DE

DOORSNEDE VAN DEELGEBIEDEN BIJ CONFORME AFBEELDING

J. M. VAN DER HEIJDEN

DE DOORSNEDE VAN DEELGEBIEDEN BIJ CONFORME AFBEELDING.

C nbsp;nbsp;nbsp;./'*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;■ :nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’Ctnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'-SS

•v?

I

I/#. . nbsp;nbsp;nbsp;•'-!nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Js’ ,

« »i .

DE

DOORSNEDE VAN DEELGEBIEDEN BI] CONFORME AFBEELDING

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOGTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDEnbsp;AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT.

OP GEZAG VAN DEN WAARNEMENDEN RECTOR MAGNIFICUS L. VAN VUUREN,nbsp;HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DERnbsp;LETTEREN EN WIJSBEGEERTE, VOLGENSnbsp;BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT IN HET OPENBAAR TE VERDEDIGENnbsp;, OP MAANDAG 16 MAART 1 942, DESnbsp;NAMIDDAGS TE 2 UUR

DOOR

)AN MARINUS VAN DER HEIJDEN

GEBOREN TE ZEIST

AMSTERDAM

N V. NOORD-HOLLANDSCHE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ

1942

Promotor Prof. Dr. J. A. Barrau.

In dit proefschrift wordt van een aantal stellingen en theorema’s van de Analyse gebruik gemaakt.

Voor het gemak van de lezers zullen deze stellingen en theorema’s afzonderlijk worden vermeld en bewezen.

Ter onderscheiding van den eigenlijken tekst van het proefschrift zijn deze gedeelten met een kleinerenbsp;letter gedrukt.

INHOUD.

biz.

HOOFDSTUK I. Inleidende begrippen en stellingen.......11

§ nbsp;nbsp;nbsp;1.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De functie van KÖNIGS.......11

§ nbsp;nbsp;nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De stelling van WeieRSTRASZ .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.'15

§ nbsp;nbsp;nbsp;3.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Stellingen van Cauchy.......19

§ nbsp;nbsp;nbsp;4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Het continuum..........26

§ nbsp;nbsp;nbsp;5.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Functies, holomorf in het halfvlak met een

po.sitief reëel deel.........29

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;II.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De vraagstelling..............38

§ nbsp;nbsp;nbsp;6.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De doorsnee van deelgebieden.....38

§ nbsp;nbsp;nbsp;7.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Voorbeelden...........43

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;III.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;N bevatnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;een gebiednbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 46

J nbsp;nbsp;nbsp;8.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Geval: een cirkelschijf raakt in ftnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;...nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;46

§ nbsp;nbsp;nbsp;9.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Geval: 1 gt; 0...........49

§ nbsp;nbsp;nbsp;10.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;De formule van POiSSON......60

§ nbsp;nbsp;nbsp;11.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Geval: A bevat een punt en zijnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;beeldnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;63

§ nbsp;nbsp;nbsp;12.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Geval: A heeft 1 en oo tot grenspuntennbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;65

HOOFDSTUK nbsp;nbsp;nbsp;IV.....................66

§ 13. De afbeelding van een deelgebied van

N op D............66

§ 14. De afbeelding van D op een deelgebied

van N-.............68

HOOFDSTUK I.

INLEIDENDE BEGRIPPEN EN STELLINGEN. § 1. DE FUNCTIE VAN KÖNIGS.

u» = u vi

Beschouw de functie

onder de voorwaarden

I w{z)\ lt; 1,

Zij w(z) holomorf voor

z lt; 1.

(z) — iv(z) = a^z aoz- agz^

met

0lt;|ai] lt; 1.

Wij gaan deze functie „itereeren”, dwz. de functiewaarden als argument beschouwen van dezelfde functie, die we w^iz) noemen;nbsp;daarna die laatste functiewaarden weer als argument van die functie,nbsp;noem hem w^{z), beschouwen, enz. Deze iteratie is de grondslagnbsp;van ons onderzoek.

W2(z) tv \wi{z)\ = ai Wi a2 ivl 33 w^i ---- lVn{z) = W jiu„_i(z)| =a, XVn-\ 32 lU^-i d- Sj tU^_i

w„ i (z) =: w \w„ (z)} = aj w„

Definitie:

m= lim

n-gt;co ai

Men noemt K{z) de functie van KÖNiGS.

De convergentie is uniform voor

|z| nbsp;nbsp;nbsp;1.

12

We geven het bewijs, dat deze limiet bestaat. Bewijs;

Wj (z) = ai z 32 nbsp;nbsp;nbsp; 33nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; . .

= 3, ^ Z '''z2 ^z3 tnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ainbsp;nbsp;nbsp;nbsp;31

= 3, |z h (zj|,

met

h (z) = z2 Z^ a^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3]

Dus

r lt; 1 vast.

ï3„ i __ 3, \lVn h {w„) \ __ i 1 I ^ i^’n) I ‘nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 1 h Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I *

Wn nbsp;nbsp;nbsp;(nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;IVn )

Dus

Wegens

bestaat de limiet K{z), indien het oneindige product U^n l

! ^n ,

convergeert.

Dit oneindige product convergeert, indien de reeks

h {w„) I Wn \

convergent is.

V h(Wn)\^

— tVn i ^ :Wni

Hierin is M r constant, dus behoeft slechts de reeks

Wn

te worden onderzocht. Daar

w' (z)

hm nbsp;nbsp;nbsp;= aj,

z-y o Z

is binnen voldoend kleinen cirkel

w (z)

zelfs

lt;^lt;1

voor

1 z I = r.

Voor voldoend groote n is binnen voldoend kleinen cirkel

' IVn l

Wn

waarmee de convergentie van

w„ i,

dus tevens de convergentie van

dus het bestaan van de limiet K{z) is aangetoond.

Aangezien de convergentie voor

I z' =r

gelijkmatig is voor

j z j lt; (9

en ugt;(z) holomorf, is K{z) volgens de stelling van Weierstrasz (zie blz. 15) ook holomorf.

14

Stelling 1.

K \ w {z) \ = ax K (z) (vergelijking van SchRÖDER).

Bewijs:

K\w{z)\=K{wx)= lim

/!-gt;¦ oi dj

= lim a. —gt;• 00

hetgeen te bewijzen was.

Stelling 2. Is w(z) univalent (schlicht), dan zijn alle Wn{z) en ook K(z) univalent.

Bewijs: De univalentie van w\z) beteekent (behalve dat met iedere z slechts één w correspondeert, hetgeen reeds in de holomorfienbsp;van w{z) ligt opgesloten), dat met iedere w slechts één z correspondeert.

Dus correspondeert met iedere w^ slechts één Wi en met deze ééne Wi slechts één z; d.w.z. met iedere correspondeert slechtsnbsp;één z, dus de functie W2{wi{z)) is univalent.

Zoo voortgaande toont men de univalentie aan van alle functies Wn (z).

Daar alle Wn{z) holomorf en univalent zijn en voor

UI ^rlt; 1

de limiet

Wn (z)

n-f CC 3j

gelijkmatig is en K(z) geen constante is, is de functie K{z) voor

UI lt; 1

univalent, waarmee de stelling is aangetoond.

§ 2. DE STELLING VAN WEIERSTRASZ.

De in § 1 genoemde stelling van WEIERSTRASZ luidt; Indien de functierij

99, (z), (p2 (z)----rp„ (2)----

op ieder deelgebied H van het gebied G gelijkmatig convergent is en indien alle functies '‘/;^(z) in G holomorf zijn, dan is de limietfunctie lt;p{z), die gedefinieerdnbsp;wordt door

(p (z) =; Urn rpn (z),

holomorf in G. Bovendien mag men, ter bepaling van de afgeleide functie rp'{z), term voor term differentieeren.

Bewijs: Binnen het deelgebied H van het gebied G leggen wij een cirkel c met middelpunt a en we trekken tusschen de grenzen van H en G een gesloten krommenbsp;r (zie fig. 1), die integratieweg is in de integraalformule van CAUCHY (zienbsp;blz. 24)

lt;Pn

Van beide leden nemen we de limiet voor

n—*-lt;xgt;.

Daar gegeven is. dat ^„(1) op L gelijkmatig tot (p(t) nadert voor

n 00 ,

heeft de integrand

lt;Pn jt) t— z

16

gelijkmatig op i’ de limiet

(p{t) t— z'

De functie fp(t) is de limiet van de op /' holomorfe functie nbsp;nbsp;nbsp;sn is daarom

continu op 1'. Bovendien is (p{t) holomorf op F.

Daar men kan schrijven:

p — q nbsp;nbsp;nbsp;p p{p~q)

p — q nbsp;nbsp;nbsp;pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' p^ ip — q)

p — q nbsp;nbsp;nbsp;p^p — q)

enz., hebben we thans het volgende:

(p(t) __ nbsp;nbsp;nbsp;(p{t)

(t — a)quot; ' (t—0)quot; ’. (f—z)

Deze herleiding is geldig, omdat

t—a^O.

Daar het aantal termen eindig is, mogen we deze vergelijking term voor term integreeren over F en we vinden:

I’ nbsp;nbsp;nbsp;/’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/’

.., -Kz -fYr$f, “quot; 2--’'«. W.

17

Deze integralen zijn functies van a, niet van z. Ze zijn constanten, die alleen van a en r afhangen, m.a.w. we kunnen bv. schrijven

A„ . (z—o)quot; Rn (z)|

(p (z) — Aq Aj (z — a) 4quot; . . . An . {z — a)quot; -fquot; Rn {z)-

Gebruik makend van de eigenschap, dat de modulus van een lijn-integraal ten hoogste gelijk is aan de lengte van den integratieweg, vermenigvuldigd metnbsp;het maximum van den modulus van den integrand langs dien integratieweg, herleiden we:

M I — ! nbsp;nbsp;nbsp;—¦v{t)dt I

quot; nbsp;nbsp;nbsp;\ 271i J (^—a)quot; ’. (f — z) j

1 Iz —a|« '.M

. h ¦

Hierin beteekent Lj, de lengte van den integratieweg, g de straal van den cirkel c, h de afstand van t tot z en M het maximum van den modulus van lt;p (lt;)nbsp;langs F.

Aangezien

¦ lt; 1,

Dus is

Urn I Rn (z) I = 0.

We hebben hiermee gevonden:

lt;p (z) — Aq -Al (z — a) Aj (z — a)^ . . .

Dat wil zeggen: (p{z) is holomorf, waarmee het eerste stuk van de stelling van WeieRSTRASZ is aangetoond.

1 r (p (^)

{t— zf

waarbij naar den parameter z gedifferentieerd mag worden, omdat de integrand begrensd is.

Bovendien is

l ' I VAt)

lt;r„ (z) = V . I ;-dt

2zii J t—z

1 /quot; fAA

{t—zY

Daar

Urn (f n (^) = 9’ (f).

mogen we hieruit besluiten tot

Urn (pn (2) = rp' (2),

/?-gt;¦ X

waarmee bewezen is, dat wij term voor term mogen differentieereii.

§ 3. STELLINGEN VAN CAUCHY.

Voor het bewijs van de op blz. 15 vermelde integraalformule van Cauchy hebben wij noodig de Integraalstelling van CAUCHY.

Indien binnen het gebied G de functie f(z) differentieerbaar is en de gesloten kromme c met al zijn binnenpunten in G ligt, dan is

f(z) dz == 0.

Het bewijs staat in ieder leerboek (zie o.a. Dr. K. KnOPP ,,Funktionentheorie”, deel I. p. 57).

Een fraai bewijs is ook het volgende:

Daar

f{z) = u(x, y) w{x, y)

en

dz = dx i dy

is -

j f{z) dz= I lu(x,y)~l- iv{x, y)\ (dx -f idij) =

f nbsp;nbsp;nbsp;C

= j (u dx — p dy) t I (v dx -j- u dy).

C nbsp;nbsp;nbsp;C

Op grond van het theorema (dat we op hlz. 21 bewijzen):

I (P dx -r Q dy) = 0,

» '

indien overal binnen c geldt

öP_dQ dy dx ’

zijn beide integralen gelijk 0, daar volgens de CAUCHY-RlEMANNsche differentiaalvergelijkingen

du _ dv dynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dx

en

öp_öü

dy ö.v'

Hiermee is de integraalstelling van CaUCHY aangetoond.

20

De geldigheid der CAUCHY-RlEMANNsche differentiaalvergelijkingen voor iedere differentieerbare functie

W = w{z)

blijkt aldus:

tv := U iv

is een complexe functie van de reëele getallen x en y, zoodat u en v reëele functies dier reëele getallen zijn.

De differentieerbaarheid van w{z) beteekent:

w' (z)— Urn

AZ- 0 A Z

of met andere woorden, het differentiequotiënt

A U t A A X I A y

moet steeds w'(z) tot limiet hebben, hoe ook A ^ en A lt;/ tot 0 naderen.

Nemen we eerst steeds

(we blijven horizontaal).

Dan is

= w' (z)

d.w.z.

Urn = 'Rw' (z) AX-gt;0 Ax

of

^U iAv ^ /V

lAy

21

d.w.z.

Au nbsp;nbsp;nbsp;(nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. Au] .dunbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, , .

hm K = hm —( 7:—] =—t ^ = i lm tv (z)

Ay^otAy Ay^o V AyJ oy

Ay-fOiAy oy

Dan moeten

du_dv

dx dy

du öu

dy nbsp;nbsp;nbsp;öx'

Het op blz. 19 bedoelde theorema luidt:

Hebben P(x, y) en Q(x, y) continue partieele afgeleiden en heeft de vergelijking van c een continue afgeleide, en is overal binnen c

dP^dQ

dy dx ’

dan is

j (P dx Q dy) = 0.

Beivijs: Noem (zie fig. 2) het op c meest links gelegen punt A en het meest

22

rechtsche punt B, dan stellen we de kromme AB (over K) voor door de vergelijking

y = g{x)

en de kromme A B (over L) door

y = f(x).

Dan is gegeven, dat f(x) en g{x) in het segment

x = b

continu zijn en voorzien van continue afgeleiden. We beschouwen een stelsel over-gangskrommen van A naar B, gelegen tusschen A K B en AL B, voorgesteld door: met

Het verschil

g{x)-f{x)

noemen we v(x), dan is de vergelijking van een tusschenkromme

y == f{x) 2 P (x)

2 = 0 2=1

de kromme AKB ontstaat.

De integraal van a tot b langs een tusschenkromme is een functie van Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B

I (2) = ƒ P{x, y) dx ƒ Q (x, y) dy =

P \ x, f{x) -r Iv (x) I dx - j Q S X, ƒ (x) 2 p (x) I I (x) 2 p' (x) \ dx.

Om tot het bewijs te komen dat de integraal langs een gesloten kromme gelijk 0 is, zal de integraal van A naar B onafhankelijk van den weg moeten zijn, m.a.w,nbsp;zal 1{?.) onafhankelijk van ). of

dl(l)

dl

moeten zijn.

23

We integreeren partieel naar / onder het integraalteeken.

di(}.) _ rdP\x,[{x) iv{x)] , , dl-j d\f{x) lv{x)\ quot;Wd-r-

0

- I Q jx, f(x) -f / [; (jc) j tr' (x) dx

^ Py ¦ V {x) dx ^ j Q . nbsp;nbsp;nbsp;(x) dx

- j Qy .V (x) \f' (x)

Met behulp van de methode van partieel integreeren vinden we b

j Q S X, /quot;(x) 21? (x) S tt' (x) dx =

a

b

= j Q fX, f(x)-i-kv (x)l dv(x) =

a

b b

— Qjx, ƒ(x) 2t7(x)jf(x)ƒ — ƒ t; (x) |Q.v -f Qgt;.| nbsp;nbsp;nbsp;¦ dx--

a a

b nbsp;nbsp;nbsp;b

= o — ^ v(x) Qxdx— j Qy .v{x)\f' (x) k v' (x) S dx.

De 0 ontstaat door

v{a) = g{a) — f(a) = 0 v{b) = g(b) — f{b) = 0.

= j {Py— Qx) v(x) dx.

Deze integraal, wordt 0 voor

Py = Qx,

waarmee het theorema is aangetoond.

Met behulp van de integraalstelling van CAUCHY toonen we tenslotte nog de op blz. 15 gebruikte integraalformule van CauchY aan.

Indien f{z) holomorf is in G en de kromme c met alle binnenpunten in G ligt, dan is

2zii^ ] z — a

c

voor iedere a binnen c.

Bewijs: In het heele vlak minus a is

1

z — a

holomorf en f(z) is holomorf in G. Dan is

f(z)

z — n

holomorf in G minus a,

We leggen (zie fig. 3) om n een cirkel met straal ó, die geheel binnen c is gelegen.

Dan is

Z — (I

§ 4. HET CONTINUUM.

Definitie. Een continuum is een gesloten puntverzameling, die niet de som is van twee niet-leege gesloten puntverzamelingen zonder gemeenschappelijk punt.

Stelling. Indien A en B twee willekeurige punten zijn van de gesloten en begrensde puntverzameling C en er bij ieder bedrag

sgt;0

een ,,s-ketting” bestaat van A naar B, waarvan alle punten tot C behooren, dan is C een continuum.

Bewijs: Stel de gesloten puntverzameling C bestaat uit twee gesloten puntverzamelingen P en Q, die geen gemeenschappelijknbsp;punt hebben (fig. 4).

Daar C begrensd is, zijn P en Q ook begrensd. P en Q hebben een positieven afstand d. Immers, indien zij niet een positieven afstand hadden, dan zouden de afstanden der resp. op P en Q gelegen punten A en 5 de onderste grens nul hebben, hetgeen wegensnbsp;de geslotenheid en de begrensdheid van P en Q zou beteekenen,nbsp;dat zij wel een gemeenschappelijk punt zouden hebben — in strijdnbsp;met de onderstelling. Zij het punt A gelegen op P en het punt B opnbsp;Q. Kiest men nu

Egt;0

zoodanig, dat

e ad,

dan kan men niet met een ,,f.-ketting” van A naar B gaan (met alle

27

punten van den „e-ketting” tqt C behoorend). De gemaakte veronderstelling is dus onjuist: C bestaat niet uit twee gesloten punt-verzamelingen, m.a.w. C is een continuum. Hetgeen te bewijzen was.

M en kan ook omgekeerd een continuum met de gegevens van deze stelling definieeren, zoodat bovenstaande definitie — onsnbsp;uitgangspunt — een stelling wordt. De redactie wordt dan:

De[initie: Een continuum is een gesloten, begrensde puntverza-meling, waarbij bij ieder bedrag

e gt; 0

een ,,£-ketting” bestaat van een willekeurig punt A naar een willekeurig punt B der puntverzameling, van welken ,,£-ketting” alle punten tot die puntverzameling behooren.

Stelling: Indien de gesloten en begrensde puntverzameling E niet de som is van twee niet-leege gesloten puntverzamelingen zondernbsp;gemeenschappelijk punt, dan is E een continuum.

Bewijs: Stel, er bestaat een getal

£] gt; 0

en een puntenpaar {A, B) op C, dat niet „£,-verbindbaar” is. Zij E^ de verzameling der punten van E, die niet ,,£j-verbindbaar” zijn metnbsp;A. Daar B tot E^ behoort, is £, niet-leeg. Zij E2 de verzamelingnbsp;der punten van E, die met A wel ,,£,-verbindbaar” zijn. Ook E., isnbsp;niet-leeg, daar A tot behoort.

Voorts is

E — E^ Eo.

Onderstel nu, dat £, en E o het gemeenschappelijke punt P hebben. Dan zou P zoowel ,,£x-verbindbaar” als ,,niet-£,-verbindbaar” moeten zijn, hetgeen uitgesloten is. Dus E^ en £0 hebben geennbsp;enkel gemeenschappelijk punt. Dan zou E de som zijn van tweenbsp;niet-leege puntverzamelingen zonder gemeenschappelijk punt.

Ook zijn en E., gesloten. Immers, ieder verdichtingspunt van Ej is punt van E^, daar dat verdichtingspunt ook niet met A ,,£]-verbindbaar” is. Evenzoo is ieder verdichtingspunt van E^ punt van

28

E^2gt; daar dat verdichtingspunt wel „ej^-verbindbaar” is met A. Echter is gegeven, dat E niet de som is van twee niet-leege geslotennbsp;puntverzamelingen zonder gemeenschappelijk punt. Dus de gemaakte onderstelling is onjuist. D.w.z.: Bij iedere

£ gt; 0

bestaat er een ,,£-ketting” van A naar B, waarvan alle punten tot E behooren.

Waarmee de stelling is aangetoond.

§ 5. FUNCTIES, HOLOMORF IN HET HALFVLAK MET EEN POSITIEF REËEL DEEL.

w {x yi) — u{x yi) iv {x yi)

X gt; 0.

u (x 4-1/ i) = 0. w{a) = ji.

Noem de spiegelbeelden van « en ten opzichte van de Y-as: a' en fi’.

Stel voor X gt; 0:

z—a

en

en met

w{a) = fi correspondeert m (0) = 0,

zijn voor de functie (o{C) de premissen van de stelling van Schwarz (zie blz. 35) vervuld. Dus is volgens deze stelling

I co (C) I = 1 f i

m.a.w.:

31

Hieruit volgt, dat op de rechte y = c, bij groeiende x de waarde

niet toeneemt, immers

du dx ,, nbsp;nbsp;nbsp;, ^ y ^ ^

--= dlog{ - ^0.

u X nbsp;nbsp;nbsp;X

Derhalve: — 1 een limiet

X

A (c) ^ 0,

die a priori van c afhangt.

We willen A(c) met A(0) vergelijken. Wegens

dw _ öu .du dz dy dy

volgt uit (1):

du

dy

dus

Daaruit volgt:

ö hg u_ 1 du ^ 1

dy u dy~ X

log u (x Cl) — log u (x) =

Evenzoo toont men aan:

c

Men heeft namelijk:

1 nbsp;nbsp;nbsp;1 öu_ö log u

X u dy dy —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= log ü (x c i) — log u (x).

Uit het gevondene:

c nbsp;nbsp;nbsp;c

— = log a(x ci) — log u{x)~ —

X nbsp;nbsp;nbsp;X

volgt:

u (x) nbsp;nbsp;nbsp;- V ^ u (x Cl) lt; u (x) v

--. e = —^---—--. e .

X nbsp;nbsp;nbsp;XX

Bij den overgang krijgt men dus:

Dus

;.(c) = 2(0),

d.w.z. 1(c) is een begrensde constante

ISO

en voor ieder punt z van D is

Beschouw nu het geval We teekenen de rechten

waarin

(fig. 6).

0

X

-^0

34

dw

dz

voor 1.2 i gt; een zekere R(e), \ y \ = mx (zie fig. 7).

Zij

I z I gt; R{e),

Zo het punt op Oz, waarvoor geldt

I Zo I = R(s)-

Dan ir

(z) = in (zo) J ~ dz

op ZgZ is

w(z) = w (zo) (9fi|z — Zo], ]öllt;l. wjz) _ W (zo) lt;9 ¦ £ ¦ I z — Zq I _ Ugt; (Zq)

Voor I z j voldoend groot in den hoek \y\ = mx is dus

1 ^

Bijgevolg is uniform in iederen hoek | y | = mx:

0

voor z 00. Zij nu weer

Voor

(p(z) =X w(z)-l. Z

geldt dan, omdat haar l nul is, uniform in iederen hoek \ y \ = mx:

(p{z)

of

tv (z) — l. z

of

w (z)

De Stelling van SCHWARZ, die wij op blz. 29 gebruikt hebben, luidt: Indien f(z) holomorf is voor

\z\lt;h [(0) = 0

36

I fiz) I lt; 1. YWI = |z|-

Bewijs. Daar

[(z) = ao a^z 32^2 ......

binnen den eenheidscirkel convergent is en daar

ao = 0

wegens

fi0) = 0

is

= 3] 32 Z 4- 33 2^ . . .

op de geheele cirkelschijf met straal 1 holomorf.

Zij

12|lt;1.

Trekken we een cirkel met het middelpunt in 0 en straal q zoodanig, dat

I Z I lt; nbsp;nbsp;nbsp;lt; 1.

Daar een niet-constante holomorfe functie zijn maximum op de grens van het holomorfiegebied heeft, zal het maximum van

op de schijf ergens op den cirkel

liggen, b.v. in het punt f. Dan is

37

is dus

lt;1.

Indien we nu tot de limiet overgaan voor

Q —^ ^ r

dan mogen we in de laatste ongelijkheid beide leden door hun limiet vervangen, mits we het teeken lt; vervangen door het teekennbsp;Dusnbsp;ofnbsp;hetqeen te bewijzen was.

HOOFDSTUK II.

DE VRAAGSTELLING.

§ 6. DE DOORSNEE VAN DEELGEBIEDEN.

Zij Go het gebied

I z I lt; 1.

De afbeeldingsfunctie

[{z) — Zi(z} — ajz 32^2 a^z^ ......

brenge Go conform over naar een deelgebied G^ van Gq, dat één grenspunt a gemeen heeft met de grens van Go (zie fig. 8).

De afbeeldingsfunctie

/(Zi) = Z2(z)

brengt dan Gq over naar het deelgebied G-j, van Gi, dat eveneens slechts één grenspunt (n.1. bovengenoemd punt a) met de grens vannbsp;Gj^ gemeen heeft.

Wegens

zi(0) = 0 Z2(0) =0

39

ligt de oorsprong 0 binnen elk der gebieden en Go en gaat bij iedere afbeelding in zichzelf over.

Zoo voortgaande doen wij ontstaan de deelgebieden G^, G2, G3....... (iedere volgende binnen de voorafgaande) met het ge

meenschappelijke grenspunt «, terwijl

0(z = 0)

binnen alle G„ ligt.

VRAAG: Hoe kan nu de doorsnee

N(G„ Gi G2......;

van alle gesloten deelgebieden er uitzien?

Op grond van het bovenstaande merken we reeds dadelijk op, dat — onafhankelijk van den vorm van N — de punten 0 en a totnbsp;de grens van N behooren.

We kunnen de doorsneeNvan alle deelgebieden op drie manieren kwalificeeren;

1. nbsp;nbsp;nbsp;N is de verzameling van alle punten, die in alle deelgebiedennbsp;liggen.

2. nbsp;nbsp;nbsp;N is de grootste puntverzameling, die invariant is bij denbsp;transformatie.

Zi = 2i(z).

3 N is de meetkundige plaats der punten, die antecedenten van alle orden hebben.

De eerste kwalificatie is het gevolg van het feit, dat N de doorsnee is van alle deelgebieden,

De tweede kwalificatie ontleent haar kracht aan de omstandigheid, dat de transformatie

Z3 = Zx{z)

ieder deelgebied op een kleiner deelgebied afbeeldt. De punten van de doorsnee N blijven bij die transformatie in N. De doorsnee Afnbsp;is voorts de grootste puntverzameling met die eigenschap, daar bijnbsp;een deel van N de transformatie

Zx = Zx(z)

een punt van dat deel buiten dat deel kan brengen.

40

De derde kwalificatie spreekt vacn antecedenten. De omgekeerde bewerking van itereeren noemen wij antecedeeren. De nde iteratienbsp;van de afbeelding

Zr =

brengt een punt van Gq over naar een punt van Gn. Omgekeerd heeft dat punt van G„ slechts n antecedenten. Pas indien een puntnbsp;oneindig veel antecedenten heeft (d.w.z. antecedenten van allenbsp;orden), is het een punt van de doorsnee N.

Stelling: De doorsnee N van alle gesloten deelgebieden Gj, G2, G3....... is een continuum.

Bewijs: Indien wij het grenspunt a aan N toevoegen, is N gesloten, daar dan ieder verdichtingspunt tot N behoort.

Stel, N bestaat uit twee gesloten puntverzamelingen P en Q zonder gemeenschappelijk punt. Zij a (grens)-punt van P en Onbsp;punt van Q (zie fig. 9).

We leggen om P de gesloten kromme p en om Q de gesloten kromme q, zoodat p en q geheel buiten elkaar liggen. Daar N denbsp;doorsnee is van alle G*. is er een rangnummer K, zoodat alle G^nbsp;met

kgt;K

geheel binnen de krommen p en q liggen. Dit beteekent, dat al deze Gk uit ten minste twee gebieden bestaan.

Daar echter een continuum bij de afbeelding

Zi — Zi(z)

41

tot een continuum samentrekt, is dit in strijd met het gegeven. Immers, alle G* zijn samenhangende gebieden.

Dus is de onderstelling, dat N uit twee puntverzamelingen P en Q zonder gemeenschappelijk punt bestaat, onjuist.

N is dus een gesloten puntverzameling, die niet de som is van twee niet'leege gesloten puntverzamelingen zonder gemeenschappelijk punt.

Hetgeen te bewijzen was.

Opmerking: Zij en

VI.

De lineaire transformatie

w(z) =

beeldt het gebied conform af op het halfvlak

«gt;0.

Tengevolge daarvan is het in deze paragraaf voor den eenheids-cirkel besprokene evenzeer geldig voor het rechterhalfvlak.

De redactie is dan als volgt:

Zij D het gebied

X gt; 0.

De afbeeldingsfunctie

Zx{z) ~ ajz a2z2 a^z^ ......

brenge D conform over naar een deelgebied van D, dat één grenspunt (het punt oo) gemeen heeft met de grens van D.

De afbeeldingsfunctie

Z2 = Z2{z)

brengt dan D over naar het deelgebied van D^, dat eveneens slechts één grenspunt (nl. bovengenoemd punt oo) met de grensnbsp;van Dl gemeen heeft.

binnen elk der gebieden en en gaat bij iedere afbeelding in zichzelf over.

Zoo voortgaande doen wij ontstaan de deelgebieden D^, D2, Dg....... (iedere volgende binnen de voorafgaande) met het ge

meenschappelijke grenspunt 00. Het punt

z = 1

ligt binnen iedere D^.

Ons onderzoek strekt zich dus evenzeer uit tot de doorsnee

N(DDi Do

van alle gesloten deelgebieden.

§ 7. VOORBEELDEN.

1. De functie

beeldt het halfvlak af op het halfvlak

Hierin zijn weer

en

z = X yi.

Wij beschouwen de iteratie van deze afbeelding (zie § 6), bepaald door de functierij

Z, = |Vz 2, Z2 = ][]/z 2 V 2. z, = I' nbsp;nbsp;nbsp; 2 2

enz.

Blijkbaar geldt

(2) = 2

Zi ( Oo) — OO

De gebieden, waarop de functies van deze rij het halfvlak

X gt; 0

afbeelden, trekken samen tot de halfrechte

ix= 2,y = 0).

In dit eerste voorbeeld is de doorsnee N van alle deelgebieden dus een halfrechte, waarvoor de drie kwalificaties, genoemd innbsp;§ 6, gelden.

af op het halfvlak Blijkbaar gelden

z,(l)=l

Zi (oo)— OC.

De geïtereerde afbeelding van

gt;0,

gegeven door de functie of

is het halfvlak

^2gt;l-

De geïtereerde afbeelding van

4 gt; 0,

gegeven door de functie

nbsp;nbsp;nbsp; i

of

“b 'g'i

is het halfvlak

•^3 gt; i-

De geïtereerde afbeelding is blijkbaar het halfvlak

Xngt; 1

De doorsnee N van alle deelgebieden is het halfvlak

jc gt; 1.

In dit voorbeeld is N dus een gebied.

3. We beschouwen de figuur, gevormd door twee halfrechten vanuit 0, waarbij een der halfrechten (zie fig. 10) een ,,aanhangsel”nbsp;heeft, gevormd door twee stukken van cirkels met 0 als middelpuntnbsp;en een stuk van een derde halfrechte door 0.

Vermenigvuldigen wij deze figuur achtereenvolgens met de waarden

2. 2-', 22, 2-2, 2^ , . .

45

dan ontstaat gebied H (zie fig. 11), waarin de „aanhangsels” zich verdichten in 0 en in co.

We beschouwen vervolgens het gebied G, dat de vereeniging is van H en een cirkelschijf om 0 (zie fig. 12).

De functie

2i = iz

beeldt G af op een deelgebied van G, waarbij

zi(0).= 0

en

Z| ( Oo) = 00.

Immers bij de transformatie

Zi — iz

komt een punt in een „aanhangsel” juist binnen een dichter bij O gelegen ,,aanhangsel” terecht, terwijl een punt, eenmaal binnen dennbsp;cirkel gelegen, bij iedere iteratie binnen dien cirkel blijft.

Als grootste invariante puntverzameling N (invariant bij de transformatie z-i = \z) ontstaat nu het gebied H.

Opmerking: Tusschen de drie beschreven voorbeelden bestaat de overeenkomst: Een gebied wordt steeds afgebeeld op een deelgebied met één invariant binnenpunt en één invariant punt op oo.nbsp;Het grootste invariante deelgebied is telkens een continuum, datnbsp;deze beide invariante punten verbindt. Er bestaat tevens een verschil: Bij het voorbeeld 1 is dat continuum lineair, bij de voorbeeldennbsp;2 en 3 bevat dat continuum een gebied.

HOOFDSTUK III.

N BEVAT EEN GEBIED.

§ 8. GEVAL: EEN CIRKELSCHIJF RAAKT IN a. i)

In het vorige hoofdstuk hebben wij gezien, dat de doorsnee N van alle deelgebieden kan samentrekken tot een lineair continuum 0 anbsp;of gebieden bevatten. In het laatste geval kan N al of niet eennbsp;gebied bevatten, waarvan

z = 0

en grenspunten zijn.

Theorema: Indien (zie blz. 38) een cirkelschijf bevat, die in a raakt aan den cirkelomtrek, die grens is van Gq, dan heeft Nnbsp;dezelfde eigenschap en N bevat een gebied, waarvan

z = Q

grenspunten zijn.

Bewijs: Door een lineaire transformatie wordt Zi(z) een functie, die het halfvlak D{xgt;0) afbeeldt op een deelgebied van D,nbsp;dat een halfvlak H{x gt; a) bevat en waarvan de grens de rechte

X = 0

niet ontmoet op het punt

Z = 00

na (zie fig. 13).

Bovendien zorgen we, dat

en

z, (oo)

1) J. WOLFF, Comptes Rendus, 5 April 1937, p. 1101.

47

Daar elkaar in « rakende cirkels door de lineaire transformatie evenwijdige rechten worden, sluiten de onderstellingen over het

%Dt

Fig. 13.

bestaan in van een angulaire afgeleide

Urn = nbsp;nbsp;nbsp;0lt;/llt;l.

z-gt;- CO nbsp;nbsp;nbsp;Z

Hier is

7lt; 1,

omdat voor

X = 1

he-t punt 00 het eenige dekpunt zou zijn.

In H(xgt;a) is de inverse functie z(z^) van zi(z) holomorf en heeft er een positief reëel deel. Op een horizontale lijn geldt dusnbsp;voor de puntenz, en z'j (x, lt; x/):

X]—a nbsp;nbsp;nbsp;Xj—a

want wegens het in § 5 behandelde neemt ™ op een rechte

niet toe. Laat nu

op de horizontale lijn, dan is X __1

X, —a

Noemt men een willekeurig punt van H: z, dan volgt uit deze laatste ongelijkheid:

x-i nbsp;nbsp;nbsp;(x—a)........(1)

48

waarbij

z-i = x-i y-ii het eerste antecedent van

z = X yi

voorstelt.

Van het gebied A, gedefinieerd door

= b,

kan nu opgemerkt worden, dat alle antecedenten eveneens tot A behooren.

Immers, uit (1) volgt nu, dat

1-A'

dus

X-i gt; b.

Evenzoo toont men aan, dat alle

x-k gt; b

zijn, met

/c = 1,2, 3.......

Daar voor ieder punt z van A alle antecedenten bestaan (ja zelfs eveneens tot A behooren), behoort het gebied A tot N en zijnnbsp;grens bevat de puntennbsp;en

Z = 00,

waarmee het theorema is aangetoond.

§ 9. GEVAL: / gt; 0.

Zij z^{z) een functie, die het halfvkik D{x gt; 0) conform afbeeldt op een gebied binnen D, waarvan de grens ƒ een Jordanschenbsp;kromme is, die binnen D ligt en zich naar m uitstrekt in de tweenbsp;richtingen

atg z ¦

en 71.

2 ’

wanneer z groeit naar oneindig.

Zij

1

en

Z, ( oo) rr:Oo.

Noemen wij de angulaire afgeleide van Z|(z)bij oneindig: l, dan is

U,n nbsp;nbsp;nbsp;=

2-gt;- X Z

hoe z ook angulair naar oneindig gaat. Geven wij het gebied, dat ontstaat, door de transformatie

Zy = Zj(z)

op alle punten z van D, toe te passen, aan met Dy.; het gebied, dat verkregen wordt, door dezelfde transformatie toe te passen op allenbsp;punten van Dy, geven wij aan met D^; en zoo vervolgens. Het gebied Dn bevat het gebied Dn \ voor

n= 1,2,3.......

Zij N de doorsnee van alle gebieden D„.

Theorema: Indien / positief is, dan bevat N een gebied met opening ti bij oneindig ').

J. Wol.FF, Comptes Rendus, 29 April 1940, p. 658.

50

Vooraf bewijzen we de Hulpstelling: Indien

begrensd, waarbij

/A nbsp;nbsp;nbsp;^1 iquot;-ti) . \ Z| (—fi);

W{t)=- arg nbsp;nbsp;nbsp;-f- \ argnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;;

Bewijs: Stel

/ \ ‘I (2) tl (2) = arg----.

Uit de onderstellingen omtrent Zi{z) volgt, dat u(z) voor

0

harmonisch en begrensd is.

Volgens de formule van PoiSSON (blz. 60) is dus

De geconjugeerde van u{z) is i’{z), die van 0 is log r en die van d 0 is dus d log r.

IS

1

van de orde waarmee de begrensdheid van

tp (f) dt

is aangetoond.

We toonen nu het theorema van blz. 49 aan. Bewijs: Stel op de imaginaire as

z =1 ti

en

Zij

0lt;elt;~j.

Beginnen we te antecedeeren in een punt zq met arg Zq tusschen

71

en

71

-y e

en is j Zo I groot genoeg, dan zijn er — wegens 2 gt; 0 — meer en meer z_* aanwezig, met argumenten tusschen

en

ie.

z, (z)

harmonisch is en begrensd, is volgens de formule van PoiSSON:

Dus

Zij n het aantal antecedenten van zq met argumenten tusschen

--is

en

is.

Zij nu het getal N vast en zóó gekozen, dat

ry^t)

J t

(hetgeen wegens de hulpstelling mogelijk is), dan is

X-{k i)

-N

waarin met

{ V(i-) ]max.

bedoeld wordt het maximum van de functie y’it) langs den inte-gratieweg, d.w.z. voor

\t\lt;N.

54

Immers, de absolute waarde van een integraal is ten hoogste gelijk aan den integratieweg maal het maximum van den integrand.

Is nu j Zg i voldoend groot, dan is, daar

Zij vooreerst

1 2-(fc l) I = I ^

voor

k = 0,l.......(r—1)

(zie fig. 14), Dan is

t — y^{k u \ gt; a . x-[k i).

a constant. Dus

of

x^-{k l)

nbsp;nbsp;nbsp;y-{k l))^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X-(k l)

G constant ( = ^ 1.

Zij vervolgens

Z-(k \) 1 gt; I ^

-(fc l)

Nu is — wegens x-k ^ k X-[k \) nbsp;nbsp;nbsp;0 lt; 2 lt; 1

r—1

en

1 nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i''

¦“ X-(k l^ nbsp;nbsp;nbsp;(1 —¦^) ^o'

56

Hiermede is bewezen

i arg Z-n . — arg Zq I lt; «

voor I Zq I voldoend groot. Dan houdt de antecedeering dus nooit op. Hetgeen te bewijzen was.

Het bewijs van het theorema; „Indien

;.gt;o

is, dan bevat N een gebied met opening n bij oneindigquot;, bevat het bewijs van de volgende stelling:

Ondersteld: f{z) holomorf met positief reëel deel in D(xgt;0), a„ (n = 1, 2, .. .) is een puntrij in D met

a„ i =c a„ ,

c gt; 1 en vast n = 1,2,...

Opmerking: f(z) behoeft geen afbeeldingsfunctie te zijn, m.a,w. niet univalent (schlicht).

2 = angulaire afgeleide van f(z) in het oneindige.

Bewijs. Wegens

2gt;0

(zie Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta Mathematica 30, pag. 363).

Hier moet opgemerkt worden, dat onder f{ti) verstaan wordt de op een volle maat van

- 00 lt;[ t lt; 00

bestaande

lim f(x ti) ^ 0. x^o

Wegens de formule van PoiSSON is, stellende

«n = a„ i bn,

fjo-n) _ an r f{ti) dt

Want

arg

is begrensd in D.

Fixeer een waarde van f. Als

'ak\ = \t\.

waarin G vast.

Als dan is

dus

(1—c“') [a*| sm^« nbsp;nbsp;nbsp;!f|

Zonder verlies van algemeenheid, stel

l«il gt; 1-

Wegens (4):

1

Uit (3) en (4) volgt, dat voor iedere t.

want men behoeft slechts den eersten index

A: gt; 111

te beschouwen.

Wegens (2), (5) en (6) is

Uit (7) en (1) volgt de stelling.

(7)

2n \

§ 10. DE FORMULE VAN POISSON.

Zij t(z) holomorf in gebied G.

Dan is volgens de integraalformule van CAUCHY (blz. 24)

1 Cf it)

waarbij de integratievariabele t den cirkel c doorloopt en z een parameter is. Ook i(t) is natuurlijk holomorf in G.

Indien z' een punt buiten den cirkel c is, kan men de grootheid

iTlij

berekenen.

In den met c concentrischen cirkel c' is f(t) holomorf. De vorm

1

t—z'

is holomorf in het heele vlak minus z', dus is de integrand

m

t—z'

holomorf binnen c', waaruit volgt, dat de CAUCHY-integraal gelijk 0 is (blz. 19). Dus is

Nu kiezen we (zie fig. 17) voor z' het beeldpunt (geconjugeerde punt) van z ten opzichte van den cirkel c.

De eigenschappen van geconjugeerde punten z en z' zijn:

I nbsp;nbsp;nbsp;, — constant,

\t—z

n.1.

als f den cirkel c doorloopt

61

Zij de voerstraal van z gelijk lt;?, dan heeft z' de voerstraal,

BI

Q ’

Hun argument zij 6. Van het veranderlijke punt f zij het argument lt;p.

Dus in poolcoördinaten is

z — Qe'\ z = — e' Q

Hieruit volgt

dt= Rie?' d(p.

Int J t — z

2 TT ij (t — z) [z' — l)

C

of

of na vermenigvuldiging van teller en noemer met g:

— p^) nbsp;nbsp;nbsp;' f (t) R i ei' dtp

(Re?' — pd‘‘) {R^ nbsp;nbsp;nbsp;' — Rge'-r‘‘)’

Hiervan herleiden we den noemer:

{Re'f’ — pe'^‘) {Rd^^ — pe?‘) R =

= R{R^ p^) e?'¦ nbsp;nbsp;nbsp;‘-R^p (e^?‘ e^^') =

= Re?’ e'^‘ [R^ p^ — 2Rp cos {(p — B)\ — = /? e?'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;' r^,

zoodat we tenslotte krijgen de formule van POISSON:

2.-r

Zij u(z) het reëele deel van l(z) dan is

i2_

2zi

§11. GEVAL; A BEVAT EEN PUNT EN ZIJN BEELD.

Theorema. Indien N een gebied A bevat, dat een punt

a 7^ 1

en zijn beeld

ai = zi(a)

bevat, dan is

;.gt;o

(zoodat N volgens het voorgaande een gebied met opening n bij oneindig bevat) ^).

Bewijs: Daar A een deel is van N, bezit A in D antecedenten z_„ van alle orden, gedefinieerd door

Zo = Z, Zi (z_„) = z_(„_i), n = 1, 2, . . .

De harmonische functies

Un (z) = arg Z-n

in A hebben hun waarden tusschen--^ en

en zijn geconjugeerd met log z^n-

Trekken wij in A een polygoon F van ai naar a, dan is

waarbij F de integratieweg is en de normaal v de goede richting heeft.

Langs F zijn de waarden van

Ö Un

dv

begrensd, zoodat er een constante M bestaat zoodanig, dat

lt;M, n=:l,2,...

1) J. WOLFF, Ned. Ak. V. Wet., Vol. XLIII, no. 8 (1940).

64

Wij beweren, dat

als

Immers, indien a_,; niet met n naar oneindig ging, dan zou er een constante R bestaan en een suite (p) van geheele getallen p, dienbsp;naar oneindig gaan, zóódanig, dat

i a_„ I lt; R.

Wegens de onderstelling

(1) = 1

geldt uniform voor ] z ] lt;

lim Zp = 1, p-gt;-co

zoodat dan a = 1 zou zijn, hetgeen uitgesloten is.

Uit

a_„

lim ïlö =

Z-gt;-00 z

volgt nu

Wat te bewijzen was.

Opmerking. Het gebied A kan het punt

z = 1

niet bevatten, omdat dit punt op de grens van N is gelegen en N het gebied A bevat.

§ ,12. GEVAL: A HEEFT 1 EN oo TOT GRENSPUNTEN.

Theorema. Indien N een gebied A bevat met de punten 1 en oo tot grenspunten, dan bevat N een gebied met opening n bij 00 1).

Bewijs:

Daar A tot N behoort en N de doorsnee is van alle deelgebieden D. behoort ook A^ tot N en tot alle

Dn, n=\,2, ......

indien Ai het gebied is, dat ontstaat door op ieder punt z van A de transformatie

2l = Zi(z)

toe te passen (zie fig. 18).

Heeft Al een punt met A gemeen, dan bevat A een punt en zijn beeld, dus is 2 gt; 0 (zie § 11).

Heeft Al geen punt met A gemeen, dan moet het gebied tusschen A en Al ook tot alle Dn behooren wegens hun enkelvoudigennbsp;samenhang.

Een gebied van Af bevat ook nu een punt (in A) en zijn beeld (in Al), weer is

2gt;0

en bevat N een gebied met opening n bij oo.

1^) J. WOLFF, Ned. Ak. V. Wet., Vol. XLIV, no. 2 (1941) p. 195.

HOOFDSTUK IV.

§ 13. DE AFBEELDING VAN EEN DEELGEBIED VAN N OP D.

Zij

;.gt;o,

zoodat volgens het voorgaande de doorsnee N van alle deelgebieden Dn (n = 1, 2.......)

een gebied G met opening n bij oneindig bevat, en het punt z =; 1 tot grenspunt.

Wij nemen aan, dat G het grootste zoodanige deelgebied van N is.

Zij a een vast punt van G.

Stelling:

1.

hm -j-----,

n -? co i ^—n \

is een in G holomorfe functie ipiz), die G conform afbeeldt op D(xgt;0) 1).

Bewijs: Stel voor iedere eindige n

Wn (2) =

waarbij a een vast punt in G is en z een veranderlijk punt in G (zie

fig. 19).

I. WOLFF, Ned. Ak. v. Wet., Vol. XLIV, no. 3, 1941, p. 308.

67

Zij /' een rectificeerbare boog «z.

Het argument van z_„ is harmonisch in G voor

n = 1. 2.......

Hm arg 2_„

is harmonisch, gelijkmatig over 7' en niet constant.

Z—n

arg z_„

een zekere limiet, dus holomorfe functie van z in G voor n go (zie § 11).

Dus Hm y’n (z) is een holomorfe functie '/’ (^) —

ll-f-CC

De waardevoorraad van y'„(z) bevat voor voldoende groote n het gebied H, dus de waardevoorraad van i/’ bevat H, dus de waardevoorraad van Ij’ bevat D.

De waardevoorraad van ly is identiek met D, omdat yi in D ligt. Dus de functie

C = v(z)

beeldt G af op D.

§ H. DE AFBEELDING VAN D OP EEN DEELGEBIED

VAN N.

Bij de besproken iteratie werd het halfvlak

D (:c gt; 0)

door de afbeeldingsfunctie

Z\ = 2| {z)

afgebeeld op een deelgebied D| van D, op het deelgebied enz, met

z,(l)= 1

en

Z| ( 00 ) — 00 .

De doorsnee van alle deelgebieden is N.

Het is niet mogelijk gebleken, de functie te bepalen, die D op N

afbeeldt.

Uit § 13 volgt wel: De inverse functie van

C = 'r(z)

Z ip {^) = Urn ( ; nbsp;nbsp;nbsp;C )„

«-?x

beeldt D af op een deelgebied G van N met opening zt. bij cc.

ril

STHLUNGF^N.

Door de functie van KÖNIGS kan men het onderzoek naar de doorsnede der geïtereerde deelgebieden bij conforme afbeeldingnbsp;vereenvoudigen, waarbij de transformatieformules een eenvoudigennbsp;vorm krijgen.

II.

Het theorema, volgens hetwelk voor alle in den eenheidscirkel holomorfe univalente functies

1

/¦(z)—

geldt:

1,

kan veel eenvoudiger bewezen worden dan door Landau is gedaan.

E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuercr Ergebnisse der Funktionentheorie, p. 107, 108nbsp;(2te Auflagc),

III.

Navolgingswaard is de wijze, waarop CaratheodORY de determinanten invoert.

C. CaratheODORV, Vorlesungen über reëlle Funk-tionen, p. 318.

IV.

Het bestaan van een diffusiekracht, die door RasiiKVSKY wordt gebruikt als grond.slag voor de verklaring van een aantal biologischenbsp;verschijnselen, is noch experimenteel, noch theoretisch voldoendenbsp;bewezen.

N. RASHEVSKY, Mathematical Biophysics.

- cquot; '

»!j ■gt; nbsp;nbsp;nbsp;.. gt;• ;'“'-bno Jsn mm gt;;«:■■:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,■ -j

*. •• . r4gt;.

i/ N.; nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,4.

SI

V.

Ten onrechte beweert Bottema, dat wiskundige strengheid een betrekkelijk begrip is.

O. Bottema, De dienst der Wiskunde (inaugureele rede te Delft op 30 September 1941).

VI.

Het is gewenscht, in de planimetrie de begrippen symmetrie en congruentie uit elkaar te houden.

VII.

De invoering der irrationale getallen kan door de studenten eerst na het candidaatsexamen begrepen worden.

VIII.

Het bewijs, dat Landau geeft van de bekende stelling van Fat'OU, is noodeloos lang en ingewikkeld.

E. Landau, Dar.stellung und Begründung einiger neuerer Ergebnis.se der Funktionenthcorie, p. 40 (2tenbsp;Auflage).

IX.

Het bewijs van de stelling, dat iedere lijfrente op twee hoofden van verschillenden leeftijd door een lijfrente op twee hoofden vannbsp;gelijken leeftijd kan worden vervangen, indien de gebruikte sterfte-tafel aan de Wet van Makeham

Ix — c. . p'quot;'

voldoet, behoeft niet — zooals wel door LandrÉ wordt gedaan — gebruik te maken van de Hoogere Wiskunde.

C. L. LandrÉ, Mathematisch-technische Kapitel zur Lebensversicherung, p. 495, 496 (5te Auflage).

X.

De z.g. symbolische methode in de projectieve invariantentheorie is op te vatten als een verkorte notatie, waarbij de ,,symbolen” denbsp;indices van de vormen voorstellen.

XL

De middelbare fout in een sterftetafel, bij het levensverzekerings-bedrijf in gebruik, wordt te vaak over het hoofd gezien.

'i'/f