a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gefneden: zoonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is door ons Voorllel,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit [r:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c]
00 ? uit [ -{- ^] -|- 3 Regth. uit [ -fquot; en c -f-D uit c: nbsp;nbsp;nbsp;Maar hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? uit [a bj ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;den regihoek
uit [ nbsp;nbsp;nbsp;bl m cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;door dit Voordel, ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;door het I.
ontwikkelende, heeft men ? uit ['*{quot; iJ* -f- r^] o? Q uit AC 2 regth. uit ac en 1^ -J* ? uit /r 3 regth.nbsp;uit ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c -J- 2 regth. uit bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o, of,
alles in orde fchikkende, ? uit nbsp;nbsp;nbsp;[anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j- ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o]nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00 ?
uit -f Q uit nbsp;nbsp;nbsp;^ '4' a rogthoeken uit a
52 II. Boek: Over den inhoud van regtlijnige figuren.
en ^ 2 regthoekeii uit 0 en c -j- 2 regthoeken uit b en c.
VI. A/iNMERKiNO. Wanneer men in acht neemt het geen wij in de I. Aanmerking gezegd hebben en in IV. 9, Gev. e en 5, bewijzennbsp;zullen , dat men van de vermenigvuldiging en tweede magtcn vannbsp;getallen verftaan kan het geen wij hier van regthoeken en vierkanten zeggen: wordt de voorgaande Geoinetrifche uitdrukkingnbsp;deze Algchraifche Formule, (^a -j- Ir'-rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; td lgt;^-\-
2 (tz -J_ c -f- nbsp;nbsp;nbsp;lt; het geen den regel oplevcrt dien men
volgt om den quadraat-wortel uit een getal te trekken: Zie St. Inl. V, def, 15, en ons Aanhangfel, Die zelfde Formule nader ontwikkeld geeft, Ca -j- ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- 2 aJ -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-
-H 2 Ic -1-
cn het zijn die deelen welke in de
53 liguur aangewezen worden.
IV. VOORSTEL. Fig. 55.
Indien eene lijn [A D] in twee deelen [AC, CD] naar willekeur gelheden wordt 5 is het vierkant op de gcheelenbsp;lijn [AD] te famen mee het vierkant van een der dedennbsp;[CD], van gelijken inhoud als tweemaal de regthoek uitnbsp;de geheele lijn [AD] en dat deel [CD] te famen niet hetnbsp;vierkant op het airder deel [AC].
EUCL, II. 7, _ St. II. 7.
BEREIDING van de figuur. Men ftelle op AD zijn vierkant A D F K, neme E D C D , trekke E L en Cl (verlengd')nbsp;evenwijdig aan AD, en aan FD: neme op DF (verlengd^nbsp;FG = CD = IF, en voltooije het ? IFGH.
I, nbsp;nbsp;nbsp;BEWIJS. Uit de befchouwing dat Q ALED x O
AANMERKING. Meu kan dit voorftel en de vijf volgende, zeer gemakkelijk, bewijzen uit de Algebraifclie uitdrukkingen , waarvan in de Aanmerkingen I. en V. op het voorgaand voorftel gefproken is, en zonder behulp van eenigenbsp;figuur: waarom wij die bewijzen, bewijzen zonder figuurnbsp;zullen noemen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;BEWIJS. Zonder figuur. Zij (a O de lijn . a tnh hare deelen.
~ nbsp;nbsp;nbsp;^ ai ~'r
: 2 Cd jquot; nbsp;nbsp;nbsp;^ 4*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
Ca -f- if -|- '
i ai ^
V. voorstel. Fig. 58.
4- nbsp;nbsp;nbsp;=
Indien eene lijn [A B] in twee gelijke [AC = CB] en in twee ongelijke deelen [A D , D B] gedeeld wordt,nbsp;zal de regthoek uit de ongelijke deelen [AD en DB] te
fa-
/. Afdeelitig: Over den inhoud vein regthoeken. 53
famen met het vierkant op het middelfte fttik [CD] ge* Hk zijn in inhoud aan het vierkant op de halve hjnnbsp;[C B of A C].
EUCL, II, s. St, II. 5'
Bereiding voor de figuur. Maak op AC het ? CAFH: neem AE = AD; voltooi den regtboek AIBE; treknbsp;DG evenwijdig aan AFj dan is O BDLI de regt-*nbsp;hoek uit AD en DB, en Q HGLK het O op CD.
I. BEWIJS. Uit de befchouwing der figuur, waarin czi C KIB 00 O AF GD.
, nbsp;nbsp;nbsp;N ..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/i nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ \
n, BEWIJS. Zonder figuur. Zij f i J dc lijn: dus f-- j
de halve lijn ;
na nbsp;nbsp;nbsp;^ ^
C' a
4 nbsp;nbsp;nbsp;4-
._it ^ i het middelftuk. Nu is al' *}
4. H ah 4- r
li
) gt; =
4-2ni4quot;i' *4J
VI, VOORSTEL. Fig. 59,
Indien men eene regte lijn [AB] in twee gelijke deelen [AC, C B] deelt, en ze naar welgevallen verlengt (totnbsp;in D); zal de regthoek uit de gchcele aldus verlengde lijnnbsp;en het bijgevoegde ttuk [A D en D B] te famen met hetnbsp;vierkant op de helft [BC] der gegeven lijn [AB], ge-lijkhaltig zijn aan het vierkant van de lijn [CD], gevormd uit de helft [CB] der gegeven lijn en het bijgevoegde ftuk DB.
EUCL. II, . St, II. 6.
Bereiding voor de figuur. Maak op cl) het vierkant CDGH; neem DL = DB; voltooi den regthoek AD LI;nbsp;trek uit B, BF // DG; dan is CD ADLI de regthoeknbsp;van A D en B D en n K E F H het ? op B C.
I. BEWIJS. Uit de befchouwing der figuur, waajin o CKIA 00 C3 LGFE.
D ^ nbsp;nbsp;nbsp;IL
-ocr page 114-54 ! Bock: Over deninhoud van regtUjnlge figuren.
n. lEwijs. Zonder figuur. Zy a de Ijjn, V het anngevoegde ftuk: du (4.0^ ^=*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
I, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het blijkt duidelijk dat dit uoorftel en hetnbsp;voorgaande eigenlijk een en het zelfde voorftel zijn: en datnbsp;zij onderling enkel hierin verfchillen, dat A O in Voorftel'nbsp;V. het verfchil, en in dit voorftel de foui is van A 15 engt; DB.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Vermits in dit voorftel ? op CDOO Qop BC
Rh. uit B D, AD: en dus ? op B C 00 ? op CD Rh. uit B D, AD, daar in het voorgaand voorftel ? op B C 00 Onbsp;pp C D Rh, uit B D , A D: is in dit voorftel het vierkant opnbsp;de helft der lijn gelijk aan het verfchil, en in het voorgaandnbsp;aan de fom van een vierkant cu een regthoek. lii de fteikun*nbsp;de zoude men zeggen, dat hier BD negatiefnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ten opzigte
van B D in het voorgaand voorftel, om dat het aan de ande-e zijde van het ftip P valt, de regthoek uit AB, bd #-gatief is.
VII. VOORSTEL. Fig. 57.
Indieti eene lijn [A D] naar welgevallen in twee deelen [AC, CD] gefueden is , en men voegt er in de verlenging een der deelen bij [bijv. DB = C D], zal hetnbsp;vierkant op de aldus verlengde lijn [AB] gelijkhaltignbsp;zijn aan vier malen den regthoek uit de gegeven lijn ennbsp;het bijgevoegda ftnk [BD], te famen met het vierhautnbsp;van het ander ftuk [AC],
EUCL, II. 0.
bereiding der figuur. Men plaatfe op A B het vierkant ABGK, neme EB = EF =: DB = CD: trekke EOnbsp;en FL // AB, en DU, Cl // BG.
'l. BEWIJS ? LKIM is het ? op AC: a LMPO = C30PCa = C3IHNM = a HGFN: bij iedernbsp;dezer een der vier DD MNQP, QNFE, EQDB,nbsp;DQPC geveegd, heeft men 4 regthoeken eik x ?nbsp;ADQO X Rh. uit aD DB.
Jl. BEWIJS. Zonder figuur. Z? ^ de Ijjn ; b het aangevoegde ftuk: dan is [a -J- 4 iT Cc 2 bj' =5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 4
lt;^ 4 nbsp;nbsp;nbsp;=
VIII,
-ocr page 115-I. Afckelingx Over den inhoud van regthocken. 55
VIII. VOORSTEL. Fig. 60.
Indien eene lijn [AR] gefncden fs in twee gelijke dee-len A C, C B , en in twee ongelijke [AD, 1) B]; zullen de vierkanten der ongelijke deelen [AD, DD] te fiiniennbsp;genomen eenen inhoud bevatten, die dubbeld is van dennbsp;inhoud der vierkanten ivan de halve lijn [A C] en vannbsp;bet (Ink [CD] tusfchen de helft [AC] en het kleinlle deelnbsp;[D B] begrepen, ook te faraen genomen.
EUCL. II. 9,
bereiding voor de figuur. Men rigte op AD in D eene loodlijn Dl gelijk aan de gelieele lijn AU, en voltooijenbsp;den regthoek ADIL. Zij DG C 15 AC: zij DFnbsp;=: DB. Men trekke uit G en F, GM en FN // AB,nbsp;voltooije het vierkant FEBD, neme KH := DB: en trekkenbsp;HQ//AB.
I. BEWIJS, Dan is ? NFIL het Qop AD; O FEBD het n op DB: ? LKPM =0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;MPCAnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= ? MPON
CZI NOCA IS het nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;PGFO = ?
PHQG zijn vierkanten nbsp;nbsp;nbsp;opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CD:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;En Qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FEBD = Q
OEBC - ? OFCD nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CZ3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;NOCAnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ? KIQHj
waaruit het befluit volgt.
(\ nbsp;nbsp;nbsp;n * I b
a h) is de lijn: -^- de halve lyn.
? ~b nbsp;nbsp;nbsp; b het begrepen fluk. Ku is
VOORSTEL. Fig. 61.
Tndien eene lijn [ARJ in twee gelijke deelen [AC, CB] gedeeld wordt en men verlengt ze naar welgevallenbsp;tot in D: zal het vierkant der geheele verlengde lijnnbsp;[A D] te famen met het vierkant op liet aangevoegde deelnbsp;cens zoo veel inhoud beflaan als het vierkant op denbsp;halve lijn [AC of CB], en het vierkant der lijn [CD]
uit de halve lijn [CB] en de verlengde [BD] famenge-lield, ook te famcn genomen.
UCL. U. 10.
BEREIDING voof de figuut. Men flelle het vierltant A DIL op A D; men verlenge AD, en neme D ^ = B D: verdernbsp;DF !=BD,FG t=BC c= AC; trkke uit F en G denbsp;lijnen FN en G iM evenwijdig aan AD, en uit B en C,nbsp;BR en CK // aan Dl: men voltooije het vierkant DFe^.
I. nbsp;nbsp;nbsp;BEWIJS. Dan zijn ?? LKPM, MP ON vierkanten opnbsp;AC; ? PGDC is het Q op CD, en CU KIGP Onbsp;NOCa -}- ? Fe^D maken ook een ? op CD uit,
II, nbsp;nbsp;nbsp;BEWIJS. Zonder figuur, a is de ijn, dus de halve: 1/ de verlenging. BUS 0)^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f
nbsp;nbsp;nbsp;= ^l.. i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; , yI\- endus
AANMERKING. Hct blijkt, en uit den aard der zaken, en uit de figuren, dat dit voorltel cn het voorgaande eigenlijk in dnignbsp;Voorftel zijn, maar dat hier AD gt; AB, en daar AD lt; AB.
X. VOOIJLSTEL. Fig. 62.
Het verfcliil van twee vierkanten [G C A11 en K IB CJ op twee ongelijke lijnen [GC, KCJ gefield, heeft gelijken inhoud als de regthoek uit de foni [GC -f KC]nbsp;n het verfchil [GC KC] van de beide lijnen.
L. G. III. 10.
BEREIDING, Stel het kleinfle vierkant KIBC in den hoek van het grootftc. Verleng HG, AC zoo, dat GF ~CDnbsp;=3 KC. Trek FD en verleng I K tot L en E.
BEWIJS. Uit Voorftel III, 1, en Bit Bep. V, Gev. l.
I. aanmerking. Dit voorftel is de GtometrifcJie uitdrukking van deze Algebraifche Formule:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; j] X [ amp;].
I. gevolg. Fig. 58.
Het vierkant [A F FIC] op de helft [A C] van eene
lijn
-ocr page 117-I. jifdcelingi Over den inhotid van regthoeken, nbsp;nbsp;nbsp;57
lijn [A B], is grootcr dan de regthoek [L B] van de twee ongelijke deelen [AD, DB] die tc fanien de zelfdenbsp;lijn [A B] uitmaken: en is derhalve de grootfte der regt-lio'eken die uit de deelen van eene regte lijn gemaakt kunnen worden,
BEWIJS. Immers O LIBD COO LKCD ? KIBC co ? LKCD ? FGDA en dus lt; ? FHCA.
II. gevolg. Fig. 58.
De fom der vierkanten op twee ongelijke deelen [AD, DB] van eene lijn, is klei^'dan de fom der vierkantennbsp;op de beide gelijke deelen [AC, CB],
BEWIJS. Uit III. is, ? op DB ? op AD 2 Rh uit Ad . DB co ? op AB = 4 ? op AC.nbsp;maar Gev. T. aRbuitAD.DBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-^anopAC.
derhalve QopDB4- QopAD gt;2D op AC ofn
op A C. nbsp;nbsp;nbsp;op CB.
AANMERKING. Het blijkt uit die twee gevolgen, dat het vierkant van de helft eener lijn het maximum is der regt-hoeken welke uit twee deelen van die lijn gemaakt kqu-nen worden; en dat het dubbelde vierkant op de helft,nbsp;of de fom der vierkanten op de twee helften van eenenbsp;lijn,het minimum is van de fom der vierkanten op de deelen.
B. G. . 443.
II.
OVER DEN INHOUD VAN DRIEHOEKEN EN parallelogram WEN.
Parallelogrammen [MBCL en MDEL[ die op de Zelfde grondlijn [ML] en tusfehen de zelfde evenwijdige lijnen [AF, GN] liaan , en derhalve even hoog zijn, hebben gelijke inhouden, of zijn gelijkhaltig.
EUCL. I. 35. St. J, 34. L. G. in. I.
BEr
D5
-ocr page 118-I
5S II. Boek: Over den inhoiid van regtiijmge figuren.
BEWIJS. Omdat uit Bep. Il.en I. 21, Gevolg i. A MBD =
A LCE: waaruit door aftrekking van A CDK en bijvoe-ging van A M K L het voorftel volgt.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. De reden van de gevolgtrekking en derhalvenbsp;enz. in het voorftel voorkomende, blijkt uit het i. Gevolgnbsp;van de IV. Bepaling.
I. GEVOLG.
Een paralielogratn MC is gelijkhalcig niet den regthoek OPLM, die op de zelfde grondlijn [MLJ Baat, ennbsp;wiens tweede zijde [M O] om den regten hoek gelijk isnbsp;aan de hoogte [MO of PL] van het parallelogram. Zoonbsp;dat de regthoeken de eigenaarUge maat zijn van de pa-Talklogrammen,
L. G. III. I. Cor.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Door dit voorftel wordt opgelost het eer-fte gedeelte van het XII. Werkftuk des tweeden Boeks dernbsp;Werkftukken.
II. GEVOLG. Fig. 50.
Een parallelogram of regthoek [MOPL, MBCL, M D E L] is het dubbel van een driehoek [M R L], dienbsp;op de zelfde grondlijn [ML] Haat, en de zelfde hoogtenbsp;heeft, of tuslchen de zelfde evenwijdige lijnen begrepeiris.
EUCL. I. 41. St. I, 28. L. G. III. a Gev. i.
BEWIJS. Uit 1. 31.Gev. I. en dit voorftel: na dat M A // RL getrokken, en dus CD MARL voltooid zal zgt;jn.
IIL aanmerking. Indien men dit Gevolg met het i. Gevolg van het XXXI. Voorftel in het I. Boek vergelijkt, zal mennbsp;zien dat het geen toen bewezen werd plaats te hebben,nbsp;wanneer de driehoek en het parallelogram nen hoek gemeen hebben, nu op alle driehoeken, noe verfchillende ooknbsp;hunne hoeken van die der parallelogrammen. zijn mogen,nbsp;wordt toegepast.
Parallelogrammen [MBCL en IDEM] die op gelijke grondlijnen [ML, IH] en tusfehen de zelfde evenwijdige^
-ocr page 119-//. Afd,: Over den ir,houd vein ^aTdllelogr. en drieh. 59
li^en [GN en A F] flaan , en gevolglijk ^ even hoog zijn, zijn gelijkhaltig.
KUCL, I. S. St, I. 25. bereiding. Men trekke MD, L E.
BEWIJS. Uit I. 30. en uit het voorgaande voorftel, DE als grondlijn befchouwende waarop CU CU MDEL ennbsp;DEHI ftaan.
I. aanmerking. De reden van de gevolgtrekkingj en gevoU gelijk enz. blijkt nit Bepaling IV. Gev.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Van twee parallelogrammen die op de zelfde grondlijn , of op gelijke grondlijnen, Itaan, heeft dat den grootftennbsp;inbond, waarvan de hoogte de grootje is: en insgelijksnbsp;inden de hoogte de zelfde is, doch de grondlijnen ver-fchillen, is dat parallelogram het grootfte dat op de grootnbsp;Ite grondlijn Haat.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien de hoogte van een parallelogram een bepaald gedeebe is van de hoogte van een ander, de grondlijnennbsp;plijk zijnde; of indien de grondlijn een bepaald gedeeltenbsp;is van de grondlijn, de hoogten gelijk zijnde; is hetnbsp;eerde parallelogram het zelfde bepaald gedeelte van hetnbsp;tweede , als hoogte van hoogte, of grondlijn van grond*nbsp;lijn (XI. Voorfl:. Gev. i. en I. Gev. 3.).
XIII. VOORSTEL.' Fig. 51.
De driehoeken [ADI, A EI, HKL] die op de zelfde grondlijn [Al], of op gelijke grondlijnen [AI, HL],nbsp;cn onder de zelfde evenwijdige lijnen BK en AL Haan,nbsp;en dus even hoog zijn, hebben gelijken inhoud, of zijnnbsp;gelijkhaltig.
EUGL. I. 37. St, I. 26, 27, L. G. III. s. Cor.
Bereiding. Men vult de CD CD BI, Cl, GL, aan.
bewijs. Het wordt uk het XI. Voorkei van dit Boek, en het 1. Gevolg van het XXXI. Voorftel van het I. Boeknbsp;ontleend.
I, aanmerking. De reden van de gevolgtrekking en dus blijkt uit Bep. IV. Gev. .
6o 11. Bock: Over den inhoud van rtgtUjnige figuren.
II. aanmerking. Fig. 51. Men bewijst geraakkelijk uit liet ongerijmde, het omgekeerde van dit voorftel, te weten, datnbsp;,, driehoeken die op de zelfde grondlijn , of op gelijkenbsp;,, grondlijnen aan den zelfden kant gefield zijn, en gelijkennbsp;,, inhoud hebben, tusfehen de zelfde evenwijdige lijnennbsp;flaan.
Eucn, I. 59, 40.
GEVOLG.
De inhoud 'van een driehoek is de helft van den in-lioud van een regthoek die op de zelfde, of op gelijke, grondlijn ftaat , en de zelfde hoogte heeft (Voorft. XI.nbsp;Gev. 1. en 2.). Zoo dat de regthoeken ook de eigenaar-iige maat zijn van driehoeken^ even als van ^aralklo-gramjnen,
St I. 28. nbsp;nbsp;nbsp;
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Wij zulIcn breeder over die maat handelen in het IV. Boek, Voordel IX. Gev. i, 5, .
IV. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Met, kn nu oplosfen uit het II. Boek,nbsp;Werkiluk Xll. tweede gedeelte: Werkftuk XXI. en XXIX.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Y.an twee driehoeken, die de zelfde hoogte hebben , is die de grootde, welke op de grootlle grondlijn flaat: ennbsp;insgelijks, indien de grondlijnen gelijk zijn, h die drie.nbsp;hoek de grootfte waarvan de hoogte de grootfte is.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien de hoogte van een driehoek een bepaald deel is van de hoogte van een anderen driehoek, de grond-liiiien de zelfde zijnde: of de grondlijn'van den eenen eennbsp;bepaald gedeelte is van die des anderen , de hoogte de zelfdenbsp;zijnde: zal de eerlte driehoek het zelfde bepaald gedeeltenbsp;zijn van den tweeden, als de hoogte van de hoogte, ofnbsp;de grondlijn van de groudjn (i. Gev. en I. Voorft.nbsp;Gev. 3.j.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan nu.oplosfen het Xlll, Werkftuknbsp;van het il. Boek.
XIV.
-ocr page 121-11. ^fd.: Over den inhoud van farallclogr. en drich. 6t
XIV. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL. Fig. 5a.
In alle parallelogrammen [ABDC] hebben de aanvul. fels [A F G H, G E D IJ om de diagonaal gelijken inhoud.
EUCL, I. 43. St. 1. 30.
BEWIJS. Uit I. 21. Gev. toegepasc eerst op de AA CAB, BCD, dan op de AA G F B en 15 G E, H G C en C G I.
AANMERKING. Op dit voorftel fteunt de oplosfing van a!Ie de Werkftukken waarin op eetie gegeven lijn een parallelogram, Vegthoek, of driehoek gefield moet worden, die gelijk zij aan eenige andere regtlijnige figuur. En reeds nunbsp;kan men uit het II. Boek, het XIV, XV, XVI, XXIII ennbsp;XXIV. VVerkfluk oplos fen.
XV. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL. Fig. 55^.
De inbond van een trapezium , of ongefchikten vierhoek [ECAB], waarvan twee zijden fAC, EB] onderling evenwijdig zijn, is gelijk aan den halven regt-hoek uir de fom der evenwijdige zijden [CA, EBJ en de loodlijn [CD] tiisfchen dezelve nedergelaten.
BEREIDING. Mcii trekt de IX CD, AF, die gelijk zijn.
BEWIJS. Dit de befchouwing dat het Trapezium ECAB OOAECD aCAFD A FA 11: en derhalvenbsp;[Voord. XI, en Gev. 2,] oo = ^ Rh uit ED, DC-f-Rh uitDF, CD ^ Rh uit FB, DC: d. i. Voord .nbsp;Trapezium ECAB 00 f Rh uit CD en [CA 4- EB]nbsp;00 Rh uit CD en 4 [CA EB].
I, nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit voordel wordt bij pappus vooronderfteltnbsp;in zijne Lemmata over apollonis 1. B. Lem. 8.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Iiidicn het trapezium regthoekig ware zoude AF bijv. met AB overeenkomen, en CD AF zijnjnbsp;waaruit voortvloeit dit
GEVOLG. Fig. 55^.
De inbond van een regthoekig trapezium [CEFA], js gelijk aan dien van een regthoek, waarvan dc grondlijn die van het trapezium is, en de andere zijde de halve fom der regthoeks-zijden in het trapezium.
St. I. S7. - L. G. ni. 7,
AAN-
-ocr page 122-AANMERKING. Ju IV. p. GevoIg 8. za! dit gevolg op eene andere wijze uitgedrukc worden.
XV.
VOORSTEL, Fig. 63.
Tn alle regthoekige driehoeken is het vierkant [D B] van de Ichuinfche zijde, of hypoteniifa [A B] , gelijk aannbsp;de fom der vierkanten [BG en Cl] van de beide overigenbsp;zijden [BC en AC].
EUCL, I. 47. St. I. 32. L. G. HL II.
bereiding. Men (lelt dat de iijn CLK, iiit den regten hoek C, evenwijdig aan AD of B E, en dns x op AB,nbsp;getogen is: en men trekt de lijnen CD, CE, AF, BI.
bewijs. Men bewijst uit I. 21. dat de driehoeken BAI en DAC gelijk zijn, zoo als odk de driehoeken ABFnbsp;en EBC: en vervolgens uit het i. Gevolg van hetnbsp;Hl, Voorftel van dit Boek, dat CD A K 00 ? IC en ?nbsp;KB 00 ? BG. Waar uit door het i. Gevolg van het
I. Voorllei het befluit volgt.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit Voorflcl wordt het Voorftel of hetnbsp;Theorema van fvthagoras genoemd, en het is algemeennbsp;onder dien naam bekend. Men kan het zelve zeer gemak-kelLJk uit de leer der gelijkvorinige driehoeken bewijzen ,nbsp;zoo als wij in het IV. B. , Voorftel XV., 3 Aamn. doennbsp;zullen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit Voorftel is flechts een bijzonder geval van een algemeener Voorftel, alle driehoeken, hoe ooknbsp;genaamd, betreffende: het welk door pappus in zijne Collec-tiones mathematicae (Lib IV. pr. i) opgegeven, en doornbsp;den beroemden castillon merkelijk vermeerderd is: zie denbsp;fchoone verhandeling van den laatstgeraelden in Mem. denbsp;VAcad. de Berlin Ao. 1766. p. 351, Wij zullen dit Voorftel in ons XX. Voorftel opgeven.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aaNMEKK/NG. Dit Voorftel geeft het middel op doornbsp;PYTHAGORAS gevoiidcn , en door vitruvius voorgedragennbsp;(Archit. IX. Cap. 2.), om de juistheid eens winkelhaaks tenbsp;beproeven. Men neme, van den top des regten hoeks af tenbsp;beginnen, op het eene been eenen afftaiul van vier, en opnbsp;het ander eenen aftland van drie deelen, beide op eenenbsp;goede plein fchaal gemeten. Men ftelle den pasfer op denbsp;uiteinden dier twee afftanden of lijnen; de pasfer moet,nbsp;zoo de winkelhaak juist is, eene lengte van vijf deelennbsp;befpaauen. Wij zullen in de IV. Aanmerking op het vil.
Voor-
11. jifd.: Over den inhoud van paralclogr, en drkh. 63
Voordel van het V. Boek nog een ander middel daartoe opgeven.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan nu uit het II. Boek der Werk.nbsp;Hukken oplosfeu het XXV, XXVII en XXVIII. Werkftuk.
I. GEVOLG.
Het vierkant van eenc der zijden [A C] van een regt-hoekigen driehoek, is gelijk aan den regthoek begrepen onder de fcluiinfclie zijde AB, en dat fluk [AL] vannbsp;de fchuifche zijde dat door de loodlijn [C KJ uit dennbsp;regten hoek nedergelaten, afgefneden wordt, en aan denbsp;gemelde zijde [A C] grenst.
EucL. X. Lemma I. van de 34, propoStie.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit ligt reeds in het bewijs zelf van dit
Voorftel opgefloten, en wordt hier nu maar in woorden uiigedriikt. Het zelfde kan uit de leer der gelijkvormigenbsp;driehoeken, en ook uit het voorftel van ptolemaes afgeleidnbsp;worden: zie IV. 15. Gev. 3 en VI. 7. Aanm. 4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
In alle regthoekige driehoeken is het vierkant van eene der regthoeks - zlidcn gelijk aan het verfchil der vierkanten op de fchninfehe en op de andere regthoeks-zilde: ennbsp;dus gelijk aan den regthoek begrepen onder de fom ennbsp;het verfchil van de fchninfehe en die regthoeks zijde.
L. G. in. II. Gev. I.
aanmerking De reden van de gevolgtrekking , en dus, blijkt uil het X Voorftel.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De regtho.^'k nit de fchninfehe zijde [AB], en een van hare ftiikken [AL], is gelijk aan den regthoek uit de fomnbsp;en het verichil dier zelfde fchuinfche zijde [A B], en diernbsp;regthoeks-zijde [C B] welke aan het ander ftuk [LB] grenst,nbsp;(uit Gev. II. en L).
Indien twee regthoekige driehoeken [ABC, ABD] dezelfde hoogte hebben, zijn i. de fommen van de vierkanten der fchuinfche zijde in den eeuen en der grondlijn
ia
-ocr page 124-64 //. Boek: Over den inhoud van ngtlijnige figuren,
in den anderen gelijk C opAD OopBC oo ? op AC 4- ? op D en 2. De veilcliillen der vierkanten van de fchuinfche zijden, en der vierkanten vannbsp;de grondlijnen zijn ook geliik : (d. i. ? op A D ?nbsp;op AC 30 ? op BD ? op BC).
VI. aanmerking. Het tweede gedeelte van dit Gevolg kan ook uitgedrukt worden, gelijk in dit
V. GEVOLG. Fig. 22, 23.
In alle driehoeken [ACD] is het verfchil der vierkanten op twee zijden [O A, CA] gelijk aan het verfchil der vierkanten van die beide ftiikken [DB, BC] die opnbsp;de grondlijn [OC](zoo noodig verlengd) gemaakt wordennbsp;door de loodregte lijn [A B] uit den top [A] op die derdenbsp;zyde, of grondlijn, getogen: en dus ook aan den rotboek onder de fom en het verfchil van gemelde ftukkeanbsp;begrepen.
Vil. AANMERKING. Dereden van de gevolgtrekking, en dusy blijkt uit het X. Voorftel.
IX. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit vijfde gevolg is reeds door pappusnbsp;(Coll, Mathsm. VII. 120.) opgegeven: en daar hij alleen fpreekt van het geval [fig. 23.) waarin de loodlijnnbsp;AB binnen den A CAD valt, voegt hij er bij: na COnbsp;in twee gelijke deelen in F gefneden te hebben, datnbsp;,, het verfchil der beide vierkanten tw malen den regt- hoek uit CD en BF (verfchil tusfehen BD en denbsp;,, helft van CD) bedraagt: en in de daad regthoefc uitnbsp;[BD BC], of CD en [B D BC] is c Rh. uitnbsp;C D en [D F 4. B F C F B FJ: of, om dat D Fnbsp;= CF, Rh uit CD en [8 D BC] po 2 Rh uit CDnbsp;en B F.
VI. gevolg.
In eenen regthoekigen gelijkbeenigen driehoek jg het vierkant op de fchuinfche zijde het dubbeld van het 'der*nbsp;kant op de regthoekzijde.
L. G. III, II, 6ev. 2.
X. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit is het geval voor de diagonaal eensnbsp;vierkants ten opzigte der zijde.
II. ^fd-. Over den inhoud van paralleogr. en drih, 6$
Indien in eenigen driehoek [DEH], de vierkanten van twee zijden [D H, H E] te famen genomen gelijkhaltig zijnnbsp;aan het vierkant op de derde, is die driehoek regthoekig: ennbsp;de regte hoek wordt door beide de zijden, wier vierkanten men fanientelt, begrepen.
EUCL. I. 48.
BEREIDING, Men vooronderftelc Hl s aan DH en i op EH, en men trekc EI.
BEWIJS. Door dit Voordel, en I. 26.
r
aanmerking. Dit kan ook uit het ongerijmde bewezen worden.
Indien inen uit den regten boek [C] van eenen regt* hoekigen driehoek [ACB] eene ioodregte lijn [CL] Iaatnbsp;vallen op de fchiiinCcIie zijde [AB]; zal het vierkant vannbsp;die loodlijn [CL] gelijkhaltig zijn aan den regthoek onnbsp;der de ftukken [li L, A L] van de fchuinfche zijde begrepen: en omgekeerd.
Indien in eenen driehoek, het vierkant van de loodlijn, [C L] uit eenen der hoeken [A C B] op de tegenoverge-Itelde zijde [A B] ncdergelaten , gelijkhaltig is aan dennbsp;regthoek van de Bukken [AL, LB] die daardoor opnbsp;die zijde gemaakt worden , is de gemelde hoek altijdnbsp;een regte hoek.
EUCL. X. Lemma van de 34 propofitie.
BEWIJS. Uit het 2 Gevolg van het XVI. Voordel, uit dat voordel zelve, en dan uit het II. alle van dit Boek.
BEWIJS. Voor het omgekeerde, of uit het ongeYijmde door dit Voordel: of ook regtdreeks door Voordel XVI. opnbsp;beide de AA BCL en CLA toegepast, door de onder-ftelling, Voordel III. en IV'. alle uit dit Ijoek.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
I* aanmerking. Dit voordel kan ook uit de eigenfchappen van den cirkel, of uit die van de geliikvonnige driehoekennbsp;bewezen worden , zoo als wij in het V. Boek, VII. Vrhel, I. Gevolg, en in het IV. Boek, XV. Voordel, i. Ge-^o'g, doen zuilen.
nbsp;nbsp;nbsp;II.
-ocr page 126-66 //. jBffiii: Over den inhoiid van regtlijnige figuren.
II. aanmerking. Dit voordel is het I. Lemma van pappus op het vijfde Boek van apollonius : die Schrijver voegt er bij, ,, dat zoo het gemelde vierkant der Jood.
lijn kleiner is dan de regthoek der deeien welke zij ,, van de tegenovergedelde zijde affnijdt, de hoek dompnbsp;zal zijn; maar fcherp zoo dat vierkant grooter is;nbsp;het geen gemakkelijk bewezen Moordt: want indien ?nbsp;op cL lt; CZ] uit BL, LA, zal het vierkant op eenenbsp;grootere lijn CL daaraan gelijk zijn, en derhalve eenennbsp;regten hoek maken; nu is Z He A gt; BCA [I. qo ] ennbsp;derhalve domp. Indien ? op cL gt; O uit BL, LA,nbsp;zal het vierkant op eene kleinere lijn CL daaraan voldoen, en derhalven eenen regten hoek BCA maken: nunbsp;is CL 20,] Z BcA lt; Z BCA, en dus fcherp,
GEVOLG.
De lijn [C H], die uit den regten hoek eens driehoeks [BCA] op de fchainfche zijde getrokken , deze in tweenbsp;gelijke deeien [BH = HA] deelt, is gelijk aan de halvenbsp;fchuirifchc zijde: en omgekeerd', indien de lijn [HC] uitnbsp;het midden eener zijde [B A] van eenen driehoek naar dennbsp;overftaanden hoek [BCA] getrokken, aan de helft dier zijde gelijk is, is die hoek [BCA] regt.
BEWIJS. P op CL co n op CH ? op LH [XVI. Gev. 2.] maar (door dit Voorftel] ? op CL co Rh. uitnbsp;BL, LA: derhalve ? op CH ? op LH oo Rh. uitnbsp;BL, LA = Rh. uit [BH HL] en [BH -f- HL] oonbsp;[X] ? op BH ? op LH; derhalve ? op CH = Qnbsp;op B H: en C H = B H = H A.
BEWIJS voor het'omgekeerde. Trek uit C, CL X AB; Dan is [XVI. Gev. 2.] ? op CL co ? CH ? opnbsp;LH cOpopAH PopLHoo Rh. uit [AH LH]nbsp;en [AH HL] co Rh. uit A L en LB : derhalve uitnbsp;het omgekeerde van dit voorftel z ACB regt.
III. aanmerking. Men kan thans het XVI. en XX. Werkftuk van het II. Boek oplosfen.
XIX. voorstel. Fig. 66.
In alle driehoeken, is het vierkant van eene zijde [AB] grooter of kleiner daa de fom der vierkanten op de grondlijs
-ocr page 127-11. Afd.: Over den inhoud Van paraklogrt en drieh. 67
1'ji} [AC] en de derde zijde [BC], naar mate de hoelc [AC Ij] over de eerstgemelde zijde [A B] ftorop , of i'cberpnbsp;is: en het verfcliil is de dubbele regthoek van de geheelenbsp;grondlijn [AC] en het (luk [OC] van dezelve, begrepennbsp;tusfchen den gemelden hoek en de loodlijn [BD] uit dennbsp;egenoverftaanden hoek [C15 A] getogen.
eucl. II, 13, J3. St. II. 8;^,V L, G. III, i4, 13.
BEWIJS. Uit het XVI. Voorftel neemt men in den driehoek DBA de waarde van het vierkant op AB: vervolgens nit het 2 Gevolg van dat Voorftel, in den driehoek DC Anbsp;die van het vierkant op B D; en dan uit het 2 Gev. van hecnbsp;X. Voorftel de waarde van het verfcbil der vierkanten opnbsp;AD en DC.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien de L BCA regt was, viel de loodlijnnbsp;BD op JIC: en men kreeg wederom het XVI. Voorftel:nbsp;het feuk DC ais dan nul wordende, is d overmaat, ofnbsp;het te kort fchietende van het Q op A B bij de foin dernbsp;vierkanten op AC en CU, ook nul.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Uit liet XVI. Vootftel vaH het I. Boeknbsp;volgt, dat in het eerfte_ geval de loodlijn BD buiten, innbsp;het tweede binnen den driehoek vak: en dus dathet tweedenbsp;gedeelte van het Voorftel, ook voor regthoekige en ftomp-hoekige driehoeken plaats heeft, mits de h-jp^temijd, ofnbsp;fchuinfche zijde, als de grondlijn aaiigezien, en dus de loodlijn uit dien regten of ftompen hoek getogen worde.
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Het XVI. Vootftel, of het Theorema Pjtka--goricum is eigenlijk een bijzonder geval van dit XIX: en ditnbsp;laatsgemelde kan echter uit de vorige voorftcllen niet bewezen worden, zonder het eerstgemelde. Zoo dat men ooknbsp;hier de waarheid bevestigd vind van het geen s gravesan-De, te regt, in zijne Logica , 1099, als eenen ftelregelnbsp;heeft voorgedragen: te weten, ,, dat men dikwerf een al-j, gemeen voorftel niet bewijzen kan, zonder alvorens eennbsp;5, bijzonder geval van het zelve bewezen te hebben. Wijnbsp;zullen in het vervolg vele voorbeelden van die waarheidnbsp;aantreffen, en doen opmerken.
Intiisfchen is dit voorftel, even ais dat van pythagoras , maar een bijzonder geval van zeker Theorema van pappusnbsp;dat wij achter dit voorftel in eene algemeeiie Aanmerkingnbsp;zullen opgeven.
aanmerking. Dit Voorftel, te weten, dat'in alle driehoeken [fig. 66.] ? op AB 00 D op AC P op BC
63 11, Bosk : O'ter clen inhoiid van regtUjnige figuren,
2 Rh. uit AC, CD, is een der gewigiigfle uit de ^elt; heele Meetkunde, gelijk in het vervolg blijken zal: ennbsp;er kunnen verfcheide befluiten uit afgeleid worden, naarnbsp;mate de A CAS gefteld is. Indien dezelve gelijkbeenignbsp;W'are, en wel zoo, dat de beenen C15 en BA geujk waren, zoude de loodlijn B D op het midden van AC vallen,nbsp;[1.27. Gev, 4.] en het voorftel zoude geven, ? op AB OOnbsp;? opBC-f-OopAC 2 Rh, uit A C en A C conbsp;O op C -{- ? op AC ? op AC 00 ? op BC. Indien denbsp;drienoek ASC j^elijkbeenig vvare, doch zoo dat [fig 67.] ACnbsp;= AB dan zoude men hebben ? op SC cxoClop ACnbsp; O op AS 2 Rh. uit A B , A D co 2 O op ABnbsp; 2 Rh. uit AB, A D 00 2 Rh. uit aB en [A B nbsp;AD] 00 2 Rh. uit AB, CD: dat is ? op B C =nbsp;Rh uit AC, CD, het geen dit gevolg oplevert, reeds door nbsp;PAPPUS bewezen in zijne Collcc. Mathcm. V. 25. Theor. i,
GEVOLG.
Iiidien men in eehen geiijkbeeiiigen driehoek uit het uiteinde vau eeu der beenen [A B] eene loodlijn [B D] neerlaat op het ander been [AC]; is de helft van het vierkant opnbsp;de derde zijde [B C] gelijuhaltig aan den regthoek uit het beennbsp;[AC] waarop de loodlijn is neergelaten, en hetxftiik tnsfchennbsp;die loodlijn [BU] en de derde zijde [BC] begrepen.
ALGEMEENE AANMERKING ovef het XVI. en het WX. Foorflel.
Wij hebben in de eerfle aanmerking op heide de Voorftel-len gezegd, dat zij een bijzonder geval zijn van een uitmuntend voordel door pappus voorgedragen, en door gas-TiLLON verder uitge'-reid , welke daarenboven heeft aangetoond, het geen door pappus niet gedaan was, hoe beide de gemelde voordellen daaruit afgeleid kunnen worden.nbsp;Het voordel van pappus, hoewel eenvoudig, en reeds doornbsp;CLAVius op EUCLiDES I, 47 N. 7. voorgedragen, is weinignbsp;bekend. Wij zullen het om die reden hier opgeven.
XX voRSTEi. Theorema van pappus. Fig.
Indien men op twee zijden A15, B C, van eenigen driehoek parallelogrammen AEl^, FBCG, naar welgevallen, befehrijft; en uit het dip H waar de zijden ^D, GF, diernbsp;parallelogrammen, verlengd zijnde zich verdnigen, door dennbsp;top 15 van den driehoek eene 1 ijn HBI tot op de grondlijnnbsp;des driehoeks trekt, alwaar zij met dezelve eenen bepaaldennbsp;hoek HIC maakt; zal, iudien de gemelde lijn binnen den
driehoek valt, het parallelogram AKLC, gemaakt uit tie groiid-Hin AC en de lijn BH onder den gemelden hoek HIC, ge-lyken inhoud hebben als de fom der parallelograminen AE DB, CBFG, op de zijden des driehoeks befchreven.
bkreidino. Men trckke de lijnen AK en CL evenwijdig aan IH: verder KL, welke 111 in M fnijd:.
BEWIJS. Uit 1. 31 nbsp;nbsp;nbsp;isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CA tenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DU: Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;K rrnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z HOU; en uit de bereiding Z EKA trnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DHB :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;derhalvenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de AA Dili? en EK A,
Ka c: bh. Om nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zelfdenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;reden isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;LCnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;se HB: derhalve KA ~
Bh // LC s en nbsp;nbsp;nbsp;//nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;MI' en dus [I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;30.]nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is KLCA een parallelo
gram; en wel het parallelogram in het voorftel bedoeld.
Maar (uit Voorft XI j is Z! AEDB tXi L1 AKHI? en Z/ AKHB 'X)ZZ7aKMI' gevolgelijk Zr7 AEDB Xgt; AU KMIA.nbsp;Insgelijks ZZ7 CGPB CO CJ IMLC: en dus CD AEDB 'nbsp;CD CGFB -X) CD KMI A Cy IMLC 00 CC AKLC.
! AAsiMERKihG. Wanneer de lijn K1 niet binnen , maar [fig. 70.] buiten den driehoek ABC valt, is CD AKLCnbsp;00 Cl CGFB CD AEDB: een geval waar medenbsp;CAsriLLON het voorflei van pappus verrijkt heeft.
ll. aanmerking. Als de lijn BI buiten den A .\BC valt [Fig. 70.]: isZKilC = ZAC ZBAK :=ZBAC ZABI.
ir. GEVOLG. Fig, 71.
Toepaifing op het Theorema van pythagoras.
Zij A ABC regthoekig in B. .Men hefchrijve op A B en de ?? AEDB en CGFB: Men verlenge E D ennbsp;Gp, tot dat zij elkander in H ontmoeten: dan is I DHFnbsp;reirt' en figu'-ir DHFB is een regthoek, waar van HB de
gt, en n^ diagonaal.
Men verlenge HBtotin I en trekke AK en CL//Hl vervolgens KL; dan is [l. 22.J in de A A LCG en HBF, LG -= HF en dus LG = DB = AB; vei der is GC = BF BC,nbsp;Gevolgelijk is in de A A LCG en A B C [f, 21] LC =nbsp;AC = AK = KL: en ZLCG = ZBCA: maar 4 LCGnbsp; L BCL = L: derhalve 4 BCA L BCL dat isnbsp;4 LCA = L: de figuur AKLC is derhalve een vierkant:nbsp;men heeft dan door het voorftel van pappus, dat is door ditnbsp;ons XX Voorftel ;
E 3 nbsp;nbsp;nbsp;D
-ocr page 130- -ocr page 131- -ocr page 132-70 //. Bock: Over den inhoud van regtlijnige figuren.
Qop AC 00 O op AB Dop BC, het geen het TheO' TCia Pphagoriciirn y of ons XVI, Voorftel, opJevert.
Toepafing op het XIX. Foor ft el.
Indiende A ABC ftomphoekig, of fcherpho^kigj is in B. Men befchrijve op AC het vierkant AKLC: men trekkenbsp;door B de loodlijn IBH: men neme BH = KA = ACnbsp;= LC, en trekke uit H door K en L de lijnen HKE,nbsp;HLG, die evenwijdig zullen zijn, de eerlle aan AB, denbsp;tweede aan BC. Men rigte uit A, B, C de loodlijnennbsp;AE en BD op aB; BF enCG op BC, om aldus de regt-hoeken AEDB, CBFG te maken.
Dan is uit het V'oorfieJ van pappus:
1. nbsp;nbsp;nbsp;? op AC, of p AKLC CX3 cn AEDB O
Men trekke verder uit de loodlijn CSU, en uitnbsp;de loodlijn ATX. Dannbsp;AK = AC , e*. Znbsp;-f Z KAS = Z EAS
BFGC.
C op A B, zoo noodig verlengd, A op BC, zoo noodig verlengd,nbsp;is in de AA E A K en A S C;nbsp;E = L = Z ASC: 3. Z EAKnbsp;=5 L = Z KAS Z SAC; ennbsp;derhalve 4. Z EAK rs Z SAC: en dus [I. 22.J 5. EAnbsp; AS: en derhalve 6. is figuur EASU een ?. Insgelijksnbsp;7', is lig. CTXG een ?. Men neme verder A O = A B:nbsp;CR. CB: en trekke O iV // A B en RP // CB ; dan zijnnbsp;8. figuur AONB en BCR P de Q ? op AB en B C: ennbsp;90. O EOXD = CD NVSB: en O PFGR = ?nbsp;TZPB [XIV]. Maar lO. de OO EOND en PFGRnbsp;zijn, refpectivelijk, de verfchiiien tusfehen den ? AEDBnbsp;en het p AONB en den C3 BFGC en het. ? BPRC:nbsp;welke vierkanten op de zijden AB en BC liaan
Zoodra Z ABC Homp [fig. 72,], zijn die vierkanten ieder kleiner dan de regthoeken op de zelfde zijden, en hetnbsp;verfchii voor beide te famen is Cd EOND -j* ? PFGRnbsp;oc C3 NVSB 4. CD TZPB.
Zoo de Z ABC fcherp [fi?- 73-]; zijn de zelfde vierkanten grooter dan de regthoeken: en het verfchii is insgelijks. a EOND -f Cl PFGR of CD NVSB -j- CD TZPB.
De eerfte dier regthoeken is de regthoek uit N B, of AB, en BS afftand tusfehen den Hompen hoek B en do
!! Afd,: Over den inhoud van parallelogr, cn drkh, 71
oodlijn uit C op A B nedergelatcn: de tweede is de regt-noek uit BP, of BC, en den afftand BT tusfclien i B en loodlijn AT, op BC nedergelatcn: waar door dan uitnbsp;1. volgt,
II- Q op A C co ? op A B ? op B C -ji AB en BS Rh. uit BC cn BT],
'Tot zoo ver kan men komen door de kundigheden tot Ou toe opgedaan. Maar om te bewijzen dat die twee regt-hoeken in het bovenftaande vermeld onderling gelijk zijn ,nbsp;nioet men zijne toevlugt nemen tot de drie volgende (luk*nbsp;ken: j, jat de AA ABT enBSC onderling gelijkhoekignbsp;zijn; dat gefchied gemakkelijk: want in de A A ATC ennbsp;ASC is i TAC -}- L TCA = L = Z SaC Z ACS;nbsp;lt;! is. Z S AC Z TAB Z TCA = Z S AC Z TCAnbsp;i ^ BCS; en derhalve Z TAB = Z BCS: maar Z ATBnbsp; k = Z BSC; derhalve de derde hoek TBA = Znbsp;SBC: d. i. de twee driehoeken ATB en BSC zijn gelijkhoekig; 2. tot het geen daaruit volgt, doch eerst in IV. 2.nbsp;Zal bewezen worden, uit gronden echter die met dit Voornbsp;fel en alle de voorgaande niets gemeen hebben: t, W. datnbsp;ais dan de lijnen AB , BT, BC, BS, onderling evenredignbsp;zijns en dan 3. tot het geen wederom uit die evenredigheid volgt, naar IV. 9, Gev. 3: dat de regthoek uitAB ennbsp;BS den zelfden inhoud heeft als de regthoek uit BC ennbsp;BT. Dit dan aangenomen zijnde, volgt uit 11. datnbsp;IfL D op AC 00 Oop AB O op BC 2 Rh. uitnbsp;AB en BS. het geen ons XIX. Voorftel uitmaakt.
ni. AANMERKING. Blen zict hieruit, i. hoe ons XIX, Voorftel Zonder behulp van het XVl. d. i. v.m het Theorema Pythagoricum bewezen kan worden : a'-*. dat het XIX. en het XVI. Voorftel, beiden , befrhoiiwd kunnen worden als bijzondere gevallen van het XX.nbsp;d. i. van het Voorftel van pappus. S'*, at het uclideaansch bewijs van het voorftel van pytoagoras vr wat eenvoisdiger is dannbsp;de wiize waarop hetzelve uit het voorftel van pappus wordt afgeleid. 4quot;. Dat men het XIX. Voorftel uit dat van pappus nietnbsp;kan aflelden zonder de leer der gelijkvormige driehoeken en dernbsp;evenredige lijnen interoepen, d. i, zonder eeiie leer van eenen anderen aard noodig te hebben: het geen in den Tuelideaanjchen bewijstrant geen plaats heeft; waaruit don eindelijk s' .volgt dat,hoewel het zeer nuttig zij, als zulks gefchieden kan, bijzondere voorstellen tot meer algemeene te brengen, dezelve daaruit afteleiden,nbsp;en Zoo doende het verband van alle de ftukken onderling te doennbsp;kennen; die herleiding echter fomtijds moeijelijker bewezen ver-isclit, cn daarom in het onderwijs niet altijd te verkiezen is.
XXr. voorstel, Fig. 67.
Indieii men uit de twee hoeken A en C, die aan de uiteinden van de zelfde zijde [AC] eeus driehoeks ABC grenzen, loodlijnen [AE, CD] op de tegenovergeftelde ziidennbsp;trekt, zijn de regthoeken, begrepen onder die zijden [A B,nbsp;C B] en derzelver ttukkan [B U , BE] welke aan den zelfdennbsp;hoek [B] grenzen, gelijkhalcig.
BEWIJS, Uit V'^oorfc. XIX. met liet vierkant op AC te nemen in A ACB als AD , en dan nog eens als AE de loodlijn is.
I, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien de ^ A C B regt is, is regthoek uit AB ,
00 ? CB, zoo als wij zulks reeds in het XVIII. Voordel bewezen hebben, en in het IV. Boek XV. Voordel,nbsp;2 Gevolg, uit de leer der gelijkvonnige driehoeken nog bevestigen zullen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Over die lijnen zal nader gehandeld worden in
IV. 14-
XXII. VOORSTEL. Fig, 67.
Indien men uit den top C eens driehoeks [ACB] op de regenovergedelde zijde [A B] eene lijn [C H] trekt, welkenbsp;die zijde in twee gelijke deeleii [AH =: lIB] fnijdt; is hetnbsp;vierkant van die lijn [CII] te famen met het vierkant vannbsp;de halve grondlijn [All] gelijkhaltig met de halve fom der vierkanten van de twee overige zijden [CA en CB],
L. G. III. 14.
BEWIJS. Doof het XiX. Voorfcel, nemende eerst in A ACH het JI3 op CA; en dan in A 13 C H het Q op C D : waarnit volgtnbsp;? op CH 4. ? op AH COnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; P P C B .
2
AANMERKING. Dit vootftel Is rcccls opgcgeven door serenos de Section! Coni, Voorft. XVI. en door papfus Coll. Malhem. VII.nbsp;122. Beaufort'heeft het op nieuw, voorgedragen in de Mem denbsp;VAcad, des Sciences, 1723. bl. 79. alwa.ar liij het zelve uit eenenbsp;eigenfehap des cirkels (zie V. 15 ) zonder liet Theorema Pytkago-ricura te gebruiken, bewijst . het welk hij in tegendeel daaruit,nbsp;op eene vernuftige wijze , afleidt: gelijk mede ons XXUI Voorftel.nbsp;hiei} zie w'nier oycr die lijnen, IV. 13.
gevolg.
d. !
Indien uit den top eens driehoeks op de overdaando
II. Afd,: Over den inhoud van ^aralldogr. en drieh, 73
eene lijn wordt nedergelaten , welke die zijde in twee gelijke deeien deelt, is het vierde gedeelte van betnbsp;'''ierkant dier z:jde getijkhaltig aan bet verfchil van de helftnbsp;^er lom van de vierkanten op de twee overig zijden, ennbsp;bet vierkant der nedergelaten lijn.
XXIIL VOORSTS L. Fig. 40.
In al'e parallelogrammen [ABCD] is de fom dr vierkanten van beide de diagonalen [BC, AD] gelijk aan de fom der vierkanten van de vier zijden [A15, bD, DC, AC].
St. II, 10. L. G. III. 14. Gev.
BEivijs, Uit I, s6. en uit Voorftel XIX.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien het parallelogram eene ruit, of eennbsp;vierkant is, is de fom der vierkanten van beide de diagonalen het viervouvvd van het vierkant op eene der zijden.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking Dit Voorflel is ook opgegeven door lagny , Mem. de
VAcad. des Sciences., 170 bl. 319: cn er volgt uic dat indien men in eene ruit eene der diagonalen cn eene zijde kenCj men de andere diagonaal vinden kan.
XXIV. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL. Fig. 54.
Indien men in eenen regthoek [ACEG], of in een vierkant, een ftip 1 naar welgevallen neemt, van het welk men regte lijnen [IA, IC, IE, IG] naar de hoeken trekt: zullen de fommen der vierkanten op de lijnen , die naar denbsp;legenovergeitelde hoeken gcKokken worden, gelijk zijn: datnbsp;15, ? op A I -j- ? op 1E co ? op IC ? op IG.
EEWJS. ? op GI op IE CO m op Hl CU op ID 00 QopAI ? op IC: waar uit volgt O op G1 Dnbsp;op 1C ? op I E -H ? op AI.
XXV. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL. Fig. 68lt;Z.
Indien men op eene lijn [AB] in twee gelijke deeien ge-deekl (in L) eenen regthoekigen driehoek [A G B] Belt, waar van de andere regthoekszijde [BG] gelijk is aan de helft vannbsp;de gegeven lijn: verder van de fchuinfche zijde [AG] desnbsp;driehoeks een Buk [GH] affnijdt gelijk aan de helft van denbsp;gegeven lijn, of aan de tweede regthoekszijde [HG BG];nbsp;en eindelijk op de gegeven lijn een Buk [AC] neemt gelijknbsp;aan het overfchot [A M] der fchuinfche zijde: zal die lijnnbsp;[A B] zoodanig [in C] gefneden zijn: dat het vierkant vannbsp;het grooille fiuk [AC] gelykhaltig zal zijn aan den regthoek ge-
E 5 nbsp;nbsp;nbsp;maakt
-ocr page 136-74 II. Boek: Over den inhoud van regtUjnigc figuren.
maakt uit de geheels lijn [AB] en het andere, of kleinftc, ftuk [BC].
D. G, . S78.
BEWIJS- Uit XVI. is O op AG CODopAB-f-OopBG OODopAB iDopAB: en door III. is ? op AG OOnbsp;? op An -1- ? op HG -h 2 Rh. uit HG, AH OO ?nbsp;op AH I ? op AB Rh. uit AH, AB: derhalve, O opnbsp;AB i D op AB 00 ? op HA-f- ^ O op AB Rh.nbsp;uit AH,AB: gevolgelijk O op AB 00 ? op H A Rh. uitnbsp;AHjABOO O op AC -}- Rh. uit AB, A C : en ? op A B nbsp;Rh. uit A B , A C 00 ? op AC: en (door II. en Bep. 5. Gev. 2.)
Rh. uit AB en [AB AC] 00 ? op A C: d. i. D op A C 00 Rh, uit AB en B C.
aanmerking. Het blijkt hieruit, hoe men te handelen hebbe om eene lijn zoodanig te fnijden dat het vierkantnbsp;van het grootlie ftuk gelijkhalcig zij aan den regthoek uitnbsp;de geheele lijn en het kleinfte ftuk; of, zoo als wij onsnbsp;in de 4 Bepaling van het IV. Boek zullen uitdrukken, innbsp;uiterfle en middelfte rede: het geen het onderwerp is desnbsp;X. Werkftuks in het I. Boek.
XXVi. VOORSTEL. Fig. lt;58.
Indien eene lijn [AB] in twee deelen zoodanig gedeeld is, dat het vierkant van het grootfte ftuk [AC] gelijkhaltig isnbsp;aan den regthoek van het kleinfte ftuk [13 C] en de geheelenbsp;lijn [A B] ; en men uit het ftip van fnijding C eenen Cirkelnbsp;trekt waar van het grootfte ftuk de radius is, en uit het an-'nbsp;der eind [A] van het grootfte ftuk [AC] met eenen ftraalnbsp;[AD] gelijk aan de geheele lijn [AB] eenen anderen cirkelboog trekt die deu eerstgemelden fnijdt [in D]; en verdernbsp;uit dat ftip van fnijding lijnen [DA, DB, DC] naar denbsp;uiteinden [A , B] en het fnijpunt [C] van de gegeven lijn;nbsp;zal men twee gelijkbeenige driehoeken verkrijgen: in welkenbsp;beiden de hoeken op de grondlijn het dubbeld zullen zijnnbsp;van dien in den top ; de beeiien van den grooten driehoeknbsp;TB A Dl zullen gelijk zijn aan de gegeven lijn; en die vannbsp;deu kleinen gelijk aan derzelver grootfte ftuk [A C],
St, II. 12,
BEREimNG. Zij DE i op BC.
BEWIJS. Uit XIX. toegepast op AD, (en dus op AB) in A A CD; vervolgens uit III. toepast op AB gedeeld in C: men leidt er uitnbsp;af dat BE r= EC en dus [hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ev. 4.] BD s C D =: A C.
Vervolgens it I. 15, dat 4 BCD S 2 4 A: en 4 B : 2 4 B D C.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Hier uit volgt dat i BDC ~ L CDA, of dat Z BDA, door de lijn DC, in twee gelijke deelen gedeeld worden.
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Hier uit volgt ook dat, zoo in een gelLjkbeenigen driehoek de hoek op de grondlijn dubbeld is van dien in den top, denbsp;lijn [CD], welken de eerstgeraelden hoek in twee gelijke deelennbsp;fnijdc, de overfiaandc zijde [A B] zoodanig fnijden zal, i.datnbsp;het vierkant van het groocfte ftuk gelijk zal zijn aan denregc-hoek van de geheele lijn, en het Ideinfte ftuk, 2. dat hetnbsp;grootfte ftuk gelijk zal zijn aan de grondlijn.
III. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
De hoeken op de grondlijn zullen in zoodanigen driehoek gelijk zijn aan L , en de hoek in den top aan | L.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;G E V o L G.
Het blijkt uit dit Voorftel, dat het befchrijven van.eeneo gelijkbeenigen driehoek , waarin de hoeken op de grondlijnnbsp;liet dubbeld zijn van den tophoek, afhangt van het fnijdennbsp;van eene lijn zoodanig dat het vierkant van het eene ftuk gelijk is aan den regthoek uit de geheele lijn en het ander ftuk.
AANMERKING. Meii kan nu het XI. Werkftuk uit het II,
Boek oplosfen, nam. de 2. oplosfing.
XXVII. VOORSTEL. Big. 68,
Indien een gelijkbeenige driehoek [BAD] zoodanig gefceld is, dat de hoeken fti en A DB] op de grondlijn het dubbeldnbsp;zijn van den tophoek [A] i en indien men uit eenen der hoeken [D] op de grondlijn, op het tegenoverftaand been eenenbsp;lijn [CD] trekt die gelijk is aan de grondlijn; zal zij eennbsp;zoodanig ftuk [BC] van het been affnijden, dat i. het overige gedeelte [A C] gelijk zal zijn aan de grondlijn ; 2. dannbsp;bet vierkant van dat deel gelijkhaltig zal zijn aan den regthoeknbsp;onder het geheel been A B, en het eerfte ftuk [B C] begrepen ; 3. dat in den gelijkbeenigen driehoek [B C D] door denbsp;grondlijn [BD] van dien gegeven driehoek, en de getrokkennbsp;lijn [DC] gemaakt, de hoeken [B en BCD] op de grondlijn ook hetdubbeld zullen zijn van den hoek [BDC] innbsp;den top; en 4. dat die hoek [BDC] het derde gedeelte inbsp;van den uitvvendigen hoek [AC D] gevormd door de getrokkennbsp;lijn [DC], met het been [BA] waarop zij getrokken is.
BEREIDING. Zij DE loodregt op BC: en dus (uit I. 27.
Gev. 40 BE EC en BC =2 BE.
BS-
-ocr page 138-70 //. Boek'. Over den inhoud van regtlijnige figuren.
BEWIJS. Van het I. uit het I. 27. en I. e8.
Van het II. uit het XtX. Voorftel van tiir Boek: de bereiding: het III. eii het I. Voorftel, beiden uit dit Boek.
Van het III. uit het XIX. Voorftel: en uit het 2. Gevolg van het XV. Voorftel van het I. Boek.
Van het IV. uit 1. 29. of uit I. 27. en 15.
aanmerking. Het blijkt dat dit Voorftel het omgekeerde is van het voorgaande.
VIII. bepaling. Fig. 76.
In alle veelhoeken noemt men vitfpringende hoeken die F DA, BCA enz.] welke met hunnen topnbsp;[H, D, C, K3 naar buiten fiaan : en infpringende dienbsp;[Zz HFD, CAD, CBK, KMQ] wier top [F, A, B]nbsp;naar binnen gekeerd is.
aanmerking. Wij zullen geen andere veelhoeken befchou-wen dan die wier hoeken alle uitfpringende zijn.
Men noemt inwendige hoeken van den veelhoek , de hoeken welke dcszelfs zijden naar den binnenl^ant metnbsp;elkander maken; en uitwendigen hoek den hoek dien eenenbsp;zijde met de verlengde naastgelegene zijde naar buitennbsp;maakt.
uitlegging. Fig. 75* ^ EAC, Z DCA, Z CDF, Z DFE, Z FEA zijn de inwendige hoeken des veelhoeks DCAEF:nbsp;Maar Z ACK, Z GDI, L DFG, Z FEK, i LAE zijnnbsp;de uitwendige.
aanmerking. Het is om het even of men voor den uit-wendigen hoek, welke de zijden C D en FD onderling maken, neemt den Z GDI, van CD met de verlenging van F D, of den Z II D F, van F D met de verlenging van C D snbsp;want [I 5.] Z GDI ~ HDF.
X.
-ocr page 139-in. Afdceling: Over de veelhoeken.
X BEPALING.
Men noemt omtrek van den veelhoek de fom van alle zijne zijden.
XI. BEPALING.
Een gefchikte , of reguliere, of regelmatige, veelhoek is die, wiens zijden alle gelijk zijn, en gelijke hoekennbsp;met elkander maken.
L. G IV. Eep, I,
aanmb;rking. Fig. 74 Men moet wel op de dubbele voorwaarde in de bepaling begrepen letten: want in eenen veelhoek kunnen alle de hoeken gelijk zijn zonder dat de zij' den het zijn, zoo als in den veelhoek AGUDEFA; ofnbsp;alle de zijden kunnen gelijk zijn, zoo als in den veelhoeknbsp;GDI MNKC, zonder dat de hoeken het zijn: in geen vannbsp;beide de gevallen is de veelhoek gefchikt of regelmatig,nbsp;zoo als de veelhoek A B C D E F is , waarin de zijden ge-lijk zijn, en de hoeken het ook zijn.
Zie cLAVius op het IV. Boek van EUCLIDES,
De gelijkzijdige driehoek en het vierkant kunnen ook tot de gefchikte veelhoeken gebragr worden.
II. nbsp;nbsp;nbsp;C E V o L G.
In eenen regelmatigeii veelhoek is de omtrek gelijk aan eene der zijden zoo dikwerf genomen als er eenheden zijnnbsp;in het getal dat aanduidt uit hoe vele zijden de veelhoeknbsp;beftaat [Bep. X.].
XXV^JII. VOORSTEL. Fig. 75.
Men kan iederen veelhoek, regelmatig of onregelmatig, waarvan alle de hoeken uitfpringsnde zijn, niet uit eenennbsp;der hoeken [C] lijnen [E C, C FJ naar de overige hoeken te trekken, in zoo vele driehoeken verdeden als ernbsp;zijden zijn min twee.
Immers: tot het vormen van de eerften en laatften driehoek, worden vier zijden der veelhoeken gefchikt, voornbsp;alle de overige ne; waaruit het befluic volgt.
In alle veelhoeken , regelmatig of onregelmatig [ ACDFE], bedraagt de fom van alle de inwendige hoeken tweemaalnbsp;zoo vele regte hoeken als er zijden zijn, min vier regtenbsp;hoeken.
TACQUET. Op 32 pr. van het I. Boek van eucudhs
bereiding. Men verdeelt den veelhoek [ACDFE] met lijnen nic een der hoeken [C] te trekken, in driehoeken.
BEWIJS. Uit Voordel XXV. en I. 15.
AANMERKING. Het Zelfde heeft dus ook plaats voor den driehoek: doch men heeft dit algemeener Voordel niet kunnen bewijzen, zonder eerst, uit andere gronden, de zaaknbsp;voor een bijzonder geval, voor den driehoek namelijk, bewezen te hebben. Dus ziet men hier wederom een voorbeeld van het geen wij reeds in de I. Aanmerking op Voerde! XIX. gezegd hebben.
I. GEVOLG.
Indin de veelhoek regelmatig is, en de letter g het getal der zijden aanduidt: zal iedere hoek, daar zij allennbsp;gelijk zijn, zoo vele regte hoeken bevatten, als er door
het getal
uitgedrukt worden.
II. GEVOLG.
Er zijn maar drie foorten van figuren, de gelijkzijdige driehoek, het vierkant, en de gefchikte zeshoek, die, om n en het zelfde dip geplaatst, eene ruimte voldrekt, en zonder ietsnbsp;over te laten, kunnen vullen: dit gefchiedt namelijk met zesnbsp;gelijkzijdige driehoeken, vier vierkanten, en drie zeshoeken.
TACQUET op de laatfte propofitie van het IV. Boek van euclides.
AANMERKING. Over deze drie figuren zal ten dezen opzigte in IV. 31. Gev. nader gehandeld worden.
XXX. VOORSTEL. Fig. 75.
De uitwendige hoeken van eenen veelhoek , wiens hoeken alle uitfpringende zijn, zijn, famen genomen, gelijknbsp;aan vier regte hoeken.
tacqit. Op de sa prop. van het I. B. van eucl.
-ocr page 141-BEWIJS, Uit I. 3. en het voorgaand Voorftel.
AANMERKING. Fig. 7. Wij handelen in dit Voorftel van veelhoeken, in welke alle de hoeken uitfpringende zijn;nbsp;ware het anders, waren er eenige wfpringende hoeken, zoonbsp;ais HFD; zoude voor lederen v.itfpringenden hoek hetnbsp;getal met twee regte hoeken vermeerderd worden ; wantnbsp;dan zijn de uitwendige hoeken niet IHD en HDL, gelijk plaats zoude hebben zoo men de uitfpringende hoeken GHD , HDA hadt; maar zij zijn I tl O, DHF, HFD,nbsp;F D H, H D L, d. i. Z 1H D L HDL de drie hoeken van den A HFD: het voorftel wordt dan algemeen dit;
Alle de uitwendige hoeken van een veelhoek zijn ge-s, lijk aan de fora van vier regte hoeken, en van twee-,, maal zoo vele regte als er uitfpringende hoeken zijn.
L- C. S. 520,
XXXI. VOOR STEL. Fig 77.
Indien men binnen eenen veelhoek, welke bij ook zij, een Hip [Pj neemt: en uit hetzelve lijnen [PB, PA, PD enz.]nbsp;naar alle de hoeken [B, A, D enz.] trekt, en vervolgens uitnbsp;het zelve op iedere der zijden lijnen [PT, PX enz.] neder-laat, die de zijden in twee gelijke deelen fnijden; zal hetnbsp;verfchil tiisfehen de fora der vierkanten van alle de lijnennbsp;die naar de hoeken gaan, en de fora der vierkanten van allenbsp;de lijnen die de zijden fnijden, gelijk zijn aan het vierde gedeelte van de fora der vierkanten van alle de zijden desnbsp;veelhoeks.
FAGNANo, Optra Mathem, T. II. p. aod.
BEWIJS. Men past het Gevolg van het XXII. Voorftel op elk der driehoeken B P A enz. men neemt de fom; en verkrijgt de fom die in het Voorftel gemeld wordt.
Indien men alle de hoeken eens regelniatigen veelhoeks in twee gelijke deelen deelt, zullen i*. alle de lijnen die de hoeken aldus deelen [AC,EC,FC, enz.] in een flip c te famen komen: 2. Zij zullen alle gelijk zijn,nbsp;en dus den veelhoek in zoo vele volkomen gelijke gelijk-beenige driehoeken verdeelcn als er zijden zijn : 3. Zijnbsp;zullen om het flip C gelijke hoeken [ACE, ECF enz.]nbsp;daken; en 4, Zal dat flip C even ver van alle de zijden
afzijn: dat is ^ de loodlijnen [CB, CH, Cl enz,] uit dat flip op de zijden getogen zullen alie gelijk zijn.
BEWIJS. Het eerde gedeelte volgt uit I. sa.
Het tweede en derde volgt uit het geen in het bewijs van het eerde reeds bewezen is.
Het vierde, uit de gelijkheid der driehoeken BC E , E C H, ICF enz. door I. 22.
I, nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. De reden van de uitlegging, dat is, enz. innbsp;het 4 gedeelte van het Voordel, volgt uit I. n. Gev. i.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Uit het bewezeiie in N. 2., in Nquot;. 4. ennbsp;in N. 3. van dit Voordel, volgen deze drie bepalingen,nbsp;waarvan de eerlie ontleend is uit het geen in den cirkelnbsp;plaats heeft.
Centrum., of Middelpunt., stns regelmatigen yeelhoeh\% Cvn ftip [C] zoodanig gefield dat de lijnen [CA, CE,nbsp;CF, enz.] naar dc hoeken van den veelhoek getrokken,nbsp;gelijk zijn, en deze in twee gelijke deelen fnijden. Dienbsp;lijnen zelve dragen den naam van ftrakn^ of radii.
aanmerking. Indien men dan uit dat middelpunt met zoo-danigen ftraal eenen cirkel trekt, zal deszelfs omtrek de toppen van alle de hoeken des veelhoeks raken.
XIII. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING,
De loodlijn [CB of CH, Cl] die uit het middelpunt van een regelmatigen veelhoek op eene der zijden valt,nbsp;wordt de loodlijn van dien veelhoek genoemd.
aanmerking. Bij de Ouden draagt die lijn den naam van Agotheme, d. i. neder gelat en Lijn.
XIV. nbsp;nbsp;nbsp;bepaling.
De gelijkbeenige driehoeken [ACE, ECF, FCG] waarin een veelhoek door de llraleii [CA, CE, CF,nbsp;CG enz.] gedeeld wordt, dragen den naam van middel-punts-driehoeken, en de tophoeken derzelve [ACE, ECFnbsp;enz.] worden middelpuntshoeken genoemd.
aanmerking. De loodlijn verdeelt lederen middelpuntshoek iu twee gelijke deelen [[. 27. Gev. 4.], waarom de hoeken
iit
-ocr page 143-8i
111. Afdcding'. Over de veelhoeken.
in het middelpunt, door den draal en de loodlijn gemaakt, den iiaain van halve-middelpunts-hoeken dragen.
I. GEVOLG.
leder middelpuntshoek eens regelmatigen veelhoeks is ge
lijk aan
zoo men den regten hoek door R, en het
getal zijden door g uitdrukt. En de hoek, w'elken twee zijden 'eens regelmatigen veelhoeks uitmaken, is gelijknbsp;aan ('^_hahc middclpunis-hoeken,
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het eerde volgt uit het XXXII. Voordel ennbsp;I Gev. 5.: het tweede uit het eerde en I. 15.
In den regelmatigen zeshoek, is de driehoek door eene zijde en twee flralen in het middelpunt gevormd, dat isnbsp;de middeipunts-driehoek, gelijkzijdig-
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit bjkt uic het I. Gevolg en I. 27. Gev. 3.nbsp;waaruit het zeer geraakkelijk valt eenen regelmatigen zes*nbsp;hoek op eene regte lijn te 'befchrijven.
XXXIir. VOORSTEL. Fig. 79.
Indien men uit de uiteinden [K en Fi] van de grondlijn [K H] eens regelmatigen vijihoeks [KCBEH] lijnen trekt [KB, HB] naar den top [B], zuilen deze eenen gelijk beenigen driehoek [KBH] uitmaken, waarin de hoekennbsp;op de grondlijn [BKFl en BUK] het dubheld zullen zijnnbsp;Van dien in den top.
BEREIDING. Mon tiekke de fiialen GK, GB, GH en ver-lenge B G tot in I, welke derhalve [I. 27. Gev. 5.] loodregt valt op K H.
BEWIJS. Voor het I. Uit I. 21. op de AA BCK en BEH toegepast.
Voor het II, Uit I. 27. Gev. i. en 1. 15.
AANMER.K1NG. Om eenen vijfhoek te befchrijven, of den zelven op eene gegeven lijn te fcellen, wordt dus eerst hetnbsp;vervaardigen van een gelijkbeenigen driehoek, waarvan denbsp;hoeken op de grondlijn bet dubheld zijn van dien in dennbsp;top, vereischt. Het geen naar aanleiding van het XXVI.nbsp;Voorfcel, Gevolg 2. door het X. Werkftuk van het 11.nbsp;Boek gcfchiedc. Zoodanigen A KBK dan befchreven zijn-
82 //. Boek: Over den inhoud van regtlijnige figuren.
de, ftelc men op ieder van deszelfs beenen KB, HE, eenen gelijkbeeuigen A KCB, HEB, waarvan de beenennbsp;KC, CB, BE, EH gelijk zijn aan de grondlijn K H.
XXXIV. VOORSTEL. Fig. 8o.
Indien het getal der zijden van eenen regehnatigen veelhoek even is: zullen de beide lijnen , die uit het middelpunt naarnbsp;da tegenovergeftelde hoeken getrokken worden, ne regtenbsp;lijn uitmaken: die lijnen zullen den veelhoek in twee gelijkenbsp;deelen verdeelen, en kunnen A\is diagonalen gQrxoamp;mA worden:nbsp;de beide lijnen die uit het middelpunt, loodregt op de te-genovergellelde zijden getrokken worden, zullen ook nenbsp;lijn uitmaken, en den veelhoek in twee gelijke deelen deelen: dit zelfde heeft ook plaats voor iedere lijn, die doornbsp;het middelpunt getrokken wordt : en eindelijk zullen de te-genovergellelde zijden evenwijdig aan elkander zijn.
L, C. . 5125 513.
BEWIJS. Het eerlle en tweede volgt uit I. 4. en het laatfte uit het
XXXIl. Voorllcl en I. 8.
AANMERttiNG. Hct IS dus met reden, dat men de regelmatige veelhoeken, wier zijden even in getal zijn, ook' metrifche^ of gelijkmatige, veelhoeken noemt.
80,
GEVOLG.
Hieruit volgt, dat, in die gelijkmatige veelhoeken, de lijnen [AD, G E] die naar de uiteinden der elkander tegenovergeftelde, en dus evenwijdige, zijden getrokken worden, met die zijden regte hoeken uitmaken.
XXXV. VOORSTEL. Fig, 80.
Indien men in eenen regelmatigen veelhoek, waarvan de zijden even in getal zijn, en dus in eenen gclijkmatigen veelhoek, de uiteinden der aan elkander evenwijdige zijden door regtenbsp;lijnen vernigt, zullen deze door hare onderlinge ontmoetingen, om het middelpunt van den veelhoek, eenen nieuwen re-gelraatigen veelhoek maken, van even veel zijden als de gegeven veelhoek, en waarvan de loodlijn de helft is van denbsp;zijde van den gegeven.
DU FAY, Mem. de VAcad. \r-l- P- =99-
f.wijs. Dat die veelhoek regelmatig is blijkt uit Voorftel XXXIV.
Gev. 1. en I. 5 , 28, 22, IS-
Bat hij om liet zelfde middelpunt fcaat , uit I. 27* Cev. s I er* Voor de grootte der loodlijn E aa. Voorftel XXXIV. en I. 30.
aanmerking. Wij zullen in het VI. Boek Voorftel XXXI. en volgende , die inwendige veelhoeken nader befchouwen.
XXXVI.
-ocr page 145-83
Indien men in eenen regelmatigen veelhoek uit een oveven getal zijden beftaande, uit iederen hoek [C, B , E, H, K] lijnen [C E, C tl, B il, B K , E K] naar de overige hoeken trekt,nbsp;zullen die lijnen, door hare ontmoeting, om hetzelfde middelpunt eenen nieuwen regelmatigen veelhoek [ONVwji] vormen, van even veel zijden als de gegevene, en, ten zijnennbsp;opzigte, omgekeerd geplaatst.
BEWIJS, Uit I. ai. IS. aa, 30, en Voorft. XXXIV. Gev.
XXXVII. VOORSTEL. Fig. 81.
Indien men uit de beide uiteinden van iedere zijde eens regelmatigen veelhoeks, wiens zijden oneven in getal zijn, loodlijnen op die zijden oprigt, zullen deze door hare onderlingenbsp;ontmoeting twee regelmatige veelhoeken vormen, onderlingnbsp;gelijk, en ieder van even veel zijden als de gegeven veelhoek: hunne loodlijn zal de helft zijn van de zijde des gegeven veelhoeks; zij zullen het middelpunt des eerden veelhoeks tot middelpunt hebben, en altijd binnen den veelhoeknbsp;vallen, ten zij deze een gelijkzijdige driehoek zij. Verdernbsp;indien men ieder punt van den gegeven veelhoek aanmerktnbsp;als het begin van eene zijde en het uiteinde van de naastvoorgaande, zullen de loodlijnen uit het begin van iederenbsp;zijde op dezelve getrokken den eenen veelhoek, en de loodlijnen uit het einde van iedere zijde op dezelve getrokken dennbsp;anderen veelhoek vormen.
po FAY, Mem, de PAcai. 1737. p. app. doch niet zoo algemeen. Hij fpr'eekt flechts van dnen veelhoek.
BEWIJS. Uit I. aa. 15. aa, 30. en Voorft. XXXIV. Gev,
AANMERKING. Het XXXi. Voorftel en de volgende Voorftellcn van het VI. Boek zuilen den aard dier inwendige veelhoeken nognbsp;nader lecren kennen.
XXXVIII. VOORSTEL. Fig. 82.
Wanneer men op alle de zijden eens regelmatigen veel-hoeks. Hippen [E , F, G, I, L] neemt even ver van de naaste hoeken [A , D, C, B, Q], zullen de lijnen, die deze Hippen vereenigen, eenen regelmatigen veelhoek van evennbsp;t^eel zijden uitmaken als de gegeven veelhoek zelve: en wiensnbsp;middelpunt het middelpunt des eerften veelhoeks is.
BEWIJS. Voor het I. Uit de gelijkheid der driehoeken AEL, EDF enz. door (1. 21) quot; Voor het II. Uit denbsp;gelijkheid der driehoeken AOL, EOD, enz. en dus dernbsp;lijnen LO, EO, FO, enz. waaruit volgt dat O het middelpunt is.
F 2 nbsp;nbsp;nbsp;aan-
-ocr page 146-aanmerking. Simpson heeft dit alln voor het vierkant bewezen, in zijn I, Boek, pr. 28.
Zie hier boven 1. 36. Gev. 2.
XXXIX. VOORSTEL.
De inhoud eens regelmatigen veelhoeks is gelijkhaltig aan dien van eeneii driehoek, waarvan de grondlijn de omtreknbsp;van den veelhoek is, en de hoogte de loodlijn uit hetnbsp;middelpunt op eene der zijden van den veelhoek neder-gelaten.
St. IV. pr. 13. L. G. IV. 7.
BEWIJS. Uit Voorftel XXXII, en Bep. XL gevolg.
De inhoud eens regelmatigen veelhoeks is gelijkhaltig aan dien van eenen regthoek, waarvan de hoogte de loodlijnnbsp;is uit het middelpunt op eene der zijden getrokken, ennbsp;de grondlijn , de helft van den omtrek des' veelhoeks.nbsp;[XIII. Gev. i].
AANMERKING. De iiihotid der veelhoeken wordt dus ook tot die der regthoeken gebragt.
XL. VOORSTEL.
De inhoud van alle regtlijnige figuren wordt tot die van de regthoeken gebragt: en men kan altijd eenen regthoek maken, die gelijkhaltig is aan den inhoud van eenenbsp;gegeven figuur.
BEWIJS. De Figuur wordt door lijnen in driehoeken verdeeld; ieder driehoek is gelijkhaltig aan eenen bepaalden regthoek (XIII. Voorftel, i. Gevolg) . en men kan, door het geen reeds geleerd is,nen regthoek maken,gelijkhaltig aan de fomnbsp;van verfcheiden andere regthoeken , en dus aan den gegevennbsp;veelhoek; zie het 17, 18, ip, 20 Wcrkftuk van hetll.Coek.
aanmerking. Deze bewerkingen zijn lastig, om dat, na den eerften regthoek, welke aan den eerften driehoek gelijkhaltig is, gemaakt te hebben, de overige moeijelijker tenbsp;vervaardigen zijn, vermits zij dan alle op_ de grondlijn vannbsp;den eerften moeten gefteld worden, d. i. op eene gegeven lijn; dit nu is meer ingewikkeld (zie II. Werkftuk 14.)nbsp;Men kan wel het werk eenigzins verkorten , met, zoo veelnbsp;mogelijk, de loodlijnen op de zelfde grondlijn te laten
val~
-ocr page 147-III. AJ'deeling: Over de veelhoeken.
vallen; bijv. met [fig. 183.] altijd twee loodlijnen RF, DG, op eene en de zelfde diagonaal als grondlijn te trek-en de driehoeken , zoo veel mogelijk, aan paren tenbsp;nemen: maar het bedoelde in dit Voorliet valt veel gemak-kelijker te verrigten door II . Werkliuk 29; en zoo doendenbsp;de figuur tot nen driehoek te breugeu: en daarna eenennbsp;regthoek, of een vierkant, daarmede gelijkhakig te vervaardigen.
DBR-
-ocr page 148-OVER DE EVENREDIGHEID.
I. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.
Wanneer eene grootheid, veiTcheide malen genomen, of herhaald ; of, in andere woorden; wanneer eene grootheid, door eenig getal vermenigvuldigd zijnde, eene andere grootheid evenaart, is zij een effen gedeelte^ een opgaand deel, (pars aliqmta') van die tweede grootheid:nbsp;doch indien zij, eens of meermalen genomen, dezelve nietnbsp;evenaart , maar kleiner blijft, en nog eencmaal meerdernbsp;genomen grooter wordt, is zij er een oneffen gedeelte vannbsp;\pars aliquanta').
EOcL V. Bep. I. en zie daarop, zoo als beftcndig voor dit ge-heele boek, de aanmerking van koenig,
AANMEPKTNG. Ik zcg eene grootheid, en niet enkel een getal : want eetie kleinere lijn kan zoo wel een elfen gedeelte zijn van eene grootere lijn, of een kleine Cirkel van eenennbsp;grooteren Cirkel, of een kleiner vat van een grooter vat,nbsp;als een kleiner getal van een grooter: i, 2,5. zijn efen,nbsp;doch 3, 4, 7, 8, p, oneffen gedeelten van 10.
II. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.
Eene grootheid wordt een veelvoud of vermenigvuldigde {multiplum) van eene andere genoemd , als deze de eerstgemelde meet, of een effen gedeelte daarvan is: ennbsp;dat effen gedeelte wordt eene ondervermenigvuldigde, eennbsp;opgaand deel {Jubmultiplum) van de andere grootheidnbsp;genoemd.
Bij V. 10 is eene vermenigvuldigde van i, 2, 5: doch niet van 3, 6, 7, 8, p: en 1,2, 5 zijn ondervennenigvul-digden van lo.
EUCL. V. Bep. 2. en VII. Bep. S*
I. aanmerking. Ik zeg grootheid, en niet alleen getal, otn de reeds aangehaalde reden: welke ook voor de volgende bepaling geldt.
ir.
-ocr page 149-11. aanmerking. Hier van de benamingen dubbeld,arievoijd mz, onderdubbeld of helft, onderdrievoud of derde gedeelte, enz.
Twee (of meerdere) grootheden worden gezegd gelijk^ quot;houden , of gelijkverm'emgvuldigde (jzquimuUifUcia) , tenbsp;ziiii van twee (of meerdere) andere , wanneer zij dezenbsp;grootheden even veel malen bevatten, iedere , namelijk,nbsp;dia grootheid, van welke zij de vermenigvuldigde^ of hetnbsp;veelvoud is.
Bij V. 20, 40, 60 zijn gelijkvermenigvuldigde of gelijk-vouden van 4, 8 en 12 , of van 5, 10, 15, of van 10, 20 en 30; maar zij zijn het niet van 5, 8 , 20: altijd die zelfde orde in acht nemende.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
IV. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.
Men noemt magten van een getal, de getallen die men verkrijgt wanneer dat getal, door zich zelf eens, uvee,nbsp;drie, vier malen , en zoo voorts , vermenigvuldigd wordt.nbsp;Men verkrijgt, namelijk, de tweede magt, ook wel qua-draat, of vierkant, of quadraat - getal genoemd, wanneernbsp;een getal ns door zfeh zelf vermenigvuldigd wordt: denbsp;derde magt, ook Cubits, of Jaarling, of cuhiek- getalnbsp;genoemd, wanneer een getal twee malen: de vierde magtnbsp;wanneer het drie malen ; de vijfde magt wanneer lietnbsp;vier malen en zoo voorts door zich zelf vermenigvuldigd wordt.
Bij v. 4, 8, 1(5, 32, zijn, in die orde, de tweede, de derde, de vierde , de vijfde magt van het getal 2: 36 is denbsp;tweede en 216 de derde magt van 6,
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Wij zullen in het IV. Boek, IX Voorftel,nbsp;Gevolg 5 en in het XI. B. XI. Voorftel, 2 en 4. Gevolgnbsp;zien, waarom de tweede en derde magten, ook quadratennbsp;of vierkanten, en Cubiisfen o Taarlingen, genoemd worden.
EucLiDES zegt te regt in de 17 en iB Bepaling van zijn zevende Boek, een quadraat getal is een getal door denbsp;,, multiplicatie van twee gelijke getallen, en een cubiek-ge-,, tal is een getal dat door de mukiplicatie van drie gelijke
getallen gevormd wordt
Alle de getallen, gelijk 10 bij v. of 12, die zoodanige niet zijn, zijn geen quadraat, of geen cubiek-getalkn.
II, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan eerfle magt van een getal noemen,
F 4 nbsp;nbsp;nbsp;dat
-ocr page 150-dat getal zelf, dat is, dat getal door n vermenigvuldigd: en dit gefteld zijnde zal men , in plaats van de magtennbsp;iiittedrukken door de vermenigvuldiging zelve, bij v. doornbsp;a X i, Cl Cl, a'X. a ^a,(i'gt;ia'X.aX'a, datnbsp;lastig is, ze door eenen exponent q aanwijzer kunnennbsp;aanduiden, welke te kennen geeft, hoe dikwerf dat getalnbsp;gefteld wordt, en dus welke magt het is, namelijk:
I 2 nbsp;nbsp;nbsp;3 4. S
a, a, a, a, a, enz. beduiden de eerfte, tweede, derde, vierde, vijfde magt van a.
lil. AANMERKING. Hier uit volgt 1. dat wanneer men magten van een getal door magten van het zelfde getal mnl-tip'iceert, of divideert, de expoiunt van \itt product, of van bet quotient, join of het verfchil Acre exponenten zijn zal:
3 nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3-iquot;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7/33nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;53nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2
; 200 dat a a tx. a nbsp;nbsp;nbsp; =3^ tx a.
2. Dat men de divifie door een exponent, met het teelten (minus, ter aanduiding van de aftrekking zal kunnen
ll I nbsp;nbsp;nbsp;I_23
aanwijzen; zoo als ~a'gt;~a-gt;~ad door a, a, a, enz 3, dat de magt nul van een getal altijd de eenheid is; wantnbsp;a I -1 o
I 25 ~ r=; zx a. Zoo dat men altijd in plaats van i
de magt o van welke grootheid men wil ftellen kan.
IV. AANMF.uitiNG- Ik gebruik hier het woord getal en niet grootheid; om dat de m.agten in eene wezenlijke vermenigvuldiging beftaan , en dus , in den eigenlijken zin, nietnbsp;dan op getallen toegepasc kunnen worden ; men kan welnbsp;zeggen 4 gemultipliceerd door 4, en dat getal opgeven;nbsp;maar men kan geen lijn door eeue lijn, geen cirkel doornbsp;eenen cirkel multipliceren; en indien men wel eens van denbsp;wultiplicatie van twee lijneiT, en zoo voorts, fpreekt, ofnbsp;dezelve door ht teelten X aanduidt, gefchiedt zulks maarnbsp;kortheidshalve: en het beteekent altijd, ftilzwijgend, het getal dat de grootheid van eene lijn of van eenen cirkel, bijnbsp;V. iiitdrukt , vermenigvuldigd door^ het getal dat de grootheid van eene sndere lijn of van een anderen cirkel aanduidt,
Mun noemt vortels van een nbsp;nbsp;nbsp;die getallen, welke,
door zich zelven vermenigvuldigd gt; het eerstgemelde uit
, nbsp;nbsp;nbsp;ma-
Ik zal altijd het W9Drd exponent en nhmncr dat van aunwjzet gebruiken ; de reden zal blijken uit de XI Bepaling,
89
Inleiding.
tnaken: en dat wel weetJe, ook quadrant of vierkante wortel; derde, ook cubieke of taarUng-Worttl; vierde ,nbsp;vijfde enz. wortel, die getallen, welke eau ^ twee, drie,nbsp;vier malen door zich zelven vermenigvuldigd, het gegeven getal uitraaken.
Bij voorbeeld: 5 is de tweede of quadraat-v.OLtQl van 25: de derde of cubieke wortel van 125: de vierde vannbsp;625: de vijfde van 3125 en zoo voorts.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan dc wortels door een teeken COnbsp;aanduiden, en, met er een mjfferletter in te plaatfen,nbsp;te kennen geven , de hoeveelfte wortel het is: dus zijn
- nbsp;nbsp;nbsp;34s
Va, of, gelijk menhet ook fchrijft,enkel Va,Va, Va,Ya. enz. de tweede, derde, vierde enz. wortel van lt;2; dus isnbsp;3
A~V ^4 ora dat 4, tweemalen door zich zelven vermenigvuldigd, of dc derde magt van 4 , juist 64 oplevert.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Gelijk men de magten door exponentennbsp;uitdrukt, kan zulks ook voorde wortels gefchieden; maarnbsp;dan zullen die exponentett breuken zijn: bij voorbeeld in
5 nbsp;nbsp;nbsp;4
plaats van het teeken Va, Va\ zal men kunnen ftellen
i I 1 3' ^ X a -x. a a
a, of want of a V a y, V a x Y a zzl a
I
a.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.
Men noemt gelijkfoortige grootheden die, welke zoodanig gefield ziin , dat eeiie vermenigvuldigde van de klein-Ile de grootlle kan evenaren, of overtreffen : of wel, grootheden die uit de zelfde foort van eenheden beffaan.
St, V. Bcp. I.
VOORBEELD, Lijnen zijn onderling gelijkfoorcig: parallelo-graminen zijn het ook onderling: een oxhoofd is gelijkfoor-tig met een emmer of pint: om dat eene menigte van em-mers of pinten een oxhoofd kan uitmaken.
Maar eene lijn, een parallelogram, een oxhoofd, zijn onderling ongelijkfoortig.
VII. nbsp;nbsp;nbsp;bepaling.'
Men noemt meetbare, of ook rationeele grootheden, of
F 5 nbsp;nbsp;nbsp;ge-
-ocr page 152-90
getallen, die, welke eene gemeens maat hebben: het zij de kleinfl:e_ de maat zij van de grootfte, dat is, juist eenigenbsp;malen in de zelve begrepen worde of opga, het zij eene derde grootheid de maat, of een gedeelte, van beiden zij.
aanmerking. Ik zeg hier grootheden en niet enkel getallen, om dat dit op alle grootheden toepasfelijk is: een once , een pond, een fchip-pond zlin onderling meetbare grootheden: even als een anker, een oxhoofd, een pijp, en zoo voorts, insgelijks onderling.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Alle Breuken, of gebrokens, zijn onderling meetbaar : want men behoeft ze Hechts tot den zelfden noemer te brengen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
In alle getallen hoe genaamd is de eenheid, het zij eene ware, het zij eene betrekkelijke eenheid, de gemeene maat.
AANMERKING. De watc eenheid heeft dan alleen plaats wan. neer men do getallen in het afgetrokken befchoiiwt, zonder ze op iets toetepasfen ; zoo als wanneer ik- zeg loo,nbsp;1000, en zoo voorts: maar wanneer ik zeg, loo oxhoof-den, 20 roeden, 20 voeten, 20 vierkante roeden, doel iknbsp;op eene betrekkchjke eenheid ; namelijk op iii oxhoofd,nbsp;dne roede, n voet, en n vierkant waarvan de zijdenbsp;eene roede is: en de getallen 20 roeden, ao voeten, zijnnbsp;ongelijk groot, hoe wel beide 20, dat is, hoe wel beidenbsp;even veel eenheden bevattende: om dat de eenheid vannbsp;eene roede grooter, en wel 12 malen grooter is dan dienbsp;van een voet.
IV. AANMERKING. De befcliouwing der getallen die eenegtr-gnieene maat hebben, heeft in de rekenkunde aanleiding gegeven tot den regel, oin.de grootje gemeene maat, of den g;ootflen deeler van twee (of meerdere! gegeven getallen tenbsp;vinden. Die zelfde regel is op alle grootheden even toepasfelijk, als befiaande 'mdivifiei ds divifie nu is Hechts eenenbsp;herhaalde aftrekking; en men kan even gemakkeiijk nagaannbsp;hoe vele malen eene fijn bij v van eene andere afgetrokkennbsp;kan worden, dat is, in dezelve opgaat, als men zulks doetnbsp;voor getallen. Wij zullen dan hier dien regel, tot voorbeeld, op lijnen toepasfen en den zelven bewijzen.
Men vraagt de gemeens maat der grootheden DG en dB te vinden? Fig. 83.
men
-ocr page 153-91
nien dividere DG door AB. Zoo dan AB volkomen in D G opgjiat, is B A zelve de groorfte gemeene maat: maarnbsp;200 zij er niet in opgaat, blijve EG over.
Men trekke EG zoo dikwerf mogelijk van AB af, d. i. men dividere AB door EG: er bjve AZ over.
Men trekke AZ zoo dikwerf mogelijk van EG af, en er blijve niets over: ik zeg iquot;. dat AZ eene gemeenenbsp;iDaat is van DG en .A B : en 2quot;. dat AZ de grootfte gemeene maat derzelve is.
I*. AZ gaat in EG op: des ook in BZ, waarin EG opgaat: dus ook in B Z -f- Z A , dat is in A B. Maar A Bnbsp;gaat op in DE: dus gaat E G op in DE: dus ook in D Enbsp; EG, dat is in D G: maar AZ gaat op in EG : dus ooknbsp;in DG: en A Z is eene gemeene maat van A B en D G.
2. Maar zij is ook de grootjle gemeene maat: immers zoo neen, zij eene andere H grooter dan AZ, eene gemeene maacnbsp;van AB en DG. Daar door die as/'umtie H opgaat in AB,nbsp;en A B in DE, gaat ook H op in DE: maar door de as^nbsp;Jumtie gaat zij ook op in DG: derhalve ook in D G nbsp;de, dat is in EG: maar EG gaat op in BZ: dus gaatnbsp;H ook op in BZ: maar H gaat, door de as/'umtie, op innbsp;AB: dus ook in A B BZ, of in AZ: dat is H, die,nbsp;door de asj'umtie, grooter is dan A Z , zoude in A Z op-gaan, dat ongerijmd is. Het is dan ongerijmd dat er eenenbsp;grootere gemeene jnaat van DG en AB zij, dan AZ: dusnbsp;is A Z de grootile gemeene maat.
Dit Voordel is het 3. in het X. Boek van euclides en uit dezen is dit ^ewijs ontleend.
Grootheden die geen gemeene maat hebben; dat is waarvan de eene, noch door eene vermenigvuldiging van de andere,nbsp;noch door die van eenig opgaand deel derzelve, kan gevormd worden; worden gezegd onderling onmeetbaar tenbsp;zijn. Men noemt ze ookjurden en irrationeele.
EUCL. X def. 2,
! aanmerking. Het denkbeeld van gelijkfoortige grootheden, die geen gemeene maat hebben, valt, in den eerden opflag,nbsp;vreemd: wij moeten derhalven het 2elve nader ontwikkelen , en door voorbeelden aantooneii dat er in de daadnbsp;zulke grootheden zijn Ten dien einde is het noodig dezenbsp;befchouwing, uit het If. Voordel van euclides X. Boeknbsp;ontleend, te laten voorafgaan.
Indien men, twee ongelijke grootheden gegeven zijnde, de kleinfie van de grootfle, zoo dikwerf mogelijk, aftrekt: hetnbsp;,, overfchot op de zelfde wijze van de kleinjie; het tweedenbsp; overfchot van het eer jle, het derde van het tweede, en
zog
-ocr page 154-54
III. Bock: Over de tvenredighetd.
,, zoo voorts, zoo dat er altijd een overfdiot blijve : zullen ,, de twee gegeven grootheden onderling onmeetbaar zijnquot;
Dat men, gelijJc in de IV. Aaiimerldng op de VII. Bepaling, nagaa hoe veie malen [l'ig. 84.J BA in DG opgaat; er blijve een overfchot DG: dat men nagaa hoe vele -malen EG in AB opgaat, en er blijve een overfchot AZ:nbsp;dat men nagaa hoe vele malen AZ in EG opgaat, en ernbsp;bliive een overfchot IG, en altijd zoo voort, zoo dat ernbsp;altijd een overfchot blijve: Dr.n zullen DG en AB onderling onmeetbaar zijn: dat rs zij zullen geen gemeenenbsp;maat hebben. Zoo neen: zij L derzelver gemeene maat.nbsp;BA eenige malen in DG opgaande laat een overfchot EGnbsp;kleiner dan zich zelve. EG eenige malen in AB opgaandenbsp;laat insgelijks een overfchot A Z kleiner dan zich zelven;nbsp;en A Z eenige malen in E G opgaande Iaat een overfchotnbsp;1 G kleiner dan zij zelve is: dat men zoo voortgaa tot datnbsp;men kome aan een overfchot I G kleiner dan L,
Om dat, volgens de asfumtie; L in A B opgaat en A B in de, zal ook L in D E opgaan: maar L gaat ook, volgens de asfumtie, op in DG;-dus gaat L ook op in DGnbsp; DE, dat is in EG: EG nu gaat op in BZ; dus gaatnbsp;L ook op in BZ: maar, volgens de asfumtie, gaat L opnbsp;in AB; dus ook in AB B Z, dat is in AZ: maar A Znbsp;gaat op in EI; dus gaat L ook op in EI: maar, door denbsp;asl'umtie,- gaat L op in EG; dus ook in E G EI, d.nbsp;i in IG; het geen ongerijmd is, daarL , bij onderllellingnbsp;grooter is dan IG. Het is dus onwaar dat L de gemeenenbsp;mant zoude zijn van DG en AB: die grootheden hebbennbsp;derhalve geen gemeene maat, dat is, zij zijn onmeetbaar.
II. AANMERKING Dit gefield zijnde, zal het niet moeijc-jijk vallen te bewijzen, dat de diagonaal cn de zijde van een vierkant onderling onmeetbaar zijn.' Wijnbsp;zuen zulks geometrisch doen, en uit de eerfte grond-beginfels alleideii.
l*-. Zij ABLC lg. SsO het vierkant op A C Maar door II- 115. is ? op BC eo ? op AC ? op ABnbsp;SO 2 ? op AC: het vierkant op de diagonaal en hetnbsp;vierkant op de zijde zijn dus twee vierkanten die onderling meetbaar zijn.
indien men dan van' BC aftrekt BD = BA =. AC, blijft er een overfchot DC 'lt;C AC, Wij zullen dit overfchot het eer/le overfchot noemen,
95
Inleiding.
AE = o C, Maar inAEDCis EC'lt;CED'}-DC of 2 ED of 2 AE: en dus, makende El' Af',nbsp;zal AE, of het eer He overfchot., twee malen in AC opgaan, en er bli)ft een tv/eede ovei'fehoi FC
4. Trekkende Ff X FC en verder DF; is [f. 34-1 Dl = F[ = FC. Er zal dan, met IG = FG te maken, vveder een overfcboi GC zijn: en FC zal twee malennbsp;in l -f- IG of in DG gaan, latende helderde overfchotnbsp;GC: en trekkende uit G, GH X GC, is GC, dercienbsp;overfchot, wederom de zijde van een vierkant waarvannbsp;H C de diagonaal is.
5. Menquot; heeft dan door die gedurige aftrekking- altijd tot overfchot de zijde van een vierkant. BC diagonaal,nbsp;AC zijde: DC, eerfle overfchot., zijde, EC diagonaal:nbsp;Pc, tweede overfchot, zijde, 1C diagonaal; GC, derdenbsp;overfchot., zijde, HC diagonaal: waaruit blijkt dat men,nbsp;altijd zoo voortgaande, ook altijd een overfchot zal houden: en gevolgelijk dat, AC en BC, zijde en diagonaalnbsp;van een vierkant, geen gemeene maat hebben: dat is zijnbsp;zijn, onderling, onmeetbaar.
III. AANMERKING. De ftellitig dat de diagonaal eens vierkants tot deszeifs zijde onmeetbaar is, is reeds op eene andere, doch ook geheel geometrifche wijze door euch-DES [X. 117 ] bewezen. Wij zullen in het IV, V, VI,nbsp;Vlli. Boek meer andere voorbeelden van onmeetbare grootheden aantreffen. Wanneer men dan eene dcrzelve doornbsp;een getal uitdrukt, kan de andere door geen getal uifgedrukt worden; want dan ware er tusfehen dic twee getallen eene gemeene maat, te weten de eenheid. Mennbsp;kan enkel getallen daar fiellen die de tweede onmeetbare grootheid ten naasten bij zullen uitdrukken, cti mennbsp;kan die nadering zoo ver men wil uitftrekken.
De handelwijze in de voorgaande aanmerking gebruikt kan hier ten voorbeeld ftrekken. Want om nategaannbsp;hoe vele malen AC in BC opgaat heeft men gevondennbsp;1 met het overfchot CD: dat is, om het uittedrukkon
gelijk men in de rekenkunde doet ^ i nbsp;nbsp;nbsp;of i -l_ J_.
A C nbsp;nbsp;nbsp;* A C
CD.
CD nbsp;nbsp;nbsp;CD
b;c
-ocr page 156-///. Boek: Over cle evenredigheden.
--; men heefc jrevonden = 2
2 ^ FC nbsp;nbsp;nbsp;CD
CD
2 GC_ CD.
Men
vindt voor , en voor alle de volgende leden, DDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
Bellende f voor de rest of het overfchot, en D voor den
B C , of de diagonaal, zal der-
2 -1- ^
D
halve de fom zijn van deze, gelijk men het noemt, gedurige breuk, Z03 ver men wil uitgeftrekt; te weten, Bellende i voor de zijde, isnbsp;BC, diagonaal, =1 *
2 enz.
Hoe meer leden, of termen van die breuk men neemt, hoe nader men aan de waarheid komt.
De diagonaal van een vierkant, wiens zijde de nheid gefield wordt , zoude zijn, met te nemennbsp;ne breuk, i| = 1.5 te groot.
twee
drie
vier
vijf
zes
zeven
acht
negen
= 1.4 te klein.
= 1,41667 te groot.
= 1.41379 te klein.
T '/O
HU
= 3.414285 te groot.
= t.4i42Ci te klein.
= J 414216 te groot.
= 1.4142131 te klem. l'lll =r r.4143136 te groot.
Men ziet dat , na de zevende breuk , de onzekerheid maar zit in de miliioenfte, en met de negende, maar innbsp;de tien. miliioenfte gedeelten.
IV. aanmerking. Ik heb in de bepaling zelve gezegd, on-ioeethare grootheden^ en niet getallen: want eigenlijk ge-fprokeu zijn het alleen grootheden die onmeetbaar zijn: zoo
als
-ocr page 157-95
Inleiding
als bij voorbeeld de diagonaal van een vierkant en zijne zijde; de diameter van een cirkel en deszelfs omcrek, ver-fcheide regihoeken enz. zoo als in het IV, VI, VII ennbsp;VIII. Boek blijken zal: welke grootheden, hoe wel onderling onmeetbaar, bellaan, en aangewezen kunnen worden. Onmeetbare getallen zijn er in den eigenlijken zinnbsp;niet; want wie een getal zegt, zegt een aantal eenheden,nbsp;en dus iets dat met die eenheid meetbaar is. Men gebruikt,nbsp;wel is waar , ook die uitdrukking onmeetbaar van getallennbsp;fprekende; doch het is in eenen oueigenlijken zin, en kortheidshalve. Bij voorbeeld; een wortel van een geheel getal, dat zelf geen quadraat-getal is, kan even min doornbsp;een gebroken als door een geheel getal, dat is, kan doornbsp;geen getal, hoe ook genaamd , worden uitgedrukt. Er isnbsp;bij v. geen geheel getal, en ook geen breuk, die doornbsp;zich zelf vermenigvuldigd 13, of door zich zelf twee maalnbsp;vermenigvuldigd 36 kan voortbrengen: en dus kan de vierkante wortel van I3, of de cubiekwortel van 36, door geennbsp;getal, hoe genaamd, uitgedrukt worden; en daarom noemtnbsp;men die wortels onmeetbaar', dezelve nogthans door eennbsp;teeken 13, y 36} aaiiwijzende, handel: men daarmedanbsp;als of het getallen w.iren , en men noemt ze daarom on-meetbare getallen, doch zeer oneigenlijk : men kan dienbsp;wortels wel ^aanwijzen; men kan den eerstgemeldeu welnbsp;door eene lijn uitdrukken (namelijk door de diagonaalnbsp;eens regthocks, waar van de eene zijde 3 de anderen 2nbsp;JS:) maar niet door eenig getal: men kan wel een getalnbsp;vinden dat er hoe langer hoe nader bijkomt, dat daarvannbsp;zoo weinig verfchilt als men wil, doch nimmer een, datnbsp;dien wortel evenaart.
Wanneer men dan van onmeetbare getallen fpreekt, duidt men dezelve door een teeken aan, en fpreekt niet vanhernbsp;geen zij zijn, want zij zijn er niet; maar van het geennbsp;zij zouden zijn, indien men ze door getallen uitdrukken
kon, het geen onmogelijk is.
V. AANMERKING. Wij hebben in' de voorgaande aanmerking gezegd, dat men de wortels van getallen, wanneer zij geennbsp;geheele getallen zijn, door geen getal hoegenaamd kan uitdrukken, en dat dus die wortels, ten opzigte dier gemeldenbsp;getallen, volftrekt onmeetbaar men kan derhalven'dienbsp;wortels noch door een geheel getal, noch door eene breuknbsp;uitdrukken; en dus door geen getal hoegenaamd,
. Ihuners zij a een getal, wiens vierkant juist kleiner K dan een ander getal dat geen quadraat - getal is, maarnbsp;hier door verbeeld wordt: maar zij, het vierkant van
I juist grooter dan A; dan is de wortel van A grobter
dan
-ocr page 158-9(5
III. Boek : Over de evenredigheid.
dan maar kleiner dan a i: dus a met eene breuk: ftel ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dit getal door zich zelf multipliceerende, krijgt
men deszelfs vierkant of 4- nbsp;nbsp;nbsp; C- j t= A^: en daar
een geheel getal is, moet nbsp;nbsp;nbsp;^ ( )
n'n
zijn: het deel a'^ is het: het deel kan het zijn; men (lelie
n
zulks: maar blijft altijd eene breuk, en dus de geheele
fom eene breuk. Stel dat gene breuk is; dan zal ^
n nbsp;nbsp;nbsp;n
C~Vof X ~) echter eene breuk blijven; dus is
\ ^ / nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' n
het vierkant -^ eene breuk, daar het, indien
-1- , de wortel van was , een geheel getal moest n
zijn: dus is het de ware wortel van A^ niet. In andere woorden; eene ware breuk, of eene oneigenlijke breuk dienbsp;niet opgaat, eens of meermalen met zich zelf vermenigvuldigd zijnde, zullen de uitkomften altijd breuken zijn,nbsp;die niet opgaan, en die dus niet tot geheele getallen kun-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
nen gebragt worden. Dus ~ met ^ multiplicerende komt er
^: insgelijks eene breuk die niet opgaat. Het zelfde heeft 25
plaats voorquot; X 5 X quot;5 = nbsp;nbsp;nbsp;5^ quot;5^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
Daar dan de magten van breuken, ook breuken zijn, zal omgekeerd een geheel getal geen breuk tot wortel kunnennbsp;hebben.
VI. aannerking. Er zijn dan getallen, waarvan men den qua-draatwortel , er zijn insgelijks getallen , waarvan men den cubiekwortel in getallen kan uitdrukken: er zijn anderen,nbsp;waarvan zulks niet niogelijk is: de eerstgemelde wordennbsp;quadraat-getallen, en cubiek-getallen genoemd: de anderenbsp;kunnen dien naam niet dragenmen kan er den wortel (lechtsnbsp;bij nadering uit trekken: zoo is de wortel van 2, of I/2,nbsp;ten naastenbij 1.414213: dat wat te klein, daar 1.414214 watnbsp;te groot is. Het is het zelfde getal dat wij te voren
^Aanm.
-ocr page 159-97
(Aanm. ill.) voor de diagonaal van een vierkant gevonden hebben; en in de daad die diagonaal wordt door V a uitgedrukt, om dat, (gelijk in het IV. Boek, Voorllel IX.nbsp;Gev. 5.) bewezen zal worden, het vierkant op eene lijnnbsp;overeenkomt met de tweede magt van het getal dat de lengtenbsp;van die lijn uitdrukt.
VlI. aainmerking. Indien dan A en B , onderling omneeU haar zijn , en C een elFen deel van B is dat er in malennbsp;ingaat, zal het zelfde deel C, een zeker getal malen, n bijnbsp;voorbeeld, genomen, kleiner zijn dan A, doch eene maalnbsp;meer, namelijk i malen, genomen, grooter; zoo dat,nbsp;daar w C B is, men hebben zal C lt; A en -j- i . C
gt; A; zonder dat er eenig getal, b v. n ,isdar, door zijne vermenigvuldiging met C, gelijk aan A worden kan.
IX. BEPALING.
Wanneer men twee gelijkfoortige grootheden vergelijkt, ten einde de groo,tte van de eene uit die van de anderenbsp;onmiddclijk te bepalen, noemt men dit derzelver redamp; na-tegaan : en die bepaling zelve is de rede. welke dienbsp;grootheden onderling tot elkander hebben.
St. V Bep. a. Zie vooral koenig op de 3. Bepaling van het V, Boek van euclides.
aanmerking. Men kan de grootheden onderling op ver-fchillende wijzen vergelijken: voornamelijk op twee wijzen. De eerde als men nagaat, A en B gegeven zijnde, velenbsp;malen B in A bevat is; de tweede als men nagaat welk hetnbsp;verfchil is tnsfehen A en B: d. i. hoe veel (.niet hoe velenbsp;malen) A grooter is dan B, of B grooter dan A. De eerde wijze wordt Geometrijche, de andere Arithmetifche redenbsp;genoemd; waaruit de geometrifche en arithmetijchc propor-tien , of evenredigheden ontdaan : en uit deze, onderling,nbsp;doch op twee verfchillende wijzen, vereenigd, worden denbsp;harnwnifche evenredigheid en de Logarithmen geboren. Wijnbsp;zullen dit alles verklaren.
OVER DE GEOMETRISCHE EVENREDIG HE 10.
bepalingen.
X. BEPALING.
Wanneer men twee gelijkfoortige grootliedcn met elkander vergelijkt, ten einde te weten welke vermenigvuldigde of hoevcelvoud de eenc van de andere zij; of, het geen op het zelfde uitkoint, hoe vele malen de laastge*nbsp;melde in de eerfte begrepen is, of een hocveellle deel zijnbsp;er van is, wordt men gezegd de gcometrifche rede, ofnbsp;ook enkel bij uitllek de rcde\ die ef tusfehen die grootheden plaats heeft , nategaan : zoo dat de geometrifchenbsp;rede, of enkel de rede, tnsreben twee grootheden, aantoont hoe vele malen de eene de andere bevat.
De grootheden welke die rede uitmaken worden derzel-ver leden genoemd: de grootheid die men het eerst noemt, draagt den naam van voorgaande, de andere dien van volgende'.nbsp;er is dus in iedere rede een voorgaand en een volgend lid.
Zie TACQUET op de denitien van f.ucliues V.
GEVOLG,
St, V.Bep. 3,4.
Er zijn geen grootheden, mits zij gelijkfoortig ziin, die niet eene bepaalde geometrifche rede tot elkander hebben.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Ik grootheden en niet enkel getallen, wantnbsp;dit alles is op alle foorten van grootheden toepasfelijk.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Mcii verdeelt de geometrifche rede in meetbare en onmeetbare. Eene rede is meetbaar wanneer zij doornbsp;getallen uitgedrukt wordt , of kan worden: doch onmeetbaar, of irratioiKcl. wanneer de grootheden dia mennbsp;vergelijkt zoodanig zijn, dat hare rede door geen ge-tal uitgedrukt kan worden : in dat geval kan men de redenbsp;Hechts aanduiden door een teelten, bij v. zoo als de redenbsp;van Y 2 tot I; of door lijnen: men weet dan wel niet hoenbsp;vele malen de eene grootheid in de andere begrepen is,nbsp;^och men weet de uicerften tusfehen welken dat getal invalt: zoo als bij v. de rede van y 2 tot i is grooter dan
414213 nbsp;nbsp;nbsp;J.t42i4
1,000,009
1,000,000 L. C. S. a88.
l.TTlilgTr: doch kleiner dan i.
III.
-ocr page 161-ill. aAN.merking. Men nloet echter niet den.lten dat wanneer ; men twee onmeetbare grootheden yergcliiltt, AerzeUer i-edenbsp; tot elkander altijd onmetbitar is: zij kunnen eene meetbarenbsp; rde tot elkander hebben, hoe wel ieder dezer grootheden metnbsp;opzigt tof eene andere, ftel de eenheid, onmeetbaar zij: bijnbsp;voorbeeld de rede van Vquot; 2 tot f/ 8 is di van i Cet 2,nbsp;dus meetbaar^ lioe wel die grootheden elk in zich zelve metnbsp;betrekking tot de eenheid 'onmeetbaar zijn.
IV- AANMERKING. Euclides gccft dczc bcpang \quot;an het woord rede;
,, Rede, zegt hij s. bepaling) is de onderlinge betrekking van 5, veelvoudigheid, die twee grootheden tot elkander hebbent cn hijnbsp;voegt er in de 4 bepaling bij. ,, Grootheden worden gezegd eeni-j, ge rede tot elkander te hebben . ais de eene door vcrmenigvul-,, diging de andere overtrefe:i kan. Men lette wel: hij zegt nietnbsp;evenaren-, want dan zon de bepaling flechrs betrekkeluk zijn totnbsp;ntestbdr grootliedeh; maar overtref en, het geen de onmeetbare ooknbsp;bevat. Bij vele vertalers leest men in de derde bepaling betrekkingnbsp;van grootheid (in het larpn lecitndum quantitatein) in plaats van veelvoudigheid (^fccunditm quantuplicitatem) ; doch dit zoude even eensnbsp;op arithmetilche als op gcometrifche reden tocpasfelijk zijn, hetnbsp;gee EUCLIDES niet bedoelde, zoo als overvloedig uit zijn Vil. Boeknbsp;blijkt. Dat men hier de griekfehe woorden xetra mih^ixrnTO. doornbsp;volgens de veelvoudigheid vertalen moet , is door wallis (Operanbsp;Mathe7natica 'F. II. p. 666) cn anderen aangewezen f ook heeft GRE-coEij liet aldus vertaald Zi koenig over deze plaats Men isnbsp;ht algemeen onder de geleerden cens, dat die bepaling van euclides duister is; en r, simson gist oat zij niet van dien uitmuntendennbsp;wiskunstenaar is, maar door eene latere onkundige hand in dennbsp;tekst ingclascht is geworden.
St. V. Bep 6.
I. aanmerking. In de daad, daar de rede van t\Vee grootheden aanduidt hoe veel malen de eene in de andere begrepen ' is, en daar het quotient van eene divifie dit ook doet; isnbsp;dat quotient de ware aanwijzer van die rede: en dit wel,nbsp;altijd ftilzwijgend, met betrekking tot die eenheid, welkenbsp;men tot grondflag legt.
(*) Men zoude dien aantvijzer ook exponent der rede kunnen noemen, en het gcfchied door fommigen: doch ik zal, om alle dubbelzin-itrgheid te voorkomen , altd , en by uitfluiting, het- woord aanwijzer gebruiken om eene geometrifche rede uittedrukken; cn. exponent (Zienbsp;Bep. IVh Aanm, a . 3. en Bep. V. Aanm, 1.) ora de rnagten van getallennbsp;antewijren,
G 2
-ocr page 162-100
III. Bosk: Over de evenredigheid.
II. aanmerking. Andere Schrijvers noemen aanwijzer, of quotient, het quotient dat uit de divifie, niet van de vuor-gaande door de volgende, maar van de volgende door denbsp;voorgaande voortkomt: doch dit komt op het zelfde uit,nbsp;mits men in^ de bewijzen en (tellingen het woord aanwijzer , of quotient , altijd in den zelfden zin neme.
^11. AANMERKING. Tacquet geeft deii naam van noemer aan het geen wij aanwijzer heten. Zie zijn V. Boek, ill. genbsp;deelte .2,3,
gevoeg.
Wanneer de voorgaande grooter is dan de volgende, is de aanwijzer een geheel getal, of een geheel getal met eene breuk :nbsp;zoo de voorgaande kleiner is, is de aanwijzer eene zuiverenbsp;breuk: zoo de aanwijzer meetbaar is, is de rede meetbaar,nbsp;doch zoo hij onmeetbaar is, is de rede onmeetbaar, eii om*nbsp;gekeerd.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Wanneer de aanwijzer onmeetbaar is, kan
hij door geen getal uitgedrukt, doch Hechts door een teelten aangeduid, of door lijnen opgegeven worden , zoo als V 5:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7. En dit is de reden waarom wij in de bepa
ling gezegd hebben voortkomt, of begrepen wordt voorte-komen,
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. De rede wordt in woorden dus uitgedrukt,nbsp;A tot B: en in plaats van het woord tot gebruikt men het
. teeken (ih of (,) dus A:B of A, B: ook wel, in navolging van LEiBNiTs, het teeken van divifie, eene ftreep name-
: lijk, en In de daad, daar de rede aanduidt hoe veelmalen de eene grootheid de andere bevat, beilaat zij in eene divifie, en wordt door het in het werk (lellen van die divifie bekend.
XII. bepaling.
Twee reden wotn gelijk, of de zelfde genoemd, wanneer hare aanwijzers even groot zijn: doch van twee reden is die de grootfte waarvan de aanwijzer de grootde is : of,nbsp;het geen op het zelfde uitkomt; eene rede is even groot,nbsp;grooter , of kleiner dan eene andere, naar mate haar aanwijzer even groot, grooter of kleiner is dan die van denbsp;tweede rede. Wanneer nu verfcheiden grootheden onderling de zelfde rede hebben, zegt nieu dat zij evenredig,
/ /Ifdeeling: Over de geometrrfche evenndigheid, loi
of proportioneel zijn: en de evenredigheid^ of proportie ^
heeft plaats als er eene gelijkheid van reden plaats heeft.
I. aanmerkikg. De evenredigheid werdt voorheen meest aldus uitgedrukt door vier flippennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;namelijk
A : B : : C : D of A , B : : C , D;
doch daar de evenredigheid in de daad eene gelijkheid is van twee reden , en dus van de quotinten uit twee divifinnbsp;gefproten , wordt dezelve , in navolging van leibnits , veelnbsp;beter en eigenaartiger uitgedrukt op deze wijze;
A : B 22 C : D : of, wat nog beter zoude zijn A __ Cnbsp;B D-
n. AANMERKING. Wanneer de beide reden meetbaar zijn, valt het gemakkelijk over derzelver gelijkheid of ongelijkheid te oordeelen, en zulks alleen uit den aanwijzer Aaarnbsp;hoe oordeelt men, zal men zeggen, over de gelijkheid ofnbsp;ongelijkheid van twee onmeetbare reden? daar geen'j vannbsp;beiden door getallen uitgedrukt kan worden, en dus geennbsp;van beiden naatiwkenrig en in de daad bekend is.
Men oordeelt er van op tweederlei wijze: vooreerst, daar de onmeetbare reden door een teelten; of door lijnen,nbsp;kunnen wordenuitgedrukt(8.Bep, Aanm. i, 2,4), oordeelt mennbsp;dat zij gelijk zijn, als zij het zelfde teelten tot aanwijzernbsp;hebben, of door gelijke lijnen iiirgedrnkt worden; dus isnbsp;de rede V 5 V 6 gelijk aan de rede van i: Y 2: ofnbsp;die van 1/ 6: V' 8 gelijk aan die V 3= V 4; en derhalvenbsp;zijn Y3' V6,en I, Y 2: of y 6, Y 8, en Y 3, Y 4nbsp;evenredig.
Maar is er een tweede middel dat algemeener is, en zoo wel op de meetbare als op de onmeetbare grootheden toegepast kan worden, indien men twee reden, bij v, A: B ,nbsp;en C:D heeft, zal men mogen vastflellen, dat de rede vannbsp;A tot B gelijk is aan die van C:D, als men bewijzennbsp;kan dat zij noch kleiner, noch grooter zijn kan: of, wacnbsp;op het zelfde uitkomt , wanneer men bewijzen kan, datnbsp;men in. ongerijmdheden vervalt, indien men onderftelt datnbsp;die reden ongelijk zijn, of dat de eene grooter of kleinernbsp;is dan de andere: eene, naar ons oordeel, uitmuntende trantnbsp;van bewijzen.
I. gevolg.
Wanneer vier grootheden evenredig zijn, en de eerfle.en
loa
tweede zijn onderling meetbaar \ zijn de derde en vierde insgelijks onderling meetbaar : doch zoo de eerfte en tweede onderling onmeetbaar zijn; zijn de derde en vierde ook ouderling onmeetbaar.
BEWIJS. Zoo A:B =; C:D, is g. ^ : en dus zoo ^ een
getal is, moet er ook een zijn: en zoo g geen getal,
C
en dus onmeetbaar is, moet het ook zijn.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanjierking. Dit gevolg is de lo propofitie van het X.
Boek van euclides : men lette wel dat wij zeggen de eerfte en tweede, de derde en vierde onmeetbaar onderling, datnbsp;is, hare rede oumeethaar Want wij hebben' reeds gezegdnbsp;(X. Bep. Aaam. 3* J dat de onmeetbare grootheden eenc meetbare rede hebben kunnen: dus V' 2:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8 = 1: a. Wij be-
fchouwen dan hier de ntzieeriwe grootheden, niet op zich zelve, (dat is met betrekking tot de eenheid) maar met betrekking tot elkander, onderling, da: is, wij befchoiiwennbsp;derzeiver rede.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;AAKMERiuNG Eucrides liceft tw?c bepalliigcn van gelijkheid vannbsp;reden gegeven; de eene is de-o Bepaling van het VII, Boek,nbsp;altvaar liij zegt: ,, Getallen zijn' evenredig, als .l'eerlte een ge-,, Ujkvud, of een gelijk deel,' van de tweede is, als de deolenbsp;,, van de vierde: onze bepaling nu van cvcnredigUcidlsvoikomeunbsp;de zelfde. De andere, die niet alleen op getaliea, maar op allenbsp;grootUecleu , ook op de onmeetbare, tuepaslijk is, is de 5 van betnbsp;V. Boek, ea komt hier dp tiic. ,, Indicii er vier grootheden gc-,, geven zijn, en men neemt evenv-ermenigviilcii.g!len, ot gelijkvou-,, den, vau d.e eerfte en vtm de derde, en andere geljjkvoudennbsp; van de tweede en van de vierde: zullen die groothedeit in denbsp;,, zelfde rede liaan; namelijk de eerfte tot de tweede, de derdenbsp;,, tot de vierde; indien, wanneer het gclijkvond van de eerftenbsp;,, even groot, of grooter, of klein'cr is, dan dat van de tweede;nbsp;,, teveijs ook het geiijkvoud van de derde even grt,ot;of grooter.nbsp; ()f.kleiner is, dan dat van de vierde; en zulks altijd, en vol-,, geus vvelke vermenigvuldiging ineu ook wille wa-ar bij eucm-niis in de Bepaling' voegt: grootheden die in de zelfde redenbsp; ftaan, worden evenredig genoemd.
Bij voorbeeld: indieii A, B, C , nbsp;nbsp;nbsp;5 gegeven zijn: cu men neemt
gelijkvoiidcn A en mC, insgeUiks B en D; dan zal A:B s
CsD zijn, indieii wanneer mh ^ dk mC D; en wanneer jalt;B ook mcK. nO ^ wanneer m A rg nR ook m C kD , welke getallen men ook voor in en n neme.
Deze bepaling van euclides is algemeen, en bevat zoo wei de Meetbars als e .onmeetbare grootheden : doch zij is niet geheel duidelijk; en veelligt niet uit de w-arc en eenvoudige natuur van hetnbsp;fcon njdA oorfpronslijk door verftaat, ontleend: zie koeni
-ocr page 165-/. Afdeding : Ovtr de gotnetrifche evcnrecUghdd. 103
Sr dezer plaatfe. De leer der aanwijzers, die of meetbaar of oii-^eetbaar zijn , is gemakkelijker, en even algemeen ais die van euclides : wjj zullen echter in het I, 11, en III Voordel toonen ,nbsp;dat de bepaling v'an euclides uit de onze , en de onze uit die vannbsp;Eoclides volgt.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Om de zelfde renen geeft euclides deze bepaling
van ongelijke reden: ,, Wanneer men gelijkvouden van de eerde 5gt; en derde grootheid, en andere gelijkvouden van de tweede canbsp;5, vierde genomen heeft, en wanneer dan het gelijkvoud van denbsp;5gt; eerde, dat van de tweede overtreft, zonder dat het gelijkvoudnbsp; van de derde dat van de vierde overtreffe , zal de eerde groot-gt; heid grootere rede hebben tot de tweede dan de derde tot denbsp; vierde. v. Bcp. 7,
VI. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking, Eoclides voegt er deze VIII. Bepaling bij : Even-
redigheid is gelijkheid van reden. Dit zoude volkomen met de XX. Bepaling van zijn VU. Boek en met onze Bepaling overeenkomen. Maar R. siMSON gist dat die Bepaling niet van Eoci-i-Es is, en door eene latere hand in den test is ingevoegd,
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Alle breuken, en alle producten, of getallen door vermenigvuldiging of muUiplicatie ontftaan, zijn reden: want
ftel g' = S' en D X E = C , dan is er de zelfde rede
VII. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dc bepalingen, die men in de meeste cijf-ferboeken van multipUceeren en divideeren geeft, zijn zeernbsp;gebrekkig. Naauwkeurig gefproken beftaac de wutipUcatienbsp;in het vinden van een getal, dat tot een der gegevene liaat,nbsp;als het ander tot de eenheid;en de divijte, (hoewel oorfpon-kelijlc eene aftrekking des divifors van het dividendum, zoonbsp;dikwerf gefchieden kan,) bellaar echter ook in het vindennbsp;van een getal dat tot de eenheid ftaac, als liet getal datnbsp;gedivideerd moet worden, tot den divifbr, of deeler.
Zie hier over koenig op eucl, V. clef, i , 2. L. C. . 287. doch vooral dalembekt Melanges: V. p, 217.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
WcL. V. Bep. 9.
VIII. nbsp;nbsp;nbsp;Aanmerking. Men maakt in de gewoone wijze vannbsp;Ipreken een beftendig misbruik van het woord proportie,nbsp;dat men met het woord rede bijna altijd verwisfelt, zeggende, de proportie van A tot B: dit is een misdag; er
G 4 nbsp;nbsp;nbsp;is
-ocr page 166-104
111. Bock: Over de tvtnredisheid.
is geen proportie of evenredigheid tusfclien twee grootheden; maar twee grooiheden hebben eene bepaalde rede tot elkander: en dan eerst wordt eene proportie , of evenredigheid, geboren, wanneer men twee reden, die gelyk zijn,nbsp;met elkander vergelijkt ; het zij deze te famen nit drienbsp;grootheden , het zij uit vier grootheden beftaan; in het
A. T?
eerlle geval is A : B B : C of : in het tweede
A:B=! C:Dof~=
B D'
Xlil- BEPALING.
Wanneer dc grootheden, die gelijke rede tot elkander hebben, alle verichillende ziin, zegt men dat die groot-heden ondcrjchddenlijk (^discrete) evenredig zijn : docli wanneer die grootheden zoodanig gefield zijn , dat er altijd eene van de. vorige rede in de volgende herhaald wordt;nbsp;dat is , dat de volgende grootheid ih de eerlie rede denbsp;voorgaande is in de tweede, de volgende in de tweede,nbsp;de voorgaande in de derde, en zoo beltendig voort: dannbsp;zegt men dat die grootheden gedurig {continue^ evenredig zijn : en the' gedurige evenredigheid wordt eene geo-inetrilche reeks of progres/ie genoemd, in weike men eve/a-veraffl-aande leden iioeint, die leden, welke door een evennbsp;groot gual leden van eemg bepaald lid gefclieiden worden.
A, B, C, D, E. F, G, H zijn gedurig evenredig,, of maken eene geometrifche reeks uit, indien, A_B_C_DEF
B C D~B~F~-G nbsp;nbsp;nbsp;A: B =; B:C=;C;
D=D:E=;E:F=! F;G enz.
St. V. Bep. 12 , 21 , 24.
GEVOLG.
Hier van is het dat men zegt, dat getallen of grootheden, die gedurig evenredig zijn, eene geometrifche reeks uitmaken: die reeks wordt aanwasfende, ook opgaande,nbsp;of Verminderende, ook famenlopende, of neergaande genoemd, tiaar mate de leden beitendig aangroeijen, of verminderen.
aanmekkihg. Eene geometrifche reeks, of gedurige even-
re-
-ocr page 167-I. AfdccUrtg: Over de geometrifche evenredigheid. 105
redigheid wordt aldus (If) nbsp;nbsp;nbsp;vier flippen aangednid,
r; A, B, C, D, E, enz.
Wanneer drie grootheden gedurig evenredig zijn noemt men de tweede, of middelde, middel evenredige, en denbsp;laatde, derde evenredige: en wanneer vier grootheden on-der/cheidenlijk evenredig zijn , noemt men de vierde ofnbsp;laatde vierde evenredige. Als dan worden ook de eerdenbsp;voorgaande en de laatde volgende grootheid de uiierjlen,nbsp;of iiiterfte leden , genoemd: de eerde volgende en denbsp;tweede voorgaande, de middelflen, of middeljie leden.
St. V. Bep. IJ, 14.
XV. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.
De voorgaande worden met betrekking tot de voor-gaande en de volgende met betrekking tot de volgende gelijkgeplaat/ie (Jiomologi') leden genoemd.
EucL. V. Bep. 12.
Wanneer men vier grootheden heeft, en men derzelver rede befchouwt met betrekking tot de orde in welke mennbsp;ze opnoemt; zegt'men dat zij regtftreeks tot elkander, ofnbsp;in regte rede daan, als de eerde daat tot de tweedenbsp;als de derde tot de vierde: of in andere woorden; zoonbsp;de rede van de eerde tot de tweede gelijk is aan de rede van de derde tot de vierde: maar men zegt dat zijnbsp;omgekeerd tot elkander liaan , of in omgekeerde rede ziin,nbsp;als de leden welke onderling gelijke rede hebben, dennbsp;rang, waarin men ze heelt opgenoemd niet volgen; datnbsp;is, als de eerde daat tot de tweede als de vierde totnbsp;de derde ; of de tweede tot de eerde als de derde totnbsp;vierde; of de eerde tot de derde als de vierde tot dnbsp;tweede.
. 263. St. V. Bep. 23.
GEVOLG.
liier uit volgt dat de omgekeerde rede van twee grootheden gevonden wordt met de volgende grootheid door de
G 5 nbsp;nbsp;nbsp;voor-
-ocr page 168-ic6
///. Both: Over de evenredikeid.
voorgaande, in plaats van de voorgaande door de volgende^
A , nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bi
te divideren; g- is de omgekeerde rede van ^ g
is de omgekeerde rede van B : i.
L. C. . 299.
XVII. BEPALIN G.
IVfcn 'noemt famengeftelde rede die welke uit verfcheide andere reden wordt opgemaakr; cn dat wel door vermenigvuldiging der enkele reden, '(in geval ook wel wr-teh en factoren genoemd) uit welke de famengeftelde gevormd wordt. Wanneer alle de wortels regtflreeks genomen worden , is de famengeftelde rede regtflreekfche redenbsp;uit allen: zoo zij alle omgekeerd genomen worden, is denbsp;famengeftelde rede omgekeerde famengejielde rede der wortels: en zoo fomraige wortels regtftreeb, andere omgekeerdnbsp;genomen worden, is de famengeftelde rede uit regtftreek-fche en uit omgekeerde reden gevormd.
A nbsp;nbsp;nbsp;E/ G
VOORBEELD.
Men hebbe de reden , nbsp;nbsp;nbsp;^ ^
ACE
rede van P : Q famengefteld uit die van jj gt; j) gt; p
enz. dus is die van ^ famenge-
P A ^ C E diennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g-X - X
fleld uit
en : de rede van R : S is de omgekeerde fa-
mengeftelde uit en , indien
1)
BD
is omgekeerd famengefteld nit i en . De rede van T:U is famengefteld uit de regtftreekfche van g en de omge.
Dus is de famen-V
gefielde regtftreeks uit en omgekeerd uit
I.. C. . S90. St. VI. def, S.
-ocr page 169-aanmerking. Eclides geeft in zijn V, Boek geen bepaling van f^nenge',lelde rede j maar men vindt er eene in het VI, Boek, denbsp;vijfde nauientiyk welke dus, luidt. ,, Eene rede wordt gezegd uitnbsp;5) reden te zijn famengejield, als de Hoeveelheden der reden , on-a, derling gemultipliceerd, de hoeveelheid vm die rede iiitmakennbsp;R. siMSN ichrijft die bepaling, welke hij voor ongerijmd an on-iruikbaar houdt', aan theon toe, en verwerpt ze geheel Wallisnbsp;echter oordeelt, en dit draagt de goedkeuring.van grrgorij weg,nbsp;dat men de woorden door hoeyeeiheden, hoeveelheid, vermeld, doornbsp;aan%vijzers , aamvijzer, vertalen moet: en dan is de bepaling goed.nbsp;Het valt nu niet te .ontkennen dat eclides in het XXIII. Voordelnbsp;van zijn VI. Boek, de famengeflelde rede in dien zin gebruikt. Zienbsp;w.ALLis de compofttiohc rntiomtm in Opsr Miukem. II, p, 3.
XVin. bepaling.
Wanneer eene rede ujt gelijlie reden wordt famengefleld, wordt zij verdubbelde , driedubbelde, vier dubbelde enz. genoemd, naar iB.ire zij nktwee, uit drie, uit vier, gelijkenbsp;reden famengeftcld is, en dus [Bep. 4.] d^ tweede, derde , of vierde inagt van die rede is.
r
van^.
St, V. Bep, 26. L. C. . epi.
Aanmerking, Daar de bepalingen door eclides van verduhielde, driedubbelde rede enz. gegeven, uit andpre grondbeginfels afgeleidnbsp;zijn, behoren wij dezelve nategaan , vooral daar die bepalingennbsp;ccnigeii invloed in het vervolg kunnen hebben.
Z zijn de lo en ii Bepaling van het vijfde Boek:
Zoo drie grootheden evenredig (d i. gedurig evenredig) zjjj,, ,, wordt de crfte gezegd tot de derde eene dubbelde rede tenbsp; hebben van die welke zij heeft tot de tweede.
Zoo vier grootheden evenredis C^*- i gedurig evenredig) z|jn, wordt de eerfte g.ezpg.d tot de vierde eene driedubbelde rede tenbsp;,, bebben Van die, welke zij heeft tot de tweede: en zoo voorts,nbsp;3, zoo lang de evenredigheid duurt.
Wanneer ik dus. zeg, de rede ^ is de verdubbelde van duidt nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. B
aan, volgens ons, dat die rede uit de vermenigvuldiging van de rede A ^ich zelve gevormd wordt: volgens eucliues, datnbsp;B
de rede P (jjg jj van de eerfte A tot de derde C van drie gedu-. nbsp;nbsp;nbsp;Q
rige evenredigheden , waarvan A en B de twee eerfte zijn. Wanneer
-ocr page 170-io3
HI. Bock: Gver de evenredigheid.
neer w zeggen, dat de rede van P tot Q de driediibbelde is van de rede van A tot B, geeft het volgens ons te kennen, dat dienbsp;rede uit de vermenigvuldiging van de rede twee malen door
B
2ich zelve gemultipliceerd, ontftaat, of, dat zij de rede is van ft* tot B : volgens euclides , dat de rede van P tot Q de redenbsp;is van de certle tot de vierde van vier gedurig evenredige grootheden , waarvan A en B de twee eerfte zijn Hoe veel nu die uitdrukkingen in den ecrllen fchijn van elkander vcrfchillen mogen,nbsp;Itomen zy op het zelfde uit, zoo als wij zulks in de Aanmerking op het XV Voorllel zullen bewijzen.
EuctiDES heeft zekerlijk zijne bepaling boven de andere, die natuurlijker is, en hem niet onbekend was, als rcgtllrceks uit denbsp;5. Bep. van het VI. Bock volgende, verkoren , om dal hij denbsp;verdubbelde rede van twee lijnen in het Vi. Boek wilde gebruiken: terwijl h wel begreep, dat de nniltiplicatic in eenen llrik-ten zin alleen op getallen, en niet op lijnen of andere groothedennbsp;kan gefchieden; waarom hy dan ook, bij het denkbeeld van denbsp;verdubbelde rede van lynen^ het denkbeeld van multiplicatie wildenbsp;vermijden.
Bijv. V'g of ijT'g! ^ B nbsp;nbsp;nbsp;onderverdubbeide, en
St VI. Bep, 6.
aanmerking. Men maakt nog meerdere onderfcheidingen van reden, welke men alle bij clavis over de bepalingennbsp;van het V. Boek van eCLIdes zien kan. Zoo als bij voorb.nbsp;anderhalve rede: dat is, de rede der vierkante wortels van
V' A a
VOOR-
-ocr page 171-I. /IfdeeUng: Over de geometrifche evenredigheid, icp VOORONDERSTELLINGEN.
Men vooronderftelt, dat, wanneer drie grootheden gegeven zijn, er eene vierde evenredige tot dezelven gevonden kan worden.
l.
Dat, zoo twee grootheden gegeven zijn , er eene derde evenredige gevonden kan worden.
A X I O M A T A,
o F
algemeene kundigheden (*).
Gelijke grootheden hebben de zelfde rede tot elkander, gelijk ook iedere derzelve tot eene derde grootheid.
en
A; E = B: E.
lucL. V. 7.
Eene grootere grootheid heeft tot eene andere eene groo. tere rede dan eene kleinere tot de zelfde: doch die derdenbsp;heeft eene kleinere rede tot de groote dan tot de kleine:nbsp;n eene grootere rede tot de kleine dan tot de groote:nbsp;n omgekeerd.
V. 8 J lo.
IX u
G) Het verfchil der wijzen waarop de evenredigheden door evcli-Bes of door ons behandeld worden , brengt te weeg, dat foraraige ftellingen, die, naar de bepalingen door ons gegeven, Axiomata zijw,nbsp;et niet zijn naar de bepalingen van eoclides , doch bewezen moe-ten worden: geiyb dan opk die Schrijver gedaan heeft.
-ocr page 172-llo . HI, Boek: Over de evenredigheid,
III.
Grootliede die tot de zelfde grootheid eene gelijke rede hebben, zijn gelijk; en omgekeerd:
zoo A:B C:B,isA C zoo A = C is A: B = C: B.
EU CL. V. 9,
De even vermenigvuldigde en even-ondervermenigvuldigde , of gelijkvoudige en gelijkdeelige van twee gelijke grootheden zijn gelijk, en die v.!!! twee ongelijke grootheden zijn in de zelfde rede als de grootheden zelve.
zoo A = B , is OT X A:
! X B en
tn m
. A
is Q B {
zoo A: B =C: D is wA: ff;B = C: D en A: otB
2 C: ? D en A: B = C: n D
EUCL. V. 15. en VII. 17, iS.
GEVOLG.
Men kan dit ook aldus uitdrukken: zoo twee groothe-den gelijk aan elkander zijn, wordt de gelijkheid niet ge-ftoord , indien zij door het zelfde getal gemultij^liceerd of gedivideerd worden; en eene grootheid blijft de zelfde,nbsp;indien zij door de zelfde grootheden geauiltipliceerd en ge-gedivideerd wordt.
L. C. , 296, 297.
St. V. 10, 12.
V.
Indien twee reden gelijk aan eene derde zijn, zijn zij onderling gelijk.
EUCL. V. II, Sr. V. II.
VI.
Indien twee reden gelijk aan elkander zijn , en eene derzelve grooter of kleiner is daii eene derde , js de tweede het ook.
EUCL. V. IJ.
EI-
/. jifdedingOvxr de geojr.etrifche evenredigheid, m
eigenschappen
DER
1. VOORSTEL.
Indien vier grootheden A, B, C, D evenredig zijn: en men neemt gelijkvouden [] van de eerfle en derde [otA,nbsp;fnC] en andere gelijkvouden [] van de tweede en vierdenbsp;;;C] : zal het gelijkvoud van de derde altijd evennbsp;groot , grooter of kleiner zijn dan dat van de vierde nbsp;naar mate het gelijkvoud van de eerlie even groot, groo-icr of kleiner is, dan dat van de tweede, welke vermenigvuldiging men ook neme.
BEWIJS Uit de onderftelling is AC
A;B = C:Dofg-=g
dus Axioma 4.) nbsp;nbsp;nbsp;; derhalve
2 A nbsp;nbsp;nbsp;mC
nS nbsp;nbsp;nbsp;nD
zoo A of gt; of = of lt; B is ook m C of gt; of = of lt; Dnbsp;D. T. B. W.
AANMERKING. Men ziet dat de bepaling der evenredigheid , door
EucLiDEs gegeven , uit de onze volgt. Zie onze Xil. Bep. Aanm. 4.
11. VOORSTEL.
Zoo de rede van A tot B grooter is dan die van- C tot D; kan men zoodanige gelijkvouden [222] van de eerltenbsp;en derde [mA , mC] en zoodanige andere gelijkvoudennbsp;[] van de tweede en vierde nemen [B, nD]; dat, zoonbsp;het gelijkvoud van de eerde [rwA] dat van de tweedenbsp;[B] overtreft, nochtans dat van de derde [mC] dat vannbsp;vierde [DJ niet overtreffe, maar of gelijk, of kleiner zij.
tacquet cp het V. Boek van euclides Part. II. Th. i,
A C
bewijs; Zij A;Bgt;C;D of g'! derhalve
kan, indien gt; B is, ^gt; ^
^ nbsp;nbsp;nbsp;mA mC
nu zijn.
-ocr page 174-iia
III, Boek : Over de evewedhheid.
zijn, al is OT C gt; D. en het heeft zeker plaats als mC = D, of lt; D is.
III.
VOORSTEL.
Indien men twee reden heeft A : B en C : D; en men neerat gelijkvouden [A, mC] van de voorgaande, [A, C] en an-dere gelijk vouden B, DJ vin de volgende [B, Dj:nbsp;jndien verder wanneer het gelljkvoud [otA] van de eerdenbsp;voorgaande [A] grooter, of gelijk, ot kleiner is dan datnbsp;[?2B] van de eerde volgende [B], ook het gelijkvoudnbsp;Cj van de tweede voorgaande [Cj altijd ook of grooter , of, gelijk kleiner is dan dat [D] van de tweedenbsp;volgende, volgens welke vermenigvuldiging men wille:nbsp;zijn die twee reden gelijk.
TACQUET V. B. Part, If, Th, 2,
UITLEGGING. Het vootdel is j zoo fftA of gt; of = oflt;Bj en tevens C gt; of = of lt; D ; is ooknbsp;A:B = C:D.
BEWIJS, Zoo dit geen plaats heeft, is of A : B gt; C: D of C:D gt; A:B. Zoo het eerde; zal men (II. Voordel)nbsp;wanneer mA of gt; of = of lt; B , kunnen hebben innbsp;elk dier drie gevallen of rw C gt; D , of C = D, ofnbsp;?7?C lt; D, dat tegen de aangenomen onderllelling aanloopt. Zoo C: D gt; A : B; zal men , wanneer mC of gt;nbsp;of = oflt; D, kunnen hebben in elk van die drie gevallen, of OTA gt; B, of mA = fiB, of mA lt; S; datnbsp;insgelijks tegen de aangenomen onderftelling aanloopt. Derhalve is noch A : B gt; C : D ; noch A: B ^ C; D : dus isnbsp;A B =: C : D.
gevolg.
Indien men zoodanige gelijkvouden [otA, ffzCJ van de voorgaande nemen kan, en zoodanige gelijkvouden [rzB,nbsp;nD] van de volgende, dat, terwijl het gelijkvoud van denbsp;eerde voorgaande grooter is dan dat van hare volgendenbsp;[OT A V 8] , nochtans het gelijkvoud van de tweede voorgaande niet grooter, maar gelijk il] aan of kleiner zij dannbsp;dat van hare volgende [w C nit V D] , zal de redennbsp;van de eerde voorgaande tot de volgende grooter zijn,
dan
-ocr page 175-I, Afdaling: Over de geometrifche evenredigheid. 113
dan dievan de tweede voorgaande tot hare volgende [A:
TACQUET V. B. Piirt. n. Th, 3*
BEWIJS. Zoo dit niet is; zij A :B = C:D, en dus (III. Voorilel) zoo wiA gt; B, is otC gt; D, dat tegen denbsp;onderflelling aanloopt.
C A mC m A. zooA:Blt;C5D,ofC;Dgt;A:B;zaI g gt; Bgt;dus gt;
zijn; gevolglijk, zoo otAgt;B, zal ook mC gt; D zijn, dat tegen de onderllelling aanloopt; dus is coch A;Bnbsp;= C:D , noch A : B lt; C: D : gevolgelijk is A : Bgt;C: D.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Men zict uit dit Voorllel en zijn Gevolg , hoe de
gelijkheid van rede uit de leer der gelijkvouden, door eucli-UES aangenomen (zie Aanmerking IV. op de XII. Bepaling) afgeleid wordt; en 'derhalve dat de eenc leer hieromtrent volmaakt met de andere overeenkomt. Het blijkt verder, dat het om hetnbsp;even is of de grootheden onderling meetbaar, dan of zy onmeetbaar gefceld worden.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Wij Zullen ons dan nu in liet vervolg niet meer
met de meetbaarheid of onmeetbaarheid in de Voordellen ophouden , en den leiddraad onzer XU. Bepaling volgen : alleenlyk zullen wij in de aanmerkingen hier en daar een woord tot op*nbsp;heldering bijvoegeii.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;VOORST E La
In alle evenredigheden , naar mate de voorgaande van de eerfte rede grooter, even groot, of kleiner is dan denbsp;volgende: zal ook de voorgaande van de tweede redenbsp;grooter, even groot, of kleiner zijn dan de volgende.
EUCL, v. 14. L. c. . 306.
A
BEWIJS. Uit de onderflelling zelve dat - nbsp;nbsp;nbsp;.
V. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL.
Wanneer vier grootheden eene geometrifche evenredig* heid nitmaken: is het product van de beide niterfle gelijk aan dat der bide middelfte: en omgekeerd; wanneernbsp;twee producten, ieder uit twee grootheden beflaande, gelijk zijn, zijn die grootheden in eene Geometrifche evenredigheid: de eerfte namelijk van l^et erfte product tot
H4
EUCL. VII.
BEWIJS. Uit de II en 12. Cep. en Gevolg van Axioma 4.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Wij verftaan hier zoo wel de producten dienbsp;in de daad door getallen uitgedrukt kunnen worden, alsnbsp;die, welke men Hechts kan aanwijzen; en dus is dit Voordel zoo wel op de onmeetbare als op de meetbare grootheden toepasflijk.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. JWeii vlncit dit Voordel niet iti het algemeen bijnbsp;eclides : maar alleen voor de getallen in het VXI. Boek; dochnbsp;wij zullen in het IV. Boek, 9. Voordel, Gevolg S aantoonen, datnbsp;het XVI. Voorftel van het VI. Boek van eclides met dit Voor-ftel overeenkomt.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
EocL, Vit. 20. St, V. 6 Gev. i,
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Wij zullen in het IV, Boek, 9. Voorftel, 8. Ge'nbsp;volg aantoonen, dat het XVII. Voorftel van het VI. Boek vannbsp;ECLIDES met dit Voorftel overeenkomt.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. De gelijkheid van producten levert in velenbsp;gevallen eene gemeenzame wijze op om de rede die ernbsp;tusfehen grootheden is uittedrnkken : de vraag bijv. welkenbsp;is de verhouding van maat of gewigt op de eene plaats ,nbsp;en van maat en gewigt op eene andere ? wordt in de meeste boeken, of mondeling bij de meesten, niet door de redenbsp;zelve, maar door een product beantwoord: bij v. aldus:nbsp;100 Amfterdamfche ellen zijn gelijk aan 106, of makennbsp;lo5 ellen te Stettin. Men heeft hier een product vannbsp;100 A =5 106 S; en dus S (of de el te Stettin) tot A (of elnbsp;te Amflerdam) =3 100: 106. Men ontwaart in dat antwoordnbsp;het denkbeeld dat eclides van proportie gegeven heeft.nbsp;Deze is eene der aanmerkingen door montucla (Af//?, desnbsp;Math. I. p. 210.) gemaakt om de 5. Bepaling van het V.nbsp;Boek van eclides te verdedigen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
SI. V, 7.
V.
-ocr page 177-I. Afdceling: Over de geometrifchc evenredigheid. 115
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het fpreekt van zelf 1. dat zoo men eenenbsp;iddeUevenredige zoekt tusfehen twee getallen, de zelvenbsp;niet in juiste getallen gevonden, maar alleen aangewezen,nbsp;of bij nadering daargefteld zal' kunnen worden, indien het product der tiiterfte geen quadraat - getal oplevert: want denbsp;niiddel evenredige is de wortel uit dat product. Dat echternbsp;twee lijnen gegeven zijnde er altjjd eene middel-evenredigenbsp;gevonden kan worden, zal 'in het IX. Werkftuk van hecnbsp;IH. Boek getoond worden.
2. Dat zoo men eene derde evenredige aan twee gegeven getallen begeert , of eene vierde aan drie gegeven; dat derde of dat vierde getal een geheel getal of eene breuknbsp;zal kunnen zijn. Daar nu uclides in zijn VII, VIII ennbsp;IX. Boek van getallen fprekende, alleen van geheele getallen handelt, heeft hij zijn XVIIl. en XIX. V^oorftel van hecnbsp;IX. Boek bedeed om nategaan of, wanneer twee of drienbsp;getallen gegeven zijn, er een derde, of een vierde evenredige aan dezelve zal kunnen gevonden worden.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Op dit gevolg fteunt ook de geheele regelnbsp;van drin, gelijk nader in de 5. Aanmerking op het volgendnbsp;Voorftel zal gezegd worden.
Vil. a\nmerk;ing, De gelijkheid der producten AD BC volgt oumiddelijk uit de gelijkheid der reden A :B en C:D.nbsp;Zoo nu die reden niet gelijk waren, maar men hadt A:Bnbsp;gt; of lt; C: D: zoude op de zelfde wijze bewezen worden dat A D ^ of B C is : en omgekeerd Een Voordelnbsp;waarvan het eerde gedeelte bij serenus de Coni Cectionsnbsp;het eerde Voordel is, doch op lijnen, en dus op regt-hoeken in plaats van op producten, toegepast; en hetnbsp;laatste door etocius in zijn Commentarius op archimedesnbsp;Werk de Sphaera et Cylindro, Boek II. Voordel IX, gebruikt wordt.
Vr. VOORSTEL.
Wanneer vier grootheden [A, B , C, D] evenredig zijn, zullen zij het insgelijks zijn bij verwisfcling (^alter-ando) de voorgaande van de tweede rede, in plaats vannbsp;tie volgende in de eerde , en de volgende in plaats vannbsp;gemelde voorgaande Hellende [A: C = B: D] ; en ooknbsp;bij omkeering {imertendo'), de volgerde Hellende in plaatsnbsp;der 'doorgaande.
EUCL, V. ,6. en V. 4. Corel, en VIL *3. St. V. 8. Gev. I. -i L. C. S. 304.
H c nbsp;nbsp;nbsp;
-ocr page 178-II
BEWIJS. Uit het V. Voorftel.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. De vctwisfeling ^ (^alterna ratio, ook bij fom-migen pennuttttio genoemd,) wordt door euclides (V. B.nbsp;Bep. 13O uitgelegd: ,, bet is te flelleo, de voorgaan- de tot de voorgaande ^ als de volgende tot de volgendei'
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Zoo lang men de grootheden in het afge-trokkene befchouwt, gaat de verwisfeling door: doch wanneer men er bepaalde denkbeelden aan hecht van deze ennbsp;gene grootheid in het bijzonder, gaat zij niet door of denbsp;vier grootheden moeten gelijkfoortig zjjn. Bij voorbeeld,nbsp;een pond vlaams ftaat tot een gulden, als een oxhoofd totnbsp;een anker: wederzijds zijn de voorgaande het zesvoud vannbsp;de volgende; maar indten men bij verwiifeling zegt, eennbsp;pond vlaams ftaat tot een oxhoofd, zoo als een gulden totnbsp;een anker, heeft dit geenen zin, om dat er geen rede hoegenaamd tusfcen een pond vlaams en een oxhoofd zijnnbsp;kan. Daarom voegen fommigen bij dit Voorftel de voorwaarde, dat alle Teden der evenredigheid gelijkfoortig zijnnbsp;moeteni en dit geldt ook voor het VIII. Voorftel: dochnbsp;wij befchouwen hier de grootheden in het afgetrokkene.nbsp;Euclides in het XIII. Voorftel van bet VIL Boek, vernbsp;de getallen handelende, fpreekc, en met reden, van de verwisfeling in het algemeen, en als altijd plaats hebbende.
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. De Bepaling van de omkering door euclt-DEs gegeven, is deze: de omkering der rede -is te ftel- len , de volgende tot de voorgaande, zoo als de volgendenbsp; tot de voorgaande.quot; Indien men dit vergelijkt met onzenbsp;XVI. Bep., blijkt het dat het op het zelfde uitkomt; want
A C
indien ik ftel A:B t: C;D: of g = g en daaruit opmaak
B:A ~ D:C of 5 5, blijkt het dat ik het omgekeerde neem. Zie Gevolg van die JKVI. Bepaling.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. De vier leden eener evenredigheid kunnen op verfchillende wijzen veranderd worden, a!s mennbsp;verwisfeling en omkeering te famen voegt; aldus
A:B nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C:Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A,:Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bi D
B:A nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D:Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C:Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D;B
B:D nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A:Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C:D=r:A:B
D:B nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C:Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D:Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;==nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B:A.
groot-.
-ocr page 179-grootheden A:B = C:D en das uit A x D scht omgekeerde reden kunnen maken, aldusnbsp;I 1
A:B = o : C
t
Atquot; = B : o'
I I
bquot; -A
D: C: : S
I nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
C: D
C:b = D : Xquot; '
D : X = C ; X-
geen men altijd naar welgevallen doen kan: en de evenredigheid zal altijd tnsfehen die grootheden, hoe mennbsp;die ook fchikken moge, plaats hebben, indien de/fr'r/r/c-ren der uiterfte en der middelde AD = B(? geven,nbsp;of tot die gelijkheid gebragt kunnen worden.
CE VOLO.
De getallen, die twee gelijke producten iiitrnaken, kun nen altijd zoo gefield worden, dat er eene Geometi'ifclienbsp;evenredigheid uit volge.
L. C. . 302.
V. AANMERKING. Op dit Voorftel en op het voorgaande ftennt de geheele regel van drien, de regel van drien in het gebroken, de praktijk of korte rekening, gelijk wij dit in onzenbsp;lesfen door voorbeelden, welke den waren aard dier regelsnbsp;Zullen doen kennen, gewoon zijn te bewijzen. Ik flel deze aanmerking hier, en niet achter het voorgaande Voorftel , uit hoofde dat men in de wijze waarop men doorgaands den regel van drien fielt eene alternatie gebruikt:nbsp;als men vraagt, el kosten 13 gulden, hoe veel .17 el? isnbsp;de natuurlijke wijze van handelen deze;
6 El: 17 el r: 13 gl.: x gulden; waar tot waar, als geld tot geld; maar in de rekenboeken fielt men 6 13 17 nbsp;ar; men fielt de getallen in de zelfde orde als men ze uit.nbsp;fpreekt; eene klaarblijkelijke alternatie, of verwisfeling, ianbsp;d reden die de evenredigheid uitmaken.
VII. VOORSTEL.
Iiidien de producten van vier grootheden, genonn.; i.. aie orde als zij opgegeven worden , namelijk van de crnbsp;n tweede en van de derde cu vkrtie aan elkandt-:nbsp;lijk zijn: dan Haan die grootheden in oingekcervje rede
II
tot elkander, de eerfte tot de derde zoo als de vierde tot de tweede: of de eetfte tot. de vierde, zoo als de derdenbsp;tot de tweede.
St. V, 8 CD 21,
bewijs. Uit het Gevolg van het VI. Voorftel.
GEVOLG.
Hierop fieunt de manier om eene vierde omgekeerde evenredige te vinden; dat is, eene grootheid die zoodanig gefield is, dat de cerfle en tweede in omgekeerde redenbsp;liaan van de derde en vienic.
AANMERKING. Hierop ftennt de omgekeerde regel van drienf zoo als wij door vele voorbeelden zullen ophelderen.
De omgekeerde regel van drien, verfchilt niet in aard, of in de bewerking, van den gewonen regel van drien,nbsp;maar alleen in de wijze van opzetten. Men kan altijd onderkennen of men den regten dan of men den verkeerdennbsp;regel van drien moet gebruiken. Wanneer, in het gevraagde , het vierde lid, dat men zoekt, in de zelfde rede groo-ter of kleiner moet zijn dan het derde der gegevene,nbsp;als het tweede grooter of kleiner is dan het eerlle, heeftnbsp;men den regten regel van drien: doch wanneer het vierdenbsp;lid in de zelfde rede grooter of kleiner zijn moet dan hetnbsp;derde, als het tweede i niet grooter of kleiner) maar kleiner of grooter is dan het eerfte; heeft men het geval vannbsp;den verkeerden regel van drien: bij voorbeeld: Indieiinbsp;een Voerman voor zekere fomine gelds 400 ffi 80 mijlennbsp;ver brengen moet: hoe ver zal hij 950 ffi voor het zelfdanbsp;getd brengen? Het is klaarblijkelijk dat men niet moet opzetten 400 fS: 950 @nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;80 mijlen: x mijlen: want voor
het zelfde geld moeten 950 ffi minder ver gebragt worden dan 400 a?; de afftand wordt dus kleiner naar mate denbsp;last grooter wordt: cn de regel van drien is omgekeerd:nbsp;950 : 400 8 : a:. Men zal zich nimmer verzinnen alsnbsp;men de gewrochten nagaat: het eene is 400 18 80 mijlen ver,nbsp;of 400 gt;. 80, het ander 95 ^ mijlen ver: derhalven,nbsp;om dat de betaling de zelfde blijft , moet men hebbennbsp;4S0 X 80 c: 950 X x: of 950 : 4 = 80 : x,
Wanneer vier grootheden evenredig zijn, heeft men door famentelling de fom van de eerlle en de tweede [A -j- 13]nbsp;tot de eerde [A] of tot de tweede, [Bj als lt;le ibni
van
-ocr page 181-van de derde en vierde fC nbsp;nbsp;nbsp;derde [C] of
EUCL. V. 17, 18, en VII. II. L. C. . 304, 305. St, V* 13, 14 IS-
BEWIJS. Uit het V. Voordel, 2. Gevolg, en Axioma 5.
tot de vierde [[)]; en door aftrekking: bet verfchil der twee eerften [A B] tot de eerde [A] of tweede [B],nbsp;a1s het verlchil der twee laatften [C D] tot denbsp;derde [C] of tot de vierde [D] : en gemengd-, de fom dernbsp;twee eerden, tot dcrzelver verfchil als de fom der tweenbsp;laatden, tot derzelver verfchil: en omgekeerd voor allenbsp;die gevallen.
I. AANMERKING. Eclides geeft dezc bepaling van de famentelling . (Compofitio'), De famentelling van eene rede is het nemen vannbsp;,, de rede der voprgaande en volgende, als dne grootheid, totnbsp;,, de volgende. V. B. Bep, 15. De bepaling van de aftrekkingnbsp;(^Scheiding) is bij hem deze: ,, De aftrekking eener rede, is hetnbsp; nemen der rede van de overmaat van de voorgaande boven denbsp; volgende , tot de volgende, Het geen men in dat geval noemtnbsp;divifio, of dividendo, noem ik hier aftrekking, of, zoo men wil,nbsp;fcheding, f dat in dit geval de ware beceekenis is, ook van hetnbsp;Grieksch woord Aixifsa-ie , door eucmdes gebruikt) en niet dee-ling of divlfle, dat thans bij ons geheel andere denkbeelden dan dienbsp;van eene enkele fchsiding, of aftrekking, ol fubftractie verwekt.
GEVOLG.
Uit dit Voordel kan men, bij verwisfeling en omkeering, vele andere evenredigheden adelden, die het noodeloos zoudenbsp;zijn, alle in woorden uittedrukken. Zie hier de voornaamde.nbsp;De gegevene zijn:
I. A B: A= C D II. A B: B=rC D
III. nbsp;nbsp;nbsp;A B: A=:C D
IV. nbsp;nbsp;nbsp;A B: B=CD
C.
D.
C.
D.
V. A B: A - B =C D: CD.
hier uit volgen
VF.
Vil.
VIII.
A : A B = C: C D B ; A-f B = D : C Dnbsp;A B : C-|-D = A : Cnbsp;JX. B : D = A B : C Dnbsp;X. A B : C D = A-B:C-en zoo voorts.
D.
aanmeskikc. De I. evenredigheid verwisfeld, nattiC?r..^A Bs C ^ s A:C vergeleken, als onderftelling, met de IX. namelijk B : D s A -|- B : C -f- D als befluit, levert d fioffe der 19nbsp;Propotie van euclides op: en de ! vergeleken als onderftelling,
H 4 nbsp;nbsp;nbsp;met
-ocr page 182-120 nbsp;nbsp;nbsp;111. Boek : Over de evenredigheid.
met de IF. als befluit, levert het Gevolg van die Propofitic op : namelijk; zoo facnengelteldc grootheden evenredig zijn, zijn zij hec ook bij omwending (converfio'). Hij noemt namelijk omwending in denbsp;7 Bepaling-* gt;5 het nemen van de rede van de voorgaande 9 lotnbsp;,, de overmaat van de voorgaande boven de TOlgcnde.
IX. nbsp;nbsp;nbsp;voorstel.
Indien in eene evenredigheid de eerde grootheid de grootde van alle is , is de laatfte de kleinde : en de fomnbsp;der grootde en der kleinde is grooter dan de fom van denbsp;beide overige.
BEWIJS. Voor het eerste uit het IV. Voordel: voor het
tweede
daar A : R = C : D is CVoord. VIII.')
A B : B = C - D : D
cf A B : C D = B : D.
Maar B gt; D
Dus A B gt; C D; of A -{- D gt; 13 C.
AANMERKING. Dit Voorfte! is de 15 Prop. van liet V. B. van eu-CLiDES, waarin die Tchryvet ftilzwygcnd vooroiulorfrelt, dat, zoo de eerftc grootheid de grootfte is , dc vierde de kleinfee is.
X. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL.
Indien men twee evenredigheden hft [A : B = C: D en E : F = O: H] ieder uit vier _ leden bedaande-: ziiflennbsp;de leden van dc eene, ieder in zijn rang, door de ledennbsp;van d andere gemultipliceerd of gedivideerd^ nog evenredig zijn: [d. i.l
zal A.E;BhF = CiG:D.^H; en
A B CD
zijn.
D. c. % 307- st. V. 17.
BEWIJS. Uit bet V. Voordel en zijn tweede Gevolg.
I. gevolg.
Indien v er getallen evenredig zijn , zullen ook hunne mag. ten en bui.je wortels, van de zelfde orde, evenredig zijn.
L. C. S-SOS,-st. V. iS,
-ocr page 183-Indien vier grootheden evenredig zijn, flaat de helft de ecrfte tot de tweede, als de derde tot het dub-beld van de vierde : of meer algemeen : De evenredigheidnbsp;blijft ongedoord, al wordt eene der twee uiierfte grootheden door eenig getal gedivideerd, en de andere tevensnbsp;^oor het zelve genuilripliceerd. Het zelfde heeft plaatsnbsp;omtrent de beide middelden.
tacquet Lemma ad pr. ii. ex Archimede. St, V. 20,
XI. VOORSTE L.
Indien men twee, of meerdere, evenredigheden heeft, [A : B = D : E en B: C = E : Fj, waarin de voorgaande of volgende van de eerfte ,. ook, het zij voorgaande , het zij volgende, is van de laatfte : zullen de overige leden van cle eerde, ieder in zijn rang, evenredig zijnnbsp;aan de overige leden van de laatfle, [A: C =; D : FJ.
S. V. 19. nbsp;nbsp;nbsp;,
BEWIJS. Uit het X. Voorftel.
I. AANMERKING. Dit Voorftcl behcIst de 22 en 23. Propofitien van ECCLiDES en ook_ de 22, van zijn Vil. Boek; hij noemt het be-fluit {ex aequo') uit gelijkheid', doch het belluit , zoo A:B snbsp;D : E: en B : C := E : F ; is A: C e: D : F , wordt uit gelijkheidnbsp;met orde genoemd: en het befluit, zoo A:B=:E:F:en B'Csnbsp;D:E; is A:C s D;F. uit gelijkheid, zonder orde. Beide de be-fluiten worden uit gelijkheid genoemd, om dat het befluit in eenenbsp;gelijkheid van reden beftaat: de gegeven gelijke reden zijn in het
ABDe nbsp;nbsp;nbsp;abed
cerlle geval ^ , q en f , p en in het tweede g , c p , g ,
A D
in beiden nu, befluit men do gelijkheid tusfehen g en ^ : doch
in het ecrfte geval gaat de gelijkheid van reden voort in de zelfde orde wederzijds ; nameljjk aan den eenen kant zijn gegeven A, B,nbsp;C aan den anderen D, E, F: de gelijke reden zijn in de zelfde orde wederzijds van de eerde en de tweede grootheid ,nbsp;(^A DNnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/Ben
kg' en g y van de tweede en de derde kc f /
befluit met orde: in het tweede geval zijn de gelijke reden niet wederzijds in de zelfde orde: zy zijn van de eerde en de tweede
grootheid ) aan don eenen kant, doch van de tweede en de
derde ^ aan den anderen en van de tweede en de derde )
H 5 nbsp;nbsp;nbsp;aan
-ocr page 184-ann den eenen, doch van de cerfte en dc twet-dc ) aan den
anderen; dus bclliiit men wel iiit gelijkheid, doch zonder orde. En hieruit zullen dc drie volgende bepalingen van eucudes genoeg-faam opgehelderd worden.
De iS. ,, Men befluit uit gelijkheid, wanneer er verfcheide ,, grootheden gegeven zijn, wederzijds gelijk iri gecal, en de eerftcnbsp;,, van den cnen kant tot de laatfte is, als dc eerftc van den ande-,, ren, tot de laatfte: of anders: Het nemen der uiterfte , metnbsp; aehterlating van de middelftc. En indedaad in het befluit wordtnbsp;niets van de iniddelfte gewaagd.
De 19, ,, De evenredigheid is met orde, als de voorgaande is tot de volgende, zoo als de voorgaande tot de volgende: of aisnbsp; de volgende tot eene .andere is, zoo als de volgende tot eenenbsp; andere.
De 20. De evenredigheid is zonder orde, wanneer er weder- zijds eene reeks van drie grootheden gegeven zijnde, de voor-,, gaande tot de volgende van de eerfte reeks ftaat als de voor-,, gaande tot de volgende van dc tweede : en zoo als in de eerfte
dc volgende tot een ander, aldus in de tweede eene andere tot ,, de voorgaande. Bij voorbeeld: gegeven zijnde A, B , c en D ,nbsp;E, F: de voorgaande A tot de volgende B, zoo als de voorgaandenbsp;E tot de volgende F; en de volgendeB,tot eene andere C, zoo alsnbsp;eene andere D tot de voorgaande E.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Ons Voorftc! IS algemeeticr, behelst alle mogelijke
gevallen, en men behoeft nu niet op eenig onderfcheid van met orde, of zonder orde , tc letten.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit Voorftel is de grond, ivaarop alle bewerkingen gevestigd zijn, die men verrigt in den regel vannbsp;rijven, den Ketting regel, Cczelfchaps regel, en zoo voorts-waarin men het gevraagde vindt door eene aaneenfchakclingnbsp;van enkele evenredigheden, in welke altijd eenige leden dezelfde zijn, en dns door bejluit vit gelijkheid verdwijnen; zoonbsp;als wij zulks door een aantal voorbeelden zullen ophelderen.
I, GEVOLG.
in beide de gevallen is D of gt; of = of lt; F naar matenbsp;A of gt; of of lt; C.
Dit blijkt uit dit en het IV. Voorftel; en het maakt het ao en 21 van euclides uit, waarin hij ook deze belluiren uitnbsp;ongdijithid, met of zonder orde, noemt.
II. GEVOLG.
Men lean , in eene evenredigheid, altijd voor twee leden andere, die met dezen evenredig zijn, flellen; bij voorbeeld,
zoo A : B = CD : EF en C ; E = l : K
17. aanmerking. Deze is de grond waarop de regel van val[cke pofitie fteuuc; zoo als wij door voorbeelden zullennbsp;uitleggen.
L. c. . 32s.
XII. VOORSTEL.
Zoo vier grootheden evenredig zijn: ftaat de tweede magc van de fom der twee eerde, tot de tweede magt van denbsp;fom der twee laatde, als het product der twee eerde, totnbsp;het product der twee laatde.
BEWIJS. Om dat A :B C:D: is fVoorfc. VIII.) A -j- B : A S
B C : B : en dus nbsp;nbsp;nbsp;VI.) A-t-BiB-j-CsAlB, Waar
uit (Voorft, X. Gev. (A -j- B)^ : (B C) ;=, td A X A: B X B: (door Voorft. XI. Gev, 2 )CA B):nbsp;t:A}lt;B: CXD.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/
AANMERKING. DitlVoorftcl is het 12 bii SERENS dc Sectione cylin-dn: doch op lijnen, en dus ook op vierkanten en regthoeken toegepast. Archimedes heeft van dit Voorftel gebruik gemaakt in zijn It. Bock de Sphaera et Cylindro , Voorftel UI: waarom ooknbsp;PEYRARD in zijne Franfche vertaling van dat werk er in cene aanmerking een bewijs van gegeven heeft.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
XIII. VOORSTEL.
Zoo tnen twee evenredigheden heeft, [A;B =irC:D,3 E;F = G:H, en de reden uit welke zij beftaan gelijk
zijn, (jr= F h) nbsp;nbsp;nbsp;fommen, of ver-
fchillen , der grootheden, in die beide evenredigheden, ieder in haar rang genomen , ook evenredig zijn.
BEWIJS. Uit het V. Voordel, en zijn 2. Gevolg.
h. C. . 3op,
aanmerking. Van dit Voordel is de 24 Prop. van ht V. Boek van eclides een bijzonder geval : namelijk, zoonbsp;AiBp C:D en E:B 55 F:D, is A-j-E; B~C4-F:Di
in
-ocr page 186-134
III. Boek: Over de evenredigheid.
in woorden dus: Zoo vier grootheden [A, B, C, DJ ,, evenredig zijn, en eene vijfde tot de tweede ftaat, als denbsp;5, zesde tot de vierde; is de famenteliing van de eerfte ennbsp;,, de vijfde tot de tweede, als de famenteliing van de derdenbsp;,, en de zesde tot de vierde,
GEVOLG.
Indien men bij de volgende van vier evenredige groot-bedcn, andere grootheden voegt, of ze er van aftrekt, die ill de zelfde rede fiaan als de voorgaande, zullen dienbsp;lommen of verfchillen in gelijke rede met de voorgaandenbsp;blijven.
XlV. VOORSTEL.
Indien men twee evenredigheden heeft [A : B = C; D: en E:F = G:H] en de voorgaande in beiden ook evenredig zijn [A: C = E; GJ zullen de fommen of verfchil.nbsp;Icn der grootheden in de beide evenredigheden, iedere innbsp;baren rang genomen, ook evenredig zijn.
L. c. . 309. nbsp;nbsp;nbsp;^
bewijs. Uit het V. Voorftel, en het Gevolg van het VI.
aanmerking. Dit en het voorgaand Voordel leveren de twee eenigde gevallen op, waarin men tot de evenredigheid vannbsp;de fommen, of verfchillen, der leden van twee evenredigheden beHuiteu kan.
VAN DE
XV. VOORSTEL.
Indien vcrfchc-iden grootheden [A, B, C, P, E, enz,] gedurig evenredig zijn, of eene geometrifche reeks uitmalen; ftaat de eerftetot de derde in verdubbelde rede vannbsp;de eerfte tot de tweede j tot de vierde in driedubbelde rede en zoo vrts : in een woord; de eerfte ftaat tot
de
/. Afckding: Over dc gamp;ometrifchc reekfen. 115
grootheid die n in rang is, zoo als de magt n 1 Van de eerfte tot de magt n i van de tweede.
L. C. . 298, S18. St. V, 28.
BEWIJS. Ui: de XIII. Bep. en he: X. Voordel.
Dus is de rede 'van het eerfte lid tot eenig ander lid Tamengefteld uit de reden van alle de tusfeheuin geplaat-fte leden tot elkander ; dat is, daar alle die reden geliiknbsp;zijn, uit de rede van het eerfte lid tot het tweede, zoonbsp;dikwerf door zich zelf vermenigvuldigd, als er leden zijnnbsp;tot aan het gegeven lid.
aanmerking. De bepaling door euclides gegeven van ver. dubbelde, of driedubbelde rede , van twee grootheden [A:B];nbsp;dat zij namelijk de rede is van het eerfte lid eener gedurige evenredigheid, waarvan de gegeven grootheden de tweenbsp;eerfte leden zijn, tot het derde, of tot het vierde, kointnbsp;dan met onze bepaling zeer wel overn- Zie hier bovennbsp;XVIII. Bepaling en Aanmerking op dezelve.
II. G E V O L G.
De middelevenredige tusfehen twee grootheden is kleiner dan de grootfte, doch grooter dan de klein fte.
Want zij A; B = B C;
Dus A; nbsp;nbsp;nbsp;= A: C (X. Voprftel, i Gev.
cn dit Voorflel.) ,
Maar A V C: dus A B en B C. (,IX. Vooiftel.)
AANMERKING. Dit Gevolg IS het I. Lemma na de 4 Propofitie in ht
Boek van archimedes de Spliaera et Cylindro.
Ieder lid van eene geometrifche reeks is gelijk aan het Voorgaande, door (Bep. XI. Aanm. a.) den Aanwijzernbsp;vermenigvuldigd.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Alle geometrifche reekfen kuuiien aldus worden uitgedrukt , indien A het eerfte, B het tweede lid, en ^ de
aanwijzer, of ? 5, is; A, hq gt; A^% hf.
hq^ ------ AjI
L, C. S* Sii. St. V. Bep, 2S.
125
V. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Eenig lid (het ) van eene geometrifche reeks is gelijk aan het eerfte door de aagt ni van den aanwija;r gemultipliceerd.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien het eerfle lid grooter is dan het tweede, en dus de aan^vijzer eene breuk is; is ieder lid kleiner dan het voorgaande , en de reeks is eene afnemende reeks, waarvan alienbsp;de leden volgens eene beftendige rede hoe langer hoe kleiner worden, zonder echter immer nul te kunnen zijn: en indien het tweede lid grooter is dan het eerfte, is de 7-eeksnbsp;umfende, alle leden worden hoe' langer hoe grooter volgensnbsp;eene beftendige rede: hec eerfte lid is het kleinfte van allen,nbsp;doch het kan nimmer nul zijn.
Vir, GEVOLG.
Niets belet, dat men deze reeks, die men gefteld heeft in A te beginnen, beCchouwe als vr A beginnende,nbsp;namelijk:
A nbsp;nbsp;nbsp;AAAAA
of, (3. Aanm. op de IV. Bepaling.)
.....A^- A^-s, nbsp;nbsp;nbsp;A50, A^^,
Alt;75 A$3, A^^.....Aqa-i
Vin. GEVOLG.
Men kan ook het getal leden van eene gegeven reeks vermeerderen , met tusfehen twee naastvolgende leden een aantal middelevenredige te nemen, waar door de reeks altijd geometrisch blijft; bij voorbeeld in de voorgaande reeks, cus-feben A en Aqt tusfehen kq en enz.
A, Kq nbsp;nbsp;nbsp;, Aq , Aq^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz.
of
0,25 nbsp;nbsp;nbsp;0.5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,75nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. i.S . *.Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1,75nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
A, Aq , Aq , Aq , M A? , Aq , Aq , Aq , en zoo voorts, zoo veel men wn.
Er is dus geen getal, of men kan het als een nd van zoodanige eene reeks befchouwen; want er is geen getal dat niet aan eenigen wortel van een gegeven getal gelijk is; dus bijnbsp;voorbeeld,
I nbsp;nbsp;nbsp;6D897nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;100000
is lt; rs 10*^3 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;En
^ nbsp;nbsp;nbsp;der-
-ocr page 189-I. Afdaling: Over de geometrifehe rakfen. 127
derhalve kan 5 befchouwd worden als: een lid van eene georae-trifche reeks, waarvan i het eerfte en lo het laaifte lid is.
XVI. VOORSTL.
In alle geometrifehe reekfeii is het product van twee leden, welke zij zijn mogen, gelijk aan het product vannbsp;twee andere, die even ver van de gemelden afllaan, hetnbsp;eene van het eerde, het ander van het laatfte: en zulks,nbsp;het zij men leden neemt, die vr het eerde, en na hetnbsp;laatde zijn : het zij men leden neemt die tusfehen beidennbsp;invallen: en zoo, in dit geval, het getal der tnsfehenin-vallende leden oneven is, is het gemelde product gelijknbsp;aan de tweede magt van het middelde lid.nbsp;st, v. 24. L. c. . 316.
BEWIJS. Uit het 4 en het i Gevolg van het XV. Voordel.
XVII. V o o R S T E L.
In alle geometrifehe reekfen, wa.arvan de eenheid het
eerde lid is, (zoo als i, 'q, q-, nbsp;nbsp;nbsp;.....?'0 is het
product vau twee lecJin gelijk aan een ander lid in de zelfde reeks , dat even ver daat van een der gemelde leden , als het ander van het eerde lid der geheele reeks, ofnbsp;van de eenheid,
. BEWIJS. Uit het XVI. Voordel.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Deze eigenfehap is een der gronden waaropnbsp;de aard der Logarichmen deunt. ,
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Men kan deze reeks i,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
?, ook dus fchrijven: nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ..... qn-^ zie de
3. Aanmerking op de 4, Bepaling.
I. GEVOLG.
Hieruit blijkt de VIII Propofitie van het IX. Boek van ecli-Des, zoo eenige getallen, beginnende met de eenheid, ge-,, durig evenredig zijn, is het derde een quadrat: getal; ,, zoo als ook de volgende om het ander getal: het vierdenbsp;,, is een cubiek getal, en dus vervolgens allen om het der- de getal; het zevende is en een quadraat en een cubieknbsp;gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en dus vervolgens om het zesde getal. en zoo ook
het IX. Voordel : zoo het eerde getal naast de eenheid quadraat of een cubiek getal is, zijn alle de andere innbsp;I, de geheele reeks ook quadraat of cubiek getallen.
lt;t gt; nbsp;nbsp;nbsp;enz.: i, g^, gV,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ enz,
l
-ocr page 190-128
III, Boek: Over de evenredigheid. II. GEVOLG.
Men kan deze reeks i, nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.....be-
fchouwen als reeds voor de i begonnen te zijn : aldus
'-
Jt......^.....f-
of, wat op het zelfde uitkomt, ((V. Bep. a en 3 Aantn.)
zoo dat, indien q een gelieel getal is, de leden tot q of I breuken zijn, waarvan . de noemers tnagten van q zijn;nbsp;na de i , zijn de leden zelf de magten van q.
XVlII. VOORSTEL.
In alle geometrifche reekfen is de fom van alle de voor~ gaande tot de fom van alle de volgende, zoo als hetnbsp;eerfte lid tot het tweede.
EOCL. V. 12. en VII. le. L. C. , 3 lo. St. v. ig.
BEWIJS. Uit het XIII. Voorftel, en IV. Axioma.
1. GEVOLlt;^
Indien A het eerfte lid is, B het tweede, Z het laatfte, q de aanwijzer, of het quotient van B door A gedeeld, en Snbsp;de fom van de geheele reeks, isnbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A' Z. B.
A^ nbsp;nbsp;nbsp;qf^
^ - A - nbsp;nbsp;nbsp;quot;
L. C. . 327. St. V. 27.
^ A . B nbsp;nbsp;nbsp;* noemende n het ge*
A (q I)
^ X*
tal der leden
I, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Voor het geen de fora van epe afneemende reeks
betreft, waarvan een oneindig getal leden genomen wordt, zie VII. Bep. I. en a. Aanmerking.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Indien de leden der reeks in eene viervoudige rede afnemen, zoo dat ieder lid het vierde gedeelte zij van de voorgaande, en de geheele reeks is
Az
A, -k, r. enz. men hebben S ~ -i.
4 * 16 6^ 256 nbsp;nbsp;nbsp;I A
= nbsp;nbsp;nbsp;-; indien men het derde gedeelte van het laatfte
3
lid
-ocr page 191-I. Afdeding: Over de geometrifche reekfeh. 129
d er bjj voegt, js S -{- g- Z = - = -
1. nbsp;nbsp;nbsp;3.3
et geen het 23. Voorftel plevcrt van het Boek van ARCHtMEDES over de Quadratuur van dc Parabel^ ennbsp;''Vel in de woorden welke uitmaken dit
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien grootheden in eene gedurige viervoudige evenredigheid liaan, zal de fom van alle de leden, te famen met het derde gedeelte van het kleinfte lid, gelijk zijn aan vier derdenbsp;Sedeelten van het grootfte lid.
AANMERKING. Dat de fom is der geheele reeks, wanneer
dezelve begrepen wordt in het oneindige uitgeftrekf te zijn , zal in het VII. Boek, Bep. I., Voorbeeld s, Aanm, 4. aangetoondnbsp;worden.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Zoo rf A, B, C, D,.......Y, Z, is
B A:A = Z A:Art-B C-|- D......... Y.
of in woorden, zoo eenige getallen gedurig evenredig zijn, en men trekt van het tweede en van het laatlle eennbsp; getal af gelijk aan het eerlte, ftaat het overfchot van hetnbsp;,, tweede tot het eerfle, zoo als het overfchot van het laat-sj lie tot de fom van alle de voorgaande.
EocL. IX. 35.
Bewijs. A:B = B:C=: C:D; Y:Z: dus Voorftel Vill. N. 2.
A;B A =. B:C B = C:D - C.....Y:Z-Y;
en dus , door dit Voorftel:___
A . B 4-0 4-----Y:B A C-B DITg-----
Z Y = A:B A. of
A B C----Y; Z A sr A : B A; of
B A t A ~ Z A J
IV. GEVOLG.
Uit het Voorftel is bij vrwisfeling 5 A-f-U^-C.....Y; A = B -hC-f-D-'- HhZiB }
-ocr page 192-130
Uit het 5 Gevolg, bij verwisfeling:
A B C - - - Y : A ^ Z ~ A : 8 A: en dui B C-i-D 1quot;Z: B = Z A;B A-of
B A B Z At B ~{- C -|~ O - - - nbsp;nbsp;nbsp;Z t
dat is in woorden: zoo eenige getallen gedurig evenre-,, dig zijn, en men trekt van het eerde en van het laatde ,, een getal af, gelijk aan het eerde ; daat het ove'fehotnbsp;,, van het tweede lot het tweede^ zoo als het overfchotnbsp; van het laatlle tot de foin van alle de volgended'
XIX. VOORSTEL.
Zoo vier, of meerdere, grootheden [A , B, C, D, en E] zoodanig gefteld zijn , dat zij evenredig zijn aan hare ver-fchillen [A : B =3 A B : li = C enz.], zullen zij geometrisch evenredig zijn [-r; A, B, C, D, enz]
BEWIJS.
aanmerking.
tuurkunde.
Uit het VI. en VIII, Voordel.
Dit Voordel is van een groot nut in de Na
OVER DE ARITH ME TIS CHE E V ENRE Dl GHEID.
TWEEDE BEPALINGEN.
XX. bepaling.
Wanneer men twee gelijkfoortige grootheden met elkander vergelijkt, ten einde te weten, hoe veel de eene de andere overtreft, dat is , hoe groot het verfchil isnbsp;dat tusfchen beiden gevonden wordt, wordt men gezegdnbsp;de arithmetifche rede., die er tusfchen die twee grootheden plaats heeft, nategaan: en dat verfchil zelf maakt dienbsp;arithmetifche rede uit,
St. V. def s,
aanmerking. Alle de algemeene bepalingen, in het begin van dit Boek gegeven, hebben hier ook plaats: zoo als ooknbsp;die van voorgaand en yolgond lid, lo. Bep, bl. 38.
XXI-
-ocr page 193-21. jlfietling: O^er dc arithmctifche evenredigheid, 131
^rithmetifehe reden worJen de zelfde of gelijke reden genoemd, wanneer liet verfebil der grootheden, tusfebennbsp;^elke zij plaats hebben, het zelfde is; dat is, wanneernbsp;voorgaande lid van de eene rede zijn volgend lid evennbsp;'fel overtreft, of even veel door hetzelve overtroffen wordt,nbsp;het voorgaande lid van iedere der andere reden zijn vol-overtreft, of door hetzelve overtroffen wordt.
En hier van worden grootheden gezegd in arithmetifche ^^^^fedigheid, of proportie ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ of arithmetisch even'.
, of proportionaal, te zijn, als de zelfde arithmeti-jehe rede, dat is, het zelfde verfchil, tusfehen haar plaats heeft.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;
V. def. 9, 10.
__ VOORBEELD. 10 i 4 =: 7 : I arithmetisch: om dat lo 4 ee 6 en 7 i =3 6: en in het algemeen is A : B S C : Dnbsp;arithmetisch,
zoo A BsC D;of B A = D C
Het fpreekt van zelf, dat men in die beide reden het,ver fchil der termen in de zelfde orde nemen moet; in beid hetnbsp;volgende lid van het voorgaande, of in beide het voorgaandenbsp;van het volgende aftrekkende.
De grootheden zijn onderfcheidenlijk (^discrete) evenredig, de leden der beide gelijke reden vecfcliiiiende zijn:nbsp;doch gedurig (continue) evenredig, wanneer het volgendenbsp;in de eerffe rede, het voorgaande lid is in de tweede; het volgende iid van de tweede, het voorgaande lidnbsp;de derde, enz. De gedurige evenredigheid draagt dennbsp;^^aani van arithmetifche reeks of progresfic : en even vernbsp;^fjlnande leden zijn diewelke , met betrekking totnbsp;ander, door een gelijk getal leden van het zelve genbsp;Scheiden worden.
voorbeeld. Indien A BeaB CsC D::^ E F enz.: maken A, B, C, D, E, F, enz. eene arithmetifchenbsp;progresfic, of reeks, uit.
aanmerking. Men ziet dat deze bepaling, op het woord arithmeiisch na, de zelfde is als de XIII. Bepaling: en denbsp;namen middelevenredige, derde evenredige ^ vierde evenredige t
ia nbsp;nbsp;nbsp;Ml-
-ocr page 194-132
III, Boek: Over de evenredigheid.
uiterfte, middelde, eveneensgeplaatfle hebben hier de zelfde beteekenis als in de XIV. en XV. Bepalingen, die hiernbsp;ook gelden.
II. AANMERKiprG._ Eene arithmetifche progresfie wordt dus aan-geduidt r'; bij voorb. ~ A, B, C, D, E, enz. beteekenc dat A, B, C, D, E eene arithmetifche reeks uitmaken.
nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De reeks welke door grootheden, die gedurig evenredig 2ijn, gemaakt wordt, is vjasfende of opgaande, indin de grootheden belleiidig grooter en grooter worden: doch afnemetide of neSrgaande, iiidien de grootheden be-ftendig kleiner en kleiner worden.
DER
ARITHMETISCHE EVENREDIGHEDEN EN PROGRESSIEN.
XX. VOORSTEL.
Wanneer vier grootheden eene arithmetifche evenredigheid uitmaken , is de fom der uiterfte gelijk aan de fooi der middelfte.
St. V. pr. 1.
BEWIJS, Uit de XXL Bepaling.
gevolg.
Wanneer drie grootheden gedurig arithmetisch cvenre dig zijn , is de fom der uiterfte het dubbeld van de fomnbsp;der middelfte; en dus is het middelfte lid de halve fdmnbsp;der beide uiterfte,
St. V. i. Gevolg.
aanmerking. Hieruit blijkt hoe men geraakkelijk eene vierde, derde, of middelevenredige vinden kan.
XXL VOORSTEL.
Hoe minder twee getallen van elkander verfchillen , hoe
mlB'
-ocr page 195-II. HfdeeUngi Over df a'rithmetifche evenredigheid. 133
fflinder de middel-evenredige, aritlinietisch genomen, verfchilt van de middel-evenredige, geometrisch genomen
C. Afcron. . 116,
het V. Voordel.
BEWIJS. Uit het I. Gevolg van het XX, en het 2 Gevolg van
XXH. VOORSTEL.
^ Wanneer verfcheiden grootheden eene arithtnetifche reelts humaken, groeijen zij aan, of nemen zij af, met. een be-fh'iidig verfchii-, zoo dat eene arithmetifche reeks altijdnbsp;deze gedaante heeft
A,A V,A 2V,A 3V--A (\)V
St. V. I Gev. d. 16, 1/, 18, 19.
BEWIJS. Uit de XXII. Bepaling.
. aanmerking. De XIV. en XV. Bepaling gelden hier even
als voor de geoinetrifche reekfen.
. G E VOEG.
Ieder lid is gelijk aan de fom , of aan het verfchil, van het voorgaand lid en den aamvijzer, of beflendigenbsp;rede, naar mate de reeks opgaande of nederdalende is.
If. GEVOLG.
Te ler lid is gelijk aan de fom, of aan het verfchi! , van het eerlle en van het verfchil door het getal der voorgaande leden gemultipliceerd.
HL GEVOLG.
De rede van liet eerde lid tot het derde, is dubbeld van die van het eerde lid tot het tweede: de rede van het eerdenbsp;tot het vieide, is drievoud van de rede van het eerde totnbsp;het tweede en zoo voorts: zoo dat ook hier, doch in eenennbsp;^itmetifchen zin, verdubbelde, drieclubbe'de enz. reden plaatsnbsp;hebben. Zie de XVIIL Bepaling en de Aanmerking op dezelve.
IV. GEVOLG.
Eene opgaande reeks kan met nul beginnen , en zoo ver men wil voortgaan; eene nederdalende reeks kan metnbsp;^^lt;^1 eindigen, of nog beneden de nul voortgaan ; wan-
I 3 nbsp;nbsp;nbsp;neer
-ocr page 196-134
neer de leden weder aancroeiien even als boven de nul, en door alle de zeilde trappen gejkeiijk gaan , doch alsnbsp;negatief, of ontkennende, befchouvvd, en met het teekennbsp;minus brtempeid worden.
4 nbsp;nbsp;nbsp;V, o; V, aV,-.3V 4V, enz.
II. aanmerking. Men moet zich een juist denkbeeld van die negatieve q\ ontkennende leden vormen. Men zegt doo gransnbsp;dat de negatieve grootheden kleiner dan nul zijn: dit is geheel verkeerd. Het negatieve heeft flechts betrekking totnbsp;de plaatfing, of tot den zin waarin grootheden genomennbsp;women. Hier ziet het alleen op de plaatfing: en het be-teekent enkel of de grootheden aan den eenen dan welnbsp;aan den anderen kant van de plaais, van wsar men afrekent, gefteld zijn Dit zal door de volgende eenvoudigenbsp;86 figuur opgebelderd worden. Men ftelle eene regte lijnnbsp;BA, op welke, op gelijke afllanden van A, loodregtenbsp;lijnen getrokken worden , die eene arithmetifche reeks uit-makeii: dan zal de lijn CGA die de uiteinden dier lijnennbsp;vernigt, eene regte lijn zijn, en door A _?aan: da: is,nbsp;zij zal de lijn BA3 in A fntjden, en dus eindigt de reeksnbsp;van arithmetifche lijnen CB, MD, enz in A, en het laat-lle lid is nul', doch indien men de lijn CA verlengt, ennbsp;op BA^, aan den anderen kant van A, gelijke ftiikkennbsp;fit, ts, sr, rq qp neemt, en de loodlijnen tl, sk, ri,nbsp;aan den onderkant trekt; deze zullen aldaar eene reeks uitmaken, in alle opzigte aan de voorige gelijk, en met dezelve verbonden : doch die leden van de reeks worden,nbsp;ten opzigte van de eerstgemelde, negatief genoemd, omnbsp;da: zij aan den anderen kant , en dus in eene tegengefleldenbsp;rigting, of plaatfing, genomen worden.
V. GEVOLG.
enz. maken eene
De natuurlijke getallen o, i, a, 3, aiichmetche reeks uit.
XXllI. VOORSTEL.
In eene ariflimetilche reks is de fom van twee leden gelijk aan de fom van twee andere leden, doch die evennbsp;ver van de eerstgemelde -if zijn ; zoo dat het eerftenbsp;even veel vr of na het eene (laat, als het tweedenbsp;of vr liet andere der eerstgemelde.
St. V. 3,
jEWijs, Uit het voorgaande Voordel.
**
-ocr page 197-II, Afdecling: Over dt arlthmeiifche reckfen. 135
GEVOLG.
bet getal van leden o'neven is, is de rctn van twee leden, die even ver van het middellte af (laan, gelijk aan het dubbeld van het middellte: en dus is het midnbsp;delfte de helft van de fora dier twee andere leden.
St. V. 3. Gevolg.
XXIV. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL.
Wanneer nu/ het eerfte, of het laate, lid van eene arithtnetifche reeks is; is de fora van twee leden glijknbsp;ann een derde lid, dat even ver van een dier twee ledennbsp;afllaat, als het ander van het begin of einde van de reeks,nbsp;of van de nu/,
BEWIJS. Uit het voorgaand Voordel.
! aanmerking. Het zelfde geldt dus ook voor de reekfen die ter wederzijde van de nul vervolgd worden: want mennbsp;kan dezelve befchouwen als uit twee reekfen t^^ftaande.
II. AANMERKING. Dit Voorftei is het tweede gi ondbegiiifel waarop de aart der Logarithmen fteunt.
XXV. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
T)e fora van alle de leden eener arithmetifche reeks is gelijk aan de fom der beide uiterde , gemultipliceerd doornbsp;de helft van het getal der leden.
St. V. 4.
GEVOLG.
Dus is de fom ooit gelijk aan de helft van het getal der leden, gemultipliceerd door de fom, of het verfchil, van hecnbsp;dubbeld van hei eerde lid, en het verfchil door het getal dernbsp;leden min n gemultipliceerd.
IlL
136
OVER. DE HARMONISCHE EVEKREDIGHIO.
DERDE BEPALINGEN.
XXIII. bepaling.
Drie grootheden [A , B, C] worden gezegd harmonisch evenredig te zijn, wanneer de geometrifche rede van de eerflenbsp;tot de derde [A : C] gelijk is aan de geometrifche rede vannbsp;her verfchil tusfchen de tweede en de eerfte [BA] tot hecnbsp;verfchil tusfchen de derde en de tweede [Cli].
Dat is: zoo A:C = BA;CB zijn A, B, C, harmonisch evenredig.
HORREIOW
15. LAMI p. 461.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Het blijKt, dat indien het tweede lid grooter is dan het eerfte, het derde ook grooter dan het tweede zijn zal: dusnbsp;is een der twee uiterfte leden het grootst en bet ander hetnbsp;Jtleinst der drie leden. Waarom ook fomraigen deze bepalingnbsp;geven:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,, Drie getallen ftaan in cene hannonifche evenre-
digheid indien het kleinfte ftaat tot het grootfte, als de over-,, maat van het middelfte boven het kleinfte, tot de overmaat van,het grootfte boven bet middelfte.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Drie geta!lei;i kunnen geen harmonifche evenredigheid uit-iiiaken, als het verfchil van het middelfte en het kleinfte grooter is dan het kleinfte zelf.
Uit de XXIII. Bepaling en het IV. Voorftel.
LAMI p. 463.
III. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Dit II. Gevolg in acht genomen zijnde , blijkt het, dat men, twee getallen gegeven zijnde, een derde vinden kan,nbsp;dat met de twee andere innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hannonifche evenredig
heid ftaat.
LAMI pr. I, p. 4t.
///. Afduling: Over dtharmonifche evenredigheid, 137
! aanmerking. Zoo dan a en ^ de twee eerfte getallen en
ab
X het gezochte derde is, heeft men x =3
s.ac
Zoo a en c de uiter^e en 31 de middelfle'. is 7 s a^^c' Dit is reeds door theon van Smirna opgemerkt, Cap. 61.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien men [Fig. %6a ] drie lijnen heeft A D,nbsp;AC, AB, zullen zij harmonisch evenredig zijn, indien
AD : AB =3 AD AC : AC AB: zoo dan AD de grootfle, AC de tweede, en AB de kleines is: en men op de lijn AD neemt, ACc3AC,AB nbsp;A B , is A D A C =3 C D en A C A B =; B C en dusnbsp;AD:AB-=CD;BCof
A D : C D =: A B : B C,
Zegt men dan dat die lijn harmonisch gefneden is: waar, uit deze bepaling van den Heer la hire (^Section Con. Lib. i.nbsp;def. I.) volgt Kene regte lijn AD wordt gezegd harmo-,, nisch gedeeld te zijn, indien de geheele lijn AD tot eennbsp;,, der uiterfte deelen [A B, of C Dj, ftaat, zoo als het an- der uiterfte [CD of A B], tot het middelfte deel; of,nbsp;,, zoo de regthoek van de geheele lijn en het middelftenbsp; deel, gelijk is aan den regthoek van de uiterfte deelen.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Hierop fteunt de oplosfing van het XHnbsp;Werkftuk van het 111, Boek der Werkfcukken.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het tweede gedeelte dezer Bepaling vannbsp;LA HIRE, zoo de regthoek^ enz. wordt uit het eerfte afgeleid, doorliet geen in het IV. Boek, Voorftel IX. Gev.nbsp;5. zal geleerd worden.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Deze evenredigheid wordt harmonifche ge,
noemd, om dat zij de grondflag is van de harmonie. Drie fnaren, die even dik, en even gefpannen zijn , geven denbsp;drie voornaamfce toonen uit, den octaaf, quint en quart,nbsp;wanneer bare lengtennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;als 3, 4. 6. De twee dienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;als
3 tot'6 ftaan, geven nbsp;nbsp;nbsp;dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;octaafnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de twee die als 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot
6 ftaan, maken den quint-, en de twee, welke als 3 tot 4 ftaan, maken den quart uit: die getallen nu, 3, 4, g, zijnnbsp;zoodanig gefteld dat 3:6 s 4 Z' lt;^'4'*
XXIV. bepaling*
VeiTchillende getallen nbsp;nbsp;nbsp;maken eenenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;harmonifche reeks uit,
fis het eene ftaat tot nbsp;nbsp;nbsp;hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweedenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dat ftt op volgt ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ais
1 s nbsp;nbsp;nbsp;het
-ocr page 200-ic8
het verfcliil tiisfchen het middelfce en het eerfte , tot het verfchil tusfchen hec^ gemelde tweede en het middelfte ; datnbsp;is, A, B, C, h)j K enz. zullen een harmonifche reelfs uit-iiiaken, indien
A : C =: B A : C - B B:I)=; C B:D Cnbsp;C:E=: D CtE D enz,
D ; F = E D : F ~ E
aanmerking. Wolf geeft in zijne latijnfche Algelra .i86. deze bepaling van vier harmonifche evenredige; hij zegtnbsp;,, vier grootheden zijn harmonisch evenredig, als het ver-,, fchil tusfchen de eerfte en de tweede ftaat tot het ver- fchil tusfchen de derde en de vierde , als de eerftenbsp;,, grootheid tot de vierdedoch dan moet men die grootheden afzonderlijk befchouwsn, en niet als zijnde in eenenbsp;harmonifche reeks: men zoude anders in vele feilen vallen;nbsp;en dus achten wij die bepaling ounaauwkeurig. De Heernbsp;WOLF kan eene dusdanige evenredigheid wel harmonifchenbsp;evenredigheid noemen: doch dit is niet die evenredigheidnbsp;welke door alle andere fchrijvers dus genoemd wordt: dit zalnbsp;duidelijker uit de 2, Aanmerking op het XXX. Voorftelnbsp;blijken.
GEVOLG.
Wanneer getallen harmonisch evenredig zijn, zullen hunne producten of quotinten het ook zijn, indien zij allen doornbsp;een zelfde getal gemultipliceerd of gedivideerd worden.
LAMI p. 46J. pr. 3.
XXVI. VOORSTEL.
Wanneer het tweede van twee gegeven getallen grooter is dan het eerfte, kan men niet altijd getallen vinden , die metnbsp;de voorgaande eene harmonifche opgaande reeks, zoo ver uit^nbsp;geftrekt als men wil, zullen uitmaken: maar dit kan altijd ge-fch'eden wanneer het tw'eede getal kleiner is dan het eerfte:nbsp;en dus kan eene nederdalende reeks zoo veel men wil verlengd worden.
BEWIJS. Het blijkt uit het 2. Gevolg van de XXni. Bepaling, dat men altijd eene derde harmonifche evenredige aan twee getallen vinden kan wanneer B ^ A, maar niet wanneer B gt; A,nbsp;dan alleen zoo lang B lt; 2 A : doch al had men er reeds twee ,nbsp;drie enz. , is het niet zeker dat men er eene volgende vindennbsp;kan: want in de evenredigheid CEa D C :E D ; daarnbsp;E gt; C, moet E-ngt;D-CZn:dusE Cgt; aD: dochnbsp;daar E gt; D en C lt; D, is z'ks niet altijd mogeiyit. Zie ve^
der 2. Gev. van her XXIX. Voordel. Maar indien B lt; A, zal de evenredigheid zijn
C:A=aIgt; C:A B: En dus A en B gegeven zynde, is A B lt; A: dus moet B C'^CofCgt;S zijn, dat altijdnbsp;mogelijk is, om dat C nog niet gegeven is. En al verder E ; Cnbsp;D E ; C D: daar nu C D C: is ook D E Enbsp;of E ^ - dat altijd mogelijk is: cn dus zal ieder lid altijd groo-ter zijn dan de helft van het voorgaande.
XXVII. VOORSTEL.
In alle harmonifche reekfen, is het product der twee eerfte leden tot dat der twee laatfte , als het verfchil der beidenbsp;eerfte tot dat der beide laatfte.
BEWIJS. De leden der evenredigheden van de XXIV. Bepaling onderling en in hunnen rang miiltipliceercnde, zullen de uitkomftea evenredig zijn: (door het X Voorllel): en deze zullen, door het
IV. nbsp;nbsp;nbsp;Aotna , de evenredigheid opleveren,
AB : EF BA : FE.
XXVIII. VOORSTEL.
Indien A, B, C, D, E, enz eene h^Tionifche reeks Uit-maken, en Y het ??fte lid is, en Z het -fT, heeft men B [B-A] : B-A = Y : ZY.
BEWIJS, A: C :::: B A : C B; dus elterandoamp;ncompo^^^^* A:B A = C:C B:
B : B A r::: a C E : C B: dividendo,
B (B AJ : B A ~ C : C B: dividendo,
B 3(1} A): BA=:B:C B.
D. T. B, W, I.
verder B : C B =3 D ; D C
D. T. B. W. 1.
verder C : D C 33: E : E D:
en zoo voorts. nbsp;nbsp;nbsp;D. T, B. W. 3,
CE VOLG.
Uit dit Voordel en uit het VlII. N. 1 volgt:
B-i [B-A]: nbsp;nbsp;nbsp;AJ = Z:Y
dus voor het derde lid, d. i. voor 2
B [B - A] : B 2 [B-A] = C: B of aA B ; A = B:C.
I* aanmerking. Dit is het $ Theorema van wou in aijne
140
///. Boek: Over de evenredigheid.
latijnfche algebra | 187. Zoo drie getallen harmonisch ,, evenredig zijn, is bet verfchiJ tusfchen het tweede en hetnbsp;,, dubbeld van eerfte tot het eerfte, als h-. t tweede tot hetnbsp;derde: en omgekeerd. Zie ook horrebow . 3c.
2 Uit 2 A B: A = B: C volgt C:A = B: 2A Bnbsp;en C-{-A;C = 2A:Bnbsp;of C A:aA = C ; B.nbsp;is het Theorema van wolf in 191.
Dit
Zoo drie
grootheden harmonisch evenredig zijiis is de fotn van de eerde en laatfte tot het dubbeid van de eerde, zoo als de.nbsp;5, laatde tot de middeifte. Dit kan ook aldus uitgedruktnbsp;worden , en dan zijn het de Theoremata bij horrebownbsp;, 33 en 22. 200 drie getallen harmonisch evenredig zijn,nbsp;is de fom der uiterfte , tot een der uiterfte, 200 als
*gt;
het ander uiterfte, tot de helft van het middeifte: of als het dubbeld van het ander uiterfte tot het middeifte.'
zoo
11,, aanmerking. Het Theorema van wolf in ips , dat namelijk, zoo vier grootheden harmonisch evenredig zijn, de derde tot de vierde ftaat, zoo als het verfchil tus-I fchen de tweede en het dubbeld van de eerfte tot denbsp;eerfte, is in den zin van onze bepaling valsch, alsnbsp;fteunende op zijne onnaauwkeiirige bepaling, waarvan wijnbsp;in de Aanmerking op onze XXIV. Bepaling gefprokennbsp;hebben.
XXIX. VOORSTEL.
Indien Z het fte lid is van eene harmonifche reeks, waar. van A het eerfte, en R het tweede lid is, is
AxB nbsp;nbsp;nbsp;AB
BEWIJS. A : gt;J - B A : C B
AB
Diis het derde lid of C nbsp;nbsp;nbsp;- --jj
AB nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB
B 2 A a Bn B - 2 CB A) B:D=:C BiB C:
BC _
Bus D nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-
D. T. 18. W. i.
AB
AB
AB*
AB
AB
B, - 3 (B -D. T. B. W. S
A)
C:
Dus het vijfde lid , of E AB
CD
B 3 (B - A)
2 C -
^ B 2 CB A)
AB
AB
3 (B - A) AB
B 2 (15 - A) AB
A B (2 B - 6 (B A) B H- 2 (B A) B 4 (B - A)
D. T. B W. 3.
En zoo voorts voor alle de leden : en dus voor het lid ABnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__ AB
B 4- 1 (A B).
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Hieruit volgt t*- dat men ieder lid van eene harmonifclxe feeks vinden kan, als men de twee.eerfce kent, en weet hetnbsp;hoeveelfte het gevraagde iid is; sP. dat men, een lid naar welgevallen, eB de twee eerfte gegeven zijnde, vinden kan het hoe*nbsp;veelfce het gevraagde lid is.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
H'eruit volgt dat, wanneer het tweede lid grooier is dan het eerfte, en dus de reeks wasfende is, men deze niet zoonbsp;ver men wil verlengen kan; want B i [B A] zoudenbsp;eindelijk o kunnen worden; doch dat dit mogelijfc isnbsp;Wanneer Blt;A, of de reeks afnemende is, zoo als wij zulksnbsp;reeds in het XXVI. Voorftel getoond hebben.
In het algemeen, zoo de reeks wasfende, en het verfch [B A] der twee eerfte leden een effen deel van het tweede lid [B] is,is de reeks eindig: want dan wordt i fB-Alnbsp;eindelijk gelijk aan B : dus wordt de.noemer B j [BAJnbsp;nuls en de breuk waarvan dat getal de noemer is, kan nietnbsp;itgedrukt worden
. Indien het verfchil BA een oneffen deel is van B, zoo Zal men eindelijk tot een getal komen , zoodanig, datnbsp;B ffs [B A] nog kleiner is dan B ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dat de noemer
B~-m [B A}nog pofitief is, maar dat m-^} [ggroo-ter is dan B, en dus de noemer B nbsp;nbsp;nbsp;[BAJ negatiefs
Waar door dat lid, en alle de overige, ook minus zijn zullen. Bij voorbeeld, zij A, of het eerfte lid, ao:B, of her
twee.
-ocr page 204-i4t
tweede, 36: dan is B A = ien BxA = 7ao: dan zeilen de leden zijn
enz.
20 3, nbsp;nbsp;nbsp;303X16 z^^irT
of
720 nbsp;nbsp;nbsp;720nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;720nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;720
ao, 36, 180, 60, isf, tji; en men heeft als dan: bij voorbeeldnbsp;36: 6o = i8o 36 : Co 180 ofnbsp;36: 60=144:3 40-of 6: 10= 12:*0'nbsp;insgelijks
180: 25^ = 180(-60): Co(250 of
180
180:
7 : -7 : -
= 180 60: 60 -{- 257 of
I = 240 : 34I, of 240
I = 240 ----- of
7 1= nbsp;nbsp;nbsp;7: i:en zoo voorts in alle geval
len f mits behoorlijk op de teekens en lettende.
Indien men eene beftendige grootheid achtervolgens door de leden van eene arithmetifche reeks divideert; zullen de quotinten eene harmonifche reeks uitmaken,
BEWIJS. Uit het voorgaand Voorftel blijkt, dat eene harmonifche reeks A, B, C, D, E, enz. dus kan worden uitgedrukt,
AB nbsp;nbsp;nbsp;ABnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB
B) B a (A B) B -i- 3 CA B)
AB_
B 4(A b5.......R nbsp;nbsp;nbsp;gt; CA B)
Maar AB is eene beftendig grootheid, en (XXT. Voorftel)* B, B CA B), B CA B), B 3 (A B)nbsp;B n 11^ I CA B) maken eene arithmetifche reeks tnbsp;waaruit dan het Voorftel volgt.
-ocr page 205-' I. GEVOLG.
Getallen, die het omgekeerde zijn van de leden eener arith-erche reeks, maken eene harmonifclie reeks uit.
I* aanmerking. Indien men, zoo als horrebow, dit Voor-l'tel als de bepaling van eene harmonifche progresfie aanneemt, kan men uit dezelve, zoo wel onze bepaling als de vorige voorftellen afleiden,
n. aanmerking. Ui: dit Voorftel blijkt genoegzaam , dat de bepaling van wolf hier niet geldt: want men heeft hier niet
-1-3
A; rr--trr = A B :
AB
AB
B -f 2 (A B) Want dan moest men hebben
. nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
A : A B =
D -j- 3 (A - B)
B 3lA B)B 2(AB^B sCAB)
= B 2 CA BI : A B 2A B : A B: dat valsch is.
II. GEVOLG.
Wanneer men, uit eene harmonifche reeks, leden uitneemt, die even ver van elkander afftaan, zullen zij ook eene harmonifche reeks uitmaken.
HORREBOW 12.
BEWIJS. Het blijkt om dat de noemers altyd in eene arithmetifehe reeks blijven.
XXXI. VOORSTEL.
Wanneer drie getallen eene arithmetifehe evenredigheid uitmaken, zijn de producten vanher eerfte met het tweede, van het eerfte met het derde , en van het tweede met het derdenbsp;harmonisch evenredig.
lami p. 464. prop. 4.
L; dus
I L = a K:
I K = K L: maar I . K : K . L = \-. 1. (yV Ax')nbsp;dus I. K : K. L = I (K L) : L (1 K) (IV Ax.quot;)nbsp;of IK .KL= IKIL, : IL KL derhalvenbsp;IK, IL, en KL, harmonisch evenredig.
XXXII. VOORSTEL.
III. Boek-,
Over de evenredigheid.
midden-evenredige [AD en eene harmonifche midden evenredige [H] neemt, zullen die vier getallen eene geometrifche evenredigheid witmaken, waarvan de twee gegevene de iiiter-fte, en de twee gevondene de middelfte leden zullen zijn.
H-K
Emvijs. Door de onderftelling en Voorft. XX, Gev, i. isA ~
en door onderftelling en Bep. 23. Gev, 3,
2 K I
H = nbsp;nbsp;nbsp;nwar
1 : I = K : K l (IV Axioma') dus (X. Voorftel, 2 Gevolg.)
nbsp;nbsp;nbsp;KI
I-f K: I = K : f lc
I nbsp;nbsp;nbsp;-t- Knbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2X1
~ : I = K : 1 _|_ It dus
A : nbsp;nbsp;nbsp;I =- K : H.
I, nbsp;nbsp;nbsp;ALGEMEENEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING.
De leer der harmonifche evenredigheid is van het grootst belang in vele ftukken van de Natuurkunde, 'waaromtrent mennbsp;HORREBOW ter aangeliaalde plaatfe 45' sn volg. kan raadplegen, zoo als ook mijne Pofitioner Phyficae Lib. lil. . 105*nbsp;Lib. IV. . 115, amp; . 2p4. . 333) 3ii*
, nbsp;nbsp;nbsp;II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ALGEMEENEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING.
Er is nog eene andere foort van evenredigheid, die wolf ttgen'harmonifche {contra-harmonica) noemt, in zijne, latijn-fchenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Algebra .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;193: namelijknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;drie getallen zijn tegn-harmo.
nisck evenredig, zoo het verfcbil tusfchen het cerlte en het tweede, ftaat tot het verfchil tusfchen het tweede en het derde, als het derde tot het eerfte: dus zijn A, B, C, 'tegen-harmonisch evenredig, indien
A B : B C C : A: en dus is C^ BC =:r B A of;
C*-1-A- B.(C A): en dus
AlL _ = B . gevolglij^'^ : Indien men de fom der C Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
quadraten van twee getallen door de fom dier getallen divi-deert , is het quotient middel contra-harmonisch-evenredig tusfchen die getallen.
Zie verder woi.r , 193195.
Die bepaling was reeds dOor.TBBON van Smirna in zgn 58 hoofddeel gegeven.
IV.
-ocr page 207-145
A-F D E E L I N G.
OVER OK LOC A RIT H WEN.
XXV. BEPALING G).
lcUeii men twee rcekfen van getallen heeft, de eene, eene geometrifche reeks, de andere eene arithmetifche reeks;nbsp;en men dezelve zoodanig ftelt, dar er tegen over iedernbsp;lid van de geometrifche reeks een lid van de arithmeti-fche reeks ftant: worden de getallen van de arithmeti-fche reeks in het algemeen de logarlthmen genoemd vannbsp;de getallen der geometrifche reeks , ieder van dat getal,nbsp;legen over het welk het aat.
Bij voorbeeld: Geometrifche reeks i, 3, 9, 27,8i, 243, Arithmetifclie reeks o , 1, 2 , 3, 4,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
Bian zouden o, i , a, 3, 4, 5, ieder in zijn rang de ho garilhmen zijn van i, 3, 9, 27, 81, 243*
St. XI. def. 1.
aanmerking. Wij zullen in de eerfle aanmerking op het vclgend V^oorflel een naauvvkeuriger denkbeeld van Loaa-nthmen geven.
XXXIIf. VOORSTEL.
(of i), nbsp;nbsp;nbsp;, a^,
Beeft; zijn de cxpoi^enten o , i, _ , ^ nbsp;nbsp;nbsp;_
garithmen van de getallen a (of i), ieder in zijn rang.
St XL def. 4.
BEWIJS. Uit de XXV. Bep. het XV. Voorftel, 4. Gevolg, en het XXIt. Vooiliel, 5. Gevolg.
I. aanmerking. In de berekening, en dus in het gebruik, der Logarithmen gt; onderflelt men altij d dat de eenheid , (en dusnbsp;'*7. fZie IV. Bep. 3. Aanm.^ het eerde iid van de geome-triiehe reeks is. en dus nul het eerde lid van de arithmetifche reeks, of van de reeks det log^t'ithmen . gevolgelijk
zijn,
(*) De eerffe Bepalingen zijn te vinden pag, 86. de i'wceie pag, 98, de derde pag, ijo, en de rierde pag.^^36.
Indien men de geometrifche reeks
a
, 2 , 3 9 4 9 enz.
de lOquot; 3, enz.
-ocr page 208-146
111. Boek[: Over de evenndighdd.
ziju, in eenen moer bepaalden en naauwkeuriger zin, de la~ garilhmen , getallen in eene arichmecche reeks met nulnbsp; beginnende en (taande tegen over de getallen van eenenbsp; geometrifebe reeks, die met i begint.
I. GEVOLG.
Dus ill liet algemeen , indien a liet getal is, waar van deLogarithmn.s i is , zal i = Log. a,o =zLog, a =nbsp;Log. I, en a; = Log. zijn.
ir. AANMEuitiNG. Dat geta! a, waarvan i de Logarithmns ziju . zal, kan naar welgevallen genomen worden: doch het hangtnbsp;van dat getal af, welke de getallen zijn waarvan 2,3,4nbsp;enz. de logarichmen zijn zullen, daar die getallen de 2, 3 ,nbsp;4 magten enz. van a zijn. Om deze rede noemt men datnbsp;getal, waarvan i de logarithmus is, den grondHag, of de bafisnbsp;van dat flelfel van logarithraen; en dus kunnen er zoo velenbsp;verfchillende Itelfels van logarithraen zijn, als men verfchil-lende getallen tot groudllag aanneemt.
ir. GEVOLG.
Wij hebben gezien in het 7. Gevolg van het XV. Voorllel, dat men de Geometrifebe reeks
aan den anderen kant van A verlengen kan : dus, Hellende A I, heeft men
, lt;7-4, q~^, nbsp;nbsp;nbsp;q q, q^, ^3, q\ of
En gevolgejk zullen (1)gt; nbsp;nbsp;nbsp;3 2, i de
.1 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I I I I
loganthmen zijn der breuken , 74 ~3 st
o nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qdi'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;q^ q^' q
III. GEVOLG,
Insgelijks , indien men andere middel - evenredige tus-fchen twee leden, bij voorbeeld i en ^^ en neemt, zoo als
I, ^0)23, ^0)5, ^0.75, nbsp;nbsp;nbsp;^*gt;73, gnz.
zulleno, 0,25, 0,5,0,73, I, 1.25, I,g, 1,75, 2, de logarithmen vzn A\(i getallen zijn jieder in hunnen rang; en dusnbsp;is er geen getal hoegenaamd, of men kan zijn logarithmusnbsp;bepalen; want dat getal valt zeker tusfehen twee leden van denbsp;reeks ? jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in gt; welk getal men ook voor q ne
me:
147
IVt jJfdeeling: Over de logarithmen.
nie; en er is geen getal of liet is eenige ir.agt of wortel van het getal ^ (8. Gevolg van het XV. Voorftel).
IV, GEVOLG.
Men kan dus in eenen nog meer bepaalden zin dan ii Aanm. I. op Voorftel XXXll. zeggen, dat ,, de loga^nbsp;5, rithmen de exponenten zlin der masten tot welke metlnbsp;,, een beftendig getal moet verheffen, om achtervol- geus alle de mogelijke getallen re verkrijgen; zijnde datnbsp;5, beftendig getal q de bafu ^ of grondflag, van het ftelfe!nbsp;3 Logarithmen dat men aanneerat.
LA cROis Algbre . 242.
XXXIV. voorsel.
De Logarkhmen [a; en ;y] ivan een en het zelfde getal Welke tot verfchiende ftelfels vart Logarkhmen behoorenynbsp;ftaaii altijd iii eene beftendige rede tot elkander.
BP.wijs. Zg het cene ftelfel
o I a 5 nbsp;nbsp;nbsp;Ti
a ,47 % a ,47 nbsp;nbsp;nbsp;- a
het andere
Met ftclle dat ax ~ Z ~ M'; zoo als bij Voorbeeld, itidiett 4 is, en 5 a, is ~ 25, en as6: dusnbsp;a zn ZIT 2,5)^ rm Z: daar dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; ty irr: Z;\$a^ trr
V Log a ~ y Log. b en aus x :y = Log. bi Log. a : dat is, ini eene beftendige rede.
XXXV. VOORSTEL.
De fora der Logarithmen van twee getallen is de Lol garithmus van het product dier beide getallen door elkander gemultipliceerd.
St. XL I.
BEWIJS. Uit het XXXIII, het XXIV en het XVII. VoorffeL L gevolg.
De Logarithmus van het product uit verfcheiden getallen is de fora der Logarithmen van ieder van die getallen? at is Log. (a x b) = Log. a Log. b.
148
HI, Bock: Over de evenredigheid,
II.
orvolg.
Da Logarlthmus van eenige magt vaU een getal b, of van bn, is product van den exponent n gemultipliceerd door den Logarithmus van het getal h. Dat isnbsp;Log. b X Log. b.
BEWIJS. Uit het I. Gevolg en de IV. Bepaling.
St. XI, 2,
III. GEVOLG. nbsp;nbsp;nbsp;f'
Indien men dan eene tafel gemaakt heeft van de Lo-garitiimen van alle de getallenquot;, zal men, met te zien , welk getal tegen over de fom der Logarithmen ^yan tweenbsp;of meerder getallen ftaat, weten , dat dit getal het product van die getallen is: en men zal dus het zeer lastignbsp;werk van multipliceer en ^ tot het gemakkelijk werk vannbsp;addeeren herleiden.
XXXVI. VOORSTEL.
Het verfchil der Logarithmen van twee getallen is de Logarithmus van het quotient dat uit de divifie dier twee
getallen voorkomt; dat is Log. ^ = Log. a Log. b.
St. XI. 3.
bewijs. Uit het XXXIV. Voordel, gepaard met de III. Aanmerking op de IV. Bepaling; of uit het XXXUI. Gev. 2., XXIV. en XVn. Voorlid.
I. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
De Logarithmus van den wortel n uit eenig getal,
n
(of van ^, of bd') is het n^ gedeelte van den Logarithmus van dat getal zelf: (IL Gevolg van het voorgaand Voorlid, gepaard met de HL Aanmerking op de IV. Be-
I
paling), d. i. Log. V' = ^ ^
St. XI. 4,
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Als men eene tafel heeft, waarin de logarithmen van
IV. Afdtelir^g: Over de logarlthmm. nbsp;nbsp;nbsp;49
alle de getallen gevonden worden, zal men liet lastig werk van divideeren tot eeiie aftrekhing van logaritliir.eii, ennbsp;het nog moeiielijker werk van worteltrekken tot cene ligtenbsp;divific herleiden.
III. GEVOLG.
Log. -- is dan =3 Log. i Log. a
dus is Log. se Log. b
X s= Log. b 4- C^og. I.
Log. .) of om dat Log. i s o (Voorfl:. XXXIIL Gev. i.) =: Log. b Log. a. Men noemt het arithmetisch complement van een logarithmus de rest die men verkrijgt, wanneernbsp;pen eenen logarithmus van o aftrekt; welke rest dus negatiefnbsp;is (XXXIII. Voorllel, 2. Gevolg). En dus komt het aftrekken van een logarithmus met het bijvoegen van zijn arithme-tisch complement overn. (Zie, op het einde van dit Jioek,nbsp;het Berigt N. VI).
XXXVII. VOORSTEL.
Wanneer drie getallen zetr 'Keinig van elkander ver-fchillcn, zullen de verfchillen der logarithroen zeer ten naasten bij de zelfde rede volgen als die der getallen ynbsp;waarvan zij de logarithmen zijn.
BEWIJS. Uit het XXXIII. en uit het XXL Voorftel.
XXXVIII. VOORSTEL.
In alle ftclfels van logarithmen , zibi de logaritlimen van de bafit, en van alle de getallen die magten zfn vannbsp;de bafis, gegeven: zij zn namelijk, geheel getallen ^ e.
natuurlke nbsp;nbsp;nbsp;3gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h)e logarithmen
van alle de andere getallen zijn breuken, en wel zuivere breuken voor alle de getallen tiisfchen de eenheid en denbsp;bafis begrepen : gemengde breuken voor alle de overigenbsp;getallen die grooter dan de bafis zijn.
Bewijs. Uit het XXXIII. Voordel en deszelfs 2. Gevolg,
, om dat zij de gewone logaritbmus - tafels uitma
n onze gewone logarithmen, die men Tafel-Lognrith-
len of ook wef Briggiaavfche logarithmen noemt, om-
K 3 nbsp;nbsp;nbsp;dat
ISO
III. Boek: Over de evenredigheid.
dat zij door iienuy kriggs , eenEnjjelschnian, berelend zijn, is lo de bafis: dus is, zoo als altijd, o de loga-riihmus van i: i delogarithtnus van to* of van lo: a denbsp;logarithtniis van lo^ of van ico; 3 de logarithtnus vannbsp;10 of iooo; 4 de logarithiniis van 10'^ of 10000: ennbsp;zoo voorts. De verdere logarithtnen worden door deci-niale breuken uitgedrukt: en dus ziin zij voor alle denbsp;getallen tusfchen i en 10, o met zoo vele cijlFer-letters ernbsp;achter als vereischt worden om de breuk te maken; voornbsp;alle de getallen tusfchen 10 en 100, i met cijffer-letters totnbsp;breuk; enz. doch voor ware breuken zijn zij negatief:nbsp;namelijk i, met cijffer-letters er achter tot breuk voor allenbsp;de getallen tusfchen i en j*: 2, voor alle de getallen tusfchen en jgg enz. Zie 2. Gev. van het XXXHI.nbsp;Voorflel.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
De logarithmen beftaan dan uit eene cijffer-letter, o, ofi, of 2, of 3 enz., die men het karakter of den aanwijzer noemt, en uit cijffer-letters achter het karakter omnbsp;de noodige breuk te maken: en deze noemt men hetnbsp;aanvulfel manthfa').
Het karakter is dus een geheel pofUtef of een geheel negatief getal , naar mate het tot den logarithmus vannbsp;een getal behoort dat grooter of kleiner is dan de eenheid;nbsp;en er zijn zoo vele eenheden in het karakter als ernbsp;cijffer-letters jn het getal, of in den noemer van de de.nbsp;(imale breuk , waarvan het de logarithmus is , gevondennbsp;vvorden min n: dus is o hot karakter van alle getallennbsp;tusfchen i en lo: i van de getallen tusfchen 10 en 100:nbsp;a van de getallen tusfchen iquot;o en 1000 enz. 1 vannbsp;alle de decimale breuken tusfchen i en yi: 2 vannbsp;alle de decimale breuken tusfchen yl en yj^ enz,
St, XI. (lef. 3.
aanmerking. In de gewone kleine Logarithmus-Tafels wordt het karakter altijd vr het aanvulfel gevonden , ennbsp;van het zelve met een fbp afgefcheiden : doch dit is nutteloos, en kan gelegenheid tot vele raisnagen geven. Eennbsp;getal gegeven zijnde, kan men door het gezegde altijdnbsp;het karakter opmaken : bijv. voor een getal uit 6 cijftr-letters, ftel voor 678901, is het karakter 6 min i of 5.nbsp;Daarom wordt het karakter te regt weggelaten in de groo-tere Tafels van douws, sherwin, gardiner, gallet, ennbsp;zoo voorts. Men vindt het karakter onmiddelijk door dit
XXX.
-ocr page 213-151
JV. Afdeding: Over de ogarhhmen.
XXXIX. VOORSTEL.
logarithmen van alle de getallen die noch de haft^^ ^ch magten van de bafis zijn, worden berekend doornbsp;^2t gedurig vinden van geometrifche middel-evenredigenbsp;tusfchen die magten der bafis, tiisfcben welken het gege-getal valt , en van overnftemmende arithmetilchenbsp;middel-evenredige tusfchen de logarithmen van de gemelde magten der bafis.
St, XI. 6j 7#
BEWIJS. Uit het XXXIII- Voorftel 3* Gevolg*
I. aanmerking. Men wil bij voorbeeld den Logaritlinnis van 5 berekenen; De logarithmus van i is o: die van lo isnbsp;i: het getrd 5 Haat tusfchen i en 10: ik befchoinv dannbsp;de getallen i en 10 als de uiterfce van eene geometrifche, en de getallen o en i als de uiterfte van eene arith-metifche reeks: ik zoek dan wederzijds middel-evenredige,nbsp;tot dat ik in de geometrifche reeks een getal krijg, dat zeernbsp;ten naasten bij 5 is: aldus,
Middel - evenredige tusfchen i en lo =3 ^ I X lo te; V' 10 = 3,162277: middel-evenredige tusfchen o en i is 5nbsp;of 0,5; dus is 0,5 de logarithmus van 3,162277 : dit getal isnbsp;te Klem: ik zoek dan weder eene middel-evenredige tusfchennbsp;3462277:die gvolgelijk kleiner dan 10, doch grooternbsp;dan^3^i6^77^ijn zal; (XV. Voorftel 2. Gev.): deze isnbsp;31,62277=3 5,623473 : de middel-evenredige tusfchennbsp;I en 0,5 is 0.75; dus is 0,75 de logarithmus van 5,623413:nbsp;oir getal is te groot : ik zoek dan eene middel - evenredige tusfchen 5,623413 en 3,162277 welke kleiner dannbsp;5,623413, doch grooter dan 3,162277 zijn zal; deze isnbsp;5,623413 X 3,162277 4,216964; ik zoek insgelijksnbsp;eene middel-evenredige tusfchen 0,5 en 0,75; deze 150,625:nbsp;dus is 0,625 de logarithmus van 4,216964. Dit getal te kleinnbsp;zijnde, neem ik weder eene middel-evenredige tusfchennbsp;4,216964 en 5,623413 en zoo voorts, tot dat ik tot middelevenredige een getal verkrijge, dat zeer na bij 5 komt. Zienbsp;ook de volgende III. Aanmerking.
aanmerking. Het blijkt hieruit hoe het kdme,, dat, daar de logarithmen de exponenten zijn van getallen in eenenbsp;geometrifche reeks ftaande, rcgtbaiis in de Tafels de getal-len, tot welken de logarithmen behooren, eene arithmeti.nbsp;fche reeks makenals zijnde de natmiriijke getallen t 2,nbsp;3, enz. Men heeft immers alle de^iddelleden, die tusfc,.en
5a
o en I, tusfclien i en 2 enz. zijn, en die men mede heeft moeten berekenen om de overige te vinden, weggelaten,nbsp;liet vinden van den logarichtnus van een getal, bijv. vannbsp;5, is eigenlijk vinden, welke magc tjat getal van de bazis
10 zij: dus vindt men hier dat 5 =;
c,dpSp7gt; de exponent van die magt, de logarithmus van 5,
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Het volgc hietuit dat de Logarithmennbsp;flechts ten naasten bij gevonden worden, daar alles fteuntnbsp;op worteltrekken uit getallen die alle onmeetbaar zijn: ennbsp;gevolgelijk dat de logarithinen ook naauwkeuriger zijn zullen , naar mate men de wortels naauwkeurigerdat is totnbsp;meerder eyffer-letters , berekent. De logarithmen zelvenbsp;worden doorgaands tot 7 cyfferletters in het^aanvulfel gebragt.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;AANiMERKiNG. Het Is op deze wijze dat briggs en vi.ACqnbsp;de logarithmus-tafels berekend hebben: dan hoe lastig ennbsp;langwijlig dit werk ook zij, wordt het veel verlig:, i.nbsp;hier door, dat het genoeg is de logarithmen der eerfte getallen, I, 2, 3, II, 13 enz. te berekenen: daar de overigenbsp;door eeiie enkele optelling van logarithmen gevonden wor-tlen, bij voorb. Log, et. =3 Log. 3 -j- Log 7, 2. Datnbsp;alle die middel-evenredige we'ke men berekent om den lo-garithmus van een getal te vinden, niet verloren zijn, maarnbsp;wederom in het vervolg in de tafels dienen kunnen: 3- datnbsp;wanneer de getallen zeer weinig verfchillen, men de arith-metifche middel-evenredige nemen kan in plaats van de geo-metrifche (jVooTt.XXI). Ook heeft men in het vervolg anderenbsp;cn kortere handelwijzen ui'gedacht, om den logarithmusnbsp;van welk .getal men wil, veel gemakkeiijker tp berekenen.nbsp;Wij zullen eene dier wijzen in het aanhangsel opgeven.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Neeper, een Schotsch Edelman, de eerftenbsp;uitvinder der logarithmen, heeft zijne logarithmen op eenenbsp;andere bafis dan 10 berekend : zijne bafts is het getalnbsp;2,718:818: dus is I de logarithmus van 2,7182818, daarnbsp;het bij ons de logarithmus van 10 is. Die logarithmennbsp;worden de Neeperiaansghe , ook de natuurlijke of Hyper-bolifche logarithmen genoemd; het eerfte naar dep uitvinder,nbsp;het ander om dat zij ook uit tw tiuadratuur van de hyperbolenbsp;ontleend worden. Het zal genoeg zijn hier aantemerken,nbsp;dat de keeperiaaNSCHE of Hyperbolifche logarithmus van 10nbsp;is 2,30:5850, en dus (jXXXlV- Voorftel) dat de hyperboli-fche logarithmus van eenig geiA* ft^at tot den logarithmus nbsp;van het zelfde getal in de Tafels, als 2,3025850 totnbsp;1,0000000; dat de tafel-logarithmen gevolgeliik tot de hy-pprholif-'feie herleid worden , ?oo men ze door 2,3025850
WuL
W'iltipliceert , en cle hyperbolifche tot de tafel-logarith-, indien men ze door 2,3025850 divideett , of door 1
2'^32585֒ nbsp;nbsp;nbsp;0*4342744 multipliceert.
Ik zal in mijne lesfen zelve het gebruik der Logarithmus-tafels door voorbeelden uitleggen, en toonen hoe het zelve op de voorgaande Voorllellen rust: het is onnuttig dit gebruiknbsp;kier incelasfchen, om dat het voor alle Tafels gevondennbsp;wordt. Het zal echter niet ondienftig zijn aantemerken,nbsp;dat er vijf VraagftuUken optelosfen zijn.
I. nbsp;nbsp;nbsp;Te vinden den Logarithms van een gegeven geheel geM/,nbsp;dat in de Tafels /laat. Dit lost zich van zelf op.
II. nbsp;nbsp;nbsp;Te vinden den Logarithmus van eene decimaale breuk ^nbsp;ftct zij zuivere, het zij gemengde breuk, doch dieniet uit meernbsp;cijfers bcftaat dan de getallen van de Tafels die men gebruikt.
Men zoekt deii logarithmus als of het een geheel getal was, doch zonder op het karakter (indien het in de Tafelsnbsp;Haat) te letten: men voegt er het karakter hij naar de Aanmerking op het XXXVIII. Voorftel, Gevolg.
zullen hier uitleggen hoe, en waarom-, men voor het karakter der logarithmen van zuivere breuken, in plaatsnbsp;van negatieve karakters , gebruiken kan 9 voor de getallen tusfehen en t , en dus in plaats van i: 8 voor denbsp;getallen tusfehen y en jg en dus in plaats van 2 ; 7nbsp;voor de getallen tusfehen yg^ en y^ig en dus in plaats vannbsp;-3: en zoo voorts: altijd zoo vele eenheden van 10 aftrekkende , als er nullen vr de eerfte cijfferletter van denbsp;breuk gevonden worden.
III. nbsp;nbsp;nbsp;Te vinden den logarithmus van een getal, het zij een ge~nbsp;heel getal, het zij eene breuk, uit meer cijjfers heftaande dan denbsp;getallen van de Tafel. Men neemt de logarithmen van hetnbsp;naastvoorgaande en het naast volgende getal, na dat men bijnbsp;ieder dezer getallen zoo vele nullen gevoegd heeft, als ernbsp;vjjlFers meer in het gegeven getal zijn en de karakters mztnbsp;eisch geileld heeft, neemt men hun verfchil. Men neemtnbsp;insgelijijs het verfchil tusfehen die twee getallen, en tusfehennbsp;het kieiiif[0 en het gegeven: vervolgens zoekt men door eenennbsp;fegel van drien een evenredig gedeelte voor den logarith.nbsp;us, zeggende:
Het verfchil tusfehen de twee getallen ftaat sbt het ver-
K 5 nbsp;nbsp;nbsp;Ichil
154
fchil van hunne logarirhmen, zoo als het verfchif tusfchen het kleinfte getal en bet gegeven, tot het verfchil tusfchen den loga-rithmns van hetkieinfte en den logarithmus van het gegeven getal:nbsp;welk verfchil men dus bij den eerst'gemeldeu voegt, (XXXVII.nbsp;Voordel;.
Wij zullen hier het gebruik aanwijzen van de kolommen van propoi tioneele gedeelten die in de grootere Logarithmus-Tafels gevonden worden: en de reden geven, waarom de gemelde regelnbsp;naauwkeurig voor groote, doch oiinaauwkeurig voor kleine getallen is.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;Ben logarithmus gegeven zijnde, het getal te vinden.
7-00 de logarithmus in de Tafels {laat, is het overeenflem-raend getal het gezochte. Zoo niet, vergenoegt men zich met het getal wiens logarithmus het naast aaan den gegeven logarithmus komt: of, wil men naauvvkeurig te werk gaan, zoekt mennbsp;een evenredig gedeelte door den zelfden regel als in het voorgaande vraagftuk, zeggende : het verfchil tusfchen de twee lo-garithraen {laat tot het verfchil tusfchen hunne getallen , zoo alsnbsp;liet verfchil tusfchen den Ideinfien logarithmus endengegevenen,nbsp;'tot het verfchil tusfchen het kleinfte en het gezochte getal. Ofnbsp;wel, in plaats van dien regel, gebruikt men in de grootere Tafelsnbsp;de kolom van proportioneelquot;, of evenredige gedeelten.
V. nbsp;nbsp;nbsp;Te vinden den Logarithmus van cene breuk, het zij zuivere,nbsp;het zij gemengde. Men trekt den Logarithmus des noemersnbsp;van den Logarithmus des tellers af :de rest is de gevraagde logarithmus: en het getal,dat over dien logarithmus llaat, of totden-zelven behoort, is de decitnaale breuk die aan de gegeven breuknbsp;gelijk is.
Zie St, XI. 814.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;Hier moet men ten zesden bijvoegen, dat, daar het ad-deeren altijd geffiakkclijker valt dan \iot fubtraheeren , men, innbsp;plaats van Logarithmen aftetrekken , meest altijd derzeivernbsp;arithmelifche complementen (XXXVI. Voorli. het Ili. Gev.)
' neemt, mhijtelt-, het geen vooral veel verkort, wanneer men verfcheiden logarithmen moet aftrekken: bijv. in het bereke-23 X 303 X 277nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
iien van deze breuk-rfX~s^gt;lt;~47 ^oude men op de ge
wone wijze dus te werk gaan.
1,3617278
2,4814426
2,4.424798
Log. 23 nbsp;nbsp;nbsp;
Log. 303 nbsp;nbsp;nbsp;..
Log* 2/7
6,2856502
IV. Afdcding: Oyer damp; logarithmen.
Log. 13
Log 24 Log. 47
1,1139434
1,380211a
1,6720979
waarvan hec getal ten naasten bij is 131.642
Doch men werkt korter aldus:
4,1662525
2,1193977
Log.
23
^ - 303
Log. 277 Corap, ar. Log.
Log
13
24
47
1,3617278
2,4814426
2,4424798
8,8860566
8,6197888
8,3279021
2,119.3977
En het valt altijd gemakkelijk het arithmetisch complement van eenen legarithmus te nemen: want men neemt flechts (vannbsp;de linker hand beginnende) het verfchil van iedere cijfFer-letternbsp;van den gegeven iogarithraus met 9, behalven voor de laatllenbsp;cijffer.letter, wier verfchil men neemt met 10.
5
OVER DE GELIJKVOR^nGHEID DER FIGUREN, EN DE REDEN VAN DEUZLVER Z IJ DEN EN INHOUDEN.
1. BEPALING.
Men iioetEt gelijkvormige figuren die, waarin de hoeden onderling gelijk zijn ieder aan ieder, en de zijden, die om gelijke hoeken en tevens over gelijke hoeken Haan,nbsp;de zelfde rede tot elkander hebben,
eucL. VI, dcf. I. St. VI, Bep, I. _ L. G. III. Bep, a. VOORBEELD. lil Fig. 87. is L BAE = Z GFK: i B =
/ G: ^ BCD = Z GUI: Z CDE = HIK: Z E =: i K: en verder AE: AB : B C; C D : D E =: FK: FG: GH:nbsp;lil: IK.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Ill dezc bepaling wordt van eene dubbeldenbsp;eigenfehap gefproken, die niet altijd plaats heeft, zoo alsnbsp;blijkt uit de vierhoeken in Fig. 46. en 41, die wel gelijkenbsp;hoeken hebben, doch waarin de zijden niet evenredig zijn;nbsp;en uit de CD rj ABDC, ab\iC, (Z D C in Fig. 43,nbsp;die wel gelijke zijden doch ongelijke hoeken bezitten, ennbsp;geenzins geliikvormig zijn; maar wij zullen in het II.nbsp;Voorllel beu ijzen , dat in driehoeken de eene eigenfehapnbsp;altijd met de riidere gepaard is.- en dan in het XXllI. doennbsp;zien, wat er vereischt wordt op dat het zelfde in anderenbsp;figuren plaats zoude hebben.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het valt zeer moeijelijk eene naauwkeuri.nbsp;ge, alleszins voldoende, en op alle gevallen even toepas-felijke bepaling van de gelijkvormigheid te geven. Het natuurlijkst denkbeeld is dat van gelijke, of de zelfde gedaante : dat twee figuren de zelfde gedaante hebben, denbsp;eene in het groot, de andere in het klein : want haddennbsp;zij gelijke grootte , waren zij in alle opzigten gelijk. Dienbsp;gelijkheid van gedaante , of die gelijkvormigheid wordt dusnbsp;hierin gezocht; 1. dat die figuren uit bet zelfde getalnbsp;zijden beftaan: 2. in de gelijkheid van fommige deelen, t.nbsp;w. der hoeken: 3quot;, in de event^fiigheid der zijden. Het eer-fle is klaarblijkelijk : het tweede insgelijks : want indiennbsp;de zijden niet ouderling de zelfde helling behielden in
bei*
157
Inleiding,
beide de figuren, ware er op geene gelijkheid van gedaante te denken. Het derde is ook noodzakelijk: want het is nietnbsp;genoeg dat de zijden, die gelijke hoeken bevatten, evenredig zijn; bij voorb. in Fig. 87. dat A li: A s K F : F G zondenbsp;zijn; maar het moeten de zijden zijn die tevens over gelijkenbsp;hoeken fcaan , AB:AE =3 FG:KF, ora dat men dan denbsp;zijden in beide de figuren volgens de zelfde orde, of dennbsp;zelfden rang, neemt: het geen de gelijkheid van gedaante,nbsp;en dus de gelijkvormigheid, in beide de figuren te weegnbsp;brengt.
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANM^niKifJO. Eoclides heeft de woorden, ik tevens over gelijkenbsp;hoeken ftaait, in zijne bepaliiig achtergelaten; het komt mij Voornbsp;dat zij er een wezenlijk gedeelte van uitmaken.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men zal misfehien vragen tvaarom voornbsp;de gelijkvormigheid, gelijkheid van hoeken en evenredigheidnbsp;van zijden, en niet evenredigheid zoo wel van hoeken alsnbsp;van zijden, vereischt wordt? Indien men evenredigheidnbsp;van hoeken ftelde zoude daar uit hunne gelijkheid volgen :nbsp;want laten de hoeken in twee figuren zijn A, Bj C, D,nbsp;E; en F, G, H, I, K,en dat zij onderfteld worden evenredignbsp;te zijn : dan is A: B: C: D: 11 =5 F: G; H: 1; K: ennbsp;derhalve [III. 8.] A : F t= A B C -j- D E : Fnbsp; G H -F I K. Maar om dat de figuren een gelijknbsp;getal zijden hebben [Aanm. II.] is uit II. 29. Gev.'i.nbsp;A-l-B C-|-D-fE = 2gR--4R=:F4-Gj-Hnbsp; I -f- K. en dus ook A = F: en gevolgelijk alle hoekennbsp;refpectivelijk gelijk: de gelijkheid der hoeken zoude dusnbsp;uit de onderftelde evenredigheid volgen. Ik ben die Aanmerking aan wijlen mijnen dierbaren vriend den Hoogleeraarnbsp;nieuwland verfchuldlgd.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Wij zullen in het X. Voorftel van hetnbsp;VII, Boek zien, hoe deze bepaling op den Cirkel toege-pasc kan worden.
II. BEPALING.
Men noemt, in gelijkvormige figuren, even-eensgeplaat-ook wel gelijkvormige zijden (latera homologa')^ fijg
welke gelijke hoeken bevatten, en tevens over gelijke hoe-Haan.
St. Vi. Bep. a.
aanmerking. Eclides heeft daarvan geene opzettelijke bepaling in zijn zesde Boek gegeven: maar in.het vierde Voorftel van zijiinbsp;zesde Boek bewezen, dat de zijden, welke, in gelijkvormige driehoeken, over gelSke hoeken Baan, eyeneensfteanis (.homolog)
zijn;
158 IV, Bock: Over de gelijkvormigheid der figuren,
zijn: en het blijbt 't dat bewijs dat de uitdrukking eveneenftaande zijden, in den zelfden zin gebruikt wordt, als eveneensllaande leden cener evenredigheid, volgens de ii Bep, van zijn vijfde Boek,nbsp;die hier is de 15 van het derde. Het zal ook in het vervolg blijken, dat die zijden, welke eveneens-gcplaatfle genoemd worden, innbsp;de evenredigheid tot welke zij behooren, of beide vooTgaandt,nbsp;of beide volgende leden in die evenredigheid zijn,
Eene figuur wordt gezegd op eene lijn geplaatst, of ge-field^ te zijn, als zij op die lijn flant. En gelijkvormige figuren worden gezegd op verfcliillende gegeven lijnen es'eii-cens-geplaast te zijn , als, de hoeken op die lijnen gelijk zijnde , de overige gelijke hoeken, en de evenredige zijden ,nbsp;zich in den zelfden rang opvolgen.
Cl-AVius Scholium op Ecct. VI, 13.
Aanmerking. Euclides heeft geen bepaling van evenecnsgeplaatfle figuren gegeven, maar zoodanige plaatfing in bet hoofd van denbsp;XXII. propoStie in zijn VI. Bock vooronderfteld, en uit de ordenbsp;die de evenredige zijden volgen , in het bewijs afgeleid. In fig 87nbsp;zijn de figuren iVl,N op de zijden AE, FK geplaatst,en wel eveneens geplaatst.
OVER DE GELIJKVORMIGHEID VAN DRIEHOEKEN EN PARALLELOGRAMmen,
EN DE REDE VAN DERZELVER INHOUD.
I. voorstel. Fig. 45.
I. bewijs.
. AfdceUng: Over driekoehn en paralklogrammen, 159
! GEVAL. Tndien de Ujnen BA, en BD eaue genieena mant, ftel de lijn AZ, hebben: dan behelst de lijn BA die maar,nbsp;voorbeeld, m malen, en de lijn 11D n malen; en mennbsp;Bewijst uit I 35, Gev., dat, zoo ZQ // DE, dan AC denbsp;lijn AQ ook m malen, en CE die zelfde lijn AQ ma-len, bevat, waaruit volgt (^UI. Axiomd^S en Voorft. I.) datnbsp;men heeft BA:BD;=: AC:CE.
Het omgekeerde wordt uit het ongerijmde bewezen; want zoo EU niet // BC: zij E M II BC : dan is door het eer-fte AC ; CE s AB: B M : dat nmogelijk is, vermitsnbsp;door onderftelling ,AC:CE =AB;BD.
H. GEVAL. Indien AB en BD geen gemeene maat hebben, zal, niet te min, A B: B D = A C: C E zij n: want zoo neen; zijnbsp;AB:BM=; AC:CE dan is [door het I. Geval omgekeerd] E M // BC; maar BC // DE [onderd.] : derhalvenbsp;-M // DE; dat ongerijmd is.
aanmerking. Dit bewijs komt ons voor uit den waren aard der zaken ontleend te zijn, en dus, wijsgeerig gefpro-hen , den voorkeur boven andere te verdienen. Eoclidesnbsp;heeft een ander bewijs gegeven, ontleend uit ons volgendnbsp;VI. Voortlel [dat bij hem het I. des zesden Boeks is] , datnbsp;namelijk driehoeken, die de zelfde hoogte hebben, in denbsp;rede hunner grondlijnen Haan: doch de Heer dalembertnbsp;heeft reeds te regt aangenierkt, dat dit bewijs Hechtsnbsp;rect is. Daar het echter misfchien aan fommigen geraakke-lijker fchijnen zal, zullen wij er de gronden van opgaven,nbsp;ons VI. Voordel bewezen (lellende; en in de daad, daarnbsp;het, van de vijf voorgaande Hellingen onafhankelijk is, kannbsp;men het eerst nagaan en bewijzen , en, zoo men wil, voornbsp;het eerfte en dit voor het tweede van dit Boek houden.
II. BEWIJS. Fig. 83.
Uit euclides ontleend: en (leunende op het volgende VI. Voorllel. Na de lijnen BE en DC getrokken, en, uitnbsp;het II. Boek XIII. Voorllel , de galijkheid der inhoiidetinbsp;Van de driehoeken BCE en DBC bewezen te hebben,nbsp;toont men uit het VI. van dat Boek, dat de driehoekennbsp;DBC en BAC zijn als de grondlijnen D B en BA; insgelijks ook de driehoeken BCE en BAC als de grondlijnennbsp;C en CE; waaruit dit Voorftel door [Hl. 5,] volgt, ,
BEWIJS va/i het omgekeerde. Het zelve gaat voort uit het ongerijmde; of ook regtftreeks, gelijk euclides gedaan hefcnbsp;et in het VI. Voordel van dit Boek. [bij hem VI. 'i ]nbsp;le bewijzen, dat de AA BAC en DBG-in de zelfde
re-
-ocr page 222-l6o 11^. Bosk: Over de gelijkvormigheid der figuren,
rede ftaati als A B : D B; en de AA B C A en C B E als CA:EC; en derhalve dat, door de onderftelling, A BAC:
A DBG sA BAC; A BCE: da: gevolgelijk A B C oO A EC 13; en derhalve [11. 13. Aaiim. 2] BC // DE.
I. GEVOLG.
De geheele zijden zijn in de zelfde rede als hare fiuk. ken: namelijk
AD : AB = AE : AC AD : DB = A : CEnbsp;uit dit Voordel en lil. li.
L, G. III. 15. Corol I.
II. GEVOLG. Fig. 45.
Indien twee lijnen, die met elkander eenen hoek m.i-ken, door zoo vele aan elkander evenwijdige lijnen als men wil gelneden worden: zullen de deelen die, door ge-melde fnijdingen, op eene der lijnen ontdaan, evenredig zijnnbsp;aan de deelen op de andere lijn, in de zelfde orde genomen,
L. G. III. IS. Corol 2.
AANMERKING. Dit Vootftel ftclt OHS in daat om uit het I. Boek der Werkllukken het 8. [i. oploslingj, ennbsp;het 9. optelosfen,
II. VOORSTEL. Fig, 89.
Wanneer de drie hoeken [B A C, A B C, A C B] eens driehoeks [ABC] gelijk zijn aan de drie hoeken [DAE, ADE, AED] van eenen anderen driehoek [ADE] iedernbsp;aan ieder; zijn die zijden , welke in beide de driehoekennbsp;gelijke hoeken bevatten, en over gelijke hoeken daan, innbsp;de zelfde rede.
EUCL. VL 4. St. VI. 4. L. G, III. Gev. l.
Bereiding. Men onderftelt dat de A DAE in den hoek BAC van den A ABC geplaats is, waaruit, door denbsp;onderftelling en I. Bep. 10. volgt dat D E // B C. MeUnbsp;trekt DF // EC: waaruit (I. 3*.) volgt DE = FC.
BBWijs. i. Uit Vorflel I. Gey, i, vooor AD, AE
AEr
-ocr page 223-A B , A G: cn dan 2. voor aB, BC,AD,FC (= D E) 5 cn uit 1. en 2. voor AC, BC, AE, DE.
I. GE VO LG.
Driehoeken die gelijke hoeken hebben, 2ijn gelijkvofmig.
aanmerking. Het is om de gelijkvormigheid te bediiiten genoeg te weten dat de driehoeken twee gelijke hoekeh,nbsp;(ieder aan ieder) bezitten: want dan is (^I, 15. Gev. 2.) denbsp;derde altijd gelijk aan den derden.
G. m. 18. Gcv.
n. aanmerking. Men kan thalis het i j 2, 4, 5, 6, 10 en 12 Werklluk van het III. Boek oplosfen.
II. GEVOLG.
Fig. 91 en 92.
Wanneer twee driehoeken gelijke hoeken hebben, cn dtts gelijkvormig zijn; zijn de hoogten [EG, E HJ in denbsp;zelfde rede als de eveneeilsBaande zijden; en de grondlijnen (zoo noodig verlengd} , worden door de loodlijnennbsp;IjljG, E H] uit de toppen [B, E] op dezelve getrokken,nbsp;in evenredige deelen geiiieden.
St. VI, 4. Gev.
III. aanmerking. De gevolgtrekking en dus blijkt uit het I. Gevolg, De woorden, zoo noodig verlengd, gelden wanneer een der hoeken op de grondlijn ftomp is : want danbsp;valt de loodlijn buiten den driehoek (I. 16).
III. GEVOLG. Fig. 93.
Indien men op eene lijn B D een flip B neemt, en iiit twee shdere flippen [D, EJ, twee lijnen [DC, E Gj naar dennbsp;zelfden kant zoodanig trekt , dat zij en evenwijdig aan elkander, en in de zelfde rede zijn als hare afllaiiden van hecnbsp;Ibp B [DC; EG =: D B : EB], zullen hare uiteinden C;nbsp;1^5 met het flip B in ue regte lijn zijn.
BEWIJS, Het volgt, door dit Voordel, uit de ongerijmdheid waarin men vervalt met het tegendeel te flellen.
Immers indien CG, GB twee verfcliillende lijnen iiitma-ken, zij dan CGL ne lijn: dan is dopr dit Voordel, C D : o E s D L : E L , en dus D L : E L = D R : E B,nbsp;dat onmogelijk is, om dat DL ^ DE eh EL ^EB.
aanmerking. Dit Gevolg, of dit Vorflel, is in vele'
102 IV. Bock: Over de gelijkvormigheid der figuren.
gevallen, ook in de Natuurkunde, van nut; men vindt Met bij R. siMsoN, Sect. Con, II. Lemma i. ad.iprop. io. p. 34..
V. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Het blijkt uit het bewijs van dit Voorftelnbsp;dat ,, indien de eveneensftaande zijden van twee driehoekennbsp;,, ADE, ABC [Fig. 89] evenwijdig aan elkander zijn,nbsp; ieder aan ieder, die driehoeken gelijkhoekig, en dus ge- lijkvoniiig zullen zijn: Dit Voorllel wordt bij lenbsp;gendr (III. 21.) met zoo vele woorden opgegeven. Dienbsp;Schrijver voegt er bij dat, ,, iudien de zijden van eenigennbsp;9, driehoek FED [Fig. 90.] loodregt liaan op die van eenennbsp; anderen driehoek [B AC], iedere op iedere, die tweenbsp; driehoeken gelijkvormig zullen zijn: het geen op hetnbsp;zien der figuur (uit 11.29. en I. .3. op de vierhoeken GBIE,nbsp;DIAH, GFIie toegepast) gemakkelijk wordt opgemaakt.
99
99
99
Die eigenfchap echter kan ook aldus uitgedrukt worden. Indien op iedere zijde' eens driehoeks uit een flip, naarnbsp;willekeur genomen, ^eene loodlijn wordt opgerigt, zullennbsp;die loodlijnen of zich in een flip verddnigeu, of doornbsp;hunne ontmoetingen eenen driehoek vormen den gege- venen gelijkvormig. Het eerfle heeft, altijd plaats alsnbsp;de Hippen in het midden der zijden genomen worden (zienbsp;V. Boek, II. Voorftel, Gev.) en kan op vele andere wijzennbsp;plaats hebben.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Op dit Voorftel fteunt het gebruik dernbsp;TransverJ'ale lijnen die men op alle Plein/chalen aantreft.nbsp;Om geringe onderdeden van de maat, welke de pleinnbsp;fchaal opgeefc, le kunnen nemen.
Men behoeft Hechts het oog op fig, SSh. te werpen, om te zien, dat in A B AC , vermits AC in 10 dee-len door de horizontale lijnen gedeeld is , de lijn ge.nbsp;merkt i binnen den driehoek j van BC zal aanduiden; de. lijn 2,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; de lijn 3, enz. en dat in A
10,10,9 de zelfde deelen, in omgekeerde orde, van boven naar beneden voortgaan. Indien ik dus op de on-derfte lijn de eene punt des pasfers (lelde op 20, de andere op 5, zoude ik hebben 25 deelen; maar indiennbsp;ik de eene punt des pasfers op de perpendiculaire lijnnbsp;20 voortfchuif, en de andere op de Ibhuinfche of trans^nbsp;verfale lijn 5, tot dat beide konien op de horizontalenbsp;lijn 6; zal ik niet alleen 25 deelen hebben , maar 2Snbsp;en of 05.6, en zoo voorts in alle gevallen.
VII. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Op dit Voordel fteunt al verder het al*nbsp;gemeen gebruik 'van den zoogenoemden proponionaal pasjer,
01
-ocr page 225-pf fector, gelijk de Engelfchen denzelven noefflen, dien men in de meeste kokers,met maihematifche inftrumemenvoorzien,nbsp;aantreft. Dit werktuig, dat door velen aan gamles wordenbsp;toegefchreven, beilaat uit twee bladen die met een fchar-nier verbonden zijn, om wiens centrum zij zich bewegen.nbsp;Pp ieder blad zijn verfcliilleude lijnen getrokken, die allenbsp;in het centrum, of middelpunt, van het fcharnier famen-lopeii, en op ieder blad de zelfde zijn: zoo dat zij altijdnbsp;bij paren gaan; eene lijn van ieder paar op ieder blad.nbsp;Wij zullen alle die lijnen befchrijven, en derzelver gebruiknbsp;doen kennen, achter die Voorftellen waarop derzelver con-ftruciie gevestigd is. Nu alleen van de wijze waarop zenbsp;alle gebruikt worden, van het algemeen grondbeginfel desnbsp;geheelen prcportionaal pasfers. Wanneer de bladen AD,nbsp;AE [Fig. 88] van elkander verwijderd zijn, maken denbsp;twee lijnen AD, AE, die tot het zelfde paar behooren, innbsp;het middelpunt A van het fcharnier, eenen hoek. Indiennbsp;men dan de eene punt eens pasfers die eene bepaalde opening heeft, op een ftip Dvan de lijn AD ftelt, en de bladennbsp;Ad, A E , opent tot dat de andere punt kome op dat ftip Enbsp;van de gelijke lijn op het ander blad, bet welk op den zelfdennbsp;afftand van A gefteld is als D, zoo dat AE ~ A D j is dnbsp;hoek DAE, en ook de lijn Ali, bepaald. Indien men denbsp;punten eens pasfers zet op die ftippen E en C der zelfdenbsp;lyiicn, die ieder op gelijke afftanden van A ftaan, zoo datnbsp;AB =: AC: is (I. 27. Gev. 6.) de lijn BC // DE: ennbsp;door dit Gevolg, AB:AD = BC;DE; zoo dat B C denbsp;zelfde rede hebbe tot de gegeven lijn DE als AB tot AD*nbsp;Dit is de grondflag van den geheelen proportionaal-pasfer.
aanmerking. Op dit Voorftel fteuiit bepaaldelijk het gebruik van die twee lijnen op den proportionaal-pasfer.nbsp;Welke op dien van Engelsch maakfel met de letter L (eerftenbsp;letter van het woord lines'), of met de letters E. P.QEqualnbsp;t^arts) en op dien van Fransch maakfel met de woordennbsp;l'arties egales beftempeld zijn. Deze lijnen zijn in gelijke deelen, meestal in twee honderd, verdeeld, en dienen, voornamelijk,: om eene gegeven lijn in gelijke deelen te verdoelen; want uit het gezegde in de voorgaandnbsp;Aanmerking blijkt, dat BC [Fig.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;88.]nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;het zelfde deelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is
Van D E als BA nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AD. Indiennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dan de lijn DEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;In
deelen wil deelen, zal men de punten des pasfers, op
fftand DE nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;elkander ftaande,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wederzijds in Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en
E brengen, bijv. nbsp;nbsp;nbsp;opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;192 : en dannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;naderhand in B en Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op
*^4, die het j is van ipa.
aanmerking. Op
dit Voorftel hs ook nog gevestigd het L 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ge-
gebruik van die pasfers, ter wederzijde van het fchErr' nier met twee punten, en dus met vier punten voorzien. welke de Duitfchersnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de Engelfchen
Proportionaalpasfers, de Franfchen compas de reduction noemen. Immers zij Fig. zoodanige pasfer : dan is,nbsp;daar AC AB, AD = AE; ook CB // DE, en denbsp;AA CAB en DAE zijn gelijkvormig; gevolgelijk CA:nbsp;ad = CB: D: derhalve is CB het zelfde gedeeltenbsp;Van DE als AC van AD. Meestal is CA de helft vannbsp;AD, of de korte beenen zijn de helft der lange. Maarnbsp;men maakt ze ook zoodanig, dat men hot middelpuntnbsp;A kan verfchuiven, en dus de lengte der beenen zoo in-rigten dat AC zij of ^ , of of 4:? enz, van AD, waarnbsp;door dan CB ook 4, of J , of 4:, enz. wordt van DE.nbsp;Men kan de befchrijving dier pasfers vinden bij bion,nbsp;UI. B. I Kap. Fig. GHj in plaat 8.
UI. VOORSTEL. Fig. 94.
Wanneer de drie zijden [AB , AC, BCJ eens driehoeks [ABC] de zelfele rede tot elkander hebben, als de tirie zijden [DE, DF , EF] van eenen anderen driehoek [OEF], zullen de hoeken die tiisfchcn de evenredige zijden begrepen zijn , in beide de driehoeken, gelijk zijn.
EUCL. VI. S. St. VI. S. L. G. III. 19.
bereiding. JVlen vooronderfcelt dat er op D F een driehoek DFG, gelijkhoekig met ABC zij gefceld, zoodanig datnbsp;L FDG = L A en 7DFG s: 7C; waaruit volgt I Gnbsp;=: 7 B.
bewijs. Uit het gegevene, de evenredigheid namelijk def zijden in de driehoeken DFE en ABC, uit de gelijkheidnbsp;der hoeken in de A A A B C en D G F, en uit het XI. vannbsp;het III. B. wordt befloten dat de zijden der driehoeken D^G Fnbsp;en EDF onderling gelijk zijn: en dus uit I. 26. dat de hoeken het ook zijn; waaruit het Voorftel volgt.
gevolg.
Twee driehoeken, wier zijden evenredig zijn, zijn gC' lijk vormig.
I, aanmerking. Dus wederom, wanneer het tweade vereisc^*' te voor de gelijkvormigheid in driehoeken, de evenredigj
-ocr page 227-/ Afdeeing: Over driehoeken en parallelogrammen. l6S
^leid namelijk der Zijden plaats heeft, heeft het eerfte ook plaats, te weten, de gelijkheid der hoeken.
aanmerking. Dit Voordel is voor de gelijkvormigheid Ijet zelfde als Voordel 26. van het I. Boek voor de gelijkheid der driehoeken. Die zelfde overeenkomst zal innbsp;de twee vdlgeiide Voordellen ook blijken.
iV. VOORSTEL. Fig, 89.
Indien een hoek [ABC] van eeu driehoek [ABC] gelijk is aan eenen hoek [DBF] van een anderen driehoek [DBF], en de zijden die cieze hoeken in beide bevatten evenredig zijn [A B en B C, B D en B F] , zullen denbsp;driehoeken gelijkhoekig, en dus gelijkvormig zijn.
eocl. VI. 6. St. VI. 6. L. G. III. 20.
bereiding. Men onderftelt dat de A DBF met den hoek DBF in den gelijken hoek ABC van den A ABC gefield is.
BEWIJS. Dan is door de onderdelling uit Voorft. I. Gevolg , DF // AC: waaruit het befluit volgt.
GEVOLG, Fig. 95.
Indien men in eenigen driehoek [ABC], waarin eene lijn [Dl] evenwijdig is aan de grondlijn [AC], uit den topnbsp;[B] zoo vele lijnen [B K , BL, B MJ, enz. als men wil opnbsp;de grondlijn trekt: zullen deze de grondlijn [aC] en denbsp;^venwdige [Dl] in evenredige deelen fnijden, [AK: KL:nbsp;L iVl, enz. = DE: EF: FG, enz.].
b. G. ut. 22.
aanmerking. Hier door kan men de 2. oplosfing van I. Werkftuk 8. verrigten.
V. VOORSTEL. Fig. 89.
Indien twee zijden [AB, AC] eens driehoeks [ABC] evenredig zijn aim twee zijden [BD, DF] van eenen anderen driehoek [DBF], en er boven dien een hoek [A B C]nbsp;in den eersTgetnelden, doch niet tusfchen de gegeven zijden [Ab, AC] begrepen, maar tegen over eene [AC]nbsp;derzelve Baande, gelijk is aan den hoek [DBF], dienbsp;den anderen driehoek [DBF] over de eveneens-geplaatlle [DF] der twee gegeven zijden [BD, DF]
l ly^- Boek: Ovc,r de gelijkvormigheid der figuren.
Hast: zullen die twee driehoeken onderling gelijkhoekig, en dus gelijkvormig zijn , .indien de derde hoek A C Bnbsp;en DFB in de twee driehoeken zijn, of beide regt , ofnbsp;beide fcherp, f beide Homp.
Euci.. VI. 7. -- St, VI. 7.
. BEwns. _ Men ftelt den A BDF met zijn hoek DBF in den gelijken hoek ABC van den A ABC. I. Zoo de hoeken F en C beide regt, en dus gelijk, zijn, is DF // AC:nbsp;waaruit het befluic volgt. II. Zoo de hoeken F en C beiden ftomp, of beiden feberp zijn, zeg ik dat A C ook //nbsp;DF: zoo neen: zij eene andere AL // DF: dan is (Voorft.nbsp;II.) BD: AB = DF: AL: maar (onderftel) BD: AB s:nbsp;DF: AC: derhalve AL = AC: En (I. 27.) Z ALC =:nbsp;L C: gevolglijk zoo Z C fcherp, moet Z A LC ook fcherpnbsp;zijn), en dus Z ALB Homp: en gevolglijk om da: DF //nbsp;al, zou de hoek DFB ook ftomp zijn, dat tegen denbsp;onderflelling ftrijdt, en dus valsch is. Zoo L c ftomp ware , zoude de hoek ALC ook ftomp moeten zijn, dat on.nbsp;mogelijk is. AC is dan // DF: waaruit het belluit volgt.
II. BEWIJS. Fig. P4. Men kan de zaak ook regtsftreeks be-wijzein.
bereiding. Men make L FDG = L BAC: L DFG = L B C A: derhalve hoek G = Z B en dus = Z E; dan isnbsp;in AA abc en DGF door Voorft. IIL AB: AC=rDG:nbsp;DF: maar (onderftel) AB:AC=ED: DF: derhalvenbsp;PG = ED: en dan zijn in de A A DEF en FDG,nbsp;DE=:DG: DF = DF: en ZG ZE: gevolglijknbsp;daar ZBCA,[of DFG] en DFE [bij onderflelling] beidenbsp;regt, of beide ftomp, of beide fcherp zijn: is (1. 25 )nbsp;EF = GF; en derhalve door (I. 26.) is Z EDF =nbsp;Z FDG, en Z DFE = Z DFG; waaruit door de bc*nbsp;reiding het belluit volgt.
1. aanmerking. Men ziet duidelijk welke overeenkomst dit Voorftel heeft met het 25* van het 1. Boek: waarom iknbsp;het ook, zoo veel mogelijk, in_ dezelfde bewoordingennbsp;heb uitgedrukt: en het blijkt daaruit waarom de derde hoeknbsp;ACB en de derde hoek DFE beide of ftomp, of regt,nbsp;ojf fcherp moeten zijn; want daar men (I. ii. Gev. 2 ) uitnbsp;het flip A twee gelijke lijnuti trekken kan, welke dus totnbsp;AB de zelfde rede hebben, die namelijk van DF: DEnbsp;maar waarvan de eene met BC eenen ftompen, de anderenbsp;nen fcherpen hoek zoude maken, terwijl de hoek F de
zelt'
Zelfde zoude blijven; volgt het dat de foort der boeken C en F bepaald moet zijn. Het blijkt verder duidelijk datnbsp;'Vanneer die derde hoek in een der driehoeken fcherp en innbsp;lt;Jen anderen Homp is: de eene hoek het aanvulfel tot tweenbsp;regten is van den anderen.
St. VI. 7. Gev. ,
I AANMERKING. Ffet gccn wij in de II Aanmerking op het XXV. Voordel van het I. Boek gezegd hebben, heeft hiernbsp;ook plaats: zoo dat fommigen dit Voordel dus uitdrukken:nbsp; driehoeken, die eeneu hoek gelijk hebben, en twee zij-jgt; den om eenen anderen hoek daande evenredig, doch waar-jj van die , welke over den gelijken hoek daat, grooter isnbsp;9, dan die welke daaraan grenst, zijn gelijkvormig.
Immers daar de grootde hoek over de grootde zijde daat Cl. i8.j, zal de gelijke hoek de grootde zijn, en dus zullen de overigen voorzeker fcherp zijn.
III. aanmerking. En hieruit volgt dan, de gelijkvormigheid van regthoekige driehoeken , of domphoekige, waarin denbsp;doinpe hoeken gelijk zijn, zoo er twee zijden die om eenennbsp;anderen hoek (laan, evenredig zijn: dat ook een onmiddelijknbsp;en bijzonder Gevolg van ons algemeen Voordel is. kar-STEN . 208.
VI.
VOORSTEL.
Driehoeken [ABC, KCD] die de zelfde hoogte heb* hen , doch op verfchillende grondlijnen [B C , CD] (laan:nbsp;hebben, voor zoo veel derzelver inhouden betreft, tot elkander de zelfde rede als de grondlijnen zelve; en omgekeerd : het geen ook voor de Parallelogrammen plaatsnbsp;heeft.
EocL. VI. I, St. VI. I. Gev. 1.
Bereiding. Men verleoge wederzijds de grondlijn BCD, neme daarop, san den eenen kant zoo vele deelen BE,nbsp;EF, FG [zij m in getal] als men wil gelijk aan BC,nbsp;en aan den anderen kant zoo vele deelen D H, Hl alsnbsp;men wil [zij n in getal] gelijk aan DC; men trekke denbsp;lijnen AG, AF, AE; AD, AH, AI. Dan daan denbsp;abc en KCD, om dat zij de zelfde hoogte hebben , onder de zelfde parallellen A K en B D; en derhal-ven is (if. 13.) a CAD 00 A KCD: zoo dat men, watnbsp;inhoud betreft, waarop het hier aankomt', A C A Dnbsp;voor den driehoek KCD nemen kan,
L 4 nbsp;nbsp;nbsp;Be*
-ocr page 230-JiEVVijs, Van het I. ^ G A ! is het m vouwd van A ABC, A D A I is het n vouwd van A CAD.nbsp;Grondlijn B G is het m vouwd van BC.nbsp;Grondlijn Dl is het t} vouwd van CD.nbsp;Maar A GAB ofgt; of nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A DAI: naarmate BG
of gt; of = of Dl (I[. 13. Gev. 2.), derhalve 111, 3.
A aBC: A aCD [of KCD] = BC : CD.
BEWIJS van het II, of omgekeerde. Uit het ongerijmde waarin men vervallen zoude indien men Helde dat A KCD, niet onder de zelfde evenwijdige lijnen A K en B D Hond.
BEWIJS voor het UI, Uit I. 31. Gev. i.
I. AANMKKKrNG- _ Vele Schrijvers bewijzen dit Voorftel aldus: met de eene grondlijn in m gelijke deelen bij v. te fuijden; cn de anderenbsp;in 12 dclen van de zcUde grootte : dan zal de cene driehoek nt ennbsp;de andere n gelijke driehoeken bevatten, en dus zullen de driehoeken tot elkander ftaan als in tot n, dat is ais de grondlijnen:nbsp;doch het valt in het 6og dat men dan, ftilzwijgend, ouderfteit dacnbsp;de grondlijnen eene gemeene maat hsbtSen, dat niet altijd waar is:nbsp;en dus is dat bewijs onvoldoende.
JI, aanmerking. Men kan thans de tweede oplosfing van het XXI. WerkHuk van het II. Boek verrigten.
VIL VOORSTEL. Fig. 100.
Indien driehoeken, of parallelogrammen, [BAC, FGHj op gclijlte grondlijnen [B C , F H] ftaan, zijn hunne iii-houdeti in de zelfde rede als hunne hoogten,
TACQUET op EUCL. VI. I. COl'. St. VI. 1. ,GCV. 2.
BEREIDING Trek dc IJ, A D en GI; neem DE =BC;
IK = FH: derhalve D
Trek AE en GK.
BEWIJS, DA en IG als grondlijnen aannemende, en DE en KI als hoogten,, is C'^oorll. VI) A DAE: A KGInbsp; AD : Gl: M^aar uit, om dat A DAE Xgt; A BACnbsp;en AKGIcOAFGH (Voorft. VI.) het belluit voJgt.nbsp;Vqor 'de parailelogranimen volgt het uit I. 31: Gev. i.
aanmerking. Men is thans in Haat om het I, VVerkIluk van het IV. Boek optelosfen.
VUL voorstel. Fig. 99.
De inbonden van parailelogranimen, of van driehoeken, die op verfchillencie grondlijnen ftaan [C D, C K] eA
ver-
^^rrchillende hoogten [DE, KM] hebben, zijn tot elkan-in faniengefteide rede van de grondlijnen en de hoog-[zoo alsCDxDE:CKx KH].
St. Vt I.
BEREiDiKG. Men onderftelt dat de regthoeken FEDC en MHKC ieder op de zelfde grondlijn] en hoogte als denbsp;gegeven paraUelograminen gefield zijn, en gevolgelijk metnbsp;deze gelijken inhoud hebben : vervolgens dat de regthoeknbsp;MK op de zelfde lijn als de regthoek FD, zoodanig geplaatst is, dat een der hoeken aan beide gemeen worde:nbsp;men verlengt H K tot N.
BEwiis. Uit het VI. Voordel van dit Boek wordt de rede der regthoeken van MK en F K: dart die van F D en F Knbsp;opgemaakt; en daar uit (door III. 10.) befloten die vannbsp;de regthoeken F i) en M K, te zijn , de famengeftelde vannbsp;C O' X O E en C K x H K; waaruit die der gegeven pa-rallelogrammen of driehoeken volgt.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aasmerking. Zie daar wederom een algemeen Voorftel datnbsp;niet bewezen kan worden, ten zij eerst een bijzonder geval van het zelve bewezen zij : want de twee voorgaandenbsp;Voordellen zijn bijzondere gevallen van dit.
I. GEVOLG.
Gelijkhoekige Parailelogrammen, of Driehoeken, zijn in faniengehelde rede der zijden die gelijke hoeken bevatten,nbsp;dn over gelijke hoeken ftaan.
Immers dan is [Fig. pi en pa.] in de gelijkhoekige driehoeken ABC, DEF; BG:EH =: AB:DE, en dus AaBC:ADEF = AC X BG:DF x EH = ACXnbsp;AB: DF X DE.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING Dit Gevolg is de 23 Propofitie van het VI Boek bijnbsp;EucLiDEs. Die Schrijver, bij \vien iticn ons Voorftel niet vindt,
bewijst dit zeer vernuftig: namelijk [Fig. 52.] daar de tJ AG cn GD gelijkhoekig zijn, voorunderftelt hij dat dezelve niet degelijkenbsp;hoeken tegen elkander ftaan; dan zullen FG en G1 ne regtenbsp;lijn, en H G en G E ne regte Ijjn uitmaken: (Voorft. U Gev. 3)nbsp;Vervolgens I D en AH verlengende , bekomt men lJ Hl: waarmede men door het voorgaande Voorftel, beide de gegeven paral-^^iogrammen AG cn GD vergelijkende, het befluit opmaakt.
Vl. [.j,. Gev. 2 en 19,
W. aanmerking. De waarheid, in dit I, Gevolg bewezen heeft niet alleen plaats voor gelijkhoekige driehoeken, maar
L 5 nbsp;nbsp;nbsp;zelfs
I/O 11^, Boek: Over de gelijkvormigheid der figuren,
zelfs voor driehoeken die maar iien gelijken hoek bezitten, gelyk blijkt uit dit
II. GEVOLG, Fig. 95.
Indien twee driehoeken [DAE en BAC] eenen gelijken hoek [A] bezitten, zullen de inbonden dezer driehoeken totnbsp;elitander ftaan in famengeftelde rede der zijden [A B, AC,nbsp;en AD, AE] die de gelijke hoeken bevatten.
PAPPUS Call. Mathem. VII. 146. _ L. G. UI. 24. bereiding. Trek B E,
BEWIJS. A nbsp;nbsp;nbsp;ABE:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ADE ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB : ADv
A nbsp;nbsp;nbsp;ABC:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ABE =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A C : A Ei ^
derhalve A nbsp;nbsp;nbsp;ABC:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ade =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB . AC ; ADnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. AE.
III. GEVOLG.
Indien Parallelogrammen, of Driehoeken, gelijkhaltig zijn, ftaan de grondlijnen in omgekeerde rede der hoogten, ennbsp;omgekeerd [UI. 5 en 6].
TACQET op EUCL. VI, IS. Cor. St. Vl. I. Gev. 3.
IV. GEVOLG. Fig. 99.
Indien Parallelogrammen, of Driehoeken, gelijkhaltig zijn, 1 boven dien nen gelijken hoek bezitten; zijn de zijden , welke dien hoek in den eenen bevatten, in omgekeerde rede van die, welke den gelijken hoek iii detj anderennbsp;omvatten: en omgekeerd.
Het blijkt om dat als dan E D en H K de zelfde rede tot elkander hebben als BD: IK.
EUCL. VI. 14, is. St. VI. 12, 13.
IV, nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Euclides bewijst zijne veertiende en vijftiende pro-pofitien op de zelfde wijze die wg reeds in de IL Aanmerkingnbsp;hebben voorgedragen.
V. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men is thans in ftaat de 2. Oplosfing vannbsp;het XIV, XV. en XVI. Werkftuk van het II. Boek te verrigten.
V. GEVOLG.
In alle regthoeken wier inbond gelijk is , ftaan de grondlijnen in omgekeerde rede van de hoogten; en om-
ge-
I. ^fdamp;eling: Over-driehoeken en paspllelogrammen, 171
gekeerd: dat is, zoo vier lijnen evenredig zijn, zal de regthoek uit de twee uiterfte gelijk zijn aan den regthoeknbsp;uit de twee middelde.
EUCL. V[. l.
Vn, AANMEEKiNG. Euclides leidt dit Voorftel uit zijn XIV, af, dat hij op de wijze hier boven (Aanm 11.) voorgedragen betoogdnbsp;heeft. Wy zullen hier onderVoorft. IX. Gev, 3 en 4 zien, dat ditnbsp;Voorftel volftrckt het zelfde is als het V. van ons Hl. Boek , metnbsp;dcszclfs I Gevolg: en men zoude verwonderd zijn dit gewigtignbsp;Voorftel in het V. Boek van euclides niet aantetreffen, indiennbsp;Bet niet met het zoo evengemelde 16 en met het 17 van het VI. Boeknbsp;overdnkwam, en die Schrijver niet de evenredigheid meer bepaaldelijk in betrekking tot de Meetkunde befchouwd had.
VI. GEVOLG.
Wanneer de inhoud van een vierkant, op eenige lijn geplaatst, gelijk is aan den inhoud eens regthoeks: zal denbsp;zijde des vierkants middelevenredig zijn tusfehen de zijdennbsp;des regthoeks: en omgekeerd; dat is, wanneer drie lijnennbsp;gedurig evenredig zijn , zal het vierkant op de middelftenbsp;gelijkhaltig zijn aan den regthoek uit de uiterlle.
EucL. VI. 17.
VII. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit volgt onmiddclijk uit het vrgaands V. Gevolg: en hier mede komt overeen hetgeen gezegdnbsp;zal worden iii Voorftel IX. Gev. 4.
VIII. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit vijfde GcvoIg geeft aanleiding om eenenbsp;verdere uitbreiding te geven aan het Voorftel in Gev. 3.
; voorgedragen; en daarvan te maken het
VII. gevolg. Fig. 96.
Indien een gelijkbeeiiige driehoek F A G dnen hoek gemeen heeft met eenen anderen driehoek B A C . en het been A F des cerstgemeldennbsp;middel-evenredig is tusfehen die zjjden AB, AC des laatstgemelden,nbsp;Welke den gemeenen hoek bevatten; hebben die twee driehoeken gelijken inhoud.
L. G, IV. IS.
BEwtjs voor het I. Door Gev. a is A BAC:A FAGkAB.AC: AF.AG (d, i. ? op AF). Maar ora dat AF middel-evenredig isnbsp;t'isfchen AB en AC, is (Gev. 6) O op AF 00 Rh. uit AB.A C.nbsp;derhalve A ABC 00 A FAG.
of van een parallelogram [CARD] daar mede gelijkhal-tig', m malen de grondlijn [C KJ vatCeen anderen regthoek [CMHK] (of van een ander parallelogram [CGIK]nbsp;daar mede gelijkhaltig), beVat : en indien de hoogte DEnbsp;des eerrten mialen de hoogte [KH] des tweeden bevat: zal de inhond van den eerden regthoek (of van hetnbsp;eerde parallelogram) tot dien van den tweeden regthoeknbsp;G)f van het tweede parallelogram) daan als het productnbsp;van . door n tot i: en de eerde regthoek [CFED]nbsp;(of het eerde parallelogram [CARD]) zal zoo vele mafnbsp;len den tweeden regthoek [CMHK] (of den tweeden parallelogram [CIIIK]) bevatten, als er eenheden zijn innbsp;her getal, dat het' product is vaiix^?;; door n gemultipliceerd.
BEWIJS. Uit Voorde! VIII.
1. GEVOLG.
Da regthoek M K, eenmaal aangenomen en bepaald zijnde, kan dan als de maat van alle regthoeken, en daarom (11. 40 ) als die van alle figuren befchouwd, en daartoenbsp;gebruikt worden. Om nu zoodanige maat der inhouden ,nbsp;Tuimten, of oppervlakten, van alle vlakke figuren te hebben, neemt men den regthoek MK zoodanig, dat hoogtenbsp;en grondlijn gelijk zijn: of, datnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;het eennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vierkantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is,
waar van de zijde CK nbsp;nbsp;nbsp;die nheidnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is, welkenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;be
palen der lengte van de zijden CD, DU, oe, gebruikt wordt: bij voorb. n duim^ n voer, ne roede ennbsp;200 voorts : eii mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;noemt diennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regthoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;M K, vierkante nheid^ om denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zelve vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de kngtc-nheid ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;die
ter meeting van afftauden , of lengten, dient, te onderfchei-den: en dus indien het CD C B 10 voeten bevat, duidt dit aan 10 vierkante voeten, of 10 vierkanten, wier zijden ieder nen voet bedragen.
I. aanmerking. Het blijkt uit het gezegde; dat enkele en vierkantenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van verfchiHende benaming tot elkander
flaan, als het getal deelen die in de enkele nheid begrepen zijn tot het vierkant van dat getal; dus behelst n voet 12 duimen: en n vierkante voet 12 maal 12 of 144nbsp;vierkante duimen: het geen ook door eclides in de XI.nbsp;Propofitie van het VIII. Boek bewezen wordt,
II.
-ocr page 235-II. AANMERKING. Meii ziet hier uit hoe men met euct.ides CVII. Uep. 16 ) een product van twee getallen een vlaknbsp;getal noemen kan, waarvan de getallen die het zelve vrtbrengen de zijden zijn : dar vlakke getallen tot elkandernbsp;Itaaii in famengeftelde rede hunner, zijden: (eucl. VUI-5-)nbsp;pn dat gelijkvormige vlakke getallen zoodanige zijn wiernbsp;zijden evenredig zijn (Vil. Bep. 217.
Deze is ook de reden waarom de Ouden v/Me nbsp;nbsp;nbsp;,
(J,oci plant') en vlakke vraagjlukken kproblemata'plana), tlie werkrtukken noemden, waarin producten van niet meernbsp;dan twee. grootheden, of alleen vlakke getallen gebruiktnbsp;wordenwelke bepaling nader ' in het V. Boek, Voorfielnbsp;XlII. Aanra. 5. zal ontwikkekf worden.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
ill. aanmerking. Dit eenmaal gefteld zijnde , kunnen ver-fcheide voorftellen op eene andere wijze, dan tot hier toe gedaan is, uicgedrukt, en tevens de uitdrukkingen door andere Schrijvers gebezigd, opgehelderd worden. Welke uitdrukkingen wij onder de gedaante van gevolgen uit ditnbsp;Voorfcel zullen opgeven.
II. GEVOLG.
De vermeniavuldiging der getallen die de lengten van twee lijnen_aanduiden, drukt den inhouduitdesregthoeks vannbsp;deztlve lijnen: en gevolgelijk eene rede , uit twee redennbsp;famengefield, wordt door den regthoek der lijnen, die denbsp;enkele reden uitdrukken, en eene verdubbelde tede doornbsp;het vierkant eencr lijn aangewezen, en komen daar medenbsp;overeen.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Wanneer vier liineii evenredig zijn, is de regtiioek der uiterfle geliikbaltig aan den regthoek der middelde,nbsp;zoo als in het VIK. Voordel , Gevolg 5, uit andere gronden bewezen is; en men ziet hoe dit overnkomt metnbsp;het V. Voorde! van het l. Boek.
Wanneer drie lijnen evenredig zijn j is de inbond van vierkant op de middelde gelijk aan den regthoek dernbsp;uiterde; zoo als reeds in het 5. Gevolg van het Vill.nbsp;Voordel uit andere gronden bewezen is: eu het blijkt hoenbsp;dit overeenkomt met het i. Gevolg van het V. Voordelnbsp;es III. Boeks.
-ocr page 236-174 ^oek: Over de gelijkvormigheid dor figuren,
V. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De inhoud van een parallelogram kan worden uitgedrukl door het product van de grondlijn, vermenigvuldigd doornbsp;de hoogte: het geen overeenkomt met het i. Gevolg vannbsp;het XI. Voorftel uit het II. Boek.
Insgelijks kan de inhoud van een vierkant uitgedrukt worden door de tweede magt of het quadraat van des-zelfs zijde.
IV. i'ANjiERKiNG. Hcc is otn die reden, dat de Ouden (ge- lijk reeds in het II. Boek, Bep. V. Gev. 2. gezegd is) de uitdrukking magt van eene lijn , eene lijn heeft zoonbsp;veel magt, eene lijn kan zoo veel, gebruikten om de vierkanten op die lijnen gemaakt aan te wijzen; dus bij voorbeeld, zoude men, in den trant der Ouden fprekende, kunnen zeggen: (Zie hier onder Bep iv. Gev.) indieii eenenbsp; lijn in uiterfte en middelfte rede gefneden is, kan hetnbsp; grootfte deel den regthoekvaii de geheele lijn en het kiein-,, fte deel. Zoo dan het getal eenheden waar door de inhoudnbsp;vaneen vierkant uitgedrukt wordt, geen quadraat getal is,nbsp;is de zijde van het vierkant onmeetbaar met betrekking totnbsp;de eenheid die de lengte meet; en dit is altijd het geval vannbsp;de diagonaal van een vierkant met betrekking tot de zijdenbsp;(Zie Ilf. Bep. 8. Aanm, 2.) het geen ook euclides in denbsp;laatfte Propofitie van zijn X. Boek bewezen heeft.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De inhoud eens driehoeks kan worden iiitgedrukt door het product van de grondlijn vermenigvuldigd doornbsp;de halve hoogte: of door dat van de hoogte vermenigvuldigd door de halve grondlijn: in n woord door hetnbsp;halve product van grondlijn en hoogte: en dit komtnbsp;overeen met het i. Gevolg van het XIII. Voorftel uit hetnbsp;II. Boek.
VII. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
De inhoud eens regelmatigen veelhoeks wordt uitgedrukt door het halve product van den omtrek met de loodlijn vermenigvuldigd : en dit kotnt overeen met hetnbsp;XXXIX. Voorftel van het II. Boek.
vm. gevolg.
De inhoud van een regthoekig trapezium wordt uitgedrukt
-ocr page 237-drukt door het product van de grondlijn met de helft van de fom der regthoekszijden; ot, war op het zelRlcnbsp;uitkomt (Ilf. ao. Gevolg); met eene arithmetifche mid-^ol-tvenredige tusfclien de regthoekszijden , vermenigvul-digd; en dit komt overeen met het XV. Voorftel uitnbsp;II. Boek.
IX. GEVOLG.
Een regthoek op eene gegeven lijn te Jfellen, dat is,, op eene gegeven lijn eenen regthoek te maken, die aan een gegeven regthoek, of vierkant, gelijkhaltig is, komt overeen metnbsp;te vinden het quotient dat er voorkomt , wanneer men hetnbsp;product van twee getallen door een gegeven getal divideert:nbsp;immers komt het gevraagde hier op neer: eene lijn te vinden , die met eene gegeven lijn eenen regthoek, aan eenen gegeven regthoek gelijkhaltig , uitraake: het geen het onderwerp van ons XVI. Werkftuk in het II. Boek oplevert.
V. AANMERKING. Alle de voorgaande uitdrukkingen zijn naauty-keurig als men ze behoorlijk gebruikt: doch zij zijn iu zich zelf genomen niet geometrisch , en men boezemt nietnbsp;alleen onnaauwkenrige, maar zelfs geheel valfche denkbeelden in, wanneer men dezelve, zoo als velen doen , in dennbsp;beginne gebruikt. De Ouden gebruikten nimmer derge-lijke onnaauwkeurige uitdrukkingen, als bij voorb.: de in-noud eens regthoeks it gelijk aan het product van de grondlijn met de hoogte: ook hebben wij, zoo als behoort, denbsp;viOQXd^n uit gedrukt door, o komt overn met, in plaats vannbsp;het onnaauwkeurige en valfche is gelijk aan gebezigd. Mennbsp;kan in den eigenlijken zin geen lijnen door elkander raul-tipliceeren, maar alln getallen; en dus ook die getallennbsp;welke de lengte van twee lijnen, met betrekking tot eenenbsp;gemeene maat, uitdrukken; het geen eigenlijk, wanneer mennbsp;de uitdrukking tnultiplicatie, of product van twee lijnen gebruikt, bedoeld wordt. De multiplicatie van twee lijnennbsp;maakt nimmer eenen regthoek of een vierkant; maar het getal van vierkanten nheden , dat is, van gelijke vierkanten,nbsp;Wier zijden men als betrekkelijke nheid, of gemeene maat,nbsp;'^oor de lengte gebruikt, het welk de inhoud van een ge-seven reg:hoek bevat, is gelijk aan het product der zij-den van dien regthoek, dat is, aan het product der getal-len Welke de lengte van die zijden, met betrekking tot de gemelde nheid, of tot de gemeene maat, uitdrukken. Wil iemandnbsp;echter de gemelde uitdrukkingen, na dat derzelver ware zinnbsp;cns naauwkeurig verklaard geweest is, gebruiken, hij doenbsp;Zulks, doch flechts als verkorte manieren van fgreken, ofnbsp;verkorte aanduidingen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-
VI.
i?6 IF. Boek: Over ck gclijkvnmghcid der figuren.
VI. AANMERKING. Mcn kan dan , wanneer raeri die uitdrukkingen en die manier van de zaken uittedrukken gebruikt, in plaats van Regth. uit A en B, het teeken A X B ,nbsp;in plaats van O op A, het teeken A^ [de magt, evennbsp;als voor getallen III. Bep. 4.] gebruiken.
zie hier over DAtEMBERT, Melanges Tome V. p. 211. feqq. y\c(iVETScltolioii op de 34, ca aaPropofitie van het I. en op de -2nbsp;propofiue van her VI. Boek van euclides: clavis op die zelfdenbsp;plaatfen,
X. G E V O L G.
Indien men de inhouden van twee parallelogram men, of driehoeken, door I en i, de grondlijnen door B en denbsp;hoogten door H en k uitdrukt, is ons Voorftel ditnbsp;I:r=BxH: b k. h: en dusnbsp;llt;. Zoo de grondlijn onmeetbaar is tot de grondlijn , ofnbsp;de hoogte tot de hoogte, doch niet beiden te gelijk, zullen ook [UI. Bepaling. 12. Gev. i.] de inhouden I en i onderling onmeetbaar zijn: dat is geen ruimte zal derzelvernbsp;gemeene maat kunnen zijn. f
Indien en hoogte en grondlijn van beide de parallelo-grammen onderling onmeetbaar zijn, kan den rede van de inhouden [I: r] meetbaar zijn : (III. Bep. 10. Aanm. 2).
Dit is het geval, bij voorbeeld, indien men op de diagonaal en de zijde van een vierkant, vierkanten befchrijft.
3. Indien vierkanten op lijnen gemaakt worden, die onderling onmeetbaar zijn, zullen hunne inhouden, dat is die vierkanten zelf, niet tot elkander (lian als een quadracit^nbsp;getal tot een quadruat getale dat is als twee getallen, waaruit men de wortels trekken kan.
4. Vierkanten kunnen onderling onmeetbaar zijn : want [Fig. 114] zij AF onmeetbaar tot FD: bijv. als 15:2.nbsp;Men Helle eene middel-evenredige F 8 tusfehen beiden:nbsp;dan is F B^ = 2 iZ ig zs V 60; en dus het O op F B: ?nbsp;op F D = V 60 : 4 = V' 15 : 2: en dus onmeetbaar: ennbsp;O op FB: ? op A F = V' 60:1/ 15. d. i. = 2 : i ,nbsp;onderling meetbaar.
Er zijn dan Vierkanten die onderling onmeetbaar zijn ; er zijn lijnen die onderling onmeetbaar zijn, dochnbsp;wier vierkanten meetbaar worden : en er zijn er die onderling onmeetbaar zijn , eu wier vierkanten het ooknbsp;zijn; EUCLIDES noemt de eerstgemelde Irnen onmeetbaar innbsp;Ungte: de laatstgemelde onmeetbaar in lengte en in magt-
, /Ifdeeling: Over driehoeken en paraelogrammeh, 177
En hier uit volgt ht IX. Voorftel van zijn X. Boek in deze Woorden: ,, De vierkanten welke op lijnen, die 'm lengtenbsp;,, meetbaar zijn, gemaakt worden, ftaan tot elkander alsnbsp;5, een quadraat-getal tot een qitadraat getal, en omge-gt;9 keerd. De vierkanten op lijnen gemaakt die in lengtenbsp;19 onmeetbaar zijn, (taan niet tot elkander als een quadraat-9, getal tot een quadraai.getal, en omgekeerd: En, (ditnbsp;99 is het Gevolg) lijnen die meetbaar zijn in lengte9 zijn hetnbsp;9, ook in magt: die, welke meetbaar zijn in magt, zijn hetnbsp;9, niet altijd in lengte: die, welke onmeetbaar zijn in lengte ,nbsp;99 zijn het niet altijd in magt; doth die,welke onmeetbaarnbsp;99 Zijn in magt, zijn het ook altijd in lengte.
Xr. Gevolg.
Git de voorgaande Gevolgen , vooral uit het IV. blijkt Verder, dat men alle reden, hoe Dmengelleld zij ook zijnnbsp;mogen, altijd door de rede van twee regte lijnen kannbsp;uitdrukken.
Want zijM:N = AXBxC:DXEXF. De enkel reden A tot D gt; B tot E, C tot F kunnen altijd door regtenbsp;lijnen worden uitgedrukt, het zij dezelve meetbaar of onmeetbaar zijn*
Jk lie] p middel-evenredig tusfehen A en B , Q tusfehert D en E; en R derde evenredige aan P en Q: dan is(Gev.4.)
? nbsp;nbsp;nbsp;op P 00 Regth. uit A en B ;
dus
? nbsp;nbsp;nbsp;op Q 00 Regth. uit D en E
? nbsp;nbsp;nbsp;opP:oopQ=SAXB:DXE; maar
P : Q Q P- dus (4. Gev, en III. 15) OopP; DopQ^PtP* gevolgelijk
P :Rz=:AXB:DXE:en M : N =: P X C : R X F.
Stel S middel-evenredige tusfehen P en C , T tusfehen R e P, en U derde evenredige aan S en T: dus
OopS:nopT = PXC:RXF.
ttaar. ? op S : O op T = S : U: dus
M : N = S ; U; en op de zelfde wijze vot all *gelijke gevallen.
X. voorstel. Fig- 91 en 92.
Ib gelijkvormige driehoeken [ABC, D E F] zijn d regtboeken der eveneensgeplaatfte zijden [AC, BC, DF,
M nbsp;nbsp;nbsp; Fj
1/8 IV. Bosk ; Over de gelijkvormigheid der figuren.
EF] doch wederkerig genoraen , Cnaraelijk vati AC en EF, P, C en DF) gelijk aan elkander.
BEWIJS. Uit het II. Voorfcel en het 4. Gevolg van het VIII.
aanmerking. Dit zal in het V. Roek, in de 1. Aanmerking van het XII, Voorfcel op eene andere wijze bewezen
worden.
Fig. 91 en 92.
Gelijkvormige driehoeken (laan , wat hunne inbonden betreft, tot elkander in de zelfde rede als de vierkanten hunner eveneensftaande zijden: of, in andere woorden, zij zijn in verdubbelde rede hunner eveneensftaande zijden.
ecl, Vr. 19. St. VI. 14. L. G. lU. 25.
bereiding. Men fcelle dat B G en E H de hoogte der driehoeken A B C en D E F zijn,
BEWIJS. Uit het VIII. Voorfcel, en het 2. Gevolg van het II; of, zonder bereiding, uit het i. Gevolg van het VIII.nbsp;Voorfcel, het II. Voorfcel van dit Boek, en het 2. Gevolgnbsp;van het XI. Voorfcel van het III. Boek.
* AANMERKING, Fig. 91. Wij hebben in het III. Boek, Aanm. op de i8. Bep gezegd, dat. die uitdrukking Wr-duhbelde rede, in den eerften opflag, bij el'CLides eene andere beteekenis fchijnt te hebben dan bij ons! en wij hebnbsp;ben (Aanm. opllt, is.Gev. i) getoond, hoe beide die be-teekenisfen echter in de daad overnkomen. Volgens denbsp;beteekenis door eucmdes aan het woord verdubbelde redenbsp;gegeven, moet men bewijzen, dat indien BL derde evenredige is aan BA, cn DE, men hebben zal A BAG,nbsp;A DEF = AB : BL: Men ftelle B A ; D E = DE;nbsp;BL: en trekke CL, dan gaat dat bewijs aldus voort:
dus nbsp;nbsp;nbsp;BCnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BAnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de
maar nbsp;nbsp;nbsp;BAnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DE=:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;!nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BL, (onderftelling)
M^aarom, uit bet 4. Gevolg van het VII[, Voorllel A BLC CO A DEF:
doch A BCA : A BLC = AB : BL (Voorlt. VI.) dus A BCA : a DEF = AB j BL.
:Indien eene liin [BD] eenen hoek [CBA] van eenei driehoek [13 C A] in twee gelijke deelen deelt, en tot opnbsp;de overllaande zijde of de grondlijn [CA] verlengd wordt.nbsp;Zullen de Bukken [AD, CD] van die overdaande zijde,nbsp;nf grondlijn , in de zelBie rede Itaan als de aangrenzende'nbsp;Zijden [A-B . BC] des driehoeks: en het vierkant van dienbsp;Zelfde lijn [BD], te Cimen met den regthoek uit de gemelde ftukken [AD, DCJ van de grondlijn , is gelijk aainbsp;den regthoek van de twee overige zijden [BA, BC].
Ecl. Vf. 3. St. VI. 3- L. G. Ilf. 17, 31-
bereiding. Voor het I. Men verlenge A13: en zij CE//BDlt;
BEWIJS. Men betoogt eerst nic den aard der evenwijdige lijnen, en uit I. 7. dat ECB .3 CEB, en dus (^I.nbsp;28.) E13 =: C13: waaruit het bewijs volgt door bet I.nbsp;Voorftel van dit Boek.
bereiding. Voor het 11. Stel Z DAF = .iJABF: Verleng BD tot in F, en trek C F.
BEWIJS. Men betoogt uit het gegevene, en de bereiding, dat A ABF Cx, A DAF, om dat ABF = CBD,nbsp;iquot; de A A C DI! en FD A ook Z 13 C D =: Z AFD,nbsp;O l AFB in den A ABF: cn dus in de AA BFA einbsp;. CBD wederom L BAF l CDB- Waaruic door het X#nbsp;Voorftel van dit Boek, door II. i. Gev. 2. en wederomnbsp;door het X. van dit Boek, de zaak bewezen wordt.
AD DC of'ACtAD = AB BC: AB: dat is, de grondlijn tot een der (lukken van dezelve, zoo als denbsp;fom der zijden tot de zijde aan het gemelde (luk grenzende. En insgelijks het verfchil der (lukken tot het verfchilnbsp;der zijden, als een der (lukken tot de aangrenzende zijde.
I. en gf.wigtige aanmerking. Fig. loi, 102. Hot eerde gedeelte van dit Voorftel is de derde Propofitie van hetnbsp;Boek van euclides; doch bet zelfde geldt ook voornbsp;den uitwendigen hoek CBE: dan valt de lijn BD, dienbsp;dun gemelden hoek CBE in twee gujke deelen [EBD,nbsp;un DBC] deelt, buiten de grondlijn CA: doch niet altijdnbsp;aan den zelfden kant; w'ant indien ZEBC = 2Z BCA,nbsp;u*i du indien de A CjBA geiijkbeenig is, zal BD // AC
zijn.
l8o IV, Boek; Over de gelijkvormigheid der figuren.
zijn, en gevolgelijk zal die lijn de grondlijn AC niet fnij* den. Indien I EBC lt; 2 i BCA, zal de lijn BD naafnbsp;CB hellen zoo als in Fig, loi : doch naar BA zoonbsp;L EBC gt; 2 L BCA, zoo als in Fig. 102.
liidicn men dan in Fig. loi. CO // AB ftelt, is DA; D C = A B ; C O: maar Z B O C = Z O B E (1. 7.)nbsp;en dus ^ 4 OBC: dus (I. 2.8 ) OC = BC;
en dus DA;DC = AB:BC. En indien men in Fig. 102. A O // CB Helt, isnbsp;da : DC = AO : BC-.
maar Z AOB = i CBQ = Z QBE =r Z ABO: en dus 0- 28.) AO = BA; dus D A : DC = AB:BC.
Verder, men irekke in Fig. lOI. QA zoodanig dat Z Q A B = Z B D C : dan isnbsp;A DCB A BQA: want L QBA =: Z OBC:
4 QAB = Z BDC; dus L DCB = z BQA;
\vaaruit volgt (IV. 2.)
DB : B C BA : BQ: dus (Voorfl. VIJL Gev. 5.) Regth. uit BC, BA cO Regth. uit DB, BQ 00 Kegth.
uit dB, DQ ? op DB (II. 1. Gev. 2.) maar A DCB ^ A DQA: dusnbsp;DB : DC = DA ! DQ ennbsp;Regth. uit DB, DQ oo Regth, uit DC, DA:nbsp;dus;
I. nbsp;nbsp;nbsp;Regth. uit BC, BA 00 Regth. DC, DA Q op DB.nbsp;Men ftelle in Fig, 102. QC zoo dat I QCB = L BDA:nbsp;dus is A QCB A BAD: waaruit volgt
DB : BA = BC : BQ en Regth. uit B A, B C 00 Regth, uit D B, B Q
co Regth. uit D B, D Q Q D B (II. i, Gev. 2.) Maar A DBA A D Q C; en dusnbsp;DB : DA - DC : DQ ennbsp;Regth. uit*DB, DQ 00 Regth, uit DA, DC.
II. nbsp;nbsp;nbsp;En dus Regth. uit BA, BC co Regth. uit DA, DCnbsp; Q op D B,
Oic hetgeen hier ,N. I. N. II. bewezen is, blijkt, dit het tweede lid van ons Voordel in dit geval het volgende wordt.
}gt; Het verfchil tusfehen het vierkant van die lijn en den ,, regthoek der (lukken van de grondlijn, is gelijk aannbsp;,, den regthoek der overige Z'jden.
Ons geheel voordel, zoo wel op den inwendigen als
/ /Jfdedtng^ Over drithoektn tn pafallclogrammen, i8i
op den uitvvendigen hoek toegepast, wordt in den alge-meenflen zin het volgende:
,, 1 ndien eene lijn eenigen hoek eens driehoeks, het zij 5, eenen inwendigen het zij eenen uitwendigen, in tweenbsp; gelijke deelen fnijdt, cn, zoo noodig verlengd zijnde,
,, de tegenovergeftelde zijde, of grondlijn, ontmoet; zul- len de hukken door die lijn op de grondlijn gemaakt,
in de zelfde rede tot elkander haan als de aangrenzende ,, zijden: en de torn, of het verfchil, van het vierkantnbsp;,, van die lijn en van den regthoek uit de gemelde ftuk-,, ken van de grondlijn, zal gelijk zijn aan den regthoeknbsp;,, uit de overige zijden: de ibm namelijk , zoo de in- wendige, het verfchil zoo de uitwendige hoek ge- deelcl is geweest.
De Heer u., simson heeft het eerste gedeelte van die eigenfchap voor den uitwendigen hoek als een belangrijknbsp;bijvoegfel op de derde Tropofitie des VI. Boeks van eu-CLiDES voorge/eld, doch hij heeft niets van het tweedenbsp;gemeld (Sect. Conicae Libr. I. pr. ii. p. 36).
II, AANMEKTtiNG. De Heer rehuec lobatto heeft mij het volgende, naar mijn inzien treffend , bewjjs medegedeeld.
bereiding. Fig. I03lt;i.Zij DB de lijn die den inwendigen hoek ABG in twee gelijke deelen deelt; rigt op BD in B de x FBG, dienbsp;AC, zoo noodig verlengd, in G ontmoet. Trek At' en C L XInbsp;op F G en dus // BD,
BEWIJS, Voor het I. gedeelte. Dan is, om dat i FDD h rir ZDBLcnZABDr= ZDBC: ookZFBArrrZCBG ennbsp;lt; AFB A CLB. Verder om dat ZEEG = L FBA quot;nbsp;Z CBG; wordt de uitwendige hoek EBC in twee gelijkenbsp;deelen gedeeld door de lijn B G welke loodregt ftaac opnbsp;de lijn BD die den inwendigen hoek in twee gelijke deelennbsp;verdeelt. iVu is , om dat ^ AFB A CLB, AF : CL t;nbsp;AB : BC: maar (Voorft. I. Gev. a. en Voorft. Il.j AD : D r. nbsp;AF: CL: en AG: CG A F: C L: derhalve
Voor den inwendigen hoek AD:DC AB :BC en voorden Uitwendigen; AG:CG AB:3C.
bewijs. Voor het II. gedeelte. Men trekke BH x op AC: dan is in de A A A B H en H B C door II. ld- Gev. 4, ?
? op B C 00 O op A H - ? op H C; derhalve (U. lo.) Ril. uit [AB B C] en [AB B C] CO Rh, uit[aH HC]nbsp;n [A H H C] 00 Rh. uit A C en [A C - , H C]. Zoo dat i.nbsp;(Voorft. vin. Gev. 5.)AC:AB FC=:AB BC:Alt;'
B HC. Tot dus verre zoo wel voor lt;!en inwcndiferi
^cn ui twendigen hoek : maar nu
Voor den inwendigen hoek: A B ; B C = A D : D C en dus AD DC: AB B C = DC : BC: d. i. AC : AB BC = D C:
B C: en derhalve AB~BC: AC aHC = DC:CB: gevol-gelp Kh. uit AB en B C O op B C CO Rli. uit AC . DC
a Rh. uit DC . HC ; of Rh. uit AB en BC 00 ? op BC Illi. uit [AD DC] en D C 2 Rh. uit D C . C H OO ? opnbsp;B C Rh. uitAD.DC D opDC s Rh. uit D C . C H.
Maar in ,AdbC isO op BC ? op DC 2 Rh. uit D C . CH 00 n op B D (II, 19): derhalve 2. Rh. uit AB en B C OOnbsp;Q op B D -f- Rh. uit A D en D C.
Voor den ttkivendtgen hoek is AB : BC 'Z:z. AG : GC derhalve AG GC:AB BC = GC; BC: dus AC:ABBCnbsp;p GC : BC dus uit i, AB-j-BCtAC 2HC S GCnbsp; BC: cn Rh. uit AB en B c -f- D op B C 00 Rh. uit AC .nbsp;G C 2 Rh. uit II C . C G; 00 Rh. uit [AG G C] en G C nbsp;a Rh. uit HC . C G 20 Rh. uit AG cn Gc Q op G C nbsp;i. Rh. uit H C . C G: en dus Rh uit A B en B C 00 Rh. uitnbsp;AG en GC - [? op B C -f- op G C -f 2 Rh. uit IIC .nbsp;C G]. Maar (uit II. 19 ) is in A c B G, O op B C ? op C Gnbsp; 2 Rh. uit IIC . C G 20 D op BG: derhalve Rh. uit AB cnnbsp;B C CX3 Rh. uit AC co CG D op B G.
ir. aanmerking. Fig. g-ja. Indien de driehoek BCA regthoekig is in C: en de hoek CC A Moordt door CDnbsp;in twee gelijke deden, Z CBD en Z DBA, gedeeld; isnbsp;AC : CD = BC BA: DC: en daar ABgt; CB;nbsp;is AD gt; CD; dis AC gt; 2 CD: terwijl 4 CDA =:nbsp;2 L CBD: derhalve AC : CD gt; Z ABC: L CBD.nbsp;Indien nu Z ABE = Z CBA; is insgelijks CE: ACnbsp;gt;ZCBE: ZCBA: en derhalve CE: CD gt; ZCBPZ:nbsp;Z CBD. De lijnen CD, CA, CE, die dc hoekennbsp;CBD, C B A , C B E op de grondjh C E des regthoeki*nbsp;gen driehoeks berpannen, groeijen derhaiven in grooterenbsp;rede aan dan de hoeken zelve: en daar uit is op te maken, het geen trouwens nader, en uit geheel andere gronden , in Vin. 26. zal bewezen worden, dit
II. gevolg.
Indien uit eenen der hoeken_ eens regtliodtigen driehoeks, op de overftaande regthoekszijde lijnen getrokken worden:nbsp;zullen de Rukken die dezelve daarvan, van den regten hoeknbsp;te beginnen, affnijden, in grootere rede aangroeijen dan denbsp;boeken die zy zelve mei de andere regthoekszijde maken.
IV.
-ocr page 245-IV. aanmerking. Papps vooronder/lelt dit Voorllel in het bewijs van het I. Voorllel des vijfden Boeks zijner CoUec-tiones Mathetvaticae, en het is aldaar in den Commentariusnbsp;van coMMANDiNs door dezen bewezen gew^orden.
XIII. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL. Fig. 103.
De lijnen [CE, AF], die nit twee hoeken [C en A] van eenen driehoek [CAGJ op de tegenovcrgellelde zijden [AGnbsp;en CG] getrokken worden, en dezelve in twee gelijke dee-len fuijden, ontmoeten elkander in een llip [D] dat op tweenbsp;derde gedeelten is van iedere lijn, van den top af te rekenen; en indien men uit den derden hoek [G] door dat flipnbsp;[D] eene lijn [GBj op de derde zijde [CA] trekt, zal zijnbsp;ook die zijde in twee gelijke deelen fnijden: zoo dat denbsp;drie lijnen, welke, uit de drie hoeken getrokken, de tegen-overllaande zijden in twee gelijke deelen fuijden, elkander innbsp;n Hip, dat op twee derde gedeelten van iedere lijn geplaatstnbsp;is, ontmoeten.
Voor het I. gedeelte: bereiding. Men Helle FY // AG.
BEWIJS. Men bewijst tiit het II. Voorllel van dit, en het IV. van het III, Boek dat FY de helft is van EG, dusnbsp;ook van AE; en men gaat voort uit de gelijkvormige driehoeken A DE , YDF, om te toonen dat A D = a DF.
voor het II, GEDEELTE. BEREIDING. Men Helle F R // C A.
BEWIJS. Men bewijst, even als in het voorgaande , dat CB = |RF, en men gaat voort uit de gelijkhoekige drie--hoeken A DB en RDF, waaruit het beHuit volgt.
aanmerking. Dit VoorHel is van veel mit in de Natuurkunde, daar het dient om het zwmarte-middelpunt eens driehoelt^ te bepalen, het welk in het Hip D zelf valt.
XIV. nbsp;nbsp;nbsp;voorstel. Fig. 104.
Indien men uit twee hoeken (G, C) eens driehoeks [CAG] ioodregte lijnen [GB, CE] op de tegenoverflaande zijdennbsp;i^C A, AG] trekt, zullen zij zich, binnen of buiten den driehoek, in nig flip D ontmoeten, luate de hoeken desnbsp;driehoeks alle f:herp zijn, of iiiet; indien men verder uic dennbsp;derden hoek [A] door dat flip [] eene iijn AF op denbsp;derde zijde [CG] trekt, zal deze ook loodregt op die zijde Haan.
bewijs. ACBD_-iACAEtoAGBA:dus CB:BD=BG:BA.nbsp;of, CB : BG ~ BD : BA.
184 IV. Boek: Over de gelijkvormigheid der figuren,
en dns, daar de hoeken om B regt zijn, is
4 AB D A CUG. Qy, Voorftel^: en dus I bad = L DGF;nbsp;i B DA =: Z FDG
dus / ABD = I DFG: dus i DFG = L.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De lijnen, welke uit de drie hoeken eens driehoeks op de tegenoverftaande zijden loodregt getrokken worden , fnijdgnnbsp;elkander in n flip.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVpLG.
Indien de driehoek regthoekig is, is het flip de top zelf van den regten hoek.
III. gevolg.
Indien de driehoek gelijkzijdig is, hebben dit Voorde!, en het voorgaande te gelijk plaats: vermits als dan de loodlijnen juist die lijnen zijn, welke de zijden in twee gelijke dee-len fnijden,
AANMERKING. Dit Voorflel komt in de daad overeen met het 60, uit het zevende Boek der Collcctimies Matkematicae van pappus ,nbsp;hoe wel die wiskundige het aldus uicdrukt; Zij de driehoeknbsp; A C G: en men trekke de Ijjnen A F , C E , B G , zoo dat A Fnbsp; loodregt zij op CG en de (lippen A, D, D, E in eenen cirkelnbsp; (laan; znllen de hoeken om B en E regt zyn, Dat wanneer tienbsp;Hippen A, B, D, E in den cirkel liaan de hoeken BAE -4- B D Knbsp;ga aL en L ABDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AED, ook =; 2 L zijn, zal in VI- 6.
bewezen worden. nbsp;nbsp;nbsp;
XV. VOORSTEL. Fig. 65.
Indien men uit tien regten hoek [C] eens regthoekii gen driehoeks [ABC] eene loodlijn [CL] op de fchuin-iche zijde [AB] Iaat vallen, zal deze den geheelen driehoek in twee driehoeken [ACL, CBL] verdeelen, dienbsp;pnderling, en met den geheelen driehoek, gelijkvormig zijn.
EcL. VI. 8. St. VI. 8. L. C. Ill- 23-
BEwijs. Uit het 2. Gev. van het XV. Voorflel van het I. B. j en I. Gevolg van het II. Voorflel van dit Boek.
I. GEVOLG.
De loodlijn [CL] dje op de grondlijn valt is middel-
dat is.
I. /Jfdeeling: Over driehoeken en paralklogaammen. 1S3 del- evenredig tusfchen de ftukkeii van de grondlijn:
L. G. III. 23. 3,
. AANMERKING. Indien men het XVIII iVoorftel van het II. Boek, op het 5. Gevolg van het VIII. Voordel van ditnbsp;Boek toepast, zal men zien dat het gemelde XVIII.nbsp;Voordel met dit Gevolg overeenkomt, hoewel uit anderenbsp;gronden afgeleid.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Iedere der regthoekszijden [BC of AC] is middelevenredig tusfchen de fchuinfctie zijde [A BJ en het aangrenzend ftuk fBL of AL] van dezelve, dat is AB :AC = AC : ALnbsp;AB : BC == BC : ?L,
L. G. m. 23, 2.
II. AANMERKING. Dlc komt Overeen met het l. Gevolg van het XVI Voorftel van het II. Hoek, zoo men het 5. Gevolgnbsp;van het VIII. Voordel van dit Boek daarop toepast.
lil. AANMERKING. Uit lict votige Gevolg wordt het Voorftel van PYTHAGORAS (II. 16) zeer gemakkelijk afgeleid, doornbsp;het 5. Gevolg des VIII. Voorftels van dit Boek, en het i.nbsp;Gev. van het I. Voorftel des II. Boeks.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Uit het I. en 2. Gevolg, gepaard met het 5. Gevolg van het VIII. Voordel is,
O op nbsp;nbsp;nbsp;C Lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00 Regth, nitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A L, L B en
O op nbsp;nbsp;nbsp;C Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00, Regth uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A B, L B :
gevolgelijk
O op CL : ? op CB = AL : AB,
Dit is in het XIII, Boek van euclides het Lemma na de *3 Propofitie.
Aanmerking. nbsp;nbsp;nbsp;En dus zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C L en C B innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onderverdub-
delde rede nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AL en AB,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;het geen mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitdrukt;
CL : CB = KAL ; VaB: de Ouden zouden gezegd hebben: dat ,, de magten vannbsp; de lijnen CL en CB tot elkander ftaan als de lijnen
AA quot;R
IV.
IV. GEVOLG. Fig. 105.
Indien men in den regthoekigen driehoek ACB de loodlijn C-D riit den regten hoek neergelaten verlengt, tot dat de zelve de lijn AF, uit A loodregt op C A getrokken in Fnbsp;ontmoet, zullen Algt; en CD middel-evenredige zijn, tusfchennbsp;DF en DB;
want DF : AD = AD : DC en A O : D C =: D C : B D; dusnbsp;rf DF, AD, DC, BD.
V. aanmerking. Indien er dtn een middel was, om, wanneer DF en DB regthoekig op elkander geplaatst zijn, de lijnen AF, AC, CB zoodanig te trekken, dat AF en ACnbsp;om A in de verlenging van de lijn BD, en AC en B Cnbsp;om C in de verlenging van DF regte hoeken zouden maken, zoude het beroemd vraagfmii om twee widdel-evenredigen tusfchen twee gegeven lijnen te vinden, geometrisch opgelost zijn; dch dit is nmogelijk. Plato heeftnbsp;echter een middel uitgedacht, om zulks door twee winkelhaken w'erktuigelijk te doen; en dit middel is Hechts eenenbsp;toejiasfing van dit gevolg; zie onze II. Aanmerking op hetnbsp;IX. VVerkftuk van het III. Boek.
V. GEVOLG.
ndien men uit B, BI loodregt op A B ftelt, en uit I, IL loodregt op ACI, zullen AB, AT, twee middelevenredige zijn tusfchen AC en AL; want uit het tweede Gevolg is
AC : AB = AB : AI AB:AI = Al:ALnbsp;en dus ^ A C, A B, AI, A L.
VL aanmerking. Hierop freunt een inftriiment door carte-sius uitgedacht, om twee of meerdere middel-evenredige tusfchen twee gegeven lijnen te trekken: ik zeg twee of meerdere : want men kan met het trekken van loodlijnen op A Lnbsp;en AI, op de zelfde wijze_voortgaan zoo ver men wil,nbsp;en er zullen altijd gelijkvormige driehoeken ontftaan.
(ji Zie eutocus Omm. ad prop- 2 -IA Arcbimews de Sphaer* et Ciliniro.
(J) Geometrie Lii, II. in initio et L- UI. ia initio.
18?
OVER LIJNEN IN UITERSTE EN MIDDELSTE REDE GESNEDEN.
IV. BEPALING. Fig. 107.
Eene lijn [AB] wordt gezegd in uherfle en middel(le rede gefneden te zijn, als de geheele lijn [A B] tot hetnbsp;grootfle deel [AC] de zelfde rede heeft als het grootllenbsp;deel [A C] tot het kleinfie [C B],
EcL. VI. Bep. 3. St. VI. Bep. 3.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien men het 6. Gevolg van het VIII.nbsp;Voorfcel op deze Bepaling toepast zal het blyken, datnbsp;eene lijn in uiterfle en middelde rede gefneden, die is waarin het vierkant op het grootfce ftiik van gelijken inbondnbsp;is als de regthoek uit de beide ftukken; en hieruit wordtnbsp;afgeleid die
GEVOLG.
Ecue lijn in iiiterfte en middelde rede te fnijden , is het zelfde , als eene lijn zoodanig te fnijden, dat hetnbsp;vierkant van het grootfte ftuk [A C] gelijk is aan dennbsp;uit de geheele lijn [AB] en het kleinlle ftuk
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Wij hebben reeds in de XXV, en XXVI.nbsp;Voorftellen van het II. Boek van zoodanige lijn gewag gemaakt: en verder in de Aanmerking op het XXV. tot hetnbsp;X, Werkftuk van het eerfte ,Boek der^ Werkfeukken verwe.nbsp;zen, om eene lijn zoodanig (en dus in uicerfte en middel-fte rede) te fnijden.
lil. AANMERKING. Dc Ouden hadden veel op met het fnij. den eener lijn in uiterfte en middelfte rede: zij noemdennbsp;die fnede de goddelijke fnede, of ook wel, bij uitfluicing,nbsp;^e fnede. En in de daad de eigenfehappen daarvan zijnnbsp;opmerkelijk. Euclides heeft itl de zes eerfte Voorftellennbsp;van zijn XIII. Boek over dezelve gehandeld: wij zullen,nbsp;om den leergierige lezers dienst te doen, en ze aan dennbsp;trant der Ouden te gewetinen, die Voorftellen opgeven,nbsp;met de eigen woorden van euclides, dezelve bewijzen, ennbsp;^at_ geen bij voegen wat wij zullen oordeelen te behoren.nbsp;Wij moeten enkel hier herinneren, het geen wij reeds
i88 IF. Boek: Over de gelijkvormigheid der figuren.
C,II' Boek, Bep. 5- nbsp;nbsp;nbsp;Aanm. 5.} gezegd hebben: dat
de magt van eene_ lijn: of ,, eene lijn te famen met ecne ,, andere kan,quot; wil zeggen, bet vierkant op die lijn, ofnbsp;op de fom dier twee lijnen, gemaakt.
XVI. VOORSTEL. Fig. ic6.
Indien eene lijn [3A] in uiierfte en middelde rede ge-fneden is , en men voegt aan dezelve een ftuk [A D] gelijk aan het gvootfie ftuknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zal de geheele aldus
verlengde lijn [BD] ook in niterite en niiddclfte rede ge-fneden zijn , en de gegeven lijn [B A] zal er het grontftc Huk van zijn.
EUCI.. XIII. 5*
BEWIJS. Zij l-, de quot;-eleven lijn, G het grootfte, K het kleinfte (lek: zoo^ dat G K ~ L. en L -i- G de verlengde lijn. Dan is L ; G te G : K (Bep. 4) en derhalvenbsp;componendo, L -p G: L G -j- K : G: dat is L G :nbsp;L = L : G: of [Fig. lo.] BD : BA = BA : AD.
I. AANMERKING. Indieii men uit L : G tt G : K, dividendo befluit, heeft men L G: G e= G K : K: dat isnbsp;K : G G K : K: of G : K = K: G K. Dat isnbsp;[Fig. 107] indien BE e= AC-, AC: EA := EA; CE;nbsp;het geen dit Vcorftel geeft. ,, Indien men van eene lijn,nbsp; in uiterfte en middellle rede gefneden, uit het uiteindenbsp; dat aan het kleinfte ftuk grenst, een uk affnijdt gelijknbsp; aan het grootfte ftuk; zal het aldus afgefueden, of hetnbsp; grootfte, ftuk [BE] daardoor in uiterfte en middeldenbsp;rede gefneden zijnen het kleinfte ftuk [BC] van denbsp; gegeven lijn, zal het grootfte zijn van de aldus vermin- derde lijn [B E].
IL AANMERKING. Mcu hadt ook aldus kunnen redeneeren: te weten, na den laatften regel van het bewijs in de voorgaande Aanmerking, of na G K: K == K : G zonde mennbsp;voor G hebben kunnen fcellen , L K, en dan hadtnbsp;men G ~ K:K s K: L K: dat is, in Fig. 108.nbsp;zoo af BC ; is CF : BC t= BC: BF: waaruit ditnbsp;Voorftel: ,, Indien eene ju in uiterfte en middelfte redenbsp;5, gefneden is, en men van het grootfte deel (aan het uit-,, einde van de lijn te beginnen) een ftuk affnijdt gelijknbsp; aan het kleinfte ftuk , zal het overfchot ook in uiterftenbsp;,, en middelfte rede gefneden zijn; en het kleinfte ftuk vannbsp; de gegeven lijn, zal nu het grootfte ftuk zijn.
III. AANMERKING. Het bjkt dan dat, wanneer meii eens eene
lijn
-ocr page 251-lijn heeft, die in uiterfte en middelfte rede gefnedan is, men er altijd zoo wel grootere en grootere, als kleinere ennbsp;kleinere, zoo veel men'wil, vinden kan: men heeft Hechtsnbsp;aan de gegeven lijn een ftuk te voegen gelijk aan hetnbsp;grootfte ftuk, of er een ftuk van aftetrekken gelijk aan hetnbsp;kleinfte: en gedurig aldus met iedere der lijnen die als dannbsp;geboren worden voort te gaan.
IV. aanmerking. Cm dat men (volgens de II. Aanmerking) heeft G K: K =: K: G 5 en uit de bepaling K: G != G:nbsp;L : is G K: K s G: L; of = G: G K; en dusnbsp;[G K], [G -j- K] = K.G of G- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= K.G: het
geen dit 'Voorftel geeft. Indien eene lijn in uiterfte en ,, middelfte rede gefneden is, is het verfchil der vierkau-5, ten op de fcukken, gelijk aan den regthoek uit dezelve.*
Indien twee lijnen, beide, in uiterfte en irdddcifto rede gefneden zijn, zijn zij in de zelfde rede gefneden: dat isnbsp;hare deelen zijn onderling evenredig.
KUCL. XIV. 1: of volgens andere, XIV. 7. en PAPrOS Co. V. 44,
BEWIJS. Laat ons de lijnen door L en /, de grootfte ftukken door G en ^ en de kleinfte door K en k. kortheidshalve, uitdrukken.
Dan is Q op G co Regth. uit L en K: en O op g CO Regth, uit / en ; derhalve Qop G; Regth, uit Lnbsp;en K = ? op ^ ; Regth. uit / en k\ en ? op G: 4 Regth,nbsp;uit L en K = O op 4 Regth. uit / en h en com-penendo ? op G nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit L en K: ? op G
= ? op g -f 4 Reght. uit ^ en nbsp;nbsp;nbsp;op^j maar
[Ih 7.j ? op G -[- 4 Regth. uit L en K 00 Q op [Lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;K); en ? op ^ 4 Regth. uit / en it* ao ? op
[/ -i- nbsp;nbsp;nbsp;: gevolgelijk: ? op [L -f- K] t O op G = ?
op nbsp;nbsp;nbsp;op g t en derhalve Lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G 1
k: g'. en dividendo [L G] nbsp;nbsp;nbsp;G nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; S']
k: g; of 2 K: G rr 2 k: g o K: G ki g: en K G: K of G = ^ S- S-' dat is L: G ofnbsp;K = /.- g of k.
aanmerking. Dit bewijs is van eUCWDSs: doch het Voorftel kan korter bewezen worden uit de wijze waarop zoodanigenbsp;hjn gefneden wordt, d. i. uit II. 25. Dat Fig. 68:z.nbsp;Ar en EB twee lijnen zija in uiterfte n middelfte rede
in
I.
-ocr page 252-ipo IF. Boek: Over de gelijkvormigheid der figuren.
in M en C gfefneden : daa is uit de bereiding AG; BG = ED: BD of AG: GH = ED: DF en AG nbsp;GH: AG = ED DF: ED: d. i. AH: AG = F:nbsp;ED; of aC: AB = EM: Eb.
II. aanmerking. De rede der geheele lijn tot de fcukken is dan voor alle de lijnen befcendig de zelfde. Het deelen vannbsp;eene lijn in ititerfte en middelfte rede wordt tot het op-losfen van verfcheide Werkfcnkken gevorderd: men zondenbsp;dus verwagten eene zoodanige lijn op de proportionaal-pasfers te vinden, en echter zijn er maat zeer weinige waarop er eene onder dien.aaam gefneden is: op de meestenbsp;ftaat zij niet: maar dit gemis is flechrs fchijnbaar: zij isnbsp;er in de daad; want wij zullen in het VI. Boek, Voorfcelnbsp;XXI. zien, dat als men den radius van den cirkel in uiter-fte en middelfte rede fuijdc, het grootfte ftuk de zijde isnbsp;van den tienhoek in den cirkel befehreven. Men neme dusnbsp;op den proportionml-pasfer de zijde van den zeshoek, (d.nbsp;i. den radius') voor de geheele lijn; de zijde van den tienhoek geeft het grootfte ftuk.
XVlII. VOORSTEL.
Indien eene lijn in uiterfte en middelfte rede gefneden is; han het grootfte ftuk te famen met de helft van de geheelenbsp;lijn, het vijfvoud van het vierkant der halve lijn.
EcL. xni. I.
Fis. tor- Dat ia EI op (A C -{- J A B) 30 5 ?
UITLEGGING.
op AB.
L BEWIJS. it de onderHeliing ? op AC 30 Regth. uit AB en BC, dat is X Regth. uit AB (cn AB AC) X opAB inbsp;Regtk. uit AB . AC (II. 5).
derhalve O op A C Regth. uit AB.AC XDopAB;
en O op AC b* Regih uit AB AC -j- O op ( AB) 30 Q op AB n op f AB.
of: D op AC 2 Rcgt.
=0 S ? p (I AB). uit AC en i AB -f- ? op (i AB)nbsp;30 s ? op ( AB):
d. i. door ir. S. O op (AC -F I AB) ^ 5 ? op (J AB).
//. Afd: Over lijnen in uit er jle en middeljic rede gefneden,. 191 I- aanmerking. Inzien men dit laaifte op de nieuwfce wijze uitdrukt isnbsp;AC -r iXb =
4
AB
en dus AC i AB = T ^ nbsp;nbsp;nbsp;'
H. aanmerking. Dit geeft ook AC :::: AB C^S r)
en dus BC ;= AB i AB (Vg i.) - (a H- O
=: Cs - V's).
Waaruit volgt AG : B'C K quot;KS 1: 3 - V'5; het geen ook bewijst dat die fnede beftendig voor alle lijnen de zelfde is.
XIX. VOORSTEL.
Indien eene lijn in uiterfte en middelfte rede gefneden is, is ieder ftuk onmeetbaar, en wordt apotome genaamd.
Eocr.. XIII. 6.
, BEWIJS. Uit Aanm. 2. op Voorft. XVIII. is G t: i L f V's1quot;) en K 1 L (3 - V s); dus beide onmeetbaar ten opzigte dernbsp;-geheele lijp, en onderling.
Doch EUCLIDES noemt apotome (X. 74.) het verfchil van twee grootheden die onmeetbaar zijn in lengte, doch meetbaar in magt,nbsp;Zoo als hier Y 5 het is ten opzigte van i en 3 , want de vierkanten S , t, 9 zijn meetbaar.
XX. VOORSTEL. Fig. 109.
Indien eene lijn KI het vijfvonwd kan van haar deel BK, ii het dubbeld BD van dat deel' in uiterfte en middeifce redenbsp;pulleden wordt, zal het grootfte ftuk daarvan gelijk zijn aannbsp;et overfchot Bl van de eerstgemelde lijn, KI.
BEWIJS. Uit de onderftelllng is KI te BK nbsp;nbsp;nbsp;dus
Bi ta KI BK :; BK 5 BK =: nbsp;nbsp;nbsp;(r 5 1).
^aar zoo B D 2 B K in uiterfte en middelfte rede gefneden Wordt, is ]jet grootfte deel S f BD(^^5 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; l).
Zie het voorgaande Voorftel. Dus is dat grootfte deel gelijk *an BI.
192 Both: O'.'er dt geUjkvormighiid der figurerii
XXI. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL.
Indien eene lijn L in uiterfte en middelfie rede gefneden is, kan het kleinfee deel [K] met de helft van het grootftenbsp;FGl het vijfvoud van het vierkant op de helft van het grootnbsp;fee deel G.
UCL* XIIl. 3i
bewijs. Daar K:G c i L (3 - 'Ks): L C^S - O (Voorft-
XVIII. Aanm. aj.
is K : G =3 3 S : V's I en dus CHI- 5.)
- K 53 2lL=Jl52.. en ^ S I
K i G 3 i G Cl
r s I /
i G nbsp;nbsp;nbsp;^
S J G nbsp;nbsp;nbsp;=3 i G. Vs.
Vs t
Derhalve D op (IC i G) 00 5 ? op (i Gj.
XXII. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL.
Indien eene lijn [L] in uiterfte en middelfce rede gefneden is, is de fom der beide vierkanten op het kleinfte deel [Kjnbsp;en op de gebeele liin [L] het drievoud van het vierkant opnbsp;het grootfte deel [G].
. . EUCL. XIII. 4.
BEWIJS, Uit Voorft, XVin. Aanm. a. is
6 V s:gt;
en dus K* = i (9 - 6 V' s 5) S ^ L (14 . ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 i (18 6 1^5)
Maar uit Voorft. XVIII. Aanm. 2. is
K t3 i L (3 - / 5)
_4G I 6 a V 5
ft
4 G*
L !=
V's I n du U* S G
(V's-
(18 6 V* s^
6-2 Vs
* nbsp;nbsp;nbsp;193
OVER DJE GELIJK VORMIGE VEELHOEREI^i
XXIII. VOORSTEL. Fig. 87.
.indien veelhoeken [M en N] die uit een gelijk getal *'jden beltaan, door diagonalen [AC-^ AD en Fli , Fl],nbsp;eenen der hoeken [A en F] , naar de andere hoeken ge-iiokken, in driehoeken [13 AC, CAD, DAE en GFH^nbsp;HPl, IFK] gedeeld worden; zullen de veelhoeken gelijk-i'orthig zijn, zoo de driehoeken twee aan twee en in hun-ii^n rang genomen gelijkvonnig zijn [namelijk A BACnbsp;GFII, A CAD o A HFi; A DAE A
St. VI 15 en Gevolg. t. G. III. e. SchoUi. nbsp;nbsp;nbsp;
Hwijs. Uit de gelijkheid der hoeken in de driehoeken. Worde de gelijkheid der eveneens gepl.aatfte hoeken in denbsp;beide veelhoeken bewezen: dat het eerfce is.
Uit de evenredigheid der zijden in de driehoeken, wordt de evenredigheid der, eveneeiisfcaaude zijden in de veelhoeken afgeleid, dat het tweede is.
AANMERkiNG, Dit moet bewezen worden om aantetooiien, dat er gelijkvonnige veelhoeken zijn kunnen, en hoe mennbsp;dezelve befchrijven kan. Zie het 'II. Werkttuk van hetnbsp;IV. Boek.
-.......
1. G E V O L Gi
Wanneer twee driehoeken gelijkvormig zijn , zullen d Ptallelogrammen welke voor diagonalen ecije der zijdennbsp;die driehoeken hebben, en dus het dubbeld van die'nbsp;driehoeken zijn, ook gelijkvormig zijn: dn derhalve_heeftnbsp;hes vvat van de gelijkvonnige, of gelijkhoekige, driehoe.nbsp;ken bewezen is , ook voor de gelijkvonnige parallelogram'nbsp;ren plaats.
n. GEVOLG. Fig* 52i
De parallelogrammen die om de diagonaal vaii eert pa-rallelograin liaan , zijn onderling en aan het gelieel paral-^lograni waartoe zij behoren gelijkvorroig^
*'CL. VI. 14 st, VI. ao.
194 Boekj Over de gelijkvormigheid der figuren,
XXIV. VOORSTEL. Fig. 87.
Gelijkvortnige veelhoeken [M en N] worden door diagonalen, als deze op eene gelijkvormige wijze getrokken zijn, in gelijkvoroiige driehoeken gedeeld: en de inhou-den dier veelhoeken fiiaan tot elkander als de vierkantennbsp;op hunne eveneensllaande zijden, of in de verdubbeldenbsp;rede van die zijden.
EUCL, VI, 20, Sr. VI, 16, L, G. III. a, 27.
BEWIJS. Voor het I. Uit het IV. Voorltel.
Voor het II. Uit de befchouwing dat d6 veelhoeken tot elkander liaan als de fommen hunner driehoeken: datnbsp;deze driehoeken tot elkander (laan als de vierkanten hunnernbsp;eveneensllaande zijden, en dus als die der eveneensllaandenbsp;zijden van de veelhoeken: waaruit het Voorftel volgt doornbsp;het,XIlI. Voordel van het III. Boek.
I.AANMERKING. Men kan thans het 2, 3, 4, 5, 6 en 7 Werk-feuk van het iV. Boek oplosfen.
I. GEVOLG.
Zoo vier lijnen evenredig zijn , ftaan de vierkanten op dezelve befchreven in verdubbelde rede dier lijnen: en gevolge-lijk komt het geometrisch vierkant overeen tnet de verdubbelde rede, en men kan de arithmetifche quadraten, oi tweede magten der getallen, welke de lengte van eenige lijnen uitdrukken , in plaats der geometrifche vierkanten 'gebruiken. Zienbsp;III. Boek XVIII. Bepaling: en hier boven IX. Voorftel, hetnbsp;5. Gevolg.
KOENIG op EUCL. VI. 20.
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Uit dit Voordel, op parallelograminen toegepast, en vergeleken met de 2. Aanmerking op het IX. Voorftel, blijkt, i welken zin eucudes gezegd heed, in de XVIlI. propofitienbsp;van zijn VHf. Boek, dat geliikvormige vlakke getallen totnbsp; elkander ftaan in verdubbelde rede van de eveneensdaandnbsp;,, zijden, en (pr. XXVI.) dat zij tot elkander ftaan als eednbsp;,, quadraat-getal tot een quadraat-getal
III. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Zoo drie lijnen gedurig evenredig zijh , ftaat de op de eerfte, tot de gelijkvormige Figuur op de tweed
-ocr page 257-200 als de eerde lijn tot de derde lijn j (XVi Voordel vaa het III, Boekj.
T/VCQUET op EUCI-IDES VI. 20. Cor. 2i
II. aaimmerking. Op dit Voordel deunen, op de proporcionaal-pas* fers van Fransch inaakfel, de lijnen welke den naam dragennbsp;Van les Flans. Zij daan niet op de pasfers van Engelschnbsp;inaakfel: men vindt ze op eenige andere, Ook wl onder dennbsp;tijtel van Gcometria. Zij dienen om, wanneer men een ge-gevene figuur moet vcrgrooten of verkleinen, de zijde tenbsp;vinden van de figuur, die aan de gegevene gelijkvormig en tevens daarvan het gevraagde veelvoud , of deel, zijn zal. Daaromnbsp;gaan de deeln op die lijnen in eene georaetrifche rede; daacnbsp;hijv. de afdand van o tot po het drievowd ,die van o tot 40nbsp;het dubbeld is van dien van o tot ib: zijn die getallen po,nbsp;40, lo, of 9, 4, i in de verdubbelde rede van 3, a, inbsp;dat is in die rede welke de gelijkvonnlge figuren onderlingnbsp;hebben, als zij op lijnen geplaatst worden die onderling zijn!
3, 2j I Indieu men dan eene figuur maken wil die het negenvoud is van eene andere, ftelle men de punten des nbsp;pasfers, welke eene zijde van die figuur bevatten, p denbsp;zelfde getallen op de twee bladen; bijv. van 10 tot lo: dannbsp;z.a! de aflland van 90 tot 90 de eveneensllaande zyde g^nbsp;ven voor de te vervaardigen figuur. Indien men eene figufnbsp;maken moet die het * gedeelte van eene gegevene is; fteUnbsp;e mende punten des pasfers op de zelfde getallen op beidnbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bladen:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bijv.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van 96 tot 96; neme het J van dat getal
df nbsp;nbsp;nbsp;i(J;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;plaatfe de punten des pasfers van l tot 16;
en heeft de eveneensllaande zijde voor de figuur die het G is vaii de gegevene : en welke zijde zal (laan tot de zijd
der gegevene als J: i za i : V' 6.
XXV. VOORSTEL.
Zoo vier liinen evenredig zijn, zullen de gelijkvormig ^ eveneens geplaatlle figuren Op de eerde en tweedenbsp;hjn, in de zelfde rede ftaan als de gelijkvormige en evefj-geplaatde figurft op de derde en vierde; en ort-^keerd:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Zoonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;twee gelijkvormige figuren in de zelfde
*''^de nbsp;nbsp;nbsp;zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;alsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tweenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;andere gelijkorpig figuren, zullen d
Eveneens geplaatHe lijnen waar p deze figuren gefteld zgii# evenredig zijn.
fiCL. VI. 22. St. VI. rS'. nbsp;nbsp;nbsp;.lt; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.11:
* sp-Wijs, Volgens ecudes : A, B, G, Dj'sdjn-de Vief MJnen.
' nbsp;nbsp;nbsp;'gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f a
-ocr page 258-190 Boek', Oigt;er de gelijkvormigheid der figuren.
VOOR HET I. GEDEELTE. BEREIDING. Stel b derde evenredig aan A en B: en ^ derde evenredige aan C en D.
BEWIJS.
hquot;7 k Bereiding.
Maar Fig. op A; Fig. op B = A Fig. op C: Fig. op D =: C
hl XXIV. Voord. dl Gev. 3.
dus Fig. op A: Fig. op B - Fig. op C: Fig. op D. VOOR HET II. bereiding. Stel A : B C : lt;/.
BEWIJS. ? op A: ? op B = ? op C: ? op i/.* door het en D op A: ? op 8 = ? op C: Oop D , XXIV Voord*nbsp;dus E3 op ? =1 o op D ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D.
dus A : B = C : O.
AANMERKING. Dit Bewljs VRii EUCLiDES , dat wij voor het tweede gedeelte wat eenvoudiger voorgefteld hebben, is zeernbsp;fraai, en ten vollen geometrisch.
II. BEWIJS. VOOR HET I. Uit het XXIV. Voordel, deszelf*nbsp;I. Gevolg, en het i. Gev. van het X. Voordel van het III. B*
Voor het II. Uit het 1 Gevolg van het X. Voordel van het III. Boek: i. Gevolg van het XXIV. van dit Boek. ,
XXVI. VOORSTEL. Fig. IIO.
In alle regthoekige driehoeken is de figuur op de fchuin' fche zij'de gelijk aan de foin der beide gelijkvorniige etinbsp;eveneensgeplaatfte figuren die op de regthoekszijden ftaan.
eucl. VI. 31. gt;. St, VI. pr. 30. Gev.
BEWIJS. Uit het XXV. Voordel; III, 8 : het XXV. Voordel:
III, nbsp;nbsp;nbsp;II: II, ld: en Ilf. Axioma 3.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het Voordel van pythagoras (II. Boeknbsp;XVr. Voordel) is Hechts een bijzonder geval van dit Voor-
1 del: ook hangen zij beide van eene meer algeraeene eigeU' fchap der driehoeken af, zoo als wij dit reeds in de II. A*!'nbsp;meriting op het XVI. en iu het XX. Voordel met deszfiu*nbsp;Gevolgen van het II. Boek gezegd hebben.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan thans het 8. Werkduk vau 1^*
IV. nbsp;nbsp;nbsp;Boek oplosfen.
xxvii
-ocr page 259-HI, Afdeeling: Over de gclijkvormige veelhoeken, 197 XXVII. VOORSTEL.
Alle regelmatige veelhoeken, die uit een evengroot ge. zijden bettaan, zijn gelijkvormig aan elkander; en hunnenbsp;*houcien zijn als de vierkanten der eveneensitaande zijden,nbsp;der dralen, of der loodlijnen; dat is, in verdubbeldenbsp;lede d'er zijden, dralen, of loodlijnen.
L. G. IV. 8.
BBWijs. VOOR HET I. Uit het XXIII. Voorftel; en den aard der gelijkvormige veelhoeken.
* VOOR HET 11. Uit het XXIV. en XI. Voorftel.
GEVOLG. Fig. 80, 81 en 82.
Dus zijn de veelhoeken, vt'aarvan wij in het XXXV,XXXVr, ^XXVIl en XXXVIII. Voorel van het II, Boek gewag gemaaktnbsp;fsbben, gslijkvormig aan de veelhoeken in welke zij fcaan: ennbsp;he: geval van het XXXVIII. Voorftel fFig. 82.], zal de veelhoek EFGIL, in omtrek en in inhoud, de kleinfte zijn dienbsp;hij zijn kan, wanneer de ftippen E, F, G, I, L, op hetnbsp;midden der zijden AD, DC, CB, BQ, Haan: want dannbsp;is de ftraal O E loodregt op A D, en dus de kortfce lijn.
De omtrekken der regelmatige veelhoeken, die uit een gelijk getal zijden bellaan, maar op ongelijke lijnen be-fchrev^n zijn, ftaan tot elkander zoo als hunne dralen, ofnbsp;oodlijrien.
Bewijs. Uit den aard der veelhoeken; namelijk uit het a Uevolg van de u Bepaling van het II.Boek, en het II. Vrhel , Gev. 2. van dit Boek.
gevolg.
.In alle regelmatige veelhoeken, die uit het zelfde getal ^(iden beftaan, is de rede van den omtrek tot de lood-ih, of tot denflraal, beltendig de zelfde.
Verfchiliende regelmatige veelhoeken liaan tot elkander in attiengeftelde rede hunner omtrekken en loodlijnen.
bewijs. Uit het XXXIX. Voorftel van het n. B. en uit het ''II. Voorftel van dit Boek.
a E-
GE VO t G,
- Dus, indien omtrekken gelijk zijn, zijn de inhoudeu als de loodiijneu: en indien de inhoiidcn gelijk zijn, ftaaunbsp;de omtrekken in omgekeerde rede der loodlijnen, (lil*nbsp;Axioma 4= en UI, 5gt;
XXX. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL, Fig. iir.
Van twee regelmatige veelhoeken [^ABDEF en GOKLMN3 wier omtrekken gelijk zijn, heeft die [GOKLIMN] de groot'nbsp;fte loodlijn [PQ] welke de meeste zijden heeft.
EEREiDiNC.. Meii ftelle ile omtrekken van beide ,d/e toch gelijk za nitgedrukt te worden door O: het getal der zjjden door m en ,20
O nbsp;nbsp;nbsp;O
dattgt;--Trek ClenPQjxidan isFE =:^, GN = ^ : en derhalve FE gt; G N en F I gt; G Q. Neem R I = G Q. Treknbsp;RC. Cl en PQ zijn de loodlijnen, ZFCE isgt; L CPN enbsp;dus ook d F C i gt; d G P Q.
_ O O 4L 4L
BEWIJS. FI : GQ nbsp;nbsp;nbsp;: ;7 m ' n' ^ FCIidGPQ^
4 E 4 k
derhalve FI : GQ of RI t F Cl; d GPQ. Maat (Xir. Gev. 2.) FI : RI ^ z FCI: d RCI: en dus d FCHnbsp;i GPQ gt;dFCI;ZRcl: derhalve dGPQlt;;dRCI:cnoWnbsp;dat d RIC = L - d C QP is de derde d PGQ gt;d CRI. Gcvol'nbsp;gelijk indien men in R maaict L IRS =: d QGP, zal het becnbsp;RS boven het been CR vallen: en dus zal het flip S de Ujnbsp;IC, verlengd, boven C fnijden: zoo dat SI gt; Cl: maar SInbsp;PQ: derhalve PQ ^ Cl.
XXXI. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL, Fig. III.
Van twee regelmatige veelhoeken die gelijke omtrekken Jjebben heeft dig den grooeflen inhoud die de meeste zijdennbsp;heeft.
PAPPVS Col. Matliem, V. I. E, O. IV. Appendix, pr, 7.
1IWIJ5. Vit Voorft. XXIX. Gev. en Voorft, XXX.
gevolg.
Indien das een gelijkzijdige driehoek, een vierkant, en een regelmatige zeshoek gelijken omtrek hebben, is de inbond vat*nbsp;den zeshoek grooter dan die van het vierkant, en die vaonbsp;vierkant grooter dan die van den dSktboek,
r nbsp;nbsp;nbsp;*
-ocr page 261-SEREKEmNO- Fig. S3. Dc loodlijn C X in den zeslioek P Q R S T U = y CRa R xa = V'RSa ^ RS^ Vi KS^ =
Rs Vi = 2 X vr= 0 X F36 =0^ nbsp;nbsp;nbsp;
indien 0 den omtrek aanduidt.
De loodlijn in het vierkant is dc helft van de zjjde, dus Wer
r a O !; dus kleiner dan voor den zeshoek.
In den gelijkziJdigen driehoek DAF , is de loodlijn C X a I A X (XIV. Voorftel, Gev. 3 ) a 5- V Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp; F X!i =
5 y KV. iAF 1AFV|'= AF nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=
la * la nbsp;nbsp;nbsp;9 X lanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;log ,
dus kleiner dan voor het vierkant.
aanmerking. De Qeijen , die aan hare celletjes eene zes-kantige gedaante geven, gebruiken dus eene van die figuren ,in welke geen tnsfehenruimte verloren wordt (II. 29. Gev. 2);nbsp;en wel die , welke den grootllen inbond onder den zelfden omtrek bezit.
Zie p.ippos Collec, Matth, V. Boek Voorrede, die hier over zeer lezcnswaardig is; en bij de nieuwere Schrijvers, onder anderen, ianbsp;CHAPELLE Injiitutions de Oometre T. 11, p. 217233.
XXXII. VOORSTEL. Fig. 79.
/Indin men in eenen regelmatigen vijfhoek, uit de twee einden [H, K] van *eene der zijden [KHJ, regte lijnen [MC,nbsp;M^.] naar de uiteinden der aangrenzende zijden [KC, H E] trekt;nbsp;gullen i. deze den veelhoek verdeden in eene ruit [C DEa;],nbsp;iti twee gelijkbeenige driehoeken [KarC, HxE], wier beenennbsp;gelijk zijn aan de zijden van den vijfhoek, en in eenen derden gelijkbeenigen driehoek [KxH], wiens grondlijn de ge-l^rnikte zijde des vijfhoeks is: verder 2. zullen de twee ge-elde lijnen [CH, KE] elkander in uiterfte en middelfte redenbsp;fhijden, en haar grootlle ftuk is geliJl^ aan de zijde van dennbsp;vijfhoek. 3. Indien men uit iederen hoek lijnen naar allenbsp;de overige hoeken trekt, zal ieder dier diagonalen zoodanignbsp;door twee andere gefneden worden? dat het grootfte ftuknbsp;door de eerfte dezer afgefneden, weder door de tweede innbsp;uiterfte en middelfte rede gefneden wordt, zullende het klein-fi ftuk het middelftuk der twep fnijdingen zijn: en 4. zulgt;nbsp;*2a deze lijnen door hare ontmoeting binnen den vijfhoek, en
aoo
om het zelfde middelpunt eenen nieiuven vijfhoek maken, die den gegevenen gelijkvormig, doch ten zijnen oprigte omgekeerd geplaatst is, en wiens zijde tot die van den gegevennbsp;vijfhoek ftaat, als het kleinfte ftuk van de gefneden geheelenbsp;'lijn tot die geheele lijn.
eucl. XIII, 8. voor het tweede gedeelte,
BEWIJS. VOOR HET 1,
R.
^ KHE s (II. 29. het I. Gevj)
2 nbsp;nbsp;nbsp;4
dus Z K 11C s R- dus Z C H E =i r R:
en Z C H E -I-. Z B E U ;= gevolgelijk (I. 7 ) C (I //BEnbsp;op de zelfde wijze K E // C B :
dus is CUE r ecne ruit ([. Bep. 17,3 eii de zijden CB , BE , Eu;, xC , zijn gelijk aan elkander 1
dus zijn de CarK, en EjuM gelijkbeenig en onderling gelijk: dus ook Kx SI Hx: en dus is ook A Ha:K gelijkbeenig.
VOOR HET II. in de nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A KaII ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;KEHnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;HKEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gemeen :
Z KHa; u; Z KEH , nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;K.vli S Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;liHEinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;('.I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Voorft.)
KErEIISKHiHarof K E : E a: 3 E a;: K a;: en insgelijksnbsp;H C : a: C =3 a: C : H a:.
Dus fnu'den de lijnen H C en EK elkander in uiterile en mid-dellle rede (Bep. 4).
VOOR HET lil,
H C : a; C 3 a: C nbsp;nbsp;nbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H a: dus (III.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8 )
HC a-C : .rC nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a.C H.rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: llx
Of
Ila: : atC 3 .rC yC : Ha-of
Ha : aC 3 .ry ; Ha dus
HAtary aC: Ha3 HC:aG of
HC : AC 3 A C : Ha of Cy; en dus, daar HC in uiterfta fii middelfte rede gefneden is in x, is aC het ook in y (doornbsp;Voqrft. Xyil).
VOOR HET IV, Dat de vijfhoek ONvAy regelmatig gt;s, blijkt nit de gelijkheid der driehoeken O B N, N E v, y H a , a Ky , y C o ,nbsp;en dus is dezelve aan den gegeven vijfhoek gelijkvorraig (XXVII.nbsp;Voorftei).
Dat het middelpunt het zelfde is voor beiden blijkt hier uit, dat de lijnen die uit U en C loodregt op gjj eh zouden getrokken worden j door het middelpunt van den gegeven veelhoeknbsp;gaan: cn dat dezelve ook loodregt op oN, yO, en door x eunbsp;V gaan zouden, en dus door het middelpunt van den nieuwennbsp;vijfhoek...........
1 nbsp;nbsp;nbsp;Ver-
-ocr page 263-Verder: A OBN fc^A KBH: dus 0N:KH=:0B:BK.
aanmerking. Alle de eigenfehappen In dit Voordel ver-2ld, zijn den vijflioek alln eigen, uitgezonderd deze, de diagonalen door hare onderlinge ontmoeting eenennbsp;iiieuwen gelykvormigen veelhoek,zullen maken; dit is aannbsp;alle de regelmatige veelhoeken, van den vijfhoek te begin-pen, eigen, doch met eenige bijzonderheden, waarvan wijnbsp;in het XXXI. Voordel van het VI. Boek, handelen zullen.
il. aanmerking. Indien men den nieuwen vijfhoek op de zelfde wijze verdeelt, zal er wederom een nieuwe vijfhoeknbsp;ontihan, op wien alle de gemelde eigenfehappen toepas*nbsp;ielijk zijn.
SOI
OVER DEN cirkel (*)
1. BEPALING. Fig. 112.
Men noemt Choordc, Spanlijti, of Pees eens cirkelboogs [BAE] eene lijn [B] die, in den Cirkel getrokken,nbsp;dc uiteinden [B en E] diens hoogs verddnigt , en denzel-ven boog belpant. Indien eene dergelijke choorde [DCF]nbsp;door het middelpunt [C] gnat, draagt zij den naam vannbsp;muldtllijn^ of diameter, befpant wederzijds den halvennbsp;omtrek [DAF, DG F], en deelt dus zoo wel den cirkelnbsp;[DAFGD] als den omtrek deszelven in twee gelijke deelen.
Ect.. I. d 17. St. in. d. I. L, G, II, Bep. 3.
I. aanmerking. Dat de middellijn den cirkel in twee gelijke deelen deelt, is, dunkt mij, een Axioma . Men kan hetnbsp;echter bewijzen, met door de verbeelding den halven cirkel DG F, aan den anderen kant des diameters te Hellen,nbsp;en optemerken dat dan de geheele boog D GF , op dennbsp;gclieelen boog DBAEF vallen moet, of de radii des cirkels zonden niet gelijk zyn, zoo als de bepaling des cirkels vordert.
L. G. 11. I.
IL aanmerking. Eene choorde wordt ook wel eene in den cirkel ingefchreven lijn genoemd.
L. G. II. Bep. 6.
. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Eene Choorde, Spanlijn ^ of , befpant altijd, of wederzijds den halven omtrek zoo zij door het middelpunt gaat, en dus midJellijn is; of aan den cenen kant eenennbsp;boog [BAE] die kleiner, e'i attB Ben anderen kant eenennbsp;boog [BGFE] die giooter is dan de halve omtrek: zoonbsp;dat de beide bogen t famen den geheelen omtrek iiitmakeii
III'
Zie de bepaling van den cirkel, en van cirkelbogen, in het I* Bok, 5. bl. 4.
-ocr page 265-203
Inleiding.
III. aanmerking. Het gebruik wil dat, wanneer men zegt dat eene lijn de choorde is van een boog, men daar doornbsp;verftaat den kleinften der twee bogen die den omtrek desnbsp;cirkeis uitmaken.
IT. BEPALING. Fig. II2,
Wanneer twee bogen [DHG, GIF] te famen den balven omtrek [DHG IF] uit maken , wordt de eenenbsp;[Tgt;yv. DHG] het aanvulp:i gt; o htt fuppkment itn anderen [GIF] genoemd ; dat is het aanvulfcl tot dennbsp;halven omtrek.
aanmerking. Wij zullen in het VIII. Boek nader over de fiippletnenten fpreken.
III. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING. Fig. II2gt;
Men noemt fector van den cirkel een ftuk [DCG] dat tusfchen twee llralen {radii) [DC , CG,] en cenen boognbsp;[D H GJ , tot wiens uiterlten de ftralen komen ^ begre*nbsp;pen is.
EucL. III. d. 10. St. III, d. 9. L. G. II. Eep. 5.
AANMERKING. Een fector bevat dus altijd eene bepaalde ruimte.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING, Fig. 112.
Men noemt Cirkelfluk, of Segment, [BA E] dat gedeelte van den inhoud eens cirkels, het welk binnen den om-trek van een boog [BAE] en de choorde [BE], die den-zelven befpant , begrepen is.
Kucl. I. d. iS, 19. St. ni. d. 5, 8. L. G. II. Bep. 4.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Een fegment bevat derhalve, even als de /t,nbsp;tor, eene bepaalde ruimte.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Er is dus dit verfchil tusfchen oen fegmentnbsp;of cirkelliuk, en eenen fector \\et fegment door eenen boognbsp;en eene lijn, de choorde namelijk, doch de fector doornbsp;eenen boog en twee lijnen, maar die door het middelpuntnbsp;gaan, gevormd wordt. Gevolgelijk, behoort de halve cirkelnbsp;te gelijk tot de fegmenten en tot de fectoren.
V. bepaling. Fig. 113.
Een hoek wordt gezegd in, een Cirkelfluk [DDE] gq*
204 nbsp;nbsp;nbsp;V. Bock: Oyer den cirkel
plaatst te zijn , als zijn top [D] in den boog is , en zijne beenen [DB^ DE] tot de uiterlten [B, E] van de choor-de [lgt; ] die het Ituk beperkt, komen.
EifcL, lit* d. 7* m, d. 6 j 7*
VI. BEPALING. Fig. 113.
Een fegment wordt gezegd tot eenen gegeven hoek be-hraam te zijn: ais men in hetzelve den gegeven hoek 7.00 plaatfen kan, dat zijn top den boog raakt, en zijnenbsp;beenen door de uiteinden [B, E] der choorde van hetnbsp;fegment gaan.
VII. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING. Fig. 113.
Een hoek [FIG, of FCG] wordt gezegd op eenen boo7 [FG] te liaan, wanneer zijne beenen[1F en IG;nbsp;of CF en CG] de uiteinden van dien boog raken; ennbsp;lui wordt hoek in het middelpunt, of hoek in den omtreknbsp;genoemd, naar mate de top [C of J] van den hoek [FCG,nbsp;of FIG] in liet middelpunt [C] of in den omtrek [innbsp;I] Baat.
EUCL. III. d. 9. St. lU. d, , L. G. II. Bep. 6.
I. GEVOLG.
Een hoek [BDE] in den omtrek, en die dus in een cirkeKlnk [BDE] geplaatst is (Bep. V.), rust op dennbsp;boog [BIF GE] die met den boog van het cirkelltuk waarin de hoek Haat den geheeleu oiiitrek uitmaakt.
II. GEVOLG.
Die boog [BI F GE] waarop de beenen des hoeks rusten is dan kleiner, even groot, of grooter dan de halvenbsp;omtrek, naar mate het cirkelltuk waarin de hoek Baatnbsp;grooter, even groot, of kleiner is dan de halve cirkel.
VIII. nbsp;nbsp;nbsp;BEI ALING. Fig. I2I.
Men noemt raaklijn van den cirkel, eeiie lijn [A T Z] die den cirkel raakt , doch , verlengd zijnde, nietnbsp;fnijdt Eene fnijlljn [ASH] die, welke tot den omtreknbsp;fin SI gekomen , en verlengd, den omtrek fnijdt, en bin-^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pen
-ocr page 267-Inleidifjg, nbsp;nbsp;nbsp;205
neti den cirkel valt. Raaklijn en fnijlijn zijn derhalve twee onbepaalde lynen.
UCL. III. i\. a. St. III. d. 4, L. G. II. d. 8.
aanmerking. Zonde er uit deze bepaling niet regtflreeks volgen , Rlat eene raaklijn den cirkel maar in n ftip raakt?nbsp;doch er moet bewezen worden, dat er lijnen kunnen zijn,nbsp;die den cirkel in n Hip raken, en denzelven, hoe zij ooknbsp;verlengd worden, niet Ihiiden, het geen wij in ons HLnbsp;Voorltel, Gev. i. doen zuilen.
IX. bepaling. Fig. 134 en 135.
Men zegt dat twee cirkels elkander raken , wanneer zij elkander rakende zich niet fnijdcn. De aanraking gelchiednbsp;ot uitwendig, zoo de eene cirkel geheel buiten den anderen valt, of inwendig, zoo de eene geheel binnen dennbsp;anderen valt.
Euct. III. d. 3. _ St. III. d. 2. - L. G. II. def. 9.
A X I O M A T A
OP.
ALGEMEENE KUNDIGHEDEN.
I.
Cirkels, die met gelijke ftralen getrokken zijn, zijn gelijk.
EcicL. III. def. I. St. in. Axioma 18.
II.
De middellijn is het dubbeld van den draal of radius.
III.
Indien uit het middelpunt naar eenig flip eene. regte hjn getrokken wordt, die korter is dan de radius , of draal,nbsp;dat flip binnen den cirkel, zoo als ook de geheelsnbsp;quot;jh bijv. CM fig. II2.
OVER DE lijnen DIE IN, OF TOT DEN CIRKEL. tJETROK KEN WORDEN.
I. VOORSTEL. Fig. 112.
Indien men in den omtrelc van den cirkel twee ftippcii neemt [E, B], en dezelve door eene regfe lijn [KB] ver-eenigc, zal die lijn geheel binnen den cirkel vallen.
tucL. III. a.
bereiding. Trek op die lijn uit het middelpunt eenige lijn CM en vervolgens de ftralen CE, CB.
bewijs. Uit I. 15. Gev. i; 27, 17. en het III. Axioma viXi dit Boek.
aanmerking. Die lijn is dus in de daad eene choorde, of ipanlijn (Bep. i.); en, verlengd zijnde, fnijdt zij den omtrek in twee Hippen, E en B. Zij kan den omtrek niet innbsp;meer dan in twee ftippen fnijden: anders immers zouden denbsp;lijnen CD, CB, CM uit het-middeipnnt naar drie ftippennbsp;van fnijding getrokken, gelijk moeten zijn: d. i. er zoudennbsp;uit een ftip op eene regte lijn meer dan twee gelijke lijnen getrokken kunnen worden; dat onmogelijk is.
L. G. II. 3.
II. VOORSTEL. Fig. 114.
Wanneer drie ftippen [A, B, D] niet in ne regte lijn zijn, ftaaii dezelve in den omtrek van eenen cirkel:nbsp;of, in andere woorden, men kan altijd eenen cirkel trekken wiens omtrek dope die ftippen gaan zal.
L. G. 11. 7.
BEREIDING. Trek BD, BA, A D: ftel dat BD, en AD in twee gelijke deelen gedeeld zijn in K en L; en dat KC,nbsp;en L C die ioodregt op B D en AD ftaan, elkander in Cnbsp;ontmoeten: trek CB, CD, CA: men moet bewijzen, datnbsp;CB, CD, CA onderling ge'ijk en dus ftralen zijn vannbsp;den cirkel, wiens middelpunt C is.
BEWIJS. Dat BC n C D en C D - CA is, volgt ui^ I. 21.
aanmerking. Het Qireekt van zelf, uit de bereiding, dat
-ocr page 269-I. /Ifd,: Ovtr dc lijnen in ^ of lot den cirkel getrokken. 207
, er door die zelfde drie ftippen A, B, D geen andere cirkel dan de reeds getrokkene gaan kan.
GEVOLG.
De voorgaande bereiding en hec bewijs leveren deze eigen-Chap der driehoeken op:
M De loodlijnen, welke uit het midden der zijden eens gt; driehoeks op dezelve getrokken kunnen worden, komennbsp;5gt; alle in n ftip, het zij binnen het zij buiten den drienbsp; hoek, te faraen: en de lijnen, uit het zelve naar de hoe- ken van den driehoek getogen, zijn gelijk.
. Hieroit volgt wederom, dat, zoo de driehoek gelijkzijdig *5 die loodlijnen door de toppen van de overftaande hoekennbsp;taah,*'efi die hoeken in twee gelijke deelen fnijden (I. 27.
4, Gev.') zullen, en daardoor wordt het ftip vaii fnijding, of verniging, in dat geval, het middelpunt van den driehoeknbsp;genoemd, en het ftaat van den top af op twee derde gedeeltennbsp;van iedere loodlijn. Zie IV. 14. het derde Gevolg, en IV. 13*
! aanmerking. Men zie in het X Werkfcuk van het _V. Boek de manier om oenen cirkel door drie gegeven flippen te trekken.
II. AANMERKING. Dc bereiding en het bewijs leveren ook een der middelen op om het 1. en het II. Werkfluk van hetnbsp;V, en het 5. van het VI. Boek optelosfen.
III. VOORSTEL. Fig. 116.
. Eene regte lijn [B D] die loodregt ftaat op het einde Van de middellijn, valt geheel buiten den cirkel, en raaktnbsp;cirkel in dat eenig ftip, het uiteinde namelijk [B]nbsp;de middellijn.
Ecl. III. 16. Sc. III. 9. G- II- 9-
BEwijs. Uit het ongerijmde. Men trekt namelijk uit het . middelpunt de lijn C D tot het flip D, waarin men fleltnbsp;dat de lijn BD ook den omtrek zoude raken, en dat dus totnbsp;den omtrek zoude behooren, zoo dat C D een ftraal zoudenbsp;2ijn: de ongerijmdheid volgt uit I. 17
GEVOLG.
dnig ftip.
St. III, 9, cev, 1.
Eene lijn, die den cirkel raakt, raakt denzelven in
nio- ITin.
aan.
20S
AANMERKING. Men kan thans het' ii, 12 (2. Oplosf.) 14? ig en 16 Werkltuk van het V. IJoek oplosfeii.
IV. VOORSTEL, Fig. 116.
Eene lijn [CB] die van het middelpunt [C] naar het flip [B] van aanraking ttisfchen den cirkel en eene regtenbsp;lijn [B DJ getrokken wordt, ftaat loodregt op die raaklijn: en omgekeerd; eene lijn in den cirkel, die loodregtnbsp;op de raaklijn in het Hip van aanraking Haat, gaat doornbsp;het middelpunt.
xvcL. III, 16, ig en ip, St. III. 9, Gev, 3.
bewijs voor het I. Door de ongerijmdheid waarin men vervalt als men (lelt dat eenige andere lijn CD loodregtnbsp;is: die ongerijmdheid blijkt uit 1. 17.
Voor het II. Uit de ongerijmdheid waarin men vervalt indien men Helt dat eenige andere lijn, bg, door hetnbsp;middelpunt G gaat; die ongerijmdheid blijkt uit het eerflenbsp;gedeelte.
GEVOLG.
Er kan uit het raakpunt [B], tusfehen den omtrek des cirkels en de raaklijn [B A] geen lijn [B H] getrokkennbsp;worden, die den omtrek des cirkels niet Inijdt.
bewijs. Immers die lijn BH mot den cirkel of raken, of Blijden: zoo zij den cirkel raakt, moet zij (door ditnbsp;Voorllei) loodregt (laan op de middellijn : en derhalvenbsp;zoudener uit het (tip B, op AB, twee loodregta lijnennbsp;BD en BH opgerigt kunnen worden: dat (door I. 5.nbsp;Gev. 3.j nmogelijk is: deHijn BH kan derhalve den oiu-trek niet raken: maar moet denzelven fnijden,
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Zoodra de lijn BlI fchuins valt op AB.nbsp;maakt zij met B D cenen hoek H B D, waarvan het eennbsp;been BD de raaklijn is, en bet ander, de choorde Jinnbsp;van den Boog BIH: zoo dat, hoe klein ook de regtlijnignbsp;hoek HBD zijn moge, de omtrek BIH des cirkels, nognbsp;altijd tusfehen denzelven en de raaklijn B D invalt.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Fig. 116. Ue boog BUI heefc eennbsp;helling op de raaklijn DB, en men kan die hel'nbsp;ling van den boog BIH op DB ook eenen hoek noemen, waarvan het eene been eene regte lijn, het andernbsp;cirkelboog is: doch de helling eens cirkeiboogsnbsp;eene regte lijn is geheel anders dan die van eene regte Hlquot;
-ocr page 271-I. Afd.; Our de lijnen in.^ of tot den cirkel getrokken. 209
op eene regte lijn; en dus Ijiirnen die twee hoeken, indien sn zich bij bet eenvoudig en oorfpronkejk denkbeeldnbsp;van eene helling houdt, niet met elkander vergeleken wor-den. Wanneer men ^egc dat de hoek tmfchen den boognbsp;BIH en de lijn BD kleiner is dan eenige regtlijnige hoeknbsp;tusfchen B O en eene tweede lijn uit het flip B getrokken ; vergelijkt mn niet de enkele helling, maar wel ftil-zwijgend de ruimte die dergelijke hoeken bevatten; 200 isnbsp;het bijv. waar, en klaarblijkelijk, dat in Fig. 14.1. de krom-Bjnig driehoeken GIE, GIEL, kleiner zijn dan de regt-^iJuige GIE, GIL: doch wij hebben reeds tevoren ge-2fgd dat her denkbeeld van ruimte tot dat van en hoeknbsp;behoort: zie 2. Aanm. op de 8 Bepaling van het eernbsp;fte Boek. Men heeft zeer veel getwist over den aard vannbsp;den hoek door eene regte lijn met eenen cirkel-boog genbsp;vormd: waarover men kan nazien cLAvrtrs en TAcquET pnbsp;III. 16. en WALLIS Ogera Mathematica , T. Jl
P. 605,
in. aanmerking. Fig. 138. Het is misfchien met niet meer. der naauwkeurigheid dat men regtlijnige hoeken met hoeken uit twee cirkel-bogen beftaande vergelijkt: men zegtnbsp;bijv. dat indien twee gelijke cirkels BAFD, en BKDGnbsp;elkander fnijden, en men uit n der fnijdings Hippen B dnbsp;raaklijn BF aan eenen der cirkels trekt, vervolgens in dennbsp;zelven den boog BK D E G gelijk neemt aan den boog BAFnbsp;dien de gemelde raaklijn van den anderen cirkel affnijdt,nbsp;en eindelijk de choordc BD trekt j dat dan de kromlijnigenbsp;hoek F A B KI) gelijk is aan den regtlijnigen hoek FBG:nbsp;want, zegt men , de gemelde kroml^nige hoek FABKDnbsp;~ FAB H- l FBKD. Maar FAB = BKDEG; dus kromlijnige hoek FABKD s BKDEG-f-FBKD =: ^FBG;nbsp;^pch het blijkt, naar ons inzien , duidelijk, dat men dannbsp;niet. Zoo als behoorde, de enkele helling vaii den omtrek,nbsp;van den boog FAB, op den boog BKD vergelijkt metnbsp;de helling van den lijn F B op de lijn G B: maar ftilzwlj-gend de ruimte door de bogen FAB en BKD bevat, metnbsp;de ruimte tusfchen de regte lijnen BG, BF en de bogennbsp;^ D, D E G begrepen. Wel is waar dat indien men uitnbsp;quot; de raaklijn BI op den boog B A trekt, de regtlijnigenbsp;hoek IBF door de twee tangenten gevormd wordt; maar denbsp;helling van IB op BF is niet vergelijkbaar met die vaunbsp;hog FAB op deir'boog BKD.
WfiTA Opcr. p. 38.
aio
OVER de hoeken In den cirkel.
V. VOORSTEL. Fig. 115 a, h.
Een hoek [GCF] in het mi.^delpiint is het dnbbeid van den hoek [GI F] in den omtrek, die op den zelfden booinbsp;[GFjilaat.
ECL. III, 10, St, III. 10,
bereiding. Men trekt uit den top I, de middellijn ICL.
bewijs. Uit I. 15 en 27, op den driehoek IC G en dan vvederoin op den driehoek IC F toegepast. Men neemt ver.nbsp;volgens de fora of het verfchil der hoeken LCF en LCG,nbsp;LI F en LIG , naar mate de lijn IL bimien of buiten dennbsp;boek FCG valt.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Alle hoeken in, den omtrek, die op den zelfden boog rusten, zijn gelijk,
Euct,. III, 21, St. Iir. II. L. G. 11. 18, Cor. I.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De foin of hef verfchil van twee hoeken in den om-trek is de helft van de fom of het verfchil van twee hoeken in het middelpunt, die op de zelfde bogen rusten.
IIT. GEVOLG. F!g. I15
De fom der hoeken [FIG en FLG], die, in den om-krek, op bogen rusten welke te famen den geheelcn otn-trek uitmakeii, zijn gelijk aan twee rcgte hoeken: en de fom der hoeken, welke op bogen rusten die te famen dennbsp;halven omtrek uitmaken , zjo gelijk aan nen regteiinbsp;hoek ; en omgekeerd.
IV. GEVOLG.
Op dat de omtrek eens cirkels door vier flippen zoude kunnen gaan, moeten dezelve zoo gelegen zijn , datnbsp;wanneer men ze met lijnen vereenigt, de fom der tweenbsp;hoeken [FIG en FLG, IFL en IGL] die over elkander
-ocr page 273-II. Afduling : Over de hoeken in den cirkel. fii
Oaan, gelijk zij aan twee regte hoeken. Zie verder hier onder Voorft. XII. Aanm. 4.
In den Zelfden cirkel, of in gelijke cirkels, rusten ge* %e hoeken ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;allenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;in het middelpunt [ D C B,
CAI het zij nbsp;nbsp;nbsp;allenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;omtrek , op gelijke bogen
AHB; BID: en omgekeerd.
eucl. in. 26, 27. L, G. II. II.
bereiding. Men trekke de choorden DB, B A.
Bewijs, voor nbsp;nbsp;nbsp;hetnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;itnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I. 21. volgt BD se B A J en
dus, vermits A op nbsp;nbsp;nbsp;Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;valt,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;indien B op B en AB langs
BD geplaatst wordt, zullen ook, wegens de gelijkheid der ftralen, de'bogen DIB en BH A op elkander vallenen gelijk zijn,
VOOR. iiET II. Uit het ongerijmde, door het I.
I. GEVOLG.
Een hoek , of in den omtrek, of in het middelpunt, die op cenen dubbelden, drievoudigen boog enz. ftaat,nbsp;is dubbeld,_ drievoudig^ enz. vati den hoek die in deiinbsp;zelfden, of in eeiien gelijken cirkel, het zij in den om-irek, het zij in her middelpunt, op den -enkelen boognbsp;ftaat; en omgekeerd.
II. GEVOLG.
In den zelfden cirkel ftaat de grootfte hoek, het zij gt;n het middelpunt , het zij in den omtrek, op den groot*nbsp;ften boog.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
lil. GEVOLG.
De hoek, die in het middelpunt regt is, rust op eenen Igt;pog die hec vierde gedeelte is van den omtrek deanbsp;cirkels.
IV. gevolg. Fig. 117.
^ De bogen , die ttisfchen evenwijdige choorden [KL, IN] begrepen zijn, zijn gelijk, en omgekeerd, (uit 1. 7.nbsp;^11 dit Voorftel).
G, n. 10.
' F. B0(k : Over den cirkel.
Uit het bewijs van ons voorftel blijkt, dat, wanneer in nen en den zelfden cirkel twee ehoorden gelijk zijn,nbsp;de bogen welke zij befpannen ook gelijk zijn; en hetnbsp;omgekeerde volgt even gemakkelijk.
*UCL, lU. api ~ St. III. i6. L. G. n. 4.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Op dit Gevolg en op het 3. rust het bewysnbsp;der opiosfing van het 8 en 9. Werkftuk in het V, Boek.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Ook volgt hieruit, dat de choorde eens grooteren boogs glooter is dan die van een kleineren boog.
EUCt# in# 23. r L. G, n. S*
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men kan het lo. Werkfluk van het II. Boeknbsp;plosfen.
VIL VOORSTEL. Fig. 118,
Een hoek [ABD] in den halven cirkel geplaatst is regtr een hoek [ABG] die in een kleiner cirkelftiik ftaat isnbsp;grooter dan regt: een hoek [ABLJ die in een grooternbsp;cirkelftuk Itaat is kleiner dan regt.
EUCL, UI. 31- St. III. pr. 18. L. G, II. IS. Cor. 3,3,4. bereiding. Zij BCF eene middellijn; trek AG, AL.
BEWIJS. 1. Uit Voorft, V. en I. 3.
2. Om dat / ABG gt; Z ABD.
3. Omdat ^ ABL lt; i ABD.
. aanmerking. Het blijkt uit het 2. gevolg van de VII. bepaling , da: men dit Voorftel aldus zoude kunnen uitdrukken.
Een hoek in den omtrek is regt, of kleiner, ofgroo-,, ter dan regt, naar mate hij ftaat op den halven omtrek, of op eenen boog die kleiner, of op eenen boog die groo-,, ter is dan de halve omtrek.
IL aanmerking. Het bewijs van het eerde lid wordt gemakkelijker, met de middellijn A D te befchouwen als befpan-iiende den halven omtrek ; en dus den hoek ABD als de helft van den hoek die de lijnen AC en CD maken, ofnbsp;de helft van twee regten; en dus gelijk eenen regten.
Op-
-ocr page 275-^Plosfing van hec 4. Werkfluk in het I. Boek. Men kan thans ook oplosfen; het 6, 7, 9, 26, 27. Werkftuk van hecnbsp;II- Boek: het 1 (2. Oplosfing) en 12 en 13. van het V.Boek:nbsp;lt;he alle vooronclerltellen dat men weet dat de hoek in dennbsp;halven cirkel regt is.
IV. aanmerking. Dit Voorllel, dat de hoek in den halven cirkel regt is, wordt door diogenes lacrtius aan halesnbsp;toegefchreven; en daarop rust een gemakkelijk middel, omnbsp;eenen winkelhaak te beproeven: men ftelle den top in dennbsp;omtrek eens cirkels, en keere een van deszelfs benennbsp;200 dat het valle op het flip waarin de middellijn dennbsp;omtrek fnijdt: zoo dan het ander been juist door hec ander uiteinde der middellijn gaat, d. i. door hec flip waacnbsp;die middellijn den omtrek fnijdt, is de winkelhaak naauw-kenrig: anders niet. Dit middel is gemakkelijker dan hecnbsp;geen dat wij in II. 16. Aanm. 3. opgegeven hebben.
VIII. VOORSTEL. Fig. II9.
De hoek [DAB of DA F] welke de raaklijn [AB Of AF] met de choorde [AD] maakt die uit het ftip vannbsp;^nraking [A] getrokken wordt, is gelijk aan den hoeknbsp;[Aid, ot AHD] die geplaatst is in liet overhandfehenbsp;cirkelftuk [DEIA of DHA] door die choorde geiaakt.
L. G. II. 19.
EUCL. III. Si. St. III. pr. 20.
bereiding Zij EGA eene middellijn, dus i op FAB; trek liD, AH , DU.
BEWIJS. Uit de befchouwing dat d EDA regt is (door hec VII. Voordel): dus dat ook Z DEA, en Z EAD te famennbsp;regt zijn, zoo wel als Z EAD en Z DAB te famen Waaruit het befluic voor Z AED waar aan QVoorft. VI.)nbsp;Z AID gelijk is, volgt.
Voor den hoek FAD, uit de befchouwing dat (Voord. V. Gev.3) ^ AID ^ AIiD= 2 L = Z FAD Z DAB.
aanmerking. Hierop deunt de bewerking van het 5 en , Werkduk van het V. en het i. van hec VI. Boek,
Hl.
OVER DE LIJNEN DIE ZICH IN DEN CIRKEL
snijden, op door den obitrek gesneden WORDEN.
]X. VOORSTEL. Fig. 122.
Itidien eene middellijn [P K] eene choorde [L M] in twee gelijke rieelen fnijdt, liiijdt zij dezelve loodregt; ennbsp;omgekeerd; zoo eene middellijn loodregt op eene cboordenbsp;ftaat, fnijdt zij dezelve en den befpandcn boog in tweenbsp;gelijke deelen. Doch twee choorden [BR, AD] kunnennbsp;elkander nimmer zoodanig fnijden, dat zij daar door beide in twee gelijke deelen verdeeld zijn,
]^UCL, UI. 3,4. St. UI. pr. I. en e Gcv. L. G. U. 6. BEREIDING VOOR HET I. GEDEELTE: trek LC, HC:
VOOR HET II. trek CF.
BEWIJS VOOR HET I. iiit I. 20. Fooi' Jict otngckeerdc uit I. 27. en 22.
VOOR HET II. GEDEELTE iiit dc Ongerijmdheid waarin inen vervalt met het tegendeel te ftellen.- want dan moest, doornbsp;het eerfte gedeelte, zoo wel ZAFCalsZuFC relt;'t zijnnbsp;dat onmogelijk is.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
GEVOLG.
Zoo eene cboorde op eene andere cboorde loodregt valt, en baar tevens in twee gelijke deelen fnijdt, gaat zij doornbsp;het middelpunt, en is eene middellijn.
aanmerking. Door dit Voorftel lost men het i, fi. Op-losfing) het 2 en 10 Werkftuk van het V. Hoek op.
Indieri men binnen den cirkel eenig ftip [A] buiten het middelpunt [C| neemt, en daaruit verfebeide lijnen [AB,nbsp;AG, Ad, AE, AH] naar den omtrek trekt, zal betnbsp;volgende plaats hebben.
IIL Jfd. :0'^trdefmjding der lijnen in rf door den cirkel, ai 5
y- De kleiune is het overig gedeelte [AF] vaa de iiiiddeUiin,
3. De lijnen [AG, AB, enz.] zullen des te kleiner ^ijn, naar mate zij verder van de middellijn af, of vannbsp;het middelpunt verwijderd, zijn.
4''. Uit bet zelfde Trip [A] kunnen twee lijnen [AG, Ah'] getrokken'worden, en niet meer dan tw'ee, welkenbsp;gelijk aan elkander zijn: de eene zal aan den eenen, denbsp;andere aan den anderen kant van de middellijn vallen,nbsp;en zij zullen met dezelve gelijke hoeken [DAG en DAE]nbsp;maken, of even ver van het middelpunt af zijn.
5. Eindelijk , al het zelfde zal insgelijks plaats heb. hen (uitgezonderd N. 2.), indien het flip A op den omgt;nbsp;trek zelven valt.
eucl, ill. 7. St. UI, pr. 3.
VOOR I EN II. bereiding: Men trekt de ftralen CG, CB, CE, CH:
BEWIJS. Uit de V. Bepaling en het XXIIf. Voordel van het I. Boek,
Men trekt CL 1 op AG en
VOOR HET Ilf. bereiding;
CO i op AB:
BEWIJS. 1. Voor de AA ABC, en ACG uit I. 23 volgt AG jgt; AB; en dan 2quot;, uit I. 17. om te toouen dat CNnbsp;en dus C O gt; C L.
VOOR HET IV. BEREIDING. Stel GI E i Op AD: trek A E, en dan C M X op A E:
bewijs. In AA GAI en lAE is l GAD ce Z DAE: Dit onderfl., het IX. Voordel, bereid, en I.uhai. en innbsp;AA CAM en CAL is CM e CL.
Dat er geen andere lijn dan AE, getrokken kan worden, die gelijk is aan AG, blijkt uit Nquot;. 3.
N'. 5. volgt van zelf.
GEVOLG.
Tndien er uit eenig flip , binnen den cirael, tot aan den rgt;nitrek meer dan twee lijnen getrokken kunnen worden ,nbsp;die gelijk zijn aan elkander, is dat flip het middelpimtnbsp;Van den cirkel.
eucl. III. 9. St. Ill, 3, Gev, i.
04 nbsp;nbsp;nbsp;X.
ti6
Boek: Over den cirkel. XI. VOORSTEL. Fig. I2I.
Indien men uit eenig fiip [A] buiten den cirkel eenige lijnen naar den oratrek trekt , zal het volgende plaatsnbsp;hebben:
quot;. De langfte van allen, die den cirkel fnijden, en binnmi in den omtrtk komen, is die [AD] w'elke doornbsp;]jet middelpunt gaat : de overiga zuilen des te korternbsp;zijn, naar mate zij grooterc hoeken met de middellijn maken, of verder van htt middelpunt af zijn.
squot;- De kortfte vr.n afen die Hechts tot aan den omtrek komen, is die [AF] welke, verlengd zijnde, door het middelpunt gaat: en de overige zullen des te langernbsp;zijn , naar mate zij grootere hoeken met de middellijnnbsp;maken, of verder van het middelpunt af ziin,
30. Men kan , het zij tot binnen, het zij tot buiten den omtrek, Hechts twee lijnen uit het zelfde Hip [A],nbsp;trekken, die aan elkander gelijk zijn, en deze zullen, denbsp;eene aan den eenen, de anamp;re aan den anderen kant vannbsp;het middelpunt vallen, en even ver van het zelve af zijn,nbsp;gelijke hoeken met de laiddellijn maken.
SUCL. III. 8. St. II, pr. 4,
PSHEIDING. Voor I en II. Trek de firalen CG, CQ, CB, CP en verder CO j, op BA, CL j, op GA.
BEWIJS. Uit L Bep. 5. en Voorft. XIX. op A GCA toe-gepast, is AD gt; GA.
Uit I. 23. op AA GCA en BCA toegepast, is G A ^ B A.
Uit h 19. op A CQ A toegepast, is aQ gt; AP.
Uit I, 20, op AA CQA en CPA toegepast, is PA gt; AQ,
Uit 1. 17. is CN gt; CL: dus CO gt; CL.
bereiding voor het IIL Zij GIE X op AD; trek EA, CE, en CM i op EA.
bewijs. Door Voorfl, IX. E1 nbsp;nbsp;nbsp;1G: en in A A E IA
en lAG is l, ai. AE = AG; ^ EaD l DAG, en C M quot; C L.
-ocr page 279-jlfd.: Over de fnijding der lijtienin of door den cirkel. 217 I. GEVOLG.
alle de choorden die in den cirkel getrokken kun. ^*^1) worden, is de middellijn de grootde.
I.
Sucr,. lU. 15, _ Sc. in. pr. 8, L. G. IL 2.
Aanmerking, gt;ic kan ook onmiddelijk bewezen worde de V. Bep. en liec XVII. Voorftel uit het I. Boek.
aanmerking. Men kan thans het 3 en 4 VVerkftuk uit het V. Boek oplosfen.
n. GEVOLG.
.pa choorden, die even ver van het middelpunt afftaan, 2'J gelijk.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Van alle de lijnen die tot den bollen omtrek komen, iS raaklijn de grootlte: doch zij is de kleinfte van alle,nbsp;die tot den hollen omtrek komen.
^ Van eenig ip buiten den cirkel kunnen tot denzelven jWee raaklijnen [AT, AU} getrokken worden: deze zul-onderling gelijk zijn; en de grootfte zijn van alle denbsp;jnen die tot het holle, doch de kleinfte van allen die totnbsp;bolle van den omtrek getrokken kunnen worden.
Itf
lquot;; aanmerking. Het zelfde zal m het a. Gevolg van hec Voorftel op eene andere wijze bewezen worden. Mennbsp;het ook onmiddelijk bewijzen uit het IV. Voorftel vanbsp;dit, en hec Gevolg van het XXV. Voorftel In hec I. Boek.
V. GEVOLG.
Idit een ftip buiten den cirkel kan men maar twee lij-, h uagj. omtrek trekken, die gelijk aan elkander zul-
Aanmerking. Indien men di: Voorftel met het voorgaand zal men zien, dat zij in de daad Hechts nnbsp;Voorftel uitmaken; en dat het verfchil alleen in denbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ygjj pjip beftaat.
O 5 nbsp;nbsp;nbsp;XiL
-ocr page 280-!I3
y. Boek: Over den cirkel.
Fig. ly
VOORSTEL.
Twee Choordcii [AD, BE], die zich nnnr welgeval* len Inijden [in F], Ihijdeii zich zoo, dat de regthoeknbsp;de deeien [hF, F DJ van de eene, gelijk is aan den regt'nbsp;hoek uit de declcn [BF, FE] van de andere.
EUCL. tll. 35. _ st. IH. pr, S3. L. G. Ill, s8. Cor,
eerste bewijs. Uit de eigenfehappen der regtboeldge dri' hoeken ontleend.
bereiding'. Trek door F en het middelpunt C de middellijn NCFG: vervolgens CD; en CM i op AD.
BEWIJS. Uit het IV, Voordel van dit Boek, en JI. i6. het ' 4. Gevolg, is in de AA CDH, en CFH,
? op CD n op CF co a op H D ? op H F
waaruit, door de gelijkheid der ftraleri CD , CN, CG en door het X. Voordel van het JI. Boek, regthoek uit ,nbsp;IVF en F G 00 regthoek uit AF en FD. Men bewijstnbsp;het zelfde voor den regthoek uit BF en FE; waaruit hetnbsp;voordel volgt.
tweede bewij.'. Uit de gelijkvormige driehoeken. bereiding. Men trekt A B en D E.
BEWIJS. Uit het i. Gevolg van hef Vr Voordel, is A ABF A F DE: en dns uit IV. 2.
AF: BF t= FE: F D: en dus uit IV 9. het 3. Gevolg :nbsp;regthoek uit AP en FD 00 regthoek uit 35F en FE.
I. aanmerking. Dit voordel, aldus bewezen, levert ook een bewijs op van het X. Voordel uit het IV. Boek.
]I. AANMERKING. Plet voordel is algemeen: doch wanneer cf voor de choorden die zich fnijden, bijzondere omdandig'nbsp;heden bijkomen, zullen er ook uit het Voordel eenige bij'nbsp;zondere gevolgen getrokken kunnen worden: zoo als bijy'nbsp;wanneer de choorden elkander regthoekig fnijden: en inbsp;dat geval is of eene derzelve de. middellijn, het geen dnbsp;dof van het XIII. Voordel en zijn Gevolg oplevert: of Zvnbsp;zijn beide choorden, maar nie regthoekig gefneden wof'nbsp;den: en dit is het geval van het XlV. Voordel.
I, gevolg,
De deeien van eene eboorde zijn altijd wederkerig, zls
/Ifd,: Over dc fnijding der lijnen in of door den cirkel. 219
deelen van eene andere choorde , die de eerstgemelde
d. i.
aanmerking. Indien men het eerfte t'ewijs van het ^oorftel gebruikt, volgt dit gevolg uit het Voordel, doornbsp;9. het 3, Gevolg.
Maar indien men het tweede bewijs gebruikt, is dit ge-^o!g minder een gevolg van het Voordel, als de uitdruk-Iting in woorden van dat gedeelte van het bewijs zelf, waaruit het Voordel wordt afgeleid.
II.
o EV OL G.
Op dat er een cirkel door vier gegeven flippen A,. O, E getrokken zoude kunnen worden , moeten dezelve zoodanig geplaatst zijn , dat de lijnen die ze ver-eetiigen zich in wederkerige rede fnijden, of datnbsp;AF: BF = FE: FD.
IV. AANMERKING. Men kai dus niet altijd eenen cirkel door vier gegeven dippen trekken, daar zulks voor drie dippen, mits zij niet in ne regte lijn liggen, altijd moge-lijk is, zoo als wij dat *in het IL Voordel bewezen hebben. Zie ook hier boven V. Voordel, Gev. 4.
XIII. VOORSTEL. Fig. 124.
ndien cr uit eenig flip [B] van den omtrek eene lijn [B F] ioodregt op de middellijn getrokken wordt , zal hetnbsp;Vierkant van die liin geliik zijn aan den regthoek uit denbsp;[A F , F D] van de middellijn; en dus zal ooknbsp;*^^2 lijn middel - evenredig zijn tusfehen de gemelde dee.
, 'd. i.
Q op BF 00 regthoek uit AF, FDs en (IV. 9. Gev.3,) AF:BF=BF:FD.
Bereiding. Trek BA, B D.
Bewijs. Uit het VII. Voorfcel, II- 18.
B Aanmerking. Het zelfde kan uit het VII' Voordel van dit Boek, eii het XV. van het IV. Boek onmiddelijk bewezennbsp;voorden.
aanmerking. Hierop rusten de oplosfmgen van het 3, 8. 9. Werkfeuk van het III: de 3. oplosfing van het i6,nbsp;het 29 van het II.
AAN.uERKiNG, ndien dan het deel AF,? malen het
deel
20
Boek: Over den cirkel.
deel FD bc'^at, of h? = m y. FD: is op BF
CQ m X O op FD, en O op BD = ? op FB nbsp;nbsp;nbsp;P
op FD QOOTnopFD -fopFD =
X D ^ dat is; het vierkant op de choorde B D hevkc zoo veie maien hi't vierkant van FD, als er indenbsp;niideilijn AD deeien gelijk aan FD genomen worden.
' I. G E V o L G.
Die zelfde liin [CF], eene loodlijn namelijk op eene middelUin, is altijd zoodanig gefield dat het vierkant opnbsp;dezelve gelijk is aan het verfchil der vierkanten op dennbsp;radius, en op hpt deel van de middellijn dat tusfchen hetfnbsp;tniddeipiint en die loodlijn begrepen is , d. i.
P op BF 00 O op CD n op CF.
Uit het voorgaand Gevolg, en ll. 14. in aanmerking nemende dat PD = CD FC, enAF = CD FC.nbsp;Het zelfde kan onmiddelijk uit II. Gev. i. worden afgeleid.
II. GEVOLG.
Dit Voorftel en het I. Gevolg, namelijk dat P op BF 00 regthoek uit AF en F D, 00 p op CD p op CF, zijnnbsp;ook omgekeerd waar: namelijk, zoo eenige kromme iijn ABDnbsp;zoodanig gefield is, dat men voorleder Hip van die lijn hebhenbsp;O op BF 00 regthoek uit AF, FD, of oo O op CD ~ pnbsp;op CF, dan is die lijn de omtrek eens cirkels waarvannbsp;AB de middellijn is.
PAPPUS, CoU, Mathtm, VIL 16S.
IV. AANMERKING. Het Voorgaande gevolg levert op het geen de hedendaagfehe Wiskonftenaars noemen de Vergelijkingnbsp;(^Acqutioj van den cirkel, of in het algemeen van eenenbsp;kromme lijn. De iijn [AD], wier rigting gegeven is,nbsp;wordt as, of middellijn, genoemd: men noemt het Hipnbsp;A of C, uit het welk nien de Hukken AF, of C Fnbsp;der middellijnen of asfen, nfgefnedenen of abscisfen {aii'nbsp;cisjae') geheten, begint te nemen, den oorfprong der af'nbsp;g(jWcdenen , of ahscisj'en; en de lijnen BF noemt men to6nbsp;gepdsten, of ordinaten, (ordinatae, applicafae\
De kromme hjn is dsn bepaald zoodra de betrekking die er beilendig tusfchen de nfgefnedene en toegepaste 1'j'
neii
-ocr page 283-plaats heeft, bekend is. Voor den cirkel wordt die betrekking uitgedrukc dcwtrnbsp;Q op B F CO regthoek uit AF, PD, of CX)
regthoek uit AD, FD O op FD, noemende dan BF, y; FD, x; AD, 2 a;nbsp;in acht nemende het geen wij IV. 9. het 5. Gevolg eanbsp;5 Aanni- gezegd hebben, is
= (2 a - x) X a X a; de vergelijking die den aard der cirkels asnduidt: of ook, (lellende CF = ar,nbsp;^at is, de abscisfen, niet uit het uiteinde der middellijn,nbsp;naaar uit het middelpunt nemende, is j = 0 .-c =nbsp;-f.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ de vergelijking van den cirkel,
aanmerking. Wij hebben in de 2. Aanmerking op het 1 Gev. IX. Vrhel van het IV. Boek gezegd, wat de Oudennbsp;^oor vlakke plaatjen of vlakke werkflukken verdaan: zijnbsp;2yn namelijk die, waarin het gevraagde getal zoo wel ianbsp;bet vierkant als door een ander, doch gegeven, getal ge-niultipliceerd voorkomt! en het is door dit Voordel dat zijnbsp;lt;lezelve geometrisch oplosfen ; immers kan men alle dienbsp;Vraagftukken, of, zoo als men het nu noemt, alle dienbsp;vergelijkingen Van den tweeden graad tot deze tweenbsp;herleiden.
I. a: ac = lx. 11. nbsp;nbsp;nbsp; * =5
'fOoa HET I. Stel [Fig. 125.] GC = -|lt;7, IG =3 b regthoe big op DC: befchrijf uit C, als middelpunt met den radius Cl den cirkel Dl F, di de verlengde lijn CG innbsp;bJ en F fnijdt. Dan is de lijn D G het getal x dat denbsp;''ergelijking ac -j- tr a: ss i: en de lijn GF het getal arnbsp;tiat de vergelijking, x^ ax = A oplost.
Verder zij HF = DG: dan is DG = HF = GF CH =: GF .
Vv^ant; DC i^quot;lquot;DG;DF=slt;2'4-2DG; GP = *? -f DG.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
Indien men dan voor de vierkanten dq tweede magten. Voor de regthoeken het mulnplicade teeken gebruikt,nbsp;p ^ geen gefchieden kan , zoo als wij zulks in IV. pj.
5. getoond hebben: is
dat nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ X D G,
2sa
y. Boek: Over den cirkel.
en
iG^=^* = DGXGF =GF X (GF - ^) = GF
- X GF:
dat is ax b^.
VOO het II. Stel (Fig. 126.) AC = a: befchrijf C mee A C den cirkel A D B: ftel A E = ^ loodregt opnbsp;AB: zij ED II AB: en DF X op AB: dus CB ^^5nbsp;DFrzEA =^':danisFquot;c=a DC ^ DF^ =z ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; bquot;-'gt;
en FC = V ^quot; dus BF = 'CB -j- CF =
ws-sr uit volgt;
BF -f- ^ en dus
b-^
iquot;- / i = nbsp;nbsp;nbsp;_.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
i --_b^ = i nbsp;nbsp;nbsp;X BF BF^
of B nbsp;nbsp;nbsp;^ X B F ~ b'^
en dus voldoet 8 F aan het getal x dat de vergelijking ~ ax ~ b^ oplost
AF = AC FC = | a V k ap- gt; en duS Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; -J lt;z AF: en dus
V aP
_AF XAF-f-4:2 en dus AF^ xAF=: nbsp;dus voldoet AF aan het getal x dat de vergelijking x'^nbsp; a X oplost.
Men ziet dan dat er , om die vergelijkingen door de Meetkunst optelosfen, niets anders vereischt wordt, daUnbsp;dat eene lijn een getal a uitdrukke, en eene anderenbsp;de wortel b uit een getal dat men als een vierkao^nbsp;getal, meetbaar of onmeetbaar , befchouwt : bet eerfienbsp;valt in het oog: het tweede insgliiks, zoo b^ een vier'nbsp;kant getal is; zoo niet, kan men b'^ behandelen als eeUnbsp;product van twee getallen m en /, voor een derzelve*nbsp;zoo dit noodig is, de eenheid (lellende: die getallennbsp;en l kunnen door lijnen worden uitgedrukc, en de lij'nbsp;middel evenredig tusichen dezelve is de gezochte lijn b.
De Heer koenig herleidt het geen wij nu gezegd heb' ben tot de 28 en 29 propofitie van het VI Boek vainbsp;euclides: en in de daad , daar mch hier x vinden moetnbsp;zoekt men, volgens de lijn ^ eenen regthoek C' iL ^nbsp;te 'plaatfen, gelijk aan eenen gegeven regthoek 9
wie*
-ocr page 285-I
^fd.: Over dej'nijdingder Ujncnin of door dcncirkd. 223
Wiens bafis (a x') grooter of kleiner dan de gegeven ^'Jn a is: waarop de gemelde propofineii van eclides
XIV. VOORSTE!,. Fig. 127.
van de middellijn.
Dit kan op verfcheiden wijzen.bewezen
InJien tw^ee choorden elkander regthoekig fnijden, zal e fin van de vierkanten der deden op AF -j- O opnbsp;^ O op FD ? op FE] gelijk zijn aan het vier-
aammsrking.
Worden.
BERejDi\'G. Trek B D, D E, vervolgens door het middelpunt C, B CI, en eindelijk BA,AI,1D.
I.
BEWIJS. Uit dit Voorftel is AF: BF = FE: FD: gevo gelijk is uit III, 10. Gev. I. en Voorftel XIV. Gev. igt;
DopAFipopBF QopFErOopFD.
Waaruit, door famentcljing , verwisfeling' en wederom door fanientelling der reden volgt
Maar A F DE A !BD; want Z FED =2 Z BID (Voorft V. Gev, i.')
En Z EFD = L rr Z BDI (Voord. VII.) dus([V, a Q op F D: ? op B D = ? op E D: n op BI: en dusnbsp;\11I. /Sxloma 4.) ? op BI = ? op AP ? op B Fnbsp; ? op FE ? op FD.
11,
' Bewijs. Men kan ook dit gevolg bewijzen door het Voorftel van pythagoras CU, i6), Men trekt als dannbsp;CB, CD, CE, CA en de loodlijnen CL. CM- Mennbsp;Beenit door 11. l, in de AA BCL, ECL, ACM,nbsp;MCD, de waarde der vierkanten op CB, CD,nbsp;CA: de fom van die vier vierkanten is gelijk aannbsp;4 ? op c B, = ? op BI: en de fom der gevondennbsp;Waarden door If, 16. en II. 4. ontwikkelende vindt men'nbsp;joezelve gelijk aan Q op AF Dop F -|-?op'nbsp;4, ? op FD.
S24
V. Boek: Over den cirkel.
III. BEWIJS, Men kao het ook bewijzen uit de befchouwiiS dat (V. Voorftel, Gevoljj 3,) daar L ABE-f ZBAF==;nbsp;L, de bogen AE BD den halvcn omtrek iiitmaka^'nbsp;insgelijks ook de bogen AB -j- ED: dat dus boog Anbsp; boog ED; maar L BAI = L (VII. Voorftel) dusnbsp;(II. 16.) QopBIoonopAB nopAIaDpnbsp;AB ? op E D; waaruit,door II. 16, het Voorftel volgt*
J, AANMERKING. Het derde bewijs is het kortfte, en eeU' voudigfte.
II. AANMERKING. Dit Voorftel is het XI. van de Lemmata
van ARCHIMEDES.
|XV. VOORSTEL. Fig. 124.
De vierkanten der choorden [AB, AE] uit de niteindeit eener middellijn getrokken, liaan tot elkander als de Hukken
EAF, AP] op de middellijn afgefneden door de loodlijnen BF, EP] uit de uiteinden der choorden daar op neergelaten.
viviANi Divimtio de locis folidis, pr. 9.
BEWIJS. Uit Voorftel VII. en II. 18.
GEVOLG.
! op AB: O op BD ca AF: FD.
AANMERKING. Deze eigenfchap geeft een gemakkelijk mid' del om, twee lijnen gegeven zijnde, twee vierkanten tenbsp;jnaken welke de zelfde rede tot elkander hebben als die lijnen tnbsp;zij bijv. AF = I FD: dan is ? op AB c: | ? op BV-
Zie PAPPUS ColL Mathem, V. 5. en VIII. 6.
AANMERKING. Hier door kan men ook het Gevolg van het j. Werkftuk des IV. Boeks oplosfen.
XVI. VOORSTEL. Fig. 132.
Indien men van de uiteinden A, en B van de middellijk *aar twee of meerder ftippen [D en E] in den omtrek lijneitnbsp;[AD en DB, AE en EB] trekt, zullen de fommen der vief'nbsp;kanten op de lijnen naar het zelfde ftip getogen onderlingnbsp;iijk zijn.
Het zelfde heeft plaats al worden de lijnen niet van de nt' einden der middellijn, maar uit twee ftippen [I, K] op g'nbsp;iyke aficanden van het middelpunt, getrokken.
SIMPSON Elm, ef Geom. lil. B. pr. 20.
**
-ocr page 287-Bewijs. Voor het I. Uit II. iB, vermits door Voordel VII. vau Boek LL ADB eii AEB regt zijn.
Voor het 11, Men laat de ii BO en EP op de middellijn val-len. Dan is II, IJ.
? nbsp;nbsp;nbsp;op ID 00 Q op AD p op AI 2 Rh. uit AI . 10
? nbsp;nbsp;nbsp;op KD 00 ? op R D Q op ~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;KR . RO
derhalve ?oplD QopKDj^a opADtFDopDB ? op AI nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, op KB 2 Rh. uit Al. IQ 2 Rh.uitKB.KO
dat is, om dat AI =:= KB , en uit II. l.
Q Op ID ? op KD 00 O op AB 2 Rh. uit AI n
[AI 10 KOj 00 op AE 2 Rh. uit AI en AK.nbsp;Insgelijks p op A 4- ? op KR 00 ? np AB 2 Rh, uic
KB en BI:
derhalve , om dat AI KB en AK tr: BI is ? op ID p op KD ^ p op AE 4- p op EB.
XVII. VOORSTEL. Fig. 128.
Lijnen [FA, FE, enz.] uit een ftip [F] hliiten den cirkel, tot aan tien ointrek van den cirkel getrokken, ennbsp;verlengd, fnijden dien oratrek zoo, dat de regthoekeii uitnbsp;elke sieheele lijn en haar Ituk dat buiten den cirkel valtnbsp;[uit Fa en I' D, uit F E en F B] gelijk aan elkander zijn.
st. lII. 24. Gev. 1. L. G. III. 29.
eerste bewijs. Uit de eigenfehappen der regchoekige driehoeken.
tweede bewijs. Uit de gelijkvormige driehoeken.
bereiding. Trek EA.en D.
bewijs. Men toont . E F A in beiden s
3-
Bewijs. In de regthoekige driehoeken CFQ en CEQ^, epM en CAM is (door II, i5. bet 4. Gev.) o opnbsp;F Q p op Q E 00 ? op F M ? op M A: waaruit, door II, 10. en het IX. Voordel van dit Boek, hetnbsp;Feflnit opgemaakt wordt.
225
V. Boek: Over den cirkel.
^ EAD = / DBF; derhalve door IV. 2. FA : FE == F B: F D: waaruic door IV. 8. het 5. Gev. het Voorftelnbsp;volgt.
I. AANMERitiNG. Het blijkt duidelijk, dat dit Voorilei en het XII. in de daad n en het zelfde Vooiilel zijn, dat meonbsp;algenieener op deze wijze zoude kunnen uitdrukken.
5, Indien men twee lijrfeu trekt, die elkander binnen of ,, buiten den cirkel fiiijden: zijn de regthoeken der Huk-,, ken van iedere lijn die tusfchen het flip daar de lijnenbsp;,, elkander fnijden en de beide flippen daar elke lijn dennbsp; omtrek fnijdt, onderling gelijk.,
1.
G E VOl-G.
il. aanmerking. Indien men het eerfle bewijs gebruikt volgt dit uit het Voordel door IV. 8 , het 5. Gevolg: en zoonbsp;men het 2. Bewijs gebruikt, is het minder een Gevolgnbsp;dan de uitdrukking in woorden van dat gedeelte des benbsp;wijs waaruit het befluit wordt opgeinaakt.
II. GEVOLG. Fig. 128.
A D door de onderftelling F A door dit Voorfteinbsp;FAnbsp;FAnbsp;- ADnbsp;ADnbsp;DA
want zoo DF ; en DF :nbsp;is ook B F :nbsp;of BF :nbsp;en dus FE BFnbsp;of E B ;nbsp;EB
en dus EB
Indien het buitenfte deel [BF] van eene der lijnen [EFjl middel evenredig is tusfchen de beide doelen van eene andere [FA]: zal ook het buitenfte deel [FD] van deze mid-del-evenredig zijn tusfchen de beide deelen van den eerst-gemelde :
BF pe BF : BF = FF.
AD
AD rr FE FE = ADnbsp;: BF t= F Anbsp;; BF != DFnbsp;: DF = BF
DF k: DF : BF.
viETA Operum 242.
III. gevolg. Fig. 129..
Indien de beide lijnen zoodanig getrokken w'orden, dat htt buitenfte deel van de eerfte ftaat tot derzelver binnenfte denbsp;als het binnenfte deel van de tweede tot derzelver buit^nbsp;fte deel; zullen de buitenfte deelen van de eerfte en van
III. Afd. : Over de fwjding der lijnen in of door den cirkel. 227
tweede, deelen
twee middel-evenredige zijn tusfehen de binnenfl van de tweede en eerfte: want.
iudien D K DKnbsp;DKnbsp;ADnbsp;DKnbsp;Of T
H P is componendo.
AP : AP HP, f A H ; maar uit dit Voorftlnbsp;AK dus
AK - AK ; HP.
DK, AP, AK, HP.
H. aanmerking. Indien men dan twee lijnen in den cirkel geometrisch zoodanig trekken kon, dat KD: AK =: AP; HP,nbsp;2oude het vraagftuk om twee middel - evenredige te vindennbsp;geometrisch opgelost ziin, en het is hiertoe dat vietAnbsp;*'Ct vraagftuk gebragc heeft; doch dit is geometrisch nietnbsp;hogelijk. Men kan wel de zaak tot eeiie meer eenvoudige oplosfing brengen; namelijk aldus; Fig. 129. men b-fchrijve eenen cirkel waarvan de middellijn eene der gegeven lijnen is; men trekke de andere, (de kleinlle), HP imnbsp;den cirkel: men verlenge dezelve zoo dat HL s HPtnbsp;men trekke vervolgens LC, en PI // LC, en eindelijknbsp;door het middelpunt C, de lijn DCKA zoodanig dat'A Gnbsp;ta KC worde: dan is
AG: AP = GC: PL : maar AG = f KD zoo als P H PL.nbsp;dus A G: K D = P II: p L en dusnbsp;KD: APe: GC: PH.nbsp;maar AG 2a KC: dos GCnbsp;KD, AP AK: P H, of
= AP: P H : en derhalve AP, A K, P H: maar men kan
AK
DK
AD
AH
AP
AP AKnbsp;APnbsp;APnbsp;AP :
A K: dus
KD, AK KD.
de lijii
D C K A geometrisch niet trekken zoo dat A G K C zij
VIETA Operuvi p. 243,
IV. GEVOLG. Fig, 130.
Indien de hoek ABC regt is, en men den regthoek ADCfi-Voltooit; verder door D en A, en door D en C. de lijneh' *^CG en DAF; en eindelijk uit B, de fnijlijn GBOF,nbsp;^oodanig trek dar BG a: OF: zullen AF en GC tvVee mid-del-evenredige tusfehen AB en BC zijn:
Want daar OF =:BG,isC)G ta^BF; en dus
^egth. FD, AF 00 Regth. BF, FO oo Regth. OG, BGf
GO Regth DG GC: en dus GO: FD ar AF: GC : maar (IV. 2.)
GD; F D AB: FA: dus AB: FA s: FA; GC.
P 2' nbsp;nbsp;nbsp;#*.-
223
V. Boek'. Over den cirkel.
3. GD AB:GD = FDFA:FD of G C : G D = B C ; F Dnbsp;4: of GC: BC = GD: FD i= FA: GC;nbsp;derhalve uit 2. en 4.
A B: F A = F A; G C = G C : B C : en dus
4-: ab, fa, gc, bc.
Iiidien men dan, AB regthoekig op BC gefteld, en een cirkel die door de (lippen A, B, C gaat, getrokken zijnde,nbsp;den regthoek ABCD voltooit, en DA en DC verlengd zijnde, door het (lip B, de lijn GBF zoodanig trekken kon,nbsp;dat B G =: FO, zoude het vraaglluk van twee middei-evenre-dige lijnen opgelost zijn, en het is tot die vraag dat vuilo vannbsp;B'jzantium het gemelde vraaglluk gebragt heeft. Zie tacnbsp;QET op EUCL. VI. 13.
XVIII. VOORSTEL. Fig. 131.
Indien eene fnijlijn [ABD] door eene middellijn [GCD] zoodanig ontmoet wordt [in D], dat het ftuk [BD] buitennbsp;den cirkel gelijk is aan den radius des cirkels; zal de eenenbsp;boog [A G] welken de lijnen van den omtrek affnijden hetnbsp;drievoud zijn van den anderen boog [BF] insgelijks doornbsp;dezelve lijnen in den ointrek bepaald.
ARCHIMEDES Lemma 8,
BEWIJS. Men trekke GE // AB: en de ftralen C E, en C B. Dan is in AA DBG en ECG,ZBDCa=:ZDCB = ZCGE=:nbsp;Z CEG: maar Z DCE 2 Z CGE: derlialve Z BCE =nbsp;Z U C 1) -G Z U C E = 3 Z BCD: d. i. ^ B E = 3 B F'.nbsp;maar A G rtr ^ B E: derhalve r-N A G 3 C D.
AANMERKING. Indicii men dan, de boog AG gegeven zijnde, de middellijn GCD en eene choorde aD te gelijk zoodanig kon trekken dat de omtrek de choorde A D, door de ontmoeting der middellijn bepaald, zoodanig fneedt in Bnbsp;dat B D C B, zoude het beroemd vraaglluk om eenennbsp;gegeven boog, of hoek, in drie gelijke deelen te fn'udennbsp;opgelost zijn
Indien men op den radius [C H] van eenigen cirkel een lliP ni neemt, en op den ze!ven verlengd, een ander (lip [AJnbsp;buiten den cirkel, zoodanig gedeld, dat de radius des cirkelnbsp;middel-evenredig zij tusfehen de afdanden [Cl, CA] d*^nbsp;iniddelpunts van het eerde en van het tweede (lip; indienbsp;man verder uit het laatstgemelde eene fnijlijn trekt, zal menbsp;hebben
Gi [ofgIJ: GA [of^A] s= Hl: HA.
L. G. UI. 3j,
-ocr page 291-Ill, ^fd. : Over defnlj ding der lijnen in of door den cirkel. 229
eeueiding. Men trckkc dc ftralen C G , C
UEWIJS. Om dat i. C I; C H = C H : C A ; is Cl: CG zr: C G: CA: en derhalvenbsp;A CG I ^ A GC A : cn dus
S'. G I: G A C 1: C G of C H.
Uit N. I. dividendo.
4, Cl: C H CM Cl: C A C II: d. i. Cl: CM IH: AH: en dus uit 3.
5. GI: GA = IH : AH.
XX. VOORSTEL. Fig. 128.
Indien men uit een flip F buiten den cirkel eene raak-[F Ij en eene fniilijn [F AJ naar welgevallen trekt; is bet vierkant op de raaklijn [F I] gelijk aan den regthoeknbsp;de fnijUjii [F A] en haar gedeelte [F DJ dat buitennbsp;en cirkel valt: en omgekeerd.
EOCI.. Ill, 3, 37, _ St, III. pr. 24. L. G, III. so.
I' aanmerking. Wij befchouwen dit Voordel als een on-niiddelijk gevolg van het XVII : want wanneer FE eene raaklijn wordt, vallen de Hippen E en B op elkander en beide op het Hip T: zoo dat FB ~ FE nbsp;FT, en regthoek uit FA, FD = ? op FT. Anderen,nbsp;zoo als EucMDEs, maken van dit Gevolg het hoofd-voorftel, en van ons XVil. Vcorflel een Gevolg: en dannbsp;wordt het bewezen, of uit de eigenfehappen der regt*nbsp;hoekige driehoeken, of uit de gelijkyormige driehoeken,nbsp;in het eerfte geval is dor II. 16. Gevolg i. Q op FTnbsp;00 ? op FC O op TC 00 ? op FC ? op CNnbsp;00 Regth. uit FN, FS (II. y.j en dan volgt het be-huit uit Voordel XVII. In het tweede geval volgtnbsp;bet door IV. a. en IV. 8. Gevolg 5. uit de gelijkvormigheid der driehoeken TFB en TFE: want l TFE is gemeen in heiden : en door het IX. Voordel van dit Boeknbsp;is L FTB = L TEB.
aanmerking. Hierop rust de oplosfing van het iiWerk-ftuk van het I. Boek, en ook het Bewijs van de i. Oplosfing van het ii. in het II. Boek.
, raaklijn is middelevenredig tusfehen de fnijlijn en naar gedeelte dat buiten den cirkel valt.
Ewijs. Uit IV. 8. Gev. 6.
SSO
II. GEVOLG.
De twee raaklijnen, die men uit een flip naar den o trek eens cirkels trekken kan, 2ijn onderling gelijk.
XXI. VOORSTEL, Fig. 128.
Indien de raakpunten [T, I] van twee gelijke raaklijr.eo [FT, FI] door eene choorde [TI] vereenigd worden,nbsp;inen uit het flip [Fj waar de beide raaklijnen elkander ontmoeten, eene fnijlijn [FE] naar welgevallen trekt, die dequot;nbsp;cirkel [in rgt;] en de gemelde choorde [in O] fnijdt, zal diquot;nbsp;fnijliin in harmonifche evenredigheid gefneden worden doornbsp;den cirkel [in 15] en de gemelde choorde [in O],
XRAFFT Geom, Sublim, . 77.
BEWIJS. Zij FN i op TI: cn derhalve gaande door het middsk punt, dan is
Q op FI 00 nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FOnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n op 01 iRh.nit.Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I, OPCII.ip)
/ nbsp;nbsp;nbsp;COnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;F Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-i-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Rh.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(lOnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 OP)
30 ? op FO Rh. uit 01 en (IP - OP)
Maar ? op FI 30 Rh. uit FE . HF (Voorft XX.) en Rh. uit I O en T O 30 Rh. uit BO en EO (Voorft. XII.); derhalvenbsp;Q op F O -h Rh? uit B O cn E O Qonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FE . B F.
Maar ? op FO Rh. uit B O , EO 30 Q op FR a Rh. ui' B F, B O Q op B O Rh. uit B O, E O (11, 4 )nbsp;en Rh. uit B F, FE 30 Q op BF Rh. uit FB, 3
(II. S. Gev. 3 X
Gevolgeiyk ? op BF 2 Rh. uit BF, BO Q op B O -F * Rh. uit B O , O E 30 ? op B F -|- Rh, uit B F, B E
- cn Rh. uit B F, B O -j- Rh. uit B O cn (B F -f- B E) r-
Rh. uit FB, B*
d. i. Rh. uit BF, BO Rh. uit BO, FE 30 Rh. uit FB,
n Rh. uit RO, FE 30 Rh. 't FB, OE: derhalve B F : F E ~ B O : O Enbsp;of BFr FE = FO BF: EF FO:nbsp;derhalve UI. Bep. 23.
BF, FO, EF in UamoKtfeht evenredigheid.
a3t
Over de cirkels die elkander raken
o E SN IJ D E N.
XXII. VOORSTEL.
Cirkels die zich fnijden of raken hebben het zelfde iniddelpiint niet.
Eucl. III. s, 6,
algemeene aanmerking. Dit Voortlel en de drie volgende rusten op die groudbeginfel, dat twee cirkels, die elkandernbsp;raken of fnijden. juist zoo vele Hippen gemeen hebben,nbsp;er (lippen zijn in welke zij zich raken , of fnijden ;nbsp;gevolgelijk dat de lijnen uit die (lippen mar ieder middelpunt getrokken, gelijk zullen zijn.
BEWIJS. Voor de cirkels die elkander fnijden Fig. i33.5 voor die welke elkander inwendig raken Fig. i34 5 voor die wel*nbsp;de elkander uitwendig raken, 1'ig. 135; voor deze laatftenbsp;fpreekt de zaak van zelf, daar de beide cirkels geheel buiten elkander fcaan: voor de twee eerfte gevallen wordt hetnbsp;bewijs opgeinaakt uit de ongerijmdheid die voortvloeit metnbsp;het tegendeel te ftellen; en die ongerijmdheid wordt uit denbsp;gelijkheid der ftralen opgemaakt; want dan zoude moetennbsp;zijn CA = BC CE:
XXIII. VOORSTEL.
Zoo twee cirkels elkander inwendig, of uitwendig ra , gaat de ln, die de heide middelpunten vereenigt ,nbsp;ook door het (tip van .aanraking.
EUCL. III. II, 12.
Bewijs. Voor beiden uit het ongerijmde. Zoo de cirkels elkander imendlg raken, Fig. 134, en het geftelde geen plaats heeft; iaat dan I buiten de lijn FA het middelpunt zijn van den cirkel ADE: trek Al: dan moest (I,nbsp;Q.) Al -f- FI gt; AF of gt; FB: d. i. ID -f- pi, ofnbsp;^ FB zijn: dat nmogelijk is._ Zoo de aanrakingnbsp;'Uitwendig is, (Fig. 135.) iaat de lijn C/, die de middelpunten vereenigt buiten A vallen: dan moet (I. 19.)nbsp;cD B/|gt; C/zijn, dat onmogelijk is.
AAN-
-ocr page 294-23a
V. Both: Over den cirke!.
AANMERKING. Met! kan thans de ij, i8, 19 Werkftukkeii van het V. Boek oposfen.
XXIV. VOORSTEL.
Een cirkel raakt eeneii anderen cirkel Hechts in een flip. EucL; III. 13. St, I!I. pr. 5,6,
BEWIJS, Uit het ^ ongerijmde. Zoo de aanraking inwendig gefchiedt , Fig. 134, laten B en A de twee ftippen van aanraking zijn: en (Voorftei XXlII.) F en C de tweenbsp;middelpunten: dan moest FB FA = FC CB zijnnbsp; dat (I. i^,) onmogelijk is. Zoo de aanraking' uitwendig is,nbsp;F'S *35, l'.iten A en O de twee ftippen van aanraking zijn:nbsp;dan .moest cA Af = cD Of: dat Ql. 19,) onmogelijk is.
AANMERKING. liet blijkt dat ZOO de afftand der middelpunten gelijk is aan de foin der fcralen, de cirkels zich uitwendig raken; en zoo 'dezelve gelijk is aan het verfchil der fcralen, raken zij zich inwendig.
L. G. II 13 , 14.
XX V^ VOORSTEL.
Twee cirkels die elkander fiiijJen, fnijden zich in twee ftippen, welke zoodanig geplaatst zijn dat de lijn die dezelve vereenigt loodregt liaat op de lijn die door denbsp;niiddelpunten van beide de cirkels gaat , en door dezenbsp;in twee gelijke deelen gedeeld wordt; en zij kunnen el-kander in niet meer dan in twee flippen fnijden,
EUCL. Iir. ro, St. Ill, 4. Gev. a. L. G. II. xi.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEDEELTE. Fig. 137. Indieu de beide cirkels maar een ftipnbsp;gemeen hadden zouden zij zich flechts raken: dus, daar zijnbsp;zich fnijden, fnijden zij zich ten rainfeen in twee ftippen.
De ftippen kunnen niet ftaaii aan den zelfden kant van de lijn, die de beide middelpunten vereenigt; want dan zoude men aan nen kant uit een ander ftip dan bet middelpunt twee gelijke lijnen kunnen trekken dat onmogelijknbsp;is (door X, Voorftel).
De ftippen A, F zullen dan aan verfchillende kanten val-lin, en dan volgt het Voorftel uit I. 27. Gevolg 4.
II, nbsp;nbsp;nbsp;gedeelte. Fig. 13. Uit het ongerijmde; want dan moesten de beide cirkels een en het zelfde middelpunt hebben!nbsp;dat onmogelijk Is: door het X. Voorftel.
AAN'
AANMtRTUNG, Het blijkt uit de figuur 1. fiat de afftaud ^ H der twee middelpunten kleiner is dan de fom der tweenbsp;Stralen Cf], DG: 2quot;, dat de grootfte ftraal CH kleiner isnbsp;dan ()e afftand C D der 'twee middelpunten, en de klehiftenbsp;firaal D G te famen genomen. En dit heeft bij het fnijdennbsp;van twee cirkels altijd plaats.
XXVI. VOORSTEL. Fig. 134, 135.
Indien twee cirkels elkander, het zij inwendig, het zij uit-'ven^ig, raken, en er uit het ftip van aanraking [A] eene lijn LALM] getrokken wordt die ze beide fnijdt: zullen de hoe-ken [acl en A FM] in het middelpunt [C en F] van iederennbsp;Cirkel gevormd door de lijnen fAC, CL en AF, FM]nbsp;'velke uit het middelpunt naar het ftip tan aanraking [A] ennbsp;iaar do ftippen van fnijding [L en M] getrokken worden,nbsp;elkander gelijk zijn.
rarpus Ccllect. lathem. IV. Lemma ad prop, 9.
bereidino. Men vereenige dc middelpunten door de lijn FC, die, zoo noodig verlengd, door het ftip vail aanraking A gaatCVoorft,XXIII),
BEWIJS. Om dat in AA AFM.CAL, Z CAL te L FAM cn CA t= C i., FA t: F M: en dus AC: CL c: AF: FM, isnbsp;(IV. a.) C L // FM: en derhalve Z ACL S L AFM.
AANMERKING. Wij ziilleii ill VII. 10. Gcv. 2 tooncii dat, wanneer Z ACL Z AFM , de bogen ADL en ABMnbsp;de zelfde rede hebben tot de geheele omtrekken waarvannbsp;2ij deelen zijn, dat is dat zij onderling gelijkvormig zijn.nbsp;Ook luidt dit Voorftel aldus bij pappus. ,, Als twee cir- kels elkander inwendig of uitwendig raken, fnijdt de liinnbsp;5, die uit het raakpunt genomen wordt, van de zelve gelijk,nbsp;, vormige bogen af.
OVER DE VEELHOEKEN IN EN OM DEN CIRKEI'
BESCHREVEN.
INLEIDING.
I. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.
Ecne figuur wordt gezegd in eene andere'figuur te ftaati of in dezelve befchreven te zijn , .als de toppen van hafSnbsp;boeken op de zijden van die andere figuur rusten.
En dus wordt cene figuur gezegd in eenen cirkel te ftaan , of in denzelven betchreven te zijn, als de toppennbsp;van bare hoeken op den omtrek rusten: en de cirkdnbsp;wordt gezegd iu cene figuur befchreven te zijn, als zijdnbsp;omtrek alle de zijden raakt.
EucL, IV. Bep, 1, 3.5. St. IV, def, i,
aanm;p.k!Ng. Volgens het geen wdj i.u het XXXVIII. Voor-fcel van het 11. oek bewezen hebben , kan men (Fig' 82), in iedcren regehnatigen veelhoek zoo vele andere gf'nbsp;lijkvormige veelhoeken befcbrijven als men wil, doch dinbsp;alle van vetfchillende grootte zijn zullen. Wanneer me'nbsp;echter van veelhoeken in veelhoekeii befchreven, in benbsp;algemeen, 'fpreekt, behoort men van veelhoeken te fprC'nbsp;ken, die ecne bepaalde grootte hebben; in het gevol,?nbsp;nu van bet XXVII. Voorftel van Jiet IV, Boek hebben v'Unbsp;gezien dr.t dit plaats heeft als de toppen E, F, G, I, ^nbsp;op het midden der zijden AD, DC, CR, CQ, QA rUS'nbsp;ten: waarom men dan ook dien veelhoek, als bij uitfteknbsp;den veelhoek in den veelhoek befchreven noemen Itan.nbsp;Voorfc. Xm.
Eene figuur wordt gezegd om ecne andere figuur fiaau, of, om dezelve ^befchreven te zijn, als alle htFnbsp;zijden de toppen van alle de hoeken van die andere **'nbsp;guur raken.
En dus, wordt een cirkd gezegd om eene figuur h fchreven te zijn, of om dezelve te ftaan, als denbsp;van den cirkel de toppen van alle de hoeken raakt
-ocr page 297-235
Inleiding.
eenc nbsp;nbsp;nbsp;\vor3t p:e7egd om den cirkel befchreven te
ais aile hare zijden den omtrek van den cirkel raken*
Eucl. IV. Bep. 2, 4, 6. St. IV. Bep. a.
aanmerking. Wij zullen in het II. Gevolg van het XTV. Voorfcel zien hoe een regelmatige veelhoek om eenen re-gelmatigen veelhoek befchreven wordt.
^1- aanmerking. Wij zullen fomtijds, kortsheidshalye de veel' hoeken in of om den cirkel befchreven noemen, den eerfcei^nbsp;veelhoek in, den anderen den veelhoek om,
Wanneer een regelmatige veelhoek in of om eenen cirkel befclireven is, en insgelijks een ander die een dub-getal zijden heeft ; noemen wij den eerstgemeldeii den voorgaandtn, den anderen den volgenden veelhoek.
Een veelhoek kan noch in eenen veelhoek, noch Otn eenen veelhoek, befchreven worden, ten zij deze evenveelnbsp;zijden hebbe*
ALGEMEENE EIGENSCHAPPEN DER VEELHOEKEN IN EN OM DEN CIRKEL beschreven.
I. VOORSTEL. Fig. I4I, 139.
Geen figuur kan in eenen cirkel befchreven worden, zij er,in of buiten dezelve, eenig flip [C] zoodanignbsp;gefteld zij, dat alle de lijnen van bet zelve naar de hoe-van de figuur getrokken [CB, CD, CA enz.], on-gelijk zijn,
En geen figuur kan om eenen cirkel befchreven wor-den ten zij in dezelve eenig ftip [C Fig. i39quot;] zo i;::a gefield zij, dat de loodlijnen [Cl, CK, C Lj iCnbsp;et zelve op alle de zijden van de figuur geiogtui.nbsp;erling gelijk zijn.
2?6 VI. Bock: Over de veelhoeken in en om den cirkel.
BEWIJS voor het I. Uit den aard van den cirkel en paling I.
Voor het II. Uit de II. Bepaling en V. 4.
Geen figuur kan om eenen cirkel befclireven worden , ten zij 5 indien hare zijden even in getal zijn, de lofflnbsp;van de eerde, derde, vijfde, zevende, enz. gelijk zij aannbsp;de foni der tweede , vierde , zesde, achtde, enz.; en, indien zij oneven in getal zijn, ten zij de fom der eerfte,nbsp;derde, vijfde, zevende, enz. gelijk zij aan de fom vannbsp;dc tweede, vierde, zesde, achtfte, enz. en daarenbovennbsp;van tweemaal dat ftuk der laatfte zijde dat tusfchen denbsp;eerfte en het ftip van aanraking begrpeii is.
PITOT. Mem, de l'Acad, de Paris, A. 1715. p. 45, bewijs. Uit de ]I. Bepaling, en V. ii. Gevolg 4.nbsp;GEVOLG.
Er kan dus nooit een parallelogram of een regthoek, maar wel eene ruit of een vierkant om eenen cirkel be-fchreven worden.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
Er is geen driehoek, of dezelve kan in of om eenen cirkel bclchreven w'orden : en dus ook geen, of er kan'nbsp;een cirkel om of in denzelven ftaaii.
BEWIJS. I. Gedeelte. De infclirijving; des driehoeks in den cirkel, en dus de befchrijving van dezen oin denzelven,nbsp;blijkt uit V. 2.
II. Gedeelte. De befchrijving des driehoeks om den cirkel.
BEREIDING. Fig. 139, Stel dat de lijnen BC, en CD, welke de hoeken ABD en A DB in twee gelijke deelennbsp;fnijden, in C famen komen: trek CA; en de loodlijnennbsp;Cl, CK, CL: men moet bewijzen (1. Voorfcel} dat clnbsp;= CK 1= CL.
BEWIJS. Uit I. 22.
I, aanmerking. De Bereiding en het Bewijs van het II. ge' deelte van dit Voorftei leveren de volgende eigenfehappenbsp;der driehoeken op.
^fd.: Ovcrdc algrti. t'genfch. der in- ofomfchr, veeh. 237
I. GEVOLG.
lijnen, welke de hoeken van eenen driehoek in gelijke
^eeleii verdeden, komen in n flip binnen den driehoek te lamesi; en de loodlijnen, die iiit hetzelve op de zijden desnbsp;'^iehoe]is getrokken worden, zijn allen gelijk aan elkander.
II
c. , 502.
^anmerking. De driehoek is de eenige figuur die altijd in oin den cirkel befchrcven kan worden: en in oF om wel-men altijd eenen cirkel befchrijven kan.
^^Iquot; aanmerking. Men kan thans het 2 en 4 Werkftuk van Vl, Uoek oplosfen. 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg,
I^e inhoud eens driehoeks wordt uitgedrukt door deszelfs mtrek gemultipliceerd door den halven radim van den cirkelnbsp;^Aiin befchreven.
G. III. 32. ScholU,
BEWIJS. AABDoo a ABC ABGD AACDso CIV. 9. Gev. .)AB X iCI UDX JCK AD xnbsp;iCLQo[AB BD-|-DA] X iCLQQnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X radius,
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Wanneer eene lijn [AC] eenigen hoek [BAD] in twee Selijke deelen deelt, zal ieder flip [C] op die lijn waaruicnbsp;loodlijnen [Cl, CL] op de beenen des hoeks laat val-^'^5 het middelpunt zijn eens cirkels die de beide beenennbsp;raken, en van denzelven, gelijke deelen, van den top tenbsp;S'nnen, zal affnijden.
G. . 331.
IV, VOORSTEL. Fig. 127,
de derde zijde cirkel.
j Wanneer een driehoek [ABD] in eenen cirkel befchreven is de regthoek uit twee zijden [AB, BD] van gelijken in-Fa'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regthoek uit de loodlijn [BF] op
^ ^ neergelaten en de middellijn van den cii G. III. 32.
Wijs. Trek A I; dan is a ABI A BFD om dat L BAI ^ L I BFD en Z AI C = Z B DF: en dus Z ABI =nbsp;^ EbD: derhalve (IV. 2.) AB: BI EF: BDi.en gevolgelijknbsp;8. Gev. 5.) Regth. uit AB , BD 00 Eegth. uit B I . BF.
I.
-ocr page 300-I. GEVOLG.
De inhoud eens driehoeks wordt uitgedrukt door het duet der zijden, gedivideerd door de dubbelde middellijnnbsp;den omfchreven cirkel.
eeiien cirkel befchreven te zyn (Voord, is AB X BD ^ AD ~ r. I X BF X AD: derhalvenbsp;AB.B D. ADnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AD, BF
AD.BFc: -5-- maar A A B D 33 ~ (IV.p. Gev.o/
A 15. B D. A D
BEWIJS. _ Een driehoek immers kan altyd gehouden worden als i'J
'oord. lil.): cn uit dit Voorft=
BI
B I
gevolg.
II.
derhalve A A B D 33 L. G, III. 3a. Cor.
Indien verfchillende driehoeken in den zelfden cirkel, of B gelijke cirkels, befchreven zijn: (laan hunne iiihoudeu tot cl'nbsp;kander als de producten hunner zijden.
aanmericing. Deze twee uitdrukkingen van den inhoidl eens driehoeks: die uamelijk van het eerfte Gevolg van ditnbsp;en van het 2. des voorgaanden Voorftels, hoe verl^chillendcnbsp;ook in fchijn van de uitdrukking in IV. 9. Cev. 6. ennbsp;II. 13. Gev. I begrepen, zijn, echter op deze gevestigd:nbsp;wij zullen in IX. 8 en 9. nog twee andere uicdrukkingc'nbsp;voor den inhoud eens driehoeks opgeven. Alle die ultdrult'nbsp;kiugen komen dikwerf te pas.
V. VOORSTEL.
Niet alle onregelmatige, maar wel alle regelmatige veel' hoeken kunnen in of om den cirkel befchreven worden.
L. G. . 530.
BEWIJS. Voor het I. uit het i. en 2. Voordel; en voor het II. uit het I. en 2. Voorftel, eu II. 32.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking Het eerfte en tweede Voorftel van dit Boehnbsp;gepaard met het 32. van het II. toonen genoeg aan honbsp;men in en om eenen gegeven regelmatigen veelhoek eeofnbsp;cirkel befchrijven moet; dus kan men het 13. en 14.
ftuk van het VI. Boek oplosfen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Wij fpreken hier, en in de volgendenbsp;Hellen, van het VIII. af j van regelmatige veelhoeken irgt;nbsp;om den cirkel befchreven : doch clavius merkt te tC?nbsp;aan fop eocl. IV. 16.), dat een gelijkzijdige veelhoek \gnbsp;den cirkel befchreven alti)d_ gelijkhoekig, en dus regelat''^'nbsp;is: doch dat een gelijkzijdige veelhoek om den cirkel -anbsp;fchreven, niet altijd daarom ook gelijkhoekig is, ten ^
-ocr page 301-^fd,: Overdealgem. eigenfch deriti- ofomfchr. vcelh, 239
getal der zijden oneven zij: of, zoo het even is, twee naastliggende hoeken gelijk zijn, of wel twee hoeken, waar-vaii, e eetie voor den cerften genomen zijnde, de anderenbsp;eene even plaats bekomt: bijv. de 4, 6 enz. Verder, datnbsp;, een gelijkhoekige veelhoek, om den cirkel befchreven, al- tijd gelijkzijdig is, doch dat een gelijkhoekige veelhoek innbsp;den cirkel befchreven het niet altijd is, ten zij het getalnbsp;der zijden oneven zy, of, indien het even is , ten zijnbsp;twee naastliggende zyden gelijk zijn, of twee zijden hecnbsp;^ijn, waarvan, de eene voor de eer (ie genomen zijnde, denbsp;andere eene even plaats bekomt: bijv. de 4, 6, enz.
VI. VOORSTEL. Fig. 140.
alle vierhoeken [A B C D], in den cirkel befchre-'tcn, zijn de overftaande hoeken te fiimen genomen [ABC ADC; BAD en BCD] gelijk aan twee regten.
eucl. III. 22. St. IIL 12 EWijs. Uit V. 5. Gev. 3,
aanmerking. Kr kan dns- geen vierhoek in den cirkel befchreven worden, of hij moet deze eigenfchap bezitten: en dus kunnen er nooit eene ruit, of een parallelogram in dennbsp;cirkel befchreven worden: maar wel een vierkant, of eennbsp;regthoek.
VIL voorstel. Fig. 140.
. In alle vierhoeken [A BCD], in den cirkel befchreven, de fom van de rcgthoeken uit de tegenoverllaatide zij-d^n [B A en D C, A D en C B] gelijk aan den regthoeknbsp;der diagonalen [A C en B Dj.
-* G .111, 3S. TACQHET in zijn fcholium op eoclides VI. l,
Bereiding. Men trekt B G zoodanig dat i ABG =:iDBC: daaruit, en uit V. 5. Gev. i. volgt, 1=. h. ABGnbsp;^ DBG, en A GfiC t-o A AB; want l DCG =nbsp;f ADB: V. 5. Gev. .: d ABG = 4 DBG: dus, wederzijds aftrekkende l GB D, is L ABD = L GBC.
Ewijs, Uit de gelijkvormigheid der AA ABG en DBG: yervolgens van A G G B en A A B D , en IV, 8. Gevolg 5;
Regth. DG . AB. 00 Regth aG.B D en Regth. BC . AD co Regth. GG . BD: waaruit, en uit II.5, het befluicnbsp;wordt opgemaakt.
ftlAE.
MAEus genoemd, om dat ptolemaeus hetzelve, heeft in't' gevonden, of immers de eerde is die het voorgedragen ennbsp;gebruikt heeft, om de choorden van bogen te berekenennbsp;welke berekening wij in het VIII. Boek, Xlf. Voordel zul'nbsp;len aantoonen.
2ie 1TOLEMAEus Almagejliim I. Cap. 9.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien men dit Voorfcel met het voorgaan-nbsp;de Voorfcel, en met het 4. Gev. van het V. Voorftel en denbsp;4. Aanm. op het XII. Voorfcel in het V. Boek, vergelijktnbsp;zal men zien dat er in eenen vierhoek,op dat dezelve in deonbsp;cirkel befchreven zoude kunnen worden, drie dingen plaatsnbsp;moeten hebben: doch zij zijn zoodanig, dat zoodra eenenbsp;van drien plaats heeft, de twee andere ook plaats hebben.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Een vierkant kan in en om den cirkel befchreven worden.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men lost thans het 6, 7, 8, 9 en ilt;nbsp;Werkfcuk van het VI. Boek op.
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
De diagonalen [B D, AC] eens vierhoeks in den cirkd befchreven ftaan tot elkander , als de fommen van de regchoC'nbsp;ken der zijden die aan derzelver uiteinden famen komen.
T., G. III. 33- Scholie.
BEREIDING. De Zelfde als voor het Voordel; mits BG verlengende tot in O, waar door -gt; O C U AD: trekkende O C gt; nemende verdernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;''^AD,en trekkende C P.
BEWIJS. A A B D ^i A B G C : derhalve BD:BC3 ABrBC' en Rh. uit I! G . BD qq Rh, uit BC.AB. Maar a G C Onbsp;A D R C = derhalve BD: CO e=DC: OCeiiRh uit OG.BPnbsp;go Rh uit C O . D C: dat is Rh. uit O G . B D = Rh.
AD . DC: en gcvolgelijk Rh. uit BG . BD Rh uit OG . BlG dat is Rh, uit BO . BD OO Rh- AB . BC Kh uit AD . D C*nbsp;Op geiyke wijze is Rh. uit P C . C A oq - Rh, uit AB .
Rh. uit B C . C D.
uit AB , BC Rh. uit AD . DC: Rh, uit AB . AD -j-.
Maar PB BC S BC ~f- ,,, c O: d. i. ^ PB C ^ ^ ECO; en dus PC s BO : gevolgeljjk Rh. uit BO . bP'nbsp;Rh. uit PC . CA K BD: CA: en derhalve BD: CA Bquot;'
ph.
uit B C . C D.
-ocr page 303-III. GEVOLG.
, jDe oppervlakte, of inhoud eens vierhoeks, in den cirkel ^fchreven , worde uitgedrukt door het product van eene der
dia
goiialen en de fora des regthocks vsn de zijden die aan
den
jsren kant van die diagonaal ftaan, te famen genomen: ge-divideei'd door de dubbelde middellijn.
BEWIJS. Trapezium ABCD SO ^ ABC A ACD CO (Voorftel IV Gev. I.)
.BC.AC AD.DC.AC AC(aB.BC-}-AD.DC) a B Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;s BI
eenen kant, en des regthoeks der zijden die a.an den an-
DOGE VO LG.
IV.
pe vier zijden des vierhoeks gegeven zijnde, kan men de ^ide diagonalen vinden.
door dit Voorftel xj ^ a c bd. 2; Door Gevolg 2,
BEWIJS. Dat men, om te verkorten, de zijden door a, b, en de diagonalen door ar en y uitdrukke; dan is iquot;.
: uit welke twee ver-
ad H- hc
a b a c
gelijkingen men door de ftelkunde opmaakt bd^ (^ab bc')
quot;quot; nbsp;nbsp;nbsp;-~ab c d~
iv,
G. p. 297.
aanmekking. Castillon heeft doen zien (Mem. de VAcad. de Aerlin 176. p. 357 ) dat het Theorema Pythagoricum ,-e3i het XVI.nbsp;Voorftel van ons II Boek, gejyk ook het XIX, uit dit Voorftelnbsp;Van ptolrmaeus afgeleid kunnen worden.
Men ftelie immers dat ABC de driehoek zij': men befchrijv om denzclven eenen cirkel,neme B D ca AC, en trekkeAD, DC;nbsp;dan is door dit Voorftel
uit AB- D C RU. uit AD . BC 00 Rh. nit AC . BD CO On dit geval) Q op AC.
Indien nu a ABC regthoekig is in B, wordt AC eene middel-^il'n (v. 7.) ; bd s AC wordt het ook, en daar door AB DG, Ad c B C : en het voorftel van pror.EMAEUs wordt in dit gevalnbsp;QopAC 00 GOrABH- gopBC,nbsp;dat is, wordt het Theorema Pythagurkuut, of 11. r.
Indien nu jy ABC niet regthoekig is; zal echter om dat (V.'gc I) I bdc S /JAED,DC//ABziin: men trekke verdej;nbsp;// BC ; daa is EC =; AB, B C k AE p AD ; derhalve Kb.nbsp;(nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit
uit B C . A D 00 ? op BC; wa:ir door het Voordel van ptols* M.\EUS voor dit geval wordt
Rh. uit AB . DC -j- p op BC 00 ? P AC.
111. Men trekke vorder AU x op DC: dan is, om dat AD t: AEinbsp;DE a HE, Men trekke AF X FB. Maar 2AED S2BCPnbsp;- ZFBA; en derhalve A AHE 4 AFB: en (IVkio).
Rh. uit HE . AB 00 Rh. uit BF . AE Rh. uit FB . BC qO Rh. uit FB . AD.
Maar, Uh. uit AB . D C eq Rh- uit AB en (D E E C) 00 Rh. uit A B . D E Rh. uit A B . E C 20 ^ Rh. uit A B . H E nbsp;p op A B 00 3 Rh. uit FB . BC -j- Q op AB: waar doornbsp;n. wordt
IV. nbsp;nbsp;nbsp;2 Rh. uit FB . BC ? op AB ? op BCOO ? op AC: het
geen het XIX. Voordel van her II. Boek oplevert, indien ^ ABC ftomphookig is.
Maar zoo Z AB C Feherp is, valt 'AF binnen den ^ ABC: r dail wordt het facit
popAB 4'QupBC 2 Rh. uit F B . FC 00 Q AC.
V. nbsp;nbsp;nbsp;AANMRRKiNO. Hct blijkt dau wederom hoe men eene en de zelfd
waarheid uit vcrfehillende grondbeginfcls kan afleiden. Wijsgerig eehtcr gcfprokcn,is het bewijs,uit het Voordel van pappus.(11. 20.)nbsp;ontleend, beter d.an dat het welk uit het Voordel van ptolemaUSnbsp;afgeleid wordt: voor dit iaatstgemcidcimmers , moet men nog dnbsp;eigenfchappen des cirkels kennen : en , wederom wijsgerig gefprokeO gt;nbsp;is het bewijs van het Voordel van Pythagoras afzonderlijk, cPnbsp;van If. 19- insgelijks afzonderlijk , en in den trant van EucLtoES*nbsp;nog beter; vermits men in het Euclidcaansch hevTii alles gemak'nbsp;Itelijk en duidelijk uit de eerdo grondbeginfcls afleidt. Het heef*nbsp;echter grootclijks zijn nut om bij alle gelegenheden, te doen oP'nbsp;merken, hoe naauw alle die vcrfehillende grondbeginfcls met elka'nbsp;der verbonden zijn, en tot de zelfde waarheden leiden.
OVER HE REGELMATIGE VEELHOEKEN IN EN OM den cirkel BESCHREVEN.
VOORSTEL. Fig. 141 en 142.
Ih Afd. : Over de regelm, in-ofomfchrevenveeIhoeh. 243
.die zijcfen zijn de choordeii van die bogen: 3''. het *'lt;-ide!pimt van den cirkel is dat van den veelhoek; 40.
radius van den cirkel is die van den veelhoek zel-veii; en 5. de choorde , die twee zijden van eeneii gegeven veelhoek befpant, is de zijde van een* veelhoek di helft van het getal zijden des gegeven veelhoeks be-iiuiien het getal zijden in dezen even is.
BEWIJS. Is Uit (Je Bepalingen en 11. 32. klaarblijkelijk. aanmerkikg. Ik zeg in Nquot;. 5. dat het getal der zijden iiinbsp;den gegeven veelhoek even moet zijn, op dat de choordejnbsp;die twee zijden van denzelven befpant, de zijde zoude zijnnbsp;van eenen nieuwen veelhoek. Immers, een oneven getal laatnbsp;zich niet door a deelen: maar in Fig. 142, maken de drinbsp;lijnen of choorden, FD, DA, AF, die ieder twee zijdennbsp;van den regelmatigen zeshoek befpannen eenen regelraati-sen, d. i. gelijkzijdigen, driehoek uit.
I. GEVOLG.
De zijde EF eens regelmatigen veelhoeks, in den cirkel befchreven , is de choorde van den niiddelpiintshoek
4 R.
[FCE] j of van eeneu hoek die gelijk is aan 2 (II,Bep. 14. het I. Gevolg).
11. GEVOLG.
. De zijde van den zeshoek, in den cirkel hcfchreveii 4 gelijk aan deii radius van den cirkel. (II. 14. hetnbsp;Gevolg).
Aanmerking. Hier door kan men het 3. en het is.Werk-ftiik van het VI. Boek oplosfen
IX. VOORSTEL.
. De zijden en de omtrekken van gelijkvormige regeJma-veelhoeken, in, of on, cirkels van verfchillende mid-befchreven, ftaan in de zelfde rede als de mid-'ielli'nen van die cirkels: doch hunne inbonden zijn in ^^rdubbelde rede der middellijnen.
SUcL. Xn. I,
BEWIJS. Uit het 5. Voordel: en uit 11. 32. en IV. 27;
nbsp;nbsp;nbsp;Hierop, en op IV. 2, fteunt het gebruik
die lijnen op den proportionaal-pasfer welke met het Q 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wrd
344 nbsp;nbsp;nbsp;vedhocken in en om den cirkelt
woord Pol. of Polygonen, beftempeld zijn, en dienen offl gemakkelijk alle Polygonen, of Veelhoeken , in gegeven cirkels, of ook op gegeven lijnen-, te befchrijven.
Wanneer de cirkel gegeven is, is de radius gegeven: de radius nu van den cirkel, tot welken de lijnen der Polynbsp;goncii op den proportionaal-pasfer behoren, is de zijde vanbsp;en zeshoek op denzelven CVIIf. Voorftel Gev. i).
Wanneer de lijn gegeven is waarop de veelhoek geplaatst moet worden; moet de radius van den cirkel waarin die veelhoek zal ftaan, d. K de radius van den veelhoeknbsp;aelven, gevonden worden; en die wordt het door de lijnnbsp;van den zeshoek op den proportionaal - pasfer; deze bepaaidnbsp;. zijnde, befchrijft men op de gegeven zijdeeenen gelijkbee-uigen driehoek, waarvan de gevonden radius het been is: hetnbsp;toppunt is het middelpunt des te befchrijven cirkels.
II. AANMERKING. Het befchrijven van veelhoeken op eene lijo hangt af van derzelver befchrijving in den cirkel. Zie Vfnbsp;Eoek, Werkftuk i8
X. VOORSTEL. Fig, I4,
Indien men uit de uiteinden [F en E] der zijden cens regelraatigen veelhoeks in den cirkel befchreven, dochnbsp;waarvan het getal' der zijden oneven is, lijnen [PB, EB]nbsp;naar den top des tegenoverltaanden hoeks [AB D] trekt,nbsp;zullen dezelve met de gemelde zijde eenen gelijkbeenigennbsp;driehoek [FBE] uitmaken, waarin een der hoeken [BFEnbsp;of B E F] op de grondlijn- tot deii hoek [F B E], in den top
gI
ftaat , als : r.
a
VACQUET op BUCL. IV. II. ScllOt, S.
BEWIJS. Dat A FBE gelijkbeeiiig is volgt uit V. 5. bet I. Gev..- het overige uit de befchouwing dat Z FBE
iZFCE di X en zoodra de hoek FBE bekend
IS, zijn de hoeken BF E, F E B het ook , uit I. 15. Gev.2'
I. aanmerking. Het zelfde heeft ook plaats al is de veelhoek niet in den cirkel befchreven , en is dus eene algemeenenbsp;eigenfchap van alle de regelmatige veelhoeken wier zijdtnbsp;eneven in getal zijn.
gevolg.
Be hoeken op dc grondlijn zijn dus veelvouden
-ocr page 307-Hgt;Afd.: Over de regcltn. in- of omfchreven vulfioek. 45
faoek in den top; en zijn gevolgelijk tot dien hoek in den V^lijkzijdigen) driehoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 1 i i*
vijfhoek nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; a : i.
'zevenhoek nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 * *
negenhoek , nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
ll. AANMERKING. Men kan thans het ti en 12 Werkftuk van het VL Boek oplosfen.
XI. voorstel. Fig. 142.
Jndien men uit het middelpunt eens cirkels eene loodlijn fCK] laat vallen op de zijde [EF] van eenen regelmatigen veelhoek in denzelven befchreven, doch wiens zijden even innbsp;getal ^] zijn, en men vervolgens die loodlijn wederzijds totnbsp;aan den omtrek [in H en 1] verlengt, om er eene middellijn vannbsp;te maken; zal die middellijn de zijde [EF] op welke zij valtnbsp;in twee gelijke deelen [FK, K E} verdeden: en de lijnennbsp;F H, E H] die men uit de uiteinden van de gemelde zijdenbsp;[EF] naar het eind [H] van die middellijn trekt, zullen meenbsp;die zijde eenen gelijkbeeuigen driehoek uitmaken, waarin de hoeken [HEF of HFE] op de grondlijn tot den hoek [EHF]
ip den top zijn zullen, zoo als - : i,
2
tacquet op eucl, IV. II. Scholis i.
BEWIJS. Het zelfde ais voor het voorgaande Voorftel, GEVOLG.
^ De hoeken op de grondlijn zijn dan hier veelvouden vaa ien in den top, op deze wijze:
De eerstgemelden (laan tot de iaatstgemeldea voor het vierkant ak | t i.
nbsp;nbsp;nbsp;. achthoek als J
nbsp;nbsp;nbsp; tisnhpek als
den zeshoek als | : I.
I.
en zoo voorts.
aanm'erking. Het blijkt uit dit, en uit het voorgaande Voorllel, dat indien men door de Meetkunde dit algemeennbsp;[vraaglluh kon oplosfen, namelijk, eeneh gelijkbeenigen driehoek te maken, waarvan de hoeken op de grondlijn totnbsp;in dgn top ftaan, als i, li, 2, as, 3, 3, 4 en zoonbsp;Voorts, tot I , men ook alle regelmatige veelhoeken op eenenbsp;Seometrifche wijze in den cirkel zoude kunnen befchrijven:nbsp;dit vraagftuk hangt wederom, zoo als van zelf blijkt ,nbsp;reeds zeer wel door pappus in zijne ColUetionti
246 VI, Boek: Over de veelhochn in en om dm cirkel,
maticae is opgemerkt, van dit ander af, eenen cirkelboog in twee deelen. die eene bepaalde rede tot elkander hebrnbsp;ben, te verdeelen. Dan, dit vraagunk is, in het algemeen,nbsp;' in eenen geometrifchen zin, dat is door behulp van regtenbsp;lijnen en cirkels alleen, niet optelosfen.
Men kan op de gezegde wijze in den cirkel befchrijven den driehoek, den vierhoek, den vijfhoek, den zeshoek,nbsp;en die veelhoeken welke uit dezen door eene herhaaldenbsp;verdeeling van de bogen in twee gelijke deelen, of welnbsp;door het volgende Voordel, gevormd kunnen worden.
Men gebruikt het middel van den gelijkbeenigen driehoek, in dit en in het voorgaande Voordel vermeld, niet voor den driehoek, het vierkant, of den zeshoek, die mennbsp;pp eenvoudiger wijzen befchrijven kan; doch wel voordennbsp;vijfhoek. Zie Werkftuk ii. Boek VI.
XII. voorstel. Fig. 141.
Indieii men uit liet flip F v.ni tien omtrek de choorde FE trekt die de^ zijde is Vuii eenen veelhoek van G zijden:nbsp;en de choorde FM die de zijde is van eenen veelhoek vannbsp;g zijden: zal de hoek [ECM], die het ver'cliil is dernbsp;middelpuntshoeken [F CM en F CE] van de gegeven ved-
/Gg\
hoeken, gelijk zijn aan 4 L: x v )
BEWIJS. Uit II. Bep. 14. Gcv. i.isZECM eriFCM
GEVOLG.
De choorde van den boog E M zal de zijde kunnen
zijn van.eenen veelhoek van g--zijden; en is het in de
O
daad zoodra G^ door G g deelbaar is.
Insgelijks, indien G geen veelvoud is van G maar G g geli|k is aan 2, of eenige mast vana, zalnbsp;de veelhoek hefchreven kunnen worden; want de boo.gnbsp;EM zal zoo vele zijden van den veelhoek bevatten alnbsp;die magt van 2 bedraagt ; en d s kan men door een^nbsp;herhaalde verdeling in twee deden , wmlke geometrisch g^'nbsp;fchiedt, den boog voor iedere* zij de bepalen: dat nietnbsp;fchieden kan zoo G g = 3 gt; of 5, of 6 enz,
Bij voorbeeld , zoo M F de de zijde was eens Irie'
hoeks gt;
-ocr page 309-il ^fd. : Over de regeltn. in- of omfchreven veelhoeks 24,
hoelcs, en FE die van eenen vijfhoek, zoude de boog EM twee zijden van een vijftienhoek bevatten. Men kan dusnbsp;iti het 16. Werkiluk van het VI. Boek opiosfen.
Xllf. VOORSTEL. Fig. 143.
Ihdien men de naastliggende zijden [DE, FE] van eenen ^^gelmatigen veelhoek in twee gelijke deelen verdeelt, ennbsp;flippen [K en R] dier verdeeling met lijnen [KR]nbsp;vereeiiigt; zal er 1. een nieuwe veelhoek ontdaan , dienbsp;den eerstgcmelden gelijkvormig, en in denzelven befchre-Ven is: pja. dcszelfs zijde zal tot de zijde van den gegeven veelhoek (taan als de loodlijn [CK] van den ge-geven veelhoek tot deszelfs radius, of tot dien van dennbsp;cirkel Waarin hij befchreven is : 3. de omtrekken zijnnbsp;m die^zelfde rede, en 4. de inhouden in de verdubbeldenbsp;^cde; of ook 5. als de loodlijn [CQ] van den nieuwennbsp;Veelhoek tot den radius [CE] van den gegeven.
BEWIJS.. Voor het I. Uit liet XXXVIII. van het II. B. cn zie de i. Bepaling van dit Boek.
Voor het II en III. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken KQE, CKE en CKQ.
Voor het IV. Uit het XXVll. Voorftel van het IV. Boek.
Voor het V. Uit de befchouwing dat die veelhoeken onderling zijn c= A CKQ: A CKE en dus (IV. 6.) als
CQ:CE.
GEVOLG.
Het blijkt dat, indien men met de loodlijn CK des gege-Vfin veelhoeks F EDBA, uit het zelfde middelpunt C eenen cirkel befchreef; de veelhoek, waarvan de zijde is KR, nietnbsp;'leen in den gegeven veelhoek, maar ook in dien cirkel, be-whreven zoude zijn, om welkende gegeven veelhoek als dannbsp;fifchreven Haat. Het blijkt insgelijks, dat men, altijd zoonbsp;^ortgaande met cirkels te befchrijven, eene reeks van regel-iiiatige veelhoeken zonde verkrijgen, alle van het zelfde getalnbsp;yden, en die onderling in eene bepaalde rede tot elkandernbsp;hden Haan: zoo voor de zijden, als voor de inhouden.
Aanmerking. Men zoude die veelhoeken met den gegeve-hen te beginnen, den I, den II, den III. enz. kunnen noemen.
Q4
*48 Vl.'^Boek: Over de veelhoeken in en om den cirkek
XIV. VOORSTEL. Fig. 143.
Indien men de ftralen [CF, CE] van eenen in den cirr kei befchreven veelhoek [FEDBAF] verlengt, tot datnbsp;Zij de raaklijn [NG], getrokken uit tiet Hip [IJ , alwaarnbsp;de verlengde loodlijn [Cl] den onnrek Inijdt, ontmoetennbsp;in N en G] ; zal het link [NG], dat men op die wijze van de gemelde raaklijn afinijdt, de zijde zijn van eenennbsp;egelmatigen en gelijkvormigen veelhoek om den cirkel be-Ichreven; of, indien men de aangrenzende zijden [DE, ennbsp;EF] van den veelhoek in den cirkel befchreven,' in tweenbsp;gelijke deelen deelt, en nit het middelpunt [C], door denbsp;fnijdings flippen [R, en K] lijnen [CRU, en CKV]nbsp;trekt tot dat zij de raaklijn [VU] ontmoeten die op hetnbsp;flip [E],daar de gemelde zijden [FE en DE] Dmenko-jnen, getrokken is; zal het gedeelte [VU] van die raaklijn , tusfehen de gemelde lijnen begrepen , ook de zijdenbsp;zijn van eenen gelijkvormigen veelhoek, om den eerstgemei-den veelhoek befchreven.
Verder, de zijde [NG of VU] van den veelhoek o.m den cirkel ftaat tot de zijde [FE of IL] van den veelhoek in den cirkel, als de radius [Cl] van den cirkel,nbsp;tot de loodlijn [CR] van den veelhoek in den cirkel:nbsp;de omtrekken flaan in de zelfde rede: en de inhouden innbsp;de zelfde reden doch verdubbeld; of wel, als de radius,nbsp;van den cirkel tot de loodlijn [CQ] van den veelhoeknbsp;die in den gegeven veelhoek [FEDBAF], befchreven is.
Ewijs. Voor het I en II. Uit de gelijkheid der driehoeken NCI en VCE, door het 22. Voorftel van het I. Boek.
yooR HET III. Uit de gelijkvormige driehoeken C K E en CIG: vervolgens uit IV, 28 en 27: eindelijk uit denbsp;hefchouwing dat de gelijkvormige veelhoeken om en in dennbsp;1 cirkel tot elkander liaan als A C1G: A C K E IG: K Qnbsp;Civ. (S.) c: CI; C Q.
I. gevolg.
Het blijkt dat de veelhoek NGLwpN,of die welke op om den cirkel F lELB AF befchreven is,insgelijks befchrev?'*nbsp;is om den veelhoek F.EDBAF welke inden cirkel Haat,nbsp;dat, indien men uit C met den radius C G eenen cirkel lf'nbsp;fchreef, de veelhoek om den gegeven cirkel zonde zijn
-ocr page 311-//. Afd.: 0\'tr de regelm. inr of omfchreven veelhoek. 249 ''celhoek in dien nieuwen cirkel: en derhalve i. dat de. ora-Ichreven vee'hoek, ten opzigte van den ingefchreven, en vannbsp;die wederom daarin befchreven ftaan, in de klasfe valenbsp;der veelhoeken waarvan in Voorftel XIII. Gev. gefproken is:
dat het befchrijven van eenen veelhoek om ee'nen veel-lioek het zelfde Voorftel is als het befchrijven van eenen veel-^oek om eenen cirkel.
II. GEVOLG.
dat er geen regelmatige 'veelhoeken om veelhoeken, of om
Het blijkt uit dit Voorftel, hoe men eenen regelmatigen gelijkvormigen veelhoek om eenen gegeven regeltnati-Ftu Veelhoek , of om eenen cirkel , befchrijven kan : en
cirkels,'befchrequot;ven kunnen worden dan die, welke men in den cirkel befchrijven kan: waardoor men het 12 VVerk-ftnk van het VI. Boek der 'W^erkftukken kan oplosfen.
III. GEVOLG.
Zoodra de zijde eens veelhoeks , in den cirkel befchre'? Ven, gegeven is, kent men de zijde van den gelijkvor-niigen veellioelc die om den cirkel befchreven kan worden.
IV. GEVOLG,
De zijde van den veelhoek om den cirkel, of om eenen Veelhoek, befchreven, heeft tot de zijde van dien veelhoeknbsp;de zelfde rede als deze zijde tot de zijde van den veelhoeknbsp;'n den laatstgemelden, of in den gegeven veelhoek, beschreven: dat is Cdoor het voorgaand en door dit VoorfteH
. VU; IL [of FE] = IL [of FE]: ^K; en dus 5, Is de zijde van dien gegeven veelhoek middel-ewenrenbsp;dig tusfehen de zijde van den veelhoek in denzelven, ennbsp;de zijde van den veelhoek om denzelven befchreven; ennbsp;*gt; insgelijks is het met de inhouden gelegen.
Want Pop VU: ? op FE = Pop FE: ? op RK; en dus (IV. 27).
V'eelhoek op VU: veelh. op EB = veelh. op FE:
veelh. op RK.
V. GEVOLG,
Indien men de lijn FD trekt, zijn de AA RKE c.n FDE ?clijkvrmig en dus is, KE: RK 1=^ FE: FD;
KE m i FE: dus RK =: FH
Q 5 nbsp;nbsp;nbsp;waar.
250 VI. Boek: Over dc veelhoeken in en om den cirkel.
waaruit het voorgaande Gevolg dit wordt,
VU: FE = F E_: i FD: dat is in woorden: de zijde van ,, eenen, in den cirkel befchreven, veelhoek is middel-evenre- dig tusfehen de zijde van den gelljkvormigen veelhoek oinbsp;,, dien cirkel befchreven , en de halve zijde van eenen veelhoek,nbsp;,, insgelijks in dien cirkel befchreven, doch die ilechcs denbsp;,, helft van het getal zijden des gegeven'veelhoeks bezit.
hvgess de de Csxuli magnitudine, prop. 13.
V. GEVOLG.
'Want daar. veelh op VUt veelh. op FE = veelh.
FE: veelh, op RK is (III. 80* veelh. op VU veelh, op FE: veelh. op VU =nbsp;veelh, op FE veelh. op RK: veelh. op FE =
4 RQE: A RCE r:: QR: CE (IV. .) maar QE: RE RE: CE (IV, 2.)nbsp;en RE: CE = RE: CE
Uit het IV. Gevolg blijkt al verder, dat het verfchil der inhouden van den regdmatigen veelhoek om den cirkel, eiinbsp;quot;on den gelijkvormigen in den cirkel befchreven , tot dennbsp;inhoud van den eerstgemelden veelhoek ftaat, in verdubbelde rede van de zijde des veelhoeks in den cirkel tot denbsp;niiddeilijn.
op
RE=
dus QE: CE = RE : CE s (III. io)en dus: veelh, op VU veelh, op FE: veelh. op VU
__ n nbsp;nbsp;nbsp; anbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2:
GEVOLG.
Derhalve is het gemelde verfchil gelijk aan eenen gelijkvor-ini,gen veelhoek, dfe befchreven zoude worden om eenen cir-kei, waarvan de zijde F E des gegeven veelhoeks de middellijn zoude zijn (IX. Voorftel).
DU FAY Men. de VAcad. I7a9' P- -9Z-
VII. GEVOLG.
PI* Dus is het gemelde verfchil ook gelijk aan den veelhoek die gevormd wordt door de ontmoeting der lijnen welke, of denbsp;uiteinden der evenwijdige zijden van den gegeven veelhoek,nbsp;zoo deszelfs zijden even zijn, vernigen, of loodregt op dnbsp;zijden getrokken worden, indien het getal der zijden oneven inbsp;(Voorgaande Gevolg en XXXV. en XXXVII. Voorftel vannbsp;II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Want, in die veelhoeken, is de loodlijn de
-ocr page 313-Van de zijde des gegeven veelhoeks, en dus radius van den cirkel in die veelhoeken befchreven.
nu FAY ibid p. epd.
Fidien men in den cirkel eenen regelniatigen veelhoek nefchrijfc, waarvan het getal der zijden even is; de mid-'bellijn [A] door twee tegen elkander overftaande hoekennbsp;'i'ekt, zoo ais onk uit hetquot; uiteinde [E] van die tniddd-hj/i de choorde [E BJ naar het einde der zijde [A B] aannbsp;jjie middellijn grenzende; en zoo men ehideiijk de zijdennbsp;[d.B en AM, BC en HG enz,] die op gelijken alitavidnbsp;Van de middellijn zijn, door regte lijnen [BH, CG, Fl,nbsp;alio de rniddollijn regthoekig inijden, vereenigt; zalnbsp;je regthoek uit de middellijn [AE] en de gemelde choor-de [B E] gelijk zijn aan den regthoek uit de zijde [A B]nbsp;den veeiimek, en de fom van alle de lijnen [B H,nbsp;CG, DF] die de zijden verdnigcii-
AKCixiMEDES , Sphaera et Cylindro , pr. aa
BEiiEiniNG. Men trekt CU, DH, DG enz. die de midde!. lijn in L, M, N ('nijden.
BEWIJS. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken, ABK, LKII, LC?I, MGN, ND o, OFE, volgt de gedurigenbsp;evenredigheid vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BKnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: KAnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= HK :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;KL = CMnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: ML
~ GM ; MN s nbsp;nbsp;nbsp;DOnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: ONnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= FO :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O; en uit III. 18.
die van B K : K A nbsp;nbsp;nbsp;zoonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;als denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fom dernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;voorgaandeanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tot die
dor volgende; en nbsp;nbsp;nbsp;daaruit (door JV. 8.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gev. 5.) denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gelijk,
heid der gemelde regchoekeu.
II.
De veelhoek moet een getal zijden bezitten dat even is; want anders is de lijn AL geen middellijn,nbsp;en de lijnen BH, CG, DF, zijn niet evenwijdig aan el-haiiJer, waarop de gelijkvormigheid der driehoeken rust.
aanmerking. Heeft dit Voordel plaats in bet algemeen, dan heeft het ook plaats in die regelmatige veelhoeken, waar-A'an iiPt getal zijden niet alleen even, maar ook eene ver-^Aenigvnkligtng van vier is: en het is in dien zin, dat tac-iUET dit Voordel van Archimedes opgeeft 111 zijne Theore-'*nata felccta ex Archintede pr. 16: om dat het alleen datnbsp;geval is, het welk door archimedrs zelven, ter bepaling vannbsp;den itihond eens kloocs, gebruikt wordt, gelijk nader innbsp;ds Xll. Boek, zal getoond worden.
XVI.
-ocr page 314-aS^ Boek: Over de veelhoeken in en om den cirkd,
XVI. VOORSTEL, Fig. 144.
Indien men in een cirkelftuk [DAF], waarvan de gron^* lijn [DF] regthoekig liaat op de middellijn, eenen regelmati'nbsp;gen veelhoek befchrijft, waarvan het getal der zijden even is'nbsp;en men trekt de choorde [SA] van het einde eener zijdnbsp;[AB] die aan de middellijn grenst naar het einde der mid*nbsp;dellijn, zal de regthoek uit die choorde, en het .gedeeltnbsp;[AO] der middellijn tot aan de ontmoeting van de grondenbsp;lijn [DOF] begrepen, gelijk zijn aan den regthoeknbsp;c,ene zijde [B A] des veelhoeks , en de lom van alle denbsp;lijnen [BK, CM, DO] die de zijden des veelhoeks opnbsp;de zelfde wijze als in het voorgaand Voorftel vernigeo
ARCHIMEDES, de Sphaera et Cyiindro , pr. 23.
BEREIDING. De Zelfde als in het voorgaand Voorfte).
BEWIJS. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken A B E ABK, HKL, LCM, MGN, NDO, wordt afgeleidinbsp;AB : BE := AK : BK = EK : HK' c= LM : CMnbsp;MN : MG K NO : OD:
Waaruit door III. i8. AB ; BE zoo als de fom van all de voorgaande tot die der volgende: en daaruit volg^nbsp;Cdppr IV. 8. Gevolg 5.) de gelijkheid der bewuste reg^'nbsp;hoeken.
AANMERKING. Dc beide aanmerkingen , op het voorgaa^l Voorftel gemaakt, gelden ook hier.
GEVOLG,
In het bewijs heeft men gezien dat AB BE AK KL LM MN NO- Onbsp;(zoo men den geheelen cirkel neemQ: BK -f HK C*nbsp; MG DO -4- OF:
of,
AB : BE t: AE: 2 [BK CM DO].
Dit y*ogt;ftel is dopr vieta opgegeven.
01.
-ocr page 315-53
de EIGENSCHAPFEPJ van eenig Bepaalde veelhoeken in den cirkel^nbsp;beschreven.
XV'fl. voorstel. Fig. 142.
peloodlijn [CX] eens gelijkzijdigen driehoeks, in den cirkel eichreven, is de helft van den radius: de loodlijn, uitnbsp;enen van deszelfs hoeken op de overftaande zyde neder-S^laten , is anderlialfmaal de radius.
XIV. I. Cor. voor het eerfte gedeelte.
BEWIJS, Voor het I. uit de befchouwing der gelijkzijdige driehoekeH FCD en FED.
Voor het II. Uit het I.
XVIII. voorstel. Fig. 142.
Het vierkant van de zijde des gelijkzijdigen driehoeks in den cirkel befchreven is het drievoud van het vierkant opnbsp;den radius: of ook, is gelijk aan den regthoek uit de middel,nbsp;lijn en de ioodlijn uit den top des driehoeks op de grondlijnnbsp;nedergelaten,
ecl. XIII, 12. L. G. IV. 4. Schalie.
EWIJS. I ? op DF CO ? op DX CO ? op CD ?
op CX (li. i6. Gev. 2).
maar ? op CX co | ? op CE of CD
*fidus|n op DF co I O op CD, of
n op DF co gn oP.CD. nbsp;nbsp;nbsp;D, T.B.WVi,
of ? op D F co Regth. uit C D en 3 C D co Regth. uit 2 CD en | CDnbsp;laar | CD = AX (XVlf. Voorft )
? op DF 00 regth uit o, CD eh AX* D.T. B. W 2*
aanmerking. Zie stedman PM. 7'riJ'/* voi. LXVI. p. app. 'Waarop horsley zeer wel aanmerkt dat dit Hechts een ge-is van het geen in het algemeen voor aile driehoekennbsp;plaats heeft: dat is van het geen hier boven in Voorft IV.nbsp;ewezen is: want in den gelijkzijdigen driehoek is denbsp;^^Sthoek uit twee zijden het vierkant zelf op eene zijde.
9td
254 V'L Bock: 0^egt;' veelhoeken in en o?n den cirkel. GEVOLG.
De zijde des driehoeks is dus mee betrekking tot den
dius onuieeibaar.
XiX. VOORSTEL.
Het vierkant in den cirkel befchreven is het clubbsi^ van het vierkant van den radius, en de helft van dat oPnbsp;de middellijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f
Dus Haat de zijde van het vierkant in den cirkel, tot radius als Va: i.
aanmerking, pie rede is de rede van de diagonaal tot dc zijde in eeu vierkant: ook is de zijde van het vierkantnbsp;den cirkel befchreven, de diagonaal van dat op den radiuS'
L. C. IV. 3. Scholie,
JI. GEVOLG.
Het vierkant on de middellijn is het vierkant om den cif' kei, en dus ook om het ingefchreven vierkant, befchreven-
lil. gevolg.
Iiidien men dan in een gegeven vierkant een vierkant fchrijft , en daarin wederom een vierkant , en altijdnbsp;voorts: zullen die vierkanten eene afnemende geoinetrifcbnbsp;reeks i, i, f enz. ititmaken.
XX. voorstel, Fig. 142.
Het vierkant van de loodlijn [CK] in den zeshoek, rot dat van deii radius, of van de zijde van den zeshoek'nbsp;als 3 tot 4.
BFWijs. Om dat Q opCK 20 Q op CF~D op i CF ^ I D op CF.
gevolg.
De loodlijn van den zeshoek kan uitgedrukt worden dien r de radius, of de zijde des zeshoeks is)
^ nbsp;nbsp;nbsp;. t/ 3 , en is onmeetbaar met betrekking tot den radd^'
Indien men den radius [Cl] van den cirkel in uiterll^^.
-ocr page 317-/!fd.: Over eenigc bepaalde ingefchr. Veelhoeken, 255
gt;clclel(T:e rede deelt in Z, is bet grootfte ftuk CZ de zijde '3n deii tienhoek in den cirkel befclireven.
Papps Coll. Math V. 47. L. G. IV. 5.
SEitEiniNo Men ftelle IE CZ: nion trekke CE EZ
Uit U. 16. is
Z C I E Z C E I r= 2 I c E
maar Z CIH-^- L CEl-1quot; ICE - 2 L; (. 15.)
dus 6 ^ IC E 'Otea 2 L 2 L
ca i i C E a::z trc; jq
dus IE CZ de zijde van den tienhoek,
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
,. Dns is de zijde van den tienhoek onmeetbaar met betrek-i^ing tot den radim,
aanmerking. Indien men den radius door r aanduidt; itan de zijde van den tienhoek uitgedrukt worden doornbsp;r
'li) gelijk blijkt uit IV. l8. Aanm. 2.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De loodlijn [C K] van den vijfhoek is de helft der fom van den radius (of zijde des zeshoeks) en van de zijde des tien-hoeks te famen genomen.
ECL. XIV. I, nbsp;nbsp;nbsp;
BEWIJS. Zoo IF IE CZ de z'ude des tienhoeks is, is FE de zijde des vijfhoeks, en cK de loodlijn.
Nu is C K = CZ !- ZK: maar IE s C Z s ZE at. c/); Z K =3 KI tl. 27- Gev. 4.) dus Ck =:CZ-i-iZIk: CZ-fi rci
l 4- Cl
CZ)r=iCZ iCIt=: nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
gedrukt door
aanmerking. De grootte dier loodlijn CK wordt uit-^ nbsp;nbsp;nbsp;5 O ^ 2 r -f-
(2 1/5
lll
~T
Aanmerking, De geheele loodh.in BK , van den top des vijfhoeks op de overftaande zijde oedergelaten , is ge-'ijk aan BC CK , en wordt uitgedrukt door r
Indten men de fom van den radius, of zijde des zeshoeks? en van de zijde des tienhoeks neemt, is de geheele lijn innbsp;niterlle en middelfte rede gefneden, en het groocite deel i*nbsp;de radius.
Want uit dt Voordel is C Z de zijde des tienhoeks , en Cl: CZ == CZ: Z 1: dus .
C I: C Z -i- C 1 =5 C Z ; C Z ZI of Cl: BZ e: C Z; C I of BGnbsp;dat is C Z: B C =: B C: B Z.
IV, AANMEK.KING. Dit kan korter bewezen worden uit IV. i6.
XXII. VOORSTEL. Fig. 143.
Het vierkant van de zijde des vijTnoeks is gelijk aan de foiii der vierkanten van de zijde van den tienhoek, en van dCnbsp;zijde van den zeshoek, of van den radius.
ECL. Xlil, 10.
bereiding. Zij CJ loodregt op IE, of op de zijde des tienhoeks, en dus \tgt; bt Men trekke, uit I, 10, naar het flip O daafnbsp;V.b de lijn FE, zijde des vijfhoeks, fnijdt; dus is 10 S OE.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
I
BEWIJS. Z E C O e: quot; Z IC E; z IF E t: J Z IC E (V. 5.) dus ZECO c= Z IFE: Maar l IFC n a Z FCI, (om d.it FI denbsp;de zBde is van den tienhoek) ZFCE-.dus ZFCE ZECOnbsp;S Z IF C ~ IF E: of Z O C F te Z C F O: en dus 1. O C F Onbsp;squot;. de derde ZCOF t= z FCE,enA ECO A F C Enbsp;derhalve FE: FC rrFCiFOnbsp;Insgelijks A EIO A F IE: en dusnbsp;FE: IE 3 IE: OE:
gevolgelijk (IV. 8. Gev. s )
op IE Q op FC 00 regik. uit OE, FE regth, quot;i FO, FE CO regth. uit FE, FE CO ? op F E.nbsp;aanmerking. Het voorgaande bewijs is dat van evclides:nbsp;tillUn heeft er een veel korter gegeven ; {Mem. de VAcad-herlin 176. p. 358) te weten (IV. 22.)
|-J op ZH- ? op C I CO 3 ? op CZ 03 3 ? op IE en dus
n op ZI Q op Cl ? op IE QQ 4 ? op IE co 4 Ke -|- 4 Q op IK co O FE -j. Q op ZI: en (Jerli**''nbsp;P cp c I Q op IE co P FE.
III. .Sfd. : Over eenige behaalde itigcfchr, veelhoeken. 257
I. GEVOLG.
zijde van den vijfhoek is onmeetbaar met betrekking den radius, en insgeJiJks tot de zijde des tienhoeks : z0
^ordt uitgedrukt door r.
sevvijs. Uit dit Voorftel en XXf Aanm. r. Zij die zijde d^n isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S~ lY nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(4
1?) = ^ (5 - nbsp;nbsp;nbsp;5) = ^XrCs--Ks):
ry-g
[y 5
n dus V = zquot;. nbsp;nbsp;nbsp;---___ Eene grootheid gelijk
5 4^5 is het geen euclides (jX, 185.) noemt v/erde apoto-te weten het verfchil (5 V 5) van twee grootheden
(5 en V s) die alleen in magt (,5 en 5) nbsp;nbsp;nbsp;quot;J*-
e meetbaar, en verder zoodanig gefte'd zijn dat net verfchil (:iO) hunner vierjc^mten (25 en 5) allcn in magt en niet in lengte (dat is niet V 20) meetbaar is met denbsp;grootfle grootheid (^5). Eene Jijn nu wier vierkant gelijk
is aan den regthoek, uit eene meetbare Jijn ) en eene
viei'de apolome (r [5 V 5]), is het geen ucljdes ?40 noemt kleine irrationele, of kleitie onmeetbare,
II. gevolg,
Het vierkant van de zijde [F van den vijfhoek, te fa-met het vierkant van de choorde [F Dj die twee zijden . den vijfhoek befpant, is gelijk aan vijt malen het viernbsp;'kilt Van de zijde des zeshoeks, of van den rauius,
taar O op FE =; O op FI O op Cl: lt;lus D op FB -f Q VP FE 4- ? op Fl 4 ? op Cl -F ? op f X ? op Cl:
Oci, XIV. a. Lemma,
lil. GEVOLG. Figj 14^'
loodr-quot; op middellijn AB, viit het middelpunt C, de 'yn Cd trekti vervolgens den radim CS in twee geilJ-
R nbsp;nbsp;nbsp;kc
-ocr page 320-ke deelen deelt i DE trekt, en uit E met den radiut E D den boog D F befchrijfc; zal de choorde F D de zijdnbsp;van den vijfhoek, en het link FC die van den tienhoek zijhnbsp;in' den ciritel befchreven.
BEWIJS. Regth. uit BF, FC, ? op C E 00 ? op FE ^0
O op DE OE
maar ? opOE CO PopDC opCE (II. i6 ) dus regth. uit H F , F C CO ? op D c O ? op B Cnbsp;dus B F: 15 C = B C : F C (IV. 8. Cev. .) cnnbsp;BF BC: B C =5 15 FC: FC (III. 8. N. 3.)nbsp;of FC- I5C of AC = AF: FCnbsp;of ACJ FC e: F-C: AF}
en dus is do radius A C in uiterfte en middelfre rede gefneden-gevoJgelijk is FC de zijde van den tienlioelt (XXI. Voorftel): e* dus, daar ? op FC -d* D op c d CO O op F D , is F D de zijd^nbsp;van den vyfhoek (door dit Voorftel).
II. aanmerking. Dit Gevolg levert die geniakkelijke wijz op om eenen vijfhoek en eenen tienhoek in den cirkel tnbsp;befchrijven, welke,PTOLEMAEUs heeft voorgafteld. Almage^ui^nbsp;Lib. I. .Cap. p. Zie VVerkllukken VI. i. Oplosfing 2.
XXIII. VOORSTEL. Fig, 143.
De inbond van eenen vijfhoek in den cirkel befchreven is gelijk aan den regthoelc begrepen onder vijf zesde gedeelten van de choorde die twee zijden van den vijlhock befpaiitnbsp;en anderhalf maal den radius.
r.ucL. XtV. 4. L:mme; en zie bjj clayius in het XIV, Boek , be' 8. Voorftel.
BEWIJS. Daar A FEC gelijkbeenig is, is A FCE 00 Regth. ui' 1 CE cn FS CO Regth. uit I CE en | FS CO Regth. uit | CEnbsp;ff FD: en dus IS S FCE CO vijfhoek FE DB AF 00 5 Reg'!'nbsp;uit I CE en ff FD 00 Regth. uit i CE en | FD.
IV.
-ocr page 321-*59
OVEli Da EIGENSCHAPPEN DEP. VOLGENDE VEELHOEKEN MET BETREKKING TOTnbsp;DE VOORGAANDE (?).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
XXIV. VOORSTEL. Fig. 143.
Wanneer men de bogen , welke de zijden eens regel matigen veelhoeks, in den cirkel befchreven, befpanneii,nbsp;m twee gelijke deelen deelt; zullen de choorden van dienbsp;bogen eenen nieuwen regelinatigen veelhoek uitmaken dienbsp;tweemaal zoo veel zijden zal hebben als de gegeven veel-boek: 2. Iedere zijde [IE] van diep nieuwen, of -volgen-aan, veelhoek Haat tot de helft [XE] van de zijde des
1 nbsp;nbsp;nbsp;Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1 I I _i -1..
eerllen, of voorgaanden, veelhoeks, in onderdubbelde rede 'quot;an d middellijn [BI] tot het gedeelte [BK] van dezelvenbsp;door de zijde des voorgaanden veelhoeks atgefnedeii: 3.nbsp;D omtrekken der beide veelhoeken ftgan tot elkander innbsp;de zelfde rede: 4'. De inhoud van den nieuwen, of volgenden, veelhoek Haat tot dien van den eerden, of voor-gaandan^ als de radius [Cl] van den cirkel tot de lood-h]n [CK]
van den eerden veelhoek; of 5quot;. zoo als de zijde F E van dien voorgaanden veelhoek tot. de loodlijnnbsp;U] S] uit het uiteinde [F] van deze zijde [FE] op den ra-diits [CE] getrokken; of eindelijk 6. in onderdubbeldenbsp;van cle middellijn [TE] tot het ftuk TS van dezelvenbsp;middejiijn.
SEvvijs. Het eerde gedeelte Ipreekt van zelf.
'^ooR het II. en UI. Indien de zijde FE in twee gelijke doelen in K verdeeld, en de middellijn IKB uit K opnbsp;dezelve regthoekig getrokken is, uit V. 6. en uit de ge-hjkvormiglieid der A4 IKE en IBE en KBE (D 2.].
WoR nbsp;nbsp;nbsp;Uit de befchouwing, dat zoo g het getal van
^den in den eerften veelhoek is, die veelhoek gelijk is aan g H AKCE, ende volgende veelhoek aan 3 g x Anbsp;IC; vvelke driehoeken tot elkander uaau s CK: CD en
lus
de III* Bepaling, bl. t%s-
C) Zie
200 VI, Bock: Over de veelhoeken in- en om den cirkel.
en dus ftaat de volgende veelhoek tot den voorgaanden als Cl : CK.
Voo HET V. en VI. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken F S E en C K, isCK: CE ofCI = FS;EF = j/ST I^TE: (IV. IS- ficf 3gt; Gev.); en dus de volgende veelhoek tot den voorgaanden als FE: F S
aanmerking. Het laatfte gedeelte is het fchoon TheoremH' door den Heer hennkrt in het V. deel der Fcrkandelingcnnbsp;van de Haarlemfche Maatfehappij bl. 250. gegeven ; wij hebben het hier op eene eenvoudiger wijze bewezen. Denbsp;Heer hennert gebruikt andere woorden; namelijk voor FSnbsp;hoeknmac, of finus, van den l FCE of middelpuntshoek:nbsp;voor F K , of dubbelde K E , dubbelde hoekmaat van den hal-ven middelpuntshoek: voor ST verkeerde hoekmaat (finusnbsp;ver/us'] van i TC F, of fiippiement van den middelpunts.nbsp;hoek FCE: welke benamingen wij in het VIII. Boek zullen uitleggen.
I . G E V o L Gi
De omtrek eens regelmatigcn veelhoeks in den cirkel befchreven is kleiner dan de omtrek des regelmatigen veelhoeks , insgelijks in den cirkel befchreven, doch die eeUnbsp;dubbeld getal zijden heeft.
II. o E V o L G.
De inhoud eens regelmatigen veelhoeks in den cirkel befchreven is kleiner dan die van den regelmatigen veelhoek, insgelijks in den zelfden cirkel befchreven, dochnbsp;die een dubbeld getal zijden heeft.
Iir. GEVOLG.
Daar de veelhoek op FE: veelhoek op IE c: CK: Cl en C K; CI s C K: C E = F T; T E, zoo is een veelhoeknbsp;in den cirkel befchreven, toe den veelhoek, insgelijks innbsp;cirkel befchreven, doch die efn dubbeld getal zijden hecunbsp;ais de choorde van het fupplcmenc des boogs door denbsp;de des eerstgenielden veelhoeks befpaiinen, tot denbsp;dellijn.
viitTA, Op'er. p. 39S.
ef
IV. GEVOLG.
Waaruit wederom volgt, dat zoo men eenen veelhoek
-ocr page 323-lt; dfd.; Over volgende veelhoek. 7net hetr. tot voorgaande.lt;x6t
jn den cirkel befchreven, en men door verdeeiing der bugen in twee gelijke deelen eeiien tweeden veelhoek befch ijft, dienbsp;dus een dubbeld getal zijden heeft, vervolgens eenen derden,nbsp;d'e Wederom een dubbeld getal zijden heeft, en dan eenennbsp;''ie.'den enz., de eerile veelhoek zal Haan tot den laac-fln ( flel den ztflen) als de famengellelde rede van alle denbsp;, clioorden der fupplement - bogen, tot de magc i van denbsp;middellijn.
Dit is een Voorflel van vieta {Oper. p. 399), het welk het vinden van den inbond des cirkels zeer nuttig kan,
2ijn.
V. GEVOLG.
. Door bet vierde gedeelte van dit Voorliel kan men den mboud eens veelhoeks, door middel van eenen veelhoek, dienbsp;maar de helft van het getal zijden heeft, dat is, den inhoudnbsp;Van volgenden door middel van eenen voorgaanden veelhoek,nbsp;berekenen: en daar men als dan getallen moet gebruiken,nbsp;men op het geen wij in het 9. Voorllel van het IV*nbsp;Joek, de 5. Aanm. daarop gezegd hebben, moeten letten. Dienbsp;mtdrukkingen dan gebruikende, is het getal waar door de inhoud van den voorgaanden veelhoek uitgedrukt wordt ~nbsp;agX aCKE = ^X CK X KEten dus isnbsp;Volgende veelhoek tot g X CK x KE = Cl; CK: ennbsp;g X CK X KE X Cl
FE X cr nbsp;nbsp;nbsp;g X FE
-- CO Czoo Cl O nbsp;nbsp;nbsp;
V;aaruit dit uitmuntend voorflel van ludolf van geulen (in *n Boek over den cirkel, en ook te vinden bij snelliusnbsp;prop. 2.) volgt:
Indien men de zijde eens veelhoeks in. den cirkel be-iehreven, wiens radius gelijk aan de eenheid gefleld wordt, * door het halve getal der zijden multipliceert, verkrijgt mennbsp;gt; den inhoud van den veelhoek die een dubbeld getal zijdeanbsp; Feefc, en in den zelfden cirkel befchreven is.
1$.
^ie hier over L, G. IV.
VJ. GEVOLG.
, IS, is een
de volgende veelhoek 00
eti^' gelijk aan eenen driehoek wiens hoogte de radius 2oo fondlijn de omtrek is eens veelhoeks die maar halfnbsp;zijden heeft als de gegeven veelhoek.
R 3 nbsp;nbsp;nbsp;Die
-ocr page 324-propoficie de vera Circuli magnitndioe t
Die is een zeer gewigtig^ Voordel, door huygens , in het bewiis van zijne 7nbsp;gegeven.
Dus is de inhoud van den Zeshoek tot die van den drilt;^' ioek CFig. 142.) als CE: CX = c : 1 (VUL Voordel.nbsp;Gevolg 2.): dat is de zeshoekis het dubbeld van den driehoek.nbsp;Deze is de 5, propofitie van snei.lius.
Vin. GEVOLG.
Dus is de inhoud van den twaalfhoek gelijk aan de helft van zesmaal de zijde van. den zeshoek gemultipliceerd doofnbsp;den radius-^ of, gelijk aan drie malen het vierkant van deHnbsp;radius (^VIII. Voordel het 2. Gev.i: of ook gelijk aan hei^nbsp;vierkant van de zijde des gelijkzijdigen driehoeks fXVlH'nbsp;Voordel).
IX. GEVOLG.
Waaruit, en uit het XIX. Voordel., wederom volgt: de inhoud van den twaalfhoek tot het vierkant in den cd'nbsp;kei befchreven, daat als 31 2 en tot het vierkant op ift''nbsp;diameter als 3: 4.
XXV. VOORSTEL. Fig, 141, ,
Het vierkant van de zijde [F E] eens veelhoeks in de'' cirkel befchreven, daat tot den middelpunts-driehoek .{PClJnbsp;van den veelhoek in den zelfden cirkel befchreven, doequot;nbsp;die een dubbeld getal zijden heeft, als de halve zijde [XfiJnbsp;des eerstgemelden veelhoeks , tot het ach'.de gedeelte vnbsp;den radius.
BEWIJS. ^ CIE: A CEK Cl: CKCIV. lt;5.) dus .
A C IE: 5 Kgth. Bit CK, EE CIi CK of
Gev.j
A ClE: KE =; Cl: I
en dus A CIE: D opKE:=: CLiKE (Ilt, 10 het; gevolgelijk
D op F E : A P IE n K E : f C I.
. aanmerking. Dit is de fraaije propoficie van. den
benneet ter aangehaalde plaatfe bl. 245, doch hier ^
korter bewezen. Gemelde Heer gebruikt voor K,E
-ocr page 325-|''U'fking fititn van den kalven middelbunti-hoek'. welke Uit-'Ukkiijg wij in bet VIII. Boek verklaren zullen.
GEVOLG.
lt;^i is:
De middelpunts driehoek' van eeneo veelhoek ftaat tot het ^'lerkant van den radius^ als het vierde gedeelte van de zijdenbsp;eens veelhoeks die maar het halve getal zijden bezit, tolnbsp;radtus.
HNNERT p: 25S.
XXVI. VOORSTEL, Fig. 143.
Indien een regelmatige veelhoek [EFABDE] in eenen cirkel berchreven is; zal de zijde flE] eens regelmatigennbsp;veelhoeks [EIF/A, enz.] die insgelijks in den cirkel befebre-is, doch een dubbeld getai zijden heeft, middel evenre-hg zijn tusfehen den radius en het verfchil [Q E] van denbsp;jtiiddeilijn TE] met de choorde CpT] van het fnpplementnbsp;{.I'ArFJ des hoogs [FlE] die de-zijde van den eerscgemel-cien veelhoek befpant.
bereiding iv. Men trekt uit C, Ci r op IE: welke de ln
EE-inOfnijdt. nbsp;nbsp;nbsp;' J. e
2''. Door 1 en O de lijn IP op CE:
S. Uit X met den radius T F den boog FQ . zoo dat XQ s XF: en dus QE = TE XQ = TE F.
Bewijs. Uit de bereiding, en uit I. 27. Gov. s. volgt 1. lOSee. OEie. inACIOenin^CEO, ZCIO ZCEO: waaruitnbsp;3. in AA EOI en OPE, KO re. O p,en Z OPE 2= Z OKI L;nbsp;dus is Ugt; 1 op CE: en dus 4quot;. in A C K o en A C OP, CK eenbsp;CP: gevolgelijk eindelijk: s. uit A T F Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A KCE, cK
J T F: en dus C l s T F.
Dit gefteld zijnde is, uit A TEI t___ A IPE, TE:IE tl
lE: PE: en dus (IV, 8. Gev. 5 )
P op I E 00 Eegtb h T E en P E
3Q Segdi uit TE en [CF. CP]
00 Regtli uit T E en [C E i T F]
00 Regth- uit I' E en fa G E T F]
nbsp;nbsp;nbsp;2
30 Regth. uit TE en [TE T F]
00 Rcgth. uit CE en Q E.
* aanmerking. Men vindt dit Voorftel bij snellis prop.
a64 Boek Over de veelhoeken in en om den cirkel,
1: en reeds bi| ptolemaeus (^Almagef}um Lib, I. Cap. p-) doch op deze wijze uitgedrukt,
TE: lE-ss I: PE: maar PE e= i [TE TF] -i Q E.
gevolg.
Daar dan ? op IE co Regth. uit TE en [TE TFJ
2
en ? op T r 00 ? op TE D op I E ril. l6. Gev. I.) IS Dop TI cxgt; Rh. uit TE, TE Rh. uit TE en [TE - TF]
CO Regth. uit TJE en [3 T E T E -j- T F] a
cc Regth. uit TE en [TE -f- TF]
2
Dit is het vermaard Voordel door snellius gevonden, en waarvan het nut tot het vinden van den inhoud dernbsp;veelhoeken zoo aanmerkelijk is; namelijknbsp;,, Het vierkant op de choorde van het rupplcmcnt desnbsp;boogs door de zijde van cenen veelhoek befpannen , isnbsp; gelijk aan den regthoek uit den radius en de fom vannbsp;5, de middellijn met de choorde van het fupplement desnbsp;,, boogs, die befpannen wordt door de zijde des veellioeksnbsp;,, welke Hechts het halve getal zijden heeft.
II. AANMERKING, Dit VoorHcl bi'engt zeer veel toe om ge-makkeiijk den omtrek van veelhoeken te vinden, waarvan het getal der zijden beftendig dubbeld genomen wordt :nbsp;want een veelhoek, bijv. een zeshoek, of een vierkant,nbsp;gegeven zijnde, berekent men eerst door dit Voorllel denbsp;zijde van den veelhoek die eens zoo veel zijden heeft:nbsp;dan, door dit Gevolg , de choorde van den fuppleinent-boog, dan wederom door het Voordel de zijde van dennbsp;volgenden veelhoek , en zou voorts : welke berekeningennbsp;alle in eene bellendige orde volgen; zoo als bij snelliusnbsp;te zien is, en insgelijks bij MONTcla de ia Qtuidia'nbsp;fare dit Cercle p. 52.
XXVH. voorstel. Fig. 143,
ly. ^fd.: Over volgende veelhoek, mei htl. tot voorgaande. 265
dijden [N'G, Oft] van eenen regelmatigen veelhoek [NG? enz.J om ae:. cirkel helhrevcn,en men trelu eenen radiu^[C e.G]nbsp;naar oen 'ek [G] welke de gemeWe zijden on^jtTlingnbsp;; zoo men eindelijk de lioeken ^iCG, GCLJnbsp;'ve)!,c die ftraa! nier de geroeide ioodiijnen tvederz'jdsnbsp;toaaln, ju twee gelijke deelen deelt, door lijnen CX,nbsp;CY, die :oi. de zijden [NG, Grij des veelhoeks [m Xnbsp;lt;-'ii Yj verleiii'd worden, zal het volgende plaats, hejen:nbsp;1. De lijn XY., die de gemeldednijdings-itippen ver-zal de zijde zijn van eenen nieuwen veelhoek omnbsp;den'clrkel befchreven , doch waarvan de zijden het dub-beld in getal zuilen zijn.
2. Iedere zijde XY van dien nieuwen veelhoek flaat *ot de zijde van den gegeven veelhoek , als de radiusnbsp;[CE] van den cirkel tot de fom van den radius, desnbsp;irkels, en den radius [CG] des gegeven veelhoeksnbsp;3. De omtrekken der beid^ veelhoeken, van den nieu-''en en van den gegeven, ftadn tot elkander, als de middellijn van den cirkel tot de fom van den radius des Cirkels en van den radius des eeriten veelhoeks:
4quot;. De inliouden liaan in de zelfde rede.
BEWIJS. VOOR HET I. Uit dc gelijkheid der AA CIX en CYL, volgt CX = CY, IX = LY, en dus XG GY:nbsp;waaruit (I. 07. het 5. Gevolg) volgt CE x op XY; ennbsp;dan uk A ICX == A XCE, CE Cl: dus raakt hetnbsp;hip E den cirkel, en is .IX XE: insgelijks EY LY.
Voor het II. Uk IV. 12; op den A VCE toegepast en dan uit de famentelng der reden, door III. 8. N*. i.
VooR HET III. Uit de befchouwing dat, zoo de omtrek van den gegeven veelhoek is s ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hen nieuwen
^Ijn zal 2 g X IX of 2 ^ X X E.
^ooR het IV. Uit de befchouwing dat de inhouden zijn iu famengeftelde rede van de omtrekken en de loodlijnennbsp;(IV. 29.) en dat hier de loodlijn voor beide de veelhoekennbsp;de zelfde iG namelijk de radius van den cirkel.
1,1 P zijde eens veelhoeks, om den cirkel befchreven, is winer dan de zijde van eenen veelhoek insgelijks omnbsp;Zeilden cirkel befchreven, doch die fltchts half zonbsp;zijden heeft.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i
II.
26(5 VI, Boek: Over de veelhoeken in en om den cirkel, n. GKVLG.
III. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
De zijde van eenen veelhoek om den cirkel befchreven, ftaat tot de zijde van den veelhoek in den cirkel befchreven, dochnbsp;waarvan het ge; al zijden maar half zoo groot is , als de m-dim van den cirkel tot de foin vayj den radius des cirkels eonbsp;de loodlijn des laatstgemelden veelhoeks,
BEWIJS. Door ons Voorliel is
IX: IG s Cl: Cl CG t= CK: CK CE: maar
IG: KE = nbsp;nbsp;nbsp;Cl : CK
.- ------ dus nii. 10.)
IX: KE Cl: CK CE =5 XY: FE
Zie ook hier over L. G. IV. 14.
Dns is de zijde van den zshoek om den cirkel tot de zijde des driehoeks in den cirkel, als r: k r r 2; 3. (XViEnbsp;Voorftel).
SNEt-LIUS prop. 7.
Een veelhoek in den cirkel befchreven is middel - evenredij tnsfehen eenen veelhoek in den cirkel, en eenen veelhoek 00*nbsp;den cirkel, doch die beiden Hechts het halve getal zijden vaj*nbsp;den gegeven veelhoek bezitten : en de veelhoek om den cirkelnbsp;harmonisch middel-evenredig tnsfehen den gelijkvormigen veel'nbsp;hoek in den zelfden cirkel befchreven, en den veelhoek oinbsp;den cirkel befchreven, doch die Hechts het halve getal ziJ'nbsp;den bezit.
sNELLius prop. 9. voor het I. gedeelte.
saurin, illm. ie 1'Acai. ly- P* voor het 11. gedeelte.
ICG.
Voor het I. gedeelte. berf.iuin- Zoo IE de zijde is van veelhoek in den cirkel, zijn f ^ NG de zijden van de veeln .,nbsp;hoeken in en om den cirkel, die Hechts hgt h.ilve getal zijden nbsp;ben, en dus zijn die drie veelhoeken ais
S AICE; A fcE: AKCG=5AicE:Ak:CE:A
-ocr page 329-BEWIJS
A K C Ji: A I C E - K Q : I P = CK: Cl
CK: n CE: CGnbsp;KE:1GS CE:CG:nbsp;dus
A ICE: A ICG
dus
A KCE: A ICE s A ICE ; A ICG of
veelli. op FE: veelh. op IE a vcelh, op IE' veelh. op NG.
Voor HET !I- GHDEELTE. sEKEiDiNO. Zoo NG cn FE de zijdcn zyn van gelijkvormigc yaeihoeUo om cn in den cirkel, zal i L 3 F Dnbsp;de zijde zijn van eenen veelhoek' hi den cirkel, die het halve genbsp;tal zjjden hoeft: en dus indien men C L tot aan de raaklijn N IHnbsp;trekt, is 111 de halve zijde van den veelhoek om den cirkel, wel- nbsp;ke het halve getal zijden bezit: eh dus zijn de veelhoe'ken opnbsp;M G , F , en het dubbeld van I H , als dc AA N C G , F C E ,nbsp;en IC H; of als
Het fuik ICLG, dat 30 ANCCis.IotA ICL, die 30 A FCE ICH.,
Daar nu volgens de eg Bepaling van bei lil. Bock drie grootheden hcrmouisch cyejiredig zjjn ,, wanneer de eerfie ftaat toe de derde als het vcrfchil tusfehen 'de twee eerfee tot het ver-fchil tusfehen de twee laatfte . moet men bewyzen dat ,
A iCL: A.I-CII =! ftuk CLG A ICE: A ICM fiuk
ICLG.
V nbsp;nbsp;nbsp;of
A ICLu A ICH =1 A ILG: A GLH.
Bnwijs. A ICL; A JC H = CL; C,H CI: C IJ:.
A ILG: A GL 3 IG: GII :ei Cl: CH (IV. la.)
dus ' nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- .
A ICL: A ICH = a ILG: A GL.Ht en dus veelhoek op IMG hamiern^eh iniii.iclel-evenredig tusf-heii veelhoek op FE, en veelhoek op het dubbeld van IH,
Aanmerking. Dns is , bij voorbeeld, volgens bet l. gedeelte van dit Voorftel , de ^esho^k in den cirkel middel, evenredig tiisrcTien d.?T] driehoek in, en den driehoek oinnbsp;den cirkel: en de zeshoek om den cirkel is harmonisch mid-del evenredig tusfehen den zeshoek .in den cirkel, en dennbsp;driehoek om den cirlik
XXIX. voorstel. Fig. 143
Idien men ifi een cirkelflnk [F l E L D] eenen gelijkbeeni-sen driehoek [F E D] befchryfe, en vvederoin eenen gelijk-j.^gen driehoek [FIE, EL Dj-in ieder der cirkelftukketi e door de zijden [FE, ED] van den eerstgemelden driehoek
[FED]
[F E D] gemankt worden; zal deze driehoek [F E D] kleiner zijn dan het viervoud der beide andere driehoeken [FlEnbsp;E L D] te ramen genomen.
huygbns de CirciiU Magn. pr, i.
BERMDtNG. Men trekke Ih, cn dan EC loodregtop IL; waaruit volgt FE != ED S IL: en A IEL e: A ELD t= A FIE.
Ewijs. Q op FE; ? op IE 1= ES: EP (V. 15. Gev.)
Maar F1 =: IE, en FI IE gt; FE (1. 19 ) dus FE lt;^2 IE:
dus Q op F E : ? op IE 4: I: dus ES: EP 4; I.
Insgelijks FD: ILofFE ^ e: i,
dus E S X F D : EP gt;lt; IL S: I.
Maar a FED; A IEL c Es . FD: EP . IL (IV. S.) dus A 1'ED: A lEL^ 8: I. ofnbsp;A FED^SAlEL:en dusnbsp;A FED lt; 4 (A fie 4 ELD).
Ittdien men in een cirkelduk [lEL] dat kleiner is dan een halve cirkel, eenen gelijkbeenigen driehoek [IEL] belchrijit,nbsp;en voorts op de zelfde grondlijn [IL] eenen gelijkbeenigennbsp;driehoek [t G L] wiens beenen [IG , LG] raaklijnen zijn vannbsp;gelijke cirkelbogen [IE, LE]: zal de raaklijn [XEY] dienbsp;door den top E des eerstgeinelden driehoeks [IEL] getrokken wordt, van den laatstgemelden driehoek [IG L] eenennbsp;driehoek [XGYJ affnijden, di grooter is dan de helft vannbsp;den eerstgemelden [IE L].
HUYGENS de ver a CircuU Mega. pr, 2.
BEREIDING. Mch trckke door G en E de lyn CEC, die dus op IL lodregt valt (I. 27. het 5. Gevolg),
BEWIJS.' 4IDL: AIELp^GPs EP (IV. 7.)
d IGj IX (iV. 2.)
A XGY: A IGL P = IG (IV. ii.) dus A XGY: A IEL p; GXquot;^: IX . IGnbsp;Maar GX^IX,en^ilG: (XXVII. Voorft, Gev, i.)nbsp;dus Gܮ gt; I IX . IG ; en dusnbsp;'ftXGY^iAlEL.
-ocr page 331-ver de veelhoeken die door het trekken van diagonalen in ennbsp;UIT .andere veelhoeken ge*nbsp;vormd worden.
XXXI. VOORSTEL. Fig. li.
alle veelhoeken kan men zoo vele diagonalen, of lijnea van eenen hoek naar de andere hoeken gaan, trekken,
er eenheden zijn in het getal nbsp;nbsp;nbsp;-
eial dgr zijden nitdrukr,
*-2xel , Novi Commentarii Petropol. T. Xis:. p. 231,
; indien g het
fiEvvtjs, Er zijn g hoeken in de figuur: dus, indien men A niet nicde rekent, g i : gevolgelijk kan men uit A, naar de anderenbsp;hoeken g ~ i lijnen AB, Ai), AE, AF enz. trekken, uit dennbsp;tweeden hoek B, kunnen g 2 cicrgelijke en van de vorige yer-CchilUndety-si'ne'a getrokken worden: namelijk B D , B E, F enz :nbsp;want men telt nu de lijn B A, reeds uit A naar B getrokken, nietnbsp;mede.
Uit den derden hoek zullen er ^ 3 dergelijke lijnen DE, D F enz, getrokken worden : en zoo voorts, tot dat men aan den hoek,nbsp;die op tien na de laatfie is, komt, waaruit er maar ne geirok*nbsp;ken zal worden: dus is de fom van alle de lijnen t g ~ t g 1
g ~ S g 4 nbsp;nbsp;nbsp; *, dat is de fom van eenc arith-
metiCche reeks, die ^ l leden heeft, en daarom (111. 25.) ge*
lijk aan nbsp;nbsp;nbsp;maar onder de*
2 nbsp;nbsp;nbsp;2
*e lijnen zijn de g zijden van de figuur begrepen; de overige alleen , en niet deze, zijn diagonalen: dus is het getal der diagonalen
g X g ~ I _ ^ _f fg 3)
I. GEVOLG.
^ Men kan dus eer/e, tweede, derde diagonalen enz. noemen, rl diagonalen die van lederen hoek [a] naar den tweedennbsp;of naar den derden fEl, of naar den vierden [F] vol*nbsp;* iiden hoek gaan.
II. GEVOLG.
Iidien dau de veelhoejc regelmatig is, en dus ia eenen cirkel
be.
270 Bock: Over de veelhoeken, in en o:n den cirkel.
befchreven is, of zijn kan; zal de hoek welke iedere AB van den veelhoek met de eerfle , tweede., derde, efi*nbsp;diagonaal, die uit het uiterfte van die zijde getrokken wordtnbsp;een hoek zijn in den omtrek, die op den boog rust. welknbsp;door de zijde des. veelhoeks als choorde befpannen wordt,nbsp;op eeneii dubbelden, drievoudigen, viervoudigen boog, enZ*nbsp;rust: en dus zal die hoek gelijk zijn aan een , of aan twet *nbsp;of aan drie enz. halve middelpunts hoeken; dat is, denbsp;diagonaal zal met de zijde uit wier uiterllcn zij getrokken
Rordt, eenen hoek maken = -7- (ll. Bep. 14. het i
Gevolg).
Die hoek zal gevolgclijk regt zijn wanneer
J
Doch de hoeken, welke twee achternvolgende diagona* len [A D en A B bij voorbeeld] onderling maken , zijn altijd
S L
halve middelpunts-hoeken, en dus ieder s:;---: gevolgelijk
2X3!'
daar de hoek dien twee zijden onderling maken = CJ
tgt; nbsp;nbsp;nbsp;..
is , Cll. Bep. 14. het i. Gev.) zal de hoek, dien de diagonaal eenen hoek getrokken, maakt met de c diagonaal uit den zelfde'*nbsp;hoek getrokken, doch altijd van den anderen kant afgerekend
gelijk zijn aan nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ [g-
en dus zullen die hoeken regt zijn, wanneer 2g 2 j 4
gevolg.
Indien men door de letter n uitdrukt da hoeveeljle diquot;?^ naai eene diagonaal is; zal die e diagonaal met de zijde '' ;jnbsp;den veelhoek uit welke men begint te tellen; en waaruitnbsp;getrokken is, -f i zijden van den veelhoek ,als choorde^^^nbsp;den eenen kant befpannen, de eerlle diagonaal namelijk t'y^nbsp;de tweede drie zijden, enz. en dus aan den anderen kau'
^fdtding: Over de veelhoeken gevormd door diagon. 7! V. GEVOLG.
Zoo dan g een even getal is, eng- -j-i t= iof
g 2
~ 2 B 2; of == , zal die e diagonaal door het
Middelpunt gaan, en men, zal tusfehen de zijde van waar Men telt, en hot middelpunt, geen diagonaal van boogeren rangnbsp;bunnen trekken: en alle de e diagonalen , indien n beften
zullen elkander in het middelpunt C ont-
Moeten.
Maar zoo lt;C
(g- altijd een even getal zijnde) zal
i'ien nog, alvorens tot het middelpunt te komen, diagonalen van eenen hoogeren rang kunnen trekken: en die van den rangnbsp;n zullen elkander buiten het middelpunt ontmoeten , en dusnbsp;tioor hare ontmoeting verfcheide veelhoeken vormen. Eindelijk zal dan het getalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; i ofaanduiden, wel
ke de diagonalen van den hoogften rang zijn, die elkander billeen het middelpunt fnijden.
VI. GEVOLG.
Maar zoo g een oneven getal is, kan er geen diago-^laal door het middelpunt gaan (II. 35.), en dus ook niet de
diagonaal, die namelijk welke aan den eenen kant ti -j- 1 aan den anderen g i zijden befpant: zoo dan n denbsp;hoogde diagonaal is die men trekken kan, zal dezelve n -f- inbsp;dijden befpannen, de volgende zal aan den anderen kant ooknbsp;*4-1 zijden befpannen: en er is nog eene zijde tusfehen denbsp;tWee diagonalen: dus is het getal zijden, of g s 3 -j- 1 4*
4-14-1=: 2 4-3: gevolgelijk is r= nbsp;nbsp;nbsp;de hoogde dia-
^Ofiaai die men tusfehen eene zijde en het mjddelpuni trek-kan, indien het getal g der zijden oneven is.
XXXII. VOORSTEL. Fig. 79 8p en 161.
Alle de diagonalen, die men in eenen regelmatigen veelhoek quot;?kken kan, zullen, 1*. door hunne onderlinge ontmoetingennbsp;Maen denzelven , zoo vele geUjkvoenjige veelhoeken vormennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ls
-ocr page 334-7i Vi- Bock: Over de veelhoeken in en om den cirkch
zoo het getal g der zoo het getal der
als er eenheden zij i het getal zijden oneven is; en in het getal
zijden even is,
2. Die veelhoeken zijn alle om het middelpunt des g0' geven veelhoeks regelmatig geplaatst: doch de eerfte omgekeerd ten opzigte van den gegeven; de tweede regt; de der*nbsp;de omgekeerd enz.: zoo dat de lijn die door den top vannbsp;eeneu der hoeken en het middelpunt getrokken wordt, beurtelings of door de toppen der tegenovergertelde hoeken gaatnbsp;of loodregt door de aan elkaniler evenwijdige zijden van denbsp;gevormde veelhoeken , zoo het getal der zijden even is ;nbsp;en behendig doof den top , en loodregt door het midden dernbsp;tegenoveniaande zijde van iederen veelhoek gaat, zoo hetnbsp;getal der zijden oneven is.
30. Kindelijk, die veelhoeken worden gevormd, de eerli door de ontmoeting van alle de eerfte diagonalen, de tweednbsp;door de ontmoeting van alle do tweede, de derde door dnbsp;ontmoeting van alle de derde diagonalen, enz. die uit iederehnbsp;hoek getrokken worden.
g 4
VOORBEELDEN. Fig 80. Ill den zeshoek is - = i gt;
cn er wordt een zeshoek UPQRST binnen den gegeven zeshoek A B D E F G gevormd.
g- 3
Fig. 79- Voor den vijfhoek is ^ =3 i; en er word^
een vijfhoek ONi.vj binnen den vijfhoek GBEIIK g' Yormd.
. 'g 4
Fig. 161. Voor den tienhoek is 2 3 sr word'
binnen den tienhoek A B D F, F HIK L G drie tienhoeken g*' vormd: namelijk, PQRSTVXYZU: ahcdefghik\ Imii*nbsp;pqrstu.
Verder, in Fig. 161. gaat de middellijn BCI door de top' pen c en h des tweeden veelhoeks; doch beftendig loodre^nbsp;door de zliden. PQ en XV des eerften, en de zijden mnnbsp;SE des derden. Doch die zelfde middellijn gaat doornbsp;top B en de zijde K il van den vijfhoek G B E H K: en do'nbsp;de zijde O N en den top x van den vijfhoek ONvx}':nbsp;als in Fig. 80.
KWijs I. Er kmracn zoo vele rangen van diagonalen zijn
-ocr page 335-^ nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
eenheden zijn in het getal nbsp;nbsp;nbsp;of ^ ,naar mate dat het ge
tal van zijden oneven of even is (XXXI. Voorftel, 5 en 6 Gev.).
Maar,alle de diagonalen van iederen rang maken eenen veelhoek t'it, van zoo vele zjjden als er diagonalen van den zelfden rangnbsp;2yn in den gegeven veelhoek ^ dat is, van zoo vele zijden als ernbsp;in den gegeven veelhoek zijn :
g - Z g - 4 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
Dus zullen er of ^ veelhoeken geboren worden,naac mate g oneven of even is-
Die veelhoeken zijn regelmatig; want het is klaarblijkelijk dat (Fig. 8o. i6i ) A ABQ = A QDE: en A ABP = A DIVE:nbsp;on dus dat PQ Q R; ^ PQR Z ABD: enz. voor de hoe-Itcii en zijden van alle de driehoeken.
II. nbsp;nbsp;nbsp;Daar (Fig. 8o.) A Q ^ gelijkbeenig is, valt het ftip Q opnbsp;de loodlijn die uit het midden L der zijde BD getrokken wordt,nbsp;en door het middelpunt gaat: dus L PQC ~ L CQR: eanbsp;A P CQ = ^ C R: dus PC := C Q =. CR: of C is hetnbsp;middelpunt van dien veelhoek : en dus ook voor alle anderen snbsp;Waaruit het overige van de tweede ftelling volgt.
III. nbsp;nbsp;nbsp;Het derde is van zelf blijkbaar.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
I. nbsp;nbsp;nbsp;C E V O L O.
Indien het getal der zijden van den gegeven veelhoek even is, dienen alle de diagonalen tot de vorming van danbsp;fiieuwe veelhoeken; doch zoo het even is, zijn alle de diagonalen welke door het middelpunt gaan daartoe onnuttig!
g
deze zijn altijd - in getal. Dus zijn in Fig. 8o drie diagonalen AE, BF, DG onnuttig; in den denhoek van Fig#
Zijn er vijf, AH, BI, DK, EL, FG.
II, nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Het valt niet moeijelijk de grootte der zijden en ioodlif-n van alle die veelhoeken, zoo wel onderling, als met ba-^fekiiigg nbsp;nbsp;nbsp;gegeven veelhoek te bepalen: mits men hier
'ianneme het geen wij ih hec VIII. Boek over de ftnusfeti zeggen.
, Namelijk (Fig. li.) zoo de zijden even in getal zijn, is loodlijn Cz de finus des hoeks EGF, die de helft is vait
middelpuntshoek E C F.
quot;C loodlijn C is de funis van den hoek DGF sa raid# j,}?^n'shoeicen: de loydlijn c /3 's de finiis van dei^ hoeknbsp;^F die gelijk is aan | raiddelpunt.'hoeken: en de loodlijnnbsp;. V is de cofimis van den hoek GE'y, die gelijk is aan mld#
'P'iiKs'ioek.
ndieu nbsp;nbsp;nbsp;^en binnenflen veelhoek den eerflen nOnit
J74 Bock: Over de 'Veelhoeken in en om den cirkel.
en alle de anderen vervolgens, lederen in zijnen rang, den II/ den lit, enz. heeft men deze evenredigheid:
Loodliin vali den I, tot loodlijn van den Jl, tot loodlijn van deiT III, tot loodlijn van den IV, enz, tot loodlijnnbsp;van den gegeven veelhoek, te (tnus \ middelpuntshoek: finusnbsp;I middelpuntshoeken: Jliius | middelpuntshoeken: fintts $ middelpuntshoeken: enz. - tot cofinui lnbsp;middelpuntshoek.
Doch, zoo het getal der zijden oneven is, is EGF ^ i /EGH~ ^ I ECfl i middelpuntshoek: vervolgensnbsp;^BGFn 3^EGF=:fZgt;ECrit3l middelpuntshoek: enz.nbsp;altijd met i middelpuntshoek opklimmende: en dus is
Loodlijn I veelhoek, tot loodlijn II veelhoek, tot loodlijn Ilf
veelh. enz. -- tot loodlijn van den gegeven
veelhoek tt pnus ^ middelpuntshoek; Jtnus 4 middelpuntshoek: finus I middelpuntshoek: enz.---tot cofinus i middel
puntshoek.
De zijden of omtrekken Haan in de zelfde rede (IX. Voorlid en IV. 38 j.
GE V G L G.
Indien het getal der zijden even is, wordt de binnenst Veelhoek, die namelijk welke het digtst bij het middelpunt is/
door diagonalen van den rang
gevormd ^XXXI. VoorH
5. Gev.): die diagonaal maakt dus op de zijde, uit welke zij
Cg 4j 2 L g 4
getrokken is,eenen hoek
L, e
dus, daar twee naastliggende zijden [AB, A G]^ eens veel'
hoeks onderling eenen hoek maken =5 nbsp;nbsp;nbsp;*--1,11. Bep. J*!'
^ nbsp;nbsp;nbsp;'V
het I. Gev.} zal die diagonaal met de tweede van die beide zU
(g 2) 2 L (g4)r, den, [met A GJeenen hoek maken =2 -^--
=; L: gevolgelijk zijn do diagonalen, welke den binnen de' veelhoek vormen, juist die gene welke loodregt Haan op tlnbsp;zijden waarop zij getrokken worden : die dus de aan ej'nbsp;kander evenwijdige zijden vereenigen : deze binnende vee*'nbsp;hoeh is dan die van welken wij in het XXXV, Voordel vanbsp;het H. Boek en in het XIV. (het 7. Gevolg), van dit Boeknbsp;na den Heer oo fay, gefproken hebben, en die het verftquot;^nbsp;is tusfehen den regelmatigen veelhoek om, en den regel**nbsp;jjgan veelhoek ia den cirkel befehreven.
-ocr page 337-^/Jfdeeltng: Over de veelhoeken gevormd door diagon. s^g
Dit zelfde blijkt ook uit het geen wij in het voorgaande gevolg gezegd hebben; want de loodlijn van dien binnenflennbsp;'veelhoek is gelijk aan /Iftus middelpuntshoek: dus gelijknbsp;kan de halve choorde van den middelpuntshoek; dat is gelijknbsp;kan de halve zijde van den gegeven veelhoek.
XaXIII. Voorstel. Fig. 8o, ifir.
Indien het getal der zijden van eenen regelmatigen veelhoek is, en men de twee naastliggende zijden door diagona-In, en dus door diagonalen van den eerden ang, vereenigt ^nbsp;Zullen er twee gelijke en gelijkvormige veelhoeken geboreilnbsp;''orden, wier zijden half zoo veel in getal zijn als de zijdennbsp;in den gegeven veelhoek.
voorbeelden. In Fig. 8o. worden twee gelijkzijdige dri hoeken A D F , B E G : en in den tienhoek van Fig. l6t,nbsp;Voorden twee vijfhoeken ADFILA, en GBEHKG ge*nbsp;Porrad.
BEWIJS. Indien men eenigen hoek B voor den ecrlfen aanrieenitj, ziillcu de diagonalen getrokken van den eerllen hoek B naar dennbsp;derden K. van den derden E, naar den vijSden H enz. tot dat mennbsp;weder op den eerden te rug komt, eenen regelmatigen veelhoek,nbsp;uitmuken , die het halve getal zijden hebben zal.
Indien men diagonalen trekt van den tweeden hoek D naar drt vierden F van den vierden F naar den zesden t enz.: zal er wederom een gelijke en gelijkvormige veelhoek ontftaan.
Maar de diagonalen van den derden hoek E naar den vijfden tiquot;, van den vijfden naar den zevenden enz behoren reeds tot deanbsp;eerften veelhoek: en die \aii den vierden hoek naar den zesden^nbsp;Van den zesden naar den achtften enz behoren reeds tot den tweeden veelhoek: dus kunnen er maar twee dergelijke veelhoekennbsp;geboren worden.
Aanmerking. Het blijkt van zelf waarom wij in het Voor* Bel zeggen indien het getal van zijden even is: want in eenertnbsp;veelhoek, die een oneven getal zijden bezit, kan men doornbsp;het trekken van diagonalen van den eerften rang geen nieU'nbsp;Wen veelhoek doen geboren worden.
.De dijden van die beide veelhoeken ftggen inde 2e1f(I ^gting als de zijden van den eerften innerlijken veelhoek*nbsp;jQRSTVXYZU, waarvan wij in het XXXII. Voorftel ge*nbsp;Proken hebben: doch beurtlings; de eerfte namelijk , de der-e. de vijfde, van deze laatstgemelde zijden, of PQ^ .S*nbsp;^v enz. zullen tot den eerften. doch de tweede, vierde,nbsp;helio^re^quot;^* nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;VX enz. tot deo tweeden vselbsl
II. GEVOLG.
De zijden van die beide veelhoeken zijn dus flechts ver* lengingen van de zijden des innerlijken veelhoeks; zoo dacnbsp;derzelver hoeken beurtelings gevormd worden door de onderlinge ontmoeting van de verlengde even zijden des innerlij'nbsp;ken veelhoeks, en van de verlengdenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijden des zei ven.
IIT. GEVOLG.
Men zal, door de verlenging der zijden, alle de innerlijke veelhoeken, ontftaan op de wijze in het XXXfI. Voordel gemeld, ieder in twee regelmatige veelhoeken veranderen, dienbsp;de helft van het getal zijden zullen hebben vmi den gegevennbsp;veelhoek: en daar de zijden dier nieuwe veelhoeken de verlengingen zijn der zijden van de innerlijke veelhoeken iiitnbsp;welken zij gevormd worden, zijn zij ook deelen van de tweede diagonalen voor de veelhoeken 'uit den tweeden innerlijken veelhoek gevormd; van de derde diagonalen voor donbsp;veelhoeken uit dea derden innerlijken veelhoek gevormd ennbsp;zoo voorts.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLS.
De hoek, welken de ? diagonaal met de eerlie uit het zelfde flip getrokken maakt, is fXXXI. Voorfl:. 2 Gev.) t? mf
V, 2 L nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? I X 2
X- : en dus zal die hoek regt ziju, wanneer---
S nbsp;nbsp;nbsp;o- Jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
^4-2
a I: of !=: nbsp;nbsp;nbsp; is: maar de eerde diagonaal is hier de
zijde van den nieuwen veelhoek, en dus wanneer m s --
is, is die diagonaal de loodlijn uit het einde der zijde van den nieuwen veelhoek op dezelve getrokken.
V. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien dan het getal der zijden van eeneii veelhoek wel 'eve 1 doch deszelfs helft oneven is, fzoo als voor den tienhoek)nbsp;zal de nieuwe veelhoek (bij v. de vijfhoek G B E H K.) eennbsp;oneven getal zijden bezitten: n de gemelde re diagonaal
van den eerden veelhoek zal, 2lt;3o in -- (voor
tienhoek de zesde GI) de loodlijn zijn die op de zijde va,n den nieuwen veelhoek opgerigt, den innerlijken gelijkvonn^nbsp;gen veelhoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waarvan W hier boven in het XX^v
yoorl^
-ocr page 339-Voordel van het II. Boek, en in het y. Gevolg van het XlV van dit Boek, na den Heer ou fay, gefproken' heb-^n, helpt uitmaken, en welke veelhoek het verfchil is tus-fclien den veelhoek van een oneven getal zijden om den cir-en den gelijkvormigen veelhoek binnen den cirkel be-fchreven (Voordel XIV. Gevolg 5, 6, 7.); doch daar ecnbsp;^ 3 diagonalen uit eenen hoek kunnen getrokken worden.
Zullen nog g
dat is
diagonalen ove
blijven: en dus, van den anderen kant beginnende te tel* zoo als wij tot nu toe gedaan hebben, is de gemelde
2 ~ ^2
diagonaal de
J : En dus Indien
men een veelhoek van een oneven getal zijden heeft, den-zelven voorondei llelc in eenen cirkel befchreven, en uit den-zelven, door verdeeling der bogen in twee gelijke deelen, eenen veelhoek van een dubbeld getal zijden vormt, zullen de
(f--diagonalen van dezen nieuwen veelhoek, door hais
re ontmoetingen , eenen gelijkvormigen veelhoek vormen , waar-an de zijden, door hare verlenging , zoo als in dienbsp;Voorllel gezegd is, twee veelhoeken zullen uitmaken, die aannbsp;den_ eerilen gegeven gelijkvormig zijn zullen, aan 'elkandernbsp;gelijk, en bovendien gelijk aan het verfchil dat er is tus*nbsp;fchen den gegeven veelhoek en den gelijkvormigen om dennbsp;cirkel befchreven, zoo als wij hier boven in navolging vannbsp;Geer du fay gezegd hebben,
G aanmerking. Men ziet hieruit hoe het Voorllel van den Heer nu fay voor de oneven veelhoeken indedaad maarnbsp;een gevolg is van zijn Voorliet voor de even veelhoeken; en dat het juist daarvan afhangt dat er binnen dennbsp;gegeven oneven veelhoek niet Hechts een, zoo als voornbsp;de even veelhoeken, maar twee veelhoeken gevormd worden , die aan het vereischte voldoen. Men zonde zelfs denbsp;beide voordellen met de zelfde woorden kunnen uitdrukken:nbsp;Want de lijnen, welke de evenwijdige zijden vereenigennbsp;van veelhoeken, die een even getal zijden bezitten, zijn Ipod-! regt op die zijden: en dus is het algemeen Voordel dit:nbsp;u indien men uit ieder der hoeken van eenen regelmatigennbsp;5, veelhoek loodlijnen op de zijcisn trekt, zullen die lood-5 lijnen door hare onderlinge ontmoeting eenen nieuwennbsp;, regelmatigen en met den gegeven gelijkvormigen veelhoeknbsp;55 vormen, zoo het getal der zijden in den gegeven evennbsp;35 is: doch zij zullen twee gelijke en gelijkvormige vor-5 men, zoo het getal dier zijden neven is.
S 3 nbsp;nbsp;nbsp;AAN'
278 VL Boek: Over de veelhoeken in en om den cirkel,
IIL AANMERKING. Het fpreokt van zelf dat ieder van die nieuwe veellioeken weder' door diagonalen verdeeld kannbsp;worden.
Iildien men de zijden eens regelmatigen veelhoeks vveder-r Zijds verlengt, en de flippen , in welke die verlengde zijden elkander ontmoeten, door lijnen vereenigt; zullen dezenbsp;lijnen zoo vele regelmatige, met den gegeven gelijkvormige,nbsp;n om bet zelfde middelpunt befchreven, veelhoeken uitmaken?
als er eenheden begrepen zijn in het getal nbsp;nbsp;nbsp;, zoo de
,, nbsp;nbsp;nbsp;g ' 3
zijden van den gegeven veelhoek even, of in het getal quot; ?
zoo zij oneven in getal zijn.
VOORBEELDEN. Uit den vijfhoek ONvjty Fig. 79. komen de flippen CBEHK ,die de punten van ecnen vijfhoek maken,nbsp;Uit den zeshoek UPQRST, fig 80. komen door de verlenging der zijden UP en QR, PQ en RS, QR en ST, RSnbsp;en TU, TS en UP, UT en PQ, de flippen B, D, E, F,nbsp;Cr, A die een nieuwen zeshoek uitraaken: in fig. 162 komennbsp;er uit den gegeven tienhoek, cmnopqrstu, drie tienhoe-Iten: namelijk door verlenging der zijd. n em en no, nin en op jnbsp;Ito en pq enz, altijd eeiie zijde tusfehen beiden latende, denbsp;iienhoek aNbvcxdyeo-. door verlenging der zijden e? ennbsp;Cp, n m en pq, no en qr enz. altijd twee zijden tusfehennbsp;beiden latende, de tienhoek M S'i'V u x P Y R Q ; eindelijknbsp;door verlenging der zijden mn en qr, no en op en sfnbsp;enz., altijd drie zijden tusfehen beiden latende, de tienhoeknbsp;EFfllKLGAB.
BEWIJS I, De twee ov^er elkander ftaande zijden van eenen regelmat tigen veelhoek , welke evenwijdig aan elkander zijn , zijn door cconbsp;g 2
getal ~ zijden van elkander verwijderd : doch deze , hoe ook verlengd zijnde, kunnen elkander nimmer ontmoeten: dus zal eeii
S' a nbsp;nbsp;nbsp;. 8 - 4
derzelve maar ~ 2 dat is ^ nbsp;nbsp;nbsp;, verlengde zijden kun
nen ontmoeten, en er zullen dus maar worden
veelhoeken gqvoriui
I' Indien men in eenen veelhoek, waarvan de zijden
oneven
ia
getal zijn, eene zijde neemt,zijn er tusfehen dezelve en den over*
, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8 ~ i
ftaanden top nbsp;nbsp;nbsp;zijden begrep^ii j dus zal die zijde,
I nbsp;nbsp;nbsp;tr 3
Ipngd Zijiiiie, ^ j of7- verlengde zijden, wederzijds
* nbsp;nbsp;nbsp;onlquot;
ontmoeten: en gevolgelijk door die ontmoeting toppen yatt Oven zoo vele veelhoeken vormen, die alle regelmatig zullen zyn^nbsp;On om het zelfde middelpunt befchrcven.
! Aanmerking. De uiterUjke veelhoeken, dus door famen-ftelling uit (Jen gegeven veelhoek geboren, zijn, op dea gegeven en den laatftcn na, niet de zelfde welke uit dezen , door het trekken van diagonalen, gevormd worden opnbsp;de wijze in het XXXIII Voordel aangewezen; dus zijn innbsp;fig. 162 en 161, de veelhoeken cmnopqrstu en ABDEnbsp;FHIKLG de zelfde: de beide overigetienhoeken zijnver-fchillende i doch in den tweeden, aNbv cxgjeO, komennbsp;de flippen N, v, x, y, O, overeen met de flippen welkenbsp;door de zelfde letters uitgedrukt worden in Fig. 161. en hecnbsp;valt ook niet moeijelijk te onderfcheiden welke lijnen hecnbsp;zijn , in de figuur 161 , die de flippen,in de figuur 162doornbsp;Q R, S, T, U uitgedrukt, en den derden tierhoek uk-makende, doen geboren worden; doch om dit duidelijker tenbsp;maken hebben wij de hoeken, welke door de ontmoetingnbsp;dier lijnen gevormd worden door grovere flippen aangewezen.
11. aanmerking. Indien men de flippen , daar de verlengde zijden elkander ontmoeten, niet door lijnen vereenigt, zul-len die flippen de kruinen zijn van regelmatige ftetachtigenbsp;figuren, om den gegeven veelhoek befchreven, en waarvanbsp;de verlengde zijden des veelhoeks dc zijden zijn.
/. Af (heling: Over de limieten. nbsp;nbsp;nbsp;aSi
lt;bor vermindering , aan eene andere grootheid [L] hoe ianger hoe nader komt, zonder echter dezelve immer tenbsp;Kunnen overtreffen of evenaren; wordt die tweede groot-heid [L] de Limiet van de eerstgemeldc [AJ genoemd;
Wel de Limiet iii groette zoo de grootheid [A] aan
Limiet [L] bij vermeerdering, doch de Limiet in kleinheid, zoo zij aan dezelve bij vermindering lioe lannbsp;21 hoe nader bijkomt.
L GEVOLG.
Laar de grootheid A, door beflendige vermeerdering of 'vermindering, aan de grootheid L, dat is aan hare Li-^iet , altijd nader en nader komt; volgt het, dat zijnbsp;Zoodanig vermeerderd of verminderd kan worden, dat zijnbsp;Van hare Limiet minder verfchillen zal dan eenige ino-gelijke gegeven grootheid bedraagt , hoe klein die ooinbsp;moge,
voorjjeelden.
I. VOORBEELD. Fig. I2I, De raaklijn AT, is de limiet in kleinheid allenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fnijlijnen AH, AE, enz.: die uit het
zelfde hip A tot den hollen omtrek van den cirkel ge-trokken kiinuen worden , en de limiet in grootte van alle de lijnen AR, AS, enz., die flechts tot aan den bollennbsp;Pmtrek komen,
aanmerking. Men zonde, doch in otiKn oneigenlijken zin], . kunnen zeggen, dat de middellijn de limiet is in groottenbsp;'Van alle de choorden, indien niet de middellijn zelve tn dennbsp;eigenlijken zin tot de choorden behoorde ; en dus eenenbsp;tootheid is, die door eene choorde, choorde blijvende, kannbsp;gevenaard worden; het geen in het denkbeeld van limietnbsp;biet begrepen is, of begrepen kan worden: daar, in tegendeel, in ons voorbeeld, de fnijlijnen, zoo lang zij fnijlij-Uen zijn, de raaklijn AT niet kunnen evenaren.
Voorbeeld. De breuk J is de limiet in grootte van de teuk 0,333333333 zoo ver men wil uitgehrekt.
Voorbeeld. De gepmetrifche middelevenredige is de limiet kleinheid van de arithmetifche middelevenredige, tnsfehennbsp;Hvee grootheden fill* tii.j.
''okbeeld. Het getal j is de /iffiiet ia grootte van geoinetrifche reeks
-ocr page 344-aSa VIL Boek : Over den omtrek en inhoud des cirkels,
i nbsp;nbsp;nbsp;enz zoo ver men \viU
of, gelijk fommigen /preken, in het oneindige^ uitgeftrekt*
V. VOORBEELD. Het getal f of i|. is de limiet in grootte van deze geoinetrifche reeks , jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j_ ^ 64
enz. zoo ver men wil, of, gelijk velen zich wel uit' drukken, in het oneindige^ uitgeftrekt. Men vergelijke hie?nbsp;mede IIJ. i. Gev. i. Aanm. a.
. aanmerking. In het algemeen, de uitdrukking (III. l8
C... ,0 S = nbsp;nbsp;nbsp;ttlf -J?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iilnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=
ql nbsp;nbsp;nbsp;qlnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;q~l
. K nbsp;nbsp;nbsp;A
^ nbsp;nbsp;nbsp;^ 4quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ware fom van een getal n ledeU
eener geometrifche reeks, A, A ^, Aq^ , a --quot;
A5-;doch S = j.of S = j^'g, is de limief
van de geheele afnemende reeks, zoo ver men wil uitge'
A
ftrekt: en van hier de uitdrukking van fommigen , dat j*
A^
of ^_g, de fom is van oneindig getal leden van eene
geometrifche afnemende reeks; deze uitdrukking
A
1^
wordt 1 , indien, gelijk in voorbeeld IV, A =
J: en I, indien, gelijk in voorbeeld V, A := I'
A^
ll, aanmerking. Deze uitdrukking S = nbsp;nbsp;nbsp;voor de foU*
[ j, de grootfte boven de volgende.
van een oneindig aantal leden eener geometrifche reeks* geeft S: A = A; A B: waaruit dit voorftel volgtnbsp;dat ik ergens in de nagelaten handfchriften van nur'nbsp;gens gevonden heb,,,, zoo grootheden in eene gewurignbsp;jj afnemende geometrifche reeks ftaan, is de grooiunbsp;5, van alle, met alie de overigen in het oneindigenbsp;de grootfte, als de grootfte , tot de overmaat
JII
-ocr page 345-. Afduling: Over de limieten.
Aanmerking,. Deze limiet S =:
komt ook wel
onder de gedaante van dit voorftel voor. ,, Als van eene
1
gegeven grootheid wordt genomen het ~ gedeelte, van
55 dit ftufc wederom het ~gedeelte, en zoo vervolgens.
3 telkens, het gedeelte van het laatstgenomen ftuk,
Z
5gt; zullen alle deze ^ gedeelten te famen gelijk zijn aan
** q~~i gedeelte van die gegeven grootheid. Zio
Pi-ORYN, GroiidbeginfeU der hoogere Meetkutide, . 77.
\7 nbsp;nbsp;nbsp;^
aanmexking. Indien men de limiet S
op het V. Voorbeeld, en het alles te famen vergelijkt met het geen gezegd is in het, I. Gevolg van hetnbsp;XVlII. Voorftel des derden Boeks,Aanm, 2. zal het blijken,nbsp;hoe deze leer met het Voorftel van akchimsdes, aldaarnbsp;Vermeld, overeenkomt.
II. BEPAI.ING.
n Wanneer de rede tusfchen twee grootheden aan de be* endigs rede , die er tusfchen twee andere groenheden is,nbsp;JJ Vermeerdering of vermindering, nader en natier bijkomt,nbsp;.^.tdc de laatstgemelde rede de limiet, in grootte of in
kh
Voo
'^^^heid, van de eerstgemelde rede genoemd.
'.'^*lt;brelden. De rede van 1/ 2 : i is de limiet in grootte '^n alle de getallen waardoor men de rede, die de dia*nbsp;Sonaal van een vierkant tot deszelfs zijde heeft, kan uit*nbsp;^fi^kken.
De rede van 2 : V' 3 is de liffliot in grootte van de Stallen waardoor men de rede van de zijde eens ge-'Jfczijdigen driehoeks tot deszelfs loodlijn kan uitdrukken.
Oe rede van Vquot; 3 : i is de limiet van de rede die de vue des gelijkzijdigen driehoeks , in den cirkel befchre-
ven.
i5?4 Boek; Over den omtrek en inhouddes cirkels.
ven, heeft tot den radius van den cirkel, indien men dis rede in getallen liildrukt.
I. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL*
* Zoo er twee grootheden zijn, A en B, en men vaB de grootfle, de helft, of meer dan de helft, aftrekt; ennbsp;van het overfchot wederom de helft, of meer dan dnbsp;helft en zo voorts. altijd op de zelfde wijze; zalnbsp;eindelijk eene grootheid overfchieten die kleiner zijnnbsp;dan de tweede gegeven grootheid B, hoe klein de2nbsp;ook zij.
EucL. X. i: of bij KOENin Lemma voor XII. 4.; en eenigermat* bij TACQUET Lemma a. aa VI. ii,
jEREiDiNG. Fig- I46 ^ij A.B de grootfle, F de kleinfle der gegeven grootheden ; men neme van P, een zoodanig veelvoudnbsp;GM, dat het zelve grooter worde dan de gegevenenbsp;maar eenmaal minder genomen , kleiner zoude zijn da^nbsp;deze. Men fnijde van AB af AC, d. i. de helft, ofnbsp;meer dan de helft; van het overfchot CB, de helft,nbsp;meer dan de helft, CD; van het overfchot DB, de helBnbsp;of meer dan de helft, DE: en herhale dit zoo vele riiR'nbsp;len als F in G M begrepen 15: dat is in deze figuur vilt;^^nbsp;malen.
of gt; ^ nbsp;nbsp;nbsp;AB: is GMnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G I gt; Ai$ aC:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i.
gt; nbsp;nbsp;nbsp;BC. Om dat IM gt; BC, IK lt; f I M en CD
of gt; I nbsp;nbsp;nbsp;CB is IM -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IK gt; BC nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CD: dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;KMnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
of gt; 4 DB is KM KL gt; D R DE: d. is LM
gt; nbsp;nbsp;nbsp;eb. Maar LM = F; dus EB lt; F, hoe klein oonbsp;P zijn moge.
^ nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Men kan dan geen grootheid zoo klein geven, of l** overfchot zal eindelijk nog geringer worden.
II. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL.
Wanneer twee grootheden gegeven zijn, waarvan cene [L] befiendig. de andere [A] veranderlijk is,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, n
bij vermeerdering of bij vermindering, nader en nadej de cerstgeaielde grootheid (.L] koen, en er dus
-ocr page 347-Van verfcbillen kan dan eenige te geven grootheid be* raagt: zal de rede van gelijkheid de limiet zijn, in groot-^ in kleinheid, van de rede dier beide grootheden,: en
r-nuiLiER . 2. TACQVST TheoT, jel. ex archimede pr. i, 2,
I.
II,
Ewijs. Zoo men het tegendeel ftelt, zij L =: A B: dan het verfch tnsfchen de beide grootheden gelijk aan eenenbsp;^paalde grootheid, het geen tegen de onderdelling ftrijdt,nbsp;'velke ftelt, dat het gemelde verfch kleiner is dan eenigenbsp;grootheid die gegeven kan worden.
Aanmerking. Dit zal door eene nadere uitlegging der Voorbeelden van de I. Bepaling opgehelderd worden.
aanmerking. Van daar de uitdrukking van fommigen, dat eene grootheid'in hare limiet eindigt.
Iir. VOORSTEL.
_Zoo ne en de zelfde grootheid fL] de limiet is, het in grootte, het zij in kleinheid, van andere groothe*nbsp;den, b. V. [A en B] is de rede van gelijkheid de limietnbsp;der rede van deze grootheden.
BEwijs. De rede van A: L is eindelijk die van gelijkh-eid of eindelijk A : L 1 : i (II. Voorftel); en eveneensnbsp;B : L =: 1:1; dus eindelijk d : B i : i of de redenbsp;van A : B komt hoe langer hoe nader aan de rede van- ge-Bjitheid.
Aanmerking. Van daar de uitdrukking van fommigen, ^8t de laatjle rede dier grootheden eene rede van gelijkheid is.
1.
Voorbeeld. De lim'et v,an de rede der beide reeklen, ^ ff -1- T 4 enz- en |nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; rs enz.
, nbsp;nbsp;nbsp;, u I nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;10
II.
eeide zoo ver men wil vervolgd, is die van gelijkheid.
.Voorbeeld. Fig. 147. Ind'in de lijnen AB,_ BC, regt-oekig op elkander Baande, met de kromme lijn A C eene hguur uitmaken en men de grondlijn BC in zoo vele ge-hjke deelen BD, OE. EF enz. als men wil verdeelt, omnbsp;door middel der lijnen MD, EN enz., AM, SLMnbsp;onz. iie regthoeken AMDB, SEDB, DLNE,RkeDnbsp;Ie maken: zal men door het getal der deelen BD,nbsp;enz. te vermeerderen, en dus hunne grootte te ver-*kidereu, de kromlijnige figuur ABC A tot limiet van de
s8 Vit. Boek: Over den omtrek en inhoud des cirkels.
Bitwenaige [BA MLNKOIPTCH] en van de inweii' dige [B S L K K Q ! U C B] hebben; en de limiet der redenbsp;van deze figuren zal dus eene rede van gelijkheid zijn.
newton Lcm. 2,3.
BEWIJS. De overmaat der uitwendige figuur AMLNK^ enz* boven de kromlijnige BA C is de fom van alle de drif'nbsp;hoeken AML, LNK, KOI enz. De overmaat der kroni'nbsp;lijnige figuur boven de inwendige S LR K Q i U H enz.nbsp;de fom van alle de driehoeken ASL, LRK, KQI enz.rnbsp;welke driehoeken, en dus welke fommen, kleiner en klei'*nbsp;her worden naar mate de deelen B O, DE enz. kleiner g'nbsp;nomen worden: waaruit het voordel volgt; te weten darnbsp;de uitwendige en de inwendige figuur nader en nader ko*nbsp;jnen aan de kromlijnige figuur die hare limiet is, en du5nbsp;nader en nader aan elkander.
AANMERKING. Het Zelfde heeft plaats, al wordt de kroW' me lijn AC in eene regte lijn [Fig. 148.] AC veranderdenbsp;en dus al heeft men eenen regtlijnigen driehoek ACd'nbsp;welk voorftel van een zeer groot nut in de Natuurkuni*nbsp;is. Er is een bewijs van de voornaamfte eigenfehapp^nbsp;der verfnellende beweging, en dus van die der vallendnbsp;ligchamen, dat daarop lleiint: zie s gravesande Phjfica S'nbsp;373. MusscHENBROEK . i8. KEILL Inleiding totnbsp;ware WH- en Sterrekunde XI. Les , Theor. XVII.
IV. VOORSTEL.
Zoo twee grootheden beiden de limieten zijn van derde , is hare rede die van gelijkheid; dat is, zij zijnbsp;gelijk,
BEWIJS. Uit het III. Voorftel. tA CHAPELLE, . 433.
BEWIJS. Dat A en B beiden de limiet zijn van C: zoo ^ niet gelijk B, zij A B D : daar nu B de limiet nbsp;van C, zal C nader aan B kunnen komen dan eenigcnbsp;geven grootheid.- dus zal het verfchil tusfehen C en Bnbsp;D, ten minften zijn D; maar door de asfumtie is B -k j,nbsp;3 A: dus zal C altijd, ^ep . minfteu de grootheid D. ^ ~nbsp;A verfcbillen, dat tegenll''ydig is met het denkbeeldnbsp;limiet, en A is door de onderftelling Hmiet van C. ,gf,nbsp;is dus nmogelijk dat A ^ niet gelijk zijn aan elkaf^_^
28?
. AfcecUng: Over de UmieUri,
V. VOORSTEL.
Zoo twee g;rootheden A en B, beide in hare VeriTieer , of- beide in hare verminderina:, altijd de zelfdenbsp;[a ; b] tot elkander behouden, zal ook die rede denbsp;Kde barer limieien [L en /] zijn.
tacquet Porisma na X[I. s. maclaurin p, VI.- lhilier . 3;
SE Wijs. Zij A:B =: a'bi zoo nu niet L:/ a:b, is
L: / of gt; of nbsp;nbsp;nbsp;a:lr:
zij L:l a ib:
en dus L X: ^ = 0:^ A;B,
Zoo nu L en / de limieten in grootte zijn van A en B: Is B ^ /; dus moest ook A altijd kleiner zijn dan L X;nbsp;us minder tot L naderen dan eene gegeven grootheid X,nbsp;dat tegen het denkbeeld van eene limiet ftrijdtj dus isnbsp;niet L:/ gt; lt;:^,
Zij L: / lt; a\h. dus
L: l - X = a:b = A:B:
Maar A is lt; L ; dus moest B ook altijd kleiner zijn dan / X; dat insgelijks tegen het denkbeeld van eenenbsp;limtct flrijdt:
dus is noch L:l gt; a: b noch L:l a:bnbsp;dus h Li l ~ lt;tib.
Zoo L en / de limieten in kleinheid zijn, is de redens de Zelfde: men fteli voor het eerfte geval,nbsp;zoo L: / gt; a:b jnbsp;L:l X a-.b:
en voor het tweede, zoo L:l lt; a:b,
L -gt;r X \ l -zz a\b. ongerijmdheid blijft de zelfde.
voorbeelden.
67 In alle driehoeken ACB, waarin de lijn CF de *genoverftaande zijde in twee gelijke deelen deelt, is alnbsp;Jijd. hoe ook de driehoek moge zijn (II 22. Gev.):nbsp;AC ? op GBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
- -.QopCHrs 4 QopAB rs
? op AH = ? op HB. de lijn AB is de limiet in kleinheid van de fom
ft88 VU. Boek : Over den omtrek en inhoud des cirkels,
der zijden AC en CB (I. 19): want hoe dichter C de lijn AB valt, hoe nader AC CB aan AB koWtnbsp;zonder immer AB te kunnen evenaren: cn gevolgelijknbsp;wat voor de zijden AC en CB geldt, geldt ook voor det'nbsp;zeiver limiet, d,;t is voor de lijn A B. Indien men dannbsp;onderflelt dat C ergens in D valt, en A in H, moet vol'nbsp;gens dit voorBel ook het zelfde voor de lijn AB plaatsnbsp;hebben: namelijk
OopAD QopDB nbsp;nbsp;nbsp;[T
----- ? op DHrrpopAf
nu k^n men regtftreeks bewijzen, dat dit zoo is: want iiit 11. 3- Gev. a: en JI, 3. is
O op AD = ? op AH? op DA a regtii'
uit A D , D
enDopDB = QopAH aopDH a regth*
uit ah, D H
n dus p op A D -J- ? op D B = a ? op A H 2 regth*
uit DH, dHlt;
dat is
popAD opDB
? op AH = -^---- DopPP
Men kan de zaak op de zelfde wijze aantoonen indicB de A ACB Homp is, en dus het flip D buiten AB valt.
: en gevolgelijk heeft dit ook voor hijlijnen, dat is Cl* B^p. I. Voorbeeltl}nbsp;________^len, plaats: en dus
O op AT = ? op AU, of AT = AU, dat reeds uit andere grondbeginfelen weten kan, (uit V.nbsp;Gev. 4. en V. 20. Gev. 2.3
III. Fig. 149. De raaklijn in eenig fiip B, dat
is , is de limiet van alle de fnijlijnen die door dat 11'? gaan. Laat men door het middelpunt C de middeHnbsp;PCEA trekken, die de ftijlijn DBA in A ontmoet: !?nbsp;ten BRM en DNI en KCG loodregt op de middelI'J^nbsp;liaan: en BQ evenwijdig zijn aan EF. Dan is beH^nbsp;dig, uit de gelijkvormige driehoeken BOD ennbsp;voor alle de fnijlijnen door B getrokken, DO:OB^
uit AH, AS limieten der fnijlij _ ,nbsp;voor de raaklijnen, plaats: en dus
II. Fig. 121. In den cirkel heeft altijd voor de fnijlijncH deze rede plaats (V. 17.): regth. uit AE , AR = regth'
-ocr page 351-i. /ifdeeling: fer d limltitn. nbsp;nbsp;nbsp;sbS;
j
, en dus is de limiet in kleinheid van DO tot limiet in kleinheid van B == ft.B; RA en die redeinbsp;*''1 ons aanduiden waar A vallen moet, op dat ABDnbsp;*^600 raaklijn rn B zijn zoude.
Immers is DOtOB = OQ: 10 (y. J2. Gev. i,); en dus
is de rede der limieten van O Q en 10 die der li-miet^n van DO en O B; maar de limiet van OQ is ^0 = 23? = 2 fee (V. 9.): de limiet van IO isnbsp;MB = 2 RB; dus is de rede van RC; RB die detnbsp;limieten van DO. en OB dus die van RB en RA; ge-''oigelijk zal ARD raakliin zijn indien RG; RB RB:nbsp;dat i.s, indien RB middel-evenredige tusfehen RCnbsp;Ra is: het geen ook, buiten alle kennis van limieten,nbsp;quot;^nmiddellijk volgt uit her geen wij bewezen hebben,nbsp;(V. 4.j dat, zoo A BD raaklijn is, de Z ABC = L i*;nbsp;en dus (IV. 15 Gev. 1.) RC:RB == RB:R A.
Aanmerking. Wij zullen, in de volgende Voorftellen lt; nog yele voorbeelden bijbrengen : doch die zij genoeg om denbsp;Juistheid vati het denkbeeld van limiet te bevestigen.
GEVOLG.
Zoo twee. grootheden A en B , beiden veranderlijks oefiendig de zlfde rede blijven behouden tot twee be-teudige grootheden [A ; B = : ^i], welke vermeerderingnbsp;\ vermindering zij ook ondergaan: zullen derzelver /tr-leten [L en /] in de zelfde rede [van a: gt;] flaan.
, i-hiuiLiER . 4- maclaurin p. XI. -- tacqukt feUcta ex ak-cillSiEDE pr, I en 2.
VI. VOORSTEL.
J, ^o twee reden van veranderlijke grootheden [A eft L en M] altijd gelijk blijven, welke verandring innbsp;/rtneerdering of vermindering die grootheden mogen on-^ [dat is, zoo beftendig A:B = L:M]: zijn denbsp;harer limieten [ en ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/ en *] ook gelijk, [dat is,
^ l : ;].
wij3. pgjf jg jg^g nbsp;nbsp;nbsp;i d limiet is van de red'
is zij het ook van de rede L:M. Maar de rede van l',^^ is (Je limiet van de rede van L;M; dus zijn a-h ennbsp; de limieten van eene en de zelfde rede L; M dn
T
-ocr page 352-zijn de reden van ax b en van / : tn gelijk door he Voorftel.
VII. VOORSTEL.
De limiet van eene. rede , uit twee of meerdere grooj' heden [A : B en G : D] fainen^fleM, is de famenge(te'nbsp;rede der limieten \axb ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vaii die grootheden [Agt;
B, G, DJ.
LA CUAPELLE . 434. LHUItlEle S- .
EWTjs. Indien A:B voor limiet heeft axhx en G;D voo^ limiet heeft gxd, komt axb nader aan A: B dan eenige g^'nbsp;geven grootheid kan bedragen; en insgelijks gxd nao^nbsp;aan G;D dan eenige grootheid kan bedragen; dus zsi
^ X quot; nader aan g ^ ^ komen , dan eenige gegev^
grootheid, dat is, zal er de imia van zijn.
OVER DEN OMTREK EN DEN INHOUD VAM DEN CIRKEL.
VIII. VOORSTEL.
De oititrek van den cirkel is grooter dan die van eenj' gen veelhoek in den cirkel, en kleiner dan die van eeo^nbsp;gen veelhoek om den cirkel befchreven : en insgelijks gt;nbsp;het met den inhoud gelegen,
ARCHiMEnEs ge Mphaes et Cylindro I l, 3.
Voor den inhoud, blijkt de zaak uit de enkele jiriug der figuur.
lEWiJS. Fig. 145. Voor den omtrek van den veelhoek blijkt het van zelf, vermits iedere boog F IE grootefnbsp;dan -de regte lijn FE die denzelven tot choorde dient, j.nbsp;Voor den omtrek van den veelhoek om, befluitnbsp;MEnEs zijn voorlle hier uit , dat de fora der lijnen * jjnbsp;en ge te famen grooter is dan de boog lEL:nbsp;leidt zulks hier uit af, dat die lijnen, den cirkelboog hnbsp;ten welke de zelfde uiteinden I en L heeft als zij.
-ocr page 353-^fd.; Over den omtrek en deninhoud vcinden cirkel. 251
143*
VOORSTEL.
^2 omtrek van den cirkel is de limiet in grootte der Strekken van al!e de veelhoeken die in den cirkel, ennbsp;^ limiet in kleinheid der ointrekken van alle de veelhoe-die oin den cirkel befchreven worden: en de radiusnbsp;limiet der loodlijnen van ae de veelhoeken in den
Cirkel.
tacqust Selecta ex archimede pr. 3,
iiEvvijs. Uit XXIV. en XXVII. van het VI. Boek, en de r. Bepaling van dit Boek.
aanmerking. Hieruit blijkt in welken zin men te verdaan hebbe , dar de cirkel een veelhoek is van een oneindig getalnbsp;dijden: doch eene dergelijke uitdrukking is niet naauwkeurig.
GEVOLG.
De omtrek van eenigen veelhoek in, en die van den SSlijkvormigen veelhoek om den cirkel , naderen duS elkander, en dien van den cirKel, hoe langer hoe meer:nbsp;verfcbillen eindelijk onderling minder, dan eene gegevennbsp;grootheid, hoe klem ook deze zij; en hunne laatjle redtnbsp;is die van gelijkheid (Voord. 111.).
X. VOORSTEL.
De omtrekken van twee ongelijks cirkels fiaan tot cikander als hunne middeJlijnen, en dus als hunne
iiralen.
TACQUET Selecta ex ARcniMEDE pr. 7. St vi. as. I*- O.Vf.ta
Bewijs. Uit het IX. Voorftel van het VI. en het IV. en Vil. van dit Boek.
1.
Aanmerking. Dit Bewijs is uit de leer der limieten getrokkens uien kan het zelfde Voorftel aldus in den trant der ouden belwijzen : en wel nit het ongerijinde,
Jvien ftelle twee cirkels wier onttrekken door O, en o wiet diameters, of middellijnen, door D gt; en rf uitgedrukt worden. Iknbsp;dat D : d ~ O: o zoo neen : zij D O: C zoo dat C ^nbsp;en dus C = o q,
Men befchrjve in den cirkel wiens omtrek is o eenen veelhoek; 'quot;'ens omtrek p grooter zij dan C, doch kleiner dan o; en in dennbsp;cirkel wiens omtrek is O, eenen gelykvormigcn veelhoek wiensnbsp;omtrek is P; dan is (VI. 9.) V-d = P: ^, maar bij asfumtienbsp;0:C. dus P tb = O; C; maar b gt; C door bereiding,
49 a FII Bttk: Over dcri oiMrek en inhoud jes cirkels
derhalve 4') P ^0 dat onmogelijk is r want de omtrek veelhoeks mgt;is kleiner dan die van den cirkel: dus is niet C ^
Zij nbsp;nbsp;nbsp;n:: 0:C zoo dat C ^ 0. Men befchrtjve dan o*
den veelhoek wiens oratrek is o eenen veelhoek Wiens p ^ C hoewel ^0: en om den anderen cirkel eenen gelijkvof'nbsp;migen veelhoek wiens oratrek is P: dan is P:p = D:rf: ma*nbsp;O i O: C dus P: p O : C : maar p ^ C door de asfarV'^^nbsp;dus P O (ir. 4) dat nmogelijk is, om dat de oratreknbsp;j veelhoeks om, altijd grooter is dan die des cirkels; dus i ^nbsp;niet gt; 0.
Ehiar dan C noch ^ o noch ^ O) is C ZZl o; en D iarirO * L GEVOtG.
Alle cirkels zijn gelijkvormige figuren-.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Wij hebben in de 1. Bep. van het IV*'nbsp;Boek gezegd wat wij door gelijkvormige figuren verftaao nbsp;doch die bepaiing is niet op den cirkel toepasfelijk,nbsp;minften niet regtireeks; wij oordeelcn dat men een ke'nbsp;merk van die gelijkvormigheid in de bellendige rede vnbsp;den ftraal tot den omtrek fteilen kant daar die beftendi?nbsp;rede een onmiddelijk gevolg is van de gelijkvormigheidnbsp;veelhoeken.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Euceides heeft de gelijkvormigheid der ck'nbsp;kels ftilzwijgend vooronderftelt.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
L, G, IV. II. CoE.
En insgelijks zullen gelijkvormige cirkelflukken die welke uit bogen beftaan die onderling zijn als denbsp;ken of middellijnen der geheeie cirkels, en wiernbsp;den dus ook de zelfde rede hebben.
tre^
XI. voorstel.
tt
-^fd. .O'^er den otntrekendeninhoudi^cmdencirkeK 295
Bewijs. De omtrek van den cirkel, is grooter dan die van zeshoek im en dus (VI. 8, Gev. 2.) grooter dan zes.nbsp;j0jj fadius, of driemaal de diameternbsp;Indten men dan in den gegeven cirkel eenen zeshoek be*nbsp;^*^hrijft, en eenen anderen zeshoek om den zelven, ennbsp;*Wee regte lijnen trekt, waarvan de eene gelijk is aan dennbsp;Ointrek van den zeshoek in, de andere aan dien van dennbsp;*6shoek om\ zal de eerstgemelde korter, de andere langernbsp;^i)n dan de omtrek des cirkels. Er is derhaive tusfehen denbsp;2eive eenige lijn welke aan den omtrek gelijk is.
*^t^MERKlNG, Wij zullen hier onder ^Voorftel XIX,) die nader beuale^n.
XIL VOORSTEL. Fig. 151.
gelijkbeenige driehoek [F IE] in een cirkelitiik ^ ^ ^] befclireven dat kleiner is dan de halve cirkel, isnbsp;Scooter dan de helft van het zelve fegmeut.
Ewijs. Men trekke uit den top I van den driehoek quot;8 raaklijn WIM, en rigte op E F de iX F W, EM,nbsp;Dan/fs A FlEQOi;CZiFWME: maar CU FWMEnbsp;gt; regmeui FIE : derhalyen 4 FIE gt; fegment F IE.
Aanmerking, Waarom hier van een gelijkbeenigen driehoek gerproken wordt blijkt uit VI. Bep. i Aanm.
Xiil. VOORSTEL.
van alle de veelhoeken om denzelveii befchreven,
^^Wljs Sur 143.
inboud van den cirkel is de limiet in grootte ^er in-* ^^^den van alle de veelhoeken in, en de limiet in klein-
j-r-'-Js. Het blijkt genoegfaam uit de befchouwing van de
GEVOLG.
fchi-g elijkvormige veelhoeken, in en om den cirkel he* et)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;komen elkander hoe langer hoe nader bij,
'^*18 laatfte rede is de rede van gelijkheid.
2jp ook het IX, Voordel, Gey, van dit Boek,
XIV. voorstel.
Be
driehoek, waarvan de grondlija de omtrek is des cirkels en de loodlijn deszclfs radii/s
ARCHIMEDES Circtjli dimenfio pr. i. St. VI. 23. tacqUET lecta akchimede pr- 4 5 5- ~ L. G. IV. 12,
I. bewijs uit de ^cer der limieten. Men ftelle eenen lijken driehoek: dan is dezelve de lirniec van de veelh*^'nbsp;ken, 200 wel fh als om den cirkel befchreven (U;nbsp;en uit die Boek Voorftel VIII. en IX.); doch de chi''nbsp;is ook de limiet dier veelhoeken (door het XIII. Voorfi*^'.'nbsp;Waaruit het befluit volgt door het IV, Voorllel.
Het zal niet ongepast zijn, het bewijs van arcuimedes b'
bij te voegen.
dcS
II- BEWIJS in den trant van ARcniMDEs Fig. 150. zij TV gelijk aan % omtrek, cn 'f S gelijk aan den radius van den gegeven cirkel: nnbsp;is de TSV CO inhoucl Q. Zoo neen, is de cirkel groO''^^nbsp;of kleiner, dan de driehoek
Zij 1. de cirkel grooter dan de driehoek. Men bcfcliru'N j dcuzelven eenen rcgelnjatigeii veelhoek die, hoewel kleiner nbsp;d cirkel, echter grooter is dan de bewuste driehoek TVS.
De oratrek van den voelboek is kleiner dan die van den cirkel js dus dan TV; zij dezelve Tr: de loodlijn van den veelhoek j,nbsp;kleiner dan de radius en dus dan T S; zij de zelve T e: die ,nbsp;hoek zal gelijk zyn aan A T.rc: en dus kleiner dan A TS V , jj!nbsp;men echter denzelven grooter dan die driehoek gettcld heeft'nbsp;geen tegenftrijdig, en dus nmogelijk, is-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
V-'
de inlioud van den veelhoek gelijk aan A T S gt; en ^ A 1' jj' daar men echter denzelven kleiner gefteid had, dat weder ^ocbnbsp;genftrydig is. De inhoud des cirkels is dus noch grooternbsp;kleiner dan die des A T S V; dezelve is derlmlve daaraan
Zij de cirkel kleiner dan de A t S V. Men befchrijv^ den cirkel eenen -veelhoek, die wel grooter dan de cirkel, ^nbsp;kleiner zij dan. 4 TSV. Dan is de omtrek van den veel)!'j(;lt;nbsp;grooter dan die van deii cirkel, en dus dan de lijn TV;nbsp;zelve gelijk aan Tr: de loodlijn vair den bmfchreven veeibot jjnbsp;gejijk aan den radius en dus aan TS: men trekke Sr: da
vvi5,
I. GEVOLG
Indien men den inhniid vau den cirkel door uitdrukken , en men let op het geen wij in het iV. ^ j,i'nbsp;IX. Voorftel, 6 Gevolg, gezegd hebben, volgtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g]s
dien tneu in het algemeen (') ftek voor den nbsp;nbsp;nbsp;jie
//. Afd,.; Oyer den omtrek en den inhoud van den cirkel. 29^
middellijn voor de eenheid wordt aangenomen, of voot den hal ven otntrek als de radius = l gelteld wordt:nbsp;prder r voor den radius en d voor de diameter, of niid-ellijn, eens bepaalden cirkels; zal de inhoud van dieanbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tr d^
bepaalden cirkel uitgedrukt worden door tr =:
St. VI. S3. Gev. s.
JI. GEVOLG.
De inhoud van den cirkel ftaat tot dien van het vierkant in den cirkel befchreven, als de halve otntrek tot de middellijn (VI. 19. het i Gevolg) : eri tot dien van hetnbsp;''irkant om den cirkel befchreven, of tot het vierkant opnbsp;de middellijn, als het vierde deel van den omtrek tot denbsp;Qiiddellijn (VI. 19. Gevolg 2)
JACQUET Selecta es arcbimede pr. s. Gor, s.
IIL GEVOLG.
Indien een cirkel en een regelmatige veelhoek gelijke Omtrekken bezitten, zal de inhoud des cirlcels grooter zijnnbsp;dan die des veelhoeks : door dit Voorftei, Voorftel X.nbsp;en door IV. 31.
L. G. IV. Ap^enitx propt 10.
XV. VOORSTEL.
De inhoud van eenen Sector is gelijk aan een driehoek quot;waarvan de grondlijn gelijk is aan den boog van deanbsp;lector^ en de hoogte aan den radius,.
St. VI. Gev. L. G. IV. Cor. i.
BP-Wijs. Uit de befchouwing dat de omtrek van den boog d limiet Is van de font der grondlijnen van de gelijkbeenigenbsp;driehoeken in den Sector befchreven, en de radius de limietnbsp;Van de loodlijn in lederen driehoek.
I.
aanmerking. Dus
zoo B de boog van den Sector igc
Jg nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
'vordt de inhoud van den Sector uitgedrukt door
2
GB-
mi nbsp;nbsp;nbsp;AiitAor, Je diameter n is, om dat die
Iftter daarmfdeons Wiskidigen algemeen , en Vm HlHatend, ge-fruikt v^ordt, nbsp;nbsp;nbsp;^
* T
Vilt Boeit: Over den omtrek enitihouddos cirkels.
gevolg.
De inhouden van gelijkvorniige fectors van vprfchilleii* 3e cirkels , ftaan tot elkander als de vierkanten der ftralen.nbsp;L. G. IV. Gor.
31. aanmerking. Men kan altijd een vierkant befehrijven wiens inhoud gelijk is aan den inhoud van een gegevennbsp;driehoek; zie het XX. Werkltuk van het II Boek. Mennbsp;zoude dus een vierkant kunnen maken dat gelijk zoudenbsp;zijn aan den inhoud yan den cirkel, indien men eene regtenbsp;lijn trekken kon die gelijk is aan den ointrek. Indien mennbsp;cit doei} kon, zoude het gewigtig wraagftuk van de Qj,mnbsp;dratuur, of inhoudsvinding, des cirkels, geometrisch opge-lost zijn. Doch tot nu toe heeft men geen middel gevonden om zulks geometrisch te verrigcen: ik zie echter geehnbsp;onmogelijkheid dat men dit niet in het vervolg zoude kunnen volbrengen , en zu'ks te meer, daar men reeds, zoonbsp;als wij in het XVII, Voordel bewijzen zullen, den inhoudnbsp;van vcrfcheiden figuren uit cirkelbogen beftaande gevondennbsp;heeft. Ik ben derhalven, met hennert en andgren , vannbsp;gevoelen, dat de Quadratuur van den cirkel, hoe wel nognbsp;mier gevonden, niet onmogelyk, is in eenen geproetri-fchen zin.
Ik zeg i n eenen geometrifchen zin: geheel anders is het indien men het vraaglluk in enen arithmetrifchen zin opvat ; dat is . indien gien van getallen fpreekt die den Inhoud, of den oratrek van den eiirkei met betrekking totnbsp;het vierkant van de middellijn, of tot de middellijn, juistnbsp;uitdrukken. Ik twijfel of deze wel immer meetbaar kunnennbsp;zijn; zie de Aanmerking pp het XVIII. Voordel.
De inhouden van ongelijke cirkels hebban tot elkander de zeilde rede als de vierkanten hunner middellijnen.
EUCL XII. a, en tacqubt pp die plaats: Cor. a. St, VI. S7-L. G. IV. II.
SEWijs. lt het I. Gev. van het XIV. Voorftel.
aanmf.rking Het bewjjs is QP de leer der limieten gegrond. Het geen euclioks gegeven heelt, is uit het ongerijmde afgeleidnbsp;Pn loopt op dezen zin Fig. 151,
Zoo niet 0 ABC 0 EreHE nrlTo nbsp;nbsp;nbsp;zg0 ABCP'-
eene ruimte S BD* : fTi^ 1 2^dat S lt; EFGHE. befchrijve een O F GHE in den : dit is de helft van hefnbsp;pmfclircven yierkant; en derhalve is ? PEGH gt; i
-ocr page 359-en de overmaat des dirkels boven het vierkant is de ftm def fegmenten F IE, ENH enz. Indien men nu in de fegmenten denbsp;gelykbeenige A4 FIE, EWH, HLG enz. ftclt , dat is, eennbsp;veelhoek van een diibbeld getal zijden befchrijft; is ieder diernbsp;driehoeken FIE, ENH enz. grooter dan de helft van bet feg-tnent waarin hy Haat CVoorlJel Xll.): en indien men voor denbsp;'egmenten op Fl, IE enz. op de zelfde wijze voortgaat, zal ernbsp;eindelijk (Voorft, I.) eene ruimte over blijven kleiner dan eenenbsp;gegeven grootheid, en derhalve dan het verfchil van den cirkelnbsp;O E F G H met de ruimte S. Zy FIE N H enz. de veelhoek bijnbsp;welken zulks plaats heeft; en men befchrijye in den cirkel ABCDnbsp;penen geiijkyormigen veelhoek : dan is veclh. ABCDA: veelh,nbsp;IFKpLHNE =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; FH^ = O A B C D: S. Maar veelh-
IFKGLHNE^ S , door de bereiding: dus veelh. ABCDA ^ O ABCD: dat onmogelijk is. Dus is het valsch dat S ^nbsp;G EFGHE. ao. Edan S gt; G E FG 11, en zij S ; G A J5 COnbsp;= FH BD^^. DanisStG AB C D_=, 0_EF GH^-eene ruimte lt; 0 A E C D : en derhalve F : B = G.nbsp;E.FGHE: ruimte lt; O ABCD, dac tceen het eerfte ftrijdt.
Derhalve is niet BD^ i nbsp;nbsp;nbsp;O _ABCD; ruinne of ^
ABCD,
,of lt; EFGHE: derhalve is B b Fll^ = Q G EFGHE,
J. gevoeg,
_Men kent dan de onderlinge rede van twee cirkels wier biiddellijnen bekend zijn: en men kan dus cirkels makennbsp;eene bepaalde rede tot elkander hebben , het geen in denbsp;Aanmerking op bet 6 Werkfluk des IV. Boeks wordt uitgelegd
Zie TACQuET op EUCE. Xll. 2. het 4. Gev.
II. gevolg.
ndien men cirkels befchrijft op de fchuinfclie en op de ^eide regthoekzijden van een regthoekigen driehoek , is denbsp;iQm der beide cirkels op de regthoekszijden gelijk aannbsp;cirkel op de fchuinfche zijde (IV. 26,^ en men kannbsp;^ eenen cirkel maken die gelijk zal zijn aan een gege.nbsp;getal cirkels, volgens de 2. Aanmerking op liet VJuI.nbsp;^tkult van het IV. Boek,
St, yi. pr. 30.
XVlI. VOORSTEL. Frg. 15:2.
Mien men op de febuinfclie en op de beide regthoekszU-
T S nbsp;nbsp;nbsp;de*
-ocr page 360-spS VIL Boek: Over den omirek c;i inkoud des cirkel:.
den eens regthoekigen dnehoekg halve cirkels trekt, naar de** zelfden kant, die dus den halven cirkel op de fchuinfchcnbsp;zijde fnijden, zuquot;en de beide maantj-cs, F en G, te fafflSnbsp;gelijken inhoud hebben als die gegeven driehoek,
BEWIJS. 1*^*- ilquot; Gevolg. tacquet Cor. 10, Op euclides XII a.
I. aanaieuking. De beide maantjes zijn gelijk indien de dt'' hoek A U gelijkbeenig is: anderszins ftaaii zij tot elkandernbsp;als de driehoeken ADC en DCB.
Jl, aanmerking. Zie daar een voorbeeld van 'eene rnim* binnen cirkelbogen bevat., wier inhoud volmaakt bekehd i'nbsp;Deze maantjes worden genoemd naar derzelver uitvindefnbsp;inppocsAiEs van chios, die 420 jaren voor onze tijdrekenihnbsp;leefde. Er zijn eene menigte van dergeiijke Manen wi^^nbsp;inhoud men volmaakt kan vinden,
III aasm pking- Er zijn ook andere figuren, ge'jfe weiko ARcntMnis Arbeiou noemt, die hier eene 'bifzoO'nbsp;dcre' melding verdienen. Zij Fig. 15quot; op AD d haljnbsp;eirkei AB D befebreven : zij deszcH middellijn AD
twee deelen naar wallekeur gefiietterr in E, en dat op AE'., en ED, de halve cirkels A FE en EGD getrok*nbsp;ken worden. Dan wordt de figuur A F E G D B A dootnbsp;ARCHIMEDES drbclon genoemd; deszelfs inhoud nu is g'nbsp;lijk aan dien van den cirkel op BE.
Immers daar BE middel-evenredig tnsfehen AE en (y, 13 ) isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op BEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;co = Rh uit A E . Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D : en derhaW
op ED c 2 llh. opAE.ED-f-n AE O?
co (II. 4.) Oop AD; d, i. 2 O op i)E -f- o op AE P 'p EDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CX)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AD: derhalve 2 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op B E -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
.1 O op A E 2 O op E 00 4 O op AD en 0opBEoo0opAD iQopAE-ED 00 Arbelon AF EGD BA. Zie akchimedes Leni^^ ^nbsp;IV. en over eene andere foortgelijke figuur genoen*nbsp;Salinon, Lemmanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mitsgaders over den Arbelo^^'
,PAPPUS Co//. Mathem, IV. pr, 16, 17 j i8. nbsp;nbsp;nbsp;^
Indien men Fig. 153^2. den omtrek eens cirkels deelen A B , BD , DF, FK, EG, GA verdeelt: nbsp;choorden AB, BD Cdie zijden zijn van een ingefem^jnbsp;ven zeshoek, en uit G en F de bogen AoC ennbsp;die elkander in C ontmoeten, trekt, en eindelijk
-ocr page 361-n. Afil.: Over de rede van denointrel: tot de midd. app
CD; zal de- figuur htn^nDpCo ook Arldon genoemd kunnen worden: zij wordt gevormd door cirkelbogen, die ieder het zesde gedeelte zijn van den om-irek: en uit het befchouwen der figuur blijkt duidelijk dal hare inhoud gelijk is aan dien van de ruit ABDCA.
Zie over Manen, en figuren van dezen aard kraffx eometria Sublimior % 165. en vele volgende.
OVER DE REDE VAN DEN OMTREK DES CIRKELS TT DE MIDDELLIJN.
XVIII. VOORSTEL.
De rede van den omtrek des cirkels tot deszelfs middellijn kan, in getallen , uit de befchouwing der veelhoeken niet teti naasten bij bepaald worden: die rede, aldus bepaald, is onmeetbaar: en de-rede vaii den inhodnbsp;des cirkels tot het vierkant der middellijn is het, in dennbsp;welfden zin , insgelijks.
BEWIJS. De omtrek des cirkels is de limiet van de omtr-ek-ken der veelhoeken in en om den cirkel befchreven: en dus, hoe vele zijden men ook in een veelhoek veronder-ft^e, is de omtrek des cirkels altijxl grooter dan die desnbsp;veelhoeks iridin de veelhoek in den cirkel, en altijd kleiner indien de veelhoek w dn cirk! befchreven is: zoonbsp;dat, daar de omtrek des cirkels tusfehen in valt, men nietnbsp;kan hoe veel de cirkel grooter is dan de eerstgemel-de veelhoek, en hoe veel kleiner dan de laatscgemelde.
Men kan dus alleen, in plaats'van den omtrk des cirkels, den omtrek van cenen veelhoek nemeii, welke minder Van dien des cirkels afwijkt haar mate de yeelhoek meernbsp;zijden heeft.
Verder, de rede zelve van den omtrek ds veelhoeks toe de middelUjn is altijd onmeetbaar, (uitgenomen voor dennbsp;' ^-eshoek) en men kent alleenlijk, zoo nabij men begeert, denbsp;Palen tusfehen welke die rede valt: dus,,welken veelhoeknbsp;en ook neme om deszelfs omtrek voor dien des cirkelsnbsp;gebruiken, is deze altijd onui^^ihaar met betrekking toenbsp;de middellijn.
En daar de inhoud des cirkels gelijk is aan ec-nen driehoek jvaarvan de hoogte de radius^ cn dus ineetbaar, is- de
grondlijn de omtrek en dus op de gezegde wijze ten op* zigte van den radius onmeetbaar, zal ook de inhoud var*nbsp;dien driehoek, sn dus die van den cirkel, onmeetbaar zijnnbsp;met betrekking tot het vierkant op de middellijn.
aanmerkin?* Men vraagt of men nimmer voor den omtrek des cirkels een getal zal kunnen vinden dat meetbaar is met de middellijn? Ik kan niet ontveinzen zeer genegennbsp;te zijn om te denken dat zulks niet mogelijk is. En derhalve de oplosfing van de Quadratuur des cirkels in eenennbsp;arithmetifchen zin voor onmogelijk te houden.
XlX. VOORSTEL.
De rede van den omtrek eens cirkels tot zijne mid* dellijn is kleiner dan van 3 ^ tot i, en grooter dan
3 tot I: of, wat op het zelfde uitkomt, kleiner dgii
71
22:7 en grooter dan 223:71 vo'gens archimedes.
Die rede is naauwkeiiriger als 3,1415926536:1 volgens ILUDOLF VAN GEULEN: cii de redevan 355:113, ondernbsp;den naam van metius opgegeven , is bijna even naauvirnbsp;keurig,
L. G. IV. 12. Schol.
I, aanmerking. Handelwijze van archimkdes. Die Wiskun* ftenaar berekende den omtrek van eenen zes-en-negentig.hoeknbsp;om den cirkel, en dien van eenen zes en-negentig-hoeknbsp;binnen den cirkel befchreven: de omcrek des cirkels is kleiner dan de eerstgemelde, en gropter dan de laatstgemelde.
BEREIDING, Voot den 96- hoek om den cirkel befchreven. Fig. 163.
Zij 131 de zijde van eenen twaalfhoek in den cirkel be-fchreven: en zij L B D loodregt op de middellijn in B, en dus eene raaklijn: men trekke CIL, Laat HC den hoeknbsp;ICB in tween gelijk deelen : insgelijks GC den hoeknbsp;HCB; FC den hoek GCB: EC den hoek FCB: dan isnbsp;ECB de middelpuntshoek van eenen 192-hoek: en dus,nbsp;indien L BCD L ECB, is 4_ECD de middelpunts*nbsp;hoek van eenen 96-hoek: en dus is E D de zijde van eennbsp;j-hoek om den cirkel befchreven. Daar wij nu de grootte van de zijden dier veelhoeken moeten bepalen, en dusnbsp;dezelve door gerallen uitdrukken, zullen wij het geen wijnbsp;;n het 2. Gevolg op bet IX. Voorftel van het IV. Boek
eh
-ocr page 363-in het 1. Gev. vnn het XXIV. Voorftel van het zelfde Boek gezegd hebben in acht nemen: en, in plaats van denbsp;Vierkanten op lijnen, de tweede magten der getallen welke dienbsp;lijnen uitdrukken gebruiken, en, in ^aats van de zijdennbsp;waarop een gegeven vierkant gefteld zoude kunnen worden,nbsp;vierkants wortel van het getal _ dat den inhoud van ditnbsp;vierkant uitdrukt. Archimedes is ook op die wijze tenbsp;werk gegaan.
BF : nbsp;nbsp;nbsp;B nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CFnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CB
of, bij verplaatfing: i. CLnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: BLnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BH
2. CH nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: BHnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BG
3. CG nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: BGnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BF
4. CF nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: BPnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CBnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BE.
Maar, I M = ^ I K (V. 9.^)
en IK = cr (VI. 8. het 2, Gev.) dus I M ^ CI; en daar
BL : CL = IM : Cl (IV. 2.) is BL = I CU (III. 4.).
quot;Waaruit volgt, dat zoo BL bekend is, CL het ook is; en uit II. 16. ook CB, en omgekeerd ; men kan dus innbsp;N*. 1. B H vinden, dus ook CH (IL 16.): en dan innbsp;N. 2. BG, in A 3. BF, in N. 4. BE.
archimedrs Helde BL = I53t dus CL =: 306; dus CBquot; =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ ^3quot; = 70^7: dus CBquot; V 70225 1
n CB V 1^70235 of V 2651 Hieruit volgt in I.
GL 4. CB ; BL gt;. svi ; 153: en dus ook CB : H B V 571 : 153 of gt;. 8 x 571 8 Xnbsp;of U 4568 : 1224.
Zoo dan HB = 1224 isCB ^ 45^8.
Dus C h V 1224quot;
du vquot; quot; nbsp;nbsp;nbsp;45^8 of V 22364800
32363441 of ^ 4729 dos CB ^ 4729: en dus in N. a.
-.0
302 vil. Boel: Over den omtrek eninhouddes cirkels.
3. Dus is GC V 9297 nbsp;nbsp;nbsp;4 1224 of
V nbsp;nbsp;nbsp;879323*5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ K7928ra9 of937?^
dus is, Nquot;. 3, GC V 9377 : en CB BF \ 18674 : 1234 ofnbsp;18674 1224
of V p337 : 6t2
en dus indien BF = lt;512: is CB 9337.
4* Dus is CF^ ^ 6ia 9337^ of
87554113 : dus V 87553449 of V 9357 : dus CF V 9357: en dus in N. 4.
CB : BE X 9347 : 306. dus 2CB: aEBofEOv 9347 5 306nbsp;en dus , zoo ED ~ 306, is 2, CB, of de middellijn
Maar 96 X ED = 29376 = omtrek van den veer
hoek.
Dus omtrek van den veelhoek: middellijn 's 29367! . ^ 29376nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1335. ,
9347 of -lt; --------: I of quot;lt; 3 : r.
Maar nbsp;nbsp;nbsp;en omtrek van den cirkel kleiner dan
1335
9347
die van den veelhoek; dus
Omtrek van den cirkel tot de middellijn 3|: i o
BEREIDING vooF dcn p-hocfc in den cirkel befchTcven'
Fig. 164*
Zij B L de zijde van eenen zeshok in den cirkel be* fchreven: laat A H den boog B L in twee gelijke deelennbsp;deelen : insgelijks A G den boog B G, A F den boog B nbsp;AE den boog BFj dus is BE de choorde van eennbsp;96 - hoek.
BEWIJS. Uit IV. 12. is
AL : AB KL ; bK: dus (III. 8. N. 1.)
AL 4. AB : AB = KL BK ofBL ; BK:
of
AL AB : BL = AB : BK:
Maar A B HK '-i A A GB: dus
BH.
l. AL AB : BL = AH op de zelfde wijze isnbsp;a-. AH-j-ABiBH^AGrBGnbsp;3. AG 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= GB = AF : FBJ
4*. AF -AB;FB=AE:EB.
Zoodra nu LB gegeven is*isAB =:2LB bekend, en omgekeerd: AL wordt daaruit gevonden 'II 16. hetnbsp;I. Gev.) en dus verkrijgt men eindelijk de waardijnbsp;Van E B.
Stel dan i. LB = 780: dus AB = 1560: LA = IS6o~ '^Q =L 1825200nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1825201 of I35^;
dus LA 1351-
dus in N i. AH : bH 2911 : 780 of 'x 291100: 78020.
Indien dan BH = 78000 is AH 291100; dusXB* X 291 lO 7SCOO of X 90823210000 of lt;nbsp;90826890625 of lt; 301375*nbsp;dus AB X 30'37S-
a. Dus is in N. 2. AG : BG 592475 ; 78000 , of multipliceerende beide de getallen door li en ze dividee-rende door 325 is AG : BG 20053 : 2640.
Zoo dan bG 2640 is aG ^ 20053; dus aB*
lt; nbsp;nbsp;nbsp;^040 20053* lt; 49092409 lt; 409131529 qf
lt; nbsp;nbsp;nbsp;20227*'
dus A B lt; 20227:
Dus is in 3. AF : BF lt; 40280 : 2640 of multipliceerende door 3, en divideerende doorac; aF : bF
lt; nbsp;nbsp;nbsp;6042 ; 396.
3^ Zoo dan bF = 396: is AF lt; 6042 dusTs*^ lt;
6042quot; lt; 36662580 lt; 36663025 of lt; 6o55^ Gevolgelijk is Ab lt; 055: en in KV, 4. is AE ; gEnbsp;12097 39 of lt; 24194 : 792.
A^ndien dan bE = 79a is AE lt; 24194: dus ab* lt; 24194* oflt; 585976900 of lt; 585978849 of lt;nbsp;24207.
Gevolgelijfc A B lt; 24207.
Men heeft dan
504 SbcI: Ovsf omtrek en inhoud des cirkels
BE : A B gt; 792 2427: of, divideerende door 3 gt;
Bb : A B gt; 264 : Sop.
en 9 X B of dd ointrek van den veelhoek: A B gt; 9
X 264 of 25344:8069 of gt; nbsp;nbsp;nbsp;I of gt; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
1137 nbsp;nbsp;nbsp;10 .
Maar TTTri is gt; . en de omtrek van den cirkel B 0009
nog grooter dan die van den veelhoek : dus is omtrek vao
10
den cirkel tot de middellijn gt;3^- i of gt;223:71.
il. aanmerking. De rede van 22:7, hoe wel iets te groot is echter in de praktijk voor de meeste gevallen voldoend'
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Archimedes is eeiiigziiis anders te werknbsp;gegaan dan de nieuwe Wiskunttenaars die hem gevolgd zijo'nbsp;Mj heeft niet de zij'den van den 12-hoek, van den iVnbsp;hoek, van den 48-hoek, van den 96-hoek, berekend voofnbsp;eene gegeven middellijn: maar hij heeft enkel gezocht naa^nbsp;de rede welke de zijde van ieder dier veelhoeken tot dnbsp;middellijn hebben moet: en daar die rede onmeetbaar isnbsp;heeft hij voor den veelhoek om den cirkel, die grooternbsp;dan de cirkel, altijd eene rede genomen die iets grooternbsp;en voor den veelhoek in den cirkel, die kleiner is dannbsp;cirkel, eene rede die iets kleiner is dan de ware rede vanbsp;de zijde van den veelhoek om of in den cirkel, tot dnbsp;middellijn. Zijne berekening fteunt gevolgelijk niet op g'nbsp;tallen die Hechts ten naasten bij naauwkeurig zijn, maar o?nbsp;ware getallen. Zie hier over montucla Histoire de lanbsp;drature du eerde, p. 3136. Lagnv, Mem. dt FAcadcrt^^nbsp;1723- P* S5
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aaMmerking, Ludolf van geulen heeft eenen ander^nbsp;weg ingedagen: hij berekende met behulp van het 5. G'nbsp;volg van ons XXIV., en van het XXV. Voordel van 0^nbsp;VI. Boek, de zijden van veie veelhoeken in en omnbsp;cirkel befchreven: Hij trok ten dien einde de wortels tquot;nbsp;onmeetbare getallen met veel naauwkeurigheid, en tot d']nbsp;groot getal van decimalen. Hij vindt dgs in zijn Boek overnbsp;cirkel, alwaar men het geheel beloop van zijne berekeninbsp;zien kan, dat, indien men de middellijn gelijk aan i ftBgnbsp;en eenen veelhoek van 32212254730 zijden gebruikt, nbsp;omtrek des cirkels grooier is dau
3,14159265358979323846
(6n kleiner dan
3,1415926538979323847.
-ocr page 367- -ocr page 368-3o6 vil EoVi : Ovsr den omtrek 'en irdmtd des cirkels.
zen lieefc aangetooud d:it de ix-jc van den onurek tot de
,, dellijn nbsp;nbsp;nbsp;is aan 3 jq, en grootcr dan 3 jQ^,tusfchenwd**
if 355
de middel rede is 3 j,g of nbsp;nbsp;nbsp;Elders {Oeom. Pract- P.
II. Cup-') zegt METius ,, dat zijn vader dit gevonden heeft doof
bewijzen in den trant van archimedes. Ik heb het werkj van ADRiAAN ANTHONissE nimmer aangetroffen; ik kan derhalveOnbsp;over de bewijzen daarin vervat niet oordeelen. Maar het valt niofnbsp;moeijelijk de gemelde rede, (nu dat men ze kent) nit die vaquot;nbsp;ARCHIMEDES aftcleiden.
Immers daar 'de rede van 22 ; 7 te groot is , zal die va* 16 X az : l X 7 of van 352 ; jia ook te groot zijn : en i*'nbsp;dien men bjj dezelve getallen voegt die in de zelfde redonbsp;Haan, t. w. sy en I, zal de rede van sssf : II3 te groot zijo nbsp;en dus zal die van 355 : II3 nader by komen,nbsp;lo
De rede van 3^1 of van 223 : 71 is te klein: dus is die va* 16 malen 223 : 16 X 7i of yan 3568 : 1136 ook te klein ; vannbsp;beide, getallen aftrekkende die in de zelfde rede Haan, te WS'
o nbsp;nbsp;nbsp;1}
ten nbsp;nbsp;nbsp;en 6, zal het overige, of de rede van 3S4971 = n
ook te klein zijn : en derhalve er iets bijvoegende, zal 3550: Il3 of 355 ! 113 nader aan de waarheid komen.
Voor het overige, wanneer men de rede, door ludolf vam c*' LEM berekend, zelfs maar tot zes decimalen aanneerat, valt lgt;onbsp;niet moeijelijk de rede van archimedes en die, welke den naa'nbsp;van METIUS draagt, daaruit afteleiden: en tevens te doen zien dnbsp;de tweede naauwkeuriger is dan de eerfte: doch dat beide ml*'nbsp;der naauwkeiirig zijn dan die van ludolf.
141593 nbsp;nbsp;nbsp;I
De rede is 3-141393 of nbsp;nbsp;nbsp;: i welke wordtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
en dus kleiner dan 37 die derhalve te groot is.
De breuk 0.0614 of nbsp;nbsp;nbsp;, wederom herleid zijnde geeft jg g,
en derhalve is de geheele rede van ludolf 3 -|-
16
ten naasten bij, 3 -1- ^ j: het geen geeft 3 -j- jjg :ofJ^'
Men kan over dergelijke herleidingen van breuken, ook op onderwerp, nazien denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van wallis , Capm XI. Opp, latk^^
T, 2. p. 49. nbsp;nbsp;nbsp;_
VIII. aanmerking. Wij zullen in hec 3. Gevolg op . XXV. Voordel van het VUI- Boek toonen, hoe veel *nbsp;berekenen van den omtrek des cirkels door het gebruik vnu ,nbsp;Sinui.Tafels verkort wordt: doch men lette wel, dat,nbsp;het lastige van dit werk alleen hierin beftaat, dat nieo jjnbsp;zijden van verfcheiden veelhoeken, zoo wel in als om
-ocr page 369-cirkel befchreven, berekenen moet gt; en daar Sinusfen^ en Tangenten de halve zijden van dergelijke veelhoeken zijn;nbsp;roen in het berekenen van de Sinus-Tafels juist dat lastigenbsp;werk reeds verrigt heeft; en gevolgelijk dat de verkortingnbsp;Eieer fchijnbaar dan wezenlijk is.
lx. aanmerking. Snellius, doch vooral na hem hygnS, hebben vele verkortingen gebruikt ; zij hebben tamelijknbsp;nieuwe eigenfehappen gevonden van veelhoeken, in of oiilnbsp;den cirkel befchreven, waar door zij in Haat gebragt zijn,nbsp;met behulp van veelhoeken uit een gering getal zijden begaande, de zelfde naauwkeurigheid te erlangen, welke lw-oi.F, door het gebruik van veelhoeken uit een groot ge*nbsp;tal zijden'beftaande , verkregen had. Hunne bewerkingennbsp;Waren op de volgende Voorftellen gegrond.
XX. VOORSTEL. Fig. 165.
.Een cirkelftuk, kleiner dan de halve cirkel, is grooter dan Vier derde, gedeelten van den gelijkbeenigen driehoek die opnbsp;de choorde van dat ftuk, in hetzelve, bgfchreven is.
IIUYGENS pr. 3.
BMEiDiNO. Men befchrijve op de beenen , FE en ED, de ge* Jykbeenige driehoeken FIE, ELD : die dus onderling gelijknbsp;zn: vervolgens wederom op FI, l, EL, LD, de .driehoekennbsp;Vml, lE, EL, L|D, alle onderling gelijk: en zoo voortsnbsp;wederom andere driehoeken op de zijden dier driehoeken.
Mvvijs. Door VI. 29. is
FED 4 (A FIE A ELD): of A FIE A eld V 4 A fed.
Insgelijks zijn de AA op Flen IE, EL en LD befchreven 16 ramen gt; J (A FIE A ELD) en dus V A ^ FED :
Het zelfde heeft plaats voor alle de driehoeken die men op F?;z, iitl, In, enz. befchryven kan.
Dus is de foni van alle die driehoeken ^ A FED J A FO A A fed 55 A fed enz. of gt; A FED O # nbsp; fff enz.)
Dus is de limiet van de fom van alls the driehoeken grooter dan limiet van A pED X (i 4 ^ 5? enz,) dat is,nbsp;lt;lan I A fed (s. Voorbeeld, 1. Aanm. op de I. Bepaling vannbsp;dit Boek).
Maar het cirkelftuk FIELD Is de limiet van de font ygn alle driehoeken: dus is het cirkcllluk ^ s' A FED.
-ocr page 370-XXI. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL, Fig. 165.
Een cirkelftn^ [IE L] dat kleiner is dan een halve cirkel gt; is kleiner dan twee derde gedeelten van den gelijkbeenigennbsp;driehoeknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op de choorde van dat cirkellluk door de
raaklijnen aan de uiteinden van den boog gevormd.
BEREIDING. Men trekke door E de raaklijn XEY.
Men befchrijve op IE, EL, de gelijkbeenige driehoeken IEgt; EoL: en trekke door de kruinen n en o de raaklijnen y/*nbsp;sot; men befchrijve wederom op I, E, Eo, o L, dergelijUsnbsp;driehoeken, en altoos zoo voorts,
BEWIJS. A XGY -f- A Xyr A sTt enz, J A IEL -f- i AlE iAEoL enz. (VI. 30),
Dus ook gt; } (A IEL A i]7 4. A EoL enz.)
De limiet van de eerfte fom is dus ook grooier dan de limiet van de helft van de tweede fom: dat is: de ruimte tusfehennbsp;de lijnen IG, GL, en den cirkelboog InEoL begrepen, is groo-ter dan de halve inhoud van het cirkellluk IEoLl: en dus isnbsp;de gemelde ruimte te famen met het gemelde cirkellluk, dat isnbsp;de geheele A IGL ^ 1 i cirkellluk IEoLI.nbsp;of
Cirkelftuk InEoLI lt; | A IGL.
AANMERKING. Het Valt in het oog waarom men hier een cirkel* fluk neemt dat kleiner is dan een halve cirkel : want indiennbsp;I n E o L een halve cirkel was , zouden de Hjnen 1 G, G L evenwijdig aan elkander zijn , en geen driehoek uitmaken.
De inhoud van een cirkel is grooter dan die van eeneo regelmatigen veelhoek van een even getal zijden in denzelveonbsp;befchreven , te famen met een derde gedeelte van de overmaat van dien veelhoek boven dien van eenen veelhoek 'i*nbsp;den zelfden cirkel befchreven , doch die maar de helft vaUnbsp;het getal zijden van den eerstgemelden behelst.
HUyGENS pr. 8.
bereiding. Zij FIEtDrfBTArF de regelmatige veelhoek inde cirkel befchreven, waarvan do zijden a.^ in getal zijn, en Wnbsp;noeme deszelfs inhoud kortheidshalve V.
Z F E D B A F de andere veelhoek , die maar half zoo veei^ zijden als de eerstgemelde bezit; men noeme deszelfs inhoud kori'nbsp;heidshalve y.
De overmaat van den eerstgemelden veelhoek boven den laats'* gemeiden is dus gelijk aan het getal g van driehoeken allen gelil*nbsp;aan A Pig; dus VV = ^ K ^ FlEi cn V = v ^
bewijs. De inhoud van den cirkel is v quot;tquot; nbsp;nbsp;nbsp;F IE
fegm. ELD fcgm Ui enz. = y ff X feg- ^lE-Maar fegment FIE I ^ FIE lt;XX. Voorft.) dus nhoud van den cirkel nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^FIE
of V V X A fIE 4- S' X ^ FIE Of V J CV-v).
aanmerking. Men ziet hoe veel naauwkeuriger dit Voor-ftel de getallen, waar door men den inhoud van den cirkel kan uitdrukken, beperkt: volgens de manier van archime-_bes weet men alleen dat de inhoud van den cirkel groocernbsp;is dan die van eenen p6-hoek in denzelven befchreyen;nbsp;lt;ioch door dit Voorflel weet men bovendien dat hij grooternbsp;is dan die van eenen 96-hoek te famen met J van hetnbsp;verfchil tusfchen den 96-hoek enden 48-hoek.
XXlir. voorstel. Fig. 165.
De inhoud van een cirkel is kleiner dan twee derde gedeelten eens veelhoeks van een even getal zijden om den cirkel befchreven, te famen met het derde gedeelte van dennbsp;gelijkvormigen veelhoek in denzelven befcbreven.
PUYGENS pr. 6.
BEWIJS. Cirkelftuk IEoLI '^ | A IGL; (XXI. Vooiftel) gevolgelijk.
CirkelftukInE oLl-}- AlCL lt;,|AiGL-fA nbsp;nbsp;nbsp;of Sec-
tor C LEI fcuk C IGL -f I A iCL:
en dus:
g X nbsp;nbsp;nbsp;ICLEInbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftuk CIGL-fIs X -^ICL:
Inhoud van den cirkel f veelhoek om den cirkel | veel-hoek in den cirkel,
1- aanmerking. Door de manier van Archimedes weet men Hechts dat de cirkel kleiner is dan de 96- hoek om denzelven befchreven: thans weet men dat hij kleiner is dan tweenbsp;derde gedeelten van dien veelhoek en | van den 96 hoeknbsp;in den cirkel; waar door de afwijking van de waarheid nader beperkt wordt.
aanmerking. Daar men door het XXIV. Voordel van het Ji- Boek, en deszelfs V. en VI. Gevolg zeer gemakkelijknbsp;den inhoud eens veelhoeks in den cirkel vinden kan, ennbsp;dan door het XIV. dien van den veelhoek om den cirkel,nbsp;ziet men hoe gemakkelijk men door dit Voorflel den inhoudnbsp;van den cirkel kan bepalen. Door middel van een twaalf-
hoek verkrijgt men reeds eene zeer aanmerkelijke naaoW'
keurigheid.
gevolg.
De inbond van eenen Sector CIE L C is ook kleiner dab twee derde gedeelten van het trapezium [CIGLC] gevormdnbsp;door twee ftralen en twee raaklijnen op de uiteinden van dennbsp;boog des Sectors getogen: te fainen met een derde gedeeltenbsp;van den middelpunts driehoek ICL.
IlUi'OENs pr. 6.
XXIV. VOORSTEL. Fig. 165 en 165.
De omtrek van den cirkel is grooter dan de omtrek eens tegelmatigen veelhoeks van een even getal zijden, in den-zelven befchreven, te famen met het derde gedeelte van hetnbsp;verfchil tnsfehen dien omtrek en den omtrek van den veel'nbsp;hoek die maar de helft van dat getal zijden bezit.
HUYGENS pr. 7.
bereiding. Men ftelle dat Fd de zijde is van eenen veelhoek: dat FE, ED, de z^den zijn eens veelhoeks van een dubbeldnbsp;getal zijden: en FI, IE, EL, LD, de zijden van eenen veelnbsp;hoek die wederom een dubbcld getal zijden heeft:
Zij Fig. 166. gh gelijk aan den oratrcE van den veelhoek oP FD C*) :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S gelijk aan den omtrek van den veelhoek op FE:
en i* = ^ hi | nbsp;nbsp;nbsp;Eindelijk z de loodlijn Nz gC'
lijk aan den radius van den cirkel: men trekko Ng, Nh, tVit
iVk; en men noetne ar den onitrek van den cirkel.
A gNi '___________.
^ nbsp;nbsp;nbsp;veelhoek op FEo
en dus A iNh nbsp;nbsp;nbsp;gNi A gNh')~ | (veelh. op FI ^
veelh. op FE).
Cevolgclijk inhoiul van den cirkel gt; ^ glVi ^ Nik (XXII-Voorft.). of
Nz ^ nbsp;nbsp;nbsp;Nznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Nz
gl ^ nbsp;nbsp;nbsp; ki X en dus
SEWIJS.
: veelhoek op F17
2 ' quot;2 2 ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ gi Cgi-gh'),
I. gevolg.
Zij P de omtrek eens veelhoeks, en p die van den voof' gaanden, d. i. van dien welke maar het halve getal zijcieb
'
De figuur l is nit gebrek van plaats op cene kleiner fclS* dan de C2unr 165. geteehend: doch dit det jiiets ter zake.
-ocr page 373-m. ^fi.: Over de rede van den omtr, tot de midd,
T?p nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
gt; P r : of gt; ^pdat is in woorden:
nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
5 r)e omtrek van den cirkel is grooter dan vier derde gc- deelten des ointreks van een veelhoek in dien cirkel he-1 fchreven, die een even getal zijden heeft, min het derde gt; gedeelte van den omtrek eens veelhoeks die maar het Iru enbsp;5 getal zijden heeft.
HUYGENS pr. 7. Cor.
1 aanmerking. De zijde van den zeshoek is de radius\ dus is het derde gedeelte zijns omtreks gelijk aan de middellijn: en dus zijn i6 zijden van den twaalfhoek min de middellijn kleiner dan de omtrek van den cirkel: doch het verschil is zeer gering. De zijde nu van een twaalfhoeknbsp;Wordt zeer gemakkeiijk berekend door VI. 24. het 8, Gcv.nbsp;Men ziet dan dat men hier naauwkeuriger te werk gaat dannbsp;door de manier van archimedes, door welke men (lechtsnbsp;Weet dat de omtrek van den cirkel grooter is dan die desnbsp;Veelhoeks in den cirkel befchreven.
II. GEVOLG.
Het blijkt uit het bewijs en uit het XXII. Voorllel, dat het geen voor den geheelen cirkel plaats beeft, ook voor iederennbsp;boog plaats heeft: gevolgelijk ,, is een boog altijd grooternbsp;dan de vier derde gedeelten van zijne choorde min hetnbsp; derde gedeelte van de helft der choorde van eenen dubbel-5gt; den boog: of grooter dan de choorde, te faraen roet eennbsp; derde gedeelte van het verfchil tusfchen de choorde, ennbsp;' de halve choorde van eenen dubbelden boog.
aanmerking. Huygf.ns gebruikt bet woord [mus van den boog in plaats van de helpt dei' choo'/dc van eenen dubbelden boog.nbsp;Wij zullen in het XV. Voorftel van het VUI. Eok gien dat ditnbsp;op het zelfde uitkomt.
...Ilieruit volgt eene zeer gemakkelijke manier om eene regte jjlh, die ten naasten bij gelijk is een gegeven cirkel-,og, geometrisch te vinden; iiiirs die boog kleiner zij dannbsp;^.Y''de gedeelte van den omtrek-
. Zij Acb de boog: deel denzelven in twee gelijke deelen Lquot; C: trek AC, CB: verder CE loodregt: zij F G = AC:nbsp;~ AC -f CB; IK = I Gl: dan zal FK ten naasten bijnbsp;gezochte lijn zijn. Want boog CB gt; CB -f ^ (CBEBgt;nbsp; boog AGBgt;AC-hCB- -t (AC CB-AB) f.
boog ACB gt; FI J (FI^FG) of gt; FI ^ GI of gt;
Fi IK of grooter dan F K.
IIYGENS pr- la.
III.aanmerking. Naarmate de gegeven boog kleiner is, kom^ de lijn t K nader aan deiizelveii: daarom hebben wij eenennbsp;boog vereischt kleiner dan een vierde gedeelte van deonbsp;omtrek; doch iudien de gegeven boog grooter was , zoudenbsp;men denzelven in 2, 4, B, of meerdere deelen verdedennbsp;dat geometrisch gefchieden kan: men neme dan F K gelijknbsp;aan een der deelen: en dan het diibbeld, of viervoud, ofnbsp;achtvoud van FK,
Indien men eene fnijlijnnbsp;de raaklijn [G K F
[B K
iet uiteinde [t!] vau de middellijn [D G] trekt, die den cirkel fnijdt, en tot aaunbsp;komt, welke op het ander eind [G] van denbsp;middellijn getogen is; zal de boog [CG], tusfehen de eerst-gemelde lijn hC en de middelliin [ BG] begrepen, .kleiner zijnnbsp;dan twee derde gedeelten van het fuik [GK], dat idoor de gemelde fnijlijn [BK] van de raaklijn [G K E] wordt afgefneden,nbsp;te famen met het derde gedeelte van de loodlijn [CH] uitnbsp;het einde des boog op des luiddeiju [BG] nedergelaten.
HUYGENS pr. 8,
BEREIDING. Zij Cl eene nbsp;nbsp;nbsp;aan C: trek AI eii C G.
BEWIJS. Stuk ACIG S a ^ ACI: = A waarvan AC de grondlijn en o Cl de hoogte: of 2 C I de grondlijn en Ac of a G de hoogte:nbsp;piaar C I t' GI (\^ II. Gev. j.: of so. Gev. s,).
Dus, indien men uit l niet den radius Gr eenen cirkel ber fchreef, zoude dezelve door C en G gaan, doch ook door K.nbsp;Immers is hoek BCG regt (V. 7.) dus ok GCK: en duSnbsp;moet de halve cirkel door K gaan: dus ook K.I ~ IG Clnbsp;cn K G tz: 2 ICI.
Gcvolgelijk uk ACIG A waarvan AG de grondlijn en GK de hoogte is.
Maar van A ACG is AG de grondlijn en CH de hoogte: en dus is A ACG = A wit:irvan CH de hoogte en AG de grondlijn is.
Eindelijk Sectpr C AC A waary.an hoog CG de grondlijn en AG de hoogte is (XV. Voorftel) of Ac de grondlijn en boog CGnbsp;de hoogte.
Derhalve , Sector G A G: Trap, A GI G: A ACG ItZ boog CG*
GK: CH. riV 6.y
Maar Scem CAGlt; | ftuk ACIG f AaCC: (XXHb
VooriU Ge''quot;'
^US boog CG 3 C K ^ nbsp;nbsp;nbsp;v\7r
-ocr page 375-Ill, ^fdt'. Over de rede van den amtr. tot de rnidd, 313
De omtrek van den cirkel is kleiner dan twee derde gedeelten van den omtrek eens regelmatigen veelhoeks in den ^'rkel befchreven , te famen met een derde gedeelte vannbsp;de oratrek eens gelijkvormigen veelhoeks, om den cirkelbe-iebreven.
hoygens pr. 9.
bereiding. Zij CH de halve zijde des veelhoeks in, en dus ACE trekkende, zij EG de halve zijde des veelhoeks om den cirkelnbsp;berchreven.
Men trekke B C tot in K verlengd.
Men ftelle L s HG: dus BL (G LG) =: a (AG HG)
S 2 AH.
BEWIJS.
EG: CH a AC: AH UV. 2.)
dus EG 4- C H: C H a AG AH; AU CIH 8-)
Maar CH: KG a BH: BG {VJ. 2)
dus EG CH : KG a (AG AH) X BH; AH X BG:
(IH, 10.)
.0fEG4-CH;KG aSH x nH;AH X BG.
dus
EG CK: 2 KG a BH X BHtaAH BG
e ? op BH; reph. uitBL,BG.
Maar ? op BH a regth. uit BH, BL regth. uit BH, LH: en regih. uit BL, BG a regth. uit BL, BH regth, uitnbsp;BL.HG,
Maar regth. uit BH, LhV regth. uit BL, HG: dus: ? op BH V uit BL, BG.nbsp;en E G -j- C H ^ e K G.
EG-j-CH iKG
EG 2CH2KG-I-CH
en I V -X
Maar boog CG |KG |CH CXXV. Voorft.) dus boog CG\|cH |EG.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
bn dus ook de geheele omtrek des cirkels s omtrek des veelhoeks op het dubbeld van CH omtrek des veelhoeks op het dubbeid van E G
b aanmeruj^q Volgens de manier van akchimedes vindt men alleen iat de omtrek des cirkels kleiner is dan de omtrek des veelhoeks Om den cirkel befchreven: doch nu vindt men dat denbsp;omtrek des cirkels kleiner is dan eene grootheid , welke zelvenbsp;hleiner is dan de gemelde omtrek des veelhoeks. En dus komt
tot grootere naauwkeurigheid.
V 5 nbsp;nbsp;nbsp;fiE
-ocr page 376-gevolg.
DaaE boog CG ^ | CH ^ EG; ,, is ieder boog
kleiner is dan een vierde van den omtrek, kleiner dan tvvec derde gedeelte van de halve choorde van den dubbeldennbsp; boog, te famen met een derde van de raaklijn E G,
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Sneluus en HUYGENS gebruikten het woordnbsp;in jilaats van halve choorde van den dubbelden boog: denbsp;hier yan zullen wy in het XIV. Voorftel van het VIII,nbsp;uitleggen,
III. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dczc Zijn dc Voorftellen,-eerst door sNEh'nbsp;'Lius opgegeven, doch niet ten vollen bewezen; hygeNS
ondernam en volbragt dien taak. Hier door kan men, veel minder omflag, de zelfde naauwkeurigheid erlangen*nbsp;die LUDOLF door ceiien zeer grooten arbeid verkregen beeff*nbsp;Huygens is naderhand verder gegaan, met twee anderenbsp;Voorftellen te geven, die het werk nog merkelijk verkor*nbsp;ten, doch die niet tot de eenvoudige grondbeginfels defnbsp;Meetkunde behooren, en welke wij gevolgelijk hier niet kuD'nbsp;' nen bijvoegeu.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Na de tijden van ldolf en snellius ,nbsp;eenige jaren na dat huygens zijn werk de circuU magnit^'nbsp;dine, hade uitgegeven, heeft men middelen gevonden oihnbsp;de rede van den omtrek tot de middellijn , met meerdernbsp;'decimalen, en dus naauwkeuriger, uittedrukken, door reek
'jen, waarvan de leden verfchiliende inagten zijn van finu^' fen of tangenten van bogen, over welke lijnen wij in he*nbsp;volgende VUL Boek zullen handelen, en in het Aanhang^nbsp;zullen wij eenige van die reekfen opgeven, om den fmuhnbsp;ctjinus, tangent uit de waarde van den boog op te makeo*nbsp;en, wederkerig, om de waarde van den boog, en dus ooknbsp;Van den geheelen omtrek, op te maken uit de gegeven groo*'nbsp;te van finus, ccfimis of tangent,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
Wij zullen hier enkel aanmerken dat lagny iMem. l'Acad. des Sciences i/ip- P* 144.) de eerfte geweest i-'nbsp;welke door formules van dien aard de rede van den ff''nbsp;trek tot de middellijn, (die hier gelijk aan de eenheid g^'nbsp;Reld wordt) door het volgende getal uit, 127 decimalennbsp;, litaande, heeft uitgedrukt: welk getal naderhand door v'nbsp;Schrijvers, en ook door euler {Jsitroductio in Anabjftnnbsp;' fiiiitor. ^, 126.) is overgenomen geworden; te weten
3. 141, 592,-^53. 589* 79Z, 238, 462, 43, 383 502, 811-4, ip7, 169, 399, 375. 105, 820, 974, 944, S9nbsp;307,816, 406,286,208, 998, 628, 034,825,342,
-ocr page 377-r nbsp;nbsp;nbsp;93,, 14.8, 086, 513. 27a C*) 3olt;5, ^47 93,
844gt;(5.
Indien de laatfte cijffer 6 een 7 ware , zou de rede te Stoot genomen worden; nu is ze wat te klein.
Maar men zal van de overgroote naauwkeurigheid dezer uitdrukking kunnen oordeelen, indien men in acht neemt,nbsp;^at, zoo men alleen de 21 eerfte cijiFerletters van deze breuknbsp;Sebruikc^ van welke 21 letters deze (462) de drie laatftenbsp;^ijn, en men voor de laatfte in plaats van 2 een 3 flelde,nbsp;het verfchil op eenen cirkel, die zoo groot is als de omtrek des geheelen aardkloots, nog niet het 28,000.000,000nbsp;Sedeelte van een zandkorrel zoude bedragen indien ineunbsp;tekent dat twee honderd zandkorreltjes, naast elkander opnbsp;- eeiie regte lijn gelegen, de lengte van eenen duim uitmatten. Zie klinkenberg Ferh. van de Haarlemfche Maatfchap-, III. Deel, p. 155.
aanmerking. Daar men nu de palen, tusfchen welke de tede van den omtrek tot de middellijn begrepen is, nietnbsp;eene vrij groore naauwkeurigheid kent , zullen ook' alienbsp;quot;eden, die men opgeefc, en die men niet anders bewijst dannbsp;et aantetoonen, dat zij binnen die zelfde paln vallen,nbsp;ook aangenomen kunnen worden; en op dit grondbeginfelnbsp;(geheel^ verfchillende van dat waarop de manier rust omnbsp;eene hjn gelijk aan eenen boog te maken, die wij in hetnbsp;3 Gevolg van het XXIV. Voordel hebben opgegeven) rusten vele manieren, die men voorgefteld heeft om eene lijnnbsp;SelLjk aan eenen cirkelboog te trekken, of een vierkantnbsp;plijk aan den inbond van eenen cirkel te maken. Uit al- zullen wij de volgende, die eenen grooten graad vannbsp;^ 'quot;Nauwkeurigheid bezitten, opgeven.
tiLossiNG. Men deelt eene lijn in uiterfle en middelde ^de: het kleinfte ftuk ftaat tot de geheele lijn, als de mid-'Ujn van den cirkel tot vijf zesde gedeelten van dennbsp;'Aftrek.
Ewijs. Men neemt uit IV. 18. Aanm, 2. de waarde van het kleinfte quot;k 1C eener lyn L in ulterlle en mlddelfte rede gefneden: te we
ten
Men trekt den wortel Uit ss deze is
0.7634
derhaiv
3 0.3817 ' gevoigelijk ftaat K t h
**''kondii!?'''5 *quot; alle de boeken, ook b laony. Onlangsjheeft men dat die 7 in deze fnede een 8 moet zijn.
-ocr page 378-=: diaroetecJ omtrek =; 0j8i7 : i. waaruit oratrek gevon^* wordt a.ip : daar bij j-: komt 3-t43S dat vrywel met denbsp;door tuDOLF opgeseven overeenkomt.
n. OPLOSSING. Voeg bij de helft van den radius eene l' wier vierkant gelijk is aan de fora der vierkanten van denbsp;radius en van de helft der zijde van den achthoek in denbsp;cirkel befchreven. De geheeie lijn is het vierde gedeenbsp;van den omtrek des cirkels (*).
co:jSTR.ucirE, Fig. 151. Trek door het middelpunt twee CH, CE, die eenen regtcn hoek maken, Irek de choorde HL'nbsp;deel den boog H N E in twee gelijke deelen in N : trek NE,nbsp;de zijde is van den achthoek. Neem CT c: i NE; trek ET re'nbsp;lengd: neem op de verlenging T U s J CE: de lijn ETU is 8'nbsp;lijk aan het vierde gedeelte des omtreks. .
BEWIJS. De halve zijde van den achthoek wordt door berekeP^^^ gemakkelijk gevonden te zijn 0.3827 ais de radius =3 i is Het vi*' nbsp;kant daar van is 0.14646: daar bij gevoegd i het vierkant van ti,nbsp;radius, komt 1.14664: daar uit getrokken den wortel komt i.o?*;,nbsp;daar bij gevoegd de halve radius, komt 1.5708 voor het vierde 8'nbsp;deelredes omtreks als de radius i is: derhalve 0.7854 als denbsp;ter 1 is: dit viermalen geeft voor den omtrek 3.1416, dat wei'nbsp;met de rekening van luoolf verfchilt.
ll. OPLOSSING. Zij BCD [Fig. i6p.] een halve cirkel
BC een vierde deel; laat de regte boek BAC, in driequot; len gefneden worden, w'aarvan Z BAE een is; het gnbsp;geometrisch gefchied.
Trek DL en BI op bD; verleng AE tot in trek IM lOodregt op DL: neem DL = 3 AB: treknbsp;deze lijn is zeer ten naasten bij geUjk aan den haKquot;nbsp;omtrek.
BEWIJS. Trek E F i op B D : ftcl den radius B A m i: F 5 de halve choorde van een hoek die s | L is: dus CH.
I. Gev.) FA =; Vquot; I $ ~ V i 2* V 3.
Maar AF : FES AB : BIrdus
dus ML s 3 Vquot; I en
DM:
BI =1
It
gf-
(*) Ik heb die oplosfing in de nageUtene papieren van hcgEI^
V onden, alwaar zij dus luidt. nbsp;nbsp;nbsp;_ mS'
ta recta aequalis erit pfripherittt quadramis, HuygeSs hadt bij die ^^ df-n tnct zijne eigen hand gefchreven reqeu de M. l'AmiasJadeW^
Ht. Bie Heer was gezant van Frankrijk te Stokholm, t het overlijden van cartesius aldaar,
Si ad net am, jtiae potest duo iu^drata fimul, quadratum radii Jpof' dratum finus yircus 22.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;30; addatur in rectum femisjis radii:
van
-ocr page 379-y'
r 5
2 V' 3 =: i
~ nbsp;nbsp;nbsp; iS y 3 { het gen ont*
993
dikheid voor IL geeft 3.14153. nbsp;nbsp;nbsp;^eer wel overeenkomt.
kochansi Jcta Lippenjia i68S- ? 399.
oplossing- Fig. 154. Zij AB de halve middellijn van den cirkel. Deel dezelve in acht gelijke deelen s trek CBnbsp;'I'OpABsiAB: Trek CA; neem AD s | AB nbsp;i AB: Trek uit D, D li i op AB, verder CE en uitnbsp;JJ, DF // CE.
Ik zeg dat 3 AB AF de halve omcrek is van den cirkel.
Ewijs. AC: ADsABiAE AC: AD= AE: AF
derhalve AB: AE ^ AE; AF en A =; AB .AF,
maar ACquot;* : AD = AB: AE = AB| AB . AF AB . AD
AC
derhalve AF
AB 6 i
Maar AC aB BC = (7 8)
t A D nbsp;nbsp;nbsp; A B : derhalve
8
Af - nbsp;nbsp;nbsp;4 X AB _nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;16. A B ^ ig. AB
quot; nbsp;nbsp;nbsp;4.^ 49 64 quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;3
I6. AB
Sevolgelyk: 3AB AFS 3AB nbsp;nbsp;nbsp;-*113 'dien AB
I gefield wordt.
SS5
Maar,naar de rede van metiuSjIs de omtrek des cirkels s gevolgelijk is 3 A B A F de halve omtrek des cirkels , indien A B Senbsp;halve middellijn is. Derhalve moet er bU drie maal de middellijnnbsp;Wee malen AF gevoegd worden om den geheeleu omtrek te bc-^Onien,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
Vi.
Deze fchoone oplosfing , die voor geene der voorgaande behoeft wijken, is my vr jaren door d^ beroemden Wiskonstenaarnbsp;s Gelder, mede gedeeld.
*^^MERKiNg In alle deze oplosfingen wordt niets gefteiddan wel is waar (lechts teanaasten bij,maar echter door regte lijn en
cir-
3i8 VII Boek: Over den omtrek en inbond des eirkeh
cirkel verrigt kan worden. Doch er is zekere kromme lij genoemd Quadratrix van dinostrates , waardoor eene reg'nbsp;lijn volkomen gelijk aan eenen cirkel boog, dus ooknbsp;een vierde des geheeten omtreks van den cirkel, ennbsp;door ook eene gelyk aan den geheelen omtrek, kan gevo'nbsp;den worden. Doch die Quadratrix behoort tot de zoog'nbsp;Mechanifche lijnen (*}. Men kan over dezelvenbsp;zien PAPPUS Collect. Mathematicae IV. 25, 26, 27, 28nbsp;ook bij onze Nederlandfche Schrijvers,het fchooneWerknbsp;den Heer floryn , Grondbeglnfels der hoogere Meetkiin^nbsp;II. Boek, III, Hoofdttuk: en aldaar, voor de toepasfingnbsp;het vinden ener regte lijn gelijk aan het vierde des o'nbsp;treks, prop. 4. Gev. i. Over die lijn, zoo wel in Znbsp;zelve, als met betrekking tot de Qitadratuur des cirkels. 'nbsp;zeer breedvoerig gehandeld door clavis , in een appendlf'nbsp;of epilogue, op het VI. Boek van EUULiDES, en in ziJnbsp;Geometria practica, Lib, VII. rippendix.
XXVir. VOORSTEL.
De inlioud van den cirkel (laat tot het vierkant op
d
diameter als 11:14, indien men de rede, door archiM^' DES gegeven, gebruikt,
St. VI. 23. Bljvoegfcl.
BEWIJS. Uit het 2. Gevolg van het XIII. Voordel.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien men de rede door ludoi.f gegevnbsp;wil gebruiken, ftaat de inhoud van den cirkel tot het vi'nbsp;kant op de middellijn, als 0,7853981634:1 dat is ^nbsp;10.995574287(1:14: het geen maar zeer weinig van iiinbsp;verfchilt.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Indieii de halve middellijn i, en dus de ^nbsp;heele middellijn 2 getleld wordt: zal de inhoud van dnbsp;cirkel 3,1415926536, en dils bijna 3,14160 bedragen.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien men het grondbeginfel gebruikt
(?) Pappus zegt dat binostrates (die 370 jaren voor o^ze nlng leefde) en nicomedes , welke drie eeuwen later leefde, denbsp;dratrix tot de quadratuur van den cirkel gebruikt hebben. Er was , ynbsp;by de Ouden (zie proclus Comment. iI, uy Euclid, prop, 9. p.nbsp;eene quadratrix van hippias (die 70 jaren vr dinostrates blo ^nbsp;bekend. Montucla gist, met rede, dat zijde zelfde kromme lkfeiednbsp;oorfpronkeiyk tot het verdeelen eens cirkel-boogs in zoo velenbsp;men wil uitgedacht, maar waarin dinostrates de eerfte Is dienbsp;pasfing tot de quadratuur des cirkels opgemerkt besit, (.llitt. desnbsp;1.181).
-ocr page 381-'Vij op de 5. Aanmerking op her XXVI. Voorflel gegeven hebben; verkrijgt men het volgende
XXVIIL VOORSTEL.
Indien eene lijn in uiterfte en middelde rede is gefneden, haat de geheele lijn te famen met het kleinde ftuk tot de dub-quot;Slde lijn, als de wortel uit anderhalf maal het quadraat vannbsp;radim, tot het vierkant dat gelijk is aan den inhoud vannbsp;cirkel,
vieta p. 393.
EWijs. Men ftclt de lijn zelve gelflk aan een: men berekent het kleinfie ftuk: en men vindt dat de gemelde evenredigheid ten naasten bij da: geen oplevert, dat uit de rede van eudolf volgt.
Aanmerking, Dit Voordel geeft de volgende conjlructie '''an een vierkant wiens inhoud gelijk is aan dien van dennbsp;*^irkel. Fig. i8.
Laten B C , D E twee diameters zijn die zich regthoe-Itig fnijden: deel AC in uiterfte en middeifte rede in H. Trek EC: dus EC = V 2: maar fte] AF = J EC:
a nbsp;nbsp;nbsp;.
dus AF = : Trek BF verlengd: dus BF = 1/ j a ;
Cl nbsp;nbsp;nbsp;m ^
Trek FH: Maak BH j BC BF : BI: dat is trek 91 // FH: en Bi zal de zijde van het gezochte vierkantnbsp;zijn ; en BIK L het vierkant zelf.
32
OVER- het meten van hoeken door CIB'
KELBOGEN EN HET BEREKENEN VAN dezelve DaOR CHOORDEN, SINUS*nbsp;SEN, TANGENTEN, EN SECANTEN.
over het meten van hoeken door
CIRKELBOGEN.
I. voorstel. Fig. 170.
In den zelfden cirkel, of in gelijke cirkels, is er tiS' fchen de hoeken, zoo wel in het tniddelpunt als innbsp;omtrek, de zelfde rede als tnsfchen de bogen opnbsp;zi] rusten; het zelfde heeft voor de Sectoren plaats:nbsp;een hoek in het middelpunt ftaat tot vier regte, alsnbsp;boog op welken hij rust tot den geheelen ointrek.
ECL. VI. 33- D. II. 17.
BEREIDING. Meti neme de bogen GB, BI, gelijk AG; en even veel bogen MN, NO gelijk aan KM:nbsp;irekke CB, Cl; LN, LO.
BEWIJS. Voor het I. Uit de befchouwing dat boog en I ACI gelijkvouden zijn van boog AG en van Lnbsp;zoo als ook boog K O en ^ K L O van boog K M en ''
L KLM: en dan uit III. 3: V. 6. Gev. i. en V. 5.
Voor het II. volgt uit het I.
Voor het III. Uit V. 6. Gev. 3. nbsp;nbsp;nbsp;^
J. GEVOLG.
deigt;
zelfden cirkel fpreekt: en wij zullen die fpreekwijze ^ nemen.
Een boog kan dan voor de maat van eenen hoek het middelpunt gehouden worden, zoo lang men van'
Di O. IL 17. Cor.
II'
-ocr page 383-, e maat van eenen hoek in den omtrek is de helft vart den boog op welken hij rust: (i, Gev. en V. 5)*
^ G, II. 18.
II. VOORSTEL. Fig. 157.
De bogen [HF, AG] van ongelljke cirkels, op welke hoeken [ACG, DCFJ, namelijk alle in den om-, of alle in het middelpunt, rusten, zyn onderling'nbsp;'h de zelfde rede als de omtrekken waarvan zij deelennbsp;En omgekeerd , indien twee bogen van ongelijknbsp;'Tkels tot elkander liaan als de geheele omtrekken, zul-'^n de hoeken in het middelpunt , of de hoeken in dennbsp;nitrek, die op dezelven rusten , gelijk zijn.
Zie koenig Cor. 2. op eucl. VI. 33.
ew!I8 Voor het I. gedeelte. Uit N. 3 van het Voorftel, en III. Axioma 4.
Voor het II, Uit het I, door het ongerijmde
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Dus rusten, in ongelijke cirkels , gelijke hoeken Op gelijk vormige bogen. (VII. lo. het a. Gev.)
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
, De bogen van twee ongelijke cirkels , op welke gelijke hoeken rusten, zijn als de omtrekken, of als de halvenbsp;h'iddellijnen dier cirkels, en deze als de choorden dier bo-(Vil. 10. en IV. 2.).
St. VI. 22. Gevolg.
Iir. gevolg.
, En omgekeerd, zoo bogen van ongeliJke cirkels zijn alS' geheele ointrekken , of de halve middellijnen, zulletfnbsp;f hoeken die op dezelve rusten gelijk zijn , en hunnenbsp;hoorden zullen zijn als de halve middellijnen.
V. gevolg.
. Dus zijn, in alle cirkels, de bogen de eigehaartige mgat hoeken in het middelpunt: en de halve bogen 'die van'nbsp;hoeken in den omtrek.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.-
X
-ocr page 384-324 Vm, Bock: nbsp;nbsp;nbsp;maat cn berekening der kockeft
V. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De zelfde ftralen fnijden gelijk vormige bogen van omtrekken van cirkels die oin het zelfde middelpunt ftaan
Het meten der hoeken in graden (leunt op het voof' gaand Gevolg, en op VII. 10.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Volgens een oud gebruik, deelt men den od'nbsp;trek des cirkels in 360 graden, en de graden wederod gt;nbsp;door eene gedurige zestigdeelige verdeling, in minuten,!'-'nbsp;tonden, tiercen, enz. zoo dat een graad o minuten, eegt;nbsp;minuut 60 jeeonden, eene feconde 60 tiercen enz. bevd'nbsp;Waaruit volgt, dat de regte hoek, of het vierde gedeeltenbsp;des ointreks, po graden bevat, en de drie hoeken eens dd^'nbsp;hoeks te famen 180^ uitmaken.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Hicrop, en op het vijfde Gevolg, lleufl^nbsp;die inftrumeiiten uit de Mathematifche kokers, welkenbsp;portcurs genoemd worden: en, in het algemeen, alle inftr''*nbsp;menten hoegenaamd, welke tot het meten van hoeken dienei'
De Transporteuis zijn van tweederlei gedaante: te wete _ of cirkelvormige , of in de gedaante eens regthoeks:nbsp;beide is de rand gt;n graden verdeeld (fomtijds ook in halvnbsp;graden): doch op de eerstgenielde zijn alle graden gelijk?nbsp;op de laatstgemelde zijn zij ongelijk.
Zij Fig. 171. de halve cirkel AFKA de Transporteur-' waarvan C het middelpunt, doorgaands op de lijnnbsp;door een ftreepje aangeduid. De gelijke bogen AB,
DE, enz. duiden gelijke hoeken aan, ACB, BCD, DC' enz. en een dubbelde, een drievoudige boog, dubbelde, dr'nbsp;voudige hoeken.
Maar indien de Transporteur de gedaante heef: eens re' hoeksnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;worden de graden op de zijden bli,
I aangeduid door de flippen, d, e, f, g, h, alwaar ^ radii CJ3, CD, CE, CF, CG, enz, uit het middelplj;nbsp;getrokken naar gelijke bogen AB, BD, DE, knbsp;FG des halven cirkels, waarin de regthoek Bli fl?ilgnbsp;en die dus op de zijden 3igt;, BI, li, niet dan ongelwnbsp;deelen Bd, de, ef, fg, gh, hl, kunnen affnijden. mnbsp;_ Het gebruik der beide werktuigen is het zelfde, ennbsp;in het oog. Men legt de middellijn aK op eenen jnbsp;beeneu des hoeks, het middelpunt c op de kruin; de ^nbsp;D bijv. of die het ander been Cp) aanduidt, toont g
-ocr page 385-hoe vele-graden er in den hoek, of in deii boog die des* Zelfs maat is, begrepen zijn.
ni. aanmerking. In latere tijden, en bij het daarftellen van het decimaal ftelfel van Maten en Gewigten, heeft men voor- Sefteld'den regten hoek, of het vierde van den omtrek,nbsp;ok quadrant genoemd, niet in 90, maar in 100 graden tenbsp;herdeden, welke als dan door de Franfche Schrijvers gra^nbsp;genoemd worden, om ze van de gewone fexagefima'.enbsp;verdeeling, waarin de graden den naam van degrs dragen,nbsp;onderfcheiden. Ieder van die 100 graden wordt niet innbsp;maar in 100 feconden, en iedere van de nieuwe fe-conden niet in 60 maar in 100 tiercen verdeeld, en altijdnbsp;Zoo voort. Le genore heeft die verdeeling in zijnenbsp;Gometric aangenomen: en ook de gelder in zijne Meet-kimde. Men kan over de groote voordeelen van die nieu-. We verdeeling, over de ivenfchen van vroegere Wiskundigennbsp;' om eene dergelijke werkfteilig gemaakt te zien , over denbsp;pogingen van beroemde Mannen om ze intevoeren, nagaannbsp;het geen ik gezegd heb in mijne l^erhandeliiig over volmaaktenbsp;Maten en Gewigten , . 120. en volgende. In dit werknbsp;Zullen wij de oude verdeeling behouden,
IV. aanmerking. Gelijk men den omtrek ds cirkels met den radius, of met de middellijn heeft vergeleken, en innbsp;deelen van deze heeft uitgedrukt: zoo ook heeft men dennbsp;radius uitgedrukt in deelen van den ointrek, dat is m graden en ininutm: en hiertoe dient het volgende
Ilf. VOO RSTE lo-
De boog wiens lengte gelijk is aan den radius, bevat sp* Sraden , ip minuten , 44,8 feconden,
bewijs. Dc halve ointrek Ttaat tot den radius als 355 :ii3: dat
180 X 113
waaruit Het
355
is i8oquot;t r aa 355:113: nbsp;nbsp;nbsp;dus r ra
Voorfiel volgt.
i. gevolg.
De radius, in feconden uitgedrukt, bevat 206,254 .8.
Aanmerking, De radius in feconden uitgedrukt, wordt aan. geduid door rquot;.
II. gevolg.
Een boog, in deelen van den radius uitgedrukt, n als :nheid befchuwd, Zal ih feconden uitgedrukt worden alsnbsp;.**0 denzelveti Moor r. multipliceert; en een boog in/'-:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot; X anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^on-
324 VIIL Eock: nbsp;nbsp;nbsp;dcmaatm berekening der hok^fi
conden uingedrukt, zal tot deelen van den radius herleid WOf' dea als men denzelven door rquot; divideert.
Gelijk vormige cirkclftukken [ABC, DE F] zijn welke gelijke hoeken bevatten : en gelijkvormige Secton^nbsp;zijn die welke door ftralen , gelijke hoeken bevattend^nbsp;gevormd worden.
St. III. clef. II. prop. 13, 14, en VI. dof. 7,
BEWIJS, Voor het I. Uit het I. Voordel toont men de bogen, op welke de hoeken ABC, en DEF rusten*nbsp;zijn als de omtrekken; en dus uit III. 8,, dat de bognnbsp;ABC en DEF het ook zijn, waaruit het Voordel dootnbsp;VII. 10. Gev. 3, volgt.
Voor het II. Uit de gelijkheid der hoeken, en dus de gelijkvormigheid der bogen, en hunne gelijke rede tot dnbsp;llraleu, (doorbet L Voordel, en VII. 10. Gev. 2.).
AANMERKING. Euclides ftelc dit Voorftel onder de /Ixiotniquot; ta van zijn derde boek.
De bogen van gelijkvormige cirkelflukken, of SeclOquot; ren, zijn als de firalen der cirkels, of als de choordeHnbsp;waarop die bogen rusten.
L. G. IV. II. Cor.
If. GEVOLG.
En dus zijn de gelijkvormige cirkelftukken, die op g*' lijke choorden liaan, gelijk.
zvci.. 111. 24.
III. GEVOLG.
En gevolgelijk kan men op eene lijn, aan den zelfde kant, geen twee cirkelftukken plaatfeii, die gelijkvormignbsp;tevens ongelijk zijn.
EUCL. UI. as, St. ni. IS.
IV. gevolg.
Gelijkvormige Sectoren en cirkelftukken zijn in dubbelde rede der choorden op welke zij liaan
-ocr page 387-nbsp;nbsp;nbsp;Over let meten van hoeken door cirkelbogen, 325
middellijnen van de cirkels tot welke zij behoorcn 27. en VII. 10. Gev. 3).
L, G. IV. II, Cor. TACQUET Schol, op eocl. XII. a. St. vl. 28. Gev. 2, 3 en ap,
jj.Imogen [AG, DE] van oiigelijke cirkels, op welke onge* ^JKe hoeken rusten, zijn in famengeftelde rede der hoeken,nbsp;der ftralen: en de hoeken zijn in famengeftelde rede vannbsp; regte rede der bogen, en de omgekeerde rede der ftralen.nbsp;BEiiEiniNG. Men onderftelt de cirkels om het zelfde middelpuntnbsp;ftaan: en men verlengt C G in F.
BEvvijs. Voor het t ^ AGi^DFs CAtCDen^DF; ^DEa ZDCF:ZDCE: I. Voorftel.
derhalve /-gt;AG:^DE=; CAXZDCFtCD XZDCE (W. 10).
Voor het II. Uit het eerfte; en III. Ax. s.
Aanmerking. Hoe wel dit Voorftel van veel gebruik is in de Sterrekunde, vindt men het echter bijna in geen elementaire boeken. Zie het by la caille Legons ti/Ijltanomie,nbsp;. 124. en KRAFF Geometria fuhlimior. 107.
VI. VOORSTEL.
Sectoren van verfchillende cirkels ftaan tot elkander in fa-^engeftelde rede der hoeken die zij uitmaken, en der vier-jnten van de radii der cirkels waartoe zij behoren. En, in-'en de Sectors gelijkvormig zijn, zijn zij onderling als de vier-der middellijnen.
BEWIJS. Uit VII. 15. is
Sector C D E; Sector CAGS r^DE XCD:^AG X AC' maar /-x dE: ^ AG = Z UCE X CD: Z ACG X AC:dusnbsp;lector C D E: Sector CAGS ZDCE X CD:ZACGXA c.nbsp;EHapft Geotiietria fublmior , . 107.
Aanmerking. De inhoi.4 eens cirkelftuks [Fig. 122.] hangt .dien des Sectors af: want de inhoud van een cirkelftuknbsp;p gelijk aan het verfchil of aan de fom van dien des Sectorsnbsp;dien des middelpunts, beide tot den boog van dat cirkel-*^k behorende, naar mate het zelve [zoo als LKHL] klei-j'quot; of [zoo ais LP HL] grooter is dan de halve cirkel, ennbsp;CVII. 15. Aanra. I. en IV. 9. Gev.til wordt een cirkelftuk
quot;tgedrukt door nbsp;nbsp;nbsp; A LCH = ^~ LH.cr.
2ie hier over nader het 8 Voorft. Gev. 2. van het IX. Boek.
X 3 nbsp;nbsp;nbsp;VII.
-ocr page 388-320 VIII. Boek: Over de maat en berekening der hoeken.
De maat eens hoeks nbsp;nbsp;nbsp;in het aanrakings flip
door eene raaklijn [BAJ en eene choorde [DAj gevor^ is de helft van den boog dien de choorde befpanc.
L. G. II 19.
BEWIJS, Uit V. 8. en hier het II, Voorftel, 4. Gev.
De maat eens hoeks [D A E] wiens kruin A niet op '^1 pmtrek des cirkels valt, is de helft van de fom, of vannbsp;verfchil , der bogen [DE, G op welke de beenennbsp;hoeks, zoo noodig verlengd, rusten, naar mate de kruin 1^*nbsp;nen, of buiten, den cirkel valt,
L. 'C. . 470.
BEREIDING.
Men trekt I-I D.
BEWIJS, pit I. 15. en hier het II, Voorftel, 4, Gev.
I. GEVOLG. Fig. 155.
Indien de kruin A zoodanig op de middellijn ACE men wordt, dat AG ra GC is, zal de hoek FAE hetnbsp;gedeelte zijn van den hoek gCE.
nawijs. ZAz: i^^E i^HGienZGCAs r^IlG' dus :
J nbsp;nbsp;nbsp; i ^ H G =; /-N H G: of = 3 H G cfl quot;
i lCE =3 3 Z GCH s 3 ^ A. nbsp;nbsp;nbsp;^
if. aanmerking. Indien er dan een middel was om, een bO^f gE, of een hoek gCE, gegeven zijnde, eene fnijiijn jnbsp;zoodanig te trekken in een cirkel waarvan gC denbsp;is, dat het (luk buiten den cirkel .gelijk zij aan dennbsp;zoude het zeer gemakkelijk vallen eenen hoek in drienbsp;lijke deelen te verdeelen: doch het is niet mogelijknbsp;nige lijn door middel van den cirkel en van de regte Ip nbsp;la, dat is, in den ftrikilen zin geometrisch, te trekken* [,5nbsp;VETA heeft het vraagftuk van de verdeeling eens h* ,;nbsp;in drie deelen tor dit Voorllel gebragt {Operum , p. 'fJinbsp;en dit komt volmaakt overeen met het geen wijnbsp;hebben, Boek I. 29. Aanra. 2.
II. gevolg. Fig. 123.
f
Zoo de kruin F des hoeks G F D, binnen den cirkel jgj waarin een der beenen van den hoek de diameter pP^^jit,nbsp;cirkels is; al verder, zoo die hoek zoodanig gellcld i,etnbsp;dat de choorde D G glijk is aan F D, zal de boog Dnbsp;derde gedeelte zijn des bpogs ABfD.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ft'
-ocr page 389-/. /ifd,: Over hei meten van hoeken door cirkelbogen. 327
BEWIJS, ora dat GD =3 FD: is Z GFD n L FGD Ct. 27.) d i. NED
O nbsp;nbsp;nbsp; fi
AN-f~2^GD
Haar /^AN-f- ABG:=:i OmtT,: derhalve A N 2''
: en r\ AN GD
derhalve r-^AN 2r-'GD k^NED lt;-^DG:3 Omir. ; maar ,^AN-f- ABGsf Owir.: derhatve /^AN arAGD E:nbsp;^AN-(-r-vABG:ofa r-gt;GD=!'^ABGeti3/-gt;GD:=!'^nbsp;ABG ^GD=: r^ABGD.
aanmerking. Derhalve een gegeven boog A D zoude in deeien gedeeld kunnen worden, indien men eene middellijn ND geometrisch zoodanig fchikken kon, dat denbsp;^hoorde DG gelijk wordt aan FD, het fluit dat van denbsp;^hoorde A D des gegeven boogs door die middellijn wordtnbsp;fgefneden.
Ik heb deze oplosfing gevonden in eenen brief in 1(154 door KiNNER uit Praag aan iiuygens gefchreven.
Fig. 160.
VIII*. VOORSTEL.
De maat van den uitwendigen hoek [LKl], p den gemaakt door eene choorde [L K] en eene verlengde Onjlijnnbsp;[Fl] is de helft van de fom der bogen CL K en K j g -melde lijden wederzijds van het fnijpunt berpannen.
bereiding. Men trekt LF.
BEWIJS. Uit I. 15- en hier het 11 Voorftel. 4. Gev.
''^an het meten en berekenen der hoeken
EN BOGEN DOOR CHOORDEN, SINUSSEN, TANGENTEN EN SECANTEN.
J. bepalingen en algemeens eigenschappen.
I. bepaling. Fig* 172.
Men noemt complement van n boog [DB] den boog [GD] dkn men bij den boog [DB] voegen moet om hetnbsp;vierde gedeelte van den omtrek des cirkels uittemaken; ennbsp;fi^pplement den boog [AGD]. ^len men er moet bijvoe-en om den balven omtrek uittemaken.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rnfiRi
Insgelijks: men noemt complerntnt van een hoek [D C 4 gt;
328 VIII^ Boek: Over de maat en berekening der hoeken,
den hoek [GCDJ dien men bij denzelven voegen moet om een regten hoek te verkrijgen: en fupplement dennbsp;hoek [ACIJ]gt; die er bijgevoegd moet worden om tweenbsp;regten uittemaken,
Sc vn. cl, 2, 3,
J. AANMEaKnvG. De woorden complement en fupplement bete?' kenen beide bijvoegfel, oi aanvulfel. Het gebruik heeftnbsp;gewild dat het eene aanvulfel tot het vierde gedeelte desnbsp;pmtreks, het ander tot den halvep omtrek zoude beteekenen.
GEVOLG.
fndien men eenen boog, of hoek (dat is het getal grs1 den dat derzelver grootte aanduidtj van 90-' en van i8onbsp;aftrekt, verkrijgt men het complement en het fupplement,
II. aanmerking. Daar de bogen de maat der hoeken zijl} (Voord. IL Gev. 4.) moet men in het vervolg door vierdenbsp;gedeelte van den oratrek, of door hal ven oratrek, nen reg'nbsp;ten hoek, of twee regte hoeken, verftaan: en t geen mennbsp;van bogen zeggen zal ook op hoeken toepasfen, en omgekeerd.
II. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALINq.
Men noemt choorde eens boogs de lijn [DB], die beide de uiterllen des boogs vernigt: zij onderfpant, wel isnbsp;waar, zoo wel den boog [A DB] die met den voorgaaodennbsp;[DB] den geheeien omtrek uitmaakt, als dien boog [DBjnbsp;zelveii : doch men verftaat altijd, (lilzwijgend, alleen dennbsp;boog die kleiner is dan de halve omtrek (quot;'j.
III. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING,
Men noemt finus (of hoekmaat') eens boogs [D B], de loodlijn [DIJ die van een zijner uiteinden nedergelaterinbsp;wordt op de middellijn [BA], welke door het ander eindenbsp;[B] gaat. En die zelfde loodlijn is ook de ftnus, of hoek1nbsp;maat, van den hoek [DCBJ , waarvan de boog [DB] denbsp;piaat is.
Sc. vn. def. 4. L. G. Trig. S-
I.'
bet
Deze bepaling is Wfr, gemakshalve uit de I. Bepaling va V. Boek, herhaald.
-ocr page 391-II ^fd,: Over de Sinus fen, Tangenten en Secant en, 329 I. r.EVOLG.
finus eens boogs is ook de ftnus van het fupplement.
L. G, Tr. S, 10.
II GEVOLG.
Hoe grooter de boog is hoe grooter de ftnus is, tot men eenen boog van negentig graden, of een vierdenbsp;gedeelte van den om trek , heeft: dan is de finus gelijk aannbsp;^en radius; waarom ook de radius de geheele finus (^fi.nusnbsp;totus) genoemd wordt. De finusfen [bijv, NPJ van bo-[RGPJ die grooter zijn dan 90 graden zijn weder-kleiner, en de finus van 180. is nul. '
aanmerking. Indien men nog verder dan den halven cirkel wde gaan, bij voorbeeld tot den boog [BGAM], zoudenbsp;de finus N M zijn, de zelfde als voor B K, dat is voor het ver-fchil tusfehen den gegeven boog en den halven onttrek:nbsp;doch dan valt de finus onder de middellijn, en dus aan hetnbsp;tegengeftelde van den kant waarop men de finusfen dernbsp;bogen tot 180 gr. toe genomen heeft. Indien men zichnbsp;herinnert wat wij (III, 22. Aanm. 2.) van negatieve grootheden en derzelver aard gezegd hebben, zal het blijkennbsp;dat \(s finusfen negatief zijn: dus is ftnus o = o: finusnbsp;90 =3 r\ finus 180 = o; finus 270 - _ finusnbsp;360 =; o en zoo voorts.
h. G. Tr, . 7, 8, 9.
IV. BEPALING. Fig, 172.
Men noemt co ftnus of mede-hoekmaat, ook fchilboogs fioekmaat^ en meest fitniis-complement, van een boog [DC]nbsp;of van een hoek [DCBj, den ftnus, of hoekmaat, fWDJnbsp;JJan zijn complement: of , wat op het zelfde uitkomt,nbsp;het gedeelte [C J] van den radius, dat tusfehen het mid-^'^Ipunt des hoogs, of den top dts hoeks , en de ont-*^oeting van den finus bevat is.
Sl VII. def. 6. L. G. Tr. . -
X 5-
De cofinus is kleiner naar mate de boog of hoek groo-'3 : die van een boog van 9 gi of van een regten ' hy wordt grooter, en komt nader aan dennbsp; naar inate de boog kleiner wordt en dus nader
aan
nan o graden komt.
radius.
Dus is cofinus oquot;, gelylc aan den ir. GEVOLG.
De cofinus cens hoeks of bcogs is ook de cofinus van zijn fupplemenr.
aanmerking. [Fig. 172*} Indien men zich het geen wij III. 22. Aanmerking 2. over den aard der negatievenbsp;grootheden gezegd hebben herinnert, blijkt het dat de ch'nbsp;finmfen van bogen tnsfchen de 90' en 270 aJtijd neg^'nbsp;if/e/zijn: want men begint ze van C af te tellen: en dunbsp;voor de bogen van C af tot B toe naar den kant G^*nbsp;doch voor de bogen van C door G tot A, naar den kao^nbsp;GA, en dus aan den anderen kant van het begin, of van de*nbsp;oorfprong , der telling : v,et geen juist het denkbeeld vanbsp;eene negatieve grootheid uitmaakc: dus is cofinus o
Cof. 90 ~ o: Cof. 180 2= r . Cof. 270 = o: O! 360quot; =3 r.
Deze aanmerking is van gewigt: om dat men veeltijd^ uit het teeken of moet beoordeelen, of een bereke''nbsp;de cofinus tot een boog die kleiner dan 90, of tot deSjnbsp;zelfs fupplement, dus tot een boog die grooter dan 92nbsp;is, behoort.
V. BEPALING. Fig. 17a.
Men noemt fimus-verfus, verkeerde [mus , of gedeehe [Cl] van den radius dat tnsfchen het eenenbsp;des hoogs, en den Jinus, begrepen is.
St. vu. dcf. 7.
GEVOLG.
Dc finiis-verfus is dus gelijk aan het verfchil van etrfmus en den radius voorhoeken, of bogen, die kleio*^^nbsp;dan 90 graden zijn: doch voor hoeken of bogen dienbsp;tr dan 90 graden zijn, dat is voor de fupplementennbsp;eerstgemelden , is de fmus-verfus [AI] gelijk aan de fo*nbsp;van den radius [A C] en den coftnus [CI].
AANMERKING. De finW'Verfus is dus altijd pofitief tot toe, omdat hij altijd naar den zelfden kant geteld nbsp;g'roeijende van o tot en 2 /.
VI. bepaling. Fig. 172.
[B E] van de onbepaalde raaklijn, bet welk bejirepen is lusfclien het flip van aanraking [B], en de ontmoeting [E]nbsp;Van den verlengden radius, die door het ander eibd [DJnbsp;Van den boog gaar,
St. VII. Bcp. 8. L. G. Tr. . 5.
gevolg.
De tangent wordt dus groorer naar mate de Iboog 'of ^loek grooter wordt : doch de tangent eens hoogs vannbsp;Po graden, kan den radius ^ die door het andere eindenbsp;des hoogs gaat, niet ontmoeten, oai dat hij evenwijdignbsp;gt;an denzelvn is : en dus is de tangent, in dat geval ,nbsp;Onbepaald groot, of, gelijk Wiskundigen gewoon zijn tenbsp;Opreken, oneindig. Doch de tangenten van hoeken, dienbsp;gtooter dan 90quot; zijn, zijn gelijk aan de tangenten dernbsp;^^ogen of hoeken waarvan zij rupplementen zijn.
L. G. Tr . II.
aanmerking. Indien men op het laatste gedeelte van dit gevolg let, zal men indedaad zien, dat, zoo de boog BGnbsp;grooter is dan 90'', bijv. js G P, de radius C P nimmer denbsp;raaklijn BE boven de middellijn raken kan ; maar indiennbsp;men PC onder den diameter tot in Q verlengt, zal BQ,nbsp;volgens de bepaling, de tangent van boog BK zijn: nunbsp;is B Q ee E B ~ tangent van den boog D B , die het fnp- plemeiit is van boog JK,G D.
En indien men al verder le't op het geen wij in het nt. Boek , XXll. Voorltel, Aanm. 2. gezegd hebben, overnbsp;den aard der negatieve grootheden, blijkt het, dat BQ alsnbsp;negatief heCchoov/d moet worden; en dus is 'Tangens o'iiinbsp;o: Tang. ^0 oneindig: Tang. van een boog grooter dannbsp;90' negatief. Tang. 180' =1 o: Tang. boog grooter dan i8olt;jnbsp;tot 270 pofitief: Tang. 270quot;. oneindig: Tang. boog grooternbsp;dan 270 tot negatief. Tang. ^6o' s o.
Wij zullen in ht vervolg nbsp;nbsp;nbsp;op Voorftel XIX.) zien,
hoe dit met het geen wij van pofitieve en negatieve jtnusfen en cofinusfn gezegd hebben, overeenkomt.
VII. bepaling. Fig. 172.
De Cotangent [GF^ of mede-raakUjn , ook tangenU Complement genoemd, is de tangent van hct complementnbsp;ens gegeven hoogs, of hoeks.
GE-
33^ VIII. Boek: Over de maat m berekening der hoeken. GEVOLG.
De Cotangent wordt dus kleiner naar mate de hoek grooter is: is nul voor een regten hoek , oneindig voornbsp;den hoek dien men zoude begrijpen nul te zijn.
aanmerking. Het geen wij voor het pojitieve of negatiequot; ye van den tangent gezegd hebben, heeft ook voor den cO'nbsp;tangent plaats.
VIII. nbsp;nbsp;nbsp;BEI ALING. Fig. 172.
De Secant of fnijlijn [CE] van een boog of hoek, is de radius tot aan de tangent verlengt.
St. VII. def. 8. L. G Tr. . s.
De fecant is dus grooter naar mate de hoek grooter is; die van een boog of hoek van 90 gr. is oneindig'.nbsp;doch de Jecanten van bogen die grooter dan 90 zijn,nbsp;ijn de zelfde als de fecanten der bogen, of hoeken, dienbsp;kleiner dan 90 zijnde , de rupplementen van de eerstge-melde zijn.
aanmerking. Het geen wij over het pofuieve of negatieve van de tangenten gezegd hebben, heeft op de zelfde wijzenbsp;voor fecanten plaats.
IX. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING. Fig. 172.
Co fecant [CF] , of mede-fnij lijnook Jecant. complement genoemd, is de fecant van het complement.
De Cofecant wordt kleiner naar mate de boog grooter wordt: die van 90quot; is nul', die van eenen boog, welkennbsp;men begrijpen zoude nul te zijn, is oneindig.
AANMERKING. Het geen wij van het pojitieve en negatieve van de Jecanten gezegd hebben, heeft hier even eens plaets*
X, bepaling.
Alle de opgenoemde lijnen, choorden , finus, cofinus, tangent, cotangent, fecant, cofecant, finus-verJus, wordej* thans onder den algemeeneii naam van goniometrifche Ih'nbsp;nen begrepen, dat is van lijnen ter hoek-meting gefcbik^'
-ocr page 395-aanmerking. De eigenfcliappen der choorden , pnmfen , tangenten en fecanten, worden ten vollen door de HJeec-kunde bewezen , en uit de eigenfehappen van den ciikelnbsp;Van gelijkvormige driehoeken afgeleid : en in zoo verrenbsp;hehooren die lijnen tot de Meetkunde zelve. Doch denbsp;Wiskonsteiiaars gaan verder; zij vergelijken de hoegrootheid dier lijnen met den radius, en drukken dezelve doornbsp;getallen uit. Dit gaat buiten de palen van het gee denbsp;Ouden, in den ftrikften zin, Meetkunde noemden: vooralnbsp;daar de choorden, finusfen, tangenten en fecanten, alle (opnbsp;''er na, choorde 60quot; , finus 30, tangens 45 en fecans )nbsp;door onmeetbare getallen , en dus Hechts ten naasten bij,nbsp;hunnen worden uitgedrukt.
Dan, daar wij nu over die lijnen, meer bepaaldelijk, ten rrutte van de praktijk fpreken zullen, en wel met oogmerknbsp;om aancetoonen, hoe men derzelver grootheid berekent.nbsp;Zullen wij geen zwarigheid maken, de verkorte uitdrukkin-cn, in het IV. Boek, JX. Voorftel, Gevolg a, uitgelegd ,nbsp;Jc gebruiken: en van het product van twee lijnen te fpre-hen, om den regthoek, door dezelve gemaakt, aan te duiden. Ons XIlI. Voorftel, bij voorbeeld, zoude, volgens denbsp;ftrikte fpreekwijze der Ouden, welken wil tot nil toe innbsp;acht genomen hebben, dus uitgedrnkt worden: de regt-,, hoek uit de choorde , die de fom van twee bogen be- fpant,_en de middellijn, is gelijk aan de fom der regthoe- ken uit de choorde van eiken boog, met de choorde vannbsp; het fupplement des anderen boogs. De volgendenbsp;Voorftellen konden op de zelfde wijze uitgedrukt worden.nbsp;Hoe wel nu deze uitdrukkingen, misfehien, meer in dennbsp;fmaak der Ouden zouden vallen, verkiezen wij de anderenbsp;gebruiken, die korter zijn, en meer onmiddelijk in denbsp;berekeningen te pas komen; vooral daar wij dezelve zeernbsp;uaauwkeurig uitgelegd, en tevens aangetoond hebben, hoenbsp;2gt;j in de daad uit de ariktfte bewijzen der Meetkunde zelvenbsp;afgeleid worden. Wij hebben daarin te minder zwarigheidnbsp;gemaakt, daar euclides en archimedes zelve ze gebruiktnbsp;hebben, zoodra het op het tekenen in getallen aankwam,nbsp;^00 als duidelijk blijkt uit het VII. en X, Boek van eucli.nbsp;Es, waarvan wij verfcheiden plaatfen hebben aangehaald,nbsp;uit het werk van archimedes over den cirkel. Dit zijnbsp;onze manier van handelen in de volgende Voorftellennbsp;genoeg,
IX. voorstel, rig. 172.
^ De reden van choorden [DB en fmusfen [Dl en gt; verkeerde fmusfen [BI en , tangenten [BE en
-ocr page 396-334 VJll. Boek: Over de maat en berekening der hoeken,
bel, fecanten [CE en Cc], cofmusfen [Cl en CiJ^ tangenten [GF en gf], cofecanten [CF en C/^] vannbsp;Ijjke hoeken, of van bogen die gelijke hoeken befpaiinen,nbsp;en dus gelijkvormig zijn , tot den radius, zijn in all^nbsp;cirkels, welke ook derzelver grootte zijn moge, de zelfi^
E.'iwijs. Uit de gclgkvomigc driehoeken, door IV. a,
GEVOLG.
gedrukt.
De choorden, finusjen, tangenten , fecantaz, zijn ook eeiie ware maat van de bogen en van de hoeken-en, w'elke ook de grootte van den radius zijn mogenbsp;worden die choorden, finusfen, tangenten, fecanten, ^}'nbsp;tijd door het zeli'de getal deelen van dien radius u'
voorstel.
De laatde rede van den boog, van de choorde, van de'* fim% en van den tangent is die van gelijkheid: die van dequot;nbsp;copnus en van den fecant is de radius: de middellijn is dinbsp;des copnus van het fuppleraenc eens boogs.
BEWtjs. uit VII. 3. om dat de boog de limiet is van choorde finus CU tangent', de radius die van cofinus en fecant ennbsp;middellijn is de limiet van Aen cofinus - Jupplement, df van den re'nbsp;ftnus van 180*.
De pnusfen en tangenten van zeer kleine bogen volgequot; zeer ten naasten bij de rede van de bogen zelve : en hoquot;nbsp;kleiner die bogen zijn hoe naauwkeuriger die gelijkheid vaquot;nbsp;rede plaats heeft.
II. GEVOLG.
De boog van iquot; is klein genoeg ora den pnus te houdquot;quot; voor gelijk aan den boog zelven : of pnus iquot; =;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1quot;:
derhalve (Voorft. III. Gev. i en 2.) de radius in fecondquot;quot;
I
tgedrukt =
aanmerking. De boog van ne feconde indien de door I wordt uitgedrukt. is
0.00000,484k, 1368, u
De boog zelfs van 1/ vrfchilt al zeer weinig van zilquot;^ pnus'. wan: dezelve is
o.ooo29,oamp;882o,855(J
en deszelfs nbsp;nbsp;nbsp;9,00029,q8.8?zo,4553.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jjf,
-ocr page 397-III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
^ndien dan een boog B Eeer klein is, is B - nbsp;nbsp;nbsp;en
dus ^ nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CZlll _
us nbsp;nbsp;nbsp; I ; en indien B =5 x31, is nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; i:
j5 nbsp;nbsp;nbsp;j
' hoe kleiner her yerfchil van twee bogen is, hoe nader fimis van den boog welke dat verfchil uitdrukt, gedivi-erd door dieii'boog zelveti, aan de eenheid komt: indiennbsp;* = y of x 31 o, heeft zulks plaats.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
tang. B
Insgelijks indien B zeer klein is, is ra i. en
aa I.
V. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
, nbsp;nbsp;nbsp;choorde B
'Jok is, zoo B zeer klein is,---aa i. en
^hoorde (x
D. G. Handleiding f 5. pfip,
II. EIGENSCHAPPEN EN BEREKENING der CHOORDEN.
XI. VOORSTEL. Fig. 156.
Indien twee ongelijke bogen van den zelfden cirkel gege-n zijn BG, ^ AB) zal de choorde van den groot-fen eene kleiner rede hebben tot de choorde van den klein-'^n, dan de grootfte boog tot den kleinften.
bereiding. Zy de lyn B D , die den boek A B G in twee gelijke declen deelt: men trekke AG, DA,DG: en uit D , D Z x opnbsp;*.G. Men befchrijve uit D met den radius DE eenen cirkelboognbsp;die de verlengde D Z fnydt in T, en D A in H.
BEWIJS. Om dat Z D B G = Z A B D : is D G = A D : cn om ^atBGgt;ABisEGgt;AE: Maar /'ecior E T D gt; A D E Z : ennbsp;^ DEAgt;/ʫorHDE jderhalve ADEZ; A DEA lt;C /ictor DT:
fectcr D E H : maar AdEZ: A DEAa! EZ:EA: derhalve E Z : A ^ fictof D E T: fector DEH, ^ ^ EDZ: Z EDA: ennbsp;eemponendo.
EZ EA (of AZ): EA lt; ^ ZD A: Z EDA: cn dus ook dat AD = DG; en A,Z = 2 0} s AZ Cof GA3!^:a
336 yUI. Bock: Over de maat en berekening der hoeh
lt;^GDA: i ED A: en (/iVW!* GA EA: EA lt; Z GD^ Z EOA: maar GE: EA = GB:BA: endusZGDE ofZCPB-Z E D Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B G : r' A B : en derhalve GB:BAlt;^B*^'
A B
aanmerking. Dit Voordel is van piolemaes , die hst even als de twee volgende in zijn AUnageUum, I. Boek*nbsp;Hoofdd. IX. heeft voorgedragen
GE VOLG.
De choorde eens hoogs daat dan tot de choorde van eenio
gedeelte deszelven, bijv. het in kleinere rede dan ? : i-
m
en dus is de choorde van | gedeelte van den boog grootef dan het gedeelte van de choorde des geheelen boogs.
XII. VOORSTEL. Fig. 132.
Het vierkant der middellijn is gelijk aan de fom def vierkanten van de choorde eens boogs, en van de choof'
de van het fuppleni^ _ _
dat is, Alf e= At/-
BEWIJS. Uit V. 7. en 11. 16.
GEVOLG.
De middellijn van den cirkel, en de choorde eens boog*^ gegeven zijnde, vindt men gemakkelijk de choorde van hdnbsp;fupplement
dat is, Te' =; AB''
I, nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. De choorde van eenen boog van o'. is d*nbsp;zijde van den regelinatigen zeshoek in den cirkel befchf'nbsp;ven CVI. 8. Gev 2.) , en is dus gelijk aan den
Alle andere choorden worden gevonden met den wofi^ uit getallen te trekken: doch deze zijn geen quadraat-g*'nbsp;tallen: en dus vindt men die choorden Hechts bij nadering.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Hierop, dat namelijk de choorde van do g*quot;'nbsp;gelijk is aan den radius, fteunt het gebruik van die lijn^^nbsp;op den proportionaal-pasfer welke met de letter C, ofnbsp;Woord choorde, beHempeld zi|u. Zij dienen om de choO^'nbsp;den van alle hoeken, of bogen, gemakkelijk t,e vinden,' ^^nbsp;omgekeerd, om uit de grootte der choorde de hoekennbsp;temaken. De afttand van het begin der fchaal (dat isnbsp;.i'a proportionaal-pasfer van het middelpunt deszelven
-ocr page 399-tot 60, is lie choorde van 60 gr., en ds de raUis. Het gebruik is gevestigd op IV. 2.
Men vindt ook dergelijke lijnen van choorden op de plein.. hhalcn \ derzelver gebniik is bepaald tot den radiin van dnbsp;^'haal, daar de proportionaal-pasfer voor alle mogelijke ra~nbsp;'t dient.
aanmerking. De lijn der cliorden dient ook om de gilden van de regelmatige veelhoeken, met betrekking totnbsp;den radius, te vinden: die zijden immers zijn de choordennbsp;der middelpuntshoeken. De lijn der choorden is Zelfs ttnbsp;die verrigting ruim zoo gefchikt ais die der polygonen.
Aanmerking. Op de pleinfchalen laat de lijn der choorden meestal in verband met eene lijn gemerkt R, of mt het woord Rhumb, en in 8 grootere deden, en vervolgensnbsp;ieder deel in vier onderdeelen, verdeeld. Het achtlle valtnbsp;op po k Deze dient voor de zeelieden om de Rhumbs 1, ofnbsp;^mpasfirceken, en daar door hunnen koers, gemakkelijk in'nbsp;hunne figuren, pf kaarten, over te brengen. Het vierde gedeelte des oratreks van den cirkel bevat 8 ftreeken ; iederenbsp;itreek is dus een hoek van ii4 gr. ; ook komt de eerfienbsp;fireek op de lijn R overeen met iif op de lijn der ckoor-den-, de tweede met aai enz.
De choorde [DB] van de fom van twee boogen [AD, ^ B] Is gelijk aan de fom der producten van iedere choordenbsp;met de choorde van het fuppleraent des anderen hoogs gemul-'Pliceerd, en door de middellijn gedivideerd, dat is,-
ABXDl-t-AI)X'lB
n R ^ nbsp;nbsp;nbsp;-............. ' nbsp;nbsp;nbsp;
AI
bereiding. Men trekt de middellijn IA: cn de fupplemcnt-chor-hen BI, Dl: dan is ABID eert vierhoek in den cirkel befchre-'l'w. Waarvan DB de eene diagonaal en d middellijn AI de andere diagonaal is.
Uit VI. 7. welk Voorltel, het Voorilel, van PTotEMAEtrS Senoemd, indedaad met dit overeenkomt, zoo nien voor de regt-oeken de producten der lijnen, dat is de producten der getallennbsp;Aie de lengte der lnen uitdrukken, ftelt: en ook ptolemaeusheeftnbsp;it Voorilel gebruikt om de choorden te berekenen.
I. GEVOLG
V Wanneer dus de choorden van nbsp;nbsp;nbsp;bogen kiekend
meu de choorde van de fo dier bogen vinden r want berekent eerst door het .XU Voorilel, Gev. de ch
-ocr page 400-33^ VilL Boek: Over de maat en berekening der hoeken.
den der fupplementen, en dan door dit Voordel de gevraagde choorde derfom; en ook die is door ptolemaeus verrige.
n. G E V o L G.
De choorde eens hoogs, die het dubbeld is van een ge-geven boog, is gelijk aan het product der choorde van deo boog door de choorde van het fupplement gemultipliceerd,nbsp;en door den raus gedivideerd; dat is, zoo AB ~ AD, is
i AI
III. GEVOLG.
Op de zelfde wijze vindt men de choorde van eenen drie* voudigen, vijfvoudigen, enz. boog; met door ons Voorliednbsp;en door het 11. Gevolg, de choorde te berekenen van dennbsp;boog die de fom is van den enkelen en den dubbelden, vet'nbsp;volgens van den dubbelden en den drievoudigen, enz.
IV. GEVOLG.
De choorde AB van het verfchil van twee bogen DA^ en /~gt; DPA) is
AI . DB AD . IB AB canbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Dl 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
BEWIJS- Het volgt oumiddelk uit dit Voorftel: en het is ook dool
proLEMAEs verrigt.
De choorde eens boogs [I E] die de helft is van een g*' geven boog C^IE] is gelijk aan den vierkants-wortel van hj^nbsp;product uit den radius [C E] en het verfchil [Q E] van 0^nbsp;middellijn en de choorde [T^] van het fupplement des
geven boogs [FIE]: dat is, IE = nbsp;nbsp;nbsp;X [TE TfJ'
BEWIJS. De choorde van een boog is altijd do zjide van eeni^l.*! veelhoek: dus is de choorde van den halven boog de zijde des Vtljnbsp;hoeks die eens zoo veel zijden heeft: en gcvolgeiyk is dit Voof^,nbsp;het vermaard Voorflel van ptolkmaeus door ons in het *nbsp;Voorftel van het VI. Boek bewezen.
O E V O L G.
Men kan derhalve de choorden berekenen van alle de gen, die door eene gedurige verdeeling in twee gelijkenbsp;voorkomen: en die rekening wordt nog gemakkelijkernbsp;door het Voorftel van snellius dat het Gevolg is va nbsp;XXVI Voorftel des VI. Boeks.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j.
-ocr page 401-1* AANMER.KING. Mcn ksti de choordc van de helft eens gegeven boogs nog op eene andere wijze vinden.
Want, daar F I =! IE is, zy CK loodregt op FE, eii
K E =: i F E: maar C K ~ nbsp;nbsp;nbsp;_ ^kquot; ; K I
=: Cl CK, IE =: nbsp;nbsp;nbsp;^O K'f: en ftellend
voor KI, de waarde genomen door (II. 3. Gev. 3.)
[Cr CK]*^i is IE =3 F KI . quot;bT: zijnde KI de helft van ZI: en ZI =2 EI I)Z =3 I BL: het geen isnbsp;het Voorftel van ptolemaeds voor de choorde van dennbsp;boog [IE],die de helft is van den gegeven boog [IEL]i
aanmerking. Men kan dns gemakkelijk de choorden van alle hoeken of bogen berekenen; want die van 60 is gelijknbsp;aan den radius: en door de verdeeling in twee deden,nbsp;vindt men die van 30; 15=5 7 ,30'; 3, 45' =3 225':nbsp;dan die van een vijfde gedeelte van 225' of van 45': dannbsp;die van een derde gedeelte van 45' of vair 15'; wederom dienbsp;Van een vijfde gedeelte of van 3': wederom die van eennbsp;dpde gedeelte of van i'. Om de choorden van bogen tenbsp;vinden die het derde, of het vijfde, gedeelte zijn eens gegevennbsp;boogs, gebruikt men eene foort van valfche pofitie: denbsp;choorde van het derde gedeelte van een boog is iets groo'nbsp;ter dan het derde gedee'lte van de choorde des gegeven*nbsp;boogs (Voordel XI. Gev men neemt dan een getal datnbsp;iets grooter is dan het. gemelde derde gedeelte, en gebruiktnbsp;dit als of het de ware choorde was; die choorde aannemende berekent men de choorde van den drievoudigen boognbsp;(door het Xlll. Voorll. Gev. 3.) welke dus de gegevennbsp;choorde zijn moet; zoo er eenig verfchil is, maakt mennbsp;dezen regl van drien:
De gevonden choorde (laat tot het getal dat men gefield heeft voor de choorde van het derde deel des boogs, alsnbsp;de ware choorde van den gegeven boog rot de warenbsp;choorde van hot derde gedeelte: en deze regel fteunt hier-cp, dat voor bogen die weinig van elkander verfchillen,nbsp;aanwas der choorden de zelfde rede als die der bogennbsp;volgt, gelijk reeds uit de Theorie der limieten is op te-^^^ken, en verder in ons XXi. Voorflel Gev. 6. blijken zal,
Itidien men dan de choorde van 7, 30 heeft, kan men dp die wijze de choorde van het derde gedeelte, of vannbsp;^ * 3o'. zoeken; en dan van het 5. gedeelte van 2. 30'nbsp;df van 30N en dan van het derde gedeelte, of van 10/: ennbsp;dan van bet vijfde gedeelte of van 2': en dan van de helftnbsp;van I' waaruit men alle andere choorden vindt.
kan hier over nazien deparcieux Nouveau Trait Vanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;di
-ocr page 402-III. AANMERKING- Ptolomaes is de eerde Schrijver, welke ons d* eigenfehapp^u der choorden op die* wijze heefc doen kennen , eo-Tafels van choorden berekend heeft, van halve tot halve gradeanbsp;beginnende met 30/ en eindigende met iSo'quot;. Hij verdeelde dennbsp;radius, volgens de gewoonte van dien tijd,in 60 deelen: en iedetnbsp;dezer deelen wederom in 60, en altijd zoo voort volgens de [sX'nbsp;agefimale verdeeh'ng. De lambre heeft de berekeningen van Fto-EOMAEiis zeer naauwkeurig bevonden. Men gebruikte de choordennbsp;en derzelver Tafels toen de fimisfen en tangenten nog niet bekendnbsp;waren. Nu gebruikt men alleen deze, welke aan de Grieken on*nbsp;bekend waren: het zal uit het XV. Voordel blijken dat men denbsp;finusjenmx de choorden, en wederkerig deze uit gene kan opmaken.
SINUSSEN EN SINUS VERSUS
XV. VOORSTEL. Fig. 172.
Da finus [D1] van eenen boog [BD] is de helft van de choor-de [DK] eens dubbelden boogs [DBK]; en de choorde eenS boogs is tweemaal de cofmus van het halve fupplement.
TAEQUET Trigon, Lemma, p. 335. L. G, Trigon. S, is.
/iSo B\
2 co], (po' i B) c 2 cof. \ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;) s cof. halve fup'
I. GEVOLG.
Men kan dan de finusfen uit de choorden, en omgekeerd, de choorden uit de finusfen opmaken.
De finus van den hoek , of boog, van 30', en dei' halve ook de cofinus van den hoek, of boog, van 60nbsp;is de helft van den radius, of van den finus van t)0nbsp;CBep. 3. Gev, 2.) d. i. van het vierde gedeelte de*nbsp;om treks.
st. vn. 2.
aanmerking. Hierop fleunen, op de proportionaal-pasfef\
II. jtifd,: Over Se Sinus fen, Tangenten en Secanten. 341
en ook; op de pleinfchalen , de lijnen welke den naam van finui dragen, of met eene grocte S beftempeld zijn. Zijnbsp;dienen om de hoeken door middel van den finus te be-fchrijven: of den Jinus voor eenen gegeven boek, en voornbsp;eenen bepaalden radius ^ optemaken.
IIL GEVOLG.
De zijde van een veelhoek in den cirkel befchreven, is het dubbeld van den finus des halven middelpuntshoeks: zoo dat men die zijden zeer gemakkeiijk vindennbsp;kan, wanneer de fmusjm van alle bogen met genoegzamenbsp;baauvvkeurigheid berekend zijn.
XVI. VOORSTEL.
De finus van een grooteren boog heeft tot dien van eeni kleineren boog eene kleinere rede dan de grootfte boog totnbsp;kleinften.
BEWIJS, zy A de grootfte boog, en a de Ideinfte: dan is CVoOrft, XV.) Jill. A choorde a A, en lin. a - i eboorde a a. Maarnbsp;choorde a A: choorde aa^aAia^ A:CVoorft. X[j; dusnbsp;Jin. A: fui, a ^ Aia,
De finusfen groeijen aan, of nemen af, in kleinere rede dan de bogen tot welke zij behooren: naar mate de bogen groo-wordt het verfchil grooter; doch het is voor zeernbsp;kleine bogen onmerkbaar.
XVlI. VOORSTEL. Fig. 172.
De fotn der vierkanten van den finus en van den co. lifius eens boogs, is gelijk aan het vierkant van dennbsp;ius'. dat is.
cof.^.
SEWijs. Uit II. 16.
I. gevolg.
Wanneer de radius en de finus of de cefinus^ gegeven , vindt men gemakkelijknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;co finus of den _/?w; want
cof.^ = (/ 4- cof') (r cof.')
(r .) nbsp;nbsp;nbsp;fin.f
AciiuET Trigon. Porisin, i. St. Vn, j,
Y 3 nbsp;nbsp;nbsp;IL
342 Vin, Boek: Over de maat en berekening der hoekin.
II. GEVOLG.
III. gevolg.
pf o 4- nbsp;nbsp;nbsp;CVoorft. XV. Gev. 2.)
4
pf lin.^ 60 :ez: ^ nbsp;nbsp;nbsp;: en /Ja. 60, i r V 3,
I aanmerking. ' nbsp;nbsp;nbsp;3 ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 j cnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;komen dikwerf in berekenin'
V 2
gen te pas; w zullen ze om die reden hier bijvoegen.
I nbsp;nbsp;nbsp;
0.70710678
XVIII. VOORSTEL. Fig. 173.
Dey?s [LM] van de helft van een boog is gelijk aaH (dgn wortel uit het halve product van den rafims en den fmPnbsp;verfui-. of aan de helft van den wortel uit de fom van denbsp;vierkanten van den [mm en den jinm. verfus doch de cofiri^nbsp;[CM] van de helft van een boog is gelijk aan den wofte'nbsp;uit het halve product van den radius en den finus verfus vanbsp;het fupplement: dat is
fin, i B ~ fV i r X Jin. v. B: = h r Qi cof. F)
B : en
fin, fm. V.
zof.
Tb = FT7 X fin. y,fvpp. B s
St. VII. 4. Gev. 1. - L, G. Tr, . 20.
bewijs. Voor het eerste. Uit de gelkvormiga driehoeken en LBN, en de opmerking dat LM aa 4 L B.
Voor het n. Uit II. 16. op den driehoek LBN toegepast.
VOOR
-ocr page 405-Voor het III. Uit de befchouwing dat cnf. quot; ^ nbsp;nbsp;nbsp; fm*
on voorts uit het I.
GEVOLG.
4 fin.
r ( - nbsp;nbsp;nbsp;= r
Sin.^ (J B) X cof.^ (i B) = 4 r X fin. V. B. /in. fupp. B = (Bep, 5. Gev.) ^ (i co/. 'B') (i 4. cd/.B)
i.a B
en dus fin. y. B =
.___/in.^ B
V, fupp, B*
aanmerking. Zie andere uitdrukkingen van den /inus '^erfus, Bep. V. Gev. en Voorft. XXIII. ,
XIX. VOORSTEL. Fig. 174.
Indien men op den omtrek eens cirkels eenen bepaalden Oog [AYl aanneemt, vervolgens den dubbelden boog L^D]nbsp;on bogen XDE. EF, FG, G Hj ieder gelijk aan dien dubbelden boog [A D] ; zal de radius Baan tot tweemalen dennbsp;cnpnus van dien boog, als de finiis van dien boog tot dennbsp;finm van den dubbelden boog: als de finus van den dubbeldennbsp;boog tot de fom der fmmfen van den drievoudige^ boog ennbsp;''an den/enkelden: als de finus van den drievoudigen boognbsp;tot de fom der finusfcn van den viervoudigen en van den
bubbelden: in n woord als de finus van den n i boog, tot de fom der finusfen van den n, boog en van dennbsp; 2 boog.
aeuiding. Zij AY de boog, ACZ de middellijn: neem YD ta AY; DE i=EF3 FG::^ GH =S AD. Trek de ehoorden AY,nbsp;AD,AE,AF,AG,AH:enZD, ZE,Z F ,Z G: verleng aF,nbsp;Ag, au , enz.: maak Eis AE:FK-.AF:GLs AG enz.
BEWIJS. ZDAE S Z EAFs Z FAG S Z GAH enz, en uit II. 07. Z I S Z E A I : Z K S Z FAG: Z L r: Z H A G: zoo dat allenbsp;de AAaDE, AEI, AFK, AGL gelijkbccnig, en boven diennbsp;onderling gelijkhoekig , en derhalve geljjkvormig zjjn , en metnbsp;^ D Z C : om dat Z D Z C , of ^ D Z A a Z D A E ^ C D Z.nbsp;Verder A EFIS A ADE; AFGK - A EAF; A GUL Snbsp;^ FAG: en derhalve F1 S DE, GlCa AE,HLs AF enz.nbsp;derhalve
C: DZ - AD: AE
p AE:AIa AF FIa AF AD
344 VIII. Boel: Over de maat en berekening der hoeken, - AF: AK - aG GK = AG AE
;=! AG:AL=iAH HL:3 AlI AF,
cuz. nbsp;nbsp;nbsp;\
Maar VZ as nbsp;nbsp;nbsp;2 cof,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f /-inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ADnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; a cof. AY (Voorft. XV.)
2 pn. nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c: 2 fin. lt;~i A y
2 pn, nbsp;nbsp;nbsp;J ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2; o, pn. 'ADc; z ptt 2 ^ A'i
AD ~
AE
AF;:! 2 y?. i ^ A D E F S 2 /?. 3 ^ A D = 2 p:i. 3 r\ AG 23nbsp;AH s
aV
.pit. J r\ AE F G 23 2pn. ^ ^ AD 23 2 /,.4r\ A Y 2 pn, J^AEFGH23 2 pn f A D S 2 fm. i A'i'lt;nbsp;enz.
Dat is, flellendc B voor ^ AY,
2 cof. B 23 fm. B : pn. 2 B
23 pn. nbsp;nbsp;nbsp;2 B:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pn. znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; pn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B
23 /?. nbsp;nbsp;nbsp;3 B :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/?. 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-I- pn,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 B
23 pn. nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pn 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-i- fn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz.
23 pn. nbsp;nbsp;nbsp;[n]') B; pn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; B -J- pn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{n - a) B,
. AANMERKING. Dit Voorflel, doch op de choorden toegC'
' past, is reeds in 1633 gebruikt door gellibrand Trigon, Brit-tamiica. Cap II. Lemma. Daar na, even als het volgenae door anderen, als door sharp. Method, of Conflr, the nataf-fines, prop, 3 te vinden in de Mathematical Tables van sher*nbsp;WIN; door B. martin , Trigomnicter's Guide, Theorem. XXVJgt;nbsp;XXVII. Robertson, Elem. of Navig., Boek III. prop. 4.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Het bcwijs van dit Voorftel, te weren AD:nbsp;A E =3 A E : A F A D geeft deze belangrijke eigenfehapnbsp;des cirkels. ,, Indien een hoek DA F in den ouitrek, doornbsp; eene lijn AE in twee gelijke deelen gefneden wordt: isnbsp; die lijn niiddeleveir-edig tuslchen het kleinfle been en
de fom der twee beengn.
GEVOLG.
In het algemeen
fin. B 22 2 cof B pn. (ji i) B fin, C r- 2) E Bellende den radius r 22 i :
en in het bijzonder
fm. 2 B 23 2 fin. B cofi. B.
III, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men ziet hieruit hoe geinakkelijknbsp;valt om, pn. B en cofi. B bekend ziinde, achtervolgens dnbsp;pnusfen van 2 B, 3 B, 4 Bgt; te berekenen, zonderdenbsp;oofmusfen van die zlfde bogen te kennen.
|a de zelfde onderftellingen als bij het voorgaande
-ocr page 407-: ftaat de radius tot den dubbelden cofinus van den gege-boog , als twee analen de cofnius tot de fom van den en van den cofinus des dubbelden boogs : als de co-Jnus Yan den dubbelden bbg tot de ibm van den radiusnbsp;den cofinus van den drievoudigen boog: als de codnus vannbsp;en drievoudigen boog tot de fom van den radius en van dennbsp;van den viervoudigen boog: enz, in n woord, denbsp;'ad/ijs ftaat tot den dubbelden cofinus eens boogs, als de c/-van (?j i) maal den boog tot de fom van den radiusnbsp;Van den cofinus van n maal den boog.
Bereiding. Men verlenge de muklelUjn Z A en dc choorden ZD, Ze, ZF enz.: men trekke op die verlengingen DM=| DZ;ENnbsp;a EZ;FO=; FZ;GP3 GZ enz.; dan zijn alle de driehoekennbsp;ZDM, ZEN, ZFO, ZGP, gelijkbeenig , onderling gelijkhoekig,nbsp;en derhalve gelijlcvormig ,en ook gelijkvormig met driehoek D C Z.nbsp;Verder blijkt het dat /lDAMr3 A EZDjA ENDnbsp;Afoe ^ FGZ; waarnit volgtnbsp;AM s EZ ; DN s FZ ; EO ra GZ enz.nbsp;en uit de gemelde gelijkvormigheid isnbsp;lgt;C:DZ'r=DZ:ZlM crZA AMrS ^A ZEnbsp;rrEZtZN kZD DN^I DZ ZFnbsp;K FZ:ZOs Z EOs ZE GZnbsp;enz.
_ nbsp;nbsp;nbsp;ff^PP' loog D
maar ZD rr a cof. ^^---) Voorft, XV. 3 a co/1 I A D s a cof. r\ tsY .
Z E rr 2 cof. i E D A S a caf. z-n a A Y
cof. ^ 3 AY =! i cof. 4 r\AY
Z F ra 2 cof. JoFEDA s a cof. A Y rr a
8 ^ AY
^ G rr 2 cof. i GFEDYA n a cof, enz,
?n dus ftellcnde B voor ^ AY.
IS: 2 cof. B = cof. B : r cof a B quot; cof. o B: r -j- cof 3 Bnbsp;= coj. ^ Tl: r fi- cof. n'Bnbsp;enz.
en in het algemeen
I.
*1 2 cof. B = co/1 K I. B: r cof, n B.
d. i.
Aanmerking. Uit het bewijs blijkt dat C: DZ =3 DZ; ZA ZE: ofnbsp;ZA ZEnbsp;AZ: DZ =5 DZ: - --
Indien een hoek AZE, in den omtrek door de iniddelliju en eene choorde ZE gevormd, door eene lijn ZDnbsp; ni twee gelijke deelen gedeeld wordt: Haat de fnijden- Ujn middelevenredig tusfehen de middellijn , en denbsp; quot;fllve fom van de middellijn en het ander been des ge- even hoeks.
GEVOLG.
Cof. B C* ^/quot;* B coj. (n I) B r^j: r en in bijzonder ft B rs (2 cof.^ B r^): r ~ cof?' Bnbsp;(rs eof? = cef? B fin? B, indien r = i.
II. aanmerking. Ilec blijkt dan hoe gemakkelijk men, cof ^ gegeven zijnde, de cofinusfen van 2 B, 3 B, 4 Bnbsp;vinden kan, zonder de finusfen van B, 2 B, 3 B enz.nbsp;kennen.
XXL VOORSTEL. Fig. 175.
De finiii [LN] van de fom van twee hoeken of bogfi [DL en DB], is gelijk aan de fom der producten van denbsp;finne van ieder boog gemultipliceerd met den cofmus vanbsp;den anderen, en gedivideerd door den radius: en de finU^nbsp;fTSl van het verfchil van twee bogen is gelijk aan het ve*'nbsp;fchil''dier zelfde producten: d. i.nbsp;fin. [B C] =: Ifin, B . cof. C fm. C . cof. B): r
en
fin. [B C] S3 [/a. B . cof. C fin, C . cof. B]: r.
St. VII. s. L. G. Tr. S- I9-
BEREIDING. Z LM loodrcgt op CD: dan is LM de de coOmis van boog LD, of Z LCD: zij insgelijks Dlnbsp;dan is D I Jhms en C l coOnits van boog DB of Z D C B : Z Linbsp;X C B , dan is L N =: Jintts L B s fm. [L D D B] en C N is jnbsp;co''. [LD DB]-, voorts LM verlengende tot de ontmoeting df'nbsp;cirkels, is M T 33 L M, en boog D T s boog LD, en dusJnbsp;TB Si boog [DB LD]. Stellende TU en PM loodregt op LuJnbsp;en MO op CB; is TS = . TB s UN = PN PU =: P],nbsp; PL; om dat PL s PU, want LP: PU s LM: MT: ennbsp;= MT.
BEWIJS. Voor het eerste. LN33 PN PL: men zoekt de waarde van P L uit de gelkvormige driehoeken P M Lnbsp;C Dl: dan die van PN uit de geljjkvormige driehoeken MCO
LM X Cl D I X CM C DI. En men verkrijgt L N Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f; p)
P L : waaruit het
uit het Voorftel volgt.
TS =! UN 33 PN
Voor het tweede, ftel volgt.
:ia
! gevolg#
De finus van een dubbelden hoek is gelijk aan het dnbL product van den finus door den cofiniis, gedivideerd doofnbsp;radius 1 dat is
s (in. B ^ fff/. B . 2 B =! -
AAI*'
of, zoo gt; s I, fin. 2 B S3 2 fin, B X cof, B.
-ocr page 409-4fd.: Over de Sinusfeti, Tangenten en Secanten. 347
Dit komt overeen met Voorftel XIX. Gevolg, II. GEVOLG.
t^AGNoLi. . 63.
, nbsp;nbsp;nbsp;lll. GEVOLG.
^in. \'ip a'i z=. % cof. a \ V 3 x [tn. a.
nbsp;nbsp;nbsp;Indien r = i
II.
EWijs. Uit Voorft. XVII, Gev. 3, nbsp;nbsp;nbsp;\
Aanmerking. Derhalve is de fom vtn fin. a gemultipli-door Y 3 en van een boog die a kleiner is dan gelijk aan den finus eens boogs die a grooter is dan 30.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
diw, (60 nbsp;nbsp;nbsp;-}nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/?)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-J V' 3 cof.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ jin. a
lt;Sin. (60 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i V 3 cof.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; yi. a
aanmerking. Men kan derhalven uit den finus eens boogs '2 a grooter of kleiner is dan 60, door additie den finusnbsp;poiaken van een boog die a kleiner of grooter is.
^.Aanmerking. Men kan dan uit den fiims eens boogs grooter is dan 30''' den finus vinden des boogs dienbsp;Stooter is dan 60 en omgekeerd.
Indie
VI. GEVOLG.
*^*1 boog C zeer klein is, is ^at jj. . fin. [B C] =3 ftn. B C . B:
men twee bogen heeft die weinig van elkander 'aastg K- ^2 aanwas of de afneming van de finusfen tennbsp;'lr bog^'^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zelfde rede als de aanwas of de afneming
XXII.
-ocr page 410-34-8 Fill, Boek: Over de maat en berekening der hoeken
De cnfifus [CN] van de fom [LB] van twee hoeken, bogen [lt;1^5 DI5J is gelijk aan het verfchi! van de product^nbsp;der cofinuifen van beide de hoeken of bogen, en der fineernbsp;van dezelven , gedivideerd door den radiusen denbsp;[Cl] van het verfchil van twee hoeken of bogen is gelijk^nbsp;de lotn van die zelfde producten; dat is
cof. (li C) = (w/. B . cof. C /. B . fin. C): ^ en cof. (B C j =5 {cof. B . cof C /i. B . fin. C): lt;
L. G. Tr, , 19, zy is de zelfde als voor het voorgaande VoorfteL
St. VIL s. Gev. 5
nEUElOlNG. daaruit volgt
CN = CO enCS = CO OS
tt
pgt;l.
NO = CO PM.
CO XT == CO UX
BEWIJS. Men zoekt eerst de waaide van C O door de
uiige driehoeken CM O en CD I ; en dan die van PM doof gciykvormige driehoeken PLM en CDI: waaruit volgtnbsp;CM X Cl - LM X Dl
CD
C W X Cl LM X Dl =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:
CN Z= -
dat het Voordel is.
I. AANMERKING. Het blijkt uit het I. Gevolg der 4. Bepali*^' waarom de cofinus van de fom van twee bogen kleiner isnbsp;de cofinus van hun verfchil.
I. GEVOLG.
Ee cofinus van eenen dubbelden hoek is gelijk aan het fchil der vierkanten van den finus en van dnii cofinus, vnbsp;yideerd door den radius . dat is
cof 2 B !=:
= nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; fin- B .
r
L. G. Tr. .13.
II. aanmerking. Dit komt overeen met Voorft. XX. Gevf^' II. gevolg.
C 'i'
Indien C zeer klein is: is cof (B C) cof B fin. B: dat is wanneer twee bogen weinig van elkandernbsp;fchillen, volgt de aanwas of vermindering der cofinusfi^ yefnbsp;trent de zelfde rede als de aanwas of de verminderiP^nbsp;bogen zelven,
JII, aanmerking. Indien men in de formules van dit eo voorgaande Vootftel Helt C =: a B; dan is
-ocr page 411-[B -t- 2 B] = /. 3 B =3 / C cof- g B /' ^ ^ B
r nbsp;nbsp;nbsp;^
[co/^ B - nbsp;nbsp;nbsp;^ B] a fa. B cofj^ B ^
r
cof.^ V, ftn?- B 2 fm. B coi^ B
a nbsp;nbsp;nbsp;'' ' 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
r
R co/. B -'fo. B , nbsp;nbsp;nbsp;
--------S f, 3 B-
r
vindt insgelijks
co . B 3 //. B coC B 3 B = -V---
I'idien men in deze formule voor Cinus 3 B j z gt; B (lelt
^Oor co/. B: verkrijgt men nbsp;nbsp;nbsp;\
r -n nbsp;nbsp;nbsp;r D 4 B
A. 3 B 3 /. B nbsp;nbsp;nbsp;. :
Indien men (lelt De; 3 B is
= , fn n tj - i;4iia.
r
aanmerking. Men kan, op die zelfde Wijze formules opmaken voor Jin. 4 B gt; yK. 5 B, enz. (Zie L G. Tr . 34 ) te wetennbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 rlt;n. B co( B 4 fm? B co'. B
[m. 4 B - ------.
r
lt;quot;gt;r. 4 B - B - 6 co'. n
f '
, Bn hieruit zoude men , zoo voortgaande, ras uit de wet, welke' leden dezer uitdrukking volgen, kunnen bemerken dat voornbsp; B en co/. B deze algemeeiie formules plaats hebben.
, nbsp;nbsp;nbsp; Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. IK 2
quot; Bk cof. nbsp;nbsp;nbsp;B f,n. B Z 2. 3- X
co/ ~~ 3 nbsp;nbsp;nbsp;3
B f:n? B
I. 2. 3. 4
en
cof. B finflS
enz.
Be co/. B -1 cof. B /. B
n 1, tt z nbsp;nbsp;nbsp;n /snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4.
^~~7; ^ g -- cof. ^ B fin. B enz, welke formules
Vel^ '**'^*2nijcre gronden kunnen bewezen worden: zij zn hij zeer Schrijvers te vinden; onder andere bj euler Iniroil in Anal.nbsp;leidT' *S3 eAGNOLi . 117. 124.. De Gelder, Hand-y quot;S . 1057 en . 1059.
Indien men deze formule van 3 B, cof. 3 B, etv 'vL _B,eo^ B; vergelijkt met die, welke in Voorllel XtXnbsp;hst h/ opgegeven , blijkt het hoe veel deze laatfte, voornbsp;'rekenen der Itniisfen, of cofinusfin, van BJ, 33,48, enz.
door den gegeven Vgt;,_cofinus B, gefflakkclijker vallen: nbsp;nbsp;nbsp;'f
z, itit geonietrifche bewijzen ontleend, in de daad meerder onmiddelliker tot de Meetkunde beliooren, dan de andere, nbsp;meer in algebrailclie vcranaeringen van eenmaal gegevennbsp;beftaan; doch liet blijkt tevens hoe nuttig het is deze vcrfchilh^nbsp;tie handelwijzen met elkander te vergelijken.
VI. EN ALGEMEENE aammerkuvg over het berekenen CEB' NusTAFELs. Hct is door de voorgaande eigenfchappennbsp;finusfin dat men de tafels van ftnus/eu en cojtmsfen voor 8*'nbsp;bogen heeft kunnen berekenen. Men kan bijv., met dennbsp;van 3'-: gr., die de halvenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is, beginnende, daaruit do'
Voorft. XVII, Gev i. den cofiniis van 30 afleidt: en 'ld' volgens door Voorflel XVIll der ftmnfen en coftnmfen 'jj,,nbsp;15: 7P. 30'; s'. 45': i. 52'. 30quot;: 56', 15''; 28',, 71'
14'. Sr: 7' gt;r': 3- 30jquot;: 1'. 45dquot;-- nbsp;nbsp;nbsp;5^f:
boog klein genoeg is om daaruit door Voorfl. XXII. , den (inus en cofinus van i'. optemaken: vervolgens, (do''nbsp;Voorft. XIV. Gev.) van 2'. 4'. 8'. 16' 32'. 64'. enz. (do^nbsp;Voorft. XXI.) van 3'. van 3quot;. van 7'. van 14'. enz.; vannbsp;4- 14' of 30'. van I. en zoo voorts van graad tot g'*nbsp;tot 30; waaruit men (door Voorft. XXI. Aanm. 2.) ged^'fnbsp;kelijk de .finusfen van graden boven de 30. vindt.nbsp;kan over het berekenen van Sinus Tafels op die wijze nazi ^nbsp;steenstra VII. 5. TACQUET Trigon. prop. 15: et p. Ir'nbsp;en anderen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j
In den beginne heeft men op die wijze het verbaz^' werk om Sinus-Tafels, te berekenen van minuut tot minuh^nbsp;en zelfs van 10quot; tot. 10quot;, verrigt. Na de uitvinding %nbsp;Logarithmen, heeft men er de Logarichmen der fmtirnbsp;bijgevoegd.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
In latere tijden heeft men de fimsfen gemakkelijker, ook van feconde tor feconde , berekend door middelnbsp;reekfen, wier leden de magten zijn des boogs ,innbsp;len van den radius uitgedrukc), waarvan men den finusnbsp;doch daar die reekfennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;niet geometrisch , maar geheelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
braisch zijn, kunnen wij over dezelve hier niet hand^*^ wij zullen er eenige in het Aanhangfel opgeven.
^ nbsp;nbsp;nbsp;Y JJ*
te
GEVOLG.
/ifd.: Over de Sinus fen ^ Tangenten en Secanten. 351
Aanmerking. Zie hier voren Voorft. XVIII. Gev. nog ene andere uitdrukking van den Jinus verfus.
aanmerking. Men vindt Tafels van pms verfus in de Engelfche Tafels van sherwin, en in de groote Nedernbsp;dviitfche van douwes. Dezelve gaan Hechts tot 90; en wijnbsp;hebben te voren gezien, dat de pnus verfus beftendig aan-^roeit tot i8o toej men moet dus ook de overigen we-'en te vinden; dit nu gefchiedt gemakkelijk, met bij dennbsp;fadius den copnus van het getal graden die de gegevennbsp;hoek boven de 90 bevat, te voegen. Wil men verder dennbsp;^ogarithmus van die pnus verfus hebben, behoeft men maarnbsp;de Logarithmen der gevonden getallen (r -[ copnusquot;) tenbsp;'Jemen, maar dan moet er wel opgelet worden dat men hetnbsp;'Character met 3 moet vermeerderen , om dat de Logarith-quot;fus des pnus verfus ^het geen ook in den LogarithmuSnbsp;der ptiusfen, tangenten, fesanten plaats heeftj voor een ra^nbsp;quot;Jus van 10,000,000,000, doch de natuurlijke , of Hechtsnbsp;pnus verfus, [inus, of tangent alleen voor eenen radius Yannbsp;10,000,000 berekend zijn.
De laatfte rede van den pnu% verfus [BI], en van dat gedeelte [D E] van den Jecant dat tusfchen den omtrek en den tangent begrepen is , is de verdubbelde rede van dennbsp;^oog B D.
newton Principia I. Lem, li.
bewijs. I. Uit XXII. is DB^
boog DB is de limiet van
ln. verf. s BI n
de
maar
AB
Boog^
Diam.
choorde DB: en dus is de limiet van fmus verfus
y* Uit de driehoeken EDZ ea CEB is flV. 2).
E ; IB 3 C E : C B en dus
r\ nbsp;nbsp;nbsp;M C E
maar boog DB is de limiet
Dg _ IB X CE
C B quot; A B X C B de choorde D B, en C B is de limiet van CE,nbsp;en dus
**ivanDEa
Dinm,
352 Vltl, Boekt Over d maat n berekening der hoeken^
I. GEVOLG.
De finus verfus van kleine bogen groeijen aan, of verniiO' deren, in de verdubbelde rede hunner bogen.
Ui GEVOLG.
Voor kleine bogen is het gedeelte van den fccant, tusfchs (jen oratrek en den tangent begrepen, gelijk aan dennbsp;verfus, en het groeit aan als het vierkant van den boog.
AANMERKING. Beide deze gevolgen zijn van veel nut in
Natuur- en Sterrekunde.
IV. EIGENSCHAPPEN EN BEREKENING D E R. T A N G E N T E N.
XXIV. voorstel. Fig. i72i
Cot. =
lang.
De Tangent of raaklijn [BE] van eenen boog [DB] of hoek [D C B] , is gelijk aan den radius geimiltipliceei'nbsp;door den pnus, en gedivideerJ door den cofinus: en dsnbsp;cotangent [G F] is gelijk aan den radius gemuitipliecefdnbsp;door den cofinus, en gedivideerd door den fnus; dat is,nbsp;r X fn. ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r % cof.
fn*
, St. vil. 8. L. G. Tr, , 17.
BEWIJS. Uit cfe gelijkvormige driehoeken CID CU CB^ voor het I: CDI en GFC voor het II.
CAGNOLI . 56, 57, 102.
I. AANMERKING. Hieruit^ blijkt, i dat, indien, of de of de cofinus negatief is, de tangent het ook is, hetnbsp;overeenkomt met de Aanmerking op de 6. Bepaling; 2.nbsp;indien,77s en cofinus het beiden zijn, de tangent wederv^nbsp;pofitief wordt; het geen plaats heeft voor bogen tusfchennbsp;eii 270 gr. en 3. dat de tangent van 90' oneindig is.
ftn. 90 r nbsp;nbsp;nbsp;(j
tang.0^ Pq~q =3 quot; het geen eene oneindige grooth^
aanduidt.
I. gevolg.
pe Tangent en Cotangent van eenen boog van 45-beiden gelijk aan den radius,
st, vn. 8. nbsp;nbsp;nbsp;F
-ocr page 415-^fd.: Over de Sinusfeh , Tangenlenen Secanten. 353
aanmerkigt;g. Hierop (leunt de lijn geteekend tangent, zoo op den proportionaalpasfer als op de pleinfchalen. X5enbsp;frtaiid van het begin tot 45*^ is de radius', daar na wordennbsp;de tangenten grooter dan de radius: doch juist daarom zijnnbsp;op den proportionaal pasfcr twee (lellen lijnen van tan~nbsp;Spntem het eene, op wiens lijnen, op ieder blad van den pas-aan hot eind (laat 45: en dit (lel dient voor de hoenbsp;*^en die kleiner zijn dan 45. V'oor deze is de radius vannbsp;den pasfer die gcheele lijn van het middelpunt af totnbsp;45'. Het ander (lel, (dat doorgaans met eene kleine t gegt;nbsp;erkt is) begint met 45 op eenigen afftand van het middelpunt, en gaat voort tot in de 70 graden Dit (lel dientnbsp;voor de hoeken die grooter zijn dan 45', en is dus opnbsp;ene kleinere fchaal vervaardigd dan het eerfle (lel; zijndenbsp;de radius die geringe afftand van het middelpunt tot 45.
lll. aanmerking. Op vele pleinfchalen (laat de lijn der tangenten in verband met eene andere, gemerkt S. T. (^Senti-J'angnt), en doorgaans genoemd de lijn der halve tangensen , of beter , der tangenten van de halve bogen.
Zij Fig. 178. J5 G een boog waarvan BF de tangent is: men trekke uit het uiteinde H der middellijn BH de uifi-plement - choorde HG, die den loodregten radius in/Dnbsp;fnijdc: dan is de lijn CD , her geen men op die fchaalnbsp;noemt halve tangent ^ BG, of eigenlijk tangent des halvennbsp;boogs B G: immers / GHB=:UGCBadi-^BG:enCA,nbsp;radius, zoude zijn de halve tangent, of liever de tangentnbsp;halven boog BA of 90: d. i. tangent Z AHC s 450. Dinbsp;fchaal is, onder anderen , bij het vervaardigen van figureflnbsp;de Stereographifche projectie betrefferide, van veel nuti
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG,
Tangenten en Catangenten zijn gemakkelijk te bereke-, als mn de finusfen en cofinusjen eerst berekeridE heefr.
tacquet Tr. prob. 6. p. 343*
III. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
tangent van een boog is de helft der zijde van en veelhoek om den cirkel befchreven, wiens middelpuntshoek het dubbeld van den gegeven hoek is: evennbsp;tfe ftnus de helft is der zijde van en Vergelijkennbsp;elhoek in den cirkel befchreven , gelijk wij reeds tenbsp;Oren gezegd hebben: dus is bij voorbeeld de ian-amp;ent eens boogs vah 1. 5^'* 3'' de helft der zijde
2 nbsp;nbsp;nbsp;van
-ocr page 416-354- Vlllgt; Boek: Over de maat en berekening der hoeken
van eenen veelhoek wiens middelpuntshoek 3 en 45 bedraagt , dat is5 van eenen 96*hoek: en de finus van
5a'- 3 '' nbsp;nbsp;nbsp;halve zijde van den 96 hoek in
cirkel befchreven. Indien men dan dien tatigent en die*} finus. neemt, is de rede van den omtrek van den cirk^nbsp;tot den radius kleiner dan 192 malen die tangent ^nbsp;grooter dan 19a malen die finus-, of tot de middellij^nbsp;kleiner dan 96 malen die tangent, en grooter dan 9^nbsp;malen die finus. En indien men den finus en den tangent vaj*nbsp;eenen boog van 1' nam, kwam het op het zelfde uit 2Inbsp;of men een 10800 hoek gebruikte: dit gaat dus zeernbsp;makkelijk voort wanneer men eerst de finus en tangti^'nbsp;ten- tafel berel^nd heeft 5 doch men lette op hetnbsp;wij in het VII. Boek in de VUL Aanmerking opnbsp;XIX. Voorflel gezegd hebben.
IV. gevolg.
De tangent van eenen boog van 60 is het drievoud van d* tangent des boogs van 30V
/J 60 _ a ftn. so** cof. 30
BEWIJS. Tang. 60'^ coj, 60 nbsp;nbsp;nbsp;'jinTzo^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
a co/. 30 : r= V 3 nbsp;nbsp;nbsp;(XV. Cev. 2. en Voorft. XVII. Gev. 3^'
rad, S I gefield.
Maar tang. 30'' nbsp;nbsp;nbsp;== ^ z=:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ : derhalve Uit'
COJ. so i V 3 y 3
60 = 3 tang. so.
Dit zal op eene andere en meer geometrifche wijze beW*
worden in Voorft, XXXI. Gev. s. Aanmerking i.
XXVI. VOORSTEL. Fig. 172.
De tangent eens boogs is gelijk aan het vierkant den radius gedivideerd door den cotangent: en denbsp;gent is gelijk aan het vierkant van den radius gedivide^nbsp;door den tangent: dat is
^ cot^
mvijs. Uit de gelijkvormige driehoeken CEB en CF^'
I. gevolg.
Dd tangenten zijn in omgekeerde rede van de
-ocr page 417-^^n, en de cotangenten in omgekeerde rede van de tan-emcn'. dat is:
nbsp;nbsp;nbsp;I ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
cc*. nbsp;nbsp;nbsp;'tang.
I. G. Trig. . 18.
II. gevolg.
Het komt gevolgelijk op het zelfde uit , of men door den '^^tangent divideert, of door den tangent multipliceert; ennbsp;omgekeerd: of, wanneer men door Logarithmen werkt,nbsp;^eii Aqti Logarithtnus van den cotangent aftrekt, of den Loga-^thnius van den tangent bijtelt; en omgekeerd. Daar nu denbsp;oytelling gemakkelijker valt dan de aftrekking, moet mennbsp;Ujd
aan dezelve den voorrang geven.
XXVII. VOORSTEL, Fig. 143.
Van twee ongelijke bogen heeft de tangent yan den groot-tten eene grooter rede tot dien van den kleinften , dan de firootfte boog tot den kleinften.
BEREIDING. Zij IEL cje grootfte en IE de kleinfte boog: TH is de tangent van IEL: en l van IE. Trek de lijnen CEGnbsp;en C Lil: en befchrijf uit C met den radius C G den boog V GU,nbsp;die Cl, verlengd, in V, en CH in fnijdt,
BEWIJS.' Sector CGU: fector VCG c GU; *gt;VG :=-^EL; IE (VII. IS. Aanm. i
^GCH: ^ICG s GII:IG: maar A GCH gt; fcctor G CII en ^ I C G lt; fectsr VCG: derhalve A G C H: A ICG gt; fectornbsp;GCU: fector VCG: d. i. GH: IG gt; ^ EL: ^ IE: en compo'nbsp;endo GH IG:IGgt;*~gt; EL '-'IE: *-,lE: ofIH:IGnbsp;gt; IEL:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IE.
H aanmerking. Dit Voordel is het zelfde als IV. ia, Gev,
^ en wordt op deze wijze door commandins in de al-^ar aangehaalde plaats van pappus bewezen. aanmerking. De beroemde Nederlandfche Wiskundige abbrt gi^nbsp;A-ARd heeft dit Voorftel in zijn voortreffelijk werkje Invention itou.nbsp;gt;' en Algehre uit pappus overgenomen, en eenvoudiger aldusnbsp;bewezen. Fig. 176, Zij BFK eene fnjjlijn en F P eene raaklijn innbsp;b'-lVIK//BH: dan is MK: BG; lt; G H : BG; maar MK;nbsp;Bg ~ PK; BF. Derhalve FK: BF lt; GH: BG ; en dusnbsp;FP:BF^ GH; BG: gevolgelijk FD: /^BF^GH:G!
componendo .-i FD nbsp;nbsp;nbsp;BF: dat is BFD: -n BF lt; BH :
of BH; BG gt; ^ BFD.' ^ UF*
Z 2
gevolg,
De tangenten groeijeii in grooter rede aan dan de bogen gt; en des te grooter dat de bogen grooter worden.
Het verfchil der vierkanten van den radius, en van de tangent eens boogs ftaat tot het dubbelde vierkant van deOnbsp;radius, als de tangent des boogs tot den tangent des dubbelden boogs.
bereiding, bh de boog: BHD de dubbelde boog. Trek B F i oP
A B: A C , A D F, D B , en uit C , C I i op A C en dus // E P
Dan Is D E t; E B ; of D B a 3 D E.
BEWIJS. Om dat A A B C V-l A^re is AB^ a AC X AE e
A~B^: nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AC . AE: AC^ a A E: A C a E D : C1. Maat
a A : A nbsp;nbsp;nbsp;a B D : D E; dus ex aequo.
2 Xb : nbsp;nbsp;nbsp;a J^D : C I a B F; F C of
2AB^:AB^-|-BC^a BF;FC: diniendo.
B'C*^ AB^ ^BF FC: BF - BC^ ; 2 AB^ a BC: BF.
GEVOLG.
a quot;abquot; . B C
S d. i.
ABquot;-_
d. i. AD
BF
A B B C 2 r^ tang, Bnbsp;tang. 2 B = ^2 _
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit Voorftel is het beroemd Voordelnbsp;JOHN PELL; en het Bewijs is dat, het welk cavallieri daat'nbsp;van gegeven heeft. Zie Controverfia de Circuli Menfurdfnbsp;p. 13. en 60.
Dit Bewijs is van laon in zijne fchoone Verhandeling ngenten der veelvouden van hoeken: Mim, de VAead, 1705-f 0,
-ocr page 419-Aanmerking. Men kan ook uit de Voorftellcn XXI en XXii, het
zelfde opmaken: want tang. a B - nbsp;nbsp;nbsp;B
i'. B ~ fm. B In. B cof. E
tang, C , z
tang.
cot. B ^ tang. B
IV,
tang.' B
aanmerking. Indien men zelfs ie formules voor f, 3 B, fm. 4 B,
fn^ B..... B, en voor co'. 3 B, co/. 4 B, co/; 5 B . . ,
col. n B aldaar opgegeven, door elkander divideert: zoude men
formules voor tang. 3 B, tang. 4 B, tang. 5 B.....tang, n B
kunnen opmaken: doch wij oordeelen het onnoodig dezelve hier intelasfclien: om dat ze tot het berekenen der Tafels van tangentennbsp;biet gebruikt worden: en eigenlijk meer tot de Stelkunde dan totnbsp;de Meetkunde behooren.
, tie fom der Sinmfcn van alle de bogen in den halven cir.
te beginnen van een bepaalden boog af, en altijd met den zelfden opkliinmende, is gelijk aan den cotangent van denbsp;helft diens boogs, gemultipliceerd door den radius.
Dan is AI!: BEs AEta'BK CM DOj (VI. is.h.
Maar a (B K C M D O) is de fom van alle de fnusfen BE KH, CM, MG, DO, OF in den geheelen cirkel: dusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
choorde B ; choorde Jup. B r! fom van alle de fnusfen, tot iSo* CVI. 1$ Gevolg)
derhalve
r X choorde jup. B
fom van de fnusfen tot i8b =; choorde b r X i choorde fup. B ^
quot; i choorde 15 r X /' i up. B ^
r X cof. i B
=5 nbsp;nbsp;nbsp; B = X cot. i B !=
r X tang. comp. i B, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
Indien dus B c iquot;; zijn alle de hnusfen, van graad tot graad genomen, te famen ts r x tang, Spi. c 114,5886 , indien denbsp;radius I. gefield wordt.
358 Fill. Boei: Over de maat en berekening der hoekefgt;
S E C * N T E N.
XXX. VOORSTEL. Fig. 178.
De fecant eens boogs is de fom van den tsngent boogs en van den tangent van deszelfs halve complernei^^'
BEWIJS. ^ E 90 Z E C B. Zij Z B C F E= i
I [90 L ECB]; dan is Z ECF = Z ECB i 90nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;90ZECB
=; L ECB -ir---\ I ECB =-----
'2 nbsp;nbsp;nbsp;2
Maar Z CFB = 90 ~ Z BCF = 93 _ j (90
90 Z E C B nbsp;nbsp;nbsp;^ e;
i ECB) E= ^-----=: Z ECF: derhalve EC
EF = EB BF = tang. Z E C B 4- tang, Z B C F
tang. Z E C B tang, i comp, Z E C B.
GELLIBRAND Ttigo, Britan. Cap, XVII, pr. 6.
GEVOLG,
De fecanten kunnen derhalve opgetnaakt w'orden uit enkele optelling van tangenten.
XXXI. VOORSTEL. Fig. 172.
gemultipliceerd door den radius ^ en gedivideerd door cofinust dat is
-- r^ r X tang.
/. = V R- tang.^ = nbsp;nbsp;nbsp;
_____jr X cot.
^fcc. = V' R* cot.^ = M = ~To]i^
St. vil. 8. - L. G. 2gt;/f. . 17 5 18.
De fecant CE is gelijk aan den wortel uit de der vierkanten -van den tangent en van den radius', onbsp;gelijk aan het vierkant van den radius gedivideeid do^Jnbsp;den cojinus ; ook gelijk aan liet product van den tang^'^nbsp;gemultipliceerd door den radius, en gedivideerd doornbsp;finus'. en de cofecant is gelijk aan den wortel uit denbsp;der vierkanten van den radius en den cotangent', ooknbsp;lijk aan het vierkant van den radius gedivideerd donbsp;den fnus : ook gelijk aan het product van cetangc^^ \
|E'
-ocr page 421-//. ^fd,: Over de Sinus fen, Tangenten en Secanten. J59
Ewijs. Voor het I. N. i. uit l. 16. toegepast op A CeB; voor Nquot;. 2. en N. 3. uit de gelijkvorraige driehoe.nbsp;ken GDI en CEB.
'^ooR het II. N. I., uit II. ilt;5. toegepast op A GCF: Voor N. 2. en N. 3. uit de gelijkvormige driehoekennbsp;CGF en CHD.
I. gevolg.
De fccanten zijn in omgekeerde rede van de cofnusfen: ^e cofecanten in die van de Rnusfen: en omgekeerd ;nbsp;dat is
I ^ nbsp;nbsp;nbsp;I
]? =
CofeCm
fee
L. G. Tr. 17.
II. GEVOLG.
.Het komt dus op het zelfde uit, door den feeant te mul-^pliceren of door den cofinus te divideren, en door den/-cant te divideren of door den cojinus te multipliceren; of. Wanneer men door de Logarithmen werkt, den I.ogarithmm-fecan* afcetrekken , of den Logaritlmus ctjinus bijtetellen; ennbsp;den Logarithmusfecant bijtetellen of den Logarithmus-eofinus af-tetrekken.
III. GEVOLG.
De Logarithmus - feeant is het arithmetisch complement van en Logarithmus cofmus; en de Logarithmus-cofecant is het arith-etisch complement van den Logaritkmus-finus{\\l.%6.Cs'v.^ '),
IV. GEVOLG.
Hieruit voigc , dat de Tafels van Logarithmus-fecanten en Hecanien gemakkelijk te berekenen zijn als men die vannbsp;^ogarithmus-ftnusfen en coftnusfen berekend beeft: doch hetnbsp;jkt tevens, dat zij onnuttig zijn: om dat men in derzelvernbsp;de LogarithmuS'Jinsfefi cofinusfen gebruiken kan:nbsp;daarom zij ook in de beste Taftls van gardiner en galletnbsp;quot;'sggelaten zijn.
V. gevolg.
Sec. 60 ra
W!js. Stc. 6o\ S nbsp;nbsp;nbsp;'
ggo VJII. Bock: Ovcf quot;dc maat cn berekening der hoekett
I, nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Hieruit vale het IV. Gevolg van het
Voorttel geniakkelijk te bewijzen: wan: indien Fig. ^TI i DABnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6 en i CAB a 30'': is L FAC= ZCAB =
en derhalve FC: CB - AFiAB = 2:1. GV, 12.; derhalve F 2 C B : en F B 23 3 C B.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Er is op fommige pleinfchalen, en op allnbsp;de proportionaal-pasfers eene lijn van fecanten, welke opnbsp;deze ine: eene kleine s bettempeld is. Daar alle de fecannbsp;ten grooter zijn dan de radius ^ en het op den proportional^quot;nbsp;pasfer noodzakelijk is den radius te kennen; begint aldaarnbsp;de lijn der fecanten niet in het middelpunt des pasfersnbsp;maar op eetiigen afttand daar van: zoo dat de afftand dionbsp;er is op de lijn der fecanten tusfehen het middelpunt ehnbsp;de o, de radius is des cirkels tot welken de lijn der fecati'nbsp;Hen op den proporuonaal-pasfer, behoort: en men, dennbsp;pasfer geopend hebbende, den radius des cirkels, wejkehnbsp;men bedoelt, moet nemen op de beide bladen van o tot 0nbsp;in de lijnen der fecanten.
PVER DE SINUS-TAFELS EN DE CONIOMEt T R I S C H E S C H .\ L E N.
I. OVER S:N a s. TA PEL g.
Ik ben in mijne lesfen gewoon, alhier, de famenltelling eii het gebruik der Sinus-Tafels uitteleggen : en in die uitleggingnbsp;te letten op de volgende Bukken.
1. Op die Tafels zelve, waarin, vr de ontdekking der Logarithmen, alln de natuurlijke, of geliik onze zeeliedennbsp;gewoon zijn zich uittedrukken, de Jlecht finusfcn, tangent^*nbsp;en fecanten te vinden waren; terwijl, zederd die gewigtignbsp;ontdekking, er Tafels zijn, enkel van naiuurlijke finmfe'nbsp;tangenten en fecanten: andere waarin de natuurlijke, en naastnbsp;dezelve de Logarithmus finusfcn, tangenten en fecanten Itaan*nbsp;andere eindelijk die alleen de Logarithmen van die Goniometri'nbsp;fche getallen bevatten,
bladzijde, of wel twee bladzijtiea gebruikt worden; ter'
2. Op de fchikking zelve der getalien in die Tafels: in, boven aan de bladzijde de graad (Iaat, en in de eerhnbsp;kolom de minuten, gaande van boven tot beneden, van o tonbsp;po, pf tot 30, naar mate er tot nen graad, maar P!![
dl?
die
^lad
graden niet hooger loopen dan tot 45- Onder aan de zijde, ftaan de graden, welke het complement van de ge-^alleii die boven aan zijn, uitmaken, en in de laatfte kolom,nbsp;3an de regterhand de minuten, opklipimende van beneden naarnbsp;Oven: waardoor de getallen welke finusfen , tangenten, ofnbsp;keanten zijn voor de eerfle 45 gr voor de overige wor-cofininfen, cotangenten, of cofccanten'. en die welke voornbsp;eze ftnii%[cn, tangenten of fccanten zijn, voor de eerlle ca*nbsp;igt;us/en, cotangenten of cofecanten worden: en aldus yamp;r/j bijv.nbsp;cofiniis van eenigen giaad en minuut op de zelfde horizon-lijn ftaan, als de cofinus en finus voor den graad en denbsp;Dinuut die het complement uitmaken van den gegeven, ennbsp;van beneden naar boven gezocht woorden.
, 3. Dat de Logarithmm-iinus, tangent of fecant niets an is dan de gewone Logarithmus van het getal dat dennbsp;'atiiurlijken finus, tangent of fecant nitdrnkt: welverftaandenbsp;'^hter, dat zoo het character van den Logarithmus-Sinus vannbsp;gr., of van den radius, 10 is, dit onderftelt dat de radiusnbsp;Zelve uit ii cijlferletters zoude beftaan : daar, vor de natuur-finusfen, enz. de radius maar op 10,000,000 gefield is,nbsp;derhalve flechcs uit 8 letters beftsat. Beter ware het dat,nbsp;gelijk in de Tafels van caulet, het character van den Logainbsp;rithmus - radius o ware in plaats van lo; en dus dat alle denbsp;Logarithmen der finusfen, gelijk mede die der tangenten beneden 450, voor decimale breuken moesten gehouden worden, met het behoorlijk character, 9, 8, 7 enz. voorziennbsp;'zie bl. 153, JL van het Berigcj: het geen het best meenbsp;den waren aard der finusfen, enz. overeenkomt.
en voor de Logarith-jnoet men hierop letten, dat eer men het zelfde voor cofinufen, cotangenten tn coje^
. 4'. Dat er een middel is om , met genoegfarae naauwkeu-j'gheid, den finus, tangent of fecant te vinden van eenigen P'^og, die niet in de Tafel ftaat; en omgekeerd: dat is vannbsp;gen met fcconden uitgedrukt, al- gaan de Tafels maar vannbsp;feinuut tot minuut. Dat middel beftaat in eenen eenvoudigennbsp;Ifgel van drien, gevestigd op het 6. Gevolg van ons xxr.nbsp;'orfteI, zeggende, indien men bij voorbeeld finus vannbsp;ia'. 8quot;'zoekt,- 1'of 60quot;, verfchil tusfehen 54quot;. 12'. ennbsp;13', ftaat lot het verfchil der finusfen van 54. 12' ennbsp;13', als het getal feconden boven de 54. 12', (dat isnbsp;' ) tot eene vierde evenredige; die, gevoegd bij den finusnbsp;ke?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;geeft van 54' 12' 8'. De zelfde re-
'Vanquot;-*' nbsp;nbsp;nbsp;lijnen: alleen
dient voor tangenten en fccanten
- nbsp;nbsp;nbsp;- -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;---- , nbsp;nbsp;nbsp;';.de evenredige van het getal
finten zoekt, men de nbsp;nbsp;nbsp;'gn, om oat die lijnen klei-
in de Tafel ftaat moet atcrekkegt;'j
f worden als de boog nbsp;nbsp;nbsp;enz. gegeven zijnde, den
? Dat wanneer men, eenpfquot; nbsp;nbsp;nbsp;l^oog
hoog zoekc waartoe hij behoort, de regel om dien boog ook met fecund: n uittedrukken, het omgekeerde is der voorgaan*nbsp;de; te weten, verfcli/i van de twee finmfLtt in de Tafel tns'nbsp;fchen wellte de gegeven fnus invalt, tot het verfchil ''anbsp;den gegeven en den kleinllen, als 6o ' tot eene vierde evej'nbsp;redigej welke bij den kleinllen boog gevoegd, het gevraagdnbsp;geelt. Men trekt af, zoo het een cejimis, cotangent, ofnbsp;fecant is, die gegeven zijn,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
6 Dat het getal i', of 60quot;, het welk in die beide regquot; voorkomt, alleen gebruikt wordt, om dat men Tafels oud''nbsp;Heit die fleclus van i' tot i' of van 6o' tot 60quot; gaan: ina^nbsp;dat men als zij, gelijk die van gallet, gaan van loi'nbsp;lo^'; als dan moet nemen loquot;, het verfchil tusfchen twee bO'nbsp;gen in de Tafel, in plaats van 60''.
7. Dat de beide regels genoegzaam naauwkeurig zijn vop bogen waarvan de jnusfen enz. zeer weinig verfchilleu: maar o'nbsp;wanneer het verfchil groot is; om dat als dan de onderfts*'nbsp;ling waarop die regel gevestigd is, te weten dat de Goni'nbsp;metrifche lijnen in dezelfde rede toe- of afnemen als de b'nbsp;gon, niet doorgaat: en derhalve, dat die regel niet geldtnbsp;de fmisfen, tangenten, fecanten betreft, voor de vijf ee'quot;'^^nbsp;graden; noch voor de vijf laatlle, wat de cofinusfen , cotd^'nbsp;gen, cofecanten aangaat. Waarom dan ook in de Tafelsnbsp;GALLET, die gelijk gezegd is, van i o ' tot 10quot; gaan, vonbsp;de 5 eerde graden de finusfen van graad tot graad, opgwnbsp;ven worden.
II. OVER DE GUNT E rs- OF LOGARITHM EN' SCHAAL,
1. Men heeft, gelijk wij reeds gezegd hebben , fch2*^|', vervaardigd, waarop de choorden, finusfen, tangenten,nbsp;ten van alle bogen gefneden zijn, voor eenen bi)zonde''^|,nbsp;radius: wij hebben ze alle in dit Boek uitgelegd, te ,nbsp;die der choorden Voordel XII, Aanra. 2, 3,4; die dernbsp;genten Voord. XXIV. Aanm. 2, 3; die der fecanten, Vo^j.nbsp;XXXI. Aanm. a Maar er is ook eene fchaal, die naar deO ^nbsp;vinder, gunters (*) fchaal, of logarithmen-fchaal, gen^^nbsp;wordt: waarop de Logarithmen der getallen, der finusftdnbsp;der tangenten gevonden worden. Men treft deze fchaal ^ ^nbsp;of op pleinfchalen, of ook wel op den proportionaal~t*^g^.nbsp;gefneden. Men vindt ze op dezen, als de beide blsde *nbsp;opend, en in ne regte lij uhgeftrekt zijn.
A
(*) Edmund gunter, Hooglceraar te loonden, en hero* kundige, in lad. overleden.
-ocr page 425-ill. ; Over dc Sinus-Tafels en damp; Gontom, fchalm. 363
2. De Gunters fchaal beftaat uit vier lijnen. De eerfte mee *^6 letter beilempeid, is de lijn der Logarithmen van denbsp;getallen: de tweede, s geceekend, is die van de Logarithmennbsp;finmfen : en de derde, gemerkt t, is die van de logarith-inen der tangenten. Somtijds is er nog eene vierde C^. i'Onbsp;Voor den finui verfus.
. Op de eerde Haan de Logarithmen van alle de getallen: zoo immers de eerde s voor 2 genomen wordt, is de eerde pnbsp;getal negen : de eerde 10 het getal 10, en zoo voorts,nbsp;^'laar zoo de eerde e, voor 20 aangezien wordt, zal de eeigt;nbsp;*0 honderd aanduiden, en 70 zevenhonderd: enz. en zoo denbsp;^'de 2, tweehonderd aanduidt, is de eerde 10, duizend,nbsp;70, is 7000 enz.
3. Iedere dezer lijnen wordt afzonderlijk en op zich zelve gebruikt: of wel die der finuzfen, en tangenten worden gernbsp;briiiiu vernigd met die der getallen.
4. Wanneer nu de eerde lijn alleen gebruikt wordt , zij om, bij enkele afpasfing eenen regel van drien
a c
bptelosfen: immers zij 0;^ rr c ; .ar; is nbsp;nbsp;nbsp;: on dus
Log. a Log. b =. Log. c - Log. x. het verfchil der Logarithmen van a en b is dan gelijk aan dat van c en x.nbsp;Derhalve indien men de eene punt eens pasfers ftelt op 0,nbsp;de andere op b; is de ruimte door de punten bevat Log,nbsp; Log. b. Zoo men dan nu de eene punt bp c fielt,nbsp;2al de andere op x vallen , aan de regterhand zoo gt; lt;,nbsp;^30 de linker zoo b ^ a, en x wordt bekend.
Op de zelfde w'ijze dienen de lijnen van ^tttts en tan-ieder afzonderlijk: en dus indien a\ fin b fin.c: --r, is Log. fin. a Log. fm. b Log. Jin. c _ Log.nbsp; n x; en men gaat op de zelfde wijze te werk.,
S, De tweede en derde lijn worden met de eerde verdnigd gebruikt, om eene vierde evenredige te zoeken,nbsp;''Vanneer twee leden getallen zijn, de twee overige fimts-of tangenten.
__2ij a:b Jin. c: jin. x. Dan is Log. ff Log.
^ Log. Jin. c Log Jin, X. Men neemt op de lijn getallen Log. a Log. ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ftelt de eene punt
pasfers, welke dat verfchil heeft afgepast, op de lijn finusfen in c'. de andere punt valt op x, aan de reg-hand indien b a \ aan de linker indien ^ b\ ennbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X is gevonden.
Het gebruik der lijn van tangenten gaat op de
zelf-
-ocr page 426-364 Vllh Boek: Over de maat en berekening der hoeken.
zelfde wijze voort: maar, vermits dezelve op 45. fchijn^ te eindigen, zoude men verlegen kunnen ftaan, als toennbsp;tangenten ontmoet van bo^en , of hoeken, die grooter daflnbsp;45 zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;geval moet dus naauwkeurig ontwikkeld
worden.
Ten dien einde zal het noodig zijn te doen opmerken dat Logarhhnen tangenten zoodanige getallen zijn, dat Log.nbsp;tang a zo veel boven of onder Log. van den radius , dat i*nbsp;boven of onder tang 45^^ Haat, als die van tang.
of van cot a er onder of boven is. Immers tang. ^
=r ^ (Voorft. XXVl.): derhalve Log tang, a
2 Log. r Log. cot. a; of Log. tang. a Log, ^ z-z Log. r Log cot ai en daarom zijn ook op denbsp;lijn or tangenten dubbelde cijfferleuers ; van de linkernbsp;naar de regter hand van I tot 4J j van de regeer naar denbsp;linker van 45 tot so, 5o, 70 enz zoo dat 50 en 40nbsp;60 vr- '^o, 70 en 20 op de zelfde Hippen Haan: dat isnbsp;en complement a.
7'*. Dit gerteld zijnde : dat tz en ^ twee getallen ziju op de lijn der getallen, t/een gegeven, en x een gezogtnbsp;boog of hoek: en zij verder
a\ b tang. ditang. x
dan is Log. a Log, b = Log. tang d Log. tang. X, 1 Indien 0 gt; en t/lt; 45: is zeker x ook lt;45*nbsp;en derhalve is die tangent onmiddelijk op de fchaal inbsp;vinden.
Indien ^ nbsp;nbsp;nbsp;0 en z? gt; 45:' is x ook gt; 450 en
dan werkt men door de cotangenten, zeggende
^ = 'E^d' m7x ~
en dus Log. b k,og. a == L. cot, d L cot. dgt; dus wordt cot. x onmiddelijk gevonden: en gelijk ni'nbsp;voor d het complement van den gegeven boek genoiflnbsp;heeft, neemt men het complement van x om den bege^'nbsp;den hoek te krijgen :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
Maar indien 3. ^ ^^ gt; 45! kan lt; 45 zQ: zij dan
ittng. x; dan is
Afch .* Over de Sinus-TafeU cn de Croniom. fchalen, 35
^ L. ^ (L r* L. cot. d) Log. tang. x =z 1 L. r Log. cot. d Log. tang. xnbsp;=: (^L. r Log. cot. d)^i_L.r Log.tang x')nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en dus
\4. a Log b) (Z-. r Log. cot. d) z= L.r ~ L. tang x. Men neemt dan eerst op de fchaal, met den pasfer, hetnbsp;van L, a tn Lt b : men zet de eene punt vannbsp;pasfer op 45^^ j dat is op L, r, en men ziet of denbsp;hbnd van 45^ tot nemende voor d het complementnbsp;den gegeven hoek, kleiner of grooter is dan de ope-van den pasfer , dat is dan {L. a L, b'). Mennbsp;die,tweede punt daar hij komt: en brengt de eerllenbsp;450 op d: dan heeft men eene opening van den pas-gelijk aan (L. a L. b) (L. r L cot. d)ynbsp;derhalve gelijk aan L. r Log. tang. x. Men Helt dannbsp; eene punt van die opening op 45: en ziet waar de anderenbsp;zoo nu L, r L. cot. d L. a L. b '\s L. tang.nbsp;f ^ Zr. r , of tang. .r gt; r, of .-c gt; 45: en men neemtnbsp;Complement der graden waarop de punt va't Indiennbsp;L. a L. b gt; L. r cot. di is L, tang, x ^ L, r
en X lt; 45quot;.
indien dan 4quot;. lt; ^, en dlt; 45lt;: zoude in de de uitdrukking a \ b tang. d\ tang. x, x gt; 45 kun-en zijn: doch alle twijfeling hoe te handelen zal weg.
''^llen, indien men in plaats van tang, x ftelt
f.2
dan
cot. x
0: - tang. d:
Log.
Log. tang. d
lt;1 L. r ~ L. cot. X Log. tang. d Lr. Log tang. d L r L. cot xnbsp;^^^L.b~ Log. a) (^L,r - Log. tang dj L.r - L cot x.nbsp;Men handelt gelijk in N- 3: en weet dat 4: \ of \nbsp;gt;s,naar mzxamp;(JLrLog.tang.d)'^ of i^L.b L.d),nbsp;III. OVER DE sCHUtFSCHAAL-
midden in
fch nbsp;nbsp;nbsp;fleuf, waarin zien een liniaal , of
beweegt, die het werk des pasfers waarneemt.
01^* Bij de Gunters fchaal wordt een pasfer gebruikt, g de noodige afpasfing te doen. Bij de fchuiffchaal isnbsp;p3sfer noodig. Ten dien einde, is er midden innbsp;fchaal eene lleuf, waarin zich een liniaal , of eene
Ten
-ocr page 428-66 VUL Boek: Over de maat eri berekemiig der hoeken.
Ten dien einde is er, (om nu niet van de overige nen te fprekeiif die zich doorgaans op fchuiffchalen,nbsp;ais op pieinrchalen, bevinden,) op de eene zijde, aan delnbsp;eenen kant langs de fleuf eene lijn van tangenten.,nbsp;den anderen eene lijn van Jnus/n, welke van den zeirde'^nbsp;aard zijn a!s op de GUNfEit's fchaal.
Op de andere zijde is langs de fleuf eene lijn van g^' tallen of num, even als op de gunters fchaal.
Op de eene zijde van het liniaal , of van de fchuif- langs den eenen kant eene lijn van finusfen en langs de^*nbsp;anderen eene van tangenten', op de andere ziide, zijn langnbsp;de beide kanten lijnen van getallen: alle deze lijnen Z'Jnbsp;van den zelfden aard als op de gnters fchaal.
a. Indien men de evenredigheid oplosfen wil : ^ ^ c', X- fielt men het liniaal zoodanig in de fleuf dat dnbsp;lijn der getallen op dezelve , langs de lijn der getaH^^nbsp;op de fchaal zelve bewogen worde: men neemt a ,n quot;,nbsp;op het liniaal: fchuive het tot dat b over c Haat, zoo *nbsp;a: dan zal het getal dat op de fchaal over c vannbsp;liniaal, of van de fchuif, aan de linker hand ftaat, x zi]'*nbsp;w'ant dan is de aflland Log, a Log, b gelijk aannbsp;aflland Log. c Log. x.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^.
Indien b a: zal men a onder c brengen, het dat aan de regterhand boven c ftaat is ar.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t
3. Inzien men heeft a: b fm. a: Jin. rc of ei: quot; = tang. c: tang. x, zal men het liniaal, of.de fchuifnbsp;zoodanig in de fleuf (lellen, dat de lijn der getallen opnbsp;fchuif, overeenkome met die der finus/en, of der tangeOenbsp;ten op de fchaal, en men werke op de.zelfde wijze.
4. Op de fchuiffchaal is ook doorgaans eene lijn teekend S R.. of S. Rutnb beteekencnde finns-rumb:nbsp;fomtijds nog eene andere T. R. of lang. rumh: de esnbsp;bevat de Logarithinennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en de andere de Logarithm'
tangent der hoeken (genaamd Khumb') of der coinp** fireekeo: en beide worden alleen gebruikt in verbandnbsp;de lijn der getallen. Zij dienen den zeeiieden om innbsp;evenredigheid, waarvan de leden uit getallen, en uitnbsp;Jen of tangenten van hoeken, die niet in graden en gnbsp;ten, maar in ftreekeny en gedeelten van dien, opgeg^'^^jgnbsp;worden, de vierde evenredige te vinden op de Zelfde wij^ ^nbsp;men doen zoude met de lijn der finusfen, of die dernbsp;genten, indien de hoeken in graden en minuten opgegeven
-ocr page 429-30?
30?
IV. A F D E E L I N G.
/
Over de formules voor goniometri*
S C H E L IJ N E N.
Men maakc tegenwoordig in de Wiskunde een zeer groot Sebruik van de Goniometrifche Jijnen, welke als dan doofnbsp;J^^nules worden uitgedrukt, die het gemakkelijk valt innbsp;geheugen te prenten , of zich voor oogen te houden,nbsp;J^ffcheide Schrijvers, euler, cagnoli, de gelder en an-hebben eene menigte opgegeven. Vele derzelve,nbsp;Welligt alle, kunnen geometrisch, uit de figuur zelvenbsp;ewezen worden ; gelijk , immers voor fommige daarvan ,nbsp;fch''*^ uitmuntende Schrijvers gedaan is : waar omtrent misin
n de meeste eenvoudigheid betracht heeft kober^son . zijne Elements of Navigation^ Boek IV. 19 225.nbsp;Maar om dat wij de hoofd formules uir geomernfchenbsp;^tonden hebben opgemaaict, verkiezen wij nu aantetoonen hoenbsp;alle de overige, zonder verder bewijs, uit deze zijn afte-leiden Wij zuilen ze, in eenige Voordellen in behoorlijkenbsp;Orde fchikken , op dat men te gemakkelijker die, welkenbsp;^en noodig mogt hebben, zoude kunnen vinden. Alleennbsp;dit voor uit gefield, dat in dezelve d eenheid voor dennbsp;^tidius gefield is, en derhalve r = 1 gehouden wordt.
meest belangrijke uitdrukkingen vau finus/n en coj?. in zekere gevallen, zijn in de volgende formulesnbsp;^gfepen.
Sin, o = o cof. o = I Bep, 3. Aanm. en nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bep. 4 Aanm.
XVI. nbsp;nbsp;nbsp;Gev, 2. ()
XVII. nbsp;nbsp;nbsp;Gev. 3.
Sin. 20'' = cof.fi,o^~0%
Sin. 45 = cof 45' =
3
'0% in aanhaliBgen in romeinfch e cijfFs rs duiden de Voorftelien aan; SWone cjjSers de N, van deze fermoles.
S68 nbsp;nbsp;nbsp;Boek: Over de maat en berekening der hoeken.
10.
Sin. goquot; nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cof.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;90nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o
Sin. 180 nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cof.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;180nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i
Sin. 270 nbsp;nbsp;nbsp;=.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-~~\j cof.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;270 = o
Sin. 360 nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cof,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;360*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=: I
Sin.^ (Bj 4- cop (Bj = I
Sin.^ (B) = I cof^ (B)
nbsp;nbsp;nbsp;(i coB B) (l cof.
nbsp;nbsp;nbsp;fm, y, B X fin. v. fup. B
C/.* (B) = I fin.^ (B)
l Bep 3-f Bep. 4
xvir.
XVII.
11. nbsp;nbsp;nbsp;Sin. (B C) = fin. B cof. C fin. C cof B
12. nbsp;nbsp;nbsp;Sin. (B C) = fin. B cof. C fin. C cof B
h'
Mquot;'
CeV.
Cef'
Bep. CcV.
XVII.
XXI.
13- Cof. (B 4- C) _ cof B coy; c fi7i. b fin. C -gt;
14. nbsp;nbsp;nbsp;Cof (B - C) = cof BcofZJ^ fin. B fin. c
15. nbsp;nbsp;nbsp;Sin, 2 B 2 fin. B cof B .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
16. nbsp;nbsp;nbsp;Cof. a B = cor.^ CB) fm.^ (B)
17. nbsp;nbsp;nbsp;Oof. 28 = 2 cof.^ (b) Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
18. nbsp;nbsp;nbsp;Cof 2 B = 1 2 fin.^ (B)
19. 'j.C90 4'C),= cof. C
ao.Cof.(go_C') ' fin. C 21. j'/.ClBo C)= fin. Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
a2.CV-(i8o'C)= co/ C
Voor Sin. nbsp;nbsp;nbsp;(Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fm.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- C)
Sin. nbsp;nbsp;nbsp;(Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- C)
Cof nbsp;nbsp;nbsp;(Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; C)
Cof nbsp;nbsp;nbsp;(Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; C)
Uit IJ 2'' Uit 13nbsp;Uit llt;5 'i'nbsp;Uit 16.
II. je-
13. J4
II. l.
.i'
14'
23. Sin, (34 c). fm. (B - C) = fin.^ B - fin.^ C
ce/.^ C cof.^ B
leiiiie
voorf,etVfjt'
r.C^^ nbsp;nbsp;nbsp;4h.
a4.amp; (B 4 C) . cof (B C) =
derzei'.
fin. 2 B -4- fn. 2 C uit * j e
na
uit '
^ nbsp;nbsp;nbsp;y?. 2 R -/Z.
25. Sin. (B C). cof (B 4 C) = '--n
If'. Afd,i Over de for mules van Gonwm, Ujneti. 369
(B Cic/CB C) = nbsp;nbsp;nbsp;oquot; quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3: clan
Jin. 2 B co/. 2 C-j- j^n. 2 C cof. 2 R
CB - c) cnf (B C) = nbsp;nbsp;nbsp;Uit li en 14: ,,aj,
Jin. 3 B coj. 2 C fig 2Ccor 2 B
(B gt;{i- C) cof. (B C) = coy: B ^ c = co/.* C Jin.^ B
9. r.
ci/Jl
I cof, B
13, 14 en dav iubftitueerende uitnbsp;9 cn 10 voor coj.^ Bnbsp;en voor Jln.^ .C,
18.
I --I cof B.
5 (B C)fin. i (B - C) = 'Co,
cof c
i (B-4-C)cc/; i (B-cy=cof.ci^c)-jin.'^(ib)
=co/:^(iiB)-fin *ac)
iS.
Uit 23 ftellende 5 B, en' C voor Bnbsp;en C ! on dan uit 29.
Uit 23 en dan uit 30,
^3.3quot;
kf ^ nbsp;nbsp;nbsp;^ ~ i CB C) cof, i (B _ C)
Ss J'quot;' - nbsp;nbsp;nbsp;C = 2iz J (B - C) cof i CB C)
' i- coJ. B.
-2 fin Zie N. 48.
Uit 24,
Uit 25-
Uit 28 on dan so. Uit 23 en dSh 29.
cSYfj
^ cof C=fin B 2 fin.^ nbsp;nbsp;nbsp;C)Jin. B
^ C = ^ fin. (B^C)-\-ifin (_B ~ C)
4t
quot;quot;yiE
lt;^0fC:
ififi.(B^C)~ifin.lB~C) cof C 2fin.^ ^ B cof, C
ct C = I CO/ C B C ) i cof' B - C)
nil
Indien B lt; 90
Aa
Uit 29 pemuItipU-ceera door /7.7. i;.
Som van ii en 12.' VCrlchil van 11 eninbsp;12.
Uit 29 gemnltipii-ccerd door , c.
Som van 13 en 14,
Verfchil van 13 en 14.
Bcp. V. Cev.
Uit 43 cn 29-
Gclt;'
' Indien B gt; 90
Uit 45 en
. n nbsp;nbsp;nbsp;(B)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? altijd Vei zij Hgt; 90nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gelt;'
47. JV. y. _ nbsp;nbsp;nbsp;V r d ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Uit XVIU'
46. Sin. V. B = 2 co/:* (I B) \
(B) nbsp;nbsp;nbsp;7a...j------j
V. fup. B f of B lt; o
48. J'fl. V. B Jin. y. C = to/. C cof. B
Uit 4S.
49. nbsp;nbsp;nbsp;Tang, B =
50. nbsp;nbsp;nbsp;Cot. B =
fin. cof. b|nbsp;cof. B |
Uit XXV.
Jin. BJ
50*. Cot. B = cofec. B -f- tang. J B SI- Tmg. B = -/j
53.r^. 45= coZ. 4S
Zie hier
on'quot;'
Uit XXVl'
Glt;'
54. nbsp;nbsp;nbsp;Tang, B tang. C =
55. nbsp;nbsp;nbsp;B tang. C =
(B C) cof. B . cof. C
ftn. (B C) cof, B . cf. C
ftn. fB -f C)
56. Cot. B cot. C nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
57. Co#. C cot. B r=
fin. B yin. C ^8. Tang, B tang. C = cot. B cot. Cnbsp;59. Tang, B tang. C cot. C cot, B
Uit XXV. ^ '
M ^equot;
Nemende fom der A jtnbsp;tang B en /nbsp;en redut ^nbsp;door it. ./f'nbsp;Nemende nfvjnbsp;rcrfchil cd'Snbsp;ken tangnbsp;C en rednbsp;d=doorlt;',5.^;nbsp;Nemende jj',, J,.nbsp;fom va (datnbsp;cot. C: en, ii' ,(nbsp;rende doe^.^jol'*^
Nemeti^ 'y
verfcbii , (jre
en ror- 'joor .
d
S'*
57'
T^am n nbsp;nbsp;nbsp;/* Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C
_cof ^ C [in.^ B
cof.^ B . cop C
^3* P-. nbsp;nbsp;nbsp;Pin PR h'n ^R-LO
MuUipI.56 lt;io S?.
Coi 1
C coty B Cb - c) = |
| ||||||||||||||||
tu -t' j = nbsp;nbsp;nbsp;------- eang. B tang. C |
Cot. (B - C) := I B tang. C tang, B tang, C
V (45R B) = i--if-l-
, nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B
__ nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B
I nbsp;nbsp;nbsp;B
uit 61 en 23-
Divid. II door 131 en dan div. doosnbsp;fin. B . cof. C on--der en boven.
Divid. 12 door 14: en dan divid. boven en onder doornbsp;fin. B . cofi. B,
Uit 64 en sa.
Uit 6s en sa.
Uit 64 en Sj. XXVIII. Qey,
B = VLZLfTl^ V 1 cof. B
Divid. 29 door
3*#
Muitipi, 70 boven cn onder door i -j-fo/. B, en dan door
9gt; en trekkende de* wortel.
Uit ju
fi*
372 V^ Boek: Over de maat en berekening der hoeken,
_I cof ^ B
22'^. Tang. f B = . b
I cof. B
73. Tang. i B =
Uit 7- eO 8*
Uit 72
div.
(JOOf
co/. B'
cot. B
fin. B
coftc. B cot. B Waaruit cot. B ~ cojee B tang. B,nbsp;Zie ook het bewijs van N. 129.
co/ f B ~ fin. 5 B 26. Tang. (.45'^ ro ^ co/, i B fvi. I B
Uit 73'
Uit 74: e der 88.
oV-
7?.
78. nbsp;nbsp;nbsp;i (B -f Q)
80. nbsp;nbsp;nbsp;Tang. J (B CJ =
81. nbsp;nbsp;nbsp;Cot. i CB C) =nbsp;Tang. ^ (B C)
'Tang. i iB - C) Cot. (8 C)
Tang. i (B C)
I fin. B
I qr fin. B
fin. B 4- fin. C cof. cof. Cnbsp;^ fin S, fin. Cnbsp;' .cof C cof B
fin B fin. C coj. B quot;1^ cof^Cnbsp;fin R -f- Cnbsp;cof. C cof. Bnbsp;fin. B ^ fin. Cnbsp;fin. B fin Cnbsp;cof.Jgt; cof Cnbsp;cof C (fof ^
o
Stellende 45 .C' B en 4 Bnbsp;11 en 14- f.0t fnbsp;rende ilnbsp;en in denbsp;lettende Op 4
Brengen^ in het vietl^ .jicnbsp;in de rcd^_nbsp;tende op * f-
Divid, 33 en dan do
uivio. 30 . ; en dan do
Divid. 34 nbsp;nbsp;nbsp;5'
en dan doo'
iO
en dan de
Aof Divid. 53 f jO'nbsp;en dan 8
njvid. 7
Djvid.
iolt;
19
dl'
8?
iOgt;'
B = tang. B -ff tang. i compk B 84. B =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
Uit
uit X
gji
Uit XJfXI.
B nbsp;nbsp;nbsp;(*)
I tat7g,^ ( B) ^
j . nbsp;nbsp;nbsp;1 'i; - v.^ B)
S'-'c. B = I tang. B . tang. (J B) (f)
''' nbsp;nbsp;nbsp;B
Uit XXXI. Cev. I. Uit XXXI.
gy|J'''E(iKiNG, De voorgaande formules bevatten in zich uitdrukkin-
1, nbsp;nbsp;nbsp;JL./V vrwinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;w ----------- 1 nbsp;nbsp;nbsp;
(inus B, cofinus B, en tang. B, welke dikwerf gebiankt
' . nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11--nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rrnl rirv/^ot* ia Vr\nrll-p]lftll
1 nbsp;nbsp;nbsp;^ er) ]^et derhalve nuttig zijn zal onder drie Voorilelleii
?r b|: nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_n.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;------
ij te voegen: zij zijn alle uit cagnoli genomen. XXXIII. VOORSTEU
van eenen hoek B kan door de volgende formules uitge-'borden.
SJ.
Sin. B t= V 1 cof ^ (B)
Sin. li =: cof. B . tang. B
92*
I tann.^ (i n'i
uit 71 de waarde van tang. (i B j dan is
I tang.^ (i U;
(1 cof. /?* 1 2C0/:n-4-ty.^B~jfn ^ B
1 cof. B
a -i- 2 cof. 1}
a cof.^. B 2 /; B = tta/iBd-f .a/.B) cof. B t= fcc. B.
86, is Jcc. B r= 1 tang.^ D B) e tang.^ (h Bj ___
nbsp;nbsp;nbsp;ti B)
(door K. 69 ft.llcnde i B voorB)
Uit
I - ta:ig.^ (i li) tang. n
ttin^
Aa 3
374 VUL Soek : Over de maat en herektning der hoeken .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cof. B
pa, Stn B = nbsp;nbsp;nbsp;....
Uit SO.
93. nbsp;nbsp;nbsp;Sin. B
94. nbsp;nbsp;nbsp;S/n. B
V' I 4- co#. B
tang. B
Uit Sp en
osen
Yi-\- tang.^ B 9S- din.Bz=^^ fin. (i B) cof (4 B)
Uit 49 en
SSgt;
95. Jw, B
cof. a (J
ftcl''
Uil is: i B voor
Uit 9 en *7'
T nbsp;nbsp;nbsp;2 tang. #4 R)
97. *SV- B = ;---- . (*),
1 lang.^ B4 -'*
98, nbsp;nbsp;nbsp;Sin, B =:
99. nbsp;nbsp;nbsp;Sin. B =
cot. (4 B) tting. (4 BJ
I
JV
Uit 98: Af
Wig. (i quot;
cot. B tang. (4 15)
100. Sin. B = a fin.^ (45O 4 B) I 1 joi. Sin. B = I _ a fin.^ (45 4 B)
Uit so*
en
202. Sin, D
I tgng.^ (450
B)
jOj'
(*) uit 96 is ff/t, B != = fin. ( B) co/. (J B) r= gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B) _ a /. (i B
a /. (i B)
cof. B X
co/.-* (i
co# c B) /cc.* ( ) cof. B ^1 tans.* (,J b)) 2 tang. c i B gt;
^ nbsp;nbsp;nbsp;(i B;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
(t,i Door II en 3 fin. #43 i B) sr nbsp;nbsp;nbsp;^^coI i B) 4- /n Q B)
('4S' * Bt = co/* Ci B) /r* ( B) = co/.* !(i B) /quot; '.yoK''
L - T nbsp;nbsp;nbsp;..r ... _. ____ ^ , nbsp;nbsp;nbsp;T*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_ -N ___ I . nbsp;nbsp;nbsp;..nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;... Trtrtrl^'
2 pt. v cof. (i BJ = (door ! en rs)~ i /. B waaniit het Vo*^
IV. Jfd.: Over de formules der Goniom. lij tien. nbsp;nbsp;nbsp;375
' Sin R _
B = fin. Co*. nbsp;nbsp;nbsp;4- Bjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; (in.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f60nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; B) Nemondenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit ti d
^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van fin,
(60 B) en uij a die van cof. 60.
XXXI7. Foorstel.
^'fnus van eenen hoek B kan door de volgende formules uitge '''orden.
B = V I fin.^ (B) nbsp;nbsp;nbsp;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Uit 10-
B =
j nbsp;nbsp;nbsp;tang. B
Co
V Cl tang.^ Bj eot, B
fee. B
Uit 49.
Uit 50,
Uit S4 en SS.
C I cot.^ B)
^op (I B) -fin.^ (I B)
B = I - 2 nbsp;nbsp;nbsp;B)
^ B = 2 cop ci B) ^
B == quot;'^lESill Cof P _ 1 tang.^ Cf B)
I -j-, tang.^ B)
^ Cor VS cot. (i B) tang. B)
Uit 50 en 89.
Uit 16 ilelIendeJB
voor B.
Uit 18.
Uit 30.
15,
cot. B) -j- tang. Cf B)
I___
I -j- tang. B . tang. 5 -8
a
Uit 17.
Uit 73 in het vier.* kantgebragc: en dannbsp;reduceer, door 8.
Uit 73: nemende
fm. B
1 cor. B ''OOT cot. B : en red,nbsp;ceerende door 8.
Uit 49 en 73.'
Op dezelfde wiJz#
uit 76: reduceeren-
tang. C4J^ i B; cot. (45 1B; de\^en einTip u'k*
9 en ld.
11^
-ocr page 438-37 Fill. Boek: Ovcquot; tnaat en lerekehing-der hoeken.
118. nbsp;nbsp;nbsp;Cf. V, = ^cof. (45quot; 4- cof. (45quot; - jR) Uk
* nbsp;nbsp;nbsp;Cll d!quot;
119. nbsp;nbsp;nbsp;Cof. B = cof. (Oquot; -i- B; cof (00' B)
en dan doquot;^
XXXV. voorstel.
De tangent van eenigen hoek- B kan door de volgende foriiidl^* gedrukt worden.
120. Tang, B =:
cof ^ nbsp;nbsp;nbsp;'
t
I2I. Tang. B = nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
cot. 13
122. nbsp;nbsp;nbsp;Tang._ B = V(-^
123. nbsp;nbsp;nbsp;Tang: B
cef^ B Jin, B
jsy
VI fing (B )
VC 1 cof^ B)
124. nbsp;nbsp;nbsp;Tang. B =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ B
g. ta7ig. /.B)
125. nbsp;nbsp;nbsp;Tang. B j __ tang.- (5 B)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
2. cot. (I B)
126. nbsp;nbsp;nbsp;Tang. B = (i
127. nbsp;nbsp;nbsp;Tang. B =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ t^ng. Q B)
128. nbsp;nbsp;nbsp;Tang. B = cot. B 2 cot, 2 B (*)
I cof lt;2 B
129. nbsp;nbsp;nbsp;Tang B = -JfTTR
__ nbsp;nbsp;nbsp;fin. (2 B)
130. nbsp;nbsp;nbsp;Tang. B = ^
vlt;.rquot;.
i B voor ipl. ^ Uit gt; = 5=^nbsp;door cot l-Vc Inbsp;reduc. cSoquot;'^ jo'
tJit 12! cot, ^nbsp;door 12**
Uls 73' p.
B voor
fit
Uit 7'' p, li voof *
. rquot;
Uit 1-, p, B voor 9
cof 2 B 4- cof. 2 B
131. Tang. B
_ nbsp;nbsp;nbsp;tantt.Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fr7^.(45gt;4quot;|I'^ Uit tot quot;
132. Tang, B ~ -----
Ji
en dus
, waaruit B voor 1 B ftcllcndenc
(*} Uit la? is cat. f gi uttg. (i B) tang Tb =
tan.
\g. (i B) =: cot. (i b;) a cot, B
,0'
-ocr page 439-OVER HET GEBRUIK DER SINUST4FgLS, TER GEMAKKELIJ KER BEREKENING VANnbsp;BENIGE GROOTHEDEN.
XXX Vr. VOORSTEL.
Alle grootheden, die'ware breuken zijn, en, welke verandering zij ook ondergaan mogen, altoos ware breuken blij-'''en , kunnen als de fimis van, eenigen boog aangezien worden : en alle grootheden, die breuken zijn , doch van wa-e breuken gemengde breuken, of geheele getallen, kunnen borden, zoo ver men wil uitgeftrekt, kunnen als tangentennbsp;quot;'orden aangemerkt.
BBwijs. De eenheid voor den nbsp;nbsp;nbsp;aangenomen zijnde,
zijn immers alle finusfen breuken: de tangenten zijn breuken tot 45'* toe, en vervolgens gemengde brcukeii, ofgeheclc getallen.
AANMERKING. Dc fecanteti, die altijd grooter dau de radius zijn, zijn geheele getallen, of gemengde breuken.
XXXVn. VOORSTEL.
Alle grootheden, die deze gedaante hebben, ah cd = welke ook de grootte van_a, b, c, d mogen zijn, zijn
Zoodanig dat men heeft nbsp;nbsp;nbsp;s Qof, en ab qd fs
ab
^ ^ cd (jang. A}.
CAGNOLI. . 202. nbsp;nbsp;nbsp;l
Btwijs, X ~ ab cd ~ cd
aar (j. A)* = CM Aj* - i - --rj - i, en du;
Ccof. A)
I' nbsp;nbsp;nbsp;ab
A quot; ^
** lt;^b ^ cd 3 cd (~~~l I J c Vang. A)* js .r.
Bb nbsp;nbsp;nbsp;ci^-
-ocr page 440-378 VUL Eoik: nbsp;nbsp;nbsp;hrckening dtr hoeken.
gevolg.
Daar nbsp;nbsp;nbsp;ah = p** ca 'cd ~ ftellen kan
IV. 9. Gev. II*) beef: men ook,
indien ^ nbsp;nbsp;nbsp;en cof. A s= ^
,1, nbsp;nbsp;nbsp;F
X zz (tang. A)\
XXXVIII. voorstel.
Alle grootheden die deze gedaante hebben . x ~ ttkf f* cd. ^clke ook de grootte van a. h ,.^c, d iijtt mogCrnbsp;Zijn zoodanig, dat men ftellen kan,
r^ r d nbsp;nbsp;nbsp;ah.
(cof. A}'
fV tang. A en a; =r
ab
BEWijj, X n e5 ei =! nbsp;nbsp;nbsp;0 '4- Ji}*.
Maar J'ec. A* = i tang, CVoorftel XXXI.)
en dus, indien tang. K r
szi eS cd xi ah.ifec. A)f = nbsp;nbsp;nbsp;(Voorit. SXXI.)
I, GEVOLG.
Men kan, ook. ftellen, cot. h =r ^^ en dan hadt in***
ah
X SS
' (jZ. A)*
II. GEVOLG.
O nbsp;nbsp;nbsp;p*^
Indien ab c=i p*; cd t=:q=^; tang.Az=.^ : is XXXlX. VOORSTEL,
Alle grootlaeden, die dez gedaante hebben ^
y p^ nbsp;nbsp;nbsp;,zijnzoo^nig,dat zaotang. Axs-^
cagnoli. . 2o5.
jdalt;
SWIJS. * S y V -k- nbsp;nbsp;nbsp;4*
cof. A nbsp;nbsp;nbsp;A VI.-J- (tang. A)*. (Voorft. XXXr.;)
? nbsp;nbsp;nbsp;f
Zoo daa tSng. A=^:isx3|gt;X fee. A != c7f~2:
XL. VOORSTEL.
CAONOLI. S- -08,
BEWIJS X nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-
a P
(cof.. Af S fm. A: tVoorfc, XVU. 1. Cev.
dus, Zoo p x; co/. A, is X 3 / . fm, A; en zoo p ^ fn, A , is -ar p ^ Cof. A.
XLI. VOORSTEL.
CAGNOLl, . 209,
EWIJS. X ta OT X
maar, (Voorftel XXXII. N. 68.)
I _j_ tang. B
tang. B , is ra X tang, (45^ B).
NSsi
$80
negende boek.
OVEa DE driehoeks-meting.
inleiding.
T)(t Drlchoeks~meting, Trigonometrie, is de vvetenfcha? vvdke ons leeit, hoe men driehoeken moet meten, of de*nbsp;zelve opiosfen,
St, Vl:i. liep. I, L. G. Tr. . i.
I, aanmerking. Wij zuen hier alleen hatidefen over de regt' Jijnige driehoeks-meting . of kunst om cte regtujnige driehoeken opielosfen ; welke kunst ook p/atte driehoeks-menbsp;ring genoemd wordt, zoo wel om dat de regtlijnige drie*nbsp;hoeken, wier zijden ne in n en bet zelfde vlak Hg'nbsp;gen, p/a/re fi'Urcn zijn , als om ze te onderfcheiden ''fquot;nbsp;de klootjebe driehoeks-wering, die de klootfche drieho^'nbsp;ken tot onderwerp heeft, d. i,, driehoeken wier zijdennbsp;bogen zijn van cirkels op eenen kloot befchreven, en dinbsp;dus niet in n en het zelfde vlak zijn,
IT, AANMERKING. let geen men driehoeks-meting noemt, behoorde in de daad driehoeks- rekening genoemd te worden* Want die kunst beftaat in het berekenen der grootte vaUnbsp;de onbekende ziiden en hoeken; het geen in de MeetkiiH'nbsp;de der Ouden niet te pas kwam; ook vindt men ernbsp;fpoor van in euclides : een hoek, eene iijn werd bij dienbsp;voor bekend gehouden, zoo dra dezelve in grootte geginbsp;ven, of, uit hoofde van het overige der figuur, bepaaldnbsp;was: waarvan wij in de 2 Aanmerking op het XXXIII. Voor*nbsp;Hel van het XI. Boek, een aanmerkelijk voorbeeld zullenbsp;bijbrengen. Daar wij ii moeten rekenen, ztrllen wij vajnbsp;multiplicatie en divijie van lijnen, dat is, van getallennbsp;ke die lijnen uitdrukken, fpreken: even als wij zulksnbsp;de I. Aanmerking op het XlX. Voorftel van het VII.nbsp;gedaan, en in de Aanmerking vr het IX, Voorftel van n*nbsp;VHl. Boek breeder uicgelegd hebben.
II, bepaling.
Men zegt dat men eenen driehoek oplost., w.nnneer nie twee boeken en eene zijde, of twee zijden cii een
381
Inkidins.
of de drie zijden eeiis driehoeks, bekend zijnde, de groot-te van de onbekende deelen bepaalt: en het is de kennis van de regelen, welke men volgen moet, ora tot zoodanige bepaling te komen, die het onderwerp van de dric-hoeks-raetingof, van de Trigonometrie ^ uitmaakt.
Su VIII. Dep. I.
I. AANJiERKiNG. De driehoeks-metiiig vooronderftelt dan, dat het gegevene genoegzaam is, om tot de kennis van her gevraagde te geraken; en gevolgelijk dat, zoodra die dingen, welke men opgeefc, bepaald zijn, al het overige hetnbsp;ook is; en dus, dat er geen twee driehoeken zijn kunnen,nbsp;waarin het gegevene voor beide het zelfde is, en de overige deelen verfehiUende kunnen zijn. Het is om die reden dat wij in deze Bepaling niet van het geval gefprokennbsp;hebben, waarin alln de drie hoeken des driehoeks bekendnbsp;zijn; want,, al zijn deze in twee verfchillende driehoekennbsp;gelijk, kunnen echter de zijden zeer verfchillende zijn innbsp;grootte; de driehoeken zyn in dat geval alleen gelijkvormig,nbsp;cn niet gelijk: zoo als uitbet IV. Boek genoegzaam blijkt:nbsp;de onderlinge rede der zijden is dan alleen bctlendig ennbsp;gegeven, maar niet derzelver grootte.
Deze is derhalve de reden, waarom er in de driehoeksmeting maar drie algemeene gevallen plaats hebben; die, namelijk, welke wij in de Bepaling hebben opgeteld. Dacnbsp;in het 1 en III. het gevraagde door het gegevene bepaaldnbsp;is, blijkt genoegzaam nit het XXI en XXVI. Voorllel vannbsp;het I. Boek. Uit heeft ook plaats voor het H, geval, doennbsp;met eenige onderfcheiding; om dat het zelve twee onder-g.d'chikte gevallen behelst; het eerde is, wanneer de gegeven hoek tnsfehen de twee gegeven zijden begrepen is;nbsp;dac dan al het overige ook bepaald is, blijkt uit het XXllnbsp;Voordel van het 1. Boek: het andere is, wanneer de gegeven hoek over eene der zijden daat; en het blijkt uitnbsp;het XXV. Voordel van het I. Boek, dat dan al het overige ook bepaald is, mits men vooraf wete, of een dernbsp;Overige hoeken ftomp zij, of niet: want laten, in figuurnbsp;68, de zijden AD en C gegeven zijn, zoo als ook denbsp;hoek A: dan kunnen er twee driehoeken zijn, namelijknbsp;A ACD en A ABD, waarin het gegevene (t, w. Z A,nbsp;Ad en CD, of B D =; CD) het zelfde is, doch die vannbsp;^kander verfchillen, om dat in den eenen de / ACDnbsp;Omp, in den anderen de hoek B fcherp is; het geen ooknbsp;jP de grootte van de derde Tijds AC of AB, en van dennbsp;oerden hoek ADC of A DB, invloed beeft. Nogthans zijnnbsp;die twee driehoeken zoo gefteld, dac de hoek ACD in den
B b 3 nbsp;nbsp;nbsp;ee-
-ocr page 444-382
eenen altijd het ftipplement is van den hoek B in den aP' deren: en daar een hoek den zelfden/as,fey?:;!, enz heeftnbsp;aIszijnrupp!emeni,(VllI. Bep.3. Gev i,Bep.4 Gev.i.Bep.5nbsp;en 6 Gev.) kan men uit eene berekening, die voor uitkmst dennbsp;fnns van den gezocbten hoek oplevert, niet 'weten of mennbsp;den hoekwelke aan dien finus in do Tafels beantwoordtnbsp;dan we) zijn fupplement nemen moet: dit moet vsn eldersnbsp;uit den aard namelijk van het Vraagftuk, bekend zijn.
ir. AANMERKING. Meii is gewoo.n de oplosfing der regthoO' kige en die der fcheefhoekige driehoeken afzonderlijknbsp;behandelen: en, in de daad, die der regrhoekige^valt ge-makkelijker , ora dat er in dezelve 'altijd n hoek,''denbsp;regte hoek namc-lijk, gegeven is; wiiarnft vrder.volgtnbsp;dat de finm van dien hoek gelijk is aan de eenheid, of aannbsp;den radius, en de fcherpe hoek het complement''van dehnbsp;anderen is.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' '
III. AANMERKING. In dit Boek komt meer dan. eens te paS het volgeiid Fuorzeijcl of
LEMMA.
[A Ej
Van twee grootheden [A , E] geeft do halve ,fom
daar bij gevoegd het half verfchil --- de grdotfte XAJ*
OVER DE REGTHOEK.J.GE DRIEHOEKEN.
I. VOORSTEL. Fig. 172. nbsp;nbsp;nbsp;:
In alle regthoekige driehoeken GDI Ihiit 1., de dius tot den jinus van een der fcherpe koeken [CD^*nbsp;of DCf] als de fchuinfche zijde [CDj tot de regtljock'nbsp;zijde [Cl, of Dl] welke over dcn gcmelden hoek is;
0. de radius tot den fecant van een der fcherpe [DCl of GDI] als de zijde [Cl of Dl] aan 'ditn hotSnbsp;grenzende, tot hypoihenufa, of fchiiiulch zijde.
St. Vilb I. en s. Gov. a. i.- b. G, r. $. 43.
. /Ifd,: Over de regihoBgt driehoeken,
bereiding. Men fWIe dat Crf de radius zij, gdk de cir-Kei mee denzelven uic C befchreven, en tli. loodregt op C6, ah en DH op CG welke met CB eenea regten hoeknbsp;GCB maakt.
Ewijs. Foor hit T. Uit de gelljkvonnighelcl der AA GDI cn Cdi^ de gelijkheid der AA HC D en D CI, en de 3,nbsp;Bepaling van 'het VIII. 'Boek.
BEWIJS. Foor het II, Om dat CD: CI, k r; fin
nbsp;nbsp;nbsp;T
CD: Cl =3
CDI, ; r 33 cofec,nbsp;r: bf wel
fin. L GDI' * nbsp;nbsp;nbsp; / CDI
-^.CDI: r (VIII. 31. Gev. i.j ::i 'fee. / DCI:
quot;Uic de getijkvotnigbeid der Ai^C Dt en Ce.
aanmerking. Dit Vootflel is eigenlijk een bijzonder geval '?an :bec III. Voorftel,
. GEVOLG,
r; cof. Z GDI = CD: Dl r; co/, i DCI := CD ; Cf.
II. gevolg.
AANMERKING. In de bcste Tafels vindt men geen f canttm ket is gevolgelllk beter dien regel altijd door de finuifen ofnbsp;'^ofinusfen te berekenen.
III. gevolg, CD Dl
C D) a
enfin.{fi Dj ss
a CD
i^AGNOLI, S. S17.
Uit Get, s : dividendo:
CD Dl =s i; I cof. D C^oor VlU* S*- N*. 49.) CD ; CD Dl a i: s (4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waaruit het gezegde volgt,
JV, gevol
GD Dl
CD ^ Dl
Dj =5
Bb 4
384
BEWIJS, Uit Gevolg ! compoHendo en dividend
C D -f- D !: C D D 1 =; 1 cof. V) i l ~ cof. V)
CD ~ IM ij- CO'. D
quot;cd 4-quot;bI I c^quot; Ci D) [VIII. 3V N. 7o]'
' nbsp;nbsp;nbsp;II. voorstel. Fig. 172.
In alle regtlioekige driehoeken [CDl] ftaat de radios tot den tangent van een der hoeken [C of DJ als dsnbsp;zijde [Cl of Dl] aan dien hoek grenzende tot de zijdenbsp;[Dl of Cl] welke over dien hoek ftaat.
St. vin. ---L. G, Tr. . 43.
BEREIDING. Als voot het votigc Voorftcl; en zij b e lood-regt op Cb en GF op CG.
BEWIJS. Uit de gelljkvormiglieid der AA CDl en Ceht de gelijkheid der AA GDI en HDC, en de 6. Bepalifinbsp;van het Vill. Boek.
GEVOLG.
Dus is ook; Cl: Dl radius: cotang, L D.
1
REGELS TER OPLOSSING VAN DE VIER GE* , VALLEN,DIE IN DE R E G T H OE KIG E D Rl ˻nbsp;HOEKEN PLAATS KUNNEN HEBBEN.
aanmerking. Wanneer drie dingen in een driehoek geg^' ven zijn, kan men altijd (behalven in de reeds te voren iiii'nbsp;gezonderde gevallen) elk der drie'overigen onmiddelijk, datnbsp;is-, onaf bangelijk van de twee anderen, kennen. Doch mconbsp;! kan ook, eh dit is dikwerf gemakkelijker, eerst dn del'nbsp;zelve en dan door dat reeds gevondene de overige viquot;'nbsp;lt;leii. Dus wordt in hel ll. der volgende gevallen de g'nbsp;zochte zijde gevonden, of onmiddelijk door de I. OplosfinSnbsp;(II. 2.) welke uit II. i6. is fafgeleld, of wel, gemakk'nbsp;lijker, door eerst den ov^erflaanden boek te zoeken en danbsp;aloor II. N. I. Het zelfde geldt voor het IV. Geval.
gegeven. De hypotenufa en eeh def fcherpe hoeken*
St. Vlir, a. Gev. a. Keg, 4. L. G. Tr. S- 49
GEZOCHT. Dc beide regthoekszijden, en de andere hoek*
o?'
385
OPLOSSING.
lt; r ft J -tj ^yp- ^ /*' gegev. hoek.
Rad. (I. Voorft.)
II. GEVAL,
I. oplossing,
Hypot.
nbsp;nbsp;nbsp;./!. tegenoverft. hoek X IIvP,
II. Gezochte zijde B nbsp;nbsp;nbsp;R^dr~[rVooT(
ea/fg. tegenoverft, hoek X geg. zijde
~ nbsp;nbsp;nbsp;Rad!^ ClI. Voorft.)
/^Hyp, geg. zijde) X CHyp,--~ nbsp;nbsp;nbsp;geg. zijdej (II. lo.)
oplossing.
Voor den gezochten hoek. _
fi). aangr. hoek s
O. Voorft. Gev. 3). nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
Z^-erfchil Hyp. en geg, zijde i aangr. hoek b 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;--rr-^ -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-
nbsp;nbsp;nbsp;fom Hyp. en gev. zijde
Aanmerking, Wanneer men tot focU van de rekening den van qen zeer kleinen, of den yl/7us van een zeernbsp;etooten hoek krijgt, kan men door de gewoone tafels toenbsp;geen zeer groote naainvkeurigheid komen, om dat de cofi-of liiiusfen dan voor eene vrij aanmerkelHke veran-Bb 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de-
- ^Hypot. geg. zijde
2. riyp.
deriiig in den hoek te'weiiig . Meranderen: doch de finusp* van kleine hoeken veranderen integendeel zeer fpoedig
dus urmen de hoeken v^rvan,-zij nbsp;nbsp;nbsp;iiaauwkeU'
.riger.berekend Worden; waarom men dan in dergelijke g^' vallen aan deze tweede-oplosfing de voorkeuze geven moet*
III. 'geval,
5.,s. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot;T
zr; : re r .;', : 'OpidsSING.
GEGEVEN. Eene'regtTi{Jelcs2i|d etl een {fcfTrj GEZOCHT, De hypotenufa, de andere zijde, cn de twc^'nbsp;de hoek,.
iJj, G, Tr, S* 5.
I, Gezochte hoek a conipl. ge^. hoek.
:; geg. zijda X Rad.
.. -r - nbsp;nbsp;nbsp;aanlig hoekr
1 - r'.'. . .-r :i'; fVootll.I. Gv.j'.gt;
gegev. zijde X Racf.
, nbsp;nbsp;nbsp; ftn, tegenov. hoek.
' nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.. ^I. Voorfl.)
geg. zijde x* fee, aangr.
. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- Rad. (1. Voont.j
- - - nbsp;nbsp;nbsp;.....geg. zijde.:X ndee.- tegenov-.j.*
~ nbsp;nbsp;nbsp;Rad.
(I Voorft. Gev. 2.)
geg. zijde X tang. aangr. h. UI. Gerockte ryde ^^-^RadT^-1--
geg. zijde' X cot. tegenov. ^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Rad. (ll. Voorlt. Gev*}
IV. geval.
St. VIII. I. Reg. I, a. I-. G* Tr. . so.
OPLOS SING.
aangrenz. zijde X Radk 1, eot, gz. hoek r: quot;T^enoverll. zyde.
(II. Voorfr. Gev.) tegenov. zde X Rad,
(II. Vooiftel}.'
f iatig, gez. hoek S aangrenzende zijde.
-ocr page 449-7, JfJ.: Over de regihoekigi driehoeken. 387
II. Hypotenufa s
z^de ^ Rad.
Jin. tegenover!!:, hoek. Cl. Voordel),nbsp;zijde X Rad.
cof. aangr. hoelc.
(I. Voord, Gev. i.)
zijde X ye.tegenoverd.lioeb.
Rad. (_I. Voord. Gev. 2.) zijde X yig. aangr. hoek.
Rad. (i. Voordel).
II. Hypocenufa =a /^eiie zijde^ andere zijde*
(II. 16.)
/'andere zijde
=! eene zijde , 4- (---)
* ^ eene zijde y
^Aanmerking. Wanneer men , dar verre het S=akkelijksc Ttid^us gelilknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u ftelc, moet mci * P
W gebruik der. nbsp;nbsp;nbsp;letren: mansmoer
fius/en , cojinasfen, du teiligenttn tOt 45 ' ^0^1 de . teiiten boven de 45, als breuken aaumerken, eil dus, lU*nbsp;dien men door de logarichmen werkt, overal lo van hetnbsp;charaliter in het facit aftrekken , wanneer het facit de /a-S^i-iiiaiis is eener gezoShte zijde.
aanmerking. 'Wanneer men met logarithmen w'erkc, za
als
s nien altijd in de'praktijk doet, wo 7 met, in piaats van een' logarithm
als
word: de rekening kpr-aftetrekken. zoo
OLi
n'het IIi III en IV. geval, zijn arithmetiickco'nple-fr-bijtcvoegen, -Insgelijks, wanneer men door logarich-werkt, moet men altijd in nbsp;nbsp;nbsp;ssval, de
Weede uitdrukking van N. III. gebruiken, die gemakkelij. te berekenen is.
.osstNo nooR DE oNTEiis SCHAAL. Wij hebbcH in het Boek, Afd. III. U. den aard vin de Zooge-'^'nde gu-nters oi Lngarithntcn-fd^^^X uitgelegd, en aan-hoe men dezelve gebruiken_ moet. Het is klaar-quot;kelijk dat men de ,vier gevallen, hier gemeld, ook doornbsp;Zelve kan oplosfen: want, men h^eft in het
'^SVAL. Log. Hyp. Log. ovcrlt. zijde =3
Logi rad. -4 Log. nbsp;nbsp;nbsp;hoek.
Leg. Ilyp. Log. dangr. zijde
Log. rad. Log. tof gegev. hoek.
II.
-ocr page 450-IX. Bek.
Over de Driehoeks-meiing,
JI. GEVAL, Log. Hyp. Log. geg. zijde = nbsp;nbsp;nbsp;,
Log. rad. Log. Jin, tegenovergeft.
Log. Hyp. Log. ge'z, zijde = nbsp;nbsp;nbsp;.
Log. rad. Log. jin. tegenovergeft. h*' ^^if'geg.ziide Log.goz, zijdenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
Log. rad. nbsp;nbsp;nbsp;tegenovergeft.
Log. I-Iyp. Log. geg. zijde s=
Log. rad. Log. cof. aangr. hoek. . Log. rad, Log. f\n tegenovergeftnbsp;Log, geg. zijde Log. gez. zijde =
/ j-ad. _ Log. tang. aangr. hoek.
HL GEVAL, Log. I'Iyp. Log. geg. zijde Leg. rad. 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
IV. GEVAL, nbsp;nbsp;nbsp;aangr. zijde/^g-tegenov, zijde t=
Log cot. gez. hoek Log. rad.
Log, Ilyp. Log. zyde nbsp;nbsp;nbsp;^
Log, rad. Log. fi, tegenovergeft, b^^ ' Log. rad, Log, cof. aangr. hoek.
iir. AANMERKING, Het is door middel van de oplosfing regthoekige driehoeken, dat men berekent,-in de Land'n^^,nbsp;kunst, de hoogte van voorwerpen, enz.; en in de Stuurnnbsp;kunst al wat den koers, de verheid, en de bekomenenbsp;cn breedte betreft, gelijk door voorbeelden blijken zal.
Men heeft zelfs, om alles voor de zeelieden gemakkeW te maken, de zijden der regthoekige driehoeken, voor ^nbsp;paalde lengten der fchuinfche zijden, en voor alle ho^Njnbsp;des quadrants berekend, en in Tafels gebragt: w'aaruknbsp;zoogenaamde Streektafels geboren worden, welke menbsp;boeken over de Stuurmanskunst aantreft: en waarvan denbsp;en nuttigfte zijn die van eouwes, te vinden in zijnenbsp;mamtafels.
Daarenboven vindt men nog op de pleinfchalen van gelsch maakfel eene lijn getijteld Long, o? Longitude t Vnbsp;w'el M. L. {MtUs - Longitude j, waardoor men op betnbsp;zigt, of met_ een pasfer, bet zelfde verrigt. Tenbsp;die lijn flaat in verband met eene lijn sm choorden,nbsp;eene van Rhumbs, en men gebruikt deze of gene naarnbsp;de koers in ftreken, of in graden is uitgedrukt: de vedi^onbsp;of fchuinfche zijde des driehoeks, wordt vooronderft'Qf-te zijn. Men neemt met den pasfer op de lijn dernbsp;den, of der Rhumbs, den boel: die den koers aanduid^nbsp;den meridiaan afterekenen ; Helt de eene punt opnbsp;de lijn Longit. of M. L.: de andere wijst de vetano^ ^nbsp;breedte aan, of de zijde des driehoeks aan dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;je,
boek grenzende , fteende do voor de fchuinfche pf
-ocr page 451-. Afd.: Over de regthoekige driehoeken, 38J
''f voor de gezeilde verheid; vervolgens neemt n\eii met den Pasfer den hoek die het complement is des voorgaanden,nbsp;nandelc op de zelfde wijzer de tweede punt des pasfersnbsp;de andere zijde des driehoeks aan, of hier de af~nbsp;'Wijking van den meridiaan.
Die zelfde fchaal dient nog tot een ander oogmerk, waac-wij in XIJ. Bep. ii. Aanm. 2. fpreken zullen.
VER DE SCHEEFHOEKIGE DRIEHOEKEN.
111. VOORSTEL. Fig. 179.
^ alle driehoeken [ABC] ftaan de zijden tot elkaii* 200 a's de fitml'en der tegenovergeilelde Iioekeii:nbsp;is
AB: BC = fin. L C: fin. L BAC:
AC: IJC = fin. L ABC; fin. L BAC:
A C; A B = fin. L ABC: fin, i, C.
2Rrioi,\G. Stel AH loodregt op BC, en BE op AC.
Ewijs. Uit he: I. Yoorilel; en III. u.
Aanmerking. Indien de A ABC regthoekig was, bij voor-in A: hadt men
II
A C; BC ^ fin. KVgt;C-. ftn. L'. dat is AC; BC ~ fin. i ABC - rad. het geen het I. Voordelnbsp;^Plevert, het welk dus maar eeu bijzonder geval van dienbsp;algeraeene Voorllel is.
' A'^nmerking. Ook het tweede Voordel wordt zeer tftilikelijk uit dit afgeleid. Zoo i A =3 Lnbsp;AB: AC 3= fin. C:/- nbsp;t= cof. B: yi. B
= cof. B
II!
s: I ; tang C* CVHI- 25}.
Janmerkisg Tndien een der hoeken, Vij v. L C AB , ftompjs, men eeenlnk n nlaati vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ C A.B hcbbtn Un. fiippU
^ C AU} doch wrhel?ben i.n de lil. Bepaling van hevViU. Boek.
590
einle
I-(Tevolg, gezien dat liet fapplemcnt ens hoeks den z%ji /imis heeft a!s de hoek zelve: en wil men 'zulks uit dit ''Wnbsp;bewezen hebben, men befcliouwe Fig. ae: aldaar isnbsp;^ DAB 'i-' dk hCD en dusnbsp;^p: DC K AB : CU:nbsp;jyraar in ^ C A B isnbsp;AB; canbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l ACBi famp;d.
en in ^ C AH is nbsp;nbsp;nbsp;^ I. Voorftcl.
CH : CA S i C AH: fii, J dus fIli- l')
A B : C H ez I'm. L A C B : /?. Z C A D:
en dus
AD; DC s lm. l ACD: Cm. L CAD;
Maar in A ACD: is AD: DC s . d ACD: y?. derhalve . L ACB: fin, d CAD quot; fm. Z ACD:nbsp;er, dn. Z A C B =; /n. Z A C D : dat is , lm. fuppl. l ACS - '
Z ACD.
IV
hoeks te Vinaen, wznneei ecue ucizewe en ae iioea-e,. ceven zijn: of om de derde zijde te vinden, wanne^nbsp;twee zijden, en een hoek, over eene derzeivenbsp;gegeven zijn; doch men lette in dat geval op hetnbsp;wij in de eerfte Aanmerking op de II. Depaling, over onbsp;aard dier onbekende hoeken gezegd hebben. Wij ^ j,nbsp;de tocpasflng van dit Voorftel in de oplosfing van hetnbsp;en II. geval zien.
. AANMERKING. Dit Voorftei dient om de zijden eens hoeks te vinden, wr.nneer eene derzeive en de hoeken K
{ofi
VOORSTEL. Fig. i8o.
In alle ongelijkzijdige driehoeken [CAB], ftaat |f(j van twee zijden [BC -{- lot derzelver verfchil [^^jjnbsp;. ABj als de tangent van de halve fom der hod'^^nbsp;[A {quot; CJ over die twee zijden gefield, tot den tanPnbsp;v.an derzelver half verfchil [z\ C],
L. G. Tr. . 47.
st. v:ii
bereiding. Trek uit den hoek B, tusfclien de beid j-tj wuste zijden begrepen, als middelpunt, en met denbsp;der gegeven zijden BA als radius, eenen cirkel j,nbsp;Verleng CB in E, trek door E en A, E A, en laat Crnbsp;op EA zijn; CF valt binnen, of buiten, den driehoeknbsp;mate L Ca fcherp of ftomp is. Trek DA.
2.Dat L ECF d ADF. (I.Boek, Bep. lo)
(V. 50 ca \ [d CAB L ACB] (I. I50- nbsp;nbsp;nbsp;, aC^.
3. Dat gevolgelijk i [4 C AB -jj- Z ACB] ^ ot
BEWIJS. Men bewijst eerst dat C E E C A D =; BC AB.
2.Dat L ECF d ADF. (I.Boek, Bep. lo)
-ocr page 453-II. Jifd.: Over de fchtefhoekige driehoeken. jpt / i iL CAB L ACB] =3 L ECF - 4 Acb -
Uit die alle? maakt men vervolgens, met het II. Vooramp;ei P de driehoeken FCE, en F CA toetepasfen, door lUnbsp;* en de gelijkvormigheid der AA AE D en FC, hecnbsp;op.
I. GEVOLG,
. aar dan
nbsp;nbsp;nbsp; AB = tang. f [A -f- CJ: tang.
. nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ CA - C]
i A Z C = ftippiefn. L B, volgt ?'* dat zoo hoek B bekend is, L A Z C het ooknbsp;s: en aevolgeliik 2. dat, zoo AB en BC bekend zijn.
then
^ tang* h [Z AZ C] vinden kan; waaruit de bepaling hoeken A, en C volgt, door het Lemma, bl. 382.nbsp;de groptfte hoek A = -|[ZA4'^C] i[ZAZC]rnbsp;de Ideinfte ZC = [ZA ZCj ^[ZA-ZCJ. Dusnbsp;, dit Voorftel eigenaartig, om eenen driehoek opte-^Osfen, waarin twee zijden, en de hoek tusfehen dezelvenbsp;begrepen, bekend zijn; gelijk wij in de oplosfing vr.n hetnbsp;Ili, Geval zien zullen.
i. AANMERKING. Dit Vootfcel heeft alleen plaats voor ongelijkzijdige driehoeken, doch niet voor gelijkzijdige, vermits als, dan BC AB = o, zoo ais ook het verfchil van t^Tge hoeken; het heeft ook geen plaats voor gelijk-boenige driehoeken in het algemeen: want (Fig. 34) vvan-*ieer de gegeven hoek ABC ensfehen de gelijke beenen ABnbsp;tl BC haat; is BC AB_ = o en A ^ C = o: dus nbsp;geldt dit Voorftel als dan niet: maar hec^ zoude kunnen gel-quot;
I,
9 indien een der hoeken op de grondlijn B AC, of a c B, me: de grondlijn AC, en een der beenen B C gegevennbsp;quot;as; doch dan is het onnuttig, vermits als dan ook hecnbsp;'veede been en de derde hoek gegeven zijn, d. i. ver-er als dan niets in den driehoek onbekend is.
aanmerking. Wanneer dan in een* gejkbeenigen ^mehoek IvBH (-FK 79.), de beide beenen en de boek KBH,nbsp;^'tsfehen dezelve begrepen, bekend zijn; laat men uit Bnbsp;loodlijn BI neder; daar deze den Z .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de
fitondlijn K li in twee gelbke deeien fmjdt, is 4 K B II be-^tid, en dus, door oplosfing van den regthoekigen dtie-boek KBi vindt men geraakkeUjk KI, waarvan hec dub-'d is KH: dat is:
rad.t, tof. i I KBH KB; { KH
39 lx. Back: Over de Driehoeh-meting.
of, v?at nog veel gemakkejker is, daar alle de van een gejkbeenigeii driehoek bekend zijn wanneernbsp;een bekend is, vindt men de derde zijde door het vienbsp;Yoorflel.
11. -GEVOLG. Fig. 180.
Daar Z A 4- Z C jSoquot; Z B nbsp;nbsp;nbsp;,
IS
Z A Z C nbsp;nbsp;nbsp;1 , Tgt; '' lt;if
^- = 9o ^ Z B:
- = Camp. 2 i B:
cot. i i B; waar door
of
dus
Tang. i [Z A Z C] =
Voordel wordt nbsp;nbsp;nbsp;,
BC AB'.BCAB = coe. Z B: tang. ^ [i A en derhalve wordt ook de grooifte hoek a =nbsp;i Z B 4 gevonden verfchil;nbsp;en de kleinfte = comp. Z B ! gevonden verfchil.
lil. GEVOLG.
BC - AB:bCH-AB = tang. i B: col. ^ [A-(VllI. 26. Gev. 1.) en dus
/-BC AB'^
cot. i [A ~ C] = tang. [f B] X nbsp;nbsp;nbsp;ABgt;^
of cot. i [A - C] = tang. [B]X 111. AANMERKING. Mcn behoeft dan ora die boeken te vquot;nbsp;de grootte der gegeven zijden niet te kennen: het isnbsp;AB
dat derzelver rede bekend zij.
I
IV. gevolg.
Indien uien in Ivet III. Gevolg ftelt ~ tang.
eot. i [A - C] =a nbsp;nbsp;nbsp;i B Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
J B X [45 a\. VUT. 32. nbsp;nbsp;nbsp;#8.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V
-ocr page 455-II. .dfd.: Over de fchtcfhoekige driehoeken. 593
voorstel.
Fig. 181.
|. In alle ongelijkzlidige driehoeken (laat de gtootfte zijde , gt;^ot de fom der twee overige [BC AB] , alsnbsp;nerzelver verfchil fBC BA] tot het vcrfchil der ftuk-[EC AEJ ', die op de grootfle zijde gevormdnbsp;''Orden door de loodlijn, uit den top des tegenoverftaati-hoeks [3] nedergelaten;
St. vin. 4. L. G. Tr. . 47.
Bereiding- Zij BE J, op AC: Trek, uit B ais middN Pm en met AB, de kleinde zijde, als radius, eenen cir-ADFG, die AC en BC in D en F fnijdc. Verlengnbsp;C B tot in G , trek B D. Dan is A Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E D; G C = B C
AB; FC = BC AB; eii DC a EC ED s
Bc-ae.
1.
Ewi]s. Uit V. i? het I Gvolg.
Aanmerking. Dit kan veel eenvoudiger, en zonder enige ^reiding bewezen wrden: en dit bewijs ben ik aan dennbsp;Beer rehoei, i.obatto verfchuldigd. Immers CD- ld. Gev.
4^ is A A Equot; = CE^ A'
C : waaruit B C*
- BC] X Maar CEnbsp;AB ::'Be ~ AB:
~ CE' AE^: d. i ([[. 10.) fAB
AE =: AC; gevolglijk AC: BC -f ' quot;
*^C A E.
GEVOLG;
^aar dan
Vof C; nc 4- A5 = BC - AR: EC ~ AE:
het, dat men, ais AC, AD, BC gegeven zijn ^ jf AE vinden kan: en daaruit zijn E C en AEnbsp;Oi^erlijk bekend; wantnbsp;ISC A = AC is bekend; maar
EC rr ['quot;-C AF] [FC - A Ej \t Bk).
Jiet nbsp;nbsp;nbsp;nu A E en C bekend zijn , vindt men, door
Voordel, in de regthoekige driehoeken ABE en de hoeken A, en C; waaruit de hoeken ABE,
GBE,'
-ocr page 456-394
BEWIJS _ _
BC* AC^
A UCP
BC tot radius aanneemt, is BD de Jinus van den Z BCD*quot; CD deszells cofmus :dcrhah'e i: BC tscoj, l BCD: CD en CDS 8^ nbsp;Co/iBCD; maar co/'. Z B C D = -h cof. Z BCA, naar matenbsp;Homp of fcherp is (VIU.Bep.4. Gev.2,) gevoJgeiijk BA* ^ 1.nbsp; AC* 2 AC X C BC) cof. BCA; dat is, in alle
ot
len, BA* = BC* AC* nbsp;nbsp;nbsp;hC_^XiC . c^f l BCA
2 AC . BC cof, Z BCA = CBC* AC*)BA*; waaruB Voorftei volgt.
L. Boek: Over de Dric/weks-metinr,
CBE, en ABC volgen: j'oo dat men door dit Voorft^] als voorbereiding ter bepaling der Bukken AE ennbsp;eo voorts door het {, Voordel, de hoeken eens driehoeknbsp;waarvan de drie zijden gegeven zijn, vinden kan.
II. aanmerking. Om de zelfde reden, die wij in de i. king op het voorgaande Voorftel gemaakt hebben , gt;5nbsp;Voordel niet toepasfelijk op de gelijkbeenige driehoeke'^^nbsp;wanneer de grondlijn AC de grootfte zijde is, nochnbsp;op. de gelijkzijdige; maar in eenen gelijkzijdigen drith^fjjnbsp;zijn de hoeken van zelve bekend (I. 27. Gev. 3.) e'Yunbsp;eenen gelijkbeenigen, daar de loodlijn [J3J: fig. 34']nbsp;tophoek, en de grondlijn in twee gelijke deelen fnijdt,^,nbsp;de hoeken door de oplosling van eenen regthoekigen dt*nbsp;hoek ABK te vinden: want:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,j
AB: i AC [of AI] = rad. : cof. i A, of tot i Z ABC.
VI. VOORSTEL. Fig. 66.
In allo driehoeken ftaat de radius tot den cofinus van ef der hoeken, als de dubbelde regchoek der zijden welkenbsp;hoek bevatten tot het verfchil tusfcheii de fm van de vifif'nbsp;kanten dier zelfde zijde. en het vierkant van de derde zD'nbsp;de; d. i.
i; cof. Z BCA = 2 AC . BC: [BC* AC'] ~ BA*' L. G. Tr. . 4S.
De loodlijn BD neergelaten zijnde, is uit 11. 19: DA* 2 AC . CD} maar, indien men innbsp;bet
I, AANMERKING. Dit Voorftcl, hct wcIk geheel op H-' fteiiut, kan befchouwd worden als de geheels driehoek ' meting in zich bevattende: immers indien men, korth^'^nbsp;halve, de drie zijden eens driehoeks door de lettersnbsp; c, uitdrukt, en de hoeken welke over dezelvenbsp;door gelijknamige letters B, C; geeft die voorftd ^
-ocr page 457-1. Cof. A = 2.. Cof. B =nbsp;3. Cof. C = |
I. GEVOLG, -j- C* *nbsp;2 ^2* C ! ------------ 2 acai nbsp;nbsp;nbsp;~ ci 2 ab |
II.
Aanmerking. Het is op deze formules d.it de Heer pis'saNT ge^ '^estigd heeft al wat h van de driehoeks-raeting zegt in zyn uitmuntend werk Traite de Godfte.
Aanmerking. Indien L K ra L, is coj. A ra o en n* nbsp;nbsp;nbsp;-}- c*;
het geen het Theorema van ptbagokas oplevert: ftellcnde die
o
ivaardij in de twee overige formules : komt cof. B c f. C ra ^ i
u fin, B ra cof. C S : derhalve i: fin. B ra : amp; dat ons eerfte
,, nbsp;nbsp;nbsp;IC
Voorftel is: .verder nbsp;nbsp;nbsp;ra fee, B ^ i:/. B ra : c dat
fin. B
het tweede gedeelte is van ons eerfle Voorftel: eindelijk '71;; j-
tang. B =! dat is I; tang. Bs c: S het geen ons tweede Voor. ftel oplevert,
JI. GEVOLG.
b*
equot; -
Ca hc-f
*S;2, ^ _ lt;7 V' 2 t* 2 rt* C* -j- 2
2 eibc
EWijs. Sin?- (A) = I ro/. CA)
nbsp;nbsp;nbsp;7. rQ. %nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fl
4 ^ h c a
en derhalve
a hc
1/ a
a V 4 c
A =:
IV.
o. abc
egeveni
Aanmerking, Men vergelijke hier mede de uitdrukkingen in he het Vin. Voorftel, en In de Aanmerking op het li.nbsp;orllel gegeven.
Ct 3 nbsp;nbsp;nbsp;1
39
IX. Boek: Over de Driehoeks^meting.
V. AANMERKING. Mcn ftelle, gemakshalve , voor het radicaal dat injf.' II. Gevolg voorkomt, ei^ uit bekende grootheden beftaat, V P
. . V'd nbsp;nbsp;nbsp;h V d r, r
derhalve /t*- A 3 nbsp;nbsp;nbsp;, _ : en insgelijks fin, Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- , en/d*- ^
2 abc nbsp;nbsp;nbsp;j.. quot; ~r 8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
- nbsp;nbsp;nbsp;; waaruit volgt fn. A: (?, B: . C 3 lt;e: i:
geen ons III. Voorftel oplevert.
VI aanmerking. Uit fm, A: fm, C d: c volgt contpcncndo en vidcndo, 1:11. A /ji. c: /n. A fti. C a c: a c
f.n. A C lt;l -J- c
f:n. A nbsp;nbsp;nbsp;= ~^c= 6 uil VIII. $2. N. 82.
tans, i (A C) nbsp;nbsp;nbsp;a c
tang. CA C) fl c
a c . a c =. tang. i (A C) : tang. (A C)- Dat e* IV. Voorfcel is.
Alle de hoofd-voorftellcn van de driehoeks-meting worden df!f halve uit dit VI. Voorftelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;afgeleid: maar het bl!i''
tevens hoe veel de geometrifche bewijstrant eenvoudiger en zenlijk fraaijer is, hoewel ook de algebraifche in andere opsi'nbsp;z'n nut heeft, en verdient gekend te worden.
I nbsp;nbsp;nbsp;III. GEVOLG.
bc
I cof. A
lEWIJS. Uit VIll. 32. NO. 29. is /In. i A ~ - derli uit Gcv. I. is
Jin.^ Ci A) =
td - cf
-.ixC
'c h
5 -f- !
dfi*
waaruit het geftelde volgt.
Vn. AANMERKING. Dit gefift ccn middel op om, wanne^ zijden gegeven zijn, den hoek te vinden welke vinbsp;twee derzelve begrepen is: tusfchen die namelijk welknbsp;de halve fom der zijden worden afgetrokken,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;JV'
-ocr page 459-i A =
, nbsp;nbsp;nbsp;igt;c
EWijs, Uit VIII. 32- N. 30. is cofd Ci A) ~ co . A
a
gcvolgelijk kier uit liet I. Gevolg.
eo/;* nbsp;nbsp;nbsp; a Bc nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d fS c)* a*
4 5c nbsp;nbsp;nbsp;4 5c
-- nbsp;nbsp;nbsp;' waaruit het geftelde volgtj
h.
aanmerking. Men kan derhalve, de drie zijden gege-zijnde, den hoek A door deszclfs cofmus vinden.
Aanmerking. De oplosfingen in het derde en vierde Ge-, olg gegeven, hebben die voordeel, dat i A altijd kleiner dan 90: en men derhalve altijd voor den hoek dat ge-neemt, het welk in de Tafels naast den gevonden Jt~nbsp;^tis of cofinus Haat; zonder dat men behoeve nategaan,nbsp;(het geen voor fin. A en cof. A dikwerf het geval is) ofnbsp;men den hoek die naast den gevonden Jnus of cofinus ftaac,nbsp;dan wel zijn fufpkmcnt, nemen moet.
V. GEVOLG.
= V {b cy f bc fin.- (i A).
r.wijs, Uit het eerfie Gevolg is quot;* = 5* 4- d 1 hc cof. Anbsp;uit VIII. 34. N. ni.
= 5* -j- c* a 5c [I 2 fquot; * (i ^otliaivenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
* =: i* 4. c 2 5c -t- 4 nbsp;nbsp;nbsp;
X,
nbsp;nbsp;nbsp;4 5 c find (Js A) waaruit het geftelde volgt.
Aanmerking. Men kan derhalve, zonder eerst de hoeken (gt;6palen, de derde zijde vinden van eendriehoek , waar- twee zijden en de tusfehen dezelve begrepen hoek gege-zijn.
alle driehoeken, ftaat de regthoek uit eene zijde [BC] Ofnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van den aangrenzenden hoek [BCD], tot de fora
at vetfehil der regthoeken nit de zelfde zijde en den c*-Cc 3 nbsp;nbsp;nbsp;fi-
39*
(inus van den zelfden hoek, en uit de andere zijde melden hoejt __bevattende , en den radius, als de tangent^^
den hoek CA] over de eerde der gemelde zijden ftaande ' den radius-, dat is BC X /. BCD: AC
CAGNOLI, . 22p.
BEwrjs. Zij BD loodrcgt op AC: dan is
in A ABD ,tang. A zzz Vooifc. Il; : en in
A BCD isDBrrBCXy?. ZBCD (Voorft. I.)
D C = B C gt;lt; co: Z B C D CVoorfl. L Gcv. i.gt;
Maar AD AC -f- DC: derhalve
: waaruit het VoOf
tang, A
A C H- B C . cof. BCD
TOlgt.
I. AANMERKING. Indicn de hoek C fcherp is: valt de loodlijn ' den driehoek, en men heeft AC BC . co. BCD:nbsp;hoek C ftomp is, valt CD buiten den driehoek , cn men
A C B C . co/; B C D.
U. AANMERKING. Indien de hoek C fcherp is, kan de gezochte boelt; fcherp, of regt, of ftomp zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.j
fiOt'
Het eerfte heeft plaats zoo lang BC .co'! BCD ^ AC: quot; dan is de tangent pofttief.
Het tweede zoo BC co/. BCD AC: want dan is de mer in de breuk nul: bet geen te kennen geeft dat tang. A 'nbsp;dig, cn das L A ~ L is.
Het derde, zoo B C . co/. B C D gt; A C: want dan is de negatief, cn dus tang. A negatief-, gcvolgelijk A ^ po*.
regels ter oplossing Der vier gevalI-^ die in de scheefhoekige driehoek*^nbsp;PLAATS kunnen hebben.
aC.
I geval. Fig. i8o.
Sj. yill. a, Gev. I. reg, 3gt; L. G. Tr. 55.
-ocr page 461-II. Afd.: Over de fcheefhoeMge driehothi^. 399
OP H. os SING.
hoeken.
fin. overft. hoek X geg. Zijde
II. nbsp;nbsp;nbsp;Gez. zijde :=:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jjoek over de gegev. zijde.
CIII. Voorftel.)
II. GEVAL.
L. G. Tr. . 54.
oplossing.
I. jin. gezochten boek over de gegev. zijde tegen overft. zijde x ft- gegev. hoek
quot;quot; zijde over den gegeven hoek,
(III. Voorft.)
aanmerking. Daar de finus van een hoek ook de fintts is van het fupplement des zeJfden hoeks, heeft hier die nzei.nbsp;kerheid plaats, waarvan (.11. Eep. I. Aanm.) gefproken is.nbsp;Doch die onzekerheid verdwijnt in twee gvSllen : voornbsp;eerst, wanneer de zijde over den gegevei hoek grooter isnbsp;dan die over den gezochten hoek: want dan moet de gezochte hoek kleiner dan do gegevene, en dns ook nood-'t'endig fcherp zijn; en ten tweede, wanneer de zijde overnbsp;den gezochten hoek grooter is dan de zijde over den gegeven hek, en de gevonden fcherpe hoek kleiner dan denbsp;gegeven. Immers, daar als dan de gezochte hoek grooternbsp;dan de gegeven zijn moet, zal men het fupplement, of dennbsp;ftompen hoek , moeten nemen.
II, Derde hoek fPpl- fo der twee overigen fahoek over dezelve X gegev. zijdenbsp;III. Derde zijde nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;over de gegev. zijde.
III.
IX, Boek: Over de Driehoeks-meting.
III. geval.
GEGEVEN. Twee zijdeii; eii de hoek tu^fchen dezelve begrepen.
OEzoenT I. De twee overige hoeken.
n. De derde zijde, gt. vm. 3. Gcv. 4. L. G. Tr. 55.
I. OPLOSSING.
I. nbsp;nbsp;nbsp;Tang, I verCehil der gezochte hoeken re
verfch. gegev. zden
Cot, t gegev. hoek X ^-r~---
nbsp;nbsp;nbsp;fom. gegev. zijden.
Grootlle der gez. hoeken =: Compl. | geg. hoek I verfchil. Kleinfte der gez hoeken =: Compl. geg. hoek i verfchil.nbsp;(IV. Voorll. en deszelfs 3 Gevolg).
II. nbsp;nbsp;nbsp;De hoeken dus bekend zijnde , zoekt pen de derde zijde door het i. Geval; namelijk
liii overdaanden hoek X gegev. zijde
Derde zijde =; nbsp;nbsp;nbsp;r^-u-:-77-5rquot;
' pi hoek over de gegev. zijde.
II. OPLOSSING.
Men zoeke in de Tafels den hoek [a] waarvan de tangent Uitgedrukt wordt door de grootfte der gegeven zijden, ge-
AB
divideerd door de kleiiifle: dat is zij tang. a nbsp;nbsp;nbsp;dan is
cat. verfchil dor gegeven hoeken =3 tang. \ gegeven hoek x t^ang, [45 Cuic IV. Gev. 4).
CAGNOLI. 230.
aanmerking. Deze Oplosfing komt in de Sterrekunde te pas; en doet tevens zien dat het, om de hoeken te bepalen, niet noodig is de eigenlijke hoegrootheid der zijdennbsp;van den driehoek te kennen i maar dat de rede derzelver tenbsp;weten daartoe genoegfaara is.
111. oplossing.
Tang. gezochten hoek -tegenoverft. zijde X (in, gegev. hoek
tweede gegev. zijde -f- tegenoverli. zijde X cof. geg. hoek.
(Voorll. VII.)
flamelijk , zoo de gegeven hoek fcherp; -j-, zoo hijftomP
CAGNoLi
401
II. nbsp;nbsp;nbsp;Over de fcheefhoekige driehoeken,
ly. OPLOSSING.
gezochte zijde__
2ij tano- A ~ nbsp;nbsp;nbsp;quot;l/prod. der geg. zijden
S' verfchil gev. zijden ^ V
dan is
coj '. d
verfchil gegev, zijden gezochte zijde s
. CAGNOLI. . 227 , 228. Svvijs. Uit VI. Gev. 5. is
= Yj derhalve zoo tang. d zzznbsp;h -
is VIII 39. is a = 7;777
Aanmerking. Door deze Oplosfing vindt men de gevraagde 2ijde, zonder alvorens de hoeken gevonden te hebben.
IV. geval. Fig. i8i.
GEGEVEN. De drie zijden. GEZOCHT. De drie hoekei].
St. VIII. 5.
OPLOSSING.
Men laat op de grootfle zijde eene loodlijn uit den tegen-,u'ftslden hoek vallen: waaiuit (1. le.^ volgt dat die lijn ,'lid binnen den driehoek valt , en ee grondlijn in twee Huk'nbsp;deelt.
Verfchil der Hukken van de grondlijn 22 'h der ziden K verfchd der zijdennbsp;--gro^Iiln--CV. Voorfiei)
dus
FOQtfte Huk s (grondlijn verfchil der ftukken')
einfte ftuk = ^ (grondlijn verfchil der ftukken;)
Jl _ nbsp;nbsp;nbsp;aangrenzend ftnk X Rad.
Ce/, hoek op de grondlijn = nbsp;nbsp;nbsp;--
jj nbsp;nbsp;nbsp;(I. Voorftel I. Gev.).
L Hoek in den top s fuppl. van de fom der hoeken op de grondlijn.
II.
Cc 5
408
II. OPLOSSING.
Om de hoeken te vinden, zonder behulp der loodlijn.
I. nbsp;nbsp;nbsp;cof. i hogk =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_______________^
^/^halvefom der zijden x (ifom tegenoverft. zijd) pioduct der aangrenzende zijden.
Uit Voorft VI. 'Gv. 4.
II. nbsp;nbsp;nbsp;fin, 1 hoek =___
J/'(.i fom der zijden eene aangr. z.) X (j fom and.aangr.2j)
produi-t der aangrenzende zijden.
Uk Voorft. 171. Gev. 3.
cAONot.1. 5. 533.
aanmerking. De Oplosfing kan in zr vle gevallen t pas komen, en heeft zeer veel gelijkheid met die, weiknbsp;men in de klootfche driehoeks.meting voor het zelfde g'nbsp;val gebruikt.
OPLOSSINGEN DOOR DE GNTErs, OF LOGARITHMEN-SCHAAL,
Men kan de gewone oplosfingon, dat is die, welke wy eerfte oplosfingen genoemd hebben, voor deze vier gevalle'nbsp;even als voor de regthoekige driehoeken, door de Cuiitr^nbsp;of Logarithmen-fchaal verrlgten; want nlen heeft;
I. GEVAL. Log- gezt zijde Log. gcgev. zijde =:
Log. fin, overft. hoek Log. fin. hoek over d
gegev- zijd'
IL GEVAL, hog.fin. hoek over de geg. zijdeLog.-/. g|*
h'*'
=3 Log. overft. zijde Log. zijde over 4
geg. hoe^J
Log. gez. zijde Log geg. zijde =: Log. fin. hoek oj
de gez.
Log. fifi hoek Over de geg. zijde.
UI. GEVAL. Log. tang. i verfchil der gezochte hoeke^
Log. tang coiPF
I geg. hoek s Log. verfch, geg, zijden
Log. fom geg. zijden.
L6g. derde zijde Lg. geg' zijde s Log. fin. hoek
de gez, zijde Log firn. hoek ,g, de gegeven
-ocr page 465-11. Afdt: Over de feheefhoekige driehoeken. ijoj
aanmerking op het III. geval.
Wij hebben reeds hier boven gezien (VIII. Afd. IJI. II. %. 6.1 dat het gebruik der GUNTERs-/^Afl/nbsp;iioeijelijkheid kan doen ontftaan voor de tangenten, wanneer de hoeken grooter dan 45 zijn, en gezegd hoe mennbsp;dan te handelen hebbe. Doch het zal niet onnuttig zijnnbsp;dit derde Geval nog wat nader toetelichten.
Laten de bekende zijden zijn Z en z: de gegeven hoek C: het half verfchil der gezochte boeken x, dan is de regelnbsp;Log. tang. ^ X Log. cot. ^ C = Log, CZ z)
Log. (Z -f z) of
Log. cot, f C Log. tang. ^ x zr: Log. (Z -j- z)
Log. (Z z).
Dat is, neem met den pasfer op de lijn der numeri, of getallen , Log, (Z'\- zquot;) Log. (Z z). Zet op de lijn dernbsp;tangenten de eene punt van den pasfer op tang.^ compj,nbsp;i C: de andere punt wijst het getal aan dat \ x uitdrukt.
Zoo lang cot. ^ C lt;Z radius of lt; tang, 45 , is gj, geen zwarigheid: maar wanneer cot. J C gt; r, kan mennbsp;verlegen Haan: als dan neemt men het omgekeerde van
den cotangent, dat is : immers om dat cot, ^ c ts
is
tang. 1 C
Log. cot. i C = 2 Log. r Log. tang. | C: en der-halvo is de regel
2 Log. r Log. tang. ^ C Log, tang. ^ x =z Log. (Z 4- z) Log. (Z xAnbsp;of
Log, r Log. tang, ar = Log. tang. i C
Log. r Log. (2 2) Log. (Z 2) = Log. tang. C CLog. r (Log. (Z 4. zl
- Log. (Z - z1)y. geen dezen regel geeft. Neem met den pasfer Log.nbsp;kZ .4. 2) Log. (Z Stel de eene punt op 450.
gt; van de plaats af daar d andere punt valt den afftand ot tang. ^ c: zij die aflland A, en houdt denzelvennbsp;^veranderd; dan heeft men Log. r Log. tang. xnbsp;of Log. r A = Log. tang. x. Stel dan de
404
eene punt des pasfers op tang, 45 ; daar de andere valt
IS
X.
iV. GEVAL. I'Vg. verfchil der flukken Log, verfchil der
zijden
Log. fora der zijden Log. grondlijn.
Log, rad. Log. cof. hoek op de grondlijn Log. aangr. zijde Log. aangr. ftuk.
VIII. VOORSTEL. Fig. 66.
De oppervlakte, of de inhoud, eens driehoeks [ABC] wordt uitgednikt door het halve product van twee zijdennbsp;[AB, BC] en van den finus des hoeks tusfehen die tweenbsp;zijden begrepen.
BEWIJS. Volgens IV. 9. wordt de inhoud des ^ ABC uitgedrukt door AB . c I; maar in -A aic is CVoorft. I.) Cl : AC tenbsp;Jill, d A 1 ?quot; 5 derhalve Cl , r AC . Jn. z A: en gevoleeJiiknbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB.AC.^tt.dA AB.AC,yi,'j,4 A .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; ^
A ABC K-------- indien rni
ar nbsp;nbsp;nbsp;3
I. GEVOCG.,
2 A ABC Sii7. l A ^ A B . A C
I, AAi^n\ERKiNG, Indicii men dit Gevolg vergelijkt met het a. Gevolg Yttn liet vr. Voorfrel, dat hierop neer komt.
Sin. A
2 AB , AC
- nbsp;nbsp;nbsp;=:z
?al het volgen dat y 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2,5*
A A B C moet zijn : Dat dit zoo is zal blijken uit de Aanmcrfciuj Ojj' Voorftcl IX.
II. AAiSMERKiNG.Indien men hetgeen in VIII. lo. Bep. in de Aanmerking gezegd is weder opvat, zal het blijken dat (Fig, jea.j A lcH
uitgedrakt wordt door ^ I- ^ fquot;- z I. C H _ r^ fa, z L C H
Zoo dan Z LCH s geftcld wordt, 2nde de halve omtreK a's I de radius is, wordt A l C H =3 j r jfn. ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: en derhalve
Legmint Lkh
[ector LCHK ^ -CH ss
-ocr page 467-II. Jfd.i Over de fcheefhoekige driehoeken. 405
*
( nbsp;nbsp;nbsp;: maar zoo B de boog des fectors is, kan die boog uit-
T r
drukt worden door : waaruit voortvloeit dit
3- r Vwr nbsp;nbsp;nbsp;/sr
Segment, wiens boog is ^ nbsp;nbsp;nbsp;^ L \m Jj'
mJT nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;!T
AANMERKING. Zoo ^ ^ i omtrek, is ^ ^ gt;i8cv,
en gevolgelijk wordt dcszelfs Jinus negatief. Zoo dat
sr
als dan de formule is, fegmenl wiens boog is = nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; = ! dan is ~ = o: en het
Segment wordt halven cirkel: zij m a. dan
3- r^
is Segment wiens boog quot; of 90'
r= I is S^g^snt wiens boog | t of 270 = | ?* Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/3 \nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, r^
a
Fig. 66.
nbsp;nbsp;nbsp;kt) = '~T~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quot; '
De inbond, of de oppervlakte, eens driehoeks [A B C] y'ordt uitgedrukc door den wortel uit het product van denbsp;naive fom der drie zijden, en die halve foin, daarvan afge-^''okken, iedere zijde afzonderlijk.
L. G. Tr. p. 195.
bereiding. Zy B D de nedergelaten loodiynt men drukke kortheids-halve (Voorfcel Vf Aanm. f. i de zijdenCB , AC, AB , door de kleine letters a, b, c, uit: en de over ieder derzelver fcaandenbsp;hoeken door de groote letters A, B, c, welke in de daad aannbsp;*10. toppen der gemelde hoeken ftaan. Zy p (de ccrfte letter vannbsp;ht woovA peripheric, of omtrek) quot; -j-J-I-c,de fom der drienbsp;a^den. Dat de loodiyn B D door p en C D door x aangeduidnbsp;worde.
BEWIJS, Uit 11. l. is:
x^t
C* o* : en dus Squot;. * quot;quot; * ** ar* a Ja: b\
4Q6
IK, Boek: Over de Driehoeks meting.
dat
ad d }d
nbsp;nbsp;nbsp;5. Maar om
(a xquot;) {a .r) II. lo. is
( nbsp;nbsp;nbsp;. ad ~ d-hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; C 4quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\-=
(2 nbsp;nbsp;nbsp;- d-) (g^ -[- nbsp;nbsp;nbsp;e^) ^
4
C -t- d : eO Q -- d d) =
Clt;t ^ f C b-\-c clt;z i)
4
^ I'* X igt; . O 2 O (P O nbsp;nbsp;nbsp;* 't); dat is
? y* = nbsp;nbsp;nbsp;K XaCip-OX aap--^)X2GPgt;'='
4 *gt;
= nbsp;nbsp;nbsp;(z; , Hp-l') .ilp-c)-. gevolgeiijl;
^4 nbsp;nbsp;nbsp;___
8. y = quot;l ^ hp.d p - a){[tp - CJ P cy-
Maar IV. p. A ABC = : derhalve ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a
9. A AB C = i ^ (i Jgt; P C P Ci P nbsp;nbsp;nbsp;: dat bet
Voorftel is.
I. AANMERKING. Uit N, 8. verkrijgt men
(2^ (Inhoud A ABC;*
- X . (p 2 a) Cf 2 6p (p 2 c; s $ p (p a c)
16 d
fp aJ)(p 2c)
5 nbsp;nbsp;nbsp; : gevolgelfc
4pCp*a): inhoud A ABC = inhoud A ABC?
(p 2 i) fp 2 s')
^ nbsp;nbsp;nbsp;: het geen oplevert dit
I. gVOLG.
I5e inhoud van een* driehoek is middel-evenredig tnsrcbs het vierde gedeelte van den regthoek uit den omtrek, en he*-verfchil van den omtrek met het dubbeld van eene der zijden nbsp;eo het vierde gedeelte van dn regthoek uit het. verfchil va
-ocr page 469-Aanmerking. Indieti men voor p Jeszelfs waarde d -(- i -f- c in dc formule van dit Voordel Icelt, wordt die formule, na de noo-dige herleidingen , A A B Cnbsp;en derhalve is 4 A ABC
b~ -j-
Gevolg van het
ABC
2 AB . BC
Indien men de uitdrukking vergelijkt met het i VI. Voorftel, zal het blijken dat (Fig 6, /. Anbsp;2 A ABC
ir-T,: gelijk wij in het Gevolg van het voorgaande VIII. Voor-
B Ij L-
fiel gezegd hebben.
Men ziet derhalve hoe men^uit verfchillende gronden altijd tot befluiteu komt welke voimaakt met elkander overeenkomen, hoenbsp;Veel zij ook in den eerften opllag fchijnen te verfcliiilen. Vlennbsp;Vergelijke met de formules voor den iiih,)ud eens driehoeks in dienbsp;n in het voorgaand V'oorftel gegeven, VI. s-Gev a. VI 4. Gev. i.nbsp;en de Aanmerking d.iarop.
ni. AANMERKING, Het bcvvjjs dat wij voor die Voorfcel gegeven hebben, hoe wel zeer naauwkciirig, is. geenzins ia den trant der
Ouden, waar mede , in tegendeel, volkomen .ovcrcenkonu de volgende Geomeirifche confcructie door casillon in de Memoires de l Acedemte de Benin voor het jaar 1766 opgegeven: en die we*nbsp;derom een treffelijk voorbeeld oplevert van den uitmuntendennbsp;bewijstrant der Ouden.
bereiding. Zij, Fig. 183, B C A de driehoek, i. verleng CA Wederzijds: 2 treknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;met den radius C B den cirkelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;GBH;
3quot;, Uit A met den nbsp;nbsp;nbsp;r diusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB den cirkel DBE;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vervolgensnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a.
Trek B G , B , B H, B E en 5. B F ^ op AC.
Uit deze bereiding volgt:
6. GEs GC-l-CA -i-AEta CB -fCA ABs a J
7. CEsCA-l-AEsCA-j-ABn f. nbsp;nbsp;nbsp;quot;
8. CD =1 AD nbsp;nbsp;nbsp;CAnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB, CA 25 c h.
9. GE DH S nbsp;nbsp;nbsp;GDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-I-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H'25 GC. dC -)-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;HE =5
CH-hHE.-DC=; CE-DCS CA AE-DC:-CA-|-AD DCanbsp;CA 4- CA DC_DCK2CA=;2i.nbsp;'O*. DH =5 GE sCAz: o-t-^ c 2i=! ^ 2i,
He s GE GH =5 GE ^ OC = GE - 2 B C a
a b c a ei p a a l. DGsjcE DEhGE aADaGE aBA-
^'4-p--aes;^-~2lt;r.
-ocr page 470-4o8
BEW4JS. Uit V. 13 is B F DF . FE S3 GF . FH: en 13.DF: BP BF: F: en
14. EF: GF 3! FH: DF: componendo en Iternendo.
15 EF GF: FH DF s GF: Dquot; ; d. i. . l. EG: DH a GF: FD: dividendo en N, 14.
170. EF ~ FH: GF FD a EF: FG; d. i. i3. HE: GD a EF: GF: en dividendo in N. l
EG-DH:DHa GF FD:FD.d. i. door N. 5, 19. 2CA:DHa GD:DF:eu
2 A C . D F a D H . G D t en ook EGi)H:EGa GF FD:GF:d. i.
20, 2 CA : EG a G D : GF a EH: EF (N^ 18) derhalve aCA.EFa GE.EH.
EF: |
CA . |
BF a |
EF: FB |
a FB: DF (N, |
=5 CA. |
BF:CA. |
DFd.i. uitN. 19 | ||
# |
D |
H . GD | ||
CA |
. FB |
a^cA |
. FB: |
s |
en | ||||
CA |
FB |
CA |
. F B . D H . G D |
21. Maar CA.
GE . EH
GE EH_
4 nbsp;nbsp;nbsp;^
: inh. A abc a inh. A ABC:
(GE 2 CA) (GE 2 BA)
d. i. uit N. II, 10 en 12. G E [GE 2 15 C]
Het geen den regel, in dit Gevolg voorgedragen , geeft.
II. GEVOLG. Fig, 182.
Indien er een cirkel ora den driehoek CBA, en een cirk^^ in den driehoek CBA befehreven wordt, zal mendennbsp;IC -van den omfchreven , en den radius L M van den ing'nbsp;fchreven cirkel kunnen bepalen.
L. G. Tr p. 296.
4 IC
BEWIJS. Door Vl. 4. Gev. I.is A cBA a aicnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ahi
Of door dit Voorftel.
if a , h gt; e
) nbsp;nbsp;nbsp;~ C -c)
. c
Boor VI. 3. Gev. 2. is ^ ABC (AB AC BCJX i LM.
. , nbsp;nbsp;nbsp;2 ^ ABC
derhalve nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;KC =
^ ^ i G jgt; g) ( P ~ ( p'~ c} ^
_
(p _ i ag ip 0. b (p 2 c) __
V 16
iFSL
2 lt;*) (P ~ e igt;) (p a cj P
X. VOORSTEL. Fig. 66.
jj t^e fotn der finusfen van de drie hoeken ns driehoeks tot den finus van eenen hoek, zoo als de fom der drienbsp;Joeii, of de omtrek des driehoeks, tot de zijde over dnnbsp;^Hielden hoek ftaande, ^
bereiding. Trek C I i op A B; en uit B, B D X op A C en zij A B 4- A C B C s P-
Bewijs. In de A A c B I en e I a is C B : Cl quot; cofec. Z B : 1nbsp;C1: C A a I : cofec- L Anbsp;C B: CAS cofec. L (i; cofec. L A
Gelijkerwijze CB: AB a cofeci C: co'ec. At en dus
CB4-cA:AB~ (.cofec, B 4quot; cofec, A) cofec. C:
cofec. Z B 5lt; cafic. i A : 4- CA 4- AB: AB s {cofec. B 4* Cofec. A'fcofec.c 4- cofcc.H X co'ec.h
: co.ec, B R cofec. A.
d. i. Vin. 32. Nquot;. 88,
/ I . nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I I i
P: ABs 0 -rpn.A) fin.C~^/sTb'^ fsn.A'jin. A
C 4- /f, A 4- pn. Bt . C S p- AB;
410
OVER OPLOSSING DER DRIEHOEKEN IN BiJZONOEaE GEVALLEN, WANNEER
slechts twee hoeken, of zijden, EN HET verschil,OF DE SOM, VAN TWEE ANDEREnbsp;HOEKEN, OF ZIJDEN, GEGEVEN Z IJ N.
Fig. igo.
XI. VOORSTEL.
Gegeven zijnde twee zijden A B , B C , en het verfchi^ der tegenovergeftelde hoeken en A, den driehoek opt^'nbsp;losfeD.
CAGNOLI. S. 257.
OPLOSSING.
Tung, J begrepen hoek sr
Cot. ^ geg. verfchil x verfchil geg. zijde^
fom der gegeven zijden.
waaruit het overige door het I. Geval gevonden wordt.
BEWIJS. Uit het 3. Gev. van het IV. Voorftel is BC AB;BC AB C tang. 1 B; cot. i (A Cgt;nbsp;cot. 4 (A C) X (BC AB)nbsp;en dus tang. 83 'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bc ab
Gegeven zijnde de hoeken, en de fom , of het verfchil, v* twee zijden, den driehoek optelosfen.
CAGNOLI. S. 233.
OPLOSSING.
I. Verfchil der geg. zijden = ,
ut. Afd.: Ophsfing van bijzondere gevallen, 411
Sum der geg. zijden =
Verfcbil geg. zijden ye cot. ^ begr hoek.
tang 2 verfchiJ der overige hoeken.
Ewijs, uit het IV. Voorftel Gev. 3. is
ent i (A ~ C) X (BC AB)
Tan^. i B ^ nbsp;nbsp;nbsp;BC -|- AB
tang. i B
dus BCagt;AB~ (BC AB) X co;. 4 (A C) en
cot. i (A C)
BC AB =i (BC - AB) X ^ tang. i B~ = eot. i B
(BC AB; X langriTA -~c5 CVIU. 26. Gev. I ) li GEVOLG,
Indien de driehoek regthoekig v\'as in A, en men kend nen fcherpeii hoek, (^dus al e de hoeken) en boven diennbsp;(om, of het verfchil, van de hypotenufa B C en eene zijdanbsp;^ II5 dan hadt men :
^ A L C ~ 90* z C = compi. Z C == Z B n dus tang. i (A C; = tang ^ B; en cot. i (A C) = cot, ^ B
en dus
BC A R X tang, B
en
C AB=BC-ABX;=BC AB nbsp;nbsp;nbsp;B
welk Teeds Voorftel I. Gev. 4. uit andere gronden is Igeleid.
''^aar uitj het zij BC -{- AB, het zij BC AB, geg-is. BC en AB afzonderlijk te vinden zijn: en daar-*quot;1 AC,
Aanmerking. Men zoude ook AC onmiddelk kunnen vinden^ door het 4. Gev*. van het I Voorftel: want volgens het zelve heeftnbsp;Oien in onze figuur (altijd den L A regt ftellende).
B C A B
B C .. A B nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__
(pang, I B)* X AC*: Of
BC AB X (bc* AB*) Be AB quot;
41 St nbsp;nbsp;nbsp;Boek: Over de Driehoeks meting^
dooi^II. 10.
CBC AB? CBC AR) (Be An)
~ nbsp;nbsp;nbsp; BC ABnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- tung^ B X AC
(BC AB) nbsp;nbsp;nbsp;
of AC tang. J B
IncUen men door AC* diyidctrt in plaats van te tnuUipliceest^t heeft men
AC s tang, i B X CBC AB),
CAGNOLI, . ais.
II. GEVOLG.
Indien de A CAB niet in A, maar in B bij voorbeeldt regthoekig was, en men kende de hoeken, en de fom , ofnbsp;het verfchil, der regthoeks-zijden, hadt men B = 45'nbsp;en dus tang. ^ Z B == radius = i; gevolgelijk,nbsp;daar A {* C 90, is A = po C; ennbsp;A C = go^ 3 C: dus ^ CA c) = 450 c:nbsp;Waaruit de oplosfing wordtnbsp;BC -I- AB
BC - AB = nbsp;nbsp;nbsp;(45 - C]
BC AB
BC AB = nbsp;nbsp;nbsp;_ c)*
CAGNOLI. . Z19.
XIII. VOORSTEL. Fig. 180.
Gegeven zijnde een hoek [B], de tegenovergeftolde z' de [AC] en de fom, of het verfchil, der beide andefnbsp;[BC, AB]; den driehoek optelosfen.
OPLOSSING. nbsp;nbsp;nbsp;
verfchil der zijd. x coC. ^ geg. bo^ J/.5verf.deronbek.h.=------
, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fom der zijden x Jn, l geg. ho^
Cof i,e,f. deronbet. h. =--^.-zijd=-~'^
CAGNOLI, 5. 239.*
BEWij?. BC: AB S fin. At fio. C: dus nc AB: pn. A~Jtn.C ^ BC: y;. A - AC: pn. B:nbsp;en dus
B p AC nbsp;nbsp;nbsp;= (door vm.
-ocr page 475-_ AC X g r.n. i (A C) tor, i (A C)
nbsp;nbsp;nbsp;/!. B.
___ AC X g / i CA C) X coP. lt; (A C)
jin fuppl. CA C).
__ A C X a fa. * (A ~ Cl X cof. i (A C)
A C X g i fAC) X S CA C)
g j.n. i (A C; cof. i'(A fa C3^ (UitVm.3g.N9.33.: != AC X fa- i tA - C)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AC X fa- i CA C)
/in. (A -h C) nbsp;nbsp;nbsp;* j g_
Om dat fA C) s iCiSo B) s 90 B.
___ en dus is
lie AB X cof. J B = AC X /5. 'A c;
en derhalve
AC: BC -gt; AB s cof. B: Jin. (A C)
n op de zelfde wijze, nemende BC fa AB in plaats ran C AB , vindt mennbsp;AC: BC fa AB s fa, B : cof. i (A C).
G B y O L p.
Tndien de hoek B regt was, en men kende dus in een regthoekigen driehoek (buiten den regten hoek) de hypote-^ifa [A C] 5 en de fom, of het verfchil, der regthoeks-zijdennbsp;mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J
AC: BC AB = 1: fin. (45 fa C) x Ka.
CAGNOLI. . ggO,
*EWIJS. Cof. i i a fin. i n s fm. 45' a ^ nbsp;nbsp;nbsp;^7*
a nbsp;nbsp;nbsp;r 9t
A fa C =3 90quot;: dus A Cs 90 g C S en i (A - C) S 45quot; - C:
n dus cof. (A C) = f- compl. r45quot; C) s ! fa. (90 - 4S -fa C) s fa. (4S fa C).nbsp;en dus heeft men
XlV. VOORSTEL. Fig. 180, begeven zijnde een hoek [C], eene der aangrenzende
D d s nbsp;nbsp;nbsp;zij-
-ocr page 476-jijden [AC]. nbsp;nbsp;nbsp;der twee andere [AB ^Cj
den driehoek optelosfen.
OPLOSSING.
ta/Jg geg. hoek x
Cot Ci die aan de geg. zijde grenst) = geg. fom -|- geg. zijde.
geg. ('om geg. zijde.
CAGNOLIj . 240.
bereiding. Zij BE s AB: en dus CEaCB AB,
En dus ook
iCAE 4E=! ZCAE AF. AES ZCAB.
BEWIJS. In den A c A E is door de eerfte oplosflng Tan het de Geval,
Tang. i (4 C AE 4 E), of hier ,
quot;Tang, i C A B 5J cot, | C X
CB AB AC
CB -i- AB AC: of (vm. 32. N. 51, 52.J
Cot. i 4 C A B S tang. i C X
CB AB AC
CB AB AC.
XV. VOORSTEL. Fig. 180.
In een^ driehoek [ABC] gegeven zijnde een hoek [^3' eene der aangrenzende zijden [A C] , en het verCchil dernbsp;rige zijden [CB AB], den driehoek optelosfen.
OPLOSSING.
Tang. 'J [hoek die aan de gegev zijde grenst)
^ nbsp;nbsp;nbsp;' T .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. gPgv. zijde gegev. verfchil.
Tang. ^ hoek x ^ rrv^----= - .p
nbsp;nbsp;nbsp;gegev. zijde gegev. verfchil.
. dquot;* pB
CAGNOLJ, . 241,
bereiding- zy BD S BA: dus i. CD CB A a 4PAB=: 4ADB:3quot;-'iCDA 4CAD3 180
4' C A D S 180 4 ADB ^cAD) s 180 nbsp;nbsp;nbsp; pi
4CAD)=t 180 4C AB: dus J (4 C D A 4 C A
go i 4 C A B S3 comfl- i L C A B.
reVth
BEWIJS. In den A CAD is door de I. Oplosfingvan het III. v
4 C p A Z C A S tot. J 4 C A B =3 nbsp;nbsp;nbsp;^
-ocr page 477-CA CD a cot; I IC X CA CD
CA fcn ABl a co. i i c X CA i,cB ab;=
tang. i 4 CAB a tang. \ C X nbsp;nbsp;nbsp;Agl
CA (CB AB,.
XVI. VOORSTEL. Fig. l8liJ.
Gegeven zijnde de drie hoeken, en de grondlijn [A Cj ftukken die op dezelve door de loodlijn gemaakt wordennbsp;Ie bepalen.
OPLOSSING.
Verfchil ofnbsp;fotn i
nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;grondl, x/jw.verfchhoek.op de grond!,
fin. tophoek.
of gt; der ftukken =2--- ----; -r---
CAGNOLI , S, 4S.
bereiding. Men deele CA In twee geli'be deelen ia E: rigte de loodlijnen, E F en B D op en trekke C F: waar door CF a FA.
BEWIJS. Sin, Z FCB: fm. Z CBA a BF: CF a BF: AF a DE: E A a DE: i_C A a h CA DC: CAa CA nbsp;3DC:CA a DA DC: CA.: Maar 4 FCB a 4 BCA nbsp;4 FC A a 4 BC A 4 A ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__
derhalve yZ. f 4 B C A 4 Aquot;!: /l. 4 C 3 A a D A D C: C A CAXyiK. tic A 4 A)
en D A
DC a
lm. 4 CBA
NB. indien 4 BCA fcherp: indien Z BCA ftomp.
AANMERKING. Ik ben dit zeer eenvoudig Bewys aan den Heer KEHUEL LOBATTO verfchiildigd.
GEVOLG.
Indien de tophoek regt is, is het verfchil der ftukken S Stondlim X fin. verfchil der hoeken op de grondlijn.
, nbsp;nbsp;nbsp;quot; of aD - CD =a ACJz CC A)
Och om dat C ^ = 90quot;: ts C _ A aapoO a Aa=
compl. a A
derhalve AD CD rrrco/laA ,_indien de radius A C s=: 1. , daar D A =a 4 CA C dT- CD) ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
en CD = i (AC AD - CD)Geval i.Dpi.)
Dd 4 nbsp;nbsp;nbsp;is
4I
IX. Boek: Over de Driehoeks-meting.
is D A: C D I -j- cof, 2 A: i cof. 2 eii door (VlU. 33. N^. 17.^
I cof. A = 2 cof A^ : 2
cof. : 1
insgelijks,
AC: DA C.D = i :
Welke beide uitdrukkingen (driehoek, en dunbsp;korter had kunnen bekomen.
CAGN01.1. S, 221.
II. AANMEKKNG Het gcvai waariii men de (lukken van de grondlijn vraagt a!s de drie zijden van den driehoek gegeven zijn, is do I. Oplosfing van het IV. Geval.
XVII. VOORSTltL. Fig. 66.
Wanneer in een driehoek [ABCj de tophoek, en de zij' den CAB, CB] om dien hoek gegeven zijn, de Hukken tnbsp;vinden in welke eene loodlijn mt dien hoek op de tegen-Overgeitelde zijde nedergelaten dien hoek verdeelen zal.
OPLOSSING.
I y verfchil 7
^ \ of /der deelen van den hoek,
^ fom A
verfchil der gegev. zijd^'
I 2 co/; A'
- 2 cof. A _
cof. = cof.
i: tang. A ,
in een bijzonder geval,
fih. (C - A). men voor den regthoekigennbsp;oniDiddeliijk en
Tang.
4 gegev.
hoek
fom dier zijden
cAGNOLi, . 245
SWIJS. AB: BD
BP: CB dus A B i e Cnbsp;AB J3C: BA
I: cof. Z A B D; cof Z CBD: I
/. z CBP: rof Z ABP: en BC == cof. Z ABP ot/: Z CBD:nbsp;cof. Z CBP - cof. Z ABP.
to/. Z C B P cof Z A BP AB^ TbC cof Z A BP*^ '/. i CBPnbsp;txng. J (Z ABP Z CBnnbsp;TwrilzCBP ZABD/ : fVm.S2.Nv.837
fiA
BC
itus
UI. j^fd.x Oplosfing 'aan bijzondere gevallen. 417
dus zoo L C fdierp
CA BC
Uing. I (ZABD-4CBD) = cot. i L CBD L ABD) X g a b C
cot, J l ABC X B A 'bC* en zoo de hoek C ftomp
I nbsp;nbsp;nbsp;_ I _ nbsp;nbsp;nbsp;B A BC
W. jCZCBD ZABDJ nbsp;nbsp;nbsp;ABD^CBD^ ^ EA BC
of
Ba - AC
CBD4* 4 ABD) - co. (4 ABD 4 CBDJ X EA BC
BA BC = cot, 4 CBA X B A -flTc*
GE VOLG.
Indien Z ABC regt; is cot. \ L ABC = \ en dus
, nbsp;nbsp;nbsp;BA BC
\ (ZABD-ZCBD; = BC- -ZB-
XVIII. VOORSTEL. Fig. 67.
Te vinden de flukken welke op de zijde [A Bj eens driehoeks [ACB] gemaakt worden door eene lijn CH , dienbsp;den overgefteliden hoek [A CB] in twee gelijke deelen deelt:
zij men in dien driehoek de hoeken en de verdeelde ?'jde A B , het zij men de zijden, kenne.
OPLOSSING.
Verfch. der Hukken =
verdeelde zijde x tang. | verfch. aangr. hoeken
tang. ^ fom van die hoeken.
Ih Verfch. der Hukken =
verdeelde zijde x verfchil der andere zijden fom van die andere zijden.
cagnoli, S* 244.
*wrjs. PH: CH n fm, Z BCBi fm.Z'igt;-
C H : A H c: /. 4 A J /?. 4 A C U Of Jjl 4 B C H dus
AH a gm. i K. On. l'amp;-.
D d 5 nbsp;nbsp;nbsp;en
-ocr page 480-4i8
X, Boek-' Over de Drlehoeks-meting,
en dus
ah s ^ nbsp;nbsp;nbsp;H X {f.n. lh~. f.n ZB)
^ nbsp;nbsp;nbsp;^ A 4- /;. i B
'J nbsp;nbsp;nbsp;41.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- i0 k J
maar
AC EC: BC AC s taiig.i 4 A ZB stB^-.iCZ A lt;2**^
(_door het IV. VoorftJ dus
tang. i (Z A Z B' BC AC tang. i (Ta 'z B) BC t A B '
BC - AC
BH AH =; (AB X BC AC*
I. GEVOLG. Fig. 67.
Indien de driehoek regthoekig is in C , is Z A z B = 9':quot;'; dus i (Z A -f z B) = 45nbsp;^ fZ A Z B; = 45 ZB: maarnbsp;B H . 4 A B h I (B (i ~ A H), en
4 '^B 4 (BH AH); en gevolgelijh
Z;:^. J(lA ZBj) ^
/ tang. 4 (Z A
tang, 4 (z A -{- 8)/
= tang. 4 (Z A ZB; tang. | (ZA- ZB); tang. (ZA z^^
lang. 4 (Z A Z 8/ = lang. 450-i- tang (450-13): lang. 45 tang (45 ill
(VIII 32. Nf.
1 tang. B nbsp;nbsp;nbsp;I tang B
* I -j- tang B ' ^ iquot; tang. B I _f tang 8 4. i - tang B : i tang, B - i tan' ^nbsp; 2:2 tang B = 1; tang B.
CAGNOLI. . S22.
If. GEVOLG.
Indien de driehoek gejkheenig is, namelijk zoo is B H A H = o of B H ^ A H j het geen men reeds vanbsp;elders weet: namelijk uit I. *7*
.XfX. voorstel, Fig, 67,
Indien twee zijden [aC, BCj, en de hoek tusfehen
-ocr page 481-zelven begrepen, gegeven zijn, en die hoek door eene lijn , 'W'elke de derde zijde in twee gelijke deelen fnijdt, verdeeldnbsp;Wordt, de (lukken van dien hoek te vinden.
OPLOSSING,
Tang, verfch. der (lukken van den hoek =3 verfchi!' der geg. zijdennbsp;tang. I geg. hoek x -j--dirg7grzijd^
CAGNOLt , . 246.
BEWIJS. AH: CH S yf. Z ACH: lin, L A:
BH of (AIO: C H S /. l HCB; jin. tSt en dus
. A C H : pi. II C B 3 f.n. L h-. pn. n C B : A C. en dus
CB AC:CB AC a.yf-^ACH /ii. ZHCB:
/. Z ACH - nbsp;nbsp;nbsp;^ HC
en
CB AC pn. l Kcn - . Z H C_B__
CB AC nbsp;nbsp;nbsp;eACH-)-/?. ZHCB
_ tang, j (Z ACH Z HCB)
tang. 4 (ZACH-j- ZHCB) (VHI. 32. N. 82.) dus
C B A C
tang. iCZACH-ZHCB^S tang. i Z A C B X CB AC*
aanmerkingen over eenige bijzondere gevallen in de prakt ij k.
Tot de praktijk van Landmeten behooren goede werktui-pn om hoeken te meten, en eene naauwkeurige maatflaf om ngten op het terrein te kunnen bepalen. Een werk dat, wilnbsp;de vereischte naauwkeurigheid in acht nemen, vele voor-en veel oplettendheid vereiseht. Dit betreft de prak.nbsp;Ijk zelve , enquot; behoort dus niet tot ons bedek Wij zullennbsp;^leen eenige algemene aanmerkingen maken op de verfchillen-foorten van gevallen die men aantrefc.
quot;en meet hoogten, afftanden, of geheele terreinen.
L
I. nbsp;nbsp;nbsp;Wanneer men (Figlt; 97. de hoogte B C moet bepalen gt;nbsp;en men kent, of beeft gemeten, den afftand CA, die on-
iderfteld wordt waterpas te liggen, zoo dat Z BCA =3 L:
heeft men niets meer te doen dan den hoek J5 A C te meren; immers dan is
! nbsp;nbsp;nbsp;r: tang. iBACs CAtBC; welke daar door bekend is
II. nbsp;nbsp;nbsp;Zoo de afftand C A onbekend , of ongenaakbaar , mogt
' nbsp;nbsp;nbsp;zijn; moet men eene grondlijn AE meten, waarvan de uit
einden E en A in eene en dezelfde rigting liggen met
I nbsp;nbsp;nbsp;. het voorwerp BC. Men meet dan de hoeken BEC, en
BAC; waar door het fupplement van deze, of i BA bekend is: en derhalve in den A A B E ook de hoek AB Esnbsp;dan is fin. L B; 'A E jin, l E: BA; (Voordel III.)nbsp;welke zijde BA derhalve bekend wordt : en dan in Anbsp;BAC is
; nbsp;nbsp;nbsp;r\ fin. ZBAC e=BA:BC: welke dus, door die twee
' nbsp;nbsp;nbsp;berekeningen bekend wordt.
III. nbsp;nbsp;nbsp;Ook komt de oplosfing der regthoekige driehoeken da-
: nbsp;nbsp;nbsp;gelijks in de Stiuirmansknnst te pas, om, gelijk reeds ge
zegd is, uit de bezeilde koers eii verheid de verandering in lengte en breedte te berekenen.
i nbsp;nbsp;nbsp;IV. De oplosfing der fcheefhoekige driehoeken is inde praktijk
; nbsp;nbsp;nbsp;van het landmeten ten hoogden noodzakelijk. Het eerfte
j nbsp;nbsp;nbsp;geval dient om (Fig. 184.) te bepalen op welken aflland
: nbsp;nbsp;nbsp;CA, of CB, men zich van een ongenaakbaar voorwerp O
bevindt: mits men nit twee plaatfen van eene bekende, of Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;daartoe opzettelijk gemeten , afis A B , de hoeken metert
I nbsp;nbsp;nbsp;kan, welke het gemelde voorwerp, uit die plaatfen gezien
; nbsp;nbsp;nbsp;met de iafis maakt ;^re weten de hoeken CBA, en BA Cr
I nbsp;nbsp;nbsp;immers, dan is C daar door bekend, en fin. / B: AC
' nbsp;nbsp;nbsp;=3 fin. 4 A : B C fin. C : A B. Kan men er dan nog b
1 nbsp;nbsp;nbsp;bepalen den hoek, dien het voorwerp, tilt A of uit B ge*
j nbsp;nbsp;nbsp;zien, boven de kim maakt, dan zal men, den aflland CA
I nbsp;nbsp;nbsp;of CB serst berekend liebbende, de hoogte van dat voor-
'j nbsp;nbsp;nbsp;werp kunnen bepalen, door het 1. geval van de regthoekigS
3 nbsp;nbsp;nbsp;driehoeken, en het zoo even gezegde in N^. I.
IV. liet derde geval dient om den onderlingen afftand COnbsp;van twee ongenaakbare voorwerpen C en D te bepaleji*nbsp;mits men de hoeken gemeten hebbe (Fig. 183.) die zij
! nbsp;nbsp;nbsp;uic de uiteinden van de genieten bafis AB gezien, met d'
zelve maken: te weten i CAB, I DABjenZDBA
; nbsp;nbsp;nbsp;Z CBA: immers dan zijn AA ACB en A DB, daai^
j nbsp;nbsp;nbsp;(door de hoeken ACB en ADB bekend: dan is iquot;* ***
A ACBi ftn. i ACB: AB fm. I CAB; CB r=. fil
1 nbsp;nbsp;nbsp;2 CBA: Ac j waar door CB en AC bekend worden: s.'
-ocr page 483-IF. j3fd~: Aanmerkingen over de Praktijk. 4?,i
in A ADB, is pn. L ADB: AB pn. L DAB: BD e= fin. I ABD: A U, en AU en DB worden bekend. Eindelijk kent men dan in A CAD, Z CAD =/CAB nbsp;^ DAB, de beide zijden CA, AD reeds berekend; en insgelijks in A CBD, L CBD-ZDBA L CBA, CB ennbsp;BD: men kan dan uit een van beiden, waarin twee zijdennbsp;en de begrepen hoek bekend zijn, door eene der oplosiin-gen van het derde geval, de gevraagde lijn CD berekenen.
Tndien er nog andere voorwerpen waren, gelijk E, D en P, zoude men, met de hoeken EAB, FA 13, DbA, EBA,nbsp;te meten, de AA EAB, FAB kunnen oplosfen, en daarnbsp;door de lijnen EA, FA, EB, FB kennen; waaruit innbsp;ieder der driehoeken CAE, CA F, EAF,EAB,FAD,nbsp;enCBE,EBF,FBD,EBD, de lijnen, EF, FD, DC,nbsp;door een diibbeld llel, of door een van die (lellen driehoeken, berekend kunnen worden: zoo dat men dan alle denbsp;zijden CE,EF,FD, CD, kent; dat is de afllanden opnbsp;Welke die voorwerpen van elkander (taan.
Vll. Ook kent men daar door hunne onderlinge rigting: want in het berekenen der AA D A C en C A E, worden de Z 2 A CDnbsp;en CAE bekend: dan is ook bekend Z ECD aa Z ECAnbsp; DCA. In het berekenen der AA zijn ook Z AEF ennbsp;Z E F A bekend geworden. Derhalve is ook Z c K F Z C E Anbsp;-f Z FEA bekend. Insgelijks uit AA DA F, FBD ennbsp;EBF worden de hoeken AFD, ADF, BFl), F DB,nbsp;BED, EDB bekend; en derhalve ook Z EFD =; ZAFEnbsp; ZAFDjZCDE aaZEDB ZCDBjZEDF-I CDF Z C DE: zoo dat zoo wel de afilanden dernbsp;Plaatfen C, E, F, D, bekend zijn als derzelver rigting,nbsp;het zij onder haar vieren , het zij drie aan drie genomen ,nbsp;Zoo als c, E, D: E, F, D, en ook C, F, D.
Het vierde geval dient eigenaartig, om de rigting der Voorwerpen te bepalen,als rneri derzelver afftand-kent. Indieiinbsp;inen(rig. 191) den onderlingen afftand van drie plaatfen A, I,nbsp;C, dat is de drie zijden Al, Ic, AC van den A A I (Znbsp;kent: zal derzelver rigting bekend zijn als men de hoekennbsp;IAC, AIC, ICA, zal berekend hebben, het geen doornbsp;het vierde geval gefchied.
Men, is dan in (laat om, door meting van eene haPs, of grondlijn. en voorts van hoeken. een geheel land op-tenemen en in kaart te brengen. Dan komt het zeer dikwerf te pas om de hoegrootheid van dat Land, of van dat (Inknbsp;*nds, in eene bepaalde maat, quadraat-voeten of roeden; ofnbsp;myien, of iti morgens enz, uittedrukken ; dit gefchiedt
door
door het geen in Voorft. XL. van het IL Boek geleerd do uitdrukkingen gebruikende die het 6 Gev. van het 1^'nbsp;Voordel des vierden Boeks aan de hand geeft.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
Indien men nainenlijk een duk lands (fig. i85.) gemeten heeft, door middel der bafis A B en der hockequot;nbsp;abc, BCD, CDli, DEA, EAB: kan men, getrokkennbsp;hebbende de diagonalen AC, AD, de lengte derzelvenbsp;de driehoeken CAB, CDA of DAE opmaken, waartoenbsp;in ieder derzelve genoegzame gegevene zaken zijli j en da'Jnbsp;w'ederom de loodlijnen BF, DG, EH, welke noodig geacWnbsp;worden om den inhoud der driehoeken BCA, CdAnbsp;DAE te vinden, die te famen den inhoud van het gehee*nbsp;ftuk uitmaken; waar van de inhoud derhalve zijn zalnbsp;AC X (BF DG) AD x
2 *
Maar alle die berekeningen zijn werkelijk; men zal eek' ter het werk veel verkorten, indien men op het land zenbsp;ooit de hoeken BAC, CAD, DAE waarneemt: want daquot;nbsp;valt de berekening der zijden B C, CD, DE en der di^'nbsp;gonalen AC, DA, vrij wat geinakkelijker : en men kahnbsp;met het VIII. Voordel te gebruiken, de Xl BF, _DGgt;nbsp;Eli misfen, waarvan de berekening ook al omflagtig is;
weten A A B C ~----- zoo dat de i
houd van hfet geheele ftuk zijn zal,
BA. CA.//. 2 E AC CA .AD. /? ^ CAD AD. AE .find DAjl.
2
X. Wanneer men een geheel land, of een aanzienlijk gedeek daarvan, opneemt, zoude men in grove feilen kunnen vef'nbsp;vallen, indien men niet vele voorzorgen gebruikte om b'inbsp;ophoopen van feilen, die van alle waarnemingen onaffchei'nbsp;deliik zijn, te beletten. Veel hangt af van de naauwke'nbsp;righeid der werktuigen die men gebruikt, en van de voof'nbsp;zorgen des waarnemers: en in uitgeftrekte metingen menbsp;hij nimmer afzijn om, van de voornaamfte driehoeken, 'nbsp;minften , de drie hoeken te meten, welke te famen tWnbsp;regte hoeken of iilo'= moeten uitmaken: zoo het verft'nbsp;aanmerkelijk ware is er eene feil in de waarnemingen:nbsp;het gering is, moet het verfchil gelijkelijk tusfohen de drnbsp;hoeken verdeeld worden, om deze daar door te verbetere *nbsp;ten zij er redenen waren om een grooter gedeelte dernbsp;betering tot eenen hoek, dan tot eenen anderen te brnbsp;gen. Een voordeel dat men mist als men flechtsnbsp;hoeken meet, en den derden uit deze befluit: dan jgenbsp;dien derden de geheele fom der feilen in de twee ovnbsp;misfehien begaan.
-ocr page 485-Wanneer alle de opgenotnen hoeken een geheel ramenel iiinaken , en eenige van derzelver zijden eenen veelhoek,nbsp;binnen hetwelk de top Z van de waargenomen hoeken vak:nbsp;de juistheid der meting geroest worden door dit
XX. VOORSTEL. Fig. 185.
n alle veelhoeken, welke door lijnen [Z \ , ZE, ZO j iiit een flip Z, binnen het zelve getrokken, in driehoe-verdeeld worden; zijn dezelve zoo getteld dat !' allenbsp;hoeken om dat flip [Z] te famen vier regte, of 360 gra-, uitmaken; en s'*, dat het prouuct der Jinutfen van denbsp;hoeken op de bafts Cvan de 2 , tfen 4, den 6 enz.)nbsp;Selijk is aan het product der fimsfen van de oneven hoeken
'cn 1, 3 enz.)
BEWIJS. Voor het eerste. Uit I. 5, Gevolg.
Voor het tweede In de A A aZE, EZD , enz. is doorVoarft lll. Z A: Z Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z E A : yf.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z A E
ZE: Z D nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z D E: fin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ZED
ZD: ZC Z=: y/ Z ZCD: quot;n. Z ZDC Z C : Z Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;r=:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z B C : fin.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z C B
ZB; A Z nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;yB.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z A B : /?.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z B A.
Daar nu de producten der twee eerfte kolommen gelijk zijn : zijn het ook die der twee laatfte : d. i.
fm, L ZEAX/k. ZDEX/.' b Z C D X/*. Z B C X jtn.L ZAB
(m, L ZAEXyi. l ZEDx/in. Z ZDCX /mZZCB Y.fm.LZ%S. dat is
/te, II. hoek X /te. IV. hoek X /te- VI. hoek X ?. VllI hoek
X iin. X. hoek
/te, I. hoek X III. hoek X V. hoek X /* VU. hoek X
iTi. IX. hoek.
Welk Voorftel een beproevingsmiddel is, waarvan de Generaal ntAMjENnoFP in zijne Geodeifche metingen van dit Land, ondernbsp;anderen., gebruik heeft gemaakt. iVVen zie zijn keurig werk ge.ijteldnbsp;^ticis historique des Operations Gioditiqnes, etc.
Het fpreekc van zelf dat wanneer men door Logarithmen werkt , dan voor de fora der i.ogarithmen KVrgt; geldt, het geen van hetnbsp;product der -inasfen gezegd is.
AANMEaKtvD W Ihppen dit alles maar ter loops aan , de ont-Vouwin,quot; behoort tot de praktijk. Peze beflaat, of in het gewoon *lt;andmeters werk, als warneer me;i tich veelligt met de ichriften
Van MORC.ENSTEK , GUBOORY, OZANxM , nbsp;nbsp;nbsp;, LA ORIVE , t Z, Zal
nnnen vergenoegen : of wel tot de otonESiE in hare geheele omvang, ^k tot het opnemen van geheele Landen .waar over twee toortrelfe-wNken voorhanden zjjn} te weten, eea van maijer in het
Hoog-
-ocr page 486-424 nbsp;nbsp;nbsp;Boek: Over de Drichoeks-mcting,
Hoogduitsch, het andc , van puissant, in het Fransch; dit overtreft verre alles wat daar omtrent tot mijne kennis is gckom^-
Xn. Wanneer men eenmaal de belangrijkPte voorwerpen de vereischte naauvvkeurigheid opgenomen heeft, valtnbsp;gemakkelijk andere, met eene geuoegfame naauwkeurigh^^'nbsp;te bepalen. Twee belangrijke gevallen doen zich deswegequot;nbsp;op, die het der moeite waardig zijn zal nader te ontvouw^'
EERSTE belangrijk GEVAL.
XXL VOORSTEL, Fig, 187, t88, 189, 190, ipr, ips-
Gegeven zijnde de onderlinge afftand van drie voorwerpe' A, I, C, mitsgaders een flip B waaruit men, op de voof'nbsp;werpen A, I, C mikkende, de hoeken ABI, ABC, iBBnbsp;meet: te bepalen den afftand des geraelden flips B van ied^^nbsp;der voorwerpen: dat is, A B, B I, B C.?nbsp;sNELt-ius, Eratosthenes Batavus, Cap. X.
UITLEGGING. De gegeven voorwerpen maken met elkander A AIC: waarvan de drie zijden gegeven zijn. Dit Voorftei doo^nbsp;SNELLiS uitgedacht, en door hem werkelijk gebruikt, mogt wel dtquot;nbsp;naam van het Voorftei van snellis dragen ; in latere tydeii her*nbsp;men er veel gebruik van gemaakt, waar door het meerder roc'nbsp;heeft gekregen, en vele Wiskundigen hebben er oplosfingcn vnbsp;gegeven: onder anderen reeds in 1671, collins Phil. Tranfact^nbsp;vol. 6. N-'. 9. Later, in 1755 Boscoviscn, Voyage /Iftronomiiitt nbsp;Liv. III. . 17. in 175. LAMBERT in zijne lieytrage zum gehrattt''nbsp;der Mathemat., I Band N. S- 107117, en in de iaatltc tijdodrnbsp;UELAMBUE , Methades Analytiques , etc. en Base du Jystmenbsp;que! Vwsa.ii.% Elmens d'Analyfe Gometrique, . 138. ik zal dt'nbsp;Oplosfingen voordragen : eene Graphifche, eene Trtgonometrifi^^ 1nbsp;eene AlgeBraifche: na alvorens te hebben opgemerkt dat ernbsp;algeraeene gevallen zijn; want het ftip B valt binnen of buh^'nbsp;den driehoek; het geen echter in de oplosfing zelve geen wez'^nbsp;lijk onderfeheid te weeg brengt.
GRAPHISCHE OPLOSSING. Fig. I90, Ipi.
Deze oplosfing is door snellis gebruikt. nbsp;nbsp;nbsp;.
i. Stel op de lijn AI een cirkelftuk I BA bekwaam om hoek te bevatten gelijk aan den hoek door den waarnemer tinbsp;fchen A en I uit B gemeten: CWerkliukken V. 5.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o
20. Stel op Cl een cirkelftuk CBI bekwaam om een q gelijk aan den hoek door den waarnemer tusfehen I e**nbsp;uit B gemeten, te bevatten.
Het flip B, waaruit men de waarneming gedaan moet zoo wel in den omtrek van het eene cirkelftuknbsp;als in dien van het ander; het ligt derhalve in de fni)nbsp;der beide omtrekken, of in B, en is bepaald.
Zoodanige Graphifche oplosfing in zeer nuttig !ein' zijden des driehoeks AIC, door middel van eene
-ocr page 487-fehaal in hare becrekkelijke grootte gefteld zijnde, ook na het vervaardigen van ecne naauwkeurige figuur, op de plein-fchaal de afftanden AB, BI, BC, en op een transporteurnbsp;de hoeken I ^ B, AIB, BIC, ICB, BAC, en ACB tenbsp;Weten, en het begeerde dus, met eene, wel is waar nietnbsp;groote, doch echter redelijke, en fomtijds voldoende,naauw-keurigheid te kennen.
Trigonometrische oplossing. Fig. 187
' Daar in den driehoek AIC de drie zijden bekend zijn, hereekeiit men eerst de hoeken lAC, AIC, en ICAjnbsp;j door het vierde geval.
Men onderfielle dat de cirkel BADC om den driehoek Abc befchreven zij: (VI. 3.) men trekke de lijn Bi welnbsp;ke den omtrek in D faijdt: vervolgens AD, en CD.nbsp;dan is :
1quot;. Z DCA = Z ABD nbsp;nbsp;nbsp;, Kol .
Z D /\C nbsp;nbsp;nbsp;/ DBCf^^-dus bekend.
Maar 11 \ D s verfchil of fom van / DACen/IAC. en Z I CD verfchil of fom van I DCA en / ICAnbsp;dus zijn ook die beide hoeken I AD en I C D bekend.
III. nbsp;nbsp;nbsp;Gevolgeiijk zijn in den A A DC bekend de driehoekennbsp;en de zijde AC; dus vindt men AD en DC door hetnbsp;L Geval.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;In den driehoek DAI zijn bekend AI door de onderdel-ling, AD uit N. III.-/ lAD uit Ngt;. II. 3. dusnbsp;men l ADI door het III. Geval: en insgelijks L
den driehoek DCI.
Maar AAIBsADAT AADIz^ en L BIC s L IDC -f L DCIsInbsp;en zoo I buiten den cirkel valt is
I,
vindt
CDI
-/ Al B = fuppl. (/ DAI i ADI ^
IS-
J BIC = fuppl. (/ IDC -i- i DCI .-Dus zijn die hoeken bekend.
''D Gevolgelijk zijn in A AIB bekend, /AIB, door Nquot;. V, ABI en IA door de onderftelling; dus vindt men AB,nbsp;en / lAB door het I. Geval.
Insgelijks vindt men in den A ICB, de zijde CB, e ICB: waaruit dan ook de hoeken CAB en ACB afge-mid worden, en dus het geheele Geval opgeiost is.
Aanmerking Deze oplosling is vrij lang, want zij ver-*ischt dat men, buiten den driehoek AIC, vijf driehoeken oplosfe.
SnL'
sze Oplosfing is door m pversenn uit de lesfen van wijlen 'men zeer gewerden amntgenoot den Heer Profesfor n. pey.
Ee
46
Snellius hesft ook eene tngonometrifche oplosfing zijne graphifche afgeleid.
I. analytische oplossing
Het eerfte voorwerp, van de regter hand af te teilen , genoemd C, het tweede 1, het derde, of het eerlle aan nbsp;linker hand, A.
I, nbsp;nbsp;nbsp;Als de waarnemer buiten den A AIC (Fig. 189.)
Al. pt.l A\iC .fin. [Z IB C -7- 11 IS tang.ihCB-aI/?TZaBC./.L'^IBC7-.ZiaC]
II. nbsp;nbsp;nbsp;En als de waarnemsr binnen den A AIC Haat (Fig. i?'^nbsp;is tang. ZACBquot;
A 1 . /V. A B C I B C i IA C] , ^ Al.fin. / ABC . coj: IBC ZI A C] AC
Opheldering, i''. Wanneer de teller negatief en de noei,^ pofitief is, is tang. ^ ACB negatief en dus l ACB 'nbsp;Blen moet dan voor ^ ACB bet fupplement nemen vannbsp;hoek die in de Tafel ftaac naast tang. L A C B. vf.nbsp;neer de teller en de noemer , beide pofitief, of beide negati1nbsp;zijn, is tang. i, ACB pofitief, en dus die hoek lt; 90'*
I. aanmerking: Deze Analytifche OpIosDng gaat in de bewerk;^ veel fpoediger voort dan men in den eerden opflag zoude de .nbsp;Iten: om dat de noemer van de breuk gedeeltelijk uit denbsp;getallen beftaat als de teller, gelijk Al, //. L ABC: of 'nbsp;een hoek [ilCC-j-ZlAC] wiens finus en cosinus op denbsp;bladzijde der Tafels gevonden worden. Het eenige dat lastignbsp;is de oplettendheid op de teckens: de gewoonte alleen kan dit quot;nbsp;makkelijk doen worden,
opLosstNG voor het eerfte Geval, wanneer de waarnemer bui' den driehoek Haat. Fig. iSg,
l. In A aB C is , Z ABC : AC C Z B C A : AB;
A C , /?. Z B C A en derhalve i. AB S y;, ^ ABC~
In ABI is fit. Z ABI; AI s fin. l AIB: AB;
A 1 fin. Z AIB
gcvolgelijk quot;. AB =1 ji, I Aui'quot;- nbsp;nbsp;nbsp;-
Maar in de AA AZien ZBC is Z AIB ZIA C S d i
voor Fig. l88, is Z AIB quot; dlAC-(- ZAZB en Z A*
Z IBC, en gevolgelk t AIB ~ i acB 1 Z IBC
i2 ^ . C ) Ik gaf deze Oplosfing, doch minder nitgewerkt, en zoo quot;iLVnbsp;in de eerfte uitgave van dit werk verfchenen is, in 177*. quot;Snbsp;vriend welke lu die vraagfciik had voorgefteld.
-ocr page 489-1'
l IRC -I- I aCB: derhalve L AIR n L lAC 4 IBC
I ACB:
en dus in het algemeen.
S. L AIB s Z ACB [lt;5 IBC L lAC] CJ:
fteliende deze waarde in N. a. komt 4 AI X //. A C B [Z IB C Z I A C]I k aB Snbsp;y?K. ZABInbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~
A C X Z R C A
/?. ZABC uitN''.!. waaruit volgt
5. AI . Jin.t, ABC . . (Z ACB \l IBC z lAC]) K
AC . Jin. i B CA fm. Z ABI
maar
fi/i. [Z AC_B H- CZ IBC T Z IAC)] s Jin. Z ACB X fo/. [Z IBC Z lAC] 4- co/ z ACBX^'. [Z IBC-}-Z lAC].nbsp;Met dit in N. 5. te fcellen komtnbsp;6'. AI . ftn. Z ABC . //. Z ACB . coF. [Z IBC_T Z IAC] nbsp;AI fin. l ABC . cof. Z ACB . fin. [Z 1 B C -|- Z lAC] =nbsp;A C . Jin. Z A C B . Jin. Z A B I : derhalvenbsp;7quot;. Sin Z ACB X Al , Jin Z ACB . co/; [Z IBC z lAC] -*nbsp;Jin. Z ACB . AC .fin. Z ABI nr
coj'. Z AC B . AI . iin, Z A BC . Jin, (Z IB C ~ Z IA C} waaruit volgt
Sin, Z A C B
8
Coj. Z AC B = Z ACE =
_____ At .fin Z ABC .fin. (Z IRC -h Z lAC)
AI . fin. Z ABC . co/; Cz 1 B C Z lAC) AC . fm. Z ABI 9. Zoodra nu Z ACB gevonden is kent men in den A aCB,nbsp;den gevonden hoek ACB, den gegeven hoek z ABC, dnbsp;^ijde AC: en derhalve berekent men daar uit den z CAB, en dnbsp;dijden A B en BC: en daarna in A AIB, de zijde IB, decnbsp;Z AIB, en eindelijk den Z BIC.
Aanmerking. W hebben de uitdrukking z aiB =:ZACB-f-tz IBC Z lAC] voor fig. l88 u|t den aard van die figuur af-^lleid: maar ze kan gemakkelijk uit de uit de uitdrukking voor 189 , te weten uit Z AIB ~ ZACB-|- [Zlijc ZIAC]nbsp;Afgeleid worden: want in die figuur valt Z I A C boven AC, en innbsp;hg. 188. onder AC: gevolgelijk is aldaar Z lAC negatief, indinnbsp;dezelve in fig. 189. als pofitief wordt aangemerkt: en dus moet htnbsp;*ekcn in, -j- veranderd worden: n men heeft Z AIB nsnbsp;Z ACB 4- rz IBC -j- Z lAC],
Het kovenfte teeken zoo I boven; het onderfte zoa AilJ'r
Valt,
' nbsp;nbsp;nbsp;Ee 2
428
III. aanmerkinO. He' gebeuren dat i IB C = ^ IA C: dan is '!? fig. i8p. ZIBC ^lACrro: derhalve fin. [Z IB C ^ k
nbsp;nbsp;nbsp;o: en dus de teller o: maar in dat geval is de noemer oo^
nbsp;nbsp;nbsp;o: wan' dan is cof. [ZIBC Z 1 A C] = col', o i: dB*nbsp;wordt de noemer Al ftn. AB C AC yin. A BI: maar uitnbsp;isZAlB = ZACB [iIBC ZIAC]datis ,hier , Z A 1**
AC nbsp;nbsp;nbsp;A^ .
de
=:Z ACB.-en ge volgelijk wordtin N .3. i aBC /in.
cn A C X Z A B I = A I X /. Z A B C ; waar door
noemer wordt z=: o: en derhalve tcng. Z ACB 'J: gevolg*^'^ is als dan die hoek onbepaald. Dit volgt ook uit de grapMf:^^nbsp;oplosling: want om dat in dit geval, Fig. 190., de ZZ I Anbsp;IBC aan elkander gelijk zijn, en op de zelfde choorde rusten nbsp;moeten zjj in n en het zelfde cirkelftuk geplaatst zijn: derbanbsp;ven fmelten, in dit geval, de twee cirkelftukken ICB en JAnbsp;in n; en gevolgelijk, waar ook het flip C zich in den offl''nbsp;van dien cirkel be vinde , blijven deZZABI,IBC, ABC dezennbsp;hoe veel ook door de verrchiende plaatfing van B de ZZ AC' nbsp;CAB, AIB, BIC, cn de lijnen AB, BI, C B, verfchilieddnbsp;mogen worden.
- AI . /?/. Z A BC . / ZIBC
IV, aanmerking. \V.inneer de drie voorwerpen A, I,C in dne rcS** lijn zijn, is Z lAC = 0: Z IC A = ot en de formule wordt
tang. Z ACB
AI . nbsp;nbsp;nbsp;Z A . C . coy. ZIBC-AC .'JaBI
oSlossing van het tweede geval , wanneer de waarnemer binnr den driehoek A C I (iaat Fig- 19a.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt
Men kan dit geval onmiddelijk bewijzen , op den zelfden 't als voor het eerde gefchied is. Maar wij zullen ons vergenO^^nbsp;gen met het bewijs uit dat van het eerde geval te ontleenen 'nbsp;te doen aanmerken dat in het tweede geval de Z A.ll, ten quot;Ffnbsp;zigte der lijnen AB en BC, aan den anderen kant valt vaflnbsp;flip met betrekking tot het eerde geval, of tot Fig. 189 en I'nbsp;dat gevolgelijk die hoek negatief wordt: waar door zijn fmus ,nbsp;negatief is: en dus moet men in den noemer dellen Anbsp;fn. Z A B1 in plaats van AC fin. A BI.
en derhalve kan het geen in de tweede Aanmerking op eerde geval gezegd is hier geen plaats hebben.
L AANMERKING. In dit geval is Z IBC altijd grooter dan Z I
II aanmerking. Daarin dit geval ZABI-1-^ABC Z IBC^ Sfio, is Z ABI g IBC = 360quot; - Z ABC = i8o -h .rCnbsp; Z ABC = l8o'gt; -1-ZABC ZBAC ^ACB 'J/gCnbsp;r=: 180' -f- i BAC ^ ACB: derhalve Z ABI ^g(;nbsp;gt; iSo. In het eerde geval in tegendeel is Z ABI ^
^ j8o. Derhalve, kan men daar uit alln weten, al wis'jj^eit het niet van elders, of B binnen dan wel buiten den dquot;
AIC valt. nbsp;nbsp;nbsp;leC
Indien ZABI 4lBC~ 180: zoude D op de w vallen: dan zoude Z ABC a L zijn: Z ACB = o: 6nbsp;halve tang. A C B = o.
-ocr page 491--^I-gemeene aanmerking. Die Voorftel is van een zeer Seoot nut, om op zee en op land door eene enkele waar-jieming den afftand en ligging van de plaats vraar men zichnbsp;vindt, te bepalen, mits men drie voorwerpen hebbe,nbsp;^aarvan de aflland bekend is. En indien men in Fig. 17.nbsp;een tweede Hip G ( en insgelijks uit meerdere flippen)nbsp;Zelfde waarnemingen als uit doet, zal men in dennbsp;r'ehoek BAG de zijden AB, AG, en den hoek BAGnbsp;kend hebtsen: en dus ook B G en de hoeken A B G,nbsp;^ ^ B kunnen bepalen al kan men B uit G niet zien.
II. .
''Lcemeene aanmerking. Men vergunne mij de oplosfing den Heer delambre hier bij te voegen , zoo welnbsp;dat zij in zich zelve uitmuntende is, als om dat zijnbsp;.or fchrandere Wiskundigen voor de geraakkejkfte vannbsp;2 gehouden wordt.
II. ANALYTISCHE OPLOSSING.
__ I C /n. Z I CB _ ~ fin. l I B Cnbsp;IC pn. i A BI. fin.
dn, i
(III. Vorft.)
/ ABI
/ IC B = AI Jin, L IBC.
fin i lAB
ICB - IC fm L ABI: AI . nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IBC fill. 5.)
L lAB y?. I ICB: fm L IAB-gt;. AcB = iQ, fin. L A B r kV fm. l IB C: IC /. l A BI
hl fin. IBC (III. 8.) fin. lAB dn. ICB tang. ^ { lABZ ICB)
Pilaar
fin. lAB fin. ICB tang.
^ ICB)
5 U lAB Z ICB) CVIII. 32. N. 82.)
d, i rz lAB ____, _
tang. i (Z lAB Z ICB) quot;
IC fin. ABI AI fin. IBC
IC fin. ABI 4- AI fin. IBC AI fin. I nc
ftel
ABI
s tang, i CZ lAB Z ICB) nbsp;nbsp;nbsp;i (i lAB
Z ICB) tang. (45 -- p), (VIH. 37-) *s Z lAB Z ICB = 360quot; - ABC I AIC)
(Fig 188, 189 ) (II. 29.) Z IAb Z ICB s Z A IC Z ABC (Fig. 190)nbsp;D Z I AB i ICB s Z ABC - Z AIC (Fig. 191)nbsp;der hoeken IAB en ICB is dus in alle gevallen be-Ec 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;kend,
hu
43
IX. Boek: Over de Driehoeh-mctins,
tend, en het verfchil der hoeken bereekend; mn kan df halve lederen hoek afzonderlijk vinden, en dus het overdonbsp;Volgens het III, Voorftel bereekenen.
aanmerking, i. Tndien p gt; 45 is, is iar?g. (45
4 ICB) ook negatief is, is tang, fAB I pofitief.
negatiefs en zoo iil dit geval tang. \ (i
2; Jndien p gt; 4J0 , maar tang. -J ('Z IA B -f- Z J pofitief: is tang. ^(ZIAB ZICC^ lugatief: en
Z ICB gt; Z lAB: want ^ (4 1 AB Z ICB) kan h' gt; po** -zijn.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X
3. Indien p lt; 45*: en dus tang. C45 p)
' tief, en tang. ^ (z lAB ZICBJ negatief: is
L ICB gt; Z lAB.
ALGEMEEN AANMERKING Over het eerfle belangrijke De Heer pictet, Hoogleeraa' te Geneve, heefc een in',jDnbsp;jnent uitgedacht, waar door men bij het vervaardigen ]^enbsp;kaarten, waarop reeds de hoofdpunten met denbsp;jiaauwkeurigheid geplaatst, zijn, het invullen van hetnbsp;zeer gemakkelijk, en met eene genoegfame naanwkeurig,'; jijnbsp;verrigt. Zie hier de befchrijving die er van gegeven 1,nbsp;de Bibliothqiie Britannique, voor het jaar l8ii,nbsp;XLU. p. io._nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Jt
_Hec werktuig beftaat uit een halven cirkel waarva^ jj, middellijn zich ver buiten den omcrek uitftrekt, als ^,11^nbsp;niaal, doch waarvan de eene kant door het middelp,^otnbsp;gaat, het welk door eei; keepje wordt aangewezen- jjnbsp;hetzelve middelpunt bewegen zich nog twee liniate'bjcknbsp;verlengde radii van den zelfden halven cirkel zijnnbsp;even ver als de eerfte buiten den omtrek uitffrekkeh nbsp;eenen noniut dragen, welke van 5' lot 5' aanwijs:, ,, qVnbsp;Bij bet gebruik, fchikt men de linialen zoo datnbsp;derling hoeken maken gelijk aan die welke uit het.
- Hip dat Qp de kaart gefteld moet worden, tot drie
plaatfen, reeds op de kaart te vinden , waargenotn^rj^j eii geworden. Het werktuig wordt op de kaart gefeh'^e''nbsp;verfchikt, tot dat de drie linialen gaan door denbsp;plaatfen, ieder namelijk door die welke hij behoortnbsp;zen. Ais dit plaats heeft is het middelpunt desnbsp;het te bepalen ftip. Hier door vermijdt men de yfi'nbsp;che conftructien, die anders nog al lastig vallen ^nbsp;pplettenbeid vereisfehen.
T VV'
-ocr page 493-WEEDE BELANGRIJK GEVAL IN DF PRAKTIJK.
XXII. VOORSTEL. Fig. 1S4 (*).
Gegeven zijnde de afftand CD, indien men uit A en B hoeken CAB, DAB, CBA, DBA meet, vraagt uiennbsp;lengte van AB en de afftanden CA, CB, DA, DB.
J. oplossing.
Tang. L CDA =:
Jin. L CAD, fin. L CBA. Jin. L ADB
AR nbsp;nbsp;nbsp;^ ACR. fin. L CDA
~ Jin. L CBA fin I CAD ^
Bewijs. In de driehoeken ACB, ADB zyn de hoeken ACB cij ADB bekend, dewijl de beide overige hoeken in eiken driehoeknbsp;bekend zijn.
Door de II, Oplosfing van het III. Geval is CA X n. i CAD
tens, 4 C D A
AD CA X cof. 4 CAD 4 CAD
AD nbsp;nbsp;nbsp;^
cof. 4 CAD.
maar
y. 4 A C B : /?. 4 C B A = A B : A C f:n. 4 ABDi 4 ADB = AD: ABnbsp;dus
AD: A C = y?. 4 A B D. /?. 4 A C B : nbsp;nbsp;nbsp;4 C B A. fm. ,4 AD B.
en
AD _ f.n. 4 ABP, 4 ACB
AC /:. 4 CBA. pn. 4 ADB = en dus
fn i CAD____
Tens. iCDA=: /in. 4 ABD /i^jAc^ -
fin. i CB A.y^i ADB ^
- C') 2i over dit Vootftei en eenige andere khil. Ttetifi. N. I77
Ee 4
-ocr page 494-433
IX. Both: Over de Vrichoeks-meting,
fm. I C/AD. fin. I O'S A. fin. ADB
' fin. I ABD. fin. i ACB cof. eCAD. fin. Z CR A. fin. I AO^-Dus wordt ^ CDA bekend: waaruit Z ACD volgt; en voorts fm. 4 CDA X CDnbsp;A C nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7'c A D
doch
AB =
Jin. Z ACB X AC
fin. Z C B A.
en dus eindelijk
AB
fin Z ACB X 'in- Z CPA X CD fin. Z CB A. jin. Z C A D.nbsp;waaruit al het overige bekend wordt.
II.
OPLOSSING,
Men kan dit Voorllel ook oplosfen door het Gevolg van de eerfte oplosfing des derden Gevals voor de fcheefhoe*nbsp;kige driehoeken, te weten
AD =
AB ftn. L AB D
ftn. L AOamp;
derhalve
AC =
AB. L ABC (in. Z ACB
AD fin.^ Z AB D. fm. Z ACB
AC nbsp;nbsp;nbsp;Jln. Z ABC. fm. z aD^*
Dewijl alle grootheden in het tweede lid bekend zijn ftelle men
fin. ABD . ftn. Z ACD
fm. i ABC . fm. L ADB nbsp;nbsp;nbsp;quot;
AD
dan is ^ = tang. ai en derhalve (III, Geval: Opl. n.)
cQt i (Z ADC Z ACD) = tang. I L CAD *
tang. (45
Waaruit de hoeken aD^ ACD bekend worden! quot;Vervolgens al het overige kan worden bereekend.
lu
dit
aanmerking. Men moet in het nemen van den cotangent tiet halve verfchil der hoeken met oplettendheid te werk inbsp;cn ftellen het verfchU dernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;over noemtr en teller.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
-ocr page 495-dit voorbeeld moet men nemen cot. (Z ADC i ACD^ en niet cot. i (dACD ZADCJfOm dat men anders ligtelijk in dwalingnbsp;AD
kan vervallen: want indien ^ ^ ~ tang. a tang. 45 is; is AD ^ AC: en dus l ACD ^ ADC; hadt men na gefteldnbsp;cot. i (Z ACD Z ADCgt; = tang, J ZCAD X tang. (45''-!- a)nbsp;zoude cat. ;ZACD ZADC) negatie] zijn: dus zoude dezenbsp;cotangentf cotangent moeten zijn van een negatieven boog, en derhalve ZADCgt;ZACD:dat ongerijmd is zoodra AD gt; AC.
AD
Indien nbsp;nbsp;nbsp;tang, a ^ tang. Z 45quot; gt; en men ftelde cot.
(Z ACD Z ADC)'t= tang. 4 Z CAD X tang. (45 moet dit product negatief zijn; om dat als dan ZADC ^ Z ACD
Ee 5
434-
OVER nbsp;nbsp;nbsp;LIGGING EN SNIJ DING DER
VLAKKEN.
i. BEPALING. Fig. 193.
Eene regte lijn [FE] flaat loodregt op een vlak [RS] wanneer zij loodregt ftaat op aile de lijnen [A B, D C]nbsp;die in het gemelde vlak liggen en elkander Inijden in hetnbsp;dtip daar de liju FE bet vlak ontmoet.
EUCI- XI Bep. 3. ~ St. IX. def. 10, L. G. V. Bcp. I.
aanmerking. Men houde hier beftendig de 3 de en 7de Bepaling van het I. Boek in het oog: uit welke het klaarblijkelijk volgt dat eene regte lijn geheel in n en het zelfde vlak ligt: hoewel anderen zulks opzettelijk bewezennbsp;hebben.
ECL, XI. pr. I. St. IX. I. L. G, V. I.
11. BEPALING. Fig. 194 en 195.
Wanneer een vlak [AV] op een ander vlak [PQ] Raat, of hetzelve fnijdt; wordt de lijn [UV] die aan beide de vlakken gemeen is, de gemeene Jhedc van dienbsp;vlakken genoemd.
EUCL XI. 3. St. IX. pr 2.
aanmerking. Deze Bepaling vooronderftelt dat de gemce-fie fnede eene regte lijn is : het geen wederom klaarblijkelijk uit de bepaling van een vlak volgt: anderen hebben dit echter bewezen.
EOCL, XI. 3. nbsp;nbsp;nbsp;2'
in. bepaling.
Fig.
194.
Een vlak [AV] Raat loodregt op een ander vlak [PQ3 wanneer de lijnen [EF, DG] (e, in een der vlakken ligge*nbsp;de, op de gemeene fnede [U V] loodregt liaan, ook tev^hnbsp;loodregt op het andere vlak [A V] Raan.
EHCL, XI. Bep. 4. St. IX. dcf. 13. t. C. V. Bep. 5.
X. Boek: Over de Ug^fig en fnifding der vlakken, 435
IV. BEPALING. Fig. 196.
De helling van eene regte lijn [FC] op een vlak [PQ] is de fcherpe hoek [FCE] welke die lijn [FC] maaktnbsp;niet de lijn [C E] , die in net gemelde vlak uit het uiteinde [C] der gegeven lijn getogen wordt tot her flipnbsp;[E], daar de loodlijn, [F E] uit het andere einde [F] vannbsp;de gegeven lijn nedergelaten , het vlak ontmoet.
EUCL. XI. Bep. s- st. IX. def. ii. L. G. V. 7-V. BEPALING. Fig. 195.
De helling van een vlak [A V] op een ander vlak [P Q] is de fcherpe hoek [BEF], welke gevormd wordt doornbsp;ivvee lijnen [BE, E F] mt het zelfde (lip E van de ge-nieene fnede fU V] in ieder vlak loodregt op die fnedenbsp;opgerigt.
EUCL. XI. Dep. . St. IX. Bep. 12. L. G. Bep. 4. pr. 17.
Vl. BEPALING.
Hierom worden vlakken gezegd gelijkelijk op andere vlakken te hellen, wanneer zij onderling gelijke hellingen hebben : en evemnjdige vlakken worden die genoemd,nbsp;welke op een derde vlak gelijkelijk hellen, dat is, metnbsp;eene en de zelfde lijn, die'in dat derde vlak loodregtnbsp;op de beide gemeene fneden ftaat, gelijke hoeken naarnbsp;den zelfden kant maken.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Anderen zeggen, dat twee vlakken oriderlingnbsp;evenwijdig zijn, indien zij zich nimmer ontmoeten of fnij-den. EUCL. XI. Bep. 8. Anderen noemen evenwijdigenbsp;vlakken die welke overal den zelfden affland van elkandernbsp;hebben. St. IX. def. 14. L. G. V. Bep. 3
Zie hier over het geen wij gezegd hebben van dergelijke Bepalingen in de Aanmerking op de VIII. en op de X.nbsp;Bepaling van het I. Boek.
II, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Zoo ook noemen fommigen eene IHn evenwijdig aan een vlak, als zy het zelve, hoe ook verlengd,nbsp;nimmer ontmoet.
L. G. V. Bep. 3.
T. voorstel. Fig 197.
Een driehoek ligt altoos in n vlak.
EUCL. XI, 2. St. IX. 3. Gev, I.
-ocr page 498-BEWIJS. Door de eerfte bepaling; of regtftreeks, of uit het ongerijmde: iu laatfte geval onderllelt men dat hetnbsp;gedeelte AC KI n vlak, het gedeelte lEK in een ander vlak ligt-
I. GEVOLG.
Wanneer drie flippen naar welgevallen gegeven zijn, kan vnen altijd onderftellen dat er een vlak door dezelvenbsp;gaat: en de ligging van dat vlak is bepaald.
St. IX. I. Gev. 2.
II. GEVOLG. Fig. IP7.
Twee lijnen [AB, DC] die elkander fnijden , liggen in een en het zelfde vlak.
ECL, XI. 2. St, IX, 3, L, G. V. pr. a.
lil GEVO'LG.
Men kan altijd een vlak langs twee gegeven lijnen laten gaan; en deszelfs rigting is bepaald, door de ligging dernbsp;lijnen.
L. G. V. 2.
II. VOORSTEL. Fig. 193.
Indien eene regte lijn [EF] in het flip [ii], daar twee lijnen [AB , DC] zich fnijden , loodregt op dezelvenbsp;ftaat, flaat zij ook loodregt op alle de lijnen die in hetnbsp;vlak liggen dat door de twee gegeven lijnen gaat, en dusnbsp;ook op dat vlak zelve.
EUCL. IX. 4. St IX. 4. L. G. V. 4.
BEREIDING. Maak EA^ EB,EC ED:
Trek AD, CB, en door E de lijn PRQ naar willekeur, vervolgens FA FP, FD, FC, FQ, FB:
BEWIJS. Uit I. 21. is in AAED en CE B: 1. ADsBC. 2. D A E 3 i E B C.
Uit I. 21. en i'. en 2. is in AA APE en EBQ. s. AP =3 BQ. 4. PE = EQ.
Uit nbsp;nbsp;nbsp;l.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;21,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AA AEF en F BE.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;50. aFnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 FB.
Uit nbsp;nbsp;nbsp;I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;21-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is innbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AA DFE en EFC:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fio. ppnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- pc.
Uit nbsp;nbsp;nbsp;I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;26,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en 1., 50., 6., is 7- lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DAF 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z FBC.
Uit nbsp;nbsp;nbsp;I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;21.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;70.,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;30., 5. is in AA APF ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;BFQ. 8.
pp 3 FQ.
^ Uit
-ocr page 499-X. Boek: Over de ligging en fnijding der vlakken. 437
Uit I. 25. en 8, 4'. is in AA PEF en FEQ, p, ^ PEF = i FEQ.
d. i. I. Bep. p. EF flaat loodregt op PQ; en dus ook op alle lynen welke door E gaan en in ec vlakRS liggen.
I. GEVOLG.
Uit een en het zelfde Hip, het zij [F] boven het vlak, jhet zij [E] in het vlak , kan men maar ne nige lijnnbsp;[F Ej trekken, die loodregt op het vlak is.
EUCL. XI. 13. St. IX. def. 10. Gev. L. G. V. 4. Gev. 2.
II GEVOLG.
De loodregte lijn is de kortfte van alle de lijnen die men uit een rtip [F] boven een vlak op het vlak kai laten vallen.
L. G. V. 4. Gev. I.
I. aanmerking. Fig. 196. Het blijkt, dat zoo men eene lijn Dl naar welgevallen in een vlak trekt, daarop uit een (lipnbsp;F boven het vlak de lijn FC loodregt Iaat vallen: verdernbsp;uit C op D I de loodlijn C E in het vlak trekt , n dan uitnbsp;F de lijn FE loodregt op CE; dat dan de lijn FE ooknbsp;loodregt op het vlak zijn zal.
EUCL. XL II. St. IX. II.
III. GEVOLG.
De fchuinfche lijnen [bijv. AF, FB Fig. 193] uiteen flip f boven het vlak getogen , die even ver van de loodlijnnbsp;afdaan , en dus ook met dezelve gelijke hoeken [AFE,nbsp;IjFE] maken, zijn even lang; en alle die even lang zijn,nbsp;ftaan in den oratrek van een cirkel, uit het (lip F metnbsp;eenen radius [F A] gelijk aan eene dier lijnen, in het vlaknbsp;kelve getrokken. En zoo twee fchuinfche lijnen onderlingnbsp;Ongelijk zijn , is die de kortlle die, welke den kleinften hoeknbsp;iet de loodlijn maakt.
St. IX. Bep. 10. Gev. L. G. V. 5.
IV. GEVOLG. Fig. 194.
Indien eene lijn BD loodregt op een vlak Raat, ftaat ook alle de vlakken [zoo als AV] welke langs die lijnnbsp;gaan loodregt op het zelfde vlak.
va. XI. ig. .m St. IX. Bep. iS- Cev. 7. L. G. V. tg.
V. GEVOLG.
Indien men uit een flip B van een vlak A V dat lood-regt op een ander vJak PQ Baat eeiie loodlijn op dat laatstgemelde vlak nederlaat, zal die lijn in de gemeeiienbsp;fiiede vallen.
Evev- XI. 38,
VI. GEVOLG. Fig. 198.
Indien twee vlakken CD, A B, die elkander fnijden, beide loodregt op een derde vlak P Q (laan (laat dcrzel-ver gemeene fnede E F ook loodregt op dat vlak.
EucL, XI. 19. St. IX. , L. C, V. 19,
. nbsp;nbsp;nbsp;III. VOORSTEL. Fig, 199.
Indien eene regie lijn [FE] loodregt (laat op drie lijnen [EA, EG, E C], in dat flip [E] w.iar die drie lijnen elkander fnijden; liggen die lijnen in het zelfde vlak.
EUCL, XI. S. St IX. 4. Gev.
bewijs. Uit het ongerijmde door het tj. Voorflel: fteilende bijv. dat de lijn A in een vlak ligt dat van het vlak PQ nbsp;waarin de beide andere EG, EC liggoi', verfchillend is, ennbsp;latende door FE en EA een- vlak gaan, waarvan EO denbsp;gemeene fnede is met het vlak P Q.
IV. VOORSTEL. Fig. too.
Indien twee regte lijnen [AB, CD] loodregt op het zelfde vlak [PQ] (laan, zijn zij onderling evenwijdig. Ennbsp;omgekeerd; indien twee regte lijnen onderling evenwijdignbsp;zijn, en eene derzelve (laat loodregt op een vlak, is denbsp;andere ook loodregt op dat vlak.
UCL. XI. 6,8. St. IX. 7. L G V. 7. en i. Gev. bereioing. Men ftelt dat door de lijnen AB, CD een vlaltnbsp;A C D B gaat, waarvan B D de gemeene fnede met P Q is.nbsp;BEWIJS. Uit het 4. Gev. van het II. Voorftel; en I. Bep. iOgt;nbsp;Voor het II. uit het 3. Gev. van het II.Voordel, en 1. Bep. lo*nbsp;AANMERKING. Hieruit volgt wederom, dat, indien men uitnbsp;eenig (lip B in een vlak een loodlijn BA op dat vlak wBnbsp;oprigcen, men eerst uit eenig Hip C buiten het vlak eennbsp;loodlijn G D op het zelve moet laten vallen, en dan nit h'-gegeven dip B eene lijn trekken die mee de gemelde loo'nbsp;lijn evenwijdig is.
_ eucl, XL'ia-, Sr. K. la. nbsp;nbsp;nbsp;V.
-ocr page 501-V. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL. Fig. aol.
Twee Hjnen [AB, CD], die elk evenwijdig zijn aan *sne en dezelfde derde lijn [E F], hoewel deze niet metnbsp;de twee anderen in het zelfde vJak ligt, zijn ook onderling evenwijdig,
Euct. XI. 9. St. IX. 9.
bereiding. Men ftelc dat er door E F en A B een vlak E Q, en door E F en CD een 'vlak E P gaa. Men trekt uitnbsp;eenig flip G van de lijn EF, de lijn GH loodregt opnbsp;AB, en GK loodregt op CD, en eindelijk de lijn tlK, ennbsp;men ftelc dat er een vlak door HGK gaa.
BEWIJS. Uit het JV. Voorftel.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;VOORSTEL. Fig. 203.
Indien twee lijnen [AB, BC] in eenig vlak liggende Genen hoek [A B C] onderling maken , en in een andernbsp;vlak twee lijnen [DE, FE], die insgelijks eenigen hoeknbsp;[DE F] onderling maken, elk evenwijdig aan eene derzel-ve zijn ; zullen die hoeken gelijk zijn, en de vlakkennbsp;[ABC en DE F] die door de gemelde lijnen gaan, zullanbsp;ook onderling evenwijdig zijn.
EVCL. XI. 10 en is. St. IX. lo en 14. L. G. V. ij en 14.
BEREiniNG. Stel ED = AB: EF s BC: trek AD, BE, CF, AC, DF.
BEWIJS. Uit I. 30: X. 5 : I. 26 en X. Bep. 6.
VU. VOORSTE L. Fig. 204.
Indien eene en dezelfde lijn [EF] loodregt ftaat op tWee vlakken [PQ, RS], zullen die vlakken evenwijdignbsp;elkander zijn.
EucL. XI. 14. St. IX. IS' E. G. VI. II.
bereiding. Men ftelle dat er door de gegeven lijn EF, en eenige lijn EG In het vlak, PQ bijv., getrokken, eennbsp;vlak EG HF gaat, waarvan de gemeene fnede met R S denbsp;n FH is.
BEWIJS. Uit het 4 Gevolg van het II. Voorftel, en de VI. Bepaling.
1. GEVOLG.
Alle de loodlijnen die tusfehen twee vlakken, welke onder-
440 X. Boek'. Ovef de ligging en Jnijding der vlakken.
derling evenwijdig zijn , getrokken kunnen worden , Z'jn gelijk. (Door I. 21. (tellende HF = GE, en trekkc'*quot;nbsp;de GFgt;
L. G. V, 12.
aanmerking. Hieruit worden de redenen afgeleid der palingen waarvan wij in de Aanmerking op de VI. BepalinSnbsp;gewag gemaakt hebben,
II. GEVOLG.
Indien twee evenwijdige vlakken door een derde gefneden worden, zijn derzelver gemene fneden onderiihSnbsp;evenwijdig.
EUCL. XI. l. nbsp;nbsp;nbsp;-1
VIII. VOORSTEL. Fig. 20a.
Indien tivee regte lijnen [AB, CD] door evenwijdig vlakken [HG, LK, NM] gefnederi worden, worden zijnbsp;in de zelfde rede gefneden.
EUCL. XL 17. St. IX. 18.. L. G. V. 13.
BEWIJS. Uit het 2. Gevolg van het VII. Voorftel; IV. en III. 10.
-ocr page 503-44^
OVER DE LIGCHAMELIJKE FIGUREN DIE DOOR VLAKKE OPPERVLAKTEN BEPAALD ZIJN.
OVER DE LIGCHAMELIJKE HOEKEN.
I. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.
Een ligchaam, of Ugchamelijke pguur , is eene beflo^ *en figuur, die in lengte, breedte, en hoogte, of diep-, uitgeftrekt is. Zij wordt dus door oppervlaktennbsp;bepaald.
Euci.* XI. def, I, a. St. IX. dcf. i , a.
AANMERKING. Die Oppervlakten zijn , of vlak, of krom. In dit elfde Boek wordt alleen gefproken va ligchamen doornbsp;vlakke oppervlakten , of door vlakken , bepaald i in hetnbsp;twaalfde zullen wij over de andere handelen, De ver-fchillende vlakken, W'Clke een ligchaam bepalen, hebben onderling eene bepaalde helling, die dus ook hoek kan genoemd worden, maar van de vlakke hoeken verfchilt, hoewel uit vlakke hoeken beflaande: men noemt denzelveanbsp;ligchamelijken hoek.
II. nbsp;nbsp;nbsp;bepaling.
Ugchamelijke hoek, door anderen ook veehlakkige hoek Sfinoemd, is een hoek, die door drie of meerdere vlakkenbsp;^^oeken gevormd is, welke in verfchillende vlakken lig-en wier toppen in een fiip famenkomen.
SUCL. XI. def. II. St; IX def. iS. L. G. V. Bep. 6.
aanmerking. In Fig. 205. beftaat de ligchamelijke hoek A uit drie vlakke hoeken CA 15 CAD, DAB; in Fig.nbsp;ao6, beftaat de ligchamelijke hoek V uit vijf vlakke hoekennbsp;pVI.lVD, DVE, EVF, FVG. Dat er ten mindennbsp;drie vlakke hoeken moeten zyn om eenen ligchamelijken hoeknbsp;* maken, vak in het oog.
Ff nbsp;nbsp;nbsp;h
-ocr page 504-444 XI. Boek: Over de ll^chame'ijke figuren^
I. GEVOLG.
De toppen der vlakke hoeken die eenen ligehamelijken hoek uitrakken kotnen dus in n (lip te fatnen; ennbsp;der beide beeiien van iedcren vlakken hoek, is tevens eennbsp;der beenen van den naastliggendeii. A R (Fig. 205.) inbsp;gemeen am de hoeken C AB , en B AD ; AD aan denbsp;hoeken BAD, en CAD: AC aan de hoeken CAD ennbsp;BAC. Die beenen worden door fommigen de ribbennbsp;ctcs y ook les artes), en de vlakken , die tusfchen de*nbsp;zelven begrepen zijn, de vlakken of zijden (les planOnbsp;van den ligehamelijken hoek genoemd ; terwijl hetnbsp;waarin zich de toppen der vlakke hoeken vereenigen, denbsp;top van denzelven is. Wij zullen die benamingen vanbsp;rihken en vlakken, of zijden , behouden.
II. GEVOLG. Fig. 205, 206.
Indien men op eene der ribben van een ligchamelpe'' hoek een ftip neemt, en door hetzelve een vlak laat gaaf*nbsp;dat de zijden (zoo noodig verlengd) van den ligehamelijkennbsp;hoek fnijdt, zullen de gemene fneden van die zijden en henbsp;gemelde vlak, op het zelve, eenen veelhoek daarftellen vannbsp;zoo vele zydeii als er vlakke hoeken zijn die den ligchams'nbsp;lijken hoek uitmakeu; en dus eenen driehoek, vierhoek, vij*'nbsp;hoek, naar mate de gegeven ligchamelijke hoek uit drie,viefnbsp;vijf vlakke hoeken beftaac.
de drie gegeven platte hoeken grooter moeten zijn dan
II. aanmerking. Hierop komt, naar ons Inzien, de 22 prOp' van het XI. Boek van eucudes uit: ten minften voornbsp;verre het gebruik betreft dat bij daarvan in de 23 propofi'*nbsp;maakt; want de voor waarde die hij opgeeft, dat twee 'f*
V4V., VlllW 5W5V.VVtl nbsp;nbsp;nbsp;V*
derde , is flechts eene dier voorwaarden welke vereisd* worden op dar er nit de drie gegeven platte boekennbsp;ligchamelijke hoek gemaakt zoude kunnen worden: de ^'nbsp;lijkheid der ribben, die hij verder vordert, is op datnbsp;zeker zoude zijn dat er door de uiteinden derzelvenbsp;vlak zoude kunnen gaan: hetwelk echter alleen dootS^nbsp;voor drie hoeken.
III. gevolg.
Twee ligchamelijke hoeken zullen dus gelijk zijn
^ien, wanneer de top vooronderfteld wordt met de** overeentekomen, alle de vlakke hoeken, waaruit die hg*nbsp;chamelijke hoeken gevormd zijn, insgelijks overeenkom^'
-ocr page 505-I. /fJ : Over de ligchamelijU hoeken. 443
en gevolgelijk ziiti twee'ligchameliike hoeken gelijk, vvan-iieer zij gevormd worden door vlakke hoeken die pelijfe 2ijn in getal, en boven dien in grootte, ieder aan ieder,nbsp;eindelijk onderling volgens de zelfde orde geplaatst zijn.
ll. aanmerking, De vlakke hoekendie tweeligchamelijkehoeken uitmaken, zouden gelijk kunnen zijn ieder aan ieder, zonder dat de ligchamelijke hoeken daar door gelijk waren, of,-op elkander gefield, zouden overeenkomen: te weten, in*nbsp;dien gemelde vlakke hoeken in beide de ligchamelijke niecnbsp;i'i de zelfde orde waren geplaatst. Zie ook L. G. V. 33.nbsp;Schal.
IV.aanmerking. De vlakken,welke eenen ligchaihejken hoek uitmaken, kunnen hunne, hoeken, of alle buitenwaarts, ofnbsp;gedeeltelijk buiten- en gedeeltelijk bifinenwaarts gekeerdnbsp;hebben: welke gevallen men behoorlijk moet onderfcheidennbsp;zoo als uit de Aanmerking op het II. Voorftel blijken zal.
I. nbsp;nbsp;nbsp;voorstel. Fig. 205.
Indien een ligchamelijke hoek [AJ uit drie vlakke hoe-f ken [BAD, DAG, CABJ befiaat, zijn altijd twee der-zelve te famen, grooter dan de derde.
EUCL. XI. 20. St. IX. 19. I,. G. V. 21.
BEREIDING. Zij I B AC de grootfte der drie: men ftelle' in bet vlak dat langs CA en Ba gaat, Z BAE = iSBAD:nbsp;A E =2 AD: men tiekke door E, B E C: vervolgensnbsp;CD, BD.
BEWIJS. Men bewijst eerst uit I, 21, dat BD = B: Vervolgens uit I. 19, dat BD DC gt; BC: gevolgelijk DC gt; EC: waaruit door I. iS. door het nemenbsp;der fom van Z D AC en LBAD, en van Z C A E en 4 E A Bnbsp;het befluit volgt.
.Alle de vlakke hoeken welke eenen ligchamelijken hoek **fimaken zyn kleiner dan vier regte hoeken.
eucl. XI. 21. St. IX. 20.
Bereiding. Men neemt in ieder der ribben AC, AD, AB, een flip c, D, B, zoodanig dat door dezelve hetnbsp;vlak CDB gaan kan: hetwelk dsrhalven met de vlakken
Ff a nbsp;nbsp;nbsp;lags
-ocr page 506-4-i4 nbsp;nbsp;nbsp;Boek: Over de ligchamelijke figuren.
'' langs CA en AD, CA en AB,ABenAD gaande ligchani;lijke hoeken in B, C, D maakt.
BEWIJS, nbsp;nbsp;nbsp;bewijst eerst uit het eerfie Voordel dat de
fom der zes vlakke hoeken [ABC, ABD, ACB, ACD A D C, A D Bj om B , om C, en om D grootcr is dannbsp;de fom der drie hoeken van den A BCD: en dus dannbsp;twee regte hoeken [I. 15.): die fom aftrekkende van dnbsp;fom der hoeken in de driehoeken BAD, CAD, CABnbsp;en de twee regte hoeken van zes regte hoeken die gn'nbsp;lijk zijn aan de laatstgemelde fom (I. 15.), verkrijgt mennbsp;tot beiluit het voorgeftelde.
I, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit Bewij's is eigenlijk gefchikt voor eenennbsp;ligchamelijken hoek uit drie vlakke hoeken bedaande: hoS'nbsp;wel het zelve op andere meer famengedelde hoeken kannbsp;toegepast vimrden. Doch het volgende, door clavisnbsp;voorgedeld, is meer algemeen.
In Fig, 206. zijn de hoeken van alle de driehoeken FVE, FVG, enz. die eenen vlakken hoek uitmakennbsp;en waarvan de zijden EF, FG, enz. in een vlak liggen ,nbsp;gelijk aan twee maal zoo vele regte hoeken, als hetnbsp;grondvlak zijden heeft. Maar alle de hoeken F GInbsp;G F E, enz. van het grondvlak zijn gelijk aan het zelfdenbsp;getal regte hoeken, tram vier (II, 29.); dus zijn alle denbsp;hoeken van gemelde driehoeken gelijk aan alle de hoekeUnbsp;van het grondvlak, plus vier regte hoeken.
Dan, van alle die hoeken in de gemelde driehoeken zij de twee, zoo als G F V, V F E , die eene gemeene ribbnbsp;V F hebben, grooter dan de hoek G F E van het grond'nbsp;vlak met welken zij eenen ligchamelijken hoek uitmaken*nbsp;(1. Voorllel).
Gevolgelijk, dit wederzijds aftrekkende, heeft men d hoeken om den top, dat is, die welke den ligchamel'J'nbsp;ken hoek uitmaken, te famen kleiner dan vier reg^nbsp;hoeken.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit Voofftel geldt flechts wanneer allenbsp;vlakke hoeken die eenen ligchamelijken hoek uitma^^f^nbsp;buitenwaarts gekeerd , of alle uitfpringende, ^ijn ; maarnbsp;200 eenige derzelver uitfpringende, andere infpringe''^nbsp;zijn, Zoo als zulks het eerst is opgemerkt door den ^e
(. Ls SAGE Hijl, de l'Acail, de Paris A. 1756. P*
-ocr page 507-Wij hebben in het XXX. Voorilel van het II. Boek iets dergelijks voor de veelhoeken aangeteekend.
in. VOORSTEL. Fig. 207.
Indien men uit den top [A] van eenligchamelijken hoek ^lit drie vlakke hoeken [BAC, CAD, DAB] beflaaude,nbsp;^ene loodlijn [AP] nederlaat op het driehoekig vlak [BC D] ,nbsp;'^et welk door de (tippen [C, B, D] op ieder der ribbennbsp;gelijke afftanden [AC = A D = ABJ van den topnbsp;genomen, gaat; zal die loodlijn A P op het middelpuntnbsp;''allen van den cirkel, welke om den gemelden driehoeknbsp;[BCD] belchreven kan worden.
bereiding. Trek uit P de lijnen PB, PC, PD: men moet bewijzen dat deze gelijk zijn, het zij het flip P binnen, het zij het buiten en driehoek BCD valt.
bewijs. In de driehoeken P AC en D AP is AC = AD, AP = AP, en L P regt: dus (h 25.) b P PC:nbsp;insgelijks, in aA PAC en PAB, is PC = PB: dusnbsp;PD = P G = P B: en P is het middelpunt Van dennbsp;cirkel om den driehoek befchreven.
Dus ? op AP = ? op AC ? op PC (II. l.Gev.i.)
II.
GEVOLG.
Hieruit blijkt hoe men uit drie gegeven vlakke hoeken, 'vaarvan er twee grooter zijn dan de derde, en die te fatsen kleiner zijn dan vier regte, eenen ligchameiijken hoeknbsp;ttiaken kan.
Want men neme AB AC = AD. Men trekke de gtondlijnen C, CD, B D: en make uit dczelven eenennbsp;Iriehoek (iH. B, der Werkdukken, het I. Werkft,), Mennbsp;IGfchrijve om dien driehoek eenen cirkel (VI. B, 5. Werk-Ihik) waarvan P het middelpunt is. Men rigte uit P opnbsp;^let vlak BCDeene loodlijn PA (X. 4. Aanmerking): nrennbsp;make PA zoodanig dat ? opPA = QopAC qnbsp;P Pc II. 2^5 Werkftuk): nien trekke AB, AC', ADjnbsp;en de vlakken die langs AB,ADen BD;AS, AC ennbsp;C; aC, ad en CD gaan; zullen den gevraagden ligcha-*''elijken hoek uitmaken.
I.
446 XL Boek: Over de UgchameUjke figuren,
I, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Dit is het 23. Voorftel in het Xf. B. vannbsp;EUCLIDES. D. V, 24.
II, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerki^C Dit Voordel gaat niet door voor da hg'nbsp;chamejke hoeken die uit meer dan drie vlakke hoekennbsp;beftaan: om dat, al zijn de ribben (GV, PV, EV,nbsp;DV, IV Pig, 206.) gelijk, de dippen G, P, E, D*nbsp;I niet altijd in n vlak zijn: daar in tegendeel drieftip'nbsp;pen B, C, D CPig* 205), zich altijd in n vlak bevinden. Doch wanneer dit plaats heelt voor den ligcha*nbsp;melijken hoek uit meer dan drie platte hoeken famenge-field, dan heeft dit V^oorllel ook plaats.
L, G. V. 2S. ScM.
IV. VOORSTEL. Fig. 208.
Indien twee ligcharaeliike hoeken [A en F] uit drie vlakke hoeken beltaan , welke onderling gelijk zijn, ieder aan ieder [Z DAC = i EFU: 2 C A B =r i 11FG:nbsp;4 DAB = ZEFG], zullen die vlakken [DA C en GAB,nbsp;EFH en HFG] welke gelijsc hoeken bezitten: dezelfdenbsp;helling op elkander hebben.
L. G. V. 23.
BEREIDING. Men neme op de ribben AC en F H, AI = FM: men trekke uit I op de vlakken DAC cn CABnbsp;op AI de loodlijnen IK en IL: en uit M op de vlakkennbsp;EFH en HFG, op FM de loodlijnen MN en M05nbsp;Dan zijn de ZZ KIL en NMO de helling der vlakkennbsp;DAC en CAB, en der vlakken EFH en HFG op elkander (X. Bep. 5.). Ik zeg dat Z KIL = ZNMO.
BEWIJS. In AA KAI en NFM is (I. 21.) 1. KI ^ NM*. a*. AK= FN. En in AA IaL en MFO is insge'nbsp;lijks; 3. IL = MO; 4*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= i?o. In AA KAL
en NFO is (onderftell.: en N 2 en 4.) doorl. ai. 3 KL = NO: derhalve is in AA KIL en N M O uitnbsp;3, 5 en I. L KIL = i NMO,
V. VOORSTEL. Fig. 209,
Twee ligchamelijke hoeken [F en A] iider uit drie vlak* ke hoeken [GFH, GFI, IFM, en MAD* MAC*nbsp;CAD] beftaande, zijn gelijk; indien, wanneer in heid^^*
-ocr page 509-/. ylfd,: Over de UgchameVtjke hoeken*: nbsp;nbsp;nbsp;44?
vlakke hoek gelijk is, [i G F H r= L M A D] t1e ibben die over die gelijke hoeken (inrn, in beiden, meenbsp;vlak van dien hoek de zelfde helling hebben [Z IFLnbsp;= L CAE]: en het vlak dat langs die ribbe loodregcnbsp;het vlak van den gelijken boek ftaat , denzelven ianbsp;^fiiden in de zelfde rede verdeelt.
Bereiding. Zij IL de loodlijn uit I op het vlak FGH nedefgelaten: trek FL en door L de lijn GLH; vervolgens Ft, I H.
Zij CA = Ff: CE de loodlijn uit C op het vlak MAO nedergelaten; trek AE: dus is (X. Bep. 4.Jnbsp;Z CAE = Z JFL.
Zij MA =: GF: trek door M en E de lijn MED: vervolgens M C, C D
Men moet bewijzen datZ MAC = ZGFIenZ CAD = Z IFH.
Bewijs, In de driehoeken FLI en AEC, is AC S Fit Z CAE = I IFL: L FLI=ZAEC=:L dus 1.nbsp;AE = FL: LI = EC; (I. 22.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
verder Z GFL: L LFH =. Z MaE: l EaD. (onder-fte.) dus (III, 8,)
Z GFL -P- Z LFH: Z MAE Z EAD = Z GFL:
Z MAE Z LFH: Z EAD, of
k GFH: Z MAD = Z GFL: Z MAE = Z LFH:
Z EAD
en dus (Iff. 4t) om dat Z G FH rrr Z MAD is a. L GFL = ZMAEenZLFH=3Z EAD.
Dus is in de AA GFL en MAE,
GF zrMA: FLi=: AE:en Z GFL = Z MAE (N*. *.) dus 3**. Z FGL == Z A ME: en GL = ME, (I. 21,)nbsp;4'. Op de zelfde wijze in AA LFH en EAD isnbsp;LH = ED,
En dus, in AA GLI en MEC, is
LI = EC (No, I,): GL Me (N. 3.)
h GLI = L = I MEC; dus (I, 21.)
5'- MC = GL
6. Op dezelfde wijze: IH CD:
dus is in aa GFI en MAC, GF s=: MA: FI = AC
(bereid): en GI s= MC N'*' 5-
Ff 4
-ocr page 510-448 XL Boek'. Over de Ugchamelijke figuren
7**. L GFI = ^ Mac (I. 26.) en op de zelfde wij2
L IFH =: L CAD.
4 I. GEVOLG.
Hieruit blijkt, dat, om in een gegeven flip A van eeoe gegeven lijn AM, eenen ligchamelijken boek gelijk aan eenennbsp;ligchamelijken hoek F te maken, men niets te doen heeftnbsp;dan uit I de loodlijn JL te laten vallen, FL te trekken,nbsp;vervolgens Z MAD Z GFH, MA GF, AD = FH,nbsp;Z Mae ~ Znbsp;nbsp;nbsp;nbsp;GFL, AEnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;FLtenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;maken:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E, EC
loodregt op het nbsp;nbsp;nbsp;vlak M A Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;riglen:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E C .gelijknbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aan LI
te maken en dan AC te trekken: de vlakken die langs M A en A C, en langs C A en A D gaan, zullen met hetnbsp;vlak MAD in A eenen ligchamelijken hoek maken gelijkaaflnbsp;den gegeven hoek F.
EUCL. XI, 26. L. G. V. 24.
I(, G E V o L G.
Het omgekeerde van dit Voordel, waarvan de waarheid in het oog valt, levert de 3.5 propofitie van euclides XI.nbsp;Boek op: namelijk: ,, indien twee vlakke hoeken, GFH,nbsp; MAD, onderling gehjfc zijn, en men uit de toppen Fnbsp;,, en A twee regte lijnen FI, AC, in een ander vlaknbsp; trekt, welke met de zijden der gegeven hoeken, hoe- ken maken die onderling gelijk zijn: namelijk Z MACnbsp;= Z GFI:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z CAD =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IFH:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;eenige
flippen C en nbsp;nbsp;nbsp;I in die lijnen,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vlakkennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;der gege-
vene hoeken MAD, GFH loodlijnen CE, fL laat val- len, en de dippen daar die loodlijnen vallen met de ,, toppen dier hoeken door lijnen (EA, LF) vereenigt:nbsp; zullen de hoeken EA C, LFI, welke die lijnen met denbsp;,, gemelde loodlijnen maken, onderling gelijk zijn.'
445
OVER DE LIGCHAiIEN DIE DOOR VLAKKE
oppervlakten bepaald worden.
IIL bepaling.
Veelvlakkigt of veelkantige ligchamen (foUde polydre: polydre; polyhcdrtim), worden genoemd alle ligchatne.nbsp;figuren, die uit vlakke oppervlakten famengefteld zyn.nbsp;^ie vJdkke oppervlakten zijn door regte lijnen bepaald.
L. G, VI. def. I.
I. aanmerking. Men noemt die ligchamen, wanneer zij voor het overige, geen bijzondere naam draf en, naar het aantalnbsp;der vlakken waaruit zij beilaan, viervlakkige, vijfvlakkige,nbsp;enz. En het blijkt duidelijk da: geen ligchaam uit minder dan uit vier vlakken kan beilaan: daar geen ligchame-lijke hoek uit minder dan uit drie vlakke hoeken, of zijden, beilaan kan: die, zullen zij eene gelloten en bepaaldenbsp;figuur uitmaken , door een vierde vlak moeten vernigdnbsp;worden.
II- AANMERKING. Meii moGC dan in veelvlakkige ligchamelijke figuren letten , op het getal, en de gedaante der vlakkennbsp;Waaruit zij beilaan ; op het getal en den aard der 'lakkenbsp;hoeken, welke iederen ligchatnelijken hoek uitmaken: opnbsp;het getal van ribben welke de op elkander hellende vlakken daar ftellen: en op den hoek welke twee naastliggendenbsp;Vlakken met elkander maken.
IV. BEPALING.
'Wanneer men een der vlakken, uit welke de ligcbame* %e figuur befbat, voor bnfis, of grondvlak^ aanneemt,nbsp;hoeint men hoogte van de figuur de loodlijn die uit dennbsp;van de figuur op dat grondvlak uedergelaten is: of,nbsp;foo het meest verhevene vlak van de figuur evenwijdignbsp;aan het grondvlak , is de hoogte van de figuur denbsp;bodlijii die tusfehen die twee evenwijdige vlakken begrepen is.
'Aanmerking, De reden blijkt uit de Bepaling. En mcr
Ff5
-ocr page 512-ziet dat het geen men hafts noemt, voor de platte eene lijn, voor d ligchanielijke een vlak is: zoo datnbsp;men in het eerfte geval van grondlijnen, in het laatfte van
grondvlakken fpreekt,
Vi BEPALING.
De inhoud van eene ligchameliike figuur is de ruimte begrepen tusfchen de oppervlakten welke de figuur bepalen: eii gevolgcJijk zijn twee ligcbamelijke figuren gelijk-haltig, dat is, hare inhouden zijn gelijk, wanneer die in-gefloten ruimten gelijk zijn.
I. aanmerking. Anderen dragen de zaak dus voor, Indieil twee ligchamen ieder door viakken , welke beftendig aannbsp;eene hunner oppervlakten evenwfjdig zijn, gedeeld wor-deii; zullen de ligchamen gelijk zijn, w nneer de vlakkenbsp;dr de zelfde fnede in ieder ligchaam gevormd, beftendignbsp;gelijk zijn, ieder aan ieder. Zij befchouvven die vlakkennbsp;wlke door eene dergeike verdeeling geboren worden,nbsp;als zijnde de famcnjiellcnde deelen, uil welke de gegevennbsp;Ugcliamen gevormd worden. Deze redenering komt dannbsp;bier op uit: wanneer de faraenftcllende deelen, welke tweenbsp;ilgchahien uitmaken, gelijk zijn, ieder aan ieder, evenveelnbsp;in getal, en op dezelfde wijze geplaatst, zullen die ligcha-ifrn gelijk zijh. Dit is buiten twijfel: doch op welkenbsp;wijze zal men over de gelijkheid van die j'amenitellendenbsp;dfelen oordeelenp De fchrijvers, van welke wij hier fpre-ken. Hellen dat die dcelen oneindig dun zijn^ om dus dnbsp;Hgvhaincn als uit een oneindig getal vlakken famcngefteld, tnbsp;kunnen befchouweti, het geen mij voorkomt van de ma'nbsp;thematifche naauwkeurigheid afiewijken , en valfche denk'nbsp;beelden inteboezemen, en dus geheel verworpen te moetftnbsp;worden.
It. XI I. A anm. op d 4*
Jt aanmerking, De Wiskunfteraars letten, fn het denkbeeld dst il] zich van ligchamen vormen, alleen op de grootte,nbsp;htnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;plaa.fing der oppervlakten, waaruit di
llghnmeh beftaan, dat is, door welken zij omvat worde en feeizins op het geen de Natuurkundigen ondoordfd'S'^nbsp;itmrheid noemen: waarom dan ook de Wiskuufteraars ve^nbsp;fcheiden ligchamen op het zelfde grondvlak plaatfen, bnbsp;wel zulks voor wezenlijke en ondoordringbare ligcbsnbsp;onmogelijk is,
Afd,: Over de ligchamttntt vhkke oppervlakien. 451 VJ. BEfALING.
. OcUjkvormige ligchamen zijn die, wier vlakken gelijk getal, gejkvormig, en gelijkelijk geplaatst zijn.
SUCL, VI. def. 9. Sr, IX, Bep. 3.
Aanmerking. In gelijkvormige ligchamen zijn dan de even-eensgeplaatste ligcharaelijke hoeken gelijk, en de vlakken hit welke deze gevormd worden, zijn gelijkvormig, d. i.nbsp;de vlakke hoeken zijn in dezelve gelijk, en de zijden omnbsp;die hoeken zijn evenredig : waar door deze bepaling vannbsp;felijkvormigheid met de I. Bepaling van'het IV. JBoek overeenkomt,
VJI. BEPALING.
, Gelijkhaltige en gelijkvorniige ligchamen zijn die, vvel-door gelijkvorniige vlakken, gelijk in getal en in groot' begrepen, of omvat, worden.
eucl XI. def 10. St, IX. Bep. 4.
Aanmerking. Men moet voor de ligchamelijke figuren, even als voor de platte, behoorlijk onderfcheiden tusfcheiinbsp;gelijk, dat is gelijk in alle opzichten, wanneer alle deelennbsp;gelijk zijn, ieder aan ieder, gelijkelijk geplaatst, en, in dennbsp;zelfden rang genomen, ook gelijkelijk op elkander hellen;nbsp;en cusfchen gelijkhaltig te zijn. Dit laaifte geldt voor figuren die, zelfs zeer veel, in gedaante verfchillen. Wij zullen dit verfchil, ook voor de teeUens, beftendig in hetnbsp;oog houden.
VUL BEPALING.
, Een Prisma of Zuil, is een ligcbanm door verlchei-vlakken omvat of begrepen, van welken er twee ge-i'lA en gelijkvormig, over elkander geeld , en ann el-kander evenwijdig zijn. Die twee kunnen bafes, 0^grotid-^^kken, van het prisma of van de zuil genoemd wbrden.
SucL. Xt. def. 13.
St. IX. Bep. 7- h. G, VI. def, 4-I. gvolg.
Vlakken die^ in een pristnn^^ zuil^ d beide grond-'nkkeii verenigEil zijn paralleio^^'^^'hieii^
Immers: om dat de beide grondVlakkeii (Fig. 4ib.) ^BCKH en GIDEF gelijk en evenwijdig zijn , isnbsp;Ah // GF: dus ook AG // HF: dat isAHGFnbsp;en en : n jio toot alie de zijden.
II,
-ocr page 514-452 XI. Boek: Over de ligchanteUjke figuren,
II. GEVOLG.
Naarmate de grondvlakken , driehoeken , vierhoeken vijfhoeken , enz. zijn, wordt de zuil ot het prisma driekantig, vierkantig, vijfkantig, enz. pnoemd. De zui^nbsp;van Fig' 210 is vijfkantig: die van Fig. 222. driekantig*nbsp;en van Fig. 212. is vierkantig.
L G- VI. cief. 8.
m.
GEVOLG.
Het prisma, of de zuil, is regthoekig of fcheefhoekig naar mate de parallelogrammen, die de grondvlakkennbsp;vereenigen, regthoekig^ dat is, regthoeken^ offchetfhoektgnbsp;zijn. Verder, indien het prisma, of de zuil, regtho^'nbsp;kig is, en de grondvlakken regelmatige veelhoeken zijnnbsp;kan men de zuil regelmatig noemen.
St. IX. Bep. 8. L. G. VI. def. lt;5.
IV. G E V 0 L G.
Men kan het prisma, of t' zuil, in zoo vele driekantige zuilen verdeden, als het grondvlak in driehoeken verdeeld kan worden; dat is in zoo vele driehoeken alsnbsp;er zi'kn in het grondvlak zijn, min twee: zoo als Fig*
210. GAHBIF, FBBIEK, IBKCDE.
I, aanmerking. Sommigen befchouwen het prisma, of zuil, als geboren door de evenwijdige beweging vannbsp;grondvlak, volgens eene lijn die, of loodregt, offehuinsnbsp;op de zijde van het grondvlak ftaat : als de moet ,nbsp;fpoor, door eene dergelijke beweging van het grondvlaknbsp;nagelaten.
WOLF, Elem, Math. g. 43.
n, aanmerking Wij zuilen beftendig tot grondvlakken zuilen die vlakken aannemen, welke wij in deze Bepahnbsp;grondvlakken genoemd hebben; doch euglides neemtnbsp;eens een dor parallelogrammen, dan eens een der vlakkv _nbsp;welke de parallelogrammen vereenigen voor grondvlaknbsp;zoo als duidelijk uit de 4 Ptopofitie van zijn XI. 6nbsp;blijkt: eene onderfcheiding , waarop men letten moet onbsp;geene feilen te begaan.
V. gevolg.
// nbsp;nbsp;nbsp;Over de ligcham. met vlakke oppervlakten, 453
^^jhormig zullen zijn, wanneer de grondvlallt;ken gelijkvor-ige veelhoeken zijn, en de opltaande parallelogram men hisgelijks alle gelijkvormig zijn: en dus zullen, wat denbsp;^jden betreft, de zijden van de grondvlakken evenredignbsp;elkander zijn; en de zijden van de opflaande paralle-^gramnien zullen het insgelijks moeten zijn.
Een Parallclepipcdum, of Balk, eene ligchamelijke Fi-SUur, welke omvat of begrepen wordt door zes vlakken, quot;'aarvan die, welke tegen over elkander ftaan, gelijk ennbsp;Evenwijdig aan elkander zijn. Het parallelepipedim wordtnbsp;^ogthoekig (Fig. 212.^ genoemd, wanneer die vlakken allenbsp;J'egthoekig, en dus regthoekig met elkander vernigd,nbsp;2ijn; fcheefhoekig (zoo als MHARDLKNM Fig. 215)nbsp;'vanneer die vlakken fcheefhoekig , en dus fcheefhoekignbsp;Vernigd, zijn.
EUCL. XI. Bcp. 30. volgens fommige uitgaven, St. IX. Uep 5, 6. L. G. VI. def. 9.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Hct blijkt dat het parallelepipedum eene bepaalde foort van prisma is: te weten, een vierkantig prismanbsp;waarvan het grondvlak een parallelogram, of een regt-hoek, is,
I. GEVOLG.
De vlakken, die een parallelepipedum uitmaken, zijn dus parallelogrammen, waarvan de tegenoverftaande gelijknbsp;^jn ; zoo als gemakkelijk en uit deze Bepaling, en uit hetnbsp;^XXl. Voordel van het I. Boek afteleiden is.
L. G. Vi. p. 4-
EUCL. XI. 24. alwaar bewezen wordt, dat, indien een ligchaam iiic evenwijdige vlakken beftaat, de tegenoverftaan-de vlakken onderling gelijk, en parallelogrammen zijn: eennbsp;dergeliik ligchaam wordt in de volgende propofitin doornbsp;ECLinES een parallelepipedum genoemd, zonder verderenbsp;Voorafgaande bepaling.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Men ziet hieruit hoe men de zes regthoe-ken, waaruit een Tegt\sr)ek\gparallelepipedum gevormd wordt.nbsp;Op het papier moet dellen op dat dezelve alleen doornbsp;otnvouwing \iet parallelepipedum zonden uitmaken: men fteltnbsp;tamelijk (Fig. 211.) vier regchoekige parallekgr ammen onder
454- nbsp;nbsp;nbsp;Bock: Over de ligcfiamelijkc figuren.
der elkander: hec eerde en hec derde plijk aan elkander; het tweede en het vierde insgelijks gelijk aan elkander. Ver'nbsp;der ftelt men aan elke zijde van het tweede een andernbsp;die elkander gelijk zijn: dan worden hec eerde en derdenbsp;twee zijden, het tweede en vierde de onderfte en bovenUenbsp;oppervlakte; waar door hec vijfde en zesde of de twenbsp;overige zijden van zelven volgennbsp;liet zelfde heeft plaats voor een parallelepipedum, da^nbsp;niet regthoekig is: behalven i, dat dan de paraUelograinifi^^nbsp;N. i en 3, insgelijks Nquot;. 2 en 4, niet alleen onderlingnbsp;gelijk, maar ook gelijkvonnig zijn moeten: 2. dat dannbsp;zoo dra de grootte en gedaante dier parallelogrammen, N ^nbsp;en 3, N. 2 en 4, bepaald is, zoo als de helling vaUnbsp;K. I en 3 op hec vlak van N. 2, de parallelogram^nefnbsp;]M. 5 en 6 ook bepaald zijn; hunne zijden immers zijn dinbsp;van N. 2. en N. 3, en de hoeken die welke de zijde**nbsp;der parallologrammen N. i en N. 3 na de oinvouwic^nbsp;met hec vlak van N. 2 uitraaken.
III. AANMERKING. Somffligen befchouwen een paralkkpipedu^ als gevormd door de aan zich zelve evenwijdige bewegingnbsp;van een parallelogram, dat voortgaat, beftendig met eennbsp;beptalden hoek hellende op het vlak waarop het zich even'nbsp;wijdig aan zich zelven beweegt,
II. GEVOLG. Fig. 214 en 215.
Men zegt dat een parelklepipeclum uit drie lijnen [AN N K, N M] , gemaakt wordt, wanneer het grondvlak eenbsp;parallelogram is, uit twee derzelve gemaakt, en de uP'nbsp;ftaande parallelogrammen ieder uit eene van die tweenbsp;en uit de derde gemaakt worden: doch als dan verfchd'nbsp;len de parallclepipeda uit de zelfde lijnen gemaakt, naa*^nbsp;mate van de ongelijkheid der hoeken van de gemelde p'nbsp;rallelogrammen. Gevolgelijk is een parallelepipedum.,nbsp;drie gegeven lijnen gemaakt, niet van eene beltendige grool'nbsp;te of inhoud , ten zij de grootte der hoeken, zoonbsp;van het grondvlak als van de opftaande parallelogra****nbsp;men , bepaald en gegeven zij Daar nu regte hoeke**nbsp;alle geli)k aan elkander zijn , volgt het dat een regth^^'nbsp;kig parallelepipedum uit drie gegeven lijnen gemaakt,nbsp;beitendige en gegeven grootte heeft.
iV. aanierking. Dit Gevolg heeft veel overeenkomst ^ fj het geen in het 11. Boek, I3ep, 5. Aanm, 3. gezegd*nbsp;wegens de parallelogrammen en regthoeken. Doch bij
-ocr page 517-werdt maar van twee lynen gefproken, die genoeg zijn voor eene vlakke figuur, alleen uit lengte en b eedte bellaande :nbsp;hier wordt er van drie lijnen gefproken, die bij eene lig.nbsp;chamelijke figuur, welke lengte, breedte, en dikte, d. i.nbsp;drie afmetingen, heeft, vereischt worden,
III. GEVOLG. Fig. 212 CH 214.
Indien twee paralielepipeda onderling gelijkvormig zijn, moeten de eveneensgeplaatste hoeken der parallelogram-nien, uit welke zij beftaan, gelijk, en da drie lijnen waaruit zij gevormd worden, evenredig zijn.
Want door de bepaling moet men hebben: a AG cnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AK; ^ AFnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CJ AM;
en d H E o CJ nbsp;nbsp;nbsp;N L:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ook
AH: AN = nbsp;nbsp;nbsp;HG ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;NK :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
HG: NK = nbsp;nbsp;nbsp;HF :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;NM:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;(17.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i. Bep,)
HF: NM = AH : AN: 5 dat is
AH ; HG : HF = AN : NK ; NM.
En twee regthoekige parallelcpipeda zullen gelijkvor-mig zijn, wanneer de drie lijnen waaruit zij beftaan evenredig zijn.
Dit Gevoig komt overeen met ecl. XI. 27.
X. BEPALING.
Indien de zes parallelogrammen waaruit een parallde-pipedum beftaat, vierkanten zijn, en dus onderling aan elkander gelijk; wordt de Figuur een Cubus, of Taerling^ genoemd.
L. G. VI. def. 10.
I. GEVOLG.
Een Cubus van, of op, eene lijn, is dus een Cuhus '''[aarvan de hoogte de gegeven lijn, en het grondvlak litnbsp;Vierkant op de gegeven lijn is: een Cubus viorit dusnbsp;hit eene gegeven lijn, of liever uit drie gelijke lijnen,nbsp;ffigthoekig gevormd , even als een parallelepipedum uitnbsp;drie ongelijke lijnen, die ook fcheefhoekig nderlingnbsp;mmengefteld worden.
BUCL. sa. def. as. St. X. def. 9.
II.
-ocr page 518-455 XI, Bock: Over de ligchamelijke figuren.
11. GEVOLG.
Alle Cubi zijn onderling gelijkvormig. (IX. Cep. 3 Gev.)
X[.
BEPALING. Fig. 212.
De lijnen [BF, AE] welke in een prisma, of in parallelepipedum uit een' der ligchamelijke hoeken naar t^-genoverge/ielden getrokken woorden: dragen den naam vannbsp;diagonalen.
L, G, VI. def IS.
Fig. 212.
VI. VOORSTEL.
Indien men een parallelepipedum [VE] deelt door ee vlak, dat door de diaaionalen der tegenover elkander (laaiiquot;nbsp;de parallelogramm'n [ilD en GF] gaat; zal het zelve innbsp;twee gelijke en gelijkvonnige deelen verdeeld worden.
Euci. XI. 28. L. G. VI. 6.
BEWIJS. Uit I. 31. en het I. Gevolg van de IX. Bepaling.
I. GEVOLG.
De twee deelen waarin het parallelepipedum op _ die wijze verdeeld wordt j zijn driehoekigenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, of zuilen.
(VIII. Bepaling).
aanmerking. Het vlak BDFG gaande door de diagonale'' H D 9 EG der C/ CZJ ABCD. HGEF, gaat ook dootnbsp;de aan elkander tegenoverge(lelde, en onderling even wij'nbsp;dige ribben B G, D F: waarom fommigen dit Voorde^nbsp;aldus uitdrukken: het vlak dat door de tegenoverge'nbsp;,, flelde, en onderling evenwijdige ribben gaat, verdeel^nbsp;j, het parallelepipedum in twee driehoekige prismas.
If. GEVOLG.
Dus is een driehoekig prisma de helft van een pafd^' klepipedum, wiens grondvlak het aangevulde parallelogr'^nbsp;van het grondvlak van het prisma is, en wiens opBaaquot;'nbsp;de vlakken de parallelogrartimen zijn van het prisma,nbsp;ke op de zijden van deszelfs grondvlak ftaan, en de zel'nbsp;helling op het grondvlak hebben.
III GEVOLG.
Indien men de diagonaal BF van dit vlak
Af(h: Over de ligchain. met vlakke oppervlakten. 45;^
men dezelve als de diagonaal van het parallekpipedutn ^nzien: zoo als ook de lijn van den hoek A tot den hoeknbsp;^ getrokken, diagonaal zijn zoude : en het is niet mindernbsp;klaarblijkelijk, dat deze diagonalen zich in dn (lip ontmoe-.''! en zich aldaar in twee gelijke deelen fnijden; gelijk ook,nbsp;men, zoo als inFignur2i7, vlakken PVXM, aUTlynbsp;door het midden der tegen over elkander ftaandnbsp;yden liet gaan, de gemeene fneden dier vlakken en de diago-JJ^jen zich onderling in het gemelde Itip in twee gelijke deelennbsp;quot;Jden zouden.
VIL VOOK-ST EL. Fig. 213.
Indien een pnralkltpipedum [BFj, door een vlak [GC] pHieden wordt dat evenwijdig is aan de tegen over elkander ftaande vlakken [BH, LM] zullen de deelen [BG,nbsp;'^L)] tot elkander itaan als hune grondvlakken [IG, GMj.
EUCL. XI. CS.
bereiding. Men verlenge de lijn HGF, INM Wederzijds : cn neme in dezelve een getal deelen , ieder gelijk aan H G aan den eenen, en ieder gelijk aannbsp;GF, aan den anderen kant: Men volmake de CU CUnbsp;PH, UQ enz., FE, Ec enz. zoo als ook de ligcha-nien MH, RQ, FV, Vc enz. welke alle gelijke paral,nbsp;hlepiptda zijn zullen (9. Bepaling) en alle Hechts, als hetnbsp;Ware , de verlenging van het gegeven parallelepipedwn uit-haken.
Ewi]s. Uit het 3. Voorftel van het III, Boek.
aanmerking. Het is volftrekt het zelfde bewijs als dat van het Vl- Voorflel van het IV. Boek: en men ziet dat beidenbsp;Voordellen ook van den zelfden aard zijn. Zij hebbennbsp;I*st zelfde onderwerp, doch het eene dient voor de drie-Iioeken of parallelogrammeii, het andere voor de parallels-pipe da-
VIII. VOORSTEL. Fig* 214, 215.
^arallelepipeda [MB, NE] op het zelfde grond.
Baan [KLMN] , en de zelfde hoogte hebben, e7i Jfs tuslchen de zelfde evenwijdige vlakken begrepen zijn,nbsp;gelijkhaitig.
euce XI. 29, so. St. X. 2. - L. G. Vl. 9.
458 XL Bock'. Over de Hgcftamelijke figuren.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVAL. Fig. 214. Wanneer de paraelogrammen
en NIFM zoo als ook de parallelograminen 13 D L K KCEL. van de beide paralleUpipeda in de zelfde vlakke^nbsp;ftaan; en alleen de parallelograumien ICKN euAliKNnbsp;EFLM eu HDLamp;'I in verfchiliende vlakken zijn.
bereiding. Zij OP de geineene fnede der vlakken MHD^ eiilCKN.
BEWIJS. Men bewijst eerst dat het prisma AI3CINK het prisma flDEFML in alle opzigten gelijk zijn, oinnbsp;zij uit gelijke en op dezelfde wijze geplaatfte vlakkennbsp;ftaan: het geen uit II, i. bewezen wordt: en dan wor^^nbsp;het Voorftel opgemaakt met van die gelijke prismatanbsp;gemeen ftiik, hex. pgt;risma HDCIOP, aftenemen, en ernbsp;gemeen ftuk, het prisma LMNKPO, bytevoegen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVAL. Fig, 215, Wanneer niet alleen de CPJnbsp;ICKN en FE LM in andere vlakken (laan dan de irdnbsp;ABKN en H D L M, maar ook de zr? z=? N J F Mnbsp;KCEL in andere vlakken ftaan dan de CJ CD
en BDLK: zoo dat hex parailelepipedum NE, ten eP' zigte van hex parallelepipedum MB , aan beide^kanten heU '
BEREIDING. Men verlengt de lijnen EC, FI, AB, HD zoo dat zij zich in P, Q, R, O fnijden; waar door ee*nbsp;paralkkpipedutn P Q R L M O N geboren wordt, dat met bC'nbsp;trekking, zoo wel tot het paraltelcpipedum M B, als totnbsp;paralkkpipedum NE, in het eerfte geval ftaac.
'BEWIJS. Uit het eerfte geval,
I. AANMEitKiNG. De redcii van de gevolgtrekking en du^ het Voorftel vermeld, blijkt uit X, 7. het I. Gevolg ennbsp;Bepaling van dit Boek.
I, aanmerking, Men ziet dat het bewijs van het eerfte ^' val juist het zelfde is, en op de zelfde gronden (leunt, j .nbsp;dat van het XI. Voordel van het II. Boek, behaivennbsp;hier van paratielepipeda, daar van parallelogrammeii gefp'*^nbsp;ken wordt.
gevolg.
Een fcbcefhoekig paralMepipedum is gelijkhakig ftjg een regthoekig, dat op het zelfde groiidvfak ftaat,nbsp;zelfde hoogte heeft: en dur, zullen in dit parallcUf fnbsp;dim de zijden van de pni'allelogrammen, welkenbsp;iiig op het grondvlak ftaan, gelijk zijn aan de hoogte
-ocr page 521-Afd,: Over de Ugcham, met vlakke oppervlakten. 459
at fcheefhoekig parallclepipedum , dat is, aan de lood. yn die tusfcheii het grondvlak en de bovenft oppervlaktenbsp;beide parallelepiptda begrepen is.
^etrallelepipeda die op gelijkhaltige grondvlakken [EGj A O] ftaan, en gelijke hooate hebben, zijn gelijklialtignbsp;elkander.
SUCL. :xi. sr. ~ St. X L. G. VI. lo.
eeiding. 1. Men verJenge FG zoo dat GM gelijk 2*j aan de grondlijn van het parallelogram A O.
2. Stel op GM het CJ GK en CH AO; door M, PMQ en Voltooi de CJ CJ GP en LM;nbsp;dan is lm 00 /r7 GK 00 ZZ7 AO.
3. Men flelle dat er op GK een parallehpipedum ftaat gelijk en gelijkvorinig aan het pardlletepipeaum op A O inbsp;en dus van de zelfde hoogte als het parallelepipedum opnbsp;EG: en dat er insgelijks op L M en G P paralhlepipcdtinbsp;van de zelfde hoogte zijn, en waarvan de opftaande pa-rallelogrammen volgens de lijnen CGL, PMQ, CP ennbsp;LQ ftaani
hEwijS Uit het Vjf, Voorflei , eerst voor de paratlelepi-peda op E G en op C M, dan voor de paratlelepipeda op en LM, genomen: dan volgt uit Ul. 10 en III. ii,nbsp;dus gi op E G: Q] op G Q quot;= C3 EG: C7 G Q;nbsp;blaar CZl EG co CJ GQ fonderft.^ dus Q) op EGnbsp;^ Qi op G Q; maar Q! op G Q en op G K kunnennbsp;befchouwd worden tot grondvlak te hebben bet aan hunnbsp;gemeen parallelogram uit GiM, terwijl de hoogte vannbsp;Mde de zelfde is: derhalve door Voorft. VIll. Q) opnbsp;GlC co Q1 op EG; waaruit het befluit volgt.
GEVOLG.
'j'dukig is met het grondvlak van het gegeven paralleU
nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f.j
V ParaUehpipedum ^ is altijd gehjkhaltig aan en regt-oekig parallelepipedum dat op een gelijk grondvlak Oaat, de zeilde hoogte heeft. Zoo _ dat de maat van alle'nbsp;^\'^^lelpipcda, hOQ genaamd^ berlehl wordt tot die Vatnbsp;hoekig parallelepipedum , waarvan het grondvlak
pia
400 XL Boek: Over de UgchameUjke figuren.
pipedum, eii de zijde der regcopdaande parallelogrammsu de hoogte vaa het gtgQ\ien.^parallelepipcdum is.
L. G. VI. II.
X. VOORSTEL. Fig. ai6.
De inhouden van parallelepipeda die de zelfde hoogi hebben, ftaan in de zelfde rede als derzelver grondvlaklt^i*nbsp;eucl. xr. 32. St. X. 4. L. G. VI. 13.nbsp;bereiding. Deze is de zelfde als voor het IX. Voordel.
BEWIJS. Uit het IX. Voordel. VII. Voordel, twee maal g*' bruikc: en uit III. ii.
Fig. ai8.
Parallelepipeda [P en Q] die op gelijke grondvlak!''^' ftaan, zijn onderling in de zelfde i'ede als hunne hoogte**
BEREIDING. Men deile dat het regthoekig parallclepipedu^^ HGC gelijkhaltig zij aan het gegeven parallekpipedj-im P'nbsp;men neme op HA, Hl gelijk aan de hoogte van net gs'nbsp;geven parallelepipedum Q : men trekke het vlak I K Enbsp;aan het grondvlak HMFG: dan is het regthoekig ^nbsp;HE gelijkhaltig aan het gegeven parallelepipedum Q.
bewijs. Uit het VII. Voordel is Q) HE; QI = O HK: o IB en derhalvenbsp;O HE QI IC: O HE = a FIK ? I'nbsp;O HK: d. i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
? HK: = HA:HI. CIV. 7).
fa*
Verfchiileiide parallelepipeda liaan tot elkander in niengedelde rede van de grondvlakken en de hoogten.
St. X. 3- L- G. VI. 14.
BEREIDING. Mcii delIc dat het regthoekig paralklepip^X HGC, gelijkhaltig zij aan het gegeven parallelepipedum^nbsp;en het regthoekig parallelepipedum P N O aan het 20nbsp;Zzgovoo parallelepipedum Z, (VIII. Voord., Gev.).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I
Men neme op AH, Hl =: PN; en delle dat doot het vlak IK EL evenwijdig aan HF, en dus aan IlDgt;
-ocr page 523-BEvvijfs. Uic het X. en XI. Voordel en III. lo.
aanmerking. Het X. en XI. Voordel zijn bijzondere ge. vallen vnn dit; doch dit kan niet bewezen worden zondernbsp;dat de beide voorgaande het zijn. Wij hebben reeds tenbsp;Voren meer dan n dergelijk voorbeeld ontmoet, inzonderheid in het VHU. Voordel van het IV. Boek, dat juistnbsp;liet zelfde is als dit,behalven dat daar van parallelogramminnbsp;En dus van grondlijnen, hier van paralkkpipeda en dus vannbsp;Ondvlakken, gefproken wordt.
I. GEVOLG.
1'idien verfchillende parallelepipeda gelijldialtig zijn, fiaan erzeiver hoogten in omgekeerde rede van de grond-''laklien.
noen, xr. 34. St. X. 6.
I- aanmerking. Eclides bewijst dit regtftreeks , bijna op de zelfde wijze als de 23. propofitie van zijn VI. Boek,nbsp;Zoo als in IV. 8. Aanm. 2.gezegd is; hij,maakt eene dergelij-ke bereiding als wij gemaaitt hebben: er zij dan een paral-Iclepipedum Q, gelijkhaitig aan het parallelepipedian AFnbsp;waarvan g het grondvlak, h de hoogte is ; en zij in hetnbsp;ander parallelepipedum I F, I H =; hv dan isnbsp;parallclep. IF: Q = HF : g: ofnbsp;parallelep. 1F: parallelep. AF =; HF : g: maarnbsp;parallclep. IF: parallelep. AF =: IM: AM s IH: AHnbsp;dus HF: g = Ui: AH.
11. GEVOLG.
Indien het grondvlak H F tot het grondvlak N O Haat als m x : l, en indien de hoogte van het pa-^'ollclepipediim AF, h malen de hoogte van het paral-^^lepipcdtim Z bevat: heeft men parallelepipedum AF:nbsp;P^gt;'allelepip. Z m yen i en dus (IW.^xioma 3 ), in-^'Eii tueu \-\^t parallelepipedum Z voor de eenheid aanneemt,nbsp;voor de gemcenc maat,'is het getal, dat den iiilioudnbsp;'^'^n het parallelepipedum AF uitdrukt, gelijk aan m x nnbsp;^ dat is: het parallelepipedum AF zal zoo vele pa-\allelepipeda gelijk aan Z bevatten , als er eenheden zijnnbsp;in het getal m y. n x h.
Men neemt doorgaans tot paTalklepipedum Z, hetwelk Eit maat dient, of voor eenheid gebruikt wordt, niet alleennbsp;^n regthoekig parallelepipedum , waarvan de reden uit het
Gg 3 nbsp;nbsp;nbsp;ge-
4(52 XI. Boek: Over de ligchamelijke figuren.
If;i'
gevolg van liet IX. Voorftel blijkt; maar zoodanig waarin tevens _cie zijdtn van liet grondvlak onderlingnbsp;lijk zijn, dat is, welks grondvlak een vierkant is; waaf'nbsp;van de reden uit het i. Gevolg van IV. 9. genoegzaa^inbsp;kennelijk is; en welks hoogte gelijk is aan de zijde vannbsp;grondvlak: dat is, men neemt voor de maat vannbsp;^nralkleptpeda, voor de eenheid om derzelver ligchain'nbsp;lijken irihoud te meten, een Cubus, of eene l'aerlii'S'nbsp;waarvan de zijde die eenheid is, welke tot het meten dernbsp;zijden AH, HG, GF gebruikt wordt, dat is de length'nbsp;eenheid', bijv. n duim, n \oet, ne roede enz ;nbsp;rnen r.emt dien Cubus de Cubicke-eenheid , om dezeWnbsp;te onderfcheiden, zoo wet van de lengte eenheid, d'nbsp;ter meting van afdanden, of lengten, dient, als van di^nbsp;yierkantc eenheid, die ter nicdng van vlakke figuren g*quot;'nbsp;hfujkt wordt, Dus, indien liet parallelepipedtm AF i?nbsp;voeten bedraagt, zal dit getal 10 Cubicke voeten aantH'nbsp;den: dat is, dat het gelijk is gaif lo Cubi wier zijdt^i*nbsp;ieder neu voet bedragen.
III. nbsp;nbsp;nbsp;G E V O L O.
Hieruit volgt, dat enkele en Cubieke enheden van vef' fchillendc benaming tot elkant'er flaan als het getal od'nbsp;derdeelen , die de enkele nheid bevat, tot den Cubid'nbsp;of de derde niagt, van dat getal: dus behelst n voetnbsp;duimen, n vierkante-voet sa maal la of L.f4 vierkan^tnbsp;duimen, en n cuhhke voet, 12 maal la maal 12, ^nbsp;1728 cubieke duimen. Dit is het geen ruclidrs innbsp;a. propolitie van zijn Vtil. Boek bewijst: dat namedj'^^nbsp;een Cubiek getal tot een Cubiek getal Ibac in de driedti'nbsp;belde rede der zijden.
III. AANMEisKiNG. Meii zlet hieruit, hoe men met (Vn.'liep. 17.' het promicc van drie getallen eennbsp;melijk gerat {numerus folidm'y noemen kan , waarvannbsp;getallen die hetzelve voortbrengen de zijden zijn: datnbsp;Chamelijke getallen in de fainengellelde rede ftaannbsp;wortelen: en dat gelijkvormige ligchamelijke getallennbsp;ge zijn wier wortels evenredig zijn.nbsp;noen. Vil. Bep. 2i.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Uit het tweede Gevolg blijkt, hoe en in welken men zeggen kan;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p
-ocr page 525-II. AfJ.: Over de Ugcham, met vlakke oppervlakten, 463
1. Dat de vermenigvuldiging van drie lijnen het regt-^oekig pnrallelcpipedum op dezelve gemaakt, uitdrula; 611 gevolgelijk, boe eene rede mt drie reden latncngtlleldnbsp;door bet regthoekig paralkhpiptdum van die lijnen, vvel-de enkele reden uitdrukken, en eene driediibbelde redenbsp;duor den cubus op eene lijn, aangewezen worden, en daar-*^*ede overeenkomen.
L G VI. 14.
z. Dat de inhoiul van een paraUcleplpjedum uitgedrukt ^an worden door het product van het grondvlak vertne-dgvuldigd door de hoogte, en dat dit overeenkomt metnbsp;Gevolg van ons IX. V^oorfie!.
En insgelijks 3. dat de inbond van een Cubus uirge-dnikt kan worden door de derde inagt, of den Cabas, '''an deszelfs zijde.
Voor het overige kan men hierop toepasfen het geen in 5-Aanmerking op het IX. Voordel van het IV. Boek gezegd is.
V, nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Zoo dan het getal eenheden, waar door de inhoud van een Cnis _ iiitgedrukc wordt, geen Ctddck getal is, is de zijdenbsp;van dien cubus altijd onmeetbaar met betrekking tot de eenheid die de lengte meet.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien men de inbonden van twee paralklepipeda door ^ en r, cc grondvlakken, door G en g, de hoogten doornbsp;E en h uitdrukt, is ons Voordel dit
I : / = G X H ; ^ X /;:
en dus
1, Zoo het grondvlak onmeetbaar is tot het grondvlak, of de hoogte tot de hoogte, doch niet beiden te gelijk,nbsp;Zullen ook (UI. Boek, I3 Bep Gev. i.) de inbondennbsp;1 en i onderling onmeetbaar zijn t dat is, geene ligchame-lijke ruimte zal derzelver gemeene maat kunnen Zijn.
. Indien en hoogte en grondlijn van beide de paral-Iclepipeda onderling onmeetbaar zijn, kan de rede van de inhouden I en i meetbaar zjn.
Ihjv. inJien men in fig. nbsp;nbsp;nbsp;O op AF: ? op
BE = 15; Vo, zoo als wij te voren IV. 9. Gev. lo.
Gg 4
-ocr page 526-464 XI. Boek: Over de UgchaineUjke figuren,
Nquot;. 4. op b). 17(5. gezegd hebben; en men op die beide vierkanten paralldepipeda ftelt waarvan de hoog'cn zipnbsp;als Vo' y dus onderling onmeetbaar; zullen disnbsp;parallelepipsda tot elkander liaan als 15X K 5: V'o xnbsp;of als 15 X y'5: y igo, of als 15 X VS' VX. V5nbsp;=_ 15 = 5:2; en dus zijn die parallelepipedsnbsp;onderling meetbaar.
s'*. Cubi kunnen onderling onmeetbaar zijn : en dit heeft altijd plaats wanneer de lijnen, op welke zij gefield worden, onmeetbaar in lengte, doch meetbaar ionbsp;magt zijn; bij voorbeeld, de Cubi, welke op de diagonaal en op de zijde van een vierkant gemaakt worden?nbsp;zijn onderling onmeetbaar: doeh Cubi zijn onderling meetbaar als zij^ gefield worden op lijnen die, of in lengtsnbsp;meetbaar zijn, of aangewezen worden door getallen disnbsp;3
Y genoemd worden van een getal dat geen Ciibiek ge-3 nbsp;nbsp;nbsp;3
tal is, zoo als door V' 2, of 3; enz.
XIII. VOORSTEL,
.Gelijkvormige paralkhplpeda , zoo als ook alle Cubi, (laan tot elkander iii driedubbekle rede hiiimer eveneeiiS-ftaande ribben.
St. X.
ECL. XI. 33.
bewijs. Uit het XIL Voordel, IV. 24. Gev. i. en llllt; II, 15.
AANMERKING Wij hebben in de A.mimerking op de iScie Bep. van ons IIi. Boek gezegd dat die uitdrukking drie-dubbelde redt, in den eerften opilag, eene andere beteekeoi^nbsp;bij EUCLiDEs fchijnt te hebben dan bij ons: en wij hebbennbsp;in de Aanmerking op het XV. Voorfiel van dat zelfdsnbsp;Boek getoond hoe beide die beteekenisfen in de daad overeenkomen. Volgens de beteekenis, door eoclides aan hetnbsp;woord driedubbelde rede gegeven, moet men bewijzennbsp;dat de beide gegeven paral'elepipeda, het eerfie en hetnbsp;laatfte zijn van vier gedurig evenredige parallelepipeds:nbsp;en dat, boven dien, het eerfie en het tweede in de zelfde rede ftaan als de eveneensftaande ribben der twee gs*nbsp;gevene.
Men ftells dat gegeven zijn de twee gelijkvormige parar^
-ocr page 527-II. Afd.: Over de ligcham. met blakke oppervlakten. 465
lekpipeda 31 en 3^: en dat de twee lijnen die de paral, lelogrammen uitmaken welke de gelijkvormige grondvlakken ziin ven 31! en gt; uitgedrukt worden door g ennbsp;a j Ij en d : en de zijde van het opftaande parallelogramnbsp;in ieder door a en d-, men flelle twee andere parallele.nbsp;pipeda '25 en (C beide gelijkhoekig met 3JI en dus ooknbsp;niet 55; laten a, a, en hl de ribben zijn van 25; ennbsp;d, H, en hl de ribben van ; dan hebben parallelepipe-da % en % de zelfde hoogte, indien men de parallelo-grammen uit a en 0, a en rl voor grondvlakken aan*nbsp;neemt: insgelijks hebben de paralleleptpeda 25 en, ^nbsp;dezelfde hoogte, indien de parallelogrammen uit a en a,nbsp;en uit a en d de grondvlakken zijn, en eindelijk hebben de paralleleptpeda C en 3D de zelfde hoogte, zoonbsp;men de parallelogrammen uit a en d en b en d voornbsp;grondvlakken aanziet: dus is door Voorftel X.
2C: 25 nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hr:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit n en = :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h?
23: lt; nbsp;nbsp;nbsp;CDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uit a en d = a:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d
: 35 nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b en d = a: b
Maar om dat amp;e nbsp;nbsp;nbsp;parallelepiped anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en 35 gelijkvormig zijn 3
is (Bep. IX. Gev. 3.):tl=a:d = a:b en dus is 3J1, 25, , : dus ook (ill. 15.)
: 25 = h: d^ = a: b i dat bewezea
moet wordeii.
I. GEVOLG.
Dus komt de cubs op eene lijn overeen met het geen Wen de derde magt van eene lijn noemen kan; dat is.nbsp;Wet de derde magt van het getal dat de lengte van dienbsp;lijn uitdrukt. Zie Jlf. Boek, Bep, 4, en het 4. Gevolgnbsp;Van het voorgaande Vooillel.
II. GEVOLG.
Indien vier lijnen evenredig zijn, zullen de gelijkvop Wige parallelcpipeda op dezelve gelijkvormig gefield, ins.nbsp;Selijks evenredig zijn, en omgekeerd. (Uit dit Voorftel ennbsp;Hf. 10. Gevolg I.).
XI. 37.
III. gevolg.
Uit dit Voorftel, vergeleken met het 2 en 3de Gevolg valk XII, Voorftel, blijkt, in welken zin euclides heeft kun-
nen
Gg 5
4.66 XL Boek: Over de ligehamelijke figuren.
nen zeggen in de i9gt; propofitie van zijn VJII. Boek, 3- gelijkvormige Bgchamelijke getallen in de driedubbelde red? ,, (laan hunner eveneensftaande zijden; en prop. 27 dat znbsp;,, iiaan als esn Cubiek.getal toe een Cubiek getal.'
IV. o E V o r. G.
7..00 drie lijnen gedurig evenredig zijn , is het parallelep' /ler/wtK , dat uit deze drie lijnen gemaakt wordt, gelijkhaltig aaHnbsp;bet gelijkzijdig parallelepipedum dat uit de middeille geraaakrnbsp;wordt, en gelijkhoekig is met het eerstgeraelde: en dusnbsp;ook de cuus op de iniddclftc lijn gelijk aan het regthoekignbsp;parallelepipedum uit de drie lijnen famengefteld.
EUCL, XI. 36. St. X. pr. g,
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Hieruit volgt dat , om een regthoekig parallelepipedum te maken gelijkhaltig aan een gegeven cubin (waarnbsp;van de zijde is b^, men Hechts eene lijn a naar willekeurnbsp;behoeft te .nemen, en eene derde evenredige c daar aan ennbsp;aan b te zoeken : immers dan is lt; : i ^ ; c: ennbsp;derhalve, door dit Gevolg, parallelepipedum uit a, b, c,nbsp;gelijkhaltig aan cubus op b. ie oplosfing doet tevens ziennbsp;dat men een onbepaald getal parallelepipeda maken kan,nbsp;die alle met een* gegeven cubus gelijkhaltig zuilen zijn.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Indicii mei) op een gegeven vierkant (,a^)
een parallelepipedum wilde maken, gelijkhaltig aan een ge' geven cubissnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;van welk parallelepipedum, derhalve,
men enkel de hoogte (v) te bepalen heeft: zoude men eerst de rede der vierkanten van de twee gegeven lijnennbsp;(! en bquot;) door twee reg'te lijnen uitdrukken (V i5.Gev.); datnbsp;is5 zij a^ ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ g; h'. dan is rt X x; X ^ g X x
h X b; maar x x zo b^ door de oiiderftelling: dus h . b zo g . X of g; h = b\ x: dat iSj men neeintnbsp;eene vierde evenredige aan de twee gevonden lijnen g, knbsp;en aan de zijde b van den gegeven cubus.
lil. aanmerking. Indien het grondvlak van het gezocht parallelepipedum niet een gegeven vierkant , maar een regt'nbsp;hoek is, waarvan gegeven zijn de zijden d en ei zonde mefnbsp;eerst eene middelevenredige ^ nemen tiisfchen d en e oni tnbsp;hebben = d . e: en derhalve . x zo . v x, ofnbsp;gezochte parallelepipedum: zoo dat dit geval tot het voof*nbsp;gaande herleid wordt.
ll. Afd.'. Over de ligcham. met vlakke oppervlakten. 47
op de eerfte tot dien op de tweede, als de eerfle lijn de laatfte; (Uit dit V^oorftel en III. 15).
V. AANMERKING. Hietiiit b'kt in welken zin euclides heeft kunnen zeggen (VUI- Doek, 19 en 21 prop.) dat ernbsp; tiisfchen twee gejkvormige iigcl amelijke getallen tweenbsp; middelevenredigen vallen: en omgekeerd; dat, indien ernbsp;,, tusfchen twee geialien twee middelevenredige vallen, dienbsp; getallen gelijkvormige ligchamelijke getallen zijn.
V. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING, Hieruit volgt verder dat het vermaardenbsp;vra;;gftuk; om een' cul'us te vinden -ivclke het dubbeld zijnbsp;van een' gegeven cuhus, op dit vraagftuk uitkomt, twee
' middelevenredige te vinden tusjehen twee hjnen waarvan de tweede het dubbeld is van de cerjie. Immers zij tr b ^ X, y, 2 01 dan is door dn Gevolg : xnbsp;^ b. 1 b ~ 1 : a: en derhalve x rs a . Maarnbsp;het vraagftuk om twee middelevenredige tusfchen tweenbsp;grootheden te vinden, is in den ftriktften geometrifcheanbsp;zin onoplosbaar. Zie daar over Werkllukken Hl. 9nbsp;Aanm. a. en hier onder Voorflei XXXVf, Aanm.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Ilct maksii vaii een cubus gelijkhakig aan
een gegeven regthoekig pavallelepipcdum, hangt insgelijks af van het vinden van twee middelevenredige ; want zij xnbsp;de zijde van den gezochcen cubus, en laten aquot;, b, c de lijnennbsp;zijn waaruit het gegeven parailelepipedum gemaakt is: dannbsp;(s A 00 a.b.c. Men ftelle verder a: d d-, i^,dac is, mennbsp;neme eene middel evenredige tusfchen /aenZi; danisnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;CX)
: derhalve 2. co a . b . c cp c: Dat e en f twee middelevenredige zijn tusfchen d en c: dan is 3. d:nbsp;e =3 :'=;: c, en derhalve (Hl. 15.1 4. d . c ~ d^ :nbsp;e^: waaruit volgt i. f,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en derhalve uit 20. acS
VII. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING Het vervaardigen van een cuhus wiens in-
houd gelijk is aan de lom der inhouden van twme, of meerdere, hangt insgelijks van het vinden van twee midgt;nbsp;delevenredigen af; immers zij te vinden j co r* nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; men
make oen parailelepipedum X h co a'^ . dat is, men ma ke op het vierkant een pai alielepipedum gelijkhaltig aannbsp;den cubus (door de II. Aanmerking), en insgelijks een pa-ralleleptpedum X /i' 00 dan is 31 oo h ^ Hnbsp;00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-r- h') CO H indien H =J A h'. Men
ftelle dan e: - g ^3 g: H; dan is (III. 15.) e: H:
=5 c; /: ea , H = : derhalve 3 s /s: pn y f= f.
468 XL Boek: Over de ligchameUjke figuren,
Vlll. AANMERKING. Ik fpicck in de beide voorgaande Aanpierkingsquot; van zuivere gometVifche opioslingen, in den zin der Ouden . en nietnbsp;van algebraifit^f tgt;f arithmetifclie , waarin men de zijde van den g'quot;nbsp;zochten cuiti^ in getaiJen, juist, of ten naasten bij , uitdrukt: want
3
dan is voor Aanni. VI. x ^a , b . c-, en voor Aanm. VH*
y nbsp;nbsp;nbsp;quot;i* iquot;'
XlV. VOORSTEL. Fig. 217.
Indien men eene lijn [AG] in twee deden [AI, IGJ naar willekeur verdeelt, zal de cu^us op de geheele lijnnbsp;gemaakt, de fom zijn van de cuki van ieder deel , ennbsp;van het drievoud der paralleepipcda uit het vierkantnbsp;van ieder deel, en het ander deel gevormd.
Dat is i indien rz en da deelen van de lijn zijn, is
tuhus op a b =.
Cubns op rz Cuh. op 3 pardlkkpip. uit q op en uit 3 parallekpip. uit ? op b en uit a.
BEWIJS. Zij AF het vierkant op de lijn AG, en AZ de ' Cubus. Men neemt GX = GI: en trekke IT en XM.nbsp;Dan zal het vierkant A F in vier deelen gedeeld zijn, namelijk in
1. ? H L = het n op A1:
2. CD AL = CU LF = regth. uit Al en IG:
3quot; in ? IX = het O op IG: Zie II. B. het 3. Voord.
Indien men dan door II en M X twee regthoekige vlakken laUT, XMPV laat gaan, die elkander in QLnbsp;fnijden; wordt de Cubus in vier parallejepipeda verdeeld,nbsp;wc^ke alle de hoogte van dan Cubus hebben, en totnbsp;grondvlakken de gemelde vier deelen van het grondvlak.
Eindelijk, indien men AK c= Al fielt, en door K een vlak KR.W^ laat gaan, evenwijdig aan het grondvlak,nbsp;dat de gemelde twee loodregt^ vlakken in NY en Sinbsp;f'nijdt, wordt ieder van die vier parallelepipeda weder innbsp;twee parallelepipeda verdeeld , die ieder het zelfde grond-vlfik hebben, doch waarvan de eene de hoogte A Knbsp;AI, de andere de hoogte BK = IG heeft: en dus heeftnbsp;men de acht volgende deelen van den Cubus:
1. Paralleepipldtm MS, uit CD HL, en hoogte NM of A K: dat is Cubus op AI.
a. Parallelepipedum MU, it CD HL en hoogte NP
-ocr page 531-II. jlfd.: Over de ligchair,. met vlakke oppervlakten, 469
of B K = IG; dat is paraMepipedum uit Q AI en hoo;;te I G.
30, Parallekpipedum K L uit_ ? AL, en hoogte KA, of AI; of uit CD K^JA. en hoogte IL s: IG: dat is uitnbsp;? AI en hoogte IG.
4. Parallclepipedum K Q uit ii:3 K O of A L en hoogte BK of IG: of uit ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en hoogte Ks of Alj dat
is uit u IG en hoogte Al.
5. Parallclep. QG, uit ? IX en hoogte Ij r=Al, of uit P IG en hoogte A I.
6. Parallelep. jV, uit ? jY en hoogte sa', dat is Cw-hus op IG.
7. Parallelep. LW, uit ? TX en hoogte WF: of uit II XVV en hoogte LX: dat is uit ? AI en hoogte IG.nbsp;8''. Parallelep. O Z, uit ? O W en hoogte Z W: ofnbsp;uit ? W en hoogte Y VV, da: is uit ? op IG ennbsp;hoogte Al, '
Nu de fom van alle deze deelen in de volgende orde nemende N. t ; N. 2, 3 , 7; N. 4 , 5, 8 ; en N. 6.nbsp;krijgt men
Cubus op AG, of op fAl nbsp;nbsp;nbsp;I G j =s
Cub. op AI -{- 3 parallelep. van p uit AI en IG
3 Parallelep. van O uit IG en AI -J- Cub. op IG; of in het algemeen
Cubus op ^ = Cub. op 3 parallelep, uit 0* en ^ 4 3 parallelep. uit en a 0^ Cub, uit b.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien de lijn in twee gelijke deelen gefiieden is, zal de Cubus uit acht gelijke Cubi, ieder op de halve lijnnbsp;gemaakt, befhan.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Daar de derde magt van een getal den inhoud uitdrukt Van eenen cubus gefield^ op de lijn, wier lengte door datnbsp;getal aangeduidt wordt : en het product van een vierkant-getal door een enkel getal den inhoud te kc-nnen geeft vannbsp;een parallelepipedum, gevormd uit een vierkant en eene lijnnbsp;Wier inhoud en lengte door die getallen aangeduid worden;nbsp;Volgt het dat dit Voorftel het middel opgeefc om den cubiek-Ivortel uit een getal te trekken: want men zal hebben,
a
-ocr page 532-47 nbsp;nbsp;nbsp;Boek'. Over de ligckamelijke figuren, '
fl -{- nbsp;nbsp;nbsp;hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j ah^ -{-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: en
a 4- ^ c' = (.d b nbsp;nbsp;nbsp;c)'^ rsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3
c {a -^ ^') nbsp;nbsp;nbsp;zs:
3 4_ 3 * ^ -{- 3 nbsp;nbsp;nbsp;-{- 1^3 -f. 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;; 4- 3 ^
r* *4quot;'
het geen juist den regel oplevert, dien nien ir. de bewerking volgt. Zie het Aanhanglel.
aanmerking. Indien men nu den ctibus zelven moest maken, of alle de deelen waaruit hij bellaan zal aandui-lt;3en, zou men hebben:
Cubus uit (lt;2 -fquot; nbsp;nbsp;nbsp;~
Cub. op n cubus op b cubus op c 3 parallelep. uit o* en i 4- 3 parallclep. uit lt;2* en c
2 nbsp;nbsp;nbsp;uit en 4- 3 parallelep. uit b^ on c
2-- uit en a 4 3 parallelep. uit en b 4
6 ---uit , ^ 5 en c,
XV. V00R3TEL. Fig. 2IS.
Een driekantig/gt;m?7Zi2, of zuil [HABDFG] is dehelit van eeiiig parallelepipedum, dat dezelfde hoogte heeft,nbsp;en op het parallelogram Haat dat bet aanvuffel is vannbsp;het driehoekig grondvlak van dat prisma.
BEWIJS. Uit het 2. Gevolg van het VI, en uit het VJIh Voordel.
GEVOLG.
Dus is ook een driehoekig prisma gelijkhaltig met een regthoekig parallelepipedum, dar de zelfde hoogte heeft,nbsp;en wiens grondvlak een regthoek is gelijk aan den drie*nbsp;-hoek, grondvlak van het prisma.
XVI. VOORSTEL.
Een prisma, het zij driekantig, het zij veelkantig, is altijd gelijkhaltig aan een regthoekig parallelepipedum,nbsp;waarvan de hoogte die van het prisma, en het grondvlak een regthoek is gelijkhaltig aan den veelhoek die hetnbsp;grondvlak is van het prisma.
BEWIJS. Uit het Gevolg vau de VIII. Bepaling, en het Gevolg van het XV. Voorftel.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
I
-ocr page 533-aanmerking. Wij nemen hier het woord grondvlak van hec pfisma in den zin' dien wij er aan gehecht hebben innbsp;de VIII. Bepaling; anders immers zoude dit Voordel metnbsp;het 40 van hec XI. Boeit van eucudes fchijnei te ftrijden:nbsp;het zelve luidt dus :
,, Indien twee prismas even hoog zijn en hec een eenen driehoek, het ander een parallelogram tot grondvlaknbsp; heeft , en hec parallelogram het dubbeld is van den d. ic-s. hoek, zijn die prismas gelijkhaltig. Want dan Helt mennbsp;dat in het tweede geval, daar een parallelogram het grondvlak is, de opftaande zijden driehoeken zijn: en dan konicnbsp;het Voordel in de daad, hoe wel het in woorden ver-fchilt, mee hec onze overn: beide prismas immers zijnnbsp;in dat geval de helft van paralklepipeda die gelijkhaltigenbsp;grondvlakken, en de zelfde hoogte hebben Wiiiston ennbsp;CLAVius fchijnen de mindere gefchiktheid van de uiedruk-king van euclides gemerkt te hebben: want de eerstgemel-de herinnert, in zijne aanmerkingen over deze plaats vannbsp;den r ucLUiEs van tacquet, dat deze beide gegeven driekantige zuilen de helft zijn van gelijke paralklepipeda doornbsp;diagonalen verdeeld: doch met dit onderfcheid dat de dee-ling in het eene door de diagonaal van hec grondvlak ge-fchiedt, en niet in het andere : en clavios merkt aan , datnbsp;dit voordel alleen geldt voor prismas waarin twee tegennbsp;over elkander gertelde grondvlakken driehoeken zijn.
GEVOLG.
AANMERKING. Hct blijkt lilt het ir, en IV. Gevolg op het Xll. Voordel, in welken zin men het gezegde van velen tenbsp;verdaan hebben dat de inhoud van een prisma gelijk is aannbsp;het grondvlak door de hoogte vermenigvuldigd.
St. X. I.
XVir. VOORSTEL.
Verfchillcnde prismas ftaan tot elkander in famngeftelde ^den van hunne hoogte en grondvlakken.
G. VI. 15. Cor.
472 XL Boik : Over da ligchamelijkc figuren.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Dus zijn de prismas die de zelfde lioogtc en de zelfde of gelijke 5 grondvlakken hebben , gelijkhaltig.,
Dus zijn de grondvlakken en hoogten van gelijkhalti? prismas in omgekeerde rede van elkander: en omgekeerd*
III. GEVOLG.
Dus zijn prismas op geliike grondvlakken (taande als derzelver hoogten : en die op gelijke hoogten zoo alnbsp;derzelver grondvlakken.
IV. GEVOLG.
Gelijkvormige prismas zijn , in driedubbelde rede hunnef cveneensftaande zijden (VIII. Bep. 5, Gevolg).
St. X. pr. 10.
XVIII. VOORSTEL.
De oppervlakte van een regthoekig prisma is, indicts men de grondvlakken uitzondert, gelijk aan den regthoeknbsp;waarvan de grondlijn de omtrek is van het grondvlak va'nbsp;het prisma, en de hoogte de zijde van de opllaaude reg*-'nbsp;hoeken, waaruit het prisma gevormd is.
BEWIJS. Uit bet 3. Gev. van de VIII. Bepaling: en II.
XII* BEPALING.
Men noemt Piramide , of Naald, eene ligchamelijkf Figuur, fatnengefteld uit driehoeken, waarvan de gron^'nbsp;lijnen den omtrek van het grondvlak des ligchaamsnbsp;maken, en wier toppen in n ffip te famen komen,
EUCL. XI. Jef. 12. St. IX, Bep. 9. L. G. VI. def. ii.
I. gevolg.
Er zijn derhalven zoo vele driehoeken, die de naS'}^' of pyramids, famen Bellen, en derzelver zijden, ofnbsp;kan, of kanten, genoemd worden, als het grondvlaknbsp;den bezit,
II. Afd.: Over de ligcham, met vlakke oppervlakten. 473 II. GEVOLG.
De Pyramiden, of Naalden., zijn dan driekantig, als I^ABC, fig. 207; o vierkantig, o vijfkantig naarnbsp;ate hec grondvlak een driehoek, een vierhoek, een vijfhoek, enz. is. En. eene veelhoekige, of veelkantige, py-^amide, of naald, kan in zoo vele driekantige verdeeldnbsp;quot;^orden, als het grondvlak zijden Ireeft, min t'vee; zoonbsp;^vordc. fig. 20, de vijfkantige pyramide G VDE F, in drienbsp;ciriekantige GVIF, FIVE, IVD verdeeld.
St, IX. Bep. 9, L. G. VI. def, 13.
Eene Pyr amide, of Naald, kan regelmatig genoemd )vorden , indien het grondvlak een regelmatige veelhoeknbsp;, en de driehoeken, die de zijden, vlakkeei, of kantettnbsp;der pyr amide nitmaken , gelijke en gelijkbeenige (dus ooknbsp;gelijkvormige) driehoeken zijn. Waarom dan ook de loodlijn , die uit _ den top op het grondvlak wordt nedergela-ten , en die in dat geval in het 'iiiddelpunt van het grondvlak valt, de as van de naald kan genoemd worden.
AANMERKING. Indin men op het papier den veelhoek be--fchrijtt, die het grondvlak van de naald zijn moet; en op ider der zijden van dien veelhoek, den driehoek die eenenbsp;der zijden moet zijn van de naald: zal men, door vo-Wing van het papier, de naald verkrijgen.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Eene pyramide kan regthoekig genoemd worden, Wan-^2er ilne ribbe loodregt flaat op het grondvlak; en derhalve ook da irop loodregt Baan de twee zijden, vlakken, kanfen, waarvan die ribbe de gemeene iede is, ofnbsp;verdniging uitmaakt.
Twee pyratniden zWtn dus gelijkvormig zijn, als de grondvlakken gelijkvonnig zijn, en de eveneens geplaatstenbsp;^'lakken het nok zijn.
Waaruit volgt, (doorIV Bep. *) dat ook de zijden van grondvlakken en de ribben van de vlakken, of van de
Hh nbsp;nbsp;nbsp;kan.
-ocr page 536-474 nbsp;nbsp;nbsp;Bock: Over de ligchamelijke figuren*
kanten, der gelijkvorinige pyramiden onderling evenredig ijn moeten.
L. G. VI. def. 17.
Xix. VOORSTEL. Fig. 220.
Indien men amp;e.r\c pyramids^ of naald, [CDBAD]door een vlak [GFE] fnijdt, dat evenvviidig is aan het grondvlak: zal de fnede aan het grondvlak gelijkvormig zijnnbsp;en tot hetzelve ftaaii, als het vierkant van haren af'nbsp;ftand van den top tot het vierkant van den afftandnbsp;des grondvlaks insgelijks van den top.
L, G. VI, l6, niet het Gev.
sEwijs. IV, I. III. Axioma 5. IV. 4. en IV. ii.
GEVOLG,
Indien men dan twee even hooge pyramiden door zelfde vlak, dat aan de grondvlakken evenwijdig isnbsp;fnijdt, en dus op den zelfden afftand van de grondvlakken; zullen de fneden tot elkander ftaan als de grondvlakken zelve
St. X. 13.
XX, VOORSTEL. Fig. fl20.
Indien men alle de ribben [AB, AC, AD, DB, BC C Dl wan eene driekantige pyramich in twee gelijke dealen fnijdt, en vlakken [GF, FHIE, EKI], doornbsp;tegenovergeftelde (tippen van fuijding laat gaan; zullen d'nbsp;ze de pyramide verdeelen in twee gelijke en grlijkvorminbsp;pyramiden, [EFGAF, CICIEK] en in tW^.nbsp;gelijkhaltige primas, [G E F H BI, D H F EIK] dochnbsp;te fatnen genomen grootcr zijn dan de helft van denbsp;heele pyraiide,
EUCL XU. 3' nbsp;nbsp;nbsp;t.' G. VI. 11.
BEWIJS. Voor het I. uic de VII. Bepaling; voor heT uit het XVI. Voordel, II. 13, Gev. i. Immers indien ^nbsp;uit o HIKD en CU HF F. I, het parallekpipcdgt;nbsp;DUFEVD fteU,en de diagonalen HK en FU der gr^^jnbsp;vlakken trekt, is het klaarblijkcliik st prisma HBGFnbsp;s prisma DHFVUK 00 5 QJ DHFEVD: waaf*nbsp;prima DHFEIKD ook de helft is.
-ocr page 537-//. Afd.: Over de ligchamt mt vlakke oppervlakten, 475
aanmerking. De twee gemelde primas zijn te famen niet alleen grooter dan de helft van de gegeven pyamide,, hetnbsp;welk bet eenige is dat euclides er van zegt, maar zij zijnnbsp;tr juist de drie vierde gedeelten van: doch dit kan nietnbsp;bewezen worden , dan na dat het derde Gevolg van hetnbsp;XXVl, Voordel bewezen zal zijn. Zie dus de Aanmerkingnbsp;op dat Gevolg.
XXL VOORSTEL. Fig. 219 en sao.
Indien men twee driekantige piramiden, die de zelfde Jioogte hebben, volgens het voorgaande Voorftel, iederenbsp;jn twee prismas [G E H, FED en MNP, Q N U] ennbsp;ill twee pyramidcn [AGEF, lECK en LNQM,nbsp;S T R] deelt: en iedere dier pyramiden wederom op denbsp;Zelfde wijze; en iedere der pyramiden, welke uit die deenbsp;Jing gebooren worden, wederom op de zelfde wijze, ennbsp;200 voorts, zoo ver men wil: zal de fom van alle de-prismas , door die herhaalde deelingen in eene der gegeven pyramiden geboren , ftaan tot de foiri van alle denbsp;prismas in de andere pyramide, als het grondvlak [BCD^nbsp;Van de eerstgemelde , tot het grondvlak [O S U] van denbsp;laatstgemelde.
EUCL. XII. 4.
zEwijs. Uit het XVil. Voordel, 3 Gevolg: IV. 2. III. 12. en axioma 5.
XXlJ. VOORSTEL. Fig. 220.
Indien men ecne driekantige pyrmnide^ volgens het voorspande Voordel, in tirismas en pyramiden verdeelt, zoo ''er men wil: zaPdc ^gegeven pyramide de limiet zijn dernbsp;van alle de prismas door die herhaalde verdeeling ge-^oren: dat is, de laatfre rede van de ppramide en van denbsp;dier prismas is eene rede van gelijkheid,
E.W1JS. Uit het XX. Voordel: en het I. en II, Voordel Van het VII. Boek.
XXilI. VOORSTEL. Fig. 219 en 220.
. Twee driekantige pyramiden-, die even hoog zijn, flaaii de zelfde rede als hare grondvlakken.
bocl, xti. s.
2REIDING. Men verdeele dezelven volgens het XXl. Voord.
Hh 2 nbsp;nbsp;nbsp;IE.
-ocr page 538-476 XI. Boek. Over de Ugchamclijke figuren.
BEWIJS. Daar de gegeven piramiden even hoog zijn, is getal van prismas die uit de gemelde verdeeling geborennbsp;worden, in beiden het zelfde.
Maar, de prismas, in iedere verdeeling, Haan onderling als hunne grondvlakken (XVII. Voorftel, Gev. 3.), en dionbsp;grondvlakken zijn als de grondvlakken der gegevennbsp;tuiden CIV. 2.quot;).
Dus ftaan de prismas, in iedere verdeeling, als de grond' vlakken der gegeven p^amiden (III. Axioma 5.}.
Dus ftaan de fommen van alle de prismas in iedere pjrS' wide als de grondvlakken van die pyramiden (III. 12.).
Maar, de pyramiden zijn de limieten van die fommen (XXII. Voorftel).
Dus ftaan de pyramiden onderling in de zelfde rede ai hare grondvlakken (VII. 6.).
XXIV. VOORSTEL.
Twee verfchillende pyramiden, boe ook genaamd, die de zelfde hoogte hebben, ftaan tot elkander als harenbsp;grondvlakken.
ECT.. XI!. 6. St, X. 13. L. G. VI. 18, Cor. 2.
BEREIDING. Meii onderftelle dat die veelkantige pyramide'^ ieder in driehoekige verdeeld zijn, volgens het 2. Gev. vaonbsp;de XII. Bepaling.
BEWIJS. Uit het XXII. Voorft, . en III. 8, 12. en Axioma 5' GEVOt G.
Eene regthoekige pyramide is gelijkhaltig met eene fchee^' hoekige , indien zij op een gelijkhaltig grondvlak ftaat gt;nbsp;en de perpendiculaire ribbe gelijk is aan de hoogte vannbsp;fcheefhoekige pyramide.
XXV. voorstel. Fig. 222.
Een driekantig prisma kan in drie driekantige gelijkha^' tige pyramiden verdeeld worden.
EUCL. XII. 7. St. X, 14, h G. VI. 22.
bereiding. Mentrekke de diagonalen BF, BD en hO..
I. Dan zullen de driehoeken F BE, FBD en EBD
A FED de pyramide D F B E maken. nbsp;nbsp;nbsp;j
2'. Laat een vlak gaan langs B D en A D : dit maakt
AABCjAACDenABCDde pyramide A D B C A
3
-ocr page 539-rr!l
11. ^fd.: Over de Ugcham. met vlakke oppervlakten. 477
3. De driehoeken ABD, A^D, BAF en FBD, maken de p'sramide A B F D B A uit,
BEWIJS. De X. en a. pyramide zijn onderling gelijk 5 uit het XXllt. Voordel,
De 2 en 3. om dat zij beiden de helft van eene pyramide zijn, die de zelfde hoogte, doch het CJ A C D F tot grondvlak, en dus een dubbeld grondvlak, zoudenbsp;hebben.
gevolg,
Eene driekantige pyramide is het derde gedeelte van ceii driekantig prisma , dat op het zeilde driehoekignbsp;grondvlak, en onder de zelfde hoogte ftaat.
' nbsp;nbsp;nbsp;XXVI. VOORSTEL.
Eene pyramide., welke ook haar grondvlak zijn moge, is het derde gedeelte van het prisma dat op het zelfdenbsp;grondvlak en onder de zelfde hoogte fbaat.
BEWIJS. Uit het 2. Gev, van de XII. Bepaling en het XXV. Voordel.
I. GEVOLG.
Hieruit, en uit het XVI. Voorftel, blijkt, dat men den inhoiid van pyramiden tot dien van prismas, en daardoor tot dien van een parallelepipcdum herleidt. Eenenbsp;pyramide namelijk is gelijkhaltig aan het derde gedeeltenbsp;Van een regthoekig parallelepiped tem, dat de zelfde hoogtenbsp;heeft, en waarvan het grondvlak, dat een regthoekig parallelogram is , gelijkhaltig is aan den veelhoek die hetnbsp;grondvlak is van de pyramide.
II, nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Hieruit, en uit het 4. Gev. van het XII. Voorfiel, volgt verder, in welken zin men het gezegde van velen verbaan moet, dat de inbond van eene pyramide gelijk is aannbsp;het grondvlak door het derde gedeelte van de hoogte vermenigvuldigd.
St, X. 15. _ L. G, Vl. 18,
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Verfchillende pyramiden Haan dus tot elkander in fa-
Hh 3 nbsp;nbsp;nbsp;men-
-ocr page 540-478 XL Boek: Over de ligchamelijke figuren.
mengeflclda rede van hare grondvlakken en van kare hoogten.
AANMERKING. Wij hebben in de Aanmerking op het XX' Voorftelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gezegdnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dat denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;twee prismasnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waarvan in dat
Voorllel nbsp;nbsp;nbsp;gefproken wordt,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;te famen drienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vierde gedeelrett
van de geheeie pyramide uitmaken: en in de daad , de grondvlakken der beide pyramiden ftaan ieoer tot die vaonbsp;de groote pyramide als i : 4 (IV. ii.) de hoogten zij''nbsp;als 1:2: dus is ieder kleine pyramide tot de groote alsnbsp;I : 8 ; en beiden te famen zijn zij het vierde gedeelte vannbsp;de geheeie pyramide-. dus zijn de twee prismas de drienbsp;vierde gedeelten van dezelve. Het blijkt ook, en misfchieanbsp;korter,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;hieruit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dat (Fig.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;220.) prismanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;H B G F E 1 het
drievoud nbsp;nbsp;nbsp;is vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pyramidenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;GAEF; datnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de twee prismts^
te famen het drievouwd zijn van de twee pyramiden-, en ge* volgelijk de prismas het ^, en de pyramiden het t vannbsp;de geheeie pyramide,
St. X. 16,
IV. GEVOL G.
Hieruit volgt i. dat, wanneer fi^ramiden gelijkhaltig zijn, hare' hoogten in omgekeerde rede fiaan van harsnbsp;grondvlakken: en omgekeerd.
EUCL. XII, 9.
2. Dat pyramiden. die gelijkhaltige grondvlakken heb* ben, in de zelfde rede Haan als hare hoogten: en oni'nbsp;gekeerd.
t. G. VI. 18. Cor. 2.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
En eindelijk dat gelijkvoraiige pyramiden in driedubbeld rede van hare eveneensgenlaatfte ribben ftaan.
VII. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Uit het eerfte Gevolg blijkt, dat indien men op het grond' vlak van een askus eene regelmatige pyramide ftelt , die dnbsp;hoogte van den cubus heeft, en wier top dus op het luid'nbsp;den van de bovenfte oppervlakte van den cubus komt, dinbsp;pyramide het derde gedeelte van den cubus zijn zal.
^ Indien men verder vier vlakken laat gaan, ieder langs e* ribbe van de pyramide , en de tegenoverftaande loodreg^nbsp;ribbe van den cubus^ zullen er vier geljjke en gelykvorJi
py
-ocr page 541-'
Piramiden geboren worden, die ieder een vierkant, (zijde van den cubus] tot grondvlak , en de halve hoogte van dennbsp;cubus tot hoogte zullen hebben, en dus ieder de hlft vannbsp;de eerstgemelde en middeldezijn zullen, en gevolge-hjk het zesde gedeelte van den cubus.
Dus wordt een cubus in vijf vierkantige nbsp;nbsp;nbsp;gedeeld,
vvaarvan er vier gelijk en geijkvormig zijn, en de vijfde het dubbeld van iedere der vier overige is.
VIII. gevolg.
Hieruit volgt dat men ook den inhoud van eene ge-Itnotte pyramide vindt, met bet verfchil te nemen tus-fchen de geheele pyramide en het afgeknotte ftuk, dat ook eene pyramide is.
I. aanmerking. De inhoud van de geknotte pyramide wordt derhalve , indien ff'S. 2io.) B A C D eene rcgthoekige pyramide is , op het zelfde grondvlak als het gegeven ftaande, en gelijke hoogtenbsp;hebbende (Bep. XII. Gev. 4.) uitgedrukt door J(AbCD X -ABnbsp; AgFEX AG): maar (door Voorft. XIX.) is A G F E ==
AG*
AB*
A BCD X
En derhalve wordt de geknotte pyramide uit-AG*
AB
(aB* AG*)
D. aansierking. Deze uitdrukking | A bcD nbsp;nbsp;nbsp;-Tc
kao
AB*
nog eene andere gedaante krijgen: want AB* AG* fAB**|quot; AB X AG 4- AG*) X CAB AG); derhalve wordt de geknotte pyramide uitgedrukt door ^ A BCD X
A G*)
(r^.* AB X AG AB*
X BG = I A BCD X EC
AG.BG nbsp;nbsp;nbsp;AG
AB*
4- J 4 BCD X --f- 5 ^ BCD X X BG.
Het eerfte,! A BCD X nbsp;nbsp;nbsp;pyramide uit waarvao
A BCD het grondvlak en BG de hoogte is_j het derde lid,
I A BCD X ==r; X BG == 4 GFE X BG, drukt AE*
Hh 4 nbsp;nbsp;nbsp;Bo
t
eei)e pyramids iiit waarvan A G F E het grondvlak is cn B G
AG . B G
dc hoogte: het tweede lid | A jjco x
A
: wordt op
de
ze wijze nader bepaald.
Indien men een driehoek D fielt middel - evenredig
tiisfchefl A
A B C D en A G E F, d. i. tusfehen AncDeiiABCOX Ti
AB
is A D
(A BCd)^ X
aIi^
A rgt;cn X ag
eu
dus is
AB
A 15
X B G : het gecu
eene pyramids uitdrukt waarvan A p) jjet grondvlak en 15 G do hoogte is. Waaruit dit Voprllcl van le gendkb (VI 21.) volgt.
iX. gevolg.
Eene geknotte pyramide is gelijkhaltig aan cle fora van drie pyramiden, welke tot gemeene hoogte hebben de Jioogte vannbsp;die.geknotte pyramide-, en tot grondvlak; de eerl'te het grondvlak van de geheele pyramide. de tweede dat van het afge-noinen ftuk; dat is de hovende ojrpervlakte van de geknottenbsp;pyramide, en de derde een middel-evenredige tusfehen die tweenbsp;grondvlakken.
XXVII. VOORSTEL. Fig. 206.
De pppervltikte van eene regelmatige pyramide is, (het grondvlak niet mede gerekend zijnde), gelijk aan den inhoudnbsp;eens driehoeks, wiens grondlijn gelijk is aan den omtrek vannbsp;het grondvlak der pyramide, en wiens hoogte de loodlijn isnbsp;uit den top op de grondlijn van eene der zijden nedergelaten.
BEWIJS, it het 1. en 3. gevolg van de XII. Bepaling,
GEVOLG.
De oppervlakte van eene geknotte regelmatige pyramid^ is geliik aan een regthoek, waarvan de hoogte die is vaunbsp;de geknotte pyramide, en de grondlijn de middel-arithme'nbsp;tifche evenredige tusfehen den onderden en den bovendeknbsp;omtrek.
BEWIJS. Immers zij Fig. 231, A VAE gelijk aan de op' pervlakte yan de geheele pyramide, en A FVG gelijknbsp;aan die van het afgeknotte dujr.: dan is oppervlakte
11. Afd.: Over de ligcham. met vlakke oppervlakten, 4S i
de nbsp;nbsp;nbsp;pyramide gelijkhaltig aan trapezium APGE,
wiens inhoud (IV.p.Gev. 8.) uitgedrukt wordt door eenen regt-, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/AE FG\
hoek waarvan F A de hoigte en nbsp;nbsp;nbsp;^-- j de grond-
iijn is: AE nu en FG zijn de onderfte en bovenfle om-irckken, en AF de hoogte van de geknotte pyramide.
XXVIII. VOORSTEL. Fig. 221.
Indien men de zijde B A van eene p'jramide in gelijke dee-'en vo, B, enz. verdeelt, en men op het grondvlak BCD, nn prisma (lelt, COB nikn, dat de hoogte n hebbe,nbsp;n insgelijks op het bovenfte vlak nml^ dat door de zijdennbsp;''3n de pyramide bepaald is, wederom een nieuw prisma vannbsp;^e zelfde hoogte; en op het bovenfte vlak van dat prismanbsp;Wederom een ander, en zoo voorts: is de pyramide de limietnbsp;der fora van alle die prismas'. en de niterlle rede van de fomnbsp;''an alle die psismas tot de pyramide is eene rede van gelijkheid.
r,Ewijs. De overmaat van alle de prtsmas boven dc pyramide is ,de fom van aHe de prismas CDwiA/, qptsru enz- die al langer hoenbsp;kleiner worden, cu alle de zelfde hoogte hebben: naar mate dusnbsp;die fom kleiner is, komt de fom der prismas nader aan (Xq pyra^nbsp;mide y en die fom wordt kleiner naar mate de hoogte iD geringernbsp;is; dus kan de fom van alle dc prismas aan de pyramide naderennbsp;zoo veel men wil, en minder van dezelve veiTchilIen dan eenigenbsp;eindige grootheid bedrangt; dus is de pyramide de limiet der fomnbsp;van alle de prismas -'VIL Bcp. i.) ; derhalve is de uiterfte redenbsp;van beiden eene rede van gelijkheid (Vil. 2,).
I. GEVOLG.'
Hieruit blijkt in welken zin men verfcaan moet het geen otiimigcn zeggen, ,, dat eene pyramide uit een oneindig aan-gt; tal van gelijke oneindig dunne prismas, en dus uit een on-gt; eindig aantal vlakken , die aan het grondvlak evenwijdignbsp;u zijn, gevormd wordt: (het geen anderen ook uit hetnbsp;Hevolg van het XIX. Voorftel afleiden): en hoe ver dergelij-uitdrukkingen van alle mathematifche naauwkeurigheid onc-loot zijn.
II, GEVOLG.
Haar de grondvlakken van alle die prismas in de zelfde ftaan als de vierkanten der afftanden van den top (XIX.nbsp;'Oorftel) of als de tweede roagten der getallen welke die af-anden uitdrukken (IV. 24. Gev. !) en dus, indien de dee.
v, B, gelijk aan elkander en voor nheid genomen .urden, van den top af de rede volgen van de vierkantennbsp;natuurlijke getallen ; ziet men, jn welken zin men zeg-p kan dat de limiet van de fom dier vierkanten, of, zoo
als velen zich uitdrukken, de fom van alle die vierkanten, iiitgedriikc kan worden door den inhoud van eene pyransiae*nbsp;wier grondvlak het vierkant van het laacfle getal, ennbsp;hoogte het getal zelf is: en gevolgeiijk (Voorit. XXVI. a. Gewnbsp;dat die limiet, of die gom, gelijk is aan het derde gedeelte vacnbsp;het product van dat getal door het getal zelve gemultipliceerdnbsp;of aan het derde gedeelte van den cubus van het getal.
Zie s GRAVESANDE , Natuurkunde . 480. alwaar dit Voof' ftel van zeer veel gebruik is.
A/gt;MMERKiNG. De fooi der reefes van de quadraten der natuurlijk getallen 1* a* 3* 4* .... n* komt dan al langer hoe n*'nbsp;der aan ^ n dat grooter is: en is J rd, zoo n voor oneindifnbsp;groot gehouden wordt.
De inhoud van alle ligcbamen, welke door regte lijnen vlakken bepa.ald worden, kan tot den inhoud van een parornbsp;letepipedum gebragt worden.
BEWIJS. Men kan door vlakken het ligchaara of in parak ielepipeda, of prismas^ of in geheele of geknottenbsp;den verdeelen, van welke alle men den inhoud afzonder*nbsp;lk vinden kan; en de fom is de gezochte inbond.nbsp;VOORBEELD. Indien het ligchaam BADHEFGC tot grond*nbsp;vlak het t rapezium D C .1A heeft, en de vlakken EB, D Enbsp;IIC, G B loodrcgt zijn ; indien voorts H D = E Anbsp;G C = F B, en men ae uitdrukkingen in het 4. Gevofenbsp;van bet XII. Voorftel vermeld, gebruikt; znl de inhoudnbsp;van het ligchaam door deze grootheid uitgedrukt wordeHnbsp;indien c* en de inhouden van de driehoeken ACB rnbsp;A C D aanwijzen.
lt;i X F B -r 2 y E A -f- e*. X E A nbsp;nbsp;nbsp;X F ^
3
Want, indien men AK DI=:FB=:GC fielt, eO door FGIK een viak laat gaan, is dat vlak evenwijdignbsp;aan D C B A : en de inhoud van het ligchaam KIGFBAD^
is ie^ lquot; ^*.1 K FB. nbsp;nbsp;nbsp;.jn'
Het bovenfte ftuk EKIHGF befiaat mt dnepyramtoen de eene, F KEG, heeft tot bafis den driehoek pG ,nbsp;(^ A CAB) en tot hoogte de lijn EK; dus is de inhodnbsp;^ /EA - FBvnbsp; e* ('nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 y
Het overige gedeelte van bet bovenfie ftuk is eene zijdige pyramide HIKEG, die verdeeld kan worden
-ocr page 545-twee gelijke cinckritige, G E 1H en G EIK ; lt;3e laatfte , Wanneer men 4 GIK(=ACDA) voor grondvlak en EK
/E A F
voor hoogte neemt, is =: lt;7* nbsp;nbsp;nbsp;--~~J dus de lom
/E A FBN Van heiden r=: a ^ ~^-J
de fom van de drie deelcn is derhalven 2 xFB-f-2af^XEA4-g^xEA d^ x FB
mauduit, Mem. prptuds IV. p. 634.
aanmerking. Het komt in de Bouwkunde zeer dikwerf te pas den inhoud van dergelijke ligcliamen te moeten vinden, j
^1- aanmerking. Anderen befchouwen zoodanig een lig-chaam als verdeeld in een paralklepipedttm, twee driekantige prismas en eene vierzijdige pyramide. Want 1*. het paraliclepipedum heeft tot grondvrak den regthoefcnbsp;nit AB , B C, en tot hoogte BF: dan is de inhoudnbsp;51 is* FB. 2. Het eene prisma heeft tot grondvlaknbsp;een driehoek, of den halven regthoek uit A B f A O ~ BC)nbsp;en do hoogte is F B: derhalve de inhoud van dat prismanbsp;/AB . AD AB . BC\
^; F B =r (r/* FB. 3,
Het hovende duk bed-aat uit een driehoekig prisma cn eene vierkantige pyramide '. het prisma heeft tot grondvlaknbsp;den driehoek EKF en tot hoogte GF = BC: dus is denbsp;inhoud van dat prisma een parallelepipedum wiens grond-F K K E
a
AB
vlak is quot; en wiens hoogte is BCc en derhalve
4. De vierzijdige pyramide heeft tot grondvlak den regt-koek, uit CAD B Cj en ( E A FBquot;) en tot hoogte FK = AB: en derhalve is de inhoud | van het paraUnbsp;hlcpipedum wiens grondvlak is de regthoek (AD BQnbsp;(ABj en wiens hoogte is (E A FB_): en dus is dezelvenbsp;/AD.AB AS.BC.
484 nbsp;nbsp;nbsp;Bock: Over de ligchamelijke figuren.
(2
F B). Wanneer men nu deze
vier grootheden bij elkander optelt geeft de fom voor de inhoud van het Jigchaamnbsp;2 FB -}- i E A EA -f d^ FB
XXX. VOORSTEL.
Indien men binnen een veelvlakkig ligcliaam een ftiP neemr, en van daar liinen naar alle de ligchamelijke hoe*nbsp;ken trekt: zullen er zoo vele pyramiden geboren wof'nbsp;den , 'als de fi,-uur vlakken of zijden heeft: en derzelvelt;^nbsp;fom zal gelijk zijn aan den inhoud van de geheele figuUf'
III. AFDEELING.
OVER DB REGELMATIGE LIGCHAMELIJKE figuren.
XIII. BEPALING.
Men noemt regelmatige Ugchamen zoodanige , welk uit gelijk vormige, gelijke , en eveneensgeplaatlle vlakk*'nbsp;beftaan.
I. GEVOLG.
In regelmatige ligchatnen zijn dus de ligchamelijke ho' ken alle gelijk aan elkander : en het middelpunt isnbsp;flip het welk ,even ver van de toppen van alle de ho'nbsp;ken afftaat.
II. GEVOLG.
Indien men uit het middelpunt driekantige vlakken gaan naar de ribben van het regelmatig ligchaam : ^ *nbsp;het zelve daar door in zoo vele regelmatige en allezins |nbsp;hike pyramiden gedeeld worden als het vlakken ofnbsp;heeft.
Ill*
L. G, A^psniix op BotV Vil, prop. s. Schol.
-ocr page 547-Ill, Jfd,: Over dt regelmatige Ugchamen. nbsp;nbsp;nbsp;485
III. GEVOLG.
Alle regelmatige ligchamen van de zelfde foort zijn on-lt;^erling gelijkvormig. CVI- Bep.).
XIV. nbsp;nbsp;nbsp;bepaling. Fig. 2a5.
_ Een Tetraedrum , of viervlakkig ligchaani, bellaat uit ''ier gelijke en gelijkzijdige driehoeken.
EcL. XI Bep. 26.
aanmerking. Het tetraedrum is dus eene volkomen regelmatige p-^ramide-., ook gebruiltt eucudes wel eens in zijn XliL Boek het woord pyamide, om het tetraedrum aante^nbsp;duiden.
XV. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING. Fig. 220.
Een Octaedrum, of achtvlakkig ligchaam, beftaat uit 3cht gelijke gelijkzijdige driehoeken.
EUCL. XI. Bep. 27.
XVI. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING. Fig. 228.
Een Icofaedrum , of twintigvlakkig ligchaam, beftaat uit twintig gelijke gelijkzijdige driehoeken.
EUCL, XI. Bep. 29.
XVII. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.^ Fig. 218.
Een Cultus, of taerling, beftaat uit zes vierkanten en is en zesvlakkig ligchaam, of hexaedrum.
Zie boven Bep. lo.
XVItl. bepaling. Fig. 230.
*
Een Dodecaedrum , of twaalfvlakkig ligchaam, beftaat uit ^aalf gelijke regelmatige vijfhoeken.
EUCL. XI. Bep. 28.
aanmerking. Men moet bewijzen dat die figuren in de daad beftaaiibaar zijn, en uit den aard der eemge mogelijkenbsp;ligchamelijke hoeken, welke uit gelijke vlakke hoeken ge.nbsp;Vormd kunnen worden, volgen. Hit is door euclides nietnbsp;gedaan: doch hier toe ftrekt het volgende Voorftel met des-zeifs gevolgen.
486 XL Boek'. Over de ligchamelijke figuren,
ndieii een ligchamelijke boek door vlakke boeken van gelijke regelmatige veelhoeken gevormd wordt j i, daat de*nbsp;zelve, of uit drie, of uit vier, of uit vijf hoeken vannbsp;gelijkzdige driehoeken: of uit drie hoeken van vierkaO'nbsp;ten, dat is uit drie regte hoeken: of uit drie hoeken vaj'nbsp;regelmatige vijfooeken. Geen ligchamelijke hoek kannbsp;meerdere of mindere hoeken van gemelde veelhoeken,nbsp;uit hoeken van eenige andere regelmatige veelhoeken, be*nbsp;Itaan.
BEWIJS. Uit het II. Voorfcel van dit Boek, en II. Bep. I4'
het I. Gev.
Er zijn dus maar vijf regelmatige ligchamen mogeliji^* Deze zijn de vijf bovengemelde.
EucL. XtU. fcholium op da laatfte propofitie. L. G. dppendi^ Boek VU, prop. i, 2.
II. GEVOLG. Fig. 2a5.
' Wanneer een ligchamelijke hoek uit drie hoeken viH' eenen gelijkzijdigen driehoek beftaat , men die driehoeken vo!'nbsp;tooit, en dezelve ais de vlakken, of zijden, van eene ligcks'nbsp;melijke figuur aanziet j zullen de grondlijnen van deze di'inbsp;driehoeken, eenen nieuwn en gelijken gelijkzijdigen driehoeknbsp;maken, welke het vierde vlak van het ligchaam zal zijn,nbsp;ligchaam zal derhalve beftaan uit vier gelijkzijdige driehoeken*nbsp;Het is dus een tetraedrum.
Hieruit volgt i'*. dat een tetraedrum eene alleszins regel' matige driekantige p3rr(7/(sli? is, waarvan de zijden, of vlakkennbsp;gelijk zijn aan het grondvlak.
2. Dat de loodlijn uit eenen der toppen op het tegenovet* gefielde vlak, dat dus, ten opzigte van dien top, het gron'nbsp;vfak is, nedergelaten, op het mid.Jelpunc van dien driefioe'nbsp;(III. Voordel) valt, en derhalve op twee derde gedeek^^nbsp;van de lijn, uit een der hoeken van dien driehoeknbsp;regt op de tegenovergeflelde zijde van denzelven gecrokk^n*nbsp;CIV. 13 en IV. 14. Gev. 3.).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
V Dat, indien men op het papier eenen gelijkzijdigen o' hoek maakt, en wederom eenen op ieder der zijden van vnbsp;zen, men door vouwing van het papier een ietraedrufnbsp;verkrijgen, waarvan de eerscgemelde driehoek het grondvD
-ocr page 549-6n de drie andere de opflaande zijden, of vlakken, zijn Zullen.
lit. GEVOLG. Fig. 226.
. Wanneer een ligcliamelijke hoek uit vier hoeken van gelijkzijdige driehoeken bedaac, en men die vier driehoeken vol-Woic, zullen derzelver vie- grondlijnen eene gelijkzijdige eii Selijkhoekige figuur, en dus een vierkant, uitmaken, waaropnbsp;de vier driehoeken als eene regelmatige pyramide zullen liaan:nbsp;Over welke pyramide men op het zelfde grondvlak, aan dennbsp;znderen kant, eene gelijke (lellen kan: zoo dat dan het ge-keele ligchaam uit acht gelijkzijdige driehoeken bedaan zal;nbsp;ket is een Octacdrum.
Hieruit volgt, dat de lijnen, die uit lederen hoek naar den tegenoverilaanden getrokken worden, diagonalen of ai~nbsp;fen van de figuur zijn, en elkander onderling in twee gelijkenbsp;deelen fnijden in n (lip, dat dus het middelpunt van de figuur is.
Voo ts, indien men acht gelijkzijdige en gelijke drith gt;3-ken (lelt, zoo als in fig. 227,, zal men door vouwing van het papier een Octaedrum verkrijgen; namelijk a, b, c, d^nbsp;zullen de eene helft, waarvan i de top is, maken: en e, , g,nbsp;h, de andere helft, waarvan k de top is.
IV. GEVOLG. Fig, 228.
Wanneer een ligchamelijke hoek G uit vijf hoeken van gelijke gelijkzijdige driehoeken beilaat, zullen da vijf grondlijnen Ffi, lil, ID, D, SF vaa die vijf voltooide drie. hoeken FGH, HGI, IG, DGS, EGF eenen regehnati-gen vijfhoek FHIOE nitmaken Op iedere dier lijnen (O,nbsp;IH, HF enz. zal men wedeiom eenen gelijken gejkzijdigennbsp;driehoek ISO, BIH, A HF, enz. kunnen Hellen; en dannbsp;lusfchen de twee naastliggende, ZIO en BfH, BI '1 ennbsp;A HF, enz. wederom eenen BIZ, AH 8, dis de gchame-lijke hoeken l, en H, enz. ieder uit vijf hoeken bellaande,nbsp;^Wlen voltooiien. De grondlijnen ZB, e. B enz. van die vijfnbsp;driehoeken maken wederom eenen rpgelmacigeii vijlhosV; opnbsp;^^liens zijden men wederom vijf gelijke gelijlcpjdige driehoeken Hellen kan, wier toppen eenen hgchainelijketi hoelc zuj.nbsp;'en uitmaken, en de geheele figuur (luiten. De figuur be-ftaat dan uit twintig gelijkzijdige driehoeken, en is een Ico-Jaedrum.
Hieruit volgt, dat, de lijnen die van iederen hoek naar zijden tegenovergeftelden getrokken worden , en die dus diago-of asferif en aan elkander gelijk, zijn, zich onderling
in
-ocr page 550-488 XL Boek: Over de Ugchamelijke figuren.
in twee gelijke deeleii fiiijden iii n ftip dat bet inlddelp^'^' van de figuur isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
het
t, u om het llip y: door welker vereeniging men
Ook blijkt het, indien men twintig geliikzijdige en gelijk driehoeken op bet papier teekent, zoo a!s in fig. sap- o'*nbsp;dezelve door vouwing van het papier een icofaedrum zullennbsp;nitmaUen: namelijk, de vijf b, c, f, c d zullen om het PPnbsp;X als top eenen ligcliatnelijken hoek maken: insgelijks p,
bovenile en onderfte gedeelte verkrijgt: daar de overige tien driehoeken het middeifte gedeelte zullen daarftelien.
V. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG. Fig. 2l8.
Indien een ligcharaelijke hoek D uit drie regte hoetek ADC, CDG, en A DG, bellaar, en men voltooit de vietnbsp;kanten A 15 CD, CDG F, AD Gil: zal men door het viet'nbsp;kant C B M P op B C en C F en dan A D G tl op D G en A B tenbsp;voltooijen, de drie vierkanten C B M F , A D GII, en G F M H nbsp;verkrijgen, die eene ligchamelijke figunr uit zes vierkantenbsp;beftaande zullen uitmaken, en dus eenen Cubus of Taerling.
Hieruit blijkt dat de zes gelijke vierkanten, waaruit een Cfi hu$ gemaakt wordt, op dezelfde wijze als de regthoekeu i'nbsp;fig. 2 II. gefteld moeten worden.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG. Fig. 230.
Wanneer een ligchamelijke hoek X, uit drie hoeken van regelnF' tige-vijfhoeken beftaat , en uien de regelmatige gelijke vijfhoek^nbsp;X W K A B , X B Y M L X L P W voltooit ; verder op de zijd'nbsp;F L , van eenen dier vijfhoeken wederom gelijke vijfhoeken , W K S H (Z, iz HIO P, O P L M N ftelt, zullen deze 1^nbsp;den reeds gcgevenen, te fainen zes vijfhoeken uitmaken, welkenbsp;zoo zal kunnen ftellen, dat zij drie aan drie eenen ligchainf'nbsp;lijken hoek, en dus te famen vijf ligchamelijke hoekennbsp;X, W, P, L, zullen uitmaken Men ziet ook dnidelpnbsp;dat AB en BY,' YM en MN, NO en 01, IH en HSnbsp;SKen KA, zijden zuilen zijn van vijf nieuwe vijfhoeken.,nbsp;(die hier met gefnpte lijnen aangewezen worden , om datnbsp;onder de vijfhoeken ftaan die met volle lijnen geteekend zij}nbsp;te weten van de vijfhoeken ABYDVA, DYMNEPnbsp;ENOIKE, HSGKl, eu SKAVG, die door hunnenbsp;VD, DE, EK,KG,GV eenen zesden vijfhoek VDEKDnbsp;uitmaken, die aan de overige gelijk is, vlak over den vopnbsp;ften vijfhoek XLPnVVX fcaac,_ aan denzelven parallelnbsp;doch in eene tegenovergeftelde rigting. De figuur wordtnbsp;halve door twaalf regelmatige vijfhoeken gemaakt en gello*^^ nbsp;die twee aan twee evenwijdig over elkander ftaan; zij i* nbsp;volgelijk het regelmatig ligchaam dodecaedrum genoemd.
Hieruit volgt, dat de lijnen, die van iederen hoek jjeo
-ocr page 551-111. .^fd.: Over de regelmatige Ugchamtn.
nen tegenovergefcelden getrokken worden, en diagonalen of difen zijn, zich allen in twee gelijke dcelen in e'n ftip fuij_nbsp;den: welk ftip het. middelpunt der figuur is.
Men ziet verder , dat indien men op alle de zijden van enen regelmatigen vijfhoek, gelijke vijfhoeken ftelt: dezenbsp;2es door het vouwen van het papier de helft van een dode-'^aedrum zullen uiiinaken; en dat men, indien men een andernbsp;dergelijk ftel maakt, de andere helft op gelijke wijze zal be-'^oiuen: zoo dat zij beiden te famen het geheele dodecaedrumnbsp;^'ol maken : men kan, tot meerder gemak , wanneer men het eer-ftel gemaakt heeft, een der uiterlijke vijfhoeken van hetnbsp;'Weede op de zijde van een der uiterlijke vijfhoeken van hetnbsp;^'rfte ftel plaaifen,
VII. GEVOLG.
De oppervlakte van een regelmatig ligchaam is gelijk aan 2oo vele regeiiiiatige driehoeken, vierhoeken of vijfhoeken,nbsp;bet uit driehoekige, vierhoekige, of vijfhoekige vlakkennbsp;Dtliaat.
XXXII. VOORSTEL.
Ieder regelmatig ligchaam heeft zoo vele ribben, als het product van het halve getal der vlakken die het ligchaam uit-tnaken, door het getal der zijden van die vlakken gemultipliceerd , eenheden bevat: en zoo vele ligchameiijke hoekennbsp;als er eenheden zijn in het 'quotient, dat het product vannbsp;bet getal der vlakken en van het getal der zijden in iedernbsp;yiak oplevert, wanneer het door het getal der hoeken dienbsp;'aderen ligchamelijken hoek nitmaken gdivideerd wordt.
ECL. XV. .
BEWIJS VAM HET I. Hqt gstiil vati zijden in aUc de veelhoeken die het Hgchaam nitmaken , is het product van het getal zydennbsp;in lederen veelhoek j door het getal van voclhooken, of vlalc-ken , gemultipliceerd. Doch de vereeniging van twee naastliggende zijden maakt cene rihbe , en dus beftaat het getal vannbsp;ribben uic het gemelde halve product.
BEWIJS VAN HET 11. Er ziju ZOO vclc vlakke hoeken als er eenhe-dcji zijn in het product van het getal vlakken die de ligchamelyke figuur uitmaken, dopr het getal der hoeken in ieder vlak, ofnbsp;Veelhoek gt; gemultipliceerd, poch ieder ligchameiijke hoek vannbsp;de figuur befiaac uit zoo vele vlakke hoeken, als de aard van dcnbsp;figuur vercischt: waarom men. hst gemelde product door dat getal moet divideeren, om het getal van hoeken te verkrijgen,
gevolg.
Ii nbsp;nbsp;nbsp;ren
-ocr page 552-490 nbsp;nbsp;nbsp;Boek: Over de ligchamelijke figuren.
Een Octaadrum wie twaalf ribben, zes hoeken, en acht zij' den, of vlakken.
Een Icofaedrum nit dertig ribben, twaalf hoeken, en twiu* tig zijden, of vlakken.
Een Cubus, of Hexaedrum, uit twaalf ribben, acht hoeken en zes zijden, of vlakken.
Een Dodecaedrum uit dertig ribben , twintig hoeken, twaalf zijden, of vlakken.
AANMEUKiNO. In allo deze ' ligchamen derhalve overtreft het f' tal der vlakken en- dat der hoeken waaruit zij beftaan, te fa.'',nbsp;genomen, met twee het getal der ribbon: cene eigenfehap *1'^nbsp;aan alle veelvlakkige ligchamen eigen is.
L, G. Vil, 25.
XXXin. VOORSTEL.
Indien men eene ribbe van eene ligchamelijke figuur twee gelijke deefen deelt, en uit het ftip der verdeeiing ee'inbsp;foodlijn trekt op die ribbe in elk der twee vlakken die dou^nbsp;hare zijden de ribben uitmaken, zal de hoek, welken die J'nbsp;iien met elkander maken, de helling aanduiden der vlakk^iinbsp;waaruit die ligchamelijke figuur befcaar.
BEWIJS. Uit X. Bep. 5.
L. G Appendix op Boek VII. prop. 3.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Ill het tetraedruti, octaedrum, icofaedrum eijnbsp;dodecaedrum gaan - de gemelde loodlijnen door de topp^nbsp;van de driehoeken, of vijfhoeken, in welke zij getrokkquot;nbsp;zijn, zoo als blijkt uit 1. 27. Gev, 4. Maar voor dnnbsp;ftaat die lijn regihoeldg op de twee tegenovergeftelde ribbe'
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit Vooi'ftel is het eerfte gedeelte van
7. propofitie in het XV. Boek van eucudes : en de h! werking die men aldaar aantreft komt met ons Voorftnbsp;overn.
De Ouden fchijnen hierin niet verder gegaan te zijn de enkele aanwijzing van dien hoek. Door onze Dr''nbsp;hoeksraeting komen wij verder, en wij kunnen denbsp;te van die hoeken berekenen , op de volgende vvij^.^'nbsp;Wij merken hier, bij voorraad, aan, dat wij de ribben. nbsp;alle regelmatige ligchamen, door de letter R zullen a*nbsp;duiden,
I. toepassing op het TETRAEDRUM. Fig. 224 , 225'
In het tetraedrum is , de hoogte (V E) ~ R Vquot; f ^ afiland [y.C) van den top tot het middelpunt = R
-ocr page 553-De loodlijn [C Q], uit het middelpunt op een der vlakken neergelaten, wordt uitgedrukt door 4 R . V3.
De finus van den hoek [VAD3 welke eene rib maakt 5'ct het vlak waarop z'j ftaat, is V'f; of die hoek bc-*^taagt 540. 44'. 8quot;. omtrent.
De finus van den hoek welken twee vlakken onderling JJ^aken, is | .Va', en deszelfs cofmus is 1: zoo dat dienbsp;^0^ 70. 3t'. 44quot;. omtrent bedraagt,
L. G. Notes, N. IX. p. sit. nbsp;nbsp;nbsp;^
BEWIJS. Zij lig. 214. AVD die driehoek welke in Cg. 225. door de ribbe AV gaande, loodregt op het vlak BAG komt: hieruitnbsp;volgt:
1'. Dat VD in het vlak VGB ligt, en de loodlijn is, die uit V op gB getrokken wordt: derhalve is (VI. 18.) VD rr:
AV . nbsp;nbsp;nbsp;5 R . V5.
2. Dat AD eene dergclijko loodlijn is in het vlak aGB: cn dus AD VD = 4 R 3.
Zij E het middelpunt van A nbsp;nbsp;nbsp;fig. 225. dan zal E op A D
vallen, cn A E AD zjjn (IV. 14. Gev. Z-) dus is Z V E A regt (V. 7.) : en derhalve
E = AV. V'f=:AV.'V
3. A
volgelijk
4. V E zr: V A^* ^
t/
3*
AV . quot;Ki I = R Verder, indien AZregthoekig op AV getrokken wordt (fig, 224.) ,nbsp;tot dat dezelve V E , verlengd , in Z ontmoet, en men op V Z dennbsp;Cirkel VAZ befchrijfc, is V C AC, en dus C het middelpunt van het tetraedt'uvi. Maar VE: AV AV: VZnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I5*
Ccv. 2.) derhalve
VZ
v'i
1/S
r
AV nbsp;nbsp;nbsp;_
6. VC m 4 AV /! =: R . K H-7. De loodlijn uit het middelpunt c;op het vlak G VB ncergela' ten , vait (fig. 224.) op de lijn VD, in Q, zoo dat V Q nbsp;i VD = 4 R Vz-. cn CQ* = VC* - Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= |nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_
3 , , _ R^ nbsp;nbsp;nbsp;S R*
VI
td quot; - 7^ nbsp;nbsp;nbsp; - CQ=:4R V's.
Uit IX, I is A V; V E =r 1 : nbsp;nbsp;nbsp;^ V A D en
VD: VE = i: fin- t. VDA: derhalve IR S. 4 V AD =: l^-Jen Z V AD = 54. 44'. gquot;,
I i 2 nbsp;nbsp;nbsp;9%
9. Sin. VP A = I Vquot;--, cof. I V D A = i VD A ^ ,70. 31'- 44quot;-
aanmerkinc* le gendre feick voor de vyf regelmatige men lt;io lioegrootheid dcr lioekcn af uit de leer der klootlcjnbsp;driehoeken. Ik hcb geoordeeld alles wat die ligcliamen betreftnbsp;xrit dcrzelt'er aard te moeten opmaken ; hoe tvel de bewijzennbsp;door langer wordcngt; Pe hoeken zijn reeds, vr lang, door *1-'nbsp;eert ctRAKD bepaald-4 en wel door eene hem eigene wijze, in ZϮnbsp;nouvelle invention en Alghre, op het einde.
II. TOEPASSING OF HET OCTAEDRUM. Eig. 22,6.
n fiet Octaedrum heeft het volgende plaats,
i. De ribben maken met elkander eenen regten hoek.
2quot;. De as van het ociaednitn is de diagonaal van hel vierkant ABGD, en is derhalve ~ AS.i/2 R Vnbsp;05, De afdand van den top tot het middelpunt is
halve as: en derhalve ^ R ]/ 2
j. De loodlijn CQ uit het middelpunt
C op een der ribbe
5,. De jinits v.m den hoek welken met een vlak , is = 's Vnbsp;dat die hoek zelve 109. 2s'. 16''
BEWIJS. Nquot;. 1,2,3: blijken van zeR. nbsp;nbsp;nbsp;__
Voor NV. 4. nbsp;nbsp;nbsp;= GC^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i R'' Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
^ nbsp;nbsp;nbsp;: en derlralve C Q art: i R,
Voor het 5, .He hoek AEG, welken do loodlijnen AE, EG vit E, het midden van BV, getrokken op BV, dat is de horknbsp;welken de vlakken ABV en VBG met elkander maken, isnbsp;tophoek cens geljjkbeenigen dfiehoeks AEG, wiens boenen zܮnbsp;de loodlijnen AE, EG v.in twee driehoekige vlakken des octet'nbsp;drums, en. wiens grondlijn 'is AG, dc as van de ligchamelijke f'nbsp;guur. Nu is (VI. 18 ) AE, of EG 2:2: AB Vquot; en AG is ttquot;nbsp;AB . Y 0.; derhalve
AE:i AGCsAC)SAB*t^^:^.'Ka222:.'K3: i .Vn = Vi
V'a. Maar in A aEC is i: h e AEG (2= fin. I L AEG)
A E : 4 A G 22= Vquot; S: Y a ; en derhalve fin | Z AE G =22 Y P en col. ^ 2 AEG 222 1/1 _ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waaruit door VIII 3'
Kquot;. !5. volgt fin. Z AEg 22= 2 ptt. i Z A;E G x cof, J Z AEG a K . V' I = Y z -. gcvolgclijk copnus Z A E G =22
eene
, en zijn cojinus = | bedraagt.
^9 X
lopv, 25', r6quot;.
-r- ; hier
j: waaruit volgt
ge-
GKVOLG.
De hoeken welke de vlakken onderling maken in het octaedrum en in het tctraedrum zijn fupplementen de eennbsp;Van den anderen.
111. TOEPASSING OP HET ICOSAEDRM. Fig. 228 Cll 234.
_ In het Icqfacdrum heeft het volgende plaats: i. De as van het icofaedrum is Rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;
cii derhalve
z**. De halve as, of de affland van het middelpunt tot
ieder der toppen, R
2
3. De loodlijn uit het middelpunt in een der vlakken
neergelaten is -5 R x 3 nbsp;nbsp;nbsp;5 ^ gn derhalve
6 ,
4. De hoogte van het Icofaedrum' = R x nbsp;nbsp;nbsp;VS
5. De fimss van den hoek welken eene rib maakt met
het vlak waaraan dezelve grenst is
hoek zelve, (lomp zijnde, is iio. 54'. 18''.
6 De finiis des hoeks weike twee vlakken onderling naken is f, en de hoek zelve 138. ii'. 24''.
BEWIJS. Indien men het Icofaedrum, Fig. 228 en 234. door een vlak fnijdt. dat langs de ribbe BI gaat, en langs de loodlyn l,nbsp;van den gelijkzijdigen driehoek GID, zal dat vlak, of die fne-de, vervolgens gaan wederom door eene dergelykc loodijjii LEnbsp;(van den A GED) dan door de ribbe EF, dan wederom doornbsp;de loodlijnen FK (van A F AH) en KB (van A A BH), zoo datnbsp;men den zeshoek BILEFK verkrijgt, die afzonderip in Fig,nbsp;234 afgebecld wordt , en waarin BI, EF twee ribben zyn, ennbsp;de overige zijden I L, L E, F K, B , loodlpen zyn van de ge-Ipzydige driehoeken welke het Icofaedrum uitmaken, en dus is.
.1. BI Ki = R 'K# = i R yi IL = LE = FK ::=KB.
Verder, indien men de lynen FI en BE trekt, die de beide li 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rib-
-ocr page 556-ribben BI en EF vereenigen , en dus door de toppen
dc tegenoverfta^nde hoeken I en F, B en G gaan, znllen cn B E as/e zijn van het Icofaedrum: en B C C F E C ^nbsp;CE de halve as. BE is, in den regelmatigen vijfhoek dien de V''
driehoeken (Fig, 228.), ZID, DIG. GI H , ,H IB , B IZ , om den
top I maken, de loodljjn welke in dien vjjfhoek uit B op de te-genovergeltelde zijde GD 'getrokken wordt. Vermits nu I F (Fig' 234.) de as is, welke loodregt op het vlak van gemelden vjjfhoeknbsp;ftaat, is het flip N daar dezelve de lyn BL fnydt even vefnbsp;af van alle de hoeken diens vijfhoeks, en is B N de lHnbsp;^ias van den cirkel welken men om dien vyfhoek trekken kannbsp;waarvan de ribben des Icojaedrums de zijden zijn. Waaruit volgt
S : en derhalve
l/s
(door VI. 22. Gev. I 3 BI
BN
J^? nbsp;nbsp;nbsp;y'^; verder IN* z= B 1* -- BN* = R*
10
waaruit volgt
Maar om dat de cirkel uit C op FI getrokken ook door B e E giiat 5 is Z FBI (l- Z F EI) ZZZ L (V. 7.) en derhalve **nbsp;IN: BI = BI: IF^CIV, 15. Gev. 2.1; dus
.IF=:?i-'= BI T^.
IN nbsp;nbsp;nbsp;^ e
10 Cs nbsp;nbsp;nbsp;5)
Cs
= R nbsp;nbsp;nbsp;gevolgelyk
20 2
ZIT afftand van het middelpunt, of halve as
: R
2
Verder Tl* = LI*
IN* = R* X f
-ocr page 557-. fi V's . nbsp;nbsp;nbsp;./iS I0 ^5^
rv* X-= R- X -To-) -
J, Derhalve
- nbsp;nbsp;nbsp;5
* Indien men uit het middelpunt C, O C P op de beide tegen elkander overftaaiide en aan elkander parallelle vlakken A E H ennbsp;EGD Fig. aaS, dat is in Fig. 234, op de loodlijnen in dezelve,nbsp;CK, en EL trekt: is EG = | BK: en dus = | R x 4/ 4
lar BC = Cl = i K nbsp;nbsp;nbsp;^ ^
= R X V en daar
C^ = BC* BO*; is CO* = i R* ^S_
- I R* = 4 R* C15 3 V'S 8) = 2I (7 SVS)
-h 3 y S'
Derhalve
n =: i R nbsp;nbsp;nbsp; 3 V' 5 .
7. C O de loodiy
6 _____
8. PO, de hoogte van het Icofaedrum R 3 V 5.
6
Hier uit valt het gemakkelijk de hoeken optemaken: want indien men in den gelijkbeenigen driehoek ELI de loodlijn LM uit den top L laat vallen: isEM = MI = i EI
maar
EB* BI* nbsp;nbsp;nbsp; R* =
^ nbsp;nbsp;nbsp;f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5; en gevolgel^
2
9, MI c i R nbsp;nbsp;nbsp;^ g-
derhalve
LM
496 XI. Boek: Over de ligchamelijke figuren.
of
n. Sin, e EIL z::: nbsp;nbsp;nbsp;^ 5 jiu^ ^o'^. 54'. tSU,
6 . .
Daar bij voegende i FA U ~ 90. komt 12, i LIB, die eene rib maakt met een der vlakkennbsp;110. 54', 18quot;,
Omdat fn. EIL = nbsp;nbsp;nbsp;~ ^ 5 ^ is co/; Z EI L = A. i
6
^ ELI rz: ^ nbsp;nbsp;nbsp; ^3^5^
Hquot; A. ^ Maar om dat pn. Xpoquot;- f- jJ'EIL).
90
co/, i EIL (VUL 32. N* *9-) nbsp;nbsp;nbsp;^ LIB
13=, ZLIB S H- V .5. Maar //. Z ELI
ay?.iZELL Co/, ELI (VUL 32. N. 15.) =2 nbsp;nbsp;nbsp;1 .. Ui X
6
/^z:i5= 2
: d. i.
6 nbsp;nbsp;nbsp;36
Hquot;. Sm, L ELI = nbsp;nbsp;nbsp;^ ELI z= 138. ii'. 24'^.
den hoek die twee vlakken met elkander maken.
Waar door alfes wat het Icofaednim betreft opgclost is,
IV, TOEPASSING OP DEN CBUS. Fig. 2l8.
In den Cubus^ of Taerling, heeft het volgende plaats; jo. De vlakken maken onderling regte hoeken,
3. De hoogte van den Cubus is deszelfs ribbe: en halve hoogte, of afftand van het middelpunt tot een der vlafe'nbsp;ken, de halve ribbe.
S, De as van den Cubus R Vji'-, en derhalve , 4'. De halve as, of a'ftahd van het middelpunt tot ssunbsp;der hoeken, is R y' 3.
BEWIJS. Voor NL 1. eft 2. klaarfalijkelijk. Voor Nquot;. 3
bD
-ocr page 559-III. -^fd.; Ovtr dt regelmatige Ugchanitfi, 497
ITd* =r a AD^ a R^: maar BG* BD* DG* S3 a R^ R* = 3 R* : derhalve BG=r:R.y3- nBG=Snbsp; R Ks.
V, TOEPASSING OP HBT DDECAEDRUM. Fig. 230 CH 235*
In het Dodtcaedrum heeft het volgende plaats;
1. De as MS (fig. 235.) van het Dodecaedrum j-wnl-ke van her uiteinde eener ribbe, door het middelpunt $ het uiteinde van de tegenovergeftelde ribbe gaat , wordt
'Jitgedrukt door R nbsp;nbsp;nbsp;= R xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:
derhalve
a. De afftand van het middelpunt tot een der hoeden
lt;1.0,R. nbsp;nbsp;nbsp;= R X 7^^.
3quot;. De loodlijn C Q , uit het middelpunt op ieder der '*'lhkken nedergelatn, wordt uitgedrukt doornbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__
- nbsp;nbsp;nbsp; II __L
2 nbsp;nbsp;nbsp;ionbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(I^ 5 ~
derhalve
40. De hoogte van het Bodecaedrum door
^ y ^ V 5_ Vs - I ^ ^ ~FVnbsp;5. De loodlijn Y S tusfchen twee ribben wordt uitgedrqfc
^oor R A^7_JLJ.
2
6. De hoek U Y M welke eene ribbe maakt met het aan-S'en2end vlak is iai. 43'-
7. De hoek YUS welke twee vlakken onderling maken
.2
H6'*. 33'. 54quot;: en deszelfs ^nus is ; deszelfs cofinui
- nbsp;nbsp;nbsp;1
yT-^ ; deszelfs tangent 2.
*Ewijs. Indien men het Hodecaeirum Van fig. 230. ddor een vJai fnijdt, ht tvelk langs de ribbe Y JVt gaat, Vervolgens doof denbsp;loodlijn M r. van den vijfhoek L M N O P , door de loodlijnnbsp;van den daar aangrenzenden vijfhoek POIHe, dan door
Kk nbsp;nbsp;nbsp;
IO
-ocr page 560-de ribbe H-S die vla-t over YM is, en dan weder door twee loodlijnen van vlakkoii tot dat men weder op Y komt, verkrijgt msn den zeshoek Y M R H S U Y , in fig. 235. afzonderlijk afgebeeld nbsp;,en waarin YM, en S H, ribben zijn van liet DodecacUtum,nbsp;zijden der vijfhoekige vlakken waaruit het beftaat, en Mid?nbsp;RHj SUj UY, loodlijnen in het vlak dier vijfhoeken uit den tolnbsp;op de overltaande zijden nedcrgelaten.
Indien men verder fig. 230. in de drie vijfhoeken welke oin den top M Haan de diagonalen YL, YN, NL trekt, makennbsp;dezelve eenen gelijkzijdigen driehoek YLN uit. De loodlijnnbsp;fnijdt de diagonaal LN in twee gelijke deelcn inl ; en de lijn Y*nbsp;in het vlak van den driehoek YLN getrokken , is de loodlijn nitnbsp;den top van een gelijkzijdigen driehoek op de grondlijn desz^l'nbsp;ven neergelaten , en derhalve
lquot;. Yi On lig. 235.3 zz: LN V ?.
Maar de diagonaal L N is bekend: want indien men ? voor dcO radius van den vijfhoek L M N O P neemt, u (vi. 22. Gev.
LNquot;
= S nbsp;nbsp;nbsp;MN^, en uit VI. 22. Gev, i. is f* =
2MN*,
10 MN*
derhalve LN
MN*
derhalve is
5 1
3. Yi = R nbsp;nbsp;nbsp; 3 ^ S.
ft
Maar de As, MS (fiS- ^350 valt loodregt op Y} en dus is zzz I Y i (Voorn. XXXI. Gev. 2 N. 2.) derhalve
YZ
Z=| R . nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 V S =R . 3 V 5
2 nbsp;nbsp;nbsp;iS
= R nbsp;nbsp;nbsp;^.T.^ = R ^-1-^_.
5 I S - 1^6) nbsp;nbsp;nbsp;S (8 - 1/5)
4- Y Z, of de afftand van den top Y in A L Y N (fig. cso.)
tot het middelpunt des driehoeks ~ R l' S nbsp;nbsp;nbsp;5.
1/
= K- (!
Verder (fig, 235).= Y^* YZ* =: R* ^ r* (l 3 V
Squot;. MZ, de hoogte van de pijramide op den driehoek YLN (fig. 230 ) rustende , en waarvan M de top is ~ R Squot; Ks
9 - 3 K 5
Maar A MYS (fig. 235.) is regthoekig (V. 7): derhalve (IV.
15) MZ: YM ::n: YM: MS; en gevolgeliJk___
6''. MS
--- R. nbsp;nbsp;nbsp;9 3 V's
2 (1/5 - l)quot; nbsp;nbsp;nbsp;^^5 - i,
- : en
Vs - I
Ys=Fi?:z-rf=K.Vi^= Fl jX;.
3V5 nbsp;nbsp;nbsp;2
8quot;. C M nbsp;nbsp;nbsp;c Y , afftand van het middelpunt tot M ,
Vs
De loodlijn C Q , uit iiet middelpunt C neergelaten op den vijfhoek, die een der vlakken is van hot dpdecaedrum, valt op het middelpunt van dien vijfhoek, en gevolgelijk op YU: zoo datnbsp;YX de radius is van dien vijfhoek, en gevolgelijk (VI, 22.
Gev. I.) is YQ = R nbsp;nbsp;nbsp; waaruit volgt =:
00 nbsp;nbsp;nbsp;XI, Boek', Over de UgchameUjke figuren,
^ nbsp;nbsp;nbsp;^ ^8 Cs ^ -Ks/ 4 Vs 5 - V^5 /
5 ; cn derhalve
,0. QTrrR X JAjl^jLl = X
10 nbsp;nbsp;nbsp;' 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1
Daar MR de geheelc loodlyii is uit den top des vijfhoeks op de overftaande zijde nedergelaten, is (door VI. 21. Aanm. 3. eB
yi, 22. Gev. I.) MR
~ R X nbsp;nbsp;nbsp;= Rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; S V 5
16 (S - V's) nbsp;nbsp;nbsp;4 (5 Vs)
R Oi ~i~ S nbsp;nbsp;nbsp; Ca 4- Vs) . waaruit volgt
4 (5 ^^S) . (5 V'5)
11. M R = Y
uit ai bet bovenflaande worden de hoeken gemakkelijk opg?' piaakt.
Wajit in ^ YSM is MS: YM :== i : , ysM; derhalve
Y M nbsp;nbsp;nbsp;*'
. gYSM= =
== nbsp;nbsp;nbsp;^ VMS;
zoo dat Z Y SM = nbsp;nbsp;nbsp;aoquot;. 54'. 18quot;.
e z Y MS =: Z HYM 69. 5. 42.
Maar in ^ C Q Y is C Y ; C Q r= i; /. Z Q Y C en fill, iqxc
IS (3 Vs)
- as II l/s ' . (3 V^S) = J^S 2 VA . zj.
15 (* l/'s) . Cs V^s) nbsp;nbsp;nbsp;IS
ZQYC nbsp;nbsp;nbsp;= 51. 47'. 20quot;.
daar bij Z H Y M = 69. nbsp;nbsp;nbsp;5. 42-
komt Z UYM rz: lai*'. 43'. 2 In ^ UYF is UY: YF C= i YS) = i: /f. Z YUF
C= i Z Y U S)
i Y S _ g
Y - VT ^Vs
zoo dat
derhalve . i Z Y U S
nbsp;nbsp;nbsp;7 S V^S ^
10 -}- 4 V 5
en cof. J Z YUS = F. (7 -h 3 1^) nbsp;nbsp;nbsp; Vs
10 4- 4 j/5 nbsp;nbsp;nbsp;10 4 Vs
n fin. i Y US ~ e fm. i Z Y U S X i Z Y US ~
(7 3 Vs) (3 Vs') 2 F. 36 16 l^s (10 4- 4 Vs)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;180 4- 89 Vs
45 4- 20 V 5 nbsp;nbsp;nbsp;C45 4- 20 1/5; (45 EO Vs)
25
gevolgelijk Z YUS'=: n6. 35'. S4*.
De cof:nus is nbsp;nbsp;nbsp;^! en de tangent 2,
*anmbrkino. !Wen hadt Z YU yeel korter kunijen vindenj want Z YM = lEi. 4S'. aquot;.nbsp;af Z S Y M = 90.nbsp;blijft ZYSnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;31. 43'. 2//.
Z USY z= Z UYS nbsp;nbsp;nbsp;81'. 45'. 2.
is. 26'. 4/'.
fuppleraent z:: z Y'LS ng. 53/, jg,
Maar wij Iiebbcn willen doen zien hoe men den fums en den coftnus diens hoeks tot cene zeer eenvoudige uitdrukking h^'^quot;nbsp;leidt, dezclftie als lk gendre op eene geheel andere wyze Snbsp;vonden heeft.
De inhoud van een regelmatig ligcliaam wordt uitgedrukt door deszelfs oppervlakte , geraulcipliceerd door het derdenbsp;gedeelte van de loodlijn uit het middelpunt op een der vlakken neergelaten: of, wat op het zelfde uickomt, is gelijk aannbsp;een paraUekpipsdum, waarvan het grondvlak gelijk is aan denbsp;oppervlakte des ligchaains, en de hoogte het derde gedeelte isnbsp;van de loodlijn, uit het middelpunt op een der vlakken vannbsp;het ligchaam neergelaten.
L. G. VIT. Jppendix, prop. 3. Schol. 2.
BEWIJS. Uit Voorltel XXX.
AANMEfiJCtNO. LE GENBKE Helt in de plaats van de loodlijn uit het middelpunt op een der vlakken iiedergelatcn, den radius vannbsp;den ingefchreven kloot; liet geen op het zelfde iiitkorat.
XXXV. VOORSTEL.
De inhoud van een tetraedum is gelijk aan een regthoekig parallekpipediim van de zelfde hoogte en wiens grondvlak gelijk is aan het derde gedeelte van het driehoekig grondvlaknbsp;des tetr-aedrums,
lie inhoud van een oetaedrum is gelijk aan een regthoekig paralklepipedum wiens hoogte de as is van het octaedrum,-en -wiens grondvlak een derde gedeelte is van het vierkantnbsp;op de ribbe van het octaedrum befchreven.
De inhoud van een icofaednm is gelijk aan een regthoekig pnralkkplpcdum, waar-van de hoogte het derde gedeelte isnbsp;van de loodlijn tusfehen twee tegenoverilaande evenwijdigsnbsp;zijden van het icofueck'um begrepen, of van de hoogte van hetnbsp;icofaedrum, en het grondvlak het tienvoud van een der driehoeken die het icofaedttini nitmaken.
De inhoud van het dodecaednmi is gelijk aan een regthoe-kig paralklepipedum waarvan de hoogte de hoogte is van hep dodecaedrum, en het grondvlak het dubbeJd van een der vijf'nbsp;hoeken die het dodecaedrum iiitmaken.
EEWijji. Voor het teiraedrtm. dat eigenlijk eene volmaakt rege*' matige pyramide . is., en voor het octaedrum dat cene dubbel^nbsp;regeinratige vierktmTc pyrMiiie is , uit Voorftel XXVI. Voor henbsp;icofaedrum en het dodecaedrum uit , Voordel XXX, door hetwenbsp;men het icofaedrum befc-houwt ais uit so driehoekige, ennbsp;dodecaedrum als uit 12 vijfhoekige pyramiden beftaande ,nbsp;hoogte is di halve Iwogte van het icofaedrum of van het nbsp;decaedrum,
-ocr page 565-1
' aanmerking. Inpvolge van liet voorgaande, kan men de oppervlakte en den inhoud van ieder der vyf regelmatige ligchamen gemakkelijk uitdrukken; den cubus van. de ribbe, in iedere dezer figuren, welke ribbe wy door R uitdrukken, ten gronddagnbsp;nemende : en verder de inbonden van den cubus, van het tetraedrum ,nbsp;het octaedrum, het kofaedrum, en het dodecaedrum, reCpectivelijknbsp;door C, , O, I, en D uitdrukkende; het geen het onderwei-pnbsp;maakt dezer vijf gevolgen.
1. GEVOLG.
De CUBUS.
De oppervlakte van een cubus is 6 R*: en deszelfs inhoud, pf C, = R3.
II. GEVOLG.
Het TETRAEDRUM. Fig. 22J, 224. 1. De oppervlakte is R* . v'3.
R X
a. De inhoud is, T = R .
12
6 |/a*
BEWIJS. Immers: de oppervlakte is 4 ^ A VB - 4 AV
i /^4)av* = /. V^ X 1/3. De inhoud is (Voorft. XXVI.)
nbsp;nbsp;nbsp;X hoogte = |xAVx/^ i Fv* X VE =nbsp;(Voorft. XXXIir. N. I.) = - AV^X j/3 x AV X V/ | =nbsp;l'J AV Xl/aquot;: waaruit het Voorftel volgt.
III. gevolg.
Het ocTAEiiRVM. Fig, 226.
a. De inhoud is, O = 5 R j/ 2 = R x ^ j/ 2.
1. De oppervlakte van het octatdrum is 2 j/j.
I
5
bewijs. De inhoud van het vierkant op AB, is AB*; de ar jg
Derhalve de inhoijd O UTT |A J^ABl/a n l/a. Ds oppervlakte van het driehoekig vlak AfiVis^AB 1/$;nbsp;gevolgeigk de oppervlakte van het geheel ligchaam f AB*!/ Snbsp;= a R* . t/j.
IV.
-ocr page 566-504 XI, Bock. Over de ligchamelijke figuren,
IV. GEVOLG.
Het ICOSAEDRUM. Fig. 228, 234.
i. De oppervlakte van het icofaedrum wordt uitgedriii^^ door s R**
a. De inhoud (I) door R X | (3
BEWIJS. De oppervlakte van het driehoekig vlak wordt uitgedruk^ door 4 BI* 1^3 : dus de geheele oppervlakte door ~ lU^ ^
1^3 = 5 .-Ks = S K.^
De halve hoogte is . l/l ^ 3 J^(Voorft.XXXIII.NMlI) 6 ___
Gevolgelgk de inhoud I rz: f X 5 R* 'Ka . X S
^ 6
nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7^3 C7-h3V'5) 1 -rS T/^7 -f- 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5
nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;__
_ SR
Cs 4- V' 5^-
II. AANMERKING. De oppervlakte van het icoraedrum is = 2oXAHGr=r6cAHTI = 6oXHlx^TX=inbsp;30 Hl X TX; gelijk aan den regtboek begrepen ondernbsp;dertigmalen HF en de loodlijn TX: het geen voorkomtnbsp;bij EucuDES in XIV. 3*
V. GEVOLG.
Voor het dodecaedrm. Fig. 230, 235.
De oppervlakte van het dodecaedrm wordt iiitgedrukj
door IS R
*T
Bewijs. Men moet eerst den inhoud van den vijfhoek ^ grondvlak des Dodecaedrums bepalen.
Deze is 5 Y M X i loodlyn: maar die loodlijn is
YM
5 s '*^5 (Voorfcel XXXIII N. V. 3,)
Gevolgelijk is iquot;. de vijfhoek w Y nbsp;nbsp;nbsp;^ ^5
En derhalve a. de oppervlakte i
~ 5JL_L Y X 5 2 '*^5 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
= 15 YlvI^ X nbsp;nbsp;nbsp;Y5 3 YM* X (5 -h 4 Vs).
5 ! gevolgelyk geeft het derde
CQ =
gedeelte der oppervlakte van den vijfhoek, door twaalf malen de halve hoogte gemultipliceerd, den inhoud der twaalf pvramiden dienbsp;(Voorft,.XXXIV.) het Doiecaedrum uitmaken: en dus
. D =r Y X 5 a 5 S 12 ----
x/^L
12 YM
8'
5 YM
S YM^
V,
X 20 4- 9 V' S .
5-1 nbsp;nbsp;nbsp;5 1X5
= yli X nbsp;nbsp;nbsp;:20 9^5)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; y1^3xA^_^ V's 4- 4S
6 2^5 nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aKs
:ym (20 nbsp;nbsp;nbsp;5 4- 45)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2 Vs}
C6 2 v' 5) X (6 -h 2 V' 5)
= Y M X A^ ^5-1- 47_ = R* X ( !_l7_Jls Y Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/
aanmerking, De oppervlakte des dodecaedrums is ge-
50(gt; nbsp;nbsp;nbsp;XL Boek: Over de ligchameUjke figuren.
Ujk aan de twaalf vijfhoeken die deszelfs vlakken uitffla* Ken: iax5YMx loodlijn = 30 Y M X loodlijn:nbsp;of, is gelijk aan den regthoek begrepen onder 30nbsp;de ribbe en de loodlijn: het geen bij ecudes is XIV 3*
VI. gevolg.
Indien de ribben waaruit de vijf regelmatige ligchatn^'^ beftaan even groot zijn, zal de volgende verhouding tuS'nbsp;fchen derzelver oppervlakte plaats hebben.
Oppervlakte van den euiius 6 . R* = R* V* 3 x -j/I*'
---------- . het ietraedrum =: R* gt;/ 3,
nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;octacdrumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;R-*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Vquot; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.
..........- nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;icojaedrumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;R*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;v' 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5.
nbsp;nbsp;nbsp;dodecacdrumnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;R*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/ 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x__^
5 nbsp;nbsp;nbsp;(5 -k- V 5).
VU. gevolg.
Indien in de vijf regelmatige ligchamen de ribben even groot zijn, zullen de inhouden dier ligchamen ftaan in denbsp;volgende rede:
Cuh/s . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= R3
Y a
Tetracdrum R X nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= R* x
R X 0.47I4 R X 2.i8Ilt;^^nbsp;R X 7-653^*
Octaedrum R x
Icofaedrum Rs x
, Dodccaedrtim Rs x
Us ~f- ai
Zoo dat het octaedrum het viervoud is van het dum; en het doiecaedrim het drievoud van. het icoCaedi'^^
X \/ s
Vin. gevolg.
Indien de vijf regelmatige ligchamen gelijke inhouden
-ocr page 569-i: 2.o39d: 1.284?: nbsp;nbsp;nbsp;0.5052.
Ribbe van het tetraedrum tot die van den cubus, van het octaedrum, van het icofacdrum, van het dodecaedrum, alsnbsp;i: 0,4903: 0,6300: 0.3780: c.2477.
Ribbe van het octaednun tot die van den cubus , van het tetraedrum, van het icofaedrum, van het dodecaedrum, alsnbsp;i: 0.7786: 1.5874: 06014; 0,3932.
Ribbe van het icofaedrum tot die van den cubus, van het tetraedrum, van het octaedrum, ym bet dodecaedrum, alsnbsp;i: 1.2979: 2.6452: 1.6664: 0,6554.
Ribbe van het dodecaedrum tot die van den cubus, van het tetraedum , van het octaedrum, van het icofaedrum, alsnbsp;j: 19793: 4.0370: 2.5432; 1.5262.
BEWIJS. Stellende voor de ribben CR. . e) CR- - O CR
CR . cf : (R . ff X
(R . 0 (R . t?) is door het 7. Gevolg: cuius tot tetraedrum tZZ V' 1
-: en derhalve uit de onderftelling.
12 ' (R . of = (R . tf. X _ : of (K. . cf ; (R . tf
I: nbsp;nbsp;nbsp;en (R . c): (R . r) fr = i; 3.039. Insge-
I: t.2849 en Ztj
V't
lijks (R . O: CR O voorts voor lt;le overige gevallen.
iv. aanmerking. Men vindt op fommige proportionsal pasferi van vroegeren tijd eene lijn, welke tot opfchrift voert re.nbsp;duetto corporum regularim. d. J. herleiding der regelmatigsnbsp;tigchamen, te weten tot de zelfde grootte: de lijnen derhalve, die zich van het middtlptiut des propbrtionaahpas.nbsp;fers op ieder blad uitftrekken tot dodecaedrum, icofaedrum ^nbsp;cubus, octaedrum, tetraedrum, ftaan in de zelfde rede alsnbsp;de ribben dier ligchamen (laan moeten, op dat deze gelijken inbonden hebben.
Indien men dan bijv. de ribbe kent van een cubus, neemt dergelver grootte met een' gewonen pasfer, en opentnbsp;Jal 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dea
-ocr page 570-den proportionaal-pasfer tot dat de beide punten des P*' fers, wellte de ribbe van den gemelden cubus bevatten,nbsp;die lijn ftaan van cubus tot cubus . dan zullen de afftanoenbsp;van dodecaedrum tot dodecaedrum, van icofaedrum tot icofd^'nbsp;drum, enz,de grootte aanduiden der ribben van die ligchauieOnbsp;als derzelver inhoud gelijk zal zijn aan die van den geg'nbsp;ven cubus.
Tusfchen den cubus en het octaedrum ftaat op die ze!flt;^ lijn de kloot: die aflland duidt de middellijn aan welkenbsp;kloot hebben moet om gelijken inhoud te bezitten alsnbsp;vijf regelmatige ligchamen, wier ribben op de lijnen aa^'nbsp;geieekend ftaan. Zie over de bepaling van dien afftaoonbsp;Xll. i8. Aanm.
XXXVf. VOORSTEL.
Alle de regelmatige ligchamen van de zelfde foort of de zelfde benaming, gelijk mede alle de gelijkvormignbsp;ligchamen, ftaan tot elkander in de driedubbelde rednbsp;der ribben uit welke zij gevormd zijn; en hunne oppe^'nbsp;vlakten ftaan in de verdubbelde rede der zelfde ribbe.
BEWIJS. Uit het XXXiVquot;. Voorftel en Voorftel XXXI. Ge?* 7: en IV. ^7. of uit Voorftel XXXV. Gev. 6 en 7.
zijn van een gegeven ligchaam, en tevens daar aan lijkvormig. Immers de zijde a van het ligchaam A *nbsp;liaan tot b, zijde van het gezochte ligchaam B, ZO
AANMERKING. Hietop ftcunt, op fommige proportional^quot; pasjets, de lijn die met het woord cubic of folidcj*nbsp;beftempeld is. Er is, als naar gewoonte, eene di^nbsp;lijnen op ieder blad des pasfers: zij zijn in ongelijknbsp;deelen verdeeld, welke deelen de rede van de derdnbsp;magten volgen. Bijv. men neme van het middelpunt **nbsp;den aflland 2: dan valt het dubbeld van dien op 8:nbsp;dat 8 de derde magt is van 2. Men neme de lijn 5nbsp;derzelver dubbeld valt op 40: d. i. op 8 malen 5,nbsp;dat 8 de cubus is van 2; insgelijks het dubbeld vaU ^nbsp;t'ak op 8 X 7 of 56. Die lijn cubic dient dan om ^nbsp;zijden te vinden van een ligchaain dat een bepaaldnbsp;deelte of een bepaald veelvoud (ftel het OTvoud) m^
3 nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. di
V V m. Indien men eenen ctibus maken moet
het dubbeld zij van een anderen : men ftelle de zijde den gegeven cubus van i tot i op de beide lijnen ^nbsp;lnc\ de afftand van a tot g, zal de zijde des
-ocr page 571-III. Afd.: Over de regelmatige ligchamen. 509
ten cubus zijn. Zie een ander gebruik dier lijn, te Wecen om twee middel* evenredigen te vinden, in hetnbsp;III. Boek der VVerkftukken: Werkftuk IX. Oplosftng 6.
XXXVII. VOORSTEL.
Van gelijkvorraige regelmatige ligchamen, hebben kleinere neerder oppervlakte met betrekking tot derzelver inhoud dannbsp;grootere; en wel in omgekeerde rede van derzelver ribben.
BEWIJS. Uit Voorftel XXXVl.
OVER DE BESCHRIJVING DER REGELMATIGS LIGCHAMEN IN ELKANDER.
XIX. nbsp;nbsp;nbsp;bepaling.
Eene ligcharaelijke figuur wordt gezegd in eene andere ligchamelijke figuur hei'chreven te zijn, als alle derzelver hoeken , of op de hoeken, of op de ribben, of op de vlakkennbsp;van die laatstgemelde figuur rusten.
FucL. XI. Bep. 31. in fommige uitgraven van het werk van dieu Schrijver.
AANMERKING. Wanneer alle de hoeken van de eene Figuur, of op alle de zijden, of op alle de ribben, of op alle de hoeken,nbsp;van de andere Figuur rusten, wordt de eerstgemelde gezegd vol*nbsp;maahteliik de laatstgemelde befchreven te zijn : doch wanneetnbsp;alle de hoeken vau de eerfte flechts , of op eenige zjjden, of opnbsp;eenige rUiben , of in eenige hoeken der laatstgetneldo rusten, i$ ds?nbsp;iufchrijving onvolmaakt. Zie verder XXXVIU. Voorftel, Gev. a.
XX. nbsp;nbsp;nbsp;bepaling.
Eene ligcharaelijke figuur wordt gezegd om eene andere figuur befchreven te zijn, wanneer haxe zijden, ribben, ofnbsp;boeken, de hoeken van de laatstgemelde figuur raken.
eucl. XI. Cep. 3a.
XXXVIU. y OOR STEL.
Geen ligchamelijke figuup kan in eene andere befchreven ^rden, ten zij bet getal ot van ribben, of van zijden, of
1-1 3 nbsp;nbsp;nbsp;van
-ocr page 572-I. GEVOLG.
II.
G E VOLG.
De overige ligchamen kunnen in elkander befchreven 'v'Ot' den, doch niet alle volmaakcelijk: volmaaktelijk noemtnbsp;het, wanneer alle de hoeken ^ van d ingefchreven figuurnbsp;de zijden, of ribben, of hoeken, van de andere raken:nbsp;volmaaktelijk., wanneer eeuige van de ribben der laatstg*^'nbsp;melde niet geraakt worden, om dat zij meerder in getal z
I. AANMERKING. Jti hcc vijfc'.enje Boek der GrondbeginTels j'*'* Bt'CLiDES, doch het welk, even als het XIV, hoogstwaarfchynlaltnbsp;om niet te zeggen zeker, niet van eclides zclven , maarnbsp;HYPStci.as den /Uexandryner is , wordt alleen over de volmaaktlnbsp;fchrijving gehandeld, en te regt: deze alleen kan dien naain want'nbsp;lijk dragen , en voldoet aan de bcjiaiing. Een der uitgevereflnbsp;EUCLiDjii, Foix DE CAKUAt.nt, hccft aan het einde van het X*'nbsp;iBoek, te beginnen namelijk met het VI. Voorllel, en het VI. tnbsp;Vli van-den .Schrijver weglatende, eenige Voorllcllcn gevocSnbsp;over die inlchrijviiig , welke wij onvolmaakte noemen, en o
, over eene andere foort van infciirijving tveike enkel hierin l' Haat, dat een ligchaain in een ander ligchaam bevat, of ingcf'nbsp;ten, is, zonder dat echter alle deszclfs hoeken, maar llefhquot;nbsp;cenige, de,zijden oi' ribben v.an het andere rjken; of ooknbsp;danig, dat eenige zijden vau het eene geheel op de zijdennbsp;liet andere li.^geii : hij Iieefc insgelijks bij de XV. Boekennbsp;XVI. Boek over de onderliiigc in- en orafchrijving van de reS'nbsp;matige Figuren gevoegd'; clavius heeft dit alles overgenoffl^^.nbsp;gelyk mede vooght. Doch hierin zullen wij ons niet inlatO]nbsp;en flechts met een enkel woerd de volmaakte omfcluijving s**nbsp;flippen.
III. GEVOLG.
Een tetraedrlim is in den 'cuhiis befchreven , wanneer de zes rih^f j van het zelve de zes vlakken van den cuhiis raken . en dusnbsp;derzelver diagonalen, liggen: w.tare't volgt', unt de hoeken van quot;jjnbsp;tetraedtum met hunne toppen die van den cabas raken , en innbsp;Jioeken begrepen zijn.
EpcL, SV. 1.
, nbsp;nbsp;nbsp;IV., pEVOLG.
En oetaectmm- tan befchreven worden in een utrseirum , nbsp;nbsp;nbsp;
en cuius. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ju
-ocr page 573-IF. Afd.\ Over de hefchr, der regelm. ligchamen. 511
In een tetraedtum , mits de zes hoeken ieder op eenc der ribben Van her tetraedrum ftaan, en wel op het midden dier ribben.
EUCL. XV. 2.
In een cubus, mits de zes hoeken de zes vlakken van den cuius 'aken , en wel in het middelpunt dier vlakken, dat is in het flipnbsp;^aar de beide diagonalen zich fnyden.
eucl. XV. 3.
gevolg.
Een cuius kan befchreven worden in een octaedrum en in een ^^decaedram.
In een octaedrum, wanneer de Scht hoeken van den cuius ieder eene der vlakken van bet octaedrum rusten; en dat wel in hetnbsp;J'ddelpunt van die vlakken; dat is (IV. 14quot; Gov. 3.) op de tweenbsp;narde gedeelten van de lijn, welke uit den top van lederen hoek, innbsp;'a driehoekige vlakken, loodregt op de tegenoverftaande zijde vannbsp;*Iien driehoek ftaat.
EUCL. XV. 4.
In een dodecaedrum : Indien men namelijk in de vier vijfhoeken 'lie om CFig. 230.) de ribben ML, LP, LX enXW liggen, de diagonalen MP, MB , BW , W P trekt, heeft men een vierkant het welknbsp;^!eh met vijf vierkanten op gelijke tvzc befchreven verddnigt, ennbsp;den cuius maakt; wiens acht hoeken dus in acht hoeken van hetnbsp;dodecaedrum ftaan : en de vier lijnen, die de asfeii zijn van den cuius, zijn tevens asfen van het dodecaedrum,
II. AANMERKING. Een gedeelte van dc bewerking van eclides XII, 17. kan hiertoe gebragt worden.
Itl. aanmerking. Het blijkt uit Fig. ai8, dat de As, of diagonaal
van den culus, is B G = nbsp;nbsp;nbsp;0 G* Dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D
~ D G 'K3 : ook zal hier Fig. 230. de as van den cuius, daar MP de zijde is, zijn MP . V^3.
Maar CVoorft. XXXIII. V, zquot;.) MP = LM X \J
^ Vs-t
2 LM
eji derhalve de as van
= LMX^^-T^
{Vs -1/
1/5 I
den cuius
LM X
Iit geen juist is de uitdruk-
1/(5 - O
ing voor de as van het dodecaedrum. (Zie Voorft, XXXIH,
, ^en dodecaedrum kan in een icoraedrum befchreven worden, indien heken van het dodecaedrum ieder bp een vlak van het icojae-LI 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; dram
drum rusten , cn wel op middelpunt van dat vlak : dat i* P twee derde gedeelten van de lijn, welke uu den top van iedere^nbsp;driehoek, die een vlak van het icofaedrum uitinaakt, op de icgs'nbsp;overgeftelde zijde van dien driehoek loodregt ftaat.
EUCL. XV. S.
Vl[. GEVOLG.
Het fpreekt van zelf dat ieder regelmatig ligchaam in een reg*' matig ligchaam van de zelfde Ibort kan befchreven worden,
IV, aanmerking. De befchnuwing der regelmatige ligchainen kah fointijdb aanleiding gev,en tot zonderlinge vraagftukken; ondnbsp;deze munt het volgende uit, door Prins kopert, of kobert (*)nbsp;uit het doorluchtig huis van de Paltzgraven aan den Rhijhnbsp;voorgcdeld , en wcrkltellig gemaakt , vervolgens door w.ti-idnbsp;naar de regelen der Meetkunst opgelost, (zie Opera Mathem^ D-p. 4/0.) en naderhand door kieowland uitgebreid en volinaap^nbsp;Het oorfpronkelijk vraagftuk was:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;., Eenen ciibiis zoodanig uh'
tefndcn , dat er een andere cubtis van gel^ke grootte doo kan De uitbreiding, naderhand aan het vraagftuk gegevennbsp;is aantetoonen, dat de uitfuijding zoodanig gcfchieden kan datnbsp;een grooter cubus doorgaat, en de hoegrootheid v:,n den grootftti*nbsp;cubus te bepalen.
UIII.EGGIXG. De volgende uitlegging van dit Voorftcl zal hi^ genoeg zn. Zie Fig. 035 0 , J,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, e.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
Indien men de bovenfte oppervlakte A BCD (P'S- ^35 '*1.' van em'cubus BCDH Fig 235. c') befehouwt, is het klaarbhJnbsp;kclijk dat de diagonaal A C grootcr is dan de zyde A B nnbsp;avelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AB Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dat men derhalve op AC , en zelfs pn
de
de zij van het onderftc vlak GFEII, (Fig. 235. en van
op eenigen afftaand van AC , op cene lijn ib evenwijdig aan AC* eene lijn nemen kan JiS: ten minften gelijk aan AB; cn dat 'P'nbsp;dien men daarop b; i en bm loodregt trekt, cr door kb mi ynbsp;ligchaam zoude kunnen gaan. even breed als de cubus Hec zed'
fieuf onpq gezegd: zullende dus kb en np niet regt onder e kander ftaaii, maar fchuiusch ten opzigte van elkander liggen-Wanneer men nu den gegeven cubus AHGBCDEH , (E*nbsp;235. c) uitfnijdt naar de lijnen aldaar, en boven dien in fig 235'nbsp;c, h, voor het bovenfte en ondeiTtC vlak opgegeven, wordtnbsp;het zelve het ftuk \ RG sb m) rni k A (Fig. 235. e') genomen,nbsp;er blijft over (Fig. 235. d') een dun gedeelte ikCm vannbsp;boven vlak: een dergclijk HP.rp van bet onderfte vlak; beidenbsp;elkander vereenigd door de opltaande ftijlennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A, en bCuifi^
welke ais ccue open poort nibmpq uitmaken , waar
lt;* ' Deze Vorst, een ongemeen fclirander man , met zeldzame dgheden voorzien, een zeer dapper en beroemd vlootvoogd,nbsp;zoon van den Paltzgr.ave frederik den V, Koning van BolieinC ^ jnbsp;Van ELIZABETH, dochtCT van JACOBUS den I, Koning van Engela'^ .nbsp;en, door zijne grootmoeder, louisa juliana van oranje-nassaP^ gj-malin van zijnen grootvader den Paltzgraaf frederic den IV, *nbsp;kleinzoon van willkm den I. Prins van oranje Nassau. Prins 'nbsp;is JIJ lSi overledeii.
-ocr page 575-Jjgchaam door kan; en indien men het blok dat uit den cuhus gefnedeu en in Fig, ass ^ afgebecUi is, daarin fchuift, is denbsp;geheele cuius hcrfteld , zoo als in Fig 235. c.
liidicn nu (Fig 235. d) ki tn np even groot en gelijk zijn aan de grondlijn A of HE van den gegeven cuius, kan die cuiusnbsp;in de breedte, door de gemelde opening of p'oort; maar dezelvenbsp;zoude er in de hoogte niet door komen, indien de lijn up van hetnbsp;aanblijvend gedeelte uprE van het onderfte grondvlak in een lood-regt vlak ftond onder de lijn kc van het aanblgvend gedeeltenbsp;jABCm des bovenften vlaks; doch, geiyk reeds is aangemerkt,nbsp;dat is zoo niet: het vlak, dat door die twee lncn gaat ligtnbsp;fchuins op het grondvlak, en er kan derhalve in dat vlgknbsp;eene lyn loodregt op ki en op np genomen worden, geljik aaunbsp;de hoogte van den cuius i en het onderfte vlak wordt niet evenwijdignbsp;aan HE gefnedeii, maar, volgens nr, welke nr loodregt op hetnbsp;vlak kbpn (laat: zoo darde cuius, als die door de poort nikimpgnbsp;zal gaan, langs een hellend vlak^jru gleidt: en insgelijks wordtnbsp;de bovenfte vlakte, fchuinsclj naar beneden gefneden, volgens dnbsp;lijn ks: zoo dat de twee hellende vlakken ski en nrp evcnwij'nbsp;dig aan elkander zijn: waar door de cuius 'met zjjn voorftuknbsp;AHGB door de poort zullende gaan, met zijn grondvlak EHGnbsp;langs het vlak n F r glijdt , en met zijn bovenfte vlak A D C Bnbsp;beftendig het bovenfte hellend vlak riB raakt, en volkomen doornbsp;die vlakken en de ftijlen der poort omvat wordt.
Gelijk men in het vlak A BCD eene Ipn kb grooter kan nemen dan AB, de lijn waarop de cubus gefteld is; kan men ook de lijnen kb en r.p zoodanig, ten opzigte van elkander, inrigten, datnbsp;de lijn pn die op beiden loodregt ftaat, ook grooter zij dan AD:nbsp;op welke wijze d, poort ecnen cubus kan doorlaten die grooter isnbsp;dan de gegeven cubus.
Waaruit de vraag volgt, den grootftcn cubus te bepalen die door cenen gegeven cubus gaan kan. Dit vraagftuk is door wijlen dennbsp;beroemden^ NiEUWLAND opgelost in eene zeer korte Verhandeling,nbsp;welke ik in het Aanhangfel zal inlasfchen, onj aan de weetlustnbsp;mijner lezers te voldoen.
LI 5
514
OVER DE LIGCHA ME LIJKE FIGUREN DIE
door kromme oppervlakten r, e-
I nbsp;nbsp;nbsp;P A A L D Z IJ N.
De ligchamen, of ligchamelijke figuren, worden, gelijk jn de eerfie bepaling van het XI. Boek, en de Aanmerking daar op, gezegd is , of door vlakke , of doornbsp;kromme oppervlakten, bepaald. Over de eerfte foort isnbsp;in het XI. Boek gehandeld. Van de menigvuldige ligchamen die tot de tweede foort gebragt kunnen worden,nbsp;zijn er maar drie welke tot de elementaire Meetkunde be-liooren , te weten, de cylitider, of rol; de kegel; en denbsp;kloot, of bol, of fpheer. De ronde, en bolle oppervlaktennbsp;van deze drie ligchamen zijn haren oorfprong aan den cirkel,nbsp;of aan den cirkel en regte lijn te faroen verlc|iiildigd, de tweenbsp;cetitge lijnen welke, naar den firikften zin door de Oudennbsp;nan dat woord gegeven, onderwerpen zijn van de elementaire Geometrie Wij zullen ons dan in dit Boek alleennbsp;tot deze drie lborten van ronde ligchamen bepalen.
OVER DEN CIJLINDER, OF ROL.
1. BEPALING. Fig. 237.
Tndien men'onderfielt dat, wanneer twee gelijke cirkels [A G B en C H DJ in twee verfchillende, doch evenwijdigenbsp;vlakken geplaatst, en derzelver middelpunten [E en FJnbsp;door eeene regte lijn [E F] vereenigd zijn, er zich eenenbsp;regte lijn rondom de omtrekken van die cirkels, altijd evenwijdig aan zich zelve en aan de lijn [EF] die de middelpunten vereenigt, bewege, en door die beweging eeiienbsp;bolle oppervlakte befchrijve: zal bet ligchaam [ACHDBGA]nbsp;dat door die beweging gevormd , en door de gegeven
cir-
-ocr page 577-515
I. ylfd.: Over den Rol, of Cylinder.
tirkels befloten wordt, een Cylinder, of Rol, zijn. De cirkels die den zelveii onder en boven befluiten , wordennbsp;de grondvlakken genoemd. De cylinder, of rol, zalnbsp;regt op het grondvlak liaan , indien de lijn, welke denbsp;middelpunten der gegeven cirkels vernigt, en die mennbsp;de as van den rol noemt , regthoekfg op die cirkelsnbsp;Ihfit: zoo niet. Haat de cylinder, of rol, fcheef op hetnbsp;grondvlak, zoo als
EUCL, XI. dof. 21 , 22 5 23. * St, X. B p, I,. L* G. vin, Bep, i.
I. AANMERKING. Meii kan dus den regten cylinder ook begrijpen als geboren te zijn door de omwenteling van een regtboek GEFH, om eeiie zijner zijden EF, als op eenenbsp;fpil, of as: dan zal de andere opflaande zijde GH denom-trek van den cylinder, en de twee overige HP, GE zullen de cirkels befchrijven. Deze is de Bepaling door eu-CLiDEs gegeven, waarin le gendre hem gevolgd heeft; dochnbsp;dezelve fluit de fcheve cylinders uit.
II AANMEUKTNG. Anderen befchouwen den cylinder als geboren uit de evenwijdige beweging van eenen cirkel langs eene gegeven lijn: bijv. van den cirkel, CHD langs de lijn CAnbsp;of langs de lijn Ca.
In dien zin zoude men den cylinder kunnen befchouwen als beftaande uit een aantal cirkels, gelijk aan het grondvlak, of den grondcirkel, en op het zelve opgehoopc.
1. GEVOLG,
Indien men, den cylinder door vlakken [LMNO] fnijdt Welke evenwijdig aan het grondvlak zijn, zullen die fne-,nbsp;den cirkels zijn. Indien de fnede [GIKH] door de middelpunten [E en F] van de grondvlakken gaat, of [gelijknbsp;APQC] evenwijdig is aan een vlak dat door die puntennbsp;gaat, is zij een parallelogram; en wel een regthoek voornbsp;den regten cylinder.
Die parallelog ram pi eii hebben alle de zelfde hoogte, t. w. die van den cylinder, en liaan dus tot elkander alsnbsp;hunne grondlijnen [CQ. HK]* dat is, als de choordennbsp;der bogen [CQ en HCQK]nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zij van de grondvlak
ken affnijden.
III. aanmerking. De fchuinfche fneden van den cylinder be-Jiooren niet tpt de grondbeginfls der Meetkunde, wanneer men dez weinfchap in'den Jftriktllen zin volgens de ge-- gt;vponte der Ouden, neemt; zij doen, p den bollen omtrek
van
van den cilinder, eene kromme lijn ontftaan die men noemt, en tot de kegelfneden behoort.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG. Fig. 240.
Indien FBDL een cirkel is evenwijdig aan het grondvlak van den cylinder., zal de raaklijn GE die dezen cirkel in L raakt, ook eene raaklijn van den cylinder in diit zelfde ttip zijn; en indien men op de oppervlakte [Fig.nbsp;237.] de lijn AC evenwijdig met den as E F trekt, zalnbsp;die lijn geheel in de oppervlakte van den cylinder liggen.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG. Fig. 237.
Indien een vlak den cylinder zoodanig raakt, dat eeni-ge lijn AC van het zelve evenwijdig zij met de aS van den cylinder, en geheet op de oppervlakte van c^zeiinbsp;ligge, (II. Gev.) en dat alle de lijnen , die in het vlaknbsp;op de lijn A C loodregt getrokken worden, tevens raaklijnen zijn van cirkels in den cylinder^ die evenwijdig ennbsp;gelijk zijn aan dcszelfs grondvlak , zal dat vlak den cylinder in die lijn alleen raken, en nimmer fnijden,
II. BEPALING.
Gelijkvormige cylinders zijn die, waarvan de asfen in de. zelfde rede Haan als de middellijnen der grondvlakken ,nbsp;en gehjke hoeken met die grondvlakken maken.
EUCL. XI. def 24. L. G. Vill. def. 4. nbsp;nbsp;nbsp;^
AANMERKING. Dczc Bepaling is een gevolg van de zesde Bepaling van ons XI. Boek. Om ze op'den zelfden leestnbsp;te fchoeijen zoude men moeten zeggen: gelijkvormige cj-Hnders zijn die welke gelijkvormige grondvlakkenen geiijk-vormigenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;oppervlakten hebbetL IVJaar de grond
vlakken ziin cirkels; deze nu zijn altijd gelijkvormig, en hunne oratrekken flaan in de zelfde rede als hunne middellijnen f VII. 10; en Gev. i); en wij zullen in het IV. Voorftel van ditnbsp;Boek bewijzen, dat de cylindrifche oppervlakten altijd totnbsp;elkander flaan als de regthoeken waarvan de grondlijnen denbsp;omtrek van den cirkel, eu de hoogten zoo als de asfennbsp;zijn: waaruit dan de gelijkvormigheid van verfchillende cynbsp;linders, tot die van de gemelde regthoeken gebragt wordt-'nbsp;en dus tot de gelijkheid der rede van den as tot denbsp;dellijn des cirkels: waaroi'' deze verkorte bepaling harnbsp;oorlprong ontleent.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
-ocr page 579-I. Afd,: Over den Rol, of Cylinder. Si7
Indien de cylinders reft, en tevens gelijkvormig zijn, zijn de regchoeken waar door zij gevormd worden, ge.nbsp;lijk vormig.
Sc, X. Btp. 6.
III. bepaling.
Indien men eenen veelhoek befchrijft in den cirkel, grondv vlak van den regten cylinder; en men rigt op de zijdennbsp;van dien veelhoek een regtlioekig prisma, wiens hoogtenbsp;die van den cylinder is, en welke gevolgelijk tot aan dennbsp;cirkel, bovenlte oppervlakte van den cylinder, komt: wordtnbsp;het prisma gezegd in den cylinder, en de cylinder om hetnbsp;prisma befchreven te zijn,
G, VIII. Bep. 6.
I. GEVOLG.
De ribben van het prisma raken de oppervlakte van den cylinder; of liever, liggen in de lengte van dezelve; ennbsp;de grondvlakken van het prisma, zijn in liet vlak vannbsp;de grondvlakken des cylinders,
GEVOLG.
Indien de veelhoek een regthoek is ^ prisma een parallelepipedum.
IV. BEPALING.
Indien men eenen veelhoek befchrijft om den cirkel, grondvlak van een regten cylinder, en rigt op de zijden van dien veelhoek een regtlioekig prisma , wiens hoogte dienbsp;van den cylinder is,, en welke gevolgelijk tot aan dennbsp;cirkel, hovende grondvlak van Ae.x\,cylinder, komt: v.ordcnbsp;het prisma gezegd om den cylinder, en de cylinder innbsp;het prisma befchreven te zijn. t ;
L. G. VUL Bep. 5.
GB VOLG.
De vlakken van het prisma raken dus de bolle oppervlakte van den cylinder : nbsp;nbsp;nbsp;de grondvlakken van het
prisma liggen iii het zelfde vlak als die des cylinders,
II. gevolg.
5i8 Xlt. Boek: 0\'er de Ugch. fig, mei kromme oppervl
een vierkant is , is het befclireven prisma een parall^^^ pipcdim, wiens grondvlakken vierkanten zijn.
I. VOORSTEL. Fig. 237.
Een cylinder is de limiet van alle de prisma} die en in den cylinder befchreveii kunnen worden.
tacquet. Selecta ex ak.ciiimede , pr. 8 , 10.
BEWIJS. Uit de III. en IV. Bep, en VII. 13.
GEVOLG.
Hieruit blij'kt, hoe men te verftaan hebbe wat velen zeg' gen, dat de cylinder een prisma'\s van een oneindig getalnbsp;zijden; welke uitdrukking geheel van de matheinatifche naauW'nbsp;keurigheid afwijkt,
II. VOORSTEL.
De cylinders ftaan tot elkander in de famengefteltjle rede hunner grondvlakken en hoogten,
BEWIJS. Uit het I. Voordel, VII. 5, 7. en XI. 16.
I. GEVOLG
Dus ftaan cylinders tot elkander in de famengeHeldfl rede uit de enkele rede der hoogten, en de verdubbeldenbsp;rede der middellijnen van de grondvlakken.
II. GEVOLG.
Dus zijn cylinders^ wier grondvlakken en hoogten gelijk zijn, gelijk: en die, wier hoogten gelijk zijn, Itaan io de zelfde rede als hunne grondvlakken.
EUCL. XII. JI.-
IIL GEVOLG.
Dus (laan cylinders, wier grondvlakken gelijk zijn, in de zelfde rede als derzelver hooaten: en gevolgehik, zoOnbsp;' men eenen cylinder door vlakken , die evenwijdig aan denbsp;* grondvlakken zijn, fnijdt; zullen de deelen de zelfde rednbsp;tot elkander hebben, als de deekn die zij van de 'nbsp;affnijden.
EUCL. Xll, 13.
519
/. ^fd.: Over den Rol, of Cylinder, IV. G E V o L G.
Indien twee cylinders gelijkhaltig zljii, zijn hunne grond-Hikken in omgekeerde rede hunner hoogten: en omgekeerd.
eucl. XII. 15.
V. GEVOLG.
Hieruit, en nit XI. 12. het 4 Gev. blijkt, hoe men ^eze uitdrukking te verdaan hebbe, dat de cylinder gelijknbsp;H aan het grondvlak door de hoogte vermenigvuldigd.nbsp;Hat is: zij I de inhoud van den cilinder, H de hoogte,nbsp;de middellijn van het grondvlak, ?r: i de rede vannbsp;den omtrek van den cirkel tot de middellijn, zoo wordt
j quot; 1 nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X X H
de nahoud van den cylinder uitgedrukt door, ^--
Vil. 14. Gev. I.
St. X. I. exempel 4. L. G. VIII. i.
VI. GEVOLG.
Iiidien de hoogte des cylinders gelijk is aan de middellijn des gi'ondvlaks, wordt de inhoud uitgedrukt door
. M
llf. VOORSTEL.
Een cylinder fiaat tot het omfchreven parallekpipedum, als de inhoud van den cirkel tot het vierkant op de middellijn: of, als het vierde gedeelte van den omtrek tot denbsp;middellijn.
BEWIJS. Uit het I. Voordel, Xl. i5, en Vil. 14. Gev. 2.
GEVOLG.
En dus, volgens de rede door archimedijs bepaald, ais n: 14. (VII. 27.).
IV. voorstel.
De cylindrifche oppervlakte eens rggten cylinders . is Selijkhaltig aan eenen regthoek , waarvan de hoogte de as
' nbsp;nbsp;nbsp; quot; is
-ocr page 582-510 XII. Boek: Oveiquot; de ligch. fig, fnct kromme oppervl.
is van den cylinder, en de grondlijn de omtrek van grondvlak des cylinders, of, wat op het zelfde uiikotnt;nbsp;die oppervlakte is gelijkhaltig met den inbond van eennbsp;cirkel, wiens radius middelevenredig is tusfchen denbsp;vgn den cylinder, en de middellijn van het grondvlak.
BEWIJS. Uit het I. Voorflel en XI. 18. en VII. 14. Gev. 2
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Op dit Voordel deunt de Bepaling van ge-lijkvorniige cylhuiers. Voor den regten cylinder is de a*nbsp;ook de hoogte, en men kan die woorden onderling vet'nbsp;wisfelen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. En dus hebben alle de gevallen, in welksnbsp;regthoeken onderling gelijkhaltig zijn, of in eene bepaaldenbsp;rede daan, fZie IV. 8. Gev. 4, 5.) ook plaats voor de of'nbsp;pervlakten van cylinders.
TACQUET pr. 10. Cor. a. en pr. n. Cor. 2, 3. amp;c.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De cylindrifche oppervlakte van een regten cylinder ftaat tot het grondvlak , als de as van den cylinder tot hetnbsp;vierde gedeelte der middellijn van het grondvlak.
TAcqoET 1. c. pr. 10. Cor. 3 en pr. 12,
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien de hoogte van den regten cylinder gelijk is aan de middellijn van het grondvlak , is de cylindrifche oppervlaktnbsp;van den cylinder het viervoud van die des grondvlaks.
TACQUET pr. 12, Cor,
111. GEVOLG.
Zij dan C cylindrifche oppervlakte, G het grondvlak* dan is de gcheele' oppervlakte (C a G) in dit gev*nbsp;gelijkhaltig aan 4 G 2 9 ~ 6 G ; dat is : de opp^rnbsp;vlakte van eenen regten cylinder , wiens hoogte gelijknbsp;aan de middellijn van het grondvlak, is het zesvoudnbsp;dit grondvlak,
V. VOORSTEL.
Gelijkvormige cylinders ftaan in de driedubbelde rede de middellijnen hunner grondvlakken.
6'
ton,, xij. 12. St. X. ii!
-ocr page 583-/, Afd.\ Over den Rol, of Cylinder. 521
lEwijs, I. Voorftel en XI. 12.
VI. VOORstEL.
Indien de cylindrifche oppervlakten van twee regte cylin-ders gelijkhaltig zijn, ftaan de cylinders tc elkander in de Zelfde rede als de middellijnen hunner grondvlakken, of innbsp;omgekeerde rede der hoogten: en indien de cyinders gelijkhaltig zijn. Haan hnms .eylindrifche oppervlakten- in omgekeerde rede van de middellijnen der grondvlakken, of in k-derverdbbelde rede van de hoogte.
TACQUET pr. 10. Schol. a.
BEWIJS. I. Zij de rede van den omtrek des cirkels tot de middellijn als v ; i. laten H en A de hoogten van denbsp;cylinders, I en i hunne inhouden, S en J de oppervlakten , IVI en m de middellijnen der grondvlakken verbeelden ,nbsp;dan is de cylinarifche oppervlakte van den eenen tot dienbsp;van den anderen = Hxn-.M: h x t ,m. en du.s, innbsp;dit geval Hxa-.M = AXa-,OT; dus H: A = .;nbsp;a-. M = ( : M
= A : H.
II. Uit de onderllelling is I = /: dus M^. H = J*. A; en M. m Vh:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;waaruit volgtS; r = M .H: m .h
I, GEVOLG.
Indien men dan uit een blad, dat een regthoekig parallelogram is, een cylindrhch vat moet maken ; zal de inhoud Srooter zijn indien men de kleinfle Zijde, dan indien mennbsp;de grootfte zijde voor hoogte neemt 5 het geen in de praktyicnbsp;Van belang is.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. ,
II. GEVOLG.
Hieruit ziet men hoe veel de oppervlakte van een draad Vermeerderd wordt, met denzelven te rekken: en,dus, indtennbsp;het een vergulde draad is, hoe veel de dunhid van hecnbsp;8oud (welks dikte in omgekeerde rede is v?n 4s' oppervlak-daar door vermeerdert.
522
OVER DEN KEGEl.
/
Iiiflien een ftip [V] boven het vlak van een cirkel [ADB] verheven is, en eene lijn [VA] zich uit dat onbewegelijk Hip [V] ais uit een middelpunt , om den o'nbsp;trek van den gegeven cirkel [ADB] beweegt; wordt denbsp;figuur, welke door die beweging gevormd, en door dennbsp;gegeven cirkel, als grondvlak, beOoteii wordt, een Kegelnbsp;of Conus genoemd; de kromme oppervlakte, door die beweging geboren, is de kegclachtige oppervlakte; bet gegeven ftip de kruin of top', de gegeven cirkel het grondnbsp;vlak. De lijn , welke het gegeven Hip en het middelpunt van den gegeven cirkel vereenigt, is de as van dennbsp;kegel. De lijn, door wier beweging de kegel gevormdnbsp;wordt, is de zijde van den kegel. Indien de as regt-hoekig op het grondvlak (laat, is de kegel regt: zoonbsp;Tiktj Jchuimcii zoo als BDAv.
EUCL. XI. Gep, i8, 19, 20. SC. X, d. 2, L. G. VIII. Bep. 3'
I, nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Anderen fgelijk euclides, en na hem tnbsp;CENDRE, enz.) befchouwen den kegel als geboren door denbsp;omwenteling van eenen regthoekigen driehoek vca oinnbsp;eene der regthoekszijden , als om eene as: de fchuinfchnbsp;zijde befchrijfc dan de kegelachtige oppervlakte; de andernbsp;regthoeks-zijde de laps, of het grondvlak; doch dan is denbsp;fcheve kegel onder de bepaling niet begrepen.
I. GEVOLG.
De zijde van den kegel heeft eene beflendige groott in regte kegeks: doch is voor ieder ftip van den oaits^^nbsp;verfchtllend in fcbninfche kegels.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. In de fchuinfche kegels, Haan de grootftenbsp;de kleinUe zijde, vlak over elkander in het vlak dat doonbsp;het middelpunt des grondcirkels gaat; en indien mennbsp;den trekt , die wederzijds van dat vlak gelijke bogennbsp;den grondcirkel affnijden, zijn die zijden onderling
Si3
Ih Afdgt;: Over deh keget. II. GEVOLG.
Indien men een vlak laat gaan door den top V en het middelpunt van het grondvlak, en dus langs den asnbsp;y C, is de fnede een driehoek A V B , welke gelijkbeenignbsp;is, en regthoekig op het grondvlak (Iaat, zoo de kegelnbsp;regt is. Naar mate de top-Iioek AVB van dien driehoek regt, ftomp, of Icherp is, wordt de kegel regtkoe*nbsp;Jlomphoekig of fcherphoekig genoemd.
111, GEVOLG.
Indien men den kegel evenwijdig aan bet grondvlak fnijdt, zijn de fneden drkels , waarvan de omtrekken,nbsp;200 als ook de middellijnen, tot elkander liaan, als hunne afllanden van den top; en de inhouden in verdubbeldenbsp;rede van die afllanden (Vil. lo.)
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. De fchuinfche fneden van den K^gel be-hooren niet tot de grondbeginfelen der Meetkunde, wanneernbsp;men die wetenfehap in eenen ftrikten zin, volgens de gewoonte der Ouden, neemt.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Die fchuinfche fneden leveren de zoogenaamde kegelfneden op, welke drie in getal zijn. Want denbsp;fnede Is of evenwijdig aan de zijde des kegels, en gaatnbsp;door het grondvlak , en dan komt die kromme lijnnbsp;voort welke men parabel noemt: of zij is zoodanig datnbsp;zij de bolle oppervlakte des kegels wederzijds fnijdt, ennbsp;de Ellips voortbrengt: of zij is fchuins, en gaat doornbsp;het grondvlak, en levert de Hyperbel. De eerfte en denbsp;laatfte fnede zijn den kegel alleen eigen: de kegel heeftnbsp;de tweede gemeen met den rol of cylinder', immers mennbsp;kan den rol befchouwen als eenen kegel wiens top oneindignbsp;ver af is van het grondvlak. De fchuinfche fnede van dennbsp;rol is ook eene Ellips.
VI. bepaling.
Indien men in den cirkel, grondvlak van den kegel, enen veelhoek befchrijft, en op deszelfs zijden driehoeken of vlakken oprigt , waarvan alle de toppen zich innbsp;'^en top des kegels vereenigen : zal de pyramide daaruitnbsp;^htftaande gezegd worden in den kegel, en de kegel omnbsp;ie pyramids befchreven te zijn. ,,
524 nbsp;nbsp;nbsp;O^'CT de Ugch. fig. met kromme oppervh
GEVOLG.
De ribben van de pyramide raken den hollen omtrek des kegels en liggen in denzelven,
VN. bepaling.
Indien men om den cirkel, grondvlak des kegels, eenen veelhoek befchrijft , en om deszelfs zijden driehoekig*^nbsp;vlakken oprigt, waarvan alle de toppen zich in den topnbsp;des kegels vernigen: zal de pyramide, op die wijze gevormd, gezegd worden om den kegel, en de kegel in denbsp;pyramide bel'chreven te zijn.
GEVOLG.
Da vlakken van de pyramide raken de bolle oppervlakte des kegels.
Vllf. BEPALING.
Een kegel wordt gezegd in eenen cylinder, en een cylin' der wordt gezegd om den kegel befcbreven te zijn, alsnbsp;het grondvlak des kegels gelijk is aan dat des cylinders ,nbsp;en op hetzelve geplaatst zijnde , de kegel geheel binnen dennbsp;cylinder valt, en met zijnen top het bovenfte grondvlak deSnbsp;cylinders raakt.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,
GEVOLG.
valt
Indien de cylinder en de kegel, beiden, regt zijn, de top in het middelpunt des bovenften grondvlaUs,
BEPALING.
tot
Kegels zijn gelijkvormig, als de rede van de as de middellijn des grondvlaks, in alle de zelfde is.
St. X. dcf. 7, L. G. VIII. Bep 4. aanmerking. Zie de Aanmerking op de tweede BepaliSnbsp;Zij is even op de kegels als op de cylinders toepasfelijk.
X. bepaling. Fig. 233.
Men noemt geknotten kegel eenen kegel waarvan het bo-ventte gedeelte is afgenamen._ Die figuur beftaat derhal'^ uit twee ;Ongelijke en evenwijdige circulaire vlakken,nbsp;eene bolle kcgelachtige oppervlakte vernigd. Het hS'nbsp;chaam EFGB DAE is een geknotte kegel,
h. G. Vm, Dep. 3 nbsp;nbsp;nbsp;Y0,
-ocr page 587-VIL VOORSTEL. Fig. 233.
Een kegel is de limiet van alle pyramiden die de zelfda hoogte hebben als de kegel, en wier grondvlak een veel-hoek is in, of om den cirkel, grondvlak van den kegel ^nbsp;hefchreven.
TACQUET Selecta ex arcihmede gt; pr. p, lo.
BEWIJS. Uit de VI. en VU- Bep. en uit VU. 13.
GEVOLG.
Hieruit blijkt hoe men het gezegde van velen te verllaan Iiebbe, dat' de kegel eene pyramide is van een oneindig getal oneindig kleine zijden: welke uitdrukking geheel te verwerpen is.
Vllf. VOORSTEL
De inbond eens kegels is het derde gedeelte van dsn inbond eens cylinders om dien kegel befchreven.
EUCL. XII. 10. St. X. 18, L G. Vin. 5 Cor.
BEWIJS. Uit het VII. en I. Voorftel; VII. 5. en Xf. 26,
I. nbsp;nbsp;nbsp;G E V O L G.
Hieruit blijkt hoe men het gezegde van velen te verdaan hebbe, dat de inhoud eens kegelS gelijk is aan het grondvlaknbsp;door het derde gedeelte van de hoogte vermenigvuldigd.
St. X. iS. Gev. 2, L. G. VIII. 5.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De inhoud van eenen kegel kan uitgedrukt worden'door * gt;c ^ ^ . H
---- , Z03 H de hoogte des kegels is.
3
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De inhoud eens kegels flaat tot dien van een parallelcpi-P^dutn om den kegel befchreven, als het derde gedeelte van den inhoud des cirkels tot het vierkant op de middellijn : ofnbsp;3ls een twaalfde gedeelte vaii den omtrek tot de middellijn.nbsp;fUl. Voorft.)
IX. VOORSTEL.
Verfchillende kegels Haan tot elkander in famengeltelde I'sde hunner grondvlakken en hoogten.
Si. X. 19:
ga XII Boek: Over de gch. fig. met kromme opptr\d
BEWIJS. Uit het VIII. Vooril. Gev. 2.
I. GEVOLG.
Kegels die de zelfde hoogte hebben zijn als hun' grondvlakken, of in verdubbelde rede van de middellijnennbsp;dier grondvlakken : kegels die gelijke grondvlakken heb'nbsp;ben zijn als hunne hoogten: en kegels, welke op gelijl'nbsp;grondvlakken en tusfehen de zelfde evenwijdige vlakkennbsp;ftaan, zijn gelijkhaltig.
EOCL, XII. II, 14. St. X. 19. Gev. 1,2, 3. L.G.VIIf. 3. CoG
BEWIJS, Uit II, VIII. eli uit de V. Bep. van dit Boek.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Indien twee kegels gelijkhaltig ziin, ftaan derzelver groiK^' vlakken in omgekeerde rede hunner hoogten: en oifl*'nbsp;gekeerd.
EupL, XII. 15. ~ St X. 19; Gev. 4, s.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG,
De inhouden van gelijkvormige kegels ftaan tot elkand^ in driedubbelde rede van de middellijnen hunner grond'nbsp;vlakken.
Eocf., XII. 13. St, X. 30. L. G. VIII. 5. Cor. 3.
De kegelachtige oppervlakte van een regten kegel wordt liitgpdrukt door eenen driehoek, waarvan de grondlijnnbsp;de omtrek is van het grondvlak, en de hoogte de zijde vannbsp;den kegel: of, wat op het zelfde uitkomt, die opper*nbsp;vlakte is gelijkhaltig met eenen cirkel wiens radius middel'nbsp;evenredig is tusfehen den radius van het grondvlak, ennbsp;de zijde van den kegel.
tacqoet 1. c. pr. 10, Cor. 6. Cor. 10. en pr. 13. en Cor. pr, '3* L. G. VIII. 7.
BEWIJS. Uit het VII. Voorft. XI. 27. en VIL 13, Gev. 2.
L iV4NMERKiNG. Alle de gevallen in welke de inbonden in'
verfehillende driehoeken gelijk zijn, of in een bepaalde red
ftaan (zie IV. 8. Gev. 3, 4.) hebbep ook plaats voor d
oppervlakten van kegels.
TAPQnET pr. 10. Cor. 7. en pr. 13 Cor, 2,3, enz,
-ocr page 589-527
II, Afd.; OVr den kegel.
J. GEVOLG.
Hierop ftcunt de bepaling van gelijkvormige kegels.
t)e kegelachtige oppervlakte des kegels wordt derhalve iiitge-^''tikt door ir X r x Z: indien r de radius des grondvlaks
Z de zijde des kegels is.
De kegelachtige oppervlakte van den regten kegel (laat tot *gt;jn grondvlak, als de zijde van den kegel tot den radiusnbsp;Van het grondvlak.
tacquet I. c. pr. 10. Cor. 8. en pr, 14,
En dus, zoo de fnede van den kgel die door den top gaat een gelijkzijdige driehoek is, dat is, zoo de zijde vannbsp;den kegel gelijk is aan de middellijn van het grondvlak, isnbsp;de kegelachtige oppervlakte van den kegel het dubbeld, ennbsp;dus de gehele oppervlakte het drievoud van het grondvlak.
TACQUET pr. jo. Cor. 9.
De kegelachtige oppervlakte eens regten kegels ftaac tot de cylindrifche oppervlakte eens regten cilinders die denbsp;Zelfde hoogte en het zelfde grondvlak heeft, als de halvenbsp;zijde van den kegel tot de hoogte van den cylinder. (IV^nbsp;Voord. Gev. i )
tacquet 10 Cor. 9 en J4. Cor. s.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
Dus is ook de kegelachtige oppervlakte eens regten kegels gelijk aan eenen cirkel-/retor , wiens boog aan den omtrek van het grondvlak, en wiens radius aan de zijde van den kegel gelijk is. De zijde nu van den kegel ftaac totnbsp;den radius van het grondvlak, als 360quot; tot den gemeldennbsp;boog.
ll. aanmerking. Hieruit befchrijft men gemakkelijk eenen
Sector, die, door omrolling van het papier, een kegel van
eene gegeven hoogte en grondvlak wordt.
Want, zij (fig. 232-j PQ de middellijn van den cirkel
X, die het grondvlak van den kegel zijn zal: zij A C, of , de
Mm 4 nbsp;nbsp;nbsp;zij'
XII. Boei: Over at Ugck. fig. ntet hromme opp^f'^^'
zijde van den kegel : zij 2 A C, of de middellijn} PQ, als 3o of de omtrek, tot den boog DE, datnbsp;tot den hoek DCE : maak dan op CA,, uit C, 2nbsp;5:3 ^ A C E = ^ gevonden hoek: dan is de driehoeknbsp;)CE de oppervlakte van den kegel; de boog DAnbsp;gelijk aan den omtrek van het grondvlak X; en dusgt;nbsp;indien men D A E om den cirkel X rok, zal men dennbsp;gevraagden kegel verkrijgen.
Immers,zij 'de middellijn des cirkels X kortsheidshalve uit*
gedrukt door D: de kegelachtige oppervlakte is 00 'pp~~
Br
derhah'n R . 2
Jector 00 (VU. 15) of hier 00
Itegelachtige oppervlakte tot fcctor
^ 3-0: B. Maar hier is i : v (of 360) = D; B t en dus B = a-D: derhalve ook kegelachtige oppervlaktenbsp;gelijk aan den Jctor ECO.
XI VOORSTEL. Fig. 231.
De oppervlakte van eenen geknott.n regcen kegel is gS' lijk aan dep inhoud van een regthoekig trapezium waarvannbsp;de hoogte de zijde van den geknotten kegel is , en de oii'nbsp;derfte en boventle zijden de onitrekken zijn van den ondef'nbsp;ilen en bovenflen cirkel des geknotten kegels: of, 2 watnbsp;op het zelfde uitkomt, die oppervlakte is gelijk aan den inhoud van een regthoek , wiens hoogte de gemelde zijde is,nbsp;en wiens grondlijn middel arithmetUch evenredig is tiisfQhennbsp;de omtrekken der beiden cirkels van den kegel: ofeindelijknbsp;3V wat nog op het zelfde uitkorat, die oppervlakte is gn*nbsp;Jijkhaltig met den inhoud van een cirkel, wiens radius gn-ornetrisph middelevcu'-edit? is tusfchen de zijde des kegels, sBnbsp;de fpni der radH van de beide cirkels.
TUCQUET 1. c. pr. 15. l^. G. vi l g. jEwijs Uit het X Voorilel en iV 9. Gev. 8,
AANiviititKiNG. Indien X de cirkel is die de bovenfle of* perviakte van een geknotten kegel uitmaakt: en mennbsp;(Fig. 232 ) middeiliji) van^ X tot middellijn van Y 3: A^^nbsp;CF: zal boog G U gelijk aan hen omtrek van den cirkelnbsp;zijn: en dus zal G D E H de oppervlakte zijn van den g.'nbsp;Jtuptten kegel, ep het vlak, dat door omrolling op denbsp;V'hk^ls, den geknp?ten kegel uitmaakt.
-ocr page 591-GEVOLG.
De tweede uitdrukking in het Voordel kan ook aldus veranderd worden: De kegelachtige oppervlakte eens geknotten Itegel, is gelijkhalcig met den inhoud eens regihoeks, w'iensnbsp;hoogte is de gemelde zijde, en wiens grondlijn is de omtrek eens cirkels, door het midden van den aflland tusfcbennbsp;de twee grondvlakken getogen.
L. G. VIII. S. Cor.
FG H- AE
BEWIJS, Immers zoo AI = IF is IL ~ nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
De'inhoud van eenen geknotten regten kegel CAEGB) is gelijk aan het derde gedeelte der fom van drie cylinders, wiernbsp;gcmeene hoogte [F C] is de hoogte van den geknotten kegel, en wier grondvlakken zijn, het onderde grondvlak vannbsp;den gegeven geknotten kegel , het hovende grondvlak des-zelvcn, en een grondvlak wiens radius middel-eveuredig is tus-fchen de radii der twee gemelde grondvlakken.
L. G. viir. 6.
BEWIJS. Geknotte kegel 90 kegel A VB kegel EVG.
Zij A C K , E F = r, F C = H : is
cekn. kegel nbsp;nbsp;nbsp;VC J*-.r*5lt;VFOO
I rr fR* VC - ;* VF
maar V C: V F R: r: derhalve 1 R . V F ~ r . V C *
jo. VC VF: VC = R z: R: of
FC: VC R - r: R;
FC X R
en dus V C ~ nbsp;nbsp;nbsp;^ ; waaruit volgt
geknotte kegel CO i . H (,R' r* P*j : het geen den regel .in den tekst opgeeft.
.ANMEaKiNG. Deza rcggi is reeds door clavivs gegeven in zijne Practica : V. Cap. 3.
Indien een, halve cirkel om zijne middellijn, als om eene fpil wentelt, zal hij door die beweging een ligcliaaninbsp;vormen dat kloot, of bol, of fpheer, genoemd wordt. Denbsp;middellijn van den cirkel is de as, het middelpunt is hetnbsp;middelpunt van den kloot; en de beide uiteinden der aSnbsp;worden polen van den kloot genoemd.
sucL. XI. Bep. 14, 15, 16, 17. St, K. Bep.
GEVOLG.
De lijnen die men uit het middelpunt van den kloot trekt naar alle de flippen van deszelfs omtrek, zijn gelijk.
aanmerking. Deze is de reden waarom fommigen den kloot een ligchaam noemen, zoodanig gefteld, dat alle de lijnennbsp;ie zeker punt naar deszelfs oppervlakte getrokken onderling gelijk zijn.
TACQUET op EUCL. XII. dcf. $. L. G. VII, dcf. I.
XIII. VOORSTEL. Fig. 238.
Op welke wijze men den kloot door eenig vlak fnijde, de Ihede is altijd een cirkel.
L, G. VII. I.
bewijs. Zij D E de fnede, of liever de gemeene fnede van dat vlak en den cirkel die door het middelpunt van dennbsp;kloot gaat : dan is DE eene choorde van dien cirkelnbsp;BGHB: en dus indien men de zelve in F. in twee gelijksnbsp;deelen fnijdt, en door F en het mkidelpunt C de lijf'nbsp;BFCH trekt, is die lijn BH eene middellijn van den cirke*nbsp;B G H B: dus zijn B E H en B D H halve cirkels: en gevol'nbsp;gelijk indien de halve cirkel BDH om D H wenteldenbsp;zoude deze den zelfden kloot, en het rtip D eenen cirUf*nbsp;befchrijven, waarvan D E de middellijn is; gevolgelijknbsp;de fnede van het vlak dat den kloot langs E D fnjjdt eequot;nbsp;cirkel.
I. GEVOLG.
Hoe ook een kloot, door ecnn kloot, of door eenen
531
III. Afd.: Over den kloot ^ of bol.
cylinder, of door eenen kegel gefneden worde, is de ge-nieene fnede altyd een cirkel.
II. gevolg.
D. G, Meetk. 924.
Door twee (lippen op de oppervlakte eens kloots gege* Ven en door bet middelpunt, kan altijd een vlak getrokken worden, dat op de oppervlakte des kloots eenen cirkelnbsp;Zal afperken.
L. G. VII. I. Cor. 6.
De fneden, die door het middelpunt des kloots gaan, worden groote cirkels des kloots genoemd , en hunnenbsp;middellijnen zijn middellijnen van den kloot. Indien eennbsp;derzelver als As befchouwd wordt, zal de groote cirkelnbsp;op wiens vlak die as loodregt (laat den naam van Equator , of Evenaar des kloots dragen.
St. X, Bep. 9. 10. L. G. VII. def. 3.
aanmerking. Door twee flippen en het middelpunt kan maar n nige cirkel getrokken worden, ten zij de tweenbsp;gegeven flippen twee tegenover elkander (taande polen desnbsp;kloots zijn: als dan is het getal onbepaald.
L, G. VII. 1. Cor. 3.
GEVOLG.
Alle groote cirkels zijn gelijk, en fnijden zoo wel de oppervlakte als den inhoud des kloots in twee gelijke deelen. L. G. vu. I. Cor. 3.
XIII. BEPALING.
De fneden des kloots die niet door het middelpunt gaan, vvorden kleine cirkels des kloots genoemd.
L. G. vit. def. 3.
AANMERKING. Het blijkt dat men de bepaling van kleine cirkels niet geven kan, alvoorens bewezen zij dat alle de fneden van den kloot cirkels zijn.
GEVOLG.
_ Het middelpunt eens kleinen cirkels en die van den kloot ^ijn in eene en de zelfde regte lijn, welke loodregt (laat opnbsp;net vlak des kleinen cirkels,nbsp;l. G, VII. r, Cor. 4.
XIV,
-ocr page 594-XIV. voorstel.
De kleine cirkels van den kloot zijn des te kleiner dat tij verder van den Equaior afdaan: hunne middellijnen en hunnenbsp;oratrekken Haan tot de middellijn en den omtrek eens groo-len cirkels, als de c/fmusfen der hoeken, of bogen, die hunnenbsp;afftanden van den Equator bepalen, tot den radius des kloots!nbsp;en hunne oppervlakten Haan in de verdubbelde reden diefnbsp;cofmitsfen. .
L. G. Vil, I. Gev. 5.
BEWIJS. Fig. 149. itij EKFGE de fnede van den kloot, E F de as, G K de fnede van den Equator , en I N D , M R B , die vannbsp;twee kleine cirkels: dan zyn de bogen KD en KB derzelver af'nbsp;ftancien van den Equator en CS, of N D , CR. of PB, zyn de'nbsp;coi.nusfcn van die afllauden, of van de bogen KD en KB: waar*nbsp;uit het gezegde volgt.
A^NME8KI^'a. De kennis dezer kleine cirkels en van de rcJe die derzelver omtrekken tot elkander hebben, naar mate hunnernbsp;afftanden van den Equator, is in de Geographic en Navigatie vannbsp;liet grootfte belang. Indien een graad onder den Equator in i5nbsp;GeographiJ'ohe of Duit feite, en in o Engeifeiie zce-mijlen verdeeldnbsp;wordt : zal een graad van eenigen cirkel evenwijdig aan dennbsp;; Equator, Op eenigen afftand van dezen, of op cenige breedte,nbsp;geen 15 Duitfche of geen 60 Engelfche zee-mij'en bevatten: maarnbsp;minder: en op o gr. breedte, maar 7I Dnitfclic of 30 Engelfche,nbsp;om dat de cefut. 60 \ -jlz fm. 30'. i rad. Om het getal mij-Iet: die in eenigen graad lengte, d. i. in eenigen graad op dennbsp;Equator , of op eenen citkel aan den Equaior evenwijdig, tenbsp;kennen , is op vele pleinfchalen , inzondfilheid op de Engelfche ,nbsp;eene lijn bellenui , waarvan wij reeds in I.K ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4/rf, i: Geval
,lt; nbsp;nbsp;nbsp;4, Aamii, 3 , gefpfoiccn hebben. Zjj is be/lempeld :uc.t de letters
Don, verkorting van Iwtgiuide, of enkel met de letters L. M. verkorting van tongitiide-milcs. Indien men den rcJtns eens cirkelsnbsp;in 60 deelcn verdeelt, zullen die 60 deden 60 Engelfche mijlen,nbsp;of ieder -4 Duitfche mijl aaiiduiden , die gelleld worden op dennbsp;Equator duen graad, uitteraaken. ludien men daii met het flipnbsp;IC Cf'ib gt;490*11^ beginnen, daar de 60 (laat, achtervolgeiis aftrok dennbsp;tfinus-verfiD KS, deii ftmis verfns KP, enz. zoude men het getalnbsp;deden die CS, of CP uitmaken kennen, dat is, het geial doelen welke op de breedte KD , of KB in een graad begrepennbsp;zijn: maar om dat er op de pleinfehalen doorgaans geen lijn vannbsp;, lt; fims-verftis is, ma.ar wel eene van ehoorden, en de zeelieden meernbsp;mei deze gewoon zijn om te gaan , zijn de mijlen Cvan o innbsp;een graad) opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aan de choorde van 90 gr. op
zoodanige wijze gdidd, dat, indien men fuccesiivelijk, te be* ginnen aan het uiteinde 60, de choorden 'mn 10, 20, 30, enZ.nbsp;gr, met den pasfer (lelt; de tweede punt deszelven dat getalnbsp;jnhlen aanwijst welke,op een breedte van 10, 20, 30, enz, gr.nbsp;ia (5,nen graad bevat zijn, bij voorbeeld , de choorde van 3fnbsp;valt'op 51.9, die de cofnus is van 30., wanneer de radtusnbsp;door 60 wordt uitgedrukt, en die het getal mijlen aanduidt quot;ienbsp;4gt;p de briedts van 30 gr, in nen graad lengte begrepen ziJ-
- nbsp;nbsp;nbsp;XV.
-ocr page 595-III. Jfd.: Onr den kiest, of hoi, nbsp;nbsp;nbsp;53^
Wanneer door twee flippen E en I op de oppervlakte eens kioots, een groote en een kleine cirkel gaan, is de boog desnbsp;grooten cirkels welke tusfchen die flippen begrepen ts, kletser dan die des kleinen cirkels welken door de zelfde top-P^n gaat.
BEWIJS. Immrs zij EI de dioordc der beide bogen; de radii CE cn Cl des grooten cirkels, zijiP grooter dan de radii KE ennbsp;KI des kleinen; zij befpannen echter de zelfde choorde El: denbsp;boog des grooten cirkels is derhalve een kleiner gedeelte vannbsp;zijnen omtrek dan die des kleineren cirkels van den oimrck vannbsp;dezen is.
GEVOLG.
Op de oppervlakte des kloots, is de kortfle weg van een flip tot een ander, de boog des grooten cirkels die door beide flippen gaat.
L. G. VIL
XIV. BEPALING. Fig. 241.
Men noemt bolvormig fegmem [ fegment fphrique'\ v;u een kloot, of bol , bet (luk [BPDOBllD] dat Be-grepen wordt door een gedeelte van de bolvrmige oppervlakte des kloots en den cirkel [BRDOB] die hetnbsp;zelfde ftnk van den kloot fcheidt.
L. G. VII. 13, D. G. XH. . 934.
GEVOLG.
Zoodanig bolvormig fegment [DP BOBR DJ wordt derhalve door den cirkel BR DO bepaald; en deszeJfs hoogte is de loodiijn S P , uit bet middelpunt van dien cirkel totnbsp;aan de oppervlakte opgerigt.
! aanmerking. Die hoogte, of loodlijn, PS is derhalve een ftuk van de a% des kloots; want alle- loodlijnen die opnbsp;cirkelvlakken welke den kloot fnijden, uit het middeipuncnbsp;van die vlakken opgerigt worden, gaan klaarblijkelijk doornbsp;het middelpunt van den kloot, en zijn dus, tot de opper-vlakte wederzijds verlengd zijnde, usfen derzelven.
ll. aanmerking. De hoogte P S is de finus-verfus van den boog PD helfte des boogs BPD welke de bolvorniigenbsp;oppervlakte van dat ftuk bepaalt,
XV.
-ocr page 596-534 XU. Boek', Over de Ugch. fig. met kromme oppcri^
XV. nbsp;nbsp;nbsp;bepaling. Fig. 241.
Men noemt kolvormige fchijf des kloots dat gedeelta BDFE deszelven , dat tusfchen twee aan elkander evenwijdige cirkels BRDO, EQFT begrepen is. Die cirkels zijn dus de twee grondvlakken van de bohormig^nbsp;fchijf, en worden door een gedeelte der bol vormige op'nbsp;pervlakte des kloots vereenigd. De klootfche oppervlakte ,nbsp;begrepen tusfchen de twee cirkelvlakken die den fchijf be -palen, kan den naam van band, o gordel, of klootfchct^nbsp;band, of klootfchen gordel (zone fphrique') dragen.
GEVOLG.
De hoogte van de fchijf is de lijn K S die de mid-del]3unten der beide cirkels vereenigt, en derhalve lood* regi; op dezelve ftaat, en een gedeelte der as van dennbsp;kloot is.
aanmerking. Indieii de bolvormige fchijf BD F E grooter en de cirkel BRDQ die denzelven bepaalt, kldner, ebnbsp;eindelijk de hoogte K P in plaats van K S wierd: zoude denbsp;cirkel BRDO verdwijnen, en de bolvormige fchijf zoudenbsp;een bolvormig fegment worden.
XVI. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING. Fig. 241.
Wanneer de halve cirkel PApP door deszelfs omwen' teling om den as Pp eenen kloot befchrijft, zal de cirkel-fector BCP eene ligchamelijke figuur BCDPB befchrij'nbsp;ven, die men fector van den kloot noemt.
Het grondvlak van den fpherifchen fector, zal een ftuk BPD van den oppervlakte des kloots zijn.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Zoo lang de cirkelBCP kleiner is dan het vierd? gedeelte van den cirkel, is de fpherifche fector PBCDPI^nbsp;een kegel, wiens grondvlak is het gededte BPD der op*nbsp;pervlakte van den kloot: en die kegel zal beftaan i.nbsp;den gewoonen kegel BCD. wiens grondvlak is de kle*^ ^nbsp;cirkel BODRB: en 2. uit het fpherifche bolvormig'^^'quot;nbsp;ment BPD, door dien zelfden cirkel bepaald.
535
III. Jfd : Over den kloot, of bol.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Wanneer de cveVtX fector het vierde gedeelte ACB van Mn cirkel is, wordt de fpherifche fector de halve kloot.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Wanneer de cirkelPA^C grooter mogt zijn dan het viewle des cirkels, zal de fpherifche fector grooter zijn dan de halve kloot, en een ligchaam vrtbrengen dat gelijk zal zijn aan den kloot, min de fpheri-fche fector bCdp die gemaakt wordt door de omwenteling van den chkeX-fcctor bCp, fupplement van de gegeven cirkel /cr/quot; PA^C.
XVII. BEPALING.
Indien een vlak UVWX, ten opzichte van den bol PAp, zoodanig gefield is, dat het met den bol maarnbsp;n nig flip p gemeen heeft, wordt dat vlak gezegd dennbsp;bol te raken.
GE VOL G.
De as P/ des kloots flaat loodregt op alle de lijnen YpZ die in het zelve vlak getrokken worden ; en dienbsp;lijnen zijn raaklijnen van den kloot, en van alle de cirkels die door het flip van aanraking gaan.
XVIII. BEPALING.
Een cuhus wordt gezegd in een kloot befchreven te 2ijn, ,als hij zoodanig in den kloot bevat is, dat zijnenbsp;3cht hoeken op de holle oppervlakte van den klootnbsp;busten! en een cylinder , wanneer de twee cirkel-vlakkennbsp;die den zelven bepalen, de oppervlakte des kloots raken.
I. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Geen cylinder kan in den kloot befchreven worden, en zij hij regthoekig zij , deszelfs as met de as van deiinbsp;cylinder overeenkome, en de onderfle en bovenfle cirkel-oppervlakten op gelijke afflanden van het middelpunt desnbsp;Idioots liaan.
II. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
De omtrekken der beide circulaire oppervlakten van den
cy.
-ocr page 598-53(5 Xll. Boek: Over de ligch, fig. met kromme oppcrvl
cylinder die in den klooi befchreven is , komen
met de twee kleine cirkels deszelven, die op dc zeilde a*
Handen van het middelpunt Haan.
XIX BEPALING.
Een ctibus , of een cylinder , wordt gezegd om eeiiei kloot befehreven te zijn , a!s de kloot zoodanig in dennbsp;zelven bevat is, dat hij alle de vlakken van den cubiiSinbsp;en zoo wel de holle oppervlakte als de beide grondvlakkennbsp;van den cylinder raakt.
St. X. Bep. II.
GEVOLG.
Hieruit volgt x. dat de zijde van den cuhus ^ of de middellijn van het grondvlak des cylinders^ om den klootnbsp;befehreven, gelijk is aan de middellijn van den kloot.
2. Dat de aanraking van den kloot met de oppervlakte van den cylinder^ of met de zijden van den cubus^ ge*nbsp;Ichiedt door den Equator van den kloot, en op de helftnbsp;van de hoogt van den cubus^ of cylinder,
3. Dat de as van den kloot met dien van den cylindef overeenkomt.
XX. nbsp;nbsp;nbsp;BEPALING.
Een kegel wordt gezegd in den kloot befchreven zijn, als zijn circulair-grondvlak de holle oppervlakte vaOnbsp;den kloot raakt, en zijn top, op die oppervlakte rust.
I, GEVOLG.
De as des regten kegels, in den kloot befchreven, dus in rigting met de as des kloots overeen.
II. GEVOLG.
De omtrek van het grondvlak des kegels komt met diejl cirkel van den kloot overeen, welke op den zelfden afftannbsp;van het middelpunt des kloots ftaat.
XXI. nbsp;nbsp;nbsp;bepaling.
Een kegel wordt gezegd om eenen kloot befchreven ^ zijn, als de kloot op liet grondvlak van den kegel msjnbsp;en de oppervlakte van den kloot door die van den keg^*nbsp;geraakt wordt.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B*
-ocr page 599-537
III. Afd.: Over den kloot ^ of bol.
gevolg. Fig. 236.
Die cirkel des kloots welke de oppervlakte eens regten kegels raakt, is een kleine cirkel, en ia des te meer van den Equatornbsp;Verwijderd dat de kegel ftomper is: want Po: PCnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cof. I
oPC: I = cof. L POI: i = cof i L GOF: 1.
XXII. bepaling.
Eene veelvlakkige ligchamelijke figuur worfit gezegd in den kloot befchreven te zijn, als de toppen van alle des-zelfs ligchamelijke hoeken op de holle oppervlakte vannbsp;den kloot rusten.
XXIII. bepaling.
Eene veelvlakkige ligchamelijke figuur wordt gezegd om den kloot befchreven te zijn, als de kloot zoodanig binnen dezelve geplaatst is, dat de bolle oppervlakte desnbsp;kloots alle de vlakken van de ligchamelijke figuur raakt.
XVT. VOORSTEL. Fig. 239,
De kloot is de limiet van alle de veelvlakkige ligchamen die in denzelven befchreven kunnen worden.
BEWIJS.
Uit XI. 30. en VII. 13.
GEVOLG.
Hieruit blijkt hoe men te verftaan hebbe het geen velen Zeggen, dat de fpheer een veelvlakkig ligchaam, o^polydrum,nbsp;s van een oneindig getal oneindig kleine vlakken; een denkbeeld dat geheel onnaauwkeurig is.
XVII. VOORSTEL. Fig. 144.
De oppervlakte van den kloot is gelijkhaltig met een birkel wiens radius het dubbeld , is van den radius desnbsp;,8rooten cirkels; of a, wat op het zelfde uitkomt, zij isnbsp;ket viervouwd van den grooten cirkel des kloots: of eindelijk 3 , wat nog op het zelfde uitkpmt, zij is gelijk.
aan deu regthoeU uit de middellijn en den omtrek ens grooten cirkels.
tacquet. Selecta ex archimede , pL *824. L. G. VIII, lo. Cor. I.
Bereiding. Men onderftelle dat er in den grooten cirkel een regelmatige veelhoek van een even getal zijden beschreven is, doch welk getal door vier deelbaar is. Zij
Nn nbsp;nbsp;nbsp;A8
-ocr page 600-^2,^ XII, Boik: Os/cr dt ligck. fig. met kromme oppervl*
J^BCDEFGH eeii dergelijke veelhoek, E A de /zj van den ;k!ooc: men crekke da lijnen zoo als in de, figuur, en mennbsp;flelle dac nu de kloot door de omwenteling van den halvenbsp;cirkel A B C 0 E op de as A E gevormd wordt; dan befchrijftnbsp;die omtrek van den halven veelhoek een ligchaam, beilaandnbsp;uit twee gelijke kegels ABH en FED en verfchillende g'nbsp;knotte kegels BCGHen CDFG, doch die wederzijds vannbsp;den Equator. CG altijd, ieder in hunnen rang, gelijk zijnnbsp;zoo dat er altijd twee gelijke gevonden worden.
BEWIJS. Men neemt (door Voorll, X. en XI.) de oppe^ vlakten van die kegels en geknotte kegels A BH,nbsp;enz. en derzelver fora: welke men tot eene eenvoudignbsp;waardij herleid: namelijk X A E X BE door VI.nbsp;de oppervlakte des kloots is dus de limiet van die foi'nbsp;en men fteit dan, voor de lijn B E die in dezelve voot'nbsp;komt, hare limiet, namelijk de middellijn AE; waaruit he*nbsp;geftelde volgt door VII. 14.
I, nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Meii neemt een getal zijden voor den veel'nbsp;hoek, dat door vier deelbaar is, op dat het even zounbsp;zijn in den halven cirkel; en op dat er derhalve geen zijnbsp;evenwijdig aan den diameter zoude zijn, waar door eei*nbsp;cfiinder geboren zoude worden,
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. De derde uitdrukking in het Voorllel vef'nbsp;meld doet zien hoe le gendre dezelve aldus heeft kunnennbsp;opgeven: de oppervlakte van den kloot is gelijk aan zijnennbsp;,, diameter door den omtrek eens groocen cirkels vermemS'nbsp; vuldigd.
XVIII. VOORSTEL. Fig. 144.
De ronde oppervlakte van een Huk [ACDFGHAJ van een kloot, dat is van een fpherisch-fegment deszelve^nbsp;(Bep. XIV.) is gelijkhaltig aan den inbond van een cirkelgt;nbsp;wiens radius middelevenredig is tusfchn de middellijquot;nbsp;[AE] van den kloot, en de hoogte [AO] van het fegmefd'nbsp;of, wat op het zelfde uitkotnt, wiens radius eene hrnbsp;[AD] is, getrokken uit het flip A van dat ftuk, poolnbsp;den cirkel die het grondvlak van ht ftuk is, naar dnbsp;oaitrek van dezen cirkel.
tacquet, Selecta ex archimede, pr. as.
BEWIJS. Uit het XVII. Voorftel en VI. 1$. wofdt kelijk bewezen, dat de oppervlakte van hetnbsp;. .FGHABCDF gelijk is aan * K BE X AO;
-ocr page 601-ill. Jlfd.: Over den kkot, f bol. nbsp;nbsp;nbsp;j;2p,
Oppervlakte des kloots is de limiet 'van die de^ gchaams F G 11A B C D F, en dus is zij = a- X A O X dmiet vannbsp;BE; welke is A E: derhalve is die oppervlakte ^ X.
A E X A O. Maar A^AD= AD:AO: gevolgelijk v AE.AO = a- X AD* = cirkel, wiens radius is A D.nbsp;(VIL I4. Gev. i.j)
De ronde oppervlakten van fpherifche fegmenten in den zelfben kloot, (laan tot elkander als.de vierkanten der choorden, it hunne toppen tot aan de ointrekken hunner grondvlakkennbsp;getrokken; of als hunne hoogten.
D, G. Meetk. . 935.
BEWIJS. Immers door dit Voorftel , oppervlakte fegtn. ABCDFHA: Oppervl.ABHA AD^: ABLnbsp;Maar AD^: AB AO: AK CV. 15.)nbsp;derhalve oppervl. y^OT. ABCDFHA: oppervl. fegninbsp;ABA = AO: AK.
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
De ronde oppervlakte nbsp;nbsp;nbsp;fpherisch-fegments x.01
^an den kloot als het vierkant van de choorde des fegments fot dat van de middellijn, of als de hoogte des fegments !{nbsp;de middellijn.
D. G. Meetk, 5. 936.
XIX. VOORSTEL.
De oppervlakten van v^rCchilIende df^eeren (laan tot alkander als de vierkanten hunner middellijnen.
aansierking. Indien men dit Gevolg vergelijkt met de 7. Bepaling van het XL Boek, en met het geen wij in denbsp;IL Aanmerking op het X. Voorftel van het VIL Boek ge-2egd hebben: zal het blijken dat alle bollen, o fpheeren ^nbsp;gelijkvormige ligchamen zijn.
kloot. TAcquET pr, aS,
De inbond van den kloot is gelijkbaltig met dien van 6et\ kegel, wiens hoogte de radius is van den kloot,nbsp;wiens grondvlak gelijkbaltig is met de oppervlakte vannbsp;quot;en kloot.
E-
Nn 2
-ocr page 602-540 XII. Boek: Over de Ugck. fig, mei kromme epptrvh
BEWIJS. Uit XI. 29. en het XIlI. Voordel.
I. GEVOLG.
De kloot is het viervoud van een kegel wiens grofl^' vlak de groote cirkel en wiens hoogte de -radius is vaiinbsp;den kloot.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Dit Gevoig geeft deze uitdrukking,nbsp;kloot =: 4 O ^ I R- = oppervl. x | R; het geennbsp;uitdrukking is door le gendre gebezigd. VIII. ii. Cor*
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Hieruit volgen deze uitdrukkingen.
A !r R 4 iT M nbsp;nbsp;nbsp;w M
Kloot = nbsp;nbsp;nbsp;= -r = ~6
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
En dus is ook de kloot het dubbeld van een kegel grondvlak de groote cirkel en wiens hoogte de middellijnbsp;is van den kloot.
III. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
En de halve kloot is het dubbeld van een kegel wie* grondvlak de groote cirkel, en wiens hoogte de radii^^nbsp;is van den kloot.
TACQUET pr. 08. Cor. en pr. 30.
XXI. VOORSTEL.
Een kloot ftaat tot den eukus om denzelven befchrf' ven, als het zesde gedeelte van den omtrek tot de mid'nbsp;delliju.
BEWIJS. Uit het XVII, en III, Voorftel; of XVII. Aanrn.^' GEVOLG.
De kloot ftaat tot den cukus van de middellijn, de rede door archimedes gegeven, als ii: 21; naanbsp;die van ludolf, als 157: 300 of n: 21, 02.
BEWIJS. Uit VII. lp.
AANMERKING. Hierop lleunt op den proportionaaNpasfe'' op de lijn getyteld Keduc. Corpor. regul., waarvannbsp;in X(. 35. Aanm, 4. gefproken hebben, de afftanbsp;v/aarop het teeken van eenen kloot of Jphter ilaat. lm'''..
-ocr page 603-541
zij M de middellijn van den kloot, en de zijde of ribbe van den cubus daar om befchreven; is kloot ', cubits ~ n: 21.02. Zij nu A de middellijn eens klootsnbsp;gelijk aan den cubus: dan isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 11: 21.0a: en
o
, nbsp;nbsp;nbsp;5 snbsp;nbsp;nbsp;nbsp;TyT 21.02
Mx 1.2401: en deze is op de gemelde lijn des proportio-naal pasfers de afftand van de Jpheer tot het middelpunt. Zoo die van den cubus gelijk aan i gefteld vrordc.
XXII. voorstel.
EUCL. XII. 18. st. X. pr. 42. L, G. VlU. 15. Cor.
31EWIJS. Uit Voorft. XX. Aanm. 2.
I' aanmerking. De lijn der cubi of ligohamm, op ^OT/rpro-
portionaal-pasfer y waarvan in XI. 36; Aanm. gefproken is, dient insgelijks cm fpheeren of bollen te vervaardigen dienbsp;eene bepaalde rede tot elkander hebben: dat is om den ra~nbsp;dins te vinden van eene Jpheer die met eene andere innbsp;eene bepaalde redegftaan moet: immers die radii, of middellijnen, zijn als de cpbic-wortels der bewuste rede.'
II. aanmerking Ook is er op fonimige proportionaal-pasfers eene lijn welke met de woorden Metalen w'ordt uitgedrukt. Deze dientnbsp;om de middellijnen van kogels te bepalen, die uit verfchillendenbsp;metalen gemaakt worden, en echter een gelijk gewigt moeten houden. Als dan moet men de digtheid, of foortelijke zwaarte , kennen der metalen waaruit de kogels vervaardigd zyn: immers hetnbsp;.gewigt is in famengelielde rede der grootte, of hier -van dennbsp;cubus der middellijn , en der digtheid. Zij G de digtheid byv.nbsp;van Goud; g die van ijzer: M en m de middellijnen van tweenbsp;Sclijkwigtige kogels : dan isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
G X M S' X SU nbsp;nbsp;nbsp; ' ^ en M: j
3 nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
S Yg\ V'G 1= I; nbsp;nbsp;nbsp;Op die wijze is deze lijn ver.
g
vuardigd: en de middellijn van een ijzeren kogel van zeker ge-^'St gegeven zijnde, zal men die van eenen loden gelijkwigtigen kogel vinden, als men met een pasfer de middellijn des gege-
ven ijzeren kogels ftelt tusfehen en lt; C^er) op de beide bladen; en dan met een pasfer de opening neemt tusfeken % en H Oood) en zoo voorts in alle gevallen.
Km
' r,
i
-ocr page 604-543 Jill. Boek: Over de Ugch. fig. met kromme oppervU
XXIII. VOORSTEL.
Kleine fpheeren hebben meerder oppervlakte met betrekkin? tot haren inhoud, dan groote: en wel in omgekeerde rede
middellijnen.
BEWIJS* Indien O en o, de oppervlakten, I en a de in* houden , M en m de middellijnen aanduiden, isnbsp;O = 4 gr. Cirk. ~ 4 omtr. gr. Cirk. x 4: M = omtr. ?''
a- X nbsp;nbsp;nbsp;= omtr. gr. cirk. X
cirk. X W M*
dus O: I = 6: M en
o 6
insgelijks ^
6
m'
r= : M.
en
m
XXIV. VOORSTEL.
De oppervlakte van den kloot is gelijkhaltig aan de cylitf drijche oppervlakte van eenen regthoekigen cylinder dienbsp;denzelven befchreven is.
tacquet. Selecta ex arciiimede, pr,
BEWIJS, Uit Voorftcl IV. Gev# 2, en Voorftel XVIT.
XXV. VOORSTEL. Fig. 240.
Indien er een regthoekige cylindp- om eenen kloot befchre' ven is, en men fnijdt den cylinder en den kloot beiden doofnbsp;vlakken ISQM die loodregt op de as bL Baan; zullen dsnbsp;cylindrifche oppervlakten van ieder link [ACMI] van den cynbsp;Under gelijk zijn aan de ronde oppervlakten van ieder pvef'nbsp;penkomend ftuk [S B Q] van den kloot.nbsp;tacquet, Selecta ex arciiimede, pr. a, 27.
BEREIDING. Zij het ? AE de fnede van den cylindeft door de as, en dus de cirkel FBDL die van den kloot*
BEWIJS, Uk het IV. en XXIV. V'oorkel.
JtANMERKiNG. Dit geldt insgelijks voor de fpherifche opp^' vlakten der Jpherifche - fchijven en der fpherifchenbsp;ten i want is' oppervlakte fegment S B Q S c oppcfVnbsp;cyl. A C MI en oppervlakte fegment F S B Q D 00 opPfnbsp;eyl- FACD : is het verfchil, dat is, oppe*vlakte fiM'nbsp;S(^DP 00 oppervl. cyl. IMFD.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j.
-ocr page 605-543
III. Jfd.: Over den Hoot, of boh
Daar nu het grondvlak van die cylinders een groote cirkel des kloots is, en de hoogte , de hoogte van hetnbsp;fpherifche fegment , of van de fchijf, geeft dit Voor;nbsp;fiei dit
GEVOLG.
De oppervlakte van eene fchijf, of fegment, eens kloots. Wordt uitgedrnkt door den omtrek des groeten cirkels gemultipliceerd door de hoogte van het fegment, of van de fchijf.
L. G. VIII. II.
II. GEVOLG.
De oppervlakten van twee verfchillende fegmenten, of fchij-ven, van den zelfden bol, of wan gelijke bollengt; fiaan tot elkander'als hunne hoogten.
L. G. VIII. n. Cor.
De cylinder s gelijk aan anderhalf maal den kloot om welken hij befchreven is, zoo wel wat den inhoud als de ge-heele oppervlakte betreft.
TACQUET, Selecta ex archimede, 32. St.X. ai. L. G. VUL l6.
BEWIJS. Voor den inhoud. Uit Voorftel XVII. Aanm. 3. en Voor-
ftel II. Gev. 6.
Voor de oppervlakte. Uit Voorftel XXIV en Voorftel IV. Gev. 3.
AANMERKiKG. ARCHIMEDES fchatte dit Voorftel zoo hoog, dat hij beval dat men op zijn graf eenen kloot, in eenennbsp;cylinder befchreven, verbeelden zoude.
I, gevolg.
Hieruit blijkt hoe men te verftaan hebbe het geen velen zeggen, dat de kloot gelijk is aan den inhoud van den groo.nbsp;ten cirkel, door twee derde gedeelten ^an de middellijn gemultipliceerd.
St. X, 31. Gev. 3. L. G. VIII. 15*
XXVII. VOORSTEL.
Indien een kegel en een cylinder den grooten cirkel van eenen kloot tot grondvlak hebben, en tot hopgte de middellijn van den kloot: zullen de kegel, de kloot, en de cpnbsp;Under tot elkander liaan als, i, 2 3
TACQBT Selecta etc, pr. 32. Cor, i. St, X, 31. Gev, i,
544 Boek: Over de Ugch.fig, met kromme oppervl.
BEWIJS. Uit voorftel If. Cev. 6. Voorftel VIII. en Voorft. XX. Gev. 2.
De oppervlakte van den kloot ftaat tot de geheele opper* vlakte van den gelijkzijdigen kegel in den zei ven befchrevennbsp;als l tot 9.
TACQUET, Selecta pr. 39.
BEWIJS. De oppervlakte van, den kloot is het viervoud van den grooten cirkel, en die van den kegel het drievoud van het grondvlak (Voorft. X. Gev. 4), Maar groote cirkel van den kloot totnbsp;grondvlak ^n den kegel zoo als O N*: GF* of 0^*nbsp;rr GO^! Oi* (IV. 15. Gev. 2.) en dusnbsp;= O 0*'t 4 (O G)* : = 4 : 3
en dus oppervlakte van den kloot tot die van den kegel 16: g. XXIX. VOORSTEL, Fig. 236. !
De oppervlakte van den kloot (laat tot de geheele oppervlakte van den gelijkzijdigen kegel om denzelven befchreven als 4 tot 9.
TACQUET, Selecta etc. pr. 40.
BEWIJS. De oppervl. van kloot G N F O: oppervl. van kegel G O F
~ 16: 9. (Voorftel XXVlll.)
Maar , om dat KI = O N ,
is oppersd van kloot KBI r ^ oppervl. van kloot GNFO. dus opp'rvl, van kloot KB ID: oppervl. van kegel GOF - 4: 9*
GEVOLG,
Dns is de geheele oppervlakte van den omfchreven kegel iet viervoud van de geheele oppervlakte van den ingefchre*nbsp;ven kegel.
TACQUET, Selecta pr. 41. nbsp;nbsp;nbsp;^
De kloot (laat tot den gelijkzijdigen kegel i denzelven befchreven, als 32 tot 9.
TACQUET, Selecta pr. 42.
Bwjs. Xloot KMDIBP: kegel BKD =r 4 Fl* X Cl:
BD* X KL (Voorft. XX. Aanm. I. en VIII. Gev. *gt;) E-: 16 Cl : BD* ^ KLnbsp;= 16 Cl: SCI* X KL, (VI, I8.3
545
Ill, Jfd, Over den kloot, of iol. XXXI. VOORSTEL. Fig. s35.
De kloot {laat tot den gelijkzijdigen kegel om denzelven befehreven, als 4 tot 9.
TACQUET, Selecta etc. pr. 4^
EWIJS. Kloot KMDIBP: kegel GOF zttz 4 K1* X Cl: G F* X O 1 (XX. Aanm, a. en VIII. Gev, *,)nbsp;= i6 Xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ci; GF*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;01
= 16 X nbsp;nbsp;nbsp;Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: 3 Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 01nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(VI. 18.)
= 16 X Cl: s CN* X I CN V.VI. 17.)
= 31 Cl: 9 CN _
= 3* Cl : 9 X 8 Cl
AANMERKING. De zclfde Tcde heeft ook plaats voor de
oppervlakten van dien kloot en van dien kegel, 200 als
blijkt uit Voorft. XXIX.
GEVOLG.
Dus is de nbsp;nbsp;nbsp;gelijkzijdigenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;kegelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;omnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;klootnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;befehreven,
het nbsp;nbsp;nbsp;achtvoudnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;den gelijkzijdigennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;kegelnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;binnennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;kloot
befehreven.
TACQET, Selecta etc, pr. 43,
XXXlI. VOORSTEL.
De gelijkzijdige kegel en de regte cylinder, beiden om den kloot befehreven, ftaan, zoo wel voor den inhoud, als voornbsp;de geheels oppervlakte, tot elkander als de gemelde cylindernbsp;tot den kloot, of als 3 tot 2.
TACQUET, Selecta etc, pr. 45.
BEWIJS. Uit het XXXI. en XXVI. Voorftel.
XXXIII. VOORSTEL. Fig. 236.
Indien een gelijkzijdige kegel en een regte cylinder, bei-de, om den zelfden kloot befehreven zijn; ftaan hunne geheels oppervlakten , hunne bolle oppervlakten , hunne inhouden,nbsp;hunne hoogten, hunne grondvlakken, als 3 tot 2,
TACQUET, Selecta etc. pr. 46,
Ewijs. Voor de geheele oppervlakten , en de inhouden l. kegel: kloot 9 ft (XXXI, en XXIX,)nbsp;kloot: cylinder a : 3 (XXVI,)
Ds kegel: cylinder = 3 :
Nn 5 nbsp;nbsp;nbsp;V9#
Voor de bolle oppervlakren;
kegel: cylinder i G : KI^ CIV, X, en Boek VII. 14, l6') = 1 CM* ! 4 IN* (V(. 17.)
=: I C N* ! CM* = 3 : 2.
Voor de hoogten; kegel: cylinder 01: KT 3 ; 2.
Voor de grondvlakken : kegel: cylinder Q op GF : 0 op T ^
4* 0 op QB-
= 0 op GF: 2 O op TS == (VII. l)
2 CM
3: 2.
= GF* : 2 TS* = 3 CM*
XXXIV. VOORSTEL.
De inhoud eens klootfchen fectors van den kloot is gelijk* hakig aan dien van een kegel, wiens hoogte de radius vannbsp;den kloot en wiens grondvlak de oppervlakte van den jee-tor is.
TACQUET, Selecta, etc, pr. 29. L. C, VIII. is GEVOLG.
De|inhoud van den klootfchen fector wordt gevolgelijk aldus 2 a-R X Rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X H
nitgedrukt--r----X H =---- - - (VU. 15.)
241.
VOORSTEL.
De inhovid van een fphetisch-jegment is gelijk aan de helft van een cylinder op hei zelfde grondvlak flaanoe en de zelfdenbsp;hoogte hebbende als het fphernch-fegment, te famen met dennbsp;snhoud des kloots, waarvan de hoogte des fegments de middellijn zoude zijn.
L. G. Vill. 18.
BEWIJS Sector CBR HC 00 Jegm. BPD -j- kegel BDC 00 fegm. BPD ' O BRDO X f CS; tVoorft. VIII. Gcv. 2,Inbsp;dat is,/;or CBPDC CO Ugm. BPD -f- 0 BRDO X | (RH)nbsp;waaruit volgt.
l, tegm. B P D 00 fector C B P D C -Gbrdox ^R - H)
co ---- O BRDO X I. (R _ lO
maar 2'. BRDO: 0 ATNM = BS*: AC*CVII. 16)
len B S* = P S X S = P ^ X H = (2 R - H) X H, (V. I3-)
dcrliaWe
3quot;. O BRDO: rR* = (2 R - HD X H: R* en
4quot;-
-ocr page 609-547
Ill, Afd.: Over den kloot, of bol.
en uit N. i. en 4.
.(R-H) r . R.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 5 3- H S
. Segm. BPD = -----
^ nbsp;nbsp;nbsp;3
H ( H. R I 3- hO : tleilialve uit 6 en 5.
7'. Segm. BPD = H (i O BRDO nbsp;nbsp;nbsp;--- I 3-ll*gt;
i O BRDO K 11 S' * nbsp;nbsp;nbsp;Indien dan R de radius
van het cirke! grondvlak BRDO gefteld wordt, is o. Segm. BPDnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ R^ X H -1- 3quot; H : het geen door
(Voorft II.Gev.s enXX Aanm.2.) de woorden van hetVoorftel uitdrukt,
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. De fonnule, fegment BPD m a- R H -f-
3-hj hangt van R en van H af: maar men kan ze afhankelijk maken alldn van H, of alln van nbsp;nbsp;nbsp;Indien de As
of middellijn des kloots A gefteld wordt is BS = PS 3f sp (V. 13-) ; R* H (A gt; H) AH H. Het geen innbsp;de formule gefteld geeft 3-H .A 3.H -j:-= J 3- H* , A - ^ H : en gevolgelyk oplevert dit
I. GEVOLG.
Een fpherisch-fegment is gelijk aan het verfchil tusfchen den dubbelden kloot, wiens middellijn is de As des fegments en,nbsp;den halven cylinder die tot hoogte heeft de As des kloots,nbsp;en tot grondvlak den cirkel, wiens radius is de hopgte desnbsp;fegments.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Indien men de formule van ons Voorftel wil uit-
drukken alleen door R : hemt men R* = A H H (Aanm. i.)
waaruit volgt
H* A.H = R* ; en H A.H i a* = ^ A* R en H J A =: A quot;* R: waaruit volgtnbsp;H ~ A A 4 R : en derhalve ook
Of
_a A 4 R Zh A A 4 R*
, Indien men nu voor
= r
H en 11^ waardijen ftelt in de formule van de i. AaniH'
weten Jegment
[3 A 2 H] verkrygt men if [A* a R* a A 1/ A* 4K*]
5lt; [3 A - A H- V A^ 4 R.^: Iiet geen behoorlijk gemultipliceerd, en gereduceerd, geeft
fegment = - [A (A^ a ('K A^ 4 R*) ].
Indien men nu ftelt C* A* 2 R*: en E* A*
4 R A fa Rj* : zal het fegment uitgedrukt worden door
^ bt geen opgeeft in woorden dit
i- X C*
Een fpherisch fegment isnaar mate het kleiner of groo' ter is dan de halve kloot, gelijkhakig aan het verfchil ofnbsp;aan de fom van den halven kloot, en van het twaalfde gedeeltenbsp;eens cilinders., waarvan de radius van het grondvlak is denbsp;wortel uit de fom van het vierkant van de As , en hetnbsp;dubbeld vierkant van den radius van het grondvlak des feg-tnents, en de hoogte gelijk aan den vierkanten wortel uitnbsp;het verfchil van het vierkant van de As, en van het vierkant der middellijn van het grondvlak des fegments. '
De inbond van eene klootfche fchijf [BDFE], door twee aan elkander evenwijdige cirkels (BRDO en QFT) gevormd, wordt iiitgedriikt door de halve fom der beide grondvlakken vermenigvuldigd door de halve hoogte , te faraen metnbsp;den inbond des kloots, wiens middellijn is de zelfde hoogtenbsp;van den fchijf.
L. G. Vin. 18. D. G, Maik. i 968.
de fchijf = [ R^ 4- I ir M'* ] ~ [i 5r r* jr
BEWIJS. De fchijf is gclk aan het verfchil der fegmenten EPf en BPD : en derhalve (Voorft. XXXV.) zoo R en r de radnbsp;der grondvlakken, H en h de hoogten der fegmenten %iju , is
(Voorft. XXXV. Aanm. i-) [4 * H* A | f HJ
I @ [H /lt;J. Het geen nader ontwikkeld geeft,
-ocr page 611-549
1*
aquot;, nbsp;nbsp;nbsp;! [3 A .K^ - 3 H -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3 A.A* 3 A* A*]
jwaaruic
s. \ nbsp;nbsp;nbsp;[3 H(A.Hnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- SS (A/; /**) H
en om dat R* = AH ^ en r* = A4
4. ff ir [3 R* H - 3 nbsp;nbsp;nbsp; A nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- 7*3] =;
5 ?r [3 R* . H 3 nbsp;nbsp;nbsp; 3 r* . H 3 R*
3 R^ . C7 3 R^ . A) II ~ A]
A^l
= S' [3 R* . H - 3 R* . A 4- H* - 3
H 3
H 3 R . A - Aquot;] dat is
5quot;. S a- [3 R^ CH - A] 4- 3 [H A] -f H A* r* H 4- 3 Rquot;' . A]
maar de twee laatlle leden van N. 5. -3''.H4-3R./* ^3('A.A A'^JH4-S fA H A = 3 A . H . A 4- 3 11.7*^4-3 A . H . A - 3 h . A = 3 H . A- - 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. A.
Deze waardijen in N**. s. gefleld zynde kotnt
6. I w [3 (R 4- CH - A) 4- nbsp;nbsp;nbsp;- 3 H- . A 4-
3 HAquot; - A=]
J w [3 (R 4- nbsp;nbsp;nbsp;- A) CH - A)].
Daar nu H A =r de hoogte is van de fchijf: heeft men Inhoud van de fchijf des kloots ~ a- ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4quot;
r I?
ftel uitdrukt.
: het geen de woorden van hetVoor-
I. AANMERKING. Het blijkt uit de formule dat dit Voordel ook aldus uitgedrukt hadt kunnen worden.
De inhoud van eene klootfche fchijf door twee aan elkander evenwijdige cirkels gevormd is gelijk aan de foin van den inhoud des kloots, die de hoogte der fchijf totnbsp;middellijn heeft, en van dien des halven cylinders, die totnbsp;hoolt;rte beeft de hoogte der fchijf en tot grondvlak eenennbsp;cirkel wiens radius is de vierkante wortel uit de fom dernbsp;vierkanten van de radii der beide vlakken van de fchijf.
n, aanmerking, le gendre , en na hem de gelder, heeft dit Voor-ftel tot Hoofd-Voorftel genomen en er het voorgaande als een Gevolg uit afgeleid* immers indien r o* A o* wordt denbsp;fchijf een figment des kloots * en de formule wordt i r . Hnbsp; 5 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;: dat het voorgaande Voorllel is. Beide bewijzen
derhalve dit ons XXXVI. Voorftel onmiddelijk , en uit geheel andere gronden , uit eenlge voorafgaande voorzetfels ontleend.
Ik
-ocr page 612-S30 Boek; Ovijr cte igch. fig, met kromme oppervt.
Ik heb geoordeeld , den Jnlioud eener fcliijf uit dien der feg' menten te moeten afleiden ; al ware het maar om de overeen*nbsp;komst te loonen van de formule voor de fch^f door le cENttnbsp;opgegeven f met die welke daar voor uit het verfchil van tweenbsp;fermenten wordt afgeleid, en die , in den eerfteu opllag, daarnbsp;mede veel fehiftit te verfchillen.
OVER DE INSCHRIJVING DER REGELMATIGE LIGCHAMEN IN DEN KLOOT.
XXXVIU voorstel.
Alle regelmatige ligchamen kunnen in eenen kloot befclire* ven worden.
I. AANMERKING. Meu Vindt ill het XIll, Xiy, en XV Boek van EucLiDES vele voorftellen die infchrijving betreffende;nbsp;wij zullen alln aanmerken, vooreerst, dat wanneer eennbsp;regelmatig ligchaam in eenen kloot befchreven is, de as vannbsp;den kloot ook die van het ligchaam'is: en ten tweeden*nbsp;dat, zoodra de as van een regelmatig ligchaam gegeven is,nbsp;zijne zijden en ribben ook eene bepaalde grootte hebben.nbsp;Gevolgelijk, om een bepaald ligchaam in eenen bepaaldennbsp;kloot te befchrijven, moet men i. uit de gegeven groottenbsp;van de as des kloots beHuiten, welke de grootte is van denbsp;ribben in hec gemelde ligchaam: en a, de flippen van denbsp;kloocfche holle oppervlakte bepalen op welken de hoekennbsp;.van het ligchaajn rusten zullen: welke ribben en hoeken hetnbsp;onderwerp maken van het XXXVIII. en XXXIX. Voorftel.
II AANMERKING. Wat het eerde gedeelte betreft, men kan zulks gemakkelijk verrigten door het geen wij in de toepas-fing van het XXXIII. Voordel van het XI. Boek gezegdnbsp;hebben. Wij zullen nu kortheidshalven door A de as vannbsp;den kloot, en dus ook van het ligchaam, en door R denbsp;ribbe van het ligchaam uitdrukken. Verder, men kan ook.nbsp;de as des kloots door eene lijn uitgedrukt zijnde, de ribbennbsp;van alle de regelmatige ligchamen, in dien kloot befchre-ven, insgelijks door lijnen uitdrukken.
XXXVIII. VOORSTEL. Fig. 242.
Te vinden de hoegrootheid der ribben van ieder der v^jf
-ocr page 613-Over deinfchr. der regdm.Ugch. inden kloot. 551;
regelmatige ligchamen, wanneer de As des kloots waarin zij befchreven moeten worden, gegeven is: en dezelve door lij.nbsp;nen uittedrukken.
OPLOSSING. Zij dan (Fig, 242^.) AB de as van den kloot, ,A E B de halve cirkel op denzelven, en dus de halve fnedenbsp;van den kloot langs de as.
I. nbsp;nbsp;nbsp;Voor het tetraedrum.
A R V\-. (xt. 33. N. t)
' nbsp;nbsp;nbsp;xo8165
= I A^ ; of : a'^ =: e : 3 Deze is de XIIl. propofitie van het XUI. Boek van eclides.'
Indien men nu maakt AD; DB: AB 2: 1:3; ZD loodregC in D oprwht; en AZ trekt*, dan is A Z de ribbe van het tetraedrum snbsp;want iquot;, ZD^^ = AD X DB fV. 13.)
X en
= I AB X AB = I AB^; voorts AD'^ =: AB* dus AZ* = AB* X I =3 .
A Z = A B K|.
EUCL. Xm. 13 an 18.
II. nbsp;nbsp;nbsp;Voor het OCT AED RUM.nbsp;is A =rR- (XI. 33- N, II. S.)
of A^ dus R.
*. ofR:Ai:V^a;RrrrA R 0.7071.
A
4
Dit is EUCL. Xin. 14.
Men trekke, uit C, CF, loodregt, en dan AE*, AE is de ribbe Van het Octaedrum: want A E* AC* *4 EC* = i Aii= GAB)*:nbsp;dus AE AB Vi.
EUCL, XIII. 14 en 18.
III. Voor den cubs,
I nbsp;nbsp;nbsp;A
is A = R V's: (XI. S3. N'-IV. 3.) dus R = ^ = X o.S7?4;
of A* = 3 R* dus A* ; R* = 3 : I.
Dit is EUCL. XUI. IS.
Trek ZR; ZB is de ribbe van den cuhas-, want ZB* =; ZD* -f DB* = I AB* 5 Att*
= AB* X dus ZB = AB V
SUCL. XIII. l.
IV,
-ocr page 614-55a XIL Boek : Over de Ugch, ifg. met kromme oppervl. IV. Voor het icosaedrm.
is A = R nbsp;nbsp;nbsp;^5 (XI. 33. N', III. 1.)
r= A X 0.5155,
dus
5 ^5
Stel AH = ABr trek HC: uit T, TK loodregt op AB; e dan TB. AT; deze is de ribbe van het Icofaedrum ;nbsp;want TK; KC=;HA: AC: IV. 2. =: A3 ; AC dus KC = i TK dusnbsp;T c* = TK* K C* = 5 K C* = i A B*: en K C = A B K a*nbsp;Ook is AT: AK = AB: AT. (IV. 15.)
^ dus AT* = AK X AB.
Blaar AK= AC - KC = AB-AB V= ABCi-V'f) dus AT* = i AB fi - Vf i X AB
= ab7J^)=aa.(1^)
dus
R
(V's - O = AB IZ-
Men fnijde dus ZB in N, in uicerfte en tniddelfte rede ; dan is NZ d libbe van het Dodecaedrum;nbsp;vrant NZ ZB (.Vs - i) door IV, 18. Aanm, 2.nbsp;maar Z B =: A B V\-.
AB
dn N Z =
ars
svcL. xtl. 17 en i3.
-ocr page 615-I. AANMERKING, Zie daar de grootte der ribben Van de vyf lig-chainen in den zelfden kloot befchreven, bepaald, en door lijnen uitgedrukt. Euclidbs heeft ook, zoo als wij gezien hebben , denbsp;grootte van de ribben van het tetraedrum, het octaednim, en dennbsp;cuius bepaaldelijk opgegeven ; doch niet van het icofdeilrum ennbsp;het dodecaedrum; en hierin zijn wij dus verder. Hij geeft aan denbsp;ribbe van het icofaedrum den naam van de kleine onmeetbare lijn ,nbsp;cn aan die van het dodecaedrum den naam van apotome , dat isnbsp;de afgejnedene Men zoude eenc vrij omllagtige verklaring vannbsp;vele Hukken uit het zeer moeijelijke X. Boek van euclides moeten geven om dit alles te verklaren: genoeg zij het hier te herinneren hetgeen in VI. aa. Gcv. i. gezegd is, en er bij te voege , dat de ribbe van hct_ icofaedrum in de daad eene kleine onmeetbare is naar de bepalingen v.an euclides :
A15
want A I* = X (5 V 5)
10
AB
en eene onmeet-
dat is het product van eene meetbare lijn bare AB.(5 ^5) die een vierde apotome is.
II. AANMERKING. Nu blijft er nog overig de infchrijving zelve.
AZ is de ribbe van het tetraedrumdus zullen de drie ribben, die het driehoekig grondvlak uitmaken, in het vlak van den kleinen cirkel moeten ftaan, waarvan Z D de radius is.
maar Z D^-: AB* = | AB*: AB* = 2:9.
en dus Z D : A B = V' 2 : 3 of
ZD: J AB Kz: ^ 2 Va: 3- En dtis zal men don cirkel hebben, in welken men cenen gelijkzijdigen driehoek befchrijft, dienbsp;hiet de lijnen naar den top A getrokken het tetraedrum zal uitmaken,
lucL. XIII. i3
li. Oplossing voor het octaedrum.
Voor het octaedrum is AE de ribbe : dus E C de radius van den cirkel, waarin het vierkant ftaat, dat de beide pyramlden, welkenbsp;het vlak van het octaedrum uitmaken , vereenigt: en dus, indiennbsp;men eenen grooten cirkel loodregt op den as Helt, befchrijve mennbsp;hechts een vierkant in dien cirkel, en trekke men lijnen naar de beide uiteinden van de as.
4-
EUCL. XIII.
III.
III. Oplossing voor bet icosaedrum.
AT is de ribbe van het icofaedrum: men neemt vooreerst op den kloot eenen kleinen cirkei , loodregt op de as, en waarvan T Knbsp; a KC = a AB V~ AB V^|- de halve middellijn is. Ditnbsp;komt juist overeen met euclide* XIH, i6 , want hjj ftelr, bjjv.
Fig, 124 nbsp;nbsp;nbsp;middellijn van den kloot ; maakt AF: FD
5:1; trekt B D en neemt die voor den radius van den cirkel;
nu is AD: BD B D: FD
en dus BD rr I^aD . FD = V'aD X aD = AD V\-
Men befchrijve dan verder in dien cirkel ccnen vijfhoek, die de vijfquot; hoek iDGHBZ fig 228.) zijn zal, welken cie vijf gelijkzijdige driehoeken, DIG, HIG, BIH, BIZ, Z ID in den top 1 vereenigdnbsp;iiitmaken.
Men befchrijft uit den anderen pool B eenen dergeljiken cirkel; men laat door de polen, en door twee hoeken van den reeds befchre-ven vijfhoek, twee halve cirkels gaan, die den tweeden kleinennbsp;cirkel in twee ftippen fnyden : men deelt den boog uisfehen dienbsp;twee ftippen in twee gelijke deelen: Men maakt van het ftip vannbsp;deeling af In dien kleinen cirkel eenen vijfhoek , die gelijk zal zynnbsp;aan den reeds befchreven, doch zoodanig gefteld dat zijne hoekennbsp;loodregt over het midden der zijden van den anderen ftaan. Mennbsp;trekt lijnen van de hoeken van den eenen vijfhoek naar de beidenbsp;uiteinden van de tegenoverftaande zijden van den anderen en vannbsp;de hoeken van lederen vyfhoek naar den pool, en men heeft hetnbsp;icofaedrum.
EUCL. XIII. 16.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;Oplossing voor den cubus. Fig. 242,
Daar ZB de ribbe is van den eubus, befchrijft men .uit B met ZB op de oppervlakte van den kloot eenen cirkel waarvan ZD de ra'nbsp;ditis is : dus is die cirkel de zelfde als voor het tetraedrum. Indiennbsp;men in dien cirkel eenen gelijkzijdigen driehoek befchrijft, zyn des-zelfs zijden de diagonalen van drie vierkanten van den cubus, ennbsp;dus uit B lijnen trekkende naar de zijden van dien diiehoek, heeftnbsp;men drie ribben van den cubus.
Indien men door de polen en de uiteinden van eene der ribben eenen grooten cirkel laat gaan, dan uit den tweeden pool, en oninbsp;denzelven, oenen gelijken kleinen cirkel trekt als uit den cerften pool;nbsp;en in denzelven, te beginnen met de plaats daar hy door den ge-melden grooten cirkel gefneden wordt,weder eenen gelijkzijdigen driehoek maakt, en naar denzelven uit den tweeden pool lijnen trekt,nbsp;heeft men wederom drie ribben ; dezelve met de anderen vereenl-gende verkrijgt men de zes overige, en dus den geheelen cubus.
EUCL. XII. 15-
V. nbsp;nbsp;nbsp;Oplossing voor het dgdecaedrum.
De befchrijving van het dodecaedrum hangt van den cubus af: d cubus dns befchreven zijnde , zijn de acht ftippen daar de ach^nbsp;hoeken van den cubus raken, ook acht l'cippen waarop acht der hoeknbsp;van het dodecaedrum rusten. Indien men de ribben van den cubus b*nbsp;twee gelijke deelen fnijdt, en de tegenovcrgeftelde deelings-ftippnbsp;met lijnen vereenigt, zullen deze zich op ieder vierkant, of zijdnbsp;van den cubus, in het middelpunt van dat vierkant vereenigen.nbsp;dien men dan op eene dier lynen, in een dier vierkanten genomen.
-ocr page 617-IV. Af (I: Over de itifchr. der regedm. Ugch. in den kloot, SS5
ter wederzijde van het middelpunt , de helft ftelt van het grootfte der twee ftukken van de zijde des cuus , wanneer die in uiterfte 'nbsp;en middelfte rede gefneden is, en uit de uiteinden dier halve ftuk-ken loodlijnen tot aan de holle oppervlakte van den kloot, rigt: zalnbsp;de lijn die de uiteinden van deze loodlijnen befpant de ribbe zijnnbsp;van het doiceaedmm ; en dus de uiteinden van die ribbe met denbsp;naastliggende hoeken var, den cuius vereenigende, verkrijgt men reedsnbsp;vijf ribben van het dodecaedrum: men gaat op dezelfde wijze voortnbsp;voor ieder vlak van den cuius: met dit onderfcheid, dat men in denbsp;vier vlakken , die aan het vlak dat men voor het eerfte genomennbsp;heeft grenzen, niet de lijnen neemt welke met de gebruikte lijn evenwijdig zijn, maar die welke met deze regte hoeken maken. Mennbsp;verkrijgt dus voor ieder vlak, vjjf ribben: en gevolgelijk voor de zes,nbsp;de dertig ribben van liet dodecaedrum,
ECL. XllI. 17.
AANMERKING. Indien men nu de vijf ligchamen in eenen en den zelfden kloot befchrijven wil, moet de as van allenbsp;de zelfde zijn, de middellijn namelijk van den kloot; ernbsp;blijft dan niets overig dan de ribben te vinden; en mennbsp;verkrijgt uit het geen hier boven gezegd is, en noemendenbsp;A de as van den kloot, het volgendnbsp;XL. VOORSTEL.
De oppervlakte en den inlioud te bepalen van ieder der vijf regelmatige ligchamen in den zelfden kloot befchreven,
I
Inhoud = R . --- nbsp;nbsp;nbsp;--
6 v'2 nbsp;nbsp;nbsp;9 j/3
Ribbe = nbsp;nbsp;nbsp;= A Vh CVporll. XXXVflL N. n.)
Oppervlakte = 2 R* v'S ^ nbsp;nbsp;nbsp;1^3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;35* Gev. 3.)
III. Voor het icosaedrum.
Ribbe ^ K y? nbsp;nbsp;nbsp;= A
, nbsp;nbsp;nbsp;5 Vsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5 Vs
XXXVIII. N. V.)
Oppervlakte = 5 R* I/3 (XI. 35- Gev. 4 )
55(5 X. Boek'. Over de Hgch, fig, met kromme oppervL
Inhoud = Ri X l (3 (Xf. .qg. Gev. 4 ) '3 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^6 2 v/S
= A
a \5 1/5/
fl A^
S (5 Ids)
IV. Voor den cBus.
Ribbe ~ A X V\ Oppervlakte = 2 A*
Inhoud = .
) = A V1-=^ CVoorftel
= a(
Ribbe
2 V3
XXXVIII. V. nbsp;nbsp;nbsp;___ _
Oppml. = .5 l!'
5 nbsp;nbsp;nbsp;5 1^5
= 5 A* V-quot;^ nbsp;nbsp;nbsp;35. Gev. 5.)
10
Ib. = R. A^ϱIZ= = Ai X ,l VSXXE.
4 nbsp;nbsp;nbsp;15
nbsp;nbsp;nbsp;30 10 VS
3
I. GEVOLG.
De oppervlakte van het dodecaedrum ftaac tot die van het icofaedhim als de ribbe van den cubus tot die van het ca-faedrum-
eocl. XiV, 4.
BEWIJS. De oppervlakte van het doiecaeirum ftaat tot die van het ' icofnedrum. _
s - Vs nbsp;nbsp;nbsp;_
s - V^s nbsp;nbsp;nbsp;5-1/5
l*
-ocr page 619-IF. Flfd.: Over deinfchr. dcr regelm. Ugch.inden klovt, 557
II. GEVOLG.
Het dodecaedrum ftaat tot het icofaedrum als de ribbe van den cubus tot die van het icofaedrum.
EUCL. XIV. s.
sxwijs. Dodecaedrum: icofaedrum
= a3 X xl
/^3 -h V^S
10
la
5 (5 Vs)
15
5 I/s
(3 I/5J . (5 1/5)
. C3 -1/5)
CS l/s}-(3 -l/5)*CS -l/s)
als de ribbe
1 : nbsp;nbsp;nbsp;^ ^3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/5) . ^ i/T. ^^3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/5
5 v's nbsp;nbsp;nbsp;5 1/5
Tail den cuius tot die van het icofaedrum.
III. GEVOLG.
Dus hebben de oppervlakten van het dodecaedrum en ko-faedrum de zelfde rede tot elkander als de inbonden dier zelfde figuren; namelijk dis van de ribbe van den cuius toenbsp;die van het icofaedrum.
IV. GEVOLG.
De ribbe van den cubus ftaat tot die van het icofaedrum als de lijn wier vierkant gelijk is aan het vierkant van eene lijnnbsp;in uicerfte en middeifte rede gefneden te famen met het vierkant van het grootfte ftuk , tot de lijn wier vierkant gelijknbsp;is aan het vierkant van de gemelde gefneden lijn te famennbsp;met dat van het kleinile ituk.
BEWIJS. Z L eene lijn in uiterfte en middeifte rede gefneden,
E G het grootfte, K het kleinfee ftuk: dan is JV. i8. Aanm,
G = h (I/5 i) en door IV. i8, Aanm. 2,
K = h (5 1/5); en dns
L* G*: 1/ nbsp;nbsp;nbsp;= V L* L* . (Fs
' Oo 3
4
-ocr page 620-I : nbsp;nbsp;nbsp;Cs VO y/J :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;s y's
ribbe van den cuius tot die van het icofaedrum.
V V 9 en 1/ L* K* zijn de zijden wier vierkanten, dat Is de vierkanten op dezelve gemaakt , geijjk zijn aan denbsp;fommen der vierkanten op de gelieele lijn en het grootfte ofnbsp;kleinfte ftuk.
V. GEVOLG.
De driehoek van het icofaedrum, en de vijfhoek van het dodecaedrutn, kunnen in den zelfden cirkel befchreven worden.
EUCL, XIV. 2
BEWIJS. De radius, fnf ftraal) des cirkels waarin een gelijkzijdige driehoek befchreven is, is S jrz R V^:
A 3 nbsp;nbsp;nbsp;; dus
5 Vs
doch hier R
sCs-V^s)
(va. aa. Gev, i.)
5 - Vs (T/s - 0
De radius van den cirkel waarin een vijfliock befchreven wordt, is S = R
Maar R
dus S
4 X 3 Cs J/S) elijk aan den radius
_4 X 3 Cs - V^s)
*~t: nbsp;nbsp;nbsp;S Vs . en dus die radius
3 Cs l^S)
van den cirkel waarin de driehoek van het icofaedrum ka befchreven worden.
AANMERKING. Op fommige proportionaaUpasfers is eene lijn die den titel voert corporutn rpgul. inferiptio; op welke dnbsp;vijf regelmatige ligchamen en de kloot zijn afgebeeld. Dnbsp;afftand van het middelpunt des pasfers af, tot het teeken vannbsp;den kloot toe, is de middellijn van den kloot; en de afftandenbsp;van het middelpunt tot tetraednm, octacdnm, cubus,
-ocr page 621-jy, Afd.: Over de infchr, der regelm. ligch. in den kloot. 559
faedrum, dodecaedrum, duiden rerpectivelijk aan de grootte der ribben van ieder dezer ligchamen, op dat zij in dennbsp;kloot ingefchreven zullen kunnen worden. Die afflandennbsp;zijn dus in de zelfde rede als de lijnen AZ, AE, ZB, AT,nbsp;N Z, in de fig. 242. voor eenen kloot waarvan A B de as,nbsp;of middellijn, is.
V. A F D E E L I N G. /
VER DE CIRKELS DIE OP DE OPPERVLAKTE DES KLOOTS GETROKKEN WORDEN EN DEnbsp;MAAT DER DEELEN WELKE DAARUITnbsp;ONTSTAAN.
Indien men uit het middelpunt C van den kloot , in de Vlakken PA/gt;P en PM^P van twee groote cirkels PA/iPnbsp;en PM/) die elkander fnijden, loodlijnen CA en CM trekt,nbsp;op de gemeene fnede, of op de As, P/i: is de hoek ACMnbsp;welke die loodlijnen vormen de helling der twee cirkelvlak-ken PA pp en PMpP: en de boog AM des groeten cirkels, die door de uiteinden der loodregte radii CA, CMnbsp;gaat, is de maat van die helling.
BEWIJS. Dit X. Bcp. 5.
gevolg.
Indien men uit een ander ftip K van de as insgelijks de loodlijnen KE, KI trekt, zal ook de hoek EKI, waarvannbsp;de boog EI des kleinen cirkels EI F, evenwijdig aan A Ma, denbsp;maat is, de helling aanduiden der beide vlakken PApP ennbsp;PMpP: en deze wordt insgelijks aangeduid door den hoeknbsp;jPa welke de raaklijnen Pji, f der cirkels PAp, PMpnbsp;onderling in den pool P maken.
De hoek EPI [of A PM], welke twee bogen van groote cirkels, die elkander op de oppervlakte des kloots fnijden, innbsp;het fnijdings-ftip P maken, wordt klootfch of fpherijche hoeknbsp;genoemd.
D. G. S- 94lt;).
Oo 4
GEVOLG.
De maat van dien hoek is de regtlijnige hoek jPz, door de raaklijnen dier cirkels in den top des hoeks gevormd:nbsp;ook de regtlijnige hoek die door lijnen uit eenig Hip van denbsp;gemeene as, op dezelve, in de vlakken dier cirkels loodreg'-getrokken, gevormd wordt.
U G. VII. g.
XL II. VOORSTEL. Fig. 241.
Wanneer men uit het middelpunt C eens grooten cirkels AM eene loodlyn VCp op het vlak van dien cirkel trekt,nbsp;zuilen de uiteinden P en. p van dezelve op de oppervlaktenbsp;des kloots even ver af Haan van alle de Hippen in den om-trek van dien cirkel genomen: gelijk mede van alle de Hippen in den omtrek van iederen kleinen cirkel ElF die aannbsp;gemelden grooten cirkel evenwijdig is.
L. G. VII. 6.
BEWIJS. Om dat alle. de bogen PA,'PM, PN, enz vierde gedeelten des oimrcks zijn: en dat, vermits O EIF // O AMlt;, ook de bogen EA, IM, P' onderling gelijk zijn. gelijk ook denbsp;bogen PE, PI, PF.
Men noemt pool van een' cirkel op de oppervlakte eens kloots befchreven, dat Hip P dier oppervlakte, hetwelk evennbsp;ver afHaat van alle de Hippen van den omtrek. diens cirkels.
L. G. VU. dcf. 5.
I. GEVOLG.
Ieder cirkel EIF, of AM^ op de oppervlakte eens kloots befchreven heeft twee polen P en p die over elkander Haan,nbsp;pf ieder eeneii lialven omtrek van elkander verwijderd zijn,nbsp;en door cene lijn welke door het middelpunt van den klootnbsp;gaat, en dus door eene as, verdnigd worden,
II. nbsp;nbsp;nbsp;GEVOLG.
Voor eenen grooten cirkel Haat de pool po graden van des-zelfs omcrek af.
III. nbsp;nbsp;nbsp;gevolg.
De cirkelboog die op de oppervlakte des kloots de be-ftendige maat is van eenen klootfchen hoek , (Voorfl. XLI-Gev.) en de boog eens grooten cirkels is, heeft 'tot ped den top van gemelden hoek.
XLUI*
-ocr page 623-V, Jfd,: Over d cirkels op de oppervl, tens kloots gctr. 561
XLIII. VOORSTEL. Fig. 241.
Wanneer twee cirkels [PM/), A Mzich op de opper vlakte eens kloots fnijden, en derzelver vlakken loodregtnbsp;op elkander ftaan, maken zij onderling regce hoeken; de cirkels, omtrekken dier vlakken, gaan door de polen de een vannbsp;den anderen; en zij maken om het flip van fnijding vier,nbsp;regce hoeken.
GEVOLG. Fig. 2^4. nbsp;nbsp;nbsp;,
Wanneer het vlak eens cirkels P M/gt; fchuins op het vlak eens anderen cirkels aM valt; is in het Hip van fnijdingnbsp;[M], de eene hoek op de oppervlakte des kloots grooter,nbsp;de andere kleiner dan regt: te famen maken zi) twee regtenbsp;de fchuinfche hoeken i\Mp, p M zijn onderling gelijk: ennbsp;de hoeken rondom dat Hip M Zijn te famen gelijk aan vier regtenbsp;hoeken.
AANMERKING. Het Zelfde heeft dan ten deze opzigtc plaats voor klootfclie als voor regtlijnige hoeken,
XLIV. VOORSTEL. Fig. 244.
De hoek [EPL] welke de bogen EP, PL van twee groote cirkels PE/gt;, PL/), uit het zelfde flip P op de oppervlaktenbsp;des kloots getrokken onderling maken , is grooter dan denbsp;regtlijnige hoek [E P LJ, die in het zelfde Hip [Pj door denbsp;choordeu [amp;P, PL) dier bogen gemaakt wordt.
BEREfDiNG. Trek uit E in het vlak PE/)P de loodlijn ET, op de gemeene fnede d. i. op de as Pp ; en uit T in het vlaknbsp;P LpP de loodlijn TU, die de choorde P L ontmoet iiiU:nbsp;trek verder E U.
BEWIJS, EP gt;TE en PU gt; TU: beide ce driehoeken EPU en ETU hebben de zeifde grondlijn EU; derhalvenbsp;hoek EPU lt; Z ETU; maar ETU is de maat der hellingnbsp;van de beide vlakken PEpP, tn PLpP: dat is, is denbsp;maat desklootfchen hoeks EPL C^'^oorft. XLI. Gev.):waaruit het Voordel volgt.
aanmerking. Dit Voorftel wordt^ reeds gevonden bij stevin, in het bewijs van het XIV, Voorftel in het derde Boek der Cosmo-graphie,
XLV. VOORSTEL. Fig. 244.
Wanneer twee groote cirkels [PApEP , en PMpLP] van den kloot, elkander op deszelfs oppervlakte fnijden, zal hetnbsp;Volgende plaats hebben, i. Die cirkels fnijden zich in tweenbsp;dippen P en p zoodanig gefield dat de lijn Pp, die dezelve
502 XU, Boek: 0\gt;er de ligch. fig. met kromme opptr'il-
verenigt, door het middelpunt C van den kloot gaat, dus eene s is van dezen: n. Zij verdeelen elkander in twenbsp;gelijke deelen, die gevolgelijk ieder een halve omtreknbsp;des cirkels zijn: 3, zij verdeelen de oppervlakte des klootsnbsp;in vier deelen, waarvan de twee tegen elkander overgefteidenbsp;P A M P nn E P L/; ^ M P E p en P Ap L P, onderling ge*nbsp;lijk zijn.
isEWijs. Uit den aard zelven van den kloot.
XXVJ. BEPALING. Fig. 241.
Pe flrooken PApMP, pM'Pap, pNP/z, en PApNP welke door de onderlinge Ihijding van twee groote cirkels opnbsp;de oppervlakte des kloots gevormd worden, en gevolgelijknbsp;wederzijds eindigen in de polen P en p, uiteinden der ge-meene middellijn P p, of der gemcene fnede, van de vlakkennbsp;PAp. PMp, PNp, pflP, dragen den naam van fpherifchtnbsp;fchiiitjei: Qfufeaux fphriques').
L. G. Vir. def. 9.
AANMERKiNfl. SchttUje is dc naaiii welke die ftrooken in de GIo-be-fabriekcn dragen. Het is bekend dat de kaarten waar mede de oppervlakten der Gloics bedekt worden, uit dergelijke naastnbsp;elkander geplaatste fchuitjes beftaan, welke op de oppervlaktenbsp;van dc Globe geplakt, dezelve geheel bedekken.
XXVJf. BEPALING. Fig. 241.
De ruimte welke bevat is tusfehen twee cirkel -.vlakken P.ApP en PM pp (van twee groote cirkels j die elkander innbsp;de A$ Pp fnijden , d, i. dat gedeelte van den inbond desnbsp;kloots, da: door die twee cirkelvlakken, tusfehen de as ennbsp;het JpherUch-Jehuilje PApMp begrepen is, draagt den naamnbsp;van fpherifche keg {coin-fphrique') en ook van twecvlakkigcnnbsp;bolvormigen fector.
L. G. VU. def. 10. D. G. , 941.
XLVI. VOORSTEL. Fig. 241.
De oppervlakte van eene fpherifche firook , of fpherhch-jehuitje [PApP], ftaat tot de geheele oppervlakte des kloots, als de hoek , welken de vlakken, die het gemelde fchnitjenbsp;vormen, onderling maken, tot vier regte hoeken; of, zoo alsnbsp;de boog A M welke de maat is diens hoeks tot den geheelennbsp;omtrek. In de zelfde rede ftaat de inhoud der khotfche keg,nbsp;des tweevlakkigen bolvormigen JectorSf tot den inhoud des kloots
L. G. VII. 20. D, G. , 94*
Ewrjs. Dit wordt op de zelfde wijze bewezen als VIII. i e
-ocr page 625-I. AANMKRKHG, Indicti men de oppervlakte van het fchuitje door S, den boog die de maat is van den hoek welken de vlakken vannbsp;bet fchuitje onderling maken , door B , de oppervlakte der klootsnbsp;door de Griekfche letter (), genoemd omega of lange O uit.
B . ^
drukt, is door dit Voorftel S =--: en daar uit, Cdoor dit
4 L
Voorftel en door VII. 14. Gev. i.? is S B X V X
_n . X 4 nbsp;nbsp;nbsp;^_
360 nbsp;nbsp;nbsp;
90
: waar door, de boog B bekend zijnde, de oppervlakte van het fchuitje in gedeelten van de oppervlakte des kloots tot welken het behoort, bepaald wordt: zoo B = 90'.
30. X
is S zz:
90''. nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;12
aan het twaalfde gedeelte der oppervlakte van den kloot: en het zelfde gedeelte van des kloots inhoud is de inhoud van de kloot-fche keg wier boog is 30.
DE LAMDRE , Ahrgi d'Aflyonomie , Le{on IV. . 74,
II. aaNmeiik'ng. Men beeft ook door Vil. 19. Aanm, 4.
B -sr. gt;* _E X 3.14159265 X b* _
s =--s =-:-rr-- =(VIII. 10. Gev. 2.)
^ nbsp;nbsp;nbsp;90.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;324000quot;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
B r* . pn. aquot;. waar door de oppervlakte van het fchuitje in vierkante deelen van den radius des kloots wordt uitgedrukt,
XXVIII. BEPALING. 'ig. 244.
Wanneer drie groote cirkels zich op de oppervlakte eens kloots fnijden, wordt het gedeelte der oppervlakte, dat doornbsp;drie bogen PE, PL, LE van die cirkels bepaald wordt,nbsp;klootfche driehoek genoemd: en de bogen waaruit deze begaat, zijn deszelfs zijden.
L. G. Vil. 6. D. G. S. 947.
AANMERKING. De namen van geUjkzfldige en geljjkbeenige drie. hoeken hebben de zelfde beteekenis als voor de regtlijnige drie.nbsp;hoeken,
I. GEVOLG,
Een klootfche driehoek beflaat uit drie bogen van groote 'irkels die met den zelfden radius befchreven zijn.
II.
-ocr page 626-g64- XII. Boek: Over de ligch. fig. met kromme opptrv
Een klootfche driehoek behoort dns altijd tot eenen paalden kloot, wiens radius gegeven is, en van wiens opP*^f'nbsp;vlakte hijnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gedeelte nitmaakt ; de driehoek kan van die
oppervlakte Hechts bij aftrekking gefcheiden worden.
Het gedeelte van de oppervlakte des kloots, dat door eene'' klootfchen driehoek beperkt wordt , hangt af, en van denbsp;grootte der bogen en van de grootte der hoeken van diequot;nbsp;driehoek: zoo dat, indien op den zelfden kloot twee driehoe'nbsp;ken befchreven zijn, wier zijden gelijk zijn, ieder aan iedetnbsp;en waarin de hoeken tusfchen gelijke zijden begrepen ooknbsp;gelijk zijn ieder aan ieder, de oppervlakten dier twee.kloot'nbsp;fche driehoeken gelijk zullen zijn.
XXIX. BEPALING. Fig. 243.
Men noemt drievlakkige klootfche^ pjramide de piramide di er in het middelpunt C des kloots gevormd wordt, uit dquot;nbsp;vlakken, P C E , ii C L . P C L , die door de bogen P E , E E gt;nbsp;PL, zijden diens klootfchen driehoeks op de oppervlakte desnbsp;kloots befchreven, en de radii EC, PC, LC beperkt zijnnbsp;en uit de oppervlakte des klootfchen driehoeks zelve P Enbsp;als grondvlak.
D. G. . 947. noemt de drievlakkige klootfche pyramide, diicvlcdt' higen l'olvormigeii fector ; waarvan het grondvlak een bolvormig: nbsp;klootfche of fpherifche driehoek is.
AAMur-RKiNG. Deze tlrievlakki.qe pyramide verfchilt dan van die waf.rvan in het XI. Jioek geliandelcl is, alleen door het grondvlak, welke hier geen platte maar een klootfche driehoek isnbsp;d. i. eene bolle oppervlakte , die een gedeelte nitmaakt van denbsp;oppervlakte zelve des kloots : gelijk de geheele pyramide eennbsp;gedeelte is van dcszclfs inhoud,
De vlakke hoeken die te famen den ligchamelijken tophocl^ der gemelde pyramide uitmaken , hebben ieder tot maat dequot;nbsp;boog, dat is de zijde des klootfchen driehoeks, welke hetnbsp;van dien hoek op de oppervlakte des kloots beperkt.
In eenen klooifchen driehoek waarvan de drie zijden eene bepaalde grootte hebben , zijn ieder der drie hoeken ook bquot;'nbsp;paald: en iudien twee zijden en de hoek tnsfthen dezelvenbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;be-
-ocr page 627-y. jlfd,: Over de cirkels op de oppervl. getrokken.: 565
^figrepen bepaald zijn, heefc de derde zijde ook eene bepaalde grootte.
BEWIJS. Men trekke uit L in het vlak PCL, LB lootltegt jgt; PC: en uit B, BD loodregt op PC in liet vlak PCE; vervolgens,nbsp;in het vlak ECL, DE.
Om dat boog PL gegeven is, is CPCLgegeven: en derhalve zijn LB fimis en B C co/ukj bepaald. In A BCD is BC be-paakl;nbsp;Z CBD rcgt, en Z P C E gegeven om dat PE gegeven is; derhalve is C D bepaald. In ^ C D L zijn gegeven DC, CL, ennbsp;Z DCL om dat r\ EL bepaald is; derhalve is D L bepaald: gevolgelijk zijn in A DB L, de drie zijden bepaald: derhalve ooknbsp;Z DI5L; maar deze is de maat des klootfchen hoeks EPL, dienbsp;dan ook bepaald is: en zoo voor ieder der hoeken.
Indien alleen de bogen PE, PL gegeven zijn met den hoek EPL : dan zijn in den regtlijnigen driehoek DBL,BLenBDennbsp;Z DB bepaald: des ook DL; en derhalve in A DCLjCD,nbsp;DL, CL: gevolgelijk Z ECL: wiens maat is de boog EL.
I.
GEVOLG.
Indien dan op de oppervlakte des zelfden kloots twee driehoeken befchreven zijn , waarin de drie zijden gelijk zijn ieder aan ieder: zullen de hoeken die tusfehen gelijke zijdennbsp;begrepen worden ook gelijk zijn: en de driehoeken zijn innbsp;alle opzigten gelijk.
St. KL Dr. S. 63.
L. G. VIL 14.
II. GEVOLG.
Indien op de oppervlakte van den zelfden kloot twee driehoeken befchreven zijn, waarin twee zijden gelijk zijn ieder aan ieder, en de begrepen hoek ook gelijk: is de derde zijdenbsp;gelijk aan de derde , en dus ook zijn die driehoeken in allenbsp;Opzigten gelijk.
St. KL Dr. . 59.
HL gevolg.
Uit beide die gevolgen wordt nog opgemaakt, dat indien Uien in eenen gelijkbeenigen driehoek, uit den top, den boognbsp;ens grooten cirkels op het midden der overiiaande zijdenbsp;^rekt, i. die boog daarop loodregt jlaan zal: 2. dat de hoe-hen op die grondzijde in den gelijkbeenigen driehoek gelijknbsp;2ijn : en omgekeerd.
St. KI, Dr. S. 60. U G, VII. 15.
XLVIII. VOORSTEL. Fig. 243.
In alle klootfche driehoeken zijn twee zijden te grooter dan de derde : geen zijde, of geen hoek kan van 180nbsp;graden zijn; en de drie zijden te famen zijn altijd kleiner dannbsp;de geheele omtrek eens cirkels.
L. G. VII, 2 en 4.
BEWIJS voor het I. Uit Bep. XXIX. Gev. en XI, i.
Voor het 11. Indien een der hoeken, b v. EPL, tweeregtc bedroe?* was er geen klootfclie driehoek meer, maar alleen uit twee bo'nbsp;gen een fpherisch fchuitje ; insgelijks indien een der bogen dequot;nbsp;halven omtrek uitraaakt.
Voor het III. Fig. 244. Om dat'-^ PEH- ^PL^ r\ LE,is pE PE ^ PL -h pL gt; /gt; LE PE Pl*
d. i.
360^ ^ L E -j I* E -f- ^ P L.
AANMERKING. Mcn kan wel eenen klootfchen driehoek on* derftellen, waarin eene zijde grooter zoude zijn dan eennbsp;halven cirkel, en de daar over ftaande hoek grooter dan tweenbsp;regte: maar dan ware die hoek uitfpringend; en de vlak'nbsp;ken die denzelven vormen, zouden met het vlak wien3nbsp;boog is de derde zijde, grooter dan de halve omtrek, aaflnbsp;den anderen kant eenen klootfchen driehoek uitmaken, waarin alles volgens dit Voordel plaats heeft, en wiens hoekertnbsp;en bogen uit die des gegeven driehoeks bepaald zijn. Zqonbsp;dat de eerstgemelde driehoeken, waarin iedere zijde kleine^nbsp;dan de halve omtrek, en iedere hoek kleiner dan twee regisnbsp;is, hier alleen in aanmerking komt,
L. G. VII. 19. Scholie,
XLIX. VOORSTEL.
In alle klootfche driehoeken ftaat de grootfte hoek over d grootlie zijde: en omgekeerd.
BEWIJS. Fig. 245. zg in A ABC, Z A gt; Z B: maak Z BA L ZB: dan is A L 2= B L; waar AL LCgt; AC: derhaKnbsp;BL-f-LCofBCgt;AC.
Indien BC gt; ACtisZBAC gt; Z B: want ware dezr'^^ geigk, zoude BC = BA zSn: en indien Z BAC lt;ZBZO'nbsp;B C lt; A C zqn: dat beide tegen de onderileiling ftrdt.
St. KI. Dr. S. 66. - I*. G. VII. 16.
!*
-ocr page 629-V.Afd,: Over de cirkels op aeoppervl. eens kloots getr. 567
L,. VOORSTEL.
De drie hoeken eens klootfchen driehoeks zijn te fainen kleiner dan zes, en grooter dan tw regce hoeken.
L. G, VII, 19.
BEWIJS voor het I. Vit Voorftel XLVIII.
f^oor het II. Om dat , uit Voorft. XLIV, ieder klootfche hoek grooter is dan de regtiijnige die gemaakt wordt door de choor-dc zijner bogen, zullen de drie te famen grooter zijn dan de foninbsp;der drie regtlynige van den driehoek der choorden : en ge-volgelijk dan twee regte hoeken.
De overmaat der drie hoeken eens klooifchen driehoeks hoven de foin der hoeken in den regtlijnigen driehoek dernbsp;choorden, of boven twee regte, wordt genoemd fpherischnbsp;exces.
De fom der drie hoeken eens klootfchen driehoeks heeft dan, in tegendeel van het geen voor de regtiijnige plaatsnbsp;heeft, geen bepaalde grootte, en men kan uit twee derzelyenbsp;de grootte van den derden niet opmaken.
Een klootfche driehoek kan niet alln nen ftompen of nen regten hoek bezitten; maar twee, of drie, zoo welnbsp;ftompe als regte.
Indien twee hoeken te famen kleiner zijn dan po; is de derde hoek grooter dan po.
XXX. E PALING.
Een klootfche driehoek draagt den naam van re^ihoekigen ^f van ftomphoekigm, ai is maar ne van deszelfs hoeken regt,nbsp;of ftomp ; maar de drie hoeken moeten alle fcherp zijn,nbsp;hij den naam van fcherphoekigen voeren.
LI. voorstel. Fig. 244.
Indien men twee zijden [PA, PM] eens klootfchen driehoeks [APM] op de oppervlakte eens kloots befchreven, ''^rlengc , zullen zij elkander niet weder ontmoeten , dannbsp;^anneer zii, gerekend uit den top [P] des hoeks dien zijnbsp;evatren, ieder tot eenen halven omtrek (PAi, PM/gt;) verlengd,
-ocr page 630-lengd, zich in een ,flip vernigen, dat, als een tweede pool vlak over den pool [P], top des hoeks, ftaat. Die aldusnbsp;verlengde bogen zullen een fpherisch fekuitje iiitmaken , datnbsp;door de derde zijde [AM] des gegeven driehoeks, in tweenbsp;driehoeken verdeeld wordt, die gelijke grondzijden, geliji^nbsp;tophoeken hebben : en waarin de overige hoeken en denbsp;overige zijden in den eenen, refpectivelijk de fiipplementennbsp;zijn der aangrenzende hoeken, of zijden, in den anderen.
BEWIJS.' Uit den aard der zaken en Voorft. XLUI, Gev.
aanmerking. Zoo de twee zijden des driehoeks iedef po'', bevatten: zullen de twee driehoeken die aldus ge*nbsp;vormd worden, in alle opzichte gelijk zijn: en de hoekennbsp;die door de derde zijde met ieder der twee andere gevormdnbsp;worden, zullen regt zijn: het geen in andere woorden op'nbsp;geeft dit
GEVOLG.
Indien twee zijden [van een driehoek tot po', verlengd worden; zullen die aldus verlengde zijden loodregt ftaan op den grooten cirkel die door hare uiteinden gaat ; en de boognbsp;diens grooten cirkels tusfehen gemelde uiteinden begrepennbsp;zal de maat zijn des klootfcben hoeks welke gemelde zijdennbsp;onderling maken.
Sc. KI Dr. .51.
LII. VOORSTEL. Fig. 246.
Indien men van eenklootfcben driehoek ' A B C , wiens zij-'den kleiner zijn dan negentig graden, de bogen verlengt tot dat zij , te rekenen van den top des hoeks dien zij vormen , ieder 90 graden bedragen , en dan uit den top vaunbsp;iederen hoek, door de uiteinden der aldus verlengde zij'nbsp;den cirkels trekt; zullen die drie cirkels elkander ontmoetennbsp;en eenen nieuwen klootfcben driehoek vormen ; waarin denbsp;top van iederen hoek de pooi zal zijn der tegenoverftaandenbsp;zijde in den gegeven driehoek: en de top van iederen hoeknbsp;van den gegeven driehoek is de pool van de tegenoverllaaU'nbsp;de zijde in den nieuw ge vormden driehoek.
BEWIJS, Om dat de bogen Cl en CH ieder go graden bedm' gen, is C de pool des cirkels MlIliN en liaat 90-. van ]VInbsp;van N af.
om da zelfde rede is B de pool van den boog MDEOt derlialve ftaat B 90quot;. van M en van N af. ,Maar M ftaat ook 9nbsp;gr. van C: derhalve is M de pool van den boog BC, of KOquot;'nbsp;Op de zelfde wijze wordt bewezen dat A de pool is van enbsp;boog oFGN: O de pool van boog AB: en N de pool van A'-'nbsp;waaruit het Voordel volgt .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XXXI*
-ocr page 631-De driehoek, befchreven op de wijze in het voorgaande Voorftel aangeduid , worde pool-driehoek ^ en ook fuppletnent-driehoek van den gegeven driehoek genoemd.
AANMERKING. De reden, waarom die driehoek pool-driehoek genoemd wordt, blijkt uit het voorgaande Voorftel : het volgends zal de reden van den naara fupplement-driehoek doen zien,
LUI. VOORSTEL.
/
In den 'pool-driehoek [MON] van eenen gegeven driehoek, zijn de zijden de fuppteraenten van de overftaande hoeken innbsp;den gegeven driehoek: en de hoeken de fupplementen vannbsp;de zijden.
BEWIJS van het J, D'G is de maat van den hoek O ; H E die van den hoek M; i F die van den hoek N.
Maar n G nbsp;nbsp;nbsp;D B ^ B G = 90a. -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; A B =:
i O iSoa _ r-, ABs insgelijks ^ HE :::r i M = 180 ^ B C anbsp;^ IF r= Z N = l8oa nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AC.
BEWIJS ven hst II. M N '' M H ^ H N 9:5. -|- 90, ^ IH = 180. IH a. i. ^ MN = i8o^ Z C.
insgelijks NO i8o ' ^ F G - i8o. nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z A.
en MO = iSo. . /-s DE = i8o. Z B.
I. GEVOLG.
Indien in eenen klooifchen driehoek ACB, eene zijde AU bepaald is, en de hoeken B en A aan die zijde grenzendenbsp;eene bepaalde grootte hebben: is ook de derde hoek bepaald.
BEWIJS. Want dan zijn in den fupplementairen driehoek M N O , bepaald Z O, zijde ON en zijde OM : en dus (Voorftel XLVII.) zijde ME; gevolgelijk ook Z C.
Zoo dan in twee driehoeken eene zijde gelijk is aan eena zijde, en de twee hoeken ^aii die zijde grenzende ook gelijknbsp;Zijn, ieder aan ieder, is de derde hoek gelijk aan den derden,nbsp;en de driehoeken zijn in alle opzichten gelijk.
St. KI. Dr. . 4. L. G. VIL I3-
AANMERKING. Dit Voorftel is hier zoo algemeen niet als Voof de regtUjnige driehoeken: want daar heeft het plaats al zijn denbsp;gegeven hoeken aan de gegeven zijde niet aangrenzende. Donbsp;reden blijkt uit den aard der beide foorten van driehoeken.
LIV. VOORSTEL,
Waiineer drie groote cirkels op de oppervlakte eens kloots
Pp nbsp;nbsp;nbsp;ge
-ocr page 632-getrokken worden, verdeelen derzelver omtrekken door hunne ontmoetingen de opperviakte des kloots in agt klootfchenbsp;driehoeken, welke twee aan twee genomen, aan elkander gelijknbsp;zullen zijn: die namelijk welke door de verlenging van iwenbsp;zijden die eenen hoek maken wiens top als pool befchouwdnbsp;wordt, aan den kant van den tweeden pool gevormd worden
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMHRKtNa, Dit kan naauwelijks met genoegzame duidelijkheid
op eene platte figuur aangewezen worden: maar valt van zelf i het oog als men die cirkels op de oppervlakte eens kloots trekt:nbsp;en men kan het zelfs zonder figuur uit den aard der zaken nagaan.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING; Wanneer men van die acht driehoeken, ernbsp;twee neemt , die aan elkander grenzen: maken zij te ih'nbsp;men een fphensch fchuitje: en zijn derhalve in het geval
van het voorgaande Voordel.
GEVOL G.
Wanneer twee groote cirkels elkander regthoekig fnijden: en uit het middelpunt een vlak loodregt op de gemeene astnbsp;of fneede, dier twee cirkels getogen vtordt; is de oppervlaktenbsp;des kloots door deze drie cirkels, in acht gelijke driehoekenbsp;verdeeld, die ieder drie regte hoeken bezitten, uit gelijknbsp;bogen beftaan, ieder een vierde des omtreks bedragende, ennbsp;op de oppervlakte acht gelijke deelen beperken.
III. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Gelijk de regte hoek, als maat der hoeken ge*nbsp;nomen wordt, kan zoodanige fpherifche driehoek ook alSnbsp;maat van den inhoud des kloots, en de fpherifche oppervlak'nbsp;te van zoodanigen driehoek als maat van de oppervlakte desnbsp;kloots gehouden worden.
VI. AANMERKING. Zoodanige ligchamelijke regte hoek, in het middelpunt des kloots gevormd, en op de oppervlakte desnbsp;kloots en achtfle gedeelte van dezelve afperkende, zoudnbsp;dus voor eenheid aangenomen kunnen worden; en zoomennbsp;naar analogie met het geen voor vlakke regte hoeken plaatsnbsp;heeft, zichyverbeeldde dat dezelve, of liever, dat het g'nbsp;deelte der oppervlakte daar door afgepast, 90 deelen , ond^nbsp;den naam van graden van oppervlakte bevat; zoude de geheInbsp;oppervlakte eens kloots uit 720 zoodanige graden van oP'nbsp;pervlakte beftaan : welke graden van oppervlakte in ver-fchillende fpheren tot elkanderen liaan zullen in verdn'nbsp;belde rede der radii van dezelve. Zie, hier onder, Voorft*nbsp;LVI. Aanm. i.
LV. VOORSTEL. Fig. 244.
Indien twee groote cirkels VMp, hMa, op de
-ocr page 633-y. Afd.: Over de cirkels op de oppervl. eens kloots getr, 571
vlakte eens hal ven kloots IVTA P /gt; A P getrokken, elkander fnij-den.* zullen de oppervlakten der twee, in den top M tegen elkander overftaande driehoeken AMP en pMa die zij vormen , te famen gelijk zijn aan de oppervlakte van het //gt;/nbsp;risch fchuitje waarvan M de hoek is.
L. G. VII. aa.
BEWIJS. Indien men de bogen Mp , verlengt , zullen zij elkander in eenig flip m ontmoeten, wanneer zy tot eenen kalven omtrek verlengd zullen zyn; welk flip m, vallende aan denbsp;andere zijde des cirkels hVapK die den halven kloot, waaropnbsp;de driehoeken AMP en Mp getrokken zijn, beperkt, de poolnbsp;zijn zal die vlak over den pool M Haat: en de driehoek pMa,nbsp;die op de tweede halve oppervlakte gevormd wordt, zal in allenbsp;opzigten gelijk zijn aan den driehoek AMP (Voorft. HV.): waaruit volgt dat de beide driehoeken AMP n aMp te famen gelijkenbsp;oppervlakte hebben als het fchuitje waarvan M de hoek is.
De oppervlakte van een klootfchen driehoek [A B C] ftaat tot dien van den geheelen kloot, als de fora der drie kloot-fche hoeken van den driehoek, ;bi twee regte hoeken, totnbsp;acht regte hoeken.
L. G. Vil, 23. D. G. S- 950.
BEREIDING Men verlenge de bogen A B, B C, A C, tot dat zij den grooten cirkel HGFEDI ontmoeten,
BEWIJS. Men drukke de oppervlakte des kloots uit door de Griek-fche letter (G) genoemd omega of lange O.
Oppervl. fchuitje waarvan A nbsp;nbsp;nbsp;de hoek is:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G 1=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ljnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
nbsp;nbsp;nbsp;....... waarvan B nbsp;nbsp;nbsp;de hoek is :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,L f XLVI,quot;
nbsp;nbsp;nbsp; - waarvan C de hoek U: O i C: 4 L*
derhalve
fom der s fchuitjes: G ZA-i-ZB-}-ZC:4L
maar door Voorft. LV, is
fchuitje waarvan ZAOOA DAE AHAG
__ Z B 00 A nbsp;nbsp;nbsp;gBF H- Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iBD
- nbsp;nbsp;nbsp;- Z C 00 A nbsp;nbsp;nbsp;HCI Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fcE.
Maar AoAE-t-AAHGOOAHAG-f. fig. BCED AABC AoBF-f- AiBDOO AiBD-f-fig. ACFG A ABCnbsp;A HCI A FCE 00 A FCE fig. HABI A ABCnbsp;welke fom klaarblijkelijk de halve oppervlakte des kloots nitmaaktnbsp;met tweemaal den A A B C.
Gevolgeiyk is de fom der drie fchuitjes gelijk aan de halve oppervlakte des kloots plus a A. A B C j derhalve
57a XII. Boek: Over de ligch.ftg. met kromme oppervl.
jO aA ABC: i:A-f-ZB ZC = il:4Len
JOx 4L ^ abc X 4L=. (ZA-t-ZB-f-ZC)
en A abC
oe
oppervl. A ABC; n=:ZA ZB ZC-.aL:8L.
I, aanmerkdsg. Dit Voordel is , in kragt, reeds opgegeven door Algt;' EERT GIRARD ([/mv. noKV. eii Algbre) en in deze bewoording^nbsp;bevat. ,, Een klootfclie driehoek uit drie bogen van groote cir*nbsp;,, kels' bedaande , bevat zoo vele graden v^an oppervlakte , alsnbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,, in de overmaat der fom van de drie hoeken boven twee rcgi
,, bevat zijn. Hij verdeeld namelijk de geheele oppervlakte des kloots in 710 deelen die hy graden van oppervlakte noemt: zienbsp;boven Voordel LIV. Aanra. 4.
II. AANMERKING. A ABC
0.(ZA ZB-!-ZC2L) 8 L
(door Voordel XLVIl. en VII. 14. Gev. i.)
_ 4tr. r*(ZA ZB ZC rL)
720'*
(VII. 19. Aanm. 4-)
}* (Z A H- Z B -H C 2 L) _
180
_ r X 3.141592(55 (ZA ZB ZC- 180'.gt; _
648000quot; nbsp;nbsp;nbsp;
(VIII. l. Gev. 2 ) = r* Iquot;. (z A 4- Z B -j- Z C 180): waar door de oppervlakte eens klootfchen driehoeks uitgedruWnbsp;wordt in gedeelten van het vierkant des radius, Delamsre Mrglnbsp;d'jpmnomief Legon IV. . 74.
w* r*(ZA-!- ZB-4-ZC-2I.)
III. AANMERKING, UC A ABC wordt afgeleid
l8o
daar nu (Voorft*
ZA ZB ZC-2lquot;=
L. Gev. I.) Z A -h Z B Z C 2 L is het geen men fpherisdgt; exces noemt; biykt het dat ht fpherisck exces in een driehoek gt;nbsp;eenen bepaalden kloot befchreven, door de oppervlakte van disnbsp;driehoek wordt uitgedrukt,
XXXir. bepaling.
Wanneer meer dan drie groote cirkels elkander op de oppervlakte
-ocr page 635-van den kloot fnijden, wordt het gedeelte der oppervlakte, dat zij door hunne ontmoetingen afperken, fpherifche veelhoek genoemd.
L. G. vn. def. 8.
XXXIII. BEPALING.
Wanneer men door het middelpunt des kloots en door de bogen eens fpherifchen veelhoeks vlakken laat gaan, welke doornbsp;die bogen zelve op de oppervlakte beperkt worden, draagtnbsp;het ligchaam aldus gevormd den naam van fpherifche pyra-^idei haar grondvlak is de klootfche veelhoek, door denbsp;vlakken zelven afgeperkt.
L. G, VII. def, II,
LVII.
VOORSTEL.
Alle de bogen die eenen fpherifchen veelhoek op de oppervlakte eens kloots beperken, zijn te famen genomen kleiner dan de omtrek eens grooten cirkels,
L. G. VII. 5.
BEWIJS Immers alle de vlakke hoeken welke de fpherifche ramide uitmaken zijn te famen kleiner dan vier regte Hoeken (XI.nbsp;2 ) ; dus zijn ook de bogen die de maat van ieder dezer hoekennbsp;uitmaketi, dat is de bogen, of zijden, des fpherifchen veelhoeksnbsp;te famen kleiner dan de hoog maat van vier regte hoeken, dat isnbsp;dan de omtrek eens grooten cirkels.
LVIII. voorstel.
De oppervlakte van eenfpherifchen veelhoek heeft tot maat, ^2 fom van de hoeken des veelhoeks min zoo veel malen tweenbsp;'^egte hoeken, als de veelhoek zijden heeft min twee.
L. G. VlI. 24'
EEwiTS. Immers met cirkel - vlakken door het middelpunt des kloots en de over elkander ftaande hoeken des fpherifchen veel.nbsp;hoeks, te laten gaan, wordt die veelhoek in zoo vele klootfchenbsp;tUiehoeken verdeeld als de veelhoek zijden heeft min twee: innbsp;iederen klootfchen driehoek nu is (Voorliel LVI.j de maat dernbsp;oppervlakte de fom der hoeken min twee regte hoeken; derhalvenbsp;is de maat der oppervlakte van den fpherifchen veelhoek de foranbsp;van de oppervlakten in dezer driehoeken; dat is de fom van denbsp;hoeken des veelhoeks min tweemaal zoo veel regte hoeken als ernbsp;zijden zan min twee.
aak-
574
XU. Boek: Over de Ugch. fig. tnet kromme oppervl.
AANMERKING. Indieti s de fom der hoeken van den klo^' fchen veelhoek en g het getal der zijden uitdrukt: ennbsp;eenheid voor den regten hoek wordt aangenomen: worn'^nbsp;de maat van den veelhoek uitgedrukt door r a (g s) gt;nbsp;of j 2 g 4.
aanhangsel.
Pp 4
3 . .
-ocr page 638-I, HOOFDSTUK, Bijvoegfel op het III. Gevolg van hetnbsp;XX. VoorRel des II. Boeks.
II. HOOFDSTUK. Over het worteltrekken uit getallen, ennbsp;de formules om eene grootheid tot magten te verheffen.
I. Over den quadraat-wortel.
II, nbsp;nbsp;nbsp;Over den cubiek-wortel.
III, nbsp;nbsp;nbsp;Over de algeraeene formule om lot magten te
verheffen.
III. nbsp;nbsp;nbsp;HOOFDSTUK. Over het vinden van Logarithraen door
reekfen.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;HOOFDSTUK. Over de uitdrukking van Goniomctrifchc
lijnen, en van bogen des cirkels door reekfen.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELiNG. Uitdrukkingen van finiis en re-
finus door reekfen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELiNo. Uitdrukking van cirkcl-bogen door
reekfen.
V HOOFDSTUK. Den grootften. cubus te bepalen die men door een gegeven cubus kan laten doorgaan.
k ben voornemens, in dit Aanhangfel, fominige bijvoegfels op eenige voorllellen voortedragen; gelijk mede zoodanigenbsp;formules betrefiende de worteltrekking, de verheffing tot mag-ten, of de uiidrukking vanLogarithmeu en van Gonioinetrifchenbsp;lijnen , die niet wel in de Meetkunde zelve, waar toe zijnbsp;minder behooren, ingelascht konden worden, gelijk ik opnbsp;meer dan eene plaats heb opgegeven: ik zal de verfchillendenbsp;Zaken onder verfchillende hoofdftukken rangfchikken.
B IJ VOEGSEL OP HET III. GEVOLG VAN HET XX. VOORSTEL DES TWEEDEN BOEKS.
In het derde Gevolg des XX. Voorftels van het 11. Boek, hebben wij gezien, hoe daaruit, dat is uit het Voorftel vannbsp;vappus , het XIX. Voordel deszelven Boeks kan worden afgeleid : maar tevens doen opmerken dat, het bewijs doornbsp;Castillon gegeven, en daar ter plaatfe aangevocrd , de ken.nbsp;is der gelijkvormige driehoeken vereischc: het geen mij innbsp;de III. Aanmerking N. 4. heeft doen zeggen, dat mennbsp;het XIX. Voordel uit het Voordel van pappus niet kannbsp;sgt; afleiden, zonder de leer der gelijkvormige driehoeken ennbsp;der evenredige lijnen iiitcroepen. Dit was te voorbarig:nbsp;had in het bewijs van castillon berust, zonder de zaaknbsp;''erder nategaan. De Heof pieter albertus monk heeft mijnbsp;daaromtrent voorgelicht; en het bewijs volbragt , zondernbsp;leer der gelijkvormige driehoeken noodig te hebben, al-*en door die zaken, welke in het tweede Boek zelf bevatnbsp;*ijn. Het h van belang , dat ik deze mijne feil verbetere
Men hervatte dan het bewijs tot N\ II. toe, alwaar
_^het bewijs des Heeren munk opgev^e.
zelve op bi. 71. hebben afgebroken, te weten tot Wg. 72,73.)
Pp 5
wij
578
^anhangjel. Hoofdftuk I.
II. nbsp;nbsp;nbsp;O op AC oo O op A B ? op B C [Rh. uit AB
en BS Rh. uit BC en BT3- en gaa aldus voort. nbsp;nbsp;nbsp;,
in AA ACS en ACT is ? op aC oo ? op AS quot;i DopSCco nopAT -^quot;DopTC; maarnbsp;Q opSCco DopBC QopBS: en QopAT^nbsp;Q op AB ?opBT: Rellende deze waardijen in hetnbsp;Toorgaande, komt,
III. nbsp;nbsp;nbsp;OopAS QopBC ?opBSooOopTC-l'
? nbsp;nbsp;nbsp;opAB - OopBfnbsp;waaruit volgt
[? op BC ? op TC] ? op BT 00 [? op
AB ? op AS] -f ? op BS.
Nu is voor den fcherphoekigen A ABC in fig, 73.
? op BC o op TC 00 ? op BT
3 Gev.2
a Rh uit BT . CT en ? op AB ? op AS co ? op SB
2 Rh. uit AS , SBquot;' waaruit volgt
2 ? op BT a Rh. uit BT . CT 00 3 ? op
BS 2 Rh. uit AS . SB derhalve
Rh uit B T en [8 T -l- C T] 00 Rh. uit B S en [A S 4- ^
d. I.
Rh. uit BT eu BC 00 Rh. uit SB on AB;
Dit gefield in N. II. geeft
? op AC XO op AB -j-nopBC 2 Rh. uit AB-^ het geen voor den fcherphoekigen driehoek het XlX*nbsp;Voorde! is.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;Om nu het zelfde voor den flomphoekigen driehoel^nbsp;A B C in Fig. 72. te bewijzen, hervatte men N. III,nbsp;weten
[? op A S ? op B S] 4* O op B C X [? op T C
? nbsp;nbsp;nbsp;op BT] -f- ? op Ahnbsp;en gaa dus voort.
Maar ? op A S ? op BS x O op A B 2
uit AB .
? op TC p op BT X ? op BC 3 8^
het geen in N. III. gefield geeft nbsp;nbsp;nbsp;-
? op A B 4- a Rh. uit AB . BS 4- ? op BC
? op BC 3 Rh. uit BC . BT ? op
-ocr page 641-Bijvoegf. op Boek II. Foorfl, XX, Gev. 3. nbsp;nbsp;nbsp;579
waaruit volgt
Rh. uit AB . BS 00 Rh. uit BC . BT en dit in Nquot;. II. gefield geeft:
? op AC 00 ? op AB ? op BC -f 2 Rh. uit AB . BS: het geen, voor den Itomphoekigen driehoek,nbsp;het XIX. Voorfie) opJeverr.
De toepasfing van het Theorema van pappus op het XIX. Voorftel, is derhalve door dit eenvoudig bewijs vollediger geworden dan door het bewijs van castillon ; ennbsp;de Aanmerking N. 4. welke ik gemaakt had is ongegrond; maar de vier overige blijven in hare voile waarde
OVER DE WORTELTREKKING UIT GETALLEN EN DE FORMULES OM EENE GROOTHEID TOTnbsp;MAGTEN TE VERHEFFEN.
. I. Wij hebben in de I., V. en VI. Aanmerking op het lil. Voorftel van het II Boek, en in het H. Gevolg van hetnbsp;XIV. Voorftel van het XI. Boek de grondbeginfels opgegeven, waarop de regels gevestigd zijn, welke men tot denbsp;worteltrekking uit getallen gebruikt : wij oordeelen het nietnbsp;ondienftig thans aantetoonen hoe die regels, in de daad, uitnbsp;de gemelde grondbeginfels worden afgeleid.
Den Quadraat- f Cubiek-wortel uit een getal te trekken is, het getal te vinden dat, door zich zelf ns of twee malennbsp;vermenigvuldigd, wederom het gegeven getal oplevort.
Het getal, dat de wortel is, kan begrepen worden uit zoo vele deelen te beftaan als het cijiFer-letters heeft: dus bij voorbeeld beftaat 7,76 uit drie deelen 300, 70, en 6; of uit 3,nbsp;7, 6, wel verftaande, dat in het laatfte geval ieder cijffernbsp;eene tien-vondige waarde verkrijgt wanneer men eeiie andere cijffer ter regte zijde van dezelve plaatst.
De regel nu beftaat uit twee deden: vooreerst het bepalen van het getal der cijfferletters die den wortel uitmaken: ennbsp;dan het vinden van ieder dier cijffers in het bijzonder.
I. Over den quad raat wortel,
. 2. De Quadraat-wortels van alle de getallen tusfehen 1 en 100 beftaan uit dne cijiFerletter: die van de getallen
tus-
5So
Aanhangfcl. Hoofdjluk II.
tusfchen loo exi 10,000 nit twee: die van de getallen tusfchen 10,000 en 1,000,000 uit drie en zoo voorts, zoo dat ineunbsp;altoos weten kan uit hoe vele letters de Qnadraat-wortel vannbsp;een gegeven getal beftaan zal. Men behoeft Hechts, van.d.enbsp;regter hand te beginnen, het gegeven getal in fneden, iedernbsp;- van twee cijfterletters, te verdeelen; en dus, indien het getalnbsp;dier cijflferletters oneven is, zal de laatfte fnede Hechts tiirnbsp;ne cijlfeiletter beftaan. De vi'ortel zal zoo vele cijfferlettersnbsp;^en derhalve deelen) hebben, als er (heden gemaakt zijn.
Ieder paar cijlTerltters in het gegeven getal geeft dus ne cllft'erletter voor den wortel; en iedere fnede heeft in hetnbsp;getal eene honderdvoudige waarde met betrekking tot denbsp;volgende; zoo als ook iedere letter van den wortel eenenbsp;{ieii-voudige waarde heeft met betrekking tot hare volgende C*).
|. 3. Om nu den wortel uit een gegeven getal te trekken, heeft tnen Hechts te letten op de uitdrukking (a -j- nbsp;nbsp;nbsp;-j 1 h -}-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;t a nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;^ en het
gegeven getal met dezelve te vergelijken.
Ik^wil bijv. den Quadraat wortel uit 174. trekken : ik deel het getal in fneden van twee letters aldus 17 | 64:nbsp;waar door ik weet dat de wortel uit twee letters zal be-lla,in, w'aarvan ik de eene met a, de andere met O zalnbsp;vergelijken.
Ik vergelijk dus 17 [ 64 met lt;7^ -fquot; 2 nbsp;nbsp;nbsp;/* '}- en w'el
17, (dat is hier (700), met o^. Het vierkant dat het naast ain 17 (of 1700) komt is 16 (of 1600), waarvan de tvor-tel is 4 (f 4)*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 (dat is 404 =: zt, voor het
eerde gedeelte van den wortel; ik trek het quadraat ilt;5 (f foo) van 17 1 64 af; de rest (64 zal nu gelijk ztjnnbsp;San 2 a knbsp;nbsp;nbsp;nbsp;~ (2 anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b. Ik neem her dubbeid
van 4 (of 40) dat is 8 (of 80} welke ik dus vergelijk met ^ a: ik deel door hetzelve 16 (of rfio) dat. is 2 ab: ennbsp;het quotient 2 is waarfchijnlijk de tweede letter van dennbsp;2 ab
wortel, of want =: b. Ik (lel dus de a naast de
(*) Bijv. In ket getal 17 1 64: H cerfte fnede, in zich zelve be* fchouwd J7, en de tweede 64 : doch zoo ik de eerfte met de tweedenbsp;vergelijk, is de eerft met betrekking tot de tweede niet 17, maar
1700, iius honderdmaal meer dan ih het afgetrokkene. Insgelijks i den wortel 42 is de eerfte cjjiFer in het afgetrokkene, of op zich zelfnbsp;befchouwd, 4; de tweede is a: doch zoo ik de eerfte met de tweed*nbsp;vergelijk, wordt die eerfte 40, of krijgt eene tiendubfaclde waarde*
-ocr page 643-8, dat is, ik voeg de 2 bij de 80: of ik neem a -f. ; ik multipliceer 8a door a (dat is (2 a ^ 1 door b)-. iknbsp;Verkrijg 164 die ik met 2 abnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vergeiijk: en daar die
product gelijk is aan de rest 164 , blijft er na de aftrekking niets over: en dus is 42 de wortel van 1764. Zie hiernbsp;de gebeele bewerking in orde gefteld,nbsp;getal wortel
17 16
64 64
4. Ik heb gezegd dat 2 viaarfchijnlijk de tweede letter van den wortel is: want indien 8a X 2 grooter warenbsp;geweest dan de rest 164; zoude men daaruit gezien hebben dat 2 te groot is, en men hadt voor a eene kleinerenbsp;cijffer moeten gebruiken.
. 5. Wanneer de wortel uit drie of meerder cijfferlet. ters beftaat , gaatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;mennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;opnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de zelfdenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;wijzenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;werk, en
men befchouwt, om de derde letter te vinden, de twee eerfte letters als maar ne uitmakende, volgens de uitdrukking (^a bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c'/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-^2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{a-\-b)y.
c -4- c*. Wanneer nbsp;nbsp;nbsp;nu de twee eerftenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gevondennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijn , is
het deel 0. -{- afgehandeld , en de overige cijffers van het gegeven getalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gelinbsp;nbsp;nbsp;nbsp;k aan 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c c^.
Om de vierde letter te vinden befchouwt men do drie eerfte als ne letter uitmakende, en men gaat altijd zoo voort.
regel.
S* 6. I, Deel het gegeven getal (bij voorb. 488601) in fneden ieder uit twee letters beftaande, beginnende aan de reg-terhand (48 1 86 1 01).
II. nbsp;nbsp;nbsp;Neem het quadraat (36) dat het naast aan het getal ('48)nbsp;van de eerfte fnede komt: trek het van die fnede af, ennbsp;teekeii de rest f12) aan. De wortel (6) van dat quadraat isnbsp;de gezochte cijffer van den wortel,
III. nbsp;nbsp;nbsp;Stel de cijffers van de volgende fnede (86) naast de rest,nbsp;en befchouvv dit getal (1286) als n getal,
wor-
-ocr page 644-582
yianhangfd. Hoofdfluk //.
wortels: divideer daar doc^r het getal N. III. de la^itfte cijfftT niet mede rekenende (dus hier 1283: merk het quotient (9) aan als de nieuw cijffer van den wortel.
V. nbsp;nbsp;nbsp;Si:el het zelfde quotient (9) naast het dubbeld getal N*nbsp;IV : multipliceer dan dat getal (129) , als n getal be-fcbouwd, door dat quotint, of die nieuwe cijfler van detJnbsp;wortel (9): trek het product (1161) van de rest Nquot;. iH*nbsp;af, en teken de rest (125; aan,
VI. nbsp;nbsp;nbsp;Zoo er nog meerder letters in het gegeven getal zijnnbsp;fteilt men de volgende fnede (hier 01) naast de gemeldenbsp;rest (125), en men befchouwt dit getal als n getalnbsp;(112501).
Vil. Vervolgens befchouwt men de reeds gevonden letters (69) van den wortel als ne letter, en men gaat volgensnbsp;N. IV, V, en Vt. voort, tot dat men alle de fneden vannbsp;het gegeven getal uitgewerkt heeft. Zoo er dan geen restnbsp;over blijft, is het gegeven getal een quadraat getal, waarvan het gevonden getal de wortel is.
VIII. nbsp;nbsp;nbsp;Zoo er een rest over blijft, ftelt men zoo veel parennbsp;nullen naast die rest als men in den wortel decimale lettersnbsp;tot nadering wil gebruiken , en men ziet ieder paar aan alsnbsp;eene nieuwe fnede van het gegeven getal, dat men uit'nbsp;werkt volgens N. IV, V, en VI
IX. nbsp;nbsp;nbsp;Wanneet men eene breuk heeft, (bijv. neemt incU
afzonderlijk de wortels van den teller en van den noemer en maakt van dezen eene breuk (^) die de gevraagde wortel is: of men brengt (zoo de teller en noemer geen qua-draac getallen zijn) de breuk tot eene decimale breuk, waaruit men den wortel trekt.
. 7. Zie hier drie uitgewerkte voorbeelden.
^,2
I, Den wortel te trkken uit 4880ot
9
_9
1161
36
48 I 86 1 01
125 01
12 86 II 6r
125 01 125 01
De wortel is 699.
II-
-ocr page 645- -ocr page 646-II. Over den cubiekwortei..
8. De cubiekwortels van alle de getallen tusfcheii i 6'^ 1000 beflaan uit ne cijfferletter: van d getallen tusfchennbsp;1,000 en 1,000,000 uit twee cijfferletters: van de getallen tusfchen 1000,000 en 1,000,000,000 uit drie cijlFerletcers, en zoonbsp;voorts; zoo dat men altoos weten kan uit hoe vele lettersnbsp;de cubiek-wortel van een gegeven getal betlaan zal; ineunbsp;moet flechts, van de regterhand te beginnen, het getal ionbsp;fneden afdeelen leder van 3 letters: en dus, indien het getalnbsp;cijfFerleters in het gegeven getal niet door drie deelbaar isgt;nbsp;zal de laatfte fuede (die aan de linkerhand) maar ne of tweenbsp;cijffers bevatten.
leder drietal cijfferletters in het getal geeft dus ne cijfferletter voor den wortel : en iedere fnede heeft in het getal eene duizendvoudige waarde met betrekking tot de volgende;nbsp;zoo als iedere letter van den wortel eene tienvoudige waardenbsp;heeft mee betrekking tot de volgende cijffer.
. 9, Oin nu den cubiek-wortel uit een gegeven getal te trekken behoeft men flechts te letten op de uitdrukking:nbsp;(XI. 14. Gev. 2.)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 3
-j- ^ a b (^a nbsp;nbsp;nbsp;bquot;) bi \ Qn ht gegeven getal daar mede
te vergelijken. nbsp;nbsp;nbsp;,
Ik begeer den cubiek-wortel uit 74,088 te trekken. 1quot; deel dat getal in fneden , aldus 74 | 088 , waar door iknbsp;weet dat de wortel uit twee letters zal beilaan , waarvannbsp;ik de eene met a de andere met b zal vergelijken.
Ik vergelijk dus ook 74 [ 088 met nbsp;nbsp;nbsp;3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- 3 0
3: en wel 74 (of hier 74 000) met ai. Het cubiek-getal dat het naast aan 74 komt is 64C1) of hier 64 ooo) waarvan de wortel 4 (of 40) de eerde letter is van deunbsp;gezochten wortel ; ik trek dat cubiek-getal van 74 |nbsp;af: de rest is 10 088, die gelijk is aan 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ -j- 3 ab1
bi. Ik neem het quadraat van de reeds gevonden let' ter 4 (of 40), dat is l (of lcc): ik multipliceernbsp;door 3j en krijg 48 (of 41^00) welk getal ik dus vergelijknbsp;met 3 a^ : ik deel 100 door die 48 (of loogs door 4S00/nbsp;en verkrijg tot quotient a, die waarfchijnlijk de tweede
Jet1
Cllhl nbsp;nbsp;nbsp;I
wortels I
Men dient een tafeltje voor oogen te licbben van de cu 10 eerfte getallen: zie bier hetzelve
O M nbsp;nbsp;nbsp;Tfiff lt;tr/\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1%nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 729 lOOO
-ocr page 647-585
Over het trekken vein den cubiehvorte.
1 nbsp;nbsp;nbsp;% ed' k?
ietter van den gezochten Wortel is, om dat nbsp;nbsp;nbsp;~
Ik ftel dus a naast de eerfte letter en heb 4a,
Ik multipliceer het drievoudig quadraat van de eerde letter, hier 4d, door de tweede tetter; het product isnbsp;96 (of 9600 = 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b): ik multipliceer het drievoudig
quadraat 12 van de tweede letter 2 door de eerlle letter 4: het product is 48 (of 480 = 3 ab^j; ik nee n dennbsp;cbus van de tweede letter 2; dezelve is 8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;
ik addeer die drie producten (p, 48, }ij te fanien, wel lettende van het tweedenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aan de regterOand),
eene letter verder naar (*) de rgterhand le plaatfen dan het eerfte, het derde eene letter meer naar de regterhandnbsp;dan het tweede (f): da fom looSS is = 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ -f
3 * bi.
| ||||||||||||||||
10088 |
Ik trek die fom van de gegeven rest af, en zie dat er niets overig blijft: waaruit ik befluit dat 4a de gezochtenbsp;Wortel is. Zie hier de bewerking
de
, 10, Ik heb gezegd dat 2 waarfchi/nlijk de tweede letter van den wortel zijn moest: want indien de gemeldenbsp;producten en cubui te famen grooter geweest waren dan
(*) Immers, is die 96 eigenlijk 9600, en de 48 maar 483: of, in algemeen, daar de eerfte letter eene ticnyoadige waarde heeft vannbsp;quot;'t geen zij in het afgetrokken fchijnt te hebben, zal het quadraat vannbsp;quot;e tetter eene tienvoudige waarde bezitten ten opzichte van het product dier eerfte letter door her quadraat van de tweede gemulti.nbsp;Piiceerd.
, Ctj Immers is de 48 eigenlijk 480: iu het algemeen daar de eerfte tter in de daad eene tienvoudige waarde bezit, heeft ook hetpro-van die letter door het quadraat van de tweede eene tienvoudigenbsp;?*rde met betrekking tot het product van het zelfde quadraat doornbsp;tweede letter, dat is tot den van de tweede letter.
58
Aanhangsel, Hoofd Huk 11.
de rest lO 088, zoude het een teeken zijn dat 2 te is voor de tweede letter, en ik zoude een kkiner getquot;nbsp;moeten gebruiken.
. II. Indien de wortel uit drie of meerder letters be-ftaat, gaat tnen op den zelfden voet voort , en men be-fchouwt de reeds gevondene letters als n getal, volgens de uitdrukking (a ^ cy z=: Qa by 3 (c V)1nbsp;^ fquot; 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5 t:n insgelijks voor de vierde ?
vijfde letter enz.: waaruit deze regel afgeleid wordt, wei' ke wij tevens op een voorbeeld zullen toepasfen.
REGEL.
; 12. I. Deel het gegeven getal (5,268,024) , beginnende aan de regcerhand in fneden ieder van drie cijfferietters.
II. nbsp;nbsp;nbsp;Neem den cubus (i) die het naast komt aan het gC'nbsp;tal (5) van de eerlle fnede aan de linkerhand: trek diennbsp;van da't getal af: teeken de rest (4) aan. De wortel (l)nbsp;van dien cubus is de gezochte cijiFer van den wortel.
III. nbsp;nbsp;nbsp;Stel de differs (268) van de volgende fnede naast dienbsp;rest (4) en befchouw het als n getal (4268).
IV. nbsp;nbsp;nbsp;Neem het qiiadraat (i) van die eerfte cijffer: multipb'nbsp;ceer het door 3: divideer door dat product f 3; het geme1'nbsp;de getal N. III, de twee iaatfte cijiFers niet mede rC'nbsp;kenende : bet quotient (hier 7) (?^ is waarfchijnlijk snbsp;volgende letter van den wortel.
V. nbsp;nbsp;nbsp;Multipliceer het drievoudig quadraat (3) van de reeds tsnbsp;voren gevonden letter door de nu op nieuws gevonden ff)nbsp;No. IV; multipliceer het quadraat (49) van de nieuwe
ter door 3: en het product (147) door de te voren g' vonden letter (1): neem den cubus (343} van die nieuwnbsp;letter (7). Addeer de drie producten te famen, flellendsnbsp;het tweede eene letter meer naar de regterhand dan hsfnbsp;eerfle, en het derde dan het tweede; trek de fom (3913)nbsp;v.2n de gemelde rest N. III- af: teeken de rest (355) aafl1
VI. nbsp;nbsp;nbsp;Zoo er nog meerder letters in het gegeven getal zij nbsp;ftelt men de volgende fnede (hier 024^ naast de gevonde
f 651
Hier gaat wel is waar 3 veertien malen in de 4a: doch men ka niet meer dan 9 voor een quotient ftellen: en indien men 9nbsp;zoude men door de volgende bewerking N. V. vinden dat nietnbsp;g maar ook 8 te groot is men moet hier het quotient bijna altijd Vnbsp;kleiner nemen dan in den eerfton opflag fchijnt.
-ocr page 649-5*7
Over het trekken van den cubiekwortel.
*25^ f355) en men befchonwc dit getal als n getal C3SS024) nitmakende.
V'II. Men ziet de reeds gevonden letters C*?) van den wor* tel als ne letter aan en gaat voort volgens N IV, V,nbsp;VI, tot dat men alle de fneden van het getal uitgewerkcnbsp;heeft: zoo er dan geen rest over blijft, is het gegevennbsp;getal een cubiek-getal, waarvan het gevonden getal 074)nbsp;de wortel is.
VIII. Zoo er eene 7-est over blijft, fielt men zoo vele malen drie nullen achter het getal als men fn den wortel decima^nbsp;len tot nadering wil gebruiken. Men ziet ieder drietalnbsp;nullen aan als eene nieuwe fnede van het gegeven getalnbsp;die men uitwerkt volgens N^. IV, V, VI.,
. 13. Wanneer men eene breuk heeft (bijv. ,1^) neemt men afzonderlijk de cubiek-W'ortei's (4 en 5) van den teller en van den noemer, en maakt van dezen eene nieuwenbsp;breuk (l) die de cubiek-wortel van de gegeven breuk is:nbsp;of men brengt (zoo de teller en de noemer geen cubiek.nbsp;getallen zijn) de breuk tot eene decimale breuk, den tellernbsp;Zoo ver uitftrekfcende, ofgt; zoo die bepaald is, er zoo velenbsp;nullen byvoegende als noodig is op dat na die bijvoegingnbsp;de noemer een cubiek getal zij (*): als dan handelt mennbsp;met den teller als met een geheel getal. Zie hier het voorbeeld uitgewerki.
4 3 |
| ||||||||||||||||||||||||||
355024 |
(?) nerhaWen i, of met s. of met 6, of met g enz. nullen, met drie opkUmmende: gevo'gelijk moeten de cijfers van de opgege-Ven breuk met zoo veel nullen aangevuld worden als vereischt wordtnbsp;P dat hun getal door 3 deelbaar zy : bijv. zy de breuk o.ooSS: X,nbsp;Voeg a nullen by om te bebben o.ooSsooi de noemer zal zyn i.txiOjPoOi
Qcj 3 nbsp;nbsp;nbsp;Waar-
-ocr page 650-55S
Jlanhangfcl. Hoofdftuk 11,
li. Over oe algemeene formule om magtbn
EN WORTELS UITTEDRKKSN.
14 Indien men de hoegrootheid q achtervolgens, bij multiplicatie door zich zelve tot da magten i, 2 , 3 ,nbsp;^,5 enz. vet heft, verkrijgt men
p nbsp;nbsp;nbsp;. z q 5 pqquot;-
p nbsp;nbsp;nbsp; 4 /)! (? 10 /J*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 4 /gt;?* q*
p -^ q =/i* nbsp;nbsp;nbsp; 10/)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-{'5/'^^
en zoo voorts.
Indien men vervolgens de wet nagaat die de colffickn^ ten der verfchillende termen volgen , en ze uit den aardnbsp;der zaken opmaakt , zal blijken dat men deze algemeenenbsp;formule kan daarftellen , welke onder den naam van binomiutnnbsp;van newton bekend is: te wetennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;yr
enz.
2.3*4
Zoo dat in het algemeen, indien D de cofficint is van de term p^^ de cofficint van de volgende lertn
D f)
q 1
. IS. I. GEVOLG. Hieruit volgt dat zoo eene grootheid /), eene vermeerdering of vermindering q ondergaat,nbsp;de vermeerdering voor het vierkant zal zijn 1 pq q^'tnbsp;voor den cubus of voor da d^rde magtjh
ti
waarvan de wortel is 100: de wortel zal das uit honderdfte deelj' beltaan: en 8500 wordt als een geheel getal befchouwd, waarvan denbsp;_.cubiek-Wortel grooter is dan 20 en kleiner dan ai men kan bij n*d'nbsp; ring zoo naauwkeutig te werk gaan als men verkiest.
-ocr page 651-Over de alg. form, om magten cn wortels uittedr, s8p
En derhalve dat de rede van de grootheid tot haren aanwas, of tot hare vermindering, zijn zal voor de enkele grootheid als p : g
voor het vierkant als voor den cubiis, als
Indien nn q zeer klein is ten opzichte van p , zal de limiet van de*e drie reden zijn ,nbsp;voor de enkele grootheid p qnbsp;voor het vierkantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;p i q
voor den cubus nbsp;nbsp;nbsp;P ' % q
dat is, deze drie reden zullen des te naauwkeuriger de ware rede uitdrukken dat q kleiner is: en men ziet daaruit , dat indien eene grootheid eene kleine veranderingnbsp;ondergaat, deze voor den cubus het drievoud, en voornbsp;het quadraat het dubbeld is van het geen voor de enkele grootheid plaats heeft. Dit voordel is in de Natuurkunde van zeer veel nut.
. i5. II. GEVOLG. Vermits n eene magt is in het algemeen, kan men ook fiellen ~ nbsp;nbsp;nbsp;fractionaire
magt eene worteltrekking uitdrukt (III. Bep. V. Aanm. 2.). Dit (lellende, en tevens in acht nemende, dat eene e-gatieve magt eene divifie aanduidt (III. Bep, IV. Aanm, 3.)nbsp;verkrijgt men
i J nbsp;nbsp;nbsp;i -1
-ocr page 652-Aanhangjel, lioofdftuk 11,
enz-
q nbsp;nbsp;nbsp;~ I .q*ffj _ 1. o m \ . q^_
pm \ mp 2 m^p^ ~ nbsp;nbsp;nbsp;2.3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ J
Waar door de worteJtrekking in vele gevallen gemakkelijk wordt.
. 17. Zij bijv. p ~ *, q 7=1 ab\ en dus /gt; -f ^ CS -f- ah = 0 (i?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; zij OT ZE 2 dan is
Va* ab Vd! (fl O') z= [a (lt;? 4- z=
enz.
2 nbsp;nbsp;nbsp;8 a
Zoo dat, indien b zeer klein is ten opzichte van a: men hebben zal
- nbsp;nbsp;nbsp;b a -lquot; ^a -4
V a (ff b^ =7 a -f- ~ = - quot; nbsp;nbsp;nbsp;^-: dat juist
oplevert het geen gezegd is geweest in III. 21. en VII Bep. I. Gcv. I. Voorbeeld 3.
OVER HET VINDEN VAN LOGARITHMEN DOOR REEKSEN.
Wij hebben in het XXXIX. Voordel van het III. Boek aan-getopnd, hoe men de Logarithmen van alle de getallen vinden kan door het nemen van herhaalde middel-evenredigeni en tevens gezegd (Aanm. IV.) dat de eerde berekenaars diernbsp;Tafels op deze wijze waren te werk gegaan: doch dat mennbsp;Uederhand korter wijzen hadt uitgedacht, en dat wij daarvannbsp;in het Aanhangfel zouden handelen.
Die meer verkorte wijzen deunen op het uitdrukken eens Ltgarithmus door eene reeks waarvan de leden zeer fpoedignbsp;Slfhemen. Wij zullen de Letter L gebruiken om den Logarith-viui van dit getal uittedrukken voor het welk het daat,
Zij
4 s -fr enz.: dan moet men, om de reeks te kennen c^egidenten ic, jt, z, -f enz. bepalen.
-ocr page 653-591
Over de nbsp;nbsp;nbsp;door reel/fen.
Zij L. (i -j- )* = a L. (i ) III, 35. Gev. a, derhalve
II. nbsp;nbsp;nbsp;L. (_!-{- r^y = s. n 2 X .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 y 2 ^
-j- 2 liTt^ enz
= L. nbsp;nbsp;nbsp;2 -{-
zij kortheidshalve a n -J- * = A: dan is
^A'^ A -j- enz.
maar, om dat A = 2
is A* = (2 O*
A = nbsp;nbsp;nbsp;^ quot;iquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;derhalve
Indien men die verichillende magten van 2 -{- * door multiplicatie ontwikkelt, en dan, duidelijkshalve, die leden waarin tot de zelfde inagt verheven is, onder elkander fchrijft, heeft men
V. nbsp;nbsp;nbsp;L,Ci )** ^x*n^ xn* -1- enz.
83^/2* nbsp;nbsp;nbsp; 6yn^-\~enz.
iCzn'* 32 z n 4- enz.
32 un^ 4quot; enz.
5. 2. Maar die uitdrukking N. V. moet gelijk zijn aan de uitdrukking II., vermits beide den zelfden Logar\thnbsp;mus opgeven. Die gelijkheid nu kan geen plaats hebben,nbsp;ten zij de cofficinten der leden van beide de reekfen , waarinnbsp;n tot de zelfde magt verheven is, gelijk zijn. Dien tennbsp;gevolge is;
2 X = I A- X. derhalve . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x
2_y = 4 ^ 8 j nbsp;nbsp;nbsp;^ 3':nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y- I
2 z SIX'4* i2 y 'i6z = ^-I-4 l6zofz =
2 nbsp;nbsp;nbsp; 32Z 32 = *| 32:enr/ =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;|
en zoo voorts. Zoo dat men, met die waarde van in de reeks N. I. te ftellen, heeft
VI. L. Cl )
In welke reeks de wet der cofficinten duidelijk genoeg kenbaar is,
/latihangfd. Hoofdjluk UI.
dat doet zij niet: men gaat dan aldus voort om uit die reeks eene andere, die fneller famenloopt, opteiiiaken.
Het blijkt door eene gemakkelijke divide, dat
I -j- nbsp;nbsp;nbsp; s -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; enz.
VIL
I n
zij dan k 4- nbsp;nbsp;nbsp;^ gjjz, B,
dan
^ nbsp;nbsp;nbsp;= L, (I B) = B - I I B
nbsp;nbsp;nbsp; enz.
Stellende nu in plaats van B, en deszeifs magten , (^n H- w* rfi -j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-[- enz.) en de magten
daarvan Melke men bij multiplicatie fticceslivelijk ontwikkelt, komt
IX. L nbsp;nbsp;nbsp;= nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; * enz.
J ;/ Ir,s %rA % enz. J /i -j-1 r/ -l-1 enz.
enz.
Alle die leden optellendc, en ieder derzeive tot d eenvoudigae uitdrukking herleidende , komt
enz.
^ (r:r^) = '' nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
(1 nbsp;nbsp;nbsp;I quot;N
~ L ) L _ }
Indien men dan de reeks N*. IX. voegt bij de reeks J3. VI, komt
L nbsp;nbsp;nbsp;_ / r,lt;s enz.\
W zy -1 * f 1 1 ft J -J-enz./
593
O'/cr de Logarithmen door rtekfen. dat is
'I .
of
XI,
(A 'f^\ f
L (rir^) = n' r^5' r'^r'^quot;0
Welke reeks zeer fpoedig afneemt, en dien Logarithr
(I _j_ fi\
- } uitdrukt, welken men noemt natuur.
I n'
lijken, en ook, naar den uitvinder dier Logarithmen ^ Neeptriaanfchen Logarithmus, Men vindt die formulenbsp;bij alle de Schrijvers welke over deze zaken gehandeldnbsp;hebben: en ook bij euler Introd. in ^naljfin Infinit.nbsp;. 121. bij DE GELDER, Handleiding, . 716. en velenbsp;volgende.
De wijze welke ik hier verklaard heb is die van DODSON te vinden in de Philofoph. Tranfact. vol. XLVIII. p. 2fo. Zij is mij eene der eenvoudigfte en meestnbsp;mentaire vrgekomen.
, 4. Om het gebruik dezer reeks aantetoonen , vrage
I
men den natuurlijken Lagarithmus van 2: dan is ~= 2 en derhalve = |: men heeft dannbsp;L . 2 = 2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- j nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 9.39
27
2187
I
p 15683 II 4.17J-147
I
125
*77147
enz
2945317
Aanhangfel, Boofdfluk III,
Wanneer men nu alle die breuken tot decimale herleidt, 333^3333nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;derzelver fm neemt , verkrijgt men
c,Qi23467 nbsp;nbsp;nbsp;0-3465730 ket welk door 2 gemultipliceerd
lt;10008330 geeft Log. 3 nbsp;nbsp;nbsp;0.6931472; uitdrukking
C.000053 die tot (Ie Jaatfte decimaal naauwkeurig is. 0.0000057nbsp;0.0000006
0.3465736
Indien men Helde ^ = 3: en dus = ^ zoude
men op gelijke wijze den Logarithmus van 3 vinden te zijn 3.0981623.
J. 5, Deze logarithmen welke men door de reeks /I \nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ft* r 9
I-og- Vt~ J =2(
worden, gelijk reeds ( 3.) gezegd natuurlijke Logarith-nien genoemd , en kunnen te regt met dien naam befieinpeld worden, om dat men zich in derzelver berekening niet bijnbsp;voorraad verbonden heeft om het getal 1 te Hellen voor dennbsp;Logaruhmus van een bepaald getal, eenmaal tot kajis aangenomen. Het blijkt dat hier het getal waarvan I de LogU-j'ithmus is, gezocht en bepaald moet worden, en dat hetnbsp;invalt tusfchen a, wiens LiOgarithmus kleiner, en 3 wiensnbsp; Logarithmus grooter is dan i. Bij naauwkeurige berekening zoude men vinden dat 2.718^818 enz. het getal isnbsp;.waarvan I is de natuurlijke Logarithmus, of, gelijk mennbsp;die Logarithmen ook noemt, dc Neepcriaanfche of Ilypef'nbsp;'hoVfctie Logarithmus.
nbsp;nbsp;nbsp;6. In onze gewoone Logarithmen-Tafels is, in tC'
gendeel, bij voorraad i verordend tot den Logarithmut van 10, welke tot hafts gefleld wordt. Wij moeten dagt;nbsp;aanwijzen hoe men het getal vindt, module genoemd, wa'nbsp;door men den natuurlijken Logarithmus van 10 zal moS'nbsp;ten multiplicetren .op dat het product zoude opleverennbsp;den bij voorkeuze aangenomen Logarithmus van \onbsp;pnze gewone Tafels.
Men moet dan eerst den natuurlijken Logarithmus zoeken van 10; het geen men zoude kunnen doen t
Hel-
-ocr page 657-595
Over de Losarithmen door reekfen.
fi nbsp;nbsp;nbsp;inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9
fiellen - lo: of ~ maar dan zoude de reeks
te langzaam afnemen. Men gaa liever aldus te werk (*}
$. 7. Het getal lO is = 8 X f: en derhalve Log. 10 = Log. 8 Log. I = Log. 2^ Log. | = 3 Log. anbsp; Log. f.
Zij nbsp;nbsp;nbsp;j = f dan is = |: en derhalve is Log. |
Welke reeks zeer fpoedig afneemt: men zal op die wijze gemakkelijk vindennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Log. | = 0.2231436
voeg bij I^og. 8=3 Log. 2 = 3X 0.6931472 = 3*07944*5
Das natuurlijke Logarithmus van 10 , nbsp;nbsp;nbsp;= a.3025851
, 8. In de gemaakte onderflelling nu , moet dia natuurlijke Logarithmus van 10 door eenig getal gedivideerd Worden , om te worden i , verordende Tabulaife Loga.nbsp;rithmus van 10; de divifor is derhalve het getal zelve,
I
2.302.5851: de raodu/e is dan nbsp;nbsp;nbsp;= 0.4342945 ;
dat is de natuurlijke , Neeperiaanjche , of Ilyperbolifche, La~ garithmen moeten door 0.432945 gemultipliceerd wordennbsp;om de Tabulaire Logarithmen op te leveren: en deze moeten door 2.302.5851 worden gemultipliceerd, om weder totnbsp;de natuurlijke herleid te worden.
9. Men heeft dan gevonden de natuurlijke Logarith. men van a , 3 , xo te zijn refpectivelijk 0.6931472 ,nbsp;1.0986123: 2.302581 waaruit die van 5 Log. 10 -Log. 2, volgt, te weten, 1.6094338: indien men dezelvenbsp;door 0.432945 multipliceert verkrijgt men dennbsp;Labulairen Logarithmus van nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a = 0.30x0300
..- . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 = o.477*ai3
ivaaruit gemakkeli'k worden opgeniaakt
die van 4 = 2 Log. 2 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 0.6020600
die van 5 := 12 i,og, jo Log. 2 nbsp;nbsp;nbsp; 0.6989700
die
..(*) Hier heb ik gevolgd de handelwijze van de Heer banoma , ** *5ne Inleiding tot tie Algehra j S. JS5.
-ocr page 658-Aanhangfd. HoofdJluk III,
die van 6 nbsp;nbsp;nbsp;= 3 3C 2 Log.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Log.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o.778i5i3
die van 8 nbsp;nbsp;nbsp;= 2^ 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0,9030900
die- van 9 nbsp;nbsp;nbsp;= S* = 2 Log. 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0.9542426
Er ontbreekt flechts de Logarithmus van 7 : deze zal
Uien vinden met te ftellen = : dus ;- = -i
yy nbsp;nbsp;nbsp;1 Ti -i
tco 50 nbsp;nbsp;nbsp;/50\ p 1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/ l\
'
J enz.: J w^elke reeks ongemeen flerk afneemt:
50
waaruit volgt natuurlijke Log. 2=0,0202027: of 50
49
Log, 49 = o 0202027 of dezelve aftrekkende van Log. 50 = Log. to Log. 5, of van; 3.9120230 blijftnbsp;Log. 49 = 3.8918:03 -= Log. 7* = 2 Log. 7: dus natuurlijke Log. 7 r= I.945101: waaruit volgt deTabulairenbsp;Logarithmus van 7 = 0,8450930. Dit zij hier over genoeg.
OVER DE UITDRUKKING VAN GONIOMETRISCHE LIJNEN, E!^ VAN BOGEN DES CIRKELSnbsp;DOOR REEKSEN.
Wij hebben in het VIII* Boek , Voord. XXIT. Aatun. 6-en in het VII. Boek, Voord. XXVI. Aanm. 4. gezegd, dat wij in het Aanhangfel iets zouden voordragen over de reekfe^nbsp;waar door men de finutfen enz. geiyic mede cirkelbogen, ofnbsp;den omtrek des cirkels door Goniometrifche lijnen uitdruW*nbsp;Het voornaamde zullen wij in de volgende Afdeelingen bevat'nbsp;ten (*;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
C*) Het is mij voorgtkomen dat dit gcwigtig ftuk door niemand eenvoudiger behandeld is dan door den Heer de gelder eerst ionbsp;Verh. va?i het Bataafsch Gtnootfchap te Rotterdam (Deel XII.), daat'nbsp;na in zyne Handleiding, S- lodS- en vele volgende; waarom ik dan ooKnbsp;deszelfs bewijstrant zoo veel raogeiijk ftipt gevolgd heb.
597
UITDRUKKING VAN SINUS EN COSINUS
door reeksen.
I, VOORSTEL,
Indien men dc waardij vaii den /?as eens boogs door eene reeks uicdrukt waarvan de Leden de magten zijn van x doornbsp;bepaalde cSeficienten gemultipliceerd, zullen de leden diernbsp;reeks enkel uit de oneven magten van x kunnen beftaan.
BEWIJS, Z ftn. X ~ aar nbsp;nbsp;nbsp; cx^ dx* enz, dan
zoude men voor den negativen boog x moeten hebben jtn.
X) ax bx* cx^ -j- dx'* enz derhalve f,n.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X) zzx. ax bx car iir^ nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enz. Maar
- pn. ( x') tnr pa. x: dus zoude men moeten hebben ax -(--f- cx^ dx* -jr e* enz, ax ix^ cx^ dx'^ ea: enz. hetgeen niet mogelijk is ,ten zij decefpcienten dornbsp;even magten, te weten, h, d, /, enz. ':zz p: dat is ten zij dienbsp;leden verdwijnen: en dus de reeks zelve deze gedaante hebbenbsp;pa. X A .V -f- B T' 4 C -r* 4-0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4 euz.
II.
VOORSTEL.
Indien de cojtnus eens boogs door eene reeks wordt uitge-drukt, waarvan de leden de magten zijn des boogs door be. paaI4e eSefpeienten gemultipliceerd : zal die reeks zoodanig ge-Ileld zijn, dat het eerile lid de eenheid zij.
BEWIJS. Irdicn de reeks ware deze: cnf. x a.x bx -\~ 4- dx^ enz. zoude voor x o, '1 o r;: o zijn: dat ech.nbsp;ter geen plaats heeft; want cof. o i; derhalve kan het eerdenbsp;lid geen x bevatten: en moet boven dien de eenheid zeif zijn.
III. voorstel.
Indien de cofitms van eeii boog door eene reeks wordt uit-?edrukt, waarvan de leden de magten van dien boog zijn ^oor beftendige cefficienteu gemultipliceerd : zullen de leden
van
598
van die reeks gee andere dan even magten des gemc'de boogs kunnen bevatten.
BEWIJS. Zij die reeks cof. a: r= i a ,r 5 x* cx'^ dx^
enz.
dan is co/. a: = I a X i x* nbsp;nbsp;nbsp; dx* enz.
Maar cof, x = cof. x\ derhalve I ax hcx^ dx^ enz. :::r i ax -\~
Ra; 4- Sa: enz.
cx^ dx^ enz.: het geen nmogelijk is ten zij de cSe0cieii~ ten der oneven magten, a, c, d, e, enz. ~ o zijn, en derhalvenbsp;die leden verdwijnen. Zoo dat de reeks deze gedaante zal hebben
cof. X :zz I Pa:
IV.
VOORSTEL.
Indien de fiftus eens boogs x door de reeks Ax
-f- Cxi Dx7 enz, wordt uitgedrukt, zal de cofinus van dien zelfden boog x uitgedrukt worden door de reeks cof. ^nbsp;= A 3 B t* 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- 7 Dx 4- 9 enz., eU
in beide de reekfen zal A = i zijn.
BEWIJS. In dien fit, x zx: Aa:- -Ba;^ 4-Ca:* -j-Da:^ enz. is/iM. y = Ay 4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-Cj: 4-d/ enz.
en derhalve fti. x fin. y A (x y) 4~ nbsp;nbsp;nbsp;^ y )
-[- C (,x jiS _i_ o ^,-7 y7^ gjj2.
Maar VIII. 32. N. 34.
fitt. X fn. y 0. fin. i (x y) cof i Cx -1- y) = (VIII. i3'^
rr choorde (x y) X cof. i (x 4- y) i derhalve
chorde {x y') X cof. (x 4- y) A (x y' 4- B(x^-yO
4- C ix^ yO
en divideerende alle de leden door x y (?) is: choorde (^ y) X ro/, i (x 4- y) = A 4- B (xquot; 4- xy 4* f) ^
C (x 4- y 4- X
co/. 4 (a x) cof ^ det'
I : en cof. S Cx 4- nbsp;nbsp;nbsp;;
Indien nu x y : is (VIII. 10. Cev. 5.) choorde 1'x-y)
Eene grootheid x y is altijd deelbaar door x zal in het vervolg meer te pas ^^omen.
-ocr page 661-derhalve is, wanneer x y
tof. .v = A r 3 B .* 5 C f- 7 D .i 9 C x enz.
Maar indien x ~ 01 is co/, x ~ A: maar' cof. o i: dus A i. Derhalve isnbsp;pn. X = ar Bar Ca Da^ enz'.nbsp;cpf. a = I -h 3 B a* -f- 5 C a' -j- 7 D a enz.
en
co/; ^ = I 3 Bar- -f- 5 C.4 7 Da 9 Ex enz, worden bepaald door de formule
BEWIJS. Indien men de gemelde reekfen aanneemt en dezelve tot de tweede magten verheft, is
pn.^ X -=Z. X* --t- o B a4 -1- (B* 4- a C) a (a B C sD) a -f- ^2 B D 4' X E C^) a -J- B E a C D 4 a B F_)a* enz.
coffi a I lt;5 B a* 4- (9 B* 4- 10 C) a'
4- (30 B C 4- 14 D) a 4- C42 B D 4- 18 E) .v
4- C54 BE 4- 70 CD 4- 21 F) x' 4- enz.
En vermits [mg' x 4- co'd a = i; is ook I = I H- (i 6 B) a* 4- (2 B 4- 9 B* 4- lo C) a
4- (B* 4- a C 4- 30 B C 4- 14 D) a 4-4 (2 B C 4 a D 42 BD 4 18 E) a 4 enz. derhalve zullen de cSeficienten van a* , a^ , a enz. alle ieder nbsp;o zijn: vermits anders de reeks niet kan zjjn, gelyk behoort,nbsp;~~~ I. Derhalve
- 6 *
is; I 4quot; B ~ o of B
2 B 4~ 9 B* 4- 10 C o: of C ;
120
dat is C =
B* 4- aC 4- 30BC4- 140=0;
I
of D 12.30.14 waaruit de wet genoegfaara-blijkt.
3*4.5..7
I.
-ocr page 662-Sqo nbsp;nbsp;nbsp;^anhangfel. Hoofdftuk IF.
I. gevolg.
Men heeft dan
.3.4-5
fm. X X nbsp;nbsp;nbsp;2.0 o'.3.4.5 2.3.4.5-6:
enz.
enz.
2.3.4.5.6.7.3.9
2. 3.4 ... (^2 n i)
zijnde de algemeene tern? i
X* x^ nbsp;nbsp;nbsp;x^
co/. ^*2 2.3.4'~2.3.4.5.6
2.3.4.5.6.7:8
zijnde de algemeene term ^3.4..
en in beide de reekfen zijn de oneven leden de even ledennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'
I. AANMERKING. Oiii zooclanigc reeks in praktijk te brengen , moet de boog x in deelen van den radius worden uitgedrukt: Daar nu , indien r i , de halve omtrek, of
X
in X
en indien men ftelt ^ ~ nbsp;nbsp;nbsp;^ / zal men in het bere
kenen des ftnus van den boog x moeten nemen alle de mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X
oneven magten van ^ van ^ ; en voor den cofinus
1U nbsp;nbsp;nbsp;jcnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
alle de even magten van ^ , en van ^; de magten van '/
blijven, wat ook ^ zij , beftendig de zelfde; waarom b'JI-e*
Ze . 134. van zijne Introductio , eeas vooral heeft
opgegeven; en na heia is zulks ook door de oeldfr
JiCldl
/.' Afd.: Uitdrukking der finusfen door reckfen. 6oi
nt
(^Handl, , 1089.) gefchied (*). ~ en deszelfs magten
hangen, af van den boog die men berekent: maar vermits de opgegeven reekfen zeer fpoedig afnemen, dat is zeernbsp;fterfc convergeren, is doorgaans een klein getal ledeh genoeg: Bij voorbeeld, indien men den finus van 15, wilnbsp;mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*
berekenen; dan is ^ = van quot; , of van 90. dan zullen
vier leden genoegzaam zijn om eene vrij groote naauw-keurigheid te erlangen: Want dan heeft men
= 0^02,990,57' = 0.000,coo.OaJ
0.002,990,59
0.258,819,05
of.
(*) Zie hier de tien eerfte magten van ^ , Oneven magten voor den finus. Even m-agten voor den cofinut. | ||||||||||||
|
6o2
Aanhangfel. Hoofdfluk IV,
of, indien men 7 cijfFerletters neemt, 0258,8191: dat het zelfde getal is als in de Tafels voor 15.
iZ^ oc
Vermits tang. x zz. nbsp;nbsp;nbsp;zal men hebben
cof. X rs |
|
tang. X:
II. AANMERKING. Deze recks, insgelijks door euler opg' geven , kan door werkelijke divifie in eene andere hervormd worden; maar waarin de wet der cofficinten ni^^nbsp;geiiiakkelijk valt te onderkennen, en die wij, gelijk eenignbsp;andere, hier voorbii gaan: te meer otn dat ons oogmerknbsp;alleen is rantetoonen, hoe men tot dergelijke reekiennbsp;men kan.
uitdrukking van cikkelbogen door reeksen
Gelijk men den jinus en den cojinus heeft uitgedrukt doof reekfen, wier led^n magten zijn des boogs waarvan men deonbsp;Jinus of cofinus zoekt: heeft men ook, omgekeerd, reek'nbsp;fen daargefteld wier leden zijn de Jinta of cofinus vaOnbsp;eenigen boog, om de hoegrootheid van dien boog opt'nbsp;geven. Dit fteunt op de volgende Voorftellen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;']
VI. VOORSTEL,
Indien de grootte cens boogs uitgedrukt wordt door een
recK*
-ocr page 665-reeks wairvan de leden zijn de magtcn van den Jsnvs diens buogs , door bepaalde cd efficient en gemultipliceerd , kunnen die magten alleen de oneven magten des finus zijn,nbsp;met de eerde te beginnen.
BEWIJS, fndien x a pn, x 6 pn} x c x enz, ware, zoude men voor eenen negativen boog. of voor ~ a:, omnbsp;dat pil, C ar) pn. ar, moeten hebbennbsp; X zz: pti, X -{- h pitd X c png x d pn^ X enz.nbsp;welke reeks met de voorgaande onbeftaanbaar is ten zij de cofp-cientm !gt;, d, e, der even magten ieder o zijn, en dus die leden verdwijnen : men zal dan hebben
X zz: A pn. ar B pn} x -]- c pn,'^ x T) pnfi x enz. en
X A pn. X B Hn.^ x C pnP x D nbsp;nbsp;nbsp;x enz.
'ZZe (A pn. a: -|- B pn-^ a: C Pn.^ ar D [ng x enz.) als wanneer alles volkomen overeendemt. Verder, indien Pm. xnbsp;~ o: is, gelij'k behoort, ook x o. De cofpeienten A, B, C ,nbsp;enz. moeten uit dcii aard der zaken bepaald worden.
VII. VOORSTEL.
Een boog x wordt door de volgende reeks uitgedrukt; ar = fin. x I nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ | | fing x
2*1 -1 . f 7 X enz.: waarin de cofficint van den term , de cofficinten van achteren opnemende, is
I nbsp;nbsp;nbsp;a 3nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 72 5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2-9
2 n 4* 36 nbsp;nbsp;nbsp;2 8
en?.
BEw.js, Om dat
l. X ~ A pn, a 4- B pn.^ x C pn.^ a: D png x is a. y A pn, y B pn.^ y -I- C /In.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-J- D pn.quot;^ y
derhalve
3. (. -- j) A ppn. X pn, y) B (jamp; ^ x pn.^ y) -\-C (_pr-'^ X Pnd y) D {,png x pn.'d y) enz. gevolgelijk , de leden door pn. x pn. y divideerende.
X - y_
pn, X pin. y A nPpn. x pn. x, Ptn. y pn ji)
C (fin.^ X pn.^ X . pn. y fin'* x
png y pn. X Pn} y pn.^ y') -f- enz. Maar (VIII. 3a. N. 340
X ~ y nbsp;nbsp;nbsp;X y_
hoorde (z y') cof. 4 k* 3''' nbsp;nbsp;nbsp;*
Rr 2
pn. X Pn. y 0. p. i Qv-yp.cof.i la-f-y) = 'VIII. Js.j X ~ y
-ocr page 666-^ V nbsp;nbsp;nbsp;__i__
is (VIII. 10. G6V, 5.) choord\x_~ ^'^^cof, i (* y) ^
eof. X
; dit ftellende in N. 4. is
S- Cof. X ~ ^ s B find' * -1~ S C find x 7 B) fmdxenz.
;^x =
derhalve 6''.
I -r fi.'
I
V1 fnd X
(door werkelijke divide)
find
cof, X
X -'r fn'^ X ftr X enz,
= (A 3 B ftiid j: 5 C find x d 7 B fnd X enz.)*
co\.^ X
gcvolgelijk
7quot;. I find X find X H- fnd * = (amp; 3 u fmd X ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 5 C find X enz.)*
= A* 6 AB pnd a: 9 B* 10 AC) find x
25C* l8AE)y?.*
(14 AD -r 30 B C) fn. x -f- (42 B D enz. waaruit volgt;
A* =: I nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
A
B = ?
J
40
I
2.3 245
6 A B = I ; en dus nbsp;nbsp;nbsp;.
oB* loAC=:i=: 2 36
14 A D 4- 30 B C I :
10 C
dus D ^ 2 . 4 . 14
42 BD 4- 25 C* l8 AE 35
dus E
D=
T,_iy3
64 X 18 nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 2 % *^6 ^8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9
enz. waaruit volgt dat de ireeks x ~ A . fin. x -\- ' fin.^ X
C find .s: D find x enZ, deze wordt, x :=Z fn. x d- ! fn.^ a: nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. | find x
2 4 S' * f pn. X -T 2*4 ' ^ s g find -V enZ.
aanmerking. Om dit op een voorbeeld toe te pasfe zij A- 30. =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5r; dan is fm. x = fin. 30
en derhalve
// Jfd,: Uitdrukking van cirkelbogen door reehfen. QS
^ nbsp;nbsp;nbsp;4- 1 , s
quot;7 a 4 3gt;
enz.
9 nbsp;nbsp;nbsp;I
To iT
Indien men flechts deze nbsp;nbsp;nbsp;0.500,000,000
6 leden uiuverkt en bij el- nbsp;nbsp;nbsp;0.010,833,333
kander optrekt, zal men nbsp;nbsp;nbsp;0.00^2,343,750
bevinden dat de boog van nbsp;nbsp;nbsp;0.000,34^772
30, den nbsp;nbsp;nbsp;voor I ne-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0.000,059,339
mende in deelen van den nbsp;nbsp;nbsp;0.000,010,922
en multipliceerende door . nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lt;5
komt nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 JSI,S76/)9lt;5
voor den nalven omtrek zoo ^ de radius 1 , en dus voor den geheeien omtrek zoo de middellijn = i is: het geennbsp;maar ni de 5 decimaal met de naauwkeurige berekeningnbsp;Van LUDOLF verfchilt: met meerder leden te nemen, wordtnbsp;de naauwkeurigheid grooter; doch dit zij genoeg.
VIII. VOORSTEL.
Een boog x wordt door middel van deszelfs cofinus uit-gedrukt door deze reeks.
I cofi x
4 I f X enz
\n, y
2 nbsp;nbsp;nbsp; ff nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7
ff //.quot; y
90 X = ^ X: is Jill, y eof. x
.SEWJJS. Otn dat y fin, j k s 1quot; y H-X 3 nbsp;nbsp;nbsp;1quot;..#nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;_[_X S ?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1/77
JT
Rellende v
? f co/.J X
C0/.7 X enz,
4 ff co/.^ X
f co/,7 ^ _
rfl mm of
5 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
cn
f coj.^ 'x
TT
= r - quot;/ -a * 4 ff 7 co/,' x enz.
aanmesking. Het blijkt dat de cofficinten dezelfde zijn en derhalve de zelfde wet volgen, a!s voor den boog doornbsp;den finus uitgedrukt. Het zal niet noodig zijn hiernbsp;een voorbeeld te geven.
jtanhangfel. Hoofdfluk IF.
IX. VOORSTEL.
Een boog wordt, door middel van deszelfs tangent uit* gedrukt door deze reeks
X = tang. -v i tang^ .a; f tang,^ x ^ tangd X
BEWIJS. Zij X = A . tang, x B . tang} ;ir C . tang} x'-zal gcjk behoort bij tang. o, x r::: o wordens en vermits tang' C X) tang. X kunnen er in deze reeks geen andere dannbsp;oneven magten van tang. x gevonden worden.
Insgelijks zij = A tang. y P tang} v C tang ^ y enZ. zal men hebben
A (_tang. X - tang. y) B (Jang} x tang} yquot;)
X y
C i tang
^ X tang.^ yquot;) -f- enz. derhalve, dividerende werkelijk alle de leden door tang. Xnbsp;tang y: komt
r:: A 3 {tang} x tang. x . tang. y -f-
tong. X tang. y tang} y) C (jang.'^ x tang} x . lang. y tang} x
tang. maar tang. x
derhalve
y tang. x. tang} y -h tang y) enz.
(ftn. Cx yquot;)
tang. y .. nbsp;nbsp;nbsp;y .VJII, 32. N*. 53.)
tang. X maar indien x ~
tang. y
fm. (i coj} X
col. X
(x y) coT, X . cof. y fiti. {x y)
X CVIII. 10. Cev, 3.) ea
maar co).
fee} X
1 tang. t is
heidshalve Relt tang. x so]} X =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=: I - r*
lijk door werkelyke divide blijkt; derhalve
i* enz.
en gevolgelijk nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
S B I: dus nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
5 C = 1 nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C =
ZD r nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D = -
waaruit volgt
se tang. | tang} *' quot;Iquot; 5 tang.^ 3:7 tang.^ nr.
//. nbsp;nbsp;nbsp;. Uitdrukking van cirkelbogen door reckfen. 607nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(
I. aanmerking. Deze reeks ie voor het eerst voorgedragen door JACOB GREGORiJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;daar na door leibnits, aannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;
wien men dezelve doorgaans toefchrijft. nbsp;nbsp;nbsp;i
I G E V o L G.
Indien x =r 45 = ^ , en dus tang. x = i: wordt de- nbsp;nbsp;nbsp;i
2e reeks T = i 4
enz.
1 _j_ i J. I
3 ^ ? nbsp;nbsp;nbsp;7 'f 9 i
I[, aanmerking. Deze reeks is te weinig famenlopende om met nut gebruikt te kunnen worden; daarom heef: eulernbsp;dezelve aldus veranderd.
Zij a nbsp;nbsp;nbsp;= 45. ~ 3 a-: dan is CVlIt. 32. N. 64)
, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;tang. a tang b
tang. a . tang. b en derhalve l tang. a . tang. b tang, a -f-I tang. a _
tang. b 5 of tang. b = ^ ^ tan^Ta' nbsp;nbsp;nbsp;^ l'-gt;
tang. {a h) --2-1-----
= I. Dan heeft men
nbsp;nbsp;nbsp; 9^ quot;quot;quot;
derhalve tang. b t:
---
3*2^ 5 . 25
-J-JL-I___I
3. 35 s. 35
7.3^ nbsp;nbsp;nbsp;9*3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
enz.
Waaruit wordt afgeleid dit
S.
I (rs ^5) nbsp;nbsp;nbsp;3)
- (i ^3) 7 G y enz*
t.
Rr 4
-ocr page 670-6o3
VOORSTEL,
lien grootft(n cuhiis tc vinden die men door eenen gegeven cubus kan laten doorgaan (*) ,
Opgelost door wijlen den Heer ijeter nieuw land, Hoogleer aar te Leyden,
Laat (Fig. 247) ABCD de hovende oppervlakte van den cubus verbeelden, AC FE de fnede van een vlak dac loodregt doornbsp;de diagonaal A C gaat : G het middelpunt van den cubusnbsp;HGL eene loodlijn, door G in dat vlak op A C getrokken.nbsp;Trek uit G, GP naar welgevallen: neem in GP een flip Inbsp;naar welgevallen: trek door I de lijn KIQ loodregt op GPnbsp;en 10 loodregt op A11. Trek uit O' in het vlak ABCnbsp;OM loodregt op AC tot een flip M , naar welgevallen innbsp;OM genomen: en trek uit M de lijn MN loodregt op OM-Wanneer men onderftelt dat deze zelfde bewerking in denbsp;andere helft ADC van het vlak ABCD, en insgelijks aannbsp;de andere zijde van HL, en aan de benedende oppervlaktenbsp;van den cubus verrigt zij, en dat men vervolgens dennbsp;fnijdt door vlakken welke loodregt op het vlak A F doornbsp;KI en loodregt op het vlak ABCD, door MN gaan; zalnbsp;er een fttik van den cubus overig blijven door het welk mennbsp;een Kgi\\oe.\i.\g parallelepipedim zal kunnen fclnliven, hetwelknbsp;a M O voor breedte , en 3 I G voor hoogte hebben zal, terwijlnbsp;deszelfs derde afmeting, of lengte, onbepaald blijft.
Indien men begeert dat dit parallelepipedum een cubus zij heeft men flechts O M = GI te nemen.
Men kan verfchillende fnijdingen doen, door welke 'all een paraUelepipedum, of cubus van gelijke grootte zal gaan.nbsp;Men befchrijve,met G.I alsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,en uit G als middelpunt, den
cirkelboog IiS: wanneer men in dien cirkelboog eenig andef flip i aanneemt, en daar uit de loodlijnen kiq, en iO op'nbsp;rigc, en uit o de loodlijn otn ~ OM maakt, zullen de fn'nbsp;deii door KIQ, en kiq den zelfdep doorgang opleveren.
In-
Zie hier hft geen gezegd is in het Xh Boek , Voorll, 34^ Aanm. 8.
-ocr page 671-Indien men begeert dat niet alleen het parallelepipedum een cubus zij, maar ook dat die cubus gelijk zij aan den gegevennbsp;cubus zelven, moet men OM= GI = GH = ABnbsp;nemen.
iVlen kan verfcliiende fnijdingen maken, die alle aan het gevraagde voldoen zullen. Naar mate men de hoek HGInbsp;kleiner neemt, zal AK kleiner, en het gedeelte van den cubusnbsp;AKQ dunner worden. Stelt AK oneindig klein, daii zullennbsp;de flippen P, O, I en H op malkander vallen en B H gt;
H G dus gt; MI zijn.
Verwijdert men het flip O van H; dan zal het flip M hoe langer hoe nader aan A B komen; flel dat het flip O in Tnbsp;valle, wanneer M op U in de lijn AB valt; en dus datnbsp;U T = G I = i A B zij: dan zal T liet laatfte flip in A Hnbsp;zijn waarin G vallen kan, om eenen cubus gelijk aan den gegeven te laren doorgaan Het fpreekt van zelve dat in denbsp;praktijlt U nimmer volmaakt in AB vallen kan. Wij zullennbsp;dit opgegeven geval in het vervolg nader befchouwen.
Wanneer men het flip O tusfchen H en T laat vallen, in x, bij voorbeeld, zal men den gegevenen cubus zoodanig kunnennbsp;fnijden dat er een grooter cubus door kan gaan, en men zalnbsp;voor elk der cubi wederom verlchillende fnijdingen kunnennbsp;doen.
Men begeert het flip te bepalen alwaar O vallen moet op dat de grootstmogelijke cubus zou doorgaan. Stel dat x dat flipnbsp;zij. Het is klaar dat dit plaats zal hebben, wanneer I, O ennbsp;P in elkander vallen (hier in xj, en tevens M in de lijn ABnbsp;{hier_i^n yj, valt, en ten zelfden tijde GI = OM; Qliiernbsp;Cw xy') is,
oplossing.
In A Kxy is L x L! Z x\y ^ Lj dus Z
Voorts AHquot; = nbsp;nbsp;nbsp;= J_HLquot; = 2 HGquot;
AGquot; = a/ a-Gquot;_ 2 Aa;,. xH = 2 Ax'quot;
-{- 2 A;r . nbsp;nbsp;nbsp;= 2 a/ 2 Ax ('AH Ax)
= 2 Ax . A H:
derhalve 3 H Gquot; 2 A x . A H: en^ _ _
4 AH*.
janhangjel, Ihofdliiik V,
of Ax
cn A;c^ = tI A nbsp;nbsp;nbsp;A;i;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A H en
VVy zij' dus tot deze allereenvoiidigfte oplosfing geko men :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; De lijn vaarop de grootstmogelijke cubus be-
nt fibfeven v/ordt is gelijk aasi dne vierde deelen van de
diagonaal der zijde van den gegeven ctibns.
Ook de Jijnen Ay, Ax, en L G H zijn zeer gemakkelijk in getallen te bepalen: want in de gelijkvormige driehoeken A B H en A xynbsp;IS AH: Aa; (= 4:3) = AB: Aj: dcrhelvenbsp;Aj = t AB = 4 Ax
Wanneer men HW trekt is Hx: HW = Gx(ofAx): GH: maar Ax = 3 Hx; dus G H = 3 HW.
Wanneer men GH = t. voor nbsp;nbsp;nbsp;aanneemt, is HW
= y?/;. Z xGH : dus fin, Z xGH = | = 0.3333333: en ZxGH omtrent 59quot;. 28'. 16quot;. Voorts in de gelijkvormige driehoeken GHx enxAK, HG: Hx=t Ax: AKnbsp;of I: i V'2 I V'a : A K: derhalve A K = | H G =nbsp;iff AB.
Clo
I Air
_4 A H : i6 = i: i6
I: I
Wanneer men HG = l ftelt, vindt men voor de rede dr lijnen van beide de ciihi (A B: 2 Ax) i: | V'2.. Indien men deze tot decimalen brengt; vindt men 1: i .06066.nbsp;De rede der cafii zelve (ji: i o6o66y is i : 1,19324.nbsp;t Dit vraagfluk levert een voorbeeld op van een VoorBe!nbsp;uit de leer der grootften en kleinften opgelost, zonder behulp van Algebra, of verdere Meetkunde.
Ik laat nog eene aanmerking volgen omtrent de plaats van het flip T, het welk wij cBderlleld hebben de limietnbsp;van fnijding te zijn voor den gelijken cubus. Dat Bip isnbsp;van zelve bepaald uit de befchouwing dat UT ^ ABnbsp;= AT zijn moet: derhalve HT = AH AT: of Bellende AT= I : HT = V'2 - I = 1,414213 I =:nbsp;0.414213: Maar HT = tang. L HGT: dus Z HGT=2nbsp;aa, 30'.
-ocr page 673-UIT DU grondbeginsels
DER
1
af ' nbsp;nbsp;nbsp;a
.*3 '
\.f
1'
'i
-ocr page 675-INLEIDING. . nbsp;nbsp;nbsp;. BI. I
EERSTEBOEK.
Over de regie lijnen en hoeken. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEEUNG. Over de verdeeling der lijnen.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6
III. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELNG. Over de hoeken.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;8
Tweede boek.
Over' de befchriping van regtUjnige figuren, 13
I. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELNG. Over de befchrijving van figuren uit
gegeven zijden en hoeken. . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;*13
II. nbsp;nbsp;nbsp;AFDEELNG. Ovcr de befchrijving der figuren ten
opzigte van derzelver inhoud. nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;17
Derde boek.
Over de evenredige lijnen, . nbsp;nbsp;nbsp;.
Vierde boek.
Over de rede en de gelijkvormigheid van regu lijnige figuren, .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;24
INHOUD.
BI. 38
VIJFDE BOEK. Over dm cirkel.
I. afdeeling. Over het middelpunt van den cirkel, en de lijnen die tot den cirkel getrokken worden. 3*
11. AFDEELING. Over de cirkelftukken en bogen. 3?
in. AFDEELING. Over de raaklijnen van den cirkel, en de cirkels die elkander raken, .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^
ZESDEBOEK.
Over de befchrijving van figuren in en om
den cirkel. .... nbsp;nbsp;nbsp;45
Achter ieder VVerkfluk vindt men bij het woord oP* LOSSING, de aanwijzing van die Werkftukken door welkenbsp;bet voorgedelde Weikftuk opgelost wordt : en bij hetnbsp;woord BEWjjs, de aanwijzing der Voorfteiien uit de Grond-beginfeh waar door aangetoond wordt, dat de oplosfingnbsp;indcdaad aan het gevraagde voldoet.
UIT DE
Me
Len zegt, in navolging der Ouden., dat een vraagftuk, of Werkftuk , door de Meetkunde, in den liriktften zin^nbsp;Wo/dt opgelost, als men de oplosfing volkomen zeker,nbsp;en zonder teifiiigen, verrigt, enkel door middel van reg-te lijnen en cirkels; dat is j met behulp alleen van liniaalnbsp;en pasfer.,
AANMERKING. Ik Zeg in navolging der uden, en in den ftriktjlen zin; doch federc den tijd van cartesis neemt mennbsp;het woord van geonietrifche oplosfing in eeuen ruimeren zin.nbsp;Alles wat nit alleen door cirkels en regte lijnen, maar ooknbsp;door zoo genoemde geometrifche lijnen , zoo als de kegeUnbsp;fneden, wordt opgelost , wordt tot de geometrifche oplos-fingen gebragt. Wij zullen echter hier alleen van geometrifche oplosfingen in den zin der Ouden fpreken.
Men vooronderdelt dan deze vier dingen.
I. VOORONDERSTELLING.
Dat men uit een gegeven ffip eene regte lijn trekken kan, het zi) onbepaaldelijk, het zij gelijk aan eene gegeven lijn, het zij tt een ander gegeven flip.
If. vooronderstelling.
Dat men eene lijn naar welgevallen kan verlengen.
nbsp;nbsp;nbsp;Wcrkftuhken.
III. nbsp;nbsp;nbsp;vooronderstelling.
Dat men van eene regte lijn een bepaald ftuk kan af-fnijden het walk a-an eene bepaalde lijn gelijk is.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;vooronderstelling.
Dat men uit een gegeven Hip, met eenen gegeven radius , eenen cirkel trekken kan.
Men voege hier bij de volgende Axiomata, die wij, wel is waar, reeds in het eerfte Boek van de Grondbe-ginfcls der Meetkunde hebben voorgedragen, doch, gemakshalve, hier herhalen.
I. AXIOMA.
Regte lijnen, waarvan twee flippen overeenkomen, liggen op elkander,
II. AXIOMA.
Regte lijnen, die elkander fnijden, of die uit het zelfde flip getrokken worden, hebben niets dat haar gemeen is,nbsp;behalven het ftip waarin zij zich fnijden, of ontmoeten,nbsp;of waaruit zij getrokken worden. Dit is het eenigfte datnbsp;tot alle die lijnen behoort.
III. AXIOMA,
Regte lijnen, wier uiterfte flippen overeenkomen , en die, gevolgelijk, geheel overeenkomen, (^Axioma i.) zijnnbsp;gelijk: en omgekeerd, lijnen die aan elkander gelijk zijn,nbsp;komen geheel overeen, indien men hare uiterfle flippen,nbsp;of uiteinden, op elkander legt.
IV. AXIOMA. Fig. 23.
Indien men uit de twee uiteinden A en B, van eene lijn, als middelpunten, twee cirkels trekt, met een ennbsp;den zelfden radius [AB, BA], welke aan die lijn gelijknbsp;is, of grooter is dan dezelve, zullen die cirkels [BEC,nbsp;ADCJ elkander [in C] fnijden.
aanmerking. Zie de Aanmerkingen op het zelfde Axioma
in de Meetkunde, bl. 5.
Om een voor gefield werkfluk te kunnen oplosfen
-ocr page 679-Inleiding. nbsp;nbsp;nbsp;^
hoort men cie eigeiifchappen der zaak, die volbragt moet worden, te kennen, enlt; uit deze, of uit andere die daarnbsp;mede verbonden zijn, de oplosfing afteleideni Deze isnbsp;de rede, waarom ik in de Grondbeginfels der Meetkunde^nbsp;in ieder Voordel, wanneer het noodig was, het werkduknbsp;heb aangehaald , dat men kan oplosfen, als men dat Voor-ftel, mitsgaders zoodanige der voorgaande als vereischtnbsp;worden, kent.
Die een Voordel begeert optelosfen, en het zelve te ingewikkeld bevindt om terdond te kunnen zien van welke eigenfchappen de oplosfing afhangt; vervaardige eenenbsp;figuur, waarin hij dat begeerde als reeds verrigt kan be-fchouwen, en gaa dan na, tot welke eenvoudiger eigenfchappen die befchouwing kan leiden, om dan, naderhand, uit deze de coiifiructie afteleiden. Men neme bijnbsp;voorbeeld het 15 Werkduk van het vijfde Boek: Fig. 84.nbsp;Indien N O de lijn is welke de beide cirkels raakt in Nnbsp;en O: en men trekt de lijnen NG en OK naar de middelpunten, zullen die lijnen loodregt op NO ftaan (V. 4.}nbsp;en dus evenwijdig aan elkander zijn. Zoo men dan uitnbsp;K, PK trekt evenwijdig aan NO , zal men eenen regt-boek NOKP bekomen: en PGzal gelijk zijn aan NG mi.nbsp;nus OK. Indien men derhalve, met GP als radiusuitnbsp;G eenen cirkel trekt, zoude die lijn-KP, welke loodregtnbsp;Haat op GN, den getrokken cirkel in P raken: en ditnbsp;geeft de conflriictie van dit Werkfitik, zoo als blijkt uitnbsp;het geen hij dat Werkftuk is aangeteekend,
Emdelijk, wanneer men de oplosfing verrigt heeft, moet men bewijzen dat zij aan het gevraagde voldoet. Hiertoenbsp;dient het Bewijs., of liever de aanduiding der Voordellen,nbsp;die wij naast het woord Bewijs hebben aangevoerd: ennbsp;tot zoodanig Bewijs wordt nog fomtijds eenige bereidingnbsp;vereischt.
OVER DE REGTE LIJNEN EN DE HOEKEN.
OVER DE GELIJKE LIJNEN DE LOODLIJNEN, EN DE EVENWIJDIGE LIJNEN.
EVCt. I. s.
OPLOSSING. Door de i. Vooronderftelling, en het 4. /Axioma. De Cirkels namenlijk worden getiokken uit A en C metnbsp;CA als radius', uit A met A B als radius', uit D met DFnbsp;als radius.
aanmerking. Deze oplosfing is die van euclides ; doch ik twijfel of het niet even mathematisch zoude zijn te zeggen ? Befchrijf uit C met eenen radius gelijk aan ABnbsp; eenen cirkelboog: trek G C van den omtrek naar hetnbsp;,, middelpunt: het is de gevraagde lijn. In de praktijknbsp;gaat men altijd op die wijze te werk.
EUCL. I. 3.
oplossing. Door het i. Werkftuk maakt men AD e: C; en dan gaat men voort door de 4. Vooronderftelling.
AANMERKING. Dcze oplosfing _is Wederom van euclides. Zoude het niet even mathematisch zijn te zeggen? ,, Be- fchrijf uit A met den radius AE, gelijk aan C, eenennbsp; cirkelboog DE F. In de praktijk gaat men altijd dusnbsp;te werk.
III.
-ocr page 681-EUCL. I, l- Sc. I. g, L. G, II, prob, 2.
oplossing. Men neemt CB naar willekeur: men maakt C A = C B : en werkt door de 4. Vooronderftelling, en hetnbsp;4. Axioma.
BEREIDING voor het Bewijs. Men trekt FB, FA.
BEWIJS. Of uit I. 26: of uit I, 27. Gev, 4.
IV. WERKSTUK.
L. G. II. prob, 2. Schalie.
I, nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Fig. 4. Men verlenge A B: en werke als innbsp;het voorgaande Werkftuk.
BEREIDING voor hct Bcwijs. Men trekt DK, Dl.
BEWIJS. Of uit I. 2d. of uit I. 27, Gev. 4.
II. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Fig. 5. Men neme een flip A: werke uit Anbsp;en B volgens het 4. Axioma : men trekke A C D , makenbsp;CD CA: en trekke DB, die de gevraagde lijn is.
BEWIJS. Of uit I. 27. Gev. 3,1. 27, en I. 15. op A BCD toegepast. Of uit C met CA als radiuo den cirkel ABFDGnbsp;trekkende, uit V. 7.
V. WERKSTUK. Fig. 6.
EUCL. I. la, St. I. 10. L, G. II. proU; 3.
oplossing. Eerst gaat men uit p volgens de 4. Vooronder-llelling te werk: dan insgelijks volgens dezelve, en het 4. Axioma uit D en E: men trekt F H G, die de gezochtenbsp;lijn is.
bereiding tot het Bewijs. Men trekt FD, FE, GD, CE. BEWIJS. Uit I, 27. Gev. 5.
6 nbsp;nbsp;nbsp;/ Bock; Over de regte lijnen en de hoeken,
VI. WERKSTUK. Fig. 7.
Euet. I. SI. St. I, 19. L. G. II. 6,
I. nbsp;nbsp;nbsp;oplossing. Men trekt E D naar welgevallen: en gaat uitnbsp;E voor den / GED ten opzigte van den boek EDIjnbsp;volgens het XII. Werkfluk van dit Boek te werk.
BEWIJS. Uit I. 3.
II. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Eerst uit E voor EI door het V. Werkfluk:nbsp;dan uit eenig Hip D voor DK door het lil. en het l. Mennbsp;trekt eindelijk, door E en K, de lijn EG die de gezochtenbsp;lijn is.
BEWIJS. Uit I. 13.
OVER, DE VERDEK LING DER LIJNEN.
VII. werkstuk. Fig. 6.
EUCL. I, 10, * St. I. 8. ^ L. G, II. prob. I.
OPLOSSING. Men gaat nit de beide uiteinden E en D voU gens het 4. Axioma tweemaal te werk, zoo dat twee cirkelbogen zich in F, twee andere zich, het zij beneden hetnbsp;zij boven de lijn AB, in G fnijden. Men trekt FG: dienbsp;de lijn D E in twee gelijke deelen verdeelen zal.
EREiDiNG tot het Bewijs. Men trekt FD, FE, DG, GE*
I.
C1.AV10S op de 10 prop. van het VI. Boeit van eclips* L. G. III. prob. I.
II. ylfd.: Over htt verdeden van lijnen. 7
I. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Fig. 8. Men trekt BH naar willekeur; mennbsp;neemt daar op zoo vele willekeurige, doch gelijke deelen,nbsp;BC, CD enz. als het getal deelen waarin AB gedeeld moetnbsp;worden, bedraagt. Men trekt HA: en dan door Werkft. 6.nbsp;G V , F U, enz.
BEWIJS. Uit I. 35' Gev. ook uit IV. 1. Gev. 2.
II. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Fig. 10. Men trekt uit eenig Hip P naar willekeur door het uiteinde A der lijn AB, de onbepaaldenbsp;lyn PA C. Men trekt door P, de onbepaalde PH // AB.nbsp;Men neemt op P H, zoo veie onbepaalde, doch gelijke deelen PI, ID, enz. als het getal deelen waarin AB gedeeldnbsp;moet worden, bedraagt. Men trekt door H en B de lijnnbsp;H6 die PA C in C ontmoet. Men trekt uit C, door I,nbsp;D, enz. de lijnen Cl, CD, enz. die AB in V, U, enz.nbsp;fnijden.
BEWIJS. Uit IV. 4. Gev.
AANMERKING. De bewerking door den proportionaalrpasfer, om dit Werkftuk optelosfen, komt met deze tweede oplos-fiiig over n. Zie 6. Aanmerking op IV. a.
IX. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 9.
Van eene gegeven lijn AB, een bepaald gedeelte AD aftefnijden.nbsp;eucl. VI. 9.
OPLOSSING. Door het VIII. Werkftuk, i. Oplosfing.
BEWIJS. Door I. 35. of IV. I. Gev, 3.
AANMERKING. De propoTtiofiaal-pas/ir is hiertoe in de prak. tijk zeer dienftig.
X, nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. II.
Eene gegeven lijn AB, zoodanig te fnijden in C, dat de regthoek uit de geheele lijn A B en bet kleinfte ftufenbsp;B C gelijk zij aan het vierkant op bet grootfte Buk A C:nbsp;of, wat (IV* Bep. 4.) op het zelfde uitkomt, eene gegeven lijn AB iu uiterjie en middelfie rede te verdeden.
EUCL. 11. II. en VI. 30. St. II. pr. ii, a. L. G. III, prob. 4, oplossing en bewijs. Uit II. 25.
aanmerking. Dit Werkftuk is het zelfde als het XI. v*
A 4 nbsp;nbsp;nbsp;het
-ocr page 684-8 nbsp;nbsp;nbsp;1. Bock. Over de regie lijnen en de hoeken.
het III. Boek. Zie IV. Boek der Grondbeginfels, Bep. 4.
I Aanm, bl.
XL werkstuk. Fig. 12.
Indien er twee regte lijnen, AB en CD, gelijk of ongelijk , gegeven zijn: eene dcrzelven GD, zoodanig te verlengen , dat de regthoek uit die lijn te faraen met hetnbsp;verlengde ftuk (dat is uit CL}, en uit het verlengdenbsp;Ijuk 1)L, gelijk zij aan het vierkant op de andere lijn A B.
CLAVIUS op EUCL. III. 3. p. 312.
OPLOSSING, Trek de i C G =: A B volgens het IV. en I.
Werkftok: werk dan door het VU en door de 4, Vooronder-
flelling i .men trekke GEHj make eindelijk door het II.
Werkftuk D L e= GI.
BEW'IJS. Uit V. 20.
OVER DE HOEKEN.
XU. WERKSTUK. Fig. J3,
Uit _een gegeven flip A van eene gegeven lijn AB, eene lijn AG te trekken, die met de gegeven lijn eenennbsp;hek GAB make gelijk aan eenen gegeven hoek IDH.
SUCL. I. 23. St. I. 18. L. G. II. prob. 4,
OPLOSSING. De flippen C en E op DI en DH naar willekeur genomen hebbende trekt men CE: men maakt (door I. Werkftuk van Boek IL) op AF eenen A GAF waarvannbsp;de zijden AG, GF, AF, reipectivelijk gelijk zijn aan DC,nbsp;CE, ED.
BWijs. Uit I. 25.
XIII. WERKSTUK. Fig. 14,
Uit een gegeven flip F, buiten de lijn AB, eene lijn FA te trekken , welke met de gegeven lijn A B eenen hoek F A Bnbsp;ingke gelijk aan eenen gegeven hoek p.
-ocr page 685-11, /Ifd.: Over de hoeken, nbsp;nbsp;nbsp;p
ori-ossiNG. Men gaat uit eenig flip D, volgens Werkftuk XIl , te werk: en daarna uit F volgens Werkftuk VI.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
swijs. Uit I. Bef. 10.
XIV. Werkstuk. Fig. 17.
Een hoek A gegeven zijnde , eenen hoek te maken die deszelfs dubbeld, drievoud, viervoud, enz. zij.
MEwroN, Arithn. niver. Proh. 29.
OPLOSSING, Men verienge de beenen lA en HA des gegeven hoeks; neme BA naar willekeur: make RG BA; CD = BC, DE = DC, FE = DE; enz.
Dan is Z CBD = 2 A; Z DCE == 3 A; Z EDF = 4 A.
BEWIJS. Uit I. 27. en I. ir.
I. AANMERKING. Zoodra men aan eene lijn komt, die op een der beenen regthoekig Haat, kan men niet verdergaan; omnbsp;dat men dan geen nieuwe lijnen zoo als BC, CD, DE,nbsp;E F, die aan hei begeerde voldoen, trekken kan.
fl. AANMERKING, En ook hieruit kan men de waardij der fmusfen en cojimtsfen van den dubbelden , drievoudigen, enz, hoek opmaken. Men trekke de ii B Cc, Dd, enz.
Want f. ^ A Cc A AB^: en dus A B: B J ~ A C : Cc: d. i -r: fm. a a cof. ax Cc: en dus
Xi fm. a , cof. a
Cc fn. L c'amp;C fin. XI a nbsp;nbsp;nbsp;;;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.
II. AC: Ac A B: A J: of 2 cof. a-. Ac nbsp;nbsp;nbsp;r: cof. a en du.
Ac
_ -Ijcof. al. en Bc = co/. Z C B C = cof. 2 =r
. nbsp;nbsp;nbsp;Cco/ )*
Ac Ali --. r
f2 col. aY - Ccoquot;. af-^nAf _ fcof. af - {fm. a)
UI. A ACc ^ A aDlt;^: en dus A C : C cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A D : D if zz: A B -f- B D: D lt;i
i. cof. a x fin. 0. a nbsp;nbsp;nbsp;r o. cof. a x fm. z a
r lifi. ^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;fin. i a . co]. 2 a
ftn, 3 ~ nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2 cof. anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
^5
-ocr page 686-a f fii- a . cof ^ _|_ 4 X ^ nbsp;nbsp;nbsp;a (coT, ^ ftn, *)
2 tof. a
2 fin. a tof.
a fin. aquot;
fin, a
gt;* fin. a a fin,
a fin. of
fin, tt -f-
4 (.fin. a)
3 fit!, a
Tquot;
Welke formules de zelfde zyn als in VIII. ai, aa. cn Aa-roerldns 3 op VIII, aa,
EOCL I, 9. St. I. 7. L. G. II. prob. S.
OPLOSSING. Men gaat uit C te werk door de 4. Vooron-derftelling, nemende CDs C E, en dan uit de beide flippen D en E, door dezelve en het 4. Axioma. Men trekt CF die de vereischte verdeeling maakt.
BEWIJS. Uit I. 27, Gev. 5.
aanmerking. Men kan op die wijze, door eene gedurige verdeeiing in twee deelen , eenen hoek in vier, acht, zestien enz. gelijke hoeken verdeelen: in dn woord in eennbsp;getal deelen dat eenige magt van het getal a is.
CLAVIUS op EUCL. I. 32.
oplossing. Men maakt op AC den gelijkzijdigen driehoek C E A door II. Werkft. 2. 5 of wel, men gaat op AC,nbsp;uit A en C, door Axioma 4. te werk, en trekt CE, A E.nbsp;Vervolgens voor hoek E CA, door Werkfluk XiV.
BEWIJS, Uit I. 27. Gev. 5 en 3.
OPLOSSING. Men befchrijve op CA, of op een ftuk CE daarvan, den gelijkbeenigen A CDE volgens Werkfl u.
T*n
//. Afd.: Over de hoeken.
II
vsn het II, Boek. Dan is'A DCIi ^ L en dus L BCF =; i L, Men deele dan d ECD door Werkftuk XIV. in twee dealen, en dan ieder deel weder in twee deelen.
B2WIJ. Uit II. ad. en Gev. 3,
AANMERKING Men kan door de enkele Meetkunde, in den liriktllen zin genomen, dat is , door cirkel en regte lijn,nbsp;geen hoek in een oneven getal deelen deelen, uitgenomennbsp;a hen den regten hoek in drie deelen, of ook in vijf deelen: het geen het onderwerp is van dit en het voorgaandenbsp;Werkftuk.
algeweene aanmerking
over het vcrdeelen van een' hoek in drie deelen.
Eenen hoek in drie deelen, te verdcelen , met behulp van de Meetkunde, in den zin der Ouden genomen, dat is enkel met pasfernbsp;en liniaal, is, bij de Ouden een beroemd vraagftuk geweest, dochnbsp;waartoe hunne Meetkunde, die wij hier volgen, onvermogend is.nbsp;Indien men die vraag Helkundig, d. i.'algebrdisch hefchouwt, volgtnbsp;het , uit het geen wij in .-c a. Aanmerking op het veertiende Werk-ftuk gezegd hebben , dat do Opiosling afh.angt van eene aequitie, ofnbsp;vergelijking, van de derde magt, te weten:
3 Sin. a nbsp;nbsp;nbsp;= ful. 3 : of
welke vergelyking
, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 r* I _ r ftn, a
door den cirkel alleen , niet kan opgelost, of gelgk men fpreeicc, geconjlrueerd worden.
In de Grondbeginfels der Meetkunde, hebben wy op vier plaatfen over dit Vraaglluk gehandeld: tc weten; in het I. Boek, Voordelnbsp;29. Aatini. 2.- het geen overeenkomt met V. rS. en met Vill. 8 Tier,nbsp;I; en dan nog in het tweede Gevolg van dat zelfde *'111. A'oorftel;nbsp;Alle deze Voorftellen nn, in praktyk gebragt, komen hierop neer,nbsp;oni door toetfingen, eene lijn zoodanig tc treklten tot dat men bevindonbsp;aan het begeerde re hebben voldaan: gelijk nu blgken zal.
I. nbsp;nbsp;nbsp;Zij Fig. 19- ^n hoek KCE gegeven: Neem gC naar willekeurs
befchrijf uit C met den radius Cg eenen cirke.i g'GHL: neem een liniaal FA: fwl het plve op het ftip g, en keer het daarop totnbsp;da' het den oratrek in een tweede fiip G zoodanig fiaide. datnbsp;CG nrr GA: d. i. tot dat O^A geiijk zij aan den radius van dennbsp;getrokken cirkel : dan is .d A m ^ z KCE Dit volgt uit I, ap,nbsp;Aantn 2, en VIII. 8 Gev. i. en v, iS: die alle op n en hetnbsp;zelfde Voorftei uitkomen.
II. nbsp;nbsp;nbsp;Zij Fig 21.) een gegeven hoek PCQ; befchryf uit de kruin C
met eenen radius CA naar willekeur eenen cirkel, die het ander been CQ des hoeks in D fnijdt Trek de choorde AD. Nee-nnbsp;een liniaal NS, dat door het middelpunt C, of de kruin desnbsp;hoeks,gaat: en'dus de hoorde AD ergens (inF), en den omtrek
ergens (in G) fnijdt: en keer het om dat middelpunt, tot dat de chooide DG gelijk zjj aan het ftuk DF der choorde AD: dan zal nbsp;de hoek GCD het derde gedeelte zjjn des hoeks A CD. Immersnbsp;de boog GD is de maat des hoeks GCD: en de boog A G D isnbsp;die des hoeks A CD: IMu is in VllI. 8. Gev. e bewezen, dat denbsp;boog D G in het gezegde gcral het derde gedeelte is van dennbsp;boog AGO.
Er kunnen meer andere oplosflngen gegeven worden, doch z zijn alle van dien aard: te weten, dat zij Hechts mechanisch zjjn nbsp;dat is door het ftellen van een'werktuig , hier een liniaal, verrigtnbsp;Worden, niet op eene volmaakt zekere wjjze, maar zoo dat mennbsp;tocflen moet ot het zoodanig gefteld is dat het aan het begeerdenbsp;voldoet.
III. De Ouden maakten ook gebruik tot het oplosfcn van dit Werk ftuk , van zekere kromme lyn, genoemd de Qjiadratrix van dinos-TRATES, welke door dezen, of misfehien wel door hippias, (zienbsp;VII. e6. Aaum. 6.) is uitgevonden, met opzet om eenen hoek innbsp;zoo vele deelen te deelen als men wil: zie over die kromme lijn ,nbsp;en haar gebruik tot dit Voorftel, florijn, Grondieginfels der hoo-gere Meetkunde, II Boek, Hoofdft III. prop. 3, 4: en claviusnbsp;op EucL. VI. appendix-, vooral V z; en deszelts Geometria Practica. Lib. VII' Appendix Om het zelve door de kegelfneden t5nbsp;verrigten, zie ciATisn Geometria, Lib. Ill,
IV,
In de praktijk, wanneer de grootte van den gegeven hoek in graden door middel van den transporteur bekend is: neemt mennbsp;het derde gedeelte van dat getal om de grootte van den boognbsp;te bekomen die de maat zal zijn van den hoek welke het derdenbsp;gedeelte is van den gegeven: doch dit is werktuiglijk, niet gequot;nbsp;on.etrisch
Wij hebben reeds geZien dat de regte hoek hier eene uitzon-derig maakt, zoo wel voor het deelen in vijf als in drie gelijke deelen. In het geval van de verdecling in drie deelen, is immers Fig. 20. de rigting der lijn g-GA van zelf bepaald;nbsp;want, om dat z S' c Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ C A: en d A = Z G C E zijn
moet maar om
zal ook dA~jdAC^ zijn: en dus d A ? C == | L: im dat GC ~ gC is d gGc d Gc = | L'; ennbsp;dus hoek GC^ =: | L: derhalve A GCs' gelijkzijdig: tn dusnbsp;Qg :zz GC, en ftrikt geometrisch bepaald.
13
1
tweede boek.
OVEIl de beschrijving van regtlijnige figuren.
OVER DR beschrijving VAN FIGUREN, UIT GEGEVEN Z IJ DEN EN HOEK.EN*
I. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 2.
Uit drie gegeven lijnen A, B, C^, waarvan twee te famen grooter zijn dan de derde, eenen driehoek EHFnbsp;te maken.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;s,
EUCL. I. aa. St. I. 17. L. G. II. prob. lo.
OPLOSSING. Men make EF =; C: trekke xiit E en F mee de radii gelijk aan B en aan A cirkels, of cirkelbogen, dienbsp;elkander iu H fnijden: men trekke EH, FH.
AANMERKING. De redcH waarom in den tekst deze voor. waarde, waarvan twee te famen grooter dan de derde ge nbsp;voegd wordt, blijkt uit I. ip..
II. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 23.
Op eene gegeven lijn AB eenen gelijkzijdigen driehoek A^C te befchrijven.
EOCL. I. I. St. I. 6. Gev.
OPLOSSING. Door Jxioma 4,
III. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 44.
CL A VlS op EUCL, I. I. St. I. 6.
oplossing. Door het 4, Axioma,
aanmerking. Men befchrijft op gelijke wijze, doch door cirkels wier ftralen ongelijk zijn, eenen ongelijkzijdigen driehoek op eene regte lijn. Zie clayius ter aangehaalde plaatfe.
14 //. Boek: Over de befchr. van rcgtljnige figuren.^ IV. werkstuk. -Fig, 24.
en
Eetie zijde en twee boeken eens driehoeks gegev zijnde, den driehoek te befchrijven.
L. G, II. prob, 9'
OPLOSSING. Trek uit A en B de lijnen AC, en BC, ieder onder den gegeven hoek. Zij ontmoeten elkander ergensnbsp;in C en de driehoek is bepaald.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. ludien twee zijden en de door de zelvenbsp;begrepen hoek gegeven zijn, kan men op gelijke wijzenbsp;den driehoek befchrijven: ook indien twee zijden, en eennbsp;hoek uier tusfchen dezelve begrepen gegeven zijn; mitsnbsp;die gegeven hoek regt of (lomp zij : of mits men wetenbsp;dat de twee overige hoeken beiden fcherp zijn: of indiennbsp;een derzelve regt of ftomp is, aan welke zijde hij grenstnbsp;G. 25.).
L. G. II. prob. II.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking: Indien de drie hoeken alleen gegeven zijn,nbsp;is de driehoek onbepaald (I. u6. Aamn. 2.) , en men kannbsp;dan alleen eenen driehoek maken die met den gegeven gelijkhoekig is, het geen zeer gemakkelijk v.alt door het 12. Werk-Huk des I. Boeks: want zoodra men op eene gegeven lijnnbsp;twee hoeken zal gemaakt hebben, die aan de twee op eenenbsp;zijde des gegeven driehoeks, gelijk zijn, ieder aan ieder,nbsp;volgt de derde hoek van zelf.
Op eene gegeven lijn A B, een vierkant te befchrijven, en ook een regthoek, waarvan de andere regthoekszijdenbsp;insgelijks gegeven is.
bucl. I. 40. St. I. 31.
OPLOSSING veor het vierkant. Voor AD en BC uit het IV. en II. Werkftnk van het I. Boek; men trekt daarna D C:nbsp;of wel; voor A D uit I. Werkftuk 4 en a: en dan uit Dnbsp;en B met eenen radius gelijk aan A B ,door Vooronderll. 4.
BEWIJS. Uit I. Bep. 19. en Voord. 31. Gev. 2.
aanmerking. De bewerking is de zelfde, indien men, niet een vierkant, maar eenen regthoek op de lijn AB befchrij-venwil; dan worden AD en BC niet au AB maar aan denbsp;andere gegeveu lijn gelijk gemaakt.
I
/, Afd.: Over dcbefchr^van fig. uit geg. zijden en hoeken, 15
Fig, 26.
VI. WERKSTUK.
regthoeks , en
De fotn AE der twee zijden eens de diagonaal A C van denzelven gegeven zijnde, de zijdennbsp;AL, LC, te bepalen,
oplossing, i'* Deel AC in twee gelijke deelen in K, en befchrijf nic K op AK den cirkel ABC DA. 2. Rigcnbsp;CF X op AC en s AC._ 3. Trek AF die door den om-trek ADC in twee gelijke deelen in D gefneden wordtnbsp;(I, nj. V. 7)* 4''quot; Befchrijf uit D met DA den halven cirkel ACGF: ftel AE in dieri halven cirkel in AG, of,nbsp;wat op het zelfde uitkomc, trek uit A, met den radiusnbsp;AE, den boog EG Trek AG, die door den cirkel ABC Onbsp;gefneden wordt in L. Trek LC; verder de choorde AMnbsp; LC; trek MC; AMCL is de gevraagde regthoek;
BEWIJS. Trek CG. Om dat AC =; CF, is ^ AC = FGC: en omdatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ACGF =3 | O, is ^ AC =; 4'0,
en derhalve QV. 7.) ^ LGC ;= L ; maar i ALC =3 L =; L CLG; derhalve (V. 7.) ^ L C G j L en CL =3nbsp;L G ; derhalve AL LC=3 AL-fLGsAE; maarnbsp;^ A L C = L CV, 7.) gevolgelijk; A A L C een regthoekigenbsp;driehoek , waarin de gegeven lijn A C is de diagonaal, ennbsp;de gegeven A E =: AG de fom der zijden , en dus isnbsp;AMCL d gevraagde regthoek.
VII. WERKSTUK. Fig. 26.
De diagonaal AC van een regthoek, en het verfchil AP der zijden gegeven zijnde de zijden, AB en BC tenbsp;vinden.
OPLOSSING. De vier eerfte N. van de Oplosfing des voor-gaanden Werkftuks blijven de zelfde. Vervolgens trek uit A met AP, eenen cirkelboog, die den cirkel op AF be-fchreven in R fnijdt. Trek ARB , en BC: de A ABC iSnbsp;de helft van den gevraagden regthoek.
BEWIJS. Trek RC: dan is i ARC, die op boog CGAF C= i omtrek fteunt) = | E: derhalve (I. 3.) l BRCnbsp;^ i L: dus i, RCB = L en (l. 27.) RB = BC;nbsp;derhalve A B B C A B B R A R AP;nbsp;Maar ^ ABC = L (V. ?.): dus is A ABC regthoekig:nbsp;AC is de fchuinfche zijde; en het verfchil der zijden isnbsp;gelijk aan AP,
l6 II. Boek: Over de befchr, van r-egtlijnlge figuren.
VIII. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. l8.
Gegeven zijnde het verfchil A B tusfchen de diagonaal en de zijde van een vierkant, het vierkant te vinden.
cLAVivs op het 14. Voorftel van euclides II. Boek, p. 213.
OPLOSSING. I*. Befchrijf door Werkftuk V, ? ADCB op AB,
2. Trek BD diagonaal, verlengd tot dat ED = DA; rigt ^door I. Weckft. 4,) EF j, op EB.
3. Verleng BA tot dat zij EF ontmoet in F.
4. Stel op PB den gelijkbeenigen driehoek ([Werkd. III.) FGB , zoo dat FG = G B = EB.
Figuur F E B G is het gevraagde ?.
BEWIJS. Uit I. 34,
IX. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 27.
Gegeven zijnde de fchuinfche zijde A, [of CD] en eene der regthoekzijden B van een regthoekigen driehoek,nbsp;de andere zijde DE te vinden.
OPLOSSING. Door het 7. Werkftuk van het I. Boek, de' 4. Vooronderftelliiig en het i. Werkftuk van het I. Boek.
bewijs. Uit V. /hen II. 16,
X. nbsp;nbsp;nbsp;werkstuk. Fig. 29.
Eenen gelijkbeenigen driehoek FCD te befchrijven, wiens grondlijn FD grooter zij dan een der beenen CD, cf.
OPLOSSING. Door de 4. Vooronderftelling.
BEWIJS. Uit V. 6. Gev. 6.
XI. WERKSTUK. Fig. 30 en 31.
Eenen gelijkbeenigen driehoek GAB te befchrijven ^ waarin de hoeken, ABC, A C B, op de grondlijn B C,nbsp;het dubbeld zijn van den tophoek A.
EUCL. IV. 10. St. II. 13.
I. oplossing. Fig. 30- iP.^ Men trekt eene lijn AB naar willekeur, die men deelt volgens het X. Werkftuk van hetnbsp;1. Boek. 2. Men befchrijft uit A, met AB eenen cirkel.nbsp;3. Men maakt BC = AD: en trekt AC.
gtr
-ocr page 693-BEREIDING voor bct BewLjs. Men onderflelt dat er door A, D, C een cirkel gaat, volgens V. .
BEWIJS, Uit N. I, N. 3 , en V. 20, bewijst men dat BC eene raaklijn is van den cirkel CDA, en dus door V. 8,nbsp;dat.z DGB =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C'. derhalve ook in de A A BAG en
B C D , om dat Z B aan beiden gemean is, L B D C r=r L EGA = (1. 27.) L B5 derhalve (f. 28 3 BC = DGnbsp;= AD: en J. 27.) L c =: L d -- L BCD en L BCAnbsp;z= L BCD -j- d =2 L d-=z.2 L c;of2ZBAC=SZB.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Deze oplosfing is door euclides gegeven,nbsp;en hangt af van de eigenfchappen des cirkels, De volgende, die wel als oplosfing met de voorgaande overeenkomt,nbsp;vereischt, om bewezen t worden, enkel de leer van denbsp;driehoeken, en is daar door gemakkelijker.
n. OPLOSSING. Fig. 31.
I. Men trekt eene lijn AB naar welgevallen, en fnijdc dezelve volgens bet X. Werkft. van het I. Boek.
2. Men trekt uit A met eenen radius A B, en dan uic D'met eenen radius DA,Cirkelbogen die elkander in C fiiijden,nbsp;3. Men trekt .AC, en A B AC is de gevraagde.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking Indien er gevraagd wierd om eenn dergelij-ken driehoek op eene gegeven lijn te befchrijven ; zoudenbsp;men eerst zoodanigen driehoek naar willekeur maken , en dannbsp;op de gegeven lijn eenen driehoek aan dezen gelijkhoekignbsp;befchrijven. Zie het JV. Werfclt. Aanm. 2.
OVER DE HESCHRIJVIN DER FIGREN MET OPZIGT TOT DERZELVER INHOUD.
lt;6 nbsp;nbsp;nbsp;drk''
-ocr page 694-18 II .Book: Over de btjchr, van regtlijmge figitnn,
driehoek ABC. en die, boven dien, eenen hoek hebbe aan een gegeven hoek D.
EUCL. Igt; 4*- h ag.
oplossing. Voor hec parallelogram door I. Boek, Werkft 12 en d.
Voor den driehoek door het 12. Werkfi. van het I.Boek en dan trekkende CE.
BEWIJS. Uit II. II. en 13.
' AANMEaitiNG. Indian de gegeven hoek regc is, verkrijgt men eenen regthoek.
XllI. WERKSTUK. Fig. 33.
Eenen driehoek A DE te maken, wiens inhoud'gelijk zij aan dien van een gegeven parallelogram B C F A; of Fignbsp;32. een parallelogram AHFf dat gelijken inhoud hebbe alsnbsp;een gegeven driehoek A C B; en boven dien eenen hoeknbsp;[lAH] bezitte gelijk aan een gegeven hoek.
CLAVIS Op EUCL, 1. 42,
OPLOSSING. Voor den driehoek Werkft. i en 12 , van Boek I Voor het parallelogram, door I. Werkft. 7, n, 6.
BEWjjs. Uit n. 13 en II.
XIV. werkstuk. Fig, 34 en 34 a.
Op eene gegeven liin KM, een parallelogram IHMK te befchrijv'en, dat gelijkhaltig zij aan een gegeven parallelogram, of aan eenen gegeven driehoek AHB, en eenennbsp;hoek IKM gelijk aan eenen gegeven hoek bezitten.
EUCL, I. 44.
I, OPLOSSING, t. Men maakt eerst door Werkft. XIII. een /7 ADEF gelijkhaltig aan het gegeven cy AHGFnbsp;of aan den gegeven A A H B, en dat eenen hoek D A Fnbsp;bezitte gelijk aan den gegeven hoek.
2.'Verleng KM in L, zoo dat ML ss AF.
3*. Maak CJ ML NO = CD ADEF: voltooi op K L jyy MLNP,
4. Trek de diagonaal PMG tot de fnijding met NL verlengd, in G.
5. Voltooi 717 KL,GI: verleng OM tot in H: en - m KIMH is het gevraagde.
jjB-
-ocr page 695-/. Afd.: nbsp;nbsp;nbsp;inhoudcn der figuren, ig
BEWIJS. Uit ir. 14' is ^ KIHM 00 ::r OMLN oo aDEF 00 (door II. 12.^ /ZJ AHGF 00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A CB.
II. OPLOSSING Fig. 34' N'. i. is het zefde als in de r. Oplosfing; het overige rteunt op het 4. Gevolg vaiinbsp;het VIII. Voorflei des IV. Boeks : namelijk: men trekkenbsp;KI zoo dat Z MKI =Z HAB=: den gegeven hoektnbsp;en vervolgens door het l. Werkftufc van het III. Boeknbsp;KM: AB = ah: KI: en voltooi het CJ KIHM.
6EVVIJS. Uit IV. 8. het 4. Gevolg.
AANMERKING. Onder het woord parallelogram verftaan wij hier, en in de volgende Werkftukken, ook regthoek, die innbsp;de daad een parallelogram is, doch waarvan de hoekennbsp;rcgt zijn.
XV. WERKSTUK.
Op eene gegeven lijn Hl eeneti driehoek [HiL] t maken die aanquot; eenen gegeven driehoek, of aan een gegeven parallelogram, gelijk zij, en tevens eenen hoek be-zitte gelijk aan eenen gegeven hoek.
CLAVIUS op EUCL. I. 44
I. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Fig. 35. i'. Men make door WerkB;. XII. ofnbsp;Xlil- eenen driehoek A FC gelijkhaltig aan het gegevennbsp;parallelogram of aan den gegeven driehoek, en met dennbsp;vereischten hoek: aquot;. men voltooije AIVAFOC: 3. mennbsp;ftee op Hl (^Werkft. XIV.) een CZ] Hl KL daaraan gelijkhaltig , en wiens gijden den vereischten hoek maken:nbsp;men trekke LI. A H LI is de gevraagde.
BEWIJS. Uit II. 11. Gev. a.
II. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING Fig. 39. N. . blijft de zelfde als in denbsp;cerfte Oplosfing t het verdere gefchied door Werkft. XIV,nbsp;Oplosfing 2, te weten: na L H op H I onder den be-*nbsp;hoorlijken hoek getrokken te hebben, maakt men Hl:nbsp;AC =: aG: HL.
BEWIJS. Uit IV. k. Gev. 4.
XVl, werkstuk.
gegeven lijn AB te ftelleii; of, wat op het zelfde uitkomt, op eene gegeven lijn HG eei|en regthoekEFGH te maken, die aan een gegeven vierkant A C gelijkhaltig zij
tacqet op EUCLIDES VI. i6. Cor. I. en 17. Cor. 2. L. G' III, prob. 7.
I. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. (Fig. 35.) Door het XV. Werkftuk van ditnbsp;Boek; onderftellende den gegeven hoek regc.
BEWIJS. Uit IV. 8. het 4. Gevolg.
II. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Door het V. Werkftuk van het III. Boeknbsp;makende HG: AB = AB: HE.
BEWIJS. Uit IV. 8. het '4. Gevolg.
III. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. CFig. 37.) Rigt op de gegeven lijn HG,nbsp;de loodlijn G L , gelijk aan de zijde van het gegeven vierkant. Trek HL: rigt op HL in l eene loodlijn LF, dienbsp;HG, verlengd, ontmoet in F. Maak uit HG en GF eeneiinbsp;regthoek HEFG: het is de gevraagde regthoek.
BEWIJS. Uit II. 18. of uit V. 13,
XVII. WERKSTUK. Fig. 38.
Een parallelogram IO te maken dat aan eene gegeven regtlijnige Figuur [ABCDEF] gelijkhaltig zij , en eenennbsp;hoek KIP gelijk aan eenen gegeven hoek hebbe.
EUCL, I. 43.
OPLOSSING. Men trekke uit eenigen hoek F de lijnen F D lt; FC, FB: en make dan door het XIH Werkftuk cJnbsp;MNOP ooA ABF, vervolgens het overige uit het XIV.nbsp;Werkftuk van dit Boek.
XVIII. WERKSTUK, Fig. 39
Eenen driehoek L HI te maken die gelijkhaltig zij aan eene gegeven regtlijnige Figuur E, ea eenen hoek gelijknbsp;aan eenen gegeven hoek hebbe.
L. G. UI. prob, 10.
OPLOSSING. Maak cy FGKL door het XVII, en dan A LHI door het XIII. Werkftuk uit dit Boek.
XIX. WERKSTUK. Fig. 40.
Op eene gegeven lijn KL, een parallelogram [NOLK], of eenen driehoek K M L te maken, die gelijk zij asn eene
g'
-ocr page 697-II, Jfd.: Over de inhoudtn der figuren, ai
j^geven Figuur, en ook, zoo men wil, eenen hoek heb* be, gelijk aan eenen gegeven hoek,
OPLOSSING. Men maakt eerst door het XVII. Werkftuk bet parallelogram F H gelijkhaltig met de Figuur A B C D:nbsp;dan opKL het =7 MOLK: of den A KMLCOIU FGHInbsp;door het XV. heide uit dit Boek.
XX. werkstuk. Fig. 41.
Een vierkant te maken dat gelijkhaltig zij aan eenen gegeven regthoelc KG, of aan eene regtlijnige figuur.
EucL. II. ,14. Iquot; G. UI. prob. . voor een vierkant geJykhal-tig aan een driehoek.
oplossing. Door het XfX. Werkfluk maakt men eerst een-O FKIG 00 aan de gegeven figuur; daar na, doorbet 7. Werkftuk van het derde Boek,GL. Het vierkant opnbsp;G L is het gevraagde.
BEWIJS, uit II. 18. Gcv. of uit V. 13.
Een trapezium waarvan twee zijden evenwijdig aan elkander zijn in zoo vele gelijke deelen te verdeelen als.nbsp;men begeert.
U OPLOSSING. Fig. 42 zij A BCD het trapezium waarvan de zijden AB, D C onderling evenwijdig zijn; Men maaktnbsp;BI IC: trekt A IE: en gaat, voor de lijn DE, volgensnbsp;het Vin. Werkftuk van het I. Boek te werk.
BEWIJS. Men bewijst eerst door I. 22. dat a AIB t: A Cl E en dat A AD CO trapezium ABCD: het overige volgt uit II. 13-
II. oplossing. Fig. 10. zl) ABHP het trapezium waarvan de zijden AB, PH onderling evenwijdig zijn : men verlengenbsp;PA, HB tot dat z in C famenkomen, fnijdePH, volgens het Vlll. Werkftuk van het I. Boek, en trekke Cl,nbsp;CD enz. De trapezianbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt; VUDI enz. zijn alle onder
ling gelijk.
BEWIJS. Uit IV. 2. en II. iS-
gevolg.
^ 3 nbsp;nbsp;nbsp;AAN-
aa 11. Boek: Over de befchr. van regtlijnige figuren^
AANaiERKiNG. De tweede Oplosfing is ver boven de eerfts te verkiezen.
XXII. WERKSTUK. Fig. 43.
Een trapezium ABCD in twee gelijkhaltige deelen AFKD, B F K C te deelen.
oPLOssipsG. Deel AB in twee gelijke deelen in F doorliet VJI. Werkfluk van het 1. Boek.
Trekt de loodlijnen A E, BI, door het V. Werkfluk van het I. Boelo
Deel de lijn DC in K, zoo dat DK: KC ~ BI: AE, door het II, Werkfluk van het III. Boek.
Trek FK: en de deelen AFKD en BFKC zullen gelijk-lialtig zijn.
BEREiniNG voor het Bewijs. Trek AK, BK.
BEWIJS. Uit II. 13. voor de AA AKF en F KB, en IV. 8. het 4. Gevolg.
III. AFDEELNG.
0
OVER DE SOM EN HET VERSCHIL VAN VERSCHEIDEN REGTLijnicj. iriGUREN.
CLAVIUS op EUCL. I.45.
OPLOSSING. Door het XVII. en XIX. Werkfluk van dit Boek, maakt men den regthoek CDGH gejkhaltig metnbsp;de grootfte A der gegeven figuren, en op DG dennbsp;regthoek DEFG gelijkhaltig met de tweede gegeven figuur B: regthoek CEFH is het gevraagde. Indien hetnbsp;verfchil gevonden moet worden, maakt men CD IDGKconbsp;figuur B : ea O CIK H is het gevraagde.
t nbsp;nbsp;nbsp;XXIV,
-ocr page 699-UI. ylfd.: Over de Jom en het verfchil der figuren. 25
XXIV. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 44.
De fom te vinden van zoo vele regtlijnige figuren als men wil.
CLAVIOS op ZVCh. I. 45-
OPLOSSING. Door het XVII. en XIX. WerMuk van dit Boek, maakt men de ? a CIKH, IDGK, DEFGnbsp;gelijkhaltig met de gegeven figuren.
BEWIJS. Uit II. I,
XXV. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 45.
Een vierkant te maken dat gelijkhaltig zij aan de fom van 200 vele vierkanten als men wil, die gemaakt zijn op ge.nbsp;geven lijnen A, B, C, D, E.
CLAVIUS op EUCL. I. 47. pag. 154. Nquot;. 6. L. G. III, prob. il..
oplossing. Door het IV. Werkftuk van het I, Boek.
BEWIJS. Door II. 16. Het vierkant op de lijn F is de ge* vraagde fom.
XXVI. WERKSTUK. Fig. 46.
Een vierkant te vinden dat het verfchil zij van de vierkanten, op de twee lijnen A en B befchreven.
CLAVIUS op EUCL. I 47. pag. 153. L, G. III. prob. ii.
OPLOSSING Uit het VII. Werkllnk van het I. Boek: de derde Vooronderftelling en het I. Werkituk van het I. Boek.
BEWIJS. Uit V. 7. II. 16. gev. I. blijkt dat het vierkant op DF het verfchil is der vierkanten op CD en CF, of op A en g.
gevolg.
Indien men bet verfchil van drie pf meerder vierkanten vraagt, zal men op FD de zelfde bewerking doen als
op C D.
XXVlI. WERKSTUK. Fig. 47.
Gegeven zijnde twee vierkanten op de lijnen A en B befchreven: twee andere vierkanten te vinden die te fa-men aan de fom der twee gegeven vierkanten gelijk zijn;nbsp;het zij men die nieuwe vierkanten gelijk of ongelijk aan elkander begeere.
CLAVIVS op ejjcl. I* 47. nbsp;nbsp;nbsp;*53' N**, 4
4 II. Boek: Over de befchr, yan regtjmge figuren,
I. OPLOSSING. De I. Vooronderftelling : door I. Werkft. 7. Vooronderll. 4 ! Werkft. 3. en Vooronderft. i; het VU*nbsp;Werkrtuk van het I. Boek: de 3. Vooronderftelling, hetnbsp;IJI. VVerkftuk van het I, Boek, en de I. Vooronderftelling
BEWIJS. Uit I. 21. V. 7. II, 16.
IJ. oplossing. Indien de vierkanten ongelijk gevraagd worden kan uien te werk gaan alleen door de I. Vooronderftelling en het 111, Werkftuk van het J. Boek: doch dan is het Voorftel voor zoo vele Oplosfingen vatbaar als men wil*nbsp;daar men in den halyen cirkel CFE zoo vele lijnen CF alsnbsp;men wil trekken kan, waarop eene andere EF loodregt valt,nbsp;en die alle aan het bedoelde voldoen zullen,
BEWIJS. Uit V. 7. en II. i6,.Gev.
XXVIII. WERKSTUK. Fig. 48.
Wanneer twee vierkanten EG en AC gegeven zijn, aan het kleinfte derzelver eene Figuur te voegen , die aan hetnbsp;grootfte vierkant gelijk zij, en zoo dat de gelieele Figuurnbsp;wederom een vierkant zij.
CLAVIUS op EUCL. I. 47. p, I54. N. 7.
OPLOSSING. Door het I. Werkftuk van het I. Boek: voor BI F G en voor B M = AI: dan door de 1. Vooron?nbsp;derfteiiiiig, het I. Werkftuk van het 1. gn V. van het II. Boek,
BEWIJS, Uit ir. i6.
XXIX. WERKSTUK. Fig. 49.
Indien er eene figuur var. meerder dan drie zijden gegeven is, dezelve in eene even groot'e figuur te veranderen, doch die eene zijde minder bezit.
oplossing. Door de 1, Vooronderftelling, het VI. Werkftuk yan het I. Boek, voor DE: en de 1, Vooronderftel-. ling voor F C.
pwijs. Uit II. 13,
-ocr page 701-as
OVER EVENREDIGE LIJNEN.
I. werkstuk. Fig. 50.
Eene gegeven Hjn AB in de zelfde rede te fniiden als igene andere gegeven lijn AG [in D, EJ verdeeld is.
KUCL. VI. 10,
OPLOSSING. Door het 6. Werkftuk van het I. Boek.
BEWIJS. Uit IV. 2. Gev. i.
aanmerking. De meeste dezer Vt^orftellen kunnen door den proportionaal-pasfer opgeiost wrden, gelijk genoeg,nbsp;zaam uit den asrd van het Werkiluk blijkt. Zie in de Qrond-beginfeh IV. 2. Aanm. 7.
IJ. WERKSTUK. Fig. 51.
Eene gegeven regte lijn F E zoodanig [in 1] te fnijden dat hare deelen El, FI, in de zelfde rede tot elkandernbsp;liaan als twee gegeven lijnen AB, CD.
CLAVIUS op EUCL, VI. 10.
OPLOSSING. Eerst uit F voor FH en CD door het I.Werkftuk van het 1. Boek, dan voor EG, uk het den i Werk ftuk, dan met Gil te trekken.j
BEWIJS. Uit IV. 2. Gev. i.
III. WERKSTUK. Fig. 52.
Eene regte lijn, ML, gegeven zijnde, eene andere A B, die r.iet kleiner zij dan het dubbeld van denbsp;eerstgemeide ML, zoodanig te (nijden, dat de eerstge-uielde ML middel.evenredig zij uisfcheii de deelen AF,FB.
LAVIUS Op EUCL. VI. 15.
OPLOSSING. Door het 7 Werkftuk van het l. Bogjj AB, de derde Vooronderftelng voor AC'door het a. Werkftuk, en voor CD en DF het 6. (tweenjalen gebriSktS desnbsp;zelfden Boeks,
BE-
-ocr page 702-i'
2
///. Boek: Over evenredige lijnen.
BEWIJS. Uit V. I3
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. De reden van de voorwaarde, doch die nietnbsp;kleiner zij, enz. biijkc, om dat anderzins AC grooter zijnde dan aE, CD den omtrek des cirkels niet eens rakennbsp;zoude,
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Het blijkt dat indien BG s: AF gemaaktnbsp;wordt, bet flip G ook aan het gevraagde voldoet; en datnbsp;er gevolgelijk twee oplosfingen zijn.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 54.
Eene lijn A E te vinden die derde evenredige zij aan twee gegeven lijnen A B, en AC.
EUCL. VI. II. St. VI. 9.
oplossing. Door de 2. Vooronderftelling, het II. en het VI. Werkftuk des I. Boeks.
BEWIJS. Uit IV. 2. Gev i.
V. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 55.
Eene lijn D H te vir den , die vierde evenredige zij aan drie gegeven lijnen A, B, C.
Eucii. VI. 12. St. VI, 10. L. G. III. prob. 2.
OPLOSSING. Door de 2. Vooronderflelling: het II. en het
VI. Werkiluk des I. Boeks.
BEWIJS, uit IV. 2. Gev. i.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 53,
Wanneer drie lijnen A, B, C gegeven zijn, eene vierde G H te vinden die tot de derde C zij , als de eerlie A is tot de tweede B.
C-AVIUS op EU'Ct. VI. 12.
OPLOSSING. Door de i, Vooronderftelling, het 11. en het VI. Werkftuk des 1. Boeks.
BEWIJS. Uit IV. s. Gev. i.
VII. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 52.
Eene middelevenredige DF te vinden tusfchen twee gegeven lijnen AF en BF.
EUCL. VI. 13. St. VI II. - R: G. III, prob. 3. oplossing. Na de beide lijnen in eene rigting AFBnbsp;fteld te hebben, door de i. Vooronderftelling, het
-ocr page 703-27
het VFI. Werkftuk , de 3, Vooronderftelling, eii het III. Werkftuk des eerften Boeks.
BEWIJS, Uit V. 13*
AANMERKING. Om dit Werkfiuk door den proportionaal. pasfer optelosfen , gebruikt men de lijn welke (Grond*nbsp;beginfels 24. Aanin. a.) de lijn der Plans of ook denbsp;Geometrifche lijn genoemd wordt.
Men flelle dat tiisfchen de lijnen P en R (waarvan P de kleinfte is) eene middelevenredige moet gevonden worden. Men mete P en R, beide op de lijn van gelijkenbsp;deelen , van het middelpunt des proportionaal-pasfers af,nbsp;en teekene de getallen dier deelen aan: dat deze door P ennbsp;R uitgedrukt worden, bijv. 36 en loo.
Alen neme met een' pasfer den afftand R, Helle de eene punt(Fig. 54.)op het Hip D van de Geometrifche lijn. datnbsp;even ver van het middelpunt A af is als R op de lijn vannbsp;gelijke deelen : bijv. op ico zoo de lijn R op de lijnnbsp;van gelijke deelen ico deelen beflaat : en opene dennbsp;proportionaal-pasfer, zoo dat de andere punt, op de geometrifche lijn van het tweede blad op F, op gelijken afHandnbsp;af van het middelpunt valle, zoo dat AD = AE ennbsp;D E = R
Men Helle de punten diens pssfers op de Hippen B en C der geometrifche lijnen van beide de bladen, welke opnbsp;den afftand P (of 36) van het middelpunt A zijn: zoo datnbsp;AB = AC (hier 36) dan is BC de middel-evenredigenbsp;tusfchen P en R.
Immers in de gelijkvormige driehoeken CAB en EAD is i. A D: AB = DE: BC; dat is AD^: AB = R.
BC! en derhalve AD*: AB = R*: BC*. Maar uit den aard van de Geometrifche lijn is 2. A^*: AB* =
R; p: derhalve 3. R: P = R*: BC : en 4. BC p K R dat is P: BC = BC: R: en BC is denbsp;gezochte middel-evenredige. In het gegeven voorbeeld isnbsp;BC = 60.
Gegeven zijnde de middellte ML , en de fom AB der uiterlle van drie evenredige lijnen, de uiterfte [AF ennbsp;B F] zelve te vinden.
TACQUEt Cor. a. op Eupt. VI. J3,
OJ -
-ocr page 704-OPLOSSING. Door het Vll. Werkftuk, de 3. Vooronderftel-ling, het IV. Werkftuk. het II., het VI. tweemaal gebruikt: ae uit het I Boek.
BEWIJS. Door V. 13
IX. WERKSTUK.
Tusfchen twee gegeven lijnen A en R , drie, of zeven, of vijliien middel - evenredige le vinden; in n woord,nbsp;zoo vele als er dpor de gedurige optelling van de ledennbsp;dezer geometrifche piogresfie j, 2, 4, 8, 16, 32. enz.nbsp;ontftaan kunnen.
TACQOET Cor. 3. op EUCL. VI. I3;
OPLOSSING. Door het YII. Werkftuk.
I. nbsp;nbsp;nbsp;yiANMERKiNG. De reden waarom men Hechts 3, of 7, ofnbsp;J5 enz., middel-evenredigen vinden kan, dat is, altijd oneven in getal, is deze Men kan door de Meetkunde maarnbsp;eeue middel-evenredigc tusfchen twee lijnen vinden: indieiinbsp;er dan twee lijnen A en B gegeven zijn, vindt men ernbsp;door het Vit Werkftuk eene derde [C] die tusfchen deze middelevenredig is: Men kan er wederom cene [D]nbsp;vinden tusfchen de eerfte lijn A, en de eerfte middelevenredige C, en eene [Ej tusfchen deze C en de tweedenbsp;gegeven lijn B: dus in het geheel 3, Tusfchen deze vijfnbsp;lijnen, kau men er wederom 4 vinden, namelijk tusfchennbsp;A en D, D en C, C en E, E en B, dat is in het geheelnbsp;7 , enz.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMF.I.KIKO over het VINDEN' VAN TWEE MIDDEL-EVENREDIGE. Dcnbsp;Ouden hebben reeds veej moeite aargewend ter opJosIing van hetnbsp;vraaglluk, ,, tinfclicn twee gegeven lijneii twee middcl-evenre-,, (jige te vinden. Doch dit kan door de enkele Meetkunde,nbsp;in den ttrikften zin namelijk, dien de Ouden aan dat woordnbsp;gaven, dat is door cirkel en regte lyn alleen, iet gefchieden.
VTectiis heeft breedvoerig over dit ftuk gehandeld, in zijne Cosnmentarius op bet tweede Vorrliel des II, Boeks yan arciii-MmEs de Ipliaera et cylindro . en daarin opgegeven'de handci-wtizen van plato , van hero , van rvnLo van Byzantium, vannbsp;APPOLLONisvan Dioti.ES, van pappus, van sporcs , van menecii*nbsp;MUS, van AKCurrAE , van eratcisiiienes en van mcoManES. Denbsp;wijze van nicomedes is ook door . pappus uiigelegd in zijne Cul-lect Mat hem. iV. 12, 23
Alle deze oploslingen kunnen tot twee alpmcene foorten ge-bragt worden tot die welke door andere lijnen dan den cirkel verrigr worden, en die welke men volbrengt door regte lijnen,nbsp;of regte lijn en cirkel, wel is waar niet op eene geometrifihe,nbsp;maar op een' mechanifchc wijze.
Wat de eerfte foort dier oplosfingen betreft; komt eerst m aanmerking die , welke of door eeue kromme lijn, genoemd de
29
conchoide , of fchulptrek van nicomedbs , of door de cisfoide of klimtrek van dioclss vcrrigt worden, twee zoogenoemde mecha-nifc/ie kromme lijnen , wier eigenfehappen en derzelver toepas-fin^ op dit vraagftnk om twee middel-evenredige te vinden,nbsp;men kan nagaan, in het voortrelfeiijk werk van den Heer 3.nbsp;floryn, Grondbeglnjels der Itoogere Meetkunde, 11 Boek, voor denbsp;coR'csoiDE Hoofdd. I. prop. gj en voor de cissoide Hoofdd. 11,nbsp;prop. 7- 1^0 oo'i CLAvius, Geom. Practica VI. 13.
Vervolgens komen hier in aanmerking de oplcsfingen door die kromme lijnen welke men kegdfneden noemt; mknechmusnbsp;heeft het beroemde vraagltnk opgelosc door de fnijding van eenenbsp;parabel en eene hyperbel , en ook door de fnyding van tweenbsp;parabels.
Deze oplosfingen, als gefehiedende door kromme lijnen die niet tot de eigenlijk gezegde Grondbeginfels der Meetkunde behoren,nbsp;kunnen niet door ons opgegavcii worden: Men zie over denbsp;laatstgenoemde , Gesmetria cartesh Lib, III. p. 91 in de uitgavenbsp;van VAN scHOOTEN: en abr. de graaf, Anaiyfis, UI. Boek, 24.nbsp;Werkftuk: en voor die welke dieper in de zaak willen indringen , sLusir Mefolabum.
De overige Oploslingcn z^n die, avelke door cirkels en regte lijDcn, doch op eene meehanifche, en niet op eene gcometrifchcnbsp;wijze gefchieden. Wij zullen er eenige opgeven.
I. nbsp;nbsp;nbsp;opt-ossiNO, Van plato. Fig. s. Wij hebben de gronden van de
zelve reeds opgegeven in IV. 15- Gev. 4 Men voege de lijnen FD, Dll, tuslchen welke twee raiddel-evenredige gevonden moeten worden bij elkander, zoo dar zij eenen regten hoek FDBnbsp;maken: men verlenge ze beide naar M en N Men neme tweenbsp;winkelhaken F AC, F. C B : en fchikke dezelve zoo, dat terwijlnbsp;de kruin A des regten hoeks F AC op de lyn BDM blyve,nbsp;het eene been door F, uiteinde der lijn DF gaa, terwijl, denbsp;kruin C van den tweeden winkelhaak E C B, die zich langs hetnbsp;been AC des eerden beweegt, op de verlenging van de lijnnbsp;FD ergens in C vallende, het andere BC, juist het uiteindenbsp;B, der tweede gegeven lijn D B rake: als dan zullen de tweenbsp;lijnen AD, DC middelevenredig zijn tusfehen FD, DB zoonbsp;datF:AD=:AD: DCl=:DC:DB
Zie ook TACQUET op Eocn. VT. 13. scholium.
II. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING van cartf.sius. Fig. 57. Deze heeft,om dat zij ook door
behulp van winkelhaken gefchied, vrij wat overeenkomst met die van PLATO : doch zij ftrekt zich verder uit, om dat zij gefchiktnbsp;is om niet alleen twee, maar ook vier, zes, acht, enz. middel-evenredige te vinden. Wij hebben hare gronamp;en in IV. 15.nbsp;Gev 5- nltgelegd. Men hebbe ecuen zivaai YAZ, waarvan hetnbsp;middelpunls waarop de beenen Y A en Z A zich bewegen zjjnbsp;Men hebbe boven dien verlcheide winkelhaken, drie om tweenbsp;middelevenredige te kunnen trekken: vijf om er vier te trekken : en zoo voorts, altijd met twee opklimmende
Yan deze winkelhakeu bewaegt zich een gedeelte op het beeft AY, een ander gedeelte op het been AZ des zwaais : het geennbsp;door nddJel van eene fponning, in eene lleuf beweegbaar, ge-makkeliik te verrigton valt.
zwaai
V
-ocr page 706-zwaai de lyn AC, en op het ander de lijn AL tusfdien weikd men twee middel-evenredige zal vinden.
Men moet de opening van den zwaai zoo fdiikken, dat als dd kruin des winkelhaaks ICB op C valt, de winkelhaak IBM,nbsp;tegen B, alwaar het been CB valt, gefchoven wordt, en AYnbsp;in X fndt , het been IL des winkelhaaks KIL, wiens kruin opnbsp;I gefield wordt in L, uiteinde der lijn AL, valle! welke, fchik-king door toetfen gevonden wordt, en dus eene niedianifchenbsp;oplosfing geeft: Het blijkt uit IV. I5. Gev. 5. dat AC: AB =nbsp;AB: AI AI : AL: en derhalve dat AB en AI de twee gevraagde middelevenredige zijn.
Zie ook TACQUET Op EcL, VI. Ig. Scholhm,
III. opr.ossiJVG van hero. Fig. 58, welke door eutocius is opgegeven, en door middel van een liniaal gefdried.
Men vercenigo de lijnen AB en BG, tusrehen welke men twee middel-evenredige zoekt, onder eenen regten hoek GBA: mennbsp;voltooije den regthoek (lADG; vcrlenge de zijden DA en DGnbsp;onbepaaldeiyit; en trekke de diagonalen GA en BD , die zichnbsp;in E, in gelijke deelcn fnijden. Men bewege een liniaal BHnbsp;op het flip B, tot dat het de lijnen DG en DA in de ftippennbsp;Z en H zoodanig fnijde, dat EZ EH: All en Z G zullen denbsp;twee middel-evenredige zijn.
BEWIJS. Men trekke uit E, ET loodregt op D G die gevolgelijk G T x.D maakt.
Derhalve is uit TI, s. Regth. uit D Z en Z G op G T 00 O op TZ en derhalve Rh. uit DZ en ZG -j- op gTnbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op E Tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;op T Z -{- ? op E T: datnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is door II. i(5.
Rh. nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DZ ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ZGnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;? op Enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G 00 ? op ZE.
Op de zelfde wijze , is Rh. uit d H en H A -j- D op E A OO D op EHt maar EH ro: ZE: derhalve Rh. uit D Z . ZG nbsp;?nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ppnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;E G 00nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Rh. uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;D H ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A H -j- Cl op E A;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en om dat G E
'*~ nbsp;nbsp;nbsp;EA, is Rh.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;DZnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en ZGnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;00 Bh. uit DH ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AH: en der
halve (IV. 8. Gev. 3.) DZ; DH = AH: ZG: maar DZ: DH =rZG:GB = BA: AH:
Gevolgelijk AH; ZG = ZG: GB = BA: AH; of BA: AII ~ AH: Z G ~ Z G: G B : derhalve zijn A B , AH,nbsp;Z G, B G. gedurig evenredig.
Zie cLAVius, Qcometria Practica, Lib. VII. prop. 15.
IV. OPLOSSING van philo van Byzantium. Fig. 5p.
Deze wordt verrigt door middel van den cirkel, en ee liniaal wiens ligging door toetfing gefchikt moet worden.
Men vereenige de lijnen AB, BC tusfclien welke ett twee middel-evenredige wil vinden, onder eenen regtennbsp;boek ABC; men trekke AC; befchrijve om den drieix^eknbsp;ABC eenen cirkel BADC; en voltooe den r.egthoek
BACD,
-ocr page 707-BADC, waarvan men de zijden DA, en DC onbepaalde-lijk verlengt. Men bewege een liniaal FBG, zoodanig om den top B des regcen hoeks ABC, dat de deelen F O, B Gnbsp;deszelven door den omtrek des cirkels en de verlengde lijnen DA, DC, afgefneden, gelijk zijn; dan is 4: AB, FA,nbsp;GC, BC.
BEWIJS. Uit V. 17. Gev. 4.
Zie ook CLAVius, Gsom. Practica, VI. 15,
V. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING van vieta : deze gefchied ook door middel vannbsp;cirkel en liniaal, Fig- o.
Men trekke eenen cirkel P K D H waarvan de grootfce der gegeven lijnen, de lijn K D de middellijn zij. Men trekke in den cirkel eene lijn PH gelijk aan de kleinfce dernbsp;twee gegeven lijnen , en verlenge dezelve naar welgevallen. Uit het eene fcip H waar zij den oratrek fnijdt. pemenbsp;men het deel HL = HP,of aan de tweede gegeven lijn: ennbsp;trekke uit L, L C, door het middelpunt, vervolgens uit Pnbsp;eene onbepaalde lijn PI // LC; men neme een liniaal, ennbsp;bewege het zelve om het middelpunt, tot dat het de verlengde lijn PH ontmoete in A, zoo dat A G 1= C K ofnbsp;aan de halve middellijn, d. i. aan de helft der grootfce gegeven lijn. Dan zijn AP en AK middel-evenredig tusfthennbsp;D K. en H P.
bewijs. Uit V. 17. Gev. 3. Aanra, 3,
Deze oplosfingen zijn voor onze bedoeling genoeg: andere gaa men bij Euroctus na.
Men gebruikt daartoe de lijn die wij de lijn Aq foli da, of der Ugchamen, genoemd hebben fXr. 3e. Aanna,^nbsp;en die met het woord cubic beftempeld is.
Dat de lijnen P en S de twee lijnen zijn tusfehen welke er twee middel-evenredige moeten gevonden worden. Men mete P en S, op den proportionaal pasjer^nbsp;op de lijn van gelijke deelen van het middelpunt desnbsp;pasfers af: men teekene die deelen aan: laten dezelvenbsp;zijn bijv. 160 en 20.
Men neme met den gewonen pasfer de grootte van S, de grootfte der twee gegeven lijnen.
Men ftelle op de beide bladen (Fig. 50.) AB, AC, des proportionaal-pasfers, op de lijnen nam. der ligcha-men, de eene punt op B, die even ver op die lijii vannbsp;het middelpunt A af is, als S op' delijn der gelijke deelen
sa
/. Boek: Over evenredige lijnen.
was (hier op lo) en men opene den proportionnal-pasfer tot dat de andere punt valle op C, op gelijken aflland op de lijn der ligchatnen van het tweede blad.
Men ftelle de punt van dien pasfer op G, van de lijn der ligch^nen, op den zelfden aflland van A, als P wasnbsp;op de lijn der gelijke deeien (hier op 20) en mete detinbsp;aflland van G tot E, dat op gelijken aflland als G Haat opnbsp;de zelfde hjn van het ander blad A C.
EG is de grootlle der twee gevraagde middel-evenredige lijnen.
IS 1.
2quot;. A^ = S 30. aB*: AG = S5nbsp;de lijn der ligchamen is
immers: uit de driehoeken CAB en EAG AB : AG = BC: EG: dus hier
EG: en derhalve
EG: maar uit den aard van
4, AB: AG =; S: P: derhalve 50. S: G = S: P: maar (III. 15.)
Indien vier grootheden S, R, Q, P m eene gedurige evenredigheid zijn is 6. S: P = S : R :
Derhalve 7. S : E G = S: R: en derhalve EG = R, gelijk aan de grootlle der twee gezochte evenredige*nbsp;EG gevonden zijnde, neemt men eene middel evenredige tusfchen S en EG (Werkftuk VIL Aanm.) die denbsp;tweede der gevraagde, of de kleinlle der twee gevraagde, zijn zal.
De rede die er tusfchen twee gegeven lijnen A B, P* C plaats heeft, doch waarvan de eerde grooter is dan denbsp;tweede, zoo ver men wil te verlengen , en de fom vannbsp;alle de leden aantewijzen.
TACQOET op EOCL. VI. II.
OPLOSSING. Men rigt (door het IV. Werkftuk uit het I. Boek) AD X op A B en door het III. B E x op AB; mennbsp;maaKC door het II. AD AB, BE = BC: men trektnbsp;de tot dat dezelve AB, verlengd,in F ontmoete:men trektnbsp;C G i op AF, maakt C N se C G en trekt H N x op A F snbsp;men maakt NI HN en IK x op AF enz. AB, BG,nbsp;CN, NI enz. zijn de leden, en AF is de fom van allen.
BEWIJS. Door het II. Voorftel van het IV, Boek, en de eigeiifchappen der evenredigheden; vooral III. 8.
lm-
-ocr page 709-33
Immers AF:BF seADzEB e=AB:BC derhalve BC:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; AB: AF: en
BC BF:BF af AB; AF: d. 1.
CF:BF ==BF:AF =:BC:AB=CG:BE SBEj A D: of
AD: BE := BE: CG: dat is AB: BC s= BC: CN
en zoo voorts, zoo dat AB, BC, CN, NI enz. eene geometrifche reeks uicmaken.
aanmerking. Hoewel men het getal der leden zoo grooc kan nemen als men wil, is hunne fom eene bepaalde lynnbsp;AF, om dat de leden in eene bepaalde rede (van AB:nbsp;B C) afnemen. Zie het geen wij gezegd hebben III. Boetnbsp;XV. Voorft. Gev. (5.
Xf. WERKSTUK.
Eene lijn in uiterfte en middelfle rede te fnijden.
EUCL. VI. 30. L. G. III. prob. 4.
OPLOSSING. Zij is de zelfde als voor het X. Werkftuk van het I. Boek.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i
xn. WERKSTUK. Fig. (5a.
Eene lijn AD in barnjonifche evenredigheid re deelen: dat is, volgens de 2. Aanmerking op de 23. Bepaling vannbsp;het III. Boek, de lijn AD zoodanig in drie deelen AB,nbsp;B C, CD, te deelen, dat de geheele lijn A D tot eenenbsp;der uiterften AB bijv. ftaa, zoo als de andere CD tot hetnbsp;middelde deel BC.
CLAVius ad EOCL. VI. 17. ' 7- LA HIRE Section. Con. prop. 1.
OPLOSSING. Trek DG en AG naar willekeur.
Trek uit een flip B naar willekeur, op de lijn AD genomen, BE evenwijdig aan DG, door het VI. Werkftuk van het I. Boek.
Verleng EB in F tot dat BF = EB door het II. Werkft; Trek GF.
AD: AB = DG; BE of BF Maar DG : BF = DC: BC:nbsp;dus aDs AB = DC; BC; (III. ii.)
OVER. DE REDE EN DE GELIJKVORMIGHEID VAN REGTLIJNIGE FIGUREN.
I. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 63.
De rede van twee regtlijnige Figuren, A, B, door twee regte lijnen HG, G F, uittedrukken.
OPLOSSING. Door Werkftuk XVII. van het II. Boek maakt men eerst den regthoek HCDG geUjkhaltig aan de gegevennbsp;figuur A; vervolgens door Werklluk XIX. maakt men opnbsp;de als dan bepaalde lijn GD, den regthoek GDEF gelijk-haltig met de gegeven Figuur B.
BEWIJS. Uit IV. 7.
GEVOLG.
De rede van twee vierkanten kan insgelijks door regte lijnen uitgedrukt worden.
OPLOSSING en bewijs. Door V. 15.
II. nbsp;nbsp;nbsp;W R K S T U K. Fig. 64,
Op eene gegeven lijn CD eene regtlijnige figuur te maken die aan eene gegeven regtlijnige figuur gelijkvor*nbsp;mig zij*
EUCL. VI. 18, St. VL 15. - L. G. UI. prob, I3.
OPLOSSING. Door II. Werkftuk 4., Aanm. 2.
BEWIJS. Uit IV. 23*
III. nbsp;nbsp;nbsp;werkstuk. Fig. 65.
Eene Figuur N te vervaardigen, die aan eene _ gegeven figuur L gelijkvormig, en aan eene andere M gelijk zij.
EUCL. VI. 55. I4. G, ni. prob. 60
OPLOSSING. Voor C3 A H CD fig' L uit het XVII. Weric-ftuk van het II. Boek: insgeijks op B H voor CD BI 00 fig. M. Vervolgens voor FC door het Vil. Werkftu^nbsp;van het III. Boekj en dan voor N e.'o U door het 11.nbsp;van dit Boek.
BB*
-ocr page 711-BEWIJS. Uit IV. 24. is N : L = ? op FC: ? op A0. Maar om dat AB:FCcrf'C:BC
is ? op F C 00 Rh. uit A B, B C derhalve N : L = Rh. uit AB, BC: ? op ABnbsp;= BC: AB
L: M = aB: BC ([V. 7.) derhalve N:M = BC.AB:AB.BCnbsp;en N CX3 M.
IV. nbsp;nbsp;nbsp;W E R K S U K.
De cveneensftaande zijden a, b van twee gelijkvofmige figuren gegeven zijnde, de reden van die figuren doornbsp;regte lijnen uittedrukken,
OPLOSSING. Door het IV. Werkftnk van het III. Boek.
Maar (IV. 24.) Fig. op nbsp;nbsp;nbsp;tot fig. op ^ = Q op
P op ^ nbsp;nbsp;nbsp;? op zt; Rh. uit en c =2:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c.
Wanneer de rede van twee gelijkvormige figuren [A, BJ door twee lijnen [M, Nj uitgedrukt is, de rede vannbsp;derzelver eveneensflaande zijden [a, b] te vinden.
OPLOSSING. Tusfehen M en N door het VU. WerkRuk van het III. Boek.
BEWIJS. Om dat fig. A: fig B = p op t: Q op en M: N = fig. A: fig. B; is
M: N ? op ^: ? op ^: en M . N: N a*: b^ Maar M : x =: r: N: derhalvenbsp;a op a: 00 Regth. uit M en Nnbsp;derhalve N- = a^: b^ en b: a ~ N: x.
VI. WERKSTUK,
Eeneii veelhoek N te maken, die aan eenen anderen veelhoek M, waarin eene zijde A bekend is, gelijkvormig en tevens een bepaald veelvoud w van den zelven zij. *
h. G. m, prob. 13.
oplossing. Tusfehen A en ? A door het VII. Werkftuk vf het UI. Boek: en dan op die middel. evenredige door hecnbsp;. Werklluk van dit Boek, den veelhoek N to veelh. M.
C fl nbsp;nbsp;nbsp;SB*
-ocr page 712-m
_ A*
m '
i.
BEWijs. Onj dat *A.: B =: g; a is B* =: mA.^
maar fig. N: fig M = B* s A*:
aanmerking. _ Daar de cirkels gelijkvorraige figuren zijn, waarvan de inhouden tot elkander ftaan als de vierkantennbsp;der middellijnen: (zie het zevende Boek der Grondbeginfels,nbsp;Voordel X. Gev. i; en Voorftel XVI. Gev. i.quot;) geldt ditnbsp;Voorfcel (gelijk ook de twee volgende) voor de cirkels,nbsp;even als voor de veelhoeken.
Eeacn veelhoek N te maken, die aan den gegeven veelhoek M, waarvan eene zijde [A] bekend is, gelijkvormig, en tevens een bepaald gedeelte ^ van den zelven zij.
OPLOSSING. Tusfchen - en A door het VU. Werkfcuk van
m
het III. Boek: 4aii op die iniddel-evenredige door het II. Werkfcuk van dit Boek N M.
A
BEWIJS. Om dat : B =: B: A
in
A*
is nbsp;nbsp;nbsp;: Maar fig. Ns tot fig. M = B*: A*
1
m'
GEVOLG.
L. G. III. prob. 12.
AANMERKING, Dit Voorfcel kan ook door V. 15. Gev. op-gelost worden.
V'III. WERKSTUK. Fig. 66.
200
-ocr page 713-IF. Boek: Over de rede en gelijkv. van regtl. figuren, 37
zoo vele gelijkvormige Figuren A, B, C, D, enz. nis men wil , waarvan de eveneens geplaatfle zijden, , ^,nbsp;c, d, enz., bekend zijn, en die tevens gelijkvormig aannbsp;allen zij.
L. G. iii. prob. 14.
OPLOSSING. Door bet IV. en I. Werkftnk van het I. Boek; en het II. van dit Boek.
I. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Om eene figuur te maken die het verfchilnbsp;zij van twee gegeven gelijkvormige figuren, en tevens gelijkvormig zij aan dezelve, gaat men te werk volgens hetnbsp;26. Werkftuk van het tweede Boek en het II. van dit Boek.
II. nbsp;nbsp;nbsp;aanmerking. Daar de cirkels gelijkvormige figuren zijn,nbsp;en onderling ftaan als de vierkanten der middellijnen, of dernbsp;radii, geldt deze oplosfing ook voor cirkels.
C3
Het middelpunt G van een gegeven cirkel te bepalen, puci,, III. I.- St. III. 2. L. G. II, prob. 13.
J. OPLOSSING. Fig. 67. door de eerde vooronderftelling het Vn. en III. en wederom het VII. Werkftuk van het 1 Boek,
isEwijs. Uit V. 9 Gev.
H. OPLOSSING, Fig. 68. Git de eerde voorondcrdelling: het IV. Werkduk van het I. Boek : de i. vooronderftelling,nbsp;het VIL Werkftuk van het I. Boek.
BEWIJS. Uit V. 7.
69.
II. WERKSTUK. Fifi
Gegeven zijnde een boog AD F., of een cirkelfluk A DE As het middelpunt daarvan te vinden, cii den gehe-I^D cirkei te voitopijen.
EpcL, III. 25. St. Ijl. 2.
oplossing. Door de eerfte vooropderftelling : het Vtl. en JII. Werkftuk van het I. Boek op AD en op A E toe-gepast.
j^EWijs, Uit V. 9. het Gevolg.
III. WERKSTUK. Fig. 70.
fi den pirkel ABG eene lijn AB te trekken die gelijk igij aan eene gegeven lijn , doch welke kleiner is dannbsp;middellijn,
IV. I.
nbsp;nbsp;nbsp;pp-
-ocr page 715-I. /Ifel.: Over het fr.iddep. e?i de lijnen tot den cirkel, 39
OPLOSSING. Door het I. Werkftuk van het I. Boek en de III. Vooronderftelling.
BEWIJS. Uit V. !! het I. Gevolg.
AANMERKING. Het blijkt dat men altijd twee dergelijke gelijke lijnen in den cirkel trekken kan.
IV. werkstuk. Fig. 71. nbsp;nbsp;nbsp;'
In den cirkel DKF eene regte liin IK te trekken, die gelijk zij aan eene gegeven lijn AB, doch kleiner dannbsp;de middellijn, en tevens aan eene andere gegeven lijn Cnbsp;evenwijdig.
CLAVIUS op EUCL. IV. 1.
OPLOSSING. Voor DF door het VI. Werkftnk, het VII. twee malen , het III. twee malen , alle uit het I. Boek;nbsp;en de 3. Vooronderftelling.
BEWIJS. Uk V. II. het I. Gev. en I. 31.
OVER DE CIRKELSTUKKEN EN C IR K E ]gt; BOGEN.
V. nbsp;nbsp;nbsp;werkstuk. Fig. 72.
Op eene gegeven lijn A B een cirkelfluk te befchrij-ven, dat eeneij gegeven hoek N bevatten kan.
eucl. III. 33. St UI. 21. L. G, II. prob. 16.
OPLOSSING. Voor hoek EAB door I. Werkft. 12: voor AH door I. Werkft. 4.: voor BH door J. Werkft. 12. ennbsp;dan door Vooronderfc. 3. Het ciikelftuk AOB i* hetnbsp;gezochte.
BEWIJS. Hit V. 8.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 73.
Van een gegeven cirkel ABC en Buk BCA aftefnij-den, dat eenen gegeven hoek N bevatten kan.
gVCL, III, 34.. St. 111. 32.
C 4 nbsp;nbsp;nbsp;. OE*
-ocr page 716-40
Boek: Over den cirkel.
OPLOSSING. Voor DB door de i. Vooronderftelling: voor E B door het IV. Werkftulc van het 1. Boek, voor ^ EBAnbsp;I. Werkft. 12. cirkelftuk ACB is het gevraagde.
JJEWIJS.
Door V. 8.
vir.
Werkstuk. Fig. 74,
EUCL. UI. 30,- St, III. 17.
OPLOSSING. Door het VII. en het III. Werkiluk van het I. Boek,
BEREIDING TOT HET BEWIJS. Trek AD, DB.
BEWIJS. Uit I. 21. en V. 6. het 5. Gevolg.
aanmerking. Op die wijze kan men door eene gedurige verdeeling in twee gelijke deelen eenen hoek in een evennbsp;getal deelen, dat of 2, of eenige magt van a is. Dochnbsp;men kan Geometrisch, in den ftrikllen zin , geen boog innbsp;drie, of in een oneven getal, deelen fnijdeij, op die uitzonderingen na welke wij in de volgende Vraagftukkennbsp;melden zullen. De Aanmerking die wij op het XVi. VVerk-fluk van het I. Boek gemaakt hebben, geldt hier ten vol-lefl: want eenen boog of eenen hoek te deelen is hetnbsp;zelfde, daar de een de maat van den anderen is,
VIII. WERKSTUK. Fig. 7^.
Eenen boog die het vierde deel van den omtrek is, In drie gelijke deelen te verdeeleii.
OPLOSSING. Door het II. Werkftuk van het II. Boek, en het Vil., van dit, of het XV. van het I. Boek.
SWijs,. Uit V. 6. het 5. en 3 Gev,
oplossing. Maak op BC , den A DCB door het XI. Werkftuk van het il. Boek, en voor CE door I, Werk-;nbsp;ItBk 15.
11. Jfd.': nbsp;nbsp;nbsp;dt cirkeljiuhketi en bogen. 41
OPLOSSING. Zij is de zelfde als de Bereiding van V. 3. in de
Grondbeginfeh.
BEWIJS Uit V. 3. Gev.
OVER DE RAAKLIJNEN VAN DEN CIRKEL, EN DE C 1 R KEL S DIE ELK AND E R RAKEN.
XI. WERKSTUK. Fig. 78.
Uit een gegeven flip A in den omtrek, eene raaklijn D A E aan den cirkel te trekken.
OPLOSSING. Voor CA door de r. Vooronderftelling en Voor DAE door het IV. Werkftuk van het I. Boek.
BEWIJS. Uit V. 3.
XII. WERKSTUK.
EUCL. III. 17. St, III. jp. 1, G. II. prob. 14.
I. nbsp;nbsp;nbsp;oplossing. Fig. 79. Door de i. Vooronderftelling voornbsp;AC: dan door het VJl. Werkftuk van het 1. Boek, de 3. annbsp;I. Vooronderftelling.
bereiding. Trek CD, CB.
BEWIJS. Uit V. 7 en 3.
II. nbsp;nbsp;nbsp;oplossing. Fig. 80. Door de i. en 3. Vooronderfteiling;nbsp;voor CA en ^ K AI; door het IJj. Werkftuk van het I. Boek,nbsp;voor KEI j ait d i Vooronderftelling voor AD en AB.
BEWIJS. Uit I. 21. voor de AA AC B en E Cl; waaruit volgt L CBA = Z CEl = L; en dus uit V, 3. is ABnbsp;raaklijn.
C $ nbsp;nbsp;nbsp;AAiS^
-ocr page 718-P'. Boek! Over den cirkel.
AANMERKING. Het blijkt uit beide de oplosfingen , dat tnea uit het ftip A altijd tvvee raaklijnen zal kunnen trekken,nbsp;die aan elkander gelijk zullen zijn: het geen reeds uit V. 20.nbsp;het 2. Gev. bekend is.
XIII. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 81.
Ecne lijn KG, die den cirkel rankt, gegeven zijnde , het ftip K van aanraking te bepalen.
OPLOSSING. Voor HIG door de 1. Vooronderfcelling, het Vn. Werkftuk van het I. Boek: en door de 4. Vooron-derftelling.
BEREIDING Trek E H.
BEWIJS. Uit V. 3. en 7.
XIV. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig, 82.
Eene lijn E G re trekken, die den cirkel rake, en evenwijdig zij aan eene lijn AB, die den cirkel fnijdt.
CLAVIUS op EUCL. 111, I?. p. 273.
oplossing. Voor C D door het V. en voor E D G door het IV. Werkftuk van het I. Boek.
BEWIJS. Uit V. 3. en I. 8.
XV. WERKSTUK.
Twee cirkels gegeven zijnde, doch die elkander niet geheel iclluiten, eene lijn te trekken, die ze beide raakt.
CLAVIUS op ECL. III. 17. p. 207-
Er zijn twee gevaileu: want de cirkels zijn of gelijk, of ongejk in grootte.
I, GEVAL. Fig. 83.
oplossing. Door de i. Vooronderftelling, het IV. Werk. fuik van het I. Boek, voor GA en KD en de i. Voorou-derftelling voor AD.
BEWIJS. Uit T. 31. en V. 3.
l. GEVAL. Fig. 84.
oplossing. Doof de 3. Vooronderftelling , uit G met eenen laditis GP ~ GC EK GD: verder door denbsp;hat vierde, en XII. Werkftuk van dit Boek voor KP: door
Voor-
-ocr page 719-HI. Afd : Over de raakh en de cirkels die zich raken. 43
Vooronderfc. I. voor GN; door I. Werkftiik 5. voor KO, en de i. Vooronderftelling voor NO.
3BEWIJS. Uk I. 31- en V. 3.
Eepen cirkel te trekken, die eene gegeven lijn AC in een gegeven (lip B raakt, en door een gegeven (lip E gaat.
opi.ossiNG. Door }. VVerkfluk 3 voor I?G: door Vooronder-fteUing I. voor B E ; door II. Werkank 3. voor A E D B en door Vooronderfteiling 4.
BEWIJS. Door V. 3-
XVII. WERKSTUK. Fig. 88, , e.
Eenen cirkel te trekken, die dooreen gegeven (lip A gaat , en eenen anderen gegeven cirkel inwendig, of uitwendig , raakt.
CLAVIOS efe EUCL. UI. 17. p. 29.
^ \
Er zijn drie gevallen, naar mate het flip A op den om.-
trek, buiten den omtrek, of binnen den omtrek valt. nbsp;nbsp;nbsp;'
OPLOSSING. Door de i. Vooronderftelling, het VII. Werk. ftuk van het I. Boek, en de 3. Vooronderfcelling.
aanmerking. Het blijkt 1. dat men in het eerfte geval op de lijn AD zoo vele ftippen als men wil nemen kan,nbsp;die de middelpunten van even zoo vele cirkels zijn zullen,nbsp;welke allen aan het gevraagde zullen voldoen.
s'*. Dat in beide de andere gevallen, zoo dra men door het gegeven ftip A en het middelpunt des gegeven cirkelsnbsp;de lijn AB getrokken heeft, er altijd twee cirkels zijn zul-len die aan het gevraagde voldoen.
XVlII. WERKSTUK. Fig 86.
Een (lip A buiten den cirkel BCD gegeven zijnde, eenen cirkel te^ trekken die door dat (lip gaat, en den ge-geven cirltel uitwendig zoodanig raakt, dat geen van beidenbsp;de cirkels binnen den anderen valle.
CLAVtuS op EUCL. III. I7. p. 270.
y. Boek: Over den cirkel.
XIX. WERKSTUK. Fig. 87.
Twee cirkels gegeven zijnde , eenen derden te trekken die ze beiden raakt, en wiens middelpunt in dezelfde regnbsp;te lijn zij met de middelpunten der gegeven cirkels.
CLAVIUS op EUCL. Ill, I7, p. 271.
OPLOSSING. Door de i. Vooronderftelling, het VU, Werk-ftuk van het I. Boek, en de 3. Vooronderftelling.
bewijs. Uit V. 23.
I. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Het blijkt dat wanneer de cirkels geheelnbsp;buiten, of geheel binnen, elkander vallen, men altijd viernbsp;cirkels vinden kan die aan het gevraagde voldoen ; dochnbsp;flechts twee, wanneer de cirkels elkander fnijden.
II. nbsp;nbsp;nbsp;AANMERKING. Wanneer men uit elk der middelpunten vannbsp;de twee gegeven cirkels, _ met eene opening gelijk aan denbsp;fora van den radius van dien cirkel, en van den radius desnbsp;cirkels dien men voor den rakenden cirkel nemen wil, bogen befchrijft , zal het ftip daar die bogen elkander fnijden, altijd het middelpunt zijn van den cirkel die beide denbsp;gegeven raken zal.
45
OVER DE BESCHRIJVING DER FIGUREN IN EN OM den cirkel.
I. WERKSTUK. Fig. 89.
In eenen gegeven cirkel A B M C, eenen driehoek B A C te befchrijven , die gelijkhoekig zij aan eenen gegevennbsp;driehoek DFE.
EUCL. IV. 2. St, IV. I.
oplossing. Voor MAN door V. Werkduk ii. Voor i BAM =r ^ F en ii CAN ID, door 1. Werkft. la.
BEWIJS. Uit V. 8.
II. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 90.
Om eenen gegeven cirkel eenen driehoek GLH te be-fchrijvep die met eenen gegeven driehoek CA IJ gelijk-hoekig zij.
ECL. IV. 3- St. IV. 2.
OPLOSSING. Men verlengt eene zijde CB van den driehoek.. Voor FM door i. Vooronderftelling: voor i KFM =nbsp;L DCA en Z IFM = Z ABE door I.Werkftuk 12. Voornbsp;LKG, LlH, GMH door I. Werkftuk 4.
BEWIJS. Dat de driehoek GLH om den cirkel befchreven is, blijkt uit de Oplosfing en yi. 3* Dat hij met den gegeven gelijkhoekig is, blijkt uit II. 29, I, 3,
III. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 91.
In eenen cirkel eenen gelijkzijdigen driehoek te befchrijven.
L. G. IV. 4'
OPLOSSING. Uit D met radius DF den ^ AFC: trek AjC cn op AC den gelijkbeenigen A ABC, door II. Werkft. 3,
BEWIJS. Uit VI. 8. N*quot;. 5
IV.
-ocr page 722-45 VI. Boek ; Over de befcbr. der Jig. in en om den drb-el. iv. WERKSTUK. Fig. 92.
EUcL. IV. 4. ~ St. IV. 3, L. G. II. prob. is.
OPLOSSING. Is de bereiding van VI. 13. in Aa GrondbeginfelS' BEWIJS. Uit VI. 3. Gev. i.
V. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 93.
EUCL, IV. 5. St- IV. 4.
OPLOSSING. Is de Bereiding van V. 2.
BEWIJS. Uit V. 2. het Gevolg.
VI. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 94.
EUCL. IV. 6, St. V. 5. L. G. IV. 3.
OPLOSSING. Door de i. Vooronderftelling, het III. Werk-Huk van het I. Boek, en de i. Vooronderftelling.
EUCL. IV. 7. St. IV. 6.
bewijs. Uit I. 31. en V. 7.
VIII. nbsp;nbsp;nbsp;werkstuk. F'g. 95..
EUCL. IV. 8.
oplossing. Voor DB uit de i. Vooronderftelling en * Werkftuk 7, voor EF, EI, EG, EH uit . Werkftuk 3*nbsp;en dan door Vooronderftelling 4.
BEWIJS. Uit V. 7.
VI. Boek: Over de befchr. der fig. in en om den cirkel. 47
IX. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 97.
Eenen cirkel om een gegeven vierkant te befchrijven.
tVQh. IV. 9.
OPLOSSING. Door de i, en 4. Vooronderfcelling.
BEWIJS. Uit V. 7.
X. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK, Fig. 98.
0,n eenen gegeven vierhoek ABCD, waarin de tegen-overgefteJde hoeken B en D, en A en C, gelijk aan twee regte zijn, eenen cirkel te befchrijven.
OPLOSSING. Trek AC: en dan door het V. Werkfcuk van dit Boek, eenen cirkel om A ABC, die ook door D zalnbsp;gaan.
bewijs. Uit VI. 7.
XI. nbsp;nbsp;nbsp;WERKSTUK. Fig. 99.
In eenen gegeven cirkel eenen regeloiatigen vijfhoek te befchrijven.
ECL. IV, II. St, IV. 7' L. G. IV, 5.
I, nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING, Van euclides. Door het XI. Werkfcuk van hetnbsp;lil. Boek, voor ABAC: door het i. Werkfcuk van dit Boeknbsp;voor A KFG: en voor DG, GF, EH, HF door V.nbsp;Werkfcuk 7.
bewijs. Uit VI. 10. Gev.
II. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Van ptolemaeus. Fig, 100. Rigt uit c denbsp;loodlijn CD op (door het lll Werkfcuk van het I, Boek);nbsp;deel CB in twee gelijke deelen in E, (door het Vit. vannbsp;het I. Boek) befchrijf uit E met den radius E D den boognbsp;D F; trek de Ifjn D F: het is de zijde van den vijfhoek.
BEWIJS. Uit VI. 22, Gev. 3*
XII. WERKSTUK. Fig. loi.
Eenen regelmat'gen vijfhoek om den cirkel te befchrijven.
BUCL. IV. l. St. IV. 8. nbsp;nbsp;nbsp;^
oplossing. Door het XI. Werkfcuk van dit Boek en het IV. van het I.
bewijs. Uit VI. 14 Gsv. 8.
XIIL
-ocr page 724-43 VI. Bock: Over de befehr. der fig. in en om den cirkel.
Xlir. WERKSTUK. Fig. 102.
Eenen cirkel in eenen vijfhoek, of, in het algemeen, in eene gegeven regelmatigen veelhoek, te befchrijven.
EucL. IV. 13. St. IV. 12.
OPLOSSING. Door Werkftuk 15 van het I, Boek, voor hoek BCD: en dan voor CL door het V. van het I.nbsp;Boek, en de 3. Vooronderftelling.
BEWIJS. Uit VI. 5.
XIV. WERKSTUK. Figt 103. ^
eucl. IV. 14. St. IV. II.
oplossing. Indien het middelpunt van den veelhoek niet gegeven is, moet men het zelve zoeken door V. Werkft. i.
BEWIJS. Uit VI. 5.
XV. WERKSTUK. Fig. 104.
OPLOSSING. Door VI. 8. Gev. 2.
BEWIJS. Uit VI. 8. het 2. Gevolg.
XVI. WERKSTUK.
OPLOSSING. De driehoek, het vierkant, de vijfhoek, en de zeshoek, zijn de eenige oorfpronkelijke Figuren, die mennbsp;geometrisch in den cirkel befchrijven kan.
Door middel van de vier gemelde veelhoeken , kan men een.aantal andere befchrijven, en wel op tweederlei wijze.
Voor eerst, volgens het VU. Werkftuk van het V. Boek, door eene gedurige verdeeling der bogen in twee gelijkenbsp;dealen: op die wijze befchrijft men door middel van dennbsp;driehoek, veelhoeken van 6, 12, 24, 48 zijden enz.; doornbsp;middel van het vierkant, veelhoeken van 8. 16, 32 zijdennbsp;enz.; door middel van den vijfhoek, veelhoeken van i,nbsp;20. 40 zijden enz.
Ten tweeden, door de infchrijving van twee oorfpronke-lke veelhoeken: want, zoo AD, AB, Fig. 105. de zijden
zija
-ocr page 725-zijn van ivvee veelhoeken, wier zijden g en G in getal zijn; zal de boog DB, G ~ ^ zijdennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;behelzen van eenen
veelhoek waarin her getal zijden G X nbsp;nbsp;nbsp;gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dns, zoo
G ^=1, ofG X g een veelvoud nbsp;nbsp;nbsp;isnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;vannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; g. of
zoo G g 2, of eenige magt van nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;is,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zalnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;men den
veelhoek van G X g zijden kunnen befchrijven. Bij voorbeeld, zij AD de zijde van eenen driehoek, AB die van eenen vijfhoek; dan zal de boog DB twee zijden van eenennbsp;vijftien-hoek behelzen; en dns is de choorde van den halvennbsp;boog BD, de zijde van eenen vijftien-hoek. (Zie ecLanbsp;IV. het 16. Voorft.)
BEWIJS. Uit VI. 12* Gevolg.
1. AANMERKING. Somtijds kunnen er bijzondere manieren plaats hebben, zoo als, bij voorbeeld, voor den tienhoek, waarnbsp;voor twee oplosfingen voorhanden zijn.
I. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Van eclides. Fig. 30. Men fnijde den radius A B in uiterfte en middelfte rede. (I. Boek, X; Werk-
: ftuk). Men make BC = AD: en BC is de zijde van den tienhoek.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;s
BEWIJS. Uit VI. 21.
II. nbsp;nbsp;nbsp;OPLOSSING. Van ptolemaeus. Fig. 100 Rigt uit C denbsp;loodlijn CD op: (I. Boek, III. Werkfcuk) deel Cfi iiinbsp;twee gelijke deelen in E; (1. Boek, VIL Werkftuk). Be-fchrijf uit E met den radius ED den boog DF , FC is denbsp;zijde van den tienhoek.
II, AANMERKING. Er is geen Geometrifclie manier bekend, om alle veelhoeken, hoegenaamd, in den cirkel te befchryven. En in denbsp;daad, die befchryving hangt af, gelijk van zelf blykt, van denbsp;verdeeling des omtreks van den cirkel in zoo vele gelijke decicilnbsp;als er zyden in den voorgeftclden veelhoek zyn , daariedere zjde denbsp;choorde is van den boog dien Zy befpant : of, wat op het zelvenbsp;nitkomt, die befchryving hangt af Van de verdeeling van hoeken innbsp;een gegeven getal deelen thettvelk, gelyk wij gezien hebben , geometrisch niet mogelijk iS (zie algemeene Aanmerking op Werkftuknbsp;XVII- van het I. Boek): maar het is mogeiijk door die mechanicnbsp;fche lija welke men quadratrix noemt , gelyk aldaar is aangemerkt geworden. Men neme derhalve zulks voor gegeven aantnbsp;dan valt het niet moeyelijk eenen gelykbcenigen driehoek te maken, wiens hoeken op de grondlijn in eene bepaalde rede ftaannbsp;tot den boek in den top; een Werkftuk, waarvan de oplosflngnbsp;de befchryving van alle' veelhoeken in den cirkel gemakkelyknbsp;maakt, zoo als in de Grondieginfels der Meetkunde, VI. ii. Aanm.
Is aangetoo*d. De oplosling is deze, zie clavius 3. van het Appendix op evcl. VI. Zij een gelijkbeenige driehoek te maken , Waarvan de hoeken op de grondlijn ftaan tot dien in dcgt;nbsp;top als BA: BC. Fig: lofi. Men befchryve eenen cirkel
JJ nbsp;nbsp;nbsp;FIHGKJf
-ocr page 726-FtHGKFnaar welgevallen: trek de middellijn F G. Men ver deele den lialven omtrek F I H g in H, zoo dat FIH:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;GH
BA: i B C. Trek GH, FH, en uit het middelpunt, EH} dan is Z F G H : Z G F H =r ^ F [ [I :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;G H CVilI. lO ==
BA: i BC. Gevolgelijk B A: B C = ^ FG H : 2 Z GF H =: l FGH: Z GEH- derhalve is GEH de gevraagde driehoek. Mennbsp;trekke dan in den cirkel (Fig. 107.) de middelljin ER: makenbsp;z REH = i GEII C GER: daii is Z E G H Z GHE;nbsp;en de choorde G H is de zjjde van den veelhoek die door dennbsp;gelijkbeenigcn driehoek GEH befchreven wordt. Indien Gildenbsp;choorde mot zijn van cenen zeventien-hoek, zal Z EGH zijn to tnbsp;Z GEH S: I. (VI. 10.j.
IH, AANMERKING. Wij motken eindelijk aan dat de Heer gauss , m zijn doorvvrocln werk Disquifitiones Aritlimeticae , nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;365. getoond
heeft, dat men in den cirkel eenen regelmatigen veelhoek befchrij-ven kan van 17 zyden, of in het algemeen van een getal zijden, dat uitgedrukt wordt door 2, of ccuige magt van 2, of wel doornbsp;een ecrjle getal hetwelk deze gedaante heeft 2 of eene vermenigvuldiging is van eenige magt van 1, door een of meerderenbsp;eerde getallen van de gezegde form. Maar dit Voordel van dennbsp;Heer g.au.ss hangt af van verfcheide formules die eerst in denbsp;verhevene Arithmetica ontwikkeld , en duquot; hier geenzins uitgclegd,nbsp;en door het geen in de Grondbeginjels der Meetkunde voorgedragen is, verftaaabaar gemaakt kunnen worden.
Het komt verwonderlijk voor zegt de Heer gauss ,, dat ,, daar de verdeeling des omtreks van den cirkel in 3 en innbsp;,, 5 deeien, reeds ten tijde van eucudes bekend was, men daarnbsp; bij, zederd twee duizend jaren niets gevoegd heeft; en datnbsp; alle VViskuiiSenaars als zeker hadden aangekondigd dat mennbsp; door geonictrifche conftructin geene verdeeling des cirkelsnbsp; kan bewerken, dan de reeds gemelde en die welke daar uit
volgen, te weten, , 15, 3.3, 5..
Ook nu telt
15. a
de Heer gauss de volgenUe verueelingen op welke men tot 3po toe geometrisch kan verrigten , waarvan wij uje , welke van denbsp;verdeeling in 17 afhangen, en dus nieuw zijn, tnsfehen ( ) geplaatst hebben: gelijk mede 257* met een fierretje hebben onder-fcheiden, om dat het befchrijven vau dien veelhoek afhangt van
de formule a i: te weten g, 3, 4, 5,6, 8, 9, 10, 12, 15, l, (17). 20, 24, 30, 32. (34)' 40. 48 CsO 60, 64,nbsp;CS), 80, (85),-V6 ' (102)' 120, 128, (.13), lo,(i7o), 192,nbsp;(204!, ( 255), 25d, 257, (2729.
iV. AANMERKING. Wanneer men zich niet oploslingen vergenoegt die het vraagftuk niet volkomen juist, maar fleehis met eene innbsp;de praktijk genoegzame naauwkeurigheid oplosfen, zal men denbsp;volgende-in aanmerking kunnen nemen.
XVII. WERKSTUK.
Deel
-ocr page 727-Deel het diihbeld der middeilyn A B in zoo vele deelen als de veelhoek zijden moet hebben: zij BD een van die deelen: zoonbsp;e A B
dat B D nbsp;nbsp;nbsp;*
Trek door D de lijn FDK, en daar na de choorde BK. Ik zeg dat BK, of naauwkeurig, of ten naasten bij, de zijde isnbsp;van den gevraagden veelhoek (*).
BEWIJS. Trek KI loodregt en CK; dan is Z KCB de middelpuntshoek: men noeme dien a:: Dan is FC: CD ~ KI; Dl
nbsp;nbsp;nbsp;KI: CI C D /ri:. .V: cof x CD: maar C D = C B
4 C B_ nbsp;nbsp;nbsp;4 _ g 4
nbsp;nbsp;nbsp;B D z:: C B nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ ~ g g indieii de radius
C B rr: I geBeld wordt. Maar F C = V'3; gcvolgelijk
gJ _
V 3 : nbsp;nbsp;nbsp; fin. X: coj, x
col, x'
S - 4
fee, X
: tang, .r: i
g . co , X
g A
Men Helle kortheidshalve ^ nbsp;nbsp;nbsp; p: dan is
3: ) tang. x: t p .fee. x: cn derhalve p . tang, X nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3 . Cl P - fee, xquot;) K 3 P , ^3 , fee.
y nbsp;nbsp;nbsp;.
en tang, x = nbsp;nbsp;nbsp;~ V 3 fee. x . cn
tang. X ziz
fee, at -f- 3 fec,^ f
derhalve fec.^ x nbsp;nbsp;nbsp; 2^
P nbsp;nbsp;nbsp;Va p' j
I 3 fee, X nbsp;nbsp;nbsp;9 _
fiU nbsp;nbsp;nbsp;.Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
C*) Die OpIosGng werd mij vr vele jaren door wijlen mijnen dierbaren vriend den Hooglccraar KIE^JWI.A^D , medegedeeld: niet alsquot;nbsp;door hem uitgevonden , maar als iets dat hy elders hadt aangetroffen: hij voegde er het Bewijs bij dat ik hier laat volgen. Ik hebnbsp;het ftiik zvlf onder de nagelatene papieren van nieuwland gevonden: hij heeft er opgcfchreven : ,, Regie de kenaldini peurnbsp; trouver les cotes des polygnnes info its, it peu-pts: tire d'un reen.nbsp;,, /ion des geometrifche abhandinngcn von itasTNEit, dans les algemei- ne Liiteratur anzcigcn In de daad het Voorlid Haat in khnalnbsp;DiNis werk , de relolutione et cutnpofnione Mathematica , Lib. 11. p.nbsp;367 , 38 : doch zonder Bewijs, Kenaldini verbeelde zich, maar tcnbsp;onregt, dat zjjnc oplosfing voor alle gevallen algemeen was.
D %
-ocr page 728-
/ nbsp;nbsp;nbsp;3 en fee, x ' nbsp;nbsp;nbsp;3 P |
= '2Z',or ~ nbsp;nbsp;nbsp;lt;x p |
fee. X |
^3 a dat IS, |
ftellendc. | |
nbsp;nbsp;nbsp; 3 S' - Vnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- I6 5- 32. | |
= Cs- - 4) | |
cof. X zz |
2 Cs - 4) |
Dj% X ZZIZ 3 ^ |
i V g^ 16 g 32 |
Ii AANMERKING. In de oplosfmg van nieuweand wordt de dubbelde middellijn A B in ^ deelen verdeeld. waarvan B D er n is. Bijnbsp;RENALDINI en KiisTNEK Wordt de middellijn in ^ deelen verdeeld :nbsp;maar D B wordt genomen gelijk aan twee van die deelen: het geennbsp;derhalve op het zelfde uitkomt.
II. A.ANMERKINO. Indien nu achtervolgens gefteld wordt:
2 2
nbsp;nbsp;nbsp;9 K 9 -r 48 32nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;9 ^ ==5
2 nbsp;nbsp;nbsp;I
Cl dus is cof. x negatief, derhalve de hoek Homp: dus :t zzz 120: dat de middelpuntshoek is eens gclijkzijdigen driehoeks in den cirkel.
Indien g 4; is cof. x 2= o: dus x 90. de middelpuntshoek van het vierkant.
= 1 = i- dus
I8 'K100 nbsp;nbsp;nbsp;8
X 6o, middelpunts-hoek van den zeshoek Deze zyn de eenigfte gevallen waarin de regel van renaldikinbsp;juist is: om dat daarin de coftnusjen door juiste getallen uitgedruktnbsp;worden.
: is cof. X
Indien ^ = 5 : IS coj. x xxx _ y
X = ?i''. 57'. 20quot;. in plaats van 72.
12
Indien r= 10 i cqf. x nbsp;nbsp;nbsp;_ y
ye X 3ֻ. ai/. aiquot;; in plaats van 36.
26
0.309/93 en
0.805357; derlial*
2
329
SI 23
(5 nbsp;nbsp;nbsp;IJnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-
= nbsp;nbsp;nbsp;~ = 0.9283704: en ;i: r= ai. 47'. 47'': in plaats
aS nbsp;nbsp;nbsp;14
van 21. 10'. 34quot;.
En de verfchillen worden al grooter en grooter,
III. AANMKRKiNCT. j. c. STURMiDS liadt in zljnc Mathcfis emcleat*, in l6S*. uitgegeven, op bl. 38 den regel van renaldini als alge-meene waarheid gcfteld: maar jacob Bernoulli Opcrum p. 765)nbsp;heft reeds in 1696. gewaarfchuwd dat de regel van renaldininbsp;niet juist is: waarin h gevolgd is door wolf, die zulks voornbsp;den achthoek bewezen heeft in zjjne Elementa Annlyfeos S. 292.nbsp;Kaelstner heeft dit ftuk meer opzettelijk behandelt in zijne Gonbsp;mctrifchs Abhmdlungen, I. SammUmg, N. 40,
XVIII. werkstuk.
OPLOSSING. Alle, die men in den cirkel befchrijven kan, kan men ook om den cirkel befchrijven: men gaat te werknbsp;zoo als in het XII. Werkftuk.
XIX, werkstuk.
OPLOSSING. Fig. 109. Men befchrijft eerst in eenen cirkel , naar welgevallen , eenen veelhoek aan den gevraagden gelijkvormig, Vervolgens maakt men op de gegeven lijnnbsp;AB eenen driehoek A DB gelijkvormig aan den middel-punts-driehoek ECF van den geraaakten veelhoek*. Dannbsp;befchrijft men uit D met den radius DA eenen cirkel,nbsp;In welken men de lijnen BG, GH, enz. geiyk aan ABnbsp;fielt: deze zullen den gevraagden veelhoek uitmaken.
j. aanmerking. Hierop fteunt het gebruik van ^mproportio-naal-pasfer om dit Werkftuk opielosfen.
JL aanmerking. Er zijn voor fommige veelhoeken korter handelwijzen: gelijk voor den driehoek en het vierkant; zienbsp;II, Boek, Werkftuk 2 en 5.
in. aanmerking. Dit Werkftuk kan, in het Igemeen , even weinig geometrisch opgelost worden als dat van het befchrijven eensnbsp;veelhoeks in den cirkel : maar er kunnen oplosfingen gegevennbsp;worden, die ten naastenbij naauwkeurig zijn. Fig. IlO.
zy aB eene gegeven fijn: maak daarop den geljjkzijdigen driehoek A C B : trek de loodlijn C D: dan is 4 A C D de middelpuntshoek van den zeshoek waarvan AB de zijde is: en dus 4 A CR
-ocr page 730-~ o. en i aCD 30quot;! verleng DC tot in K, zoo dat CK =; AC; trek AK. FK: dan is in A aKC, L CAK ~i AKC:nbsp;eu L A CD = 2 -2 AKD: en dus l AKD 15 : en Z AKF
30 ;derhalve A aKB de middelpunts-driehock van eentwaalfhoek, waarvan Au de zyde is.
Verleng nu wederom DK in L zoo dat LK AK: trk AL, LB dan is Z ALD =. j Z AKD = 7 . 15. en dus
Z ALB ^3^ 15: t;n derhalve A aLB de raiddclpunts-driehoek, van een 24 hoek, waarvan AB de zijde is; en zoo voorts voornbsp;den 40 hoek, den 96 hoek, enz,
Iiidien men dan uit K, met den radius K A eenen cirkel trekt, zoude de lyn AB twaalf malen op den onttrek van dien cirkelnbsp;toogepast kunnen worden, en men hadt een twaalfhoek opnbsp;AB: en indien men den cirkel uit L trekt met den radius LA,nbsp;zoude men AB 24 malen op den omtrek kunnen toepasten, ennbsp;men hadt een XXIV hoek.
Men ftellc nn dat C R in 6 deelen in E, F, G, enz. gefne-den wordt; zullen E, F, G, H,l, ten naasten bij de middelpunten zijn, waaruit de cirkels met de radii EA, FA., GA, enz. getrokken, de omtrekkk-n voor den VU hoek, den VllI hoek,nbsp;den IX'hoek, enz. zijn,
Men neme het flip G: ftcllende AB 1, is AD rr: J en A C 333 1 : CD 333 J V3 333 X I.73205 333 o 866025;
dus DG 333 CD H- C G 333 CD -t- nbsp;nbsp;nbsp;33: 0.866025 -j- 0,5 333
2
1.366025: derhalve AD: DG 333 i: 1,366025 l: 2.732050 333 r: cot. Z A GD: d. i. cot. L A GD 333 27.32050: derhalvenbsp;Z AGD 333 20'. 6'. in plaats van 20: halve middelpuntshoeknbsp;voor een flegciihoek: een verfchil dat gering is in het makennbsp;van deze foovt van figuren.
Voer de veelhoeken van den XII hoek tot den XXIV hoek Zoude men KL 333: KA, wederom in 12 deelen verdcelcn. IXu is
(AK}* 3:1^ fAD * -1- (DK)* 3:3: fO.Dt' h tv's j)* 333 lt;o5)* (1.!166gt;* 33: 0.25 s.4482 333 3.6982: en A K r=:
V 3.6982 333 1.9231 333 KL: waaruit blijkt dat voor den XVIII hoek bijv. KM 33: j- A K 33: 0.9231: en derhalve MD 33; M Knbsp;-f- K D 333 0,9251nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1.86 333 2.789: en derhalve
AD; DM i . 2.789 333 I.. 5.578 333 r; cof. Z AMD: dus 'Z AMD 333 lo. 11. t in plaats van to gr.
Er zal dan wel eenig vcrfcliil plaats hebben: maar dat voor den VI hoek, XII hoek, XXlV hoejt, XLVlll hoek geen plaatsnbsp;heeft, Cl' voor de tiisfchcn beide jnliggcnde veelhoeken, in hetnbsp;vervaardigen van figuren zeer gering is.
Men ziet dan waarop die oplosting neder komt: Gegeven zijnde de lijn AB: bcfchrijf op dezelve den gclijkzijdigen driehoek ACB; en trek de loodlijn CD onbepaald boven C verlengd: denbsp;cirkel uit C met CA getrokken is die waar voor AB de zijdenbsp;van den zeshoek is. Maak OK :33 AC ; trek KA. De cirkelnbsp;Uit K met KA, radius, getrokken, is die, waarin AB de zijdenbsp;van ckn Xll hoek is: neem EC 333 EF 3^ FG 313 GH 333nbsp;lil 333 IK 333 AC: de cirkels uit E, F, G, enz. refpccive-jk, met de ladii EA, FA, GA, enz, getrokken, zyn die
welke A B de zijde is van de VII boek, den VIII hoek, den IX hoek, enz.
iVlaak KL ':zz KA, de cirkel uit L met LA radius getrokken, is die waarin AB de zijde is van den XXIV hoek, enz.
Deelende KL in ii doelen, zullen de zelve de middelpunten opleveren voor de cirkels, waarin A lgt; is de zijde van dennbsp;Xili hoick, XIV hoek, XV hoek, enz. tot den XXtV hoek: denbsp;cirkel uit M met den radius A M getrokken , is die waarin A Bnbsp;de zijde is van den XVJIl hoek: het alles ten naasten bij.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^
IV. aanmerking. Deze Oplosfing wordt met eenig verfchil gevonden bij SEBASTiEN t.E ci.F.Rc, Cometrie jur Ie papier et !ur Ie terrain Liv. lU pr. , 7. doch zonder bewijzen, of aanduiding van gronden waarop het bewijs fteimt. Het verfchil bellaat hierin , datnbsp;die Schrijver uit C den boog C A trekt, en denzelven in zesnbsp;deelen bijv. deelt, daar wij de lijn CA verdeden: en dus neemtnbsp;hij voor CE, CF, CG, enz. niet het J , , % ) van de choor-de C A : maar de choorden van bogen die 5 , 5 , | , enz. zijnnbsp;van den boog AC: dat wel cenige meerdere naauwkeurigheidnbsp;geeft, doch te weinig om te kunnen opwegon tegen de zwarigheid dat het verdeelen van boog AC in 6 deelen, niet dan hijnbsp;toetiingen gefchieden kan: daar het deelen der lijn AC, in ,nbsp;vervolgens van AK, in 12, van AL in 24 deelen, geometrischnbsp;en zonder moeite verrigt wordt.
-ocr page 732- -ocr page 733--B
.E E-
-E
.70
ff-
^-ik^E
,//7
E | |
.....c | |
D |
B |
- A^-
-G
L K I Q | |||||||
-B -E E- |
|
1) | |||||||||||||||
|
lC........ kl
B | ||||||||||||||||||||||||
|
A B |
K-
G'
K! |
|
.7!' yL^rt ifi /, /f'tt/p.
Gr
Tgt;
O:
H | |||||||||||||||||||
|
-B |
86quot;
^ m n o p c) r X * k.__
• -V *
^ nbsp;nbsp;nbsp;/quot;Tquot;gt;
. '(r\ nbsp;nbsp;nbsp;\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'%nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/'i'
-■lt; ' ■ : nbsp;nbsp;nbsp;'''gt;. i V 1=
I ''X i 'Xlt;\ '/'■gt; nbsp;nbsp;nbsp;'■
■ ‘'v5.y
/ nbsp;nbsp;nbsp;J.gt;
yi
X nbsp;nbsp;nbsp;-HÉ*'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;---------gt;t
‘ ■' ■’ ' 1' .’ /' ■ '. '.' '.'■
;■ nbsp;nbsp;nbsp;/ ' rx \
' ,' / /
: 'tr-x.-/--- nbsp;nbsp;nbsp;■
¥ ! \!l V/; nbsp;nbsp;nbsp;- ./ynbsp;•i''quot; .gt;X/
\ . nbsp;nbsp;nbsp;■gt;:;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XX /■ ■
V '. • nbsp;nbsp;nbsp;•«■'• X-.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;... - •■'gt;
-ocr page 741- -ocr page 742- -ocr page 743- -ocr page 744- -ocr page 745-■A-
!
1
/
i ,
-ocr page 750--S' nbsp;nbsp;nbsp;- - ^r.. . .
■f • nbsp;nbsp;nbsp;quot;
i
\
•„ --4 .•■-
I- - ■ '^‘'j ‘■\
- nbsp;nbsp;nbsp;. »nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;■nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A.'
quot;'-'* • • % ■ ■■ ■ ’.
ft-'/
'■ nbsp;nbsp;nbsp;■ A rl' quot; quot;
A-
?; nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-^r-
-T ..r,• nbsp;nbsp;nbsp;-W^-rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»..,
■!/‘^^* ■ : ' gt; ■”' quot;